Full text of "Sitzungsberichte"

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University of California.

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Receh-ed fTaV .rd'^'^ ■ \

AccessioiiNo.ö/^ // . ('Liss \'o.

Sitzungsberichte

der

mathematisch -physikalischea Classe

der

k. b. Akademie der Wissenschaften

zu ^MTüTichen.

Band XXIV. Jahrgang 1894.

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ISU

München.

Verlag der K. A.kademie.
1895.

In Commiflsion des G. Franz'scben Verlags (J. Roth).

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Uebersicht

des Inhaltes der Sitzungsberichte Bd. XXIV

Jahrgang 1894.

Die mit * bezeichneten Abhandlangen sind in den Sitzungsberichten nicht abgedruckt.

Oeff entliche Sitzung der kgl. Akademie der Wissenschaften zur
Feier d^s 135. Stiftungstages am 28. März 1894.

Seite
V. Voit: Nekrologe 113

OeffentUche Sitzung zu Ehren Seiner Majestät des Königs und
Seiner Kimigl. Hoheit des Prinz-Regenten am 15. Kovcmher 1894.

M. V. Pettenkofer: Eröffnungsrede 395

Wahlen 401

Sitzung vom 13. Januar 1894.

F. Hicharz: Ueber die elektrischen und magnetischen Kräfte

der Atome 3

K. Döhlemann: Ueber eine einfache, eindeutige Raumtrans-
formation 3. Ordnung 41

Sitzung vom 3. Februar 1894.

('. V. Kupffer: Ueber Monorhinie und Amphirhinie . 51

*Ad. V. Baeyer: lieber Terpentinöl 51

Sifzuriff rom 9. Mfirz lf^94.

*L. Sohncke: Gewitterstudien auf Grund von Ballonfahrten 61
B. W. Stankewitsch: Experimentelle Beiträge zur Kenntnis^

der dielektrischen Polarisation in Flüssigkeiten 63

Hermann Brunn: Exacte Grundlagen für eine Theorie der

Ovale 93

*Ad. V. Baever: üeber Kümmelöl .61

Sitzung vom 5. Mai 1894.

N. Büdinger: Ueber die Gehirne versehiedener Hunderacen 249

H. Seeliger: MaxwelFs und Him*s Untersuchungen über die

Constitution des Satumringes 161

L. Graetz und L. Fomm: Ueber normale und anomale Dis-
persion elektrischer Wellen 189

L. Boltzmann: a) Ueber den Beweis des Maxwell* sehen Ge-

sohwindigkeitsrertheilung^gesetzes unter

Gasmolekülen 2(>7

b) Zur Integration der Din'usionsgleichung bei
variabeln DiffosionscoefBcienten . . . . 211

A. Wassmuth: Ueber die Anwendung des Principe des kleinsten

Zwanges auf die Elektrodynamik 219

F. V. Sandberger: Ueber -lie Erzlagerstätte von G?Idkronach

bei Berneok im Fichteigebirge . . . . *231

SitzHnp i-om 2. Juni 1S94.

-t^"

H. Seeliger: Ueber den vier&chen Stern .^ Cancrl . ... 25
Ign. Schütz: Ueber eine Verallgemeinerung der v. HelnihoLtz-
sehen Wirbel-Integrale, welcher eine unendliche >fanmg-
faltiffkeit von mechanischen Bildern der Maxwell 'sehen
Elektrodvnamik entspricht

-40

Sitsumj vom 7. Juli 18VL

8üito

G. Bauer: Bemerkungen über zahlentlieoretische Eigenschaften

der Legend re*8chen Polynome 343

L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen , homogenen und

linearen Gruppen 297

*Ad. V. Baeyer: Ueber das Kümmelöl 296

Sitzung vom 3. November 1894.

R. Hart ig: lieber die Verschiedenheiten im Bau des Eichen-
holzes 385

M. Planck: üeber den Beweis des Maxwell sehen Gesch windig-

keitsvertheilungsgesetzes unter Gasmolekülen .... 391

*E. Weinschenk: Beiträge zur Petrographie der östlichen

Central alpen, speciell des Gross- Venedigerstockes . . . 383

Sitztmg vom 1, Dezember 1894.

H. Seeliger: üeber den Schatten eines Planeten 423

F. Lindemann: üeber die conforme Abbildung der Halbebene
auf ein einfach zusammenhängendes Flächenstück, das von
einer algebraischen Curve begrenzt wird 403

*A. V. Baeyer: üeber die Natur der Terpentinöle und ver-
wandter Substanzen 402

Einsendungen von Druckschriften 361, 439

Sitzungsberichte

der

königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.

Mathematisch-physikalische Ciasse.

Sitzung vom 13. Januar 1894.

1. Herr L. Boltzmann legte eine Abhandlang des Herrn
Dr. P. RiCBARZ, Privatdoeenten an der Universität Bonn:
„lieber die elektrischen und magnetischen Kräfte
der Atome** vor, unter Besprechung der hauptsächlichsten
Resultate derselben.

2. Herr Gustav Bauer überreicht der Classe, ebenfalls
unter Mittheilung der wesentlichen Ergebnisse, eine Abhand-
lung des Herrn Dr. Karl Döhlemann, Privatdoeenten für
Mathematik an der hiesigen Universität: „Ueber eine ein-
fache, eindeutige Raunitransforniation dritter Ord-
nung*.

1894. Math.-phy8. Cl. 1.

Ueber die elektrischen und magnetischen Kräfte

der Atome.

Von Dr. F. Richarz,
Privatdocent an der Universität Bonn.

(Eingelaufen IS. Januar.)

In den Sitzungen der Niederrheinischen Gesellschaft in
Bonn vom 1. Dezember 1890^) und vom 12. Januar 1891*)
habe ich einige Betrachtungen vorläufig mitgetlieilt, welche
an die elektrochemische Theorie in derjenigen Form an-
knüpfen, die ihr durch Herrn H. von Helmholtz in einer
Reihe von Abhandlungen aus den Jahren 1873 bis 1882,
am ausführlichsten in seiner Rede zu Faraday's Gedächtniss
gegeben wurde. ^) Meine Ausführungen betrafen die elek-
trische Wirkung ultravioletten Lichtes, die elektrolytische
Leitung der Gase, das elektrische Elementarquantum, die
die zwischen den Atomen einer Molekel wirksamen elektro-
statischen, elektrodynamischen und Gravitationskräfte, die
chemische Wärmeentwicklung insbesondere die Dissociations-
wärme (für Untersalpetersäure und für Joddampf), die Er-
regung elektrodynamischer Wellen durch periodische Be-
wegung der Valenzladungen und endlich eine Anwendung der
kinetischen Theorie mehratomiger Gase von Herrn Boltzmann*)

1) F. Kicharz, Sitzber. der Niederrh. Ges. 47, p. 113, 114; 1890.

2) F. Richarz; Sitzber. der Niederrh. Ges. 48, p. 18—32; 1891.

3) H. v. Helmholtz, Journ. ehem. Soc. June. 1881. Vorträge u.
Reden II, p. 275.

4) L. Boltzmann, »Sitzber. d. Wiener Akad., luathem. Gl., 63,
p. 417, 1871.

4 Sitzung der matli.-phys. Classe vom 13. Januar 1S04.

und des Clausius'schen Virialsatzes auf die intramolekulare Be-
wegung. In anderer Anordnung habe ich über einen Theil
dieser Betrachtungen am 26. Juni 1891 in der Physikalischen
Gesellschaft zu Berlin vorgetragen.^)

Weiterhin schien es dann zweckmässig, bei der ausführ-
lichen Wiedergabe der erwähnten Schlussfolgerungen, von
der ich durch andere Arbeit lange abgehalten wurde, strenger
zu trennen, was schon vor Einführung der elektrochemischen
Theorie abzuleiten war, was erst nach Einführung derselben.
Jenes sind die aus der Anwendung des Virialsatzes auf die
kinetische Theorie der Materie zu ziehenden Schlüsse in
Bezug auf mehratomige Gase^) und in Bezug auf das Gesetz
von Dulong und Petit. ^) In ersterer Arbeit ergab sich ins-
besondere eine von der elektrochemischen Theorie unab-
liängige Beziehung zwischen Dissociationswärme und Druck,
w^elche (wie früher die aus der elektrochemischen Theorie
und der Dissociationswiirme gezogenen Schlüsse) bei Unter-
salpetersäure und Joddampf und ausserdem auch bei der
Dissociationswärme des Wasserstoffs nach Herrn E. Wiede-
mann's Messungen*) sich bestätigt fand.

Im Folgenden sind die an die Helmholtz'sche Theorie
angeknüpften Betrachtungen ausführlich im Zusammenhang
wiedergegeben und der letzte Abschnitt über den mole-
kularen Magnetismus neu hinzugefügt. Während der Nieder-
schrift erschien die Arbeit von Herrn H. Ebert über die
Dissociationswärme in der elektrochemischen Theorie.^)

1) F. Richarz, Verh. Phys. Ges. Berlin 10, p. 73-79; 1891.

2) F. Richarz, Wiedem. Ann. 48, p. 4G7-492; 1893.

3) F. Richarz, Wied. Ann. 48, p. 708-716; 1893.

4) E. Wiedemann, Wied. Ann. 10, p. 253, 1880; 18, p. m\ 1883;
Ostwald, Allgem. Chemie 2, p. 49.

5) H. Ebert, Wied. Ann. 50, p. 255-260; 1893.

Bicharz: FAcltviache und maynctischc Kräfte der Atome. ♦">

I. Elektrochemische Theorie nach Helmholtz.

Die Helmholtz'sche Form der elektrochemischen Theorie
hat folgenden wesentlichen Inhalt.^)

Faraday's Gesetz von der festen elektrolytischen Wirkung
lässt sich in Verbindung mit Kekule's Theorie von der che-
mischen Valenz dahin zusammenfassen, ,,dass dieselbe Menge
Elektricität, wenn sie durch einen Elektrolyten fliesst, immer
dieselbe Menge von Valenzwerthon an beiden Elektroden ent-
weder frei macht, oder in andere Verbindungen überführf*.
Nimmt man die von Herrn Hittorf und Herrn F. Kohlrausch
nachgewiesenen Gesetze der Jonen Wanderung hinzu, so kann
man dem Faraday'schcn Gesetze die Form geben: , durch
jeden Querschnitt eines Elektrolyten findet immer äquivalente
elektrische und chemische Bewegung statt. Genau dieselbe
bestimmte Menge, sei es positiver, sei es negativer Elek-
tricität bewegt sich mit jedem einwerthigen Jon, oder mit
jedem Valenzwerth eines mehrwerthigen Jon, und begleitet
es unzertrennlich bei allen Bewegungen, die dasselbe durch
die Flüssigkeit macht**.

Bei Hinzunahme der Atomtheorie führt dieses Resultat
zu einer Folgerung, welche Herr H. v. Helmholtz so aus-
spricht: „Wenn wir Atome der chemischen Elemente an-
nehmen, so können wir nicht umhin, weiter zu schliessen,
dass auch die Elektricität, positive sowohl wie negative, in
bestimmte elementare Quanta getheilt ist, die sich wie Atome
der Elektricität verhalten. Jedes Jon muss, solange es sich
in der Flüssigkeit bewegt, mit je einem elektrischen Aequi-
valent für jeden seiner Valenzwerthe vereinigt bleiben. Nur
an den Grenzflächen der Elektroden kann eine Trennung ein-
treten: wenn dort eine hinreichend grosse elektromotorische

1) Vergl. F. Uicharz, 1. c. und Naturw. IJundHchau 6, Nr. 49
und 50; 1891.

() Sitzung der matli.'phys. Clause vom 13. Januar 1804.

Kraft wirkt, dann können die Jonen ihre bisherige Elek-
tricität abgeben und elektrisch neutral werden.*

„Wenn die vorher positiv geladenen Atome von Wasser-
stoflF oder irgend einem andern Kation aus ihrer Verbindung
ausscheiden und sich gasförmig entwickeln, so ist das ent-
wickelte Gas elektrisch neutral, d. h. es enthält nach der
Ausdrucksweise der dualistischen Theorie gleiche Quanta
positiver und negativer Elektricität. Entweder also ist jedes
Atom elektrisch neutral, oder je ein Atom, welches positiv
beladen bleibt, verbindet sich mit je einem Atom, welches
seine positive Ladung mit einer negativen ausgetauscht hat.*

Ohne Kenntniss der Helmholtz'schen Faraday-Rede hat
auch Herr E. Budde aus den Gesetzen der Elektrolyse die
Folgerung gezogen, dass es ein Minimalquantum der Elek-
tricität geben müsse und auch bereits den annähernden
Werth desselben berechnet.^) Diese Arbeit ist mir erst nacli
Publication meiner vorläufigen Mittheilungen bekannt ge-
worden und hat daher leider in diesen noch keine Erwähnung
gefunden.

Das Resultat, die elektrische Beladung der Valenzstellen
betreffend, gilt zunächst nur für die freien Valenzen der
Jonen in Elektrolyten. Aber es sind viele Thatsachen be-
kannt, welche dafür sprechen, dass die elektrolytische Leitung
eine weit mehr verbreitete Eigenschaft ist, als man früher
glaubte, dass dieselbe keineswegs ausschliesslich den Säuren
und Salzen zukommt. Auch ist dieselbe, wie wir mit Sicher-
heit wissen, durchaus nicht auf den flüssigen Aggregatzustand
beschränkt. Ferner können wir in zahlreichen Fällen aus
secundären Prozessen bei der Elektrolyse auf die elektrische
Ladung von Valenzen schliessen, welche nicht nothwendig
die freien Valenzen eines Jon sind. Aus stark verdünnter
Chlorwasserstoffsäure wird an der Anode neben Chlor auch

1) E. Budde, Wied. Ann. 25, p. 562; 1885.

lUcharz: Ehhtrische und magnetische Kräfte der Atome, 7

Sauerstoff entwickelt. Entweder ist nun in diesem Falle der
Sauerstoff selbst Anion, oder derselbe entsteht secundär durch
Einwirkung des Chlors auf das Lösungswasser. In letzterem
Falle würden die Chloratome, indem sie mit dem Wasserstoff
des Wassers neue Chlorwasserstoffsäure bilden, ihre ursprüng-
liche negative Ladung behalten, so dass also der neutral ent-
weichende Sauerstoff die entsprechenden Aequivalente nega-
tiver Ladung an die Anode abgeben miisste. Auf jeden Fall
können wir schliessen, dass auch in den Wassermolekeln,
welche bei der Elektrolyse, wenigstens der concentrirten
Chlorwasserstoffsäure, gewiss nicht betheiligt sind, der Sauer-
stoff negative Ladung besitzt. In derselben Weise kommt
man für viele andere Fälle zu der sicheren Folgerung, dass
auch andere Valenzen die elektrische Ladung besitzen als die
freien Jonenvalenzen. Jedes Atom oder jede Atomgruppe,
welche bei einem secundären Process an die Stelle eines Jon
treten kann, muss für jede Valenz mit einem elektrischen
Elementarquantum beladen sein.

Es bleibt zunächst eine offene Frage, ob bei der elektro-
lytischen Ausscheidung freier neutraler Molekeln die Neu-
tralisation so zu denken ist, dass jedes einzelne Atom des Jon
neutralisirt wird; oder ob dieselbe in der Weise geschieht,
dass beispielsweise beim Wasserstoff ein Atom sein positives
Elementarquantum an die Kathode abgibt, dafür ein nega-
tives empfängt, und sich mit einem anderen Atom, welches
seine positive Ladung behalten hat, zu einer als Ganzes neu-
tralen Molekel vereinigt. Herr von Helmholtz spricht sich
für die letztere Alternative aus, welche zugleich mit der aus
Avogadros Gesetz gezogeneu Folgerung übereinstimmt, dass
die Molekeln des freien Wasserstoffs aus je zwei Atomen
zusammengesetzt sind.

Dass Atome derselben Art, wie nach dieser Ansicht bei
den Gasen die beiden Atome einer Molekel, Ladungen ent-
gegengesetzter Art besitzen können, folgt in anderen Fällen

8 Sitzung der mathrphys. CJasse vom 13, Januar 1894.

mit Sicherheit aus elektrolytischen Processen. So ist der
Schwefel in den Schwefelmetallen Anion, also negativ ge-
laden; in Schwefelsäure muss er aber positiv geladen sein,
da er bei der Elektrolyse concentrirter Schwefelsäure an der
Kathode abgeschieden wird — ob dies durch einen primären
oder einen secundären Process geschieht, kommt, wie oben
auseinandergesetzt, dabei nicht in Betracht. Analog können
wir auch für den Stickstoff schliessen; man muss annehmen,
dass in der Stickstoffwasserstoffsäure N^H die freie Valenz
der Gruppe iVg als diejenige eines Anion negativ geladen
sei; dagegen bei der Elektrolyse von Amoniaksalzen und
salpetersauren Salzen wird unter Umständen freier Stickstoff
an der Kathode abgeschieden; also ist in diesen Verbindungen
wenigstens ein Theil seiner Valenzwerthe positiv geladen.

Zu der Anschauung, dass von den beiden Atomen, welche
die Molekel eines Gases bilden, das eine positiv, das andere
negativ elektrisch sei, ist auf ganz anderem Wege auch
Herr W. Giese,^) sowie später auch Herr A. Schuster*)
gelangt, welche annehmen, dass unter dem Einflüsse elek-
trischer Kräfte die beiden entgegengesetzt geladenen Atome
getrennt werden und als Jonen die Leitung der Elektricität
in Gasen ermöglichen. Diese Annahme hat durch die Ver-
suche der beiden genannten und anderer Physiker^) einen
hohen Grad von Wahrscheinlichkeit erlangt.

Aus den oben angeführten Betrachtungen gelaugt Herr
von Helmholtz zu dem Schlüsse, dass nicht nur bei den

1) W. Giese, Wied. Ann. 17, p. 538, 1882; 38, p. 403, 1889.

2) A. Schuster, Proc. Roy Soc. London 37, p. 317, 1884; 1887
Nr. 256; 1890 Nr. 291 p. 526.

3) J. J. Thomson, Phil. Mag. 15, p. 432, 1883; 29, p. 358, 441,
1890; 36, p. 313, 1893. Hob. v. Helmholtz, Wied. Ann. 32, p. 1, 1887.
Rob. V. Helmholtz und F. Richarz, Wied. Ann. 40, p. 161, 1890.
E. Wiedoniann und H. Ebert, Wied. Ann. 35, p. 209, 1888. J. Elster
und H. Geitel, Wied. Ann. 37, p. 325 ff., 1889; 39, p. 330, 331, 1890.
C. Ludeking, Phil. Mag. 33, p. 521, 1892.

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. ^

Jonen, sondern ganz allgemein jeder Valenzwerth eines
Atoms mit je einem Elementarquantuni entweder positiver
oder negativer Elektricität beladen sei.

Weiterhin schliesst Herr von Hehnholtz aus Betrachtung
der Arbeitsleistungen bei der Elektrolyse, dass die Elementar-
quanta der beiden Elektricitäten + e und — e, mit verschie-
dener Kraft von verschiedenen Atomen (vielleicht auch von
den verschiedenen Verbindungsstellen eines einzelnen multi-
valenten Atoms) angezogen werden. Wasserstoff und die
Metalle müssen stärkere Anziehung für + ^? schwächere für
— e haben ; umgekehrt Sauerstoff und die Halogene.

Eine solche, für verschiedene Substanzen und für die
beiden Elektricitäten verschiedene Anziehung zwischen pon-
derabler Materie und Elektricität ist keine ad hoc gemachte
Hypothese, sondern muss auch angenommen werden zur Er-
klärung von Volta's Fundamentalversuch über die Scheidung
der Elektricitäten beim Contact heterogener Körper. Aus
der Verschiedenheit der Anziehungen für die beiden Elek-
tricitäten ergibt sich, dass unter Leistung positiver Arbeit,
welche als abgegebene Wärmemenge erscheinen kann, eine
positiv beladene Sauerstoffvalenz ihre Ladung gegen eine
negative auszutauschen vermag. Hieraus hat Herr von Helm-
holtz^) das Zustandekommen der Convectionsströme in sauer-
stoffhaltigen verdünnten Säuren erklärt; weiterhin habe ich
gezeigt,*) wie jener Umstand ebenfalls eine vollständige Auf-
klärung darbietet für das verschiedene Verhalten der beiden
Gruppen von Superoxyden, welche Schönbein unter den Namen
^Ozonide" und „Antozonide** unterschied.

Die von Berzelius behauptete und auch von Faraday
angenommene Identität der chemischen Verwandtschaft und

1) H. von Hehnholtz, Ber. d. Beil. Akad. 1873, p. 587; 1880,
p. 285; 1883, p. 6G2; Pogg. Ann. 150, p. 483, 1873; Wieil. Ann. 11,
p. 737, 1880. WisHenschafcliche Abhandl. 1, p. 830, 917.

2) F. Ricliarz, Ber. d. deutsch, ehem. Gesellsch. 21, p. 1675, 1888.

10 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894,

der Elektricität spricht Herr von Helmholtz auf Grund der
entwickelten Schlussfolgerungen dahin aus, dass wenigstens
die „bei weitem mächtigsten nuter den chemischen Kräften
elektrischen Ursprungs sind. Die Atome haften an ihren
elektrischen Ladungen und die einander entgegengesetzten
Ladungen wieder aneinander**. Wenn jede Valenz mit einem
Elementarquantum entweder von -{■ E oder von — E be-
laden ist, so können elektrisch neutrale Verbindungen nur
hergestellt werden, wenn jede positiv beladene Valenzstelle
sich mit je einer negativ beladenen verbindet. „Daraus folgt
dann unmittelbar, dass jede Verwandtschaftseinheit eines
Atoms nothwendig mit einer und nur mit einer solchen
Einheit eines anderen Atoms verknüpft sein muss. Dies ist
in der That die wesentliche Behauptung der Valenztheorie
der modernen Chemie."

So würde sich in einfachster Weise Kekules Verkettung
der Atome durch die Verbindung ihrer Valenzwerthe er-
geben, wie sie in den typischen Verbindungen gefunden
wird. Elektrolyte aber gehören stets zu den typischen Ver-
bindungen. Anders würde es sich verhalten mit den losen
molecularen Aggregaten, welche nicht mit Valenzwerthen
an einander geknüpft sind, z. B. der Bindung von Krystall-
wasser; ihre Bestandtheile können nicht durch elektrische
Kräfte von einander getrennt werden; dieselben werden also
auch nicht durch elektrische Kräfte verbunden, sondern anders
geartete Molecularkräfte müssen zwischen ihnen wirksam sein.

Herr von Helmholtz hat sich bei seinen Folgerungen und
Anschauungen der Sprache der alten dualistischen Theorie
bedient; gerade in ihr lassen sich die quantitativen Bezieh-
ungen bei der Elektrolyse am leichtesten und bestimmtesten
ausdrücken.

Sind die Schlüsse in der Sprache der einen Theorie con-
scquent durchgeführt, so ist der Ausdruck derselben Schluss-
reihe in der Sprache einer anderen Theorie wie eine Ueber-

liicliarz: Elel'trische und magnetische Kräfte der Atome. 1 1

Setzung: der wesentliche Inhalt bleibt davon unberührt. Ins-
besondere ist hervorzuheben, dass alle auf Grund feststehender
Thatsachen angestellten Berechnungen mechanischer Grössen,
wie der Anziehung zwischen Elektricitätsmengen, der Arbeit
bei ihrer Trennung u. s. w. von der Sprache der Theorie
unberührt bleiben, in welcher der Zusammenhang der That-
sachen bildlich ausgedrückt wird.

II. Aus der kinetischen Gastheorie entnommene

Voraussetzungen.

In die Berechnung des elektrischen Elementarquantums
geht aus der kinetischen Gastheorie die Zahl der Molekeln
in 1 ccm Gas ein. Man muss sich darüber klar sein, mit
wie geringer Sicherheit diese Zahl bekannt ist. Ihre Be-
rechnung ist bekanntlich zuerst aufgeführt von Herrn Van
der Waals.^) Die zu Grunde liegenden Gleichungen sind nach
der ^kinetischen Theorie der Gase** von Herrn 0. E. Meyer,
pag. 228—230, folgende:

Es sei L die mittlere molekulare Weglänge, A die Kante
des einer Molekel zukommenden Elementarwürfels, q der
von Clausius eingeführte „Radius der Wirkungssphäre**. Dann
ist in erster Annäherung

]/2 ^i^Q^

Eine zweite Beziehung geht aus von dem wahren Vo-
lumen 6 der Molekeln in der Zustandsgieichung von Herrn
Van der Waals. Der Werth von b gilt, wie diese Zustands-
gieichung, für die Masseneinheit des betrachteten Gases.
0. E. Meyer findet dann aus der Verkleinerung, welche an

1) J. D. van der Waals, Die Continuität des gasförmigen und
flüssigen Zustandes, deutsch von Roth, Leipzig 1881, Beibl. z. Wied.
Ann. 1, p. 10, 1877. Rühlraann, Mechan. Wärmeth. II, p. 244.

12 Sitzung der matli.-phys, Classe vom 13. Januar 1804,

dem Werthe von L bei einer zweiten Annäherung anzu-
bringen ist:

2l/2~
o

wo SW die Zahl der Molekeln in der Masseneinheit ist. Multi-
plicire die beiden Gleichungen mit einander und beachte,
dass SWA^ = -y, dem scheinbaren Volumen, welches die Massen-
einheit des Gases als Ganzes einnimmt, ist, so ergibt sich

Es soll bei Anwendung dieser Gleichung stets eine Atmo-
sphäre als Druckeinheit, und das Volumen v der Massen-
einheit beim Druck 1 und der Temperatur 0° als Volumen-
einheit gewählt werden. Die von Van der Waals ange-
gebenen Zahlenwerthe für b gelten meist für diese Einheiten.
Einige seiner b sind aber für 1 m Quecksilber als Druck-
einheit angegeben; die zugehörige Ausnahmsvolumeneinheit
ist also das 0,76 fache unserer gewöhnlichen; und da b ein
seinem Wesen nach constantes Volumen bedeutet, betragen
die Ausnahms-Zahlen werthe von i das 1/0,76 fache derjenigen
für die gewöhnliche Einheit; zur Reduction auf unsere obigen,
gewöhnlichen Einheiten sind jene Ausnahms-Zahlenwerthe
von b daher mit 0,76 zu multipliciren.^)

Wird nach dieser Reduction die Formel für q bei einem
Gase angewandt, und wird p = l Atmosphäre, die Tem-
peratur = 0^ genommen, so wird v = 1, und für L ist der
Werth Lq bei 0^ zu nehmen; also

1) Die obigen Betrachtungen führen mit Uebergehung der letzten
Gleichungen auf Seite 229 bei 0. E. Meyer für q unmittelbar zu obiger
Schlussformel, welche im Wesentlichen mit den ersten Gleichungen
auf Seite 230 ebenda übereinstimmt, in der Form aber, insbesondere
bezüglich der Dimensionen vielleicht übersichtlicher ist.

Bicharz: Elelärische und magnetische Kräfte der Atome. l'i

Für Lq sind die Werthe genommen, welche aus den für
0^ geltenden Reibungscoefficienten r]Q nach den Beobacht-
ungen von Herrn von Obermayer ^) folgen. Dieselben sind
in der unten stehenden Tabelle angegeben; aus //q ist die
Wegliinge nach der Formel

L.=

'/O

« 0,318 . /i • n

berechnet,*) wo (li die Dichtigkeit, ß der Maxweirsche Mittel-
werth der Molekulargeschwindigkeit ist. Die bei Wasser-
dampf unten angegebene Zahl für tjq ist den Beobachtungen
der Herren Kundt und Warburg ^) entnommen.

Die Herkunft der Werthe von b ist in der unten an-
gegebenen Tabelle jedesmal einzeln aufgeführt; wenn verr
schiedene Beobachtungen bezw. Berechnungen für ein und
dasselbe Gas erheblich verschiedene Werthe ergeben haben,
sind die Extreme, sonst das Mittel angegeben.

^, der „Radius der Wirkungssphäre**, wird gleich dem
Durchmesser der als starre Kugel gedachten Molekel ange-

nommen, also deren Querschnitt q = -- . Die Summe Q^^

aller Molekularquerschnitte in 1 ccm bei 0° und Atmo-
sphärendruck ergibt sich aus der Weglänge Lq nach der

Formel*): 0.==---— . Endlich wird dann -^ die Zahl

1) V. Obermayer, Carls Rep. 13, p. 166, 1877.

2) 0. E. Meyer, 1. c, pag. 323.

3) Kundt u. Warburg, Pogg. Ann. 155, p. 540, 1876; 0. K. Meyer,
1. c, p. 141, 142. Der Werth ^ ist auf 0® roducirt unter der An-
nahme, dass der Reibungscoefficient für Wasserdampf wie für andere
der Condensation nahe Gase der absoluten Temperatur proportional
sei. (0. E. Meyer, p. 159.) •

4) 0. E. Meyer, 1. c, p. 206.

14 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1804,

der Molekeln in 1 ccm Gas bei 0® und Atmosphärendruek.
Die Resultate, stets in C. G. S. -Einheiten angegeben, sind in
folgender Tabelle zusammengestellt.

Luft ....
Stickstoff . .

Wasserstoff .

Kohlensäure .

Stickoxydul .
Aethylen . .
Wasserdampf .
Schweflige Säure
Chloräthyl . .
Chlorwasserstoff

! Vo

! 1677
! 1659

861

1383

1353
922
909

1225

889
1379'

912
918

19400
; 19200

1783 : 9900

613 28800 1

598
508
628
444
325
672

29500
34800
28100
39800
54400
26300

0,0025 1)

0,001762)

0,00242)

0,000493)

0,0028^)

0,000592)

'0,001915);

0,00256} j

10,00105'^) I

1 0,00249 8) i

! 0,00397 8) I
0,001738)

3,42

2,42

6,42

1,31

2,58

0,54

1252*

1,71

128

1,91

121

0,99

365

1,66

184

1,94

184

1,74

110

10-' ! 10-8 cni em2

10-8 cm

10»8

Die Werthe von q sind nicht sehr voneinander ver-
schieden, obwohl die Zahl der Atome in einer Molekel
zwischen 2 und 8 (bei Og ^5 Cl) beträgt ; auch sind die
Werthe von q ganz ähnlich den aus anderen üeberlegungen
erschlossenen. (Vgl. 0. E. Meyer § 102, § 107.) Allgemein
kann der Durchmesser eines Moleküls etwa von der Grössen -
Ordnung 10"^ cm angesehen werden; die obigen Zahlen
liegen zwischen dem 6 fachen und der Hälfte dieses Werthes.

Die Zahlen für N gruppiren sich zwar ersichtlich um
ein Mittel, welches etwa lO^^ beträgt; sie liegen aber bis
zum 12 fachen und ^/ao dieses Werthes, entsprechen also sehr

1) Van der Waals-Roth, 1. c, p. 72; und Berechnung von
0. E. Meyer, 1. c, p. 74. — 2) 0. E. Meyer, 1. c, p. 74. — 3) Van der
Waals-Roth, 1. c, p. 99. — 4) Ebd. p. 74, 81, 85, 94, 136. — 5) Ebd.
p. 84, 136. — 6) Ebd. p. 86, 101, 136. — 7) Ebd. p. 135. — 8) Ebd. p. 136.

Richarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 15

wenig Avogadros Regel. ^) Das liegt gewiss nicht lediglich
an der Unsicherheit der in die Rechnung eingehenden Be-
obachtungen, sondern an den Prinzipien der ganzen Ueber-
legungen über den ^ Radius der Wirkungssphäre", über die
Art wie die räumliche Ausdehnung der Molekeln in die Weg-
länge und in die Zustandsgieichung eingeht u. s. w., Ueber-
legungen, die man aber vorläufig mit der ihnen anhaftenden
Unsicherheit hinnehmen muss, will man nicht überhaupt das
intellectuelle Opfer eines Verzichtes auf derartige Specula-
tionen bringen; wenn man nur jederzeit ihrer grossen Un-
sicherheit eingedenk bleibt.

m. Berechnung des elektrischen Elementarquantums.

Die folgende Rechnung knüpft an die ^Berechnung der
elektrostatischen Wirkung der elektrolytischen Ladungen von
1 Milligramm Wasser** an, welche Herr von Helmholtz im
Anhang I zur Faraday-Rede gegeben hat.

Nach den neuesten Bestimmungen von F. und W. Kohl-
rausch*) scheidet 1 Ampere in 1 sec 0,1740 ccm Knallgas,
also 0,1160 ccm Wasserstoff von 0® und Atmosphärendruck
aus. Die in 1 sec von der Intensität 1 Ampere durch einen
Querschnitt des Stromes transportirte Elektricitätsmenge ist
gleich 10"^ elektromagnetischen, oder gleich 3 «10^ elektro-
statischen C.G.S.- Einheiten. Davon fliesst die Hälfte als
positive Elektricität in der einen, die Hälfte als negative in
der anderen Richtung. Als den betrachteten Querschnitt

1) Die extremen Werthe für N, welche in der Tabelle mit *
bezeichnet sind, gehen übrigens aus einer Berechnungsweise hervor,
bei welcher nur die Abweichung für Wasserstoff und Kohlensäure
vom Boyle-Mariotte'schen Gesetz berücksichtigt, während die anderen,
dem Mittel näheren Werthe für dieselben Gase aus den Abweichungen
auch vom Gay-Lussac'schen Gesetze abgeleitet sind. Vgl. 0. E. Meyer,
1. c, pag. 74, 230.

2) P. und W. Kohlrausch, Wiedem. Ann. XXVII, p. 59, 1886.

1(3 Sitzung der math.-phys, Classe vom 13. Januar 1894.

nehmen wir die Kathode. Die sämmtlichen als Kation vor-
handenen if- Atome sind ursprünglich positiv beladen. Von
denjenigen, welche als neutrales Gas entweichen, gibt die
Hälfte bei der Elektrolyse die positive Ladung an die Ka-
thode ab, erhält dafür negative Ladung und vereinigt sich
mit der anderen Hälfte, welche ihre positive Ladung be-
halten hat, zu Molekeln, welche je ein positives und je ein
negatives Atom enthalten. Hieraus und aus den obigen
Zahlenangaben folgt, dass in 0,1160 ccm Wasserstoffgas die
gesammte Ladung der positiven beziehungsweise der nega-
tiven Atome 15 • 10^ positive beziehungsweise negative elektro-
statische C. G. S.- Einheiten beträgt. Nennen wir J? den ab-
soluten Werth der Ladung einer Art, welche in 1 ccm
Wasserstoff bei 0° und Atmosphärendruck vorhanden ist,
so folgt

E=\29 * 10^ cm^g^sec"^ pro ccm.

Für ein Gas, dessen Molekeln aus 2 zweiwerthigen oder
dreiwerthigen Atomen bestehen, z. B. für Sauerstoff und
Stickstoff, hat E den zweifachen und dreifachen Werth.

An die erste Ausführung dieser Rechnung hatte ich die
Beantwortung der Frage angeknüpft, ob die elektrolytische
Leitung in einem Gase durch die Jonenladungen auch bei
den stärksten Verdünnungsgraden noch leicht vorstellbar er-
scheine. ^) Die stärkste Verdünnung, welche mit Toepler-
Hagen'schen Quecksilberluftpumpen erreicht wird, beträgt
etwa ein Hundert Milliontel Atmosphäre.^) Dabei kommen
also auf 1 ccm Wasserstoff noch 129 elektrostatische Ein-
heiten positiver und negativer Elektricität und entsprechend
das Doppelte bezw. Dreifache für Sauerstoff resp. Stickstoff.

1) F. Richarz, Sitzber. Niederrh. Ges. Bonn. 47, p. 114, 1. De-
cember 1890. Vergl. H. Ebert und E. Wiedemann, Wied. Ann. 50,
p. 28/80, 1893.

2) E. B. Hagen, Wied. Ann. 12, p. 438, 1881. A. Raps, Wied.
Ann. 48, p. 379, 1893.

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 17

Eine Kugel von 1 cm Halbmesser auf ein Potential von
300 Volt geladen, enthält eine elektrostatische Mengenein-
heit. Ein schneller üebergang einer solchen Ladung von
der Eugel in das Gas würde also auch bei den grössten
herstellbaren Verdünnungen für die Vorstellung keine Schwie-
rigkeit machen.

Aus der oben berechneten elektrischen Gesammtladung
einer Art J?, welche in 1 ccm Wasserstoffgas vorhanden ist,
und aus der Zahl N der Molekeln ergibt sich eine ange-
näherte Berechnung der Ladung einer Valenzstelle. Die
Unsicherheit dieser und aller analogen Berechnungen soll
nach dem Vorgange von Herrn A. P. Chattock (siehe Citat
pag. 38) durch das Zeichen ;^ statt des Gleichheitszeichens
angedeutet werden. Für N^ 10*^ wird das Helraholtz'sche
Elementarquantum

fi = ^ ;^ 129 • 10-^* cm* g* sec-^

Herr E. Budde findet 510 • 10" ^^ C.G.S.; G. J. StoneyO
30 • 10~^* C.G.S. Nach den früheren Ausführungen würden
die extremsten der in der Tabelle auf Seite 14 vorkommenden
Werthe von N für das Elementarquantum Abweichungen bis
zum 30 fachen und bis zu einem Zwölftel von dem oben
angegebenen mittleren Werthe ergeben.

lY. GrOssenverhältniss von Gravitation^ elektrosta-
tischen und elektrodynamischen Kräften zwischen den

Atomen einer Molekel.

Herr von Helmhol tz hat in der Faraday-Rede bereits
gezeigt, dass die elektrolytischen Ladungen von Wasserstoff
und Sauerstoff im Wasser, wenn seine beiden chemischen
Bestandtheile ohne ihre Ladungen zu verlieren von einander
getrennt werden könnten, eine Anziehung auf einander aus-

1) G. J. Stoney, Trans. Royal Dublin Soc, (2), 4, p. 563-608, 1891.

1894. Matb.-pliys. Cl. 1. 2

18 Sitzung der mathrphys. Classe vom 13. Januar 1894.

üben würden, welche der gegenseitigen Gravitation ihrer
ponderablen Träger um das 400,000 Billionenfache überlegen
wäre.-^) Da beide Arten von Kräften dem Newton'schen
Gesetze gehorchen, kann man die Vergleichung beider Kräfte
unabhängig von der Entfernung und Masse machen. Diesen
Schluss können wir also auch unmittelbar übertragen auf
die beiden Atome einer Molekel. Wenn nun auch dabei die
Voraussetzung nicht erfüllt ist, dass die beiden Atome gegen-
über ihrer Entfernung als Punkte zu betrachten sind, so
werden doch die elektrischen Ladungen ihren Sitz an den
einander zugekehrten Seiten der Atome haben und also
a fortiori die Anziehung der elektrischen Ladungen sehr viel
grösser sein, als die Gravitation der beiden Atome auf einander.

In Folge der Wärmebewegung werden aber die Valenz-
ladungen der beiden Atome einer Molekel auch elektro-
dynamische Kräfte auf einander ausüben können. Im gas-
förmigen Zustande wird die Molekel als Ganzes eine fort-
schreitende Bewegung haben, deren Geschwindigkeit mit u
bezeichnet werde; ausserdem wird die Molekel Drehung um
den Schwerpunkt ausführen, wobei noch der Abstand der
beiden Atome veränderlich sein kann. Unter vereinfachenden
Annahmen ist leicht zu zeigen, dass die elektrodynamische
Kraft der sich bewegenden Valenzladungen gegen die elektro-
statischen ausserordentlich klein ist.

Die beiden Atome sollen gleiche Masse haben ; sie sollen
mit ihren Ladungen e als punktförmig angenommen werden ;
die innere Molekularbewegung soll in einer Umkreisung des
gemeinschaftlichen Schwerpunktes mit constanter Geschwin-
digkeit c bestehen. Die elektrodynamische Wirkung, die
theils von der fortschreitenden Bewegung, theils von der
inneren Kreisbewegung herrührt, ist nach einem der elektro-
dynamischen Grundgesetze zu berechnen. Weber's Gesetz gibt

1) H. von Helmholtz, Vorträge und Reden II, p. 317.

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 19

keine Wirkung. Die Grundgesetze von Riemann und Clau-
sius ergeben eine solche in Richtung der Verbindungslinie;
bezeichnen wir mit r den Abstand der beiden Atome, mit
V die Lichtgeschwindigkeit, so ergibt sich für die elektrische
Gesammtkraft stets ein Ausdruck von der Form

*•*

(>+4)

Für die innere Kreisbewegung ist c statt u zu setzen;
n ist ein Zahlenfactor, der für die beiden Grundgesetze resp.
für die beiden Bewegungsarten verschiedene, zwischen — 4
und + 4 liegende Werthe hat ; die elektrodynamische Wir-
k:ung wird zu vernachlässigen sein, wenn u und c klein sind
gegen v = 3 • 10^^ cm sec" ^

Was zunächst u betriflft, so ist sein Mittelwerth aus der
kinetischen Gastheorie bekannt; ^) derselbe ist am grössten
für Wasserstoff = 1,7 • 10^ cm sec~^, also in der That klein
gegen v. Für c erhalten wir einen Anhalt aus der Theorie
des Wärmegleichgewichts zwischen mehratomigen Gasmole-
keln von Herrn Boltzmann.*) Nach derselben ist die mittlere
lebendige Kraft La der fortschreitenden Bewegung einer
Molekel gleich der gesammten mittleren lebendigen Kraft l
eines Atoms. Nenne ich noch die mittlere lebendige Kraft
der inneren Bewegung in der Molekel i,-, so ist die gesamrate
lebendige Kraft einer Molekel = i« + Ai und bei einer
zweiatomigen Molekel der auf ein Atom entfallende Antheil

_ {Lg + U)
^"" 2

Aus Boltzmann's Resultat 1 = La folgt daher

Li = La

1) 0. E. Meyer, kinet. Gastheorie, p. 45.

2) L. Boltzmann, Sitzber. der Wiener Akad. mathem. Cl. 63,
p. 417, 1871.

20 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894,

Geschieht, wie zur Vereinfachung angenommen werden
musste, die fortschreitende Bewegung mit der constanten
Geschwindigkeit m, die innere Kreisbewegung mit der con-
stanten linearen Geschwindigkeit c, so ist also c = u. Auch
c ist mithin klein gegen die Lichtgeschwindigkeit v, und
unter den vereinfachenden Annahmen jede elektrodynamische
Wirkung der bewegten Valenzladungen aufeinander zu ver-
nachlässigen. Wenn nun auch die Voraussetzungen nicht
erfüllt sind, dass erstens die Atome und ihre Ladungen
als punktförmig anzusehen sind, zweitens dass die intra-
molekulare Bewegung der Atome in Umkreisung des Schwer-
punktes besteht, so wird dadurch doch nicht die Grössen-
ordnung im Verhältnisse von elektrostatischer und elektro-
dynamischer Kraft geändert werden. Wir werden also letztere
ebenso wie die Gravitation gegenüber der ersteren Kraft ver-
nachlässigen können.

üeber andere Kräfte ausser den elektrischen und der
Gravitation, welche zwischen den Atomen einer Molekel
thätig sein könnten, wissen wir nichts Sicheres. Wir wollen
daher im Folgenden für einige Fälle, in welchen ein Ver-
gleich mit anderen experimentellen Daten zu Gebote steht,
zusehen, zu welchen Folgerungen die Annahme führt, dass
die elektrostatischen Kräfte der Ladungen der Valenzstellen
die einzigen zwischen 2 Atomen einer Molekel wirksamen
Kräfte seien.

Y. Die Dissociationswärme einer aus 2 Atomen

bestehenden Molekel.

Die Wärmeentwicklung bei chemischen Prozessen wird
im Sinne der Helmholtz'schen elektrochemischen Theorie vor-
nehmlich durch die Verschiedenheit der Anziehung der Va-
lenzstellen für die beiden Arten der Elektricität bedingt sein.
Betrachten wir z. B. die Bildung von Chlor wasserstoflF aus
Chlorknallgas. Aus den neutralen Molekeln {H-\-) ( — H)

Bidkarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 21

und (Cl -[-) ( — Cl) gehen schliesslich die Molekeln {H -»-)
( — Cl) hervor. Die erste Phase des Prozesses ist die Tren-
nung der zu je zweien verbundenen Wasserstoff- und Chlor-
atome. Dabei leistet die Anziehung der beiden entgegen-
gesetzten Ladungen negative Arbeit. Die zweite Phase be-
steht darin, dass die negative Hälfte der if- Atome ihre
schwach festgehaltene negative Ladung an CZ- Atome ab-
geben und dafür die starker angezogene positive Ladung
erhalten, während die Hälft« der CZ- Atome ihre schwach
festgehaltene -|- e abgeben und dafür die stärker angezogene
— e erhalten. Das Resultat dieses Austausches ist also, dass
alle IT- Atome positiv und alle CZ- Atome n^ativ beladen
sind und offenbar leisten bei diesem Austausch die An-
ziehungskräfte zwischen den ponderablen Atomen und den
Elektricitäten positive Arbeit. Die dritte Phase des Processes
ist die Vereinigung je eines {H +) mit einem ( — Cl) Atom
zu neutralen Salzsäure-Molekeln. Hierbei leistet die An-
ziehung der beiden Ladungen positive Arbeit. Die Arbeits-
leistungen während der ersten und dritten Phase werden
annähernd gleich und entgegengesetzt sein, so dass die che-
mische Wärmeentwickelung hauptsächlich durch die zweite
Phase, also durch die Verschiedenheit der Anziehungskraft
ein und derselben Valenzstelle für die beiden Arten der
Elektricität gegeben ist.

Ganz anders verhält es sich bei der Dissociation eines
Gases. Die neutralen Molekeln (X +) ( — X), welche durch
eine Bindung zusammen haften, sollen bei höherer Temperatur
in die beiden isolirten Atome zerfaUen. Wenn die Anziehung
der beiden Ladungen die einzige zwischen den Atomen wirk-
same Kraft ist, würde die negative Arbeit derselben wesent-
lich die Wärmeabsorption bei der Dissociation bedingen. In
Bezug auf die zuzuführende Energie ist ausser der von den
Kräften geleisteten Arbeit noch zu berücksichtigen, welchen
Inhalt an lebendiger Kraft das dissociirte Gas einerseits und

22 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894.

das nicht dissociirte Gas andererseits besitzen. Wir gehen
aus von dem dissociirten Gase. Das Volumen soll constant
sein, so dass äussere Arbeit nicht geleistet wird. Wir denken
uns das dissociirte Gas abgekühlt bis auf eine Temperatur,
bei welcher die Vereinigung aller Atome zu zweien eintreten
kann, denken uns aber zunächst das Gas bei dieser Tem-
peratur noch dissociirt. Dann soll die Association eintreten
und nach derselben das Gas wieder auf die vorherige Tem-
peratur gebracht werden. Die hierbei zu entziehende Wärme-
menge ist die „Dissociationswärme*. Der Gesammtinhalt an
lebendiger Kraft ist vor und nach der Association derselbe;
dies folgt unmittelbar daraus, dass bei derselben Temperatur
der Mittelwerth der gesammten lebendigen Kraft je eines
Atoms, auch bei verschiedenen Gasen, stets denselben Werth
hat, einerlei ob die Atome isolirt oder zu Molekeln verbunden
sind. Da also der Inhalt an lebendiger Kraft ungeändert
bleibt, ist die Dissociationswärme gleich der Veränderung
der potentiellen Energie, oder gleich der Arbeit der Kräfte,
welche die beiden Atome einer Molekel auf einander ausüben.
Diese Anziehung soll nun nach unserer Annahme durch
die elektrostatische Kraft der Valenzladungen gegeben sein.
Wenn diese wieder als punktförmig angenommen werden
und im Zustande der Association sich im Abstände r von
einander befinden, so ist die Arbeit bei der Annäherimg aus
unendlicher Entfernung nach der Bezeichnung unserer früheren
Gleichungen für eine Molekel

gleich

€*

Bezeichnen wir den Mittelwerth einer Grösse x wie
üblich durch ^, so wird dieselbe Arbeit für alle ^-Molekeln
in einem Gubikcentimeter

Das einem Doppelstern vergleichbare System der sich

Richarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 23

um einander bewegenden beiden Atome wird in Bezug auf
die Raumerfüllung bei den Zusammenstössen der Molekel
sich ähnlich verhalten wie eine Kugel, deren Durchmesser
gleich ist dem mittleren Abstände der beiden Atome; ^) r
kann gleich dem Molekulardurchmesser q von Seite 14 ge-
nommen werden. We.nn ferner grosse Abweichungen des
Momentanwerthes r vom Mittelwerthe r nur sehr selten vor-
kommen, so kann auch ohne Fehler der Qrössenordnung

— 'i^ — ^ — gesetzt werden. Dass diese Voraussetzung er-

r f Q

füllt ist, ist schon von vornherein plausibel; es folgt aber

auch aus Herrn Boltzmann's kinetischer Theorie mehrato-
miger Gase. Nach derselben ist für ein Atom bei gegebener
Lage und gegebener lebendiger Kraft jede Richtung gleich
wahrscheinlich.*) Daraus folgt für eine aus 2 Atomen be-
stehende Molekel, dass eine Bewegungsrichtung, welche zu
der Verbindungslinie der beiden Atome nahe senkrecht ist,
sehr viel häufiger vorkommt als jede andere und dass die
Häufigkeit abnimmt bis zur Bewegungsrichtung in der Ver-
bindungslinie selbst. Z. B. verhält sich die Wahrscheinlich-
keit einer Bewegungsrichtung, welche mit der Verbindungs-
linie der beiden Atome einen Winkel von 89^ bis 90° ein-
schliesst, zu der Wahrscheinlichkeit einer solchen in einem
Winkel von 0° bis 1° ebenso wie auf der Erdkugel der
Flächeninhalt der äquatorialen Zone von 0° bis 1° geogr.
Breite zu der Polarkappe von 89° bis 90° Breite. Wenn
nun die der tangentialen nahe Bewegungsrichtung an Häufig-
keit so sehr überwiegt, so muss die Bahn der nach unserer
Annahme unter dem Einflüsse einer Newton'schen Kraft sich
in einander bewegenden Atome sehr viel häufiger eine nahe-
zu kreisförmige, d. h. elliptische mit geringer Excentri-

1) Vergl. 0. E. Meyer, kinet. Gkwtheorie, pag. 213.

2) L. Boltzmann, 1. c, p. 416.

24 Sitzmuj der math.-phys. Clause vmn 13. Januar 1894.

cität, als eine gestreckte von grosser Excentricität sein.^)
Dann ist auch die Voraussetzung erfüllt, dass die Momentan-
werthe von r sehr selten weit vom Mittelwerth r abweichen,

und es kann also — J^ — gesetzt werden.

T Q

Dies eingesetzt wird die Gleichung für die Dissociations-
wärme

Die Dissociationswärme W ist für einige dem theoretisch
betrachteten Falle entsprechende Gase bekannt; werden für
Q, Ny e ferner ihre im Früheren angenommenen Werthe ge-
setzt, so lässt sich unsere Gleichung controliren; dass dieselbe
für Untersalpetersäure und Joddampf der Grössenordnung
nach erfüllt ist, habe ich bereits früher bestätigt.*)

Der Vorgang der Dissociation von üntersalpetersäure
JVa O4 zu 2 JVO2 ist für uns vollkommen analog der Dissociation
von 2 Atomen, die mit einer Bindung verknüpft sind ; denn

IllyO V^O

die einwerthige Gruppe — N\^ I oder — JV^ spielt bei der-
selben vollkommen die Rolle eines Atoms.

1) Vorstehende Ueberlegung lässt sich analytisch durchführen;
vergl. Verhdlg. d. Phys. Ges. Berlin, 10, p^ 76, 77; 26. Juni 1891.

Es ergibt sich ein Resultat von der Form — = ~. Der Faktor g,

nahe = 1, kommt bei der Unsicherheit der anderen üeberlegungen
nicht in Betracht.

2) F. Richarz, Sitzber. d. Niederrh. Ges. 48, p. 25, 26; 12. Jan.
1891. Verhdlg. d. Phys. Ges. Berlin, 10, p. 73— 79, 1891. Die Lite-
ratur üher die Messungen der Dissociationswärme siehe daselbst, und
Wied. Ann. 48, p. 491/492, 1893. — Welche von den 4 Grössen TT,
Q, N^ 8 man vermöge meiner obigen Gleichung aus den 3 übrigen
berechnet, um den so berechneten Werth mit dem direct beobachteten
zu vergleichen, ist selbstverständlich gleichgültig. In meiner ersten
Publication hatte ich q gewählt, in der zweitgenannten e; Herr Ebert
führt die Rechnung für W durch. (Wied. Ann. 50, p. 255—260, 1893.)

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 25

Aus den Versuchen von Berthelofc und Ogier ergibt
sich für Untersalpetersäure (bezogen auf die in 1 ccm bei
0^ und Atmosphärendruck enthaltene Masse):

T7 = 25 . 10« Erg pro ccm.

Für die Dissociation des Joddampfs hat Herr Boltzmann
aus Versuchen von Fr. Meyer und J. M. Grafts für die im
selben Volumen enthaltene Masse berechnet:

TT = 54 • 10« Erg pro ccm.

Endlich hat Herr E. Wiedemann aus Messungen der
Wärmemenge, welche zur Ueberftihrung des Banden- in das
Linienspectrum nöthig ist, gefunden, dass einem Gramm Wasser-
stoffgas von gewöhnlicher Temperatur zur Zerlegung in seine
Atome etwa 128000 Gramm — Calorien zugeführt werden
müssen.^) Daraus ergibt sich für die im ccm bei 0^ und
Atmosphärendruck enthaltene Masse:

TT = 483 • 10« Erg pro ccm.

Auch diesen Werth habe ich, wie die beiden anderen,
schon bei der ausführlichen Zusammenstellung des lediglich
kinetischen Theiles meiner Schlussfolgerungen mit in Be-
tracht gezogen.*)

Die abgeleitete Gleichung für die Dissociationswärme
wollen wir so benutzen, dass wir aus W, q und N den Werth
von £* berechnen, welcher Werth die Constante in der New-
ton'schen Kraft zwischen den Valenzladungen ist und in allen
Consequenzen der Theorie auftreten muss und gegebenenfalls
berechnet werden kann, so auch weiterhin im nächsten Ab-
schnitt dieser Arbeit. Setzen wir JV ;:^ 10*^, ^l^^lO^^cm,
so erhalten wir aus den betr. Werthen der Dissociationswärme

1) E. Wiedemann, Wied. Ann. 10, p. 263, 1880; 18, p. 609, 1883.
Ostwald, Allgem. Chemie 2, p. 49.

2) F. Richarz, Wied. Ann. 48, p. 492, 1893.

26 Sitzung der math.-phys. CJasse üom 13. Januar 1694.

bei Untersalpetersäure: « ^ 50 • 10~"cm* g* sec~^
bei Joddampf: £ :^ 73 • lO""

bei Wasserstoff: £ ;^ 220 • lO"'»

Dass diese Werthe mit dem aus der Elektrolyse folgen-
den £::^129«10~^* so nahe übereinstimmen, ist bei der
grossen Unsicherheit der Berechnungen und der Willkür
verschiedener Annahmen teilweise Zufall; man darf durchaus
nicht sagen, dass durch diese Uebereinstimmung die elektro-
chemische Theorie bestätigt sei. Denn es konnten ausser den
elektrostatischen Kräften der Yalenzladnngen noch andere
Kräfte von doppelter, dreifacher oder ähnlicher Grosse vor-
handen sein, ohne dass die gefundene Uebereinstimmung
innerhalb der Grenzen ihrer Unsicherheit gestört würde. Das
aber werden wir sagen dürfen, dass wir nicht in Widerspruch
mit den experimentellen Daten für die Dissociationswärme
treten, wenn wir mit Herrn v. Helmholtz annehmen, dass
die chemischen Kräfte zwischen den Atomen mit den elektro-
statischen zwischen den Valenzladungen identisch sind.

VI. Anwendung des Satzes vom Yirial und der
Boltzmann'schen Theorie mehratomiger Gase.

Die innere Bewegung der Atome in einer Molekel ist
eine stabile; auf sie lässt sich daher der Virialsatz von
Clausius anwenden.^) Da die Zahl der in Wechselwirkung
begriffenen Molekeln sehr klein ist, gegen die Gesammtzahl,
kann von den Kräften der Molekeln untereinander abgesehen
werden. In einem gegebenen Augenblicke kommen alle mög-
lichen Zustände der relativen Bewegung und Lage, welche
die Atome einer Molekel nach einander annehmen, gleich-
zeitig bei den verschiedenen Molekeln vor. Es werde mit

1) Clausius, Siizber. der Niederrh. Ges. 27, p. 114, 1870. Pogg.
Ann 141, p. 126, 1870. Jubelbd. p. 41 1 , 1874. Literatur siehe Wied.
Ann. 48, p. 468, 1893.

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 27

^i die gesammte lebendige Kraft der inneren Bewegung der
Atome in der Volumeneinheit, also diejenige der Bewegung
der Atome relativ zum Schwerpunkte der Molekel, welcher
sie angehören, bezeichnet, f (r) sei die gegenseitige An-
ziehung der Atome einer Molekel. Dann ergibt nach Obigem
der Virialsatz : ^)

Für die gesammte lebendige Kraft der fortschreitenden
Bewegung der Molekeln in der Volumeneinheit, -^a, ergibt
sich ebenfalls aus dem Virialsatz^)

wo p der Druck ist.

Die bereits mehrfach erwähnte kinetische Theorie mehr-
atomiger Gase von Herrn Boltzmann ergibt -^, = u^a för
2 atomige Gase, von welchem Resultat (auf eine Molekel be-
zogen) bereits auf Seite 19 Gebrauch gemacht wurde. Wir
erhalten also

Nimmt man nun wieder an, die Kraft /*(r) sei die
elektrostatische Anziehung der Valenzladungen, und die Atome

nur mit einer Bindung verknüpft, so ist f{r)= ^-, und bei

Einführung unserer früheren Bezeichnungen kann gesetzt

T Ne^
werden 2r f{r) = Ne^ —

r Q

Der Virialsatz ergibt dann

p ist gleich 1,01 • 16® Dynen pro cm^; nimmt man
wieder iST;^ 10*^ q ä: 18"» cm, so folgt

e ^n • 10-^^ cm ^ g^ sec-^
1) F. Richarz, Wied. Ann. 48, p. 470 ff., 1893.

28 Sitzung der math.-phys, Classe vom 13. Januar 1894,

Auch dieser Werth liegt wieder innerhalb der Grenzen
der Unsicherheit des aus der Elektrolyse folgenden.

Die vorstehende Berechnung aus Virialsatz und Boltz-
mann's Theorie ist nicht unabhängig von derjenigen aus der

Dissociationswärme nach der Gleichung W= Ne^ —. Denn

hieraus und aus dem Virialsatz in der Form 3 ü = Ne^ —

würde sich ergeben W= 3p^ welche Bedingung aber nicht
erfüllt ist. Vielmehr ist die Bedingung der Stabilität der
Molekeln, wie ich an anderem Orte nachgewiesen habe/)

dass W gross sei gegen p und zwar so, dass c p gross ist
gegen 1. Die Stabilitätsbedingung ist, wie a. a. 0. gezeigt,

in der That erfüllt, da — für N^ 0^ gleich 25, für J^ gleich

53, für ^2 gleich .478 ist. Unser jetziger Widerspruch gegen
diese allgemein gültige und erfüllte Stabilitätsbedingung rührt
davon her, dass wir zur Vereinfachung die Atome als Massen-
punkte betrachteten und zwischen ihnen eine Kraft ange-
nommen haben, welche einer Potenz der Entfernung pro-
portional ist; dies ist, wie a. a. 0. p. 477 nachgewiesen,
unzulässig. Molekeln, deren Atome durch eine Newton'sche
Kraft verbundene Massenpunkte wären, sind nicht stabil;
eine einfache Rechnung,*" welche der a. a. 0. p. 483 S, analog
ist, ergibt für solche Molekeln zwei Zustände, die an Wahr-
scheinlichkeit allen anderen weit überlegen sind: Entweder
fallen die Atome dauernd in einen Punkt zusammen, oder
sie sind soweit von einander entfernt, dass sie keine Kräfte
auf einander ausüben, was der Dissociation entspricht.

Trotzdem kommt der Widerspruch für uns, bei der
Berechnung des Elementarquantums e nicht in Betracht,

weil die Bedingung e p gross gegen 1 schon durch massige

1) F. Richarz, Wied. Ann. 48, p. 490 ff., 1898.

Richarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 29

W .

Werthe von erfüllt ist, und die Unsicherheit in unseren

P
Berechnungen so gross ist, dass ihre Grenzen noch weit

mehr verschiedene Werthe einschliessen. Von „üeberein-

stimmung* kann von vornherein keine Rede sein, sondern

nur von ^ Nichtwidersprechen ".

Vn. Vergleich mit den Lichtschwingungen.

Halten wir weiterhin wie bisher an der Annahme fest,
dass wir die Atome als Punkte ansehen dürfen, welche im
gasförmigen Zustande frei um einander beweglich sind. Ist
dann nur die elektrostatische Kraft zwischen derselben wirk-
sam, so kann die Dauer eines Umlaufe um den gemeinsamen
Schwerpunkt aus der Gleichung angegeben werden, welche
für die Planetenbewegung das 3. Keppler'sche Gesetz liefert;
dabei werde angenommen, dass die beiden Atome der Molekel
nur durch eine Valenz verbunden seien.

Wenn zwei Massenpunkte m^ und m^ unter dem Ein-
flüsse der Gravitationskraft

sich bewegen, so ist das 3. Keppler'sche Gesetz

4:71^ AI Gml

wo A^ die grosse Halbaxe der Bahnellipse von m^; T die
ümlaufzeit ist.

Die elektrostatische Kraft ist /*(y) = — -; also ist zu setzen

G m^ «»2= «*; führen wir ferner die ganze grosse Axe 3lj = 2 v4 j
ein, so wird

+ ^2

W/o

T=^|/'^^'y2i»'^>

30 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 13, Januar 1894.

Nehmen wir die beiden Atome als gleich an, so ist
tn^ = ^2 = *w, und auch der Index von Slj fällt weg, da
die beiden Bahnellipsen gleich werden; also

Bilden wir nun die Mittelwerthe über alle Molekeln in
einem endlichen Volumen, so kann nach denselben Ueber-
legungen, wie sie auf Seite 23 angestellt wurden, ohne Fehler
in der Grössenordnung für die grosse Axe 3 der Durchmesser
einer Molekel gesetzt werden :^ 10""^ cm. Der kleinste
Werth für T ergibt sich bei Wasserstoff, wo 2 w, die Masse
einer Molekel, den kleinsten Werth hat. Die Dichtigkeit
des Wasserstoffs zu 895 • 10~'' und die Zahl der Molekeln
in 1 ccm zu 10^^ angenommen, wird 2 m ?t 89,5 • 10""*^
Für Wasserstoff wird daher

T;^23. lO-i^sec

Stillschweigende Voraussetzung bei der Berechnung der
mittleren ümlaufszeit T ist, dass die Zusammenstösse der
Molekeln unter einander nicht so häufig stattfinden, dass
eine regelmässige Centralbewegung der Atome um einander
gar nicht zu Stande kommt. Jene Voraussetzung ist aber,
wie die kinetische Gastheorie zeigt, erfüllt. Die grösste Stoss-
zahl gilt für Wasserstoff, nämlich 95 • 10® in der Secunde;^)
mithin die Zeit zwischen 2 Zusammenstössen 105 • 10~^* sec.
Also kommen bei Wasserstoff rund 4000 Umläufe der Atome
um einander auf die Zeit zwischen 2 Zusammenstössen.

„ Wenn nun eine positive und eine negative Ladung mit
den beiden Atomen einer Molekel verbunden, sich um ein-
ander drehen, so ist ein solches System offenbar äquivalent
einer elektrischen Schwingung. Von dem rotirenden Atompaar
werden daher auch, wie von einer Hertz'schen Schwingung,

1) 0. E. Meyer, kinet. Gastheorie, p. 142.

Richarz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 31

elektrodynamische Wellen ausgestrahlt, und bei hinreichender
Schnelligkeit müssten dieselben vom Auge als Licht wahr-
genommen werden. Da nun aber die Gase bei 0® nicht
leuchten, muss die Schwingungsdauer jener elektrodyna-
mischen Wellen grösser sein als die der langsamsten Licht-
wellen-. Für die äussersten rothen Wellen ist die Schwing-
ungsdauer rund

IT = 25 . 10-^« sec

Die Schwingungsdauer der elektrodynamischen Welle,
welche die rotirende Molekel ausstrahlt, ist gleich der üm-
laufszeit T; und, wie verlangt, ist der kleinste Werth für
diese, wie er bei Wasserstoff sich ergibt, grösser als t. Der
Werth für T bei Wasserstoff ist aber nur 10 mal grösser
als T, und vielleicht dürfen wir daraus vermuthen, dass unter
Umständen doch die betrachtete elektrodynamische Welle in
den Bereich der Lichtwellen eingreift. Da nun T nur der
Mittelwerth der verschiedenen bei verschiedenen Molekeln
gleichzeitig vorhandenen Umlaufszeiten ist, so würde das
Gas bei einer gegen die normale beschleunigten Umlaufszeit
in der angegebenen Weise ein continuirliches Spectrum aus-
senden; vielleicht trägt die so erzeugte Strahlung mit bei
zur Bildung des continuirlichen Hintergrundes im Spectrum
der Gase, welchen auch Herr H. Kayser der , ungeordneten*,
also der Wärmebewegung der Atome zuschreibt.^) Wie dem
aber auch sei, es würde auch jede andere hinreichend schnelle
periodische Bewegung der Valenzladungen zu Lichtstrahlung
Anlass geben; sei es, dass die Atome sammt ihren Ladungen
als Ganzes oscilliren, wie dies wohl bei festen Körpern und
den ein Bandenspectrum liefernden Gasen der Fall sein dürfte;
sei es, dass die Schwingungen innerhalb der einzelnen Atome
vor sich gehen, wie bei den ein Linienspectrum liefernden
Gasen.* Zu dieser Stelle aus meiner vorläufigen Mittheilung

1) H. Eayser, Lehrbuch der Spectralanalyse, p. 98.

32 Sitzung der mathrphys, Classe vom 13. Januar 1894,

vom 26. Januar 1891 habe ich nachzutragen, dass die An-
sicht, der continuirliche Hintergrund der Qasspectra rühre
von den Rotationen der Molekeln her, zuerst von Herrn
Eilhard Wiedemann ausgesprochen ist;^) in derselben Arbeit
führt Herr E. Wiedemann die continuirlichen Spectra bei
glühenden festen Körpern oder Flüssigkeiten auf unfreie
Schwingungen zurück; ferner wie schon früher Herr v. Helm-
holtz*) die Bandenspectren auf freie Schwingungen der Atome
im Molekularverband unter dem Einflüsse der gegenseitigen
Kräfte der Atome, die Linienspectren auf freie Schwingungen
der AetherhüUen isolirter Atome.

Bezüglich der Energie, welche die in der Molekel oder im
Atom oscillirenden Valenzladungen als Hertz'sche Schwingung
ausstrahlen können, hat Herr H. Ebert nachgewiesen,^) dass
dieselbe nicht im Widerspruch steht mit der von Herrn Eil-
hard Wiedemann gefundenen Strahlungsenergie eines Natrium-
atoms.*) Auch Herr 6. J. Stoney schreibt das Leuchten den
Bewegungen der Valenzladungen zu^j und discutirt die Strah-
lung, welche durch Oscillationen unter dem Einflüsse ela-
stischer Kräfte hervorgerufen wird.

Vin. Molekularer Magnetismus.

Wenn eine Valenzladung infolge der Wärmebewegung
eine kreisförmige oder ähnlich gestaltete, eine Fläche um-
schliessende Bahn beschreibt, so wird sie nach aussen elektro-
magnetische Wirkung ausüben. Bei einer Bewegung wie
bei dem bisher betrachteten Umlauf zweier als Punkte ge-

1) Eilh. Wiedemann, Wied. Ann. 5, p. 509, 1878; s. auch 10,
p. 252, 1880.

2) H. V. Helmholtz, Pogg. Ann. 160, p. 182, 1877.

3) H. Ebeit, Arch. de Geneve (3) 25, p. 489, 15. Mai 1891;
Wied. Ann. 49, p. 651, 1893.

4) Eilh. Wiedemann, Wiedem. Ann. 37, p. 177, 1889.

5) G. J. Stoney, Trans. Roy. Dublin Soc. 4, (2), p. 563, 1891.

Richarz: EleJctrische und magnetische Kräfte der Atome. 33

dachter Atome von gleicher Masse um einander, müssen sich
aber schon die elektromagnetischen Wirkungen der beiden
Atome einer Molekel aufheben. Zunächst ist dies nicht mehr
der Fall, wenn die beiden Atome der Molekel verschiedene
Masse haben; dann wird die elektromagnetische Wirkung
der mit dem leichteren Atom verbundenen Ladung wegen
der grösseren von der Bahn umschlossenen Fläche über-
wiegen. Denken wir uns aber weiterhin das Atom als
räumlich ausgedehnt, so sind auch noch andere rotationelle
Bewegungen der Valenzladungen mit oder im Atom denkbar,
deren magnetische Gesammtwirkung für eine Molekel sich
nicht aufhebt.^) Endlich können wir uns bei festen Körpern
und Flüssigkeiten die Atome einzeln und ihre Bewegung von
einander unabhängig ausführend vorstellen, sodass wir uns
als Grenzfall alle positiv geladenen Atome im einen Sinne,
alle negativ geladenen Atome im entgegengesetzten Sinne
rotirend, und alle Rotationsaxen parallel denken können,
sodass sich in diesem Fall die magnetische Wirkung aller
rotirenden Valenzladungen addiren würde. Hiedurch kommt
man dazu, die Zulässigkeit dieser Erklärung des molekularen
Magnetismus dadurch zu prüfen, dass man eine annähernde
Berechnung für den maximalen specifischen Magnetismus bei
Sättigung ausführen kann.

Diese Vorstellungen knüpfen sich von selbst an die Be-
trachtung der mit oder im Atom bewegten Valenzladungen
an. Nachdem ich dieselben bereits seit längerer Zeit wieder-
holt gesprächsweise geäussert und die im Folgenden mitge-
theilte Rechnung durchgeführt hatte, fand ich kürzlich im
XL Abschnitt des 2. Bandes der mechanischen Wärmetheorie

1) Schon bei einer aus 2 gleichen, räumlich ausgedehnten, Atomen
bestehenden Gasmolekel zwingt die Verschiedenheit der Anziehung
der ponderablen Masse für die beiden Arten der Elektricität zu der
Folgerung einer unsymmetrischen Lagerung der -j" ^ und — e, woraus
dann bei Rotation eine magnetische Gesammtwirkung resultirt.

1894. Math.-phys. Cl. 1. 3

34 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894.

von Clausius,^) dass schon Wilhelm Weber gich von den
Ampere'schen Molekularströraen die Anschauung gebildet
hatte, dass dieselben in kreisförmiger Bew^ung eines posi-
tiven Elektricitätstheilchens am einen negativ elektrischen
Kern bestehe,*) ohne dass jedoch Weber diese Elektricitäts-
theilchen mit den Jonenladungen identificirte.

Eine in Kreisbahn sich bewegende Elektricitätsmenge e
kann bezüglich ihrer elektromagnetischen Wirkung als Kreis-
strom aufgefasst werden. Als Stromintensität i ist dann ein-
zuführen der Quotient aus Elektricitätsmenge, welche in einer
Zeit T einen Punkt der Kreisperipherie passirt, dividirt durch
T. In der dualistischen Theorie passiren beim Strom gleiche
positive und negative Mengen in entgegengesetzter Richtung
den Querschnitt. Bewegte Elektricität von einer Art allein
repräsentirt in der elektrodynamischen Wirkung also nur die
halbe Stromintensität.

Bewegt sich demnach eine Elektricitätsmenge e auf der
Peripherie eines Kreises mit einer ümlaufszeit T, so ist sie

elektromagnetisch äquivalent der Stromintensität i = ^r-=.

a J.

Eine Valenzladung elektrostatisch gemessen ist annähernd
e J^ 129 • 10~^*; also elektromagnetisch gemessen ?^ 43 • 10""**.
Eisen gilt als 4 werthig; die 4 Valenzstellen eines Eisenatoms
als von gleicher Ladung vorausgesetzt würde also das obige
e ;^ 172 • 10~** elektromagnetischen C. G. S.- Einheiten sein,
wenn man sich alle 4 Ladungen in beliebiger Weise auf
der Peripherie desselben Kreises, denselben in gleichem Sinne
durchlaufend denkt.

Ein Kreisstrom von der Intensität i, welcher eine Fläche
q umströmt, ist äquivalent einem Magneten vom Momente

m = iq

1) Clausius, mechan. Wärmetheorie II, p. 341/342, 1879.

2) Wilh. Weber, elektrodynam. Massbest., Leipzig 1871, p. 41.

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 35

Nehmen wir den Kreisstrom von molekularen Dimen-
sionen, so können wir setzen q ;^ ^*, wo d die Kante des
einem Eisenatom zukommenden Elementarwürfels ist. Hiefür
erhalten wir folgenden angenäherten Werth.

Eine Molekel H^ hat eine Masse von etwa 9 • 10"*^ g
(siehe Seite 30). Ein Eisenatom Fe = 56 ir= 28 iZ^ also
25 • 10"^* g. Das specifisehe Volumen des Eisens ist 1 ccm :
7,7 g. Daraus folgt das Volumen des einem Eisenatom
zukommenden Elementarwürfels 33 • 10~** ccm, und die
Kante desselben d gleich 1,5 • 10~* cm. Mithin g ÄJ (J*
;^ 2,3 . 10-^6 cm».

Für das magnetische Moment eines Eisenatoms finden
wir also die Annäherung:

3Ä Ä 2,3 . 10-16 . i ^ 2,3 . 10-1« • ^,

und indem wir für e den obigen Wert einführen

2 . 10-36

Zu einer Schätzung der Grössenordnung der ümlaufs-
zeit T können wir auf zwei Wegen gelangen. Erstens ist
wie im vorigen Abschnitt daran zu erinnern, dass die roti-
renden Valenzladungen elektrodynamische Wellen aussenden
müssen. Wenn dieselben nicht als Licht empfunden werden
sollen, so muss ihre Periode länger als die der längsten
rothen Wellen sein; wir erhalten also

r>3- 10-15 sec

Zweitens soll als Grenzfall angenommen werden, die
ponderable Masse des Eisenatoms sei mit der elektrischen
Ladung desselben in einem Punkte vereinigt. Nach der
kinetischen Theorie der Materie ist die mittlere lebendige
Kraft eines Atoms bei gegebener Temperatur für alle Sub-
stanzen dieselbe. Gehen wir aus von einem einatomigen

36 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13. Januar 1894.

Gase (etwa Hg)^ so ist die gesammte lebendige Kraft in
1 ccm bei 0® und Atmosphärendruck

^ == 3 p = 8 . 1^01 • 10« C. G. S.

Division durch 10^^ ergibt also für ein Atom beliebiger
Substanz und Aggregatzustandes L die gesammte lebendige
Kraft ;^ 1,52 • 10~^*. Nenne die Masse eines Eisenatoms w,
die constante Geschwindigkeit, mit welcher es die kreis-
förmige Bahn vom Durchmesser d durchläuft, «, so wird

i_i„,._^_.,|/^

Nehme d :^ lO""» cm; w ;^ 25 • 10"**; L :^ 1,52 • 10""

so folgt

T;^l,3.10->*sec

Nun bewegt sich aber gewiss nicht die ganze ponderable

Masse des Atoms auf der Oberfläche des ihm zukommenden

Raumes, sondern befindet sich grösstentheils mehr central;

damit derselbe Werth der lebendigen Kraft erreicht wird,

muss also die Umdrehungsgeschwindigkeit grösser sein, und

es sollte sein

T < 10-^^ sec

Schätzen wir nach diesen beiden Grenzwerthen etwa

T ^ 10-^* sec

Herr H. E. J. G. Du Bois hat mir mitgetheilt, dass er in
einer noch nicht publicirten Berechnung auf Grund der von
Maxwell (Treatise Cap. 21) umgearbeiteten Lord Kelvin'schen
Wirbeltheorie versucht habe, aus der magneto- optischen
Drehung in ferromagnetischen Metallen (Kundt'sches Phä-
nomen) einen Anhaltspunkt zu gewinnen für die Periode
jener Wirbel. Nach den vorliegenden Daten gelange er zu
dem Schlüsse, dass in etwa halb- „gesättigtem" Eisen die

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome. 37

Wirbel eine Frequenz von 5 Billionen pro Secunde haben,
also etwa der hundertste Theil derjenigen des Natronlichtes.
Die Rechnung führe zu einer Schlussformel für die Periode,
welche folgendermassen lautet:

r=2,5.io-"~

M
wo M der maximale specifische Magnetismus ist.

Einmal stimmt der Bau dieser Gleichung mit der uns-
rigen überein; setzen wir zweitens den Werth für Eisen
M = 220 (s. unten) ein, so wird bei voller Sättigung un-

geföhr

T= 10-^3 sec

Dieser Werth liegt innerhalb der sehr weiten Grenzen
der Unsicherheit unseres oben gewählten Werthes.^)

2 • 10~^^
Führen wir in die Gleichung S0i '^ ^ — den Werth

T ^ 10-1* ein, so wird m^2' 10"^^

Will man zu endlichen Massen übergehen, so kann man
annehmen, dass bei Sättigung alle positiven Valenzladungen
um parallele Axen in demselben Sinne, alle negativen im
entgegengesetzten Sinne rotiren. Dann muss das maximale
magnetische Moment von 1 g Eisen, also der specifische
Magnetismus bei Sättigung, gleich werden

wo 5W die Zahl der Atome in 1 g Eisen ist.

1) Wenn wir wieder daran denken, dass die periodische Be-
wegung der Yalenzladungen zu elektrodynamischer Strahlung Anlass
gibt, wie eine Hertz'sche Schwingung, so steht die Grössenordnung
der ümlaufszeit ebenfalls in Einklaug mit dem von Herrn Willy Wien
abgeleiteten Resultate, dass die Periode der in der Wärmestrahlung
fester Körper vorkommenden Schwingungen klein sein muss gegen die-
jenigen, welche von Drahtnetzen vollständig zurückgeworfen werden.
(Wied. Ann. 49, p. 633, 1893.)

38 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 13, Januar 1894.

Aus iw ;^ 25 • 10-** folgt 5« ;^ 4 • 10»^ Also wird

Jf ?^ 8 CG. S.-Einheiten

Der experimentell gefundene specifische Magnetismus bei
Sättigung beträgt 1)

bei Eisen 220 C. G. S.
bei Kobalt 150 ,
bei Nickel 60 „

In Anbetracht der überaus grossen Unsicherheit der
Berechnung von M muss man den berechneten und die
direct bestimmten Werthe als innerhalb der Grössenordnung
übereinstimmend bezeichnen. Der Versuch, den vor der
Richtung der Elementarmagnete praeexistirenden molekularen
Magnetismus auf Rotation der Valenzladungen zurückzuführen,
scheint demnach zulässig zu sein.

Weitere Controlberechnungen der Helmholtz'schen elektro-
chemischen Theorie hat inzwischen Herr A. P. Chattock aus-
geführt.*) In seiner ersten Mittheilung berechnet er aus den
Erscheinungen beim Ausströmen der Elektricität aus Spitzen
das Elementarquantum für die Atome des Gases. In der
zweiten nimmt er an, dass die auch von älteren Theorieen
der Dielectrica vorausgesetzten, in dasselbe eingebetteten Elek-
tricitätstheilchen eben die Valenzladungen sind. Diese „elektro-
lytische Theorie der Dielectrica" wendet Herr Chattock an
auf die Messungen der Piezo-Elektricität der Herren J. und
P. Curie und Mallock, der Pyro-Elektricität von Herrn Riecke,
der Cohäsion, der Dielektricitäts-Constante, der Elektro-
Striction, und findet stets Werthe für das Elementarquantum,

1) H. E. J. G. Du Bois, Phil. Mag. [5], 29, p. 293, 1890.

2) A. P. Chattock, Phil. Mag. (5), 32, p. 285, 1891; 34, p. 461,
1892; 35, p. 76, 1893.

Bicharz: Elektrische und magnetische Kräfte der Atome, 39

die dem elektrolytischen nahe stehen. Auch Herr J. J.
Thomson hat in mehreren neueren Arbeiten (siehe Citat p. 8)
aus der Quantität der Jonenladungen mit Erfolg Schlüsse ge-
zogen zur Erklärung verschiedener Phänomene, insbesondere
auch des von Robert von Helmholtz gefundenen und von
ihm und anderen untersuchten Dampfstrahlphänomens.

Zum Schlüsse möchte ich mich nochmals im Voraus gegen
die Auffassung verwahren, als ob ich mich der Täuschung
hingäbe, irgend eine der entwickelten Berechnungen könne
als positiv für die elektrochemische Theorie beweisend an-
gesehen werden. Schon auf Seite 26 habe ich darauf hin-
gewiesen, dass neben den elektrischen Kräften der Valenz-
ladungen noch andere von derselben Grössenordnung existiren
können, ohne dass unsere Gleichungen bei ihrer grossen Un-
sicherheit einen Widerspruch erkennen lassen würden. Wohl
aber darf man behaupten, dass man bei Annahme der Helm-
holtz'schen Theorie eine Reihe von Erscheinungen unter
gemeinsamem Gesichtspunkt auffassen kann, und bei der
berechnenden Verfolgung, soweit dieselbe möglich ist, nicht
in Widerspruch tritt mit der Erfahrung.

Ueber eine einfache, eindeutige Raumtransformation

3. Ordnung.

Von Karl Döhlemann in München.

(Eingelaufen 18. Januar.)

1. Unter Voraussetzung des Begriffes der Projectivität
kann man sich kaum eine einfachere Methode denken, den
Raum geometrisch anschaulich eindeutig auf sich selbst zu
beziehen als folgende: In dem einen Raum (X-Raum) seien
3 Gerade a^, a^^ a^ beliebig und in allgemeiner Lage ange-
nommen, ebenso im andern, F-Raum. Jede dieser 6 Geraden
soll Träger eines Ebenenbüschels sein und zwar seien die
Ebenen büschel a^ und 6j, a^ und i^, a^ und h^ je zu einander
projectiv. Irgend ein Punkt im X-Raura, P^, ist dann
Schnittpunkt dreier Ebenen durch a^, a^, a^\ diesen ent-
sprechen vermöge der projectiven Beziehungen drei Ebenen
durch &j, 621 ^31 welche sich in dem entsprechenden Punkt
Py schneiden.

Lässt man Px auf einer beliebigen Geraden g fortrücken,
so bezieht P^ dabei die Büschel a^, a^^ a^ projectiv auf-
einander. Es werden also auch die Büschel 6j , \, 63 pro-
jectiv aufeinander bezogen und diese erzeugen als der Geraden
entsprechendes Gebilde eine Raumkurve 3. Ordnung, welche
den Hyperboloiden aus den Achsen öj, h^ bezw. 6j, 63 und

^2' ^3 gc^ßiJi ist.

Daraus folgt dann sofort, dass das einer Ebene im einen
Raum im andern Räume entsprechende Gebilde eine Fläche

42 Sitzung der math.-phys, Classe vom 13. Januar 1894.

3. Ordnung ist: denn diess Gebilde hat mit einer beliebigen
Geraden drei Schnittpunkte gemein.

2. Die singulären Elemente der Transformation erhalten
wir durch besondere Annahmen für den Punkt P^* Zunächst
springen als solche die 6 Geraden a,, . . . . &, in die Augen.
Wählen wir einen Punkt auf ö, , so geht durch ihn und a^
bezw. a, noch je eine Ebene, während die durch a^ gehende
Ebene unbestimmt wird. Den beiden genannten Ebenen ent-
sprechen gewisse Ebenen durch b^ und b^ und da die 3. Ebene
ganz willkürlich, so entspricht also dem Punkte auf a^ eine
Gerade. Rückt der Punkt auf a^ fort, so erzeugen die pro-
jectiven Büschel b^ und b^ eine Regelschaar 2. Ordnung, die
wir kurz als das Hyperboloid (b^b^) bezeichnen wollen. Den
Punkten der Geraden a^ entsprechen die Erzeugenden dieses
Hyperboloides und zwar diejenigen, welche nicht zur Schaar
&2, &3 gehören.

Ganz ebenso geben die Geraden a^ und a^ zu 2 Hyper-
boloiden (fej 63) und (6, ig) Veranlassung, während im X-Raume
als singulare Flächen die Hyperboloide (a^ a^) (a, 03) (ög a^)
erscheinen.

Weiter spielen noch eine besondere Rolle die durch a^,
a^, «3, sowie 6j, b^, b^ bestimmten Regeischaaren. Wählt
man nämlich eine Gerade g^ welche a^, % und a^ schneidet,
so entspricht jedem Punkt dieser Geraden der gleiche Punkt
im F-Raum, da die Ebenen ja die nämlichen bleiben, welche
g mit «j, ttg und a^ bestimmt. Lässt man jetzt g die Regel-
schaar (a, ag «3) durchlaufen, so werden dadurch die Büschel
^11 ^21 ^8 aufeinander projectiv bezogen, das gleiche gilt also
auch von den Büscheln 6^ 6g, 63. Die den Geraden g ent-
sprechenden Punkte liegen demnach auf einer Raumkurve
3. Ordnung Ri, und es ist weiter klar, dass diese der gemein-
same Schnitt der oben genannten Hyperboloide (6j 6g) [b^ 63)
(6g 63) sein muss. Ganz ebenso wird sich im Räume der X
eine Raumkurve 3. Ordnung i?« ergeben, deren Punkte den

DÖMemann: Ueber eine Raumtransformation 3. Ordnung. 43

Geraden entsprechen, welche &j, b^ und b^ gleichzeitig be-
gegnen.

Das System der Fundamental-Flachen besteht also z. B.
im X-Raume aus:

Dem Hyperboloid (a^ a^), dem Hyperboloid (a, a^), dem
Hyperboloid (flg d,), dem Hyperboloid (a, a^ a^).

Dazu kommen als Fundamental-Kurven :
Die Geraden a,, a^^ a^ und die Raumkurve Rai der
Schnitt der 3 zuerst genannten Hyperboloide.

Es folgt dann leicht:

„Einer Ebene z. B. im X-Raume entspricht im Z-Raume
eine Fläche 3. Ordnung, welche durch JS^, t, , b^ und b^
hindurchgeht."

Diese Fläche ist auf die Bbene eindeutig abgebildet und
aus der Betrachtung dieser Abbildung ergibt sich in der
bekannten Weise, dass die Fläche 27 Gerade enthält.

3. Die analytische Darstellung dieser Transformation
gestaltet sich wie folgt: Sind die Ebenenbüschel a,, ag, a^
bezüglich gegeben durch

a« — i'bx =
1) Ax — ^iBx = o

Ax— vBx =

wo ax = flj a;j -j- a^X2 + 03^:3-1- c/^a;^ etc. und sind die dazu
projectiven Büschel t,, b^^ h^ bezüglich

a'y — Iby =

2) Ay-ttBy =

so werden die Gleichungen der Transformation

cix b'y — hxCt'y =
3) A-B;--B»^ = o

ÄxB'y — BxA^=^o

44 Sitzung der math.-phys. Classe vom 13, Januar 1894.

Diess sind 3 in den x und y lineare Gleichungen, aller-
dings von speeieller Form. Nimmt man 3 bilineare Gleich-
ungen der allgemeinen Form

^ /i=l, 2, 3, 4\

so erhält man durch dieselben die allgemeine birationale
Transformation 3. Ordnung dieser Art, welche Nöther ^) und
Cayley*) fast gleichzeitig behandelt haben. Bei dieser tritt
in jedem Raum als Fundamentalfläche eine Fläche 8. Ordnung
auf und auf ihr als 3 fache Kurve eine Räumkurve 6. Ordnung.
In unserm Falle ist diese Fläche 8. Ordnung in 4 Hyper-
boloide zerfallen, die Raumkurve 6. Ordnung dagegen besteht
aus den 3 Geraden und der Raumkurve 3. Ordnung. Dieser
geometrisch nicht uninteressante Fall findet in den citierten
Arbeiten keine Erwähnung.

4. Die bilinearen Gleichungen 3) kann man mit Rück-
sicht auf ihre specielle Form als „zweiteilig** bezeichnen;
die allgemeine Transformation dieser Art lässt sich nicht auf
diese Form bringen. Betrachten wir, des Zusammenhanges
wegen, einen Moment die allgemeine quadratische Trans-
formation der Ebene, so ist bekannt, dass diese dargestellt
werden kann durch das System 2 bilinearer Gleichungen

2aaXiyk = o ri=l, 2, 31
^ :ShaXitjic = o lÄ:=l, 2, 3J

Eine solche bilineare Form ^antXiyk lässt sich nun als
„zweiteilige" schreiben immer und nur, wenn die Deter-
minante der Form | aa i = ö, wie diess London^) zeigt.
Trotzdem lässt sich die allgemeine quadratische Transfor-
mation der Ebene noch durch zwei zweiteilige Gleichungen

1) Mathematische Annalen Bd. 3, 1871, pag. 547.

2) Proceedings of the London Mathem. Society, Vol. III, 1870.

3) Mathematische Annalen Bd. 38, 1891.

Döhlemann: üeher eine Baumtransformation 3, Ordnung. 45

darstellen. Denn die Gleichung -^«1*^:1^* = o, welche eine
reciproke Beziehung der Ebene vorstellt, wird erfüllt durch
00^ Punktpaare (x, y).

Hat man 2 solche Gleichungen wie in 4), so gibt es
noch 00* Punktepaare (a;, y), welche bei den Gleichungen
genügen und diess sind eben die Punktepaare der quadra-
tischen Transformation. Darauf beruht auch die Erzeugung
dieser Transformation, welche Hirst gegeben hat. Betrachtet
man jetzt weiter die Schaar

5) ^UikXiyk + i • ^hikXiyn =

so stellt diese für jeden Wert von X zwar eine andere ßeci-
procität vor, die Punktpaare der quadratischen Transformation
jedoch gehören immer dieser Reciprocität an. Man kann
dann die quadratische Transformation auch durch irgend
2 andere Reciprocitäten der Schaar 5) erzeugen und kann
als solche 2 mit verschwindender Determinante herausgreifen.
Denn die Determinante von 5) liefert eine Gleichung 3. Grades
in X. Eine solche Reciprocität ist aber dann als zweiteilige
Form zu schreiben und diese kann wieder als Elesultat der
Elimination des Parameters aus projectiven Strahlbüscheln
erhalten werden. So entsprechen also den 3 Wurzeln der
kubischen Gleichung die 3 Fundamentalpunkte, welche die
quadratische Transformation in jeder Ebene besitzt.

5. Anders verhält es sich im quaternären Gebiet. Ver-
schwindet die Determinante | «,* | einer bilinearen Form von
4 homogenen Variabein x und y,

so genügt diess blos dazu, um die Form als eine drei-
teilige schreiben zu können. Denn ist

2afk Xi yk = ?/i A {x) + y^ f^ {x) + y^ f^ {x) + y^ f^ (x)

so besagt das Verschwinden der Determinante | a,Ä |, dass
eine lineare Relation besteht

4<) Sitzung der math.-phya. Classe vom 13. Januar 1894.

und wenn man diese benutzt, um /*^ durch /",, f^^ f\ aus-
zudrücken, so wird

Damit ist ^iaikXiiik als dreiteilige Form geschrieben.
Hat man jetzt 3 bilineare Formen «allgemeiner Art

- a,fc Xi yk = o
0) - iik Xiyk = o

- Ca Xiyk = o

MO wird jede einzelne derselben durch oo* Punktpaare {x, y)
befriedigt, die oo^ Punktpaare der durch 6 dargestellten Trans-
formation jedoch sind diejenigen Punktpaare, welche den
3 Gleichungen genügen. Bildet man jetzt das System

7j - an Xiyk -\-^^hiH Xi yk + ^ ^Ca Xtyk = o

so enthält jede in ihm enthaltene Reciprocität die Punktpaare
der Transformation. Die Bedingung, dass die Determinante
vor 7) verschwinde, gibt eine Gleichung 4. Grades in X
und ii<. Man kann also die Transformation 6) auch durch
3 dreiteilige Gleichungen darstellen.

Soll dagegen die Transformation durch 3 zweiteilige
Gleichungen zum Ausdruck gebracht werden können, so ist
dazii für jede der 3 bilinearen Formen ausser dem Ver-
schwinden der Determinante | a,* | auch noch das Nullwerden
der ünterdeterminanten 3. Ordnung notwendig und hin-
reichend.

Nahe liegt hier die Frage nach dem durch 2 bilineare

Gleichimgen

2aikXiyk = o

^hkXiyk =

dargestellten Gebilde. Offenbar gibt es noch oo* Punktpaare,
welche beiden Gleichungen genügen. Hält man z. B. x in

DofUemann: lieber eine Räumt r ans formation 3. Ordnung. 47

beiden Gleichungen fest, so erhält man 2 Ebenen, deren
Schnittlinie der Ort der Punkte y ist, die dem Punkte x
entsprechen. Alle auf diese Weise zu erhaltenden Geraden
bilden einen Complex. Dadurch, dass die Ebenen einander
entsprechen, welche in den beiden ßeciprocitäten zu gleichen
Werten von x (oder y) gehören, wird aber der Raum collinear
auf sich bezogen und es folgt somit, dass der in Rede stehende
Complex der Reye'sche oder tetraedrale, der ja durch 2 col-
lineare Räume als Ort der Schnittlinien entsprechender Ebenen
erzeugt wird. (Schröter's Complex der Wechselstrahlen.)

Die Gleichung des Complexes in den Plücker'schen Ge-
radencoordinaten erhält man dadurch, dass man die Deter-
minante

lanyi 2ai2yi -a,3y, ^o^y^ !
2aayi ^'-— v^.., v

-2a,2y» -a,-3y, ^a^yt j f-_t o q 41

1. VI. VI. VI. " — *1^1**l^/

Oiiyi ^Oi2yi ^Oizyi ^Oi^yi i

:2biiyi 2bi2yi ^biiiyi 2bayi \

nach quadratischen Unterdeterminanten entwickelt.
Der ganzen Schaar

^OikXiyk + l2bikXiyk = o

dient dieser Complex sozusagen als Basis. — Hat man all-
gemeiner 2 Gleichungen

f(x^^) =
(p (a/* y»') =

so stellen diese, insofern auch wieder einem Punkte x eine
gewisse Kurve von der Ordnung {nv) entspricht, ein 00^ faches
System von Kurven vor, also einen allgemeinem Complex.

6. Kehren wir jetzt noch einen Moment zurück zu
unserer speciellen Transformation 3. Ordnung. Wir hatten
von Anfang an angenommen, es sei Büschel a^ projectiv
Büschel tj, «2 projectiv h^ und ebenso O3 und ^3. Diese

48 Sitzung der math.-phys, Classe vom IS. Januar 1894,

Projectivität kommt geometrisch zum Ausdruck dadurch, dass
Oj und 6j, «2 und Jgi «s ^^^ ^3 j^ ein Hyperholoid erzeugen.
Im allgemeinen haben diese 3 Flächen 8 Punkte gemein
und diess sind die einzigen sich selbst entsprechenden Punkte
der Transformation. Auch bei der allgemeinem Nöther-
Cayley'schen Transformation hat man 8 solche Coincidenz-
punkte. Man kann nun aber die erwähnten 3 Hyperboloide
auch in specieller Lagenbeziehung annehmen. Von den ver-
schiedenen möglichen Fällen sei nur der erwähnt, wo die
3 Hyperboloide eine Raumkurve 3. Ordnung B^ gemein
haben. Diess kommt darauf hinaus, dass man die 6 Achsen
ttj, .... 63 als Secanten einer R^ wählt und je 2 Ebenenbüschel
wie «1 und 6j perspectiv zur M^ nimmt, sodass stets ent-
sprechende Ebenen der Büschel auf dieser Kurve sich be-
gegnen. Dann besteht die ganze R^ aus Coincidenzpunkten
der Transformation, dieselbe entspricht sich Punkt für
Punkt selbst. Diese Transformation stellt das Analogon
vor zu der quadratischen Transformation der Ebene mit
einem festen Kegelschnitt,^)

Wendet man unter Festhaltung der R^ diese Trans-
formation wiederholt an, so erhält man Transformationen in
der Ordnung 3^, welche alle diese R^ als „feste" Kurve
enthalten.

Es drängt sich hier die Vermutung auf, dass man
statt der R^ überhaupt eine Raumkurve von beliebiger Ord-
nung n benützen kann, sofern man nur 6 (n — 1) fache Se-
canten derselben zur Verfügung hat, um dieselben als Gerade
GTj, . . . . &3 zu benützen. 6 solche (w — 1) fache Secanten
liegen dann immer auf einer Regelfläche 2. Ordnung. Man
überzeugt sich nämlich auch analytisch leicht von der Richtig-
keit folgenden Satzes:

1) Vergleiche meine Arbeit in den Mathematischen Annalen
Bd. 39, pag. 580.

BöMemann: Ueher eine Baumtransformation 3. Ordnung. 49

„Enthält eine Raumkurve n-Ordnung zwei (n — 1) fache
Secanten, so liegt sie auf einer Fläche 2. Ordnung und
hat die eine ßegelschaar derselben überhaupt zu (w — 1)-
fachen Secanten.*

Geometrisch ergibt sich der Beweis dieses Satzes un-
mittelbar, wenn man die zwei (w — 1) fachen Secanten der
Raumkurve als Achsen zweier zur Raumkurve perspectiven
und darum untereinander projectiven Ebenenbüschel nimmt,
die dann eine Regelfläche 2. Ordnung F^ erzeugen.

Unter dieser Voraussetzung gehören also die 6 Geraden
Äj, .... 63 der gleichen Regelschaar F^ an, auf welcher auch
die jB** liegt. Die Hyperboloide, welche die Büschel a^ und 6^,
ttg und 63, «3 und 63 erzeugen, fallen alle drei zusammen
mit F^. Wählt man jetzt aber einen Punkt P«. auf dieser
jP*, so entspricht ihm offenbar die durch ihn gehende, nicht
zur Schaar der a^ gehörige Erzeugende der Fläche F^. Einer
beliebigen Geraden g entspricht dann wieder eine Gerade,
wenn man von den 2 Geraden absieht, die den Schnittpunkten
der g mit der F^ zuzuweisen sind. Man erkennt, dass die
Transformation sich in diesem Pralle auf eine CoUineation
reduciert.

Diess ist richtig, solange w > 3. Aber auch für w = 3
müssen wir dementsprechend, wenn iJ^ eine „feste* Kurve
sein soll, noch die ausdrückliche Voraussetzung beifügen,
dass die 6 Secanten a^, . . . . 63 der iJ^ nicht einer Regel-
schaar angehören dürfen. Es folgt dann aber:

„Die jB^ ist die einzige Raumkurve, welche als „feste**
Kurve in unserer (speciellen) Transformation auftreten
kann.**

Wählt man 2 der 3 Geraden in einem Raum z. B.
&j und 63 so, dass sie sich schneiden, so ist der Schnittpunkt
derselben ein Doppelpunkt für die Fläche 3. Ordnung, welche
einer Ebene im andern Raum entspricht. Auf diese Weise

1894. Math.-ph7S. Gl. 1. 4

50 Sitzung der mathrphya. Glosse vom 13. Januar 1894.

kann man verschiedene Typen der Fläche 3. Ordnung durch
die Transformation erhalten.

7. Sind die 3 bilinearen Gleichungen 6) allgemeiner
Natur und setzt man in ihnen

ö» * = «*••; bik = hi; Cik = Cki

so erhält man, wie Nöther 1. c. pag. 556 bemerkt, die
Hesse'sche Transformation, bei welcher jedem Punkte des
Raumes sein conjugierter in Bezug auf ein Netz von Flächen
2. Ordnung entspricht. Denn die Gleichungen 6) lassen sich
dann auffassen als die Polarebenen eines Punktes y in Bezug
auf die 3 Flächen 2. Ordnung

^aaXiXk = o; 2baXiXk = o; ^dkXiXk = o

Diese Raumtransformation ist natürlich involutorisch.
Herr Professor Bauer hat mich nun, nachdem ich ihm diese
Bemerkungen vorgelegt hatte, noch auf folgende weitere
Specialisierung aufmerksam gemacht. Nimmt man statt der
eben genannten Flächen 2. Ordnung 3 Ebenenpaare, so be-
schreiben die Polarebenen eines Punktes Ebenenbüschel um
die 3 Schnittlinien eines jeden solchen Paares. In der Tat
verschwinden unter dieser Voraussetzung für die Fläche 2. Ord-
nung ja ausser der Determinante auch noch die sämmtlichen
Unterdeterminanten 3. Ordnung, sodass also die Form nach
dem Frühern eben als zweiteilige darstellbar wird. Natürlich
ist auch diese speciellste Transformation involutorisch. Die
Geraden a^, a^, a^ fallen zusammen mit 6^, 63, 6g, wie über-
haupt das System der singulären Elemente in beiden Räumen
zusammenrückt.

Sitzung vom 3. Februar 1894.

1. Herr C. v. Küpffee teilt die Resultate seiner Unter-
suchungen: ^über Monorhinie und Amphirhinie" mit.

2. Herr Ad. v. Baeyer hält einen Vortrag: ,über
Terpenthinöl«.

Die Ergebnisse sollen an einem anderen Orte veröffent-
licht v^erden.

üeber Monorhinie und Amphirhinie.

Von C. Kupffer.

(Eingelaufen 3. Februar.)

Die von Johannes Müller in seiner berühmten Mono-
graphie über die Myxinoiden als Cyclostomata zusammen-
gefasste Gruppe der Eranioten nimmt nach ihrer gesammten
Organisation jedenfalls eine sehr tiefe Stelle ein. Es fehlt
ihnen jede Spur von paarigen Extremitäten und von Wirbel-
körpem, wenn auch bei den erwachsenen geschlechtsreifen
Petromyzonten in der bindegewebigen Scheide der Chorda dor-
salis Anfänge oberer Wirbelbögen in Form unregelmässiger
Knorpelstücke auftreten. Sehr eigenartig erscheint auch der
Kiemenapparat. Aber diese Verhältnisse am Rumpfe sind
bei der Frage, welche Stellung diesen Tieren im Systeme
anzuweisen sei, von minderem Gewichte gewesen, als die
Verhältnisse am Kopfe und hier namentlich der Mangel an
Kiefern und die unpaarige, mit nur einer äusseren, dorsal
gelegenen Oeffnung versehene Nase.

52 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3. Februar 1894,

Ein Teil der Zoologen, unter diesen namentlich Ernst
Häckel^) scheidet diese unpaarnasigen kieferlosen Kranioten
(Monorhina oder Cyclostomata) ganz von den Fischen und
betrachtet dieselben als Repräsentanten einer tief stehenden
Seitenlinie, von welcher sich die mit den Fischen beginnende
Hanptlinie der übrigen Kranioten, die als Kiefermäuler,
Gnathostomen, auch als Paarnaser, Amphirhinen, bezeichnet
werden, scharf absetze. — Andere Zoologen, ihnen voran
Th. Huxley, gehen in der Scheidung lange nicht so weit.
Huxley*) rechnet dieselben Tiere (Marsipobranchii) zu seiner
Klasse der Fische und ist der Ansicht, dass ihnen nicht jede
Spur von Kiefern fehle, sondern dass Teile ihres völlig aus-
gebildeten Kopfskelettes, wenn auch rudimentär, doch Teilen
des Kiefergerüstes der Gnathostomen homolog seien. — Von
unseren Kollegen steht Herr Kollege ß. Hertwig^) mehr auf
der Seite von Häckel, indem er in seinem Lehrbuch die
Rundmäuler als besondere Klasse von der Klasse der Fische
scheidet, während Herr Kollege von Kttel*) sich der Auf-
fassung Huxley 's anschliesst.

Ich habe mich in den letzten Jahren nach verschiedenen
Seiten hin mit der Entwicklungsgeschichte einer Familie der
Cyclostomen, der Petromyzonten beschäftigt und muss hervor-
heben, dass meine Beobachtungen der Hauptsache nach dahin
auslaufen, den Abstand, der zwischen den Cyclostomen und
Gnathostomen obzuwalten scheint, auszugleichen. Das gilt
namentlich für die Verhältnisse am Kopfe, welchen die
Hauptargumente für eine scharfe Sonderung beider Gruppen

1) E. Häckel, Natürliche Schöpfungsgeschichte, 8. Aufl., 1889,
S. 698 ff. — Anthropogenie, 4. Aufl., 1891, S. 531 ff.

2) Th. Huxley, Journal of Anatomy and Physiology, Vol X
1876, p. 412.

3) R. Hertwig, Lehrbuch der Zoologie, 1. Aufl., II. Teil, S. 484.

4) K. V. Zittel, Handbuch der Palaeontologie, I. Abt III Bd
1887, S. 56.

V. Kupffer: Ueber Monorhinie und Ämphirhinie, 53

entnommen wurden. Der Kopf der Cyclostomen und Unpaar-
naser ist nicht in dem Grade von dem Kopfe der Gnathostomen
und Paarnaser verschieden, als es den Anschein hatte, denn
die Embryonen und jungen Larven der Neunaugen zeigen
die Anlagen von Kiefern und die Embryonen der paamasigen
Gnathostomen, bis zu den Säugetieren hin, weisen den redu-
zierten Rest einer unpaarigen Nasenanlage auf.

Besonders eignen sich die Embryonen der Neunaugen
dazu, den zeitweiligen Bestand eines vordersten Darmteiles
darzuthun, der zwar von einigen Embryologen hypothetisch
vorausgesetzt, aber bisher nicht nachgewiesen war. Diesen
Darmteil habe ich als präoralen Darm bezeichnet. Der-
selbe erstreckt sich bei diesen Embryonen vor der Bildung
des Mundes an der Unterseite des Hirnes bis zu jenem Punkte
des äusseren Keimblattes d. h. der Oberhaut, an welchem
durch Einstülpung die Hypophysis enisteht. Dieser Punkt
liegt ventral von der Platte, die die Anlage des unpaarigen
Riechorgans darstellt. Weiter rückwärts und ventral bildet
sich der Mund und mit der Ausdehnung dieses bei den jungen
Larven der Neunaugen sehr geräumigen Blindsackes wird
der präorale Darm von dem bleibenden Kieraendarme, gegen
welchen der Mund sich eröffnet, abgetrennt. Der derart
isolierte präorale Darm erfährt dann eine Rückbildung bis
zum völligen Schwunde seiner Elemente. Früh aber, noch
vor dem Auftreten des Mundes, entstehen an dem präoralen
Darme, wie an der Region des Darmes, die als Kiemendarm
sich erhält, seitliche symmetrische Ausstülpungen und zwischen
diesen Taschen Bogenbildungen des mittleren Keimblattes.
Diese Bildungen schliessen sich serial an einander und dürfen
als homodynam gelten. Es entstehen also auch präorale
Kiementaschen und präorale Kiemenbögen mit Aortenbögen.
Erstere sind rudimentäre Bildungen und gehen mit dem prä-
oralen Darme zu Grunde, die präoralen Kiemenbögen erhalten
sich aber und verwachsen sekundär mit einander. Dieser

54 Sitzung der math.-phya, Glosse vom 3, Februar 1894,

präoralen Taschen und Bögen zähle ich ursprünglich drei
Paare. Aus dem vordersten deutlich nachweisbaren Bogen-
paare entstehen Knorpel und Muskeln und zwar das Paar
der knorpeligen Schädelbalken, sowie die Hauptmasse der
Augenmuskeln, die also nicht dorsale Muskeln sind, wie
bisher angenommen war, sondern ventrale, zur Kategorie
der Kiemenmuskeln gehörige, mit denen sie auch histologisch
übereinstimmen.

