Presented to the
LIBRARY oj the
UNIVERSITY OF TORONTO
by
PROFESSOR K.O. MAY
SERIK DI FOURIER
E
ALTRE RAPPRESENTAZIONI ANALITICHE
DELLE
FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE
SERIE DI EOLUIEU
E
AilPiE UPPMSmZil iMiira
nnri
DELLE
FUNZIONI DI UNA VARIABILE REALE
ULISSE DINI
PROFESSORE ORDINARIO NELLA R. UNIVERSITÀ DI PISA
if
PISA
TIPOGRAFIA T. NISTRI e C.
1880
(}^
Proprietà Letteraria
c!fe;::^06c:5C3s*:5C5c:5C!3!0C330C!^wX!!3^
Le questioni intorno agli sviluppi delle funzioni di
una variabile reale data arbitrariamente in un certo
intervallo, hanno formato soggetto degli studi dei più
celebri geometri, segnatamente da una cinquantina
d' anni a questa parte.
Pubblicare un libro che riunisse i principali fra
questi studi, insieme a quel poco che avessi potuto
aggiungervi di mio, e dare così un seguito al libro già,
pubblicato col titolo „ Fondamenti per la teorica delle
funzioni di una variabile reale „ fu dapprima il mio
intendimento.
Questo concetto però si è andato man mano slar-
gando, specialmente perchè, rinvenuto un processo ge-
nerale, ho potuto de.lurre con metodo uniformo gli
sviluppi conosciuti fin ora ed altri nuovi o non per
anco completamente dimostrati, dandoli, a mio credere,
in un modo pienamente rigoroso; e così il libro, che
secondo i miei primi intendimenti avrebbe dovuto pre-
sentarsi al pubblico sotto le più modeste apparenze,
viene ora a prendere una mole alquanto considerevole.
Ho reputato opportuno perciò il dividere il libro stesso
in due parti; dando nella prima tutto quello che si
riferisce alla possibilità degli sviluppi, e riunendo nella
seconda quello che si riferisce alle proprietà degli svi-
luppi medesimi, come ad es. alla loro convergenza in
ugual grado, alla loro integrabilità o differenziabilità
termine a termine; alla unicità ec. . .
Non entrerò in dettagli ne per ciò che l'iguarda
la prima, ne per ciò che riguarda la seconda parte.
Dirò solo che nei metodi seguiti ho sempre cercato
di conservare la maggior generahtà possibile; ed è per
questo appunto che i varii risultati li ho potuti ottenere
colla più grande semplicità, e senza bisogno di lunghi
calcoli, e ho potuto trovare altresì che la maggior
parte dei risultati medesimi, che fin ora erano stati
dati con processi speciali e calcoli assai laboriosi pel
caso soltanto degli sviluppi di Fourier, valgono anche
per altre classi estesissime di sviluppi. Il vantaggio di
quei metodi poi, oltre che nel loro carattere generale,
sta anche nella circostanza che in essi le difficoltà tro-
vansi separate in due; T una cioè relativa alla funzione
da svilupparsi, e T altra relativa soltanto alla natura
dello sviluppo. In tal modo per es. volendo ricono-
scere se un certo sviluppo è possibile , s'incomincia sem-
pre dal fare alcune verificazioni sugli sviluppi di quella
forma indipendentemente dalla funzione da sviluppar-
si; e dopo di aver fatto queste verificazioni, i teoremi
generali del Gap. ITI nei quali si ha riguardo soltanto
alla natura della funzione negli intorni dei punti nei
quali vuole svilupparsi, danno subito alcune classi di
funzioni alle quali lo sviluppo è applicabile. Fra queste
funzioni si trovano sempre quelle che negli stessi intorni
non fanno oscillazioni, e nella maggior parte dei casi
vi si trovano anche alcune classi estesissime di fun-
zioni con infiniti massimi e minimi.
Di fronte però al vantaggio che porta seco la gene-
ralità che ho mantenuta, si ha l'inconveniente che gli
enunciati di alcuni teoremi vengono forse troppo pro-
lissi, e talvolta occorre entrare in considerazioni al-
quanto minuziose; ma tali inconvenienti mi sembrano
ben compensati dai vantaggi che per altri lati se ne
hannO; e dalla importanza dei risultati che se ne ot-
tengono.
Questo libro presenta certamente dei difetti, alcuni
dei quali però sono più specialmente da attribuirsi alla
circostanza che la sua pu])l)licazione si è fatta a inter-
VI
valli, e con concetti che, come gih, ho detto, si anda-
vano soltanto a poco a poco svolgendo. Voglio ciò non
ostante sperare che i cultori della scienza non lo tro-
veranno del tutto privo di un qualche valore; e ad ogni
modo sarò lieto se, per l' insieme dei risultati che in
esso trovansi riuniti, contribuirà ad agevolare lo stu-
dio di una delle parti più belle dell' Analisi moderna.
Fisa, Ottobre ItiSO.
PARTE PRIMA
POSSIBILITÀ DELLE KAPPRESENTAZMI ANALITICHE PER LE FUNZIONI
TATE ARBITRARUMEiNTE IN UN CERTO INTERVALLO
I. Considerazioni generali .
1. Uno dei problemi più interessanti dell'analisi è quello
di cercare se e in quali casi le funzioni di una variabile reale
date arbitrariauiente in un certo intervallo finito o infinito (a,h)
possono esprimersi analiticamente per ogni valore di ce fra
a e b, per modo cioè che i valori della funzione data per questi
valori di x possano tutti ottenersi per mezzo di una serie finita
o infinita di operazioni di calcolo da farsi sulla variabile.
Però un problema posto in una maniera così generale
non potrebbe risolversi, o almeno difficilmente potrebbe aversi
un metodo per trattarlo , ove non si stabilisse qualche cosa
intorno alla natura della espressione analitica che, quando la
cosa sia possibile, dovrà rappresentare la funzione; ed è perciò
che nelle ricerche di questo genere che finora sono state fatte
si è sempre limitato il problema stesso cercando soltanto se ed
in quali casi una funzione data arbitrariamente in un certo in-
tervallo può avere una espressione analitica di forma data.
I risultati che così si sono ottenuti possono dirsi di una
straordinaria importanza , non tanto per 1' Analisi , quanto, e
più specialmente, per le loro applicazioni alla Fisica matema-
tica ; e noi ne esporremo alcuni dei principali , avendo però
più particolarmente in mira la rappresentazione analitica delle
funzioni di una variabile reale per mezzo di serie convergenti
formate con date funzioni speciali della variabile, o per mezzo
di certi integrali definiti .
2. Il problema generale della rappresentazione analitica
delle funzioni di una variabile reale data arbitrariamente in un
certo intervallo, sarebbe sorto naturalmente dopo la introdu-
zione che Dirichlet fece nella scienza del suo concetto di fun-
zione (*). Limitato però alla rappresentazione delle funzioni per
mezzo di serie trigonometriche, questo problema può dirsi ormai
vecchio e celebre nella storia della scienza; e può dirsi anzi
che per esso appunto Dirichlet sia stato condotto alla sua defi-
nizione generale della parola funzione.
Questo problema infatti si è presentato per la prima volta
verso la metà del secolo scorso nel trattare una questione di
Fisica matematica, quella cioè delle corde vibranti.
Con alcune supposizioni prossime alla realtà , era stato
trovato che la forma di una corda che vibra in un piano, alla
fine del tempo t è data dalla equazione a derivate parziali :
ove a è una costante, e a: e ?/ sono le coordinate ortogonali
situate nel detto piano coli' origine in uno degli estremi della
corda, e 1' asse delle x disposto secondo la retta ( orizzontale )
che passa per gli estremi della corda stessa.
D'Alembert prendendo a studiare questo problema delle
corde vibranti, trovò pel primo che la soluzione generale della
equazione (1) era data dalla formola:
y= f{x+o.t) + z{.c-rxt),
ove /" e 'f sono due funzioni arbitrarie; e poi osservando che, se l
è la lunghezza della corda nella posizione di equilibrio, y do-
veva essere zero per qualunque valore di t ai punti estremi
iC^O, x=l della corda, ne dedusse che le funzioni /" e 'f do-
vevano soddisfare alle equazioni :
(*) Avanti Dirichlet , per es. da Monge, si era definita la parola funzione ia
nn modo quasi così gf^nerale come quello di Dirichlet; però allora vi era sempre
espresso o sottinteso il concetto della esistenza di una data espressione analitica
per la funzione medesima.
fh.t) = - z{-yt) ^ filmai) = - z{l-o.t) ,
le quali cambiando ai in z davano:
/-(:) = - 'f(-:) = - z{ l-{l^z) ) =/'(2Z4-:),
per modo che si poteva concludere che la soluzione generale
del problema delle corde vibranti era contenuta nella equazione:
y=f{o.t-\-x)-f{'xt-x),
ove /" è il simbolo di una funzione arbitraria per la quale si
ha /•(:)=/•( 2 ^fz).
Dopo D' Alembert, anche Eulero prese a trattare il pro-
blema di cui parliamo', e trovò che la funzione /", e quindi le
vibrazioni della corda restavano pienamente determinate, quan-
do era data la forma della corda e la velocità di ognuno dei
suoi punti ( cioè y e — j e così venne a completare la solu-
zione del D'Alembert .
La memoria di Eulero diede occasione ad un altra di
D'Alembert nella quale egli mosse alcune obiezioni contro la
estensione fatta da Eulero del suo metodo; e dopo questa ne
comparve una di Daniele Bernoulli nella quale venne data
una nuova soluzione del problema fondata sopra una osserva-
zione fatta qualche tempo prima da Taylor .
Taylor aveva osservato che la funzione:
nzx n-ta
y=^ sen — ;- cos
II
con n intero qualunque soddisfaceva alla equazione (1), e alle
condizioni ì/=0 per x=^0 e x=l qualunque sia f, e aveva
spiegato così il fatto fisico che una corda , oltre il suono
fondamentale che gli è proprio, può dare anche il suono fonda-
mentale di una corda della stessa costituzione e di una lunghezza
— , — , -j . . . . della sua; Bemoulli guidato da questa osserva-
zione, e dall' altra che una corda poteva dare anche contem-
poraneamente questi suoni, ne dedusse che essa avrebbe potuto
vibrare anche conformemente alla equazione :
(2) l/= l(/ii scii — j— cos ^ -,
ove le a» e b„ sono costanti arbitrarie ; e ])oi avendo ricono-
sciuto che con questa formola qualsiasi fenomeno del suono
veniva spiegato, ne concluse che essa doveva essere la formola
generale .
Dopo questo lavoro di Bernonlli ne comparve un altro
di Eulero nel quale questo celebre matematico rispondeva alle
obiezioni fattegli da D' Alembert, e osservava contro Bernonlli
che , siccome per ogni valore del tempo t la formola (2) dava
la equazione della corda sotto la forma:
ìlTtX
(3) 2/= - y» sen -^- ,
bisognava concluderne che la detta formola (2) non sommini-
strava la soluzione generale del problema, in quantochè, almeno
per un dato istante la forma della corda poteva darsi arbitra-
riamente, e non era dimostrato che una curva qualunque data
arbitrariamente fra due ascisse 0 e l potesse sempre rappre-
sentarsi con una equazione della forma (3); e anzi si riteneva
allora come impossibile di rappresentare una curva algebrica ,
o più generalmente ima curva analitica data e non periodica ,
per mezzo di una espressione periodica come quella scritta
sopra o anche come V altra :
(4) if= 1 a,j sen — \- 1 ^j., cos — y- .
Il problema era portato a questo punto, e incidentalmente
aveva dunque fatto nascere la questione se una curva data arbi-
trariamente fra () e l potesse o nò rappresentarsi sempre con
una equazione della forma (3) o (4), per quanto, ritenendosi
allora la cosa del tutto impossibile, una tal questione venisse
posta immediatamente da parte; né ancora le questioni sorte
fra Eulero, D'Alembert, e Bernonlli potevano dirsi decise, ma
soltanto Eulero e D'Alembert si trovavano d' accordo nel rite-
nere che la soluzione del Bernonlli non fosse la soluzione ge-
nerale del problema delle corde vibranti-
Fu allora elio Lagrange, ancor f^ìovaiiisslmo, prese a stu-
diare egli pure il problema, e ne detto una soluzione in un modo
tutto nuovo, quantunque non altrettanto rigoroso . In questo
lavoro egli ebbe occasione di dare la formola che esprime per
una serie f.aita di funzioni circolari la ordinata di una curva
che passa per un numero fìnito di punti disposti comunque su
rette equidistanti parallele all' asse delle ?/; ma per quanto,
avendo usato il segno J per rappresentare quelle somme che
ora rappresenteremmo con -, e avendo usato il segno dx per
rappresentare l' intervallo finito A a;, Lagrange giungesse a una
formola che col farvi n=co concorda pienamente con quella
che fu trovata più tardi per una funzione qualunque , è certo
però che, avendo il Lagrange tralasciato di studiare il passaggio
dal finito all' infinito, la questione della possibilità o impossi-
bilità di rappresentare una curva data arbitrariamente in un
certo intervallo con una equazione della forma (3) o (4) restò
ancora insoluta. Né P insieme della memoria di Lagrange mostra
che egli pensasse che una funzione del tutto arbitraria potesse
realmente rappresentarsi con una serie di seni o con una serie
di seni e coseni; ma anzi mostra piuttosto che egli intraprese
il suo lavoro perchè credeva che queste funzioni arbitrarie non
fossero esprimibili per una formola, e solo credeva che le serie
trigonometriche potessero rappresentare ogni funzione periodica
data analiticamente .
3. Dopo il lavoro di Lagrange, la questione della possibilità
della rappresentazione per serie trigonometriche delle funzioni
date arbitrariamente non fece alcun passo per circa un mezzo
secolo; quando inaspettatamente Fourier nel 1807, più per di-
vinazione è vero che per dimostrazione, dette la formola che
porta il suo nome, e mediante la quale ogni funzione f{x) data
arbitrariamente fra — ;: e ~, sotto certe condizioni pochissimo
limitative viene rappresentata analiticamente in serie trigono-
metrica della forma :
(5) f{x) =■■ ^\au cos nx-[-ìiu sen n x \ ,
0
6
ove (tu e ìhi sono coefficienti costanti che risaltano determinati
dalle forinole
(6)
(7= _ / f(^x)dx,On=-' I f{x)cosH.rdr,b„= ^ / f{x) senni dx,
per tutti i valori di n .
Per giungere alla sua serie, Fourier osservò che se f{x) è
la somma della serie:
co
(7) J^ j Un cos nx -\- bn sen iix\,
0
uguagliandola a /{x^^ , e moltiplicando poi i due membri una
volta per cos?» a; e un altra per sen tu x e integrando fra — t:
e ~, si trova:
rz o)/ rz ri: \
I f(x) cos mxdx=2i «" / cos nx coBmxdx-\-l)n j sen nv cos vixdx ] ,
J-Z 0\ J-- J-T. I
I f{x) sen ìnxdx=2^{ (In j cos nix sen nxdx-\-bn / sen nxsenmxdx |,
e quindi , avendo riguardo ai valori noti degli integrali
r- r^
/ cos n X cos m X dx , / sen ìi x cos mxdx , . . . , pei diversi
valori di interi m e «, ne dedusse che i cofficienti della serie (7)
vengono determinati appunto dalle formole (6) , e ne concluse
allora senz'altro che la formola (5) ove (in e bn erano dati
dalle (6), e che egli riscontrava giusta per funzioni particolari
anche discontinue, serviva a rappresentare qualunque funzione
data in una maniera del tutto arbitraria pei valori di x fra
— ■;: e tc .
4. Fourier presentò il 21 Dicembre 1807 alla Accademia
delle Scienze di Parigi la memoria nella quale si trovano i
risultati ora indicati; e questi risultati che Lagrange contestò
nel modo il più formale, trovarono ben presto applicazioni me-
ravigliose nella fisica matematica ove numerosi esempì persua-
denti ne confermavano ogni dì più la esattezza .
Astrazion fatta però anche dalla obiezione che ora fareb-
besi al processo che condusse Fonrier alla sua formola , per
avere egli in questo processo applicata una integrazione per
serie termine a termine senza dimostrare prima la legittimità
di questa operazione , è certo che il processo stesso presenta
un altro difetto capitale perchè ammette a priori la possibilità
dello sviluppo della funzione data /*(.r) sotto la forma (7), il
che è quello appunto che trattavasi di dimostrare ; talché, an-
che dopo la memoria di Fourier , la questione della rappre-
sentabilità di una funzione f{.r) data arbitrariamente fra — - e ~
per mezzo di una serie trigonometrica della forma (7), restava
ancora del tutto insoluta.
5. I risultati di Fourier però gettavano gran luce sulla
questione, perchè non ostante le obiezioni ora indicate, il
riscontrare che essi erano giusti nei singoli casi nei quali
venivano applicati faceva acquistare la presunzione della loro
esattezza, se non in generale, almeno in casi estesissimi. Con-
veniva perciò allora ammettere come data la forma della serie
trigonometrica (7), e cercare in quali casi generali la serie
stessa è convergente pei vari valori di x fra — :: e ;c e ha per
somma la funzione data f{x\; e questa ricerca tentata prima dal
Cauohy, fu fatta poi rigorosamente la prima volta da Dirichlet
in una memoria pubblicata nel Voi. IV del Giornale di Creile
ai primi dell' anno 1829.
6. Dirichlet osservò dapprima che le serie della forma (7),
0 le altre:
1 ^
(8) -^ a^ -{- 2(«,i cos iix -(- h„ sen ìix ),
ove
_- / f^A cos nx dx , hn= — / /"(■
(0) (lu = ^ j fi A cos nx dx , hu= — / f{x) sen nx dx ,
non sono sempre convergenti indipendentemente dall' ordine dei
termini; e quindi per decidere della loro convergenza non biso-
gua riferirsi al modo secondo cui tendono a zero questi termini,
ma bisogna cercare il limite verso cui converge la somma dei
primi n o n-\-l di essi quando n cresce indefinitamente, e
vedere se questo limite è o nò determinato e finito; e per di-
mostrare poi che cpiesta serie ba per somma /"(.r), almeno in
dati casi, bisogna anche far vedere che il detto limite è ap-
punto f{.r).
Dietro questa osservazione , la questione si riduceva a
cercare il limite della somma dei primi non-\-ì termini della
serie (8) ; e poiché la somma di c^uesti n-\-l termini , quando
si pongano per le a» e bn i loro valori (9) e si muti x in a
fuori dei segni integrali, può scriversi:
( 1 *^ )
[x) l — -J-'^POSH {x—a) l dx ,
e per essere (*)
vP?
n sen— ^^^ {x—a)
(10) 2 "^ ^'°' " ^'""''^ ^ 1 '
1 2 sen-(a; — a)
(*) La dimostrazione di questa forinola si fa nel modo seguente. Si osserva
che posto:
n
§ = V cos r G 1
1
si ba:
2 S cos 9 = V^ 2 c-js f) cos r fj = Yi 1 cos ( r+ 1 ) 6 + cos ( r-1 ) 0 \ =
1 1 ' '
n
= 2 V cos r fj -\- cos ( n-j-l ) 0 — cos 11 fj -\- l — cos Q ,
1
da cui :
2 (S +Ì J^^^ '°' ^^ = ^ ''" '^ ^
sen|,
2n-fl
i 2 sen^
si riduce all' integrale;
""• sen 2 (r— a)
il problema venne così ridotto alla ricerca del limite di questo
integrale per n= co; e cercando allora efFettiraraente questo
limite , Dirichlet giunse a dimostrare rigorosamente che una
funzione f(x) di r che è data arbitrariamente fra — - e -, e
che in questo intervallo è sempre fluita e non ha un numero
infinito di massimi e minimi , per tutti i valori di x compresi
fra gli stessi limiti pei quali è continua può rappresentarsi per
mezzo della serie (8) : e pei valori di x interni all' intervallo
( — - , -) pei quali la funzione stessa è discontinua ( le discon-
tinuità venendo allora ad essere discontinuità ordinarie ) (*) , la
serie (8) dà il valore medio fra i due verso cui tende la funzione
quando ci si avvicina indefinitamente a quel valore di x dalle
due parti di esso; vale a dire se a è un punto interno all' in-
tervallo ( — - e r') nel quale la funzione è continua o discon-
tinua la somma della serie per x=a può sempre rappresentarsi
con - \f( a-\~0 ) -j- f{ a — 0 ) J ; mentre pei punti estremi rb" la
dà
somma della serie è 7^ 1 /"(::-{- 0) -!- /"(---O)! .
7. Dirichlet fece inoltre una estensione del suo teorema
considerando anche alcune classi di funzioni che divenivano in-
finite in alcuni punti fra — - e r, e che , avendo soltanto un
numero finito di massimi e minimi, non potevano naturalmente
essere infinite altro che in un numero finito di punti; e in
fine della sua memoria aggiunse ( senza però neppure accen-
nare alla dimostrazione ) che il teorema stesso sarebbe stato
applicabile a tutte le funzioni , anche dotate di un numero
(*) V. per es. il mio libro Fun'lamenti per la teorica delie funzioni di varia-
hiU reali al §. 187. G.»' [n ciò che segu.^ le cit-izioiii a questo libro saranno imlicate
col se?no [ m, 1. ).
10
infinito di massimi e minimi, por lo quali gli integrali che
compariscono nelle espressioni dei coefficienti ((„ e i„ hanno un
significato ( nel senso inteso da lui ); includendo così fra le
funzioni rappresentabili per tutti i valori di x fra — - e ~
mediante la serie (8) tutte le funzioni finite e continue.
Quest' ultima asserzione di Dirichlet è stata trovata ora
inesatta dal sig. Du Bois-Re^niiond; però i lavori di Riemann,
quelli di Lipscliitz ( Ur-gli ultimi dei ({uali 1' asserzione di Di-
richlet fu per la prima volta messa in dubbio), e quelli di Du
Bois-Reymoud e di altri hanno aggiunto alle funzioni con un
numero finito di massimi e minimi per le quali Dirichlet dimo-
stra rigorosamente il suo teorema altre classi estesissime di
funzioni continue e discontinue con un numero infinito di mas-
simi e minimi, al punto da potere asserire che, almeno nello
stato attuale della scienza, finché la si riguardi nelle sue appli-
cazioni ai fenomeni naturali, la formola di Fourier è applicabile
in casi anche ben al di là di quelli che occorre di considerare.
8. Noi esporremo i principali fra i risultati che sono stati
ottenuti, per gli sviluppi in serie di Fourier e per altri; e per
questo dovremo prendere a studiare gli integrali della forma
/ j., s sen li X j I .Y \ sen h x ■. ^ ^ ^l^^i-
I f(x) a X, I f(x) a X con 0 <C a < o < dai
, '^J sen x J^^ sen x 2
quali, come vedremo , vengono a dipendere gli integrali (1 1)
che conducono alla somma della serie di Fourier (8), e dovremo
studiarne anche altri più generali; però, onde procedere con
ordine, noi premetteremo alcuni teoremi sugli iutegrali della
forma / f(x) 's{x) dx , che, potendo essere utili anche in altre
teorie, saranno da noi esposti con maggiore generalità di quella
che qui sarebbe necessaria, e ne esporremo alcuni sugli integrali
rh fb
I sen h T ^ I sen hx ^ .... . , , .
f a X , ì dx CUI si riducono i precedenti
JO sen X Ja sen x
nel caso particolare di /'(x)=l .
11
IL Teoremi preliminari di Calcolo Integrale.
0. Consideriamo 1 integrale / f{.r) '^(x) dx ove a e Z» sono
numeri qualunque finiti o infiniti, e f{x) e z{x) sono funzioni
atte alla integrazione fra a e h, una delle quali per es. f(x) è
sempre finita, e V altra può anche essere infinita in un gruppo
finito 0 infinito di punti di prima specie fra a e ò, ma in modo
però che anche il prodotto f{x) 's{x) sia atto alla integrazione
fra a e b.
Supponendo allora dapprima che fra a e bla funzione 'f(x)
sia sempre dello stesso segno , si può ricordare che si ha la
formola ( /n. /. §§. 190, 230, 247 ):
(1) f{^)z{x)dx = J 's{x)dx,
ove f indica un numero compreso fra i limiti inferiore e supe-
riore dei valori di f{x) nell'intervallo' (a , b) d'integrazione,
per modo quindi che quando f{x) è continua fra a e b {a e b
incl. ) f è un valore f{i) di f(x) che corrisponde a un valore i
di X preso fra a e /> ( a e 6 incl. ) .
Nel caso particolare poi in cui a e b sono ambedue finiti
e fra essi la funzione 'f (.r) è sempre finita, allora anche se essa
ha dei cambiamenti di segno fra a e 6, indicando con Zq il
limite superiore dei suoi valori assoluti o un numero maggiore,
e con f e f due numeri determinati compresi fra i limiti infe-
riore e superiore dei valori ài f{x) nell'intervallo d'integrazione,
si può osservare che siccome '^(x)-f-'fo '^on è mai negativa fra
a e è, la foimola precedente ci darà l'altra:
rb rb rb
/ A-r) 'M dx= f{x) \ 'f (a;)-j-(po S dx—z^ / f(cc) d x =
= 7 / 'f (•'■) d X \- 'f „ /■ / dx — 'f 0 f ì dx,
*J a Ja Ja
12
ovvero;
rh rh
{-) I A-'-) 'ri-'') '^^=f I 'f (^: d ^ + 0, '^0 D ( b-a),
essendo 0„ un numero compreso fra — lei ( — 1 e 1 inclus.),
e D l'oscillazione di /"(/) fra a e b.
Qualunque poi sia il segno della funzione 's{x) fra a e b,
se essa è sempre finita e atta all' integrazione, e se f{x) col
passare di x da a a b non è mai crescente o non è mai decre-
scente, si ha la formola {ni. l. §§. 213 e 262):
rh ri rb
(5) / A-r) ri-r) d X = fi a+O ) / '^(x) d x -{- f{ 6-0) / '^(.r) d x ,
0 anche:
(4) ì f{^)r{^)dx^f{a-^^) ì '^{x)dx+\f^b-^)-f{a-^())\ 'i{x)dx,
^a Ja Ji
ove f^a-\-Q) ef(b — 0) indicano i valori limiti di f{x) per x=a-\-0
e x=b — 0 che certamente hanno un significato, 6 è un numero
determinato compreso fra i due numeri a e b che possono essere
finiti o infiniti, e si supp )ne a<Cj>; e queste formole valgono,
come vedremo, anche nel caso in cui z{.m) diviene infinita fra
a e b restando atta all' integrazione (*j .
10. Alle formole precedenti se ne possono aggiungere altre
che ci torneranno poi utili.
Ammettiamo perciò, come già si fece sopra , che la fun-
zione f(x) sia sempre finita e atta all'integrazione fra i numeri
finiti o infiniti aeb, e l'altra 'S[x) possa anche essere infinita
ma in modo che, oltre alle funzioni f{x) e 'f(.c), anche il loro
prodotto f(x)'c(x) sia atto al r integrazione fra a e b (come per es.
avviene {m. l. §§. 226, 245) se 'f{x) è sempre finita, o se,
(*) Nel mio libro ho attribuito le formole (3_) e (4) al sig. Weierstrass, però,
dietro quanto dopo ho saputo, il sig. AVeierstra^s le comunicò nelle sue lezioni ai
suoi scolari, ma il sig. Du Bois-Peynioiid le pubblicò per il primo. ( V. Giorn.
di BorcbarJt Voi. 09, pag. 82 ).
13
essendo infinita, la funzione 'Si(x) dei snoi valori assoluti è atta
anch' essa alla integrazione fra a e h) (*) .
Allora se per es. a<^b, indicando con cr, , a.,, ... a„— ^ n — 1
punti presi fra a e b in modo che sia rt<Coi,<^7o<C
<^a„_j <^b, si avrà identicamente :
;5) ff{x:rrU)dx=\f{a)-fia,)\ U[x)dxJr\f{y.,)-f{y..M / 'fW^^^+
Ja -rt -^a
Ja Ja
+ / ik^O - /■(«) 1 r W f^ ^ + / ÌA'^) - A«,) ì 'f W f? ^ + . . . -['
+ f i/(.r)-A'^-..-il'fW^^>
e quindi se gli integrali :
(*) Ai casi uoti d' iutcgrabilità dei prodotti /(-r-) 'f{x) quando ambedue lo fuii'
zioni f{x),^{x) sono atte alla integiazioue fra « e i si può aggiungere 1' altro « cbe
•■ le funzioni /,x) e y(x) non divengano infinite insieme e che negli intorni dei punti
« d'infinito dell'una di esse, per es., di 'r*!*), 1' altra /v a;) sia continua e abbia un
« estremo oscillatorio / . fiuito e atto all'integrazione ". In questi intorni infatti il
prodotto f{x) I 'j' (x) d X sa,Tk finito e continuo, e per uno dei suoi estremi oscillatorii
) / -fixjdx
l. j ?{x)dx-
btessi into
'l-f j ?i^) dx ,
potrà prendersi (m. 1. §. 269) la somma ), I '^{x) dx-\-f(x) V(x), e questa somma sar.à
^J a
atta all'integrazione negli stessi intorni; quindi poiché lo stesso accade della sua
prima parte ) 1 'f(x)dx, altrettanto avverrà del prodotto /(x) y(x) , come appunto
volevamo mostrare. Alla condizione poi clie ).. sia finito e atto all'integrazione
negli indicati intorni si può evidentemente sostituire l'altra che se / , è infinito esso
resti atto all'integrazione anche ridotto ai suoi valori assoluti, o almeno non vi di-
venga infinito altro che in un numero fiuito di punti e l' integrale / 'r{x) d x nei
medesimi intorni non (accia infinite oscillazioni ce.
9 / vH
Ja
14
(^)
sono sempre dello stesso segno o nnlli e non vanno crescendo
in valore assoluto , siccome le somme successive dei loro coef-
ficioiti sono comprese fra f{a) — Le f{a.) — l ove li e l sono i
limiti superiori e inferiori di f{.r) fra a e h, per un noto
teorema di Abel ( vedi per es. m, 1. §. 89 ) la somma dei pri-
mi n — 1 termini del secondo membro sarà compresa fra
\f{a)—L\ j z{x)dx e \f{n) — 1\ j z{.r)d.c,e potrà quiu-
Ja Ja
di indicarsi con )f{a) — f \ I z{j-)d.r, essendo/ un numero com-
preso fra il limite inferiore e il limite superiore di f{.r) fra aeb.
Invece se gli integrali (G) sono dello stesso segno o nulli,
ma non vanno decrescendo in valore assoluto, allora sempre
per il teorema di Abel si vedrà che la somma dei primi n — 1
termini del secondo membro della formola precedente è com-
e può quindi indicarsi con ]f — /'(7.,;_j)| / rp(.r)f/.r; e si può ag-
giungere che in ambedue questi casi invece della somma dei
primi ti — 1 integrali si potrà considerare quella dei primi n
quando anche gli integrali :
I (p{x)dx , 1 'f{x)dx , . . . . I 'f{x)dx , / ff{x)dx
•^^a Ja Ja Ja
siano dello stesso segno o nulli e non vadano crescendo, o non
vadano decrescendo, in valore assoluto, salvo in questo ultimo
caso a sostituire al prodotto \f — f{'-j.n^^)\ 1 '^{x)dx T al-
presa fra j Z— /"(a,,.,) j / 's{x) dx e jL— /'(a„_^)[ / 'f{x)dx
- r
tro f I 'f{x) d X .
Ja
Imllcando poi con D,, D.,, . . D„ le oscillazioni di /"(./)
negli intervalli (a, a,), (a, , a.,). . . (««_, , ^), si vede chiara-
mente, che se 'f,(.r) è la funzione dei valori assoluti di '^{x)
fra rt e ò ed è atta alla integrazione in questo intervallo, la
somma degli ultimi n integrali del secondo membro della (5)
sarà numericamente inferiore all' altra :
D, j 'f l(.r) d x + D, / 'l{x) r? ^ -f . . + D,. / '^,{x) d X ;
e se la funzione ^{x) sarà sempre finita fra « e &, e il limi-
te superiore dei suoi valori assoluti sarà rpQ, la stessa somma
sarà anche numericamente inferiore all' altra: '^q S §., D.v, ove
0^ , 5o , . . . 5„ indicano gli intervalli {a , a^) , (a^ , a^) . . .
(a„_i , h)\ talché indicando con 9^ , 9^ , ^3 numeri compresi
fra — 1 eie con D 1' oscillazione totale di /"(,/■) fra « e 6,
resta ora dimostrato che „ quando fra a eh le funzioni f{x) e
„ '^{x) sono atte alla integrazione insieme al loro prodotto f\x)'^{x)^
„ e la f{x) è sempre finita, indicando con a^ , a» , . . a„_,
„ dei punti fra a e 6 presi in modo che gli integrali:
P
(7) / 'i{x)dx , / (p(.r)fZ,r , . . . / 's{x) d x
siano tutti dello stesso segno o nulli e non vadano mai cre-
scendo 0 non vadano mai decrescendo in valore assoluto, si
avranno le formole:
\J a
h rb r<y-s+\
ir
(8)
/■(%(.r)(/x=9iDX,+/-(7,._,) 'i{x)dxi-2 \f{x)-f{cLMr^{x)dx,
Mz{x)dx=%J)X,-{-firj.,,_,) I '^{x)dx-{-^,2^s / ?^{^)dx,
ove D è r oscillazione di f{x) fra « e 6 , X, è il massimo fra
i valori assoluti degli integrali (7), e 'f^(.p) è la funzione dei
valori assoluti di z{x) fra a e b che, nel caso della seconda
forraola, si suppone atta anch'essa alla integrazione nel me-
(^)
16
desimo intervallo {'t J)); e se gli integrali / '•fj(.r)fZa' sono
inferiori a A si avrà anche :
/ f{.r) zi.r) (f,r-=9,D X,+ /-(-y,,,,) K(.r) (/ ,r + 9, A ^^D.,,
„ mentre nel caso in cui anche z{x) è sempre finita fra a q h
„ e 'f 0 è il limite sniieriore dei suoi valori assoluti o un nu-
„ mero maggiore si potrà anche scrivere:
(10) / A.r)'f(.r)cZ^=9,DX,+Aa..-,) j 'i{^)dx^% 'fo^^^D,.,
y, ove s'intende che il segno I venga esteso agli intervalli (a , a^),
» (^i 1 ^j)! • • 1 (^•>i— 1 1 ^) che giìt, abbiamo indicato con o, , o» , . . , o„ „ .
In particolare dunque se l'integrale / (s{x) d x fra a e b
Ja \
ha dei massimi postivi che non vanno crescendo o non vanno
decrescendo, o ha dei minimi positivi pei quali si verifica la
stessa particolarità, potremo prendere per a^ , c^, . . a„._j questi
punti di massimo o quelli di minimo rispettivamente, e appli-
care poi le formole precedenti ; e se anche il punto b sarà
XX
z{x) d X,
o almeno se, nel caso che gli integrali (7) corrispondenti non
p„-, fb
vadano crescendo, si avrà / 's{x) d jc^ j '^(x) dx^ e nel caso
Ja -'a
ra,._, rb
che non vadano decrescendo si avrà / 'z{x) d x ^ f '^{x)dx^
•^ft Ja
fh
allora nelle formole precedenti il termine /"(«-hj) / 't[x) d x
Ja.
17
potni essere tralasciato; e nell' ultimo caso ( quello cioè in cui
gli integrali (7) non vanno clecrescenclo), alle; stesse formole (8)
e (10) si potranno sostituire le altre:
ff{x) z{x) d X =7 / W^-) ^^ ^ + 2 / XA')-fM \ r{^)dx ,
Ja ^a ^'y-H
;)rf..- + G3VD, / 'f,{x)dx,
rh _ rh
f{x)'i^{o:)dx^f 'i{x)
Ja Ja
ff{x) 'f{x) dx=J I 'i{x) d ^ + 93 'f 0 2 ^^s D,, ,
-'a _ * a
nelle quali f indica un numero compreso fra i limiti inferiore
e superiore di f{x) nell'intervallo (a , b).
11. Per trovare altre formole simili alle precedenti, si os-
servi che si ha anche identicamente:
"' J e/
■~ f]m^)-f{a)-f{a,)\'f{x)dx-^\ / '\2f{x)-f{'^,)~f{a,)]^{x)dxi-
^Ja J 0.^
1 r^
+ . . . +-2 / \%Kx)-f{:u-^-m\'s{x)dx',
e questa che è analoga alla (5) ci condurrà ad altre formole
notevoli .
Si supponga infatti dapprima che i punti rt , a, , , a., . .
a„_, , b siano punti di minimo e di massimo dell' integrale
Jrx
' 9(.r) d X , essendo a, , c.3 , 75 . . . . massimi e a , a^ , a^ . . .
a
minimi , e i valori minimi corrispondenti dell' integrale stesso
18
11011 vadano decrescendo , e i massimi non vadano crescendo .
Allora le quantità:
ì f{i) d •^" , — / 'f l^i") dx,\ ^{x) dx,— ì 's{x) dx,...
saranno positive e non crescenti, e siccome le somme:
2 2 "^ 2
arrestate a un termine qualunque sono comprese fra ~
e ^ ■ essendo L' il limite superiore dei valori assoluti
di /"(.»•) fra a e />, pel solito teorema di Abel si vedrà subito
che la somma dei primi n termini della (11) si potrà rappre-
- Ter,
sentare cou / (^) ± / p | C5(.r) d x , essendo f^ un numero positivo
che non superi il limite superiore dei valori assoluti di f{x)
fra a e b.
La somma poi degli ultimi n integrali della (11) po-
trà anche rappivsentarsi come nel paragrafo precedente con
Qg^Dj / Zi(x)dx, 0 con03'fQSòsD.v, supposto in quest'ultimo caso
Jcf.s
che 's(x) sia sempre finita e 'Sq sia il limite superiore dei valori
assoluti di 's{x) fra a e b, o un numero maggiore; quindi
possiamo ora asserire che „ se a , a^ , a., . . . a„_^ , b sono
, alternativamente punti di minimo e di massimo dei valori
rx
„ dell'integrale / 's{x) dx^ e i massimi non vanno crescendo ,
mentre i minimi invece non vanno decrescendo, si avranno
le formole:
19
I J m r(-r) f^ X=-M^j 'f(.r) d X +
I /(a:) 't{x) d x =/(^^1±/!p / ,^|^.) ,; ^ ^ %\T),U%) d X,
„ nella seconda delle quali 'f /.^O indica al solito la funzione dei
„ valori assoluti di 's{x)^ che, per la formola stessa, si suppone
„ atta all'integrazione fra a e b. ^ quando z{x) è sempre finita
, fra a e b^ e 'Sq è il limite superiore dei suoi valori assoluti o
, un numero maggiore, queste formole si possono anche ridurre
„ all' altra :
(13) ff{x) 's(x) dx= ^(^0 / IIj^ ,/ ^ + 93 ',^ 2 ^^ D. . ,
Ja - Ja
Nel caso poi che i massimi e minimi che qui si conside-
XX
'^{x) d X siano successivi, si può osser-
vare che allora in ciascuno degli integrali
r
2f{x) — /"(a,)— /"(ois+i) I 't{x)dx la funzione 'f (■:??), all'infuori tut-
'a
t' al più di una funzione d' integrale nullo, ha sempre lo stesso
segno 0 è nulla (perchè negli intervalli (a^ , a^+j ) l'integrale
/ ^(jj) fZx ha gli estremi oscillatorii dello stesso segno 0 nulli), e
J a
quindi a causa della formola (1) ciascuno degli integrali medesimi
) ["-'^^
può rappresentarsi con \ 2fs — f{y.<,)—f {0.^+1) \ j 's{x)dx essendo fs
un numero compreso fra il limite inferiore e superiore di f[x)
l-'O
neir intervallo (a^ , as+,). Si vedrà da ciò che la somma del-
la prima delle (12) nelle attuali ipotesi rispetto ai punti
a , a, , a., . . . . a„_i , b potrà anche rappresentarsi con
/'a,
0^ V Ds 1 (^{.i) (Ir, essendo 0^ compreso fra
Ja
— 1 e 1, e in con-
seguenza si avrà anche la formola seguente:
(14) ff{.r)'f{x)dx==[(^^^l^^Q,yD^^^^
12. La formola (11) ci conduce anche ad altre nelle quali
invece di avere delle condizioni pei punti aj , a^ . . . a„_i che
può dirsi dipendano dalla funzione 'f (.r) che continua a comparire
sotto i segni integrali dei secondi membri, si hanno altre con-
dizioni per la funzione f{x) che è fuori dei segni integrali.
Si supponga infatti che le quantità:
/•(«)+ A^-i) , /W + fe), , fyan^ò+m
siano tutte dello stesso segno o nulle, e in valore assoluto non
vadano mai crescendo o non vadano mai decrescendo, e si ap-
plichi il solito teorema di Abel coli' osservare che le somme
successive dei coefficienti di queste quantità nel senso in cui
sono scritte o nel senso opposto sono comprese fra i limiti infe-
ra?
riori e superiori X e A dell' integrale / 'f (a") dx, o fra quelli
Ja
X e A' dell'altro / '^{x)dx.
Jx
Si vedrà subito allora che nel primo caso la somma dei primi
n termini della (11) è compresa fra f^/I^x e ^^^^^1+^A,
e nel secondo fra ^1^+2^ >/ e /fe=^) a'; quindi
rx rh
poiché gli integrali / 's{x) d x ^ ì z{x)dx, come funzioni con-
Ja J X
tinue di x fra a e 6, col passare di x da a a h prendono qua-
21
lunque valore compreso fra X e A o fra X' e A', indicando con
i un valore determinato di x ha. a e b sì vede chiaramente
che la somma dei primi n termini del secondo membro della for-
mola (11) nel primo caso potrà rappresentarsi con
MMhì /";(.,),,.,, e nel secondo con fJ^^l+M /"*(..) dx;.
talché, osservando al solito che la somma degli ultimi n termini
del secondo membro della (11) può ancora rappresentarsi con
Oj 31 ^^ I rM) <^^ 0 con O3 '^^V 0^ D,, si conclude intanto ^he
quando le somme :
(15) /■(fl)+/-(a,) , fM+fM , . . . , f{y..-i)^m
siano dello stesso segno 0 nulle e in valore assoluto non vadano
mai crescendo o non vadano mai decrescendo, si avrà respetti-
vamente 1' uno 0 l'altro dei sistemi di formole seguenti :
'a
} 1 ry-s+\
/ k^) 'f C^O dx= fS^}±P^ ff(jc) dx-ir%2^s f^Pii-^-ìdx,
^nx)',{x)dx^f^'-^'^^^f^^^j 's{x)dx-^%\J)sJjl{h dx ;
e nel caso che 'f(.'') sia sempre finito, e sia 'f^ il limite supc-
riore dei suoi valori assoluti o un numero maggiore, queste
formole si potranno anche scrivere:
(18) ff{.r) '^(.r) d X JS^^à-J^ fl^,.) d X + 0, '^,]g 5, D. ,
J a ^ Ja
(19) j f{x) 'f{x) d X =^i±^±/y!l J..(,r) dx + 9, '^, 2: ^^ D, .
Si può poi osservare che la condizione che le somme (15)
siafio dello stesso segno e non vadano mai crescendo o non
vadano mai decrescendo in valore assoluto , equivale all' altra
che le due somme estreme siano dello stesso segno, e si abbiano
i due sistemi di condizioni
0 i due altri sistemi:
M<f{c^.)<f^^i)< ....
Aa,1 < A^a) < A«5^ < . . . .
talché se per es. fx) ha fra a e 6 e in a e /> dei punti di
massimo o di minimo, e in essi i valori della funzione sono
positivi e non vanno crescendo o non vanno decrescendo, allora
potremo prendere i punti di massimo o quelli di minimo come
punti a , a, , 7-2 . . . . an^^ , b e applicare le formole (16)
e (17) respettivamente .
13. Le formole del paragrafo precedente conducono ad
estendere le (3) e (4) al caso in cui 'f(.r) divenga infinita fra
a e b; ma per questo è necessario premettere il teorema se-
guente:
Se '\>{x) è una funzione che in un intervallo finito (a , (3) è
atta alla integrazione ma diviene infinita in un gruppo finito o
infinito di punti di prima specie , questi punti d'infinito di
'}(a') si potranno racchiudere in un numero finito d'intervalli tal-
mente piccoli che il valore assoluto della somma degli integrali
estesi a questi intervalli^ e anche la somma dei loro valori asso-
luti sia inferiore a quel numero che piti ci piace o .
23
E chiaro iufatti che ciò avviene sempre se i punti d' in-
finito or., , aj , . . di '}(.r) sono in numero finito , perchè allora
se per es. a <: a, ■< aj << . . . <; ,3, ognuno dei contributi
I , / , • . . relativi agli intorni di questi punti
(m. l. §. 222), quando s^ , s^ , . . . s'^ , e'o , . . . son numeri
positivi sufficientemente piccoli, è minore in valore assoluto di
cjuel numero che più ci piace o.
Se poi i punti d'infinito di -J; .r) costituiscono un gruppo G
di ordi)ie v^O, allora indicando con y.^ , a^ , . . c/.m i punti
del v'' gruppo derivato G^'''\ e supponendo per es. a<^a,<^o'..2<;]..
<Cy-m<C?i si potranno racchiudere questi punti entro m inter-
valli (a, — E, , aj-fs'i), (7.3 — So , oca-l-s'o)' • • • talmente piccoli che
rali /
'a,
0
ciascuno degli integrali / , / 1 • • • sia
numerica-
mente inferiore a — , — -^r. 1 e quindi la somma dei loro va-
lori assoluti sarà inferiore a — -— .
v+1
Allora negli intervalli rimasti non cadranno altro che un
numero finito ni' di punti a',.a'o , . . . del gruppo derivato G^"''"^^
di ordine v — 1 , e anche questi si potranno escludere con altri
intervalli tali che ciascuno degli integrali estesi a questi nuovi
o
intervalli sia numericamente inferiore a —n — 7-^^ , e quindi la
m (v-f 1)
somma dei loro valori assoluti sia inferiore a — -^.
v+1
Così continuando, si vede chiaramente che si verranno a for-
mare un numero finito m-\-m' ...-]- m^-'^ d" intervalli i'i,f 3,.. ?"«,..
che comprendano tutti i punti d' infinito di '!/(.r) e tali che la
somma dei valori assoluti degli integrali estesi ad essi sia nu-
mericamente inferiore a quel numero che più ci piace a, come
appunto abbiamo enunciato sopra .
14. Ciò premesso, si osservi che se per le funzioni del
24
§. 12. si suppone per es. che f{.v) fra a e b abbia sempre lo
stesso segno o sia nulla e non vada mai crescendo in valore
assoluto, il simbolo /"(a-j-O) 'avrà un significato , e escludendo
naturalmente il caso in cui /"(.') fosse sempre zero, f{(i-^0) non
sarà zero, e inoltre, quand'anche non fosse f{a) = f{a^O), po-
tremo, senza alterare nulla, supporre f{a) = /'(a-{-0).
Oltre a ciò, i punti a , a, , a^ , . . . , a„_, , b potranno
supporsi prossimi fra loro quanto si vuole senza che le quantità:
_ /■(«) + /■(«.) , /(a,) + /'(^-.) , . . . ,f{y.n-ò+m
cessino per questo di soddisfare alla condizione di mantenersi
tutte dello stesso segno o nulle e di non andare mai crescendo
in valore assoluto ; e in conseguenza la somma dei primi n
termini del secondo membro della (11) sarà sempre compresa
fra ■ l' - X e ' ' ' A , essendo X e A 1 valori mi-
u ti
nimo e massimo dell'integrale / '^{x)dx per x compreso fra a e b.
Siccome poi si ammette, come è naturale , che il prodot-
to f{x) '^(.r) sia atto all' integrazione insieme a 'f (r) fra a e 6,
quand' anche 'f(?) divenga infinita in un gruppo di punti finito
0 infinito di prima specie, pel teorema del paragrafo precedente
si potrà intendere di aver racchiusi questi punti d' infinito di rp^x)
in un numero finito di intervalli jj , i., , . . . ^s , . • • tal-
mente piccoli che la somma dei valori assoluti degli integrali
/ A-^) 'f('^)f^'^i / 'fC'^)^-^ estesi a questi intervalli sia minore di
quel numero che più ci piace.
Allora evidentemente altrettanto accadrà della somma dei
valori assoluti di quelli fra gli ultimi n integrali del secondo
membro della (11) pei quali uno almeno dei limiti at , a<+i
viene a cadere negli intervalli 4 , e basterà quindi occuparsi di
quelli fra gli stessi integrali i cui limiti cadono negli intervalli
rimanenti Ji,y2,..>,..
Ma poiché in questi intei valli ,y.v la funzione 'f(x') è sempre
numericamente inferiore a un numero finito Tq, s'intende sabito
che la somma degli stessi integrali in valore assoluto sarà in-
feriore a 'fQ^òsD,,, ove D.^ sono le oscillazioni di f{.c) negli
intervalli (7.5 , 7.4+,); quindi, poiché /"(r) è sempre finita e atta alla
integrazione fra a e 6,quando i punti a , aj , aj , . . . a„_j , b
siano presi abbastanza vicini fra loro, le somme S o^ D^ e così
anche la somma degli stessi integrali saranno numericamente
inferiori a quel numero che più ci piace.
Segue da ciò evidentemente che la quantità
^^-^l^-^Jj(,,yfi,yi.v, 0 anche l'altra ^J^k-^yf(.)d.
( poiché /(aj) può supporsi prossima quanto si vuole a f{a-\-0) )
sarà compresa fra k — '3 e A-|-a, essendo 0 un numero piccolo
a piacere, e perciò anche fra X e A, ove X e A sono come abbia-
mo detto i limiti inferiore e superiore dell'integrale / ^(j") d x ;
dunque poiché a causa della continuità questo integrale col va-
riare di X fra a e (j, prende qualsiasi valore fra X e A, resta
ora evidente che indicando con i un numero compreso fra a e 6
{a e b incl.) si avrà la formola :
/ fi^) rW (i x=f{a-^0) / z{x) d x .
In modo simile se f{x) non cangia mai segno da a a 6
e non va mai decrescendo in valore assoluto, si trova che
/ f{x) '^{x) dx = f{b-0)J 'f(.r) d X ,
con a < 6 < 6 ; dunque si può ora evidentemente concludere
che: „ Se le funzioni/"(.r) e 'f(.r) sono atte alla integrazione
„ fra i numeri finiti a e b insieme al loro prodotto f{x) (f{x\
, e la funzione f{x) oltre esser sempre finita fra a eb non cangia
, mai di segno, e nel passare di a; da a a. 6 non va mai cre-
, scendo in valore assoluto si avrà la formola:
20
(20) ff{x) 'f{x) d x^Aa-f 0) A(.r) d x ;
„ mentre se da a a 6 f{x) è sempre finita , non cangia mai
„ seguo, e non va mai decrescendo in valore assoluto, si avrà
„ invece 1" altra :
rh rh
(21) / f{x) 'c{x) d X = f{h-0) / '.(.r) d X,
'a . ^i
„ essendo in ambedue i casi i un numero determinato compreso
„ fra a eh {ae b iucl.) „.
15. Questo teorema estende evidentemente quello del §. 212
del mio libro al caso in cui la funzione cp(x) fra a e b divenga
infinita in un gruppo finito o infinito di punti di prima specie;
e ora coi ragionamenti stessi del §. 213. dello stesso libro si
trova che la formola (3), cioè:
(22) ff{x) z{x) dx= f{a^ 0) / l{x) d x + flb~0) / z{x) d x ,
che è relativa al caso in cui f{x) da a e b non va mai crescendo
o non va mai decrecendo, sussiste anche quando 's{x) non è
sempre finita fra a e b, essendo però atta all'integrazione in-
sieme al prodotto /{x) z{x) uelF intervallo stesso (a , b), come
appunto fu trovato sotto altra forma dal sig. Du Bois-Reymond.
Ripetendo poi i ragionamenti del §, 262. del mio libro si
trova che le formole, (20), (21) e (22) sussistono anche nel caso
in cui r intervallo (« , b) è di ampiezza infinita purché restino
verificate tutte le altre condizioni che si sono poste nel caso
dì a e b finiti; talché vengono così estesi i casi di validità delle
formole (3) o (4).
16. Le formole generali dei paragrafi precedenti sono quelle
che al §. 8. dicemmo trovare utile di esporre, per quanto non
tutte verranno da noi applicate nei presenti studii. Ora pas-
siamo a considerare gli inte^jrali della forma / dx e
^ ° J sena- '
incominciamo col dimostrare il seguente:
Teorema I. Se A=2«-fli qualinique sia il numero intero
e positivo n si ha:
t
san /ì X , Tz
d X =~ ,
, sen .r 2
e quindi auclie:
Osserviamo infatti che cambiando — ^in x nella (10) del
§. G, si ha qualunque sia n :
■ — = 1 + 2 y cos 2 « J- ,
sen X 'T
e di c[uì integrando fra 0 e ' si trova subito la prima e quindi
anche la seconda delle formole precedenti,
17. Teorema IL Supponendo 0<^a<C&^-^, e indicando
u
ora con h un numero positivo che cresce all' infinito con una
le[/ge qucdsiasi , e con [j- un numero che può prendersi sempre
uguale a A, ma che propriamente basta prendere uguale a 4
2-
se né a ne h sono midtipli esatti di -j- , e uguale a 0 o a 2
se a e b 0 una sola di queste quantità è un multiplo esatto di
- -, si avrà in valore assoluto:
h
23) ■ dx<^-^ \-j ;
^ ^ J sen X h sen a h sen- a
e quindi se a e b sono indipendenti da //, o anche se variano
58
COI il ma ì)i Dìodo die non superino inai „ e « redi sempre
discosto da zero piii di una quantità determinata (*), si avrà
anche :
(24) li» ['''-^^d.r^O.
/ì=cc I sen .r
Per dimostrare questo teorema, consideriamo un valore
speciale di h fra quelli che esso può avere , e indichiamo con
2- . . . . 2- . . 2n
p - il primo multiplo di — non inferiore ad «, e con {p-\-q)-j-
9-
quello immediatamente inferiore o uguale a h. Saràj"^ ^h — a,
e SI avrà;
pz
IT n
sen A .r , . , , , , . , I sen /« .r
essendo:
2(p+.+i)| r2ip+.+^).
sen hx ^ 1 I sen .i; ,
jr d x = ^ I d X ,
^2{p-^s)- h
e dei due integrali del secondo membro uno o tutti e due man-
cheranno se una o tutte e due le quantità a e b saranno
27C
multipli esatti di -j- .
h
(') Per ciò che si richiede a dimostrare la formola di Fourier, basterebbe sup-
porre che i limiti degli integrali che si considerano in questi teoremi e nei seguenti
fossero fissi, soddisfacendo però alle condizioni che via via si pongono . Ma ove si
può con facili considerazioni supporli variabili con h senza che i teoremi stessi ces-
sino di sussistere , noi ammetteremo che possano variare ( dicendolo però sempre
esplicitamente ); e ciò allo scopo di non porre icutili limitazioni negli enunciati di
teoremi che possono tamaro utili anche per altro teorie.
29
Ora, ponendo per comodità, di notazione 2(p-{-.s);:=:a,
(2/;+2s+l );:=?, si ha:
sen .r , _ .
Ip [ 1 1 1, 2 I ^"^"■"'^"27,^/1+21
y / sen X ) fdx=--
hj ) X x-\-z' h 1 X a? 4-71
" ' senr sen—, — \ ^ a. sen^sen
")
'dx\
h li ] h h
.... . ,• • . T - ^+ir . „
quindi, siccome in questi integrali j e —. — sono sempre nife-
TU TI ,
riori a ~ perchè b'^ - , le quantità tg saranno sempre posi-
la u
ti ve, e si avrà :
^ ^ R 27C
2sen^ r^ t-
ts<-, P- senxdx < ^
h sen -a J^ hsen-a '
2;r
donde osservando che q'r<^b — a, e che i due integrali che com-
pariscono nel secondo membro della (25) in valore assoluto sono
2- .
entrambi inferiori a ^-^^ — , si otterrà subito la formola (23)
Il sen a
e quindi anche la (24)'.
Si può osservare che la formola (24) continua a sussi-
stere anche quando a tende a zero al crescere indefinito di /?,
purché però al tempo stesso la quantità h serica , o h a- cresca
indefinitamente, o almeno tenda a zero anche h, e ha e il quo-
ziente -.,— crescano indefinitamente .
0
18. Giova anche notare che dal processo di dimostrazione
che abbiamo seguito apparisce chiaramente che quando per un
dato valore di h si fa crescere b a partire da un multiplo di
h
2tz „ ,. T^ ^,^ L ^ r sen/«x
-y- senza largii superare ^, 1 integrale / -ax viene seni-
Ja
30
pre ad aumentare, giacché le nuove quantità fs che cosi si
vengono ad aggiungere sono positive e V ultimo integrale è
pure positivo.
Del resto poi, considerando l'integrale / -dx per x
Jo senx-
compreso fra 0 e pj , se si osserverà che sen iti" si annulla can-
giando segno nei punti -,-,— ,.... e si annulla pure
per a'=0, mentre fra 0 e ^ è positivo, si concluderà subito
Jrx
^ '- dx fra 0 e ^ ha i suoi mi-
0 sen X 2
2z Atz .....
nimi nei punti 0, ,- , -y- , . . . , e ha i suoi massimi nei punti
" , -^ , -^, . . . . ; e siccome per ciò che vedemmo la diffe-
ih fi fi
renza /« fra un valore minimo e il precedente è positiva,
mentre si vedrebbe al modo stesso che la differenza fra un
valore massimo e il precedente è negativa , si può anche evi-
dentemente affermare che per a? fra 0 e _ , qualunque sia il
X
Jrx
sen h
'
OsenJ?
ix
valore che si considera di /<, i minimi dell'integrale / dx
° JO sen X
col passare di .r da 0 a ' vanno sempre crescendo, e i massimi
vanno sempre decrescendo, e col crescere di x a partire da un
;: 2-
multiplo di , 0 di -^—l'integrale stesso va decrescendo o cre-
h II
scendo respettivamente. Inoltre fra 0 e - - questo integrale non
sen hx
è mai negativo e il suo massimo valore è / dx , e in
° /q sen-r
TE
re e / -
J(\
conseguenza non supera mai -; giacché per la (1) si ha
J<^<^ sen h.v'
h , hx' , .
dx =71 , ove .r e un numero
sena;'
0 ~x~
7^ sen n
compreso fra 0 e • e siccome per y fra 0 e - la funzione -
h ' y
è decrescente, è evidente che la quantità che moltiplica il ti è
inferiore all' unità.
19. Questi risultati conducono a dimostrare anche il se-
guente :
Teorema III. Se li è un numero positivo che cresce inde-
fnitamente con una legge qualunque, e b è un numero diverso
da zero e ijositivo che anche se varia con h non supera
mai e non si accosta a zero piìc dì una quantità deter-
Li
minata , si avrà :
rb
(26) 1™ / senhx 7:
'è
^b
Consideriamo infatti 1' integrale / dx per uno qua-
Jq sen.-c A ^
lunque dei valori speciali che h può avere.
Evidentemente indicando con h' il primo numero dispari
uguale 0 superiore a /^ e con a un numero diverso da zero ma
inferiore a ^ e compreso fra 0 e 5, che può anche prendersi
piccolo a piacer nostro, si potrà scrivere:
Jrb ^a rh
0 sen.r ^0 sen^ "^ a senx
essendo y i^'i numero positivo compreso fra 0 e 2 .
Ora si ha:
32
seu {Ji — 7).» i seu/t'.r cosy-ì"
'0 sen a; «^0 sen x JO sen a?
•^0 sen a; «^0
— / cos /ì'.rsen Y'^^ ,
/ ■ '- dx ,
•/O sen a;
e poiché la nota formola /'(ò)=/'(0)+o/"(0o) con 0<;9<C1 ci
dà cos Ya-=1 — 7.csen'c,a", essendo 7^ un numero positivo infe-
riore a Y, e quindi compreso anch'esso fra 0 e 2, sarà:
X^sen h X , i'^sen h'x _ r^'tx sen h' x sen Yi a? ,
clx= I dx— I ' ~!—dx —
sen X Jq sen a- J^ sen x
[
^^cos /i'a?sen Y^ ,
JQ sen X
donde per la seconda delle (27), e per essere ( §. 16):
sen/i'.r, / sen A 'a? , I sen/i'.?"-, :r i sen /?'a;
f
sen X f sen a- -(^ f sen x
*j^ *y" .y«
si deduce che :
.6
Jf sen /?r , tc / sen hx ,
rfa? — -= / -dx
0 sen.x ^ 7« sena;
-t/a; —
'0
/ ,, senYi-^, / ,, senYX*
— f Ya^ sen h x dx — f ^cos h x ax .
jQ ' sen.r jO senx
Ma evidentemente, essendo y e Yi inferiori a 2 , e essendo
o . <. • '^ • L- senYi-^ seuYa^ . „ . . ^
2a mferiore a -, 1 rapporti ~ , — sono mteriori a 2
2 sen X sen a;
in tutto il corso dell' integrazione , giacché, per 0<C.x^a ,
dall'essere sen Yr^ <C sen 2a', e sen 2a; = 2 sen x cos a?, si ha
'-^<'2cosa'<^2, ec; quindi sarà in valore assoluto:
sena- ^ ^
33
/ %senh'x^^^^dx<4: fxdx, cìoh<2a^ / cos h'x -^-^^ dx <:2a;
dunque poiché la (23) ci dà anche:
%
sen/i J? , . iiTT , 2 [XTT ic
I
senx^ /i'sena /t'sen-a /tsena 2^sen-a
senx' ' A sen « A sen- a h sen a 2/i sei^- ff'
si conclude che in valore assoluto sarà:
(28) / senfo- z 2a-^+2« + y^^^ + ,-^ ,
JO sena- '2 A sen a 7isen-a '
ove [1 è tutt' al più eguale a 4; e questa, coli' osservare che il
numero a può prendersi piccolo a piacer nostro , e poi dopo
di averlo scelto si può far crescere h quanto si vuole, ci mo-
stra appunto che:
J>
lim / sen hx ti
^'=°%'s^^'^"''^2'
qualunque sia il modo di crescere all'infinito di A, e anche se
h varia con h in modo però da non superare mai ^, e da non
accostarsi a. zero più di un numero determinato h' .
20. Se poi h pur restando sempre diverso da zero e posi-
tivo si accosta indefinitamente a zero al crescere indefinito di A,
ma almeno da un certo valore /«q di h in poi il prodotto hh-
si mantiene sempre maggiore di un numero dato arbitrariamente
A 11 . . lini fhenhx r. .
grande w, allora si avrà ancora , / »'^=7ì; giacche
° ' 7i=co _ / sen x 2' ^
indicando con e un numero fisso ma piccolo a piacer nostro ,
e considerando i valori di h maggiori nello stesso tempo del
D. 8
34
numero ÌIq e di quel numero //| pel quale /ìe- è sempre supe-
riore a to, s'intende subito che nella formola (28) pei valori di
h superiori a //(, e /i, pei quali h sia inferiore o uguale a e
potremo prendere «=&, e per quelli pei quali il b sia supe-
riore a £ potremo prendere «=£, e così si avrà, sempre in va-
lore assoluto:
£
0 sena? 2 wsen e wsen^s
e quindi sarà ancora .^ 1 ??B^^j._=,5
' Jo sena? 2
'6
lenhx .
2*
Del resto poi, quando b non si accosta a zero più di una
quantità determinata , indicando con «p (/?) una quantità che
cresce indefinitamente con h ma di ordine inferiore a quello di
/ì, si potrà prendere a == y/ '^-^ , e lo stesso potrà farsi quan-
do b tende a zero, purché vi tenda in modo che almeno da un
certo valore di h in poi non si abbia mai b <C1 y ^-'^ ;
» h
talché in questi casi si avrà, sempre in valore assoluto, a partire
da un certo valore di h:
rb
essendo q il valore del rapporto p=: , per modo che a
partire da un conveniente valore di h in poi potrà prendersi
per 9 quel numero che più ci piace superiore a 1 .
In particolare prendendo 'f(//) = /<'"-, con s numero po-
sitivo prossimo quanto si vuole a zero, si avrà la formola:
,1
I
35
rh
(30) / sen/<a- t: ^ 2^ , _^ _, 29tx7r Q^^
^0 sen.r " 2 ^ /ì^ "^ ^e "^ ^-i£ + /i^-e '
«- h '
che viene così a valere dopo che h sia maggiore di un certo
numero, e quando b non si accosta a zero più di un numero
determinato b\ o accostandosi a zero indefinitamente finisce
1
per restar sempre maggiore o uguale a ~-^ .
Si può poi aggiungere che se h cresce indefinitamente per
numeri dispari, allora osservando che:
e applicando il lemma secondo si trova che in valore assoluto,
per b compreso fra 0 e ^ si ha la formola più semplice:
'0 sen X 2 h sen b h sen-6 '
»6
r
2 t: , ,._ /sen hx , %
e se & è un multiplo esatto di , , la differenza L dx — ^
^ h «^0 sena' 2
è negativa, e si può prendere \x=2.
III. Studio sugli integrali che sono atti
a rappresentare analiticamente una funzione.
21. Gli integrali che noi avremmo da considerare, ove
volessimo occuparci soltanto degli sviluppi in serie di Fourier,
sarebbero quelli del §.6., e come è facile a vedersi basterebbe
limitarsi a considerare i seguenti:
36
(1) / f(^) - — <^-^ ' / A'^ i^^rv^'" '
JO seii.T y^ sena;
con 0<^a<Cò<- .
Volendo però stndiare anche altri svilnppi con un metodo
uniforme, noi osserveremo che le proprietà date sopra per gli
integrali / «_^^^j; ^ / !^^^
,- » , , -(?a; ci mostrano che gli inte-
0 seno? ^a sen r
grali (1) rientrano nella forma piti generale / f{x)(p{x ,h)dx,
I f{x)z{x, h)dx, ove a e b sono numeri diversi da zero e dello
stesso segno che almeno ordinariamente dovranno essere presi
fra limiti determinati, e !f(.^' , //) è una funzione che per qual-
siasi valore finito'di h è atta all' integrazione nelPintervallo nel
quale si considera, e per x diverso da zero si mantiene finita
anche al crescere indefinito di /<, ma in vicinanza del punto j?=0,
a destra o a sinistra secondochè a è positivo o negativo, prende
anche valori tanto più grandi quanto più è grande /*, e oltre a
ciò è tale che per gli indicati valori di a e Z» si ha:
(2)
/ji,^ hp{x ^ h)dx=0, j^^^ / ^{x , h)djc=^G,
essendo G una quantità determinata e finita indipendente da a,
e diversa da zero (*); e noi quindi, anziché prendere a studiare
C) Di funzioni y(x , h) che soddisfano alle condizioni qui indicate ve
ne sono un numero infinito. Fra esse alcune delle pii semplici sono le seguenti:
— ^^ * ;
f{x,h)= k 6 , f(x ,h)= — - mCx,^)=^— ?, per la prima delle quali aeb
1-|-A*x'' sena;
devono siipporsi positivi, per la seconda aeb possono essere qualunque purché però
dello stesso segno, e per la terza aeb devono soddisfarò alle condizioni dei
§§. 17, 18 e 19. S'intende poi che essendo a e 6 per es. positivi, la funzione 'f(x ih)
deve di necessità soddisfare alla condiziona che in vicinanza di x=0 a destra
37
gli integrali (1), studieremo gli integrali più generali
rh rb
I f[h)'^{x Ji)dx, I f{x)'^{.r Ji)d.r, ove 'f{x,h) è una funzione
per la quale da principio noi supporremo soltanto che sia finita
e atta all'integrazione fra i limiti degli integrali e soddisfi alle
condizioni (2), senza neppure richiedere, per ora, che a eb deb-
bano essere dello stesso segno, e che G, oltre essere determinata
e finita e indipendente da a, debba essere anche diversa da zero.
22. Con ciò noi troveremo dei teoremi generali che nel caso
speciale di 'dx , h)= e di deb numeri positivi che soddi-
^ ^ sena;
sfano alle condizioni dei §§. 17, 18 e 19 si ridurranno a quelli
che servono per gli sviluppi delle funzioni in serie trigonome-
triche ; e questi teoremi ( alcuni dei quali furono già dati dal
sig. Du Bois-Reymond (*) che primo ebbe V idea di fare studi
così generali ), oltre a servire, come il sig. Du Bois-Reymond
ha mostrato, a rappresentare analiticamente le funzioni per
mezzo d'integrali definiti, ci condurranno anche a trovare, e
con un metodo uniforme, infiniti sviluppi (in serie di funzioni
speciali) per la rappresentazione analitica delle funzioni di una
variabile reale date arbitrariamente in dati intervalli.
23. Ciò premesso, incominciamo dal dimostrare che: se la
funzione '^{x , h) per valori comumpie grandi di h e per x com-
preso nelV iniervalìo finito {a,b) si man tiene sempre inferiore in
valore assoluto a un numero finito 's>q, e, oltre essere atta all'in-
tegrazione fra a e b, per tutti i sistemi di valori di a e b'
premia audio valori cho crescono iudefìnitamente con h , altrimenti avendosi
lim C'
, I 'f(.c ,/ì) d.c=z 0 qualuniiiic siano a a b purcliò positivi e diversi da zero, sarebbe
ra
impossibile che l'integrale / 'f (,c , h) dx (che evidentemente può ridursi alla somma
Jo
1 'f(j; , h) dx -\- j f{x , h)dx, con 2 arbitrariamente piccolo) avesse un limite G
diverso da zero per A=co .
(*) Borchardt Journ. Voi 79, ,
compresi fra a e b { a e b incL ) soddisfa alla condizione
lim
/»=oo
r
I f ('^ ì h)dx=0^ si avrà :
Ja'
(3) j^^ ff{^)^{xji)dx=0,
Ja
tutte le volte che fra a e b f{.r) è sempre finita e atta alla
integrazione .
Supponiamo infatti che l' intervallo (a , b) sia scomposto
in p intervalli 5, ,00,.. Op coi punti a , .t, /.r^ , . . .r^,_, , b.
Indicando con fg un numero compreso fra il limite superiore
e inferiore di /"(.r) fra .Vg^^ e Xg , con D^. 1' oscillazione di f{x)
in questo intervallo, e con 9s un numero compreso fra — lei,
per la (2) del §. 9 si avrà :
rxs rx,
j f{x) '{;{x , h)dx = fs I ^{x , h)dx -f cPqQsS^Ds ,
e quindi sarà :
J/^b 7) fx t)
f f{x) ^^{x , ìì)dx= y^ fg / ^Ix , h) dx +990 2^,0, ,
« 1 -^Xs-ji 1
con 0 compreso fra — 1 e 1.
Ora la somma 2 5s D., , quando per p si prenda un numero
sufficientemente grande , è numericamente inferiore a quel nu-
mero che più ci piace — ; e dopo di avere fissato così il nume-
ro 2^ 1 e per quanto grande esso sia , si può prendere poi li
così grande che anche al suo accrescersi ulteriormente ( con
lasciar fermo il p ) gli integrali che figurano nella somma
P r^s . . a
\fs j 9(^, '0 dx siano numericamente inferiori a — - , essendo
1 A,_, ^P
X il limite superiore dei valori di f{x) fra a e b; dunque evi-
dentemente al crescere indefinito di h il secondo membro della
formola precedente finirà per divenire e restare poi sempre
39
numericamente inferiore a 2a, e questo permette appunto di
dire che :
rh
lim / f{.v) '^{x , h)dx = 0 ,
h=oo Ja
con che il teorema è dimostrato.
Osservazione. La formola (4) serve anche a trovare un
fb
limite superiore dei valori assoluti di / f{x) 's{x , h) dx , poiché
ci dà l'altra:
fb p rx, p
vai. ass. / f{x) cp(j3 Ji)dx <I XV vai. ass. / (f{x , h)dx-\- (pQySgDg;
e di qui in particolare, nel caso di ^(.r , /«) = , ponendo
sen X
per a eb (§§. 17, 18 e 19) le condizioni 0<a<16<^, eosser-
vando che per la formola (23) del §. 17 si ha :
/Xg
se
sen hx {itt òg 4:: 5^
^^ < L . r r— -T- — < r— — : +
sena; hsenxs_^ hsen^Xg^^ '^hsena hsen^a
s—i
si troverà la seguente: '
/-N 1 ft ^senhx ^ Ap^^r. . X{b—a) 1 ^^-r,
(d) vai. ass. / f(x) dx < -^ U- -^ — y^sDs ,
^ ^ J^'^ ^ senx ^ h sena ' /« sen^a ^ sen a^ '
nella quale 2^ è il numero degli intervalli in cui bisognerà di-
videre l' intervallo {a , b) per far sì che la somma V Og Ds sia
1
di quel grado di piccolezza che più ci piace.
24. Nella formola (3) non si ha alcuna limitazione né in
f(x) nò in (f{x , /t), airinfuori di quelle relative alla integrabilità
di f(x\ e di quelle generali cui devono sempre soddisfare le
funzioni <p{x , h) che abbiamo detto di prendere in considera-
zione in questi studii.
40
A questa forinola poi , quando per es. i^O, si può ag-
giungere la seguente:
(^^ A=ìo Z^-^) "f^-^ ' '^^^•'" = f^^^^ h=a, f'ri'^' ' '')^'" '
che a causa del teorema del §.19 nel caso particolare di
a(x , /i)= , e 0<Cb<i-^ si riduce all'altra :
^^ san X ' ~~ 2
lim '
A=oo ,^
XAVf^> = |«+0).
che è quella che serve agli sviluppi in serie di Fourier; però
per la validità della formola (6) , oltre a richiedersi, come è
ben naturale, che f{-\-0) abbia un significato, bisogna porre
negli intorni del punto 0 a destra alcune limitazioni per la fun-
zione /"(•'") 1 a meno che non si pongano per 'f (.r , h) altre con-
dizioni speciali oltre a quelle generali indicate sopra.
