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Full text of "Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München"

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O.  I'    r 


1  MOi  i'l 


Uebersicht 

des  Xnhaltes  der  Sitzungsberichte  Bd.  XXV 
Jahrgang  1895. 


1>M  mit  *  bexeichDet«n  Abhuidlangan  lind  in  den  8itxaiigaberiebt«n  nlobt  abgedrnckt. 

Oefferäliehe  SUeung  der  kgl.  Äkad&mie  der  Wissenschaften  stur 
Feier  des  136.  Stiftungstages  am  28.  März  1895.      ^^^ 

T.  Pettenkofer:   Nekrologe       156 

T.  Voit:    Nekrologre 161 

(öffentliche  SUeung  zu   Ehren  Seiner  Majestät  des  Königs  und 
Seiner  K&nigl.  Hoheit  des  Prinzregenten  am  15.  November  1895. 

▼.  Pettenkofer:    ErOfinangsrede 366 

Wahlen       370 

Sitzung  vom  5.  Januar  1895. 

'Walter  Dyck:  lieber  die  Bestimmung  der  Anzahl  dereinem 
System  von  n-Uleicfaungen  mit  n-Variabeln  gemeinsamen 
Wnrzeln  and  über  die  Berechnang  der  Snmme  der  Werthe» 
welche  eine  weitere  Fnnktion  dieser  Variabein  in  diesen 
Nollatellen  annimmt 1 

Job.  KHoke:   Zur  Anthropologie  der  Halswirbelsäule ;   Beitrag 

zur  Eatwickelongsmechanik  der  menschlichen  KOrperform         3 

L.  Boltzmann:  Nochmals  das  Maxweirache  Vprtheilongsgesetz 

der  Geschwindigkeiten       26 

ioh.  Rflckert;    Zar  Kenntnias  de<4  Befrachtungarorgangea  .     .       27 

•H.  Seeliger:    Vorzeigang  astronomischer  Photographien   des 

Herrn  Professor  Wolf  in  Heidelberg 2 

Alfred  Pringsheim:    Ueber   den   Cauchy'schen    IntegraUatz      39 


IV 

Sitxung  vom  9.  Fehruar  1895. 

Seite 

*K.  Oflbel:   Ueber  directe  Anpasauag 73 

Alfred   PringHheim:    Ueber    die   Entwickelang   eindeutiger 

analytischer  Fanctionen  in  Potenzreiben 76 

H-  Nötber:   Die  7-Sy8teme  von  Kegelscbnitten,  welche  durch 

die  BerQbrungsponkte  der  Doppeltangenten  einer  ebenen 

Gurre  4.  Ordnung  gehen 93 

Ed.  V.Weber:  Ueber  Bimultane  partielle  Differentialgleichungen 

II.  0.  mit  drei  Variabein .     101 

F.  V.  Sandberger:  Ueber  Blei-  und  Fahlerzgänge  in  der  Gegend 

von  WeitmDnster  und  Kankel  in  Nassau 115 

N.  Radinger:    Ueber  Leucocjtenwanderung   in    den  Schleim- 

hftuien  des  Darmkanals 125 


Sitzung  vom  2.  Mtlrs  1895. 

*C.  V.  Kupffer:    Ueber   die    Eotwicklang   der  Kiemenknorpel 

bei  Petromyzon  Planeri l'J7 

•Ad.  V.  Baeyer:    üeber  das  Caron l'J7 


Sitzung  vom  4.  Mai  1895. 

U.  Ilartig:    Ueber  den  Drehwuchs  der  Kiefer \\i\i 

F.  Lindemann:  Die  Abbildung  der  Malbebene  auf  ein  Pulygou, 

das  von  Bogen  confocaler  Kegelftchnitte  begrenzt  wird  .  219 
J.  Bauschinger:    Ueber   eine  neue   Bestimmung  der  Ilefrac- 

tionsconstitnte  auf  astronomi'^cbem  Wege 239 

W.  Dyck:    Beiträge  zur  Potentialtheorie.    I.    Ueber   die  Dar- 

stellong  der  Kronecker'tchen  Charakteristiken  eines  Fanc- 

tionensystems  durch   bestimmte  Integrale 261 


Sitzung  vom  15.  Juni  1895. 

lt.  Ilartig:    lieber  den  Nadelschüttf'pilz  der  Lurche,  Sphaerella 

laricina  n.  ip 279 

A.  Pringaheim:  Zum  Cauchy'xchen  Integralsatx 295 

*F.  Lindemann:  Ueber  die  conforme  Abbildung  eines  FlOchen- 
stttcke»,  da.^  durch  Parabeln  mit  gemeinsamer  Axo  be- 
grenit  wird       278 


V 

Sa»« 

*F.  LiDdemann:  Vorlaf^o  eines  au«  Vonler-Asien  BfAmmcndeD 
aotiken  Modellcs  (Bronze  -  Uuaa]  eiaes  ArcfatmcdiEchen 
Körpern  (ß  bomben -Triukon  tarier)        . 278 

•A.  T.  Baeyer:    Üeber  du  KttaimelOl 878 

SUeung  vom  S.  Jiäi  2895. 

*A,  Scomidt:  Hittheilangeu  aber  eine  neue  Bercchnunff  de.i 

erdma^etiecben  Potentiala 806 

*W.  Dyck:  Beitril{<e  zur  Potential tbeori&  11.  Die  Oansi'sche 
Formel  für  die  gegenseitige  l-macblingong  sweier  Raum- 
curren  und  ihre  Ausdehnung  auf  höhere  Mannigfikltig* 
keiten.  Dar&tellung  ali  Kronecker'schc  Charakteristik 
eineii  FanktioneoBysteuid    ......         SOS 


Siteung  v&m  2.  Jfovmtber  7S$5. 

*L.  Radlkofer:  MonographioderStipindaoeeB-OftUungPaultinia  329 
K.  Qoebel:   Uebet  die  Abhängigkeit  der  Blattfoim  von  Cam- 

panula  rotundifolia  von  der  LicbiintcnsiULt 381 

Alfr.  Pringtheim:    Ueber  Potenzreihen  auf  dem  Convergenz- 

kreJM  und  FoorierVhe  Reihen 887 


Sihuntf  vom  7.  DcjctuHr  lÜOö. 

R.  Lehmann-Filhea:    l'eber   die  S&culamtÖrung   der    l..änge 
de«  Monde«  untor  der  Annahme  einer  («ich  nicht  momentan 

fortpttanzendea  Schwerkraft        371 

£d.  V.  Weber:  Ueber  ge«i««e  Systeme  Pfafl''scher  Gtcicbongen    433 
C.  T.  Veit:  l'eber  den  Biweiunrnsatz  bei  Zufuhr  von  Antipeptoo    443 


yachtraff  gur  SiUnny  iH)m  C.  JtUi  18U5. 
W.  Dyck:  Beitrfige  nir  Polen tialthwrie.  TI U7 


GineenduQgen  von  Druckscbrirten 


307,  DOI 


Sitzuns^beriohte 


■«r 


i'zLz-    ■-•AT'^r.  Akademie  der  WissenschaAen. 


Miäihemactäch-phrsikalisohe  Claä«^. 

:  H-rrr  Walter  Dtck  trägt  Tor:  .l'^ber  die  Be- 
r::- =:--z  äer  Anzahl  der  eineni  Svstem  von  w-iilei- 
•^-rzr-i:  mit  M-Variabeln  g^iueiDsamen  Wurzeln  und 
'  ■  -irr  ii-r  Berechnung  der  Summe  der  Wert  he.  welche 
•r:i.r  w^-.tere  Funktion  dieser  \ari:ibelu  in  diesen 
N::!.i-:eiiei:  annimmt.* 

Er  b-Äpncht  die  r^tellunc  der  hierauf  WzÜglii'hen  Ar- 
■^-.'rrz.  von  Kronecker  zu  den  iinsohliessenden  von  IMi-ard. 
'.  -:  j:bt  die  Weiternihmnj;  die:?er  UntersueliuHüjen  iiu  Sinne 
>r  ur^priinjjlichen  Cauohv 'sehen  Tlieoreme. 

Die  Resultate  jsind  in  einem  SehreiluMi  an  Pieiird  (ver- 
■"fF*-athcht  in  den  Comptes  rendiis  de  l'At'ud,  fruneuiso  vuin 
■  •!.  Pe/.fUiber  1891  und  7.  Junusir  18i^rO  nieder>;t'le^t  und 
u-rd*-!!  später  in  ausj^etuhrter  Form  verüffentlii.'ht. 

•2.  Herr  Johannes  Hankk  macht  eine  MitMieilun^:  ,/ur 
A  nt  hrojiolngie  der  II  als  wirbt- Isüule;  Beit  ru^  zur  Kut- 
wickelungsmechanik  der  mf nschlielien  Körperforni," 

IPA^.  lUUi.-phys.CI.  I.  1 


3.  Herr  E.  T.  Louhel  legt  eine  Notiz  des  auswärtigen 
Mitgliedes  der  Glasse,  Herrn  Ludwig  Boltzniann  in  Wien, 
vor:  .Nochmals  das  MaxweH'sche  Vertheilungsgesetz 
der  Geschwindigkeiten." 

4.  Herr  Johannes  RüCKKRT  bespricht  seine  Unter- 
suchungen: „Zur  Kenntniss  des  Befruchtungsror- 
ganges."    Ein  Auszug  daraus  folgt  in  den  Sitzuiigsberiehteu. 

5.  Herr  Huoo  Sbeliger  zeigt  eine  Anzahl  astronomischer 
Photographien  von  Herrn  Prof.  Wolf  in  Heidelberg  vor. 
Genaue  Zeichnungen  von  5  dieser  Photographien  erseheinen 
mit  dem  erläuternden  Text  in  den  Denkschriften. 

G.  Herr  ALFRED  pRlNGSHEm  spricht:  ,Ueber  den 
Cauchy'schen  Integralsatz. ** 


Zur  Anthropologie  der  Halswirbelsäule. 
Bfitm^r  zur  KoUickfluDKMitpfliaDik  der  iiiM&cJitictirD  kürperronn. 

Von  JohAunes  Rauke. 

(Wwftlafi/n  S.  JannarJ 

Bei  der  Fortsetzung  der  Studien  zur  Entwickelnngs- 
raechanik  der  menschlichen  Körperform  wurde  ich  ron  der 
(Tntersnr-hiHig  der  anthropolngischen  BaHvnrliiiltnisse  der 
Scliäilelhiws')  7.U  jenen  der  Hali^wiritelsäiile  jdjeflihrt. 

Hier  fesselt  zunächst  die  Bildung  des  Ätlusgelenkes 
die  Äufmcrksanikeit.  So  ähnlicb  der  Bau  die^e.*«  Gelenkes 
bei  dem  Menschen  und  den  menechenäbnlicben  Affen  aucIi 
irt,  80  zeigt  sich  doch  ein  mechanisch  wichtiger  Untcr- 
(»nbied  in  der  .Stellung  der  im  Gelenk  vereinigten  Knochen- 
flächen. Die  beiden  ÖeletikhÖcker  des  Hinterhiniiitbeins,  die 
Condvien,  welche  sich  mit  dem  Atlas  in  einem  zweifachen 
Gelenke  vereinigen,  sind  bei  dein  Menschen  bei  normaler 
anfreohter  Kopfhaltung  direkt  nach  unten  gerichtet,  während 
ihre  Kichtnng  bei  den  nienächenäbniichon  Atfen,  wie  bei 
allen  Wirbetthieren.    mehr   oder  weniger   nach  hinten  geht. 

Bei  dem  Menäcben  «ttebt  daher  der  HauplkrHrnmungs- 
radins  der  UelenkÖäche  der  Condylen  auf  dem  Scheitel  ihrer 


*)  Qber  wr-lche  Herr  Profewor  Dr.  von  Kujiffer  in  der  Sitznnfr 
der  \,  b.  Akudemie  d.  W.  vom  6.  Juli  1693  berichtete  unter  Vorläge 
neines  Baches:  Ueber  einige  ^eHct^mäaeifie  Bexiebangcn  zwischen 
SchSdilgrDDd,  Gehirn  und  rieiiichtaflf;haai>l.  •«*>.  132  S.  Mit  30  1'ii.reln. 
ÜDDchcD  1892.     t'r.  Baasenuann. 


imita-i-' 


4  Sitzung  der  math.-phys.  Cltuse  com  5.  Jumiar  1895. 

Convexität  senkrecht,  sodi\Sii  der  nach  vorn  und  der  nach 
hinten  gewendete  Abschnitt  des  von  der  Gelen kfiäche  gebildeten 
Bogens  gleich  gross  ist.  Bei  dein  Gorilla  bildet  der  Krüm- 
mungsradius der  GelenkflUche  unter  denselben  Verhältnissen 
einen  Winkel  von  ca.  45**  mit  der  Horizontalen  und  */5  des 
Bogens  sind  nach  hinten  gewendet.  Da))ei  sind  die  Gelenk- 
flächen der  Condylen  bei  dem  Gorilla  viel  starker  gekrümmt, 
bei  dem  Menschen  entsprechend  flacher.  Bei  beiden  hat  der 
von  der  Gelenkfläche  gebildete  Bogen  eine  Länge  von  circa 
28 — 30  mm.  Der  Krümmungsradius^)  beträgt  aber  bei  dem 
Gorilla  nnr  10,  bei  dem  Menschen  dagegen  18  mm.  also  fast 
dits  Doppelte.  Ganz  entsprechend  verhalten  sich  die  Gelenk- 
gruben des  Atlafi,  sie  sind  bei  dem  Gorilla  entsprechend 
tiefer  und  umgreifen  die  Condylen  in  weiterer  Ausdehnung 
als  bei  dem  Menschen,  das  Gelenk  ist  bei  dem  Gorilla  daher 
fester  und  weniger  frei. 

Der  eben  beschriebenen  Stellung  der  Gelenkflächen  df'r 
Omdyleii  entfipricht  die  Stellung  der  für  ihre  Aufnahme  im 
Schädelatla'igelenke  bestimmten  Gelenkgruben  des  Atlas.  Der 
Vorder-  und  Hinterrand  dieser  (ielenkgruben  ist  bei  dem 
Menschen  bei  horizontaler  Stellung  des  Wirbels  etwa  gleich 
hoch.  Bei  dem  Atlas  des  Gorilla  erbebt  sich  der  Hinterrand 
wie  die  Lehne  eines  Stuhles,  während  der  Vorderrand  niedrig 
ist.  Durch  diese  Lehnenbildnng  wird  für  die  nach  hinten 
gewendeten  Gelenkfortsätze  des  Schädels  ein  Widerlager  ge- 
schaflen. 

Auch  iVic  .seitlichen  Gelenke  zwischen  .Atlas  und  zweitem 
Halswirbel  sind  bei  dem  Gorilla  weniger  fivi  ttl.s  hei  dem 
Menschen.  Bei  letzterem  gleiten  fast  ebene  Flächen  an 
einander  hin,  während  die  betreft'endcn  Gelenkfliichen  bei 
dem  (iorilla  ausgesprochen  gewülbt  sind  mit  einem  Kudius 
von  etwa  t».")  mm. 

*)  hiwh  Attnahme  dir  KrQoiinungfD  mittelst  MK'chriralit  k**- 
meMen. 


f.  R**»tke-  Zur  Amthrofioliigü  der  HalmrirMnUuir.  5 

Der  gniixi^  Bau  Her  UnUwirMsHulp  fiherhaupt  ist  t>ei 
4ra  rovnschtiiäünlicben  A^un  weit  mehr  auf  Festi^kiMt 
um)  StabititiU  Roricfatet  ah  bei  dorn  Mtjiisohen.  Äiif  FW.itf- 
Wtt  nett  itchoo  die  tiefe  /uipfenn^rtiii^e  cfirr  gcleDltkopfarti^i' 
EimrakuDK  dnr  rtnxKlnen  KtVpvr  iler  HaUwirbel  in  eiiiundiT 
hei  dem  Üorilla  w'\e  bei  allen  Affen.  Uei  der  menücli liehen 
Hr'  -■  ■-'  1>uiule  iMt  r'ine  Holfli»«  Kinxenkun^  der  einzelnen 
U  ipiT   in   «iniinder   Ti>*l  norin^'er,   worHuf  z.  Th.  die 

hrthi'  Bevreglichkeit  de«  Mensehenhukeä  im  Gauxen  beruht. 
Die  naU*r«*  cnnvi'-x«!  Handrurvi>  deH  mpn-^rblicheri  2.  HIll^'• 
virl*el»  liat  in  der  Mitt-e  rinea  KrÜiuniuni^rudiim  von  circa 
11  mm  und  flocht  «ich  nach  beiden  Seiten  xu  noch  weiter 
«timii  ab;  die  KrQinmiingBciirve  bildet  im  Ganzen,  ein<io]iliei«- 
lieh  jener  s«*itlicht'n  Abflaehnntj;,  ziemlich  penaii  einen  Halb- 
em»') mit  dem  Radinn  Ton  11  mm.  Bei  dem  mnnnlichen 
•  i>rill*  miwt.  der  Krtlnimunf^radiiM  nur  ca.  t>  mm,  die  KrHm- 
ni  V.'    JkI    fine   sehr    f^erftreckte    Ellip-se*):    der   Biijff^n 

'•  t'hr  ftU  einen   Halbkreis,   sodtis»  dyr  ubere  \Virl>fl- 

I  xapfenartig  in  den  unteren  eio^epenkt  ist. 
Of-r  ffpi*toigert.en  K<*<tii;keit  der  HalMnrbeUüide  fotsprichl 
«och  dü3  im  Ganzen  beträchtlichen-  Vulumeti  der  cinzehiea  HaU- 
vnri*«l  Itei  den  ^rtv«o>en  uien^ohenühnliohen  A0eit  (GorillBl,  «Äh- 
raod  bvi  dem  Memiclien  gerade  die  HaUwirbel  besonders  weni^ 
ToIarainÖfl  sind.  Dieser*  h'^here  Voluini-n  der  fionllahaUwirbid 
i|»nclikKich  für  die  äu.t-«iTf  Betruohtun^  vor  Allem  in  d'Mi  fjttn^u 
kauf»  ond  aLarki*[itwickelten  Doralbrbiätz«»  aus,  welche  an- 
tSittmd  «enkrei^ht  nuf  die  Lün^iiehse  d<!S  Haine»«  ijjerichtet 
Äd.  Ganz  entsprechend  »ind  die  Verhällnics«^  bei  lUlcn  Anthro- 
pwlMi.  Wähn'od  bei  dem  Mnn<icben  die  Halswirbel  und  na- 
■cntHcb  ihre  Doniforthätse  (mit  Ausnahme  des  7-)  besonders 
«liVB'  '  ''  T-  ,  <-  '  ■■[  ,,  ^aJM'lfiirniig  anagcacbnitten  äind-, 
Ätil  (1;  liiUwtrbel  bei  den  grossen  Anlhro- 

i:.   Wahilh^l  ein»  Pombt-l 


*T  Siizumj  der  m<Uh.-phißs.  Clattse  wm  ö.  Januar  l<s!Hi. 

püiden  besonders  stark.  Der  4.  Halswirbel  des  Menschen 
hat  oft  einen  besonders  schwachen  j^ewöhnlich  ^abelig  «ns- 
geschnittenen  nach  abwärts  gebogenen  Dornfort^atz,  der  sieh 
nur  etwa  10  mm  oder  wenig  mehr  über  die  Hinterfläche 
des  Wirbels  in  senkrechter  Projection  erhebt;  bei  dem  Gorilla 
ragt  er  datjegen  ca.  80  -90  nim  hoch  über  den  Bogen  hervor. 
Der  erste  Halswirbel  bat,  soviel  ich  sehe,  bei  keinem 
menschenähnlichen  Affen  einen  längeren  Dornfortsatz;  beim 
Gorillaniünnchen  ist  auch  der  zweite  relativ  kurz,  da  die 
Hinterfläche  des  Schädels  bei  vorwärts  gewendetem  Gesichte 
direkt  auf  dessen  Spitze  aufruht,  sodass  er  sich  Rchon  aus 
diesem  Grunde  nicht  höher  entwickehi  kann.  Bei  allen, 
welche  ich  untersuchen  konnte,  ist  der  Dornfortsatz  des 
4.  Halswirbels  am  grösst^n  und  endigt,  wie  das  beim  Gorilla 
alle  Halsdornfortsätze  zeigen,  in  eine  Art  von  Knopf.  Huxley^) 
liebt  als  eine  menschenähnliche  Bildung  des  Schimpanse 
(Trogl(idytes)  den  gabeligen  Ausschnitt  seines  2.  Halswirbel- 
dorn fortsatzcs  hervor,  indem  er  sagt:  ,Aber  dieser  menschliche 
Charakter  fehlt  den  übrigen  Anthropoiden."  Die  Sache  verhält 
sich  doch  etwas  anders.  Bei  dem  von  mir  untersuchten  Schim- 
panse umgreift  die  gabelig  ausgeschnittene  S]>itze  des  Dorn- 
fortsatzes des  zweiten  Halswirbels  zangenartig  die  Spitze  des 
dritten,  sodass  beide  zusammen  eine  einheitliche  breite  und 
hohe  Stützfläche  filr  Band-  und  Muskelansatz  bihlen.  Aehnlich 
zeigt  .vit'h  eine  Einrichtung  bei  dem  zu  den  Halbaft'en,  Lemuren, 
gezählten  gros>köptigen  und  namentlich  extiera  grossäugigen 
.plumpen  oder  faulen  Lori".  Sti'uops  (III.)  oIit  Xycticebu-; 
tardigradu«  (Geoffr.).  Bei  diesem  umgreift  clcr  ebenfalls  gabel- 
tormig  oder  besser  gesagt  zangenartig  au.si;eschnittene  Dorn- 
fortsatz des  zweiten  Halswirbels  .sogar  die  Spitzen  der  Dorn- 
fortsätze des  dritten  und  vierten  Halswirbels,  offenbar  um 
die    Festigkeit     und    Tragfähigkeit    der    Halswirbelsäule    zu 

')    Handlnirh   der  Anatuiiüc   dt-r  Wiibelthiere.     L'ebttrxelzt   von 
F.  Hatzel.     .S.  399. 


J    Hank«:  Zur  AntMnijtnloifie  4tr  ffuftHrk-bftMulr.  7 

Bgero.  AufjK  bffi  iiiedwun  Säa^retbitren  koranien  ähnliche 
inid  awolianlsch  fihnhch  nirkeiide  BiMunji^n  nn  dfsr  HuU- 
alft  vor.  So  hildnii  diV  Dornfort-vntzM  des  2, — .%.  Hüls* 
bei  pini^vQ  i^ewchickt  kk-tternUen  mittel-  und  «üd- 
imerikaiiischen  B^^ntflnittnit  (ßidelphiacuncnvom  und  Azjirae) 
ae    in    V  i    .Sinne    jtemetiuschaPtlicfae    ßilduD^.   iudpin 

HsL-Mi. ...,-.iLw  Tom  2.  HaiRwirhel  an  eine  rektive  htdie 

aod  dit'ktf.  (.•4inText;«w'riIlite.  iiiimifaernd  geschlossene,  gef^en 
Kopf  iiod  Brtutt  xu  abfüllende  hfin%e  bilden. 

DlCMf    b*-      '  '       ''    '■    '  ■  it    ^M?darf  die    Halhn■it■l>el^iiule 
tier  fprofliiui  ui  i  /.um   IVa^^u  und  Halten  ihre» 

«biriTon  Kopfe»  und  kwmf  in  ihrer  der  meoschlicben  auf- 
rechten KürperhaltunK  angenäherten,  wie  mau  gewöhnlich 
«Igt,  halbr«M'hten  Stellung. 

Oie  iDoiicroe   Z^wlogie   erkennt   nis   ein    den    Men^hen 

vou  den  menschenühnlichen,  sowie  den  niederen  AfFuu  unter- 

•^    Heiidm  syhtoniatifn  !       "T    "linat  den  aiiirecbton  (.iang*)  itn. 

tM    war«    ein    Mi  ülniMa,    wenn    uitin    annehmen 

i*'>llt#,  nnr  der  Mcnwh  »ei  »i  dem    .iiiifrecbten  Uan«*   be- 

fikiiCt.      Auch   die  luilhru^oiden  Affen   hüben   dit'.si«   Päbigkeit 

in  ftiDi|{Ci>pP*chener  Wfiae  uml   )>euQt-£eii  si«>  gelegentlich,  am 

h««UBn  verstehen  diese  Kunst  die,  eine  MitteUtellung  /.wischen 

rttn    uuil  uiedereu  catan'bineü  Affen    (den   Anthrofmideu 

'  ^r         -  '    Ti )  L'innehraenilen  liibbonurtnn,  die  Longann- 

b  au*   Bedfirfnins  oder  durch   Dressur  da/u 

gntwuugeii,  «eben  wir  rjeJe  iler  Siiuguthiere  den  aufrechten 

l'i:  .^'.^..lien  SkeleteiunchtoQ^enf  welche  äoebeii   von  den 

gmm^n  aiitbmpoiden  AtlVii  geschildert  wonlen  tind,  bexiehen 

wie  die  nähere  ünterHUchuiig  ergibt,  speciell   auf  das 

ivHirfnw,   d«n   grnjmen    und  schweren,    an   der  WirbeUiule 

<•  R    Ktrivk«'  t^rhuch  drr  /'>olo({i<!.     II.  Aufi.    S.  M6  t. 
3)  WiP  liiu  auf  den  bcidun  UinUirfllsuni,  die  VtTilerfQne  in  ilur 
l<alt.  t««4b<iikif  «ssfannobreitcBdeB  EIophi%nt«n  U«fft*a'''eck'f  a.  a. 


^  HiUttmg  tUr  witiA.'pAjfi.  {Iwm  mm  A,  Jmmttr  UM. 

witHeh  bcfr«tif<tm  Koppf  in  der  nifhr  oder  w«nif|t4*r  «uf 
rechten  KörperstellnnK  xn  hiiltvn. 

Ittii  (ii?n  wirklich  ^i-  '  .  ifeliKuilfA  Thi'ri-n  -in.»  ii»r 
HilU'oiiiriohtuii^cti  fdr  d'ti  -1  «in  Sketid  »utitif  »N  liei 

den  nienfichenfthnl)cb«n  Aflen.  U«n  betreffenden  niedmii 
Süujr«'tliiertMj    fehloii  tlic  utfic1iti|{  enfwickplleu  D"i 

d«r  HaUwiHtcl  der  Anthruptriden,  i'lHmw  wii»  dem  A ....*. 

Uaffegen  raßen  bei  den  eigentlichen  ,VierfßKsl«n»*  die  IHirn- 
fortütr^  der  entten  HruKtwirbel,  welche  bei  dem  MeoMben 
wie  hei  den  mi'iiNrhenähnlichen  Aflen  diu'hzif^l^Ui'r^nil(  tinuh 
■bwlris  ffenuigt  sind,  mächtif^  in  die  Höhe,  tim  den  »Urkvn 
fliiMl.iiEcben  und  ninsknldwn  Haltor^ranen  de*  Kopfe«,  dimi 
N»ckeobiuid  und  der  Nacken tna^kuluttir  nU  fmlf  Anirriffn-  'ind 
SlÜUpunkt*'  '/.u  dienen.  Von  die^n  Nackendornen  «tu  »piuiut 
»ich  doM  «■liLstii'che  Ntickenbiuid  xur  HinieHlüch«*  dm  (2.  HaU- 
wirbebi  nnd)  Köpfen.  Der  letxtere  wird  dadtirt'h.  wie  der 
QiierbulkHn  «'inen  Onl^nw  oder  eine*  Krahn»  -.  "'!  '  in  dwr 
Spit/e  der.  vom  Nfirken  vielfnch  unnühornd  »euki<  n  jmf* 

riohtenden  llaUwirbflttiinle  (gehalten,  .le  ftcbwerer  der  Kopf  i*i. 
dctdo  mikhli^er  ?iind  auch  die  Niutkenditmcn;  bei  d*ai  Skeld 
eine«!  erwAchwnen  ßiwn  *}  fand  ich  die  UonilbrtHät»*  der 
ernten  Brustwirbel,  der  Nackeuwirliel,  länger  hIm  irgend  eioen 
der  langen  t^xtreniitäU'nknovhert,  «pexicJI  d*tr  iKimfortaaU 
des  4.  KriMtwirbeU  hat  eine  iJinge  von  470  ntni. 

DiL-s  diesi!  aiiffn)l*-i)de  Bildung  der  Nacken dtirnen  wirklich 
mit  dem  Tragen  einen  achweren  Kopfes  rormpnndirt,  iTgilit  »ich 
bekanntlich  daracH.  daj«  t)ei  den  tieweih-  oder  llAmer-trvgni- 
d»;n  Säuget hiercn  ihre  Höhe  und  Stttrke  im  AI';-  ' 

deut<'ndnr  er«icbeint,  und  daw  irie  einer-i-itj»  hv\ 
Weit^cheu  der  Schafe,  dirr  llir*cbe  u.a.  schwach  UeilMo,  wäh- 
rend iindt>rer>)eit«  dio  gohf^rntrn  Männch»'h,  drr  wi-it  whwrn'rn 
Last   des   SchädeU   eutuprecbeud.    batODden   hoch  und  <1ark 


I)  Mflnchener  looloftwch»  S*mmluBg. 


J.  Tinuita:  Zur  Aiiihnifwtngie  iltr  HidHuirbetMäHle.  '* 

uiiHgebililtftf  Niickfiidonien  autweistjn.  Die  DnniitirtNutxe  der 
Üalswirt)cl  sind  (l>tgegen  bei  all  den  oigeiitlicli  riorfilä-^ifTf^pfaün- 
den  Siiiiu»?tliier<'n  *)  aiiffiilliend  klein  und  in  die^m  Sinne  oien- 
sclLLMiubnlich,  nur  der  zweite  Halswirbel  hat  entwiclcelu-n»  An- 
8»tzflucben  für  die  elaMliach-muäkutöäeu  Haltapparnte  des  KopfH. 

Schon  ohne  nähere  Unterwticbun^  erweckt  die  Hetrttvh- 
tung  der  mächtigen  Hal^dornen  des  (inrilta  und  lier  undern 
gmssen  nienscht-nähnlichen  Affen,  Oran^utan  und  55chim- 
pauae,  den  Eiudrnck,  da^  man  m  hier  mit  einem  den  eben 
ge^bilderten  Nackendornen  entsprechenden  Halleappnrat  f(lr 
den  schweren.  ebenfalU  seiUicb  an  der  Spitze  der  Wirbel- 
säule, betWigten  Kopf  zu  thun  habe.  Entsprechend  der 
halbrecbten  Stellung  dieser  Affen  konnte  ja  der  Ualteapparat 
von  dem  Nacken  auf  die  Halswirbvbäule  verlegt  sein:  das 
ist  die  Frage. 

Wie  gesagt  sind  die  Domfort«4itze  der  Rückenwirbel 
bei  den  Anthropoiden  relativ  schwach  und  menschenähnlich, 
duge;{L>ti  bietfii  die  Durnforlmtze  der  Halswirbel  die  iiOtbigen 
AngriffätlÄchen  för  Ansatz  oder  Ursprung  der  müchtigen 
Band-  und  Mu^kelmassen,  welche  nothwendig  sind,  um  den 
gewaltigen  Kopf,  trotz  seines,  wie  wir  sahen,  seitlichen  An- 
satzes an  der  Spitze  der  Wirbelsäule  bei  der  hallirechten 
oder  aufrechten  Kürperhaltuug  des  Thieres  beim  Gehen  und 
Klettern  mit  parallel  zur  Bodeiifläcbe  gerichteten  Augen- 
achsen  geradeaus  vor  sieb  hinsehen  zu  lassen,  ganz  äbolicb 
wie  letzteres  l)eini  Menschen  der  Fall  ist. 

Dm  die  eben  ge«tellte  Frage  nach  der  mechaniKchen 
Bedeutung  des  Ualsdornenappamtes  der  Anthropoiden  zu 
bJsen ,  t^ibt  cfl  eine  einracbe  Betrachtung.  b»t  die  besondijre 
lirÖssenautbildan^  der  HaUdornen  bei  den  menHchenähnlichen 
Affen  wirklich  eine  mechaniitche  Bedingung  fQr  die  halh- 
rechie  oder  mehr  weniger  aufrechte  Kürperhaltung,  ao  muss 


>)  Atunahmen  s.  oben  S.  7  aad  onten  S.  U,  Amnerkaog. 


ir> 


Siümi^  ifar  mmtk-fitf*    iXum»  am  S.  Jmmmr  /«U 


flie  Hich  bei  alten  Tbtrr«D  tin<tini.  <lif  Mh  <lftHa  ilaa  moMrbprj* 
ähnliebrn  \Wvn  fthntich  TcrhAlirik,  dufcpgvn  ()#iim  f^tili'n. 
weJcben  die  mehr  weniKer  anfrwhl«'  Ki^rfH^rhatr'in»;  firhll. 

Dm  Obar*kt(tn*tiM*bt>  rlrr  U«M(tru«nbil>lunK  <it?r  Antbrti- 
{widpD  befii«bt  darin,  da«  im  Qpt(on*utx  t^t^f^rti  «Im  b«i  dtmi 
Meufichen,  wie  bt»i  der  ßb«rgm«im  Mohrubl  aller  ^ 
tbivrc,  beMU'hcndr  Vf>rbLltniM>,  daM  di«*  r>t(mfiirUib»>  ht 
HiiUwirhtfl  kflrrpf  ftind  at»  dif>  Domfortalt»*  der  Hra«t«rirbelf 
bei  den  Anthropoiden  dugegeu  die  HnulwirbelilumforleMM 
klirz-ff  nnd  aU  dir*  Hal*wirl>rldr»mforUfttxe. 

Bei  den  n»latiT  l(leinknplif(t.'n  Oibbon*  im'l  df-r  Mehr- 
mhl  dir  tiirdt*n.'n  Afftr»  di?r  alten  nnd  neurn  Welt  lNe«t*»ht 
invotem  eine  Annäherung  an  di»  HaUdornpnbildong  der  Aa- 
thnipoiden,  ab  die  l><in.r  der  HaU-   und  der  Bru«t- 

wirbfi  wviiig  an  (JrÖme  i.  .i-den  «ind,  vielfach  iind  •»- 

gar  die  Halsdomeu  etwa«  liin^er.  Gs  stimmt  da»  in  dem 
fragtiehen  Sinni*  mit  der  ticlien^^i-wohtiheit  der  ni«<leraD 
Affen  gut  abf>nnn. 

Unter  den  Urnitiren'l  (filrt  v»  aWr  ein  ThiT.  «i-lchiia 
vielleicht  in  noch  hObprcm  Grade  als  irgend  via  mrruwhea- 
&buliclii>r  Afftr  w  üi-bt,  einr  j^nnx  odr-r  bilb  anfn^rbtr  llumpf- 
haltuiig  anzunr^btaen.  fis  ist  da»  drr  LicbMiiutti»  Imlri  lir^ilT., 
der  Mada^awische  .lagdafle,  weither  t^em  and  vnt  aufrecht 
^eht  and,  namentlich  in  Hinhlivk  aiifdi"  1 
der  ßeiue  nnd  Arme,  eine  auffallende  M 
xeigt,  nur  dnr  kl«in>*  Knpf  mit  d»rr  tti 
n.  n.  a.  paaat  nicbt  sn  di«Mi<m  ICindnicIv 
KtJpf  «ebt  da»  wunderliche  Tbior  uniiy.  wic 
Puppe   in  l'elzkleidi'rn  üuh.     Obwohl   nun   der  Kvj, :  )io 

KOrpergrAve  verhältniMmäsKiR  klein  und  wenig  roluminfl« 
ü)t«  sind  Iwi  ilimi  Indri  doch  die  HaUJonieo  Iftiiger  und 
breiter  ab  die  Naokendnmen,  tmil  entaprwheti  In  dar  Knrm 


-il 
-«•hen  vom 


*)  Uebor  deti  faalra  tx)ri  i^  «ben  8.  0. 


J,  Hmxkf.  Zur  Anthmtyd(Mjif  tUr  UaUwirhtlnäHh. 


11 


wcitffchend  den  IJoniforteStzen  der  Lendenwirbel.  Vom 
HriUen  Halsn-irlicl  &n  iiiniint  die  H5he  und  snKiHnle  Rrfitn 
winer  HH)mlttrn>-n  hiü  zum  .siebenten  HHlHwir1>el  tu,  von  da, 
vom  erstt^n  N«(>kpnwirbel  an,  wieder  ab.  sodftKs  der  erste 
Nftckenwirbeldornfrtrtsatz  in  Grötö*  und  Form  etwa  dem 
vierten,  der  zweit«  nud  dritte  dem  dritten  Halswirbel  ent- 
sprechen; Tom  vierteil  Nackenwirbel  un  bejjinnt  die  typiwhe 
dachÄiejfelfnrmiijf  A  Kw-rirtHnpitjun;;  der  BritstwirlM'ldornfortr- 
aätze.i) 

Cnter  dt;n  ViigKln  ^ibt  e»  eine  ADxabI  mitrecbt  sitz^Mider 
und  gehender  Formen:  die  Pin);(uine(Apteüod_vtes).  Eistiuicher- 
(Oülyinbuii)  und  SteiNjfnüts-  (Podiceps)  Arten,  auch  bei  diesen 
findet  sieb  eine  entsprechende  Bildung  an  den  Hnlswirbeln. 
Namentlich  die  Pinjjuine  b<A«itM'n  im  Ge^ensnt/  gej^en  die 
mit  horizontaler  UumpTbaltung  gehenden  und  »it/enden  Vtigel 
wie  z.  B.  die  Uuhner  und  (Jäuse  u.  v.  a.  an  den  oberen  IlaU- 
wirbeln  aUrke  DornfnrUttt/e  neben  noch  anderen  zeitlichen 
knfK^hemen  Halteinriohtungen,  welcbe  der  weit  (iberwiegenden 
Mehr/abl  der  Vögtd  fehlen.  Eine  Andeutung  davon  /.eigt  äicb 
sonst  nur  noch  bei  sulehen  Arten,  bei  welchen  der  HaU 
einen  ganx  besondent  schweren  und  gro:^eti  Kopf  auch  an- 
nähernd aufrecht  7.u  tragen  hat,  wie  Bueerns.  Alcedo.  groüüo 
Vultnr- Arten. 

Au.<i  dieser  Umiichau  ergibt  es  sieh,  das»  die  üben  ge* 
stellte  Frage  im  bejahenden  Sinne  beantwortet  werden  ilarf: 
die  mäuhtig  entwickelten  HalKdomen  der  grossen  Anthropoiden 
sind  ein  den  Nackendornen  der  eigentlich  vierfü-^ig  gehendpn 
Säugeihiere  rnt.?prechpnder  Haltrapparui  filr  den  schweren 
Kopf«    wftk-lier    im    mechrmisiheu    Zuäanimenbung    mit    der 


*)  BdetkwUrdi^crwt^>ie--  timlet  -ich  ADoh  bei  deu  oielrij^tflu 
SAugetbiercQ.  üeui  SohuiilfL-lUiicr  aail  dou  AmeiscniKel,  daa  VerhlUt- 
oid«,  dusH  die  Halfdornfortsltze  iKnger  aiud  ula  die  ÜrD^tdoroforta&lw, 
ßffentiar  auch,  wie  bei  cinigeD  der  oben  erwAhoteu  Vügpl:  Bnceroi  eir  , 
lar  Holinng  and  BewL^KOOK  ibne  relativ  Kfaweren  Kopfes. 


sie  sich  bei  allen  Tbiereo  finden,  die  sich  ditrin  dnu  tuensdieu- 
tthnlichcn  Atfcn  ühnlicli  wrhiittj*ti,  dnt^cgrn  dnann  fohlen, 
wttlchrn  di«  mehr  weniger  aufrechte»  K^rperhaltiinff  f«hlt. 

Das  Churakterit lischt*  dt,*i  Halsdomenliildunti  dor  Anthn»- 
poidon  bmti'lit  dann,  f\iv*n  im  Qe^ennntz  i^e^^n  doH  bei  dv*ni 
Menwlien.  wie  bei  der  nber^owen  Mt*hr/.ahl  aller  SSn^e- 
ihiure,  bestohfndt«  Vprhftlliiifis,  daw*  die  Dtirnfitrtitütxo  der 
liaUwirbfl  Kiir/er  sin'l  hIh  dip  DornforUat/e  der  Brii-<twirbel, 
bei  den  Anthropoiden  dagegen  die  Brust  tri  rbid  dorn  forbsKt&e  ■ 
ktirKer  niiid  als  die  HaUwirbe]d<tmfort6itt/.e. 

Bei  den  relativ  kleinköptif^en  OibJmn»*  und  d«r  Mehr- 
mh\  der  niederen  Att'<*n  der  alten  und  neuen  Welt  beettebi 
iosofem  eine  Annühurting  an  die  Hnisdornenbildunf?  der  An- 
thropoiden, alfi  die  DoniforUätxe  der  IlaU-  und  der  H'  ' 
wirbel  wenig  an  l9rfiM>e  iinlenH'himlen  sind,  vielfiLcb  »u\>\ 
gar  die  Halwtomen  etwa<(  länger.  Ks  )ttimmt  da«  in  dem 
fraglichen  Sinne  mit  der  Lebeusgewohnheit  der  niederen 
Affen  gut  nberein. 

Unter  den  Lemuren*)  gibt  e«  aber  ein  Thier,  wHcbe* 
vielleicht  in  noch  höherem  Orade  alu  irgend  ein  menschen- 
übnlicher  Affe  es  lipht,  eine  gttn/.  odiT  halb  aufrechte  Kunipf- 
haltung  unziinehinen.  E»  ift  da«>  der  Licbanutus  In^ri  (ÜKiff.) 
der  MadagaiwiAche  .lagdaftn,  welcher  gern  nnd  gut  safreebt 
gehl  und.  nanienttich  in  Hinblick  auf  di«*  I.ring'tiprn|KJrtiüDeB 
der  Heine  und  Anne,  eine  auffallende  Mentichenähnlichkeit 
xeigt,  nnr  der  klein»*  Ki)pf  mit  der  thien.Hcheu  ScUnaiw^ 
a.  n.  a.  paast  nicht  m  dieeem  ßindmuk.  Abgesehen  vom 
Kopf  «ieht  da«  wnnderliebf  Thi^r  «an«  mt>  eine  um  '  '  'n* 
l*uppe   in   Peltkleidern  au?i,     UbwMhi   ut«n   der  K<i|  iw 

Korpergrüsse  verbat tniMmil^Aig  klein  and  wenig  votumm&i 
ist,  sind  bei  dem  Indri  dorh  di«  Halfldonien  Ifinger  und 
br«it«r  aU  dit»  Naokendornen.  nnd  mit»preehen  in  dar  Ponn 


>1  Uaber  den  faaleo  Lori  «.  ob«n  S.  9. 


./.  Rnnke:  Xur  AnthmpiAntfie  lift  Hnlmvirtuhrmlf. 


11 


«»it^Mhond  dwn  Oornf«iii«ätzpn  dpr  L»»ndcnwirbfll.  Vom 
4nttea  HAUwirhol  An  nitnini  di«  Höh«  und  äaifittale  Brfit" 
•1  biß  zum  mohentoD  HaiHwirlitr)  zu.   vnn  du. 

t^j-     -  -tnwirbel   an,    wMer   ab.   sodüss  der  erst* 

lf*ckenwtrb(<Hornrortä«bc  in  Oriissu  und  Form  atwti  Hera 
tMstvn,  d«r  zw^il*'   und  dritte    dem   dritten   Mal«wirbel  fnt- 

^r--*' :   "  *■)  vierten  Njick(*nwirl>(>t  un  iH'ginut  die  typiscbt- 

<i.«  n^f-*    Ahwiirt«n«i};iinvr    der   BnistwirbcddomfoH.- 


t  '   \  ögrln   e^ibt  Pü  eint'  An/jihl   tiurrethf  8it/:<'ndpr 

uiJ  c  Kürnifn:  die  Pin^ninn  (Aptt;nod>'teä),  ICi » tauche r- 

iibtit)  und  8t«i&MfusB- ^Podicep«)  Arten,  auch  bei  dietien 

t>.  ^   &Uw  «?nt^rechende  Bildung   nn  den  HkUwirl}«!». 

N  h  die   Pinguine  !»psitz**n   im   Gei^etisit/   geg^n    die 

hl  Mittler  Knmpflialtun)^  gehenden  und  ritzenden  Vögel 

wu  i.  B.  die  Hilhner  und  (lünw;  u.  v.  n.  iin  den  obttren  HuU- 

'  •*   Dornfiirt.-iiiiy.e    neben    nocli    anderen   seitlichen 

iilteioriihtnugen,  welche  der  weit  überwiegenden 

Mrhr/Jibl  der  Vtlget  fehlen.    Eine  Andeutung  davon  xeigt  itich 

nnr   nüch    hei   j<ulchen   Art«n,    bei    welchen    der  Halfl 

-4...-.J  jTBOX  besonders  bchweren   und  gro!>»on  Kopf  autih   un- 

Dihernd  aufrecht  zu  tragMU  hat,  wie  BiK^rot«,  Atcedo,  grutme 

ToJtur- Arten. 

Ao»  dieKer  l'ui-^hau   ergibt   es  nich,   d&^  die  obfii  ge- 

<itellt4?  Fnige  im  iH'jiihetidfn  Sinne  beantwortet    werden  dart': 

di«  oiEchti^;  entwickelten  HaUdomen  der  gr<>*«en  Anthropoiden 

len  Nackendomei)  der  eigentlich  vierfftsüig  gehenden 

c^ti^'. re  enUprecbeöder  Halietipparat   Mir   den    sdiwer»'n 

Knpf»    weU'her    im    mechtinisrhrn    /uMimmenhang    mit    der 

';  Uflrinrftrdigwrweiff  tinitct  «-ich  aacb  Wt  don  niedrif^f^Uia 
äia^ÜiicrvB.  dirni  öchntkbelthier  uod  dem  AtneiirnJKel,  due  Vrrhilt- 
ftML,  da*»  die  nuUdoniforteftUH  l&nf{vr  (tiiid  •«.1«  die  UniMtdornfurtBiLlie, 
iiBmtiai  anob.  wi«  bei  einigen  der  nbna  erwilhnlcii  VA^el :  ttucero«  fU.' , 
lor  Baltaair  aaU  ncwvgunK  ihm  rolativ  achwren  KopfeH 


12  Sitittnfj  'Irr  math.-jthttn.  (Jiajut-  tiom  fl.  Jitimnr  ISS/i. 

mehr  n^er  weniger  aufrechten  Kuinpfhaltuiig  der  böchifteu 
Afien  iiuf  «Jie  HnUwirbylsUule  r(»rlegt  wt  BU-r  findet  tävh 
i'inc  L-nLKprcchendp  ^^ktiltj^ti^iiirichtniii?  bei  nllfn  xivU  HiifnKiht 
haltenden  SVirboIlhierpit.  Die  Rrtiftsen  HuUwirbfldoruen  er- 
t^luxen  sonach  die  /.«»^rst  i^wchildHrten  knrtchi*nien  Kinnrh- 
tun^en  xnr  Kopfhalhinir  am  HaU  ih^r  Anthropoiden,  wofür 
Hin  Schädel  goUwtt  dif  mächii);  eiitwi('lc»<lu*n  Aii<iHt7.flächt'n 
um  liiuterhatipt  mit  dem  Hinterhauptkamni  »n  der  olmren 
Grenze  d(v  Hinterhuupt^ctiuppe  u.  a.  zählen. 

Aus   dem    Ge^^a^ten    Reht  hervor.    daB9  die   mehr   nder 
wenij^er  aufrtichte  Kurpt^rhnthjn^  drr  AntlirojHHdeii,  in   wel- 
cher   nmn    in    älterer  Zeit   nianchnml   eine    Art    von    üeber-i 
gang  zu  derivpiHch  iiieiiHchlicIieii  Kurperlialtung  linden  wollte 
luechaniFch  auf  principiell  TLtrwrhiodenen  Ursachen  wie  letztere 
beruht. 

Dor  schwere  snitlich  an  der  WirbeUaiileuitpilKe  l>efe!ftiirl** 
Kopf  der  Anthropoiden  wird  dnrch  elutiKche  und  M(i»ke!- 
kräfte  iu  seiner  bei  der  halbi-echten  Korperstellung  horizon- 
talen Lag!»  gehalten,  die  aufrecht«  Knrperlnilinng  wird  hei 
ihnen  mechaniMth  erniüglicht  durch  eine  nanientlieh  zwischen 
Hinterkopf  und  den  DornfortiütziTn  der  Hal-fwirbel  itpeoifisoh 
entwickelte  Haltevorriebtiing  ftir  den  Schä'iel.  ft'ir  wclcbe|j 
abgcseheu  von  den  eUsti.'*di-muskul''wwu  Apparaten,  speciell«* 
8keletetnnchtungen  (ain  Schad»!  nod  dnr  tluUwirht'tsrmle}  vor* 
banden  sind.  Die  unfrechte  Körperhaltung  der  finlliropoiden 
Aifen   bernbt  sonach  /um  gru«^en  Theil  auf  Muskelarbeit. 

Bekiinntlich  i.-t  da»  ruKchuniM'.he  Wrh%ltniHfl  dur  Kopf- 
haltung bei  dem  Menschen  ein  andere«. 

Oie  Verbindung^tetlr  des  Kopfes  mit  der  Wirbei'iäule  i»! 
Irekanntlich  an  allen  Schädeln  dort,  wo  du»  Itnckenmnrk  an« 
der  Scbiidelhnhle  dnrch  das  grosse  Hinterbanpt8loch,  Foramen 
magoum,  aus-  und  in  die  ROckgratHh'ihle  eintritt.  Zu  beiden 
Seiten  der  Vorderhälfti*  dos  üintorhanpbtluchra  befinden  sich 


J^  Rattket   Zitr  Anthmjtftitu/tr.  thr  Italmcir^ieU^Utlr . 


13 


li«  Itridasn  oVieo  IwHproohenen  coovexmi  1iet«nkhi»cker.  die 
GoodyleOt  tMX  VerbindiiaK  dw  Sclmdels  mit  dem  t>rHton  HhIb- 
»irtjcl,  dvni  \UiM.  Hvi  dtjiu  MeiiHchen  »hen  ntin,  wie 
fcenfft  (S.  ;i),  die  (.lel^nktlächf^D  dnr  Onuiylen  liei  normalfM*. 
biJTtfonUüfr.  K»tifhitllun^'  direkt  nueli  nnt«n,  während  ^w, 
vW  wir  n>>im  sahen,  uuefa  ttf>i  df-in  fforill»,  dem  tnensohen- 
3inlich»tea  ^^Seu,  wie  h«*i  allen  anderen  Wirl't-Ithieren  bei 
iet  nomiHlfM,  d.  h,  fOr  die  Äiithr"{Kiideti  mich  horiÄonUiIen 
C'ipfb&lLnng  iiftüh  hinten  ((ewendet  wind.  Ist  der  Menschen- 
^bifcdid  an  dieser  Stelle  iifiteri^intzt,  so  genügt  imiiliwei^Iirh  ein 

M  •■' ^t  TOM  Kraftnut'wiuid,  um  ihn  in  «einer  für  den  lehcndeji 

V>  inirraalrii  litihesk'lIunL;   au  »erhalten,    während  ein 

Gnnllascbädel  dabfi  nach  vorne  herabsinkt.  Der  uiechuniRche 
'■  '  '  "'  int  hekunntlicli  der,  diws  das  Korfirnrn  iniii;nuni 
iii  .jrlen   U-i   lieh)  Mens<:heii   -«ehr  uiinähernd   in   die 

MiUif  der  Hoterfliürhe  deo  Suhädelü  gerdckt  iftt,  soda»»  bei 
'  cblfr  rnterstfltzunif  der  Condyleii  der  i^cliadel  mif  diesen, 
-.-  om  Waf^lmlkcn  auf  i^einein  Hypomonhleon,  im  Gl'>ich- 
Ifewielit  xii  nihen  vera)n!jr.  Lu"  Minimum  von  Muskel-  utid 
eUaÜMcbiT  Spannan((  ^enü^t,  um  dieftc  Gleirh^wichU^U^lIung 
ta  erhalte  ''  't  kann  die  Hulfüwtrhelsitule  de«  MenMchen 
tn<iv  drs  1  :,;<  ti  Ko|tt'e^,  den  lie  zu  traf^en  und  /.u  li.-ilten 

Ht,  90  fichwacb  ann«  da»  diem^x  YerbaltnitK  aU  ein  henon- 
der»  --<■  für  den  Men^clien  schun  den  alten  Anatumen« 

1   R  ..  i.M»),  auffallen  uitisate. 

l'*u  menncheuäbnlichen  Aßen,  wie  bei  allen  anderen 

(.hiervn  ixt  dHgi*}{cn,  wie  ich  wiederhole^  der  Knjif  an  der 

'      ''.     '    '  iiile  nicht  halnncirt.  *oudern  an  ihr  zeitlich 

allt'iniyur    honkrechter    l.'t)terstüt/,unj»    iler 

Heil  d«±r  ('ondyleD  fiUlt  daher  der  Kopf,  bei  horizon- 

tj  :•  r  noriOKlen  Kürperluiltunj;  der  AuLhro- 

,.  i  .. ,..,,.  ut'H  KurpenrtellunK  enUpnrht,  niii:li  vuriif 

wenn  vt  nicht  durch  eine  KrulY  ((ehalten  wird,  welche 
4ir^li««irre  da«  Kopfes,  eiDj<chli«HHlich  der  h«i  («olcher  Stellung 


16 


Sitiunff  titr  mathrpkyt.  IUomm  ivmh  S^  Jtimnir  Ih90. 


Bei  der  FonoHnMKiistiiUunff  des  Schiüiula  der  Vertebraten 
sind  wes«ntUcb  die  Kwei  Or^ansy«teme  betbeilifct.  welche 
Überbiiupt  die  ^ettanitnt«  Köriwranggestultiing  beherrscben: 
düA  Kervyninistem  und  das  Uarin»yi«t«iii .  von  »^rsterem  au- 
uäcbjtt ,  und  für  den  Metu^cheu  immer  flberwiegend ,  du* 
Gehira,  vuti  dAoi  »weiten  die  Kaiiwerkxeuf;^.  In  gegon- 
äeiii>{er  BeeinfltibsuDg  ^estaltoti  (.'iDerdeitt*  da»  Gebirn  mit 
!>innesorgiHH.Mi  und  andcrprsoits  (ii.'  Kun Werkzeuge  die  spoci- 
tische  Scbäilelforui. 

B«i   der  ersten    Anlsjaff*   d(>r  doHnitiven   äcbüdelfurui    iitfc 
bei  nllon  SüugiTD,  witi  t*i;{ciitlii-li  liei  »Iten  Verlehntten,  d«:*  furni- 
giwtalteode  Prinzip  da»  (icbirn.  während  der  Eintliis^  der  Or-  i 
g»nf*  deä  Darni8yt4t«ms  am  Kopfe,  der  KaiiwerkKeage,  sebr 
zurGckiritt.     Bei    der  ersten  «nibryonulRn  AiiKi;i*:4t;jiliuni;  des 
Kupfe»,  HO  lange  die.'ielbe  nuch  nicht  •^tHrkor  durch  die  Kau- 
werkzeuge beeinfluBtt  wird,  dind    bei  allen  Sriugetbieren   diel 
Bildun^verliültnisBC  des   Kopfe«    und    seineH  Schjiik'lgrundes 
in  M)  hoht^ui  (irade  uienM^henühnlich.  das«  man  fUr  manobH. 
Fülle   itogar    üutt    von     Idenlitüt    retlun   konnte.      Üoi    eilen J 
Säu^feihieren   gebt  die  nähere   Ausge^itiiilfcunK  der   KnpfYonnI 
von  einem  Stadium  itiis,    wehrhe^i  man   uU  antbropioe  Kopf-I 
fnrm  liexi'ichnen  iJarf.    .lene  nd.  frHhe  antbropint*  iVriode  int] 
dadurch    charakteriflirt,     da«    unter    der    stärkeren    B««ein-| 
fluittuni;  dtir  VVucb.Hthuuutenergie  der  Subädelbusis  durch  dw* 
libertniichtii;  wnchnrndu  Ciehinii  dftr  dimn  noch  weich  l)eweg-' 
liehe  Scb&delgrund    in    der  Oe»ioht«kopf beuge    eine  Mcbaife 
Abknicknng  unguflhr  in  der  Mitte  der  KclufleJbaci»  eriabr 
Die  KniekungsdeÜe  eulKpricbt  im  All>£emeineu  jener  Knorpet-j 
fuge  (äyuiphyu«  ••pheno-banlaris),  darch  welehi;  der  Baatiar-J 
tbeil  de«  Hinterhaupt^bemea  (par:<  ba^iUris  oa.  ooc.)  ratt  d« 
Ktii'per   d«*t   KeillwiiiH,    wie    l(.    Virchow    »ehfui    vor    mehr 
nix  i'in«>m   Mt!nM'hrnalt4>r  bewit>xi'n  hat,   itncfa  noch  bei  Neu-, 
gebnrnen  und  jugendlichen  Individuen  bis  /u  einem  geniJMfi 
Grade   Iwweglir.h    rerbundon   ixt.     An   diisipr   Kugru«((«lte  ist 


iF.  Sitinkt:  Zur  Anihmpoloffi^  Arr  HahttrirhptMmÜp. 


17 


(w  ^OTi  Sftngpthii'renibrvünen  wie  Iwi  dem  anfteburent^ii 
U«n9ch*>n  Her  Baatlarthml  d«K  Hinf^^rhauptelwin«  gegv>n  den 
Kurpcr  dw  KmlU-in«  winkelij^  abf^eknickt,  ein  Verh&ltiii«i, 
«'i'leh?»'  bpkannüicb  Virchnw  aU  Satt«lwirikcl  messpntl  ver- 
!  h\^. 

ti«i  dem  Menseben  bleibt  nun  dieRen  embryonale  Ver- 

jhäJtniM  Kftfartfnd  der  KA»zeii  Kntwickliinur!<rt^rii)dr  ^ich  w*>Di^ 

inmiindenid    vor   der  <ichurt    bestehen  und  erhält  :<i(;b  aur.b 

DftebrnibryoDiilen  Leben  nicht  nnr,  sondern  steigert  ^icb 

döffl  «tttigenden  Wacbstliuni  des  Oebims  ufich  weiter, 

lie  Knioknniir  der  Scliiidf^lbodis   bei  dt-m  Erwachsenen 

Üch  «Uirker  iflt  hIs  bei  dem  Neiigeburneii  und  wie<ier 

^   priniüren    embryonalen    VerhÄltnime   erreicht.      Bei    der 

I  Kopfhilduiiic    de«    Men-^ebna     bleibt    jitjch     in    den    »:pilteren 

(iHidiea  der  einbryonuirn  Entwicklung,  in  welchen  ^ich  iiuclt 

]bttiluD  dcrnrngestaltende  EinÜnss  der  Kauwerkzeuge  (d.  h.  der 

Otymicruppe  deti  DarrnNy-'^ttmis)  iu  (^e.'tteigertem  Miiusse  (geltend 

RMcht  di«  primär  fOhrende  Rolle  dem  Gehirn  gewahrt,  die 

ScbUelbania     bleibt    geknickt.       Bei    der    Kopfbildung    der 

iThiffv  wrhen   wir  dingen  bald  die  fnbrende  Rolle  von  dem 

\m   aeänetn   Wach^ithnm    relativ  -/urürkl)leibendcn  Oehim   auf 

|4ir  Organe  des  DarmsTsteuu,  die  Kuuwerkzeuge,  abei-geb4?>n. 

IOmpm   letztere  Verbalten,    vrelchB»    sich  schon  im  embryo- 

Leben   (geltend  macht,    tritt  immer  gniller  hervor   Lin 

'  •  -■'  -nftlen    Leben    bis   xur    Vollendung   d*»    Schädel- 


Difl  Knickang  der  SchitdelbaaiB  int  Wirkung  dea  (Ibermäch- 
ihimwB«  I  auf  diMi  Srhüdelgrund;  tritt  dieser  ge- 

:  Eiofluv  [_  Ulms  mehr  und  mehr  znrdck,  indem  die 
I  Niitir»  GrOa»edee  (jchira»  (raup,  der  HirnBcbadelkapael)  immer 
I  Tcitcf  gegen  die  fortgi**ct«t  gesteigert  waclisf^nden  Kanwerk* 
■  ^■*  *(rhäd*d)  zurflckblcibt,  bü  vermindert  «ich  die 
liitdtiUiti^iH  niffhr  und  mehr,  ht»d»*r  Verlauf  ihri»r 
[  «i(ptt«]eu  Mitt4iilinieKub'txteib  vollkommen  gerader,  gestrAekter 


18 


SUauH^  dvr  math.-jAi/a..CtaMt  miii  A.  Jamtar  lifitß. 


wird.      Bei    den    niedere»    Säugelhieren    ( Pferden ,    Rindern 
tt.  r.  ft.)    biegt  sicli   »OKar   in   der    HinterlmupUkein>tfiofiigfr] 
der    hintere    Ab*ichnitt    der    Schiidellmsin.    im    umgekehrten 
^^inne  wie  der  Sattel  winke!,  nach  tiufwärb^,  einen  auch  oben 
ofleTien   Winkel  bildend. 

Das  meobanische  Verhältniss  dieser  Abknickung  ist  imi 
Sinne  der  bekjknnti*n  Hii»'Hohmi  Tbeurie  ••infiich  %u  verat^ben- 
Wir  wissen  z.  B.  hii>'  dt'n  l*ntcrr;uc.hiiof?4>n  KOdin^en«  über  die 
Kntetehuu^  der  Bo^'e^g&I)^  iin  Labvtinth  und  ai»  Büdeieu 
Ueobiichtungeii    nndir    mttkr<Mjkn|ii»clißr    Art    r,.  B.    JUmt    die 
Aitöbildun};  der  einlirvonalen  SchwiinzkrlliumunK«  dai««,  wenn 
von    zwei    mit   einander    verbundimen    nlastiHch   l»ewoglieben 
Scbio.bten  die  eine  stärker  wiiciiitt,  das  im  All^iiitiimoen  zu  einer 
convexen    Aufwärt-f^wtilbuni^   difwr   »türker    wuchtiendcn    nnd 
zu  einer  concaven  hjjnkidnintiin^'  der  im  Wuchsthuni  y.urQck- 
bleibenden  iSi;hichto   Hlhrt.     Ut  die  im  Wmdistbitui  xurack"] 
Ideibende  Schiebte,    wie    in    dem    vnrlief^enflen   l*'nlle    relfl.tiv  | 
ätArr,    nicht    im    (-tun/i'u    e)iuri.iM;h    krtluimbMr,    Hi)ndern    nur] 
an  einer  Stelle  gleiehntim  wie  iii  einem  .Scharniere  beweglich. 
M)  erfolgt,    wie    eine  einfache  Deberlegung  lehrt,    keine   im  . 
Allgemeinen    eoncave    KrUmniiinfZ,    Mimdeni    eine    nmh    der 
schwikher    waclieenden    Schicht);    hin    utTcnr    winkelige   Ab- 
kuickong.     Umgekehrt,    wenn   da»  Wuchdtbuui   der  ftnf&ng- 
lieh    rttiirknr    Wfieht*enden  Schir.hii?    tueltr    und    nttdir    vnu    dor 
itnfänglicb    M-hwächer    wachsenden    Schichte   eingeholt    und 
ichliesitüch  UbertrofTen  wird,  mj  gleicht  «ich  diw«  Kotckung 
wieder  aun,   die  den  Vrrl»af  r**prä»eatirende  MittelUnie   der  I 
anfänglich  A:bwächer  wachM>nden   und   duht-r  i^iiitjeknickten  | 
Scbicbte  Atreckt  «ich  endlich  ^e^Iwie  imd  wrna  da«  Vi^rhält*! 
nias    der    Wacli^ithumifenerfoe    in    den     l)etdeii    bt^rnffenden  | 
Schichten  sieb  tuukulirt,  ao  tritt  eine  Knickung  in  der  eot-l 
gegengttHetste»  Richtung  ein. 

An«   meinen  ecbon   eitirten   Unienuehungen    Qber    denl 
ScbSdfllgnind   bat  ^cb  mun  icahlreiuhen  Mownngpit   ergehe» J 


J.  Hnt»km:  Xir  Anlhntfu>U>ffir  Uer  UnlmrirbrUätiU. 


19 


itet*  j«  grJW««r  ini  Vt'rhiltniHt  7.11  dem  tlbri^en  Schäflel  die 
tlimk«p*«>U  r*«p.  »lax  (üese  prifillende  tiehirn,  ist.  dass  um 
m  mf*tiflc-hetiäbniiülit<r  die  Kniehang  der  St-büdeLbafliti  ist.  Mit 
'  iiftlime  dct*  <^^birijs  xuin  ■ie.^AniinUebÜ'iel  knickt 
h,  wit-  bei  dem  Mti^ascben  nticb  dtT  Geburt 
[leicbt  fwrhwetslich  ist.,  die  Scbädelbusiß  in  der  miit«rba>ipU- 
Ikpr"  ■-       liiindnwis   spheTudia^silari.«.    lun    m  Ktürker 

lab.    .  .„i.uu  Abaabnie  dus  Ot>hirah  im   Verbältnis^ 

SDiii  6raaiuaitju:bädel .    wie  dait  in  immer  !«t«i(;endeiii  Miuissf- 

\-wh  btii  Anlhrupoideit    iini]    alten  anderen  Säugetbierea  auä' 

hil^-'    :*'  i'bt  «cb  üiwserlicb  die  Knickim|Z  inebr  und  mehr 

I  au-  11t  »tdilictnlicb  in  die  witj^^t^engeselyti'  Knickung  Über. 

8ri  xeigvn  auch  dit*  Snbfidel  des  Oorilla.  des  Orangutan.  den 

'  8e^  ic.h,s*ni'n  /tisbind.  wenn  *irh  die  bei  ibnen 

UK      ..    ...„,  üiieren  priiiiilr  tj^piscb  inenwhliebe  Scbiidel- 

[fino  TolIkorpnieQ   io  dif  Tbi(*rfiirm   lunifebildei  bat,   äust>er- 

[lifch   einen    borixuatalen    fläobenhafteti  Verlauf  der  Scbädel- 

'  httaii.     K»  gibt  «icb  du»  beHOudfM  deiillich  im  der  St^illunf? 

d«  |)«Nilttrtbeilf>  dw  UintitrhHU|it.b«ii)«,  pars  ba>iilH^i•io■'^«iHf>cciJt.« 

m  vrlcennen,  welcbee  «icb  vorne  dnrcb  die  erwäbnte  Knorpel- 

V.  wji?  ({rwiigt  in  der  'In^piid  benfgÜeb,  mit  dnni  Körpt*r  dos 

verbiodi't    nnd    nacL    biitU^n    den    Vorderrand    deei 

Uint^haupUocheü  bildet. 

Üd   dtrr  Sachen   f^estreckten  Lage  de.«  BiLsilurtheil«   de» 

Rintirh  ---"  •-i-*  rückt  »onacb  das  Hinlorbaiiptbicb  —  wie  ein 

nii«k  s  liematiM-he  ZeirbuiiuK  8.  20.  Pi^.2  u.  la  (ebrt 

—  wa  die  i{flck.«t«tte  des  St^bädclK;  mit  einer  nach  oben  offenen 

Kr  '    L^Ibasi^  gelanjft  das  Hinterbaiiptif'cb  ffan/. 

•R'  -  -  >  Kioterhaupti^.  Mit  d*-m  üburuiüchiig  ^icb 

l«ni  ><n  Gehirn.  web:befl  die  Scbädulbn'iä'i  in  einem  nach 

liinten  offcueu  Winkel  abknickt,  gelangt  da&  Porameu  mugnum 

lovikf  auf  diit  l_*nt<TMvit«*  des  fijcblUlels  und  rückt  Kiidlicb  bei 

MvuA'brn    in  der  /«it.    in    welcber   er  iHiif'en  lernt,    in 

•  typiKli  ctfiitnü"  Sl**Uung  in  der  dobildeibuHis  ein,  Fig.  |. 

2* 


20 


SÜTMnf  4fr  math-pHp».  Clmam  wtm  S.  Snwmmt  IflM. 


Man  kuin  von  4i«Mnii  mrchAninchen  Vor>^|{  Mebt 
«ine  »cbenmtiwJie  Vorvipllmifr  R«vinD«rn,  0«h*»n  wir  TM 
eiiiflr  mro-  -'  'lE^liflkainel,  Kiif.  1,  u        '         ^'  hUdal* 

buii  wir  '  tiamior  in  ()pr  HinUrrt  :iiir»  f 

h<>w«glich  ((Hmiwrht  b«ber)  ond  nehnndon  t|U9r  ein  kcnliT^r 
8tflck  hermiw  (die  Schnf^id«*  dinm  K«iU  «n  d^r  iStilifnob%*>i)«r- 


nt.1 


n«  r 


r 


»^fc- 


n»!«- 


Men»(7h. 


Oorill», 


fvige,  dt-n   tireiUn  ojitvex  Ton  dem  lM*trp(f<pnd?ci  AunchniU  «t« 
tkliiidelilucheit  lwgrfin/.tfin  Theil  noch  obenl,  k>  k&i)D*ti)  wir  in 
dem  Scharnier  der  SpheiiabiJiilftrfuf^  d«ii  Mch  di«Mni   Acw- 
ftclinitt    nbrig   bleibenden    Torderen    und    hinteren  Theil    «fi 
StrhttdeU  an  einander  le^en.     Ich    hnhe    di(^  firAwe  des  «u 
f(cschnitt«neTt  Keil«  k>  gewählt,  dan  d«r  Qbrig  bleiljeud«  Uir 
rntini  der  Schüdelkapttel  dem  einefl  «nruliwnen  münnliehan' 


J.  Hanke:  Zur  Anthmpolwjie  der  Haltimirh^säule. 


21 


I 


{jurüJa  entspricht.  Die  direkte  Beubacbtung  ergibt  nun,  dtu» 
diircli  die  eben  bt^cbiieheiie  Aneiuanderlagerung  der  beiden 
KojttMUcki?  der  verkleinerten  Schädel kupüel  die  Schädelbasis 
tluch  ii^elegt  wird.  Der  basilurtheil  des  Hinterliuuptbcins  legt 
sich  flach  und  da^  Hiiiterhauptluch  rückt  au  die  Hiutenüeite  de» 
Schüdolä.  Wir  haben  damit  darch  entsprechende  Verkleinerung 
I  Himraumes,  enUprechend  einer  Verkleineruit^  des  Gehiroa 
,bät,  den  MeiischeiiächÜdel  in  ße/.iehung  uuf  die  f5teltung 
des  Uinterhaiiptlochs  in  die  typij»cbe  Form  des  Anthropoiden- 
»chädelä  (Gorillatichädel»)  uing&iUltet  (Fif(.  U).  Die  Schädel- 
basis ist  bei  den  nienäclieuäbulicben  Affeu  (Guritla)  nicht 
kleiner  und  kürzer,  sondern  im  Allgemeinen  sogar  etn'as  grösser 
und  länger  als  bei  dem  Menttchen.  Setzen  wir  in  uosereuj 
Schädel modell  den  auHgeächnitteueii  Keil  wieder  ein,  no  rückt 
durch  die  damit  erzeugte  Vergrössernng  des  Gehirnraumü 
det;  Seh&dela,  resp.  durch  die  relative  Vergrösseroag  des 
liehira«  im  Verbältniss  zn  dem  Ge^ichtsschädel  resp.  den 
Kauwerkzeugen,  das  üinterbauptloch  wieder  iu  die  für  den 
Menschen  typische  centrale  Lage  in  der  Schädelbun^  ein- 
schneidet man  in  ähnliclier  Weise,  wie  wir  das  bei 
dem  Menschenschüdel  gethau  haben,  eine  Schädelkapsel 
eines  menachenäbnlichen  Affen  (Gorilla}  iu  der  Mitte  von 
rechts  nach  links  i^uer  bis  znr  SphenubasiUrfuge  durch,  die 
wir  wieder  iu  einem  Scharnier  beweglich  machen  (wie  Fig.  2 
demoDätrirt),  und  setzen  nun  den  aus  dem  Meoschenschädel 
aua^eachnitteuen  Keil,  um  den  Gehirnraum  des  Ajß'euscbädeU 
dem  des  Menschen  gleich  zu  machen,  in  den  AfTeiischädel 
ein,  so  wird  dt^r  Hinterhauptstheit  im  Ganzen  nach  abwärts 
gedruckt,  der  ßusilartheil  d^  Hinierhauptebeimi  knickt  sich 
in  der  Fuge  gegen  daa  Keilbein  ab  und  das  Hinterhauptäloch 
rik'kt  damit  in  die  ftlr  den  Men»icben  typische  centrale  I^age 
_  au  der  ächädelbasis  (Fig.  2a);  Wir  haben  aus  dem  Affen- 
I  Schädel,  in  Beziehung  auf  die  Steihmg  des  Hinterhauptaloches, 
H  einen  Menschenschädel  gemacht. 


I 


» 


22 


Sütitnif  'ier  math.'jih}f$.  CttJUme  vu»  5.  /aniMr  ISOS. 


I>nx,i     iler    GoriUaMthadt*!     darluruh     im     Ganzen     nie 
luünschenäbnlicher  auswicht,  beruht  Hnrauf,  th\s>i  «eine  coIt 
entwickelten   Fre!?swerkz«iii*e    Ihierisch    voratehen.      Bei    d«! 
mondchlicheii    Schädelforni    komml    ^bt?n    nt'b«n    der    über* 
ntüchtif^on  Gebirncntwicklungf  Makrocncvphalie,   noch  «twi 
Andt're«  in  Frape:  eint>  typisch*^  Minditrentwicklung  der  Fre* 
werkxeiige.   ome   ^xkretiiu   Mikrogiiatbi>',    welche  »ich  ?.. 
darauM  erklärt,  da«  bo)  deiu  Menschen  ocbon  in  einfr  rvUÜ 
sehr  frUhen  Periode  der  embryonalen  E^ntwickluiiK  die  Nähte 
Äwischcn  Ober- und  Zwischen  kiefer  vprwBcbsen,  auf  deren  Olffn- 
bleibeti  auch  im  nacheiubryoualcn  Leben  bei  dpii  SÜuijetbiMr.it 
etwa  eben»)  die  Möglichkeit  eines  ((esteigertcn  Wacliftthuii 
der  knijclicrnen  Fn-Äswerk/^jutfo  beruht,  wie  da*  riachembrv 
nnte  VVuchsthum  de'^  Qebimsc.hridelN  mit  dem  <iebirn  bei  de 
Menschen  durch  das  Offenbleiben  der  Himschädelnfthte  ni 
lieh  wird,  in  cioer  Leben« periode.  in  welcher  bei  den  Thicrei 
aach  den  antbro^miden  Aö'en,  meist  liin|^  schon  die  Verwac 
.-<ung  der  HiruMcbädelnühte')  erfüllt  ittl. 

So  seheuiati^ch  die  eben  gegebenen  Danttejjuugen  Qbi 
di»*  ursächLicben  Momente   fllr  die  Ste1iiing!<ver}iebiedenhei 
de»  I)interhHHptl<H;h^■  bei  dem  Men^bi'n  und  den  nienMcbui 
ähnlicben    Affen    (sowie    allen   anderen   W'irbelthitrron)    aud 
erscheinen  mü^eu,  bo  (^enOgeu  sie  im  Zusammeahall  mit  d 
frnheren    Kr^j^rbniiwen    der  ünU>rt(iichutig   n1i«r   den     ' 
grund,  um  den  Hüwci?;  zu  liofeni,  dos«  die  centrale   "   .  :-^. 
dm  Hinterhauptinchs  hoi  dem  Muucheu  mechanisch  beiÜn; 
i^t    durch    die   den    Meniicben    cfaamkterimrende    tiohirnun 
wiokeluug. 

Auf  der  centralen  Lage  d&i  Hinterhanptlochi*  nn  di 
Schädelbuttiü,  d.  h.  der  beiden  seitticb  von  thm  «lebend 
Gelen  khikker  de«  ScfaideU.  der  Condylrn,  welche  mit  d 
Wirbeltiiiule    im    Atlosaclenke    »ich    verbinden,    htrubt    a 


<;  J.  Rufiko,  i.  c.  ä.  46-  ff. 


/.  Ranke:  Zur  AttthrupoJw/ie  der  Haiswirbelsäule.  23 

mechanisch  die  Mi^Iichkeit  der  mühelosen  Balancirung  deu 
Schädelü  bei  der  aufrechten  Körperhaltung  und  damit  der 
trpi^hen  aufrechten  Ruhestellung  dc^  menschlichen  Körpers 
im  Ganzen,  durch  welche  dann  weiter  seine  speciEsche  äussere 
and  innere  Körper-  und  Organgestaltung  bedingt  ist. 

Die  für  den  Men.scheu  typische  aufrechte  Ruhestellung 
d(f»  Körpers,  der  aufrechte  Gang,  ist  sonach  mechanisch 
bedingt  durch  die  Qbermächtige  Entwickelung  seines  Gehirns. 

Damit  erscheint  aber  auch  die  gesammte  typi^-ch-mensch- 
licbe  Körperentwickelnng  von  dem  Gehirn  mechanisch  be- 
herrscht und  geleitet.  Dazu  kommt  noch,  dass  das  Gehirn 
uicht  nur  die  typische  Körperform  sondern  auch  die  psychische 
Stellung  des  Menschen  in  der  animalen  Welt  begründet. 

Wir  können  dieses  Gesammtverhältniss  wohl  nicht  schärfer 
ftU  mit  dem  schon  von  Richard  Owen  gefundenen  Wurte: 
Aruliencephalie,^)  Hirnherrschafl,  bezeichnen. 


1)  Owen,  The  anatomy  of  Terfcebrates.     Vol.  U,  S.  274,   1866: 
^beacepbala,  aQxa,  I  overrule;  iyxiipalog,  brain. 


Nochmals  das  Maxwell'sche  Vertheilungsgesetz 
der  Geschwindigkeiteu. 

Von  Ludwig  BolUinann  in  Wien. 

iMmftnffm  6.  Jimmm,) 

Vonn  ich  in  metner  knrüt'n  Notiz  (iber  don  Uewei*-  des 
»eU'schen  i.ie5chwiuiiigkeiUvertheiluug:s>^t!set7^s')  vooeiner 
UngciiAuigkeit  in  d«r  Darstellung  in  Kirchfaoff'H  Vorleäungen 
iW  WArmetheririe  sprach,  so  meint«  ich  damit  nicht  di« 
Etedaktioii  dty>t5lb<*M  durch  Herni  IMaiick,  soDdern  den  lu- 
Uit  d»  Buches  «etb«t,  welches  ja  wie  alle  Vorleeunj^en  vor- 
itvfamlich  den  Zweck  hat,  Ton  andern  gefundene  Sätze  in 
Bfioer  '"  '  irEusteliMn. 

l'i  ,  _■  HKeiner  NotiK  war  Qlwrbanpt  nicht  gegen 
«M  Pewon,  w>Qdem  lediglich  gegen  einen  Beweis  gerichtet. 
dm  ifh  nicht  fQr  Wweinend  halt«.  Herr  Planck  gab  deni- 
■tlWn  nun  eine  vielTersprecbfjnde  Abänderung.*) 

Sei  jedert  vnn  den  folgenden  BeatimniungsätrickeD  Grikse 
M    Iticbtung    der    Gesell  windigkeit    jedes    der    atosscnden 
■oHöIc  vordem  SU^i*(e,  Richtung  der  CcntriHnie  im  Momente 
St«!««!«*    zwischen    gewi-csen     nneiidlirh     imlien    Grenzen 
&(rewhlM!>sen  (was  wir  die  Bedingungen  A  nennen  wollen). 
Werden  die^ell>en   BeätinimnngsstUcke  nach  dem  Stosee 
nfim«  xwi»chen  gewiaseu  unendlich  nahen  Grenzen  liegen 
wir  die  Bedingungen   H  erföUen).      Wenn   da«  Max- 
^t*N:lt«  Vprtbeilnng«giw*>t7.  der  Grarhwindigkeiten  herrscht, 
irt  bekanntlich   die  Wahrscheinlichkeit  eines  Za^ammen- 

M  Di«M  SitnaKtberiohlo   Bd.  34,   Heft  3.   Wied.   Ann.   Bd.  58. 
1  DiMfl  SitMasnUcricbW  Bd.  %i,  Ueft  \,  Noreub«-  1894 


2B 


SiUuHg  <ttf  uMtK-phtf».  Ofosw  mm  S.  Januar  IfiOB. 


»toame,  fBr  dtti  dio  ßeiiiii|urim}(eD  A  erfDllt  Kiml,  gleich  dtfr] 
«11)66  ZuHuiDmunütoteet,  fQr  den  soD&t  f^nau  die  Uedin^ngea  Hl 
^<f]iea,  nur  rla-ts  die  RichloDf;  »Icr  Ontriüni«'  tiit)fi;i*kohrt,  äIwI 
die  Orte  der  beiden  st.j--*-ij<]».'M  Molfkdlr  im  Mmnenl  (!*-■<( 
StcisMe  vcrUoicht  sind. 

Wenn    man    aber    nicht    eine   oeuc    Aiiuljrm    sii    Hillfi?| 
uiiumt,    kann    man    nicht    boweiMu.    dass    es    nicht    noch 
andere  Vertheitiiiif^gfäetxe  j^bt«  fßr  welche  zwar  oinge.'«  nicht 
gilt,  aber   dcx^   die   Wahrscheinlichkeit,    da«»  inn    MoIrkUll 
eint*    gevriase,    hcstifamt    ^ericbt^'te    Geschwinili>rk»'it    darch 
irgend    welche  äonst   wie  immer  twscbaflene  /uKütunieiu^tÖntej 
verliert,  noch  immer  gleich  der  Wabmcheinlichkeit  i«t,  du 
fiti    Moteknl    eine    gleiche,    gleicbeerichtete  Qe»chwindigkeiti 
durch  irgend  welche  2n8ammenäUl<!se  erhält.')    l'nter  dienunj 
Veriheilungsge9cti»!>n   konnteTi  beliebig  viele  «ein.  U\t  wolchol 
jede  Genchwindigkeit  gleich  wuhraclteinlich.  wie  di«  gleicbcJ 
ontjfi'tfpnirtwet/.f   gerichtete    wäre       Jwl«    durch    die    letxi«rn 
Veriheiliing>^gesetze    dargestellte    ZuKtandsvertheiJong    wtSrde 
durch    «ino   plötzliche    l'mkehnmg    aller   Itotichwtndigknit 
nioht  verändert.     An»  einer  derartigt^n  rmkehrimg  auf  du 
dynamiüche  (jleicbgewicht  gezogene  Svbltuue   haben   oft  viel] 
Uedenkiiches.')    Im  vorliegenden  Falle  ftl>cr  m>hQiiit  die  Um- 
kehruDg  in  der  Tbat  all«  miiglicben  Phasen  der  Ziutanda- 
vertheiinng   wieder   in  alle  Phasen    ßberzufQhren    und  daher 
die    Veränderiins    der   \V'uhn»chein  lieh  keil    irgend    eitieit   Zu- 
'^ammenntosse«  durch  die  UmkchrunK  unmöglich. 


')  Ar  welche  also  tu  der  Ponnel  161  meioer  .weitem  Stodienl 
Qberdw  Wftrtncfr]'  ■  lit  tinter  <la*ti-  "ff»*" 

boriehte  Bd.  66.    I  -73,    <iM  doppv  .J«t.i 

ohne  doM  die  GrOuu   unt«r  tlem  iiit4*jfr&lxeiuhiui  tttr  all«  Wcrlbe  Jpr 
Viiriabt^iii  ideotiNch  tll^'i^'b  Ngll  »t. 

')  Vcrfrl'    BoltzmuiD.    Bitnirrkuo^rn   Aber  eiaiK«   Prohlflow  dar 
oMchaniK^eu    VC  II,    Wivner  ^  t«    Bud   7ftJ 

J&aa«r  I8r?;   Kiti  .     1H9&:   Calrvrv^  Urran,   Nat 

oct-dac:  I8M. 


27 


Zur  Kenntniss  des  Befruchtungsvorganges. 

Von  J.  R6ßk«rt. 

(»Imtäamßm  6.  Jmum.) 

Bei  einer  Untersuchung  der  äücb  furcb«ndei)  Kier  von 
Cjrt'lops  Htrennus  truf  loh  auf  ein  ci^rmlhiiniliches  Verhaltf^n 
Kernt*»  dus  iu  naher  Beziehung;  zum  Bcfruchiuiif^vur* 
^ng  dtebt  und  von  mir  im  Folgenden  geschildert  werden  eull. 
An  die  grandiegende  Entdeckung  0.  Heriwig's,  daäs 
der  wettenilicbe  Vorgang  bei  der  Befruchtung  in  einer  Ver- 
einigung der  Kerne  der  beiden  Geschlechtszellen  benihU 
knQpffc  sich  iiaturgemiUs  die  weitere  Frage  uucb  der  Art 
und  Wei^  dieser  Verbindung.  Üetutebt  dieselbe  in  einer 
völligen  Verschmelzung,  in  einer  Vermischung  der  Substanzen 
beider  <JeächIechtskerne  oder  nur  in  einer  Aneinanderiagerung 
der^lben,  derart,  du-ta  die  von  den  beiden  Rrxeugeru  ge- 
lieferten KernheHtandtheile  sich  innerhalb  der  Kerne  des 
neuen  Organismus  selbständig  erhalten?  Wenn  wir  von  dem 
sogenannten  , ersten  Furchungskem'  absehen,  so  spricht  der 
äussere  Aoechein  sehr  gegen  die  letztere  Ansicht,  denn  die 
Furchungskeme,  obenso  wie  die  Kerne  der  späteren  Em- 
bryonalv^Uen  und  der  fertigen  Oeweljäzellea,  erweisen  «ich, 
soweit  mau  dieselben  biw  jetzt  kennt,  als  völlig  einheitliche 
Gebilde,  welche  vun  einer  /u^iAnimensetxung  aus  2  Hälften 
nichts  bemerken  Ia5^s(;*n.  So  nuhmtm  denn  auch  0.  u.  R.  Hert- 
wig  eine  innige  Veruchuiel/unt;  der  beiden  UepchhwhtsktTne 
an  und  betrachteten  dieselbe  iwgar  als  einen  wesentlichen  und 
I      nothwendigen  Akt  bei  der  Befruchtung,    In  einer  von  beiden 


I 


28 


SiUuntf  der  math.-phijH.  Citust  com  A.  Januar  1895. 


Koracbern  goiueinwim  herausgegebäaen  SchrifL^)  hoii«t  es:] 
,Xur  danu.  wenn  die  SubütnnKen  von  Gi-  iiud  Spermtikeru| 
tiioh  ganz  (lurchdriuj^eii.  unUtehen  Kerne,  welche  mit  nlleti  { 
ftlr  die  weitere  ü^ntwickluuf;  nöthigen  Leben-seixeuwbaftvii 
uui^erEbitet  Hind.*  An  dieHer  AuffaMinng  hält  0.  Rertwigl 
aueb  noch  tu  einer  tipätereti  Arbeit*)  fe»t,  nur  verlegt  er 
hier  mit  ROcksicht  auf  vau  Beneden'*^  Befunde  bei  Äecuri« ; 
die  Verschnielznnfir  nicht  mehr  auf  den  Moment,  in  welchem  ■ 
die  blÄAchenföruiigeo  Vurkeme  ziMamnientrefieQ,  sondern  auf] 
den  Zeitraum  nach  Ablauf  der  »rrsten   Furchimu'^ithciliiDg. 

van  Heueden  .telhst  i&t  hierin  anderer  Meinung.     AuhI 
seiner  wichtigen  Kntdeckung.^)  Atun  bei  .•Vttcariv  megatncephalal 
(bivalens)  die  Vorkeroo,  ohne  mit  einander  7,u  vi*r.«chmelxeit.J 
sich  in  je  zwei  CfaromuHonien  umwandehi,  vou  denen  bei  der] 
ersten    Furcbnng^theilnng   in  jeden  Tfwht^rkern    eine  Spalt-  - 
bälfte  gelangt,   zog  er  neben  anderen  bedeutsamen  SchluAi* 
folgerungen  auch  diejenige,  da»  in  den  zwei  ersten  FuTchungM-l 
kernen   die  xwei  välerhchen  und  zwei  mQtterlicben  Chromo-' 
somen  in  getrennten  <inippen  neben  «tnander  sieb  befinden. 
Und  er  verninthete  weiter,    dam    wie   die   erste,    so  eich  alle! 
fulgendcMi  Korngenerationeu  verhalten  mischten,  d.  h,  dassaucUJ 
in  ihnen  die  vom  Vater  und  der  Mutt«r  abfltammenden  Keni- ! 
Substanzen  sich  von  einander  gesondert  erhaM«n.    Er  stQtxte 
dieae  Annahme  auf  die  weitere  Bet>bai:htung,*)  di»'«  der  Mutter- 

')  0.  u-  K.  Hnrtwig:  Leber  den  Befi-ucbtmig«-  iinii  Theiloag»- 
vorgang  dei  ^ieriMheo  Eie*  uutr-r  (1>>iti  rinflur««  nTiiHrrcr  Ai/cnti^n 
Jena  1887. 