Huxley^) hat bereits 1869 in seinen Hunterian lec-
tures es ausgesprochen, dass die Schädelbalken zu den ven-
tralen Bogenbildungen , den Visceral- oder Kiemenbögen
gehörten und diese Hypothese kann ich nunmehr embryo-
logisch begründen. Auf den vordersten Bogen, den ich als
Trabekulär bogen bezeichne, folgen noch zwei Bogenpaare
vor der vordersten postoralen Kiementasche, der
Hyomandibulartasche, und dürfen darnach als Oberkiefer-
gaumenbogen und als Unterkieferbogen bezeichnet werden,
aber ihre Stellung ist bei den Neunaugen eine eigenartige.
Der präorale Darm schnürt sich nämlich vor seiner Ab-
trennung stark ein und damit wird der unmittelbar vorn
auf die Hyomandibulartasche folgende Bogen, der Unter-
kieferbogen, weit medialwärts und sogar vorwärts verlagert,
so zwar, dass man, wenn dieser Vorgang nicht kontinuierlich
verfolgt wird, den Palatinbogen für den Unterkieferbogen
halten könnte. — Diese beiden hinteren Bogenpaare liefern
bei den Ammocöten nicht Knorpel, sondern nur Muskeln
und Bindegewebe und ich bin noch nicht in der Lage, ein
Urteil darüber abgeben zu können, ob die von Huxley den
Kieferbögen der Gnathostomen verglichenen knorpeligen Teile
am Schädel der ausgebildeten Neunaugen diesen embryo-
nalen Bögen entsprechen. Diese Entscheidung vorbehalten,
ist aber jedenfalls soviel sicher, dass die Anlagen von

1) Hunterian lectures, in Medical times and Gazette, London 1869.

V, Kupffer: Ueher Monorhinie und Amphirhinie. 55

Kieferbögen den Cyclostomen in derselben Ausdehnung zu-
kommen, wie den Gnathostomen.

Die unpaarige, eine mediane OeflFnung zeigende Nase
der Cyclostomen hat verschiedene Deutungen erfahren. Die
ursprüngliche Auffassung war die, dass das Organ einen ein-
fachen median gelegenen Sack darstelle, von welchem aus
ein Canal, der Nasengaumengang sich nach hinten erstrecke.
Dieser Gang hört bei der Familie der Petromyzonten hinten
blind auf, bei den Myxinoiden aber durchbricht der Canal
das Dach des Darmrohres und kommuniziert frei mit dem-
selben. Götte hat nun dargethan, dass ein Rest dieses
Nasengaumenganges der Unpaarnaser sich als der sogenannte
Hirnanhang, die Hypophysis, bei den Paarnasern erhalte,
und A. Dohrn wies nach, dass das Riechorgan und der Gang
genetisch gesondert werden müssen. Beide Teile bilden sich
getrennt, das Riechorgan mehr dorsal und der Gang, der nun-
mehr als Hypophysis bezeichnet wird, entsteht ursprünglich
näher dem Munde, als der Nase, aber indem mit diesen Or-
ganen die sie trennende Partie der Oberhaut mit eingestülpt
wird, erhalten beide eine gemeinsame äussere OeflFnung. —
Noch vor der Publikation Dohrn's hatte bereits Calberla auf
der Naturforscher-Versammlung in München 1877 darauf hin-
gewiesen, dass Nase und Hypophysis als getrennte Grübchen
auftreten. Calberla^) fügte daran weitere Aufschlüsse. Er
gab an, dass der Riechsack nicht unpaarig ist, sondern durch
ein von der oberen Wand ausgehendes Septum in zwei sym-
metrische Abteilungen geschieden werde, zu welchen durch
besondere OeflFnungen der knorpeligen Kapsel des Organs die
von vorn herein paarigen Riechnerven treten. Bei der Um-
wandlung der Larve zum Geschlechtstier werde die Scheide-

1) Calberla, Zur Entwicklungsgeschichte des Petromyzon. Amt-
licher Bericht der 50. Versammlung Deutscher Naturforscher und
Aerzte in München, 1877, S. 188.

56 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 3, Februar 1894.

wand knorpelig. Die Duplicität sei also nicht zu verkennen
and es müssten deshalb die Petromyzonten als Amphirhinen
bezeichnet werden. Götte, der dem Vortrage beiwohnte,
bestätigte diese Angaben. In der That lässt sich das Septum
leicht nachweisen, nur ist es nicht vom Beginne der Ein-
stülpung an da, wie Calberla angab, selbst 5 — 6 mm lange
Larven von P. Planeri zeigen noch keine Spur dieser Teilung.
Ebenso unrichtig ist es, wenn Calberla den Nasengaumen-
gang, d. h. die Hypophysis, erst paarig entstehen und nach-
träglich aus der Vereinigung einer doppelten Einstülpung den
unpaarigen Gang sich bilden lässt.

In neuester Zeit hat sich W. His ^) über das Riechorgan
von Petromyzon ausgesprochen und eine Abbildung des Organs
mit den beiden Riechnerven nach einem Frontalschnitte ge-
geben. His bezeichnet das Organ als paarig und die zu
beiden Seiten des Septum gelegenen Buchten als die sym-
metrisch angelegten Riechgruben, zu welchen die Riechnerven
vom Hirne aus divergierend sich erstrecken. Ganz zutrefifend
hebt er aber hervor, dass diese Höhle mit ihrer einfachen
Eingangsöffnung der Nasenhöhle der übrigen Wirbeltiere
morphologisch nicht gleichwertig ist. Er meint, dieselbe
wäre wohl am besten als Gesichtshöhle zu bezeichnen und
ihre Rückwand entspräche der Stirn- und oberen Gesichts-
fläche anderer Wirbeltiere. — Ob nun die beiden Riechgruben
von Petromyzon den Riechgruben der Amphirhinen morpho-
logisch gleichwertig zu erachten seien, darüber äussert His
sich nicht.

Wenn man nun weiss, dass die erste Anlage des Riech-

1) W. His, Die Entwicklung der menschlichen und tierischer
Physiognomien. Archiv für Anatomie und Physiologie, Anat. Abt.

1892, S. 421.

Derselbe, Ueber das frontale Ende des Gehirnrohres. Daselbst

1893, S. 163.

V. Kupffer: Ueher Monorhinie und Amphirhinie. 57

Organs bei Petromyzon durchaus nicht paarige Einstülpungen
zeigt, sondern eine einfache Epidermisplatte darstellt, die ohne
irgend welche Unterbrechung über die Mittelebene sich hin-
weg erstreckt, in der Mitte keine Leiste, noch sonst eine die
beiden Hälften trennende Marke zeigt, so bleiben für die
Deutung des weiter entwickelten Organs und seiner Teile
Unklarheiten bestehen und es wird erforderlich, die Ent-
wicklungsgeschichte eingehender zu Rate zu ziehen. Das
kann nicht geschehen, ohne dass zugleich die Entwicklung
der Kopfnerven überhaupt Berücksichtigung fände, deren
vorderstes Paar die beiden Riechnerven darstellen.

Der Entwicklungsgang der Kopfnerven und ihrer Ganglien
ist ein komplizierter, es beteiligen sich daran Anlagen ver-
schiedener Herkunft, je eine centrogene und eine kutane,
die letztere wird von einer verdickten Platte resp. einem
Wulst oder Hügel der Oberhaut geliefert. Die centrogene
Anlage, aus der dorsalen Neuralleiste des Centralorgans
hervorgehend, erreicht die entsprechende kutane Anlage,
dann löst sich die tiefere Zellenschicht der letzteren ab und
vereinigt sich mit der centrogenen Anlage zur Bildung eines
Ganglions des betreflfenden Nerven. Es findet also bei der
Bildung der Kopfganglien eine centripetale Verlagerung von
ursprünglich peripheren Zellen statt, die den Wert von
Nervenzellen haben. Nun wäre es bequem, diese Verdick-
ungen der Oberhaut, die sich an der Ganglienbildung be-
teiligen, einheitlich zu bezeichnen. Ich schlage dafür den
Ausdruck Piakode ^) vor. — Es bilden sich am Kopfe zwei
Reihen solcher Plakoden, eine dorso-laterale Reihe und eine
epibranchiale. Beide Reihen konvergieren nach vom gegen
eine vordere terminale Piakode, die sich sowohl bei Mono-
rhinen, wie bei Amphirhinen findet. Bei den Monorhinen,
speziell bei Petromyzon stellt dieselbe die Anlage des un-

1) nXaHcodr^g, eg, kuchenartig, plattenartig.

58 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 3, Februar 1894.

paarigen Riechorgans dar und wird eingestülpt; bei den
Amphirhinen ist dieselbe zeitweilig vorhanden; ich^) habe
sie bei vielen Knorpelgan oiden, beim Frosch, ja bei Säuge-
tieren nachgewiesen. Schafembryonen, an denen die Rachen-
haut noch nicht gegen den Darm durchgebrochen ist, zeigen
dieselbe in starker Ausbildung. Später aber verschwindet
diese unpaarige Riechpiakode bei den Amphirhinen, ihre
Stelle würde der unteren mittleren Stirnregion entsprechen.
Diese terminale Piakode beansprucht noch ein weiteres Inter-
esse, insofern sie das Feld darstellt, innerhalb welches das
Hirn vor seiner vollständigen Isolation mit der Oberhaut
zusammenhängt und entweder durch ein Loch nach aussen
mündet oder durch einen massiven Strang befestigt ist. Diese
letzte Verbindungsstelle ist das vordere Axenende des Hirnes.
Damit ergiebt sich ein Anschluss an Amphioxus, bei welchem
Tiere ja noch spät das Neuralrohr vorn eine Oeflfhung besitzt,
den vorderen Neuralporus, der sich innerhalb eines trichter-
förmig eingesenkten Feldes der Oberhaut befindet, einer
Grube, die bereits vor Decennien von KöUiker als unpaarige
Riechgrube beschrieben worden ist. Auch dort aber ist die
Verbindung und Communication des Hirnes mit diesem Sinnes-
organ keine bleibende, das Hirn trennt sich von der Grube,
bleibt aber mit dem Boden derselben in Berührung.

So zeigt sich in einem wesentlichen Punkte üeberein-
stimmung von Amphioxus an bis zu den Amnioten: das
Ende der Hirnaxe läuft vorn gegen eine terminale Piakode
aus, welche sich bei Amphioxus und den Monorhinen zu
einem Sinnesorgan gestaltet, bei den Amphirhinen als Rudi-
ment des gleichen Organs sich bis zum völligen Schwunde
zurückbildet.

Da dieses terminale Organ bei Amphioxus am wahr-

1) Studien zur vergl. Entwicklungsgeschichte des Kopfes der
Kranioten, München 1893, S. 77.

V, Kupffer: Ueber Monorhinie und Ämphirhinie, 59

scheinlichsten als Riechorgan gedeutet werden kann und da
dieselbe Piakode bei den Monorhinen in die Bildung des
allgemein als Riechorgan aufgefassten Sackes übergeht, so
habe ich dieselbe als unpaarige Riechpiakode bezeichnet.

An diese schliesst sich in der dorso-lateralen Reihe bei
allen Amphirhinen dasjenige Plakodenpaar an, aus welchem
die paarigen Riechgrübchen sich bilden, dann folgt das Paar,
welches sich an der Bildung des vorderen Trigeminusganglions
beteiligt und weiter die Plakoden für die übrigen Haupt-
ganglien. In der zweiten, weiter ventral gelegenen, epi-
branchialen Reihe, folgt auf die unpaarige Riechpiakode die-
jenige, aus welcher die Linse entsteht und in engstem An-
schlüsse an letztere abermals Ganglienplakoden.

Alle drei Riechplakoden haben das gemeinsam, dass aus
denselben keine Ganglien entstehen, sondern dass ihre Nerven-
zellen, wie die Histiologie heute lehrt, peripher im Epithel
des Sinnesorgans verbleiben.

Aus den paarigen Riechgruben entwickeln sich, wie
KöUiker und His beobachtet haben, die paarigen Riechnerven
in centripetaler Richtung. Ein unpaarer Riechnerv tritt bei
den Amphirhinen nicht auf. — Bei Petromyzon besteht bei
ganz jungen Larven von 3^/a — 4 mm Länge ein bald ver-
schwindender medianer, einige Kerne enthaltender Fibrillen-
strang, der die Kuppe des Riechsackes mit dem vordersten
Hirnende, dem lobus olfactorius impar verbindet. Wenn der-
selbe verschwindet, leitet sich die Bildung der paarigen Riech-
nerven ein und diese sind ohne Zweifel den paarigen Riech-
nerven der Amphirhinen homolog.

Nun besteht also die Schwierigkeit für die Vergleichung,
dass das gleiche Nervenpaar bei den Amphirhinen den paarig
auftretenden Riechgruben, bei den Monorhinen dem zunächst
jedenfalls unpaarig erscheinenden Riechsacke angehört. Es
wirft sich also die Frage auf, ob bei den Monorhinen, speziell
bei Petromyzon neben der unpaarigen noch paarige Riech-

50 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 13. Januar 1894,

kann man verschiedene Typen der Fläche 3. Ordnung durch
die Transformation erhalten.

7. Sind die 3 bilinearen Gleichungen 6) allgemeiner
Natur und setzt man in ihnen

ö»Ä = ö5*.-; hik = iki; Ci'k = Cki

^a,Ä Xi Xk = o; 2bik Xi a;& = o; 2 du XiXk = o

Diese Raumtransformation ist natürlich involutorisch.
Herr Professor Bauer hat mich nun, nachdem ich ihm diese
Bemerkungen vorgelegt hatte, noch auf folgende weitere
Specialisierung aufmerksam gemacht. Nimmt man statt der
eben genannten Flächen 2. Ordnung 3 Ebenenpaare, so be-
schreiben die Polarebenen eines Punktes Ebenenbüschel um
die 3 Schnittlinien eines jeden solchen Paares. In der Tat
verschwinden unter dieser Voraussetzung für die Fläche 2. Ord-
nung ja ausser der Determinante auch noch die sämmtlichen
Unterdeterminanten 3. Ordnung, sodass also die Form nach
dem Frühern eben als zweiteilige darstellbar wird. Natürlich
ist auch diese speciellste Transformation involutorisch. Die
Geraden a^, a^, a^ fallen zusammen mit 6^, h^^ 63, wie über-
haupt das System der singulären Elemente in beiden Räumen
zusammenrückt.

Sitzung vom 3. Februar 1894.

1. Herr C. v. Küpffee teilt die Resultate seiner Unter-
suchungen: ^über Monorhinie und Amphirhinie" mit.

2. Herr Ad. v. Baeyer hält einen Vortrag: ,über
Terpenthinöl«.

Die Ergebnisse sollen an einem anderen Orte veröffent-
licht werden.

Ueber MonorMnie und Amphirhiiiie.

Von C. Kupffer.

(Eingelaufen 3. Februar.)

52 Sitzung der math.'phys. Classe vom 3. Februar 1894,

Ein Teil der Zoologen, unter diesen namentlich Ernst
Häckel^) scheidet diese unpaarnasigen kieferlosen Kranioten
(Monorhina oder Cyclostomata) ganz von den Fischen und
betrachtet dieselben als Repräsentanten einer tief stehenden
Seitenlinie, von welcher sich die mit den Fischen beginnende
Hauptlinie der übrigen Kranioten, die als Kiefermäuler,
Gnathostomen, auch als Paarnaser, Amphirhinen, bezeichnet
werden, scharf absetze. — Andere Zoologen, ihnen voran
Th. Huxley, gehen in der Scheidung lange nicht so weit.
Huxley*) rechnet dieselben Tiere (Marsipobranchii) zu seiner
Klasse der Fische und ist der Ansicht, dass ihnen nicht jede
Spur von Kiefern fehle, sondern dass Teile ihres völlig aus-
gebildeten Kopfskelettes, wenn auch rudimentär, doch Teilen
des Kiefergerüstes der Gnathostomen homolog seien. — Von
unseren Kollegen steht Herr Kollege ß. Hertwig^) mehr auf
der Seite von Häckel, indem er in seinem Lehrbuch die
Rundmäuler als besondere Klasse von der Klasse der Fische
scheidet, während Herr Kollege von Zittel*) sich der Auf-
fassung Huxley's anschliesst.

1) E. Häckel, Natürliche Schöpfungsgeschichte, 8. Aufl., 1889,
S. 598 ff. — Anthropogenie, 4. Aufl., 1891, S. 531 ff.

2) Th. Huxley, Journal of Anatomy and Physiology, Vol. X,
1876, p. 412.

3) R. Hertwig, Lehrbuch der Zoologie, 1. Aufl., II. Teil, S. 484.

4) K. V. Zittel, Handbuch der Palaeontologie, I. Abt., IIL Bd.,
1887, S. 56.

V, Kupffer: Ueber Monorhinie und Ämphirhinie, 53

entnommen wurden. Der Kopf der Cyclostomen und Unpaar-
naser ist nicht in dem Grade von dem Kopfe der Guathostomen
und Paarnaser verschieden, als es den Anschein hatte, denn
die Embryonen und jungen Larven der Neunaugen zeigen
die Anlagen von Kiefern und die Embryonen der paamasigen
Gnathostomen, bis zu den Säugetieren hin, weisen den redu-
zierten Rest einer unpaarigen Nasenanlage auf.

Besonders eignen sich die Embryonen der Neunaugen
dazu, den zeitweiligen Bestand eines vordersten Darmteiles
darzuthun, der zwar von einigen Embryologen hypothetisch
vorausgesetzt, aber bisher nicht nachgewiesen war. Diesen
Darmteil habe ich als präoralen Darm bezeichnet. Der-
selbe erstreckt sich bei diesen Embryonen vor der Bildung
des Mundes an der Unterseite des Hirnes bis zu jenem Punkte
des äusseren Keimblattes d. h. der Oberhaut, an welchem
durch Einstülpung die Hypophysis entsteht. Dieser Punkt
liegt ventral von der Platte, die die Anlage des unpaarigen
Riechorgans darstellt. Weiter rückwärts und ventral bildet
sich der Mund und mit der Ausdehnung dieses bei den jungen
Larven der Neunaugen sehr geräumigen Blindsackes wird
der präorale Darm von dem bleibenden Kiemendarme, gegen
welchen der Mund sich eröffnet, abgetrennt. Der derart
isolierte präorale Darm erfährt dann eine Rückbildung bis
zum völligen Schwunde seiner Elemente. Früh aber, noch
vor dem Auftreten des Mundes, entstehen an dem präoralen
Darme, wie an der Region des Darmes, die als Kiemendarm
sich erhält, seitliche symmetrische Ausstülpungen und zwischen
diesen Taschen Bogenbildungen des mittleren Keimblattes.
Diese Bildungen schliessen sich serial an einander und dürfen
als homodynam gelten. Es entstehen also auch präorale
Kiementaschen und präorale Kiemenbögen mit Aortenbögen.
Erstere sind rudimentäre Bildungen und gehen mit dem prä-
oralen Darme zu Grunde, die präoralen Kiemenbögen erhalten
sich aber und verwachsen sekundär mit einander. Dieser

54 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 3. Februar 1894.

Huxley^) hat bereits 1869 in seinen Hunterian lec-
tures es ausgesprochen, dass die Schädelbalken zu den ven-
tralen Bogenbildungen , den Visceral- oder Kiemenbögen
gehörten und diese Hypothese kann ich nunmehr embryo-
logisch begründen. Auf den vordersten Bogen, den ich als
Trabekularbogen bezeichne, folgen noch zwei Bogenpaare
vor der vordersten postoralen Kiementasche, der
Hyomandibulartasche, und dürfen darnach als Oberkiefer-
gaumenbogen und als Unterkieferbogen bezeichnet werden,
aber ihre Stellung ist bei den Neunaugen eine eigenartige.
Der präorale Darm schnürt sich nämlich vor seiner Ab-
trennung stark ein und damit wird der unmittelbar vorn
auf die Hyomandibulartasche folgende Bogen, der Unter-
kieferbogen, weit medialwärts und sogar vorwärts verlagert,
so zwar, dass man, wenn dieser Vorgang nicht kontinuierlich
verfolgt wird, den Palatinbogen für den Unterkiefer bogen
halten könnte. — Diese beiden hinteren Bogenpaare liefern
bei den Ammocöten nicht Knorpel, sondern nur Muskeln
und Bindegewebe und ich bin noch nicht in der Lage, ein
Urteil darüber abgeben zu können, ob die von Huxley den
Kieferbögen der Gnathostomen verglichenen knorpeligen Teile
am Schädel der ausgebildeten Neunaugen diesen embryo-
nalen Bögen entsprechen. Diese Entscheidung vorbehalten,
ist aber jedenfalls soviel sicher, dass die Anlagen von

1) Hunterian lectures, in Medical times and Gazette, London 1869.

V. Kupffer: Ueber Monorhinie und Ämphirhinie, 55

Kieferbögen den Cyclostomen in derselben Ausdehnung zu-
kommen, wie den Gnathostomen.

Die unpaarige, eine mediane OeflFhung zeigende Nase
der Cyclostomen bat verschiedene Deutungen erfahren. Die
ursprüngliche Auffassung war die, dass das Organ einen ein-
fachen median gelegenen Sack darstelle, von welchem aus
ein Canal, der Nasengaumengang sich nach hinten erstrecke.
Dieser Gang hört bei der Familie der Petromyzonten hinten
blind auf, bei den Myxinoi'den aber durchbricht der Canal
das Dach des Darmrohres und kommuniziert frei mit dem-
selben. Götte hat nun dargethan, dass ein Rest dieses
Nasengaumenganges der Unpaarnaser sich als der sogenannte
Hirnanhang, die Hypophysis, bei den Paarnasern erhalte,
und A. Dohrn wies nach, dass das Riechorgan und der Gang
genetisch gesondert werden müssen. Beide Teile bilden sich
getrennt, das Riechorgan mehr dorsal und der Gang, der nun-
mehr als Hypophysis bezeichnet wird, entsteht ursprünglich
näher dem Munde, als der Nase, aber indem mit diesen Or-
ganen die sie trennende Partie der Oberhaut mit eingestülpt
wird, erhalten beide eine gemeinsame äussere Oeffnung. —
Noch vor der Publikation Dohrn's hatte bereits Calberla auf
der Naturforscher- Versammlung in München 1877 daraufhin-
gewiesen, dass Nase und Hypophysis als getrennte Grübchen
auftreten. Calberla^) fügte daran weitere Aufschlüsse. Er
gab an, dass der Riechsack nicht unpaarig ist, sondern durch
ein von der oberen Wand ausgehendes Septum in zwei sym-
metrische Abteilungen geschieden werde, zu welchen durch
besondere Oeffnungen der knorpeligen Kapsel des Organs die
von vorn herein paarigen Riechnerven treten. Bei der Um-
wandlung der Larve zum Geschlechtstier werde die Scheide-

1) Calberla, Zur Entwicklungsgeschichte des Petromyzon. Amt-
licher Bericht der 50. Versammlung Deutscher Naturforscher und
Aerzte in München, 1877, S. 188.

56 Sitzung der math-phya, Glosse vom 3, Februar 1894.

wand knorpelig. Die Duplicität sei also nicht zu verkennen
und es müssten deshalb die Petromyzonten als Amphirhinen
bezeichnet werden. Götte, der dem Vortrage beiwohnte,
bestätigte diese Angaben. In der That lässt sich das Septum
leicht nachweisen, nur ist es nicht vom Beginne der Ein-
stülpung an da, wie Calberla angab, selbst 5 — 6 mm lange
Larven von P. Planeri zeigen noch keine Spur dieser Teilung.
Ebenso unrichtig ist es, wenn Calberla den Nasengaumen-
gang, d. h. die Hypophysis, erst paarig entstehen und nach-
träglich aus der Vereinigung einer doppelten Einstülpung den
unpaarigen Gang sich bilden lässt.

In neuester Zeit hat sich W. His^) über das Riechorgan
von Petromyzon ausgesprochen und eine Abbildung des Organs
mit den beiden Riechnerven nach einem Frontalschnitte ge-
geben. His bezeichnet das Organ als paarig und die zu
beiden Seiten des Septum gelegenen Buchten als die sym-
metrisch angelegten Riechgruben, zu welchen die Riechnerven
vom Hirne aus divergierend sich erstrecken. Ganz zutreflFend
hebt er aber hervor, dass diese Höhle mit ihrer einfachen
Eingangsöffnung der Nasenhöhle der übrigen Wirbeltiere
morphologisch nicht gleichwertig ist. Er meint, dieselbe
wäre wohl am besten als Gesichtshöhle zu bezeichnen und
ihre Rückwand entspräche der Stirn- und oberen Gesichts-
fläche anderer Wirbeltiere. — Ob nun die beiden Riechgruben
von Petromyzon den Riechgruben der Amphirhinen morpho-
logisch gleichwertig zu erachten seien, darüber äussert His
sich nicht.

Wenn man nun weiss, dass die erste Anlage des Riech-

1) W. His, Die Entwicklung der menschlichen und tierischer
Physiognomien. Archiv für Anatomie und Physiologie, Anat. Abt.,

1892, S. 421.

Derselbe, lieber das frontale Ende des Gehirnrohres. Daselbst

1893, S. 168.

V. Kupffer: Ueher Monorhinie und Ämphirhinie. 57

Der Entwicklungsgang der Kopfherven und ihrer Ganglien
ist ein komplizierter, es beteiligen sich daran Anlagen ver-
schiedener Herkunft, je eine centrogene und eine kutane,
die letztere wird von einer verdickten Platte resp. einem
Wulst oder Hügel der Oberhaut geliefert. Die centrogene
Anlage, aus der dorsalen Neuralleiste des Centralorgans
hervorgehend, erreicht die entsprechende kutane Anlage,
dann löst sich die tiefere Zellenschicht der letzteren ab und
vereinigt sich mit der centrogenen Anlage zur Bildung eines
Ganglions des betreffenden Nerven. Es findet also bei der
Bildung der Kopfganglien eine centripetale Verlagerung von
ursprünglich peripheren Zellen statt, die den Wert von
Nervenzellen haben. Nun wäre es bequem, diese Verdick-
ungen der Oberhaut, die sich an der Ganglienbildung be-
teiligen, einheitlich zu bezeichnen. Ich schlage dafür den
Ausdruck Piakode ^) vor. — Es bilden sich am Kopfe zwei
Reihen solcher Plakoden, eine dorso-laterale Reihe und eine
epibranchiale. Beide Reihen konvergieren nach vom gegen
eine vordere terminale Piakode, die sich sowohl bei Mono-
rhinen, wie bei Amphirhinen findet. Bei den Monorhinen,
speziell bei Petromyzon stellt dieselbe die Anlage des un-

1) nXa?ecodi]g, sg, kuchenartig, plattenartig.

68 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3, März 1894.

Wenn wir das Elektrometer in Doppelschaltung mit
dem erwähnten isolirten Pole verbinden, so muss der Aus-
schlag, wie es ganz einfache Betrachtungen zeigen, gleich sein

a = a' — j t;2 ^^^

Das heisst: bei Anwendung der Doppelschaltung zur
Energiemessung von Wechselströmen ist der Ausschlag von
der Constanten 6 unabhängig (c aber ist einfach vernach-
lässigt worden). Für diesen Fall gilt also anstatt (1) eine
einfachere Formel

a = au)'', (2)

wou;^ — dasmittlereQuadrat des oscillir enden Potentials v
bedeutet. Natürlich wird dabei vorausgesetzt, dass r gegen
die Periode der Eigenschwingungen der Electrometernadel
sehr klein ist.

III. Ein in der soeben erwähnten Weise oscillirendes
Potential liefert bei meinen Versuchen ein Inductorium, dessen
secundäre Rolle die Länge = 31 [cm] und den Durch-
messer = 11 [cm], bei dem Widerstände = 41 1 Siem. E.,
hat. Der primäre Strom ist von einem Grove-Elemente ge-
liefert; der Widerstand der primären Kette kann mittelst
eines eingeschalteten Rheostaten variirt werden ; diese Varia-
tionen finden in den Grenzen von etwa 10 bis etwa 30 [Ohm]
statt.

Als Unterbrecher wurde im Anfange der Arbeit das eine
Rad eines Buflfschen Disjunctors (Durchmesser = 5,15 [cm])
mit einer auf ihm federnd schleifenden Bürste aus feinen
Kupferdrähten benutzt. Es ist derselbe Unterbrecher, welcher
Herrn Dr. Franke bei seiner Untersuchung über die Ab-
hängigkeit der D. C.-en flüssiger Körper von der Temperatur
diente (Franke, Inauguraldissertation, Bunzlau 1893; auch:
Wied. Ann., Bd. 50, 1893, S. 163). Dieser Unterbrecher

Stankemtsch : Experimentelle Beiträge. G9

(ich will ihn „Unterbrecher No. I* nennen) liefert 8 Unter-
brechungen bei einer Umdrehung des Rades; wenn also das
Rad n Umdrehungen in einer Secunde macht, so ist die
volle Periode der Oscillationen von v auf dem isolirtem Pole
des Inductoriums gleich

die Ladungszeit aber eines mit diesem Pole verbundenen
Gondensators beträgt

Die Berechnung der Ladungsdauer nach der Formel (w)
setzt voraus, dass die Bürste stets dicht am Rade liegt.
Das kann aber natürlich durchaus nicht bei einer beliebigen
Rotationsgeschwindigkeit des Rades der Fall sein : bei grossen
Geschwindigkeiten findet ganz sicher das Uebei*springen der
Bürste statt, und dann wird die Formel (w) nicht mehr
richtig; das kann zweifellos aus Messungen derD. C.-en von
gut leitenden Flüssigkeiten geschlossen werden, wie es
weiter unten ausführlich besprochen wird. Und zwar ist es
selbstverständlich, dass beim üeberspringen der Bürste die
Formel (w) nur zu kleine Werthe für die Ladungsdauer
geben kann.

Es kann also nur bis auf eine gewisse Grenze vortheil-
haft sein, die Rotationsgeschwindigkeit eines derartigen Unter-
brechers zu vergrössern ; nach dem Ueberschreiten dieser
Grenze kann, wegen der Eigenschwingungen der Bürste,
sogar die Zunahme der Ladungsdauer bei Vergrösserung
der Geschwindigkeit eintreten.

Nachdem solches Verhalten des Unterbrechers No. I aus
den Versuchsergebnissen festgestellt war, wurde ein neuer
Unterbrecher construirt, welchen ich „Unterbrecher No. IP
nennen werde. Der Unterbrecher No. II liefert 120 Unter-

70 Sitzung der math.-phys, ClcLSse tom 3. März 1694.

brechungen bei einer Umdrehung; bei n Umdrehungen in
der Secunde kann also die Ladungsdauer auf

herabgesetzt werden, wenn nur n eine gewisse obere Grenze

nicht überschreitet.

Bei einer massigen Rotationsgeschwindigkeit, die in den

Grenzen

von w = 10 bis fi = 16

liegt, giebt der Unterbrecher No. II sehr gute Resultate.

Der Unterbrecher No. II hat folgende Dimensionen:
Durchmesser des Rades = 13,8 [cm]; seine Breite an der
Peripherie = 1,49 [cm]; Länge je eines metallischen resp.
isolirenden Streifchens (die nämlich Schliessungen resp, Unter-
brechungen des primären Stromes besorgen) = 0,2 [cm]
(das ist die Dimension eines Streifchens in der Richtung der
Peripherie des Rades) ; Breite dieser Streifchen (d. h. die der
Rotationsaxe des Rades parallele Dimension) ist gleich der
Breite des Rades an seiner Peripherie. Wegen kleiner Länge
der Streifchen konnte natürlich eine aus feinen Drähten
bestehende Bürste nicht mehr benutzt werden; statt dieser
wurde ein dünnes 1 [cm] breites Eupferstreifchen angebracht,
welches am Ende fein abgeschliffen und mit 7 Zähnen ver-
sehen ist; das Streif chen ist von einer Stahlfeder getragen,
und sein abgeschliffenes Ende trifft die Peripherie des R.ades
unter dem Winkel von etwa 45®.

Die Räder der beiden benutzten Unterbrecher wurden
durch eine Hefner- Alteneck'sche Maschine getrieben ; die
Maschine von 2 bis 5 grossen Accumulatoren gespeist; kleinere
Aenderungen der Rotationsgeschwindigkeit wurden durch Aen-
derungen in einem eingeschalteten Widerstände erzielt.

Die Rotationsgeschwindigkeit der Unterbrecherräder wird
mittelst eines Tourenzählers und einer Secundenuhr bestimmt.

Stankeioitsch: Experimentelle Beiträge. 71

Da es meine Absicht war, die Versuche bei einer Reihe
von ziemlich verschiedenen Ladungszeiten anzustellen , war
es für mich von Wichtigkeit, auch sehr langsame elektrische
Schwingungen zur Verfügung zu haben. Die beiden Unter-
brecher konnten mich aber in dieser Hinsicht nicht befrie-
digen: bei sehr kleinen ßotationsgesch windigkeiten functio-
niren sie gar nicht regelmässig (wegen der unter diesen
Umständen zu geringen Trägheit der Räder). Dann habe
ich, nach dem Rathe des Herrn Dr. Fomm, eine kleine
Hauptschlussmaschine (bezogen von der Anstalt der Allge-
meinen Elektricitäts-Gesellschaft zu Berlin, No. 2839) zur
Erzeugung des oscillirenden primären Stromes benutzt,
indem dieselbe in eine Wechselstrommaschine dadurch
verwandelt worden ist, dass von zwei gegenüberliegenden
Collectorstreifchen durch Bürsten stetig der Strom abge-
nommen wurde. Die Resultate erwiesen sich als sehr gut:
wenn die Maschine von 30 Akkumulatoren gespeist ist,
macht der Gramm'sche Ring von 4,5 bis 7 Umdrehungen
in einer Secunde ; der von der Maschine für das Inductorium
gelieferte primäre Strom bietet von 9 bis 14 Wechsel
der Richtung in einer Sekunde, und die vom secundären
Strome bedingte Ladungsdauer des Gondensators beträgt

von ^ bis ^ [sec].

Dabei sind aber die Schwingungen der die Energie des
secundären Stromes messenden Electrometernadel merk-
würdig regelmässig, und die Berechnung einer Gleich-
gewichtslage aus Umkehrpunkten gibt eine auffallende Ge-
nauigkeit: öfters kommt es vor, dass die vier aus fünf
Umkehrpunkten berechneten Gleichgewichtslagen bis auf
ein Zehntel eines Scalentheiles übereinstimmen, und
zwar bei grossen Schwingungsamplituden. Indessen, wie aus
den weiter unten mitgetheilten Zahlen ersichtlich ist, be-
kommt man unter Anwendung der Wechselstrommaschine

72 Sitzung der math.-phys. Classe com 3, März 1894.

für die D.C.-en von gut iolirenden Flüssigkeiten sehr
nahe richtige Werthe. Ich kann also die Anwendung dieser
Maschine als ein sehr elegantes Mittel zur Untersuchung
der dielectrischen Polarisation in gut isolirenden Sub-
stanzen empfehlen.

Beinahe eben so regelmässig sind die Schwingungen der
Electrometernadel bei Anwendung des Unterbrechers No. II,
wenn nur die Rotationsgeschwindigkeit innerhalb der oben
mitgetheilten Grenzen liegt.

Was den Unterbrecher No. I betrifft, so functionirte ex
überhaupt bei Weitem nicht so regelmässig wie der Unter —
brecher No. IL Dieser Umstand ist selbstverständlich deraa
kleineren Schwünge seines Rades zuzuschreiben. Der Unteiz:" -
brecher No. I wurde von mir nur im Anfange der Arb^ iSt
benutzt, später aber ganz verlassen.

IV. Zur Herstellung von verschiedenen Verbindung(
zwischen dem Doppelcondensator, dem Electrometer und AezM-H
Inductorium dient mir ein Commutator aus Paraffin. De^xr-
selbe gestattet:

1) die obere und mittlere Platte des Doppelcondensators
zur Erde abzuleiten (die untere Platte,, wie schon erwähnt,
bleibt stets mit der Erde verbunden);

2) die obere Platte mit dem isolirten Pole des Induc-
toriums (der andere Pol stets zur Erde abgeleitet) und
gleichzeitig die mittlere Platte mit dem Electrometer in
Verbindung zu setzen;

3) das Electrometer allein mit dem erwähnten freien
Pole des Inductoriums zu verbinden;

4) das Electrometer mit der oberen Platte und mit
dem Inductorium zu verbinden, indem die mittlere Platte
isolirt bleibt (NB.: die Anordnung für diese letzte Com-
bination wurde nur bei den Vorversuchen benutzt; da sie

Stanicetcitsch: Experimentelle Beiträge, 73

sich als nicht nöthig erwiesen hat, wurde sie später be-
seitigt).

Alle Verbindungen sind mittelst sehr dünner Messing-
drahte hergestellt; zur Unterstützung derselben sind paraffi-
nirte Glasstäbchen und Seidenfaden benutzt.

B. Messungsverfahren.

Nennen wir die obere Zwischenschicht des Doppel-
condensators — , Schicht No. 1*, die untere — ^Schicht
No. 2\

Nehmen wir weiter die Capacität des aus der oberen
und mittleren Eupferplatte bestehenden Condensators, wenn
die Luft die betreffende Zwischenschicht füllt, als
Einheit der Gapacitäten an, dann ist die Capacität des von der
mittleren und unteren Platte gebildeten Luftcondensators auch
(sehr nahe: s. oben) gleich Eins. Wenn aber die Schichten
No. 1 und 2 mit Flüssigkeiten von D. C.-en 6^ resp. d^ er-
füllt sind, so sind die Gapacitäten der beiden Gondensatoren
gleich (Jj resp. d^.

Es sei noch y die als constant vermuthete Gapacität des
Electrometers in Doppelschaltung + Capacität des Paraffin-
commutators + Capacität gesammter Zuleitungsdrähte.

Es seien jetzt die beiden Zwischenschichten mit Flüssig-
keiten (dj und dg) gefüllt; alle Platten und Electrometer
seien zunächst mit der Erde verbunden, dann aber Electro-
meter und mittlere Platte isolirt und miteinander verbunden,
während die obere Platte bis auf das Potential = V geladen
wird. Dann bekommt die mittlere Platte ein kleineres Po-
tential = v, welches am Electrometer gemessen wird. Wenn
wir nun annehmen, dass die beiden Flüssigkeiten und
alle benutzten isolirenden Stützen vollkommene Isola-
toren seien, so muss offenbar die Gleichung

74 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 3, März 1894.

oder

ir:v)-l = {d, + Y):d, (3)

bestehen.

Natürlich kann unsere Voraussetzung in Wirklichkeit
nie in ganzer Strenge erfüllt werden. Man vermuthet
jedoch, dass diesem ideellen B'alle um so mehr genähert
wird, je kleiner die Ladungsdauer ausfällt. Darauf beruht
die Anwendung von Wechselströmen zur Bestimmung der
D. C.-en; die Vermuthung wird von der Erfahrung be-
stätigt.

Es sei die obere Platte mit dem freien Pole eines In-
ductoriums, in welchem elektrische Schwingungen vor sich
gehen, verbunden; die mittlere Platte aber isolirt und mit
einem Electrometer in Doppelschaltung verbunden.

Das Potential der oberen Platte V ist dann eine perio-
dische Function der Zeit t mit der Periode = r; das Po-
tential der mittleren Platte v ist ebenfalls eine periodische
Function von t und zwar mit derselben Periode.

Wenn wir nun

und

l.L^dt =

setzen, so wird anstatt der Gleichung (3) die folgende be-
stehen :

iW:w)-l = {d, + y):d,. (4)

Auf unvollkommene Isolatoren angewandt gilt die Glei-
chung (4) nur angenähert; der oben ausgesprochenen Ver-
muthung gemäss ist aber die Annäherung um so grösser,
je kleiner r gemacht wird.

Stankewitscih: Experimentelle Beiträge. 75

Die Grösse tv ist nun unmittelbar von dem mit der
mittleren Platte verbundenen Electrometer gegeben; und zwar
kann sie nach der Gleichung (2) (Abschnitt A, Artikel II)
aus dem Werthe des Ausschlages a berechnet werden.

Wie aber kann die Bestimmung von W geschehen?

Das geschieht ganz einfach im Falle, wo die zwei fol-
genden Voraussetzungen berechtigt sind: 1) dass die „electro-
statische Capacität' der secundären Bolle des Inductoriums
sehr gross gegen die von uns angenommene Gapacitätseinheit
erscheint; 2) dass die elektrischen Schwingungen im Induc-
torium ganz regelmässig vor sich gehen und keine merkliche
Aenderung während der zu den weiter beschriebenen Mani-
pulationen nöthigen Zeit erfahren.

Nehmen wir für einen Augenblick an, dass die beiden
Voraussetzungen erfüllt seien ; dann verfahren wir folgender-
massen:

Nachdem der Ausschlag a bestimmt ist, trennen wir
sowohl das Electrometer als auch das Inductorium von un-
serem Doppelcondensator ab und verbinden sie miteinander.
Dann entspricht oflFenbar der neue Ausschlag der Nadel
(nennen wir ihn A) dem Potentiale TT, d. h. es besteht
dann die Gleichung

A = a'W\

In diesem Falle ist also

und die Gleichung (4) wird zu

(VÄ:yä)-l = (d, + y):d,. (5)

Wenn aber die erste von den oben erwähnten Vor-
aussetzungen nicht berechtigt ist, so kann die „electro-
statische Gapacitäf des Inductoriums experimentell bestimmt,
und ihr Werth in der von uns angenommenen Einheit an-
gegeben werden. Dann kann man, jedoch unter der An-

76 Sitzung der math.-phys. Classe vom 3. März 1894,

nähme, dass die zweite von jenen Voraussetzungen doch
richtig ist, das oben beschriebene Verfahren noch anwenden;
nur die Formeln werden in diesem Falle ein wenig com-
plicirter, indem die „electrostatische Capacität* des Induc-
toriums in die Gleichungen eintritt. Diese complicirteren
Formeln theile ich nicht mit, weil bei meinen Versuchen
die erste Voraussetzung so nahe erfüllt war, dass die
„electrostatische Capacität* des Inductoriums wegen ihrer
Grösse gegen die oben angenommene Capacitätseinheit nicht
geschätzt werden konnte. Beim Anfange der Arbeit habe
ich mehrmals versucht diese Capacität zu bestimmen, indem
ich folgendermassen verfuhr: ich bestimmte den Ausschlag
des Electrometers bei der im Abschnitte A, Artikel IV, unter
3) bezeichneten Verbindung; dann wurde auf die unter 4)
bezeichnete Verbindung commutirt und der Ausschlag von
neuem bestimmt; dabei hat sich aber bei einer ziemlich
grossen Anzahl derartiger Versuche kein Unterschied
zwischen den Grössen der beiden Ausschläge ergeben. Des-
halb betrachte ich es als berechtigt das oben mitgetheilte
vereinfachte Verfahren anzuwenden und zur Berechnung der
Versuchsergebnisse die Formel (5) zu benutzen. Was aber
die zweite von den oben erwähnten Voraussetzungen be-
trifft, so konnte sie bei meinen Versuchen nur ausnahms-
weise, in durchaus seltenen Fällen, nicht erfüllt sein. Die
Bürgschaft dafür ist erstens die grosse Regelmässigkeit des
Functionirens der Wechselstrommaschine und der beiden Unter-
brecher (bei passenden Rotationsgeschwindigkeiten), welche
Regelmässigkeit aus dem Verhalten der Ausschläge der Electro-
meternadel wohl erkennbar ist; zweitens aber auch gute
üebereinstimmung zwischen den Ergebnissen einzelner Be-
obachtungen. Und zwar ist die Regelmässigkeit am grössten
bei der Wechselstrom maschine, dann beim Unterbrecher No. II;
dem Unterbrecher No. I kommt in dieser Hinsicht die letzte
Stelle zu.

Stankewitsch: Experimentelle Beiträge, 77

Mein Verfahren besteht also im Folgenden:

I. Ich beginne mit der im Abschnitt A, Artikel IV
unter 1) bezeichneten Verbindung, um die Möglichkeit zu-
fälliger Elektrisirung der Platten beim Anfange des Versuches
auszuschliessen ;

II. dann commutire ich auf die Verbindung, welche
unter 2) angedeutet ist, und bestimme den Ausschlag a;

IIL schliesslich commutire ich auf die unter 3) bezeich-
nete Verbindung und bestimme den Ausschlag A.

Um die ganze Manipulation möglichst kurz zu machen,
was von grosser Wichtigkeit ist, werden die Gleichgewichts-
lagen aus Schwingungen bestimmt, nämlich aus 3 oder 5
Umkehrpunkten; für die Verkürzung der Dauer des Ver-
fahrens ist der Umstand sehr günstig, dass die Schwingungen
der Nadel meines Electrometers sehr rasch sind (s. oben).
Das Abwarten des Eintretens der thatsächlichen Ruhe der
Nadel raubt sehr viel Zeit, da die Luftdämpfung nur gering
ist (s. oben), und kann deshalb gar nicht empfohlen werden.
Zur Erleichterung der Berechnung von Gleichgewichtslagen
aus Umkehrpunkten habe ich eine Hilfstabelle construirt.

Die Berechnung von Versuchsergebnissen geschieht nach
der Formel (5). Dass diese Berechnung, wenn sie sich auf
leitende Flüssigkeiten und dabei auf langsame elektrische
Schwingungen bezieht, nur ganz illusorische Werthe für
die D.C.-en geben kann, das liegt auf der Hand. Aber ich
habe mir, wie oben schon erwähnt ist, die Aufgabe gestellt,
zu prüfen, ob nicht diese Werthe, bei Abnahme der Ladungs-

dauer -^, sich asymptotisch einer festen unteren Grenze

nähern.

Kehren wir zur Gleichung (5) zurück. Wenn die beiden
Zwischenschichten des Doppelcondensators mit Luft erfüllt
sind, kommt dieser Gleichung folgende Gestalt zu:

y:Ä : Ya~= 2 + y. (6)

78 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3, März 1894,

Wie aus (6) erhellt, geben die Versuche mit der Luft
in den beiden Zwischenschichten unmittelbar den Werth der
Constanten y.

Wenn nun die Schicht No. 1 mit einer Flüssigkeit (von
der D.O. = ö^) erfüllt ist, die Schicht No. 2 dagegen mit
Luft, so verwandelt sich die Gleichung (5) in

{Y^':y^)-l={l + Y):d,. (7)

Derartige Versuche können also zur Bestimmung der
D.O. einer Flüssigkeit in Bezug auf Luft dienen, wenn der
Werth von y aus Vorversuchen bekannt ist.

Endlich können Versuche mit zwei Flüssigkeiten [Glei-
chung (5)] als Controlversuche dienen.

C. Ergebnisse.

Wegen grosser Wichtigkeit einer möglichst genauen
Kenntniss des Werthes von y wurde zur Ermittelung des-
selben eine ziemlich grosse Anzahl Versuche angestellt.

Resultate :

aus Versuchen mit

Unterbrecher No. II Unterbrecher No. I

y = 0,63 (Mittel aus 117 Vers.) y = 0,65 (aus 30 Vers.)

Wechselstrommaschine
y = 0,66 (Mittel aus 98 Versuchen).

Dabei wurden fast immer die massigen Rotations-
geschwindigkeiten der beiden Unterbrecher benutzt (welche
Geschwindigkeiten, wie schon erwähnt, dem regelmässigsten
Functioniren der Unterbrecher entsprechen). Trotz grosser
Anzahl von Beobachtungen konnte eine Abhängig-
keit der Grösse y von der Höhe der benutzten Po-
tentiale (von der Grösse -4.) nicht nachgewiesen werden.
Auf eine solche Abhängigkeit deutet Herr Arons bei dem
von ihm benutzten Mascart'schen Electrometer hin (Wied.
Ann. Bd. 35, 1888, SS. 294—295). Uebrigens variirten bei

Stanhewitsch : Experimentelle Beiträge. 79

meinen Versuchen die Potentiale innerhalb nicht so weiter
Grenzen, wie es bei Herrn Arons der Fall war.

Was die Verschiedenheit der Werthe von y bei ver-
schiedenen Ladungsdauern betrifft (s. die oben angeführten
Zahlen) , so zeigen sie eine derartige Gesetzmässigkeit (je
kleiner die Ladungsdauer ist, desto kleiner fällt auch y aus),
die wohl erklärbar zu sein scheint: es muss zu der wahren
Capacität des Electrometers und der Zuleitungen (d. h. der-
jenigen Capacität, welche einer vollkommenen Isolation ent-
sprechen würde) noch eine scheinbare hinzukommen, welche
von der oberflächlichen Leitung der Seidenfäden und XJnter-
stützungsstäbchen herrührt; es ist aber sehr wohl denkbar,
dass die von Isolationsmangel herrührenden Electricitätsver-
luste (also auch die scheinbare Capacität) desto grösser
sind, je länger die Ladungsdauer ausfällt; bei den ziemlich
grossen Unterschieden in der Ladungsdauer, wie es bei den
drei erwähnten Versuchsreihen der Fall war, können vielleicht
diese Unterschiede einen wahrnehmbaren Einfluss auf das
Resultat ausüben.

Jedenfalls kann die Verschiedenheit der Werthe von y
bei verschiedener Ladungsdauer nur einen kleinen Einfluss
auf die Werthe der D.C.-en haben, nämlich : bei Berechnung
dieser Werthe wird nicht y selbst, sondern 1 + y benutzt
[s. Gleichung (7)]. Es kann also dieser Einfluss höchstens
durch

1,8%
der Grösse einer zu bestimmenden D.O. dargestellt werden.

Doch halte ich es für not h wendig, bei der Berech-
nung einer D.C. immer denjenigen von den oben mitgetheilten
Werthen von y zu benutzen, welcher zur zugehörigen Unter-
brechungsart gehört.

Jetzt theile ich die bei den Versuchen mit verschiedenen
Flüssigkeiten bekommenen Resultate mit. Die Versuche be-
ziehen sich auf gewöhnliche Zimmertemperatur, die etwa

80 Sitzung der mathrphys. Classe vom 3. März 1894.

zwischen 17^ und 20° schwankte. Bei zähen Flüssigkeiten
wurde der Durchfluss durch die dünnen Trichterröhren (bei
Füllung von Zwischenschichten des Doppelcondensators) durch
Ausübung eines Luftdruckes beschleunigt.

Die weiter unten mitgetheilten Werthe der Ladungs-

dauer-r- wurden nach den Formeln {co) und (ß) (Abschnitt A,

Art. III) berechnet; aus dem oben erörterten Grande wird
diesen Werthen keine absolute Genauigkeit zugeschrieben :
es handelt sich nur um eine ungefähre Schätzung der La-
dungsdauer.

A. Schlecht leitende Flüssigkeiten.

I. Benzol.

Dicht. = 0,879 bei 19° C.
Unterbrecher No. II Unterbrecher No. I

' = ^'^1 (t = 2^) ' = 2'!^ (t ^«" w ""' w)

Wechselstrommaschine

'='•'' ii = ^)-

Man sieht, dass die Wechselstrommaschine einen bis auf
3,3 % richtigen Werth geliefert hat.

Die von anderen Forschern gefundenen Werthe sind:
2,198 (Silow); 2,43 (Winkelmann); 2,13 (bei 20^ C.)
(Negreano); 1,948 (Donle); 1,766 (Ladungsdauer = 1 Se-

cunde) (G. Weber); 2,207 (Ladungsdauer = -^-^ [See.])

(G. Weber); 2,17 (Tshegläjew).

Stanlcewitsch: Experimentelle Beiträge. 83

sehr stark, und man konnte sehr wohl das Eintreten der
thatsächlichen Ruhe derselben abwarten. Die Nullpunkts-
verschiebungen in den Oelen waren sehr klein im Verhält-
nisse zu den benutzten Ausschlägen : sie machten kaum ^/a ^/o
derselben aus. Dieser Umstand ist der bedeutenden Schwere
der von Herrn Franke und mir für das Edelmann'sche
Electrometer benutzten „Nadel" zuzuschreiben. Die davon her-
rührende kleine Empfindlichkeit des Edelraann'schen Electro-
meters stellte aber für mich keinen üebelstand dar, weil, wie
oben erwähnt, das Mascart'sche Electrometer auch eine kleine
Empfindlichkeit besass, während die vom Inductorium ge-
lieferten Potentiale genügend hoch waren.

Das von den Herren Cohn und Arons durch Fq : Mq
bezeichnete Verhältniss (1. c, S. 16) erwies sich für meine
Electrometer im Mittel gleich 2,80.

Ich konnte die Kraftmessungsmethode nur für diejenigen
Oele anwenden, von denen mir hinreichend grosse Mengen
(zur Füllung des Flüssigkeitselectrometers) zur Verfügung
standen.

Im Weiteren behalte ich das Zeichen d zur Bezeichnung
der nach der Kraftmessungsmethode bekommenen Werthe
von D. C.-en bei; die nach der Capacitätsmethode bekom-
menen Werthe (welche, bei kleiner Ladungsdauer, natürlich,
illusorisch sind) werden durch D bezeichnet.

I. Oleum Juniperi e baccis No. IV.
Dicht. = 0,8657 bei 19,5^C.
Unterbrecher No. II: Wechselstrom maschine:

z 1

2 ~3860

T 1

2 1900

T 1

2 12

2) = 2,19.

D = 2,45.

D = 2,54.
6*

76 Sitzung der math.-phys. Classe vom 3. März 1894,

nähme, dass die zweite von jenen Voraussetzungen doch
richtig ist, das oben beschriebene Verfahren noch anwenden;
nur die Formeln werden in diesem Falle ein wenig com-
plicirter, indem die „electrostatische Capacität" des Induc-
toriums in die Gleichungen eintritt. Diese complicirteren
Formeln theile ich nicht mit, weil bei meinen Versuchen
die erste Voraussetzung so nahe erfüllt war, dass die
„electrostatische Capacität* des Inductoriums wegen ihrer
Grösse gegen die oben angenommene Capacitätseinheit nicht
geschätzt werden konnte. Beim Anfange der Arbeit habe
ich mehrmals versucht diese Capacität zu bestimmen, indem
ich folgendermassen verfuhr: ich bestimmte den Ausschlag
des Electrometers bei der im Abschnitte A, Artikel IV, unter
3) bezeichneten Verbindung; dann wurde auf die unter 4)
bezeichnete Verbindung commutirt und der Ausschlag von
neuem bestimmt; dabei hat sich aber bei einer ziemlich
grossen Anzahl derartiger Versuche kein Unterschied
zwischen den Grössen der beiden Ausschläge ergeben. Des-
halb betrachte ich es als berechtigt das oben mitgetheilte
vereinfachte Verfahren anzuwenden und zur Berechnung der
Versuchsergebnisse die Formel (5) zu benutzen. Was aber
die zweite von den oben erwähnten Voraussetzungen be-
trifft, so konnte sie bei meinen Versuchen nur ausnahms-
weise, in durchaus seltenen Fällen, nicht erfüllt sein. Die
Bürgschaft dafür ist erstens die grosse Regelmässigkeit des
Functionirens der Wechselstrommaschine und der beiden Unter-
brecher (bei passenden Rotationsgeschwindigkeiten), welche
Regelmässigkeit aus dem Verhalten der Ausschläge der Electro-
meternadel wohl erkennbar ist; zweitens aber auch gute
Uebereinstimmung zwischen den Ergebnissen einzelner Be-
obachtungen. Und zwar ist die Regelmässigkeit am grössten
bei der Wechselstrom maschine, dann beim Unterbrecher No. II;
dem Unterbrecher No. I kommt in dieser Hinsicht die letzte
Stelle zu.

Stankewitsch: Experimentelle Beiträge. 77

Mein Verfahren besteht also im Folgenden:
I. Ich beginne mit der im Abschnitt A, Artikel IV
unter 1) bezeichneten Verbindung, um die Möglichkeit zu-
fälliger Elektrisirung der Platten beim Anfange des Versuches
auszuschliessen ;

IL dann commutire ich auf die Verbindung, welche
unter 2) angedeutet ist, und bestimme den Ausschlag a;

III. schliesslich commutire ich auf die unter 3) bezeich-
nete Verbindung und bestimme den Ausschlag A.

dauer — , sich asymptotisch einer festen unteren Grenze

nähern.

Kehren wir zur Gleichung (5) zurück. Wenn die beiden
Zwischenschichten des Doppelcondensators mit Luft erfüllt
sind, kommt dieser Gleichung folgende Gestalt zu:

yZi : 1/^= 2 + y. (6)

70 Sitzung der math.-phys. Classe vom 3. März 1894.

nähme, dass die zweite von jenen Voraussetzungen doch
richtig ist, das oben beschriebene Verfahren noch anwenden;
nur die Formeln werden in diesem Falle ein wenig com-
plicirter, indem die „electrostatische Capacitäf* des Induc-
toriums in die Gleichungen eintritt. Diese complicirteren
Formeln theile ich nicht mit, weil bei meinen Versuchen
die erste Voraussetzung so nahe erfüllt war, dass die
„electrostatische Capacität* des Inductoriums wegen ihrer
Grösse gegen die oben angenommene Capacitätseinheit nicht
geschätzt werden konnte. Beim Anfange der Arbeit habe
ich mehrmals versucht diese Capacität zu bestimmen, indem
ich folgendermassen verfuhr: ich bestimmte den Ausschlag
des Electrometers bei der im Abschnitte A, Artikel IV, unter
3) bezeichneten Verbindung; dann wurde auf die unter 4)
bezeichnete Verbindung commutirt und der Ausschlag von
neuem bestimmt; dabei hat sich aber bei einer ziemlich
grossen Anzahl derartiger Versuche kein Unterschied
zwischen den Grössen der beiden Ausschläge ergeben. Des-
halb betrachte ich es als berechtigt das oben mitgetheilte
vereinfachte Verfahren anzuwenden und zur Berechnung der
Versuchsergebnisse die Formel (5) zu benutzen. Was aber
die zweite von den oben erwähnten Voraussetzungen be-
trifft, so konnte sie bei meinen Versuchen nur ausnahms-
weise, in durchaus seltenen Fällen, nicht erfüllt sein. Die
Bürgschaft dafür ist erstens die grosse Regelmässigkeit des
Functionirens der Wechselstrommaschine und der beiden Unter-
brecher (bei passenden Rotationsgeschwindigkeiten), welche
Regelmässigkeit aus dem Verhalten der Ausschläge der Electro-
meternadel wohl erkennbar ist; zweitens aber auch gute
üebereinstimmung zwischen den Ergebnissen einzelner Be-
obachtungen. Und zwar ist die Regelmässigkeit am grössten
bei der Wechselstrom masehine, dann beim Unterbrecher No. II;
dem Unterbrecher No. I kommt in dieser Hinsicht die letzte
Stelle zu.

Stmikeioitsch: Experimentelle Beiträge, 77

Mein Verfahren besteht also im Folgenden:

I. Ich beginne mit der im Abschnitt A, Artikel IV
unter 1) bezeichneten Verbindung, um die Möglichkeit zu-
fälliger Elektrisirung der Platten beim Anfange des Versuches
auszuschliessen ;

IL dann commutire ich auf die Verbindung, welche
unter 2) angedeutet ist, und bestimme den Ausschlag a;

III. schliesslich commutire ich auf die unter 3) bezeich-
nete Verbindung und bestimme den Ausschlag A,

dauer — , sich asymptotisch einer festen unteren Grenze

nähern.

Kehren wir zur Gleichung (5) zurück. Wenn die beiden
Zwischenschichten des Doppelcondensators mit Luft erfüllt
sind, kommt dieser Gleichung folgende Gestalt zu:

yZi : Y^= 2 + y. (6)

68 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3, März 1894.

Wenn wir das Elektrometer in Doppelschaltung mit
dem erwähnten isolirten Pole verbinden, so muss der Aus-
schlag, wie es ganz einfache Betrachtungen zeigen, gleich sein

a =^ U' — I v^ d^.

Das heisst: bei Anwendung der Doppelschaltung zur
Energiemessung von Wechselströmen ist der Ausschlag von
der Constanten b unabhängig (c aber ist einfach vernach-
lässigt worden). Für diesen Fall gilt also anstatt (1) eine
einfachere Formel

a = aw^, (2)

wo u^ — das mittlere Quadrat des oscillirenden Potentials v
bedeutet. Natürlich wird dabei vorausgesetzt, dass r gegen
die Periode der Eigenschwingungen der Electrometernadel
sehr klein ist.

III. Ein in der soeben erwähnten Weise oscillirendes
Potential liefert bei meinen Versuchen ein Inductorium, dessen
secundäre Rolle die Länge = 31 [cm] und den Durch-
messer = 11 [cm], bei dem Widerstände ==411 Siem. E.,
hat. Der primäre Strom ist von einem Grove-Elemente ge-
liefert; der Widerstand der primären Kette kann mittelst
eines eingeschalteten Rheostaten variirt werden ; diese Varia-
tionen finden in den Grenzen von etwa 10 bis etwa 30 [Ohm]
statt.

Als Unterbrecher wurde im Anfange der Arbeit das eine
Rad eines BuflTschen Disjunctors (Durchmesser = 5,15 [cm])
mit einer auf ihm federnd schleifenden Bürste aus feinen
Kupferdrähten benutzt. Es ist derselbe Unterbrecher, welcher
Herrn Dr. Franke bei seiner Untersuchung über die Ab-
hängigkeit der D. C.-en flüssiger Körper von der Temperatur
diente (Franke, Inauguraldissertation, Bunzlau 1893; auch:
Wied. Ann., Bd. 50, 1893, S. 163). Dieser Unterbrecher

StanJcewitsch : Experimentelle Beiträge. 69

(ich will ihn ^Unterbrecher No. P nennen) liefert 8 Unter-
brechungen bei einer Umdrehung des Rades; wenn also das
Rad n Umdrehungen in einer Secunde macht, so ist die
volle Periode der Oscillationen von v auf dem isolirtem Pole
des Inductoriums gleich

^ = ^[sec];

die Ladungszeit aber eines mit diesem Pole verbundenen
Condensators beträgt

Die Berechnung der Ladungsdauer nach der Formel (w)
setzt voraus, dass die Bürste stets dicht am Rade liegt.
Das kann aber natürlich durchaus nicht bei einer beliebigen
Rotationsgeschwindigkeit des Rades der Fall sein : bei grossen
Geschwindigkeiten findet ganz sicher das Ueberspringen der
Bürste statt, und dann wird die Formel (w) nicht mehr
richtig; das kann zweifellos aus Messungen derD. C.-en von
gut leitenden Flüssigkeiten geschlossen werden, wie es
weiter unten ausführlich besprochen wird. Und zwar ist es
selbstverständlich, dass beim Ueberspringen der Bürste die
Formel (w) nur zu kleine Werthe für die Ladungsdauer
geben kann.

Es kann also nur bis auf eine gewisse Grenze vortheil-
hafb sein, die Rotationsgeschwindigkeit eines derartigen Unter-
brechers zu vergrösser n ; nach dem Ueberschreiten dieser
Grenze kann, wegen der Eigenschwingungen der Bürste,
sogar die Zunahme der Ladungsdauer bei Vergrösserung
der Geschwindigkeit eintreten.

70 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 3. März 1894.

brechungen bei einer Umdrehung; bei n Umdrehungen in
der Secunde kann also die Ladungsdauer auf

y = 24k M (^)

herabgesetzt werden, wenn nur n eine gewisse obere Grenze

nicht überschreitet.

Bei einer massigen Botationsgeschwindigkeit, die in den

Grenzen

von n = 10 bis n = 16

liegt, giebt der Unterbrecher No. II sehr gute Resultate.

Der Unterbrecher No. II hat folgende Dimensionen :
Durchmesser des Rades = 13,8 [cm]; seine Breite an der
Peripherie = 1,49 [cm]; Länge je eines metallischen resp.
isolirenden Streifchens (die nämlich Schliessungen resp. Unter-
brechungen des primären Stromes besorgen) = 0,2 [cm]
(das ist die Dimension eines Streifchens in der Richtung der
Peripherie des Rades) ; Breite dieser Streifchen (d. h. die der
Rotationsaxe des Rades parallele Dimension) ist gleich der
Breite des Rades an seiner Peripherie. Wegen kleiner Länge
der Streifchen konnte natürlich eine aus feinen Drähten
bestehende Bürste nicht mehr benutzt werden; statt dieser
wurde ein dünnes 1 [cm] breites Kupferstreifchen angebracht,
welches am Ende fein abgeschliffen und mit 7 Zähnen ver-
sehen ist; das Streifchen ist von einer Stahlfeder getragen,
und sein abgeschliffenes Ende trifft die Peripherie des Rades
unter dem Winkel von etwa 45^.

Die Räder der beiden benutzten Unterbrecher wurden
durch eine Hefner- Alteneck 'sehe Maschine getrieben ; die
Maschine von 2 bis 5 grossen Accumulatoren gespeist; kleinere
Aenderungen der Rotationsgeschwindigkeit wurden durch Aen-
derungen in einem eingeschalteten Widerstände erzielt.

Die Rotationsgeschwindigkeit der Unterbrecherräder wird
mittelst eines Tourenzählers und einer Secundenuhr bestimmt.

Stanketoitsch: Experimentelle Beiträge. 71

Da es meine Absicht war, die Versuche bei einer Reihe
von ziemlich verschiedenen Ladungszeiten anzustellen , war
es für mich von Wichtigkeit, auch sehr langsame elektrische
Schwingungen zur Verfügung zu haben. Die beiden Unter-
brecher konnten mich aber in dieser Hinsicht nicht befrie-
digen: bei sehr kleinen Rotationsgeschwindigkeiten functio-
niren sie gar nicht regelmässig (wegen der unter diesen
Umständen zu geringen Trägheit der Räder). Dann habe
ich, nach dem Rathe des Herrn Dr. Fomm, eine kleine
Hauptschlussmaschine (bezogen von der Anstalt der Allge-
meinen Elektricitäts-Gesellschaft zu Berlin, No. 2839) zur
Erzeugung des oscillirenden primären Stromes benutzt,
indem dieselbe in eine Wechselstrommaschine dadurch
verwandelt worden ist, dass von zwei gegenüberliegenden
Collectorstreifchen durch Bürsten stetig der Strom abge-
nommen wurde. Die Resultate erwiesen sich als sehr gut:
wenn die Maschine von 30 Akkumulatoren gespeist ist,
macht der Gramm'sche Ring von 4,5 bis 7 Umdrehungen
in einer Secunde ; der von der Maschine für das Inductorium
gelieferte primäre Strom bietet von 9 bis 14 Wechsel
der Richtung in einer Sekunde, und die vom secundären
Strome bedingte Ladungsdauer des Condensators beträgt

von ^ bis ^ [sec].

72 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 3, März 1894.

Beinahe eben so regelmässig sind die Schwingungen der
Electrometernadel bei Anwendung des Unterbrechers No. II,
wenn nur die Rotationsgeschwindigkeit innerhalb der oben
mitgetheilten Grenzen liegt.

Was den Unterbrecher No. I betrifift, so functionirte er
überhaupt bei Weitem nicht so regelmässig wie der Unter-
brecher No. IL Dieser Umstand ist selbstverständlich dem
kleineren Schwünge seines Rades zuzuschreiben. Der Unter-
brecher No. I wurde von mir nur im Anfange der Arbeit
benutzt, später aber ganz verlassen.

IV. Zur Herstellung von verschiedenen Verbindungen
zwischen dem Doppelcondensator, dem Electrometer und dem
Inductorium dient mir ein Commutator aus Paraffin. Der-
selbe gestattet:

1) die obere und mittlere Platte des Doppelcondensators
zur Erde abzuleiten (die untere Platte,, wie schon erwähnt,
bleibt stets mit der Erde verbunden);

2) die obere Platte mit dem isolirten Pole des Induc-
toriums (der andere Pol stets zur Erde abgeleitet) und
gleichzeitig die mittlere Platte mit dem Electrometer in
Verbindung zu setzen;

3) das Electrometer allein mit dem erwähnten freien
Pole des Inductoriums zu verbinden;

Stankewitsch: Experimentelle Beiträge. 73

sich als nicht nöthig erwiesen hat, wurde sie später be-
seitigt).

Alle Verbindungen sind mittelst sehr dünner Messing-
drahte hergestellt; zur Unterstützung derselben sind paraffi-
nirte Glasstäbchen und Seidenfäden benutzt.

B. Messungsverfahren.

Nennen wir die obere Zwischenschicht des Doppel-
condensators — „Schicht No. 1*, die untere — , Schicht

No. 2\

Nehmen wir weiter die Capacität des aus der oberen
und mittleren Kupferplatte bestehenden Condensators, wenn
die Luft die betreffende Zwischenschicht füllt, als
Einheit der Capacitäten an, dann ist die Capacität des von der
mittleren und unteren Platte gebildeten Luftcondensators auch
(sehr nahe: s. oben) gleich Eins. Wenn aber die Schichten
No. 1 und 2 mit Flüssigkeiten von D. C.-en ö^ resp. ö^ er-
füllt sind, so sind die Capacitäten der beiden Condensatoren
gleich ö^ resp. d^.

Es sei noch y die als constant vermuthete Capacität des
Electrometers in Doppelschaltung + Capacität des Paraffin-
commutators + Capacität gesammter Zuleitungsdrähte.

Es seien jetzt die beiden Zwischenschichten mit Flüssig-
keiten (dj und dg) gefüllt; alle Platten und Electrometer
seien zunächst mit der Erde verbunden, dann aber Electro-
meter und mittlere Platte isolirt und miteinander verbunden,
während die obere Platte bis auf das Potential = V geladen
wird. Dann bekommt die mittlere Platte ein kleineres Po-
tential =t;, welches am Electrometer gemessen wird. Wenn
wir nun annehmen, dass die beiden Flüssigkeiten und
alle benutzten isolirenden Stützen vollkommene Isola-
toren seien, so muss offenbar die Gleichung

74 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 3, März 1894.

oder

(V:v)-l^{Ö, + y):d, (3)

bestehen.

Natürlich kann unsere Voraussetzung in Wirklichkeit
nie in ganzer Strenge erfüllt werden. Man vermuthet
jedoch, dass diesem ideellen Falle um so mehr genähert
wird, je kleiner die Ladungsdauer ausfällt. Darauf beruht
die Anwendung von Wechselströmen zur Bestimmung der
D. C.-en; die Vermuthung wird von der Erfahrung be-
stätigt.

Das Potential der oberen Platte V ist dann eine perio-
dische Function der Zeit t mit der Periode = t; das Po-
tential der mittleren Platte v ist ebenfalls eine periodische
Function von t und zwar mit derselben Periode.

Wenn wir nun

1 (v^dt=W''
und

ljv^dt =

setzen, so wird anstatt der Gleichung (3) die folgende be-
stehen :

iW:w)-l = (d, + y):d,. (4)

Auf unvollkommene Isolatoren angewandt gilt die Glei-
chung (4) nur angenähert; der oben ausgesprochenen Ver-
muthung gemäss ist aber die Annäherung um so grösser,
je kleiner r gemacht wird.

Stankewitach: Experimentelle Beiträge. 75

Die Grösse w ist nun unmittelbar von dem mit der
mittleren Platte verbundenen Electrometer gegeben; und zwar
kann sie nach der Gleichung (2) (Abschnitt A, Artikel II)
aus dem Werthe des Ausschlages a berechnet werden.

Wie aber kann die Bestimmung von W geschehen ?

Das geschieht ganz einfach im Falle, wo die zwei fol-
genden Voraussetzungen berechtigt sind: 1) dass die »electro-
statische Capacität' der secundären Bolle des Inductoriums
sehr gross gegen die von uns angenommene Capacitätseinheit
erscheint; 2) dass die elektrischen Schwingungen im Induc-
torium ganz regelmässig vor sich gehen und keine merkliche
Aenderung während der zu den weiter beschriebenen Mani-
pulationen nöthigen Zeit erfahren.

Nehmen wir für einen Augenblick an, dass die beiden
Voraussetzungen erfüllt seien ; dann verfahren wir folgender-
massen:

Nachdem der Ausschlag a bestimmt ist, trennen wir
sowohl das Electrometer als auch das Inductorium von un-
serem Doppelcondensator ab und verbinden sie miteinander.
Dann entspricht oflfenbar der neue Ausschlag der Nadel
(nennen wir ihn Ä) dem Potentiale TT, d. h. es besteht
dann die Gleichung

In diesem Falle ist also

und die Gleichung (4) wird zu

(VÄ:Vä)-l = (d, + y):d,. (5)

Wenn aber die erste von den oben erwähnten Vor-
aussetzungen nicht berechtigt ist, so kann die „electro-
statische Capacität' des Inductoriums experimentell bestimmt,
und ihr Werth in der von uns angenommenen Einheit an-
gegeben werden. Dann kann man, jedoch unter der An-

94 Sitzung der mathrphys. Classe vom 3. März 1894,-

gelang, seine Aufgabe auf weniger als etwa fünf Druck-
bogen zu erledigen.

Die Anregung, auf diesen Gegenstand zurückzukommen,
dessen Bearbeitung dem Verfasser lange Zeit als eine un-
dankbare erschien, schöpfte derselbe aus der Kenntnissnahme
von gleichgerichteten Bestrebungen des Herrn Prof. Min-
kowski in Bonn (künftig Königsberg). Minkowski hat
bei Teubner^) die Voranzeige eines im Drucke befindlichen
Werkes betitelt „Geometrie der Zahlen** erscheinen lassen,
in welchem eine unvermuthete und fruchtbare Verbindung
zwischen der Zahlentheorie und der Geometrie der nirgends
concav begrenzten Gebilde hergestellt werden und desswegen
auch die Theorie der letzteren ausführlicher in analytischem
Gewände behandelt werden soll. Es kommt somit den Ei-
gebilden auch von anderem als rein geometrischem Stand-
punkt eine gewisse Wichtigkeit zu, und dies hat den Ver-
fasser ermuntert, seine Doctorarbeit in der oben angedeuteten
Weise zu ergänzen. Die vorliegende Arbeit wird vermuth-
lich mit gewissen Capiteln des Minkowskischen Buches in
der Materie die grösste Verwandtschaft haben, doch steht zu
hoffen, dass bei der grossen Verschiedenheit der Behandlungs-
methoden (analytisch und rein geometrisch), sowie des Aus-
gangspunktes und des Zieles der Forschungen sich doch
auch viele wesentliche und instruktive Abweichungen im Aus-
bau ergeben werden.

Die Untersuchung beschränkt sich auf die ebenen Oval-
gebilde, auf deren Theorie sich diejenige der Eigebilde im
Räume naturgemäss zu stützen hat.

Die Arbeit beginnt mit einem Abschnitt, der mit dem
Namen „Seitenrechnung" betitelt ist. Es stellte sich näm-

1) Im Juni 1893 in den Anzeigen. Vgl. auch Bulletin des Sc.
math. 2. särie t. XVII janv. 1893 : Extrait d*une lettre adress^e ä M.
Hermite, par M. H. Minkowski.

Herrn, Brunn: Theorie der Ovale, 95

lieh heraus, dass bei Besprechung der Eigenschaften der Ovale
die Hälften, in welche eine Ebene durch eine Gerade, eine
Gerade durch einen Punkt zerlegt wird, eine fast bedeu-
tendere Rolle spielen, als die vollständigen Gebilde, dass es
fortwährend galt, zwei „Seiten* zu unterscheiden. Um den
auf Seiten bezüglichen Schlüssen eine handliche Form und
Präcision zu geben, wurden ein Symbol S für „Seite" und
symbolische Gleichungen der Form

Sa = Sb; c; d
Sa = — 8b; c; d

eingeführt. Die Bedeutung der ersten Gleichung ist, dass in-
nerhalb einer getrennten Mannigfaltigkeit d die Elemente a, b
auf der nämlichen, die der zweiten, dass sie auf verschiedenen
Seiten der trennenden Mannigfaltigkeit c liegen. Es wurden
die Bedingungen für die Anwendung der Seitenrechnung auf
Gerade und Ebene untersucht, d. h. es wurde untersucht,
welcher Theil der Axiome für die Ebenengeoraetrie bei der
Seitenrechnung vorauszusetzen ist, resp. welche Fassung diese
Axiome erhalten, wenn man den SeitenbegriflF in den Vorder-
grund drängt.

Sodann war die Definition und Nomenclatur einer An-
zahl unerlässlicher Grundbegriffe wieder mit steter Rücksicht
auf den Seiten begriff zu geben.

Nach diesen einleitenden Bemerkungen wurde das eigent-
liche Thema mit der, wie der Verfasser glaubt, einfachsten
Definition eines Ovals eröffnet, welche sich nicht auf das
Oval als Curve, sondern als Flächenstück bezieht und aus-
sagt, dass eine Gerade der Ebene des Ovals mit dem Oval
höchstens ein Stück gemein hat. »Ein Stück**, das soll
heissen: einen Punkt, oder eine durch zwei Endpunkte be-
grenzte gerade Strecke. Die Möglichkeit von „Figuren**
dieser Eigenschaft liegt auf der Hand, es wurde speciell von
der Dreiecksfläche bewiesen, dass sie dazu gehört. Im übrigen
wurde über die Figuren, welche der Definition genügen,

96 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3. März 1894.

keine weitere Voraussetzung gemacht, auch nicht ein Mal
die, dass es sich um zusammenhängende Ebenenstücke mit
Rand und Inhalt etc. handle, wie es in gegenwärtiger kurzer
Darstellung nach obiger Erwähnung des Wortes „Flächen-
stück" scheinen könnte. Im Gegentheil sucht die Arbeit ihr
Verdienst eben darin, rein aus den Axiomen und der De-
finition alles andere abzuleiten und nicht zu postuliren.

Aus der Definition ergibt sich sofort, dass das, was
Ovalen gemeinsam ist, wieder ein Oval sein muss. Es wird
gezeigt, wie der Satz umzukehren ist, und ein Satz über
„Ovaldiflferenzen" angeschlossen. Gerade Strecken zwischen
Ovalpunkten gehören vollständig zum Oval ; es sind dabei je
nach der Art der Endpunkte verschiedene Fälle zu behan-
deln (innere Punkte, Randpunkte). Es werden dann die
Ovale in Beziehung gesetzt zu Strahlenbüscheln, deren Cen-
trum innerhalb, auf dem Rande, oder ausserhalb des Ovals
liegt. Es wird mittels innerer Büschel auf eine erste Art
und Weise die Reihenfolge der Randpunkte des Ovals definirt.
Die mit Figurpunkten belegten Geraden aus einem äussern
oder Randpunkt füllen einen und nur einen von zwei „an-
gelehnten" Geraden begrenzten Winkel. Diebeiden von jedem
Randpunkt ausgehenden Strahlen = Halbgeraden jener an-
gelehnten Geraden, in deren Strahlwinkel die ganze Figur
eingeschlossen liegt, werden Grenzstrahlen genannt, ihre
Existenz und Bestimmtheit exact bewiesen.

Eine längere Reihe von Paragraphen beschäftigt sich
sodann mit dem Nachweise, dass die Gesammtheit der Oval-
randpunkte die Natur eines stetigen geschlossenen Curven-
zuges hat, eine Ovallinie bildet. Gerade hier ist Sorgfalt
nöthig, um Sätze, die man mit grosser Bereitwilligkeit un-
bewiesen anzunehmen geneigt ist, strenge zu begründen. Es
gibt für jeden Ovalrandpunkt Nachbarrand punkte , welche
ihm beliebig nahe liegen. Bei dieser Gelegenheit wird der
Begriff des „Näherungsbogens" für einen Curvenpunkt a ein-

Herrn, Brunn: Theorie der Oodle, 97

geführt. Ein Näherungsbogen ab für a muss die Eigen-
schaft haben, dass wenn c ein beliebiger Punkt desselben
ist, alle zwischen a und c liegenden Bogenpunkte näher
an a liegen als c. Um über das Zwischenliegen entscheiden
zu können, muss man natürlich durch ein anderes Mittel,
als die Entfernung ist, bereits über die „Reihenfolge" der
Punkte eine Entscheidung getroffen, wie Kronecker sagt,
»ein Fortgangsprincip* aufgestellt haben. Ein solches hat
sich für die Ovalrandpunkte oben mittels innerer Strahl-
büschel auch bereits ergeben. Es wird gezeigt, dass der
ganze Ovalrand sich in eine endliche Anzahl aneinander-
schliessender Näherungsbogen zerlegen und somit seine Punkte
mittels des Fortgan gsprincips der Entfernung sich in Reihen-
folge setzen lassen, eine Reihenfolge, welche mit der vor-
her gewonnenen übereinstimmt. Schwierigkeit für die bei
diesem Satz zunächst sich darbietende Beweismethode bot
das mögliche Vorkommen gewisser Stellen, die als „Ecken

^ — •* bezeichnet werden, übrigens an einem Oval höchstens

viermal auftreten können. Die Schwierigkeit wurde schliess-
lich mittels eines Satzes überwunden, welcher die Bedingung
angibt, unter der ein Curvenbogen Näherungsbogen für seine
beiden Endpunkte ist. Es werde gleich hier erwähnt, dass
später mittels eines dritten Fortgangsprincipes — nämlich
mittels einer parallel verschobenen Geraden — abermals die
nämliche Reihenfolge der Ovalrandpunkte, zunächst auf einem
Theilbogen erzielt wird.

Die Haupteigenschaft der nun als stetige, geschlossene
Curven erkannten Ovalränder besteht darin, dass sie mit
Geraden ihrer Ebene höchstens zwei getrennte Punkte oder
höchstens eine zusammenhängende Strecke gemein haben.

Die Begriffe der angelehnten Geraden des Ovals und der
Tangenten ihres Randes decken sich ihrem Umfange nach,
was bei andern Arten von Figuren nicht der Fall ist. Dabei

1894. Matb.-ph78. Gl. 1. 7

98 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 5. März 1894,

ist unter einer angelehnten Geraden eine solche zu verstehen,
welche Randpunkte des Ovals enthält und alle übrigen Oval-
punkte auf einer Seite liegen hat, und die Tangente ist als
Grenzlage einer Secante zu definiren, auf der beide Schnitt-
punkte als beweglich und gegen einen festen Punkt der Curve
hinrückend angenommen werden dürfen, während man ge-
wöhnlich nur den einen beweglich, den andern fest denkt.
Wollte man dem Begriff der Tangente diese Weite nicht
geben, so würden die angelehnten Geraden in den soge-
nannten „Ecken* des Ovals nicht sämmtlich auch Tangenten
sein, sondern diese Charakterisirung würde nur den beiden
äussersten, auf welchen die Grenzstrahlen liegen, zukommen.
Ein besonderer Theil der Arbeit befasst sich mit einer
Reihe von Sätzen bezüglich auf die Schnitte von Grenz-
strahlen, Tangenten und Secanten untereinander, welche
sich, abgesehen von ihrem selbständigen Interesse, für das
Folgende als nothwendig erweisen. Es handelt sich nicht
um die Thatsache, dass die Tangenten etc. sich schneiden,
sondern darum, welche Hälften derselben sich schneiden,
und ist daher in diesem Theile der Arbeit die ausgedehnteste
Anwendung von der Seitenrechnung zu machen. Die beiden
Hälften einer Tangente werden als erste und zweite unter-
schieden mittels eines von fester Anfangslage ausgehenden,
um einen inneren Ovalpunkt in bestimmtem Sinne o sich
drehenden Strahles, welcher die „erste" Hälfte einer Tan-
gente auf seinem Wege vor Erreichung des Berührpunktes,
die „zweite" nach dem Passiren desselben überstreicht. Nur
für die Tangente des Ausgangspunktes dreht sich die Be-
ziehung um. Einer der hauptsächlichsten Hilfssätze sei zur
Charakterisirung hier angeführt: Sind c und d zwei Punkte
auf einer der beiden Hälften eines Ovalrandes, in welche
derselbe zerlegt wird durch die Berührungspunkte zweier
parallelen Tangenten, und geht im Sinne o genommen der
Punkt c dem Punkt d voraus, so schneidet der zweite Grenz-

Herrn. Brunn: Theorie der OocUe. 99

strahl aus c den ersten aus d, während sich der erste Grenz-
strahl aus c und der zweite aus d^ oder auch gleichbenannte
Greuzstrahlen aus c und d nicht schneiden.

Man gelangt zu dem Satze, dass es für die Feststellung
der Reihenfolge der Tangenten gleichgültig ist, ob man die
Reihenfolge ihrer Berührungspunkte auf sie überträgt oder
die Reihenfolge der Strahlen eines Büschels (mittels Paral-
lelität) auf die „ersten" oder „zweiten" Hälften der Tangenten.
Nur lässt das eine Fortgangsprincip unter Umständen die
Reihenfolge eines Theiles der Tangenten unbestimmt und
willkürlich, während das andere dieselbe eindeutig bestimmt.
Die Totalkrümmung eines Ovalrandbogens ergibt sich dem-
nach stets grösser als die eines Theiles von ihm, die Ge-
sammtkrümmung des Randes natürlich zu 2/r.

Es werden dann weiter die an einem Ovalrand mög-
licherweise vorkommenden Singularitäten: Ecken und gerade
Stellen besprochen. Ecken sind solche Randpunkte, deren
Grenzstrahlen einen Winkel < tv miteinander einschli essen.
Die Grösse einer Ecke soll jedoch durch den Ergänzungs-
winkel dieses Winkels gemessen werden. Ecken, deren
Grösse über einer endlichen Grenze bleibt, gibt es an einem
Ovalrand nur in endlicher Anzahl. Dies schliesst nicht aus,
dass die Anzahl der endlich grossen Ecken an einem Oval-
rand über jede Zahl hinaus wächst, was nur eine geometrische
Einkleidung der Thatsache ist, dass die Summe endlicher
Grössen, deren Anzahl über jede Zahl hinauswächst, eine
gewisse endliche Zahl nicht zu übersteigen braucht. Es gibt
Ovale mit Rändern, von denen man kein noch so kleines
Stock angeben kann, auf dem nicht Ecken endlicher Grösse
enthalten wären. Es wird ein Beispiel eines solchen Ovales
construirt, es werden die dualen Betrachtungen angedeutet,
bei denen statt der Ecken gerade Strecken des Ovalrandes
eintreten, und die genauere Discussion dieser nicht uninteres-
santen Curven einem anderen Orte vorbehalten. Das Gesagte

100 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 3. März 1894,

lässt ermessen, welche Hindernisse der allgemeinen Formu-
lirung des Kriimmungsmasses für Ovalränder in den Weg
treten. Man hat bei einem allgemein definirten Oval keine
Garantie dafür, dass das Krümmungsmass in einem Rand-
punkt nicht eine vollkommen unstetige Function der Lage
des Randpunktes ist.

Wesentlich andere Singularitäten ergeben sich auf Oval-
rändern als ausgeschlossen, insbesondere eigentliche Doppel-
punkte , Wendepunkte , Rückkehrpunkte , Doppeltangenten.
Nur jene Ausartungen eines Ovals, für welche auch sonst
die gegebenen Sätze nur cum grano salis zu verstehen sind:
der einzelne Punkt und die einzelne gerade Strecke, nehmen
auch hier eine gewisse Ausnahmestellung ein.

Bisher ist die Ovallinie nur als Rand eines sogenannten
„vollen" Ovals, d. h. eines Flächenstückes von gewissen
Eigenschaften definirt. Es ist erwünscht durch Umkehr
früherer Sätze unabhängige Definitionen für die Ovalcurven
zu erhalten. Bei dem hierauf gerichteten Bestreben ergeben
sich Sätze wie die folgenden:

Eine im Endlichen liegende, stetige, geschlossene Curve
aus einem Zug, die mit einer Geraden höchstens 2 Punkte
oder höchstens eine gerade Strecke gemein hat, ist stets Be-
randung eines vollen Ovals.

Oder:

Eine im Endlichen liegende etc. etc. Curve, welche in
jedem Punkt angelehnte Gerade aufweist, ist ein Ovalrand.

Nur für den Fall, dass man unter die obigen geschlos-
senen Curvenzüge auch gewisse Doppelcurven (uneigentlich
geschlossene) einschliesst, muss den Sätzen eine Clausel an-
gehängt werden.

Schliesslich werden sorgfältig ausgeführte Beweise dafür
erbracht, dass jede Ovallinie eine bestimmte Länge, jedes
volle Oval einen bestimmten Inhalt hat. Um die Noth-
wendigkeit dieser Beweise einzusehen, muss nochmals darauf

Herrn. Brunn: Theorie der Ovale, 101

hingewiesen werden, dass wir nichts uns als gegeben be-
trachten wollen, als die Axiome, die Oval-Definition und das,
was wir daraus abgeleitet haben, dass wir dagegen, was die
Anschauung uns darbietet, mag es noch so plausibel er-
scheinen, nicht ungeprüft annehmen dürfen. Wir müssen
diese Strenge der AuflFassung innehalten, wenn wir wünschen,
dass unseren geometrischen Sätzen auch ein functiontheore-
tischer Werth zukomme. Machen wir uns aber diese Auf-
fassung zu eigen, so erscheint es eher wunderbar, als selbst-
verständlich, dass aus jener einfachen Definition des Ovals
die ziemlich verwickelten Bedingungen folgen, welche das
Vorhandensein einer mathematisch wohldefinirten Länge und
eines wohldefinirten Inhaltes gewährleisten. Es ist die an-
gewandte Vorsicht auch in Anbetracht der Erfahrung nöthig,
dass es z. B. wirklich Curven gibt von scheinbar einfachem
Verlauf, welche doch keine bestimmte Länge besitzen. Wir
müssen, um beruhigt mit Ovalen operiren zu können, die
absolute Sicherheit gewinnen, dass keine bisher unbemerkten
die Allgemeinheit der aus der Anschauung geschöpften Sätze
störenden Einzelfälle möglich sind.

Auf das Detail der Beweise kann hier nicht eingegangen
werden.

Ein Satz über Eiflächen.

Im Anschluss an das Vorstehende sei es gestattet, einen
Hauptsatz aus des Verfassers Doctorarbeit gegen etwaige
Einwendungen sicherzustellen. Derselbe lautet (Ov. u Eifl.
S. 23):

1. „In einer Eifläche findet sich unter einer
Schaar von parallelen ebenen Schnitten ein und
nur ein Maximum an Inhalt, das entweder durch
eine Schnittfigur oder durch eine stetige Folge
congruenter Schnittfiguren gebildet ist, die einen
Cylindertheil bilden.

102 Sitzung der mathrphys, Classe vom 3. März 1894,

Der Beweis des ersten Theiles des Satzes lässt sich, ohne
dass er im wesentlichen irgendwie geändert würde, vermittels
der im vorausgehenden Referate beschriebenen Untersuchungen
schärfer präcisiren. Bezüglich der letzten Behauptung des
Satzes, dass ein Cjlindertheil entsteht, hat mich Herr Pro-
fessor Minkowski aufmerksam gemacht, dass die in meiner
Doctorarbeit (III, 9, 10) gegebenen Andeutungen des Beweises
in Anbetracht einer auftretenden Schwierigkeit doch gar zu
dürftig sind. Es möge dem Verfasser gestattet sein, diese
Lücke hier auszufüllen.

2. Satz:

Wenn eine Eifläche S drei ebene Parallelschnitte
51, SB, S von gleichem Inhalt 3 aufweist, so sind diese
Schnitte von congruenter Form, ähnlich gelegen
und die Begrenzung von (5 zwischen den Ebenen
der beiden äussern Schnitte ä, ß ist ein Cylinder-
manteltheil.

Beweis.

3. Voraus schicken wir als Hilfssatz: An einem von
zwei Rechtecken gleichen Inhalts i als Deckflächen
begrenzten „Obelisken* ist der Inhalt m eines paral-
lel zu den Deckflächen geführten ebenen Schnittes
Ä grösser als i, gleich nur dann, wenn die Deck-
rechtecke congruent sind, s. Ov. u. Eifl. S. 23. Es
folgt aus den dort gegebenen Formeln

m^i = U: ^^ ~^^\ a; (A + A' = 1) (0 < Ä < 1)

a und a sind die Längen der Seiten des einen Deck-
Rechtecks, b und 6' die Längen der resp. parallelen
Seiten des andern.

4. Den Eiflächenschnitt 51 zerlegen wir nun durch paral-
lele Gerade Aq^ A^^ -^g . . . An der Richtung q in Streifen,
ebenso Sä durch die Geraden Bq^ J5j . . . JS», S durch C^,

Herrn, Brunn: Theorie der Ovale. 103

(7j . . . (7n ; alle diese Geraden seien ebenfalls von der Rich-
tung Q. Äq, Bq^ Cq speciell seien die Tangenten (ange-
lehnten Geraden) der Richtung q der Schnittovale auf der
linken, -4», J5„, Cn die desgleichen auf der rechten Seite, und
die Geraden sollen von links nach rechts nach Angabe ihrer
Indices aufeinander folgen. Der Inhalt eines Ovalstreifens
zwischen zwei aufeinander folgenden Parallelgeraden werde
durch die in runde Klammer gesetzten Buchstaben der Ge-
raden ausgedrückt und es sei die Eintheilung von % und (S
so getroffen, dass

(Ay Ay^i) = (CyCv^i) V = 0, 1 ... n — 1

Bv sei die durch die Verbindungsebene von Ay und C*/
in der Ebene von © ausgeschnittene Gerade. Wir nennen
die Streifen (Ay Av 4. 1), {Bv By 4. 1), (Cv Cv 4. 1) entspre-
chende. Im folgenden werden an Stelle der Streifen Recht-
ecke treten zwischen den nämlichen Parallel geraden, welche
wir durch die in eckige Klammer gesetzten Buchstaben der
Geraden ausdrücken. Die auf den Geraden J., B, G liegen-
den Seiten dieser Rechtecke nennen wir die „Langseiten" ;
die andern, die „Schmalseiten" gehen von den Endpunkten
der Ovalsehnen auf Av^ By^ Cy aus nach rechts. Beim
Beweis vom Inhalt der Ovale ist vom Verfasser gezeigt, dass
bei genügend enger Annahme der Geraden A die Summe
der Rechtecke einer festen Grösse, dem Inhalte 3, beliebig
nahe kommt. Es fragt sich nun, ob sich die Theilung von
a so annehmen lässt, dass auch die davon abhängigen Thei-
lungen von © und ß unseren Wünschen entsprechend eng
genug werden, d. h. dass zu gleicher Zeit

n~l f»-l

f»-l

3 — €<^ [ByBy + l] <3+€

104 Sitzung der math.-phys. Classe vom 3, März 1894.

wird. In der That ist dies möglich und lässt sich beweisen
auf Grund folgender Thatsachen :

a) Wenn 91 kein entartetes Oval ist, so sind auch © und
S eigentliche Ovale und es hat in ihnen jede von einer
Tangente wenn auch noch so wenig entfernte parallele
Sehne endliche Länge.

b) Bei genügender Annäherung einer parallelen Sehne an
eine Tangente wird der zwischen beiden enthaltene
Ovalstreifen beliebig klein seinem Inhalte nach.

c) Es ist möglich, durch genügende Annäherung von A^
und Aq die Entfernungen von Aq und A^^ Cq und Cj
zu gleicher Zeit unter eine beliebig kleine Grösse
herabzudrücken, zugleich auch die Entfernung von -B^
und B^, weil sie linear von jenen abhängt. Analoges

gilt von An^lAn, Cn-lCn, Bn-lBn^

d) Die Breite eines Rechtecks mit noch so kurzer, con-
stanter Langseite, das einem gegebenen flächengleich
ist, wird beliebig klein, wenn nur das gegebene Recht-
eck genügend klein an Inhalt ist. (In Anwendung zu
bringen für die mittleren Seiten.)

5. Wir beweisen weiterhin: Die Sehnen auf Ay und
Cy sind längengleich.

Denn nehmen wir ein Mal an:

Af4— Cf^ = dfi; dfjL> 0.1)

a^, c^ seien die obern, a^, y^ die untern Endpunkte der
resp. Sehnen Afj, , C^ , und sei < ^ < w. Irgend ein rechts
(oder links) von Afj, in endlicher Entfernung innerhalb 81 ge-
legener Punkt heisse _p, die von c^ und y^ nach rechts (oder
links) ziehenden Grenzstrahlen seien C^ und 7^. Man lege
Ebene ß auf Ebene 31, Gerade C/4 auf Gerade Afi und zwar so,
dass die Strecke Cfi y^ ganz innerhalb der Strecke a^ a^ liegt,

1) Afx , CfA, bezeichnen jetzt kurz die Sehnenlangen.

Herrn, Brunn: Theorie der Ovale. 105

y/t zwischen C/i und a^, so dass af^Cf^^ cc^^t}^ von Null ver-
schieden sind. Dann müssen auch Cf^s und y^d endlich sein,
wo s, a die resp. zweiten Schnittpunkte von CA , ^A ™^^ ^®°^
Rande des Dreiecks üf^paf^ sind, welches sich innerhalb 81
befindet. Es sei die Gerade G || (7^ und

Ss = Sa = — SCf^; ö,
dann liegen ersichtlich alle zwischen C^ und ö parallel
zu Cf4, gezogenen S- Sehnen innerhalb 91, sind also kleiner
wie die entsprechenden 9l-Sehnen und zwar wird der Unter-
schied entsprechender Sehnen in diesem Intervall über einer
von den übrigen Daten der Figur abhängigen angebbaren
endlichen Grenze J bleiben. Es ist erlaubt, die Theilung
so eng anzunehmen, dass sowohl ^^ + i, als C/i + i in das
Intervall Cf^G fallen.

Wir verdichten die Theilung der Streifen (AfiAfi^i)
und (Cfi Cfi + 1) durch Einschiebung der Geraden

-4^,1, ÄfJI,^2 .... ÄfJl^q

Q*,i, C/«,2 . . . . C^.^u. der „entsprechenden"^)
-B^,i, BfA^2 .... Bix^q in © und setzen
AfA^Q^ Afji\ A(ji^q^i^=^ Aix^\\ Cfi^o^CfA, etc.

Die Entfernung von Afz^x und Aft^x^i kürzen wir durch
e^,», welches somit die Länge einer Rechteckschmalseite ist.
Nun ist

QQ' {^f^,X Cfi,x)^

AA j^ . t/i^X

LffjLX
nach 3. Bedenkt man, dass Afji,x — C/«,£c > ^, und setzt
den grössten Werth unter den Cia,x gleich C, so kommt:

X—Q „ X—Q

DfjifX Z> ^ -T^. €fi,x und / 1 DfAfX > AA -p- X 1 BfA^x

^ X=Q ^ X=0

1) Die unter 4. festgesetzte Art der Abhängigkeit zwischen den
Geraden, welche mittels der Buchstaben -4, (7, B bezeichnet werden,
soll auch für die neuen Geraden gelten.

'-■.

^■^

X. - -^ ^

106 Sitzung der math-phys, Glosse vom 3. März 1894.

oder ^ Dfi,x > U' — . e = K

wenn e die Entfernung von Afi und A/n^i bedeutet. Die
rechts stehende Grösse K in der Ungleichung ist nun ganz
unabhängig von dem Grad der Enge der Theilung zwischen
Afi und AjLiJ^i.

Da weiter, nach dem Hilfsatz, die übrigen ausserhalb
des bisher betrachteten Intervalls (^, iu -}- 1) gelegenen Recht-
ecke [Bv Bv 4- 1] niemals kleiner sind als die entsprechenden
[^AvAv'\-\\^ so gilt für jede noch so weit getriebene Thei-
lung, sobald die -4^0? schon vorliegen, und die Geraden
wieder durchlaufend mit einem Index bezeichnet werden:

2[AvAv + {\ + K<:E[BvBvj^{\

im Widerspruch zu der aus 4. folgenden Ungleichung:

:S[BvBv^\\ — :EiAvAv + {\<2E

welche für beliebig klein gegebenes e (also auch für 26 < K)
gelten soll bei genügend enger Theilung.

Auf solchen Widerspruch führt uns die Annahme, Afj,
und C^ seien verschieden, also muss

Afj, = Cfi
sem. q. e. d.

Eine Ergänzung bedarf der Beweis für den Fall, dass

II gleich oder w gesetzt wird. Dann und nur dann können

C'fjL und F'fji in die Richtung von Cy« selbst fallen. In diesem

Falle bestimme man auf dem Ovalrande, doch nicht auf

C|t*y^, zwei Punkte c, / innerhalb von Kreisen, die mit

Radius — um C/i, y^ resp. geschlagen sind, b sei jedenfalls

kleiner als die endlichen Sehnen der von c^, y^t* ausgehenden
Näherungsbögen. Dann lege man 51 und S wie oben auf-
einander und mache e auch noch kleiner als die endlichen
Entfernungen der Punkte c^ , y^ von den Geraden Opip^ af^p
resp, wobei p wieder einen inneren Punkt von 8 bedeutet.

Herrn, Brunn: Theorie der Ovale, 107

C^ II (^0 werde so nahe an Cq gerückt, dass beide kleinen
Kreise um Cq, ^q geschnitten werden (resp. C»_i so nahe
an Cn etc.). Dann enden die Sehnen Cq und Cj, sowie alle
dazwischen liegenden parallelen Sehnen von S innerhalb der
Kreise und sind kleiner als die entsprechenden Sehnen von
51 (Analoges gilt bei Cn^ C«_i) um eine Diflferenz, welche
über einer angebbaren endlichen Grösse bleibt. Von hier
aus vollzieht sich der Beweis genau wie vorher.

Unser bisheriges Resultat können wir so formen :
Schneiden die parallelen Sehnen -4^, 0^ von 81,
S resp. Stücke gleichen Inhalts ab, welche auf einer
Seite der Ebene Äf^C/i liegen, so ist ihre Länge
gleich.

Hieraus folgt weiter:

6. Die Entfernung von Aq und Af4, ist gleich der
von Cq und Cfi*

Man findet nämlich, dass bei genügend enger Theilung
die Inhalte und damit die Schmalseiten zweier entsprechenden
Rechtecke sich nur noch um einen beliebig kleinen Bruch-
theil ihrer Grösse unterscheiden. Daher wird sich auch die
Summe der Schmalseiten der Rechtecke zwischen Aq und
Afi von der entsprechenden Summe zwischen Cq und Cfi bei
genügend enger Theilung beliebig wenig unterscheiden, d. h.
die beiden Summen müssen dann, weil constante Grössen,
gleich sein.

7. Aus dem bisher Bewiesenen ergibt sich zwar noch
nicht die Congruenz von 51 und S, aber doch so viel, dass
ß aus 81 durch eine Transformation hervorgeht, bei welcher
die Sehnen der Richtung q von ß in ihren Geraden ohne Aen-
derung der Länge verschoben werden. Die völlige Willkür-
lichkeit der Richtung q zieht die Congruenz von 51 und S
indess nothwendig nach sich, wie wir sehen werden.

8. Die Entsprechung zwischen den Sehnen ^^, O/n zieht
eine Entsprechung der Endpunkte a^, c^ einer-, a^, y^ andrer-

108 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 3. März 1894,

seits nach sich. Bedenkt man noch, dass ö^^ und c^y^,
oiTct^ und CnYn congruent sind, so erkennt man, wie die
Ränder von 51 und ß für jede Richtung q der 51 und S
Punkt für Punkt aufeinander in bestimmter Weise beziehbar
sind. Die geraden Strecken zwischen entsprechenden Rand-
punkten von 51 und ß bilden ein Stück SD? einer Regelfläche,
welches ganz innerhalb oder höchstens auf der Fläche S
selbst liegt; es liegt also auch die Schnittfigur ® der Ebene
von 33 mit 3Ji vöUig innerhalb SS oder reicht wenigstens
nicht über dessen Rand hinaus.

Somit ist Inhalt von ® kleiner höchstens gleich 3, letz-
teres nur, wenn ® und 33 identisch sind. Zugleich ist aber
nach 1. Inhalt von ® grösser höchstens gleich 9.^) Inhalt
© kann daher nur gleich 3, und ® mugs mit © identisch
sein. Auf jeder erzeugenden Strecke von 3Ji liegt daher
ausser einem Punkte a^*, resp. «^ und einem Punkte c^, resp.
y^ ein dritter Punkt &^, resp. ß/i der Fläche S, woraus folgt,
dass diese Strecken vollständig auf @ liegen, SD? ein Theil
von S ist.

9. Unser Beweis wird nun vollendet:

a) Durch Verwendung der Maximalsehne bestimm-
ter Richtung in den Ovalen;

b) Durch Benutzung der Thatsache, dass gewisse
Theile der Eifläche, resp. der Ovale, welche
durch Abschneiden mittels Gerader und Ebenen
entstehen, die nämlichen Eigenschaften haben
müssen, wie die ganzen Ovalgebilde-.

10. Hilfsatz. Die Sehnen Uqü^ und CqC» müssen pa-
rallel und gleichlang sein.

1) Denn die Annahme, dass zwischen zwei gleich grossen Pa-
rallelschnitten von @ ein kleinerer Parallelschnitt sich befinde, ist
mit dem Vorhandensein nur eines Maximums unverträglich.

Herrn, Brunn: Theorie der Ovale. 109

Aus 6. folgt:

Entfernung {A^An) = Entfernung (OßOn)

<^Q «0 = ^0 Yq

On CCn = Cn Yn

Maximalsebne d. Rieht. {Uffln) in 51 = Max.-S. d. Rieht. (aQUn) in 6

Weiter:

Wenn eine Folge von Maximalsehnen der Richtung
Uf^ttn in 51 ein Parallelogramm bildet, so müssen die Maximal-
sehnen der nämlichen Richtung in S ein congruentes Paral-
lelogramm erfüllen, da hier wie dort Gerade von gleicher
Länge zwischen parallelen angelehnten Geraden gleicher Ent-
fernung eingespannt werden, also hier wie dort gleiche
Neigung gegen letztere haben, und hier wie dort wegen 5.
und 6. die erste von der letzten Maximalsehne den näm-
lichen Abstand hat. Analoges gilt bei Vertauschung der
Rollen von 31 und 6.

Wir dürfen ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit
unserer Annahmen die Bezeichnungen so vertheilt voraus-
setzen, dass:

«0 "o ^ ^ "»• ^^^ ^^^^ ^0 /o ^ ^ y» ^^^•

Man bringe nun durch Parallelverschiebung a^ mit c^,
Oq mit Yq und dadurch An mit Cn zur Deckung. Würden
hierauf a„ und Cn nicht aufeinanderfallen, sondern ein Punkt
»unter* den andern — z. B. c» unter a» — so würde entgegen
erwiesener Thatsache ein Parallelogramm von Maximalsehnen
des einen Ovals im andern kein congruentes Analogon finden
können — z. B. das Parallelogramm mit den Ecken cr^, a^, a»
kein Analogon in S — folglich müssen nach der Parallel-
verschiebung auch Un und Cn sich decken. Also ist a^at,
= CQCn- Der Beweis ist auch für den Fall gültig, dass in

110 Sitzung der math.-phys, Classe vom 3, Märe 1894,

den Ovalen nur eine einzige Maximalsehne der betrachteten
Richtung existirt. Analoges wie für a^, fli», ^o^ ^»» 8^^* ^**

^0' ^»»» /o' y»'

Zurück zum Beweise des Hauptsatzes! (s. Fig. 1 und 2)

Fig. 1.

Fig. 2.