Indicando infatti con s un numero fisso diverso da zero e
positivo ma piccolo a piacer nostro, si ha:
•6
jf{x) ^{x , h)dx=(p + / ) ' ^'^•'^^"^^+^^ ! '^("^ ' '^^^-^ +
+/(+0) f'ii-r , h)dx= f] f{x)-f{JrO) ] 'f (.r , h) clx +
+/'(+0) j 9(^ , h)dx^J^ l f{x)-f{-^0) ] ^{x , h)dx ;
e siccome pel teorema precedente l'ultimo integrale ha per limite
zero si vede subito che, onde sussista la formola precedente,
lim r^
basterà che sia , ^^ / \f{x)—f{-\-0)^(p{xJi)dx=0, quando s.
è piccolo a piacer nostro.
Ora, se £ è preso in modo che per ogni valore di x
fra 0 e £ ( 0 al più esci. ) si abbia in valore assoluto
41
K^) — f{-\-^) <r <5, ove 0 è un numero positivo arbitraria-
mente piccolo, si vede subito che il valore assoluto dell'integrale
J\A^)—f{-\-^)\'i{^ ,h)dx è minore dell'altro a / ^^{x Ji)dx ^
0 Jo
ove <Pi(^, h) è la funzione dei valori assoluti di (p{x,h) fra 0 e e;
quindi si può enunciare col sig. Du Bois-Reymond il teorema
che dice che: se la funzione ({^{x^h) oltre a soddisfare alle solite
condizioni generali poste in fine del §. 21, soddisfa anche alV altra
che V integrale j 'f ,(a? , h)dx della funzione f^^{x , h) dei suoi valori
assoluti esteso a un intorno (0,£) a destra del punto 0 resti sempre
inferiore a un numero finito anche al crescere indefinito di h,
basterà che la funzione f{x) resti finita e atta all' integrazione
fra 0 e b e che f{-\-0) abbia un significato per poter dire che sia:
rh rb
lini / f{x) (p{x , h)dx = /'(+0) Lm / '{^{x , h)dx .
h=oo Jo Jo
Si ha così un teorema che non pone limitazioni per la fun-
zione f{x) nell'intorno a destra del punto 0, ma esso le pone
per la funzione fi{x , A); né all' infuori di questo si hanno altri
teoremi ,^che conservino tale generalità a f{x).
La condizione però che si ha per (p{x,h) in questo teore-
ma, per quanto lasci al teorema stesso una importanza e una
utilità grandissime, fa sì che esso non torni utile altro che per
certi sviluppi in serie della funzione f{x) fra i quali non si
trova lo sviluppo di Fourier, perchè per quest'ultimo sviluppo
SGll II I'
dovrebbe essere 'f{x,h)= -; quindi, senza più esigere che
SGn oc
non debbano esservi limitazioni in f{x) nell'intorno a destra
del punto 0 , noi ^passeremo ora a studiare 1' integrale
/ l/l^) — /l+O)! (f{x,h)dx per trovare dei casi in cui la
Jo
formola (G) sussiste rigorosamente anche quando non si pongano
limitazioni nella funzione (p{x , A), o almeno con limitazioni che
42
non escludano l' ipotesi ^{x , h) = , onde la formola stes-
S6I1 •*'
sa resti applicabile al caso degli sviluppi in serie di Fourier
e di altri sviluppi che noi vogliamo qui considerare.
E osserviamo che quando si sarà trovato un numero 9/i
non inferiore al valore assoluto di / \f{x)—K-\-0)\ ^{x^h)dx^
JQ
si avrà un limite superiore anche del valore assoluto della
ri) j-j^ rh
differenza ^ f{x) (f{x\h)dx — f{-\-0) , ^ j ({^{x , h)dx , poiché
evidentemente sarà:
(7) vai. s^ss}jf{xyf{x,h)dx-f{-{-0)^^ j ^{x , h)dx\^ <9,+
-f- vai. ass. /"C+O) j / (c{x , lì) dx — lim / ^{x , h)dx) [ -f"
rh
-f vai. ass. / j f{x)—-f{-^Qi) j ^{x , h)dx',
e così nel caso particolare di rf{x , h) = per la (28)
del §. 19. e per la (5) del §. 23. si avrà :
rh
(8) vai. ass. / f{x) '-^ - ^/]:+0) ( <9,+
r ^A sen x e i
"y ' 'A sens ' /tsen-s/ ' h sen e ^ /* sen^ s ' sen z^ ' '
essendo e il numero piccolo a piacer nostro che abbiamo preso
sopra, f+Q il valore assoluto di /"(-f-O), e Xq il limite superio-
re dei valori assoluti di f{x) — f{-^0) pei valori di x fra 0 e 6
e pel quale può prendersi anche il numero uguale o maggiore
2)., e p infine essendo il numero degli intervalli §« in cui bi-
43
sogna dividere l'intervallo (c,6) o V intervallo totale (0,&) per
fare in modo che la somma corrispondente \ Ss Divenga mi-
1
nore di quel numero che più ci piace.
25. Ciò premesso, prendiamo dunque a studiare l'integrale
/ jA-^)— /'(+O)j?0^i^)f^-^» ove f{x) fra 0 e £ è sempre finita
^0
e atta all'integrazione, f{-]-0) ha nn significato, e ^{xji) sod-
disfa alle solite condizioni generali poste in fine del §. 21; e con
queste ipotesi troviamo dei casi in cui questo integrale ha per
limite zero per /i=oo dando al tempo stesso caso per caso un
valore pel numero indicato ora con 0/, .
Il primo di questi casi sarà quello che corrisponde alle
funzioni f{x) che nell' intorno (0 , s) del punto 0 a destra sod-
disfano alla condizione che diremo di Dirichlet; quella cioè di
avere un numero finito q di massimi e minimi fra 0 e s, o me-
glio di potersi scomporre l' intervallo (0 , s) in un numero fini-
to q d'intervalli in ciascuno dei quali la funzione f{x) varii
sempre in un senso o resti costante.
In questo caso infatti indicando con [j{x) la funzione
/(•^) — /l+O) , con (0 , Si) , (ci , £.) , (s,^_, ,£) i q intervalli nei
quali supponiamo scomporsi l' intervallo (0 , s) per la funzio-
ne f{x) e quindi anche per la [j{x)\, e con T| , Tj , . . t^ dei
numeri determinati compresi in questi intervalli respettivamen-
te, basta applicare a ciascun intervallo (s^,. ,j.,+[) la formola (3)
del §. 9. per ottenere subito:
j ] m-fi-rO) \ 'i{x,h)dx=ilt,~0)j 9(.r , h) dx 4-
+ K^i+0) / ^lx,h)dxJ^^{B, -0) / ^,Ji)dx + . . +
+ K-y-i-f 0) / "^{x , h)dx + K^-O) / l{x , h)dx,
44
ove p (s, — 0) , fX^i+O) . • • • lianno certamente un significato
perchè [>(.r) fra 0 e £ ha un nuuicro finito di oscillazioni; quindi
se supponiamo che per x compresa fra 0 e s (0 al piii esci.) si
abbia sempre f{-v) — /I~h^)<^'' i ® ^^^^® ^ ^^^ poniamo la con-
rx
3grale I ^(.t ,
^0
dizione che V integrale | ^(.t , h)dx per ogni valore di x com-
preso fra 0 e s e qualunque sia h resti sempre numericamente
inferiore a un numero finito A, basterà osservare in generale
. fi f- r<
Ja Jo Jo
che 1=1 — I , per concludere subito che :
r
ass. /
^0
vai. ass. / i /*(.r)-/'(4 0) j ^(.r , h)dx < (43— 2)Ao ;
e questo ci permette intanto di dire che „ la formula (6) sus-
„ siste sempre quando fra 0 e 6 la funzione f{x) è atta alla
„ integrazione, e nell'intorno (0,£) del punto 0 a destra, essa
, fìt soltanto un numero finito di oscillazioni, e la funzione
„ (r(.P , h) è tale che, oltre a soddisfare alle solite condizioni
, generali, soddisfa anche a quella che l'integrale '^{x,h)dx
Jo
„ pei valori di x fra 0 e s e qualunque sia h si mantiene sem-
„ pre numericamente inferiore a un numero finito A „ .
Si può poi aggiungere che in questo caso si ha
Qh<a^q — 2)Ao; e se (p(.r, /;) = -^ osservando che allora la
sen^r
condizione posta qui per 's{x , h) è soddisfatta (§. 18), e può
prendersi A=:r, si potrà senz'altro asserire che quando f{x) fra
0 e e fa soltanto un numero finito q di oscillazioni, oltre ad
aversi per 0<CJ>K. « •
si ha altresì per la (8) :
45
(9) vai. ass.^Jj(^x)^dJ^- 2^(4 0)|<(4^-2);:o+
2G. Se poi la funzione f{x) fra 0 e s ha un numero infinito
di massimi e minimi, ma è sempre continua e viene a perdere
tutti questi massimi e minimi colP aggiungervi una funzione di
primo grado |xr+v, o più semplicemente [i.r , allora la for-
mola (6) continuerà ancora a sussistere sotto le stesse condi-
zioni relativamente a tp (.f , A); e siccome sarà :
/ V(-^")-/"(+^H^= \ \f{^)-V^x—f{-^^m^{x,h)clx^]s. f x^{x,h)dx
^0 JO Jo
avremo 0/, < 2 A(a-[-|J.£)+ 2A[j,c <^ 4 A((3-f l-»-^) i e nella formola
(9) basterà sostituire 4:z{g-{-'^=) al termine {iq — 2):ta .
27. Supponendo ora che la funzione z{x , h) sia tale che
il prodotto X z{x , ]i) anche al crescere indefinito di h si man-
tenga inferiore a un numero finito Aj, ciò che non esclude
sGn /itX'
r ipotesi 's{x , h)= ^ poiché basta allora supporre v > 1 ,
si osserverà che :
f]m-f{+(^)\'^{^.h)dx= I 'gg-A+Q) xYxJi)dx,
Jo Jo x^
e si concluderà quindi che la formola (6) sussisterà sempre
V
quando fra 0 e s il prodotto x r^[x , h) col crescere indefinito
di li non superi mai un numero finito A,, e col tendere di J? a
f(^x) f( IO)
zero il rapporto ~ non cresca indefinitamente, o se
x
cresce indefinitamente resti atto all' integrazione anche ridotto
ai valori assoluti, come per es. accade quando non è di ordine
superiore a quello di una delle funzioni :
(10)
46
1 1 1
«^ ' a-(?.r)i+f*'a.-?.r(^^j?)Hf* ' *
nella prima delle quali ja è positivo e minore d' uno , e nelle
altre jx è semplicemente diverso da zero e positivo .
In particolare dunque „ la formola (G) sussisterà se il
„ prodotto X'f{x^h) per j; fra 0 e s non supera mai un numero
a finito A, e se, considerando f^x) come continua nel punto
j, x=0 e uguale a f{-\-^)-, il suo rapporto incrementale destro
- non cresce indefinitamente al tendere a zero di
X
„ X, 0 almeno se crescendo indefinitamente resta atto all'inte-
„ grazione anche ridotto ai suoi valori assoluti , . E supposto al
solito in particolare che si abbia 's(x , h) = , e che
^ '^ ' senJ?
non divenga infinito per a; = -|- 0 di ordine su-
9. - ^^' ^"
xixi'-x...{rxy+i'
ovvero:
almeno per z sufficientemente piccolo, e sostituendo nella (7)
si avrà un limite superiore del valore assoluto della differenza
i^ . sen hx 'c ., , . .
28. Supposto che a, , a^ . . . a„_i siano i punti di mas-
rx
simo successivi dell'integrale | 's{x^h)dx per x compreso
• o'
fra 0 e £ ( 0 e = esci.), o siano i punti di minimo, e questi
valori massimi o minimi dell' integrale siano tutti dello stesso
segno, e non vadano mai crescendo o non vadano mai decre-
47
scendo in valore assoluto C^"") e saii^TOsòo sempre che fra 0 e 2
si abbia in valore assolato f{.v) — /\-f 0) <C a, le forinole del
§. 10. applicate all'integrale / ) f{-i') — f{ + 0\ ^s{x Ji) d x ci
la
mostrano che l' integrale stesso sarà numericamente inferiore
a 2a A-f'^ / '.fiix ,h)dx-{- 2d D*- / 'fit^ , h)dx, o anche a:
Jl,{x,h)dxJr 1
A,.„, 0
(«) 2^A+o/ Tv / \,{x , /Or/.r-fYD. / U^ , h) dx,
indicando con ^^ (•^,^) la funzione dei valori assolati di 's{xji)^
con D, l'oscillazione di f{x) negli intervalli (a», 7.4^-1), e con A
nn numero finito di cui si suppone che siano sempre inferiori i
Jrx
' 'c{x^h)dx pei valori di x fra 0 e s
0'
e per qualsiasi valore finito di h.
Ma supponendo per es. che aj,aj,..,at4_j siano i punti di
Jrx
' 'f[x^h)dx^ e indicando in generale con
0
a', il pnnto di minimo fra as e a^+j, si osservi che 'i{x^h) da
a^ a a's non sarà mai positiva e da a'^ a «s+i non sarà mai
negativa, o almeno i valori positivi che prendesse nel primo
intervallo e i negativi che prendesse nel secondo non avranno
influenza sull' integrale, e quindi sarà:
/ '^i{x ^h)dx = — j 'f(.r , A)fZx-f / (p{xji)dx;
e se aj , 7o , . . , a„_, saranno i punti di minimo dell' integrale
(*J Si suppone sempre in questi studi che fra 0 e s l integrale I f(x,h^. d x
per ogni valore finito di h abbia soltanto un numero finito di uiassimi e di minimi .
IS
c^ ....
I rf{.v Ji) (ì .r ^ e a,, sarà il punto di massiiuo fra a, e a.,^,,
questa formola sussisterà ancora quando si cangino soltanto i
segni degli integrali del secondo membro .
Si dedurrà da ciò che nella espressione («) gli integrali
saranno sempre numericamente inferiori a 4 A;
e propriamente potrebbe anche dirsi che il secondo di essi non
supererà mai 3 A, e non supererà neppure A quando l'integrale
I 's{x,h)dx fra Oe aj varierà sempre nello stesso senso; talché
Jo'
intanto può dirsi che i primi due termini della espressione (a)
sono inferiori a 10 A a, e l'ultimo è inferiore a 4 1 D, .
Di qui risulterebbe subito un altro caso di validità della
formola (6); ma ora, riservandoci di tornarvi sopra fra breve,
studieremo in altro modo l'ultimo termine della espressione («).
Osserveremo perciò che aggiungendo l'ipotesi che il prodot-
to X 'f (•2',/ì) per qualsiasi valore di h e di .r resti sempre numerica-
mente inferiore a un certo numero finito B, e indicando con D/, la
massima oscillazione di f{x) negli intervalli (as,as+,) si vede subito
r^dx
che l'ultimo termine della (a) è inferiore a B D^ / — , ovvero a
BD/,logs — BD^loga,; talché ammettendo che f{x) sia continua fra
0 e s (0 al più esci.), e ammettendo anche che i punti a,,ao,..,a„_^
si avvicinino fra loro indefinitamente col crescere di h in modo
che le loro distanze Cj+j — a, finiscano per essere minori di quel
numero che più ci piace, ma tali però da essere sempre dello
stesso ordine di piccolezza di a.^ (*), si vede chiaro che a partire da
un certo valore di h in poi l'integrale / \f{x) — f{-\-0) j 's{x^h) dx
JQ ''
a — a
{') Ciò equivale a dire che i rapporti ^*^ " devono esser sempre inferiori
a Qu certo numero finito p e discosti da zero più di un numero dato 7 .
40
sarà nuuiericaniente inferiore a quel numero che più ci piace
tutte le volte che il prodotto DJog( a,,+, — a,) potrà rendersi
piccolo a piacere; dunque, osservando anche che = può supporsi
piccolo quanto si vuole , si potrà ora evidentemente asserire
che „ se V integrale / 's{x , li) d x e il prodotto x '^{x , h) si
„ mantengono sempre numericamente inferiori a numeri finiti
„ A e B, e lo stesso integrale nei suoi punti di massimo (o di
„ minimo) ai,7.2,..,a„_, fra 0 e s ha sempre lo stesso segno e non
„ va mai crescendo o non va mai decrescendo, e questi punti si av-
„ vicinano indefinitamente al crescere di h, ma in modo però che
; le differenze as+^ — a, si mantengano sempre dell'ordine di pic-
„ colezza di otj, allora la formola (6) sarà applicabile, e si avrà:
9,<10AG + BU,logs + Ba, ,
„ tutte le volte che nei punti di un intorno a destra del punto
„ zero ( 0 al più esci. ) la funzione f{x) è sempre continua, e
„ oltre a ciò è tale che per ogni numero comunque piccolo Gj
„ si può trovare un intorno (0 , =) dotato della proprietà che
„ in ogni intervallo o preso in esso, il prodotto D">log5 del-
„ l'oscillazione D, della funzione moltiplicata per il logaritmo
„ log 5 dell'intervallo o corrispondente sia sempre minore di
„ 'Ji „. [S'intende che nel calcolo delle oscillazioni D,j> relative
agli intervalli o che terminano al punto zero si dovrà prende-
re f{-\~0) come valore della funzione in questo punto ] .
In particolare dunque se 's{x h) = , le condizio-
^ ' sen a; '
ni poste per 'p{x , h) saranno soddisfatte , e si pobrà prendere
A=7c , B^l-j-s; quindi si può dire che „ si avrà;
„ tutte le volte che negli intorni a destra del punto zero (0 al
„ più esci. ) la funzione f{x) è continua, e per ogni numero
„ comunque piccolo ^^ esiste un intorno (0 , s) tale che in ogni
50
„ intervallo 5 preso in esso si abbia in valore assoluto
» r^(?^0o '^ ^ '^1 ' essendo D^ l'oscillazione di f{.v) nell'iuter-
„ vallo 5 „ . In questo caso poi si potrà scrivere :
G, <10-a4-2(14-sh, ,
e con questo valore di 0/, la (8) ci darà un limite superiore del
Ji sen Jix TT
/(j")— dx — ^/T+0).
Q sen .r 2
Questo risultato pel caso di '^(.r,//)= può dirsi do-
sen ci"
vuto a Lipschitz (*) ; e sì in questo caso particolare, che in quello
generale di 's{x , h) qualunque, esso non rientra sempre in quello
del §. precedente perchè, bastando nel caso attuale che si abbia
Dj'logS •<!<3i, potrà anche darsi che questa condizione sia sod-
disfatta, e il rapporto sia infinito d'ordine superiore
0 uguale a quello di una delle funzioni , „, , — ^—^ — r^— , . .
xlxl-x xlxrxrx
29. Come accennammo nel paragrafo precedente, avendo ivi
dimostrato che l'espressione (o) è inferiore a 10 A 0-1-4 A X Dj,
avremmo senz'altro potuto concludere che „ la formola (6) è ap-
„ plicabile alla funzione f{i') quando per ogni numero comunque
„ piccolo Oj si può trovare un intorno (0 , s) del punto zero a
„ destra dotato della proprietà che anche scomponendolo in in-
„ tervalli piccoli a piacere o, , Og , . . , 5^ la somma S D^ delle
„ oscillazioni corrispondenti D^ è sempre inferiore a a,; (come
„ avviene per es. se in ogni intervallo o preso fra 0 e e si ha
, Do» <C c5, con e sempre inferiore a un certo numero finito) „.
Giova però dimostrare in altro modo questo teorema, perchè
allora non si hanno per 's{x , h) tutte le condizioni poste in
principio del paragrafo precedente, ma basta che, oltre alle
solite condizioni generali, sia posta l'altra che si ha in tutti i
(•) Lipscbitz propriamente, invece della condizione J) ^ \o^ ^j <^'^ „ dette l'altra
più restrittiva I)-,<:^c o"' con v positivo qualunque (Borchardt. louru. Bd. 63).
51
r
casi; quella cioè clic P integrale / c:(.r,A)(^f sia sempre nume-
ro'
ricamente inferiore ad A.
Indichiamo perciò con f.(.'') la ditferenza f{x) — /"(+^0» 6
con a, , ao , . . , a„_, i punti successivi di massimo o di minimo
deir integrale / 'f (.'' , li) d x fra 0 e 3 (0 e s esci.) per cs. quelli
di massimo . Si avrà :
iP) rV)-A+0)J '^{x , h)dx =n Xj +...+ p y>(,r)'.(,,; , h)dx,
e se ps è il punto di minimo fra a» e a^+i, la funzione (f{x,h), al-
l'infuori tutt'al piìi di una funzione d'integrale nullo, fra a» e% è
sempre negativa, e fra ps e as+^ è sempre positiva, e quindi avremo:
I [>(.r)'f(j7,7i)clr=[Js / 'f(.r,/i)dr-|-f>'s / 'i{x , h) dx =
/ U{x,h)dx-]-^j'sì — h{x,h)dx,
essendo ps e p's numeri compresi fra i limiti inferiori e supe-
riori di p(x) negli intervalli (e/.,, , Ps) , (ps , a^+j); e una formola
analoga si avrà per gli integrali da 0 a a| e da a„-,i a s.
Sostituendo ora nella espressione precedente (^), il secondo
Xcts
(t{x,h)dx^
G ('^A- — p-'s) / '{■{x , h)dx^ e di più vi sarà un termine che sarà
il prodotto di p„_, o p'„_j per 1' integrale / (f{xji)dx; dunque,
poiché le differenze p's-j — p,, 0 ps — p's non superano le oscilla-
zioni che si hanno da 0 a p^ , da p^ a Pj , . . , o da 0 a a^ ,
da a, a a^,...^ si vede chiaro che, se fra 0 e £ si ha f{x) — /"(+0)<!a,
siii-ii 0,, < A( --f 2 I D., ), ovvero 0/, < A ( 'j -j- 2 -5, ), e tiucsto
dimostra il teorema .
30. Sef^uendo il procosso del § 28 è facile trovare altri
casi di validità della forinola ((>).
S'immagini perciò scomposta la fnnzione fi^f) — f{-\-0) nel
prodotto a(.r)^(.r) delle due funzioni a(.r), ,3(.r), per modo che il
primo membro della ((3) si riduca all'integrale / a{.v)[j{x)'s{.rji)dx;
e per quanto in questo integrale il prodotto a(.r) p(.r) tenderà a
zero con .r, studiamolo dapprima indipendentemente da questa
condizione.
Supponiamo perciò che a^ , 7.j , . . , 7„_j siano i punti di
massimo o quelli di minimo successivi dell' integrale / '^{oc^h)dx
compresi fra 0 e s (0 e s esci. ), e per esso come per z{x , lì)
siano soddisfatte le varie condizioni del teorema del §. 28,
tranne tutt' al più quella che i rapporti -^^- debbano re-
stare sempre discosti da zero più di un certo numero <i.
Per le formole del §. 10, avremo:
/7.(.r):i(.r)'f(.r,/0r/,r=0D A+ / lk^),3W - Yo ì'fC^ , ^¥^'^ +
Ji) Jo
a{x)^.{xy^(x,h)dx+'^ f \a{x)^{x) — a{as''^{<Xs)z{x,h)dx
'0
+
ove 9 è un numero compreso fra — 1 e 1 , D è 1' oscillazione
di a{x)%i) fra 0 e s, e Yo è il valore che ha a.{x)^{x) , o che
gli si attribuisce, nel punto x=0 .
Ora, poiché il primo integrale è evidentemente inferiore a
ra, re
D / 's^{x,h)dx, mentre il secondo è inferiore a [x / cc,(a?,7i)dfa:,
ove [}. è il limite superiore dei valori assoluti di v.{x)^(x) fra
l
53
0 e E, si vede subito come al §. 2M. che gP integrali stessi sono
inferiori a 3 A D, e 4 A jj< respettivamente .
Rispetto poi air integrale che figura sotto il segno ^ si
può osservare che si ha:
a(.r) 3(.r) - a(or.,) ,3(?.)= ] <r) - a(a.) < ,3(-r)+<a.) | P(.r)-.X.3,) | ,
e se ^(.r) fra a, e s è finita e continua e Xo è il suo estremo
oscillatorio, siccome si potrà anche scrivere (m. ì. §. 198)
|3(.r) — p (p.,) = {x—%) X, , ove K è un numero compreso fra
i limiti inferiori e superiori di X^j nell'intervallo (a^, .r), si avrà:
1 -^as 1 *^a.5
-2 1 *(^-)^^^
+ 2 I a(a,))v, (.r— a,)'f(.r,/i)c?j;,
Ora, se Jj(.r) fra 0 e £ è sempre finita e il limite superiore dei
suoi valori assoluti è ,3', e la funzione 7.(r) non è mai decre-
scente o non è mai crescente , 1' integrale
I \'y.{x)—y.{rf.s)\%-T)'^{x^Jiyj.r non supererà in valore assoluto
quello della quantità 3' }'5.(a.5+,) — a(a,,)| / '^^{xji)dx^ la quale
per quanto si vide al §. 28 non supera 4 A J3';a(as+|) — a(a,));
dunque la somma di questi integrali non supererà , in va-
lore assoluto, quello della quantità 4A(5'la(£) — a(aj)J, e
quindi , per t sufficientemente piccolo , essa sarà piccola a
piacere .
/"«.?+ 1
Passando ora agli integrali / a(ay)Xs(.r — af)rf{x,h)dx^ col-
V ammettere che fuori del punto zero X sia sempre finito, osser-
P
viamo che se n{x) è sempre positiva fra 0 e =, e X^^ è il limite
superiore dei valori assoluti di X^^ fra c/.g e a^+j, gli stessi in-
54
tecrah sono numericamente interiori a ^ , e
2a.,
quindi la loro somma sarà inferiore in valore assoluto a
„ > afajX"^ iXs — ■ I — ^ , ove 13 e mi numero posi-
tivo di cui è sempre numericamente inferiore il prodotto
X fp{x , h) .
Ma , per le ipotesi fatte sui numeri c.j , 7 ., , . . . %,^^ , i
rapporti - '^^ ^' sono tutti inferiori al numero finito ^?, quindi
a,
la stessa somma sarà inferiore a - „— ^ 'y-i^s) ^A a* ( — ) , e
2 ^ \a., J
questo evidentemente ci mostra che se il prodotto rtirt.^ X^s a^
non supererà mai un certo numero finito C, e la somma
^1 ' I anche al crescere indefinito di // si manterrà inferiore
a un numero finito li [ come avviene per es. nel caso di
(p(j; , }ì) = ■ — — , perchè allora si ha a,, = (2 s — 1 ) a, ] ,
la somma degli integrali i a(a,s) X.(.i' — a^) 'f(^; , /<)(/u; sarà nu-
mericamente interiore a — x — \\ — i ^ 3,
2 •^\'3.J '2
Ma è chiaro che se vi saranno degli intervalli (7.^,7.4.+]) nei
quali À, non diviene efi'ettivaraente uguale in valore assoluto
ja. X^f, indicando con X'^ un valore che sia fra i valori assoluti
che vengono effettivamente presi da X^ nell'intervallo indicato
si avrà:
e evidentemente si potrà supporre X', talmente vicino a X'',,
che il secondo termine del secondo membro sia sempre di
quel grado di piccolezza che più ci jiiace indipendentemente da
h; dunque, poiché se 4s- è il valore di x fra a, e a^^ pel quale
X = ± X',, , e se ^{x) da Gas è positiva e non è decrescente, si
r
ha 'y.{y.s)y.s<C'y{ìs) L , e y.{ois) ^ ., «s 5^^-(^s) ^'s ^y , si può affermare
che, sotto le varie ipotesi che abbiamo fatto, basterà che il pro-
dotto o'.(.r) x X^ col tendere a zero di .r non superi mai in valore
assoluto il numero C per poter dire che la somma degli integrali
I a(cs) X., (.e — y.g) 's{j; , h) dx sarà sempre numericamente infe-
ra.,
riore a — ^ — , e m valore assoluto si avrà:
(10) j y.{ir)%r) 's{.rJt)iU'<4.] D+|j,4.3' Ws)-c'.(+0)]| A^--?^
Se poi y.(x) da 0 a z, cs?en'^lo ancora positiva, non sarà
crescente , la quantità a(-|-0) non sarà certo uguale a zero a
meno che non fosse sempre 7.(a')==0, il che è da escludersi; e
quindi se s è preso sufficientemente piccolo, y.{.c) fra 0 e s, oltre
essere positiva, sarà sempre diversa da zero. Ma allora si avrà:
a(a,) l's y, < -yTT ^■(^«) '^ ' ^^ < " . x a(^») ^'s ^s, e quindi quando
sia soddisfatta la condizione precedente relativa al prodotto
a( ■'•) ce X si avranno ancora gli stessi risultati che sopra, salvo
P
a sostituire nella formola precedente a a(s) — «(-j-O) il suo
valore assolato, e a C il prodotto C ^7~n > d^nq^^e, poiché
evidentemente nel caso di y.{jj) negativo basta considerare l'in-
tegrale — I y.{a;) ^{■'') doo per ricadere subito nel caso prece-
do
dente, riassumendo si potrà ora affermare che: „ quando la
„ funzione z{r , //) soddisfa a tutte le condizioni poste nel
, paragrafo precedente ed è tale altresì che, se a^ , a,, ... a„_j
56
rx
sono i punti di massimo successivi dell'integrale / 's{x,h) dx
fra 0 e e, o sono i punti di minimo , i rapporti
, restino sempre inferiori a un certo numero finito p, e la
V / N -
anche al crescere indefinito di li si mantenga
, sempre inferiore a un numero pure finito /.•; allora se fra 0 e =
, a(./,) è una funzione sempre finita e senza oscillazioni, e ^j{x)
, è anch'essa finita, l'integrale / a.{x) p(a?) (p{x , h)dx potrà non
•A)
, avere un limite determinato al crescere indefinito di k, ma
, non supererà mai in valore assoluto un numero finito tutte le
„ volte che fra 0 e s (0 al più esci.) ^{x) è continua e ha un estre-
, mo oscillatorio X sempre finito e tale eh? il prodotto a(.r).rX
„ non supera in valore assoluto un certo numero finito C; e in
, questo caso si avrà la forinola (10) nella quale però, sé y.{x) non
, è crescente in valore assoluto da 0 a s, a C deve sostituirsi
, C — 7T~ ' ® s'intende sempre che per a{c) — a(-|-0) debba
, prendersi il valore assoluto di questa difi'erenza „ .
Si può inoltre aggiungere che la condizione relativa
alla somma ^f— j è sempre soddisfatta quando, come
nel caso di z(.c,h) = , le differenze «,+, — a, sono
sena?
dello stess' ordine di piccolezza di '■/^ , per modo cioè che i
rapporti —- ^\ oltre a restar sempre inferiori a un numero
finito p, non si accostano a zero più di un certo numero q; per-
che allora, ponendo — = (/., le differenze 7,+ , — q
^•s ì T«. y»+{ — a«
a
non saranno mai inferiori a </, e siccome si ha per t^l
2r?y=A
+ ..<-
57
1.1,
/Ti \a,/ qui' qt+ì' ii^t^\ qt+iqt^ì
ovvero ;
s f<\''^^ 1 / J L^ 1 / 1 1 V
sarà;
a.\-2 . 1
vf^ <:
t7\ \«*/ ? ?<
e in particolare si avrà^f - ] =\-\-^[ — ) <C1 + , talché
\a./ q
si vede anche che in questo caso nelle forniole precedenti a k
può sostituirsi 1 +- o — .
q q
31. In particolare poi si può dire che „ se
^ f[x)=f{^()) -(- a('),3(.f), e f{x) è atta alla integrazione fra
„ 0 e £ come -enipre abbiamo supposto, la formola (6) sarà ap-
, plicabile tutte le volte che la funzione '^{cr , h) soddisfa alle
, condizioni del paragrafo precedente e al tempo stesso a{x)
y, fra 0 e £ è finita e non fa oscillazioni, e p(.r) è pur sempre fi-
, nita, e in ogni intervallo fra 0 e s che non termina al punto zero
" è anche continua e ha un estremo oscillatorio X^ tale che il
y, prodotto 7.(.r) x X^ ha per limite zero per .r=-|-0; e in questo
H
, caso se fra 0 e s si ha f{.t) — /I+O) «< "3, e a(.r) x X <^ a^ ,
, si potrà anche scrivere :
j I /■(•^)-A+0) ì 'f (•' , /0f?-r<2 ; 5a+2p'[a(c)-a(+0)] j A +i'o^ ^m
, ove p^y=\, 0 = — j-^- nei casi indicati sopra „.
E quando 'x(') sia continua fra 0 e t ma abbia un numero
infinito di oscillazioni, allora se '^{x , lì) soddisfarà sempre alle
58
condizioni precedenti e il prodotto a(.r) x X^ avrà per limite
zero per x = -|-0, la formola (6) continuerà ancora a sussistere,
purché anche il prodotto .r- X^ abbia per limite zero per
V
.r= -(- 0 , e a(.r) perda tutti i massimi e minimi coli' aggiun-
gervi una conveniente funzione di primo grado.
È degno di nota che sotto questa forma generale il teo-
rema ora enunciato non richiede l'esistenza della derivata della
funzione /"(.r) fra 0 e s, e neppure suppone la sua continuità
fuori del punto 0, perchè a(x) può essere anche discontinua.
Se poi si suppone in particolare che a(.r) si riduca all' unità e
che f[x) fra 0 e £ (0 al più esci.) abbia una derivata determi-
nata e finita, la condizione precedente relativa al prodotto
a(.r).rX^ si riduce all'altra che la funzione J'f'ix) abbia per
limite zero per a; =^ -|- 0'; e anche così resta sempre estesa
quella condizione data dal Du Bois-Reymond nel Voi. 79 del
Giornale di Borchardt per la quale si richiede che la derivata
/'(•'■) sia atta alla integrazione anche ridotta ai valori assoluti.
Aggiungiamo che nel paragrafo seguente ci occuperemo
del caso in cui il prodotto .r/" (,r) , o l'altro più generale
o.[jc) x\^ non hanno per limite zero per .x-|-=05 "^^ ^^~
tanto è da osservare che se f\x) ha la forma precedente ,
e questi prodotti non superano mai un numero finito, il
teorema del §. 30 non ci assicura che la formola (6) con-
tinui ad essere applicabile, ma ci permette però ancora di
dire che al crescere indefinito di //- 1' integrale
/ \f{x) — f{-\-^')\z{x^K)dx non supererà mai un certo numero fini-
to; e se a(c) [j(jc)==7.(.>;) cos 'I)(.r'), basterà che a(.r),r']j'(,r) abbia per
limite zero per r =-|-0 onde altrettanto accada per /t^^=oo del-
l' integrale / a(.r) cos ^{x) (pf.r , ]ì)dx\ mentre se a(.r) .r <]^ {x) non
^0
tende a zero con j?, ma è sempre inferiore a un numero finito,
59
l'integrale / a. .ì-)cns <l{.r) z{x ,h)d.v potrà non avere per limite
zero né una quantità determinata , ma oscillerà soltanto fra
limiti finiti. In ciò sono compresi alcuni dei risultati ottenuti
per altra via e soltanto pel caso speciale di 's(i' , h) = -~ —
sen X
dal sig. Du Bois-Reymond nella sua memoria Untersuclningen
ìiher die Convergenz nnd Divergenz der Fourierschen Darstel-
luìujs-formeln ( Ahhandl. der k. haijer Akad. der W. II. CI.
XII. Bd. II. Abth. ) .
Si deve poi notare che nel caso particolare di 's{x , h) =
sen hx t • • , , -,
, le condizioni poste sopra per z\x Ji) sono tutte sod-
SGn •//
disfatte , e potendo prendere A==z ,B = l-j-e ,i^= 2, q=2,
3
/i'=^ , se 7.(.r) [ì(a-) tende a zero con .r, e per j: fra 0 e = si
ha a(j;) ^(a:)<]a, si potrà scrivere:
/ o^{x)^{x) — — rf^<2j5.+215'[a(s)-a(+0)]ìr + 3(l+s)C,
JQ sen .t
salvo a sostituire a 7.(3) — ^-(-{-0) il suo valore assoluto, e a
C il prodotto C -^—--- nei casi indicati sopra .
0(3)
32. Il teorema dimostrato ci assicura dunque che cenando
af.r) è finita e non fa oscillazioni fra 0 e e , e ^j{x) ha un
estremo oscillatorio X^ che fra 0 e = ( 0 al più esci. ) è seni-
pre finito, mentre y.{x) [■^(x) tende a zero con .r, e 's{x , h)
soddisfa alle condizioni dei due paragrafi precedenti, la forinola:
non può cessare di sussistere altro che quando a{x) x X non
r
tende a zero con x.
A complemento ora di questo teorema ne darò nn altro
60
che riguarda appunto il caso in cui il prodotto a(x) x X. non
ha per limite zero per .t'=-^-0, o si è incerti sull'esistenza e
sul valore di questo limite .
Si supponga perciò che 1" estremo oscillatorio /^^ pi'enda
anche valori indefinitamente grandi col tendere di x a zero, e,
limitandoci ad un caso particolare, si ammetta che per x di-
verso da zero esso sia il prodotto |jL(.r)v(r) di due funzioni
ji,(a), v(x) r una delle quali v(.r) è finita e continua per .r di-
verso da zero, ma cresce indefinitamente senza oscillare al ten-
dere a zero di .r, e fuori del punto zero ha una derivata
determinata o uu estremo oscillatorio atto alla integrazione,
mentre \ì.{x) è tale che il prodotto a(x)|x(.r) ha per limite zero
per x=-{-0, 0 almeno non cresce indefinitamente; essendo al
solito a(.r) una funzione senza oscillazioni fra 0 e s che (con e
sufficientemente piccolo ) può anche supporsi sempre positiva,
e '^{x) essendo sempre numericamente inferiore a un numero
finito ji' . Inoltre , poiché il prodotto ,3(a:') v(.r) è finito e con-
tinuo fra £, e s, ove s, è un numero qualunque fra 0 e e
! 0 al più esci. ) , ammettiamo che se '/.{x) è una funzione fra
e e £ la cui derivata è JE(x) v(.r) [ come ad es. 1' integrale
XX
P(j') 'j{x)dx~\, il prodotto a(j')/(j) col tendere a zero di x sia
sempre inferiore a un numero finito; e ammettiamo infine che
il prodotto Jv(x), non vada mai decrescendo in valore asso-
luto col tendere a zero di x; e ciò anche nel caso in cui esso
non ha per limite Tinfinito per x=-\-0 ( il che però potrà sol-
tanto avvenire quando a(-}-0) non è zero, se il prodotto
a.{x) X X^ = a{x) ijl(j?) x v(j?) non deve tendere a zero con x).
P
Così essendo, scegliamo il numero i talmente piccolo che
fra 0 e s sia sempre a(.i')3(-r)<C^) ^ indichiamo ancora con
«pOtj,... a<,..,a„_, i punti di massimo o di minimo dell'integrale
j 'f(x , A) d-r fra 0 e = (0 e £ esci.) pei quali poniamo intanto
61
tatte le condizioni dei due paragrafi precedenti , supponendo
inoltre in ([uesto caso che '^{x , //) sia continua fra 0 e s (0 al
più esci. ), e includendo pure la condizione che, mentre ^^
tende a zero al crescere indefinito di A . i rapporti -^ \
.... '^ì
oltre a mantenersi sempre interiori a un numero finito ^; , non
si accostino a zero più di una certa quantità q .
Considerando allora le quantità v(7.,),v(7.2),.., v(a/;,.., 'K'^-n-i),
per le ipotesi che abbiamo fatto si vede subito che esse andranno
successivamente diminuendo in valore assoluto, e quindi per quel
valore che si considera di h o di a^ , o saranno tutte numerica-
mente inferiori a — ^. , ove r è un numero positivo non supe-
riore all'unità, o fra esse ve ne sarà una che è maggiore o
uguale a — ;., mentre le precedenti sono pur maggiori o uguali
e le seguenti non lo sono, o esse saranno tutte maggiori o uguali
ad — ;. ; e noi suppoi'remo perciò in generale che sia in valore
^1
assoluto v(a<) ^ — , e v(a/+|) <!^ — , . • • senza escludere che a/
possa anche essere lo zero o a„_i , ec.
Osserveremo poi che se l'integrale 1 (p{x,h)dx non supe-
ra mai A in valore assoluto, per le formole del §. 30 si può
scrivere :
/ a(.r) (3(x)x(.r , h) de = 10 9 Aa-j-V / ul{x )— oJa,) \ |3C%(x , h)dx-\-
+ ^' a(a.) / \llv) - |3{a,) \^{x ,h)dx ,
1 Ja,
con — ll\9<l; e coi ragionamenti stessi del medesimo paragrafo
si vedrà intanto che la prima somma del secondo membro
è numericamente inferiore in valore assoluto a quello di
62
4 A p' ! a(s) — 'y{-\-^) \ 1 ^ qniiuli se s è abbastanza piccolo ,
essa sarà piccola a piacere.
La seconda somma poi può porsi sotto la forma:
1 -^at <+'
e se a< sarà zero la prima somma mancherà insieme al secondo
termine, mentre se o.i sarà a„_, mancherà questo termine in-
sieme all'ultima somma; e se ai sarà a, mancherà soltanto
la prima somma , mentre se a/ = cf„_o mancherà soltanto
r ultima.
Ora per Tintegrale «(</./) 1 | PO^)— ,3(7.^)|'f(.r,/?)rZ,r, quando
J'y.t
occorre di considerarlo, si osserverà che se a"t è un punto fra
OLI e a<+^ nel quale la differenza [j{v) — [j{ai) ha il massimo
valore assoluto, l' integrale stesso è numericamente inferiore
a a(a<) ! [j(a"/) — p(of./) { / ':;> ^{x , h) d x ove 'f,(r,/i) è la fun-
zione dei valori assoluti di z[r , //); e poiché al solito si ha
/ '^{x Ji) d X <^ '^ K ^ osso sarà numericamente inferiore
al valore assoluto di 4 A a a/) [ jj(a"i) — P(^<)], e quindi, os-
servando che questa quantità può porsi sotto la forma
4 A p,a"0 [ a(aO - -/(a'O ] + 4 A [ 7.(7.",) .3(VV) - a(7,) ^(7.,)) ] ,
si vedrà senz'altro che lo stesso integrale è numericamente
inferiore a 4 A .3'[7.(=)— a(-f 0)] +8 A a, ove di [«(s)— 7.(H-0)]
deve prendersi il valore assoluto, e in conseguenza esso è ar-
bitrariamente piccolo .
Rispetto poi alla somma "S\ quando occorra di conside-
rarla, si osserverà che , se x '^(.r , lì) è sempre inferiore a B in
valore assoluto, col processo stesso del §.30 si trova che essa è nu-
mericamente inferiore all'altra Zafa^X^cas ( ^^ 1 i —
03
ove k'^s ò ili solito il limite superiore dei valori assoluti di X
. a,+| —a.
Ira as e 7.,+, ; e se i rapporti — ^- ~ sono sempre inferiori
a,
a un numero finito p, e a^'j, è il limite superiore dei valori as-
soluti di [).{■>') fra a^s' e a,v+, , si vede subito che essa sarà an-
t) " — 2
che inferiore a ^Pl V 01(7.,) -A- a, v(7,)
n — ve'-'
2 t+i
Ma avendo ammesso che in valore assoluto il prodotto
X v(.i") col tendere a zero di x non vada mai decrescendo, è
chiaro che nella ultima somma il maggiore valore assoluto dei
varii prodotti a.s v(o',,) sarà quello di a.t^i ^(77+1) , e quindi non
suj)eri'rà ai'"' ^' giacche v(7/+i)<^ — ^. ; dunque si vede intanto
Il —2 / ^••'+1
che la somma \ j \'^{x) — |5(7.s)| z{ì'Ji) 'l'i' sarà numericamente
interiore a - _ \ «(a,) a",, — .
2 a, ni VW
Ora, cpiando vi siano degli intervalli (7.5 , a^+i) nei quali
\i^s non sia il massimo , ma sia semplicemente il limite supe-
riore dei valori assoluti di [^.{j'), indicando con [j/., uno di quei
valori assoluti che vengono effettivamente presi da [}.{x) nello
stesso intervallo ( a» , a,+| ) , si potrà supporre [i.'s vicino f^uanto
si vuole a \)Pf , e si avrà :
Bp^'7.,'-'-7.,,V r ^ oM' Bp^7.,^-'-7.„ \| . . , /«iV 1
— o --^ 1 ^'■■'■s) '/s - ) = 9^-^ 2 a(a.) tJ^ 4 - ) +
^ a, /+i \aj,./ Z a^ ^+1 \as/
+ --^S^ -;,— 1 a(a..)([xO,-iJ. ,) -- ) ,
e indipendentemente da h e da s la seconda somma del secondo
membro potrà rendersi piccola a piacere prendendo [j/, abba-
stanza vicino a }x^s-
Ora se ci.{x) tende a zero con ^, e x', e il valore di x
D. 5
04
pel quale ;jl('')^= +;ì'„ si ha evidentemente 'y.{y.>.)\i.'g<CoL{.i;'s)[is;
quindi, se y ^ '^w numero di cni è sempre inferiore in valore
assoluto il prodotto a(.r)|x(.r), si avrà sempre 'y.{a,)\i.'s<Jl -
Se poi a(.r) non tende a zero con x, si avrà
afa )
a(a,){i'» = — -4-^a(a;'s)a's, e quindi sarà «(a.) |j.'g <C a 7 , essen-
a(.r s)
ai ~ì
do a il rapporto —rr-^^ 0 il rapporto inverso; dunqne in ogni
caso si avrà in valore assoluto:
.1—2 ra
essendo a=\ se a(-[- 0) = 0 , e ugnale al maggiore dei due
a(e) a(-|-0) , . ^. . . ,. . , ,
rapporti ' ' , ' se a(-|-0) non e zero: qunidi, poiché
a(+0) a.{^)
per le nostre ipotesi sui rapporti -^^ * si ha (§. 80)
\Ym'< J^^e^^^l+^'^^^^^^kl+Z^ si vede ora chia-
a.
«+i
ramente che la somma V a(a,) / i?(-c) — ^{s'-s)\'f{x ^h)(lx
sarà numericamente inferiore a ^- , e quindi ,
dipendentemente da s , quando a(x) \i{x) tende a zero con x
sarà anch'essa minore di quel numero che più ci piace; e lo
stesso accadrà anche quando a.{j:) \ì.{x) non tende a zero con x
ma non cresce indefinitamente^ purché allora non sia r=l.
Resta dunque ora a considerarsi la somma
<-i ra,+,
2a(a,) / |p(x)[ — P(as)| 's{x^h)dx nel caso che essa vi sia,
e per questo osserveremo che essa si compone delle due:
65
y^ct,) / p(.r)'^(.r,/«)f/^— ^7.(ot,)P(a,) / '^{xjì)dx\ e poiché (a
causa delle ipotesi che abbiamo poste intorno ai valori del-
r-^
l'integrale / 'c{x^h)dx nei suoi punti di massimo successivi,
o in quelli di minimo) gli integrali / '^{x,h)dx sono tutti
dello stesso segno o nulli, è evidente che il secondo termine
sarà numericamente inferiore al valore assoluto di a / '^{x^h)dx^
ovvero a 2oA, e basterà quindi occuparsi del primo.
Per questo poniamo x '^{jo , h) = -{/(r , h) . Questa funzione
'^{x , h) sarà sempre inferiore a B in valore asioluto, e sarà
zero nei punti 7.1,7.2, . . ., a,j_i ; quindi poiché si ha:
fi
s+i r°'*+i fUx , h)
{X) z{x , 7i) dx =^ I ^{X) ,{X) Ar^U X ,
x^Ax)
JOLs = ^
tb{x , lì)
applicando una integrazione per parti col prendere - — ^ co-
me fattore finito, e coli' osservare che per l'integrale indefinito
TT
fj{x)\{x)dx può prendersi "-/(.r) — -, ove H é il limite
per x^=-\-() di a{x)y(x) se si sa che questo limite esiste, 0
altrimenti é un numero finito che potrebbe essere qualuncpe
ma che allora noi lo prenderemo senz' altro uguale a zero , si
troverà subito:
/'
'K^ .ti )
dx ^
a (a,)J ^{x) '^{x , ìì) dx = - 7.(7., )J | / (,r) — — j -
ovvero:
a(a,) j p(x)'^(.r , h)dx=-J j 7.(7.,) y^-H j -K^,A)^(^^J dx-
■L
ic v(.r)
60
]\Ia si osservi che se per x=0 e h finito 's(.f , Ji) si man-
tiene finito, con una integrazione per parti si lia :
' z{z , h) dx = ();(;» , h) log a^ — / log a- -^/^ — dx ,
'0
ovvero
->0' T — -
dx
l
«;(.r , h) dx = — / log o; -^y d X
d^\ /;!...;.._ A^
ove ( — ) indica un numero compreso fra i limiti inferiore e
\dxj^
d'Hx h\
superiore di — ^t^^ per x fra 0 e ^g. Si vedrà subito da
ci X
lim f^
ciò che in forza delle nostre ipotesi a meno che , / z{x ,h)dx
Il — co J^
non sia zero, la derivata , — col tendere a zero di x deve
dx
prendere anche valori tanto piti grandi quanto più aj è piccolo,
talché se s' indica con ']<'q il limite superiore dei valori asso-
luti di ■ ■ ^ — fra a- e s, questo numero 'Vn dovrà crescere
dx i ' -1 . u
indefinitamente all'impiccolire indefinito di a,.
Sostituendo ora nel valore precedente di o{n.s) I ^{xy^{x,h)dx,
e indicando con x', il valore di x fra a.g e a.s+i pel quale la
funzione continua a(as) y{x) — H prende il suo massimo valore
assoluto fra «s e a^+j , si vede chiaro che lo stesso integrale
°-{'^>) 1 P("^) 'f (^ ì h) dx sarà numericamente inferiore a :
S a(a.) y(.r',) - H \ \b( \-~ ]-.) + f o ''"V'\]
ove di c.(c<») '/(^■v's) — n bisogna prendere il valore assoluto ;
quindi se per i valori 1, 2,..,i— 1 di s queste quantità
al^.s) ■/{■('' ,) — H si mantengono inferiori ar, la somma
V r).{as) I p(j^)'f (.r , h) dx , quando è da considerarsi; sarà nu-
mericamente inferiore a:
ì \ar,{o.i) aiv(7.,V ar/(a,)' '' ) '
ovvero a :
giacche v(7./) > — ^. , e <C 1 •
Si supponga ora dapprima che a(j;ì y{x) per a? == -|- 0
abbia un limite determinato, e questo limite sia il numero H.
Allora, se s è talmente piccolo che per x fra 0 e s si abbia
sempre in valore assoluto a(.r) -^(.r) — H <<a^, essendo a, un
numero piccolo a piacere , si vede subito che nel caso in cui
oc(.r) pei a? = -j- 0 ^'^'^ P®^ limite zero ; cj^uando H=0 si avrà
o.{r/.s) -/{x s) — H= _; ole s) /(.r s) ■< aj , e quando H è di-
a.{x s)
verso da zero, per es. positivo, per essere allora anche x{x)
positivo, sarà 7.(7.,) '/.{x'^) — H < a{x',) /(.r'j) — H <^rj,, talché
in questi casi t sarà inferiore a Oj .
Invece se a{x) non ha per limite zero par a; = -|- 0 ,
avendosi :
^ 0\X s) )
si vede chiaro che z sarà inferiore a ai-[-(H-|-ai) -^ r ,
Cv
ove di H-|-a,, e a(s) — a(-|-0) bisogna prendere i valori assoluti,
e a' è 7.(s) o 7.(-|-0) secondochè a(.r) da s a 0 non va decre-
scendo o non va crescendo; dunque anche in questo caso t sarà
piccolo a piacer nostro , e in conseguenza se il prodotto
68
°'i*'yo' ® '^i' — ^7 "^^ supera mai un certo numero finito,
anche la somma \ a(o!g) i ^( j') '^ (j? , A) cZ.r sarà piccola in va-
loro assoluto quanto si vuole , poiché essa sarà inferiore a
(o, -|- K-q) (B aj-j-aj*" «{('o ), ove A"q è zero o è il valore assoluto di
(H-j-a^) — — — ; , secondochè a( -f-O) è zero o nò , e g^ è
tv
la differenza numerica fra — —. e il limite di — -, — r per.T=4-0,
£ v(e) X'/{x)'-
e quindi è arbitrariamente piccola dipendentemente da e.
Lo stesso risultato si ha se il prodotto a(.r) /(.r), pur man-
tenendosi sempre inferiore a un numero finito e fra 0 e e, non
ha un limite determinato per a:"=-|-0 , o si è incerti, purché
d 'l(x h) .
allora il prodotto a/ ò'q , o aj'' - — "—p^ — abbia per limite zero
per a; = -|-0, giacche in tal caso, preso H=0 , si troverà
che il valore assoluto di t sarà inferiore ad a e, ove a ha
il significato stabilito sopra ; e in conseguenza la somma
X sarà numericamente inferiore ad
T -^'^-s '
a e {B'j.2-\- 'Vq^i')-
Riassumendo dunque si può ora evidentemente concludere
che: „ se la funzione ^{x Ji) è continua fra 0 e s, e soddisfa
„ ancora alle condizioni dei due paragrafi precedenti, inclusa
„ c|uella che mentre a^ tende a zero col crescere indefinito
„ di /<, i rapporti -^^^^^ '- oltre a restare sempre inferiori a un
a,
„ numero finito x> iiou si accostino mai a zero più di un certo
„ numero q^ e di più è tale che per x fra aj e s la derivata
„ di X z{x , h) moltiplicata per a/ con r K^l resti sempre
„ numericamente inferiore a un numero finito C; allora la
„ formola (6) sussisterà anche nel caso in cui avendosi
„ flx)=f{-\-0)-{-a.{x) p(a?), il prodotto a(.r) ,3(.r) per x =-f-0 ha
69
„ per liinite zero, a(.<') non fìi infinite oscilluzioni fra 0 e s, e ,3(')
„ è sempre namericamente inferiore a un numero finito jB', ma
„ non è soddisfatta la condizione lini a(.r) x X^ ^= 0 del para-
la
„ ufrafo precedente o si è incerti su questo, purché però allora
„ siano soddisfatte le condizioni seguenti: 1.^ che X si decom-
j, ponga nel prodòtto \i{x) v(j?) di due funzioni [J.(.r),v(.^) la prima
„ delle quali [j.(.r) è tale che se r<^\ il prodotto a(.r)[x(.r) non
, cresce indefinitamente al tendere di x a zero, e se r=l ha
„ per limite zero; e la seconda v(.-c) è finita e continua fra
„ 0 e 3 , cresce indefinitamente al tendere a zero di x senza
„ oscillare , e ha una derivata o un estremo oscillatorio atto
„ all'integrazione fra S] e s, essendo S] un numero qualunque
„ compreso fra 0 e a (0 al più esci.); 2.*^ che il prodotto x v[x)
ji col tendere a zei'O di x non decresca mai in valore asso-
„ luto (*), e se -/(.r) è una funzione la cui derivata fra s, e £
fx
'^{x) v(.r)(:Zj?] il prodotto
„ a(.r) -/(.r) per J?=-{-0 abbia un limite deterlninato e finito H;
„ con questo però che se la condizione relativa al prodotto
j) "^O''") ■/.(•^) non sarà soddisfatta o si sarà incerti, pur sapendosi
„ che questo prodotto per x fra 0 e s resta sempre inferiore a un
„ numero finito e. la formola (6) continuerà ancora a sussistere
„ purché allora il prodotto di a,'' per la derivata di X's{x,h)
„ quando x è fra a, e s tonda a zero insieme ad aj „.
33. In questi casi poi se Hq sarà il limite di — — — per
X = -\- 0, e £ sarà scelto in modo che fra 0 e s a(./) non
faccia oscillazioni , e si abbia sempre in valore assoluto
a{x) l'{x) <o, a(.r)[A(x-)< Y, —r^ — ^o < ^o , essendo a , e c.2
£ V(^£J
(*) E chiaro cbe quando xv(x) col tendere a zero di x non decresce in valore
assoluto, altrettanto accade del suo prodotto per la funzione crescente -, ossia di
v(a5Ì; talché allora la condizione che v(3") cresca all' infinito senza oscillare col
tendere a zero di x Tiene soddisfatta da se, e si potrebbe fare a meno di porla
esplicitamente .
+-"^:^-^-Y - '+<I^^-2 + C),
70
numeri positivi arbitrariamente piccoli, e y un numero finito
che se r=l dovrà pure essere arbitrariamente piccolo, si avrà
in valoi'e assoluto :
f[fr)-f{+Onsi.r,h)dx<Ak j5a+2,3'[a(E)-7.(-fO)]i --
2q
ove di a(s) — a(-|-0) bisogna prendere il valore assoluto; a è uguale
ad uno se a(-|-0)=0, ed è invece uguale al più grande dei due
numeri ," ' , , — —— quando a(-f 0) non è zero; t può pren-
a(-)-O) a(=)
dersi uguale ad a e se il prodotto o.{x)-f(^x) è sempre numerica-
mente inferiore a e e non ha un limite determinato per x=-l- 0,
o si è incerti, e allora C deve potersi rendere arbitrariamente pic-
colo; mentre se o.{x) y(.r) ha un limite determinato H per a'=-|-0,
e fra 0 e e si ha ct.{x)y{x) — H<^T| essendo a, arbitrariamente
piccolo, si può prendere T=ai+/»Q, ove kf^ è zero se 7.(-|- 0)=0, e se
a(-|-0) non è zero I-q è il valore assoluto di (Il-f-'^i) -'- , ,
essendo a' il più piccolo dei due numeri «(-j-O), a(£).
E si può al solito aggiungere che se (/.{x) fra 0 e 3 farà
infinite oscillazioni, ma le verrà a perdere tutte coli' aggiungervi
una funzione di primo grado, la formola (G) continuerà ancora
ad essere applicabile tutte le volte che siano soddisfatte le con-
dizioni precedenti, e dei prodotti x <x(.t), x y(.^), il primo abbia
per limite zero se r=ì e un limite finito se r<^l , e l'altro
abbia un limite determinato e finito, o almeno siano soddisfatte
per esso le condizioni che si avevano sopra pel prodotto a(.r)y(.r).
34. E degno di nota che i due ultimi teoremi qui dimo-
strati danno un campo immenso di validità della formola (6),
e può dirsi che si completino a vicenda, perocché quando per
una certa funzione f{'^)=f{-\-0)-\-cit.{x) ^{x) non sia applicabile il
primo teorema per la ragione che il prodotto 'y.{x)x\ non ha per
P
limite zero per .r=-)-0, o si è incerti, sarà subito il caso di esa-
71
minare se sia applical^ile il secondo; né le condizioni che si hanno
per 's{x ,h) sono molto restrittive, e d'altronde esse sono tutte
soddisfatte quando '^{■^Ji)= , perchè allora, con a, =-v ,
^ sen .f II
TT X
as=(2s — 1) , si ha i)=(j=^2, e, essendo x'f{.r , //,)= sen /<.r,
Il sen X
•1 1 ,. cZr J?(c(.r , h) ^ „ ^
il prodotto a, — ^ — ^ ^ per J? compreso fra 0 e s non supera
7r(2-|-£)-, e può prendersi C|uindi C=z{2-\-s)-, con A=-,B=l-f-s.
E mentre p. es. se a(.r) tenderà a zero con x senza oscillare,
la formola (G) sarà applicabile senza eccezione veruna in forza del
primo teorema quando x X non cresce indefinitamente, nel caso
P
invece in cui col tendere a zero di x questo prodotto x X^ prenda
P
anche valori indefinitamente grandi il primo teorema potrà pre-
sentare delle eccezioni che ci facciano restare nel dubbio; ma
allora si potrà passare ad applicare il secondo teorema, e bene
spesso le indicate eccezioni verranno a sparire nel fare questa
applicazione,
35. Così in particolare quando '^{x , h) soddisfa alle con-
dizioni che respettivaraente abbiamo poste nei varii casi, sup-
ponendo che sia :
A>) = /'(+0) + <.r)F[-K'^)],
ove a(.r) tende a zero con x senza oscillare, '\i{x) cresce in-
definitamente , e F ['5'(-^)] fa infinite oscillazioni , se avverrà
che la funzione F{z) anche al crescere indefinito di z resti
inferiore a un numero finito insieme alla sua derivata F'(2'),
per il primo teorema si potrà dir subito che se il prodotto
X >\i'{x) col tendere a zero di x non supera mai un certo numero
finito la formola (6) è applicabile alla funzione f{x) .
E se il prodotto x 'h'{x) crescerà indefinitamente , il primo
teorema potrà non bastar più ; ma allora applicando il secondo
teorema, coli' osservare che posto ora P(^) = F ['|(.r)] si ha
p'(j?)=:F'['{;(.r)]'|>'('^), e si può prendere quindi [j,(.t)=F'['K-^)],
v(.f)='V(j^), si vedrà subito che se F (^) è sempre finita, e '^"{x) è
atta alla integrazione fra ì, e s (0<£,<^s), la forinola ((>) è ancora
applicabile tutte le volte che il prodotto x (^(.r) nel suo crescere
air infinito mentre J" tende a zero non fa oscillazioni, e l'altro
°'('') / ^^ L'K'^O] ^ {'^)d-^ lifi un limite determinato e finito , o
almeno non supera mai in valore assoluto un numero finito e.
Più particolarmente dunque, supponendo che sia :
f{^) ^^/l-f^^) -f '^■i-"^) cos 'X-c) , o F(^) = cos 2" ,
si trova ora che se a(.r) tende a zero con x senza oscillare, la
formola (6) sarà applicabile a questa funzione f{x) quando il
prodotto X ò'{x) non prende mai valori superiori a un numero
finito, e anche quando cresce indefinitamente al tendere a zero
di x^ purché allora esso non faccia infinite oscillazioni fra 0 a e,
e la funzione '];' {x) sia atta all'integrazione da e^ a s (0<C^i<C^)i
giacché in questo caso la condizione che si aveva sopra pel prò-
dotto c.(.r) / F ['X'^')] 'f' {^) f^*^ ^ evidentemente soddisfatta.
E, come già dicemmo , rispetto a z{x , h) non si hanno
altro che le limitazioni poste sopra; talché ritroviamo così come
caso particolarissimo un teorema che il sig. Du Bois-Reymond
dette pel primo nella memoria citata al §. 31 sotto la ipotesi
sen A -i'
particolare di '^{x,h)= e di c/.(.r) finita e continua ec.
36. Nei paragrafi precedenti abbiamo supposto che se
f{x) — ^(-)-0)=7.(.r),;(.r), r estremo oscillatorio )v^ tli i'^i^) ? P^i'Q
potendo crescere indefinitamente col tendere a zero di .r, sia
però sempre finito per x diverso da zero.
Volendo ora dare un teorema che s' applichi anche al
caso in cui X £ diviene infinito fuori del punto zero in punti
vicini quanto si vuole a zero , e quindi anche fra 0 e e ,
mentre o.{x) resta ancora una funzione sempre finita e priva di
oscillazioni fra 0 e s, p(.x) oltre essere sempre finito, è anche
continuo per tutto tranne tutt' al più per j?=0, e <y.{x)[-i[x)
73
tende u zero con /;, noi osserveremo che se X^ è atto alla in-
tegrazione fra 0 e s, applicando la formola del Da Bois-Rey-
mond data al §. 9. e poi integrando per parti si trova:
/ lfi-r)-f{+0)\U,h)dx=y.{+0) I Ìl.vy^{x,h)(lxi-y.{z) I l{xyf{x,h)dx=
= -a(+0) / y/x / z{.rJi)dvWM^) 'c{.v,h)dx-r,,£) 1 } j'f{xji)dx,
ove 0 < £i <£; e quindi, se per a fra 0 e s sarà in valore
rx
assoluto / 's{x , h) dx < A, a(.r) ,3(^) < a, '7.(.r)<a', e se X sarà
atta all'integrazione anche ridotta alla funzione ).^ .. dei suoi va-
li
lori assoluti , 1' integrale precedente o 6/i sarà numericamente
inferiore a [23-1-a' / )\dx^ A e la formola (6) sarà applicabile.
Se poi ammettiamo anche che i valori massimi successivi (o i
minimi) dell integrale / '■f{rji)dx siano sempre dello stesso seguo e
^0
non vadano crescendo o non vadano decrescendo in valore assoluto,
allora si può osservare che, trovate le prime formole del §. 30.
invece di trasformare la sommai / a{y.s[fi{x) — Jj(a,)]'5(a:,A)c/ar
coi processi di quel paragrafo, possiamo anche trasformarla ese-
guendo sui suoi termini una integrazione per parti, e riducen-
dola così all'altra y j a.{'y.s)\r^ 1 'f{x^h)dx.
1 -^a.s ■' ./r
Ammettendo allora che a{x) tenda a zero con x e che a(.r)X
sia atta all'integrazione fra 0 e e anche ridotta alla funzione
[a(.i)X^]g dei suoi valori assoluti (qualunque sia allora X°^),
r !■'
basterà osservare che per x fra 0 e £ si ha in valore assoluto
(f{x , /*) (/ X <^ 2 A , e a (cj) < a (j") , per concludere subito
che la somma precedente è numericamente inferiore a
2A / [a(.r) X Ja f? .r, e che in conseguenza la formola (G) è an-
Cora applicabile, e si ha in valore assoluto:
9, < 2 U 0 + 2 ?' [a(E) - a(+0)] + / [a(.r)X,]o rf.J A .
Se poi a(-f-O) è diverso da zero, le condizioni d'integrabilità
di [a(j:')X^]{) e X% non sono distinte fra loro, e allora si
r
ricade nel caso precedente; dunque si può ora concludere che
„ se la funzione 'f{v , Ji) per x compreso fra Q e s è tale che
„ l'integrale / z{xji)(lx qualunque sia h è sempre numerica-
„ mente inferior»^, a un numero finito A, e i suoi massimi suc-
„ cessivi ( 0 i snoi minimi ) sono sempre dello stesso segno , e
„ non vanno mai crescendo o non vanno mai decrescendo in
„ valore assoluto, la formola (G) sarà applicabile alla funzione
, f{x) tutte le volte che, essendo f{x) = fi-\-0)-\-o.{x)[i{x), la
„ funzione a{x) fra 0 e s non fa infinite oscillazioni e la fun-
„ zione ,3{.r) è sempre finita, e ha una derivata o un estremo oscil-
„ latorio X che moltiplicato per a.{x) resta atto alla integra-
„ zione anche ridotto ai suoi valori assoluti; e nel caso in cui
„ la derivata o l'estremo oscillatorio di f\x) o di ^(x) siano atti
„ all'integrazione anche ridotti ai valori assoluti, allora perchè la
„ (G) sia applicabile basta che V integrale / 's{x,h)dx soddisfi
„ alla solita condizione di essere sempre nuaiericamente infe-
„ riore a un numero finito A ,; e in questi casi i limiti supe-
riori dei valori corrispondenti di 0/, saranno quelli che abbiamo
indicati sopra.
Questo teorema pone per 'f (f ,/t) meno restrizioni di quelle che
75
si avevano nei due procetlonti, e nel caso in cui a(:/ ):^1 e [j(x), o f{.f)
ha una derivata fra 0 e s si riduce a quello del sig. Du Bois-Rey-
mond che ahbianio ricordato al §.31. Esso poi evidentemente
potrà essere applicabile quando non lo siano quelli dei paragrafi
precedenti, come potrà accadere anche l'inversa; e in particolare
potrà applicarsi al caso appunto che noi volevamo considerare,
quello cioè in cui X,; fra 0 e s diviene infinita in un gruppo infi-
nito di punti di prima specie di cui 0 è un punto limite.
37. Per trovare un altro caso di validità della formola (6)
rx
quando l'integrale / 'fx,h)dx soddisfi alle condizioni del teorema
«> 0
del §. precedente, e x z{xji) sia sempre numericamente inferiore
h
a B, si consideri ancora l'integrale / a.{x) j3(.t) '^{x^h) d r, suppo-
nendo che il prodotto 7.(.r)|j(.r) abbia per limite zero per a:;=-J-0,
che a{x) sia sempre finita e non faccia oscillazioni fra 0 e s, e
che la funzione 'p{x) sia atta alla integrazione essa pure fra 0 e s,
essendo al tempo stesso finita o almeno tale che il prodotto
ir.
— / '{j{x)dx sia sempre inferiore a un numero finito {^).
Con questa ipotesi, ponendo / ^{x)dx^=x^({x),'({x) quando
Jo
le sia attribuito un valore finito qualsiasi anche nel punto x=0^
sarà una funzione di x sempre finita fra 0 e s, e fuori del
punto zero sarà anche continua; quindi, poiché in ogni inter-
. . 1 r'
vallo (s, , s), essendo 0<^cj <, s. i due fattori ~, / |3(J^) dx
hanno per estremi oscillatorii ^ e ^{x) o funzioni che dif-
(*J Così p. es. non potrebbe essere ,5(r)=— (k a; sen-j, mentre potrebbeaversi
invece 3 (a) = ' { j- scn -) .
70
feriscono da questo per funzioni J'iiitoo'nilo nullo, pofronia
prendere per estremo oscillatorio ). di ','(.)') per .v diverso da
7
zero la somma ^' — 3 / i-iU)d.v, e onesta somma sarà atta
alla integrazione fra s, e s (m. 1. §§. 2G5 e 269).
Ora, essendo X = 'Itl^- \, / [,{x) dx, 0 p(.r)=.r X 4-7(r),
si vede subito che per le nostre ipotesi, il prodotto .1^ X sarà
atto all'integrazione non solo fra Sj e s, ma anche fra 0 e e,
come lo sono pure p(.r) e 7('); quindi si può scrivere:
J a(a:) ^{Jc) z{xji) dx = I a(.r) 7(3-) 's{xji) dx + / ^•(•'f) X ocz{:c , //) dx ^
0 ' JO ' JQ " '
e se il prodotto ci'.(.r) X sarà atto all'integrazione fra 0 e s anche
ridotto alla funzione [a(r) X \ dei suoi valori assoluti, il secon-
do integrale sarà numericamente inferiore a B / {o{x) X ]q d x.
Osserviamo ora che siccome 7.(x) fra 0 e s non fa oscilla-
zioni , e a' .r) ,3(r) tende a zero con r, la o.{x stessa dovrà pure
tendere a zero, o dovrà tendervi [j(.j7) e quindi anclie 7(a;), e il
prodotto o.{x)'{{x). Xe segue che a questo prodotto sarà ap-
plicabile il teorema che abbiamo dato nel paragrafo precedente
pel caso del prodotto a(j;) ,j(x); e quindi Tessere atta alla in-
tegrazione la funzione [o'.(r) X^ \ porterà senz' altro che anche
l'integrale / o.{x)'{{x)'s{x^h)dx sia di quel gi-ado di piccolezza
che più ci piace; e nel caso in cui anche la funzione dei va-
lori assoluti di X sia atta alla integrazione fra 0 e s non vi
T
rx
sarà neppur bisogno che l'integrale / 's{x,h)dx soddisfi a tutte
le condizioni del teorema del §. precedente, ma basterà che sod-
77
disfi a quella di essere soiiipre nmiiericamente inferiore ad un
numero finito A; dunque evidentemente si può ora asserire che
„ se X 's{jo , h) è sempre numericamente inferiore a un numero
XX
z{x , 11) dx soddisfa alle condizioni
„ del teorema del §. precedente, e f{x) — /"(+0) =7.(a:) [j(x), ove
, a.{x) non fa infinite oscillazioni e ^x) è atta alla integrazione
1 f^
;, ed è tale che il prodotto v(^)=— / "^{x) d x sia sempre nu-
„ mericamente inferiore a un numero finito, allora se avverrà
„ che la funzione dlx) X , ove X è uno degli estremi oscillatorii
Y Y
» ~ [yi-^) — Y('''^)].'^^ì y(^')' resterà atta alla integrazione fra 0 e s
a anche ridotta ai suoi valori assoluti, la formola (6) sarà ap-
„ plicabile alla funzione f{x)\ e nel caso in cui anche la fun-
. zione dei valori assoluti di X sia atta alla integrazione fra
I
rx
, 0 e £, allora per l'integrale / z{^x , h)dx potrà tralasciarsi la
„ condizione relativa ai massimi o minimi, e basterà che esso
„ sia sempre numericamente inferiore a un numero finito A „;
e anche in questi casi si avranno con tutta facilità i limiti
superiori del valore di 9/,.
Se o.{x) = 1, e ^{{x) ammette una derivata fra 0 e e, questo
teorema si riduce a quello trovato dal Du Bois-Re}miond; e se
o.{x) fra 0 e £ fosse continua e facesse un numero infinito di
oscillazioni, ma però venisse a perderle tutte coir aggiungervi
una funzione di primo grado, il teorema continuerebbe ancora
a sussistere purché allora anche x ,3(.r) o x"^ À avesse per limite
zero per a? = -|- 0 , e ^ X o '(j{x) restasse atta alla integra-
zione fra 0 e £ anche ridotta ai suoi valori assoluti .
38. Del resto , ammettendo ora senz' altro che 'f(^ , h) sod-
disfi alltt condizioni tutte dei §§. 30 e 31, è facile mostrare
78
anche un teorema molto più generale pel caso che o'.(.r) e P(.i)
soildisflno ancora alle condizioni poste in principio del §. preced.
Indichiamo con 'p^ , 'f., , 'f j ,.,., 'f„_, , 'f„ « funzioni di x finite
e continue fra 0 e =, e ammettiamo senz' altro che fra 0 e e
(0 al più esci.) esse abbiano le loro derivate determinate finite
e continue almeno sino a quelle degli ordini 2.",3.°,4.°..'/r,(n4'l)°
respettivamente, e ne esse né le loro derivate o i prodotti di
queste quantità e dì potenze di x facciano fra 0 e s infinite
oscillazioni. Inoltre ammettiamo che se tutte o alcune di queste
funzioni '^ | , 'f ^ , . . , 'f„ tendono a zero con .-r, i respettivi loro
ordini d'infinitesimo rapporto a a:, oltre essere pienamente deter-
minati, siano i numeri positivi o nulli ?», , >»j , . . , ni„ tali che le
quantità ;n, , w^-|-j»^,?h^-(-;h^ + j'^s,--»?»] +»'5+•••-!-"^.-^+ "'»•
non superino i numeri 1 , 2 , 3 , . . , ?« respettivamente.