*)  O.  Hertwif:;  Verjtl.'iLn  ili?r  Ki-  opd  oanjfniin.innj^  uvi 
Nematodni.  Kinr  UrumiluKv  Hlr  celtutUra  ätreitfraffen.  Arch.  1-  m.  A., 
Bd.  36,  1690. 

*)  E.  VAU  Benvdaa:  llDebw«b8n  nu  U  maturation  de  Toeuf,  . 
U\  fi^ndaCioD  et  I*  diTi«ion  oelloJain.    Ardi.  de  Biol.  T.  (V.  1688.  j 

*)  B.  van  Beaedea  et  A.  Nevl:  Koovellei«  Raeharohw  «or  m 
ftfooadaUea  et  U  dtmiea  uitoaiqoe  cho«  l'Aiviu-id«  H4i|»lD0*plHls,| 
Ball,  de  TAcait  roy-  '^^  Beliriqao.     IdST. 


/.  Rüektrt:  Xtir  KtnHtniiu  tU»  Bef'ntehtMntffvorpttn^ea.        2P 

knänel  in  den  Parchnn^i^lcernen  vou  äscatis  me^.  biviileas  nicht 
einen  continuirlichen  Faden  bildet,  iM>ndem  Ktinucli>*t  zwei 
FAdenstücke,  deren  jedes  nl<^anii  durch  Qnertheiliing  zwei 
ChroinoKomen  liefert.  Möf^licberweiäe,  so  meint  van  ßeneden, 
entspricht  jedes  diener  beiden  Fadenstücke  den  zwei  Chrotno- 
flonien  eine«  Vorkeraa.  Den  Beweis«  dafßr  konnte  er  freilich 
im  diesem  Ohject  nicht  erbringen,  und  i»  hat  daher  die  andere 
Möglichkeit,  dwsa  jedes  Faden^tOck  ein  väterliche>-  und  ein 
iniltterlicbpit  Ohromoeoma  enthält,  Torlüulig  ebensoviel  Wahr- 
scheinlichkeit für  sich.  rebrigeoB  bestreitet  BoveriV)  die 
letztere  Üeubacbtung  van  BenedenV  und  "SeyV^  entschie- 
den und  gibt  an,  dann  die  vorßhei^ehende  Verbindung  je 
zweier  Chrotnoeonien  7.n  einem  eioxigen,  in  sich  geschh>Kspnen, 
Fadeu  nur  eine  scheinbare  ist.  hervorgerufen  durch  dichte 
Äneiuauderlagerung  dersel)>en.  Man  kann  daher  i«uä  van  Be- 
neden'd  Unten uchmigetk  nur  folgern,  daas  die  väterlichen 
und  niQtterlicben  Ohromotiüuien  getrennt  in  das  Ituhegerflst 
der  r.wei  ersten  Furch ung»kerne  eingehen,  ob  i^ie  aber  aus 
diesem  al«  gesonderte  Orupiwn  bei  der  nächsten  Theihnig 
wieder  hervortreten,  das  ist  nicht  gezeigt.  Gerade  hierauf 
aber  kommt  es  an,  denn  in  dem  /.wischen  die  Kwei  Theilungeii 
eiDgeechobenen  feinfadigen  UuhegerÜHt  kann  eine  Venui^chung 
des  väterlichen  und  mütterlichen  Chromatin»  stattiinden. 

Ea  scheint  somit,  daas  bei  Avcaris  unsere  Frage  über- 
haupt nicht  zu  lüden  ist,  denn  würden  hier  zwei  den  Vor- 
kernen  euUprechende  Äbtheilungen  in  den  Furcbuugitkernen 
unterscheid  bar  sein*)  so  wäre  dies  kaum  de«i  vortrefflichen 
Beobachtern   entgangen,    die   sich  K^rade  mit  diesem  Objekt 


1)  Bovert:  ZellenstadieiL     Heft  2.    Jena  1868. 

3}  Nur  tun  die.««  rein  empiriiich  feHtxust4^tlpni1t>  Fra^fe  handelt 
et  sich  fOr  mich.  Dicht  aber  om  die  tod  vnn  Heneden  damit 
verknüpfte  Krsatztheorie  od«!  Lehr«-  rom  HerrnftphroditiHiniM  der  Zell- 
kerne. Aach  die  »on  f<  a b  1 ,  namentlich  aber  Ton  B o v  e r i  »er- 
trutene   Anmcht   von   der   Individnalitftt  der  Chrooinsomen ,   der  ich 


:^o 


SiUhuij  Her  mttth.'phifH.  Clatun  rrrim  ."i.  Jnmtnr  /NMA. 


befüHt^t   haben.      lUnj^e^eti   därfte   der   von   mir  unterancht 
Cyclops  Atr»iiiin6  in  dieser  Hin»ii!ht  gümiti^ere  (InfcerHuchanfi 
Terhiiltnis<>e  bieten,  wie  aUi)  dem   K'^l^enden  hervnrf^eht. 

Icti  fand  in  der  er«it^n  [«'ijrchnrigKSpindel  die 
Copepodeii  in  dt*rjenij(eii  Phuse,  in  wöleher  die  Touliterplattei 
auseinandcrKUweicIien  beii^ianen,  die  den  Vorkemen  entNpr 
chendeu  Chrittiiiitin}Mjrtiniien  durch  f'men  di'iiHichen  Spalt 
gctrennl.  Leider  treten  die  SpindHlfu^rD  an  meinen  nii 
Sablimat  fixirten  Objekten  nicht  so  scharf  hervor,  Avi<i  ma 
entscheiden  könnte,  ob  niir.h  ilir  Spindel  Mi  nw  zwei  Holche 
Hälflen  /.u»auimeni«et7t.  H Acker*)  hat  hei  Cjrlop?;  üttrennn 
eint!  jüngere  TheilungttphaMt^  deü  ersten  KurchQn(!;»kernfi,  nftr 
lieh  «den  Ueber^ciut^  au«  dem  UlnMohen-  in  dtM  AttterstAdium^ 
beoljai'fatvt  uud  ^ibt  na.  du-»  hier  ^dii?  Aul»}<f!ii  ruu  zvii 
ge!*ondertfn  KiTnnpiiideln  tnit  vier  ('entroHoinen  xn  bMt^hed 
scheinen.'  Er  bildet  auch  (1.  e.  Fig.  27n)  Rvrei  Spindehi  mh, 
die  nur  im  Bereich  des  Aequutur  xuHaniinenhän^ou,  gege 
die  Pole  zu  iiber  weit  nngeinander  liegen.  V^  wäre  tq 
grnwem  Intereaae  vu  erfahren,  ob  hier  wirklich,  wie  m  dn 
Anschein  hat,  jeder  Vorkern  »eine  eigene  Spindel  bildet. 
Auf  (inind  meiniM  jety.igen  MutcriiiU  kann  ich  y.u  dituHfr 
Krage  keine  benliinrnt«  Stellung  einnehmen,  denn  wenn  die 
ron  mir  heohaohteteii  älteren  Spindeln  nberhanpt  au«  zwei 
scharf  genonderton  üälflen  bestehen,  ilonn  «ind  die  tH^rt«? 


laieb  «elb»t  mit  aDg«Mbto«»«Jt  babg,  berOhrt  rieh  xmr  mit  dvr 
liegeodeD  fr<Lfic.  deckt  rieh  ubor  mit  ihr  kninf^wagt.    Dann  m  wäre 
aineneiti  möglioit,  diM«   die  Vorkume  sich  «ulbHULadiK  erhalten, 
Chroino>iom&n   innerhalb  dertelben  aber  niobt,  «ine  Anscbantuiff. 
Tan  Benc'ltfti  vurtrilt.     A^mjt  uuah  diu  IJmKfclii'hrU*  wäT'- 
dt  brauchen  rieb  liic  Cbrouioiumuu  nicht  uufzulAxun,  aXnit  >■■ 
■ich  doch  derartitf  unUrrinandttr  Terliig4<m  und  vormna^oQ    da)>a 
d«n  yorkomen  itnUpr^htsoil«»  Oru(i)>^D  alftboJd  verlurvn  (ffthttu. 

')  ÜAckRr:  Uis  Kibildunu  Iwi  Cvülopi  and  (i!antbu<'aini>tui. 
Jahrb.  A.  f.  A    o.  ü..  Bd.  V. 


J.  Uücktrt:  Zur  Kcnntitü»  de»  BtfrncUluHijavitrtfnngt».        31 


sieber  uiit  ihren  Polen  viel  dichter  aneiauoder  gerückt 
in  Hieker'tf  Figur.  Die  Attniktiousäpbürea  ullerdingH 
erscheinen  hier,  sowie  auch  in  den  folgenden  Furchimgs- 
tbeiluugcD  von  auffallender  Breite .  so  dass  der  Qedan  ke 
aafkommen  küuote,  sie  mochten  aus  je  zwei  nebeneinander 
gelegenen  Sphären  hervorgegaugeu  »ein.  Änderemeits  darf 
aber  nicht  unerwähnt  bleiben,  dii8.s  ich  in  dem  IWfrvichtung«- 
stüdiiun,  in  web:heni  die  noch  blÜJi<:liHntV>rniigen  Vurkeme 
sich  berubren,  im  tjaur^u  Kitet;*  nur  zwei  Sphären  fand,  für 
jeden  Theilung^pnl  eine  einrJge,  und  da.-<d  ich  diese  geneü^h 
mit  den  Sjwrnjakern  zurück  verfolgen  konnte. 

Nachdem  die  Tochterpiatten  der  er>^t«u  Furchungsspindel 
gegen  die  Pole  der  Tbeüungsfigur  gerückt  8ind,  finde  ich  in 
ihnen  die  vät'erliebcn  und  nintUTlinhAn  rhromns<;niengrtippen 
noch  weiter  von  einander  getrennt  als  vorher.  Da  die  Ver- 
binduiigänideu  »ich  unr  zwischen  den  correspondirenden 
Hälften  der  Tochterplatten  ausspannen,  sa  erscheint  bei 
Seitonun:4icht  auch  dieiier  mittlere  .\bschnifct  der  Theilung.s- 
&gur  durch  einen  breiten  Spalt  in  Kwei  Hälften  zerlegt.  Bei 
Polansicht)  tusen  sich  in  jeder  Hälfte  einer  Tochterplatte 
1)  o<ler  12  Chromosomen  /ühlen,  nicht  l,  wie  Hacker  fOr 
die  Äeqnatorial platte  der  ersten  Theilnng  von  Cyclop«  strenuu» 
angibt  und  abbildet.  Im  Ganzen  enthält  also  jede  Tochter- 
platte  des  ersten  Purchung»kemes  die  Nomialzahl  von  22  oder 
24  Chromosomen,  wtw  mit  den  von  mir*)  bei  der  Kireifung 
1  gefundenen  Zahlenverhältniasen  Qbereinstimiiit. 
K  Wenn  dann  weiterhin  das  Cbromiitin  der  Tochterplatten 

^■ttll  in  ein  Hnhegernst  umwandelt,  tritt  eine  Anzahl  blüschen- 
iWnniger  Unt4»rabtheilungen  auf,  die  anfanglich  offenbar  den 
I      einzelnen   ChronMJKmnen    des  Dyaater»    entsprechen,    wie  dies 

■  schon  für  die  Furchungskerne  bei  auderen  Objekten  wieder- 
I  holt  bescbriehen  wnnle.     Die  Bläschen  beginnen  schon  frOh- 

■  >i  Ri 


I 

t 


')  Rnckerl:  Zar  BireifuDg  bei  Coi^epodeo.    Änat.  Hefte  1894. 


32 


SitKuttfl  der  matK-iAys.  Cta»se  voat  6.  Januar  t99tt 


x«idg  KU  conÜiiiren    und    /.war  inDcrbftib   ein  und  dewelb«!) 
Kerns  in  iinKl^it^hein  Temiio.     Hu  ntOohto  ich  ra  wenigsten^j 
urklüren,  Haas  iiiau  neben  kleineren.  motHt  peripher  t^elcfifenenj 
Ittüächen    In   der  Hege\  unch  einige  grö&f;ere  antrifft,  welche] 
häufig   durch  vulUiäudige    oder  nnvolUtilndige  Scheidewand««' 
wieder    in    Unterabtheiliingen    zerlegt    erscheinen.       Indem 
sohlie^lich  all»-  Ahtheihmgen   /.iisamniciiflitKÄHn    und    die  nn-j 
regelmä»igen  Vurbucblungeii    und  ZerklüRungen   der  Kern-j 
Oberfläche  verschwinden,  tritt  eine  einheitliche  Kemblaae  auf.j 
Bei  diesem  Vorgang,  der  nicht  nur  nüch  Abtauf  der  erKtenJ 
»ond(>rn  nuch  der  npüteren  Furrhunt^theilungen  y.u  beubacht«nj 
ist,    macht   sich    die   ZuHanmienüetzuiig   des  Koros   aus    jLweiJ 
HfUften    bemerkljar.     Zwar   rücken    die  den  Vorkernen  enl 
sprecheuden  Ahlheilungeii  jetzt   dicht  7;i)s»uinirn.   aber  ujsul 
kann    sie    hei    eitiigcrmii&Hen    günstiger  Lagening    des    Kernal 
doch  noch  recht  deutlich  unUr^heiden.  namentlich  bei  An« 
Wendung  schwächerer  Vergrüaserung,  bei  welcher  man  eineii| 
beaieren  Deherblick  Über  den  gesanimkn  Kern  erhält  aU  mit 
Hilfe  der  Immersion.    Wenn  die  erwähnten  Unt^rnbihi'iJungfiii 
des  Kerns  nchon  confluirt  Hind,  und  ein  einheitliche«  Ituhegerfltt 
anfgeireten  ii^t,  lil«t  >ieh  die  Grenzt*  der  beiden  rirüprttnglichc 
Keruhiilften    in   tjetitAlt    einer  iScheidewanH    noch  erkennen, 
welche  »enkrecbt  zum   grüRüten  Durchmeeeer  des  längliche 
Kerns  8tehL  l)i«»en  ZuMtimd  der  beiden  crMten  Furchungskem« 
bat  Hacker   (1.  c.)   uchou    bei   CyclopH  i^nuicomts    gesehen 
und  dabin  gedeutet,  daas  die  zwei   Abtheilungen  de«  Keraa 
selbst&ndig    gebliebene    Abkömmlinge    der    Gwchlechtiikemfl 
seien.     Solange  die  vorausgegangenen  Theilm  ri  nicht 

bekannt  waren,    könnt«   man    dir  Berechtig  •_     i     -t  Auf- 
tawung  anzweifeln,  nachdem  sich  aber  jeUtt  bei  Cyclopa  iU^ 
die  lieiden  KeniliälfUm   an  eii>*T  tnckenloown  Kntwicklung»-] 
lUüie  von  der  cr»ten  Furuhungvipindel  bi»  Kur  Uuhephju«  du 
Twliterkerup    hnbifu    verfolgen    tiuHen,    ersclimut    diet*    oicbt 
mehr  mOglich. 


J.  UQckeri:  Zur  Kenntiwa  de»  BefrwJUungtvorgangtg.        oS 

Aus  der  Rnfaephaae  der  zwei  ersUn  Furch uiigskerne 
Itoiinte  ieh  nur  weni^'e  Eier  uutersucheu,  die  deiuj^elben  Thier 
angehören  und  .sich  daher  auch  in  ^ennu  dem  gleichen  Eut- 

ricklnngszu^tand    befinden .      Ich    kann    daher   nicht   sagen, 
^b    im    weiteren  Verlauf  der    Ruhephase   die  Trennung  der 

eidcn  Kernhülften   aufgelinben  wird.     Sicher  aber  ist,  dass 

eini  Uebei^ang  zum  Knäuel  der  zweiten  Theilung  von  einer 
Scheidewand  innerhalb  des  Kemrauines  an  meinen  Prüparaien 
'  nichts  mehr  •/.»  sehen  ist.  Xur  an  der  Kemmembran  fand 
ich  bei  einem  Theil  der  Objekte  an  der  betrefieuden  Stelle  nucb 
eine  Einkerbung.  Der  Chroniutinknäuel  selbst  erscheint  bei 
einigen  Kernen  einheitlich,  bei  anderen  in  zwei  Hälften  zer- 
legt. Das  Gleiche  gilt  für  die  Aequatorialplatte  der  zweiten 
Furchungsspindül.  Im  Dyaster  hingegen  liess  sich  wieder  die 
Zusammen  Setzung  der  länglichen  Tochterplatte  aiu  zwei 
Utilflen  in  der  Mehrzahl  der  Kerne  mit  aller  Deutlichkeit 
erkennen.  Es  ist  olleubur  in  dieser  Tlieilungsphase  ein  Ans- 
einanderweichen  der  Kemhalften  leichter  möglich ,  aU  in 
der  Aequatorial platt«,  wa^  sich  aus  der  Mechanik  des  Thei- 
luDgsvorganges  erklüren  lässt.  Auch  im  Dyaster  der  zweiten 
Furchunffstheilnng  war  ich  im  Stande,  bei  Pülansicht  das 
oben  mitgetheilte  ZahlenTerhältniss  der  Chromosomen  fdr 
beide  H&lften  der  Tochterplatte  festzustellen,  so  dass  die  Ab- 
leitung der  letzteren  von  den  Vorkernen  nicht  bezweifelt 
werden  kann.  Es  wird  hierdurch  die  eingangs  aufgestellte 
Frage,  ob  au»  den  Ituhekernen  der  ernten  Theilung  die 
väterlichen  nnd  mfitterlichen  Chromosomen  wieder  in  ge- 
trennten Gruppen  hervorgehen  können,  in  bejahendem  Sinne 
entschieden. 

Von  der  dritten  Theilung  habe  ich  den  Dyaster  nicht 
zu  Gesiebt  bekommen,  doch  konnte  ich  im  Mutterknäuel 
und  in  der  Aequatorial  platte  für  einen  Theil  der  Kerne  noch 
ebenso  eine  Zusammensetzung  aus  zwei  Hälften    nachweisen 

rie  bei  der  zweiten  Theilung.    In  den  folgenden  Furchtmgs- 

]il\t&.  Malli-pbyB.  Ci.  I.  9 


34 


Siltttn^  dtr  mn 


y».  ClMse  vom  6.  Januar 


Stadien    wird    diee«    Erscheinung    während    der    eigentliche^ 
Theihingsphasen  immer  seltener,  nnd  nur  noch  beim  lieber 
gnng  zur  ßaliepho.'^e  treten  die  KiTiihälften  in  der  oben 
scbriebenen  Weise  hervor.    Ofl  äic,ht  man  ausser  der  Subeidä 
WHod    «ueh    an    der   Oberfläche    der   läTiglich^ii    Kerne    ein 
EinschnDning.    wodurch    daß    ganze   Gebilde    Hi>>quit- 
Bobuenform  erhält.     Die^  Einkerbung  bleibt,   michdrm  dl 
Scheidewnnd  geivchn'unden,    ofb  noch    als    einziges  Morknti 
der   ursprßnglic-heD   Trennung  erhall;«».     ICuweileü   erftcheifl 
auch    die  eine  Kernhulfle    inteniiiver   gefiirbt  alis  die  andor 
offenbar  weil  ihr  Chroinatdn  sich  noch  im  Zastande  stärke 
Concentration  Wfindet.   Da  die<ift  Doppelkerne  sich  im  Wenenl 
liehen   noch  ebenso  verhalten,    wie  diejenigen,    welche  Uftc] 
Ablauf  der  ersten  und  zweiten  Tbeilung  auftruten,  ao  lufl 
sie   auch   in   dem  gleicheu  Sinne  wie  jene  gedeutet  werdftH 
Der  Uniätand,  dass  während  der  mittleren  Kurchungsstadic 
die    DnpHcitÄt   di^   Kerne   blntm   bei  Eintritt    der   Keniruhfl 
in  den  eigentlichen  Tbeilungsphaseii  dagegeu  nur  mehr  ati 
nahmsweise   sichtbar   i»t.    beweist   nichts   gegen    die    vorg' 
tragenc  Anffassung,    Es  läant  sich  vielmehr  diese  ErficheinuD| 
in  ungezwungener  Weise  damit  erklären,   das«  di«  Cbromo 
9omen  inoerhalb  der  karyokinetii^chen  Figuren  xu  di«or  Z« 
schon   dichter  gelagert  sind,    als   wahrend  der  ervten  Thei^ 
langen,    ein   Verbalten,    das    offenbar    auf  diif    Kunehmend 
Verkleinerung    de»    Zellenleibes    und    die    dadurch    bedingta] 
Rnumbeengung  zurlU-kxunibren  ist 

In  späten  Furchung^atadien  und  während  der  Keir 
blätterbildung  weist  ein  immer  kleiner  werdender  Bruchthei 
der  im  Ei  vorluuideuen  Kerne  eine  Zu^mmeo^etzung  ao 
zwei  Hälften  auf.  Doch  konnte  ich  vpreinzelte  mlehe 
Kern«  soweit  rerfol^en,  aU  ich  meine  tjnt^rsiichung'jn  Ob«r 
baopt  Bn«gcdehnt  habe,  nämlich  bin  zu  dem  Stodinm 
dresgliedrigen  Larvenaolage.  Ka  muas  daher  dir 
xagl^l>«n  werden,    doäs   schon  während  der  T       .  ...^ 


J.  Itücktrl:  Zur  KeinttHW  dea  Bcfruehtunffavorgamje».        3o 


!e  Verschmelxung  und  Vermiäcbuug  der  beiden  ursprUng* 

:hen  KemliKlften  eintritt,    wenigstens   bei  einem  Tbeil  der 

eme.   währeud  bei  den  Obri^en  dieser  Vorgang  erst  später 

snsetzen  würde.    Mindestens  ebenso  berecbtigt  erscheint  aber 

gegentheilige  Auffassung.    Nur  während  der  ersten  Fur- 

ungBKeit  tboilen   sich   sämintliche   Korne    de»   Eies    gleich- 

itig,   später   dagegen    nur   luebr  ein   Tbeil   derselben    und 

loser  Brochtheil    wird  immer  geringer,   jo    weiter  die  Ent- 

icklung   fortschreitet.     Man    darf  daher  gar  nicht  voraua- 

ty-en,    in  vorgerfickteren  Kntwickhing.s.stadien   eine  grössere 

nzabl    von  Kernen    in    dem    für    un.sere  Untersuchung   ge- 

[gneten   Zustand   anzutreffen.      Dafür    muss   man   aber   er- 

arten,    finige    wenige    derselben    in  einem  jeden  derartigen 

li  vorzuHnden.    Man  begegnet  aber  auch  hier  bei  genauerem 

!usehen  wohl  ütet«  einigen  Kernen,  welche  die  Spuren  einer 

Zu^tamniensetzuDg  aus  zwei  Stücken  erkennen  lassen. 

Es  sind  mehrere  Forsclier  darauf  ausgegangen,  der /eile 
einen  bilateral  syni metrischen  Bau  zu  vindiciren,  indessen 
haben  derartige  Versuche  sich  bisher  als  nicht  durchfQhrbsr 
erwiesen.  Die  l>ei  Cyclops  vorhandenen  Doppelkerne  /.eigen 
nun  eine  bilaterale  Symmetrie.  Und  wenn  die  Zusammen- 
setzung des  Kerns  aus  xwei  Hälften  während  der  Mitose 
sichtbar  ist«  was  17)r  die  ersten  Kurchungstbeitangen  von 
Cyclops  gilt,  dann  liegt  eine  bilaterale  Symmetrie  der  ge- 
samwteu  Zelle  vor,  von  dem  Augenblicke  an,  in  welchem 
I  die  Kiastellung  der  Cbromoeomen  in  den  Ae^iuator  der  Spindel 
vollendet  ist.  Die  Synimetrieebenc  schneidet  die  Accjuatorial- 
platte  rosp.  die  Tochteqilatten  in  einem  \Vinkel  von  90** 
und  theilt  f<ie  in  xwei  Hälften,  deren  eine  vom  m&nnlichen, 
deren  andere  vom  weiblirhen  Vorkeru  abstammt. 

Die  mitgetheilten  Beobachtungen  beziehen  sich  nur  auf 
embryonale  Zellen.  Es  wäre  von  Interesse  ru  wissen,  ob 
sie  auch  für  die  Gewebszellen  des  fertigen  Thieres  Geltung 
besitzen.     Eine  Untersuchung  in  dieser  ßichtung  verspricht 

3' 


de 


Süsuttg  der  malh.-phtf».  Clasae  vom  5.  Janttor  i$^. 


indeas  roa  vornherein  went^  Hrfol^  wegen  dar  geriogao 
GrTwse  der  betreffenden  Kcnie:  ist  doch  schon  die  ßcnr- 
theilung  der  älteren  EmbryonatHtadieu  hüh  diesem  Orunde 
sehr  erHcbwert.  Im  ani^gebildeten  Tfai^r  existirt  nur  aar 
einzige  Art  von  Zelten,  in  welchen  das  Chromatin  innerhalb 
eines  TerhUltniRginäesiß  sehr  grossen  Kernnuini^^«  tiegi;  m 
sind  das  die  reifenden  Kizetlen.  Wonn  ^icb  die  räterlicben 
und  mOtterlichen  Chromasoniengruppen  bis  in  die^e  ZcU- 
generatinn  «elbfitündig  erhalten  würden,  dann  IcÖnnten  m 
hier,  wo  sie  einer  räuinlirlien  ßeen^inf^  nicht  mehr  antrr- 
worfen  sind,  anch  gesondert  zum  Vorschein  konimon  und 
zwar  von  dem  Zeitpunkt  ab,  in  welchem  die  knrseQ  und 
conipiictrn  Chromasomen  der  ersten  HJrhtiinn.'wpinflel  «t» 
dem  feinfudigen  Kcimbtü^icheTigerUst  hervorj^^cgnngon  sind.  In 
der  Thnt  leigen  nun  bei  Oyclnp-«  iliese  Chromosoiuen,  wenn  «ie 
aus  der  Peripherie  des  Keimblasuhen»  gegen  den  Aeqnabif 
der  KukQnfttgen  RichtungBspindel  vorrÖcken.  eine  Grtippirung, 
die  sehr  auffallend  hi  und  sehen  tom  HUcker  und  s^U*r 
mir  selbst  erwähnt  nnd  abgebildet  wurde,  ohne  da««  jedoch 
einer  von  nns  sie  zu  der  vorliegenden  Frage  in  irgend  welche 
Be7.iehung  gebracht  hätte.  In  mehreren  seiner  ArbuiUa 
stellt  Hacker')  KeiiabliUchen  dar,  in  deren  Peripherie,  an  xm 
g^enUberliegenden  Punkten,  sich  euie  Anhäufung  von  tht 
chromatischen  Doppelstäben  beüiidet.  L)a<t9  diene  Oriippimag 
der  Chromosomen  in  Häcker's  IVSparaten  ein«  »ehr  regulÄre 
gewesen  Min  mun,  gebt  nicht  nur  ana  seinen  AMnldungi«n 
sondern  auch  aus  der  Deutung  hervor,  welche  er  der  Er- 
scheinung gab.  £r  betrachtet«  die  2  Gruppen  nh  die  Tochtvr- 
ptatt^n  der  eben  vollzogenen  Hiehtang^theitung,  diae  holt- 
I  faaaung,  die,  wie  ich  od  anderer  Stell«  (l.  c.)  gezeigt  habe. 


))  l.  c  Vig,  32.  DerMibe:  Da»  KeimbliLMjboD,  ufinp  E]eiDMte 
tifld  Lagevet&ndenuf.'en.  I.  Arob.  (.  m.  A  Bd.  41:  Fi«.  IL  Dvn 
•elbe:  Die  KeruthrDuntfMTori^&nKc  bei  dur  Heaodcrm-  und  Eäitodi^ra- 
bildan«  von  Cyolops.    Ibidem  Bd.  89.  ('ig.  Sl. 


J.  Jtüekert:  Zur  Kenntnitt  dti  Befruchiunggvargangeii.         37 

chün  desshatb  nichfc  richtig  iät,  woil.die  erste^Kichtnngs- 
beilung  in  <\pm  fraglichen  Staditim  ^ch  ersfc  vorbereitet.  leb 
Ibst')  habe  mir  diese  Gruppenbilduiig  der  Doppeistäbe, 
fie  übrigens  un  meinen  Objekten  zuhlreicben  indiriduolien 
Schwankungen  unterliegt «  früher  nicht  erklären  küiinen. 
Nachdem  eich  aber  jetzt  hemuitgestellt  hat,  dass  sich  in  den 
Cemen  der  befruchteten  CycJopseier  ^wei  den  Vorkemen 
itsprechende  Abtheihingen  Qbftr  eine  Anzahl  von  Furchung^- 
beiluugen  hinans  gesondert  erhalten  können,  liegt  es  nahe, 
|ie  rätbaelhaflen  Chronjoetüraengriippen  dea  reifenden  Eiee 
auf  diese  Abtheilungen  zu  beziehen.  Das  Xiisammentrefien 
3er  beiden  Erscheinungen  i»t  jedenfalls  ein  so  anft^lliges,  das^ 
Dan  es  nicht  nn berücksichtigt  lassen  darf.  Auf  der  andern 
eite  musä  aber  ausdrücklich  betout  werden,  daan  die  Oruppen- 
bildung  individuell  variirt.  Dass  eine  Gruppe  wieder  in  Unter- 
pabtheiluugen  aufgelGst  sein  kann«  «scheint  mir  weniger  von 
Belang,  weon  dies  Verhalten  auch  zu  Begiun  des  betreffenden 
Reifungs.'itadinms  die  Oricntirung  oft  erschwert  und  zuweilen 
iiuniögticb  macht.  Mehr  in  Betracht  kommt  da^  Zahienver- 
bältnisä  zwischen  beiden  Hauptgruppen.  Zu  Anfang  des 
^jtadium8  iät  die  Zählung  der  Doppebtübe  schwierig,  nnd 
kann  ich  daher  nicht  angeben,  ob  die  GesammtKaht  derselben 
im  Keimblik^chen  11  oder  12  beträgt.  Wenn  die  Einstellung 
in  den  Aetpiator  der  Spindel  fast  volleudet  ist,  finde  ich 
steta  11.  Kur  bei  einem  Theil  dieser  Eier  stehen  die  beiden 
Grippen  in  dem  Verhältnis;  von  5:6,  bei  anderen  fand  ich 
4 : 7  und  sogar  3 : 8.  Man  mOsste  also,  wenn  man  die 
Gruppen  auf  die  orspr  du  glichen  Kernbälflen  bezieht,  jeden- 
falls die  Möglichkeit  zala$.sen,  dass  in  individuell  wechselnder 
Weise  einzelne  Chrom(»tomen  aus  der  einen  Gruppe  sich  los- 
lösen und  sich  der  anderen  anschliessen.  Ohne  auf  die  Con- 
aeqnenzen  einzugeben,  welche  sich  hieraus  fUr  den  Reductions- 


1)  I.e.. Fig.  12  und  15. 


38  ^Uung  der  matk.-phys.  Clause  vom  5.  Januar  1895. 

Vorgang  ergeben  würden ,  möchte  ich  doch  zu  erwähnen 
nicht  unterlassen,  dass  gerade  die  berührten  individuellen 
Differenzen  sich  mit  einer  Vererbungsthntsache  (Ungleich- 
heit der  successiven  Kinder  eines  Elternpaares)  in  Einklang 
setzen  liessen,  welche  von  mehreren  Forschern  (WeisraanUf 
Boveri)  mit  der  Chromosomenreduction  in  Verbindung  ge- 
bracht wird.  Durch  welche  Einrichtungen  in  der  Kem- 
struktur  die  Gruppenbildung  hervorgerufen  oder  erhalten 
wirdf  ob  durch  achromatisch e,  nicht  sichtbare  Verbindungs- 
fäden  zwischen  den  zusammengehörigen  Chromosomen  oder 
durch  ein  Eingreifen  entsprechend  angeordneter  Spindelfasem, 
ist  vorläufig  nicht  zu  ermitteln. 


39 


Ueber  den  Cauchy'schen  Integralsatz. 

Ton  Alfred  Prlngshein, 

Der   Satz,   doäs  ein    über   eine   complexe  Werthen  reihe 
sgedehntea  Integral   toq  der  Form  J  /*(«)  •  dt  unter   ge- 

bissen  Bedingungen  von  der  Wahl  der  zwischen  *(,  and  jb 
elegenen  Zwiachenwerthe,  dem  , Integrationswege*,  un- 
'abhängig  ist,  oder»  was  im  Wesentlichen  daäselbe  besagt, 
das»  unter  analogen  Bedingungen  das  Integral  J /'(;)■</«, 
erstreckt  Über  einen  geschlossenen  Integrationsweg,  Ter- 
schwindet,  wird  wohl  ziemlich  allgemein  schlechtbin  als  der 
Cauchy'sche  Integrals  atz  bezeichnet  und  zwar  wohl 
nicht  lediglich  darum,  weil  er  ron  Cauchy  zuerst  ausge- 
sprochen und  bewiesen  wurde')  (denn  so  Teretanden  gibt 
es  eine  ganze  Anzahl  Cauchy 'scher  lutegralsatze), 
sondern  weil  er  aU  die  eigentliche  Grundlage  der  modernen 

t  -'  ')  Soviel  mir  bekanot  ist,  in  diecor  Form  tarn  enteo  Male  in 
rl836  al«  betondereB  Heft  herawigegebcnen  .Memoire  aor  lea 
Igrale»  d^finies  prisei  eotre  das  limite«  ima^ioairea'. 
gS.  —  In  Laarent's  Tr&ilä  d' Analyse  (T.  lU,  p.  357)  nnd  Kron- 
eeker'fl  Vorleranfpen  Ober  Integrale  (p.  n2)  wird  du  Jahr  1814  aIh 
pQblicationajafar  angegebea.  Obschoo  dieser  Bemerkong  «ine  nähere 
Qaelleuangab«  nicht  beigeltigt  i«t^  io  Ibit  Mch  doch  mit  xiemlicber 
Sii-herheit  aonebmeo,  dass  dieselbe  auf  das  im  Jahre  1614  der  Pariser 
Akademie  Toi^eleKten  «Uämoire  iur  Ist  int^fpraUi  d^finici' 
(Oeavre!)  compl^tes.  T.  l,  p.  S99— 5081  znrackzufQhreD  sein  dürfte. 
Sollte  die«  ab«r  wirklieb   der  Fall  icia.   so  man  jene  Angabe  al« 


iO 


Sitcung  der  math.'phj/s.  CfaM$e  tx>m  5.  Januar  JS96. 


Functionentheorie  im  Caiicfay-Riem&DD'schoo  Sinne  ohne 
jeden  Vorbehalt  eine  der  bewunderungswürdigsten  und  frncht- 

Dnrichtig  oder  rieltnclir  all  nur  theilweüe  richtig  b»eiclinet  werden. 
In  der  eben  «rw&linten  Äbhandlont;  finden  licb  nämlkh  in  Bixag 
auf  ilen  Araf^Itchen  Oejcenstand  nur  die  Tolgenden  Gleichnn^n  (mit 
unerheblicfaen,  zum  Zwecke  U'ichteren  Vnst&oiinisnea  hinr  Torgt»* 
oommenen  Aenderungon  der  dort  angHwandten  Besetchnun^): 

wo  S,ü  Funktionen  von   t-v  bexcicfanen.  welche  der  Ditferential- 

dS      30 
gleicbun«;  3^  ~  3^  genilK«n  (a.  a.  0.  p.  334,  OL  4).  tmd  ferner: 

0  I)  0  0 

(p.  810,  Faunote,  Gl.  B).  Diese  Gte!chanf^n  i>ntliall«n  ollerdtngi 
den  betreHendcD  Satz,  aber  nur  für  den  tpeciellen  Fall  eine« 
Rechtecks  ati  Inteffrationtwe^,  [>i«  we«eQtttcbe  Bedeaton^  det 
Caacby'Bchco  Sotxes  Rlr  die  KancLionentbeorie  tie^  aiier  giMade 
in  Keinor  Anwendbarkeit  aul  pi u«n  be  I  i  c  b  i i;  e  n  lDtf>tn^ition«wif . 
Und  wenn  ca  auch  keine  betondere  Schwierigkeit  hat,  au»  der  QQltig- 
keit  de«  Salzes  f^r  ein  Kecbteck  durch  einen  geeigneten  Orvnsübnr- 
g»ng  .jene  allgemeinere  Form  abzuleiten  (wie  diea  z.  B.  auch  in  de 
hier  weiter  aclen  abtuleitenden  Beweise  geschieht:  cf.  S  41,  m> 
doch  von  einer  derartigen  Veratlgemeinening  Oberhaupt  «nt  lians 
die  Rede  sein,  wenn  der  Hegriff  einea  InLegraU  von  der  Kons 
j{S-äx-\-U'djf)  oder  /*/*(«) 'dr,  genommen  aber  einen  beliebigen 
Integrationiveg.  virklieh  definirt  [tt  Eine  solche  PeflnitioB 
^det  lieh  aber  wohl  sum  eriten  Male  in  der  genannten  Abhand- 
lang Ton  183^  (§  2  und  g  9),  wenif^rtena  ixt  in  dem  .Ki'^um^  da* 
le^nt  aur  le  caleol  infinit^imnl*  rom  Jahre  ISSft  hiervon  noch  keine 
Bede,  nnd  Caochy  bemerkt  auch  in  der  Kinteitung  an  jener  Ab- 
haadlong  gann  anadrOeklich.  dasa  keine  eintige  aller  bUher  er- 
schienenen Arbeiten  .den  Grad  Ton  Allgemeiahett  g#m(tireod  fixirt  bahn, 
de— en   ein  eolchea  Integral   Ckhig  ist*.     Durch  -  huog 

des  Briefweehseta  awtJtchen  üaois  and  Üessei      :_  m^rk- 

wfirdige  Thataaehe  bekannt  gewordaa,  UaM  Gaosn   den  fraglicbaa 
Batx  in  seiner  aUgentelnen  pMenng  sdioa  im  Jahre  1611 
(Brief  an  BeatrI  rom  16.  DMambar  1611.)    Er  ist  indeeaea 


A,  Pring^im:  Uther  den  CnuchyacHcn  JntegraljtfUt.  il 


sten   Kutdeckungeo    des  grosMa   Mathematikers   genannt 

Verden  darf. 

Canchy    bewies    den    fraglichen    Satz   mit   HQlfe    ron 
)ntinuität>t))etr>ichtungen:  er  zeigte,  d&ss  bei  einnr  unendlich 

Jeinen  Verschiebung  der  Intogrationscurve   mit  Festhaltung 
ler  Endpunkte  das  obige  Istegral  nur  um  eine  unendlich  kleine 

^rAsse  zweiter  Ordnung  geändert  wird,  oder  anders  au-sge- 
bprochen/)    dass    die   Variation    des    Integral«   den   Werth 

7ull  hat.     Die  Beweise,  die  sich  in  der  Mehrzahl  frauztj- 

iseher  Lehrbücher  ffir  jenen  Satz  finden,  sind  im  Weäent- 
Schen    einfache    Reprodoctionen    oder    Mnditicationen    diesej; 

^aucby'schen  Beweise-«.     Meiner  Ansicht  nach  haftet  allen 
ptfsen  Beweisen,  nach  dem  Maassstabe  moderner  analytiäcber 

tiiMchatinngen  gemessen,  ein  mehr  oder  weniger  erhebliches 
'Maiieo  von  ßberzeugender  Strenge  an.  Entweder  sie  wenden 
die  I'rincipieu  der  Variutionarechnung,  deren  strenge  Be- 
gründung zu  den  schwierigsten  Problemen  der  Infinitesimal- 
refhnung  gehört,  mit  einer  Unbedenklichkeit  an,  die  durch 
das  Maass  der  gemachten  Voraussetzungen  kaum  gerecht- 
fertigt ist.*)    Oder  sie  suchen  mit  ITmgehung  der  Variations- 

wieder  darauf  snrflclcgekommeii.  und  e«  »cheint,  dus  riofa  aach  in 
seinem  Nachla-tse  keinerlei  Aufzeichnungen  hicrQber  TorgvfaadeD 
haben.  Man  wird  diiher  wohl  Kronecker  nur  Hecht  geben  kOnnen, 
wenn  er  hieran  ankoflpfend  a.  a.  0.  folgende!  bemerkt:  ,Va  üt  doch 
ein  groflser  Unterschied,  ob  Jemand  eine  mathematiiicbe  Wahrheit 
mit  vollem  Beweise  and  der  Darlegung  ihrer  ganzen  Tragweite  ver* 
ötTenilicbt  oder  ob  ein  Anderer  aie  nur  üo  nel>enber  uineui  Freunde 
unter  Dttcretioa  mittbeilt.  Destthalb  kOnnen  wir  den  Sats  mit  Kecht 
als  das  Caachj'fche  Theorem  beteicfanen.* 

')  a.  a.  0.  p.  6;  «Ainai  la  di-mouitration  du  principe  ci-dessos 
Kfoonce  repose  Bnr  cette  «eule  obflervation,  qne  la  Variation  de  l'int^ 
gnle  ett  Bolle." 

^)  Man  «ehe  x.  B,  Briot  et  Boaquet,  Foncfeioos  doublement 
p^iodiqnei  (18C9)  p.  20.  —  Bertrand,  Calcul  integral  (1870)  p.  296. 
—  Laarent,  Fonctions  elUptiqaea  (1880)  p.  G;  deagL  Traitä  d'Analyse 
(1886)  T.  UI,  p.  310.  —  Picard,  Traite  d'Analjae  (1891/93J  T.  [, 
,77;  T.  II,  p.  4. 


* 


42 


Sittung  drr  math.-phya.  Cttuse  vom  S.  Januar  189S. 


recliDuiig  deren  Princip  durch  eine  directe  lnfinite«imn 
betTHchhiufjf  zu  ersetxeD,  imputiren  aber  dabei  der  Fuiictio^ 
/'(#)  eine  für  alle  diese  Beweise  unentbehrliche  Bigeuäcbafi 
ziemlich  coinplicirter  Nivlnr,  welche  entweder  ganz  direct  i^ 
die  Vorati»(etzung  anfgenomnien  oder  zuvor  auf  KigoD:«.ubuf 
einfacherer  Art  xurHckgefQbrt  werden  mOaste.    £ä  iit  dies  die 


Auiiuhiue,  da^  der  Dißereiizenquotieut 


/'<|r-hÄ)-/-|>) 


für 


alle  in   Betracht  kommenden  Werthe  von  jf  glcicbmäasi^H 
noch  f'  (/)  conrergirt,  d,  h.  dass  nach  Vorgnbe  einer  be- 
liebig kleinen   pontiven  Oröase  e  sich  eine  pontire  OrAan  ^ 
angeben  lässt,  sodass: 


^<-  +  *j-^t'>-rwi< 


«    wenn  nur: 


<e 


ntr  all«  in  Uetrucbt  kommenden  Werthe  von  «.*)     Nimmt 
man    dieM  EigenKhafl   ohne    weiteres    in  di<>  VoranKt^etzuD 
des  Satzes  niil,   so   verliert  derselbe   vollhiündig   Heiiien   ein 
fnchcu    und    elemeutar«a    Charakter.      Man   niOfistü  also  vo 


*)  Ohn«  dtera  Annafauio  fiUlt  l  B.  der  Oberhaupt  wenijE  atrvnx 
(ebaltuop  Uow«iii  bn  Camille  JordaQ,  Coun  d'Analjr^e.  T.  II  (1888) 
p.  870;  aber  tocb  d«r  wrgrfiütiger  darcbgefDhrtc  Beweis  ron  firiol 
Dt  Boui)Q0l,  Thiiorto  de»  fonctiosa  elliptiqites  (18761,  p.  128—139, 
o&d  «in  mit  d«Bi  «bell  geaiinnt«n  n&bc  verwaudtcr  von  Miitn)f- 
LeffUr:  a«tttii|r«r  NaobrichUri  IHT5.  p.  66— 73.  iKiii  in  dem  IcUt- 
IffftiannttiD  Aafiat»«  «nirefQbrtvr,  Mifreblicb  vollkoinrucQ  itrengtr  Be- 
wou  von  MAlmKtrn  war  mir  Ittidfir  biiher  niohl  iugaa(tL'<ih ,  da  er 
nur  In  «•.■tiwnJlaehor  S|)ni>'b«  rnchienen  i«t  (186AI). 

D«r  ifloicb«  Vorwurf  Criflt  auch  den  utfcheinvod  ««br  eiD&«fai 
Dmraii,    ilm    B«rr   Üoumut    im    4.    Hundt;    ült    Autu    mutbematia 
IIR84)  ««rOffrnttichl  hat    Utbriffcn^  wird  die  Hcbcinbarc  Karte 
nnw^lniM  aoiih  Borb  dudiin>h  ciemlich  illa»oriitch,  dim  die  von  vor 
lirn-tn    «l*    mwImmio    itii|{un-tZDmADe    QOltigkdit    dM    CaacbyVb 
HaisM  tnt  J*d«.  J»äi  in  Wabrbrit  eine  OrünztetraohttiBff  erionU. 
ilt         -  ^    -        Mirh  i>lnfiicber  ftuafUlt,  iJ»  di«  in  9  S  diMw  Auf« 
kl  tiKvfnbrte. 


A.  PrinffiAeim:   DWwr  den  Cauc^scAen  Intfffratsatz.  43 

Uleiii  versuchen,  dieselbe  etwa  ans  der  vorauszusetzenden 
Uetißkeit^)  von  f'i^r)  ab/.nleiten,  ein  Unternehmen,  das, 
renn  überhaupt  durchführbar,  zvreifelUis  auf  ziemlich  schwie- 
$ge  und  uuiätüudliche  Betnichtunf^en  fuhrt,  da  es  sich  bei 
lern  obigen  üiÖ'ereuzeniiuoiieDten  in  Wahrheit  um  eine 
Function  von  4  Veränderlichen  (nämlich:  *  =  a;  -f  yi, 
i=f -1-  i/t)  handelt. 

Eine    vOllig   andere  Methode  schlug   hekanntlii^h   Uie- 

lann    beim   Beweise  des  in  Kede  stehenden  Satzes*  ein,   in- 
lern    er    denselben    auf   einen    Specialfall    des  Green*scben 

atzea  gründete,   nämlich   auf  die  Reduction   eines  Ober  ein 

ewisses  EbenenstUck   zu  erstreckenden   Doppelin tegnüs  von 

^r  Form    I  1 1~^  —  ^1  dx  •  dij  auf  ein  einfaches  Integral 

J{P'dx-\-  Q'dy)  eretreckt  über  die  Begrenzung.*)  Dieser 
Beweis  ist  ziemlich  unverändert  in  fast  alle  einschlugigea 
deutschon  Lehrbücher,*)  aber  auch  in  viele  ausländische*) 
öbergegangeD  und  wird  ganz  allgemein  ausdrücklich  ala  der 
^Riemann'sche'  Beweis  des  Caucbj'scheu  Satzes  bezeichnet: 
wie    mir   scheint,    mit  einigem  Unrecht.      Oenn    wenn  auch 

M  Bei  der  groflsen  Mehrzahl  der  anf^efdhrteu  Bewei»  wird  so- 
gar nur  die  Endlichkeit,  nicht  die  Stetigkeit  von  f  (s)  roraug- 
ge»etxt,  wodorch  deren  Grandlagen  noch  problem alischer  werden. 

')  Ornndlagen  för  eine  allgemeine  Theorie  der  Functionen  otc. 
(InBugnraldis»ertatioD,  1661). 

')  Man  ¥gl.  I.  B.  die  T.ebrbiirhiT  über  Functionen theorie  oder 
ellipttBcbe  beaw.  Abersche  Functionen  von  Dur^ge,  Thomae, 
Königaberger,  NenmaDn,  iowio  die  Compendien  der  Analjaia 
Toa  ScfaK^milch,  Lipschit«.  Harnack. 

*)  Man  sehe  s.  B.  Ho  uf'l,  Tb<^rie  elf^meutAiro  dei  quantit^i  com- 
pleiea;  deagl.  Calcul  ioQnit^imal,  T.  III.  —  Herinil(>,  Cours  d'Anal.vte 
(rdd.  par  Andoyer).  —  Caiorati,  Teorica  dplle  fnnzione.  —  Auch 
mehrere  der  schon  oben  genannten  CompendieD  (Bertrand,  Laurent), 
welche  den  Beweis  neben  dem  Caachj'Khen  atudrOcklich  als  den 
Riemano'schen  anfllhrea. 


44 


lAtxmiff  tltf  math.-jihtft.  Clasac  tiom  6.  Januar  1895. 


derselbe  erat  durch  Uiemonn's  DaratellunK  aUgemeino  Ver-, 
breitiinf(  gefunden  hat,  so  läast  sich  doch  mit  unbefltreittMirer] 
Sicherheit  nachweisen,  daes  Catichy  bereits  fUnf  Jahre  vor] 
dem  Hlrscheioen  der  Rtemanu'schen  Disit^rtation   ihn   nicht 
nur  gekannt,   «onderu    in  der  HnupUache  auch  publicirt| 
bat.    Da  ich  nach  dem  (jt*stigtea  wohl  annehmen  darf,  da» 
diese  That^ichc  bisher    völlig   unbemerkt    geblieberi    t4,    so 
mächte  ich  au  dieser  Stelle  folgendes  darüber  mittheilea: 

Im  23.  Bande  der   Compted  Reodas   findet   »ich   aof 
S.  251    eine  Note   tou    Cauchy    mit  deiu   Titel:    .Sur  lei 
integrales    qai    s'^tendent    u    toiis    leK    points    d'iine' 
courbe  ferm^e."     In  dieser  Kote  wird  znnächst  daR  IntegraL 
(^S)'^Jk'ds  erstreckt  Ober  die  Begrenzung  einer  Flüche 
bei    beliebiger    Anuibl    von    Variablen    bezw.    Dimcn^onen 
defioirt,    alsdann    aber    heisst    es    wörtlich    folgenderma 
(S.  254): 

.Lorsqne,    la  aurface  S  etant  plane,   x,^  8a  r<-| 
dniseot  &  deux  coordonneea  rectilignes,  on  polairea,! 
ou    de   toute   autre    nature,    propre   h   d^terminer  ta 
Position    d'un    point   dans    le   plan   de   ta  äurfucc  5,, 
«lors,  en  designant  par  Jl«  Y  deux  fonctioos  contini 
def  variables  x^y  et  »upposant 

on  a 

(S)  =  ±SS{l>,X  -  D,  T)  dx  äf, 

rinlegrale  double  fi*^tendaiit  a  toits  les  pointx  de  la 
flurface  Ä* 

Nun    folgt  eiuo   Bemerkung   über  die  boiitimmung   dos 
zweifelhaflen   VonEeichena,   worauf  Caachy  folgendi 
fortfährt: 

•  Dans  le  ca«  particulier  oä  la  ifommQ 

Xdx-\'Tdj, 


Ä,  Phngsheim:  üthtr  den  CaucA/adien  IrtteifratsaU.  45 

'est  UDC  diffdrentielle  exacte,  on  a 

et  la  formule  qai  d^termine  la  valeur  de  {S)   ae  re- 
[dnil  ä  Tequation  dejä  trouree 

Das  isk  aber  in  der  That  ganx  genau  der  fragliche 
.Uiemann'schc"  Beweis  mit  dem  einzigen  CJnterBchiede, 
dass  die  lieclinung,  welche  zur  Rediiciioa  dtiä  duppelten 
Integratä  auf  das  einfache  dient,  au  dieaer  Stelle  nicht  niit- 
getheilt  wird,')  Ciiuchy  setzt  ehen  dieflc  Rednctionsformel 
einfach  als  bekannt  voraus,  und  das  war  «ie  ja  auch  da- 
maU  Echon  seit  längerer  Zeit.*)  Wirklich  neu  ist  nur  ihre 
äusserst  sinnreiche  Äuwenduiig  auf  den  vurliegenden  Fall, 
deren  Priorität  mau  bisher  fälschlich  Kieuauu  zugeschrieben 
hat.  Kieniann  selbst  hat  wohl  niemals  jenen  ßeweis  aU 
sein  äpecielles  Eigenthum  in  Anapruch  genommeo,  und  es 
erHchnint  auch  relativ  bedeutungslos,  darflber  Vermuthungen 
anstellen  zu  wollen,  ob  er  die  citirte  Kote  gekanut  haben 
mSge  oder  nicht.  Hlngegeu  halte  ich  es  für  nicht  unwichtig, 
an    dieaer   Stelle   einmal  die    Frage    aufzuwerfen,    ob  denn 


1}  Im  EingBOga  der  betreffenden  Note  theilt  Cauchy  der 
Akademie  mit,  d&ä«  er  sich  an  dieser  Stelle  auf  eioen  kurzen  Aui4zufr 
beschrdoke,  da  er  die  eigentliche  Alihandlact;  demnilcbst  in  leiaen 
GierciceB  d'Anab'se  et  de  Pbytiqae  mutbeniatiqae  publi- 
ciren  wolle.  Dies  ist  indessen  bds  mir  unbekannten  Grflnden  unter- 
blieben, und,  soviel  ich  reat^tellen  konnte,  ist  die  angekOndigte  Ab* 
bandlung  auch  an  keiner  anderen  Stelle  gedruckt  worden.  Hicrflber 
be7.n.  ob  sich  dieselbe  rielleicbt  in  Canchj's  Nachlawe  vorgefunden 
bat,  Verden  vielleicht  die  noch  im  Ersefaeinen  be^^riffenen  Oeuvres 
complbtefl  Aafkl&ning  bringen. 

*)  Die  Abbanülang  von  ^reen:  .An  essaj  ontheapplication 
of  matberoüticHl  analrfi«  to  the  IheorieB  of  electricity 
and  magneiitm'.  auf  welche  man  ja  bekanntlich  die  ^^licbe 
Formel  inrfickza fuhren  pflegt,  i«t  schon  int  Jahre  1828  erschienen. 


in 


Sittunff  dtty  math.-jihif«.  Cla»S«  vom  5.  Januar  JSÜS. 


Kwischeo  den  Arbeiten  Cauchy'n  und  Kiemanir^  herQhmi 
Dissertation  nberhnupt  kein  undi  wcisbarpr /ufiammen- 
hang  besteht?     Es  mu.is  doch  sicherlich  sehr  merkwOrdi^ 
entcheinen,   das»  der  Name  Cauchy'a  in  jener  Subrift    mit 
keiner  Silbe  erwähnt  wird,  wenn  man  bedenkt«  dass  zu  jen« 
Zeit  nicht  nur  Canchy  nuch&tnanss  wohl  unbestritten  all 
der    lii'dentendnte   nnter   den    lebenden    Mathematikern    giilti 
sondern    dass  uiich   gerade   er   von  seinem  ersten  Änflretefl 
an  einen  f^rossen  Tbeil  seiner  gesammt^n   literarischen  Pro 
duction     ganz    «peciell    der    consequenton    Einfflhntng    d« 
coniplezen    Qrömen    in    die    Analysis    gewidmet    und    an 
diesem    Gebiete    damals    eine    ganze    Heihe    von    Resultat 
bereit*  publicirt  hatte,   die   ftlr  die  Entwitkelnng  der  Kiinc^ 
tiotu^ntheiirie  in  der  von  Uiomann    verfolgten  Kichtimg  all 
fundamental   anzusehen  sind;   ich   nenne   ausser  dem  hiü 
in  Rede  stehenden  Satze   nur    die  Hiurohning   de»   RrgrifTa 
der  mnriogenen    d.  b.   mit  einem    von  der  Düftfrentiations 
richtungunabhüngigfn  DifTerontialquntienten  versebenen  Kiinc 
tion,*)  ihre  Kntwickelbarkeit  in  Pot^nzreihcn,*)  die  Definitio^ 
der   Periodicitütjiraoduln   («iudice«  de  periodiciU*)   eine 
Integrals  und    die   hieraus   resultirende  iVriodicitui.  der  Vt 
kebrungafunctiünen.')     Ob^bon   die   Priorität  Caacby'a   ii 
diesen    und    einer    FU-ibo   daran    anknöpfender    Fragen    wnhT 
Dieuiak   ejnt»iUcti    bestritten    wurden  ütt,   so   erscbien   hm  mix 


1)  Nouv.  KxcK.  T.  IV  |f.  »46  (IS17).  Hi(tr  ßnd«t  «iob  wnlil  ufl 
«nten  llalo  der  Auadnick  .moDogen*  Dod  deuen  DeSoiliOD  doro 
dia  BediBRUDRr 

^  ZtM>rat   in   einem   1632   tn   Törin   b^raunijefrebenon   Itibd 
phirten   Mämoirt*   («ricder   ul>(!edrDt;kt  IB-tl    im  i.  Hnnd«  der   Nouvd 
Ks«re.  p.  DO).    In  anderer  Form:  Nmir.  Kier«.  T.  I  p.  2H9  (1S40). 

S)  C.  R..  T.  23  p.  669  (18461    [)t«M  Abkaodhiag  eothilt  Uia 
•Kobiieb  di«  volUt&ndig«   ürnndlaiK«   na  dit   notlerne  Thtorie   d« 
•lliptiaebM  und  Ab«l*aclteB  FancÜnnea, 


cntli 


^5—,      "      in    die  Voraiwsetzuiiq   aiifnimuil),    so    i^cheint    mir 


A.  Pritufxhrim:   üeber  dm  Cituthy  $dteH  InteffraUtUe.  4:7 

h    Angemessen,    bei    dieser    Gelef^enheii    uinnial    uub- 
cklich    liierauf  hinzuweisen,    da    sich  neiierdin^  eine  ^e- 
Tendenz  bemerkbar  gemacht  bat.  die  mit  Recht  ausser- 
ich     hohe    ächälzting    der    Veniienste    Rieuiann*» 
tiiu  die  Kutwickelung  der  Kunctionentheorie  bis  zar  üeber- 
schätxuug  auf  Kosten   nicht  minder  verdieostToller  Mathe- 
matiker auszudehnen. 

Läs-st  sieb  nun  anch  gegen  die  Stiefahnltigkeit  des  7.11- 
letzt  besprochenen  Beweises  keine  l*Iinwendung  machen  (falle 
man  noch  die  Stetigkeit  oder  wenigjtten.s  Integrabitität  von 
31'    3X 

derselbe  in  Bezug  auf  Einfachheit  und  Natürlichkeit  der 
Methode  noch  keineswegs  denjenigen  Anfonierungen  zu  ge- 
DÜgenf  welche  man  an  den  Beweis  eini"«  so  grundlegenden, 
gleichsam  im  Anfange  einer  aui^gedehnten  Disciplin  stehen- 
den Sttt/*»  fU'llun  niüchte.  Die  Herbeixiehung  de«  Doppel- 
integrnlä  wird,  rein  methodisch  betrachtet,  immer  als  ein 
nicht  hinlänglich  £u  motivireuder  Umweg  erscheinen  und 
wirkt  erfahrungsgemäß  bei  der  Einführung  in  das  Studium 
der  Functiunentheorie  fUr  den  Anfänger  äusserst  erschwerend.*) 
Ich  habe  daher  vorÄUcht.  einen  neuen  uud,  wie  ich 
glaube,  sowohl  hinlänglich  einfachen,  als  strengen  Beweis 
abznleitrn,')  dessen  Mittheilting  den  Hauptzweck  des  vor- 
liegenden Aufsatzes   bildet.     Ich    ben(il/c   diese  Gelegenheit, 


*t  Die  Schwierigkeit,  welche  die  Ableitung  der  Green^scben 
Keductionsformcl  dem  AnnUigcT  lu  bereiten  pflegt,  hat  Kronecker 
(ff.  Berliner  Sitiunfjsbericlite  von  168S  p.786  und  Vorleaongen 
Ober  Integrale  p.  37— 41)  dadurch  jti  Tennindern  gesacht,  da.M 
er  die  fragliche  Formel  innftchst  fttr  ein  Dreieck  oder  ein  Rechteck 
beweist  und  aodann  das  allgemeine  Resultat  mit  Hnlfa  eine«  Grenx* 
Qbergangei  daraas  znBamniensctzt. 

'*)  Der»elt>e  berührt  aich  in  tnancber  Beziehung  mit  den  Be- 
tmchkungen,  welche  Herr  Thomae  Über  die  Integration  swei- 
filiedriger    DJRerfntialiea    angestellt    hat    (1.  ISinleibnng    in    die 


Sitrung  der  math.-ph^s.  Clane  vom  5.  Janwar  1896. 

lim  etwas  geoaaer  auf  die  Definition  eines  Integrals  der  Form 
jP'dx  H"  Q'dif^  erstreckt  über  eine  Cune.  einzugehen  »ml 
dubei  gewiRHe  Punkte  zur  iSpraehe  zu  bringen,  die  vi«llüirht 
vielfach  bekannt,  aber  meines  Wissen«  noch  niemals  scharf 
pr&cisirt  worden  sind. 

Schliesslich  will  ich  nur  n<x;h  bemerken,  daas  die  im 
Folgenden  benützten  Methoden  auch  eine  VeraUf;emeinenu>g 
für  die  Betrachtung  ein-  und  mehrfacher  Integrale  mit  mehr 
als  zwoi  Variablen  gestatten.  w(jrauf  ich  vielleicht  bei  späterer 
tjelegeabeit  zurück'/ukomnien  gedenke. 

S  1.    Definition  und  allgemeine  Eigeoflcbaftea  eines 
Curven-Integrala. 

£■  Bei: 

(I)  y}^9{^ 

ftir  da6  Intervall  7q<^<j;  eine  eindeutige  und  fttetige 
Function  von  f  und  zwar  insbeüoudere: 

ferner  P  {$, »})  eine  gleichfalls  eindeutige  und  «tetige 
Function  von  {i,  t})  für  alle  Werthe  .f  dea  genannten  tnter- 
valles  und  die  durch  Ol.  (I)  zugwirdneten  Werthe  von  ly. 
Atädann  hat  da»  bestiinuite  Integral: 

einen  festen  endlichen  Wertfa  und  soll  beKeJchnet  werden 
aU  das  Integral  von  P(^,  r/)><ff,  genommen  Ober  den 
Inlegrationsweg  G  in  der  Rieh  lang  x^  . . .  z,  in  ifCeicben: 


Theorie  der  beititnmtcti  lotei^rale  p.  B6  IT.).     Doch   wiri 
aalbft    von    oiaer    ÜefinitioD    dci    vDbeitinimlnn    iDtetrnJ* 
{P'ix-\-  Q'djf)  aiufrtgaDg«D.    wodurch  die  fruixc  Beweiifübraa);  wirr 
wweaülch  aa  Binikcbheit  and  Durcbtichtijjkeit  *erli«rt. 


A.  Pritiffitheim :  Uehtr  «leti  CtMuh^wehen  IntegriÜHatt.  49 


(+0)  «• 

nn  C  diejenige  Punk  treibe  bedeutet,  welche  der  Gleichung 

-  *f.  {$)  bezogen  auf  irgend  ein  Coordinutensystem  —  etvu, 

wir  der  Einfachheit   halber  unnebmen   wollen,   ein  ge- 

5hnliches  rechtwinkelige»  —  entspricht,    während   die  Be- 

cbniing  (-f-  C)    andeuten   soll,    dass    diese  Panktreihe    bei 

Integration    in    der  Richtung  der  wachsenden  X   durch- 

Xen  werden  soll.     Wir  pflegen  diese  Punktreihe  scblecht- 

bN  Integrationä-Curve  und  da^  betreffende  Integral  als 

Curven-Integriil  7.u  bezeichnen,  obscbon  hierl>ei  keines- 

fegs  stets  an  eine  «eigentliche*  Curve  d.  h.  eine  im  allge- 

einen  mit  einer  bestiuimten  Tangente  ver!>eht!ne  stetige 

sie  zn  denken  ist:  denn  that$ächlich  genügt  fOr  die  Exiäben« 

obigen  Integral«  die  blosse  Stetigkeit  von  fp($),  ohne 

muu  genüthigt  wäre,  über  da»  Vorhandensein  eine»  im 

i^enieinen     bestimmten,    endlichen     Ditferentialquotienten 

{endwelche  Vorauaiietzung  zu  machen.') 

Bezeichnet    man    mit  ( —  C)    die  nämliche  Curve,    falls 
Integration    in    der   entgegengesetiGten   Hicbtuug    vorge- 


*)  Gerade  au*  diewm  Orunde  gpbo  ich  drtni  hier  eiii(feechlitÄenen 

^t  den  VorEug  vor  dvu  fa^it  a)]ffemo)n  QbltcbeQ,  wobei  dat  Tnte- 

ht    zunächst   al5   Grenzvcrth    einer   Samme    detinirt    and    sodaan 

«ea  Kxi&tens  mit  UUlFe  einer  ParamtiterdaralelluoK  von  der  Form: 


f=9'(0 


>)=V(») 


naehg«wteaen  wird.  Bei  dimem  Verfahren  tii  die  VoraiuMtxang 
einei  ictegrablen  Differentialqnotientea  *//'  (0  nod  ebenio  ßr  da«  so* 
gleich  noch  eiozufQbreiule  Integral  J^  V <•  'J ' '  '^  'i'  '^'^  analoge  Vorau»- 

setrang  bezOglich  v''  i^)  nnerl&nUcb ,  was  mir  aoi  dem  Gnmde 
wenig  wOnscbenswerth  erflcbeiot.  weil  hierdurch  die  Vorstellung  von 
dem  Zuitandekommi^n  einea  solchen  Integrals  nicht  nur  «ine  xu  i»ng 
begrenzte,  sondern  lo  gewissem  Sinne  g(<radexu  eine  principiell  nn- 
richtige  wird,  wie  tpftter  n(>ch  de«  n&heron  erOrtert  werden  soll. 

IA«!i.  M«tb.-pli]rK.  Ol.   1.  i 


'»('  Sitzung  drr  math.-jthjtf!.  Clasne  rom  5,  Janmar  189S. 

nonomen  wird,  so  folpt  ohne  Weiteres  aas  der  obigen 
Definition,  da^^: 

(3t  fP(£,^,)'d=-  fP  {$.  r,)  d  i 

und  ferner,  wenn  man  die  Curve  C  in  eine  beliebige  Anzahl, 
in  dem  gleichen  Siune  wie  C  zn  durchlaufender  Theücurren 
f,.  (y  =  1,  2.  •  -  ■  ?(i  zerleg  denkt: 

(4)  fF  (~. ,,)  -  rf  r  =  y^vfP  ü%  M  ■  rf  i. 

'<'»  1     (Cr) 

Schliesslich  erkennt  man  auch,  dass  das  Int^ral  (2) 
einer  ganz  analogen  Mittelwertbrelation  genGgt,  wie  die  ge- 
wöhnlichen liestimmten  Integrale  einer  Veränderlichen, 
niimlicb : 

(5)  fP  a.  tji-(lc=  P($'.  */|  -  {x  ~  xj 

wo  (^'.  t/)  ein  passendes  Werthepaar  aus  dem  Gebiete: 

also  einen  gewissen  Punkt  der  Curve  C  bedeutet.  Diese 
He/.iehung  lehrt  insbesandere,  dass  der  Integralwerth  gleich- 
zeitig mit  {x  —  Xq)  gegen  Null  convergirt  (d.  h.  zunächst 
immer  unter  der  A'^oraussetzung.  dass  v=V  (^)  **"*  *'"" 
deutige  Function). 

Hut  die  Olt'ichiing  t/  =  ff  (c)  die  specielle  Form  i;  =yo' 
W(.  //(,  eine  Constiinte  bedeutet,  d.  h.  reducirt  sich  die  Curve  C 
auf  eine  zur  X-Axe  panitleh'  (ierade.  m>  folgt  ohne  Weiteres 
\\\\>  der  Pftinition.  dass: 

■r 

( 'i }  fP  ( c.  ,,)->li=  J ^P  ( £.  y^)  •  d  i 

wird.  Dagegen  i>t  der  Fall.  dii>s  6'  sich  auf  eine  Parallele 
zur  l'-Axe  reducirt,  in  der  oben  gegebenen  Definition  nicht 
iMith:ilten.     Denkt   niiin    ^ich  jfduili    iils  liitegrationüciirve  C 


4'  Prtn^^lwiM:    rtl*€r  iUn  Cai4chi/'iehe»  tnt«ffraJtttU.  ^l 


eine  beliebifue  andere  Gemde  x^x,  so  lehrt  der 
[MitlHw«rth«atK  (5),  cUm  dfir  betreffemle  Integralwertb  b^ 
ibebig  kUin  wird,  iubald  die  Keimung  der  Oontden  gf^en 
IHi*  y-Axfr  d«  NiilJ  «üÄtrubt,  und  man  wird  daher  der  bis- 
Lber  gc){pbnDeti   Deflniliun  iiüch  die  (jlcicbMn^: 

(Vi 

ron«*t|urnU»    KrweiUrunbt    hinv;u/.iifüi,'pn    haben ,    fdr  den 
L^aU.  dui  die  Curre  C  in  die  fragliche  Verticale  (Ibcrgeht. 

Di«  Ol.  (4)   kAnn   jKxtann    daxu   dienen,   um   deu    vor- 

\nU*^n\\>ei^\ti  auf  «oläbe   Kälte  aunzudehnen,   in 

P'ieseti    i;  =  7  (c)    eine    mehrdeiitig*<    Ht«?lijj;e    Function    von 

darjitvlll.  bulern  dieselbe  nar  der  Beacbrüitkung  unUerwurfen 

wild,  dam  «ich  das  Intervall  (x^x)  in  eine  endliche  Anzahl 

ltb«il%rej««  od«r  gänzlich  sich  Qberdeckeuder  Intervalle  (j:^x,)-<* 

|l«2-t'j'*  *  •  (''w-i  JJ»)*)  umformen  Vastsi^  für  welche  dann  die 

litt.  tf^s^,(^)  ersetzt   werden    kann    durch    ein  <*leicliunf;s- 

|v;nt«ni  foo  der  Fonn: 

,=M^ir,i^      für:       4r„<f<a;, 


'/  =  n  u> 


'/-»-.U) 


|«o  jeUt  ^|<^)  diircbwet;  eindeutige  Fiinctioneu  bedeuten. 
et  bt  »och  xuUluig,  dun  f(lr  eine  endliche  Anzahl  von 
■- ^  die  Varinbie  i/  in  der  Weise  unendlich  viel- 
,  j,  dadh  »ie  bei  constautem  *=J"«  eiiu^  oontinuir- 
lie  W«Ttbenr«be  y^,  ■  ■  yj,  durcbtäuft  (geometrisch  Re- 
l*|inxb«o.   daM  «inxelDe  SlQcke  der   Integrationscurve  C  aus 

Ufclwi  kikiiD  alao  iiitbemniUr«  x^  _ ,  beliebitt  od  mit  -to-  d««gL 

4" 


5'> 


SiUuruf  tlcr  math.'j)hi/».  Ctasse  vom  G.  Jannar  /tiJ>2. 


aus  verticalen  Geraden  bestehen),  ^todass  uUo  7.u  d«ji  Glei- 
chungen (8a)  noch  eine  endliche  Anxahl  von  Beziebungfii 
der  Fomi: 


(8  b) 


!/fi<*l<V'f,         ftjr;   i^x^^ 


hinzutreten  würde. 

Kine  Function  ij  ^  7  (t),  welche  den  ebengenannU*n 
Bedingungen  genOgt,  soll  in  Zukunft  nach  bifkannttni  Analogien 
als  abthcilungsweise  eindeutig  bezeichnet  worden. 

Bedeutet  dann  wiederum  0  diejenige  Curve,  weh;he  der 
Gleichung  ij  =  v  {£)  zugehört,  Cr  diejenigen  Theilcurren, 
welche  den  Beziehungen  (Kh)  und  (8h)  entsprechen,  50  soU 
die  Det'initionsgleichong  gelten: 


(9) 


fP  (5.  ,/)  .  rf  f  -  ^rfP  (f  1/)  ■  d  f 


10 


1       (<?!.} 


sofern  alü  Integrationsrichtung  fUr  die  einzelnen  Curven  Cr 
diejenige  feflLgehulti'n  wird,  welche  sich  bei  stetiger  Durch- 
laufang  der  Gf^ianimtiMirve  C  in  dem  einmal  vorgeschriebenen 
Sinne  ergibt. 

Die  Gl.  (9)  kann  ferner  auch  sur  Delinition  des  frag- 
lichen Integrals  dienen,  falb  die  bisher  auf  (C)  ab  dun*h- 
weg  Atetig  nugenommene  Function  P(f,  t;|  in  X^,x^,''-Xu 
endliche  UnHtetigkeiten  besitzt,  und  es  hat  keine  Schwierig- 
keit diese  Definition,    nach   genau  denselben  Principien,  wi« 

« 

fOr  Integrale  der  Form  J/'(f)*f2f,  auf  den  Kall  auszudehnen. 

da»  ji*nc  Stellen  jp,,  x,,  •  ■  •  gewisse  unendliche  (M>g.  unaus- 
gedehnte) Puuktmengen  bilden:  hierauf  «^oll  indea^n  nicht 
nSher  eingi^gaiigen  wenien,  du  eine  'lenirtig**  Bot.rachiaog  mir 
keinerl*»!   Iiesonderea  Intero>-se  zu  bieten  -wlieinl.'l 

'/  Auch  ül^erdcJif»  ich  hier  <icn  Fall,  dft'-s  /'i.e.'/)  a-.i  o 

Stidlea  uui'ndlich  jfro«    «inJ,   und   renreii**   in   dltMier   IJ<  .f 

die  allgemein  Qblicbe  ßeliaadlung« weise. 


A.  PriHg^eim:  Ueher  den  Cnuchy'schen  InteffraUatt. 


53 


bedeute  nan  ferner  $  '^^(tf)  eiue  für  daa  Inlerrult 
o^v/^y  stetige  und  schlechthin  oder  abtheilungs- 
rci*e  eindeutige  Function  von  ;;,  Q{^,t})  dne  fftr  die 
eben  genannten  VVerthe  (f » »;)  eindeutige  nnd  schlecht- 
•bin  oder  abtheilungsweise  stetige  Function  von  (f.  i;), 
ist  aus  dem  ^nvor  gesagten  vollständig  klar,  was  iintei* 
invm  Int4?gral  von  der  Form: 

sa  verstehen  iat,  falls  C  die  der  61.  f  =  v(i;)  zugehörige 
Curve  bedeutet,  nnd  mau  erkennt  ohne  Weiteres,  dass  dieses 
lutegrat  ganz  analogen  besetzen  gehorclit,  wie  das  unmittel- 
bar zuvor  betrachtete.     Insbeeondere  wird: 


(10) 


bezw.    fQ{lv)-d'i  =  0, 


falls  sich  die  Integrationscnrve  C  auf  die  zur  Jf-Axe  parallele 
Gerade  $  =  Xq,  bexw.  auf  irgend  eine  Parallele  zur  JC-Aie 
reducirt. 

Man  habe  nun  schliesslich  gleichzeitig: 


(H) 


f   '?=V  (t)     für:  Xa<S<X 


(swlasH  also  i/'  die  inverse  Function  von  q>  —  vice  versa), 
wo  7  (f),  1^'  {t})  in  dem  bezeichneten  Umfange  durchweg 
stetige  und  schlechthin  oder  abtbeilnngsiveise  ein- 
dentige  Functionen  ihrer  Argument«  bedeuten.  Ferner 
seien  P  {3.  r/),  Q  (;,  //)  zwei  ffir  sämmtliche  durch  die  Be- 
dingungen (11)  definirten  VVerthepaare  (^,  rj)  eindeutige 
und  schlechthin  oder  abtheilungsweise  stetige  Func- 
tionen von  (f.  */).     Alsdann  definiren  wir: 


M         ,  jBftWMg  dtr  math.'tAffit,  Ctnsst  mm  5.  Januar  t89S. 


(12) 


falls  C  die  durch  jede  der  beiden  GleicliungeD  (11) 
stellte,  jedesmal   in  demselben  Kicbtangtt>inne  xu  nehmende 
Cürye  bedeutet.     Dabei    liUst    »Ich    die   auf  die  Sleiigkfl^ 
und  KindHuh'gkeit  der  beiden  Kuucticmen  7  (f)  und  y^B 
l>«zQglicbe  VDran»setxong  leicht  so  uniformen,  dn^  Kchlie^«- 
lieh    nur    von    irgend    einer   dieser  beiden   Fiinctionrn  da^l 
die  Rede  ist.    Damit  uümlich  die  im  Interrnlle  x,,_,  <f  <r1^ 
eindeutige  uudHt*»tige  (Timction  1;  =» /^^  (f )  eine  im  Intet- 
valle    y^_i  =  9^  (*r-i)    **'*    ^»  =  VM«,)    eindentige 
stetige  Uiukehrung  $='/'»(*)  besitw,  ist  offenbar  not 
wendig  und  hinreichend,   das^  r/  =  ^^(;)    mit  wachs 
den  Werthen  ron  ^  monoton  zu-  oder  abnehme   —  ▼! 
versa.     Hiernach    lässt  sich    aber   die  obt^n   nusge^procbl 
l^iDgnug   eiufucber    folgondernniäsen    formuliren:    V^   mi 
eine  der  beiden  Functionen  9'(c)<  </'('?)  stetig,    endlich- 
Tieldeutig  und  abtheiliingsweiB©  monoton  sein  —  wo- 
bei  nach    dem   frfllier  ßesagten  rj  oder  t    t'flr   eine  fndli« 
Anxahl  endlicher  Intervalle  auch  constant  sein  durf. 

Wenn  in  Zukunft  von  einem  .beliebigen'  Integration 
Wege  die  Uede  ii^,  so  soll  immer  ein  solcher  daruntrr 
titanden  werden,  welcher  die  eben  näher  bexeichni.'ten  Eig< 
Schäften  be$)ttzt.     Dabei  »ei  aber  auch  hier  ino<ler  ganx 
drflcklich  hervorgehoben,  daas  die  obigen  Bedingungen  wie 
um  noch  keinerlei  Voransset/niig  be/Ji^lieh  der  Existent 
«/(f)    bcÄW.    V'  {•?)   involvircn.      Denn   es   gibt  Lhaütfichlj 
atetige  und  beständig  monoton  zu- oder  abnufamei 
Functionen    (altia    auch   ohne   sog.    ItivArinbilitHt^ninge), 
nicht/Mlwlowrnigur   für    unendlich    viel»    Sttdien  jede»  Int 
Tallee    {z.    B.    alle    rationalen)    entweder    unendlich    gr 
oder   Oberhaupt   keine  beatimmteo  Üiff«retitial[|uoti«nt«i) 


A.  l'riiHjgheim:    üeh^T  den  CnHchy'gd%tn  lHte<jr<tiniits.  55 


j^^hceil.')     Mir  scheiot   üiea  iusoferu   von    Intere^e,   aU   von 

^^et  Existenz  eines    zum  Mindesten    intef^rablen   DiSereiiLial- 

einotienü-n  7'  (f),  oder  genauer  gesagt  von  der  [titegrul>iUiät 

des   Ausdruckes  r  1  -j-  '/■'*  ii)  •  ä c.   die    Existenz    einer    Ijb- 
[i'stinmitpn  Bogenlänge    der  Cnrve   in   dem  gewöhnlich  accep- 
'tirten  Sinne*)  uhhangt.  tind  «ich  hiemach  die,  wie  ich  glaube, 
ziemlich    vielfach    verbreitete,    auf  der    dblioheu    Paranieter- 
irstellnng    der    InU-grationficurve    beruhende    Annahme    aU 
ig  erweist,  da«  die  Existenz  eines  bestimmten  Werthes 
ein    Ciirveninte)?ral    wesentlich    mit  derjenigen   einer 
tioioiten  Bogenlünee  ( Rer titicirbarkeit)  der  Integratiom*- 
rve  zusammenhänge.     Wie  die  hier  angestellt«  Betrachtung 
•igt,  ist  die  Existenz  einer  bestimmten  Bogenlänge  f(ir  das 
Dtegml    völlig  belangtos.     Weiterhin    wird    sich    aber  auch 
ergeben,    da-ss   in    Kutten,    wo    eine   solche  Bogenlänge 

stirt,  ihr  Werth  auf  denjenigen  des  Integrals  JP'rf^-|-  Q^dti 

(ff) 
überhaupt  keinen  merklichen  Kiofluss  ausübt,  genauer  ge- 

^t,  da^  Curveii  mit  angebbarer,    endlicher  LängedifTerenz 

rale    liefern    können,    deren    Werthu    einander    beliebig 

Balie  kommen  (NB.  ohne  dass  Aber  P(f, »;),  Q{$,i))  irgend- 

velcbe  weitere  Voniassetzung  gemacht  wird). 

')  s.  s.  B.  Cantor,    CondenBation   der  Singuluritftten.     M:ith- 
Bd.  19,   p.  591.     Feroer:   Dini.   Theorie   der   Functionen    etc., 
B.  Ton  Lilroth-Schepp,  §  I12*.     Ein  anderer  Typofl  »on  der- 
ürtiK^D  Fnnctifmen;  ebend&aelb^t  §  1S2. 

2)  cf.    Du  Boifl- Heymond,    Eriauterunfien    zu  den   AnfanKt- 
TOnden  der  Viu-.-Itecfaouufr.     Math.  Ann.   Bd.  15.  p.  28&.     Bekannt- 
lich hat  Scheeffer  (^cta  math.  Bd.  5,  p.  60)  fUr  den  Fall  der  Nichts 
■ 
dstens  Ton  fY'^  f  +  ''  7*  eine  erweiterte  Detinition  der  Bojien- 

JLnge  gegeben.     Doch   lasHen  lich  dagegen  Einwendiinften   erbeben 
[(cf  Du  Boi»-RejmODd,  Acta  roatb.  Bd.  6,  p.  167),  welche  biiber  nicht 
viderl^gt  worden  iind. 


bü 


SiUtm^  der  malh.-pftya.  Cta/i»^  eom  0.  •/nwnnr  lti9X 


^  2.   Angenäherte  Darstellung  eines  beliebigen  Curven* 
Integrals  durch  ein  sogenanntes  TreppeniniegraL 

Eine  gebrocheno',  beiiebi»^  auf-  ond  '•---'  f  ■ -tc. 
deren    SKlcke    den    Cfrordinatemis«»    weci  -1 

laufen,  soll  im  Kol^nden  Bchlecbthin  aU  rine  Treppe  odd. 
fuIU  der  Endpunkt  mit  deiu  Aufiin^puiikte  2usaaiiiii*niiitlt, 
tk\s  eine  geschlossene  Tre|i{ie  oder  uIa  ein  Treppen- 
polygon bezeichnet  werden.  Kin  Inlegrtil.  de^KKin  Integration»* 
weg  eine  solche  Treppe  iat«  soll  dann  kur^  ein  Treppen- 
integral  hpis^en. 

Ks  sei  nun  S  diejenige  Trepjw,  weiche  durch  di<r  Kck- 
punVt«: 

bestiainit  wird,  ho  bat  man  mit  BrniGtzung  der  Gleichungen  (<)), 
(7).  (10)  offenbar: 


(13) 


Es  soll  nun  gezeigt  werden,  das«  «ich  jede«  CurveD- 
integral  mit  beliebig  vurzuächreibeuder  Annüheruog 
durch  ein  ««olcbett  Treppen iutegral  erttetieen  titist, 
Kobald  sich  die  Stetigkeit  voD  i'(f,  i/),  Q{$tfi)  noch  auf 
eine   gewisae  Naclibarschaft   der   Inti^gration^f^urve  eratreckl 

Ich  nehme  ah  IntegrüHonHcurvc  V  /utiiichst  t-ine  von 
«0  b>>  J^  monoton  verlaufende,  etwa^  um  die  Annchaumig 
^M  flxireu ,  beständig  aufsteigende  Curve.  Ferner  M 
P{:,ti}  eine  eindeutige  nnd  «totig«  Function  von  (S,  ij) 
nicht  nur  auf  der  Cnrre  C,  rondem  noch  fOr  ein  gewiaw» 
benachbarten    Gebiet    kuiu    Miitdentrn    auf  «iner  8«it«   d«r 


A.  Pfinifdiem :  lieber  den  Caut^^Khm  InleffralwUt.         57 

arve  -/.  B.  der  rechten:  dieses  Gebiet  mftg  bei  x^  bezw.  x 

ch  ein  gerades  LinienstOck  parallel  zur  X-  bezw.  F-Axe, 

Uebrigen   D«itlich   durch   eine    beliebif^   Carre   beyfrenzt 

ein,    lind    zwar   sollen    diese   Grenzen    mit   zum   Stetiffkeit«- 

ereicbe  von  P  (c.  y)  gehören.     Alädanu  ist  nach  einem  be- 

nnten  Satze  P{£,  r/)  für  das  definirte  Gebiet  gleicfamässig 

etig,    d.  b.   nach   Vorgabe   einer  beliebig  kleinen  positiven 

irüsse  o  lässt  sich  eine  positive  Grösse  6  an  bestimmen,  dass: 


lu)    \P(^.fi)-P{S.v)\<< 


fär: 


■  _    £| 


\ 


<d. 


ofem   (i,  r/),   {$'.  tf)    dem  fraglichen  Gebiete  einschliesslich 

einer  Grenzen  angehören. 

Man  theile  nun  das  Intervall  (Xf^x)  dnrch  Kinschaltuog 
3cr  Theilpunkte  3^^\  ^*^^  •  •  •  a;<"*'"   in   irgendwelche  Theil- 

stervalle,   deren  Länge  durchweg  <  d  sein  soll.     Es  seien 

eruer  y*.  i/^K--  y*"-''  die  zugehörigen,  auf  der  F-Axe 
verzeichneten  Curvenordinaten.     Sind  dann  unter  den  luter- 

ftUen  (y  ~  yi  )  solche  vorhanden,  deren  Länge  y  —  y 
(),  so  kann  man  durch  weitere  Theilung  erzielen,  daae 
schliesslich  nur  Intervalle  <  d  vorhanden  sind.  Die  auf 
diese  Weise  zum  Vorschein  kommenden  y-Werthe  (d.  h.  die 
früheren  y^'  und  die  etwa  noch  eing«»chaUeteu)  mögen,  der 
tirösse  nach  geordnet,  bezeichnet  werden  mit: 


yi.  yi- 


yn-u 


und   die   zugehörigen  Ourvenabscissen   (unter  denen  also  die 
ursprünglichen  x(^>  mit  enthalten  sind)  seien: 


«1.  ^t 


Xm-U 


Alädanu   denke   man   »ich   diejenige   Treppe  Gonatruirt, 
Fwelcbe  durch  die  Punkte: 


(«otyo)i  (^ryo)i  (*ryi)»--*  (*«-i,y»-!)»  (^.y.-i)t  (*.sr) 


58  Siteutu/  der  math.-phys.  Clasne  vom  3.  Januar  ia95. 

bestimmt  wird,  und  bezeichne  die  TheilcurTen,  in  welche  ü 
durch  die  Punkte  (a;»-,  yr)  (v  =  1»  2,  •  •  •  (n  —  1))  zerlegt  wird, 
alle    in    der    Richtung    der    wachsenden    f   gerechnet,    mit 

Cji  Cj,  •  *   ■   Cm* 

Man  hat  nun: 

M 

1 
(NB.    x,  =  x) 

^v_i  <  ^f-  <  a;r  y^_]  <r}y<  tfy. 

Andererseits  ergibt  sich: 


wo: 


I 

(NB.    x.,=^x) 

wo: 

j,.-i  <t<'"'<a:,.. 

Hieraus  folgt  zunächst: 

H 

1 

lind  da  offenbar: 

^f  —  i  '^      <  a;.-  —  j;,-_i  <  «^ 
//*■    '  i/y-i   <yv  —  yr~\  <'^ 

PO  findet  man  schliesslich  mit  Berücksichtigung  von  Uiigl.  (14): 
(15)  f  P-ili  —  fP-iJ^    <n.(.r  — aTfl). 