Die angelehnten Geraden von 21 und S, welche den Sehnen
aQÜn und CQCn parallel sind und deren Berührpunkte zu den a
und c, nicht zu den a und y gehören, sollen resp. T« wnd Tc heis-
sen. Nach 6. ist die Entfernung von T« und a^a»» gleich der
von Tc und c^. Wir betrachten jetzt für die Ebene 21 die
Geraden Aq und Tai för 6 die Geraden Cq und 1\ als Axen
(X und Y resp.) cartesischer Coordinatensysteme und nennen
Punkte und Figuren in beiden Ebenen entsprechend, wenn
sie die nämlichen Grössen zu resp. Coordinaten haben.

Es werde nun in 21 zu J^ irgend eine parallele Sehne
Vq gezogen, in S die entsprechende Wq, Die zu den a ge-
hörigen Endpunkte mögen resp. v^, Wq heissen. Von Vq
ziehe man dann eine Sehne parallel T«? deren anderer
Endpunkt Vn heisse und durch diesen wieder eine Sehne
Vn parallel Vq. In S ziehe man zu Vn die entsprechende
Sehne TT», deren zu den c gehöriger Endpunkt Wn heisse.

Der zwischen 21 und S liegende Theil der „vollen* Ei-
fläche @ ist seitlich durch ein Regelflächenstück Wl begrenzt
und bildet selber eine volle Eifläche g. Die Ebenen {V^ Wq)

Herrn. Brunn: Them'ie der Ovale, 111

und (Vn Wn) schneiden von g gewisse Theile ab, ebenso von
21 und S, aber das übrigbleibende ist wieder eine Eifläche
® mit Deckovalen 9t und U; der Mittelschnitt ® von g wird
zu einem Mittelschnitt X von ® zugestutzt, der ebenfalls ein
Oval ist und den nämlichen Inhalt erhält wie die gleichen
Ovale 9? und U. Folgt alles aus den vorhergehenden Sätzen.
Wir können daher auf ® und 9i, U die nämlichen Schlüsse
anwenden wie auf S und 21, S, erhalten also durch Anwen-
dung unseres letzten Hilfsatzes: v^v^ ist gleich und parallel
zu w^Wn' Ausserdem ist nach 6.

Entf. (Tai v^Vn) = Entf. (Tc, WQWn) und nach-
dem schon Entf. (F^ Aq) = Entf. {Wq Gq)
Entf. (Vn Aq) = Entf. (Wn 0^)

ist, so erkennt man leicht, dass Vq und m;^, Vn und Wn für
beide Coordinatensysteme entsprechende Punkte sind. Vq
und Vq waren aber ganz beliebig, und was auf Seite der a
gilt, gilt analog auf Seite der «, daher stellen sich die Ovale
21 und S als entsprechende Figuren beider Coordinaten-
systeme und als congruent heraus, q. e. d.

Im Austausch gegen meinen Beweis hat mir Herr Pro-
fessor Minkowski einen analytischen Beweis des nämlichen
Satzes raitgetheilt, der sich auch auf Gebilde von mehr als
drei Dimensionen erstreckt.

<•- • ■ .i .'vi"»fi.

Sitzungsberichte

der

königl. bayer. Akademie der Wissenschaften

Oeflfentliche Sitzung

zur Feier des 135. Stiftungstages
am 28. März 1894.

Der Classenseeretär Herr C. v. Voit gedachte der seit
dem vorigen Stiftungstage gestorbenen Mitglieder.

Die mathematisch - physikalische Classe hat im ver-
flossenen Jahre zwei einheimische Mitglieder durch den Tod
verloren, das ordentliche Mitglied Johann Bauschinger
und das ausserordentliche Mitglied Adolf Steinheil. Dann
acht auswärtige und correspondirende Mitglieder: die Mathe-
matiker Ernst Eduard Kummer in Berlin und Moritz
Abraham Stern in Göttingen; die Physiker John Tyndall
in London und Heinrich Rudolf Hertz in Bonn; die Zoo-
logen Alexander Theodor von Middendorff in St. Peters-
burg und Peter J. van Beneden in Löwen; den Botaniker
Alphonse de Candolle in Genf und den Geologen Arcan-
gelo Scacchi in Neapel.

1894. Math.-phys. Ol. 2. 8

114 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Johann Bauschinger.

Am 25. November 1893 starb im 59. Lebensjahre das
ordentliche Mitglied der Classe, Johann Bauschinger, Pro-
fessor der technischen Mechanik und graphischen Statik an
der hiesigen technischen Hochschule, nachdem er nur ein
Jahr lang unserer Akademie angehört hatte. Er hat in der
Stille der Arbeitsstube und des Laboratoriums als ein echter,
sein ganzes Leben der Wissenschaft dienender Gelehrter eine
Reihe wichtiger Arbeiten auf dem Gebiete der Wärmelehre
und der Festigkeitslehre ausgeführt und sich dadurch einen
bedeutenden Namen gemacht.

Bauschinger wurde am 11. Juni 1834 zu Nürnberg ge-
boren. Das Geschick hatte ihn in ärmliche Verhältnisse ge-
setzt, aber ihm dafür mancherlei Fähigkeiten mit auf den
Weg gegeben. Der Vater war ein einfacher Handwerker,
der eine zahlreiche Familie zu ernähren hatte; es muss schon
in dem Knaben ein hohes Maass von Energie und sittlichem
Ernst, die ihm stets zu eigen geblieben sind, gewohnt haben,
denn bereits im Alter von 14 Jahren erwarb er sich durch
Stundengeben die Mittel zum Lebensunterhalt. Er liess sich
durch Entbehrungen und Hindernisse nicht abschrecken,
sondern gewöhnte sich, nicht in äusserlichen Vergnügungen,
sondern in dem Streben nach Höherem seine Freude zu
suchen. Der ganz auf seine eigene Kraft Angewiesene em-
pfand aber auch bald den Segen, der in der Arbeit ruht.

Frühe zeigte sich in ihm eine besondere Begabung und
Neigung für die mathematischen Naturwissenschaften; er
besuchte in seiner Vaterstadt die Gewerbeschule und dann
die polytechnische Schule mit grossem Erfolge, so dass er
im Jahre 1853 das Absolutorium der letzteren mit Aus-
zeichnung bestand und nebenbei gleichzeitig auch das der
Lateinschule.

V. Voit: Nekrolog auf Johann Bauschinger. 115

Es war von Anfang an der Wunsch Bauschinger's sich
dem Lehrfach der Mathematik und Physik zu widmen; er
trat daher an die hiesige Universität über, woselbst er als
, Techniker" die kleine Matrikel erhalten hatte und sieben
Semester verblieb. Zunächst wurde er hier mit dem her-
vorragenden Physiker Simon Ohm , der leider schon im
Jahre 1854 starb, näher bekannt; er schätzte denselben als
Lehrer ausserordentlich hoch, da er ihm in seiner Ausbil-
dung viel verdankte und in ihm einen stets hilfsbereiten
Berather fand. Er hörte nicht nur seine Vorlesungen über
Experimentalphysik und die physikalischen Uebungen, son-
dern durfte auch an den bekannten abendlichen Zusammen-
künften in dem Franziskanerkeller Theil nehmen, wobei
physikalische Fragen zu ernster Besprechung kamen. Ausser-
dem gelang es dem strebsamen, den Namen eines Studenten
mit Recht tragenden Jünglings, in der Sternwarte in Bogen-
hausen, deren Vorstand Lamont war, auf Empfehlung Ohm's,
Aufnahme zu finden ; er konnte sich daselbst in theoretischer
und praktischer Astronomie sowie in höherer Mechanik aus-
bilden, besonders aber auch in der Behandlung und Beob-
achtung mit magnetischen, elektrischen und meteorologischen
Instrumenten, was für ihn später von grossem Vortheil war.

Im Jahre 1856 machte er die Lehramtsprüfung für
Mathematik und Phvsik mit und bestand sie mit der ersten
Note, worauf er alsbald als Aushilfslehrer für Physik und
darstellende Geometrie an der polytechnischen Schule in
Augsburg Verwendung fand. Ein Jahr darauf wurde er als
Lehrer der Mathematik und Physik an der Gewerbeschule
in Fürth angestellt, woselbst er neun Jahre zubrachte. Hier
begannen neben einer angestrengten Lehrthätigkeit die ersten
wissenschaftlichen Arbeiten Bauschinger's; der Tag war durch
die Schule in Anspruch genommen, ein Theil der Nacht
dem Studium und den Versuchen gewidmet. Diese seine

Arbeiten lenkten die Aufmerksamkeit der Kreise der Wissen-

116 Oe ff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Schaft und der Technik sowie der Staatsregierung auf den
jungen Gelehrten. Er wurde im Jahre 1866 an das Real-
gymnasium zu München versetzt, kam aber zwei Jahre da-
rauf an die richtige Stelle, nämlich an die damals neu ge-
gründete technische Hochschule dahier, an der er durch die
Einsicht ihres ersten Direktors, des Geheimraths v. Bauern-
feind, die Professur für technische Mechanik und graphische
Statik erhielt.

Hier war dem nun im 34. Lebensjahre Stehenden die
seinen Talenten völlig entsprechende Wirksamkeit eröflfiiet.
Er beschränkte sich dabei nicht nur auf theoretische Vor-
lesungen, sondern gründete alsbald für sein Fach ein Labo-
ratorium, wie es der Physiker oder der Chemiker besitzt.
Er hatte nämlich mit klarem Geiste erkannt, dass die tech-
nische Mechanik nicht mehr auf der Empirie beruhen dürfe,
sondern eine wissenschaftliche Grundlage durch Thatsachen
haben müsse, und um diese zu erhalten ein besonderes La-
boratorium nothwendig sei. Nach vielen Bemühungen konnte
er im Jahre 1870 ein mechanisch-technisches Laboratorium
eröjBFnen, welches anfangs noch provisorisch untergebracht
war; erst im Jahre 1873 wurde für solche Zwecke auf dem
Areal der technischen Hochschule ein eigenes Haus erbaut,
das ganz nach seinen Plänen eingerichtet wurde und ein
Muster und Vorbild für alle Anstalten der Art geworden ist.
Durch die Gründung dieses Laboratoriums, einer Versuchs-
station für die Festigkeitslehre, namentlich der Baumate-
rialien, wirkte Bauschinger bahnbrechend : er hat durch seine
zahlreichen und genauen Versuche der Mechanik eine feste
Basis geschajBFen.

Seine ersten in Fürth (1868—65) entstandenen wissen-
schaftlichen Arbeiten sind noch rein theoretischer Natur und
beziehen sich auf die Grundgesetze der mechanischen Wärme-
lehre. Dieselben müssen als wichtige Vorarbeiten für die von
Clausius so glänzend durchgeführte mechanische Wärme-

V, Voit: Nekrolog auf Johann Bauschinger, 117

theorie bezeichnet werden, üeber den sogenannten Entropie-
begriff entspann sich zwischen ihm und Ciausius eine Contro-
verse, welche zu wissenschaftlich interessanten Ergebnissen
führte und darthat, dass Bauschinger seinem berühmten
Gegner vollständig gewachsen war. Im Speziellen behandelte
er dann das wichtige Problem des Ausströmens von Gasen
und Dämpfen sowie auch das des Druckes im Erdinnern,
indem er in seinen Bemerkungen zu einigen Stellen von
Heim's Untersuchungen ^über den Mechanismus der Gebirgs-
bildung** aus den allgemeinen Gleichungen der Elastizitäts-
lehre einige interessante Resultate über das Gleichgewicht
der Erdkugel ableitete, welche dabei als feste, von einer
Flüssigkeit erfüllte Hohlkugel gedacht wird. Er erkannte als
einer der Ersten, dass beide Probleme nur unter Zuziehung
der Prinzipien der Wärmetheorie eine befriedigende Lösung
finden können. Wenn dieselben auch damals nicht zum
Abschluss gebracht wurden und später durch neue Hilfs-
mittel bedeutend gefördert worden sind, so werden doch
Bauschinger's Leistungen auf diesem Gebiete stets ihren
Werth behalten.

Sein der Anwendung der Wissenschaft schon früh be-
sonders zugeneigter Geist beschäftigte sich ausserdem mit
Vorliebe mit der theoretischen und angewandten Mechanik,
aus welchen Studien sein vortreffliches, nach Delaunay's Buch
frei bearbeitetes, in zwei Auflagen (1861 und 1866) erschie-
nenes Werk: „Schule der Mechanik** entstand. In diese Zeit
(1867 und 1868) gehören auch seine Versuche mit dem zur
Feststellung der Leistung von Dampfmaschinen dienenden
Richards'schen Indikator, welche für die Wissenschaft be-
sonders werthvoU geworden sind; dabei wurden acht Loko-
motiven, vier mit Stephenson- und vier mit Meyer-Steuerung
auf zahlreichen Fahrten untersucht und auf sieben Bahn-
strecken mit 63 Meilen Gesammtlänge und mit Höheunter-
schieden bis zu 300 Metern 500 Diagramme aufgenommen.

118 Oeff entliche Sitzung vom 28, März 1894,

Diese theilweise auch die Nacht über währenden mit unge-
wöhnlich grosser Mühe und Anstrengung verbundenen Ver-
suche hielt Bauschinger für seine beste Leistung und that
sich auf sie immer am meisten zu Gute.

Vor der Einrichtung des Laboratoriums erfolgte seine
Bearbeitung der ^Elemente der graphischen Statik", von
welcher zwei Auflagen (1871 und 1880) erschienen sind.
Der Zweck des Buches war, auf die Culraann'schen Arbeiten
in einfacher gemeinverständlicher Art vorzubereiten, was dem
Autor auch völlig gelungen ist.

Seine hauptsächlichste und ganz eigenartige Wirksamkeit,
die seinen Namen erst weiterhin bekannt gemacht hat, ent-
faltete aber Bauschinger durch die im mechanisch-technischen
Laboratorium gemachten , wahrhaft klassischen Versuche,
welche, im Jahre 1871 begonnen, nicht nur der Praxis eine
Menge werthvoller Thatsachen brachte, sondern auch der
Wissenschaft zu Gute kamen.

Es wurden während 22 Jahren alle Baumaterialien auf
ihre Festigkeit und Elastizität geprüft: Eisen und Stahl, Holz,
Steine, Cemente und Mörtel.

Er hat zu diesen Bestimmungen die genauesten und
sinnreichsten Messapparate und Methoden angewendet und
zum Theil selbst erfunden, wie sie zu ähnlichen Zwecken
für die physikalische Forschung gebraucht werden, so dass
die erhaltenen Resultate für die Physik nicht minder werth-
voU sind wie für die Kenntniss der in der Technik verwendeten
Materialien. So hat er z. B. durch Einführung der Gauss'schen
Methode der Spiegelablesung die Messung der Dehnung ausser-
ordentlich verfeinert und die elastischen Formänderungen der
schwersten Maschinen theile oder der stärksten Brückenglieder
der Wahrnehmung zugänglich gemacht; hundertstel Milli-
meter wurden von ihm gemessen mittelst seiner RoUenfühl-
hebel, durch welche die Relativbewegungen der beobachteten

V, Voit ; Nekrolog auf Johann Bauschinger. 119

Punkte durch Reibung einer Stange auf das Zeigerwerk
übertragen werden.

Auf diese Weise entstanden die Zug-, Druck-, Biegungs-
und Torsions -Versuche Bauschinger's, seine Versuche über
die Abnützbarkeit und die Frostbeständigkeit der Gesteine,
und die über die Knickfestigkeit und die Widerstandsfähigkeit
von Säulen im Feuer. Zuletzt (von 1881 an) machte er die
wichtigen Dauerversuche mit oft wiederholter Beanspruchung
des nämlichen Körpers, wodurch die Veränderungen der
Eigenschaften des Materials durch längeren Gebrauch er-
sichtlich wurden. Seine Apparate sind auch angewendet
worden, um die Festigkeit der Knochen des menschlichen
Körpers zu prüfen, was für die Mechanik der Bewegungen
desselben sowie für die Chirurgie von Bedeutung geworden ist.

Die Versuche sind zumeist in den 23 Heften der Mit-
theilungen aus dem mechanisch -technischen Laboratorium
veröffentlicht worden; dieselben bilden eine Fundstätte für
den wissenschaftlich gebildeten Techniker und haben vielfache
Anregungen gebracht, welche noch auf lange Zeit richtung-
gebend sein werden. Das Institut Bauschinger's stand an
der Spitze der Unternehmungen der Art und es flössen ihm
von allen Seiten Materialien zur Untersuchung und Aufträge
für die Praxis zu. Ein besonderes Verdienst erwarb er sich
noch durch die Gründung der so ungemein nützlich gewor-
denen „Konferenzen zur Vereinbarung einheitlicher Methoden
für die Prüfung von Bau- und Konstruktionsmaterialien";
als Vorstand derselben wusste er mit grossem Geschick
die Verhandlungen zu leiten, die vielfachen Gegensätze aus-
zugleichen und die gemeinsamen Versuche nach bestimmten,
meist von ihm geschafl^enen Methoden zu veranlassen.

Es ist schon betont worden, dass Bauschinger's Zer-
reissungs versuche nicht allein für die Praxis, sondern auch
für die Wissenschaft von Wichtigkeit geworden sind, da sie
Aufschluss über das Verhalten der festen Körper in der

120 Oeff entliche Sitzung vom 28, März 1894.

Nähe der Elastizitätsgrenze und bei Ueberschreitimg der-
selben geben. Eine rationelle Elastizitätstheorie muss aber
das Verhalten der Körper von den kleinsten bis zu den
grösstmögliehen Deformationen berücksichtigen.

Als Forscher war Bauschinger von grossem Scharfsinn
in der Beobachtung der Erscheinungen und im Ausdenken
der richtigen Versuche, von unerraiidlicher Ausdauer und
seltener Gewissenhaftigkeit. Diese Gewissenhaftigkeit war
ihm auch als Lehrer eigen; er lehrte gerne: sein Vortrag
war durchdacht und von durchsichtiger Klarheit. Der Mann,
welcher sich durch seine wissenschaftlichen Arbeiten so hoch
in den Reihen der Gelehrten erhoben hatte, hätte wohl auch
den Titel eines Doktors verdient.

Durch eigene Tüchtigkeit aus den einfachsten Verhält-
nissen hervorgewachsen, blieb er sein Leben hindurch schlicht
und bescheiden. Er drängte sich nicht vor, sondern Hess die
Leute an sich herankommen; dann aber war er ungemein
freundlich und wohlwollend und gerne bereit, Jedem zu
nützen und zu helfen. Seine unverbrüchliche Wahrheitsliebe
Hess ihn stets offen seine Meinung sagen, so dass manchmal
sein Wesen etwas schroff erscheinen konnte. In der Arbeit
und in der PJrfüllung der Pflicht suchte und fand er die
höchste Befriedigung.

Bauschinger ist in seiner Art für die technische Hoch-
schule und die Wissenschaft kaum zu ersetzen; sein Name
wird als der eines sehr verdienten, seine eigenen Wege ein-
schlagenden Forschers noch lange fortleben.

Adolf Steinheil.

Dr. Adolf Steinheil, Inhaber der optisch-astronomischen
Werkstätte Carl August Steinheil Söhne, ist am 4. November
1893 aus dem Leben geschieden. Es ist von besonderem
Interesse, den Eintwicklungs- und Lebensgang dieses so
überaus thätigen und eigenartigen Gelehrten zu verfolgen.

V. Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheil. 121

Er wurde am 12. April 1832 als der zweite Sohn unseres
berühmten Mitgliedes Carl August v. Steinheil dahier geboren.
Dieser Sohn hatte das ungewöhnliche Talent des Vaters für
Mathematik sowie für die Anwendung derselben zur Lösung
physikalischer Probleme geerbt. Die Beiden waren sich
überhaupt in ihren Anlagen ungemein ähnlich und bieten
ein vortreffliches Beispiel dafür, wie sich die Organisation
und die Ausbildungsfähigkeit bestimmter Theile des Gehirns
zu vererben vermag. Denn schon im kindlichen Alter trat
bei dem Sohne das Verständniss für Zahlenverhältnisse und
die entschiedene Vorliebe dafür hervor. Es wird erzählt, er
habe als fünfjähriger Knabe vor dem Eintritte in die Volks-
schule bei Betrachtung seiner gewürfelten Bettdecke sich
klar gemacht, dass 2X6 und 3 X 4 die gleiche Zahl geben.
In dem Gymnasium übertraf er die Mitschüler weit in dem
Verständniss für Arithmetik und Mathematik und bei den
mathematischen Aufgaben erfand er Lösungen, welche von
dem Lehrer nicht vorgetragen worden waren. Dem ent-
sprechend hatte er auch zeitlebens das treu este Gedächtniss
für Zahlen: so z. B. wusste er von jeder Pflanze zu sagen,
auf welcher Seite von Koch's Deutscher Flora sie sich be-
schrieben findet, und konnte er eine grosse Anzahl von
Logarithmen aus dem Kopfe angeben.

Es ist verständlich, dass der so veranlagte Sohn sich
zu dem gleich gearteten Vater besonders hingezogen fühlte
und schon früh für dessen Thun das lebhafteste Interesse
empfand.

Man muss die Besonderheit des Vaters gekannt haben,
um die Stellung des Sohnes zu ihm zu verstehen. Der
Vater war ein selten genial angelegter Mann, unablässig
geistig beschäftiget und voll von Ideen; er verband mit der
Gründlichkeit und Schärfe des Gelehrten den beweglichen
Geist, den sicheren Blick und die Beherrschung der Technik
des ausgezeichneten Praktikers. Ein Schüler von Bessel und

122 Oe ff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Gauss, die ihn, wie ihr Briefwechsel darthut, besonders hoch
hielten, hatte er von diesen Geistesheroen gelernt, die Mathe-
matik als Mittel zum Zweck anzusehen. Man nennt ihn
wohl gewöhnlich als den Begründer der jetzt die ganze Erde
umspannenden Telegraphen, welche er durch seine Erfin-
dungen praktisch möglich gemacht hat. Zu diesen gehören:
die Art des Aufschreibens und die Wahl der Zeichen, dann
die Benützung der leitenden Erde statt des zweiten Drahtes
und die Ableitung des Blitzes von den Apparaten durch die
Blitzplatten, ferner der sogenannte schweizerische Commutator
und die Translatoren, durch welche eine an einer Station
anlangende Depesche sich selbst weiter telegraphirt. Aber
man vergisst häufig, dass in vielen anderen Fällen, wo es
galt eine schwierige physikalische Aufgabe durchzuführen,
sein Geist alsbald die Mittel dazu fand.*) Wer das Glück

1) Es sei nur erinnert : an sein Photometer zur Bestimmung der
relativen Helligkeiten der Sterne; an das zur Sendung optischer
Zeichen in grosse Entfernungen bestimmte Heliotrop; an die erste
Verwendung physikalischer Eigenschaften z. B. der Brechbarkeit und
der Zerstreuung des Lichtes, des specifischen Gewichtes etc. etc. zur
quantitativen chemischen Analyse; an die Herstellung genauer Maass-
stäbe, Gewichte und Waagen ; an seinen Astrographen zum Zeichnen
der Sternkarten; an das Pyroskop zur sicheren Ermittelung von
Brandstätten bei Nacht; an seine Angabe durch einen mit einer
elektrischen Batterie in Verbindung gebrachten Draht kranke Theile
rasch abzubrennen als erstes Beispiel der für die Chirurgie so wichtig
gewordenen Galvanokaustik ; an die Vorrichtung, um bei der Richtung
des astronomischen Fernrohrs auf den Quecksilberhorizont das Spiegel-
bild des Fadenkreuzes sichtbar zu machen, wobei er eine Aufgabe,
welche optisch derjenigen des viel jüngeren Augenspiegels ganz nahe
verwandt ist, mit völlig ähnlichen Mitteln löste; an den für die
berühmten spectralanalytischen Versuche von Bunsen und Kirchhoff
von ihm construirten Spectralapparat, und endlich an die mit Kobell
vor Daguerre gemachte erste Fixirung von Lichtbildern auf Papier,
welche als erste Photographien auf Papier noch auf der letzten
Nürnberger Ausstellung zu sehen waren. Wahrlich eine reiche Anzahl
der wichtigsten, noch jetzt fortwirkenden Leistungen, wie sie nicht
leicht ein Gelehrter aufzuweisen vermag.

V. Voit: Nekrolog auf Adolf SteinIheU. 123

hatte, diesem merkwürdigen Manne näher zu treten, der wird
die Stunden, die er in seinem Umgange zubrachte, nie ver-
gessen. So wenig bestechend sein Vortrag war, so war er
doch im Umgang ein ungemein anregender Lehrer für reifere
Schüler, bei denen er durch den Reich thum und die Origi-
nalität der Gedanken das grösste Interesse für seine Wissen-
schaft zu erwecken wusste.

So kam es auch, dass der Sohn zeitlebens zu dem Vater,
welcher für ihn das Ideal eines Naturforschers war, voll
Verehrung aufsah und in Pietät das that, was der Vater
forderte, wenn ihm auch die Erfüllung nicht selten recht
schwer geworden ist.

Denn der Vater hielt strenge Zucht in seinem Hause,
verlangte unbedingten Gehorsam und pünktlichste Ausführung
seiner Anordnungen. Er war jedoch durchaus kein finsterer
Mann von pedantischem grübelndem Wesen, sondern vielmehr
gerne heiterem Leben zugewandt, an dem er auch seine
Kinder Theil nehmen Hess.

Besondere Anschauungen hatte der Vater sich über die
Erziehung gebildet; der gewöhnliche Bildungsgang durch das
Gymnasium und die Universität sagte diesem unabhängigen
Geiste nicht zu und er wünschte nicht, dass seine Söhne in
den Staatsdienst giengen: sie sollten sich ganz durch eigene
Kraft durch das Leben durchringen. Er beachtete bei der
genialen Leichtigkeit seines Arbeitens nicht, dass nur be-
sonders veranlagte Naturen dies vermögen und der Mittel-
massige am sichersten den gewöhnlichen Weg einschlägt.

Durch diesen Widerstand entschloss sich der junge
Steinheil, die Noth wendigkeit akademischer Studien er-
kennend, nach Absolvirung der zweiten Gymnasialklasse
Privatstunden im Lateinischen und Griechischen zu nehmen,
wozu er sich die vom Vater verweigerten Mittel durch
Stundengeben in der Mathematik erwarb, so dass er schon
nach einem Jahre (1849) am Gymnasium zu St. Anna in

124 Oe ff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Augsburg das Absolutorium bestand. Er hörte darnach
während eines Jahres (1849/50) als Eleve des ersten Kurses
Vorlesungen über Mathematik und Physik an der früheren
hiesigen polytechnischen Schule, die ihm jedoch keinen be-
sonderen Gewinn brachten, und gieng dann mit seinen
Eltern (1850) nach Wien, wohin der Vater als Sektionsrath
in das Ministerium berufen worden war, um in Oesterreich
die elektrisclben Telegraphen einzurichten. In Wien besuchte
er während des Jahres 1850/51 an der Universität und der
polytechnischen Schule mathematische, chemische und bota-
nische Vorlesungen bei Moth, Petzval, Schrötter und Unger,
und lernte auch hervorragende Naturforscher im elterlichen
Hause näher kennen, was für ihn von nachhaltiger Bedeu-
tung war.

Aber bald riss ihn der Wille des Vaters aus diesen
regelmässigen Studien heraus; er bestimmte ihn (1851) den
Lehrkurs und die Prüfung zur theoretisch-praktischen Heran-
bildung von Staatstelegraphisten mitzumachen, liess ihn zum
Anshilfstelegraphisten mit einem Taggeld von 1 fl. ernennen
und beauftragte ihn mit der Herstellung der Telegraphen-
linien in der Lombardei. Es war dies eine schlimme Zeit
für den jungen wissensdurstigen Mann, eine Zeit voller An-
strengungen und Entbehrungen, denn er musste mit seinen
italienischen Arbeitern, mit denen er die harte Arbeit und
die ärmliche Kost theilte, die Träger aufrichten und die
Drähte ziehen. Nach Lösung dieser Aufgabe schwer krank
nach Wien zurückgekehrt, fand er keine Ruhe, denn der
Vater hatte die Herstellung des Telegraphennetzes in der

Schweiz übernommen und die Einrichtung der Büreaux und
die Ueberwachung der Legung der Leitungen sowie die
Ausbildung der Obertelegraphisten dem noch nicht zwanzig-
jährigen Sohne in selbständiger Stellung vorbehalten. Es
war eine schwierige, aber dankbare Aufgabe, welche ihm
hier zuviel; man erkannte in der Schweiz die Wichtigkeit

V. Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheü, 125

der Sache und interessirte sich in allen Kreisen lebhaft dafür;
bald hatte sich auch der junge zum Oberinspektor ernannte
Mann durch seine Kenntnisse und Energie die lebhafteste
Anerkennung der Behörden und des Publikums erworben.
Seine Schüler bei den in deutscher und französischer Sprache
abgehaltenen Lehrkursen waren älter als er; aber sie haben
ihn alle hoch geachtet, wie aus den mit ihm noch später
unterhaltenen Beziehungen hervorgeht, und auch er hat sich
stets mit Freude und Genugthuung dieser Zeit erfreulicher
Wirksamkeit (Februar bis Oktober 1852) erinnert.

Es hätte sich ja wohl daran eine bleibende Stellung
anknüpfen lassen, aber es sollte die Aufgabe seines Lebens
eine ganz andere werden. Im Herbst 1852 von der Schweiz
nach München zurückgekommen, wo der Vater wieder An-
stellung gefunden hatte, hörte er an der Universität im Winter-
und Sommersemester historische und philologische Vorlesungen,
besonders aber die Experimentalphysik bei Simon Ohm, um
sich für die Doktorprüfung vorzubereiten. Er war aber auch
zu gleicher Zeit Hospitant des Ingenieurkurses an der poly-
technischen Schule, wodurch er befähiget wurde, schon im
Sommer 1853 das Absolutorium dieser Schule zu erlangen
und im Herbst desselben Jahres die theoretische Prüfung
für den Staatsbaudienst als Ingenieur zu bestehen. Er glaubte
dadurch einen Rückhalt für alle Fälle zu haben. Seit dieser
Zeit hatte er in seinem damaligen verehrten Lehrer Bauern-
feind einen väterlichen Freund erworben.

Mittlerweile hatte der Vater praktisch-optische Arbeiten
begonnen, um die Mittel zum Lebensunterhalte für seine
Familie zu verdienen. Er war dazu besonders geschickt,
nicht nur durch die frühere Erfindung optischer Instrumente,
sondern auch durch deren vortreflFliche Ausführung in seiner
Werkstätte bei der mathematisch-physikalischen Sammlung
der Akademie; er hatte auch in seiner Jugend Fraunhofer's
Arbeiten verfolgt und war sogar von diesem aufgefordert

126 Oeff entliche Sitzung vom 28, März 1894.

worden als Theilnehmer in sein Institut einzutreten, was er
bescheiden abgelehnt hatte. König Maximilian II. ermunterte
ihn zu seinem neuen Unternehmen, indem er ihm den Wunsch
aussprach, es möchte München als der Vorort für die prak-
tische Optik in Deutschland, der es durch Fraunhofer ge-
worden war, erhalten bleiben. Nach einigen Vorarbeiten
konnte im Mai 1855 die optisch-astronomische Werkstätte
in Schwabing bei München eröffnet und der erste Prospekt
ausgegeben werden. Der Sohn wurde der erste und beste
Mitarbeiter bei derselben. Nur mit Mühe und unter Wider-
streben des Vaters vermochte er noch die Zeit zu gewinnen,
das Doktorexamen zu machen, welches er im Jahre 1855
unter dem Dekanate Liebig's, der mit Scharfblick sein Talent
erkannte und ihm stets gewogen blieb, mit der Dissertation :
„Tafeln zur Entnehmung der Radien von Fernrohrobjectiven,
deren innere Flächen in einander passen** bestand.

Von da an blieb er ganz bei der Optik, welche sein
Lebensberuf werden sollte. Er wurde durch den Vater in
dessen Ideen und Entwürfe eingeweiht und hatte die Aufgabe
dieselben durchzuführen. Es war ihm namentlich die Be-
rechnung des Ganges der Lichtstrahlen durch die Linsen
und das Suchen nach den besten Formen übertragen. Es
begann damit für ihn eine -Zeit rastlosester Thätigkeit, ein
Schaffen ohne Gleichen; Jahrelang hat er, ohne sich eine
Erholung gewähren zu dürfen, täglich zwölf Stunden ge-
rechnet; dadurch aber eine so grosse Erfahrung und so
eingehende Kenntnisse erlangt, wie sie in diesem Zweige
des Wissens wohl noch Niemand gehabt hat. Dieser geistige
Erwerb bildete die sichere Grundlage für seine späteren
Leistungen ; eine kurze Rechnung belehrte ihn später, ob der
eingeschlagene Weg zum Ziele führt, und ein Blick in die
Rechnungen, ob und welche Fehler die Rechner gemacht
hatten. Jene ersten Jahre des Betriebs der Werkstätte waren
Steinheils eigentliche Lehrjahre; er fühlte, dass ßr jetzt in

V, Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheil, 127

seinem Elemente sich befinde und befähiget sei, hierin das
Beste zu vollbringen.

Im Jahre 1865 zog sich der Vater, welcher eine Sache
nur so weit verfolgte, als er glaubte, schöpferisch wirken zu
können, von dem optischen Institute zurück, um ausser Proble-
men der Wissenschaft seinen Neigungen, der Malerei und der
Musik, sich hinzugeben. In Folge davon war der Sohn von
da an ganz auf seine eigene Kraft angewiesen; er kaufte dem
Vater das Geschäft ab, und führte es anfangs mit seinem
älteren Bruder Eduard^), welcher im Wesentlichen den
technischen und kaufmännischen Theil übernommen hatte,
später nach dessen Tode allein fort. Und welchen Aufschwung
nahm das Institut in kurzer Zeit unter seiner sachkundigen
Leitung!

Von Anfang an gieng sein Bestreben dahin, alles Em-
pirische zu verbannen und auf rein wissenschaftliche Weise
durch strenge trigonometrische Rechnung, nachdem die opti-
schen Constanten der Glassorten bestimmt waren, die besten
Formen zu ermitteln und diese dann mit den feinsten von
seinem Vater verbesserten Methoden der Prüfung mittelst
des Sphärometers, des Fühlspiegels und der Newton'schen
Farbenringe auf das Genaueste auszuführen. Solchen Proben
auf die Güte unterlagen auch die Glasarten und die fertigen
Instrumente. Es ist ihm dadurch gelungen, eine Anzahl der
wichtigsten Neuerungen in die Optik einzuführen.

Steinheil ist in seinen optischen Untersuchungen der
direkte Nachfolger Fraunhofer's geworden ; er hat da ange-

1) Dieser Bruder Eduard, welcher sich ursprünglich für die
Maschinenkunde, dann für die Landwirthschaft ausgebildet hatte, war
ebenfalls für die Naturwissenschaft begeistert; er war eine Autorität
in der Entomologie und besass eine unwiderstehliche Lust ferne Welt-
theile zu sehen. Er hatte die Insel Elba, Algier und Columbien
kennen gelernt; auf seiner zweiten Reise nach Columbien erlag der
talentvolle Mann auf der Insel St. Thomas dem Sonnenstich.

128 Oeff entliche Sitzung vorn 28, März 1894,

schlössen, wo letzterer durch einen allzu frühen Tod die
Arbeit abbrechen musste. Stets hat er jedoch dankbarst an-
erkannt, welche Förderung ihm durch die hervorragenden
theoretischen dioptrischen Arbeiten unseres verehrten Mit-
gliedes Seidel geworden ist.

Fraunhofer hatte durch Verwendung der von ihm im
Sonnenspektrum entdeckten fixen Linien eine strenge Rech-
nung in der Optik ermöglicht; er war dadurch in den Stand
gesetzt worden , die Lichtstrahlen durch trigonometrische
Rechnung durch ein Linsensystem zu verfolgen, den Einfluss
der Halbmesser, der Dicken und der Abstände der Linsen
auf die Vereinigungsweiten verschiedener Strahlen zu be-
stimmen und so die Dimensionen festzustellen, welche für
gegebene Glasarten ein möglichst deutliches Bild eines in
der Axe gelegenen leuchtenden Punktes ergeben.

Fraunhofer's Fernrohrobjektive mit kleineren Dimen-
sionen erfüllten drei Bedingungen: sie hatten eine bestimmte
Brennweite bei gleichzeitiger Hebung des Kugelgestalt- und
Farbenfehlers. Bei seinen Fernrohrobjektiven von grösseren
Dimensionen kam noch die Wahl der Glassorten in Bezug
auf das nach Vereinigung der Hauptfarben noch bleibende
sogenannte sekundäre Spektrum hinzu, sowie die von ihm
angestrebte Erfüllung einer vierten Bedingung, welche aber
trotz eifriger Untersuchungen des berühmten Fernrohrs noch
nicht mit Sicherheit festgestellt werden konnte. Alles dieses
hatte Fraunhofer durch Anwendung von nur zwei Linsen
erreicht und dadurch zuerst bewiesen, dass die Wissenschaft
eine zuverlässigere Führerin ist als die Empirie, um unter
vielen Möglichkeiten die günstigste Form zu wählen.

Steinheil's erste Aufgabe war, in der Construktion der
Fernrohre womöglich über Fraunhofer hinaus zu kommen.
Er studirte eingehend das Objektiv desselben und berechnete
dann (1861) das von Gauss, dessen Oeffnüng im Verhältniss
zur Brennweite eine grosse ist, wodurch die Helligkeit be-

V, Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheü, 129

trächtlicher als bei dem ersteren Ferürohr wird. Es gelang
Steinheil in dieser Beziehung (Grösse des Oeffnungswinkels)
noch das "von Gauss Geleistete zu übertreffen. Ferner er-
kannte er es als einen wesentlichen Vortheil, wenn die
dauerhaftere Flintglaslinse der aus Crownglas vorausgestellt
werde; das Objektiv erhält dadurch stärker gekrümmte
Flächen, wodurch das Bild ausser der Axe genauer wird
und die unvermeidlichen Reflexbilder weiter vom Objektiv-
bild entfernt werden, so dass sie nicht so störend wirken.
Da aber bei den Fernrohren im Wesentlichen nur das Bild
in der Axe deutlich zu sein braucht, und das Fraunhofer'-
sche die dafür nöthigen drei Bedingungen erfüllt, so ist
letzteres auf einem so hohen Grad der Vollkommenheit an-
gelangt, dass man es kaum zu überbieten vermag.

Eine ganz neue Form führte dann Steinheil durch die
Mikrometerokulare und die vorzüglichen aplanatischen Lupen
ein. Früher hatte man bekanntlich als Lupen zumeist nur
einfache chromatische Linsen mit ganz geringem Gesichts-
felde und als Okulare nur getrennt stehende einzelne Linsen,
welche ebenfalls chromatisch waren und vielfach störende
Reflexe zeigten, verwendet. Steinheil setzte die beiden aus
drei mit einander verkitteten Linsen, einer biconvexen Crown-
glaslinse zwischen zwei Flintglaslinsen, zusammen, wodurch
er achromatische, von Reflexen freie Bilder erhielt. Seine
eigenthümlichen monocentrischen Okulare bestehen ebenfalls
aus einer Kugel von Crownglas, welche von zwei Flintglas-
menisken eingeschlossen ist, deren Radien sich nur durch die
Dicke unterscheiden, so dass alle Radien den gleichen Mittel-
punkt haben, der zugleich optischer Mittelpunkt ist; sie
zeigen grosse Bildschärfe in gleicher Entfernung vom Mittel-
punkt des Gesichtsfelds und haben mannigfache Anwendung
z. B. bei Ringmikrometern gefunden.

Die grösste Aufgabe erwartete Steinheil jedoch durch
die Photographenobjektive. Die sich so rasch entwickelnde

1894. Math.-phys. Gl. 2. 9

130 Oeffentliche Sitzung vom 28, März 1894.

Photographie stellte nämlich an die Optik eine Reihe anderer
Anforderungen, viel schwierigere als es bis dahin die Astro-
nomie gethan hatte. Auf diesem Felde konnte SteinheiFs
Methode der Rechnung und der Herstellung der Objektive die
bedeutendsten Erfolge erringen. Bei dem astronomischen
Fernrohr wird nämlich von dem durch das Objektiv ent-
worfenen Bild gewöhnlich nur ein kleiner centraler Theil
durch das Okular betrachtet, wesshalb das Fernrohrobjektiv,
wie erwähnt, zumeist nur in der Axe und deren nächster
Nähe ein scharfes Bild zu liefern braucht, während es gleich-
giltig ist, ob dieses Bild in seiner weiteren Ausdehnung
scharf bleibt, d. h. ob es eben oder gekrümmt ist. Bei der
Photographie dagegen soll das vom Objektiv entworfene Bild
eine grosse Ausdehnung besitzen und in der ganzen Aus-
dehnung gleich genau sein, es soll ferner vollkommen in
einer Ebene liegen und eine grosse Tiefe besitzen, welches
letztere dann erreicht ist, wenn die Linse die Fähigkeit hat,
von ungleich entfernten Objekten gleichzeitig ein deutliches
Bild in der nämlichen Ebene zu erzeugen.

Dabei genügt es nicht wie bei dem Femrohr nur die
Strahlen in der Axe in einem Punkte zu vereinigen, da das
Bild eines ausser der Axe liegenden leuchtenden Punktes
einen zu grossen Durchmesser erhalten kann; man muss da-
her in diesem Falle die trigonometrische Durchrechnung auch
noch auf einen Bildpunkt ausser der Axe ausdehnen, wo-
durch die Aufgabe eine viel complizirtere wird. Man hat
hier nach den Darlegungen Steinheil's zu berücksichtigen:
bei dem Bildpunkt in der Axe: die Brennweite, die Hebung
des Kugelgestaltfehlers und des Farbenfehlers ; bei dem Bild-
punkt ausser der Axe : die Hebung der Farben ausser der
Axe, dann der Verzerrung, der Bildkrümmung, des regel-
mässigen und unregelmässigen Astigmatismus und des Kugel-
gestal tfehlers ausser der Axe. Die Correktur der drei letz-
teren Fehler wurde ihm nur durch die von Seidel entwickelten

V, Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheil. 131

, trigonometrischen Formeln für den allgemeinsten Fall der
Brechung des Lichtes an centrirten sphärischen Flächen"
möglich. Fraunhofer hatte schon, wie gesagt, bei seinen
Fernrohrobjektiven von grösseren Dimensionen ausser den
drei Bedingungen für den Bildpunkt in der Axe eine vierte
einzuführen gesucht.

Bevor sich Steinheil mit der Construktion photographi-
scher Objektive befasste, existirte nur ein einziger guter Typus,
der von dem Mathematiker Petzval in Wien bald nach Er-
findung der Daguerreotypie ersonnene ; er war aus vier Linsen
zusammengesetzt, von denen drei einzeln stehen, und aus drei
Glasarten hergestellt. Dieses Petzval'sche Objektiv ist noch
immer im Gebrauch, alle anderen, wesentlich neuen Photo-
graphenobjektive sind von Steinheil eingeführt worden. Hierin
zeigt sich seine vollkommene, einzig dastehende Beherrschung
der Theorie am prägnantesten.

Im Laufe der Zeit sind von ihm drei Construktionstypen
für Photographen-Apparate ausgegeben worden.

Zuerst das Periskop (1865), welches nur aus zwei sym-
metrischen Linsen von einer Glasart besteht, also chromatisch
und von geringer Helligkeit ist, jedoch ein sehr grosses Ge-
sichtsfeld und eine ganz correkte Zeichnung besitzt. Dieses
Instrument wird noch heute trotz seiner Farbenzerstreuung
gewünscht, da es in Folge der ausserordentlich einfachen
Construktion für seine Leistung sehr billig ist.

Den zweiten Typus nannte er Aplanat, welcher aus vier
paarweise verkitteten symmetrischen Linsen von zwei Glas-
arten besteht. Im Jahre 1866 wurden die ersten Apparate
der Art vollendet, im Jahre 1871 die Weitwinkelapparate
für Reproduktion von topographischen Landkarten als Lösung
einer von dem österreichischen Kriegsministerium gestellten
Aufgabe ausgeführt, und im Jahre 1879 die ersten Gruppen-
aplanate ausgegeben. Diese Aplanaten haben die weiteste
Verbreitung gefunden und wurden überall unter den ver-

132 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

schiedensten Namen nachgemacht. In ihnen finden sich die
Elemente für alle Bedingungen; nur eines dieser Elemente,
der Astigmatismus, ist darin noch nicht berücksichtiget.

Der dritte Typus ist der im Jahre 1881 entstandene
Antiplanet. Derselbe beruht auf einem ganz neuen, höchst
geistreich erdachten Prinzip, indem durch eine vordere Doppel-
linse alle Fehler absichtlich gross gemacht und dann durch
ein zweites Linsenpaar vollständiger, als dies sonst möglich
war, korrigirt werden. Er besteht aus nur vier paarweise
verkitteten nicht symmetrischen Linsen von nur zwei Glas-
arten, und es ist in ihm auch der letzte Fehler, der des
Astigmatismus, fast ganz gehoben. Dieser Antiplanet, ein
Instrument von denkbar grösster Einfachheit, erforderte un-
endlich mühsame Berechnungen, bis die Möglichkeit der An-
wendung des Prinzips erkannt war, er hat aber auch zu
einem glänzenden Resultat geführt. In Folge der in dem
letzten Jahrzehnt in der Glastechnik gemachten grossen Fort-
schritte haben Andere versucht, diesen Stein heiPschen Anti-
planet noch zu verbessern.

Von Steinheil wurde die von dem deutschen Reiche zur
Beobachtung des Venusdurchgangs im Jahre 1874 ausge-
sandte Expedition mit vortrefflichen photographischen Fern-
rohrobjektiven ausgestattet.

Zuletzt fesselte ihn die wichtige Aufgabe der Herstel-
lung von Instrumenten zur Photographie der Himmelskörper.
Bei den Pariser Verhandlungen, welche die einheitliche pho-
tographische Aufnahme des Fixsternhimmels vorzubereiten
hatten, vermochte er darzuthun, welchen Bedingungen ein
astrophotographisches Objektiv zu genügen hat, woraufhin
er zunächst das Potsdamer Observatorium mit Apparaten der
Art versorgte, welche schon manche neue Aufschlüsse ge-
liefert haben.

SteinheiPs astrophotographische Objektive bedingen einen
erheblichen Fortschritt in der Wissenschaft, mit dem sein

V. Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheü. 133

Name stets verknüpft bleiben wird, denn sie gestatten die
Stellung der Sterne noch nach Jahrhunderten zu ersehen
und die Veränderungen derselben zu erkennen. Die hiesige
Sternwarte, welche überhaupt kein grösseres Instrument
von Steinheil besitzt, ist wegen Mangel von Mitteln leider
nicht in der Lage, sich an diesem durch unseren Mitbürger
ermöglichten geistigen Wettkampfe zu betheiligen.

Die Hauptschwierigkeiten bei der Berechnung optischer
Construktionen liegen darin, für den jeweiligen Fall die rich-
tige Reihenfolge zu finden, in welcher alle die nothwendigen
Bedingungen erfüllt werden müssen, und direkt vergleichbare
Fälle für die Auswahl herzustellen, sowie auch die in Bezug
auf ihr Brechungs- und Zerstreuungsvermögen passenden
Glasarten zu wählen. Steinheil Hess nie ab, immer wieder
zu prüfen, ob sich der Zweck nicht vollständiger und mit
einfacheren Mitteln erreichen lasse. Er besass ausserdem ein
ganz besonderes Geschick in der Ei-findung von Methoden,
nach welchen genaue Formen hergestellt werden können,
ohne vom Arbeiter besondere Kenntnisse zu verlangen, wo-
bei er zumeist von aus der Mathematik bekannten Sätzen
ausgieng. Um z, B. eine genaue Planfläche herzustellen,
liess er, ganz unabhängig von Withworth und Anderen, drei
Flächen schleifen , von welchen jede auf jede der beiden
anderen passt, denn in diesem Falle mussten auch die Flächen
eben sein. War ihm ferner die Aufgabe gestellt, ein Prisma
zu machen mit einem Winkel von genau 90® und zwei
Winkeln von genau 45®, so gieng er von den beiden geo-
metrischen Sätzen aus, dass im Quadrat jeder Winkel ein
rechter ist und dass im gleichschenkeligen rechtwinkeligen
Dreieck die Winkel an der Hypothenuse einander gleich und
von 45® sind.

Aus der optisch-astronomischen Werkstätte Steinheil's,
welche im Jahre 1862 aus Schwabing nach München in die
Landwehrstrasse verlegt und im Jahre 1890 in ein eigens

134 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1894,

für diesen Zweck auf der Theresienhöhe errichtetes grosses
Gebäude transferirt wurde, sind Tausende von kleinen und
grossen Fernrohren, Prismen, Photographenapparaten etc. in
alle Welttheile ausgegangen und haben seinen Namen als
den eines der erfindungsreichsten und sorgfältigsten Optiker
aller Zeiten bekannt gemacht. Seine Kenntnisse und seine
Energie haben das berühmte Institut geschaffen ; sein Geist
wird in letzterem noch ferner walten. Die in seine Fuss-
stapfen Tretenden haben jetzt leichtere Mühe das von ihm
Erdachte weiter fortzuführen.

Steinheil hat durch seine optischen Untersuchungen und
die Herstellung optischer Instrumente nicht nur indirekt die
Wissenschaft gefördert, sondern sich auch direkt an der
Erweiterung derselben betheiligt. In manchen exklusiven
Kreisen der Gelehrten sieht man zwar noch immer nur die
ganz ideale, auf keinen praktischen Nutzen gerichtete Thä-
tigkeit als die wissenschaftliche an und hält eine Beschäfti-
gung um so weniger für eigentlich wissenschaftlich und für
würdig, je mehr sie einer direkten Anwendung fähig ist.
Aber hören wir denn nicht so oft sagen, dass jede durch die
Wissenschaft festgestellte Thatsache, auch die allerabstrak-
teste, einmal ihre Bedeutung für das menschliche Leben ge-
winnt, eine Bedeutung, welche zumeist Niemand vorzuahnen
im Stande ist? Und soll es für den Forscher einen Unter-
schied machen , ob dieser Nutzen erst nach Hunderten von
Jahren oder alsbald sich einstellt? Der Entdecker neuer
Gebiete und Thatsachen in der Wissenschaft erkennt nicht
selten bei einem gewissen Stande des Wissens auch zuerst
deren Anwendbarkeit und findet wohl auch am besten den
richtigen Weg dazu. In solcher Weise wurde Lavoisier der
erste praktische Hygieniker, denn er hat sich nach der Er-
kenntniss der Rolle des Sauerstoffs im Thierkörper viel mit
der Beschaffung reiner Luft und mit anderen Fragen der
öffentlichen Gesundheitspflege befasst. Gerade unsere Aka-

V, Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheil. 135

demie bietet in ihrer Vergangenheit leuchtende Beispiele da-
für, dass die grössten Gelehrten es nicht verschmäht haben,
die Frücht-e ihrer wissenschaftlichen Arbeit zum Wohle der
Menschheit zu verwerthen. Liebig wurde auf Grund seiner
chemischen Untersuchungen der Begründer des rationellen
Ackerbaues; der edle Fraunhofer, gegen dessen Aufnahme in
die Akademie als eines Autodidakten und Praktikers von
mancher Seite Bedenken bestanden, stellte in seinem optischen
Institut die ersten genauen achromatischen Femrohre her,
mit denen er, wie die von ützschneider ihm gesetzte stolze
Grabschrift aussagt: approximavit sidera; es ist schon erwähnt
worden, wie der geistvolle Steinheil, der Aeltere, zuerst die
Apparate für die elektrische Telegraphie brauchbar zu ge-
stalten wusste, wodurch er der Kultur einen der grössten
Dienste erwies. Sollen dies Alles wirklich keine wissen-
schaftlichen Werke gewesen sein? In der That, seitdem auf
vielen Gebieten die Praxis nicht mehr eine Empirie ist,
sondern nichts Anderes als Wissenschaft, ist hierin die Grenze
zwischen Theorie und Praxis nicht mehr zu bestimmen.
Den Entscheid, ob eine Leistung eine wissenschaftliehe ist
oder nicht, liefert nur die dabei benützte Methode. Häufig
gehört auch zur Herstellung nutzbarer Dinge auf wissen-
schaftlichem Wege mehr Geist und schöpferische Kraft als
zu einer rein wissenschaftlichen Thätigkeit auf schon längst
gebahnten Wegen. Und dass Steinheil bei seinen Arbeiten
nach streng wissenschaftlicher Methode verfuhr, das weiss
Jeder, der sie kennt.

Er hatte auch auf dem Höhepunkt seines Lebens die
grosse Freude sich als Mann der Wissenschaft voll anerkannt
zu sehen. Unsere Akademie, in welcher sich Männer befinden,
die als erste Sachverständige auf dem Gebiete der Optik
gelten, hat ihn im Jahre 1888 zum ausserordentlichen Mit-
gliede gewählt. Bei dem vorher erwähnten internationalen
Congresse in Paris (1887), bei welchem die Methoden der

136 Oeffentliche Sitzung vom 28, März 1894,

photographischen Aufnahmen des Sternhimmels festgesetzt
werden sollten, hat der deutsche Optiker mit Alle über-
zeugender Klarheit und Sicherheit seine gereiften Anschau-
ungen hierüber dargelegt, denen sich die illustre Versammlung
einstimmig anschloss. Als im Jahre 1891 die internationale
astronomische Gesellschaft dahier ihre Versammlung abhielt,
konnte er den sachkundigen Gelehrten seine neue Werkstätte
mit ihren vollendeten Einrichtungen zeigen; Alle haben da-
mals die XJeberzeugung gewonnen, dass sie eine auf wissen-
schaftlicher Grundlage ruhende Anstalt gesehen haben. Ein
Zeichen der Anerkennung seiner Verdienste um die Wissen-
schaft war es auch, dass er im Jahre 1887 zum Mitgliede des
Kuratoriums der physikalischen - technischen Reichsanstalt,
deren Vorstand Helmholtz ist, ernannt wurde, wo sein er-
fahrener unparteiischer Rath gerne gehört wurde.

In seiner Liebe zur Wissenschaft hat er in uneigen-
nützigster Weise Alles zu ihrer Förderung gethan. Wie oft
haben sich Astronomen und Physiker, welche zu einem be-
sondern Zweck eines optischen Apparates bedurften, an
Steinheil gewendet, der denselben ersann und herstellte, ohne
für seine geistige Thätigkeit und besondere Mühe einen Preis
in Ausatz zu bringen. Bei Gelegenheit der 100jährigen
Geburtstagsfeier Fraunhofer'« machte er zu Gunsten der
hiesigen technischen Hochschule eine Stiftung von 10000 Mark
zur Errichtung einer optischen Prüfungsstation, in welcher
von sachkundiger Seite Prüfungen optischer Instrumente
vorgenommen werden können; es war sein Wunsch dadurch
den wissenschaftlichen Betrieb der Mechanik und Optik in
München, wo die Werkstätten von Utzschneider, Fraunhofer,
Reichenbach und Ertel blühten und in der Bevölkerung noch
so viel Talent für solche Arbeiten sich findet, zu fordern;
allerdings scheint von diesem hochherzigen Geschenk in
weiteren Kreisen nichts bekannt geworden zu sein. Das
gemeinschaftlich mit Ernst Voit herausgegebene verdienst-

V. Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheil. 137

volle Handbuch der angewandten Optik, an dem beide Autoren
den gleichen Antheil haben, ist ein Hilfsbuch für den aus-
übenden Optiker, um ihm ein klares Bild von der Leistung
optischer Systeme zu verschaffen und ihn in den Stand zu
setzen, die Berechnung derselben mit wissenschaftlicher
Strenge durchzuführen, Steinheil hat darin alle seine Me-
thoden der Oeffentlichkeit preisgegeben, damit sie Gemein-
gut und Anderen nutzbar würden und es nicht so gehe, wie
mit den leider verloren gegangenen Methoden Fraunhofer's.
Wo aber fände sich ein zweiter, der in gleichem Falle so
uneigennützig gehandelt hätte?

Durch die frühzeitige intensivste, lange Zeit sein ganzes
Denken in Anspruch nehmende Beschäftigung mit einem be-
sonderen Zweige des Wissens, ohne die er nie sein Ziel er-
reicht hätte, erhielt er scheinbar eine gewisse Einseitigkeit.
Er besass jedoch auch für andere Dinge ein lebhaftes Interesse.
Mit den einheimischen Pflanzen, Käfern und Schmetterlingen
war er, wie sein Vater und Bruder, in seltenem Grade ver-
traut; er kannte genau ihre Fundorte und Lebensweise, so
dass Spaziergänge mit ihm für den Naturfreund zu einem
wahren Genüsse wurden. Gerne und mit Verständniss folgte
er Erörterungen über schwierige, noch nicht aufgeklärte
Fragen aus ihm sonst ganz fremden Gebieten und wusste
nicht selten den Kernpunkt zu finden und auf den richtigen
Weg zu leiten. Der hiesigen Stadt hat er während 12 Jahren
(1869 — 1881) als Gemeindebevollmächtigter namentlich durch
seine rechnerischen Kenntnisse und seinen leichten üeberblick
bei Aufstellung des städtischen Haushaltes und auch auf dem
Gebiete der Volksschule erspriessliche Dienste geleistet, wobei
er sich die intimste Freundschaft des unvergesslichen Bürger-
meisters Erhardt erwarb.

Das Bild von Steinheil's Wirken und Wesen wäre un-
vollständig, wenn man nicht auch seiner Charaktereigen-
schaften gedenken würde. Bei so Manchem entspricht die

138 Oe ff entliehe Sitzung vom 28. März 1894.

Ausbildung des Charakters nicht der des Geistes; wir ver-
mögen ihn ob letzterer zu bewundern, ihn aber ob ersterer
nicht zu lieben. Steinheil ist durch ruhiges und tiefes Nach-
denken über sich und die Welt sowie durch sein Handeln
darnach zu einem der edelsten Menschen geworden.

Wer ihn nur oberflächlich kennen lernte, bemerkte an
ihm eine auffallende, manchmal fast zu gross erscheinende
Bescheidenheit. Diese hatte er nicht, weil er seine Person
zu niedrig stellte, denn er wusste für sich im Stillen recht
wohl, was er werth war; sie entsprang vielmehr einer ge-
wissen Verlegenheit und ünbeholfenheit im Umgang mit
Leuten, die ihm noch fremd waren, aber auch der aufrich-
tigen Hochachtung für jegliches Verdienst. Von einer un-
gewöhnlichen Milde im Urtheil gegen Andere hat ihn wohl
Niemand in aufbrausendem Zorne gesehen ; nur dann konnte
er indignirt und sogar scharf seine Meinung äussern, wenn
er eine Unwahrheit wahrnahm. Es währte darum lange,
bis er von einem Menschen Böses dachte, aber es gelang
schwer, wenn er einmal aus einem solchen Grunde gegen
Jemanden eingenommen war, ihm eine bessere Meinung über
ihn beizubringen.

Von einer unendlichen Liebe war er für seine Mit-
menschen erfüllt. Von den reichen Mitteln, die er sich durch
seinen Fleiss erworben, hat er den edelsten Gebrauch ge-
macht und unendlich viel Gutes und Segensreiches gestiftet.
Vielen Menschen hat er geholfen und in einer Weise, dass
sie die Wohlthaten nicht drückend, sondern als eine wahre
Herzensfreude des Gebers empfanden. Für jeden seiner vielen
Arbeiter war er ein sorgender Freund; sie wussten aber auch,
was sie an ihm hatten und suchten es ihm durch treue An-
hänglichkeit zu vergelten. Es war ein wahres Wort, was
ein auswärtiger Fachgenosse an seinem Grabe aussprach: die
soziale Frage wäre wohl bald gelöst, wenn alle Arbeitgeber
so dächten und handelten wie Steinbeil.

V. Voit: Nekrolog auf Adolf Steinheü, 139

Seiu Nachdenken hat ihn auch dazu geführt, die Welt
trotz aller ihrer Unvollkommenheit als gut und weise ein-
gerichtet zu betrachten, und er konnte gegen pessimistische
Anschauungen lebhaft ankämpfen. Das Schlimme wusste er
immer wieder zum Guten auszulegen und sich und Andere
zu beruhigen. Das Unvermeidliche und das Unglück be-
trachtete er als nothwendige Folge der gegebenen Beding-
ungen, und er war sich klar darüber, dass der Mensch von
der Natur nicht ausgenommen sei, sondern einen Theil der-
selben bilde. In diesem Sinne ertrug er die Abnahme seines
Sehvermögens und den Verlust des einen Auges mit wahr-
haftem Heldenmuth, während er der Verfeinerung dieses
Sinnesorganes für die übrigen Menschen seine ganze geistige
Kraft widmete.

Man kann ermessen, was ein Mann von solcher Gesinnung
seinen Freunden sein musste. Er war für sie von unwandel-
barer Treue, voller Theilnahme im Glück und Unglück, von
geradezu rührender Aufmerksamkeit und Aufopferung. Sie
allein haben die ganze Fülle von Edelsinn, dessen der nach
Aussen hin so anspruchslos erscheinende Mann föhig war,
erkennen können.

In einer Zeit, in welcher selbst in der Wissenschaft so
Viele nicht mehr mit reinem Sinne ausschliesslich die Wahr-
heit suchen, sondern sie zu einem Tummelplatz niedriger
egoistischer Leidenschaften machen, erfreut und erhebt man
sich an dem Lebensbilde eines nur dem Idealen zugewandten
Mannes wie Steinheil. Er hat die ihm verliehenen Gaben
dazu benützt, unser Wissen und Können zu vermehren, und
indem er Andere beglückte, ist er selbst glücklich gewesen.

140 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Ernst Eduard Kummer.

Ernst Eduard Kummer^) war geboren zu Sorau in der
Niederlausitz hart an der schlesischen Grenze den 29. Ja-
nuar 1810. Schon 1813 verlor er seinen Vater und der
Mutter fiel es bei knappen Mitteln schwer, ihn studiren zai
lassen.

Er besuchte das Gymnasium seiner Vaterstadt und be-
zog 1828 die Universität Halle, wo er unter der Leitung
von Professor Scherk sich der Mathematik widmete. Im
3. Studienjahre löste er eine mathematische Preisfrage und
wurde auf Grund dieser Arbeit 1831 zum Doktor promovirt.

Von 1832 — 1842 wirkte Kummer als Gymnasiallehrer
in Liegnitz. Hier legte er den Grund zu seinem künftigen
Ruhme durch verschiedene Arbeiten, vorzugsweise dem Ge-
biete der Reihenlehre und der Integralrechnung angehörig;
hervorzuheben ist hier das Liegnitzer Programm „Ueber eine
DiiFerentialgleichung 3. Ordnung** 1834, und ganz besonders
seine Arbeit über die hypergeometrische Reihe (1836), in
welcher er die berühmte Abhandlung von Gauss über diese
Reihe fortsetzte und in würdiger Weise ergänzte. Diese
Arbeiten verschafften ihm schon 1839 die Ernennung zum
correspondirenden Mitglied der Berliner Akademie und 1842
die Berufung an die Universität Breslau.

In der Breslauer Periode von 1842—55 waren es zu-
meist zahlen theoretische Untersuchungen, die ihn beschäf-
tigten. Auf diesem abstrakten Gebiete zeigte sich ganz be-
sonders sein Scharfsinn und das tiefe Eindringen seines
Geistes. Seine Abhandlung „über die aus Wurzeln der Ein-
heit gebildeten complexen Zahlen** (1845), in welcher er
den neuen Begriff der „idealen complexen Prim-Faktoren**
einführt und genau definirt; seine Untersuchungen über einen

1) Nach Mittheilungen von Herrn CoUegen Gustav Bauer.

V. Voit: Nekrolog auf Ernst Eduard Kummer, 141

Satz von Ferinat, dessen allgemeinen Beweis er zuerst er-
brachte (1850), verschafften ihm den grossen Preis der Ber-
liner Akademie.

Wie hoch damals das Ansehen Kummer's gestiegen war,
geht wohl am besten daraus hervor, dass er 1855 Nach-
folger Dirichlet's an der Berliner Universität, wie in der
Akademie wurde. Es ist bemerkenswerth, dass Kummer in
dieser letzten Periode seines Wirkens sich von den abstrakten
Problemen der Zahlentheorie immer mehr den concreteren
Problemen der Geometrie zuwandte. In diese Periode föUt
seine berühmte Abhandlung „Ueber die allgemeine Theorie
der geradlinigen Strahlsysteme" (1860); seine Abhandlung
über Flächen 4. Grads, auf denen Schaaren von Kegel-
schnitten liegen, und 1864 die Entdeckung der Fläche
4. Ordnung, die durch eine merkwürdige Configuration von
16 Punkten und 16 Ebenen ausgezeichnet ist und als , Kum-
mer 'sehe Fläche** allen Mathematikern bekannt ist. Auch
auf das Gebiet der Physik griff er über; seine Untersuch-
ung über Strahlsysteme führten ihn auf die atmosphärische
Strahlenbrechung; seine Vorträge an der Kriegsschule über
ballistische Probleme auf physikalische Untersuchungen über
den Luftwiderstand.

Kummer war ein ausgezeichneter Lehrer und hatte
Freude am Lehren. Erst im Alter von 74 Jahren stellte er
seine Vorlesungen ein und lebte fortan in stiller Zurück-
gezogenheit nur für seine zahlreiche Familie, bis ihn 9 Jahre
später am 14. Mai 1893 ein Anfall von Influenza dahin-
raffte. Er war lange Zeit das Haupt der Berliner mathe-
matischen Schule und der bedeutendste Vertreter dieser
Wissenschaft in Deutschland.

Ii2 Oe ff entliche Sitzung vom 28, März 1894.

Moritz Abraham Stern.

Moritz Abraham Stern ^) war ein Schüler von Gauss
und verbrachte seine ganze Gelehrten-Laufbahn als Professor
der Mathematik zu Göttingen. Seit 1850 Mitglied unserer
Akademie, hatte er das seltene Glück weit über das ge-
wöhnliche Zeitmaass hinaus für die Wissenschaft thätig sein
zu können. Seine zahlreichen und werth vollen Arbeiten,
fast sämmtlich in dem Crelle'schen Journal veröffentlicht,
erstrecken sich auf einen Zeitraum von 60 Jahren und ziehen
sich durch 100 Bände des Journals hindurch. 1830 erschien
seine erste Arbeit im 6. Bande des Journals und 1890 seine
letzte im 106. Bande. Die meisten seiner Arbeiten, darunter
auch seine erste und seine letzte Publikation, liegen auf dem
Gebiete der höheren Arithmetik oder Zahlentheorie. An-
dererseits aber verdankt man ihm viele schätzbare Unter-
suchungen in verschiedenen Theilen der algebraischen Ana-
lysis, so insbesondere über die Theorie der Bernoulli'schen
Zahlen und über die Theorie der Kettenbrüche. Ferner ge-
hört hieher seine Abhandlung „über die Auflösung der trans-
scendenten Gleichungen*, eine von der königlich dänischen
Gesellschaft der Wissenschaften gekrönte Preisschrift (1840),
und, als wichtige Ergänzung hiezu, seine Abhandlung „ üeber
die Anwendung der Stürmischen Methode auf transscendente
Gleichungen** (1846). Als selbständiges Werk erschien 1860
sein vortreffliches und allbekanntes „Lehrbuch der algebra-
ischen Analysis". Er ist im 87. Lebensjahre am 30. Januar
1894 zu Zürich im Hause seines Sohnes, des Historikers
Alfred Stern, gestorben.

1) Nach Mittheilungen von Herrn Collagen Gustav Bauer.

V. Voit: Nekrolog auf John TyndalL 14-3

John Tyndall.

In den weitesten Kreisen bekannt war der hervorragende
englische Physiker und Naturforscher John Tyndall, der am
4. Dezember 1893 auf seinem Landsitze Hind Head bei
Haslemere im 74. Lebensjahre verschieden ist. Er konnte
sich nicht wie so viele seiner mit Glücksgütern gesegneten
Landsleute sorgenlos seiner Ausbildung und seinen ersten
Studien hingeben, denn armer Leute Kind musste er sich
die Mittel dazu selbst erwerben. Er war zuerst als Gehilfe
bei der trigonometrischen Vermessung Englands und dann
beim Eisenbahnbau beschäftigt, wodurch er nach zehnjähriger
Arbeit sich so viel erspart hatte, um das ersehnte Ziel, eine
Universität besuchen und naturwissenschaftliche Studien be-
treiben zu können, zu erreichen. Es ist ein für unsere
Universitäten ehrenvolles Zeugniss, dass ein Mann wie Tyndall
nach Deutschland kam, um sich Wissen zu erwerben. Er
begab sich zunächst, schon 28 Jahre alt, mit seinem Lands-
mann Frankland nach Marburg, wo er neben Mathematik
und Physik die Chemie bei dem vorzüglich auf dem Grenz-
gebiete der Physik und Chemie thätigen Bunsen betrieb und
auch die Doktorwürde erwarb. Darauf ging er nach Berlin,
um bei Gustav Magnus zu arbeiten, in dessen Laboratorium
damals eine ungewöhnlich grosse Anzahl talentvoller junger
Naturforscher mit Problemen der Physik beschäftigt war.
Tyndall untersuchte daselbst die Erscheinungen an einem
Wasserstrahl, dann in Gemeinschaft mit Knoblauch, dem
jetzigen verdienstvollen Präsidenten der Kais. Leopoldinischen
Akademie der Naturforscher, das Verhalten krystallisirter
Körper zwischen den Polen eines Magneten.

Diese Arbeiten, welche ein ungewöhnliches Talent ver-
riethen, lenkten die Aufmerksamkeit der englischen Gelehrten
auf den aufstrebenden Physiker; denn nach seiner Rückkehr
nach England erhielt er alsbald eine Lehrstelle am Queenwood

144 Oeff entliehe Sitzung vom 28. März 1894.

College, dann an der Royal Society und im Alter von 33 Jahren
die Professur der Physik an der Royal Institution zu London
als der Nachfolger des genialen Thomas Young und von
Faraday, des grössten Experimentators seiner Zeit. Und nun
begann für Tyndall eine an Erfolgen reiche wissenschaftliche
Thätigkeit. Seine rein physikalischen Forschungen erstreckten
sich über fast alle Theile dieser Wissenschaft; man verdankt
ihm namentlich die wichtigsten Bereicherungen der Lehren
von dem durch Faraday entdeckten Diagmagnetismus , der
Polarisation des Lichtes, der Wärmestrahlung und der Akustik.

Tyndall hat sich jedoch nicht nur auf dem Gebiete der
Physik Verdienste erworben; er war ein umfassender Geist,
der überall in der Natur Probleme für seine Forschung fand.

Er hat sich bei der Lösung der so ungemein wichtigen
Frage nach der Entstehung der niedersten Organismen be-
theiliget, ob dieselben sich aus den Nährlösungen von selbst,
durch sogenannte Urzeugung bilden können oder ob ihr
Auftreten stets einen schon vorhandenen Keim oder eine
Organisation voraussetzt. Es gelang ihm als einem der ersten
in der Luft das Vorkommen von Milliarden von Keimen
nachzuweisen, welche auch da noch sich finden, wo man sie
früher zerstört zu haben glaubte ; auch gab er im Anschlüsse
an die Versuche von Schwann, M. Schnitze, Schröder und
Dusch, Hof mann etc., Methoden an, durch welche man jene
Keime sicher zu tödten vermag. Er hat sich dadurch, nament-
lich durch seine Abhandlung über Staub und Krankheit,
um die Ausbildung der jetzigen Lehre von der Fäulniss und
Gährung, wodurch man auch ganz andere Anschauungen
über die niedersten Organismen als Krankheitserreger er-
halten hat, sehr verdient gemacht. Er war der Ansicht, die
ersten Keime des Lebendigen wären durch Meteore von ent-
wickelteren Weltkörpern auf unsere Erde gebracht worden.

Von mächtiger Wirkung waren seine auf mühsamen
Wanderungen gemachten Beobachtungen über das Entstehen

V. Voit: Nekrolog auf John TynddlL 145

und die Natur der Gletscher, über die Bewegung derselben
und über die physikalischen Eigenschaften sowie die Bildung
des Eises. Es haben diese seine Forschungen viel zu^ der
regen wissenschaftlichen Untersuchung der Alpen beigetragen.

Auch ist sein Antheil an der Feststellung und der An-
wendung des Gesetzes von der Erhaltung der Energie, welches
er in allen seinen Schriften consequent durchführte, zu er-
wähnen.

Sehr bemerkenswerth und von grossem Erfolge begleitet
waren TyndalPs Bemühungen, das durch die Wissenschaft
Erkannte dem Volke in verständlicher Weise zugänglich zu
machen; er wollte das Wissen verbreiten, um das leibliche
und geistige Wohl des Menschengeschlechtes zu fördern.
Als eifriger Wanderlehrer hielt er durch Klarheit der Dar-
stellung und Gedankenreichtum wahrhaft mustergiltige Vor-
träge: über die Wärme, den Schall, das Licht, die Elek-
trizität etc. welche auch durch treffliche Uebersetzungen
seiner Fachgeuossen und Freunde Helmholtz und Wiedemann
dem deutschen Publikum bekannt geworden sind.

Tyndall war ein tiefer Denker, der sich nicht nur mit
den nächsten Ursachen einer Erscheinung befasste, sondern
auch die gemeinschaftliche Ursache für eine grössere Gruppe
von Erscheinungen zu finden trachtete, und sich viel mit
der Frage der Wege und der Grenzen der menschlichen
Erkenntniss abgab. Eine zur Eröffnung der Jahresversamm-
lung der British Association zu Belfast gehaltene Rede über
Naturwissenschaft und Offenbarung rief leidenschaftliche An-
klagen der Orthodoxen gegen ihn hervor; man wird in
späteren Jahren nicht mehr verstehen, wie es möglich war,
die Naturforscher zu bekämpfen, welche in ihrer Wissen-
schaft ausschliesslich die Erscheinungen festzustellen und die
Ursachen der Dinge zu suchen haben, aber in der Offen-
barung kein Objekt für ihre Forschung finden.

Tyndall hat durch seinen Aufenthalt an deutschen Uni-

1894. MatK-phys. Gl. 2. 10

146 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

versitäten das Wesen der deutschen Naturforscher näher
kennen und schätzen gelernt und namentlich durch seine
Freundschaft mit Helmholtz die Beziehungen der englischen
und deutschen Gelehrten inniger gestaltet und dadurch beiden
Theilen wesentliche Dienste erwiesen. Es ist mit Tyndall ein
Forscher von grossem Scharfsinn und von unermüdlicher
Ausdauer in der Arbeit dahingegangen, der die Wissenschaft
über Alles liebte und in uneigennützigster Weise seine Mittel
zu ihrer Unterstützung sowie zur Beförderung des Wohles
der Menschheit verwendete. Man wird ihn stets zu den be-
deutendsten Naturforschern unserer Zeit zählen.

Heinrich Rudolf Hertz.

Durch den am 1. Januar 1894 erfolgten frühzeitigen
Tod des Professors der Physik an der Universität zu Bonn,
Heinrich Rudolf Hertz, hat die Naturwissenschaft einen der
schmerzlichsten Verluste erlitten.

Hertz wollte sich anfangs dem Baufache zuwenden und
besuchte zu diesem Zwecke die technischen Hochschulen zu
Dresden und Berlin; aber immer mehr trat bei ihm die
lebhafteste Neigung für die Mathematik und die Physik
hervor, so dass er sich bald ganz dem Studium derselben,
zuerst in München und dann in Berlin bei Helmholtz, widmete.
In kürzester Zeit hatte sich der ausserordentlich talentvolle
junge Mann, namentlich durch seine mit grösstem Scharf-
sinn erdachten und mit seltener Beherrschung der Mittel
durchgeführten elektrischen Versuche an die Spitze der Physiker
gestellt. Nachdem schon vor ihm Manche, wie Faraday und
besonders Maxwell, gewisse Beziehungen des Lichtes und der
Elektrizität angenommen und glaublich zu machen versucht
hatten, ferner Bezold dieselben durch höchst bemerkenswerthe,
von Hertz voll anerkannte Versuche erwiesen hatte, gelang
es Letzterem den sicheren Beweis des innigen Zusammen-
hanges von Licht und Elektrizität zu führen. Er zeigte in

V. Voit: Nekrolog auf Heinrich Rudolf Hertz. 147

seinem berühmten Buche „über die Ausbreitung der elek-
trischen Kraft**, dass die elektrischen Wirkungen sich wie
die Lichtwellen ausbreiten, dass sie ebenfalls auf Schwingungen
des Aethers beruhen, dass die elektrischen und magnetischen
Schwingungen wie die des Lichtes transversale sind, dass
sie sich mit der nämlichen Geschwindigkeit wie die des Lichtes
fortpflanzen, dass sie durch metallische Wände reflektirt,
durch Hohlspiegel gesammelt, durch Prismen aus Asphalt
gebrochen werden^ durch Isolatoren wie die Lichtwellen durch
Glas hindurchgehen, und die Erscheinungen der Polarisation
zeigen können. Er hat die Länge der elektrischen Wellen
gemessen und gefunden, dass sie viel grösser sind wie die
Lichtwellen und eine Länge von mehreren Metern besitzen.
Die Wellenbewegungen von einer sehr grossen Anzahl von
Schwingungen in der Sekunde erregen unsere Netzhaut und
bringen in uns die Empfindung des Lichtes hervor, bei einer
geringeren Anzahl von Schwingungen haben wir die dunkeln
Wärmestrahlen mit ihrer Wirkung auf die Thermosäule,
und bei einer noch geringeren Anzahl die elektrischen Wellen-
erscheinungen.

Durch das hohe Interesse, welches diese Entdeckungen
von Hertz bei jedem denkenden Menschen erregen mussten,
ist sein Name auch ausserhalb der engeren Fachkreise weit-
hin bekannt geworden; man durfte die grössten Hoffnungen
in die fernere Thätigkeit des noch nicht 37 Jahre alten, in
vollster geistiger Kraft stehenden Forschers setzen, welche
nun durch sein Hinscheiden vernichtet sind.

Hertz war eine vornehme Natur, von edelster Gesinnung
und tief bescheidenem Wesen. Noch wenige Wochen vor
seinem Tode hat der schwer leidende Mann in einem an
mich gerichteten Schreiben (vom 26. November 1893), in
welchem er mich ersuchte, der Akademie, die ihn zu ihrem
Mitgliede erwählte hatte, seinen Dank auszusprechen, dieser
Bescheidenheit den rührendsten Ausdruck gegeben. Ich

10*

148 Oe ff entliche Sitzung vom 28, März 1894,

kann es mir nicht versagen, in diesen seinem Andenken ge-
widmeten Zeilen seine Worte wiederzugeben; er schreibt:
,, Gleichzeitig aber bitte ich Sie auch, freundlichst der Ver-
mittler meines Dankes an die Akademie selbst sein zu wollen,
welche mir eine so grosse Freude bereitet hat und mir eine
Ehre erwiesen hat, die mir unendlich theuer ist. Mit ge-
rechtem Stolze erfüllt mich der Gedanke, nun in einen Kreis
aufgenommen zu sein und ihm zugerechnet zu werden,
welcher mir, wie ich mich wohl erinnere, schon während
meiner Studienzeit in München als eine hoch und unerreichbar
über mir schwebende Verkörperung idealen wissenschaftlichen
Strebens erschien. Mit Schmerz erfüllt es mich freilich auch,
dass ich nun in diesem Kreise nicht mehr diejenigen Männer
begrüssen kann, welche damals in engerem Sinne meine
Lehrer waren ; vor allen wünschte ich gar zu gern den von
mir hochverehrten v. Beetz noch als CoUegen die Hand
schütteln zu können, dessen einfache Gewissenhaftigkeit in
der Forschung und milde Freundlichkeit als Lehrer mir immer
als Vorbild vorgeschwebt hat. Doch dies liegt im natür-
lichen Lauf der menschlichen Dinge und auch so fühle ich
durch diese Aufnahme dankbar die Vorstellungen und Em-
pfindungen in mir aufleben, mit welchen es mir vergönnt
war, mich in München zuerst der reinen Wissenschaft zu-
zuwenden".

Für alle Zeiten wird man gedenken, dass Hertz es war,
der das neue grosse Gebiet der elektrischen Wellen und
Strahlen durch Experimente erschlossen hat, welche der Aus-
gangspunkt für heute noch ungeahnte weitere Erkenntnisse
sein werden.

Alexander Theodor v. Middendorff.

Der angesehene russische Naturforscher und Reisende
Alexander Theodor von MiddendorflF ist am 28. Januar 1894
auf seinem Gute zu Hellenorm in Livland in einem Alter

V. Voit: Nekrolog auf Alexander Theodor v. Middendorff. 149

von 78^/2 Jahren nach Vollendung seiner Lebensaufgabe
gestorben. In St. Petersburg geboren, studirte er an der
Universität Dorpat Medizin und erwarb sich daselbst den
Grad eines Doktors der Heilkunde. Seine Begabung sowie
auch die Neigung noch wenig bekannte Länder zu sehen
und deren Fauna und sonstige Eigenart kennen zu lernen,
führten ihn zu eingehenden naturwissenschaftlichen Studien,
welche er an den Universitäten zu Berlin, Erlangen, Wien
und Breslau eifrig oblag. Durch dieselben wohl vorbereitet,
wurde er nach der Rückkehr in sein Vaterland zum Adjunkten
des Professors für Zoologie an der Universität Kiew bestellt,
begann aber ein Jahr darauf im Alter von 25 Jahren seine
umfassenden Reisen, für welche er durch glückliche Eigen-
schaften des Körpers und Geistes in hohem Grade geeignet war.
Die erste Reise führte ihn mit der von Carl Ernst v. Baer
geleiteten Expedition an das weisse Meer und nach Lappland,
wo ihm die Aufgabe zufiel, die Vogelwelt des hohen Nordens
zu studieren. Dadurch wurde man in den Kreisen der kais.
russischen Akademie der Wissenschaften auf ihn aufmerksam
und erwählte ihn, nachdem er vorher zum ausserordentlichen
Professor der Zoologie in Kiew ernannt worden war, zum
Leiter der auf Veranlassung der Akademie ausgesandten grossen
Expedition in den äussersten Norden und Osten Sibiriens,
wobei er durch das Pamirland bis an den Amur vordrang. In
Folge der glücklichen Ergebnisse dieser kühnen und für die
Naturgeschichte überaus fruchtbaren Reise wurde er Adjunkt
für Zoologie an der Petersburger Akademie, dann ausser-
ordentliches und ordentliches Mitglied und später Sekretär
und Ehrenmitglied dieser Akademie, zu deren bekanntesten
Mitgliedern er zählte. Er hat darnach noch mehrere Reisen
gemacht; mit dem Grossfürsten Alexis Alexandrowitsch nach
der Krim und durch das Mittelraeer nach Teneriffa, Orotava
und den Cap Verdischen Inseln; dann mit dem Grossfürsten
Wladimir Alexandrowitsch in das mittlere und südliche

150 Oe/f entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Sibirien an den Altai bis zur chinesischen Grenze; mit dem
Grossfürsten Alexei nach dem Norden Russlands, nach dem
Weissen Meer, Nowaja Semlja und Island; hierauf noch
seine berühmte Reise in das Ferghana-Gebiet und endlich
eine letzte abermals in den Norden Russlands.

Die Resultate dieser Fahrten, welche er in grösseren
Werken beschrieb, waren für die Kenntniss Russlands, seine
geologischen, geographischen, ethnographischen und meteoro-
logischen Verhältnisse und für die Wissenschaft sehr nützlich.
Vor Allem wichtig sind die ornithologischen Ergebnisse der
Lappländer Reise; die Funde der Reise in den äussersten
Norden und Osten Sibiriens, bei deren Bearbeitung er die
zoologische Abtheilung übernommen hatte, welche eine wür-
dige Ergänzung zu den früheren Arbeiten von Pallas bildet;
die Beschreibung der Barobinzensteppe im asiatischen Russ-
land, die Untersuchung des Golfstroms ostwärts vom Nordkap
und seine Einblicke in das Ferghanathal im Süden von Tur-
kestan. Von besonderer Einsicht und kritischer Schärfe
zeugen ferner die Untersuchungen an Schädeln des gemeinen
Land baren als Beleuchtung der Streitfrage über die Arten
fossiler Landbären; die Beiträge zur Malacozoologia rossica
waren für die Kenntniss der Thierwelt des russischen Reiches
von Bedeutung; auch sind seine Angaben über die Wahr-
scheinlichkeit eines im Vergleich mit dem Meerwasser der
Jetztzeit höheren Gehaltes an Bittererde in dem Wasser
vieler Meere der Juraperiode, sowie seine Untersuchung über
die Temperaturen im Scherginschacht zu Jakutzk hervor-
zuheben.

Middendorff hat sich durch diese Arbeiten einen wohl-
verdienten Ruf als Naturforscher, Geograph und Ethnograph
gemacht.

V, Voit: Nekrolog auf Peter Josef van Beneden. 151

Peter Josef van Beneden,

Professor der Zoologie und vergleichenden Anatomie an der
Universität Löwen, eines der thätigsten Mitglieder der belgi-
schen Akademie und einer der bedeutendsten Naturforscher
seines Vaterlandes, ist am 8. Januar 1894 im hohen Alter
von 84 Jahren gestorben. Er hatte wie so viele andere
Naturforscher anfanglich Medizin studirt, interessirte sich
aber von früh an lebhaft für die Organisation der Thiere.
Sein Name wurde zuerst bekannt durch die wichtigen Studien
über die Fauna der belgischen Nordsee, wozu er sich aus
eigenen Mitteln in Ostende ein Laboratorium und ein Aquarium
eingerichtet hatte, als erste am Meere gelegene zoologische
Station in Europa. Seine grösste Leistung waren seine Unter-
suchungen über die Parasiten des Thierkörpers ; in seinem
grossen Werke über die Geschichte der Entwicklung der
innerlichen Würmer hat er die vielfachen Umgestaltungen
und die sonderbare Vermehrung der Eingeweidewürmer als
einer der ersten nachgewiesen und den feineren Bau, sowie
die Entwicklung, die Metamorphosen, die Fortpflanzung und
die ganze Lebensgeschichte dieser Thiere auf das Genaueste
beschrieben. Gleichzeitig mit unserem verstorbenen CoUegen
von Siebold, oder eigentlich schon vorher, hatte van Beneden
die entozootische Fauna der ozeanischen Fische, besonders
der Rochen und Haie, untersucht und gezeigt, dass die als
blosse Köpfe oder finnenartige Parasiten in verschiedenen
Organen vorkommenden Bandwurmköpfe (Tetrarhynchusköpfe)
aus wandernden Embryonen hervorgehen und sich dann in
dem Darmkanal von Fischen, welche dieselben mit den Wirthen
verschlungen haben, durch Gliederbildung in die geschlechts-
reifen Formen verwandeln. Dadurch lieferten van Beneden
und Siebold den Beweis für Steenstrup's Anschauung über
den Generationswechsel, nach welcher der Kopf des Band-
wurmes eine larvenartige Amme ohne Geschlechtstheile dar-

152 Oe ff entliche Sitzung vom 28, März 1894.

stellt, die Glieder aber die Geschlechtsthiere repräsentiren.
Es existirt somit in einem gewissen Stadium der Entwicklung
von den späteren Bandwürmern nur der selbständig lebende
sogenannte Kopf (Scolex), der allmählich unter günstigen
Verhältnissen an seinem hinteren Ende ein Glied nach dem
anderen hervortreibt. Die in den Organen abgelagerten
Blasenwürmer hatte Siebold für pathologische Gebilde ge-
halten, während van Beneden darthat, dass sie sich an die
Tetrarhynchusköpfe anschliessen und unreife Zustände der
Bandwürmer darstellen, die sich ebenfalls dann im Darm ge-
eigneter Thiere in Bandwürmer verwandeln.

Diese seine Untersuchungen haben die Annahme einer
Urzeugung, welche man bei den Eingeweidewürmern noch
am längsten festgehalten hatte, da man deren Entstehung
aus vorhandenen Eiern nicht nachzuweisen im Stande war,
erschüttert und gestürzt. Die französische Akademie krönte
sein Werk mit dem grossen Staatspreise für Naturwissenschaft.

van Beneden stellte in einer bedeutsamen Arbeit den Unter-
schied zwischen Parasitismus und Commensalismus in der
Thierwelt auf; die bei dem Menschen und den Hausthieren
nicht vorkommenden Commensalen sind darnach nur schein-
bare Parasiten, Geschöpfe, die zwar ganz nach Parasitenart
auf grösseren Thieren leben und durch ihre Organisation
den Parasiten ähneln, aber doch keine Schmarotzer sind,
indem sie nicht von den Säften und Geweben ihres Trägers
sich nähren, sondern als Mitesser von den NahrungsstofiFen
desselben zehren.

In einer späteren Abhandlung beschrieb er die lebenden
und fossilen Walfische, zu welchem Zwecke er sich an
mehreren Expeditionen zum Fange dieser grossen Säuger be-
theiligte. Auch als Paläontologe hat er sich verdient ge-
macht, indem unter seiner Leitung die bei den Befestigungs-
arbeiten von Antwerpen ausgegrabenen fossilen Ueberreste
von Seethieren präparirt und aufgestellt wurden.

V, Voit: Nekrolog auf ÄlpJwnse de Candolle. 153

van Beneden gehört zu den Begründern der heutigen
vergleichenden Anatomie; er war einer der Ersten, der die
Zoologie aus den Fesseln einer bloss äusserlichen Beschreibung
der Arten befreien half.

Alphonse de Candolle.

Am 4. April 1893 ist zu Genf der berühmte Botaniker
Alphonse de Candolle^) aus dem Leben geschieden. Er hat
vor Allem das Verdienst die von seinem Vater Pyramus
de Candolle begonnenen grossen systematischen und pfianzen-
geographischen Unternehmungen in der erfolgreichsten Weise
fortgesetzt zu haben. Durch den Einfluss des Vaters, in
dessen Besitz sich umfassende Pflanzensammlungen und eine
werth volle Bibliothek befanden, wurde die Neigung zur
Botanik in ihm erweckt; aber nachdem er anfangs an der
Universität zu Genf Vorlesungen über Philosophie, beschrei-
bende Naturwissenschaften und Physik gehört hatte, ver-
anlasste ihn in den damaligen kritischen Zeiten der Vater
vorerst die Jurisprudenz zu absolviren und den juristischen
Doktorgrad zu erwerben, um sich eine sichere Lebensstellung
zu verschafifen. Erst darnach gab er sich ausschliesslich
den botanischen Studien unter der Leitung seines Vaters hin.
Bald vermochte er den Letzteren in dem akademischen Unter-
richte zu unterstützen, so dass er schon im Alter von 29 Jahren
als sein Nachfolger erwählt wurde, nachdem jener sich von
dem Lehramte zurückgezogen hatte, um ganz seinen wissen-
schaftlichen Unternehmungen sich widmen zu können. Nach
dem Tode des Vaters war er der Erbe des Herbariums, der
Bücher und der Aufzeichnungen desselben; er hatte aber
damit auch die Verpflichtung ererbt, dieselben im Sinne des
Verblichenen fortzuführen und für die Wissenschaft nutzbar
zu machen. Dies hat er nun auch in einer so freigebigen

1) Nach Mittheilungen von Herrn Collagen Ludwig Radlkofer.

•*

154 Oeffentliche Sitzung vorn 28. März 1894.

und uneigennützigen Weise gethan, wie es noch nie von
einem Botaniker geschehen war. Im Alter von 44 Jahren
wurde er zu seinem Schmerz durch politische Einflüsse ge-
nöthigt, seiner Professur und der Vorstandschaft des hotani-
schen Gartens zu Genf zu entsagen, was aber seinen wissen-
schaftlichen Arbeiten zu Gute kam, ja sie in ihrer Aus-
dehnung erst ermöglichte.

Es sind vorzüglich zwei Werke, durch welche Alphonse
de Candolle sich schwerwiegende Verdienste um die Wissen-
schaft erworben hat, jedes für sich ausreichend, um dem
Manne die dauernde Dankbarkeit der Fachgenossen zu sichern
und ihm eine Stelle unter den ersten Förderern der Wissenschaft
zu gewinnen: der von seinem Vater im Jahre 1826 begonnene,
von A. de Candolle (von dem im Jahre 1844 erschienenen
VIII. Bande ab) fortgesetzte und im Jahre 1873 (mit dem
XVII. resp. XX. Bande für die Dicotyledonen) abgeschlossene
Prodroraus systeraatis naturalis regni vegetabilis (gefolgt von
den Suites au Prodromus für die Monocotyledonen etc.) ; ferner
dessen Geographie botanique raisonnee (1855).

Durch das erstere, grosse allgemeine Pflanzenwerk, von
welchem er selbst wesentliche Theile verfasste, und zu dessen
Durchführung es trotz des Zaubers, den der Name de Candolle
auf die Systematiker ausübte, einer zielbewussten Ausdauer
und Energie bedurfte, wie sie eben A. de Candolle aus-
zeichnete, hat derselbe der Gewächskunde ein tieferes Funda-
ment geschafi^en, welchem er die grösstmögliche Festigkeit
und Nutzbarkeit dadurch zu geben verstand, dass er ihm ein
jederzeit erneuter Berathung zugängliches Archiv, eine Samm-
lung naturhistorischer Dokumente zur Seite stellte, indem er in
dem Herbarium Prodromi soviel nur immer möglich und in einem
Maasse, wie es bis dahin noch nirgends geschehen war, ein
reiches Material für die Bearbeitung der einzelnen Familien
zu vereinigen und nach der Bearbeitung für die Dauer nieder-
zulegen bestrebt war. Es bedurfte in einer Zeit, in welcher

V. Voit: Nekrolog auf Älphonse de Candolle. 155

die systematische Arbeit durch die in den Vordergrund ge-
tretene anatomische und entwicklungsgeschichtliche Richtung
eine wesentliche Einbusse erlitten hatte und noch fern von
dem jetzt durch die Anwendung eben dieser Richtungen auf
sie gewonnenen Aufschwünge war, der ganzen Hingebung
eines für die ererbte Aufgabe begeisterten Mannes, wie
A. de Candolle, um dieselbe zu entsprechendem Ende zu
führen. Nach dem richtigen, in seiner „Phytographie** 1883
gemachten Ausspruche A. de Candolle's selbst, dass die
systematisch-descriptiven Werke am längsten ihren Werth
behalten, mag man getrost den Prodromus als das wichtigste
Werk de Candolle's betrachten, wenn er auch nicht lediglich,
wie seine Pflanzengeographie, ihm selbst seinen Inhalt ver-
dankt. Mit demselben hängt auch A. de CandoUe's verdienstvolle
Arbeit bezüglich der gesetzmässigen Regelung der botanischen
Nomenclatur (unter Sanctionirung durch den internationalen
botanischen Congress zu Paris im Jahre 1867) zusammen.
Durch das zweite, durch Alexander von Humboldt's
Schriften über die Verbreitung der Pflanzen sowie durch die
Arbeiten seines Vaters angeregte Werk, die Geographie
botanique, erscheint A. de Candolle gleichsam als der Schöpfer
der pflanzengeographischen Disziplin, insoferne sich dieselbe
die Erforschung der ursächlichen Momente für die gegen-
wärtige Vertheilung der Pflanzenwelt auf der Erdoberfläche
zum Ziele setzt. Um das „Rerum cognoscere causas**, wie
er direkt hervorhob, handelte es sich ihm dabei, und nicht
bloss, was bis dahin im Wesentlichen die Pflanzengeographie
ausmachte, um die Registrirung und Schilderung der that-
sächlichen Verhältnisse in der Vertheilung der Pflanzen.
Er wendete namentlich der Abhängigkeit der Pflanzenver-
theilung von dem Einflüsse der Wärme und des Lichtes sein
Augenmerk zu und nahm zugleich entsprechende Rücksicht
auf die damals bereits bekannt gewordenen geologischen Be-
funde, jedoch nicht ohne entsprechende Vorsicht bei ihrer

156 Oeff entliche Sitzung vom 28. März 1894.

Verwerthung zu üben und zu verlangen. Mit besonderer
Vorliebe ging er der Vertheilung und dem Ursprünge der
Kulturpflanzen nach, über welche er noch in seinem 77. Jahre
(1883) eine besondere, in den weitesten Kreisen geschätzte
Arbeit (Origine des plantes cultivees) lieferte, welche ebenso
seinen unermüdlichen Fleiss wie seinen kritischen Sinn her-
vortreten lässt.

Eine besonders originelle Schrift ist seine: Histoire des
sciences et des savants depuis deux siecles, suivies d'autres
etudes sur des sujets scientifiques, en particulier sur la selection
dans l'espece humaine (1873), in der er in geistreicher Weise
die Leistungen der Gelehrten aus ihren Eigenschaften abzu-
leiten suchte.

Die Werke de CandoUe's sind auf eine durch einen
erstaunlichen Fleiss und eine musterhafte Genauigkeit und
Treue der Untersuchung gewonnene umfassende Erfahrung ge-
gründet: sie werden daher einen für alle Zeiten bleibenden
Werth in der botanischen Wissenschaft besitzen.

Arcangelo Scacchi^)

geboren den 9. Februar 1810 in Gravina (Bari) auf Sizilien,
Senator des Königreichs Italien, Professor der Mineralogie
an der Universität und Direktor des mineralogischen Museums
zu Neapel, seit 1867 auswärtiges Mitglied unserer Akademie,
starb am 11. Oktober 1893 in Neapel, wo er mehr als
50 Jahre hindurch gewirkt hatte.

Am meisten bekannt ist Scacchi wohl durch seine Ar-
beiten über den Vesuv. Seit 1842 widmete er seine Zeit
dem Studium der Eruptionen dieses Vulkans und der Produkte
desselben, und ihm verdanken wir wesentlich die Kenntniss
der grossen Mannigfaltigkeit von Mineralien, welche sich
theils als sublimative Bildungen auf den Laven des Kraters,

1) Nach Mittheilungen von Herrn CoUegen Paul Groth.

V. Voit: Nekrolog auf Ärcangelo Scacchi. 157

theils in den zahlreichen Auswürflingen der Somma, hier
meist metamorphischer Entstehung, finden. Nicht nur von
den früher bereits bekannten Mineralien lieferte er ein-
gehendere Untersuchungen, welche, wie die berühmte Arbeit
über die Humitgruppe, die Grundlage jedes weiteren Studiums
derselben geworden sind, sondern auch die Entdeckung zahl-
reicher neuer Mineralien, zum Theil noch gar nicht bekannter
chemischer Verbindungen, war das Ergebniss seiner Vesuv-
studien, welche besonders bei den sehr vergänglichen Subli-
mationsprodukten mit grossen Schwierigkeiten verbunden
waren. Trotzdem war er stets darauf bedacht, jene in
solchen Mengen zu sammeln, dass sie nicht nur zu seinen
Untersuchungen und zur Bereicherung des von ihm geleiteten
Museums dienen konnten, sondern ihn auch in den Stand
setzten, seinen Fachgenossen in reichlichem Maasse davon
mitzutheilen. Dies that Scacchi nun in einer selten liberalen
Weise und ermöglichte dadurch auch eine Reihe wissen-
schaftlicher Arbeiten Anderer über Vesuvmineralien, ebenso
wie er gern fremde Sammlungen durch Abgabe von Mineralien
unterstützte. So verdankt auch die hiesige Sammlung, an
älteren Vorkommnissen des Vesuv wohl eine der reichsten
ausserhalb Italiens, ihm wesentliche Vervollständigung durch
seltene neuere Vorkommen. In chemisch-geologischer Be-
ziehung nicht minder wichtig, als seine Studien am Vesuv,
war seine Untersuchung der fluorh altigen Auswürflinge der
bis dahin unbeachteten kleinen Vulkane, welche die Tuffe
von Samo und Nocera in der Campagna hervorgebracht
haben, weil diese über Fumarolenwirkungen belehrten, welche
eine merkwürdige Aehnlichkeit ihrer chemischen Produkte
mit gewissen, in den ältesten massigen Gesteinen, besonders
den Graniten, vorkommenden Mineralbildungen zeigen.

Neben diesen mineralogischen und geologischen Studien
beschäftigten Scacchi zahlreiche und umfangreiche Arbeiten
auf dem Gebiete der chemischen Krystallographie. Seine

158 Oeff entliehe Sitzung vom 28, März 1894.

mit höchster Sorgfalt angestellten Beobachtungen über die
Schwankungen der Flächenwinkel der Krystalle und die Ver-
schiedenheiten der physikalischen und krystallographischen
Eigenschaften chemisch übereinstimmender Körper führten
ihn auf theoretische Vorstellungen, welche er in seinen
Publikationen über „Polyedrie" und »Polysymmetrie* nieder-
legte. Wenn diese Vorstellungen auch heute nicht mehr
als anerkannte gelten können, so behalten doch seine Be-
obachtungen selbst stets hohen Werth in Folge der geradezu
mustergiltigen Sorgfalt, mit welcher dieselben angestellt und
in Wort und Bild wiedergegeben sind, so dass es möglich
ist, sie in ganzem Umfange als thatsächliche Grundlagen der
inzwischen aus den Fortschritten der Wissenschaft sich er-
gebenden Anschauungen zu benutzen. Namentlich enthalten
seine Arbeiten über die rechts- und linksweinsauren Salze
ein hochinteressantes und bisher noch viel zu wenig berück-
sichtigtes Material von Beobachtungen über gewisse merk-
würdige Hemiedrieverhältnisse , welche erst in neuester Zeit
als theoretisch möglich anerkannt, von ihm aber schon vor
Jahrzehuten richtig beobachtet und beschrieben worden waren,
so dass diese Arbeiten in nicht geringerem Grade, als die
zuerst erwähnten, für alle Zeiten eine grosse Bedeutung für
die Entwicklung der Krystallographie behalten werden.

Scacchi war einer der angesehensten Gelehrten Italiens;
sein Name wird für immer mit dem des Vesuv's verknüpft
bleiben.

159

Sitzung vom 5. Mai 1894.

1. Herr N. Rüdinger hält unter Vorzeigung von ana-
tomischen Präparaten einen Vortrag: »über die Gehirne
verschiedener Hunderacen**.

2. Herr Hugo Seeliger macht eine Mittheilung : ,Max-
well's und Hirn's Untersuchungen über die Consti-
tution des Saturnringes**.

3. Herr E. v. Lommel legt eine Arbeit der Herren
L. Graetz und L. Fomm: »über normale und anomale
Dispersion elektrischer Wellen" vor.

4. Herr Ludwig Boltzmann bespricht drei Abhandlungen

a) von dem Vortragenden: »über den Beweis des
Maxwell'schenGeschwindigkeitsverthei-
lungsgesetzes unter Gasmolekülen**;

b) von dem Vortragenden : »zur Integration der Dif-
fusionsgleichung bei variabeln Diffusions-
coefficienten** ;

c) von Prof. A. Wassmuth in Graz: »über die An-
wendung des Prinzips des kleinsten Zwangs
auf die Elektrodynamik**.

5. Herr W. v. Gümbel überreicht eine Abhandlung des
auswärtigen Mitgliedes F. v. Sandberger in Würzburg:
„über die Erzlagerstätte von Goldkronach bei Bern-
eck im Fichtelgebirge**.

161

Maxwell's und Him's üntersnchungen über die
Constitution des Satnrnringes.

Von H. Seeliger.

(Eingelaufen 5. Mai.)

Bei verschiedenen Gelegenheiten habe ich darauf auf-
merksam gemacht, dass ein Theil der Untersuchungen Max-
well's^) über den Saturnring keineswegs einwandfrei ist und
dass sich gegen die Richtigkeit der von ihm angewandten
Integrationsmethode begründete Zweifel vorbringen lassen.
Ich möchte mir erlauben im Folgenden auf diesen Gegen-
stand zurückzukommen, hierbei aber auch auf die von Hirn*)
veröflFentlichten Untersuchungen, die wenig bekannt zu sein
scheinen, in Kürze eingehen. Wie schon die ganz verschie-
denen Wege, welche beide Forscher gehen, klar zeigen, ist
die Hirn'sche Abhandlung ohne Kenntniss der mehr als
16 Jahre früher ausgearbeiteten Untersuchung von Maxwell
entstanden. Es wird dies im Uebrigen noch besonders in
einem von Hirn an Moigno gerichteten Briefe hervorgehoben,
welcher der Abhandlung als Anhang beigegeben ist.

1) On the Stabilitj of the motion of Saturn's Ring. An Essay,
which obtained the Adams Prize for the year 1856 in the üniversity
of Cambridge.

2) Memoire sur les conditions d'^quilibre et sur la nature pro-
bable des anneaux de Saturne , präsente le 16 Septembre 1872 ä
TAcademie des Sciences.

1894. Math.-ph7B. Gl. 2. 11

162 Sitzung der math,-phys. Classe vom 5. Mai 1894,

Was die MaxweH'sche UntersuchuDg betriflFt, so werde
ich mich hier im Wesentlichen nur mit seiner Theorie der
Bewegung eines festen Ringes beschäftigen. Die Maxwell-
sche Arbeit enthält bekanntlich noch sehr viel mehr und
darunter sehr interessante Dinge, freilich nicht alles in wün-
schenswerther oder auch nur erforderlicher Strenge. Hierauf
zurückzukommen, muss ich mir für eine spätere Gelegenheit
vorbehalten.

Zunächst möchte ich aber an die von Laplace in der
Mecanique Celeste gegebenen Entwicklungen anknüpfen und
einige Bemerkungen anschliessen, da hierdurch die Sachlage,
wie sie die Annahme einer festen Constitution der Saturn-
ringe schafft, nicht schwieriger zu klären sein dürfte, als
durch die viel complicirteren aber nicht strengen Unter-
suchungen von Maxwell oder die Bemerkungen von Hirn.

Es seien ij und 8 die Gesammtmasse des Ringes und des
Saturn und mit denselben Buchstaben mögen die beiden
Schwerpunkte bezeichnet werden.

Es sei ferner r die Entfernung B 8 j d- der Winkel,
den B 8 mit einer festen durch B gehenden Richtung bildet,
cp der Winkel, den B 8 mit einer durch B gehenden mit
dem Ringe fest verbundenen Richtung bildet, dm ein Massen-
element des Ringes und ^, r seine Entfernungen von B
bezw. von 8^

Setzt man dann qp + ^==V' ^^^^ ausserdem das Potential

wo k die Anziehungsconstante ist, so werden die zuerst von
Maxwell aufgestellten Differentialgleichungen für die Bewe-
gung von B gegen /S, sofern die Bewegung als in der Ring-
ebene vor sich gehend betrachtet wird :

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes. 163

d / ,dii^\ 2J + Ä ar

(-H)-

(1)

Es werde nun der von Laplace betrachtete Fall eines
homogenen unendlich dünnen Kreisringes betrachtet. Hier
ist V unabhängig von qp und demzufolge, wenn y eine Con-
stante bedeutet:

t^ \dt)

dt^ \dt) B dr

Führt man rechtwinkelige Coordinaten a? = r cos ^,
^==rsin'^ ein, so kann man schreiben:

d^x^B + SdV ^
dfi B dr' r

dt^ B dr r

S beschreibt also um das Centrum des Kreisringes eine

Centralbewegung.

dY
Nun lässt sich leicht zeigen, dass ^— stets positiv ist,

woraus folgt, dass 8 vom Centrum des Kreises abgestossen
wird. Die Bewegung ist also instabil und ein Zusammen-
stoss des Ringes mit dem Saturnkörper unausbleiblich. Es
soll hier gezeigt werden, in wie hohem Grade der Zustand,
wenn S genau im Centrum des Kreises sich befindet, instabil
ist und wie eine minimale Verschiebung ausreicht, um das
Auffallen des Ringes auf den Saturn in kurzer Zeit herbei-
zuführen. Erhält 8 eine sehr kleine Geschwindigkeit c vom

11*

164 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894,

Kreismittelpunkt fort, so wird es sich oflFenbar in gerader
Linie dem Ringe nähern. Man hat dann

d^r_R-]-S dV
d(^~ R ' dr

und hieraus

WO Vq der Werth von F für r = ist. Für V ergiebt sich
sofort, wenn a der Ringradius ist:

F==

2jr

2 7t J -j/^a _|_ ^a _ 2 a r cos 1//

Mit Hülfe der Transformation

sin \p

= sm w

T T^

1 — 2 — cos i/^ + -r

kann man für alle Rechnungen viel bequemer schreiben:

^_2P

Man hat also jetzt

2PJ? r du

IZ-Ct)""

sin* w

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes, 165

Entwickelt man noch Potenzen von — und setzt zur Ab-

kürzung :

x= —
a

,_,+(i)'...+(iii)v+...