Con queste ipotesi, se poniamo:
si vede subito che '/(x), quando le sia attribuito un valore
finito qualsiasi anche per iC^O, fra 0 e e sarà una funzione
sempre finita che per x diversa da zero sarà anche continua e
avrà la forma p^ a;"""''"'"- ■"••"•"""'" ove l'esponente di x non è
negativo, e ^q è un numero sempre finito perchè tale è l'in-
1 r'
tegrale - / p(.i) dx^ e poiché o a(x) tende a zero con iV, o vi
tende i%j;), e in quest' ultimo caso accade lo stesso dell' inte-
1 r-^
graie - / |5(x) d x, si vede subito che il prodotto a(.r) ^^ avrà
per limite zero per a^ = -|~ ^ •
Oltre a ciò per «>>1 e J^' fra 0 e s ( 0 al più esci. ) y(^)
avrà una d'^rivata determinata 7' che sarà anche finita e con-
tinua, mentre per n=l, se non una derivata, esisterà un estremo
oscillatorio 7' di '({>)', e (fatta in quest'ultimo caso astrazione
da funzioni d'integrale nullo) per dt-terminare 7' si avrà sempre
la equazione:
70
nella quale il secondo membro arra al solito la forma
n— 1 -7rtj— ?n, — ...— 7»„_j
p, -K " , ove r esponente di x non è nega-
tivo, e (j[ è finito e tale che il pi'odotto a(.i') ,3i abbia per
limite zero per .t=0; per modo che, osservando ora che 'f',„
non facendo oscillazioni fra 0 e s, sarà infinitesimo dell'ordine
irin — 1 (*), e potrà anche essere zero assolutamente, si vede
Jl— 7»,— m2 — ...— Win
subito che il prodotto .ry' avrà la forma i^x ,
ove I, è un numero finito tale che a(j?) si ha per limite zero
per x = -\- 0.
Similmente, se »>2, '({x) avrà una derivata seconda y"
fra 0 e £ (0 al più esci.) che sarà ancora finita e continua,
mentre se ìi=2 se non una derivata seconda di '/■( r) esisterà^un
estremo oscillatorio y" di '('{■x); e si avrà 1' equazione:
?" 7»-i Y"-f(2 'i',> 'f..-i+'f" 'f'H-i) Y'+('f'" ?'».-!+?"»' r"-i) T=
'0 t"-3 JO t^'-'O
che determinerà questa derivata o estremo oscillatorio y"
( astrazion fatta in que.st' ultimo caso da funzioni d' integrale
nullo ) ; e in questa equazione il secondo membro avrà al
n— 2 — 7«i- J«,— . . . . — ìì1n—2
solito la forma pj a* ' , ove pj è un
numero finito tale che il prodotto a(.r) p, ha per limite zero
per x==-\-0,; mentre per x = -|-0 il coefficiente di y" sarà in-
finitesimo dell' ordine m» -\- Wn-i , e quelli di '(' e y saranno
degli ordini' }»„-|-««n-i — 1 , fn„-{-nir, i — 2 o di ordini superiori
e potranno anche essere zero assolutamente; talché il prodot-
ti—wi,—m2 — .... — w„
to X- Y avrà ancora la forma i^x ' , ove ?2
è al solito un numero finito tale che il prodotto a(.r) ii abbia
per limite zero per x =^ -[- 0 .
(•) Per semplicità di linguaggi (J noi parliamo qui sempre d'infinitesimi: alcuni
però di questi infinitesimi possono essere d'ordine negativo e quindi corrispondere
a infiniti .
D. R
80
Cosi contiiinando, si vede chiaramente che y(.I') fuori del
puuto .v^=-0 avrà le prime n — 1 derivate y' , y'V ■> T^"~'^ fluite
e continue, e potrà avere uuche la derivata «" y^"), o tutt' al
più questa si ridurrà ad un estremo oscillatorio di y*"~^\ e se
/•\M avremo per determinare 7*'^ una equazione della forma:
= / • . . / - / p{-^')dx,
mentre per ^=n ne avremo un' altra simile:
'f „ 'f .._i ... 92 Ti 7'"' + P«-i T*"-*^ + . • . + Pi y' + Po T = P W .
ove però y^"^ può darsi che sia soltanto un estremo oscillatorio
di -fi**—^) ( all' infuori di funzioni d' integrale nullo ); e mentre
nella prima di queste il secondo membro ha la forma
n — t — ìììi — ?Ho— ... — m ^ .
p<a: " "— ' ove ,3^ è un numero fìuito tale che
a(.r)P; ha per limite zero per .^==-1-0, per la seconda può dirsi
soltanto che a(j') ,3(.r) ha per limite zero per J"=0.
Nella prima poi il coefficiente di >.<'' (.9=0, 1, 2,.. ., f — 1)
per .r = -|- 0 è infinitesimo di ordine uguale o superiore a
wi„-|-w„_i -{- . . ,4-»»n-<+i — i-\-8; ^ può anche essere zero asso-
lutamente; nella seconda il coefficiente di y^^U^^O, 1, 2,... w — 1)
è infinitesimo [dì ordine uguale o superiore a in^ -\- m.^ -\- . .
-|- m» — n -\- s ^ e può anch' esso essere zero assolutamente; e
infine i coefficienti di y*'^ e y'"^ nella prima e nella seconda sono
infinitesimi degli ordini »i„-|-m,i_|-|-"--|-»?H-<+n'Wi-j-m.2-|-""~h"^">
talché procedendo successivamente, come nei casi precedenti, si
vede chiaramente che per ^<Iw e anche per t=n i prodotti
x' Y^ avranno la forma it x ' " ove ii e un nume-
ro finito tale che il prodotto a{x) ?< ha per limite zero per
x=-\-0.
Ma valendosi della formola precedente che esprime ^{x)
per Y , y' ì'I ! ' • • y'"^ 1 •'^i trova che:
re n_, rt rs
/ <-m^)'s{T,h)dx=\ / a(x)p,^('^^'^{x,h)dxJ^ / a(x)'f,'f2../fH/'')'f(.r,/,y
81
intenilendo qui che 7° indiclii 7 (r), e ammetteiulo , come già
dicemmo, che v^") invece della derivata W^ di -({.r) che può
non esistere, possa anche rappresentare V estremo oscillatorio
di Y^"— ') air infuori di funzioni d' integrale nullo ; dunque ,
poiché per quanto abbiamo visto sugli ordini d' infinitesimo
dì pt, e x^f^\ i prodotti a(.r') /)« 7^** tendono a zero con .r,
e inoltre la derivata Xg (o estremo oscillatorio) di 2's 7'*^ è
^'»7*'^ +iJs-7^*"^'*, e questa è tale che il prodotto a(.r) a^ X^ ha
per limite zero per .r = -|- ^ 1 basta ora applicare il teorema
11—1
del §. 31. per concludere subito che la somma V del secon-
U
do membro della formola precedente ha per limite zero per h=oo
quando, come supponiamo, 's(x , h) è una funzione che soddisfa
alle solite condizioni poste nello stesso paragrafo 31.
Segue da ciò che quando il prodotto a(.r) Tj 'f j . . . 'f „ 7*"^
che figura nell'ultimo integrale soddisfi a una delle condizioni
dei paragrafi prece'lenti,per es. a quella che diviso per x resti
atto alla integrazione anche ridotto ai suoi valori assoluti,
r integrale / c/^x) [i{x) '^{x ,h)cl)
'.X avrà per limite zero per h=cc ;
dunque si può ora evidentemente concludere in generale che:
„ se tt( a; , /i ) soddisfa alle condizioni poste nel §. 31. e
» /'(■^)^/'(-f 0)=a(,r)'[3(.t') ove fra 0 e s, a{c) è finita e non fa
„ oscillazioni, ^{x) è atta all' integrazione e , anche se diviene
1 r
„ infinita per .r == 4- 0, è tale che il prodotto ^ / [j{x)dx sia
„ sempre numericamente inferiore a un numero finito, allora
„ per la validità della formola (6) basterà che, se cp^ , 'fg 1 • -i fn
;, sono n funzioni che soddisfano alle condizioni poste in
„ prmcipio di questo paragraio, n rapporto — =
„ ove 7^"' è la derivata n" 0 l'estremo oscillatorio della de-
„ rivata {n — 1)" dell' integrale
82
1 r-^ dx c^ dx c^dx r-^
» tW = - / ;;— / ,; — • • • / — H^)dx, resti atto
, air integrazione fra 0 e s anche ridotto ai valori assoluti, o
, soddisfi a una delle condizioni dei paragrafi precedenti „.
Particolarizzando il numero ìi e le funzioni «pj , ^^ , . . , '£„
si ottengono altrettanti teoremi speciali; e così per es. suppo-
nendo n^l e 'fi=JJ si ritrova quello del §. precedente; e
supponendo '^,='pj=.,. = 'p„=x , o 'f ,^'f2= . . . ='f»«-i = 1,
(fn = ^'" , la condizione ora trovata viene relativa all' inte-
grale n«-P"> y(-^)=^ / ''— f — ... 1- h{-T:)dx, o all'altro
■^ rx rx rx rx
v(*^')= — / d'^ j dx ... I dx ì ^{x) dx, e caso per caso si tro-
^ Jo Jo Jo JO
vera con tutta facilità anche un limite superiore pel valore
assoluto dell' integrale / | f{x) — f{-\-0 \ z{x , h) dx.
Né deve tralasciarsi di osservare che se ci poniamo nel
caso particolare di (f^ = 'p2=... = r"-i = l» 'fti=^-^"»
^ rx rx rx rx
'( (x) = — „ f dx ì dx . . . . I dx f ^{x)dx, dal calcolo
^' ^0 Jo Jo Jo
difi'erenziale e dalle proprietà degli estremi oscillatorii si ha
subito :
Jrx rx rx
' ^{x) dx I dx j 15(.7?) dx
0 ■ Jo Jo
"x
^{x)dx
JO «^0 *^0
Jrx rx ro
dx j dx . . . I [i
e quindi:
83
[ / ^x)dx dx ^{x)dx
dx dx... I ^^x)dx]
— . . . ± jK«+1) . . . (2«— 1) ) ,
ove », , «0 , . . . sono i soliti coefficienti binomiali .
l rx rx
Per Jt=2 e yW == :: / dx I '^{x)dx si ha dunque in
particolare :
( / ^{x)dx / dx / p(j;)(?j;)
39. Ammettendo che la funzione 'f (r , A) soddisfi a tutte
le condizioni del §. 32, ( che sono le più restrittive fra quelle
che via via abbiamo posto), continuiamo a considerare l'inte-
grale / a{x) [3(.r) (p(.r , h) dx^ supponendo però ora per semplicità
che le funzioni 'y.(x) e ^{x) tendano ambedue a zero per
x=^-\- 0, e ciascuna di esse soddisfi a una almeno delle con-
a lim / a.{x)
dizioni di validità della formola lim/ cf.{x) '^ {x , h) d x =^ 0 ,
lim / {:i{x) 'f{x ,h) dx = 0 trovate nei paragrafi precedenti.
Jo
Allora se fra 0 e s sarà in valore assoluto ol{x) i3(.r)<^o,
avremo come nei §§. 30 e 32 :
fl.{x) p(.r) '^(.r , h) dx=ÌO 9 Ao+*2 / K^) - ^- (^-.s) { X-r) ^{^ , h)dx-{-
'•s+1
1 «^as
84
con 0 compreso fra 0 e 1: e se a(.r) e (^(.r) non faranno oscil-
lazioni fra 0 e e, applicando a ciascuna delle due somme del
secondo membro il processo stesso con cui si studiò nel §. 30.
la prima delle somme stesse, si vedrà che per £ abbastanza
piccolo il loro aggregato è piccolo a piacere .
Se poi ot(.r) fra 0 e s non fa oscillazioni, e fi(.r) invece di
soddisfare a questa condizione soddisfa alle altre D<^6'o, o
lim D log 0=0 dei §§. 2S. e 29, allora studiando la prima somma
col processo ora indicato e la seconda con (Quelli dei §§. 28
e 29 si vedrà che ciascuna di queste somme è piccola a piacer
nostro dipendentemente da e; e lo stesso accadrà se a/.x) e Jj(.i')
soddisfano ambedue alla condizione D <^ e o, o lim D log 6=0.
Se poi a(.r) soddisfa alla condizione di non fare oscillazioni
fra 0 e s 0 alle altre D<^cò, o lim D log 5^0, e la funzione ^{x)
è tale che, avendosi ,'ì(a')=;y(jr) o)(.r) con [j{x) privo di oscillazioni
fra 0 e £ e sempre finito, il prodotto [j{x) x\ abbia per limite
zero per a* = 4-0, allora applicando i processi precedenti alla
prima somma , e spezzando la seconda somma in due altre
come si fece al §. 30. per la somma che allora considerammo
y / l'y-{x)^{x) — a(a.,) ,3(a4)] 'f(.r,/i) f^r, e poi ripetendo i ra-
gionamenti del §. 30. stesso, si vedrà ancora che l'integrale
J' a(.r)p(.r)'i(.r , /j) fZ.r, dipendentemente da e, e dopo che h
0
sarà divenuto abbastanza grande, sarà minore di quel numero
che più ci piace ; e lo stesso pure accadrà se , essendo
oi{x) = rjQ{x)(tìQ{x\ e ^{x)=r^{x) co(.r), con po(.r) e f,(.r) finite e
prive di oscillazioni fra 0 e =, i prodotti pQ(.r).rX ,f/(x).x-X
avranno per limite zero per j'=-4-0, essendo al solito K e X
estremi oscillatorii dei rapporti incrementali di o){x) e oìq{x).
E se a(.r) soddisfacendo ad una qualsiasi delle tre condi-
zioni ora indicate, e essendo ,Xr) = f>(x) oì{x) con f.{x) finito e
privo di oscillazioni fra 0 e ; e oì{x) sempre fiuitn, il prodotto
85
r/.r) X X non avrà per limite zero per .i"=-f 0, ma a si scom-
' (1) ^ (li
j)orrà in due fattori ]x(x) , v(a;) il primo dei quali ]x{x) è tale che
p(x") ^(x) ha per limite zero per x^=-|"0, e il seco)ido, oltre a
crescere indefinitamente senza oscillare quando x tende a zero,
ha un estremo oscillatorio atto all' integrazione fra s^ e s con
0 <C =, «<[ £, e gode della proprietà che x v.^J?) col tendere a
zero di x non va decrescendo , mentre il prodotto
f,{x) I o){x) v(.r)(^.r per x=^-\-0 ha un limite determinato e finito,
allora applicando i relativi processi precedenti alla prima somma
collo spezzarla ove occorra in due parti, e spezzando pure in
due parti la seconda somma, e poi ripetendo i ragionamenti
del §. 32. ( con quelle leggerissime modificazioni che sono dovute
alla circostanza che ora alla quantità ivi indicata con y.{y.s) nella
seconda somma è sostituita 1' altra a(as) o(as) ec, ) si troverà
ancora che l'integrale / 0!.{x) ^[x) z{x ^ h) d x dipendentemente
da £ sarà minore di quel numero che più ci piace dopo che h
sarà divenuto abbastanza grande. Lo stesso poi accadrà se
essendo anche a.{x) della forma a{x) = Pq{x) oìq{x) , con Po(^^)
priva di oscillazioni, e tóy(j?) sempre finito, saranno soddisfatte
per [jq{x) e o)Q(.r) le condizioni poste ora per p{x) e w(.r) ; e
collo spezzare ove occorra le stesse somme, e col ripetere i
ragionamenti del §. 3G. si vedrà che lo stesso pure accade se
le funzioni qui indicate con ,o(.r) e tiì{x) o le altre po(-^) e oìq{x)
invece che alle condizioni che ora si avevano soddisfano all'altra
che le quantità X o À siano atte alla integrazione fra s, e
(1) (0
i {0<^=i<Cz) e i prodotti pO^) X , o Po(-z^) X restino atti all'in-
(0 co,
tegrazione fra 0 e = anche ridotti ai loro valori assoluti.
Similmente si osservi che se a{x) soddisfarà ad una qual-
siasi delle varie condizioni ora ricordate, e essendo ancora
,3(.^)=p(./') to(.r), con [.{x) finito e privo di oscillazioni fra 0 e e.
86
1 r
l'integrale, 1 i.o{.v)dx sani finito fra 0 e s e l'altro
ove e, ,y2i-''r» soddisfano alle condizioni poste in principio
del paragrafo precedente, sarà tale che la sua derivata «" o
l'estremo oscillatorio 7*"^ della sua derivata («—!)" inoltipli-
cato per =-^^ — i-LJ^ l- resti atto alla integrazione anche
^ X °
ridotto ai suoi valori assoluti, allora la formola del paragrafo
precedente :
[^{x) ^{x)^ {X , h) dx = V / a(,r) ^.(,r) P, f ») '^{x , 70 dx +
+ / <^) K-») 'fi 'fa - 'inf'^ 'f(-^' 1 '0^^-^,
coli' applicare agli integrali del secondo membro che compa-
»'-i
riscono sotto il segno \ i risultati ora ottenuti , ci mostra
u
che l'integrale / a.{x)'^{x)'t{x^h)dx^ dipendentemente da e, sarà
minore di quel numero che più ci piace dopo che h sarà dive-
nuto abbastanza grande; e lo stesso accadi-à se, avendosi anche
a(.r)=Po(a7) (j)q(x) con [jq{x) e ^^(.r) analoghe alle {j{x) e o)(.r)
precedenti, queste funzioni [j^x) e ^>i^|s.x) soddisfaranno alle stesse
condizioni delle p(.r) e to(.r), perchè allora ogni termine della
somma del secondo membro della formola precedente potrà,
trasformarsi colla equazione:
/ a(^) Ka?)P. t^ ^{x , h)dx =y! / Po(^) Q.' Yo^''^p(^') P* 7^'^ ^i^.m
JO u Jo
i)dx-\-
+y^K'^) P.S' r Po('^) 'h 'h • • 'h>' T,/"'^ 'f(-^^ , /' ) f^-'^,
87
ove «{^, , ó, ,.., '{>„'_| , Qs', 7q<*'^ sono le funzioni analoghe alle
'fi l 'f -2 1 • • l 'f " ' P»! T^*^ relative ora alla funzione a(a'); e in questa
equazione gli integrali che compariscono nella somma V han-
1
no per limite zero per /«=oo per la ragione che le funzioni
che vi figurano a moltiplicare il z{x Jì) soddisfano alla terza
delle condizioni indicate poc' anzi, e l'ultimo integrale ha -pure
per limite zero per A=oo , perchè il prodotto {j{x) P^ ^"^ per
x=-{-0 ha per limite zero, e l'altro — — xì " ' y» — resta
atto alla integrazione anche ridotto ai suoi valori assoluti.
Un ugual risultato si ha se a(.r) soddisfa alla condizione
del §. 27, quella cioè che il quoziente ^-^ sia atto all' inte-
grazione anche ridotto ai suoi valori assoluti; e anzi allora non
vi è neppure bisogno di porre per %x) altra condizione all' in-
fuori di quella di essere sempre finita: dunque riassumendo ora,
coir osservare che se f{x) e F(j;) sono due funzioni tali che si
abbia;
f{^) = /"C+O) + o.{x) , F(.r) = F(+0) + ^{x) ,
ove a.{x) e p(.r) per x = -\- Q hanno per limite zero , sarà :
f{x) r(.r) = /•(+0) F(+0) + F(+0) a.{x) + /•(+0) 'p{x)^a{x) ^.{x) ,
si può ora evidentemente concludere che „ se la funzione f{x)
„ fra 0 e £ è finita e atta alla integrazione e /"(-|-0) ha un
ji significato, ad essa sarà applicabile la formola (6) tutte le
„ volte che soddisfi ad una delle condizioni seguenti:
„ L di non fare oscillazioni fra 0 e s;
„ II. che il rapporto incrementale destro di
j> A^) pel punto x==0 resti atto alla integrazione negli intor-
„ ni a destra del punto zero anche ridotto ai suoi valori
„ assoluti;
„ IH. che per s abbastanza piccolo in ogni intervallo S
fra 0 e e che non termini al punto zero sia D^ <:^ e 5, o sia
^ 0
88
, D^ log 5 <^a, essendo D roscillazione in questo iiitervallo, ó
, un numero finito, e 3 un numero positivo piccolo a piacere;
„ IV. che essendo /"(.r) —/(-[- 0) = a(.r) = p(.T) o)(x), con
, o(.r) privo di oscillazioni fra 0 e e e co(.t) continua fra 0 e £
, ( 0 al più esci.) e sempre finita, sia lini ,c(./') .r À ==^0, es-
, aendo X l'estremo oscillatorio di (o;
(0
„ Y. che essendo ancora f{x) —f{-\-0) = a.{x)=p{x) itì(x)i
, con f,(.r) e o)(r) dotate delle proprietà ora indicate, ma
, senza che il prodotto r,{x) x X abbia per limite zero per
0)
■f=-f-0, si trovi che À si scompone in due fattori [j.(a')i '^i'^)
il primo dei quali [x(x") è tale che (j{x) |j.(.r) ha per limite zero
per x=-\-0^ e il secondo v(.r), oltre a crescere indefinitamente
senza oscillare quando x tende a zero, ha un estremo oscil-
latorio atto all' integrazione fra e, e e essendo ()<C=i<^^^
gode della proprietà che x v(.t) col tendere a zero di x non
va decrescendo, e se y(.r) è una funzione che per x diverso
da zero fra 0 e £ ha per derivata p(.r)/(.r), il pr-tdotto
a(.r) y(.r) per j; = -|- 0 ha un limite determinato e finito ;
talché se a(x) non tende a zero con x il prodotto ^{x) \i{x)
dovrà essere atto alla integrazione fra 0 e e;
„ VI. che essendo ancora /"(.r) — /"(+0)=,o(j)w(j), con ,c(.r)
privo di oscillazioni fra 0 e s, e (tì{x) continuo, almeno fuori
del punto zero, e sempre inferiore a un numero finito, X sia
co
atto all'integrazione fra Sj e s con 0<C^i<C-i 6 la funzione
f:,(.r) X sia atta all' integrazione fra 0 e s anche ridotta ai
(0
valori assoluti ;
„ VII. che finalmente essendo sempre f{x) — f{-\-0) =
= (j{x) o){x), con (j{x) privo di oscillazioni fra 0 e =, e (.o{x)
qualunque purché atto alla integrazione, e 'fi,'f2,..,'f„ soddi-
sfacendo alle condizioni poste in principio del paragrafo pre-
1 /"''
cedente, l' integrale— / oì{x)dx fra 0 e a sia sempre numerica-
«9
„ mente inferiore a un nnmero finito , e V altro
1 f'"-' dx r-^ r''dx p
^ Y(-t')=~^ / / • • • I 1 ^'^{x)d X sia tale che la sua
„ derivata n" o 1' estremo oscillatorio y^"* della sua derivata
„ (« — !)" moltiplicato per - '^' ~ " ' ' ' " resti atto alla in-
f, tegrazione anche ridotto ai suci valori assoluti.
„ E se al tempo stesso la funzione F(.c) fra 0 e s è finita
„ e atta alla integrazione e F(-j-O) ha un significato, e soddisfa
, anch' essa ad una di queste condizioni , la formola (G), oltre
„ essere applicabile a ciascuna delle funzioni f{x) e Y{x) sepa-
„ ratamente, si applicherà anche al loro prodotto /"(.r) ¥{x) „ .
Per abbreviare , le condizioni suindicate saranno da noi
qualificate coi nomi di condizione I, II, UT, IV, V, VI e VII
respettivamente; e come già notammo al §. 38. si può osservare
che alla condizione VII potrebbe sostituirsi V altra che il pro-
dotto [■-'(J^)'fi tpj . . • 'f (1 Y*"^ soddisfacesse invece a una delle con-
dizioni I, III, IV, V 0 VI. Naturalmente poi la condizione VII
per r arbitrarietà che resta nelle funzioni 9^,'pji''/f" ® ^^^^
numero intero », che può essere anche grande a piacere, dà
luogo a molte condizioni speciali delle quali ora può tornare
utile r una ora 1' altra come si disse al §. 38 .
Per ciascuna poi .delle sette condizioni sopra enunciate
z{x , lì) dovrà sempre soddisfare a quelle speciali che via via
respettivamente le abbiamo imposte , e potremo sempre pren-
dere per '^{x , h) una funzione che soddisfi alle condizioni del
S. 32, e in particolare anche z{x . h) = ■ .
40. Merita inoltre di essere notato che tolti i casi in cui
f{x) soddisfa alla condizione I e VI o a quella parte della
condizione III che è espressa dalla formola D^<Ccò, in tutti
0
gli altri casi che ora abbiamo indicato, fra le varie condizioni
cui deve soddisfare '{■{xji) vi è sempre quella che il prodotto
xr£{x Ji) resti numericamente inferiore a un numero finito B pei
valori di x fra 0 e £ e per qualunque valore di h; e quando in
90
dati studi occorresse di toglier questa restrizione rispetto a
'^(.r , h) allora bisogna modificare alquanto le condizioni enun-
ciate sopra rispetto a fl-f).
Così per es., quando, invece di ;r^(r,^), resti finito e
V
inferiore a B soltanto il prodotto x rf{x , /t) con v^l, allora,
osservando che la somma ^ Dj / (pi{x ^h) dx considerata al
1 -'a,
e on ^ • r • n p r^-^ D/.B f i-. i_v\
§. 29. e mferiore a DhB j -^ , ovvero a f ^ ^ 1
si vede che alla condizione ITI. nella parte che è espressa dalla
V— 1
diseguaglianza D log 8<Ca bisogna sostituire l'altra D^ S <[3.
Similmente , riprendendo gli integrali
/ a(as)Xs(x — y.,) '^{x Ji) d X considerati al §. 30, si vede che
nel caso attuale la loro somma è numericamente inferiore a
—^ \ a.{(Xs) X^" cf.s f — ] ; e quindi si trova al modo stesso
che in questo caso alla condizione IV. lim p(x) x X =0, biso-
gna sostituire l'altra lim [.{x) x ~ X =0; e in modo simile
si potrebbero trasformare la condizione V e la Vlf.
Può darsi poi ( e ciò accade per es. per gli sviluppi in
funzioni sferiche) che (p(x , A), oltre a portare un fattore che
cresce indefinitamente all'impiccolire di a;, come nel caso di
sen II X
's(xji)= , ne abbia uno che cresce indefinitamente con ho
' ^ sen X
con — ; e qui mi piace di accennare qualche cosa relativamente
al caso in cui 'f (x , h) è della forma '^^ ' ., ' , ove (pi{a.^)
diviene infinito con — in modo che il prodotto a^ ^iCocj) re-
01
sti finito, e cpgC^ , /*) è sempre inferiore a un numero finito B,
e del resto sono soddisfatte tutte le altre condizioni poste sopra
per rf{x , h).
In questo caso la somma V D^ / ff^{x ,h)dx considerata
1 '^«s
l_v 1— V
o a
X
al g. 29. e inferiore a —y^^ — ! ^j — e ì
Dh 'f j( «i) B ( log 0 — log e ) secondochè v è diverso da uno o
k
uguale ad uno; e quindi, ammesso che sia 'f i(ai) = — ]i ove
a,'
^•^ è inferiore a un numero finito Jc^ „ alla condizione III nella
„ parte D logS*^;^ dovranno evidentemente sostituirsi le altre
„ ^ < a quando v < 1; ,f < a quando v > 1; e
n \u^ <^ quando v=l , .
Riprendendo poi gli integrali / a(or.,) X, (j:— as)'f (r , 7i) (Z
del §. 30, si vedrà ora che la loro somma è numericamente
inferiore a x— ^ Y ir ovvero
2a/ ^ «s
_ ^—'^
^ Bp^o V a(a,) X^s CT^ (a,+, — a*), e se t^- < 1 essa sarà
2 i a/
anche inferiore a ^£^<l y a( a,) X^ a^ (a.+j— a^), ovve-
^ Y
ro a f— ^ essendo M il massimo valore assoluto di
u
ì—'t^—'-'
a(a») X^s «s ; talché ripetendo i ragionamenti del §. 30 si
vedrà che in questo caso di ^{'(oci) = — «: con |j. < 1, ec. „ alla
02
coudizione IV può sostituirsi V altra che „ il prodotto
. rAx) X .r resti numericamente inferiore a un certo numero
„ finito, senza avere ora per 's{x , h) alcuna condizione rapporto
, alla serie \( - ) -. — In nlodo simile si trasformeranno le
„ condizioni V e VII.
41. Fin ora abbiamo ammesso che la funzione f{.v) da
Jfi-^) 'f(
noi considerata negli integrali / f{-r) '{.{.r,h)d.r fosse sempre
finita nell'intervallo di integrazione. Quando però 'f(a^ , /i) per
valori convenienti di a e h per es. positivi, soddisfa alle solite
condizioni :
e per h finito è sempre finita nelT intervallo nel quale si con-
sidera, è facile vedere che le formole:
(12) Um f{xys{x Ji)dx=0, \ìm f{x)'f{xJi)dx=Gf(-j-0),
continuano a susssistere anche quando f{x)j pur soddisfacendo
a tutte le altre condizioni che abbiamo posto respettivamente
per l'una e per Taltra delle formole stesse, cessa di soddisfare
a quella di mantenersi sempre finita, e diviene invece infinita
in un gruppo finito o infinito di punti di prima specie, purché
però essa resti atta alla integrazione anche riducendola alla
funzione f[{x) dei suoi valori assoluti, e purché nel caso della
seconda formola i punti d' infinito (* siano diversi dal punto
x=0.
Osserviamo infatti dapprima che, sotto queste ipotesi,
gli integrali 1 f{x)'^{xji)dx ^ I fx)'t{xji)dx avranno un si-
Ja Jo
(*) A scanso di equivoci ricordiamo che nei caso dei gruppi infiniti di prima
specie figurano come punti d'infinito anclie i punti-limiti del g:rui)po (m. 1. §. 218 ).
03
gnificato per ogni valore finito di h; e siccome supponiamo che
f{.T) non sia infinita per a'=0, se si pone:
/ f{.r) 's{x , h) (Ir =( / + / )f{xy^{x , h) dx,
si potrà sempre intendere di avere preso per a un numero
diverso da zero e compreso fra 0 e ò tale che fra 0 ed a non
cadano punti d'infinito di /"(r) , e allora l'integrale
I fi') -G^ 1 ^0 ^"^ s^'*^ precisamente come quelli considerati
nei paragrafi precedenti ; talché per dimostrare che nei casi
suindicati continuano a sussistere le formole (12) hasterà limi-
tarsi a studiare gli integrali della forma / f{x)'^[x ^h)dx^ ove
Ja
0<a<ò.
Considerando dunque l'integrale 1 f{x)'s{x^h)dx^ sup-
poniamo che se /"(r) diviene infinita in un gruppo di punti di
ordine v > 0 fra a eh {a e b incl.), essendo 0 <^ a < & , essa
resti atta alla integrazione anche riducendola alla funzione f^{x)
dei suoi valori assoluti; e valendosi del teorema del §. 13. im-
maginiamo racchiusi i punti d'infinito di f{x) e fi{x) in un nu-
mero finito d'intervalli z\ , é^, . ., é/,. . tali che la somma degli
integrali / fi{x)dx , / fi{x) dx,. .. estesi a questi intervalli
sia minore di quel numero che più ci piace 'j .
Allora se 'f^ è il limite superiore dei valori assoluti di
ff{x , h) per X compreso fra a e 6 ( a e h incl. ) e qualunque
grali / /'(J^)'f(.r,-
sia ^, ognuno degli integrali / f{x)'^[x,h)dx h numericamente
inferiore a 'f(, / /■,(.r) dx ( m. 1. §. 225), e ciuindi la loro som-
94
ma sarà inferiore in valore assoluto a 'fo 2 / A('*')^-^' ^ ^ ro "•
Tolti poi gli intervalli //, negli intervalli restanti (che saranno
in numero finito ) la funzione f{-v) è sempre finita, e pel teo-
rema
integrali /
del §. 22, gli integrali / f{x) '£(.r , h) d x estesi a questi
ultimi intervalli col crescere indefinito di h potranno rendersi
minori di quel numero che più ci piace; quindi evidentemente
può dirsi così dimostrato quanto volevamo .
, ... T , ,x senhx
Aggiungiamo che nel caso particolare di 'f(x,/t) ==■ -,
per questa dimostrazione e per la formola (5) del §. 23. si può
dire che se 0<;a<Cò<^\ si avrà in valore assoluto:
,.«v r^. ,sen/«.r, Apzl l{b—a) 1 i^.-p. , ^i f j- r m Ì
^ W ' ^ "^ sena; hsena h sen ^ a sen a r — ^ ' ^ / . ' '^ ' \
essendo X il limite superiore dei valori assoluti di /"(.r) negli
intervalli ^, , £3 . . . che restano in {a , h) dopo di aver tolti gli
intervalli i/, e 2^ il numero degli intervalli in cui bisogna scom-
porre gli stessi intervalli £, , £3 . • . quando si vuole che la
somma corrispondente V o^ D^ sia minore di quel numero che
più ci piace 0.
Inoltre aggiungiamo che se i punti d' infinito di /(r) fra
a oh sono in numero finito, e la funzione '^{x,Ji) anche col
crescere indefinito di h fk sempre soltanto un numero di oscilla-
zioni fra a e b non superiore a un numero finito ( il che però
non si verifica quando 'i(x , h) = ), allora non è neces-
' sen X J
sario porre la condizione che f{x) resti atta alla integrazione
anche ridotta ai suoi valori assoluti; perchè se il numero delle
oscillazioni di 'f (r , lì) h& a e b non è mai superiore a p, ap-
plicando il teorema del §. 207 del mio libro a ciascuno degli
95
integrali definiti singolari relativi ai punti d' infinito , e poi
passando alla considerazione dei contributi corrispondenti
/ , / ... si vede che ciascuno di questi integrali
può rendersi minore di 4 /J 9 a ,. quando si prendano s^ , £0, . . ;
z\ , e'j 1 • • Jn mo(]o che gli integrali definiti singolari
f{r)dx , / f{.r) dx ^ . .ove 0 <iE^ «Cs^ , 0<iò\ <s/ , . . . siano
numericamente inferiori a a .
42. Dobbiamo pure avvertire che la proprietà dimostrata
nel paragrafo precedente pel caso particolarissimo di
^(^xji)= , e di un numero finito di punti d'infinito di
f{x) fra. a e b fu data da Dirichlet; né il suo lavoro portava
che egli dovesse occuparsi del caso di un numero infinito di
punti d'infinito, poiché egli considerava soltanto le funzioni
che in un intervallo dato fanno un numero finito di oscillazio-
ni, e in queste evidentemente • il numero dei punti d' infinito
non può ess re che finito. Nel caso di Dirichlet poi non vi
era bisogno di porre la condizione che f{x) restasse atta alla
integrazione anche riducendola ai suoi valori assoluti, poiché,
come è noto, questa condizione porta una restrizione soltanto
rispetto ai valori che la funzione prende negli intorni dei
punti d' infinito { ra. 1. §. 225 ) ed é sempre verificata nel
caso di Dirichlet, perché la funzione /(.r), avendo un numero
finito di oscillazioni, negli intorni di quei punti finisce per avere
sempre lo stesso segno, 0 tutt' al più il cangiamento di segno
avviene passando dall' intorno a destra a quello a sinistra.
Pel caso poi delle funzioni '^{x , h) generali la proprietà
dimostrata nella prima parte del paragrafo precedente fu data
la prima volta dal Du Bois-Reymond per un numero finito di
punti d' infinito di f{x), e accennata da lui anche pel caso di
nn numero infinito di punti d' infinito di f{x) .
D. 7
96
IV. Applicazione dei risultati precedenti
agli sviluppi in serie di Tourier.
43. I risultati generali che abbiamo ottenuto conducono a
molte serie e a molti integrali atti a rappresentare analiticamente
funzioni di una variabile reale date arbitrariamente in certi
intervalli, come mostreremo diffusamente nel capitolo seguente.
Ora troviamo utile di incominciare coir applicare i risultati
medesimi al caso particolare di z[x , h) = , mostrando
sen X
così intanto come essi conducano a trovare i casi piìi notevoli
nei quali la serie di Fourier:
1 °°
2
\
ove:
(2)
1 f'' 1 r^
a„ "= - I f{^) cos n X d x., b„ = — 1 f{x) sen n x d x,
può servire a darci il valore della funzione /'(a;) o il valore me-
^.^ f^r±0)±f{x-0)^
Ricordiamo perciò che, come già trovammo, la somma A„
dei primi n-\-l termini di questa serie pel valore a di a; è:
2 "-fi.
sen — ^ — {x — a)
A». = s^ / /'(^) 1 dx ,
sen - (x — a)
'"=èj3:
e quindi ponendo x — a = 2?/, e 2 w-j-l = A, si ha;
z — a
' J --ti. sen ;/ "./o '^^n 'J
97
o anche cambiando y in — // nel primo integrale:
:r-j-a > :r — a
1- / V r. sSen /j // , , 1 / ^, , ^ . sen hy ^
A.. = - / /a— 2 y ^ (Zy +- / /•a+2 (/) ^^ dy;
-7q'' -''sen// -^ ttJq^^ ^ ■'' seny ^'
e nel caso particolare in cui sia a=:r o a= — tt, uno dei due
intei^rali che qui compariscono verrà a mancare e l' altro si
ridurrà fra 0 e -.
Ora ammettendo per es. che ot sia nullo o positivo, ma
inferiore a ~, e indicando con t] un numero piccolissimo infe-
TT — a
riore a — ~ , si potrà scrivere evidentemente:
;r-|-a
+^i/+/ '\<^>^^y^
mi ' )
o anche:
A.=:£v-2,)+«.+2,)r-^^.,+ri-2.)'^^..+
2~
//■
2
e quindi per trovare il limite di A„ per n=cc o per h=co ,
ba:iterà esaminare i varii integrali che compariscono nel secon-
do membro di questa formola.
Ma ammesso, come è naturale, che la funzione f{.T) sia
atta alla integrazione fra — tt e ;:, e ammesso inoltre che se
98
diviene infinita in un gruppo finito o infinito di punti di prima
specie in questo intervallo es-a resti atta alla integrazione an-
che riduceiidola ai suoi valori assoluti , basta applicare la se-
conda delle formole (12) del capitolo precedente per concludere
subito che il secondo e terzo degli integrali che qui compari-
scono hanno per limite zero per h =oc .
Il quarto integrale poi mancherà evidentemente se a=0;
e se a^O col cambiarvi // in i: — y, e coll'osservare che h è un
*^~— a
~2~
ì zero; quind
J ' sen h u
\^f{a-\- 2 }/)-{- f{ci. — 2y) | '- d y
0 "
sen lì' y
numero dispari si ridurrà all'altro / /Ta — 2 ;: 4- 2 ?/) — d y
^ ' \ ' ' seny -^
~2~
che per h=x ha pure per limite zero; quindi tutto si riduce
^' sen h y
'0
nel quale figurano soltanto i valori di f{x) nei punti di un
intorno piccolissimo (a — 2 yj , 7.-j-2 Tj) del punto a che si con-
sidera; talché, osservando ora che un ugual risultato si trova
quando a è negativo o nullo e differisce da — r, noi possiamo
affermare intanto che quando f{x) è atta alla integrazione fra
— r. e ~, e se diviene infinita in un gruppo finito o infinito di
punti di prima specie in questo intervallo resta atta alla inte-
grazione anche riducendola ai valori assoluti, la somma della
serie (1) pel valore a di r compreso fra — tt e :: ( gli estremi
ora al più esci. ) dipende soltanto dal modo di comportarsi di f{x)
in un intorno comunque piccolo a destra e a sinistra del punto
7.. ed è il limite per A==gc dell' integrale:
^..,+2y) + A«-2,)ì^^i,,
quando questo limite esiste.
Se poi a=::, allora avendosi:
A„= 1 /■;(._2,)?^i^^^v= ( [\ r'W-2yf^^dy,
2
ovvero cambiando y in n— -// nel .secondo integrale, ce.
f !rtt-2y)+A-t4''Ì!/)t dy,
Jfì
•2
"n
si vede che la somma della serie sarà il limite per /«=oc del-
l' integrale
e lo stesso accadrà anche per a= — ;r, talché pei punti estre-
mi +;: la somma della serie viene a dipendere soltanto dal
modo di comportarsi della funzione f{x) negli intorni di ambe-
due questi punti nello stesso tempo, e anche se vuoisi nell' in-
torno di quello soltanto che si considera di questi punti, quando
s'intenda che la funzione f[x) sia continuata in alcuni intorni
a sinistra di — - e a destra di z con una funzione che riprende
gli stessi valori della funzione data f{x) in punti distanti da x
di multipli di 2 tc, per modo cioè che la funzione stessa risulti
periodica e col periodo 2~.
In ogni caso adunque la convergenza, divergenza o inde-
terminazione della serie di Fourier pel valore a di x viene a
dipendere dal modo di comportarsi dell'integrale
^/ 1 A^' + 2 t/) + A'^- — 2 y) ; ~^^y^ 0^6 ^ è "" numero
fisso ma piccolo ad arbitrio, quando s' intenda, onde compren-
dere i punti estremi a= +~, che la funzione sia continuata in
piccoli intorni anche al disopra di t: e al disotto di — - con una
funzione periodica con quella data e avente per periodo 2 ::; e
propriamente se questo integrale ha un limite determinato e
finito per /i=x la serie di Fourier pel valore a di x è con-
100
verf^ente e ha per somma questo limite: mentre se lo stesso
integrale è indeterminato o è infinito la serie stessa è pure
indeterminata o è infinita. — E poiché questo integrale, essen-
f „ . sen hx
f\x) d J?, e caso par-
r^ ...
ticolare di quello / f{x)'f{x^h)dx che noi abbiamo studiato
^0
nei paragrafi precedenti, basterà ricordare i risultati ottenuti
per quest' ult'mo integrale onde avere subito dei casi in cui la
serie di Fourier considerata per un valore qualunque a di a;
fra — z e t: ( — ~ e ~ incl.) è convergente e di essa si conosce
la somma .
44. E difatti, intendendo sempre nei teoremi che ora enun-
cieremo che la nostra funzione /"(') sia atta alla integrazione
fra — ~ e ~, e se è infinita si mantenga atta alla integrazione
anche riducendola ai suoi valori assoluti; e intendendo inoltre
( onde comprendere nei nostri enunciati il caso in cui a sia
uguale a +-) che questa funzione f{r) sia continuata in piccoli
intorni anche al di.sopra di - e al disotto di — :: con una fun-
zione periodica con quella data e avente per periodo 2 ;r, ba-
sterà applicare alcuni dei più semplici fra i risultati generali
ottenuti nel capitolo precedente agli integrali
- / f{o.—2y) '^-dtj , - / Aa-f 2 v) d >i considerati
separatamente, o all'altro _ / \f{y.— 2ij)-\-f{a.--\-2ìj)\- dij,
per giungere subito ad enunciare i teoremi seguenti :
I. „ Se in un piccolo intorno (a — -q , a-f-'^j) del punto a
„ la funzione f{x) è sempre finita e non fa un numero infinito
„ di oscillazioni, la serie di Fourier (1) per a:=a è convergente
„ e ha per somma — '- — — , per modo che se nel punto a.
dà
„ f{x) è continua la somma della serie stessa sarà precisamente
ini
■' il valore f{x) della funzione. S'intende che in questo caso
, /l^a-fO) e /"(a — 0 hanno certamente un significato ,.
E „ se, qualunque sia il modo di comportarsi di f{x) negli
, intorni del punto a, la funzione V{t)=f{y.-]-t) -\- fiy.— t) per t
„ compreso fra 0 e r^ è finita e non fa un numero infinito di
, oscillazioni, allora la serie di Fourier per x=a. sarà ancora
, convergente, e la sua somma sarà f__r\— — ' ~-^ -, e
, quindi sarà ancora T ^^^^^ ^® ^°^^® ^^^
, f{a-\-0) e f{y. — 0) hanno un valore determinato e finito „.
, Lo stesso poi accadrà se f{x) sarà continua nei punti
, di intorni a destra o a sinistra di a, e farà un numero infi-
, nito di oscillazioni in uno o in tutti e due questi intorni
, (infiniti massimi e minimi), purché però i massimi e minimi
, vengano a sparire in f{x) o in F{t) coli' aggiungervi una
, conveniente funzione di primo grado, ec. „ .
II. „ Se nell'intorno del punto a la funzione f(x) è finita e in a
^ ha tutt' al più una discontinuità di prima specie, ma conside-
„ rando separatamente gii intorni a destra e quelli a sinistra di a
, e intendendo ogni volta ristabilita la continuità nel punto a,
, si trova che in questo punto i rapporti incrementali destri
. — e cosi quelli sinistri f
t ^ —t
„ sono sempre inferiori a un numero finito, o almeno se cre-
„ scendo indefinitamente restano atti alla integrazione rispetto
, a ^ anche ridotti ai loro valori assoluti , allora la serie di
„ Fourier per x = a sarà convergente e avrà per somma
/•(a+Q) + /-(a-0)
2
Più generalmente „ se per ^=0 la funzione F(^) =/'(a-|-^)-f-
, -|-/(a— ^) sarà continua o avrà tutt'al più una discontinuità
. di prima specie, per modo che il limite di ({^.-{-t) -\- f{a. — t)
y, per ^=0 sia determinato e finito, la serie di Fourier per a?:=a
lim Ao+O + /"(a-O
, sarà convergente e avrà per somma ^_^q —^
lui'
, quando il rapporto iucreraentale destro di f{'x-\ t) -\- f{^—t),
, cioè ' — " ^-^ sia sempre in-
, feriore a un numero finito, o almeno resti atto all'integra-
, zione anche ridotto ai suoi valori assoluti „.
E così in particolare „ se f{x) sarà finita e continua nel
, punto a, la serie di Fourier per j;=a sarà convergente e avrà
f(y.Jf-t) - 2 /"(a) + /(a— 0
, per somma f{x) quando il rapporto
, non cresce indefinitamente col diminuire indefinitamente di
, ^, 0 almeno resta atto alla integrazione anche ridotto ai va-
„ lori assoluti „.
Né può lasciarsi di osservare che questo rapnorto non è
altro che la differenza dei rapporti incrementali destri e sinistri
/•(a+O - /"(a) f{'x—t)—f{a.) ,..,,, , , .
— — — -^ •, -^ 7 — -^ di /(r) nel punto a per valori
uguali di t\ e in consepfuenza del teorema ora enunciato si può
anche dire in particolare che „ se gli estremi oscillatorii dei rap-
, porti incrementali destri e sinistri di /(r) presi nel punto a,
y, 0 almeno quelli destri di /"(a-j-^ + /l^- — 0 presi nel punto
^ f=0, saranno ^finiti, allora la serie di Fourier corrisponden-
, te per X:^=a sarà convergente , e avrà per somma
lim /•(q-fO+Z^g-O
" ^=0 2
III. , Se la funzione f{r) in un intorno (a— r; , a+'Z]) del
, punto a è sempre finita, ed è continua per tutto, tranne
, tutt' al più nel punto a ove può avere una discontinuità ordi-
, naria, e se indicando con z un numero positivo arbitrariamente
„ piccolo e con D ^ le oscillazioni che essa fa in ogni inter-
, vallo 0 preso in questo intorno cui non appartenga il punto
„ a si ha D^log o<C,^i la serie di Fourier per .r=a sarà
ó
» convergente e avrà per somma ^ .
„ Un ugual risultato si ha pel caso in cui queste condi-
y, zioni anziché per la funzione f{x) sono soddisfatte per la
103
, funzione F{t) = /'(a-f O+A"' — 0 ^^ ^^ intorno (0 , r^) a destra
, del punto t=0 .
IV. „ Se la funzione /"(j:) in un intorno (a — r^ , a-j-iQ) del
, punto a è sempre finita ed è continua per tutto tranne
, tutt' al più nel punto a stesso ove può avere una disconti-
, nuità ordinaria, e se il prodotto di x - a per le sue derivate
, 0 per gli estremi oscillatorii dei suoi rapporti incrementali
, considerati nei punti dello stesso intorno fuori di a ha per
, limite zero per a:=a, la serie di Fourier per x=% sarà
, convergente e avrà per somma ^ , .
. Ugual risultato si ha pel caso più generale in cui questa
, condizione è sod disfatta per la solita fun ione i(0'^=/(^'i'0~t~
„ -(-/"(a-f-O nell'i ntoruo a destra del punto /=0, e così in parti-
, colare si può dire che„ se nei punti diversi da a delTintorno
, (a — Y] , a+r,) di a la funzione f{x) ha una derivata determinata
, e finita, e l'altra /"(a+/) -|- /ì[a— i) per f=0,ha un limite
„ determinato anch' esso e finito , basterà che il prodotto
„ t[f{'y.-\-t) — f{y.—t)] abbia per limite zero per t=^0 per
, potere assicurare che la serie di Fourier è convergente per
, lim /■(a+0 + «r-0
, a'=a e ha per somma /__q^ ^ « •
Invece poi di queste condizioni basterebbe anche che fos-
sero soddisfatte le altre che „ essendo f{'y.-\-t)=f{oi-{-0)-{- p(Oti»(0»
, e /ì;a-0 = /"(a-0) + h(0«(0, o F(0 = Hm [ /"(a+O +
, +/'(a— 0] + l-2Ìt)^h{t\ le funzioni [.{t) e p^(0, o l'altra o^it)
, nell'intorno del punto ^=0 a destra non facessero oscillazio-
„ ni, e le funzioni (i)(0 e a)i(0, o l'altra {i)„(<) fossero sempre
, fi-lite e tali che i prodotti r.{t)tK , e ri{t)tX o l'altro
, rjs{t)t\ avessero per limite zero per t = -fO, essendo
OÌ.Ì
, X , X e X estremi oscillatorii relativi a oi , o), , Wo „ .
co Oij Wj
V, Similmente , se f{x) avrà una derivata determinata e
„ finita fuori de! punto a, e fia-\-t) + f{a—t) per ^=0 avrà
, un limite pure determinato e finito L, ma i limiti di t f'{a-\-t)
104
e t f'{a — 0 0 quello di t[f'{a-\-t)—f'{a—t)] non saranno lo
zero, allora perchè la serie di Fonrier sia ancora convergente
per .r=a e abbia per somma L basterà che fra 0 e y] (t]>0)
ciascuna delle funzioni f{a-\-t)ef ia — 0 o la loro differenza
/■(a-fO — fi'^ — 0 si scomponga nel prodotto tJ.(^ v(0 di
due funzioni V una delle quali \s.{t) tende a zero con t e
1' altra v(0 cresce indefinitamente senza oscillare, e ha una
derivata o un estremo oscillatorio atto alla integrazione
fra ■/]! e 7] {0<yt\ <^ft), mentre t v(0 ftl tendere a zero di t
non va decrescendo, e i due prodotti [/"(^-fO — /(^•■|"^)]WOi
[/•(a-O-A^-0)]v(n 0 l'unico [/"(a+O-f A^^-O -L]v(0
sono atti air integrazione fra 0 e 7j , .
E anche qui piìi in generale può dirsi che „ se, essendo
ancora come nei casi precedenti f{'y--\-t)=f{<^.^0)-{-jj{t) (ù{t\
e /•(a-0=/'(^-0)+ h (0^1(0 o F(0=^^^o i A« + 0 +
-|-/(a — t) j -\- fyjvO ^■2Ì^) 5 iii^ii saremo nel caso IV, ma però
per es. per la rjjj) a).,(/) , (iì^{t) sarà tale che X si scom-
porrà nel prodotto \!{t) .{i) di due funzioni che soddisfano
alla condizione V. del §. 39, allora la serie di Fourier cor-
rispondente per x='i. sarà ancora convergente e avrà per
lim /■(g+O+Z'Ca-O
somma , ^ -r .
VI. „ Se poi la funzione f{x) nell' intorno (a — -q , a-{-7])
del punto a avrà un estremo oscillatorio che quand'anche di-
venga infinito in punti fuori di a ma vicini quanto si vuole
ad a, è atto all' integrazione anche ridotto ai suoi valori
assoluti tanto negli intorni a destra che in quelli a sinistra,
allora per x=7. la serie di Fourier sarà ancora convergente
e avrà per somma — ^ — ' ' ^ , .
dà
„ E al solito se /"(a-f/) =/"(«+ 0) -f- [:(Otó(0 , /"(a— 0 =
=/"(a— 0)-j-f,,(Owi(0> basterà che X e X siano atti all'm-
tegrazione fra r^^ e •/; (0<Trj,<;rj), e le funzioni [.{(% if/jCO^
105
, lo siano fra 0 e tj anche riducendole ai loro valori assoluti;
, 0 se si avrà F(0 = lini ^l^^^-ii^^H^-f r.,(^) oi,{t), basterà
a che X sia atta alla integrazione fra '/], e r,, e p.i{t)\ sia atta
, all'integrazione fra 0 e ■/] anche ridotta ai valori assoluti „.
VII. „ Similmente se, essendo 'f, ,'f2,.., 'f„, e ^{^| ,^|>2,.m^»i
„ funzioni che soddisfano alle condizioni del §. 38. i due
n integrali :
!-/>A-^-./?/[«=-+0-/(.+o)].«,
0 f»«-i./0 ^"-2 «/Q ^1*^0
0 — Aa-0)](/<
^ "' ^^ rf^
j_ / ' dt
, sono tali che le loro derivate n* o n\ o gli estrerai oscil-
, latorii delle loro ferivate {n—Vf o {n — 1)* moltiplicati re-
„ spettivamente per ^^ ^-' " '^" ^Vi Y2 • ♦ • V» ^.g^tino atti all'in-
* r
„ tegrazione anche ridotti ai valori assoluti, la serie di Fourier
„ sarà ancora convergente per x=y. e avrà per somma
/•(g+O) + A^-Q)
2
E al solito anche questa condizione potrebbe invece
enunciarsi per la funzone ¥{t) o trasformarsi col supporre
fi<x-\-t) = /-(a-f 0) -f f,(0 co(0, f{y.-t) = /"(a-Oj+piCO co,(0, ec,
come anche si potrebbe via via supporre che la funzione f{x) a
destra di a verificasse una delle condizioni qui enunciate, e
a sinistra ne veritìcasse un altra, te.
Queste condizioni, anche considerate soltanto a destra o
soltanto a sinistra del punto a, saranno dette condizioni
I, II, . . . , VII respettivamente.
45. Questi risultati che noi abbiamo dati soltanto pel
punto x^=y. si applicano naturalmente all' intiero intervallo
( — ;r, z) in cui è data la funzione f{x), quando in ogni punto
lOfì
di questo intervallo siano soddisfatte una o più delle condizioni
che n^'l paragrafo precedente abbiamo date come sufficienti pel
punto a stesso.
Così per es. iu forza della condizione I. si può dire che
, la serie di Fourier (1) ove i coefficienti cr„ e 6„ hanno i
, valori (2), rappresenta la funzione data f{r) in ogni punto x
„ fra — - e ~, dandoci però per suo valore nei punti a di discon-
,. ... ., , ,. /(a-}-0) + /-(a-0) . ,. , .
, tinnita il valor medio e nei punti estremi
„ ±:: il valo)e medio ~ , tutte le volte che
u
„ questa funzione f{x) fra — 7: e t: è sempre finita e fa soltanto
, un numero finito di oscillazioni „, per modo che in questo
caso (che è quello considerato da Dlricldel ) se /'(./) è anche
sempre continua, la somma della serie è f\x) in ogni punto x
interno all' intervallo ( - ti , tt), e nei punti estremi ± 7: è il
valore medio ^ fra i valori estremi .
Là
Lo stesso accade pei punti x fra — r. e ;: pei quali f{x)
è finita e soddisfa ad una qualsiasi delle altre condizioni II,
III . . . del paragrafo precedente, supposto al solito c'è sef{x)
diviene infinita fra — ~ e ;: in un gruppo finito o infinito di
punti di prima specie essa resti atta alla integrazione anche
ridotta ai suoi valori assoluti; ma fuori di questi casi, a meno
che circostdnze speciali non ci permettano di dire che lo svilup-
po di Fourier continua ancora a valere, non si potrà assicurar
nulla; e anzi, come già notammo al §. 7, si conoscono effetti-
vamenle anche delle funzioni che sebbene sempre finite e con-
tinue fra — ;r e z, almeno in dati punti non sono sviluppabili
in serie di Fourier.
Però s'intende bene che lo sviluppo di Fourier viene ap-
plicabile a classi estesissime di funzioni fra le quali figurano
tutte quelle che, almeno nello stato attuale della scienza, occorre
di considerare nelle applicazioni dell' analisi allo studio dei fe-
nomeni naturali; e oltre a ciò è degno di nota che, quando f{^)
è sempre finita e continua in una certa porzione (a , b) dell'in-
107
tervallo ( — r . r) , appogfriand^-si sulla condizione II del para-
grafo precedente, e facendo astrazione dal caso singolarissimo
in cui gli estremi oscillatorii dei rapporti incrementali della
funzione f{x) fossero sempre -|-co o — oo in ogni punto della
stessa porzione [a , h) alm-no da una parte, si può affermare
che in qupsta porzione vi saranno sempre dei punti nei quali
la sf-rie di Fourier è convergente e ha per somma la funzione
stessa f{x)\ poiché potrà esservi incertezza pei punti nei quali
uno almeno di questi estremi oscillatorii ( destri o sinistri ) è
infinito, ma negli altri punti la serie stessa sarà sempre con-
vergente e avrà per somma f{x).
46. Ciò premesso, noi possiamo dunque affermare che se
f{x) è una funzione che fra — - e ~ è atta alla integrazione
ed è sempre finita, o se diviene infinita in un gruppo finito o
infinito di punti di prima specie, resta atta alla integrazione
anche riducendola ai suoi valori assoluti, la formola di Fourier:
1 =^
(3) f{x) == ^ ffo + V ( a„ cos « X + è„ sen n x),
ove ;
'TT
1 / '^ 1 y "
(4) a„ = — / /"(.r) cos X' e? J? , è„ = — / f{x) sen nxdx ^
sussisterà per tutti i punti x fra — z e t: ( — z e z inclus.)
pei quali sono soddisfatte le condizioni dei paragrafi precedenti,
salvo però a intendere sempre che in quelli fra questi punti x
pei quali f{x) è discon inua, pel valore di f{x) che figura al
primo membro deve prendersi — ' , o il limite per
f{x-\-t\-X- f(x t)
t=0 di T^ ' ; e pei punti estremi ± t: ( quando
questi punti siano fra quelli da considerarsi), il primo mem-
bro deve mtendersi che sia ^ °
lim /T:-r-l-0-f/-(7c-0
^=^0 2 •
108
Ed è dpgno di nota che „ quando siano soddisfatte le con-
. dizioni d' integrabilità di f{-v) che ora alìbiamo indicate , la
, validità della forniola (3) per ogni punto speciale -v fra — k
, e - (±- incl.), "on dipenderà affatto dal modo di compnr-
, tarsi di /\.r) nei singoli punti fuori di .r, ma soltanto dal
, modo di comportarsi ài f{.v) negli intorni di quel punto a?,.
47. Aggiungeremo che, a causa della forma dei coeffi-
cienti a„ e h„, si vede subito che quando la funzione data f{.v)
per valori eguali e di segno contrario di J' ha lo stesso
valore, la serie di Fourier si riduce a una serie di coseni, cioè
si ha :
(5) f{^)=] «o+^i cos x-^a^ cos 2 x -|- • • +«h cos n x-\- . . . ,
ove :
2 T"
(6) rt». = - / f{x) cosn X dx,
e questa forraola vale per tutti i valori di x fra — t: e ;:
( — ;: e :r incl. ) pei quali sono soddisfatte le solite condizioni
dei paragrafi precedenti, e colle avvertenze fatte sopra rispetto
ai punti di discontinuità, e ai punti estrerai ± z, negli ultimi
dei quali ( quando ad essi la formola è applicabile) si ha per
somma della serie il valore f{z — 0) o f{ — :r-fO).
Se poi la funzione data /"(.r) per valori eguali e di segno
contrario di x prende valori uguali e di segno contrario, la
serie di Fourier si riduce a una serie di seni, e si ha :
(7) f{x) = b^ sen x -\- h^ sen 2 x -^ . . . -{-hnsenn x -\- . . . ,
con:
2 T"
(8) bn==— f{x) sen nx dx ^
' Jo
per tutti i valori di x che soddisfano alle solite condizioni fra
— z e z { — :: e r incl. ), e colle solite avvertenze rispetto ai
punti di discontinuità e ai punti estremi, negli ultimi dei quali
lOd
come nel punto x=0 la somma della serie viene sempre uguale
allo zero .
48. Si consirleri ora una funzione fra 0 e ~ che sia atta
alla integrazione e sia sempre finita, o se diviene infinita in un
gruppo di punti di prima sppcie resti atta alla integrazione
anche ridotta ai suoi valori assolati, e si immagini continuata
anche tra 0 e — ~ con una finizione qualunque dotata delle stesse
proprietà, e con una funzione che pel valore negativo — .r sia
uguale, o uguale e di segno contrario al valore della funzione data
nel punto a:, per modo da formare in questi ultimi casi una funzione
fra -re- per la quale si abbia /"( - .r)=/'(.x), o f{—x)= — /"(z").
Allora si avranno tre funzioni fi-a — t: e r. che nell'intervallo
da 0 a TT saranno uguali per tutto, e differiranno 1" una dal-
l' altra soltanto fra — z e 0; e queste funzioni considerate pei
valori di J? fra 0 e ~ ( 0 e 71 esclus. ) soddisfaranno o nò con-
temporaneamente alle condizioni che si richiedono per essere
sviluppabili colle forinole (3), (5) e (7), perchè queste condi-
zioni si riferiscono soltanto ai valori della funzione negli intorni
dei punti corrispondenti , Ne segue che pei valori di x fra 0
e z (gli estremi 0 e r: esclu-i) pei quali la funzione data soddisfa
a una delle condizioni del i^. 44, essa avrà ad un tempo le tre
espressioni analitiche distinte (3), '5) e (7); quindi evidentemente
può dirsi che una stessa funzione pei valori di -r fra 0 e :i
(0 e 71 al più ( sci.) pei quali è sviluppabile in serie di Fourier
può rappresentarsi ad un tempo per una serie di seni soltanto,
o per una serie di coseni soltanto, o per una serie di seni e
coseni; e evidentemente queste varie espressioni della stessa
funzione per tutti o per alcuni valori di a; fra 0 e r ( 0 e t:
esci. ), potranno anche servire a stabilire delle relazioni generali
per gli stessi valori di x nelle quali figurerà una funzione data
arbitrariamente fra 0 e tt, o fra 0 e — ti.
49. Aggiungiamo che se la funzione f{x) invece di essere
data fra — r: e ;: , è data fra due numeri qualunque a e ò fra
i quali è sempre finita o diviene infinita in un gruppo qua-
lunque di punti di prima specie, ma in modo allora che essa
resti atta alla integrazione anche riducendola ai valori assoluti.
Ilo
la serie di Fourier ci conduce subito a una espressione analitica
che vale per tutti quei valori di x fra « e 6 pei quali sono
soddisfatte le condizioni dei casi precedenti, e colle solite avver-
tenze rispetto a quelli fra questi punti che sono di disconti-
nuità e rispetto ai punti estremi a e b.
Osserviamo infatti che se si cangia la variabile x nella
variabile y con una equazione della forma // = a a; + p ,
1 2 71
ove a e ,i sono costanti , basterà prendere a = . ,
P = — — — V7 per far sì che la funzione f\x) , considera-
ta come una funzione 'f (//) = f ( I di y, possa riguar-
darsi come data per tutti i valori di ij da — z a :r; e allora
questa funzione z{i/), pei valori di y o di x che soddisfano alle
solite condizioni, e colle solite avvertenze rispetto ai punti di
discontinuità e ai punti estremi, si svilupperà secondo la for-
mola:
1 °°
?(y) = 9 «0 -h ]l ( «»• cos n y-{-bnsenny),
^ 1
con
1 /'^ 1 r
- / 'f (?/) cos nydy, b„ =- / 'f (,
On = - 'f(?/) cos nydy, b„ =— j '^{y) sen nydy;
talché introducendo nuovamente la variabile x colla formola di
trasformazione precedente, si troverà subito per x compreso
fra a e 6:
nt . 1 ,%( n::{2x—b—a) . , m:(2x—b—a)\
fi-) = 2 «0 + M a., cos ^-^ + b. sen—\-^—))
1
con :
2 r., , nz{2x-b-a), . 2 T*
mt(2x — b — e
Ili
ovvero :
-[ rh cy co rh Oji^(x—a)
*^a 1 "
0 anche infine :
*6
(10) /lr) = ^— ;S| -« iz:^j/(-)-«^i::a-^« +
2«7r.r A , 2«7ra )
+ sen -i / f (a) sen -7 "«li
colle solite condizioni rispetto ai valori di x pei quali si vuole
esser certi che questa formola sussiste, e colle solite avvertenze
rispetto ai punti di discontinuità e ai punti estremi a e b.
50. Supponendo ora in particolare nelle (9) e (10) a=0,
si ottengono le formole seguenti:
\r ^ 1 rJr ^ 7 , 2S r^ , 2«r(^-a) ,
(11) f^jr)=~J A(a)(Za+-2 cos— ^ / /"(a) cos — ^—da +
f 2nr.x r\ ^ 2n7ia ^ )
I _x, .■..^^ I ^^Q^^ sgn — « a S ,
che valgono pel caso che la funzione f{x) sia data arbitraria-
mente fra 0 e ò; e supponendo invece nelle (9) e (10) stesse
a = — 6, si ottengono le altre :
J l) I J Q
"5 1 00
I. Yi, 7r ./; I Tt.Trn
(12) f{^) = 2bj[f ^ "^ +r^ ( '^' ~b~J_[^^-^ '"^^ "r*^ "'■
-f- sen — - - / /(a) sen —7— « a [ ,
Ili?
che valgono pel caso delle funzioni date arbitrariamente fra
—h e b.
Supponendo inoltre in qnest' ultima formola f{ — (y.)=fict.)y
o f{ — ^) = — A')i ^^ ottengono anche le seguenti:
(13) f{x) = i Jfia) da.Jrl-S^ cos '^ f k^) cos -^ d a. ,
f^A\ ^ N 2 ^ nzx f'i «Tra
(14) f{x) = -V sen -j- j f{o.) sen -^- d a
e queste danno come le (11) e pei soliti valori di .r la espressione
analitica di una funzione f{x) data arbitrariamente fra 0 e 6,,
colla differenza però Jche mentre le (11) per dc=0 e x=b
( quando siano applicabili anche a questi valori di a? ) danna
per valore di f{x) il limite per ^=0 di 2^^(:^)^ \^ (13) per
a:=0 dà per valore di f[x) il limite lim^^^fc^ = lim f{t) =
Ci
lim /-(-O, e per x=h dà lim^^^~^^^-^^~^"^^^ == lim /(ò-0=
u
= lim /"( — &+O1 mentre la (14) per a;=0 e x=h dà per valore
di f{x) lo zero .
51. Nell'ipotesi dunque che la funzione data f{x) fra
0 e i sia la stessa in tutte le formole (11), (12), (13) e (14),
e anche nelle (9) e (10) quando a<:^ e il 6 di queste ultime
è superiore 0 uguale a quello delle altre, si hanno così varie
espressioni analitiche di questa funzione per tutti quei valori
di a; fra 0 e ft ( gli estremi 0 e b però ordinariamente esci. )
pei quali sono soddisfatte le solite condizioni dei paragrafi
precedenti; e questa particolarità, che già si presentò per le
serie (7) e (8) nel caso dell' intervallo (0 , :r), permette anche
di stabilire delle relazioni generali per qualunque funzione
f{x) quando r sia compreso fra 0 e ò , e siano soddisfatte
le solite condizioni .
È però da notare che fuori dell' intervallo (0 , h) nella
113
parte che resta deirintervallo originariamente considerato (a, 6),
o ( — b^h), le varie serie (che pure fra 0 e 6 pei soliti valori dia;
hanno tutte la stessa somma e servono a rappresentare la stessa
funzione) vengono ordinariamente ad avere somme differentissi-
me; ne potrebbe essere altrimenti, poiché, come vedremo in
seguito, ove questo non fosse, le serie considerate anziché
essere distinte sarebbero perfettamente le stesse.
52. Diamo ora alcune applicazioni dei risultati che abbia-
mo ottenuti .
1.*' Si voglia una funzione che sia uguale ad A fra
0 e TC, e sia uguale a — A fra 0 e — ~, e per .r^O sia uguale
ad A 0 ad un altro valore qualunque.
In questo caso la funzione essendo data fra — ~ e t:, la
serie corrispondente sarà un caso particolare della vera serie di
Fourier (1). Essa conterrà però soltanto i seni, per modo che
<» 2A r^
si ridurrà alla forma V 6„ sen « J", ove l>,t= / senìixdx]
e quindi sarà la seguente :
4A^sen(2n+l).r^
71 ^ 2n+l '
talché osservando che per x compreso fra 0 e ~ la somma
di questa serie è A, e per x fra 0 e — ~ è — A, si avranno
le formole seguenti :
( r. ^^ sen(2«+l)a: „ . ,^ , .
l -7-= Zi ^5 — 1\ per X fra 0 e t: ( 0 e ;: esci. ),
(15) ' ^'"^^
f _T. ^sen (2 «4-1)07
-f=S 9 7, per ^ fra 0 e -> (0 e -- esci.);
^ 4 j ^ H-j-i
e quindi facendo x = ~- e ^ = -j nella prima di queste for-
mole si avranno le altre
4 f 2n+l
oc ( }\n 1111
114
n
2v/2~ ^ 3 5 7^9^11 13 15
2.® Vogliasi una funzione che fra 0 e - sia uguale ad
X, e fra „ e 6 sia uguale a — .r .
In questo caso potremo applicare una qualunque delle
serie (11), (13) e (14).
Per applicare la (11) si osserva che in questo caso si ha:
6
'b o r2 n rb
et , 2 w 7c a , r^ 2 « TT a , /
/ net.) cos — '. — - a a.=^ ì cf. cos — r— » * — /
/•2 2ma, f^f f,\ ^"'("+2).
= ì cf. cos — f— w a — / a + o cos ~ a a
2 . (
2 M TT a ,
a cos — } — a a =
6 6
2 «Tt a'
f , sen — r-
'^ L2 M ;c 0
fe* [ 2«::a
H r— »^rl COS
4 n* TT^ Lq 6
= 0 per n pari ,
h-'
(2^ + 1)^71
j— :, per n dispari = 2 m -)- I •
Similmente si ha;
b
f{y.)cU
b^
rj 2n7ra
, / f (a) sen — 7 — act. = 0 per « pan ,
^0 ^
6-2
(2 m+l)7c
per n dispari =2m -\- 1^
e quindi infine si ha
115
, 2J.CCC0S 4-^ --oosen^ !r^ —
•i ^'Y (2m+l)2 ^ 71 0 2m+l '
per una prima espressione della attuale funzione f{.r).
In simil modo si troverebbe col mezzo delle (13) e (14)
per la stessa funzione f{ x) :
2(2m + l):ra;
(17) nx)=-'^\ b ^
4 TI- -f (2w-[-l)2 ^
(2 w + l)7r.r
2 7, 00 cos ^ ,
^ f ^ 2m+l '
2{2m-\-\)T:x
9 t co s en
(18) f{.v)^^S ^ +
(2 m+ 1)71 3; (2m+l)7ra:
^" r:" r2»24-n2 ;: 2(
4è2^ ( — !)"■ sen- =f-^ — 9 j 00 sen ^
0 (2m+l)2 :r f 2m-fl
e osservando che la formola (16) deve dare — ~ pel valore
di f[x) per x=0 , si ottiene la seguente :
^^^^ V=^ I (2m+l)- = ^ + 3-^' + 5^ + 7^+ • • • '
che si sarebbe ottenuta anche dalla (17) osservando che per
x=0 e x=^b essa deve dare respettivamente 0 e 6 per valori
di /"(.r), e avendo riguardo alla prima delle formole (15).
La stessa formola si trova anche coli' osservare che 'per
a:= -- tutte le formole precedenti devono dare 0 per valore
di f{x) .
Confrontando poi le stesse formole fra loro si trova che
llfì
per .r compreso ha 0 e h (0 q h esci.) si hanno varie rela-
zioni fra le quali è da notarsi la seguente :
^ sea ^ cos ;
che per b=K (0 e - allora esci. ) si riduce all'altra più semplice:
-^r, sen 2{2m-\-l)T ^ (—1)"» <^°^ (^ m-\-\)x
^ 2 ;»-f ì ~ ^ 2//?+l
3.^ Vogliasi ora una funzione che sia uguale ad x fra
0 e ò.
Le serie da applicarsi in questo caso saranno ancora le
(11), (13) e (14).
Per applicare la (11), si osserva che ora si ha:
rb rb 1-2
f^. . 2 n r.(x—oi) , f^ 2 mt (x-a.) ^
I ncf.) cos r da.=- l a cos \ d a.
Jo ^ Jo ^
-[ '
ba 2m: (x—a)! ^ , 6^ / 2 nrJx—a.)\b
sen ^ H-^^7^, cos- '^
2tn: b J 0 "^ *^^ ^^ \ ^ / 0
b^ 2«7r.r
= — H — ■ sen — ,
2n-!z b
e si trova così che la serie corrispondente è :
2nT. x
h__b_^^^''~b~
9 r-^
2 z^ n
In modo analogo, colla (13) e (14) si trovano le serie :
(2 n-f l)^ X , -, X 1 ni: X
b__ 4.-^^^°^ 1 2_b^^-^y '^'"^f"'
117
e quindi si conclncìe che pei valori di x fra 0 e h si hanno
le formole seguenti:
/ 2m:x
0 " V
'y. ir ^"
sen
b b =& ^'^'^ b
(2 n-\-l)i:x
(20) ( 6 _ 4J ^ ""^ 6
2 -^ ^ (2«+lf '
n z X
9 7) 00 sen — = — -
:-^2(-ir' — *-
la prima delle quali però non vale per .i'=0 ed x=b, mentre
la seconda vale anche per questi valori di x, e la terza vale
anche fra 0 e — b e per a:=r=.0, ma non per x = + 6 .