A.  Prifigdteim:  Uther  den  CaMckj/'nchtn  Integnüaal!.  Sw 

[•Ganz  analog  ergibt  sich: 

\  fQ  '  ti  fj  -fQ  -  d  ,,\  <a{},  -  fj^) 

ad  AUS  der  Ztidauimenfas^mig  beider  Kesnltafee: 

L    i/(^-<?^  +  ^ ■  ^ '/) -f(^ •  ''-=  -1- ^* •  f'v) I 

<o[(x— x„)  +  (y— vo)]. 

Da  aber  jeder  beliebige  Inlegrationsweg  in  eine  eadliche 
Lnzahl  solcher  Curven  C  zerlegt  werden  kann,  so  folgt 
chlie-sslich  ganr.  allgemein  die  liie-htigkeit  deä  ubeu  ausge- 
prochenen  Satzes.') 

Da»    vorstehende  Kesnlbit   wurde   »war  hier  wesentlich 

(eäshalb  abgeleitet,    weil  dasselbe  geätatiefc.  den  eigentlichen 

beweis  des  Cauchy 'sehen  Satzes   auf  ein    Rechteck    zu    be- 

chränken.     Dasielbe  kann   indessen   auch  dazu  dienen,  um 

iie    !i(n    Schltidse    des    vorigen    Paragraphen    gemachte   Be- 

I)  Der  nnatytiiche  Betriff  des  .Treppenintegrals*  und  die  eben 
liewipsene  UezieliunR  zwischen  bpliplnpcn  Curvenintetjralen  und  8oK'h<?n 
TreppeoiDteKralcD  ist  natürlich  vGllig  uuabbängig  tod  der  hier  leditf' 
lieh  der  ftrOueren  Anifchaalichkeii  halber  und  nanientlirb  mit  RQck- 
«icht  auf  die  übliche  Oaretellung  ein?r  cumplexen  Variablen  se- 
wählten  Auffas^oDg  too  f  und  p)  als  rechtwinkligen  Coordinat^n 
^bnnee  Punkte«.     Ein  Treppen  integral  ist  lediglich  eine  Summp   von 

H'Quadralaren  der  Korm  Ji*{S,!f)dS,    J  Q  (r,  t?)  </ >/.   wobei  im  ersten 

Integral  tf  =  jf^—i  bezw.  =  y^,  im  zweiten  x^x,  besw.  =X|,_i  tu 
setsen  ist    Cnd  der  obige  Sats,  von  jeder  geometrischen  Vorätellung 


Jp; 


loigelttat,  beeagt,  dass  ein  Utegral  der  Form  J  P*df  +  ^'d';, 

zwischen  ;  und  t;  eine  Beziehung  von  den  näher  delinirten  Eigen- 
Ruhaflen  besteht,  stets  mit  beliebiger  AnnAhemng  durch  eine  endliche 
Anzahl  solcher  Cjoadraturen  ersetzt  werden  kann. 


(»O 


Sittttng  def  malh-f^y».  Clawe  vom  6.  Janitar  1695. 


inerkniif?  in  sehr  einfacber  und  Anschaulicher  Wei^  »u  er-^ 

Nimmt    Dian    nanilicb    als  Tntngratiou<teiirve  C   »ine  die 
Punkte  Xq  und  x-  verbindende  (ji*rade,  deren   Lün^e  aisu  den 

Werth  y  {x  —  x^,)*  -j-  (y  —  ^/ol*  besitzt,  so  kann  man  nach 
dem  eben  Gesagten  das  betreffende  Integral  mit  beliebiger 
Annüherunjf  dtirr.h  ein  solche«  Ober  eine  Treppp  ersetzen, 
welche  utlcnbar  die  unveränderliche  Lunge  [Jt — x^  -{-  tf — y„| 
besitzt,  wie  klein  man  auch  die  Abstände  ihrer  Eckpunkt« 
wählen  mag.  Mit  anderen  Worten:  Bei  unbegrenzter 
Verkieinemnjf  der  Treppenstufen  convergirt  der  VVertb 
de*  'IVeppenintegrftls  genau  gegen  denjenigen  des  gerud- 
linigen  Integrab,  ob«choa  die  beiden  Integrationswege  die 
unrerÜD  der  liehe  LüngendifFerenx  \  x  —  ^o  I  "1"  V  —  Vo  \ 
K  (X  —  x^)*  -h  (y  —  tft,)*    besitzen. 


§  8.    AnÜsteUting  einer  noibwondigen  Bedingung  für 

die  Unabhängigkeit  des  Integrals  J  (  P  ■  r/  5  +  V    rf  r/ 

vom  Integrationswege. 

B  p  B  ü  , 
E!js  seien  Pfjj.  y),  0(x,  y),   ;j— ,  ^  innerhalb  ein»  ge- 

tf  y     3  X 

wijtMju  (ein-  iider  mehrfach)  y.iu<amnienhringouden  Gebieten  T 

eindeutige    und    im  Allgemeinen   stetige  Functionen    too 

(x,  y).     Abdaon  gilt  der  Sat/.: 

■Soll  dab  Integral  /p-rff  +  Q-Hif)  er^lreckl  Ober 

eine  beliebige  innerhalb  T  verlaufende  Carte  «inen 
lediglich  ron  den  Grenzen,  aber  nicht  vom  Inte- 
gra tionitwege  abhängigen,  bestimtziteu  Wertb  be- 
sitzen, «0  musB  fUr  jede  Stelle  (x',y')  in  deren  l^m- 
gebuug  die  oben  genannten  Functinnen  utetig  sind, 
die  Besiehaug  beftteben: 


A.  PfingAMmi  Ueber  den  Caudt^gdUH  TnUtfratsatM, 


61 


Beweis.    Soll  das  fragUctie  Integral  vom  Integrations- 
^ege  anabhängig  sein,  so  niuss  offenbar  jedes  fil>^r  eine  ein- 
Kch  gescliloi-sene,    innerhalb   T  vurlttufcnde  Linie   erstreckte 
Inti'gral  J{P  •  rf  s  +  Q  •  <i  u)  verschwinden. 

8ei  nun  {x\  y')    ein  beliebiger  Punkt  innerhalb  T  von 

Be^chafTenbeit,   dass  die   vier  genannten  Functionen  ftir 

gewisse  Umgebung  derselben  stetig  mnd.    Ali^ann  denke 

sich    parallel    za  den  Courdinatenaxen   ein  Rechteck  R 

anstruirtf  welches  einschliesslich  »einer  Begrenzung  ( J2)  noch 

In  die  betreffende  Umgebung  des  Punktes  {x\y')  hineinfallt 

md   diesen   selbst  im  Innern   enthält-     Bezeichnet  mau  so- 

lann  irgend  einen  Eckpunkt  (etwa  den  linken  unteren)  von 

mit  (Xq,  ^g),   dagegen    mit  (x,  t/)  jeden    btiUebigeM    Punkt 

^m  Innern  (einschliesslicb  des  Punktes  (x',  y'))  und  mit  r  jedes 

Jurch  die  Punkte  (j^q,  i/q)  t^«  v)  bestimmte,  zu  den  Coordinaten- 

leu    parallele  Rechteck,   so    muss   offenbar   die   Beziehung 

itattfinden : 

(r) 

h.  man  hat  für  alle  Werthe  {x^  yi)  des  genannten  (tebieteä: 

fP  (^  yo)  *  rf  ■?  +  'CQ  (^1  v)  •'/'/+  fP  (f.  y)  •  rf  f 


[oder  anders  geschrieben: 

(18)  W,{x,;d^W,{x.y) 

wenn  gesetzt  wird: 


(20)   yf,{x,y)  =  iQ{x,,*j)-df}-{-SP{^,!,),d^. 


62  Sitzung  der  maih.-phys.  Clasne  «wm  5.  Janunr  1895. 

Aus  Gl.  (19)  folgt  sodann  durch  Differentiation  nach  y: 


(21) 


•v 


=  <?(^,y) 


und  aus  Gl.  (20)    mit  Berücksichtigung  von  Gl.  (18)   durch 
Differentiation  nach  x: 


(22) 


3a:         ^x  —^^^^^> 


und  hieraus  durch  weitere  Differentiation: 


(23) 


dx 


dx\dy) 


Da    aber  die  Gleichungen  (21) — (23)    lehren,    dass  mit 

°(.,.),V(.,.),VVa'   "-"?!■•  ?'a^(S- 

dl/       d  X  d  X        d  y       d  y  ^  d  X  / 

—  i  /  stetig  .sind,  so  gilt  die  Beziehung: 


d 


\dx  /       dx\  dy / 


und  man  Hndet  somit  nach  Gl.  (23): 

dP  _SQ 

d  y  d  X 


(24) 


fttr  alle  Werthe  (x, //)  im  Innern  des  Rechteckes  Ä»  ins- 
besondere also  für  x  =  x\  y^y  —  womit  der  oben  aus- 
gesprochene Satz  bewiesen  ist. 


A.  I'rinffhhtitti:   flrber  dfn  Caueh^'Mhen  SntfijraUatx.  f>3 


g  4.    Der  Cauchy'sche  Satz. 

2  P    d  Q 
HRU])t9at7..     Sind  l'(j;,i/),  ^(x,y),     — ,  ---  inner- 

Dalb  eines  gewitiflen  (ein- oder  mehrt'acli)  xiisatnuien- 
längenden    Gebietes    T    durchweg    eindeutige,    end- 
llichp  lind  stetige  Functionen  von  (4f,  .v},*)  welche  der 
[Bedingung  genügen: 


(24) 


BO  verschwindet  das  Integral  S{P-d£  -j-  Q-dtj)  er- 
rfltreckl  über  die  vollständige  Begrenzung  jedes  in- 
loerhiilh  T  liegenden   zusninmeubängenden  Ftäehen- 

[sttickes.     I'nd  es  ist  }{P'di -\- Q- dt)]  fflr  alle  inner- 


'a.jr* 


balb    eines    einfach    zusüninienbüugenden    Gebiets- 
tbeiies    von   T    verlaufenden    Integralionawege  eine 
I  eindeutige    und   stetige   Function    IK(x,  y)    mit   den 
partiellen  Uifferentialquotieuten: 


^U,y). 


Beweis,  Zunüchät  1ä.s&tsich  zeigen,  dassJ(P-c/f  4- Q-*''?) 
erstreckt  über  die  Begrenzung  eines  vollständig  innerhalb  T 
liegenden  UecbteckB  R  den  Werth  Null  hat. 

Ks  seien  {Xj.yJ,  (x,.  j/^,),  {x^,u^).  (oTo- --/i)  «^i«  Kckpnnkte 
von  iJ,  (x,  y)  irgend  einer  und  jeder  beliebige  Punkt  im 
Innern  oder  auf  der  Begrenzung  vun  R.  Alsdann 
definire  ich  fOr  diese«  Gebiet  R  zwei  Functionen    W^  (x,  y), 


>)  Es  lind  somit  die  geoiianten  Kanctiooen  gl  e i c b in  Ti ssi v 
Btetif;  im  luDcrn  und  auf  der  Bepren/nng  jedes  innerhalb  T  liegen- 
den Geliietet  /",  wobei  man  ille  Hegrcnz-ung  tob  T  derjenigen  von 
7*  beliebit^  nahe  brinKeo  kann. 


64  Sitzung  der  math.-phys.  CIcuse  vom  5.  Januar  1895. 

^i  {^1  y)   ^    diejenigen    besonderen    Werthe   des   Int^rab 

V 

i{F-di-{-Q-dtj),  welche   sich  ergeben,    wenn  man  ein- 

mal  auf  den   Schenkeln   des   rechten  Winkels   Ober  (x,  y^), 
das  andere  Mal  Über  (x^,  j/)  bis  {x,y)  integrirt,  also: 


i2rj) 


(a) 


(b) 


Es  sind  hiernach  W^  (a:,  y),  W",  {x,  //)  fßr  das  betreffende 
Gebiet  eindeutig  deBnirte,  lediglich  von  (x,  y)  abhängende 
Functionen,  und  zwar  hat  man  offenbar  insbesondere: 

(26)  Tr,K,yoJ=Ti;(a:o,yo)  =  0. 

Mau  erkennt  ferner  leicht,  dass  W",(x,y),  W^{x^y)  stetige 
Functionen  der  beiden  Variablen  (x,  y)  sind.  Bezeichnet  man 
mit  A,  k  zwei  beliebige  (positive  oder  negative)  Incremente 
von  X,  y  (wobei  die  Stelle  (x -j- A,  x -{- k)  auch  eventnell 
ausserhalb  von  R  fallen  kann,  in  welchem  Falle  h^t  von 
vornherein  so  klein  anzunehmen  sind,  dass  das  durch  die 
vier  Eckpunkte:  (x^,  y^),  (x  +  Ä,  y^),  (x-f  A,  y  +  Ä),  (x^.  y-fft) 
definirte  Hechteck  noch  innerhalb  T  liegt),  so  wird: 

>V;(x4-A,  y'\-k)  =  iPU^,!,,)-d^^SQi^-\-f^>V)-d*i 
und  daher: 

M\  (X  +  A.  y  +  /c)  -  ir,  (x,  y)  -  X  P  (.^  y„)  ■  d  S 
»+*  *        ' 

-hJC(x  +  //,//)-rfv  +  J'{V(x  +  A,v)-e(x,  Vl}-rf'/ 

U  Ho 

=  A  .  P  (x  +  />  A.  y„)  -\-k-Qlx-\-h,tj-{-  ^'.Jt) 

+    '■{','  (X  +  A,  yo  +  .'/'..  I)  -  <;?  (X.  y«  +  /9"..J)} 


Ä.  Pring»heim :   Uebtr  den  Cattchy' sehen  ItitegräUaU.  65 

>:  J  =  y  —  y^  und  ^,  ^',  <?"  ia  den  Grenzen  0    -  *  I  liegeu. 
iDa  die  Stellen: 

(x  +  Ö.A,  y„).  (x  -h  Ä.  y  H-  Ö'-A),  (j;  +  A,  y,  +  fl"..  I), 
(x,y,+  r.J) 

iniilich  dem  Qebiete  T  augehören,  so  kännea  die  beiden 
ersten  Glieder  der  rechten  Seite  wegen  der  Endlichkeit 
von  P{$,ti'),  Q{i,t))-,  das  dritte  wogun  der  Stetigkeit  von 
Q{i,*j)  durch  Wahl  einer  oberen  Grenze  für  h  nnd  k  be- 
liebig klein  gemacht  werden,  womit  die  Stetigkeit  von  TT,  (x,y) 
dem  beliaupteten  Umfauge  »rwieäeii  ist.  Ganz  untilog  er- 
innt  man  aber  auch  die  Stetigkeit  von    \\\  {x,  y). 

Ferner  ergibt  eich  durch  DiSerentiation   von  Gl.  (25  a) 
nach  y  nnd  Gl.  (25  b)  nach  x  unmittelbar: 


(27) 


Vy'  =  ^<->^>'     S  =  ^(^'V) 


und  sodann  ans  (25  a)  durch  Differentiation  nach  jp  zunächst: 

y^*  =  /'(:r,y„)-i--^J(^(x,v)-d»/- 
ax  tf  *  t/t 

In  Folge  der  gleich määsigea  Stetigkeit  von  Q  (x,  rj)  ah 
Function  der  beiden  Veränderlichen  (oi,  ij)  darf  man  im 
letzten  Gliede  die  Ueibenfolge  der  Differentiation  und  Inte- 
gration vertauschen  und  erhält  daher  mit  ßerUck-sichtigung 
der  nach  Voraussetzung  bestehenden  Beziehung  (24): 

-=/'(x,y)-P(x,y.J 

IM^.  Hatli.-pbTB.  OL  1.  E> 


66  SiUwtff  der  m<KA.-p^8.  (^a*M  vom  &.  Januar  IS&S. 

und  somit: 
(28a) 


^^-(-*)- 


Analog  erf^bt  sich: 
(28  b) 


f  =  .(..,). 


Die  Gleichungen  (27),   (28)    lehren   nlso,    dass   für  all 
(3t<,y)j  welche  dem  Innern  oder  der  Begrenzung   von  R  un- 
gehören,  die  Be/.iehungen  bestehen: 

9x         3^  3^  dif 


(29) 


und  est  können  daher  die  für  da.*^  nämliche  Werthegebiet  als 
stetig  erkannten  Functionen  H",  (z,  v).  ^^'i  (x,  y)  nach  einem 
bekannten  Satze  hüchstena  um  eine  additive  Coiutlante  ver- 
schieden sein,  welche  aber  oS'enliar  den  Werth  Kall  haben 
muea,  da  nach  Gl.  (2G)  I^,  (aro.Vo)  = 'l't  (^o^Vo)  ^^^  J***" 
findet  somit  echlicaslich  insbesondere: 


(30) 


w^i(*,ty,)-W',(«py.) 


«fj»! 


d,  h.   das  Integral   }iP'd$-\-Q'dti)   er»treckt   H bor  je  ob 

Paar  anatoasender  iUcbteckseiten  hat  den  gleichen  Worth. 
oder  andere  ausgesprochen :  Das  Integral,  continuirlicb  er- 
streckt Über  die  Begrenzung  den  Rechtecks,  hat  den  Wcrlb  Null. 

Angenümmeu  nun,  uiau  habe  ein  innerbulb  T  liegendei. 
Ton  einem  oder  mehreren  Treppen poIygonen  roUtsändig  be- 
grenztes zutianitneuhlLngendes  KlacbenHtflck  5,  ao  lU^t  sich 
ein  «olohe»  nieia  mit  Htilfc  einer  endlichen  Anzahl  ron 
Parallelen  zu  den  Coordinatenaxcn  in  eine  endliche  Aniah] 
von  Rechtecken  r»(v  =  1,2,- •  •  »)  zcrlegwi,  deren  Hegren- 
£ung  theili    ron   den   einxelnen  Stocken  der  onprOnglic 


A.  Frins*f^mt.-  CTrUtf  lMb*lfaWty*acftf w  Inte^alMtt, 


fi7 


Trtppenbegrenxaog,    theiU    von    Stllcken    jener    Hal&Iinien 

gcbüd«t  wird,    und  zwar  gehört  jedes  IStQck  der  ursprüug- 

I  liehen  Bagreniun^   nur  einem    eiazigen  (r^),    dagegen    jedes 

I  Stfiek    einer  HQlfJUinie  statu   zwei  beitac.hliartun  (ff.)    gleich- 

«itig  &u.     Mau  hat  nun  zimüchst: 


(31) 


I  ia  jedes  eütxelne  dieser  Recht^cksinU^grale  verschwindet 
rBhrt  man  hierlwi  title  lutegraLioneii  in  demselben  Sinue  ans, 
ftwa  dem  sog.  positiven,  wo  also  die  KUche  jedett  einzelnen 
r^  bei  der  Integration  Über  den  Uinfiuig  znr  Linken  bleibt, 
n  wird  offenbar  fil>er  jedes  Stfick  odoer  UOt&Hnie  genau 
iweimal  nnd  zwar  in  ent)<e^en gesetzter  Hiohtung  iiite- 
Ijnrt:  cn  htfbmi  ätch  aku  die  belreflenden  Ititegralbe^laud- 
theile  mlUtändig  heraus,  während  nur  die  auf  die  Stücke 
der  amprdng lieben  Begrenzung  (S)  bezüglichen  Integrale 
mit  einer  benttmniten,  eindeutig  vorgeschriebenen  Integrationtt- 
hcbtang  zurückbleiben.  Durch  Addition  dieser  Theilintcgrale 
d*nn  61.  (31)  in  die  folgende  Ober: 

(32)  iiP'di-^-Qäfjy^^O 

wobd    offenbar  die  Integration   in  dem  Falle,   dass  (8)  aus 

■n    Treppenpolvi^onen     besteht,     über    das    äussere 

"1    der  bc.hlfcbthin  aU  positiv  geltenden   (d.  h.  in 

|drf  lg  der  wa<:hflenden  Winkel  furtechreiteiiden),  Ober 

Fjadfli   innere    l'olygon    iu   der   enU;egengeeetzten    Kichtiiog 

anoEafllhren  ist 

Hat   man   schlienlich   ein  dem  Gebiete  T  angehürigea, 
■üwr  oder  mehroren  Randcurven  vollständig  lM*grenztes, 
ICD«.  ndes  FlÄcht'ii.«Hiok  T\    so    kann    niaii    diesen 

'Rar  '  •■  h-^t   nach    §  -   eine  enteprechende  Anzahl 

toc  lim   mit  der  ne^ammtbegrenxuDg  {S)  su- 

l'Afdara,  def^^tntait  da»  die  Differenz: 


68  SitMimff  d«r  math.'}ihi/g.  Clu9$t  wni  H.  Januar  180S. 

beliebig  klein  wird.  Vu^  r]it  das  xvreite  Integral  d<*n 
Wertb  Null  bat,  da»  ersU  aber  einen  bestimmten  VVerth 
haben  muss,  so  folgt,  dass  auch: 

(33)  J(P.rffH-«.dv)-0 

sein  muss. 

Bedeutet  sodann  U  irgend  ein  einfach  xn«amtncn- 
hän^endes  in  T  liet^endes  FlUcheiistnck ,  und  sind  (Xq,  ^q). 
(j-,,  1//)  zwpi  beliebige  Punkte  in  U,  wo  werden  irj^end  zwei 
innerhalb  ü  zwischen  {x^tjfoi  und  Uni/i)  verlaufende  Curven 
0  nnd  C\  die  sich  weder  selbst  noch  gegen»i?itig  sehneiden, 
einen  Plächentheil  von  U  volUtändig  begrenzen,  Bodass  aUo 
das  betretfeude  Integral  tlbcr  diej^e  Begrenzung  verschwindet. 
Man  erhält  somit,  wenn  man  als  Integrationsrichtung  auf 
C  und  C  die  von  {x^iJq)  nach  (x,  y)  festhält: 

(34)  SiP'äS  +  <i'd^)  =  S(^d^  +  V-d*?)- 

Diese»  liesultat  wird  aber  offenbar  durch  das  Auftreten 
etwaiger  Doppelpunkte  bei  C  nnd  C  in  keiner  Weiae 
alterirt,  da  die  Integrale  über  die  auf  di«v<n  Weine  entstehen- 
den Schleifeu  uach  (il.  (83)  jedesniul  verschwinden. 

Wenn  endlich  die  Curren  C  und  C'  täch  auch  gegen- 
seitig achneidea.  sodass  sie  alM  mofarer«  nur  in  diij^n 
^'hnittpunkten  zusammenstossende  Klächi'nihfilc  rolhttändig 
begrenzen,  ho  werden  xunäulut  die  Iiitegrulu  über  die  be- 
treffenden Kinr.elbegrenzuugen  vertchwtnden  mfiaseo.  W^ählt 
man  daher  die  einzelnen  Integrationtirichtungeu  in  der  Weise, 
daäü  aber  die  Theile  der  Curve  C  jedesmal  in  der  Ricbtoog 
(^o<  Vo) '  '  *  ^-^t  y),  Ober  diejenigen  tou  C  in  entget^engesebctw 
Kichtung  int«griri  wird,  ao  ergibt  sich  durch  Addition  der 
betretfcudeu  Tbeilintcgrale  and  schtie«licfae  Umkehrung  der 


Pringtktim:  Ui^ttt  den  Vamhtf'tchen  Inttifrohati.  M 

ricbtung  ftlr  alle  auf  StOcke  von  C  zu  erstrecken- 
[^ea  Integrale  wiederufn  die  Richtigkeit  der  Beziehung  (34). 

Hieraus  folgt  aber,  daas  dna  Integral    }(PdS+(^dtj) 

ktb   des  Qebiet«  ü  einen   vom  Integrationswege   un- 
ftbdäiigigen,  eindeutig  bestiniixit<*n  Werth  besitzt,  sodass  also 
'  in  diesem  Gebiete: 

(35)  W{x.y)  =  JfP'äi  -f  Q-ä»i) 

bei  Tariablecu  (a  y)  und  constantem  {Xf,  j/f^)  eine  eindeutige 
Fnoetioa  von  (x.  y)  darstellt.  Bildet  man  sodann  unter  der 
VoratMi«txang,  diats  die  Stolle  x  -\-  hy  y  -{•  k)  gleieh&ills  dem 
Qebiete  ü  AOgehürt: 

to  kann  man  ohne  Beschränkung  der  Allgemeinheit  den 
Integra tionsweg  dieses  Integrals  Ober  (x,  y)  führen  und  erhält 
slso  dorch  Subtraction : 

oail  da   man  Mi)eb  diesem  Integrale  ohne  ßescbränkung  der 

AUgenieinbelt    einen   speciellen   Integrationsweg  zutheilen 

nioüich  die  Unriz<intale  von  (x,  y)  bis  (x-f-A.  y),  dann 

1  Verticale  von  ix  -^  h.  y)  bis  (a:  -f  A.  y  -f- 1)  (wobei  nur  h,  k 

roo  Tonberein   -lo  klein  anzunehmen  sind*  dass  dieser  Weg 

I  »och  dem  Gebiete  U  angeburt),  sn  folgt: 

Wix-i-h,f,  +  k)—W[x,y) 
(nr-)  =T/*(£.y)-rfa:+T<?(^-i-A,7;)i?, 

d.  tt  TTCc,  jf)  ist  eine  stetige  Function  von  (x.  y). 


70 


SÜMtng  dvr  math-phija.  CIomc  vom  5.  Januar  1806, 


Aus  der  letzten  Gleichung  ergibt  sich  dami  speciell  für 
4  =  0,  bezw.  A:  =  0: 

nnd  hieraus  durch  Uebergang  zur  Grenze  A^O,  bezw.  Är=f 
(37) 


;-s=i.(.,.. 


Vj-«i-.)- 


Hiemit  ist  aber  der  ausgeaprocbeoe  Satz  in  alteu  Theilea 
bewiesen.  ^1 

Zusätze.      1)  Der  Satz  erleidet  keine  ÄendBrnng,  wen^' 
die  urfiprünglicli  ul»  uuäuahinslus  vorausgesetzte  Stetigkeit 

d  P    2  Q 
Ton  P,  V»   a^i  X—   gowiaae  Dnterbrechungen  erleidet 

9  P      ?  O 
die  Relation  = —  ^  --   nicht  durchgängig  erfölit  ist. 

«eigt  dies  in  der  bekannten  Weise,  indem  man  die  Ausnahme^' 

3  J* 
«teilen,    die    fflr  P,  Q   nur   tn    einzelnen  Punkten,    fllr         , 

^ —  (d.  b.   sowohl    hinfiichtlich  der  Stetigkeit  dieser   beiden 

d  P       3  i 
FuDCtioDen,  als  auch  in  Bezug  auf  die  Itelation;   ^—  ^  ^ 

auch    in    einzelnen    Linien    bestehen    dQrfeii ,   zuächst   dar 
beliebig  nahe  anzuschmiegende,  zur  Geäammlbegrenzung 
T*   hinzuzufügende   Curren    ausschlieest    und    sodann 
weist,   da»   die  Integrale    Bber  jede  dieser  OurTen    htüi^h 
klein    geniucht    werden    können,    also    das   Gesammtrefinlt 
nicht  alteriren.*) 

■)  Der  auf  der  Redoctioa  da  tloppelintegrala 
berahsadff  l>«wei«  icestattot  Tniiileh  la  Besag  aaf  y  ,  ^  lom^ 


2)  Erstreckt  rieh  die  gleich mSasige  Stetigkeit  von  P,  Q 
eTentnellem  Ausschluss  einzelner  Punkte  auch  noch  auf 
Begrenzung  Ton  T  ^  m  verschwindet  daa  Integral 
{Pdc-\-<^dTi)^«k}xCih  wenn  man  es  über  die  Begrenzun|^(7') 
treckt.  Man  erkenut  dies,  indem  man  zunächst  ein  Treppen- 
lygon  (S)  comftmirt  denkt,  dessen  Ecken  abwechselnd  auf 
3er  Begrenzung  und  im  Innern  von  T  liegen,  und  sodann 
nrch  Verbindung  der  freien  Eckpunkte  ein  gewDbnIiche» 
ffeubar  ganz  innerhalb  T  liegendes  Polygon  (P)  her- 
Itellt.  Bei  hinlänglicher  Verkleinerung  der  Treppenstufen 
iterecheidet  sich  dann  das  Treppenintegral  über  {S)  beUebig 
«renig  von  den  beiden  Integralen  ftber  {T)  und  (P),  aUo 
ninn  auch  die  Differenz  der  beiden  letzteren  Integrale  be- 
iebig  klein  gemacht  werden.  Und  da  das  Integral  flber  (P) 
verschwindet,  dasjenige  Über  (T)  jedenfalls  einen  bestimmten 
Werth  haben  muas,  so  folgt,  dass  dieser  Werth  gleichfalls 
Null  sein  moss. 


herein  eine  etw»«  allgemeinere  FaMimg  der  betreffeaden  ß«dingangen, 
iniofern  fttr  die  GQliigkeifc  des  Satsea  nicht  di«  Stetigkeit,  Bondern 

aar  die  Integrabilität  too  .~;>  .    •  genau  ge«agt  die  eindeotiffe 

£xiit«nK  von     I    I  .-    ilxd%     \    I  3^  <'^''y  in  Frage  kotamt.  Die 

g«Daaere  Pestat^llitng  der  biefOr  noch  Kolänigen  Unsteltgkeiten  von 

»P  3P 

*3  u"  ^Kf  ^^^^^  indeB«en   »of  Betrachtnngen.    mit  deren   HtLlfo   man 

ebeniognt   auch  den  hier  gegebenen  Uoweis  in  analoger  Weise  ver- 
Iftllgemeinern  kOnnle.     In  der  That  braucbt  ja  die  Bedingung 

keineswegs  fär  ein gewissee Oebiet  ß  abauinahmflloi  erftlllt  vorant- 
;  gesetxt  werden,  am  daraoB  die  üebereio Stimmung  der  beiden  ateiigen 
Functionen  M\{j;  y),  W^ix.y)  (bit  anfeine  additive  Constant«)  «u 
erschließen.  Ich  gehe  indessen  auf  derartige  VenUlgemeineningen 
hier  nicht  ein.  da  mir  dieselben  fOr  die  Theorie  der  Functionen 
complexer  Variablen  keine  sonderliche  Bedeatong  zubesitxen  scheinen. 


72  Süeung  der  maih.-pfMf8.  Glosse  vom  6.  Januar  1895. 

3)  Kennt  man  eine  innerhalb  irgend  eines  einfach  zu- 
sammenhängenden Flächenstückes  ü  von  T  eindeatige  und 
stetige  Function  F  (j?,  y)  mit  den  partiellen  Differential- 
qaotienten: 

SO  mu8s  offenbar  fOr  jeden  innerhalb  ü  verlaufenden  Inte- 
grationsweg die  Beziehung  bestehen: 

da  das  rechtsstehende  Integral  mit  F{Xiy)  innerhalb  ü  die 
Stetigkeit  und  die  partiellen  Differentialquotienten  P{Xjy)^ 
Q  {x,y)  gemein  hat.  Da  aber  das  Integral  für  x  =  Xg,  y  =  y^ 
verschwindet,  so  folgt: 

also  schliesslich: 


7{Pd^ 


}^-\-Qdr))^F{x.y)-F{x^,y^). 


78 


Sittuni;  vom  9.  Februar  1896. 


1.   Herr   Kahl  GObel   hült 


Vortrag :    ,  U  e  b  e  r 


einen 
npassung.*     Wird   an  einem  anderen  Orte  ver- 
öffentlicht. 

2.  Herr  Nikolaus  KOdinoer  spricht:  ^üober  Leuco- 
cytenwanderung  in  den  Schleimhäuten  des  Darm- 
kanales.' 

3.  Herr  älfbeu  Prinqsoeiu  macht  eine  MittheilunK: 
«Ueber  die  Entwickelnng  eindeutiger  analytischer 
Functionen  in  Potenzreiben.' 

4.  Herr  Walter  DrcK  legt  zwei  Abbandlungen  vor: 
Eine  von  dem  correspondirenden  Mitgliede  Anr  Classe  Herrn 
Mai  Nöther  in  Erlangen:  ,Die  7-Syäterae  von  Kegel- 
schnitten, welche  durch  die  ßerQhrnngspunkte  der 
Doppeltangenten  einer  ebenen  Curre  vierter  Ord- 
nung gehen' ; 

und  eine  weitere  von  Herrn  Eduard  v.  Weber  in 
München:  , lieber  simultane  partielle  Differential- 
gleichungen  II.  0.  mit  drei  Variabein.' 

5.  Herr  W.  t.  GOttfilL  fiberreicht  eine  Abhandlung  des 
auswärtigen  Mitgliedes  der  Classe  F.  r.  Sandberger  io 
Wttrzburg:  »lieber  Blei-  und  Pahlerzgänge  in  der 
Gegend  von  Weilmünster  und  Hunkel  in  Nassau.* 


75 


leber  die  Entwickelmig  eindeutiger  analytischer 
Functionen  in  Potenzreihen. 

Von  iißred  PrioirskelB. 

tantgtlmt^  9.  IWraor.) 

Beprründet  man  die  Theorie  der  Functionen  einer  cora- 
plexen  Veränderlichen  uuf  die  Caucli7'.'>cbc  Definition  der 
monogenen  Fanctionen  nnd  ihrer  Integrale,  so  ergibt 
sich  die  Kntwickelbarkeit  einer  für  0^\z,  <.Ii  bezw.  für 
Äo<!^!<-R  eindeutigen  nnd  monogenen  Functionen 
nach  poflitiren  ganzen  Potenzen  von  x  (der  ,Caucby*scbe* 
Satz),  bezw.  nacb  positiven  und  negativen  ganzen  Po- 
tenzen von  z  (der  ,Laurent'scbe'  Satz)  nowie  der  wahre 
Convergenz-  und  Geltungsbereich  der  Vjetreffenden  Ent- 
wicketnngen  ganz  unmittelbar  ans  den  bekannten  Canchj- 
schen  IntegraLsätzen.  Wesentlich  anders  liegt  die  Sache,  wenn 
man  die  Eigenschaften  der  im  Sinne  de«  Herrn  Weierstrass 
analytischen    und    monogenen,    d.  h.    durch    ein   ,Func- 

OB 

tjonenelement"    von  der  Form   y^»o^'(x— JTa)"   und  dessen 

analytische  Fortsetzangen  detinirten  Functionen  auf  elemen- 
tarem Wege,  also  insbesondere  ohne  Anwendung  der  com- 
plexen  Integration  ableiten  will.  Gestaltet  sich  hier  schon 
die  Feätätellung  des  wahren  Convergenzbezirkes  fQr  die 

<r 

EntwickcluDg  ^>.  a^ix — Xf^Y  einer  innerhalb  eines  einfach 

9 


76  Siläung  irr  math.'phya,  CtaaM  ran  9.  Februar  ISHS. 

zusanimenhänKcndeii,  die  Stelle  x„  entbutt,4>tiHen  Oebieten 
eindeutigen  und  analytiwben  Function  ziemlich  uiustäudlicb,*) 
ao  bietet  die  Erkenntni^s  der  blossen  Mß^lichkeit,  eine 
in  einem  Ringgebiete  um  die  Stelle  Xf,  eindcnti^e  und 
analytische  Function  nach  positiren  und  negativen  Po- 
tenzen von  (x — Xq)  zu  entwickeln,  bei  dem  jety.igtm  Btande 
der  Theorie  ganz  uDverhäUniaäiuässige  Schwierigkeiten:  man 
erscblieäst  dieselbe  entweder  nach  dem  Vorgänge  des  Herrn 
Mittag-LefUor')  aus  einem  von  Rerru  Weiersfcras» 
geleiteten  Ilflifssatze  von  ziemlich  verwickelter  Beschaffel 
heit,*)  oder  etwa^  kürzer  mit  BOlfe  einer  von  Scheefffl 
berrdhrenden ,  im  Grunde  genommen  zwar  auf  denaelba 
Principieii  beruhenden,  aber  directeren  Beweismethode.*)  In- 
dessen selbst  dieser  auf  den  ersten  Blick  relativ  einfach  er- 
scheinende Scbeeffer'sche  Beweis  setzt  doch  eine  Reibe 
von  VorkenntniÄjen,  namentlich  Aber  die  Eigenschaflen 
mehrdeutiger  Functionen  voraus,  welche  es  unmöglich 
machen,  den  betreuenden  Satz,  aa  der  für  einen  natfli 
liehen  und  conKequent«n  Aufbau  der  elementaren  Function« 
theorie  erforderlicben  Stelle  erscheinen  zu  laäsen. 

Hiernach  dürfte  es  nicht  ohne  Interes.'ie  enicheineu,  we 
ich  im  Folgenden  einen  neuen  Beweis  fßr  die  fragliche  Kni 
wickelungsform   einer  analytischen  Function  luittheile.     Di» 
Grundlagen    der    hierbei    von    mir    angewendeten    Methode 
tinden  tiich   zwar  schon  im  Wesentlichen  in  einer  Cauch] 
«eben   Abhandlung:    «Constderationtt    uouvellea   anr 
theorie   dea  suiiea    et   ear   les  lois  de   leur   oonver* 
gence'*):    allein  ahgemfaen  davon,    dass    die  dort  gegel>ene 


M  Ct.  Stolz,  Vorl<?>iUtt^ti  Oti«r  «11|{.  Arithmetik,  Bd.  II«  p.  140. 
Bitrmann,  Theorie  der  &nal7t.  Fnnctiooea,  p.  166. 
>)  AcU  mutbematica,  Bd.  IT.  p.  80. 
')  Abhandl.  mw»  der  Fanrtionenlehre,  p.  28. 
*)  AcU  natbamiLUeu,  Bd.  IV.  p.  876. 
*)  EzereioQt  d'AiulyM  ei  de  Pbyiiiiae  mathdtuattqu«,  T.  1«  ] 


'  A.  Pringshtim:  Sntteicketuntf  eindeut   itnalfft.  FHuclioMH.       77 

EirsteUuüg  sich  nur  auf  die  £atfvickelung  eiuer  Function 
ch  positiven  Poi«Dzeu  bezieht,  so  eothäU  dieselbe  auch 
chiedeiie  LQckeu  principieller  Natur,  und  hierin  mag 
robl  dur  Grund  davon  zu  suchen  sein,  dann  man,  soviel  ich 
veiäs,  auf  jene  Met}iode  nicht  wieder  zurückgekommen  ist,*) 
Üeren  Kern  in  der  Anwendung  gewisser  Mittelwertbe  an 
eUe  der  sonst  bei  der  CoefficientendarsteUuiig  üblichen 
Integrale  liegt.    Derartige  Mittelwertbe  —  nümlich  Greuz- 

erthe  von   der  Form  lim  i  --^.pfix^r}  i,  wo  die  ä„,.  för 
«=«  I  "      0  ) 

jedes  ti  !md  r  arithmetisch  wohl  definirie  Zahlen  von 
Jder  Beschaffenheit  bedeuten,  da*«  |z„^,^i — a;„^|  mit  wach- 
endem n  beliebig  klein  wird  —  kann  man  natürlich  stets 
PÄucb  als  specielle  Pnlte  von  bestimmten  Integralen  auffassen. 
[Immerhin  haben  dieselben  mit  dem  Infinitesimalbegriff 
[in  W'iihrheit  absolut  nichts  7.a  tbun.  da  es  sich  bei  ihrer 
|Bildung  keineswegs  um  eine  Summe  schliesslich  .unendlich 

')  leb   bin  nachträglich  durch  Herrn  D^rok   damuf  aarmerksam 
[gemacht  worden,  da»  aich  in:  Serrul.  Coam  de  catcul  difft^ren- 
[tiel  et  intägral,  T.  I,  p.  &70  (in  der  deutschen  Aosgabe  von  Har- 
Lnack,  T.  T,  p.  627)  gleichfalls  die  Ableitnng  der  Mac  Laurin'icben 
)  Reihe  mit  Bfllfe  ron  Mittelwcrthen  findet.     Die   dort  gegebene  Diir- 
^  «telluag  ist  im  Wettentlicben  eine  Heprodnction  der  im  Texte  ciürten 
,  Oauchy'scben,   bei   welcher  die  erwAfanten  Lücken  vennieden  «ind; 
,  alCein   der  fragliche  Beweist   hat  hierbei  vollständig  seinen  elemen* 
[taren  Charakter  Terloren     Die  dabei  bennlztei)  .Hittelwerthe*  sind 
in  Wahrheit  nur  nuiBt&ndUcher  geschriebene  bestimmte  Integrale  mit 
I  Teründerlichen    Grenzen,    die   auBnerdeai    nuoh    ron    einoui    ver- 
Anderliohen   Parameter  abh&sgen.     Nach   beiden  GrAities   wird 
.  differenairt,   wol>ei   der  Satx  von   der  Differentiation   eine«  be- 
stimmten IntegraU   nach   der  oberen  Orcase,    aodann    auch 
'  därjenige    von    der    VerLauscbbarkeit    der    Differentiattoni- 
reihßnfolge  in  Ännendang  kommt;    kurzum   dieser  Keweis  gehört 
voUitAndig  der  lofiniteaimalrechnong  an   und   erscheint  in  der  That 
weit   einfacher  und   durchhiebt  iger,   wenn   nian  otatt   der  benQtzten 
Mittelwertbe  di«  fiblichen  Integralbeseichoongea  anwendet. 


82 


Siteung  der  math.-phys.  Clastt  vom  9.  Februar  1895. 


für  alle  x  des  betreffenden  Gebietes  und  binlängUcb  kleine 
Werthe  von  h  eine  gleicfamässig  stetige  Function  von  h 
ist,  d.  h.  man  kann  jeder  beliebig  kleinen  positiven  Grösse  e 
eine  positive  Grösse  d  so  zuordnen,  dass  für  alle  x  des  Ge* 
bietes:  -Bq^I*!^^  ^*®  Beziehung  besteht: 

q)(x-{'h)  —  rp{x)        y(j+fr)  — y(a:) 


(10) 


falls    {jj!) 


<€. 


<d. 


Angenommen  nun,  man  habe  r  >•  0  beliebig  klein 
fizirt,  so  bestimme  man  zunächst  eine  positive  ganze  Zahl  m 
sOf  dass  die  positive  Grösse: 


r  — r 
m 


=  6 


klein  genug  wird^  um  die  Gültigkeit  der  Ungleichung  (10) 
för  \h\  !s  ^1  1^1  ^  (^  2U  sichern.  Wählt  man  hierauf  die 
positive  ganze  Zahl  n  bezw.  ^^2"  gross  genug,  dass: 

r-  ;  1 — a«  I  <id     (also  a  fortiori  r-\  1 — a«  |  <  d). 


so  hat  man: 


./+1 


al{a  —  \)-r 


<e 


oder   nach   Multiplication   mit  6   und   Berücksichtigung   von 


,/+> 


T 


K-(r+e5))  -  H«;.r)  -  ^■^^"''^;1~^;^°-"^ 


<d'S 


Setzt  man  der  Reihe  nach  r  =  0,  1, .  .  .  (^—1)  und  addirt 
die  resultirenden  Ungleichungen,  so  heben  sich  offenbar  alte 
von   dem  dritten  Gliede   der  linken  Seite  herrUhreoden  Be- 


A.  Pringsheim:  Eniwicicdung  eindeut.  anaJyt.  yttnctmien.      83 

üUndtheile    YoUständig   heraus    (NB.    es   ist  ja  insbesondere 
«.•r  =  a»-r),  und  es  ergibt  sieb: 

I     0  0  I 

oder  nach  Division  mit  N: 

!  m.A'f(r-{'dj)  -  S^  (y.(r))  I  <  de. 

and  daher,  wenn  man  r  ins  Unendliche  wachsen  läs-^t: 

Schreibt  man  in  dieser  Ungleichung  r-]-  {/t  —  \)  Ö  statt  r 
(wo:  r  +  (/<  —  l)-d<Cr'  für  /*^1,  2,  . . .  m  —  also  auch: 
(r-|-(/i  — l)d).|l— a«!  <d),  so  wird: 


lind  wenn  man  die  fGr /<  =  !,  2, . . .  »t  hieraus  resultirenden 
Tuglfichungen  addirt  und  beachtet,  dass:  m-d  =  r' — r, 
schliesslich: 

I  ÖJlc  (v  (r'))  -  Ö)lt.(v'  CO)  !  <  (r'-r)... 

Da  aber  e  von  vornherein  beliebig  klein  angenommen 
werden  kann,  und  andererseits  9TL(7'(r')),  91L  (7  (r'))  ein- 
«lentig  bestimmte  Wertlie  besitzen,  so  muss  genidezu: 

.■»ein.  uoujit  die  ausgesprochene  Behauptung  bewiesen  ist. 

Ijewei-s  des  llülfssatzcs.  Für  jede  Stelle  x  des  Bü- 
ri'iflies  i?o*^  x  <  R  gilt  eine  Eutwickelung  von  der  Furm: 


'''-+'o  =  i;.'',r'." 


84         Sitzung  der  math.-phys.  Clasae  vom  9.  Februar  1896. 

deren  wahrer  Convergenzradius  bekanntlich  eine  mit  x  stetig 
veränderliche,  positive  Grosse  ist  und  demnach  ein  bestimmtes 
von  Null  verschiedenes  Minimum  q  besitzen  muss.  Fizirt 
man  nun  eine  positive  Grösse: 

d<Q 

so  ist  für  alle  x  und  k  des  Bereiches:  •ßo^l^!^-^  "°*^ 
|A|<d  die  Keihenentwickelung  (12)  gültig  und  absolut  con- 
vergent.  und  daher  auch  in  dem  gleichen  Umfange: 

^>   (x  +  A)  =2j»'      "w  -**• 

Da  aber  für  den  angegebenen  Werthebereich  q}'{x-\-K} 
eine  stetig  veränderliche  Function  ihres  Argumentes  ist,  so 
besitzt  daselbst  \<f'"  {x-\-}i)\  ein  bestimmtes  endliches  Maxi- 
mum  ^,  und  es  ist  daher  nach  einem  bekannten  Satze: 

(13)  |^__^.U.A^1<^  mr:[    ^'^^^^ 
Set/.t  man  nun  Gl.  (12)  in  die  Form: 

so  hat  man  für  h<  d  mit  Benützung  von  Ungl.  (13): 

d.  h.  <  (j-\h\ 
und  daher,  wenn  auch    k  <i6  angenommen  wird: 

j  V  (x  +  /0  -  9  {x)  _  'r{x-\-k)  —  if  (x) 

(14)  i  A  ife 

<i;{|AH-!*}  <2i;.^ 


A,  Pringi^teim:  EtUwiekelung  eindeut.  antdyt.  F'unctionen.      85 

sodass  also  die  fragliche  Diiferenz  unter  e  herabsinkt,  wenn 

Ton  TomliereiD  d^^r—  angenommen  wird. 
^9 


§2. 

Lehrsatz.  Ist  f{x)  eine  eindeutige  und  ana- 
lytische Function  fQr  alle  Stellen  x  des  Gebietes 
^«^:*l5^-ßi  ^o  8*'*-  för  dieses  Gebiet  die  Ent- 
wickelung: 

f(x)  =  '^a^.:^ 


wo: 


ö^  =  S)|^(r-M./-(r)) 


and  reinen  beliebigen  Werth  deslnterrallesi^o^^^--^ 
bedeutet.  Ist  insbesondere  ^  =  0,  so  reducirt  sich 
die  ohige  Entwickelung  auf  die  folgende: 

» 

0 

Beweis.  Bezeichnet  mau  mit  x^  irgend  eine  willkür- 
lich gewählte  Stelle  im  Innern  des  fraglichen  Bereiches, 
sodass  also  R^^  <i  \Xq\  <i  R  und  setzt  man: 

X  —  Xf, 

■o  ist  9  (x)  fßr  alle  x  des  Bereiches  Rq<x<  R  gleichfalls 
eiodeutig  und  analytisch.  Man  erkennt  dies  ohne  Weiteres 
für  jede  von  x^  verschiedene  Stelle  x;  in  der  Umgebung 
der  Stelle  x^  hat  man  aber: 


8G  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  0.  J-Vtruar  1^5. 

also: 


1  A*- 


(1.  h.  9^  (x)   ist  dort  gleichfalls  analytisch.     In  Folge  dessen 
ist  nach  dem  Satze  des  vorigen  Paragraphen: 

\  II  fj       Xq        /  V  Ji       Xff        / 

oder  mit  Berücksichtigung  von  Gl.  (9)  und  (10)  des  §  1: 

\H  —  Xq/  KKq  —  x^/ 

Nun  ist: 

und  daher: 

_  ■£.  911 1«- AB')«:'  +  -:-»  (-/tJ5»,)' 

Da  nun: 


U 


""  -■•*G,-;i-5'): 


< 


wenn  i-'iR)   das  Maximum   der  altsoluten  Beträge  von  f(x) 
für    X  =  i?  bezeichnet,    so  folgt,    dass    dieser   letztere  Aus- 


jL  PrinffAeim  ;   Kutfrickrluttf/  eindrut.  anahjt.   FuHCtiongn,      87 


<lnH.*k  mit  unbofH'enKt  «Achsmifton  VVerthen  von  m  gejEC«n 
NdII  conTergirt,  «nd  zwar,  wenn  r  <  Ä  angenommen  winJ, 
rnb«r  gleichiuäsai^  fDr  alle  Zq,  w&lchc  der  Bedingtin^ 
lOfCvn:  ia-„!<r.  hüttsi  man  also  in  Gl.  (.17)  m  ins  Uii- 
iliche  wachs«ii,  ao  wird: 

(19)  9n:(J^(j!)  =  |:„9Tt(Ä-''-AK)-:.i' 

wobei  diese  Reibe  mafichai  nnbedingt  und  gleicliinäs»ifj 
Br«rgirt  för  \Xf,\<r<i7l.     Es    lilsst  sich    indessen   leicht 


dius  diufl  auch  noch  fttr  Iv. 


ß  der  Fall  sein  muss. 


l)a  nämlich  /'(x)  noch  VorausHotzung  noch  für  |d;|  ^=  R 
inaijrtucb  »ein  toUt«,  so  gebcirt  zu  jeder  Stelle  x'  dea 
Kreises  mit  dem  Itmlina  R  eine  anKebbare  Umgebung,  für 
wekbe  /"(x)  nach  Potenzen  von  {x — x')  entwickelbar  ist. 
Dmm  Umgebung  mau  d&an  ein  gewisses,  von  Null  vor- 
idoBdrue»  Minimum  o  be8it»>n.  Nimmt  man  alsdann  eine 
poMlive  Gros»  d<.Q  an,  so  fulgt,  das&f{x)  auch  noch  für 
\^]^ ^~\~^  analylii^h  ist.  Alsdann  besteht  aber  eine  Be- 
nefaunff  von  der  Form  (19),  sofern  mau  da.**elb;»t  72  durch 
ff  4"  ^  (Tretet,  und  diew  n]u>fi  noch  dem  Gesagten  unbedingt 
und  ((letchmibwigconvcrgircu  för  Ijf^I  <r  <  B-j-''.  "^Is^  J^sbe- 
soodere  fHr  J^gj  ***  R,  Da  aber  nach  dem  Satze  des  vorigen 
Paragraphen : 

Snt  HAH- «)-''/'(« -f-5))  =  ö)]t(Ä-''.AÄ)), 

n  iii  dl«  znli'tzt  genannte  Entwickelung  von  der  in  OL  (19) 
aiclii  renchieden.  aodu»  al<to  diese  letztere  in  der  Tbat 
nocfa  Itlr  'XqI  *»  R  unbedingt  und  gleichmiuaig  coorei^rt. 
Aiuüog  prgibt  »ich  ans  Gl.  (17): 

(20)  V^'o— *o'' 


88 


Sileung  der  maih  -phy».  Claiuf.  iviin  0.  ^fbraar  S996. 


Da  aber: 


(21) 


'911 


fßr-A^^ 


1 


Ai 


1*0 


^o) 

'l-;?1' 


(wenn  wiederum  F{lio)  das  Maximiira  ron  f(x)\  für  \z\^*li^ 
bcxeicknet),  und  da  dieser  Ausdruck  wegen  {x^j  ^  Üg  mit 
unendlich  wachsendem  m  gegen  Null  convergirt,  so  hat  man : 

(22)  6nc(^jl-t^>)  =  -y;.9Ti(j?r/-(i?)).a:-^. 

Diese  Reihe  convergirt  dann  zunächst  wieder  anbedingt 
und  gleichmässig  fQr  |xq|>Üq:  es  folgt  aber  genau  wie 
oben,  dass  dies  auch  noch  fflr  I^qI  ~  -^o  ^^^  ''*"  ^^"  raoss, 
soffirn  man  vorläufig  B^  >■  0  annimmt.  (0er  Fall  /Eq  =  f) 
wird  weiter  unten  besprochen  werden). 

Da  die  in  den  Entwickelungen  (19)  und  (22)  alft  Coeni- 
cionteii  iioftretendeu  Mitlelwerthe  naoli  dem  Satxe  de^  rnri^cn 
Paragraphen    (in    dem    durch    die   analytiBche  Be^cIiatTenheit 

von  f{x)  bexw,  x-^-f{x)  gegebenen  umfange)  von  R  beiw. 
7?Q  unabhängig   Kind,    m   kann    man   die  GleicKnogaD  (Ifl) 


und  (22)  auch  durch  die  folgenden  ersetzen: 

9n  (^^)  =  -  E»  91t(/.  Ar))x; 


(23) 


wo  r  einen  ganr,  beliebigen  Wcrth  des  Intervalle«  Ag^r<  J2 
bedeatet.  Ersetzt  man  jotzt  in  (23)  f(x)  durch  die  Üanheit, 
so  folgt  insbeitoDdere: 


(24) 


^(A) -=2" '3^ <'-'''>■  *c     (wo:  w<:/o 


A.  Pringakeim:  Bntwielceluwf  eindevt.  analyt.  Functionen.     89 

Nun    ist  aber  Är  /i  ^  1  —  falls  n   von  vornherein   so 
gewählt  wird,  dass  ^=2''>//: 

-"    0  ■"  1— a?'^ 

also  aach: 

Dagegen  für  /<  ^  0,  offenbar : 

fJlt,.  (rO)  =  1,    also  auch:  €)tl  (r»)  =  1, 
sodass  die  Gleichungen  (24)  sich  auf  die  folgenden  reduciren: 


(25) 


Mit  Benützung  der  in  Gl.  (23)  und  (25)  enthaltenen 
Resultate  geht  dann  Gl.  (15)  —  wenn  man  statt  Xq  jetzt  x 
rchreibt  —  in  die  folgende  über: 


,-/* 


t(x)  =  ^  @TL(r-^/•Cr)).x^  +  ;^„  m.{f^-nr))-x 

0  1 

(26)  +x 

wobei  also  diese  Entwickelung  unbedingt  und  gleichmässig 
coiivergirt  fÖr  /?o<!j:  </?,  und  die  in  den  Coefticienten 
auflret«nde  Grosse  r  einen  beliebig  zu  wühlenden  Werth  des 
Intervalles  Äq  <  r  <  Ä  bedeutet. 

lat  jetzt  speciell  Rq  ^  0,  so  kann  man  zunächst  in  den 
Cc^ftictenten  von  der  Form  ^f(l(rf'-f{r))  für  /z  >  1  r  =  0 
stelzen.     Alsdann  wird  aber: 


90 


SitMung  der  mtUh.-phtf».  Cla 


P.  ?'(*r(iar  SB96. 


@TL„  (*^*  •  f  (r)).=o  =  0     also  aticb :  ff(l{f^^  f{r)) 
sodass  GL  (26)  sich  auf  die  folgende  redncirt: 

(27)  /"(x)  =  V;M©!c(^-^f(r))V 


=  0 


Dabei  würde  nach  dem  oben  Gesaj^ftcn  diese  Entwiclc*?- 
lung  ztniucbjtt  giiltijj  sein  fQrO<C|x|^Ä.  Mau  erkennt 
aber  unmittelbar,  duäs  sie  auch  noch  fDr  a;  =  0  be^iteht.  Im 
Fall**  ^^0  geht  nämlich  die  recht«  Seite  Ober  in: 

und  da  man  hier  wiederum  r  =  0  setzen  darf,  tto  folgt: 
9K.(/-(r))  «  lira  m..  (/(i')V=o  =  /•(<>) 

HS« 

d.  h.  Gl.  (27)  gilt  in  der  That  auch  fnr  x  =  0. 

DMniib  ist  aber  der  oben  ausgesprochene  Sutx  bewiesen. 

Zusatz  I.  Ist  fix)  mir  fflr  dos  Gebiet  i?;<|*|<Ä 
eindeutig  und  analytii>ch,  so  gilt  die  Kntwickelung  (26)  xa< 
nächst  für  jedes  Gubiet  H^  <  \x  <  H\  sufern  nur  iJ^,  JC  der 
Uediiigung  genflgen:  /?^  <  ßj  <  7J' <  Ä:  sie  gilt  «omit 
schliesslich  für  alle  x  de»  t^üluetps  /i!^  <  [  jr' <  7?.  Sind  8l«o 
x\  =  U  bezw.  |jr ;=/?ß  die  wahren  Convergenzgrenzen  der 
betreffenden  Kntwickelung,  so  mus»  f{x)  für  |x|  ^=  H  beaw. 
I^i  «^  Aq  mindestens  eine  singalftre  Stelle  besitzen. 

Bleibt  fix)  beim  üeborgange  von  Worthcn  mit  dwn 
absoluten  Betrage  Ijc!  <  ^  bezw.  j;{  >  T^o  zu  »ulcfaen  mit 
dem  absoluten  Brtmge  lx{  » /t  bezw.  jji  » /{,  noch  im 
allgemeinen  gleich  massig  stetig,  und  ixt  f{x}  fOr 
\x\  =  H  bpTw.  |x|  =  Jtg  durchweg  endlich,  so  kann  man 
offenbar  die  in  den  Coeflii;ient«n  auftretende  Gr5juer  erentuell 


A.  Prinff^rim:  Rittciekdung  eindeut.  analyt.  Functionen.     91 

auch   durch  R   bezw.  R^  ersetzen,   da  in    diesem  Falle  die 
Differenzen : 

bezw.  m.{R':-tw -  m.(R'j'-f{iü) 

Wllebig  klein  gemacht:  werden  können. 

Zusatz  IL     Man  erkennt   leicht,    duss    der    bewiesene 
Satz  auch  umkehrbar  ist,  d.  h.  wenn  die  Reihe: 


—  30 


zum  Mindesten  fQr  alle  x  mit  dem  absoluten  Betrage  \x\  =r 
gleichraässig  convergirt,  so  hat  man: 

a^  =  §n:(r-''./-(r)). 

Hieraus  ergibt  sich  dann  die  Eindeutigkeit  einer  der- 
artigen Entwickelung  zunächst  in  dem  Umfange,  dass  aus 
dem  Bestehen  der  Gleichung: 

—  «I  — * 

zum  Mindesten  für  alle  x  mit  einem  gewissen  absoluten 
Betrage  j'  =  r,  ffir  welche  jene  Reihen  gleichmässig 
oonvergiren,  deren  Identität  folgt.  Auch  hat  e.s  keine 
besondere  Schwierigkeit,  diesen  Identitätsbeweis  auf  den  Fall 
auszudehnen,  diiss  die  Gleichheit  der  beiden  Reihensummen 
nur  für  irgend  eine  unendliche  Punktmenge  feststeht. 

Fehlen  in  der  betrachteten  Ueihe  die  negativen  Potenzen, 
rodaäs  al.su: 


92  Sitzung  der  math.-phj/a.  Clasie  vom  9.  F^ruar  1895. 

SO  hat  man  offenbar: 

Jene  Mittelwerthe   stellen   also  in  gewissem  Sinne  eine 
Yerallgemeinening  der  Ableitungen  von  f{x)  für  x=0  dar. 


93 


'We  7-Systeme  von  Kegelschnitten,  welche  durch 

die  Berührungspunkte  der  Doppeltangenten  einer 

ebenen  Curve  4,  Ordnung  gehen. 

Voo  ■.  N5Ui«r  in  Erlugen. 

^tm^^tla^f^»  9.  #VbnMr.) 

die  315  Kef^elftchnitt«,  welche  eine  Curve  4,  Ord- 
Bong  in  dfii  ßerniiruiigspuukten  von  vier  ihrer  Düppel- 
tangnitcn  treffen,  bat  0.  Hease  zuentt  angegeben  (Crelle'ä 
Juuro.,  Bd.  -lÜ),  duifl  man  uns  ihnen  T-SyäU-me  bildfti  kann, 
die  jip  durch  die  Berrihningt^punkte  aller  2fi  Duppeltangenlrn 
liiodarcbgi'hen.  Auf  die  von  ihm  (Cr.  J.  -19)  gestellte  Krage 
it«rh  allen  derartigen  "'Systemen  bin  ich  in  Ud.  15  der 
UatbeiD.  Annalen')  s>>  weit  eingegangen,  da»«  ich  einmal 
135  irreductihle  i-^Systeme  mit  «Tripeleigenächaff  nuchivies, 
Mt^Mnn  H15.24  aoeigentliehe  Systeme  construirte,  in  welohcn 
je  «Der  der  KegrUchnitte  auKgezeicbnet  war.  Aus  Anlass 
der  Ton  der  k.  b.  Akad.  d.  WUb.  demnächst  erfolgenden 
flwMMgiU»  der  gesammelten  Abhandlungen  Hesse's  möchte 
ieb  die  Vth^  hier  TotUtÄndig  beantworten. 

].  Brxeichnungen  und  Heziehnngen.  Ich  bediene 
BÜsfa  der  H«uichnung  {ifi},  wo  i,fi  von  1,2,  ...8  geben, 
iHt  ftir  die  Doppeltangenten  (.Dtgn/)  und  der  in  dem  ge- 


I)  .Leber  die  GlflichongtfD    achten   Gndei    und    ihr  Auftreten 
m  der  TlwarM  der  Corven  vierter  Ordoong.* 


94  Sitzung  der  math.-phys.  Clasae  vom  9.  Februar  1S95. 

nannten  Aufsatz,  oder  auch  in  Äbhandl.  d.  bayer.  Äkad. 
d.  Wiss.,  Bd.  17,*)  auseinandergesetzten  Rechenregeln.  Von 
diesen  Übrigens  nur  der  folgenden:  In  einer  Oombination 
zu  /<,  tj  /c,  t,  Ar, ...  t  ^ui  ist  die  Anordnung  der  Zahlen 
gleieligQltig  und  zwei  gleiche  Zahlen  heben  sich  gegenseitig 
auf.  Ist  fi  gerade,  so  gelangt  man,  indem  man  [12 ...  8]  ~'  0 
setzt,  zu  den  63  gleichberechtigten  Steiner^schen  Gruppen 
(,St.  Gr.")  [ifc],  [iklm];  für  ungerades  /i  zu  den  28  (ik) 
und  zu  36  unter  einander  gleichberechtigten  {iklm)  und 
(12  . . .  8).  Jede  St.  Gr.  [a]  lässt  sich  auf  6  Arten  in  Paare 
der  Art  ij  k^.  t,  Ä,  zerlegen,  und  jede  der  zwölf  entsprecben- 
den  Dtgn.  (ik)  heisst:  ,in  [a]  enthalten. •  Zwei  St.  Gr.  [«], 
[b]  heissen  »syzygetisch"  (Ausdruck  von  Frobenius),  wenn 
[b]  sich  gegen  die  beiden  Dtgn.  eines  Paares  von  [a]  gleich- 
miissig  verhält,  d.  h.  beide  enthält  oder  beide  nicht  enthält* 
Drei  syzygetische  St.  Gr.  [a],  [t],  [afc]  von  der  Oombination 
[jabah']  —  0,  mögen  ein  „Steiner'sches  Tripel*  heissen;  sie 
enthalten  vier  Dtgn.  gemeinsam,  deren  Berührungspunkte 
auf  einem  Kegelschnitt  ^  liegen;  die  315  Kegelschnitte 

Ä  =  i\Ä,  -  i,fc,  •  tjftj  •  i^k^,  wo  [/,Ä:,  i^k^  i^k^  üK^  —  ^^ 

und  die  315  Steiner'schen  Tripel 

IhK  UKl  Ui^i  ^y,     [i,A-,  i^k^\  —  [ifk^i^k^] 

entsprechen  sich  so  eindeutig;  zu  jedem  Ä  .gehören*  drei 
St.  Gr.  eines  Tripels. 

Die  Beziehungen  zwischen  zwei  Kegelschnitten  St  sind 
von  mir  Math.  Ann,  15  gegeben  worden,  ausführlicher  von 
Pascal,*)  der  auch  die  Beziehungen  zwischen  dreien  der  Ä 
abgeleitet  hat.     Ich  benutze  davon  Folgendes: 

'}  ,Zar  Theorie  der  Berührunf^cuiTen  der  ebenen  Cnrre  vierter 
Ordnung.' 

^)  Hendiconti  d.  R.  Accad.  dei  Lincei,  1892  Nr.  11. 12;  1893  Nr.  1. 


JT,  Nmhtrt  Hit  T-Stfatguie  foh  Kfiidurhniltfn  etr. 


OS 


Zw«i  Kefielsciiintt«  ft  nnd  St\  irelolie  keine  Doppel- 
Unf(ente  gemeinsam  haben,  stehen  in  «Beziehung  erster 
[Art*  lÄÄ')i  odtr  ,xweit«r  Art*  (ßff'),.  j«i  niichiii-'m  die 
r  Witlen  zo  ft  und  j?'  geliürigcn  St. Veiten  Tripel  eine  ät.  (ir. 
gnneiDMiin  haben  oder  nicht.  Zu  einem  X  gibt  ea  18  ft', 
är  wrflch«  (ft»'),  gilt,  144  ft',  filr  welche  (Äff'),  i»l.  Ans 
iam  ^^rlegungsschenia'  eines  ft,  nämlich  ans 


K  -  12-34.56.70 

(1 284]  =.  1»  •  24.  14  •  33,     57  -  68,  58  -  67 

[  1 256]  -^  15 . 2«,  lei .  25,     37  •  48,  38  •  47 

fl  278]  ^  17  ■  28,  18  •  27,    35  •  46,  30    45, 


tt  man  die  K\  für  welche  {KK')^^  indem  man  zwei  Pnare 
Horsicontjilrcihe  zuiaranieofuKst,  wie  etwa  18-24-14-23; 
die  A" ,    für  welche  {KK'\,  indem   nun  uus  zwei  der 
jrei  Heihen  je  zwei  ik  v>  berausnimrot,  dass  die  Gesammt- 
co n  "  II   0   erjjiht,    wie    13-14'37-47.      Hie   18   ersteren 
K   .  . :_..  .1  dem  zu  (irundp  gelegten  K  KeffenUber  in  9  Puare, 
isdnn    «in   solches    Paar  A",  £*,   eine  Horixontulreihe  von  K 
bf^pfl;   «olche  drui    Ki*u*fl6chnitte  K^  Ä",,  K^   bilden   ein 
erster  An"  (A' A", /T,),,    dessen    (lliedor    K'^i^li^i'tiK 
und    alle    dersellten    St.  Gr.  [»]    y.ugeorduet    sind, 
Täbread    umgekehrt  eine  St.  Gr.  [a]    auf    15    Tersehiedene 
I  Tripel  der  Art  ( ÄTA',  Ä',>,  führt.  Vipn  let/ten^n  eiistiren  63-15. 
Auch  die  \\\  K"  zerlegen  fiich  A'  gei^enüber  in  72  Paare, 
I  4ef  Art  (£*,'  ^;),,   indem  K^  jene  4  Dtgn.  enthält,  welche 
£«  4   Dtfcn.    von  K^  in  den  beiden  ausgezeichneten   St,  Qr. 
AT  »u    IViiri-n    ergfinsten.     Kinem  Paar  2.  Art  iKK"\^ 
'tio    Ke)(el*chniU  JC    .conjnglrt",   für   welchen   (A^Ä!"),, 
[(Jf*jC)i  ist;    d<*fM>ltie    kann    dadurch  erhalten  werden,    dasa 
«1»  den  Iteiden,    gegen  rinundfr  ttyijrgeti.^chen,  St.  Gr. 
f  JT  and  K*\  von  welchen  die  erstere  keine  Dtg,  ron  A", 
iweitf*  keiuc  Dtg.  van  K  eutliilli.  die  vier  gerneiubamen 
faermunnimmt. 


96  Sitzung  dtr  mnth.-j4iy».  Clattt  v&m  9,  Pehrimr  1696, 

Im  obigen  Beispiel  bilden 
JT,  ifj  =  13  .  24 .  14  •  23,        K^  =  57  •  (58  -58  •  07 


ein  Tripel  erBter  Art; 

K;  =  13.  U- 37 -47, 


K;  =*  24-23-48-38 


sind  zweiter  Art  gegen  K  und  gegen  K  gepiiart;  durch  K 
und  K'  Kind  die  St.  <ir.  [1278],  [34]  auHgezeicbnot,  welche 
zu  dera,  zu  {KK^\  conjugirtea  K*  =  35  •  36  •  45  •  40  fdhrtn. 

2.  SiebentripeUysteme.  Ein  solche«  Sjst«m  entsteht 
aus  K,  indem  mnn  aas  jeder  der  drei  St.  Gr.  von  K  diesen 
Kegelschnitt  zu  einem  Tripel  eri^r  Art  r?rgiln/.t;  aber  so.  dufls 
nur  Beziehuugeu  erster  Art  eutstuheu.  Durch  doa  urüte  Tripel 
ist  das  Qoadrupel  der  vier  übrigen  Kegelschnitte  «hon  Iw 

stimmt.     So  gibt  es  — ~  =  135    solcher   Systame,   ja   7 

Tripel  enthaltend. 

Einem  solchen  Sy&tem  entspricht  ein  TripeUystem 
von  7  Steiner'schen  Gruppen  und  zwar  je  den  Klementen 
de^  einen  Sy^^tems  dit;  Tripel  dt^  anderen  (v-ergt.  dtu  Sy>U*m  S, 
Math.  Ann.  15,  pag.  Oü).  Man  erhält  dafti«elbe  cinfAch  am 
drei  sTzygeÜ5chen  St.  Gr.  [a],  [ij,  [r],  für  welche  [abc] 
nicht  ^^^  0  ist,  in 

[a],  [6],  W.  \ab\.  [acj,  [*c],  [abc]. 

3.  Eigentliche  Siebensysteme  zweiter  Art.  Es 
gibt  hl  30-$  t!)geriiliche  (irre<Iuctihte)  Sy^tfuno  Tvtniif^r  Ait 
von  je  7  KegeUclinittun  Q,  deren  Glieder  alle  iu  Ue^iehtmi^ 
zweiter  Art  zu  einander  stehen.  Jedes  solches  System  führt 
auf  eine  Galoia'sche  {aha  algeUrai^oh  lAsbara)  Gleichant; 
7.  Üradent.  Dieselben  sind«  je  zu  120,  den  3G-8  Aroobold- 
schen  7-Systemen  von  Ut^.  zugeordnet. 


Jif.  Säiktr:  Die  T-Syätme  ton  KggaUdmittm  etc. 


97 


Bin  DoU^«  T-ft-System  »i  z.  B. 

JTo  =  12.S4.56-78 

pr,«=U.27'a5.M,  Ä,  =  15-36-47-28,  /r,=  10.24 -57-38, 

ijr^=13-25-Ci7.48,  Äj«  20-37 -45 -18,  ^,  =  17-23. 46-68. 

rm    ilie    Eigenschaft   desäelben    xu   erkennen,   dass  auH 

irgcod    xwci  der  7  KegclschnitUr  die   iUirigen  Bich  eintlcutif{ 

trgelwn,  bcacbU*  lOAn,  duss,  Xp  gegouübcr,  ^ich  die  Qbrigea  ß 

)  ia  3  Pitaro  iTj  K^,  K^  JT,,   ^^  f'^   ordnen,   derart,    dtu»   der 

ni  PwiTü  (A'j  A'j)j   ,(;oiiJii>5irtt'   Kt^geUchnitt  ft,^   mit  Ä*^ 

nur  mit  K^)  »wei  Ouppcltjmgontwn  gpiuoin  hat;  ebenso 

Itet.  (/r,A'^)|  nad  bez.  ( A'^A'J,,  Dieselben  sechst  ordnen  tnch, 

Kf,  '»er,    aucb   iu  zwei  Cykleu  2.  Ordnung,    K^K^K^ 

onu    --.    i^  K^\    iiwofcrn    mmi    vyn    (Ä"^  AT,),    auf  A*^,    von 

'  {K^  K^^    auf  A",,    TOD    [£^  A,)^    auf   if^    und  ebenso   tod 

|(A"^  A'gl,  »iif  Aj,  von  (Ao  Ä,),  »üf  K^,  von  (A'o  A'^)^  auf  A^ 

fcnTT*"*     -nau  so    wi*»   vorher  von  (A',  A'j)^   auf  K^.     l'nd 

tsu  •.  weao  mau,  itutt  von  A'^,  voa  einem  der  übrigen 

leclis  S  Bungebt 

Die  UleJchong  7.  Gradea,  welche  dum  7-Systcmc  cnt- 
(pricbl,  hat  ab»  für  die  [ndiced  i  der  7  KegoUchnitte  die 
netacjklUche  SuUttitullnuHgruppe 


0'  /»*  +  «). 


a  =  0, 1,.  .  .  6 
^  =  1.2....{» 


mod.  7. 


Ferner  iwl  für  da^  i>bij^e  Sj-steni  in  K^  die  Dtg,  (7S)  vor 
"'^'rigen  dreiirn  inKofem  anege/eicbnet,  aU  in  den  3  Kegel- 
'  fl  Äir  ^41-  Äfj«  welche  je  den  obigen  drei  Paareu 
\&^  Ä',»,,  (ÄT^  JS^),,  (A,  Aj),  cunjugirt  sind,  jedesmal  die 
Dti'  ■'"'  '  ilwr  nur  je  eine  der  drei  Hbri^on  Dtgn.  von  Ä'^  Tor- 
kwn  :  I  auch  dadurch,  daäs,  wenn  man  die  ti  Kegelschnitte 

A^  . . .  A',  auf  audere  Wei««  ^oarweiäf  zu^animennitaiDfc  und 
iRicsiiMi  d«fi  coDJugirtvD  9  aufstaut,  (78)  niemals,  dk>  übrigen 


SHiunff  der  nnith.-pi»y».  Clntte  t<m  U.  Februar  19$B, 


drei  Dtgn.  von  K^  aber  jo  zweimal  rorkommen.     Auf  die 
Weise  ist  in  dem  obigen  System  das  h  er  vorgab  oben  e  Aron- 
hold'scbe  7'Syiit«m  von  Ütgn.  ausgezeichnet,  das,  cocubiuirt, 
(12345678)  liefert. 

Zugleich  folgt,  doss  mittelst  des  SiebenkcgebcbnitisjstomK 
die  28  Dtgn.  alle  eindeutig  bestimmt  ftind.  Und  da  die 
Gleichung  fQr  diese  Dtgu.  eine  Gruppe  von  S!  36  Substi- 
tutionen besitzt,  das  7-ft-System  aber  eine  solche  von  7*6 
Substitutionen,  so  existiren  5!  3G'8  der  genannton  iSyntemt. 
Man  erhalt  dieselben  samnitlich  ans  dem  obigen  speciellen, 
indem  man  etwa  ei^t  auf  die  Doppeltangeutenindicca  1, 2, ...  5 
alle  120  Vcrtauflchungen  ausübt,  was  das  zugehörige  Aron- 
hoIdVcbc  7-Sjstem  nicht  ändert,  und  iiidi'm  man  dann  noch 
diejenigen  Subsiitutioneu  vornimmt,  welche  letztvreit  Syut^m 
in  die  36*8  ÄronholdVhen  7-Systeme  Qberzufnhren  erUubvn. 

4.  Oneigentlicbe  Siebonsysteroe. 

ft)  Man  ergänzt,  wie  in  Kr.  2,  K  aus  jeder  der  drei  iSi,  Or. 
▼on  K  zu  einem  Tripel  erster  Art;  abtjr  so.  da^s  die  drei 
Paare  X,  vl„  B^  If,,  C^  C^  gegenseitig  in  BeziehoDg  zweiter 
Art  st«ben;  z.  B. 

£"=*  12.34.56.78,  ^,  =«  13-24.57.68,  ^-=  14.23-58.67, 
Bj  =  15. 26-16.25,  B,  =  37.4838.47, 
C,=  17-28.36.45,   C,— 18.27.35-46. 

In  diesem  Bjalem  ist  A"  ausgezeichnet.    Es  gibt  3]5>6  der- 
artige Systeme. 

1>)  Man  verfiibrt  wie  in  a),  nur  dsa  zw«i  der  jlnl 
Paare  gegen  einander  in  Beziehung  entt«r  Art,  g«g*eo  Ätf 
dritte  in  Beziehung  zweiter  Art  Bt«hen.  So  erhält  man  aus 
dem  System  a)  ein  Syst«ro  b),  wenn  man  nur  if,  JH^  entkti 
durch 

Bj  «  16. 26. 37.48,         JJ,  =.  16.25.38.47. 


Jir.  JtfMbcr:  I*U  7-Sytinu  von  K*f9bekmU«n  etc. 


99 


Auch  IQ  di^etn  System  ist  K  ausgezeichnet,  und  es  gibt 
|iM5-18  derartige  Syät4>m0. 

In  n)  und  l>t  znäaromon  hat  man  die  in  Math.  Ann.  15 
«ngrgi'brncn  015*24  uiieigenLlichen  Syätemo. 

e)  Zu  iT  nimmt  man  drei  Paare  erster  Art,  die  aber 
tue  prgonflber  K  in  Bociefaung  xweiter  Art  stehen.  Dieselben 
•tehen  dann  auch  gegenseitig  iu  Uezit'liiiDg  zweiter  Art;  »o 
daia  K  wiederam  ausgeKeicboet  auilritt;  z.  B. 

IjT— l2.3-i.56.78,  ^,  =  13.57.2648,  ^,  =  15.37. 24*68, 
JJ,  =  10-38.27.45,  B,  =  18.3ß. 25-47, 
C,  =  14.07-28.35,  C;  =  I7.40-23.58. 

Aussj(?T    Art   giht  es   315-192  Systeme;   und   za    ihnen 
ifft  aoch  das  vud  flesäc,  Cr.  J.  49,  angeführte. 

d)  Za  K  nimmt  man  ein  Paar  A^  A^,  dos  mit  K  ein 
T^pel  erster  Art  bildet;   ferner  B^  B^^  die  K  gegeufiber  in 

nng  zweiter  Art  und  gepaart  stehen,  nnd  welche  zu- 
:b  mit  -4,  A^  in  Beziehimg  2.  Art  sind;  endlich  iHe  C,  C^, 
wtlch«  noch  in  Beziehung  erster  Art  (nicht  gepaart)  zu  K 
«teheo ;  «.  B. 

K«  12-34-56.78,  ^1,  =  13.24. 57-ti8,  i4,  =  14.23.58.67, 
2?,=  1Ö-1Ü-35-3Ü,  B,  =  25.2ü'45-4G, 
C,  =37. 38-47. 48,  C^  =  17-18.27.28. 

Aach  hierbei  iat  JiT  aufgezeichnet;  und  es  gibt  315«  144  der- 
uti^  Synteme. 

e)  Zu  einen)  Tripel  erster  Art  [KA^A^^  niinnil  man 
COM«  der  am  Anfange  von  Nr.  2  erwähnten  Quadrupel 
(A,  £,  C^C*,)p  das  aber  sieht,  wie  dort,  z^{KA^Ä^^  gehört, 
mdeni  dctrctiau«  mit  dionm  in  Beziehung  zweiter  Art  stehe; 

»twn: 

=  12-.T1  :.*»-7S,  A,  =  13  24-5768,  A^  =  14-23-58.67, 
/?,  =  lS-38.27-46,  JB,  =  183526  47, 
r,  =  16  37.28-45,   0,^=17-30  25.48. 


Mima  Tripel  Miftordwt, 
d«   in  drin  äjstMn   «in  Tripel    irihii  Art 
m  gibt  M  63-1&-8  dcrmrtigv  Sjuitiiiiiu 

Di«  btsrichneteii  Svilcne  «iKbApfea    iblU 
8i«beolM9«bdiDtttayil«n«,  «w   ouri.   vna   «le«. 
fon  ir  «oigalMiid,  Uichi  U'vttutt. 


101 


ler  simultane  partielle  Differentialgleichungen 
n.  0.  mit  3  Variabein. 

Von  EduArd  t.  tVeber. 

(Ongdm^  9.  Mmar.) 

^  Die  Frage  nach  den  gemeiosamco  Intet^rnlen  zweier 
prtieller  Uiffercntialgleichimj^en  2.  0.  in  3  Variabeln  ist 
DD  den  Herren  Val)i')  und  Bianchi^)  untersucht  worden. 
[acb  einer  neuen,  sehr  einfachen  Methode,  welche  nanient* 
ch  mehrere  der  ßianchi'schen  Kallnnterscheidungen  qd- 
ßfehig  macht,  leiten  wir  im  Folgenden  die  Hauptergebnisse 
er  genannten  Untersuchungen  noch  einmal  ab,  und  wenden 
ti8  dann  zum  Stadinm  eines  besonderen  Falles,^)  der  in 
br  allgemeinen  Theorie  der  partiellen  Differentialgleichungen 
Aherer  Ordnung  eine  bekannte*)  wichtige  Rolle  Kpielt. 

■  Wir 


1. 


vWiT  bezeichnen  wie  Gblich  mit  pq^  rsU  uvuim  bez. 
le  ersten,  zweiten,  dritten  Ableitungen  von  s  nach  x  und  ij. 
ledes  gemeinsame  Integral  der  beiden  Gleichungen: 


»)  Creile'a  J.,  Bd.  95.  p.  99  f. 

3)  Atli  d.  R.  Acc.  dei  Linoei,   Rendiconti  (4)  U,   Nota  1  p.  21B. 
,  H  p.  387,  K.  111  p.  807. 
»)  Bianchi  1.  c.  NoU  H. 
*J  Vgl.  Dwboni,  Ann.  de  rUc.  Norm.  7.  1870. 


-^äc 


102       Siizung  der  ntath.-phyg.  Glosse  vom  9.  Februar  1895. 


(3) 
(4) 


F{xyepqrst)  =  C  (H 

F'  (xyzpqrst)  =  C  (2) 

wo  Cj  C'  willkürliche  Gonatante  bezeichnen^  befriedigt  dann 
auch  ein  System  Pfaff'scher  Gleichungen  von  der  Form: 

d*  =:  p  da;  +  g  dy^     dp  ^rdx-\-  s  dy^ 

dq  =  sdx  -\-  tdy 
dr  ^=  udx-^  V  dy^     da  ^=vdx-\'  vo  dy^ 

dt  =  wdx  -\-  wdy 

worin  unter  uvwö)  gewisse  Functionen  von  x . . .  i  zu  ver- 
stehen sind,  die  den  Gleichungen 

3f  +  J2«  +  fi'p  H-  Tw  =0  (5) 

N  +  Bp  -h  5w  +  Tä   =  0  (6) 

Ä'+  B'u  H-  8'v-\-  T'w  =  0  (7) 

ir  -i-R'v-\-  Sw  +  röi  =  0  (8) 

genügen;  dabei  ist 
M  =  X-\-pZ-^rP-\-8Q;    N  =^  Y -^  qZ -{- sP -j- tQ 

jtf'=r+...,  j^=r+...,  X==||...,  3^'=^. 

Sind  die  Gleichungen  (5)..  (8)  linear  unabhängig,  hat 
man  aber  identisch: 


R 

S 

T   0 

0 

R 

S  T 

R' 

S' 

r  0 

0 

R' 

s'  r 

=  0, 


(9) 


so  existirt  augenscheinlich  kein  gemeinsames  holomorphes 
Integral  von  (1),  (2).  Besteht  (9)  nicht  identisch,  so  sind 
u...öi  vermöge  (ü) ..  (8)  als  Functionen  vo\\x...i  beetimmt, 
und  die  Bedingungen  dafQr,  dass  das  System  (3),  (4)  un- 
beschränkt integrabel  sei,  lauten 

DJ,v)-DM  =  D^w)-D,(r)  =  D^Ä)-/)»  =  0    (10) 


0,  r.  %fther:  Simtiitane  part.  Differtnittügiftehnngen  tl.  O.     103 


3y*^'3j"^     dp'^     dq 


m&n    aber    (5)  mii  D^^   (6)  mit  />«    dUferentiirt 
I  «ad  itibtruhirt,  erliiti  ninn  zufolge  einfacher  Rechnung: 

H-  r(/),(w)-/),(äi)  ^  0.  (U) 

■  (7)  uod  (8): 

-i-  r'(z>,(«o-/).(Ä))    -  0  (12) 

JDffen  (10)  nur  mit  einer  einzigen  äquiralent 

Bedingung,  welche  die  2.  Ableitungen  von 

I  f  imd  J*"  nach  x...i  linear  enthält,    ist  iiothwendig   und 

binrvicbeiid   daRlr,   dasa  jede   der  00^  Gleichungen  (1)    mit 

der  00'  Gleichungen  (2)  ein  Integral  mit  \  Conatanfcen 

icfii  habe;   diMes  Integrnl    ergibt   sich  durch  Integration 

(3X  H)  no^OT  Derticksichtigung  der  and  (t),  (2)  folgen- 

I  An  AofiMgabedinguBgen.    Die  willkdrliehe  Annahme  Ton  6^' 

btfiert  «fsaa  fftr  jede  der  Gleichungen  (1),  die  Ton  Ü  für  jede 

tifaadiaQK  (2)  ein  volhitindigen  Litegrul. 

Venfchwinden  dagegen  alle  4-gliedrigen  Determinanten 
^4«r  Matrix   voo  (5) . .  (8)  ideotisc}!,  was  wir  durch 


104       SUsung  der  math.-phyg.  Glaste  vom  9.  Februar  1895. 
M   R   S   T   Q 

M'  R'  s'  r  0     -  "  ^^^^ 

N'   0  R'  S'  T' , 

ausdrücken,  ohne  dass  jedoch  alle  3-gliedrigen  Unterdeter- 
tninanten  von  (9)  zu  Null  werden^  so  können  wir  aus  (5) . .  (8) 
drei  der  Grössen  u..  ä>  durch  eine  unter  ihnen,  etwa  c5,  aus- 
drücken. Die  eine,  in  (10)  enthaltene  Bedingung  stellt 
dann  eine  partielle  Differentialgleichung  I.  0.  mit  der  unbe- 
kannten Function  ä>  und  den  unabhängigen  Variabeln  x..t 
dar;  ist  deren  allgemeines  Integral  gefunden,  so  bleibt  noch 
(3),  (4)  zu  integriren;  also: 

„Das  identische  Besteben  der  Relationen  (13) 
hat  zur  Folge,  dass  die  Gleichungen  (1),  (2)  ein  ge- 
meinsames Integral  besitzen,  das  von  einer  will- 
kürlichen Function  abhängt  und  durch  Integra- 
tiongewöhnlicher Differentialgleichungen  gefunden 
werden  kann/ 


II. 

Ehe  wir  in  die  genauere  Untersuchung  des  Falles  (13) 
eintreten,  schicken  wir  einige  Hilfsbetrachtungen  voraus. 

Zwei  Flächenelemente  II.  0.*)  E(x..  t)  und  E'  (x  +  dx,. 
t-\-ht)  heiBsen  nach  Lie  vereinigt  liegend,  wenn  sie  die 
Relationen 

^e=sp6x-\-q^y^  ^p  =  r^x-\-s&y,  dq^  sdx-{-tdy  (14) 

befriedigen;  eine  Serie  von  oo*  Elementen  ILO.,  deren  jedes 
mit  einem  benachbarten  vereinigt  liegt,  heisst  ein  Streifen 
II.  0.    Eine  infinitesimale  Transformation  X{f)  der  Elemente 

')  Vffl.  meine  Arbeit:  Theorie  der  Fl&chenelemente  des  Raamei 
TOD  3  DimenRionen,  Math.  Ann.,  Bd.  44,  p.  468  ff. 