2a
so wird einfacli

adx

Yc^ + l^QX^

Um die Zeit t zu berechnen, welche verfliesst vom Anfange
der Bewegung bis zum Zusammenstosse der Saturnoberääche
mit dem Ringe, hat man:

.«1
. dx

Yc^ + k^QX^

wobei x^ den Endwerth von x bedeutet.

Das Integral kann unschwer mit beliebiger Annäherung
berechnet werden. Ich begnüge mich, seinen Werth zwischen
zwei genügend nahe Grenzen einzuschliessen. Man sieht
sofort, dass

Jdx , I dx

Yc^-Yl^x" J Yo^'^rKx^

wobei

106 Sitzung der malh.-phys. Classe vom 5. Mai 1894,

Mau hat demzufolse :

^ >/

± log r ^i^. + V'c' + Va;,» I

Aj L C J

Der Saturnring könnte nach Ansicht von Laplace aus
einer sehr grossen Anzahl unendlich dünner Ringe, welche
aber inhomogen sind, bestehen. Der Augenschein lehrt aber,
dass der Saturnring, als Ganzes aufgefasst, den Eindruck einer
im hohen Grade homogenen Massen-Anordnung in periphe-
rischer Richtung macht und man wird die Bewegung von 8
gegen das gemeinsame Centrum dieser Ringe jedenfalls nahezu
erhalten, wenn man den ganzen Saturnring als eine breite
aber unendlich dünne Scheibe ansieht. Bezeichnet dann a^
und «1 den Radius der inneren bezw. der äusseren Begren-
zung, a die Entfernung eines Ringelementes vom Ringcentrum,
d die homogene Dichtigkeit, so ist jetzt zu setzen:

r cosi//

Benutzt man wieder die oben angewandte Transformation,
und führt die Integration in Bezug auf a aus, so ergiebt sich :

Ci / — ^' — Ci r — v^ —

ö^i I 1/ 1 ^ sin'^ u du — %\ 1/ 1 ^ sin* udu

Analog dem früheren wird man zur Abkürzung setzen

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes, 167

V 4 / 3 Oß a,

«0 + «l

Hierdurch erhält man

und die Zeit ^ vom Anfange der Bewegung bis zum Zu-
sammenstosse der inneren Ringbegrenzung mit dem Saturn-
körper wird:

t =-= Yuq aj j

Es könnte ^ nun wieder innerhalb gewisser Grenzen einge-
schlossen werden. Für die folgende Abschätzung genügt es
aber vollkommen zu setzen :

In der m. Entfernung 9.539 erscheinen die Grössen
a^, Oj und der Radius des Saturn unter den scheinbaren
Winkeln 19". 75, 13''. 75, 8". 65. Es ist hierbei nur der helle
Ring in Betracht gezogen, also der Florring ganz unberück-
sichtigt gelassen worden, wodurch natürlich t zu gross wird.
In den gewöhnlichen astronomischen Einheiten ausgedrückt,
ergiebt sich so :

logÄ =7.8684—10
loga;,= 9.4906 — 10

und hiermit:

, = p.0.87] log ..t { E« + y r+Tip }

168 Sitzung der math.-phys. Classe vom 5, Mai 1894.

t erhält man also in Tagen. Die in eckige Klammern ge-
setzten Zahlen bedeuten Brigg. Logarithmen, deren zuge-
hörige Zahlen zu nehmen sind. Da es sich in den folgenden
Zahlen nur um äusserst kleine c handelt, so wird genügend
genau :

. = [9.3759] log {tZ:^^^^}

So findet man beispielsweise für
1

— — 4 Millionen
c

/—I.Ol Tag

40000 Millionen

1.96

4 Billionen

2.44

Diesen 3 Anfangsgeschwindigkeiten entsprechen in der Zeit-
secunde die Geschwindigkeiten von 420, 0.042, 0.00042 mm.
Es ergiebt sich, dass also selbst bei einer so überaus kleinen
Anfangsgeschwindigkeit wie 0.00042 mm pro Secunde schon
nach 2^/2 Tagen der innere helle Ringrand mit der Ober-
fläche des Saturnkörpers zusammenstossen wird. In so hohem
Grade instabil ist also der Anfangszustand.

Ich gehe nunmehr zur Integration der Gleichungen (1)
über nach der von Maxwell angewandten Methode. Man
kann aber gleich von Anfang an die Rechnungen sehr we-
sentlich vereinfachen und die obigen 3 Gleichungen auf zwei
zurückführen, wodurch eine wesentlich kürzere Darstellung
sich gewinnen lässt. Setzt man zur Abkürzung

A =

B + S

so folgt aus (1) sofort

^ dt^"^ dt *"

(3)

Seeliger: üeher die Constitution des Saturnringes, 169

wo c eine Tntegrationsconstante ist. und da weiter xp =
9 4" ^ ^^^1 so hat man

d x^ dt

Hierdurch werden die zwei letzten Gleichungen (1):

Die Integration dieser Dififerentialgleichungen ist selbst
für sehr einfache Formen von V nicht durchführbar. Es
soll nun die von Maxwell eingeführte Voraussetzung

gemacht werden, dass die Geschwindigkeiten -=- und -r—

stets sehr kleine Grössen sind, deren Producte und zweite
Potenzen fortgelassen werden können. Geschieht dies, so
ergiebt sich

dV 2Äcr dg) _ r c^ . •R + ^ ^^
dt^'^ {Ä + r^f~dt "" (^ + r^f "^ B 'dr

(Py 2c dr_ {A'^r^) B + 8 W

dt^ r(A + r^)dt^ Ar^ ' R ' d cp

Es werde weiter, ebenfalls mit Maxwell, die Annahme
gemacht, dass r nur sehr wenig von einer constanten Grösse
u abweicht, dass also in

r = u -\- Q

170 Sitzung der math.-phys. Classe vom 5, Mai 1894,

Q stets eine kleine Grösse ist, deren höhere Potenzen fort-
gelassen werden können, und dass dasselbe von cp gilt,
durch passende Wahl der Anfangsrichtung aber nur dann
erreicht werden kann, wenn sich die Bewegung innerhalb eines

dV
sehr kleinen Bezirkes abspielt, -r— ist in den folgenden

Anwendungen schon von der Ordnung der q und g> klein
und demzufolge vereinfachen sich die obigen DiflFerential-
gleichungen und nehmen folgende Form an :

d^Q 2Acii d(p uc^

dt^ ' {Ä + u^f dt (A+ti^)
d^cp 2c dq E+S A + u^dV

di^ ii{A-^u^)dt R Au^ dq)

Man sieht indessen, dass diese Gleichungen, selbst wenn
alle anderen Voraussetzungen zugelassen werden, gewiss nicht
mehr der Wahrheit nahekommen, wenn A m* sehr klein ist.
Diese Fälle müssen also von vornherein ausgeschlossen werden.
Sobald also A oder u klein werden, gelten die Maxwell-
schen Gleichungen — denn im Wesen der Sache stimmen diese
mit den obigen überein — gewiss nicht mehr. Die obigen
Gleichungen sind nun stets, da man sich V in eine Potenz-
reihe nach den Grössen q und cp entwickelt denken kann
und nur die linearen Glieder mitzunehmen braucht, ohne im
Allgemeinen neue Ungenauigkeiten einzuführen, lineare Dif-
ferentialgleichungen mit Constanten Coefficienten und ihre
Integration gelingt in bekannter Weise durch Exponential-
functionen. Allgemeinere Fälle durchzuführen macht dem-
nach keine Schwierigkeiten. Es soll hier nur der von Max-
well ganz durchgerechnete Fall vorgenommen werden, dass
ein unendlich dünner Kreisring mit dem Radius a vorliegt,
welcher in einem Punkte mit der Masse m beschwert ist.

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes, 171

Als die mit dem Ringe fest verbundene Richtung wählen
wir dann die Gerade, welche durch m und den Ringmittel-
punkt geht. Steht S genau im letzteren , so ist r = w,
g> = 0. Der Einfachheit wegen werde noch die Masse des
Ringes R gegen S vernachlässigt. Dann findet sich leicht,

wenn zur Abkürzung ^ = — gesetzt wird

A = a^{\ — fi*) ; w* = a* /u* ; ^ 4- w* = a*

Das Potential V ergiebt sich mit Rücksicht auf die
oben ausgeführte Transformation, wenn noch a die Entfer-
nung zwischen S und dem Ringcentrum, also

a* = r^ -|- w* — 2 w r cos g)

ist

^ 2{R — m) Ic^ r ^ du

J 1/ 1 — 7i sin* u

r 1/ 1 — -j^

Vr^ + (a — m)* + 2 (a — u) r cos q>

Entwickelt man nach Potenzen von Q=r — u und q)
und nimmt nur die ersten Potenzen mit, so ergiebt sich leicht:

y« 5~ = — i + n — 5 (J? + 3 m)
1 aF 3 »» „ , •

und hiermit werden die Bewegungsgleichungen:

d^Q 2c fi(l — (4.*) d(p

d <* o» |W ' d < ~ 2 * Ä ■ a» ■ |u (1 + /O ^

172 Sitzung der math.-phys, Classe vom 5, Mai 1894,

Die Tntegrations-Constante c ist vollkommen willkürlich
und die weitere Rechnung führt nur dann auf das Maxwell-
sche Resultat, wenn noch eine weitere Annahme gemacht
wird, nämlich die, dass für ß = 0, g) = eine Gleichgewichts-
lage überhaupt stattfindet. Diese Annahme ist aber keines-
wegs selbstverständlich. Diese an sich willkürliche Annahme
spricht sich in der Gleichung

c^^k^Sa (5)

aus. In diesem Falle nun werden die obigen Differential-
gleichungen überaus einfach. Setzt man zur Abkürzung

^=^{1+1"-^"*}

_3 c_

a* 1 + AI

so wird:

d^Q dq>

d^ fp , do

Zur Integration macht man bekanntlich den Ansatz:

vi vi

dann muss sein:

fiv^ — p* Xv = y fjL
Die Elimination von Ä und ii ergiebt sofort:

^4 _ 1,8 (/j + y __ pp*) = — ßy (6)

Durch Auflösung dieser in v^ quadratischen Gleichung und
durch Ausrechnung der zu den Wurzelwerthen von v ge-
hörenden -- kann man leicht, wie bekannt, die allgemeinen

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes, 173

Lösungen der vorliegenden Differentialgleichungen erhalten.
Die Frage, welche hier vorliegt, ist aber, wann diese Lösungen
sich durch Sinus- und Cosinusfunctionen von t ausdrucken.
Dies tritt offenbar ein, wenn (6) für v^ reelle und negative
Werthe ergiebt. Die Auflösung von (6) giebt hierfür als noth-
wendige und hinreichende Bedingungen:

ßY>^.ß+Y —PP' <^ und {ß-\-r — PPy>^ßY
Die erste Bedingung heisst:

woraus folgt:

16 iu < 3 + VTÖS; d. h. iw < 0.8279
Die weitere Bedingung

2 2

ist für fi < 1 von selbst erfüllt. Die dritte Bedingung
schliesslich giebt:

4 .28 3 .52 , 64 ^32

was aussagt ^ > 0.8159.

Die angestellte Rechnung, welche mit dem MaxwelPschen

Resultate vollkommen übereinstimmt, zeigt also, dass fi = —

zwischen den Grenzen 0.8159 und 0.8279 liegen muss, damit
die Bewegung rein periodisch sei, in welchem Falle also S
immer in der Nähe vom Ringmittelpunkt bleibt, wenn dies
zu einer bestimmten Zeit der Fall war und die Geschwindig-
keiten zu derselben Zeit sehr klein waren. Dies gilt aber
nur, wenn die Gleichung (5) streng erfüllt ist. Ist dies
nicht der Fall, so finden sich andere Grenzwerthe für fi, und

174 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894.

man kann solche Werthe von c wählen, dass überhaupt
keine periodischen Lösungen mehr möglich sind. Ich gehe
auf diese Entwicklungen nicht näher ein, weil ich der
Meinung bin, dass die MaxwelPsche Integrationsmethode,
wenigstens in dieser Form, überhaupt nicht geeignet ist,
über die Stabilität der untersuchten Bewegung etwas aus-
zusagen. Mir scheint es unzulässig zu sein, in Diflferential-
gleichungen von der vorliegenden Form die Glieder höherer
Ordnung fortzulassen und aus der Thatsache, dass sich dann
eine rein periodische Lösung ergiebt, schliessen zu wollen,
dass dies auch bei strenger Integration der Fall sei. Die
Untersuchung der Stabilität eines Zustandes hat von der
Bedingung auszugehen, dass die Coordinaten und Geschwindig-
keiten für eine bestimmte Zeit unendlich wenig geändert
werden. Man hat also die Integrationsconstanten zu variiren.
Bei Maxwell kommen diese Constanten gar nicht vor, viel-
mehr werden die Veränderungen der Coordinaten als un-
endlich klein für alle Zeiten betrachtet und mit Hülfe der
Vernachlässigung der höheren Potenzen dieser Grössen nach-
gewiesen, wann eine periodische Bewegung mit sehr kleinen
Amplituden sich einstellt. Im Allgemeinen enthält dieses
Verfahren unzweifelhaft einen Zirkelschluss und ist unzulässig
und daran wird nichts geändert, wenn dasselbe auch in
speci eilen Fällen zu richtigen Resultaten zu fuhren geeignet
ist. Ein auf diesem Wege gefundenes Resultat kann, wenn
nicht die Zulässigkeit des Verfahrens zuerst in besonderen
Fällen nachgewiesen wird, eben nur zufallig richtig zu sein.
Die vorliegenden Diflferentialgleichungen 2. Ordnung
enthalten die unabhängige Variable t nicht explicite. Dass
aber auch in diesem Falle im Allgemeinen die MaxwelPsche
Schlussfolgerung nicht zulässig ist, kann mit Leichtigkeit an
beliebig vielen Beispielen gezeigt werden. Nehmen wir z. B.:

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes. 175

df' 4

und es werde vorausgesetzt, wie in den obigen Gleichungen,
dass sowohl x und y als auch die ersten Di£ferentialquotienten
nach t für ^ = sehr klein seien. Dann ergiebt die strenge
Integration :

y = asin(|< + |)

a* . . , . . ^. . a^

a; == — + a sin (3 ^ + /9) + — ^ cos (g ^ + 6)

a»

^ • sin (3 ^ + 6)

worin a, a, 6, j^ die 4 willkürlichen Integrationsconstanten sind
und die ersten beiden sehr klein sein müssen. Vernachlässigt
man aber in den Gleichungen y*, so wird:

d^ X ^ d^ y g*

also

x = a8in(qt'\' ß) «/ = a sin ( ^ ^ + 6 j

Die näherungsweise ausgeführte Integration giebt also
eine rein periodische Bewegung mit sehr kleinen Amplituden,
die strenge Darstellung dagegen enthält ein mit t multipli-
cirtes Glied. Wie sich die Sachlage bei dem MaxwelPschen
Problem über den Saturnring gestaltet, darüber ist vorläufig
gar nichts bekannt. Keineswegs aber kann man ohne näheren
Nachweis behaupten, dass dort die Fortlassung der höheren
Potenzen der Variablen die Form der Integralgleichungen
ungeändert lässt.

Danach wird man wohl zugeben müssen, dass das Max-
well'sche Resultat, in der vorliegenden Form wenigstens.

17G Sitzung der math.'phys. Classe vom 5. Mai 1894.

gänzlich unbegründet ist. Die vorliegende astronomische
Frage scheint mir aber hiervon ganz unabhängig zu sein.
Denn es ist sicher, dass die thatsächlichen Verhältnisse beim
Saturnring völlig verschieden sind von den Annahmen, auf
denen das MaxwelPsche Problem beruht. Der Saturnring
ist ein sehr dünnes aber breites Gebilde und der Augenschein
lehrt, dass dasselbe im Grossen und Ganzen in peripherischer
Richtung von homogener Dichtigkeit ist. Wenn man sich
den Ring auch vorstellen will als bestehend aus sehr vielen,
sehr dünnen und sehr inhomogenen Ringen, so werden sich
doch diese Ungleichformigkeiten in der Massenvertheilung
der einzelnen Ringe nahezu compensiren müssen, so dass man
sich offenbar weit mehr der Wahrheit nähert, wenn man
den ganzen Ring als homogen betrachtet, als wenn man
etwas anderes annimmt. Hierdurch entsteht aber, wie oben
auseinandergesetzt wurde, eine im hohen Grade instabile Be-
wegung und man wird diese mit viel mehr Recht als der
Natur entsprechend ansehen können, als etwa die Conse-
quenzen des Maxweirschen Problemes.

Him's Untersuchung der Frage, ob die Saturnringe als
fest anzunehmen seien, geht nach einer ganz anderen Richtung
als die Maxwell'sche Arbeit. Während letzterer versuchte die
Dauerhaftigkeit der Bewegung des Saturn um das Ring-
centrum zu untersuchen, beschäftigt sich Hirn mit den An-
sprüchen, welche man an die Festigkeit der Ringe zu machen
gezwungen ist, falls diese als fest angenommen werden. Hier-
bei scheint Hirn von der Meinung auszugehen, dass ein
nicht homogener Ring überhaupt einen stabilen Zustand
zulasse d. h. dass sich Saturn stets in der Nähe des Ring-
centrums aufhalten könne. Er stützt sich dabei auf Laplace,
der allerdings in der Mecanique Celeste seine Untersuchungen
über den Saturnring mit der Bemerkung schliesst: ,les divers
anneaux qui entourent le globe de Satume sont par consequent

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes, 177

des solides irregulaires d' une lageur inegales etc. ** . Diese Schluss-
folgerung ist aber durch die vorangehende Analyse keines-
wegs gerechtfertigt, denn Laplace hat nur die Bewegung
homogener Ringe untersucht. Deshalb entbehren die auf
Laplace's Meinung sich stützenden Bemerkungen Hirn's der
sicheren Grundlage und müssen als wenig beweiskräftig
angesehen werden. Jedoch enthält die Schrift Hirn 's viele
interessante Bemerkungen, weshalb ich auf eine kurze Analyse
derselben eingehe.

Ein unendlich dünner Kreisring mit dem Radius r, der
sich mit der Rotationsgeschwindigkeit o) um den in seinem
Mittelpunkt stehenden Saturn dreht, kann, wenn keine Cohäsion
zwischen den einzelnen Theilen stattfindet, nur bestehen,
wenn in jedem Punkte die Centrifugalkraft gleich der An-
ziehungskraft ist. Ist also wieder k die Anziehungsconstante,
S die Saturnmasse, so muss sein:

w»

Es werde nun ein inhomogener und zwar einseitig be-
lasteter unendlich dünner Kreisring betrachtet. Ein Massen-
element desselben sei dm. Der Schwerpunkt JR des Ringes
fällt dann nicht mit seinem Centrum C zusammen. Hirn
nimmt nun an, was eine durchaus willkürliche und unbe-
wiesene Voraussetzung ist, dass durch die Stellung des Saturn S
auf der Verbindungslinie G II ein stabiler Zustand gegeben
sei. Es müsste also, da die Masse JR gegen S zu vernach-
lässigen ist, JR um S rotiren und ebenso schnell um C.
Nennt man noch ^ den Winkel, den der durch dm gehende
Kreisradius r mit der Geraden BS bildet, so wird also bei
Voraussetzung eines stabilen Zustandes die Entfernung JRS=Q
constant bleiben, also:

dt dt^

1894. MfttlL-phyB. Gl. 2. 12

178 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894.

sein. Dies führt sofort auf die Bedingung

—^2 dm = 2 dtn cos O^Uo^r ^> = 0.

(7)

Hierin erstreckt sieh 2 auf die ganze Ringmasse. Nennt
man den positiven Theil der linken Seite der letzten Gleichung/*,
so halten sich also zwei Kräfte + f ^^^ — f das Gleich-
gewicht. Es ist f nichts anderes als die Zug- bezw. Druck-
kraft, welche bei dem bestehenden Zustand auftritt. In der
Hauptsache (mit allerdings nicht bedeutenden Abänderungen
in den Zahlen) kann man die auftretenden Fälle als durch
folgende typische Annahmen hergestellt ansehen.

Die ganze Ringmasse denke man sich in zwei Massen-
punkten Wq und 1»! vereinigt. In m^ alle dm, welche in
der obigen Summe positive, in m^ alle dm^ welche negative
Coefficienten haben. Man denke sich ferner m^ und m^ an
die Enden eines Durchmessers des Ringes gebracht, in welchem
Durchmesser sich auch S befindet. Die Enfernung S vom
Centrum des Ringes, also der Mitte der Geraden m^ m^, sei
in der Richtung nach w^ positiv gerechnet e. Die Gleichung
(7) wird jetzt

«0 ['«»Mr - e) - (^).] = «..[*-» (r + ^) - (,;^J

Setzt man A = — ^, so findet man hieraus:

»1,

/
1 1 /

k*S

A-(

r — e

X-

T — e

r-e 1/ r-e' ;i_!l±

Es ergiebt sich aus diesem Ausdrucke, dass der ange-
nommene Zustand unmöglich ist, wenn:

\r 4- ff

-f- ef r — c

Seeliger: lieber die Cofistitution des Saturnringes. 179

denn dann wird lo imaginär. Sonst aber wird die Kraft /*,
welche die feste als schwerelos betrachtete starre Verbindung
von iWq und Wj zu zerreissen oder zusammenzudrücken strebt,
sein :

f=m,[a^-ir-e)--—^y\

{r — e)\

Diese Kraft kann sehr bedeutend werden. Wenn man den
oben gefundenen Werth von lo einsetzt und die zweiten Po-
tenzen der als klein vorausgesetzten Grösse - vernachlässigt,

findet man leicht:

6 P S m^e

r» ;i — 1

Für die numerische Rechnung wird man die Intensität
der Schwere auf der Erdoberfläche g^ den Erdradius q und
die Erdmasse m einführen. Dann ist mk^ = gQ^ und:

.6 S /Q\i e

f=r=ri^o9-{-) -

Will man nun diese Formel auf den Saturnring an-
wenden, so wird, ausser den bereits erwähnten und als ziem-
lich willkürlich bezeichneten Voraussetzungen, noch eine
bestimmte Annahme über e gemacht werden müssen, da f
bei sehr kleinem e ebenfalls sehr klein wird. Hirn stützt
sich hierbei auf Beobachtungen von W. Struve, Harding u. s. f.,
wonach Saturn excentrisch im Ringe stehen soll. Aehnliche
Wahrnehmungen sind auch in neuerer Zeit gemacht worden,
entschieden ist indessen diese Frage noch keineswegs. Dass
eine excentrische Stellung des Saturn thatsächlich vorge-
kommen ist, wird man zwar zugeben müssen, über den
Betrag der Excentricität aber bestimmte Angaben zu machen,

ist bei den einander widerstreitenden Einzelresultaten vorder-

12*

180 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894,

hand noch nicht möglich. Wesentlich ist ferner für die
Anwendung der obigen Formel, dass Saturn die Rotation
des Ringes um sein Centrum mitmacht und immer auf einem
Radius des letzteren und zwar an derselben Stelle zu liegen
kommt. Dies durch die Beobachtungen gegenwärtig nach-
zuweisen dürfte nicht leicht sein, jedenfalls liegen dergleichen
Resultate nicht vor.

Hirn legt seiner Rechnung folgende Zahlen zu Grunde.
Drückt man die Strecken in lieues zu 4000 Metern aus, so
setzt er:

e = 200 r = 33454

wo die letztere Zahl dem äussersten hellen Ringrand ent-

spricht. Weiter wird angenommen — = 92.394. Dann wird

für A=10

f^m^gX 0.00084:

Schon für kleine Massen kommen bedeutende Drucke heraus.
Nimmt man z. B. an, dass Wq, welches ungefähr der Masse
des halben Ringes entspricht, die Masse einer Kubiklieue
Wasserstoff ist, so ergiebt sich f=b Millionen Kilogramm.
Unter solchen Drucken würde aber jedenfalls ein aus so
dünnem Stoffe bestehender Ring auseinanderbrechen müssen.
Wollte man aber die Festigkeit so gross annehmen, dass
diesen Drucken Widerstand geleistet werden könnte, so müsste
man noch die Bedingung der beinahe vollständigen Starrheit
hinzufügen. Denn sonst würden sehr bedeutende Verbie-
gungen auftreten müssen, von deren Qualität man sich leicht
Rechenschaft abgeben kann. Da aber die Beobachtungen
dergleichen nicht verrathen, so muss man wohl, will noian
nicht mit ganz abnormen und unbekannten Verhältnissen
rechnen, die Hypothese sehr dünner starrer Ringe aufgeben.

Es bliebe indessen noch übrig, den Saturnring als ein
oder mehrere sehr dünne Bänder von endlicher Breite auf-

Seeliger: Ueher die Constitution des Saturnringes, 181

zufassen. Ein solches kreisförmiges Band habe am inneren
bezw. am äusseren Rande die Radien r,- und r«. Jeder als
fest angenommene Theil des Bandes, welcher zwischen zwei
den unendlich kleinen Winkel d 6 mit einander bildenden
Radien liegt, wird mit den übrigen zusammen auch ohne
Cohäsion die vorgeschriebene Rotation ausführen, wenn

am\o)^ r ^ = 0.

Bezeichnet e die sehr kleine Dicke des Ringes und d die
gleichförmige Dichtigkeit, so ist

dm = e'd'r'dr'd6
und es müsste also sein:

w* r — \er ' dr=0.

e ist im Allgemeinen eine Function von r, die aber völlig
unbekannt ist. Hirn verfolgt ausführlicher zwei Annahmen:
1) Setzt man e = ^^ = constant, so ergiebt sich:

Es giebt einen mittleren Radius r„», wo der Centrifugal-
kraft genau durch die Anziehung das Gleichgewicht gehalten
wird. Hierfür ist

woraus sich ergiebt:

31og--

182 Sitzung der matK-phys. Claase vom 5, Mai 1894,

2) Man kann u. A. annehmen er = Const. e entspricht
dann der Ordinate einer gleichseitigen Hyperbel, deren Ab-
scisse r ist. Dann findet sich leicht:

Ti Ta (Ti + Ta)

und _ 3

= l/!i^

(n + ra)

Hirn setzt entsprechend der Begrenzung des inneren
Theiles des hellen Ringes, vom Florring bis zur Cassini'schen
Linie, in lieues zu 4000 Meter:

r, = 23670 r« = 30599

Dann ergiebt die erste Annahme rTO = 27134 und die zweite
2698G, also wie zu erwarten nahe übereinstimmende Werthe.

Offenbar überwiegt bei jenen Ringtheilen, für welche
r > n«, die Centrifugalkraft die Anziehung und für r <; n«
findet das Entgegengesetzte statt. Die auftretenden Zug-
kräfte werden also dahin streben bei r« eine Theilung des
Ringes herbeizuführen. Diese Zugkraft f wirkt längs der
Fläche von der Höhe e«, in welcher der mit dem Radius
Tm construirte Kreiscylinder die Ringmasse schneidet. Auf die
Flächeneinheit bezogen wird demgemäss f ausgedrückt durch:

oder

Sediger: lieber die Constitution des Saturnringes, 183

Führt man hierin wieder die beiden oben verfolgten
Annahmen durch nnd setzt zuerst e = e^^ so wird

^.-•{Hför -]-'<!

Durch Einfuhrung der Schwere g und mit den obigen

Zahlen ergiebt sich:

/•= 845911. d.^

Die analoge Rechnung für die zweite Annahme er=Const.
ergiebt:

und in Zahlen f= 859258 d- g-

Die angestellten Rechnungen zeigen jedenfalls, dass sehr
bedeutende Zugkräfte die Zertheiluug des ringförmigen Bandes
herbeizufuhren suchen, denen nur die Gohäsion der Masse
sich entgegensetzt. Indessen wirkt auch die Anziehung der
einzelnen Ringtheile auf einander in gleichem Sinne. Man
wird aber wohl von vom herein annehmen müssen, dass die
letztere bei der nicht bedeutenden Dichtigkeit der Ring-
materie nicht yiel an dem erlangten Resultate ändern wird.
Ich übei^ehe deshalb die von Hirn in dieser Richtung aus-
geführten Betrachtungen, zumal dieselben gegenwärtig voll-
kommener angestellt werden können , als dort geschehen.
Hirn findet, dass bei Berücksichtigung der Ringanziehung
der zuletzt angeführte Zahlenausdruck für f sich um-
wandelt in:

f= 859258 d-g — 0.57 (d • gf

Um eine genauere Vorstellung von der Grösse dieser Kräfte
zu erlangen, sei erwähnt, daas Buchenholz ein Körper ist, der
bei grösster Leichtigkeit die stärksten Drucke aushalten kann.
Hierfür ist d = 0.7 und damit wird /"= 598687600 kg pro
qm. Diese Belastung ist etwa 40 Mal so gross, als Buchen-
holz er&hrung8gemäs3 ertragen kann. Indessen ist offenbar

184 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894.

die Kraft f bedeutend kleiner, wenn die Breite des Ringes
abnimmt, und man kann sich die Frage vorlegen, wie breit
die einzelnen Hinge sein müssen, um bei gegebener Festig-
keit bestehen zu können. Die Rechnung ist leicht auszuführen,
wenn die Ringanziehung vernachlässigt wird. Für eine Materie
von der Beschafifenheit des Buchenholzes folgt dann, dass der
innere helle Ring mindestens aus 5 einzelnen Ringen bestehen
müsste. Ganz ähnliches gilt natürlich auch für den äusseren
Ring, so dass also mit der festen Constitution der Ringe die
Folgerung verknüpft ist, dass dieselben aus einer grösseren
Zahl schmaler Ringe bestehen müssen. Der Augenschein
und manche Beobachtungen, namentlich aus früherer Zeit,
widersprechen dem durchaus nicht, und es ist bekannt, dass La-
place etwas ganz ähnliches als durch die Beobachtungen bestä-
tigt angenommen und hierauf seine Rechnungen gegründet hat.

So interessant dieses Resultat von Hirn auch ist, so
ändert es doch nichts an der Unzulänglichkeit der Annahmen.
Der der Rechnung zu Grunde gelegte Zustand ist ein im
höchsten Grade instabiler, wie oben auseinandergesetzt, und
demzufolge ist die Untersuchung über die Unmöglichkeit
fester Ringe unnöthig, weil das System nur ganz kurze Zeit
bestehen kann. Es ist schon oben erwähnt worden, dass
auch einseitige Belastungen nichts an der Sachlage ändern
können, wenn man nicht das Aussehen der Saturnringe ganz
ignoriren will und so wird wohl immer das Hauptargument
gegen die Möglichkeit fester Ringe in den einfachen Rech-
nungen bestehen, welche am Anfange dieses Aufsatzes aus-
geführt worden sind.

Fragt man nun weiter nach der eigentlichen Constitution
der Ringe, nachdem der feste Aggregatzustand ausgeschlossen
ist, so drängt sich zunächst die Vermuthung auf, diese Ge-
bilde könnten flüssiger oder gasförmiger Natur sein. Um
die Mitte dieses Jahrhunderts hatte diese Hypothese an den
beiden amerikanischen Gelehrten W. C. Bond und Peirce

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes. 185

energische Verfechter gefunden, man wird sie aber trotzdem
nicht ernstlich in Betracht zu ziehen haben. Lange Zeit
und vereinzelt auch jetzt noch hat man die berühmten Ex-
perimente von Plateau über ringförmige Gebilde, die in rotiren-
den Flüssigkeiten auftreten, als einen Beweis für die Möglich-
keit solcher kosmischen Gebilde angesehen. Diese Versuche
veranschaulichen aber nur die Wirkung der Capillarität und
haben mit Gravitationswirkungen gar nichts zu schaffen.
Sie hängen also gar nicht mit den Gleichgewichtsfiguren
kosmischer Massen • zusammen , ganz abgesehen davon, dass
sie auch äusserlich den Verhältnissen beim Saturnring nicht
entsprechen. Denn hier liegt in der Mitte der Ringe von
sehr geringer Masse, die bedeutende Saturnmasse, welcher
Fall sich bei den genannten Figuren wohl kaum erzielen lässt.

Nachdem Laplace die Theorie der ringförmigen Gleich-
gewichtsfiguren zu untersuchen begonnen hatte, ist dieses
Problem ausführlich und streng von verschiedenen Seiten
behandelt worden. Die Hauptfrage, die aber bei einer Ver-
werthung der erlangten Resultate in der Astronomie von der
grössten Wichtigkeit ist, ob nämlich solche Figuren stabil
sind und nicht durch Hinzutritt kleiner Störungen von aussen
auseinanderfliessen , hat eine genügende Beantwortung bis
jetzt nicht gefunden, indessen ist kaum wahrscheinlich, dass
die erforderliche Stabilität vorhanden ist. Zu diesem Resultate
kommt auch Hirn auf einem interessanten Wege, auf welchem
ihm hier gefolgt werden soll.

Es werde angenommen, dass zu einer gewissen Zeit der
flüssige Ring wirklich bestehe, wenn Saturn genau in dessen
Centrum sich befindet. Dann wird der Ring mit gleich-
formiger Geschwindigkeit wie ein fester Körper um sein
Centrum rotiren und die einzelnen Theilchen werden keine
Verschiebung gegen einander erleiden. Wenn nun Saturn
sich aus irgend einer Ursache von dem Ringmittelpunkt ein
wenig entfernt, so werden die einzelnen Theilchen nicht

186 Sitzung der math.-phys. Clcisse vom 5, Mai 1894.

mehr gleichförmig rotiren können. Dort wo sie dem Saturn
näher stehen, werden sie sich schneller, dort wo sie von ihm
entfernter sind, werden sie sich langsamer bewegen müssen.
Man wird sich, weil die Anziehung des Ringes auf seine
einzelnen Theile gering ist gegenüber der Anziehung des
Saturn, ein näherungsweise richtiges Bild von der Be-
wegung bilden, wenn man annimmt, dass die einzelnen Theile
Ellipsen beschreiben, deren Brennpunkt im Saturn liegt.
Ist die Ringmaterie ein zusammendrückbares Oas, so werden
die einzelnen Theilchen in der Satumnähe, da sie sich hier
schneller bewegen, auseinanderrücken und in der Satumfeme
wird das Entgegengesetzte eintreten. Ist der Ring aus einer
unzusammendrückbaren Flüssigkeit gebildet, so werden sich
die einzelnen Theilchen im letzteren Punkte anhäufen un
der Ring wird hier breiter oder dicker werden müssen.
Dieses Spiel wiederholt sich bei jedem umlaufe, also alle
10 bis 14 Stunden. Infolge der Reibung zwischen den ein-
zelnen Theilchen wird beim Anhäufen oder Zusammendrängen
der Theilchen Wärme erzeugt werden, was aber in der Saturn-
feme stattfinden muss, während, wenigstens ist dies bei gas-
formiger Constitution sicher, in der Satumnähe eine Ab-
kühlung erfolgen wird. Infolge der Wärmeleitung, des
Stosses der einzelnen Theilchen gegeneinander etc., werden
nun, wie die Thermodynamik zeigt, sich die Wärmewirkungen
in der Satumfeme und -Nähe und auch in den dazwischen
liegenden Punkten nicht ausgleichen, vielmehr bleibt ein
Rest übrig, welcher eine Temperaturerhöhung der Ring-
masse hervorbringt. Dies kann aber nur auf Kosten der
Bewegungsenergie geschehen und es werden sich also die
Dimensionen des Ringes nach dem Saturn hin verkleinem.
Die Innenseite des Ringes wird sich demzufolge ziemlich
gleichmässig von allen Seiten, langsam dem Saturn nähern,
um sich schliesslich mit ihm zu vereinigen.

Auf Grund seiner Untersuchungen kommt Hirn zu dem

Seeliger: lieber die Constitution des Saturnringes, 187

Resultate, dass sich alle Schwierigkeiten und Unmöglichkeiten
heben, wenn man annimmt, der Saturnring bestehe aus ein-
zelnen discreten Massentheilchen oder er sei, kurz gesagt,
von staubförmiger Structur. Wie sich die mechanischen Ver-
hältnisse in einem solchen Systeme abwickeln, hat Hirn nicht
weiter untersucht und die kurzen Bemerkungen, die er in dieser
Richtung macht, werden voraussichtlich theil weise der Cor-
rectur bedürfen. Dagegen hat Maxwell diese Probleme in An-
griff zu nehmen versucht, ohne dass es ihm aber, wie ich glaube,
gelungen ist, zu einer einwurfsfreien Lösung zu gelangen.

Die Erscheinungen, welche ein staubförmiger Saturnring
darbietet, habe ich in zwei grösseren Arbeiten besprochen und
ich glaube dort den stricten Nachweis geliefert zu haben, dass
alle Erscheinungen, die zum Theil sehr complexer Natur
sind, nur durch die zu Grunde gelegte Annahme erklärt
werden können. Bei dem noch nicht gehörig entwickelten
Zustande der Dynamik des Saturnringes dürfte auf diesem
Wege die festeste Stütze gewonnen sein, die man bis jetzt
der Maxwell-Hirn 'sehen Annahme geben konnte.

Es ist interessant, dass die Forschung, nachdem der
Reihe nach alle nur denkbaren Annahmen über die Constitution
des Saturnringes discutirt und als wahrscheinlich hingestellt
worden sind, wieder jener Ansicht zuneigt, welche als eine der
ersten aufgestellt worden ist, um dann aber, wie es scheint,
völlig der Vergessenheit zu verfallen. Es ist von verschiedenen
Seiten bemerkt worden, dass Jacques Cassini (1677 — 1756)
bereits die Maxwell-Hirn'sche Ansicht ausgesprochen hat.
Die Wichtigkeit der Angelegenheit wird es wohl recht-
fertigen, wenn ihr etwas nachgegangen wird. Bei Ge-
legenheit der Veröffentlichung seiner Beobachtungen des
Saturn, namentlich des Verschwindens des Ringes im Jahre
1715 ^) spricht sich Cassini ganz deutlich aus. Pag. 47 sagt er:

1) Observations nouvelles aar Satume. M^moires de mathe-
matique et de pbysique, tir^s des registres de racad^mie royale des
Sciences de Tann^e 1715 pg. 41 ff.

188 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894,

„Cette apparence qui n'a point sa pareille dans les corps
Celestes, a doiine lieu de conjecturer que ce pouvait etre un
amas de satellites qui etaient dans le plan des autres et
faisaient leur revolution autour de cette planete, que leiir
grandeur est si petite qu'on ne peut pas les apercevoir
chacun separement, mais qu'ils sont en meme temps si pres
Tun de l'autre qu'on ne peut point distinguer les intervalles
qui sont entr'eux, ensorte qu'ils paraissent former un corps
continu'*.

Hieran werden Bemerkungen geknüpft über Schwierig-
keiten, die bei der Darstellung der Beobachtungen auftreten
sollen, in dieser Form aber wohl nicht existiren. Den Schluss
bildet (pg. 48) die Bemerkung:

„On peut donc supposer avec beaucoup de vraisemblance
que l'anneau de Saturne est forme d'une infinite de petites
Planetes fort pres Tune de l'autre, qui etant comprises dans
son Atmosphere, sont entraines par le raouvement qui
fait tourner Saturne autour de son centre et que dans cette
Atmosphere etc/

Hiernach nimmt also Cassini an, dass die discreten Theil-
chen, welche den Ring bilden, in der Atmosphäre des Saturn
sich befinden und mit dieser durch die Rotation des Saturn
herumgeführt werden. Das ist freilich ein Zusatz, welcher
die ganze Auffassung völlig verschiebt, und da Cassini diesen
Zusatz für ganz wesentlich hält, steht er doch auf wesentlich
anderem Boden als auf dem der Hypothese von Maxwell und
Hirn. Es erscheint demnach doch nicht so räthselhaft, dass
die Cassini'sche Ansicht nicht allgemeine Verbreitung ge-
funden hat.

Danach wird man, wie ich glaube, nicht gegen die
historische Gerechtigkeit Verstössen, wenn man die Erkenntniss,
dass die Saturnringe eine staubförmige Constitution haben,
an die Namen Maxwell und Hirn knüpft.

189

üeber normale und anomale Dispersion
elektrischer Wellen.

Von L. Graetz und L. Fomm.

{Eingelaufen 5. Mai.)

Vom Standpunkte der MaxwelPschen Theorie ist nicht
zu erwarten, dass die Dielektrizitätsconstante eines Körpers
eine durchaus constante Grösse sei. Denn da ihre Wurzel
der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der elektrischen Verschie-
bung umgekehrt proportional sein soll (bei gleicher magne-
tischer Inductionsconstante) und da wir aus den optischen
Messungen wissen, dass der Brechungsexponent mit der Wellen-
länge variirt, so ist von vorn herein zu schliessen, dass
sich die Dielektrizitätsconstante eines Körpers abhängig zeigt
von der Wellenlänge der elektrischen Bewegungen, durch
deren Hülfe sie gefunden wird. Ebensowenig ist aus der
MaxwelPschen Theorie mit Nothwendigkeit der (gewöhnlich
angeführte) Schluss zu ziehen, dass die Constante der Cauchy-
schen oder einer anderen Dispersionsformel (für normale Dis-
persion) der Wurzel aus der Dielektrizitätsconstante gleich
sein muss, ein Schluss, der ja auch durch die Erfahrung nur
in wenigen Fällen bestätigt wird. Vielmehr ist aus der That-
sache, dass die Dielektrizitätsconstante, in gewöhnlicher Weise
bestimmt, sich meistens viel grösser ergiebt, als das Quadrat des
auf unendlich lange Wellen reducirten Brechungsexponenten,
consequent nur zu schliessen, dass im Gebiet der langen
Wellen häufig Absorptionen und daraus folgende anomale

100 Sitzung der math.-phys, ClcLSse vom 5, Mai 1894.

Dispersionen vorkommen, welche den Gang der Dispersions-
curve wesentlich beeinflussen.

Von diesem Gesichtspunkte ausgehend, haben wir uns
die Frage gestellt, ob eine Abhängigkeit der Dielektrizitäts-
constante von der Wellenlänge der elektrischen Wellen
experimentell zu constatiren ist. Man weiss von einer
Reihe von Körpern, dass ihre Dielektrizitätsconstante, sta-
tisch gemessen, sich viel grösser ergiebt, als gemessen
durch Schwingungen, auch wenn diese nur die langsamen
Schwingungen eines Induktionsapparates sind. Man nahm
an, dass man sich dabei durch Abkürzung der Ladungs-
zeit dem wahren d. h. kleinsten Werth der Dielektrizitäts-
constante nähert. Nach der obigen Darlegung giebt es aber
gar keinen „wahren" Werth der Dielektrizitätsconstante,
vielmehr ist jeder durch einwurfsfreie Methoden sicher
bestimmte Werth der Dielektrizitätsconstante als der wahre
Werth für die zugehörige Wellenlänge anzusehen. Dass
durch die Abkürzung der Ladungszeit man sich dem soge-
nannten wahren d. h. kleinsten Werth der Dielektrizitäts-
constante nicht immer nähert, wird bewiesen durch die Ver-
suche von Lecher ^), welcher sogar bei raschen Hertz 'sehen
Schwingungen ein Anwachsen der Dielektrizitätsconstante
bei einigen Körpern constatirte, gegenüber den durch lang-
same Schwingungen bestimmten. Man wird vielmehr nach
der Ausdrucksweise der Optik sagen müssen, dass, wenn sich
die Dielektrizitätsconstante um so kleiner ergiebt, je grösser
die angewendete Wellenlänge ist, dass man es dann mit einem
Körper mit normaler Dispersion zu thun hat, dass dagegen,
wenn umgekehrt die Dielektrizitätsconstante mit wachsender
Wellenlänge selbst wächst, in dem hinter diesem Gebiet
liegenden Theil der Wellenlängen (nach kürzeren Wellen-
längen zu) anomale Dispersionen stattgefunden haben, und

1) Lecher Wied. Ann. 42 p. 142. 1891.

Graetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 191

dass endlich, wenn man mit den Wellenlängen in ein Gebiet
der anomalen Dispersion selbst kommt, die Dielektrizitätscon-
stanten mit abnehmender Wellenlänge zunehmen, dann bis zu
einem Minimum abnehmen und dann wieder zunehmen müssen.

Bei Körpern, wie Schwefel, Paraffin, Schellack, für
welche die gewöhnliche MaxwelPsche Beziehung gilt, ist
natürlich eine Abhängigkeit der Dielektrizitätsconstante von
der Wellenlänge, wie sie herstellbar ist, nicht zu erwarten.
Wohl aber konnte ein solcher Einfluss bei Körpern mit
grosser Dielektrizitätsconstante erwartet werden, da die
meisten bisher untersuchten Substanzen zu der zweiten der
oben erwähnten Klassen zu gehören scheinen. Wir sind
aber beim Beryll mit dem von uns benützten Intervall
der Wellenlängen gerade in ein Gebiet hineingekommen,
welches für die Dielektrizitätsconstante genau denselben Gang
zeigt, wie er bei anomaler Dispersion für den Brechungs-
exponenten in solchen Fällen bekannt ist.

Zu den Messungen benutzten wir die Erscheinung, welche
wir früher^) ausführlich dargelegt haben, dass dielektrische
Ellipsoide in einem von elektrischen Schwingungen durch-
zogenen homogenen Feld Drehungsbewegungen ausführen,
welche dem Quadrat der angewendeten elektrischen Kraft
proportional sind. Bei dieser Methode liess sich die Wellen-
länge der angewendeten Schwingungen leicht dadurch variiren,
dass wir eine Reihe von Leydener Flaschen von verschiedener
Capacität anwendeten. Die Entladungsfunken derselben zwi-
schen den Kugeln eines Mikrometers gaben uns Schwingungen,
deren Wellenlängen sich nach der Theorie wie die Wurzeln
der Capacitäten verhalten, wenn, wie es der Fall war, der
ganze übrige Stromkreis möglichst unverändert blieb. Ausser-
dem konnten wir sehr langsame Schwingungen mit derselben
Anordnung dadurch hervorbringen, dass wir die Kugeln des
Mikrometers so weit auseinanderzogen, dass keine Funken

1) Graetz und Fomm Sitzungsber. d. bayr. Akad. 23 p. 275. 1893.

192 Sitzung der math.-jfhys. Classe vom 5. Mai 1894.

übergingen. Dann folgten sich die Schwingungen nur in
der Periode, welche der Unterbrecher des Induktionsapparates
hatte, einige hundert in der Sekunde.

Die Anordnung war derartig, dass eine der Leydener
Flaschen mit den beiden sekundären Polen eines Induktions-
apparates verbunden und durch dessen Ströme geladen wurde.
Die Entladung geschah durch das Funkenmikrometer, von
dessen Kugeln aus zwei Drähte zu zwei parallel geschalteten
Kohlrausch'schen Condensatoren führten. Zwischen den Platten
derselben hingen an gefirnissten Glasstäbchen die zu unter-
suchenden Scheiben oder Stäbchen, die durch einen Tropfen
Schellack an den Stäbchen befestigt waren. Die Stäbchen
selbst hingen an einem Spiegel, dieser an einem feinen Metall-
faden, der an einer Ebonitfassung innerhalb einer Glas-
röhre aufgehängt war. Wenn der Spiegel sorgfältig den
Platten des Condensators parallel gestellt wird — was auf
optischem Wege jedesmal controUirt wurde — , wird die
ganze Aufhängung selbst von den Ladungen nicht be-
einflusst. Die Stäbchen und Scheiben wurden sorgfältig
so befestigt, dass sie genau unter 45^ gegen den Spiegel
und damit gegen die Condensatorplatten standen. In dem
einen der Condensatoren, den wir als Standard bezeichnen,
hing zunächst eine dünne Kreisscheibe aus Schwefel, deren
Ausschläge uns das Mass für die vorhandene elektrische
Kraft gaben. Später wurde für manche Körper ein Kupfer-
stäbchen zum Vergleich genommen. Der Abstand der Conden-
satorplatten wurde bei beiden Instrumenten gewöhnlich gleich
gross gemacht (25 mm, bei grossen Dielektrizitätsconstanten
35 mm).

Theorie der Versuche.

Ein dielektrisches Ellipsoid wird in einem homogenen
elektrischen Felde gleichmässig polarisirt. Hat das Ellipsoid
die Gleichung

Chraetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 193

?* 4. ?^ 4- - - 1
a* ^ 6» ^ c»

und wirken in der Richtung der xye-kxQ die inducirenden
Kräfte X FZ, so sind die dielektrischen Momente des Ellipsoids
pro Volumeneinheit ^)

xz ^ X r xz

wo -4q Bq Cq von dem Verhältniss der Axen abhängige
Constanten sind und x die „Dielektrisirungsconstante* ist, ent-
sprechend der Poisson'schen Magnetisirungsconstanten. Die
Dielektrizitätsconstante D ist

2) = 1 4- 4 TT X.

In unserem Fall haben wir ein Rotationsellipsoid, dessen
Rotationsaxe die x-Axe sei. Die x- und «/-Axe mögen in
einer horizontalen Ebene liegen und es möge die elektrische
Kraft unseres Feldes den Winkel q> mit der x-Axe bilden
(q> ist bei uns nahezu = 45^). Ist P die ganze elektrische
Kraft, d. h. die Potentialdiflferenz W der Platten dividirt
durch ihren Abstand und verläuft^P, wie in unserem Falle
horizontal, so hat das dielektrische Moment unseres Ellipsoids
die Grösse (wenn V das Volumen des Ellipsoids ist)

(1 + X B,)

und die dielektrische Axe bildet mit der ic-Axe, der Rotations-
axe, einen Winkel ip^ so dass

tang ip = ^,^^ß tiang cp ist 1)

Das Drehungsmoment, welches den Winkel q) zu ver-
grössern strebt, ist

1) Kirchhoff, Vorlesungen über Elektrizität S. 166.
1894. MatlL-phys. Gl. 2. 13

194 Sitzung der math,-phys, Glosse vom 5, Mai 1894.

j. x»P»8in_2 q, iB,-A,)r

(l-f X i,) (1 + X BJ

Bei unserer Aufhängung wird bei den Stäbchen der
Winkel g) verkleinert, bei den Scheiben vergrössert.

Diesem Drehungsmoment wird, wenn der Winkel q) sich
um a verkleinert hat, durch die Torsion des Drahtes das
Gleichgewicht gehalten. Ist also M der Torsionscoefficient

des Auf hängedrahtes und wird die Grösse — ^ gleich p

/TT-

gesetzt und zugleich , wie bei unseren Versuchen 2 q> = —
angenommen, so wird

Werden die entsprechenden Grössen für die Standard-
scheibe mit y, p, 3K, SIq, SSq, SS bezeichnet und wird

f («0 - «o) SB _

(i + ySioXi + ySo)

gesetzt, vorausgesetzt, dass y bekannt ist, so wird
^. X* p M s

woraus x zu bestimmen ist, wenn — , ^, V gemessen, s, A^,

Bq berechnet sind.

Die Grösse Äq und Bq ergeben sich ^)

1. für eine Scheibe, wenn a die halbe Rotationsaxe,

b die andere Halbaxe ist und 1/ ~% = e gesetzt wird:

V'^=

1) Kirchhoff Mechanik S. 131.

GraeU und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 195

1 + 6*

^o = 4:/r

\e — arctangcj

J5o = -^ |(1 + «*) arctang b — b\

2. für ein Stäbchen bei derselben Bezeichnung der Halb-

1 fQ% ja

axen, wenn 1/ ^ — = rj gesetzt wird

Die Messungen.

Zu den Messungen wurden 4 Leydener Flaschen benutzt,
die wir, von der kleinsten angefangen, als IV, III, II und I
bezeichnen. Die Capacitäten dieser Flaschen wurden direkt
verglichen und ergaben, bezogen auf Civ = 100, die Werthe
Civ = 100, Cm = 151, Cii = 185, Ci = 396. Da aber in
unseren Beobachtungen zu den Flaschen noch die beiden
Condensatoren parallel geschaltet waren, so sind die Ver-
hältnisse kleiner. Die in Betracht kommenden Capacitäten
lassen sich angenähert aus den Ausschlägen unseres Standard-
instruments bei so grosser Entfernung der beiden Mikrometer-
kugeln, dass keine Funken mehr überspringen (t = oo),
vergleichen. Es waren z. B. diese Ausschläge a und die
daraus berechneten Capacitäten G

Flasche IV III II I

a 644 431 380 199

G 100 149,6 170 324

Letztere VS^erthe von G sind für unsere Versuche mass-

gebend.

196 Sitzung der math.'phys. Classe vom 5. Mai 1894,

Die entsprechenden Wellenlängen A, die den Wurzeln
aus den Capaci täten proportional sind, sind

Äjv = 100 ;iiii = 122,3 Xu = 130,4 Xi = 180,0.

Die Wellenlängen umfassen also keine ganze Oktave.
Ausserdem aber konnten wir, wie erwähnt, sehr grosse Wellen-
längen anwenden, indem wir ohne Funken, bloss mit den
Rahmkorffschwingungen arbeiteten. Diese Wellenlänge wollen
wir als Xr bezeichnen.

Bei jeder Flasche wurden gewöhnlich 4 Messungen in
der Art gemacht, dass die Funkenstrecke auf 3 verschiedene,
jeweils passende Abstände gebracht wurde, bei denen con-
tinuirlieh Funken übergingen und die wir von der grössten
zur kleinsten mit r«, Tj, Tc bezeichnen, und eine vierte Messung
ohne Funken, mit t^ bezeichnet. Wir nehmen an, dass bei
derselben Flasche die Schwingungsdauer sich nicht wesentlich
ändert, wenn man der Funkenstrecke die Längen ir«, r^, Tc
giebt, die höchstens um einige Millimeter diflferirten. Feddersen
zeigte bereits, dass diese Veränderung ohne wesentlichen Ein-
fluss ist.

Beobachtungen an Schwefel.

Um die Dielektrizitätsconstante des Schwefels für ver-
schiedene X zu messen und zugleich für unser Standard-
instrument das y zu bestimmen, welches in die weiteren
Messungen eingeht, wendeten wir eine Scheibe und ein
Stäbchen aus Schwefel an. Aus dem Verhältniss ihrer
Drehungen lässt sich y berechnen. Bezeichnen wir nämlich
für die Scheibe alle Grössen mit deutschen, für das Stäbchen
mit lateinischen Buchstaben, so ergiebt sich aus der obigen
Formel 2)

(l + y 3to)(l + y^,)_p M^ go-8to_
(l + Mo)(r+y^o) ^'3K V B,-A, ^'

Graetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 197

Es ist dabei vorausgesetzt, dass die beiden Schwefel-
stücke dasselbe y haben, eine Voraussetzung, die wohl un-
bedenklich ist, da Scheibe und Stäbchen gleichzeitig herge-
stellt waren.

Die Kesultate der Messungen sind folgende, wobei jeder

Werth von — aus mindestens 3 durch Schwingungsbeobach-
tungen erhaltenen Einzelwerthen das Mittel ist.

Werthe von ^ für S^^J^^fel^täbch«"

p ochweielscheibe.

^IV

^lll

t = a
x-h

T = C

0,5695
0,5683
0,5705

0,5568
0,5643
0,5691

0,5866
0,5602
0,5491

0,5509
0,5573
0,5686

0,5634 aus I
0,5687 , II
0,5583 , III
0,5692 , IV

Mittel

0,5694

0,5634

0,5653

0,5589

0,5649

Diese Zahlen weichen vom Mittel um nicht mehr als
1 \ ab , so dass eine Abhängigkeit von der Wellenlänge
nicht zu erkennen ist, sie zeigen zugleich, dass die Methode
bis auf 1 bis 2\ übereinstimmende Zahlen ergiebt. Diese
Fehlergrenze beruht hauptsächlich darauf, dass der Unter-
brecher des RuhmkorflF nicht regelmässig funktionirt, ein Uebel-
stand, der durch die gleichzeitige Beobachtung an zwei In-
strumenten wohl in seiner Wirkung reducirt, aber nicht
ganz unschädlich gemacht werden kann.

Die zur Berechnung von y nothwendigen Constanten sind

«0 = 0,3616 ÜÄ = 4,4174 y = §|

«0 = 11,8432

Jo= 0,6105 ^0 = 5,9780 Jf = 4,3400.

Aus dem Mittelwerth aller — ergiebt sich

198

Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5, Mai 1894.

y = 0,24915
D= 1 + 4/1 y = 4,131.

Dieser Werth für D liegt nahe an dem von Boltzmann
gefundenen, welcher für die drei Hauptaxen die Werthe
fand D = 4,773, 3,970, 3,811, im Mittel also 4,184. Diese
beiden Schwefelstücke wurden gleich nach der Herstellung
(Guss) untersucht. Für andere, lange benützte Schwefel-
stücke fanden wir y = 0,24915, woraus 2) = 3,798 sich er-
giebt. Es ist bekannt, dass gegossener Schwefel beim Stehen
spontan in eine andere Modifikation übergeht.

Beobachtungen an Paraffin.

Eine Paraffinscheibe von 20,9 mm Durchmesser und
1,2 mm Dicke wurde mit einer Schwefelscheibe verglichen,
für welche s = 54,855 (s. p. 194) war. Es ergaben sich folgende

-rrr .1 P 1^ Paraffinscheibe

Werthe von — für

Seh wefelscheibe.

^iv j hu hl , ^i

z = a

T = 6
T = C

0,3239
0,3388
0,3532

0,3406
0,3507
0,3341

0,3115
0,3572
0,3531

0,3463
0,3375
0,3420

0,3492 aus I
0,3441 , II
0,3327 , III
0,3434 , IV

Mittel

0,8886

0,8418

0,3406

0,3419

0,3423

Auch hier lässt sich, wie zu erwarten, ein Gang der
Dielektrizitätsconstante nicht erkennen. Aus dem Mittel-

werth der — und den Constanten der Paraffinscheibe A,

= 11,5105, ^0 = 0,52788, F= 411,7 ergiebt sich

x = 0,1162
2) = l + 47rx = 2,20.

Boltzmann fand für Paraffin 2,32.

Grttetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen, 199

Beobachtungen an Wasser.

um Körper mit grosserer Dielektrizitätsconstante auf
ihre etwaige Dispersion zu untersuchen, gingen wir bald
zum Wasser über, dessen Dielektrizitätsconstante die grösste
bisher gemessene ist. Wir brachten das Wasser in eine kleine
dünnwandige Ebonitröhre (20,1 mm Länge, 3,0 mm Durch-
messer), welche an den beiden Enden durch Ebonitpfröpf-
chen verschlossen war. Die Messungen wurden erst an
der leeren, dann an der mit Wasser gefüllten Röhre vor-
genommen und die ersteren Ausschläge, auf gleiche Standard-
ausschläge reducirt, von den letztem abgezogen. Diese
Correktion betrug 2 — 3®/o. Mit den Ruhmkorflfechwingungen
allein haben wir keine Messungen angestellt, weil bei unsem
Potentialen dann die Ausschläge zu gross wurden, so dass
merkbare Einwirkungen der Ladungen auf den Spiegel der
Aufhängung stattfanden, die nur unsicher hätten eliminirt
werden können. Wir beschränken uns also auf die Angabe
der Resultate mit raschen Condensatorschwingungen. Die
benützte Schwefelscheibe hatte ein s = 43,610.

Die Beobachtungen ergaben folgende

-r«. ., ü «. Wasserröhrchen

Werthe von — für rr-^ jr^ — z — r, —

p öchwetelscheibe.

Xjy

T = a

4,1812
4,1577
4,1117

4,1823
4,1326
4,0481

4,1324
3,9869
4,0802

Mittel

4,1502

4,1210

4,0665

Es scheint hier ein Gang der Dielektrizitätsconstante
in der Weise vorzuliegen, dass mit wachsender Wellenlänge
auch die Dielektrizitätsconstante grösser wird. Da jedoch

die DifiFerenzen der — 2®/o nur wenig übersteigen, so ist das

200 Sit2ung der mathrphys, ClcLSse vom 5. Mai 1894.

Resultat nicht sicher. Aas dem Mittelwerth der — und

A^ = 0,45998, B^ = 6,05330, F= 140,00 ergiebt sich

X = 5,8324
B = 73,54

ein Werth, der mit den bisher bekannten gut übereinstimmt.
Es ist jedoch dieses Resultat bei so grossen Werthen von D
nur durch aussergewöhnliche Sorgfalt zu erreichen und zwar

desshalb, weil eben der Werth von — so gross ist, dass kleine

Aenderungen in ihm und kleine XJngenauigkeiten in der Be-
stimmung der Dimensionen des Rohrchens schon grosse
Aenderungen von D hervorbringen.

Um diesen Uebelstand, der auch bei anderen Substanzen
sich zeigte, zu vermeiden, haben wir versucht, ob wir nicht
derartige Korper mit grossem D mit Metallen vergleichen

können.

Beobachtungen an Kupfer.

Wendet man die Mosotti-Poisson'sche Theorie auf Metalle
an, so ist, weil für diese bei statischen Zustanden das
Potential constant sein muss, die Dielektrisirungsconstante
X = Qc zu setzen. Es war die Frs^e, ob bei unsren, immer-
hin raschen Schwingungen die Ladungen den Metallen
gegen über noch als statische oder besser quasistatische an-
zusehen wären. War das der Fall, dann musste ein Kupfer-
stabchen den Werth D = qc ergeben. Dabei ist zu bedenken,
dass die oben entwickelte Formel 3, durch welche man D aus

— bestimmt, eine Curve von folgendem Verlauf giebt. Tragt

man die — als Abscissen auf, so steigt die Curve v(hl D erst

langsam, dann rascher an und geht endlich steU bis -)- ao,
um dann nach — oo zu springen und mit weiter wachsendem

— allmählich kleinere negative Werthe von D zu Kefem.

Graetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen. 201

Wenn also die Beobachtungen einen sehr grossen positiven
oder negativen Werth von D ergeben, so ist dies ein Beweis
für X = 00. Die Beobachtungen ergaben für ein Kupfer-
stäbchen von 23 mm Länge und 2,94 mm Durchmesser (an
den Enden abgerundet) folgende

vcT .1 P o.. Kupferstäbchen

Werthe von - für ö , » , , .,

p ochweielscheibe.

^11

^IV

t = b

T = C

7,971
8,153
7,983

8,008
7,823
8,085

8,004
8,053
8,017

Mittel

8,0357

7,9720

8,0280

Mit dem kleinsten Werth 7,9720 ergiebt sich D =
-{- 7445, mit dem grössten 8,0357, der nur um 0,75 ®/o grösser
ist, 2) = — 9120, so dass damit der Werth von x = oo für
unsre Schwingungen als gültig bewiesen ist.

Wenn das Kupferstäbchen als Standard genommen wird,
so ist der Werth der Grösse s (p. 194).

Beobachtungen an Bromblei.

Ein Stäbchen aus Bromblei von 21,6 mm Länge und
3,9 mm Dicke ergab mit Kupfer verglichen folgende

rrr ,1 P n Brombleistäbchcn

Werthe von f für -j^ — ^ — —r-r

J) Kupferstabchen.

^11

^III

^IV

T— C

0,8767
0,8573
0,8437

0,7828
0,8486
0,8141

0,8355
0,7929
0,7956

0,8223

0,7884
0,7760

Mittel

0,8592

0,8152

0,8080

0,7956

202

Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5, Mai 1894.

p
Hier zeigen die Zahlen — , von denen die Dielektrizitäts-

constante abhängt, einen ausgesprochenen Gang mit der Wellen-
länge und zwar so, dass die Dielektrizitätsconstante mit
wachsender Wellenlänge selbst wächst. Die Berechnung er-
giebt für die Dielektrizitätsconstante

^lii

^il

D-

41,792

42,938

43,692

48,643

Dieser Gang zeigt an, dass bei kürzeren Wellen als
Aiv Absorptionen und anomale Dispersionen stattgefunden
haben und dass die Dispersionscurve in unserem Intervall
noch in aufsteigendem Gang ist.

Beobachtungen an Jodblei.

Denselben Gang ergaben die Beobachtungen an einem

Jodbleistäbchen von 21,7 mm Länge und 3,60 mm Dicke.

Es ergaben sich folgende

^„ ., p «.. Jodbleistäbchen

Werthe von — lur == — -z — r^rr-r —

p Kupierstabchen.

^11

Ajy

z = h
Z — c

0,8178
0,9303
0,9355

0,8030
0,9191
0,8977

0,8243
0,8544
0,8158

Mittel

0,8946

0,8733

0,8315

Die Differenz der äussersten Werthe ist 7 %. Die daraus
berechneten Werthe der Dielektrizitätsconstanten, die grössten
bisher bekannten, sind

113,2

147,7

172,8

Graetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen. 203

Wenn nun auch der Gang der Dielektrizitätsconstante
bei diesen beiden Körpern die frühere Ansicht zu bestätigen
scheint, dass mit Abkürzung der Ladungszeit die Dielektrizitäts-
constanten kleiner werden, weil die Leitung sich dann nicht voll
entwickeln kann, so scheinen uns gegen diese Erklärung die
Gründe zu sprechen, dass erstens bei unserem Wasser (Wasser-
leitungswasser, nicht destillirtes Wasser), welches ein besserer
Leiter als Jodblei und Bromblei bei diesen Temperaturen ist,

ein so erhebliches Anwachsen von — mit waschsender Wellen-

länge sich nicht zeigt, sondern nur ein noch in die Be-
obachtungsfehler fallendes und zweitens, dass unsere nun
anzuführenden Beobachtungen an Beryll ein ganz anderes,
anomales Verhalten zeigten.

Beobachtungen an Beryll.

Wir hatten eine senkrecht zur Axe geschnittene Beryll-
scheibe, welche wir der Freundlichkeit des Herrn Prof. Groth
verdanken. Ihr Durchmesser ist 15,5 mm, ihre Dicke 0,44 mm.
Daraus ergeben sich ihre Constanten

Äq = 12,0254 Bq = 0,27038 V = 83,025

Folgendes ist das Resultat einer ersten Messungsreihe:

Werthe von — für ^ , t. •, — r—r^ —

p bchweielscheibe.

^IV

^11

0,7836
0,7149
0,7767

1,1270
0,9531
1,0698

z = a
z = b
z = c

1,0246
1,1027
0,9410

0,6935 aus I
0,7186 „ II
0,6735 , IV

Mittel

1,0228

0,7684

1,0499

0,6952

Die Zahlen zeigen deutlich ein Minimum von — und
daher auch ein Minimum der Dielektrizitätsconstante für die

204 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 5. Mai 1894.

Wellenlänge Xu Die Dielektrizitätsconstanten ergeben sich
aus diesen Zahlen:

Ajy

^11

1>=

8,503

6,580

9,207

5,943

Der Verlauf dieser Zahlen, die hier von der kürzesten
zur längsten Wellenlänge fortschreitend geordnet sind, ist
genau derselbe, wie der für den optischen Brechungsindex bei
anomaler Dispersion. Es sind z. B. für Fuchsin die Zahlen
von Wemicke för die

Linie H G G A

n= 1,54 1,31 1,90 1,73.

Um die Werthe von D sicherer zu bestimmen, haben
wir eine zweite Versuchsreihe mit einer andern Schwefel-
scheibe als Standard angestellt, indem wir noch die Flasche III,
die eine Wellenlänge zwischen II und IV ergiebt, hinzu-
nahmen.

Folgendes sind die

w i.1. P r- Beryllscheibe.

Werthe von — für ^pr — ^ , , ., — ^r

p Schwefelscneibe LI.

^IV

^III

^11

T = a

T = C

0,6274
0,6146
0,5738

0,5042
0,5189
0,4775

0,5407
0,5426
0,5360

0,6233
0,6008
0,6572

0,5217 aus I
0,4885 , 11
0,5140 „ III
0,4876 , IV

Mittel

0,6053

0,5002

0,5398

0,6271

0,5029

Es ist also hier der Gang der Zahlen genau derselbe,
nur zeigt sich das Minimum noch bei kürzeren Wellen als
früher, nämlich schon bei der Wellenlänge Ani.

Die hieraus berechneten Werthe von D sind, zusammen-
gestellt mit den aus den vorigen Beobachtungen, folgende:

Graetz und Fomm: Dispersion elektrischer Wellen. 205

Ajy

^ill

^11

Beob. I
Beob. II

8,50
7,80

6,60

6,58
7,08

9,21
8,04

5,94
. 6,68

Mittel

8,15

6,60

6,83

8,62

6,81

Die aus der Formel n^ = D berechneten Brechungs-
exponenten sind folgende:

n = 2,846 2,588 2,613 2,936 2,512.

Curie ^) fand für Beryll in der Richtung der optischen
Axe De = 6,24, senkrecht zur optischen Axe Da = 7,58.

Die Dispersionscurve verläuft übrigens bei Beryll lange
nicht so scharf, wie sie es bei Fuchsin thut.

Wir beabsichtigen diese Erscheinungen bei Beryllstäb-
chen anderer Provenienz und verschiedener Orientirung der
Axe weiter zu untersuchen und die Wellenlängen, bei denen
die anomale Dispersion stattfindet, absolut zu bestimmen.
Aus der Thatsache der anomalen Dispersion lässt sich auch
erkennen, warum die Einzelbeobachtungen beim Beryll nicht
denselben Grad der üebereinstimmung zeigen, wie bei anderen
Substanzen. Wir haben es ja sicher nicht mit ganz reinen
Wellen zu thun, sondern jedenfalls mit etwas gemischten,
zum mindesten schon dadurch, dassdie Ruhmkorffschwingungen
sich den Funkenschwinguugen überlagern.

Wenn man die oben unter 1 angegebene Formel be-
trachtet, so erkennt man, wie sich in unserem Falle das
Analogon zu der prismatischen Trennung der Farben ergiebt.
Denn der Winkel, den die dielektrische Axe des polarisirten
Körpers mit der Rotationsaxe bildet, ist, wenn q) = 45^ ist.

1) Curie Ann. chim. et phys. (6) 17. p. 385. 1889.

206 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894.

Hat also x för verschiedene Längen der Wellen ver-
schiedene Werthe, so ist die Richtung der dielektrischen Axe
im Körper jedesmal verschieden und ein System von ver-
schiedenen gleichzeitig ankommenden Wellen giebt eine
Reihe von föcherartig auseinandergehenden dielektrischen
Axen.

Da die Absorption der elektrischen Strahlen, die die
Dispersion bedingt, von der Leitung abhängt, so folgt
aus unseren Versuchen auch, dass die Leitungsfahigkeit
solcher Korper bei verschiedenen Wellenlängen verschieden
sein muss und allgemein, dass Dielektrizitätsconstante und
Leitungsfahigkeit nicht vollständig von einander unabhängige
Grössen sind, sondern dass sie in ähnlicher Weise durch die
Constitution des Körpers zusammenhängen, wie in der Optik
absorbirender Körper die Brechung und die Absorption.

München, Physik. Institut d. Li^nivers., Mai 1894.

207

üeber den Beweis des Maxweirschen Geschwindig-
keitsvertheilungsgesetzes unter (rasmolekiQen.

Von Ludwig Boltzmann.

(Eingelaufen 5. Mai.)

Der Abschnitt der Kirchhoffschen Vorlesungen über
Gastheorie überragt so wie die übrigen Theile dieses Werkes
sowohl in der Vorzüglichkeit der Auswahl des Stoffes als
auch in der Darstellung weit die gewöhnlichen Lehrbücher.
So wird dort zum ersten Male auf die Richtigkeit der That-
sache hingewiesen, dass die 3 experimentell so oft gefundenen
Werthe 1 • 67, 1 • 4 und 1 • 33 für das Verhältniss der Wärme-
capacitäten eines Gases bei constantem Drucke und Volumen,
aus der Annahme der Analogie der Gasmoleküle mit festen
Körperchen folgen und ich will bei dieser Gelegenheit nur
beiläufig bemerken, dass der Haupteinwand gegen diese
Analogie, der auf der complicirten Natur des Spectrums
selbst des if^r-Dampfes begründet ist, durch die Versuche von
Pringsheim^) sehr an Bedeutung verliert, welche beweisen,
dass diese Spectra nicht durch die regelmässige innere Wärme-
bewegung der Gasmoleküle zwischen je 2 Zusammenstössen,
sondern durch fremdartige chemische Erregungen (elektrische
Schwingungen im umgebenden Aeth er?) hervorgebracht werden.

1) Wied. Ann. 49, p. 347, 1893.

208 Sitzung der math.-phys. Classe vom 5. Mai 1894.

ümsomehr müssen, wie mir scheint, die üngenauigkeiten
der Darstellung in dem eingangs erwähnten Buche rück-
haltslos aufgedeckt werden, damit sich nicht, von Kirchhoffs
Autorität gedeckt, Irrthümer in die Gastheorie einschleichen.
Denn selbst diejenigen, die wie der Herausgeber des in Rede
stehenden Theiles der Kirchhofif'schen Vorlesungen die Gas-
theorie des auf sie aufgewandten Scharfsinnes unwerth achten,
können und sollen nicht wünschen, dass, wer überhaupt über
Gastheorie schreibt, es mit geringerem Scharfsinn thue.

Auf Seite 147 des 4. Bandes der Vorlesungen über
mathematische Physik findet KirchhoflF für die Wahrschein-
lichkeit, dass gleichzeitig die Coordinaten und Geschwindig-
keitscomponenten eines von einem Zusammenstosse kommen-
den Molekülpaares in den durch das Integrale angegebenen
Gebieten liegen, den Werth:

- j d Xi d yi d jsf^ d Si d rji d ^i d Xad i/i d 0i d ^2 d t]^ d ^i

Da hier Q einen bestimmten Werth hat, nach welchem
später diflferentiirt wird, so sind die Grenzen der Gebiete so
eng zu ziehen, dass sie nur Molekülpaare umfassen, die vor-
her in ganz bestimmter Weise zusammengestossen sind. Das
gleichzeitige Zusammentreffen zweier Moleküle in diesen
beiden Gebieten kann daher nie durch die zufällige progressive
Bewegung, bei welcher beide Moleküle von einander unab-
hängig sind, veranlasst werden, sondern nur durch einen
vorhergehenden Zusammenstoss. Die Wahrscheinlichkeit, dass
beide Moleküle gleichzeitig in diesen Gebieten liegen, darf
daher nicht, wie die Wahrscheinlichkeit des Zusammen-
treffens zweier von einander unabhängiger Ereignisse be-
rechnet und gleich

•jd Xi d yi d /sfi d ^i d Tji d ^i d Xi d Pi d j^i d ^2 d 7i2 d Ca
gesetzt werden, wodurch die Beweiskraft der folgenden

BoUzmann: MaxwelVsches Geschwindigkeit 8V er theüungsgesetz, 209

Deductionen hinfällig wird. Diese Wahrscheinlichkeit kann
nur aus der Wahrscheinlichkeit der Zustände der beiden
Moleküle vor dem Zusammenstosse und dem Verlaufe des
letzteren berechnet werden, wodurch sich der Ausdruck 1)
ergiebt. Erst wenn man die Gültigkeit der Gleichung

/•(^ + r/! + a + C) f ® + 1?! + ^ - <?) =

bereits voraussetzt, folgt, dass diese Wahrscheinlichkeit eben-
sogross ist, als ob die beiden Moleküle unabhängig von
einander in die betreffenden Bezirke gelangt wären, woraus
dann Maxwell in bekannter Weise schliesst, dass sein Ge-
schwindigkeitsvertheilungsgesetz durch die Zusammenstosse
nicht verändert wird. Dass nicht auch andere Geschwindig-
keitsvertheilungsgesetze möglich sind, die durch die Zusammen-
stosse ebenfalls nicht gestört werden, kann auf diesem Wege
überhaupt nicht bewiesen werden.

Bezüglich der Anwendung der auch von Kirchhoff be-
nutzten Functionaldeterminante in der Gastheorie sowie deren
Beziehung zu Liouville und Jacobis Rechnungen vergl. Wien.
Sitzungsber. Bd. 58, Oct. 1868, Bd. 63, März 1871, April
1871 etc. bezüglich der Abgrenzung der Integrationsgebiete
^or und nach dem Zusammenstosse, Wien. Sitzungsber. Bd. 66,
Oct. 1872, Abschn. 4. Die letzte dieser Abhandlungen citirt
auch Hr. Planck bei anderer Gelegenheit.

Um nicht missverstanden zu werden, will ich mich noch

enger dem Texte des Kirchhoff'schen Buches anschliessen.

Daselbst werden auf Seite 145 zwei Gebiete der Variabein

jd Xi d yi d JSi d ^i d tji d ^ und jd x^d y^d jStd ^^d i]^ d Ca be-
trachtet. Nehmen wir nun an, es soll sich gleichzeitig ein
Molekül in dem einen und ein 2. in dem 2. Gebiete be-
finden (d. h. die Werthe der Coordinaten und Gesehwindig-
keitscomponenten des betreffenden Moleküls sollen innerhalb
der durch das Integrale angegebenen Grenzen liegen). Dann

1894. Math.-phy8. Ol. 2. U

208 Sitzung d^r math,.phys. aasse fcom 5. Mai 1894.

Umsomehr müssen, wie mir scheint, die Ungenauigkeiten
der Darstellnng in dem eingangs erwähnten Bnche rück-
haltslos aufgedeckt werden, damit sich nicht, von Kirchhof^
Autorität gedeckt, Irrthümer in die Gastheorie einschleichen.
Denn selbst diejenigen, die wie der Herausgeber des in Bede
stehenden Theiles der KirchhofiTschen Vorlesungen die Gas-
theorie des auf sie aufgewandten Schar&innes unwerth achten,
können und sollen nicht wünschen, da;^, wer überhaupt über
Gastheorie schreibt, es mit geringerem ScharMnn thue.

Auf Seite 147 des 4. Bandes der Vorlesungen über
mathematische Phrsik findet Kirchhoff f&r die Wahrschein-

lichkeit. das? gleichzeitig die Coordinaten und Geschwindig-
keitscomponenten eines von einem Zusammenstosse kommen-
den Molekülpaares in den durch das Integrale angegebenen
Gebieten liegen, den Werth:

3- ;\^ + ,,i -}- 5 -r Q) /\« - . ; -h 3 - Q)- ^ 1^

Da hier Q einen bestimmten Werth hat« nach welchem
später differentiirt wird, so sind die Grenzen der Gebiete so
eng zu ziehen, dass sie nur Molekülpaare um&ssen, die Tor-
her in ganz bestimmter Weise zusammengestasen sind. Das
gleichzeitige Zusammentrefien zweier Moleküle in diesen
beiden Gebieten kann daher nie dun^h die zu£UIige progressire
Bewegung, bei welcher beide Moleküle toü einander onab-
hänsri^ sind, veranlasst werden, sondern nur durch einen
vorhergehenden Zasammenstos& Die WahrseheinEchkeü, dass
beide MoIekUe gleichzeitig in diesen Gebieten liegen, darf
daher nicht, wie die Wahrscheinlichkeit des Ziemmmen-
tref ens zweier von einander unabhängiger EreigniäBe be-
rechnet und gleich

• yd Xi d Vi d Si d It d r, dZidXid if^ds^dS^di^^dZi
gesetzt werden . w..>Jarch die Beweiskraft der folgenden

BoUzmann: MaxwelVsches Geschwindiglceitsvertheüungsgesetz, 209

Dedactionen hinfällig wird. Diese Wahrscheinlichkeit kann
nur aus der Wahrscheinlichkeit der Zustände der beiden
Moleküle vor dem Zusammenstosse und dem Verlaufe des
letzteren berechnet werden, wodurch sich der Ausdruck 1)
ergiebt. Erst wenn man die Gültigkeit der Gleichung

/•(S + r/! + a + C)/-® + >?? + ^ - <?) =

Bezüglich der Anwendung der auch von Kirchhoff be-
nützten Functionaldeterminante in der Gastheorie sowie deren
Beziehung zu Liouville und Jacobis Rechnungen vergl. Wien.
Sitzungsber. Bd. 58, Oct. 1868, Bd. 63, März 1871, April
1871 etc. bezüglich der Abgrenzung der Integrationsgebiete
vor und nach dem Zusammenstosse, Wien. Sitzungsber. Bd. 66,
Oct. 1872, Abschn. 4. Die letzte dieser Abhandlungen citirt
auch Hr. Planck bei anderer Gelegenheit.

Um nicht missverstanden zu werden, will ich mich noch
enger dem Texte des Kirchhoff'schen Buches anschliessen.
Daselbst werden auf Seite 145 zwei Gebiete der Variabein

jd Xi d yi d £;i d ^i d Tji d ^ und jd x^d y^d jStd ^tdrjid ^a be-
trachtet. Nehmen wir nun an, es soll sich gleichzeitig ein
Molekül in dem einen und ein 2. in dem 2. Gebiete be-
finden (d. h. die Werthe der Coordinaten und Geschwindig-
keitscomponenten des betreffenden Moleküls sollen innerhalb
der durch das Integrale angegebenen Grenzen liegen). Dann

1894. M*t]i.-phy8. Gl. 2. U

210 Sitzung der math^-phys. Glosse vom 5, Mai 1894,

sind, je nach der Lage der betreJBFenden Gebiete 3 Fälle
möglich. 1. Die beiden Moleküle eilen eben einem Zusammen-
stosse zu (d. h. sie stosseu , nachdem sie gleichzeitig die
Gebiete passirt haben, miteinander zusammen und keines
stösst in der Zwischenzeit mit einem 3. zusammen). 2. Sie
kommen eben von einem Zusammenstosse (d. h. sie stiessen,
vor sie in die Gebiete eintraten, miteinander zusammen,
wieder ohne dass eines derselben in der Zwischenzeit mit
einem 3. zusammenstiess). Der 3. Fall umfasst alle anderen
Möglichkeiten.

Im KircbhoflTschen Buche wird nun auch im 2. Falle
die Wahrscheinlichkeit, dass beide Moleküle gleichzeitig in
beiden Gebieten liegen, gleich dem Produkte der Wahr-
scheinlichkeiten gesetzt, dass je eines der Moleküle im be-
treflfenden Gebiete liegt, was nur erlaubt ist, wenn man die
Richtigkeit der zu erweisenden Gleichung f(Ui + Q) fiui — Q)
= f{ui)f{u2) schon voraussetzt. Denn da im 2. Falle die
Gebiete so liegen, dass soeben eine Wechselwirkung der
Moleküle stattgefunden haben rauss, so kann die Anwesen-
heit des einen Moleküles in seinem Gebiete nicht als ein von
der Anwesenheit des andern Moleküls in seinem Gebiete
unabhängiges Ereigniss aufgefasst werden.

211

Zur Integration der Diffnsionsgleichung bei
variabeln Diffasionscoefücienten.

Von Ludwig Boltzmann.

(Eingelaufen 6. Mai.)

Herr 0. Wiener gab^) eine interessante Methode an,
den Vorgang der DiflFusion zweier Flüssigkeiten in allen
Schichten gleichzeitig zu beobachten. Dabei zeigte sich be-
deutende Veränderlichkeit des Diffusionscoefficienten. Herr
Wiener zeigt, wie man diesem Umstände bei Berechnung
der Versuche durch ein Näherungsverfahren Rechnung tragen
kann. Ich habe nun schon vor langer Zeit ein Integrale
der Diffusionsgleichung für variabeln Diffusionscoefficienten
gefunden, welches Hausmaninger*) allerdings mit geringem
Erfolge zur Berechnung der Versuche Waitz's verwendete.
Da dasselbe vielleicht zur Berechnung der Wienerischen
Versuche nützlich sein könnte, so erlaube ich mir hier noch-
mals darauf zurückzukommen.

Zählen wir, wie Hr. Wiener die -f- x von der ursprüng-
lichen Grenze der übereinandergeschichteten Flüssigkeiten
aus vertikal nach abwärts, bezeichnen mit Wj, Wg, n die
Brechungsindices in der obern resp. untern reinen und an
irgend einer Stelle der gemischten Flüssigkeit, mit t die

1) Wied. Ann. 49 p. 105, 1893.

2) Sitzongsber. d. Wien. Akad. Bd. 86, p. 1078, 1882.

14*

212 Sitzung der math.-phys. CUisse vom 5. Mai 1894.

seit Beginn der Diffusion verflossene Zeit und nehmen an,
dass n die partielle Differentialgleichung

erfüllt, wo k eine gegebene Funktion von n ist, sowie, dass
die Diffusion weder Boden noch Niveau der obern Flüssig-
keit in merklicher Weise erreicht hat, so folgt allgemein

n ^ w^ —

(

Man sieht, dass n und daher auch i nur Funktion von
x:\^ ist. Unter den Integralzeichen ist immer der Werth
des k für x:Yf^=^' zu verstehen. Ich will mich hier nicht
weiter darauf einlassen, wie diese Formel abgeleitet werden
kann; dass sie alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt, sieht
man ohne weiteres. Die Gleichung 2) würde auch richtig
sein, wenn k direkt als Funktion von x:\^ gegeben wäre;
man konnte dann n unmittelbar daraus berechnen. Da aber
hier k nicht direkt als Funktion von x : Yt gegeben ist,
sondern eine zu findende Funktion von n ist, so kann diese
Formel zur Berechnung der Versuche nicht verwendet werden.
Man muss vielmehr i* aus derselben berechnen. Man findet
zunächst, wenn man wieder Ä = x:VT setzt

j. rf«_ d (.dn\

2 dl~dlV'dl) "^^

und hieraus bei eonstantem t

- ,1 .r *^.

^-—nAT--^-^^- 4)

BoUzmann: Zur Integration der Diffusionsgleichung, 213

Hr. Wiener findet nun durch das Experiment direkt

Curven, deren (von einer schrägen Geraden an gezählte)

d ti
Ordinaten js den Werthen von -=— multiplicirt mit der Con-

stauten a ö gleich sind, während die Abscissen y = y^-^ xjt]
sind. (Siehe dessen Fig. 13 pag. 123.) Dabei ist tj eine
experimentell gegebene Constante, y^ aber der Werth des y
für die Stelle, wo die schräge Gerade die ursprüngliche
Trennungsfläche der beiden Flüssigkeiten schneidet. Daraus
folgt :

2 p°°

Wir berechnen nun zu irgend einem x das dazu ge-
hörige y^ ziehen die diesem y entsprechende Ordinate s
der Difl^usionscurve, bezeichnen mit f den Flächenraum, der
links von der Ordinate ^^ oben von der schrägen Geraden,
unten von der DiflFusionscurve begrenzt ist, und mit ys die
Abscisse des Schwerpunkts dieses Flächenraumes. Dann ist
f'=f^edy,ys'f = f^zydy, daher ist

der Werth des DiflFusionscoefficienten für das betreffende x
und t. Kann der Anfang der Diffusion nicht genau festgestellt
werden, so ist er natürlich als 2. Unbekannte einzuführen,
die Gleichung 6) für 2 verschiedene Zeiten aufzustellen, und
daraus k und der Zeitanfang zu bestimmen. Die Vermuthung
Herrn Wieners, dass der Diffusionscoefficient besser aus Ver-
suchen mit geringen Concentrationsunterschieden berechnet
werden kann, dürfte vollkommen richtig sein. Dagegen kann
die obige Formel dienen, um zu controliren, ob für beträcht-
liche Concentrationsdifferenzen die Gleichung 1) gilt, in welchem

216 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5, Mai 1894.

Bezeichnen wir den Maximalwerfch des ^ zu 2 verschie-
denen Zeiten ty^ und t^ mit £^^ und 0^ die dazu gehörigen
y mit y^ und «/g, so ist also, wenn man annimmt, dass sich

1 d k

7" , in der Zeit L — t. nicht erheblich verändert hat

h dn 3 1

l dk rjaö FVo — ^a

L?.P-._ po ~ y« _ Vp^Zll] 10)

h dn 2{t

Man könnte nun aus Versuchen mit geringer Concen-
trationsdiiferenz k als Function von n und daraus dkidn
berechnen. Würden diese Werthe mit den für grosse Concen-
trationsunterschiede nach der letzten Formel (darin A = 1
gesetzt) berechneten stimmen, so wäre dies ein Beweis der
Gültigkeit der Gleichung 1).

Obwohl die vorliegenden Versuche Hrn. Wieners zu
einer ausführlichen theoretischen Discussion, wie er selbst
bemerkt, noch zu ungenau sind, so will ich doch die FormelO)
auf das Diagramm Wieners Fig. 15 p. 135 anwenden, um
überhaupt zu zeigen, wie die numerische Berechnung ge-
schehen kann. Daselbst ist

ri = ^-L-^^y^^ 0.851, a = 100.6cm, (J = 1.027cm

4-18
t = Tage, yQ — y = etwa 4 mm, ^ = 20 mm, daher

1 dk ^ bdcm^
h dn Tag

Würde die Gleichung 1) gelten, so wäre A= 1; obiger
Ausdruck wäre also gleich dJcjdn, Anderseits findet Herr
Wiener für k zwischen Wasser und 3®/oiger Salzsäure
den Werth äJj = 2 • 8, zwischen Wasser und 26^/oiger Salz-
säure aber J2 = 4«2, daher Äg — Äj = 1 • 4cm*:Tag. Der
Unterschied der Brechungsindices zwischen Wasser und der

BoUzmann: Zur Integration der Diffusionsgleichung. 215

Dann müsste man so verfahren. Für eine bestimmte Diflfusions-
curve ist t constant. Daher folgt aus Gleichung 3 a)

hxdn , ,cPn . dh fdn\^

2t dx

+ *§4 + |^ß-j=0 7)

dx^ dn\dx/

also

r^ \dh \ dzk ri

aö h dn i] dy h 2 t

1 d k
In dieser Gleichung sind die beiden Grössen — ^r— und

h d n

Je , ,

j- also die beiden Coefficienten der Gleichung 1 b) als die

beiden Unbekannten (unbekannte Functionen von n) zu be-
trachten. Die übrigen Grössen können wie Hr. Wiener
zeigb, leicht für jede Diifusionscurve berechnet werden. Man
muss also in 2 zu verschiedenen Werthen von t gehörigen
Dijffusionscurven solche Ordinaten (y) suchen, für welche n
(also die Flächen /' bis zu diesen Ordinaten) gleiche Werthe
haben. Diese beiden Stellen der beiden Diffusionscurven
liefern 2 Gleichungen für die zu jenem n gehörigen Werthe

von — -z— und — . Wäre auch der Zeitanfanof unbekannt,
h dn h Ol

so müsste noch eine 3. Gleichung aus einer 3. Diffnsions-
curve beigezogen werden. Man kann also so für beliebig
viele n die Werthe der beiden Coefficienten der Gleichung 1 b)
bestimmen. Natürlich ist dieses Verfahren auch auf den
eingangs betrachteten Fall, dass die Gleichung 1) gilt, an-
wendbar und dürfte auch da dem früher beschriebenen vor-
zuziehen sein.

Besonders einfach gestalten sich die Verhältnisse natür-
lich wieder für den Punkt, wo sein Maximum hat, also
d z\dy =^0 ist. Für diesen Punkt ist

i ^ ^ ri{yQ — y)a S 9^

h dn 2 jst

1^1(3 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5, Mai 1894.

Bezeichnen wir den Maxiiualwerfch des js zu 2 verschie-
denen Zeiten ^j und t^ mit £r^ und 0^ ^^® d^^^ gehörigen
y mit yj und /y^, so ist also, wenn man annimmt, dass sich

1 (1 Je

,- , in der Zeit /« — t. nicht erheblich verändert hat

h (tu 3 1

Idjc^ r,a d r Vq — yg _ y p — j^^ ] .^.
Arf« 2(^, — ^,)L ir, £-, .1 ^

i; = ^^^^ = -!l~^ =0-851, a = 100-6cm, d = 1-027 cm

4-lS
/ = -7,— Tage, y^ — y = etwa 4 mm, 5 = 20 mm. daher

1^ t/ k _ 53cm*
A d n Tag

Würde die Gleichung 1) gelten, so wäre A = 1; obiger
Ausdnick wäre also gleich JA*/J«. Anderseits findet Herr
Wiener tur k zwischen Wasser und 3*/oiger Salzsaure
deu Werth k^ = '2 - S, zwischen Wasser und 26'''|oiger Salz-
säure aber i^ = 4 • 2, daher Är^ — itj = 1 • 4 cm^:Tag. Der
Unterschied der Brechuugsindices zwischen Wasser und der

Boltzmann: Zur Integration der Diffusionsgleichung. 217

letzten Salzsäure ist tjfiad^ wobei f die Fläche zwischen
der schiefen Geraden und einer der Curven der Fig. 15 ist.
Schätzt raan f zu 6 cm* (die Figur ist ^/^ linear verkleinert),
so wird Tj f:aö = 0^ 05. k^ und Jc^ sind die Diifusions-
coefficienten beim mittlem Salzsäuregehalt. Es entspricht
also Ä^ fast reinem Wasser, Jc^ aber 13®/o Salzsäure. Daher
entspricht der Aenderung fcg — k^ des Diifusionscoefficienten
etwa die Aenderung z/w = 0*025 des Brechungsindex; es
ist also

Dies stimmt gut mit dem oben für dk:dn gefundenen
Werth überein, was aber auch ein Zufall sein kann. Die
Ableitung weiterer für die Berechnung nützlicher Formeln
wird besser geschehen, wenn neue Beobachtungen vorliegen.

2\\^

Ueber die Anwendung des Princips des kleinsten
Zwanges auf die Elektrodynamik.

Von A. Wassmuth in Graz.

(EingilaufeH ö. MaiJ

Eiu Punkt m eines Systems von Partikeln möge sich in
der Zeit t, wenn er frei wäre, von a nach 6 bewegen,
während seine wirkliche Bewegung durch die Strecke ac
dargestellt sei; dann sagt bekanntlich das von Gauss aufge-
stellte Priucip des kleinsten Zwanges aus, dass - w • 6 c* ein
Minimum ist oder dass, wenn a d irgend eine virtuelle d. h.
mit den Bedingungen des Systems verträgliche Bewegung
vorstellt, stets: ^m • 6 c* < - m • 6 rf* sein muss. Sind xy z
die Coordinaten des Punktes w, auf den die Kräfte wi X,
m T, m Z wirken sollen, so geht irgend eine Coordinate x
in der sehr kleinen Zeit r für die wirkliche Bewegung über in:

^ dx , l d^ X ^
^ dt ^ 2 d <»

und für die freie Bewegung ober in:

SO dass das Quadrat der Ablenkung b (? oder das (Quadrat
der CoordinatendiflFerenzen gleich ; ( 7 .» — ^ ) ~h • • wird.

220 Sitzung der math.-phys, Classe vom 5. Mai 1894,

Mau hat daher einen Ausdruck Z — er soll der Zwang
des Systems heissen — von der Form

wobei sich die Summe auf alle Partikeln erstreckt, zu einem
Minimum in Bezug auf die diversen Beschleunigungen :

d oc d w

-r— ^, T^' • • ^^^ '^^^^ ^^ y^ ^ ' ' ' geschrieben werden sollen,

zu machen. Diiferenzirt man dabei die Bedingungsgleichungen

des Systems: y^ = 0, y^ = . . . zweimal nach der Zeit, so

muss man sich, wie aus der obigen Ableitung hervorgeht^),

gegenwärtig halten, dass die Coordinaten x und ihre ersten

Diflferentialquotienten als „gegeben" anzusehen sind; die

d^ (p . 9 flp ••

Gleichung: -r-J = drückt nur aus, dass die -^^a; + . . .

unveränderlichen Werthen gleich sein müssen. Für ge-

d X •• .

gebene Werthe der x und -r- sollen also die x so bestimmt

(l V

werden, dass Z zu einem Minimum werde. Man erhält so
die bekannten Gleichungen:

w(i — X) + A--^ + A2-5^ + . . = u. s. w.

Statt der Coordinaten xy z , , , sollen nun n von einan-
der unabhängige Variabein PiP^V^- * » Pn eingeführt werden,
so dass die virtuelle Arbeit = P^ dp^ -\- P^ öp^ -{-*'-{- Pn^Pn

und die lebendige Kraft T = --^^a^x PxPx wird, wobei

die Pfi und a^^ = a^^^ nur von den Coordinaten abhängen
und die griechischen Buchstaben, wie im folgenden immer,
von 1 bis n gehen.

1) Lipschitz, Borch. Jour. 82. Band 316 (Rausenberger Mechanik I
166); Gibbs, Beiblätter IV 319.

WaHStHUiJi: Vehcr du AntKudunp dth PritfCijtH dt. 221

Dann wird der Zwang Z. wie Lipi^eLitz la. a. 0. p. ?»30)
zeigte, ansgedructt durch:

ya^rp, + a^j,^ + - . + [ ji>3l^ + [ ^ Jft J's-h . . - Prj

wobei -/ die Determinante au? den ti^^ und Aur die adjungirte

(^,. - -^ )

Toret^llt nnd

gesetzt ist.

Der Auädruck für Z wird üfjersichtlicher und für Csre-
wisse) phT8ikalische Probleme geeigneter, wenn die lebendige
Kraft T eingeführt wird. Setzt man nämlich:

_ d ?j ?r

dtcpfi ? pu
so ist^) auch

[1 ii . . f ^ *1 • •
Pj /^i "T I I /'i i^2 "f- • • -

und es wird:

Z = 2 ^ t^^ — -P/^] \Tr - P,] d. i. (I)

( J„ (J, - F,f -i- ^,, (J, _ P, ,» + . . .
Z=\\ -^2Ä,,(T,-P,){T,-P,)-\-...

-^ -r 2 -4.^ (J, - P.) iJ, - P,) + ...

1) r. f. e. g. Hayleig^'n. der S'.hu:i. y. 111: .Sl&cke^ Borch.
Jonr. 107, p. 322.

222 Sitzung der matlirphys, Glosse vom 5, Mai 1894,

Da dieser Ausdruck für den Zwang Z, wie es scheint,
neu ist, so isb es nicht überflüssig, nachzuweisen, dass man
in Ausführung der Minimumsbedingung für Z zu den Lagrange-
schen Gleichungen kommt. Dabei hat man zu Folge der

• •

obigen Bemerkung bei der Diflferentiation des Z nach p^ die

Grössen p^ und p^ als gegeben oder fix anzusehen und
von der Beziehung:

dTf,

^/*X dxjLl

Gebrauch zu maclien. Man erhält so:

oder, da diese Summen einander gleich sind,

dZ 2

= ^ S «,/* ^f^ {Tv - Pv)

oder:

Da nun nach einer Eigenschaft der Determinanten:
^11 -^x^ ~l~ ^12 -^2»' + . . = -^ oder Null wird, je nachdem

v = 1 oder V >\ ist, so folgt also aus: r^r- = auch
Tj — Pj == d. i. die Lagrange'sche Gleichung:

ä dT ar_

Für den Zwang Z lassen sich ganz ähnlich, wie man
für die Lagrange'sche Grundgleichung Nebenformen^) auf-
stellte, noch andere Ausdrücke finden.

Wichtig für die Anwendung ist die Bemerkung, dass
sich der Zwang Z so darstellen lässt, dass darin eine Be-

1) Weinstein, Wied. Ann. 15. Budde, Mechanik I 397.

IVassmuth: Ueber die Anu:endung des Prineips etc. 223

schleunigung z. B. p, von den übrigen losgelöst erscheint;
es ist: Z-J = \ (L^ p* + 2 3f , p\ -f .V,) wo die L, Jf, N,

d Z .

die p. nicht enthalten und L^ und Jl/j aus ^-^^ = leicht

gefunden werden können.

,Sind bei einem physikalischen Probleme die virtuelle

Arbeit ^ Pfidpfi und die lebendige Kraft T =^^^^a^i VxPl

/^ " x).

gegeben, so lasst sich mittelst der Gleichung I der Zwang

des Systems bestimmen; die Minimumseigenschaft von Z

druckt ein — in vielen Fällen sicher neues — Gesetz

für das System aus, ganz abgesehen davon, dass andere,

vielleicht schon bekannte Gesetze durch wirkliches Differenziren

des Z daraus folgen.*

So hat z. B. Herr Boltzmann in wundervoll einfacher
Weise an der Hand der Lagrange'schen Gleichungen, somit
sich stützend auf mechanische Vorgänge, in seinen Vor-
lesungen I die Maxweirschen Gleichungen der Elektrizität
abgeleitet. Es erhellt, dass man auch vom Principe des
kleinsten Zwanges in der Form der obigen Gleichung I als
Obersatz ausgehen kann und, da die virtuelle Arbeit und die
lebendige Kraft angegeben werden, durch Aufsuchen der
Minimumsbedingung zu den Lagrauge'schen Gleichungen und
— nun ganz an der Hand Boltzmann's fortschreitend —
zu den Maxweirschen Gleichungen kommen muss. Wenn
es auch auf diese Art schwer möglich sein wird, die klassischen
Methoden Boltzmann's, besonders die im 2. Theile seiner
Vorlesungen, noch mehr zu vereinfachen, so drückt die Be-
dingung: 2^= Minimum immerhin eine neuerkannte Wahr-
heit aus.

Als ein Beispiel möge der Fall von 2 cyklischen Goor-

dinaten p^ = Ti und p^ =ij — von den langsam veränder-
lichen Parametern /: werde einstweilen abgesehen — be-

224 Sitzung der tnath.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894,

1 . 1 . . .

trachtet werden. Hier ist : T = — Un p] -}- -^ ^m pl + ö^ia Pi P2

A , B , , ,

= - tl + — Xi + (^ ^'1 ^2, wenn Boltzraann's Bezeichnung

eingeführt wird. Es folgt: On = ^, aja = 5, a» = (7,
^ ^ =AB — C\An=B, A,, = — C, ^22 = ^,

z/ =

T, = j-^{A l[ + GQ, T, = ^^ (5 Z; + G r,). Ausserdem

möge wegen der Reibung oder Zähigkeit die von Rayleigh
aufgestellte Zerstreuungsfunktion (a. a. 0. 108 und 109 pg.)

durch -F = 2 ]2 (x, aj? + . .) = - 6h pl + ^ ^a» Pl + ^" Pi P^

bezeichnet werden; dann tritt bekanntlich zu den Kräften

d F
Pfi = LfjL noch hinzu: — r-; — Auch erhellt aus inneren

Gründen, dass 612 = ist.

Hiemit wird denn schliesslich der Zwang Z ausgedrückt
durch :

ZX(AB-C') = B [^^ {A l\ + GQ-L, - 6» V^
^2G]^~[Al-^Gl,)-L,-hJ]^^^

+ A]^j-^{Bt, + Gl[)-U-h,J^

und es soll Z ein Minimum sein, derart, dass — i^, = und

d Z

—— = ist. Hierin stellen (Boltzmann I pg. 34 und 35)

l\ und Zi die Stromstärken in 2 Leitern, hn und 622 deren
Widerstände, L^ und L2 die elektromotorischen Kräfte in
ihnen, A und B die Coefficienten der Selbstinduction und
G den der gegenseitigen Induction vor. Sind noch Conden-

Wässmuth: Ueber die Anwendung des Principa etc, 225

satoren (1. c. I 35) eingeschaltet, so treten noch Glieder von
der Form: d^l^ und d^l^ in die Klammern.

Die Bedingung: Z= Minimum spricht also ein elektro-
dynamisches Grundgesetz aus und liefert die Theorie
der Selbstinduction und wechselseitigen Induction für nicht
zu schnelle Stromschwankungen. Will man auch die pondero-
motorischen Kräfte erhalten, so muss ein langsam ver-
änderlicher Parameter k neben Zj und l^ als 3. Variabele
eingeführt, der allgemeine Ausdruck für Z aufgestellt und

die Gleichung — tt = 0, wobei k und k als constant anzu-

sehen sind, gebildet werden; erst nachher hat man /c = und

k = zu nehmen und erhält, wie Boltzmann, die Beziehung;

lT__ridA_lJdB__d_C_
^~ dk~ 2 dk 2 dk ^' ' dk

Auch die Akustik bietet ein weites Feld zur Anwendung
des obigen Principes. Es treten da häufig in dem Ausdrucke
für die lebendige Kraft nur rein quadratische Glieder mit
gleichen Coefficienten auf, wesshalb sich dann die Gleichung
für den Zwang einfacher gestaltet.

Führt man die Abkürzung: T^ — F^ -= Q^i ein, so ist
der Zwang Z gegeben durch:

= ^„ (?; + 2 ^„ (2. (3, + +2 ^,„ Q, Qn

3 ^ 2 Z

Die Bedingung: r-rr- = lässt sich durch: -yr- =
ersetzen. Man hat nämlich:

dZ__aza_öi , dZ dQn

dpg~dQ^d'pg'^ '" + dQ^dpg

1894. Hath.-pli78. Gl. 2. 15

226 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5. Mai 1894.

, dQy dTy

oder wegen ^tt- = ^^ = Ove

aus diesen «-Gleichungen folgt, da die Determinante: i)= |a/4i/|
nicht verschwindet, allgemein:

Diiferencirt man demnach den obigen Ausdruck wirk-
lich, so ergeben sich die «-Gleichungen:

1 "^ Z

die, da die Determinante | ^//v | = /)*• ~ ^ nie Null werden
kann, wiederum die Lagrange'schen Gleichungen: Q^ = . .
Q„ = nach sich ziehen.

Haben die Kräfte P ein Potential XJ. so dass Pjm = — z —

wird, und enthalten die Bedingungen die Zeit t explicit nicht,
so hat man für die lebendige Kraft T einerseits:

a T • a T .

während andererseits, da T auch Funktion von p^ p^ . . ist,

dT ' dT •• dT ^

-TT = Pi :;, r Pi ;r^ + • • • wird :

dt ^ ^Pi ^ ^Pi

hieraus folgt durch Subtraction wegen:

oder

d /ar\

dt\d Pu/

= T.

P/^/ a Pf,, ^

Waattmuth: üeher die Anwendung des Principa etc, 229

Geht man zur Elektrodynamik über und setzt: p, = Ji,
j>2 = J2 • . • sowie

so giebt die Minimumsbedingung (1) eine Eigenschaft
einer linearen Stromverzweigung an. Dabei sind au, a^^
088 .. . die Coefficienten der Selbstinduction des ersten, zweiten
Umlaufes, a,,, a,8, a,8 . . • die Coefficienten der gegenseitigen
Induction, P^ die constante elektromotorische Kraft; ferner
ist ftji der Widerstand des ganzen ersten Umlaufes, ftj, der
des ganzen zweiten Umlaufes u. s. w. und tj, der Wider-
stand jenes Stückes der Leitung, das dem 1. und 2. Umlaufe
gemeinsam ist; 612 ist positiv, wenn e/i und «7, dieselbe,
negativ, wenn sie entgegengesetzte Richtungen haben. Die

3 Z

Ausführung der Minimumsbedingung ^-pr- = liefert: d =

d. 1. Pi = bn e/i + ^n «^2 + • • • + ^in «7» +
j

^ [an e/; + O12 e/a -f . . .] (4) U. S. W.