Supponendo ò=^- in queste formole, si ottengono le altre:
00 o
r „ sen z n x
2-^^ = 2 n '
1
, jt _ 4 52 cos^2n-H>
^"^^ 12 ^^f (2n+l/^ '
1 00
1 «-, -, s , sen n x
la prima delle quali vale per x compreso fra 0 e ~ ( 0 e tc
escl.)i la seconda vale per gli stessi valori di x, inclusi però
anche i valori 0 e ;:, e la terza vale per x compreso fra — ;c
e TT, ma esclusi i valori ±7r.
Le formole (20) e (21) conducono anch' esse ai valori di
TT 7C
-e — che trovammo sopra. Applicando poi alla seconda delle
(20) la integrazione definita fra 0 ed a? per x -^b (il che può
farsi sia perchè la serie compresa nel secondo membro è evi-
dentemente convergente in ugual grado fra 0 e ò, sia perchè,
come diremo in seguito, alle serie di Fourier è sempre appli-
cabile la integrazione definita), si ottiene la formola seguente:
US
(2n-hl)K.r
(22) 2 2 r^ if (2» + l)3 '
che vale pei valori di .r fra 0 e 6 (0 e h incl.), e questa con
una nuova integrazione definita darebbe altre formole notevoli.
Facendo in questa x == - si ottiene V altra :
■^ _% (-1)" _ 1 1 , 1_ 1
32""^(2«+lf 33 "^53 73 • • •
4.^ Vogliasi ora una funzione che sia uguale a zero per
tutti i valori di x fra — h e 6, tranne per quelli compresi fra
x' — ^ e -c'-f-?, pei quali sia uguale ad una costante A,
Le serie da applicarsi in questo caso sono le (12), e poi-
ché si ha ora:
A / drj. = 2 A ,3 ,
rh rr-
ì f{a) d'y.^A da
J—b Jx —
ri. nz{x-ci)^ f^'+?nz{x—a.)j Ab\ mt^ J^'+P
/ /Ta)cos 7 «a= / A cos 7 da= i sen 7- (x—a) \ =
Jlb ^ Jx'-^ ^ ^^^', ^ '^^'_p
A6 71 -;B n-
= 2 — sen — ~ cos —r- \x — x ) ,
iitl b b ' ^
sì trova che la serie che rappresenta 1' attuale funzione è la
seguente :
n :: 2 m: ,
AJ lA- sen-^cos-^(x-x)
Questa serie però per x=x — p e x-=x'A;-^ dà per valore della
funzione -^ .
S.** Vogliasi infine una funzione f{x) che fra 0 e ^^ aia
uguale ad x, e fra f, e 7: sia uguale a tì — x .
119
Applicando la (14) col farvi h~z si trova subito cogli
stessi processi che:
. 4(seii'" sen 3 j; san 5.r senlx )
^^''^-zl'V 3^~+ 5'^ 77- + - . -^
e questa foruiola vale per tutti i valori di ./■ fra 0 e ir ( 0 e
z iucl. ).
V. Altre forme analiticlie delle funzioni di una
variabile reale date arbitrariamente in un
certo intervallo.
53. Indicati i casi principali in cui una funzione f{x) data
arbitrariamente fra — - e tt o fra a e 6 è esprimibile analiti-
camente per serie di Fourier, noi dovremmo passare ad esporre
le proprietà principali di queste serie. Siccome però vi sono
anche espressioni analitiche più generali per le funzioni date
arbitrariamente fra a e b che qui pure vogliamo far conoscere,
e anche queste espressioni analitiche hanno molte delle pro-
prietà che dovremmo dimostrare per la serie di Fourier, noi
troviamo utile di dare prima queste nuove espressioni anali-
tiche delle funzioni che qui consideriamo; tanto più che esse
si ottengono con un metodo del tutto simile a quello che ci ha
condotto alla serie di Fourier, valendosi cioè dei risultati ge-
nerali ottenuti nel Capitolo III.
Riprendiamo perciò la solita funzione rf{x,h); ma per
avere la massima generalità , introduciamo anche una nuova
variabile a, considerando cioè la funzione (p{x , a , Ji„) ove le h»
sono numeri positivi che crescono indefinitamente insieme al nu-
mero intero e positivo w, e per la quale si ammetterà anche
che, se a e b' sono numeri qualunque diversi da zero, e dello
stesso segno, e compresi fra certi limiti che dipenderanno ordi-
nariamente da a, la funzione stessa v{x , a , /«„) per x compreso
fra a , b' {a e b' incl.) e per qualunque valore di n si mantenga
sempre numericamente inferiore a un numero finito ( variabile
1-JO
'6'
. r
con a e //), e gli integrali / 'f{T , a , /<„) dr abbiano per limite
zero per «=oo ; mentre invece gli integrali / 'f(-P , a , A„) ^a?,
f '^(07, a, ^„) per s comunque piccolo e positivo al crescere
J — e
indefinito di n tendono ambedue verso una stessa quantità finita
e diversa da zero G indipendente da s e da a.
S'indichi ora con f{f) una funzione data arbitrariamente
fra a eh {a <ih), che è atta alla integrazione in questo intervallo
insieme ai prodotti f{x) '^{x — a , a , hn ) ove a è un numero
qualunque fra rt e ò ( a e è incl. ) , e che se diviene infinita
resta atta alla integrazione anche ridotta ai suoi valori asso-
luti ; e per la funzione di cui ci serviremo z{x , a , h„) si am-
metta inoltre che per ogni valore di a i numeri indicati sopra
con a e h' possano prendersi in un modo qualunque fra a — a
e 0 e fra 0 e h — a ( 0 esci, e gli estremi pure al più esci,
per a^a e a==ò), ciò che nel caso speciale di '^{jc , a , /i„) indi-
pendente da a porta che i numeri a e b' possano prendersi in
un modo qualunque fra — {b — a) e 0 e fra 0 e b—a ( 0 esci.
e a e b pure al più esci. ).
Allora considerando la serie:
1 /
2G / ^^'^^ r (^— ^- ' ^- ' h) f^^ +
1 "^ [^
2G ,
1 >y u
per un valore qualsiasi di a fra a e h, si vedrà subito che la som-
1 r^
ma dei suoi primi «-j-1 termini è ^-^ / t{'XÌ)fx — a., a. ,h„)dx;
e questa somma per a diverso àa a e b col porre x — iy.=t può
scriversi :
mentre se a è uguale ad a o a ò uno dei due primi integrali
e uno dei due ultimi verranno a mancare; e quando (come accade
nel caso della serie di Fourier in cui 'f (.r , a , //„) = ~~ y
sen I
(2«+l)\
con //„ = ] per a.=a o a=6 i punti ò — a, o — (6 — a)
figurino come il punto zero per la funzione corrispondente
z{x*a^hn) o '^(x ,b Jìn), allora anche quello dei due primi in-
tegrali che rimane si spezzerà in due l'uno dei quali sarà della
forma degli ultimi e V altro sarà della forma dei primi .
Ricordando dunque i risultati generali del Gap. 3.^, e sup-
ponendo che fra — e e s, ove e è un numero piccolissimo che
può anche dipendere dal valore che si considera per a, la fun-
zione 's{x , a , h„) soddisfi almeno ad alcune delle condizioni cui
doveva soddisfare fra 0 e e la funzione indicata con ^{x , h) nei
teoremi del §.39; e ammettendo inoltre che se per a==a o a=b
i punti +{b — a) non possono prendersi come punti a e b', essi
figurino allora come il punto zero per la funzione corrispon-
dente 'f (ar , rt , 7i„) o ^(x,ft,A„), noi vediamo senz'altro che
per tutti i punti a interni all'intervallo {a ^b) nei quali f{x)
è finita e continua o ha tutt' al più una discontinuità ordina-
ria, e nei cui intorni a destra e a sinistra soddisfa a una delle
condizioni del §. 39, la serie:
(1) 2G / ^^''^ 'f (^— a , 5(, ìiQ)dx +
-j^ co rb
122
sarà convergente e avrà per somma /(a) o - — ' — ef^
se in questo punto f{x) è continua, o ha una discontinuità or-
dinaria; e se il punto a ò uno degli estremi a e b dell'inter-
vallo e in esso sono verificate le condizioni teste indicate, la
serie (1) sarà ancora convergente e avrà per somma uno dei
valori i fi a+0) , l f,{b - 0) , o ^"+°' +^*"''^' dipende,,-
temente dalle particolarità che presenteranno le funzioni
(f(.T , a , //„), z{x , h , /?„) nei punti h — a o — (6 — a) come sopra
dicemmo; talché, fatta eccezione pei punti d' infinito e delle
discontinuità di seconda specie che f{;x) avesse fra a e i e per
quelli nei cui intorni non fosie soddisfatta nessuna delle con-
dizioni del §. 39. e colle indicate avvertenze pei punti delle
discontinuità ordinarie e pei punti estremi a e è, la serie (1)
ci darà una espressione analitica in serie convergente per la
funzione f{x) che abbiamo preso a considerare nell' intervallo
(a, 6).
Se poi col mutare .r in — x la funzione ^{x , a , /»„)
non muta , allora si potranno riunire i due integrali
•0 j
+0 'f ( ^ a , /?„ ) fZ f , ^ / /(a+0 'f (^ , a 1 ^h) à t ridu-
1 C'
cendoli all' unico —r, I \f{cf.-\-t) -j- f{'y.—t) ]^ 'f{t , a ,Ji„) d t ; e
«- U
quindi in tal caso invece di richiedere che sì a destra che
a sinistra dei punti interni a. che si considerano sia sod-
disfatta per la funzione f{.r) una almeno delle condizioni del
§. 39, basterà che una di queste condizioni medesime risulti
soddisfatta per la funzione di t F{t)=f{cf.-{-t)-{-f{a — t) nell' in-
torno a destra del punto t=0.
54. S'intende, come già abbiamo detto, che in tutti questi
casi la funzione (f{x , a , h») considerata per ogni valore spe-
ciale di a , oltre che alle solite condizioni generali, deve sod-
disfare negli intorni del punto x=0 alle condizioni che per
1 n
123
essa via via abbiamo poste nel Gap. Ili: talché in particolare
se si saprà soltanto che pel valore speciale di a che si considera
la funzione 'f(.r,a,//„) soddisfa alle solite condizioni generali,
rx
e tale che l'integrale / '^(a: , a ,//,,)</ a- pei valori di x fra
Jo
— E e e (e arbitrariamente piccolo) è sempre numericamente
inferiore a un numero finito, si potrà soltanto affermare che
per quel valore di x la funzione f{x) è sviluppabile secondo
la serie (1) tutte le volte clie in intorni sufficientemente piccoli
a destra e a sinistra di a essa non fa. oscilhizioni, o essendo
continua ammette una derivata che resta atta alla integrazione
anche ridotta ai suoi valori assoluti, o anche soddisfa a una
di quelle altre condizioni che per 1 integrale / z{x , li)dx richie-
devano soltanto che esso fosse sempre numericamente inferiore
a un numero finito, come ad es. a quella del §. 20. o a quella
del §. 37. nel caso di a.{x^=\\ mentre se z{x , a , h,) soddisfarà
alle condizioni che si avevano per z{x , h) nel §. 32. allora per
l'applicabilità della serie (1) alla funzione f{.r) per x^^ci. , ba-
sterà che nei soliti intorni di a sia soddisfatta una cpialunque
delle condizioni del §. 39.
Se poi 'f(.r,a.//,j) sarà tale che i suoi integrali / 'r(r,a,7?„)f7r,
considerati per ogni valore speciale di a separatamente, al crescere
indefinito di n si mantengano inferiori a un numero finito anche
quando a '^(.r,a,/j„) si sostituiscono i suoi valori assoluti, allora
non sarà necessario porre per f{x) le condizioni ora indicate, ma
in forza del teorema del §.24. e delle osservazioni del §.41. quando
si sappia soltanto che f{x) è atta alla integrazione fra a e i, e
che se diviene infinita si mantiene atta alla integrazione anche
ridotta ai suoi valori assoluti, si potrà senz' altro affermare che
in tutti i punti a fra a e 6 nei quali f{x) è finita e continua e ha
soltanto discontinuità ordinarie, essa può rappresentarsi con una
serie convergente della forma (1) , colle solite avvertenze pei
]iunti di discontinuità e ]ioi punti estremi, per modo che in par-
121
ticolarc „ con queste uUime funzioni 's(x , ot , //„), una funzione
„ /"(.'■) che fra a e h sia sempre finita e continua potrà rap-
„ presentarsi analiticamente per mezzo di una ste.'^sa serie (1)
„ in ogni punto a fra a e i , fatta tutt' al più eccezione pei
„ punti estremi a e 6 pei canali la somma della serie sarà
» o fi^)ì o A^) o ' — ;,. E in questo caso della conti-
nuità di f[x) fra a e 6, siccome possono sempre determinarsi
due costanti p ^ q tali che la funzione f{x) -\- p x A^ q si an-
nulli per x=^a e x=b, basterà applicare la serie (1) a questa
funzione f{x) -{- p x -{- q per ottenere subito , uno sviluppo
;, (1) di /'(r) che varrà per V intiero intervallo {a ^h), e pel
„ quale non si presenterà più neppure la eccezione ora indicata
, rispetto ai punti estremi a e b „.
Si aggiunge poi che se, preso un valore qualunque di a fra
a e 6, si troverà che la funzione 'f (.r , a , A»), considerata pei va-
lori di a; fra a — a e h — a, anche al crescere indefinito di n fa
soltanto un numero finito di oscillazioni, allora per quanto si
disse in fine del §. 41, nel caso di un numero finito di punti
d' infinito di f{x) (quando essi vi siano) non sarà neppure ne-
cessario richiedere che f{x) resti atta alla integrazione negli in-
torni di questi punti anche riducendola ai suoi valori assoluti.
Ed è pur notevole che „ come accade per gli sviluppi di
„ Fourier (§. 4G), così anche per tutti gli sviluppi che qui con-
n sideriamo, la loro validità in un punto x fra a q h {a e b al
„ più esci. I, non dipende afl^atto dal modo di comportarsi di f{x)
„ nei singoli punti fuori di a?, ma soltanto dal suo modo di
„ comportarsi negli intorni del medesimo punto x „,
55. In particolare dunque , prendendo una volta
's{ a- , a , hn ) =- — , "^'" .^ ^, , e un altra z(x , a , h» ) =
7 'hìYnX ... . Il 'S,iX
=/<,i'f n e per x positivo, e z[x , a , hn) = ii„ 'f„ e
per X negativo, con Ao=0, e 'f„ funzione soltanto di a sempre
positiva, finita e discosta da zero più di un certo numero per
tutti i valori di x fra a e b (a e b incl), si osserverà che la
funzione '^{x,ci.,h„) verrà a soddisfare alle condizioni ora indi-
cate, giacché per ^ positivo si ha:
lim p K'^dx _iim p h,rudx r .„j ,, -, _7E
12^
n=Go L "'^" w=^c» / "'"
^'0 «^ — ^^
= 1
l,ec;
e quindi , per quanto testé dicemmo si potrà affermare che
una funzione /'(r) atta alla integrazione fra a e b può rappre-
sentarsi colla serie :
1 1 1 «-)
' /j,i 'fu ^«-1 'f ..-1 ^ , ^^
o coir altra:
■^ 00 r ra , /?,/f„(.T— a) 7!„_i ff„_i (.r— a) \
+ / f{oc)\hn':^„ e — ^„_i'f«_, e k^-ì?
- a ' ) _
colle solite avvertenze pei punti delle discontinuità ordinarie, e
con esclusione di quelli delle discontinuità di seconda specie e
degli infiniti della funzione, per gli ultimi dei quali ( punti
d' infinito ) quando siano in numero infinito conviene anche
ammettere che, eccettuatine tutt' al più un numero finito, negli
intorni degli altri la funzione f{x) resti atta alla integrazione
anche ridotta ai suoi valori assoluti; e coli' avvertenza infine
che nei punti estremi a e ò le serie precedenti danno per va-
lore della funzione ^^ /"(a-fO) e .^ /",i + 0) ^w*^^^ le volte che
queste quantità sono determinate e finite.
Osservando poi che se k è positivo, si ha per formole
note:
126
ove anche .r nella seconda è positivo, si vede subito che le
serie precedenti possono anche ridursi alle altre:
—X —X
, co rb r°^ / hn 'f„ /<„_! 'f „_, ) ,
V f(x)dx cos X (J— a) (e — e } d x ,
'^\ fi.c)dx X
1 °^ . . . . . CK . . f^ X'COsl{x — a)dl
°^ ri r°^ (1 1 ì
'.* cos X (.r— a) r;^ 5 -^-2 — 75 — ^ — TTa 1 ^ ^
e in queste /?„ e 'f„ devono soddisfare soltanto alle condizioni
k cf.
poste sopra; talché può prendersi per es. /i,, == Vm i fn^^^ e
con A; costante, e così si può ridurre per es. la seconda serie
air altra:
2kaa: rb f"^ ^2 w n 7^
e V / /■rr\ .7 ^ / '^^ cos X {x—a) d a
Ika ce rb
_^ f{x)dx
7c" 1 «^a
^(m— l)e +X2j jwe +X2(
e „ questa, come le precedenti ed altre che potrebbero trovarsi
, al modo stesso, servono a rappresentare analiticamente qual-
, siasi funzione continua in ogni punto x fra a e b fatta sol-
„ tanto eccezione pei punti estremi quando in essi il valore
y, della funzione non sia lo zero; e servono pure, come ab-
, biarao detto, e colle avvertenze fatte sopra, per qualsiasi fun-
, zione atta all'ititegrazione fra a eb „\ e col particolarizzare
f{x)^ specialmente dopo invertite le integrazioni, come appunto
è quasi sempre possibile di fare, conducono a molte formolo
notevoli.
Merita poi di esser notato che questi risultati ci danno
127
il modo di ottenere infinite espressioni analitiche di funzioni
date arbitrariamente fra certi limiti, e ci» permettono di dire in
particolare che „ le funzioni sempre finite e continue in un in-
„ tervallo finito hanno sempre infinite espressioni analitiche
„ che valgono per qualunque punto dello stesso intervallo ,
„ quando si eccettuino tutt' al più gli estremi „ .
56. Ora venendo a casi particolari rispetto alla funzione
SGTl II 00
'^(.r,a,/i„) ammettiamo che (come nel caso di '^(a',a,/<„)= ' — —^ —
con hn = — ^ — j che corrisponde alla serie di Fourier ) si
abbia:
(2) z{x—rf.,'y.,h„)—z{x—a, 7., //„_,)= H„„(a)K„„(.r) -f
-f H„,2(a) K„,2 (.r) + . . + H„,„,(a) K„,„.(j;),
ove m è un numero fisso, e le H„,8(a) sono funzioni della
sola a, mentre le K„,s(r) sono funzioni della sola a*, e dipen-
dono le une e le altre dagli indici n e s.
Allora la serie (1) corrispondente prenderà la forma :
(3) ~j m 'f {-lo-rj. , a , h,) d ^+/^Ì- 1 Pn„ H.„ , (a)4-
-|- P,„2 H„,.2 (a) -(- .. -|-P»iv» H„„„ (a) > ,
ove Fti,, , P„,2 • . . P)i,m sono coefficienti costanti determinati
dalla formola:
rh
I f{x) K,„s
talché „astrazion fatta dal termine _ ^ / f{x)'^{x — a,a, //y ) (^1',
„ quando sia data una funzione ^{x — y.^a^hn) dotata delle
„ solite proprietà generali e di quelle del §. 24, o dei §§. se-
I). 9
, jiruoiiti , c jier la (pialo si al)bia la forinola (li), avronio una
, espressione analitica di f{.v) in serie di funzioni H„,s(a)
, come la (3) che varrà nei soliti casi „ .
Qui poi giova osservare che le condizioni che sempre ab-
biamo richiesto per ^(.r , h) o 's{x — a , a , h„) possono rendersi
meno restrittive; poiché se nel teorema del §. 22. ammettiamo
che la funzione ivi indicata con z{r^h) non si mantenga sem-
pre numericamente inferiore a un certo numero quando x" si
avvicina a un numero finito di punti fra a e è, separando questi
punti con piccoli intorni e poi ripetendo la dimostrazione che si
fece del teorema medesimo si giunge immediatamente a conclu-
dere che „ esso continua a sussistere anche se la funzione ivi in-
„ dicata con 'f(.r,/i), soddisfacendo sempre a tutte le altre con-
„ dizioni che allora si posei'o , cessa di esser finita, o almeno
„ cresce indefinitamente con Ji in un numero finito di punti fra
„ rt e Z;, o si è incerti, purché allora qualunque sia /i l'integrale
» / f{-^')'i{-^ìh)dx esteso a intorni sufficientemente piccoli
„ degli stessi punti e la cui ampiezza non dipenda da h, resti
„ sempre numericamente inferiore a quel numero che più ci piace,
, anche quando la funzione sotto il segno integrale si riduce a
„ quella dei suoi valori assoluti,. Ed è in forza di questa osser-
vazione che noi possiamo anche asserire che se la funzione indi-
cata sopra con z(j: — a , a , //„) cesserà di esser finita, o almeno
crescerà indefinitamente con n al tendere di x a un numero
finito di valori speciali fra a e h diversi da a, o si sarà incerti
ma, almeno per gli altri valori di .i', tutte le altre condizioni sa-
ranno ancora soddisfatte, allora lo sviluppo precedi-nte continuerà
pure a sussistere tutte le volte che per qualsiasi valore di ti l'in-
tf graie / /"(./■) 'f(.r — a , a , h,i)'lx esteso a intorni sufficientemente
piccoli degli stessi punti la cui ampiezza non dipende da n
resti sempre numericamente inferiore a quel numero che piìi ci
piace anche riducendo la funzione /"(.i) 'f(.r— a , a , Ah) ai suoi
\20
valori assoluti; talché appunto non è necessario die sia soddi-
sfatta la condizione che '■f(.r — ^a,a,/«„) sia sempre finita, purché
allora f{.c) sia tale che resti soddisfatta la condizione ora indicata
pel prodotto /'(.r) '^{x — a , a , Jin) .
57. Ora è da osservare che quando invece della funzione
'f(.r , a , /<j|) siano date a priori le funzioni H„,s(a), non sempre
sarà possibile (almeno con questi processi) sviluppare nei soliti
casi una funzione data arbitrariamente f{.v) secondo una serie
di funzioni H,,,., (a) come la (3); però evidentemente, per
quanto abbiamo detto al §. 53, onde esser sicuri che si ha que-
sto sviluppo bisognerà che si possano determinare le funzioni
's{.r — a , a , Aq) e K,i,s(.r) per tutti i valori di x e di a fra a e b
in modo che la somma:
(4) 'f(.r-a,a,/.J+ V ÌH,,,(a)K,„(.r) +
+ H.,2(a)K,.„(a^) + .. + H,,„,(a) K,.,„,(jO |
rappresenti una funzione z{,r — a , e/. , /«„) dotata delle solite pro-
prietà generali dei §§. 21 e 53 pei valori di .r e di a fra a e &,
e per la quale riescano soddisfatte le condizioni che si richie-
dono per l'applicazione del teorema del §. 24 o di uno di
quelli del §. 39.
Ponendo in questa somma x — a=/, essa diverrà:
(5) 'f( ^ a , ^o) + 2 !ll'-'i(^-) K,.,,(a+0+
r=l
+ H,,o(a)K,„(a+0+..-f H,,.„(7.)K,,.„(a+0j ;
quindi; perchè possa corrispondere a una funzione z{x , //,) o
'f (.r — a , a , h„) per la quale siano soddisfatte le condizioni dei
§§. 21 e 53, occorre intanto evidentemente che la serie:
((3) / '.(f,a,A,>?/+|\ II.,,(a) / K„,,(a^-0^^^ +
H-H.„. (a) / K„ , ., (a-f 0 dt+.. -fH,.,,» (a) / K„ , „. (a-f t) d t ) ,
130
per a compreso fra a e 0 {ii eb al più esci,) e per t diverso da zero
e compreso fra a — a e 0 o fra 0 e b — a {b — a e — (6 — a) al più
esclus. nel caso di a^=a, o a=è ) sia convergente e abbia per
somma una stessa quantità diversa da zero G per t positivo e — Gr
per / negativo, che cangia segno con t ma che del resto è indi-
pendente dai valori scelti per a e per t fra i limiti indicati.
Oltre a ciò, se S| è un numero positivo piccolo a piacere,
pei valori di t fra a — a e — £,, e fra a, e b- — a (gli estremi
+ {b — a) nel caso di a=a o a=/> al più esci.), la somma (5),
che non è altro che la derivata rispetto a t della somma dei
primi )ì-\-ì termini della espressione (6), deve per qualunque
valore di n mantenersi numericamente inferiore a un numero
finito; e inoltre pei valori di t compresi fra — s e s, ove e è un
altro numero positivo piccolissimo che potrà anche dipendere
dal valore che si considera per a, la stessa somma dovrà sod-
disfare alle condizioni che si richiedevano fra 0 e s per la fun-
zione 's{jcji) in quelli dei teoremi dei §§. 24 o 39 che vorremo
applicare; dunque quando tutte queste particolarità si verifichi-
no, intendendo che nella (3) G indichi la somma della serie (6)
per t positivo si avranno i precedenti sviluppi (3) di f{x) pei
soliti punti a fra a e 6 nei quali è finita, colle solite particolarità
pei punti di discontinuità e pei punti estremi, e colle limita-
zioni o nò portate dai teoremi dei §§. 24 e 39 dipendentemente
dalla natura della funzione z{t , a , h„) che ora viene rappre-
sentata dalla somma (5) o da — r-7-, se G,,,^ è la somma dei
primi ii-f-l termini della serie (6) .
E così in particolare quando le condizioni suindicate rispetto
-\ n
alla serie (6) e alla derivata — ~p- della somma G„,/ dei suoi
ò t
primi H-j-l termini siano soddisfatte, se avverrà che questa
Jrx
'f (.r ,Zi) dx
0
che si aveva nel cap. III.) per t compreso fra — e e e si man-
tenga numericamente inferiore a un numero finito qualunque
131
sia H, gli sviluppi (3) per f{)) varranno per tutfi i punti -x
negli intorni dei quali f(x) non fk infinite oscillazioni o almeno
ammette una derivata che resta atta alla integrazione anche
riducendola ai suoi valori assoluti ; mentre se il prodotto
t~r~ col tendere a zero di f resterà numericamente inferiore
«3 1
a un numero finito, allora gli stessi sviluppi varranno pei punti
a pei quali i rapporti incrementali si mantengono
~i~ z
sempre finiti, o almeno se crescono indefinitamente restano atti
all'integrazione fra 0 e s anche ridotti ai valori assoluti ec; e
per gli altri teoremi dei §§. 24 o 39 converrà aver riguardo
anche alla funzione dei valori assoluti di — ^r^~} o ai massimi
«j t
e minimi di G»,^ per t fra — s e =.
Valendosi poi della osservazione fatta nel paragrafo pre-
cedente si può aggiungere che quando per un numero finito
di valori a, ,a^,.. di t fra a — a e — s^ o fra s^ e b — a, la som-
ma (5) 0 — — '— non si mantenga sempre finita o, almeno cresca
indefinitamente con w, o si sia incerti, allora lo sviluppo (3) per
f{x:) continuerà ancora a sussistere, purché qualunque sia ii l'in-
tegrale del prodotto /"(^--rO ~VT^ esteso ad intorni sufficieute-
mente piccoli degli stessi punti, la cui ampiezza non dipenda
da ?i, si mantenga inferiore a quel numero che più ci piace anche
riducendo il prodotto medesimo ai suoi valori assoluti. E quando
questa condizione si trovi verificata, allora non occorrerà esami-
nare se pei valori eccezionali 'y.j,a^,. . di t ora indicati sono o nò
soddisfatte le altre condizioni che si hanno per G»!,^ poiché esse
Terranno soddisfatte di per sé. — Questa osservazione, senza
stare a ripeterla ogni volta, la intenderemo fatta ora anche per
il seguito.
58. Si aggiunga ora la condizione che (come accade negli
sviluppi conosciuti ) le funzioni K„,s(.a') non differiscano dalle
H«,,(.r) altro che per fattori costanti ;>„., variabili soltanto
l:i2
dall' una all'altra, e per im fattore fisso F(.i") fmi/ioue finita
della .r, per modo cioè che sia K,„,,(.r) =p„^, t\.r) H„„ (a;).
Allora la serie (0) si ridurrà all' altra :
(7) / 'f(/,a,/g.//+ VJ^,.,„IL,„(7.) / F(a+On,.„(a+0 ^^^ +
+ 2^,. H ,.„ (a) / F(a+OH..„ (a+0 ^ f + . . . +
+iJ..,mH,.,„, (a) / F(a+0 H,..„. (a + Z) r? f ,
mentre la espressione (5) che ora dovrà corrispondere a
z{t , a ,/<„) diverrà:
ì) Gii,
-n
' r. -. 7, N , V> \
(8) -^= 'f (^ a , /.o) 4- ^ );..„ H,.„ (a) H.„ (a-1-0 +
r==\
+ 2>M2 H.„ (a) H,,2 (a -f 0 + . • +;>..«. H,„. (a) E,.,„.{y.-{-i)ÌF{a-^f),
essendo al solito G,„/ la somma dei primi 'n-\-l termini della (7);
talché si può ora affermare che se ^dipendentemente soltanto
dalla forma che dovrà avere la espressione analitica della fun-
zione da svilupparsi, e non già dalla natura di questa funzione) si
potranno determinare le costanti ^j„, pp»,., i..,^^,i,m pei varii valori
di n e le funzioni F{x) e 'f (^, a,^^) in modo: 1 .*' che la serie (7) sia
convergente per tutti i valori di a fra a e & (a e ò al più esci.) e
abbia per somma una stessa quantità diversa da zero G per
tutti i valori di t diversi da zero e compresi fra 0 e b — a, e per
quelli fra a — a e 0 abbia invece per somma — G ( gli estremi
+ {b — a) nel caso di «=a o a=6 al più esci.); 2." che se ^^ è
un numero diverso da zero e positivo comunque piccolo la
"^ C
derivata -^t"" della somma G„,i dei suoi primi n-\-l termini
qualunque sia ìi resti sempre numericamente inferiore a un
numero finito finché t è compreso fra a — a e — £,, e fra Sj e b — a
( gli estr. ± {/) — fi) nel caso di 7.=a o a=^ft al più esci. );
133
o." che la somma G,„/ dei primi v-^1 termini della stessa se-
^ C
rie ola sua derivata— -'"- per t fra — s e s soddisfi alle con-
0 1
dizioni indicate nel para^^rafo precedente; allora una funzione
f{x) data arbitrariamente fra a e h potrà rappresentarsi colla
serie:
(^)
+ P,„. H,.,2 (7.)+ . . . + P„„. H„„„ (7.) j ,
ove :
(10) Pn,s = j»«,. / fi^r) F(.r) H,.„ (.r) e/ .r ,
e ciò per tutti i punti a fra rt e h pei quali la funzione stessa
f{x) è finita , colle solite particolarità pei punti estremi e per
quelli di discontinuità, e colle limitazioni o nò portate dai teo-
remi del §. 39. dipendentemente dalle condizioni cui soddisfarà
^ C
fra — ;e s la somma suindicata Gn^t o la sua derivata — r — -,
V t
E se la seconda condizione ora indicata non sarà soddi-
sfatta per un numero finito di valori di t, o si sarà incerti, allora
la funzione f{x) dovrà esser tale che il prodotto fi^-Tf) ^v^
soddisfi alle condizioni poste in fine del paragrafo precedente .
59. Se poi, come pure accade negli sviluppi conosciuti, il
primo termine della serie (9) avrà la forma degli altri, per modo
che la serie stessa possa scriversi ;
1 °^ i )
2G ^ r "" ^"" ^'^-^ + ^"'--^ -^'"^ ^^-^ + • • +^""" ^^""" ^"-^ ( '
con P.(,s determinato sempre dalla (10), e se a questa serie l'in-
tegrazione definita dovrà essere applicabile termine a termine
13 1
almeno da a a />, p si avrà:
h
F(.r)H„,.(.r)H,„<(x)(/x = 0
qiiamlo non sia ad nn tempo n=--p, s=f , allora dovrà essere:
/.
b
p .
2G rh
0 H2„,s {x) d X
fl\x)
e quindi sarà :
2G^
L
Y{x)'B^^,,{x)dx
talché allora, onde lo sviluppo precedeiite per la solita funzione
f{x) sia possibile nei soliti casi, bisognerà che la serie:
[ Hn,s (a) / F(a+OH„„(a+Of^^ H,,,, (a) / F(a+0 H„,2(a+0 dt
(11) 2 ?. ^, + -76 — +
/ jY{x)RK,^{x)dx 1
F{x)R\,2{^) dx
Bn^n (a) / F(a+0 H„,. (a+f) dt .
+
fF{x)B.^,„,{x)dx )
(cui ora si riduce la (7) divisa per 2G) sia convergente e
abbia per somma - per t positivo e compreso fra 0 e h — oc,
e — ,) pei" / negativo e compreso fra a — a e 0 (0 sempre esci.
e gli estremi ± {h — a) tutt' al più anch' essi esci, nel caso di
a=a e a=6); e oltre a ciò bisognerà pure che nei soliti inter-
^ C
valli da a — a a — Sj e da s, a b — a la derivata della
somma G»,^ dei primi ìi termini di questa serie, che ora cor-
risponde alla funzione z{f , a , /ìh), resti sempre numericamente
inferiore a un numero finito per qualunque valore di w, e
questa somma G„,i! o la stessa derivata — -— - soddisfino fra
— £ e £ alle solite condizioni dei paragrafi precedenti. E se
non sarà soddisfatta la condizione che — r^^ da a — a a — £,
et
o da e, a h — a resti sempre finita, o si sarà incerti, allora hi-
sognerà al solito che il prodotto f{ci.-\-t) — ---^ soddisfi alla
condizione data in fine del §. 58.
Lo sviluppo di f{x) poi in questo caso prenderà la forma:
co , ^
1
con;
Ja
f{x)F(x) E,^,s {x) d X
'a
(13 qn^s =
i
h
F(x) H-„,5 {x) d X
e si avrà come abbiamo detto :
(14) 'f(^«,^«)=^7- = 2.2,7/; — ^^"-^^^^
1 * / F(.7-)m,,(.ry.T
essendo G,„/ la somma dei primi n termini d»dla serie (11).
136
00. Tutto ciò è ^oneralo, nò si esclude che le funzioni
Hm,s possano variare da un termine all' altro della serie con
leggi qualsiansi. Ordinariamente però le funzioni che si corri-
spondono nei varii termini della serie, cioè le Hi,^ , H^,,, , . . ,
Hn,s , • • , non costituiscono che una sola funzione nella quale
oltre ad x figura un' altro parametro X che varia dall' una
air altra di esse, prendendo però uno stesso valore determinato
per es. X» nelle m funzioni che figurano nello stesso termine ,
per modo cioè che si ha :
H„„ (.r)=Hi (X„ , .r) , H,,,. (.r)=H. (X„ , .r) , . . . , H„„„=H,„ {X^,^) .
Allora le serie (0) e (12) che devono servire allo sviluppo
della funzione data f{r) si riducono respettivamente alle altre :
(15) ~jm's{x-a, y.Ji,)dx+ ^| |rn„Hi(X„,a)+
-f P„,.R>(X„,7.)+"-fP'nmH„,(X„,7.)' ,
CO , \
(IG) 2 5..,1 H, (X„ , 7.)+ fjn , 2 Ho (X„ , a) + . . -f qn„n H„ (X„, 7.) ,
con :
(17) P„„ = p«,., / f{x) F(.r) H, (X„ , .r) d x ,
" a
(18) (/„,s =
jf{x)F{x)n,{K,x)dx
l¥{x)EsHK,
x)dx
essendo le iì„,s quantità costanti da determinarsi; e onde essere
sicuri che lo sviluppo (15) è possibile nei soliti casi pei valori
di 7. compresi fra i due numeri dati o da determinarsi a e h^
137
bisogna poter determinare le costanti p^.s in uioilo che la serie:
(10) / 's{f , 7. , h,) dt + \ L.„ H, (X,„7.) / F(a-f 0 II, (X,. , a-^i)d ^h
,„,.H,(X„,a) / F(a+OIL(X„,a+0<?H..+P«,-"H,„(X„a) / F{y.-\-t)E,„{h,,a-\^t)dt\
pei valori di t diversi da zero e compresi fra 0 e b — a {b — «
al più esci, per a=a) sia convergente e abbia per somma una
stessa quantità diversa da zero che allora sarà presa per la
quantità G che figura nella formola (15) stessa, e pei valori
di t diversi da zero e compresi fra a — a e 0 (a — b al più esci,
per a=6) sia pure convergente ma abbia per somma — G,
essendo G indipendente da t e da a; mentre onde 'esser sicuri
che lo sviluppo (16) è possibile bisognerà invece che la serie:
lH,(X,.,a)/ F(a+0 H. (X, , a+0 fH
(20) V ^ — ■ {- 4-
[ / F(.T)H,2(X„,a-)c?.r
1
Ha (X„ , a) / F(a+0 H^ (X„,a+0 H„, (X„ , a) / F(a+0 H„. (X„ , a+^
— ^..-j
)dt
/ Y{x) Hg^ (X,.,ic) dx / Y{x) H\, (X„,iO d X
J a Ja
abbia per somma per / diverso da zero e compreso fra 0 e
b — a e abbia per somma — - per t diverso da zero e com-
Li
preso fra a — a e 0, {h — a, e a — b al più esci, se a=a o a=b),
e supposto ben inteso che in quest'ultimo caso si abbia sempre
la formola:
13S-
rF(,r)H
(21) / F(.r)H,(X,,.r)H<(Xp,a:)rfr = 0,
tutte le volte che non è al tempo stesso s=/ , n=p .
Oltre a ciò poi bisogna sempre che indicando al solito
con G„,/ la somma dei primi H-j-1 termini della serie (19) o
> C
quella dei primi n della (2(>), la sua derivata -^ y ' qualunque
sia n resti sempre numericamente inferiore a un numero finito
per t compreso nei soliti intervalli da a — a a — =, e da Ej a h — a
^ (^ /
o almeno sia soddisfatta pel prodotte f{o.-\-t) — t-t^ la condi-
li t
zione posta in fine del §. 58 ; e bisogna inoltre che la stessa
somma G„,< o la sua derivata — — ^ per t compreso fra — e
e s soddisfino alle solite condizioni dei paragrafi precedenti.
E quando poi efi'ettuando le integrazioni che figurano in
queste formole si trover:\ per es.
X
t
F(a-f 0 H, (X„ , ,c+0 ^? ^ = h (>mO j K. (X„ , a+O - K, (X„ , a) [ ,
ove le k,„ e 9« dipendono soltanto da X„ , e K, dipende anche
da a-\-t 0 da a, allora le serie (19) e (20) diverranno respet-
tivamente le seguenti:
(22) (l(^a,
co m !
K)^^t+y,n IsP-^^ ^'' O^n) H,(X„,a) K(X„,a-|-0-K.(X„,o() |
JO 11 ^
(23) V „ V ^^ H. (X,, , a) K. (X,. , a+Z)- K. (X„ , a) ,
i3g
nella prima (lollo ri'inli lo quantità /.-.,, (X„) si potranno anche
includere nelle costanti g,,,»; e per queste serie e per le somme
G„,^ dei loro primi »-j-l o n termini, come per le derivate di
queste somme, dovranno essere soddisfatte le respettive condi-
zioni indicate sopra.
GÌ. I valori X, , Xg , Xg , . . , che prende successivamente
il parametro X nei varii termini delle serie che qui si conside-
rano sono dati ordinariamente come infiniti o parte degli infiniti
di una funzione monodroma e continua iv{^) di una variabile
complessa 2', o come radici o parte delle radici della equazione
trascendente— —r = 0, supposti per semplicità questi infiniti o
infinitesimi ^j ; Xj , . . , X„ , . . , tutti di prim' ordine, e reali però
o complessi .
Quando poi la funzione ui{z) non sia data avanti , ma si
sappia che in ogni porzione finita del piano z cade soltanto un
numero finito di punti Xj , Xa , . . , X„ , . . , allora per un teorema
noto (*) potrà sempre costruirsi una funzione di z monodroma
e continua in ogni porzione finita del piano z che abbia le
quantità X,, X^, .. ,X„,.. per infiniti o infinitesimi del prim* or-
dine; quindi, ammesso appunto che dei punti X, , Xo , . . , X„ , . .
ne cada soltanto un numero finito in ogni porzione finita del
piano 5", noi potremo in ogni caso considerarli come infiniti
o infinitesimi di prim' ordine, per es. come infiniti, di una fun-
zione monodroma e continua iv(z)^ e potremo quindi introdurre
sempre in calcolo questa funzione w{z). Con ciò noi troveremo
dei teoremi generali che daranno il modo di determinare infiniti
sviluppi per le funzioni di una variabile reale date arbitraria-
mente fra due limiti; fra i quali sviluppi s' trovano appunto
quelli interessantissimi che si presentano nella fisica matema-
tica, e pei quali, a quanto so , non era stata data fin ora una
dimostrazione generale e rigorosa .
ri II Prof. Rptti detto pel primo nelle sue lezioni dell'anno scolastico 1859-60
sulle funzioni ellittiche, il teorema ora riconlnto poi caso in cui la distanza fra duo
qiinhinque dei punti /, ,/«,.., Xm, . . , non scende mai al disotto di nnii certa
quantità rf, e pubblicò questo teorema nel tomo IH dt-fe'li Annali di Matera. del Torto-
lini, li sig. Weierstrass poi dette soltanto in questi ultimi anni il teorema stosso
pel caso generale, tidla sua nionioria sullo funzioni analitiche uniformi pubblicata
m\\ii Abhandlamjcn dell' Accademia delle Scienze di Berlino pel 1S76.
140
IVrò oiulo sfiunQ'iM'C a questi tcorciiii generali, ci è utile
premettere delle formole (alcune delle quali io le credo nuove)
sulle funzioni monodrome e continue di una variabile complessa.
G2. Sia perciò u'{z) una funzione di ^ che è monodroma e
continua neirintorno del punto a, ma diviene infinita di ordine [x
in questo punto; e s' indichi con 's.{:) un altra funzione di z
che nell'intorno del punto a, oltre esser monodroma e continua
come «•(:), è anche finita .
Il prodotto z{z)ì(f {z){z — af^ , ove p ^ "ii numero intero
e positivo, sarà pure monodromo finito e continuo nell'intorno
del punto a, e quindi in questo intorno applicando il teoiema
di Cauchy si troverà;
-](ap-l)
'^(l^P — 1)
e quindi;
li <p{a) A
(f{z) ur {z)=-
tf{z)tv^\z){z—af'^'
{z—a)
]xp
{z — a)
V'P '
+
j^{z)w'^(z) {z-af^
rptp-i)
% (ti p—X) {z—a)
+ ^vXz),
ove A è il limito ài n'{z){^ — ay per z^^a^ «'iC^^) è una
funzione monodroma finita e continua nell'intorno del punto a,
f p ij,wl(*)
e il simbolo lz{z)u {z){z — a) \a indica il valore della de-
rivata s di <^{z)ìv {z){z — ay nel punto a.
Integrando dunque lungo una linea chiusa Ca, che si sup-
porrà percorsa nel senso diretto, e dovrà esser presa in modo
che non passi per alcun punto d'infinito ne di z{z) ne di tc{s),
e che oltre al punto a, non racchiuda altri infiniti di queste
funzioni, si avrà di qui :
141
[25)
Àif^^^"-'
(z) d z
y{z)nP{z){z-a)^'^' «
7:(;j. p— 1)
(p.;'-l)
quindi se entro certi campi ìr[z) resta sempre monodroma
e continua ma diviene infinita respettivamente degli oi'dini
|x, , ;j.j , . . , ;x,i , . . nei punti X, , Xj , . . , X„ , . . , sia che essa di-
venti o nò infinita anche in altri punti, e se 'f (2;), essendo pure
monodroma e continua, non diviene infinita negli stessi punti,
indicando con C«. una linea chiusa posta nei detti campi che
racchiuda i punti Xj , Xa , . . , X„ , e non passi per alcun punto
d' infinito né di 's{z) ne di ir{z), e indicando con Yi ? TlM • • ? Tm
i residui corrispondenti agli altri punti d'infinito di 's{z)ii-^ {z)
entro C„, se pur ve ne sono, si avrà la formola:
r m„ n
/ 'p{z)>rP(z)dz-\'!,.= \^
^^i^y%)i,-i^y^-p
^(IJ-hì^— 1.1
ove nella integrazione, ora e in seguito, la linea C,i s' intende
percorsa nel senso diretto ; e di qui , passando al limite col
far crescere C„ indefinitamente, si otterrà subito anche la
formola seguente:
limj^ z{z)w^\z)dz
-Ve,.
\i'nV
Xn
<Ni^— 1)
che varrà tutte le volte che uno dei due membri di essa abbia
un significato.
Son queste le formole che volevamo trovare; e ora è facile
vedere che in esse i termini del secondo membro si esprimono
tutti pei valori di 'f(c) e delle sue derivate nei punti corrispon-
denti X^ , Xo , . . , X,j , . . . , e per quelli delle derivate negli stessi
i)unti della funzione idz) =—-^ inversa della funzione data iviz).
ic{z) ^
li;.'
Si osservi intatti che se a è un punto d'infinito d'ordine \l
di ir{:), esso sarà un infinitesimo dello stess' ordine \i di m(^),
e quindi n{:) per z=a si annullerà insieme alle sue prime |i — 1
derivate, e u^-^\a) sarà diversa da zero; talché applicando il
teorema di Cauchy si avrà:
e di qui calcolando le varie derivate di ?r (2) (2— a)'^^ e poi
facendo z=a , si troverà che esse vengono espresse per
u («), m' (a)..-, ciò che dimostra appunto quanto dice-
vamo poc' anzi (*) .
(*) a). Notiamo di passaggio cbc facendo ^;:=1 la (26) ci dà la forinola
notevole :
lim IO (2) (z—ay = A =
1
che determina il coefficiente A di [^ nello sviluppo di ic(z); e questa nel caso
(z—a) '
particolare di '^=1 dà luogo all'altra lim io («) f z—a) = — r-r che potrebbe trovarsi
u (u)
subito anche direttamente, e che ci mostra che " il residuo di una funzione monodro-
« ma e continua in un punto « ove essa diviene infinita del prim' ordine è l'inversa
•■ della derivata della funzione inversa •> .
b). È pur da notare che supponendo ancora p=l le formole precedenti ci mo-
strano che se o è nn infinito di ordine ,"■ di w{z), il residuo di io{g) in questo
lxc(zi (z-af ]a
punto è L^^(g) (2— «) Jg , 0 il valore per z=o della espressione
— ' - + (z—a) + . . > , per modo che questo residuo
si esprime sempre per le derivate di ordine ,"•,. "-fi. .. .della funzione inversa «(2)
di w (t) prese nel punto a.
'{'(z)
e). Noteremo inoltre che cambiando fCzl in ~ — , e intendendo che la nuova
z — z
funzione «(z) sia ancora raonodroma e continua entro C„ e le '/,• siano ora i residui
di 'r'(~)i':^(z) nei punti d'infinito ^-j ,5fj...di questa funzione diversi da ),) ,/2,..,/,ivii
143
63. In particolare dunque, supponendo che gli infiniti
X| , X^ , . . , X„, . . . siano tutti del prim' ordine, e facendo p=l,
e =2 coir osservare che -7^7-: • appunto il residuo c„ di ?r(^)
M(An)
nel punto ).„ si ottengono le formole seguenti:
(27); -" ■ '
:27) ^ '"•■^^»
w</^-2v^-2-.-f(>-)=2;\j
le quali danno luogo alle altre ai limiti :
\ (2^Uc„ Y ' t ^w(x„)
28) /
che saremo sicuri che sussistono appena si riscontri che uno
dei due membri ha un significato determinato .
La seconda delle (27) poi cambiandovi z{z) in (f(^)'|(e), si
trasforma nell'altra:
e z' non sia un punto d' infinito né di yfz) né di w(z), basta osservare che la som-
m„
ma precedente ^ 7^ conterrà anche il termine f(z') icP^z'} per ottenere subito dalla
1
(25) la formola seguente :
] 7r(y„p— l)iL «'— a J/»
+ lin,k-^r^l!^^lÌ^-S"-^|,
« Ir'
che saremo sicuri che sussiste appena si riscontri che uno dei termini del secondo mem-
bro ha un sigrnificato, e servirà perciò in tal caso a dare uno sviluppo di f («) lo^(a) .
S'intende bene come queste osservazioni possano riescire utilissime nella teo-
rica delle funzioni di una variabile complessa.
1 14
^^* Jc„ 1 1 ( **(^-)
, ,, /y(X..)"'(>>..)-1'(M«"(Xn))
e questa vale qualunque siano le funzioni z{z) e '{^(^), purché
siano mouodrome e continue, e esse o almeno il loro prodotto
non divenga infinito nei punti À, , Àj ,,., X»,; e continua a va-
lere anche al limite quando si riscontri che uno dei suoi membri
conserva un significato determinato .
Neir ipotesi dunque che la funzione '\>{z) soddisfi anche alla
condizione t}>'(X„) w'(X„) — 'j^pv^) m"(X„)=0, la formola precedente
dà luogo alle due:
(^9) 1 ^«i li
delle quali la seconda non può assicurarsi che sussista altro che
quando si riscontra che uno dei due membri ha un significato
determinato; e poiché si soddisfa alla condizione che si ha per
d(^) prendendo '\)(z) = rJ^z) u (2-), ove 7:(^) è una funzione che é
monodroma al solito e continua, e la cui derivata è nulla nei
punti X, , X.,,.., X„,...si hanno anche le formole seguenti:
— y / 'f (^) r.{z) ìc {2) dz — \ Yr =--—y, ■ a =
1
w' {z)_
lim
; 2^ j^ j(2) .(.) ,r (2) .z . - 1 V. I = - 1 ^^^^^
^ '- „2,
2; 'f '(>>") -(>-)
1
145
la seconda delle quali sussiste soltanto quando si riscontri che
uno dei suoi membri ha un significato determinato; e in queste
le Y,- sono i residui della funzione '^{2) z{z) ic\z) nei suoi punti
d' infinito diversi da X, , X.2,..,X„, .., e 'f(^) e t:{2) sono funzioni
di z monodrome e continue che non divengono infinite in questi
punti, e la seconda delle quali gode della proprietà che la sua
derivata Tì\z) è zero nei punti stessi X, ,Xj ,..,Àh ,.., per modo
che se ii{z è sempre finita entro C„, 0 diviene infinita soltanto
di ordine superiore al primo coi residui uguali a zero, indicando
con y{z) una funzione sempre monodroma finita e continua, si
potrà prendere izXz) = -/(z) i({z), ovvero z{z) = j -/{z) ■u{z) d z ,
giacché r integrale / -/{z) ti{z) d z verrà ad essere raonodrorao
e continuo, oc
Prendendo 7r(^) = l, le formole precedenti danno luogo
alle altre notevoli:
f 1 r's{z)u{^^^ !;;- ^L'^'o..)
, — d 3
l-'-là
nelle quali u{z) e 'f(^) sono funzioni di : monodrome e continue
la prima delle quali ammette gli infinitesimi di piim' ordine
, - , 1 ..,.-. '^{z)ii{s)
h. , /.j , . . , X„ , . . ; le Yc sono 1 residui di ~ — 57— — nei suoi
punti d'infinito diversi da Xj , Xj , . , , che cadono entro C,(, e C,j
è una linea chiusa sulla quale non cadono infiniti della fun-
zione ^ ' ■ .
u-{z)
Formole analoghe si avrebbero facendo p==3, 4 , . . nelle
(24) e (25) (*).
(*) Facendo una breve digressiono, mi permetto di notare che le formole trovate pos-
sono riuscire utili anche perla ricerca della somma delle serie ; p< iohè quando è data una
140
64. Ciò premesso, torniamo a considerare le serie del §. 60,
supponendo appunto che in esse le quantità Xj , X^ , . . , X,, , . .
siano infiniti di prim' ordine di una funzione iv{2) monodroma
e continua a distanza finita in campi che contengono i punii
serie v6h, deteriuinando le funzioni ?(2), •/(«), e ic(a) o v{z) in modo che il termine
r
che figura nelle somme dei secondi membri delle formolo stesse, o la riunione di alcuni
di questi termini sia u^'uale a 0„ < la questione della ricerca della somma delle
serie ^^ Qn si ridurrà a quella della determinazione del limite della differenza che
T
figura nei primi membri, e questo in certi casi potrà presentare minori difficoltà.
Ciò apparisce chiaro dai seguenti esempii.
9? senn^tsennj!
]." Vogliasi la somma della sene 2. — s i — ' ove 7 e reale 0 complesso
1 n — /
senza essere però un numero intero, e a. e x sono numeri reali e positivi compresi
fra 0 e ^ .
Supponendo in primo luogo 7 diverso da zero, si osserverà che preso
sen 3t2 senxa ,^ , , . , ?("/«)
<P(t\= — — ; r— , w(z)=cotnz, 0 «(i)=tg7rzja somma dei due termini . , che
sennxsen»wr
corrispondono a /„=: — «e )»=n(n/'0)dà appunto ^_, ^ — ; e quindi, prendendo per
C„ un rettangolo coi lati paralleli agli assi x e y simmetrico intomo all'origine e
che non passi pei punti «^^-J-nT, e servendosi della prima delle (28) con osser-
Tare che in questo caso le quantità 7^ si riducono a quella che corrisponde a sc=7#
sen a 7 sen x 7 cot t 7 . , , ...
e che è uguale a — , si troverà subito;
i 7
Zsen n a sen n 2 sen « 7 sen i V cot r 7 , , . / sen ^ 2 sen x a cot t» ,
= —1 1 1 + limarvi 1 — -, —cu,
j n«-7* 27 J (a-VjsenJTa
ove r integrale è esteso al rettangolo indicato; e quindi la nostra riceica sarà ridotta
a quella del limite dell'integrale del secondo membro.
Ma essendo:
sen a 2 cos r 2 := — sen (t — ot)z -\- cos » a sen - z ,
il medesimo integrale si riduce alla somma:
/'sen X z sen n — a) 2 /''sen x t cos x a .
— r^ d»4- 1 da,
(«-7jsen7i-» J 2-7
e poiché la funzione diviene infinita entro il rettangolo soltanto nel
punto 2=7 col residuo sen x 7 cos a 7, il secondo di questi integrali sarà uguale a
*2 n i sen x 7 cos « 7; quindi sostituendo e riducendo si avrà:
V sen na sen n X senx7sen(7r — «)7 ,. 1 / sen a; « sen (tt — «)« ,
— lim : : f — ; : d».
] n*-7* 2 7 sen 777
Ora avendosi:
1 /^sen X t sen (tt — «]
ìt: yi J (*—'/) sen n »
147
À, , Xj , . . ,À„, . . ; e, ponendoci dapprima nel caso più generale
della serie (15), cerchiamo di soddisfare alle condizioni che
allora si hanno per le serie (10) e (22) e per la somma Gn,<
dei loro primi n termini .
2 sen X j sen f?:— a)a =cos [?r— (x-(-5t^] z -f- cos [r— (z — x)] x,
se pooiamo nell'integrale invece dei seni e coseni le loro espressioni per esponen-
ziali, e osserviamo che x-|-- non arriva a 2??, si vede subito che quando x^x le
porzioni dell' ultimo Integrale che sono estese ai lati orizzontali tendono a zero col-
r allontanarsi di questi lati dall'asse delle x. e quelle estese ai lati verticali si man-
tengono sempre finite e tendono a venire eguali e di segno contrario ; e questo porta
intanto a concludere che se x<:^y. si ha :
y sen n 7. sen n x sen x 7 sen (tt — a) 7
*J » T^ ^^ ;; ì
\ n^ — '/' 2 7 sen ti- 7
e questa formola , a causa della convergenza in uguale grado , e qniudì della conti-
nuità della serie del primo membro, vale an<-he per x=z .
Cangiando ora a? in a, e a in x si trova che per x^ a si ha:
^ sen n a sen n x sen a 7 sen (^ — x) y
l" n^— 7' 2 7 sen rr 7 '
,1 • j- u , j ,1 . , . V ^^°"==sennx ^
e 81 conclude quindi che la somma della sene data \ per x < x
1 n^— /* ^ -^
senxVsenfn^ — y)'/ \ sen a 7 sen (tt — oc) 7 j ,, - 1 1
è — — '- ^^ —, e per x >z è quando 7 e reale 0 complesso
2 7 sen TT 7 — 2 7 sen - 7
essendo però diverso da zero e non intero, ea e x sono compresi fra 0 e tt (0 e tt
evid. incl. ).
Osservando poi che per 7 compreso fra —1 e 1 ( +1 esci. ) la serie data e
le somme trovate, considerate anche come funzioni di 7, sono finite e continue, si
tS sen n y-sennx ^- , , «f^r — ■z)
vede subito clie la sene 1 5 per a; <_ a e uguale a — -— — , e per
j n- ■ — <' "
T'^ a è uguale a ^ — . e così la somma della serie data resta determinata in
di " 27r
termini finiti per tutti i valori di 7 diversi dai numeri inteii +1, +2,..; e questa
somma ha una particolarità notevole, quale è quella di avere due espressioni analitiche
distiute per gli indicati valori di a; e di « .
, ,, . ^ CO8 'in X . _ _
2 " Yoeliasi la somma della sene i, . per a; ira — tt e tt
1 /n sen / n Tf
(^Trescl.), ove le )„),j,.. sono le radici positive della equazione senTrz— 7Tacos7rjp=0,
le quali evidentement» col crescere sempre più di n non sono numeri interi, ma ten-
dono invece verso i numeri della forma — —-.
Per servirsi ora della seconda delle (29) ' si prenderà «fz)=sen -z—tzcost:»,
u'(«) = TT ' z sen TT z , e poi si determinerà il ?(z) colla condizione che sia
Tkrt}. _ /°^ ^"^ ; talché basterà prendere 7(2) =7:«cos »x, 0 ?(z)=-
«'(>n) /nsen ;„ rr
per X diverso da zero, e f{x)—'^^ per x—0
X
US
Ci serviremo per questo delle forinole che abitiamo scritte
sopra:
1 r m„ Il n .^ X
(30) ^
^- 2Ì7X^(^) '^-(^^ ' ^ - ? '^' h ? ^" ^^'"^ =^ ?^ '
Si avrà così dalla formola citata per .e diverso da zero:
V eos Al) a: ,. i / tt* « sen ar z sen tt z ,
2.- — =lini T— . I -— — -dt,
1 A„ sen /„ ;- 27rt ,/c^ x{ sen tt z-z cos tt z J*
quando si prenda per C„ per es. un rettangolo di cui un lato sia suU' asse delle y ,
quello parallelo passi pel punto x^=n, e gli altri due siano a distanza grande quanto
si vuole dall'asse delle x, e s'intenda escluso con un piccolo semicerchio il punto z=0,
perchè in esso la funzione sotto l'integrale diviene infinita del terz' ordine con un
3 3 a;^
residuo che si trova facilmente essere uguale a 77, tt — — — ,
10 2 7T
Ora l'integrale esteso al lato che è sull'asse delle ;/ è zero identicamente
perchè la funzione sotto il segno è dispari; quello esteso al semicerchio divisa
per 27rt è la metà del residuo preso col segno cambiato fperchè il semicerchio viene
3 X* 3
percorso in senso inverso ) e quindi è uguale a ~ ■ 57> ^' S^' integrali estesi ai
lati orizzontali per x fra — tt e t: (+ tt esci.) coll'allontanarsi sempre piii di questi
lati dall'asse delle x tendono a zero, e al tempo stesso l'integrale esteso all'altro
lato verticale su cui z=m-j-ij/, si mantiene sempre finito; dunque sarà evidentemente;
V cos ÀuX 3 X* 3 lim ^ 1 ^' * sen x z sen w »
7 y„sen"/„7r "~ in ~ 20 '^ "' n=oo 2 x J_ ^ (sen na—z cos tt e)* ^'
intendendo che nell'integrale del secondo membro sia 2=n-fi y.
Ma eseguendo una integrazione per parti col prendere sen x z per fattore finito,
si vede subito che la quantità di cni deve cercarsi il limite equivale all'altra:
XOO /»0O
cos a; a —— I cos a; fn-ft 1/) d^
_oosen7r»— TTzcosrz ^ V_oo cos h tt y -f n tt 4- i tt 1/ q: i tgh /r '
ove deve prendersi il segno -j- 0 — secondochè n è pari 0 dispari; dunque poiché
questa per n crescente all'infinito ha per limite zero, si conclude ora senz'altro che
per X diverso da zero e compreso fra — tt e ^ ( + 7rescl.) la somma cercata della
. ? cos >„x ,3 x^ 3
sene 2. e óa ''^ •
1 >„sen>„7r 4 tt 20
Se poi x=0, allora prendendo ^{z) = n'^ a, si trova:
00 1 ì i n^ z^ sen tt z
V . : = lim --— / ,
--' /„ sen /.„ TT ^^^Jc '^^®° ^ ^~''^ " *'^''^
^ di
a)4
140
che danno il modo di esaminare la somma dei primi n termini
00
delia serie \c„'f(X„), e questa serie stessa, o le due formate
1
dalle parti reali e dai coefficienti dell' immaginario dei singoli
termini; e profittando della tanta arbitrarietà che si ha in'f(2'),
e limitandoci a scrivere le formole relative alla serie (19),
giacché per passare poi a quelle relative alla (22) basterà
porre invece di / Y{rj.-\-t)B.,{s ^a. -\-f)dt il valore corrisponden-
do
te A-4.(^) |Ks(2',a--j-0 — K^(^,a){, procureremo di ridurre il
secondo membro della seconda di queste formole (30) alla parte:
co m rt
V \ ^„„ H, (},. , a) / F(a-f 0 H, (Àn , o.^t)dt
1 " T ^0
della espressione (19) , coli' ammettere però che le funzioni
n
Hs(e,a) / F(a-[-0 Hs(^,a-|-^)fZ^ pei varii valori di a e ^ che de-
•^0
vono considerarsi siano funzioni di z monodrome e continue
ove lo è ìv{2)^ e non divengano infinite né complesse nei punti
Per questo, gioverà evidentemente di prendere:
m rt
z{z] = \ 's,{z) R^z , a) / F(a+0 H,(^ ,^.^t)dt,
\ -0
3
e osservando che il residuo per 1=0 della funzione sotto 1 integrale ^ tt^ ^ ' ® P'''^"
. s 1
cedendo come nel caso precedente, si trova che la somma delle sene Z -. ;
1 /uSeny^TT
3
è — — tt; talché si può dire che per x fra — rr e tt {+ tt esci.) si ha sempre la
formola:
V C"S)„ X __ J ^ _ 1 ;y
quando le quantità )n . /^ ,..,).„'•• ^o"" ^^ radici reali e positive delia equazione
sen n » — ~ » cos -2=0.
ir.o
ove le 'f ,(c) , Zìiz) , . . , "fmi^) sono m funzioni di z da determi-
narsi, nionodrome e continue come ìv{z), che possono anche
essere tutte eguali fra loro , e anche esseie tutte costanti; e
oltre non divenire infinite nei punti X^ , X., , . . , X„ , . . , devono
esser tali che la funzione (f{z) non divenga infinitesima in
questi punti, o almeno vi deve essere una classe di un numero
infinito dei punti stessi che non sono infinitesimi di (f{z) per
nessuno dei valori di a e di ^ che occorre di considerare.
Ora con questo valore di 'f{z) la prima delle formolo (30)
diviene :
1 r w rt m„
(31)p-7 / uiz)dzy^^{z)B,iz,<,) F(a+OH,(.-,a+/)c?^-VY.=
n in rt
1 '^ 1 «^0
ove le Yi , Ya' • • ? Ym sono i residui della funzione sotto il segno
integrale corrispondenti ai punti d'infinito diversi da Xi,X9,..,X„
(se ve ne sono) che cadono entro C„; e quindi, separando in
questa equazione la parte reale dalla parte immaginaria, s' in-
tende subito che se avverrà che per a compieso fra certi nu-
meri a e b dati o da determinarsi convenientemente, e per t
diverso da zero e compreso fra 0 e b — a {b—a al più esci, per
a=fl ) la parte reale della quantità :
1 r m rt nin
(32) 2^ / uiz)dzS^lz)R,{z,^) / F(a+OH,(^,a+0^^- ^'ir
JCn i JO 1
abbia un limite determinato e finito '/(a,^) che come funzione
di t fra gli stessi limiti 0, e b — a (0 esci, ec.) è una funzione
finita e continua che ammette una derivata parziale r-^ finita
it
e atta alla integrazione da 0 a b — a, e se lo stesso accadrà
per t compreso fra a— a e 0 (0 esci, ec), allora indicando iu
generale col simbolo [a]^ la parte reale della quantità a, si
avrà la formola seguente:
151
7.(a,±0) = - / ^^^+2„2J^"'^(^^-^1 H.(X.,,a) / F(a+0 H. (X„ , a+0^ ^
^0 ' ' 11 ^ Jo
che varrà per t diverso da zero e compreso fra 0 e b — a
o fra a— a e 0 (gli estremi ±{b—a) al più esci, per
a=a 0 a=6), e intendendo che in •/(a,±0) debba prendersi
il segno + 0 il segno — secondochè t è positivo o negativo ;
e in queste formole -~ potrà anche essere discontinua o infi-
nita per ^=0.
Di qui apparisce che se la funzione /(a,ri sarà disconti-
nua per t=^0 per modo che y(a, -fO) e -/(a, — 0) siano diverse
da zero e siano uguali e di segno contrario e indipendenti
da a , rimarrà intanto soddisfatta la condizione relativa alla
convergenza e alla somma della serie (19) quando si prenda
'f{t , a , /ìq) = — -rj ,p„ ,8 = [ c„ 'SsQ.n ) ]o, e conseguentemente
G=-/(7.,+0). ^
Colle notazioni precedenti poi si verrà ad avere:
''>v..
n m rt
Gn,^ = -j ^dt + 2, 21s C^^ '^«(^-)] 0 S, (Xr , a) / F(a+0 H.(X. , o.^-t) d t =
r Chy ( 1 r m rt m„ )
I =- / :^-dt^-]^^. uiz)dz\M^)Bsiz,a) F{oi-^t)Us{z,a^t)dt- ^ Yr ,
•^0 '' ' "' -^Cn 1 «^0 1 ^
' i) G "^v ^ ***
X^-^= 'f (^ , « , ^») = - ^^ + ;S, 2, t^^^ 'f^ (^'•)^o H« (>^r , «) H. (X, , a-[-0 F (a+0 =
1 ' 1
= - ^ + V 9^^ / <'^ '^ ' 1 r' (^) ^^ (-^O F(a 0 H,(^ , a-{-t)dt - ^'(r U
te^, e se Sj è un numero positivo piccolissimo, per t compreso
fra a — ix e — s^ e fra Sj e h — a ( a.=a o a=ò al più esci. )
\\
questa quantità— r—'—-, o ( il che è lo stesso) la derivata rispetto
a t della parte reale della espressione (32), dovrà restare nu-
mericamente inferiore a un numero finito qualunque sia «; e
quando queste condizioni siano soddisfatte, allora per concludere
che lo sviluppo (15) è applicabile alla funzione /"(.r) nei soliti
casi basterà vedere se la somma G,„< o la sua derivata — r-*—
ò t
per t fra — s e s soddisfa alle solite condizioni dei paragrafi
precedenti; e in particolare quando (limitandosi a considerare
f^x) nei punti a negli intorni dei quali essa non fò infinite
oscillazioni o ha una derivata che resta atta alla integrazione
anche ridotta ai valori assoluti) si richiederà soltanto che G„,/
debba essere sempre finito fra — e e s, allora basterà verificare
questo per la solita parte reale della espressione (32).
E se avverrà che per un numero finito di valori di t fra
a — a e — s, o fra s, e h — a non sia soddisfatta la condizione
che — ;- — resti numericamente inferiore a un numero finito
e t
qualunque sia n, o si sarà incerti, allora bisognerà che la fun-
\ n
zione f{r) sia tale che l'integrale del prodotto /(a-f^) ,
o quello del prodotto di /"(a-j-O P^r la derivata rispetto a t
della parte reale della espressione (32), esteso a intorni suffi-
cientemente piccoli degli stessi punti la cui ampiezza non
dipenda da n, sia numericamente inferiore a quel numero che
più ci piace qualunque sia n, e ciò anche riducendo il prodotto
medesimo ai suoi valori assoluti (§. 57); e quando questa condizione
si trovi soddisfatta non occorrerà fare le altre verificazioni su
G„,< pei valori eccezionali di t ora indicati.
Gli stessi risultati si hanno se, invece che per la parte
reale della espressione (32), le condizioni qui indicate si verifi-
cano pel coefficiente dell'immaginario, intendendo però allora
che il simbolo [a]Q indichi il coefficiente dell'immaginario di a;
quindi si ha così un teorema generale che, sebbene di un enun-
ciato assai complicato per le varie condizioni che porta, e per
la generalità che voglio ancora conservare, mi sembra però di
molta importanza, come apparirà chiaro anche dall'applicazioni
che poi ne farò ; e questo teorema è il seguente: , Se pei
, valori di x in un conveniente intervallo dato o da deter-
„ minarsi (a , b) le m funzioni H^ (0 ,x),E^{z,x)^..^E.m{z, x)
„ sono anche funzioni monodrome e continue della variabile
„ complessa z in campi che contengono i punti indici delle
„ quantità reali 0 complesse Xj , Xa ,.., À„ , . . , nei quali punti
„ le funzioni stesse H^,H2,..,Hm hanno valori reali; e se queste
„ quantità X^ , X.2 ,.. , X„,. . sono date come infiniti o parte degli
„ infiniti di prim'ordine di una funzione pur monodroma e con-
„ tinua negli stessi campi ir{z), 0 come radici 0 parte delle
, radici della equazione trascendente — 7- =0, o almeno sono
w{z)
y, quantità tali che con esse, sole o insieme ad altre, si possa
„ costruire una tal funzione uiz) che le abbia per infiniti di
„ prim' ordine; allora, una funzione f{x) della variabile x^ data
„ arbitrariamente nell'intervallo (a , h) potrà svilupparsi nei
„ soliti casi pei punti a di questo intervallo in serie della
, forma:
1 r^
(33) ^jm'i{x-o.,a.,h,)dx^
1 °^( . ,
+ oTa ^ i^»"i -^1 (^«1°^) "h Pw,2Hv2 (X,„a) -)-••• + P>i,m H^ (X„,a)|
con
(34) P„,. =p,,, I f{x) Fico) H., (X,„.r) dx,
r
„ essendo G e j;„„ costanti determinate, e F(.r) una funzione
„ reale e conveniente di x; e ciò tutte le volte che riescano
, soddisfatte le condizioni seguenti:
154
1.*' .che si possano trovare ni finizioni di z ^j(2'),!pj(e),..,'^,„(^)
tali che la funzione :
m rt
? (-') = 5 'hiz) Us{z , a) F(a+0 Es{z ,a-^t)dt
1 ^0
risulti monodroma e continua nei soliti campi suindicati, e
che al tempo stesso indicando con Yi ? T-i ^ • • Y*" ? • • i residui
della funzione 's{z)ìr{z) n^i suoi punti d' infinito v,,Vj,.MVr»i ,••
diversi da X, , X., ...,X„, .., e descrivendo una linea chiusa Cn
entro gli stessi campi che non passi per alcun punto d'infinito
della medesima funzione z{z) ir{z) ma contenga nel suo interno
i punti Xj , Xj , . . , X„ e tutt' al più anche gli altri punti
^1 1 '•'5 1 • • 1 '•'in , si trovi che la parte reale ( o il coefficiente
deir immaginario ) della quantità :
1 r ^"
(35) K^. hiU-)ir{z)dz-2'ir =
\ r m rt nin
= 2^. / tv{z) d^2 ?(^)H.(^^a) / F(7.+0H.(^,a-f O^i-2 >
' • C„ 1 «^0 1
pei valori di t compresi nei soliti intervalli ( a — a , — £^ ) ,
(£| , b — a) abbia una derivata il cui valore assoluto è infe-
riore a un certo numero finito, qualunque sia 1' ampiezza
della linea C„; e di piìi , col crescere indefinito di C^ la
parte reale (o il coefficiente dell'immaginario) della quantità
stessa (35) pei valori di a fra a e 6 (a e 6 al più esci.) e
pei valori di t fra a — a e b — a abbia per limite una fun-
zione /(5t,0 che, oltre essere finita e continua per tutti i
valori di t fuorché per ^=0, ammetta pei valori di t diversi
da zero una derivata determinata -/ finita e attn alla inte-
ct
grazione fra 0 e ò^— a e fra a — a e 0, e sia tale altresì che le
due quantità /(^•, -]-0), "/(a, — 0) siano diverse da zero uguali
e di segno contrario e indipendenti da a.
155
2." „ che pei valori di t fra — z e s la quantità che ora
corrisponde alla G„,ì:
-{^>+[Lf,[
m,
y, [ ove s' intende che il secondo termine sia la parte reale ( o
„ il coefficiente dell' immaginario ) del termine stesso ], o la
, derivata di questa quantità, soddisfino alle solite condizioni
» dei paragrafi precedenti pel valore a che si considera; e nel
„ caso particolare in cui ( considerando la funzione f{x) sol-
, tanto nei punti a nei cui intorni non fa infinite oscillazioni
„ o ammette una derivata che resta atta alla integra'-^ione anche
„ ridotta ai suoi valori assoluti ) ci si limiti a richiedere che
„ fra — e e s Gn,t debba restar sempre numericamente inferiore
, a un numero finito, allora basterà che questa condizione si
„ trovi soddisfatta per la parte reale ( o per il coefficiente
„ dell' immaginario ) della solita espressione (35) „ .