JC.  V.  Weber:  Simultane  pari.  Differentialgleichungen  II.  0.    105 


x,.t  des  Raumes  heisse  eine  infinitesimale  Streifen- 
transformation,  wenn  sie  jedes  Element  in  ein  benach- 
bartes mit  ihm  vereinigt  liegendes  UberfQhrt.  Definiren  wir 
fortan  das  Symbol  d  durch  die  Identität 

df-^X{f)6X,  (15) 

90  hat  man  identisch: 

ds^=  pdx-\~qät;;  dp  =  rdx-{-sdy;  dq^sdx-\-tdy  (16) 
and  X{f)  hat  die  Form 


X{f)-  S^sif)  +  v^,(n  +  e.i  +  ^5^„  +  t/,      (17) 


Br 


ds 


9t 


wo  ^fjoax  Functionen  von  x..t  bedeuten.    Die  00*^  Streifen, 
velche  sich  durch  Intefi^ration  der  Gleichungen: 


dx :  dy :  djB :  dp :  dq :  dr :  ds  :  dt 


(18) 


ergeben,  sollen  die  Bahnstreifen  von  X(f)  heissen. 

Zwei  vereinigte  Elemente  x.,t  und  x  -^  dx .  .t  -{-  dt 
werden  durch  X(f)  in  benachbarte  Elemente  x-\-dx..  und 
x-f  Ax-^d{x-\-dx)  .  .  .  Obergeführt,  welche  wieder  vereinigt 
liegen,  wenn  man  hat: 


ddg  =  dpÖx  -[-  dqöy  -f-  pddx  -\-  qdÖy 
ddp  =  dröx  -{■  dsSy  -\-  rddx  -f  sdÖy 
döq  =  ds6x  -\-  dtdy  -f  sdÖx  +  tdöy 


(19) 


Subtrabirt  man  von  diesen  Gleichungen  bez.  die  folgen- 
den drei: 


ddjt  =  dpdx  -\-  dqdy  -f  pdSx  f-  qddif 
(iAp  =  drdx  +  dsdy  -f-  rddx  +  sddy 
ddq  ^  dsdx  +  dtdy  -\-  sddx  -j-  tddy 


(20) 


10<^       SUJUU9  der  maih^-ph^s.  GImm  flOP  #.  fMnMr  1995. 

welche  BOBdrOoken,  doas  die  Rleaiente  x-\'  dx.,  t -\- At  und 
x-\-dx-\-  d(x-\-Ax)...  t-^6t-\'  dit-^-dt)  vereiuigt  liegen, 
80  folgen  die  Beziehnngen: 

dpAx  —  6pdx  "H  dq^y  —  ^qdij  *s  0 
dr^x  —  Ardx  -\-  dnfiy  —  dsdy  ^  0 
dsdx  —  Asdx  '\'  didy  —  dtdy  =  0 

von  denen  die  erste  wegen  (14),  (lü)  ron  selbst  erfüllt  üt 
Die  andern  beiden  schreiben   wir  ablcdrzend: 


(rfd),  =  0.         {dA\  =  0. 


(21) 


Da  umgekehrt  aus  (21)  wegen  (20)  die  Relationen  (19) 
folgen,  so  hab(>n  wir  den  Satz: 

«Damit  die  inöiiitetiimale  Streifeutmu&forroation  X{f) 
2  benachbarte  vereinigt  liegende  Elemente  wieder  in  solche 
überführe,  ist  notbwendig  und  hinreichend,  dass  jene  Ele- 
mente den  Bedingungen  (21)  geniigen,  wo  d  durch  (15) 
definirt  tttt.' 

Es  erhebt  eich  nun  die  Frage:  Wie  ninss  X{f)  he- 
schaffen  sein,  dHtnit  irgotid  2  benachbarte  Elemente,  die 
(M),  (21)  befriedigen,  in  benachbarte  vereinigte  Klemunt« 
Übergeführt  werden,  die  wiederum  den  Kelatiouen  (21) 
genügen?  Daxu  ibt  iiothwendig  und  hinreichend,  da«»  man 
identiich  habe: 


d{dA\        X,{dd),-\-X^{dS), 
d{dA),~^,{dd\-^Mäd), 


(23) 


unt^r  X^,,f^^  unbestimmte  Pactoren  der  Oii^stsenordnung  Al 
Tvr«tandLm.  Führt  man  die  DifffTentialionni  linI<H  mit  Rück- 
ficht  auf  (N),  (Ui)  au»,  nnd  vergleicht  die  Coefticienlen  von 
Ax,  Ay^  Ar,  4«,  Ai  auf  beiden  Seilen,  ao  folgt,  wenn  partielle 
Differentialquotiunten  durch  unter«  Indioe«  angedeutet  werden: 


(23) 


£  c  %yd>eT:  Simuttrine  pnH.  IhfferenttatglriehaoffCH  II.  O.     107 

Xr  +  «1  J,(f)  -  f^Vo)  +  rd,(ti)  -  »?4(r) 

—  Z5  -h  o5,  -  fn,  +  tr/,  —  r/r,   =    —  /«,;;  — /(^ 
—  X^-f- o|,— fo,-|-Ti7,  — i;t|  =  —  Z^»? 

D»  es  sich  augenscheinlich  tim  eine  Eij^nschaft  der 
Bafaostreifen  bandelt,  so  kann  man  unbeächadet  der  AU- 
getneiDbeit  f  •=  1  setzen,  wodurch  sich  ubige  Forraeln  etwas 
Vfreinfachcn. 

<!  'li*»  f, »/,  p, «,  T  identisch  den  RWntionen,  welche 

4«rch  ;.-  !  *Uoii  von  Äj^j/'i/'i  aus  (23)  (24)  folfjfen,  »o 
hat  das  BabiutreifeBsysteni  (IS)  otTonbar  folgende  Kif(en»chaft: 

gHat  naao  einen  beliebigen  Streifen  S,  der  den 
DifferentiaJ^leichuii^en  (21)  genOgt,  ao  bilden  die 
m^  Slreifon  des  Systi-nis  (18),  welche  bez.  von  den 
9^  Elementen  ron  S  auslaufen,  eine  Fl&che,  da  ja 
je  2  nfifeinaudürfolgeude  diesor  Streiftio  nach  ihror 
laoien  AuHdfbnung  vereinigt  liegen/ 

Wir  nennen  ein  solches  System  von  00''  Streifen  »ein 
»obvücbränki  intfigrablea  Strcifensystem.* 


108       Sitzung  der  fHotk.-jahys.  Ciasse  vom  9.  Februar  1895, 

in. 

Wir  setzen  in  (17)  1=1,  t}  =  Ä^  und  legen  der  im 
Uebrigen  beliebigen  Streifen transformation  X  {ß  nur  die 
Bedingung  auf,  dass  die  2  totalen  Differentialgleich angen  (21) 
eine  integrable  Combination  liefern  sollen,  d.  h.  eine  Relation 
der  Form: 

äF-  Q,{ä6),-^e,idd\  (25) 

erfüllt  sei,  worin  F  eine  Funktion  von  x..t  bedeutet,   und 
unter  Gebrauch  der  Abkürzungen  pag.  102: 

dF  -^  Mdx  +  Ndy  -f  Rdr  +  Sds  -f  Tdt 

gesetzt  ist;   q^  q^  sind    unbestimmte  Faktoren   der  Grössen- 
ordnung  ItÖX. 

Indem  man  in  (25)  die  Goefficienten  der  willkürlichen 
Differentiale  auf  beiden  Seiten  gleichsetzt  und  ^p  q^  eliminirt, 
folgen  die  Bedingungen 

Hä^  —  SA-^-  r  =  0,  (26) 


iJ  ~  +  iS~RÄ)  P^M  =  0 
dx  ^  dx 

Rp^(^S^RA)p-i-N  =  0 
dx       ^  ' dx   ' 

Dies  sind  aber  zusammen  mit 


(28) 


nichts  anderes  als  die  Cbarakteristikengleicbungen  der  par- 
tiellen Differentialgleichung  (1).  Da  aus  (26),  (27),  (28) 
umgekehrt  (25)  folgt,  so  gilt  der  Satz: 


J£.  w.  WtOtTi  Sinältane  part.  Differentiaigletchun^tn  U.  0.    109 

.Di«  BedinguDf(,  dass  die  Gleichungen  (21)  eine 
iniegrable  Combination  öF  zulaä§en,  ist  nquiTalenb 
mit  drr  andern,  iIqks  die  Bnhnütrcifen  von  Xf/*)  den 
Charakteristikeiigtüicliungen   von   F=^  C  geiiQgen." 

Ditr  Gleichungen  (38)  nnd  völlig  äquivalent  mit  den 
fiilf^ndeo : 


v-\-wA, 


dt 
dx 


-=  w-\-&A   (29) 


unter  u.,oj  die  allgemeinüteu  Funktionen  von  x..t  ver- 
standen, die  (5),  (ü)  befriedigen;  berechnet  man  nutnlich 
ui'ur  aua  (29)  und  suhstituirt  in  (5),  (6),  so  kommen  gerade 
wieder  die  Oleicfaangen  (28);  umgekehrt,  sind  die  letzteren 
befriedigt,  so  gtn(l(f»'n  alte  Wertbsysteme  uvukTj,  die  (29) 
erlUtloa,  auch  den  ICclationen  (ö),  (6). 

Des  weiteren  verlangen  wir  jetst,  dass  die  Qleichungon  (21) 
oocb  eto«  zweite,  von  (25)  unabhängige  integrable  Com- 
htnaHfin  ralaasen,  d.  b.  dasa  man  aaner  (25)  nuch  habe: 


dr  -  Q[{dd\-^g'^{ä6\ 


der  Bedingung 


Gl  ei  —  Qte\  +  0 


fii  folgt  Eunachfli,  dasä  die  Gleichung 
RA*  -  S'A  -I-  T'  =  Ö 


(30) 


(31) 


(32) 


BfH  (2tl)  eine  Wurzel  gemein  hat,  die  wir  gerade  mit  A 
l>!vicJbaen  wollen;  m  besttjtht  altso  (U)  identiäch.  Ferner  milsiten 
all«  Sjvicrar  von  Funktionen  v..t7t,  die  (29),  mithin  nach 
ofailger  Bemerkung  auch  (5),  (6)  erfüllen,  nun  auch  den  Kela- 
47).  (8)  gCBÜgen;  du  die  OUMchungen  (5>. .  (8)  unniit  eine 
UrOasen  ii..d>  ganz  willkürlich  Ussen,  müssen  Uberbuupl 
•Jt«  4*gli*^dn'gen  Dei«ruiinauten  (13)  ver^hwinden.  Umge- 
kehrt   ist    letxtena   der    Fall,    ohne   djis»   alle   3-gliedrigen 


110       SUtumg  d4r  math,t^$.  ClatBt  vom  9.  Ffhruar  IM6. 

OctcrminantieD  ron  (9)  null  werden,  m  kann  man  aus  dreien 
der  Gleichungen  (5)..  (8),  efcwu  aus  (&)«  (G),  (7)  die  uvte 
in  der  Form  berechnen: 

M  =  i(  -  ^i»ö>.  II  =  /f,  -I-  .l>w,  IC  =  /f,  —  ^Iw     (A3) 

wo  A  die  wegen  (0)  vorhandene  gemeinsame  Wurzel  ron 
(2G),  (32)  bedeutet;  man  erkeuul  die-i  leicht  durch  Anwendung 
von  S^lrMter's  diiit^-tincher  Eliminationsmuthode  auf  (20),  (32). 
Setzt  man  jetzt 

e  =  Ä:,  +  ^Ä^    a^kt-\-Aky    T  =  jt,  (S4) 

80  genQgt  da»  Streifenayatem,  das  durch  dio  Olcichungim 

rf«  ^.4       ^r  d$  dt  ^^^^ 

dx  dx       ^      dx  äx 

definirt  ist,  wegen  (34),  (33)  den  Relationen  (20),  worin 
jetzt  II..  m  Funktionen  von  x..t  l*edeuten,  die  sowohl  (•^), 
(0),  als  auch  (7),  (8)  bcfriedigun.    Wir  haben  somit  den  Satz: 

.Das  identische  Bestehen  der  Kelationen  (13)  ist 
die  uuthwendige  und  hinreichende  Bedingung  dafOr, 
dasg  dio  beiden  Oifferontialprieichungen  (1).  (2)  ein 
Syiftem  von  oc''  Cliarakterisliken  miteinander  gemeiD 
haben:  dieses  System  ist  durch  (35),  (34).  (33)  ein- 
deutig festgcUgt.* 

A'ta  muii  in  (27).  (27a),  (20)  für  -I  dv  -  '  ■  WurxeP) 
il,  v«)n  (26),    8o  erholt  lua»   die  Üdinitit'>  mgen   d« 

xweiten  Üharakteri$tiken^^tems  ron  f*.  Nennen  wir  einen 
Streifm  der  die  Diffrrentialgletchang  4  F'^  0  bsfriedigl, 
kurz  aiaeii  Streifen  von  F^*  «>  gilt  der  Sats: 

^  Dasi  lÜt  01oiebODir«n  (30).  (831  koia«  vn«cliwi&d«>de&  i>is> 
fciiiillwaill  baÜhtn,  int,  wi«  Don  leicht  «iehu  etae  B0th«eiidi|4 
Vomaawttasit  Ar  «ii«  OftltigkaH  oWfsr  Batwiekelttag«». 


£.  9.  W^ftr:  Smtdtam  pari.  Differentiatglrichuttgen  II.  0.    IH 

,Die  Relationen  (13)  sind  die  notbwendigen  und 
hi  o  reiche  od  VD  Bcdiogaagen  dafür,  dasäalle  ebiirakte- 
ristiscben  Streifen  deü  2.  Systems  von  F  Streifen  von 
y,  flowi«  bIU  chftrakt.  Streifen  des  2.  Syittenis  von  F' 
btrtif*n  von  F  B«ien.*  Wegen  des  völligen  HeciprocitäU- 
fcrfaähatSKs  KwieKben  F  und  F'  genügt  es,  den  ersten  Theil 
^  Behaijptang  zu  erweiHeii. 

Wir  haben  £u  zeigen,  dass  jede  der  Gleichungen  (5}t 
{6)  und: 

«io«  Folge  der  beiden  andern  ist.  Kandert  man  aber  die 
Matrix  dieser  3  Gleichungen  mit  der  Horizontalreihe  N"^  0, 
ß\  S\  7**,  and  der  Vertic^ilreihe  0,  0,  0.  1,  so  folgen  nach 
lekfater  Umformung  die  Bedingungen: 


Jf    Ä    S    7*    0         0 

N    0    n  S    T        0 

w  R'  s'  r  0  -A, 
jr  0  Ä'  s'  2"      1 


=  0 


velche,  wie  leicht  ersichtlich,  mit  (13)  v(>llig  äquivalent  ainä^ 
w.  %.  b.  w. 

Wir  Ueh»upten  nun; 

,DaR  gern  ein  Hämo  Chnrakterintikensystem  ^35) 
TOB  (1),  (2)  Ut  ein  anbe&chrankt  integr&bles  Streilen- 
■y>tem.' 

&  genligt  eanächst  den  beiden  Identitäten  (25),  (30); 
tnetst  man  darin  die  dx.,  durch  die  äx.,^  m>  folgt: 

dF  -    0,  dF'-=  0  (3ö) 

Diflerentiirl  man  jel^t  (25),   (SO)   mit  dem  Symbol  d 
beachtet  die  für  jedes  f  geltende,  leicht  xu  veriticireade 


iiat 


rf  ifif)  —  ^  idf) 


^^^,,)._Hir,M. 


112       SiUunff  der  math.-phyg.  Claue  com  9.  Fehruar  1895. 
SO  folgt  wegen  (36): 

e;rf(rf^),  +  e;rf(rfj),H  (rfe;-^)(rfA).+(rfe;-C')(rfd),  -  o 

woraus  aiüli  wegen  (31)  xwei  Identitäten  der  Form  (212)  er- 
geben, w.  K.  b.  w.  Die  gemeinsamen  Integrulfliioh<m  von 
(1),  (2)  werden  demnach  ilarch  folgenden  Frocess  erhalten; 

.Man  bcütimme  einen  Streifen  II.  0.  5,  der  den 
Uifferentiaigleichangon  (U).  (21)  genügt,  worin  die 
ä  durch  (35)  definirt  sind,  oder  auch  (watt  wegen 
(25),  (30),  (31),  auf  dasselbe  berauBkonimt)  irgend 
einen  gemeinsameD  Streifen  von  F  und  ^;  Bodnon 
durch  Integration  von  (35)  die  oo'  Streifen,  welche 
bez.  von  den  einzelnen  Elementen  ron  S  ttui^laiifen 
und  durch  sie  hex.  eiodeatig  festgelegt  sind.  Diese 
oo' Streifen  ordnen  sich  dann  su  eiuer  geioeiniauien 
Integrolfläche  von  (I),  (2)  xusaramtro/ 

Wir  ktluueu  lür  den  Au^ngastreifen  S  y  und  4  «Ia 
willkürliche  Funktionen  von  x  annehmen,  ferner  in  einem 
beliebigen  Punkte  der  ao  de&iirien  lUunicufTe  ein  Werth- 
«ystem  p,  q,  das  die  Kelafcioii  dg  =  pdx  -\-  qäy  befriedigt, 
was  oc^  Möglichkeiten  bietet;  endlich  können  wir  noch  &iT 
$  i  beliebige  Änfangswerlhe  fest^t7.eu,  wodurch  dann  auch 
der  Anfongswerth  von  r  b<.-«tinimt  und  vermöge  (U),  (21) 
der  Rauiucurve  entlang  ein  Streifen  festgelegt  ist.     Al«o: 

•  Bestehen  die  Relationen  (13),  do  gehen  darcb 
jede  Kanmcurve  co*  Integralflächon  von  (1),  (2)  hin- 
durch.* 

Soll  eine  IntegralUSohe  von  (1)  auch  (3)  befriedigen, 
so  mOnen  die  auf  ihr  verlHufenden  oo*  Streifen  des  1.  Chft- 
rakteriatiken^stoina  von  (1)  der  Gleichung 

rff  =  0  (37) 

geuQgen;  d«  aber  da«  System   der  Holatiünen  (27),  (27  a), 


E.  V.  Weber:  Simiätane  part.  Differentialgleichungen  II.  0.    113 

(28),  (37)  aogenscheinlich  anf  (35)  zurückfahrt,  so  schliesst 
man  leicht,  dass  durch  unsere  Methode  alle  gemeinsamen 
Integrale  Ton  (1),  (2)  geliefert  werden. 

Das  Bemerkenswerthe  dieser  Methode  besteht  darin,  dass 
de  ein  ToUkommenes  Analogon  zn  der  von  Lagrange,  Char- 
pit,  Monge  begrflndeten,  von  Lie  geometrisch  präcisirten 
Integvationsmethode  der  partiellen  Differentialgleichungen  1. 0. 
darstellt.  In  der  That  lässt  sich  auch  ein  grosser  Theil  der 
an  die  genannte  Methode  sich  anschliessenden  geometrischen 
Sätze  auf  unsem  Fall  Übertragen,  was  indes  hier  nicht  weiter 
au^ef&hrt  werden  soll.  Worauf  es  uns  hier  vor  Allem  an- 
kam, war,  den  B^priff  des  unbeschränkt  integrabeln  Streifen- 
s^^ms  aufzustellen  und  an  einem  besonders  einfachen  Falle 
ZQ  erläutern. 


I>«.V  lUttL-playB.  OL  1. 


115 


üeber  Blei-  und  Fahlerz-Gän^  in  der  Gtegend  von 
WeilmÜQster  and  Runkel  in  Nassau.') 

Ton  P.  r.  Sudberger* 

Die  fragliche  Gegend  gehört  zu  der  dera  nordwesrtlicho-n 
Abhänge  des  Tatintiagebirgee  vorgelftgerten  Hlii^eUtLndschaft, 
««lebe  vielfftcbe  OeäteirLswächüel  bemerken  JääüL  Dachfichiefer 
der  oberen  Abtbeilaag  des  Unterdevons  (Orthooeruä-St.'hit!rur) 
snd  au  rieleo  Orten  entwickelt  und  werden  bei  Langhecke 
ist  Jahrfaanderten  abgebaut.  Kur  zuweilen,  z.  B.  bei  Lfltsien- 
dorf  Dächiil  WeilmfiDster,  Eufingen  und  Niederaelters  ent- 
halten «ic  Leitrersteinerungeu  {Orthocerofi  trianguläre  und 
nmmutatum,  Goniatttes  compresstts  u.  a.)<  <lie  freilich  auch 
uf  grosMso  Strecken  fehlen.  GraugrQne  gaiiK  iu  Schalstein 
angewandelt«  Diaba^uffe  sind  ebenfalls  »ehr  banBg  und 
fbfoao  vie  «ruptivv  dichto  Diabase  fUr  das  Vorkouiinen  der 
Etm  von  hervorragender  Bedeutung. 

Eine  gtosse  AotahJ  von  anfgelassenen  Gruben,  sowie 
,ooch  im  Uange  befindliche  sind  in  dieflen  Gesteinen 
aathurnticbeii  Verbültnisseti  betrieben,  wie  Verfasser 
t.  Th.  Aoeh  seihst  gät»ehen  hat.  Dieselben  liegen  fast  sämmt- 
liek  in  uioem  von  NO  nach  äW  von  Weilmllnittar  bü  Woycr 

'  KootfnphiicbPD  I  Iricntirung  etupliühlt  lich  die  der 
Bwgrtvior*    Woilburg    von    Fr    Wenckcnbacb, 
Un9,  WlfeAl^  Uohenic htakarte. 

8» 


IIÖ       mmmf  Jtr  mmlKfii^  CUtm  mm  », 


TtrUwfanrtwi  Zaga.    An  b«tai 

honuMO  ffOB  Waj«  b«  RioiImI,')  wbIAwi  ttnffrrF 

d«B  OB  dvo  rf— itrii»  (Wr^liiui  koehTvrdicfiftr 

ntb  Kr.  (Mt»rnbeiin«r  RvUtUt  nnd  «rii  1 
wurde.  Die  Scbichtsn  «UviclMn  ki«r  b.  4 — ^,  u><7  u 
«bM*  b.  7—0,  jrawiti  b.  0  b5rt«  ili«  KnAliniair  "»^ 
Htm  mMn  groaUiUUritiper  Bteigluu  mit  genngvoi  ud 
cn  mit  bfthcTHB  8ab«rKihAha.  Ak  OaAtMtau  UvIm 
]i]Nith  iluH  Qimn  aaf,  an  leUtetea  wnnm  die  Rn»  gt 
BlvigUnn  f»n(l  (fieb  haoptäkblkb,  wo  der  ThoaaclM 
<]iobt«ii  DUbfti  MkflticN,  Pahlf^r  (bf^sgwi,    wo  «r  mit  i 

lockerten)  Schftbteine    wc«baeUe,  a^oer  ka >  ^ 

gsowngt  vor.     Id  dsr  Teof«  legten  flch  dii  ;t4e 

Bach  und  der  Diabas    wurde   immer  miebtiger    und  Ü 
wtbrend  die  OangvpaUe  gaas  waumsof  •  kt 

ab   Bceteg   eraehien.      Ri   vnterlSegi    w<'  jem    Z< 

daM  der  in  hOberer  Tenf»  rorgaftmdene  Diabas 
l&nfer  einet  SloekflN  in  der  Teafe  darvtrllt«.  v« 
keine  Au^laagnng  er&hren  hflite  und  daht-r  aoiU  j.niir 
liefern  kannte.  Ww  ich  in  der  letxten  /rii  des  Bi 
(1840)  telbrt  auf  der  ßnibe  Mehtbw-h  geaeben  habei,  i 
giinx  mit  OfK-rnlipitner*«  BertrJit  tlW  Wejrer  nberrin, 
hier  erschien  der  daraabi  betriebene  Krtgang  in  di 
Diabaie,  deasen  KIflIle  znweilfn  mit  VerwaohjiticmH 
bUtMTO  AabaiA  und  Kalktpath  anHgefUllt  waren, 
drflckt  und  nur  als  Üaiteg.  Eh  onlerliegt  ale«  '  n^m 
da«  bvidemale  die  AnfreiMung  der  Qaagnpali  i 

ana   adUien    Dtabaie    ans   mechanischen    Orflnden 
war  und  ael>viivi!retÄndlit'h  arich  r^'wr-  Injn-titm  der 
der  Rrai^go  von  unten  im  i^inne  der  damuU  aoeb 
angenommenen    ICrKgant^-Tbeorie    fiknz  u&/.iilärwig 


I)  Odtrnheimer  in  i.  Z«iUrhr     Da«  Bttf  vnd  Hat 
im  Uentoffihum  Naawui.    L    8.  90  C 


F.  V.  Satuibtrg«r:  Ueber  Blei-  und  FaMeri-aängv.  117 

chntis  analog  vorhalten  «ich  die  Fahlere  itlhreudeu 
der  Gruben  Kdnard  und  Altper  Mann  bei  Langhecke, 
nie  l>ei  Weiubacfa,   vielleicht  auch  der  Qrube  Laubus 
laintcheu. 

|Dic  Grube  Alter  Mann  resp.  die  zu  ihr  gehüreude 
RothenIcUppel  bietet  das  einzige  mir  bekannte  Beispiel 
D  höflichem«  d.  h.  mit  Er7,en  imprägnirtem  Nebengestein, 
»r  ScbaUtein  im  Hangendeu  dc^  Bleiglanzgan ge«  enthfilt 
IBilich  eingesprengte  und  angeflogene  Kupfererze,  besonders 

rerlasur^)  in  Menge;  doch  kommen  auch  kleiue  Partien 
welche  gao'/  den  Uabitna  von  aus  Fahierz  eutätandenem 
rJerz  besitzen,  wie  ich  s.  Z.  selbdt  gesehen  habe. 
Die  Mineralien  der  Gänge  zeigen  keine  bestimmte  Ueihen- 
[ge,  besonders  der  Braunspath,  welcher  in  der  Regel  unter, 
ier  wie  auch  audtrwSrtä  stellenweise  auch  Über  dem  Quarze 

Ibeint.  Im  Ganzen  kommen  folgende  vor: 
1.  Braunapaifa  in  schwachgekrümmten  Uhomboedern 
[2,94  spec.  Gew.  oder  derben  Massen,  im  frischen  Zu- 
dc  von  rein  weisser  Farbe.  Auf  den  Halden  geht  die 
urbe  sehr  bald  in  das  Gelbliche  und  schliesslich  Tiefbraun 
>cr»  weil  Eisen-  und  Manganoxydul  in  höliere  Oxjdations- 
afen  umgewandelt  werden.  Noch  dem  spec.  Gew.  wUrde 
k  Braunspath   Breithaupt's   Tautoklin    zunächst  stehen. 

■  2.  Ealkspath  findet  sich  sparsam  in  kleinen  wasser- 
sllen  Kristallen  It'.  U  über  dem  Braunspath.  Ich  bin  sehr 
toeigt,  ihn  für  ein  Zersetzungsprodukt  des  letzteren  anzu- 
hen,  welches  bei  der  Oxydation  der  Übrigen  Bestandtheilfl 
geschieden  worden  ist. 

B  3.  Qnarz.  Ist  einer  der  wichtigsten  Bestaadtheile  der 
Snge   und  findet  sich  entweder  derb   und  von  grauweisser 


I 


')  Wenokenbauh,   Jahrb.   d.    na«8.  Teroins   fUr  Nftturirande. 
UU  V.  XXXII.    ä  100. 


I  tB       flüUMV  *»  MUL-fAyc" 


Karb*  oiWr  ia  f*rii 
wclebc  oiefat  mHmi 


''•iiMfi  Kr 


4.  Fahlen  tiiuB^  kryiUtlbnrt  io  ilra  > 


wosu  Mitm   Do«b  — 


SOI 


Aüiuabi^ful,  aimr  4trb. 


i»enl  TOI)  't,N2  •ptw.  U«wielil  irt  »tahltcriMa  mit  r-in  »li 
Skrkii.    Kh  ffiU  vor  d»m  (/Hbruhrt*  «nbr  4«-> 
ftiif  Ankimoo,  An«n  und  achwaelu» 
in   lUtBKllMo   kiekt  <mfcKiUi»i>  •iw)«^<^>»    oui 
ZiDk  obA  wecliariDde  Qwu/timta  nn  8ill»r.   «. 
bb  u  l  pmc.  itni^.   K>  Handell  «irh  dabvr  na  ein 
Amn-P«klcn,    ««lefaM  d«o   VotkomiucB    ^pw* 
Siegen  noil  Bnxle|;rg  snnlehfl  ilriim  dQrfle, 
ttügi  M  Aueb  xiiwmlfn  «in«n  dOnn*a  (7**tH«mi«c  vn 
kies,    aber   dcMen    Bedeutung   ich    mk'ii    « 
Nfirocben  b«be.')    Von  dtm  l'rodiicten  der  Ox^iuLum 
taten  win)  »pKi#fr  dii?  lirdr  Mrin. 

5.  AntimonsilberbleDde  (duukl«»  lUiibi^alLij^nsj 
•Ultc  diflM»  lieti  Ober  Fkhlerz  Auflnipti<)"(i  Krxi^  i 
•elt«ii,   doch    fnnd   idi   deutliche   SluleittU  b«t]       - 
TOD  (jnibe  Mi^hlbftoh,  »ber  die  Eudeo  muvxi  m. 
gebildet.    Derbes  Kothi^oUigen  ist  in  frQbefva  Jahrh 
oflVnbftf  ftuf  tuübrereii  Orubeo  getroffeo  wor ' 
WeDckenbacb*)    nach    den    Acteo    Aber   ' 
schwere  MaMe«    welche  um  lÖOO  aof  der  Grube 
bei    I*iingherke    eing^^brocben    irt.     Von    Woyer 
Rothgflltigi^rz  prwiihnt. 

().   Bleigl&nz.     Dom  Mineral    btt   auf  ftlleii   Qäoa 
xwar   in  grjtablätirigen  Aggrc>gaten    vorgekommno, 
gn'Mwrer  Menge  nur  zu  Weyer  am  ContAcle  von  Tbnoi 

>|  Uatrriachimgea  ttber  Xrtglair«>.    H.  8  989  f 
^  Jahrb.  a.  aana.  Tmfau    t    Katurkuad«      XX 


F.  V.  89ntBteriier:  Uebtr  Btei'  und  P'oMert-Gänft«.         HO 

^flichtpin  Diabas,  sowie  in  faustfn'ossen  Knollen  in  Mrami- 
Niith  eii)gewachs(>n  auf  der  Onibe  Goldkante  bei  Woinbach 
l^weit  Wuilbiir^;  auf  der  Grube  Mehlbach  hat  er  nur  eine 
rgeordneto  (tolle  gespielt.  Kryätalle  sind  mir  nicht  zu 
bicht  gekoinmei].  Der  öilbergehati  ist  gering,  nur  1  Lotfa 
f'Centner. 

7.  Kupferkies.  In  geringer  Menge  derb  und  zuweilen 
enerrien  quadratischen  Sphenoideii  krystaltiäirt  auf  Quärz, 
ne  sehr  selten  als  dünner  Ueberzug  auf  Fahlerzkryatallen 
j/af  Grube  Mehlbacfa.  Eine  bergmänniacbe  Wichtigkeit  hat 
r  nicht  besessen. 

^V  ZersetzimgS'Producte. 

^V  a)   TOD  Fahlerz. 

^B  8.  Gelbeisenerz.  Wie  an  vielen  anderen  Orten  b^iunt 
loch  an  den  Fahlerzen  der  hier  besprochenen  Erzgange  die 
Serwtzung  mit  der  Bildung  einer  Menge  vun  KlUftehen,  in 
velchen  schwoft^lsaureä  Eiäenoxydul  und  Kupferoxydul  ent- 
ialt«n  ist  und  durch  destillirtea  Wasser  ausgezogen  werden 
cann.  D&a  Erz  geht  dann  in  eine  matte  schnnttziggrilue 
liaese  und  schliesslich  in  eine  ockergelb  geerbte  erdige 
Substanz  Ober,  welche  weder  Kupferoxyd^  noch  Arsen  oder 
Antimon  enthält,  wohl  aber  Kiaenoxyd  und  viel  Wasser, 
lalier  al:<  Gelbeisenerz  bezeichnet  werden  moss.  1^  ij^t  der 
«tzte  [lest  des  Erzes,  aas  welchem  auch  Arsen  und  Antimon 
torch  alkalische  GewäGser  ausgelaugt  worden  sein  müssen: 
Biegelerz  kommt  nicht  vor. 

0.  Eupferschauni  in  blätterigen  Partien  bedeckt  zu- 
teilen die  eben  erwähnte  graugrOne  Schicht  des  Fahterzas, 
ist  aber  bisher  nur  aof  der  Grube  Mehlbach  als  Seltenh^t 
Q[efanden  worden. 

10.  ThromboUth.  Aus  dem  Gemenge  mit  araenaaurem 
Kupferoxyd  scheidet  sich  stellenweise  ein  mattgrQnes,  halb* 


120       SiUung  der  math.-ptiifs.  CUuM  W)«  .•>.  Fd/ruar  J89S. 

ordijg»  MiueruJ  au«,  welches  aus  Kapferoxyd,  AutimonHiare 
und  Wuswr  mit  wenig  Kiseuoxyd  beatebt  und  gaa»  mit  dein 
ThrttniboÜtb  voti  liezbanja  Übereinstimmt. 

11.  Knpferlasor.     Ueberdeckt  die  gellte   Zersetziinf^ 
schlicht  in  kugeligen  und  traubigen  Aggregaten,  die  zuweilen 

in  douiliche  Krystalle  ooPoo«OP P-coP  auslaufen.    Be- 

sonderi)  8ch5n  von  Qrube  Eduard  bei  Langbecke. 

12.  MftlftChit  in  kleinlraubigeu  Aggregaten  findet  sich 
in  genDgerer  Menge  zwittclion  und  Aber  dt^r  Kupfer!n«ur  und 
xnu.«i  als  jtlnger  wie  diese  g«lten.  Die  kohlenaaaren  Knpfeiv 
oxyde  sind  daber  Ht*br  fipüt,  vermuthlich  durch  Zenctarang 
de«  VitrioU  durch  kohlensauren  Kalk  deä  BranospaÜia  m 
geföltt  worden. 

13.  Knpfermanganerz  von  achwarzcr  Farbe  und  brau- ' 
Mfui  Sirich  tritt  t^bent'iülä  in  klein traubtij;*!r  Form  hU  jüni^stes 
Kupfererz  Qbur  den  btflher  erwähnten  MinomUen  uuf,  gc&M 
80  wio  bei  Saalfeld,  Kaoudorf  nnd  Freudenstadt. 


b)  TOD  BleiglanK. 

U.  WeiBablaien»  Ist  auf  Grabe  Meblbach  m  kw. 
bündclartig  susammMigtbftQfien  Aggregal«D  \n  gieringar  ] 
g«ftiBdeB  wMtdm. 

15.  Orünbleien.     In  dOnnen  grOneo  rebetxflg«« 
Qnan  gleichfalls  auf  Grube  Msblhach. 

16.  MMiaig»  io  dentlieben  PwDdoaiorphcwni  nach  Wc 
Ueieni,  wekJie  in  s«rfroi»encni  Quane  eingewadiseD  waren.  I 
Ich    habe    diwa  nerkwflrdi^    ocd   aelien«   IVodoiDorpboae 
«oboQ  It^i**»')  btlouaiit  gcoMdit,  mich  aber  eintr  Er 
d«nelb«B  eniballaii.    AocH  jatit  bin  ich  noeb  nscbt  an 
«Icbea  gvkangt,  da  vcb  Bieh  disa  ron  Blnm*)   gegen  ctM] 


1  L  NaAlnf  ■■  4m 


S.«ä. 


F.  V.  SMuBterj/fr:  Ueber  B/*e-  unä  FafUerz-Gdnge. 


121 


ItotiK    derwlbeu   durch   ßinwirkun^   vun  Hitzo  roi^e- 

^ien  Bedenken  Dicht  rerschliessen  kann.  Dafls  in  ur* 
alter  ^it  einmal  Betrieb  durch  KeueiseUeo  ststtgefuadeD 
tMib«»  konnte,  ist  ju  nicht  zu  Icutpien,  aber  eine  so  schöne 
Erhaltung  der  Form  nur  deukl>ar,  wenn  diu  Warme  all* 
nihtich  auf  das  von  Quarz  umschlossene  Weiaableierz  ein- 
gewirkt  bitte>  Leider  besitze  ich  das  Bele}(stGck  nicht  mehr, 
che  TOD  anderen  Fundorten,  die  ich  untersucht  habe, 
keine  Elnicheinangen,  welche  auf  Einwirkung  lioher 
Temperatur  deuten. 

Wenn  nmn  Bich  die  Art  der  Auäfallun^  der  Gänj^e  klar 
ni  machen  sucht,  so  ist  ea  vor  Allem  nöthig,  die  ßeatand- 
Ihtittt  der  Nebengesteine  in  Betracht  zu  ziehen. 

In  erster  Linie  sind  die  Schalsteine  näher  zu  charakteri- 
siren.  Von  dienen  liejrt  zwar  eine  Anzahl  von  Analysen 
ton  Neubauer  und  DoUfus*)  Tor,  wobei  aber  nur  die 
\m  g<evQhn liehen  quantitativen  Analysen  übliche  Menge  von 
I— l'^g  untersucht  wurde;  Schwennetalle.  Antimon  und 
ArwD  sind  in  die-sen  |;;ewohnltrh  nicht  berücksichtigt.  Allein 
das  cORfftante  Anftreten  von  Bescblägen  Becundärer  Kupfer- 
erz* in  den  Schulsteinen  und  das  (iebundenscin  der  Kupfer- 
kittigünge  an  Kic  hatte  mich  5cbon  lS-'i2^)  veranlasst,  den 
Kupfnvehalt  des  Kebengeitteina  als  Quelle  dieser  uietalLi- 
■che«)  Auaschoidungen  zu  be/^iclinen.  Dieser  ist  nun  durch 
Analym-'n  mit  10 — 12  g  Substanz  unzweifelhaft  nachgewiesen 
worden,  aber  daneben  auch  in  einigen  ein  i^lcher  von 
Atttupon^    Arsen    und   Zink,   d.  h.    sämmtlicho  BeefAndtheite 

lupferkicses  und  d«  Fablerzee.  Vm  auf  Silber  zu 
hätte  noch  eine  weit  ipüasere  Menge  Schalsiein  in 
Arbeit  goiionira<ni  werden  rnfbuen,  da  es  auch  in  den  Fahl- 
tnaa    nar   in   geringer   Menge   auftritt.     Trobjlem    ist  aber 


VI  Jahrb   4.  na«.  Ver«ias  r.  Nfttarkoade.    X.    3.49  ff. 
if  Jahrb.  d.  nui.  Vendni  t  Hatorknade.    VUL  S.  6. 


132       SiltUMff  der  mnth.'ifhjfs.  Oiatwe  vom  9,  Febrwtr  ttt95. 

Hfiin  Vuikomiiion  nicht  /.wt'ittilliuft  und  mmo  locale  Concfn- 
tratinn  zu  Rothg(tItif;ferx  augenfötlifif.  Duts  das  Fiihler»  in 
den  Ciüngen  an  ächaUlein  al»  Nebengestein  gebunden  war, 
ergibt  sich  aiu«  oliigun  Bemerkungen  ab  nütbwendig.  Da 
zur  Umwandlung  der  Oxyde  in  Schwefelmetulle  nüthi^ 
sebwefelsaui^  Natron  fehlt  in  keinem  SchaUteio  nnd  organi- 
Rcbe  Substanz  ist  ja  in  allen  vorhanden,  welche  einiger- 
mancn  sereetzt  erscheinen. 

Anders  verhält  sieb  d«r  ßleiglanz,  welcher  vorxugKweiäe 
da  eiubrach,  wo  Thonacbiefer  das  Xobengestein  bildete.  Es 
erscheint  auffallend,  da&»  die  Scbabt«ine  kein  lilci  enthalten, 
während  üasäclbe  doch  in  KalkapathklQflvheo  jQog<?rer  DiabfLHa 
z.  B.  in  der  Gegend  von  Weil  bürg  und  Dieas  h&uHg  genug 
aU  Bleiglun/.  in  Begleitung  vun  Ziukblendi*  und  Kupferkien 
beobachtet  wird,  aber  die  That^ache  bleibt  desshalb  doch 
bestehen.  Dagegen  ist  Blei  in  den  OrtboceraAschiefem  und 
auch  älteren  (BliipidapbyIlon*)Scbiefern  der  Lahngegend  sehr 
verbreitet,  während  Kupfer  in  diesen  nur  untergeordnet  auf- 
tiitt.  Itlei  wird  da.s  wohl  der  (>rund  sein,  warum  Bleigtaiiz 
vorzugsweise  in  den  Gangklflften  zwischen  Thonschiefer  nnd 
dichtem  Diabase  auftrat  und  nur  ausnahmsweise  mit  Fahl«» 
msammoD  vorkam. 

lietraciitet  man  femer  die  Gangarten,  so  lässt  sich  im 
Allgemeinen  behaupten,  dass  Hraunspath  schon  in  ciuer  frühen 
Periode  der  Auslaugiing  den  Nebengestetni  reichlich  Kebildet 
wurde,  da  er  schon  als  solcher  in  dem  Scbalstein  vurbaudcu 
war,  während  Quarz  erst  bei  sehr  sUrkom  Angriffe  das 
Kfibengesteius  aus  dessen  Silicaten  abgeschieden  werden  könnt«, 
wobei  auch  die  ach  wer  metallischen  Be^taiidthcilc  dcsi!t«lb«it 
in  Freiheit  gesetzt  nnd  auf  bokannto  Weise  in  Scbwefd- 
inetnlle  umgectetzt  wurden.  Oaas  dieselben  in  der  Begel  erst 
mit  dem  Quur/e  auf  der  Gangspalte  erscheinen,  ist  also  iwhr 
erklärlich. 

Yergietcht  man  ander«  OingOr  so  enob^t  dM 


F.  V.  Sandberger:  ücfcer  Blei-  und  Fatderegänge.  123 

geschilderte  Vorkommen  gewissermassen  als  eine  Miniatur- 
au^^be  der  an  Diabas  mit  silberhaltigem  Äugit  (0,001  Silber) 
gebundenen  weltberühmten  Gänge  von  Ändreasberg  am  Harze; 
auch  mit  Pfibram  bestehen  gewisse  Analogien.  Entfernter 
sind  schon  diejenigen  mit  dem  Wolfacher  Wenzelgange,  da 
zwar  die  Art  der  Ausfüllung,  nicht  aber  auch  die  Lagerungs- 
verhältnisse  mit  den  nassauischen  Uebereinstimmung  bemerken 
lassen. 

Die  Ausbeute  war  im  vorigen  Jahrhundert  nicht  unbe- 
trächtlich und  vermuthlich  durch  häufige  EinbrQche  von 
RothgOltigerz  bedingt,  die  aktenmässig  festgestellt  sind;  von 
der  Grube  Mehlbach  gibt  es  auch  eine  hübsche  Ausbeute- 
mfinze  mit  dem  Bilde  des  damaligen  Regenten,  Fürsten  Carl 
August  von  Nassau -Weilburg.  Gegenwärtig  würde  eine 
Wiederaufnahme  des  Bergbaues  angesichts  des  ungünstigen 
Verhaltens  der  Gtänge  in  der  Teufe  und  des  tiefgesunkenen 
Preises  des  Silbers  keine  Aussicht  auf  Erfolg  haben. 


125 


üeber  Leucocytenwanderung  in  den  Schleimhäuten 
des  Darmkanales. 

(Hit  17  Floren  auf  Taf.  I  u.  IL) 
Von  N.  BBdlBf«r. 

I.  UmwaBdluDg  der  Lieberkühn'BchQn  Drüsen  dorcli 
Leucocyten  beim  Hunde. 

In  lueiDeni  Aufsab.  nber  Jie  ümbilduDg  der  Lieberkühn- 
ichim  Drüsen  beim  Menschen  ^)  babe  ich  zu  zeigen  versucht, 
dus  Qberull  dort   in  der  Dariüschleimhaut,    wo  Leucocyten- 

I  Ibllikel  vorhanden  sind,  die  Lieberkühn'schen  Drfbwn  voll- 
cUodig  f«bltiD.  Ich  sachte  zu  zeigen,  dass  die  Fullikt«!  der 
DumicbUnaihaut,  indem  dieselben  ans  der  Tunica  propriu 
maooMC,  sich  vergri3t»emd,  vorrücken,  die  LieberkUhn'schen 
Dfiben  derart  umvrandelu,  dass  aas  den  Cylinderepi- 
thelien  der  DrQsen  Uundzelleu  werden,  die  »ich  von 
dtt  Leucocyten  nur  äusserst  schwer  unterscheiden  lassen. 
Diesem  Vorgang,  der  sich  in  dem  Dünn-  und  Dickdami 

[da*  Menüchen,  iusbesunderc  in  de)=«en  Wurmfortsatz  unaus- 
gMetft  Toüxieht,  konnte  ent  dann  eine  Bedeutung  zuge- 
iprochen    werden,    wenn   ein   ähnliches  Verhalten    zwischen 

')  8Ui«iigd>tricfat«  der  math.'pbyi.  Cluw  der  K.  b.  Ak&demie 
im  WIM.  IMl,  Od.  XXt 


130       Sitnnff  der  math.-phffM.  nomr  vom  ».  Frl/rrnnr  tfißü. 

Die  X^ucocyteDdurohwandeniri^  tindet  an  allen  ron  der 
Uollanblaa«  ^[ewontienen  Pr&parftten  Biatt.  Dm  lymphitM^ti 
Zellen  bewegen  sich,  eingebettet  in  den  scbniaten  Fnit'eti 
zwüclien  den  Epithelien,  in  jener  spärlichen  Hinde^iib- 
stimz,  wifiche  diese  EpitbelUgen  mii  «innnder  T^reinigt.  Diu» 
man  nn  den  Kalten  der  Gallenblasenscbleimhatit.  nirhi  von 
einer  Scbleinihaat  im  Sinne  der  Darnracbleimbniit  ttprci;h'*n 
durC,  wird  «ofort  nn  jedem  Sebnitt  erkannt,  tkbwer  lä*wt 
aioh  festatellon,  ob  das  Cyltnd  er  epithel  auf  einer  BanUmerabrftn 
anf^epflanzt  ist,  ähnlich  wie  im  Oamirohr.  Eine  Be$?rpny.ini;; 
d<.*s  Epithels  durch  eine  Basalmembran  ist  wahr»cbeinlicb 
vorbanden;  allein  mit  Bestimmtheit  kannte  ich  dieselben 
nicht  conetAÜreit.  Mun  »ieht  an  einzelnen  Stellen  faie  und 
da  Orenzlinion  an  der  Aonsenseite  der  Kpithnl&ellen.  jedoch 
von  einer  Hchnrf  begrenxtj^n  Btutalmenibrnn  konnte  irh  mich 
nicht  Qborzeagen.  Die  etwas  kunische,  kleiner  werdende 
tieiehaflfetiheit  der  Cylinderzellen  an  der  An^-tenseite,  wo  der 
gegenneitige  Oontjurt  der  Kpith*^lKi;lleri  fohlt,  i«t  wohl  der 
woRentliche  Gntnd,  daä§  man  (liier  ilie  Bn?ialmeniHran  nicht 
leicht  An&chlnsK  gewinnen  kann. 


Die  Leucocytou  im  Epithel. 

Üehor  die  Art  der  Dnrchwandrnmff  der  I*miw»< 
bedarf  ca  nur  wenif<er  Angaben.  Man  ändi^t  die  Leucccyten 
f^iit  vereinzelt,  ofi  %n  £wei*'n  hinter  einander  oder  xwei 
Zellen,  welche  nur  durch  eine  oder  /.wri  ''  m  !  "  i,  vun 
einnndt'r  getrennt  werden,  durchwandernd.  -■  he- 

l(efni<!t  man  ganzen  Grnppen  nnd  ich  konnte  in  einem  Fnll** 
<>  und  in  einem  andern  annähernd  25  WHiidentcllen  zülr 
GrVtoieri»  l^'rxt^lrun^en  der  Oy linder^pitheNchichtfl  koniut. ., 
nicht  Äiir  Bf*ol>iM:hbunf(,  MuKtenwei.-«(>i  Diircbtrel^n  der  lamro- 
eyten,  wie  etwa  im  Darmmbr.  kommt  in  der  Oallenbl*«' 
nicht   vor  und    wie   difsielhan    in  dem  f{>^*^"*^i  Sehlt'imhant- 


AT.  UOAinger:  Utbn  I^Hcnri/tfHK>andfrtin!f. 


131 


'  K^biat    isolirt    wandern,    nn    treten   sie   auch  meist  vereinzelt 
■vbchiMi  deu  Cylinderepitlielien  durch. 

Die  Art  iinrJ  Wpise  des  Dnrclitritte-s  f^eschtebt  in  Form 

j  TOQ    stifUrtigeD   Gebilden,    dii^  sich    langgestreckt   Kuspit/en 

und  ui  ihrem  der  BlasetihShlo  xugf^kehrten  Ende  eine  Ver- 

lKiif^«mng  zci]|(:en,  nett^he  ak  feinkörnige  Masse  die  Epithelien 

■HieiBnn  dcrdrän  gt. 

Unxweifetbafl    tttellt   dieser  langgestreckte  Kortsate    des 

nindlicb  laufen  Kerns,  der  sich  durch  seine  dunkle  Pirbung 

bnet,    die    ZelWnmpmbran    nnd    das    Protoplasma   de*( 

isn  dar,  dio  Hrm  Ivem  ebenfalls  in  Stiflfnrni  voran"»- 

«len  Dod  die  Epicheleelten  auseinander  drilngeu. 

bt  ein  Leucocyt  .twischen  die  CylinderMllen  ringedrimgen* 
\m  benfltzt  ein  zweiter  oder  mehrere   den  jetzt  priiformirten 
ISpAltraam    nnd   rDcken    nach,  so   dass   mau   auch  zwei  und 
nebrer»  hintereinander  gelagert  beobnchten  kann. 

■  Sind  die  Lencocyten  an  den  inneren  Euden  dur  Kpithel- 
^Uttttt  ang»?koramen,  so  drängt  sich  ihre  Zellmembran  mit 
^HpD  Prutopituma  al«  blfischouföruiigee  Ge)>ilde  nach  dem 
HBI&Mnniam  Tor  nnd  man  kann  beide  gut  tibersohen.  Der 
\     Kern    ist   in   diesem    Falle   noch    nicht   ganz  dorchgetreUtn, 

tnwie  d«nelbe  ober  seinen  engen  Kanal  zwisfclien  den  Cylinder- 
teUeti  terUasf^n  hat,  Dimmt  er  »nforfc  die  ursprüngliche  runde 
Form  an  nnd  man  wird  in  dieser  Hinsicht  an  die  Kern- 
vcrändemngen  irinnert,  welche  die  Btulkör|>erchen  in  engen 
pMBag«n  erfahren,   indem  diese  ebenfalls,  nach  dem  Dnrch- 

■  9Uig  durch  engt^  Kanüle,  ihre  normale  plattrunde  Form 
Hwi«d0r  annehmen.  Wt>nu  iuich  der  Kern  eiiie^s  Leucocyten 
H|(RM>|  du  Prolopliumu  gering  ist  und  die  ZelU'nmembran 
Hmircilw  nnr  tjnen  geringen  Abstand  vom  Kern  Keigt,  so 
^  an»  man  doch  ihre  Fähigkeit,  die  Form  xa  ändern,  be- 
wundern. 

iiiOwn  df#r  WanditrxiiJIen  ihren  Durchgang  zwischen  den 
I  OvUadvrreMtfn  rollbracht,   ■>   trifft   man   diiwelbon   in  ttinem 


132       Sitning  der  Wdf^.-pAy«.  Clam«  mmh  9.  Fthruar  f89S. 

Secret  von  gleichinässigi^r  gelber  Färbung,  iu  dem  mch  nar  die 
Leucocyten   aU  geformte  fcllementv   vorfinden.     In    f*russero(| 
Entfernung  von  der  Scblcimhnut  begegnet  nmu  den  Wonder*^ 
Kellen  nicht  mehr  und  ich  habe  rielfuche  (Jrflnde,  anxunobnien, 
daäs  dieselben  »ich  volUtäiidig  auflOsen,  so  düsa  man  zuweilen 
noch  zerfnltenen  Bmchsttlcken  der  Kerne  bege-gnet.    Sclilie««*»  j 
lieh   äiebt  man  im  äecret   der  GHllonblase   eine  gleich miuaii^l 
homogene  Mnsäe,  in  der  gar  keine  geformten  Elemente  mehr 
vorhanden  sind. 

Nuchdem  man  eine  massenhafle  Einwanderung  der  beu- 
cocyten  in  die  Gallenblase  beobachtet  hat,  in  der  Nähe  de 
Schleimhaut  dieselbe  vorÜndet,  dann  aber  in  dem  amorphen 
Secrot  keinen  Zellen  mehr  begegnet,  so  ist  man  wohl  b«- 1 
rechtigi,  hüh  diesen  Tbatsachen  den  Scbtuss  za  ziehen,  d« 
alle  in  die  Gallenblase  eingewanderten  Leaoocjtea  sich  voll- 
ständig auflösen  und  von  hier  an  nur  durch  die  ihnen 
eigentliQuiIichen    chemischen   Stoffe   zur  Wirkung  gebuigfo. 

Zieht  man  die  Qriiäse  der  Oberfläche  der  Gallenblu 
und  die  zahllosen  Mengen  der  Leucocyten  in  Betracht,  welche 
einwandern,  so  muse  die  8ecretmeng(%  wenn  ich  mich  tto  auM- 
drückun  darf,  welclie  durch  sie  enbrtolit.  uU  eine  sehr  bt*- 
denteude  beseicbnet  werden.  Rann  man  die  Leucocyteuein- 
wand<?rung  in  die  Gullenhlaäe  aU  einen  constanten  normalen 
Vorgang  aiiütibea.  ^  darf  die  öallenbla^e  nicht  mehr  uU  ein 
einfacheH  Ueservoir  fUr  dii*  Galle,  sondern  als  ein  bedeDtungs« 
Toller  secretoriscber  Appankt,  der  die  Leucocyten  xor  Galle 
durchtreten  lii^,  angesehen  werden. 

L'eber  den  Werth  der  Leucocytensubstanzen  in  den 
ÖccfeUjn  dl»  Dannkaitale^  liÄwt  tdch  MlMnrdend  anf  Grund  der 
bis  jetzt  bekannten  Thatüacben  kaum  eine  A'  ' 

üaiu  in  der  GallenbUffe  hOchst  wabr.-^i  . 
nllen  Qbrigvn  DrOs«»,  eine  puriodijiehe  Sti^igvrung  and  Ver- 
ringerung der  Leacocjten  ood  ibrar  Durch wan<lerung  ror- 
bandfii  «ein  mag,  darf  u  priori  angenommen  werden. 


Ä    fiUtUHO^i   ütber  2^u(octjtentntnil^ning 


1^3 


III.  Hasaenem wände rting  der  Leucocyten  aus  den 
SoIit&rfoUikeln  in  den  Darmkanal. 

Im  letzten  Ueeenntum  bat  Herr  College  8tühr  iu 
Bi^rsrcD  TüncOgUdieii  Aufsät/^n  den  siclieren  Nachweis  er- 
kMebt«  pdsfis  aas  der  sdenoideD  Sabatanz  nnmittel- 
bar  unter  dem  K|itthel  (der  Si!lileimhüute)  uine  iioruial« 
AuiWHiidrrtiiig  der  Leucooyton  statt  hat,  Turwie^i^nd 
darcb  jenen  Epithel,  welrbes  die  Kappen  der  Lymph- 
kn&teben  deckt,  und  «odie  Lencooyteu  in  die  Darni- 
bObl«  wandern*. 

Oiesifr  Vorgang  in  der  Darmschlettnhaat  ist  n»ch  dem, 
WM  his  jetst  voa  veracbiedenen  Autoren  Ober  denselben 
bekannt  gewortlen  int.  uIb  nnzweifelhaftp  Thatsache  an/u- 
«ebrfi.  Im  Vorausgehenden  wurde  schon  erwUhnt,  da««  in 
dw  Gallenbluso  und  Hm  itallenwegen  Leucocyten  durch  Wande- 
rung stattfindet,  und  ich  will  nur  noch  hiuxufßgen,  däKs  das 
Gltache  aneh  i»i  der  Tuba  Ktisbu-hü  /n  beiibachten  i"*t. 

In  den  fotg«*ndon  /eilen  will  ich  die  Boohacfatungen 
miUheileu,  weicht»  ich  an  den  itolitüren  Follikeln  des  Darro- 
kanalm  unil  d«»  Hmcefwis  yermiformiä  des  Menschen  gemacht 
habe. 

(Jeber  daa  Verhalten  der  Dannfotlikel  liegen  zwei  9pe- 
cielle  ÄTbritrn  too  t.  OuTidoff  und  Ph.  Stöhr  vor.  [)ie 
Angabe  ron  Hia,  dass  in  der  SchlfHiuhuat  des  Ddnn*  und 
Diekdam««  an  jenen  Stellen,  welche  Ki>llikel  einscbliessen,  die 
LieberkObnVhen  Orfltüen  felilon,  wurde  oben  schon  erw&hnt, 

1'       ■  "^PTi    sich    nicht   einfach    zwischen    die 

Lieb*',  ^ ,,- ..    .  .  ix^n    hinein    und    verdrängen   dieselbeu, 

mmAt^m  üin  genannten  Drdsen  gehen  zu  Grunde  und  indem 
ihre  Oy]tnd<*rxe)ten  ^ch  zu  Kundzellen  umbilden  und  sich 
mit  den  LeiK-"  v    li''n,   ent^itpht    ftlr    den  jetit  anage- 

biMtts»  PidtiK'  IUmh),  foilfi'^'«  ders«.'lbe  aU  cunvexer 

UOgel  gegen  da«  Üarmlumeu    Tor»pringt.     Beim  Kaninchen 


nnd  die  Futlikel  in  Buchten  der  ächlciinlinut  eingescbloAscn, 
sodass  der  die  LieberkübnVben  DrGaea  führende  Theil  der 
Schteimhnut  nl>er  die  Zotten  bervürraj;^!:.  Wenn  di<*  S<:hleini- 
faaut  etwa»  oebcn  der  Kuppe  des  Follikels  ßetrofleu  wird, 
90  macht  derselbe  den  Gindruck,  oIa  sei  er  rallatändtg  von 
einer  ticbleimhuutkapäBl  umhüllt.  Jeder  Kollikel,  gleich- 
viel ob  tir  einfach  ab((eriindei  iat,  oder  zwei  bis  drei  secnn* 
däre  fiCgel  besitzt,  ragt  iu  duä  liiiraen  de^  Diirnirohreä  in 
der  erwähnten  Weise  hinein.  Di«  Fullikel,  welohe  die  freie 
Schlßinihautfläche  erreicht  haben,  stellen  beim  Kaninchen , 
ääuiuitlicb  kleine  rtitide  Erbdbiingen  dar.  Von  hier  ui»  itn 
die  ganze  Mucosa  bis  xur  Muscnlarib  projtria  des  Wurnifort- 
sutxes  erfüllt  von  Follikeln. 

Beim  Mensehun  it<t  das  Verhulten  der  Follikel  we.^MiUic 
verbchieden  von  jenem  im  Wtirmfortäntx  deä  KaniDubona. 

Dort  drUngt  sieb  der  Leucücylenbuufen  gegen  die 
Oberfläche  der  Schleiiiihuiit  und  biblet  an  der^elbvn  ein  cou-^1 
vexes  Knötchen.  Die  Kntwickelung  gebt  von  der  iiua«r«D> 
Schi oini bau tzone  au»  und  wenn  der  Follikel  eine  gewinM 
OrCwee  erlangt  bat,  *o  rUckl  demelbe  bi«  in  diu  Submuoosu 
hinein  und  berllbrt  aelbät  die  Mu«ciitaria  propria  ded  Duruieav 
Dur  gcwi'diiilu:be  Vorgang  iirt  jedoch  der.  da»^  der  Follikel'' 
bald  gegen  die  Lieberkttbn'nchRa  DrUwu  vorrUdct,  diew  in 
der  atige^L'bunon  VVviae  umwandelt  nnil  das  Kpitbel  der 
äcbleiiiiliautobtirtliicbe  et  reicht. 

Der  Druck,  welcher  wo  Seite  dua  Follikel»  auf 
das  Epithel  aufigeQbt  wird,  Terdannt  dasselbe  derart,  da 
deine  Cylinderzellen  immer  niedriger  werden.  Während  all] 
den  Koitlichvn  Flächeu  dv:*  HOgeU  die  Cylindencellcn  ihre 
onmiale  Form  betbehalten  und  direkt  in  jene  der  Li«b«qr- 
kaho'Mchen  DrU^ieo  &ich  furtstituu,  Nclircit'.'t  dir  Vei> 
der  ZelUin  auf  der  Kuppe  de»  llOgelt*  (s.  Fig.  1;  .:.„:..; 
weiter  fort  und  Mcbltfwiich  iHt  aus  dttr  C>liiidarx«llt  eine 
ganx   platte,   aber   imint^r   noch    vienoitige  Zelle  geworden. 


«V.  HitUinjfrr.    tfeltef  LvHCncyirnmnntirrHtuf. 


185 


welche  iiich  endlich  loslöst.  Dor  Kt^likui  üt  imi:h  dum 
[)Krtnlaf»en  hin  geuffnet  und  ilif*  Leut^rx'ytt'n  drin^^Mi  ma)t»)«>n- 
wciao  wu  dnoMvIbun  iq  den  Darm  «ia  (a.  Fif?.  2  und  U). 
die  f  ■*  :  '  ■II  stiiadig  vor  sieb  ^eht,  kann  man  «n- 
kwer  bf*.  Ich    bexit/^f  l'rä|>ur*t(;    Ton  einem  Enl- 

KanfiieiMi  t  welcher  im  Darrokauat  keinerlei  pathologiiichH 
Vcfftodwun^eu  zei;|te.  h^  ist  nnxuuuhmtiii,  dius  dies»  Kr- 
Affiiiuig  der  Molitüreti  Fulliknl  eine  periodische  ist  und  wohl 
atiliMi^g  «ein  mag  von  den  Verdaiiungsvorgäugen  im  Durm. 
Waa  ifoU  dttM  Verrücken  der  Follikel  nach  der  freien 
ObtrÜKcbr  dvr  r>ari  '  -; haut,  die  alJmäblicbe  Verdflnnunjjf 
des  hoben  C^Iindei  >     und  die  emlliehK  Zerstörung  d*^- 

Mjbcn  Meuten,  wenn  alle  diese  Vorgänge  nicht  die  Kret- 
Ling  der  Leucocytenbanfen  nntl  die  »'ndlicbe  KinwaTidenmi? 
WanderMlb'n  mi-.  ihm  in  dttn  l):tvin)ciinul  da3  Knd/.ifl  Jvr- 
mlhtea  wäre? 

Ich  b«ntze  Prüpnraie.  welche  gmr  keinen  Zweifel  aiit- 
liemmtn  laaseu,  dam  iliese  VorgÜn^c  un  alUn  Follikeln  iu  der 
ha[)irucbpoen  Weise  sich  uhäpielnu.  Wir  sehen,  da.ss  ilie 
KinwandeniDg  der  Ijeucocyten  ins  Darinrohr  durch  dioaen 
cn  Kintritt  der  Lencocyten  in  dasselbe  noch  ge- 
wird  und  so  uint^  tjuuutttät  von  Material  in  die  Ver- 
dMwanfpnrty^n  gelangt,  welclieü  dort  nn/.weifelhaft  eine  Kolh; 
tfielU  deren  Bedeutung  noch  erst  ermittelt  werden  rnnw». 

Da«  beeret  der  Tonsille  und  der  Follikel,  die  Einwandu- 
nuig  der  L«acocyten  in  der  Form,  welche  untt  Stühr  )uicr»>t 
kennen  gelehrt  bat,  sowie  die  Durch  Wanderung  der  Leuco- 
cytea  in  der  Oallenblaäe  und  den  GUIlenwegen  k;uin  un- 
tsflgUch  zwecklos  für  die  physiologischen  Vorir»ni;*>  im  Oarni- 
mbr  aUtfcfiDd«). 

0js  cheraiKbea    Hmdukte    der    I^ucocyieii    luttsseu    im 
eutong  haben,  eine  Annahme,   die  uinsomehr 
fkal,    wenn    man    nacliwei«en    kann,    dase   die 
rnrnffmKodmim  ZeUan   ach   aUo  ounübcn,    indem  dicaelben 


2i,  Hüdimfer:   Vcber  Leitcoctftcnwantterunß. 


137 


^rO»«a  der  XtmuiawtximA  fteliefeH  haben  ^  bO  nims  nmn 
cb  mit  K5Uiker  einverstanden  «ein.  wenn  er  im  Jahre 
IB&2  «ng^ibt,  6mm  aocfa  ron  keinem  Autor  die  i3alg(tr[b«en 
«B  der  ZoDgenwunwl  der  Natur  entsprecbend  ^etichildert 
i  seien.    KoUiker  gab  damaU  schon  an,  dass  es  beim 

eben  in  ««hr  vielen  K&Ileu  (?anK  onmöglich  sei,  b^p*eiizte 
Fniliktfl  in  den  Wänden  der  TunfHIIen  aufzufinden«  eine 
ÄUi^be,  welche  der  Autor  damals  auf  die  »«br  häutigen 
Erkrankungen.  den«n  die  Tonsiilon  unterworfen  Beien,  zurück* 
rährtr.  .Bt  ftcheineo*,  sagt  K5ltiker,  ,b«i  den  fintzOn- 
dm^^  des  Offfanes  und  ihren  Folgen  dio^f  Follikel  anxu- 
4«llwetlco,  io  ihrem  Inhalte  sich  za  ündeni  und  dann  zu 
btnian*  und  «o.  meinte  die««r  Forscher,  werde  in  den  Wändet' 
der  Mandeln  der  normale  Uau  nicht  mehr  erkannt 

Ui«  Knif!«  um^h  der  normalen  nnd  patholoffischen  Be- 
vhafleobeit  dea  TonNtlleugewebiv  dürfte'  unzweifelhafb  »m 
mnfaeheten  tn  beantworten  ^in,  wenn  man  die  thierischen 
Maadelo  ntudirt,  bei  denen  die  krankhafVn  yeriindemn^en 
gmüa  viel  seltener  yorkommen,  als  bei  dem  Menschen,  ob- 
«hob  ftuch  hier  fast  ((aiiy.  contttant  Eißrenihfimliclikeiten  ^icb 

if  die  wrgun  der  Constanz  ihres  Vorkommens  nicht  al» 
'^'''HKche  gedeutet  werden  können.  Schon  18rj2  ^bt 
Uikor  an,  daai  das,  wub  beim  Menschen  schwer  sich 
Ifewinxken  lasse,  bei  Thieren  mit  Leichtigkeit  zu  erlangen  sei. 

Wa«  die  Zahl  und  die  QrösNt»  der  Follikel  in  den  Ton- 
lleo  Anlangt,  m  wi^um  wir  heute,  ditss  die  tvinphoiden 
ZcUen  in  den  Schleimhäuten  innerhalb  physiologischer  Grenzen 
•ebr  wech-wlnd  sind.  Man  kann  bei  dem  einen  Individnnm 
ma»  facdauUtide  Anmmmlnng  ron  1>encocyten  und  lyniphoiden 
ZflOniffruipen  beobachiein,  bei  einem  anderen  treten  dieselben 
Kbr  sp&rlicb  «al.  Die  (juerachnitte  des  Wurmfortsatzee 
hMMtn  bei  dem  einen  Mcn^oheo  doppelt  bo  viele  Follikel 
sUi^ra,  ata  bei  «inem  anderen,  ohne  doss  nennenswerihe 
OrgüiierkTaiikungui  im  Kfirjwr  nachgewiesen  werden  könnten. 


It58        Siteung  der  mitth,-fAt/K.  Clainm  rom  9.  FAntar  JtOM. 

Ein  verliuugorter  Affe  vei^te  itii  DUnudnriu,  Dickdurm 
uud  Wurnifortsate  äusserst.  weni|<e  ^(-hleimhatitfnllikel,  eine 
ThttUftobu,  welche  von  iiietintren  Konchern  sobon  b«>b»chti*t 
wurde  und  die  zweifellos  fOr  di(?  Annnbme  fipricht,  daa«  der 
Keichtbum  der  Ivniphoidon  Zellen  im  Wirbalthier  weMnÜich 
abhängig  ist  von  der  KniAhning  deswlben. 

Weiiii  KüllilctT  R'Iion  im  Jiihro  1852  iniitbeileu  kunnte. 
doatt  in  der  Tonsille  de»  Oolisen  die  Follikel  minder  dcuUicb, 
oft  gar  nicht  auftreten,  so  HtituDit  diese  Angal>e  ppiox 
und  gur  überein  mit  den  zahlreichen  späteren  Boobacbttingeo, 
nach  denen  der  Kolliket  Überhaupt  nicht  immer  aU  ein  »cbarf 
bij^enztes  (lebilde,  sondern  micb  nb  ein  di(fusi*3  liiKltrat 
ron  Ij'mphoiden  Zellen  in  der  Schleimhaut  auftreten  kann. 
Wenn  auch  in  den  mehr  tider  weniger  dicht^tidräiigten 
Zellengrupi>oD  eigenartig«  •Keimceutra*  anflreten  und  um 
diese  buruni  die  lymphoiden  Zdlen  in  concentrischen  Keiben 
sich  gruppiron,  so  ist  doch  sur  Zeit  festgestellt,  diu«  nuclt 
die  einzelnen  Fullikel  niemaU  acharf  von  einander  abgegrenzt 
Mud ,  sondem  an  ihrer  Peripherie  in  einander  Qbergehen. 
Die  lyuiphoiden  Zellen  treten  nur  aU  ein  Inßltrat  in  der 
reticolären  Bindeütibütanr.  der  Schhrimhiiut,  der  .eonghibirten 
DrOsen^ubstuni'.*  Uenle*»  aaf.  Neben  dem  Keimcentrum  mid 
der  dichiffetlHUigten  Kandxone  der  Leucocyten  befindet  «ioh 
in  jedem  Follikel  ein  periphern«  Zellen^tratum.  dn#  ohne  nach* 
wcidbaru<!renze  in  ähnliche  Zelleostrata  anderer  Follikel  Aber- 
geht  und,  wiu  KiWIiker  sich  aundrnokL,  , formlos«  Max.ien*, 
die  Heule*flcfaa  «couglubirtc  Drüsenaubstanx^  danrt«ilt.  Uaa 
kann  gt/genwürtig  ab«  fet;Utehend  annebmeo,  daas  in  rer- 
echiedenen  Abschnitten  des  Verdau tuigstnotas  diffura  Infiltnts 
von  lyonphotileti  Zollen  ohne  Follikeli)ildaog  vorkonunen. 
Svlbst  in  der  TonsiUe  sind  nicht  immer  an4gttl>ildeie  Folliket 
nachweisbar,  während  an  der  Ztmgenwun»!.  im  Dickdarm 
und  im  Wurmfortfiit?:  die  LeuciteytenintiUraüooen  meist  in 
Form  von  Follikeln  auElretcu.    Auch  in  divitff  Hinseht  will 


S.  UMingfr:  Uetier  hmcac^temtcaH^ivrung. 


139 


KülUkur  £Wci  QnippeD,  cousUute  und  Tariftbtc,  nnUnicheideii. 
Die  con»taT)teD  seien  in  den  Mandeln,  dem  Phaiynx.  in  df'Q 
ZottfreubHl^drllRCß,  der  Milz,  den  Peyer'scheu  Haufen  nud 
in  dem  Dickdarm  vorhanden;  wfibrcnd  die  weniger  constanli^n 
iu  dem  Magen  nnd  dem  Dünndarm  sich  vor&iideu  (s.  Di;»- 
cuwkio  nach  dem  Vortrag  von  StiVbr  in  der  phyaikalicch- 
ni-  Ibchaft   in  WürzburK   1883).     Aber  auch 

die  .....i^.;  ^oi.-L;inten  lymphoideu  Follikel  hüll  Kötliker 
ftir  DarmaJe  Gebilde. 

Von  den  f*alhoIoj?«n  sind  i^chon  «?it  längerer  Zeit  Angaben 
irnr*  -  '  r.  nach  welchen  sowohl  darch  Cylinderepithel,  ala 
atM  .  PUtU'impithel  die  Durchwanderiuig  der  lyiuphoiJen 

ZeDen  beobnchiet  wurde  nnd  selbst  in  GeschwüWten  hat  nian 
die  Lcaeocyten  in  j^osser  Zuhl  lieohaehtet.  In  einer  unter 
(kt  Leitung  von  (*rof.  Üertel  bearbeiteten  Di-isertation  von 
Pr.  Lanffft  wird  ancli  duranf  hingewiesen,  dass  in  einem 
{«piU&reu  Hpitbeliom  dos  Kpithel  von  sahllosen  Leucocyten 
doirbaetzt  gewesen  aei,  und  zwiir  inabesondere  in  den  obersten 
Lagen. 

Die  Zahl  der  Befjbachtungen  über  den  Dorcbgaug  der 
Ivf  '''-'\  Zellen  durch  da?  Epithel  der  Tonsillen  in  dem 
Isli.. —  ..iLirJum  ist  sehr  gn>ss,  so  oft  aber  diese  Thatänvhe 
xar  BcD^wchtung  kam,  wurde  dieselbe  meist  als  eine  pntbo- 
logiaehe  Krsebeinung  zurückgedrängt.  Man  suchte  den  Ge- 
duikeD.  dn»i  mngljcherweise  doch  ein  normaler  Vorgang 
fOB  bfiber  Bedeutung  vorliege,  stets  zw  bekämpfen. 

"Di«  ForMbnogsergebnissc  StOhr'ä  über  die  Durch- 
Wr.  /    der    Loucdcyten    durch    die  Schleimhünte    wnrcn 

^far   geeignet,    die  viel  umstrittene  Frage   Über  die 
der  /jiblbtien  lyniphoiden  Zellen  in  den  Hchleim- 
de§    Tracfcus    intestinalis    ihrer    LTisnng    näher     icu 
f'^      '      i ! Men    Zellen    wandern   durch    das  ver- 
•  der  Schleimh ante  durch  und  gesollen 
Sb,  wo  ein  Inhalt  neb  befindet,  diesem  bei,  oder  dieselben 


140       SUittNff  der  math.-f^ifn.  CloMt  vom  i*.  Fettrunr  IH9li. 

niMchen  sich  mit  dfltn  Secxvt  der  DrfL*en  in  den  ttonpimtiunzi- 
wp^on  und  werden  »lu  dem  Körper,  nU  Auiwurfsprodukt«, 
t'uLfernt. 

Zuerst  Imite  Sttihr  lyiuphoide  Zelkm  Kwischen  den 
CyliiiHeropitlielien  der  Magenschleimhaut  beobachtet.  t)bschoa 
bvil&ufi^'  gemachtf.'  Beobacbtuni^ün  bekannt  waren,  aber  keine'^ 
Doutimg  erfuhren,  verfolgte  Stöhr  die  am  Maj^en  gemacht« 
BoobAt'htun^  nuu;h  an  anderen  .Si;)ileimlmnten  und  jiteltlp  fesit, 
daa«  an  den  Tonsillen,  den  BiilgdrGifCu,  an  den  aoli- 
t&ren  nnd  conglohirten  DrDsen  des  Darmes,  in  der 
Br»nchial«)cbleinihnut  normalerweise  eine  masHen- 
hafte  DurchwaudoruDg  lympboider  Zellen  zwischen 
dem  Kpithel  (niicb  dem  Innern  dus  Ijumenn)  Ktalt- 
findct.  Ich  will  noch  weiter  hinzufügen,  dasa  die 
tjmphoiden  Zellen  nicht  nur  zwischen  den  Epith*)!- 
aellen  durchwandern,  «ondcrn  in  die  Platlenepi- 
thetion  an  der  Tonsille  eindringen,  diese  lockftrn 
und  ierftt5ren  und  LUcken  in  der  Epithcllage  hcr- 
Turrufen,  durch  welche  eine  massenhafte  Kinwuude- 
rung  der  LvucocytfU  aus  der  Schtoimhuut  in  das  < 
pArmrohr  erfolgt. 

Waa  meine  eigeDon  Beobachtungen  an  der  Tüu«iUa  des 
j^  -     \.  ,.      .....*     #0  wurden    dieselben    mit  Itncksicht   auf 

dl'  .    da»   die  Mtindcl    beim  MeiLtchtm  hsufiK 

IwihidiigiMb  wiüadert  t^u  »ich  auf  die  Thiore  auagpdeboU 
t^-^  liU  jvitt  prwhen  konnte,  sind  in  den  weneutUchen 

1*1...,..,.   .^t  *uffftllwide  reburcindtinunungcn   in  den  Krgeb- 
IIVWV4I,  w^cH^  an  der  Toii&ilte  den  Menifcben  und  der  Süuge- 
tbiar«  KVWihoueD    wurden,    vorbanden,    so    daaa   man   Mgeoj 
kftM«t  di«    l{««iilUlv  an   der  Mnndel    i\«a*  MenttclitM)    wurden 
mil  «UtflM  K«w>*Mn  Vorurtheil  entgegengenouimcn. 

IuiImu    wb    meine    Beobachtungen   in    Ki>Igondero    mü- 
iMW»    yi^W    wh    Wieb    auf  jeue    Figuren    besipbon,    weJche 


n. 


rt  O^ter  Lewoot^enmattdtfun^. 


U\ 


ttieil»  TOTV  taen«chlichvti,   tiii^ils    ?on    fcliierlscheQ   PräitarateD 
gewnnueu  siud. 

DiM  der  Uoicbthum  an  lymphoidcn  bellen  id  der  MuDdel 
individo«!!  wt;clueln<l  <:rsc)tfiut,  wurde  ron  verschiedpnen 
Autoren  Bchun  conatatirt  und  vou  mir  oben  achua  hervorge- 
hoben; dUein  in  der  Toneille  sind  itowoht  die  Follikel,  als  ftiioh 
£«  tjptnpboidt^  Inftltmtion  viel  constantt>r,  als  in  den  Qbri^en 
Scbleimbäuten.  Die  Zahl  und  Grijsse  der  lyruphoidea  Zellen 
veehaela  im  Dnau-  uod  Dickdarm  viel  mehr,  uIr  in  den 
IfaiidfliD.  Es  sind  nucb  in  ganz  kleinen,  atrophischen  Mündeln 
ianwr  oocb  riele  Leueocj^ten  vorhanden.  Im  Daruikanal 
dügegen  kunn  man  Objekten  begegnen,  in  welchen  die 
lympboiden  Z«Uen  Überraschend  gering  an  Zahl  sind. 

PrOit  man  due  H«3ilitj  von  Schiiitien,  ho  tiiidet  man  an 
einMlovn  ^^tellen  die  Plattenepithellafi^e  ^nn»  unversehrt. 
EKe  tiefete  ZelUnlaf^  iat  ganz  regelmäsäig  gebildet.  Die 
holtvo  mehr  ejliuderfiirxnigHn  Zi'IKmi  stehen  aU  tiefste  Lage 
m  geordnet  nebeneinander  (s.  Kig.  5),  daBs  xelbst  ihre  Kerne 
keinerlei  Abweichungen  von  einander  erkennen  lassen.  Jeden- 
CaU»  nu«a  es  auffollenf  doss  man  üolehen  regelniüs»igeri  Au* 
Ordnungen  der  tiefsten  Zelleulagen  im  Verbälluitis  zu  den 
«Bleich  dicken  und  irregulären  Itildiingen  nur  vereinzelt 
begeßiiet.  Di«  abwechi^elnde  Dicke  des  Epithels,  und  diu 
U  Iswgkeit    aller    Zellenächicbten    de»    Plutt«nepitheU 

\hi  -,..  ..i\  Tunsillen  ungewöhnlich  häutig  zu  bmibachteit, 
an«  Er?ch**inungf  die  einer  l)e»onderen  Aufmerksamkeit  werth 
cncbeint,  wenn  man  dienelbe  vergleicht  mit  Präparaten  der 
Ittmcm  Haut,  der  i^peiseriihre  »»der  des  Darmkanales.  Die 
DuiDftchloimhaat,  welche  keine  LL>uc'Ocyten  einschlietet.  Keigt 
xm  Allgemeinen  in  der  Anordnung  des  Oyliuderepithels,  der 
tt»r&eUen  ii.  dgl.  eine  nur  ganz  geringe  formelle  Ver- 
:ii»dMohpil.  Wtthrcud  Hunderte  von  SchniHen,  die  von  der 
Dann- fMier  Dickdarwaehleitnbaut  gewonnen  werden,  einander 
••hr    ähiilieh   (ind,  «eigen    die   Ti»n»ilh*iipriipamtc   von   ver- 


142        Siirung  Aar  malh.'j^*,  0!a$a€  vom  &.  Frhnmr  fäM. 

«chiudcnen  und  Ton  einem  Utui  d«Dt!telh«D  Objekte  aaflalti 
ün torschiede.  Die  verscbiedone  Dicke  des  Kplthelx,  die  ra^li 
AnorfinniiK  ihrer  ein7.pln*'n  Kpithelscbicbten  wird  dontfa 
Verhalten  der  L<Micocyt*ii  in  der  ToiiMille  hervor 
HoUnge  die  Follikel  in  der  Toii^lle  nicht  grrws  nnd, 
sie  TUM  der  liefuten  /ellen^^clitcbfce  des  P^piibet^  eiuen  geiinii 
Abstund.  In  dem  Verliultiiifis  nber,  nls  nob  ein  Foltiki 
vergrOssert,  rückt  er  df>r  Kpttbellage  immer  näher  and 
Mftini;r  AnnUhoning  int  der  eiwte  Vorgang  der.  da««  die  Z«llc 
dox  Kote  Mnlpighii  in  ünordnong  gr^rnthen;  ibrc  Verfall 
düng  wird  gelockert  (h.  Fig.  ti),  w^  sofort  an  der  verände 
Stellung  der  Kerne  erkannt  winl.  Sehr  bald  bemerkt 
da«  die  Verschiehnntj  der  Zelten  dnrch  das  Vordringen 
zelner  L(*ueocyien  xwi^hen  dit-'i^elhen  bedingt  wird.  IaI  einii 
di«  tiofttte  /ellunluge  in  Unordnung,  dnnn  scheint  doA  m« 
hafte  Vordringen  der  lympboiden  Zellen  ganz  ra-wh  vor  w4 
zu  gehen.  Wilhroml  des  Vordringens  vereinzelter  /x'llen^ 
da»  nmn  viflfmdi  beobacbt4>n  kimn,  findet  keine  Veriindening 
d«r  Kpithelien  iftnit.  Die  Leucocytfl^n  di^ngen  licb  in  die 
Falle,  indem  nie  eine  langgestrt'ckte  Form  annehmen,  XMriscl 
den  IMaltenepitbelien  bin  zur  freien  Obertl&che  durch  na4 
hier  *ieht  man  »tti  vereinKtdt  od<'r  ancb  in  kleinen  dnippen,^ 
entweder  frei  in  einer  ToneiJlenspaUe,  oder  sie  kleben  noch 
An  der  Oberflüche  der  glatten  Rpithelien,  die  k«bi«  «««enfci-J 
lioben  Verändenm^en  /.eigen,  fe«t. 

War  der  Angriff  von  Seite  eines  groaMO  FollikeU  ein 
intfuwivfir,   so  gehen  die  tiefeten   Kpitlielrellen,    welche  mefc 
rande  Formen    nnnehmen.   vw  (jrunde    und   in  den  weitereiP 
Zvllonbigen  kimn   man  beobiichten,  da^  der  Leucocyt  in  dJe 
£pitbelzelltt  aindringt  nnd,    wie  ich   Vttrtnuth»,  tnnürb^t  dm 
PniUipIiwnm   der  Zelle    nnd   dann    iliene  M>llwt  zerstturt.     Ütey 
Kpithelzelle  wird  bald  bell,  der  Unnni,  w«»  die  Zelte  lag.  wir4' 
gmoer  und  «ehliiNMUcb  findet  ninn  licht«,  grosse  Lflcken 
mit   Zallcit   und   midirercn    rnndeu,    kleinen    Kernen   erfnilL, 


Nl   HAdififler-  ffetier  I^üeoeylenvan4rrun0. 


143 


wftltbe  inroh  mitotische  VernielinmK  der  Lencocvten  (Fleni- 
intng)  bei  dorn  ZorftUI  der  Kpithcixollen  onUtandtia  sind. 

Dks  eine  tli  i'  U^Iirunjj  und  auch  eine  Zerslorung 

d«r  Cpitbcl7.eU(;n  it,  unterliegt  kcitieni  Zweifel.    Man 

iB»i  Tide  derartige  Priparnte  stadirt  habfin,  um  die  Ueher- 
U'Uto'ng  y.u  c;ewinQeii,  das«  das  Flnttenepithnl  in  der  ge- 
«crliitdqrU'u  Wei»iü  eine  Zen»l<"jriinj^  und  Veroichtunfj  erfiLtut. 
in  den  TtiniÜIenspaltön  findet  man  auch  Kpitlielien  als  einzelne 
Zeilen  oder  iibgeriä»ene  Congloaierate  mehrerer  Epithel  wellen 
von  I>eui;oe,yt*?n  umringt  (<».  Fig.  10). 

An  gelungenen  l'räparuten,  welche  den  Durchbruch  der 
Hjntlittlluge  nicht  ganx  vollständig  seigen,  kann  man  die 
Art  der  T^niiirnn^  def*  Plattenepithels  sehr  gut  fibersehen. 
•lene  tiefere  Zone  der  Epithelluge,  welche  zuerst  der  Ängriffs- 
pankt  ftlr  die  U>urocyten  wur,  zeigt  nur  vereinxelt  eine 
Plaltouepitfaelzelle,  während  in  dem  Itandgebiet  des  Epithel«: 
difl  Zellen  noch  mhlreieh  vorhanden  sind,  aber  nicht  mehr 
groninet  eraoheinen.  In  die  einznlneu  EpilheUelleu  aind  die 
L#iiooc5t«Q  eingedrungen,  und  man  erkennt  die  Zerstörung 
dann  «rst,  wenn  die  Fnitopla^ma/one  der  Epithel  zelte  heller, 
der  Kern  derK^lhen  zackig,  unregelmgAt^ig  und  kleiner  geworden 
iii.  Wann  auch  der  Kern  ganz  vernichtet  i5t,  treten  kleine, 
runde  Lencocyten  in  Gruppen  miteinaiuler  verbunden  auf. 
lieso  Kr  '  '  '  '^  irtt  w)  eoiistani,  duss  e«  nirbt  gvwugt  er- 
bfint,  -  .-  i^ftTig  w)  ^\^  dentcu.  daas  di»*  Kpithelzellen 
dnrob  dit»  Leucocylen  xer?U3rt  werden  und  zwar  zunächst 
ias  in  denselben  noch  vorhandene  Protopla.->nia,  dann  uueh 
dtr  Kern  uud  !tchli€S9licb  eine  Theilung.  ein«  Vermehrung 
der  WaGderajIlc  iia  Innern  di^r  Epithelz«lle  erfolgt.  Bei 
i^m  «eiteren  Warhifthum  der  Theil^itflcke  entstehen  gniize 
LeococTtimtiAter  nn  jener  Stelle,  wo  die  Epitfaelzello  «ich 
iHEbnd.' 

Hat     fliü    i4dUt&nd)ge    Durch wiindernng    atattg^finideo, 
dann    t«tgt    dich   an  einzelnen  Schnitten    die  TonnillonKpnIte 


144         Sittnng  der  math.-pkffn.  Ctatmt  rom  9.  Ftbruar  t89S. 

IpuiK   «rfoUt    von   Kpithelien,    LeiKocybcti    und    auch   nntor- 
mincfat  mit  HieeenzelleD. 

Da  am  der  FulUkelxone  iloa  Zeltcuinftterial  tinmer  niicli- 
rflckt,  so  mn8.<9  dasielbe,  wie  «ii^  dem  AoHtulirungs^ug  einer 
Orfls«,  an  der  ('Oberfläche  der  Maodel  zimi  Vor»cheiD  kommeo. 
Diu«  die  T0n-«il)enK]tatU'n  mne  gt'wlsM^  Hegel mästigkeit  iteigvc 
orgeben  die  Plorizontalächnitte  durc)i  Jene.  An  rta«r  u« 
derselben  Spalte  findet  der  Durobbrnoh  in  bestimmteo  Ab- 
aläiiden  sUtt,  welcher,  wie  mir  itcht.-iiii,  ron  der  Jeweilt)(vD 
Iteife.  resp.  der  Grü8se  des  FollikoU  abhängig  i^t. 