Das sind — etwas verallgemeinert — jene Gleichungen,
die Herr H. von Helmholtz 1851 (Abhandl. I 435) für die
Induction in linearen Strom Verzweigungen, die man sich in
die möglichst geringe Zahl einfacher Umgänge zerlegt denken
muss, aufgestellt hat.

Für die Arbeit der verzögernden Kräfte erhält man vom

Zeichen abgesehen: --.- d/^i + . . = U^— ^1 + • • k^ = 2Frf^

"^ [^n Ji + 622 «^2* + . • + 2 61.^ J1J2 -{-..] dt d. i. die Joule-
sche Wärme und sind alle Summanden in der Klammer
positiv.

Nun werde angenommen, dass «ja == aia = «as = • • = 0;
®ii = a22 = Obs = . . = a sei, welcher Fall experimentell un-
^Wer zu verwirklichen wäre. Dann wird:

228 Sitzung der math.-phys, Classe vom 5, Mai 1894.

Die Ausführung der Minimumsbedingungen ergiebt:
Ai -R + 02 [Pi ^,2 - k Ai\ + Ö3 [Pi ^13 — k Ai\ =

^12 -R + Ö2 [Pl ^2 — ^2 ^12! + Ö3 [Pl ^23 — k ^12] = ^
^13 -R + Ö2 [Pl ^23 —k ^13] + Ö3 [Pl ^83 - k ^13] =

oder, da die Determinante dieses Systems 2A |-4/"'| =i^i • -D*
nie verschwindet, iJ = und Q2 == 0, Q^ = d. i. das
Princip von der Energie und die Lagrange'schen Gleichungen.
Eliminirt man in der allgemeinen Gleichung A^v Qi
4- A^v Ö2 + • • • + -4>'n ö« = 0, I' = 1 . . w etwa Q, , mit der

Relation: li = 2h ^i ~^ - - - ^^ f'^^S^ natürlich ebenso: J2 = 0,
02 = . . ön = 0.

Nachtrag,

betreffend lineare Stromverzweigungen.

1
Sind 2h . . Pn wiederum cyklische Coordinaten, T= ^a^pl

+ ö^ «22 P2 + • • + «12 Pi P2 + • • die lebendige Kraft und ist

1 • 1 •

F = -^bup] + 2 *22 P2 + . . . + ^iQi^i Pi+ " die von Lord

Rayleigh eingeführte Zerstreuungsfunktion, so kommt zu

jeder Kraft P^ noch die Kraft: — ^-^ = — (61^ px + h^^i 2h

4" . . .) dazu und es ergiebt das Princip des kleinsten Zwanges,

dass

Z'D=2A^,vQi.^Qy=AnQ\'VA,,Ql-\- ,.-{-2A,,Q,Q,+ .. (1)

ein Minimum für jedes Q sein müsse; dabei ist also:

71 I 1 A ^^

^^hX

231

Ueber die Erzlagerstätte von Goldkronach bei
Berneck im Fichtelgebirge.

Von F. V. Sandberger.

{SingOaufen 5, Mai.)

Die seit Jahrhunderten bekannte Lagerstätte ist grössten-
theils schon längere Zeit ausser Betrieb und es war mir
daher nicht mehr möglich, als ich sie im Jahre 1884 be-
suchte, mehr als eine Anzahl Erzstufen auf den Halden zu
finden, unter welchen derber Äntimonglanz und Bruchstücke
des völlig mit Kiesen imprägnirten Nebengesteins vorherrschten.
Gegenwärtig wird nur die Grube Schickung Gottes wieder
betrieben, auf wie lange, ist nicht vorauszusehen. Seitdem
hat C. W. V. Gümbel Goldkronach in der Geognostischen
Beschreibung des Fichtelgebirges S. 385 ff. eine gründliche
von einer Gangkarte begleitete Darstellung gewidmet, die
auf den Gängen auftretenden Mineralien aber nicht specieller
geschildert. Da diese indessen in vieler Beziehung bemerkens-
werth und in Folge früherer Einsendungen des K. Bergamts
Bayreuth in der unter meiner Leitung stehenden Sammlung
der Universität Würzburg fast vollständig vertreten sind, war
ich in der Lage, sie genauer untersuchen zu können. In
der Sammlung des Herrn Apotheker Dr. Schmidt zu Wun-
siedel befinden sich auch Mineralien von Goldkronach, nament-
Wch schöne Krystalle von Antimonglanz und ein Stück mit

230 Sitzung der matK-phys. (Jlasse vom 5, Mai 1894,

Qfi = a . [J, + J2 + . .] — Pfz + hfl Jx + V «A + • • «nd

es muss: Z * a = Q\-\- Q\-\- - - ein Minimum sein, wie klein
auch a genommen wird. Für lim a = werden die Strom-
stärken unabhängig von der Zeit, also constant und es folgt
aus der Bedingung: Z* = ^J + Ö2 + • • = Minimum; Qfj,

d Z^

Die Gleichung: —— = kann, weil die Determinante

d Z^
aus den & nicht verschwindet, durch: r-^r- = ersetzt werden.

Es ist demnach für constante Ströme: Z ' =^^, [ifiißJi-^' O^-^Vl*

/*
für jedes J zu einem Minimum zu machen.

Anmerkung. Eine oft genannte Minimumseigenschaft
für constante Ströme ergiebt sich aus der wohlbekannten
Gleichung:

^^-^ = -2Foder: - [^ + ^+ "^J = ^ (0

worin: Z7=Pi^i4--- das Potential der constanten Kräfte

1 1

vorstellt und wie oben: 2" = — ein /?J -{- . . = ^ «n «/i* + . .

1-1
F =^ ^hnP\ -\- . ^ = ^hnJ\ ^ . ist.

Erlangen die Stromstärken: Ji, Ja., die anfangs Null
waren, für t= 00 ihre vollen Stärken J|, Ji . . so ist (wegen

-, - = TTT "n + • •) ^uch "YT- == und das m 1 rechts
dt d Ji d t dt

stehende F^ das aus lauter positiven Gliedern besteht, erlangt

seinen grössten Werth. Demnach wird die negative linke

Seite in I d. i. P + ^.~ = J: &n ^J + . . - (Pi Jl + P, Ji + • •)

(t t u

ein Minimum für jedes J darstellen.

231

Ueber die Erzlagerstätte von Goldkronach bei
Berneck im Fichtelgebirge.

Von F. V. Sandberger.

{Singelaufen 5. Mai.)

Die seit Jahrhunderten bekannte Lagerstätte ist grössten-
theils schon längere Zeit ausser Betrieb und es war mir
daher nicht mehr möglich, als ich sie im Jalire 1884 be-
suchte, mehr als eine Anzahl Erzstufen auf den Halden zu
finden, unter welchen derber Äntimonglanz und Bruchstücke
des völlig mit Kiesen imprägnirten Nebengesteins vorherrschten.
Gegenwärtig wird nur die Grube Schickung Gottes wieder
betrieben, auf wie lange, ist nicht vorauszusehen. Seitdem
hat C. W. V. Gümbel Goldkronach in der Geognostischen
Beschreibung des Fichtelgebirges S. 385 ff. eine gründliche
von einer Gangkarte begleitete Darstellung gewidmet, die
auf den Gängen auftretenden Mineralien aber nicht specieller
geschildert. Da diese indessen in vieler Beziehung bemerkens-
werth und in Folge früherer Einsendungen des K. Bergamts
Bayreuth in der unter meiner Leitung stehenden Sammlung
der Universität Würzburg fast vollständig vertreten sind, war
ich in der Lage, sie genauer untersuchen zu können. In
der Sammlung des Herrn Apotheker Dr. Schmidt zu Wun-
siedel befinden sich auch Mineralien von Goldkronach, nament-
lich schöne Krystalle von Antimon glänz und ein Stück mit

232 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894.

dem sehr seltenen Kupferkies. Ich statte Herrn Dr. Schmidt
für die Mittheilang seiner Suite den besten Dank ab.

Das Grubenfeld ^) umfasst eine bedeutende Fläche vom
Weissraain-Thale längs dem Thale des Zoppatenbaches über
das Dorf Brandholz hinaus, an welchem die bedeutendste
Grube, die Fürsten zeche , gelegen ist, während andere auf
beiden Seiten des Baches in der Nähe der Dörfer Zoppaten
und Escherlich liegen. Dasselbe ist mit zahlreichen, z. Th.
noch in diesem Jahrhundert von dem preussischen und später
bayerischen Staate, dann von Gewerken betriebenen Bauten
bedeckt. Es hätte keinen Zweck, die Entwickelung und den
Untergang dieser Gruben im Einzelnen zu verfolgen, nur
soviel muss hervorgehoben werden, dass die Gänge am Aus-
gehenden am reichsten an Gold und Silber gewesen sein
müssen. Diese Thatsache erklärt sich hier, wie überall,
durch lange fortgesetzte Verwitterung, welche die edlen
Metalle als solche abschied, während die übrigen gelöst und
weggeführt wurden, wie auch v. GümbeP) mit Recht an-
nimmt. Um auf sicherem Boden zu bleiben, beschränke ich
mich auf die von ihm hauptsächlich nach Hahn's Berichten
gegebene Darstellung der Hauptgänge, muss aber zunächst
Bemerkungen über die Gesteine vorausschicken, in welchen
dieselben aufsetzen.

Das herrschende Nebengestein ist ein Sericitschiefer von
cambrischem Alter, welcher manchen des Taunus sehr ähnlich
sieht, so dass man wohl Handstücke verwechseln könnte,
auch einige sächsische und böhmische Phyllite sind nahe
verwandt.

Die grünlichen Schiefer enthalten neben vorwiegendem
Sericit auch noch Quarzkörner und Chloritschüppchen ; im
Schlämmrückstande befindet sich mikroskopisches Magneteisen

1) Siehe das Kärtchen bei v. Gümbel a. a. 0. S. 386 a.

2) a. a. 0. S. 801.

V. Sandherger: üeber die Erzlagerstätte von Goldkronach, 233

und Eisenkies. Die blassgelb gefärbten Schiefer enthalten
weder Chlorit noch Magneteisen und nur sehr wenig mikro-
skopischen Eisenkies, aber stets Quarzkörnchen, sie sind fast
als reiner Sericit anzusehen. Dem entspricht auch das
Resultat der Analysen von Ad. Schwager.^) Es enthielten
nämlich

1. Ausgesuchter

2. Reiner Sericit

3. Nicht ganz

Sericit von Gold-

von Nanrod

reiner Sericit

kronach nach

nach List

von Naarod

Schwager

nach Schwager

Kieselsäure

45,88

49,00

49,53

Titansäure

1,59

Thonerde •

33,96

23,65

28,97

Eisenoxyd

4,57

8,07

7,26

Kalk

0,22

0,63

0,14

Bittererde

0,83

0,93

2,46

Kali

9,32

9,11

7,43

Natron

0,52

1,75

0,12

Wasser und

Glühverlust

4,89

3,44

4,97

100,26

98,17*)

100,88 3)

um etwa in geringer Menge vorhandene Metalle im
Goldkronacher Gestein zu entdecken, wurden wiederholt
10 — 12 g des Gesteinspulvers mit kohlensaurem Natronkali
aufgeschlossen. Nach Abscheidung der Kieselsäure ergab
Schwefel wasserstoflFgas in der salzsauren Lösung einen Nieder-
schlag, welcher vorwiegend Antimon, weniger Arsen und
recht wenig Blei und Kupfer enthielt; Kobalt wurde nach
Abscheidung des Eisens ebenfalls in sehr geringer Menge

1) V. Gümbel, Sitzungsber. d. k. b. Akad. d. Wissensch., math.-
natarw. Cl. 1880, S. 228 fF.

2) Ausserdem Fluorsilicium 1,69, Phosphorsäure 0,31.

3) In 12 g desselben ausserdem Arsen, sehr wenig Blei und
Zink. (Sandberger.)

234 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 5. Mai 1894,

nachgewiesen. Diese Elemente habe ich meistens schon 1882
als in dem Gestein von Goldkronach enthalten angeführt.^)
Um sich zu überzeugen, ob nicht eins oder das andere der-
selben aus dem in minimaler Menge eingesprengten Eisen-
kiese herrühre, wurde dieser für sich untersucht und frei
davon gefunden. Antimon u. s. w. gehören also der Sericit-
substanz an, wie an so vielen anderen Orten den Glimmern,
z. B. jenen der Gneisse des Spessarts, dem des Granits von
Magurka in Ungarn u. s. w. Dass Antimon (und Arsen)
in den Silicaten als antimonige (bezw. arsenige) Säure als
Vertreter von Thonerde auftreten, ist unzweifelhaft, der
Spinell von Tiriolo in Calabrien hat ja längst den Beweis
geliefert.

Organische Substanz ist beim Glühen deutlich wahr-
nehmbar und findet sich in Spuren auch noch in stark zer-
setzten Schiefern. Wo sie in grösserer Menge und schwarz
färbend auftritt, sind die Schiefer der Erzführung ungünstig
gewesen.*)

Schliesslich wurden auch die in Wasser löslichen Be-
standtheile untersucht. Zieht man den Goldkronacher Schiefer
2 Tage mit destillirtem Wasser in der Wärme aus, so giebt
die Lösung sehr deutliche Reactionen auf Schwefelsäure und
schwächere auf Chlor, welche an Kali gebunden sind; Natron
tritt nur in geringster Menge daneben auf.

Die in der Nähe der Gänge vorkommenden stark ge-
bleichten Schiefer sind wie so viele andere ausgelaugte
Sericitgesteine ganz zu Schüppchen aufgelöst. Ebenso ver-
halten sich die zahlreichen Bruchstücke derselben, welche
in der Gangmasse eingeschlossen sind.

Ein zweites Nebengestein kommt nur an dem Gange
der Grube Silberne Rose bei Zoppaten vor und soll dessen

1) Untersuchungen über Erzgänge I S. 31, II S. 236.

2) V. Gümbel, Geogn. Beschreib, d. Fichtelgebirgs S. 386.

V. Sandherger: üeber die Erzlagerstätte von Cröldkronach. 235

Hangendes bilden, während als Liegendes Sericitschiefer an-
gegeben wird. Es ist ein feinkörniger Diabasmandelstein
(Blatterstein) von graugrüner Farbe, welche in der Nähe
des Ganges lichter wird, und führt ausser zahlreichen von
Chlorit umschlossenen Kalkspathmandeln auch Gruppen von
Eisenkieskrystallen. Weisser Kalkspath bedeckt in dünnen
Ueberzügen auch seine zahlreichen Kiüftchen. Ein grösseres
verhältnissmässig frisches Stück dieses bereits v. GümbeP)
angeführten Gesteins lässt in der matten Grundmasse stellen-
weise noch Plagioklaskrystalle erkennen, der Augit scheint
aber schon ganz in Chloritsubstanz umgewandelt zu sein.
Magnetkies und Magneteisen sind in mikroskopischen Körn-
chen in dem Schlämmreste deutlich nachweisbar, auch Apatit
fehlt nicht.

Kalte Salzsäure löst Kalkspath und Magnetkies auf, er-
hitzte zersetzt auch den Chlorit und die meist schon stark
angegrififenen Reste des Feldspaths.

Die Lagerung des Gesteins ist nicht genau bekannt,
doch darf mit grosser Wahrscheinlichkeit angenommen werden,
dass dasselbe einen kleinen Stock oder Gang in dem Sericit-
gesteine bildet.

Die bei Zoppaten anstehenden schwarzen silurischen
Gesteine mit Graptolithen treten, soviel bekannt, zwar sehr
nahe an den Gang heran, kommen aber mit ihm nicht in
unmittelbare Berührung.

Wie V. Gümbel folge auch ich in Bezug auf die Auf-
fassung der Gänge den Mittheilungen des langjährigen Leiters
des Grubenbetriebs, Bergrath Hahn in Bayreuth. Die Lage
derselben ist auf dem von ersterem beigegebenen Kevier-
kärtchen gut zu übersehen.

Hahn nimmt bei Brandholz drei Hauptgänge an, näm-
lich den Kiesgang mit h. 2,4 Streichen und 60° südöstlichem

1) a. a. 0. S. 393.

236 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5, Mai 1894.

Einfallen, den Spiessglanzgang h. 12,7 streichend und den
Quarzgang, welcher zu Anfang der sechziger Jahre aufge-
schlossen, aber wegen der Armuth seiner Erze nicht weiter
bebaut wurde. Auch die letzteren Gänge fallen südöstlich.
Die Gänge der Grube Silberne Rose bei Zoppaten, deren
Streichen 4 h 5 mit 50° Fallen zu sein scheint, und Schickung
Gottes bei Escherlich, h. 1,8 streichend, sind offenbar selbst-
ständig, obwohl ihre Ausfüllung dieselbe ist, wie jene des
Spiessglanzganges. Was die Mächtigkeit betriflft, so wird
für den Kiesgang l^am als Maximum angegeben, für den
Spiessglanzgang 1 m, gewöhnlich scheint sie aber geringer zu
sein, ich habe an .Handstücken meist nur 10 cm beobachten
können. Es giebt zwar noch manche Erzgänge, an welchen
das sogenannte höfliche d. h. an eingesprengten Erzen reiche
Nebengestein ^) entwickelt ist, aber mit Ausnahme von solchen
der Gegend von Freiberg,*) Schapbach und Wittich en, sowie
mancher Zinnerzgänge habe ich es doch anderswo nicht
leicht so schön gesehen. Neben dem Kiesgange und bis zu
beträchtlicher Entfernung von ihm führt der stark gebleichte
und hier und da von weissen Quarztrümem durchsetzte
Schiefer zahllose bis erbsengrosse Eiseukieskrystalle. Die

Formen — - — , ooOoo. — - — und seltener auch ooOoo.

sind meist sehr hübsch entwickelt. Der Arsenikkies in den

Formen c» P. ^/4 P oo ist weniger häufig , fehlt aber doch
selten ganz. Der durchschnittliche Goldgehalt der Kiese
wird nur auf ^/^ bis ^/a Loth im Centner angegeben und der
Betrieb konnte daher nicht lohnend sein.

Die Gangausfüllung, welche sehr gewöhnlich Brocken
von zersetztem Nebengestein umschliesst, zeigt nur selten

1) Untersuchungen über Erzgänge I S. 149.

2) Vortrefflich beschrieben aber nicht erklärt von Vogelgesang
(Cotta's Gangstudien II S. 80) und Frenze! (Min. Lexikon für Sachsen

S. 28).

V, Sandberger: lieber die Erzlagerstätte von Göldkronach, 239

Das Gold ist silberhaltig und darum licht gefärbt, das Ver-
hältniss von Silber zu Gold ist- in den wenigst reichen Proben
4:1, aber in anderen wohl höher.

2. Eisenkies ist in grosser Menge in bis erbsengrossen

Krystallen — - — , — - — . oo oo, selten auch mit com-

binirt in dem höflichen Nebengestein, aber stellenweise auch
im weissen Quarze der Gänge eingewachsen und stets schwach
Silber- und goldhaltig. Der Gehalt an Gold ist sowohl durch
die hüttenmännische Probe als auch auf nassem Wege durch
Behandlung des scharf gerösteten Erzes mit alkoholischer Jod-
lösung nach der Methode von Skey (Dingler's Journal CXC.
S. 58) nachgewiesen worden. Ausser den erwähnten Elementen
enthält das Mineral zuweilen noch sehr wenig Kobalt und
Arsen, aber keine Spur von Antimon.

3. Arsenikkies. Verhält sich wie der Eisenkies, ist
aber nicht ganz so häufig. Schöne Erystalle zeigen die
Form 00 P. ^^ P oo, sind aber stets ziemlich klein. Da mich
der Arsenikkies wegen seines Antimongehaltes lebhaft inte-
ressirte, so wurde er näher untersucht. Das specifische Ge-
wicht ergab sich zu 6,09 bei 4® C. Die quantitative Ana-
lyse hatte Herr Hofrath Hilger freundlichst übernommen,
der Gehalt an Silber wurde in der K. K. Probiranstalt zu
Pfibram auf trockenem Wege bestimmt, wobei sich auch
ein sehr kleiner Goldgehalt ergab. Das schon einmal ge-
legenthch^) mitgetheilte Resultat der, Analyse war folgendes:

Schwefel .

. 20,84

Arsen

. 41,36

Antimon .

. 3,73 entspr. 2,29 As

Eisen

. 34,07

Kobalt

. Spur

Silber

. 0,002

100,002.

|43,

65 As

1) Jahrb. f. Mineralogie 1890 I S. 99.

238 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5, Mai 1894.

f) 1. Derber Plagionit. 2. Eisenspath in Rhomboedern.

3. Meneghinit in netzförmigen Aggregaten.

g) 1. Weisser derber Quarz. 2. In Höblungen Krystalle
desselben. 3. Magnetkies OP. oo P in kleinen Krystallgruppen.

4. Bleihaltiges Federerz, haarförmig.

h) 1. Weisser Quarz mit eingesprengtem Antimonglanz.

2. Eisenspath in linsenförmigen Rhomboedern. 3. Strahliger
Antimonglanz in Krystalle der Form oo P. ^/a P. oo P 2 aus-
laufend. 4. Antimonocker auf Klüften.

i) 1. Blassfleischrother Braunspathin grosskörnigen Massen
und Rhomboedern. 2. Strahliger Antimonglanz wie oben.

k) 1. Quarz. 2. Derber Antimonglanz, an der Oberfläche
erdig und voll von Höhlungen, z. Th. mit gediegenem Antimon.

3. Antimonglanz in den oben angegebenen Formen krystalli-
sirt. 4. Kalkspath in kleinen verzerrten Krystallen R*. oo R.

1) 1. Weisser Quarz. 2. Strahliger Antiraonglanz ge-
mengt mit wenig gelbbrauner Zinkblende.

m) 1. Antimonglanz in der gewöhnlichen Form kry-
stallisirt. 2. Antimonblüthe in Büscheln farbloser Nadeln.
(Schmidt'scbe Sammlung).

n. Silberne Rose bei Zoppaten.

1. Diabasmandelstein s. oben. 2. Lichter Braunspath,
dünne Lage. 3. Grossstrahliger Antimonglanz. Quarz fehlt
auffallender Weise hier völlig.

Es wird nun nöthig sein, die einzelnen Mineralien der
Gänge etwas genauer zu betrachten.

L Gediegen Gold habe ich nur einmal eingewachsen
in bläulichem Quarze mit Kiesen gesehen, aber es kam
ausserdem auch in grösseren Körnern und Blättchen vor
und ist in früherer Zeit jedenfalls auch an dem verwitterten
Ausgehenden und im Alluvialschutt reichlich getrojflfen worden.*)

1) y. Gümbel, Geognost. Beschreibung des Ficbtelgebirges S. 301.

V. Sandherger: üeher die Erzlagerstätte von Goldkronach. 241

in Ungarn und Ratten berg in Tyrol, wo der verhältniss-
mässig junge Antimonglanz eines der Auslaugungsprodukte
von Fahlerzen bildet.

Von Oxydationsprodukten kommen spärlich Antimonocker
und Antimonblüthe vor, s. diese.

5. Nach Originalstücken, welche Herr Bergrath Hahn zur
Sammlung desk. Oberbergamtes eingesendet hat, kommt in drü-
sigen Höhlungen ausgeschieden auch gediegen Antimon vor.

6. Plagionit. Ist zu Goldkronach nicht häutig und
findet sich in meist vereinzelten Krystallen oder derb. Die
Flächen P und — P treten nicht selten in oscillatorischer
Combination mit Pyramiden auf und sind daher parallel den
Combinationskanten stark gefurcht, wie zu Wolfsberg ^), gut
zu erkennen ist + P, oo P oo und — 4 P. Leider sind die
Krystalle aufgewachsen und mit einander verwachsen, so dass
genaue Bestimmungen der Flächen z. Z. unausführbar er-
scheinen. Mit dem Wolfsberger Vorkommen, von welchem
die Würzburger Sammlung ein gutes Stück enthält, könnte
unseres geradezu verwechselt werden. Ausserdem ist der
Plagionit eingesprengt und derb beobachtet worden. Die
derbe Varietät ist wiederholt irrig für Fahlerz und Bournonit
gehalten worden, welche zu Goldkronach nicht vorkommen.
Der derbe Plagionit enthält wie der krystallisirte kein Kupfer.
Er findet sich auch zu Wolfsberg und bei Arnsberg in West-
phalen,*) hier mit kleinen Drusen, in welchen Kryställchen

P. — P nicht selten sind.

7. Meneghinit. Langgestreckte, bis 5 mm lange und

1 ^/a mm breite, stets schilfilhnlich gestreifte Säulen von blei-
grauer Farbe, welche sich den „Sagenit** genannten Rntil-
aggregaten ähnlich häufig unter 40° kreuzen, bedecken
derben Plagionit oder finden sich mit Eisenspath verwachsen

1) Lödecke, Jahrb. f. Min. 1883 II ö. 116.

2) Sandberger, Jahrb. f. Min. 1883 II S. 94.

18M. MAtli.-phys. Ol. 2. 16

240 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 5. Mai 1894,

Ein Arsenikkies von dieser Zusammensetzung war bis-
her nicht bekannt, denn Breithaupt's Geyerit, welcher auch
1,37 Antimon enthält, gehört nach Behnkes Analyse nicht
hierher, sondern zu den vielen Mittelgliedern zwischen Ar-
senikkies und Arseneisen.

4. Antimonglanz. Ist nächst den Kiesen das häufigste
und in Masse vorkommende Mineral der Gänge, welches
früher hauptsächlich wegen seines Silber- und Goldgehaltes
geschätzt wurde, der aber nicht hoch ist, da in einer reinen
Probe zu Ffibrara nur 0,0016 Silber nebst Spuren von Gold
gefunden wurde. Gegenwärtig würden die hohen Antimon-
preise ein erfreulicheres Resultat für die geförderten Erze
liefern können, ob aber die noch von früherem Abbau her
gebliebenen Reste eine Wiederaufnahme der Gruben räthlich
erscheinen lassen, vermag ich nicht zu beurtheilen.

Der Antimonglanz kommt in vielerlei Abänderungen
vor. Sehr häufig sind grossstrahlige Massen, deren Strahlen
bis zu 92 mm Länge bei 8 mm Breite erreichen. Wechselnde
Lagen von grossblätterigen mit feinkörnigen Aggregaten,
welche sich der „Bleischweif" genannten Varietät des Blei-
glanzes durchaus analog verhalten, sind schon seltener und
solche von rein feinkörniger Struktur ebenfalls, aber auch
an eingesprengten Körnern mit sehr schwach entwickelter
Spaltbarkeit fehlt es nicht. Recht selten sind wohlausge-
bildete, aber nur 4 mm lange und 2 mm breite Krystalle
der Form oo P. ^j^ P.oo P^ mit stark gestreiften Säulenflächen.
Ich habe dieselben in zahlreichen Gruppen nur auf derbem
an der Oberfläche mulmigem und mit zahlreichen Höhlungen
versehenem, z. Th. mit gediegenem Antimon ausgefällten
Antimonglanz beobachtet. Es scheint demnach, als ob die
Oberfläche von alkalischen Gewässern angenagt, aber das
gelöste Schwefelantimon an Ort und Stelle wieder abge-
setzt worden sei. Die eben genannte hübsche Combination
kommt an vielen Orten vor, besonders schön auch bei Kapnik

V. Sandherger: Ueber die Erzlagerstätte von Goldkronach, 243

welchen Breithaupt ^) auch mit beiden zusammen beobachtet
hat, ist mir in dieser Form nicht zu Gesicht gekommen.

11. Magnetkies in Gruppen kleiner rauhflächiger
Tafeln (0 P. oo P) in Drusen des Quarzes aufsitzend ist sehr
selten, war aber schon Breithaupt*) bekannt, seine Bedeckung
durch Federerz habe ich schon erwähnt. In der Würzburger
Sammlung ist nur ein Stückchen davon vorhanden.

12. Kupferkies habe ich nur an einem Stücke, welches
der Schmidt^schen Sammlung angehört, in kleinen derben Massen
mit Arsenikkies in weissem Quarze eingesprengt beobachtet.

13. Zundererz. Findet sich in dunkelrothen weichen
Ueberzügen besonders auf Plagionit, ist aber recht selten.
Es ist zwar jenem von Clausthal sehr ähnlich und enthält
auch Blei wie dieses. Breithaupt (a. a. 0.) erwähnt es auch
von Goldkronach. Alles bisher Angeführte gilt auch für das
von Hausmann^) constatirte Vorkommen des Zundererzes bei
Wolfsberg. Seine hochrothe Färbung kann aber nicht von
eingemengtem Rothgültigerze herrühren, da solches zu Gold-
kronach nicht vorkommt. Es besteht vielmehr offenbar
wesentlich aus Rothspiessglanzerz im Gemenge mit einem
Bleisalze und erdigem Plagionit.

14. Gelber erdiger Antimonocker erscheint hier und
da auf Klüften von derbem Antimouglanz.

15. Antimonblüthe in strahligen Büscheln farbloser
Krystalle auf Antimonglanz sitzend ist sehr schön in der
Schmidt'schen Sammlung vertreten.

16. Steinmark. Weisse opake Massen, an welchen man
unter dem Mikroskope zuweilen Krystallflächen wie bei dem sog.
krystallisirten Kaolin zu bemerken glaubt, ist in geringer
Menge über Quarz, häufig aber über Plagionit und Meneghinit
zu beobachten. Das Löthrohr ergiebt reine Thonerdereaktion.

1) Paragenesis der Mineralien S. 192.

2) Ebenda S. 192.

3) Handbuch d. Mineralogie I S. 195.

16*

242 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 5. Mai 1894,

in Drusen des Gangquarzes. Ueber ihr Krystallsystem lässt
sich darum keine Gewissheit erlangen, weil die Enden nicht
gut ausgebildet sind, sondern wie ausgefranst erscheinen und
auch die Lage der etwaigen Spaltungsflächen nicht mit Be-
stimmtheit constatirt werden kann. Die Härte des spröden
Minerals ergab sich zu 3, das spec. Gewicht zu 6,4. Vor
dem Löthrohre schmilzt das Mineral leicht unter Bedeckung
der Kohle mit Beschlägen von Antimon- und Bleioxyd, von
heisser Salzsäure wird es unter Entwickelung von Schwefel-
wasserstoff leicht gelöst. Als Bestandtheile wurden qualitativ
Blei, Antimon und Schwefel nachgewiesen. Eine zuverlässige
quantitative Analyse konnte bisher wegen Mangel an Material
nicht ausgeführt werden.

Der von Groth^) angeführte Antimonglanz von Goldkro-
nach in sagenitähnlichen Aggregaten gehört zweifellos hierher.

8. Federerz. Haarförmige bleigraue Kryställchen,
welche Plagionit umhüllen oder auf Meneghinit oder Magnet-
kies aufgewachsen sind, reagiren auf Antimon, Blei und
Schwefel, sind also achtes Federerz, welches auch äusserlich
mit jenem von Wolfsberg auf das Genaueste übereinstimmt
und daher wohl auch als haarförmiger Jamesonit zu betrachten
ist. Es findet sich immer nur in sehr geringer Menge und
eine quantitative Analyse war daher nicht möglich. Ein
eigenthümliches Vorkommen ist jenes von der Schmutzler-
zeche, wo Federerz in Tausenden von haarfeinen Kryställchen
grossblätterigen Braunspath erfüllt und schwarz färbt.

9. Bleiglanz ist mir in mittel- und feinkörnigen Aggre-
gaten, auch mit Antimonglanz gemengt bekannt geworden.
An einem Stückchen fand sich auch ein deutlicher Würfel.
Häufig war das Mineral nicht.

10. Zinkblende von braungelber Färbung kommt selten
im Gemenge mit strahligem Antimonglanz vor. Bleiglanz,

1) Mineralien-Sammlung der Universität Strassburg S. 22.

-*>£-;

hat. KC mir in £!ser Fjrni ni^i* m G^i^hü e-Ä'^cai^EL.

Tafefai ••> P- 1 P fit E^rasec «ies •^^iatzcs a;is£3i3i«i ä=t setr
aehen. wir aber iebjc Bnäiuopc^« b»^kdiZinc. ^ein«^ B^i-eekru
durch Faicuaz balie kk =efc5ii er^üüL Li i*r Wanbfmz«"
Sammlmig kc iii:r «ü Sc^ek>!^h«c <3aT<>a Tc-rharj^t,

12- K'ipferki*^ äabe xk ntir an -»iibHn S-iSck*- w.»lek.a5
der ScliiiiiiiK'%^k«fL SamFr.fing ^in^zraon. in kleizii«! i'^riwc 3la9s*Hi
mit AisoEikkies m. wikeeni vfiarzi* *iii2»«p?^n^ fc-e»:'back»t-

13- Zaii<ier«e-ri. Fini« ^«th :n •iirLk*iir*}ch«L wTe^iwB
üebenngeii besooins acf Pia;?i*j<Ln. ^ aber r^i^hc «eltefi.
& iät zwar }ücjsxcl toc ClansdiÄl sehr ihrlki "in*! «LtfcÄh
auch Kei w» iKsef- Br«rhc.4:ipc •*- a. O.» erwiknt «es a-^rk
von GoUkroBaeii. AZe» büsker Ar. g-rf^kng gii^ aaek flr iis
von Haoanaim'i ^«cacasirir V.:.rto3i3L!Tn i-s Zeli i*r^rzi=s bei
Wolfelwrjr- Sm* k':«krcCt--* Farb'iii^ kam: ac*r ni-ih: ti-c
eingemecgtaem R«k2^hi^*rxf* k-rrrikr^n. ia §ol!k-=s n Giii-
krooaeh citkc Tx-korrrr>^, E* be&trrk:: TiTln-rkr :r*-'rtir
wesendiek aas RiicksTri-esfieiAzu^rz in »j-rci-rEze =ii cin-rci
Bleissdze an»! erü^^n: Pl^y.^iz.

14- Gelber eriig^ A- iiroi. jcker er=i:k*ini kier -ini
da auf Kiöfken t-xi iisr^.ec: AzirL:L:iH?Iar.z-

15. ActitE.-^iL'^I'^'rk-r :n runiliz-rn Büsrkelr. £ir:L-c<=er
Enr^talle auf AniiaiOT. z ar 7 •iizir::! i*;: ^ekr sck'a in ier
Schmidt*iieiii»i S*ai3:l:n2 T^nTr^rrn.

16- Steicmark- W-ri*e :z«i£^ ili^ee«. an w^kk^ai csan
onter dem Mikr>*i'0Oi r::wiL-Tn £rg^'A."::.V:k-^ wi* ce: -irx i*>z.
kiTataliismen K^!>lin z;:i lem^irrT. zla'V:. i=n in r-rrinz-rr
Menge £fcer *L/:ukrz. kl-nz i\er Vier ?-izi.-i* "-i ilrz-i-zkini":
zu beobaclLten. t)»»* LT^kr.kr -r.-zirV: r-rin-^ Ti:i.-=:r:Tr?ak^>.n.

2> Eb«9da S. 1>2.

244 Sitzung der math.'phys, Classe vom 5. Mai 1894.

17. Schwerspath wird von v. GümbeP) als Seltenheit
von der Grube Schickung Gottes angeführt, ich habe ihn
nicht gesehen.

18. Braunspath. Ist auf den Gängen ziemlich ver-
breitet, aber in Folge seines hohen Eisenoxydulgehaltes meist
schon mehr oder weniger stark zersetzt. Das frischeste Stück
mit erbsengrossen rauhflächigen, aber nicht gekrümmten
Rhomboedern, deren Winkel über 106^ betragen, gehört der
Schmidt^schen Sammlung an. Das Mineral ist im Grossen
blass fleischroth gefärbt, die kleineren Spaltungsstückchen
sind aber weiss wie auch das Pulver. Das spec Gewicht beträgt
3,05. Die quantitative Analyse des Herrn Hofrath Hilger
in München ergab als Zusammensetzung:

Kohlensaures Eisenoxydul . . 18,470
kohlensaures Manganoxydul . . 3,063
kohlensaurer Kalk ... 56,066
kohlensaure Bittererde . . 21,997

~~99;596.

19. Eisen spath. Kleine linsenförmige Rhomboeder
kommen nicht häufig in Drusen des Gangquarzes mit Meneg-
hinit oder Antimonglanz verwachsen vor. Der Spath ist
chemisch rein, d. h. er enthält keinen Kalk und Bittererde.

20. Kalkspath. Gehört zu den allerjüngsten Bildungen
und sitzt in kleinen verzerrten Krystallen der Form R*. ooR
über krystallisirtem Antimonglanz. Der Kalkspath gehört
zweifellos der Breithaupt'schen Varietät diamesus syngeneticus
an und ist recht selten.

Aus dem Vorhergehenden geht mit aller Bestimmtheit
hervor, dass die Elemente von sämmtlichen auf den Erz-
gängen vorkommenden Mineralien in dem Sericitschiefer und
nur in diesem auftreten, an welchen ja auch die Erzgänge
gebunden sind. Die Proterobasdurchbrüche mögen wohl

1) a.a.O. S. 301.

«. Sandberger: üeber die Erzlagerstätte von Goldkronach, 245

bd der AufreissoDg der Gangspalten mitgewirkt haben,
Erze haben sie denselben aber nicht zugebracht, da ihnen
die Elemente derselben fehlen. Ebenso verhält es sich auch
nach Liebe's^) vortreflFlicher Schilderung in der Gegend von
Schleiz n. a. 0. der reussischen Fürstenthümer.

Es fragt sich nun, wie man sich die Ausfüllung der
Gänge zu denken hat. Die drei häufigsten Erze sind un-
zweifelhaft Eisenkies, welcher vorzugsweise in dem hoflichen
Nebengestein und ebenso wie dort mit Arsenikkies in den
lichten derben Quarzen auftritt, dann Antimon erz, vor Allem
Antimonglanz. Die Sericitschiefer enthalten, wie oben nach-
gewiesen, stets schwefelsaures Kali und oi^nische Substanz,
welche dasselbe zu Schwefelkalium reduciren konnte und
zweifellos reducirt hat. Wo dies der Fall war, musste die
organische Substanz grosstentheils verschwinden und wo sie
noch in grosserer Menge vorhanden ist, hat daher dieser
Reductionsprocess, dessen Produkte die Erze aus dem Schiefer
auslaugen und den Gangspalten zufuhren konnten, nicht oder
nur in geringem Grade stattgefunden. Das Fehlen der Erze
an diesen dunklen Gesteinen erklärt sich damit von selbst.

Sobald sich in dem Schiefer, welcher 4^/iproc. Eisen-
oxyd enthält, dieses gleichfalls unter Mitwirkung organischer
Substanz zu kohlensaurem Oxydul umgewandelt hatte, wurde
es von Schwefel kalium ausgefallt und fixirt. Da auch
Schwefelgold in Schwefelkalium löslich ist, so ist dieses
gleichfalls ausgelaugt und mit dem Schwefeleisen niederge-
schlagen worden, ebenso auch das Silber.*) Die Auslaugung
des Eisens im Nebengesteine dauerte nur so lange fort, bis
das Gestein breiartig erweicht war und daher den Flüssig-

1) üebersicht über den Schichtenaufbau Ost-Thuringena in Ab-
handlungen zur geolog. Karte von Preussen nnd den Tharing. Staaten,
Bd. V 4. S. 515.

2) Dieses kann sehr wohl ursprünglich als Chlorsilber-Chlor-
kalium ausgezogen und durch Schwefel kalium zersetzt worden sein.

246 Sitzung der math.-phys. Classe vom 5, Mai 1894,

keiten keine ungehinderte Bewegung nach der Gangspalte
mehr gestattete; dann war aber der Quarz, welcher diese
allmählich ausfüllte, natürlich sehr arm an Erzen, wie der
sogenannte Quarzgang deutlich beweist. Es giebt ja auch
sonst im Erzgebirge, Schwarzwald, Alpengebirge und rheini-
schen Schiefergebirge Gänge genug, an welchen die gleiche
Erscheinung zu beobachten ist.

Aehnlich dem Eisenkiese verhält sich der weniger häufige
Arsenikkies, welcher im Gegensatze zu dem von Antimon
ganz freien Eisenkies ausnahmsweise bereits 3,7 proc. Antimon
enthält. Aber sowohl der bleihaltige Meneghinit als der
Antimonglanz selbst sind jünger als die eisenhaltigen Kiese
und treten erst nach jenen auf. Besonders deutlich sieht
man das auf Klüftchen des „höflichen" Nebengesteins und
auf solchen derjenigen Gänge, welche in weissem Quarz ein-
gesprengte Kiese enthalten. (Paragenetische Beispiele a und b.)
Die weit grössere Affinität von Eisen zu Arsen als zu Antimon
tritt hier ebensowohl hervor als an anderen Orten, z. B. zu
Thomasschlag in Böhmen; auch auf den Bräunsdorfer Gängen,
welche in Folge von grossem Ueberschusse von Antimon im
Nebengesteine sogar Verbindungen desselben mit Eisen (Ber-
thierit) enthalten, ist der schwach silberhaltige Arsenikkies
(Weisserz) älter als die Antimonerze. ^) Das erklärt sich
durch den umstand, dass Schwefelkalium-Schwefelarsen leichter
löslich als die entsprechende Antimon Verbindung ist, aber
auch von Eisensalzen leichter zersetzt wird, als diese.

Dem massenhaften Auftreten des Antimonglanzes ging
zu Goldkronach das verhältnissmässig seltene von zwei blei-
haltigen Antimonerzen, dem Plagionit und Meneghinit, voraus,
welche vermuthlich nur lokale Bildungen an solchen Stellen
sind, wo Blei in grösserer Menge vorhanden war. Das blei-
haltige Federerz ist nur eine ganz lokale Erscheinung, ge-
hört aber auch zu den älteren Gliedern der Gangausfüllung,

1) H. Möller in v. Cotta's Gangstudien I S. 181.

249

Ueber die Hirne verschiedener Hunderacen.

Von N. Rüdinger.
(Eingelaufen 2. Jttli.)

Die folgenden vorläufigen Mittheilungen betreffen die
Ergebnisse einer mehrjährigen Untersuchung an den Hirnen
verschiedener Hunderacen, insbesondere die Feststellung des
»absoluten und relativen Gehirngewichts" bei den-
selben.

Bei der Bestimmung des Körpergel^'ichtes der Hunde
hat sich ergeben, dass dasselbe bei einer und derselben Race
und bei gleichem Alter der Thiere eine grosse Schwankung
haben kann, welche wesentlich abhängig ist von der grösseren
oder geringeren Fettablagerung und dem Grade der Muskel-
ausbildung bei den verschiedenen Thieren.

Man erhält daher bei den Gewichtsbestimmungen des
Körpers und des Hirns an mehreren Hunden zuweilen Zahlen,
welche bei der Berechnung des relativen Hirngewichtes keinen
korrekten Ausdruck geben. Zwei gleichschwere Hirne zweier
Hunde, welche gleichgross und gleichaltrig sind, aber in
Folge einer bedeutenden Fettablagerung bei dem einen und
hochgradiger Magerkeit bei dem andern Thier ganz ungleiche
Körpergewichte zeigen, ergeben bei der Berechung des rela-
tiven Gewichtes auffallende Unterschiede. Diese Differenzen
mögen ausgleichbar werden, wenn eine grössere Untersuchungs-
i*eihe, als dies zur Zeit der Fall ist, vorliegt, und dann nur

248 Sitzung der mathrphys, Classe vom 5, Mai 1894,

Die Goldkronacher Erzlagerstätten liefern wieder einen
schönen Beleg für die Ausfüllung der Gangspalten durch
Auslaugungsprodukte des Nebengesteins und gehören zu jenen,
deren Antimonglanz als primitiver Körper auftritt und nicht,
wie das sonst so oft vorkommt, als Zersetzungsprodukt älterer
Erze, namentlich Fahlerze angesehen werden kann. Ihnen
überaus ähnlich verhalten sich zunächst die Gänge der Gegend
von Schleiz, jene von Wolfsberg am Harze, sowie zahl-
reiche andere, welche in Glimmer- und Sericitschiefer der
Alpen, in Böhmen, bei Welschsteinach im Kinzigthale,
St. Trudpert im Münsterthale ^) und Sulzburg im Schwarz-
wald vorkommen. Ausserdem finden sich goldhaltige Antimon-
glanze auch in Gängen des Dacits, aber auch in älteren
Gesteinen Ungarns und Siebenbürgens^) und in den Gneissen
der Alpen (Gastein, Rauris u. s. w.) und Böhmens (Michels-
berg u. a. 0.), sowie im Granit z. B. bei Magurka, Bocza und
Lubella in Ungarn, Schönberg, Mileschau und Bitis in
Böhmen, um nur bekanntere europäische Vorkommen zu
citiren.

Die Goldkronacher Gänge vertauben in geringer Tiefe
gänzlich, so der Hauptgang bei 71 m unter der tiefsten
Stollensohle, der Schickung Gottes-Gang sogar schon bei
45 m unter Tag.

Es ist nicht meine Aufgabe, auch die Grubenbauten
und deren Erträge zu schildern, da alles Nöthige in v. Güm-
bels Darstellung geboten ist. Leider muss man nach auf-
merksamer Würdigung derselben auch seinem Endurtheile
beistimmen, dass dieses Grubenfeld wohl niemals wieder eine
Blüthezeit erleben wird.

1) Der Antimonglanz wurde s. Z. von Walchner und später auch
von G. Leonhard irrig als Zinkenit angesehen, der im Schwarzwald
nur bei Hausach vorkommt.

2) Zu Hideg-Szamos ist Sericitschiefer das unmittelbare Neben-
gestein, wie zu Goldkronach.

249

Ueber die Hirne verschiedener Hunderacen.

Von N. Rüdinger.

(EingelaufeH $. Juli.)

Bei der Bestimmung des Körpergewichtes der Hunde
hat sich ergeben, dass dasselbe bei einer und derselben Race
und bei gleichem Alter der Thiere eine grosse Schwankung
haben kann, welche wesentlich abhängig ist von der grösseren
oder geringeren Fettablagerung und dem Grade der Muskel-
ausbildung bei den verschiedenen Thieren.

Man erhält daher bei den Gewichtsbestimmungen des
Körpers und des Hirns an mehreren Hunden zuweilen Zahlen,
welche bei der Berechnung des relativen Hirngewichtes keinen
korrekten Ausdruck geben. Zwei gleichschwere Hirne zweier
Hunde, welche gleichgross und gleichaltrig sind, aber in
Folge einer bedeutenden Fettablagerung bei dem einen und
hochgradiger Magerkeit bei dem andern Thier ganz ungleiche
Körpergewichte zeigen, ergeben bei der Berechung des rela-
tiven Gewichtes auffallende Unterschiede. Diese Differenzen
mögen ausgleichbar werden, wenn eine grössere Untersuch ungs-
reihe, als dies zur Zeit der Fall ist, vorliegt, und dann nur

250 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 5, Mai 1894,

Normalthiere mit Fettgehalt und Muskelentwicklung mittleren
Grades miteinander verglichen werden.

So habe ich die Gewichtsangaben von zwei Thieren in
einer zuerst angelegten Tabelle wieder gestrichen, weil die-
selben von allen übrigen Gewichtsbestimmungen verschieden
grosser Hunde eine so hochgradige Abweichung zeigten, dass
ich einen Irrthum bei der Notirung des Körpergewichtes
vermuthete. Allein weitere Beobachtungen Hessen erkennen,
dass das allzugeringe Körpergewicht in den beiden Fällen
die Folge einer Infectionskrankheit, an denen die Hunde zu
Grunde gingen, war. Bei allen weiteren derartigen Unter-
suchungen der Thiere ist stets eine hochgradige krankhafte
Veränderung des Körpers mit in Betracht zu ziehen, wenn
dieselben verwerthbare Resultate ergeben sollen.

Um eine Uebersicht über diese Gewichtsergebnisse zu
gewinnen, soll hier zunächst die Tabelle zur Mittheilung
gelangen, in der von 24 Hunden das Alter, das absolute
Körper- und Gehirngewicht und das berechnete rela-
tive Gehirngewicht enthalten sind. (Siehe nebenstehende
Tabelle.)

Was das Alter der Hunde anlangt, so darf nicht über-
sehen werden, dass Angaben über dasselbe vorkommen, die
an Genauigkeit zu wünschen übrig lassen; denn die Thiere
werden nicht immer von jenen Besitzern gekauft, die sie auf-
gezogen haben, wesshalb ihre Wurfzeit unbekannt ist. Ver-
werthet man für die Bestimmung des Alters bei einem Hunde
die Beschaffenheit des Gebisses, so kann man auch nur er-
fahren, ob ein Thier mit einem Milchgebiss, einem im Wechsel
begriffenen oder mit einem bleibenden Gebiss versehen ist.
Aus der Beschaffenheit des Gebisses lässt sich daher nur
Jugend und höheres Alter eines Thieres, aber nicht das Alter
nach Monaten oder Jahren angeben. Die Altersbestimmung
der Hunde hat, soweit ich bis jetzt ersehen kann, eine
wesentliche Bedeutung desshalb, weil mit Hilfe derselben die

Sädinger: Weber die Hirne verschiedener Hunderaeen. 251

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2o2 Sitzung der mathriihys. Classe vom 5, Mai 1894.

maximale Wachsthumsgrenze des Hirns, d. h. die Grenze
der Gewichtszunahme festgestellt werden soll. Vergleicht
man z. B. die Hirngewichte der beiden Bernhardiner (Nr. 2
und 9) miteinander, so ergiebt sich, dass das fünf Monat
alte Thier (Nr. 9) ein Hirngewicht von 116 g besitzt, während
der dreijährige Hund (Nr. 2) der gleichen Race, welcher
29000 g schwerer ist als der erstere, nur ein Hirngewicht
von 108 g hatte.

Aus den bisherigen Gewichtsbestimmungen der Körper
und der Hirne bei den Hunden darf gefolgert werden, dass
deren Hirne schon früh ihre äusserlich formelle Ausbildung,
ihr maximales Wachsthum erlangen, die Körper aber noch
weiter an Grösse und Gewicht zunehmen, ohne wesentliche
Antheilnahme der Hirne.

Die Zahlenreihe über das absolute Gehirngewicht
ergiebt, dass dasselbe nicht durch das Alter des Thieres,
sondern durch das Körpergewicht bis zu einem gewissen
Grade beeinflusst wird. Sind auch im Allgemeinen zwischen
Hirn und Körpergewicht der Hunde mehrfache Schwankungen
vorhanden, so lässt sich aus den Zahlen doch ersehen, dass
die schwersten Hunde auch die schwersten Hirne und die
leichten Hunde die kleinsten Hirne besitzen. Die Thiere
wurden nach der Grösse ihres Körpergewichtes in die Tabelle
eingetragen, während die Gehirngewichte in der Reihenfolge
der Körpergewichte geordnet, einige Schwankungen zeigen,
Verweise ich auf Nr. 9 — 14, so folgen hier Gehirngewichte
von 109 g bei 32000 g Körpergewicht, 62 g Gewicht des
Hirns bei 29000 g Körpergewicht und hier sind die Zahlen
der Ausdruck von ganz ungleichen Verhältnissen zwischen
Körper- und Hirngewicht. Bei diesen auffallenden Unter-
schieden darf man wohl daran denken, dass das Alter, die
Race und insbesondere der körperliche Zustand der Thiere
einen nicht geringen Einfluss ausüben. Unverständlich bleibt
es immerhin, wenn ein zweijähriger Hund bei einem Gewicht

Büdingen Ueher die Hirne verschiedener Hunderacen, 253

von 32000 g nur 109 g Gehirn, ein gleichalteriges Thier
bei einem Körpergewicht von 29000 g nur 62 g und sogar
ein fünf Monat alter Bernhardiner, der 28000 g schwer war,
116 g Gehirn hatte.

Der Raceunterschied, an den man auch denken könnte,
erscheint nicht ausreichend, diese Verschiedenheit zu erklären,
ebensowenig wie der Unterschied verständlich ist bei Nr. 21
und 22, bei denen der 1137 g schwere Hund um 14 g mehr
Gehirnsubstanz besass, als das 3128 g schwere Thier.

Hier spielen noch Faktoren herein, welche bei den
weiteren Studien eine ganz besondere Beachtung verdienen.
Einerseits scheint das Alter der Thiere, andererseits aber die
Krankheit, welche den Tod desselben verursachte, mit in
Betracht zu kommen. Schon seit Jahren suche ich die Hirne
von jenen Hunden zu sammeln, welche für physiologische
Zwecke in den Instituten angekauft werden; dieselben ver-
dienen ebenso den Vorzug vor kranken Thieren, wie wir
die Bestimmungen des Körper- und Gehirngewichtes an den
Verunglückten, den Selbstmördern und Enthaupteten jenen
an chronischen Krankheiten verstorbenen Menschen vorziehen.

Schon aus der Zahlenvergleichung des absoluten Körper-
und Gehirngewichtes lässt sich entnehmen, dass die relativen
Gewichte auffallend diflferiren werden. Wie schon erwähnt
sprechen mehrere Thatsachen dafür, dass das Wachsthum
des Hirns bei den Hunden schon vor Ende ihres ersten Lebens-
jahres seine Grenze erreicht, während der Körper noch be-
deutend an Grösse und Gewicht zunimmt. Das relative
Gehirngewicht zeigt demnach beim jungen und alten Thier
einen in die Augen fallenden Unterschied:

Die Zahlenreihe über das relative Hirngewicht zeigt
sich um so günstiger, je jünger das Thier ist. Bei dem drei
Jahre alten Bernhardiner (Nr. 2) welcher ein Körpergewicht
von 57000 g besitzt, ergiebt sich ein relatives Gehirngewicht
wie 1:527,77; dagegen wurde bei dem fünf Monat alten

254 Sitzung der inath.-phys, Classe vom 5. Mai 1894,

Bernhardiner (Nr. 9), der 28000 g wog, ein relatives Hirn-
gewicht wie 1:241,37 berechnet, und bei dem vier Monat
alten Thier (Nr. 15), das nur 4878 g wog, ein relatives
Hirngewicht wie 1:67,75 festgestellt. Bei allen leichten
Hunden ergiebt sich ein relativ sehr günstiges Hirngewicht,
weil das Körperwachsthum , nachdem das Hirn seine maxi-
male Grösse erlangt hat, gar nicht mehr oder nur in geringem
Grade fortschreitet.

In ganz ähnlicher Weise zeigt sich das relative Hirn-
gewicht, wenn dasselbe auf 1000 g Körpergewicht berechnet
wird. Bei den schweren Thieren kommen auf 1000 g Körper
zwischen 2 — 6 g Hirn und bei den kleinen leichten Hunden
auf 1000 g Körper 8 — 22 g und mehr Hirn.

Bei den weiteren Studien werden noch in Betracht ge-
zogen, das Volum des ganzen Schädels zu Volum der Schädel-
höhle und das Verhältniss des Hirnschädels zum Gesichts-
skelett.

Die äusserlich am Hundeschädel gewonnenen Messungs-
ergebnisse können, wenn es sich um relative Beziehungen
zwischen den äusseren Dimensionen des Schädels und des
Hirns handelt, keine direkte Verwerthung finden, wie etwa
bei dem Menschenschädel, weil bei den Hunden die ungleiche
Dicke der Schädelknochen, die Muskelleisten und die pneu-
matischen Räume am Hirnschädel die Messung hochgradig
beeinflussen. Aber noch mehr wird der Kopf des Hundes
beeinflusst durch den ungemein verschiedenen Grad der Aus-
bildung des Gesichtsskelettes. Die Fresswerkzeuge sind bei
der einen Race sehr stark, bei der andern nur schwach aus-
gebildet, so dass der Gesichts- und der sog. Sattel winkel
höchst variabel erscheinen, ohne dass der Grad der Hirn-
entwicklung einen nennenswerthen Einfluss auf dieselben
ausübt.

Alle die berührten Fragen bedürfen für ihre Beant-
wortung noch eingehendere Studien und nach Gewinnung

Büdinger: üeher die Hirne verschiedener Hunderacen. 255

des Hirn- und Schädelmateriales von den Hunden verschie-
dener Racen soll mit Berücksichtigung der spärlich vor-
handenen Literatur das vorliegende Thema eine eingehendere
Besprechung erfahren.

Vorläufig sollen einige Sätze über die Ergebnisse der
bisherigen Untersuchungen hier zur Mittheilung gelangen.

1. Wenn auch in den Zahlen über das Körper- und
Hirngewicht noch viele Schwankungen, welche durch eine
grössere üntersuchungsreihe sich ausgleichen mögen, vor-
handen sind, so ist doch schon festgestellt, dass das Hirn
bei den Hunden schon im ersten Lebensjahre seine Wachs-
thumsgrenze erreicht.

2. Der schwerste Hund hat auch das schwerste Hirn.
Die Hirngewichte nehmen bei den Hunden mit dem Körper-
gewicht derselben .zu, jedoch in einem ungleichen Verhältniss.

3. Das relative Hirngewicht ist bei kleinen leichten
Thieren ein viel günstigeres als bei den grossen.

4. Der kleine leichte Hund besitzt auf 1000 g Körper-
gewicht bedeutend mehr Hirn als der grosse.

Sitzungsberichte

der

königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.

Mathematisch-physikalische Classe.

Sitzung vom 2. Juni 1894.

1. Herr H. Seeligeb legt eine Abhandlung: „über den
vierfachen Stern ^ Cancri** vor.

2. Herr L. Boltzmann überreicht eine Arbeit des Herrn
Dr. Ignaz Schütz, Hilfsarbeiter beim Unterrichte für theo-
retische Physik im math.-physikal. Institut: „über eine Ver-
aHgemeinerung der v. Helmholtz'schen Wirbel-
Integrale, welcher eine unendliche Mannigfaltigkeit
von mechanischen Bildern der Maxwell 'sehen Theorie
entspricht".

Ueber den vierfachen Stern 'Q Cancri.

Von H. Seeliger.

{Eingelaufen 2. Juni.)

Die Resultate numerischer Rechnungen von der Art,
wie ich sie in meinen beiden Arbeiten über ^ Cancri^) ver-
öffentlicht habe, tragen immer mehr oder weniger den
Character von Interpolationsformeln. Ihre Constanten lassen
sich nicht mit so grosser Genauigkeit bestimmen, dass auf

1) Untersuchungen über die Bewegungs Verhältnisse in dem drei-
fachen Stemsystem C Cancri. Denkachriften der Wiener Akademie
1881. Fortgesetzte Untersuchungen über das mehrfache Sternsystem
C Cancri. Abhandlungen der k. bayer. Akademie 1888. Im Folgenden
soll die erste Abhandlung mit I, die zweite mit II bezeichnet werden.

1894. Math.-ph7B. OL 3. 17

258 Sitzung der math.'j^hys, Classe vom 3. Juni 1894,

Jabre hinaus ein völlig befriedigender Anscbliiss an die
Beobachtungen verbürgt werden kann. Ich habe diese Sach-
lage, namentlich in II, ausdrücklich hervorgehoben. Es ist
deshalb einerseits nicht zu verwundern, wenn die aus der
Theorie folgenden Oerter mit der Zeit von den Beobachtungen
um geringe Beträge abweichen, andererseits hat es kein
Interesse in kürzeren Zeitintervallen immer von neuem die
Beobachtungen an die Theorie genau anzuschliessen, wenn
nur die characteristischen Ergebnisse der letzteren sich in
den ersteren wiederfinden.

Bei der Ausarbeitung von I standen mir Beobachtungen
bis zum Jahre 1880 zur Verfügung, während in II Messungen
bis zum Jahre 1888, allerdings zum Theil in nicht hin-
länglicher Zahl, benutzt werden konnten. Die Berechtigung
der zweiten Untersuchung lag deshalb nicht sowohl in dem
vermehrten Beobachtungsmaterial, als vielmehr in dem Um-
stände, dass ich dort die Theorie nach verschiedenen Richtungen
eingehender und vollständiger entwickeln konnte und in dieser
Beziehung einen gewissen Abschluss erreichen zu können
glaubte. Eine Aufforderung meine Rechnungen über C Cancri
gegenwärtig wieder aufzunehmen, kann ich deshalb in dem
Hinzukommen neuer Beobachtungen nicht erblicken. Da-
gegen sind in den letzten Jahren von Herrn Burnham,
einem verdienten Doppelsternbeobachter, AngriflFe gegen meine
Theorie der Bewegung des entfernteren Sternes C erfolgt,
welche in den Augen derjenigen, die meine Arbeiten nicht
genauer kennen, die Sachlage zu verdunkeln geeignet sind.
Die von Herrn Burnham mit grosser Zuversicht vorge-
brachten Argumente sind freilich nur geeignet zu beweisen,
dass ihr Urheber weder genügende Sachkenntniss besitzt,
noch sich die Mühe gegeben hat meine Arbeiten genauer
anzusehen. Ich könnte deshalb die verdiente Würdigung
der Burnham'schen Behauptungen ruhig der Zukunft und
Anderen überlassen. Auf der andern Seite kann ich nicht

Seeliger: lieber den vierfachen Stern C Cancri. 259

zugeben, dass durch ganz unbegründete Behauptungen die
Resultate meiner Arbeiten über ^ Cancri in Frage gestellt
werden und deshalb habe ich im Folgenden einige Rechnungen
ausgeführt, die auch für den Fernerstehenden die Sachlage
in, wie ich hoflfe, völlige Klarheit zu stellen geeignet sein
dürften.

Ich werde mich im Folgenden einzig und allein mit
der Bewegung des entfernteren Begleiters C um den Schwer-
punkt der beiden inneren Sterne A und JB beschäftigen.
Ausführliche Untersuchungen in I und 11 haben zu dem
Resultate geführt, dass die Beobachtungen keine merkliche
Verschiedenheit zwischen dem Schwerpunkte von A und B

A ^ B

und der Mitte beider Sterne, , ergeben. Weiter

zeigten sich in den Beobachtungen von C und zwar in ganz
übereinstimmender Weise sowohl im Positionswinkel als auch
in Distanz Ondulationen, welche die Positionswinkel um un-
gefähr ^ 2*^ und die Distanzen um ^ 0!'2 um einen
mittleren Werth herumschwanken Hessen. Die constante
Periode dieser Schwankung betrug nahezu 18 Jahre und
es war möglich, dieselbe in mehr als 3 vollständigen Wieder-
holungen zu bestätigen. Die ganze Erscheinung ist nach
jeder Richtung vollständig durch die Annahme zu erklären,
der Stern C besitze einen vorerst als dunkel zu betrachten-
den nahen Begleiter. Die in II verarbeiteten Jahresmittel
von 1880 ab konnten indessen nicht hinlänglich begründet
werden, was nunmehr durch die inzwischen erfolgte Publi-
cation mehrerer werthvoUen Beobachtungsreihen möglich
ist. Vom Jahre 1888 ab wäre aber auch gegenwärtig die
Aufstellung von einigermaassen zuverlässigen Jahresmitteln
nicht möglich, hätten nicht die Herren Schiaparelli, H. Struve
und Lovett die grosse Freundlichkeit gehabt, mir aus ihren
Tagebüchern die gewünschten Auszüge mitzutheilen. Nament-
lich die sehr zahlreichen und ausgezeichneten Messungen

17*

260

Sitzung der math.-phys. Glosse vom 2. Juni 1894.

Herrn Schiaparelli's bilden eine wesentliche Stütze der folgen-
den Bemerkungen. Auf diese Weise war es möglich 15
neue und sichere Jahresmittel von 1880 — 1894 aufzustellen.
Nach den obigen Bemerkungen kann es sich nicht darum
handeln, diese neuen Messungsresultate in die früheren Rech-
nungen einzufügen. Dagegen glaube ich ähnlichen unbe-
gründeten AngriflFen, wie die von Seite des Herrn Bnmham,
am besten zu begegnen, wenn ich die neueren Messungen,
die doch fast gar keinen personalen Zusammenhang haben mit
den in den vierziger oder fünfziger Jahren ausgeführten, für
sich allein behandle. Nachdem sich herausgestellt haben
wird, dass sich meine früheren Formeln den neuen Be-
obachtungen noch soweit anschliessen , als man überhaupt
erwarten konnte, werde ich zeigen, dass auch die neuen
Messungen, für sich allein betrachtet, wiederum der Annahme
eines dunklen Begleiters von C völlig und zwar auch quanti-
tativ den früheren Formeln entsprechend, genügen und dass
ohne eine solche Annahme Fehler übrig bleiben, die durch
Anhäufung von persönlichen Fehlern zu erklären wohl Nie-
mand in ernsthafter Weise versuchen wird.

Ich gehe nun zur Mittheilung der gesammelten Jahres-
mittel der Beobachtungen von C, bezogen auf die Mitte von
Ä und JB, über. Zur Abkürzung werden die Beobachter
Hall (sen.), Jedrzejewicz, Schiaparelli und Hermann Struve
mit den Buchstaben H, J, Sp, H. 2^ bezeichnet.

1800

Be-
obachter

•4S

Mittel

80.16

Franz

130°60

5^545

80.21

132.45

5.465

80.22

132.50

5.193

80.31

Seabroke

133.72

1880.21 (11.10) 132?25 5*372

Sedifer: Utbfr den cierfoAen Stern C CamcrL

2<H

1800 Be- i-i »

Mittel

81.24 J.

81.25 Doberek

81.26 Seabr.
81.28 0.2*.

81.30 Sp.
8130 H.

82.20 H.
82.25 Sdbr.
82-26 Sp.
82^7 J-

83.13 £iig<elm.

8329 Sp.

83.31 H.

83.32 Seabr.

83.35 Küstner

84.21 Perrotin

84.25 Sp.

84.26 0. X
84.28 H.

84.36 Seabr.
84.39 Smith

85 28
85 29
85.29,

86.04!
86.24
86.25
86.28
86.29
86.30
86.30

Seabr.

Engelm.

Sp.

Tarrent

Seabr.

Smith

fl.

Engelm.

ltfeL28 '17.16. 131 42 5.4S1

13l!2& ^^4€1

131.75 5.403
13137 —

150.80 5.210

131.57 5-445

131^ 5ÄIÖ

132-03 5-587 |

129-63 - I , .

131-06 5.46S 1Ö82.24 (14.13) 13L13 5,517

130-94 5-497 1

129.43 5.^3

13016 5.596

130-21 .'..567

126-33 —

129Ä) 5.557

128.95 5-561

129.21 5-589

129.22 5.416
126-59 5.625
181-00 —
126-90 —

186336 a514l 129^73 5*-r»99

_ii

1864 2S 17-14} 128 63 5.546

126 20 5 760

128 16 5 654 j 1865.29 ( 9 ) 126\l9 5.*643

125.46 5-603 '

125.71 5.460

126.40 5.06)

127.30 (4.61J

126.26 5-600 ^1666*26 (20,14i 126*99 5*591

126.96 —

128.58 5..>69

126.64 5-660

2G2 Sitzung der math.-phys. Classe vom 2, Juni 1894,

1800
+

Be-
obachter

-»3

<o 'S

P Q i Mittel

1 1

87.24

Sp.

125'18

5*598

87.24

126.96

6.595

87.30

H. 2".

126.17

5.600

1887.27 (14.12) 125!'96 5*598

87.85

Seabr.

125.40 i (4.51)

87.30

Smith

124.80 (4.64)

88.25

124.13

5.520

88.27

Sp.

124.31

5.684

88.28
88.33

Smith
0.2.

125.20
123.84

(4.65)
5.667

1888.29 (17.15) 124?27 b.616

88.33

U.Z.

124.01

5.610

88.36

Maw

124.70

5.790

89.12

Seabr.

125.30

(4.85)

89.18

Highton

124.60

5 310

89.19

Leaven-

89.22

worth
Sp.

2
4

123.80
123.01

5.530
5.530

1889.22 (18.17) 123?79 5.'534

89.23

H. 2".

123 51

5.590

89.23

123.91

5.680

89.29

Maw

124.50

5 240

90.23

Sp.

123.43

5.514

1890.28 (13 ) 123!'51 b.bOl

90.24
90.28

Comstock
H.

1
4

124.80
123.51

5.470
5.432

90.33

H. 2".

123.26

5.580

91.21

Sp.

122.43

5.527

91.22

122.87

5.479

91.26
91.27

Maw
E.2.

2
2

122.50
122.31

6.300
5.570

1891.26 (13 ) 122?76 5!'490

91.65

Byers &

Collins

125.10

5.610

92.26

Sp.

122.40

5.443

1892.26 ( 4 ) 122?40 5^443

93.16

Jones

(115.70)

5.320

93.21

Lewis

12370

5.185 [1893.24 ( 6.7 ) 1221*54 5!'288

93.25

Sp.

121.96

5.331 j

94.16

H. 2.

122.39

5.430

94.16

Lovett

123.10

5.540

U894.19 (10 ) 122:46 5^405

94.24

Sp.

122.22

5.313

Seeliger: lieber den vierfachen Stern C Cancri, 263

Zu dieser Zusamroenstellung ist Folgendes zu bemerken :

1. Die Gewich tsbestiraraung geschah wieder nach dem in
IL aufgestellten Schema. Das genügt jedenfalls für die vorlie-
genden Zwecke, wenngleich hierdurch die neuen mit so ausge-
zeichneten Hülfsmitteln ausgerüsteten Beobachter sicherlich zu
kleine Gewichte bekommen haben. Bei einer definitiven
Bearbeitung wird man u. A. den aus sehr zahlreichen und
augenscheinlich sehr genauen Abend mittein zusammengesetzten
Jahresmitteln Schiaparelli's ein grösseres Gewicht zu geben
haben. Die Jahresmittel Schiaparelli's sind der Reihe nach
aus 13, 12, 14, 8, 10, 10, 14, 14 Abenden gebildet.

2. Die Reduction der auf Ä oder B bezogenen Messungen

A-^- B
von C auf — — — ist mit Hülfe von Annahmen über die

gegenseitige Stellung von A und B erfolgt, die nicht ganz
sicher sind und nicht ohne grössere Kechnungen sicher her-
gestellt werden konnten. Diese üngenauigkeit, die übrigens
kaum merklich sein wird, kann nur bei den Beobachtungen von
H. -S. die letzte Stelle der obigen Zahlen beeinfiusst haben.

3. Was die constanten persönlichen Fehler betrifft, so
wurden durch Vergleichung mit der II. S. 71 gegebenen
Ephemeride folgende Correctionen angebracht :

Sp. — 0?85 + oro7i

H. 4- 0.51 —0.025
H. Z — 0.41 + 0.097

Die letzte Beobachtung von H. -^. scheint indessen sich
dieser Correction zu widersetzen. Dieselbe ist durch eine drei-
jährige Pause von den früheren getrennt und besteht aus je
G Vergleichungen von C mit A und mit JS, welche voll-
ständig übereinstimmende Mittelwerthe geben. Danach scheint
es besser zu sein, diese letzte Messung von H. -. uncorrigirt
zu lassen. Im Uebrigen tritt auf den ersten Blick ziemlich
deutlich die Thatsache hervor, dass hierdurch das letzte
Jahresmittel in Distanz unsicher ist, und man wird das auch
in der Folge bestätigt finden.

264 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2. Juni 1894.

4. Die Messungen von 0. 2, aus dem Jahre 1881 und
die mit dem 30 zölligen ßefractor angestellten sind direct
ohne Correction dem Anhange von IL entnommen worden.
Die Gründe für dieses Verfahren lasse ich unerörtert, weil
ein merklicher Einfluss hierdurch im Folgenden nicht hervor-
gerufen werden kann. Alle anderen Beobachtungen sind,
wie früher, uncorrigirt geblieben.

Was die in IL und im Anschluss hieran in der vor-
liegenden Notiz angewandten constanten persönlichen Fehler
betrifft, so geben sie nichts anderes an, als die Mittel der
Abweichungen gegen die Ephemeride, welche wiederum aus
provisorisch corrigirten Beobachtungen abgeleitet ist. Die
Beobachtungen erscheinen hierdurch auf ein mehr oder we-
niger willkürliches System der Positionswinkel und Distanzen
bezogen. Mit einiger Wahrscheinlichkeit wird man aber die
gefundenen Correctionen als wirkliche constante persönliche
Fehler betrachten dürfen, wenn das Mittel aller angebrachten
Correctionen nicht merklich von Null abweicht, im anderen
Falle ist das angenommene System noch nicht das normale.
Die in IL und gegenwärtig benutzten Correctionen sind nun,
wenn dort, wo für denselben Beobachter verschiedene Cor-
rectionen gefunden worden sind, einfache Mittelwerthe an-
gesetzt werden (mit Ausnahme von Sp., bei welchem wegen
der grossen Verschiedenheit der Instrumente dies kaum zu-
lässig sein dürfte) :

W.2,

-1-1?82

— 0*070

0. 2".

— 0.47

— 0.125

+ 0.84

— 0.033

+ 0.02

— 0.003

- 0.26

— 031

Mädler

+ 0.30

—

Du.

— 1.56

— 0.050

Sp.i

+ 1.04

+ 0.004

Engelmann

+ 1.38

+ 0.217

+ 0.71

— 0.103

See^Ä>ger: Udfcr den vierfachen Stern ^ Cancrü 265

Kaiser

+ l"79

— 0^280

Sp.u

— 0.85

+ 0.074

+ 0.51

— 0,025

H. 2'.

— 0.41

+ 0.097

Mittel

-hOfS5

— 0^024

Nimmt man nur die am sichersten bestimmten Correctio-
nen, nämlich: W. 3., J.^ Sp.i, Sp.u, H., H. 2"., so ergiebt sich
alß Mittel werth + O^Sl, + O.^OOS. Danach durfte das System
etwas zu grosse Positionswinkel angeben, während die Di-
stanzen jedenfalls nafaeza der Wahrheit entsprechen. Da
aber eine constante Correction im Positionswinkel auf die
Theorie keinen Einfluss übt, wird man das gewählte System
als nahezu normal ansehen dürfen. Ausserdem ist diese posi-
tive Correction durch die etwas ungewöhnlich grosse Correction
von W. — . zum grössten Theile entstanden. Jedenfalls liegt
vorderhand kein Grund vor, zu bezweifeln, dass sich meine
Untersuchungen in II. auf Beobachtungen stützen, die auf
ein wesentlich richtiges System bezogen worden sind, wenn-
gleich nicht ausgeschlossen ist, dass sich in der Folgezeit, wo
hoffentlich recht viele der jetzt zur Verfügung stehenden grossen
Fernrohre zur Ausmessung von ^ Cancri benutzt werden, eine
Modification nach der einen oder anderen Seite ergeben könnte.

Die oben angeführten Jahresmittel wurden zunächst, zur
Erleichterung aller Vergleichungen, auf dasselbe Zehntel des
betreffenden Jahres reducirt. Es muss aber wiederholt dar-
auf aufmerksam gemacht werden, dass die letzten Stellen,
also die Hundertstel der Positionswiukel grade und die Tau-
sendstel der Distanzsecunden , um einige wenige Einheiten
unsicher wird ; das liegt in der Art ihrer Berechnung. Ebenso
haben alle weiteren Rechnungen eine solche minimale, gänz-
lich belanglose Unsicherheit. Den 15 neu abgeleiteten Jahres-
mitteln habe ich nun noch die 4 zunächst vorangehenden aus
II. hinzugefügt. Eine Aenderung oder Vervollständigung
mit ihnen vorzunehmen, war ich nicht in der Lage.

266 Sitzung der matK-phys, Glosse vom 2, Juni 1894,

Zuerst sollen die beobachteten Positionswinkel und Di-
stanzen Pjb und Qb mit den aus der Theorie (II S. 68 — 71)
folgenden Werthen pß und Qfi verglichen werden. Die DiflFe-
renzen im Sinne Beobachtung — Rechnung finden sich unter
der Rubrik B — R in der Zusammenstellung auf folgender Seite.
Ein nur flüchtiger Blick auf diese Zahlen ergiebt nun, dass im
Grossen und Ganzen der Anschluss an die Theorie zufrieden-
stellend ist. Zum mindesten sind die eigenthümlichen ündu-
lationen, welche die Beobachtungen in p und q ergeben, fast
vollständig verschwunden, üebrig geblieben sind Differenzen
von allerdings wohl noch systematischem Betrage, die aber
für den objectiven Beurtheiler absolut nichts Auffallendes
mehr haben, da sowohl systematische Fehler in den Beobach-
tungen vorauszusetzen sind und ferner es sich ja um eine
Extrapolation auf etwa 10 Jahre hinaus handelt. In An-
betracht dessen darf die üebereinstimmung zwischen Theorie
und Beobachtung als befriedigend bezeichnet werden.
Die Summen der absoluten Differenzen betragen im Positions-
winkel 8.56, in Distanz 0.769.

Die ündulationen , welche die beobachteten p und q
zeigen und die , wie ich in II. gezeigt habe, mit einer fast
mathematischen Regelmässigkeit an eine Periode von un-
gefähr 18 Jahren geknüpft sind, treten deutlicher hervor,
wenn m&n die Beobachtungen etwa durch eine Kreisbewegung
darzustellen sucht. Hierbei ist wohl zu beachten, dass es sich um
eine fortschreitende Veränderung der Positionswinkel um nur
9 Grad handelt. Nimmt man diese fortschreitende Ver-
änderung von^ nach II an und setzt:

Po = 145P46 — 0?513 {t — 1850.2), q^ = 5:459

entsprechend dem einfachen ohne Rücksicht auf die Gewichte
gebildeten Mittelwerth aller Qb» so geben die Differenzen
Pq — Pb, Qo — Qb nahezu das, was man als die übrig bleiben-
den Fehler der Beobachtungen anzusehen hätte, wenn man die
Annahme, dass der Stern C nicht wiederum doppelt sei, fallen

Seeliger: lieber den vierfachen Stern C Cancri,

207

Hesse. Differenzen von einem solchen Betrage sind nunmehr in
der vierten Wiederholung aufgetreten. Es widerstrebt mir,
angesichts dieser Zahlen die Behauptung des Herrn Burnham,
dass solche Abweichungen als eine merkwürdige, nunmehr zum
4. Male in gleicher Weise auftretende Anhäufung von persön-
lichen Fehlern aufzufassen seien, zu kritisiren. Dergleichen
Behauptungen mit einem parlamentarischen Ausdrucke zu
charakterisiren ist kaum möglich.

f^ TjlO«DO00C0iOC00000C0C0CDl>-lOC0rH?0'«l<
Qi rH01t-l01000t-«Ot-li-li-lrHOOOOi-lO

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«5

++++++ I I I I I I I I I I +++

f-iOOC^(MrHC5i-iOOOOi-it-i,F-ii-iiF-iOO

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f^ + + + I +-I- + + I I I i I 1 I ++ I +

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"«I^Ot-it^-COCOrHl^OqcOOlOiOOOOOOt^

^ooööööööoöööööööööö

l I I I ++ I I M I I I I I + + + + 4-

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^ C0C0C0C0C0C0C0C0<N<MC5<N(M0i<NCqC^01(N

iOrHTi4CO(N"^i-l|>l>f-iOOCQOOOaO'^lO'«J<

»-•i-i(N<M»-<^Ci00Q0l^<;DH<COCO<MOl<N<M

COCOCOCOCOCOCO(NCM(M01<N(N010I<N(N(N<M

«di^QÖoJö'-^oicO'^idoi^QÖasöt-HC'icd'^

l^t>t*t>00Q0C0000000000000QOa5OiCiO>C:
00

268 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2, Juni 1894,

Um indessen die entscheidende Thatsache deutlieh vor-
zuführen, dass die angeführten letzten 19 Jahresmittel, bei
denen so viele und ausgezeichnete Beobachter (es sei hierbei
hingewiesen auf die überaus gute üebereinstimmung, nament-
lich in den Positionswinkeln) mitgewirkt haben, die in den
Jahresmitteln vor 1876 nicht vorkommen, mit derselben Periode
übereinstimmen, die in II aus der Gesammtheit der früher
verfügbaren Messungen abgeleitet worden ist, habe ich die
DiflFerenzen Pq — pß nach der Methode des kl. Qu. durch
eine, einer Kreisbewegung mit der genannten Periode ent-
sprechenden Formel darzustellen unternommen. Es ergab
sich so:

(II) i?o —Pb = — 0?06 + l?918sin 19!^947 t

+ 0?137cos 191^947^

worin die Zeit i in Jahren von 1850.2 anzusetzen ist. Wollte
man noch einen besseren Anschluss dadurch erreichen, dass
man die Veränderung von Pq etwas ändert, so wäre zu setzen

(III) p^^p^=- o«06 - 0?681 (^)

+ 2!^268 sin 19?947 t + 0?286 cos 19!^947 t

In der folgenden Tabelle sind die nach den Formeln ge-
rechneten Werthe der Positionswinkel unter II bezw. III
angegeben, ferner sind nunmehr die übrig bleibenden Fehler
unter z/ bezw. J^ angeführt. Die gewonnene Darstellung
ist, wie ja gar nicht anders zu erwarten war, eine zufrieden-
stellende. Der systematische Charakter der Differenzen kann
zum Theil gewiss durch eine mehr ausgearbeitete Theorie,
ähnlich etwa der von mir früher dargestellten und einer mit
Rücksicht auf die Gewichte durchgeführten Rechnung fortge-
schafft werden, zum grösseren Theil sprechen sich hier eben
wirklich jene rein persönlichen Beobachtungsfehler aus. Ich
habe auf diesen Punkt in meinen früheren Arbeiten stets nach-
drücklich hingewiesen. Für die Summen der absoluten

Seeliger: üeher den vierfachen Stern C Cancri, 271

not possiblj aflFect the measures of C. The truth of this
Statement must be so obvious to every practical astronomer
who is aeeiistomed to use the micrometer that it can hardlj
be considered a debateable question/ Ich kann nur mein
lebhaftes Bedauern darüber aussprechen, dass ein praktischer
Astronom eine so auffallende Unkenntniss der Umstände be-
sitzt, welche systematische Abweichungen noth wendiger Weise
erzeugen müssen, und noch mehr muss ich es bedauern, dass
er diese Unkenntniss in so überaus anspruchsvoller Form
zur Schau trägt. Schon hieraus folgt, dass ein wissenschaft-
licher Gewinn aus einer Auseinandersetzung mit Herrn Burn-
ham über die vorliegenden Fragen nicht hervorgehen kann.
Ich werde deshalb auch etwaige weitere Bemerkungen
dieses Herrn über Z Cancri und meine Arbeiten, als für die
Sache gleichgültig, in Zukunft unberücksichtigt und erneute
Angriffe unbeantwortet lassen.

270 Sitzung der math.-phys, Classe vom 2, Juni 1894,

stätigung der Theorie. Wenn man die geringen Abweichungen
(-^z/2 = 0:720 bezw. 0."600) überblickt, so wird man nicht
zweifelhaft sein können, dass alle grösseren regelmässigen
Undulationen in den Distanzen vollkommen verschwunden sind.
Ich habe in dieser Controlle in meinen beiden früheren Ab-
handlungen stets eine sehr gewichtige Stütze erblickt für die
fast apodiktische Sicherheit der Annahme, dass C einen dunklen
Begleiter haben müsse. Ich kann auch jetzt nur wiederholen,
was ich über jene Annahme in II (S. 14) gesagt habe: ,Ich für
meinen Theil stehe nicht an, derselben eine Sicherheit zu-
zusprechen, die so gross ist, wie sie wenigen Erklärungsver-
suchen in der Stellarastronomie zukommt, die nicht durch den
blossen Augenschein sofort bewiesen werden können.*

Zum Schlüsse muss ich nochmals, obwohl nur ungern,
auf Herrn Burnham zurückkommen. Nachdem ich die An-
griffe des genannten Herrn ausführlich zurückgewiesen^) und
gezeigt hatte, welche sonderbaren Vorstellungen er sich über
systematische Beobachtungsfehler gebildet hat, hat es Herr
Burnham für gut befunden in No. 120 der Zeitschrift
„Astronomy and Astrophysics" nicht nur seine Behauptungen
zu wiederholen, sondern dies in einem Tone zu tliun, den
ich als ganz ungehörig auf das Entschiedenste zurückweisen
muss. Auf seine Argumente nochmals einzugehen, dazu liegt
auch nicht die mindeste Veranlassung vor, da diese durch
meine früheren Aufsätze vollständig widerlegt sind. Ich
kann mir aber nicht versagen, Nr. III der zuletzt genannten
Burnham'schen Notiz hier abzudrucken, weil die Eigenart
ihres Verfassers hierdurch sich von selbst kennzeichnet.
„It is evident that Professor Seeliger . has had little practical
experience in double stars work, or he would not have
criticised my remark that the close pair of e Hydrae could

1) üeber Herrn Burnham's »Tnvisible Double Stars* und ins-
besondere über e Hydrae. Astron. Nachrichten, Band 132.

273

Ueber eine Verallgemeinerung der v. Helmholtz'schen
Wirbel-Integrale, welcher eine unendliche Mannig-
faltigkeit von mechanischen Bildern der Maxwell-
schen Elektrodynamik entspricht

Von Dr. J. R. Schütz.

(Eingtlaufen 2, Juni.)

1. Wir setzen eine unendlich ausgedehnte reibungslose
Flössigkeitsmasse voraus, der wir vorläufig die Beschränkung
der Incompressibilität noch nicht auferlegen wollen; wir be-
trachten vorerst nur solche Gebiete derselben, in welchen die
3 rechtwinkligen Qeschwindigkeitscomponenten Wj, Vj, w^ ein-
deutige und mit allen ihren Derivirten endliche und stetige
Funktionen der 3 rechtwinkligen Rauracoordinaten rc, y,
sind. Im Unendlichen soll die Flüssigkeit ruhen.

Ueberall dort, wo die Grössen Wj, Vj, w^ eine Potential-
funktion <Pj (das Geschwindigkeitspotential) besitzen, werden
die Gleichungen bestehen

dw^ 9 Vj 3 Wj dw^ 9 Vj 3W| ^ -.

dy de dz dx dx dy

Dort wo die Potentialfunktion (Dj zu existiren aufhört,
werden gewisse Bewegungen auftreten, die v. Helmholtz in
seiner Abhandlung „Ueber Integrale der hydrodynamischen
Gleichungen etc\ Crelle's Journal, Bd. 55, S. 25—55, 1858
unter dem Namen der ^ Wirbelbewegungen ** eingeführt hat.

1894. Math.-pb78. Gl. 8. 18

Schütz: üeber die v. Heimholte^ sehen Wirbel-Integrale. 275
Dort wo Ö>g zu existiren aufhört, setzen wir wieder

2\dy dar * 2\dz dxr

* 2 \dx dy) ""^

Die Grössen w^, v^, w;^ nennen wir die Wirbelgeschwindig-
keiten zweiter Ordnung und eine etwa existirende Potential-
funktion Ö>^ derselben das ^ Wirbelpotential zweiter Ordnung".
In diesem Sinne sind dann m^, Vg, w^^ bezw. O^ die Wirbel-
gesehwindigkeiten bezw. das Wirbelpotential erster Ordnung.

Man sieht schon, wie sich der Faden weiter spinnt.
Allgemein zu reden, nennen wir die Grössen M2»-1i V2n-u
w^2n-i, ^2n— 1 die Strömungsgeschwindigkeiten und das
Strömungspotential nter Ordnung und die Grössen W2ni V2n^
u}2nt ^2n die Wirbelgeschwindigkeitcu und das Wirbelpotential
nter Ordnung.

3. Die formale Uebereinstimmung der Diflferenzialglei-
chungen 4) und 6) lässt erwarten, dass auch die Integral-
eigenschaften der Wirbel und Strömungen höherer Ordnung
wesentlich tibereinstimmen. Es wird sich daher zur Abktirzung
empfehlen, dass wir uns für beide zuweilen eines gemein-
samen Namens bedienen, und wir wählen hiefttr, nicht ohne
die Absicht, an den verwandten Quaternionen-Begriff des curl
(vgl. Boltzmann, Vorl. II pag. 3) anzuklingen, den Ausdruck

»Quirl*.

Demnach nennen wir die Grössen m*, t;*, Wh die nach
den 3 rechtwinkligen Coordinatenaxen geschätzten Quirl-
geschwindigkeiten Äter Ordnung und (D* das Quirlpotential
Äter Ordnung, und erinnern uns, wenn erforderlich, daran,
dass diese Grössen Strömungsgeschwindigkeiten bezw. ein
Strömungspotential bedeuten, wenn k ungerade, dagegen
Wirbelgeschwindigkeiten bezw. ein Wirbelpotential, wenn h

gerade ist.

18*

274 Sitzung der math.-phys, Classe com 2. Juni 1694.

2. Wirbelpotential nenne ich eine Funktion (P^, deren
Ableitungen nach den Coordinaten die nach diesen geschätzten
Wirbelgeschwindigkeiten geben. Die Wirbelgesch Bindig-
keiten u^^ ^2* to^ sind definirt durch die Gleichungen

2\dx dyj "^

Dort wo ein Wirbelpotential existirt, wird sein

dy dB dB Bx dx dy

An allen Stellen aber, wo diese Potentialfunktion zu
existiren aufhört, setzen wir

«*s

~ 2 yjj ~ Ti)' ^'^ "" 2 \ä7 ~ ^dx)'

«'s

2\dx dy/ ^

Die Grössen «3, Vj, w^ haben eine einfache und an-
schauliche physikalische Bedeutung, von der später noch die
Rede sein wird; wir wollen sie die »Strömungsgeschwindig-
keiten zweiter Ordnung' nennen. Die Grössen iij, r^, tö^
sind dann für uns die Strömungsgeschwindigkeiten erster
Ordnung.

Ks wird Stellen geben können, woselbst die Grössen
*^s^ ^31 w;g sich als Ableitungen einer Funktion 0^ darstellen
lassen. Wir nennen diese Funktion das , Strömungspotential
zweiter Ordnung' (0^ ist dann für uns das Strömungspotential
erster Ordnung).

An allen diesen Stellen wird sein

d y d s d S d x d X d y

Schütz: üeher die v. HelmhoUz' sehen Wirbel-Integrale, 277

poteütial 1. Ordnung), dann solche i?g, die lediglich ein
Quirlpotential 3. Ordnung (d. i. ein Geschwindigkeitspotential
2. Ordnung) bis zu solchen Bereichen JS*, die lediglich ein
Quirlpotential Arter Ordnung besitzen. Wir können jetzt
den obigen Satz auch so aussprechen:

In einem Bereiche JRh coexistiren nothwendig
sämmtliche Arten von Quirlbewegungen, deren Ord-
nungszahl kleiner ist als /c, und es existirt darin
keine Quirlbewegung von einer grösseren Ordnungs-
zahl. (Satz I.)

5. Jedes Quirlpotential Ö>ä (ä > 1) gentigt der
Laplace'schen Differentialgleichung (Satz II). Aus
Gl. 7 ergibt sich (für k>\)

dx dy dz '

Für den Fall der Existenz einer Potentialfunktion kann
diese Gleichung so geschrieben werden

z/Ö>jfe = 11)

Die Gleichung 10) gilt nicht für Ä= 1; nur, wenn die
Flüssigkeit incompressibel ist, hat man auch

Es müssen daher alle nachfolgenden Sätze, insoweit sie
sich auf den Eingangs dieses Artikels angegebenen Satz
stützen, entweder unter der beschränkenden Annahme Zc > 1,
oder unter der Voraussetzung der Incompressibilität der
Flüssigkeit verstanden werden.

6. Es kann nicht ein einziger Bereich JS^ die ganze
unendliche Flüssigkeitsmasse erfüllen. (SatzIII.) Denn
man hätte dann eine Funktion (2)^, welche im ganzen unendlichen
Räume der Gleichung J 0)^ = genügte und im Unendlichen,
da die Flüssigkeit daselbst als ruhend vorausgesetzt wird,
gegen einen constanten Werth C limitirte. Genau so gross

276 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 2, Juni 1894.

Man hat für die Quirlgeschwindigkeiten Z:ter Ordnung
die Ausdrücke

''=2\rT-, dir)

2 \ d X d y ^

Für den Fall der Existenz eines Quirlpotentials ©* ist

scDfc dOk d0k Q.

d X o y dz

, dWk dVk dUk dWk dVk dUk ^ ^.

und ^r — - = -- — = - — - = 9)

d y d IS ö z d X o X oy

Es lassen sich über die Wechselbeziehungen der Quirl
verschiedener Ordnung zu einander eine grosse Reihe von
Sätzen ableiten, von denen wir hier nur solche anführen
wollen, die für unsere späteren Entwicklungen von einiger
Bedeutung sind.

4. Existirt in einem Bereiche jR ein Quirlpotential k ter
Ordnung als variable Funktion der Coordinaten, so sind die
Quirlpotentiale von höherer Ordnungszahl in demselben Be-
reiche constante Grössen, Quirlpotentiale von niederer Ordnungs-
zahl aber können in demselben Bereiche nicht existiren.
Denn es ist in diesem Bereiche nach GL 9)

Wa+i = Vfc+i = Wk^i = 0, also (Pjt4-i = const.

und dasselbe gilt natürlich auch von den analogen Grössen
noch höherer Ordnungszahl. Der zweite Theil des obigen
Satzes ist eine nothwendige Consequenz des ersten Theiles.
Man kann daher aus der gesammten betrachteten Flüssig-
keitsmasse solche Bereiche JR^ hervorheben, die lediglich ein
Quirlpotential erster Ordnung CDj (d. i. ein Geschwindigkeits-
potential) besitzen, dann solche Bereiche ü^, die lediglich
ein Quirlpotential zweiter Ordnung 0^ (d. i. ein Wirbel-

Schütz: lieber die v, Helmholtz' sehen WirbehlfUegrale, 279

deren überhaupt kein Quirlpotential irgendwelcher
Ordnungszahl existirt. (V.)

Dieser Satz ist eine nothwendige Consequenz der Sätze
III und IV. Wir wollen diese Gebiete die „charakteristischen
Schichten** nennen; nach Satz IV muss jeder Bereich Bk von
einer solchen charakteristischen Schicht vollständig eingehüllt
sein. Sie soll im Allgemeinen als von endlicher Dicke vor-
ausgesetzt sein. An Stellen, wo sie unendlich dünn wird,
degenerirt sie zu einer wahren Discontinuität; solche und
andere Discontinuitäten wollen wir, wie schon Eingangs im
Artikel 1 bemerkt ist, von unserer Betrachtung ausschliessen.
Wir denken uns hiezu jede derselben einzeln von einer sie ganz
umschliessenden, einfach zusammenhängenden Fläche umgeben,
die wir passend „DiscontinuitätshüUe** nennen können. Die
Flüssigkeit, die sich ausserhalb dieser DiscontinuitätshüUen
befindet, ist für uns die „betrachtete Flüssigkeitsmasse**.

9. Ein für uns sehr wichtiger Satz ist der folgende:
Die Bewegung der gesammten betrachteten Flüssig-
keitsmasse ist zu irgend einem Zeitmomente überall
eindeutig bestimmt, wenn in demselben Zeitmomente
die Quirlgeschwindigkeiten irgend einer beliebigen
Ordnungszahl n in allen charakteristischen Schichten
gegeben sind und gleichzeitig auch die Bewegung
der Flüssigkeit an den DiscontinuitätshüUen vorge-
schrieben ist. (VI.)

Man erhält aus den Gleichungen 7), indem man in den-
selben die Grössen Wt-i, t;*-!, Wk^i durch die Grössen «*_2,
t>-2i w*-2 ersetzt, die folgenden:

1 P0*-2 . \

1 P©*-:! , \

^^S Sitzung d^r math.-phys. Glosse rom 2. Juni 1894.

wfirde daher auch das arithmetische Mittel der Fanktions-
werthe von Ot auf der Oberflache einer Kugel sein, die man
mit unendlich grossem Radius um einen im Endlichen ge-
legenen Punkt P beschriebe. Gemäss einem nach Herrn
Kiemann benannten Satze der Potentialtheorie musste daher
auch im Punkte P, und weil dieser beliebig gewählt wurde,
überall im Endlichen (Dj^ = C sein. Nach Satz I musste
demnach die Ordnungszahl des Bereiches Bk kleiner sein als
k und sie konnte, da k beliebig ist, nur gleich 1 sein, aber
auch dies nur dann, wenn die Flüssigkeit compressibel ist.

7. Es kann nicht ein Bereich i?^ einem Bereiche ü«
unmittelbar benachbart sein, es sei denn k = m. (IV.)

Denn setzen wir etwa willkürlich m>i, dann würde
nach Satz I das Quirlpotential 0t im Bereiche Bk existiren,
im Bereiche Bm aber zu existiren aufhören. Dagegen würde
das Quirlpotential (l>m sowohl im Räume Bm als auch im
Räume Bk existiren, im letzteren Bereiche aber als Coustaute.
Da die beiden Bereiche einander unmittelbar benachbart sein
sollen, so muss ein Theil ihrer Begrenzungsflächen beiden
gemeinsam sein. Denkt man sich diesen Theil entfernt, so
erhielte man einen grösseren Bereich, in welchem eine Funk-
tion 0m existirte, die überall der Laplace'schen Differential-
gleichung genügte und in einem endlichen Theile des Be-
reiches einen constanten Werth C besässe. Wir können dann
eine Eugelfläche so construiren, dass deren Mittelpunkt in
diesem Bereiche, in welchem 0m = C ist, liegt, und die zum
Theil in diesen Bereich selbst fallt, zum Theile aber in eine
Region taucht, in der 0m grösser (oder kleiner) als C wird.
Dann musste aber auch das arithmetische Mittel der Funktions-
werthe von 0m auf der Kugeloberfläche grösser (oder kleiner)
als C sein, und dies wäre ein Widerspruch gegen den Rie-
mann'schen Satz.

8. Es muss in der bewegten Flüssigkeitsmasse
Bereiche, mindestens aber einen geben, innerhalb

Schütz: lieber die v. HelniholtJ^ sehen Wirbel-Integrale, 281

der Gleichung 18) und 18 a) ergibt — in der ganzen be-
trachteten Flüssigkeit die Laplace^schen Differentialgleich-
ungen befriedigen und an den Discontinuitatshüllen, sowie
im Unendlichen verschwinden. Die — zufolge des Dirichlet'-
schen Principes einzige — Lösung hiefür ist

Es sind demnach die Quirlgeschwindigkeiten (n — l)ter
Ordnung und, da sich dieses Beweisverfahren beliebig oft
wiederholen lässt, auch jene von beliebig anderer Ordnungs-
zahl, demnach die gesammte Bewegung der Flüssigkeit ein-
deutig bestimmt.

Sind nun nicht in der ganzen Flüssigkeit, sondern bloss
an den charakteristischen Stellen die Grössen tC, Vn^ tCn ge-
geben, so lässt sich dieser Fall immer auf den durch den
Hilfssatz präcisirten Fall zurückführen. Denn sei etwa Rk
derjenige Bereich, der unter allen Bereichen Bi bis jR* die
höchste Ordnungszahl k hat, so bilden wir, wenn n<Zk ist,
aus den Grössen w^, t?^, Wn durch fortgesetztes Differenziren
nach dem Schema der Gleichung 7) die Grössen

wi+i, Vk+i, Wk+i 19)

Da nun die Quirlgeschwindigkeiten (Ä+ l)ter Ordnung
in der ganzen Flüssigkeitsmasse, mit Ausschluss der charak-
teristischen Schichten, verschwinden, in diesen letzteren aber
die gegebenen Werthe 19) haben, so darf man sie in der
gesammten Flüssigkeitsmasse als gegeben betrachten.

Ist aber n > /c, dann sind ohnehin schon die Grössen
'Unt Vn^ Wn in allen Bereichen Ri bis Rk gleich Null, also
gleichfalls in der gesammten betrachteten Flüssigkeitsmasse
gegeben.

10. Ein specieller Fall des vorigen Satzes ist der fol-
gende: Sind in einem Augenblicke die Geschwindigkeiten
Ui, t^i, Wi in allen charakteristischen Schichten sowie an den

280 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2, Juni 1894.

Hiebei ist

Nach Gleichung 10) verschwindet dieser Ausdruck für
Ä > 3 ; also ist für fc > 1 und bei incompressibeln Flüssig-
keiten auch für A; = 1

Speziell in Bereichen von der Ordnungszahl k ist daher
mit Rücksicht auf Satz I

Juk-i = 0, Jvk-i = 0, Jwk^i = 16)

und auch

Juk = 0, Jvk = 0, Jm = 17)

Wir beweisen nun zunächst folgenden Hilfssatz: Sind in
allen Punkten der betrachteten Flüssigkeitsmasse die Quirl-
geschwindigkeiten von der Ordnungszahl w, also iin^ t7n, Wn^
in einem bestimmten Augenblicke gegeben, und ist gleich-
zeitig die Bewegung der Flüssigkeit an den Discontinuitäts-
hüllen vorgeschrieben, so sind für denselben Augenblick auch
die Quirlgeschwindigkeiten (n — l)ter Ordnung tin-^u Vn-u
Wn^i überall eindeutig bestimmt. (Via.)

Zunächst ist klar, dass auch überall die Quirlintensitäten
(w + l)ter Ordnung, die ja aus jenen nter Ordnung durch
eindeutige Diflferenzation hervorgehen, gegeben sind. Nun
ist nach Gleichung 15)

gäbe es noch 3 andere Funktionen u«-i, t)»-i, ton-i, welche
denselben Diflferentialgleichungen

JUn^i = — 4wn+i, etc. 18 a)

genügten, so wären w^-i — Un-i, Vn-i — t)n-i, w^n-i — ton-i
drei neue Funktionen, welche — wie sich durch Subtraktion

Sehmtz: ücber die r. Relwiioltz' »d^en Wirbel-Integrale. 261

der Gleicbang IB) und 18 a) ergibt — in der ganzen be-
trachteten Flüssigkeit die Laplace'sehen Differentialgleicli-
nngen befriedigen nnd an den DiscontinnitatähüUen, sowie
im Unendlichen verschwinden. Die — zufolge des Dirichlet'-
sehen Principes einzige — Losung hiefür ist

Bind nun nicht iu der ganzen Flüssigkeit, sondern bloss
an den charakteristischen Stellen die Grossen ti^^ v»^ ir« ge-
geben, so lässt sich dieser Fall immer auf den durch den
Hil&satz pracisirten Fall zurückführen« Denn sei etwa R^
derjenige Bereich, der unter allen Bereichen JBi bis ä die
höchste Ordnungszahl k hat, so bilden wir, wenn n^h ist,
auß den Grössen m^, t?^, tc« durch fortgesetztes Differenziren
nach dem Schema der Gleichung 7) die Grössen

wi+i, «'i+i, «?H-i 19)

Da nun die Quirlgeschwindigkeiten (i;-}- l)ter Ordnung
in der ganzen Flüssigkeitsmasse, mit Ausschluss der charak-
teristischen Schichten, verschwinden, in diesen letzteren aber
die gegebenen Werthe 19) haben, so darf man sie in der
gesammten Flüssigkeitsmasse als gegeben betrachten.

Ist aber nZ>k^ dann sind ohnehin schon die Grössen
t^t t7»i v^n in allen Bereichen jBi bis Kt gleich Null, also
gleichfalls in der gesammten betrachteten Flüssigkeitsmasse
gegeben.

10. Ein specieUer Fall des vorigen Satzes ist der fol-
gende: Bind in einem Augeo blicke die Geschwindigkeiten
M], v{, w{ in allen charakteristischen Schichten sowie an den

282 Sitzung der math.-phys, Glasse vom 2. Juni 1894.

DiscontinuitätshüUen gegeben, so sind für denselben Augen-
blick die Geschwindigkeiten Wi, Vi^ Wi überall eindeutig be-
stimmt. Es sollen hier die drei letzteren Grössen aus den
drei ersteren berechnet werden.

Es sei wieder iJ* jener Quirlbereich, der die höchste
Ordnungszahl k besitzt. Die auf die Zahl fc zunächst fol-
gende ungerade Zahl bezeichnen wir mit 2 i -|- 1 ; sie ist —
unabhängig davon ob k selbst eine gerade oder ungerade
Zahl ist — jedenfalls durch die Formel gegeben

woraus folgt

i = -| + l-{(-l)* 20)

Durch i-malige Anwendung der ^/-Operation auf die ge-
gebenen Funktionen lij, vi, W\ erhält man gemäss Formel 15)

— wenn wir uns für die i-raalige Anwendung der gedachten
Operation des Symboles J* bedienen —

^•wl = (-4yw^,+i, J'v{ = {-4.Yv'2i^u d'w[ = {-iytv'2i^i 21)

Ganz ebenso würde man durch i-malige Anwendung der

i^i- Operation auf die zu suchenden Funktionen Wj, v^, w^

erhalten

J* Ui = ( — 4)* W2I+1 etc. 21a)

Nun sind aber die Grössen W2«4-i und W214-1 nicht nur
in den charakteristischen Schichten, sondern auch in allen
Quirlbereichen Ri bis JRk einander gleich, weil sie daselbst

— wegen 2i -{- l>k — überall verschwinden. Also erhält
man die Diflferentialgleichungen

J^ui = J*v{, J* Vi = J*vi, J*wi = J^Wi 22)

Die vollständigen Integrale dieser Dififerentialgleichungen
lauten :

Schütz: üeher die v. HelmhoUz^ sehen Wirbel-Integrale. 285

zu yersinnlichen, wollen wir annehmen, es sei ein aus der
betrachteten Flüssigkeitsmasse herausgetheilter zweifach zu-
sammenhängender Raum mit lauter Quirlfäden jfcter Ordnung
so erfüllt, dass er einen Quirlbereich Rk (im Sinne des Ar-
tikels 4) darstelle. Gemäss Artikel 7 und 8 muss dieser
Quirlbereich zunächst von einer charakteristischen Schicht S
umgeben sein, von welcher wir annehmen wollen, dass ihre
Dicke sehr klein gegenüber den Dimensionen des Bereiches
JRk ist. Die ganze übrige betrachtete Flüssigkeitsmasse soll
ein Bereich J?*-! von der nächstniederen Ordnungszahl sein.
Bezeichnen wieder w*, i;*, Wk die Quirlgeschwindigkeiten im
Bereiche i?* und wi, vi, Wk dieselben Grössen in der charak-
teristischen Schicht, so ist für alle Punkte der betrachteten
Flüssigkeitsmasse (die wir zur Vereinfachung so gross voraus-
setzen wollen, dass wir die Randbedingungen vernachlässigen
können)

__ ]^ C C CUkdxdy dz 1 CCCuudxdydz

Das erste Integral ist über den Bereich jB^ zu erstrecken,
das zweite über die charakteristische Schicht S. Wir wollen
annehmen, dass letztere so dünn ist, dass der Beitrag, den
das zweite Integral liefert, gegenüber dem des ersten ver-
schwindet. Dann ist

^ ^ ^ Cukdxdydz

" u J J J r

J_ r r rvkdx dy dz

*"" n J J J r

1 r r CWkdxdydz

7t J J J r

28)

Wir führen nun statt des Volumelements dxdydz das
Produkt dq* ds ein, d. i. jenes Volum, welches ein Längen-
element ds des Quirlfadens vom Querschnitte dq besitzt.
Ferner setzen wir

o'- . ■

284 Sitzung der math.-phys, Cl(i8se vom 2, Juni 1894.

Bewegung und den elektrodynamischen Erscheinungen be-
steht. Die Gleichungen 23) lehren, dass man eine un-
endliche Mannigfaltigkeit solcher Analogieen an-
geben kann. Bevor wir auf dieselben mit einigen Worten
eingehen, wollen wir noch den Begriff der , Wirbellinie*
verallgemeinern.