E se avverrà che per un numero finito di valori di t
fra a — a e — s, o fra B^ e b — a la derivata rispetto a t della
espressione (35) non sia numericamente inferiore a un certo
numero finito qualunque sia l'ampiezza di Cm, o si sia incerti,
allora bisognerà che il prodotto di questa derivata per /"(a-j-^) o
"^ ri
l'altro /"(a-j-O — ^r^^ soddisfi alla condizione indicata sopra
(§. 57); e in tal caso per questi valori eccezionali di t non sarà
neppure necessario di fare le altre verificazioni.
Le indicate verificazioni poi, anziché sulla parte reale o sul
coefficiente dell' immaginario della espressione (35) o sui loro
limiti, potranno farsi talvolta con maggiore facilità sulle parti
corrispondenti della somma o delle serie che loro corrispon-
dono secondo le formole precedenti. Ordinariamente poi la
derivata della espressione (35), oltre che sotto la forma :
n m
V V e. 'fs (X.) H.(X, , a) H., (X, , a-f 0 F(a+0,
ri-
156
che risulta dalla (31), potrà porsi anche sotto T altra:
2
iTT / ^'^^^ 2 "^'^'^ H.(. , a) H.(^ , a+0 i^ - --^ 2; V. ,
*^C„ 1 *^ 1
e le verifìcaz'oni relative potranno farsi sulla parte reale o sul
coefficiente dell' immaginario nell' una o nell' altra di queste
espressioni; e quando in un modo o in un altro le indicate
verificazioni siano state fatte , allora potrà dirsi che nella
serie (15) si ha :
?(^ « , ^0 ) = — >-■ , V»:s= ic» 'h Om.)]o . C^=/ (a , -f 0),
^Y r 1 3 r c> """
n m
+ 2 S t^'- '^*(^'^')]o H« (X. , a) H, (X, , a+0 F(a+0 ,
(36), Y'f'
U ^{t,oi, K)dt=yi',.,±0) -y(a,04- T^. K(^) Hz)dz - Y T..1=x(«,±0)-
« ;» ri
—/(a,0+ 5; 1 [ e,, 'f, (X,) ]o H, (X.. , a) / F(a+0 H.(X,. , a+O'^^,
ove Ci,Cj , . . , c„ ,.., sono i residui di iv{z) nei punti d'infinito
XjjXa,.., X„ ,..; in y{a,±0) deve prendersi il segno 4" o il se-
gno — secondochè nella formola il t è positivo o negativo; e
i simboli [ ]q indicano, secondo i casi, la parte reale o il coef-
ficiente dell' immaginario della quantità entro la parentesi.
Ordinariamente poi potranno invertirsi le integrazioni rela-
tive a i e a 2", e talvolta facendo questa inversione i calcoli
potranno ridursi più semplici.
65. Merita inoltre di essere notato che , in forza delle
nostre ipotesi e della equazione (31), se si troverà che i pro-
dotti Cr 'Ss (X,) sono reali ( o puramente immaginarli) altrettanto
157
dovrà accadere della espressione (35) e della funzione -/(a , /) , e
quindi le verificazioni potranno farsi senz' altro sulla espres-
sione stessa e sulla sua derivata ec. (o su queste quantità divise
per i ); 1' immaginario venendo a sparire di suo a calcoli ese-
guiti .
Se poi, senza stare a distinguere la parte reale dalla
immaginaria nella espressione (35) e nella sua derivata, trove-
remo che si verificano pei moduli le particolarità che sopra si
chiedevano pei valori assoluti delle parti reali (o dei coefficienti
dell'immaginario ); e oltre a ciò troveremo che per m=oo la
intiera espressione (35) ha un limite determinato e finito (reale
o complesso); e indicato ancora questo limite con y(a,f), esso
gode delle proprietà dette sopra, o anche, senza soddisfare alla
condizione •/(a,-|-0)= — yi.'^i — 0), è tale che sono diverse
da zero e eguali e di segno contrario le parti reali di y(a , -|-0)
e '/(a, — 0) , 0 lo sono le parti immaginarie; allora le condi-
zioni del teorema rimarranno tutte verificate di per sé sulle
formole che si ottengono prendendo soltanto la parte reale
delle quantità che vi figurano, o prendendo soltanto i coefficienti
delle parti immaginarie; talché lo sviluppo (33) sarà certamente
applicabile .
E per questo appunto che, senza distinguere nelle nostre
formole la parte reale dalla parte immaginaria , le verifica-
zioni verranno fatte da noi sulla intiera espressione (35) o sulla
sua derivata; coli' avvertenza soltanto che quando si trovi che
qualche condizione non è soddisfatta e i coefficienti Cr^ps^kr)
sono complessi, allora converrà passare a considerare separa-
tamente le parti reali o le parti immaginarie, potendo darsi
per es. che l'indeterminazione nel limite della espressione (35)
provenga dalla parte immaginaria e non dalla parte reale, ec.
Giova però avvertire che se nel fare queste verificazioni
sulla intiera espressione (35) si troverà che la sola condizione
non soddisfatta è quella'relativa alle parti reali o immaginarie di
•/(a , -1-0) e /(a,— 0), e si avrà 7(a,-[-0)=[j,-|-?"v,7(a,— 0)==p-[-«o,
senza che sia né |x=^ — p , nò v= — a; allora fatta eccezione sol-
tanto pel caso in cui si avesse f> v — [x a = 0 , potremo sempre
i:s8
determinare iiitiniti numeri reali p e q pei quali si abbia
^p — vq = — (p ^ — 0 g-), ovvero ([x+fj) p— (v-p'^) ?=0, senza
che ^p — vq sia uguale allo zero; e quindi se alle funzioni 'f«(2')
sostituiremo le altre (p+' 9)'f*(-?) rimarrà soddisfatta anche la
condizione che dapprima non trovavasi verificata.
66. Aggiungiamo ora che, come notammo sopra, le fun-
zioni cp,(^),'fj(^),.. 'fm(^) non possono divenire infinitesime in
ciascuno dei punti X, , Xj , . . X„ , . . ; ma questa condizione (cui
pure talvolta gioverà di tenere mente nel fare la determinazione
delle funzioni stesse ) sarà soddisfatta di per sé quando lo sa-
ranno le altre condizioni poste sopra, E quando, come ordi-
nariamente accade , i punti X, , Xg , . . , X„ , . . sono tutti da una
stessa parte di uno degli assi x e y, per es. a destra di quello
delle y, allora potrà prendersi per linea C„ una linea che sia
anch'essa tutta a destra di quest'asse, come ad es. Tasse delle y
e una mezza circonferenza col centro all'origine, o un rettan-
golo di cui un lato sia sull' asse delle y, quando però non vi
siano punti d'infinito di 's{z) w{z) su' quest'asse, o altrimenti
escludendo questi punti con piccoli semicerchi, ec. . . In questi
casi poi l'integrale / <p(z) tv{z) d z esteso ad alcune porzioni di
Cn potrà talvolta essere zero identicamente, o tendere a zero
al crescere indefinito di Cm, e allora questa parte potrà trala-
sciarsi senz'altro; e così per es. se l'asse delle y farà parte di
C„ e la funzione 't[z)w{z) cambierà soltanto di segno al mutare
di z in — 2^, 0 almeno questo avverrà sull'asse delle ?/, allora
nell' integrale / 'Jf{z) w{z)dz potrà tralasciarsi la parte estesa al-
r asse delle ?/, poiché essa sarà zero identicamente, ec.
1 r """
67. Lo studio della difiFerenza ^r~. I '^{z) w{2) dz — ^ Yr,
ove C„ è l'intiera linea C„ o quella parte di essa che, secondo
quanto abbiamo detto, basterà di considerare, presenterà spesso
co
difficoltà assai gravi. Giova però notare che se la serie \ Tf
1
150
si ridurrà a un numero finito ili termini o si saprà che è
convergente , allora nel cercare per es. il limite della indicata
differenza ( o delle sue parti reali o immaginarie), basterà limi-
tarsi a considerare l'integrale ^—. 1 z{z)tc{2)d2', e se il prodot-
te „
to z{z)w{z) quando il modulo di z sia sufficientemente grande
si potrà porre sotto la forma P(a , ^ , z) -}- A(a , ^ , 2), ove per
aef compresi fra i soliti limiti (dati o da determinarsi) P(a,^, s)
è sempre raonodroma e continua entro le curve C„ e diviene
infinita in un numero limitato o illimitato di punti a, , a., , . .
coi residui 6, , i.j , . . che in generale dipenderanno da a e
da t, mentre A( a , ^ , : ) è tale che l'integrale / A{cf.,t,z)dz
al crescere indefinito di C„ abbia per limite zero o una quan-
tità conosciuta A ot , t), allora la quantità da considerarsi si
ridurrà all' altra -^. / P(a , ^ 2) (/ 2 + ^^ - 5 Y ,• , e
basterà vedere se il limite di questa (0 della sua parte reale
o del coefficiente dell' immaginario ) darà una funzione '/(a , t)
che soddisfa alle condizioni generali poste sopra.
Nel caso poi che C „ sia l'intiera linea C„ e non vi siano su
ir
essa punti d'infinito di P(a,^,:), all'integrale,^ — / P(a , ^ , :) dz
potremo sostituire senz' altro la somma S h. dei residui di
P(a,^,2); mentre se C'„ è soltanto una parte di C„ ed è
percorsa nel senso diretto, formando con questa parte C'„ e
con un altra linea C"„ un contorno chiuso che non passi
mai per alcuno dei punti 0, , a^ , . . , e che potrà anche essere
la intera linea primitiva C„ , noi potremo sostituire all' inte-
grale — I P(a ,t,:)dz la somma 1 b, dei residui , con più
'C'
1 HO
r integrale - . / P ( a , ^ , : ) f? : esteso alla linea aggiunta C"„
percorsa conrenientemente.
Rispetto poi air integrale / A(a ,t,i)dz farò osservare
che quando C'„ sarà una porzione di cerchio di raggio p,
9 i
allora, avendosi su C'„ :=f> e ^d: = z i d^, e Tintegrazione
rispetto a 0 venendo a farsi fra limiti finiti, l'integrale stesso
al crescere indefinito di Cu verrà ad avere per limite zero tutte
le volte che su C'„ la funzione z Afa , < , :) finisce per avere un
modulo sempre inferiore a un numero arbitrariamente piccolo
in tutti i punti di C'm, o fatta tutt' al più eccezione per un
numero finito di punti nei cui intorni però il detto modulo
resta ancora finito, ec.
Queste osservazioni ed altre simili che caso per caso si
presenteranno spesso spontaneamente , potranno tornare utili
anche per gli altri studi che dovremo fare sulla differenza
1 r ^""
^r— ; / 9(2) U'{z)dz — y Y,- per applicare il teorema enunciato
2^VC'„ 1
sopra .
68. Ma la difficoltà più grave per l' applicazione del teo-
rema del §. 64. proverrà di solito dalla ricerca che sarebbe da
farsi delle funzioni 9,(2) , cpo(:) , . . , 's>m{^)'
In certi casi però queste funzioni si trovano subito ; e
d'altronde, poiché il più spesso invece degli sviluppi (15) si
hanno da considerare quelli più particolari (16) , la indicata
difficoltà nei casi ordinarii viene a sparire di per sé; perchè
essendo dati allora anticipatamente i coefficienti ^^,,, e alle serie
(19) 0 (22) venendo a sostituirsi le (20) o (23) nelle quali tutto è
già conosciuto, si vede subito come debbano essere scelte le
funzioni 'f ,(^) , '^2(2^) , . , , 'fm(^) , 0 la funzione 'f(^) che compa-
risce nell'integrale ^. I <p{z) tv{z) d js .
161
In questo caso infatti, por potere applicare le formole (30)
conviene ridurre la serie V c„'f(X„), o 1' altra V ^'/VT ®^®
u{z) è l'inversa di w{z), alle forme (20) o (23); dunque, limi-
tandosi al caso della serie (20), evidentemente la funzione 's{z)
dovrà ora determinarsi colla formola :
r,a) / F(a-
H,(^,a) F(a+0 H,(^ , a-\-t)dt
ni Jq
ove la 7r,( a , f , ^ ) è una funzione monodroma di z che si
annulla nei punti À, , }.j , . . , À„ , . . ma che del resto è ar-
bitraria, e quindi può anche prendersi uguale a zero senz' al-
tro , o in quel modo che più tornerà adatto pei calcoli da
farsi ; giacché ( come anche del resto potrebbe vedersi diret-
tamente), non venendo essa a figurare nel secondo membro
della formola (20), non può alterare il valore del primo
membro .
Così facendo la prima delle (30) ci darà la formola:
-1 r nin n m
^0
2-^-^: f rr ^^
i
F(0 H.^(X. ,t)dt
ove 'c{z) è data dalle formole precedenti, e le Yr sono i residui
di z{z) iv{z) nei punti d'infinito entro C,, diversi da X, , Xj , . . . ,
X„,.., talché evidentemente la questione della possibilità o nò
di rappresentare la funzione f{r) data fra a e b con una
serie come la (16) viene ridotta all'esame della differenza
1 r '""
^ — ; / z{z) iv{z) d z — V Y>- ^3. quale ora contiene l'immaginario
1C2
soltanto apparentemente ( perchè il secondo membro della
formola precedente è reale ) ; e per a compreso fra a e b
questa differenza deve avere per limite ^ quando t è diverso
da zero e compreso fra 0 e b — a, e — - quando t è pure di-
verso da zero e compreso fra a — a e 0 (gli estremi ±{b — a)
al più esci, per rt^=a o a=/>); e per questa differenza si do-
vranno avere inoltre le varie particolarità che si richiedevano
nel caso precedente, intendendo però ora che la quantità allora
indicata con /(a , t) debba essere per t positivo e — ^ per
t negativo.
In questo caso particolare dunque il teorema del §. 64.
prende l'enunciato più semplice seguente: , Posti gli stessi
„ dati che nel teorema del §. 64. con più la. condizione che
, quando non è al tempo stesso s^^t , n=p si abbia :
(37) / F{x) H,(X,. , X) H,(X„ ,x)dx^O,
, si può assicurare che una funzione di una variabile reale x
^ data arbitrariamente fra a e ò si svilupperà nei soliti casi
, secondo la serie:
00 ( )
(38) y ) 3n,i Hi(X,. , a) + q,,,^ H.(X„ , a) + . . . + ^„ „„ H„. (X„ , 7.)
f ^ '
«ove:
(39) qn
rb
f f{x)F{x)B.{K,x)clx
a
/ F{X) Es\ln , X) dx
3 tutte le volte che ponendo:
163
m
H,(c,a) V{y.+t)UXz,^.-^t)dt
^(-y=is — ^TT — ^ ^''(^^) + "i^'^- ' ^ ' -) '
, questa funzione z(2) pei valori di a e di ^ che si conside-
„ rano risulta una funzione monodroma e continua di z entro
„ i soliti campi C„ tale che la differenza:
1 r "^»*
(40) 2:^- '^(^)^'-(^)dz-2'(r
„ per a compreso fra a e b {a e h al più esci.) al crescere in-
„ definito di C„ abbia per limite — quando t è fra 0 e b — a,
di
„ e — 7^ quando t è fra « — a e 0 (0 sempre esci); e di più
„ per ogni valore di n e pei valori di t compresi nei soliti
, intervalli da a — a a — Sj e da £[ a b — a la stessa differenza
„ abbia una derivata rispetto a t sempre inferiore a un numero
, finito, e similmente pei valori di i compresi fra — s e e la
, differenza medesima abbia un valore numericamente inferiore
„ a un numero finito, o soddisfi alle solite condizioni dei pa-
a rajjrafi precedenti „.
Al solito poi se la derivata rispetto a f della espressione
(40) per un numero finito di valori di t negli intervalli da
a — a a — =, e da =j a b — a non si manterrà sempre nume-
ricamente inferiore a un numero finito o si sarà incerti, il
prodotto di essa per f(a-\-t) negli intorni degli stessi punti
dovrà soddisfare alla condizione d' integrabilità che si aveva
negli stessi casi per /"(a-J-^) G„,( nei paragrafi precedenti; e
allora per questi valori eccezionali di t non occorrerà fare le
altre verificazioni sulla differenza (40) .
Né si deve dimenticare che in queste forraole la funzione
^((a,^,^) potrà, come fu detto sopra, essere presa uguale a zero,
164
o anche in quell'altro modo qualsiasi clie più renderà agevole
r esaaie della indicata ditFerenza (40), con che però essa si an-
nulli nei pùnti X, ,Xo , . . , X„ , . . , e. sia monodroma e continua
entro C„. Al variare poi di questa funzione ti, (a, #,2^) varie-
ranno naturahiiente, come 's{z), anche le quantità •/■>■ che sono i
residui di 'f{z)w{z) nei punti d'infinito diversi da X, ,X.2,.., X„ ,.•;
e in ogni caso per 1' esame de la differenza (40) potranno gio-
vare le considerazioni del paragrafo precedente .
69. Se invece delle (30) si usano le altre formole simili
che abbiamo date nel §. 63, si trovano dei teoremi analoghi
a quelli dei paragrafi precedenti che in certi casi possono
servire nn^glio di questi per esaminare se sia possibile svilup-
pare la solita funzione f{x) secondo le serie (15) o (10).
Limitiamoci infatti a considerare il caso più comune della
serie (10), e ricordiamo che nel §. 03. si trovò la formola:
I , w'(X„)
ove 's{z) , w{z) , ì({z) e -(,■ hanno i soliti significati generali del
§. 63 stesso , e la funzione ^{z) è anch' essa monodroma e
continua entro C»i, e olti-e a ciò soddisfa alla condizione
<j>'(Xn) ?^'(X„) — '\tQ^n)it'"Q^K)=0 per modo che può prendersi sempre
'\){s') = 7:{z) u'{z) ove ~{z) è monodroma e continua entro Cn e
la sua derivata si annulla nei punti Xj,X., , . . ,X„ , . . ; e se vor-
remo servirci di questa formola per studiare la serie (20) e
la somma dei suoi primi n termini, converrà potere determina-
re ff{z) e >h{0) in modo che si abbia:
?'(>-) 'KM _'-v '^^
H,(X,. , oc) / F(a+0 H,(X„,7.+0 dt
u'iK)^ f fb
I.
con
F(0 H.2(X„ ,t)dt
'y(u)u\K,)-^(K„)u'{K,) = o.
165
Per questo basterà che sia:
^^^ H.(^ , a) / F(a+0 II.(^ , a-f 0 d t
^'.^)=2 7t ^ "'(-^)'-^ 'i^'^^ ' ^ *) '
^ 'ì^iz) F{t)E,\z,t)dt
con:
f (x,o m'(x„) - 'K>M.) «"(U — 0,
ove ^((a.f,^) deve essa pure essere monodroma e continua entro
Cm e annullarsi nei punti X^ , Xg ,.• i^m • -j" dunque se questa fun-
zione;r|(^,a,f) potrà determinarsi insieme a '\i{z) in modo che ^'(^)
sia finita entro C„, o che nei punti d'infinito che essa vi avesse i
residui corrispondenti siano uguali a zero, allora siccome la fun-
zione 'f(2) verrà ad essere monodroma ontro C„, si potrà assicu-
rare che si ha la formola :
• ^,,^^ ^ ^ H.(X.,a) rr(a+OH,(X.,a+0^^
ove nel primo membro l' immaginario non sarà che apparente
perchè il secondo è reale; talché si conclude ora senz' altro che
, Po^ti i dati del paragrafo precedente, la funzione f{x) data fra
„ a e & sarà sviluppabile nei soliti casi in serie della forma:
2 1 5'«,i Hi (X„ , a) + 2.1,2 H/ X„,a) -{-...•{- 2„,„, H« (X„ , a j ,
ove
f{x)Y[x)E,i:k^,x)dx
'a
/F(a;)H.2(XH,.r)dr
y, tutte le volte che:
166
1.*^ indicata con ^{z) una funzione monodroraa e continua
, entro C» por la quale si abbia '{^'(X„) «'(^^O-^'yP^n) «' (^^»i)=0,
, e con z^('x,f,z) una funzione pur monodroma e continua
, entro C„ che si annulli nei punti À|,Xo,X,i,.., si possano deter-
„ minare queste funzioni in modo^che la espressione:
(41) 2 -b — ■ ^''^^^' "^''^''' ' ^ '^^'
, resti sempre finita entro C,i o abbia i suoi infiniti di ordine
„ superiore al primo e coi residui tniti uguali a zero;
2.^ „ che determinata una funzione '^{z) (clie allora sarà
„ pur monodroma e continua entro C„) che abbia per derivata
„ la espressione (41), si trovi che la diff"erenza:
-I n Wu
, al crescere indefinito di C» pei valori di a fra a e i (a e è
, al più esci.) ha per limite - quando t è diverso da zero e
„ compreso fra 0 e b — a e — ^ quando t è pur diverso da zero
, e compreso fra a — a e 0; e di più si trovi che per ogni
^ valore di « e pei valori di t nei soliti intervalli (a — a , — s,),
, (s, , h — a) la stessa differenza ha una derivata rispetto a t
„ numericamente inferiore a un numero finito, e pei valori di t
ji compresi fra — e e s questa differenza è sempre numericamente
„ inferiore a un numero finito, o soddisfa alle altre condizioni
„ dei paragrafi precedenti „.
Al solito poi se la derivata rispetto a t della espressione
(42) non soddisfarà alla condizione di esser sempre numerica-
mente inferiore a un numero finito negli intervalli (a — a, — «/) ,
107
(e, , b — a), o si s^rà incerti, allora il prodotto di questa derivata
per /"(a-j-^ ) negli intorni dei punti di eccezione, supposti in
numero finito , dovrà soddisfare alla coudizione stessa che nei
casi simili si aveva pel j>rodotto f{y.-\-t) Gn.t nei paragrafi pre-
cedenti ; e non vi sarà bisogno di verificare se per questi
valori di t le altre condizioni sono soddisfatte .
E si può notare che spesso vi rimarrà molta arbitrarietà
per le funzioni <^{z} e 7r,(a,^,^); e di questa arbitrarietà po-
tremo giovarci per rendere più semplice la determinazione di
i r m»
<£(^), o l'esame della differenza ^r— . / z{z) ^{z) w\z) dz — "V y^ pel
quale esame potranno tornare utili anche le considerazioni
del §. 67.
Inoltre si deve notare che quando il teorema ora dimo-
strato, 0 gli altri analoghi che si potrebbero ottenere valendosi
delle altre formole del §. 63, ci conducono a concludere che gli
sviluppi sotto la forma (15) o (16) sono possibili, anche i teo-
remi dei paragrafi precedenti ci condurrebbero evidentemente a
concludere altrettanto, ma in certi casi potrebbero essere di una
applicazione più difficile.
70. È ora utile l'osservare che se cercando i limiti delle
espressioni (40) o (42), invece di trovare ^ quanto t è positi-
vo e — - quando t è negativo, si trovasse per limite una
Là
1
funzione di t che per t positivo è ugual-^ a- 9 + 7i(^rO ^ per t
negativo è uguale a — 9 + 7i(^ 1 0 1 0^6 /[(a , t) è finita e
continua, si annulla con f, e ammette una derivata che è determi-
nata e finita rispetto a t per ogni valore di a fra r/ e 6 (a e è al
più esci.) e per ogni valore di t fra a — a e h — a, tranne tutt'al
più pei soliti valori eccezionali di t in numero finito negl' in-
r ^.,
torni dei quali però V integrale / f{''J.-\-t) ~ d t è piccolo a
168
piacere anche ridiicetido f{'y--\-t) -^ ai suoi valori assoluti; al-
lora non saranno applicabili i teoremi dei due paragrafi pre-
cedenti, e non si avrà precisamente lo sviluppo (38), ma sarà
evidentemente applicabile il teorema del §. 64; e invece delio-
sviluppo (38) se ne avrà un altro che differisce da questo per
t\jr) [Jf-]dx , ove ( ~ j indica
ciò che diviene -— cambiandovi t in x — a, per modo cioè che
si ha lo sviluppo :
- / f{^) (^) ^ X + V I g,.„ H,(A.„a) + . . . + 2n,«. H„.(X„a) |
ove le 5„„ sono date ancora dalla (39).
71. E inoltre degno di nota che quando il teorema del
§. 64. è applicabile, colle notazioni in esso usate si ha la for-
mola :
00 00 rt
(43) y>,0=V„S.^»'f*C/-)]oHA.,a) / F(a-fOH.(X„,a+0^^
ove t è diverso da zero e compreso fra 0 e h — a o fra a — a
e 0 (a:=:a, e a.==b al più esci. ) .
Invece quando saranno applicabili i teoremi dei §§. 68
0 69, avremo 1' altra formola:
H,(X„ , a) l F(a+0 H,(X„ , a-4 0 d t
(44) ± i =:s« 1^ TT, ,
* ^ Y{t)E.MX„,t)dt
ove t è ancora diverso da zero e compreso negli intervalli
precedenti, e nel primo membro deve prendersi il segno -|~ o
il segno — secondochè t è positivo o negativo.
169
72. Prima di passare a applicare i teoremi ultimamente
dimostrati e quelli dei §§. 57, 58, 59 e 60 ci è utile di fare
una osservazione generale .
Si incominci perciò dal notare che avendo applicato sem-
pre il teorema del §. 23, nella dimostrazione del quale si ebbe
in mira di non porre alcuna limitazione per la funzione f{x)
air infuori di quella di essere finita e integrabile fra a e ò,
n' è venuto di necessità che nei teoremi del capitolo presente
abbiamo dovuto porre sempre la condizione che la derivata
rispetto a t della quantità indicata con G,,,^ o delle differen-
ze (35), (40) 0 (42) per tutti i valori di t fra a — a e — $| e
fra Ej e h — a restasse sempre numericamente inferiore a un
numero finito al crescere indefinito di ??, o tutt' al più vi fosse
soltanto eccezione per un numero finito di valori di t pei quali
allora dovevano verificarsi le condizioni che si posero in fine
del §. 57.
Quando però, come ordinariamente accade, ci si limita a
considerare funzioni f{i') per le quali 1' intervallo in cui sono
date può scomporsi (quando sia necessario) in un numero finito
d' intervalli parziali ove le funzioni stesse oltre essere finite e
integrabili soddisfano a una almeno delle condizioni seguenti:
a) di presentare un numero finito di oscillazioni;
h) di ammettere una derivata o un estremo oscillatorio
che resti atto alla integrazione anche ridotto ai suoi valori
assoluti ; •
e) che scomposto V intervallo parziale che si considera
in altri comunque piccoli, la somma delle oscillazioni corri-
spondenti non superi mai un numero finito;
allora nella applicazione dei teoremi di questo capitolo non
importa richiedere come dicevamo sopra che fra a — a e — e^
e fra s, e b — a la derivata rapporto a t di &„,< o delle diffe-
renze (35), (40) 0 (42) resti sempre numericamente inferiore a
un numero finito qualunque sia «, ma basta invece richiedere
che questa derivata considerata per ogni valore finito di n se-
paratamente sia finita e continua e cangi segno un numero
finito di volte, e che per gli stessi valori di t fra a — a è — s,
170
e fra s, eh—y. la quantità medesima G„,t o le differenze (35),
(40) o (42) convergano in ugnai grado verso il loro limite al
crescere indefinito di n; o tutt' al più vi siano incertezze per il
solito numero finito di valori di t pei quali allora si richiederà
che sia verificata la condizione posta in fine del §. 57. o
quella che porremo al §. 73.
Tutto questo avviene perchè può dimostrarsi che , se in
^ ciascuno dei varii intervalli in cui quando sia necessario deve
„ intendersi scomposto {(i}b) la funzione f{.r) oltre essere finita e
y, integrabile soddisfa a una almeno delle condizioni a), b), e)
^ ora indicate, il teorema del §. 23. continua a sussistere anche
, quando per la funzione ivi rappresentata con '{■(■T,h) si sa sol-
„ tanto che essa è finita per ogni valore speciale di n separata-
„ mente, purché allora questa funzione ^{■v,h) sia anche continua
„ e per ogni valore di n cangi di segno un numero finito di volte
, (che può anche crescere indefinitamente con m), e oltre a ciò
r.r
j, sia tale che l'integrale / z{x Ji)dx al crescere indefinito di ^
„ converga in ugual grado verso il limite zero „.
Considerando infatti una delle porzioni (a,P) in cui, quando
è necessario, si ammette potersi scomporre l'intervallo dato (flf,/;),
supponiamo dapprima che f{x) fra a e ^ soddisfi alla condizio-
ne a) o alla e); e prendendo un valore qualsiasi di A, indichiamo
con a^ ,a.^ , . . , a„, i punti fra a e (3 nei quali z{.v , h) cangia
fx
z{ .r , A ) ci X
nei punti a, , a, , . . , a,„_, , P , e con /"i , A , /"a ; • • • , /"-"-i . A»
dei valori convenienti presi fra i limiti inferiori e superiori
di f{x) negli intervalli da e. a a,, da a^ a a^, da a^ a «3, . .,
da a„,_j a a„,_, , e da a„i_^ a ,3 .
Avremo :
/ A-r) '^{.c Ji)dx=[ì + +..+ / -I- / ] /-(.r) '^{x , h) d X ,
e per la formola (1) del §. 9. sarà:
i; + ..
171
+ /*,„_, / <f(.r , h, dx^ f,n / 'f(.r , /() d j-,
ovvero:
/ /"(o^) 'f(.r,/,) cZ .r=9,(A-A)+ 0,(A- A)-f ..+9.-i(^-i-^)+03/'..;
a '"'
quindi, se a partire dal valore che si considera di /t l'integrale
I 's{x , h) d X per x fra a e p non supera in valore assoluto il
Jet.
numero o sarà:
vai. ass. / f{.r) '^{x , /?) d x <Co{\-]-l D'.,) ,
ove X è il limite superiore dei valori assoluti di f\x) fra a e [3
e D', , Do,... sono le oscillazioni di /'(.r) fra a e «3, fra a^
e 7.3 , fra aj e 7.^ , . . , e la somma di queste oscillazioni non
supera evidentemente quella delle oscillazioni fra a e otj, fra
a.,2 e 7.4, fra a^ e acvi e fra a e a^, fra a] e 7.3, fra 7.3 e 7-5,..;
e questo basta evidentemente per poter dire che la particola-
r'tà suindicata sussiste sempre quando f{x) fra a e p soddisfa
alle condizioni a) e e).
Lo stesso accade se f{x) fra a e (3 soddisfa alla condizio-
ne 6), giacché allora indicando coi^ fi{x) la derivata o l'estre-
mo oscillatorio di /"(.r), e con %x) l'integrale / '^{x,h)dxy e
facendo una integrazione per parti si trova:
t _... r?. _ ^ TP
Jr/.
rP r? TP
e m questa l'integrale / 's{xjì)dx o %v) a partire da un certo
Jcf.
172
valore di h e per qualsiasi valore di r fra a e p è numerica-
mente inferiore a quel numero che più ci piace; dunque è ora
dimostrato complt'tamente quanto abbiamo enunciato.
73. Aggiungiamo che la condizione posta ora che ({■{-'cji) o
le derivate di G,„^ o delle differenze (35), (40) o (42) per ogni
valore finito di li o di n cangino di segno un numero finito
di volte quando x o t sono negl' intervalli che si considerano
Jrx
cp(.r , /;) (f .r , o le funzioni
a
stesse G„,<, (35) , ^40) o (42) abbiano negli intervalli medesi-
mi un numero finito di massimi e minimi; e propriamente que-
sta condizione può anche tralasciarsi quando /"(.e) soddisfa alla
condizione h) perchè nella dimostrazione fatta sopra per questo
caso non si tien conto di quei massimi e minimi .
Del resto poi tanto questa condizione quanto l'altra posta
sopra che la funzione <f{^ ,h) o le derivate di (jn,t e delle dif-
ferenze (35), (40) o (42) siano finite e continue sono soddi-
sfatte da sé nei casi considerati in questo capitolo, poiché si
tratta sempre di somme di un numero finito di funzioni or-
dinarie ec.
E finalmente „ quando resti incerto se sia o nò soddisfatta
„'la condizione che si aveva sopra intorno alla convergenza in
y, Ugual grado delPintegrale / '^(.r , ìi) d x , o delle quantità G,,,?,
„ (35), (40) 0 (42), ma si sappia però che, esclusi dall'inter-
„ vallo che si considera con altrettanti intorni comunque piccoli
, un numero finito di punti speciali p^jVìi-iVmi negli inter-
y, valli restanti sia soddisfatta la condizione della indicata con-
„ vergenza in ugual grado; allora, tenendo ferme per questi in-
„ tervalli le altre condizioni, basterà verificare che negli intorni.
„ a destra e negli intorni a sinistra degli stessi punti p^,p^,..,p„,
Jrx
rf{xji)clx o le quantità G„,<,(35), (40)
a
„ 0 (42) sono sempre numericamente inferiori a un numero finito
17?,
y, A ( qualunque sia n ) e la fnnzioue f{x) o f{y.-\-t) sotUlisfa
„ alle condizioni a) o h)^ o all'altra che la somma delle oscil-
, (azioni corrispondenti agli intervalli nei quali si scompon-
„ gono quelli intorni può rendersi piccola quanto si vuole
„ preudendo sufficientemente piccoli i medesimi intorni „ .
Si osservi infatti che se (;j, — s, , />, ) è uno dei detti in-
torni, e in esso f{.i') soddisfa alla condizione b) , la quantità
fi Pi — ^) ^^^'à' un significato (ni. 1. §§. 235. e seg. ), e indi-
rx
cando con 0(.r) l'integrale / z{x^Ji)dx si avni la formola:
-Ti— Si
/ /W'fC-^,/*) (li- = f{pi-0) j z{xji)dx— ì f,{x)%x) dx
dalla quale apparisce subito che l'integrale / f{x) 's{x , h) dx
'^ a
ha per limite zero per /i=oo .
Se poi f{x) Soddisfa alla prima o alla terza delle condizio-
ni suindicate, i suoi valori, per un noto teorema sui limiti
(m. 1. §.22), avranno ancora un limite determinato f{p^ — 0) per
.r=/;, — 0 (per modo cioè che f{x) nel punto p^ a sinistra non
verrà ad avere discontinuità di seconda specie); e oltre ad aversi:
In -
CPs
rP\
f{.c)'^{xji)djj=f{p,-
-0) / 's{x,h)dx
'p-h
Jpi-h
'P
sarà :
'P\
vai. ass. / [ /•(..-) - l\iJ-0) ] 'l[x ,h) dx < 2 A [X^ + I D', ],
essendo Xq il limite superiore dei valori assoluti di f{x) — /"(p, — 0)
che sarà arbitrariamente piccolo, e D'., le solite oscillazioni; e
questo mostra appunto quanto noi abbiamo detto.
ITI
È da notare che queste ultime condizioni possono sosti-
tuirsi anche a quelhx che si aveva nei paragrafi precedenti
rispetto ai prodotti di /"(a-j-^ P^i' Gr„,/ o per le differenze (35),
(40) o (42) nei punti eccezionali t negli intorni dei quali non
poteva assicurarsi che le derivate di queste quantità restassero
numericamente inferiori ad un numero finito.
74. Passiamo ora a fare qualche applicazione dei teoremi
dimostrati.
Cerchisi perciò in primo luogo coli' applicazione del teo-
rema del §. 64, se una funzione f{x) di una variabile reale x
data in un certo intervallo, pei punti a pei quali soddisfa ad
alcune delle condizioni del §. 30, sia rappresentabile analitica-
mente mediante una serie della forma:
1 °°
9 "o + y ( e» cos X„ iT-f- ^>„ sen X„ x ) ,
^ \
essendo X, , X.j , . • . , X,j , . . . radici reali e positive della equa-
zione trascendente iiiz) = — 7— = 0 . o infiniti della funzione
monodroma e continua «"(^), supposti al solito tutti di prim'or-
dine, e coi residui c,=^— -— pei punti X, ; e supposto inoltre,
'< (/>s)
per semplicità, che v'{z) divenga infinita di priin' ordine e col
residuo c,i= -, /^v anche nel punto ^=0, e che oltre ai punti
u (0)
0, X, , X.2 , . . , X„ , . . non vi siano altri infiniti di iv{z) a destra
dell'asse delle y ne su quest'asse.
In questo caso avremo «i = 2 , e H,( s' , a; ) = cos z x ,
B<i{z,x)=seTì^ x; e prendendo Y{x)=l e 'f ^(e)='f 2(2") =^{^(2;), la
funzione z{z) del §. 64. si ridurrà a ^— , e quindi in
ordine al teorema del paragrafo stesso si dovrà esaminare la
,.^ 1 fn7{z)'ìf{z)sentz, ^^' , . ., .
differenza r—. / ^ dz-- v Yr, essendo v,- 1 residui
I7Ó
della funzione .sotto il segno integrale nei punti d' infinito di-
versi da Xi , Àj , . . , À„ , . , , che essa avesse entro C„.
Si supponga ora per semplicità che '{/(:) sia sempre finita
a destra dell'asse delle //, e non si annulli per 2=0, e si prenda
per curva C„ un contorno a destra dell'asse delle y formato da
un semicerchio di raggio piccolissimo o descritto intorno all'ori-
gine, dalle due porzioni di asse y nei tratti da — ìJq a — 5 e
da 5 a ^q, e da una linea grandissima C'„ che passi pei punti
Vo * — Ha dell'asse delle y e che può essere per es. un semi-
cerchio di raggio [^^yo, o una linea che insieme all' asse delle y
forma un contorno rettangolare ec.
Così evidentemente si avrà y '[r=0 , e l'integrale esteso
al semicerchio di raggio 5 (venendo percorso nel senso inverso)
sarà uguale a — —Cq '^{0) <, mentre quelli estesi ai due tratti
(— Vq 1 — ^) 1 (^ 1 .Vo) dell'asse delle y si distruggeranno identi-
camente se noi ammettiamo che il prodotto 'l{^) ìc{z) sull'asse
delle y al cambiare di y in — y muti soltanto di segno; dun-
que la differenza (35) si ridurra ora all'altra
1_ r 'l{2) iiiz) sent^ ^ ^ 1
ItzÌ tri' Z
fj— . I d^ — ^ ^'o'K'^)^ ^^ ^ gi^ indipendente da a
e cangia soltanto di segno al mutare di t in — t; e quindi si
può ora asserire che „ se, a destra dell'asse delle ^ e su ciue-
„ st'asse, tv{z) è una funzione di g monodroma e continua a
„ distanza finita, che suH' asse delle y diviene infinita soltanto
„ per ^=0; e le infinite quantità reali e positive X{,Xo,.. ,).„,..,
„ sono i soli infiniti che questa funzione n-{z) ha nella stessa
„ parte del piano, o sono le radici della equazione ( inversa )
, u{3)= — - — =0, supposti questi infiniti come quello nel pun-
W'(^)
, to z^^^-O tutti del prim' ordine, allora pei punti x di tutto o
„ parte dell' intervallo in cui è data ( arbitrariamente ) una
„ funzione /"(.r) della variabile reale x, questa funzione /"(•')
„ potrà svilupparsi nei soliti casi in serie della forma :
1) ,.,
17fi
1 "^
(45) 5 «0 + 2 ( ^" cos X„ .r -h h^ sen X„ -r ),
1
, tutte le volte che, indicando con C'„ una linea grandissima
, situata a destra dell' asse delle // che incontri quest'asse in
„ punti «immetrici rispetto all' origine, e senza passare per
, alcun punto d'infinito di w{^) formi collo stesso asse y un
, contorno chiuso che racchiuda nel suo interno i punti
„ X, , X.2 , . . , X„ , si potrà trovare una funzione di z monodro-
, ma e continua •\){z) che non si annulla per z=^0 per la
, quale riescano soddisfatte le condizioni seguenti :
1." „ che il prodotto >Y.z)v'{z) sia una funzione dispari
a di ^ 0 almeno abbia valori uguali e di segno contrario nei
, punti dell'asse y simmetrici rispetto all' origine;
2,*' , che , essendo ^q un certo numero positivo da
, determinarsi, e s, un numero pur positivo ma piccolo a
, piacere, l'integrale:
(46) ir^z)ui.)sent,j^
yf pei valori di t fra z^ e It^ abbia una derivata rispetto a t:
(47) - — . / ^{2!) w{z) co%t z dz
2 ^ ve.,
j, di Cui il modulo, o anch'^ soltanto il valore assoluto della
, parte reale o quello del coefficiente dell'immaginario, è sem-
, pre inferiore a un numero finito (dipendente da Ej) qualunque
j, sia l'ampiezza di C'„.
3.® „ che al crescere indefinito di C'„ l' integrale stesse
, (4G), 0 almeno la sua parte reale, o il coefficiente dell' im-
, maginario, pei valori di ^ fra 0 e 2 fg (o^^ ^^^^- esci.) abbia
, per limite una funzione •/,(^) di t che ha una derivata de-
, terminata '/^{{t) finita per t diversa da 0 e da 2 t^^e atta al-
„ l'integrazione fra 0 e 2^Q;^e "/((H-O) sia diverso da zero.
4.*^ j. che imlicando con /(«,0 Tintegrale (4G) o la parf
177
^ reale o il coefficiente deirimmaginario di questo integrale a se-
, conda del significato di "/i(0» la quantità 7.i(-f O) — 7.i(0H~/(*''0
„ che ora corrisponde alla G»i,<, o la sua derivata rispetto a t
„ soddisfi alle solite condizioni dei paragrafi precedenti; talché
, in particolare, nel caso che si considerino soltanto i punti
, X negli intorni dei quali la funzione non fa infinite oscil-
„ lazioni o ammette una derivata che resta atta alla integarzione
„ anche ridotta ai suoi valori assoluti, basta che la quantità
, precedente per t compreso fra 0 e s resti sempre numerica-
„ mente inferiore a un numero finito „.
Al solito poi se per un numero finito di valori a, , a., , . . ,
di t fra s, e 2 f^ — s, la condizione seconda non sarà soddisfatta
o si sarit incerti, allora negli intorni a destra e a sinistra di
questi valori di t il prodotto di f{y.-\-t) per V integrale (47)
dovrà soddisfare alla solita condizione posta in fine del §. 57 ,
o a quella posta nel §. 73: e in questo caso non occorrerà fare
le altre verificazioni pei valori di t negli intorni degli indicati
punti eccezionali y.^ , 7.0 , . .
E se invece che per un numero finito di valori di t fra
E, e 2 t^^ — 6| la condizione seconda non sarà soddisfatta mai
in alcune porzioni finite dell' intervallo stesso ( e, , 2 ^p — s, )
o in tutto l'intervallo, o si sarà incerti, allora dietro quanto
-i disse al §. 72. basterà che si sappia che al crescere inde-
bito di C'„ l'integrale (46) (o almeno la sua parte reale o il
coefficiente dell' immaginario ) converge in ugual grado verso
il suo limite '/_[{t) per t compreso nelle dette porzioni, e al
tempo stesso /"(a-j-O nelle varie parti (in numero finito) in cui
supporremo scomporsi le porzioni medesime soddisfa ad una
almeno delle condizioni «), 6), e) dello stesso paragrafo 72. E
quando vi restino incertezze per un numero finito di punti
! come al §. 73, allora negli intorni a destra e a sinistra di
I questi punti dovranno verificarsi le coudizioni poste nello
' stesso §. 73.
~i L'intervallo poi, ove cadono i punti x ai quali nei soliti
casi sarà applicabile lo sviluppo (45) risulterà di ampiezza 2 t^,
; e potrà essere quello da — f,^ a f^' questo numero ^^ dipen-
dendo dalla natura dello sviluppo (o della equazione t({z)=0)
178
e non già dalla funzione da svilupparsi f{x); per niodochè, se
f{.v) fosse data in un intervallo minore di 2 t^, si potrebbe in-
tendere continuata con una funzione qualsiasi finita e atta alla
integrazione in tutta la porzione rimanente dell' intervallo 2 ^q^
e in particolare potrebbe intendersi continuata con una fun-
zione nulla in ogni punto di questa porzione, con che si otter-
rebbe che gli integrali che figurano nei coefficienti della serie
fossero estesi all' intervallo soltanto in cui la funzione f{x) è
data originariamente. — Del resto poi nei casi in cui l' inter-
rallo (a , 6) nel quale è data /"(r) non è quello da — t^ a f,„
potremo sempre intenderlo ridotto a questo col cambiamento
della variabile x in un altra // mediante la relazione lineare
ij = j — - X ^ =- ° "^ , analogamente a quan-
to si fece pel caso della serie di Fourier al §. 49.
Si aggiunge inoltre che siccome l'integrale (47), come
anche evidentemente la quantità /VOi ^on mutano al cangiare
di t in — t, accadrà lo stesso di 'f{t,c(.,h^); e quindi, secondo
quanto si disse in fine del §. 53, perchè sia applicabile a f{x)
in un punto x lo sviluppo (45) non importerà che negli intorni
a destra e a sinistra di x siano soddisfatte per questa funzio-
ne f{x) quelle fra le condizioni del §. 39. che vorremo applicare;
ma, come nel caso degli sviluppi di Fourier, basterà che queste
condizioni si trovino soddisfatte per la funzione f{'^-\-t)-\-f{j(; — f)
nell' intorno del punto ^=0, e pel valore di x che si considera.
75. Quando poi le condizioni per 1' applicabilità del teo-
rema del paragrafo precedeute sono soddisfatte , allora se
Cq , e, , Cj ,.., c„,.., sono i residui^ di vj{z) nei punti À^Xg, ..,X„,..,
nella serie (15) o (42) «i potrà prendere:
9 (« , a , ;?o) = — xVO + 2 '^o W) ' ^ ='/.i(+0), j;„„=Cn'^ (X„),
1 r*' . 1
"•» = 2y y!i 0) / /'(•^) cos X„ xdx, bn = ^^4V^) / fi^) s«n >^n (x;d x,
179
ove in queste forinole e nelle seguenti di /((Oi ^o 'K^) ^ ^« ^(À»)ì
se sono complessi, s' intende che debba prendersi soltanto la
parte reale o il coefficiente dell* immaginario; e inoltre in questo
caso sarà:
1 ^
'f (f , a , K) = - y\ (0 -I 2 ^0 •1' (^) +2 <^r 'KM cos ). . i ==
= — Al (0 4- ?r"- / 'K^M^)costz de ;
e talvolta le condizioni che figurano nell' enunciato del teorema
precedente, anziché studiarle sugi' integrali (47) o (46), tornerà
meglio di studiarle respettivamente sulle espressioni:
(4«) - X'i (0 + 1^0 'ÀO) + i e,. 'XX,) cos À.. t ,
2 1
1 " sen ) t
(49) -/, (+0) - y, (0 + ^^o ']> (0) ^ + 2 e 'XX,-) -^^' ,
delle quali (fermo stante il significato che abbiamo detto dovere
attribuire a '/ivOi ^o'K*^)i ^ Cr 'X^r) ss sono complesse) la prima
rappresenta 's (?, a , /«,») e la seconda il suo integrale rispetto
n
, cioè / 's{t , a , h^)dt.
a f
'0
E se, come notammo ingenerale, le quantità Cq'1{0) ,c„'XXn)
saranno reali, allora tutte le espressioni precedenti saranno pure
reali , e le parti immaginarie che vi comparissero dovranno
distruggersi identicamente, e quindi potranno anche tralasciarsi
senz' altro .
« Per la condizione S.'^ poi; o per quanto fu detto in generale
al §. 71. si avrà la formola notevole:
1 80
(50) 7,(0 = l e, -KO) t+^c„ -]. (X..) "^ ,
che varrà per t diverso da zero e compreso fra 0 e 2 - ( 2 ;r'
al più esci. ).
70. È poi da osservare che le verificazioni sugli integrali
(46) o (47) si faranno con molta facilità quando la funzione
sotto l'integrale possa porsi sotto la forma ¥{t , z) -{- A{t , z)
ove P(/,^) e A(^,^) hanno le proprietà indicate nel §. 67;
e allora se P(^,3') sarà per es. una funzione dispari di z,.
siccome l'integrale ^r—, / P(/ , z) dz insieme a quello uguale
esteso alla linea C '„ simmetrica a C',i corrisponde precisamente
alla somma X 6,- dei residui relativi ai punti d' infinito di P(^ , z)
che cadono entro la linea C'„ -\- C ',», sarà evidentemente
P{t ,z)dz^=^ o ^^»i qualunque sia la linea C'„; talché
C'„ ^
allora V esame dell' integrale corrispondente (46) o (47) si
ridurrà a quello della somma _ X 5^ + / A(^ , z) d z .
77. Oltre a questo giova osservare chesey',(0 ^^"^ diviene
infinito col tendere a zero di i, a causa delle proprietà che hanno
n
le funzioni 'f(^,a,/?„), la somniaV e,- '^Xr) cosX,-^ che figura
1
nella (48) considerata al limite per ^=0 deve crescere indefini-
tamente con n, e quindi il prodotto Cr 'K^m)i o quella parte
di esso [e,- 'X^>i-)]o che dicemmo dovere soltanto considerare, al
crescere indefinito di X^ non potrà mai divenire infinitesimo di
un ordine determinato superiore al primo l-j-lJ- rispetto a - .
-At— > , , risulta intanto di qui eh e la
u {z)jX-
E poiché e, 'X^m)
181
funzione .r^ non potrà all'infinito divenire infinitesima di
ordine determinato superiore al primo.
Inoltre, siccome la somma (49), che rappresenta l'inte-
ra
graie / zit.a. Jin)lt, al limite per h=oo si riduce a una serie
che per ^=0 è identicamente nulla, e pei valori positivi di t
fra 0 e 2fj ha un valore fisso diverso da zero, è chiaro che la
sen K t
serie V e,- '}(Xr) — ^—^ dovrà essere discontinua per f=0, e quindi
il prodotto c,'}(X,.) non potrà divenire infinitesimo con — o --
X,. n
neppure di un ordine determinato [a piccolo a piacere; ciò che
'liz)
porta evidentemente che la funzione ';.— non potrà restare
H (:)
monodroma finita e continua all'infinito senza essere della forma
A A
A -| -\- -/ -|-...ove A, A^ , Aj , . . , sono quantità costanti,
z z~
e A è diverso da zero.
S' intende che queste osservazioni potranno essere utili
per la determinazione della funzione <L(^); e anzi di qui risulta
che in primo luogo per ^{z) sarà da provarsi la funzione
'];(£')=rA iì{z) con A reale; e allora si avrà Cg 'X'^)= ^r '\^^r)= A,
e tutte le espressioni precedenti , e quindi anche in partico-
lare gli integrali (46) e (47) verranno reali , e se le condi-
zioni del teorema precedente saranno soddisfatte , la somma
(48) che ora rappresenta la funzione 'f(^,a,/i„) si ridurrà a
/'ilO + A
1 "
2+2 ^°^ '^'- ^
, e per r= 0 sarà uguale a
— "/'i("h^)H ^o — -A*' ® inolti'e dalla formola (50) avremo
r altra
'/i(0_ ^ J^ I v senX„f
l
182
che varrà per t diverso da zero e compreso fra 0 e 2 tz ( 2 tc
al più esci. }.
78. Faremo poi altre osserrazioni che talvolta potranno
riescire utili per la determinazione della funzione ^{^); ma prima
giova applicare i risultati precedenti al caso in cui essendo
y'(2f) = , cioè essendo X, ,X.„ . . , Xn , .. i numeri naturali
sen TI 5- ' "
1 , 2 , 3 ,..,«... , lo sviluppo (45) si riduce allo sviluppo di
Fourier.
Per questo osserviamo che, essendo ora i({2f) = sen ti z,
se si prende Uz) = , o ^(2^) -= cos ti z, le (/„ e h„ si riducono
a quelle che figurano nella serie di Fourier al? infuori per ora
del divisore 2 "/^(-i-O) che poi vedremo essere uguale all'unità;
e gli integrali (46) e (47) divengono:
1 r cos TI ^ sen tz 1 C cos Tzzcosts . ^
2,KiJn' 2; sen 7:^ " ' ^^Uc sen z 2;
talché tutto si riduce all' esame di questi due integrali nei quali
l'immaginario non figurerà che apparentemente.
Ora, avendosi :
cos z z sen i ^ = sen t: z cos i z -\- sen {t — -) z ,
, j. . Q.o'Atz sen (< — tC)z
la funzione sotto il primo integrale diviene 1 ,
e la prima parte figura come la funzione P(i , z) del §. 76, e
diviene infinita soltanto per 0=0 col residuo uguale ad uno,
talché r integrale -^— . / -^ d z ha per valore -; mentre per
° 2~l n> z 2
la seconda parte sarà facile vedere che essa figura come la
funzione A{t,z) dello stesso §. 76, 0 del §. 67.
Intanto dunque si ha:
1 r cosTzzsentz , 1,1/ sen (^ — r.)z ^
ìT-ì àz = ^-\-K~.\ — ^ ~dz,
21:1 Jq- z sen Tiz 2 2rajQ' z sen 7: z
183
e derivando rapporto a < si otUcn* :
1 r cosTzzcostz . . 1 f cosit—r.)z
— : / dis\= pr-~ / dz ;
2 n tjQ' sen ti z àTzt Jq' sen ;: z
1 1,- . 1 r sen(f - r)z
e se, come appunto vedremo, Imteffrale / ciz per
' "^ ° 'r' z sen z z
t compreso fra 0 e 2 t^ ha per limite zero, si potrà dire che
2 '
•/..(Ó = l, e;
\ r cosr.zcostz- ' / cos(f — t^) ^^ j
^^ ' ^ 2 K t Jq'^ senzz 2 ~ iJq' sen t: ^
rS. L ^ 7. 1 r cos r 2 sen ^ ^ , 1,1 T sen(^— r)^
Jq^ 2 à t /q' ^ sen ;t 2; 2 ' 2 ;:ì Jq'^ zsenr.z
e allora basterà studiare i due integrali degli ultimi membri;
e propriamente quando fosse soltanto dimostrato che y_i{t) =^ .j,
siccome valendosi della espressione (48) si troverebbe come nel
(2n+l)^
l /l n \ sen ^
caso di Fourierf(f,o(,^„)= — ( — 4- V cos r < ] = ,
1 2z sen —
non occorrerebbe fare altre verificazioni per potere assicurare che
lo sviluppo di Fourier sussiste in tutti i casi del §. 44.
79. Noi però vogliamo fare queste verificazioni sugli
integrali precedenti, per accennare al modo da tenersi quando
si vogliono applicare i teoremi generali che abbiamo dato, e
perchè questo ci sai'à utile per gli studi successivi.
Si prenda perciò per linea C'„ la porzione di rettangolo
formato da un lato parallelo all' asse dell' y e distante da
quest' asse di una quantità k compresa frsL n e n -\- 1 {n e n -\- 1
esci. ), e da due lati paralleli all'asse delle x, uno sopra e l'altro
sotto a quest' asse, alla distanza //^ da esso .
184
Cou questa linea C'„ si avrà in generale per una funzione
qualsiasi 0(e):
" i^k Cìi i^Tt.
e se avverrà che, lasciando fermo il A-, e facendo crescere y^
indefinitamente le funzioni ^x—iy^) e 0(j?-f-i j/q), o almeno la
loro differenza, finiscano per avere un modulo che per ogni va-
lore maggiore di //q e per qualsiasi valore di x fra 0 e ^ è sempre
inferiore a quel numero che più ci piace, allora si avrà :
/ %z) d z = lim / / 9(/;-f ?• y)dy ,
e si potrà anche scrivere :
f(ì{z)dt =
JC' J-
00
%k-{-iy)dy,
tutte le volte che V integrale del secondo membro avrà un signi-
ficato determinato.
Ora, avendosi in generale
sen {a.-\-i p) = sen a cosh p -j- ?' cos a senh ,3 ,
cos (a-j-i (3) = cos a cosh (3 — i sen a senh p ,
ove cosh e senh indicano le solite funzioni iperboliche, basta
ricordare le espressioni di queste funzioni per esponenziali per
riconoscer subito che quando t è diverso da 0 e da 2 tt le
. . sen(^— ;r)^ co^{t—7t)z r • •
lunzioni — , e soddisfano alle condizioni
z sen 71 z sen :: z
ora indicate per la 9; 2'); quindi sarà anche:
reo
co^U'—t:) A:cosh(^ — ;r)?/ — isenit — :r)Z;senh(^ — i:)?/ ,
— ^ — T — ir'h-^ — 1 — i — -^ ~^y^
<Ui. , QQ sen~A;cosn;:y-|"^cos-A:senh;r?/
sen{t — 7r)A;cosh(^ — 5r)//-|-?cos(^ — 7r)A'senh:ty dy
^ scii ;: li cosh n y -^ i cos k h senh t: y lc-\-iy
JW^^Mdt=^J^~j^
185
e se si osserva che quando uella porzione di rettangolo C'„
si muta il lato parallelo all'asse ij in modo che la sua distanza
da quest'asse resti sempre compresa fra n e n-f-1, ( n, en-\-l
esci.) lo spazio che resta compreso fra questi lati non contiene
singolarità delle funzioni che figurano sotto gli integrali
/ , si vede subito che questi integrali e in conseguenza anche
•^ (_/ «
i due delle formole precedenti restano invariati, per modo
che queste sono funzioni determinate di k fra n e w-j-1 {ne
n-f-1 esci.) che conservano sempre lo stesso valore.
Segue da ciò che senza cambiare i valori degli integrali
che compariscono nelle formole precedenti, si può fare senz'al-
tro k=^n-{- ^, e quindi si ha;
. 1 / sen f fc cosh (•< — :: ) y -f- i cos f k senh (t — 7r)y,
'0
, , ., ^ j_^ l — cos^A:cosh(^ — K)y-\-isenfksenh{t—'!i)i/ dy
talché osservando che i moduli delle funzioni sotto i segni inte-
,. , , . , K sen^ tk-\- senh'^ {t — tu) y
gran sono respettivamente ^-i -^ , e
COSh TT IJ
V 0,0^^ t k -\- SQXi\l^ {t Tt)lf . . .
—, e qumdi non sono superiori a
Vk--\-if' cosh 71 y
cosh(f— tc)«/ 1 cosh(;— 7r)?/ • j • . . , ,. o
■ , , ^^— -SI vede intanto che tra e e 1% — s
cosh 7Z y k cosh tt y
la funzione '^{t^a^hn) è sempre inferiore a un numero finito (va-
. . r^
riabile con s) qualunque sia n, e l'integrale / '^{t,ajin)dt ha
per limite — per n=oo qualunque sia t purché compreso fra
z
0e2z(0e2z esci. ).
Osserviamo inoltre che se nelle funzioni sotto i segni
integrali precedenti si separano le parti reali e le porti imma-
ginarie, (moltiplicando per questo e diridendo per k—i y quella
sotto il secondo integrale) si trova che, come appunto doveva
essere, gli integrali estesi alle parti immaginarie sono identi-
camente nulli perchè esse sono funzioni dispari di y, e quindi
si ha anche : (*)
/'OC
" JO
— r " y 1
cosh T^ y "^
/ /, T N 7^ 1 I 1 / — ^-cos ìA; cosh(^ — 71)?/ + -?/ sen/Z; senhf^ — r)// ,
Jq 2 zJq {k^-{-y) cosh ti y •^'
e siccome l'integrale che comparisce in (f(t,ci.Jin) è evidente-
mente positivo e al crescere di i da 0 a :r va sempre diminuendo,
oltre di veder chiaro di qui che 'f{t , a. , hn) si annulla cangiando
it 2t
di segno nei punti 0, ^ , ^- , . . , si riscontra altresì che i
fc k
n
massimi successivi dell'integrale / z{t , a, hn) d t fra. 0 e z sono
nei punti ,7,7- , • • , e sono positivi e vanno decrescendo,
mentre i minimi sono pure positivi e sono nei punti 0 ,
2tz 4z
— ,-j-,.. e vanno crescendo; e fra 7: e 2;: si ripete lo stesso,
fc fC
ma simmetricamente rispetto al punto r.
(*j Siccome per altra via già sappiamo che per la serie di Fourier e con
] S6n t ìt
k=:n-\- -siha,?(t ,0^ ,h„)= ■ noi possiamo dire eTidentemeute che sarà
iTTsen
2
OD
1 /"cosh f«— 7r) y ,
= I ; » !/
_ t I cosh 7r y
2sen - Jo ■^
18:
Da ciò risulterà che il massimo valore cieli' integrale
I (f{t,a.^hn)dt per t fra 0 e ;r sarà / z{t ,ciL,hn)dt, ossia
Jo Jo
^ ^ ^ooA,-cosh(l-|)^I/ ^y
— I — - / lìTT* ' ® fiuindi sarà inferiore
2 K Iq cosh r t/ ^ 'vV
.00
apparisce intanto che per tutti i valori di t fra 0 e tt l'inte-
[^
graie / (f{t,cf.,h,i)dt è sempre inferiore all'unità.
Osservando infine che cambiando y in , e ponendo - =» a
si ha:
o) — y -(2rt— 1),,
cosh (a — l)w . senfA; / n_ ,
se ne deduce che per i fra 0 e 2 r sarà
e quindi il prodotto t'f{t/j.Ji„) col tendere a zero di t resta
sempre numericamente inferiore a un numero finito e consi-
derato per ogni valore speciale di k ha per limite zero per f=0;
dimque, quando / è fra 0 e 2 ;r, per l'attuale funzione '^{t , a , A,,)
sono soddisfatte tutte le condizioni che si avevano per la
funzione 'f(i* , h) del §. 32, e evidentemente pel valore t =2 tt
essa si comporta come per ^=0; e questo basta per assicurare
ài
iss
nuovamente che lo sviluppo di Fourier è possibile in tutti i
casi del §. 44. colle solite condizioni rispetto ai punti di discon-
tinu'tà e ai punti estremi.
8{'. Prima di applicare il teorema del §. 74. alla ricerca
di altri sviluppi della forma (45) per le funzioni di una variabile
reale, serviamoci dei risultati del paragrafo precedente per fare
un altra osservazione cbe in certi casi sarà ancora di guida
per la determinazione della funzione '}(^)-
Osserviamo cioè , che avendo dimostrato che 1' integrale
cos;r:sen/ 5^ . ■ ^ e -i j ^ì ^■ n'
— a ^ al crtscere indfiinito della linea U «
^ Q.^ ^ sen - ^
ha per limite - quando f è fra 0 e 2 :: (0 e 2 ~ esci.) e C'„ è
una porzione di rettangolo, accadrà lo stesso se C» è un altra
linea qualunque che parte da due punti dell'asse y simmetrici
rispetto all'origine e traversa 1' asse x a. una distanza dall'ori-
gine compresa fra n e «-j-1; e se ammettiamo di essere nel caso
in CUI 1 integrale p-—. 1 dz considerato al g. 74.
ha un limite determinato per n=cc , e indichiamo con •/,(^)
questo limite, si vede subito che avendosi:
1- '/\(f) r cos TC 2 sen t z , y, (t)
lim - . - / — - a z =
2rà Jq' z sen "rz 2
r integrale:
sen 7C z I
avrà per limite ^lo zero quando ^ è fra 0 e 2 7. (2 - al più
esci. ) .
Osservando dunque che per z=x-\-iy^ si ha:
sen i z sen t x cosh t y -\- i cos t x senh t y
z x-\-i y '
180
si vede chiaro che, ahueno nei casi ordinarii, al crescere in-
POR TT Z
definito di \i la funzione i(^) «"(■s') — 2 y, {Ù - , contide-
rata per oj^ni valore speciale di ^ fra 0 e 2 ;: (0 e 2 t: al
più esci. ) deve tendere a zero; e siccome per y positivo il
quoziente tende verso — z, e per y negativo tende invece
verso -\-i , così la funzione (j;(2')M;(^)-[-2r/,(f) per ij crescente
all'infinito dalla parte positiva, e l'altra <^{z) xi\z) — 2 ?' /, [ì') per
y crescente indefinitamente dalla parte negativa devono ten-
dere ambedue a zero per ogni valore di t fra 0e2;u(0e2;c
al più esci.).
Questo evidentemente ( per essere '\{z) ìv{z) indipendente
da i ) porta che 7,(0 debba ordinariamente essere una costante
diversa da zero A = "/{(-[-O), e c[uesta costante col mutare pro-
porzionalmente il ^{z) (cambiando cioè ^{z) in - -. \ può sem-
pre intendersi ridotta uguale ad -• ; quindi almeno al crescere
indefinito di y la funzione ^\{z) iv{z) deve ordinariamente potersi
ridurre della forma '- h Q(-)i essendo 9(^) una funzione che
sen 71 z
è zero, o tende a zero al crescere indefinito di // come le espo-
nenziali con esponente negativo, e in modo che tenda a zero
anche il prodotto ^ z) sen t ^ ; e allora il numero Iq dipenderà
da queste esponenziali ; e evidentemente questa funzione 9(^)
per z=i y, e ^ =>= — i y dovrà avere valori uguali e di segno
COS TT 2/
contrario come accade di 'Uz) w{z) e di .
sen 71 z
Quando poi con una funzione conveniente 'l{z) si trovi
effettivamente per '\i{z) tr{z) la forma ora indicata , allora es-
sendo :
1 / 'K<)uiz)sentsr , 1 T cosTifsen^.^ , , 1 / ^(z)aentz^
, . dz^-=-^r~. d>-f ^r-, / ^ dz,
100
basterà prendere per C'„ il solito contorno rettangolare per
trovare :
1 r (|i(ei wjzUeutz l '^ f sen [(/—::) (^-|-i//)l
/-«oc
ove Al è fratto e compreso fra X„ e X»^i, e /i=/?-f- ^^ i essen-
do j> l'ultimo numero intero che non supera J:^; e se l'ultimo
integrale avrà per limite zero, allora "/i(0 verrà effettivamente
uguale ad ^r e le altre verificazioni da farli sugli integrali (46)
z
o (47), all' infuori di quella che abbiamo fatta nel caso prece-
dente rispetto ai massimi e minimi dell' integrale (46) e per la
quale dorrà ora studiarsi tutto il secondo membro della for-
inola precedente, si ridurranno a verificazioni analoghe sui due
integrali :
2nj_
- ' ./^ y i^ J) J I Q(/,,4,-^)cos/(/.-,-f*»Jy;
•00
y 2;r^
e essendo ora -/^{t) un numero reale, nelle forraole del §. 74.
dovremo intendere prese per c^ '\){q) e c^ '\>0^u) le loro parti reali
aoltanto.
81. Premessa la osservazione precedente, passiamo a fare
una seconda applica zione del teorema del §. 74. al caso degli
sviluppi della forma :
1 °°
' 2 ^0 "t~ ^f <hi cos À„ X -j- hn sen X„ x j,
nella ipotesi che 0 , Xj , X^ , X„ , . . , siano le radici positive
supposte tutte del primo ordine della equazione:
Y{z) 0,0% -K z -\- Y^{z) sen % z^=0 ,
101
ove si suppone che F(^) e F|(^) siano funzioni di z monodiome
e continue a distanza finita, delle quali una è pari, e l'altra
è dispari, o almeno per 0-=i i/ e ^= — iy una di esse prende
gli stessi valori e V altra prende valori uguali e di segno
contrario; e si suppone inoltre ^ che a» destra dell'asse delle y
o su quest'asse non vi siano altre radici della stessa equazione,
e ¥{^) e F,(3') coli' introduzione o colla soppressione di fattori
adattati siano ridotte iu modo che non divengano infinite nei
punti 0 , X, , )..2 , . . À„ , . .
Si avrà :
. . 1 1 1
«'(^) = r7rT = X?r^^ I l? r^^ ' ^0
Ch =
ii{z) F(^)cos;r^4-F,(^)sen7r/ " F'(0) + jrFi(O)'
1
F'(Xn)cos-Xn-|-FV'^>»i) sen-Àn — 7:PXX„) sen;:À„-|-;: F,(X«)cos7r),n '
e volendo cercare di valersi della osservazione precedente, sarà
ora naturale di provare per 'i;(^) una funzione della forma
AI cos ~ 2; -j- N sen ~^, ove M ed N sono funzioni da determi-
narsi in modo che non divengano infinite nei punti O,^!,).»,..,).,,,..,
COS 7C 2^
e che il prodotto 'l(z) u\z) venga della forma 1- 9(z) ,
sen 7z z
ove ^){z) ha il significato del paragrafo precedente.
Sarà allora:
., . M cos ::2'-]- N s^nJT 0 cos tt ^
U{Z) = f^ r-H — ^ =
r COS z s-\- 1 1 sen i: z seu - z
Ol—F^)cos^.z-\-{'ìs-]-F)senzz.. F
F COS 7: ;? + F^ sen ;: -s senj:s"(F cos tt ^ -j-Fj senT; 2")'
F
e se al crescere indefinito di y il rapporto ^ non tenderà
verso -j-z per y positivo, e verso — i per y negativo, un modo
particolare di soddisfare alla condizione precedente sarà eviden-
temente quello di prendere M = F| , N = — F , o:
i!/{3f) = Fi COS Tz z — F sen z z.
e. 13
10:?
Così facendo, e supponendo senz'altro che non sia F(*)=0,
onde non ritornare nel caso degli sviluppi di Fourier, si avrà:
sen t zdz
1 r <^{2){t{9)sQntz.^^ 1 / cosTì^seniz , 1 C
^"vC'n "^ 2^VC' ^sen;r2r 27ri JJq- ^sen7r2'(cos;r2-j-Ysen7rs')*
1 / 1/ N ^ \ ^7 1 r COSTT^COSf^' - 1 e COS tZffz
^—. \ 'l{z)>r{z)costzdz=~. / d^—n' I r \ n
"'^>Jq> ^'^ijn' sen tc z 2izi q^ se)iT4cos;r2'-|-Ysen;:^)»
F (z)
essendo y il rapporto ~~ ; e poiché si può sempre supporre
di prendere per C'„ la solita porzione di linea rettangolare che,
oltre a non passare pei punti 1 , 2 ,..,«,. . dell' asse delle x,
non passi neppure nei punti X , , Xj , . . , X„ , . . , applicando i
processi del §. 79. potremo trasformare gli integrali dei secondi
membri di queste formole, e troveremo così che per t fra 0 e 2 t:
(0 e 2 ;: al più esci.) i secondi membri medesimi sono respet-
tivaraente uguali alle seguenti quantità:
11 r — Acos^^cosh(^ — ::)ìj-\-yser\tlsenh{t — ^)'J ^ _
2+z7o (AS^-)~oshTy ~~~ ^
! 1 / sen t z ,
{W\ < — - / du ,
^"^ ' j 2:rJ ^-2;sen7C2'(cos7C5;-f-Ysen7r2r)
en^/»- / cosh (^— ^)i/ , 1 / cos ^ 2:
r 7o cosh TU y -^ 2;r^__ sen7rWcos7rs'-|-Ysen7:2^) ^'
intendendo che negli ultimi integrali sia z=h^ ~\- ^ !/ ove /„ è
un numero positivo non intero compreso fra X„ e X„+^ (X„ e X„+i
esci.), e A" è uguale a p-\-^ , essendo 2> l' ultimo numero intero
u
che non supera /'„.
Ora i primi integrali che compariscono in queste espres-
sioni li studiammo già nel §. 79 ; tutto dunque , come già
dicemmo nel paragrafo precedente, si riduce a considerare gli
ultimi integrali.
193
Polliamo perciò '(=a-\-il>. I moduli di sen t z e cos tz
saranno inferiori a cosh.fi/, e per quello M del prodotto
sen 'Kz { cos ~z ^r'{ seiiTzz) che figura nel denominatore degli
ultimi integrali, per z=^li„-\i tj , si avrà:
M'^=(sen^r/.„-f senh-ry j (asen;:/.-H-f cos;:/.-,,)-— 1 -j-(cosh-</ — èsenh7:^)^+
-|-a-senli-7://4-^"'sen- il/.-,, | = (sen-TC/.n-l-senli--«/) j (asen~/\,-|- costì/.' ,j)^ —
— b^cos'zh,,-\^a-sen\ì.^-Kij-\-cos\rTiij{b — tgh tjj)^]^ ;
e quindi si potrà scrivere M = "j. cosh- z y , ove u. è finito se
tali sono a e b; dunque se questo numero [i per tutti i valori
reali di >/ e pei valori di /.„ superiori a un certo numero è
sempre discosto da zero più di un certo numero determinato v,
/co
dì/
_^ z sen z z { cos TZ z -\- '( sen tt z)
/oo
cosh 1 1/ d>/
■ / ■ , e quello deli altro in-
_^ COSh^JTf/
/^OO
/ COS t z
tegrale / -. , r d ii sarà inferiore a
' sen ;: z (cos izz -\-^{ seu ;: z)
00
cosh t y
-d y.
ir
V ./—co cosh- -7/
Di qui apparisce subito che in questi casi il primo integrale
pei valori di t compresi fra 0 e 2 - ( 2- al più esci.) avrà per
limite zero al crescere indefinito di X„, e quindi di k„;e se s è un
numero positivo piccolo a piacere, fra 0 e 2 ;: — e tanto il mo-
dulo del primo integrale che quello del secondo si manterranno
inferiori a un certo numero finito, e in conseguenza il pro-
dotto di t per r ultimo integrale tenderà a zero con t qua-
lunque sia H', dunque evidentemente si avrà ora
y.i(0 = '/j(~hO) = Gr = - , e le due espressioni (51), ove i primi
integrali hanno le proprietà trovate per essi nel §. 79, e i se-
condi hanno quelle ora indicate , rappresenteranno respettiva-
194
mente le due quantità / z[t , a , /<)r?/, '^( / , a , //„ ) ; talché noi
possiamo senz' altro asserire che , se, essendo «^=.r-j-j//, la
equazione :
(52) Y{-) cos ;: z + F,(c) s.ni - .^^0
y, considerata a destra dell' asse delle y o su qnest' asse ha
, soltanto per ralici lo zero e le infinite «luantità positive
„ X, ,Xj,.., X.,,.., le quali crescono indefinitamente con ;?,
, e si esse che la radice zero sono tutte del prini' ordine; e
f, se inoltre, sempre a destra dell' asse delle // o su que-
, st'asse, le funzioni F(^) e Fl(^), oltre essere mouodrome e
, continue, sono finite nei punti 0, X^ , X^ ,.., X„ ,.,, e sono tali
, altresì che per z^^iy e z^= — iy una di esse prende gli stessi
, valori e l'altra , prende valori eguali e di segno contrario, e
„ al tempo stesso per y positivo o negativo ma numerica-
„'^mente maggiore di un certo numero e qualunque sia x
- le differenze respettive „J4 *'i ^^f4" +«" hanno un mo-
^ ¥{z) Y{z)
, dulo che non si accosta a zero più di una certa quantità;
, allora, quando al crescere indefinito di X„ si trovi sempre un
„ numero non intero /■'„ compreso fra X„ e Xn+i tale che, ponendo
F(^)
„ il modulo del prodotto sen :r ^ ( cos ti 2- -|" t^ / senirs' ) per
, z=h-„-\-{ y sotto la forma |j. cosh^~y, il numero |x resti
„ sempre discosto da zero più di un certo numero determinato
„ V, la funzione reale flx) data arbitrariamente nell' intervallo
, ( — :: , ~) potrà svilupparsi secondo la serie:
1 ^
„ per tutti i punti x dell'intervallo stesso ( — t: , tt) diversi
, dagli estremi ±-, negli intorni dei quali si verifica una
, almeno delle condizioni I, e II del §. 39, o l'altra di
- ammettere una derivata o un estremo oscillatorio che
105
, resta atto alla integrazione aiiclie ridotto ai suoi valori
„ assoluti ; e in questa serie i coefficienti a^ , a„ , b„ saranno
dati dalle forniole
F,(0)
f{.r)dx,
F'(0)H-;:F,(0)ioJ__J
Fi(XJ cos TT l„ — F(XJ sen tt X„
F (XJ cos7:X„+F",(XJ sen;: X,. — 7cF(X„)sen7rX„-i-7r F,(Xjcos7:X„
fi
x)cosl^rdx
J
F, (X, ) cos 71 X„ — F (XJ sen ;c X„
[_F'(X„)cos7:X„-|-F'<(X„)sen7rX„— ;i:F(X„)sen7rX„4-;rF,(X„)cos7rX„
0 anche, per essere F().„) cos r X„ -j- F| (X„) sen tt X„ = 0,
x) sen X„ X dx
F^(0)
Lf'(0)+-f,(0)I,m;^
]fh
) d X ^
L
\
F'^(x„)-fF;TA«)
F'(Xh) F,(X„) - F\{1„) F(X„) + 71 F-^(X„) + TU l\-^ (X„)
=r^
¥%K)^ F,2(XJ
inK) F,(XJ - FVXJ F(XJ + TT FU.) + ^ F, ^'(X„)J
„ ove le parentesi quadre indicano che delle quantità in esse
„ racchiuse bisogna prendere soltanto la parte reale; per modo
„ che in particolare, se ¥{2) e ¥^{2) saranno reali per z reale
„ positivo 0 nullo , i coefficienti degli integrali saranno le
„ quantità fra parentesi senz' altro „ .