VVeuii  in  den  Spalten  der  TonMiUe  viele  vereinzelt«  oder 
anch  zu9sinnienhäDgeDde  (tnjppen  der  l'Uttene^iithvlirn  vor- 
handen sind,  dann  Hcheint  der  Durcbbruch  raach  ^  riden 
/.ii  halK'u,  wobei  Epithel grupj>cn  r.asa(üiMi>i  ■■  ^  i  mit 
Leuoocjteo  losgerissen  wunleo;  in  jenem  Falle  dagegen,  in 
welchem  der  Durchbrach,  wie  anzunehmen  i^t,  taiigaani 
erfolgt,  beobachtet  mau  sehr  wenige  KpiUielxellcn  und  zahl- 
reiche Gruppen  Ton  Ijeucocjrten  mit  kleinen  runden  Kerium. 

Je  tiefer  man  in  alle  dies«  Vorgänge  eiuxudringen  aiioht» 
un)M>mehr  zeigt  sicli  di«*  S-hwieri^tkeit  auf  alh«  die  auflaucbeD- 
dftt  Fragen  eine  tjefncdigendc  Antwort  mi  gcbeu. 

Von  besonderem  luteresse  erscheint  die  LDcke,  «eich« 
iu  dem  Epithel  an  der  Stelle  des  Durchbruclu  entstanden 
ist.  Wollte  man  für  die  einzelnen  Stellen  die  eutj(tand«n>F 
Ocffuuag  nachbilden,  so  Ix^ktknie  man  fiuen  Trichter,  deaaeu 
engj^tes  Gebiet  der  freien  Oberthichu  dett  EpitheU,  daa  weiteste 
dorthin,  wo  der  Follikel  war,  };öncbti>t  int.  l)ie  Ttwddtti 
der  Kpitbellage  nimmt  nach  iltjr  Tiefe  xu  und  die 
Umrandung  stellt  eine  z«rklQflete  Wand  dar.  In  dem  Lehr- 
buch der  Histologie  de»  MeuM-Jieu  vmu  Böhm  und  Daridoff 
WHndet  öich  auf  8.  Kiö  die  AbbUduni{  Fig.  UTi,  an  dem 
»•rklQfleten  unterniinirien  einen  Uand  der  O'-lftiung  »uf  dem 
DurchMchniti  nebr  klar  Kur  Dunrtrlluog  kam  (i.  auch  in 
mciaer  t^g.  8). 


s. 


Othtr  LtucwifteHWMtdtnmff. 


ur, 


p 


N«ch  andere  Wege  der  EinTanderudg  der  Letico- 
eyUn  in  der  Epithellafci;  kann  mttn  beubacbten.  Man 
begegnot  an  den  TuD^llen^ichnitton  Haufen  von  l^eiicocvUn, 
Wttlchis  zapfenfurmig  oder  initeliirLi^  im  KpitM  NtfH-ken.  Die- 
Mlben  rerhalt«!  sich  Titini  IMiittonepithel  geradeso,  wie  die 
betctiriebeiien  Follikel.  Das  Endresultat  dieser  Zapfen  ist 
nefa  das  Vorrücken  gn^en  die  froie  tJberdüche  nud  die  Aus- 
nderoog   ihrer    lynipiioiden   Zellen    in    die    MAntieh])altcQ. 

Xach  eingehendem  Studium  muaste  man  die  Heberzeugun^ 
lepwtnaeii.  dum  die  Zapfen  an  den  ütellenwetse  Hpärlicli  vor- 
kandenen  Papillen  in  dem  Kpithel  entstehen,  indem  die 
LeucoCTten  von  der  Uitsis  der  Pupillen  aiui,  nach  der  Spitze 
Üb  Torrltcken  nnd  die  Epithelzellen  ebenso  Kerotören,  me 
du  popUletifrvie  K|iithel.  da»  \'ut\  mehr  Widerstniid  ent+fepen- 
«tzt,  als  die  mehr  oder  wenij^er  nusgehildeten  Papillen  an 
der  Mandel.  Die  inaelartig  anftretenden  Lencocytengrappen 
atig«n  ück  an  äcbie&chnitten.  an  welchem  der  Zusammenhang 
der  iDsdgnippe   an  einem  Schnitt   unterbrochen   worden  iflt. 

Bafc  mau  lUtikenlase  !:;chniltruiben  tmt  Verfügung,  .so  lüs^t 
Mab  der  Zutsammenhnng  des  Leucocyten häufen»  mit  jenen 
Haler  dem  £piüiel   belindlichen  Gruppen    stets   leicht  nach- 


Bd*  bcK)nd«re  Aufmerksamkeit  i<ehenkte  ich  den  Per* 
ibratjittuzonen  und  der  Art  ihrer  Ver±)fhliea9ung.  Man  kniin 
klar  ttor  au«  dem  wech»einden  Verhalten  der  Epithelin^o 
00  den  Tervchiedenen  Stellen  einen  SchUi&a  ziehen  auf  die 
Kegnvirration  den  HpitheU.  Faa»t  man  dieee  Stellen  an  der 
TonnUenoberflllche  oder  in  den  Spalten  ins  Auge,  wo  unti>r 
•kr  E{iiili*Ilage  keine  oder  nur  weuigu  Leucoc^ten  vurliaiidi'u 
•o  xeigi  ^ch  die  Kpithellnge  normal«  gleichmäsRig  dick 
it  Papillen,  wenn  auch  nicht  gleich utä(>aig,  durchsetzt. 
iid(K4i,  w(i  Ijmpboide  Zellengrup|>*5n  lui  das  Kpithel 
^^^  a^gmiaen.  treten  die  variahlon  Verändcrungnn  der  Deck- 
^m   ndbicbi«  auf.     Wa%  iti«n  aiie  einem  Vergleich  der  Präpamte 


■  ■     •lerEiMil 


146        SttiUiifi  der  math.-phtft. 


rUrur  JdSH. 


eutaefatoen  kann,  ist^  daas  eine  Vermebruug  der  EpilheUeo 
30  der  Peripherie  der  FerforütionaöffnuDg  als  wiUmcbeialich 
anzunebineD  ist  UiiKweifelhafl  werden  hier  f^nz  ähnbcfacj 
Vorgänge  »tattfindeu,  wie  tu'i  jt»ler  \VuDdtieiluiig,  die  am 
PUtteo epithel  der  Handböblc  üder  der  iiuiseren  Hmit  ein- 
tret«u.  Von  den  vorhandeoen  nuriualen  Epithekellen  der 
Umgebung  einer  LGcke  scbitiben  tnch  die  Zellen  mr  und 
bilden  anfaugiicb  eine  dflnne  KpitbelUge,  die  weder  den 
ChüTukUT  der  I'luttenepithelien,  noch  jenen  der  Zelten  de« 
Kete  Mnlpigliii  tragen.  Solange  die  Lencocjteo  oder  die 
zu  Follikel  umgewandelten  Gruppen  fehlen,  behält  die  Kpithel- 
loge  ihre  uommle,  gleichinüasig  dicJie  BescbanenbAÜ  beL 
Treten  stärkere  ÄnRammhingen  in  der  Tunica  propri»  de« 
Epithel«  uuf,  mi  beginnt  auch  sofort  die  besvbriebene  Kio- 
Wirkung  auf  die  EpithelÄchichte.  Bei  diesem  unaosgeaciltt 
wechselnden  Vorgang  au  dem  Kpithfl ,  welcher  abhftngig 
i«t  von  der  Neubildung  der  Leucocjrten,  beobachtet  man  auch, 
normale  Epitbellagen,  welche  nnt  senitürt«n  abwechseln  au 
alten  Stellen  der  Mandel«  gleichviel  ob  diemlbe  an  der 
freien  Ausscn^eite  oder  in  den  Spalten  nnt^^rsucbt  wird. 

Je  bedeutender  der  Defect  am  Plattenepithet  ist,  am 
DO  reicher  hat  sich  dm  Material  in  den  MandeUpalten 
nngVKaniuieU.  Da»  der  Inhalt  der  Spalten  (s.  Ktg,  10), 
welcher  an  Präparaten  von  Tbieren  und  dem  Menschen 
prflft  wurde,  nicht  entfernt  an  [>ath(dogi.'4che  ItiJdiiiigeii,  an 
Mrfallene  Mausen  erinnert,  ist  leicht  tu  coniUtiren. 


SchlasabemerkuQg. 

Wir  aehen,    da»   an    der   Mandel    Kweierlci   Vorj^ngr 
«nttJibvpieV'n.    Der  eine  Vorgang  bevtebt  in  der  Xfi       "'•■r 
Itiluriebenen    Durch  wandermig    von    ein/etnun    L«- 1 
/.wjjwhea   den    KpithelxeU<*n    ohne   Zemtilrnng   iler    Epithel* 
HcbiohU^.  Waron  auch  dnrch  Arn«tpia,  Rdinger,  Franken- 


y.  Badtm^iT.   lieber  heuaociftfnwnndtfUHg. 


147 


Kftti«er,  RAubvr,  Bonnet  und  Toldt  die  Durch wftnderunfi:en 
d«r  LtfQcocyten  schon  bekaout,  so  muas  man  doch  Htöhr  das 
V<m]i«nM  ')(!□,    diesen  Vori^D^  aU  einpn  constantcn, 

BOnniUtit]  z...  .  .'.^tgesteiU  £u  haben. 

Der  zweite  Vorg&ng  ist;  der  der  £pifch«l£ergtörung 
ao  der  Mandel  durch  die  Lenoocyten  ond  massen- 
hafter Einwanderung  derselben  nach  dem  IsthniiLs 
fuuciuoi.  lhi*i"d  luiLMonh.ifLe  Kinwaiiderung  in  den  Schluck- 
ap[«r«t  hfti  eine  EDÜeerung  der  Leococ^'ten  aua  dem  ätratum 
profiriuin  und  uibi  tivm  B|>ithel  zur  Ftilge  und  uncliherigc 
Kegi^ncmüon  der  ganzen  ^chJeimhani.  Das^  die  Mandeln 
toit  ihren  Spalten,  w«nn  dieselben  von  Leucocylen  erfüllt 
ond,  Ixtim  Sohlackalci  unter  dem  Einfliiss  einer  gimz  kräftigen 
Moakelooiitimction  stehen,  unterliegt  gar  keiuem  Zweifel.  Die 
ConpnMäoiItwirkutig  de^»  Muse,  gloasopftlatinus  und  pbarytigu- 
palaünns,  nelnhe  eben  keine  isolirten  Maskelzilge,  sondern  nur 
vompringende  Piiriien  der  verticalen  Längszdge  des  Pharynx 
dusteUen^iet  eine  von  verschiedenen  Autoren  längst  festgestellte 
Thatwache.  Die  ganze  Musknlni.sehe  in  Verbindung  mit  dem 
GanmciuAgvl  mofti  bei  jedem  Scfaluokiikt  eine  Compreesion  der 

del  hervorbringen  und  dieselbe  muas,  wenn  Oeffnungen  im 
Likdelepithel  vurhunden  .sind,  die  Lenoocyten  mit  au^pre^sen. 

W«ruiD  sind  die  Mandeln  an  der  freien  Ctberfltiche  der 
»baut  am  Uthmus  faucium  zwischen  den  beiden  Mivskel- 
eingubettotV  Hätten  dieselben  keine  besonderen 
Beziehungen  zam  Vcrdaatingsapparat,  sondern  nur  zu  den 
Lymphgefittasn^  ao  könnten  sie  ähnlich  den  LymphdrÜAen 
I  TancbiedeosteD  Körper^teÜeu  angebracht  »ein.  MUsstea 

WMBiäwzBihBn  in  deu  Mandeln  nur  die  Wege  nach  den 
t^noplibAhnen  autinichen,  so  wäre  ihre  topographische  Lage 
darcfadiuv  niciil  an  dr;r  freien  Oberfläche  der  Sehleim- 
haat  des  Scblaokapparates  erforderlich. 

Die  Lage  der  Mandeln,  ihre  Einbettung  in  Muskel- 
■adm   nnd  die  Eröffnungen  ihrer  Follikel   nach  der  freien 


146       Sitsui^  Atr  mutK-ptnf».  CÜmw  roM  0.  Fthrmar  It05. 

Fläcbe  und  deu  MaoileUpalten  c»der  Uachten  doMJben  ligeo 
denn  doch  die  b^mge  nahe,  ob  hior  niolit  drßaige  Organe 
Torliegen,  die  ihren  Inbult  an  den  Bissen  abgeben  und  di«j 
Annabute  geütatteu,  da^a  die  Miltiardcu  vüq  Leucocytes 
in  denen  man  scbon  «Nueleinsfinre*  contsUtirt  bat, 
pbynioloipscbc  Verwendung  im  Darnikntial  finden. 

Fattt  man  alle  Tbatiachen :  den  Uurcbbruch  der  Leuoc>«1 
eyten  an  den  Mandeln,  die  Krüffhnng  der  SolJitarfutlikel  im 
Daruikanal,  die  Darcbwandemng  zablloser  Leucocrten  an  der 
^efiittetvii  grossen  Oberßäche  der  Gallenblaüensohleiinhant  u.  A«,j 
ifiUfianinien,  ao  muBe  man  fiicli  «agen,  dass  alle  die^e  erwähnt 
Vorgänge  nur  sehr  schwer  die  Anoabmo  begrOnden  Usaen, 
doM  ein  HO  reiches  Mat^riul,  welrbe^^  der  Nahrting  im  Darm 
beigegeben  wird,  nur  uIk  uiu  Auüwtirjsprodukt  gedeutet  worden 
kann.  Da  kein  Beweis  hieflQr  erbracht  ist,  eo  ist  gcwias  die 
VermuthuDg  berechtigt,  duM  die  growen  MaiMu  der  Leaoo- 
cjten,  welche  vom  ^jchlondkopf  nnd  dem  Isitbnins  fancinm 
nn  bttt  hinab  xiim  Mu^tdiirui  in  den  Daruikanal  eintreten, 
in  diesem  eine  pbjüiologiscYie  Rolle  tu  (»pielen  bestininit  ^nd, 
inier  wie  Kölliker  schon  meinte,  daw  diese  Zellen  na 
ihrem  Austritt  au«  der  Schleimhaut  möglicherweise  na 
Verwendung  finden. 

Jedenfalls    ist   die   Frage    Über   die    Eüinwandernnf;    der 
LeuooCTtflD  in  den  Darm  eine  Frage  von  huhrr  Hrdeataii{f,j 
gleichriel   ob   dieselbe   durch   weitere    Forschungen    in   de 
einen  oder  anderen  äinne  «ttflcluedeQ  werdeo  mag. 

UnterhMsen  will  ich  ex  nicht,  noch  auf  eine  andere  Seit 
d«r   forli^eaden    Betrachtung   hiDKuweiaeu,   die   ftlr   p«th 
logiaebe  Votgftoge  besondere  Beachtung  verdient    leb 
iHtt  in  Folge  d«  Durcbbrucbes  d«r  Loucocyten,  insbesood 
wenn  dereelbe  inamenhafl  erfolgt,  entstandenen  Schleim^ 
hautdefuct'^,  wie  »ie  «uwohl  un  der  Tonsille,  als  aucbl 
an  den  aulitären   and  Peyar'soheD  Drflflcn   im  Darm 
Torkonunen. 


jV.  ft^i»H^er:  Vther  Ixucacyientcanderumti. 


MI» 


Hier  werden  Schleimhnntdefecte  erzuugt,  welche  wie  bei 
einer  Uuut-   '»der  Schlriinliiiutwnnde   eine  gewisse   Zeit  eur 
iegeauratioD  urfurdero.    Sollen  diene  Sdile)mliatit£erstÖruDßen 
bt    '      "  ne  Pforten  anzusehen  »ein.  (iurch  welche  patbt»- 
■*-  -n  von  Mii99eu  her  eindringen  können  V  Ich  meine, 

»i  lierecbtigt  zo  fragen,  warnni  die  Diphtherie  gerne  an 
M   und  dem  Vhurynx,  bei  dem  Abdominal-Typhiis 

\C-:  , _,i<chpu  VerUmlenmgen  an  den  solitüreu  und  den 

E'«y«r*Achen  DrüAeo  vorwiogend  auftreten?  Hier  wie  dort 
Bnd  idcts  kleine,  luihlrHehe  ?>ohIeiinhuiitdefeete  vorhanden, 
Bit  «iner,  wenn  auch  nur  TorlibergehenHcn  Zerstörung  der 
Bpitlielialen  Schichte  und  der  ßaäalu)embru.ti.  Wenn  nun 
[idthtjgm«  Ursachen  mit  den  tschleinihaubibellen,  welche 
"1    keine    epitheliale    Deckschichte    besitzen,    in 

1 _-  u  Cuittttut  kommen,   «o    eriH;h**int    doch   die  An- 

trahme  plauKibul,  daw  Einwirkungen  ebentc)  zu  Stande  kommen, 
wie  an  jeder  Wunde,  wie  auch  beispi  eis  weise  an  einem 
I  '  — r  rler  in  Kulge  einer  Geburt  un  seiner  Scbleinihitut 
.'iC  ist.  Auch  hier  ist  die  Zerstörung  der  Utenw- 
ccblcimhaut  and  deren  Neubildung  ein  physiologischer  Vor- 
»ng,  eben^u ,  wie  die  VeriUiiIerungen  am  Graafschen 
^üUikel  dl»  KieratfX^ke^  und  der  Schleimhaut  de»  Uteruä  bei 
Menstruation. 


4M       aiwuj  4fr  iMrfVf*»^  <^Vmm  mm  ».  >^6r«v  CW 


V.  BMcbreibuDg  dar  Figurea 
(•af  Tftfrl  I  B.  U>. 

dtn  Proceciai  wriniforini»  dv«  ll«n*«brik. 

1.  LUb«rkiUi«Vbo  DtAm«  wckiir  an  (Ur  SciinittflArW  4mIi 
•■  %tiim  8«it«»  numbnco  leb  br'  '  '  "»«»aij«»  h«n«, 
di  tiiwmi  Drten  «lobt  Tcrdrtogt  :].    aomlflr«  irt 

rUjiiwibMiwiii  nr  OWfU«b«  4«r  ötkUtmkamt  »*««  v^ 
«lakaliff»4taUM«  abwahiMa.  8.  Paodai  4m  Umh^rhahn'm^ml 
mit  bokcB  CjFUsd»epitb«U«n.  8.  Aa  dtr  frei«A  ouarenea  hd 
Follilifla,  w»trht>r  atArk  an  drx  f)b4rtlAcbe  d«r  j>cb)«iiuln«t  wq 
iit  do  C.flin<Ur.'jwih»l  tnu"  im  VwliAlta'm  d#r  V#^ 
FotKk«!*  B«i   Mcb    »ebr  "ib^ 

£Wt«  de«  !  »vpiib«!  »UUlm  »1ltB&: 

PlatUa,  dM«a  QminliircbaaMcr   d«B  »hMNÜi^fan  Bfl) 
doi  C/Unden  whr  b*d«nl«ftd  tiwrwMtfL     i.  giaMJD« 
DrtMB.    &.  H«II«m  Keiac«n«na  dm  Koltik«!«.    «.  H« 
ZoH  dM  rolI)k«Li. 

Fig.  Jl.    Ein  Follilral   »di  dam  Wvrmfortsftts. 
cb«m  d«*  Epitb«!  iturchtirochaD  lit 

1.  Ziemlich    bob»«,    oortnalM    C>liiitlfUi>pi'b«)     mm 
Folltkela.     3.  Nicdriir™  Rpithol   tn  dpm  »n  nciitim   ninf 
eOBVMteii  AUebniU  6m  Kol|ik«li,  «otchM  btJ  8.  it*nm  tiM.H6i|  I 
den  Follikel  rr«ic«l«f(t  bat     Di«  ätgrmMoagmiuiiübrwn  4m 
iit  Dütb  •U'llcMffliM  «rbulteD.  tUeii  ioob  di«M  ftbl   rvrionKJ 
Zahl   drr  Leaeocylen   bat   ua  der   ufenen   RaipoD   d« 
deatend   abuenommen.     i.   Lieber kabn'icbt   Drta«B,    w> 
der  Follik«!   mcht,   rolM&ndifr  f<nbl«B.    6    OatiftU   b^ 
FolianU. 

Fig.ITJ.    Solilirfoltlkel  vom  Wnmforlt«! 
icb«B  mit  den  aDtfCwaadarteo  L«ocoe]rt«a. 

1.  Maadiiaeio  dar  LMbcrkflhn'Kban  Drflwii.   V.  EpiiiM 
nach  dam  Daminihr  promiainndan  AbtchsiU  da  t-'»]UkaU^  « 
bei  8.   (lurcbbrocben   imU    4.  FundoK  «inar   LivbsrkuUn'ach«« 
6.   Follikel  obne  LiaberkOhntdui  Drtiw     9.  C>ie  in  daa 
WunnfortaatsM  aiagawaadartan  Laococjica,  valcbc  ibr«  ajiMtf 
Eigeoicbaftefi  noeb  niobl  geAndart  habaa. 


N.  Rüdinfffr:  Weber  L^ucoei/UMeamUritttff. 


151 


I.  TV.     Follikel  aoit  der  Tonsille  vom  HnnJe. 
'1.  Plaltene]iithe)firl)iL-hte,   durchsetzt   von   Leuroeylon.     3.  Zer- 
tiiid   IrisfreltHiitr!   PUttCQcptt hellen.     3.  fli?<5Hneter  FoUtkel    mit 
izelt  rrbaltenen  tCpithelzellea  4.  Follikel  nach  der  freien  Scblcim- 
ifi&che  iirotninireod.    b.  Die  auige «änderten  Leucocften   hüngen 
ih    Kiuppenweiee    znaammen ;    dieselben   haben  eich  jedoch   gchoD 
toa  Follikel  entfernt. 

Fig.  V.  Vollständig  normale«  Epithel  an  einer  Stelle 
*r  Tonsillfi.  wie  man  es  sowohl  an  deren  Oberfläche.  aU 
cfa  in  den  Tonnülenfipalten  stellenweise  antrifft.  An 
StD  fcezeichneten  Ahflchsitt  waren  nur  zwei  lymphoide  Zellen  zwischen 
Epithelien  nachweiHbar. 
1.  Obertlfichlichiie  Epitheliale  mit  ganien  Plattenxellen  tin  der 
iberfl&che.  2.  Die  tiefere  Schichte  mit  poljf^onalen  l^ellen.  3.  Da« 
te  Stratum  mit  den  cj'liDdh^chen  baoalen  Zellen  Krentt  iU>t 
.tum  MalpiKhii  gegen  dan  Stratam  lubepithuliule  ab.  4.  Die  an 
bMalen  Zellen  angrenxenden  Leucooyten.  5.  Vereinzelte  Lenco- 
rten  Bwischea  den  polygonalen  Epithehellen. 

Ftfj.  VI.  Kpithellage  der  TosBille  mit  ein-  und  darchgewanderten 
eococyten.  (Die  Figuren  6,  7  und  8  BoUen  in  der  Aufeiitanderfolge 
e  Art  der  Durobwandernng  oud  der  V'erAnderongen  dei  KpitheU 
Binonttriren.) 

I,  Obertlfichlicbete  Schicht«  dea  Epithels,  welches  zwischen  den 
Bllen  ond  an  der  Oberfl&cbe  vereinzelte  Loacocjten  and  Lcuoocjrten- 
rnppen  »igt.  2-  Die  mittlere  Epithelschiohte  erscheint  mehr  von 
gucocyteo  durchsetzt,  als  die  Ue&te  Zelleulage  mit  den  Basalzellen. 
rird  die  Fig.  6  verglichen  mit  der  Fig.  6,  bo  RÜlt  sofort  die  Un- 
l^elmits^igkeit  der  basalen  Zellen  aaf,  welche  in  Fnige  dpr  Darch< 
Aademng  der  Leucocyteo  ihre  geordnete  normale  Anordunng  ver- 
ren  haben  (3),  4.  Die  im  Stratum  subepitheliale  befindlichen  Leaco- 
rtengrtippen. 

Fig.  VII.    Ein  Abschnitt  des  Epithels,   in  welchem  die  Lenco- 
:«B  in  das  Epithel  eingedrungen  sind  und  als  Grappen  von  kleinen 
iden  Kernen,  an  dem  schwer  eine  Zellenmembran  su  unterscheiden 
aofircton. 

I.  Oberlinchlichflte  Plattenopilhfllage.   3.  Di(>  Epithelzellon  zeigen 

dieser  Schichte  stellenwdiic  einen  grQsseren  Abstand  von  einander. 

Die  basalen  Zellen  zeigen  bei  4    ein  irregnUres  Verhalten  gerade 

rt,  wo  die  grGs«ereu  Hasüco  der  Leucocjten  im  Eindringen  begriffen 

;dL    6.  Leacooyten,  welche  mehr  und  mehr  in  das  Epithel  eintreten. 


152       Sittung  der  mUkrfk^.  Claut  vom  tt.  Ftbnar  iSK. 

Fig.  VUl.  An  dieiem  Objekt  und  die  Lcdoooylen  miuaiihmft 
in  Hub  Epithel  ciagewandcrt.  Die  lirhten  Stt^lIe1l  werden  ron  den 
Wandentcilen  eiDgenotDiueB.  «fthreDcl  die  Kpitheluillen  au  den  liclit/:a 
Stellen  immer  mehr  abf^nommeo  haben. 

1.  Obertlächlichd  Plattenepithelieo.  welche  ihr»  tViM  ••t't.-ur  '<i» 
flicb«  vürlorirn  bft)>en.  2.  Leucoc^Ftt^n^ruppeu  imd  Epttbulffriiiitwa 
umäbernd  in  (;U-ich&iii  Verhültnii^  <taftrelend.  '-^ 
b&nf(e9<l^  Kl»itbt'l(frTtppe.  4.  /•□"junmenbAngt^ndä  i  ' 
B.  LeococyteomMsen  noterhalb  der  areprOnffUch  vorhnndenen  B*m1* 
teilen,  welch«  tXi  solche  nichl  mehr  xa  erkennec  sind.  ß.  Leacocyten, 
welche  an  der  freien  Oberülkbe  ungekommen  *ind  luid  die  Darcfa- 
«andening  Tollbntcbt  buben, 

Fig.  IX.    Qucrocbniit   einei  fFtomtm  VrtlimaMtnhmigigukgmi 
an  Schlundkopt.    Audi  lui  dem  Au9flUirunK«^t>1C  driDK«&  <^*  Lenoo*-^ 
cyten   in   f^roaeer  Zähl    »vijcben  d»m  C/linderepitbel   binditirb   nad 
gwiellw  «eh  tchliPMliob  to  dem  8eeret  im  AasruhrungtganKe. 

1.  W«ites    Lumen   dei    OanK«.     3,  Cylinderepitbel    deMelben. 
3.  Lencocytcn  an  der  Aawntteite  de«  Ganfte*.     4.  Leoooc^t  in  eiiMrJ 
etwoa   tingixtea  SecretmiuM.    h.  Ii«ql-04  ytee.   welche   in  daa  Lonin  * 
eiodrinxen- 

Fig.  X.  Die  in  einer ToofilleBapalte  befindliehe  Secr et- 
ma^ae. 

1.  Epith«I«e1len  ron  b«<dettletider  Ornise.  2.  Fi)ithHirllrn  mit 
mehreren  Kentw.  3.  Etnfwbe  Epitbehelle.  4.  und  &.  Tier  Rpitbal- 
«eilen  oud  zwei  Leacoc^rteD.  dann  eine  Epithelwllo  tmd  eine  Wa»dtf> 
xellc.  6.  V'ereinxelt  naf^tende  Leococften.  7.  Lmicorytrn  mit  mehr» 
Cic'bi'r  Kerntheilunf;,  wcKb  [eUt«re  auch  rereinaelt  uoflrwUn. 

Fig.  XL  ToDiillsDepttbel  rom  Hunde  mit  taprenfOrmiff 
voriprinfrenden  LeucocjtenhaafeB.  Ja  dem  Epithel  «elbet 
•ind  nur  wrmt;  vinf^edraofreoe  LeDcocjten  «iebtbar. 

1.  Epithel  an  der  OberflILche     3.  Ka^t  roIUtAndi^  dar:hbrochca«£ 
Kpithella^e.     9.  Leacocjtenniojncn   unter  dem  Epithel.     4.   Kleiaar 
ahfrernndflter  Porbata,     5.  Orösiprer  Portwitt,   wehihe  beide  den  P»- 
pilleii  entlang  licb  entwickelt  baben  und  vor     '       n  ' 

•eibvü  auri  in  TurichledcnerBicbtttntf  in  üuj  Epi 

Fig.  XJI.    AbHohnilt  einei  Wormfortiatiei  fomQuado. 

1.  Koroialea   V*;r  -l«    nn    d«r    Ob«r11&che    d«t, 

Schleimhaat      2.   Ti.  i.    cwm    äcbleinhaotlaUaa. 

S,  Liobnrkttlin'Mclia  Urdasn.    4.,  b^  0.  ud  7.  ftellon  IdebtfkOhn'Kkc 


X.  hüihtvfpr;  üthfr  LeHcnefffetitriiHtttruntf. 


tfiS 


I>r4Ms  dar,  wvtcfai^  dqrch  die  Einwirkitug^  der  Leorocylea  in  der 
TtrAndiCniQK  ko^id'f>n  An  <Jer  ^ineii  Wantl  t>lti<>r  Onlxe  ^ntid  die 
O.rltsulamlltm  ichon  xu  BuodxeUüB  umgewundclt,  wUbreud  lie  a» 
4m  aadsrn  vach  in  ngr^lm&Mngcr  iMnnDj^  ffetteltt  find.  8  and  E). 
f'lti  tm  1>ftrmrohr  Vflndliche  Leaeocrtcn,  «elcbe  lich  allm&hlieh 
•flflnwti  und  «ndlich  kJh  f^loichmft««iff»  Mums»  Atiftroi«n. 

-^^f.  XIIl,    Drei  l«ieberktlha*soh«  Driisen  »om  Warm- 
'im  Hnndee,  «elrhf»  in  der  rharakt«riBtiKcheii  Veränderung 
<i  «iikuDg  der  tjniphoidrn  ZrI1<'&  boifrilTen  sind. 

•i  »od  ^  ücifjon  sich  dio  V<>r.loilprun>;cn  ganz  cbon«o, 
•i»  )['  '     "  ri  um  niiTiS'.liHolieti  Priu-pstuä  Terinifünni«  l>eacbrieboD 

ImIw.  I  twd 'i  «ind  die  Cjliiiilercpitbelien  nocb  in  rei^lm&e«i^r  An- 
"r*T'<»%^.    Bvi  It   tat  Inam   mehr  eine  charakteristiflobe  Cjh'oder<eHe 

^^r  Dia  Mehrrabl  denelben  sind  Kondietleo  geworden  und  aar 
«cbver  vor  u'ocften  zu  miterscheiden.   -1.  Die  Tanica  ]iropria 

4m  DrOa«  <  TSeit«,  wo  die  Leaeooyl«n  den  Angrttf  vollKOgen 

fakfaen,  lenti^rt  ß.  IftfQCdcjrteapupiie  an  der  Stelle,  wo  die  Lieber- 
fctttn'tclK  l>rüj<!  gewesen  iit.  6  und  7  stellen  LeucocyUin^uppen 
TQ«  v«nrhuKlener  Diehtiffkcit  der  Zelten  dar. 

F%g.  XIV.  Qaerdurcbwcbnitl  derWand  der OallenbUse 
J**  Vensebea. 

1  UincaUri*  dprGallenblaae,  daran  Sobicbtung  eine  abwech«elndo 
;^:  J  »r'-it-rv  Zweifle  der  Art.  cjrvtiua.  8.  Die  Sabmucoaa  der  Oallen- 
blkj"  it*.  •"''■:  «'.'bwAch.  kaum  nennBOftwcrtb  iui-'jfebiklet,  ond  vielfach 
raicbt  di»  .Ntu  -  li  rir«  direkt  An  die  Schleiinbaut  an.  4,  6.  6  and  7 
itftgt  tüp  ini'ih'.lit  ti,  nicbt  Tentlroirbbaren  Falten  der  Schleimbaot, 
«•kb*  da»  b«kanDt«  ziemlich  reK^lmlaiig  angeordnete  Faltuuieit 
^nlrttlen.  Man  crkfont  die  Falten  ala  tsolirte,  &n4ftmmenbftngendö 
«stl  naUaxtig  Terbatt<i«ne  B^bebuncen  (&J,  «relcbu  uiue  «ehr  b«deat«nde 
O^irikAcbr  SU  Stand«  brioifen. 

Fif.  \r.  SchlRimhnatfnlt^  der  flallenblaie  dnrcb- 
•chnilleo. 

L  Kis  Al«>icbnftt  der  Kalt«),  an  welchem  die  Cylindenellen  mit 
iki^  Kanal  «ü»  groMe  HegelmlU^igkuit  Eeigen.  Jede  einselne  Zelle 
titU  *a  dftr  freien  OWrU'icb«*  etwu  KC*Mbt  hervor.  Die  nach  der 
Tiafc  |f«ridit«i«D  Endra  «telien  b&oGK-  konisch  zuluufend,  etwas  Ton 
«■Bsckir  ah.  2.  Dvt  Zwi«cb«<-nraum  zwiicbcn  den  IDpithelreiben  ist 
tMoral  gvriag-  In  der  Bindciub^tnox  Wlinden  «ich  fixe  Bindegeweb«- 
IflkpntlMft  ond  t^racocvtim.  ZwiKhea  den  R)nthel7.ellea  erkennt  man 
ac  Smam  Prlpftnt  kein*  darcfawandernden  Leacoc/iea. 


154       Sitzung  der  math.-phys.  Clas»e  vom  9.  Februar  1895. 

Fig.  XVI.  Querschnitt  einer  Scbleimhautfklte  mit  durch- 
wuidemden  Leucocjten. 

1.  Vollständig  normale  Epithelzellen.  2.  Ein  LencocTt  mit 
langgestrecktem  Kern,  der  zwiichen  zwei  Cylinderzellen  eingetreten 
ist.  8.  Ein  Leucocjt,  der  in  der  Mitte  der  Cjlinderzellen  steckt, 
und  an  dem  die  Zellenmembran  an  der  freien  Epitfaelaeite  sichtbar 
wird.  4.  Leacocyt,  welcher  im  Austreten  begriffen  ist.  6.  Bei  allen 
Jenen  Zellen,  welche  im  Austritt  begriffen  sind,  wird  die  sich  ab- 
randende Zellenmembran  leicht  sichtbar.  6.  Lencocjten  nach  dem 
Durchtritt,  welche  stets  die  ursprilnglich  runde  Form  annehmen. 

Fig.  XVIJ.  Schleimhaut  des  Ductus  cysticus  rem 
Menschen. 

1.  Stratum  subepitheliale  mit  Leucocyten.  2.  C^lindersellen  de» 
AusfQhrungsganges.  S,  4  und  5  zeigen  die  Durcfawanderung  der 
Leucocyten  in  rerschiedenen  Stadien,  vom  Eintritt  zwischen  die 
Gylinderepithelien  an  bis  zum  Anstritt  derselben. 


Sitzungsberichte 

der 

kOaigl.  bajer.  Akademie  der  Wissensciiaften. 


Oeffentlicho  Sitzung 

xur  Feier  des  136.  Stiftungsfcages 

ua  28.  Utax  1895. 

Der  Präsident  der  Akademie,  Herr  M.  v.  Pettenkofer, 
Öffnet  die  Sitzung  tuit  folgenden  Worten  KQm  Gedächtniäs 
zwn'cr  bhreniuitglieder  der  Akademie: 

Der  2ä.  März  heute  ist  der  Stiftungstag  der  k.  bayer. 
Akadeuie  der  Wissenschaften,  welcher  jährlich  darcb  eine 
ASnitliche  Festnitzung  gefeiert  wird.  Diese  Stifluugsfeier 
dient  berkDoimlicb  dazu,  jener  unsrer  Mitglieder  zu  gedenken, 
w<<h'it(^  wilbretid  des  abgelaufeneu  Jahres  verstorben  sind. 

Ich  babi*  zweier  Terstorbener  £hrenmitglioder  zu  ge- 
denken. 

Adolf  Friedrich  Graf  von  Schack. 

Am  1 4.  April  1 804  fdarb  zu  Rom  Seine  ßxceltetiz 
Adolf  Friedrich  Graf  von  Schack,  geboren  am  2.  Au- 
^Bit  läl.'i  KU  Schwerin,  am  15.  Juli  1850  von  der  Gesammt- 
Akademie  zum  Khrruuütgliedo  gewählt.  Der  VorHchlag,  von 
UBarem  ventorbenen  Mitgliede  Murkaa  Müller  ausgehend, 
ImM  wörtlich: 


156 


Ot/ftntUcSf  SÜMung  fOM  36.  JltUn  IH35. 


,AU  Edulioanu,  Diplomat  und  Freund  d«r  li5cbNtou 
Person  des  Staaten  nimmt  Adolf  Friedrich  Graf  Ton  Sjchiuik 
eine  ausgezeichnete  sociale  Stellung  ein,  und  als  Gelehrter 
und  Dichter  steht  er  auf  gleicher  Sttife  mit  den  er^t^'U 
Grus>veu  uusurwi  Vaterlamles. 

Seine  Geschichte  der  drainati«chen  Literatur  und  Kunst 
Sjianiens  (3  Bände  1845)  ist  ein  Meisterwerk  literarisch- 
historiäcber  Forschung  und  zeugt  el>eusü  von  tiefen  8tudi^n 
wie  von  einer  seltenen  Schärfe  und  Besonnenheit  der  I)r- 
tbcile  und  einer  gediegenen  Vollendung  des  Geechmackes. 
Daran  reiht  sicrh  win  «(imnischeif  Theater  (2  Bftnde  I84ö), 
iu  welchem  er  mehrere  der  «panüchen  Dramas  von  Kuiz 
Alarcon,  Ceriranted,  Lope  de  Vega  und  Calderon  in  deut^hem 
Gewände  dem  Puhlikum  gi^chunkt  hat,  mit  einor  Gewandt- 
heit  der  Sprache  und  Schönheit  und  Adel  des  Ausdrucks, 
die  ihn  neben  die  eri^ten  Meister  der  Tebersetzung^kunst 
stellt.  Dasitelbe  gilt  von  «einer  Uebersetzung  der  epischen 
OMichte  des  Firdusi,  in  welcher  er  ebenso  durch  grtlndlicho 
Kenntnisa  des  )>ersiflclien  Idiome,  wie  durch  den  feineu  ]>oeti- 
^en  Sinn  and  Trefflichkoit  der  Uebertrngung  glUnzt,* 

Die  Akademie    trat    einstimmig   diesem  Vorschlage  bei. 

Adolf  Friedrich  von  Sihack  hat  sein  Leben  lang  der 
Wissenschaft  und  der  Kunst  getreulich  gedient.  Ka  liegt 
nun  ein  Leben  ge»cb1o6Ben  vor  uns  da,  welches  allen  mat«rin- 
ttstüchen  VerUvrkungen  widerstrebend  stet^t  idealen  Zielen 
geweiht  war.  ^H'in  I^bemtgang  ist  merkwUrdig.  Keben 
seinen  juristischen  Stadien  au  den  Universitäten  Bonn«  Heide]- 
b«rg  und  Berlin  (1^31  bis  1838)  betrieb  er  eifrig  das  Studium 
der  euroi^filscben  Literaturen  und  der  oric»tAli»<hen  Sprachen, 
machte  in  den  Ferien  Keinen  fQr  wiaaenschaflliche  /weck«, 
trat  dann  in  die  Dienst«  d«  Groiwher/ogs  von  Mecklen- 
hiiri?  und  begleitete  denselben  als  Kamroerhcrr  «.;  '  '  .tinnj»- 
rnth    auf   Keinen    fteis«n    nach    Italien    nnd    h  'opel. 

Dann    wurde   er  nach  Frankfurt  am  Main  xum  Hand<intage, 


%  rHltnkofiir:  Ntkrolo^f  auf  Adolf  FrUtiridt  Oraf  v.  Sdiack.     157 

sein  Vater  mecklenburffncher  Oesandter  wftr,  Tcnetet, 
uim)  1849  kam  er  aU  BetvollDiächtigter  ^eiuett  Souveräns, 
duin  &ls  GeMihäfUtrü^er  nach  Borlin.  Von  Huuä  aiu  reich 
lüLert  utid  miUun  in  einem  Alter  von  34  Jatireu  zu  eijier 
lirenvoiJea  dipkiniaLiHcheD  St«ilunff  gelangt,  lag  Herrn 
Tna  Schock  ein  weiterer  glänzender,  genusfiroicher  Lebon«- 
)&uf  vor,  d«!n  wobi  die  ntei^ten  Meaactieu  ^erm)  w  '  •• 
«antlrlt  wären.     Aber  der  junge  Adulf  Friednci]  V"  U 

vcruchlete  1852  auf  seine  amtliche  Stellung  und  tC'Dg  »l^ 
PriTainiann  naoli  Spanien^  um  dort  ülntr  die  (jesehiobte  und 
CaJtur  dcu  Lande«  und  der  HfiaiiiMjliL'n  Arjilutr  weiter  /.n 
(onchm.  Kr  hatte  &ich  dafür  durch  eiugebendeu  Studium 
der  orienlaliichen  Sprachen,  naiueulltcb  des  Sanäkrit,  AraU- 
!  Frr*i*^en  vorbereitet,  lui  Jahre  1850  folgteer 
:  ladung  iini«re.s  damaligen  i*roti.<kt<>rH  König  Mtuci- 
milian  lt.,  nach  Mdiicben  (Ibenutfiedeln,  wii  er  »ich  in  der 
BrientKTKLrawse  ein  Wufauhaus  kaufte,  welchij»  später  nach 
den  Hünen  de»  Architekten  und  BildhauerN  Lorenz  Gedou 
uaigebaut  wurde,  in  welchem  Anwesen  er  auch  die  von  ihm 
gcffrfindete,  berühmte  Bildergalerie  unterbrachte.  Die» 
Galrrici  truthült  Mtri-stcr werke  von  damals  lebenden,  aber  riet- 
fiKb  noch  verkannten  KUustlern  (tieuelli,  Feuerbacb,  HOck- 
lia  «tc.)  and  daxu  auch  Copien  von  hervorragenden  Werken 
■ntrkannter  altrr  Mei«ter  (Tirian,  Velasquex,  Murillo  etc.). 
Dmh  Scback- Galerie  ist  zur  Zeit  eine  violbc»uchte  Sehenfl- 
wOnHgkml  MQnchenH.  Ihr  Urtlnder  vermachte  ^ie  lotstwillig 
8*izirr  Mnji^Mtät  dcra  Deutschen  Kaiser,  welcher  nie  aber  in 
hoUvtdhtter  Weise  nicht  nach  Berlin  verpHauzte.  »onderu  in 
HRoelien  Iwlie«.  Die  (irllndung  dieä«.>r  liulerie  und  die 
WHKnwohafUicben  und  poetischen  l^eistnngen  ihres  Urlindera 
vennUbHt^a  Seine  MujeatHt,  IK>rrii  vuu  Schack  iu  den  Grafen- 
ÜBlid  zu  erheben,  und  veranlagen  auch  den  Magistrat 
JlOaclieo.  üin  xum  KbrenbUrger  im  ernennen. 

Celxr  ü^cbacka  Bedeutung  ab)  (Jel^hrter  hat  sich  Markuji 


158  Oeffentlieke  Siiaung  vom  38.  Man  IfiOS, 

Muller  in  dem  eben  Yerleeenen  Antrage  beKoichueud  aus- 
gesprochen, und  habe  ich  dem  nicIiU  beiKufß^n;  Über  seine 
BedeutoDg  als  Dichter  theilt  mir  ein  ^chTerst&odigeii  MiUj 
glied  unserer  Akademie  folgeiideii  mit: 

,Wie  unn  Behack  in  seinen  meiaterhaflen  Ueberaeizungoi 
die  fremde  Welt  der  Inder,  Perser  und  Araber  näher  ffe- 
brncht  hitt,  so  liebt  er  es  auch  in  deinen  zahlreichen  eigenen 
Dichtangen,  nns  in  die  verschiedensten  Welttheile,  die  rer* 
aohiedeuäten  Zeiten  za  verseUen  und  weitacbaii enden  Blicka 
die  geiblige  Entwicklung  der  Menschheit  l>is  zur  lebendigen 
Gegenwart  zu  verfulgeu  mit  prophetischem  Hinweis  auf  rint; 
konmiendo  Verbrüderung  alter  Völker.  Er  ist  der  Cultur- 
dichter  im  vollen  Rinne  des  Wortes  mit  all  seinen  Licht- j 
und  äcbattemeiten,  kein  unmittelbar  wirkender  Lvrikur,  ubef  1 
ein  tief  und  vielseitig  gebildeter  Geist,  der  erhabene  Gedanken 
und  edles  Streben  in  klangvoller  Sprache  xum  Ausdruck 
bringt  und  die  mannigfaltigiften  Kanstformen  mit  sicherer 
Meisterschaft  beherrscht.* 

Unsere  Akademie  wird  des  Verblichenen  stets  ehrend 
gedenken. 

Ismail  Paacha. 

Ein  anderes  Ehrenmitglied,  Ismail  Pascha,  frßher  Chedir 
von  Aeg:>'pten,  geboren  am  31.  Dexember  1830  xu  Kairo, 
liarb  jQogHi  am  2.  Marx  1895  in  Konstautmopel  and  vard« 
am  12.  Marx  in  Kairu  feierlich  bi'ntuttet.  Kr  war  der  rr»te 
Mubamedaner,  dor  unsorpr  Akademie  angehörte,  am  IH.  Juni 
1874  gewählt.  Der  Vorschlag  7.u  «einer  Wahl  ging  fiio 
nnm*rem  veryt<.)r)>«nen  Mitgliod<.*  Kranx  von  KoboU  nu^  und 
lautet  wörtlich:  «Der  Unterzeichnete  erlaubt  sich  aum  Ehren- 
mitglied  der  Akademie  Seine  Unheit  dim  Vicek&nig  fim 
Aegypt4«n  Umail  Paacha  vonoschlagen.  DieMr  Herr  hat 
sieb    durch    die    liberale   UnterstOtatung    der   geographischen 


»,  Pettrnkofer:  Nekrolog  auf  lamaU  Patcha. 


150 


Aitlnn  Toa  Baker  uud  Schwcinfiirt  und  durch  die  glän- 
zende AnsrtlAtunf;  dur  Knhlffi^hen  Gxp(>dition  zur  Hrforiicbnng 
der  lihrächt.'U  Wlisto  wesentliche  Verilieusle  um  die  WiBsen- 
rdcbaA  erworben.  An  letxierer  Expedition  hat  auch  nnser 
lit^lied  Professur  Zittel  Thcil  genommen  UDd  die  paläouto- 
ch«  Sammlung  deä  Staates  ist  von  ihm  durch  interessant« 
rbQOgea  hrreichert  worden.  Der  Viceköni^f  hat  sehr 
f^estftttct,  dafi^  die  auf  der  Reise  gemnchten  natur- 
hi*itorischen  Samnilnnf^en  Überhaupt  den  betreffenden  Samm- 
iiDgen  in  B«rlin  und  Mnnchen  (einverleibt  werden.  )£&  dürfte 
ber  vollkommen  gerechtfertigt  sein,  dasH  dem  hohen  Herrn 
Seite  unserer  Akademie  ein  Zeichen  der  Anerkennung 
tbot«n  wrnU'." 

Die  Akademie    trat    diesem   Vorschlage    einstimmig  bei. 
Uniail  l'ucha    mn<Hte    bekanntlich    vnn    der    Etegierung 
xorQcktrHen.     DarOber    weiss   ich  nicbbi  Besseres  und  Knt- 
lyres  zu  sagen,    als   was  der  herQhmte  Aogyptologe 
11  r     Dr.    (ieorg    Kbers,    welcher    länger    in    Aogypten 

nd  mit  l»mail  Pascha  por&önlich  verkehrte.  un8  mit- 
icet^betlt  hat.  ,Die  vergeh  wen  den  i^che  RQcksiclitslosigkeit, 
Bit  der  der  jnit^fwt  verstorbene  Chediv  Ismail  flber  die  n?ichen 
(itt«l  »eines  Landes  verfügte,  musste  er  in  der  Verbannung 
bOaaca.  Die  Bevorzugung,  die  den  Europäern  so  deotUch 
«nd  lange  durch  ibn  zu  Theil  ward,  Imtte  die  national  ge- 
ntcn  llntertbanen  gegen  ihn  aufgebracht,  und  es  mag 
cUL  bliiib«*n,  in  wie  weit  ihn  die  IIoffauDg  auf 
Termebruog  seiner  KinkQnfte  und  der  Wunwb  sich  in 
ÜmrofHk  Ber&okncbtigung  und  Lob  zn  erwerben,  antrieben, 
ifali  alt  Fernerer  der  Cnltur  xu  bewähren.  Jedenfalls  besan 
er  Bgemtchafteo  and  bethütigte  er  seinen  Geist  nnd  seine 
Thatkraft  dorcb  Handlungen  und  Werke,  die  es  einer  wissen- 
chafUichen  KOrpervchafl,  deren  Bestrebungen  er  gelegentlich 
ktbiaaviill  und  freigebig  unterstntzt  hatte,  nahe  legen 
ihrer  Anurkennong  auch  üiusertich  Ausdruck  m  geben. 


160 


tttff^tUehe  SUnng  oon  49.  Märt  J8»6. 


Von  seinem  Grossvater  Mohftiuincd  Alit  dem  H)rn«.'uon*r  Ae^yp- 
tnns,  hftfcto  er  don  lobhat'ten,  der  europüiachen  Ctiltiir  ^e* 
iifiKtcn  Qeist,  von  seinem  Vater  Ibmhiui,  dem  Sichrer  von 
Ninbi,  wo  unser  Mollk«?  gPK»'n  ihn  focht,  den  nnt*rnehnien- 
den  Sinn  geerbt.  Öeirie»  fr«nzösi«i^ben  Erzieberii  v<?rd»iiktc 
er  eine  Bildnng,  die,  obwobl  sie  nicbt  lief  ging,  ihm  doch 
gestatteto,  die  Bedeutung  and  Würde  der  Wia»eoscb«ft  eu 
erkennen.  Neue  Gedanken  und  Entwflrfe,  die  Dian  ihm 
raittheilte  und  vorlegt«,  begriff  er  und  vtirstiind  e»  ibnvn  7.U 
folgen  und  ihnen  das  für  seine  Zwecke  Brauchbaie  zu  ent- 
nrhinen.  Dariini  wurde  es  auch  fit'rrn  von  iMiaeftn  letcht, 
den  Cbcdiv  tuniiiil  für  die  nnter  seinem  Vorgänger  begonnene 
Durchstechung  der  Landengo  von  Suez  zn  gewinnen,  so  viele 
Millionen  sie  auch  wieder  und  wieder  in  Antipruch  nahm. 
Kbenttn  glückte  es  dem  franzönidchen  Alt«rliiitm:4furächer 
AngTixte  Mariette,  den  Chediv  für  die  Denknullcx  aus  der 
Pbaraonenseit  tu  iDtere6»iren  und  von  ihm  die  MitLel  zu 
AuNgrabungen  in  grossem  8t.il,  KUr  Herausgab«  von  nüixlicbvD 
l'iiblicnLiunKwcrken  und  endlicli  für  die  Anlage  jenes  Antiqoi- 
tüteuuiii&eum»  in  Kairo  su  erlangen,  das  schon  bei  IsmaiU 
V'erjaguug  eeine^gleiehen  nicht  balle.  Als  Lierbiinl  l{(rhlfs 
und  Karl  Zitlel  die  Krforschuug  der  Ubyschen  WOsle  unter- 
nahmen. M-Iienkte  er  dieser  ergehui&treiclien  Expedition,  so- 
wie der  frflberen  von  ßaker  und  Schwrinfurt  nicht  nur 
DiQterielle  Unterstützung,  sondern  auch  verüUtuduistfVoIte 
Tlit'ilimbraf.  Audi  vielen  andereu  Fonichern  gewährte  er 
tbiitkräfligu  TiitiMMfltzung.  So  dem  Astronomen  Mahmud  Bü* 
(sputer  Paichal  boi  seinen  d<T  Topographie  de^  alten  Alr- 
xandrien  gewidmeten  Arbeiten,  und  Knibt  Haeokel,  indem 
er  ihm  ftlr  seine  20ologi«chen  Unten-ucbungeo  im  llulhen 
Meere  einen  Dampfer  xur  Verfügung  stellt«.  Die  BibIiotbi>k 
im  Palast  Oerb-e)-QamAm1/  itu  Kairo  dankt  '  '  ICut- 
slohung    und    ihn?   tnohtige  Verwaltung  dur«:h  <■  Ge- 

lehrt« (Dr.  Stern  und  Dr.  SpitU).   Jetzt  steht  ihr  Dr.  Volle» 


B.  VoHi  NttroUg  auf  Carl  JifiLCimtTiUN  «.  Bttaernfeind,      lt>i 

vur.    Herr  Dor,   ein  tüchtiger  ächwei74ir  Pädogog,   ricbteU* 
«etoo  Aufmerksamkeit  auf  iloa  Erzieh nngswesen   de«  I>andea. 
Mit  fscboner  Duldsamkeit  untf'rstüty.te  der  Cbediv  die  Errich- 
tung   auch    chri3itlicht;r    Schulen    und    Kirclteii.      Die    Keu- 
j[<«tAltung    dm    ttgjptischoQ    Medicioal-   und    Gerieb tsweseii^ 
■g  f^leicbfalU  vou  ihm  aus.     Was  er  für  die  Uewäöätiruii^ 
ttvichcB,    ffir   den  Verkehr  durch  Anlnge   von    Kieen- 
,  und  Tele^rapboD,  fllr  die  Wolilfahrt  der  Unterthaneu 
iartii   die  PHaiizung  Schatte»   gpeudeiider  Bäamc   in  groeuv- 
•rügvr  Minige  that,  verdient  m  gewiss  der  Erwähnung,  wie 

Idass   er   die   Zwan^riarbeit    aufhüb    und    den    äklaveiibundel 
bMobriakte.* 
Abo  Segen  auch  »hinein  Angedenken! 
Der  Claavensecretiir,   0.  v.  Vuit,    getankt   der   »eit   dem 
letzten  Stit"*  '  *    ro  gestorbenen  Mitglieder  der  Glosse. 
Di«    :  -liüch  -  phy-sikuliüche    Claoäe    bat    im    ver- 

flcMAC&en  Jahre  xwci  ordentliche  Mitglieder:  Ciirl  Maximilian 
r.  Bauerufeind  und  Carl  v.  Huu&hofer,  ferner  vier  au»- 
»iiiigr  Milgbeder:  Die  Pbpiker  Äugtist  Kuudt  und  Her- 
mann T.  Uelmboltz  in  Berlin,  den  Botaniker  Natbanael 
l*ringäbeim  iu  Hurliu  nnd  den  Anatüuien  Jüiiief  KjrtJ  in 
Wien  durch  den  Tud  verloren. 


Carl  Mazimilian  von  Baaernfeind. 
Am  'S.  Augu»t  vorigen  .Wahres  endete  das  Lel>en  eine« 
aoe«,  der  in  rasÜfMurr  fruchtbarer  Thätigkeit  nur  durch 
ne  Kraft  und  Tilchtigkeit  t^ich  zu  angesehenäter  Stellung 
emporgearbeitet«  die  Geodäsie  und  ingeoie Urkunde  luächttg 
gifiiniart  und  durch  die  gttickliche  Orgauiaatiou  de»  techni- 
t'oU^rrichl^i*  M-incm  ViittTlanil«  Jie  grüö»U'n  DtuiL^te 
g»|ci«iet  hat. 

Carl  Maximilian  Bauernfeind    wurde    am  28.  No- 


162 


OfIfentUche  Sittttnff  tarn  Jft,  M8n  1808. 


vember  1818  in  dem  Städtchen  Arzherg  im  Ficlit<*lgehir};e 
aU  Sohn  eines  iSchmiedmeMters  geboren.  Die  an  Kindern 
reichen,  an  Mitteln  armen  Eltern  waren  nicht  in  der  hnj^e 
den  Knahen,  dessen  besondere  Begiihung  sich  frQh  zeigte, 
einen  regelmässigen  Studiengang  durchmachen  eq  htasen. 
Er  wurde  in  die  Lateinschnle  nach  dem  bmiai-h harten  Wun- 
fdedel  gc^hickt,  dann  in  die  Qewerbesuhule  und  die  poly- 
technische Schule  nach  Nflrnberg,  woselbst  er  drei  Jahre 
(fon  1836  bis  1838)  verblieb.  Aber  gerade  die  ealgegen 
stellenden  Schwierigkeiten  stählten  seinen  Willen  und  trieb 
ihn  zu  ernster  Arbeit. 

Er  hatte  das  grosso  Glück,  dam  an  der  polytechniNchen 
Schule  zu  Xiirnl^erg  damaU  als  Profesanr  der  Mstheuiatik 
und  Physik  Oeorg  Simon  Ohm,  gleich  bedeutend  als  Furscher 
wie  als  Lehrer,  wirkte.  Bauemfeind  schildert  ihn  in  einer 
um  28.  Juli  1882  gehaltenen  Gedlichtnissrede  al:«  unvor- 
gWichlichen  Lehrer,  an  welchem  die  .Tugend  einen  bt-gpistern- 
dea  Fahrer  nicht  bloss  im  Bereiche  der  Mathematik  und 
Physik,  sondern  des  Wis&ens  ül)erhaupt  fand,  run  dessen 
Geißle  Jeder  eine  innerliche  Wirkung  TerspQrtc.  Ohm  war 
sich  klar  darüber,  das«  die  gewöhnliche  Lebrweise  durch 
Vorträge  in  den  Naturwi6itieü.<tchat'ten  nicht  ausreichend  sei; 
er  suchte  die  SchQler  in  ununterbrochenem  lebendigem  Ver- 
kehr durch  Fragen  und  Uebungen  an  der  Tafel  zu  selb- 
nUlndigeni  Denken  anzuregen,  BauiTnleitid  ntaud  uiii  seinem 
geliebten  Lehrer  noch  langer  in  Briefwechsel  und  verkehrte 
Rp&ter   nach   dessen  Uemfuu^   nach  München   viel    mit  ihm. 

Auf  dieM  Weise  vurlr»'niich  vorbereitet,  ijezog  Baaern- 
frind  (1888)  die  Universität  München,  wo  damals  noch  die 
technischen  DeHmten,  die  Architekten,  Ingenieure  etc.  ihre 
Ausbildung  cmpHngpn;  er  war  dawlbct  während  zweier  Jahre 
als  Studireuder  der  Industrie  in-«eribirt  und  hrirt«  mathe- 
matischei  naturwim«n»ohaflliohe  und  staalswirthichafÜiche 
Vorlesungen. 


f.  VoJi:  Heitnitttj  auf  Gart  MaximiJüin  v.  Banemfeinä.      I'53 

liier  wunit!  für  sein  Leben  die  Begegnung  mit  einem 
hcrrorrttKeiiden,  fifanz  eigentirtigen  Manne  der  Technik,  mit 
■lonf  r.  UtzMihnpider,  entsoheidencl.  Dte<<er  «edeUie  Vater- 
Und»fr«and ' ,  wie  ihn  die  Orabschrift  nennt,  hatte  sich  um 
die  Sunt«-  und  Volkawirthiwhafl  in  Bayern  in  höchstem 
Orade  verdient  gemacht:  ihm  verdankt  man  die  Keform  der 
FiniiWTfrwuUnnt^,  des  Steuerkataster»  and  der  Staatsschulden- 
ülgangf  tempr  die  DurehfGliruug  einer  filr  die  damalige 
Zait  in i»t«r haften  Landes vermeüsung,  die  Anbahnung  einer 
lioaellen   Forwt-  und   Lundwirthsciiiift,  die  ersten  Versuche 

dem  RunkelrObenbftu  während  der  Oontinentalsperre,  die 
CultiTining  atisge<lehnter  Mnosflächen,  die  Verbesserung  des 
ä&lxberghaae«  nnd  dee  Sudwesens;  er  machte  ferner  mit 
öeorg  R#irhfiiilio<!h  und  .I)>äef  Fraunhofer  München  durch 
Oründung  der  raathnmalisch -mechauiAchen  und  optischen 
Institnie  znr  Pßnn7.<3t«tte  fElr  Feinmechanik;  und  ward  nach 
MiDefn  Rncktritte  Tum  Stoat^ienste  als  Bflrgermeister  Mtln- 
cheni  in  nneigennQtzigster  Weise  der  Begründer  einer  In- 
dnslrie  der  Stadt  durch  bedeutende  rnternchmungen:  durch 
Anlage  einer  Lederfabrik,  einer  Tuchfabrik,  einer  Spiritus- 
fabrik.  eroer  Ola^liütte,  einer  ersten  grossen  Brauerei  etc. 
An  diesen  merkwdrdigen  MHiin  hatten  BHiierDfi;ind  seine 
NOmberger  Lehrer  empfohlen,  der  den  Werth  und  dae 
Streben  des  jungen  Mannes  alsbiild  erkannte,  ihm  die  zur 
Portaetrang  seiner  Studien  nöUiigen  Mittel  gewährte,  ihm 
Wohnung  in  Mtneni  Hause  in  Obergietiing,  dem  jetzigen 
Warthofe,  gab  und  ihn  bia  zu  seinem  im  Jahre  1^40  er- 
Mgtra  Tode  ein  wahrer  vaterlicher  Freund  und  Ralhgeber 
bfieb. 

Ctncbneider  hatte  ein  beeouderes  Geschick  die  rechten 
Leute  tu  find«!  und  »ie  auf  rien  ihren  Talenten  passenden 
riat?;  TU  «tfllltMi.  So  bt>stimnite  er  seinen  ^>cbQt7,ling,  «ich 
dem  Ingeuieurfach  zu  widmen.  Uamalä  (1940)  wurde  eben 
4«r   Ti«rt«    JahrttikuPf    der   hiesigen   p^lytechniKchen    Schule 


104 


Oeffentiiche  SiUttng  wm  SB.  Märg  tß»ß. 


ia  einen,  vuu  dem  trefäichen  Friedrich  ÄugQst  Pauli«  demj 
«l^tereo  Oberbalidirektor,  geleiteten  lugenieurcurs  verwandelt,! 
iu  welchen  Bauornfeind  eintrat.  Scbon  ein  Jahr  darauf 
bestand  er  die  Staatsprüfung  für  das  In^enienrfach  mit  Aus- 
zeichnung und  kam  alsbald  aU  Hauiiraktikiint  zu  derÜIisen-J 
biibnbadCommi89ion  nach  KOmberg  und  dann  bu  der  Eisen-I 
Imlinbausektion  nach  Hof,  woselbst  er  mit  den  Projectirung^- ] 
(irt>eiimi  und  der  BaiileiLung  ftlr  dif*  ikirtiLffn  st  Invii'rigen , 
Babnbaut'jn  beschäffcif(t  war. 

Diese  fUr  .seine  fernere  Laufbahn  üufäentt  nutzbringcndoJ 
praktische  Thäti^keit  wurde  (1841)  unterbrochen  durch  di« 
Kinberufung  als  Uilf^lehrer  dee  lugenieurcurses  nach  MCluchen, 
an  welchem  er  drei  Jahre  vorher  noch  ScbQler  war.    Neben- 
bei  erhielt   er   (1840)    die   St4>lle   eine«   functionirenden    In-] 
Xenieurs   der    Direction    der    Eisenbahnen.      Im    Jabre    IS49 
erfolgt«  eeine  Anstellung  aU  zweiter  ProfesAor  der  Ingenieur- 
wisseDschaflen  an  der  polytechnischen  Schule,    I8SI  die  alsi 
oniter    Profesäor,    womit  er   die    Stellung   aU    Baaiugenieur| 
wieder  aufgab. 

Damit  begann  fflr  Buuornfeind  eine  durch  fa»t  r»0  JaUni| 
fortgesetzte  fmchtbare  Lebrthatigkf^it  in  der  gefismnil^en   In- 
genienrkimde:    im    Straasen-f    Brücken-    und    Ki»enbuhnbaUt 
äowitt  in  der  U«odlne;  er  war  ein  ganx  ron&flglichert  klarer! 
und  gewiaaenhafter  Lehrer,  dem  alle  bayerischen  Ingenieure] 
ihre  Ausbildung  verdanken,  nicht  nur  die  tbeureti»ohp,  non- 
dern  auch  die  praktii«:he  durch  den  L'nterricht  iu  der  prakti* 
«chen   Geometrie    und    im   Gebrauche    der   MoMinätrumentc. 
Zu  d>eM;r  Zeit,  wo  seine  Stellung  fest  begnlnd«^!  war,  begano 
er  auch  sieh  mit  wia»en»chuftlicben  Problemen  zu  befAMeii.j 
In  Folge   davon    hat   ihm    (1853)  die   Grlanger  Univeniitftt.1 
besondecs  für  seine  Arbeit  Ober   die  Pianinjet«r,   den    Titall 
einert   Doktom   der  PbiloAophie    verliehen.      Doch    wurde    erl 
(1^8)  nrtcb  einmal  in  den  pnikti<chi*n  Dieiutt  gerufen  dnrchj 
die  Ernennung    £um  Bauratb    bot   der  obentton  ßaubehiJr 


■Mli 


9.  Voii:  Jffkmtoif  auf  Vati  Mtuamüian  v,  Bnucmfeinä. 


165 


WO  er  während  zehn  Jabrea  das  Ket'erat  über  Btfleobahn- 
imA  BrOckim  bauten  ImtU*. 

Mittlerweile  war  ein  wichtiger  Abschnitt  in  dem  Laben 
Baoerafeiiid'i  heran  gekommen.  iSeit  läugerer  Zeit  (1857) 
)wfiu«i«  mnn  Dtoh  in  Biiyern  mit  dem  IMaiie  einer  Neti- 
i]rguit5atioD  der  technischen  Lehranstalten,  aber  man  konnte 
"'  '  Priucipien  nicht  einiiif  werden.  Keine  Gwringeren 
'  L?  lieichrnbiicb    und  Ji>Muf  Fraunhofer   hatten  äubon 

im  Jahre  1823  eine  Denkschriit  dem  Ministerium  vorgeleffi, 
worin  Aie  fQr  alle  ttriiniächen  Stiuiit>n  eine  auf  wistHensohaft« 
licbor  Qrundlagfir  aufgebimte  tiochschnle  verblümten.  £r^t 
licr  MiniHtcr  t.  Schl&r  ^x\S  diesen  Gedanken  wieder  auf 
imd  fand  in  Bauemfeind  einen  fOr  die  Aufgabe  begeisterten, 
ebeuso  »ocbkundigen  ^ie  energischen  Hatbgeber.  Nicht  eine 
Ansialt  zur  emjiinftchen  Ahrichtung  und  zur  Erlernung  ge- 
witt)«r  Kegeln  doHle  euttteheu,  sondern  eine  Stätte  der  Wissen- 
cbaft^  in  welcher  die  Schüler  befaliigt  werden  zu  denken 
Bnd  in  den  einzelnen  Patten  selbsit  zu  eutecheiden,  was  das 
Iiichtigo  ist.     Va  stand    bei   ihm  fest,   dasB    die  Mathematik 

die  Natur wiasenschaften  wie  Physik,  Mechanik,  Chemie, 
li?;  "'         '    :it*  etc.    ebenfalls    /.u   einer    uUgemeinen 

Bddx  II  sie  die  Belaliigung  geben«  iu  fremde 

0*bi«te  mit  klarem  Blicke  zu  schauen  und  deren  Beziehungen 
wa  dem  eiifeneu  Berufe  eu  erfassen.  Ihm  wurde  nach 
DohftD  Ktimpfi^n  die  ganze  Organisation  der  neueu  Hoch- 
tiole  anveriraui,  er  wählte  mit  grossem  Geschick  die  ersten 
drnelben    iiufl,    und    er    wurde    zum    Professor    der 

»Wfirwiwi*nfic haften  und  der  Geodäsie,  sowie  zum  Director 

end  der  icchs  enten  Jahre  ernannt.  AU  im  Jahre 
Ißtif^  die  üochscbnle  in  dem  prächtigen  Neubau  erülTnet 
wnnW,  da  konnte  man  sagen,  dass  ein  geJun;i;eue9  Werk 
TörlMge  nml  dose  Uauernfeind  sich  um  dasselbe  das  grösste 
•  :4Mt  «rwo<rbeD  habe.  Im  Jahre  1874  erhielt  er  den 
iit«J    und     Bang    eines    Dircetors    der    technischen     Hoch- 


lae 


0«ffmüi€kt  Sksung  wm  98.  Märt  1995. 


ccbnle,  nnd  von  1880  bis  1889  fiQbrie  er  aberxnol«  das  Amt 
etne^  Directon  derselben.  Solange  die  techoücbe  Ilo«b- 
Hchiile  beitehen  bleibt,  wird  mnn  ^ch  duikbar  de^  Mannes 
erinnern,  der  das  Meiste  zu  ihrer  GrOadung  und  zu  ihrem 
Gedeilien  geilian  hat. 

Noch  an  einer  andern  bcdentiinginrollen  Aufgabe  könnt« 
sieb  der  Geodät  Bauemfeind  betheiligen,  an  der  euro|Ai«chcn 
Gradmeseong.      DieaM    grossartige    wi&senKcliaftlicIin    lint«r-| 
uehnien  hatte  im  Jahre  1801  der  k.  preoas.  GenerttlUeutenaDtj 
J.  .T.  Bneyer,  dor  Schüler  Heftsers,    in«  fjehen   gerufen;    fast 
alle  Staaten  Europas  betheiligt^n  i^ich  an  demselben,  so  das« 
6B    später    XU    einer    intemationalen    Erdoiessung    erweitert 
wurde.     Zur  Dnrchfnbruog   der   fflr  die  Zwecke   der  earo* 
pjÜscben  Gradmeösung    in  Bayern   Torzunebmenden  Arbeiten  I 
wurde    (180K)    eine    tmyeriiohe   Comtnis^ion ,    bestehend    aasj 
Mitgliedern   der  niath.-pbys.  Claase   der  Akademie,   gebildeLJ 
Bauemfeind  wurde  stündiger  Secretur    uad  Stellvertreter  des 
Vorstande»  diei^r  Comini^sirm.  Dieselbe  Hollte  darüber  waeben,  j 
dasa  alle  auf  Bayern    treffenden  Gradmessongsarboiten  nachj 
den  Beschlossen   der  allgemeinen  Conferenien    und  der  per- 
manenten  CoramiKsioD    der    europäischen   Oraduiesisung   yoII- 
zogen    werden.     Sie    hatte   zunäoliHt   die   r.ur    Ourchftlhrunjij 
der  Gradmessnng  in  Bayern   nf>thigm  Arbeiten   «inzuleitea;! 
Bauemfeind    fitilcn    die    geometri.schen    Nivellement«    erster j 
Ordnung  xu,    wo/.u    er  die  Instrumente  wählt«    und  die  Me-j 
thoden  der  Nivelbruiig,  sowie  die  Berechnung  der  Ki'snltato] 
angab,  eine  Arlreit,  die  ihn  bis  an  Mine  letzten  liebenstagaj 
beschäftigte.      Im  .lahre  1871    trat   er   in  die   aus   den   be- 
deutend.-iU:Q  Pachm&unern  zu  rammen  ge»etzt4*  permanente  Ccm-^ 
mt&ion  ein,  in  welcher  er  an  der  Seite  Baerer*«  zum  Vice 
Präsidenten  gewählt  wurde. 

Indem  wir  umi  nach  diesem  UeWblieke  über  deu  Lebfn^-j 
gang  Bauernfeind*«  zn  seiner  wwen«c:hufllichen  Thütigkeit| 
wsnden,  mu«  eur  Cbamkteriiirung  denelben  bemerkt  wf^rden« 


maä 


9m  VcÜi  Nrkraloff  auf  Cari  Mttrimäian  v.  Bauernfeind.      1^7 

elbe  sich  stets  als  Bedür^i^  für  seiae  praktiscliea 
Arlieit£n  aU  Qeodüt  und  Ingenieur  ergab;  er  verfolgte  damit 
den  Zweck,  die  letzteren  zn  fördern  und  (genauer  zu  gestalten. 
Eine  seiner  ersten  VerüÖentlichungen  (1840)  war  der 
B«itng  zar  Theorie  der  BrOckengewölbe.  Pauli  hatte  bei 
NÜien  Vorträgen  im  Ingenieurcurs  eine  wahrscheinlich  aus 
— *gl«****"  IJuelten  ge.s<:hü|)t1«  höchst  einfache  graphische 
Briüodhing  di-r  in  einem  Gewölbe  tbätigen  Kräfte  mitge- 
theitt;  an  Stelle  dieses  graphischen  Verfahrens  setzte  nun 
Baaanifcind  das  analytiiiche  und  erweiterte  »o  die  llewölbi^ 
Uworie.  Die  vrete  von  Pauli  constrairte  Fachwerkbrücke  Ober 
die  Gflnz  entsprach  nicht  gant  den  Anfurderungen,  was  Bauern- 
fnnd(l856)  veraulasste  ein  anderes  Trügersy^item  zu  herecb- 
oen,  wornaeh  die  von  Gerber  ausgeführte  Con»trucUon  bei 
der  OrosHbeMelober  Brücke  zur  erstmatigeu  Auwenduug  kaui. 
Dm  von  ihm  (18S1)  angegebene  Prismen  kreuz,  ein 
Moea  ifflSBinstraiüent  zum  Abmessen  von  Winkeln  für  In- 
ire  und  tieometer,  bot  eine  weite  Verbreitung  gefunden ; 
am  er  statt  der  Spiegel  Glasprismen  ak  reäectirende 
Flicben  anwendete,  gelang  e«  ihm  in  Folge  der  Ünreh- 
btigkeit  der  letzteren  die  Bilder  zweier  Gegenstände  in 
roBwrar  Ausdehnung  zur  Deckung  xu  bringen,  als  es  bei  den 
Spiegeln  oiugUch  ist,  und  so  eine  genauere  Messung  zu  erzielen. 
Seine  Besprechung  der  drei  dauiaU  (1853)  existireuden, 
noch  wenig  bekannten  Planinieter  von  Ernst,  VVelli 
od  Uansen  hat  zur  Anwendung  dieser  Insirumeute  in  der 
PnuU  TJel  beigetragen. 

BauernfeindV  T'         :t4^  der  Vemiessuug^ikunde,  ein  Lehr- 
neh   der  prakkisi  tmotrie    in    zwei    Bauden    (1850  in 

1890  in  s«bent«r  AuÜage  erschienen)  sind  wohl  sein 
ieohmgs Tollstes  Werk,  weichet  zu  seiner  Zeit  nnr  von  ihnt 
tttarbnilet  werden  konnte.  Dieses  ungemein  klar  und  ver* 
cttuUicb  geacbriftbene^  von  wisseuschaftlichem  Geiste  erfüllte 
lisfcrhDrh  bat  doroh  die  ■ystomatische  Zusammenfassung  der 


16S 


OiifhUikk$  atnMf  vm  im.  tOn  JO». 


KeontnÜM  die  Erlernung  der  Meüuxfeti  der  Vi 
mi—iiiffltoiide  imgniMia  erleichtsrt. 

Auch  die  von  Ba«erofeind  henMisgcgebeiiea  Vorlage- 
UiUer  vir  BrQckenlNUikailde,  zur  ^radsea-  ond  Efwnhahtt- 
butkonde  and  zur  W—iiiiiiikande  hüben  Ar  die  Ansbildciai^' 
des  Ingadenn  gramen  Noten  gebnelit 

IKe  seit  AnfiMg  det  J»lirhaodtrtt  in  B«5<nt  rocgMow 
meoe  Landaw tii  ■iiiing  hnUe  xoBtefaat  ein«  nadi  w 
acbnftHcbeo  Prinäpteo  aoaseftlhrte  Trinagul*l>an  antgefH! 
vrakbe  fllr  jfKom  Zeit  nb  niBiterhaft  Anerkannt  war:  Sehiegj 
kalte  sJcb  an  der  Aasführang  bctheiligi,  Soldner  di«  Metbodan 
Aer  Beraebaimg  gaÜefeit  nnd  Utadacidcff  die  KSnnobUmgBB 
gannf  tit :  die  beatwi,  aas  den  Werkstfttt«f)  tou  Rekch«nbach 
ond  Grtel  aad  f«o  PmaabnÜBr  faerrorgegnug^Mten  geodafacheo 
■od  artimwiahan  Inatraamifee  waren  rar  Verwandaag  ge- 
langt. In  dem  von  der  k.  b,  SteoeriartnrtrwnniwiMioin  and 
dam  k.  b.  lopogr8|»hwcb(*n  Bunrao  (1873)  b«naagagebenen 
ginaiMii  Werke;  Di«  barerucbe  Landen vmieBiang  in  ibmr 
wwwea u'hafllichen  QmndUge  prüfte  Bancrnfcsnd«  ob  dia«e 
Triangolirvng  aoeb  den  böberen  Anfiorderungim  einer  Orad- 
UMiainng  genfige,  wobei  sieh  aeigte,  daa»  cUevilbe,  nach  Er- 
f^mang  daa  HaupldreiecknvInBa  darch  eioe  Ansaht  naoar 
WinkelmesBangen  und  nach  UmrMbnong  der  Resuttate  einea 
Thmäm  im  HaitpUiatiaa  aebr  wokl  der  europiMobaa  Orad- 
UMMiiung  «iagefQgt  weid«n  darfte. 

In  V«rbindang  mit  der  earopincben  Uradmfwnng 
wnrdrn  ferner  in  Bayern  ausgedehnte  Prlmona-Nivriletneotii 
unter  Bauemfetnd*«  Obnrieitung  durch  die  Assistenten  der 
bnjrariacben  QfndmaaiimgwwHimiMim  anagcftlhrt.  LHeec  Ni- 
T«ll«n>fiit»  Iftog«  dar  Eiasnbnhnan  nnd  Luditramni,  dorvb 
welche  die  Meenmpie^  an  den  KOslen  Eoropna  verbunden 
und  in  allen  liindtn  «in«  grame  Ansaht  gvnau  nivellirttf 
Markvn  ab  Qrandlagen  Ar  weitere  HAheBnamongen 
l4itthai«ch«n  oud  wi— wurhaftlichea  Zweeken  gwcbalTen  werden 


4 


r.  Tcit:  Ntkrotog  auf  Carl  JUttrimiiinn  v.  Bauern feimt      169 

B,  gehören  za  dem  Besten,  was  die  neuere  Zeit  anf 
ilieaem  Gebiete  geleistet  hat. 

Kör  >r^>dnti«che  Ht>henl>e8timnianReti  benutzt  niun  be- 
kanoÜich  da»  Üttroin«ter  und  die  trigononietri&che  Messang; 
di«  l»Ut«re  '\st  genauer,  die  erstere  aber  bequemer.  Die 
bttrornftrificben  Btistirnmungen  erwiese«  sieb  durch  noch  tin- 
bek&nnte  KinflQsse  als  unflicber.  Dies  fQhrte  Baticrnfeind 
ducu.  titiifn)«ende  Untersuchungen  über  die  Genauigkeit  der 
baromvlrischeD  Uöbenmessungeu  anzustellen.  Kr  liess  xn 
dem  Zwecke  (1^57)  den  grossen  Mieeing  genau  g^ometriseli 
tiivfltir-n  und  dann  an  ffiuf  in  Höhenalwtiiudeo  von  270  m 
>  •»  Punkten  Ton   10  Schdleni  gleichzeitig  Beobach- 

Inngen  Lkber  die  Aendernngen  des  Druckes,  der  Temperatur 
tiAd  dt»  Wjii^serjiKhiiU«*  der  Luft  mit  der  Höhe  ntar.h(^n. 

Daran  m:'))Io<«oii  «ich  deine  beiden  Uutemuchtingtm  über 
die  atinosphariäcbe  Strahlenbrechung  (1864  und  1800)  an. 
In  di»r  cfwltTen  öl>er  die  a«trfinonn«che  Strahlenbrechung 
stellte  er  die  Bet^<;erschen  mittleren  Uefractiouen  biä  7.u 
1K>*  Zenitlidiittanx  fent;  in  der  »weiten  über  die  terreAtrüehe 
8tmhl<mbrechung  ermittelte  er  auf  thcoretisch<*m  Wege  die 
Afan^me  der  Coefficienten  derselben  mit  der  Hi>he  als  eine 
nuihwmdige  Folge  der  früher  aus  seinen  baroinetriscben 
HcMongen  anfgestellten  LuftdichtigkeittifQrme).  Später  (1877) 
wallen  auf  Wranlasating  der  Commi*iion  der  ourop&ihchen 
Gffttdmenmng  noch  weitere  Beobachtungen  der  terrestrischen 
lUfraction  im  Kichtclgebirge  und  dann  zwischen  dem  Schlier- 

ond  dem  Chiemsee  unter  meiner  Leitung  gemacht. 

Ans  alles  diesen  Beiibachtungen  erkannte  er  in  der 
Wjtmwtimhlnng  des  Krdbodens  die  Untache,  warum  bei  den 
bmmwtrischen  Mee^ngen  tägliche  Perioden  auftreten,  indem 
UilEag^  ifrOflaere,  Uürgeu.s  uud  Abenda  kleinere  HDhen  al? 
4it  wirklichfii  erhaltvn  werden.  Er  entwickelte  ferner 
QleiflhBiigflii  fllr  die  die  rerechieden  dichten  ächichten  der 
Alwnapbir*   darohi]nngi'nd«n    UcbUtrahten    nnd    wie«    auch 


m.  Man  2fiE9ff. 


HStMBflMMmg  dDAD  Eiafli» . 
4eB  ajfcoiil  in  t5|^lieii   Perioden 

«■efaiBchca   Hieben  bcatinuBBe^s, 

Ittr   £b    Miiwiihgii    waren    diete    Aitötw 

i«  n>Q  BttUag;  er  kal  sie  Ar  aetoe  bedeutad^ 

1»  irt,  «M  ttui  «rmK  fticfci  ^  reine  MttbwMlilr 
■  fi»  f*bfiik,  wcfeke  ft»aenfaii>d  durch  netttf  Erkao&t- 
I  bankberte;  tr  hak  netoMhr  durch  die  Anvendom 
ftlr  die  TrinwuiWftlifke  Aoihildnni^  der  Oflodiiit 
^id  liigenitrairkiiBde  Beda«teaes  gelwetgt  and  ist  dadmch. 
«Mrie  dnrch  die  mit  GeRkiek  org»ni-irteo  und  gri«itcfeM: 
IfHMiainhnlUiGben  MMnagen  enner  Schaler  xu  täsm  ^ 
Miywehwirti^n  Vailutor  in  aeiiiem  Fache  geworden.  M 
boW  Aii-wheu  nnd  di<^  Aektaa^,  vekhe  er  «ch  alUeitig  «f^ 
mkgeo  hak.  m*I^  a*^  beioniieni  bei  der  Feier  mam 
70.  Gebartstaice«  am  28.  Koreubcr  iSäS.  den  er  noch  i« 
voller  KOslägkeii  im  Amt«  Wf^in^. 

So  ni  der  aas  dem  Volk«  kerrorgegangene  Sohn  da 
ffcbmmdui  dnreb  «ig<me  Kraft  mmi  GlOckes  Schmied  g*^ 
-naedoi.  Der  mSchtifa  Kopf  mit  den  anedracksTalleQ  acbaileN 
ZA|tn  li«m  abchald  den  bed^olendca  M&nn  ron  fr^Uün  Cha- 
laktar  «kennen,  w^lchi^r  penau  wiiwin,  was  er  wollte.  eW 
mü  ommchtiger  Klugbnt  durdiMtiie,  was  er  anitieite^ 
ESm  forachme  Encheinang  von  gemeasenem  Wostn  ttt* 
kngte  er  Bettchtuag  aeittar  s^UUuag  und  »ngto,  dam  er  ii| 
imtath«  gewohnt  war. 

Sia  Jahr  nach  wuiem  70.  Qeinrti^^  legte  er  di*  <«e« 
«Aifte  ciBea  Dtraciors  dvr  t»chni»chen  Hochachnle  nieder« 
da  «dl  %mptoaie  de«  Nachtuams  der  Kräfte  bemerkfiel 
WE^itam;  1890  trat  er  auch  ^  --  >  -bramte  nrOi^  & 
#eBltt  «ch  die  Anflüigv  uinee  .  Leidru*  ein.  diMfl 

Qonlaai  ar  mit  tleUoDmuUi  vrtnig.    Klaren  Geistea  nahm  «i 
AkaaUad  veai  «ner  KamtUtv  uitd  «i*in«n  Freunden  n 
Haaim^Miiii  mn  Leben  jjut  «ngvweudei  au  haben. 


^nmlim^h-phy^ikaliäciie  Clnsse  bokla;^  iten  allzn- 
eiiiKi  vtinlitfiiteti ,    reich  vetanta;^t«ii    und  hückat 
itligpii  ('•(jH«gvii.  welcher  wissetischuftlichf;  und  kOnsU 
KcfAhiKiiii^  in  ^ieicheiD  Liradt*  iu  sich  vereinigte. 
)  Uatt«li  '         "    '  !  ■  um  28.  April  18311  zu  Mflnchen 
dtn   I'  '  iklers    Max    Huuäliofer   tlriM    Licht 

Lvtxterer  ^ehrirte  %a  dei^jenigea  hiesigen  Afalera, 
IftinAU  hf^uiiniMi  im  lmven.Hchen  (iuViirge  Stmlien 
Natur  x\i  machon;  es  war  eine  idyllische  Zeit  voll 
und  freudi|;en  Schaffami.  Iu  der  Sorge  um  seine 
Teriiecs  er  1841  mit  «chwvrKin  H^r/en  diu  Heimakh, 
t  Kaf  nln  l'rufessor  an  die  Kun.-ftakudeuiie  211  IVag 
iwii,  wi»MdIwt  der  Sohn  die  .lugetidjahre  verlinichte. 
Kterer  hatlu  von  dem  Vntur  das  Venständnisä  fUr 
tibeit  der  Natur  ncd  dan  Talent  für  die  klhistlermchf 
mg  geerbt.  tViÜr/üiiig  fing  er  au  zu  zeichnen  und 
I,  nnd  xwar  Alles,  was  ihm  vorkam«  LnndMühaftlichea 
Cirlicb«.  I>it>*er  anf»  Feioste  ausgebildete  Karben- 
und  da.«  Tident  t\m  Zeichnens  kam  ihm 
ID  wisHenHchaftlichen  Arbeiten,  bei  den  von 
orfenca  geolugti»rhen  Wandtafeln  und  bei  den  Vor- 
iehr  zu  Statten.  Die  Liebe  xnr  Naturschünheit 
•flegt  und  entwickelt  dnrch  den  Aufenthalt  an  dem 
I,  wo  die  klltern  Hun^hoferH,  im  beständigem  Uitim- 
h  der  bayerischen  licimntli  leidend^  alljährlich  zwei 
'  i  'iteu.  Die  Bilder  jener  LaiidiM^hafl: 
I  iiirge  .Henkten  Hioh  tief  in  die  Seele 
ib«n  and  noch  in  späteren  Jahren  suchte  er  dorten, 
i  T4tr  odnem  Tode,    Krholung    nach    den  MOhen  der 

frag   bamchte  er  das  dent^ehe  Gymna^inm   auf  der 
L*  (1S49 — 18&6),   an    welchem   «inxichU volle  Lehrer 


172 


Offfentlidif  Sttmn^  rom  28.  Afnrt  1fl95. 


wirkten.      Auob    die    NaiorwiaitenschaiUm    wurden    daaell 
eifrig  fi^epflt^i:    Physik,   Botanik,    ZooIo^h  und  Mineralof^e 
Hiircn  obligate  Lehrge^tMwtnntle.     Dnr  junge  Hnu^hofcr  nnhi] 
das    grÖAst«  Interestte   daran    mid  U^chüfti)^   sich    aucb 
Uuuae    diit    pbyäikatiacben    und    cheniiectxfn    KxpitritiK'iitn^ 
Besondere    Neigung   brachte   er   der   Mineralogie   entgegei 
der  Vuter   bexasu   eine    nicht  unbedeutende  Minerulietnaiimi) 
lung,    welche    dem    Sohn    zur    Anregung  dipnU',   «i    dnm 
schon   als  Gymnasiut  jedes  ihm  vorkommende  Mineral  ht 
sUiuiueu  lenii«. 