11. Wir verstehen unter einer „Quirllinie fcter Ordnung*
eine Curve, welche der Differentialgleichung genügt

dx:dy\dß = Uh : Vh : m;*, 25)

und unter einem „Quirlfaden" einen unendlich dünnen Faden,
welcher aus der Flüssigkeit ausgeschnitten wird, wenn man
durch alle Punkte des Umfanges einer unendlich kleinen
Fläche die Quirllinien zieht. Auch erinnern wir uns wieder,
dass wir es mit Stromlinien, bezw. -Fäden zu thun haben,
wenn k ungerade ist, dagegen mit Wirbellinien bezw. -Fäden,
wenn k gerade ist.

Durch Anwendung des Green'schen Satzes auf die
Gleichung 10) erhalten wir

fvkdq = 26)

Hiebei bezeichnet v* die normal zum Oberflächenelemente
dq geschätzte Componente der Quirlgeschwindigkeit kter Ord-
nung. Wir nennen die Gleichung 26) die allgemeine Con-
tinuitätsgleichung der Quirlbewegungen; sie lehrt, dass kein
Quirlfaden beliebiger Ordnungszahl inmitten der
Flüssigkeit enden kann und dass für einen und den-
selben Quirlfaden das Produkt ausseinem Querschnitt
und der Quirlgeschwindigkeit

Vk' dq==ik^= constans 27)

für seine ganze Erstreckung einen constanten Werth
behalten muss.

12. Um uns nun die erwähnte unendliche Mannigfaltig-
keit der elektrodynamischen Analogieen an einem Beispiele

Schütz: üeber die v. Relmhöltz' sehen Wirbel- Integrale. 287

ik da sin {ds, r)

ist, und deren Richtung w senkrecht zu jener Ebene
steht, die durch das Padenelement ds und das be-
trachtete Flüssigkeitstheilchen bestimmt ist.

13. Es besteht also zwischen den Quirllinien Äter und
{k — 1) ter Ordnung genau dieselbe Wechselbeziehung, die
auch zwischen den elektrischen Stromlinien und den magne-
tischen Krafth'nien statt hat. (Vgl. hiezu Boltzraann, Vor-
lesungen T pag. 90.) Wäre etwa der Bereich JB* ein me-
tallischer Leiter, innerhalb dessen das Strompotential O^ be-
stünde, so würde die hiedurch bedingte elektrische Strömung
im Aussenraum eine Vertheilung der magnetischen Kraft-
linien hervorrufen, die sich der Grösse und Richtung nach
vollkommen mit der Vertheilung der Quirllinien {Je — 1) ter
Ordnung im Bereiche jBä-i decken würde.

Es entspricht diese Analogie genau jener, welche v. Helm-
holtz a. a. 0. abgeleitet hat und welche man hier erhält,
wenn man Ä = 2 setzt. Für Zc = 3 erhält man das hydro-
dynamische Bild, welches Boltzmann in den Sitzungsberichten
der bayerischen Akademie^) 1892 pag. 279 zur Maxwell'schen
Elektrodynamik in Analogie gesetzt hat. Mit Bezug auf
diese letztere Abhandlung, welche diese Analogie insbesonders
auch für quasielastische Media mechanisch ausbaut, sei
hier die übrigens selbstverständliche Bemerkung gemacht,
dass unsere bisherigen Betrachtungen, da sie ja rein geo-
metrischer Natur sind und desshalb jedweder physikalischen
Voraussetzung entbehren können, natürlich auf jedes beliebige
continuirliche Medium anwendbar sind.

14. Wir wollen aber sogleich eine andere wesentlich
mechanische Analogie ableiten, welche die verwandtschaft-

1) Abgedruckt in Wiedemann*8 Annalen, Bd. 48 pag. 78.

286 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2, Juni 1894,

Uk — vu-a, Vk = Vk'ß^ Wk = Vk'y,

wobei Vk die resultirende Quirlgeschwindigkeit und a, /?, y
die Richtungscosinus des ds sind.

Berücksichtigen wir endlich noch, dass das Produkt
Vk' dq für die ganze Erstreckung des Wirbelfadens einen
constanten Werth ik besitzt (Gleichung 27), so lauten die
Gleichungen 28) jetzt

-2= likds*a-, Vk-2= UkdS'ß-, Wk-2= yikds-y-

Hieraus erhalten wir für Uk^i

oder, wenn qp, %, iff die Richtungscosinus der Geraden r be-
zeichnen,

J' ds r ,, -,

Der in der eckigen Klammer stehende Ausdruck ist
gleich dem Produkte sin (rfs, r) • cos (w, x), wo n die auf ds
und r senkrecht stehende Richtung ist; also ist

r ik ds • sin (ds, r) . . , ,

Wfc-i = I ä ^cos(w, a?), und analog

Jik ds sin (ds. r) , .
-^ cos (w, «/),

Jik ds sin (ds. r) , .
^ cos (w, 0).

Man kann diese Formeln so aussprechen: Jedes Element
ds eines Quirlfadens von der Ordnungszahl k bedingt
in jedem Theilchen der Flüssigkeitsmasse eine Quirl-
geschwindigkeit von der Ordnungszahl (Ä — 1), deren
Grösse gleich dem Ausdrucke

Schütz: lieber die v. Helmholtz' sehen Wirbel-Integrale. 287

ik ds sin {ds^ r)

«•*

29)

ist, und deren Richtung w senkrecht zu jener Ebene
steht, die durch das Fadenelement ds und das be-
trachtete Plüssigkeitstheilchen bestimmt ist.

13. Es besteht also zwischen den Quirllinien Äter und
{k — l)ter Ordnung genau dieselbe Wechselbeziehung, die
auch zwischen den elektrischen Stromlinien und den magne-
tischen Kraftlinien statt hat. (Vgl. hiezu Boltzmann, Vor-
lesungen 1 pag. 90.) Wäre etwa der Bereich iJjfe ein me-
tallischer Leiter, innerhalb dessen das Strompotential O^ be-
stünde, so würde die hiedurch bedingte elektrische Strömung
im Aussenraum eine Vertheilung der magnetischen Kraft-
linien hervorrufen, die sich der Grösse und Richtung nach
vollkommen mit der Vertheilung der Quirllinien {h — l)ter
Ordnung im Bereiche JRk-i decken würde.

Es entspricht diese Analogie genau jener, welche v. Helm-
holtz a. a. 0. abgeleitet hat und welche man hier erhält,
wenn man h = 2 setzt. Für ä; = 3 erhält man das hydro-
dynamische Bild, welches Boltzmann in den Sitzungsberichten
der bayerischen Akademie*) 1892 pag. 279 zur Maxwell'schen
Elektrodynamik in Analogie gesetzt hat. Mit Bezug auf
diese letztere Abhandlung, welche diese Analogie insbesonders
auch für quasielastische Media mechanisch ausbaut, sei
hier die übrigens selbstverständliche Bemerkung gemacht,
dass unsere bisherigen Betrachtungen, da sie ja rein geo-
metrischer Natur sind und desshalb jedweder physikalischen
Voraussetzung entbehren können, natürlich auf jedes beliebige
continuirliche Medium anwendbar sind.

14. Wir wollen aber sogleich eine andere wesentlich
mechanische Analogie ableiten, welche die verwandtschaft-

1) Abgedruckt in Wiedemann's Annalen, Bd. 48 pag. 78.

288 Sitzung der mathrphya. Glosse vom 2. Juni 1894,

liehen Beziehungen zwischen den allgemeinen Quirlbewegungen
und den elektrodynamischen Phänomenen sehr enge knüpft.

Wir gehen dabei von den Integralen der Gleichung 23)
aus; doch machen wir auch hier wieder die vereinfachende
Annahme, dass die betrachtete Flüssigkeitsmasse so gross ist,
dass wir die Oberflächenbedingungen vernachlässigen dürfen,
sowie dass die charakteristischen Schichten im Vergleiche zu
den Dimensionen der von ihnen umhüllten Quirlbereiche so
dünn sind, dass ihre Beiträge in die Bewegung der betrachteten
Flüssigkeitsmasse verschwindend klein sind. Wir behandeln
den Fall, dass in der Flüssigkeit neben Quirlbereichen be-
liebig anderer Ordnungszahlen sich zwei Quirlbereiche Bk und
jRlc von der Ordnungszahl k vorfinden, und es sei k die
grösste unter den vorhandenen Ordnungszahlen. <Dk und <!>*
seien die Quirlpotentiale in diesen Bereichen, y* und v* die
Quirlgeschwindigkeiten in denselben und w*, t;*, Wk^ beziehlich
wi, Vk, w'k deren Componenten.

Hier haben wir nun zum erstenmale zwischen den
Strömungen und den Wirbeln höherer Ordnung zu unter-
scheiden. Wir wollen vorerst den einfacheren Fall betrachten
und annehmen , es sei k eine ungerade Zahl 2 i + !• Wir
haben es also mit Strömungen zu thun.

Es seien Wj, Vj, w^ die Geschwindigkeiten, welche irgend
ein Flüssigkeitstheilchen {dx-dy-d^) haben würde, wenn
bloss der eine Quirlbereich ü*, und Wi, t;I, W\^ jene, wenn
bloss der zweite Quirlbereich R'u vorhanden wäre. Die Ge-
schwindigkeiten, die dasselbe Flüssigkeitstheilchen bei der
Coexistenz beider Quirl bereiche jRfc und Rh hat, sind dann
wegen der Linearität der Gleichungen 21a)

Ui + wl. Vi + Vi, wi + w'i 30)

Es ist noch wichtig, zu bemerken, dass die Grössen
Wfc, Vfc, Wk bei gegebener Configuration der Systeme voll-
kommen unabhängig von den Grössen wi, vi, Wu sind, so dass.

Schütz: lieber die v. Heimholt^ sehen Wirbel-Integrale, 289

wenn z. B. bloss der eine Quirlbereich JSi existiren würde,
an den Stellen, wo sich der von diesen weggedachte Quirl-
bereich JS* befindet, die Grössen ti*, t;*, Wk sämmtlich gleich
Null wären, und umgekehrt.

15. Unter all den Voraussetzungen des vorhergehenden
Artikels erhalten wir für Wj in Anlehnung an Gleichung 23)
das Integral

^ C C C ^^i ^Pi ^^i

m dx^dy^de^ C C C dx^dy^d^Uk ^

^2»8 ü %J ü ^j,2

Um das letzte dreifache Integral in ein Linienintegral
zu verwandeln, zerlegen wir den Quirlbereich JS^, der allen-
falls die Form eines Ringes hat, durch einander unendlich
nah geführte Querschnitte in unendlich viele Cylinder von
unendlich kleiner Höhe ds. Diese Querschnitte q sollen so
geführt werden, dass sie zur resultirenden Geschwindigkeit
Vi überall normal stehen. Ausserdem zertheilen wir das
ganze Bündel von Quirlfäden, welches die charakteristische
Schicht erfüllt, in N unendlich dünne Quirlfäden so, dass
das Produkt aus dem Querschnitt dg eines Fadens in dessen
Quirlgeschwindigkeit v^ gleich einer für alle Fäden constanten

Grösse Pk ist

dq'Vtt^='Pk = constans.

Dann kann man setzen

C C C dx^ dyy^ djs^^ Uk r ds cos (ds, x

und es lautet die Gleichung 30):

1 dxidyidxi

mdx^ dy^ dz^ p ds, cos (ds, x)
^2.3 J ^

1894. Math.-phyB. Ol. 3. 19

32)

290 Sitzung der mathrphys. Classe vom 2. Juni 1894,

Das letzte einfache Integral ist über alle Quirlfäden
einzeln zu erstrecken. Nimmt man an, dass alle Quirlfaden
nahezu parallel laufen und dass überdies der gesammte Quer-
schnitt des Quirlbereichs klein ist, dann darf man ^=1
setzen, und es braucht das Integral bloss über einen einzigen
Stromfaden erstreckt werden, p* können wir dann passend
die Quirlintensität des Bereiches Rk nennen.

Zur Abkürzung bezeichnen wir noch das gesammte viel-
fache Integral der Gleichung 32) mit eT"«, so dass

Ui=Pk' Jx, vi= Pk' Jy, wi=pk' Jz 33)

ist, wo Jy und Jg analog zu Jx zu bilden sind.

Ganz ebenso erhält man für die vom zweiten Quirl-
bereich jRi bedingten Geschwindigkeiten wi, vi, w{ unseres
Flüssigkeitstheilchens die Werthe

u[=PkJx. v{=PkJy, w{=pkJz 34)

16. Mit Rücksicht auf 30, 33 und 34 erhält man für
die gesammte kinetische Energie T der betrachteten Flüssig-
keitsmasse den Ausdruck

T = lpljjJQdxdyd^(Jl + Jl + Jl)

+ PkPlc fff Qdxdyd^ (JxJ'x + e/y J"; + J, J";)

q ist die Dichte der Flüssigkeit.

Wir bezeichnen das erste Integral mit J[(Aj, ^s, äs) ^ <las
zweite mit B^hj^^h^j,^) und das dritte mit C^h^^h^h^): so dass

rp '^(/<i, feg. />3) ^2 I ■^i^i^KH) ^'2 I n ^ ^* on\

^ = 2 ^^ "^ 2 ^^ * ^*^' *^' *^^ ^^ ^^ ^

und es seien Äj, h^^ \ drei Coordinaten (Parameter), welche
die geometrische Configuration des Quirlbereiches Rk bezogen
auf seinen Schwerpunkt bestimmen, Ä^, Ä^, Äg die analogen

Schütz: lieber die v. Hei mholtz' sehen Wirbel-Integrale, 293

''"la^ aa;/"^vaa; a^^/ J

40)

c.=/JjM..,.4(|f-S-)(|5-g.)

"*"va^ a;rAa^ aa;/"^vaa; 2y)\dx dy)[

Die Grössen /«, /y, J;», eTJ, Jy, Ji haben auch hier noch
die in Gleichung 39) gegebene Bedeutung; doch ist hier

i = — zu setzen.
dt

19. Wir wollen die Grössen A^ B die Selbstinductions-
coefficienten der beiden Quirlbereiche und die Grösse C den
wechselseitigen Inductionscoefficienten derselben nennen. Man
kann dann die Inductionsgesetze so aussprechen, dass sie all-
gemein für beliebige Quirlfäden gerader und ungerader
Ordnungszahl gelten. Man sagt dann z. B.: „Wird die
relative geometrische Configuration der beiden Quirlfäden
so geändert, dass dadurch der wechselseitige Inductions-
coefficient vergrössert wird, so erregen die Quirlfäden in
einander Quirlbewegungen, welche den erregenden entgegen-
gesetzt gerichtet sind.** Aehnliches gilt für das Gesetz der
ponderomotorischen Kräfte. Würde man aber diese Sätze
speziell so aussprechen: „Nähert man zwei geradlinige
parallele Quirlfaden, so erregen sie in einander etc." oder „zwei
geradlinige parallele und gleichgerichtete Quirlfäden ziehen
einander an", so wären sie in dieser Form nur für Quirlfäden

292 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 2. Juni 1894,

18. Es besteht aber in Bezug auf den Richtungssinn,
in welchem diese ponderomotorischen und Induktionswir-
kungen erfolgen, eine bemerkenswerthe Differenzirung zwischen
den Quirlbewegungen von gerader und jenen von ungerader
Ordnungszahl. Man gelangt zu derselben durch eine Discussion
der Parameterfunktionen Ä^ J5, G. Wir wollen diese oben
mit dem Index s versehen, wenn sie sich auf Quirlbereiche
mit ungerader Ordnungszahl (Strömungen) beziehen, dagegen
mit dem Index w^ wenn sie sich auf solche mit gerader

Ordnungszahl (Wirbeln) beziehen. Nach den Festsetzungen
der Artikel 15 und 16 haben die -4*, J5*, (? folgende

Werthe:

^' =fffQ dx dy d^ (J^ + J2 + J|)
^' = fffQ äx dy dz (Ji2 + j-2 ^ J.2)
G'=fffQdxdydjs{J^J'^ + JyJl + J,J',)

Hiebei hat Jx den Werth

1 dxidyidesi

38)

"" J J J ^* r,

C C C dx^ dy^ d iz^ p ds cos {ds,x)

%) %J U '9A %J

39)

2»3 ^ *"

Die Grössen Jy und Jg erhält man, wenn man im
letzten einfachen Integral statt cos {ds^ x) beziehlich cos
(ds, y) und cos {ds^ z) setzt, und die Grössen JJ, e/y, JJ er-
hält man, wenn man das einfache Integral beziehlich

über alle Quirlfäden im Bereiche JBi erstreckt. Der Index %

1^ \

hat den Zahlen werth — - — •

Für die Parameterfunktionen A^^ B*\ O" aber erhält
man folgende Werthe:

Schütz: Ueber die v. HdmhoUz'scJten Wirbel-Integrale. 293

aJlA»

40)

"^Va^ a^r/va;^ aa;/"^Vaa; a^f^/Vaa; a^^l

Die Grössen «Ti, /y, J;», Ji, Jy, Ji haben auch hier noch
die in Gleichung 39) gegebene Bedeutung; doch ist hier

i = — zu setzen.

19. Wir wollen die Grössen A^ JS die Selbstinductions-
coefficienten der beiden Quirlbereiche und die Grösse C den
wechselseitigen Inductionscoefficienten derselben nennen. Man
kann dann die Inductionsgesetze so aussprechen, dass sie all-
gemein für beliebige Quirlfäden gerader und ungerader
Ordnungszahl gelten. Man sagt dann z. B.: „Wird die
relative geometrische Configuration der beiden Quirlföden
so geändert, dass dadurch der wechselseitige Inductions-
coefficient vergrössert wird, so erregen die Quirlfäden in
einander Quirlbewegungen, welche den erregenden entgegen-
gesetzt gerichtet sind.** Aehnliches gilt für das Gesetz der
ponderomotorischen Kräfte. Würde man aber diese Sätze
speziell so aussprechen: „Nähert man zwei geradlinige
parallele Quirlfäden, so erregen sie in einander etc." oder „zwei
geradlinige parallele und gleichgerichtete Quirlfäden ziehen
einander an", so wären sie in dieser Form nur für Quirlfaden

294 . Sitzung der math.-phys. Classe vom 2. Juni 1894,

mit ungerader Ordnungszahl unbedingt zutreflFend; überhaupt
gebührt den letzteren auch noch in anderer Hinsicht der
Vorzug, wenn man sich darüber entscheiden will, welche
Art der Quirlbewegungen man den elektrischen Strömen zu-
ordnen soll; auf einen hieher gehörigen Punkt hat schon
Boltzmann^) aufmerksam gemacht; man kann die daselbst
angewandte Betrachtungsweise leicht auf die Quirl jeder
beliebigen geraden Ordnungszahl verallgemeinern. Aber
gerade die Discussion der Parameterfunktionen ^®, 2?*, C^
und Ä*% B^?, C^ Hesse sogar auch noch unter den Quirl-
bewegungen ungerader Ordnungszahl eine spezielle Vorzugs-
wahl treffen. Die letzten Consequenzen, zu denen man dann
gelangen würde, kann man aber auch noch auf einem anderen
direkteren Wege erreichen. In einer Abhandlung über die
Grundgleichungen der Elektrodynamik für rasch veränder-
liche Parameter, welche gleichzeitig mit der vorliegenden an
anderer Stelle zum Drucke gelangt, findet sich einiges hierüber.

20. Hier sei noch folgendes bemerkt: Unsere Analogieen
bleiben auch dann noch bestehen, wenn wir unter Wj, Vj, xv^^
nicht die Geschwindigkeiten eines Mediumtheilchens,
sondern die einfachen Verschiebungen eines solchen, unter
%7 ^Äi ^^A ^^^^ Grössen verstehen, welche aus jenen durch
Ä malige Anwendung der Curl-Operation hervorgehen, nur
bedarf es hiezu der Annahme, dass die durch diese Ver-
schiebungen in das Medium gespeicherte (hier potentielle)
Energie wiederum dem Ausdrucke «? + v? + w\ proportional
ist. Auch sei besonders noch betont, dass alle unsere Aus-
sagen ihren physikalischen Sinn in voller Strenge nur dann
bewahren, wenn wir uns vorstellen, dass alle inneren Kräfte
des Mediums stets durch willkürlich hinzugefügte langsam
veränderliche äussere Kräfte paralysirt werden.

Es mögen hier noch 2 Sätze Platz finden, welche wir

1) Wiedem. Ann. Bd. 48, 1893, p. 95.

Schütz: lieber die v. IlehnhoUz* sehen Wirbel-Integrale. 295

als die mechanischen Bilder der beiden Hertz'schen Gleichungs-
systeme betrachten können:

a) Sind die Quirllinien (k + l)ter Ordnung elektrische
Stromlinien, so sind die Quirllinien Jeter Ordnung ma-
gnetische Kraftlinien. (Mechanisches Bild des „zwei-
ten** Hertz'schen Gleichungssystems.)

b) Sind die Quirllinien Zcter Ordnung magnetische
Stromlinien, so sind die Quirllinien (k — l)ter Ordnung
elektrische Kraftlinien. (Mechanisches Bild des
„ersten** Hertzschen Gleichungssystems.)

Der Begriff des magnetischen Stromes ist dabei natürlich
nicht im vulgären elektrotechnischen Sinne zu verstehen,
sondern in jener Auffassung, in welcher er zuerst wohl von
Hertz (1884) gebraucht und später vornehmlich von Heaviside
in die Theorie eingebürgert worden ist.

Der Satz a) gilt — sofern man der Ampere'schen An-
sicht vom Wesen des Magnetismus beipflichtet — immer auch
umgekehrt, der Satz b) dies aber nur dann, wenn das elektro-
magnetische Feld frei von elektrostatischer Ladung ist.

Die beiden Sätze a) und b) umfassen — im wohlver-
standenen bildlich-mechanischen Sinne — das gesammte Lehr-
gebäude der Maxweirschen Theorie der Elektrodynamik des
freien Aethers.

München, mathem.-physik. Institut d. Universität.

296

Sitzung vom 7. Juli 1894.

1. Herr Gustav Bauer hält einen Vortrag: »Bemer-
kungen über zahlentheoretische Eigenschaften der
Legendre'schen Polynome*.

2. Herr Gustav Bauer legt eine Abhandlung des Privat-
dozenten Dr. Ludwig Maurer in Strassburg: »zur Theorie
der continuirlichen, homogenen und linearen
Gruppen«* vor.

3. Herr Ad. v. Baeyer theilt die Resultate seiner neueren
Untersuchungen »über das Kümmelöl** mit. Dieselben
werden an einem anderen Orte veröffentlicht werden.

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen. 299

Die Aufstellung dieser Bedingungen führt zu einer Ein-
theilung der ^infinitesimalen Transformationen** der Form

3/"

in verschiedene Arten.

Nehmen wir an, die zu C{f) gehörige charakteristische
Determinante

verschwinde nur für i? = , dann bezeichne ich G (/*) ak
regulär von der ersten Art.

Nehmen wir zweitens an, ^ {v) verschwinde nur für
ganzzahlige Werthe von p und es verschwinden für eine
A- fache Wurzel auch alle ünterdeterminanten n — Ä-j- I.Grades
des Systems

% - (J)

dann bezeichne ich C {f) als regulär von der zweiten Art.
In allen anderen Fällen heisst C{f) irregulär. Diese Be-
zeichnungen werden auch auf das Coefficientensystem C;^«
angewandt. Ist C{f) irregulär, so kann man immer eine
Anzahl regulärer infinitesimaler Transformationen

Kif) K,(n K,(f).. Kßif)
derart bestimmen*) dass

C(f) = K{f) + Q, K, (f) + q, K, (/•)..+ Qß Kßif)

Von diesen inf. Transformationen ist die erste von der
ersten Art, alle übrigen sind von der zweiten Art.

1) Das Symbol y j hat den Werth 1 oder 0, je nachdem X

und fi gleich oder ungleich sind.
2) Inv. S. 123.

298 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Juli 1894.

Die Coefficienten der Differentialgleichungen (y) genügen
Gleichungen der Form

A, jt/ = 1, 2, . . w ?, Ä: = 1, 2, . . m
Man kann dieselben auch in der symbolischen Form

a- Cu (f) - c, Ci{f) = J2 4'Gj(n

darstellen.

Die Coefficienten der allgemeinen Substitution der Gruppe,
die f in sich selbst transformirt, sind als Funktionen von
m Parametern u^ u^ . . . Um definirt durch die Differential-
gleichungen

"^"^ T^ = 2j2j ^Av V^> i = 1, 2, . . m

^ "» j=i y=\ '

und die Anfangsbedingung, dass einem bestimmten Werth-
system der Parameter — den Anfangswerthen — die
identische Substitution entspricht.

Die m^ Funktionen Pj der Parameter unterliegen der
Bedingung, dass ihre Determinante nicht identisch ver-
schwindet und dass sie insbesondere nicht für die Anfangs-
werthe der Parameter gleich Null ist.

Die angegebenen Bedingungen reichen — wie aus der
allgemeinen Theorie des H. Lie hervorgeht — aus, damit
das w-fach unendliche Substitutionensystem

2/A = S ^V ((^)) ^t^ A = 1, 2, . . n

eine Gruppe bildet. Damit aber diese Gruppe die um-
fassendste Gruppe ist, die eine rationale Funktion in sich
selbst transformirt, müssen noch weitere Bedingungen er-
füllt sein.

L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen. 301

* V=l

und die Anfangsbedingung bf =i 0-^ für w,= bestimmt.

Die Grössen b^ sind in diesem Fall ganze Funktionen
von Ui,

Ist dagegen die inf. Transformation (7, (f) von der

zweiten Art, so sind die Substitutionscoefficienten bß^ durch
die Differentialgleichungen

«•4!? = §*^'''i ^,M = l,2,..«

und die Anfangsbedingung b^u "=" v ) ^^^ ^» ^^ ^ bestimmt.

In diesem Fall sind die Substitutionscoefficienten wenigstens
rationale Funktionen des Parameters w,-.

Setzt man nun die m eingliedrigen Gruppen 5,(w,) zu
einer w-gliedrigen Gruppe

zusammen, so ist klar, dass die Coefßcienten der allgemeinen
Substitution dieser Gruppe Ä sich als rationale Funktionen
der m Parameter Wj Wg • • ^m ergeben, und zwar gilt dies,
wie auch immer die m inf. Transformationen 6',(/) im
übrigen gewählt sein mögen, wenn nur eine jede derselben
regulär ist.

Setzt man zwei Substitutionen der Gruppe Ä

n n

zusammen, so erhält man dem Gruppenbegriff gemäss wieder
eine Substitution der Gruppe.

Es muss also möglich sein m Funktionen w^w^ . . Wm der
Grössen u^u^. . Um'i v^v^. . Vm der Art zu bestimmen, dass

300 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7, Juli 1894,

Die Zerlegung von C(f) in reguläre inf. Transformationen
ist im wesentlichen vollkommen bestimmt, d. h. eine Unbe-
stimmtheit tritt nur insoferne ein, als eine jede der inf. Trans-
formationen K^ (f) K^{f) . . Kß {f) durch einen Ausdruck
der Form

mit ganzzahligen Coefficienten a^a^, . ersetzt werden kann.

Die oben erwähnten weiteren Bedingungen, denen unsere
Gruppe genügen muss, lauten nun:

Kommt unter den inf. Transformationen der Gruppe
eine irreguläre Transformation C if) vor, so gehören der
Gruppe auch alle die regulären Transformationen K{f) K^{f)..
Kß (/) an, in die G (/*) zerlegt werden kann.

Daraus folgt sofort:

Unsere m-gliedrige Gruppe enthält m linear unabhängige
reguläre inf. Transformationen.

Sind die angegebenen Bedingungen erfüllt, so kann man
die Substitutionscoefficienten aj^ als rationale Funktionen
von m Parametern u^u^. . Um darstellen und daraus folgt
dann die Existenz rationaler Funktionen — der Invarianten
der Gruppe — die durch die Gruppe in sich selbst trans-
formirt werden.

Zu dieser rationalen Darstellung der Substitutionscoeffi-
cienten gelangt man auf folgende Art:

Man wähle m linear unabhängige inf. Transformationen
C'i (f) ^2 (f) • • C>n (/*) der Art aus, dass eine jede derselben
regulär ist.

Die infinitesimale Transformation Ci(f) „erzeugt" eine
eingliedrige Gruppe B^ (ut). Ist die inf. Transformation

Ci{f) von der ersten Art, so sind die Coefficienten b^n, der

allgemeinen Substitution der Gruppe Bi{ui) durch die Dif-
ferentialgleichungen

L. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen, 301
^ = ^btil A,^ = l,2,..«

dui

v=l

und die Anfangsbedingung bf — P-^ für w,-=0 bestimmt.

Die Grössen bf sind in diesem Fall ganze Funktionen
von w,-.

Ist dagegen die inf. Transformation (7, (f) von der

zweiten Art, so sind die Substitutionscoefficienten b^l durch
die Differentialgleichungen

«•4^ = g*i'^ä A,M = 1,2,..K

und die Anfangsbedingung b^p ^^ O ^"^ ^* "^ ^ bestimmt.

In diesem Fall sind die Substitutionscoefficienten wenigstens
rationale Funktionen des Parameters w,-.

Setzt man nun die m eingliedrigen Gruppen J5,(w,) zu
einer w-gliedrigen Gruppe

zusammen, so ist klar, dass die Coefßcienten der allgemeinen
Substitution dieser Gruppe A sich als rationale Funktionen
der m Parameter u^u^^^u^ ergeben, und zwar gilt dies,
wie auch immer die m inf. Transformationen 6V(/) im
übrigen gewählt sein mögen, wenn nur eine jede derselben
regulär ist.

Setzt man zwei Substitutionen der Gruppe A

n n

zusammen, so erhält man dem Gruppenbegriflf gemäss wieder
eine Substitution der Gruppe.

Es muss also möglich sein m Funktionen w^w^. . Wm der
Grössen u^u^, , Um'i v^v^- * Vm der Art zu bestimmen, dass

302 Sitzung der matK-phys. Classe vom 7. Juli 1894.

Hfx i(^)) =S ^Ar ( W) «v/x ( W) A, // = 1 , 2, . . n

y=l

Die Grössen w sind im allgemeinen algebraische Funk-
tionen der Grössen u und v, weil ja die Substitutions-
coefficienten rationale Funktionen der Parameter sind. Aber
es gilt der Satz:

Man kann die m inf. Transformationen d (/), von deren
Wahl die Wahl des Parametersystems abhängig gemacht
worden ist, so wählen, dass die Grössen w rationale
Funktionen der Grössen u und v werden.

Der Satz ist für die allgemeine Theorie der continuir-
lichen Gruppen insofern von Bedeutung, als er für eine sehr
ausgedehnte Classe von Gruppentypen die Existenz einfach
transitiver rationaler Gruppen nachweist. Es ist aber auch
vom invariantentheoretischen Gesichtspunkt von Interesse,
worauf aber hier nicht näher eingegangen werden soll.

Im Folgenden erlaube ich mir einen Beweis dieses Satzes
vorzulegen.

Der Beweis wird in der Weise geführt, dass nachge-
wiesen wird: bei passender Wahl der inf. Transformationen
d (/") ergeben sich nicht nur die Coefficienten der allge-
meinen Substitution der Gruppe als rationale Funktionen
der Parameter, sondern es sind auch umgekehrt die Para-
meter rational durch die Substitutionscoefficienten bestimmt.
Ist dies bewiesen, so ist klar, dass von den vorhin besprochenen
drei Grössensystemen u; v; w ein jedes durch die beiden
anderen rational bestimmt ist.

Für den Beweis ist es zweckmässig die hier in Betracht
kommenden Gruppen in drei Classen einzutheilen. In die
erste Classe rechnen wir die Gruppen, deren inf. Trans-
formationen sämmtlich regulär von der ersten Art sind; in
die zweite Classe die Gruppen, deren inf. Transformationen
sämmtlich regulär von der zweiten Art sind; in die dritte

X. Maurer: Zur Theorie der contintdrlichen etc. Gruppen, 305

dann w* Grössen c/„, die nicht alle gleich Null sind und die
den Gleichungen

(ö) 2j (^^v ^r^r* — ^iv <^v^) = ^ ^^ ^i /^ = li 2, . . n

r=l

Ich behaupte, ein derartiges System cj[^ kann nur exi-
stiren, wenn die Grösse w gleich der DiflFerenz zweier der
Werthe r ist, für die die charakteristische Determinante

-^ (r) = I c^u — (i) ^1 A, ju = 1, 2, . . n verschwindet.

Den Beweis führen wir indirect: wir nehmen an, o) sei
nicht gleich der DiflFerenz zweier Wurzeln der Gleichung
-^ (r) = 0, und beweisen , dass dann alle n* Grössen c^
verschwinden müssen.

Die von einander verschiedenen Wurzeln der Gleichung
^ (r) = bezeichnen wir mit r^r^ » - f», und die Exponenten
der zum Wurzelf aktor r* — r gehörigen Elementartheiler mit

*^o n • • \ '

Wie ich in meiner Inauguraldissertation^) nachgewiesen
habe, lassen sich w* Grössen [g h A]* mit nicht verschwinden-
der Determinante so bestimmen, dass

2] % [1 A i«]* = n [1 Ä ^]* A==l,2,..M

A*=i «/ = 2, 3, . . ci*'

» A = 0, 1, . . Z»

2j % [^ * /^Ik = *■» f^ * ^]t + [5' — 1 A ^]* Ä = 1 , 2, . . «'

Nun folgt aus den Gleichungen (a)

S c;i. (i] c.;. [1 Ä /*]») = (r* + CO) 2 c;i; [1 * ^]*

A = 1, 2, . . n

Weil nach Voraussetzung die Determinante J (r) für
^ = *•* + w nicht verschwindet, so folgt hieraus

1) Zur Theorie der linearen Substitutionen, Strassburg 1887.

189i. Hath.-ph7S. CI. a 20

304 Sitzung der math,-phys, Classe vom 7. Jiüi 1894,

und wählen die Zahl q so gross, dass qn> m ist. Alsdann
hat das System der DiflFerentialgleichungen

(y) Ä*(/') = Zli]i]''Airi)*? = »=1,2,. .m

a=i X=zi /x=i ^ ^x

qn — m unabhängige Lösungen und jede Lösung ist gegen-
über der Gruppe (ß) invariant. Da aber die Gruppe (ß)
durch algebraische Relationen zwischen den Substitutions-
coefficienten definirt ist, so gibt es rationale Invarianten der
Gruppe^) und zwar sind darunter qn — m untereinander
unabhängige.

Den DiflFerentialgleichungen Si (f) = kommt also ein
vollständiges System rationaler Lösungen zu. Es finden
somit die in der Einleitung angegebenen Sätze auf die Gruppe
{ß) Anwendung.

Nun überzeugt man sich leicht, dass die inf. Trans-
formation Si(f) regulär oder irregulär ist, je nachdem die
inf. Transformation Ci(f) regulär oder irregulär ist. Es
gilt somit der Satz:

Findet sich unter den inf. Transformationen, die zu
einer regulären Gruppe gehören, eine irreguläre Transformation
C(ß^ so gehören alle die regulären Transformationen, in
die C (f) zerlegt werden kann, der Gruppe an.

Um später den Gang der Untersuchung nicht unter-
brechen zu müssen, schicke ich einige Hülfssätze aus der
Theorie der bilinearen Formen voraus.

Wir stellen uns zunächst die folgende Frage: es seien
w* Grössen c^^ gegeben, unter welchen Bedingungen gibt es

1) Christoffel Math. Annalen Bd. 19 S. 280.

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen elc, Gruppen. 307

CC' — C'C=(oC'

repräsentiren. Aus dieser symbolischen Gleichung ergibt sich:

GC'^ — a^C = (CCT-CC) C + C (CC- CG) = 2 w c»

C(f^—(f^C=(CC'^ — C'^C)Cf+(f^CC'—CC) = 3cüC'^

und allgemein C(f^ — G'^C = ha) C'*

Wählt man die Zahl h so gross , dass h (o nicht gleich
der DiflFerenz zweier Wurzeln der Gleichung J (r) = ist,
was ofifenbar immer möglich ist, wenn (o von Null verschieden
ist — so müssen alle w* Elemente des durch das Symbol
C* repräsentirten Systems verschwinden. Das ist aber nur
möglich, wenn die zu dem System cXu gehörige charakteristi-
sche Determinante J' (r) für keinen von Null verschiedenen
Werth von r verschwindet, d. h. wenn das System der w*
Grössen cj[ regulär von der ersten Art ist.

Es gilt somit der

2. Hülfssatz:
Bestehen die n* Gleichungen

S ^^^v <^vii — ^iv <^vtx) = ^^ii». ^, Ai = 1, 2, . . w

und ist die Constante w von Null verschieden, so ist das System
der n* Grössen C;' regulär von der ersten Art.

Die beiden ersten Hülfssätze haben sich auf reguläre
Systeme erster Art bezogen, die beiden folgenden beziehen
sich auf reguläre Systeme zweiter Art.

3. Hülfssatz:

Wenn die charakteristische Determinante

'^^r Elementartheiler erster Ordnung besitzt, so können die
Gleichungen

20*

306 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7. Juli 1894.

2c/^[l*A^]* = fürA=l,2,..w
Nun folgt aus (a) weiter

M / M *\ M

S C;. ( 1] c^; [2 Ä ^]* ) = (rt + w) 2 C;iV r2 * A*]*

A=l,2,.. w

und hieraus ergibt sich

l]c/^[2Äi"]* = A=l,2,..n

Diese Schlussweise fortsetzend erkennt man, dass
2]^A;i>Ai^]* = fiirA=l,2,..n

und alle n Werthsysteme der Indices g^ Ä, h.

Da die Determinante der Grössen [g h /«]* nicht ver-
schwindet, so folgt hieraus c/^ = für ^, ^u = 1, 2, . . w,

w. z. b. w.

Aus dem eben Bewiesenen folgt der

1. Hülfssatz:

Ist das System der w* Grössen Cj^ regulär von der ersten
Art, so können die Gleichungen

S (^Ar (^vfx — ^iv V) = ^ ^^ ^, // = 1, 2, . . n

nur dann bestehen, wenn entweder o) oder alle n* Grössen
^iw gleich Null sind.

Denn in diesem Fall verschwindet die charakteristische
Determinante J (r) nur für r = 0.

Man kann das Gleichungssystem (a) in bekannter Weise
durch die symbolische Gleichung

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, GHruppen, 309

verschwindet, wenn r — r^ — w = ist. Der genannte Aus-
druck verschwindet also in allen Fällen und daraus folgt
Cj[ = für A, ^ = 1, 2, . . w, w. z. b. w.

4. Hülfssatz:
Es seien m Systeme von je w* Grössen vorgelegt:

(1) (2) (m) ,, _ 1 9 ^

Wir setzen voraus, die zu einem jeden Systeme gehörige
charakteristische Determinante ^i(r) habe nur Elementar-
theiler erster Ordnung, und wir setzen weiter voraus, zwischen
den Elementen von je zwei Grössensystemen bestehen die
Gleichungen

s(4'ioS-4^«) = o

v=l

A, ^ = 1, 2, . . n

i, Ä = 1, 2, . . m

Dann kann man ein System von w* Grössen d\ mit
nicht verschwindender Determinante derart bestimmen, dass

V />(*^ >) — ^('^ >) A, a = 1, 2, . . w

Die n Grössen rj^ f^^ . . r^^ sind die Wurzeln der Gleichung

^,(r) = 0, also ganze Zahlen, wenn das System der c^ re-
gulär von der zweiten Art ist.

Dass der eben ausgesprochene Satz gilt, wenn nur ein
Grössensystem cf^ vorgelegt ist, ist bekannt. Um seine all-
gemeine Gültigkeit darzuthun, wollen wir annehmen, er gelte,
solange die Anzahl der vorgelegten Grössensysteme kleiner
*ls m ist, und beweisen, dass er dann auch noch für m Grössen-
systeme gilt. Wir nehmen also an, es gebe ein Grössen-

^ystem tf mit nicht verschwindender Determinante, das den
Gleichungen

308 Sitzung der math.-fhys. Classe vom 7. Jvii 1894.

S ^^^y ^y/^ ~ ^iy ^yt^ = ^ ^i*

^~ A, iu = 1, 2, . . w

2j (^^v ^r}i — ^Xv <^vfi) = ^^Xfi + ^X/i

nur dann bestehen, wenn alle n* Grössen c^' gleich Null sind.

Bezeichnen wir die Wurzeln der Gleichung J (r) = 0,
unter denen beliebig viele einander gleiche vorkommen können,
mit r^r^.-rn. Aus unserer Voraussetzung folgt: es gibt

zwei Systeme von je n* Grössen af^ und d^^ (a, ^ = 1, 2 . . w)

mit nicht verschwindender Determinante, die den folgenden
Gleichungen genügen:

2j CXf^ «^ — ^a ^X

^"^^ A,a=l,2,..n

2jCf^X^fi =^a^X

Mit Hülfe dieser Gleichungen leitet man aus dem vor-
gelegten Gleichungssystem das Folgende ab:

g, a = 1, 2, . . w

Die erste Gleichung zeigt, dass der Ausdruck

s s ov <j^^ «^Jr^

X [A,

verschwindet, wenn r^ — r^ — w von Null verschieden ist.
Die zweite Gleichung zeigt, dass dieser Ausdruck auch dann

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. GHruppen, 309

verschwindet, wenn r — r^ — w = ist. Der genannte Aus-
druck verschwindet also in allen Fällen und daraus folgt
cj[ =0 für A, ^ = 1, 2, . . w, w. z. b. w.

4. Hülfssatz:
Es seien m Systeme von je n* Grössen vorgelegt:

(1) (2) (m) 2 ,, _ 1 9 ^

Wir setzen voraus, die zu einem jeden Systeme gehörige
charakteristische Determinante ^»(r) habe nur Elementar-
theiler erster Ordnung, und wir setzen weiter voraus, zwischen
den Elementen von je zwei Grössensystemen bestehen die
Gleichungen

s(ci^s-4^«)=o

V=l

A, ^ = 1, 2, . . n

i, Ä = 1, 2, . . m

Dann kann man ein System von w* Grössen dj^ mit
nicht verschwindender Determinante derart bestimmen, dass

l^o,^d^ -r,d^ i = l,2,..m

Die n Grössen rj»"^ y(0 , . yW sind die Wurzeln der Gleichung

Jf (r) = 0, also ganze Zahlen, wenn das System der c^*^ re-
gulär von der zweiten Art ist.

Dass der eben ausgesprochene Satz gilt, wenn nur ein
Grössensystem cf^ vorgelegt ist, ist bekannt. Um seine all-
gemeine Gültigkeit darzuthun, wollen wir annehmen, er gelte,
solange die Anzahl der vorgelegten Grössensysteme kleiner
als m ist, und beweisen, dass er dann auch noch für m Grössen-
systeme gilt. Wir nehmen also an, es gebe ein Grössen-
system t^ mit nicht verschwindender Determinante, das den
Gleichungen

310 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. JuU 1894.

W ^c%t^^^ = r'^t^X^ A=l,2,..n;i = l,2,..m-1

genügt. Weil nach Voraussetzung die Determinante der
t^ nicht verschwindet, so kann man die Gleichungen ansetzen

(«) tctitf = h»,Jl^ A,a=l,2,..«

Nach dem bekannten Theorem des H. Weinstrass stimmen
die charakteristischen Determinanten.

A, ^i = 1, 2, . . w

in ihren Elementartheilern überein.

Nun folgt aus den Gleichungen, von denen wir ausge-
gangen sind bei Benützung der Gleichungen (T) und (a}

a, A = 1, 2, . . w; i = 1, 2, . . m — 1

und hieraus ergibt sich a^^ = 0, wenn nicht

rf =^/^^ für i=l,2,..m-l

Ist nun für keinen Index v > 1 gleichzeitig r* = rj*
für i = 1, 2, . . m — 1, so ist

f;4;^^? = «n4'^ ;i=l,2,..n

und wir genügen den zu beweisenden Gleichungen, wenn wir
d^^ = t^l^ und ri = «u setzen.

Nehmen wir nunmehr an, es sei

dagegen sei für keinen Index v > ä gleichzeitig

L.Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 311

r^^^r^l'^ t = l,2,..m — 1

Von den Elementen der Determinante

^C(r)=iai^-(J)rl A,Ai=l,2,..n

verschwinden alle, die den ersten h Zeiten, aber nicht gleich-
zeitig den ersten h Spalten angehören. Beachtet man , dass
die Determinante J!n (^) ebenso wie die Determinante J^ (r)
nur Elementartheile erster Ordnung besitzt, so überzeugt
man sich leicht, dass auch die charakteristische Determinante

des Systems h^^ Grades aj^ — P) r A, ^ = 1, 2, . . ä nur

Elementartheiler erster Ordnung hat, und daraus folgt: man
kann ein System von A* Grössen ß mit nicht verschwinden-
der Determinante derart bestimmen, dass

S /?ea «a. = ♦•e"Vev ?,V=1,2,..Ä

Setzt man dann

^ßQvi^X^ = ^X^ A=l,2,..n; e=l,2,..A

so ergibt sich aus den Gleichungen (a)

t c'r^ d^^^ = r'^U['^ A = l,2,..n; e=l,2,..Ä

Damit sind die ersten h der zu beweisenden Gleichungen
als richtig erwiesen. Der Beweis der übrigen ergibt sich
auf analoge Weise.

Nach diesen Vorbereitungen wenden wir uns zunächst
zu den Gruppen der zweiten Classe (s. Einleitung, Schluss).

Wir nehmen also an, eine jede inf. Transformation, die
der vorgelegten m-gliedrigen Gruppe A angehört, sei regulär

312 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894.

von der zweiten Art. Zwischen den Coefficienten von m
linear unabhängigen inf. Transformationen der Gruppe A

GAf) = ttcf^^x^ i = l,2,..m
bestehen Gleichungen der Form

(A, ^ = 1, 2, . . w; i, Jc= 1, 2, . . m)

Ich behaupte, die Constanten e} müssen alle gleich Null

sein. Wäre nämlich z. B. eine der m* Grössen e von Null

verschieden, so müsste die Determinante £ (r) = | e, — Q r \
Jc^j = 1, 2, . . m entweder wenigstens für einen von Null
verschiedenen Werth von r verschwinden, oder sie müsste,
wenn sie durch r* theilbar ist, wenigstens einen Elementar-
theiler von höherer als der ersten Ordnung haben.

Tritt der letztere Fall ein, so kann man zwei Werth-
Systeme, deren Elemente nicht alle verschwinden, ßi Ci . . Cm
und ei ei . . e^ so bestimmen, dass

Xj «y Cä = und ij €,• e'h = ßy. 0* = 1, 2, . . m)

Ä=l Ä=l

Setzt man nun

1!^.% = ^A^ und :t^eicll = Jci^ (A,^£ = l,2,..w)

1=1 «=i

so bestehen die Gleichungen

t {c'H K^ - hr 0%) =

A, ju = 1, 2, . . n

i^ (41 Kf. - K O = V

V=:l

Aber diese Gleichungen können nach Hülfssatz (3) nur
dann statt haben, wenn alle w* Grössen kxu verschwinden.

X. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 315

einen gemeinschaftlichen Divisor haben. Wären nämlich
diese n Zahlen durch die Zahl a theilbar, so hätte man nur

die inf. Transformation Ci(f) durch - Gi(f) zu ersetzen.

Um nun unsere Behauptung zu beweisen, gehen wir
von der Annahme aus, dass nicht alle ünterdeterminanten
Ä—l**° Grades, deren Elemente den Ä— 1 ersten Zeilen des Systems
(R) angehören, einen von 1 verschiedenen gemeinschaftlichen
Divisor besitzen. Diese Voraussetzung ist, wenn nicht für
grössere A, so doch sicher für A = 2 erfüllt. Es sei sodann
a der grösste gemeinschaftliche Divisor aller der Unter-
determinanten Ä*®*» Grades, deren Elemente den h ersten Zeilen
von (R) angehören. Unter den Unterdeterminanten h — 1*®**
Grades, deren Elemente den ä— 1 ersten Zeilen von (B) an-
gehören, ist mindestens eine nicht durch a theilbar. Es sei
dies die aus den Elementen der h — 1 ersten Spalten gebildete
Determinante Dh-v Unter den Unterdeterminanten Ä*®** Grades,
deren Elemente den h ersten Zeilen von (R) angehören und
die alle Elemente von Da_i enthalten, hat mindestens eine
einen von Null verschiedenen Werth. Es sei dies die aus
den Elementen der Ä ersten Spalten gebildete Determinante
Dh. Es sei ferner b der grösste gemeinschaftliche Divisor
von Dh-i und a, so dass jedenfalls b<Za ist. Endlich sei
t eine Wurzel der Congruenz t Rh-i ^ b mod a.

Wir lassen nun an Stelle der inf. Transformation C* (f)
die Transformation

treten. Dementsprechend tritt an Stelle des Zahlensystems
(iJ) ein Zahlensystem (-B'), das sich von {R) nur in den

314 Sitzung der math.-phys» Glosse vom 7. Juli 1894.

Führt man an Stelle der inf. Transformationen d (f) m
andere linear unabhängige inf. Transformationen

Ä- (/•) = S «-» Ca (/) t = l,2,..m

ein, so treten in den Gleichungen (T) an Stelle der Grössen r[f
die Grössen

während die Grössen dr^^ unverändert bleiben.

Ich behaupte nun: man kann die verfügbaren Grössen
3,Ä so wählen, dass

1. auch die Grössen q^ — ebenso wie die Grössen r^ —
ganze Zahlen sind, und dass

2. die aus m Spalten des Systems

M) Ji) .(1)

^1 ^2 . . Qn

(2) (2) (2)

^1 ^2 . . Qn

(m) (m) (m)

Ql ^2 . . Qn

gebildeten Determinanten m^^ Grades keinen gemeinschaft-
lichen Divisor haben.

Zum Beweise ist zunächst zu bemerken: weil nach
Voraussetzung die m inf. Transformationen Gt(f) linear un-
abhängig sind, so können nicht alle Determinanten m^^^ Grades,

die aus m Spalten des Systems

(1) (1) (1)

(2) (2) (2)

(B) ^^ ^2 .. Tn

(»») (m) (tn)

gebildet sind, verschwinden. Wir können ferner voraussetzen,
dass nicht alle n zu einer inf. Transformation Ci(f) gehörigen
Grössen

L. Mmmrcr: Zmr Theorie der comiimMiriiekem eie. Grmpftti, 315

einen gemriiwchaftlichen Dirisor haben. Wiren nämlich
diese n Zahlen doich die Zahl a theilbar, so hätte man nor

die inf. Transformation Q (f) durch - C» (/*) za ersetz^i.

Um nmi unsere Behaoptong za beweisen, gehen wir
Ton d^ Annahme aas, dass nicht alle Untodeterminanten
A— l*™GradeSr deren Elemente den h—1 »sten Zeilen des Systems
(R) angeh^en, einen ron l rerschiedenen gemeinschafilichai
DiTisor besitzm. Diese Yoraasetzong ist, wenn nicht för
gröaseie A, 90 doch sicher far A = 2 erfallt. Es sei sodann
a der grosste gem^nschaftliche DiTisor aller der Unter-
determinanten h*^ Grades, deren Elemente den k erstoi Zeilen
Ton {S) angehören. Unter den Unterdeterminanten k — 1*^
6rad&, deren Elemente den h — 1 ersten Zeilen von {R) an-
gehören, ist mindestens eine nicht darch a theilbar. Es sei
dies die was den Elementen der k — 1 ersten Spalten gebildete
Determinante Da -i- Unter den Unterdeterminanten A*^ G rades,
deren Elemente den k ersten Zeilen von (i2) angehören and
die alle Elemente ron Da-i enthalten, hat mindestens eine
einen ron Null rerschiedenen Werth. Es sei dies die aas
den Elementen der k ersten Spalten gebildete Determinante
Dk- Es sei femer b der grosste gemeinschaftliche Divisor
Ton Da^i and a , so dass jedenfalls b <^a ist. Endlich sei
t eine Wnrzel der Congraenz / i4— 1 ^ b mod a.

Wir lassen nun an Stelle der inf. Transformation C« (/)
die Transformation

treten. Dementsprechend tritt an Stelle des Zahlensystems
(U) ein Zahlensystem (-B*), das sich von (JS) nur in den

316 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894,

Elementen der h^^ Zeile unterscheidet, indem die Zahlen /^^
durch die Zahlen

^ ^A (2)

(a = 1, 2, . . w)

ersetzt sind. Die Grössen q^ sind ganze Zahlen, denn der

Zähler von q^ ist nach dem Modul a dem ^-fachen einer der

ünterdeterminanten h^^ Grades congruent, die aus den Ele-
menten der h ersten Zeilen des Systems (R) gebildet sind,
er ist also durch a theilbar.

Man überzeugt sich nun leicht, dass b der grösste ge-
meinschaftliche Divisor der ünterdeterminanten A*®° Grades
ist, die aus den Elementen der h ersten Zeilen des Systems
(ü') gebildet sind. An Stelle des gemeinschaftlichen Divisors a
ist somit ein kleinerer gemeinschaftlicher Divisor h getreten.

Es ist nun klar, dass bei wiederholter Anwendung des
eben durchgeführten Verfahrens an Stelle des Systems (ü)
ein System (iJJ von der BeschaflFenheit tritt, dass die Unter-
determinanten h^^ Grades, die aus den Elementen der h ersten
Zeilen gebildet sind, keinen gemeinschaftlichen Divisor mehr
besitzen. Aus diesem System (üj) leitet man dann in ana-
loger Weise ein System (R^) von der BeschaflFenheit ab, dass
auch die Unterdeterminanten h + 1*®° Grades keinen gemein-
schaftlichen Divisor mehr besitzen u. s. w.

Wir wollen nunmehr voraussetzen, die inf. Trans-
formation Cj (/*) C^{f) ' - Cm (/") seien von Anfang an so ge-
wählt, dass die aus m Spalten des Systems {R) gebildeten
Determinanten m*®° Grades keinen gemeinschaftlichen Divisor
besitzen.

Unter dieser Voraussetzung bezeichne ich die genannten

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 319

Demnach sind die Logarithmen der Quotienten — Multipla

von 2 /r i und es ist folglich v^ = u^ t;^ = Wg . . Vm = Wm
w. z. b. w.

IV.

Die beiden Theile unseres Beweises, die sich auf Gruppen
der ersten und der dritten Classe (s. Einleitung) beziehen,
beruhen auf einem gemeinschaftlichen Grundgedanken. Ich
beginne mit der Darlegung dieses Beweisprincips.

Es seien m reguläre, linear unabhängige, inf. Trans-
formationen

vorgelegt, die eine m-gliedrige Gruppe erzeugen. Wir be-
stimmen die zu einer jeden inf. Transformation C^ (f) gehörige
eingliedrige Gruppe Bi{ui) (s. Einleitung) und setzen dann
diese m eingliedrigen Gruppen zu der m-gliedrigen Gruppe

Ä (Wj Wg .,Ufn) = B^ (Wj) Bg (Wg) . . B„, {tln)

zusammen.

Bezüglich der inf. Transformationen Ciif) machen wir
nun die Voraussetzungen:

1. es sollen die q ersten von denselben für sich eine
Gruppe bestimmen und ebenso sollen die n% — q letzten für
sich eine Gruppe bestimmen.

Alsdann werden die q ersten unter den eingliedrigen
Gruppen Bi{ui) sich zu einer g-gliedrigen Gruppe

Ä' (Wj Wg ..Uq) = -Bj (Wj) J5g (Wg) . . Bg {Uq)

ziusammensetzen und ebenso werden sich die m—q letzten
Xu einer m — g-gliedrigen Gruppe

A" (Wj+i UqJ^.2 . . Wm) = -Bj+1 (Wg+l) Bq^2 (Uq^2) • • -Bm (Um)

Zusammensetzen.

Wir nehmen nun an, es sei bereits bewiesen:

318 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894.

entspreche dasselbe Werthsystem der Grössen a;^», und wir
beweisen, dass dann nothwendig

Aus unserer Voraussetzung ergibt sich

\uj \uj \u„,J

= 1 (T = 1, 2, . . w

und hieraus folgt, dass eine jede von den n Summen

1 ^ (Ä) 1 «^A

-.Sc log

eine ganze Zahl ist.

Wir setzen nun, unter N^ eine ganze Zahl verstehend,
die n Gleichungen

an und bilden von denselben alle die Gombinationen zu m,
die m von einander unabhängige Gleichungen umfassen. Die
Auflösung eines dieser Gleichungssysteme ergibt die m Grössen

1 Vh

- log — als Quotienten, deren Zähler von den Zahlen N^

2ni ° Uh

abhängige, nicht näher bestimmte ganze Zahlen sind, und
deren gemeinschaftlicher Nenner — die Auflösungsdeter-
minante — eine von den Determinanten m^^ Grades ist, die
aus m Spalten des Systems {B) gebildet sind, und es ist klar,
dass jede derartige Determinante, die nicht verschwindet, als
Auflösungsdeterminante zu einem unserer Systeme von m
Gleichungen gehört. Der kleinste gemeinschaftliche Nenner

1 Vk

der m Brüche ^ — : log — muss daher scemeinschaftlicher Divisor

2m ° Uh

aller der genannten Determinanten sein: er ist also = 1.

li, Maurer: Zur Theorie der continuMchen etc. Chuppen, 321

verfügt werden kann, so kann einem Werthsystem der
Substitutionscoefficienten nur eine endliche Anzahl von Werth-
systemen der Parameter entsprechen. Um die eben aufge-
stellte Behauptung zu beweisen, genügt es also zu zeigen:
Wenn einem Werthsysteme der Substitutionscoefficienten
zwei verschiedene Werthsysteme der Parameter entsprechen,
so entsprechen ihm unendlich viele Werthsysteme der Parameter.

Nehmen wir, um diesen Nachweis zu führen, an, den
beiden Parametersystemen

u^u^. . Um und Vj Vg . . Vm
entspreche dieselbe Substitution der Gruppe A. Es sei also

ohne dass gleichzeitig die m Gleichungen v^ = u^ t;^ = ^2 • -
bestehen. Da allgemein A = A' Ä' so kann man die
symbolische Gleichung (G) durch die folgende ersetzen:

= A' (t;^ Vg . . Vg) A!' (vg+i t;^4.2 . . Vr^
nnd hieraus folgt:

,0-i [-^' (^1 ^2 • • ^«)]"^ -4' (Wj Mg . . Mg) A!' (%+i Mj4.2 . . U<„)

\A" (Vg+i t;j4.2 . . Vm)]"' = 1

wo in üblicher Weise die identische Substitution mit 1 be-
zeichnet ist.

Wegen des Gruppencharakters der Substitutionen A'
and A" kann man Funktionen w^w^» - Wq von u^u^, . Ug
und Vj Vg . . Vq und Funktionen Wq^i Wq^2 • • Wm von Uq^i
W5+2 • . Um und Vq^i Vqj^2 • • ^m derart bestimmen, dass

{J) [A* {Vj^ V^ . . Vq)y A' (Mj Mg . . Mg) = -4' («C?! ««;2 . . Wq)

und J." {UqJ^i llqJ^2 • • Wn») [A" (Vg+i i;g4-2 . . ^m)]^^

= A" {WqJ^\ Wq^2 - - ^m)

Nach unserer zweiten Voraussetzung hängen diese
Funktionen w rational von ihren Argumenten ab.

I8M. ]Uib.-ph70. Gl. 8. 21

320 Sitzung der mathrphys, Classe vom 7. Juli 1894,

2. Die Parameter Wj Wg . . w^, von denen die Coefficienten
aj[ der allgemeinen Substitution der Gruppe Ä* abhängen,
lassen sich als rationale Punktionen der Coefficienten a;[^ dar-
stellen und ebenso sind die Parameter Ug^i Uq^2 ••«*»,, von
denen die Coefficienten a^^ der allgemeinen Substitution der
Gruppe^" abhängen, rationale Funktionen der Coefficienten a/^.

Bezüglich der Gruppe A" machen wir noch die weitere
Voraussetzung:

3. Unter den Potenzen einer beliebigen Substitution S
der Gruppe Ä*' soll die identische Substitution nur dann
vorkommen, wenn 8 selbst die identische Substitution ist,
wenn also die der Substitution entsprechenden Parameter
die Werthe haben, die in der Einleitung als Anfangswerthe
der Parameter bezeichnet worden sind.

Aus dieser Voraussetzung ergibt sich in bekannter Weise,
dass alle Potenzen einer Substitution 8 der Gruppe A'' unter
einander verschieden sind.

Geht also die Substitution 8^ aus der allgemeinen
Substitution der Gruppe dadurch hervor, dass man den ver-
fügbaren Parametern Uq^i Uq^2 • • w« die VTerthe Wq^i Wq^2 • •

Wm ertheilt, so sind diese VTerthsysteme Wq^^i Wq^2 • «i die
den verschiedenen Potenzen von 8 entsprechen, alle unter
einander verschieden.

Ich behaupte nun, die eingeführten Voraussetzungen
reichen für den Beweis hin, dass sich die Parameter u^ Ug • • Um
rational durch die Coefficienten a^u, der allgemeinen Sub-
stitution der Gruppe Ä darstellen lassen.

Zum Beweis ist zunächst zu bemerken:

Weil die Substitutionscoefficienten a;^« rationale Funk-
tionen der Parameter u^u^. . Um sind, so hängen umgekehrt
die Parameter algebraisch von den Substitutionscoefficienten
ab und weil die Gruppe Ä m-gliedrig ist, also über m der
Substitutionscoefficienten durch geeignete Wahl der Parameter

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen, 321

Nehmen wir, um diesen Nachweis zu führen, an, den
beiden Parametersystemen

u^u^. . Um und Vj Vg . . Vm
entspreche dieselbe Substitution der Gruppe A. Es sei also

(ö) A (Mj Wg . . Um) = -4. (Vj Vg . . Vm)

ohne dass gleichzeitig die m Gleichungen v^ = Wj t;^ == v^ . .
bestehen. Da allgemein A = A' Ä' so kann man die
symbolische Gleichung (G) durch die folgende ersetzen:

.^,. A\U^U^. , Uq) A" (Wj+i ^^4-2 . . Wm)

= A' (t;^ Vg . . v^ A!' (vg+i t;^4.o . . t;„,)
und hieraus folgt:

^ jx [-4' (Vi ^2 . . V^Y A\u^U^. . Uq) A!' {UqJ^x Uq^2 • • Um)

[A" {Vq^i VqJ^2 - • 'Om)Y^ = 1

wo in üblicher Weise die identische Substitution mit 1 be-
zeichnet ist.

Wegen des Gruppencharakters der Substitutionen A'
und A" kann man Funktionen w^w^, . Wq von u^u^. , Uq
und v^v^ , . Vq und Funktionen Wq^i Wq^2 • • u^m von Uq^i
Uq^2 • ' Um uud Vq^\ VqJi^2 • • Vm derart bestimmen, dass
(J) [A' [v^ v^ . . v^Y ^ (^1 ^2 • • Wg) = Ä {fJO^ w^ . . Wq)

und J." {Uq^i Uq^2 - - Um) \_A" (Vq^i Vq^2 - • 'Vm)Y^

= A!' {WqJ^x Wq^2 • • ««'m)

Nach unserer zweiten Voraussetzung hängen diese
Funktionen w rational von ihren Argumenten ab.

1894. Math.-phys. Gl. 8. 21

322 Sitzung der math.-pkya. Glosse vom 7. Juli 1894,

Setzen wir sodann für beliebige positive und negative
Exponenten h

SO sind auch die Grössen %^\ wt - - Wq rationale Funktionen
von u^u^. . Uq und v^v^., Vq und die Grössen w\\.\ u}q\.2 • . ^m
rationale Funktionen von Uq^\ Uq^2 • . ^*m und Vq^i r^-j-g . • Vm-
Die Substitution

ist von der identischen Substitution verschieden.
Denn andernfalls wäre

und nach unserer zweiten Voraussetzung folgt hieraus Vg^i = Uq^\

Wegen (ö') wäre nun auch

Ä (w, Wg , , Uq) = Ä (v^ v^ . . Vq)

also auf Grund der zweiten Voraussetzung auch

Vj = Wj ^2 "^ **2 • • '^g = w?

im Widerspruch mit der Annahme, von der wir ausge-
gangen sind.

Aus unserer dritten Voraussetzung ergibt sich nunmehr,
dass die Werthsysteme

WqJ^l Wq^2 • • ^m

alle untereinander verschieden sind.

Nun folgt aus (J?) bei Berücksichtigung von (eT') und {K)

Ä (W^ W^ . . W^ Al' {Wq^\ Wq^2 . • Wm) = 1
lÄ (W^ W^ . . Wq) [-4" {Wq^i Wq^2 • • tVm)T

= A' {wV w^' . . wf) r {u}^, w'^2 . . t^L'^)
= A (wf^ wt^ . . w^S) = 1

für beliebige positive und negative Exponenten Ä.

L, Maurer: Zw Theorie der continuirlichen etc, (huppen, 325

jenigen Gruppen gehören, die H. Killing als Gruppen vom
Rang Null bezeichnet hat.

Für diese Gruppen gilt der Satz:^)

Man kann die inf. Transformationen Ci^f) so wählen,
dass sie den Relationen

(J) GiCHin-CuCiit^^^BfOiif)

MI
(ÄJ=1,2, .. i— 1; i«2,3,..iii)

genügen.

Das charakteristische an den Relationen {J) ist: sie

haben zur Folge, dass die % inf. Transformationen

c,{f) c,(f).. a(f)

für sich eine i-gliedrige Gruppe bestimmen, und zwar gilt
dies für i = 1, 2, . . m.

Ein System von m unter einander linear unabhängigen
Transformationen, da» den Relationen (J) genügt, bezeichne
ich als kanonisches System.

Um nun die m-gliedrige Gruppe A zu bestimmen, die
von den m inf. Transformationen d (f) erzeugt ist, bestimmen
wir zunächst die zu einer jeden inf. Transformation d (f)
gehörige eingliedrige Gruppe Bi {Ui) und setzen dann diese
m eingliedrigen Gruppen zu der w-gliedrigen Gruppe

A (Wj Wg . . Wm) = J9, (Wi) -Bf (tif) . . -Bm (Wm)

zusammen. Da die inf. Transformationen

für sich eine Gruppe bestimmen, so setzen sich die m—l ein-
gliedrigen Gruppen

^i (^i) -Bf K) • • -Bm-l (Wm-l)

1) Dissertation von Umlauf: üeber die ZnsammensetzuDg der
Gmppen vom Rang Null. Leipzig 1891. Vergl. auch Engel, Leipziger
Berichte 1687 S. 95.

324 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7, Juli 1894,

Es ist somit

[B (u)f = B{hu)

Die identische Substitution entspricht dem Parameter-
werth w = 0. Daraus folgt

2. In der Reihe der Potenzen der Substitution B (u)
kann die identische Substitution nur dann auftreten, wenn
t« = 0, also schon die Substitution B {u) selbst die identische
Substitution ist.

Es sei nun eine w-gliedrige Gruppe der ersten Classe
vorgelegt.

c, (/•) c, if) .. c„(n

seien untereinander linear unabhängig, im Uebrigen aber
beliebige inf. Transformationen derselben. Sie sind alle
regulär von der ersten Art, weil die Gruppe nach ihrer
Definition keine anderen inf. Transformationen enthält.

Zwischen diesen m inf. Transformationen bestehen Re-
lationen der Form

Ci a if) - Ch Gi {f) = ^ef Cj(f) i, fc = 1, 2, . . m

Ich behaupte, die charakteristische Determinante

kann für keinen von Null verschiedenen Werth von r ver-
schwinden.

Nehmen wir nämlich an, diese Determinante verschwinde
für den von Null verschiedenen Werth r = w, dann kann
man eine lineare Combination K{f) der inf. Transformationen
(7j (/*) C^ if) . . Gm(f) derart bestimmen, dass

CiK{f)-KCi{f) = coGi(f)

Aber dies ist nach dem ersten Hülfssatz des Art. II un-
möglich, weil Gi (/) regulär von der ersten Art ist.

Daraus folgt, dass die Gruppen erster Classe zu den-

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 327

inf. Transformationen der Gruppe so wählen, dass 1) jede
derselben regulär von der ersten Art ist, und dass 2) die
Zusammensetzung der Gruppe durch Gleichungen der Form
{J) bestimmt ist.

Es ist nicht schwer zu beweisen, dass umgekehrt diese
beiden Eigenschaften eine Gruppe erster Classe — d. h. eine
Gruppe, die nur reguläre inf. Transformationen erster Art
enthält — charakterisiren. Ich unterlasse diesen Nachweis,
weil er für das Folgende nicht nothwendig ist, und beschränke
mich auf die Bemerkung, dass die beiden eben angeführten
Eigenschaften für den Beweis hinreichen, dass sich die
Parameter rational durch die Coefficienten der allgemeinen
Substitution der Gruppe darstellen lassen, und dass keine
Potenz einer von der identischen verschiedenen Substitution
der Gruppe, die identische Substitution ergeben kann. Es
ergibt sich dies unmittelbar aus dem Gang des gegebenen
Beweises.

Im Folgenden wenden wir die Bezeichnung „Gruppe erster
Ciasse** auf alle die Gruppen an, die die beiden eben ge-
nannten charakteristischen Eigenschaften besitzen.

VI.

Wir gehen nunmehr zu den Gruppen der dritten Classe
über, die reguläre inf. Transformationen sowohl von der
ersten als von der zweiten Art enthalten.

Es sei Cj (f) eine beliebige in der Gruppe enthaltene
reguläre inf. Transformation zweiter Art.

Unter den in der Gruppe enthaltenen inf. Trans-
formationen K{f)^ die mit G^ (/*) vertauschbar sind, d. h. der
Relation C^K(f) — KC^{f) = genügen , wählen wir, —
wenn es solche gibt — eine reguläre Transformation zweiter
Art aus und bezeichnen sie mit C^ (/*). Gibt es weitere
reguläre Transformationen zweiter Art, die mit Cj (/*) und

326 Sitzung der math,-phys. Clause vom 7. Juli 1894.

zu einer m — 1-gliedrigen Gruppe

zusammen und Ä (u^ Wg • • w«») entsteht durch Zusammen-
setzung von Ä (Wj Wg . . Wm-i) und Bm (w,»).

Um zu beweisen, dass sich die Parameter rational durch
die Coefficienten der allgemeinen Substitution der Gruppe
darstellen lassen, nehmen wir an, die Behauptung gelte für
Gruppen, deren Gliederzabi kleiner als m ist, und beweisen,
dass sie dann auch für m-gliedrige gilt. Da sie für ein-
gliedrige Gruppen gilt, gilt sie dann allgemein.

Für die Gruppe Ä' gelten auf Grund unserer Annahme
die Voraussetzungen, die im vorigen Artikel bezüglich der
dort mit Ä' bezeichneten Gruppe gemacht worden sind; für
die eingliedrige Gruppe gelten die im vorigen Artikel be-
züglich der Gruppe Ä' gemachten Voraussetzungen. Somit
ergibt sich der Beweis unserer Behauptung aus den Be-
trachtungen des vorigen Artikels.

Die Gruppen erster Classe haben die bemerkenswertbe
Eigenschaft, dass unter den Potenzen einer Substitution
Ä (u, Wg . . Wm), die der Gruppe angehört, nur dann die
identische Substitution auftreten kann, wenn sich die Sub-
stitution A (Wj Wg . . Um) selbst auf die identische Substitution
reducirt. Der Beweis ergiebt sich aus der Schlussbemerkung
des vorigen Art. Damach muss nämlich, damit unter den
Potenzen der Substitution

A (Wj ttg . .Um) = A' (Wj Wg . . Wm-l) -Bm (Mm)

die identische Substitution vorkommt, Bm (Um) die identische
Substitution sein, woraus Um = folgt. Man schliesst dann
in derselben Weise weiter, dass sich jede der Substitutionen
Bm-i (Um-i) Bm-2 (Wm-2) • • -^i (Wj) auf die identische Sub-
stitution reducirt, dass also w^ = Wg = W3 . . = t^,» = ist.
Aus der Definition der Gruppen erster Classe hat sich
ergeben: man kann m untereinander linear unabhängige

X. Mangrtr: Zur Theorie der amtkumrUehen etc. Oruf^mu, 327

inf. TranfifarmisidcmeD der Gruppe 80 wählen, das 1) Jude
deTBelben regiilär tqd der easbem Art ist, xxnä äam 2) die
Ziisaininenfietzinig der Gmppe dnrcb GleichuDgen der Farm
(J) bestiimiit isL

£& ist niclit schwer zu beweiseii. diiffi mng'^ehrt diese
beiden EigensnhafteD eine Gruppe erster daase — d. h. eine
Gru|jpe, die nur reguläre inf. TransfamiAtianen erster Art
enthält — chanikterkiren. Ich nnterlaflse diesen I(achwei&,
well er für das Folgende nicht nothwendig ist, xmd beschränke
mich auf die Bemerkung, daes die beiden eben angeföhrten
Eigenschaften für den Beweis binreichen, dasB sich die
Parameter rational durch die Coef&cienten der allgemeinfin
Substitiitian der Grmppe darstellen lassen, mid dasB keine
Potenz einer Ton der identischen Terschiedenen Substitution
der Gruppe, die identische Substitution ergeben kann. Es
ergibt sich diee unmittelbar aus dem Gang des gegebenen
Beweises.

Im F olgen den wenden wir die Bezeichnung , Gruppe eisier
Classe'^ auf alle die Gruppen an, die die beiden eben ge-
nannten char^ienstischen Eigenschaften besitzen.

Wir gehen nunmehr zu den Gruppen Aer dritten dasse
über, die reguläre in£ Transformationen sowohl von der
ersten als Ton der zweiten Art enthalten.

Es sei Cj (/) eine beliebige in der Gruppe enthaltene
reguläre in£ Transformation zweiter ArL

Unter den in der Gruppe enthaltenen inf. Trans-
formationen K (f), die mit Cj (/*) Tertauschbar sind, d. h. der
Relation C^Kif) — KC^{f) ^= genügen, wählen wir, —
wenn es solche gibt — eine reguläre Transformation zweiter
Art aus und b«^chnen sie mit C, (/"). Gibt es weitere
reguläre Transformationen zweiter Art, die mit Cj (f) und

328 Sitzung der mathrphys, Glosse vom 7. Jidi 1894,

C^ if) vertauschbar und von diesen linear unabhängig sind,
so bezeichnen wir eine derselben mit C^ (f) u. s. w.

Nehmen wir an, es finden sich genau m^ reguläre Trans-
formationen zweiter Art

C, if) G, (/) . . C^ (/■)

die untereinander linear unabhängig und paarweise ver-
tauschbar sind. Diese bestimmen eine WQ-gliedrige Gruppe
Äq^ die der zweiten Classe angehört.^) Daran wird selbst-
redend nichts geändert, wenn wir an Stelle der inf. Trans-
formationen

lineare Combinationen derselben treten lassen. Wir können
desshalb voraussetzen, diese m^ inf. Transformationen seien
so gewählt, dass sie ein kanonisches System für die Gruppe
Äq bilden (Art. III).

Mit 0.,+i (/•) 0^+2 (f).^ C„,(f)

bezeichnen wir irgend welche untereinander und von Oj (/)
^2 (/^) • • ^»»0 (f) Wiiß^r unabhängige inf. Transformationen
der vorgelegten m-gliedrigen Gruppe A.

Die m inf. Transformationen C,(/') genügen Relationen
der Form

(J) CiGu{f)-C,Ci(f) = ^^fCj{f) i,Ä;=l,2,..m

Aus der Art, wie die m^ ersten inf. Transformationen
gewählt worden sind, folgt, dass

Bj = für i, Ä: = 1, 2, . . m^ und ^ = 1, 2, . . m

Zwischen drei inf. Transformationen besteht die Jacobi'sche
Identität*)

1) Diese Zahl ttiq stimmt mit der Zahl überein, die H. Killing
als Rang der Gruppe bezeichnet. Math. Annalen Bd. 33.
5) Lie, Transformationsgruppen I S. 94,

L. Maurer: Zur Theorie der continutrlichen etc. Gruppen. 329

Ch (C. C» — CO- (C. Gu - C, G.) G, + C, (0* Ch - C» C»)
— (C*C*-CACi) C.+ Ci(C»C,- C,C») — (C*C— c.ci)a=o

Sind i und Tc Zahlen aus der Reihe 1, 2, . . t»g, so ist
C, Ci — Ct C, = und es folgt mit Rücksicht auf \j)

und hieraas weiter

Die m inf. Transformationen Ci (/*) sind untereinander
linear unabhängig, ferner ist ef = — ef folglich ist

Repräsentiren wir das System der w** Constanten ey
(Ä»i = li 2, . . m) durch das Symbol J5/,-, so lassen sich die
vorstehenden Gleichungen durch die symbolischen Gleichungen

-B.. Ek — Ek Ei = t, ife = 1, 2, . . Wo

repräsentiren. Die zu einem der m^ Systeme Ei gehörige
charakteristische Determinante kann nur Elem entartheiler
erster Ordnung besitzen. Denn andernfalls könnte man zwei
nicht identisch verschwindende inf. Transformationen der
Gruppe K (f) und K" (f) so bestimmen, dass

arif) - K' Ci (f) = 0, K' if) + K{f)

Aber dies ist wegen des dritten Hülfssatzes des Art. II
nicht möglich.

Demnach genügen die m^ Systeme Ei den Voraussetzungen,
auf denen der vierte Hülfssatz des Art. II beruht. Man
kann also ein System von f/** Constanten yk mit nicht ver-
schwindender Determinante so bestimmen, dass

'■■\-'<^^-. <

o* .'

330 Sitzung der matK-phys. Glosse vom 7, Juli 1894.

^ «Tr (Ä) (O (Ä) t = 1, 2, . . IHq

Von den Gleichungen (J) benützen wir nun diejenigen,
die einem der Indiceswerthe i = 1, 2, . . Wq entsprechen, und
setzen zur Abkürzung

y=i

Es ergibt sich
(ß) C, K, (f) - K, a if) = wV> K, (f) *^!'J-"*«

Weil 6y =0 für i, ä: = 1, 2, . . w^; J = 1, 2, . . m, so
kann man die Grössen yi so wählen, dass

yj;^ = (*) für i = 1, 2, . . w^; ä: = 1, 2, . . tw

Es ist dann Jf^(/) = dif) für t = 1, 2, . . Wq und w^^
= für Ä, i = 1, 2, . . m^.

In dem aus w^ Zeilen und m Spalten bestehenden System

,„(♦»0) ,„(»»o) ,„(»«o)

haben also alle Elemente, die den ersten Mq Spalten ange-
hören, den Werth Null.

Es kann der Fall eintreten, dass noch weitere Spsdten
dieses Systems kein von Null verschiedenes Element enthalten.
Es seien dies etwa die auf die ersten mo Spalten folgenden
m'o Spalten, dagegen möge in jeder weiteren Spalte wenigstens
ein von Null verschiedenes Element vorkommen.

Jede inf. Transformation, deren Index h> mo -\- mo ist,
genügt somit einer Relation

(7. Kh (f) - Kh Ci (f) = cüi'^ Ks if) (t g «„)

X. Mamrer: Zmr Theorie der eonÜHMirUekem etc. Gruppen. 331

wo (xh! TOD Null TeTBehied^i isL Darmus fcJgt: jede inf.
Transformation Kk(f) (A 2> m« 4~ "<o) ist regulär Ton der
ersten Art (Art. ü Hol&satz 2} und es folgt überdies: die

Grössen ci^ sind ganze Zahlen. Denn a4 moss gleich der
Differenz. Ton zwden der Werthe r sein, for welche die za
C, (f) gehörige charakteristische Determinante ^, (r) ver-
schwindet (Art n An£uig). Diese Determinante Terschwindet
aber nur for ganzzahlige Werthe Ton r, weil Ci(f) regolar
Yon der zweiten Art ist

Bezüglich m — mi Ton den inf. Transformationen

steht nunmehr fest, dass sie r^alar sind, nämlich von den
«ito ersten and von dem m — m^ — mi letzten. Die ersteren
sind Ton der zweiten, die letzteren Ton der ersten Art. Es
bleiben nur noch die m^ inf. Transformationen übrig, die
den Indices mo-j-l, »io4"2r..«io + »«i entsprechen. Diese
bedürfen einer besonderen Untersoehung, die im nächstoi
Art. durchgeführt wird.

Auf Grund der Formeln {S) kann nun die Torgel^te
Gruppe in bemerkenswerther W^se in Untergruppen zer-
fallt werden. Zu diesem Zweck bilden wir zunächst — unter
ttj a, . . a«^ ganze Zahlen Terstehend — eine lineare CSom-
bination der inf. Transformationen zweiter Art

Aas den Gleichungen {Q) folgt
LKi(f)-K^L(f) = euK^(f) h = l,2,..m

WO zur Abkürzung

(1) , <2) («^

gesetzt ist.

Die zur Verfügui^ stehenden Zahlen a denken wir so
gewählt, dass

332 Sitzung der math,-pky8. Glosse vorn 7. Jtdi 1894,

1) Qh nur dann = ist, wenn gleichzeitig

also wenn A <^ Wo + mo^ und dass

2) zwei verschiedene Zahlen Qh und Qi nur dann einander
gleich sind, wenn gleichzeitig

Die Indicesbezeichnung denken wir uns so gewählt, dass
in der Reihe der Zahlen

die positiven den negativen und, unter Zahlen gleichen Vor-
zeichens, die dem absoluten Werthe nach grösseren den
kleineren vorangehen. m+ sei die Anzahl der positiven,
m_ die Anzahl der negativen q.

Bilden wir nun die Jacobi'sche Relation für die inf.
Transformationen Kh (f) Kj (f) L (f), Sie lautet:

L{KhKj-Kj Kh) - {K,Ky- Kj Kh) L + KniEyL- LKj^

- {KjL-LKj) Kh + Ky {L K^ - Kn L)

-{LKh- Kh L) Kj = 0.

Die 4 letzten Glieder ergeben

- {Qj + Q,) {Es Kj - Kj Kh)

Sei nun Kh Ky — Ky Kh = d^^K^ -\- ö^ K^ . . + <Jm ^m
wo ^j ^2 . . öm Constante bedeuten , die in leicht zu über-
sehender Weise von den Constanten ey , die in den Gleichungen
(J) vorkommen, abhängen.

Nun erhält die Jacobi'sche Relation die Form

m m

L (J, (i K -K,L)- (Qj- + ?») D ö, K =

«=1 «=1

oder auch

£ (?.• - Qj - ?*) <J.- -B^< =

«=1

i. Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen 'ßSS

Weil die inf. Transformationen Ki untereinander linear
unabhängig sind, so folgt hieraus

di = 0, wenn nicht Qi = Qy + Qh ist.

Nehmen wir zunächst an, j und h seien Zahlen aus der
Reihe l, 2, . . Wo + m6. Dann ist Qy = Qh = also (J,- =
wenn nicht auch Qi = 0.

lu dem Ausdruck Kh Ky — Ky Kk kommen in diesem
Fall nur die inf. Transformationen

vor. Diese mo -j- *w6 inf. Transformationen bestimmen also
für sich eine Gruppe F, die die WQ-gliedrige Gruppe Äq
als Untergruppe enthält.

Nehmen wir zweitens an, j und h seien Zahlen aus der
Reihe Wo + »m6 + 1, Wo + ^6 + 2, . . wo + ^o + w+, dann
sind Qy und Qh positiv, also ist di = 0, wenn nicht auch Qi
positiv ist. Da ferner die positiven q nach absteigender
Grösse geordnet sind , so kann die Gleichung Qi ^ Qy + Qh
nur dann bestehen, also nur dann öi von Null verschieden
sein, wenn der Index i grösser als der grössere der beiden
Indices y, h ist. In dem Ausdruck Kh Ky — Ky Kh kommen
also nur solche inf. Transformationen Ki vor, die positiven
Werthen Qi entsprechen und deren Index grösser als der
grössere der beiden Indices j^ h ist. Demnach bestimmen
die m^ inf. Transformationen, die zu positiven Werthen q
gehören, für sich eine Gruppe erster Classe A^ (vergl. Art. V
Schluss) und sie bilden ein kanonisches System inf. Trans-
formationen derselben.

Ebenso bestimmen die m_ inf. Transformationen, die
zu negativen Werthen von q gehören, für sich eine Gruppe Ä—
und bilden für dieselbe ein kanonisches System.

Nehmen wir endlich drittens für h eine Zahl aus der
Reihe 1, 2, . . »>o + wb, für j eine Zahl aus der Reihe

334 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894,

Wo + m6 + 1, mo + two + 2, . . f»o + »*6 + w+, so ist Qh
= Qj positiv uüd aus Qi = §» -f" Qj folgt Qi = Qy also auch
Qi positiv.

Man schliesst hieraus: die inf. TransformationeD, die zu
verschwindenden, und diejenigen, die zu positiven Werthen q
gehören, bestimmen zusammengenommen eine Gruppe. Mit
anderen Worten: die mo + mo-gliedrige Gruppe F und die
m-|.-gliedrige Gruppe A^ setzen sich zu einer Gruppe H zu-
sammen , deren Gliederzahl mo + »m6 + m^ = tn — m^ ist.

VII.

Die Untergruppe F bedarf einer eingehenderen Unter-
suchung.

Von den zu dieser Untergruppe gehörigen inf. Trans-
formationen

wissen wir:

1) Die ersten w^ derselben

K,(f) K,(f).. K^if)

sind regulär von der zweiten Art und sie bestimmen für sich
eine Untergruppe A^,

2) Diese m^ inf. Transformationen sind mit allen inf.
Transformationen der Untergruppe F vertauschbar, es ist also

KiKH{f)-KHK,{f) =
für i = 1, 2, . . w?o; A = 1, 2, . . Wo + Wo.

In nicht symbolischer Form geschrieben heisst das:

t » « - Ict <) =

r=l

für X, ju = 1, 2, . . w und die eben angegebenen Werthe der
Indices i^ h.

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen. 335

Da die mo + Wo inf. Transformationen eine Gruppe be-
stimmen, so bestehen weitere Relationen der Form

3) S (4*i < - kl 4?) = IJ cj;? fc^^

A, fi = 1, 2, . . w; A, / = Wo + 1, Wo + 2, . . Wo + w6.

Wir werden nun beweisen : die w6 inf. Transformationen
-^♦"0+1 (f) -^mo+2 (f) . . Z,no+mj(/') können so gewählt werden,
dass sie für sich eine wb-gliedrige Gruppe Ao bestimmen,
die der ersten Classe angehört. Ist dies erwiesen, so ist klar,
dass die genannten inf. Transformationen so gewählt werden
können, dass sie ein kanonisches System bilden.
Zum Beweise bemerken wir zunächst:
Die Coefficienten der w^ inf. Transformationen

genügen den Voraussetzungen des vierten Hülfssatzes des

Art. II. Man kann also ein System von w* Grössen d/ mit
nicht verschwindender Determinante derart bestimmen, dass

S*5i^Ir' = ^a^4'^ X=l,2,..n; i=l,2,..Wo

Wir führen nun neue Variable durch die Substitution

ein, wodurch die inf. Transformation Kh (/) in

_ n n _,f^ 9 f

Ä* (/O = £ £ Vxl ^ y^

übergehen möge. Auf Grund des Weierstrass'schen Theorems
stimmen die zu Kf^ (/*) und K^ (/') gehörigen charakteristischen
Determinanten in ihren Elementartheilern überein. Diese
beiden inf. Transformationen sind also gleichzeitig regulär

336 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894,

oder irregulär. Es ist ferner klar, dass zwischen den inf.

Transformationen K^ (f) genau dieselben Relationen (2) und
(3) bestehen, wie zwischen den inf. Transformationen K^ (f).

Nun ist für i = 1, 2, . . iWo

also *jfi = (J) rf
und aus (2)

folgt: *^*^ = wenn nicht rj'^ = rj|f für i = 1, 2, . . Wq.
Ist also etwa

rf = 4*^ ..==r^^ für i = 1, 2, . . Wo

aber für keinen Index v > x gleichzeitig

r^*^ = rf für i = L 2, . . m«

so hängen die Coefficienten der Differentialquotienten r-^

^ Vi
df df -

- — . . r — in Kh (f) nur von yiP^- Vx ^b, und diese Variabein

kommen in den Coefficienten der übrigen Differentialquotienten
nicht vor.

Die Variabein y^y^- • yx lassen sich also derart in eine
Reihe von Systemen vertheilen, dass die Coefficienten der
Differentialquotienten nach den Variabein eines Systems nur
von den Variabein dieses Systems abhängen. Die Anzahl
dieser Systeme sei g und die Anzahl der Variabein, die dem
jten System angehören, sei n^. Dieselben mögen — unter
Abänderung der bisher gebrauchten Bezeichnung — mit

(a) (a) (a)

y\ y\ '-yna

bezeichnet werden.

L. Maurer: Zur Theorie der continuvrlichen etc. Gruppen. 337

Es ergeben sich nun für unsere mo + m6 inf. Trans-
formationen Ausdrücke folgender Gestalt:

^ {t)= 2j2j J^o Vx — (^ * = 1, 2, . . Wo

A = mo -f li Wo + 2 . . mo + two

Wir beweisen nun zunächst: die mo inf. Transformationen

-Kmo+i if) -KmQ+2 (/■) . . -^o+*"o ^^ können so gewählt werden,
dass eine jede derselben regulär von der ersten Art ist.

Zu dem Zweck bemerken wir, dass unter den ge-
nannten Transformationen keine vorkommen kann, die regulär
von der zweiten Art ist. Denn eine solche müsste von

K^ if) K^ (f) . . KmQ if) linear unabhängig und mit jeder
dieser inf. Transformationen vertausch bar sein. Es gäbe also
entgegen unserer Voraussetzung (Art. VI Anfang) in der
Gruppe A mehr als m^ linear unabhängige inf. Transfor-
mationen zweiter Art, die paarweise vertauschbar sind. Eine

jede der m© Transformationen K^ {f) ist also entweder regulär
von der ersten Art oder irregulär.

Nehmen wir an , die inf. Transformation Ä"* (/) sei
irregulär. Man kann dann (s. Einleitung) eine reguläre
Transformation erster Art L (f) und eine gewisse Anzahl
regulärer Transformationen zweiter Art L^ (/) L^{f) . . so
bestimmen, dass

Knif) = L(f)^q,L,{f)-\-Q,L,{f)..-\-qßLß{f).

In den inf. Transformationen Lif) L^(f) L^(f) . . sind
— wie man sich leicht überzeugt^) — die Variabein in
genau derselben Weise getrennt, wie in K^ (f)^ und daraus

1) Vergl. die Inv. S. 123 gegebenen Formeln.

1894. Math.-phy8. Gl. 3. 22

338 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7, Juli 1894,

folgt, dass eine jede der inf. Transformationen L (f) L^ (f)

ig (f) . . mit den inf. Transformationen K^ (f) K^(f) . , K^q (f)
vertausehbar ist. Weil unsere Gesammtgruppe A regulär
ist, so gehört ihr eine jede der regulären Transformationen

an (s. Einleitung), in die die irreguläre Transformation Kh (f)
zerlegt worden ist, und weil eine jede der regulären Trans-
formationen zweiter Art L^ (f) L^(f) . . mit K^ (f) K^ (f) . .
KfnQ (/) vertauschbar ist, so kann keine der Transformationen

A (f) ^2 (/*) • • ^ö^ ^1 (f) ^2 (/")•• ^ (f) linear unabhängig
sein. Denn sonst gehörten gegen unsere Voraussetzung der
Gruppe Ä mehr als m^ untereinander linear unabhängige
reguläre Transformationen zweiter Art an, die paarweise ver-
tauschbar sind. Man kann nun oflfenbar die der Gruppe F

angehörige irreguläre Transformation K^ (/*) durch die eben-
falls der Gruppe F angehörige reguläre Transformation erster
Art L (f) ersetzen.

Nachdem die Zulässigkeit dieser Annahme bewiesen ist,
setzen wir nunmehr jede der inf. Transformationen ^q'{-i if)
■^»»«+2 if) ' . ^m^+niQ {f) als regulär von der ersten Art voraus.

Damit die inf. Transformation

regulär von der ersten Art ist, muss jedes der q Coefficienten-

systerae Iz^^ (A, ^ = 1, 2, . . wj regulär von der ersten Art
sein. In der Entwicklung der charakteristischen Determinante

nach Potenzen von r verschwinden also die Coefficienten
aller Potenzen von r, abgesehen von r"<J, und es ist ins-
besondere

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc. Gruppen. 389

^ kj^^' = a = \,2,..q; Ä = f«o+li»»o+2..iiio+»ii
Die unter (3) angegebenen Relationen

A, /u = 1, 2, . . w; A, Z = Wo + 1, »no + 2, . . iwo + Wo

gelten, wie bereits oben bemerkt worden ist, unverändert für
die Coefficienten der transformirten inf. Transformationen.
Es ist also

v=i y=i

X,iu = l,2,..n^; cT=l,2,..g; Ä,Z=two+li fWo+2,..iiio + ino

und hieraus folgen für Z = ^, wegen

i ^;.x =0 für A = mo + li ♦^'^^ + 2, . . Wo + m(»

;i=i

lind ij J&=n^ Ro^ für A = 1, 2, . . m^

die Gleichungen

1.: d^'^ iJ^^^ = cj=l,2,..3; A,Z = Wo+l,wio+2,..iWo + wio

y=i

Weil die inf. Transformationen

linear unabhängig sind, folgt hieraus

dj =0 für A, Z = Wo + 1, Wo + 2, . . Wo + w©;

und j = 1 , 2 . . Wo

In dem Ausdruck Kh Ki (/) — Ki Ku (f) kommen dem-
nach nur die inf. Transformationen

^^+1 (f) Ä«^j+2 (/) . . Ä«^+«;^ (/)

22*

340 Siisung der mathrpht^s. Glosse vom 7. Juli 18&4,

vor. Diese mi iuf. TransformatioDen bestimmen demnach
für sich eine Gruppe Ao und diese Gruppe gehört noth-
wendig der ersten Classe an. Denn die nto-gliedrige Gruppe
Ao ist regulär, weil sie nio linear unabhängige reguläre
Transformationen enthält, und sie kann keine reguläre Trans-
formation zweiter Art enthalten.

vm.

Damit ist auch für die regulären Gruppen der dritten
Classe ein kanonisches System inf. Transformationen nach-
gewiesen. Die m inf. Transformationen dieses Systems ver-
theilen sich auf vier Untergruppen Ao Ah A^ -4_. Jede
dieser Untergruppen ist regulär, und zwar gehört die erste
Aq der zweiten Classe an, die drei übrigen gehören zur ersten
Classe. Die inf. Transformationen, die einer dieser Unter-
gruppen angehören, sind so gewählt, dass sie ein kanonisches
System für die betreffende Untergruppe bilden.

Für alle vier Untergruppen gilt nun der Satz:

Die Parameter der Gruppe lassen sich rational durch
die Coefficienten der allgemeinen Substitution der Gruppe
darstellen.

Für die drei Gruppen erster Classe gilt überdies der
Satz: Unter den Potenzen einer von der identischen ver-
schiedenen Substitution der Gruppe kommt die identische
Substitution nicht vor.

Wir haben nun weiter bewiesen:

Die Untergruppen Ao und Ao setzen sich zu einer Unter-
gruppe r zusammen.

Die Untergruppen F und A^ setzen sich zu einer Unter-
gruppe H zusammen.

Endlich entsteht die m-gliedrige Gruppe A selbst durch

Zusammensetzung von H und A Durch Anwendung der

Principien des Art. IV beweist man nun erst für die Unter-

L, Maurer: Zur Theorie der continuirlichen etc, Gruppen, 341

gruppe r, dann für die Untergruppe fl", endlich fttr die
Gruppe A selbst den zu beweisenden Satz, dass sieb die Para-
meter der Gruppe rational durch die Coefficienten der all-
gemeinen Substitution der Gruppe darstellen lassen.

Dass eine Gruppe A im Allgemeinen aus drei Unter-
gruppen r A^ A^ zusammengesetzt werden kann, ergibt sich
unmittelbar aus den sehr interessanten Sätzen des H. Killing
über die Zusammensetzung von iGruppen.^) Für die hier
verfolgten Zwecke konnten aber diese Sätze nicht benützt
werden. Denn H. Killing beschränkt sich darauf, die Zu-
sammensetzung der Gruppe zu untersuchen, und geht auf
die Natur der einzelnen inf. Transformationen nicht weiter
ein, während gerade diese für die vorliegende Untersuchung
von wesentlicher Bedeutung ist. So gehören — solange
man nur die Zusammensetzung der Gruppen in Betracht
zieht — die Gruppen, die hier als Gruppen erster und zweiter
Classe unterschieden worden sind, in dieselbe Kategorie: sie
sind beide Gruppen vom Rang Null.

Sobald man aber die Substitutionen der Gruppe und die
zugehörigen Inyariantensysteme genauer untersucht, zeigen
sie die allergrdsste Verschiedenheit.

1) Math. Annalen, Bd. 31, 33, 34, 86.

343

Bemerkungeii über zahlentheoretische Eigen-
schaften der Legendre'schen Polynome.

Von Gustav Bauer.

(Btngeiau/en 4. Augutt)

Das Legendre'sche Polynom w*®° Grades sei nach Legendre-
scher Bezeichnung durch X„ bezeichnet; dann ist X„ Coefficient
von jgr** in der Entwicklung

und es berechnet sich hieraus

__ 1.3.5.>(2 n-l)/ n(n-l)

^~~ 1.2.3. n V 2(2n-l)^

n(n-l)(n-2)(n-3) \ I-

^ 2.4.(2n— l)(2w — 3) /

Diese Formel kann als Definition von Xn für jeden
Werth von x gelten. Nun sagt Heine in seinem , Handbuch
der Kugelfunktionen" 1. Aufl. 1861, S. 7: »Nach der Be-
merkung von Euler in einem Briefe an Goldbach, dass in

der Entwicklung von yl — n* a nach aufsteigenden Potenzen
von a alle Goefficienten von a ganze Zahlen werden, er-
kennt man sofort, dass Xn nur eine Potenz von 2 zum
numerischen Nenner hat**, indem er beifügt, dass ihm diese
Eigenschaft der Polynome Xn von mir mitgetheilt worden sei.^)

1} In der 2. Auflage seines Handbuchs, I. Th. S. 14, kommt Heine
auf diese Eigenschaft der Polynome Xn zurück. Man kann hinzufügen.

344 Sitzung der math.-phys, Classe vom 7, Jtdi 1894,

Diese Bemerkung in Bezug auf die Coefficienten der
Form I und der bekannte Satz, dass alle Polynome X» für
x = l den Werth 1 annehmen , ist, so viel ich weiss, das
einzige, was bisher in zahlentheoretischer Beziehung von
diesen Polynomen bekanntgegeben wurde.

Es soll nun hier zunächst gezeigt werden, dass diese
Polynome auch die bemerkenswerthe Eigenschaft besitzen,
dass, wenn x irgend eine ungerade ganze Zahl ist,
sie selbst ungerade ganze Zahlen sind.

2. Die Polynome Xn genügen bekanntlich der Differential-
gleichung

Differentiirt man diese Gleichung wiederholt und setzt
sodann in diesen Gleichungen a? = 1, so ergiebt sich sofort
die Relation

dx"" 2 m d a;*"""^

_ (n — m + l) jn + m ) d"*^^ Xn
2 m d x^"^

und hiemit, da X» = 1 für a; = 1,

dXn^ n{n+l) cPXn^ (n— l)n(n+l)(n + 2)
dx " 2 ' dx^ ~ 2-3

d«X> _ (n-2)(n-l)...(n + 3)
dx^ ~ 2.4.6

Mittels dieser Werthe erhält man die Entwicklung

1.2.3-.2n (a?— 1)-

+ • • +

2-4.6-2W 1.2-3--W

sagt er hier, „dass sämmtliche Coefficienten mit 4** multiplicirt ganze
Zahlen sind". Diese Angabe ist nicht genau. Denn man beweist leicht
mittelst dem in ffi 4 angegebenen Verfahren, dass die Coefficienten der
Formel I höchstens 2«— i im Nenner haben.

G. Bauer: üeher Legendr ersehe Polynome. 345

welche sich auch schreiben lässt

"* P 2 ■" P-2* \ 2 /

(m— 2)(n— 1)->(^ + 3) / a? — l y (1)

— ^ — ) in dieser Entwicklung
wollen wir mit An bezeichnen, so dass

wo allgemein

(1')

.(i)_ (n — fe4- !)(«— /;)•• ( w + fc)
" l»-2»-3»--Ä»

(2)

Setzt man in dieser Reihe — x statt x, so hat man
zugleich

(- D- :s, = 1 - ^<" (^1) + ^<f> (^') - + • • (')

und wenn man in 1) a;+2 statt a; setzt,

X,«+2) = 1 + ^» (^-+1) + ^^) (^-±i) + ... (4)

Also ist auch

i (X„(»+2) + (- 1)« Z„) = 1 + ^r (^tiy

\ Ä(x+2) _ (-1)« :x«) = X^' (^)

(5)

346 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7, Jidi 1894,

Aus Gleichung 3) folgt sofort für a? = 1 , dass die
Coefficienten An der Relation genügen

l-^L^> + ^''- + ..±X"^ = (-l)- (G)

3. Es soll nun bewiesen werden, dass die Coefficienten
An sämmtlich ganze gerade Zahlen sind.^)

Hiezu haben wir zunächst zu fragen, wie oft eine ge-
gebene Primzahl 6 in dem Produkt 1-2-3-" ^ enthalten ist.
Diese Frage ist schon von Legendre*) beantwortet. Ist

nämlich J?(-- I die grösste ganze Zahl, welche in dem Bruch

N , , ,

— enthalten ist, so ist die gesuchte Zahl, d. i. der Exponent

der höchsten Potenz von ö, welche in 1 - 2 • • • ^ enthalten
ist, durch die Formel gegeben

"=^(?)+*©+^©+--

wo die Reihe fortzusetzen ist, bis der Nenner ß* grösser
als N wird.

Theilt man nun N in zwei oder mehrere ganze Zahlen,
z. B. in die drei Zahlen w, n, n", sodass N=n-^n-{-n\

1) Setzt man in den Gleichungen 1) 8) x = cos a, = sin* - o,

2 2

' = cos* - o, so werden dieselben
2 2

Z^(cosa) = l - ^^^^ sin* 1 a + ^J?^ sin* 1 a h"-

(— ifX^Ccosa) -= 1 — ÄJ^^ cos*la + ^^^^ cos* ia — H

In dieser Form sind die Gleichungen längst bekannt und schon
von Dirichlet gegeben worden (Grelle J. Bd. XVII). Aber man scheint
nicht bemerkt zu haben, dass die Goefficienten dieser Reihen sämmt-
lich ganze Zahlen sind, was allerdings auch wenig Interesse bietet, so
lange man die Polynome X nur für Werthe von x^l betrachtet.

2) Legendre, Theorie des Nombres, 3™« 6d. 1830, T. I p. 10.

G, Bauer: lieber Legendre^sche Polynome. 347

so ist klar, dass ^(^) nicht kleiner sein kann als J5J( _j

-|--BI-^i + -B(— . j; wohl aber kann es grösser als diese

Summe sein; denn bleiben bei der Division von i?, n\ n

durch ö» die Reste a, jS, y und ist a + jS-l-y>ö», so wird

/JVr\
Fi\—.\ um 1 oder auch 2 grösser sein, als diese Summe.

Hieraus folgt, dass für irgend eine Primzahl ö

die Summen auf die Potenzen von ö ausgedehnt, die in ^
enthalten sind.

Hieraus folgt unmittelbar der Satz^): In dem Ausdruck

n! n ! n" ! •

wo ^=w + w' + n" "t" • * '7

ist jede in dem Nenner enthaltene Primzahl wenig-
stens ebenso oft im Zähler enthalten als im Nenner
und der Ausdruck stellt mithin eine ganze Zahl dar.

Der Coefficient Asn kann nun auf diese Form gebracht
werden, nämlich

{n—'k)!k!k!

Es ist hier ^=w + Ä;, und diese Zahl ist in die 3 Theile

n — Ä, Ä, 7c, zerlegt. Also ist An eine ganze Zahl.

4. In dem besonderen Falle, wenn ö = 2, ist für N =2^
die Zahl (X = 2p — 1. Nun kann aber irgend eine Zahl N
in der Form

iV^=2P+23+2'"H , /)>3>r---

dargestellt werden, und die Anzahl der Faktoren 2, welche
in dem Produkt l-2«3« • jN" enthalten sind, ist also N — Ä,

1) Unter N! ist hier das Produkt 1 • 2 • 3 • • • ^ zu verstehen.

348 Sitzung der math.-phys. Classe vom 7, JtUi 1894.

wenn h die Anzahl der Glieder 2p, 2« • • in ^ ist (Legend re
a. a. 0. p. 12).

Fragt man nun, wie oft der Faktor 2 in

n! n! n'!

{N=^n-\-n -\-n)

vorkommt, so ersieht man, dass der ungünstigste Fall ein-
tritt, wenn i?, n, n' selbst Potenzen von 2 sind, w = 2^,
n = 2«, w"--=2'-, also iV= 2^» + 2« + 2»-; in diesem Falle
ist der Faktor 2 nämlich im Zähler und im Nenner N — 3 mal

N!
enthalten und die Zahl , / , „. enthält den Faktor 2 gar

nlnln!

nicht, und ist also eine ungerade Zahl. Eine Ausnahme

hievon tritt ein, wenn zwei der Zahlen n, n\ n' oder auch

alle drei gleich sind; denn ist m'=i?"=2«, so ist N=2p

+ 23+1 un^j jgr Faktor 2 ist dann in dem Produkt 1 • 2 • • JV

noch JY — 2 mal enthalten, während er im Nenner w .' nV n' .'

nur N — 3 mal enthalten ist. Aber man sieht, dass ähnliches

eintritt, sowie überhaupt zwei der Zahlen w, w', n" gleich

sind. Ist «'=n"= 2'+ 2*^+ • • • und i die Anzahl dieser

Glieder 2", 2*^ • • • so wird N ! die Zahl 2 wenigstens i-mal

öfter enthalten, als der Nenner nlnln!-' und man kann

daher obigen Satz dahin ergänzen:

Sind in dem Ausdruck

nlnln I...

zwei (oder mehrere) der Zahlen n, n\ n\ •• gleich,
so ist derselbe eine ganze gerade Zahl.

Dieser Fall tritt ein bei dem Coef ficienten -4i • —

(n—h)lklk!
und folglich ist dieser Coefficient immer eine gerade Zahl.

5. Setzt man in den Gleichungen 1) 3) für x irgend
eine ungerade ganze Zahl, a? = 2 y -f- 1? so werden dieselben

G. Bauer: Ueher Legendre'sche Polynome. 349

(-1 )» x„(2 H-1) = 1 - 4i" (y + 1) + ^f (i^ + D» + • • [ (')

woraus die in Nr. 1 angegebene Eigenschaft dieser Polynome
X^ hervorgeht, dass sie ganze ungerade Zahlen werden,
wenn iür x irgend eine ungerade Zahl 2y + l gesetzt
wird. Zugleich ersieht man, dass dieselben sowohl nach
Potenzen von y^ als auch nach Potenzen von y+1 in
ganzzahlige Reihen entwickelt werden können.

Aus diesen Gleichungen ergiebt sich ferner, dass für
x = 2y + l

^H — X'n

für irgend welche Indices w, n immer durch y theilbar ist,
und ebenso, dass, je nachdem w, n gleichartig oder ungleich-
artig sind, im ersten Falle

im zweiten

^i + ^

durch y+1 theilbar sind.