Se poi non potremo assicurare che i numeri ^„ qui in-
dicati esistano eeiupre fra le radici successive X„ e X„+^ , X„+,
e X„+.2 , . . , ma sapremo però che essi esistono per es. fra le
radici X„ e X„4j , fra le radici X„+„ e X.,+„.+^, fra le radici
/■(.r) cos X,. xdx ^
f(x)sen\„xd X ^'
(j+«,+ii
X„+„ +„ e X„+„ +„^+j,.., allora la funzione /l[.i?) potrà ancora
svilupparsi pei soliti punti x secondo la serie (53), ma bisognerà
intendere che i termini di questa serie siano riuniti in gruppi
corrispondenti imo alle radici X„+,,X„+j , . . , X^+^^^ uno alle radici
10(1
Ag<,nnngiamo che se /(— -'O^A'') ^^ ^^^'^^ (<'j'^) •''i l'iJuce
a una sei ie di soli coseni :
(50)
ove
1 ^
2 ^0+ 2S f'"COsX„ .r,
F(0)
_F'(0) + F,(0)J
(57)
(I
o
FUJ+FiMU
F'(>s.)F^(XJ-F',(X..)F(XJ+-F^(XJ+-F^2(aJ
^0
/■(.r)cosX„a7(:Za^^
g gg ^^ — ,,) = — f(^.v) la stessa serie si riduce alT altra di soli
seni :
(68)
co
V /y„ sen l„ .r,
1
ove:
(59) K=2\irrr^^,
Y%K)-\-F,%X„)
f{x)senX„xdx,
e ciueste possono quindi servire allo sviluppo per soli seni e
per soli coseni di una funzione f{x) data arbitrariamente frd
0 e ::, ec.
Inoltre osserviamo che se F{z) = 0 questi sviluppi si ri-
ducono a quelli di Fourier. Per essi poi le finizioni corrispon-
n
denti 'f(^,a,A„) e / (p{i ,a.,hu) d t sono date respettivamente,
come già notammo, dalla seconda e dalla prima delle espressioni
(51), e sono indipendenti da a^ e a causa delle (48) e (49)
possono anche porsi sotto le forme:
1 , , V ' . , 1 ' . 1 V ' senXn^
107
ove per semplicità di scrittura abbiamo rappresentato con a',, e a'„
i coefficienti degli integrali che figurano in «j, e «„ nelle (54)
e (55).
Per la (50) poi si ha la formola notevole
che varrà per t diverso da zero e compreso fra 0 e 2z (2 t:
al più esci.).
82. S'intende che l'ultima condizione che figura nelPenun-
ciato del teorema precedente sugli sviluppi (53) sarà ordinaria-
mente conseguenza dell' ipotesi che abbiamo fatta che la
equazione (52) a destra dell' asse delle y non abbia altro che
radici reali .
Del resto ciò si \erifica con tutta facilità nei tre casi se-
guenti che sono i più comuni ;
F (2^
1° „ che essendo '( = r!, = a -}- i h, al crescere inde-
y, finito di X per valori positivi e qualunque sia 1/ il valore
, di a finisca per restare sempre discosto da zero più di un
„ numero determinato ;
2." „ che il modulo [ a-^b' del rapporto y finisca per
„ restare sempre superiore all' unità più di un certo numero
„ determinato;
3.° „ che se a tende a zero 0 almeno può accostarsi
„ quanto si Tuole a zero 0 passare per zero ( senza essere nel
„ caso precedente ) esso non superi mai in valore assoluto
„ un certo numero dato, e h resti sempre numericamente
, inferiore all'unità più di una quantità determinata „.
Indichiamo infatti con a„ il valore di a per •^ = À,,,?/^0,
e osserviamo che per questi valori di .r e >/ il b deve annul-
larsi onde X„ possa soddisfare alla equazione (52). Si avrà;
cos z X„ -|- a„ sen ~ X„ = 0 ;
e quindi poiché non solo nel primo dei casi ora indicati ,
108
ma anche nel secondo il valore di a,, sarà discosto da zero
più di una quantità determinata, è certo che in qu(-sti due
casi X„ resterà sempre discosto più di quantità determinate dai
2i 4- l . , .
numeri della forma -, ove / è intero .
Allora, ammettendo che, almeno a partire da un certo
valore di m, i termini della serie (53) vengano riuniti in gruppi
corrispondenti alle radici X„ che fossero comprese fra 0 e
-t 1 Q Q ^
-, fra _ e ]^, fra e - , . . , se si suppone che X„ sia 1' ul-
,• .• . 2i— 1 ^ , ^ 2?-|-l .
tima radice di un gruppo e sia — ~ — <C a„ <C — ^ - , si
2è-fl ,,
potrà prendere A-„ = — - — , e allora sarà :
M = cosh- - 1/ Va^- -{- (&— tgh r y)^ = \i cosh- Tt y ;
e quindi se, essendo nel pruno caso, a partire da un certo
valore .i'q di 3? e qualunque sia y,rt sai-à sempre discosto da
zefo in valore assoluto più di un certo numero «,, allora per
.T ^ .r^ sarà jj- > a^ , e la condizione che figura nell' enunciato
del teorema precedente rimarrà soddisfatta.
Se poi saremo nel secondo caso, e a partire da un certo
valore .Tq di a' e qualunque sia ?/, si avrà a^-\-h^ = 1+p^ ove
n non si accosta a zero più di un certo numero ^Pq , al-
lora preso X,. maggiore di questo valor .Tq di x, si osserverà
che quando sia ^> 1 potremo porre h=±VV{J} e quindi
a2=/-^-, e
l^' = Vf - b,^ + ( V 1+1^2 + tgh TT yf ;
e poiché il valore assoluto di tgh tt y non supera V unità ,
è evidente che "J- non sarà inferiore a Vp^ — ^^^ -f (Kl-j-ft/^ — ^f
ovvero a Vp'^-{-2{ì — |/ lipii^s); e siccome, essendo h^-<^p^,
questa quantità non è inferiore all' altra V2^'2_|_2 (1 — Kl + p^)
che è ugnale a p y, 1 — ^ == , così è certo che per
199
ht ^ -^0 e pei valori «li // pei quali 6 _^ 1 il numero ;j. non ai ac-
costa a zero più di p^^ \' 1
ì
l-f-|/l4.p2
Quando poi sia fc <^ 1 , allora evidentemente a^ sarà mag-
giore di p^f, e a sarà maggiore di ;),^; dunque, anche nel se-
condo dei casi indicati sopra la condizione relativa ad M che
figura neir enunciato del teorema precedente finirà per es-
sere sempre soddisfatta .
Passando poi al terzo caso, osserveremo che per le ipotesi
ohe ora si ammettono sui valori di a e quindi delle «„,, alcune
0 tutte le quantità X„ potranno anche accostarsi quanto si
2 i-\-l
vuole a numeri della forma — ^ — , o essere di questa forma me-
desima; e il ragionamento precedente non sarà più rigorosa-
mente applicabile, sia perchè nonpotremo più prendere con
1 ^ A' 1 2/-fl
sicurezza, per quauinqne valore di n,l:n = — - — , sia per-
ch'P', anche nei casi in cui ciò potrebbe farsi , M potrebbe per
certi valori di n e per //^=0 venire piccolo quanto si vuole.
Prenderemo perciò in questo caso k„ in modo che sia
sen A:,, 7:= a, essendo a una c|nantità da determinarsi; e osserve-
remo che allora si ha :
M^-=(7.2-|-senh2 - jf) ; {a a-f yiH^f^h-^ a^ - 1 + «^ seiih^ zy-{-
4-cosh-^zy(l-Mgh;:^)-2;=cosh^.^(l--J^)|^
■"^ — ^osh?^y-^-^+«^tgh-^'^^
e siccome in valore assoluto tgh-y non supera mai V unità,
se s'indica con a' il valore assoluto di a, e con òy il limi-
te superiore dei valori assoluti che prenderà 6 dopo che x
sarà divenuta abbastanza grande, si avrà Òq <1 1 e
[J. ^ a' [ (L — 6q)- — e, ove e è il limite superiore dei valori
:l>00
assoluti di ««(l-6^)-2aal^l-a^^ supposto che a possa
cosh- ~ y
determinarsi in modo che sia c<<(l— Jf,)-.
Ora si ha :
a\\ — h') — 2 a a ^l^Ta} _ , a' (1— 6^)± 2a )/III^
cosh^ IT y ~ cosh* 7t y
PQjj gj' _^ 4- sen /,„ z , e evidentemente, se a,, è il limite su-
periore dei valori assoluti di a dopo che x sarà abbastanza
grande, il fattore -^ ^li^""^; moltiplica a,
qualunque ) siano y e il valore che poi prenderemo per a,
non sarà mai superiore a l-f^aoi dunque quando si prenda
(1— //o)2
per a! un numero diverso da zero e da ^ ^^ e compreso
(^-^)' /-Il
fra questi numeri, come per es. a = 9714^^^' ^ ^^^'
dentemente potrà sempre farsi perchè rTr2 V ^^J ^^ ^^^*
Segue da ciò che anche in questo caso la condizione re-
lativa ad M che figura nell' enunciato del teorema precedente
sarà soddisfatta quando per le /„ si prendano i numeri che
soddisfano alla equazione sen k^it^ + a, ove a' deve determinarsi
nel modo ora indicato; dunque „ quando per F{z) e F,(^) si pre-
, senti uno dei tre casi 1.'' 2.** e 3.*^ suindicati, allora senza
, stare a occuparsi della condizione che abbiamo posta nel-
„ teorema precedente rispetto al modulo M del prodotto
, sen :r^ (cns ;r 2 -|- ^-— sen:r^), si potrà asserire che se tutte
, le altre condizioni del teorema saranno soddisfatte, lo svi-
, luppo in serie (53) sarà applicabile nei soliti casi alle funzioni
„ f{x) quando i termini della serie almeno a partire da un certo
„ punto s'intendano riuniti in gruppi corrispondenti successi-
201
„ vainento alle radici X, ,)..2,. . , X„ , . . , che nei primi due casi
^ fossero comprese fra 0 e , fra ^^ e ,^, fra — e ^, . . , e nel
„ terzo fossero comprese fra 0 e /{^ , fra /., e A, -f 1, fra/.', -fi
„ e /ii-|-2, fra J^'f-\-2 e /)(-f-3 , , . , essendo /.", la più piccola
, radice positiva p della equazione sen -t 7r==-'a' o l'altra 1 — ,0 „.
Spesso però questa riunione dei termini della serie in grappi
potrà farsi in più modi dilfert-'uti, specialmente nel terzo caso
in cui si ha una certa arbitrarietà nella determinazione del
numero a.
S' intende poi che in tutti questi casi se le differenze
fra le ra liei successive della equazione (52) finiranno per non
essere mai inferiori a x, i termini della serie (53) 0 delle (56)
o (58) potranno prendersi successivamente uno per uno senza
bisogno di riunirli in gruppi convenienti.
83. Ao-o-innjjriamo che se uno almeno dei tre casi ora con-
siderati , anziché presentarsi soltanto per valori sufficientemente
grandi di x qualunque sia i/, si presenta sempre quando il
modulo di z è abbastanza grande, allora evidentemente viene
soddisfatta da sé anche la condizione relativa alle differenze
Vii)
~ + i = '[±i,e quindi basta in tal caso verificare: 1." che
le funzioni F(^) e F,(^) siano monodrome e continue a destra
dell' asse delle 1/ e su quest' as-^e , e non divengano infinite
nei punti 0, X, , X2 , . . , X„ , . . ; 2." che le funzioni stesse F{z)
e F(^) siano 1' una pari e l'altra dispari o almeno si abbia
F( — iij) = ± F[(i/) con F^( — ///) = + F, (///), e che la equazio-
ne (52) a destra dell' asse delle 1/ e su quest'asse non abbia
altro che radici reali e del prim'ordine, e queste siano le so-
lite quantità crescenti indefinitamente 0, X, ,Xj , . . , X„ , . .
In particolare dunque, osservando che se F^z) e F|(2;)
sono funzioni razionali intei'e di z delle quali la prima è dispari
e la seconda è pari si ha lim y^'O o limY=oo quando mod z=oo ,
si potrà dire evidentemente che „ se Ff^) e F^{z) sono fun-
, zioni razionali intere di z delle quali la prima è dispari
» e la seconda è pari, e l'equazione:
202
F(^) cos ;: z + F^{^) sen x .- = 0
, a destra dell' asse delle // o su quest' asse ha soltanto le ra-
, dici reali e del priiu' ordine 0, X, , Xj , . . . , X„ , . . , lo sviluppo
, (53) ove i coefficienti a^ , a„ e b» sono dati dalle (54) o (55),
, e gli altri (56) o (58) ove i coefficienti sono dati dalle (57)
, e (59) sono applicabili alle solite funzioni f{r) date fra
, — ;: e :t, per tutti i valori di x diversi da + ;r negli intorni
, dei quali \ soddisfatta una delle condizioni I, II del §. 39.
,0 1' altra di animettm-e una derivata o un estremo oscillatorio
, che resta atto alla integrazione anche ridotto ai suoi valori
, assoluti, e colle solite particolarità pei punti delle disconti-
, nuità ordinarie, e escluso il punto zero per la serie (58)
, (][uando non sia /"(-h^) = ^ i-
Lo stesso accade se ¥{2) e F/2;) sono funzioni irrazionali
di z che non hanno punti di diramazione a destra dell' asse
delle y 0 su quest'asse, purché si abbia F{ — iy) = ±F(iy),
con F, (—«?/) = + Fi(///)|: oc. . . .
84. Gli sviluppi per soli seni (58) nel caso particolare di
Y{z) = cz e F,(^) = 6') con e e e, costanti ( il caso di
e -j-C| 7r=0 esci.) concordano pienamente con quelli che si sono
presentati in alcune questioni della fisica matematica (*), e dei
quali, per quanto è a mia cognizione , non era stata data fin
ora una dimostrazione rigorosa .
Oltre a questi poi noi abbiamo dunque gli sviluppi (53) e
(56): e questi, come i (58) stessi, si hanno non solo per le indi-
cate funzioni particolari F(2)-^=C2;, F,(2;)=e,, ma anche per altre
molto generali, e tutti questi nuovi sviluppi possono servire
alla risoluzione delle medesime questioni della fisica matematica
a cui servivano quelli ora ricordati, e anche alla risoluzione di
altre, per quanto, tolti i casi di F(2')=0 0 F,(2')=0, che in
sostanza corrispondono a sviluppi di Fourier, gli sviluppi (53)
per seni e coseni ad un tempo e gli sviluppi (56) per soli
coseni non soddisfano alla condizione (37) che si ha in quelli
{') V. p. Rieuiaiin. I artitlle differtintial (ìlfiichung'fiii pag. 159.
203
che si sono presentati nella fisica matematica, e gli sviluppi
(58) vi soddisfano soltanto quando F{z) = e ^ , e F^{z) = e, .
85. Aggiungiamo che se le radici 0, À, ,X2, . . , X„ , . . ,
invece di appartenere alla equazione (52), appartengono, sempre
come radici di prim' ordine, a un altra più generale che, almeno
pei valori di z di modulo grandissimo a destra dell'asse delle y,
prende la forma:
u{z) -3 F(^) cos :r ^ + F, (z) sen r : + F, (s) = 0 ,
ore per semplicità supporremo suhito senz'altro che almeno sul-
r asse delle ij delle tre funzioni ¥{2) , ¥^{z) , F^{z) la prima è
1' ultima siano ambedue dispari e la seconda sia pari, e a destra
dello stesso asse e sopra di esso queste funzioni siano monodrome
finite e continue ec; allora si hanno altri sviluppi per f{.r) che
sono ancora della forma (53) ; ma questi nuovi sviluppi invece
di valere fra — tz e t: come quelli del caso precedente, si può
TT 7t TT
assicurare che valgano soltanto fra — ^ e ^ (± - al piì; esci.) .
In questo caso infatti l' integrale (46) da considerarsi
1 / Mz) sen t z d z , .
diverrà o / "7^ — r'e Pc^T ' ® P®'^ valersi
2 "i^ iJn' z {h cos izz-\- f j sen TU z-\-£:^
delle considerazioni del §. 77, si prenderà come nel §. 81.
^[z) == Fi cos r.z — F sen - ^^ ; e "allora 1' integrale precedente
diverrà :
1 / cos:r5'senf2 1 C (F-fFa cos %z)^^ntz
2 7Z i jp- zseuKZ 27rt\'Q' ^ sen 7:«'(F cos t^z-^-F^ sen tt ^J-fF^-) '
e basterà occuparsi del secondo di questo integrali, giacché
per < fra 0 e 2 ;: (0 e 2 tu esci.) il primo ha per limite- (§. 79.)
Ora, se F(^) non è zero, ponendo :
F^(-^) , ., F,(^) . , . ;
204
il detto integrale diviene:
(l-|-5 cos z 2) sen t z
2 7lt In
ri- z sen T^z ( cos ;: 2" -]- 7 sen r ^ -f- S)
fZ^ ;
e supponendo che al crescere indefinito di niod z, il 0 tenda a
zero, o almeno il suo mo.lulo non superi un certo numero,
e i modali di Y-f-i e 7—/ non si accostino a zero più di un
numero determinato, basta seguire il processo del §. 79. per
giungere a riconoscere che se < è fra — ;: e :r (±Kescl.) questo
integrale si riduce all'altro:
>oo
(1 -f- 5 cos z z) sen t z
2kJ_
z sen t: z (cos iz z -\- 'i sen r^ z -\-c,)
d
y
nel quale z •= l„ -\- i // , essendo A"„ un numero positivo non
intero che è grandissimo e non è radice della equazione u{z)=0;
talché ora, osservando come al §. 81 che per z=k„-\-itj il mo-
dulo M' del prodotto s^n n z (cos z ^ 4~ Y sen - ; -|- ^) si pone
sotto la forma M' = [jl' cosh'^ z y , si conclude iminediatamente
che , se X, , X^ , . . , X„ , . . , sono al solito radici reali positive
„ e del prim' ordine ec. della equazione:
(60) Y{2) cos - ^ + P/e) sen - ^ + F.(^) = 0 ,
y, ove come abbiamo detto delle funzioni F, F, e F^ la prima e
, l'ultima almeno sull'asse delle y sono ambedue dispari, e la
, seconda è pari, e a destra dello stesso asse e sopra di esso sono
, monodrome finite e continue ec. e F(^) non è sempre zero;
, e se al tempo stesso al crescere indefinito di raod «, il
F ( ?'\
„ rapporto ^ si mantiene col modulo sempre inferiore a un
- numero finito, e i modali di ~„| ^ 1 e =-—--!- i restano di-
, scosti da zero più di un certo numero, allora lo sviluppo ;
1 °^
205
ore :
'''' 1 Ib'-'
LF'(0)+;:F,(0)+F',(0)|
Fi(X„) cos :r X„ — F(X„) sen ;: In
,)cos7rX„+F',(X;Jo7 '\
F'(X„)cos7rX„-f-F'i(A„)sen7:X„— 7:F(X„)seu;rX„-)-;rFi(X„)cos7
~2
'=- I\Og^osja,^-^X„)senjrX„ ] T^.^) 3^11 X„ a; c?x
F'(X,.)cosKXn+F',(X„)senzX„-7:F(XJsen::X„-hzF,(A„)cos-Xn+F^,(Xn)_oj '\'
, sarà applicabile alla funzione f{x) nei soliti punti x fra — —
Li
TI f TI \
» e ^ f ± r) 8,1 più esci j tutte le volte che per valori con-
, venienti comunque grandi di />„ e per ^=/.„4- /«/ , il modulo
( F F )
, M' del prodotto sen 7: 2 ■ cos :: 2; + ^ sen u e + eT | si riduca
„ alla forma |j/co8h'7ry,essendo {j/ sempre discosto da zero più
, di un certo numero , .
86. Ora per trovare dei casi particolari semplici, indichiamo
con w cosh T:y il modulo di cos 7:2; -[-7 sen 7::, e con ^-cosh-7:y
quello di sen - ^ ( cos 7: z -\- ^[ sen ~ ^ ) quando z ==■ Av. + « y\ si
vedrìt subito che il quadrato di quello di cos tt 2 -f~ Y sen r^z-\-l è:
w' cosh' T. y A^ e'' -\- d} -\- 2\c (cos t: Ah + a sen tt /n) 4"
* -[- b d sen rc /n] cosh t^y -\- 2 [ e? (a cos ti A'„ — sen tt A'„) —
— 6 e cos 71 A'h ] senh 7t y,
e in conseguenza il modulo M' di sen ti z (cos 7r ^^-f 7 sen - z-\-Z')
è a' cosh* ~ ?/, con:
206
•4 i { 1 , c'^-{-d^ , o (^c^-6(^sen;T/^„4-ccosrt/n ,
V- —V- il -1 a — r^ r «^ )" , "~ +
( m-cosh- 71 1/ tn'-coshzi/
^ (q d—b e) cos - />•„— ^ sen z /.„ ^ ^^ _ ^ | _
" ?n^ oosh Jr y » " ./ j ' ^
quindi, osservando che se 7 non è identicamente zero, e 7, è
il suo argomento si iia:
S - ac-{bd-^i{ad—hc) ., , r, j , v j 7 x-, 2/7,
7 5 = - 7«= ^ ^^^ 7^=[^ c+6 d^i{ad-b r)] e ",
si vede chiaro , senza neppure eschidere ora il caso di
7=0, che se al crescere ind. finito di n i numeri §676 ten-
dono ambedue a zero, basta che [j. resti discosto da zero più i
di un numero determinato perchè altrettaKto accada di ji'; U
e quindi, limitandosi a un caso particolare soltanto, si potrà
dire evidentemente che „ lo sviluppo precedente (61) sarà
cre-
, applicabile fra — '^ e ^^ ( + -al più esci.) quando al
, 8cere indefinito del modulo di z il rapporto rr tenda a zero
, e r altro „* sia nel terzo dei casi del §. 82, o, essendo in uno
r
, degli altri due oasi dello stesso paragrafo, converga contempo-
F F., .
, raneamente a zero il prodotto —|vt^ dei rapporti medesimi „ .
Facilmente si troverebbero altri casi semplici di equazioni
della forma (60) pei quali lo sviluppo (61) riesce applicabile.
87. Passando ora al caso di F=0, con Fj diverso da
zero, osserveremo che ponendo J^ . = p = e -\- if ^ V inte-
, , .. ... 1 / p co^z z SQXit z dz
graie da considerarsi diverrà . / -, — ; .,
2 z i Jq' z sen -2 (p-)-sen zz)
e siccome le X|,)v2,.., devono essere reali, il p al crescere
indefinito di mod z dovrà prendere anche valori reali non su-
periori air unità in valore assoluto. „ Limitandosi dunque al
207
case
F,(^) ,,
jo in cui, essendo ;;= " , il modulo di p finisce per re-
, stare sempre inferiore a un numero finito, si vedrà al solito che,
„ anche nel caso attuale della equazione:
(62) F,(0) sen ;: ^ + F^ (z) = 0
„ lo sviluppo (61)'garà applicabile fra — -e - f + ^al più esci, j
, quando per valori convenienti non interi ma comunque
, grandi di />„ e pev z=k„-\-iy il modulo M, di sen tzz [p^^en tzz)
, si riduce alla forma M,=[Xi cosli^ % y con [Xj discosto da zero
, pili di un certo numero; (^ in questo caso i coefficienti
, «0 , a„ e 6„ dello sviluppo saranno dati dalle formole:
F,(0)
L7rF,(0)+F'2(0).
f{x)dx,
(63) \«-
Fi(X„) cos 7rX„
_F\(XJsen;uX„+;:Fi(X„)cos7cX„+F'o(X„)_
F^(X„) cos 71 Xh
" ~"LF',(X„)sen;rX,.+:rFi(X„)cos7rX„+F'.(XjJ
J iz
)C0s\nXdx^
2
TU
-2
f{x) cos X^xdx,
"2
che sono quelle cui si riducono le corrispondenti del caso prece-
dente facendovi F{z)=0.
88. Ora, per trovare alcuni casi semplici particolari nei quali
questo teorema è applicabile, osserviamo che per z = /v„-|- i y
si ha :
M|^=^(cosh':r// — cos*7rA"„)[(é^-| s"^'^^''..cosh7ri/)^-!-(/'-|-cos7rA-„senh7rt/)^] ,
e prendendo A'n^^-^si trova p.^^^l + e^sl^) +c"~osh^y'
e quindi si ha subito in paiticolare che „ se trattandosi ancora
D. 14
208
, della equazione (62), mod/) finisce per esser sempre inferiore
, a uno più di una certa quantità diversa da zero 5, allora
, (essendo e*<C(l — l)'y e (Xi^» q) lo sviluppo (GÌ) ove i coefficienti
, Oq , «n » &M sono dati dalle (63) sarà applicabile alla solita fun-
TT <r TI
„ zione fx) per x fra — 7^ e - (+ 7^ al più esci. ) „.
Osservando poi che col prendere /r,, in modo che sia
sen /,„ ;: = a, con a quantità diversa da zero da determinarsi,
^ ^ ^ ^ ^ ^ cosh -y ^ co^\\Hn ^ cosh ~ </ '
' cosh^jri/~cosh ;:?/ ' '^ ' ^ -^ cosh ti ?/
= ^ + cosh ;: y) +^+(1- - - f'j tgh-.y-f ,,31,,/
si vede subito che se f tende a zero al crescere indefinito di
mod -?; e mod^? invece non si accosta a zero più di una
quantità determinata q, e al tempo stesso finisce per non supe-
rare mai l' unità, 0 almeno i valori che prendesse superiori
ad uno finiscono per essere prossimi ad uno quanto si vuole,
allora preso per es. a =— q^ il jx, finirà per non essere mai in-
feriore a ~. più di una quantità piccola a piacere; e si conclude
quindi come nuovo caso particolare semplice di applicabilità del
teorema precedente che „ se, trattandosi ancora della equazio-
, ne (62), al crescere indefinito di mod ^ il numero 'p o
- ~- tende a divenire sempre reale , e in valore assoluto
Fi(2)
, la sua parte reale non si accosta a zero più di un numero
, determinato, e non supBra 1' unità o tutt' al più la supe-
209
„ ra di quantità che finiscono per essere piccole a piacere ,
, allora lo sviluppo (01) ove i coefficienti sono dati dalle (03)
, è ancora applicabile alla solita funzione /(.r) per x fra —
, e ^r(+ '^ al più esci.) ,.
Si hanno così due casi semplici di equazioni della forma :
F, [z) sen r.z-^Y, {z)= 0,
per le quali lo sviluppo (61) è applicabile, e evidentemente
sarebbe facile di trovarne anche degli altri.
Al solito poi da questi sviluppi per seni, e coseni se ne
possono avere altri per soli seni o per soli coseni fra 0 e — ec.
89. È utile ora presentare la osservazione seguente :
Nelle applicazioni che abbiamo fatte nei §. 74 e seg. alla
ricerca degli sviluppi della forma :
.| 00
o ^0 +"5 (^« ^°^ ^" a;+&n sen X„a'),
ove À|, X.-),.., X,„ . . sono le radici reali, positive e del prim' or-
dine di una equazione u{z)-^ — .■^)=0? abbiamo supposto che
(juesta equazione a destra dell'asse xj e su quest'asse non avesse
altre radici che le stesse X^, Xg,..., X„, .. e la radice zero.
Se questo non fosse, e la equazione data, a destra sempre
dell'asse delle ?/ o su quest'asse, avesse anche altre radici,
come pure, più generalmente, se la funzione indicata sopra con
^[z)ìc{z) divenisse infinita nello stesso campo in punti diversi
da 0, Xj, Xo...,X„.., allora le quantità y,-, che sono i residui
di ^{z)x{:,{z')'s,^x^tz nei suoi punti d'infinito [j.j, ix.2,.., [J- ,... di-
versi da 0, X, , Xj, . . . , X„. . , non sarebbero più uguali allo
mn
zero, e occorrerebbe esaminare anche la somma ^ y dei residui
810
Y corrispondenti ai punti d'infinito [i,, [Xo, . . . [x che cades-
sere fra V asse delle y e la solita linea C'„ .
Però i risultati precedenti dovrebbero modificarsi soltanto
in questo che agli integrali (46) e (47) verrebbero sostituite
le diflFerenze :
e le condizioni che si avevano per gli integrali stessi ( o per
quelli che ad essi corrispondono nei casi particolari) dovrebbero
verificarsi per la parte reale di queste difi'erenze.
Ne segue che se la parte reale della quantità y y»- avesse
1
per limite per n=oo una funzione "/■o(0 di t che si annulla
per <=0, e che fra 0 e t^ (0 a f.Q incl. ) è finita e continua e
ammette una derivata finita e atta alla integrazione, allora per
gli integrali (46) e (47), o per quelli che loro corrispondono
nei casi particolari; dovranno ancora verificarsi le condizioni che
si avevano per essi nei paragrafi precedenti; e le varie formole
dovranno mutarsi col sostituire alla funzione X^ {t) che allora
si aveva l'altra X^ (^) — Xg (/) ; talché negli attuali sviluppi
non si verrà ad avere un cambiamento altro che nel valore del
termine —Uq .
dà
In particolare dunque nel caso degli sviluppi:
1 °°
o ^0 + ^51 (^.. cos ^^" ^ + ^n sen X„ X)
che corrispondono alle equazioni (52), (60) e (62) per le quali gli
integrali (46) e (47) hanno le proprietà volute e X, (+0) = ^,
quando avverrà che le equazioni stesse a destra dell'asse delle y
0 su quest'asse oltre alle radici 0 , Xj , X» , . . , X„ , . . , ne abbiano
211
anche altri tali che la somma corrispondente ^ Yr abbia perli-
i
mite una funziona '/-.i (0 che ha le particolarità indicate sopra,
allora gli svikipjai stessi saranno ancora possibili, con questo
però che mentre in essi i coefficienti a„ e ò„ per m>;1 rimar-
ranno ancora quelli che abbiamo dato sopra , il termine a^
u
invece subirà un cambiamento, inquantochè nell'integrale che
comparisce in a^ a {{x) dovremo sostituire il prodotto
1-}-— ^^^-ì — '- /(;r),' essendo a\ il fattore che figura fuori del
^ o J
detto integrale.
È inoltre da notare che se i punti d' infinito [j.^ , [i^ . . .
di f^{z) iv{2) diversi da 0 , X^ , Xg , . . sono tutti di prim' ordine ,
6 Yi 1 V'a 1 • • s°^^ ^ residui corrispondenti, si avrà
m„
T»- = l'r S6n ^ [JLr , e X^{t) = lim V y',. san t [i,- .
n=oo 1
90. Preudiamo ora a trattare il problema più generale
posto già dallo Sturm (*), quello cioè di rappresentare una
funzione reale f{x) della variabile pure reale x data arbitra-
riamente fra a e 6 in serie della forma S qn H(X„ , .x), con :
rb
F{x)f{x)E{l„,x)dx
(64) q„ = —^ ,
Ja
F{x)R\ln,x)dx
a
quando per tutti i valori di tn diversi da n e per una funzione
reale conveniente F{.r) si ha :
(65) / F{x) H(X^, X) H(X,. , x) dx = 0,
(') Journal da LìoutìUs. Voi. I.
212
e le H(^ , .r) per .r compreso fra a e i (a e b incl. ) sono
funzioni monodroiue e continue di z che per semplicità saranno
supposte sempre reali quando la x ha gì' indicati valori fra a e b
{a e b incl.) e la « ha i valori X, , Xo , . . X.. , . . ; e inoltre le
stesse funzioni U{z,x), almeno per qnesti valori partico-
lari X, ,Xo , . . , Xn , . . di 5", soddisfano alla equazione differenziale:
essendo K nna funzione indipendente da ^, raentr* g invece
dipende anche da 2; e le Xj , 'X^ , • • 1 ht > • • • essendo radici
semplici di nna certa eqnazione trascendente uh) = — ;— = 0 .
Questi sviluppi rientrano appunto fra quelli considerati
nei §§. 68 e 69; quindi sarà il caso di applicare 1' uno o l'altro
dei teoremi dei paragrafi stessi.
Indichiamo perciò, per abbreviare con H,H„,^.. le funzioni
H(2;,x),H(Xn,-^),5'(X„,'T) respettivamente; e osserviamo che essendo:
avremo :
(67) (^«-^.)H„.H«+^-|K(^H.^-H..^^ j| =0,
e ammettendo che le H„ siam) funzioni di .r finite e continue
fra a e ò, e che fj .sia della forma F(c) v(^) -f Fj(.r) onde la
differena'a g^—gm si riduca al prodotto F(ar) [v(X„) — v(X^Ì],
si troverà la formola seguente :
(68) / ¥{x) H. n^dx = ■.. / .. . \ K fH, -.?^ -H.„^0 \ "^
Ja v(a„)— v(X„,)( \ *' ^x ^^ J\b
che varrà per Xm diverso da X„; talché, onde col valore della
funzione F(.-(;) che figura nella equazione {fi^) 0 nella seguente :
213
sia soddisfatta la condizione (65), bisognerà che gli integrali
H e le radici X,,Xj,. ..,).„,.., siano prese in modo che si abbia:
k/h„ ^'" - uJJ^) -K„ (e„ ^-^ - n.,. ^-^') = 0
per tutti i valori di X,„ e X„ diversi fra loro; intendendo ora e
in seguito che le lettere ti o h messe in basso a date quantità
indichino che nelle quantità stesse deve farsi .T=a o x=b re-
spettivamente .
91. Fra i modi particolari di soddisfare a questa condizio-
ne vi è quello di supporre che per ogni valore di n si abbiano
le due equazioni:
l K -y^ — /i' H„ = 0 per x=a,
(k^-/,H.. = 0 per.r=^
ove h e h' sono due costanti reali qualunque, includendo in
CIO anche i casi m cui K o -r — sono zero per .c=a o x=b, i
i>X ^
quali quando non si abbiano singolarità in — — " o in K corri-
spondono a A' = 0 0 /t=0; e includendovi pure i casi di
H„=0 per x=a o x=b che corrispondono ai valori limiti
h' =^ + <x> o /i = + oo; e noi supporremo senz' altro che queste
due equazioni debbf.no essere soddisfatte.
Così essendo, osserveremo che, se sono dati a e ò e queste
equazioni (70) non si riducono alle due K„=0 , K6=0, l'una di
esse, per es. la prima, potrà servire a determinare il valore
di H„ 0 quello di --^ per x=a quando sia fissata l'altra di
ùx
queste quantità , determinando così completamente l' integra-
le H„ che dovrà figurare nella serie Sg,, H„, e che, come abbia-
mo detto, dovrà risultare reale per tutti i valori di a; fra a e b
{a e b incl.); e V altra equazione allora figurerà come una
equazione in À,i che determinerà le quantità X„; talché in que-
214
sto caso per equazione uh) = —j—^ = 0 si potrà prendere la
'^ ^ ' w{jt)
seguente :
u{z) =
ÒX
= 0.
Quando poi, per es. per x=^a si abbia K=0 senza che
per x=b siaK=0, allora se sarà già stabilito di quali integrali
n„ della equazione (66) o (69) si vorrà fare uso, la seconda delle
equazioni (70) potrà riguardarsi come quella che determina le
radici X„ e quindi potrà prendersi per la equazione i({z) = 0 ;
ma se per gli integrali H„ sarà dato soltanto il valore di H»
o quello di ^—^ per x=5, allora la seconda delle equazioni (70)
uX
medesime potrà farsi servire a determinare 1' altro di questi
valori, e in tal caso potrà prendersi a piacere la equazio-
ne ti{^)^^0 che deve determinare le quantità ).„; mentre infine
se le equazioni (70) si ridurranno alle due Kn=0 e Kj^=0,
allora rimarranno pienamente indeterminate le due costanti
arbitrarie che figurano negli integrali delle (66) o (69) e potranno
prendersi a piacere e anche funzioni di ^ , come potrà pren-
dersi a piacere la equazione u(z) = 0 che deve determinare le
quantità X„; salvo bene intese in ogni caso a procurare che gli
integrali H non presentino singolarità né rispetto 'ad x né
rispetto a z nei campi ove devono considerarsi , e siano reali
pei valori Xj , ).o ,..,X,i, . . , di z e per qualunque valore di x
fra a e 6; e riservandosi sempre di esaminare se sia o nò
possibile di soddisfare alle varie condizioni dei teoremi dei §§. 68
o 69 prima di potere assicurare che lo sviluppo S g„ H» é
possibile nei soliti casi per una funzione reale f{x) data arbi-
trariamente fra a e b.
Similmente, se saranno dati per es. gli integrali H„, senza
però che si conoscano i numeri a e 6, e questi numeri per
valori convenienti delle costanti h e h' potranno determinarsi
in modo che riescano identiche le equazioni (70) qualunque
sia X„, allora rimarrà ancora pienamente indetermioata la ec^ua-
?15
zione u{z) = 0 che determina questa quantità X„ ; e lo stesso
accadrà se , essendo dati per es. soltanto a e uno dei valori
H„ 0 -T — " per x=a, si potrà determinare 1' altro di questi
valori Hn o -r — mediante la prima delle (70) e il ò mediante
vX
la seconda.
92. In ogni caso però se F{x) è reale e non cangia mai di
segno per x reale e compreso fra a e b; e se per ogni valore
reale o complesso di z in un campo simmetrico attorno all'asse
reale, la H{z , x), considerandovi anche x come variabile com-
plessa, è funzione di x monodroma, finita e continua in un certo
campo connesso C che racchiuda i punti a e &, allora la condi-
zione (65) fa sì che le radici deUa equazione da considerarsi
u{z) = 0 debbano necessariamente essere reali quando questa
equazione è la seconda delle (70), o la Hj = 0, o anche, più
generalmente, quando essa è tale che ammettendo una radice
complessa dovesse necessariamente ammettere anche la sua
coniugata.
Supposto infatti che ).,„ e Xn fossero due radici co-
niugate della nostra equazione i({z)^=0, sarebbe per x reale
H(Xm,-^)=P-h» Q) H(^..>^) =P — * Q essendo P e Q certe funzioni
reali di x, e allora la condizione (65) si ridurrebbe all' altra
r^
I F(.r) ( P2-|~Q' )d X = 0 ; quindi , poiché questa porterebbe
P=Q=0 (perchè F(x), P e Q si suppongono naturalmente con-
tinue ), le funzioni H(X„, , x) , H() „ , x) come funzioni di x sa-
rebbero zero in tutto il tratto rettilineo (a , ò) e quindi anche
in tutto 0, e questo non può essere .
93. Aggiungiamo che quando la nostra H(^ , x), considerata
come funzione delle due variabili z e x^ sì mantiene finita e con-
r • • 11 1 • f ■ , :)H ;)H ;)2H
tmua insieme alle sue derivate prime e seconde t — , r — , ;- — ;--
'- ^x Hx ^xì^z
per tutti i valori reali di x fra a e 6 (a e b incl.) e pei valori com-
S16
plessi di e in intorni dei punti X,,(*), e per questi valori di .r e di «"
essa soddisfa sempre alla equazione {(j6) o (09); e inoltre o si
ha K=0 per x^a, o è identicamente soddisfatta la equazione
H=0 o r altra K r h' H=0 per x=a e per qualsiasi ya-
vX
lore di z negli indicati intorni , allora sarà facile di trovare
. rK
anche i valori degli integrali / I(.r)H„' dv che figurano nei
00
\«
coefficienti q„ della serie -^ (/„ H„ .
I
Si osservi infatti che cambiando nella (67) il X^ in z, (il
che ora può farsi) , e integrando fra a e x sì ottiene la se-
guente :
f.
^ ' v(2') — v(X„) l ;) X' ì^x
che varrà per x compreso fra a e b {a e b incl.) e per qual-
siasi valore di z negli indicati intorni; e siccome, per le nostre
ipotesi, il primo membro è una funzione continua di ^ per z = X,„
il suo limite per z = X» sarà l' integrale / F(.r) Hm^ d x.
'a
Invece a causa delle nostre ipotesi il limite del secondo
rj_ /^ ^_ ^xi
membro sarà |^,/(j) "^ ^ ;) ^ ^ x "Uììzjj J^ o^^^ro
-TTT— ,K( -— — ^ v-^— H,,— — ~ I; dunque facendo x = b e pas-
v(X„) \/ò\,i^x ^)X„:5.v ^ ^
sando al limite nella formola precedente, si trova subito che
sotto le fatte ipotesi 1' integrale cercato è dato dalla formola :
(71) fmE„^dx = ^^ K'(l?"^ - H..v^ ) ;
(*) S' intende che qui si parla di continuità rispetto alle variabil i s e a? prese
insieme.
217
e se li sarà finito a causa della seconda delle formole (70) si
potrà anche scrivere:
(69) / F(.., H„2 dx = -4-, [h.. (h^-^~ K-^") 1 ;
mentre se h è infinito, riducendosi la seconda delle (70)aH6=0,
si avrà :
/ Y{x) H,.2 d X = ^ ^^'^ '^^/^
Ja v'(X„)
donde risulta anche che se, come supponiamo, F{x) e H„ sa-
ranno sempre reali per x compreso fra a e b e F(a;) non mu-
terà mai di segno in questo intervallo, le varie condizioni che
abbiamo poste per giungere a trovare il valore dell' integrale
I F{x) H„^(iv non potranno coesistere quando per x=b sia zero
Ja
li K, 0 lo sia tin insieme a ^- o a:-^ — , o^siazeroper 2; = A„
U X 0 hn
anche la derivata rapporto a z della espressione
i X ji
e allora per avere il valore dell' integrale precedente converrà
seguire altri processi.
S' intende poi che nelle formole ora trovate per l'integrale
/ F{x) H„* dx, a X„ potremo anche sostituire 2 purché z sia in
■'a
quei campi nei quali con x compreso fra a e b la funzione H
soddisfa alla equazione (66) 0 (69) e alle altre condizioni poste
sopra.
04. A questo inoltre aggiungiamo la osservazione seguente.
Quando è data la equazione differenziale (66), ponendo H=tP,
ove r è una certa funzione di .r, e calcolando con questa il r —
ó*JO
218
e poi il *" ^ '^ ^, e sostituendo nella precedente si trova:
donde, moltiplicando per t si passa alla equazione
.(K,.V^) , .(k^)^
+ ?'' + ^^Tir^ P=0,
che è della stessa forma della (CG) ; e il t può prendersi in
modo che il coefficiente (j t--[-t — -^- — — di P o quello K x- di
1— soddisfino a certe condizioni speciali.
ùx
Così per es. se </ è della solita forma F(,r) v(c) -+- Fi(a?),
presa per i una funzione delia sola x in modo che sia:
MK
(72) ^^+SF,(:r) + cF(.r)it = 0,
con e costante arbitraria, la equazione precedente diverrà:
(73) ^ '""^ + t^ F(x) t ,{z) - e ì P=0 ,
cioè prenderà la forma cui si riduce la (G9) nel caso partico-
lare di Fi(.r) = 0 , donde apparisce che nella (69) stessa po-
tremo supporre sempre ridotta a zero la funzione F^ '.■»), salvo
a sviluppare poi /"(/;) , anziché per funzioni H„ , per funzioni
TT
Pn o —, essendo runa funzione della sola x determinata dalla
equazione (72); per modo che applicando lo sviluppo in serie
219
ffx)
S ^n Pn a ^ ■ invece che a /*(./), s'intende che si verrà ad ot-
tenere anche lo svihippo - q„ H„ di f{v) per funzioni H,», con
sole differenze nei coefficienti g„ della serie, i quali invece di
essere dati dalla formola (64) verranno dati dall' altra :
•61
Ja ^
^~f(x) Endx
(74) Qu— ,
'a ''
EJ dx
95. Si può poi aggiungere che se per un valore conveniente
K
della costante arbitraria e si ha F^{x) -\- e F(i') = — -^ con |i
costante, la (72) diverrà:
.^ 3 T (5 /^ li z\ <) r
lixlix\ lìx J ^ ìx
e quindi indicando con p una costante arbitraria, si avrà :
donde si otterrà t con una sola quadratura ; e in particolare
se [t è positivo, prendendo p =^Q si troverà :
, ._ Cdx , , ^ P- / v^
log T = V jj y -— 4- log Cj , ovvero t = e, e ^/ K ,
essendo e, una costante arbitraria, e di y^ potendo prendersi il
valore positivo o il valore negativo.
Invece se [x è negativo, supponendo p positivo, si potrà
prendere :
ove i radicali possono prendersi col segno che più ci piace.
220
OG. Ciò premesso, passiamo a studiare gli sviluppi
^ Qn H,„ ove H„ soddisfa alla equazione {(SiS) o (69) nella
quale, come abbiamo detto , può sempre supporsi Fi(.r) = 0 ,
e le qn sono determinate dalla formola (64).
Ammettiamo per semplicità che i punti X„ siano tutti a
destra dell'asse delle y, e le funzioni M{z, x) , siano come nel
§. 93, finite e continue insieme alle loro derivate prime e se-
conde per tutti i valori di .r fra a e h {a e b incl.) e pei valori
di z entro gli intorni dei punti X„;edi più queste funzioni
H(-?, x) come funzioni di 2', siano monodrome e continue anche
entro i soliti campi formati dalle linee C„ ; e al tempo stesso o
sia K = 0 per .r=a , o per x ^= a e z compreso negli indicati
intorni sia soddisfatta identicamente la equazione H=^0 o l'altra
K^_/,'H = 0.
dx
Allora per quanto si disse ai §§. 90 e 91. Kb uon sarà zero,
r i)H 1
e la equazione i K hli == O^che corrisponde ad h finito,
0 P altra Ha^O che corrisponde a/j=±oo non saranno sod-
disfatte altro che da valori particolari di z che saranno reali
e non soddisfaranno alla respetiiva equazione derivata; e di
questi valori quelli positivi noi dovremo prenderli per le radi-
ci X„; quindi nel <;aso attuale se h è finito avremo, colle nota-
zioni dei paragrafi precedenti :
(75) rb
ììx
(/«-— --è,["<'S--.S)]r-'-"=ì£
(H„)(, n' (Xn)
) '
e se /j è infinito avremo invece:
u{z) = — ;— = Hi ,
(76) rb
P>)«»'-=t'i(^^');
221
talché pei teoremi dei §§. 68. e CO. noi possiamo affermare che
onde esser sicuri che hi funzione /"(') si possa sviluppare pei
soliti punti r fra a e h secondo la serie il q» H», quando h è
finito occorrerà prendere ad esame l'una o l'altra delle due
espressioni seguenti :
t
■,a) fi
7)
3)
27r*
2 71 :
/Cn'
-'0 , , . .} dz
'f '^) ^^i^)^^
'C„
ÒX
E{z,b)
m„
1
uX
ove le '(r sono i residui delle funzioni sotto gli integrali nei
punti d' infinito che esse hanno entro C»i diversi da Xj ,X2,."^^n;
e nella prima ;r (o( , ^ , ^) è una funzione monodroma e continua
entro Cn che si annulla nei punti X^, X2,..À„,.« e può prendersi
uguale a zoro senz' altro , mentre nella seconda ']j (z) deve
soddisfare alla condizione 'l'{h„) n'{\,t) — 4(a„) ?e" (Xn) = 0 , es-
sendo il («•) =
condizione che sia
K AHI ez (z) deve determinarsi colla
ò X 'b '
H
(70) 'f'0..) =
v'(X„) uXkn) H(X„ , a) / F;a+0 H(X„ , a+0 dt
^{K) H(X„ , 6)
Se poi li è infinito, allora invece degli integrali precedenti,
dovremo esaminare gli altri:
(80)
v'(:)H(^,a)/F(a+OH(.v.+0./^
(4
+ -(a,^^)
d z
1
\\\{z,h)
Din
l
con ^{.'(Xh) H'(X., , h) - ({-(X,,) H"(X,. , ò) = 0, e :
v\X„) H'(Xn , i) H(X,. , a) / F(a+OH(X,. , a-\~t)dt
(82) 'f '(>.„)= ^
ove s' intende che H'(X,„ ò) e H"(X,„ h) siano le derivate di
H(^,/') prese rispetto a z per z =^Xn; e mentre le (77) e (80)
dovranno soddisfare alle condizioni che si avevano per la (40)
nel teorema del §. C8, le (78) e (81) dovranno soddisfare alle
coudizioni che si avevano per la (42) nel teorema del §. 69.
Siccome poi la equazione (69) ci dà :
potremo trasformare le espressioni precedenti per mezzo di
questa formola ; e nel caso particolare di F^ {x) = 0, avendosi
di qui :
(e3) X^'^^+"«<-+'>"=-i) jrK^f)^^^-(K^) j ,
potremo sostituire nelle stesse espressioni invece dell'integrale
P (a-hO H (2,a-[-0 f^^ ^3- quantità perfettamente conosciuta
0
i
fei('^) -(4").(.
a.+t \
V
Quando però dopo di aver fatta questa sostituzione la de-
terminazione di 'f(5^), 0 lo studio delle espressioni precedenti
223
riesca diffìcile, allora potrà tornar comodo di non fare la sosti-
tuzione medesima e non esej^uire la integrazione rispetto a t ;
lasciando cioè il cp'(*) sotto le forme che si ottengono dalle
(79) 0 (82) col cambiarvi À„ in z, o sotto forme simili , e poi
nelle varie forinole incominciando coli' eseguire le integrazioni
rispetto a a, invece che rispetto a t, ec. , come chiaramente
apparirà nel trattare il caso speciale di cui fra poco ci occu-
peremo.
E se le espressioni precedenti, non soddisfaranno alle con-
dizioni che si avevano per la (40) o per la (42), ma presen-
teranno la particolarità menzionata nel §. 70. allora invece dello
sviluppo X q„ H„ per rappresentare /"(.r) si avrà V altro simile
(/ jT-f- '?•« H,„ ore /., ha il significato attribuito-
-Mf)
gli nel §. 70. medesimo, e le ^u sono date ancora dalla for-
mola (64).
97. Applichiamo ora questi risultati allo sviluppo delle
funzioni di una variabile reale /"(.«) per funzioni H(X„.r), ove
le X„ sono le radici reali positive e del prim' ordine di una
equazione trascendente che verrà poi determinata, e le H{zjc)
dipendono per ogni valore di x e dì z da una classe di equa-
zioni differenziali della solita forma:
^^■f |F(.r)v(^) + F,(.r)jH=0.
Giova prima però determinare quali siano queste equazioni
e fare un breve studio su esse ; e per questo osserveremo che
ponendo z x = s, e indicando con K' la derivata di K rispetto
ad X, dovrà aversi:
^ ^g^^+ K c^^'+l K lrj+ K i '
ove H ora è funzione della sola ^ ; e quindi, dando ad x un
valore costante qualunque e indicando con a, b e e coefficienti
224
costanti, e con |jl(;) una funzione conveniente di 6, si vede che
H (;) dovrà soddisfare a una equazione della forma :
donde, tornando a porre ^x al posto di ^, si ottiene l'altra:
a — 2
ovvero, moltiplicando per x
_L_l^_Z + [ i ^« - V (^ X) + e x"--] H=0 ,
essendo ora H funzione di zx .
Ne segue che la equazione data deve necessariamente avere
questa forma, e quindi deve essere :
F[x) y{g) -\- F,(r) = b X ^[>.{^x) -{-ex ",
da cui:
a— 1
T{x) v'(^) == h X ^'{zx) , ovvero [i.'{z x)
ciò che porta che sia :
_ hx
a—i
z v"{z)
- hx
a— 1
v'(^)
''{ '
ovvero :
F(x)
''-' vw.
hx
a—i
hx
a-i
dx \ v'(^) = di» \ |x' (4; x) = ddi {x x) ' ,
essendo a^, rf, (fj costanti arbitrarie; qumdi, se a^ non è — 1
225
dovrà essere ;j. (j j) = ~ {z x) "^ 4 "^ ; ^ se «j = — 1
dovrà essere ]ì.{zt) = d d^ log z x -[- d.^ ^ con fZj nuova co-
stante arbitraria, per modo che le sole equazioni che potreb-
bero ora considerarsi quando H è funzione di*-r, sono le
serjuenti :
H x<'^^\
(84)
'ÒX
^/+x«-^(i^>"<+^.^>+^4-^)H=0,
—^^-\- /' '(ilog X z^c) H=0 ,
ox
con a, h, e, rt, costanti arbitrarie P ultima delle quali è diffe-
rente da — 1 ; e quando II è funzione della sola variabile x
(o per ^ = 1) esse si riducono alle altre :
(85)
[ ^^ + ^""-{h log x+c) H=0 ,
la prima delle quali quando a = c=0, ai = b =^\ si riduce a
quella che definisce le funzioni sen x e cos i', e quando
a^^=a^ = 6 = 1 , e == — v- sì riduce a quella che definisce la
funzione di Bessel l.^^).
98. Noi qui ci occuperemo soltanto della prima di queste
(( 2
equazioni; e allora volendo fare sparire il termine ex si
H(2r.r)
porrà come al §. 94. P= — ^ , essendo x uno funzione di x
1»
determinata dalla equazione :
M ^'*-
c> X
+ .^^'Hc + c'^^W)x = 0,
226
ove e è una costante arbitraria che gioverà prendere uguale a
zero, per modo che si abbia :
(86) \^%x)
rt-2
e così la prima delle equazioni (84) si ridurrà alla seguente
Ora , se »», e m, sono le due radici dell» equazione
l'I 1 » "' I r TI ^ì^ì
,„i_(l_(i) ,„_|-cz:-=0, SI vede subito che T=Aa; ' -\-ì5x ,
con A e B costanti arbitrarie, soddisfa alla equazione (86); e
noi, supposte }>», e m^ reali, prenderemo x=x ; e cosi po-
nendo 2 v=2 mi+a—1, 2 [x =-= «i -}- 1 , la equazione ultima
diverrà :
ovvero
àXJ . Oli C»1_L2V 1„
^X '
x— 2 + (2v+l) — + 6^ ' J^ ' P=0,
<) .r'' ' ^^x
donde, applicando il processo d' integrazione per serie colla
formola di Taylor, e facendo le verificazioni richieste da questo
processo, si trova con facilità che se [j. è diverso da zero e po-
V
sitiro e — non è un numero intero negativo, uno degli in-
tegrali P.» ijnx) di questa equazione è dato dalla formola:
P (..^=pJi_^^^fl-,__^!(!^)^!^__
"^"•l '^ ^^ 'l 2.iJ.(2v +:2|x)+ 2.4.a^(2v -f-2i^)(2v+4tx)
2 .4.6.a'(2v4-2;j.)(2v f 4a)( 2 v+6[x)
221
e j:'"i P,„ (.r) viene ad essere un integrale della prima delle
1
equazioni (85), come (^o-)"*!?,,, fzr) lo è della prima delle (84).
Osservando dunque che, essendo mj-f-»'i = l — « i due
numeri 2m,-[-rt—l, 2mo-|-ot — 1 sono ambedue zero sQ'm^ = m^,
e negli altri casi sono uguali e di segno contrario, si vede
subito che insieme a 2 v=2 }}l^ ~\- a — 1 , noi possiamo porre
— 2'>=2 ììi.,-\-a — 1; e allora, avendosi 7)»,= — [-v,
ì—a . .. f\—a V , -
wij = — V , e qnmdi c = m^m^ = ( — ^ j — v*, la
prima delle equazioni (85) coli' introduzione della costante
V invece di e, assumerà la forma seguente :
(87) Ì!j^;+/-j,..^^(I=.«J_,,JH„o,
nella quale ci limiteremo a supporre a e b reali e •>. diverso da
zero e positivo.
E per quanto abbiamo visto, noi potremo intanto asserire
che se il rapporto - è un numero diverso da zero e fratto, e
A e B sono due costanti arbitrarie, i due integrali della
equazione (87) che qui consideriamo sono i seguenti :
2.;x(2v+2;j.) ^ 2.4.;x2(2v+2a)(2v-h4;jO
1-a
— V
Bx " \\
2.4.6 ;j.3(2v-i-2(x)(2v+4a)(2v+6|j.) r- ,
( 2.ìJ.(-2v-f 2;i) ' 2.4.a^(-2v+3.j.)(-2v+4[jO
l^x'
~ 2.4.6.'j.3(-2y+2[j.)(-2y+4[j.)(-2v-i-6.jO
+-,
:'-.S
1 — « I 1 — fi ..
-77-+" ., -'
che possono indicarsi con k x~ P (.r),Bx " p ^^^^
essendo A e B coatauti arbitrarie e P (-vì.P (.r) le quan-
•J.'J. — -j^u. ■*
tità fra parentesi che sono integrali delle respettive equazioni:
V . . .
mentre se il rapporto — è zero i due integrali precedenti sod-
disfano ancora alla (87) ma si riducono ad un solo, e se è
diverso da zero ed è intero, uno degli stessi integrali soddisfa
ancora alla equazione stessa (87) ma l'altro perde ogni signi-
ficato, e quest'ultimo è quello per il quale il rapporto
corrispondente — o è un numero intero diverso da zero
e negativo; talché fatta eccezione per quest'ultimo caso, i due
integrali H della equazione (87) non differiscono che per un
fattore da quelle funzioni che ora abbiamo indicato con P , e
v,u
d' ora innanzi basterà che noi introduciamo queste ultime nei
nostri calcoli .
99. Occupandoci ora delle funzioni P , per le quali «i è
diverso da zero e positivo e — se è negativo non è intero ,
giova premettere alcune loro proprietà prima di passare alla
questione che vogliamo trattare degli sviluppi della solita fun-
z'ione fix) per serie di funzioni P (K^) ^ —^ 1 o anche
a; 2 +■'
se vuoisi per serie di funzioni
H. (K^)
229
Serriamoci perciò della variabile z invece che di J? o di nx^
e osserviamo in primo luogo che si ha :
^•^.S"^^ ^""2] [j,(2v4-2[j.)+2. 4.{x2(2v+2ix)(2v+4ti,)""
h^x
6|X
2.4.6.{x^(2v-h2[j.)(2v+4ii)(2v+6[j.)
e P {z) soddisfa alla equazione:
+ ••-
^Z' ÒZ -ò Z
intendendo sempre che anche se [x è un numero fratto e
9 1 . a a u. 9 i
2'=,oe sia z' =p e , ec.
Avendosi poi dalla precedente:
hz
^-l^-i( ^/^
^•V^^'^ 2v+2[x i^ 2.|x(2v4-2;x+2.^.)'^
"^2.4.{x^(2vH-2{i-f2"^)l2'^+2l^-+4lx)
si trova subito la formola notevole :
(89) P' r.) = _^-f P , (z\
che esprime la derivata di P {z) per la funzione P , {z)\
V. O. ■'"1 1^)1*
e poiché questa formola ci dà :
P" i,\ (2^.-1)63- (>)-^^- p' aì =
Oli o 7 0 4!-'' — 2
2H=2;i v+.,u ^ ^ ^(2v+2.^)(2v+4[j.) v+2.,u ^ -''
£30
eliminando con queste V\^ ^ {z) e V\^Jz) dalla (88) si ottiene
r altru :
211
(90) V^Jr) = P.^^^ J.) - (-o.;+|[x2;+4;7)^v+,,,, (^)'
che esprime la P.^ J^) per le due P,^.,,j,Wi Pv+g....^^^ ' ' '^"'
indici sono superiori di >^ e di 2[J..
Osservando poi che dalla (89) si ha:
e sostituendo nella precedente si trova anche V altra :
rl^"+''P.. (.)ì=(2v+2,)."+"^-'P,^J.)
che è pure notevole.
100. Aggiungiamo che potendo scrivere:
p (^)=1- — )
2(2^+2) 2.4 (2^ +2) (2^ +4)
^.- ) , .
i.4.6(2^+2)(2^+4)(2^+6)
si vede subito che si ha P (*) = P ■' . ( — ) talché pro-
priamente quando siano studiate le P (:) lo sono anche le
Noi per questo d'ora innanzi non ci occuperemo altro che
2'M
delle P (z), che inilicheremo più semplicemente con P./z),
■■',1
giacché quando dulie formole che contengono queste P {z)
Torremo passare alle corrispondenti per le P (z) basterà
•1 . V ., . z^
cambiare in e>se il v in - e u z in - •
E siccome queste funzioni P,^(-?) Tengono a soddisfare alla
equazione :
(91) Z-V1-+ (2v+l)-^^ + hzV{z)==0
ÒZ^ ÒZ
che risulta dalla (88) facendovi [J.'^l , e sono date dalla serie:
(92) P fe)=l 1 -^ _
^ ^ ^^^ 2(2v+2) ^2.4(2v-|-2)(2v-f-4)
2.4.6(2 y-[-2) (2v4-4) (2 7+6)"^ ■" '
si Tede chiaramente che all'infuori di nn fattore costante esse
corrispondono a 2 I [ y^ z )■, essendo I {f) una funzione
di Bessel; talché in sostanza gli sviluppi che poi troveremo
per funzioni P^, saranno sviluppi per funzioni di Bessel.
101. Ricordando ora che per v]>- — — si ha:
I (:) = A 2 / cos (2 cos oj) sen w d! w ,
Jo
ove A è una costante, si può affermare che quando v> — -
sarà :
2 V
co» {z cos w) sen co d w,
0
232
ove /: è un coefficiente costante che è ucruale all' inversa del-
X^ "V rf2v-4-i)
sen " w d co, o a ^- ~ ^ , , essendo F il noto
simbolo degli integrali Euleriani di seconda specie , e per
semplicità si è supposto 6=1 senz' altro, non avendo del resto
che da cambiare : in V b .z quando si voglia tornare a intro-
durre in calcolo il numero b.
Posto poi cos to=-r; e a cos v z sostituito il suo valore per
esponenziali, si trova:
.11- '
1 +tf^' V — -
e
(l-r^) -^y^
1
V--
ove s'intende che (1 — r') " per t'=0 si riduca all'unità posi-
tiva; e da questa formola, che vale quando v> — — e qua-
lunque sia z^ ci sarà facile dedurre un'altra espressione di
V.j{i) per la quale basterà sapporre che v non sia un numero
intero negativo, ma bisognerà per essa che « sia diverso da zero
e abbia un argomento 9 che non supera — in valore asso-
luto, per modo cioè che i punti z corrispondenti cadano a
destra dell' anse delle y, o su quest' ass» (<=^0 esci.).
] 02. Supponendo perciò ancora v ^ — ^ , prendiamo a
considerare l'integrale / e "(l-(-t(;') ^ J?r, ove «r è una
variabile complessa u-J-ii", estendendolo a un rettangolo coi
233
lati paralleli agli assi ri e t' e coi vertici nei punti iv= — t,
iv=i, ft^^i-j-A', »'■=/>: — t, essendo k un numero positivo grande
1
ad arbitrio, e intendendo che (1 -f-^«'-) per jr^-^O sia l'unità
positiva.
Siccome movendosi entro il i-ettangolo indicato non si
gira attorno ai punti u'=±j che sono i soli che possono pro-
1
ll'^ V —
durre singolarità nella funzione e {ì-\-iv'^) '«^5 e siccome
quand' anche in questi punti + i la funzione stessa divenga
infinita, essa lo diviene d' ordine inferiore al primo perchè per
ora si ha v^ — — , è certo che Tintegrale / e (ì-^-w') ^^^
esteso al contorno del medesimo rettangolo sarà uguale a zero,
e quindi si avrà :
J—l Jo
^ Jk
e poiché, supponendo che l' indice di z sia situato a destra
deir asse delle y per modo che la parte reale di »" venga ad
essere positiva, si vede subito che al crescere sempre più del
numero positivo A' il terzo integrale iinirà per avere un modulo
piccolo a piacere, mentre il secondo e il c^uarto hanno un
valore determinato anche per />==^oo , è certo che sarà:
•— 1
<x>
' e {l-v'') ^dv==i j e
J-.\ Jq
— H'S" y_L f U3i^ iz V L iz y L-
e |l-f(n-f-0| -e|l + 0*-0'i -p'*,
donde si ottiene subito:
t Vo
'^ M^r ix \ ^ ix ^ ~
e [^e [l+(u+,y^j'-''^ -e [l+(„_,7]'-"2-
du ,
234
per mia nuora espressione di P (^) che vale quando v ^ — „
V *
elèa destra dell' asse delle y (qnesf asse ora esci. ).
Ora, quando z è reale e positivo, possiamo porre uz=z\
e allora sviluppando i quadrati fra parentesi, e facendo altri
calcoli semplici, con osservar» anche che, essendo
± i= e può scriversi {± i) z=-. q , ce. si avrà :
^-^r-..-'-:-/^-^:^- -
Z-^2
2'>+l , I ,
^,v-^v. .v-.w.
2z
e quindi sarà:
» 2 (
'^ 1 1
--(-'4i-)i-"--'t('+£)'"'-(-É)'"l'
ove le due quantitàf 1— o" ) ^ ' ( ^H — o / ^^^ *^ ^^* ^
1
s' intende che si riducano a 2 " onde resti soddisfatta la con-
1
V-
2
dizione che (l^-""^) si riduca all'unità per ?r=0; e questa
235
formula che ora è dimostrata soltanto quando z è reale e
positivo, è facile vedere che vale per qualunque valore di z
diverso da zero il cui indice è a destra dell'asse delle y o »u
queiit' asse (*).
Si consideri infatti sul piano u\-iv a destra dell' asse v
un contorno formato dall' asse «, da una retta che passi per
l'origine e faccia l'angolo y con quest'asse, e dall'arco di cer-
chio di raggio r racchiuso fra queste rette col centro all' ori-
gine; e si prendano a studiare gli integrali
r — WZ+ iz V— -^
/ e 1 1 -f (i" + 0"^ j d IV estesi a questo contorno .
Posto ?<'=R e , sul cerchio si avrà ?r=r e^ ^ d iv =t ir d o>;
sulla retta y si avràti'=Re , dw=e dlì; e sull'asse ti si
7 ^ • r *^ ^
avrà w*=u ^ aw^'^au; quindi, se «=pe sarà:
1 r" i„-,^-. V— 1
1 r^__ ,
4-, no '^-"^ / e ^^'^+tz r...^Mi 2
'0
essendo nel terzo integrale tc^U e^ ^, dtv=e^ ^dU; e se l'argo-
mento 9-j-co del prodotto ivz entro l'indicato spazio è sempre
Ti TZ
compreso fra — g ^ 9 (g^J ^str. esci.), il secondo integrale al
crescere indefinito di r quando p è diverso da zero avrà per
limite zero, e quindi sarà:
(') Fino a questo punto il processo seguito per giungere alla forinola (94)
concorda con quello tenuto da Lipschitz allapag. 1^9 e seg. dol voi. 56 del giornale
di Borchardt nello studio corrispondente sullo funzioni di Bessel. Lipschitz limita
cosi i suoi risultati al caso di « reale 0 positiro.
Jo
23C)
ore r integrale del secondo membro è esteso alla retta y; dal
che apparisce che quando 0 è compreso fra — 13 ^ -^ (gli estr.
esci.) l' integrale del primo membro anziché alla retta u della
quantità reali può anche intendersi esteso a una retta qualunque
che faccia con questa un angolo y pel quale y4~^ sia compreso
fra — -^ e ^ (gli estr. ± ^ esci.).
In ogni caso dunque quando 0 è compreso fra — k^^
( gli estr. + - esci.) si potrà prendere y= — ^ì e allora sarà:
di
e [14-(?<+?) J ««<= e le [li-(K' e ±0 J f*"'
JO
e ora, potendo porre R p = r, si trova :
e questa evidentemente ci riconduce alla formola (94) che resta
cosi dimostrata per tutti i punti z il cui indice è a destra
dell'asse delle ij (quest'asse per ora esci.).
Se poi si osserva che la funzione P.^ {z) è sempre finita e
continua, e se v ^ — ^ gli integrali che figurano nella (94)
conservano un significato anche quando, essendo 9=+-^, si
ha ^=±ip con p diverso da zero, e allora essi sono i limiti
per 9= + — degli integrali che corrispondono a 9 compreso
Ti T>.
fra — — e-, gè ne concluderà subito chela formola (94) vale
anche suU' asse delle y quando si escluda soltanto ilpunto ^=0, 2
I
!
237
e così la nostra dimostrazione può dirsi ora completa nel caso
sempre di v ^ — .
Là
101. Giova ora trasformare nella (94) i coefficienti di
cos z —
/ 2v+l \ / 2v+l \
\z — zi, e senf ^; ~ — -j quando il modulo p
di ^' è abbastanza grande e 0 è fra — :> ^ q (g^^ ^•''^'^- iucl.), re-
stando sempre per ora v ^ — ^ .
Per questo osserveremo che si ha ;
-- V-„--/ ÌA 2, I / ; / "-^ V --V-3 / iz\
e nei due integrali del secondo membro sarà respettivamente:
1
V — —
quando si prenda un valore conveniente per [ i^ ] ^ , e s' in-
tenda che (v— 2)^ siano i soliti coefficienti binomiali ; quindi,
poiché si riscontra subito che a queste serie è applicabile la
integrazione termine a termine da 0 a 2 0 e da 2 ,0 a co re-
spettivamente, si avrà :
e» 1 1 2o
co
— ■: I
+(*i)"1(-0.(4')Tr-'.--"
Ora, si osservi in generale che qualunque sia il numero
A" si ha per 0 assai grande :
238
oc co . . co
I co
— r ''■+- , — 2 p /.-Ln r r/r
et '^^<e \2r.f-^' ^,
' -p
orrero:
e z dz<C e (2p) ,
per modo che, qualunque sia A', purché finito, gli integrali
• oo
/ e T 'VZr al crescere indefinito di o divengono infinitesimi di
^2o
ordine grande quanto si vuole in confronto a .
Oltre a ciò
si ha:
-l+"ch-
/ ^GO /» 00
je X \ ^
-ex dz,
J2[j
1
co
J2[j
e T "
X ^2[j T
e
7
(n+g) (2^)"+?,
con 6j<^e~^' (2p) "^ qualunque siano i numeri n e (jf pur-
ché n-\-q^ sia diverso da zero e positivo e p sia abbastanza
grande ; e inoltre per ìC^fl si ha :
;39
V f(2r>)'*
— (2p)'/' n-q\
esseinlo £/ inferiore al massimo dei valori che prende
e'"x'^'' 2'" ^ per t compreso fra 0 e 2p, il qnale si vede
v+>+,V+^+^'
snbito essere \ — | I ; dunqne si potrà scrivere
evidentemente :
ove le 0„ sono le quantità infin tesime d' ordine superiore a
1
'et - (Z r, e <2 e 2' sono
2p
numeri interi positivi qualunque.
Ora, nonostante che le quantità +-,+ t- abbiano per
' ^ z t(j
modulo r unità , le serie che compariscono in questa formola
sono convergenti e col modulo sempre inferiore a un numero
finito, perchè applicando un notissimo teorema di Gauss sulle
serie a termini positivi , si riscontra elio sono convergenti le
D.