Nur   ungern    hatte   sich    der  Vater    vnn    »einen    Iteid« 
äDbnen  (1850)  getrennt,  um  dienelben  in  lUyern  da»  Ciyt 
uftsiiim  fths^ilvirmi  ■/.»  ItL^tsea,  du  er  wün^hte,  diue  »ie  in  d< 
alten    Ueinmtli    ihren    ktlnfligen    Le^icn^vrcg   »neben    noUtc 
nicht  in  Böhmen,    wn   sclmn   danuilh  die  NationaliULtenfr 
das  Dasßin    immer  unerquicklicher  geittAltet«.     So  absolvir 
der  junge  IlauAhofor  (ISfi?)  da«  MaximiHuntt-Gvnmiutiuni  kiT 
Müni^beu  und  t.rut  dann  nn  die  bi^tige  riiivenilu).  HlN^r.     ^^ 

Es  war  faid  wllwtYcniiändh'cb,  dam  di«  Lieb«  Kur  Natd^| 
und   die   schon   erlangten    Eeniitniese   ihn    l«Ntimn)ten,   nch 
den  Nuturwissensfhnftcn,    ioMbc-ütindtTi*  der   Minorab>gic    nnd 
üpognowie  zuz-uwenden.     Xacbdem   er  noch   ein  Sempj^ter  i| 
Frag   zugebracht    hatte,    ging   er  (1äri9)   nn    die   ftTichNiiiet] 
Bergakudemin    zu    Frclberg.      Der    Bergbauptmann     v.   Beul 
war  damalf)  der  Leiter  dieser  in  hr>ch<4tem  Ani+ehon  stehend« 
Anittult,   an    wcdeber  Sttidirond<*  mi»   nllen  Weltthnlen   ttio 
Knutamnienfanden;    nnter    der   Fnhrung   deq   nU«n   Wei5ihau|l 
wurden    Irerg-    und  hüttenmllniiincbit  St-udien    neben    (!hf»mlj 
und  MineriJogie  betrieben. 

Nach    Vullendang    der    Freilierger    Studien    muMite 
nieb    »«ntisidutideu,    üb    er    der  'rbe«>rie   oJpr  dem  p' 
Borgwpspn    sieb  anwenden  «)llte.     Nanii'ntbrh   auf  ■.  i^ 

regimg  auß   den    KreiMen    von   Pragejr  (irosnndtutnelhai  hl 
und   nnch   in    d«rr  HnfTnung   tnild«r   xu   «nnn  wHtitJiiMlii 


c.  Voit:  Nthvittg  auf  Karl  r.  Hatuhofer. 


17S 


Sil  getmn^pn .  «mtschloss  er  sich  daxu,  sicli  dem 
BümbtltteDwcMm  Kn  widrnfln.  Er  trat  (1861)  in  eioee  dnr 
ftTo»*i*n  li-  II  Eisenhnrtt'nwerk»»,  in  die  HemmiinBhntte 

(wi  Siah  tu.  M-i  1  ilspn,  oin,  »m  mit  dem  einfuchtiU^n  Arbeitor 
4ie  harte  Arbeit  1>et  der  Gluth  des  Puddolofentt  zu  t)ioil«D. 
Obwohl  er  bald  zum  Walzmeinter  uod  ßetrieHnassistenfc  ror- 
war  rr*  drtii  wifwflii.''il«rst,i^«Mi,  fpinflih)*?»Hen  jungen 
oicbl  DRijflich  eine  solche  ÖL'schüfligunf^  und  din  Anf- 
aiftht  8b«r  400  Arb*il<»r  writ*r  zn  ftlhren.  Todmnde,  mit 
KühK^nniaab  bedeckt  und  bäuH^  mit  Brandwnndt^n  au  den 
H&ndtf'n  von  der  Arbeit  nnvh  Hanse  kommend,  vermochte  er 
nicht  mvhr  ein  Bnch  /.u  le.«<en  und  »ich  weiter  zu  bilden. 

D<r  Vat^r  war  w»hr  beutilrzt,  als  er  bei  einem  Beftnche 
dtr  flotte  oin^  pHwi»»?  VerwnhrIosnng  dr«  Sobnes  beniorkte; 
er  dranff  iu  tbn,  die  aufreibende  prukti.-^he  Laufbahn  tmd 
ifi«  sehiin  rrtangto  f^nte  Stidlunf(  tn  rerlnetfien  und  tn  der 
WÜMUscbafl  rtirnckziikebren.  Die  in  di'r  HOtU»  erworbenen 
KMahmftgeii  waren  jedoch  ffir  ihn  nicht  verloren;  er  knnnt* 
«•"  fÖr  wio»!  »pHtcntn  Vorb^^un^en  un  der  trchnisclipn  Hitrb- 
«diale  t;ut  rerwertben, 

Kr  kam  wi)«d»»r  an  die  UniverwiUit  Mniichen,  hurte  Vor- 
leffimgffl  bei  Liehif;  und  JoMy,  und  nrbeilete  namentlich  bei 
KoImII,  w«)cber  ihn  als  AsAiHenten  aufnahm  nnd  den  ihm 
\p  JiMiwM»  Wt^wn  hvinpiithi.H<;ben  und  in  vieh'ii  Stöcken 

ul-  nton  jungen   Forscher   Meli  ^wann;   er  bbeb  ihm 

«He  wnhlwnllender  Oönunr  nnd   Freund. 

Im  Jahr*«  1864  löste  Ifaunhofer  eine  von  der  pbilwopbi- 
«cbfni  KacnItAt  ((^"^"^^  Preisfrnge  physikalischen  InbaU?*: 
«Unti9T»nchnn^en  Ober  die  bei  Auflöämi^  von  Salzen  in 
Wftftter  eintr?t<MTdm  Temiwrntiir-Erniedrigunjifen*.  Die  Anf- 
gali«  «rar  fnn  Jully  (;re^Ut  und  in  seinem  Lnbciratorinin 
•  -  — '- -  Snn  jiromnvirte  Ilnushoft^r,  babilitirte 
ivat4loK«>nt  an  der  UniTemität  für  das  Poch 
der  Miti«n!o|^ie,    und    wurde,   als  die  tecbniache  Hochschule 


l 


i\i'.h''^  «liihuf  ««yrlid'i'-t  viurd*;.  lVof»?!s>f>r  für  Mineralo>ri< 
iiM'l  hi.ciiliPilliMiliiJii'lt;  an  di'.ThH\\j*:\i.  Als  wlcber  hatte  ei 
ili(  iiiiii(iuIitKi><-)ji'  lififi  linitf^ninüriiiUcbc  Sammlung  iiiui  da: 
itiiiMiiiln{jrii>(  In-  l«uli(init<iriMiii  «•iu/jjrichteri.  Er  war  ein  top 
/fildtilHi,  |t(!i'li(K*''»"<''"*'' ^'**'"'**'"'  *>'i^ähigt  durch  ausgebreitet* 
IIm-iiiiIini  he  iiiul   |inikl.iMriii:  Kenntnisse  in  »einem   Fache. 

lluirli  ilii'.tf  »'in<>  Ki^ensclmften  und  durch  sein  ein- 
iiii|iitit<nili-^  Wfht'ii  crwarli  er  sich  bald  diw  Vertrauen  steinet 
CnlIi'Ki'ii,  'ln'  ilin  wiciliTliolt  7-uni  Vorstände  der  chenn^tcb- 
li<<  liniM'lii'n  Al)lln'iluiijx  rrwüblten.  Und  aiä  im  Jahre  ]'*>? 
iliM  liidi  liddt  \.  Ilaui-nitViiid  dits  Directüriura  di-r  teohm!*chrr 
II. H  li-.i  liult'  luiHlt'i  lf>;li\  kam  llanshnier  an  .st-ine  Stelle,  wek'iit 
i>i  Im-,  dt  MMurni  l.ebt'ii.M'nde  beliielt.  Kr  hnt  die  in  ih:.  Z'.- 
Mtvti'M  r.i«;ulinii;t'n  i'itVilh :  als  ein  i;erecliter.  friedliel»e:i3rr. 
utn-i.'lMi»?iM  Voi-(;ui.i  hat  er  M'in  sihwierii:t»>  Amt  Ttr«ti>-7.. 
.  ui   .li»"   \\  «dil  .'.er   An^^ll;  ltiTi;i'kMihtii:fn'i. 

I Vi'  ".•.'.i"l:i  -oi'.i'  .  :i!.ir:-:.  ht'!;  w';><i-:.>i  L.if'.i.iit'r;  Ar:*--::**! 
li  >. '■l..;.'  ^  •.(■■.. ::;':".'  >.";■.  .'..'.rt;    '-'.v.v   Iv*.  >i.^i..7.i  uii^.- 


\..  !.-:■:,;:  ^    ;-.  :-:•■;.-■■ 


«.  Vtmtt  Nftfutotj  Muf  Kart  p.  Hmu^tofer. 


I7Ä 


ilNwIbm  Oun^itiUitidUHformäln  aufxu^tellen,  weloh«  den  getieti« 
«iien    tieziehuzi{L;cn    iletwlbou    Rechnung    tragen.     Da  dien 

ren    die    Pinzijj^e   thntsächlicbe    {4rimdlunp  («iner  .solchen 

rlliing  bilden ,  ho  können  die  ao  erhiiltenon  Kornielri 
■iebt  dnöoniK*"!!  I^ni<]  von  WahrBcboinlichkeit  bositxen,  welche 
Aea  Korcuelii  von  or^auiitcheii  Verbimlun^en  zukoiumt,  die 
tatWMlrr  durrh  Syntberie  aiw  cotifiiittitionell  bekannten  Kör- 
pern |<ewnnnön  oder  durch  allmtihlicben  Abbau  in  einfachere 
Verbindungen    icerlegi   w«!rden  ki^nnen.     Da/u    kumnil,    dusa 

dainiilige    Kenntnis   dar   enipirischen    /iisnniiMonzJi't/.nnf; 

natürlichen  Silikate  noch  vielfach  eine  ungenügende  war 
tuul  in  uhlreiehen  Filllen  noch  heata  nicht  zu  einem  Ver- 
«Dcb«,  anf  die  Constitution  derselben  zn  schJiessenf  berechtigt. 
Immerhin  ändea  aich  iu  Hauuhufer'«  ZuHauimeuateltungen, 
«olche  CT  «elbttt  nur  aU  einen  .Veruach*'  bezeichnet,  manche 
Aufijaasnogeo,  die  auch  jetet  noch  ahi  richtig  anerkannt  werden 
mOaiten. 

Auf  dem  Ofbi-^t«  der  Krystallographie  Teröffentlichte 
Haosbofer  sine  lluibe  kleinerer  Mittheil ungeu,  meist  Unter- 
cocbangen  Aber  die  Krystallfurmen  organischer  äiihstanifen, 
UuJl«  in  der  ZuiUchrift  für  Kry«lullographie,  tbeil)^  in  den 
Arbeiien  der  Chemiker,  welche  jene  Körper  dargestellt  hatten« 
9täi  d«m  Jahre  1877  biA  zu  seiner  letzten  Krkrankung. 

Daneben  gingen  her  Venrache  Ober  dat>  Verhalten  des 
Dotomita  g^fn  Sänrf*n ,  bettoiider^  aber  seit  1880  Stndien 
Ober  liia  mikrotfkopisohen  Kry»talIformen  in  Niederschlägen. 
Der  liedanke,  die  Gegenwart  gewisser  Klemenle  dwrcb  mikm- 
«Itnpixcbc  Beobachtung  der  Kry^tallforni  van  Verbindungen 
IS  erkenn«),  war  zMvrtt  von  einigen  Petrograpbeu  zn  uiikro- 
duipiicben  Reactionen  auf  Be»«taudtbeile  der  Mineralien  in 
ICSI  benotet  worden.    Hanshofer  wiuidte  denselben  nnn 

Bl&mittet  der  qualitativen  chemischen  Analyse  auf  eine 
Bethe  ron  Stoffen  an,  fUr  welche  es  ad  empfindlichen  Rc- 
teümma    fehlt,    und  zeigte,    wie   man   auf  dieaem  Wege  in 


17rt 


fh/fmtliche  Sittmty  coa*  »i.  MArs  ia$S. 


vielen  Fällt-n,  ivdbst  bei  ttrhr  geriiureo  Mengen  verfügbar 
Subetauz  nocb  den  einten  oder  anderen  darin  eDiliiilteuiMi  Bir* 
trfjindtliC'il  .lieber  nachwei^n  k5nne.  Namentlich  bei  den  ho- 
geuaridtftti  xelLeneu  l<!rden  ist  durch  ibn  dio  mikronkopi^cbt' 
Methode  ein  wicbti^e»  Hflirsraütet  bei  der  cfaeniitwhen  Ana- 
lyse geworden.  Eine  syst«  tu  »tische  Zn^uniiuer&teliung  der 
niikroi>kupi9chcn  lleActioncn,  ul8  AtiUiitunj^  zur  Erkmiimit^ 
verschiedener  Elemente  and  Verbindungen  unt4*r  dein  Mikro- 
skope und  als  ein  Supplement  kq  den  Methoden  der  quali* 
tativcQ  Analyse,  gab  er  im  Jabre  1885  heraod;  auch  fVibrte 
er  zahlreiche  jung«  Chemikt^r  durch  «in  tou  ihm  abgehal- 
tene«! Practicnni  in  dieM  Uethode  ein. 

Seine  re^e  Tbeilnabnie  an  dorn  denfcMcbcn  nod  ögf«r* 
reicbi(*»ihen  Alpenverein,  zuerst  al-i  Uedact<?ur  der  Vt-r 
KeiL<>ehriri,  dann  &la  PriUideiit  der  Section  Münfhoii,  hui 
der  Wissenschaft  Xntxen  gebracht,  denn  er  war  fltebs  hemObt, 
dem  Verein  wisse nschanJi che«  Interoase  zu  verleihen,  die  Ver- 
oU'eiitliehnngen  in  der  Zeitäclirift  f;fedieK<)n  zu  gcKtuIten  und 
die  bildliche  Ausstattung^  dei^^lben  zu  vere^ieln:  »eine  Qebirfpi- 
landwhaften  zeichnen  sich  durch  die  scharfe  Charakteriftik  dvr 
Bpr^fprufile  und  *eine  Qocbgvbtrg^karten  durch  ein  besonder 
laiidKciiufiliche«  Veratündnin  tkoa.  Kr  wird  auch  in  der  0 
schichte  der  Enichtieainng  der  Ust&lpen  gtmannt  alK  ein 
der  enten.  welche  die  Zill^trtlialer  Eispässe  h<%nu^en,  zu  eine 
Zeit,  wo  das  FUhrerwesen  und  der  Wegbau  uoch  in  dti 
Anfangen  waren. 

Sovrie  in  der  Natur  suchte  er  ancb  im  Leben  da.«  Rechte 
und  Schöne.  Er  war  ein  ideal  denkender  Men«ch,  der  höhere 
Zille  l!^i^^'bte  und  «»einen  fiedanken  und  (leftlblen  aiKb 
poetinchiT  Form  Aufdruck  zu  (^ebeti   wu*tl*. 

Der  im  Jahre  1890  erfolj^te  Tod  seiner  ffehebten 
wirkte  auf  den    vorher  ao  kräflixeo  Mann  itnchQttemd 
twei  .fahre  darnach    hatte  er  einoa  heftigen  AnCill  von  lö^ 


V.  Poil:  If*krvt<t*i  auf  Augutd  KuHitt. 


177 


v«*a  wcIcbcDi  «r  sich  nii:ht  mehr  urliolen  kuniite. 
Br  starb  luujli  [angcm  Leiden  am  8.  Janiiikr  1895,  betruticri 
von  Ailttu,  wislehc  »eititt  e*\lea  Kigeiuchaften  gükauut  )ial)u[i. 


Augnat  Kundt. 

Dio  Physik  hat  in  tlen  letzten  Juhren  dureh  Um  Abkben 
iktKT  bervurn^ftoudäteii  Vertretei*  iu  DeiitMchliuiil  die  äclim»r£- 
licW«a  WrluwU*  trrliU^Mi;  mich  dem  viel  betrauerten  Heinrich 
Hvrtx  ist  Äui^nt  Ktindt  und  nach  diesem  Hermann  U«lm- 
holt£  im  /eitrftum  von  9  Monaten  gef^ilgt. 

AttffUfit  Kundt  ist  am  *J1.  Mni  18ü4  in  ToUem  Schuffeu, 
erst  54  Jaltre  alt.  gebtorbeu.  Ein  Schüler  von  Muf^us  iut 
CT  liurcb  seiu  Tult^nt  in  kurzer  Zeit  einer  der  er»tea  Ph^fidkcr 
Ipwoitloa;  »D  den  Boebscbtilon  von  Zürich,  VV'Qr^burg,  StrasK- 
tiarx  mid  Berlin  hat  er  aUi  unübertrefflicher  Lehrer,  der 
ein«  filienitiä  gros»;  Zahl  wixsensi'hiifllich  tbnti({(.'r  Sch'Uer  in 
»einem  Laboratorium  vereinigte,  und  als  he rvür ragender  Kor- 
»her  gewirkt. 

V  ■     «rr   Krisulie   des  Gei5te^   und    onverwilrttlicher 

Arbeiift---i:-  ,,ar  er  ein  von  Wenigen  erreichter  Mei><ter  iin 
Experiment,  der  mit  ungewtihnücbem  tie^tchick  und  iScharf- 
siuo  die  Mittel  fand,  die  t*cbwierigsten  Aufgaben  dtirch  den 
Vcnucb  zu  lüsen,  wodurch  e»  ihm  gelang,  auf  den  ver- 
«cbioitHist«!!  itcbitrteu  die  Pb.vsik  mit  vielen  wichtigen  That- 
«icIms  hdi]  Erkenntniraon  ku  bereichem.  Kr  gehörte  nicht 
m  den  eigen tlictiten  miithematiticheu  Thysikeru,  aber  er  j^ing 
\m  »eiuMi  ÄrU'it'Mi  Kuuieiit  mit  feinem  Verständni&s  für  die 
Torlicgcluieji    Kragen   von   theoretischen    BetrucUttingen    aiis. 

Bei  «einen  «ntou,  auf  dem  (jebiete  der  Akustik  äich 
|Ww«|teod«n  *-'  »"0,  gelang  en  ihm,  eine  neue  höchst 
cbe  der    FortptlauKuugHgttichnindi>fkeit    dea 

BahalUa  sa  Anden,  deren  Anwendung  ihn  «u  bedeutungsvollen 
AifwhlllMen    ftthrl«.      An   »rinc   üntiTsuchungen    Über   die 


»78 


thffentlidt*  SüeuHft  t<tm  SH.  MxXrt  1896. 


I>opt>elbrM>hunK  tlef>  Lichtes  in  t5neni]eii  ^Ubeii  hattv  flieh 
cfin  Versuch  ölwr  die  llebertrnifuiig  der  Bewegung  limjptu- 
ilinal  «4*hwinHfnd*»r  Rfihren  anf  hiiieingestpckte  Kori"^'',  sowi« 
iiuf  die  Luft  in  d^nsflljeii  iiiigeitchUcüKfd;  hs  xtM|^U*  Mch  dabei' 
die  auffaltende  Encbeinung.  dani  an  der  InncnfliVbi*  der 
ßliumbre  vertheilter  feiner  Staub  äich  in  bestimiuteu  Fif^ureii, 
den  Kiiot4?iipunktf*n  stehender  S>;hwingungen  der  einf^cMohln»- 
senen  Luft,  anordnet,  wenn  man  die  an  beiden  Enden  ver- 
schlossene Röhre  durch  Reiben  in  longitudinale  Schwiu^uDg<m 
rersetst.     Daraus  war  er  nun  im  Stamme  in  finfad)  t 

fifenauester  Weise  die  FortpiUnzung8j?e»chwiudi^keit  dt  ■ 
wetten  in  den  in  der  RiJfaro  befiudlicbon  Oa«en  and  D&mpfen, 
sowie  auch  in  festen  Körpern  r.u  bt^tininmn.  [ndrtn  er  rliii 
Methode  immer  mehr  vervolllcuuiinnete  und  Tf*rscbiedeno  lon^H 
tudinal  »chwingende  Köri>er  unter  ntannitrfalti^'en  ßediugungea 
anwandte,  er^lien  sich  ihm  Resultate  von  oll^emeiuer  lie- 
deutiing,  die  anch  zu  dem  chemischen  Verfmlton  der  StoHog 
iu  lWiehun>{  zu  bringen  waren.  Hierher  >;rliüreii  auoll 
■eine  Venncbe  Über  die  KlangliKuren  in  Orgelpfeifen,  dh 
die  Schwingungfiffirm  tönender  Platten,  die  KrKeni»unjr  von 
Tonen  durch  Kltunluen,  die  Schwingungen  vou  rechteckigeu 
Luftplaitcn, 

Kach  dieeen  akustischen  Studien   ging  er  su  optischen 
fragen   Gber.     Er   war   auf  den  Itedanken   gfik>  da 

Metalle  und  metallisch  gltlnzendo  Körpwr  Unregi  i  i 
in  der  Brechung  den  Liehim  zeigen  n)Q«t«B.     Durch  einen 
genialen  Kunxtgrifi'  besifgl*«  i»r  die  der  Befi'  ■  faj*t  im- 

durehsicbhger  fesitcr  Körper  und  LOeungeu  ti   ^^  ^-ii  -tehendcn« 
Schwierigkeiten  And  that  dar,  dass  in  der  Tbat  eine  Arne 
von  Lüftungen  von  Stoffen,  welch«  im  feAteu  Zujttand«  Ober- 
flächenfar)>en  beäitzen,  '     T'  .''n. 

In   einer  fUr  die  kr  :  -t.  folgereichim 

mit  Minem  Schttler  K.  Wvburg  au«goft1hrten  UntervaehuR 
bartiminte  er  die  Reibung  und  W&ruieleitung  der  irase 


#1  Volt:  NekruUt'j  auf  Auifant  Kitndt. 


179 


lÜ«  ipK:i&u:he  Wfirme  di^  Qnöckailberilampfes.  Eh  war  iiäm- 
lidi  ilie  Fntg«  «u  mifcheitlen,  ob  im  Queckflilbcrrliunpf  wie 
'  '  I      .-n   aiehrere  Atome  xn  einem   MolfkfU   vor- 

f.-.-^-  -i.j :  :.. ;  oti  es,  wrie  unser  CoUtige  r.  Baeyer  ver- 
tnuÜiHte,  ein  nnatonii^N  Qns  am.  In  letzterem  Fülle  imi^be 
timmter  Quotient  der  Wrirmeoapacität  bei  constanter 
air  und  f  '  r'prri  Dnick  sich  er^ebeo.  der  aus  der 
ngBgp.-'  /keit  sieb    l)estimnien    Hess.     Dieser 

tienl   warde  nun  auch  wirkHcb   durch  den  Versuch  ge- 

Mit  Hilfe  de«  tiicht«nbergVhen  Pulvers  untersuchte  er 
die  i-lektrischcn  Ewoheinunjfen  an  Kryst«llen,  die  Thermo-, 
^ctiiM>-  und  I*ir*M>-EI<?ktrizit5t  derselben.  K&  folgte  der 
VoeJlweui  der  elektri>- in ajjweti sehen  Dreliunj»  der  I'olnrisations- 
»w  d»i  Licbti*  IM  tlasoii,  z.  B.  im  Scbivefelkoiilt?nstoff- 
datnpf,  in  der  Lafl,  dein  Sauerstoff,  dem  Koblenoxydgas  und 
K  '  1-;  ond  diinn  ani'h  im  EiJ^en.  Nickel  und  Kobalt, 
•:  dtrn  Ourch^iing  de»  polarisirten  Lichtes  durch  dünne 
larclurichtige  S4:hicht«n  dieser  Metalte,  welch«  er  starken 
eben  Strömen  ansetzte,  beobachtete.  Perner  die  Knt- 
1  '  P  rpelbrwihnng  de«  Lichtes  in  bewü|B;t4;n  reiben- 
■'u  und  die  rntentiicbung  über  die  Doppel- 
bret'hung  elektriarter  Fltlssigkeiten. 

I>ii'  Knnsl  drr  Darstellung  (In.^erst  dOnner  dnrchaichti^er 
iD«berzQgo  mn  Mehnllen  auf  ( Üa-^platten   benüt/ie  er  in  seiner 
eil  kerrorra^t^nden  Arbeit  zur  ersten  directen  ßtft^innnung 
dvr  Brvctnuigwxponenten  der  Metnlle. 

Kundt'»  Name    wird    ^ch    »tuta    an    die   von  ihm  durch 
Eiperioieuürkuiitfi   er«cliIo>>ACDeu    Gubiete    der    Physik 
ufeu. 


180 


OfIffHttichi  Sitsmtvj  vom  Xt,  Hin  OBS, 


.1,1.. 


Kathanael  Pringsheim. 

Der  un  r>.  OkWber  I8'J4  iw  Berliu  im  71.  Lebeiuja 
gestorbene  BoUuiker  Nathanael  PringBh(^im  war  einer  det_ 
ättetden    Vertreter   der   durch    Alexander    Braun,    Schleiden 
Nägeli  n.  A,  begründetet]   pfluiseenphysiülogiscben  Bicbtuo}; 
dem  die  Botanik  vielfache  Auf^cbltiüse  aber  den  Bau  und  di 
Leben  der  Ptlan/enziUlen  verdankt;   ror  Allem  siod  «s  seiiM 
n]ei«t«rbnf)«n    Untersuchungen    der   mikroskopuoben    Algen 
womit  er  üeinen  Ruhm  begründet  hat 

Pringsheim  widmete  Bicb,  anger^  durch  AlcxAodc 
Braun,  frflhe  der  Botanik  eu,  habilitirte  sich  aii  der  B«fUn« 
Dnivervitftt,  wurde  bald  in  Folge  »einer  Algenstiidien  an 
Ehrenberg'B  Antrag  in  die  dortige  Akademie  der  \Vi«Mn^ 
»chafleu  aufgenommen«  folgte  aber  einem  ßafe  njicb  Jea 
»Is  Nachfulger  Schleiden*».  In  Jena  gründet«  er  das 
gut  eingerichtete  pfi an zen physiologische  Institut,  in 
xuhlreiche  ScbQler  unl«r  »einer  Kuhruui;  wiiwan.^ 
thätig  waren.  Er  gab  jedoch  nach  einigen  Jahren  du»» 
Profesdur  wieder  auf  und  äied)*Ue  nach  Berliu  Über,  um  ab 
unabhängiger  Mauu  und  Privutgelehrter  ungestört  ganx 
WisMnachaft  leben  xu  können.  Hit  den  reichen  ihm 
Gebote  stehenden  Mitteln  errichtete  er  daselbst  abermals  ein 
Laboratorium,  worin  er  freigebig  «eine  Sehale  aafnahm. 

Er  begann  die  lebenden  l'danzenxeUen  ihrem  Bau  uiiA^ 
ihrer  Entwicklung  nach  unter  dem  Mikrutkope  genau 
beobachten,  wobei  nich  nene  Auffa-tsungen  Ober  da»  Pr 
plaema  der  Zellen  und  BCine  Beziehungen  xur  Membran,  di^ 
man  frQher  als  das  WetentÜchn  der  Zelle  angesehen  hatt 
ergaben.  Er  wurde  dadurch  Kum  Studium  der  miVrcMkopi' 
■ehen  Algen  gL*fnbrt,  deren  gründliche  Durchforschung  woli 
affin«)  gr6«ste  l^ixtung  i«i.  Kr  war  der  ente,  der 
intemaante  Gruppe  von  nieder<*n  PfianEen,  weJcfas  die  »iefa 
tigiten  AnfiM:hlflw(e  nber  allgemeine  Kragen  der  Morphitkigi« 


V.  FOil:  tfekroiog  nuf  Nutkanaet  PHntiaheiiu. 


181 


und  S^siemtitik  fi;^cb6n  hut,  aus  dem  übaoa 
vendiueli«r  und  uiiTenmtteltdr  BeubocbtaDgen  zu  erlösen 
angdkogen  bat.  indirm  vr  mit  imverf^leichlictier  AusdauBr 
die  witusigeti  Pfiunziru  mit  dem  Mikro.'ikop  vßrftilgte,  bU  er 
ihn  Oe«chiobte  erforscbt  hatte.  Er  ist  ea  ^we^eo,  der  an 
ihoiso  (an  der  j^rCnun  Stisswa-sseraljfc  Vancheria  terrestris 
awl  au  Oedogoninra)  im  Jahre  ]8o5  zuerst  deu  BefnicLtuugs- 
wt  bei  PÜauxen,  als  gesc  bliebt  liehe  Furtpfianzung  und  Zeu- 
gung« wirklich  beobachtete,  indem  vor  seinen  Augen  die 
liehen  Sperniatuzoeu  »ich  mit  dem  frei  gelegten  In- 
der weiblicbcn  Kizclle  vereinigU'U  uiiil  somit  beide 
TWsili»  «oh  an  der  Bildung  des  befruchteten  Embryo  be- 
theit^eo.  während  muu  früher  die  Befruchtung  ab  eine 
CootActtt'irkung  oder  iiU  Diffusiun  vou  g»-Io^ten  Su1>stanKen 
ansah;  ein  Jahr  vorher  war  beim  Ttiier  (Krosch  und  Kanin- 
dMm)  von  de  Bary  da:.  Gindringen  der  Spurmntozoen  in  dos 
K:  '  wiwsou  worden.  Pririgsheim  zeigte  femer  dabei, 
»■  (ien    Algen    geschlechüiche    und    ungescblecbtlicbe 

Kurififlanxung  rL-gclmisäig  mit  einander  abwechseln  und  wie 
die  Spcci«M  von  der  Aexuell  gebildeten  Spore  aus  durch  eine 
Keilie  von  Wachsthumt^procetuMU  und  getichlecbt^loHen  Ver- 
mrhningen  in  gesetxmtUsigem  Turnus  xu  dem  nämlichen 
Ansfpuig^pnDltte  zurflckkehrt.  Indem  er  so  von  einzelnen 
di«5*er    IMIl^      :  ""IhrÜche    von  Zelle   zu  Zelle    forl- 

f&brrndr  \'  lobte  und  Rntwicklung  gal),  wurde 

er  tMt  Bildung  natdrlicher  sjrstrinatiwher  Abtheilungen  in 
dem  Gewirre  räthselhafler  Formen  geführt,  zur  Äuf^iiellung 
bertiionittT  Alten  in  diesen  Gruppen,  welche  man  bis  dabin 
neirt  nar  nur  nach  der  Urööse  der  Zellen  nnten-chieden 
hatte.  Nur  die  in  diem^r  Weiw  beobHcbteten  mikroskopischen 
Algvfi  können  jetxt  aU  wi<ut*n*tc  hu  fluch  erkannt  gelten;  sie 
«bvbeii  »cb  vrie  liiaeln  uus  dem  Meere  der  übrigeu  tiuch 
nbtkamiten  Formco. 

£r  macht«  ferner  zuent  die  auffallende  Wahrncbmong, 


r,  Voit:  Nekrolog  auf  Snlhaiiofl  I*riruj)ihtim- 


183 


Von  Wichtigkeit  5in<1  ferner  die  umfangreiclien  ünter- 
nngen  nber  dttii  Oliloropbvll,  in  welchen  er  das  spektro- 
iAoplM:Uc  Vyrhultc-n  dossellwn,  sowie  die  Einwirkung  de«  di- 
D  SunnenlichU  auf  diis^lhe  pHiflo.  Kr  sah  in  diesem 
ea  FarbsUtff  ei»  Athemurgaii  und  ein  Schutzorj^nn  des 
Proloptoiftnivt   Ke|<fn  die  Wtrknng  de?  Lichtes. 

Von  f7ro0»en)  lnterei>se  war  der  Nachweis,  d&ss  die  Zellen 
d«r  M<HKika|K»eIn,  sowie  die  ihresi  Stieles  unmittelliar  zu  den 
fadeiifVrniixen  Vorkeimen  und  7.a  den  beblätterten  Moos- 
ptUnxen  atL■(wal:l|^!t^n  k^nufn,  wobei  also  die  generative  Sporen- 
liilduni;  ^l»or^p^llI»t^en  wir<l.  Er  bat  dnrnn  spater  wicbti^e 
aH^aieine  Betrachtungen  Ober  den  Öenerationswechsel  der 
Th»tlophyt«n  und  deinen  Anflchliise  nn  den  fienerationswechsel 
der  Moose  |^•kn^pft. 

Endlich  hat  rr  Aber  die  Ab^on<b'riinK  vnn  Kalk  an  ge- 
WiMwn  l'fUnzen,  z.  B.  den  Cbaruarten  bericbtel;  du  aus 
wiMrigen  li&sungen  von  kohleuMiurem  Kalk  diese  Aosschei- 
dofi^  nicbt  KtattHndet,  so  niu^ste  sie  durch  die  Lebensthätig* 
keit  j**ueT  Gewächse  bedingt  sein. 

Ein  groswa  Venlienst  erwarb  sich  Pring«beini  durch 
die  1858  erfolgte  UrÜndnog  der  Jahrbücher  fär  wiääemichaft- 
\ackm  Botanik,  welche  er  bis  itn  Heineui  Todi*  leitete;  flKniMj 
darch  die  Ürnndung  der  deutschen  botaniMchen  OeKcllschaft, 
itttn  ständiger  Präsident  er  war. 

i'riagshuiui  hat  we^^eutüch  dar.u  beigetragen,  der  Botanik 
lim  bo^utig^  (iestakung  zu  geben.  Immer  sind  es  Kragen 
um  allgeuicini'r  Bedrutung,  welche  er  durch  scharfe  Heob- 
ndttnng  und  kritiiiche  Betrachtung  zu  losen  unternahm; 
•sne  ArbeiUHi  itind  dauernde  Fuuilameote  für  die  Wissen- 
«itft  gimmnUn. 


184 


OtftMtHcJt«  SUtunfl  com  ^,  Märt  t895. 


Josef  Hyrtl. 

Mit  Josef  Hyrtl.  welcher  am  17.  Juli  1804  im  83.  Lobens- 
jabre  auf  seinem  Liiud^uU'  zu  Herchtrtldsdorf  Im»!  Wien  ge- 
storben ist,  iat  ilcr  letzte  Vertrobvr  der  bernhmlnn  Wiener 
mediclniichen  Sclnile  dahingegangen.  Er  war  einer  der  er- 
fahrensten AimUtnion  Äi-iiier  Zeil,  und  ein  uhdbertmffeuer, 
seine  Schüler  begeiMtemiler  Lehrer.  Schon  wülireml  win<» 
Studiums  nn  der  Wiener  Univenit^  hatte  er  eine  Voriiehe 
ffir  die  Formen  der  thierischen  OrganiRatinn;  er  mehnete 
nich  durch  eine  seltene  (.itwchicklichkoit  in  der  Prüpnnition 
der  Tbuile  uua,  aodam  sein  Lehrer,  der  bekannte  Aniitom 
Berre^t,  ihn  xa  ueinein  Protektor  machte.  Huld  naeh  «einer 
Prniuotion  wurde  der  2C>jutirii{e  Gelehrte  ul«  PrttfeaBot  der 
Anjitiimie  an  die  Prager  rniverwitÜt  gerufen  und  erhielt  dann 
nach  dem  Tode  ¥on  Berrex  desnwn  Stelle  in  Wien,  wo  er  bi»  ä« 
seiner  Knieritirung  thätig  war  und  in  hütchsteu  Khreu  stand. 

Hyrtl  bestuis  eine  nrnfofiaende  allgemeine  Bildung^  er 
war  ein  gei.<«tvoller  origineller  Mann,  schrieb  ein  klaäsi«chi« 
Latein  und  sprach  gewandt  viele  neuere  Sprachen;  in  der 
Literatur  und  Uescbichte  der  Medicin  war  i-r  wie  Wenige 
bewandert. 

AU  feinainniger  Beobachter  bat  er  die  fast  abgefiohlos&en 
erscheinende  Anat-oraJe  de»  Mctiscbeii  tini  eine  grosi*e  Arixahl 
neuer  Thatflarlien  bereichert,  besonders  »her  die  vergleichende 
Anattiniie,  welche  ^r  mit  heg  runden  half  und  in  der  «eine 
zahlreichen  Beiträge  sich  in  ihrer  Bedeutung  nur  mit  denen 
von  .tohanncs  Mftller  rerglpichen  laanen. 

Von  ganz  betfonderer  Wirkung  f&r  die  Auffhroitiiag 
ttuatomiächcr  Kenntniiee  sind  seine  klaatuRchen  Lehrbflcher 
geworden:  do»  Lehrbuch  der  Anatomie  de*  MeTi»<:hen,  wtd- 
chen  St)  Auflagen  erlebte  tiod  i^ein  I^rlirbuch  der  t4^pogra)(hi- 
Achen  Anatfimie.  R«  war  in  denselben  nirbU  mehr  von  der 
gewöhnlichen  trockenen  Aufzithlung  der  Theile  7m  bemerken. 


f.  Vhit;  Netnittij  nuf  Hermann  Hflmhttlfg. 


185 


▼iclmehr  dftrin  die  Formen   in  klarster  plastischer 

Udhk    XU    einem    lebendif^eti    Ganzen    verbnnden,    das 

die  Vcrwebnnf?   mit  hiitoriiwbeii  Daten,   sotrir    dnrch 

die  Uerrorhebang  der  ph^tüiüloffiaclien  ßedmitung  das  Ichhafte 

Intrmwc  dei  Liesen  «rweckt. 

Er  war  ein  Meint^r  in  der  anatomiAcben  Technik  und 
noc-h  jebtt  werden  sciiu-  Pruparntp,  nuinentlirli  -«»ine  Injeclinnon 
1  der  frinsUfti  (HutjyefiUs**,  aU  knstbnr«  Objecto  in  di»n  ana- 
B  tnmUchen  Samnilinigen  antlwwuhrt.  Hyrti  wird  stete  zu  den 
H    gmchick testen  Anntonien  gezählt  wurden. 

I  ^ 

■  Ni 

■  1S^ 

■  hm 


Hermaan  von  Helmholtz. 


Mit  Herniatin  Helmholtz  wt  der  berühmtes*^  und  Im*- 
tendstr  Nalnrfnrschur  nnaerer  Zeit,  welcher  auf  vieh-n 
Gebieten,  in  der  Mathematik,  l'bysik,  l'hvüiolofpe.  Philo- 
«ttpkie  lind  drr  AeAthetik,  giui/  neue  Ruhnon  ^«'phnet  Imt, 
^iHtrivden,  üpbersehon  wir  jetzt  das  vor  uns  abgefichlosAen 
liogtode  Leben  und  Wirken  dieses  niüciitif^tiii  Oej-^ti»,  ho 
gewahren  wir,  wie  ton  frfihewti'r  Jn^ond  an  in  ihm  da»  er- 
kenulnart  wo»  »irh  später  nv  ^lanxend  entfaltete,  wie  er  mit 
eiMr  wund«rbar«*n  Klarheit  die  schwierigst*?n  l'robleme  er- 
fbHte  and  dun'bdachte  nnd  mit  unerreichtem  Gesehick  dem 
Esperimeiii  xugiiniirlicli  machte,  bis  er  dip  Liisung  K^efniiden 
katbit,  «o  weit  «U  m  ülHirliaufit  möglich  war.  Mit  Khrliircht 
UDd  Dankbarkeit  f^edenken  wir  seiner,  der  trotz  alier  äiisser- 
ÜcLen  Aurrkennung  und  Bewundernng  stets  ein  schlichter 
\tachindm\et  Oclphrtrr  und  edrlge^innter  Mensch  blieb,  und 
nnr  nach  der  Krkenntnii«  der  Urnni-hen  der  Dinge  und  nach 
der  Wahrheit  strebte. 

Vrr  Leben&g&n^  von  Flelmliult/,  ist  in  der  letzten  Zeit 
mt  oh  noil  iu  so  nirxU^lichfr  Weime  |j;e.scbildert  worden,  das8 
ieh  bitf  nar  eiiMn  Ueberblick  Über  »eine  hnupt^ilchliehnten 
ltfi4anf|en  nur  <Wm  Gthirtn  der  Physnologi«>  f^bnn  will,  um 


186 


OegttäÜAt  Süßimt  nm  JR.  M*n  JSM. 


ow  die  Bedtnbuig  des  For^btra  ond  D«tik«ni  nocbowlc 
Tvg«g«nwirtiKea  uml  ihm  aaek  tob  Seite  aaaarttr  Akademie 
deo  KhaldigQO  Tribut  der  Vcrtfanmg  dafXQbrmgw. 

Für  AIl»f  Vftfr  ach  begreifim  and  logiafih  eatwiekoln 
ti«4,  zeigt«  er  «chno  ab  Knabe  ein«  Turliebe  und  ein  aiw- 
gqirigtw  Tatt!at.  für  die  Säfae  der  Geoioetrie  and  dann  ftlr 
die  Lehren  der  Pbj-aik.  Rn  ist  fdr  dif»  WuMetuchaÜ  ci^_ 
GlQck  zu  nennen,  dass  iKro  «eine  Mittel  nicht  (*rLaubien  $ic^| 
akbald  der  Physik  xntuwenden,  sondern  da»«  er  Torent 
Mediziner  wenifii  mitfstt«:  netr  und  com  Tbeil  die  «richtigitm 
■einer  Arbeiten  würeu  sonst  kaum  en(«iand<!n.  So  «urdu  ff_ 
KunSchat  xu  derjeai^n  medicinischco  Wiesenwbaft  gcHlhr 
welche  vor  AUeni  sich  mit  der  KrkUirung  der  Krttcbeinutiije 
befn»it ,  zu  der  Physiolot^ie,  und  run  da  ent  «päter 
den  rein  pbynkiilischen  Vor^rtf^n.  Den  weiten  Ueberldic 
Aber  andere   Wi!«ens);cebiete,   sowie  die   Neigtuif;   in  pbil< 

;  1  ! -her  Betmrbtnnif  vcriunkt  er  dor  '"' 

,.     >    Beyjebiiugei)   tn  d^r  l'l)ilcili>git>.     \ 
and  Pnycbotogie.    Aber  ancb  fQr  die  PhvMolf^ie  war  es  ei» 
Glück,  diws  ein  m>  grostes  Talent  ffir  Miitheiuntik  und  Physik 
sich   ihr  widmete    und    zwar   zu  einer  Zeit,    wo    eint«  Mefi^^_ 
tifiT  wichtigsten  |)h}-Hikalii^hen  IVibteme  der  LSsiin);  harrte^H 

Gfli  war  aul'  seine  Entwicklung  sicherlich  von  bestiminen- 
dem  KibHu^,  daaa  er  aU  Lehrer  in  der  Anttumit^  und 
Phyiidogie  Johannes  iMüUvr  fiinil,  welcher,  obwohl  er  noeb 
längere  Zeit  in  der  Lehre  von  der  Lebentkraft  befangen 
war,  doch  die  Lcbt^n^cvorgTinge  durch  H«*<>liiirhtuJig  und  dar 
den  Versnob  tu  erfunichün  trachtete  iiud  dadurch  die  neu 
Physiologie  anbahnte;  er  stellto  z.  B.  den  kün-itlichen  Kf>b| 
köpf  Kur  Krlftuteru4ig  deit  Zii:ttanilf*kouineii.f  der  ^Uuume 
und  wagte  es  xuerei  Ton  einur  Physik  dt^r  Norren  xn  ftprceiiB 
Es  ist  gewii»  kein  Zufall,  daas  sich  um  diesen  ätusrni 
regend  wirkenden  Mjmn  ao  riele  tolimtvotb*  ond 
.Iflngvr  sammMten,   wie  Henle,  Schwann,  du  Boiäi-Kryinond.' 


V.  Fort: 


'  mnf  n^rmumt  IlflmhaÜt. 


ist 


Virchow,  HelniboltK,  lauter  spätere  Koryphäeo  der 
Wwwtuclmft,  wttlohcn  mui  vorzugsweise  den  Aufiban  der 
KbTiiolnf^e  in  physik&Uscher  Kichtuntr  verdankt.  Die  Melir- 
I  nU  der  Freunde  fand  sich  auch  im  LaUirntoriiiiii  des 
B  l'hyvkers  OusUv  Magnus«  des  Meisttirtj  im  Exponuii^nt,  sowie 
H  in  dpf  phyj^ikati fachen  Gesellschaft  /usainmea. 
^^_  Nach  kaum  vtillendetor  Lurnzeit  an  der  llniversitilt  be- 
^IP&o  Ht*liuboltz  in  beni«rktiUiiw»rLber  Weise  wissenHchaflHch 
«ich  zu  beschUfiiKen;  stets  waren  es  Frai;en  von  principiellor 
Bedeotoogf  denen  er  Bieh  zuwandte. 

Er  arbeitete-  mit  einem  aus  meinen  läniparunKea  ange- 
■chftSten  Milcroikop  eeine  Dissertation  aiu,  in  welcher  er 
den  fQr  di**  rlattiuligfin  Hilfsmittel  nicht  leicht  7.u  beobachten- 
den Zusaumenhau^  der  vorher  von  Ehreuherf^  entdLH-*kt4>u 
OangUenrMlen  mit  den  Nervenfasern  bei  wirbelloHen  Thiercn 
«cb«r  nachwie»;  es  hatte  xwar  schon  vorher  Etemak  diesen 
SSuMiiLmeahang  beschrieben,  aber  koinon  tilauben  gefunden. 
Mit  ditter  Erkeantnis^  war  zueilt  ein  Au&chiosa  Über  die 
Bedeutung  diener  Zeilen  als  nervOse  Centralorgane  gegeben. 
Später  hat  sich  Helmhoitz  nochmals  mit  anatomischen  Auf- 
gaben hefiunt:  mit  der  l^chreibuug  der  Kip|>i>nnm8keln  für 
die  Atbtmbewegungen  und  dt^r  üuääen>t  äorgfiiltigen  Beobach- 
der  Fonn  der  Gehürkuöchelcben  uud  ihrer  Gelenke. 
Gn  folgt«  die  Abhandlung  ilbtT  das  Wesen  der  FauLuiss 
ttnd  Gfthning.  Schwann  halte  durch  ingenieuse  Versuche 
gvxeiflt,  dsM  keine  Gährung  eintritt,  wenn  man  gi'glühte 
Laft  7.  /.nlrelen  VAtutt,  und  dass  die  Hefe- 

«elUia  ^.v  ^. ,>-.»-.;  iv.  -...irung  «iud;  Uchnholtz  that  Liebig 
llilieRÜbcr  dar,  daai  der  Sauerstoff  keinen  KiuKuffi  aui  die 
F&uIciiM  bai;  er  drang  aber  nicht  xu  der  Krkenntniss  vor, 
din  auch  t'  '  '  **'  -uisnieu  die  alleiniKo  UrHache  sind. 
In  dn>  iie'   im  encyklopiülisijfien  Wörter- 

hneh  d«r  »»dicintachen  WiMenschafton  vennucht«  er  ans  den 
^m*"  rvriMifvnideu  wenig  genauen  Daten  dber  die  Koblen- 


188 


Off^tiiA*  SüMvmf  M«  JS.  Marx  t906. 


Jnrnanfhridnng  mn]  die  Sanentoftuifbahob?  li 
den  in  ibni  im  Ta^  verbrmnnt«ii  KuhtensUiff  nnd  W'mmKntnf 
m  htfnAntn  uad  danuu  die  im  Körper  rntvi^cte  Wimi^ 
menge  tn  cntneliiDcn;  w  kam  dabm  aber  docb  m  nü 
Wertli  (3J  Mill.  W.  E.),  der  «lir  wohl  mü  d««  jHsft 
kannten  geoAuen  ZAht^n  flb^reinittiiDtiiL 

Zu  der  Studi(a»it  ron  Uetoiholbi  triir«o  iMfcwiat 
dift  meifUn  PhjsinJogen  OMitNcfaUmd*,  in  Folg«  der  oitaetig 
omtarphitcaopbifchen  Richtiioff,  Anhinger  der  ht-kn 
b«aoadcmi  aii«rfi)nchbar«o  Leb?D»kr»lt.  weleke  di«  Lvbwi^ 
fta^fin^  bedügeo  and  ditr  physikaliMbeii  noA 
KräA«  der  anorgMUteiwfi  N'atar  befaemcb««  mlUe.  K.  B.  \\ 
b«r  w  einer  d«r  Wenigem  der  bevooden  dttimuf  dnag, 
KrklintBg  dar  Leb«iif>eraGb«nai^s«n  saf  Qnrtid  dvr  Beok 
long  and  de*  Vertachs  wie  die  der  phrabüiaeh««  Pnnüt 
tM  fioden  und  die  unfruchtbaren  nfttn  i 
bbowea  ta  TerlMwn.    Rin  Geiirt  wie  }i  -  it 

Bofth  den  t'nacben  »ochte,  konnte  ni-;  >    Ai 

noges  ancfa  nicht  nifrieden  geben.  Er  eHunnte  bdd,  das 
die  Leheaikraft  in  Widrntprmli  »t^^hr  mit  d«n  Gneti  nn 
der  ErhAlfemg  der  Kraft.  Di«  Erkenntnis  dieiei  6  tnttm 
iu  nicht,  wie  man  «o  binfig  naeint,  eine  Rmagiraaehsft 
unaecw  Jahrhunderts,  sie  ist  virlmrhr  M^hr  alt,  man  wM/tt 
§mk  «agvo,  m  all  ab  ein«  erklän^  '  ^'  "Tirviasaaschaft  cm- 
atirt:  Leibmta  hat  daa  Oejefa  gek^  >  es  int 

durch  Daniel  Bentonilli  fUr  die  (knab  bekanafcen  Kr 
mit  aller  Sicherheit  bewiesen  wnrden.  Was  in  ai»«vr 
hintugekommea  iat,  da»  tut  nicht  die  Erkenntnis  -U 
«elUit,  eonder«  die  AoidtfaDung  destetben  auf  ö 
^»&iigv,  «eich«  man  durch  die  Fortochritie  dtf  Wi 
neu  hftt  keoneo  lernen;  dadnrch  erfuhr  da»  Mdkon  b^amto 
Q^tfU  Mne  Verallgemeinerung,  namentlieh  aoeh  aaf  die 
l^beaeTurgttng«.  K»  iil  gewi«»  vnu  Bedeutiitig,  da«»  m  vor» 
KOgli«h  Kwei  Mediriner,  JaHn»  (Inbert  Maj«r  und  Hermana 


».  V*k:  KthnlOff  auf  Utmnnn  Heimhole 


180 


IlrlmKoltat,  wnr#n,  welche  zn  gleicher  Zeit,  im  tirfühk  rler 
AWurditüt  d«r  ÄDiiabme  einer  wi«r  t*iii  pflrpßtuam  mobile 
wirkt^nrien  lifbenifikrart  nnd  in  dem  Be8trebt*ii  ntich  liif 
LrbeuHenclietuuugeii  auf  die  bekäuiileu  Krätle  der  leUoeen 
Nfttnr  xurttck7.nfQbr(!n,  lar  bestiinniU^n  Formulining  dra  »11»' 
VoTfcftagi*  umfassenden  Naturgesetzes  gelangtfn.  Ervterer 
hat  btitionderB  die  UeKi«thun>f«'ii  der  mechaniflcben  njid  iiucb 
der  c}iemi«chcn  Knorgie  rur  Wärmebewegung  erörtert  und 
dos  m«chantäche  Aequivaleat  der  Wärme  gemessen .  letzterer 
hat  nocb  din  «tAtlirhi*  Kl^kirtKitiit,  dte  magnetischen,  gul- 
Tttoiechen  and  tlicrmoeUktrischen  Bevregungen  in  das  ÜPisetz 
•ufgvoommMi.  Ueliuholtz  bat  in  der  dunkwtlrdigen  TiHoh- 
rede  l^i  der  Keicr  setue«  Jubiläum«,  die  man  immer  wieder 
mit  gleichem  GeonsBe  Ueafc,  in  einzig  d&'^tebeudür  Bescbeiden- 
faeit  gf^ctiildert,  wie  er  die  von  ihm  aufgestellten  SiUze 
rii^ttich  ftlr  schon  Inkanot  gehalten  babe.  Unzweifelhaft 
»i  m  aber,  dass  bald  die  Wirkung  derselben  eine  mächtige 
w  mid  TOD  da  an  die  Aufmerksamkeit  Aller  auf  jenen 
ZcMUDinenbang  der  Kr&fle  gerichtet  war;  uuf  die  Fh>'siulogie 
bat  die  Anwendung  des  Uci^et/.ea  umgestaltend  gewirkt^  denn 
Tue  Am  liU  b^gimnen  mit  vuller  Zuventichb  di«  An.stn^n^imgrn 

^d»  LettennTiirgange  durch  diui  bixperinient  zu  erforschen. 
Heimholt!  sncbte  in  seinen  nächsten  Arbeiten  Beweise 
|lr  diQ  üittigkeit  de»  Oeaetzes  von  der  blrhaltung  der  Knergie 
■r  die  Lelwnwrwbeinnngen  zu  bringen. 
IVeoQ  die  Mu-nkelkrAft  wirklich  von  dem  Stolfwechtiel 
o4«r  Toa  der  Zenietzung  complicirter  chemischer  Verbin- 
dmgen  iu  einfachere  berrfibrt,  und  nicht  von  einer  sich 
«tete  au*  Kich  HtUmt  erzeugenden  Lebenskraft,  dünn  inii8Sti* 
■HU  im  iiHmtenden  Mu«kel  einen  Verbrauch  gawiäHsr  Stofiv 
and  d>  '4   von  Zer»et2nngäprudiikten    finden,     hu' 

ToiBer  ....;-  -:...■  .^icbun  erwiecien,  dass  der  arbeitende  Menucb 
mtkr  Sbmmtoff  rerbraiicht  wie  der  ruhende,  aber  ftlr  den 
■olirtau  lluakel   wiu*  din«  niebi  dnrgethan ;  HetmhultK  erhielt 

IS' 


l«0 


fteffenüieh*  SÜMmäf  wem  M,  Märt  t89S. 


vm  dem  tetanisirten  Muskel  ein«  VemiehruDK  <iea  in  Alkok 
lOfttich«n   Tbeila    der   FleiBchbrQbe    und  eine   Vernitnderun^ 
d«  io   Woser   lö»lichen   Tbeils.      Welcbe    3tofff>    ditbtM    M 
Betrftebt   kommen,    vertuocfate  er  nidit  zu  eatächeiden;    enPI 
luiig«  Zeit  darnftcb  erkannte  niao,  dsss  bei  dftr  Miukeltbitig- 
keit  der  Zerfall  des  stickstotfbaltigen  Ei  weisse«  gewöhn  lid 
cur    in  geringem  Grade    erhöht  ist,    dass   dagegvo    von 
ätickätolffreieii  StüSbu.  P^tt  und  Kohlehydrat,  sehr  b<*triihch 
lieh  mehr  zersetzt  wird. 

Der  gröa»erfli)  StofTzerHfteung  im  thatigen  Miukel  mc 
eine   grossere   Entwicklung    kineHHcher    Energie   eoU<j>recti 
und   dies   bewies  nun   auch    Helmholtz   dnrt;b   den    ther 
el'^ktri»cheti  Nac.hwetä  einer  höheren  Temperatur  des  mta^ 
fichnitteneu  {«tanittirtcu,  nach  antuen  bin  keine  A-^'    *   l^'jtie 
den  MoskeU;  im  thütigeit  Nerven  dagegen  war  .  r 

zu  bemerken.    Er  wandte  hier  zum  ersten  Male  für  die  Unt 
auobong  physiologischer  VorgUnse  feine  ph\<iikali^he  App 
rate  an^   iu  deren  Ertiudung  er,    wie   »ein   Kreund    du 
Keymond,  eine  lo  grone  Meistencbaft  zeigt«. 

Iji  folgt«  die  Uotersuoinmg  des  Verlaufe«  der  mechal 
!)cben  Veräuderuiigrn    dw  Muskek   wabnmd    einer  Zuckufl 
mittvUt   dfM  Myugraphionä.      Nachdem    Carl    Ludwig  diir 
die  Aufzeichnung  der  Schwankungen   des  BlutdruckcM  durch 
da«  Kynio^ruphitin   die  graphische  Methode  in  die  Pi'        '    ri^d 

eingeführt  hatte,   iie^is  Uelmholtz  den  znckenden  M liff 

Contnu'tiou   auGtehreiben.     Die   Zuckung   de«  Mu«keU   geht 
(w  Rcboell  vorQber,  daaa  man  nicht  im  Stande  ist  ihre  Bin?! 
heiten  mit  dem  Auge  ku  verfolgen;  indimt  er  nun  den  Muxli 
mit  einem  Hebel    in   Verbindung   iietzte.   der    die  [tewegul 
auf  einem   raach  rotirenden    bem#itim  Glat»cylinder  anfzek 
nete,    gelang   n«  die  M  rvR    mit  atlf^n  ihren  VmtaiU 

erhalten.     Da«  M»  l-i  ..    i-t  einrr  der  Muitreicfasten 

Aui^h  einer  der  wi  i  Apparate  der  ut^wienden  Pb) 

bigin.     Späirr  kam   Hi'lmhott/  nochraalr  auf  die   Vorgia 


r.  ypii  •  Nfkratoff  anf  Utrmann  UHmJufh:. 


191 


Miktkrt  -/.urOck  \m  der  L'nteräiichung  deä  Tuns  wclcbeo 
man  im  eontrahirteu  Muskul  waltr^cnomnien  hatt«;  er  that 
du-,  Amm  die  dieitom  Ton  /ukomiuende  Anzahl  von  Schwing- 
angvo  der  R«izz»hl  iintspricht,  d.  fa.  diLss  daM  Gehini,  weim 
m  dareh  den  Willeu  einen  Muskel  zur  Ztunmiuenzichun^ 
bmgt,  dem  Irbitcren  ll>Va  R<^iz6  In  der  Secunde  durch  den 
Nerten  suBoodet. 

Oftnui  schlow  ticb  eine  der  denkwtlrdigittön  und  geist- 
mohcten  Arbeit«»  an,  die  Me£»in(^  der  FortpHiinKiingsge- 
!•■  '.eit   der  Erreming    im   Nerve«.     Man   dachte  acb, 

dat^  M..^.-o  (^flAchwindi^keil  eine  ungemein  groaie  sei,  so  ^^ros» 
«i«  et«r»  die  des  liicbtes  oder  de«  elektrischen  Strutnetü,  du 
man  {^Uabte  im  Moment«  der  Berührung  der  Huut  auch  die 
ttoBpfinduDg  zu  Lalwn  oder  im  Momente  der  WtUensaotiou 
aneh  ecfaon  die  Maskelcnntmction  wahrzunehnieii.  Selbst  .lo- 
hanor»  Mollrr,  der  doch  den  Ausdruck  , Nervenphysik*  xu- 
iir«t  j^bmuehf:  hatte,  hielt  eine  solche  Messung  weisen  der 
K3rce  des  Nerven  ffir  unmöglich,  und  lo  Jahre  diirauf  war 
di4««Hbe  auf  xw«i  gnnx  Ter^chiodeuo  Weisen  durch  HelnihuUz 
mit  aller  Sicherheit  durch|ceflhrt  Zu  der  ersten  benutzte 
er  die  galranci  '"  Method»^  der  Messung  k!ein.ster  Zeit- 

fchaiidMin  ron  < :    xu    dt^r   zweiten  die  Verechiedonhoit 

dai  Bdrinnea  der  Moaketcurve»  am  Myo^raphton  bei  Reiz 
<*  :t  m'igbVhst  weit  weg  und  nahe  am  Muskel;  beide 

V  "^'Ven  tu  den  feiu!»t  ausj^edacbteu  und  genauesten 

ü'  '■•    Da  »ich  diihei  dir  Kortpflanz»ng>4|eschwindig- 

k«t  im  Nexren  nur  zu  etwa  t-tO  Meter  in  der  Secunde  or- 
gab,  wwtMitiieh  geringer  wie  die  vieler  anderer  Bewe>^mgen, 
•«  kan  man  zu  der  Vorstellung,  da-»  im  Nerven  verhftlt- 
wmmikmg  gnmf  Wider&t&ude  entgegi^nstehen.  In  gleicher 
W«tee  wurdi?  von  Heimholt»  die  Geschwindigkeit  liei  einer 
Brfribewf  t"'*  "  '»meRsen  d,  i.  die  Zeit  hei  der  Leitung  der 
&n|fimg  om    iteiuibeln  Nerven    durch   ein    nervige« 

OealnktiVAii  auf  einen  nifitori^chen  Nerven  und  den  Muskel, 


»i>2 


tHff*mtliHie  SiUun^  WM  JV. 


ctirt 


welche   Doch  weMmtHcb  länger  iit,  «U   die   der  Leituuit  ii^ 
NtirTf.'o;   die  Vor^ilniSc  in  den  Ct!nir»lor|{«oeD   nehmen 
noch  mehr  Zeit  in  Am^mch. 

Uie   Krfiiidnug.    «reiche   Hetmbultx  mti  einem  Scfal 
tu  der  ganxeo  Welt  lierüliiut  i;ctimc))t  hat,  ist  ilie  den  Ao|tel 
gpief^l«.  Wir  f«ben  ftlr  frewuhnlich  nichto  tod  der 
jui  Inuern  d«  Auf^eN,  weiwihalb  die  Piipiliu  schwarz  1:1  m-u^ihL,* 
ubttohl  LicbtüLrahlen    von   deiu  Aiigenhinteri^runde  reflectirt_ 
werden.    OumniiDg  und  UrUcke  hatten  eher  duci  uietischlic 
Aoge  unter  jrewiüMen   I'iuot&oden  lenchtea  M'Ixmi;   lielmboU 
wollte  dies  wiuen  /uhöruru    mit   Hilfe  eiocr  t-infacben  Vc 
ricbtoiig  erlAotern  und  ni&obte  sich  dubei  nlihnld  durch  deii 
Gang   der  LichUtrafilen   kliir.    warum    mau   fßr  gewöhntie^H 

Tora    *,  ■-  -v^'  ■  ,ie  QichU  wahroimtnf.,    and   dAinii  w«^* 

die  >]   -  fit,  durch  den  Aa>^D«pief(el  die  NeU-_ 

baut  ein«  Aug«»  uicbt  »ur  leuchten  xu  «ehen,  ftonderu  aiu 
alle  £fnzelb(>itcu  auf  ihr  zu  (?rkennen.     Es  war  ^w^ 
Inntruiueni  i^escbaffen,    welchem  die  AuKeiiheilkunde 
pfefurdurt  und  der  leidenden  Henaohbeit  die  grOaotteii  Diennte 
f^fleiiftct    bat.      irerade   der   Uanttoiid,   da«    mehrere  wmgß^ 
/.uichneUt  ForM-her    der  Ltleung  der  Frage  »cboo  gafis  iiabe 
rfiandoo,    Heimholt»    aber   «ic    in    wenigen   Tagen   geftiodeu 
batte.  zeigt  seioe  Geisteseigeiuchafteii  iu  hellsten  Lichte. 

l>ie«e  Ktr  '    gab   offenbar  fllr  ihn   den    Ai 

sicfa    mit  diT  '  j^ie  de»  Aiig«    niber  xa  be^cli 

Kr  |.rflAe   znent    geuan  die  heim  MiecheD  too  Farben  ei 
B(eh«ttdeo  Fänpfindnugen,   indem  er  nicht,  wie  ee  bi&her  ge- 
•ehehen  war,  Pigmeote  mii»chU.s  sondern  die  reifl«D  Spectr 
fiirhen ,    welcho    vi   durch    eine    boKmdere    Kinricbtamg 
Si>ectralappar&teK  erhielt    Er  legte  ao  eine  neue  fcMte  Unmd- 
läge   fGr   dii«   Lrhro   ron   deu   Forbeomiachttugen    und 
klirte  dtinn  ilie  erhaltenen  Tbatacbaa  durch  die  leboB 
TbomM  Youug  auegeeprochene  Theurie,  womach  drei  Or 
farlt»n  evintiren«   ai»  deren   Mieehoog  dUnmtlicb«  Farfc 


im 


id 


9t  Voit:  Xtkroioff  tittf  fhruftnit  JhlmMU. 


193 


«mpliiiJutiKvii  bervor^elit^u,  und  wuniacb  fenier  jede«  Netz- 
bftuU>lcmoiil  mm  droi  Fiu4«ru  boiftelit,  von  dtttun  jode  nur 
daruh  eiue  Untimiut«  Grundfarbe  erri^l  wird.  Auf  lirund 
diäter  Tlieune  wiir  an  ihm  uiüglicli  vielu  uiidurt;  £i*ächei- 
nougon  »m  Aagv,  £.  H.  die  farbii^on  Nnclibilder,  di«  0>ulriifit* 
fiubea  uud  die  Farlieiibliiidheit  zu  crklürt^D. 

Kr  ivutidW  «ii'h  dttun  der  Unteräucjiung  nucb  den  Vor- 
gMigen  im  Liuiom  de»  Auges  beim  Sebeu  in  die  Pernu  uud 
in  die  NAhu,  dttr  HOf^eiiaunUin  Accommudutiun ,  zu.  Max 
und  dtr  Uotlüudor  CrKtiiei'  li.itUu  äcUon  die 
ijü-Saiuioti'.'^cheu  Uvtii-xbildcli«-Mi  a>u  Aiige  hiezu 
bwObd  und  damiu  goschlufeen.  doss  dio  vordere  Linitentiüche 
Ujim  Sehen  in  die  Nübt*  gewölbter  wird.  Hulnibull/.  erfand 
ca  (liewtu  Zwecke  diu  Opbthultnouieter,  ein  Wtrumeut,  um 
IrifU  der  Bewegungen  des  Auges  die  Durchmua^er  jeuer 
ilcJiexbildchuii  und  die  Lüidien  der  gekrQiuiuteii  Flücbeu  der 
dnrcli^  ■    '*'    lieu  den  Auge»<  geimu  /,u  beHfiuimcii.  womit 

di*  V'  ,.    i    iin  Auge  l>t*i  der  AccotnmodtkiidU   äiehur 

gisiullt  wurden.  Turner  mui»  in  dieser  Uichtung  noch  ec>- 
wähnt  werden  die  Itebtimmung  der  Lage  der  GesichUliiiio, 
di«  Krihittjuiig  der  Vor/errung  der  üilder  iu  Folg«  der  Ab- 
wtocKung  der  breciienden  Klücbea,  die  Uarateiluug  den  Sehens 
mit  Jtwd  Augen,  di«  XurückfUbrung  der  Augenbt;wi;guugen 
nf  das  Prinoip  der  leicblo8ten  Oriüntinmg  im  Kuum,  die 
SielithuiuacbaDg  der  llbernoletten  hiuhUtrublt^n  ohne  fluores- 
dnnde  Mittal  durch  Verstärkung  deräelben  mittelät  Prismen 
vnd  Linsen  von  Quar/„ 

AUe  «eine  eigenen  reichen  Erfahrungen  auf  diesem 
6«bMtB,  sowiit  die  früherer  Zeiteu  »ummvlte  Heimholte  in 
Minen  gruesen  Werke  der  pby^o logisch eu  Optik,  lad  ist 
Ott  Hoiivrwu'k.  Allen  hat  «r  urtcbntalä  nachgeprüft  und 
■it  lüf^ntmr  Q«w  inten  haftig  keit  uud  Gerechtigkeit  ver- 
•r.  i^    wäre   nur   xa    wttusdMO,    daas    wir   in    allen 

^k^dta  der  Physiologie  gleichwerthige  Darstellungen  benäsien. 


fttffmtTtfkf  l9ltTi»m*f 


H 


ftl'n  -T    Hill!    »»-»Ulf  durch    eio9 

(Int. -    "    "•'"•    1'**"^    "Oll    d«ft    TTiHUpinniii 

\tnmint.      Utx'tii    r. i    (»hru    hmitc    <Uk 

»lirtH'hna,    ')*«    Hm«  Olir    ilir    "■"->^-f-rhMB 
tiiiriii"niM'lifffi    l'nrtiiktUJno    urrlc^i*;    daoi 
Iniltiiti     ¥r    mit    '/ulnlfi'niihrnf     rler    di« 
'l'r.i        ■■■■'l''i(Mi(li'ii    lir-»()iiiiUirt!u    mri)^, 
f,,,,  umi    liiNlrnmonto    iinfl    d«r 

Mohi   Prft*    '^"'It   wiTidoni   duiH   dein 
hl^h(lrl«   Oltorffrin   l)ii^tf»ii«cltt   Niad,    i-rlrhr    4 
tHxIliiHKn.    Indmi  rr  itii  Cnrtj'whni  Orgaa  4^ 
(Itnr^itiir  urtitickU^  von  wftlr.hfir  jede  Sah«  ca 
iH-ilKiMMtmi  Tnii  ili  SrhwinKtinj?  Tcwetil  witi  «ftSrft  «r  ^ 
'jit     1    -■'  ■■■■- '  Mim  luiimiiiur  Siimmg  roo  T^—  ^^rf^w».- 
,,  Ulli  und  iliit  Iteiultirende  xq  t^mtm^^    v 

dttiii  «ir  MthmiMtH»"'ln  vun  vewcliie-lwier  ToaböW.  ^ai  GtW- 

Um    »i"l    *»'iifbi*fd«nM  In-tliuP!  Otiertöoe,   irtrii  huigii,.    -.m,, 

HiBw,  ftrliinll  nr  diu  Vt)C4tl«  dnr  muiucfaUchcii 
SiwIiHliHiiiiift    bU   dahin    nur   g»nz   iiiitoIIs«^ 
WftT.     iJln  An»rlmmmK  diew»  gra»m  dektnseh  "^rirTiiaa 
SliiNi»        '     iimiM   int  ilim   durch  difr  MaMfeak,  da 
dii.   \A  ,  iil'l    lit'K.'lKlerU'n    K&nipi    lUxniiäti^B    lt 

Bayurii  i*rniiVl"!^i^  wordon. 

Kr  «liidir»«  wxirtiin  'li»'  l'r«iu'htt  d«  CoiMo»»ia 
DU^nun/  dfir  TOii«'     Mu»  w&r  bi«  dalim  d«r 
Eiiitlrurl«    diir  ('oitMitiKriK   (»ubttche.   wenn    di«  Sek«q_ 
xaIiIl'h  diir  ^IdiidixiMtltfiMi  Tl^De  in  einein  ***-*irhcB  Vi 
ZI  '        ii^liKti;  ul>t*r  dnmlt  irar  uar  «an« 

Tn  :      litriiiiK  ^i'fiindm.     Helmhotks 

Unacik«    dt^t     DiwtiiiiiiiiG    inturniiUiranda    Ton, 
##klip  durch  HtflittAliiingan  «wvier 


r,  FWt:  tfekfulotj  auf  iierm*inn  Uetmhoite. 


195 


DifiN  Studien  lenkten  «eine  Aufnicrkäihniktfit  auf  die 
Öetciiiclite  und  die  Theorie  der  Siluaik;  indem  er  die  innen 
Ooiirtzniiieiigkdt  der  Ton)eit«>m  nnd  die  Ite^eln  der  Mnxik 
■lu  Müineu  Krfiihruu^eu  ulileltele,  hat  er  tüiiieu  heätimmeiideu 
KnfliiM  ttuf  die  Muitikwis^enschatt  uui^^i^dht.  Mit  seinem 
anfergänghchen  Werke  der  Lehre  von  den  Tonemptindungen 

19T  den  Höhepunkt  seiner  pbysiologi»clien  Leistungen 
wenigHtoiiÄ  '/.c'igie  er  darin,  dass  er  auf  den  ver- 
aeläedewteD  Gebieten,  der  Physik,  der  Phyatulogie,  der 
Muaik  und  der  Phi1u»uphie  ein  Meistor  war. 

Später  hat  er  sich  in  seiner  letzten  physiolof^iecheo 
Arbeit  noch  einmal  mit  dem  Gehl>n>rfpia :  den  Gehör- 
knöcfatdchen  nnd  dem  Troraraelfell  hefiwst,  worin  er  die 
Bedeataitg  dieser  Gebilde  für  die  Scballbildnßg  aufs  Qeuaue»to 
■aninuidvnMiott«. 

Bei  der  inteniÄveD  Bescbäftigang  mit  der  Bedentung 
der    i^'-  ^ne    und   der    nervösen    Centmlorj^ane   för   dos 

Zu«Uu. .  i'-n  der  SinnesemptindunKon  und  Voretollungen 

wnnle  er  anoU  auf  da^  Grenzgebiet  der  physichen  und  pttycbi* 
■dien  VtirKringe  geführt,  zu  der  Krkenntniästheone.    Es  bietet 

hier  eine  der  Kingaug^p forte»  für  den  ExperimentaLor, 
cb  welche  er  zu  dem  l'syohi.'*ehen  y.u  dringen  vermag;  es 
wai  Anderen  »c-hon  gelungen,  das  Verfaültniss  der  Erregungen 
de»  Xerven  zu  den  nachfolgenden  EinpHnduiigen  feetzuätellen. 
Ohne  die  Kenntnii«*  der  uiaterieltcn  Vorgänge  winl  man 
auch  auf  diuwm  Gebiete  uiemulä  zur  sicheren  Krkenntniäs  der 
Wahrheit  kommen,  denn  dos  htoese  Nachdenken  führt  hoch- 
I&glichkeiteii.  &<  wird  aHerdin^s  vielleicht  .lahr- 
ircu,  bis  man  in  die8en  eumplicirtcäten  rri>ceii*t«n 
dv  EHitfontaufitfaeorie  naeh  und  nach  ku  einigen  der  näeh^tea 
Dn^ien  gelangt«  Uelinhultz  ist  einer  der  Forscher,  welcher 
11  diewB  dunkl-^  n->'<</^ot)i^  mit  leuchtender  Fackel  eintrat 
Bad  «w  den    1.  mD   der  ßeobaehtiing  weitere  SchlÜAse 

lug  und  dadurch  der  Philoeophic  neue  Vorstellungen  brachte. 


196  OejFf^hHkv  S^jmmf  nm  A-.  Mir:  ItCk-. 

Ib  dieHT  Wewt  «ird  wohl  &tf  immer  ^er  StSBriarschs. 
Tcldfeer  nme  TKitBifhm  erkauit  hat.  vxki  Äer  besto  Ixt«- 
pRt  dcflvdbca  sem  and  am  gcägnetacfi  «ein.  pjuksüf^iiÄe 
Betfacfaimigca  dartber  anzsiteflen. 

Ich  «Dchte  «HB  den  phväologiscbfs  Aihötes  t<v.  H«b£- 
hcoltz  damniiaiL.  dam  er  äch  immer  hiäici«  AcCemMD  su^h« 
and  äch  allmählich  zn  einen  d«r  ndeeitäpiteB  Fomcb«?  ari 
Geiehrten  estvickcJte:  er  war  ein  £Mner  Beobachter,  ein 
findiger  Experimentativ.  ein  klarer  tiefer  Denker,  6a  säue 
Gedanken  auch  in  klacMcher  Fonn  darz^zst^k«  TSäste. 
Sein  Attwhen  «ird  in  der  Zaknnft  äch  nicht  min-ief^ 
aocidem  es  wird  noch  wachsec.  E»  ist  noch  nicht  d>e  Zkl 
XU  «ntficfaeideo.  ob  er  der  herromgeodste  Xatnrfor^cher  onüere^ 
Jahrhimd«Tts  war;  sicherlich  aber  ist  er  der  nrnfiaäsecdste 
gewesen. 


197 


Sitzunf!  vom  2.  März  1895. 

1.  Herr  C.  v.  Kl'PFFEB  macht  eine  Mittheilung:  »Heber 
<lie  Entwickhinj^  der  Kiemenknorpel  bei  Petromyzon 
EManeri,*     Wird  anderweit  verotfentlicht. 

2.  Herr  ÄD.  t.  Baeteh  berichtet  die  Resultate  seiner 
fortgesetzten  UntersncbunKen:  ,l'eber  das  Garon."  Soll 
an  einem  anderen  Orte  publicirt  werden. 


198 


Sitzung  vom  4.  3dai  1895. 

1.  Herr  RoBEBT  HaRTIG  hält  einen  Vortrag:  nUeber 
den  Drehwuchs  der  Kiefer." 

2.  Herr  F.  Lindemann  macht  eine  Mittheilung:  .Die 
Abbildung  der  Halbebene  auf  ein  Polygon,  das 
von  Bögen  confocaler  Kegelschnitte  begrenzt 
wird." 

3.  Herr  H.  Seemger  legt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
Dr.  Julius  Bauschinger,  Observator  an  der  k.  Sternwarte: 
,Ueber  eine  neue  Bestimmung  der  Refractions- 
conataiite  auf  astronomischem  Wege'   vor. 

4.  Herr  W.  DycK  spricht:  „Ueber  die  Darstellung 
der  Kronecker'schen  Charakteristiken  eines  Func- 
tionensystems  durch  bestimmte  Integrale." 


199 


Ueber  den  Drehwuchs  der  Kiefer. 

Yua  Bobert  Uartlg. 

^Va  keiner  deutseben  Holzart  tret«n  die  Erscheinungen 
Jm  , Drehwuchses*  tn  so  auffUltijzer  und  ho  verschiedenartiger 
Porm  »uf,  äU  bt;i  der  gf meinen  Kiefer  (Pinus  silvestris). 
A.  Brman')  ernähnt  die  ältere  Literatur  und  weist  iluranf 
bin,  dju«  schon  G5the  in  deui  Anfäalxe  «Uhor  die  Spiral- 
teDd«lu  der  Vegetation*  sich  darüber  fulgeiidernia.vien  aiw- 
♦pn^bt :  ,  Herr  01>ertandjägernkeister  von  Frit«ch  äiiüiiierte 
Kni«'  Augtu-t  in  Ilmenan,  dasa  unter  den  Kiefi>rn  Fälle  vor- 
kiioen,  wo  der  Stamm  von  unbeu  his  oben  ein«  gedrehte, 
gvwandune  Wirkung  anullhme:  man  habe  geglaubt,  da  man 
dergleichen  Bäume  an  der  ßrahne  gefunden,  eine  äussere 
Wirkung  durch  heftige  Stürme  sei  die  Verantaasung;  man 
6Dilf  itlicr  derglcichfn  auch  in  den  dtchte^t^'n  Forsten  und  es 
wiederbale  sich  der  Fall  nach  einer  gewissen  Proportion,  so 
d«B  BMa  1  bis  1 V»  Procent  im  Ijancen  das  Vorkommen 
Rchnen  k&nnte.  Solehe  Stämme  wOrden  in  mehr  als  einer 
Hittäcbt  beftcbtet,  indem  das  Hol?,  derselben  nicht  widil  zu 
9ebeiten    ««rwhnittmi ,    in    Klaftern    tjelcci    wenlen    krmnte. 


.-V.tT  ileij  11  hl'  \-:\    \  '-i  1,1  .f 


(>r  nnd  din  dadurch 


laAa^   ['rt'hGrij;   -i-r   Hüiiin«-*    iir.    S.t/-uiL,'--ri  i- hte  der  Kgi    Fr.  Ak»- 


\ 


198 

A 

''  ..:*■!/.    nicht.    Iiraiichliar    sfi, 

||  ,Aut-niJ  durch  ein  heimliches 

{\  I...I  .ms  ihren  Fugen  zu  rücken 

ij  ..    -iU'i    Fälle    von  Drehwuchs  Itei 

M  .-iiu    llul/arten  tift  beschrielmn  uii'l 

,  :,t.'i'ih'n  Orte  den  Nachweis  j^elieiert. 
.    t-ii.  über  die  sich  seine  Untersuchun^jen 
Wien  der  sehiefe  Verlauf  der  Hol/fit'ier 
y  ...1.    AUenlings  wird  dadurch  in  den  meisten 

T  .    -ciiwiuhe  Drehung  herbeigeftihrt,  die  einer 

•t  '  •ineuduii}^  des  Holzeä  nicht  himierlich  ist. 

...ulliische  Erklärung,   welclie  A,  Braun  für  diese 

^cit  ijab.  triflft  das  Wesen  der  Sache  richtig,  wie 

ieii  nach  folgenden  Darstellungen   erkennen   werden, 

.  .(.11  im  Einzelnen  die  Dinge  anders  gelagert  sind,  al- 

^ieh  dieselben  dachte  und  nach  dem  damaligen  Stand** 

.  i;iaromi»chen  Kenntniss  vorstellen  konnte.  Auf  eine  :ina- 
.  .i.L^che  l'Dteniuchung  drehwuch?iger  Bäume  im  Vergleieh 
.  ^eradwüchsigen  Individuen  scheint  >icli  Braun  nicht  >'iii- 
.^ela.v«en  i\\  haben.  Mir  i-l  nicht  bekannt.  d:Ls.s  in/wi-diei: 
^«'11  anderer  Seite  der  Drehwuch-ü  eine  anatriniist.he  Bearl-i-i- 
i'.iUi;  gefunden  hat,  und  da  ich  in  dt.'n  letzten  .laliren  in  den 
Be>ii/.  einer  Reihe  von  sehr  interessanten  dreiiwÜch-iiT^'n 
Kiefern  geliUigte .  so  lag  darin  eine  direote  Auffijrlt.-ninL:. 
dieselben  eingehender  zu  unter^uihen. 

Den   Ergebnix^en  sehiike  ich  eine  kurze  liar^Eellung  'ir- 
UnteniUchung-materiaL-  viTan. 

Stamm  I. 

Im  Fi»n>tamt   Fri-i-ii.g  iu-i  MMiii-h'-n    lii-"    icii  im  .Jal.r- 
ISS'.t  o:ne   llTjüiiriiTe  K:e!Vr  V"::   :>1,4   :ii    llüiit-  ":,d   •'>:'■  < m 
.  Bru»rh;''iu';.i-,;i\ir.i.i.'>-er  'ohü--  liii-d--'   f;i!l-.-:..   WfU-ii-  ]>[.  /■;::. 

"i  l;»0«.ii'i:  .lithre  in;  gt-M  hUs.-fi'.e:.  B-  -!;»ijii(.-  eiw.tci.-en  'i:  i   iaiut 

»  Hl  l\»li;e  einer  Nnvlerh^'-niT   <:er  ir,ii->-n  Büuine  d;;roh  ••{'.  tii 


B.  Ilartig:  t7theT  den    l}rehieuehM  ttfr  Riefrr. 


201 


Sturm  vSllig  freigijsUUt  wnr.  Der  GinÜiue  der  LicbUtellaof? 
Hof  Zuwachfii^rtese  und  Hulzbesch  äffen  hei  t  wurde  von  mir 
»rli  "  "i-r  veröffeutlicbt.')  Dieser  Stamm  zeigte  sich  sehr 
gtr.  i  1;^  und  üur  in  der  «Iiigund  drt.'hte  derselbe,  wie 
rielt«ichi  jede  Kiefer,  etwu  nach  tinks,^)  Die  in  1,3  ni  Höhe 
ttDtu4Muroeni*  Queracheibe  zeigte  noch  I<^7  Juhresrin^e  und 
TOß  ihr  stammen  die  Unter^uchungtiresutUte  Tab.  I  (S.  203). 

Stamm  11. 
Etwa  20  Schritt  von  obigefo  Stamme  entfernt  stAnd  eine 
30,5  m  hnhe  Kiefer  von  60,0  cm  BruäthöhendurchmesBer. 
Dieaer  Baoni,  dessen  Beschreibung  ich  in  dorselticn  Abhand- 
lung') gegeben  habe,  liees  eine  ausserordentUche  Manaig- 
hltigkeit  im  Verlaufe  der  Hol^raäcrn  erkennen.  In  den  ersten 
Jahrzehnten  drehte  derMlbe  stark  nach  Hnka  bis  za  9*^  Ab- 
weichung rou  dem  Loth.  Im  40&tea  Hinge  von  innen  waren 
die  Fa*rni  Inthrecht;  dann  bef^imn  eine  Abweichung  nach 
rechts  bis  zn  5^  Im  70sten  Ringe  verliefen  die  Fasern 
wieder  tolhrecht.  Dann  trat  starke  Drohung  nach  rechts 
ein  bü  zti  19*'  Abweichung  vom  Loth.  Vom  lOOsteu  Kinge 
ao  nimmt  die  Neigung  wieder  etwas  ab  und  zeigt  in  den 
letxttru  .lahrzrhnten  nur  10".  Bemerkenawerth  ist  daltei,  das» 
in  dervetben  WuchsperitHle  der  Drehungswinkel  keineswegs 
in  allen  Theilen  des  Umfange»  derselbe,  duudi'rn  an  einem 
l^inkte  oft  erheblich  grösser  ist,  als  an  anderen  Theilen. 
WtoD  man  au»  einem  Bolzabsclmitt  einen  Keil  abspaltet,  so 
idgt  die  Spaltfl&che  einen  nnregelmüwig  welligen  Verlauf. 
Du  Hotz  derselben  Wachsthumszone  zeigt  ferner  in  einem 
Baumtheile  eine  Rit:htung  von  10*^,  in  einem  etwa  20  cm 
dmrflbcr  gelegenen  Theile  von   15  ^ 


I)  AU^^  Wonl-  a.  Ja^xeitoDff  1889.  ,Üeber  den  Lichtataadi- 
araacfai  der  Kietor.* 

*)  ,l4nki*  im  irobjectiren  SiDno,  d.  h.  fOr  den  Befcbaaer  rei- 
Uafr»  Ji«  FaMra  vca  recht«  unten  atu-h  Hnkii  nnfwOrt«. 


202 


SUnng  ibtr  math.-pkft.  Ctmtt  vom  4.  JM  fMI. 


Stamm  Ili. 

Eine  223  Jahrring  zählende  Kief«ni«Gfa«ibe  «o»  der 
PfiUXf  die  ich  der  Sammlanf^  des  boUnücliai  (lutitab 
dankdf  zeigt  in  der  .lugeod  Link-sdrebuiig  bij»  tarn  lOOi 
Jahr.  Von  da  au  tritt  Kechtwlrrhiiiig  ein.  die  im  Mattra  De- 
cenninra  11*^  erreicht.  Abnabtue  und  Zunahme  der  Drehani 
erfolgen  demlich  regelm innig. 

Stamm  IV. 

Im  Jahr«  1894  fand  ich  an  einer  Sfigemfihle  bei  Kirch- 
ieeoD  (Oberbajem)  einen  circa  5  m  langen  Kiefemblnch. 
ivelcher  unten  76  cm ,  oben  54  cro  Durohmesser  besaw  nnd 
auHseDrdenilicfa  stark  links  drehte. 

Am  unteren  Ülnde  (IV),  welche;«  190  Ringe  zithlief  be- 
gann  die   Linksdrehung   rem  Jugend   auf  schnell    qnd 
völlig  trU>ichmäA.<nkr  /nnebniend    bis  xu  55*  Abweichung 
der  lothrecbton  Richtung. 

Stamm  V. 

Am  obereu  Ende  deaselbeu  Bloches  xeigte  das  Hob 

^fang    an    eine   Mhr    stark«    Drehnng   (15^)    nach    link«. 

Dieselbe   stieg   nur  laagnm   und  errdchte  im  letxUa  Jahr- 

xehnt  430. 

Stamm  VI. 

Herr  Profesisor  Tnrsky  au8  Moskau  nandt«  mir  ror  xirei 
Jahren  ein  KiefcmstamnifitQck,  von  dem  der  innen^  Theil,  der 
wahr»cbcinlich  trtwa  70  llinge  nnifiu»!  haben  mochte,  durcl 
Poljrpüniti  vapumrins  tvntüri  worden  war.  Der  nuch  ge 
sunde  Theil,  der  1^0  Kingn  ^hlte.  lies  in  den  innersten 
10  RingMi  völlig)'  G«*nuIfiMorigki*it  erkennen.  Von  da  an 
begann  anfange  langwim,  dann  schnell  muehmf^de  tterht«^j 
drehuDgt  die  im  let?.teu  Jahrzehnt  einen  tjrad  erreicbte,  di 
die  Fosom  in  wclligfni  Vorlaufe,  ali«o  im  Üun!hj*chniti  toä 
90*  rings  um  den  Stamm  benuu  liefen. 