Aus den Gleichungen 5) folgt für x = 2y — 1

(8)

woraus ersichtUch, dass auch

Zn(2y-hl) — (—1)** Xn(2y-1)

immer durch y theilbar ist.

Wenn nun aber a? eine gerade Zahl ist, so zeigen die
Gleichungen 1) und 3), dass sich X^ nur ausnahmsweise

350 bitzung der inath.-phys, Classe vom 7, JtUi 1Ö94.

auf eine ganze Zahl reduciren wird.^) Da das höchste Glied

der Reihe 1) Asn ( — ö — ) ^^^f so steht darin 2*» im Nenner ;
aber .^ . ,

n! n!

hat, wenn w = 2^ + 2^ 2*" + • • mit i-GIiedern ist und also
2 w = 2H-1 + 2«+i + 2'-+i + .., nach Nr. 4 (2 w— i) — (n— i)

— (n— i)=i Faktoren 2, so dass in A^n ( — « — ) nur noch

2**"» im Nenner bleibt. Nur wenn n eine Potenz von 2
ist, also i = 1, bleibt noch 2**~^ im Nenner. Das vorletzte

Glied A^r^^ ir~^~^ ^^^^ ^° j®^®°^ '^'^^^ höchstens 2--2

im Nenner behalten; das drittletzte höchstens nur 2"~^ u. s. f.
Man sieht also, dass, wenn x eine gerade Zahl ist, X» höch-
stens den Nenner 2**"~^ haben kann; dies wird aber nur
eintreten, wenn n eine Potenz von 2 ist; in allen andern
Fällen hat X», wenn x eine ganze gerade Zahl ist, 2**"^
oder eine niedrigere Potenz von 2 im Nenner.

6. Da, wenn n gerade, X„ nur gerade Potenzen von x

enthält, und dasselbe von — gilt, wenn n ungerade, so lassen

sich diese Polynome auch nach Potenzen von x^ — 1 ent-
wickeln. Man erhält für gerade n

ji)_ n(n4-l) ^(2)_ (w— 2)w-(«+l)(« + 3)

(9)

1) Dies tritt z. B. ein für n = 3.

Of„

G, Bauer: üeher Legendre^sche Polynome, 351

allgemein
(fc) _ (n-2A:+2)(n-2a:+4)-^>(n+l)(n+3)>-(w+ 2 A:-l)

Für ungerade n

l=i+tf.(^')+'"'C-¥)+-

V^-j/a:^ — 1

+ '^' (^)

^(1) _ («-!)(« + 2) ,.,2)_ («-3)(«-l)-(» + 2)(w+4 )
^»» — ia ' ^»» — 1*.2* '"

allgemein

(fc) ^ {n-2k+l)(n-2k+S)"(n-l)'in+2)(n+4:)-(n+2k)
" "~ P-2».3*--Ä:*

Die Coefficienten a, 6 in diesen Reihen sind
ebenfalls sämmtlich ganze und gerade Zahlen, wie
sogleich gezeigt werden soll.

Setzt man a? = 2j/ + li so wird — j — = y(y-\-l) und

man erhält also, wenn x eine ungerade Zahl 2y-\-l ist,
folgende ganzzahlige Reihenentwicklungen nach Potenzen
von y(y + iy):

1) Für a; = co8a erhält man aus den Gleichungen 9) 10)

für gerade n .^.

Y fr.^c ^^ — 1 J^) /sin a\2 , (2) /sin a\* _, i M^ /sin a\»
X„(cosa) = l — a„'(^-^J +a„ ^__J— + ..±a„ (^-^-J

für ungerade n

X, (cos a) = cos a |l - bj." (?^) V 6|f » (?^) - + • •

Diese einfachsten g an z zahligen Entwicklungen von X^(cosa)
sind, so viel ich weiss, bisher noch nicht gegeben worden.

352 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 7. Jtdi 1894.

für gerade n

2;. = 1 + al'> y (y + 1) + c^^ y» (y+ 1)»4- • •

für ungerade n

+ an y (y+1)

(11)

^ = i + 6i:)2/(j/+i) + «^n'2/*(y+i)* +

--1\ n—l n-1

r-?)

(12)

••+(V)af-'>+af-"J

Entwickelt man in 11) die Potenzen von (y+1) ^^^
vergleicht sodann die Reihe mit der Reihe 7) so ergiebt sich

und allgemein

Da in diesen Recursionsformeln der höchste Coefficient a
immer den Faktor 1 hat, so berechnet sich hieraus aj» , resp.
^^*-i) ^^j^^jj gjj^g Reihe der An mit ganzen Coefficienten.
Also sind auch die a ganze gerade Zahlen.

Die Vergleichung der Coefficienten von y** und y*"~^ in
den beiden Reihen 7) und 11) liefert

woraus

^L"-'' = J X"^ (15)

sich ergiebt. Das Bildungsgesetz der An zeigt, dass diese
Relation in der That stattfindet, und zwar für gerade und

ungerade n. Es ist also auch A^n" ^ immer durch n theilbar.
Dies ist aber nur ein specieller Fall des allgemeinen Gesetzes,

dass An immer durch h theilbar ist. (Nr. 7.)

G. Bauer: lieber Legefidre'sche FtAytiOtne, 353

Ebenso giebt die Vergleichung der Reihe 12) mit der
Reihe 7) Recursionsformeln für die Berechnung der bn aus
den An; dieselben sind wegen des Faktors a? = 2y4"l etwas
coraplicirter als die Formeln 13) haben aber mit diesen die
Eigenschaft gemein, dass der höchste Goefficient b^ in den-
selben den Faktor 1 hat. Man erhält also für die Coeffi-
cienten bn ebenfalls eine Reihe der An mit ganzen Coefficienten.
Also sind auch die bn ganze gerade Zahlen.

Speciell ergiebt sich
und ans der Vergleichnng der Coefficienten von y"~* und y„

Hieraus folgt zunächst wieder die Relation 14); femer für
den letzten Goefßcienten bn

Hiebei ist zu bemerken, dass, wie wir in Nr. 5 sahen,
A^n^ immer den Faktor 2 mehrfach enthält, ausgenommen,
wenn n eine Potenz von 2 ist. Dieser Fall ist aber hier aus
geschlossen, da in der Reihe 12) n eine ungerade Zahl ist;

Cr-')

also ist bn auch eine gerade Zahl.

7. Bildet man aus den Gleichungen 7) die Differenz
Z^^i — Xi-ii 80 trennt sich in den Coefficienten der Faktor
2w+l los und man erhält für x = 2y-\-l

1894. MaÜL'jhj». CL 3. 23

354 Sitzung der matK-phys, Classe vom 7, Juli 1894,

oder auch

t^ (Z„^j _ x„_,) = 2 (y + 1) - aj? (y + lY
2«+l (17)

+ Sil?' («/+ 1)'- + • • ± 2ll"+" (y+ 1)"+S

WO von Ä; = 2 an

(j) _ ^ ^ (n-Jc + 2)(n-k + S)>{n + k-l )

Dass trotz der Abtrennung des Faktors 2w+l aus der

Differenz An\.i — Än-i diese CoefQeienten SlL wieder ganze
gerade Zahlen sind, lässt sich auf folgende Weise zeigen.
Die Polynome X genügen der Relation

(w+ 1) X„+i _ (2 n+ 1) a; Z, + w Z„^i = III.
Hieraus zieht man leicht

Ist X eine ungerade ganze Zahl, so sind die Zähler der
Brüche auf beiden Seiten ganze gerade Zahlen; und da
2 n+l und n + l keinen Faktor gemein haben, so folgt, dass

Xn^i — Xw_i durch 2 n+ 1
"^^ xXn—X.^.i durch w+1

theilbar sind, wenn x eine ungerade Zahl. Da also die
Reihen in den Gleichungen 16), 17) für alle ganze Zahlen y
ganze gerade Zahlen darstellen, so lässt sich schliessen, dass
auch die Coefficienten 21 ganze und gerade Zahlen
sind.

Dies lässt sich aber auch mittelst des Satzes in Nr. 3
erweisen. Denn es ist

ia<.*>= c«+Ä - 1)/

2 " (n—k-\-l)!k!(k-l)!

G, Bauer: üeber Leg endre' sehe Polynome. 355

N!
Nun sagt der Satz aus, dass , // //, eine ffanze Zahl

n! n ! n ! ^

ist, wenn N=^ n + n + n\ In ^ 3^^ ist N= n -\- h — 1,

aber die Summe der drei Zahlen im Nenner istn-f-Jk=^4"l«
Der Satz lässt sich also nicht unmittelbar anwenden. Aber
wenn eine Primzahl B die Zahl k theilt, so theilt sie
k — 1 nicht und ist also ebenso oft in (Ä — 2)/ enthalten,
als in (Ä — 1)/; theilt ö aber k nicht, so ist ö jeden-
falls ebenso oft in (fc — 1)/ enthalten als in k! Man kann

daher bei der Bestimmung wie oft eine Primzahl ö in ^ 91»

als Faktor steht immer die Summe der drei Zahlen im Nenner
um 1 verringern, d. h. auf N reduciren, und sodann wie in
in Nr. 3 schliessen, dass jede Primzahl wenigstens so oft im
Zähler steht als im Nenner. 31» ist also eine ganze gerade Zahl.
Hieraus ergiebt sich auch eine Eigenschaft der Coeffi-
eienten -4». Denn die Vergleichung der Ausdrücke für 21»
und An liefert

-4» —i^n

und, da — 81» eine ganze Zahl, so folgt, dass die Zahl A\~

durch k theilbar ist.

8. Bekanntlich giebt ^ — -r-^ (^n+i — ^-i) das Integral

von X», so genommen, dass es für a? = 1 verschwindet, d. h.
es ist

fXndx = ^^ , y (X„+i — ^-i)

Die Gleichungen 16) 17) zeigen also, dass dieses

Integral von X„ ebenfalls eine ganze Zahl ist (und

zwar eine gerade) , wenn x eine ungerade Zahl 2 y + 1 ist,

und geben die Entwicklung dieser Zahl nach Potenzen von y

oder y+ 1.

23*

356 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 7. Juli 1894.

Man kann auch die Gleichungen 11) und 12) be-
nützen, um eine Entwicklung des Integrals nach Potenzen
von y(y-\-l) zu erhalten.

Es ergiebt sich dann für a; = 2y+li wenn n un-
gerade

-hc.fy*(y+l)*+ ■•+««' y'(y+l)

.(2)

(n-l)(n+2) (3)_ (^-3)(n-l)>(n+2)(n+4)

ttn— *• p 2» ' «n — O- p.2a.3a

und allgemein von Ä = 2 an

(fc)_ , (w-2 Jk+B) (n-2 Ä:+5) - • (n-1) ♦ (n+2) (n+4) • - (n+2 k-2)
^ » — ^^' l».2*-8*- Ä:*

Wenn n gerade

,ä,_ (n-2)(«+3) (s)_. («-4)(«-2).(w+3)(«+ 5)
"» ~*' ia.2» ' " ~ l».2»-3»

und allgemein von A: = 2 an

,(*)_„, (n-2Ä;+2)(n-2 A:+4)- - (w-2)-(n+3) (w+5)-( w+2m-l)
"" ~" 1».2».3»-.Ä*

Auch hier lässt sich wie oben (Nr. 6) erweisen, dass die
Coefficienten oj» , b„ sämmtlich ganze gerade Zahlen sind.

Q, Bauer: lieber Leg enclr ersehe Polynome.

357

9. Da der Diflferentialquotient von Z„ durch die Formel
gegeben ist, so folgt, dass, wenn x eine ungerade Zahl ist,

yJ IT

auch -r— ^ eine ganze Zahl ist, und man sieht, dass sich

diese Eigenschaft auch auf die höheren Differentialquotienten
von Xn überträgt.

Das Polynom X„ hat also die merkwürdige Eigen-
schaft, dass, wenn x eine ungerade ganze Zahl ist,

nicht nur X^ selbst, sondern auch jX^dx und alle

Differentialquotienten von Xn ganze Zahlen sind.

10. Es möge nun hier noch eine Tabelle der Ent-
wicklungen von Xn nach den Gleichungen 7), 11), 12) und

von JXndx nach den Gleichungen 16 — 19) folgen. Es ist
1

darin auf der linken Seite immer x durch 2 y -J- 1 zu ersetzen.

+ ^ =

3^6 =

x,=

l-2(y+l)

1 4* 6 y H" 6 y*
l-6(y+l) + 6(y+l)»

1 + 12 j^ + 30 y* + 20 2/'

1 - 12 (y+1) + 30 (y+ 1)» - 20 (y + 1)»

1 H- 20 y + 90 y» H- 140 y» + 70 y*

1 - 20(y+l)+90(y+l)»-140(y-fl)«+70(y+l)*

1 + 2-15y + 3-70y»+4-140y»4-5.126y*+6-42y»
1 + 2-21y>-|-3-140-y+4-420y+5-680y*+6-462.y»

+ 7-132-y«
1 + 2-28 y + 3-252 y» 4- 41050y'' + 5-2310-y*

+ 6-2772 y + 7-1716-y« + 8-429y''

358 Sitzung der math.-^ys. Glosse vom 7. Juli 1894.

= 1

^ = l + 10y(y+l)

X, = 1 + 20 y (y+ 1) + 70 2/» (y+ 1)»

^ = l + 28t/(y+l) + 126j,»(y+l)*

X, = 1 + 42 y (y+ 1) + 378 y» (y + 1)» + 924 y» (y + 1)'

^ = 1 + 54 y (y+ 1) + 594 y» (J/+ 1)* + 1716 t/" (y + 1)*

X, = 1 + 72 y (y+ 1) -j- 1188 y» (y+ 1)» + 6864 y« (y + 1)»

+ 12870 y*(y + l)*

fX,dx='^iX,-X,) = 2y+2y^
-fx,dx =2(y+l)-2(y+l)»

/z,da; = l(X3-X.) = 2y+6y» + 4y»
+ fx,dx =2(y+l)-6(y+l)»+4(y+l)''

/X,da; = ^(X,-Z3) = 2y+12y» + 20y»+10y*

1 '

-f^X,dx =2(y+l)-12(y+l)»+20(y+l)»

-10(y + l)*
f^X,dx = ^(X,-X,) =2y+20y*H-60y='+70y*+28y»

+fx^dx =2(y+l)-20(y+l)»+60(y+l)»

-70(«/+l)*+28(y+l)*

G, Bauer: lieber Legendre^sche Polynome. 359

fx,dx = ^{X,-X,)=2y-\-2-l5i/+2'70f-\-2-U0fi*

+ 2-126 y»H- 2-42 y«

jT X, da; = ^ (X, - X,) = 2j,+ 2-21 j,»+ 2.U0j^«+2420y*

+ 2-630 2^»+ 2-462 y» + 2-132 y''

* *

fx,dx = 2y(t,+ l)

fx,dx = (2,j+l)-2y(y+l)

fx,dx = 2y(y+l)+l0,/(i,+ lf

fx,dx = (2y+l)[2y(t,-^l)+Uy^{y+iy]

/ Xä d« = 2 y (y+ 1) + 28 y» (y+ 1)* + 84 y» (y 4- 1)»

/ X, d a; = (2y+l)[2y(y+l)+36y»(y+l)»+132y»0'H-l)»]

/X,da; = 2i/(y+ 1) +54y» (y + 1)» + 396y» (y+ 1)»

+ 858/(y+l)*

.^^

Terzeichniss der eingelaufenen Driiekaolirinen

Jannar bis Juni 1894.

Die vcrehrlichen Gesellschaften und Institute, mit wnlohon uim«!'« AkmUmt« \\\
Tanschverkehr steht, werden gebeten, nachstehendos VenoinlinlMBURi»)<thiil« Mm|)fWHtt-
bestätigong zu betrachten.

Von folgenden Gesellsohaften und Initltaten:

Geschichtsverein in Aachen:
Zeitschrift. Band XV. 1893. 8".

Observatory in Adelaide:
Meteorological Observations 1886—87. 1898. fol.

Boyal Society of South Auntralia in AdalMut
Transactions. Vol. XVII, 2. 1898. 8«,

Süddavische Akademie der WiHuemchafUn in AtfftitHi
Monnmenta. Vol. XXIV, XXV. 1898. fifK
Starine. VoL XXVI. 1893. ^.
Ljetopis. 1893. 8».
Bad. Band 116. 117. 1893. 8^.

New 'York State IM/rary in Alhtim^/-
73—7501 ammal Report. 1891-98. ^,
State Libraiy Bulletin. lj^^l%M<m No, 4. ^»#^t^«f; mi- ^

HistoriMeher Verein in Aufj»huwif
Zeitsdirift. /alixg' IX- 189^. ^.

NatitrmwentekafUieker Vereift in Auff^fu^if^
31. Beriefat. 18^4. ^.

TeziOB AjfMiem^ </ Heiefyf>e m A^d^^*- •
TnuiMictaoB«. VoL I, Ko, 2. Vf^. ^.

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362 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

American Chemical Journal. Vol. XIV, No. 8, Vol. XV, No. 1 — 7.

1892/93. 80.
Studies in historical and political Science. Ser. X, No. 12. Ser. XI,

No. 1—10. 1892/93. 8».

Universität sbihliothelc in Basel;
Schriften der Universität aus dem Jahre 1893/94. 4» und 8<>.

Historisch-antiquarische Gesellschaft in Basel:
Beiträge zur vaterländischen Geschichte. N. F. Bd. IV, Heft 2. 1894. 8°.

Naturforschende Gesellschaft in Basel:
Verhandlungen. Band IX, Heft 3. 1893. 8^.

Genootschap van Künsten en Wetenschappen in Bataoia:
Tijdschrift. Deel 36, afl. 4, 5, 6. 1893. 8^.
Notulen. Deel XXXI, No. 1, 2. 1893. 8^.

Nederlandsch-Indisch Plakaatboek 1602—1811. Deel XI. 1893. 8^.
Dagh-Register gehouden in't Casteel Batavia Anno 1664. 1893. 4'^.

K. serbische Akademie der Wissenschaften in Belgrad:

Geologija Srbije von Johann Schujowitsch. Heft 1. 1893. 4®.

Glas. No. 41, 42. 1894. 8».

Godischniak (Jahrbuch) 1889 u. 1890. 1890/91. 8^.

K. preussische Akademie der Wissenschaften in Berlin:

Corpus inscriptionum latinarum. Vol. VIII. Supplementum, fasc. 3.

1893. fol.
Politische Korrespondenz König Friedrichs II. Bd. XX. 1894. 8°.
Sitzungsberichte. 1893. No. 39—53. gr. 8^.
Abhandlungen aus dem Jahre 1892. 4^.

K. geolog. Landesanstalt und Bergakademie in Berlin:

Jahrbuch für das Jahr 1892. Bd. XHI. 1893. 8®.
Abhandlungen. Neue Folge. Heft 2 mit Atlas in 4^ und Heft 9,
Theil n. 1893. 8«.

Physikalisch-technische Beichsanstalt in Berlin:

Wissenschaftliche Abhandlungen. Bd. I. 1894. 4P,
Ueber die Ziele und die Thätigkeit der phys.-techn. Reichsanstalt,
von Dr. Lummer. 1894. 4".

K, technische Hochschule in Berlin:

Hermann Rietschel, Der Stand der wissenschaftlichen und praktischen
Wohnungs-Hygiene in Beziehung zur Luft. 1894. 4".

Deutsche chemische Gesellschaft im Berlin:
Berichte. 26. Jahrg. No. 19, 20. 27. Jahrg. No. 1—11. 1893/94. 8«.

Deutsche geologische Gesellschaft in Berlin:

Zeitschrift. Band 46, Heft 3. 1893. S^.

Medizinische Gesellschaft in Berlin:
Verhandlungen. Band XXIV. 1894. 8».

Physikalische Gesellschaft in Berlin:
Fortschritte der Physik im Jahre 1887. 43. Jahrg. 3 Bände. 1893. S^.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 363

Physiologische Gesellschaft in Berlin:

Centralblatt fttr Physiologie. Bd. VII, No. 20-26. Bd. VIII, 1—6.

1893/94. 80.
Verhandlungen der physiolog. Gesellschaft. Jahrg. 1893— 94 No. 2 — 10.

Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin:
Jahrbuch. Band VHI, Heft 4. Bd. IX, Heft 1. 1894. 4».

Geodätisches Institut in Berlin:
Jahresbericht für 1892/93. 1893. 8».

K. preuss. meteorologisches Institut in Berlin:
Deutsches meteorologisches Jahrbuch für 1890. Heft II, III. 1891—93. 4<>.
Ergebnisse der Beobachtungen an den Stationen II. und IIL Ordnung.

1893, Heft n. 1894. 4^
Ergebnisse der Niederschlags-Beobachtungen im Jahre 1892. 1894. 4®.
Bericht über die Thätigkeit im Jahre 1893. 1894. 8^

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik in Berlin:
Jahrbuch. Bd. 23. Heft 1, 2. 1894. 8**.

Commission für die Beobachtung des Venus- Durchganges in Berlin:
Die Venus-Durchgänge 1874 und 1882. Band V. 1893. 4'».

Verein für Geschichte der Mark Brandenburg in Berlin:

Forschungen zur Brandenburgischen und Preussischen Geschichte.
Band 7, I. Hälfte. Leipzig 1894. 8®.

Naturwissenschaftliche Wochenschrift in Berlin:
Wochenschrift. Band IX, Heft 1—6. 1894. fol.

Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin:
Zeitschrift. 13. Jahrg. 1893. Heft 12. 14. Jahrg. Heft 1—6. 1893/94. 4^

Schweizerische geologische Commission in Bern :
Beiträge zu einer geologischen Karte der Schweiz. Lief. VII mit
1 Karte. Lief. XXI mit Atlas. Lief. XXII. Text. 1893. 4».

Naturforschende Gesellschaft in Bern:
Mittheilungen aus dem Jahre 1892. 1893. 8<>.

Allgemeine schweizerische Gesellschaft für die gesammten Naturwissen-
schaften in Bern:

Neue Denkschriflen. Bd. XXXHI, Abth. 1. Basel 1893. 4«.

Verhandlungen der schweizerischen naturforschenden Gesellschaft bei
ihrer Versammlung in Basel den 5.-7. Septbr. 1892, mit fran-
zösischer Uebersetzung. Basel 1892. 8'^.

Gewerbeschule in Bistritz:
XVm. .Jahresbericht für das Schuljahr 1892/93. 1893. S^.

B, Deputazione di storia patria per le Provinde di Bomagna

in Bologna:
Monnmenti. Serie I. Statuti No. 3. Serie H. Carte No. 1. Appendice
ai Monnmenti Ravennati. Tom. II, disp. II. Ravenna 1884—86. 4fi,
Atti e Memorie. lU. Serie. Vol. XI, fasc. 4—6. 1894. 4».
La B. Depntazione di storia patria per le provincie di Homagna dalV
anno 1860 al 1894. 1894. 8^

364 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

Universität in Bonn:
Wendelin Förster, Freiindesbriefe von Friedrich Diez. 1894. 4^

Naturhistorischer Verein der preuss. Eheinlande in Bonn:
Verhandlungen. 50. Jahrgang, II. Hälfte. 1893. 8®.

Societe de geographie commerciale in Bordeaux:
Bulletin. 1893. No. 23, 24. 1894. No. 1—10. 8^

American Äcademy of Arts and Sciences in Boston:
Proceedings. Vol. 28. 1893. 4^.

Public Library in Boston:
Annual Report 1893. 1894. 8°.

Boston Society of Natural History in Boston:

Proceedings. Vol. 26, part 1. 1893. ^.
Memoire. Vol. IV, No. XI. 1893. 4».
Occasional Papers. No. IV. 1893. 8^.

Meteorologische Station in Bremen:
Ergebnisse der meteorologischen Beobachtungen. 4. Jahrg. 1894. fol.

Naturwissenschaftlicher Verein in Bremen:
Abhandlungen. Bd. XIII, 1 und Extrabeilage. 1893/94. 8®.

Natur forschend er Verein in Brunn:

Verhandlungen. Bd. 31. 1892. 1893. 8».

XI. Bericht der meteorologischen Commission. 1893. 8®.

Academie Roy die de Medecine in Brüssel:
Bulletin. IV. Särie. Tom. 7, No. 10, 11. Tom. 8, No. 1— 5.
1893/94. 8».

Academie Royale des Sciences in Brüssel:

Annuaire. 1894. 60® annde. 8^

Bulletin. 63® ann^e. 3. S^rie. Tom. 26, No. 12, Tom. 27, No. 1—5,
1893/94. 80.

Societi des Bollandistes in Brüssel:
Analecta Bollandiana. Tom. XELI, fasc. 1, 2. 1894. 8^.

K. Ungarische Akademie der Wissenschaften in Budapest:
Ungarische Revue. 1893. Heft 10. 1894. Heft 1—4. gr. 80.

K. Ungarisches geologisches Institut in Budapest:
Mittheilungen. Band X, Heft 4, 5. 1894. 8».
A m. kir. Földtani int^zet e'vkönyve. Bd. X, Heft 5. 1894. 8».
Földtani Közlönv. Band XXXIII, Heft 9—12. Band XXXIV, 1—5.
1893/94. 8Ö.

Academia Romana in Bukarest:
Eudoxiu de Hurmuzaki, Documente privitöre la Istoria Romänilor.

Suppl. I, Vol. 5. Suppl. II, Vol. 1. Vol. n, part 4 und Vol. 8.

1893—94. 40.
Analele. Serie U, Tom. XIV. Sect. literar. u. Sect. scientif. Tom. XV.

Part, administrat. und Sect. literar. 1893. 4P,
Etymologicum Magnum Romaniae. Tom. lU, 2. 1894. 4P.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften, 3G7

Naturforschende Gesellschaft in Freiburg i,Br.:
Berichte. Band VII, 1, 2. Band VIII. 1893/94. S^.

Universität Freiburg i. d. Schweiz:
Index lectionum per menses aestivos 1894. 8^.

Oeffentliche Bibliothek in Genf:
Compte rendu pour Tannde 1893. 1894. 8®.

Institut national Genevois in Genf:
Les Chroniques de Geneve par Michel Roset. 1894. 8®.

Museo civico di storia naturale in Genua:
Annali. Ser. 2 a. Vol. XIII. 1893. 8».

Geological Society in Glasgow:
Transactions. Vol. IX, part 2. 1893. 8^.

Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz:
Neues Lausitzisches Magazin. Band 69, Heft 2. 1893. 8°.
K, Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingen:

Gelehrte Anzeigen. 1893. No. 20-26. 1894. No. 1—6. 8^.
Nachrichten. 1893. No. 15—21. 1894. No. 1, 2. 8^.

Lebensversicherungsbank für Deutschland in Gotha:

65. Rechenschaftsbericht für das Jahr 1893—1894. 4P,

The Journal of Comparative Neurology in Granville:

Journal. Vol. III, p. 163—182. Vol. IV, p. 1—72, No. I— LXXX.
1893. 80.

Verein der Aerzte in Steiermark in Chraz:

Mittheilungen. 30. Jahrgang. 1893. 8®.

Naturwissenschaftlicher Verein für Neu -Vorpommern in Greifswald:

Mittheilungen. 25. Jahrgang. 1893. Berlin 1894. 8®.

Fürsten- und Landesschule in Grimma:

Jahresbericht 1893/94. 1894. 8».

Haag'sche Genootschap tot verdediging van de christelijke Godsdienst

im Haag:
Werken. VI. Reeks. Deel V. Leiden 1894. 8<*.

K, Instituut voor de Taal-, Land- en Volkenkunde van Nederlandsch

Indi'e im Haag:

Bijdragen. V. Reeks. Deel X, aflev. 1, 2. 1894. 8®.

Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher

in Halle:

Leopoldina. Heft 29, No. 21— 24. Heft 80, No. 1— 10. 1893—94. 4fi.

Deutsche morgenländische Gesellschaft in Halle:
Zeitschrift. Band 47, Heft 4. Band 48, Heft 1. Leipzig 1893/94. 8^.

Universität Halle:
Index lectionum per aestatem 1894 habendarum, nebst Verzeichniss
der Vorlesungen. 1894. 4^.

Thüringr Sachs. Geschichts- und Alterthums- Verein in Halle:
Neue Mittheilungen. Band 18. 2. Hälfte, Heft 1. 1893. 8^

366 Verzeichnisa der eingelaufenen Druckschriften,

Historischer Verein für das Grossherzogthum Hessen in Barmstadt:
Quartalblätter. 1893 in 4 Heften. 8^

Academy of natural Sciences in Davenport, Jotca:
Proceedings. Vol. V, part 2. 1893. 8®.

Colorado Scientific Society in Denver, Colorado:
3 kleine Schriften. 1893. 8».

The Question of a Standard of Value, by 0. J. Frost. 1893. 8<>.
The Mode of occurrence of gold in the ores of the Cripple Creek Di-
strict by Richard Pearce. 1894. 8®.

Verein für Anhaltische Geschichte in Dessau:
Mittheilungen. Band 6, Theil 4. 1893. ^,

Gelehrte Estnische Gesellschaft in Dorpat:
Sitzungsberichte 1893. 1894. 8».
Verhandlungen. Band XVI, 8. 1894. 8P,

Union geographique du Nord de la France in Douai:

Bulletin. Tom. 14. 3. et 4. trimestre 1893. 8«.

Royal Irish Academy in Dublin:

Proceedings. IH. Ser. Vol. III, No. 1, 2. 1894. 8».
Transactions. Vol. 30. part 5—12. 1893/94. 4^.

Royal Dublin Society in Dublin:

The scientific Transactions. Ser. II. Vol. IV, No. 14, Vol. V, No. 1—4.

1892-93. 40.
The scientific Proceedings. N. Ser. Vol. VII, part 5. Vol. VIII,

part 1, 2. 1892—93. S^

Scottish Microscopical Society in Edinburgh:

Proceedings. Session 1891—92 and 1892—93. 2 Hefte. 1891—93. S«.

Royal Society in Edinburgh:

Proceedings. Vol. XX, pag. 97—160. 1893. 8».
Transactions. Vol. 37, part I, II. 1893. 4^.

Gymnasium in Eisenach:

Jahresbericht auf das Jahr 1893—94. 1894. 4»

K. Akademie gemeinnütziger Wissenschaften in Erfurt:

Jahrbücher. N. F. Heft 20. 1894. 8^.

Reale Accademia de' Georgofili in Florenz:

Atti. Ser. IV. Vol. XVI, 8, 4. 1893. 8».

R. Archivio di Stato in Florenz:

I Capitoli del Comune di Firenze, Inventario e Regesto. Tom. 2.
1893. 40.

Senckenbergische naturforschende Gesellschaft in Frankfurt a, M,:

Abhandlungen. Band XVIII, No. 2. 1894. 40.

Verein für Geschichte und Alterthumskunde in Frankfurt a, M,:

Mittheilungen über römische Funde in Heddernheira. I. 1894. 4®.

Naturwissenschaftlicher Verein in Frankfurt a. 0.:

Helios. 11. Jahrg. No. 6—12. 1893/94. 8®.

Societatum Litterae. 1893. No. 8—12. 1894. 1—3. S^.

Verzeidkmiss der eimgtlamftmen DrmckschrifttH, 3f>7

Natur fo rse k ende Geseüsehaft in Freümrg i. Br, :
Beriehte. Buid YII, 1. 2. Band Yin. 1893/^. ^,

Utntenkäi Freiburg i. d. 8<kwtiJi:
Index lecüoBnm p» menaes aeativoa 18M. d^.

Oeffentlidie Bibliothek in Genf:
Compte rendn ponr Tann^ 1893. 1894. 8^.

Institut nationcd Genevois in Genf:
Les Chroniqaes de GeneTe par Michel Roaet. 1894. 8^.

Museo eitico di storia ncUurale in Genua:
AnnaH. Ser. 2a. Vol. Xm. 1893. 8«.

Geological Society in Glasgow:
Tranaactiong. Vol. IX, part 2. 1893. S^.

Oberlausitziscke Geaellschaft der Wumenitehnften in (Jön-Utä:
Neues Lausitziaches Magazin. Band 69, Heft 2. IH09. H^.

K, Gesellschaft der Wissenschaften in Göttingm:
Gelehrte Anzeigen. 1893. No. 20-26. 1894. No. l -6.' ft».
Nachrichten. 1893. No. 15—21. 1894. No. 1, 2. 8<».

Lehensversicherungsbank für Deutscfäand »it Gnfhii'.

65. Rechenachaftabericht für dari Jahr 1803—1894. 4^

The Journal of Comparatiüe N'eurdofjy in GtaninUf.

JoomaL VoL m, p. 163-182. Vol. IV, p. 1-72, No. t-r.lCXX-
1893. 80.

Verein der Aerzte in Steiermark i/n Orna:

Mittheilongen. 30. Jahrgang. 1893. 8^.

NaturwissensehafÜieher Verein für N^eu - VfYrpttmmern in fhntftwaU

MittheflnngKL ^. Jahrgang. 1893. 6«frlln IMMi. nP,

Fürsten- und LandesschjU in Grimmti:

Jahreahericht 1893/94, 1894. ^,

Haa^s^e Genootsehap f'M rjerdedufing ^n/n de nhriJttMijka (hdudi^nft^

im Hfiiig:
W«kaL VL ße«feB. Deel V l^A^ 19^K. ^

K, Institumt eonr de Tanl^, I^nd- en VfUkr,nktmiiA tian bftid»Aand4tih

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368 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,

Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen in Halle:
Zeitschrift für Naturwissenschaften. Bd. 66. Heft 3, 4. Leipzig. 1893. 8®.

Stadt-Bibliothek in Hamburg:

Verhandlungen zwischen Senat und Bürgerschaft 1892/93. 4^
Handbuch der Hamburgischen wissenschaftlichen Arbeiten. IX. Jahrg.
1891. I. und n. Hälfte. X. Jahrg. 1892. I. Hälfte nebst Bei-
heft. 1891—93. 40.
Mittheilungen aus der Stadtbibliothek. X, 1. 1893. 8^.

Naturwissenschaftlicher Verein in Hamburg:
Verhandlungen IH. Folge T. 1894. 8^.

Historischer Verein für Niedersachsen in Hannover:
Zeitschrift. Jahrgang 1893. 8^.

Teylers Godgeleerd Genootschap in Harlem:
Verhandelingen. Nieuwe Serie. Deel XIV. 1894. 8^.

Teylers tweede Genootschap in Harlem:
Verhandelingen. N. Reeks. Deel IV, stuk 2. 1893. 8^.
Jacob Dirks, Atlas behoorende bij de beschrijving der Nederlandsche
Penningen. Stuk 4. 1893. fol.

Societe Höllandaise des Sciences in Harlem:
Archives Näerlandaises. Tom. 27, livr. 4, 5. Tom. 28, livr. 1. 1894. 8^.

Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg:
Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrgang 4. Heft 1. 1894. 8*^.

Naturhistorisch-medidnischer Verein in Heidelberg:
Verhandlungen. N. F. Band V, Heft 2. 1894. 8^.

Institut meteorologique central in Helsingfors:
Observations. Vol. VI-VHI, livr. I. Vol. XI, livr. I. 1893. 4».
Observations m^t^orologiques 1881 — 1888 in 4 Voll. Kuopio. 1893. fol.

Verein für siebe nbürgische Landeskunde in Hermannstadt:

Archiv. N. F. Band 25, Heft 1. 1894. 8».
Jahresbericht für das Vereinsjahr 1892/93. 1893. S^.
Die Kerzer Abtei, von Lud. Reissenberger. 1894. 4^.

Historischer Verein in und für Ingolstadt:
Sammelblatt. XVIII. Heft. 1893. 8«.

Medicinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft in Jena:

Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. Band 28, Heft 2, 3.
1893—94. S^

Kais, Universität in Kasan:

Utschenia Sapiski. Vol. 61, No. 1—3. 1894. 8®.

2 Dissertationen von Krasin und Agababon. 1893. 8^.

Verein für Naturkunde in Kassel:
39. Bericht über die Jahre 1892—94. 1894. Q^,

Universität in Kharkow :
Sapiski. Vol. 4. 1893. 8».
Annales. 1894. Fase. 1. 8^.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 371

Societe geohgique de Belgique in Lüttich:
Annales. Tom. 20, livr. i. 2. 1892/93. 8®.

Universität in Lund:
Acta universitatis Lundensis. Tom. 29, Abth. I, IL 1892/98. 4^.

Institut Grand'Ducdl in Luxemburg:
Publications. Tom. XXII. 1893. 8».

Universite in Lyon:
Annales. Tom. VI, fasc. 3, 4. Paris 1893 und Lyon 1894. 8^.

Wiscormn Academy of Sciences in Madison:
Transactions. Vol. IX, part 1, 2. 1893. 8^.

Washburn Observatory in Madison:
Publications. Vol. VIII. 1898. 40.

The Government Astronomer in Madras:
Madras Meridian. Circle Observations. Vol. VII. 1894. 4^.

Real Äcademia de la historia in Madrid:
Boletin. Tomo XXIV, No. 1—6. 1894. 8».

Societä Storica Lombarda in Mailand:

Archivio storico Lombarde. Anno XX, fasc. 4. 1893.

Serie III. Anno XXI, fasc. 1, 1894. 8".

Societä italiana dt scienze naturäli in Mailand:
Atti. Vol. 34, fasc. 4. 1894. 8».

Liter ary and phHosophicdl Society in Manchester :
Memoirs and Proceedings. Vol. 7, No. 2, 3. Vol. 8, No. 1, 2.
1893/94. 8».

Faculte des sciences in Marseille:

Annales. Tom. 3, fasc. 4. 1894. 4^.

Tuft^s College in Massachusetts:
Tufle College Studies No. 1. 1894. 8«.

Hennebergischer alterthumsforschender Verein in Meiningen:
Neue Beitrage zur Geschichte deutschen Alterthums. Lief. 12. 1893. 8®.

Fürsten- und Landesschule St. Afra in Meissen:
Festschrift zur Feier ihres 350jährigen Bestehens. 1894. 4^

Scientific Association in Meriden:
Transactions. Vol. 5. 1893. 8«.

Acadhnie in Metz:
Memoitea. 3. Serie. Annäe 20. 1890—1891. 1893. 8».

Crestüsdiaft für Lothringische Geschichte und Altertumskunde in Mete :
Jahrbuch. 5. Jahrg. 1898. I. Hälfte. 8^.

Observatorio meteorologico central in Mixico:
£l Clima de la ciudad de Mexico por Mariano B^rcena. 1898. 8^.

Sodedad äentifica Antonio Alzate in Mexico:
Memoria« y Beyista. Vol. VII, No. 3-10. 1893/94. 8P.

370 Verzeichniss der eingelaufeiien Druckschriften.

Journal für praktische Chemie in Leipzig:

Jonmal. Neue Folge. Band 48, Heft 8—12.

, 49, , 2-9. 1893/94. 8«.

Verein für Erdkunde in Leipzig :
Mittheilungen 1893. 1894. 8».

Museum Franisco-Carolinum in Linz :
52. Bericht. 1894. 8».

Societe philosophique in Loewen:
Revue Neo-Scolatisque. I. Ann^e, No. 1. 1894. 8^

üniversite catholique in Loewen:
Annuaire 1894. 8^.

Recueil de travaux publi^s par les membres de la confärence d'histoire.
Fase. 4, 5. 1891-1893. 8».

Zeitschrift „La Cellule^ in Loewen:

La Cellule, Recueil de Cytologie et d'histologie g^närale. Tom. X,
fasc. 1. 1894. 40.

Royal Institution of Great Britain in London:

Proceeding8. Vol. 14, part I. 1894. 8®.

The English Historical Review in London:

Review. Vol. IX, No. 33, 34. 1894. 8».

Boyal Society in London:

Proceedings. Vol. 54, No. 328, 329, 330. Vol. 55, No. 331, 332, 333.
1894. 8^

R, Ästronomical Society in London:

Monthly Notices. Vol. 54, No. 2-7. 1893/94. 8^.

Chemical Society in London:
Proceedings. Session 1893—94. No. 131—140. 1894. 8^.
Journal 1893. Supplement Number. 1894. No. 374—379. (Jan. bis

June.) ^.
List of the Officers and Fellows, April 1894. 8».

Geölogical Society in London:

The quarterly Journal. Vol. 49, part 1—4. 1893. 8^.
List. November Ist 1893. 8«.

Medical and chirurgical Society in London:

Medico-chirurgical Transactions. Vol. 57. 1892. 8^.

R, Microscopical Society in London:

Journal. 1894, part 1-3. 8^.

Zoölogical Society in London:

Proceedings. 1893, part IV. 1894, part I. 8®.
Transactions. Vol. 13, part 8. 1894. 4«.

Zeitschrift „Nature" in London:

Natui-e. Vol. 49, No. 1255 — 1267, 1269, 1271—1278. Vol. 50,
No. 1279—1284. 1893/94. 40.

R, Accademia delle scienze in iMCca:

Atti. Tom. 27. 1893. 8».

Verzeiduttaa der eingelaufenen Druckuchriften, 'MV

Soeiete geologique de Behfitiue in LiUtieh:
Annalea. Tom. 20, livr. I. 3. 1802/93. S^.

Universität in Lnnd:
Acta imiTersitatis Landensia. Tom. 29, Abth. I. II. lS\V2f*JB, 4^1

Institut Grandrihical in Luxemburg:
Pablicationa. Tom. XXII. 1893. 8^.

Universite in Lyon:
Ännales. Tom. VT, feac. 3, 4. Paria 1893 und Lyon 1894. h".

Wisconsin Academy of Sciences in Madison :
Transactiona. VoL EX, part 1, 2. 1893. 8».

Washbum Observatory in Madison:
Pubücationa. Vol. VUI. 1893. 49.

The Government Astronomer in Matlras:
Madraa Meridian. Circle Obaervationa. VoL VII. 1894. 4".

Beal Academia de la fUstoria in Madrid:
Boletin. Tomo XXIV, Xo. 1—6. 1894. 8".

Societä Storiea Lomharda in Mailand:
Archivio ätorico Lombardo. Anno XX, f^mc, 4. I80H.

3erie IH. Anno XXI, ftia«. l, lhrt)4, h*»

Societä itcdiana di scienze naturali in Maüantl:
Atti. VoL 34, feac 4. 1894. 8*>.

Literary and phüosophical Society in Maneheßitur :
Memoirs and Proceeduup?. VoL 7, S'o. 2, 3. VoL H, Hn l, i.
1893/94. CT.

Ffjculte des seiences in Mameille:

Annalea. Tom. 3. äaae. 4. 1894. ifl.

Tuff 4 College in MfinnftehusHtH :
Tufta Collen?» Stndiea 5o. 1. L=!94. -i«.

Hennebergisdier ^ter^hwmjffornchen/ier Vt^tvn m Matntti/jftn
Nene B^träfipe znr xeschichte ienmdjHn. Alf>?rth(imit. Lmt. Iz. MiH. i^^

Ffkrfteri' imd LnmU>.schuie .it. Afrn m M/rUufen.
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372 Verzeichnias der eingelaufenen Druckschriften,

Sociedad de historia naturcd in Mexico:
La Naturaleza. TL Serie. Vol. II, cuad. 8 y 4. 1892. fol.

Regia Äccademia di scienze in Modena:
Memoria. Serie II, Vol. 9. 1893. 4^.

henediktiner-Ahtei in Montecassino:

Pauli Warnefridi in sanctam regulam comment. 1880. 4^.
Spicilegium Casinense. Tomua I. 1893. fol.

Sociale Imperiale des Natur alistes in Moskau:
Bulletin. Annde 1893, No. 4. 1894, No. 1. 1894. 8».

Deutsche Gesellschaft für Anthropologie in Berlin und München:
Korrespondenzblatt. 1893. No. 11, 12. 1891. No. 1-5. 4«.

K. Technische Hochschule in München:

Personalstand. Somm.-Sem. 1894. 8®.

Metropolitan- Kapitel in München:

Amtsblatt für die Erzdiöcese. 1893. 1894. No. 1—12. S».
Schematismus der Geistlichkeit für das Jahr 1894. 8®.

Universität in München:
Schriften der Universität München. 1893. 4P u. 8^.

Historischer Verein von Oberhayern in München:
Monatsschrift. 1894. No. 1 — 5. (Jan.— Juni.) 8°.

Kaufmännischer Verein München:
20. Jahresbericht. 1894. 8^.

Verein für Geschichte und Alterthumskunde Westfalens in Münster:
Zeitschrift. Band 61. 1893. 8».
Ergänzungshefbe. I. Lieferung 1. 1893. 8^.

Äccademia delle scienze fisiche e matematiche in Neapel:
Rendiconti. Serie 2a. Vol. VII, fasc. 8—12. Vol. VIII, fasc. 1—5.
1893/94. 4P.

Historischer Verein in Neuburg:
Neaburger Kollektaneen-Blatt. Jahrg. 56. 1892. 1893. 8^.

North of England Institute of Engineers in Newcastle-upon-Tyne:

Transactions. Vol. 42, part 5. Vol. 43, part 2, 3, 4. 1893. 8<>.
An Account of the Strata of Northumberland and Durham. S-T.
1894. 80.

The American Journal of Science in New-Haven:
Journal. Vol. 47, No. 277-282 (Jan.— June). 1894. 8^.

American Oriental Society in New-Haven:
Journal. Vol. XVI, No. 1. 1894. 8».

Academy of Sciences in New-Tork:
Annais. Vol. VIII, No. 1—3. Vol. VIl, 6—12.
Vol. VI. Index 1894. 1893/94. 8®.

American Museum of Natural History in New-York:
Bulletin. Vol. V. 1893. 8«.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 375

Societä Toscana di scienze naturali in Pisa:
Atti. Memorie. Vol. XIII. 1894. 4^.
Atti. Processi verbali. Vol. IX, pag. 1—61. 1894. 4P.

K. Gymnasium in Plauen:
Jahresbericht über d. J. 1893/94. 40.

Historische Gesellschaft für die Provinz Posen in Posen:

Zeitschrift. Jahrg. 7 u. 8. 1892—93. S^

Sonder -Veröffentlichungen. I, 1, 2. II. 1892—93. 8«.

Ästrophysikalisches Observatorium in Potsdam:
Publikationen. Band IX. 1894. 4».

Böhmische Kaiser Franz Josef Akademie der Wissenschaften, '

Litteratur und Kunst in Prag:
Almanach. Ro6nik IV. 1894. 8».
Rozprawy (Sitzungsberichte). 1893. Abth. I, 11, III. 1894. TKda I.

Roönik 3. Öislo 1, 2. Th'da IL Roönik 3. 4P.
Rozprawy (Abhandlungen). Abth. III. 1893. I. 1894. 4^.
Hiatoricky Archiv. Öislo 2. 1893/94. 4«.

Vestnik. Band IL Heft 1—9. Band III. Heft 1-6. 1893/94. 8».

Antonin Pavli6ek, Prävo listü zästavnfch (Das Recht der Hypotheken-
briefe). 1893. 8».

Sbirka pramenuv ku poznani literä,rniho äivota (Sammlung der
Quellen zur Eenntniss des literar. Lebens in Böhmen, Mähren
und Schlesien). No. 1. 1893. 8^

Otakar Kukula, lithiasi (Von der Steinoperation). 1894. 8^.

Bulletin international. Classe des sciences mathämatiques. I. 1894. 4^.

Antonfn Vesely. Medicinskä. Rus. 1894. 4^.

K. Böhmische Gesellschaft der Wissenschaften in Prag:

Sitzungsberichte: a) Klasse für Philosophie 1893.

b) Mathem.-naturwissensch. Klasse 1893. 1894. 8^
Jahresbericht für das Jahr 1893. 1894. 8^.

Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und

Literatur in Böhmen zu Prag:
Rechenschaftsbericht vom 11. Dezember 1893. 8^.
Georg Bruder, Die Gegend um Saaz. Saaz 1893. 8^.
Aliscans mit Berücksichtigung von Wolframs von Eschenbach Wille-
halm, hsg. von Gustaf Rollin. Leipzig. 1894. 8®.
Mittheilung. No. IL 1894. S».

Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag:

Casopis. Band 23, No. 1, 2. 1893/94. 8<>.

Lese- und Bedehälle der deutschen Studenten in Prag:
Bericht. Jahr 1893. 1894. 8».

K. böhmisches Museum in Prag:
Casopis. Band 67. Heft 1—4. 1893. 8^.

K. K. deutsche Universität in Prag:
Ordnung der Vorlesungen. Somm.-Sem. 1894. 8*^.

374 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,

Kaiserl. liuss. Akademie der Wissenschaften in St, Petershunj:

M^moires. Tom. 41, No. 2 -5. 1893. 4».
Repertorium für Meteorologie. Band XVI. 1893. 4*^.

Botanischer Garten in St, Petersburg:

Acta horti Petropolitani. Tom. 13, läse. 1. 1893. 8*^.
Scripta botanica. Tom. IV, fasc. 1. 1893. 8®.

Kais, russ. archäologische Gesellschaft in St. Petersburg :

Sapiski. Vol. 6. Hefe 1—4. Vol. 8. Heft 1, 2. 1892/93. 8«.

Physikal. -chemische Gesellschaft an der k. Universität in St, Petersburg:

Schurnal. Tom. 25, No. 9. Tom. 26, No. 1—3. 1893/94. 8«.
Zum 25jähr. Jubiläum der ehem. Abteilung der physikalisch -ehem.
Gesellschaft (in russ. Sprache). 1894. 8°.

Physikalisches Central-Observatorium in Petersburg:

Annalen. Jahrg. 1892. Theil I, IL 1893. 4».

Sociite des naturalistes in St, Petersburg:

Travaux. Tom. 24, Heft 1, 2. 1891. &>.

Sternwarte in St. Petersburg:

Publications de l'Observatoire Central Nicolas. S^rie II, Vol. I.

1893. fol.
Observations de Poulkova. Vol. 10. 1893. fol.

Kaiserliche Universität in St, Petersburg:

Protokoly No. 48, 49. 1893/94. 8^.

Goditschnyi akt (Jahres-Akt) 8. Februar 1894. 8^.

P. Kokowzow, Zur Geschichte der mittelalterlichen Philologie und

arab.-hebräischen Literatur. Band I. 1893. 8®.
A. Domogarow, Von der freien Bewegung des Gyroskops. 1893. 8^.

(Beide Schriften in russischer Sprache.)

Historisch-philolog, Fakultät der Universität St, Petersburg:

Sapiski. Tom. 33. Tom. 25, pars IL 1893 u. 1894. 8^

Academy of natural Sciences in Philadelphia:

Proceedings. 1893. Part II, III. 8».

Journal. IL Ser. Vol. X, part 1. 1894. gr. 4».

American pharmaccutical Association in Philadelphia:
Proceedings at the 41th annual Meeting, Chicago August 1893. 8®.

The Geographical Club of Philadelphia:
Charter, By-laws, List of Members. Bulletin Vol. 1, No. 2. 1894. 8^.

Historical Society of Pennsylvania in Philadelphia:
The Pennsylvania Magazine. Vol. XVII, No. 3, 4. 1893/94. 8».

American philosophical Society in Philadelphia:
Proceedings. Vol. 31, No. 142. 1893. 8».

University of Pennsylvania in Philadelphia:
Catalogue 1893—1894. 1893. 8«.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 375

Societä Toscana di scienze naturcdi in Pisa:
Atti. Memorie. Vol. XIII. 1894. 4^.
Atti. Processi v«jrbali. Vol. IX, pag. 1—61. 1894. 4».

K. Gymnasium in Plauen:
Jahresbericht über d. J. 1893/94. 40.

Historische Gesellschaft für die Provinz Posen in Posen:

Zeitschrift. .lahrg. 7 u. 8. 1892—93. 80.

Sonder -Veröffentlichungen. I, 1, 2. II. 1892—93. 8«.

Astrophysikdlisches Observatorium in Potsdam:
Publikationen. Band IX. 1894. 4».

Böhmische Kaiser Franz Josef Akademie der Wissenschaften, '

lAtteratur und Kunst in Prag:
Almanach. Rocnik IV. 1894. 8«.
Rozprawy (Sitzungsberit'.hte). 1893. Abth. I, II, III. 1894. Th'da I.

Roönik 3. Öislo 1, 2. Th'da IL Rocnik 3. 4^.
Rozprawy (Abhandlungen). Abth. III. 1893. I. 1894. 4^.
Historicky Archiv. Öislo 2. 1893/94. 4«.

Vestnfk. Band II. Heft 1—9. Band III. Heft 1—6. 1893/94. 8».

Anton in Pavlicek, Prävo listu zastavnfch (Das Recht der Hypotheken-
briefe). 1893. 8».

Sbirka pramenüv ku poznani literärniho äivota (Sammlung der
Quellen zur Eenntniss des literar. Lebens in Böhmen, Mähren
und Schlesien). No. 1. 1893. 8^

Otakar Kukula, lithiasi (Von der Steinoperation). 1894. 8^.

Bulletin international. Classe des sciences mathämatiques. I. 1894. 4^.

An tonin Vesely. Medicinskä. Rus. 1894. 4^.

K, Böhmische Gesellschaft der Wissenschaften in Prag:

Sitzungsberichte: a) Klasse für Philosophie 1893.

b) Mathem.-naturwissensch. Klasse 1893. 1894. 8^.
Jahresbericht für das Jahr 1893. 1894. 8^.

Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und

Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag:

Casopis. Band 23, No. 1, 2. 1893/94. 8^.

Lese- und Redehalle der deutschen Studenten in Prag:
Bericht. Jahr 1893. 1894. S».

K, böhmisches Museum in Prag:
Casopis. Band 67. Heft 1—4. 1893. 8^.

K. K. deutsche Universität in Prag:
Ordnung der Vorlesungen. Somm.-Sem. 1894. 8^,

376 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

Verein für Geschiclite der Deutschen in Böhmen in Prag:
Mittheilungen. 31. Jabrg. No. 1—4. 1892—93. 8».

Instituto historico e geographico in Bio de Janeiro:

Revista trimensal. Tom. 55, parte II. 1893. 8^.
Homenagem. Sessäo extraordinaria em commemora9äo do falleci-
mento de S. M. ö. Snr. D. Pedro IL 1892. 8".

Observatorio in Bio de Janeiro:
Annuario 1893. 8«.

Geologicäl Society of America in Bochester:
Bulletin. Vol. IV. 1893. 8^.

Beale Accademia dei Lincei in Bam:
Annuario 1894. 8*^.
Atti. Serie IV. Classe di scienze morali. Vol. IX, parte 1 e Vol. X,

p. I. Memorie. 1893. f.
Atti. Serie V. Classe di scienze morali. Vol. I, parte 2. Notizie

degli scavi 1893, Agosto — Dicembre e Indice per Tanno 1893.

1893. 4^
Atti. Serie V. Classe di scienze fisiche. Vol. II, semestre II, fasc. 1, 2.

Vol. m, semestre I, fasc. 1-11. 1893/94. 4^.
Rendiconti. Classe di scienze morali. Serie V, Vol. II, fasc. 11, 12.

Vol. III, fasc. 1-4. 1894. 8®.

Accademia Pontificia de^ Nuovi Lincei in Born:

Atti. Anno 45, Sessione III— VI. Anno 46, Sessione I — Vlll.
1892/93. 40.

B. Comitato geologico d'Italia in Born:

Bollettino. 1893, No. 4. 1894, 1. 1893/94. 8^.

Kais, deutsches archäologisches Institut, röm. Abtheüung, in Born:
Mittheilungen. Band 8, No. 4. Band 9, No. 1. 1894. 8*^.

B. Ministero della Istruzione pubhlica in Born:
Le Opere di Galileo Galilei. Vol. IV. Firenze 1894. 40.

B, Societä Bomana di storia patria in Born:
Archivio. Vol. XVI, fasc. 8, 4. 1893. 8».

Bataafsch Genootschap der Proefondemndelijke Wijshegeerte

in Botterdam:

Nieuwe Verhandelingen. IT. Reeks, IV. Deel. Stuk I. 1893. 49.

Accademia degli Agiati in Bovereto:

Atti. Anno I— XI. (1883—1893.) 1893/94. S^
L*Accademia di Rovereto dal 1750 al 1880. 1882. 8^

Naturwissenschaftliche Gesellschaft in St. GaXlen:
Bericht über d. J. 1892/93. 1893. 8».

Instituto y Observatorio de marina de San Fernando (Cadiz):
Annales. Seccion II. Ano 1892. 1893. fol.

California Academy of sdences in San Francisco:
Memoirs. Vol. H, No. 3. 1894. 4«.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschrißen. 377

SocietS scientifique du Chili in Santiago:
Actes. Tom. III, livr. 1-3. 1893/94. 4«.

Bosnisch-Herzegowinisches Landesmuseum in Sarajevo:
Wissenschaftliche Mittheilungen. Band I, IL Wien. 1893—94. 8®.

Verein für meklenburgische Geschichte in Schwerin:
Mecklenburgisches Urkundenbuch. Band XVI. 1893. 4®.
K. K, archäologisches Museum in Spdlato:

Bulletino di archeologia. Anno XVI, No. 11, 12. XVII, No. 1—4.
1893/94. 8».

Historischer Verein der Pfalz in Speier:
Mittheilungen. XVII. 1893. 8«.

Gesellschaft für Pommersche Geschichte in Stettin:
Baltische Studien. 43. Jahrg. 1893. 8*^.

K, Akademie der Wissenschaften in Stocklwlm:

Observations du magnätisme terrestre faites a Upsala en 1882 — 1883.

1893. 40.
Meteorologiska iakttagelser i Sverige. Band 31 (1889). 1893. 4^.
Öfversigt. Argang 60 (1893). 1894. 8®.
Carl von Linn^s brefvexling, af Ewald Ährling. 1894. 8®.
Institut Boyal GSologique de Suede in Stockholm :

Carte g^ologique de la Suede. Sörie Aa, No. 108, 109. Särie Ab,
No. 13—15, Särie Bb, No. 7, Serie C, No. 112.

Nordisches Museum in Stockholm:

Samfundet för Nordiska Museets frärnjando 1891 och 1892. 1894. 8».
Träsniderimönster i Allmogestil af Wilhelm Oldenburg. 1893. fol.

Sociite des sciences in Strassburg:
Bulletin mensuel. Tom. XXVII, 1893, No. 10. Tom XXVIII, 1894.
Fase. 1—4. 80.

K, statistisches Landesamt in Stuttgart:
Württembergische Jahrbücher. Jahrg. 1893. 49.

Württembergische Kommission für Landesgeschichte in Stuttgart:
Württembergische Vierteljahrshefte für Landesgeschichte. II. Jahrg.
1893. Heft 1-4. 1893. 8».

Department of Mines and Ägriculture in Sydney:
Records of the Geological Survey of N.-South- Wales. Vol. III, part 4.

1893. 4<>.
Annual Report for 1893. 1894. fol.

The NeW'South Wales Government Bard for international exchanges

in Sydney:

The year Book of Australia 1894. 8®.

Boyäl Society of New-South Wales in Sydney:

Journal and Proceedinga. Vol. XXVIT. 1893. 8®.

Obsercatorio astronömico nadondl in Tacubaya (Mexico):

Anuario. Ano de 1894.

Boletin. Tom. I, No. 16. 16. 1893/94. 4^.

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378 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens

in Tokio (Japan):

Mittheilungen. Heft 53. 1894. 4<>.

Canadian Itistitute in Toronto:

Transactions. Vol. IV, part 1. 1894. 8^.
7th annual Report. 1894. 8^.

Museo comunale in Trient:

Archivio Trentino. Anno XI, fasc. 2. 1893. 8^.

Societä Ädriaticä di scienze naturali in Triest:

ßoUetino. Vol. XV. 1893. 8^.

Korrespondenzblatt für die Gelehrten und BealschiUen Württembergs

in Tübingen:
Korrespondenzblatt. 40. Jahrg. Heft 7, 8. Tübingen 1893. 8^.

B, Äccademia delle scienze in Turin:
Memorie. Ser. H, Vol. 43. 1893. 4».
Osservazioni meteorologiche, anno 1893. 1894. 8®.
Atti. Vol. 29, disp. 1—10. 1893—94. 8^.

Universität in Upsalai
De Temploi des photogrammetres pour mesurer la hauteur des nuages,

par Ph. Akerblom. 1894. 8^.
Bulletin mensuel de l'Observatoire mät^orologique. Vol. 25, anne'e

1893. 1893—94. fol.

Historisch Genootschap in Utrecht:
F. de Bas, Brieven van Prins Willelm V. s'Gravenhage 1893. 8^.
Werken. HI. Serie, No. 1. s'Gravenhage 1893. 8^.

Physiologisch Laboratorium der Utrechtsche Hoogeschool in Utrecht:
Onderzoekingen, TV. Reeks. Deel 3, aflev. 1. 1894. 8^.

B. Istituto Veneto di scienze in Venedig:
Temi di premio proclamati il 20 maggio 1894. 8*^.

National Academy of Sciences in Washington:
Memoirs. Vol. VI, part I, IL 1893. 4».

Bureau of Education in Washington:
Report for 1889—1890. 2 Vols. 1893. 8®.

Bureau of Ethnology in Washington:
Bibliography of the Salishan Languages, byF.Const. Pilling. 1893. 8^.
Ninth annual Report 1887—1888. 1892. 4^
Museum of comparative zoology. Vol. 25, No. 4. 1894. 8*^.

Smithsonian Institution in Washington:
Annual Report for the year 1890/91. 1893. 8^.
The internal Work of the Wind. By S. P. Langley. 1893. 4».

U S, Naval Observatory in Washington:
Report for the year 1892—93. 1893. 8».

U S, Coast and Geodetic Survey in Washington:
Bulletin No. 28—30. 1893—94. S^
Annual Report for the year 1891. Part IL 1892. 8».

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AnnaleB. Bas« HS. 1«9ML t^.

Beoh^oBOagm. Band L H. HL B^:=m. iafSiu»>ia. 4».

BedTBLlSW. 4^

Bii1iiigi>li1ii'riiy BE9(niiki:äxiia«RB sl VfümaMÖA««» . ▼» X

380 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

Physilccdisch-medicinische Gesellschaft in Würzburg:
Sitzungsberichte. Jahrg. 1898. No. 7-9, 11, 12. 1894. No. 1—4. ^.
Verhandlungen. N. F., Band 27, No. 5. Band 28, No. 1. 1898/94. 8«.

Schweizerische meteorologische Centrcdanstalt in Zürich:
Annalen. 28. Jahrgang 1891. (1894.) 4^.

Antiquarische Gesellschaft in Zürich:
Mittheilungen. Band 23, Heft 6. Leipzig 1894. 4^,
Allgemeine geschichtsforschende Gesellschaft der Schweiz in Zürich:
Jahrbuch für Schweizerische Geschichte. 19. Band. 1894. 8®.

Naturforschende Gesellschaft in Zürich:
Vierteljahrschrift. Jahrg. 38, Heft 3, 4. Jahrg. 39, Heft 1. 1893/94. 8®.

Schweizerische geodätische Kommission in Zürich:
Das schweizerische Dreiecksnetz. Band VI. 1894. 4^.

Universität Zürich:
Schriften der Universität aus dem Jahre 1893/94. 4P u. 8".

Von folgenden Privatpersonen:

Gabriel Arnoux in Paris:

Arithmetique graphique. Les espaces arithmätiques hypermagiques.
1894. 80.

Dr, Beck in Klosterwdld, Post Ottobeuren:

Die römischen Strassen Regensburgs. Ottobeuren 1894. 8^.

Constantin Chiru in Bukarest:

Canalisarca riurilor si irigatiuni6. 1893. 8®.

Hermann Escher in Zürich:

Georg V. Wyss, Zwei Nekrologe von Paul Schweizer und Hermann
Escher. 1894. 8^.

H, Fritsche in St. Petersburg :

Die magnetischen Lokalabweichungen bei Moskau. 1893. 8^.

Paul Gälopin in Genf:

Effets thermiques dus ä la compression. These. 1893. 4^.

Hugo Gylden in Stockholm:

Trait^ analytique des orbites absolues des huit planstes principales.
Tom. I. 1893. 4».

H. Haug in Gotha:

Vergleichende Erdkunde und alttestam entlich geographische Welt-
geschichte. Text- und Kartenheft. 1894. 4®.

J, G. Isola in Genua:

Storia delle lingue e litterature romanze. Parte IE, disp. 2. Genova
1894. 80.

Joseph B. Jack in Konstanz:

€arl Moriz Gottsche. 1893. 8».

Stephaniella paraphyllina Jack nov. gen. Hepaticamm. 1894. 8^.

Sitzungsberichte

der

königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.

Mathematisch-physikalische Classe.

Sitzung vom 8. November 1894.

1. Herr Robert H abtig hält einen Vortrag: ^über die
Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes^.

2. Herr E. v. Lommel legt eine Notiz des H^rrn Professor
Max Planck iu Berlin: ^über den Beweis des Maxwell-
schen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzes unter
Gasmolekülen* vor.

3. Herr P. GßOTH bespricht und überreicht eine Arbeit
des Herrn Privatdocenten Dr. Ernst Weinschenk: „Bei-
träge zur Petrographie der östlichen Centralalpen
speciell des Gross-Venedigerstockes*.

a) Ueber die Peridotite und die aus ihnen hervorgegan-
genen Serpentingesteine. Genetischer Zusammenhang
derselben mit den sie begleitenden Minerallagerstätten,

b) Ueber das granitische Centralmassiv und die Bezieh-
ungen von Granit und Gneiss.

Beide Abhandlungen sollen in den Denkschriften ver-
öflFentlicht werden.

1894. MAth.-ph7B. Cl. 4.

382 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,

B, Schwalbe in Berlin:
Die wissenschaftliche Fachliteratur. 1894. 8^.

Ferdinando Colonna dei Principi di Stigliano in Neapel:
Le grotte del Monte Tabumo. Memoria 2«» 1889. 8^
Noticie storiche di Castelnuove in Napoli. 1892. 4^.

F. Thomsen in Kopenhagen:
Döchiffirement des inscriptions de l'Orkhon. 1894. 8^.

August lischner in Leipzig:
Le Mouvement universel. 1893. 8®.

Victor Bitter von Tschusi zu Schmidhoffen in Hallein:
Meine bisherige literarische Thätigkeit 1865—1893. 1894. 8*.

Giuseppe Vincenti in lorea:
L*insegnamento del sistema fonografico universale a mano. Torino

1890. 80.
La fonografia universale Michela. Torino 1893. 4®.

M, E. Wadsworth'in Houghtom
A Paper on the Michigan Mining School. Lansing 1894. 8*^.

Eudolf Wolf in Zürich:
Astronomische Mittheilungen. No. 83. 1894. 4®.

Sitzungsberichte

der

königl. bayer. Akademie der Wissenschaften.

Mathematisch-physikalische Classe.

Sitzung vom 3. November 1894.

1. Herr Robert H artig hält einen Vortrag: ^über die
Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes*.

2. Herr E. v. Lommel legt eine Notiz des H^rrn Professor
Max Planck in Berlin: ^über den Beweis des Maxwell-
schen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzes unter
Gasmolekülen* vor.

3. Herr P. Groth bespricht und überreicht eine Arbeit
des Herrn Privatdocenten Dr. Ernst Weinschenk: „Bei-
träge zur Petrographie der östlichen Centralalpen
speciell des Gross-Venedigerstockes".

a) Ueber die Peridotite und die aus ihnen hervorgegan-
genen Serpentingesteine. Genetischer Zusammenhang
derselben mit den sie begleitenden Minerallagerstätten,

b) Ueber das granitische Centralmassiv und die Bezieh-
ungen von Granit und Gneiss.

Beide Abhandlungen sollen in den Denkschriften ver-
öiBFentlicht werden.

1894. MAtb.-ph7B. Gl. 4.

Hartig: Verschiedenheiten im Bau des Eichenhohes. *^S7

von Reservestoffen und für Wasserleitung ganz besonders
geeignet.

Zahl und Breite der Markstrahlen sind bei den
Eichen derselben Art ausserordentlich verschieden und hängt
deren procentischer Antheil am Holze von der Grösse der
Baumkrone und dem Maasse der Lichtwirkung auf
diese ab. Eine grosskronige 270 jährige Eiche des Mittel-
waldes in freier Stellung besass 22®/o Ast- und Reisigholz
und im Holz des unteren Stammtheiles 11 ^/o Markstrahlen,
eine ebenso alte schwachkronige Eiche mit nur 7.5 ®/o Ast-
und Reisholz dagegen nur 5®/o Markstrahlen. Eine völlig
freistehende 70jährige Eiche hatte U^/o Markstrahien, eine
fast ebenso alte Eiche im geschlossenen Bestände nur 4^/o.
Erfahrungsgemäss tragen freistehende Eichen mit grossen
Kronen häufiger und reichlicher Eicheln, als schwachkronige
Bäume im geschlossenen Bestände, da sie einen grösseren
Procentantheil ihrer jährlichen Production in Form von
Ueberschüssen als ReservestoflFe aufzuspeichern vermögen.

Die Entwicklung des Leitungsgewebes hängt von der
Verdunstungsgrösse des Baumes ab. Erzeugt ein Baum
nur so viel organische Substanz, als erforderlich für die Aus-
bildung des Leitungsgewebes ist, so entsteht überhaupt kein
Festigungsgewebe. Je günstiger der Ernährungszustand
des Baumes im Vergleich zu seiner Verdunstungsgrösse ist,
um so mehr Festigungsgewebe wird von ihm erzeugt. Das
Festigungsgewebe stellt gewissermassen den Ueberschuss
der Production an BildungsstoflFen über den Bedarf an Lei-
tungsgewebe dar, insoweit derselbe nicht zur Herstellung von
Speichergewebe und Reservestoffen verbraucht wird. Auf
nahrkräftigem Boden wird desshalb mehr Festigungsgewebe
gebildet, als auf magerem Boden. Die Breitringigkeit ist
desshalb aber noch kein sicheres Zeichen für die Güte des
Holzes. Freistehende Bäume mit sehr grosser Krone und
Blattmenge verdunsten so viel Wasser, dass oft der grösske

886 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 3. November^l894,

Lebensjahre niramt die Grösse der neu entstehenden Organe zu.
Da nun besonders das Lumen der Gefässe an Grösse zunimmt,
so erklärt sich schon daraus theilweise die Abnahme des Holz-
Gewichtes mit zunehmendem Baumalter. Der Antheil, den
das Markstrahlgewebe am Holze nimmt, ist in der Jugend
ein geringer, er wächst bis über das hundertste Lebensjahr
und bleibt von da an mehrere Jahrhunderte hindurch ziem-
lich gleich gross. Der Vorrath an aufgespeicherten Reserve-
stoffen erreicht also etwa im hundertsten Jahre ein Maximum.
Wahrscheinlich steht damit der so späte Eintritt der Mann-
barkeit der Eiche im Zusammenhange.

Das meiste Pestigungsgewebe entsteht im Baume da,
wo dieser den grössteu Widerstand gegen Sturm u. s. w.
leisten muss, d. h. am untersten Stammende und im Wurzel-
anlrtufe. StunimaufwärtÄ vermindert sich der procen tische An-
theil, den das Festigungsgewebe am Holzringe ausmacht, bis
zum Kronenansatze dann, wenn der Querschnitt des Jahr-
ringes nach oben kleiner wird. Das Leitungsgewebe bleibt
sich in den verschiedenen Baumhöhen bis zur Krone mit
Schwankungen ziemlich gleich und so muss, wenn der Quer-
schnitt des Ringes sich verkleinert, das Festigungsgewebe
abnehmen.

Aehuliches habe ich schon früher für andere Holzarten
nachgewiesen. Es winl dadurch erklärt, dass bei Wind-
bruchschäden die Bäume meist unterhalb der Krone ab-
brechen.

Die grossen Markstrahlen nehmen im Baume von
oben nach unten zu und erreichen ihr Maximnm in den
Wur/eln. So betragen dieselben z. B. in dem Gipfel des
Baumes S^!o. am Stammende 12*^/0 und in den Wurzeln
22*^fo vom ijan/en Holzkörper. Mit Ausschluss des Wurzel-
aulautes enthalten die Wurzeln nur Speicher- und Leitungs-
gewebe. Das Festigungsgewebe fehlt ganz. Sie bleiben auch
stets ohne Kern und sind in Folge dessen für Speicherung

Hartig: Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes. 387

von ReservestoflFen und für Wasserleitung ganz besonders
geeignet.

Zahl und Breite der Markstrahlen sind bei den
Eichen derselben Art ausserordentlich verschieden und hängt
deren procentischer Antheil am Holze von der Grösse der
Baumkrone und dem Maasse der Lichtwirkung auf
diese ab. Eine grosskronige 270 jährige Eiche des Mittel-
waldes in freier Stellung besass 22®/o Ast- und Reisigholz
und im Holz des unteren Stammtheiles 11 ^/o Markstrahlen,
eine ebenso alte schwachkronige Eiche mit nur 7.5 ®/o Ast-
und Reisholz dagegen nur 5®/o Markstrahlen. Eine völlig
freistehende 70jährige Eiche hatte U^/o Markstrahlen, eine
fast ebenso alte Eiche im geschlossenen Bestände nur 4^/o.
Erfahrungsgemäss tragen freistehende Eichen mit grossen
Kronen häufiger und reichlicher Eicheln, als schwachkronige
Bäume im geschlossenen Bestände, da sie einen grösseren
Procentantheil ihrer jährlichen Production in Form von
Ueberschüssen als ReservestoflFe aufzuspeichern vermögen.

388 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 3. November 1894.

Theil der erzeugten BildungsstofiFe zur Ausbildung von Lei-
tungsgewebe verwendet werden muss. In einem geschlossenen
Eichenbestande besitzen die breitringigen, am schnellsten ge-
wachsenen Bäume fast nie das schwerste Holz, vielmehr
findet sich dies bei denjenigen Eichen, deren Krone seit-
lich eingeengt ist und desshalb weniger verdunstet. Die
Bäume mit voller, hoher Krone besitzen in der Regel einen
Ueberfluss an verdunstenden Blättern, deren Assimilations-
energie durch Mangel an Nährstoffzufuhr aus dem Boden
nicht zur Maximalhöhe gesteigert ist. Durch eine nicht
zu weit gehende Entnahme belaubter Aeste wird die ver-
bleibende Blattmenge zu voller Productionsthätigkeit befähigt.
Die Menge der erzeugten Substanz bleibt dieselbe, die sie
vor der Ausästung war, das nunmehr entstehende Holz
zeigt aber weniger Leitungsgewebe und entsprechend mehr
Festigungsgewebe, da mit der Entnahme von Blättern die
Verdunstungsgrösse sich vermindert hat.

Specifische Verschiedenheiten im anatomischen
Bau des Holzes der Traubeneiche und der Stieleiche
Hessen sich nicht erkennen, da alle Merkmale, die man
bisher benutzt hat, um solche festzustellen, innerhalb der-
selben Art den grössten Schwankungen unterworfen sind.

Substanzielle Verschiedenheiten im Holze beider
Eichenarten waren ebenfalls nicht nachweisbar, da auch in
dieser Beziehung innerhalb derselben Species grosse Schwan-
kungen vorkommen. Beim Uebergange aus dem Splint-
zustande in den des Kernes wird die Beservestärke der
innersten Splintringe zur Entwicklung von Thyllen in den
Gefässen grossentheils verbraucht. Durch Zufuhr von Gerb-
stoff, durch Ablagerung desselben und seiner Spaltungs-
producte vermehrt sich die Substanzmenge im Durch-
schnitt um etwa 6 Gewichtsprocente. Zugleich vermehrt
sich das specifische Gewicht der Wandungssubstanz
erheblich. Bei der Traubeneiche des Spessartes und bei der

Jlartig: Verschiedenheiten im Bau des Eichenholzes. 389

Stieleiche in Oberbayern schwankt das Gewicht der Wan-
dungssubstanz im Splinte zwischen 1.55 und 1.565. Dasselbe
steigert sich in Folge der Verkemung auf 1.59 bis 1.60.
Der Umstand, dass bei der Kembildung die Substanzmenge
und zugleich das specifische Gewicht der Substanz sich ver-
mehrt, berechtigt zu dem Schlüsse, dass die Zunahme des
specifischen Substanzgewichtes der Zufuhr einer Substanz von
sehr hohem specifischen Gewichte zuzuschreiben sei, womit
aber die Möglichkeit nicht ausgeschlossen sein soll, dass
auch die Holzwandungssubstanz selbst bei der Verkemung
Veränderungen unterworfen sei.

In den bei Würzburg gefällten Eichen ergab die Unter-
suchung sehr verschiedene specifische Gewichte der Substanz,
nämlich 1.55 bis 1.66 für den Splint und 1.56 bis 1.71
für den Kern. Die Untersuchung, welchen Umständen diese
grossen substanziellen Verschiedenheiten zuzuschreiben sind,
hat noch nicht zu befriedigenden Resultaten geführt.

391

üeber den Beweis des Maxwell'schen Greschwindig-
keitsvertlieilimgsgesetzes unter Grasmolekülen.

Von Max Planck.

(Mjujfdamfm 8. November.)

Unter obigem Titel hat Herr L. Boltzmann in den
Siteungsberichten der mathematiech-phyrikalischen CUs8e der
k. b. Akademie der Wissenschaften vom 5. Mai 1894 gegen
den Beweis des Maxwell'schen Geschwindigkeitsrertheilongs-
gesetzes, wie er sich in den von mir herausgegebenen Kirch-
hoff^schen Vorlesungen über die Theorie der Wärme, S. 142 ff.,
findet, einen Elinwand geltend gemacht. Da sich die Spitze
des Angriffs zum grossen Theil gegen den Herausgeber jener
Vorlesungen richtet, indem von Ungenauigkeiten der Dar-
stellung gesprochen und sogar die Stellung des Herausgebers
zur kinetischen Gastheorie damit in Verbindung gebracht
wird, so liegt mir daran, mich g^en diesen Vorwurf zu
vertheidigen. Es könnte nämlich durch ihn leicht die Mei-
nung erweckt werden, als ob in die Darstellung des ge-
nannten Beweises sich irgend ein Mangel in der Form ein-
geschlichen habe, der durch Anwendung grosserer Sorgfalt
und Genauigkeit von Seiten des Herausgebers hätte ver-
mieden werden können.

Eiine solche Meinung wäre aber durchaus irrig. Bei
keiner anderen Stelle des Eirchhoff'schen Buches bietet das

392 Sitzung der math.'phys. Glosse vom 3. November 1894.

vom Verfasser hinterlassene Manuscript mehr Garantieen da-
für, dass die Vorlesung thatsächlich genau so gehalten wurde,
wie sie gedruckt vorliegt, und in der That handelt es sich
bei dem Boltzmann 'sehen Einwand keineswegs um ein mög-
liches Missverständniss oder um eine Unklarheit in der Aus-
drucksweise, sondern der Einwand triflft gerade den Kern
des ganzen Beweises; es ist nicht denkbar, demselben Rech-
nung zu tragen, ohne dass der Ideengang vollständig ab-
geschnitten vnrd. Von einem Mangel in der Darstellung
kann also gar nicht die Rede sein, und damit halte ich die
Aufgabe des Herausgebers für erledigt, wie das auch in
meinem Vorwort ausdrücklich hervorgehoben ist. Eine Kritik
des vorgetragenen Gedankenganges und an Stelle eines un-
vollkommenen Beweises womöglich einen besseren verlangen
heisst doch nicht weniger, als vom Herausgeber ein neues
Buch fordern. Wer würde dann wohl die Verantwortung über-
nehmen können, ein nachgelassenes Werk herauszugeben?
Nach der formellen Rechtfertigung sei mir auch noch
ein Wort zum Inhalt verstattet. Den Boltzmann'schen Ein-
wand habe ich mir seinerzeit ebenfalls gemacht, wenn auch
in etwas anderer, doch in so wenig abweichender Form, dass
ich hier nicht mehr darauf zurückkomme und mich einfach
auf die Anerkennung seiner sachlichen Berechtigung be-
schränke. Ich habe aber daran noch eine weitere üeber-
legung geknüpft, die ich bei dieser Gelegenheit hier anfügen
möchte, obwohl ich nicht sicher weiss, ob sie nicht schon
einmal angestellt worden ist. In dem Maxwell-Kirchhoff*-
schen Beweis wird die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei
Moleküle nach Beendigung eines Zusammenstosses in be-
stimmter Weise auseinanderfliegen, aus dem Satze Ton der
Wahrscheinlichkeit des Zusammentreffens mehrerer unab-
hängiger Ereignisse auf zwei verschiedene Weisen berechnet:
einmal direct durch Betrachtung des Zustande» nach dem
Stoss, das andere Mal durch Betrachtung des Zustandes vor

Planck: MaxwelVsches Geschwindigkeitsoertheüungsgesetz, 393

dem Stoss. Aus der Oleichsetzung beider Ausdrücke resultirt
dann das MaxwelPsche Gesch windigkeitsvertheilungsgesetz.
Die erste Berechnungsart ist aber im Allgemeinen nicht zu-
lässig, da die Zustände der Moleküle nach dem Stoss nicht
mehr unabhängige Ereignisse sind im Sinne jenes benutzten
Satzes der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Nur bei Gültig-
keit des MaxwelPschen Gesetzes wird also jene Berechnung
richtig, oder mit anderen Worten: wenn das MaxweU'sche
Gesch windigkeitsvertheilungsgesetz gilt, so ist die Wahr-
scheinlichkeit, dass zwei Moleküle mit bestimmten Geschwin-
digkeiten auseinanderfliegen, ebenso gross als die, dass zwei
Moleküle mit denselben Geschwindigkeiten zusammentreffen.
Bei allen anderen Geschwindigkeitsvertheilungsgesetzen gilt
dieser Satz nicht.

Wenn man nun in einem in vollständigem Gleichgewicht
befindlichen Gas die Geschwindigkeiten sämmtlicher Moleküle
plötzlich gerade umgekehrt denkt, so verwandelt sich je ein
Paar gerade vor einem Zusammenstoss befindlicher Moleküle
in ein Paar gerade auseinanderfliegender Moleküle und um-
gekehrt; dann vertauschen sich also auch die entsprechenden
Wahrscheinlichkeiten. Gilt nun das Maxwell'sche Verthei-
lungsgesetz, bei welchem diese Wahrscheinlichkeiten einander
gleich sind, so befindet sich auch nach dem Yerwandlungs-
akt das Gas in einem Zustand dynamischen Gleichgewichts;
gilt aber ein anderes Vertheilungsgesetz, so kann dies offen-
bar nicht mehr zutreffen.

Nun besagt aber ein allgemeiner, aus dem Hamilton'-
schen Princip abzuleitender Satz der Mechanik, dass in
einem Punktsystem mit conservativen Kräften, welches sich
im dynamischen Gleichgewicht befindet, eine plötzliche Um-
kehrung aller Geschwindigkeiten abermals einen dynami-
schen Gleichgewichtszustand bedingt. Demzufolge muss man
BchUessen: ^Das MaxwelPsche Gesetz ist das einzige Ge-
schwindigkeitsvertheilungsgesetz, welches im Einklang steht

394 Sitzung der mathrphys» Classe vom 3. November 1894.

mit dem Satze der Mechanik, dass der dynamische Gleich-
gewichtszustand eines Punktsystems durch ein plötzliches Um-
kehren aller Geschwindigkeiten nicht gestört wird." Durch
diese üeberlegung wird, so viel ich sehe, der Boltzmann'-
sche Einwand ganz vermieden und das Maxwell'sche Gesetz
auf einen festeren Boden gestellt. Hervorheben möchte ich
noch besonders, dass die Frage, ob eine solche plötzliche
ümkehrung aller Geschwindigkeiten physikalisch ausführbar
ist, hiebei ganz ausser Betracht bleibt.

395

Oeffentliche Sitzung

zu Ehren Seiner Majestät des Königs und Seiner
Königlichen Hoheit des Prina-Regenten

am 15. November 1894.

Der Präsident der Akademie, Herr M. v. Pettenkofer,
eröffnet die Sitzung mit folgender Ansprache:

Entsprechend der Geschäftsordnung der kgl. bayer. Aka-
demie der Wissenschaften finden jährlich zwei öffentliche
Sitzungen statt, zu welchen nicht nur Eingeladene, sondern
Jedermann Zutritt hat; die eine an einem sogenannten Königs-
tage, zu Ehren ihres Protectors, die andere an ihrem Stif-
tungstage. Die heutige Festsitzung gilt unserm durchlauch-
tigsten derzeitigen Protector, Seiner königlichen Hoheit dem
Prinz-Regenten Luitpold von Bayern, der in diesem Saale
ebenso wohlwollend zu uns niederschaut, wie wir alle ehr-
furchtsvoll und dankbar zu ihm aufschauen.

Zunächst sei mir gestattet, einige Thatsachen mitzu-
theilen, aus welchen hervorgeht, wie unablässig unser Pro-
tector und seine Staatsregierung für die Akademie und für
die wissenschaftlichen Sammlungen, welche mit der Akademie
verbunden sind, Sorge tragen, und nebstdem auch zu er-
wähnen, was von anderen Seiten geschehen ist, die Zwecke
der Akademie und des Generalconservatoriums zu fördern.

396 Oeff entliehe Sitzung vom 15. November 1894.

Dann wird durch die HH. Classensecretare die Ver-
kündigung der von Seiner königlichen Hoheit bestätigten
Wahlen neuer Mitglieder folgen und schliesslich Hr. College
Professor Dr. Sohncke die Festrede über einen allgemein
interessirenden Gegenstand, über die Bedeutung wissenschaft-
licher Ballonfahrten, halten.

Als ich im vorigen Jahre an dieser Stelle über aka-
demische Ereignisse der vorangegangenen Zeit berichtete, ge-
dachte ich auch unseres an den damals versammelten Landtag
gerichteten Antrages, der Akademie ein Capital von etwa
500 000 e/Ä oder einen jährlichen Zuschuss von 20 000 eJt zu
bewilligen, um damit wissenschaftliche Unternehmungen der
drei Classen unserer Akademie zu ermöglichen. Regierung
und Landtag haben in dankenswerther Weise wenigstens
einen Theil dieses Antrages sich angeeignet und einen auf
20 Jahre berechneten jährlichen Zuschuss von 5000 oM be-
willigt, um damit die Kosten der von unserer Akademie im
Bunde mit den anderen grossen wissenschaftlichen Körper-
schaften Deutschlands und Oesterreichs geplanten und bereits
begonnenen Bearbeitung eines neuen grossen lateinischen
Wörterbuches (Thesaurus linguae latinae) zu bestreiten.
Seither haben die hiefür verbundenen fünf Körperschaften
eine eigene Commission für dieses Unternehmen gebildet,
zu deren thätigsten Mitgliedern eines der Mitglieder unserer
philosophisch-philologischen Classe, Prof. Dr. v. Wölfflin,
gehört.

Wir erneuern den Ausdruck unseres lebhaften Wunsches,
dass insbesondere den naturwissenschaftlichen Disciplinen
weitere hochherzige Spenden des künftigen Budgetlandtages
zu Hülfe kommen möchten.

Der neu begründete Verband wissenschaftlicher Körper-
schaften hat seither zwei weitere Delegirten- Versammlungen
gehalten, die erste im Mai dieses Jahres in Göttingen, die
andere im September in Innsbruck. Auf beiden wurde

V. PettenJcofer: Eröffnungsrede, 897

namentlich der Plan eines weiteren gemeinsamen wissen-
schaftlichen Unternehmens , gleichartig organisirte Unter-
suchungen über den Zusammenhang der Erdschwere mit den
tektonischen Verhältnissen der Erdrinde, berathen. In 6öt-
tingen wurde beschlossen, zu diesem Zwecke mit der seit
Jahren bestehenden internationalen (Kommission für Erd-
messung, an der auch unsere Akademie durch eine eigene
ständige Commission betheiligt ist, in Verbindung zu treten.
Das ist nun auch in Innsbruck geschehen und hat dahin
geführt, dass die vom 5. bis 12. September dort tagende
permanente Commission der internationalen Erdmessung sich
bereit erklärte, dahin zu wirken, dass aus ihrem Schoosse
eine eigene Section für das Studium der Schwere sowohl
nach ihrer Intensität, wie auch nach ihrer Richtung gebildet
werde, von welcher Section durch Beiziehung von Geologen
auch die einschlägigen geologischen und geophysischen Pro-
bleme bearbeitet werden könnten.

Von den vom bayerischen Landtag für die Zwecke der
Akademie und der mit ihr verbundenen wissenschaftlichen
Sammlungen des Staates weiterhin neubewilligten Summen
sind besonders hervorzuheben: der Betrag von 168000 c^
für den vollständigen Umbau der Gewächshäuser im Botani-
schen Garten und für die neue Einrichtung des Botanischen
Instituts, weiter die für den Neubau des Physiologischen
Hörsaales und den umbau des Physiologischen Instituts be-
willigte Summe von 162 000 c/Ä.

Kleinere Beträge, zusammen etwa 9400 c/Ä, wurden für
Einrichtung oder Ausstattung des Botanischen Instituts,
dann der mathematisch-physikalischen, der geologischen und
der mineralogischen Sammlung im ausserordentlichen Etat
bewilligt. Der ordentliche Etat der zoologischen Sammlung
wurde um jährlich 1714 c^ erhöht.

Mit Bedauern muss ich erwähnen, dass der Conservator
der mathematisch -physikalischen Sammlung, Geheimrath

398 Oeff entliche Sitzung vom 15, November 1894.

Professor Dr. v. Boltzmann, schon nach einer Wirksam-
keit von drei Jahren uns wieder verlassen hat, um einem
höchst ehrenvollen Ruf in seine Heimath, nach Wien, zu
folgen. Die Akademie kann, gleich der mit ihr zu ein-
trächtigem Wirken verbundenen Ludwigs-Maximilians-Üni-
versität, nur^den Wunsch und die HofiFnimg aussprechen,
dass recht bald ein dieses Vorgängers würdiger Nachfolger
sich finden möge.

Eine wesentliche Aenderung ist auch bei dem bis in
die jüngste Zeit mit dem k. Münzcabinet durch eine Art
von Personalunion verbundenen Museum von Abgüssen
classischer Bildwerke erfolgt, indem nach dem Rücktritt des
inzwischen verstorbenen Conservators der beiden Sammlungen,
des Geheimen Raths Professor Dr. v. Brunn, das von ihm
begründete Museum von Gypsabgüssen unter dem neuen
Professor der Archäologie an der Universität München,
Professor Dr. Furtwängler, zum Range eines selbstän-
digen Conservatoriums erhoben und damit einem von seinem
Gründer seit langen Jahren gehegten Wunsch entsprochen
wurde.

Aus dem der Akademie gehörenden, hauptsächlich der
Vermehrung unserer wissenschaftlichen Sammlungen dienen-
den, leider nur allzu kleinen sogen. Mannheimer Reserve-
fonds haben seit meinem letzten Bericht die paläontologische
Sammlung, das Botanische Institut, das Antiquarium und
die mathematisch-physikalische Sammlung bescheidene Zu-
schüsse erhalten , theils zur Vermehrung der Sammlungen,
theils zur Anschaffung von Instrumenten. Sollte der nächste
Landtag unserer Bitte um Gründung eines neuen akademi-
schen Fonds Gehör schenken, so würde uns damit die
Möglichkeit geboten, diese und andere ebensosehr der all-
gemeinen Volksbildung wie dem strengen wissenschaftlichen
Studium dienende Sammlungen auf eine Stufe zu heben,
welche den verwandten Instituten anderer Staaten entspricht.

V. Pettenkofer: Eröffnungsrede. 399

Inzwischen freuen wir uns, wenn hin und wieder —
und geschähe es nur in zehnfach höherem Maassstab ! — der
patriotische und wissenschaftliche Eifer von einzelnen Pri-
vaten unsere Staatssammlungen bedenkt. Von dem, was im
letzten Jahre auf diese Weise denselben zugekommen ist,
gedenke ich dankbar der Geschenke, welche unsere Lands-
leute , der kaiserliche Gouverneur von Kamerun , Eugen
V. Zimmerer, dann Herr Hofrath Dr. Martin in Sumatra,
weiter der Afrikareisende Dr. Holub in Wien dem ethno-
graphischen Museum und der zoologischen Sammlung ge-
macht haben. — Hochwillkommen waren auch schöne Ge-
schenke, mit welchen die HH. Apotheker Burg er und
Zeichnungslehrer Heinrich Morin dahier, sodann Professor
Selenka in Erlangen und Apotheker Wispau er in Singa-
pore die zoologische Sammlung bedacht haben.

Die zoologische Sammlung hat ihrerseits gern zur wei-
teren Verbreitung naturwissenschaftlicher Kenntnisse im
Lande beigetragen dadurch, dass sie entbehrliche Doubletten
verschiedenen Gymnasien und anderen Mittelschulen zu-
theilte.

Auf ihrem engeren Arbeitsgebiet hat die Akademie
auch im vergangenen Jahre besonders nach zwei Richtungen
hin sich thätig erwiesen: einerseits durch eigene wissen-
schaftliche Publicationen philosophisch-philologischer, mathe-
matisch-physikalischer und historischer Art, andererseits durch
Pflege eines sehr ausgedehnten Schriftentausches mit zahl-
reichen anderen wissenschaftlichen Instituten und Körper-
schaften — ein Tausch, welcher insbesondere der kgl. Hof-
und Staatsbibliothek zu gute kommt, der wir nach altem
Herkommen alle uns nicht doppelt zugehenden Publicationen
überreichen.

Von den speciellen Unternehmungen unserer Akademie
gedenke ich heute auch noch des seit einer Reihe von Jahren
theils durch Geldmittel, theils durch Arbeitskräfte der Aka-

1894. Math.-pb78. CI. 4. 26

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Wahlen. 401

gestellt und die rühmlichst gelösten honorirt werden. Zwei
der Preisträger, die HH. Oberhummer und Krumbacher,
wurden dadurch veranlasst, Reisen nach Griechenland und
in den Orient zu unternehmen und seltene Handschriften in
auswärtigen Bibliotheken zu untersuchen. Der Zographos-
Fonds gehört ausschliesslich unserer philosophisch -philolo-
gischen Classe zur Verwendung; aber auch die historische
Classe und namentlich die mathematisch -physikalische hätte
viele Wünsche und Aufgaben, die weder durch den Zographos-
Fonds, noch durch den Thesaurus linguae latinae gefördert
werden können.

Wahlen.

Der Classensekretär, Herr C. v. Voit, giebt sodann die
von der Akademie vorgenommenen und von Seiner König-
lichen Hoheit dem Prinz-Regenten bestätigten Wahlen be-
kannt. Es wurden in der mathematisch-physikalischen Classe
gewählt :

zum ordentlichen Mitglieder

Herr Generalmajor a. D. Dr. Carl v. Orff, bisher ausser-
ordentliches Mitglied ;

zu ausserordentlichen Mitgliedern:

Herr Dr. Ferdinand Lindemann, o. Professor der Mathe-
matik an der Universität München;

Herr Dr. Alfred Pringsheim, a. o. Professor der Mathe-
matik an der Universität München.

402

Sitzung vom 1. Dezember 1894.

1. Herr H. Seeliger legt eine Abhandlung: ^über den
Schatten eines Planeten" vor.

2. Herr Ferd. Lindemann spricht: ^über die conforme
Abbildung der Halbebene auf ein einfach zusammen-
hängendes Flächenstück, das von einer algebraischen
Curve begrenzt wird/

3. Herr A. v. Baeyer hält einen Vortrag: ^über die
Natur der Terpentinöle und verwandter Substanzen."

Die Resultate dieser Untersuchungen werden an einem
anderen Orte veröflfentlicht werden.

403

Ueber die conforme Abbildung der Halbebene auf

ein einfach zusammenhängendes Flächenstück, das

von einer algebraischen Curve begrenzt wird.

Von F. Lindemann.

{Eingelaufen 1. Deetmber.)

Schon 1869 hatte Schwarz gelehrt, wie man das Innere
einer Parabel und das Innere einer Ellipse auf das Innere
eines Kreises (oder auf die Halbebene) conform abbilden
kann; bald darauf fügte er die Abbildung des Aeusseren
einer Parabel oder Ellipse hinzu.*) Auch für ein Flächen-
stück , das durch eine endliche Anzahl von geradlinigen
Strecken oder Kreisbögen begrenzt wird, kann man die Ab-
bildung nach Schwarz leisten,^) d. h. auf die Lösung einer
gewissen DiflFerentialgleichung (dritter Ordnung) zurückführen.
Sanio hat dann in seiner Dissertation*) einen Ansatz zur
Lösung für den Fall gegeben, dass es sich um ein Polygon

1) Borchardt*8 Jonmal Bd. 70 nnd Annali di matematica II. Serie
t. 3. Vgl. Gesammelte Abhandlungen Bd. IT, p. 77 und 102.

2) Yierteljahrsschnft der naturforsclienden Gesellschaft in Zflrich,
15. Jahrg. 1870. Gesammelte Abhandlungen Bd. II, p. 141.

3) Borchardt's Journal Bd. 70 und 75 ; vgl. för geradlinig be-
grenzte Flächen Christof fei, Annali di matematica, 11. Serie Bd. 1,
1867, und Bd. 4.

4) Die Abbildung des Aeusseren eines Ereisbogenpoljgons auf
eine Kreisfläche. Königsberg, 1885.

404 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1, Dezember 1894,

handelt, das von gleichseitigen Hyperbeln mit gemeinsamem
Mittelpunkte begrenzt wird: doch lässt dieser Ansatz nicht
die Richtung erkennen, in welcher eine Verallgemeinerung
zu erwarten sei.

Andere Beispiele, in denen die Fläche durch einen
stetig gekrümmten Curvenzug begrenzt wird, waren nicht
bekannt. Kürzlich habe ich nun eine Methode angegeben.^)
nach der das fragliche Problem gelöst werden kann, wenn
sich eine rationale Function von x und y mit reellen Coef-
ficienten derartig bestimmen lässt, dass eine passende Potenz
des Quotienten (wo Ö> eine rationale Function bezeichnet)

eine rationale Function von z wird, vorausgesetzt, dass die
Gleichung der begrenzenden Curve in der Form

(1) /(^.^i) =

gegeben ward , und dass s =^ x -\' iy^ j^^= x — % y gesetzt
wird, wobei x und y rechtwinklige Coordinaten bedeuten.
Dieser Fall liegt in den von Schwarz behandelten Bei-
spielen (Ellipse und Parabel) vor, femer bei der Hyperbel,
bei jeder Curve dritter Ordnung, welche durch die imagi-
nären Kreispunkte hindurchgeht, bei jeder Curve vierter Ord-
nung, welche in jedem der imaginären Kreispunkte einen
Doppelpunkt hat, und bei vielen Cqrven nter Ordnung, z. B.
allen, deren Gleichung in der Form

a /^ ^i -f- b js!^ -{- ii js:^ -\- c = 0*)

1) SitzuDgsberichte der physikalisch-ökonomischen Gesellschaft
zu Königsberg i. Pr., 7. Jani 1894.

2) Früher hatte ich nur den Fall a = erwähnt; Herr A. Lö wy
machte mich darauf aufinerksam, dass man das Beispiel in der jetzt
gegebenen Weise verallgemeinern kann.

lÄndemann: Ueber dU con forme Abbädung der Halberen e. 405

geschrieben werden kann, wo a und c reell, b und b^ zu
einander conjugirt sind.

Wird dagegen der Rand des abzubildenden Flächen-
stückes durch eine beliebige algebraische Gurve gebildet, so
soll durch die folgenden Ceberlegungen ein Ansatz für das
betreffende Problem gegeben werden.

1. Wir setzen £ = x '\- iy, z^= x — iy, wo x und y
die orthogonalen Coordinaten eines Punktes des Randes seien,
und schreiben die Gleichung der begrenzenden Curve nter
Ordnung wieder in der Form (1); dieselbe möge keine sin-
gularen Punkte besitzen.

Wir benutzen im Folgenden vielfach diejenige Function
17, durch welche sich die CJoordinaten eines Punktes der Curve
nach Schottky, Poincare und Klein als eindeutige Func-
tionen darstellen lassen. Es werde allgemein

^9^ Irr 4 _ ^ 1q.^ y 1 / (Zlogy \»

gesetzt, wo (f! = , ; dann ist bekanntlich nach Schottky
und Cayley^), wenn z als Function von Z gedacht wird:

(3) W, z) = {.. z) + w, 4 (^-£)*.

Ersetzt man hierin q> und z durch z^^ so wird

w <-.K'-S)'--('..')(li)"

Durch die complexe Variable Z =^ "K -\- i Y werde ein
Punkt der Halbebene Y > dargestellt, auf welche das von
der Curve (1) umschlossene Oval abgebildet werden soll.
Auf dem Rande ist dann Z=^X, reell, während z = x-\-iy

1) Vgl. z. B. Schwarz, Gesammelte math. AbhandlnngeD, Bd. IT,
p. 362.

406 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1, Dezember 1894,

und js^ = X — iy einander conjugirt sind. Man erkennt
demnach aas (4) , dass die linke Seite nur ihr Zeichen
wechselt, wenn man i mit — i vertauscht; diese linke
Seite ist also auf dem Rande rein imaginär.^)

2. Vermöge der Gleichung (1) fassen wir z^^ als Func-
tion von -sr auf. Ueber der £r-Ebene haben wir dann eine
Riemann'sche Fläche, deren Verzweigungspunkte mit den
Brennpunkten der Curve /*= zusammenfallen.*) Die Aus-
dehnung der Abbild ungs- Aufgabe auf diese ganze Fläche
führte mich in den eben bezeichneten einfachen Fällen zur
Lösung und wird uns auch jetzt zum Ziele führen.

Das auf die Halbebene abzubildende Flächenstück wird
durch ein Oval der Curve /= begrenzt. Das Blatt der
Fläche, in welchem das Oval liegt, bezeichnen wir als erstes
Blatt. Dasselbe ist in der Regel durch mindestens zwei
Brennpunkte, die im Innern des Ovals liegen, mit einem
zweiten Blatte verbunden (wie man durch Grenzübergang
erkennt, wenn man einen Doppelpunkt auflöst). Ausserdem
hängt das erste oder zweite Blatt vielleicht durch andere
Brennpunkte mit noch weiteren Blättern der Fläche zu-
sammen. Alle Brennpunkte, zu denen man von einem im

d Je d R

1) Man zeigt leicht, dass sie gleich 4 i -p=. • t-= ist, wenn h das

ErümmüDgsmaass, und da das Bogenelement der Carve bezeichnen.

2) Bei Construction dieser Fläche ist es nützlich, sich derjenigen
Vorstellungen zu bedienen, welche ich in den , Vorlesungen über
Geometrie" (Bd. II, Theil 1, p. 621 ff., 1891) über die Interpretation
der complexen Zahl z entwickelt habe, und welche den Zusammen-
hang mit den imaginären Kreispunkten und sonach mit den Brenn-
punkten sofort erkennen lassen. Klein erwähnt neuerdings in einem
Berichte über seine Vorlesungen (1891 — 92), dass er sich derselben
Art Riemann*8cher Flächen bedient habe (Math. Annalen Bd. 45,
p. 148); es sei bemerkt, dass ich die oben erwähnten Beispiele der
Abbildungsaufgabe schon 1892 vorgetragen habe, vgl. auch Sitzungs-
bericht der phys.-ökon. Ges. zu Königsberg i. Pr. vom 6. Oktober 1892.

Lindemann: üeber die conforme Abbildung der Halbebene, 407

ersten Blatte und innerhalb des Ovals gewählten Punkte ge-
langen kann, ohne das Oval oder eine in anderen Blättern
über dem Oval liegende Curve zu überschreiten, bezeichnen
wir als innere Brennpunkte, alle anderen als äussere
Brennpunkte. Ein Verzweigungspunkt, der zwar im In-
nern des Ovals liegt, aber nicht in einem Blatte, in das man
ohne das Oval zu überschreiten aus dem Innern des Ovals
(im ersten Blatte genommen) gelangen könnte, ist also auch
ein äusserer Brennpunkt.

Betrachten wir eine Function, welche von dem Punkte
-gr, jSj^ innerhalb dieser untereinander verzweigten Blätter ein-
deutig abhängt (wobei -s^, ^j weder den Rand des Ovals noch
eine darüber liegende Curve überschreitet), als Function von
Z= X + i Y (wo T> die als Bild dienende Halbebene
definirt), so erhalten wir über der Z-Ebene eine Riemann'-
sche Fläche, in welcher jedem „inneren** Brennpunkte der
Curve f=0 ein Verzweigungspunkt der oberen Halbebene
entspricht, und bei der vermöge dieser Verzweigungspunkte
ebenso viele Blätter zusammenhängen als bei der gegebenen
Fläche im Innern des Ovals. Es fragt sich nun, wie ist
diese Riemann'sche Fläche über die reelle X-Axe
hinaus in jedem der fraglichen Blätter fortzusetzen,
wenn der Punkt ^, ^^ den Rand des Ovals in einem
der über der ^-Ebene liegenden Blätter über-
schreitet?

Geschieht dies im ersten Blatte, so ist klar (da die be-
trachtete Function für reelle Werthe von X im ersten Blatte
reell sein muss, um für das Abbildungsproblem verwandt
werden zu können), dass sich über die untere Halbebene eine
symmetrische Riemann'sche Fläche als Fortsetzung des zu-
erst betrachteten Theiles ausbreiten wird ; dieselbe besteht
aus einer gleichen Anzahl von Blättern, und in ihnen nimmt
die betrachtete Function Werthe an, welche denjenigen con-
ju^t sind , die ihr in den entsprechenden Punkten der

408 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 1, Dezember 1894.

Blätter über der oberen Halbebene zukommen. Wie sich
aber die so über der unteren Halbebene ausgebreiteten Blätter
nun wieder in die obere Halbebene fortsetzen, bleibt zu er-
örtern.^)

3. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die
Curve f=0 aus p -\- l reellen Zügen besteht, wenn
p das Geschlecht der Curve bezeichnet. Nach Schottky*)
kann man die vom Punkte ^, ^j gebildete Riemann'sche
Fläche auf einen durch 2 p Kreise (von denen etwa einer die
übrigen umschliesst) begrenzten Theil der Ebene conform
und eindeutig abbilden. Ist ein Punkt der letzteren durch
die complexe Zahl i; bestimmt, so geschieht die Abbildung
durch Lösung einer DiflFerentialgleichung der Form

(5) {rj. -er} = g) (^, ^j),

wo g> eine gewisse rationale Function von ^ und -s^j be-
zeichnet; es wird i; als Quotient der beiden particulären
Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung
zweiter Ordnung mit algebraischen Coefficienten gefunden.
Die 2 p Kreise sind einander paarweise zugeordnet, so
dass der Punkt rj von dem einen Kreise eines Paares zu
dem zugeordneten springt, wenn der Punkt ;er, ^j einen be-
stimmten von den p + 1 reellen Zügen der Curve über-
schreitet. Jedem reellen Zuge (einen zunächst ausgenommen)
entspricht so ein Paar von Kreisen ; jedes Paar besteht aus

1) Bei den früher von mir behandelten Beispielen geschah dies
einfach, indem die über Y^O liegenden Halbblätter sich sämmtlich
direct in die über 3r<ro liegenden Halbblätter fortsetzten. Im All-
gemeinen geschieht dies indessen nur im ersten Blatte.

2) Vgl. Borchardt's Journal Bd. 83, 1877 (und die 1875 erschie-
nene Dissertation). Schottkj und Klein machen darauf aufmerk-
sam (Math. Annalen Bd. 20, p. 300 und Bd. 21, p. 143), dass sich in
dem 1876 veröffentlichten Rie mann 'sehen Nachlasse (Ges. Werke,
p. 413) bereits ähnliche Untersuchungen finden.