Ho
?H).. ^.H).', / ,v., ., ,
(lue sene w «_«' ' ^ ' ; 1 ove v — „ indica il ralore
assoluto di ( V — ^, J ; dunque evidentemente, sostituendo nella
(94) per A., e per gli integrali precedenti i loro valori, si
può asserire clie se v ^ — -, e 2 è diverso da zero ed è a destra
deir asse delle y o su ciuest'asse si ha :
p . , rC2v-hl) r . , , V f^ 2v4-l V , , , f 2v+l \1
^•X^)= f-^ [jl + V^cosf 5f 4-^ ) + '.' ,»senU ^Tcj ,
essendo le y-X^') e y'v(^) funzioni di z che quando il modulo di z
cresce indefinitamente divengono ambedue infinitesime degli
ordini 2.° e 1.*^ respettivamente. Oltre a ciò, avendo riguarda
alla (54) e allo studio fatto, sugli integrali precedenti, si riscon-
tra che almeno quando v^- queste funzioni '(,^{z) e'{'.^(:)han\\o
una derivata che al crescere indefinito del modulo di ^ diviene
infinitesima dell'ordine 3.'^ per 7./^) e 2.® per Y v(^)>
Nel caso poi che v-j-^ e v — .,- non siano superiori a zero, e
V se è negativo non sia intero, allora servendosi dapprima una o
più volte della (90) ove sia fatto [J-=1, h^l jpotremo espri-
mere Pvp) per funzioni Py/(^) per le eguali v'-f-.i" ^ anche
v' siano superiori azero; e dopo applicando a queste funzioni
P'/{z) la formola precedente, si troverà che questa forinola con-
tinua a «ussistere anche per la P •Z^') da cui siamo partiti, cpian-
do tutt' al più si ponga sott' altra forma il coefficiente fuori
di parentesi, e le '(-Xz) ^ 1*^ '( X^) hanno sempre le stesse par-
ticolarità; talché in conclusione noi possiamo dire che per le
funzioni F./^s:) per le quali v se è negativo non è intero, quando
z è diverso da zero ed è a destra dell' asse delle // o su qué-
st' ass»!; si avrà sempre:
241
(96) PvW=-^[|l+Y.W! cos(^^-^^:r)+Y'v(^)sen(^^-?^;r
ove c.j è un coefficiente costante, e le 'i-j{z) , y' (2^) al crescere in-
definito del modulo di x direngono ambedue infinitesime degli
ordini 2." e 1.° respetti vameute , e ammettono una derivata
che diviene infinitesima del 3 ° ordine per y,(^) e del 2." ordine
per y'vC?).
Al modo stesso e negli stessi casi si trova che si ha:
(97) P'.A>):
e.
^'■^2
jl-fo, (^)j8en z -^71 ì-fo v(^)cosf^ ^:r
ove le S;, (i) e 5'^ (-3") hanno le stesse particolarità delle fun-
zioni YvC*) ,Y'v(^)-
104. Ritornando ora nel caso di v^ — , aggiungiamo
z
che cangiando z in '^z e poi t in j3r nella (94) con |5 diverso
da zero e positivo, si trova:
1
P(?.>)^A-.;
v+
co Or V , ,
■_\V — -
+ 1-
2^
y —
d.^
V V — '
i+o-:ì-'fi-r
V — -
Ulz
e per gli integrali che qui figurano sì avrà la formola (95)
-'^r
nella quale sia cangiato e ' in e '
Ora si ha :
2p
X
e X
00
1
-H^.v— .
0
'dr=%Je ^ '^^^=T7T n^+'W'
P^+^
242
con 0<Oq<;1; e per »>0 si ha:
2& 2u
'0
1
e-; V — o
ore 0<On<Cl, e ^I ^' i^ massimo valore di e '^' t " ^''a 0 e 2p o
M { -\
fra 0 e ce , di modochè M= - — — , con M,= \ ~ . /
il \ t ,
Inoltre ni ha per n-\-(] diverso da zero e positivo:
00 co
co
dx 9',.M'
+'+' (»+3)(2rf"+''
ove al solito 0 <|0'„ <; 1 , e M' ò il massimo valore di
g— ?'xV+2+'/ fra 0 e c^, di modo cbè M'= ^^ con
j,., 1 ■' 'r2-t-7 \ 2~T /. quindi se y— ^ è zero o è negativo,
prendendo q=—{v — „) si potrà scrivere:
2
00 1
?43
e se V — è zero o ò positivo potremo prendere <2=0, e allora
sarà:
con 0'<0'q<'"1; talché evidentemente sostituendo nel valore
scritto sopra di Pv(?-) ^i può affermare che quando v^ — la
funzione Pv(?-) può porsi sotto la forma:
(98) P(?^)= r^ rJA cos('^z-^^z)-\-B senfp^-^^TT^
ove le Ay e By sono funzioni di ^ e di 0 il cui modulo è sempre
inferiore a un numero finito per Cj[ualunque valore diverso da
zero e positivo (sìa pur piccolo quanto si vuole) del numero p,
e per qualunque valore di 2 diverso da zero, e anche di mo-
dulo grande quanto si vuole, il cui indice cade a destra dell'asse
delle y o su quest' asse; e ^ è il maggiora dei due numeri ^ e v.
Osservando poi che a causa della (90) si ha:
S9 -9
e se — 1 <Cv< — , indicando con P.^, , P,/ le funzioni
P P , del secondo membro, si ha — ^^ <Cv'<2 , v"> „ ,
si vedrà subito che la formola (98) vale anche nel caso in
cui — 1<C'''<C — 9» ® ^^ applicazione ripetuta della formola
precedente medesima si vede che la (98) stessa vale anche per
qualunque valore negativo e non intero di v.
1M4
Osservamlc) poi clie la (80) ci dà la forinola spt;;iiento :
ove P'^ (p*) indica la derivata di P^ (,3^) presa rispetto a 2-, si
potrà asserire che si ha :
t99)P'.(?.')
|3
'+
A;eos(p.-2^x)+B'.se„ (^«.-5j:+l.J
ore A',^ e B'.^ hanno le stesse particolarità delle A^ e B,^
sopra indicate, e p' e il maggiore dei due numeri .j e v-(-l.
Questi risultati ci saranno utili in seguito .
105. Date ora tutte queste proprietà delle funzioni
P., (^) ,?'._,(?), P,_,(j3^) ,P',^(i3^), passiamo a cercare se la solita
funzione reale f{x) della variabile pure reale x possa svilup-
parsi secondo una serie di funzioni P._,(X„.r), o .x— ^Iy(X„a-), ove le I^
sono funzioni di Bessel, supponendo ora però che v sia supe-
riore a — 1, e ammettendo al solito per semplicità che sia ò=l .
In questo caso, soddisfacendo ^'■.{.zx) alla equazione:
(100)
r 2.^,SP.(«).
i)X
;).r
+ X ^ ^2P(2X)=0,
le equazioni (67) si ridurranno alle due
2v+1
c^ P [ZX)
-T /i'P {zx)=0 per x=n,
ò X
— hP {i^x) = 0 per x=b.
con h e h' finiti o infiniti, e P^(sx) definito dalla serie che viene
dalla (92) cambiandovi z in zx e facendovi b=ì; quindi poiché,
245
essendo or;i v> — l, la prima equazione diviene identica qualun-
que sia 2 quando si prende a=\), /i'=0, gioverà evidentemente
intendere che l'estremo inferiore a dell'intervallo {a,h) nel
quale f{x) deve svilupparsi sia lo zero.
Se poi come estremo superiore dello stesso intervallo si
prendo per semplicità l' unità positiva, le quantità X„ dovranno
esssre radici del!a equazione x — '- A P {zx\ =^0
L ^•^' ^ '\x=.\
ovvero dell' altra:
ore h è finito o infinito, e P,(:) è la funzione definita dalla
formola (92) e soddisfa alla equazione (91).
Ora, siccome le P,/^"C) sono sempre funzioni monodrome
finite e continue di ? e di a', basta ricordare quanto si disse al
§. 92. per concludere subito che la equazione (101) per h
finito o infinito, non avrà altro che radici reali e queste radici
all' infuori di quella zero che si ha quando /i=0, saranno tutte
semplici e uguali due a due e di segno contrario: dunque noi
avremo sempre un sistema di radici reali e positive che potremo
prendere per quantità X„ (*).
Così essendo, noi cercheremo dunque se la solita funzione
D Se, invece di considerare le funzioni Pv , avessimo continuato a consid»-
rare le P-.,,:x saremmo giunti ad una equazione di'; non sarebba stata altro che la
•i ^ h
(101) stessa nella quale a v , s e A si fossero sostituiti -, -_, -. Conseguente-
mente essa sarebbe stata soddisfatta soltanto da valori reali di —; e quindi se, invece
di considerare, come ora faremo, il campo a destra dell'ass) delle y, si fossa
considerato quello dei valori z=:pQ il cui argomento non supera in valore assoluto
il numero ~ , allora, fatta eccezione per la ra lice zero nel caso di /ì=:0, non
avremmo avuto in questo campo altro che radici areali e positive della equazione cor-
rispondente, e queste si sarebbero potute prendere come quantità ),„.
■246
di una variabile reale /(.r) data arbitrariamente fra 0 e 1 possa
svilupparsi secondo una serie della forma:
ff{x)x
JQ
'^'^ ^.An^) d X
-'0
quando si suppone che il prodotto f{x)r^'^^ sia atto all'inte-
grazione neir intervallo da 0 a 1 anche riducendolo ai suoi va-
lori assoluti, e s'intende che le quantità X„ siano le radici positive
della equazione ii{z) = z— h P {z)-=0 con h finito, o del-
0 Z V
l'altra ì({z)=F'j{z)=0 che corrisponde al caso di h=co , per modo
che verrà già soddisfatta la condizione che le qn e le Pv(X„a;)
per X positivo siano reali; e noi per questa ricerca, applicheremo
il teorema del §. 69.
106. Supponendo dunque 7/(^) = P^(^), o u{f)=zP\{2)—hF^{z),
e volendo applicare il teorema del §. 69, dorremo determinare
due funzioni 's{z) e '^{z) monodrome e continue a destra del-
l' asse delle y e su quest'asse e tali che sia:
^0
ri 2V+1
<!>(X«)/ oc P\{k,^x)dx
Jo
'0
1 r Z(i^) A»
2k/ In u'-(2)
m,
e poi dovremo esammare la difiFerenza - — / ' ,; — -dx — ^ ',v
2ni Ir, u'{:) -^
come fu detto nel §. 69. stesso.
Ora si ha dalla (68) cambiandovi X„ in z:
247
^^ {zV\-V?\-z P.P", ) =^ (^ P'\+2 ^ Pv P> ^ P'v) '
ove per semplicità con P , P' , P" abbiamo indicato
^ ^ V V V
V (z) ■> r-; qnindi, fermandosi dapprima sul caso
di u[z) = P {z), si può dire che in questo caso sarà:
ri 2V4-I 1 1 .
J X P\(X,..T)tZx=^P\(},,)=2" (^-)'
come sarà anche:
n"(>.n)_P"vM_ 2v+l
n{\) P'.(>J >^n '
e potrà prendersi senz' altro:
o anche per la (83):
giacché le singolarità in questo valore di 'f'{z) non possono
aversi altro che per z=0^ e le potenze di z sono tutte superiori
a — 1 perchè v ^ — 1.
Invece nel caso di n{z) = z P'v(^) — ^^ Pv(2^), con h reale e
finito qualunque, si avrà:
i?48
I
^" r^x),, .r) d X ^ ^^ I h (2 v-^/o-fx^. ! ;
e essendo, a causa del valore di u{z) e della (91):
tt\z) = 2 P", + (1-/0 P'v= - (2 V+/0 P'v - ^ P>,
« (?)=— (2 V+/0 P V — ^ P .^ — P^= ^ P
-^P'.^ + (2v+A-l)P,
e quindi:
tnX..)=-54^ j/,(2v+/0+VÌ,
«"(>0 = ^# ! M2v+1) (2v+/0 4 (2v-l) X^, j ,
'■ti
sarà :
L
/'+'P(X., .r)(Zj;
'0
»|.'(X.,)_ ^^"<Xn)__ 1 A(2v+l)(2v+/^)+:2v-l)X^ _
<;^ (>-,.) ~ «' (>-h) ~ >^« /^2v-+/o+>.-„
2v4-l . 2X„
— ■ -i + Uk
% '
X„ ^/i(2v + A)+X«„
talché per soddisfare alle ondizioni relative a '\{z) basta in
questo caso fare in mòdo che sia :
^{Z)_ 27+1 22:
ì^~ z "+'/<(2v+/0-}-^"
cioè prendere:
_ /^2v+/0H-^
e allora Tenendo ad essere:
249
2v-M
2V-I-I.
<:'(ÀJ = 2 >,. "^ P (a X..) / (a+f; P «X„ (a+^jj ./ ^ ,
basterà anche in questo caso che sia come nel caso precedente;
con
m
A(2v+70 + ^^
107. Segue da ciò che con u{z)=P./:2) si avrà
1 2 ri
(102) -K^-)
e con u{z) = zV\j{2f) — h'Pj{z) si avrà invece
/'(>)a; P (X„ x)dx,
(1 03) ,,(,)^M2v+M+.' ^
2v+l
/•(.r)x P {hnx) d X
e inoltre, ponendo ^=s'.-p^ avremo in tutti i casi:
/O
e siccome dall' essere:
-v-fix. r^ 2V4-1
f(;r) = 2^ P.>^) / ? ^P^.p^)fZ^;
^^
f/''^'aSP(az) = 0,
ove per semplicità indichiamo con P',(a?) e P'v(,3'2) le deri-
vate di P., (a ^) e P., (,3 -) rispetto a 2, si deduce :
250
e quintli anche
i
z P fa z) Pv(,i2) rt a =
0 ' P'-«'
si ve4e chiaramente che potremo prendere in ogni caso:
rt -'H'
^(,) = 2z''+' / ? |P;fa:)P./.3e)-P;(?*)P;a.)ì(Z^
e potremo valerci di questa espressione di 'f (?), e delle
altre ò (:) == -„^^ con ^'(s) = P-X^^), o ^{i) = ^^^^-^^ —
con ti{z) = •S'P'-X^) — /i P-X^'i P^i" gli s*^"-'^^ cl^^ 0^** abbiamo da
fare sull'integrale — -. / t , n^-\'ir'^ talché, osserrando
che in questo caso quando la linea C„ sia presa in modo da
escludere il punto «"=0 le Yr sono tutte zero, la questione nel
caso di u{z) =- P.,(2) si riduce all' esame dell'integrale:
''''' ^i'^''^Jcr — pTw — —'-'
e nel caso di ti{z) = 0 P'>(s) — /* P-X^) 'i riduce all' esame del-
l'altro:
e si può notare che a causa della prima della formola (29)
questi integrali rappresentano respettivamente anche le somme
Il o fi "V
2 / '' 2V4-1
251
nelle quali Xj , }o, . . , X„ , . . rappresentano le radici delle re-
spcttive equazioni Pv(^)=0, zV,,{z) — hPX^)=^ì e n è il nu-
mero di queste radici che cadono entro la linea C„; talché le
proprietà che troveremo per gli stessi integrali o pei loro limiti
corrisponderanno anche ad altrettante proprietà di queste somme,
0 delle serie corrispondenti.
lOS. ^Ciò premesso, passiamo dunque a cercare se gli
integrali (104) e (105) soddisfano alle condizioni che si avevano
per la differenza (42) nel teorema del §. 69.
Prendiamo perciò il solito contorno rettangolare a de-
stra dell'asse delle y coi vertici nei punti z=^ih\ z=k-\-ih\
z^k — ih\ z= — ih., essendo li un numero positivo comun-
c[ue grande, e /r un altro numero positivo che non è radice
della equazione Pv(2;)=^0 quando si tratta dell'integrale (104),
e non è radice dell'altra 2: P'v(^) — A P,^(^)=z.O quando si tratta
dell'integrale (105); e dal campo rettangolare così formato
escludiamo il punto s'^O con un semicerchio di raggio e pic-
colo quanto si vuole, e prendiamo per C„ il contorno in parte
circolare e in parte rettangolare del campo che cosi ne risulta.
Osservando che, come apparisce dalla formola (92), P-X^) è
una funzione pari di S', si vedrà subito intanto che le due por-
zioni degli integrali (104) e (105) che sono estese ai due tratti
di asse delle y che fanno parte di Cn si distruggono fra loro
identicamente.
Similmente , osservando che nel caso dell' integrale (104),
e così in quello dell' integrale (105) quando h non è uguale
a zero, le funzioni che compariscono sotto gli integrali non
divengono infinite per 2;=0, si vede subito che la porzione
degli integrali medesimi che è estesa al cerchio di raggio
e dipendentemente dalla piccolezza di s ha un modulo piccolo
quanto si vuole qualunque sia ^, e quindi essa è uguale a
zero. Invece per h=0 la funzione sotto l'integrale (105) di-
viene infinita di prim' ordine nel punto 2;=0, e poiché, se 0 é
l'angolo polare, sul cerchio e si ha z=zq ^ ch=tidQ, e 9 va
da —a — — , si vede subito che in questo caso l'integrale esteso
Jr'2>-f-l 2V-j '2 2y-j >2
' /3 (/f,0 a — p ,
0
e si aniinlla soltanto per ^=0, talché allora l'integrale (105)
presenta una dillerenza dagli altri casi, della qual dilTerenza
dovremo tener conto a suo tempo valendosi delle considerazioni
del §. 70.
Per le porzioni rimanenti degli integrali (104) e (105),
supponendo a compreso fra 0 e 1 (0 e 1 esci.) e |2=a-|-i con
t compreso fra — a -fé' e 1 — a (e' diverso da zero e positivo,
ma piccolo a piacere), potremo aisplicare le (98) e (99) pren-
dendo cioè: '
P>.>)= _Jl_r j 1+. (a^)jcos( a.^- -ti ;:)+/, (a:) s^nfcz-'-^-)
P',/a.>) = — j j 1 -f ^^(7.r) I sen^a^— =^ :: ^ +5' Ja3')cosU.^— ^tt
e similmente per Vy{^z\ e Y.^'^z)-, donde moltiplicando ec, si troverà :
X
- ? t [l+Y,(a^)][l+5./?^)]-S';p^)Y;(a^) j sen(p^- '-^' :r)coi {<^--p- :r)-f
+ (a[l+S^(a0)]Y'v(p^)-p[l-f5,(?#)]T'Ja,e) jsen(a^-^7:) sen(p^- ?^ ;:)
+ l«[l+Y,(M5;(a^)-P[14-Y;a^)]S;(?:) j cos (a*- '-^z) cos (.3^- ^tt)
Si aggiunga ora e si tolga fra le grandi parentesi cpadre
un termine chs differisca dal primo soltanto per esservi can-
giato il seno in un coseno e il coseno in un seno delle stesse
quantità; e dopo si osservi anche che le formolo (98) e (99) ci
danno :
>53
P.(^Ì=-^, 1 1 4-V>(^) i [cos(:- '"-il z)i- Y",(^)sen (z- '-'^ ^) ] ,
(*. ..... V , A
.P'v(.)-;.P..(.)=- -i^ |l + 5.X.)4-^^'^(,)|[sen(^-^r) +
+5^(^)cos(^-'-^')],
ove y" (?) e 5",^(>) hanno le stesse particolarità di ';' .^{z) e o •^{z)
respettivamente, giacché si ha:
,'r^^ 5'v(^)+^[l+Y.(^)]
l+Sv(^H- -7,(2')
^^
e poi si sostituisca tutto negli integrali (104) e (105) facendo
al tempo stesso altre piccole trasformazioni con porre per es.
invece dei prodotti di seni e coseni le somme e differenze
corrispondenti date dalla trigonometria, ec.
Si troverà allora che le porzioni degli integrali (104) e
(105) estese alla parte C'„ che resta dell'intiero contorno C„
dopo di aver tolto il semicerchio di raggio = e i due tratti di
asse delle y si riducono alla forma seguente:
ove £.^ al crescere indefinito di mod^ e per a e p diversi da
zero tende a zero come —, e può porsi sotto la forma -^ es-
sendo h una quantità che per tutti i valori di a e ,3 fra s' e 1
( e' diverso da zero e positivo ma arbitrariamente piccolo ) e
pei valori di z il cui modulo è superiore a un certo numero Aq
(indipendente da questi valori di a e ^ fra e' e 1) ha un mo-
dulo sempre inferiore a un numero finito; il denominatore D
554
è tliito dall'una o dall'ultra delle forinole:
D = cos {z ^ t:) + V A-^) sen (e y- t: ) ,
D = sen iz- '-^ -) + 5",(.^) cos (^ - ^^ :r ) ,
secondochè si vuole studiare l'integrale (104) o il (105), e
il X.^ è della forma:
X. = (/+g,)sen[(a4p)^-"'+-'-] + ri,cos/5' + g,cos[(a+^^^
ove le (/o ' ?i ' '?"2 ^^"^ funzioni di a , [3 e s* che rispetto ad a
e a p hanno la forma 'f(a)']>(pi) — 'f (,3) '}(a); e^ dietro quanto
abbiamo detto nei paragrafi precedenti intorno alle derivate
di Vv , Yv , S^ e 5'v , le stesse funzioni q^ , f/i e g^^ ammettono
le derivate rispetto ad a e a p , e queste derivate al crescere
indefinito di mod z e quando a e (5 non sono zero tendono a
zero come -j per q^^ e come - per q^ e ^/.j, e vi tendono an-
che con uguale rapidità per tutti i valori di a e ,3 fra e' e 1;
di modo che i rapporti ,^ , - , ' possono porsi sotto le forme
ZZI
respettive -^ , -3 H — l ^ - H — f, ove le a, e ao dipendono
soltanto da a e p , mentre le Ag , &j , h.2 possono dipendere
anche da s . E si aggiunge che tutte queste quantità
a^ ^a^^h^.h^ , ò._, quando a e P sono diversi da zero restano
finite anche al crescere indefinito di mod^; e, come accade
anche per h finche a e ^ sono fra e' e 1 (e' e 1 incL), basterà
che mod 2; sia superiore a un certo numero /q ( indipend. da
a. e da ,3 ) per far sì che i moduli di queste quantità a e h
siano sempre inferiori a uno stesso numero finito per tutti gli
indicati valori di a e di [i.
Ciu premesso, si osservi che lungo i due lati paralleli
255
iiiriisse (Ielle x clic t'onuano parte di C'„ si ha z=x±_ih\di=d.i';
mentre lungo il lato parallelo all'asse delle y si ha z^^=k-\-ì y^
(l z^i d y , e negli integrali estesi a C'„ la variabile d' inte-
grazione pei due primi lati verrà ad essere .r, e sul lato infe-
riore andrà da 0 a ^ e su quello superiore andrà da ^^ a 0,
mentre sull'altro lato per variabile d'integrazione potrà pren-
dersi y facendola andare da — Jt' ad Ji'. Si vedrà subito da ciò
che, quando a e [ì siano compresi fra 0 e 1 (0 esci.) e cf.-\-'^j
sia inferiore a 2, nell'ultimo termine della espressione (107)
le parti dell' integrale / estese ai lati paralleli all'asse delle x
verranno coi moduli tanto più piccoli quanto più è grande il
numero h' (che può essere preso a piacere)^ e contemporanea-
mente in quello esteso al lato parallelo all'asse delle y i limi-
ti + h' dell'integrale verranno ognor più grandi.
Considerando poi quelle parti dell' integrale del primo ter-
mine che sono estese ai lati paralleli all'asse delle a?, osserve-
remo che pr z=x±_ih' si ha:
sen t z sen t x . senh t W
cosh t II + 1 cos t X
t t - t
= X cos /j X cosh t li ± i il cos t x cosh t^h^
ove ?i e t.2 sono compresi fra 0 e ^; e quindi, siccome t non è
numericamente superiore a 1, anche quelle parti dell'integrale
del primo termine della (107) che sono estese ai lati paralleli
all' asse delle x al crescere indefinito di h' vengono piccole a
piacere, mentre nell' altra porzione dell'integrale del primo ter-
mine della (107) (quella porzione cioè che è estesa al lato
parallelo all'asse delle y) i limiti + A' dell'integrale relativo
ad y divengono ognor più grandi; dunque evidentemente, sicco-
me queste ultime porzioni d' integrale conservano un significato
per ambedue i terjnini d^-lla (107) anche quando vi si fa
II' =cc , noi potremo tralasciare seriz' altro tutti gli integrali
estesi ai lati paralleli all' asse delle .'", riducendo cioè la mede-
sima espressione (107) alla seguente:
^2T^r^
nella quale T=k-{-iiJ, essendo k un numero positivo che
crescerà poi indefinitamente senza esser mai radice della equa-
zione D=0, e pel quale potremo prendere in conseguenza
A:=r( — ~ \-2n ]-, 0 k={ — -^ [-2n-f-l 1- secondochè siamo
partiti dall'integrale (104) o dall'integrale (105), essendo n un
numero intero abbastanza grande; e in questa e^ e y possono
prendersi sotto la forma:
h;:-'+,^;)cos
, A'-> , '^-A r/ , ^v 2v4-l -,
t ^ + [j-r ^lj cos [(a+,3)^ ^tt] ,
ove le a, , flfo , & , &o , 6| e &., hanno le proprietà dette sopra ;
ed è da ricordare che questi risultati valgono per tutti i valori
di a e di ^ pei quali p (come a) viene diverso da zero e com-
preso fra 0 e 1, e a-f-? viene inferiore a 2; e in particolare
essi valgono anche pel caso di a=l, purché allora t sia sem-
pre negativo, e compreso fra 0 e — 1 (0 e — 1 esci.)-
Ora, per z := k -{- i ij ^ con k = f ^T" -\-2 7i]^ o
k = ( — -— -t-2n-|-lj^, si avrà D-=cosh y(l-|-iT"v tgh ?/),
o D = cosh // ( 1 — i ò'\j tgh y ) , e quindi sarà sempre
1 1 /-, , «tghy , h'\ ., , .. , ,
rw = — Ta— 1 H — -, , ove 0 può dipendere anche
D* cosh^^ V ' 0 ' ^y ^ ^
da 2 ma ha un modulo sempre inferiore a un numero finito
quando mod z o k sono maggiori di un certo numero /i,,, mentre
a è una quantità costante e sempre finita (■*"); dunque la espres-
sione (108) potrà ridursi anche alla forma seguente:
+(fi+:0--+ (?+.^)-K-^+.^)^-'-^'^]:
ove le nuove quantità //' , h\ , h\ e h\ per a e ,3 diversi da
zero hanno le proprietà di restare coi moduli finiti anche
quando niod z cresce indefinitamente, per modo anche che i
loro modali sono contemporaneamente inferiori a uno stesso
numero finito per tutti i valori di 7. e di j3 fra" s' e 1 (s' e 1
incl.) quando k è superiore a un certo numero finito k^ ( che
è indipendente da questi valori di a e p).
Ora, se nel secondo degli integrali relativi ad y si considerano
i termini che hanno per denominatore z-, e si osserva che i loro
p
moduli sono superiori a -7-, -, , ove p è sempre finito quando
k-^ij-
a e p non sono zero , si vede chiaramente che gli integrali
/-. co
degli stessi termini sono inferiori a jj / , ovvero a
P Ti ....
^-, e quindi essi e i loro integrali rispetto a t tendono a zero
al crescere indefinito di /;, e vi tendono anche con uguale ra-
(*) E da notare che, tenendo mente ai siguificati di '/>(*) e §'-j{z) e alle
formole del §. 103, si riscontra subito che pel primo valore di D si ha a'=— «fv — )
2 1
e pel secondo si ha a'^^ — t (V — r — - /' )•
?a8
piditìi per tutti i valori di a e [l, fra =[ e 1 (s, o 1 ind.\ Lo stesso
accade deo-li altri integrali / - ■'at J —^,- p; — "Vi
/ YPY+i^^^ / ^ll^-^^ ,/^, giacche si ha:
sen^z seni A: , , . . ,senhrv i ^ ; • 4, w
= coshi?/+'cos</i — ^=Acosrj/,cosh ti/^iijcostkcosntat/,
t t i'
cos t z = cos t /. cosh t y — i sen t k seiih ti/, ->
ove fj e t.2 sono compresi fra 0 e i e i non supera Tunità in
valore assoluto, e si sii d' altra parte che se 9 non arriva a 2
/ cosh Q// / senhQy
in valore assoluto gli integrali 1 r^ — r/y , / — t-t- dii
sono sempre finiti, e tali si mantengono anche se la funzione
sotto il segnò viene moltiplicata per una potenza qualunque
positiva di y; duncpae indicando con A una quantità che per
a e [j diversi da zero tende a zero al crescere indefinito di k
e vi tende anche con uguale rapidità per tutti i valori di a
e (j fra =' e 1 (e' e 1 incl.), l'espressione precedente si ridurrà
all'altra più semplice:
4^- / ( - ^^ / (1-4- - tgh y)— — dy4-
'0 y-y ^■^i'j-cc
'VsV+i dt r"-cos[(a+.3).-g^-±^::l
/Q V-V ^•4-lV-OD 2'COsh-t/
Posto ora per 0 il solito valore Jì -\- i y , e fatto per co-
modo a-[-?=^2 — T, basta sviluppare i seni e coseni che qui
compariscono e trascurare quelli integrali che sono identica-
259
mente nulli (perchè relativi a funzioni dispari di y) per giun-
gere subito a trasformare questa espressione neir altra :
ì^ v^^ t I 1
2^70 VV t J coshhj ^ 2rJ W t 'V (/;^7?)cosh^ ^^^+
— OD 0 _
-^ 2(1— a)
•^2(1- a) -o)
OD
2
/ Ztgh?/ senile// 1 TasX sentZ- T coshfa+p) ?/ ,
^2.
T ' 2 OD
/S^i cosT/- ^ yt tgh ?/senh(a+^)?/ _
2(1— a) - -OD
1
~5 co
costA' /- />cosli(7.4-,6)// , 1 ,-/fi\senT^ /^"^ :vsenh(a4-|5)y
^^H-5 oo T '^+5
2(1-7.) -00 "^2(1^7.) ■'
— GO
ove devono prendersi i segni superiori o gli inferiori secondochè
si studia l'integrale (104) o il (105), e z non è mai negativo.
Ora, prendendo a esaminare separatamente i varii termini di
questa espressione, incomincieremo dall'osservare che il primo di
rf 1 /-«OO
. 1 sen t k / k\yJ^ sen t , I cosh ^ ?,-
essi può scriversi ^- / — — 2 dt } — r^^^f/y,
^ 2-7(3 ?ent\rjj t J^^cosh^i/ -^^
riducendosi così alla forma di quelli che si presentano nello
studio degli sviluppi di Fourier ; e siccome la funzione
S\v+2sen^ / cosh^//
— ; — / nr^ ('// Ila una derivata sempre hnita
260
rispetto a /, tinche / non arrivii a '2 in valore assolnto epe 7. sono
discosti da zero, e il suo limite per f =0 è l'integrale / ^^gj^,
che è ugnale a 2, si vede subito che il termine stesso è sem-
pre inferiore a un certo numero finito, e per t positivo ha per
limite - e per t negativo ha per limite — tj 1 e tende anche con
ugual rapidità verso questi limiti finche t è discosto da zero
più di £, e a e ,3 sono discosti da zero più di s' .
Osservando poi ehe il secondo e terzo termine possono ridursi
.. ai / yp\v4-5sen< / ^^?/tgh?/coshf//
ai seguenti -- j^ [^-^J "Tk''^'J_^¥+f-^9y '^'
o4 rr^T^^ eost/..?. r .^^-^^i^.^,, «ve U ò
. . ytghycoshii/ y tghycosh^iy
compreso fra 0 e ^, e le funzioni 7.^ ? cosh^ v '
sono atte alla integrazione fra — oo e co , e si ha 7^-r~j \ 1 1
— — <; 1 , si vede chiaro che questi termini quando k è supe-
tic
riore a un certo numero ho sono numericamente inferiori a quel
numero che più ci piace finche ae |5 sono fra 2' e 1 (=' e 1 incl.)
Per gli altri termini poi si osserverà dapprima che se a è
differente anche da 1 , a-|-[3 sarà sempre discosto da 2 , e le
funzioni che compariscono sotto gli integrali relativi ad 1/
e a t saranno atte alle integrazioni anche quando si riducano
ai valori assoluti e si sopprimano sotto gli integrali i fattori
-portando fuori di questi integrali il fattore
ad essi non inferiore , ; dunque con a diverso da 1 tutti questi ter-
n
mini saranno sempre finiti e tenderanno a zero al crescere in-
definito di k ; e vi tenderanno anche con ugual rapidità se a
sarà compreso fra se 1 — s^, e p sarà fra s' e 1 e discosto da 7.
2G1
più di 3 (s , s' , ò^ diversi da zoro e positivi ma arbitrariamente
piccoli ); talché per a compreso fra e' e 1 (1 ora esci. ) è certo
che tutta V espressione (108) al crescere indefinito di k tendo
verso - 0 verso — - secondochè a è positivo o negativo ,
e vi tende con ugual rapidità per tutti i valori di a fra e' e
1 — e, e pei valori di t discosti da zero più di e e pei quali
p o c(.-\-t è compreso fra e' e 1 (s' e 1 incl.); e al tempo stesso
la medesima espressione (108) anche pei valori di t che possono
considerarsi fra — s e b e poi valori di a fra e' e 1 — £j è sem-
pre numericamente inferiore a un numero finito.
Per studiare ora gli ultimi cinque termini della espressione
precedente (109) anche quando a si accosta indefinitamente ad
uno o prende il valore uno, osserviamo prima che se 0 è un nu-
mero fisso inferiore a 2, e 'f (//) è una funzione di ij che è sem-
pre finita insieme alla sua derivata anche al crescere indefinito
di y , o tutt' al più per y = oo diviene infinita dell' ordine di
una potenza di y, facendo una doppia integrazione per parti
si trova:
/^CO /'OO /«CX/ 1 r, 1
/ , ,coshQy, 1 / ,, senh9// 2 / ,, senh'Jysenh//
-y -00
•00
„ senhQ//, 2 / ,, cosWì/senhij , .
__l
, 4 / , coshOy, 6 / , cosh9//
donde si ricava :
/OO r.00
, ,cosh9«/ j ^ / '/ xSenh9//
'•co /"CO
, 29- / ,, ,coshO//senhv, , 6 / ,.coshQ//
seuhOy
'f(^) — ^r^j' ^"^y ;
e quindi facendo Q=^ai-{- p, e prendendo dapprima (s{y) =-- 1 , si
vedrà intanto che anche il Cjuarto termine della espressione (109)
prende la forma di c^uelli che si presentano nello stadio degli
sviluppi di Fonrier, e quindi, se a è diverso da uno, per / supe-
riore a un certo numero /'q esso è sempre numericamente inferiore
a uu numero finito, e per /:=oo ha per limite zero, mentre se
00 00
a=l, osservando che per G=2 si ha / — rird '/= / — -v 4-
/ cosh*t/ "^ / cosh-y '
"00
si troverà che esso ha per limite -j- ,-, o — secondochè siamo
partiti dall' integrale (104) o dal (105).
Invece per il cpiinto e ottavo termine della espressione (109),
sostituendo alle funzioni di t che vi compariscono i loro va-
lori assolati, e poi applicando le formole precedenti col farvi
z(ij) =", /"^ — -, 0 's(ii) = r-7^;;; — ; , sì Vedrà subito intanto che questi
termini sono sempre inferiori in valore assoluto a un numero
finito, e se 1' antica variabile t o la nuova t sono prossime a
zero 0 a 2(1 — a) più di s, i termini stessi sono sempre nu-
mericamente inferiori a p'ò ove p' è un numero positivo e finito
indipendente da s .
Similmente, osservando che per a-j-,3 K^ 2 le funzioni
tgh|/senh(a-f-,3)^ cosh(a+,'i)^ . „ . . _
— r-7> ~ , n sono sempre interiori a 2, e po-
cosh- /v cosh^^y
neudo per esse 2 nel sesto e settimo termine della espressione
(109), si vede chiaro che anche cjuesti termini sono sempre
numericamente inferiori a un numero finito, e se ^ o x sono
vicine a zero o a 2 (1 — a) più di t essi sono sempre nume-
ricamente inferiori a g-'s ove q è positivo e inferiore a un
numero finito indipendente da s; dunque; osservando che gli in-
tegrali da 0 a ^ (relativi a t) quando t è superiore a £ in valore
assoluto possono spezzarsi in due, uno cioè da 0 a s e uno da s
a i, e questi ultimi per ciuanto piccolo sia 5 ( per essere allora
a-j-[5 (liscosio da 2 più di ;) al croscore indefinito di k possono
rendersi minori di quel numero che più ci piace, mentre quelli
da 0 a £ sono inferiori a p'i^ o a q'i, si può evidentemente con-
cludere che anche per a =1 gli ultimi quattro termini della
espressione (109) sono sempre numericamente inferiori a un
certo numero finito, e al crescere indefinito di /■ hanno per li-
mite zero; e quindi, riassumendo, si può ora affermare che
qua;ido a, (3 , e ^ sono diversi da zero e a è diverso anche da 1 ,
la espressione (10!>) per /■ ^= oo ha per limite — o — — secondo-
che t è positivo o negativo, e per a= 1 ha per limite zero
o — 1 secondochè siamo partiti dall'integrale (104) o dal (105);
come si può affermare inoltre che se a e (B sono compresi fra
e' e 1 (s' e 1 incl. e ì' diverso da zero e positivo ma arbitrariamente
piccolo) la espressione (109) è sempre finita per A; superiore a un
certo numero /t^ indipendente da a e da ^; e quando t è discosto
da zero e da — a più di s e di =', e a è compresa fra e' e 1 — Sj
(s e s, diversi da zero e positivi ma arbitrariamente piccoli )
essa al crescere indefinito di k converge in ugual grado verso
+ g- qualunque siano i valori di a e, t fra i limiti relativi.
Così restano fatte intanto tutte le verificazioni che sono
richieste dal teorema del §. |G9 per il valore degli integrali
(104) e (105) quando t è fra — ^ e s, e par il limite di essi
quando t è diverso da zero e compreso fra — a-j-s' e 1 — a. Per
fare ora anche le verificazioni relative alla derivata rapporto
a t degli integrali (104) e (105) quando t è diverso da zero
e da — a, osserveremo che, coi ragionamenti stessi che abbiamo
fatti sopra, si trova subito che questa derivata pel caso dell' in-
tegrale (104) si riduce all' espressione seguente:
l_f^ r^P;(7..)P.;i3.-)-F,(p..)P,(a:)
e pel caso dell' integrale (105), si riduce all' una o all' altra
d(dle due:
2n4
secondochè A è diverso da zero o ugnale a zero , e in <\ne-
sìq z ^=- k -]- i y\ Q ora, supponendo a diverso da zero e t discosto
da zero più di e e compreso fra — a -f- e' e 1 — a ( in modo
che anche ,3 ven^a diverso da zero ), e trasformando queste
espressioni col sostituirvi per Pv(7.^) , Pv(,3^) , . . . i loro valori,
corno si fece negli studi precedenti intorno agli integrali (104)
e (105), si troverà al modo stesso che , astrazion fatta dal
2V-1-1
termine — (2v-|-2)[ì" che comparisce nell'ultima, esse si ri-
durranno tutte alle derivate rapporto a t delle (108) o (109);
e considerate per ogni valore di a. fra 0 e 1 ( 0 esci. ) e pei
corrispondenti valori di t fra — a-|-s' e 1 — a discosti da zero
l)iiì di e le espressioni medesime quando n sia divenuto supe-
riore a uno stesso numero n^ (indipendente da t) avranno i loro
moduli sempre inferiori a un corto numero finito, e questo
mimerò n^ potrà anche prendersi sempre lo stesso finché a
resterà compreso fra s' e 1 — s, ; come si riscontrerà inoltre che
è soddisfatta anche la condizione che per a compreso fra &' e
1 (1 ora incl.) e per n superiore a un medesimo numero (in-
dipendente da ^ e da a) i prodotti delle stesse espressioni per t
restano inferiori in valore assoluto a un certo numero finito
anche quando t tende a zero per valori positivi o per valori
negativi .
Passando poi a considerare i valori di t fra — 7. e oc-f-e',
con a diverso da zero, si osserverà che siccome il ,3 prende ora
valori prossimi quanto si vuole a zero, e per t=—rf. si ha
^^0, non si possono più usare tutte le formole di cui ci siamo
valsi sopra, né si possono più trarre tutte le conclusioni pre-
cedenti ; però, dietro quanto si disse in generale anche al
§. G9, considerando il punto ^= — a come un punto eccezionale
2GÓ
neirint')riio del quale resta incerto s^ tutte le condizioni
precedenti sono o no soddisfatte, basterà vedere se per questo
punto il prodotto della funzione data /ì^a-j-^ pcr la derivata
degli integrali (lOi) o (105) soddisfa alle aolite condizioni
generali di cui abbiamo tante volte parlato.
Ora, valendosi dello forinole del §. 104 si trova subito che
per t prossimo quanto si vuole a — a le espressioni precedenti
si riducono alla forma p " / ^{uyiVi ove p h \\ maggiore
j J — oo
dei due numeri v e -, e 'i{y) è una funzione di /r, a, [5 e y nella
quale il numeratore, oltre a fattori il cui modulo è sempre inferio-
re a un numero finito, contiene in ogni termine uno dei fattori
senli a y , cosb a.y^e uno dei due senh ,3 y , cosL p y, mentre il
denominatore ha il fattore cosli- y. Ne segue che il modulo del-
r
l'integrale / '^{y)dy si mantiene sempre inferiore a un certo
.7-00
numero finito^ e ciò avviene per i valori di n o di k superiori
a uno stesso numero finché a è compreso fra Sj e 1 (1 incl.)
e ^ è fra — a e — a-j-s'; quindi, per quanto si disse negli studi ge-
nerali, basterà che il prodotto /"(a-f-O? negli intornì a
2v-j- - — p
destra del punto f=— a, o l'altro f{'x)x ^ negli intorni a
destra del punto .t=0 resti atto all'integrazione anche ridotto ai
suoi valori assoluti; e si può notare che quando questa con-
dizione sia soddisfatta, se 2v-j— ^ — p è negativo anche f{x)
verrà di suo atta alla integrazione negli indicati intorni a
destra di .r=0, mentre se 2v-[~ x — p è positivo, per la validità
dei nostri risultati non importa richiedere che /"(.r) resti atta
all'integrazione nei medesimi intorni.
Così resta provato che quando f{x) nell' intorno a destra
del punto x=:0 soddisfa alla condizione ora indicata, se li è
diverso da zero (finito o infinito) si trovano verificate tutte le
266
ci)n(lizi(»iii ilei todrt'iiiii del t;. ()'.\ mentre se /<=0 il limite
deir integrale (105) per n=ao e t diveriio ila zero, in con-
fronto a qnello che si ha negli altri casi viene aumentato di
fa ^'' — ?)' tanto per-^ positivo che per t negativo, e quindi, se-
condo quanto dicemmo al §. 70, bisogna in tal caso aggiungere alla
o- ri
serie V r;„ P,_^ (X„ .r) il termine ( 2 v + 2 ) | /"(.x) a;2v+i d x ;
dunque, ricordando anche quanto si disse in generale al §. 53
intorno ai punti estremi, e osservando che per a=l il t non*
può prendersi che negativo e allora gli integrali (104) e (105)
hanno per limite 0 e — 1 respettivamente, e il punto t= — 1
non viene a figurare come il punto ^-=^0, si. potrà enunciare il
seguente teorema generale: „ Se v>> — 1, e ^,p) è l'integrale:
■^~ 2(2H^ ^ 2.4(2v+2)(2yH-4) ~ 2.4.G(2v-|-2)(2v-h4)(2v4 G) "^
, della equazione :
„ una funzione reale /*(.r) data arbitrariamente fra 0 e 1, e
1
„ tale che il prodotto /"(r) .r"^ "^2 ^\ ove j; è il maggiore dei
„ due numeri v e ^-i l'^sti atto alla integrazione in questo
„ intervallo anche riducendolo ai suoi valori dissoluti , può
„ rappresentarsi analiticamente secondo le tre serie:
co r\ OO 00
y?..P>(>..^0, (2v+2) /■Ox)/-'+\i.r+\r/„P.(X'„x-ì, V<7"„P,X):'n.x),
Y ^0 T 1
„ ove le X„ , X'„ , )."„ sono respettivamente le radici positive
, delle equazioni P.^(^)-=0, P',(-)=0, zV lz)—ìi\\{z) = ^,
„ essendo /* una costante reale qualunque finita e diversa da
, zero, e essendo:
„ 2r'K ri ^
„ e questi sviluppi varranno per tutti i punti x fra 0 e 1
„ ( 0 al più esci.) pei quali f{x-\-()) e f{x—0) sono deter-
„ minati e finiti ed è soddisfatta una almeno delle condizioni
„ seguenti :
1." „ che negli intorni degli stessi punti x la funzione f{x)
y, non faccia infinite oscillazioni, o almeno le venga a perdere
„ tutte coir aggiungervi una conveniente funzione del primo
„ grado ;
2." „ che negli stessi intorni la funzione f{x) si com-
, porti in modo che scomponendoli in intervalli comunque
„ piccoli Os che non terminano al punto x la somma delle
„ oscillazioni D., corrispondenti sia di quel grado di picco-
„ lezza che più ci piace;
3.^ „ che negli stessi intorni la funzione medesima /(.r)
„ ammetta una derivata o un estremo oscillatorio che resta
y, atto alla integrazione anche ridotto ai suoi valori assoluti ;
4. „ che 1 rapporti mcreraentali con-
„ siderati come funzioni di t si? no sempre finiti o almeno
, restino atti alla integrazione anche ridotti ai loro valori
„ assoluti; e s' intende sempre che nei punti x pei quali una
„ almeno di queste condizioni è soddisfatta la somma della serie,
„ quando si tratta di punti interni, è f{x) o
„ secondochè in essi f{x) è continua o nò, e quando si tratta
„ del punto estremo .r^=l è zero per la prima serie, e /"(l— 0)
, per le altre due „ .
26R
E si aggiunge che avendo riguardo al processo di dimo-
strazione precedente si riconoscerebbe che, come nel caso della
serie di Fourier, trattandosi di punti x intenù all' intervallo
(0 , 1) basta propriamente che queste condizioni 1.» , 2." , 3.*
e 4.3 siano soddisfatte per la funzione di t ^{t)=f{r-\-t)-\-f{x—t)
ueir intorno destro ( o sinistro ) del punto f=0.
109. Introducendo poi invece delle P.,(^) le funzioni di
Bessel h{z) mediante la formola P,(s)=A^~' I,(^) ove A è
una costante (*), e cambiando per semplicità f{x) in f{x)x ,
il teorema ora dimostrato ci conduce anche a dire che: , Se
„ v> — 1, e f{x) è una funzione reale di x che fra 0 e 1 è data
, arbitrariamente ma è tale che il prodotto f{ r)x , ove V
„ è al solito il maggiore dei due numeri v e ^, resti atto alla
, integrazione anche ridotto ai suoi valori assoluti , questa
funzione f{x) pei punti r fra 0 e 1 (0 al più esci.) pei quali
^ (;^. _|_0) e /■ [x — 0) sono determinati e finiti, ed è soddi-
sfatta una almeno delle condizioni 1." 2." 3." e 4.-* del teo-
rema precedente potrà rappresentarsi analiticamente secondo
, le tre serie di funzioni di Bessel:
00 ri . ,, 00 00
yqA.Q^uX\ (2v4-2) / f{x)x'^ dxJ^y^q\,l,{:>:,,x),^qJ.XX'uX),
"t *^0 1 1
, ove le quantità X„, À',„ X"n sono ora respettivamente le ra-
, dici positive delle equazioni 1-X2)=0, -t^[ z l.^(^)j = 0 o
„ ^ l'-X^)— vi-, (2)=0, e s^r^C^)— (A+v)IX?)^=0 essendo h una
(•J Poiché le funzioni (conosciute sotto il nome di funzioni di Bessel) Ivf«) r*"^
V frazionario o negativo lianno un punto singolare per «^=0, mentre le altro P^fa)
sono monodronie finite e continue in tutto il piano 2, e non diiToriscono dalle Iy(g)
altro che pel fattore Iv(«j, mi sembra che sarei)be forse meglio l' introdurre sempre
nell'analisi le attuali funzioni P.^fz) invece delle I fz). Anche la equazione differen-
ziale cui soddisfano le Py(2) è da riguardarsi come più semplice di quella che si ha
per le IvW, e molte delle formole che si hanno per le P.fz) sono più semplici di
quelle che loro corrispondono per le Iv(8).
260
costante reale qualunque finita e diversa da zero, e essendo:
2 n
2 X" ^ /^^
^""" j M2V+/0+XV jIv2(X'',,) Jo"^^^''^^'^^' "'''''^"^'
„ e la somma di queste serie per gli indicati punti :g è al solito
f Ty Q\ \f r^ I n\
„ /"(.'•) 0 quando si tratta dei punti in-
„ tei*ni; e per x =1 è zero per la prima serie, e f{\ — 0) per
„ le altre due ,.
110. E si può aggiungere che, siccome per v>0 gli espo-
nenti 2v-| 2^ ® ^"i" 9 — P "°^ ^'^^^^ negativi, perchè allora
si ha2J=v 0 p= ,j, così, nel caso di v ^ 0, perchè le condi-
zioni relative ai prodotti f {.f) x , f{x) x
vengano soddisfatte basterà evidentemente che f{x) sia atta
air integrazione fra Gel anche ridotta ai suoi valori assoluti.
E se sarà — l<Cv<0 nel caso del secondo teorema, e — ^"^'^^^
nel caso del primo , allora perchè le indicate condizioni
rispetto ai prodotti f{-v)x , f{x) x siano sod-
disfatte basterà che nell' intorno a destra di x=0 la f{r) sia
sempre finita; mentre se nel primo teorema sarà — l<!]v<C — -x ,
allora perchè la condizione stessa pel prodotto f{r) x
sia soddisfatta basterà che col tendere a zero di x la f(x) tenda
a zero come una delle funzioni:
»• 18
270
r-(2V-|-i)
ì 2v4-l/i \14-c ' 2/4-1 , f -, c>^\l+c'**'
a- ^ (log x) ^ X ^ log X ( log- x) ^
ove e è un numero diverso da zero e positivo . Queste coudi-
zioni però sono soltanto sufficienti.
Inoltre aggiungiamo che avendosi P'v(J^)= — ^ -^ Pv+i(^) »
s' intende subito che come si hanno sviluppi di f{x) in serie di
funzioni P.^, così se ne possono avere altri simili in serie di
funzioni derivate P'^ , . . .
111. Se poi osserviamo in particolare che per v = +2
la funzione P,/^) si riduce alle due:
sen 3
P_T (- ) = cos z, P , (^) = — — ,
basterà applicare il teorema del §. 108 per trovare sei svi-
luppi, tre dei quali si riducono a sviluppi di Fourier della forma:
V 2»4-l /-l 00 00
2a Vn COS — -— TlX , I f(^x)dx-\- S p'„ cosuTix , y^wscn nr, x,
^ '^ ^0 1" 1
e gli altri si riducono alle forme seguenti :
sen |j.„ X sen v„ a;
1 Zi ^u
1
2P"C0sX„^, S f{x)x^-dx-}-'^q» ^
con:
j/<A— l)-fVjcos\jQ /</«— l)+>^„Vo
2 r^ 2(1+0- ) r^
g„ »= — 2 — ■ / f{x) X sen •!.„ .T (i .r = ^^ / /"(-^O •^' «en t^,, a; cZ x,
'\" , . fmxseny..xdxJ-^^^^^^ ff[x)xsemM
hv^|sen-v,J^'' /i(/j_^l)_^v2,. j^
sen^ [j.„ Jq
2^
essendo le Xj , Xo , . . , X„ , . , le radici positive della equazione
z sen z -\-h cos z =0; le |j.,, [J-.j , . . , [J.,,, . . le radici positive della
equazione .^ cos 2; — sen5'=0; e le v,, Vj,..,Vn;.. le radici positive
dell' altra ^cos^' — ( 1-1-/0 sen ^=0, con A costante reale e finita
qualunque ma diversa da zero; e mentre pel primo di questi
f( t\
sviliippi ( per essere allora v = — — ) si richiede che -^ resti
atta all'integrazione fra 0 e 1 anche ridotta ai suoi valori assolu-
ti, per gli altri sviluppi basta che soddisfi a questa condizione il
prodotto X /■(,«), perchè per essi si ha v= ,7-.
. f(r) .
Cambiando poi /"(.r) in — , 1 due ultimi sviluppi si riducono
ai seguenti :
x(f
00 00
f{x)x clx -(-"V <?„ sen «j,,^ r, y vn sen v» j",
0 Y Y
q,i= — 5 — / f(r) sen <i„ xdx = 5 / /(a?) sen u.^ x clx,
.. . , 2l(l-{-/0-4-vl.ì fi ,
f{x) seivj nrdx= — ' — — ^* / f[x) sen v,^x clx
j;</i4-l)+V^.jsen-V„7Q" /j(/j-[-l)_^V-n Jq'
con h costante reale e finita qualunque diversa da zero e le
[j-„, e y,, radici delle respettive equazioni ^ cos 2; — sen s" = 0,
^cos^ — ( l -j- /i) sen S' = 0 ; e questi sviluppi, considerati pei
soliti punti X fra 0 e 1 (0 al più esci.) pei quali sono soddi-
sfatte le condizioni dei teoremi precedenti, rappresentano
f{x) 0 — -^ '- quando si tratta di punti interni, e
di
f{l — 0) quando si tratta del punto estremo x=l; e rispetto
a f\x) si ha ora la sola condizione che essa resti atta alla
integrazione fra 0 e 1 anche riducendola ai suoi valori assoluti.
Gli sviluppi V /■„ cos v„ X che ora abbiamo trovati sono
1
quelli della fìsica matematica ai quali alludevamo nel §. 83,
e cambiandovi .e e ^ in ;:x e -^ si riducono precisamente a
quelli che si hanno dalla formola (5G) nel caso in cui sia
F(.) = -^, F,(.i = -(l-f/0.
112. Merita poi di essere notato che, siccome le somme
(10(3) hanno le stesse proprietà degli integrali (104) e (105)
cui esse sono nguali, e si ha :
r^2v+i 1
' ? P.(?),,)J^=-
-0
Xn
(a+O'" P'v i {'J.^t%. I -a'jP'vCaXn) 1,
ove le derivate s' intend.no prese rispetto a X», si avranno le
formole notevoli:
P. (aX,0
4 fx„P'vT\)L
2 V
(a 4-0 P'vJ(a-hOX«|-^- P'-.e^-Xn)
nelle quali a è diverso da zero e da 1, f è diverso da zero
e positivo e non superiore a 1 — a, le X„ , X'„eX"„ sono ancora
le radici reali e positive delle respettive equazioni P./^^) =^0 ,
Pv('2') = 0, z^' ,{z) — AP'(r)=0, e nella terza h è finito e di-
verso da zero. Per t di^erso da zero e negativo e superiore a
— a, se a è fra 0 e 1 (0 e 1 esclusi), queste formole continuano
ancora a sussistere quando si mutino soltanto i segni dei primi
membri; e se a è uguale ad uno la seconda e la terza di que-
ste formole sussistono pure quando nei loro primi membri si
273
ponga — — invoco fli > o allora non vi ò più da occnparsi
(Iella prima poiché in essa i termini del secondo membro ven-
gono tutti identicamente zero.
Cambiando nei secondi membri ^.-{-t in [i, si hanno di qnì
delle funzioni notevoli di a e .3 il cni valore è indipendente da
a e da ,3 , ed è ngoale a — o a — -r secondochè |3 ^ a o ,3 <^ a ,
e ngnale azero per i3=a, supposto però che a e ,3 siano compresi
fra Gel (0 esci, per a e ,3, e 1 esci, soltanto per a). Se poi a è
ugnale ad uno, i secondi membri della seconda e terza delle
formolo precedenti col cambiarvi cf.-\-t in (3 divengono fnnzioni
della sola ^ che pei valori di questa variabile fra Gel (Gel
esci.) sono costantemente uguali a — ^, mentre per (5=1 so-
no identicamente zero.
Per V = + 5- queste formolo divengono anche molto piìi
semplici.
113. Aggiungiamo che la funzione 's{t^c/.,h„) per gli
sviluppi attuali, dietro quanto si è visto nel §. 108, viene
data da ir una o dall' altra delle formolo:
co
— OD
CO
secondochè siamo nel caso degli sviluppi ^7,iPv(X„a;) o nel
caso degli altri due, essendo in ambedue queste formolo p=a-|-^
e ^=A-+/^con/.= ^^V2n)| 0 /— (^^S^+ljs
respettivamonte. Queste funzioni poi possono anche rappresen-
tarsi colle derivate rispetto a t delle espressioni (1('7), (108)
o (109), e anche colle somme che si ottengono derivando ri-
S74
spetto a / lo espressioni (106), e nggiunpjonflovi mi caso di
;j=0 la quantità (2 v+2) p+i .
114. E si può notare che per qnanto la attuale funzione
c7 , a , /i„) non sia indipendente da a, come erano quelle rela-
tivo agli altri sviluppi considerati precedentemente, essa però
e il suo integrale / 'fi^ , a , /^,)f// soddisfano in vgìial grado
per tutti i valori di a fra =' e 1— s, e di / fra — oc-[-s" e 1 — a
(=,,£' e s" diversi da zero e positivi, ma arbitrariamente pic-
coli ) a tutte le condizioni che si trovarono nel §. 108; poiché
da ciò che precede apparisce che quando n sia preso superiore a
uno stesso numero finito Uq indipendente da t e da a, si tro-
ver;<, che, per qualunque valore di a fra s, e 1 (gli estr. incl.)) e
rt
pei valori di t fra — a-hs" e 1 — a l'integrale / z{t , a , h„)dt e il
Jo'
prodotto t z{t , a , /i„) sono sempre numericamente inferiori a un
numero finito anche quando t si accosta indefinitamente a zero;
e prendendo ancora ii^n^ e t discosto da zero più di e, e com-
preso sempre fra — a-j-s" e 1 — o. si troverà pure che per tutti
gli indicati valori di a fra s' e 1 (gli estr. ancora incl.) la fun-
zione z{t , a , /»„) è sempre numericamente inferiore a un certo
numero finito, e se a è compreso fra s' e 1 — s, l'integrale
r
I '^{t , a , Jì,t) è sempre accosto al suo limite più di un dato
Jo
numero arbitrariamente piccolo g, ec.
115. Per dare alcuni esempì di sviluppi particolari dedotti
dai teoremi precedenti accenneremo i seguenti che sono degni
di nota.
1." Vogliasi la funzione che fni 0 e 1 è sempre uguale
a 1 sviluppata in serie di funzioni P„ o I.^ nel caso di v> — .^ .
Ricordando che :
275
si ottengono subito i tino sviluppi sognonti :
2vP--(>->.-^-) _2/,v Pv(r.,-r)
f >., -P'vP^n) ' " f j /K2 V + ;Ì) + X"„^ j P, (X" J'
ove X„ e X"„ sono al solito le radici positive delle respettive
equazioni P (^)==0 , zV\^{z)—h {\{z)=^0 ; donde, introducendo
le funzioni di Bessel si hanno anche gli altri:
- "" f Ah r,(x. ' ^" •" f j /i(2v+A)+x"„^ j i,(X",o '
ove le X„ e X"„ sono le radici positive delle equazioni lv(^)=0,
z l'-X^) ~('*+v) I.^(2')=0 ; e questi sviluppi per x diverso da zero
e da 1 e compreso fra 0 e 1 sono tutti ugnali a 1, e per x=l
il primo è uguale a zero e il secondo è uguale a 1; talché di
qui si deduce anche la particolarità che la somma della serie
00 ^ ^
y vT7i — . , , , ^ ,,., è Uguale a ^rj- .
fh{2v-\-h)-\-X'\ ° 2h
2." Vogliasi la funzione che fra 0 e 1 è uguale a P,/y ^)
ordinata per funzioni P./Xn «») , P,^(X'„ a?), e Py(X"„a') essendo y
una costante reale qualunque, e X„,X'^ e X"„ le solite radici delle
equazioni P^(2;) = 0, P\{z)=0^ e nel caso sempre di v> — „.
Siccome si ha per r diverso da y :
n^v+,p (, .)P,^(,. .) d .= •l£1(^)^-p-v('-)p.ìv) ,
si avranno gli sviluppi seguenti :
^ V"», P. (X"„ .r)
2 ! ■( p'.(v) -'' p,(-()( Z ,,,(2 v+/,) + x■■^. j (X",. -■('-) P.C-"..)'
276
che rapprosontano P,^(y .r) por .r diverso da zero o da 1 e com-
preso fra Gel, e per .r=l sono ugiuili il primo a zero e gli
altri due a P.^lv) ; e sebbene il processo tenuto richieda che
pel primo sviluppo 7 non sia radice della equazione P„(.c)=0 ,
e pel secondo non sia radice dell'altra P',(^)=0 , è chiaro
però che questi sviluppi possono riguardarsi come validi qua-
lunque sia il valore di 7, quando per le serie che corrispondono
a Y=±^m ; Y = i^^''« 1 6 Y=+X",„ res]iettivamente si prendano
quelle formate coi valori limiti dei singoli termini di quelle
scritte sopra .
Da questi poi si ottengono gli altri sviluppi:
9 T (-A V ^^'^ KO'n^)
00 V2 T (1" T^
rt( j' r \ n A- \ \ /■^»V " •^ " '^
^ J i . (7) (/*+v) ^. (Y) , 2 s /,(2 V+/0 + r\ { {\"\-f) 1,(X" J '
che rappresentano l.X'( x) per a^ diverso da zero e da uno e
compreso fra 0 e 1, e per x = \ sono uguali il primo a ze-
ro e gli altri a I., (7), e in questi le X„ , X'„ e X"„ sono le
radici positive delle equazioni I.^(5')=0, zi' ^{:) ~'A.^{^) = 0 ,
zI»-(/i4-v)i,(^)=0.
Preso poi in particolare nelle formolo precedenti v =2,
si hanno le altre notevoli :
°° n
sen 7 x=='2 n sen '(S ( — 1)"+* — 5-^ — . o sen n n oc,
/ sen 7\ [ 3t ^ sen X'„ x )
7 y( T ' 'fO^\-f)senK\,Y
^■^ X"2 OPTI k" r
277
che valgono tutte per x diverso ria uno e compr.''so fra 0 e 1,
e la seconda e la terza valgono anche per a'=l; e in queste,
dietro l'osservazione fatta sopra, y può supporsi qualunque, e le X'»,
e/v"„ sono le radici positive delle equazioni z cos z — sen z = 0^
e 2^ cos z — (1+/0 sen z = 0.
X
Cambiando poi x in - e y in «Yi con a costante qualun-
a
que, si hanno altri sviluppi di P._,(Y'0, Iy(T ^) ^ sen y ^ che
considerati per un valore speciale qualsiasi di x fra 0 e « (a
esci, per il primo sviluppo) valgono per qualsiasi valore di y;
e così supponendo a^l pel primo sviluppo e o^l per gli altri
due, e facendo J^=l, si ottengono sviluppi notevoli di Pv(7)J,(v)
e sen 7. In particolare si hanno le formole seguenti:
00 n-i-l
sen '( = 2>- sen « y \ l — 1 ) —s—, 1~^ sen h
1
ìrK- — a-'(- a
sen-
/ senaY\ ^ , o v ^
sen Y == ( cos a y ^— f - « Y ZTV^^ ~^^^ v"
V «-T /( «Y -f(A»-— «-Y-)senX„
•s M3 '^ Il
^ K 'n seu
Y =2 j a Y cos a'(—{\^Ji) sen a y \ ^ > 7 o , 7 m v^j . r '^ ^r-r^ ^
che danne sviluppi di sen y che valgono qualunque sia y e per
qualunque valore positivo di a e superiore a 1 per la prima, e
superiore 0 uguale ad uno per le altre due.
Facendo -( = -^ ^== r. ,=~ 7: , . . . queste formole danno
luogo ad altre che sono pure molto notevoli. Altre si ottengono
facendo a=l nelle due ultime, ec.
116. Passiamo ora a trovare coi metodi generali che pre-
cedono anche gli sviluppi di una funzione f{x) per a; fra — lei
OD
in serie ^A„X, di funzioni di Legendre X„.
Questi sviluppi soddisfano come è noto alla condizione
1^7 S
I X,„ \„ f/.r=rr-0 se ))ì ^ )}, e por essi si ha / X,/- (/.r =
J-l > 7_i
2»+l'
però non può applicarsi il metodo dei §§. 90. e seg. perchè con-
siderando la funzione X che soddisfa alla equazione:
4(1-'-)^!
^ X
+<^+l)X=0
che per z=ìi si riduce a quella delle X,„ si vede subito, dietro
le osservazioni del §, 93, che questa funzione generale X pei
valori di x fra — 1 e 1, e pei valori reali e complessi di z
non soddisfa alle condizioni di quel paragrafo.
Ci varremo perciò delle considerazioni piij generali del
§. 59. e prenderemo a esaminare la somma:
(109) ]^y^{2n-^r\)^.{v.) / X„(a-f-fW7^
" u *^0
insieme alla sua derivata rispetto a t:
42;(2»^+l)X„(a)X„(a-fO;
^ 0
e poiché quest' ultima somma considerata come funzione di t
fra — 1 — a e 1 — a è finita e continua e ha un numero finito
di massimi e minimi per ogni valore speciale di n, così se
Torremo limitarci a considerare le funzioni /(') del §. 72,
basterà che esaminiamo la piuma delle stesse somme.
Poniamo perciò a = cosO',a-|-^ = h = cos 9, con 9 e 0'
compresi fra 0 e ;r (0 e :: incl.), e ricordiamo che da una for-
mola nota si ha:
X„ (cos Q) X„ (cos 9') = ^- / X. (cos v) d 's ,
279
con :
cos 7 = cos 0 cos 9' -f sen 0 sen 0' cos ('f — 'f '),
essendo (9 , 'f ) , (0' , '^') le coordinate polari sferiche di due
punti M e ]\[' di una sfera di raggio uno, e y la distanza sfe-
rica di questi punti.
Si avrà :
1 n rt 1 M /'O r2-
..V(2».+ l)X,.(a) / XJa.-{t),lt=-~\{2n-\-\) / senQc/Q / X,.(co.sy (/'f ,
donde ricordando che :
|(2«+l)X„(cosv) = -^-^^|f + -^'j,
si troverà anche:
e po'chè fZ 9 e d t sono di segno contrario, indicando con d z
r elemento superficiale sferico , e fissando di prendere nelle
forraole seguenti il segno superiore o l' inferiore secondochè t
è positivo o negativo, si potrà scrivere:
^|(2„H-1)X,,,OJJWO</^=4J/|'^ + '^^^
sen 7
intendendo che l'integrale del secondo membro sia esteso all'area
sferica A compresa fra i paralleli 9' e 9 ,
Ma prendendo un nuovo sistema di coordinate polari sfe-
riche Y 6 'fi col polo nel punto fisso M'; si ha fZ'j=seuYt/v<^f 1;
quindi sarà :
l>80
e così potremo ese<:]fnire snlìito 1' intep^razìone relativa a 7.
Noi fare le limitazioni derrli integrali noteremo che se 0'
non è =0 0 =::, e se il meridiano iniziale delle longitndini 'f ,
è preso tangente all' antico parallelo 9' , mentre 'f , va da 0 a :r,
sn fpiesto parallelo si resta sempre nel pnnto M' nel cpiale
X„ -J- X„4., = 2 , e so 0= K ' meridiani 'fi = 0 e 'fi = 7r coin-
cidono col cerchio 9=^ ; e noteremo pure che se nell'area
Li
sferica A cade il pnnto M'^ diametralmente opposto a M', in
qnesto pnnto sarà 7 = 7: e X„-j-X„+^ = 0; e qnindi indican-
do con / , / integrali relativi a 'fj estesi ai cerchi 0 e 0' si
avrà evidentemente :
2 V(2«4-l)X„(a) fx,i't-^t)dt=±l+^ I (X„+X„„y'f,+ / (X„-fX„,Of^f„
e il primo integrale del secondo membro mancherà se il cerchio
9 si ridnce a nn punto (polo), come mancherà il secondo se 0'
è r equatore (antico) della sfera .
Ricordando ora che quando 7 è fra s e ti — s con s diverso da
zero, X,i (cos 7) al crescere indefinito di n converge a zero e in
ugual grado dell' ordine di / — si vede subito intanto che
V n sen e
se vi è r integrale / (X„-l-X„+,)'7'5i , e non è 9=:: — 9' (onde
J9
non sia mai 7="), esso al crescere indefinito di n converge a
zero, e si vede inoltre che vi convergerà anche in ugual grado
quando 9 cade in intervalli che non comprendono i punti ;: — 9' ■
281
e 0', 0 quantlo t ò tale che ,3=a-|-^ cade in intervalli che non
comprendono i punti +a.
Se poi vi è r integrale / (X„-|-X„+,)<'/'f , , escludendo sul
parallelo 0' il punto ]M' con un piccolo intorno nel quale 'f ,
andrà da - a --j-^ e da 2-— s a 2- e X„-|-X„+, rimarrà finito,
si vede subito che nella porzione rimanente dello stesso paral-
lelo il numero y per quanto possa essere piccolo o essere pros-
simo a - non si accosterà a zero o a ~ più di un certo
numero positivo e,, e quindi in questa porzione X,^ -|- ^n+i
convergerà a zero in ugual grado; talché è forza concludere
che anche V integrale / ( X„-j-X,i+j ) dJì converge a zero al
crescere indefinito di n. Similmente se, essendovi 1' integrale
/ (X,i4-X„+,)fZ9, si ha 0=- — 0', escludendo con un piccolo
intorno sul parallelo 0 il punto M', diametralmente opposto
ad M', si trova al modo stesso che l'integrale medesimo tende
anch'esso a zero; dunque si può ora evidentemente asserire che
quando t è diverso da zero la somma (109) al crescere indefinito
di n converge verso il limite g- se ^ è positivo e verso il li-
mite — g- se ^ è negativo, e converge anche in ugual grado
verso questi limiti per tutti i valori di t che cadono in inter-
valli tali che il punto ,3^a-(-^ non venga mai a coincidere coi
punti a e — a.
Aggiungendo dunque l'osservazione che^ se a=l si riscontra
subito che la somma della serie (109) per t diverso da zero e
negativo è uguale a — 1, e se a= — 1 la stessa somma per t di-
verso da zero e positivo è uguale ad uno, e ricordando quanto si
disse nei §§. 53, 59, 72 e 73 si ottiene ora il teorema noto seguen-
te: „ sef{Jo) è una funzione sempre finita e atta all' integrazione
„ fra — 1 e 1, e è tale che scomposto se occorre questo iuter-
„ vallo in un numero finito di parti viene a soddisfare in eia-
2se
scniia (li queste parti a una almeno dello condizioni a), b), e)
del §. 72, allora essa sarà sviluppabile secondo la serie
00
V A„ X,» con
'■='-¥-'/>
) X„ dx
„ per tutti i punti .r nel qnali essa non presenta discontinuità
„ di seconda specie, purché negli intorni a destra e negli intorni
„ a sinistra di questi punti x e dei punti simmetrici — x la
„ funzione f{x) soddisfi alle condizioni a) o h) del §. 72 o
„ air altra del §. 73 che la somma I Dj delle oscillazioni della
„ funz'one medesima f{x) in intervalli ognor più piccoli presi
„ negli stessi intorni e senza tener conto del valore nei punti x
„ e — X possa rendersi minore di quel numero che più ci piace
„ dipendentemente dalla piccolezza degli intorni medesimi; con
„ questo però che nei punti interni x di continuità e in quelli
„ di discontinuità di prima specie la somma della serie sarà
„ ' , e nei punti estremi +16 — 1 sarà
di
„ respettivamente f{\ — 0) e f{ — 1-|-0) „.
117. Merita poi di essere notato che per gli attuali svi-
luppi in serie di funzioni X„ si ha :
'fyt,y. , h„)= \S {2nj-l) X„ (7.) X,(a+0 ,
n
e , per essere / X„ [.v)dx=
Jp
notevole :
2w+l
2
, si ha la formola
P
00
±l=2;X,.(a)jX„,,(a+0-X„_i(a+0-X...,(a)+X,._,(a)j
u
ove nel primo membro deve prendersi il segno +0 — secon-
283
docile t è positivo o negativo, e s' intende che a sia compreso
fra — 1 e 1 ( gli estr. esci. ), e t sia diverso da zero e com-
preso fra — 1 — a e 1 — a. Per a = + 1 la somma delle serie
del secondo membro è uguale a + 2 .
Oltre a ciò, coi ragionamenti stessi del paragrafo prece-
dente, si riscontra che l' integrale / z{t , a , Ji„)(ìt e così aneli e
Jo'
la somma dei primi n-\-l termini dell' ultima serie, considerate
come funzioni di a e di /, e pei valori di t discosti da zero più
di £, e compresi fra — 1 — a e 1 — a ( s e e^ diversi da zero
e positivi ma arbitrariamente piccoli ) convergono in ugual
grado verso i loro limiti respettivi per tutti i valori di a fra
— 1+5 el — s; e per a compreso fra — 1 e — 1 + £ o fra
1 — 3 e 1 lo stesso integrale e così la somma di un numero
qualunque di termini della serie restano sempre numericamente
inferiori a un numero finito .
118. Come ultima applicazione dei metodi generali che
abbiamo dati, voglio ora dimostrare che per le funzioni f{x) date
arbitrariamente fra 0 e 2K si ha anche lo sviluppo seguente:
ove le quantità Xj , Xs , . . . X„ , . . sono le radici della equazione
H'(2')=0 che si trovano suU' asse delle tj, e Xg è la radice K
della stessa equazione, essendo ^{z) e H(^) le note funzioni di
I 1 r^ . ^ ,
Jacobi, e essendo C==^=^ / k-sn-zdz, e A;,/..' ,K,K' le notis-
sime quantità che s' incontrano nella teorica delle funzioni
ellittiche (*).
(') Quando ebbi il piacere di passare alcuni giorni col sig. ilittag-Leffler nel
tempo in cui Egli fu a Pisa ( Aprile 1880), seppi da lui che la forma (llOj dello
sviluppo di / (a) era stata data dal sig. Hermite nelle sue lezioni sulle funzioni
ellittiche. Il sig. Mittag-Leffler mi comunicò gentilmente anche alcune sue note su
quelle lezioni , ma in quelle uote ho trovato soltanto la forma dello sviluppo, suu^a
trovarvi aua dimostrazione della possibilità dello sviluppo medesimo.
S8 I
Incoiiiincifimo porciò dal ricordare che da Ibrmole note
si ha
■H'(^)
=l-4-==c
_H(^)J K su'^
.,-.2, '
sn
e (luindi sarà:
H"(X„) 1-Csnn„
, e 1— Csn-X„ =
H(>^JH"(X„)
di modo che lo sviluppo precedente può anche scriversi:
2K 0(..r._x,.)