R.  Bartüf:  Othtr  /fm  Drehte  urhA  dtr  Kitfrr. 


203 


Stamm  VII. 
Ein  280  Jahresringe  Keigeadoi,  8  cm  starkem  Lärcbeu- 
ita  '. ,  Hm,  utm  den  Österreich ii»c he n   Alpen  aiiinini^md, 

^mi£  ..-.  lielegcnbeit  einer  Forstauastollunj?  zur  Verfllgnng 
l^tetlt  wurde,  war  80  intortwsaut,  diu«  ich  danuelbe  in  die 
Uutf^rHuchung  tüinbfxng.  Bis  Kam  fiOsten  ßingn  von  looen 
tor  ''  ■' i-.eniTlaiif  eiü  vöUiß  gerader.  Vuu  da  an  b^ann 
»1  :  mg,  die  zuIKkI  70'^  errHctitt?.     b^eil  200  Jahr«n 

iKt  der  Zuwachs  do  aussemrd entlich  geringer,  to  das»  jeder 
Jahrring  neist  nur  aii.«  itwei  Truclieiden   Ijestüht.    Rine  vnr- 
Qbergehend«    Zuwarhssteigcning    im    110 — löO.  LHhen.'^alkT 
I       iit  aber  »ehr  interoasant    wt'^eu  der  spater  in  erwUhnenden 
H  Reeinfloffiung  der  OrganlÜtige.    Votti  \hi).  Jahrringe  an  trennt 
^^Mh  drr  IlMUkuqjcr  in  älinliclier  Weiso  wie  bei  der  Borken- 
^^^■dung.     Ya  ent^ütphen   liiüne,    und    die    neu    ^ich    bildenden 
Holzringe  Terlaiifcn  nur  no<;h  wie  eis  Biiod  spimlig  um  den 
Stamm  hunim. 


Stamm  I. 


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SUmm  IV. 


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SUmm  VII. 


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£.  llartigi   Ueber  4et*  l>retittuciu  dtr  Ktefer. 


207 


Uebcrblicken  wir  die  an  dun  Stämuien  I  —VI  an fl retenden 
DrehuoRsnvbtuuiceu,  so  erkeniiea  wir  xuoäclisl,  daas  alle  KJe- 
fcre  in  der  erftieii  Jagend  links  drehen.  Wiihr^choinlioli  gilt 
dft*  «Qch  für  SUnini  VI,  detvwta  innerer  HoUUidl  verl'ault 
vrar.  Vou  20.  hl»  30.  Rin^e  au  tritt  entweder  Otiradfaserig- 
ktil  ein  (I),  oder  die  Liukddrelinng  setxt  steh  iu  t^eatelgertem 
Ür»d«  iii  der  Ki»Igt'  fort  (IV  und  Vj,  oder  der  Drebungs- 
wiokel  nimmt  ab  uud  gebt  au«  der  Link^idrehnng  in  die 
Rerhtadrehung  aber.  Diese  AeaderunK  kaitu  ttc\wn  frtlbzeitig 
(U)  Uiler  erat  nach  t\vm  I00sl:en  Jalirring  (IU)  eintreten, 
Di^  \i,.^v,i,,. ..  ,xier  Zunahme  der  äcbrügstellung  erfolgt  enfc- 
«I  _  '■-*^g  uder  i)ent>di!^:h  sicli  üudernd^  »n  du^^ti  auf 

starke  Ureibongen  schwache  and  umgekehrt  folgen  (U).  Der 
Dnbungxirtnkel  iät  am  ganzen  Stamme  in  derselben  Zeit 
mcht  derwlhe,  kann  vielmeiir  nacli  üben  ubnebmen  (tV,  V). 
Auf  iUd  rerwbiedenen  Seiten  des  Uiiumes  ist  der  Winkel  der 
Drvhung  ein  verÄibiedenvr. 

r>a  ßrauti  den  I>rohwiich?i  in  Bezicbnng  zu  dem  Utngen- 
wAiJuthnm  der  Cambiolzelleu  gebracht  bat,  üo  Hchien  e.H  mir 
«ttnicM  wnnschenäwrrtb  ?.\i  »ein,  einen  klaren  Kinbück  in 
die  LängeiiTerhältniase  der  Tracbeideu  bei  gerudfaserigen 
und  drehw(lch«iigen  BSumen  zu  erhatten.  Sunio*)  kam  dtin-h 
sdn*  Hnteriticltiingen  un  einem  llOjiibrigen  Kiefern«tunim 
CO  Jetu  Ergebniwe,  das»  die  mittlere  Länge  der  Traclieiden 
im  ttrvton  d.  h.  im  innersten  Hinge  am  kUne^ten  uud  zwar 
snUr  I  mm  lang  »n,  das?  t\i*;>e  Lunge  in  dett  nächsten  Jahr- 
ritif^trfl  •ehnell  Konehme  and  im  SOfiion  Jahre  2,60  mm  erreicht. 
Kach  dem  DOateu  Jalire  blieb  nich  die  Länge  entweder  gleich, 
oiUr  »igte  nur  eine  sehr  geringe  Zunatime. 

Idi  habe  «chon  für  di«  Itothbnche')  und  Kichte*)  nach- 


•»  Priagilieim't  Jahrb.  VITI  p.  -iOl  IL 
^  Dtti  Bols  Jer  Itotfabocbe.  186^  p.  26.  berlin. 
*)  Di«  Vonnbinlanhoiiti'n  in  dar  Qtialit&t  uQ<i  im  tknatomitohttn 
Am  im  TiAUnhoiwn.    la  Fontl.  nuturw.  ZeiUelir.  ISlii  p.  'iSS. 


206 


Sitsung  der  iMath.'pht/f,  (la*»e  rem  4.  Mai  Iffftf^ 


gfimeeeOt  doss  die  Orpanlänjje  von  einem  gewissen  Alter  i 
vrii^iler  libotnimt,  nnd  zwar  bei  B&nmea.  welche  im  Bontnntte 
Iw^rani^  sind,  frdher  nln  hei  den  dunitHircnd^n  Rilnnion. 
Ni'uerdin^'s  hat  fUneis*)  |»ffunden,  dii^  in  cin'mi  ic«nii(r- 
wfich-Mgi.Mi  llOjilhri^n  Kipfernbratande  liel  Briistbohu  die 
TrftcIicidenlaDfp*  schon  im  TiOgiten  Jahre  ihr  Maximum 
reichte  und  darn»ch  «schnell  ahniihm.  Auch  Bisrtog') 
itUititft  die  Abnahme  der  Or^Hnliin^e  vtwB  vom  BOstun  ^m 
au  (tlr  Fichte  nnd  Tanne. 

t)uA  ßrgebuifls  meiner  Messungen  an  dem  rorixnu.'ichntib 
Untomnchungsmutenale  ist  ein  in  mehrfacher  Bezichnfl 
iutereetiantefi. 

In    den    boigefflgten    Tabellen  I — VII    habe    ich   nio 
allein  die  Mitteilung^»  iiu»  etw»  j«?  60  Einy.idmc»*im({nn,  »in- 
dem   auch    die    ^rÜ6Mte   und  jt^cringste  Län;;e  }.,■■_•''■-'       f- 
ji'drni  llol/ibirile  Itctinth-n  iich  Tnu-hridfh  tlt>r  s 
Län^e,  und  w  Iwdurflc  einer  ffromen  Xahl  von  MenuDgen, 
um  eint!  brauchbare  Mitteluihl  zu  erhiüteu. 

Khe    vir   die  Verhältniine   besprechen   kennen .    m»1-1— 
auf  di«'  [>ftng«  der  Orgmue  einen  VItnQu«»  anHÜbt^n,  «r-i 
ea  nothweadi|4.  die  ZelltheUuDfiisTuriyEänKe  in  der  luJtiaLwhicUl 
des«  Cutribiurarmuireli  inH  Auge  in  faxten,   durch  wcKli      ' 
Initiai/elUtii  n'Ib^t  üiich  vi*rmehren,    Da  d*'r  tangtiutiahT  Ii 
meflser  der  Ijiitialxvllen   eine  bcs^cbränkto  UrfWw!    bfwitxt, 
riiiiiu(    iitil   drr    Umfatii^tzunuhme   dea  Axentheileä    eine  V< 
uiL'hning    drrMflbcu    riiilrrlen.      Diw»r     Vcrinehning    bor 
auf  einer  l^noriheitung  der  CunbiaJsu'tlen.     Allnrdinpt  itftj 
nuMwrordeuUich  wliwierig.  diese  Quertheilung  in  der  Initii; 
»cbicht   i^elbüt  zu    liwiltachten.     iJa  aber    '      "'■-  -kung 
■US  diT  Inilialy.r'llc  bervi»njfi;tinif«tH'n   <n'v,  <    ^jci 


KiflCsnitiMtiuKlM-     .  April- 

^  Wach«  and  UdIi  drr  WtJMtonav  und  KichU.  Rl>«nd  18M.  tt»l 


I?.  Uarikf:   ürfttr  ihn  Drthtrurihii  dn  Kiffer. 


2(m 


Kiefer  aar  eine  ^eriof^e  istf  so  dnrf  man  uu»  dem  Oentaltimg»- 
rtrhältnüw  der  Tracbüiden  selbst  eioen  SchliuB  auf  dia 
CirOiwravffrhftttiiiser  t\vT  [niliiil/^lleu  ziehen.  Diu  Qiit'rtheilun)^ 
crrotgt  Ewar  in  der  Melirfinlil  der  Fülle  uDiiäbenid  m  der 
Mitte  der  Orffaoe,  nicht  selten  wird  aber  toq  einer  laogeu 
luilialzvtle  cur  ein  ganz  kurzem  S(;Üi;k  abgeschnitten.  So 
kommen  Fülle  vur.  in  denen  eine  Zelle  von  5^5  mm  Länge 
Jo  swet  Tochterzellen  zerlegt  wird,  vim  denen  die  eine  4,8  luni, 
die  anderv  0.7  mm  lang  i^t. 

\V  '       '    inlich    erfolj^t   die  Theilnng    an    dem    Funkte 
der  Ici:  .  wo  durch  die  peripheriMühe  Ausdehnung  uuf 

die  Entiriebung  neuer  Initialzellen  der  gri)&7te  Keix  auHgeübt 
wird.  Die  beiden  Tochterzelleu  strecken  flieh  nun  in  der 
durtb  die  >^tellung  der  ijuerwand  vorgeseicbueten  Richtung 
an  einander  vorbeigleitend.  (Fig.  Uc.)  Das  obere  Ende 
dar  onterco  Zelle  wäcbet  nach  oben.  Das  untere  Ende  der 
uber«n  2A\f  streckt  ^ich  naoh  unten,  und  die^s  Strecken 
ntruüocet  nicht  allein  eine  von  .hihr  zu  Jahr  /.unchuKMide 
t&og*  der  Organe  r  sondern  auch  eine  immer  steilere  Rich- 
tung drr  <^iierwfiudi'-  In  »»iner  gi^gelM*ni'n  (Jui'rHüchK  vermehrt 
Äcb  ahn  die  Ziihl  der  tuitialzollcn  dadurch,  das-s  die  Enden 
4«r  »nt  Querthetlung  hervorgegangenen  neuen  Zellen  von 
obeo  ood  roa  unten  her  zwi!*cheu  die  vorhandenen  Initiol- 
wV  '  rhieben.    Kaat?;,')  der  dii^en  Theilnng5]irozess 

Hl  .  und  gedeutet  bat,  ist  durQber  in  /wi*ilV'I,  uh 

nicbt  Ton  Anfang  ou  die  QuervrUude  rechtwinklig  7.nr  Längs- 
a«r    der   C  .  üen    rtehen    und    erst    nnehtrüglirh    eine 

icliräge  ätc^-...^   i;<  K"l'j»  >j<«  Lüngenurnchsthumä  einnehmen. 
Ans  meinifn  Uiit  .       l    i  . -n    habe  ich  die  Ansicht  ge- 
iroofieo,  daM  die  Querwände  von  Anfang  au  entweder  nach 
I  r«cbti  o4ar   nach    link«    aut'wärtssteigend   sind,      fcis    beruht 


1  Ih«  HtabtnliJaBKra  im  ii*ciuiiIar(iD  HnUkCtr|ier  der  B&ume  und 
4t»  latbaJÜMorie.    Jo  l^'Bff«hi>iiD'i  J*hrfa.  1892  p.  631. 


210  Sittung  ticr  mnthrphtf».  CioMnc  com  4.  Mai  IS05. 

darauf,  wie  wir  sebeu  wor<]en.  die    KrHciiciniing   des    Dreh- 
wnclne»  der  Bäonie. 

Üi*r  Umstund,  ila8s  wir  jedttr^ett  di«  ver<r.hiedeii^t«t  Or- 
giiiiläu>;t*ri  nt?bt*UHiiiaiulcr  vortindeu,  urklürt  sich  a,Uu  durutit«, 
(tusB  dieselben  aii&  juDj^en  und  alt«n  Initialzellen  eotät4tad«n 
aind,  d.  h.  au*  solchuii,  die  «bt^ii  frat  t'iut^  QiivrtbciluDK  er- 
fahren haben,  und  »olehon.  dir  -«f-bon  pino  Itcihe  von  Jafarao 
Hieb  zu  strecken  Zeit  batteu. 

E*  ui  uuu  k'icbt  vtirtttändlich,  wcüalmlb  ixi  diro  iononfteii 
Jahresringen  die  Or}^ant<  noch  klein  sind.  Sie  sind  an» 
jun^fou  InitialAelten  entaUmdeu.  In  den  beigegebcnon  Ta- 
bellen hübe  ich  auch  die  Orgunläiigcn  d«K  zweiton  oder 
dritten  I{in^;uH  anf^e^ebeu.,  und  wird  man  daraim  emeben^ 
diiB»  diy  groe«ten  Lungen  nur  etwa  den  dritten  Theil  der»^ 
jenigen  Fn»ertünge  erreieben,  die  in  höherem  Aller  auflreteii. 

Im  weiteren  Kntwit-klnngvgBn^e  des  Baumes  oder  Baum- 
theil«^  wird  nun  die  ()rganltln^t>  biKÜngt  dni*ch  die  KmäbruDg 
deü  Baume»,  insofern  eint;  iim;hhattige  Steigerung  indem 
WachstbnmEtgnngo  do-!  Baumes  auch  auf  das  Längonwachs- 
tbutri  dt!r  Initialzellen  gOntitig,  ein  andauerndri«  ^^io- 
kun  dcH  Bituntxuwacb.«eK  uiigOnfitig  einwirkt,  wliiirend 
(rf^hnell  voKI hergehende  Stnigonmgrn  oder  Störungen  de«  Zu" 
WVohsea  ohne  Einfluas  nnd.  Im  entgegen geiMtzten  Sinne  wirli 
nstfiritcb  die  mit  dem  /nwiich-^e  verbundene  UnifongHznnahmr' 
detf  Baumtht'ilea.  .Te  whneller  sich  die  Peripberie  und  der 
Cambiumniantel  vergrösAert.  nm  so  lebhufter  erfolgt  die  7»\\- 
vermebrung  duruh  <iutii'     '         drr  luit  "      '"       '  - 

nehnittwlter  und  die  uiiti  iv^eJerlr 

berabgedrOekt. 

Berechnet  man  den  ZuwaebK^angunQuoräücbe  t«ti*b? 
in  den  Tabellen  die  Spalte  Über  Jahresziiwaclw)  und  ver- 
gleicht ihn  mit  der  Ulngf  der  Triuhfidm.  tto  tut  einr  Ito- 
zidbung  zwischen  beiden  gar  nicbt  za  rerkenueu.  £iu  t51- 
liger  Paralleltamu«  bestehl  freilidi  nicbt,   aber  dtiiu  St^igm 


M.  Bartig;  UAtr  den  Jtrehwuch*  der  IGcfer. 


211 


uuii  Sinken  d«  Zuwachses   fol^    nach  eini};fer  Zeit  ein  Zu- 
aebmeii  oder  Abnuhiueu  der  Organlänge  in  enichtlicbem  Graiie. 
Ks  wini  uuiinjohr   nucb  veretäodlicb,  woher  es  kommt, 
im  unL«rn  Tbeile  einu»  Hauuit»   die  Organe  iuim^r  er- 
faehlich  kleiner  siud,  als  höher  im  Stamme  aufwärtä  bis  zum 
Krcicifnanwlx.    Wir  wiiseii,  daäs  die  Zuwacb^prösse  im  domi- 
nircudeu,  d.  h.  noch  niclit  untt't'drHckten  Kiefemätamnie  von 
oU^n  nach  unten  zuutmnit  und  duas  intibesondere  der  untere 
Staxntutbvil  einen  riel  lebhüfteren  QuerfliLcb  erneu  wuchs  btwitzt» 
i«  die  oberen  Schafltbeile.     Schon  ein  Vergleich   zwischen 
tn  Siftintu^ttlckcn  IV  und  V,  die  h  ni  von  ein»itdrr  entfirrnt 
ligen,   xeigt  den  groaaeu  Unterschied  im  Zuwaclise  gleicher 
WnchüiKTitKibu.    Am  unteffii   Ende  des  Stammes  nimmt  der 
|L'nif»ni:  jährlich  mit   oiuem  höheren  IVuceaUatze  zu  al»  in 
em  o)>tTfti  Schafttbi^ile,  und  die  Zellvermehrnnf;  durch  Quer- 
tbciluQg  mttw  demKemäfl»  »chneller  Yur  sich  geben,  als  oben. 
InitiaifaBom  •:        '        .4oniit  unten   ein  p^eringores  Alter, 
iiu  ubereu  Stin  )>■,  Mud  desuhiilb  kürzer  »U  dort. 

IvDterstioht  luaa    diti  Or^anlängc  an  einem  excentriitch 
ätammtheiie  auf  der  breitringigen  und  auf  der 
SeiUt   »o  ßberrnscht  ferner  die  Tluiboiche,  da^g 
«nf  Mzivrvr   die  OrRane   im    Durcb^chnitt   Itingur  sind,   als 
anf  der  en^teren.    Am  SUmmtitGck  V  hatten  die  Tracheiden 
•cbnuüeu    Seit«   die   auf   äoite  212    xitäunimengt'.^ti'llten 
iogvQ,    «rtdchtf    mit    dennn    der    breiten   Seite    (Miube   auch 
Seite  206  Tab.  V)  m  vergleichen  mnd. 

1  it  mir  /H'WrellijM   zu  »ein,   ila^  die  lau^fäiunere 

l_AufiLlc......»^    lies  CambiuuiringeA   und  dem   entspretibeiid  die 

eh  settener  wiederholende  Quertheilüitg  der  Initialfa^ern  die 
Cnach«  der  grüMcren  Lunge  der  Tnu.beideu  auf  der  schmalen 
äaiti?  '  '^  .lUMM  ist.  Sio  werden  auf  diener  Seite  älter,  als 
aaf  >'  "ti  Seite. 

Irgend  welche  BeziehuDgen  xwiachen  der  Organlängc 
Bdder  Drehwficbsigkeit  der  Bäume  läast  uich  aber  nicht 
kennen. 


212  Siliunri  \ler  mnth.-jihys.  Cltuir  mm  4,  Mai  I89S. 

Sobo»!*  Mte  BraU*  Bttt* 


Alter 

Loltonica- 

Fuftr- 

Hltl«I»ii«* 

Niltullfci 

tneliMd«!) 

UschcM«!! 

ftlltr  Tn^lMtd«« 

166 

8,61 

3.63 

3.73 

3.71 

145 

— 

— 

— 

3.74 

135 

ft.67 

S.5» 

8.63 

9,18 

125 

3.26 

2.8B 

8.06 

a.67 

115 

S.CO 

3,63 

3.71 

»,oa 

105 

8.64 

837 

8,76 

3,19 

95 

8.79 

9.68 

3.81 

8,30 

B6 

».50 

8.78 

3.63 

S.GS 

76 

4,11 

3.6f> 

8.90 

8.39 

65 

4,00 

8.96 

5.97 

8.75 

55 

8.84 

4.01 

3.98 

3.49 

45 

S.U 

8.48 

3,8  t 

8.30 

96 

«,4I 

8.70 

8,66 

3,38 

25 

3,18 

8,64 

3.41 

3,38 

16 

2.87 

8,85 

8.n 

.!.96 

a 

1,84 

1.41 

l,B7 

M7 

Die  Gcrftdspaltigkeit  und  der  aehräf^e  Verlauf 
der  HolzfaAem  häoi^t  vielmehr,  wie  dii>  weiteren  TnltfrHQeh' 
uiigeii  «Theben  bulten,  vun  ih'Ui  VrrhUItntHM;  ah,  in  wel- 
chem die  beiden  Qaortheitunf(en  der  Initialfa«iern  zu  einander 
stehen.  Untersucht  miiii  uuf  T{ui^;ential'M:bnitteii.  wie  viele 
der  j[lngen>n.  d.  h.  der  micli  riiuht  »ehr  ^teii  aiifiteigendirn 
QuerwÜiide  von  rochto  nach  tinlm,  wie  viele  von  links  luch 
recht«  aufsteigen,  so  ergibt  sich  xunaobst,  da«  stcto  beide 
Arten  von  (^uertheiliingen  Torkonim<>n,  dam  abardaa 
VerhttlLniwt  derttulben  keiue'^wegs  immer  da»  annähernd  glelcJie 
tat.  In  den  Tabellen  I — VU  habe  ich  in  den  letr.U'n  beidmi 
spulten  ttiitjegebrn,  wie  viele  li^chts-  und  wie  viele  Linke 
Lbeilungen  ich  in  dem  betrutt'eudeu  Alter  vorfiind. 

Vergegenwärtigen  wir  uo<  dt«  Wirkung,  welche  das 
Iritngenwacbtfthum  der  aas  der  Querilieiltm^  einer  Inittal- 
fitöer  herTorgogangenen  beiden  Toclit^TzeMeii  auf  die  Uichtung 
der  Kii5orri  aa«jt1ben  niu«,  s»  i«t  ersichtlich,  da«  hri  einer 
Qiiertfaeilung  nach  rechts  das  obere  Ende  der  unterem  ZeJle, 
indem  e«,  dem  nnteren  finde  der  t^bwetterulte  auaweiobend. 


R  Jlarttft  ü^r  tien  Drehww^  Her  Kiefer, 


2ia 


rechts  vorbeiwächot,   eine    Ablenkang  nftch  rechts 

erhält,  wo^ef^en  das  uotere  Ende   der  obereo  8chn'cstcr/^lle 

lui  seiner  Wrlilngfrung  nach  unten  eine  A  blenknnpr  niich 

link«    orfähri.      Ein    Biiara,     dessen    [nitial/i'llen    öich    von 

_  ;ad  auf  ifflinor  nnr  in  vorgedachter  Weist'  thoileo  wArden, 

bald  eino  Sohr^BWllung  aller  Fasern  ron  links  nach 

In    den   ertöten   .lahr/ehnteo    drohen    alle   Kiefern  mehr 
oder  weniger  linkä,    und   dies   komiuL  daher,   daaa  die  Zahl 
vr  Quertheilongen    nach    links   in    den    ersten  Jahrzehnten 
amer  aherwiegt,   so  %.  B.  bei  Stamm  [    mit   2-i   zu  10  im 
i.  liiug«,  mit  21   zu  17  im   10.  Kinge.    Bei  den  im  späteren 
kliot-   geradfawrig   wach^euden    Kiefern   schwankt  nun    die 
iil  der  Kechtd-  und   Linkxtheilun^fn  je  nach  dem  Baum- 
brtle  und  «rahrriiige,  ohne  ein  Vorherrschen  der  einen  oder 
andern  Theitun^richtnnf;  erkennen  zu  laflsnn.  (Siehe  Figur  II.) 
\l  gleicht  s-ich  aber  die  Wirkung  beider  ThcIIungsarten 

-^  auf  den  Fasf  rverlauf  im  GttnMU  aus.  Sehr  iustriictiT 
nini  U.  Bis  xora  20.  Etinge  xt^igt  dernelbe  starke  Liuks- 
ihaxtg  (0")  wnd  20  Linkslheihmgen  i^pgendber  ITi  Hecbts- 
heiJunge».  Dann  »fi'llfjri  sich  die  Fasern  mit  dem  40.  Ringe 
HenkrtH-ht»  und  zwar  in  Folge  davon,  da-w  die  Keclitiit  heil  inigen 
die  U^berhand  gi*winnen. 

Im  6'>,  Jahre  ist  die  Schrügetollung  nach  recht*?  5"  unrl 
«war  in  Folge  der  grossen  Ueberzahl  der  ItechtitbeilunK'en 
^21  r.  Tcn  1H  1.).  to  d^n  nnchsieii  40  Jahren  (Iberwi^en 
rieder  diu  fJnkotheihmgen  mit  20  ku  1({,  in  Folge  denten 
Koiem  die  lothrecbt*»  Richtuntr  einnehmen.  Von  du  an 
fibenricgen  wiedi-r  die  UechUtlirilimgnn,  äo  das»  die  RechU- 
drefannff  whr  i4ark  wird.  In  den  letzten  Jahrzehnten  ver- 
■•ich  die  Schr2igstelhmg  wieder,  weil  die  Linka- 
I  n   wieder  überwiegen  (23  gegen    \'M. 

S-iimm  Hl   erreicht   die  Linksdrehung  der  Jagend 
flut  6**  ihr  Mnsininni  in  Folge  flberwiegender  LiokHtheihingi'n. 


2U 


Sitjmttif  der  Mtütu-iJiyu.  (!la*Me  ruw  4.  Mai  SS86. 


Vom  43.  Jahro  an  Überwiegt  ftlr  alle  Kulf;u:eeit  die  KocbU- 
Uteilung.  In  Kol^ij  dessen  ^eht  schon  von  du  au  die  Link»- 
ilrtThunt^  nus  h^  in  4"  Über,  mindert  «ich  ininit-r  ni«hr,  wr- 
reicbt  mit  lü3  Jubreu  die  Seiikrerlit*'  iiud  <*i*ht  nun  in  die 
UechtMlrubiiiit!  ill>«r. 

Stamm  IV  xeif^  von  Jugend  auf  ein  Ücbor«negen  der 
LinkstbeiJnn^un  und  dem  cnUprtxTbeiid  tMue  immer  ^Ulrker 
werdende  Linksdrehung  bis  xu  55**.  Nur  tm  )>0.  Jobre  lindel 
einmal  eine  Al>«i<:bwüchun);  dea  Drehun^winkcU  von  18" 
auf  15*  «tjat  und  der  lH'tn;öende  Uolztheil  lie*i  in  derTbat 
ein  Üeberwiegen  d«r  Kechtfitheilungen  erkennen, 

KOr  Stumui-stück  V  gilt  do^elbn,  nur  mit  dum  t'nter- 
bchicde,  da«s  die  Faltern  gleich  in  den  ersten  Jahren  s«hr 
«Lark  tiukji  (IT)*)  drehen  und  dann  in  der  Folge  der  Drvban^- 
winkel  nur  liuigxam  grüff:c«tr  wird. 

Der  Moskauer  SUmm  VI,  desiteii  innerer  Kern  dusxh 
Uol/.pantiiten  AnrntOrt  wurde,  xoigt  im  70.  Jabrt  <hon  ein 
Ueberwiogen  der  lEecbtAtbeilnngv^n.  da  offenbar  in  den  Torber- 
gebeiiden  Jahn«hnten  der  Stemm  a»ch  '  Ir«>ht  haU«, 

und  er-t  durch  länffcr  aohallvnd«  UeU-'  der  lkei:hta* 

llteÄlungen  in  die  seokruchte  Fasen^luut;  geUngca  muwte. 
In  der  Kolgr  Hlirrwugrn   die  KccbUlbciluugen  su  «i*hr,    daas  | 
nach  dem  «00.  Jabre   der  Faserrerlauf  nahiou  ein  boriscm- 
tel«r  wvrd«. 

Der  LärclMtHtemm  VII  teistt  bü  com  (H).  Jahr«  Gen^ 
faMngliccit  it  iu  den  '  -^baihnKMi. 

Von  da  an  ii'.>vi*«ii^i  ^itt  Kwcht ^»m-i i v< i»|^ .  ?■•  »«^  otr  Dpm* 
oDginriDk«!   aahKfKffh    70*  aanneht.     DäaMr  Steoun  irt' 
noch  dadorcb  iotmwnt,  4tm  in  den   beteten  JakrtiiiiiJ«t 
die  Kmäfawg  im  Bmnmm  mam  <o  gaan^  «nr,   du»  di« , 
Slivclraog  dar  liiilialfa—n  nad  daarit  £a  VBiBaliiiif  4m 
«•Ibaa  in  Qaawehmtt   aickt    gvaOgt«.   dm  Anftn—u   4m 
HoUeipOTi  u  TvritindMn.    Der  jU^tn  UobhSirpM-  laldate  , 


A.  IJoflitf:    Vther  thn   fhrhieudu  der  Kiffer.  215 

iclilitf9»lit:b    nur  noch   Pin  schmales  SpirAlbandf    welches  den 
all«n  HoLxtheil  umschlingt 


In  den  beigofagten  Kignren  ist  der  geradfaserige,  und 
tinlcMlrebtiude  Wuchs  d«r  Ki«fer  zur  Darstellung  gebracht. 
Wt^nn  DAch  dem  Vorxtc)imiden  iiuch  venitändlich  gewurden 
i*ein  dörfl?,  wumuf  die  Abwoichungen  des  Faser  verlaufe  von 
drr  »enkrecbtcu  Kicbtuog  zurückzufilbren  sind,  so  bleibt  es 
anderentheiU  T5llig  ouerklärlich,  wenshalb  die  eine  Kiefer 
bei  ihren  /elltheilungen  in  drr  Initialscbicht  vorwiegend 
nach  df*r  einen,  die  andere  verwiegend  nach  der  anderen 
Uiehtiifig  hin  die  ticbrägen  Quertheiluiigen  au8ftihrt.  Aeusaere 
KinflOft«  scheinen  dabei  völlig  ausgeschloeaen  zu  sein  und 
isi  höchflt  wahrscheinlich,  dass  es  ?ich  dabei  Irdiglich 
Bi  iuncn*,  iudiriduelbt  und  wahrscheinlich  innerlialb  ge- 
wiaier  Grenzen  auch  vererbliche  Eigenschaften    handeU. 

Xam  Schlüsse  mag  noch  auf  eine  ßigenthUmlichkeit 
uuatj>nii>*chrn  B»tu  der  sUrk  drehwüchsigcn  StHmnitheile 
bingpwiptM^n  worden.  Bei  fJeni  geradfasorige«  Hol«»  tFig.  II) 
«trttml  uaturgisniäKK  da»  Wanner  iu  der  Längs  rieh  tut  ig  der  Tra- 
cheidi-n  aufwiirta  und  der  üebergaug  aus  einer  Tracbeide  zu 
der  iiärhAt  hffher  «tt^rhenden  erfolgt  durch  die  mehr  i>der  we- 
nig*r  K'hrüg  stehenden  Qu  er  winde.  Diese  »ind  durch  dicht 
neben einandertiiehondf  Hoffcipfel  auAgezeichnet,  die  aU  Durch- 
L'  r  iU-it  dienen.    Die  liängiwtindc  sind  ndaliv  tipfelarm, 

V.  \.-U   itnmerbiii  die  Tipfelzahi   genügt,    um   eine  neit- 

Ikhe*  Iic!W«gi>ng  de4  Wa^ftere  in  radialer  Richtung  zu  ermög- 
ticheo. 

Der  uuai^'mi^clif  M:iti  der  stark  droliwnr.h.sigi-u  Kiefern 
irt  Ulla  dadureb  uu^ge/eiehuet,  daiN  die  Seiten  wände  mit 
fl&fLipfffln  ebenso  dicht  bedeckt  sind,  als  die  Quer- 
*ind*».      Diiratis  ist  wohl  mit  Sicherheit  xo  flchliewten.  dam 


J?.  Hartig:  lieber  den  Drehvuchs  der  Kiefer.  217 

Figur  II. 


■  k 


*i*n4ümti§m  KieflMufcolB.    4  L«itansstnuli«td«  ta  rmdiftler,  h  in  UDgcDtfatlftr  ADtlcht. 

Twgr.  SO :  1.    c  TugntUualebt  «iiiM  kSrperlfeb  dargestollten   HolutOckM.    Vlw 

QBMwia4«  »Mh  nchK  ▼i*r  ■"!■  link*  ufitelgcnd.     Vargr.  2üO:  I, 


U  Die  Abbildung  der  Halbebene  auf  ein  Polygon,  das 
■  von  Bogen  confocaler  Regelschnitte  begrenzt  wird. 

^^^^^^  Von  P-  UudemMin. 

Pteeo 


(K^lMn«/«M   '-   '!'•<•.) 


£■  sind  laKlrfiche  Beispiele  gonnu  durchgeführt,  bei 
ee  fiicb  um  die  confornie  Abbildung  einer  contptexen 
Whttop  mnf  eine  andere  handelt,  und  bei  denen  man  die 
Abbildongsfunction  nU  gegeben  betrnchtet ,  um  die  dtirrh 
oe  dargestellU'  He/iebnu^  geonit^trisch  7.11  verfolgen.  Vemucht 
man  mon  mjlchtfii  Heispieleu  undere  fQr  die  IlHupUnfgabe  der 
Abbildongstheorie  (nßmiicb  eindeutige  conforme  Abbildung 
eint*  ^.-.'■.i".-.»n  Fliichenätückes  auf  den  Kiiiheitalcreia  oder 
dir    Hi;  '    nb7.aleiten,    ao   iät   die    Auäb(.Mite   eine   Hehr 

geringe;  d«an  die  verlaugt«  Eindentigkeit  wird  durch  die 
Vr.rxirmgtiiigBpunkt«  der  »tndirten  Function  in  der  lieget 
geradR  <la  geai&ri,  wo  t>^  idr.b  uro  ein  wesentlich  neues  Pniblein 
battdeln  wQnk'.  In  manchen  KäUen  kann  nuin  inde»4en  diei« 
SiSnuigea  heben:  und  (\'\&  an  einem  freispiele  vollkommen 
4ur«bxafnhreo,  «rwhieu  mir  uk  eine  lehrreiche  Anfgabe, 
der  die  folgenden  Ausführungen  dienen  mögen. 

L  S«tet  man  «  =  z  -f-  »y,  »,  =?5P  —  iy  «nd  schreibt  die 
Oteiciiuug   einer   in    rechtwinkligen    Goordinaten    gegebenen 


A'»'.)  =  '^ 


l^ 


220  Sittung  der  math.-phys.  Cifuse  vom  4.  Mai  J895. 

80  besteht  die  Relation 

dt  dr, 

(2)  17  ~  ~  dl  ' 
3  «1  3  2 

and  aus  letzterer  lässt  sich  nach  meiner  frHheren  Darsielinng 
in  manchen  Fällen  die  eonforme  Abbildung  eines  von  der 
Curve  f  =  0  umschlossenen  Ovals  auf  die  Halbehene  (F^-  0) 
ableiten;  es  bembt  dies  darauf,  dass  in  Folge  Ton  (2)  die 
Function 

dt]  .de      I 

(3)  dZ'^'*dZ'W 

auf  dem  Rande  des  Ovals  reell  ist,  wenn  Z  ^=  X  -}-  iY  einen 
Punkt  der  Bildebene  bezeichnet.*) 

Die  Curve  (l)  gehöre  einem  Systeme  cnnfocaler  BIlipsen 
und  Hyperbeln  an,  das  durch  die  Gleichung 

deHnirt  sei;  dann  geht  die  Gleichung  (l)  Ober  in 

^  '  -  i{a^  -X){b^—X)  =  0; 

und  es  wird 

/ dt} i  iJ* 

(5)        ''   ~~  dZ~~  4//«— >  y(a*'~x{(h*'^)'äZ' 

wenn  e*  =  a*  —  ä*, 

eine  Function,  die  längs  der  Curve  (4)  reell  iai;  dasselbe 
gilt  von  ihrem  logarithmischen  Differenfcialquotieuten 

')  Verffl.  Sitzunf^bericht  der  phya.-Okon.  Gesellschaft  zu  KSnJgt- 
berg  i.  Pr.  vom  7.  Juni  1894. 


F.  lAmdmamH:  DU  AhbÜlkmo  der  JlalhebeHK  tte 


221 


(6) 


d  tog  9'        Hio^g 


dJS 


dZ 


^_._.^,      wo^=--^. 


Kt^rer  utt  von  X  iinaMilinvoK:  c*"  »«^  irleinh        .  ^    .  wen« 


(7)        t.  =J-^-^^  =  |og(,-i-K*«-r*)  =  |U| 


«C 


gweUt  wird.    Ej  i*t  voTthcilhaft  v  oder  C  als  nouft  Variuble 
etDfTefTihrt  tm  denken.     Vermöge  der  Substitution 


(«) 


i(f  +  D'     ^■  =  '  +  '^"-' 


wini  Iw'ltnnhtlirhM  d«  System  conffnalcr  EIIi|i.^(*n  (mit  den 
Brennpunkten  -^  e)  in  der  ^- Ebene  filwr^efflKrt  in  iMn 
Svilrai  f*nicentrinrher  Kreise  in  der  C-Eb^ne  (mit  dimi  MitlW- 
pooktr  C^'O);  die  zugehörigen  cnrifocalen  Hyperixiln  gehen 
in  die  Kiwlienvt'ctoren  der  Kreise  Ober;  der  Verliindun^-ilinio 
ditr  Br«nn|iurikt«  (doppelt  ge/älilt)  eotepriclit  in  <ler  ;-Rhcne 
drr  Einbeit«kreii;.  Jedem  von  confociUen  Ellipsen  und  Hyper- 
beln befp^Dzten  Polygone,  da»  keinen  Brennpunkt  im  Innern 
0<lrr  auf  dfoi  Etande  entliält,  t>ot((pric]tt  ein  von  KJ»giMi  cun- 
centrifchrr  Kruise  und  d^ren   liiidien  Iiegn-nitef*  l'ülyi^oih 

KrBirecht   oicb    keine  Seit«  einen   solchen    Ke^eUcliiiitt- 
potygotu  in«  Unendliche,  so  sind  ulle  Winkel  lui  den  Kckeu 

Kleicb   ^  oder  gleich   -^  .     Bildet  man  die  C-Ebeot-  vennoge 

der  m«ichting  (7)  auf  eine  v-Ebene  ab,  m  wird  dus  Polygon 
ir  -    v**rn-andelt,    deiwen    Abbildung   auf  ilie 

.  ...^   .„t- .    '  nrist'jfi'el  sofort. 


B 


aubge 


Liegt    k«in    Brcnnpnnkt    im    Innern    oder    auf  dem 
Raade  dtrd  abzubildenden  Polygons,  so  hüben  wir  al»a 

)   Vcri|i.  i>  13.   Hultmfiltcr.  Einführung  in  die  Theorie   i]«r 
watiiilm  VerwudluhaftM.  I^ipviK  l8äS,  p.  ISÜ  «.  uad  Taf  IX. 


222  Säzwmf  der  math.-fk^.  Ciaaae  tom  4.  Mm  SS06. 

Hiebei  bedeaten  B^,  B^.  .  .  B^  diejen^^en  SfeeQea.  ,j« 
Axe  Y  ^=^r  denen  je  eine  Ecke  mit  dem  Wimkel  '—  im 
gegebenen  Polygon  entspricht,  wihrend  den  Punkten  A, 
A^..  Am  Ecken  mit  dem  Winkel  '^  zugeordnet  iänd^  &  m 
immer 
(9a;  m  =  n-p4. 

m>  da»  der  Ponkt  Z=  sc  keine  singniire  SteUe  ^  d^ 
Abbildung  liefert  (wenn  uicbt  zn^Üg  eine  der  Gräwen  A^ 
Bf  nnendliefa  gn»  wird). 

2,  Ist  d»s  gegebene  Poljgon  im  Endltohea  x*- 
schloä^en.  wie  im  vorigen  Falle,  liegt  aber  ein  Brenc- 
pankt   auf  dem  Bande  (efcwa  £^=e),   so  betrachten  wir 

wieiier  die  durch  (6t   gegebene  Fnnction    —-,-7-.     Da  j.?er: 

die  Relation 

(lOi  w   =  «  -r  -'• 

erffiUt  t«t.  Hl  L^t  die  Function 

~d  Z         1—  X-Ht      2  -^  Z-  J.      j  z->;  • 

wo  "ier  re»irlle  Pijnkt  £"  «lern  Brennpnnkte  ^  zrüi^forinet  <»»!. 
flh^^rall  'aiK-h  flr  Z=  x)  holomorph.  aUo  eteich  •»in**r 
r«'n.-tiinr.*n.  Di-  Verhalten  im  Brennpnnkte  bedarf  mr 
noch  »»in^T  Besprechunir.  E.-  be>teht  für  z  ■=  e  .»ine  Ent- 
wi.2kl-ini:  «ler  K>>rni 

(in         /  — '   =  f^iZ-F\  -h^.  i/f     A*»»  -r 


F.  Limdtmann;  i)U  AbbtUUt*^  <Ur  JfalbefKne  ete. 


223 


und  e»  üi  licniauch 


ds        I 


^^t^ttZ 


-f 


.) 


I     I 

2-Z-A 


-\-f{^-m 


wenD  ^  (^ — /?)  eiue  «ncii  |Mmitivmi  I'uteu'/.eii  geordnete 
Keiliv  lii-tliMitet;  iliv  butmcbttfif  Fiiiiciioti  Verhält  üioli  aUu 
Mii  der  Stellt-  Z=  A'  in  der  Tlmt  nicht  Mingulikr.  Die  Ä>>- 
biidung  wird  .Hooach  dun:b  einu  Koriuel  der  fulgeiideo  (iestiilt 
vrnnitlrlt: 


(lOrt)  i.^.(^^v^i:^) 


V//(2— Äi)    dir 


K//(i?-i4.)V'2— ^ 


+  t;'. 


t.i<*>;cn  lii}tij(>  Hrennpiinkt«'  anf  dem  Hände  de» 
l'olygoiti  und  cnbsphcht  d?r  Wcrth  Z  =  E'  dem  Werthe 
«E=  —  r,  M>  Giideu  vir  iit  gleicher  W&as: 

(18)  m  =  «-f-2, 

8.  (Cs  kann  auch  rorkuiuDien,  duäs  der  Brennpunkt 
oiebt  Dur  auf  drm  Kunde  des  Puljrguns  liegt,  s<m- 
»m  auch  eine  Ecke  desselben  bildet;  das  Polygon 
cbeiiii  daiiD  lüngi«  eint«  Stücken  der  reelleu  Axe,  daä  vom 
b«tr.  Bn^nnpiinkte  ftUügcht,  auTgiKchlitzt.  Die  Entwicklung 
(II)  ist  SU  ersetMoi  durch 

s-f  =  i,(jif-ß'j»  +  A,(^- /?)»  +  .... 

Wir  findea  in  gleicher  Weiset  «J*  die  Function  —^-^ 
an  der  Stelle  Z ^=^  E  nicht  unendlich  wird: 


(«3) 


m 


n+4. 


orui    l..ir(^+TV— «»> 


dz  -v  C. 


224  ^tUung  der  matk.-pltyt.  Clai*e  row  4.  JÜm  ]ia*5. 

Sicid     beide    Brei!D]iuDkte    Kcken    de»    PoJti!uxis<. 
vo  wird: 

(I4>  w  =  «  +  4. 


j  y  Jnz—A,' 


Liegt  ein  BrenDpunkt  auf  dem  Rande,  wihivnd  der 
andere  aU  Ecke  auftritt,  ao  ist 

(15)  m  ^  K  +  y. 

.1-   ^      I     ,        1    t     u       ..fv/Zf^-i^i»      dZ 

loa)      Io*rU-rlr*    (•)  =  (.  I  -;r--  — .-_=   -'   . 

'  ^  j  VnyZ-A,i}  Z-E 

4.  Liegt  ein  Brennpunkt  im  Innern  des  abzu- 
hildenden  I'olTgonü.  so  gilt  wieder  eine  Entwicklung 
der  Form  (llj:  es  bedeutet  nun  jetzt  K  einen  Punkt  im 
Inneni  der  Halbaxe  Y  >•  r.  Damit  die  Function  (ti)  auj 
dem  Kande  reell  »ei,  muss  dann  der  conjugirte  Punkt  f,  in 
gleicher  \Vei:ie  al^  .singulare  Stelle  vorkummen:  es  wird  also: 

(10)  m  =  i(  +  2, 

(lOaj  I.)g  (*- +  r>-^e*) 

JViiiz-X)ViZ-K\{Z~-F^)  "" 

Liegen  beide  Brennpunkte  im  Innern.  m>  i.st: 
i\7i  m  =  H. 


■  ,-  -  -    -     -rC. 
IfiZ-  A,)VZ-E)\Z-Ex\\Z-l-fMZ-fyx) 


Für  w  =  ?i  =  u  pfjfibt  sich  hienins  insbejondere  die  Schwarz- 
sehe Foriiii'l  für  das  Innere  einer  Ellip-^e. 


(181  m  =  i  — 1 

Liegt  x  =  *  :»  lii^erx  imt  j«  x^ — :  *_!-£; 


(19)  •  =  .-i. 


Z— J,    )   Z—£    Z—E.. 

5.  £•  Uobc  »ccä  «er  Ffcl  sx  i>!^n^2»3.  Di»  -•: :  :-r 
unendlich  ferse  Pcskt  «er  ^-ij/att  jb  jifin  ws  r  -7^ o 
Ifefindet.  d.  h.  da»  ec  tich  «sd:»  A»s-:lcii.r  t•^r  Hk.  -~ 
ebene  auf  d«^  AcDft«ere  eixe«  PiItx;^»   t:i   f*r  ::?- 

her  betrachteten  Ge*t»!i  kazieli-  !•>*  Ar£r»:^  rr- 
ledigt  *ich  in  derselben  W*i»*.  w^  si*  *i-K?»Krr-:j:-r  A  :- 
gäbe  bei  geradlinigeo  PoiTgvjcec  d:ircz.  L*  r;*::  :f-r]-  Lr- 
ledigQDg  fand.  Es  sei  J  -7-  »B  /!«■  Pirru  -irTl.i-rr  iriL 
l'uDkte  z  =  x  rageordoet  wird,  lo  ötaE  rt:;^  E:.i»::£;»r;: 
der  Form 

20;       '    =  ;-,(Z— .4-iß(-i-;,.Z— .1-iff »  -    ... 

besteht.     Ist  dann  n   die  Zahl  der  Ecken    mit   deu   Winkeln 
.,  .   IM  diejenige  mit  den  Winkeln  -.    so    künnen    wir    alle 
möglichen  Fälle  in  den  GleichaDgen 

■f  Aanali  di  Matematic»,  Serie  2.  Bd.  4.  \f*7Ci. 


mn&nUmmi  s«r  AbUtng  dar  UstaftM  (üb 
man  <ite  Fooction  (6)  «n  den  «uiuklnvo  a^dl 
sra  catwiekelD.     Di«  eisaeliiHi  Fälle   ttuteraclM«4i 

in  (oi((«advr  Wim: 

1)  Kein  Rreonpunkt  Iiet(t  im  Tn '■   rj, 

PoIrgv^B«  (wrlchniUo  diiro']!  <ra  Pim 

B  0.     o  =.  0,     a,  —  0,    /f  =p  O»     /^^ 

2)  ICiu  Brvonpunkt  «uf  tlcn  tUnd«: 


t)  IMdtt  BnmnpunkU  bmC  dfm  B«»<j«; 

4)  Kin  Rrvunpunkt  al«  Kcke: 
r-O,    u^U,    «,=-'»,    /(«.o, 

5)  Btfiile  BreiiDpuuktt*  «la  Kcken: 

ü)  Ik'id«  llrtriiiifiunkt«   üuf  dvui  fUiidi*    aadj 

ihnen  aU  Eck«: 
1 

7)  Kia  Bn^nntttiiikt  tm  Inneni : 


r  =  J,     «  =  -,     a, 


'.^.     i»  =  0. 


F\  Liitäfmamn:  Die  AbOüttung  der  HaUifbtng  etc. 


22i 


-8)  B^Ule  Itrtfuupuakt«  iai  Innern: 


r'i 


**' 


0)  Eiu  Uretuipuiikt  auf  iltiin  [iiindt%  der  ändert*  viu  lunerii: 


I 


r  =  3.     ft^- 


1 


I 


/f,-0. 


10)  Kin  UrKaii|ittnki  im   Innurii,    der  aiidrrs  ftU  Kckv: 
•'  =  2.     ..  =  -,     '«,  =  .,.     /.'  =  *K     /^,  ==0. 

^rr  KnU  I )  li«l'crt  för  h  =  i»  =  0  itishcsuiiflerfi  die 
Schwarz Vho  Purm«'!  für  dli*  Abbildung  dm  AeiiMtiru  einer 
Ellijine.  I^er  K«ll  Ö)  föbrt  für  m^=n=iO  zu  der  bükanuten 
(:t.  B.  f&r  di«  Kugelfunctiuneu  wichtiguu)  Abbildung: 


Z—A-^iH 


=  «(^  +  1/**-'*)  -\-ß- 


8.  I>i*^l  d*r  unendlich  ferne  Puukl  der  j-Kbene 
«af  dem  Kunde  dca  l'oly^^on«,  ohne  eine  Ecke  des- 
«clben  XU  bilden,  ao  «ud  die  Fürmeln  (21)  und  (21  u)  zu 
•nvtseu  durcb: 

(22)  iw-H-f^ 

(22.)  i«,*,+i/,w)^c;r[:;;'^75^ 

fud  wo  der  reelle  Punkt  Z  ^=  A  A^m  Punkt  r  =  od  ent- 
«prsdil.  Kflr  div  eben  unUrvchiedenen  10  Külle  hüben  wir 
j«tit  b«i.: 

r=-2,  1.  0,  2,  2»  l,  0,   -1,-1,0 

w  üte«.    wlilntid   die  Kugch<'>rifj;en   Werthe  von  n,  a^/J, /?, 
blaÜMn. 


7.  Ein  neiMT  Xiüatz.  wird  DÖÜiic.  veu  der  ODCiwIlkh 
fcnw  Puukt  der  x-EUsie  als  JBcke  d»  abcDUUendesi  Polr- 
jpjok  «icfiKh  oder  mefar&eb  T<n-komnii.  d.  h.  vorn  töcfa  d»^ 
geje^-beoe  Fläehenstück  lucfa  einer  Bichtosg  oder  aacfa  mdire- 
ren  Kicfatoiig«n  (zwiäcben  je  zva  Hj^ierbelxTeigeii)  ins  Co- 
eodlicfa«  CTEtreckt.  Vermöge  der  AbbiUoz^  (S)  eotj^irK-ht 
j«cxt  dem  gegebenen  Flicheastäeke  da»  Inno«  eines  Kr«$- 
bügeflpoljgoos,  de^aen  Begicnzon^  dnrck  eonomtniebe  Krnse 
aod  deren  EUdien  gebildet  wird  and  bei  dem  Aae  gemonsame 
Ceotrara  mehr&ch  als  Ecke  Torkommt.  Zvei  im  Centnm 
zaaaoimentreffeDde  Kadien  bilden  den  Wickel  ix,  venn  in 
der  r-Ebeoe  die  Asymptoten  der  entepreehenden  Hrpoitet- 
iste  denselben  Winkel  einschliessen.  Statt  des  Panktes  C  =  0 
kann  auch  der  Pankt  ^  =  x  als  Ecke  des  Krnsbogeoptrfrgons 
Torkommen;  es  können  auch  beide  Punkte  gleichseitig  als 
Ecken  in  Betracht  zu  ziehen  »ein.  Cn^r  Problem  i^t  hier- 
durch. falU  die  Brennpunkte  nicht  im  Innern  oder  auf  dem 
Hände  li«^en  auf  das  ScbwarzVhe  Problem  redocirt;  es 
wird  gelöst  durch  eine  Differential cleichnng  der  Form 

(23)  {:,Z}  =  RiZ\. 

wenn  in  bekannter  Weise 

gewt/t  wird,  und  wenu  R(Z)  eine  rationale  Function  be- 
zeichnet. Ei  seien  wieder  Ar  (r=  1,  2.  .  .  .  «)  die  reellen 
Punkte    der    Z- Ebene,     welche    aus    den    Ecken    mit    dem 

\Vink»'l  '^    bt^rvorjjehen,  B,  (s=1.2. ..  m)  diejenigen  Punkte, 

denen  E<;ken  mit  den  Winkeln  ~  entsprvchen.  Ct  die  Punkte 

der  Axe  }'  =  o.  denen  der  Punkt  ^  =  0  aU  Ecke  des  Poly- 
gons   (»ntwprirht    und    Ä(.-t    der   zugehörige   Winkel,    endlich 


F.  LindrmMMT  Hie  AhbÜduni/  Jer  ffnttSKMh- 


229 


Dm  «tiejeuigen  FiuikUs  die  auä  einer  ECcke  ^  ^=^cß    mit  dorn 
Winkel  /<i,  ht^rvurgvbeti.     Miin  findet: 

>ic  DilTerciitialgleicbung   des    Problems   iat   daher    von 
■i'-r  Korm: 

j  v»|  iz:^4.    J:i_l4.v»r    L::£'l_4.    ^  1. 

rhen  deu  Constant«n  der  recbtcn  Seite  beeteben  die 


—  i 


» 


Die  lokey^tion  der  Gleichung  (24)  ist  rennöge  (23)  in 
beilanntdr  Wrift  auf  die  Int^^rßt.ion  einer  linearen  homo- 
fCcnen  Differential^leichuDg  xurUckgefnhrt.  Die  rechte  Seit« 
TOD  (24)  ist  hierbei  j|irleich  R{Z),  d.  h.  gleich  der  rechten 
8«ite  TOD  (23),  tu  «etoeu. 

8.  Lmmo  wir  za,  diu«  ein  Brennpunkt  im  Innern  oder 
■Ulf  detD  Rande  (los  abzubildenden  Fläi'hen>tQcke«^liege,  ao 
find  an  d«r  rechten  Seit«  von  (24)   ^trisde   Modifiratiuncn 


290 


JftCiwv  ^  matk.-fluft.  Cbmae  ■«■  4.  Mm   tS»i. 


■Bxubringi'n.     Hnnd«!!  es  sieh  «in  des  Breaojtunki  -^  c  M 
besteht  «in^  KctwickluD)?   tod  der  Porni  \\\\.     Kotwirkitlt. 
man  Amd&  die  lioke  Seil«  vou  (24)  luch  f'uteux«n  vun  /   -  E\ 
und  l*e«.*bt«i,  dam.  wran  ^  im  loDern  d«r  Hsibebvae  y>-0 
ürgt,    der    conjngirte    Punkt    £*,    ta    eiiL9pr«cheoiier    Wc 
«jogiilär  sein   maA,   ao   wird  ds«  ^mtrleni   im  sllgem«iii 
FaUe  durch  eiutf  Glrk-huui^  d«r  folgenden  Furm  ^eUM: 


=  Ä(X)  + 


:}f p 


+ 


!?l 


l't 


(/*ei)'I 


Z~t\ 


Ui«r  bedettt«t  /2(Z)  die  rechte  Seite  tod  (24);  k,  »t  » 
»,  Ni  KU  »'  ooojogiri;  i>.  &■*&'.  ^>  «•»i.ff'iol  «od  gleich  0 
oder  I  je  ntu^h  X^^e  der  Brranpttnktc;  und  swiitchsn  den 
(ViiiNtMntt'ii  dur  ri^chteo  Seite  besteheti  dit*  Relalitfoeu: 

ö  +  X  -f  K,  +  X*  +  «J    =-    0, 


UO 


wn    mit    ^,  ZT.  IT    die    linken    Seiten    der    entjtprechende 
Gleich  unj^  (25)  hvxeicbuet  sind. 

Die  Tenchit^denen  niOgticIien  Külle  unUTieheiden  wir 
in  derMlbeo  Weise  durch  &h]en.  wi«  dit«  in  Vf  '•  ^raclmh. 
Daoii  haben  wir  fol^nde  Kefiaitate: 

1)  Alle  QrflMen  o.o  sind  NuU;  die  OlHchunfT  (20)  ist 
mit  (24)  identisch. 

2)  pso«  1,     Üi  =  e**»ei  ^Oi  «=n'  =  Ol   —  U. 
^)  ff  ■=  ff*  =  "  =  "*  =  1  •     ^  "  ei  **  "i  **  «t  »  0, 


F.  LirndtmcHM:  Die  AhhitdHH§  tUr  HaßtAtm  «<e. 


231 


5)    ^3s  ^,  ^  Ü*s=^;  K  Ol  =  Ol    =    0,       0  3»  o'  ^   I. 
0)    |)  =  O  ;^  o"    ^    1 ,       jj,  =  y'  ^  gj  t=  0|  ^  ol    =    0. 

7)  y '^  pi  =  o  ^  Ol  =   1,     o' =*  ßi  ^  o'äs  Ol  =  0. 

8)  g  S«  0|  :m»  p'  ^  (»1    =  G  =«  CT|   =  ö'  =3  Ol     =«:     1. 

9)  tf  =  e*  =  gl  =  o  =  o*  =  oj    =    l,     ^ii  =  Ol  =  0. 
10)  Q  =x  Qi  =  o  =  Ol  =  tj'   =    1,     e"  ^  t»i  =^  oi   ^0. 

Ut  «N  =  n  =:  0,  80  tiodek  man  aus  (1)  inäbt^onder«  die 
Abbitdaiif^  de«  Ton  don  beiden  Zweigen  einer  Hrperbel  ein- 
((cKblütsnenen  Ebeneustficke«;   sie  geachiobk  durch  die  Formel 


(28) 


C  =  ,  +  l/?^«a(|^y+/i, 


wü  A.-f  deu  von  dni  A.-4yiii[)tuU;ii  einges4:hIiKäetieii  Winkel 
t)«zcichuot.  Die  Korrnel  (28)  folgt  direct  aus  der  bokiinnt4*u 
GlMobnng  für  die  Abbildung  eines  Kreisbo^en-Zweiecks. 

9»  Aiu  (7)  leiten  wir  die  Abbildung  des  ron  eioem 
Hrpttrbul/weige  ein^^e^^chtutHenen  Klächenätnoke«  ab.  Hat  l 
4)es»elbe  Bedeulnnf<    wie   in  (28),   ao  ist  der  vun  den  As-ym- 

ea  oing(iM:bii>j&eiie  Winkel  hier  gleich  (1— (I).-t,  Sei 
/i^  1— jI,   i'=t,  f,  =  — i.  80  ergibt  sich  die  DiÖerential- 

ehottg: 

^.  «.  _  1  -_£  _i  _  ,  a     1        3     1  r_ 

und  die  nieiobuugen  (25)  werden: 
r +  «  +  «,  =  ". 
yC+xA'4-x,A',  +  ^^    i    ^~'"'  -0, 


232  aUzung  der  maih.'fhyB.  Clane  wm  4.  Mm  1895, 

Wir  wählen  C  =  ao  und  finden  dann: 

die  Differentialgleichnng  wird: 

ihre  Int^ration  geschieht  durch  die  lineare  Gleicbang: 
.^,      ..^^       ,^^       "\. 

Die  particulären  Integrale  der  letzteren  sind: 

Das  allgemeine  Integral  von  (29)  ist  eine  Hnearp  Function 
Ton  TT*,  also 

(30)        ":+-*  ==  &  =  (2+r^-ri>«. 

Durch  diese  Formel  wird  die  Abbildung  der 
Halbebene  auf  den  ron  einem  Hrperbelaste  be- 
grenzten Theil  der  Ebene  Tprmittelt:  nnd  zwar  liegt 
letzterer  auf  der  couoaven  Seite  der  Hyperbel,  wenn  u  <  1 
\sit,  auf  der  conrexen  Seite  im  andern  Falle;  u  .t  i:^t  der 
von  den  Asymptoten  einge^chloäsene  Winkel. 

Dasselbe  Resultat  erhält  man  nach  einer  früher  von  mir 
angegebenen  Methode.  Es  sei  die  Gleichung  einer  Cassini- 
9cfaen  Curre  in  der  Form 

(31»  ^i._a)(i-,  — «)l*  +  n)(/,-ra)   =  r* 

gegeben,  so  dass  die  reellen  Punkte  a  und  —  »i  als  gemein-^me 
Br»*nnpiinkte  der  Tom  l*iirauieter  r  abbänirigen  CurveuM-haar 
auftreten.    ÄussenJeni  hat  die  Ourvo  zwei  andere  Brennpunkte: 


F.   TAniHKnnn:  fti*  AMHldun^  der  UnltH-hene  ete. 


23S 


niftn  fin<fv6  »i«,  in<1«m  innn  din  vom  uDenHIich  fVtrtien  Krßix- 
pimkte  f  ^  0  anstehenden  THii}?eiiien  mitt«l»t  der  Relation 
3/ 


«'. 


^  0  betttimrufc;  nun  ist 


«rtr  haben  alm  die  vier  Brennpunkte 

Ä  =•  +a     nnd     *  =  H —  ya* — c*. 

'>!;'',  «.»  lwst«lit  liiu  (!iirve  ans  zwei  Ovaleu;  von  dpin 
einao  wird  djo  |»osiHve  Axe  in  d«n  Ptinkteu  V'i*  —  r  und 
ya}-^e  i^etrofTon;  zwiaohen  beiden  liegen  die  HrcMtii|iunkte  a 

-  Vo*— »**      We  AhbiMuDK   eines   solchen    OtaIs,   dAA 

cwei    Drejinpiinktc   unischtiesüt,    auf   die   Halbebene    TX) 
f^H-hiuht  nach  jener  Methode  durch  die  Cileichitng 


(32) 


dM 


»)l«»H-aM^-«')! 


B)  [Z  -  H,) 


rr.  +  '^. 


wenn  die  Honkte  .-l.  B  den  beiden  inneren  Brennpunkten 
enUprechen  nnd  wenn  Ai^  B^  beit.  xu  ^4,  £  conjugirt  sind. 
Wifd  jetatt  r  =  a\  so  erhält  die  Curve  (31)  einen 
'  ukt  im  Aufaiiifspunktc,  in  den  auch  der  von  c  oli- 
t  [Brennpunkt  hinoinrtlekt:   auch  B  fallt  mit  7?,  %\\~ 

«aminm  und  wird  rei.d;   und  die  Bunuel  (32)  geht  über  in: 


(33) 


aj  #}#'-"•  yz~li)V{Z~ 


A){Z~Ä,) 


Hirrdoroh  itt  die  Ahbildnnfi;  de.i  Innern  einer  Schleife 
riavr  Lrmnipoate  anf  die  Flnlbebene  Termittelt. 


Schlieeeen  die  TangenteD  dee  Doppelpunktes  den  Winkd 
fi  X  ein,  so  miUB  för  x  ==  0  eine  Eotwicklong  da*  Fonn 

,  =  (Z— BfiPCZ— B) 
bestdien;  es  wird  also 

ds  az    .  f ,„ 

In    (33 1    mÜKte   daher   a*C=t>(.4  — B)    ^resetzt    werdra. 

Für  eioe  eigentliche  Lemniscate  muss  allerdings  u  =  -   ffe- 

nommen  werden .  denn  sie  wird  ans  einer  f^lekfaseitigen 
Hyperbel  durch  die  Transformation  t  =^  t~^  gewonnen. 
Dnrch  letztere  Transformatioa  werden  aber  aus  beliebigen 
Hyperbeln  Carren  erhalten,  die  den  Lemniacaten  ganz  analog 
fand,  und  bei  den«i  u  beliebig  bleibt  (TgL  unten  Xr.  9> 
Sie  haben  gleichfalls  nur  zwei  Brennpunkte,  und  fiir  sie 
gilt  also  auch  die  Formel  (33i.  Laäsen  wir  B=  x.  A  =^  i. 
A^  ■=:  —  I.  «I  =  t  "■  werden.  »  folgt: 

]  f*-.'         }\  ^^\ 

woraus  wiederum  die  GleiefauDi;  ioO(  gewttnnen  wird;  es  i>t 
nur  nachträglich  /  mit  /  zu  Tertauschen. 

Denkt  man  sich  den  Punkt  i  der  Z-Ebene  durch  einen 
l»eliebii:en  Punkt  B  der  Halbel>ene  Y ";>  *'*  ersetzt.  eJ»en»> 
—  i  durch  den  conjugirten  Punkt  B^  und  U&it  ^>dann  e  ^  *' 
werden,  .-ai  nähern  sich  auch  B  und  B^  demselben  reellen 
Wertlie  B^  und  die  '^leichunc  (-^Oi  gil't 

K*  ''nt<teht  aliki  in  der  That  die  bekannte  Formel  für 
die    Abbilduntf    der   Ualbel>ene   auf  den    Ton    zwei   Geraden 


K  tAmkmmmnt  Di*  AbbiUung  der  UtübeiMm  Hc. 


335 


^  Oder  dm  Asymptoten  der  Hyperbel,   in   welche  leUtert;  fUr 
sbO  lerfklltj  eingcflchkHsenen  Winkelriium. 

10.  Die  hier  befolgt«  Methode  wird  ihad  auch  in  anderen 
^F&lWu  Anwfodeu  können,  in  denen  diu  Abbildung  eines 
FK^^^Q^n  Oorvensystems  der  r-Kbene  auf  ein  Hjatem  von 
Kreisen  der  C-Kbene  bekannt  ist,  sobald  nur  {C,  a]  eine 
rationale  Function  von  w  ist.  SelhafcTerständlich  gelingt  dies 
bei  dem  Systeme  coufi>caler  Parabeln,  da  dasselbe  aus  dem 
Swlcme  confitcttler  KIlipsen  und  Uyperbeln  durch  Urenz- 
Qbevipang  gewonnen  werden  kann. 

Feroer  kommt  das  .System  von  Curveo  in  Betracht,  das 
I  ans  den  ooofocaltm  Ellipsen  und  Hyperbeln  durch  di<<  Trans- 
romotänn  /=sr''  herrorgeht.     Sei  <  =  o*|-ir,  wo  sind  dir** 
I  di«  Oarren; 


(84) 


—  4a»o»  — 46»T»  =  fl. 


1^  haben  s&mmtlich  im  Anfangspunkte  einen  Dop[telpunkt. 
FOr  X<.b*{a*>h*)  iat  derselbe  idolirt,  für  X>h^  hat  die 
Uetitalt  dt*r  Ciirrp  A^linlichkeit  rnit  dtTJonigen  eini*r  gewt'din* 
I  lieben  Lemnistciit«*;  innt*  wdche  findet  man  für  ÜA  =  «*-|-6*, 
«ntMprivht  der  gleicbfieiiigen  Hyperbel 

n*-^'  =  ^  («*-*»). 

Ist  1,^«—  if,  und  wird  die  linke  Seite  von  (34)  för  den  Augen- 
\  bUek  niiK  ?<  bnu^ichnei,  eu  fand   die  Brennpunkte  durcli  die 

iGlfliobung     ^    bestimmt.    Wir  hnb^n  9' ('„/»)  =  t^ttfi'^'ih 


i«it  SMk -»ai«  a  & 


16 


Ifvn  war  <d  Nr.  t : 

ftbo  vermOfi«  f>  «  0: 

JkI«   Ctinrv   d««    Sv«t«iui  <HI)    hia 
(allmi  K">^'^n^**o^*i)   Hrmn|tuBkt»    /  ^ 
metrurh  n»ch  H«rTbeoni*  «l^CremoiiA'achM 
ndlmlvcffvtbidlieli  iit 

Kin  and«*n«  ftnKjnni  gibt  die  TrmtHfj 

Dvn  l'anillpirn  za  dm  Azon  der  t'Kbrn«  m 
(>rthof(nnalirhuirvn  ron  g^)''i'-li*ttt)t;i<n  llrp 
Abltittlim^  finiv  von  |p|jrlerf>fi  t;i*Hi Met«^  fVit< 
abo«  imlfni  man  dii*  KuiiL*tiDn 


^;^^«^) 


aU    rHtinniil^    Ftinrtinn    vrin  XI 

KiTwlci)    liini*'    "ler    iT-K^M-ni»    i  i-i-j i     .■,,,!< 

Hype>rbrl  niii  df>m  Mitti'IinitikU'  #««0:  »Qe)| 
üentn  Br^renKunK  durch  lielittbigH  couL-MutrinCj 
Hyptrbetn  f(cigttb«n  wird,  Mt  »lan  dir      >*     ' 

Bin«tu    betieb»g«n    Krcifv  der   . 
Cmiiiai'itcb«  Ourv«  der  ^-tUbni»«,  direit 

'J  VkI.  lluiuiiUUfr  a.  L  O    p.  lOft  (T. 

*)  Ea  i«t  die»  ifltno  fon  Uanio  magrgt^rm  Q 
AtfitMprtto  vam  Kr«4iba|fB)|wljn|aB>  KAiuiHli^r^ar 
UtiDn  I06ft. 


239 


leher  eine  neue  ßestimmung  der  Refractions- 
constante  auf  astronomischem  Wege. 

Tod  J.  Bwuchlnger. 


ÜUj  BMtinimiin^  der  liefrficiir*iiäCoti»ttiinti*,  A\m  phyui- 
kali«cb  i^pruclien  Hw  BrechungsexponeuU.'»  der  Luft  gehUrt 
lo  d^n  •ichwicngst«!!    und  wicfatig;<ton  AiifgHben  der  prakti- 

I  *tH«u  A^trommit«.     Die  f^chwierigUi-iten  liegen   t^inenseiU  in 

liwer    zu    Sexitininienden    InAtniineiitalfi'lileni ,    inNb<*Aniidore 

BiegiiugHverbültniäHen  dt*s  I^Vrunihrs,  aiulerenteit»  In  der 

I  Oomplicirthett  dar  ntinoflpiiäriflchHn  Kactoren.  welche  auf  die 
KMfnu-tivn  von  Kinfliis^  sind  und  deren  Wirkungen  nur  mit 
Mnbc!  TuD  einander  su  trennen  und  /.n  beMtiiuuiuii.  :<tnd, 
tho  Wichtigkeit  einer  rariglichHi  genauen  Krfnr^rbung  aller 
«af  die  HefracÜon  einvrirkenden  Umstände  liegt  darin,  dass 
•las  ^iu]7f  r)('clinaitonMHV8teni  der  (leKtirnu,  al»<u  die  Hälfle 
d«r  Ononlinal<*rib«*Mtininiungen  der  messenden  Aslrtmamie,  auf 
der  Annabme  Ober  die  Refractionäcontttante  beruht,  und  dam 

j  «iB  wirklicher  Kort^cbritt  in  Her  Vert'eiiiHning  der  ahHotnten 

I  Uttffiunf^n  ervt  dann  ct^nsiutiri  werden  kann,  wenn  er  Hand 
in  Hand  geht  mit  einer  genaueren  Hinsicht  in  die  Kofractions- 
vvrbUbiia«. 

Der  KbÖno  RepaoldVhe  MeridiAnkn*in,  welchen  die 
MODcbtaar  Stern waite  im  Jahre  1R91   erhielt,  zeigte*  bei  den 

Icnten  Prafiailg«D  ao  hervorragende  EigenachaftAn .  daas  der 


242 


Sitsung  der  ■laM.-^Ay«.  ('taMae  nrn  i.  Stni  1895. 


tut  weni^  unterscheidet,  dass  eine  ir^f)lKiwiti  betleniende 
C<>rr«ction  denselben  aiiAgescblossen  er»chieu.  Die  trobs  dimer 
Aliwicht  bogoiiopiie  Unti'rsucbiinjf  hftt.  aber  ivacU  einer  arnlenni 
Htcbtuii^  y.ii  ('iiiem  zitMiilich  »icherüii  R«»ultuti*  gi-führt,  tla» 
nicht  ohne  Bedeutunfif  xu  sein  scheint.  Du  fin^e>ichlaKcnc 
Verfahren  war  folgendes:  bk  wurden  nur  beif^exo^ea  di« 
8t^nie  zwischen  tiO"  und  Sr»**  nürdb'oher  ZonitbdiMtiinx,  in- 
dem jene  mit  geringerer  Z.D.  nar  einen  tninimah'n  I5i>i* 
triig  Kur  Loiiung  der  Aufgaben  liefeni  können,  jene  mit 
grtisserpr  alter  anderweitigen  Störungen  in  eim-ni  Mai»«*»' 
unterliegen,  da^^s  sie  die  KiuHüdse  einer  geringen  Aendcning 
dm  Temperaturooefficienteii  verwi^-hen  nitUten.  Von  jedem 
Sterne  wurden  die  l^ei  den  vier  tiöt^'hjcicn  und  die  bei  den 
vier  niodrigitten  Teni|>eraturen  erhaltenen  Z<>nilhdii»taiuen  in 
je  ein  Mittel  vereinigt  und  die  Uifferen»  #, — s^  der  beiden 
Gnippeu  gennmnieu,  zugleich  mit  d^r  Difftiri^nx  der  MiUol 
der  Tem|ieraturen  ^,  —  /„;  dieses  Verfahren  bewirkt,  diiai  die 
erlangt^'ii  Ditfereiir^n  unabhängig  werden  ron  der  Kefractiiitui- 
corislanle  ttelbat  and  von  der  noeh  ungel5Mtifu  Knigv  Obsr 
ilen  Kinfluiis  der  Saalrefraction.  Die  Unterschiede  der  Tem- 
peraluren («teigeti  bis  xu  ^1^  und  liftw«u  ein  »ichAre«  HesulUt 

erwurteii.      Ist  (l+  .„-vi    der    Kactor,    mit   dem    der    Au*- 

dehuuugMuoefticieui  (K0Ü8663  mnlbipUciri  werden  mutn,  um 
den  den  Benbachtungeu  entsprechenden  xu  vrhaltm,  und  ist 
R  die  Kefractinn  für  die  Tonji>oratur  Ü°  0  und  den  mittleren 
Barumet4*nitaud  71H  mm,  dauu  werden  diu  BediugungMglvi- 
cbuDgun,  wenn  die  gan/  belanglodcn  Oliedur  atweilt-r  Urdnutii; 
veruacbläasigt  werden,  ruo  der  Funii: 

«.-g0.0036ß3jj^  ,•  =  -;.-*,. 

Wider  Erwart^^n    fand  «ich  an«  ib  Holcben  Bodingtmgxgt< 
chungeii  ein    ungewöhnlich   grooer  Worth   von  i,   nftmlich 
»^3.19  +  0.91,  wnmtt  d*r  AaadehnnngnoocflKient  wini 


J.  BuMMchinytr:  BegUmmnH0  tUr  RefrtictionMunstante.       243 

0.(K>a6(»3  (l-f- 0.0810)  =  U.O0378O  +  t>.Uü0033. 

E«  t»l  kL*iu  Zweifel,  Anan  dioüe  Krhüliung  dee  Attödebnungs- 
eovRicitinbeD  um  3  Procent  ganx  ua/.iiläHsig  iat  und  xu  tin- 
tOftbaren  Widersprnrhvn  mit  den  pliyiikiili»ch«a  Bi-stim- 
moDj^n  fnhren  würde.  lüs  li»t  xwiir  Uyldeii  aas  der  Di.scUMäion 
»tin  SomjuerbHibaclituugeu  üiiieii  nlmliclien  Werth,  nämlich 
0.003 7<>D  gffuhden  und  Mii.-<cart  hat  diiirh  physikalische 
icn  wjpir  noch  einen  ^nuscm  VVt'rtli,  nünilich  0.00S82 

»ittit,  aileiiL  ditwü  ßiüttimmuiigeti  »lohen  vereiuzclt  uud 
dnrfUfit  nicht  dnivundfm  sein«  rreterer  schon  dcsshalb,  weil 
«r  oiftn  nur  fflr  die  SomuierbeuhachtiingtMi  gilt,  während 
die  Wintvrhuobucbttitigeii  eiuto  viel  kleineren  Werth  cr- 
gobtni;  der  Mwtoart'öchc  Werth  aher  ifit  dnrch  nenere  Ver- 
Micli«  TOD  Benoit  widfrU'gt  worden  (niche  Kayser  und  Itunge, 
Di«  Dispersion  der  Luft,  Ahh.  der  BerK  Akad.  1893).») 

Kh  könnte  die  TtHache  deü  gruHseu  L'nter^chiedvs  /wichen 
deoi  oben  gefundenen  Werth  nnd  di*n  früheren  aHtranonnjwhen 
Bcrtänimungen  darin  gesncht  werden,  da«»  hei  erstercm  der 
Dam|)(druck  io  ltcchnunt(  genommen  wurde^  während  diet» 
bei  den  anderen  tiiehl  get«chuh,  »lleiu  eine  oinfiich»  Lleber- 
acblag^rechnuog  Keigt,  dasa  bei  Nichtberücksichtigung  des 
Daniplilnickea  die  rnter«chiede  *,— *ö  noch  stärker  positiv 
werden,  ahtu  t  noch  gnuMir.  Hierin  üe^  ein  Buweuf  für 
die  NoUi wendigkeit,  bei  der  Berechnung  der  Itefraction  den 
Dampfdruck  beixtiyiehen ,  zugleich  aber  auch  ein  Hinweis 
auf  ein«^  undero  mögliche  Erklärung  der  durch  die  Be- 
obachtungen gebotenen  DiftVrenzeu  g^ — t^.  Ich  snche  deren 
Kttfarftfhnng  iu  der  nicht  gtuix  zutreüiiudeu  Inrechnungnahme 


*  \tL  l.'.r  <.ii,  1)  finiie  ich  DDch.  da«f  Nyn'o  aun  den  Putkownet 
T«tik»:k:.irt...  ..*  htun^r^-n  1883-1891  den  Wt-rth  0.003770  für  l^C 
aligelwtot  h«t,  «lad  9iD«o  tuit  dMtn  von  mir  gvfujitii^nffn  tut  iifca- 
Biffcen;  er  kml  e«  «her  ebcnfklt«  nicht  genngt^  dejuielhen  hei  der 
■•AttctMa  der  BeoWchtuogea  xn  benutzen. 


Bittmng  rfcr  waUk-^Apn.  a$tum  ■«« 


Am  ihuaptirwtkm   b«  J«ti  fUdanW 

xur    UvTwbnitJiK    lirr    Mi|{«>iuuiiit«a 
Her  Lud  v>>rK«ack]ag«n  Hmi  Auadroi'^ 


('-J;'«)"  -"» 


10 


z    l«di)^Hcii 


? 


KU  biDatavn,  worin  der  Ksaktr 

Bu»  dm  Kxpvniii'  Fixoau  iimi  i 

ftptiKctiirr  uDft  phj«{kBliM:)ifrr  I ' 
9^h<>n,  wKhivnd  n  riH  i  .t,  die   r 

LhH  i»rn[K>rti(in»!   der  p!  v^n    r>i(  r^ 

wplcbü  hi'kaiititliith  |iriij>i>i 

(  I  —  0,»78    ~j)  If  <*acr   u^uv    ^  1 

siizunetiiii«!  iit.     Um  di«  Krag«,  wt>]cha    t>iclk|J 
UvfrHciioii    niiuii»t;i*lM>n'l    iit,   ot.jfH'tjr    xti  1 

ufftnbitr  der  ^iclii*nt«   ^V«t{,    dvu   l'.>'i.tr  ,| 

tCochnnntt  xu  wtxiin  iMt,  aus  den  I  | 

leitea;  dieser  We^  ftlhrt  aber  uhniitt«lhM'  ma  dt 
#1 — #0.  da  dit*  Kitrvniv  der  Tcnpvnkur  i» 
Btil   don   KKireuieii   dn  l>«fDjiMni^ai   stt«uBMi 


4 


-    dttr   EH  bwtinirui'nd«*  Taclnr,    aa    mrritrn 
dur  Kurui 

worin  m   dii?   At^derunK   der    Itefnti-Uun    ftlr    | 
flilUinlrurk  (»edeuttit     Die  Auf  billig  d<>nwlb«sa 

Die  BeQbftcbtuii>;en  enUcheidfO  aiäo  für  d{«  Av 
phyinknliiKbcn  Oicbtigkvit.    Die  dauu  Obrig  h\mk 


^  BaHmchiHger;  BaHmmttiut  tler  HcfruetionMoMttiHtc. 

[ftnavii  vvudur  Jii  ili<r  AiiordDung  uach  der  Zenilh- 
,  ncx'b  in  joiier  imch  Her  R4*ct«Kcen8ion  ein  iy«ten»ati- 
VerhtiltiMt  erkennen,  wouiifc  y.u^l**ich  der  Kacliweift  t«i}- 
itt,  duDH  nacli  Kinffilining  des  neuen  Factors 
ditj  Beobaclitungen  eine  Äoaderuiifr  dvö  an- 
Ddten  AiiKdehauni^scocfficientsn  der  Luft  nicht 
eben. 

ie  Ermittelnn}^  der  UufructionBCOnstuiite  ^escliah 
Verglficluiu^f  der  in  der  oberen  und  untt^ren  Cul- 
0»  erhaltenen  DeclinaMonen.     Ist 

)    die  Decliiiatiun  aus  den  uberen  Uulniinutionen, 
,        ^     unteren  , 

r    die  Ket'raction  fllr  die  niwre  Culmiuatinn, 
,  .  .       ,    untere  « 

die  Currei-tiuii  der  an^ewundten  Pol  höhe, 

)  dur  Factur,  mit  dum  die  hunutzie  iCefractiun,  wolcbo 
liier  auf  den  liadiiuWhen  Tafeln,  al^o  der  Kesäei'Hchen 
RvfracLiunacoustante  (Tuli.  Ke^.)  btinilit,  zu  multipU- 
ciien  Ui^  um  die  dun  Ueobuehtungun  cnUprecheudo 
zu  erhalten, 

lUHii  die  Ueziehung 

^j  ,      (obere  Culm.  nördl.  v.  Zenith 


lon  —  2^93  ==  a?,  —  lUO  n  =s  y  geäel/.b  wird: 


iesigeu  Beobaclituugen  geiitatt«t«u  die  Aufstellung  von 
eher  Gleichungen:  die  Zenithdistanzcn  in  unterer  Cnl- 
iüu  geben  von  V,\°i't'  bis  8S'*I9',  die  Factoreu  -^r~\-r 
00"  bifi  1420".     Die  AuftÖsang  ergab 


94« 


aUtmmf  im  mtA.'^»9^ 


jf    ^    1 


4»  ndk  in  üwmfm  WtrLh  von  p  aniniibt  m  « 
«dmi  dnreh  di»  DbauMon  mxtdrar 
tmktm  K«ftui4en  wuHeo,  wmm  abw  4odi  ol  pi 
•ioht  uilgiHMiniaMa  w«ri<B.  W«iui  mmm  nteM 
JiuyugiigWioliionyn  in  vw«i  <«nipp«i  ihm 
«Sil  bk  76*  Z4).  rvicbt,  die  «u4en  Um 
HorüumliK,  ao  n|pbi  im  Aaflänui|f  der 

and  die  dar  iwaHan 

Du  di»  ll««iilut«  diMcr  Mden  AnflltaQBgMi 
zu  vemni^"  hfttU*   nuin  %m  «djUMwm. 

grTt— WB    /  :tAnx«*n    wicli    ■■!■>■ 

iindf  abi  die  biahvr  In  l^lnMht  fpMOKetn 
nAehat  den  (inind  der  MMHtiinnian^  in  Jit  BicM 
ti«ff«nd«n  Ujr|N)ib«M  nber  di«  T**nippr  -  /  n^ 
AfaRMMpfaIra  Muih«i,  von  der  Biaei-liliMBli 
von  7(i<»  Z.D.  »b  b^infliMd  wtrdM,  wUtvad 
die  Refniction«n  bin  76"  Z.D.  TM  Ja^ar  Anaabi 
CoiwtiliiliuD  tier  Atni'Mpbürv  völlig  onmM 
Kadeiracben  Tsfidn  liet^  die  IvoryWUe  1' 
mit   dem  Faclur  f -=3  0.2;    nimmt   m»n    »i«i 

a  +  4 


ll  .1  tiif  tir 


von  /  KU 


tu 


an,   ao    wird    die    durch 


AendLTiiiiK    der    Refniclion    f^Wich    —  ^*,    wo    d< 
d«r  UailtttrHcben  TaW  V  t'utnoninifn   werden 
Bedio^uui^ni^leicbungvii  rrbalLim   ft>lgtiudtf    Kc 

100 


A— y  =  x-j-;/ 


+  a»:^ 


Werden  «te  ueti  aufgclüHt,  w  ptiöbt  «ich 
«  ^  —0*828,    y  —  i-  0.527,     #  ^ 


J.  BmutAingtr;  BadimtitUMj  der  JUfmtAktnao^n^Antt.      24Ä) 

r,  litMaen  weder  in  der  Aihmlnutig  iiiich  der  IConiih' 
litaianx,  ii'ycb  tu  jciirr  mich  tlur  Rectasc^iision  ein  5yi«ieiuati' 
|hiw  Verhalten  erkennen,  womit  /.ut^li'ieh  di^^r  Kiu'iiwi'in  «^e- 
^ben  ist,  daitit  nach  Kinfnhrnn^  (Ioa  npuen  Kactnrfi 
ruii  :i  diu  BeobacbtuDgtiii  eine  Aenderuiif?  des  aii- 
gewaudteo  Aundehaungscoefficieiiten  der  Loft  nicht 
ertieiftchun. 

Die  Ermittelung  der  Utifrnclioueycunittante  gOMhoh 
dnrvh  Ver^lfichuu^  d«r  in  iKt  ohttren  und  untf^rvn  Ctil- 
inination  erhult^incn  Declinstionon.     Ist 

4    die  DiTÜnaLitm  ans  dt*n  ubiTon  Culininatiutieii, 
,  .  ,        .     unteren  , 

die  Kefniclign   fTir  die  o)(i*r(-*  Ciiluiinutiont 

.    untere  « 

Jiv  Curre<:tiun  der  an^jewandten  I'olhöh«», 
M  -f«)  diT  FiK'tor,  «lii  dem  diu  heiintzU  KvtVuction,  welche 
bior  auf  di*n  ltMdau*«ühen  Tafeln,  alno  der  ßmsorwhen 
[l*>fractiuii9coii»Utnle  (TuU  Ke)^.)  beruht,  zu  miiltipli- 
cirfU  iit,  niu  die  (I<mi  Dcubiiclitini^tMi  mit!4|irecliendu 
XU  erhalten, 


HO  bat  man  die  Heziebunj; 
4I  -ft  SK  — lii*f -^rn  —ru 


f  obere  Culm.  o5rdl.  v.  Zenitb 
\  obere  Oulm.  sQdJ.  t.  Zenitb 


man  — 2Jtp  —  x,  —  HlÜ«  ^  y  gesetzt  wird: 


Ä  — (V  =  j."  -f  y 


±ri-r 


iie»iguu  Bti>lHud)tunt{uii  ^'u^tuttetvn  die  AufMHlliinx  vu« 
7G  bolcber  lileichun^en;  die  Zenitlidintjuizen  in  unterer  Cnl- 
OBUialtuti  Kebeu  Ton  4;W  bis  88®-m',  die  Kactureö  +r-f  !• 
Too  200"  bin  H30".     0(0  Auflösung  erji^h 


X  =  —  f*"797.         V  ^  +0.510. 