Lindemann: üeber die eonforme Abbildung der Halbebene, 409

zwei Kreisen, die einander in Bezug auf einen und denselben
{2p-\- l)ten Kreis zugeordnet sind und durch eine solche
lineare Transformation von 17 (eigentlich durch eine .Spie-
gelung*) aus einander entstehen, welche diesen (2 p -\- l)ten
Kreis ungeändert lasst. Der letztere geht aus dem (i>+ l)ten
reellen Zuge der Curve bei der Abbildung hervor. Die
Function r] kann über jeden Kreis hinaus durch den be-
kannten Process der .Spiegelung' fortgesetzt werden; da-
durch wird die ünsjmmetrie beseitigt, welche in Bezug auf
den {p -\- l)ten reellen Zug nach der soeben gegebenen Dar-
legung zu bestehen seheinen würde. Auf jedem Kreise, also
auch auf jedem reellen Zuge der Curve f=0. nimmt eine
gewisse lineare Function von i] reelle Werthe an.

4. Denjenigen Kreis, welcher dem Rande des gegebenen
Ovals entspricht, denken wir uns als reelle Axe einer H-
Ebene, auf welche wir die i;-Ebene mittelst einer linearen
Transformation abbilden. Die anderen 2 p Kreise li^en
dann paarweise symmetrisch zu dieser Axe.

Die Function {H. Z\ ist hiernach reell auf dem
Rande des Ovals; für sie denken wir uns über der
Z-Ebene die in Nr. 2 erwähnte mehrblättrige Fläche
construirt.

Die reellen Coordinaten x^ y eines reellen Punktes der
Curve lassen sich nach Schott kv als eindeutige automorphe
Functionen von H darstellen :

welche für reelle Werthe von H reell sind, ako für con-
jugirte Werthe von H auch einander conjugirte Werthe an-
nehmen. In den Veränderlichen r und r, haben wir die
Parameter-Darstellong

(6) ß = q{H)-ri^(H). ^, = q (H) — itV{K).

Es sei nun UrTi^r = 9 (UrU ""r + ^ ^'^r = ^* {Sr) : und es

4:10 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 1. Dezember 1894.

mögen H^^ JJ^ , ... Hjn (wo f^^n bei einer w-blättrigen
Fläche) einen und denselben Werth von £r (also Ober einander
liegende Punkte der Fläche) ergeben, so dass:

Wj — Wj = Mj — Wj =.... = tl^ — Wfx^

^i "i" ^1 ^^ ^i ')' ^2 "^^ = *^f« + ^f**

Wir behaupten, dass dann die den conjugirten Werthen
von H^y . . . Hjn zugeordneten Punkte der Fläche nicht
ebenfalls über einander liegen können, falls f« > 2
ist. In der That, sollte dieses der Fall sein, so hätten wir
för zwei verschiedene Werthe der Indices r und s

also:

**i + ^^1 = **» + '^a = = «1. + <^A* t

Vj — iTj = r j — ^% = =Vn—tCfi;

und es würde sich ergeben

Wj = W j = . . . . J^ W^ , V^ = V^ = . . • . = Vf*^
ITj = U?2 = . ... = WfA , Wj = Ct>j = . . . . = atfi.

Es würden also auch die zugehörigen Werthe von £^ (nem-
lich Ur — Wr + i {vr + Wy)) sämmtlich einander gleich , uud
der fragliche Punkt wäre ein (^u — l)-facher Verzweigungs-
punkt der Curve /*=0; das Auftreten eines solchen aber
können wir, falls f.i>2y vorläufig ausschliessen. Der Fall
£1 = « = 2 ist durch die früher von mir behandelten Bei-
spiele schon vollständig erledigt.

5. Kehren wir jetzt zu dem Probleme der Fortsetzung
unserer über der Z-Ebene ausgebreiteten Fläche zurück. Mit
dem ersten Blatte der ursprünglichen Fläche (in dem das
l^egebeue Oval liegt) mögen jn Bläfcter in der geschilderten
Weise zusammenhängen ; wir denken sie uns durch Ränder
r^, r^, ... Tu begrenzt, die über dem Ovale li^2^n, während

Lindemann: lieber die conforme Ahhüdung der Hälhebene. 411

r^ mit dem Ovale zusammenfällt. Letzteren entsprechen /u
geradlinige Ränder über der reellen X-Axe: JBj, iJg, . . ,Rfi^
welche ebenso viele Halbebenen (T > 0) begrenzen. Die
conjugirten Halbebenen (F<0) werden durch die Ränder
iJi, iJg» . . . iZfi begrenzt, die ebenfalls über der X-Axe liegen,
und von denen ü^ mit R'i identisch ist. Diesen neuen Rand-
curven entsprechen wieder in der ursprünglichen Fläche ge-
schlossene Curven r2, rj, ...r/«, die zu den Curven r^, r,,
...Tfi conjugirt sind, deren Bilder in der Ä-Ebene daher
leicht zu bestimmen sind ; sie können, wie soeben in Nr. 4
gezeigt wurde, nicht übereinander liegen. Wir wählen die-
jenige Curve r aus, welche am weitesten über die anderen
Curven r hinübergreift;*) in dem ganzen durch sie begrenzten
Gebiete ist dann js als Function von Z definirt, also auch
jede algebraische Function von js, und zwar letztere zugleich
in allen darüber oder darunter liegenden Theilen von Blättern
der ursprünglichen Riemann^schen Fläche. Diese Curve r
und die ^ — 1 über oder unter ihr in den anderen Blättern
der Fläche liegenden Curven geben neue Ränder, welche das
ursprünglich für die Variable £ gegebene Gebiet wesentlich
erweitem. In entsprechender Weise ist damit auch über der
Z-Ehene das Gebiet der Variabein Z und der zur Darstel-
lung von {J7, Z} dienenden Fläche bis an neue Ränder JS2,
iS, . . . Rfi über die Ränder B^^ Ri, . . . R/i hinaus fortge-
setzt. Dasselbe gilt von den conjugirt imaginären Gebieten

der Fläche ; sie sind über die Ränder ü^i -^s' ^f* hinaus

in die untere Halbebene bis an neue Ränder Pj, P,, . . . P^
fortgesetzt; vielleicht haben einige dieser Ränder dabei be-
reits die ganze untere Halbebene überstrichen und befinden
sich in neuen Blättern über der oberen Halbebene, in wel-
chem Falle die entsprechenden (conjugirten) Ränder iJ" in

1) Statt dessen könnte man eine neue Conre constmiren, welche
sich ans möglichst günstig gewählten Theilen der verschiedenen Corven
r^, r^ ... zusammensetzt.

412 Sitzung der math.'phys. Classe vom 1, Dezember 1894,

der unteren Halbebene verlaufen. Den Rändern Pg, Pj,
. . . Pfi entsprechen über der ;er-Ebene in der ursprünglichen
Fläche Curven ^g, g^, . . . ^iw , welche der Curve r und den
direct über oder unter ihr liegenden Curven conjugirt sind
(immer in dem Sinne, dass einander entsprechende Punkte
durch conjugirte Werthe von H gemäss (6) dargestellt wer-
den), und welche daher selbst nach Nr. 4 nicht übereinander
liegen können. Mit ihnen kann man in gleicher Weise die
gemachten Schlüsse fortsetzen. Jedem von jg beschriebenen
Wege entspricht gemäss diesen Ueberlegungen ein angeb-
barer Weg der Variabein Z und umgekehrt.

6. Es fragt sich zunächst, ob die Variable ^ sich viel-
leicht einer Grenzcurve nähern kann , über die hinaus eine
Fortsetzung nicht mehr möglich ist. Sollte dies geschehen,
so müsste der zum conjugirten Werthe von H gehörige
Punkt ^' sich ebenfalls einer natürlichen Grenze nähern;
und dasselbe müsste für alle zugehörigen fi — 1 Punkte in
der zur Darstellung von {ij, ^} dienenden Fläche der Fall
sein. In jedem Blatte hätte man eine solche Grenzcurve
über derjenigen, welche in einem Blatte als natürliche Grenze
von jsf auftritt; die conjugirten Punkte müssten dann in den
verschiedenen Blättern die conjugirten Grenzcurven bilden,
also alle übereinander liegen, was nach Nr. 4 nicht mög-
lich ist.

Das Gebiet der Variabein £f ist also, wenn js als
Function von Z betrachtet wird, in keiner Weise
durch eine natürliche Grenze beschränkt.

7. In analoger Weise zeigt man, dass -gr als Function
von Z keinen wesentlich singulären Punkt haben
kann, wenn die Variable tj auf das in Nr. 3 geschil-
derte, von 2p Kreisen begrenzte Gebiet beschränkt
bleibt.

Sollte nemlich an irgend einer Stelle a die Function Z

Lindemann: lieber die conforme Abbildung der Halbebene. 413

wesentlich singulär sein, so müsste auch {q, Z) dort eine
wesentliche Singularität haben, und es müsste dasselbe für
alle über z gelegenen Stellen der zur Darstellung von {i;, z)
dienenden Fläche gelten, ebenso für alle conjugirten Stellen.
Die letzteren aber liegen nicht übereinander, jede von ihnen
gibt also zu weiteren Punkten der zuletzt erwähnten Rie-
mann'schen Fläche Veranlassung, die ebenfalls wesentlich
singulär sind, u. s. f. Einer der so erhaltenen singulären
Punkte müsste dann in das Innere des ursprünglichen Ovals
fallen, wie folgende Schluss weise lehrt.

Nehmen wir z. B. an , ein solcher Punkt Z^ läge im
Innern eines durch die in Nr. 5 benutzten Ränder Pj, Pg,
. . . P^ und jRj, JBg, . . . Bfx begrenzten Gebietes; der ent-
sprechende Punkt Zq liegt dann innerhalb des durch die
Curve r begrenzten Gebietes, und zwar als wesentlich sin-
gulär in allen übereinanderliegenden Blättern ; die gleiche
Singularität rauss dann in den conjugirten Gebieten , d. h.
auch innerhalb des ursprünglichen Ovals vorkommen, was
nicht möglich ist. Liegt der Punkt Z^ ausserhalb der Ränder
P, so hat man die frühere Schluss weise in gleicher Weise
rückwärts fortzusetzen. Wesentliche Singularitäten sind also
bei der Abhängigkeit der Grössen Z und z von einander
ausgeschlossen, soweit solche nicht schon bei der Abhängig-
keit der Function ly von z vorkommen, d.h. so lange ri
(oder H) keinen der früher besprochenen 2 p Kreise über-
schreitet.

8. Wir untersuchen noch , wie sich die reellen Züge
der gegebenen Curve über der Z-Ebene abbilden, d. h. wie
sich Z ändert, wenn H einen der 2p Kreise über-
schreitet.

Geht H von einem Punkte der reellen Axe aus in der
oberen Halbebene zu einem Punkte des Kreises JT, so läuft
gleichzeitig der conjugirte Punkt Hy^ in der unteren Halb-

414 Sitzung der math.-phys* Classe vom 1. Dezember 1894.

ebene dem entsprechenden Punkte des eonjugirten Kreises JT,
zu. Diesen beiden Wegen entsprechen zwei Wege in der
ursprünglichen (über der ir-Ebene ausgebreiteten) Riem an na-
schen Fläche, welche vom Punkte 2, z^ der Randeurre des
ersten Ovals zum Punkte b\ Bi eines zweiten reellen Zuges
hinfuhren, und ebenso zwei Wege in der über der ^Ebene
ausgebreiteten Fläche, welche vom ursprunglichen Punkte
der reellen X-Axe aus zu einem (in einem anderen Blatte
gelegenen) Punkte Z' bezw. zu dem Punkte Zi im eonju-
girten Blatte fuhren. Dabei ist Z' eine Function von r',
und umgekehrt; ebenso ist z'i eine Function von ^i, also
auch (da 2[ eine Function von / ist) von Z', und nach
Gleichung (3) haben wir identisch :

t{.-,x)-H,z'(l(^)'-K.i)(^)*.

Bedeutet t einen reellen Parameter, so ist die rechte Seite
rein imaginär (vgl. oben Xr. 1) ; es ist folglich {/, Z'} (d Z'Y
conjugirt zu {z\, Z'}{d Z'Y; andererseits ist derselbe Aus-
druck conjugirt zu {^1, ZI/ (ci ZJ)*; es folgt also

{^i, z:] {d z')* - [zu Zi} {d zo* = 0.

Femer ist nach (3) die linke Seite der letzten Gleichung

identisch orleich — {Z', Zj {d Zi)^; es ist somit (Z', Zi} = 0,
d. h. es besteht eine Relation der Form

(7) aZ' Zv+ßZ' + rZi-\-d = Q.

Dieses aber ist die Gleichung eines Kreises. Auf der über
der Z-Ebene ausgebreiteten Riemann'schen Fläche
entspricht daher jedem reellen Zuge der Curve f=0
ein Paar von einander zugeordneten Kreisen. Ent-
weder muss das Innere oder das Aeussere eines solchen Kreises
als durch ihn begrenzt betrachtet werden,

üeber diese Kreise hinaus kann man den Verlauf der

Lindemann: lieber die conforme Abbildung der Salbebene, 4lo

Function Z durch den Process der „Spiegelung** verfolgen,
genau wie es mit der Function H durch Spiegelung an den
2 p Kreisen der ^T-Ebene geschieht. Bei wiederholter An-
wendung des Processes wird man schliesslich eine Fläche mit
unendlich vielen Blättern und unendlich vielen Verzweigungen
construiren. Nähert sich der Punkt Z einer Stelle, wo sich
diese Verzweigungen unendlich häufen, so wird der Punkt £:
unendlich oft die reellen Züge der Curve /*= überschreiten,
also einen unendlich langen Weg beschreiben. Durch dieses
Verhalten ist die Abhängigkeit der Grössen z und Z von
einander als eine im Allgemeinen transscendente charakterisirt.

9. Es erübrigt noch, die Verzweigungspunkte der für

{Hy Z] construirten Fläche näher zu untersuchen. Als solche
treten, wie wir bereits wissen (Nr. 2), die den inneren Brenn-
punkten von f=0 entsprechenden Punkte und die ihnen
conjugirten Punkte auf. Um die Frage allgemein in An-
griff zu nehmen, setzen wir wie in Nr. 4

jn =U'\-iv-\-i{w-\'iw) = u — o) -\- i (v -{- w)y
^^ = u-\- iv — i(w -{■ ico) = u -\- CO '\- i{v — w).

Der conjugirte Punkt hat dann die Coordinaten

/ = M — iv '\- i{w — i w) = w -j- w — i{v — «;),
ss\ = u — iv — i{w — i w) = u — (o — i(v -\- w).

Seien nun jsi = a, £^ = a^ die Coordinaten eines Punktes der
ursprünglichen Fläche und

(8) is==a + {Z^Af^, ^, = a, + (Z-Jf r,

wo ^ und ^^ Potenzreihen bedeuten. Dann wird, da ü'i zu
£r, e zu z^ conjugirt imaginär ist

(9) ^' = al + {Z, - Äf il, ^; = a' + (Z, - Ä,f %,

wenn a', al, ^i, ^i bezw. zu a, Oj, ^, ^^ conjugirt ima-
ginär sind.

)8»4. Matb.-phys. CJ. 4. -.— — - . ^j

416 SUzung der mitth.-^ys, Claaae vom 1. Dezember 1894.

Für einea Punkt, dem derselbe Werfch von -gr, aber ein
anderer von s^ zukommt, sei

ir = u — tt>' -p * [v -r ^' ■ '=s =^ u — (D -\- i {v -\- w)
-^ = w -p tt/ -f t [f: -7- ii; ).

Ihm ist dann der Punkt

'^ = u -^ lü — i ^a — MT ), ^i = u — CO — i (v -f- w)

conjugirt; es ist also, da n — (ü=u — w und v-{'W=V'\-w
war, S identisch mit ^[. Wenie ^ =a für Zj = 4j, so
haben wir

Sei nun erstens der Punkt a, a^ kein ausgezeichneter Punkt
der Flache f=0. so ist k = u. Ist der Punkt u, S eben-
&lls nicht au^2:ezeiciinet, so ist auch v = i = a. Sei A von
1 verschieden^ so haben wir nach {ß) und (9) sowohl in A
als in J^ einen Verzweigungspunkt, nach (10) aber auch in
jedem Punkte, welcher in der ursprünglichen Flache über
einem zu a, a^ oonjusdrten Punkte liegt: das aber ist un-
möglich , wie die in Xr. 7 ansrewandte Schlussweise sofort
erkennen lasst. Ware der Punkt a, a zufällig ein Brenn-
punkt, so ist in der folgenden Betrachtung nur ^ ^ durch
a, a^ zu ersetzen.

Sei zweitens a, a^ ein Brennpunkt von f=0. Dann
haben wir a = 2 a. Ist auch v = A = i ^, so ergibt sich

für A ^ I dieselbe Unmöglichkeit; , wie vorhin. Für A = l

folgt aus (9)

diese Gleichung sagt aus, daäs der zum Brennpunkte con-
jugirte Punkt der Gleichung ^ = genügt , wie es auch

VT ^

direct einleuchtet. Aus (10) ergibt sich kein Widerspruch;

Lindemann: Veber die conforme Abbildung der itedbebene, 417

A = l ist also die einzig mögliche Annahme. Wäre y von
X verschieden, so wäre der Punkt a, a zufällig selbst auch

, d f

ein Brennpunkt oder ein Nullpunkt der Function ^— ; dann

wird man einen änderen über ^, z^ liegenden Punkt be-
nutzen können, dessen conjugirter kein Brennpunkt ist, und
analoge Schlüsse wiederholen.

Nicht nur die „inneren*, sondern auch die „äus-
seren" Brennpunkte der Curve /'=0 gehen also bei
unserer Abbildung in Verzweigungspunkte der für
{Z/, Z\ construirten Fläche über. Letztere hat ausser-
dem nur in den conjugirten Punkten Verzweigungs-
punkte.

10. Wir haben jetzt alle Mittel bereit, um die Lösung
unseres Abbildungsprobleras auszuführen. Die Function {H,Z}
ist in der ursprünglichen Rie mann 'sehen Fläche überall
holomorph, so lange der Punkt js^ z^ keinen der p + 1 reellen
Curvenzüge überschreitet.

Beim Uebergange über einen solchen Zug aber springt
H auf den conjugirten Werth H^ , gleichzeitig Z auf den
conjugirten Werth Z^ über; dabei ist nach (7)

aZ+b a Z-\-V

A == ry , -3 und ebenso Ä = - / ^ , v

also nach (3) in bekannter Weise

{H„ ZJ = {H, Z,\ = {ff, Z\ (11^)*.

Die Function {ff, Z\ ist ferner reell auf dem Rande des ab-
zubildenden Ovals. Auf demselben Rande ist die Function

. dz \ . de^ 1

3 2^1 dz

reell. Das Quadrat der letzteren Function, dividirt durch

♦

418 Sitzung der math,'phy8, Glosse vom 1. Dezember 1894,

{fl", Z}, gibt daher einen Quotienten, der ungeändert bleibt,
wenn der Punkt ^sr, ^er^ einen reellen Zug von f=^0 auf der
Rie mann 'sehen Fläche überschreitet, und welcher auf dem

(d £f\^
-T^ I ist

überall holomorph, so lange die reellen Züge nicht über-
schritten werden. Es besteht daher eine Gleichung
der Form

(11) {H,2} = 0(e,.,)-^^,{§g'

wo eine rationale Function von j3 und ^^ bedeutet,
die auf dem Rande des abzubildenden Ovals reelle
Werthe annimmt, sich also als rationale Function
von X und y mit reellen Coefficenten darstellt.

Die nähere Bestimmung der Function wird von trans-
scendenten Bedingungen abhängen, deren Aufstellung in
explicirter Form grosse Schwierigkeiten bereitet, wie dies
ja auch für die entsprechende Function g> in der Differential-
gleichung (5) eintritt^). Wir können aber das Verhalten
der Function an den singulären Stellen angeben.

Für einen Brennpunkt a, a^^ ist nach Nr. 9

also

wenn C eine Constante bedeutet. Ferner ist

dz.

• • . '

1) Vgl. Poincarä, Acta matematica Bd. 4, p. 292 ff. und (für
das Verbalten von <p an den singulftren Stellen) Bd. 1, p. 278.

Lindemann: Ueber die conforme Ähhüdung der Halbebene. 419

die FunctioD muss daher der Bedingung genügen:
(12) lim (P . (isr — a) = Const.

B^ a

Handelt es sich um einen Pnnkt a, a^ , welcher zn einem

Brennpunkte conjugirt ist (d. h. einen Nullpunkt der Func-

9 A
tion ;^— I , so haben wir nach Nr. 9 :

also

SIT 'ZI — "^ ^ i Const.

femer ^ — = Const. ; für O ergibt sich also die Bedingung :

lim ' {£^1 — «i) = Const.

£ = a

Dieselbe entspricht genau der Bedingung (12); in der That
hätte sie auch aus der Realität der Function direct ge-
schlossen werden können.

Die Gleichung (11) können wir noch in bemerkens-
werther Weise umformen. Ersetzen wir nemlich in (3) q>
durch H^ so ergibt sich mit Hülfe von (11) unter Benutzung
von (4):

(13) {z, ^} = y (^, ^,) ~ "^^^

Auf diese Differentialgleichung dritter Ordnung,
in der q> und die in (5) und (11) vorkommenden
rationalen Functionen von z und z^^ bedeuten, ist
hiernach das Problem zurückgeführt, ein durch ein
Oval einer algebraischen Curve /=0 (die keine
Doppelpunkte hat) begrenztes einfach zusammen«

-lika^^'e^ndeS' F.icaeiiiytrd'ji -*:if iie Halbebeae abzu-

t •

II. Iiib^wsontteni .sana ■» 7r)rkomm«i, <iaffi 'iiß Bjrease,
^ciie nacii ^r. ^ in ier Z^- Ebene ien reeil«L Zügieii der
Lorre -==) iMit&pnMiiien . DiurwfHsse mit »OT»n<for' and mit

ier r»:H*»len Axe ^Ucrammeüoilefl. Dann acklieasc äcR die
fiir \H, Z! i'^ntn^iirre aiearbiafctriirp FTäche. ind [EL Z] vvird
-jme iiii^oraiseiitf ij'ini-äüQ ^^n ZI i^it^ 'Tleichung i !•>) wird
iann ^on ier ir'onu

■ /Z-

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Fincdon von Z )eieute€.

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oiir behandeiteu ifüUen. Bei ienseiben iixx noch «Jie wesiaKe
Bewmderiieit ^n. iaas iie B:emann*5€iie Fliehe aber der
r-- Ebene uiearracii "on iem 3ilde der aber der Z-Ebene
.ionscruirten Fiat iie 'ibenie«>*kt wird. Eis liegit^ «lies daraiL.
ias» iie irspriinsriiciie iJiemann's^ae Eläiihe in jenen B«*
ipieien niciic nur in 3ezui£ wf ien reellen. ;£eg!&b«ien CurTeo*
inst, ?«:>ndem iiiea in 3ezus£ xai iie ^Iber demaelbm ia den
Anderen Blättern :jceie4£»?aen Currenzüg^, sjewi^e Symmetrie^
Verniuhiisse ^ei^. A^anliede 3e*onderlieicen we-niea
i tum. ►fr .kuirr-^cea. 'v-^an i:e iu ier Curre f=^0 ^e-
iioriLce ?1 iie iie ^oiede )e<oudere "^varmetrrieveraäli?*
ai^jü«^ 111 f'v eise.

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fine iweiüjüfctrisc? Fliciie 'oui jeejcüiecdce Nuil, deren beide
VnM:zweiitun:i?*punivre 3111; ien Sreunpunkteu ier Sllipse za-
-^nimeniiuleü, iber ier ^- Ebene n^ne :?benaib 7w^biät±rrice
yiikae lui ^er V^ncweiiun:ien ai^) vom Geeciuecinca ^n»).

Lindemann: üeher die con forme Abbildung der Hcdbebene. 421

Zwei von diesen liegen in der Halbebene Y > 0, die beiden
anderen sind die conjugirten Punkte der Halbebene F < 0.
Den beiden Blättern der oberen Halbebene entsprechen die
beiden Blätter des Innern der Ellipse, begrenzt durch die
Ellipse selbst und durch die darüber liegende Curve. Den
conjugirten Blättern der unteren Halbebene {Y<CO) ent-
spricht über der £r-Ebene ein Streifen, der von der gegebenen
Ellipse und einer zu ihr confocalen Ellipse J5Jj begrenzt wird;
überschreitet man die letztere, so kommt man wieder in die
beiden über der Halbebene F > gelegenen Blätter, denen
nun in der £r-Ebene ein weiterer, von der Ellipse E^ und
einer zu ihr confocalen Ellipse JE^ begrenzter Streifen ent-
spricht; u. s. f. Sowohl im oberen, als im unteren Blatte er-
hält man so unendlich viele, von confocalen Ellipsen begrenzte,
ringförmige Streifen , deren jeder auf zwei über einander
liegende Halbblätter derjenigen Fläche abgebildet wird, welche
über der Z-Ebene construirt wurde.

Auf diese und andere Einzelheiten werde ich bei anderer
Gelegenheit näher eingehen. Es mögen hier nur noch fol-
gende Bemerkungen Platz finden.

12. Wir setzten bei unserer Ableitung voraus, dass die
Curve f=0 das Maximum von reellen Zügen besitze. Hat
sie weniger als 2> + 1 reelle Züge , so hat man statt der
Schottky 'sehen Untersuchungen diejenigen allgemeineren
Hülfsmittel anzuwenden, die wir Poincare verdanken;^)
man wird dann ganz analoge Schlüsse durchführen können.

Ist das Geschlecht p = 1 , so hat man statt {ij, Z} die

Function — zu untersuchen, wo t] das zugehörige ellip-

tische Integral erster Gattung bezeichnet. Die in Nr. 8 auf-
tretenden Kreise sind dann durch gerade Linien zu ersetzen.

1) Vgl. Acta Matematica, a. a. 0.

422 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1, Dezember 1894.

Das Auftreten von Doppelpunkten muss vorläufig aus-
geschlossen bleiben; es scheint, dass man es nicht einfach
durch Grenzübergang (d. h. durch Zusammenfallen von Brenn-
punkten) erledigen kann. Man würde dann weiter zum Zer-
fallen der Curve f=0 fortschreiten können und dadurch
zu Abbildungsfunctionen mit sehr bemerkenswerthen Eigen-
schaften geführt werden. Ich hoffe, hierauf bald zurück-
kommen zu können. Erledigt habe ich zunächst nuj den
Fall, wo der Rand des abzubildenden Flächenstückes durch
eine endliche Anzahl von Kegelschnitten gebildet wird, denen
die Brennpunkte gemeinsam sind. Auf diese Aufgaben soll
hier nicht mehr eingegangen werden.

423

üeber den Schatten eines Planeten.

Von H. Seeliger.

{Eingelaufen 1. December.)

Für einen leuchtenden Punkt ist die Schattenfläche eines
Planeten, der als ein abgeplattetes Rotationsellipsoid ange-
sehen werden darf, ein Kegel zweiter Ordnung. Infolge
der Ausdehnung der kugelförmigen Sonne entsteht das Phä-
nomen des Halbschattens. Die Schattenfläche giebt in diesem
Falle die Grenze des Kern- bezw. des Halbschattens an und
ist die Einhüllende aller gemeinschaftlichen Tangentialebenen
an die Kugel und das Ellipsoid. Die Gleichung dieser Fläche,
welche vom 8. Grade ist, ist bekannt und u. A. in dem ver-
breiteten Lehrbuche der analytischen Geometrie von Salmon
gegeben, auch besitzt man Modelle, welche ihre wesentlichen
Gestaltungsverhältnisse zur Anschauung bringen. Zu Ver-
wendungen auf astronomische Aufgaben, bei denen es sich
um wirkliche numerische Ausrechnungen handelt, wird in-
dessen diese Gleichung nicht sehr geeignet sein. Laplace
hat in der Mec. cel.^) angegeben, wie man die Gleichung der
Schattenfläche als das Resultat der Elimination eines Para-
meters aus 2 Gleichungen erhält und es ist bei vielen An-
wendungen bequemer an diesen Gleichungen die erlaubten

1) Livre VIII, Chap. VIII.

424 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1. Decemher 1694.

uüd erwünschten Vereinfachungen auszuführen. Laplace hat
nur einen verhältnissinässig einfachen Fall, der sich bei den
Verfinsterungen der Jupitertrabanten darbietet, wirklich im
Einzelnen verfolgt. Es blieb hier demnach noch manche
Lücke auszufüllen und dies ist zum Theil durch die Arbeiten
von HalP). Souillart*). Bruns^) geschehen. Die folgenden
Zeilen verfolgen auf anderer Grundlage dasselbe Ziel, näm-
lich die Vorschriften für die Berechnung von einigen Phä-
nomenen, die mit der Schattenfläche zusammenhängen, mög-
lichst einfach zu gestalten und die bereits bekannten auf
einfachem Wege zu begründen. —

Es werde in den Mittelpunkt der Sonne der Anfang
eines rechtwinkligen Coordinatensystemes gelegt. Seine xy-
Ebene sei parallel zum Aec^uator des Planeten, dessen Mittel-
punkt in der X£ Ebene liegen und die Coordinaten A und C
Laben u.oge. Es sei ferner R der Radius der Sonnp, jB' der

äxjuai-oreak und R\ der polare Radius des Planeten» Xennt

2j' 2j'

man noch e die Ellipticität e = ~7y -*• so wird die Gleichung

der SoLnen- bezw. der Planetenoberfläche:

x''-]-y^ + z^ = R^i
.x-.l.^-r// + (l+0'[(^-n^-^i'] = (1)

Eine gemeinsame Tangentialebene an Sonne und Planet
wird öfl^enbar ausgedrückt dnrch

xy — ya — £ß — R=0

wo ; . — ß. — i die Richtungscosinus der Normale der Tan-
gentenebene sind, welche parallel sein muss zur Normalen
des EUipsoides.

\) Astron. Nachr. Band 90 S. 305 ff.

2) Astron. Nachr. Band 91 S. 129.

8) Verpl. .1. Hart mann, die Terprrösserunjj dei Erdschattens bei
Moinllinpiornisson. Abhandlungen der sächs. Geeellsch. d. Wissensch.
l.«M|>7iff 1801 S. 18. (8751

Seiiiger: Ueber den SeMatten eines Planeten.

425

Man hat also

y = K(x — A): a= — .V. y:

= (x- A)^ -r !/* + (1 + c)* u - Cy

(2)

Schrabt man die Ebenengleichong so:
r(z — A)-ay-ß(s — C) = R — yÄ-rßG,
so ergiebt sich mit Hülfe Yon (2):

^> + «* + äT^}=^-/^ + ^^

Setzt man andererseits (2) in die EUipsoidgleichnng (1)
ein, so wird:

y^[y -r «• -r ^1 __ ^-j, ^

= 2r

Man kommt also zn den zwei Gleichungen
» ^ • ** (R-'/Ä + ßC)*

(1 -1- «)» K*

und man kann denmach a und / darch ß ansdrficken.

Behält man ß als einen Parameter bei, so wird die
Schattenflache, d. i. die Einhüllende aller Tangentenebenoi,
sich ergeben dorch Elimination von ß ans den Gleichungen:

yx — atj — ß^ — iJ =

dy da

dß dß^

oder, was dasselbe ist. darch Elimination ron ß ans:

F=«>jr — ;^^ — B* — aV=^^ «n* It = ^* (^)

426 Sitzung der math.-phys. Classe vom 1. December 1894,

Indem man nun y und a durch ß ausgedröckt in (3)
einsetzt, ist es vortheilhaft die Grösse

(1 + ey

einzuführen. Es ist auch e oder das Quadrat der Excen-
tricität =2a^ — aj, wo Oj die Abplattung im gewöhnlichen
Sinne bedeutet. Die obigen Gleichungen geben nun:

B — Ay-^ßC = R' Vi - ßH

L ^» ^»j ^ A* ^ L ^^*

]

^2~Vl^ß*s + 2^ßVl—ß^e

Führt man nun die Hülfsgrössen ein:

iJ» + 7?'»

]

fl = --rr-- [X (x — A)-i- y»]

V = ^ — T i X\—rX

)^T^

'-]

(4)

so werden die Gleichungen (3) sich so darstellen:

m-Ynß'^pß''=-{^i + ßv) y\—ß^B '

+ ^p^=r3W'^^''^'^^~^^}

(5)

Seeliger: Üeher den Schatten eines Planeten. 427

Die Elimination von ß mächt nun keine Schwierigkeit
und man könnte das Resultat in Form einer Determinante,
welche die Gleichung der gesuchten Schattenfläche darstellt,
sofort hinschreiben. Diese Gleichung hat aber einen viel zu
hohen Grad und die Absonderung der unnöthigen Factoren
ist verwickelt. In mathematischer Beziehung ist demnach
die Form (5) nicht befriedigend. Für die zur Anwendung
kommenden Fälle aber ist sie, wie aus dem Folgenden her-
vorgehen dürfte, recht geeignet. Wenigstens gelangt man
durch verhältnissmässig nicht sehr complicirte Rechnungen
zu den Resultaten, welche abgeleitet werden sollen.

Die Schattenfläche wird gebraucht, wenn man die Ver-
finsterungen der Trabanten in unserem Sonnensystem genauer
zu verfolgen hat. Suchen wir die speciellen Erfordernisse
auf, welche hier auftreten. Bei der Verfinsterung des Erd-
mondes ist eine ziemlich weit gehende Genauigkeit in den
Angaben über den Verlauf der Schattenfläche erwünscht.
Hier ist aber e rund y^, also eine sehr kleine Grösse und
man wird demzufolge mit Vortheil nach Potenzen von e ent-
wickeln und wie sich leicht ergiebt mit der Mitnahme nur der
ersten Potenz ausreichen. Unter diesen Voraussetzungen ist
die Aufgabe von den Herren Hall, Souillart und besonders
im Anschluss an Herrn Bruns von Herrn Hartmann voll-
ständig gelöst worden. Im Folgenden wird das Resultat des
Herrn Hartmann ebenfalls auftreten.

Bei den Jupitertrabanten ist e nicht so klein, dass man
hier ohne Weiteres e* vernachlässigen kann. Hier tritt aber
der Fall ein, dass die Trabanten sich sehr nahe in der
Aequatorebene bewegen und demzufolge der Verlauf der
Schattenfläche nur in der Nähe dieser Ebene gebraucht
wird. Die Aufgabe ist von Laplace a. a. 0. behandelt wor-
den und die dort gegebene Lösung wird wohl den Anforde-
rungen der Praxis genügen.

Es bleibt noch die Schattenfläche des Saturn zu be-

428 Sitzung der mathrphys. Glosse vom 1. Decemher 1894.

trachten übrig, e ist hier (mnd ^) durchaus nicht klein;
eine Entwicklung nach Potenzen von e ist jedenfalls nicht
einwurfsfrei, wenn man schon die zweiten Potenzen fort-
lassen will. Thut man Letzteres aber nicht, so werden die
Entwicklungen äusserst complicirt, wenn sie auch durch-
führbar sind. Es finden bei den Satumtrabanten aber an-
dere umstände statt, die sehr weitgehende Vernachlässigungen
gestatten, besonders da hier eine grosse Genauigkeit der For-
meln für die Praxis ziemlich bedeutungslos sein dürfte.

Nach dem Gesagten werden also die Verfinsterungen des
Erdmondes und der Saturntrabanten zu behandeln sein.

Zuerst soll die Entwicklung von (5) nach Potenzen
von e vorgenommen werden.

Setzt man

0(ß) = - (|U + V/S) (|/?=e + !/?*£'+... .)

SO wird (5):

(m-(4)-\-in-v)ß-\-pß' = 0(ß)

Wird nun noch gesetzt:

so i&i J ß eine Grösse vom Range e. Nimmt man zunächst
überall noch ß' mit, so erhält man

ist, so wird die Gleichung der Schattenfläche

Seeliger: Üeher den Schatten eines Planeten. 429

Wenn man nun die Glieder vom Bange e' fortlasst, so
ist das zweite Glied rechts zu streichen und zu setzen

Den Grossen ju und v kann man auch durchweg das
negative Vorzeichen vorsetzen.

Dieses doppelte Vorzeichen bezieht sich, wie leicht zu
sehen, auf die beiden Schalen der Schattenfläche, welche den
Kern- und Halbschatten begrenzen. Man braucht nur das
eine Vorzeichen zu berücksichtigen und dann im Resultat
JX mit — R' zw vertauschen. Für die Anwendung auf Mond-
finsternisse ist es am zweckmässigsten, wenn man den Durch-
schnitt der Schattenfläche mit einer Ebene aufsucht, die senk-
recht auf der Verbindungslinie Sonne -Erde steht und nicht
weit vom Mondmittelpunkte entfernt ist. Nennt man die Ent-
fernung Sonne -Erde Z), lässt in diese Richtung die ?-Axe
eines rechtwinkligen Coordinatensystems fallen, dessen An-
fang im Erdmittelpunkte sich befindet, dessen y-Axe zu der
früheren parallel läuft und dessen £-Axe senkrecht darauf
nach Norden zeigt, so hat man:

Wird noch znr Abkürzung gesetzt

It — S, ,,

(T = — -2 — ; x = xa — l{

so wird ^_^ = ^_y.(l_a.)

p=5(y' + ^)-§*(^ + y')

430 Sitzung der math.-phys, Glosse mm 1, December 1894.
Die Gleichung (6) wird jetzt:

4p (m — f,i) — {n — vy = — 4e -^ (x^ + y*) (m — ^)

= -(f^ + vß,).2pßU

In den mit e multiplicirten Gliedern darf aber ange-
nommen werden:

^ _ (n — vY _ m --JI
^'~ 4f ~ f"

und es wird also, wenn der Ausdruck in der eckigen Klammer
für den Augenblick mit I bezeichnet wird,

4y'I= apßl { 4 ^ {x' + y«) - 2 (,i + vß,) },

was man nach leichter Zwischenrechnung und mit Ver-
nachlässigung von e^ schreiben kann:

C "l ^''

1 =

In dem Ausdrucke I ist aber weiter

X + ?^a = ?^^-JR' p„ (8)

wenn man mit Qq den Radius der Kugel bezeichnet, die
mit dem Mittelpunkt in ? den im Falle e = entstehenden
Schattenkegel berührt; ferner ist in (7) einzusetzen:

(e, + c|a)»-j,'(l-a')

, ^ m — fi _ ___^_

ßl =

r,Ql

Seelif/er: Ueher den Schatten eines Planeten. ' 431

Man kann sich nun überaus leicht davon überzeugen,
dass man von der Erde gesehen die Schattenfläche in der
Entfernung des Mondes nur um einige hundertstel Secunden
verschieben kann, wenn man einfach setzt

femer in der Klammer der Formel (7) als unmerklich
fortstreicht das erste, vierte und sechste Glied, schliesslich

^^ gßgcii ~ji ™ Ausdrucke von / vernachlässigt. Auf diese
Weise wird

Mit Hülfe der im Vorigen enthaltenen Gleichungen kann
man dies auch schreiben

, ,, , ^ RA',' i . : c Ti-ii\

oder auch, ohne Fehler zu begehen, die mehr als wie die
Hundertstel der Secnnde alteriren können.

und für x kann man für alle Fälle genügend genau

.A
D

setzen. Die Gleichungen (8j und (^J) geben nunmehr die
Schattenfläche b'ri Mondfinsternissen in der Nähe de« Mondes
mit fast vollkommener Strenge.

Der Durchiscbnitt denelben mit der F^bene | = const.
ist, wie man sofort sier.t, eine Ellipse. Die beiden Halbaxen
^ und B liegen in der Richtung der y bezw. der -'. Und
es ei^ebt .^ch .rotV»rt

1894. Xath.'poya. *A. i. i!^-

?;-f'/T-'r)=— TäDe^ffo ^ö)

^■ = A-r'^-F.

432 Sitzung der math.-phys. Glosse vom 1. Decetnber 1894.

-^ = ?o = -B — ? — j^—

/ 6 Ä' ^'l4-2>\

(10)

Diese Formeln stimmen vollständig tiberein mit den von
Herrn Hartmann gegebenen, die in der That die denkbar
grösste Einfachheit bei wirklichen Ausrechnungen darbieten.

Wenn man nun die zweite oben erwähnte Aufgabe, die
Schattenfläche des Saturn, wie sie bei den Verfinsterungen
seiner Trabanten gebraucht wird, zu entwickeln, dadurch in
Angriff nehmen wollte, dass man in der begonnenen nach
Potenzen von e fortschreitenden Entwicklung weiter geht,
so wäre dieser Weg durchaus beschreitbar, aber äusserst um-
ständlich ; auch ist nur schwer auf diese Weise zu übersehen,
welche Vernachlässigungen begangen werden. Dagegen stellt
sich eine einfachere Lösung der Aufgabe dar, die den prak-
tischen Erfordernissen genügen dürfte, wenn man berück-
sichtigt, dass an den Stellen, an welchen die Saturntrabanten
in die Schattenfläche des Planeten treten, diese sich nicht weit
von dem Tangentialkegel entfernt, den man vom Sonnen-
mittelpunkt aus an Saturn legen kann.

Man wird demnach von diesem Kegel als erster Nähe-
rung ausgehen können und die nöthigen Correctionen auf-
zusuchen haben. Den genannten Tangentialkegel erhält
man, wenn man in den Gleichungen (5) i? = annimmt.
Setzt man:

7?'^ TD2

^0 = ^2 (^' + //')— y'; ^,^-jXi^—^y ^^y"^

so kann man (5) schreiben

yi—ß'e J

Seeliger: Ueher den Schatten eines Planeten. 433

Wenn A = A' = angenommen wird , so ergiebt die
Elimination von ß aus diesen Gleichungen den erwähnten
Tangentialkegel. Setzt man noch zur Abkürzung

= mQ-\-pß^ — ßvYl —ß^€,

so wird man leicht die Correctionen bestimmen können,
welche an die den Tangentialkegel bestimmenden Coordi-
naten angebracht werden müssen, um den Bedingungen der
Schattenfläche zu genügen. Denkt man sich Polarcoordinaten
in einer zur §-Axe des oben benutzten Coordinatensystems
senkrechten Ebene eingeführt und setzt demgemäss

y = QCOsg); ? = ^sinqp; § = const.

so kann O als Function von q und cp angesehen werden. Einem
bestimmten Werthe von cp entspricht in der Schattenfläche
ein Werth q = Qq-\' Jq^ wo Qq das demselben Werthe von
q) entsprechende q für den Tangentialkegel ist. Aber zu
gleicher Zeit muss auch ß = ß^^'\- Jß gesetzt werden, wenn
ß^ der Werth von ß für A = ist. Entwickelt man nun
die Gleichungen (11), welche sich so schreiben lassen

und bedenkt man, dass <»(/?„. q^) = 0, ^' ^^^ = 0, so er-
giebt sich ••

(12)

dQ,dß„ - ' dßl • ' dß

So wird man durch successive Näherungen zu den rich-
tigen Werthen von Jq und Jß gelangen können. In erster
Näherung ist aber

d(D

jQ = Hß,) (13)

5^0

434 Sitzung der math.-phys, Glosse vom 1. December 1894.

und da man bei den Satumtrabanten hierdurch den Verlauf
der Schattenfläche (vom Saturn aus gesehen) auf einige Se-
cunden genau erhält, so wird man, wie noch erörtert werden
soll, dabei stehen bleiben können. Es soll nur diese Nähe-
rungsformel entwickelt werden.

Die Qq und ßQ werden aus den beiden Gleichungen be-
stimmt:

ni,+pßl==ßovVl-ßle

^^« Yi-ßU

Hieraus folgt:

^ 2 ml _ ^ ^' ~ 2jWp^
^' v'-2m^p 2(v'e + p')

Die Gleichung des Tangentialkegels ist hiernach

v* = 4iWo(jp + Wo«) (14)

Für die weiteren Reductionen sind noch von Werth die
Relationen :

p + 2mQe 2mQ " /; + 2m^6

Will man (14) vollständig entwickelt hinschreiben, so
muss man die Hülfsgrössen wz^, m^, n etc. nach (4) ein-
führen. Man kann diese aber so schreiben:

X? ^ o . „X o -ß"

2BR' ( ^ . ^A ^C

Ä
2R (C

{/ + ^^2)-^^Z)}'

-:-&-^^-^^}

Seeliger: üeber den Schatten eines Planeten.

435

Die Gleichung (14) gestaltet sich jetzt so:

(

ü ' ( / D'

A'\yÄ

^)-'--/^-|2/'+2^'.J-.r)

Wenn man aber bedenkt, dass für Saturn -r sehr klein

ist (< ^TTü^nr) ^^^ y sowohl als auch f gegen x ebenfalls,
so wird man mit hinreichender Genauigkeit setzen dürfen

(15)

Hierdurch ist nun Qq bestimmt. Um auch (13) vollständig
zu entwickeln, wäre jetzt eine etwas umständlichere Rech-
nung auszuführen. Man vereinfacht aber die Sachlage durch
weitere Vernachlässigungen, welche die Schattenfläche in dem
betrachteten Falle, wo es sich um die Verfinsterung der
Satumtrabanten handelt, ebenfalls höchstens um einige Bogen-
secunden verschieben können. Diese Vernachlässigungen und
deren Berechtigung ergeben sich aus den folgenden Werthen,
die man den Hülfsgrössen w^, m^ etc. geben kann:

ü'2

niQ = - . 2 ^^ — y^ ; W2i = ; n =

-2^K

R"-

,2 '■• „ ,,.2 .

2 RH' . A

(16)

Hierdurch wird, weil auch x in den vorstehenden Gleich-
ungen nahezu unabhängig von Qq ist:

43() Sitzunfj (Irr math.'ithys. Classe com 1. Vecember 181)4.

Man kann aber die rechte Seite mit Hülfe der oben an-
gegebenen Relationen so darstellen:

B'UD' _ \ .

,2 « ..2

Für die rechte Seite von (13) ergiebt sich zunächst:

und wenn man (16) benutzt, so wird schliesslich mit aus-
reichender Genauigkeit

Diese Formel lässt an Einfachheit nichts zu wünschen
übrig. Wollte man auch noch die zweiten Potenzen von 6 fort-

lassen, so ergäbe sich einfach ^^ = i ^ ?, was eigentlich

auch schon der Genauigkeit, welche die hier in Frage kom-
menden Beobachtungen verlangen, voraussichtlich genügen
dürfte.

Was den letzteren Punkt betrifft, so ist vor allem zu
bemerken, dass die Grenze sowohl des Kernschattens als
auch des Halbschattens eine rein mathematische Fiction ist,
welche in den Beobachtungen nicht klar hervortreten kann.
Wie der Halbschatten in unmerklichen Abstufungen in die
volle Helligkeit übergeht, so bedeutet die Grenze des Kern-
schattens nichts anderes, als den Ort, wo der Halbschatten

SecJujer: (Jeher den Schatten eines Phineten. 437

jiii fangt, sich in stetiger Weise aufzuhellen. Ich habe die
Verhältnisse, wie sie sich in Folge dieser umstände bei
Mondfinsternissen darstellen, an einem anderen Orte^) be-
sprochen und gezeigt, dass sich die Grenze des Kernschattens
in Folge physiologischer Einwirkungen für das beobachtende
Auge in den Halbschatten hinaus scheinbar verschieben muss.
Es entsteht so das bekannte Phänomen der scheinbaren Ver-
grösserung des Erdschattens. Ich habe dort einen Ausdruck
abgeleitet für das Verhältniss der Helligkeit J^, welche in
der scheinbaren Entfernung x (hier gesehen von Saturn aus)
von der Grenze des Keriischattens stattfindet, zu der unge-
schwächten Helligkeit Jq und den Ausdruck gefunden:

J 1 5^4-1 /jDx\1

1 /JDx\
f) ' \2I{/

Jo '' yi{l - 1)

worin A = , , • j. . Nimmt man, was in runden Zahlen un-
gefahr den Verhältnissen entspricht, wie sie bei den Ver-
finsterungen des Japetus durch Saturn stattfinden, -^ = ()0,
jT = xAiT ^ SO wird A = 30 und wenn x' den Werth von x
in Bogensecunden bedeutet:

f = [6.()72- 10] (^'V
Hieraus folgt für ic"= 5 : ^- = 0.005 und für x" = 10:

J ^0

j =0.015.

Mit Hülfe dieser Zahlen wird man leicht ermessen
können, dass die Beobachtung des Eintritts nicht sehr sicher
sein kann — bei Japetus entspricht einer Zeitminute ein

1) Vierteljahrsschrift der AHtronomischen Geselhchaft. Jahr-
gang 27. S. 197 ff.

488 Sitzung der mathrjfhijs. Clause vom 1, Decemher 1894,

Bogen von 11" vom Saturn aus gesehen — und dass es
auf die Feststellung der Schattengrenze auf einige Bogen-
secunden auch dann nicht ankommen kann, wenn sehr
grosse Femrohre zur Verfügung stehen. Wesentlicher Ein-
fluss kommt hierbei auch noch dem Umstände zu, dass die
Trabanten keine Punkte, sondern ausgedehnte Massen sind.
Doch ist hier nicht der Ort, auf diese Gegenstände näher
einzugehen.

139

Yerzeichniss der eingelaufenen Druckschriften

Juli bis December 1894.

Die vcroiirliühon Güsollschaften und Institute, mit welchen uiiuore Akademie in
Tausch verkehr steht, werden gebeten, nachstehendes Yerzeichniss zugleich als Empfangs-
bestätigung zu betrachten.

Von folgenden GeseUschaften und Instituten:

lioyal Society of South Austrcdia in Adelaide:
Tranaactions. Vol. XVIII for 1893/94. 1894. 8^.

Akademie der Wissenschaften in Amsterdam:
Verhandelingen. Afd. Letterkunde. Deel I, No. 3.

Afd. Natuurkunde. Deel II, No. 1—6. 8.

, III, No. 1-14. 1893. 80.
Zittin^sverlagen. Natuurkunde. Jahrg. 1893/94. 1894. 8".
Verslagen en Mededeelingen. Letterkunde. 3© lieeks. Deel 10. 1894. 8®.
Jaarboek 1893. 8®.
Prijsvers Phidyle. 1894. 8^.

Universität Athen:
Vorlesungsverzeichniss 1893/94 und 5 Schriften in griech. Sprache.
1885/93. 8».

Peahody Institute in Baltimore:
27. annual Report. June 1, 1894. 8^.

Johns Hopkins üniversity in Baltimore:
Circulars. Vol. XIII, No. 113. 114. 1894. 4^.

American Chemical Journal. Vol. 15, No.8. Vol. 16, No. 1—6. 1893/94. 8».
The American Journal of Philology. Vol. 14, No. 4. Vol. 15, No. 1.

1893/94. 80.
American Journal of Mathematics. Vol. XVI, No. 1—3. 1894. 4®.
Studies in historical and political science. XI. Series, No. 11. 12.

XIL Ser., No. 1—7. 1893/94. 8».

Bataviaasch Genootschap van Künsten en Wetenschappen in Batavia:

Verhandelingen. Deel 47, 2. Stuk. Deel 48, 1. Stuk. 1893. 4®.
Tijdschrift. Deel 37, afl. 1. 2. 3. 1893/94. 8».
Notulen. Deel 31, afl. 3. 4. 1893/94. 8^.

440 Verzeicfmiss der eingelaufenen Dntcl'ttchriften.

KoninM. natuiiricundige vereeniging in Nederlandsch Indie zu Batcwia:

Natuurkundig Tijdschrift. Deel 53. 1893. S».

Historischer Verein in Bayreuth:

Archiv für Geschichte von Oberfranken. Band 19. Heft 1. 1893. S**.

Serbische Akademie der Wissenschaften in Belgrad:

Godischnjak. V— VII. 1891-93. 1892—94. 8^
Glas. No. 43. 44. 1894. 8^.
Spomenik. No. 23. 24. 1894. 4P,

K. preussische Akademie der Wissenschaften in Berlin:

Sitzungsberichte. 1894. No. 1—38. 1894. gr. 8^.
Acta Borussica. Band I der Behördenorganisation. 1894. 8^.
Abhandlungen aus dem Jahre 1893. 1893. 4^.

Politische Korrespondenz Friedrichs des Grossen. Bd. XXI. 1894. 8®.
Corpus inscriptionum latinarum. Tom. VIII. pars II. Suppl. 1894. fol.
Tom. VI, pars 4, fasc. 1. 1894. fol.

K. geolog. Landesanstalt und Bergakademie in Berlin:

Abhandlungen zur geologischen Spezialkarte von Preussen. Band X,
Heft 6 u. 7. 1894. 4^.

Permanente Gommission der internationalen Erdmessung in Berlin:

Verhandlungen der 1893 in Genf abgehaltenen Conferenz. Berlin 1894. 4^.

Deutsche chemische Gesellschaft in Berlin:
Berichte. 27. Jahrg., No. 12-18. 1894. 8».

Deutsche geologische Gesellschaft in Berlin:
Zeitschrift. Bd. 45, Heft 4. Bd. 46, Heft 1. 2. 1893/94. S«.

Physiologische Gesellschaft in Berlin:

Centralblatt für Physiologie. Bd. VIII, No. 7-19. 1894. 8^.
Verhandlungen. Jahrg. 1893/94, No. 11—18. 1894. 8«.

Kaiserlich deutsches archäologisches Institut in Berlin:
Jahrbuch. Band IX, Heft 2. 3. 1894. 4^.

K. Geodätisches Institut in Berlin:
Jahresbericht 1893/94. 1894. 8^.

Feier des 100 jährigen Geburtstages des Generallieutenants Dr. J.
J. Baeyer. 1894. 4».

K. preuss. meteorologisches Institut in Berlin:

Ergebnisse der Beobachtungen an den Stationen IL und III. Ordnung.

1894, Heft I.
Ergebnisse der magnetischen Beobachtungen in Potsdam in den

Jahren 1890 u. 1891. 1894. 4°.

Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik in Berlin:

Jahrbuch. Bd. XXIII, Heft 3. 1894. 8^

Curatorium der Savigny-Stiftmig in Berlin:

Vocabularium jurisprudentiae Romanae jussu instituti Savigniani.
Fase. I. 1894. 4».

Verzeichniss der eingelaufenen T>ruck Schriften, 441

Verein für Geschichte der Mark Brandenburg in Berlin:

Forschungen zur Brandenburgischen und Preussischen Geschichte.
Band VII, 2. Hälfte. Leipzig 1894. 8^

Naturwissenschaftliche Wochenschrift in Berlin:
Wochenschrift. Bd. IX, Heft 7—10. Juli bis Oktober. Berlin 1894. fol.

Zeitschrift für Instrumentenkunde in Berlin:
XIV. Jahrgang 1894. Heft 7—11. 4^.

Allgemeine geschichtsforschende Gesellschaft der Schweiz in Bern:
Quellen zur Schweizer Geschichte. Band XIV. Basel 1894. 8*^.

Schweizerische Naturforschende Gesellschaft in Bern:
Verhandlungen. 76. Jahresversammlung in Lausanne 1893. Nebst
französischer üebersetzung. Lausanne 1893. 8^.

Naturforschende Gesellschaft in Bern:

Mittheilungen. Jahrg. 1893. 1894. 8».

Schweizerische geologische Kommission in Bern-

Beiträge zur geologischen Karte der Schweiz. Lief. VHI, Suppl. I.
Lief. XXIV, Theil 3. 1893/94. 40.

Historischer Verein des Gantons Bern:

Archiv. Band XIV, 2. 1894. 8^.

Geiverheschule in Bistritz:

XIX. Jahresbericht für 1893/94. 1894. 8^.

R. Deputazione di storia patria per le Provincie di Romagna

in Bologna:
Atti e Memorie. IIT. Serie. Vol. XIl, fasc. 1—3. 1894. 8^.

Universität in Bonn:
Schriften aus d. J. 1893/94 in 4« u. S^.

Verein von Alt er thums freunden im Rheinlande zu Bonn:
Jahrbücher. Heft 95. 1894. 40.

Societe de geographie commerciale in Bordeaux:
Bulletin. 1894. No. 11—22. 8^

Schlesische Gesellschaft für vaterländische Gidtur in Breslau:
71. Jahresbericht für das Jahr 1893. 1894. 8®.

Historisch -statistische Sektion der mährischen Ackerhau- Gesellschaft

in Brunn:

Schriften. Band 28. 1894. 8«.

Notizenblatt 1893. No. 1—12. 4P.

Kunstarchäologische Aufnahmen aus Mähren von Alois Franz. 1894. 4^.

Academie Royale de Medecine in Brüssel:
Bulletin. IV. Serie. Tome 8, No. 6-10. 1894. 8».
Mdmoires couronn^s. Collection in 8®. Tome XII 1. 1894. 8^.

Academie Royale des Sciences in Brüssel:
Bulletin. 8« Sär. Tome 27, No. 6. Tome 28, No. 7-11. 1894. 8».

Societe des Bollandistes in Brüssel:
Analecta Bollandiana. Tom. XIII, fasc. 3, 4. 1894. 8®.

442 Verzeichnis^ der eingelaufenen Druckschriften.

Societe entomologique de Belgique in Brüssel:

AnDales. Tome 37. 1893. 8^.

Mömoires IL E. Brenske, Die Melolonthiden. 1894. 8®.

K. Ungarische Akademie der Wissenschaften in Budapest:

Mathematische u. naturwissenschaftliche Berichte aus Ungarn. Bd. XI, 2.

Berlin 1894. 8^.
Ungarische Revue. 1894. Heft 5—8. 8^.

K. Ungarische geologische Anstalt i7i Budapest:

Földtani Közlöny. Band XXIV, Heft 6—10. 1894. 8®.

Evkönyo. Band X, 6. XI, 1. 2. 1894. 8^.

Mittheilungen aus den Jahrbüchern. Band X, 6. 1894. 8^.

Statistisches Bureau der Hauptstadt Budapest:

Publikationen. XIX. XXV, 1. 1894. 4^.

Gust. Thirring, Geschichte des statistischen Bureaus von Budapest.
Berlin 1894. 8».

Botanischer Garten in Buitenzorg:

Verslag over het jaar 1893. 1894. 4^.

Mededeelingen uit'slands Plantentuin. No. XI— XIII. 1894. 4®.

Institut Meteorologique de Roumanie in Bukarest:

Analele. Tom 8, anul 1892. 1894. 4«.

Societe Linneenne de Normandie in Caen:

Memoires. Vol. 18, fasc. 1. 1894. 4^.

Meteorological Department of the Government of India in Calcutta:

Monthly Weather Review. February — June. 1894. fol.
Meteorolog. Observations. February — June. 1894. fol.
Memorandum on the snowfall in the mountain districts. Simla 1894. fol.
India Weather Review. Annual Summary 1893. 1894. fol.
Report on the Administration 1893 — 94. 1894. fol.

Asiat ic Society of Bengal in Calcutta:

Bibliotheca Indica. N. Ser. No. 834—846. 1893/94. 8».
Proceedings. 1894. No. II— VII. 1894. 8«.
Journal. New Series. No. 333—337. 1894. 8^.

Geological Surcey of India in Calcutta:

Records. Vol. 27, part 2. Vol. XXVIIl, part 3. 1894. 8«.
Memoirs. Palaeontologia Indica. Series IX, Vol. II, part 1. 1893. fol.
Manual of the Geology by R. D. Oldham. 2. Edition. 1893. 4«.

Philosophical Society in Cambridge:
Proceedings. Vol. VIII, part 3. 1894. 8^.

Museum of comparative zoology in Cambridge, Mass:

Bulletin. Vol. 25, No. 7—11. 1894. 8«.

K. Sächsisches meteorologisches Institut in Chemnitz:

Deutsches meteorologisches Jahrbuch für 1893. Abtheilung I u. IL
1894. 40.

Verzeichntss der eingelaufenen Druckschriften, 443

Field Columbian Museum in Chicago:
Guide. 1894. S«.

Zeitschrift „The Open Court" in Chicago:
The Open Court. Vol. VIII, No. 356-363, 366—381. 1894. 4».

Zeitschrift „The Monist" in Chicago:
The Monist. Vol. IV, No. 4. Vol. V, No. 1. 1894. 8».

K. Gesellschaft der Wissenschaften in Christiania:

Forhandlinger for 1893. No. 1—21. 1894. 8».
Oversigt i 1893. 1894. 8^.

Norwegische Commission der Europäischen Gradmessung in Christiania:

0. E. Schlötz, Resultate der 1893 ausgeführten Pendelbeobachtungen.
1894. 8«.

Universität in Christiania:

Aarsberetning 1891-92. 1892 93. 1893—94. 8».

Jahrbuch des meteorolog. Instituts für 1891. 1898. 4^.

Archiv for Mathematik. Band XV, 4. XVI, 1—4. 1892-93. 8».

Nyt Magazin for Naturvidenskabeme. Vol. 33, Heft 1 — 5. Vol. 34,

Heft 1 u. 2. 1892—93. 8».
Annaler 1892, 1893. 8".

Th. Kjerulf, En Raekke norske Bergarter. 1892. 4».
A. Chr. Bang, Dokumenter og Studier, den lutherake Katekismus*

historie. I. 1893. 8^.

Historisch-antiquarische Gesellschaft in Chur:
23. Jahresbericht. 1893. 8.

Natur forschende Gesellschaft Grauhündens in Chur:
Jahresbericht. N. F. 37. Band. 1894. 8«.

Chemiker-Zeitung in Cöthen:
Chemiker-Zeitung 1894. 48. 49. 52. 58—75. 78-101. fol.

Äcademia nacional de ciencias in Cördoha (Rep. Argentina):
Boletin. Tom XII, 1.3.4. XIII, 1—4. Buenos Aires. 1890. 1892/93. 80.

Oficina meteorologica Argentina in Cördoha (Bep, Argent.J:
Anales. Tom IX. parte 1. 2. Buenos Aires 1893/94. 4'>.

Universität Czernowitz:

Verzeichniss der Vorlesungen. W. S. 1894/95. 1894. 8«.
üebersicht der akadem. Behörden im Studienjahre 1894/95. 1894. 8^.

Naturforschende Gesellschaft in Danzig:
Schriften. N. F. Bd. VlII, Heft 3. 4. 1894. 8».

Historischer Verein in Darmstadt:
Archiv für Hessische Geschichte. N. F. Band I, Heft 2. 1894. 8«.

^cole polytechnique in Delft:
Annales. Tome VlII, livre 1. 2. Leide 1894. 4P.

444 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,

Colorado Scientific Society in Denver:

R. C. Hills, Ore deposits of Camp Flovd District, Tooele Countv,

Utah 1894. 8".
F. C. Knight, A suspected new raineral from Cripple Creek. 1894. 8®.

Verein für Änhaltische Geschichte in Dessau:

Mittheilungen. Band VII, 1. 1894. 8^.

Naturforscher-Gesellschaft hei der Universität Turjew (Dorpat):

Sitzungsberichte. Bd. X, 2. 1893. 1894. 8».

Archiv für die Naturkunde Liv-, Esth- und Kurlands. Bd. X, 3. 4.
1893—94. 8".

Universität Turjeiv (Dorpat):
Schriften aus dem Jahre 1893/94. 4^ u. 8<>.

Union geographique du Nord de la France in Douai:
Bulletin. Tome XV. trimestre 1. 2. 1894. 8»

K. Sächsischer Alterlhumsverein in Dresden:
Jahresbericht 1893/94. 1894. 8".

Neues Archiv für sächsische Geschichte und Alterthumskunde. Bd. XV.
1894. 8».

Verein für Erdkunde i)) Dresden:
XXIV. Jahresbericht. 1894. 8°.

K. norske Videnskahers Selskab in Dronthcim:
Skrifter. 1892. 1893. 8».

Boyal Irish Academy in Did)lin:
The Transactions. Vol. 30, part 13. 14. 1894. 4^.

Natunvissenschaftlicher Verein Pollichia tJi Dürkheini:
Mittheilungen. 51. Jahrgang, No. 7. 1893. 8®.
Der Drachenfels bei Dürkheim a. d. H. von C. Mehlis. Neusttadt 189 1. S®.

Royal College of Physicians in Edinburgh:
Reports. Vol. V. 1894. 8^.

Royal Society in Edinburgh:
Proceedings. Vol. 20, pag. 161— 30i. 1894. 8».

Geological Society in Edinburgh:
Transactions. Vol. VII, 1. 1894. S^.

Scotiish Microscopical Society in Edinburgh:
Proceedings. Session 1893—94. 1894. 8^.

Royal Physical Society in Edinburgh:
Proceedings. Session 1892-93 u. 1893—94. 1893/94. 8^.
Lehr- und Erziehungsanstalt in Maria-Einsiedeln:
Jahresbericht für das Jahr 1893/94. 1894. 4«.

Verei7i für Geschichte und Älterthümer der Grafschaft Maus fehl

in Eisleben:
Mansfelder Blätter. 8. Jahrg. 1894. 8».

Natur forschende Gesellschaft in Emden:
78. Jahresbericht pro 1892/9.S. 1894. 8^.

VerzeichnLss der eingelaufenen Druckschriften. 445

Universität Erlangen;
Schriften der Universität aus dem Jahre 1893 — 94 in 4<^ u. 8^.

Beale Accndemia dei Georgoßi in Florenz:
Atti. IV. Ser. Vol. 17, disp. 1. 2. 1894. 8».

Biblioteca nazionale centrale in Florenz:

Catalogo dei manoacritti 'gianici della Biblioteca nazionale centrale
di Firenze per Franc L. Pull^. No. 1—4. 1894. 4^.

Senckenhergische natur forschende Gesellschaft in Frankfurt a/M.:
Bericht. 1894. 8».
Abhandlungen. Band XVIII, 3. 1894. 4«.

Verein für Geschichte und Älterthumskunde in Frankfurt a/M.:
Inventare des Frankfurter Stadtarchivs. Band IV. 1894. gr. 8^.

Physikalischer Verein in Frankfurt ajM.:
Jahresbericht für das Jahr 1892/93. 1894. 8».

Naturwissenschaftlicher Verein in Frankfurt ajO.:
Helios. 1894. No. 1—6. 8^.
Societatum Literae. 1894. No. 4—9. 8^.

Universität Freihurg i. Br.:
Schriften der Universität. 1893/94 in 4« u. 8«.

Breisgau- Verein Schau in\s Land in Freiburg:
Schau in's Land. 20. Jahrlauf, Heft 1. 2. 1804. fol.

, Institut National Genevois in Genf:

Bulletin. Tome 32. 1894. S».

Observatoire in Genf:

Rösumä met^orologique de l'annee 1893 pour Geneve et le Grand
Saint-Bernard. 1894. 8^

Universität in Genf:

Schriften aus dem Jahre 1893/94.

Botanischer Garten in Gent:
Botanisch Jaarboek. VI. Jaargang. 1894. 8®.

Universitäts 'Bibliothek in Giessen:
Schriften der Universität Giessen aus dem Jahre 1893/94 in 49 u. 8®.

Oberlausitzische Gesellschaft der Wissenschaften in Görlitz:
Neues Lausitzisches Magazin. Band 70, Heft 1. 1894. 8^.

K. Gesellschaft der Wissenschaft e^i in Göttingen:
Abhandlungen. Band 39.

a) Historisch-philologische Classe.

b) Mathem.-phys. Classe. 1894. 4«.

Gelehrte Anzeigen. 1894. No. 7—12. Juli bis Dezember. 1894. 4®.
Nachrichten. Mathem.-phys. Classe. 1894. No. 3. 4®.

Philol.-hist. Classe. 1894. No. 2. 3. 4«.

K. Gesellschaft der Wissenschaften in Gothenburg:
Handlingar. Heft 26—29. 1891—94. B«.

446 VerzeichnÜH der eingelaufenen Druckschriften.

The Journal of Comparative Neurology in Granvüle (Ohio):
The Journal. Vol. IV, p. 73—192. 1894. 8^

Steiermärl'ischer Landesausschuss in Graz:
82. Jahresbericht des Steiermark. Landesmuseums Joanneum. 1894. 8".

Historischer Verein für Steiermark in Graz:
Mittheilungen. Heft 42. 1894. 8».
Beiträge zur Kunde steiermärkischer Geschichtsquellen. 26. Jahrg.

1894. 80
Uebersicht der in den periodischen Schriften des historischen Vereins

für Steiermark bis 1892 veröffentlichten Aufsätze. 1894. 8».

Naturwissenschaftlicher Verein für Steiermark in Graz:

Mittheilungen. Jahrg. 1893. (Heft 30.) 1894. 8^.

Gesellschaft für Pommersche Geschichte in Greifswald:

Pommersche Genealogien. Bd. 4. Herausg. von Th. Pyl. 1895. 8^.

Fürsten- und Landesschule in Grimma:

A. Weinhold, Bemerkungen zu Piatons Gorgias als Schullektüre.
(Programm.) 1894. 4«.

K. Instituut voor de Taal^ Land- en Volkenkunde van Nederlandsch

Indie im Haag:
Bijdragen. V. Reeks. Deel X, afl. 3, 4. 1894. ^.
Naamlijst der leden op 1. Juni. 1894. 8®.
Alb. C. Kruyt, Woordenlijst van de Baree-Taal. 1894. 8».

Ministerie van Kolonien im Haag:

Pithecanthropus erectus: Eine menschenähnliche Uebergangsform aus
Java. Von Eug. Dubois. Batavia 1894. 4^.

Nova Scotian Institute of Science in Halifa^x:

The Proceedings and Transactions. II. Series. Vol. I, part 3. 1893. 8®.

Leopoldinisch'Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher

in Halle:
Leopoldina. Heft 30, No. 11—20. 1894. 4^.

Deutsche morgenländische Gesellschaft in Halle:
Zeitschrift. Band 48, Heft 2. 3. Leipzig 1894. 8®.

Universität Halle:
Schriften der Universität a. d. J. 1893/94 in 4» u. 8^.

Thüring. -Sachs. Verein für Erforschung des vaterländischen Älterthums

in Halle:

Neue Mittheilungen. Band XVHI, der 11. Hälfte Schlussheft. 1894. 8^.

Naturwissenschaftlicher Verein für Sachsen und Thüringen in Halle :

Zeitschrift für Naturwissenschaften. Band 66. Heft 5. 6. Band 67^

Heft 1-4. Leipzig. 1894. 8^

Stadt-Bibliothek in Hamburg:
Von den Hamburger wissenschaftlichen Anstalten im J. 1893 heraus-
gegebene Schriften in 4^ und 8^.

Verein für Hamburgische Geschichte in Hamburg:
Zeitschrift. Band IX, 3. 1894. 8^.

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 447

Geschichtsverein in Hanau:

Festschrift zu seiner 50 jährigen Jubelfeier. 1894. 4".

Naturhistorische Gesellschaft in Hantvover:

42. und 43. Jahresbericht. 1894. 8«.

Historischer Verein für Nieder Sachsen in Hannover:

Zeitschrift. Jahrgang 1894. 8^.

Teylers tweede Genootschap in Harlem:

Verhandelingen. N. R. deel III, stuk 3 in 8® und Atlas, 5® stuk
in fol. 1894.

Musee Teyler in Harlem:

Archives. Ser. II. Vol. IV, Partie 2. 1894. 4«.

Societe HoUandaise des Sciences in Harlem:

Archives N^erlandaises. Tome 28, livre 2—4. 1894. 8".

Üniversitäts-Bibliothek in Heidelberg :

Schriften der Universität a. d. J. 1893/94 in 8».

Historisch-philosophischer Verein in Heidelberg:
Neue Heidelberger Jahrbücher. Jahrg. IV, Heft 2. 1894. 8».

Commissioyi geologique de la Finlande in Helsingfors:
Carte göologique de la Finlande. Livr. 25. 26. avec 2 cartes. 1894. 8".

Fijüändische Gesellschaft der Wissenschaften in Helsingfors:
Acta societatis scientiarum fennicae. Tom. XIX. 1893. 4®.
Oefversigt af Förhandlingar. XXXV. 1892—93. 1893. 8».
Bidrag tili kännedomafFinlands Natur och Folk. Heft 52. 63. 1893. 8«.

Societe de geographie de Finlande in Helsingfors:
Fennia. IX. XI. 1894. 8».

Astrophysikalisches Observatorium zu Hereny (Ungarn):
Meteorologische Beobachtungen im Jahr 1891. Budapest 1894. 4^.

Verein für siebenbürgische Landeskunde in Hermannstadt:

Jahresbericht fär das Jahr 1893/94. 1894. 8«.

Archiv des Vereins. N. F. Band XXVI, 1. 2. 1894. 8».

Siebenbürgischer Verein für Naturwissenschaften in Hermannstadt:

Verhandlungen und Mittheilungen. 43. Jahrgang. 1894. 8^.

Vogtländischer Alterthumsforschender Verein in Hohenleuben:
61.— 64. Jahresbericht. 1894. 8».

Ungarischer Kar pathen- Verein in Igl6:
Jahrbuch. 21. Jahrgang. 1894. 8®.

Ferdinandeum in Innsbruck:
Zeitschrift. 3. Folge. Heft 38. 1893. 8^.

Naturwissenschaftlich-medizinischer Verein in Innsbruck:
Berichte. XXI. Jahrg. 1892/93. 1894. 8".

Medicinisch-naturwissenschaftliche Gesellschaft in Jena:

Jenaische Zeitschrift für Naturwissenschaft. Bd. 28, Heft 4. Bd. 29,
Heft 1. 1894. 8«.

1894. Math.-phys. Cl. 4. 29

448 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

Centralhureau für Meteorologie in Baden zu Karlsruhe:
Jahresbericht für das Jahr 1893. 1894. 4».

Grossherzoglich technische Hochschule in Karlsruhe:
Schriften aus d. J. 1893/94 in 4^ u. 8^

SocietS physico-mathematique in Kasan:
Bulletin. 2^ Serie. Tom. IV, No 1. 2. 1894. 8».

Kaiserliche Universität in Kasan:
Jubiläumsschrift zu der hundertjährigen Geburtstagsfeier N. Lobatech-

ewski's. 1894. 4**.
ütschenia Sapiski. Toin. 61, Heft 4-6. 1894. 8«.
2 Dissertationen (von Troizky und Goluben) in russischer Sprache.
1894. 80.

Universität in Kiel:

Schriften aus d. J. 1893/94 in 4^ u. 8».

K. Universität in Kiew:

Iswestija. Tom. 34. No. 6—10. 1894. 8^.

Universite Imperiale in Kharkow:

Annales. Tome 3. 1894. 8».

Annales. 1894. Heft 2. Nebst 2 Abhandlungen in russ. Sprache. 1894. 8^.

Geschichtsverein für Kärnthen in Klagen fürt:

Jahresbericht für 1893. 1894. 8».

Archiv für vaterländische Geschichte. 17. Jahrg. 1894. 8**.

Carinthia. I. 84. Jahrg., No. 1—6. 1894. 8°.

Äerztlich-natunvissenschaftlicher Verein in Klausenburg .
Ertesitö. II. Abth. Band 19, Heft 1. 2. 1894. 8^

Stadtarchiv in Köln:
Mittheilungen. Heft 25. 1894. 8^.

Physikalisch-ökonomische Gesellschaft in Königsberg:
Schriften. 34. Jahrgang. 1893. 4^

Universität Königsberg :
Schriften der Universität aus d. J. 1893/94 in 4® u. 8«.

K. Akademie der Wissenschaften in Kopenhagen:
Oversigt. 1894. No. 2. 8«.

Gesellschaft für tiordische Alterthumskunde in Kopenhagen:
Aarböger. IL Raekke. 9. Band, 2. Hälfte. 1894. ^.

Genealogisk Institut in Kopenhagen:
L. H. F. de Fine Olivarius, Stamtavler over Slaegterne Olivarius og
de Fine. 1894. 4«.

Akademie der Wissenschaften in Krakau:
Monumenta medii aevi historica. Tom. XIII. 1894. 4^.
Sprawozd. komisyi fizyograf. Tom. 28. 1893. 8®.
Kozprawy wydz. materaat. Tom. 26. 1893. 8^.
Zbior wiad. do Antropologii. Tom. 17. 1893. S*'.
Anzeiger. 1894. Juni, Juli, Oktober, November. 8^.
ßihliotcka pisarzöw polskich. Tom. 28. 1893. 8«.

Verzeichnisfc der eingelaufenen Druckschriften. 449

Historischer Verein in Landshut:
Verhandlan^eo. Band 30. 1894. 8**.

Societe d*histoire de Ja Suisse Bomande in Lausanne:
Memoires et Documents Tome 38. 1694. 8^.

Maatsdtappij can Xederlandschc Letterl'unde in Leiden:

Tijdschrift. XHI. Deel, Aflev. 3, 4. und Register zu Deel I-XII.

1894. 8°.

Handelingen en Mededeelingen 1893—1894. 1894. 8".

Levensberichten der afore»torTen medeleden. 1894. 8*.

Archiv der Mathematik und Physik in Leipzig:
Archiv. U. Reihe, Theil XIII, Heft 1. 2. 1894. 8".

Astronomische Gesellschaft in Leipzig:
Vierteljahrsschrift. Jahrgang 29. Heft 2- 1891. 8*.
Katalog der a«tronom. Geseüschaft. I. Abtb.. 6 Stück. 1694. 4\

Deutsche Gesellschaft zur Erforschung vaterländischer Sprache und

Alterthümer in Leipzig:

Mittheilungen. Bund IX, Heft 1. 1694. ö*.

K. sächsische Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig:
Abhandlungen: a Philol.-hist. Classe. Band XIV. 6. 7. XV. 1.

h) math.-phv8- Classe. Band XXf, 2. 1694. 4«.
Berichte der pbüoL-hist. Classe. 1694. I. 6^^

Journal für praktische Chemie in Leipzig:

Journal. N. Folge. Band 49, Heft 10—12. Band 50. Heft 1 — 12.
1894. 6".

K. K. Bergakademie in Lefhem

Programm für daa Jahr 1S94'95. 1894. 8^.

Agric\ätural-K.rperimeut Station. Unicersity of Nebraska in Lincoln:
7^1» annual Report for 1893. 1694. ^.

Zeitschrift j.La Cellule'^ in Loetren :
La Cellule. Tome X. 2. 1894. 4«

Ihe Agent-general for Xeur South- Wales in L/tndon:

An Australian Language as »poken bv tfae Awabakal. bv L. E. Tbrelkeld.
Sydney 1692. 6^^

British Associatum for tlie Adcancement of Science in Iy>ndon:

Report on the ^S^ Meeting. 1694. 8».

The English Hisiorical Bevievc in London:
Histor. Review. Vol. IX. No. 35. 36. July and October 1694. 6-^

Boyal Society in London:

PhiloBophical Tranaactions. Vol. 184. A. B. 1694. 4*.

Liat of Fellow«. 30. Novbr. 1893. ^'\

Catalogue of Scientific Paper«. Vol. X. 16*94. 4*.

Proceeding:-. Voi. 55. No. 3.t;4. 335. Vol. 56. No. 336 -.339. 1894. 6*'.

R. A^troriomtcal Society in London:

Monthlv X^.tice?. V-.i. 54. NV.. S :♦ Voi. 55. Xo. 1. 1894. ^•.

29*

450 Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften,

Chemical Society m London:

Journal. No. 380—385. July— December 1894. 8^

Proceedings. No. 141. 142. Session 1893—94 and 1894—95. 8^.

Linnean Society in London:

The Journal: a) Zoology, No. 155—157.

b) Botany, No. 177 und 205—208. 1894. 8^.
The Transactions : IN Serie:

a) Zoology. Vol. V, part 9— 11. Vol. VI, pari 1. 2.

b) Botany. Vol. III, part 9 — 11. Vol. IV, part 1.
1893—94. 40.

Proceedings. October 1893, May 1894. 1893/94. 8®.

List 1893/94, 8^.

Catalogue of the Library. Part IL Periodicals. 1893. 8^.

Medical and chirurgical Society in London:
Medico-Chirurgical Transactions. Vol. 76. 77. 1893/94. 8®.
Catalogue of the Library. Supplement VII. 1893. 8®.

Royal Microscopical Society in London:
Journal. 1894. part 4. 5. 8».

Zoölogical Society in London:
Proceedings. 1894. Part IL III. S^.
Transactions. Vol. XIII, 9. 1894. 4P.

Zeitschrift „Natur e" in London:
Nature. Vol. 50, No. 1285—1308. 1894. 4».

Societe geologique de Belgique in Lüttich:
Annales. Tome 21, livr. 1. 2. 1893/94. 8®.

Historischer Verein der fünf Orte in Luzern:
Der Geschichtsfreund. 49. Band. Stans 1894. 8^.

Government Museum in Madras:
Bulletin. No. 1. 2. 1894. 8^.

JReoZ Academia de la historia in Madrid:
Boletin. Tomo 25, cuad. 1—6. 1894. 8«.

Naturwissenschaftlicher Verein in Magdeburg:

Jahresbericht und Abhandlungen. 1893/94. I. Halbjahr. 1894. 8^.
Festschrift zur Feier des 25 jähr. Stiftungstages des Vereins. 1894. 8^.

Fondazione scientifica Gagnola in Mailand:
Atti. Vol. XI, 1891/92. 1893. ^.

Reale Istituto Lombardo di Scienze in Mailand:
Rendiconti. Ser. IL Vol. 25. 1892. 8^.
Memorie: a) Classe di scienze storiche. Vol. 19, fasc. 1.

b) Classe di scienze matematiche. Vol. 17, fasc. 2. 1892. 4^.

Sodetä Storica Lombarda in Mailand:
Archivio storico Lombardo. Ser. III. Anno XXI, fasc. 2. 3. 1894. 8^^.

Liter ary and philosophical Society in Manchester :
Memoirs and Proceedings. IV. Ser. Vol. 8, No. 3. 1894. 8".

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 451

Verein für Naturkunde in Mannheim:
56.— 60. Jahresbericht. 1894. 8^.

üniversitätS'Bibliothek in Marburg:
Schriften der Universität Marburg a. d. J. 1893/94 in 4P o. 8^.

Hennehergischer alterthums forschender Verein in Meiningen:
Neue Beiträge. Lieferung XIII. 1894. 8®.

Verein für Geschichte der Stadt Meissen in Meissenr
Mittheilungen. Band 3, Heft 2. 3. 1893. 8«.

Academie in Metz:
Menioires. 73« annee 1891/92. 1894. 8«.

Gesellschaft für lothringische Geschichte in Metz:
Jahrbuch. 5. Jahrgang, 2. Hälfte. 1894. 49.

Ohsercatorio meteorologico central in Mexico:
Boletin. Mensual. Tomo III, No. 5. 1894. 4<>.

Sociedad cientifica Antonio Alzate in Mexico:
Memorias. Tomo VII, No. 11 — 12. 1894. 8^.

Sociedad de geografia y estadistica in Mexico:
Boletin. IV* epoca. Tomo 2, No. 11. 12. Tomo 3, No. 1. 2. 1894. 8«.

Societä dei naturaJisti in Modena:
Atti. Ser. III. Vol. XII, Anno 27, fasc. 3. 1894. Sfi.

Societe Imperiale des Naturalistes in Moskau:
Bulletin. 1894. No. 2. 8«.

Statistisches Amt der Stadt München:
Die Bucberaammlung der städtischen Kollegien Münchens. 1894. 8^.

Deutsche Gesellschaft für Anthropologie und Urgeschichte in Berlin

und München.
CorreHpondenzblatt. 1894. No. 6-8. Manchen. 4^

K. Technische Hochschule in München:

Programm für das Studienjahr 1894/95. 1894. ^.
Bericht für das Studienjahr 1893/94. 1894. 4^
Personal?tand. Winter.-Sem. 1894/95. 1894. 8^.

Metropolit an- Kapitel München- Freising in München:
Amtsblatt der Erzdiöcese München und Freising. No. 15—23. 8*.

K. Staatsministerium des Innern für Kirchen- and Schulangelegenheiten

in München:

Geogno-^ische Jahreahefte. Jahrg. VI. 1893. Cassel 1894. gr. 8^.
5. Bericht über die Thatigkeit der phvdikal. - techn. Reichsanstalt.
Berlin 1694. 8^.

Universität in München:
Schriften der Universität aus dem Jahre 1894 in 4® u. 8^,

Aerztlicher Verein München:
Sitzungsberichte. HI. 1893. 1894. 8^.

452 Verzeichuiss der cingelnufeneu Druckifchnften.

Bayerischer Dampfkessel-ReviainnS' Verein in Münchrn:
24. Jahresbericht 1893. 1894. ^.

Historischer Verein in München:

Müuatsächrift. 1894. No. 7 — 12. Juli— Dezember. 8^.
Oberbayerisches Archiv. Band 48, Heft 1. 2. 1893/94. S"*.

Westfälischer Procinzial verein in Münster:
21. Jahresbericht för 1892/93. 1893. 8®.

Äccadcmia delle scienze fisiche in Neapel:
RuDcliconto. Serie II. Vol. VllI, fast-, 8—10. 1894. 4^

Societä Reale in Neapel:

Atti della R. Accademia di scieoze morali e i^olitiche. Vol. 26.

1893/94. 8».
Kendiconto dell* Accademia di scienze morali e politiche. Anno 31. 32.

1892/93. 80.
Atti della R. Accademia delle scienze fisiche. Ser. II. Vol. 6. 1894. 4**.
Rendiconto delT Accademia delle scienze fisiche. Ser. II. Vol. 8.

fasc. 6 e 7. 1894. 4«.

Zoologische Station in Neapel:
Mittheilungen. Bd. XI, 3. Berlin 1891. 8^.

American Journal in Neic-Hacen:
The American Journal of Science. Vol. 48, No. 283-288. Julv-
December. 1894. 8<^.

Obsercatory of the Yale Unicersity in Neic-Hacen:
Report for the year 1893/94. 1894. 8«

American Oriental Society in Nac-Haven:
Proceedings at New- York. March 29-31. 1894. 8^.

North of England Institute of Mining and Mechanical Engineers

in Netccastle-upon- Tyne :
Transactions. Vol. 43, No. 5. 6. Vol. 44. No. 1. 1893 94. 8®.
Annual Report of the Council for 1893/94. 1894. 8".
Report of the Proceedings of the flaraeless explosives Committee.
Part I. 1894. 8».

Academy of Sciences in New- York:
Annais. Vol. VIII, No. 4. 1894. 8«.

American Museum of Natural History in New-York:
Annual Report for the year 1893. 1894. 8^.

State Museum in Neic-York:

45*1» and 46*»» annual Report for the year 1891 and 1892. Albanv.

1892/93. 80.
Bulletin. Vol. 3, No. 11. Albanv 1893. 8«.

American Chemical Society in New-York:
The Journal. Vol. XVI, No. 6—12. Easton 1894. 8«.

American Geographica! Society in New-York:
Bulletin. Vol. 26. No. 2, 3. 1894. S*^. '

Verzeichniss der eingelaufenen Druckschriften. 4o'^

Nederlandsch Botanische Vereeniging in Nijmegen:

Nederlandsch kniidkundig Archief. II. Ser. Deel VI, Stuk 3. 1894. 8«.

Naturhistorische Gesellschaft in Nürnberg:

Abhandlungen. Band X, Heft 2. 1894. 8°.

Komite für die Hans-Sachs-Feier in Nürnberg:

Hans Sachs zum 400 jährigen Geburtsjubiläum des Dichters. Von
Ernst Mumenhoff. 1894. 8<*.

Neurussische naturforschende Gesellschaft in Odessa:
Sapiski. Tom. XVIII, 2. 1894. S^.

Organisation de l'dtude climaterique de la Russie par Klossovskv.
1894. 40.

Royal Society of Ganada in Ottawa:
Proceedings and Transactions. Vol. XI, for the year 1893. 1894. 4^.

The Radcli/fe Observatory in Oxford:
Kadclitte Catalogue of Stars 1890. 1894. 4P.

Societä Veneto-Trentina di scienze naturali in Padua:
Atti. Ser. II. Vol. 2, fasc. 1. 1895. 8».

Circolo matematico in Palermo:
Rendiconti. Tom. VIII, 5. 6. 1894. gr. 8».

Collegio degli Ingegneri in Palermo:
Atti. Annata 17. 1894. Gennaio — Aprile. 4^.

Academie de medecine in Paris:
Bulletin. 1894, No. 27-51. 8».

Academie des sciences in Paris:
Comptes rendus. Tome 119, No. 1—25. 1894. i^.

Societe mathematique de France in Paris:
Bulletin. Tome XXII, No. 5-8. 189 i. 8^.

Societe de geographie in Paris:

Bulletin. VII. Ser. Tom. 15.' 1«^ et 2« trimestre. 1894. 8^
Comptes rendus 1894, No. 14—17. 8».

Moniteur Scientifique in Paris:

Moniteur. 4e Se^r. Tome VIII, 2« partie, livre 631— 636. Juillet-Dcc.
1894. 40.

Zeitschrift „L'Flectricien" in Paris:
L'Electricien. 2^ Ser. Tome VIII, No. 184—208. Paris 1894. 4«.
Academie Impenale des sciences in St. Petersburg :

Bulletin. Nouv. Ser. Tome IV, No. 1. 2. 1894. 4P.
Bulletin. Ve Serie. Tome I, No. 1—3. 1894. 4^.
Mdmoires. Tom. 39. 41, No. 6-9. 42, No. 1-11. 1893/94. 4".
Byzantina Chronika. Tom. l, Heft 1. 1894. 4^.

Comite geologiqtie in St. Petersburg:

Bulletins. Vol. XII, No. 3—7 et Supplement au T. XII. 1893. 8».
Memoires. Vol. IV, No. 3. 1893. 4».

Kais. russ. mineralogische Gesellschaft in St. Petersburg:
Verhandlungen. II. Serie. Band XIII. 1893. 3^

454 Vcrzeichniss der eingelaufenen Druckschriften.

Phi/sikal. -chemische Gesellschaft an der kais. Universität St, Petersbunj:
Schurnal. Tom. XXVI, 4—7. 1894. &>.

Societe des naturalistes in St, Petersburg:
Travaux. Section de Botanique. Vol. XXIV. 1893/94. 8«.
Chemitscheskaja Laboratoria. 1894. 8®.

Kaiserliche Universität in St. Petersburg:

ISapiski. Tom. 34. 1894. 8®.

üebersicht der Wirksamkeit der naturwissenschaftlichen Gesellschaft

in St. Petersburg 1868 -1893. (In russ. Sprache.) 1893. 8P.
Oboscenie. (Vorleaungskatalog 1894/95.) 1894. 8».

Academy of natural Sciences in Philadelphia:
Proceedings. 1894, part I. 1894. 8».

The Orient al Club of Philadelphia:
Oriental Studies. 1888-1894. Boston 1894. &>.

Historical Society of Pennsylvania in Philadelphia :
The Pennsylvania Magazine. Vol. 18, No. 1. 1894. 8®.

American philosophical Society iw Philadelphia:
Proceedings. Vol. 33, No. 144. 145. 1894. 8«.

Societä Toscana di scienze naturali in Pisa:
Atti. Processi verbali. Vol. IX, pag. 63—132. 1894. 4».

Alt erthums 'Verein in Plauen:
Mittheilungen. 10. Jahresschrift auf die Jahre 1893/94. 1893. 8^.

K. geodätisches Institut in Potsdam:
Polhöhenbestimmungen im Harzgebiet. 1887—1891. Berlin 1894. 4^.

Böhmische Kaiser Franz Josefs Akademie in Prag:
Rozprawy. THda II. Rocnik III, ^islo 1. 2. 1894. 4».

, IIL , III. , 2.
Historicky Archiv. Cislo 4. 5, 1894. 40.
Bulletin international. Cl. des sciences mathem. I. 1894. 49.
Vestnik. Rocnjk III. cislo 6. 1894. 4P.
Sbirka pramenüo etc. Skupina I. Rada 2. Cislo 1. 1804. 4".

Gesellschaft zur Förderung deutscher Wissenschaft, Kunst und

Literatur in Böhmen in Prag:

Üebersicht über die Leistungen der Deutschen Böhmens im Jahre 1892.
1894. 8«.

Mathematisch-physikalische Gesellschaft in Prag:
Casopis. Band 23, Heft 3—5. 1894. 8«.

K. böhmisches Museum in Prag:
Pamätky archaeologick^ a mistopisne. Bd. XVI, 3 — 6. 1893. 4**.

K. K. Sternwarte in Prag:

Magnetische und meteorologische Beobachtungen im Jahre 1893.
54. Jahrg. 1894. 4«.

K. K. deutsche Carl -Ferdinands -Universität in Prag:
Ordnung der Vorlesungen. Winter-Sera. 1894/95. 8^.
Personalstand. Studienjahr 1894/95. S^.

Vcrzeichniss der eingelaufenen Druclischrificn. 45»

Verein für Geschickte der Deutschen in Böhmen in Prag:
Mittheilungen. Jahrg. 32. No. 1—4. 1893. 8».

Historischer Verein in Begensburg:
Verhandlungen. Bd. 46. 1894. 8®.

Naturwisser^chaftlicher Verein in Begetishurg :
Berichte. IV. Heft. 1894. 8».

Instituto historico e geographica in Bio de Janeiro:
Revista trimensal. Tomo 56, parte 1. 1893. 8®.

Geological Society of America in Bochester:
Bulletin. Vol. 5. 1894. 8».

Beale Accademia dei Lincei in Born:

Atti. Serie V. Classe di seien ze morali. Vol. II, parte 2. Notizie degli

scavi. Gennaio — Agosto. 1894. 4^.
Atti. Ser. V. Classe di scienze fisiche. Kendiconti, Vol. 111. Semestre 1,

fasc. 12, Semestre 2, fasc. 1 — 8. 1894. 4«.
Kendiconti. Classe di scienze morali. Serie V. Vol 3, fasc. 5—9.

1894. 8®.
Kendiconti delV adunanza solenne del 3 Giugno. 1894. 4^.

Accademia Pontificia de' Nuovi lAncei in Born :
Atti. Anno 47. Sessione I. IL EI. 1894. 4«.

Biblioteca Apostolica Vaticana in Born:
Studi e documenti di storia e diritto. Anno XIV, fasc. 1 — 4. 1893. 4®.
Codices manuscripti graeci Ottoboniani Bibliothecae Vaticanae, re-
censuerunt E. Feron et F. Battaglini. 1893. 4^.

Comitato geologico d'Italia in Born:
ßollettino. Anno 1894, No. 2. 3. 8».

Kais, deutsches archäologisches Institut in Bom:
Mittheilungen. Kömische Abtheilung. Band IX, 2. 3. 1894. 8®.

Societä Italiana delle scienze in Bom:
Memorie di Matematica. Serie III. Vol. 8. 9. Napoli 1892/93, 4».

B. Societä Bomana di storia patria in Bom:
Archivio. Vol. XVII, fasc. 1. 2. 1894. 8^.

Ufficio centrale meteorologico italiano in Bom:

Annali. Vol. XXII, parte 1. 1890. Vol. XIV, p. 1. 1892. Vol XV,
p. 1. 1893. 1894. 40.

Universität Bostock:
Schriften aus dem Jahre 1893/94 in 4® u. 8^.

XicÄ' Observatory of the University of California in Sacramento:
Publications. Vol. IL 1894. 4».

Academy of Science in St. Louis:
Transactions. Vol. VI, No. 9—17. 1893/94. 8®.

Essex Institute in Salem:
Bulletin. Vol. 26. 1894. ^.

*•>** Verzeichniis der eingelaufenen Druckschriften.

K, K. StaatS'Gymnasium in Salzburg:
Programm fSr das Jahr 1893/94. 1894. S^.

Gesellschaft für Salzburger Landeskunde in Salzburg:
Mittheilimgen. 34. Vereinsjahr. 1894. 8^.

Historischer Verein in St. Gallen:

Mittheilungen zur vaterländischen Geschichte. XXV. 1894. 89.
ürkundenbuch der Abtei St. Gallen. Theil IV, 3. 1894. 4».
Abt Berchtold von Falkenstein von Placid Butler. 1894. 4».

Instituto y Observatorio de marina de San Ferruindo in Cadix:
Almanaque näutico para 1895. Madrid 1894. 8®.

Geographical Society of California in San Francisco:
Bulletin. Vol. II. 1894. May. 8<>.

Observatorio astrtmömico in San Salvador:
Obaervaciones meteorologicas. Oct.— Dez. 1892. 1894. 8®.

Societe scientifique du Chili in Santiago:
Actes. Tome 3, livr. 4. 5. Tome 4, livr. 1. 2. 1894. 4^.

Commissäo geographica e geologica i Säo Paulo CBrasilienJ:
ßoletin. Dados climatologicos. 1890—1892. 3 Hefte. 1893. 8.
Contribu9oes para a archeologia. Heft 1. 1893. 8®.
Histor. Verein für das Württembergische Franken in Schtcäbisch-llall:
Württembergisch Franken. Neue Folge V. 1894. 8«.

Verein für mecklenburgiache Geschichte in Schwerin:
Jahrbücher. 59. Jahrgang. 1894. 8**.

China Branch of the Boyal Asiatic Society in Shanghai:
Journal. N. S. Vol. 26. 1891/92. 1894. 8«.

Meteorologische Centralstation in Sophia (Bidgarien) :

Bulletin mensuel meteorologique de Bulgarie. 1894. Jan. — Sept. 4^.

Bosnisch'Herzegovinisches Landesmuseum in Sarajevo:

Die prähistorischen Fundstätten von V. Radimsky. 1891. 49.
Römische Strassen in Bosnien und der Hercegovina von Ph. Ballif.
Th. I. Wien 1893. fol.

K. K. archäologisches Museum in Spalato:
Bullettino di archeologia. Anno 17. 1894. No. 5— -7. 8^.

Histo}'ischer Verein der Pfalz in Speier:
Mittheilungen. XVIII. 1894. 8^.

Schwedische Akademie der Wissenschaften in Stockfiolm:

Handlingar. Band 25. Heft 1. 2. 1892-94. 4^.
Bihang tili Handlingar. Band XIX in 4 Abtheil. 1894. 8«.
Meteorologiska iakttagelser. Bd. 32. (1890.) 1894. A^.
Lefnadstockningar. Band III, 2. 1894. 8^.

K. öffentliche Bibliothek iii Stockholm:
Sveriges otlentliga bibliotek Accessions-Katalog VIII. 1893. 1894. S^.

Verzeichniss der eingelaufenen Dnickschriften. 457

Societe des sciences in Strasshurg:
Bulletin mensuel. Tome 28, fasc. 5. 6. 1894. 8«.

Universität Strasshurg :
Schriften aus dem Jahre 1893/94 in 4P u. 8».

Australasian Association for the Ädoancement of Science in Sydney'
Report. Vol. V. Adelaide Session. 1893. 8^

Department of Mines in Sydney:
Records of the Geological Survey of New -South -Wales. Vol. IV,
part 1. 1894. 4^.

Geological Suroey of New-South- Wales in Sydney:
Records. Vol. IV, part 2. 1894. 4°.

Observatorio astronömico nacional in Tacubaya (Mexico):

Boletin. Tom. I, No. 17-19. 1894. 4«.
Anuario. Afio XV. Mexico. 1894. 4^.

College of Science, Imperial University, Japan, Tokio.
The Journal. Vol. VI, 4. VII, 1. VIII, 1. 1894. 4».

Deutsche Gesellschaft für Natur- und Völkerkunde Ostasiens in Tokio:
Mittheilungen. Band VI. Suppl. Heft 1. Heft 54. 1894. fol.

Tufts College Mass.:
TnfU College Studies No. HI. 1894. 49.

üniversitätS'Bihliothek in Tübingen:
Schriften der Universität Tübingen a. d. J. 1893/94 in 4" u. 8».

R. Accademia delle scienze in Turin:
Atti. Vol. 29, disp. 11—15. 1894. 8^.
Memorie. Ser. II, tom. 44. 1894. 4^.

Comitc meteorologique international in Upsala:
Extrait des proces-verbaux de la I"^« reunion a üpsal en Aoüt 1894. 8".

Societe Royale des Sciences in Upsala:
Nova Acta. Ser. IH. Vol. XVI. 1893. 4^.

Universität in Upsala :
Schriften aus d. J. 1893/94 in 4® u. 8».

Societe provinciale des Arts et Sciences in Utrecht:
Verslag. 1893. 8».

Aanteckeningen van Sectie-vergaderingen. 1893. 8^.
L. A. van Langeraad, De Nederlandsche Ambassade-Kapel te Parijs.
2. Voll. s'Gravenhage. 1893. 8^.

American Historical Association in Washington:
Annual Report for the year 1892 and 1893. 1893/94. 8«.

Bureau of Ethnology in Washington:

Tenth annual Report 1888—89, by J. W. Powell. 1893. 4«.
The Maya Year, by Cyrus Thomas. 1894. 8».

Bibliography of the Wakashan Languages, by F. C. Pilling. 1894. 8^.
The Pamunkey Indians of Virginia, by J. H. Pollard. 1894. 8.

458 Verzeichnias der eingelaufenen Druckschriften.

Smithsonian Institution in Washington:

Aunual Report, to July 1892. 1893. 8».

Surgeon General, U. S. Ar mg in Washington:

Index Catalogue. Vol. XV. 1894. 49.

Harzverein für Geschichte in Wernigerode:

Zeitschrift. 27. Jahrg. 1894. 8«.

Kaiserliche Akademie der Wissenschaften in Wien:

Mittheilungen aus dem Vatikanischen Archive. Band 11. 1894. 8®.

K. K. geologische Reichsanstalt in Wien:

Verhandlungen. 1894. No. 5—9. 4<>.

K. K. Gesellschaft der Aerzte in Wien:

Wiener klinische Wochenschrift. 1894. No. 27-52. 4».

Anthropologische Gesellschaft in Wien:

Mittheilungen. Band 24, Heft 3—5. 1894. 4®.

Zoologisch-botanische Gesellschaft in Wien:

Verhandlungen. Jahrg. 1894. Band 44, I. u. IL Quartal. 8^.

est er reichische Gradmessungs- Kommission in Wien:

Verhandlungen über die am 11. und 13. April 1894 abgehaltenen
Sitzungen. 1894. 8°.

K. K. naturhistorisches Hofmuseum in Wien:

Annalen. Band IX, No. 2. 1894. 4».

V. Kuffnerische Sternwarte Wien:

Publikationen. Band III. 1894. 4^.

K. K. Universität in Wien:

Jahrbuch für das Studienjahr 1893/94. 1894. 8^

Uebersicht der akademischen Behörden fär das Studienjahr 1894/95.

1894. 80.
Oeffentliche Vorlesungen. Sommer-Sem. 1894. Winter-Sem. 1894/96.

1894. &",
Die feierliche Inauguration des Rektors am 8. Nov. 1894. 8^.

Verein zur Verbreitung natunoissenschaftlicher Kenntnisse in Wien:

Schriften. 34. Bd. Jahrg. 1893/94. 1894. 8«.

Naturwissenschaftlicher Verein an der Universität Wien:

Mittheilungen für das Jahr 1893/94. 1894. 8".

Nassauischer Verein für Naturkunde in Wiesbaden:

Jahrbücher. Jahrg. 1847. 1894. 8^.

Naturforschende Gesellschaft in Zürich:

Vierteljahrsschrift. Jahrg. 39, Heft 2. 1894. 8^

7 m fdigfflidsii PnTacpefsnnea:

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460 Verzeichnisa der eingelaufenen Druck Hchriften.

G. Lorentzen in Bamberg:
Ueber die Untersuchung der Scalen eines Heliometers. 1894. 8^.

Se. Hoheit Prinz Albert von Monaco iyi Monaco:
R(^8ultat8 des Campagnes scientifiques. fasc. VII. 1894. gr. 4^.

Gabriel Monod in Versailles:
Kevue historique. Tome 56, No. 1. 2. Paria 1894. 8^.

Gifford Pinchot in Neiv-York:

Biltmore Forest, the property of Mr. George W. Vanderbilt. Chicago

1893. 80.

S. Riefler in München :

Die PräcisioBS-Uhren. 1894. gr. 8^.

Andreas Schmid in München:

Geschichte des Georgianums in München. Regensburg 1894. 8".
Festbericht über die IV. Centenarfeier des Georgianums Augsburg

1894. 80.

August Tischner in Leipzig:

Le pouvoir grossissant de l'atmosphere. 1892. 8®.

Albrecht Weber in Berlin:

Vedische Beiträge. 1894. 4".

Henry Wüde in London:

Ueber den Ursprung der elementaren Körper und über einige neue
Beziehungen ihrer Atomgewichte. London 1892. 4®.

A. Wolf er in Zürich:

Astronomische Mittheilungen. No. 84. 1894. 8".

461

Namen-Register.

V. Baeyer Adolf 51. 61. 296, 4fr2.
Bauer Gustav 343.
BaoBcfainger Johann 'Nekrolugl 114.
van Beneden Peter J. »Nekrolog) 151.
Boltzmann Ludwig 207. 211.
Brunn Hermann 93.

de Candolln Alphon^^e iXfkrr»log) ir»:-j.

Döhlemann Karl 41.

Fomm L. 16V.

(rraetz L 189.

Hartig Robert 365.

Hertz Heinrich Rudolf i Nekrolog) 140.

Kummer Em«t Eduard i Nekrolog l 140.
V. Kupffer Carl 51.

Lindemann Ferdinand ^Wahl) 401. P)-i.

Maurer Ludwig 297,

V. Middendor? .AJeiander ThKMior 'Nekr^ilogi 146.

V. OrfT Kan 'Wahli 4^»1.

T. Ptrltenkofer Max 395.

PJanck Max 391.

PnngBrjeim Alfred (Wafali 401.

Bicharz F. 3.
Rüdinger Xikolaiu 249.

V. Sfuidberger F. 231.

Scacchi Arcanffelo :yekroioir 156.

Schatz Ignaz 273.

Seeiiger Hugo 161. 257. 423.

Sohncke Leonhard 61.

Stankewitech B. W. 63.

Steinbeil Adolf Nekrolog* 12U.

Stern Moritz Abraham Nt^krolog? 142.

Tyndall John Nekrolog' 143.

V. Toit L'ari 113.

Wassmuta A. 21'J.
Weinschenk Ernst 383.

403

Sach - Kejrister.

Ansprache in der öÜ'entlichen Sitsong 395.

DiÜaBionBgleiehiing, Integration bei yariabeln DifümionscoefBcienten 21 1.
Diepersion elektrischer Wellen 189.
Druckschriften eingelaufene 361, 439.

Eichenholz. Verschiedenheiten im Bau desselben 365.
ElektrodTnamik. Anwendung den Principe des kleinsten Zwanges auf

dieselbe 219.
Erzlagerstätte Ton Goldkronach 231.

Gehirne rerschiedener Hunderacen 249
GeschwindigkeitBYertheilungFgeBetz MaxweUs 207, 391.
Gewitterst Q dien auf Grund von Ballonfahrten 61.

Halbebene, conformej Abbildung denelben 403.

Kräfte, elektrische nnd magnetische der Atome 3.
Kümmelöl 61. 296.

Monorhinie und Amphirhinie 51.

Ovale. 'J'heorie derselben 93.

FolariBütion. dielektrische in Flüssigkeiten 6B.
Polynome. Legendre'sche 343.

**^i6W; llaiüi.-|ihyii. CJ. 4. * äÜ

464 Sach'Reyister.

RaurutraoHformatioii dritter Ordnunj^ 41.

SatornriDg, Con8titution deHselben 161.
Schatten eines Planeten 428
Stern CCancri 257.

Terpentinöl 51. 402.

Theorie der continuirlichen , homogenen und linearen Gruppen 297.

Wahlen 401.

Wirbel-Integrale, HeImholtz*8che 278.

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