0(.r)
dx ,
e se si osserva che
1
H"(XJ
è il residuo c„ della funzio-
HQ 2,(^:\ = :^-^ nel punto d'infinito 0=X,i. questo sviluppo si
ridurrà anche all' altro :
Coi processi dunque dei §§. 57 e seg., per decidere se e
in quali casi questo sviluppo è applicabile a f{x), si prenderà
a esaminare la serie:
(113) - -^<=„y^^jjj^^^jj^ g^^_^^^ .u,
insieme alla somma:
(111)
ì^ "HW11(>>
c^j:
285
dei suoi primi n toriniui e alla derivata rispetto a t di questa
somma per tutti i valori di t fra — a e 2 K — a, esseudo a com-
preso fra 0 e 2 K; e pel nostro scopo basterà vedere se per
queste quantità sono o nò soddisfatte le solite condizioni
generali che si avevano nel §. 57. per le espressioni (6) e (5)
e per la derivata della (5), con più la condizione che la quan-
tità allora indicata con G venga ora ad essere uguale ad r- .
ìL
E quando queste condizioni si trovino soddisfatte , la derivata
rispetto a t della espressione (114) figurerà come la solata fun-
zione '^{t,a,h,t) relativa agli attuali sviluppi, ec.
119, Seguendo ora i metodi dei §§. G4. e seg.. si prenderà
a studiare la funzione:
(115) 9(.) = -.-;;^ ^-^-^^-^^A ^e(M=^ ^ '
klc 0(a+^) / ^e(a-f^— g)
7r0(a)H(^)H'(0)j() 0(a+O
che è monodroma e continua in tutto il piano, e ad essa si
applicherà l'integrazione lungo un contorno rettangolare Cn coi
lati paralleli all' asse delle y condotti pei punti .r = K -)- s ,
x= — K-[-E dell'asse delle x^ e cogli altri due lati condotti
pei punti ?/=(2h-[-1)K' 1 ?/= — {2n-{-\)K! dell'asse delle ?/, es-
sendo e compreso fra 0 e K ( 0 e K esci. ).
Così lo studio della somma (114) si ridurrà a quello della
differenza equivalente:
(116) ~ f6{z)dz-l'(,.,
essendo Yr i residui corrispondenti ai punti d' infinito di 9(^)
che cadono entro C,» e che sono distinti dai punti X„, e lo
studio della serie (113) si ridurrà a quello del limite per n=co
di questa differenza; di modo che per essa dovranno essere
soddisfatte le condizioni stesse che si avevano nel §. G8. per
la espressione (40).
D- 19
286
Ora, si dimostra che le radici reali di H'(^) = 0 sono
soltanto nei punti ^={2n-j-\)K, e quelle complesse non pos-
sono essere che sulle verticali condotte pei punti z ^=2 pK
{p intero); dunque, entro C„ la funzione H'(5') non si annulla
altro che nei punti X„, e in conseguenza le '(r si riducono ai
residui di Q{z) corrispondenti ai punti d' infinito che proven-
gono dall' annullarsi di H(^) .
In questi punti si ha z^2 r i K'(r=0 , ± 1 , ± 2 , . . . + w),
e il residuo corrispondente di f^r^— è ^^,,^ .„,, ; quindi sarà
^ H(2) H(2>7K) ^
evidentemente :
= ^^' <"K«+2>-iK') r%(a4-^— 2WK^)
'^'~' 7r0(a) H'^(2r/K') Jo ©(a+O
e osservando che da formole note si ha :
e {z^2nK')={-iy 0(-) e
riiz. . .,^,.
^^^'^ ,H(^+2nK')=(-l)'H(^)e
/ ^..^ -f(.+nK')
I H'(^+2r.-K')=(- 1)^ I ^V, - ~ E{z) } e "^
si vede subito che sarà :
e poiché, ricavando Bi\z) dalla forinola H(2)= \/A; 0(^) sn s^, e
poi facendo 2=0 si trova H'(0) = V^ 8(0) = y— per-
'2 k' K
che 0(0) =\/ ^^ , sarà anche;
e dt
0
e in conseguenza si avrà :
1 rvi " r-
'sea(2»!+l);^
::A.. 1 i ^g„
-•"=-f U2+:S™^X>«=-2K I - -t <^^
'™2K
o anche, ponendo^ = 4;
W(2«+i)é
~ ^Q sen^
di modo che la differenza (116) si ridurrà a:
(118) --L./'j(.),i,+l /■^!!2(?^d^
Ora nel primo termine gli integrali estesi ai lati paralleli
all' asse delle y si distruggono identicamente, perchè nella in-
tegrazione questi lati sono percorsi in senso opposto , e nei
punti di essi che si trovano alla stessa distanza dall' asse delle
X i valori di 9(3:) sono uguali; dunque l'integrale i %z) d z
si riduce ai due integrali estesi ai lati orizzontali sui quali
0= £C +(2 w-l-1) ^ K', e x va da — K-j-s a K-j-s, o anche se
vuoisi da — K a K.
Ma su questi lati si ha:
hh' e(7.+a:+iK'+2>n-K') p^{'x-^t-x+iK'+2nìK )
^^^~~7c(-)(70H(x±iK'±2««K')H'(a;±i-K:'±2mK')Jo e(a+0 ^ '
288
o anche, a causa delle (117):
nht
+
kk' 0(a+.r+?-K') _ p Qjy.+t-TTi'K') =^^
'jH(:i-±/K') "^ K (
dunque questi valori di 9(^') restano sempre finiti insieme alle
loro derivate rispetto a ^, e al crescere indefinito di n tendono
a zero e vi tendono in ugual grado per tutti i valori di x, e
anche per tutti i valori di t; dimodoché l' integrale / S(z)dz,
e la sua derivata rapporto a t sono sempre finiti , e al cre-
scere indefinito di n tendono a zero per ogni valore finito di
a e di ^, e vi tendono anche in ugual grado.
Per questo, e perchè l'ultimo termine della esp»'essione
(118) è l'integrale che figura negli sviluppi di Fourier , le
verificazioni da farsi sulle espressioni precedenti vengono ricon-
dotte a quelle che si fecero pel caso di questi ultimi sviluppi;
dunque si può ora senz' altro affermare che, presa come fun-
zione 'f (f , a , /«,,) la derivata della somma (114) o della espres-
sione (118), sono soddisfatte per essa tutte le condizioni che
si hanno per la funzione corrispondente agli sviluppi di
Fourier, tranne tutt' al più quella relativa all' essere sempre
crescenti o sempre decrescenti i valori massimi o minimi del-
l'integrale / 'f{t,y.Ji,^)dt; e si può quindi in particolare con-
eludere che: „se Xj , X^ ,.., X^ , . . sono le radici della equazione
„ H'(2) ^0 che si trovano sull'asse delle ?/, e Xq è la radice K
„ della stessa equazione , una funzione f{x) data arbitraria-
, mente fra 0 e 2 K può rappresentarsi analiticamente secondo
, la serie:
(120) ^' y Q(°'+^"^ r\^) ^t=M a ^
289
(121) -
e(a-f-X
fXJ f.
f.) H" {K)Jo
2J^e.'a;— X„)
A^)
e(x)
dx ^
e questi sviluppi varranno pei punti a fra 0 e 2K pei quali f{x)
è finita e soddisfa a una almeno delle condizioni 1." 2.' 3.'
e 4/ del teorema della pag. 2(36; con questo però che pei punti
a delle discontinuità ordinarie nel? interìio dell' intervallo la
somma della serie sarà al solito
, e pei
„ punti estremi ( quando ad essi lo sviluppo è applicabile) la
, ^ 1 r, r A+0)+A2K-0)
n stessa somma sarà la solita media — ■ , come
Ci
„ nel caso degli sviluppi di Fourier ,
E poi da notare che, come nel caso degli sviluppi di
Fourier, le indicate condizioni, invece di verificarsi per f{x)
neir intorno del punto a che si avrà da considerare , basterà
che si verifichino per la funzione di t f{a.-\-t)-\-f{'x — t) nel-
r intorno del punto ^=0; e per questo le indicate condizioni
potranno anche trasformarsi in altre , come si fece nel caso
degli sviluppi di Fourier ec.
120. Aggiungiamo che avuto riguardo ai valori (119) che
ha 0(2) sui lati orizzontali di C„, si vede subito che per gli
attuali sviluppi la funzione corrispondente 9 ( ^ , a , h„ ) può
porsi sotto la forma:
fi^^^-A)=^ZiJF,
W
2;:-/tì(a)0(a-|-O
niizt
(■J(a-[- «+iK')(-)(a-f ^ -x—iK')e
e(a+:K— fK:')0(a-h^— a:-f^• K') e
n(a:— fK')-H'(x--/K') V^H(.r -/K')!
( K I — '
H(;r+/K'))H'(.»-f-/K')~Hl:r+iK')j
n ird
IT-,
^ sen(2«+l)^^
sen
2K
?00
p il primo t(n'niiiip potrobbe ancbo trasformarsi giacché, astrazion
fatta, dai fattori esponenziali che vi fiiifurano, esso è una fun-
zione simmetrica di < e di a che è doppiamente periodica coi
periodi 2K e 2/K', e di essa se ne trova facilmente la espres-
sione per funzioni sn.
Un altra forma della attuale funzione !p(/,a,/(„) si ottiene
prendendo la derivata rispetto a t della espressione (114), e
si ha così :
At.^. /^J -^ 2 H(X;.)"H'()0 t)(a)H(a-+ 0 '
121. Oltre a ciò per quanto si è dimostrato sulla serie (113)
e sulla espressione (118), si può anche asserire che per a com-
preso fra 0 e 2 K e per t diverso da zero e compreso fra
— a e 2K — a ( —a e 2K —y. esci, quando a=2K o a=0 ) si
ha la formola notevole :
-2 ;: 2- e(a)H^X„)H"(X„Vo e(a+0
ove nel primo membro deve prendersi il seguo superiore o
l' inferiore secondochè t è positivo o negativo .
Se poi a=0 e /=2K, o se a=2K e t = — 2K allora il
primo membro di questa formola deve cambiarsi in ± 1, di
modo che si ha la relazione notevole:
1 _ _ ^' V f^iK) r^^rhi^ d t
K ^0(O)H(x,Jh"(xj7q e(o
la quale, osservando che 0(0) = y - — — ■, e che come vedre-
mo al §. 125 si ha ^ ^i^ di=. JZKl JL(!0 _
2 K
201
si può riilnrre air altra più somplice :
1 = - ^_^- V ^HXJ _
^ *^^^") '^" 2K
che lega fra loro le radici Xj, , Xj , X.2 , . . , X„ , . , .
In queste forraole poi a H(X„) H"(X„) potrebbe sostituirsi
la espressione equivalente — />' W-(X„) (I-C sn%,) , e alle fun-
. . (-)(a+Xjea4-^-X.) (-)(X..)H(^-X„)
tuirsi le espressioni corrispondenti per funzioni sn .
122. Aggiungiamo che oltre allo sviluppo (120) o (121)
di f(y.) ordinato per funzioni — ;^ — r^ . si ha anche il se-
, gLiente:
(122) f{j,- ^ ^ H(.r) eilg, e^'ixg^ ^^^'^ &{x)- ^^
„ che vale negli stessi casi finché a è compreso fra 0 e 2 K
- (0 e 2K esci.), ed è ordinato per funzioni — ,' . - , ove
H(a)
„ X'o e X'j sono le radici 0 e K della equazione W {x) = 0 e
» '^'2 1 ^^'3, • • ì ^'11 1 • • sono le radici puramente immaginarie di
„ questa equazione. Invece pei punti estrerai a=0 e a=2 K,
„ quando questi punti sono da considerarsi , questo sviluppo
, dà res{)ettivaraente — ~^ e ^ — \.
La dimostrazione della possibililà di questo nuovo sviluppo
si fa con un processo del tutto simile a quello tenuto nel
§. 119 per la dimostrazione relativa allo sviluppo (121); e noi
quindi l'accenneremo soltanto brevemente.
Si osserverà perciò che, siccome _^„ , è il residuo di
™ v^ n)
^-r— nel punto X'„ , così in questo caso, invece della funzio-
0 {z)
292
110 0 (e) fiata dalla (11')) gioverà prondoro la funziono analoga:
Or.>i= ^■•^■•' H(a+^) f H(a+^-.)
^^ K0(a)H(z)e'(^Uo «(a+0 '
e a questa si applicherà 1' integrazione lungo un contorno
rettangolare C„ che sarà formato come quello del §, 119, colla
sola differenza che i lati del rettangolo paralleli all'asse delle x
si condurranno pei punti y=2 n K' , ?/ = — n i K' dell' asse
delle y invece che pei punti y=(2«-|-l)K\ !/= — {2,n-\-\)ls.' .
Con ciò si avrà da studiare la differenza
r — ; / ^{z)dz — 2Y)- analoga alle (116); e siccome entro C„
2^ ve,.
la q'{z) non si annulla altro che nei punti Xq , X^ , X» , . . , le Yr
verranno ora ad essere i residui di %z) corrispondenti ai punti
z^±{2 r-hl) iW (r=0 , 1 , 2 , . . , 7z — 1 ) nei quali %z) di-
viene infinita per 1' annullarsi di 0(5") .
Ora , poiché in questi punti il residuo di -ky\ ^
_ kh' H(«+(2r+l)?K') pH(a+<— (2r4-l)^•K')
'^'■~n0(a) 0'-l2r+l)iK'] Jq 0(a+O ' '
ovvero, per le (117):
r i Tìt
kk' H(a4-/K') [%(a+^-iK') ~^
7r0(a) 0'2(^K') Jq
talché , essendo
[(g+ZK') pH(a+^-iK') K
9'n^K')Jo 0(a+O ' '^^
2 «ÌT^
1
0(5-+/ K') = iq e 2K u^^)^
i izz
'B.iz-\-iK')=iq * e 2^ 0(^)
1
%\iY.') = iq *n'(0) = zVy ^Y^
:93
con ^ = e ^ , sarà :
e quindi, ponendo -^. =i sì troverà:
V Y,. = - - / [cos 4 -[- cos 3 S + . . + cos (2 n—ì) i] di ,
da cui , osservando che :
2cos(2,-+l)4=2+2cos,1-(2+Vcos2,-i)= ^ i^^,
0 1^1 2sen —
2sen2
si deduce che
^ 2 r^.sen(4»+l)l, ^^ 1 rW2«+l)£
^ tJq sene, ir^^^ seu ^
con Ci = jTT ; e quindi questa somma 2 7,- è ridotta a inte-
grali di Fonrier, e il suo limite per n=co , quando t non è zero
ed è fra — 2 K e 2 K ( ±2 K esci. ) è appunto uguale a + —
secondochè t è positivo 0 negativo.
Osservando poi che coi processi stessi del §. 119. si dimostra
1 r
che r integrale - — -, / 9(e) d z ha per limite zero per n=c» ,
si conclude ora come volevamo che lo sviluppo (122) è possi-
bile in quei casi stessi in cui lo è lo sviluppo (120) finché a
è fra 0 e 2 K (0 e 2 K osci.). Se poi a=0 0 a=2 K, allora dai
204
valori di Z'(r e di S e di €, si vede subito clie lo stosso svilup-
po (122) quando è applicabile ha respettivamente per somma
?l e ^ , e COSI il teorema emin-
ciato sopra rosta completamente dimostrato .
E s'intende che, come per gli sviluppi particolari già con-
siderati non si esclude neppure ora che fra 0 e 2 K la f{x)
div.'uga infinita in un gruppo finito o infinito di punti di prima
specie, purché resti atta alla integrazione anche ridotta ai
valori assoluti §, 41. ec.
123. È poi da notare che per lo sviluppo (122) si ha:
^(f . h^J'^X H(a+X',.)H(a+^-X',.)
e per a compreso fra 0 e 2 K e ^ diverso da zero e compreso
fra — a e 2 K — a ( — a e 2K — a esci, quando «=2^ o a=0)
si ha :
+ 1 ^!!l^ H(a-fX'..) fH(a+^ ->/..)
- 2" z -^ 0(a)0(X'J t)"(À'«) Jo «(«+0 '
ove nel primo membro deve prendersi il segno super'ore o
r inferiore secondochè t è positivo o negativo .
Se poi a=0 e t=2 K, o a=2 K e t^ — 2 K, allora a causa
del valore di S'/t, n^l primo membro di questa fermola biso-
gna porre lo zero, e si ha quindi la relazione notevole :
^ HO-'.,) r2'<H(f-).',.)
che lega fra loro le radici X\ , X'j , . . , X'„ , . . .
124. Prima di dare qualche applicazione degli ultimi
sviluppi, dimostriamo due formole che servono al calcolo dei
d X estesi alla
295
coefficienti degli sviluppi medesimi in casi abbastanza no-
tevoli .
Si sapponga perciò che f{z) e f^{z) siano funzioni mono-
drome e continue della variabile complessa z doppiamente
periodiche, o almeno tali che per esse si abbia:
f (^+2 K)=/(^) , /•(.-+2 i K') =v f{^) ,
/-.(.H 2 K) = - az) , /•,(^+2 / K' ) = p, az) ,
con p e Pi costanti (*); e ammettendo che /"(:) e fi{?) non
divengano infinite sull'asse delle .t , si cerchi di calcolare gli
.ntegrah Jji'-)-^^ ''^' j/'^'fe
porzione (0 , 2 K) dello stesso asse, nell'ipotesi che X e \i. siano
quantità costanti, la seconda delle quali è reale o almeno non
ha la sua parte immaginaria uguale a un multiplo dispari di IK .
Per questo si osservi che le funzioni f{^)u^( y
f i(;) w^ ^ ^ meno che non siano costanti, dovranno dive-
nire infinite in uno o più punti ( in numero finito ) nel ret-
tangolo ( 2 K , 2 i K) ; e se indichiamo con a, , a^ , . . , «„, i
residui delle stesse funzioni pei punti d' infinito che cadono
nelV interno di quel rettangolo , e con òj , 63 i • • i ^m • quelli
corrispondenti ai punti d'infinito che cadessero sul lato che è
sull'asse delle ?/, si avranno le formole seguenti:
1 r Wz—,\ "^ ^'*'
2rJ
m in
/■.w||^<'^=2;''>+:s^^.
(•) Si :immette cioè cho/(zj e /"(fz) siano i.;irtifnlari funzioni doppiamente pe-
riodiche di 2.» specie.
20fì
nello quali s'intendo che rintof^razioni siano esteso al contorno
del rettangolo suindicato (2 K , 2 / K' ) o a quello di un altro
rettangolo che si ottiene da questo spostandolo tanto poco quanto
si vuole nel senso dell'asse delle .r, onde far sì che sul contorno
non cadano punti d' infinito della funzione .
Ma negli integrali dei primi membri, le parti estesf^ ai
lati verticali si distruggono identicamente perchè nei punti di
questi lati che si trovano su una parallela all' asse delle x ì
valori delle funzioni da integrarsi sono uguali, e i lati stessi
sono percorsi in senso opposto; dunque le formolo precedenti
conducono subito alle altre :
"^l'^ H(.r-X), , 1 n. , „.,.„H(x+2,-ir-).) "•
0 W epr:ir''^+2^J2^'(^+2a<0é^,:j:5^,^^ «.+ 1^
e queste, per essere:
ci danno le seguenti:
1— 2) e '
r2K ^(j;_^\ in m
l_p, e ^ r2K TT.. .^ m m
2zi
r^^ Hfr— )ì '^ *^
297
in{\ — {jl) ìt:(\ — jj.)
le quali, quando non sìa pe =1, o p, e =1,
ci conducono subito alle altre notevoli:
/ fX-^ì^^) N ^^^ = ^7^ ^ y «. + V ^ ,
lo %^—\^) n:(X-|i.) ( ^ ^ ^ M
l-,.e K
(123)^,
die sono appunto quelle che volevamo trovare.
K K
Se poi fòsse p e =1, o p, e =1, allora
colle regole note invece di queste formole si hanno di qui
le altre :
(124) <;
^2I\ TTrr— )^ J (^^ ''^ ^
(*} In generalo se \o (z) è una funzione di z mouotlroma continua e periodica
per la quale si ha:
IO (« -(- 2 Kj = IO (a), %0 (a -j- 2è K') = p. IO (z) ,
con p costante diversa da uno. e sull'asse dello quantità reali questa funzione ò sem-
pre finita, si avrà la formola:
/»2K 2rt ("' *"' \
essendo a-j e ?*y i r'^sidui di w {z\ corrispondenti ai punti d'infinito die cadono
respettivamento uell' intorno del ruttau^'olo (2K ,2 iVJ) o sul lato x = 0 di questo
rettangolo.
208
(125)
125. In jiarfcicolaro (lnn(|uc supponendo ;x^=0, e ammetten-
do dapprima che f{s) o ^(3') divengano infinite del prim' ordine
coi residni a, , a^ , ^ . , «,„ soltanto nei pnnti Pi , Pa , • • , P», in-
ferni al rettangolo (2K , 2/K'), basta osservare che ^—n diviene
, 1 • * 't / TZ
infinita per ^=i k col residuo ,.,..,, = — ^7 V n/ ;^-r-
^ BOK ) t' 2 A- A- K ove
_:rK' ìtzX
q=e , per dedurne subito, che se non èpe = 1 , o
p^Q =1, colle attuali ipotesi rispetto a f{z) o f^{s') si
hanno le formole :
K
1 — pe
'i
2Kn(.r-Xs 27li ["1 H(P,-X) .\/^ ^r^r^'^rrr■r^' .^i
0 ^'v^j •'_^:'^ 1
1— Pi e
che per essere :
E se w(z) contiene un altra variabile ), , rispetto alla quale è pure monodroma
e continua ce, e per un valore particolare Ìq ^^ questa variabile si ha a=l, allora
sarà :
^'2K 27r»
f\o{x, 'io) = -zr^i S«'v +Sfc'-. ) ,
gli apici indicando le derivate prese rispetto a ), per / = ),o.
Queste osservazioni potrebbero utilizzarsi anche per trovare nuovi sviluppi,
poiché per esse, posta la forma dello sviluppo, si possono determinare i coefficienti,
per fare dopo le relative verificazioni coli' applicare i metodi generali che qui ab-
biamo dati.
299
'/:rX i ttX
I , .
0(/K'— X) =— i q e ^^ H(X) , H(/ K'—l) = iq "* e ^ ^ e(X) ,
danuo luogo anche alle altre:
io ^^■<W'''= — 7^S2-.-%^-V2^e A^K)H(X)),
l-p e
12G)/ ,,X
1 K
la prima delle quali quando f{x) = 1 ci d.-o la seguente :
[ izk
127) r^^(^^I±> aa:=. ^'^JUI e ^K „ ,,, ./^^ H().)
*:r5;
2 K
e la seconda quando fi{2) = e , e quindi ^;^ = q, dà luogo
all' altra :
128) / e -ko-''^ = i7xV2tóT(^ ^W.
l-^e ^
che facendovi X=-0 , e osservando che sn ^ = -^ —Tyj,
e e(0) = \/ ^ , ci dà :
.2K ^"^^
r 2K ; ^Tciy-q
I e snx d X = ì,
300
ovvero
•2K _,. /-2K
(129) / cos -r— sn J- (/ .r = 0 , / sen — sn a: e? .e = ^lUL
Jo -^^ ^ 2K A(l-ry)
126. Supponendo invece che f{z) o /"((j) divengano infinite
per *=/K' e non lo divengano in nessun altro punto nell'in-
terno del solito rettangolo nò sul lato j:=0 , e non sia
ìtìK iizk
"k" ~K~
p Q =1 , 0 jj, e =1, si avranno le formole seguenti:
•2K (^f^ ^^ o_,-7, r2K xj/. ,N 2zih,
r-J? Mx-l)j 2-ih pK H(.r-X) ,
i-X'
1 K 1 K
1— p e 1 — j), e
essendo b q b, \ residui delle lunzioni- — ^, , , f \z)—^ — r-
0(2) 6(^)
per ^=^ K' ; e. di qui in particolare prendendo per es.
«^)- W^-«^'=g^ ° /(.) = s„n,f(.)=dn.,..,
si hanno altre formole notevolissime nelle quali òse, possono
determinarsi colle formole del §. 62. E s' intende al solito che
ìtX izk
se sarà 2^ e =l,0 23ie =1, ai quozienti dei corrispondenti
secondi membri basterà sostituire i quozienti delle derivate
prese rispetto a X.
127. Trovate ora queste formole, si vede subito che
cambiandovi X in Xg , X, , Xg . . . . Xn , . . o in X'y , X'| , X'.^ , . . si
ottengono i coefficienti degli sviluppi (121) o (122) corrispon-
denti alle attuali funzioni f{x)^ o f^{x\ e questi sviluppi val-
gono evidentemente per tutti i valori reali di x\ talché si può
ora aflfermare che:
301
1." „ Quando è data una funzione periodica e finita /"(./)
y, della variabile reale x col periodo 2K, se si troverà che
„ questa funzione considerata anche pei valori complessi di z
„ è monodroma e continua e doppiamente periodica coi perio-
„ di 2 K e 2 / K', o almeno è tale che per essa si abbia :
f{z-\-2 K) = m , /•(z+2 / K') = 2; f{z)
„ con j) costante , allora indicando con Xq , X, , Xo ... le solite
„ radici della equazione H'(c) = 0, e con rt.^,„ e 6^,,,, i residui
„ della funzione f{<^)^,jrr\ corrispondenti ai punti d' infinito
, che cadono respettivameute nell' interno del rettangolo
„ (2 K , 2 i K') e sul lato j:'=0 di questo rettangolo, si avrà
„ la formola seguente:
in m
co e(T+xj r T
f(x)=2ik' \ e(:^;)e=-'(X„)(l-Csn%) ^7^X„ '
1- 2^ e
(131) ] m in
f{x) = -2i Id' V .., t^ntH,, , -^^ — ^^^
'^ ^ ^(à{x)E{\)ii"{X„) ^^.
1 ^
1 — ^> e
„ che varrà per tutti i valori reali di x , supposto ben inteso
^'^X„
„ che se per alcune radici X„ si avesse p e = 1 , allora nel
m m
a termine corrispondente, al quoziente _ biso-
Ì7:X„
1 ~^
1 — p e
D.
-20
à
noi»
„ gnerebbe sostituire il quoziente delle derivate rispetto a X,
j^ / m m
„ cioè — -r^ J2"''"" ^ S^'"^'"
„ 2." Quando è data una funzione periodica e finita /"!(•'')
, della variabile reale or, se si troverà che questa finizione
a considerata anche pei valori complessi di 2; è monodroma
„ e continua e tale che si abbia:
, con j:), costante, allora indicando con X'q , X'^ , X'^ , . . , X'„ ,..
, le solite radici della equazione (")'(-)=0, e con rt.^,„ , e 6.^,„
, i residui della funzione fÀz) — ^. '^ corrispondenti ai
" ' ^ (■)(0)
„ punti d' infinito di questa funzione che cadono rispettiva-
„ mente nell'interno del rettangolo (2K,2/K') e sul lato
^ a?=0, si avrà la formola seguente :
m m'
. K
1— 2>i e
„ che varrà per tutti i valori reali di a;, colla solita avver-
rr
y, tenza per quei termini pei quali fosse p, e ^=1.
128. E nel caso particolare in cui f{z) o f^{z) non di-
vengano infinite sul contorno del nostro rettangolo, ma lo
divengano soltanto nell' interno e del prim' ordine nei punti
pi , p2 , . . |3m coi residui a, , a.2 , . . a«, , allora per tutti i valori
reali di x si avranno le formole sej^uenti :
303
(133) /-(.O— /AA ^ ^^^^ H(X.,)H"(X„) ^jrX. ( ^ 0(pv)
1 K
1 — p e
ITlX,,
U J4) ; A-» ) ^ B(.r)0( À',.) W (X',.) i^. I !«■- e(o^) - +
i— p, e
i:rX n
la prima delle quali per /'(r)=l dà luogo all' altra notevo-
lissima:
^ ^ ^ K 0 H (X„) mX^'
, K
1 — e
ovvero :
(135) e(.) = V-2K^— 7^^
H (X,0 seri-
che dà uno sviluppo particolare di 0(.r) che vale per tutti i
valori reali di x.
TZìX
Similmente la (134) per f^ixi) = e ci dà la seguente:
:ì04
(137)
(136) H(.)=-v/'f e '""i a^.)
che dà un nuovo sviluppo di H(.'') per tutti i valori reali di x.
129. Invece se /"(:) o f^iz^ divengono infinite per z=iK'
senza divenirlo in altri punti né dell'i nterno né del lato .r=0
del solito rettangolo (2K , 2/K'), allora per la corrispondente
f{x) 0 fi{x) si avranno gli sviluppi seguenti :
A^) = -2^/''-^'^0(.r)H(X,.)H(X„) ejr ,
\ , K "
1 -2? e
^*^ ^~ '^©(^)e(X'je"(?^'« wK
1— /;, e
essendo bn e 6„ i residui di f{2) — —— — e fAs') — 777-^—
(!y{z) fà{z)
per z=iK' , e coll'avvertenza fatta sopra pel caso in cui sia
ìt:\ i zi' n
pe =1, op, e =1,
È da notare che cambiando in tutte queste formole
f(x) f (x)
f{x) e f^{x) in q7- e ^-, si può fare sparire il diviso-
re %ix) che figura nei varii termini delle nostre serie, le quali
vengono così ordinate per funzioni ^{x-{-\^^ e H(a;-f-//„).
f)(z ul)
Queste forinole poi, con prendere /'(0)=— , f{z)=s\i^ z ,
yy[z)
H' (z—'j.)
fi{z) = cn 2; , /'i(c) = — , . 1 • • • , con p, costante , danno
yj^z)
305
nuovi sviluppi notevoli di B{.jc — ij.) , sir .i; , dn r , S'{x — [j,) , . .
H(j? — (x) , sn X , cu X , H'(^ — ;j.) , . . . , per tutti i valori reali
di X ec; e questi sviluppi, che risaltano così come applica-
zioni dei teoremi che precedono, possono riguardarsi come altret-
tante formole della teorica delle funzioni ellittiche (*).
130. Non faremo altre applicazioni dei processi generali
che abbiamo dati in questo capitolo, perocché quelle che ab-
biamo fiitto ci sembrano sufficienti a mostrare 1' utilità dei
processi medesimi, e il modo di valersene.
Faremo invece alcune altre considerazioni generali inco-
minciando dall' osservare che trovato uno sviluppo di una fnn-
zione f{x) coi processi qui indicati, se ne potranno avere infiniti
altri simili cambiando la funzione '^{t,a,h„) che vi figura in
un altra '{/(^, a) 'f( ^ ,o: , //„), essendo '\i{t , a) una funzione che per
^=0 si riduca all' unità qualunque sia a, e che, oltre esser
finita pei varii valori che si considerano di te di a , goda della
proprietà che riguardata come funzione di t sia atta alla inte-
grazione per ogni valore speciale di a, e soddisfi a una delle
condizioni che si richiedono per potere assicurare che con t
diverso da zero e comunque piccolo si ha :
lim '^^{f,y.) '^^{t,y.X)àt=y^m I '^{tYJ.Jin)dt;
come ad es. questa funzione '^{t,a.) considerata come funzione
di t, per ogni valore speciale di a, non venga ad avere nell'in-
torno di t=0 altro che un numero finito di massimi e di
minimi .
(') Era già stampato il foglio procedente quando ho ricevuto una lettera gen-
tilissima del Si^. Hermite nella qusle mi annunzia die Egli aveva trovato la forma
degli sviluppi precedenti, ma senza avere una dimostrazione rigorosa della loro pos-
sibilità. Però anche 1' avere trovato soltanto la detta forma (che come già ho detto
nella nota alia pag. 283 a me fu fatta conoscere pel caso dello sviluppo (110) dal
sig. Mittag-Leffler} costituisce un passo importantissimo nella teoria degli attuali svi-
luppi. Aggiungerò che nella lettera qui indicata, che io mi riservo di comunicare alla
Direziono degli .annali di matematica di Milano per la sua pubblicazione, il Sig". Her-
mite giunge Egli pure per altra via a formole analoghe a quelle che io ho dato nei
paragrafi precedenti, e ottiene altri risultati notevolissimi.
300
Supposto infatti che '|(f,a) soddisfi a queste condizioni ,
si vede subito ( §. 39 ) che se lo svihippo (1) del §. 53 è
applicabile alla funzione /"(•'') nel punto a , le sarà pure
applicabile l'altro sviluppo:
ré
1 °° r^
e così pure se a f{x) nel punto a sarà applicabile lo sviluppo
(3) del §. 56 cioè:
'& 1 00 m
1 r^
ove le P,„j sono quantità costanti determinate dalla formola :
Ja
lo stesso sviluppo sarà applicabile anche quando il '^{x — a,a,/<Q)
si muti in <b{x — a , a)'f (.r — a , a , 7/^) , e le quantità P„,s, senza
essere più costanti, vengano invece determinate dalla formola :
e più particolarmente ancora, se sarà applicabile a f{x) pel
punto a lo sviluppo (15) del §. 60 cioè:
ì rb I co w
— / f(xyf{x—CK,y.Ji(;)clx-\-~\y^ P„„H,(X„,a),
307
ove:
h.s [km
e le 2J„,s sono costanti determinate, lo stesso sviluppo resterà
applicabile anche quando sia :
e il 'c{x — a , a , A^) sia cangiato in ']i(.r , a) 'f (.x — a , a , h^) .
131. S'intende come Cjuesta osservazione possa condurre
a infiniti sviluppi differenti che, per quanto si disse nel §. 39,
valgono negli stessi casi di quello da cui si parte, e possono
talvolta valere anche in casi più generali.
Così ad es. partendo dagli sviluppi di Fourier si giunge
a infiniti altii sviluppi della forma :
1 00
o ciQ-\-y^{a,^cosna-\-bn senno.),
ove le a„,6„ non sono più costanti, e sono date dalle formole:
\ C'' 1 r^
a„=- / /"(j;) (j;(.r— a.7.)cos wxf?.r, &„=- | f{x)'\{x—a.,r})^Qnnxdx\
e così in particolare si giunge agli sviluppi nei quali si ha:
a,=^i r/'(.r)e^'<-"-^U«.r^^, b=^- [}(..) e^^^^^-^^^sen^^c^or,
e a quelli nei quali :
308
l / " 1 / "
a„=- / /l(.r)Xp(14-.r— a)cos//.r(/.r, ?>„=- / /(.r)X/l+.r— a)seii«.rja-,
ove Xp è una delle note funzioni di Legendre, ec. . .
132. Aggiungiamo che, se per es. a>6, e ^{x) è una fun-
zione clie prende i valori a e 6 per x=a^ e r=ò,, e da «j a ftj
è finita e continua e non è decrescente , e ammette una deri-
vata determinata e finita e atta alla integrazione fra a, e 6,,
dopo di avere trovato uno sviluppo di una funzione f{x) fra
a e ò, come ad es. lo sviluppo generale (1) del §. 53, cioè:
1 rò 1 co y^è
cambiandovi a in «{/(a) si otterrà una serie che rappresenterà
/]^({i(a)] pei soliti valori di a fra «j e ò, pei quali /"['^a)],
considerandovi 6(a) come variabile , viene a soddisfare alle
solite condizioni ec. E cambiando poi anche x in 'l{x) , e
/l'K-^)] ili /l-^)» si otterrà lo sviluppo seguente:
1 r*.
[^(a^)-^(a) , ^(a) , h] dx^
'b,
1 °°
che sarà ordinariamente differente dallo sviluppo (138) dal
quale siamo partiti, e rappresenterà /'(a) nei soliti punti a fra
a, e òi negli intorni dei quali la funzione f{x) non fa oscil-
lazioni, 0 soddisfa a una delle altre condizioni che si trovarono
in generale, notando però che alcune di queste ultime condi-
zioni verranno ora leggermente modificate , dovendo esse ri-
portarsi all'antica funzione /"['|(^)], ec; di modo che per es.
le condizioni rispetto alla derivata dell'antica funzione /"['X-^OJi
300
fX-v)
verranno ora relative «i ,., . , o quindi esso resteranno ancora
relative a f{x) semplicemente, quando fra a. e />, la <y{.t')
sia sempre diversa da zero, ec.
133. Così, in particolare, partendo dagli sviluppi:
"^^a 1 1
- / m 'f{.v - a , a , /^o) ^/ -^ + 2"^, ^,. :5;3 P.m. H. ()... , a) ,
ove si ha respettivaniente:
rb rb
P„„ = / f{x) K„„(.r) (Z ,r , o P„s = p,„, / M F(.r) H.(Xh , x) dx ,
con 2'ji,s quantità costanti determinate, dietro V osservazione
fatta ora se ne dedurranno gli altri sviluppi:
1 rb^ 1 00 m
1 /*i| 1 OD m
ove si ha respettivamente :
rb^
P,n. = / A^)'\\-^')K.s[:\{x)~\dx,
o :
310
cssoiido p„.3 le costanti prt^codonti, p questi sviluppi ruppre-
seuteranno /(.J") nei soliti punti a fra a, e 6^ , ec.
134. Più particolarmente ancora, partendo dallo sviluppo
di Fourier:
1 °°
— Oq -|- ^ (;f„ cos » a; -j- Z;„ sen » .t ),
ove;
1 r- 1 r
rt„ = - / /■(:?•) COS 11 X d X , />„ = - / f{x) sen « ir ti! .r ,
7^ y_^ ^ J__;c
si ottiene 1' altro:
1 °^
ove :
1 r^ 1 pi
«„= — / f{x)^\x)co^\nti^{x)'\dx, K= - I f{x)ò\x)sen[nf^{x)]dx,
^ \ ^ Jtti
con ^(«i) = — JT , 'y(ò,) = ~, ec. talché se si prende per es.
^{x) =- ani r , osservando che colle solite notazioni della teo-
rica delle funzioni ellittiche si ha ai= — 2K, òi=2K, ^'{x)=dnx,
si giunge al seguente sviluppo:
l °^
o "o 4" y [ f*» cos (w ara a:) -]- />„ sen (n ara /r )]
ove
1 r^^ 1
a« = — / /'(j")dnxcos(nara.r)fZj', Z*it = — / /■(.r)dn.r sen (n ara .r) (Zjc ,
•2K j /'2K
^(j")dnxcos(nara.r)fZj', tit = — / /"(.r)
-2K ~^— 2K
che è lo sviluppo cui mi accenna il sig. Hermite nella lettera
citata in nota alla pag. 805; e siccome fra — 2K e 2K la dn.r
è sempre diversa da zero, questo sviluppo varrà per tutti i
311
punti a fra — 2K e 2K neir intorno dei quali /"(.«') non fa
oscillazioni; o ha una derivata che resta atta alla integrazione
anche ridotta ai valori assoluti, ec.
Nuovi sviluppi si otterrebbero al modo stesso dagli altri
sviluppi particolari per funzioni di Bessel, sferiche, e Jacobiane
che abbiamo date nei paragrafi precedenti.
135. Oltre a questo osserviamo che in tutti gli svilup])i
precedenti, gli integrali che figurano nei singoli termini erano
estesi air intiero intervallo {a , b) nel quale la funzione f{.r) da
svilupparsi era data, e questo intervallo dipende dalla natura
dello sviluppo.
Quando però invece dell' intiero intervallo {a , h) se ne
consideri soltanto una parte ( ci , lì ) per modo che sia
a 'C^a <Cb' ^b , allora, sia valendosi degli antichi sviluppi,
con prendere arbitrariamente la f{x) fra deb' e prenderla
uguale a zero nelle porzioni rimanenti di (a, 6) , sia valendosi
delle considerazioni generali, si vede subito che si potranno
fave dei nuovi sviluppi che differiscano dagli antichi in quanto
gli integrali che in essi figurano invece di a e b abbiano per
limiti a' e b' ; e questi nuovi sviluppi varranno ancora, come
gli antichi, per tutti i valori di x fra a' e b' pei quali saranno
soddisfatte le solite coudizioni; con questa sola differenza che
nel nuovo estremo a', quando questo punto sia fra quelli da
considerarsi e sia interno all' antico intervallo (a , 6) , i nuovi
sviluppi avranno per somma ^ /" (''<' + 0) , e nell'estremo //,
se anche questo è interno all'antico intervallo {a , b) ed è fra
quelli da considerarsi, essi avranno per somma -^f{b' — 0); ec.
Così per es. negli svilpppi di Fourier gli integrali che
figurano nei coefficienti «„ e b^ potranno estendersi fra
— ^ e ^ , e allora gli sviluppi corrispondenti varranno soltanto
Li Li
nell'intervallo ( — -, -^ j; gli integrali che figurano nei coef-
ficienti degli sviluppi per funzioni P o per funzioni di Bessel I
312
potranno estendersi per es. fra 0 e o fra eie allora
o-li sviluppi corrispondenti varranno soltanto pei nuovi inter-
valli (<^ '])'(^ ' l)' e«-
130. Facciamo anche le seguenti osservazioni generali.
Notiamo cioè che in tutti i casi da noi considerati la riu-
scita dei metodi precedenti dipende dalla circostanza che le dif-
ficoltà inerenti alla ricerca della possibilità di un dato sviluppo
vengono con quei metodi decomposte in due ; l' una relativa
soltanto alla natura dello sviluppo, e 1' altra relativa alla fun-
zione da svilupparsi.
Alla seconda difficoltà, dopo di avere superato la prima,
si risponde colla applicazione dei teoremi generali del Gap. III.;
la prima poi viene sempre ridotta all'esame di una serie che
deve rappresentare il limite dell'integrale 1 z[t , a , //„) dt corri-
spondente a quello sviluppo , e all' esame della somma S„ dei
primi 11 termini di questa serie e della derivata S'„ di questa
somma; e, fondandosi sulla teorica dei residui, l'esame della
detta serie e delle somme S„ e S'„ viene ridotto a quello di una
differenza nella quale figura un integrale esteso a un certo con-
torno, ec.
137. Ora è degno di nota che, mentre nei §§. 64 e seg.,
una tale riduzione l'abbiamo fatta introducendo in calcolo la
funzione w{z) di cui erano infiniti le quantità Xj , X^ , . . . Xn , . .
potremo sempre però introdurre in calcolo anche altre funzioni;
poiché, quando per es. si conosca una funzione monodroma e
continua W(e) che per valori di z presi ad arbitrio a^,a.2,..^an^..
divenga infinita del prim' ordine e abbia per residui i termini
n
della serie sopra indicata relativa all'integrale / 's{t,a^hn)dt^ (*),
n Si dimostra che di tali funzioni W(2) ne esiste sempre an numero
infinito, quando le distanze fra i punti a^ , a2 , . . , a„ , . . , non scendono mai
al disotto di una lunghezza data 2, e anche più genrralmente qu.'indo in ogni
porzione finita dui piano s non cade che un nìiniern finito drgli stessi punti.
allora se C„ è una liuea che non passa per alcun punto d'in-
finito di W (z) e ha nel suo interno i punti a, , «», . . , a„ ,
la somma dei primi n termini della stessa serie sarà uguale
1 /" "'"
alla differenza .T^. / \Y(^)</-3' — Vvri essendo y> i residui cor-
rispondenti agli altri punti d' infinito di W(5) che cadessero
entro C„; e quindi lo studio di quella serie si ridurrà allo studio
di questa differenza, ec. . .
Questa osservazione, che può applicarsi anche al caso
delle serie più generali dei §§. 57, 58 e 59, potrà talvolta
riuscire utilissima .
138. Continuando ora le nostre osservazioni generali
ricordiamo che nei §§. 53. e seg. noi abbiamo sempre richie-
sto che la funzione z{x,a,h„) che si aveva via via da con-
siderare soddisfacesse alla condizione che per ogni valore diverso
da zero e positivo ma comunque piccolo di s, e per ogni valore
di a fra a e b {a e b al più esci.) gli integrali / 's(x,'y.Jin)dx,
I 'f (j?, a, h,i)dx al crescere indefinito di n tendessero ambedue
verso una sfessa quantità finita e diversa da zero G, indipen-
dente da s e anche da a .
Ora, quando i limiti per n=cc> di questi integrali esistes-
sero e fossero ancora indipendenti da s ma non avessero tutte
le altre particolarità ora indicate, per modo cioè che posto
lira / 'c{x , a, /t„)rZa?=G(a), lim / ^(aj , a , lin)dx^=Qf^ {a.) , G(a)
1=00 c/a n= vìj -
0
e Gj (a) fossero ancora diversi da zero, ma non soddisfacessero
alle condizioni di essere uguali fra loro e indipendenti da a,
allora è evidente che considerando invece della serie (1) del
§. 53 le altre serie :
:^14
ri, ' ^ r^>
/ f\.v)'s{x-'x,ah^,)ilx-\-\ / /•(.»•) ;'f(.''-a,a,//„)-'f(''-o'W'..-i)^^*
Ja 1 ^«
b
f(x) 'f (,r— a , a , /?o) (^ ■» +
(1^0) ^
bn
queste pei valori di a fra a eh pei quali sono soddisfatte le solite
condizioni del §. 39. ec. (a e 6 al più esci.) avranno per somme
respettivameute G(a)Aa4-0)+Gi(a)/'(a— 0) e i j/'(a-f 0)+/(a-0) j ;
talcliè la seconda di questa serie potrà ancora servire alla
rappresentazione analitica della funzione data f{x), ma la sua
forma sarà ordinariamente differente da quella che prima si
aveva .
Quando poi, senza escludere ora che una delle due fun-
zioni G(a) e G,(a) possa anche essere zero, si riscontri che la
funzione G(3()-|-G,(of) è finita diversa da zero e atta alla inte-
grazione fra a e b, allora cambiando nella prima delle serie
f(x)
precedenti f{x) in ^ . ^ , e valendosi di quanto si disse
al §. 39, si vede subito che „ la serie :
y, pei punti a fra a e b nei quali f{x) e G(.r)-|-Gj(r) soddisfano
„ alle solite condizioni del ^, 39 ec. (*) avrà per somma
(•) Propriamente, volendo valersi di quanto si disse nel §. 39, bisognerebbe
richiedere che le indicate condizioni, invece che per la funzione G(x) -\- G|(a;j, fossero
soddisfatte per la sua inversa —. — r-Tn — ■ nia coi ragionamenti del medesimo §. 39
G(x)-\-Gt(x)
si trova che quando quelle condizioni sono soddisfatte per una funzione Ffx), esse
lo «ODO anche per la sua inversa pei punti negli intorni dei quali essa ò diversa da
315
G(a)/l(a+0) , CT,(a)/'(a-0)
») r-./ . ^, , y-. / , ^v I /N/ ^^ , /N / /^'i 6 ciuìikIì essa darà
G(a+0)H-G,(a+0) ' G(a— 0)+G,(a— 0)' ^
„ ancora lo sviluppo di f{x) in tutti i punti a nei quali /"(.r),
y, G(a;), e G,(^) sono continue, e f{x) e G(c)-f-G,( r) soddisfano
„ alle condizioni ora ricordate del §. 39 ec. „; e si può notare
che la serie scritta ora non è altro che una serie più generale
della (1) del §. 53 che si riduce alla (1) stessa nel caso partico-
lare di G^ = G = cost; e si ottiene da questa sopprimendo il
divisore 2G fuori dei segni integrali e cambiando la funzione
tf(.r-«,,,;,„) nell altra g(Jj^e^(J)-
Questa serie (140) sarà quella di cui più spesso ci varremo
negli studii generali clie faremo in seguito; e per questo tro-
viamo utile anche il notare che, per le osservazioni del §. 41,
il teorema ora enunciato intorno alla serie (140) vale anche
quando G(r) -|- Gi(.r) diventi zero in un gruppo di punti finito,
o infinito ma di prima specie fra a e &, purché questi punti di
zero di G(a:^) -[- Gi(x) non combinino coi punti d'infinito che
potrebbe avere la fix) e purché la funzione ,,^ , , ^ resti
G(.r)+Gi(x')
atta alla integrazione fra a qÌ) anche ridotta ai valori assoluti.
Del resto poi se le fanzioni G(^) e G,(j:^') saranno ambedue
finite e diverse da zero e atte alla integrazione fra a e b,
allora quand'anche sia (}{x)-\-G.i{r)z=.0 , oltre a valersi della
seconda delle due serie (139), e anche, ove ne sia il caso, della
serie (140), potremo valerci altresì dell' altra:
1 C'^' fx) 1 r^ f(x)
x 4-
j'f(x— a/y.,7/„)— 'fC^— a.^-i'^H-i)! dx.
139. Passando dunque al caso particolare delle serie del
zero; 0 quindi i lisultati ivi ottenuti poi caso del prodotto di due funzioni valgono
anche pel caso del loro (luozieutc finché questo it fluito, ec.
X
316
§. 58, noi possiamo notiire che, se si troverà che la sonima
deHa serie (7) per t positiva è G(a) , e per t negativo è
— Oi(a), e tutte le altre coudizioni saranno soddisfatte, la
serie :
h 00
/■(x) 'f(.r-a,a,//o)(?a'-hV | P,.„H„,.(a)-f P,„,H,„2(a)+..+P„,«.H,.,4a) j ,
a
ove
h
Ja
considerata pei soliti punti a fra a e h avrà per somma
G(a)Aa+0) + G,(a)/'(a— 0); e se G(.t) + G,(.r) per a; com-
preso fra a e 6 non è uguale a zero o lo è soltanto in un gruppo
di punti di prima specie come si disse sopra, la serie:
ove:
Ja
F(.r)
I
G(c^)/-(a+0) , G,(a)ir(a-0)
avrà per somma ^ — — — - -f -^t a\ \ r t K\
G(a-!-0) + Gi(a-|-0) ' G(a— 0) -\- Gi(a — 0)
nei punti a nei quali f{x) e Gf{x)-\-(y ^{x) soddisfano alle solite
condizioni del §. 39 ec; talché evidentemente si può ora affer-
mare che quando, prese date funzioni F(.r) e ^{x — a , a , Ao)i le
somme G e — G^ della serie (7) per t diverso da zero e posi-
tivo, e per t diverso da zero e negativo vengano indipendenti
da t ma non soddisfino alla condizione di essere diverse da /ero
e uguali e di segno contrario e indipendenti da a, allora, se
esse avranno una discontinuità per t=0 (per modo cioè che non
sia G=^ — G,), cambiando nella serie (9) le funzioni '^{x — a,a,/?(,)
:U7
« l.-(.r) nelle altre '^(,,"=^7^ " G^+GT^y ' ^"n^'""""-
do il divisore 2G fuori dei segni intef^rali, si passerà ad un altra
serie (140) della stessa forma che pei soliti punti a suindicati
G(a) /-((x+O) , G^(a) /-(a-O)
avrà per somma ^. ■^f^^~~^~>^l f _i_/%v "r
G(a+0) + G. (a+0) ^ G(a— 0) + G,(a-0)'
e che in conseguenza rappresenterà la funzione data f{r) in
tutti quelli fra questi punti a nei quali f{jc)^ G(.r) , e G^{.l)
sono finite e continue .
140. Fermandosi dunque più specialmente al caso delle serie
(139) 0 (140) , ne segue anche più in particolare , che se
neir applicare il teorema del §, 64. si troverà che la differenza
(35) ha per limite per «=co una funzione /-(a,^) che ha una
discontinuità ordinaria per ^=0, ma senza che /(a,-|-0) e
/(a, — 0) soddisfino alla condizione di essere diversi da zero
uguali fra loro e di segno contrario , e indipendenti da a ,
allora il teorema stesso verrà subito applicabile quando
si sopprima il divisore 2G che comparisce nei termini delle
serie (33) corrispondente , e alle funzioni — ^ e F(.r) si sosti-
/(.r,-f 0)— /.a? — 0) X(ar,+0) — /.(.r, — 0)
che vengano cambiati i coefficienti ^^ms i e solo intendendo che
nei punti interni a di continuità di f{"'), a di y,(a;,-|-0) e
y.(.r, — 0), la somma della serie corrispondente sia appunto f{x)
e in quelli delle discontinuità ordinarie sia
7(a,+0>/-(a-^0) /(a ,-0)/-(a-0)
X(a+0,+0)-/(a+0,-0) y (a-0,+0)-x(a- 0,-0) ' ^
posto, ben inteso, che si tratti di punti a pei quali sono sod-
disfatte le solite condizioni del §. 39, e intendendo che per es.
X(a-]-0, -f-0) sia il limite di /(j?, -\-0) per x=a-f-0, ec. . . .
141. E se neir applicare i teoremi dei §§. 68 o 69, si
troverà che le differenze (40) o (42) non hanno per limite
4~ o o — ^ ò secoudocliè t è positivo o negativo, ma, esistendo
:^i8
ancora questi limiti e avendo una discontinuità per /=0, sono
invece uguali a G^a) e — ^\{^), allora perchè i teoremi continui-
no ancora a sussistere basterà cambiare la funzione '^{x — a,a,/<„)
F(.r)
corrispondente, ponendo ^7-^r".^/S~r^ invece di F(j') negli inte-
lT(:i')-|-lr,(.T)
grali cbe compariscono al numeratore dei coefficienti </,„« della
serie che serve a rappresentare la funzione data /^('O, dimo-
doché questa serie conserverà ancora la forma:
00
(141) V ! 'Z-.M H, (>..,a)+2„,8 E, (X,„a)+ . . -\-rj,„„, H„. (X,.,a) j ,
1
essendo però ora;
ffm»'
f}%T^^'^'^-''^^
/f(x)HMX„,
x)dx
e la sua somma pei punti a nei quali f{x) e G(j;) -{- Gi(a?)
soddisfano alle solite condizioni del §. 39 , ec. sarà
G(»)/la-t-0) G,W/I«-0)
G(a+0)+G,(a+0) + G(a-0)+G,(a-0)' ' " """"' ^" '
per quei punti a nei C|uali le funzioni stesse f{x) , (ji{x) e Gi(.'r)
sono continue; talché per tutti gli indicati punti a si potrà
scrivere :
G(a-hO)f Gi(a+0)" ■ ' ' ' G(a— 0) 4- Gì (a— 0)'
OD
=2 1 ^niiHi(X«,a)+g'„,2H2(X„,a) + • • + (2».m H„, ((X„,a) j ,
1
ove le qn^, sono date dalla formola precedente.
142. Qui però è da osserv^are che se dei valori a pei quali
questa formola è applicabile ve ne ha in ogni porzione del-
l' intervallo {a , 6), e se alla serie del secondo membro è
applicabile termine a termine la integrazione definita fra a eh
310
(il che, come inostnnviiio in segiiifcu, accade ordiiiarianiente ),
allora cambiando a in x e moltiplicando per F{x) H, (X„ , x) i
due membri di questa formo la e poi formando la serie degli
integrali fra a e 6, questa serie rappresenterà 1' integrale della
soinma. Ora la serie degli integrali, tenuto conto dei valori
i"^^ F (x)
attuali di ^„,„ si riduce a / f{x)^ — ~~r7—H,{\„x)dx, mentre
rb
per l'integrale della somma può prendersi / f{x)F(x)'H.s{'kuiX)dx,
giacche evidentemente la funzione f{x) differisce dall' altra
G^.G^ ^(•"+«) + m+ki^)^^'"-'^' ' ""'"'' ^"'''^
soltanto per funzioni d' integrale nullo; dunciue dovrà essere :
/«"'''("^SgwÀ;w-Mh<'^".-)^-=o-
Questo evidentemente porta che G{x)-\-G^{x) debba essere
sempre uguale ad uno all' infuori di una funzione d'integrale
nullo, perchè altrimenti profittando della tanta arbitrarietà che
è in f{x) si potrebbe fare in modo che 1' ultima eguaglianza
non fosse soddisfatta; dunque nel caso attuale la funzione
G{x)-{-G^{x) dovrà prendere il valore uno in punti di qualun-
que porzione dell' intervallo (a , ò), e se essa è continua fra
a e b dovremo avere sempre G{x) -}- G^{x) = 1; di modo che
allora la somma della serie (141) in tutti i punti x fra a e b
pei quali f{x) soddisfa a una delle condizioni del §. 39, ec.
«ara G{x) f{x + 0) + Gi(.^) ^^-O), o J- jfix^O) + t{x-0) \ +
Questa osservazione vale anche pel caso delle serie gene-
rali considerate nel §. 59.
3?0
1 12. In correlazione colle precedenti osserrazione generali in-
torno alle variazioni che possono farsi snlle fnnzioni 's{x — a,7.,//„),
giova ora notare che se nei teoremi di questo capitolo la fun-
zione via via indicata con F(.r) si muta in un altra F^(.r), e al
tempo stesso la funzione indicata con 'f(.r— a , a , //q) si muta
in 'f (.r — a , a , /?q ) ^va ' allora la funzione corrispondente
FAx) . ..
(f(.r— a ,«,/?„) risulterei moltiplicata per ^j-r ; e quindi se, es-
sendo a un punto interno air intervallo (a , h) che via via si
aveva da considerare, colla primitiva funzione 'z{x — a , a , /i„ )
fh'
si trovava lim / 'f(j;— a,a,/i„)f?.r=G(a)-[-G,(a) quando i li-
miti q' , ò' dell'integrale comprendevano il punto a per modo
che fosse a'<Ca<C^'i si vede subito che colla nuova funzione:
si troverà ordinariamente:
r r' f 1 ^ ^ F,(a+0)^. , , F^(a-O)^ . ,
2imy^.,(x-a,..,/0c?^=|,^^^:j^
talché questa funzione z^{x — a,a,/«„) figurerà ordinariamente
come 1' antica, a meno che neirintervallo d' integrazione {a ,b')
F (x)
la funzione ^l-y non presenti qualche singolarità , come ad
esempio quella di divenire infinita o di 'avere infinite oscilla-
zioni senza soddisfare ad alcune delle condizioni che si hanno
nel teorema del §. 39.
Per questo adunque, quando la funzione F{x) che figura
nei nostri sviluppi non sia anticipatamente conosciuta, si potrà
ordinariamente partire da una funzione ausiliaria qualsiasi F^{x\
salvo ad aver poi riguardo alle singolarità che la scelta
particolare che si fosse fatta di questa funzione potrebbe por-
321
tare quando, con valersi delle considerazioni fatte ora o di
quelle del paragrafo precedente, si volesse passare ad un altra
funzione F(.r) per la quale le corrispondenti G(7.) e Gj(a) sod-
disfacessero a condizioni speciali, come ad esempio a quella di
essere diverse da zero, e indipendenti da a.
143. Le osservazioni che abbiamo fatte estendono già
grandemente i risultati ottenuti nei primi paragrafi di questo
capitolo; ma questi risultati possono venire estesi anche ulte-
riormente .
Si noti perciò che se è data una funzione 9 {t^ o,^ A^J che,
considerata per un valore speciale (ma qualunque) di a in un
certo intervallo {a,h) (gli estremi al più esci.), gode della
proprietà che per t compreso fra a — a e h — a e discosto da
zero più di £ (e diverso da zero e positivo ma arbitrariamente
piccolo) è sempre numericamente i' feri ore a un numero finito
(variabile con s) qualunque sia «, e lo stesso accade per 1' in-
ri
tegrale / Q;^,a,/«„)f/^ anche quando ^ si accosta indefinitamente
a zero; e se di più per w=co questo integrale, considerato per
ogni valore di t diverso da zero e compreso fra a — a e h — a, ha
un limite determinato e finito y (a , t) che, come funzione di t,
fuori del punto ^=^0 è anche continuo e ammette una derivata
parziale ^' finita e atta all'integrazione anche fra a — a e h — a,
allora y( —a , -|-0) e y (a , -f-O) avranno certamente un signi-
rt. .
ficato determinato, e si avrà lim. / )9 (f,7.,/2„)— -^■|(cZ^=y(a,-fO)
per t positivo e lim. / 1 9(^ , a , AJ — ~ ( dt^=- y( a, — 0) per
t negativo, per modo che si potrà intanto esser certi che,
considerata per ogni valore speciale di a fra a e & ( a e /> al
più esci.), la funzione 0(^, a , /«„) — .^' figurerà come una delle
funzioni 'f (.r , ]i) del cap. Ili .
3P2
Ne segne evidentementp elio so la funzione ^f.y.Ji,,)^ oltre ad
avere le indicate proprietà, gode anche dell'altra che, considerata
per ogni valore speciale (ma qnalnnque) di a fra a e b, tranne
tutt' al più pei punti estremi a e b e per v>n gruppo di punti
finito o infinito ma di prima specie fra a e &, la funzione •/(a,^,
come funzione di t fra a —% e b — a , ammette sempre una
discontinuità (che sarà necessariamente ordinaria ) per ^=0,
allora la indicata funzione 9(^, a , h,.) condurrà sempre a una
rappresentazione analitica delle funzioni f[x) che fra ae b sono
atte alla integrazione insieme alla funzione ' '^^
7.(^,+0)— />,-oy
e questa rappresentazione analitica varrà pei soliti punti a fra
n eb pei quali sono soddisfatte le coadizioni del §. 39, e sarà
della forma :
r 6(j-— a,a,/jo)— -^y(a,a;_a) co r
Ja -/(T , +0) -x(.r , -0) +- j/^^^y(,7qpo)ZTJ^— 0)^P
Questa osservazione generale , di cui in sostanza già fa-
cemmo una speciale applicazione pel teorema del ^. 64, ci sem-
bra di importanza grandissima , poiché , preso arbitrariamente
uno sviluppo e formata la funzione %t , a , h„) corrispondente
col fare la somma dei primi n termini dello sviluppo ec, le
condizioni poste sopra, all' infuori di quella relativa alla discon-
tinuità di /(a,0 per t=0, saranno ordinariamente soddisfatte;
e quindi basterà ordinariamente limitarsi a verificare se questa
condizione stilla discontinuità di /(a , ^) è o nò soddisfatta per
decidere se il dato sviluppo di f{x) , o quello che se ne deduce
coir aggiungere un divisore '/_{x-^0) — '/(•^4-0) sotto gli inte-
grali dei varii termini ec. è o nò possibile, quando questa fun-
zione f{x) soddisfa a una delle condizioni del §. 39 ec.
144. Ed è degno di nota che anche con questi processi
generalissimi gli studi per la ricerca della possibilità di svi-
luppi di forma data per le funzioni in un certo intervallo (a, />),
quando nei termini di questi sviluppi la funzione f {x) figura
323
soltanto a moltiplicatore sotto un integrale che è esteso fra
a e h , si riducono sempre a uno studio che dipende soltanto
dalla t'orma dello sviluppo, senza dipendere affatto dalla natura
della funzione f (,r) da svilupparsi, e a uno studio che è rela-
tivo a questa funzione e che si fa colle considerazioni gene-
rali del cap. III.
E così per esempio , se si tratterà di sviluppi della
oc rb
forma V A„ H„ (a) ove A„ = / f{x) K„ (x) dx ^ il primo di
questi studii si ridurrà sempre a esaminare la serie
ce rf. Gc
V H„ (a) / K„ (7. -\- t) dt (che risulta da quella data y A„ H„(a)
sopprimendo sotto l'integrale che figura in A„ la funzione f{x),
e cangiandovi a- in a-j-^, e i limiti a e ^ in 0 e ^), e ad esa-
n rt
minare al tempo stesso la somma ^ H„ (a) / K„ (a-[-0 dt dei
primi n termini di questa serie insieme alla sua derivata
n
V ]^,, (a) K,i (a -|- t) , onde vedere se queste tre quantità pos-
J
sano o nò considerarsi respettivamente come quantità •/('/ , t),
ri
I 9 (^ , a, /il,) r/^, 9 (^, 7., A,) dotate delle proprietà dette sopra.
Jo
E quando queste particolarità si trovino verificate, allora si
00
potrà afi'ermare che la serie A (a) -}- S A'„ H„ (a), ove
1
Ja /(•^.4-0)— -/(-J^, — 0) J^^ 7>-, + 0)-7(a;,-0)
rappresenta f (7.) per tutti quei punti 7. fra a e h pei quali
si troverà che /'(■'' )i '/.(^i-|-*^0 e '/(r — 0) sono finiti e continui,
e f(.v), e /(•^■i+^) — /(•**» "f"0 soddisfano a ima delle condizioni
del §. 39. ec.
Così pure, trattando per es. degli sviluppi dei §§. 57 o 58,
si esaminerà prima se la serie (0) o (.7), ove sia soppresso il ter-
mine / (s{f , a , /<J dt, e le funzioni K,„s (.r) , o i coefficienti p,,,,
e la funzione F(.r) siano presi nel modo che si crede meglio, è o
nò convergt'ute, e se la sua somma può o nò considerarsi come
una delle funzioni /(et , f) qui indicate, per le quali y(a, — 0),
e -/(a, -j-O) sono differenti fra loro, ec; e nel caso affermativo,
se (come ordinariamente accadrà ) si troverà anche che qualun-
que sia n la somma dei primi n termini di questa serie, per
ogni valore di t fra a — a e b — a, e le somme (5) o (8), ove sia
tralasciato il termine 's{t , a, /jq), pei valori di t discosti da zero
più di s ma compresi sempre fra questi limiti a — a e b — a
sono sempre numericamente inferiori a un numero finito, allora
si concluderà senz' altro che gli sviluppi (3) o (9) sono appli-
cabili alla funzione f(.r) nei soliti casi del Gap. Ili , quando
si prenda 's{x — a , a , h^) = — ^^'/.{^- -^^ — ^■)i ^ ^^ cangi
ex
V, ^ ■ F(x)
i^W "',(., +0)-x(x.-0)"----
Questi sviluppi però, per la presenza del primo termine,
non soddisfaranno spesso alla condizione di essere rappresen-
tazioni di forma data della funzione f{x)\ ma ciò non toglie
che essi possano avere una importanza grandissima, in quanto
possono servire' a dare per tutti punti di un certo intervallo
(a,&) una unica rappresentazione analitica di una funzione f{x)
che sia data arbitrariamente in quell' intervallo (a , 6) .
Né si deve tralasciare di notare che in certi casi le indi-
cate verificazioni potranno riuscire decisive soltanto quando i
termini della serie che si considera vengano presi o aggrup-
pati in un modo determinato, e allora la validità dello sviluppo
potrà assicurarsi soltanto quando i suoi termini si ordinino o
si aggruppino in quel dato modo .
Di qnosta osservazione del resto noi ci valemmo già per
gli sviluppi trigonometrici dei §i^. 81 e seg.; e può dirsi che
ce ne siamo valsi tacitamente anche per quelli in funzioni
Jacobiane dei §§. 118 e seg., giacché da tutto il processo ivi
seguito apparisce che i termini di tutti questi sviluppi s' in-
tendono sempre aggruppati due a due, riunendo quelli corri-
spondenti alle radici coniugate X„ o X'^, e poi s'intendono
presi questi gruppi nell' ordine naturale secondo cui crescono
i moduli di queste quantità X„ o X'„.
145. Aggiungiamo inoltre che se (come appunto avviene
sempre nei casi particolari da noi studiati ) la funzione
's ( X — a , a , //„ ) che si ha da considerare è della forma
F(.r) 'l( .r , a , /<„ ), ove ']>(J?,a,/i„) è simmetrica rispetto ad x
ed a a, e F(.r) è senza infinite oscillazioni, ed è finita continua
e diversa da zero per tutto tranne tutt' al più in punti ecce-
zionali, allora, avendosi:
si vede chiaro che se in questi casi, quando a non è un estre-
mo del solito intervallo {a , b) ed è un punto interno dell'Inter-
vallo {a ,&'), si ha lim / tc{x — a, a,/?„) dx = G(a) -f- CI, (a), si
rb'
avrà anche lim / f(x — a , a , //„ )da^= G(.r) -f- G,(j') tutte le
volte che l' intervallo d' integrazione , che ora deve avere nel
suo interno il punto .?*, non comprende punti a nei quali F(a)
presenti qualche singolarità.
Similmente se x è per es. l'estremo inferiore a dell'integrale,
rb'
e//>x, si trova che insieme a lim / 'f(a — a;,.T,/j„)f/a = G(.x')
si hn- anche lim / 'f(.r — 7.,a,rt„)fZa=G(.r); e se x ò esterno all'in-
n=noJx
320
torvallo (aV'K si trova che insieme a lim / 'f(a — x , x , Ji„)dv.= 0,
7/
" ec.
/
si ha lim / c;(.i' — a , a , //„) </ a=0 ,
14(). Del resto poi è facile vedere in generale che se
( come ordiuariamt'ute accade) 'f(.i* — oc , a , Ii„) considerata come
funzione delle due variabili x e a è finita e continua in un
campo ove queste variabili possono prendere tutti i valori da
a A h, o almeno, più generalmente, è tale che per a^c<id<^b
rd rd
le due integrazioni nell'integrale doppio / dr 1 'f (r, a ,a ,/i„)rfa?
possono invertirsi , allora quando si trovi che per un dato
intervallo d* integrazione ( a' , b' ) che è tutto o parte di
rb' .
( a , i ), si ha lira / 'f(.r — a , a , //„) (Z x =c G (a) + ^^(a) ,
e hm / '^(.r — 7. , a , //„) fZ a = H(i') + H,(.r), le due funzioni
G (.r) -|- G , (.r) e H(.r) -1- H,(.r) , supposte atte alla integra-
zione, o saranno uguali fra loro in ogni punto di (a' ,6'),
come nel caso precedente , o tutt' al più differiranno fra loro
soltanto per una funzione d'integrale nullo; e ciò tutte le volte
che, considerati per ogni valore speciale di n separatamente, gli
integrali precedenti siano finiti per ogni valore di a o di a?
nell'intervallo d'integrazione, e al tempo stesso in ogni por-
zione comunque piccola dell'intervallo (a' , Z*' ), o (a'-|-s , ^' — =)
( s diverso da zero e positivo ma arbitrariamente piccolo ) vi
siano dei punti x o e/, pei quali al crescere indefinito di n gli
integrali medesimi convergono in ugual grado verso i loro limiti
respettivi G(a) + G,(a) , R{x) -\- H^(.r) .
Prendasi infatti una porzione qualsiasi («),&,) dell'inter-
vallo ( a' , 6' ) , e considerando 1' integrale doppio
rh, rh,
{x — 7 , 7. , /<,, ) r/ j:- , si indichi con 'J/,,,^ l'integrale
327
I 's{x — n. ^ci. Jin)dx ^ e si osservi che, per le nostre ipotesi,
in ogni porzione dell'intervallo («j -j s i ^>\ — ^) esisteranno dei
pnnti a pei quali l'integrale (J^„,>. considerato per qualsiasi va-
lore di n superiore a un certo numero finito ??(, differisce da
G(a) -|- G|(7.) meno di un numero piccolo a piacere a. Pren-
dendo allora un valore qualunque di n superiore a Wq , e
immaginando scomposto l'intervallo {a^-\-t^h^ — e) in un nu-
mero finito d'intervalli parziali o, , o._, , . . , òp , potremo sempre
trovare in questi intervalli dei punti a, ,aj,.,,ay, pei quali la
indicata condizione sia soddisfatta; e basterà che questi intervalli
sieno presi abbastanza piccoli perchè si possa anche affermare
che l'integrale / ò.i,^ r?a differisce dalla somma "V Og 'j„ , .^, e
P ^ ^
quindi anche dall' altra V òj [G(c<s) -1- G^(as) ] meno di quel nu-
mero che più ci piace o'.
Ma evidentemente, se le o^ , 2.1 1 • • i ^/^ sono abbastanza
piccole, l'ultima somma differisce tanto poco quanto si vuole
dall'integrale / [G(a)-1-Gi(a)]c?a; e d'altra parte, se s è sufficien-
temente prossimo azero, questo e l'altro integrale / 'L,,,^. rZa,
differiscono tanto poco quanto si vuole (lai due / [G(7.)-[-G|(a)]f?a,
^^
({;„,^cZa; dunque, poiché l'ultimo integrale non è altro che
l'integrale doppio / da I z{x — a,a,/;„)fLr, si può asserire
intanto che il limite per r«=co di questo integrale doppio esi-
r^h ,
ste ed è l'integrale semidice / [G(a) + G (a)] do..
J a
328
D' altra parto, invortomlo lo iiitoì^vazioni , si trova anche
ilio lo stesso integrale doppio ha per limite l'integrale sem-
plico / [li (.«■)-}- Hi (j')] <^ •'■ j tlnnque sarà evidentemente:
/ ['G(r) + G,(.r) ] d .V = fin{.v) + H,(.r) ] d .r,
fpialnnque sia la porzione che sì considera {a^ , I>^) di {a' , &')^
e questo dimostra appunto quanto enunciammo sopra.
Questo risultato si estende subito anche al caso in cui
alcune delle varie condizioni poste sopra non si (rovino sod-
disfatte fra a' e h' altro che negli inter alli che restano dopo
di avere escluso con intorni arbitrariamente piccoli un gruppo
finito o infinito di punti di prima specie; bastando per fare
questa estensione 1' applicare i soliti piocessi con considerare
successivamente il caso dei gruppi di punti di prima specie e
degli ordini 0, l\ 2\ 3^ . . , v— 1, v, ec.
FINE DELLA PRIMA PARTE
INDICE
DELLE MATERIE CONTENUTE IN QUESTA PRIMA PARTE
Prefazione Pag. Ili
I. Consìderas^ioni generali „ 1
IL Teoremi 'preliminari di Calcolo integrale. . , „ 11
III. Studio sugli integrali che sono atti a rappre-
sentare analiticamente una funzione . . . „ 35
IV. Applicazione dei risultati precedenti agli svi-
luppi in serie di Fourier » 9G
V. Altre forme analitiche delle funzioni di una
variabile reale data arbitrariamente in un
certo intervallo (Serie trigonometriche^ serie di
funzioni di Bessel, sferiche, e lacobiane, ec.) „ 119
{)
BINDING r JUN 51973
PLEASE DO NOT REMOVE
CARDS OR SLIPS FROM THIS POCKET
UNIVERSITY OF TORONTO LIBRARY
r
QA Dini, Ulisse
40A Serie di Fourier e
D5 altre rappresentazioni analitiche
I delle funzioni di una variabile
I reale
P&ASci
Live Music Archive
Librivox Free Audio
Metropolitan Museum
Cleveland Museum of Art
Internet Arcade
Console Living Room
Books to Borrow
Open Library
TV News
Understanding 9/11