0) 


246 


Sätwnf  dtr  malh  -jihifM.  VloMe  rom  4.  Mal  Ifliff. 


itollutig   Ru    der  Oreuxe  zwischen   Itfitti    nnd   tivlb  prfol}^ 
Ka  wQrde  dies  im  Kiuklan^  ätchen  mit  der  Wahmebmung| 
4ftM    dip    Sterndpectm,    wenn    nie    deutlich    ^cbttur    wnr 
imnier  nur  rothe  und  f^t'lbe  Strahlen  »eigten;    in    den   weit 
mw  nahlreicbtten    Fällen^    w<^    diu   Sternbild    sich    »U    Ter 
wiiMhf^ner  Fleck  darstellt«,  würde  almi  di^  Kiiift^llunt;  nicb 
aaf  Gelb,    wie   beabsichtigt    war,    Hindern    auf   eine    StelU 
£wij(ohen    Roth    und    Oelb    erfolgt    sein.      V>«t    Ucterachie 
Kwischon    deu    AuflÖAiinKen    (*J)    und   (M)    lieaae    nch    d«ifict| 
t^klären,    zugleich  abiT  wäre  damit,  der  Xachveii«  erbr«vht 
da^wt    lter<!r    culmimrcade  Sterne,    äobald   ibr   S|>ectrum   eit 
gewM^e    Auadt^hnuDf;    erreicht«    ßberlMopl    nicbt    mehr    iu)| 
KnnittelunK    der  U4•f^actioll^wXlnsia^U'  b«rbei|;aao^eti 
dQrfeii.  wenn  man  nicht  etwa  Mittel  besitit.  gani  beatin 
Stellen    des    S|ieotrumB    eiuKustelteu ,    wa»    Ttellächt    do 
lUendgÜMT    TOD    ßvnau    br»timcot4ia    Öpectml färben    zu 
reichen    wire.      Läs^    man    die»>e   RrkUninc   aU  i»ti'''>  '' 
gelten,    so    hängt    die    Eriuitt«lang   der    bei   aAtrou^ - 
BeohaclitungeD   za  gebrauchenden   KefracUonMunstante  jetxtl 
vun  ilrr  Ht^iimuiung  der  ^rOesten  Zenithdistanz  ab,  die  muk 
nocb  beiuchen  darf,  ubne  Ober  die  nafaekaiinle  CofMtitsilm 
der    A  bnoapbXre    eine    H  Tpnthftse    macken    eu    mOmco 
iihiw    dnrch  die  Anttdehnung  des  SpeetnuM  in  Dnaktberfc 
flbrr  den  eingegtoltt<Mi  l'unkt  sn  spn«llien.    Itan  leitet 
ikb.   dnm    dtr.-<f  Orfoxe    bei    etwa  %^ZM.  Üe^;    liebt 
»IwT  rlinw>r  tVlNTJeffnng  fnlgeiw)  nur  die  Sterne  lii>  80^  tA 
riir    H  )i;    der  Ke&actioiMCCHHtente   heran,   so   erhält 

•i>i>i>    I    ^.  : A ofUntOgpQBltCBl 

«  —  ^ftrnk,        ,  =.  +Ö.W2  (5 

du  m  Mähe  mit  (1)  QberHn^mnit,   dftw  da«  Bedenken,  dn 
wir  iilwni  gegen  {\)  lo^wrleo,    nRnilirh   das«  genide  die 
n«HHi4««  Hn>lNirlilnngen  bii  7<!*  Z.I).  WMMrtlich  boaer  dorrbl 
dti)  nmgdlAtfMrto  Heivri^RcJie  Keft »ut iiwwuwtiiile'  Aiw^jiM« 


J.  BnuwcMngm  B«»timmuiuj  Hur  Brfractinntenttättinte.      249 

w«rd«n   aU   durch   eine  kleinere.  fortl>«8t«ht    oti'i   durch  die 
eben  Tenrachte  H^rklftruni^  mIm  nicht  bcfwitigi  gditim  kAtiii- 

Wenn  wir  fortifeset/t  die  Ursacho  dip*iCT  Miss^timmimg 
in  der  KetVaction  suchen,  so  bleibt,  m  weit  ich  neiw,  jetzt 
nnr  mehr  die  ilnfraotion  durch  den  BeobftchttiDgs- 
rrnnm,  berrdbrcnd  ron  der  Verschiedenheit  der  inneren  und 
luaseren  Temperatur  fibriif,  duren  KinHuKs  diu  widiTspreoheii- 
den  Rütfultat«  bri^ritigen  könnte.  Die.'^elt^e  t^ill  jetxt  unter- 
BDcbt  werdeu.  Beachtet  man.  dam  in  dem  Ausdruck  der 
Refrvctinn 


-  aiii  <ff* 


ji  =  RrmhunKKindex, 
r  =  AbsUnd    der  Schicht 
vom  Erdn)ittel}iuiikt 


Quotient  m  nahe  gleich  1  iüt,  daas  man  ihn  huhufti 

Bnn?tt*'lunj{    eine«    ersten    NÄheningswerlliea    von    R   dainil 
idcnUfitnren  darf,  «o  ergibt  sich  ah  aolcher 

/*« 
Hi)  .  if/gj  *  ^*   =  tgt  Inff.  nut.  f*^ 

RH  tti  endchilich,  dat«  in  der  llHupbiarhe  die  Itefniction 

IflJTf^lich  Tim  fi^,  li.  h.  von  dem  Zii^Unde  «h-r  Atnm-|thiiri' 
in  der  untersten  Schicht  abliÄagig  ifct.  Die-»  weist  darnut 
bin,  dam  gerade  die  Brunhun^  in  der  letzten  Schicht,  wenn 
der  Lichtstrahl  in  da^  Kernnthr  eintritt.  i)ie  massgebende  i^t, 
lt.  h.  also  die  Schicitt  int  Bcobachtunj^rauni.  Die  Fol^^e 
bievon  wün?«  dii»  man  der  Bcrt-clmung  der  Refracticm  die 
inucfe  Temperatar  xu  Qniiide  legen  mn»t  nnd  nicht  die 
N^alOrlich  kunn  die«  mVhl  dadurch  tje-cch«>hen,  duas 
die  innere  Htutt  der  iiu'^'teren  Ti'inperiitur  selxt,  weil 
dnrcfa  die  Be^enxunk;  de«  ßer>Uichtun}(srnunies  der  IWull<*lit(- 
der  Si'Mrhten   ({(•«UVrt  wird.      Ich   glaube,   daaa   durch 


Obv 

Bekrag  tn  mhmm  Mk.    Ilit—  ät  dit  KasBCnv 
4«r  Qrttific^  DoAhwcaüg:  JieMlbe   wird  mtk  Bahr  oder 

dtf  Hey MUMig  4m  ITunlMi  llna^i— 
4a  ■■■  aoihebiMB  mom.  4an  iorcK  fie  AoHtralünaf;  ds 
Wlade  dM  iaocfc  Tenpentv  befingl  iit  Jadwifalh  kann 
ZOT  DofchAkraiig  «röer  ef«te& NÜMnof  üv  andere  Ad- 
nahaie  gar  aicbt  aachea,  da  die  n  Saal  ■■■thaiüiiii  ö  Tfaemo- 
mHcr  ioBerhalb  aekr  eogcr  Graue«  fliiinäiliMiiitmi.  Lagi 
mao  abo  Smt  Hypotfaeaa  n  Gnmde,  «o  iit  n  «alanclwid««, 
ob  da-  9ftnlil  aaf  di*  obere  BfCwnrai^gMliMia  oder  aof 
SeiteocbcBe  Ollt  Die  obere  kaaa  ak  paraSel  der  ml 
meiBao  Sebichtniig  aageDomiieii  «erden  aad  ^  Brechi 
«ird  «cb  Ucr  abo  nach  iiBWilbia  Genb  ToU»eb«ii,  «rte 
aa  den  aaderea  Sdücbtca.  Siad  #'  uad  #,  die  ZeaiÜidiaUnieB 
am  inüarea  and  d»  |niaiBBiiiiuu  StraUai^  /  aod  /■. 
BrachongsaDdicei  der  iniiniii  md  der  aneren  Loft,  (»' 
e,  daran  Diditigkaüea,  w  ist  Dack  dam  SnaUiw'aelMn  6i 


am  J^ 

sin  j^ 


-^ 


1  +  ^ce' 


oder 


■njj  —  ms'* 


=  ^•^0  » 


vna  mit  o'  die   ReftaetMaamHlaale  ^^ — . 
•«d.    Setel  man  finer 


ltp«><ir|jni< 


J.  tlauMhingrr:  tirMimmung  4«r  Kffraetionneonstttntr.       251 


lund 


1 — ^  ^  —7-^ — —     J  /o  = '""«re  Ttiruperatur, 
^  "*(/'  =  iinjiKcre  Temperatiir, 


^  ftf  ^  Auadehuan^^dijßicient  d.  Luft, 
Ttiruperatur, 
Temperatiir, 

[an  wird  mit  VemarhläHeiguiig  der  /.weiUm  Potenzen  von  R, 

ilii«  Bixte  Klammer  der  Temitemttircoefflcient  ißt,   so  ist 
ehtücb,   dobH  uan    du;   Bruchting   im    ßeubachtniigsmiini 
[öniMlt   dadurch    htirfick^chtif^en    kann,    das«   man  statt  der 
i.Ati-  ■■■   '   I -'mlur  die   innere   nimmt.     Anders  ^e^Ullet  sich 
der     ,     ,!   >:k    für   ein*>  i^eitenwand;    hier    findet  die  Bre- 
chung »eukrecht  zur  binherignn   Kichttmg  Mtatt  und  der  An- 
wird 

Cob/  fif 

COM  M  fl   * 

«ich  elK>nM)  wie  üben  der  Aufdruck 

Ä  =  -(4"i,/.»^.)co/...:uo-''> 

lie  Brech1l^^    bat    nber   hier   ihr  Maximum  oben 
den    Hnri/.onl    t.n    wird    »ie   verBcliwJDilend.      Ut 

X  die  wahre  Zenithdistanx,   also  jen^  (!riVs.>«>,   die  in  letzter 
Linie  gotucbt  wini, 

#  dl«  echeinbare  Z.D.,   mit  der  der  Striihl  an  der  Begren- 

imngwbene  de»  Spalte;«  ankommt, 
R  die  Itefraction    >ier»Tbiiet    nüt    Her   fiiiHsemn  Tempcrtitnr, 
J'f  die  gemeauint»  Zenithdi*^tanz, 
\Rt  die  durch  die  eben  »b^eleiiet«n  Formeln  ^et^ebeue  [tefra42- 
Itun  int   Benbacbtnni^rauni, 

•  IM   MMk.'^f^  CI.  3.  17 


252  Sitsuruf  drr  mtUh.*j>hyM.  Ctanne  tvm  4.  Mai  tS95. 

SO  bat  man 


nnd  daher 


/  =  #„  +  Ä  -^  Ä. 


0^-^  R  flind  die  wahren  Zenithdiätanzen,  atw  denen  wir  hin 
jetzt  die  Oecliiiation«n  abg«l>Mtut  Imbeti;  von  iliimji  iiiaMu 
also,  um  s'w  von  dem  Kini^ua»  der  sjoalrefractiun  7.11  befreinnj 
noch  die  R,  Rubtnibirl  werden.  Gemibicbt  dies  fttr  nn^re 
Beohac'bttingi^n,  äo  erhält  nuin  nette  ^  —  A'  und  diimit  nene 
BedinguDKsgleichungeii,  deren  Aufl&iung  jetzt  «rj^bt: 

a:  =  —  irOI8,       y  =  4-  0.553,       *  =  +  0.033,     (0) 
während,  wenn  nur  die  Sterne  bei  76^  Z.D.  behandelt  werden, 

X  «  —  0:912.        y  =  T  0.4*6  (7) 

erfolgt 

Man  erkennt.  d»8^  jet£t  ein  Widersprach  zwischen  den 
Kesultaten  &\u  den  kleineren  and  den  ^rßweren  Zenilh- 
diütanKen  nicht  mehr  besticht.  Ein  zwingender  Bewein  dnfllr, 
dofis  unsere  Behandlung  der  Saalrefractinn  die  sacb 
ist,  ist  /.war  duniit  nicht  erbracht«  iüleiti  da  eiofc  Ander 
Möglichkeit,  den  f^entuinteli  Widerspruch  zn  beseitigen,  nicht 
mehr  erKichtlicb  mi  nnd  eine  andere  BehundliinK^  dtr  Sanl- 
refnu-'tiou  mit  den  vorliet^enden  Mitteln  nicht  durcbfithrhar 
ist,  M.I  denke  ich,  dat«  man  fiich  mit  dem  erhaltenen  ItemittAt 
beruhigen  kann. 

Zur  end^itigen  Krmittehin^  der  KefrActiimMMin-cianl*'  ixt 
nun  an  die  Beobachtungen  D<Kh  die  Correction  anzubringen. 
die  wir  oben  aU  nothwundig  erkannten,  nämlich  wir  ItaiHt-n 
statt  mit  det  optii>clitfn  mit  der  phvitikaliitchcn  DirhLigkfit  der 
Lnfl  /u  reducirrn.  (leeichieht  dit«,  m  ergiebt  die  AufUbning 
aller  Gleichungen  zusammen  ' 


a;  =   -  rorw. 


•f  u.;Miu 


(81 


J.  BoMMchiftgtr:  Btttimmmmp  der  Htfract 


258 


j«uer  bis  7B<>  Zenitfadiatanz 

ae  =-=  —  nr952.        ]/=-{-  0.491  (9) 

Wir  betrmchte»  di»  Anflöeung  (8)  als  die  detinitive  and 
'  xicken  AUS  ihr  nunmehr  die  KesulUte.  Ftlr  718  mm  (bei  U^^C) 
Qo«lrailberdrück,  -\-  5"  0  Temi«*rtttur  und  tl  mm  Danipf- 
dniek  irird  die  den  KudAu'ncbea  Taföln  zu  \iruiide  liegende 
U«iKerjichtt  lUfracünniHMMistunte:  5<>'07f);  diese  Z»lil  erheischt 
di«  Correction  —  hH'.ülü  X  0.00563  =  —  Ü.'aiÄ  und  es 
wir'     ■"  '    r    AUft  ihr  öö.'Tfil;    das    (ipbt    für  760  mm  Queok- 

r«i;i .     4Ui    0"  C    guecktiilbertemperatur),    0*^  C    Luft- 

rand  (i  mm  Dampfdrnck: 

fiO'104. 

L>eD  mittleren  Fehler  dieser  Orösee  hübe  ich  xu  Jh  0!02!i  er- 
mittelt. Ihr  entipricfat  der  Brechimgstindi^x  fUr  denselben 
Lnftiuutaod : 

l.tKm29152  +  0.00000012 

Du  Correction  der  PoUiGhe,  die  natürlich  fiist  aii<uchlipK(;Iich 
TOD  d*r  Correction  der  HefractiunHconstante  nbbiingig  ist,  wird 

Jr  =   H-0:518  ±0-056 

'  ao<]  d«  wir  aU  miUleren  Wertli  der  Polböhe  -\-  48"  8'  45'05 
der  Rechnung  zu  Grunde  legten,  »o  wird  der  d4'tinitive  Werth 

fc-i-48ö8'  45:07. 
&  üt  Tenmcht  worden,  dip  an(;pAte11u>n  Hpfractiomi- 
krhtantrt>n  in  «lebr  K(^rini{eu  Hieben  noch  naoh  einer 
«n  KichtunK  hin  ni)i7.l>ar  y.u  mucbi-n.  Mnn  Imh 
Ifcifpivt  uömlich  nicht  f>eltoii  der  Meinnng,  \\ws  man  durch 
MliuuumiuLhii  UefmationHbwobacbtunpvn  Au&chlun  Ober  die 
ToMpcntarrertheilnng  in  den  ubromtm  Snhicht.en  di>r  Atmo- 

17* 


3S4 


SUtwng  der  math.-pkj/»,  Clattt  tom  4.  Mai  ]891i. 


Sphäre  erliiilten  USuni*.    ¥j<  ist  dioa  nur  aehr  bewliriLnkt 
Kall     Denn    iler   Kinflnss   dw  Gesetzes   der   Tem|wrÄtnrv« 
theilunf^    auf  die    Uefraction    wird    weit    (Ibcrwogeu    dur 
andere    pBctoreii,    deren    {.^eciaunote    Renntniw    vonttK-^gch« 
mflsHte,    ehe    man    mch    mit   einiger   Sicherheit    tiber  Jen 
QenebK  aussprechen  könnt«:  sotclie  Factoren  t*ind  die  I{«fn 
douscoDdtante  reibet  und  ihre  Äbhiin^^keit  rom  eing**>tHllt 
Punkt   des   Stemspectnima,    der    Ansdehnunj^teoefticisnt 
Lnft,    die    Luftfeuchtigkeit    und    vor   Allem   die  Ttmiperut 
der  nntcrBten  LufUcUichten.     Aber  uuch,  wenn  es  ^elun^ 
ist,  die  Einflüsse  dieser  Kactoren  z«  trennen  und  zu  bef<tii] 
inen ,    bleibt    der    Spielranm ,    den    die    Refractionsheob« 
tunken  jeuein  Gesetz  ßestiitten,  noch  ein   weiter.    Die  Tiell 
Uei-hnungen,     die    Herr    Kaduu     hierüber    niitf(elhcilt    hii 
»ctzen  dies  ausser  allen  Zweifel;    icK  habe  trotzdem  anfa 
ge^flanbt,  durch  recht  zahlreiche  und  scfiarfe  Beobnchtnnjä 
in    niederen  Hohen,    einigen  Aufechluss   im  erlangen;    <» 
die8  aber  nicht  in  ErftlUung  gegangen.    Man  kann  mit  sehr 
verschiedenen  Gesetzen   die   Beobachtungen    noch   darntelle 
wenn    man   entsprechende  Aendeningen    an  der  RefriM 
coiiKtante  vornimmt.     Von    den    vielen   Versuchen   mit  nr 
tivem   Rffiiultat   ist  in   der   Abhandlung  jener   auüfübrlic 
dargrtitellt,   der   eine    Knt.s<:beidung    bringen    eollte,    nb 
Ivorj'sclie  oder  die  Gylden'sche  Ansicht  Über  die  Oonatitu 
der  Aiinnttphare  den  Wahrnehmungen  liesäcr  ent<;proche. 
war   abffr   nicht   möglieb,   urich    zu  Gunsten   einer   deneili 
nuBZUfiprechen.    obwohl  die  Veräcbiedenheit  zwiBchen   beid 
nicht    im  beträchtlich    ist;    ettellt    man    beide  GenetK«    in  d^ 
•«fllien    Korm   dar.    *o  ist   nach   der   tvnry'«chcn   Hrpiitli« 


f. 


t 


l.h«w  ifl  —  / 


5?(>9A  -  0019  A'  nnd  nach  der  GyId.;nV'heo  Hj 
.VIOA  — tfU2r>A\    w«  A  die    Hi.he  in 
m«t»m   nlwr  dem  Boden,  ^f^  und  t  die  Teui|Htratnrvn  in 
Hi'ihi'n  0  nnd  A  bezeichnen.     Betreff  de»  GesetxeJi  der 
(wraturabnahuir    wird    uinn    aUn   immer  auf  uielnimhig 


^,  Bau*tAtHi/er:  B4i»tmmunff  Jer  Jief'riiclwn^coHMiaHtt,       255 


zwur  huupUilchlich  «uf 
i^ge    Thüti^keit    der 


B«olMu:h tunken    i  lu    Lufliuillon.       Die 
I  Vulirt-V«rfine   ver*]iri(*ht  hier  för  die  ZuknTift  ^atc 

l^  .....-,  bU  jetst  allenlingv  hat  mir  die  auttt^rordenilLuhti 
Viränderlichkeit  de«  .tit'setzes"  cutistAtirt  werden  k5nDen, 
narnentlji'h  ffir  die  äcbichU;n  bin  etwa  2  km  Höhe.  Einige 
NachliikhrteD  dvr  Ht^rron  Profeäsoren  i^ohnckc  und  Finster- 
wslder  biilK.*ti  l'ili-  Höhen  zwi*>chfu  ^^00  lu  und  2000  m  eiue 
Mlirtbi4tiM:bL-  Tein|>orHtnnihimhine,  aLsu  eine  sulche  vtm  10" 
fUr  1  km  rn  heiteron  Sommcrn5>'hten  eonsiatirt.  DicM^n 
ruMÜten  Tem|)erutiirubuiihmen  uluberi  jedoch  vielfach,  für 
dir  NH(*htxeiUrn  fust  immer  TeinperuturumkehriinKen,  d.  h. 
Zutiuhmcn,  naniontlicb  in  den  BodeniKihicbten  bis  tu  300  m. 
r&tfpe4(vn.  Soweit  sich  aus  dt"n  weiiijfen  bis  jetzt  vorlit-j^en- 
d»ni  Nystt'mikliM^hrii  Boarbeitun^fii  ScblOäde  ziehen  Wten, 
>3ch«iat  jedoch  im  f^rosseo  Mittel  die  Ivory*iiche  HyiM>the«e 
tti*>  zu  10  km  das  Riohti^o  zu  treffen.  r)arQl>er  hinuuri 
dmtirn  die  nciiiMten  Huchfuhrteu  das  deutdcheii  Veri'iiies  fflr 
LuAMbiflTmhrt.  die  namentlich  mit  dem  fU^iatrirballon  in 
I  '•'  HfShen  gefGhrt  haben,  starke  Abweichungen  vom 

J-  n  QeMtLy.    an,    wii^egen    d&a  Uylden'itche  Ixesetz   iii 

xj  '    Ueborcinidimuiun((    bleibt.      Trotzdem    bleibt   für 

die  berecluiuug  der  Uefraction  die  Ivory'scbe  Hy7>oihet>e 
fiMUg  ausreichend,  weil  der  KinHtinä  der  obersten  Lufl* 
•rfaicbien  bw  za  ^nithdiijtanzen  von  S8*  ein  nahexu  ver- 
sdiiriiideoder  ist;  für  ne  aind  lediglieh  die  unteren  Schichten 
nuMf^bend  und  in  di(«eii  genO^t  die  (vory'äche  borinel. 

Wir  *obon  «.>lK<n  erwähnt,  ist  fflr  hetUTe  Nilcbte,  also 
gcT»dp  ßlr  jeo*>  Zeiten,  in  denen  die  meiät^n  ostninomischon 
Bcubwcbtnugen  angestellt  werden,  ein«  Temperaturuiukehr 
d>  b.  9in  Maximum  der  TeiM[ieratur  in  mii»ii^er  Ili'ibi*  ul.« 
ragdlmiaisg  bestehend  coastatirt  worden,  f^nwohl  zahU 
oh<e  nicktJicfae  Ballonfahrten,  ahi  aneh  nanienUicb  die 
am  EiffeUhurni    tn  l'uria  haben  dieees  Maxi- 


25(>  Sü»un§  der  imOi.-phy».  CVomc  iwm  4,  Mat  tSffS. 

muoi  auf  riiad  2"0  in  200  m  Hö\w  ftstpgelegt.  bi«  wt  fQr  die 
Bestimmung  der  Keiractiunäconstaate  von  grüsster  Wichtig- 
keit, deu  KinHiibM  eineb  solchen  Maxioium»  auf  die  Uefractioci 
kennen  /.u  leriifii.  Otirch  eine  Art  nseühHiiitucbcr  i^uadralur 
b»be  ich  die  Dificrenxon  berechnet,  um  wolohe  dss  Vur- 
Itaudf^uHeiu  der  Teiuperaturutnhebr  die  liefractiuneu  ftegea- 
tih«r  den  nurmal  gerecbiieU-n  vorgrüMert,  und  gefunden: 


5 

A 

74°  2' 

+ 

o:o6 

79    4 

-l- 

0.23 

H2  1G 

-f 

0.63 

84    7 

+ 

1.32 

S6  22 

+ 

5.08 

87  56        +  U\M 

OieK  Tubelle  lehrt:  1)  daas  bü  utwu  80*  Z.D.  d«r  Kinfluas 
der  gtiwübnlirh  bcuhacliloten  Temi>erut.urinversion«n  auf  die 
ICefraclioD  ein  ver»cbwindeudt^r  int,  M»diu«  maa  m  der  jutru- 
noiatNcben  I'raxiH,  wu  man  Kcbtin  aiM  andurun  Qrüuduti 
HO*'  'A.D.  nur  im  Nnthfalle  Ubefhc breiten  wird,  darauf  tceine 
KUcktiiuhi  KU  nebmim  braucht;  2)  da»  unaere  frUbrr  auf- 
ge»lelltrn  Differ^nxen  A — A\  ans  denen  wir  die  Correctiuii 
der  Kefractiottaconifteiitc  abgeleitet  haben,  noch  grösser  wtlr* 
den.  üLho  eine  nocli  stäHcere  Verklctinernng  dur  ßeaicl'ficheo 
Hi5fraction»c»nstHnti>!  vrfaeiMbeti  wtlrd«n,  wenn  iiian  die  rvgel- 
mlMage  Kinwirkung  einer  Tonipormturinvemion  suf  div  B^ 
obachtuugen  anniinnii. 

Diese  letztere  Tbabiache  HetrX  udh  meines  Krachten^ 
&b«r  daa  letzte  [iedenkeu  hinweg,  daa  g#gen  vine  V«<r- 
kteinermiK  der  Be^wel'scbiin  Kefractionsctitutante  noch  tut* 
gpbrai-bt  werden  könnte.  Kh  crhcbeint  mir  jetzt  enrieaen^ 
diMt  kfine  mit  den  met«on>t()giM-beu  ti«*<ihai'btungBn  im  Kin- 
khuig  liebende  Conrtitotion  d«r  A4mo«|ihüre  aageiiuainMa 
werden  kann,  wviche  die  Dtfiereuzvn  d  — 4'  u  «riclännt  im 


J.  ßamM'Mtt^er;  Bettimmuntj  der  HefractionMounstante.      ^ST 

flhtittdg  w'Atv.  ihutu  aber  liU-ibt  uicbu  übrig  aJ»  dte  BetHet- 
»fmctiMnvcoavUnte    lu»   d«a   obeu    gefundeavu  ButraK 

m  verringorn.  Man  wird  »ich  um  m  leiciiter  tliw.ii  ciit- 
j^  «chlieaMii,  diu  MuUuue  gebruucbtti  Coiutuitt«  zu  rcrlttssen, 
^P     aU    Hue    tpiiixe    Keib«    aua^ezeichueler    Beobachluiigt^n    au 

awleren  8teruwarteu    tu   einem    ähnticheD  Hasultate  fßhrte. 

Lieb  stvllfi  iu  dor  fol{;)*ti(b*n  Tiibt<IIu  die  wicbtig^teD  BeBtim- 
niODj^vD  3ni8uuiDi*ii.  liieltei  ist  die  liefmctionttcoDtiUint«  de 
ßnirt  durch 


U     =: 


1-|-2crt' 


f*  die  Dichlij^kfül  der  Luft  und  r:  tiine  (Jonstiuite  iat,  die 
mit   di'ni  Hn-trhuM^nimlex  /<  der  Lufl  in  der  Beziehung 

^»  =   1  -f  2^0 

KT  ^ind  idlo  Znhlru  redui-irl  liul  ».•un'tt  LufUn^tHnd, 
II  i^ueck-iilbiTdruck  von  "(iO  tum  luji  0**  C  Ijneck- 
nltw>rtwiii|wrnlnr  und  dur  Schwere  tintvr  45**  Bniite  und 
8««bC)he.  einer  Lufttemperatur  von  0®  C  und  einer  mittleren 
Laftfvuchti^kfiit  von  0  niw   Dampfdruck  miUpriuhL 


1.  Ba««I.  Kund.  Afltr.        < 

I>.00()21)244 

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1.00020257 

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29302 

44U 

29:U5 

X  Tab.  l'ulkoT. 

29210 

208 

29232 

4.  Fu». 

20148 

122 

291  lil 

9.  Omsnwicb   18:)7— 1Bn5 

20147 

120 

29inü 

n.  Hulk.   Ifar,ri 

2010(1 

200 

29203 

7.  tjrwfflwich   1877—1880 

20182 

102 

29195 

8-  Plilkowa  1885 

29117 

058 

29t80 

9.  Mnnchai 

29139 

104 

29152 

Gtomm  Intenme  bietet  ili«  Wn^U'iidiuuff  dee  auf  aHtrcmonii- 
«cImd  W«ge  g»faiid«nra  BruclinngHeipooeuieo  der  Luft  mit 


258 


^äjumtf  der  mMiK-phy»,  Cla»a  rom  4.  Jfta  i£95 


dem  durch  phy^kalpwhe  Methoden  orinitteltpn.  Die  neuest«? 
und  wohl  zurerlätidiKHte  BeatimmDDg,  die  auch  betreff  ihrvr 
K«äuUate  £tetultch  iu  «ier  Mitte  Wrgl  zwischen  den  frilhrrt-n 
bi»t«u  ßestimtiiuiiKvn  von  Kotteler,  Lorenz  uud  MascArt.  M^t 
die  bchoii  oben  citirte  von  den  Herren  Kaj!«n'  und  Ituuji^. 
Die««  linden  durch  elue  phulo^püp bische  Bfetbode  für  /i  den 
Äusdrtick 

10^0^— U  =  2878.7 -f-l3.l6i-s+ 0^161-', 

wenn  k  die  Wellenlänge  in  Tausendsteln  des  mm  bNlcutt-t. 
Diu  Mittel  Ba-4  den  obijjfeu  iMtrono mischen  Bei^bachtuiij^en 
mit  Aii«ichlii8»  der  beiden  Be^tierschen   Werthe  gibt: 

a  =  O.OrM)29hi3,     a-  =  (KrJ53.     /i  =.  l.(Mȟ21)l7*i 

Üiewr  uätrononiifiche  Wcrth  würde  hiemach  dpr  Wellen- 
länge X  =~  Ü.ltOl  entsprechen.  Uru^fekehrt  tindet  man  aus 
der  Formel  für  die  Wellenlängen  der  FniUdhurcr'schen 
Linien  folgende  Werthe  von  in 

l  M 


A 

0.760 

1.0U02902 

IS 

0.6H7 

2Ü08 

0 

0.656 

20]] 

D 

0.589 

2dld 

E 

0.520 

2d»0 

F 

0.486 

2940 

M  Ani  m  al  intensi  ULt 

0.575 

2921 

Hieruiuf  wHnle  folgen,  das»  bei  Hstronomi!<chrn  Iieubachtnn>;en 
luclit  auf  die  Stelle  der  Maximalintrnäitat  de»  Spectrumb 
ciDgetitellt  wirdf  »imdero  auf  eine  mehr  gegen  ruth  xq  ge- 
legene Stelle,  nftmtich  etwa  auf  die  Mitte  zwiitchm  d«n 
Linien  C  und  /),  die  an  der  CireUM  von  Oellj  und  Roth 
liegt..  Oh  die  Urttache  hievun  in  der  mlectiTen  Kxtiuetirui 
d«  Lichtos  in  der  Atmo«phftre  teu  «uobon  uA«  wonach 
hesmiderM    Ini    utarken    Wttwvrdampfgvhalt    d«r    LttR    die 


J.  BauMthtn0er:  B^Ummuni;  der  Refrnetiontcofutnnte.       259 

Mmoefl  Tbvile  des  8peciriims  stärker  absorbiri  werden  als 
die  rotbeti,  muda  bei  dem  Mangel  au  exacteii  Meäsiiii>(en 
hnnrOWr  liahingeKUOIt  bloibeti.  Die  hiesigen  VVubrnt'hpiunj^eu 
wQnleii  dafOr  jsprccbuu,  tltrnn  dii^  Kpcctniiii  der  bterue  zeigte 
Ckst  aiunahmsloa  nnr  Gelb  iioil  Kutb. 


Mit  der  gefundenen  RefractionscuUBtaDtä  und  der  davon 
Abhängigen  PolbOhe  wt  dus  Decltnationsayälein  der  g«- 
miijwen*?!!  Sterne  aufgestellt  worden.  We  KinenthnniHeh- 
keit^ti  der  l&«duct.ifiii  (less'-lbt'M,  nämlicb  die  Anweiiduii}^ 
der  »uf  einer  nenen  Annly.'tQ  hemheiiden  Hadmi'srheii  Tafeln, 
(be  B«rücksicbi)^uu^  der  LuftfeutdiH^'keit  und  der  Temperatur 
dm  Beubachtuniftriiuiue^  und  iiitil>esondere  der  liebruuch  einer 
Deu«n,  Hownbl  ge^en  die  BeaHtP^cbe  »U  ge^en  die  Gylden- 
«che  «tark  Termijidcrtan  Uefractionücunstante  Iubboh  ron 
t  -  '  rin  §tarke  «y^niutiacbo  Uoterbobiede  desselben  gegen 
'i  iU    liükiuinWn    erwarten.      Dieselljeii    verschwinden, 

wie  lekbt  zn  toigen  war.  Tolletändig,  wenn  mit  den  alten 
Mitteln  reducirt  wird;  eine  Ausnalime  bievon  besteht  nur 
Rlr  dii*  auf  der  südlichen  Ilalbkugel  der  Hrde  beobachteten 
Stemkataloge;  die  Differenzen  mit  diesen  &ind  sysieniatiscb, 
gleichviel  üb  mit  der  Bessel*äcben  oder  einer  verringerton 
iUfra«tion!iCi>Dataute  n*ducirt  wird;  falls  sieh  die^eä  Resultat 
bestätigt,  wird  man  auch  aus  der  Vergleicbung  von  Be- 
obachtungen,  die  auf  der   nördlichen    und   südlichea   Ualb- 

agttl  »n^wt^llt  wurden,  kein  Kriterium  fftr  die  Wahl  der 
tiligeu  lUifractionaCoastunti.'  zielten  könuen. 
Von  den  durchgerührten  Verglfichungen  der  beiden 
Mflncbvoer  Sr«terue  M  und  M',  von  denen  dttö  erstere  auf 
d«o  MadAu'achen  Tafeln,  daa  letztere  auf  der  neuen  tCefrac- 
tioiMCOCiaiiiote  beruht,  kuII  hier  nur  jene  mit  dem  Auwer^- 
•eboD     PundamenLnlkatalog    {F.  C)    au-NZiigaweiae    nngeflibrl 

»rdi^,    weil    -ie   auch  die  eborakteristischen  Merkmale  der 
wiodvfgibt. 


360 


SUaur^  der  mtUh^-jih^ti.  Cla9$e  eom  4.  Mai  lS9S. 


Ctrenien  der  Uec). 


+  880  48'.. 
-h  78  7  . . . 
1-  G9  B9  . . . 
+  U2  7  .  .  . 
-t-&B  38 
-h6l  17  .  - 
+  49  68... 
+  48     i  ... 


+ 


-14   63 


+  8l»4ff 
H-70  69 
1-  62  37 

-\-  r>s  61 

t-65  26 
-1-50     8 

+  48  aa 

+  46  6 
+  41  34 
+  1Ü   16 

^  a  41 

16  34 

30  25 


Miltl. 
Deel. 


M-y.a.iM'~i:c. 


T 


86»   u 

+  74  88 

+  86  4U 

+  flO  Sl 

+  67  4 

+&a  10 

+  48  10 

+  46  37 

+  48  18 

+  14  42 

+    ö  42 

-    8  9 

-38  31 


An«,  d. 


Wie  maa  äiuht,  würden  die  OiHeruniwn  M  ~  F.C,  diu  jetzt 
alä  gesichert  belrachivte  Vvrbutlen  dea  F.C.,  wonach  jKine 
«ndlichi-n  t*oHiti<ineu  vticu  Aeipintor  nl>,  um  O.TiO  —  ü'02  iV 
KU  Güdlicli  wären,  nicht  beätätiKoa,  wogegen  die  Di&ereniC£U 
M' — F,C,  dne  Venwbiebuiig  diu  Synteimi  uacli  Norden  in 
üoch  erli5hteni  MiuuLse  verUngon  wfinlon.  E«  i^t  hirraiis 
deutlich  ersichtlich,  in  wie  hohem  <trade  ein  Decliuatiuua- 
sysieni  von  der  tltifrucliiiaiM.'xiitMtj(nte  tililrnnj^g  iHt  und  daM 
i»  einen  Keriiigen  Fort^jchritl  bedeutet,  eimm  Wechsel  dw 
DechimtiouMysU-uiH  eintreten  tu  lanK'U^  wenn  er  nichi  auf  J 
Gnnid  ge»ichttrt«^r  AntmbmeD  Uhir  iVw.  lCi-fruct)onMVrrhultiii»«| 
gettcheben  kiinn. 


Mllnohen,   April   1894. 


261 


Beiträge  zur  Potentialtheorie. 

Von  W&llher  Ü>ck. 

I. 

üeber  die  Darstallung  der  Kronecker'schen  Charak- 
teristik eines  FuDctioaensysteniB  durch  bestimmte 
Integrale. 

Bill  genaueit  Studium  der  KroneokerVben  Arbeiten 
Bbvr  , Systeme  ron  Fnnctionen  mebr^r  VAriHheln*  und  dif* 
Bewilttflit^unK  mit  den  iimniii^fftclien,  scltuii  von  Rroiietrker 
l»-*«""»-l»)l)eneM  Be-zifttuni^en  dcrMrUHfii  r.u  den  hierbor- 
;-  -   ')    fuudaiuuiitalen  UntfirtnicliuntfCD   von  Cauchy  timt 

Uias«,  mn  Sturm  und  Ton  Jacnb»,  bowie  wi  neueren  Ar- 
betteii  jsur  Arialysis  situ»  iiml  zur  Gluicluinf^lieori«  hat  mich 
ZD  eintT  nülteron  Au'ieinuriilt'i'Hftxiuijj;  jener  iifegenaeitigoii  Be- 
»«faiingen,  zur  Aindohnnng'  (gewisser  Funnulinin^n,  aowie 
xur  Vemllgvmeinorung  vin/elner  Fraffentel langet i  gefdlirl, 
dt^rvn  ßtwtiltHtc  ich  in  einer  [{<>)hc  kürzerer  Berichte  der 
huhen  mathematitich- phyMikalischfti  KIa-vm*  der  Akudumie 
tintuUgen  mir  erlauben  nuiohte. 

Id  d«ui  f^e^jen  wärtigeii  Aufsatze  handelt  es  sich  am  die 
D»nft«llung  der  Kronecker'flchen  ('hurAktcriätik  innef-  Sy.stem» 
mm  •+!  reellen  FtinnÜoneii  von  ri  reellen  Veränderlichen 
nat  Hilf«  ron  hevtinmiten  intcf^aleii :  diu  von  Kronnckitr 
(;.<-_'.' U.n..  Inte^alformel  istt  ab  s^jeciellrr  Fall,  die  beiden 
i  r'achen  duaim«nt'i>rmelu   xur  Bestimmung  der  Cha- 

raktcnttik  «ind  ahi  Gronzfallt^  in  jener  Duntellung  ciiÜialUn. 


262 


SitMung{ 


U'ph^M.  CVowtf  9tm  i   Mm  ihSö. 


DafHlellung    der   ChnriiktHriNtik    ein**»    Fnuctionen- 
Systeniä  durch  uiii  ii-fuchesi  Integral. 

Ovü    BetrHcliluiigeii    liogt   zu  (irunile   Hun  SjHtem    vnn 
(«+0  eindttutigen,  reollen  FliDctioaoD: 

der»  reelli^n  uiiWcliriinkt.  verundrrlißlit'n  (injiwen  r,,  £-,...<„; 

dalitii  seUtiii    wir  Vuraus,  das«  die«c  Kunt^tioneii   «ine  n-lAclt 

iineiidliohe   AnrAhl    mwohl   poaiÜTer    aU    negativer    VVerthe 

auuebiiieii,   dw»   siü    im    Allgetiitfinifii   Htelig    und    iiiuh    deu 

iMu/tflui'n  Vuriabeln  difTeriiitürlmr  wind,  dass  k<*iiii<  dt^^  ii  -f  I 

auH  je  u   runctioiieu  ui*)tildet«ii   Fiinctionaldetflriniiiiintt'ii  xii- 

Miuumeu  luit  den  butrefTeiideti  Kunutiont'u  für  uuendlich  riele 

Wi'rl.h(iy>*t#nie  der  i  vifpfiihwimlel. 

Wir  itihrtr»  jeUt  «+  1  ucwc,  rocUo,  uubwJcUriiukt  ver- 

audi^rliclitt  Gröswn  x^x^^,..  x^,  die  wir,  urn  uiu  nur  Äb- 

kOrzung    gtsiiuetriHcbiir  Spri-n^bwuittv    btfdbnen    7,u    kÖiiDeri. 

fkU    .riM^htwiuklige    Puiikt-CuordinuU^n   '*ineM    linuariMi    n  -f- 1 

diiuHnsioiialüii  Kauiutw  />m+i*   be-/.t<ii-lm«*n  uud  deuten  wollen, 

und  »utKeti: 

*,  =  >„(/,.*,.  ..  .»«). 

i,  =  ^'*,  (',.«V        '-»' 
2) 


X.  =  F.  {j,.^,. 


A» 


Ktt   dvHnirt'n    dann  diese  ßteicliimip'n   in  nuHerom  f^^t 
töne  n-dimenNiunale,  t(eMofal(MatEB«  Mauoigiiitliffkfit  Mm*  dervn 
Punkte  darch    die   Gojsninmth**it  aller  re>*Uoii   W*trth»tytit 
der  Panuneter  /<  ei'enso,  wie  darck  die  /.ugfbOrigeu  Hunkb-^ 
(xiondinatAn  f«  Ix^xficbnul  ixitid. 

Unter  ZugnindcIcipinH  dioMr   Uanntgfnitigkoit  Mm  im 
lUuiue  der  Xk  deÜiiire  ich: 


W.  Ihfck:  Beüräffe  Mur  PoUntialtheorie.   l. 


263 


1.  Dil«  CbHrakteriHtik  K  des  SysteniB  der  Func- 
tiünen  F^.F^t-.-Fi,  int  diejenige  Zabl,  welche  an- 
gibt, wie  oft  die  Matmigrnltigkeit  Jlf«  dun  Ooordi- 
natenanfanKspnnkt  Xf,  =  x^  =  ...=> Xf,  =  0  nmgibt. 

In  §  2  irird  Sewieseui  dikss  die  so  definirte  Zahl 
K  identisch  ist  mit  der  Kronecker'scbeu  Charak- 
teri«tik. 

Aus  der  Definition  folgt  sofort  eine  Daratellung 
der  Zahl  K  mit  Hflife  eines  n-fachen  Integrales, 
d^sfen  Kleroent  eine  directe  Verallgemeinerung  för 
las  Klfiraent  des  «rännitichen  Winkels*  in  der  be- 
Uonten  Ganss^schen  Formel  ist.') 

Bildet  man  nämlich  die  ilf.  durch  Centralpmjectiitn 
^teiianfangspunkt  aus  auf  die  .n-diinensionale 
K..^- ...:„.. :l.wbe*   foui  Kadiuä   l 

nb,  so  vi  K  die  Anzahl  der  so  erhaltenen  Kugelbedcckungen. 
DiK  Rechnung  gt^staltei  mich  foIgendermass*>n; 
Wir  legen  ein    ,parallelepipedisehes'    Klemeut  dQ»  der 
lannigfaltigkeit  J(f«  durch  einen  Punkt 

Dwl  II  Nacfabarpunkte 

x^  -f-  rfj^.  jf,  +  rfj;,,  ...  a!„  +  rfx« 

Kach    den    Formeln    der    N*dimensionalen   Analytik    hat 
Soan    dann    X\\r    den    Inhalt    diests«    ßlementes    die    Fomiel 


^)  OaVK«,    Werke  bd.  V,    .Allf;enirtnt>  I^bn&lxe  is  ReKiehung 
<U*   tiP    T»rliiihr1rn    VerhUloi«««    il«»   Qunrlrmt«    der    KotrernniiK 
|r««4U«  KriLDc*    tiod    ,Allgf>nirine  l'bcone  cle>   KrUm&jiiietit^iutu*. 
Maa  irh   dii*    von    Schering    v<T.ioliLsstfl    Disflrrtation    von 

0,  0'  •  r,     ,  Crir«<it«tTtinjp    Akt   Oaiioii'itt'beD   Theorie    der    Ver* 

•tJkliliK*'Nt"*'>  ***'  dtv  nucb  «fiAtttr  Ueiutf  ui  nrhiiiRn  lein  wird. 


266 


fljUMWf  <tor  jMft.  fiifi.  OtaHt  «mn  4.  Mni  laoc. 


M)       '/i^H 


/ 


.     .  .  f  ne^  rf#, ...  nj« 


and  ebenso  lußsen  sich  !**>fort  die  Formeln  fllrc(w(i£A)  uiid 
r  in  den  Si  schreiben. 

Bezeichnet  tohn  noch  durch  &m  (ü«  Oberfliche  der  Kuf^l 
.  vom  Radius  1 

j;  +  i»  +  j:;  +  ...+x2  =  i 

SO  ergibt  sich: 

II.  Die  Charakteristik  K  deit  Syi^toinii  der  Kuni:- 
tionen  F^,  F^^  ,  . .  F„^  dnr^estf^llt  »Is  WiiidunKHxahl 
der  MannigfaHi^^keit  M»,  um  den  Nallpunkt,  iil  ge- 
geben durch  das  n-fsche  Integral 


12)         K  ^  ^-  frfüi«  = 


-if 


Fo  Fol  Fm  •  •  ■  ^(N 
Fl  Fu  Fi9 ...  F\i 
Ft  Fi]  JPj» . , .  Ff, 

Fm    Fmi    Fm  '  '  *  Fmt 


K/-;+Ff+f;-i-...+  i^:; 


^^rf*,  tie.      .  fis^ 


Da»  Integral  iat  dabei  erstreckt  Aber  da«  ge* 
sammle  VVertheaystem  der  reellen  Ver&nderlichcB 
'i«'i....'*.  denn  dieses  Werthenysiem  ist  im  Allge- 
meinen den  Punkten  Xj,,  Zj, . .  •  x^  unserer  Mannt  iE' 
faliigkeil  JV«  umkehrbar  eindtMitig  xageordnet. 

Die  Kormei  mocbt  nrimitt<«lb«r  die  Oloii-bbt^rrcbt^ng 
der  Kuuctionen  F^^F^^  ..  F^  ensicbUicb. 


^ 


W.  /JycJfe:  Beiträge  sur  PoUMüüth^wif    I. 


267 


DftR  Vorzeichen  ilt*r  Charakteristik  K  ist  *o  eine  be- 
«timinte  Fteihenfolg?  der  Kimctionen  geknöpft  and  wechnelt 
bei  Vertuuscbting  von  je  zweien  deiselbeti. 


Die  Kronecker'gcbe  Summenformel. 

Man  entnimmt  der  vorfitebenden  Formel  (12)  wifort: 

Die  Elemente  des  Integral»  werden  nach  dem 
Vorieicbeu  der  Zühlerdetermiiiante  snminirt.  Dieses 
Vtirwichpn  aber  unterscheidet  die  beiden  Seiten  der  Munnig- 
faltigkeit  Jlf«  gesehen  vom  Co<)rdinat«nanfan|;^putikte  aun, 
iiiM>ferne  die  (gleich  NuU  ^e^t/i-e  Determinante  die  Bedingung; 
ffir  den  «beröhrenden  Kegel*  vom  Coordinatenanfangapunkt 
nach  der  JU.  durntellt. ') 

Ein  beliebiger,  vom  Coordinatennnfiu)gi<ipnnkt  auslaufen- 
der Slrabl  durchwtzt  die  Mannigfaltigkeit   M^  in  einer  An- 

fon   Punkten,  die  wir  nach  dem  Vonieicben  der  Deter- 

Dte  unterscheiden. 

ZlUilt    man    nnn    diese   Schnittpunkte    dem    Vorr^icben 
chenH  je  mit  -|-  l   be/.  —  1    gerechnet  ab,   m   erhält 

kiue  7m\iU  die  uuubliängi^  i^t  von  der  apecielleii  lUcIi- 
tnng  des  gewählten  Strahles  mid  aUo  giltig  für  die  Gesanimt- 
heit   aller   Strahlen,    welche   die    Kiemente   der  M^    anf  die 

eitakngel  projiuiren. 

Die  Zahl  gibt  somit  eben  die  Anxahl  der  Be- 
decknngen  der  Kinheitftknget  an  und  ist  demnach 
identiML'h  mit  der  in  I.  del'inirten  Charakteristik  K. 

Bildet  man  aber  andfTerwita  speciell  ffir  einen  der 
Axmvtrahlen,  z.  B.  fDr  die  poeitire  Axe  X. 

Xq~Q,  xi~Q,. ..  x»-i  =  0,  j^,  >  0 

*l  Dan  im  AUg«mmDFn  stet«  vorhandene  Auftreten  vrm  äelbit- 

M„    (lüDff*    Miinnif{fttHi|{kHten    von    n   -  1 

Ije  UetlitnitiiuiK  <Wr  .KIiUheii)k-4U*  «lurcfa  jenes 

-t 18 


W,  D^ek:  BeÜrAffe  für  Potent inltfworte.  1.  2<K) 

111.  Jeder  Jineftre  .Schoüt* 

Xo  =  0,  Zi  =  0, . . .  *fc  =-  0 

dor  Mannif^fatUgkeit  M^^  der  also  eine  Maunig- 
faltiKkoit  Jfu-k-i  von  n — i; — 1  Dioiensionen  im  line- 
aren fCaume  Ln^k  der  x^i,  x*^,...  Xm  definirt,  ist  eben- 
iiio  oft  wie  JI/n  selbst   um  den  Nullpunkt  gewunden. 

Eb  ergibt  nich  aus  diesem  Salze  die  Dnr»tel]nn(r 
Too  K  durob  ein  (n — l)-faehes,  (« — 2)-faohea,  .  .  . 
((• — h —  r)-f»chei*, . . .  2-facbe8,  1-facbe«  Integral  und 
sehliessHch  flieäst  aas  ihr  als  Ureozfall  die  Oar- 
aiellang  mit  Hilfe  einer  Sumnienformel.  Die  letztere 
tat  diu  rou  Krouücker  für  die  Charakteristik  auf- 
({eatellte  Sumuieuformel,  und  ebenso  iai  das  (n — 1)- 
Tach«  Integral  eben  das  von  Kronecker  hergeleitete.') 

Ffir  di(«  nprstelliing  des  durch  den  Satz  111  bezeich- 
neten lotegralnuädrucke;}  fflr  die  Charakteristik  sind  wusent- 
Kch  diesellien  Ueberlegungen  maAsgeltend  wie  bei  den  in 
§  1   gegebenen  Kt)miulirungeti.     In  der  durch 

^)  Krooecker  benfltxt  lor  AbleitunK  dieses  (» — l)-rachen  Inte- 
gnlet    ater    AuMichnaDg    der    Function    F^   die    Abbildung    dei 

,HaB1<e  der  *|,  Xf  ■    -  'n*  ^^^  ^^"   FUiua  der  x^,  j, r^  durcii 

Jfi  »  F\ .  ^%~  l'\,  ■  ■  -  x^  —  F^', 

die  reellen  Pankle  r,  dei  Ranmei  der  :  nnd  dabei  «iDdeutifc  auf 
rvetle  Punkt«  j\  ab^bitdft,  aber  umgekehrt  (•□t«|) rechen  den  Punktt<u 
i^tm  AUjrrtD'invn  Tvrvcbiedenr  Punkte  '^  Die  Fanutioo  -''o('it'i<*--'iJ 
geht  bei  d«r  Abbtldang  Über  in  tf^(Xj.r,, ...  xj.  und  dRbei  iit  die 
Haanig&lttffkeit  F^,^  Q  ihreneiti  nmkebrbar  eindeatig  anr 
tf^^O  beuv*^  ^^  Anzabl  der  Windunsen  von  0q  —  0  (ftUo  in 
4er  «bigea  Beteichnunff  de«  Schnitte«  iltr  ^f^  mit  j^^O)  nm  den 
Hollpunkt  i«t  dann  die  K^ticbte  Charakteristik. 

badorcb.  duMi  in  der  oben  gewählten  Korm  der  Definition  und 
Baleilaag  der  Cbarukteriatik  jede  Autiteichnung  einer  der  Fonrtinnen 
Ja*  ByUoK  vermledeD  tsi,  werden  die  ForniuliruDgen  alltremeiDer  und 
Obewicbilichgr.  Der  SatB  ron  der  CaTcrfiLnderHohkeit  der  Chariiktcriitik 
ba  VtttMi«chnn|r  der  Fnnctiooen  d«  87iit«aM  ist  dirort  geKobfn. 

W 


270 


SitMung  der  wuah.-ph^a.  Cla$$e  vom  4.  Mai  1895. 


15) 


X,    =    F,  (0p  £,,...  Zn)    =    0, 

ic*  —  i^*  (f^p  *„ . . .  *»)  ==  0; 


x«  ^  f  «  U,, «,,...  #«> 

gegebenen  JtfM-jk-i    bestimmen    wir   ein    (n — h — l)-dimen- 

sionales  Element  dQn~k-\  durch  einen  Punkt  x^\. . .  Xn  und 

M — k — 1  Nachbarpunkte 

(0  (0  (0 

Xk+l  +  dXk^u    Xk^t  -j-  dXk-{i,  ...    Xn-\-  dXn 

Der  Inhalt  des  Elementes  dQn-k-A  if)t  somit  analog  wie 
oben  gegeben  durch: 


10)     dQ.-u-x  = 


-]/ 


/  ii  dxh^\    rfxt+j  . . 
dxk+i    dx^2  -  • 

0)       ' 
.     dXn     ? 

m     j 

li 

rfXfc+i      dXk+2    ■  '  ■      dXn 


und  für  die  Central projection  di&^es  Elementes  auf  die  Ein- 
heitskugel 

^+, +  ^+.  +  ---  +^:  =  1 

ergibt  .«lich 

Xi+i       a;*+2     ■  ■  -    a:», 
(1)  (1)  (I) 


(M-A~l)     [«-*       1) 


lH-4-I) 


M— * 


W.  i)ydt:  Beiträge  mut  Potentiältheorie.  I.  271 

FQbi«D  wir  jetzt  in  der  Mannigfaltigkeit  Mn-k-i  die 
Parameter  #i,  J>|, . . .  «»_jk-i  als  unabhängige,  die  abrigen 
als  doitsh  die  Gleicbangen  -Pi  =  0,  J\  =  0, . . .  Fi  =  0  von 
ihnen  abhängige  Parameter  ein,  so  kann  man  setzen: 

o  =  0, 1,...Ä;     t  =  1,2,  ...n— A— 1 

o  =  Ä+1, .. .  n;     «  =  1,2, . . .  » — k — 1 
Aus  den  Gleicbangen  (16)  folgt 

wo  D  die  aus  den  letzten  j^+l  Verticalreihen   der  Matrix 


^01      Ffti    ...     ^0  H-t— 1      ^0  n-k    ■  .  •      Fon 
Fn     -Fig   .  .  .     Fim-k-l     -fiB-fc    .  .  .     F\n 


21)     if  == 


-Ffci     Fta   .  .  .     /*»_fc_i     Fkn-k   • . .     -'^J 


Am 


(0 

gebildete  Determinante  ist,  und  D  diejenige,  welche  aua  D 
durch  Ersetzen  der  Verticalreihe  mit  dem  Index  ft  (/t  =  n—k —  v) 
durch  die  Verticalreihe  mit  dem  Index  %  (i^  1,2,...  n—k—X) 
entsteht. 

Es  kann  nunmehr  jede  Determinante  der  Matrix  der 
äx  (Formel  16)  dargestellt  werden  als  symbolisches  Product 
zweier  Matrices. 

So  ist: 


L-fAp«.  CUmt  mm  4.  Mm  SrÜn 


-    T        _    -l 


-    '--        =    *1 


T       + 


*  H 


'    + 


4 


-^1 

71 


-(-  — 


tr.   Djfck:  Utilrägt  zur  llotrMmtthcurte.    /, 


278 


l>ie  «weit«  diewr  Mtitriur^  int  corresp*)iidirende  Matrix 
ta  der  in  Formel  (21)  gegetwoen.  Dur  Factor,  uro  welchea 
fach  je  die  '•iite<pre«'hendt»n  Determiimntcn  nnterscheidp»  ifit, 
t^~*~*.  Das  Matnxpruduct  kaiin  demnach  in  der  Forni 
gcKh rieben  werden: 


/?-»-«. 


KQr  dt»  Oberflächen  «lernen  t  17)  auf  der  Kiiiheitskiigel  er- 
gibt BBcb  bienius  durch  eine  einfache  ZiiAamtiD'nziehDng  die 
Pornwl 


24) 


i-i' 


'•2 


•dW|  def.-.ds^-^i 


H-i 


Fahrt  man  nnn  au  Stelle  von  su  's« .  - .  ^-t-i  andere 
Panuneter  ä,  also  «^,  #i^. . . .  #i^^.|  ei«*  so  erhält  luan  für 
datm~*~i  ein*  analoge  in  den  Differentialen 

briebene  Furnie!,  in  welcher  die  obige  Determintinte  7) 
der  Mainx  (31;  ersetzt  iet  dnrch  die  Detorminuutu  Di, 
«akb«  durch  Streichen  der  VerÜcalreihen  mit  den  Indice» 
ti,it,  .-.i«-^i  entwehr. 


274  SUsung  der  mtUh.-phya.  Clcuae  vom  4.  Mai  1896. 

Jetzt  fasse  man  die  AusdrQcke 


25) 


I  -Fol     -P'w  •  •  •     '^0*  ' 

t 

' \t 

f'ki      Fk2    ■  •  ■      f tai  I 


n, 


dziydäi^...  ds^^^_^ 


als  Elemente  für  die  Integration  in  den  e  auf/)  so  kann 
man  den  Integralausdruck  für  die  Charakteristik  in  folgender 
allgemeiner  Formel  zusammenziehen: 

0        Fi\     F]i      . . .  Fi^ 


20) 


Ä--  .-  — 

">n-k-l 


0        Fn      Fm      . . .  Fkn 

i^fc+i  Fi^ii  Fk+ii  - . .  -Ffc+i« 

Ft,         Fni  F^2         .  .  .    Fnt, 


I    A;i*oi  ^02-.  Fo^* 

^"  +-^-*  1/ 


(/Oh-*- 


')  Deaten  wir  diese  Formel,  wovon  später  noch  tn  handeln 
sein  wird,  im  linearen  Räume  rechiwinkÜKt^r  Coordinaten  ^i.  2,,...  z^, 
so  stellt  d  'f^-k^i  ein  .OberBäcbeDelemeut*  der  MnnDigfaltijfkeit 
f'o  =  0,  J-'i  =  0,  . . .  i'\  -^  0  dieses  Ruumen  dar ,  dessen  Projection 
auf  die  CoordinatenmannifffAltigkeit  der  z.,  r,^,  ...  x,-  durch 

<''■.•  ^'^f-t'V    ^       ireireben  ist,  während        '^  als    .Counos  des 
Neigunffswinkels  jener  Elemente  ^egea  einander"  ca  beseiohnen  iat. 


W.  iMfck;  Beiträge  cur  Potcntuttihtortt.    I. 


275 


Hiolwi  bey^icfanvt  u^-jk-i  die  Oberfläche  der  Kugel 

^+i  +  ^H»  +  •  +  ^"  =  '■ 

Die  Integration  ist  za  erstreckea  Über  die  Getnunmlheit 
»llüT  rvelien  Werthesysteme  der  e,  f^lr  welche 

ist.  Lfldt  man  di«  Zählerdpfemiinante  dieses  Ansdntckes 
nach  den  Determinunteu  Vi  der  Matrix  J/  (Gl.  19)  auf  luid 
fahrt  für  jedes  einzelne  d^r  so  eiitetehendeo  Theiliiite^rale 
die  nach  Furmel  (23)  enUprechenden  dg,^*..  dsg^^^^  als 
nnabhüni^ige  Difiereutitik  ein,  so  erkennt  man: 

IV.  Die  Cbarakteristik  K  Iftsst  sich  darstellen 
durch    eine  Summe   ron  (.,_j^_j)   (n — A— l)-fachen 

lotograleu,  deren  Grenzen  ausschliesslich  ron  einem 
orstea  Tbefl  unserer  Functionen,  den  gleich  Null 
gesetzten     Functionen: 

BQ,   während   die  anter  dem  Integralzeichen 
leo  Differentiale  nur  vun  den  übrigen  Func- 
tionen 

kfahftngeo.  Die  Abnahme  der  Ordnung  der  eiuzelnen 
Integrale  vom  H-fitchen  bis  zum  0-fachen  findet 
dabei  in  der  Zunahme  der  Anzahl  der  Bedingungs- 
gleichungen fQr  die  Grenzen  von  0  bis  n  gewisser- 
mavStiD  ihren  Ausgleich. 

FOr  /oO  ergibt  sich  das  von  Kronecker  ge- 
liehene (w—l)- fache  Integral,  FOr  ifc*«« — 1  folgt  die 
in  g  2  (Ol.  19)  ubgeleitcte  Summenformel. 

Zunächät  folgt  nümÜcb: 


A'  =  ^_,)..-,L5j       ^•'^- 


üi,       ab8(f'«)abrt(J.) 


|-.  •  *' 


and  damit  tfr>(ibl  sich  direct  die  Kronecker'tiohe  Formel 


^  ^  (-i)%-i;«t?n<^-  *-»• 


Vürall^eincinpriiiij^ün. 
X)if   Wr\t^y»u\ren  des  g  2,    welchen   /ufnlxp  dii*  /»hl    A" 
sich  durch  die  dem  Vorxeichen  der  Det^rrniaanU« 

I  Ffj    Foi     Fot  •  '  •     Füm  I 

I  Fl    Fit    F\t  . . .    F\^ 


Fm    Fml     Fni  .  •  •     Fmt 


entsprechend  erfolgende  SuniniuHon  der  Schnitt] i unkte  der 
Mm  mit  Hnpni  l)ehphißen  Axenstrabl  bwtimmt,  ji^estatten  die 
folgende  iMr  manche  Fraf^en  nicht  unweMDiliche  Verall- 
gemeinerung unserer  Integraldarstellaiigen. 

V.  Kb  ist  keioeswegs  nothwendig,  die  in  d*in 
vorstehenden  Formeln  gegebenen  Integrale  Aber  da« 
ganite  Qebiet  einer  Mannigt'uUiglteii  Mn-~h~i  z<i  t.T- 
streckeu,  man  kann  sich  vielmehr  auch  beschränken 
auf  diejenigen  TheÜH  dernelhen,  welche  dnrcb  einvn 
vum  Coordinatenaut'aagspunkt  anslaufenden,  sonst 
ganz  beliebigen  Kegel  begrenzt  sind,  wenn  man 
nur  den  Divisor  rö,»>».i  ersetst  durch  den  Inhalt  des 


278 


Siimng  fom  16.  Joni  169&. 

1.  Herr  Bobrt  Habtiq  hält  einen  Vortrag:  «Ueber 
den  Nadelsehattepilz  der  Lftrche,  Sphaerella  lari- 
oina  n.  sp.* 

2.  Herr  älfbid  PBlNasHUll  brinf(t  einen  Nachtrag;  zu 
dem  in  der  Jannarsitznng  eingereichten  AufsatEe:  .Zum 
Caochy'achen  Integralsatz." 

3.  Herr  FiroiKAND  LindsmaNK  macht  eine  Mittheilung: 
,Üeber  die  conforme  Abbildung  eines  Flächenstückes, 
das  durch  Parabeln  mit  gemeinsamer  Axe  begrenzt 
wird.« 

Derselbe  legt  femer  ein  ans  Vorder-Asien  stamniendeä 
antikes  Modell  (Bronze-Goss)  eines  Archimedischen  Körpers 
(Rhomben-TriakontaSder)  vor. 

Die  Berichte  über  die  beiden  Mittheilungen  erfolgen  im 
nächsten  Hefte. 

4.  Herr  Adolv  t.  Baitir  berichtet  Über  seine  weiteren 
Untersuchungen:  .Ueber  das  KUmmelöl."  Die  Keäultat^ 
werden  an  einem  anderen  Orte  veröffentlicht. 


279 


Der  Nadelschüttepilz  der  Lärche,  Sphaerella 
laricina  n.  sp. 

Von  Robert  llartl;. 

Die  enro|>aische  Lärche  \st  aus  ihrem  natflrlicheu  Ver- 
breitnn^gebiete,  den  Alpen  und  Karpathen  er^t  zu  Anfang 
unseres  Jahrhundertä  in  die  Vorberge  nnd  in  das  Flachland 
Mittel-  und  Nord-Kuropas  hinahgesHejfen.  Sie  wnrde  zuerst 
versuchsweise  in  kleinen  Beständen,  dann  in  immer  grt'wserer 
Ausdehnung  an}<ebaut  und  /war  riiib  dem  besten  Erfolge. 
Sie  zeigte  ein  schnelles  Wacfasthum,  völlige  Uesundheit  und 
AnHpnichsloMgkeit  an  den  Standort.  Da  das  [^ärchenholK 
von  hoher  tli'ite  ist  und  geeignet  yrscheint,  in  vieler  He- 
ziehung  daa  Eichenholz  zu  ersetzen ,  so  bildeten  um  die 
Mitte  unseres  Jahrhunderts  die  ausgedehnten  LSrchenbestände 
einen  wichtigen  ßestandtheil  der  Bewaldung  Oeutschlands 
and  der  Nachbarstaaten.  Im  Norden  Schottland!!  war  die 
VViederaufforstung  fast  ausschliesslich  mit  der  Lärche  durch- 
geführt. 

Etwa  vor  nunmehr  50  Jahren  traten  zum  ersten  Male 
Erkrankungen  an  der  bisher  gutwQchsigen  Lärche  auf  und 
dietie  nahmen  no  schnell  zu  und  waren  so  verderblicher  Art, 
dasa  heute  nur  noch  Ueste  jener  Lärcheubestände  übrig  sind 
und  vielfach  der  Anbau  dieser  werthvollen  Holzart  ganz 
aufgegeben  worden  ist. 


280 


SiUmMf  drr  ■utfc.-pfcy».  fUut  !«■  IS.  Jtmi  I80S. 


Die  Krank beitAencheiDDn({eo  wmreo  der  mannigfacli 
Natur.  InMctenbeschidignageii  xam«l  durch  die  Mix 
der  L&rch«  (Coleophora  laricella  Hbn.)  und  die  Lftrchen-"^ 
bUttUoB  (Cbermes  Laricis  Daiüfj:)  wurden  leicht  aU  «ilche 
«^canntr  waren  aber  doch  nur  in  seltenen  Fällen  vcns  der 
BedentuDg,  dass  ein  Absterben  der  Beftinde  darch  sie  herb 
geführt  wurde.  Man  glaubte  desahalb  xoerst,  da» 
wärmere  Küma  der  ueneo  Ueimath  der  Pfianze  ungüni 
aei.  Dagegen  sprach  aber  der  Umstand,  das  die  in  den 
tfsten  Decennien  begründeten  ße?<tiinde  sieb  deat  be&ten  Wohl-, 
seinit  erfreuten,  wogegen  die  f^päter  ereogeaen  Larcben  of 
schon  im  Saat-  oder  l^flanzbeete  erkrankten.  Die  Grkrankang 
äoserte  sich  entweder  durch  das  Absterben  krebaNirtig  i 
werdender  RindensteUen  oder  durch  ein  frühaeitigas  Abafcerb 
und  Abrallen  der  BenadeloDg.  Im  Jahre  1880  gab  ich  ein« 
aW&hrliche  Bearbeitung  des  Lärchenkrebms')  in  «etefa 
ith  auf  Grund  geglückter  Inf ectiuns versuche  nachwiee, 
ein  parasitärer  Rindenpil?.  (Peziiu  Willkommü  ro.),  der  in 
den  Alpen  seine  Heimath  hat,  die  Krankheit  Terormcht. 
In  den  Rochalpen  vertruckDen  die  FrOchte  vor  der  Sporen- 
reifü,  dn  bei  klarem  Himmel  im  Sommer  die  I^uft  auaaer- 
ordeoUich  trucken  ist.  Nor  in  der  Nähe  der  Seen  and  in 
engen  Thälem  kann  dort  der  l^anuit  neb  erbalten.  In  den 
Vorbei^^en  und  im  Fluohlande  fanden  nob  weit  gnuMtig"!^ 
Verhältnisw*  fQr  die  Entwicklang  dieses  Pilzes,  in  Yvl^:- 
doMen  der  Lärebenkrebs  sich  Bchnell  toq  S6den  nach  Nordra 
Tsriwttiteu  kocDte,  soltiüd  einmal  kleinere  und  gnWtwm  Lirehco* 
bcrtiad«  Qberail  vorhanden  waren.  Vor  10  Jahren  wiet  ich  dann 
auch,')  dass  im  Frühjahre  ein  Erkninkrn  der  Liän:htfnnadeln 


n  Dl«  Lirrfapnknknl(hf>it«n,    imhi'-  I.  irL-li^ntr'-t-iolt, 

Petiaa  Willkommü    It.   Uviiiir,     In   Lii  ^-.'ii   »u>-   rl«^iii    furmt- 

bouaucbeo  Institut  in  UBscbsn  1  1^80.    tferiin.    äpnairtr 

^)  AUgRiDftiDa  Kunt    und  Ja^disilasR  16ä&,  Seite  dÜA. 


Ü.  ifftrtig:  ZVr  NntUittrhattepilt  der  Lärdte. 


2S1 


nwei)»n  in  atisgwielinterem  Maasse  durch  einen  Pilz,  Ciipomn 
tAriciK  m.  h«nroTf;erul«ii  werde,  der  seine  Entwicklntig  vräh- 
rrnd    der    nbriffon    Jahresxeit    imf  den    Ulältern    der   Zitter- 
pappel aW  Melunipsorii  Tremiilae  durchlauft,  also  immer  an 
ilitf  KacIibHcwliafl  dieser    Holzart   gebunden    irt.      Desslmlb 
kann    aber   diesem    Parasiten    keine   sehr   ffross*    BeileiitutiK 
beig«me»ien    werden.      Da«    nltgenieine    Krkrsnken    der   Be- 
nailftang,    das    nch    oft    echon    im    Juli    einstellt    und    in 
pWK  Deutdcbland  als  die  wichtififste  Ursache  der  allmiihlich 
mnebnir'nden    Schwäibnup   der  Wuchnkraft    der    Lärche   ku 
Nchnen  ist,   wurde   bisher  als  Kolge  niigeeig^iieten  Stand- 
n,  inibn^-onden*  allKUgrOGsen  Fe ucbtigkeitfigeh altes  der  Lnft 
bctrachtot.    Man  war  der  Ansicht,  ilasa  die  Lärche  in  feuchter, 
dumpfer  Luft  nicht  (genügend  zu  tnui.'tpiriren  vemiöge,    AlJer- 
din^   itprach    Hcbon    im  Jubr   1883  eiu    ^fchurfiiichtiger    Be- 
obachter,   Forstmeister  Beling    iu  Seesen')   die  Vermutbun« 
«tiai,  daiM  diese  nbiltf^rkrankuug  einen  par&sitären  Charakter 
habe  aDd  mn  einem  kleine^i  Nadelpilz  veronUksst  werde,  doch 
wurtle  die  Krankheit,  ihr  Eut^t^hen  und  ihre  Uraache  nicht 
H    niher  untennicht.    Ich  selb«t  habe  die  Krankheit  bisher  nicht 
^L^  Arbeit  nehmen  kOnnen,  weil  mich  andere  l'Dtenfuchungen 
^^^■ti  «iner  lielhe    von  Jiibren    vollauf  in   Anaprucb    nahmen. 
^^H      liD  Torigen  naä^knlten  Jahre   trat  nun  at>er  die  Braun- 
H^fleckJgkeit  der  LiLrchenuadeln  in  so  außerordentlichem  Mmisse 
H    in    den    Waldungen    Oberbajcrn?    ein,    dass    schon    Anfang 
B     Augost    der   f;K>$»ere   Th^^il    der    Lärchen  nadeln    abgeworfen 
nud  im  September  manche  Bäume  faüt  völlig  entlaubt  waren. 
Bei  einer  l{pi)»e  Gber  Salzburg   in«  Salzkammergut   fand  ich 
die  Rrkrankuog  anch  dort  allgemein  verbreitet.    Am  20.  Sep- 
tenber    konnte   ich    anf  der   SchraittenhiShe   (193&  ta)   bei 
Zell  am  f^  rtfAtitcllfn,  '1'»»  mit  der  zimehmenden  Berghohe 
«Ü«  Krknuikung  abnahm  und  bei   1^00  ni  etwa  verschwand. 


*)  Allgem^inq  Font-  and  Ja^dwitang,  Jahr^.  IJ^ldS. 


^2         Sttaung  df  math.-phyit.  CJoanf  pdm  IS,  Juni  169S. 


In  dieser  Hochla^e  wareu  nur  wenige  Nadeln  noch  mit  ein- 
zelnen braunen  Hecken  besetzt.  Weiber  aufwärts  waren 
die  Lärchen  völlig  gesund. 

Die  Krankheit  guasert  sich  darin,  daas  die  Nadeln  der 
Lärche  an  einer  oder  au  mehreren  Stellen  kleinere  oder 
grüesere  bratine  Flecke  bekommen.  Die  erkrankten  Nadeln 
bleiben  ineiöt  noch  lungere  Zeit  am  Zweige  mtxen  und 
auf  den  Flecken  treten  äehr  kleine  schwiLrze  Conidien- 
polffter  von  0.1 — 0.3  mm  Grösse  gnippenweiiw  ZD»ararafn- 
stehend    auf   (Fig.    I ).      Schon    im    Juli    beginnt    aber    ein 

Abfallen     der     kranken 


n$.  I. 


Ov> 


/ 


und  todten  Nadeln,  diu 
«ich  besonders  im  unte- 
ren Tbeile  der  Uaum- 
krone  tn  T&lliger  Knb- 
nadelung  steigern  kann, 
wenn  anbalteiid  nwMeM 
Wetter  herrscht 

Untermicht  man  die 
eben  erkrankte  Nadol 
OD  der  vorfiirbten  Stelle, 
so  findet  man  reichli- 
ebas,  farblowa  Mycel, 
theils  in  den  Intercellu- 


■>  UwdwdtiMatbri.  aa  dMi  mwa.  «b  Huiu    (arrilumeii ,    tbeiU    dvo 

4«r  ntdeln  IImJI»  «ibi,  UmIU  »uIlMiwtiM  «kniikl 
M.     K&L  Üt. 


Parenchymxelleu  eng  an- 
liegend. Uie  My.  r  '  i, 
dnd  reich  ferftstelt  und  zwar  biegen  aiob  die  SeiLi^i  , ; 
metMt  nach  rflck-  oder  vorwftria,  um  die  Parenohymscelleo  lu 
um^ichlingen  und  dieaen  die  Nahrung  7.u  entziehe»  (Fig.  2). 
Ua^  ProtttploHmn  zieht  f4ch  von  di'r  /ellwand  r.urOck.  ist 
aber  noch  freudig  grfin  gefurbl.  Üa^  CbUmipbyll  wird 
auch  an  den  getiidtetcn  nnd  gebräunten  Nadeln  noch  lange, 
ja    tbeilweim    bt»   aum    ufl<:h«l«n    Frlilijahre   in   d«a  inneren 


284         8ilsu9tg  d€r  inath,'ptiyn.  Clatae  vom  16.  Juni  J895. 


dicken  und  ilie  Epidermw  sprengen.  Im  Innern  dieaer  Polfiter 
enbttehen  Uöfalun^reu,  dt-re-n  Wände  mit  flehr  Karten  Bni^ndieo 
besetzt  sind.  Letzlere  bilden  an  der  Spitxe  auKaerordentlich 
klt'ine  Mikrocouidicn.  Dietie  Zellen  sind  ntir  0.00<1  mm  lang 
nnd  O.OOl  mm  breit  (Fig.  4b).  Ihre  Keimnng  konnte  sach 
in  NührluBungen  nicht  benbaditHt  werden.  Sie  dörfl-en  fllr 
KiB.  i.  d>^    VerbreitiiD)^    des    I'Üxee    bedcutungslog 

■ein.    Es  ist  wahrscheiulicb,  da«  di»e  Ptlz- 
forni  dieselbe  ist,  die  aU  Leptofttromii  lari- 
cinum  beschrieben  und  alsSpeimogoDientorm 
zu  Lopboderniium  lariciuum  geKogen  wnrden 
ist.    Da  ich  letzteren  Parasiten  aber  nur  in 
wenigen    Exemplareu    und    zwar    auf   der 
Scbmittenhöbe  bei  Zell  am  See  im  vrjrigea 
Jahre  fand,  der  Torliegeade  Parasit  dagegen 
flberall     rerbreitel     und    seine    Zugohörig- 
keit   zu    einer    Sphaerella    von    mir    »uiaier 
Zweifel  ge»tellt  ist,  eo  int  entweder  dan  Lepto- 
stroma  taricinum  nicht  identisch  mit  untrer 
Pitzfurm    oder  die  Zuziehung  denelbco   xu 
Lophodermium  laricinum  vt  eioo  irrige. 
Auf  der  Änssenaeite  dieser  schwarzen  Poltiter  entwickeb 
sich  nun  zahllnee  «ttabffVmige  Conidien  von  0.03  mm  Tt^iTgjB 
Sie   jtteben    auf   kurzen,    an    der  Spitze    fr**-'^'  '-"«^    ..P«^."«*^!?- 1 
f&rmigen  Biisidien  (Fig.  4a)    und   sind   ai  if. 

Hei  der  Keife  zeigen   sie   eine  nnd   »]>ilt«r  drei  * 
SU  das»  nie  demnach  vierzetlig  sind.    Sie  falleu  au-  x   : 
lieh    leicht   ab    nod    werden   durch   den    Wind    f  r'j  fll 
Hexundeni  aber  werden  nie  inil  dem  K^Ktwi  nV/ 
gelnngeii  dadurch  auf  die  tiefer  stehen 
der   I<ärcbe,   wo   fiie   schon   nftch    Wf 
und  die  Nadeln  inKcirtm.     Su  arkUr' 
diM  die  Nadolorkrankung   an  jeii 
unten  au  Inteu^itat  xunimoit. 


in 

t.  SUbffimIg«  OobI- 

dUi)  tut  and  Mudi  4«n 

Ahfftll'D  TOD  dun 

MlMk.  b.  MlkiMonl- 
dlMi  uu  dsn  luRBrii  d. 
I*nM«r.  V«rgr.  410: 1. 


B.  ffartif.  Der  SaätlicKmepiU  4er  I4rc*c 


jibrlich  wiederholt,   so  führt  die  voReitige 

leÖMr  zwar  Langsamen,  aber  Im  Laufe  der  Jahre  «kr  tdktf- 

^Hofa  «rtrdendpn  Eutkriiflnne  der  BKnme.    Die  antstn  Ziw^pe 

Lcterben  zuend  ab  und  bedeckeu  sich  mit  Flechten.   Dm  mA 

[allj&Krlich  belaubende  (lipfel  wird  immer  kleimr,  4«'HA^H' 

hH  Mhwtu-her  und  wenn  solche  Bänme  von  Fidiiai  «1«^ 

Waldbäumvn  uuigt'ben  sind,  so  werdeo  oa  *«■  AsHk 

flbvrwachsen  nnd  gehnn  völlig  xu  <jrundu.   An  jangmUpvfti^ 

(Ka  ich  Änfung  September  vorigen  Jahrea  mit  Coübn  ■*>- 

ittabta  nnd  dann  unter  eine  0!a.s^lockeKieltle,  traten  «tea  BMit 

drvi  Wochen    reichliche  Conidienfiolster  herror,  dcves  Oku^ 

fliehe  mit  xahllosen  Oonidien  besetzt  war  (Fig.  2  ualA^    im 

Bolchen  Xadeln.    die  ich  aug  dem  Walde  mr  Catcnaafaa^f 

b«nihr»chti%    waren   die   Conidicnpoläter   grooaealki^  ^kat 

Onüdien,  fMJor  m  waren  nur  noch  wenige  uaf  ikam  mt0§t^ 

geblieben  (Fig.  2  olien). 

h^  i«t  leicht  erklärlich,    wä<»halb  in  naaMB  Mmr  ^ 
Erkrankanif    viel    ^schneller  sich  verbreitet,   aW  ia  fcM»  ■  ' 
Jahren,   denn    bei    feuchter  Witterung  entvidub  m 
[CunidlenpnUtt^r  «ohnellfir   und  die  Conidien  krwa  «a^Me- 
:bei  trockener    V\  '*'r--j;.      Ebenso   ver«Uudi«A    •»   « 
r  trockene  and  Int  .  ijorte  fOr  die  Krmnchr"  n    n  j 

ifu)  iid,   alf   dumpfe  I«agen,   daas  lifir^ 

f '1l<t?i     .j>  I     'it<!tr,4i|iu(i,]n    Bfrrtand    euip<irra);ii>u*i«(  j^fe^ 


286 


Sitfiiiig  dsr  math.'phy».  Olant  vom  75.  Jmui  iB^Ö. 


dienbildung  eine  gewaltige  AoabreitoDg  and  Vi'miohniuff  er- 
rcicliim,  wie  wir  dju  bettondoni  im  Jahr  1894  boobochtet  haben. 
Vjs  WBf  voratwsusebeD,  dan  «ieh  nuf  oder  in  d«n  vr» 
krankten,  nm  Bod«n  liageoden  Kad«*!»  wiitin^nd  de«  Wiataf« 
und  nöch'iUn  FrQhjahnM  eine  Den«  Krachtform  de«  PanuiiUai 
ausbilden  vrtlrde,  daran  Siwren  die  Krankheit  im  nilohston 
Jahre  wieder  herrorrafen  würden.  Am  3Ü.  April  d.  J.  sam- 
melt« ich  unter  den  im  Vorjalire  stark  erkrankten  Lärchen 
dos  Kreiinaf(er  Forst«  bei  Miinch<Mi  Kadelii.  in  deren  Qewebe 
sdcfa  Kwar  noch  unreife  aber  docb  R-hon  deullich  als  Heri- 
fchecion  xu  erkennende  kugligc  dankelbraunc  PiLzfrtt cht«  fanden. 
Zum  Thcil  halten  sie  die  Blattrfpidtinnis  schon  durchbrochen. 
Da«  Pil/.uiycel  im  luueni  der  Nadeln  war  ein  sehr  derbas, 
dicknunilige:«  und  hollbraim  geerbtes,  hatte  mithin  eino 
wesentliche  Veränderung  gegen  das  Vorjahr  erfahren.  Uie 
XU  Anfang  Jniii  ausgereiften  I'erithecien  Bind  den  Cnnidien- 
polxfcem  an  Färbung  ähnlich,  alter  etwas  kleiner  viU  dies«, 
d.  h.  /.wiftohen  0.1  \m  (i.l'>  nun  gros«.  Sie  stehen  theiU 
vereinzelt,  iheiU  xa  mehreren  verwachsen  meist  in  der  Hlntl- 
tiuU<tanz  versenkt,  theiU  mehr  auf  der  BInttoberfläche  (Kig.  5). 

rig.  h. 


^U^iikZ' 


IJnv»«rhnlM  <fiirrh  «inn  ««rjXbHs«  Uri'li«niiK4«l.  «Jte  l>i«  Anfani  Juni  am  llndM 
Cplpfon  balU.  riM  K/pftl  M  wlir  ilifL,  diekmoilt«  aa4  haJIlina»  («wvrAwi.  Elnial«« 
Bnil  uaUmilnandm-  vvrwMlMvn«  raiiibM>ian  oalkallMi  Im  IntiAni  fMlihM  ScklkwilM 
mll  I«  *>  aporM.  lUfkto  ob»  Aulot  dab  iMboa  Ami  FarlUiMliim  a|m*  V^tniU  mit 
kUlAM  llagHam  HikrvMMldlM.    Tirgr.  100  1. 


I 


rifa 


K  liariüj:  Dtr  NadOBtmttpiU  der  Läniu. 


287 


ni.6. 


^Di«Oeffiiuog  im  Scheitelpunkte  der  Peritlieuton  ist  in  keiner 
Weise  nuurkirt  und  erkeimt  man  sie  nur  aus  dem  Hervor- 
Idriogvii  der  SchliLnche  oder  Aacosporen.  Aehnliclio  aber 
lefcwu  kleinere  Ir'ycüideu  stehen  vereiuKell  oder  sind  mit  den 
|{'«ntliecieii  verwttciiHon  und  enthatteu  ausiierord entlich  kleine^ 
[doo  Milcroconidien  in  den  ConidienpoUtern  üholiche  Organe, 
fdie  al»  ßaUertartige  äf^aae  aus  den  Pycniden  auägestoeseo 
^werdeo  (Fi^.  h  üben  rechts). 

Von  den  am  30.  April  f^esamuielten  Nadeln  lagerte  ich 
[einen   Theil    im  Feuchtraume  des  Laboratoriums  auf  nassen 
und  hier  entwickelten  tfiuh  schon   bl»  /.um   15.  Mai  in 
'  Aosahl  der  Peritheuien  reife  Asoosporen  (Fig.  6  b).    Die 
[k«ulmfünnigen  Ascen  sind   U.05— 0.06  mm  Jang^   enthalten 
,ß    unfänglich   einzellige,   später   Kwei- 
i{e  SjKireii  von  0.Ü16— 0.017mm  Länge, 
[die  fitfhlos  und  an  beiden  verjQngten  Gudeu 
nbgerundet  sind  (Fig.  Ob). 

äio  «t^ion  dicht  zusammengedrängt  und 

wcvd«o  gmneinsnm  au»  der  «ich  tricliter- 

I  formig    öffnenden   Spitze    des    Schlauches 

[  wisgotaMeD ,    wobei    die    Coutraction    des 

tEVotoplMunaKhlaucberiuiilzuwirken  Äcbeiut. 

Am    II.   Mai    sammelte    ich    wiederum 

bei  Preii»ing    unter   den    im   Vor- 

ericTwikten  Lärchen  und  constatirte, 

die    tneistea    Peritiiecien    auch   jetzt  a-tTarsifiiSQUiiDriMafaB« 

BooJi  nicht  r«if  waren.    Am  I.  Juni  waren    b^'^to'äIhir.ht'''ao 

Penihecieo    im    Walde    groseeutbeils  i9amac»t9tn»d^Bputm 

f.  ,  , .  I  Bin  dam  ■■Affhotea  8<h»\- 

,    ja    enuclne    derselben    waren    «hon  ^^  ^^  «ui—n  iul 

lentleert,    niicbdi>im   R»h«7.u    U  Tage   hin-    i.  Jw>u  vtrut  4iuii. 

""       r  gt'herrsdit  huti*'. 

11-  IJattung  Sphaerella   und  mag,    da 

i>«u  ist,  ab  Sph.  laricina  bezeichnet 

öii«i  imw    die  Ascoeporeo  in  reinem  Waaser  ant 


» 


M.  AwociKirun,  lin  Wumt  »uaRnlialiut.  'H  Ülvodm  rmIi  det  AumMI.  Vergr  llAil, 
b.  In  KllinfstaUo«  «DlwkkvIU  AMMi^nu  B«clt  8  T»ttati.  Twcr.  S»a.  •.  I1U- 
nMu  wu  «law  AM««|»r«  in  T( lhrv*UUii«  lucb  &  T»f«it.  Vtryr.  10»lI.  4. 
mIim  Bj^«  4«r  rUicttltur.  3  WfcbMi  a«cli  d«r  Atnaut  uilt  «UlrfAnal«««  OMiMiaM. 
Yt-ntt.  I4&:l.  «.  8t*kf5rii)ii«  Conid)«»,  Uiaitoiuf  k«n*n6ijt4otolMv  lb«fl*  «nt  ktio|^ 
ttnalg  vvdlsklMi  Tri««»  «ntstMidttB.  V«rgr-  4)0:1.  l  CooUlMi.  is  W« 
■Mit,  Bub  10  Sbittd««.     Tn-gr.  4)0:1 

dii*  jungen  PflänKchoii  narli  weiteren  24  äliuMim,  atMi  2  Ti^(e 
nauh  der  Aiiäimai  die  Kig.  7  b  ^«»zpicIineW  Hntwickluri^;.  Miui 
sieht,  dfus  nanoiebr  nicht  nur  die  Sporen  an  den  beiden 
hSchtiitelpunkten,  wandern  nnch  »pitlirh  nni»)(«kBimt  wind.  FOnf 
Taf^  nach  der  Keimung  und  tlntwickUiti){  in  Nährli'iwuiiK 
erhält  man  dai  Fig.  7  c  durgefitellte  ßitd.  Die  ättattun  Theil« 
der  l'äanze   sind   grOciMr   geworden,   d.  h.   d«r  Durchtneitter 


« 


R.  tiarUg:  Der  NadeUchütUpÜi  der  Lärche, 


289 


hiit  sich  vervielüicbt.  Die  Hyphen  sind  M-ptirt 
und  reich  vurü«t<*lt.  Dabei  tritt  eiue  Ei^eiilhUtnlichkitit 
faMTVor  iit  dvr  WAcl)!«tliuin»riolitun)^'  der  Längsliypht'ii  uud 
ibrer  Seit«nxwpi>;p,  diu  darin  bcütebt,  bogenförmig  hin  und 
her  zu  wachsen.  Die  ätüteohypheu  hubeu  tust  äteU  die 
Kei^ing,  bogen fi^niiig  noch  rückwärts  z\x  wachüeii.  Ks 
viuoit  dabei  der  l.iedauke,  daas  ea  sich  bei  dieser  Wacba- 
bnmaßigeiitbiliuiichkeit  um  eine  erblich  gewordene  Eigen- 
jtclittft  handelt,  die  durch  das  schon  oben  beschriebene  Wachs- 
ihum  iui  Utuiipartincitytuguweb«  erworben  wurden  ist.  Dio 
tSeitenhrphen  itii  Blaltgewebe  biegen  sich  alsbatd  um  die 
benacUburltjn  Blattxeileu,  der  Aussenseite  sich  eng  anlegend, 
benitxen  diese  Eigenschaft  aacb  dann,  wenn  sie  in  kdnst- 
ber  Nährlöäung  cultivirt  werden.  R»  erinnert  da»  an  die 
Portneicun^  der  wiudendeu  Wachdthunisbewegung  der  Sditing- 
jifianzen,  s,  ß.  Bohnen,  nachdem  der  Gegenstand,  an  dem 
■ich  in  Folge  von  Contactreiz  der  Stengel  herunigclegt,  toii 
itr  Hlanze  Oberwuchtjeu  wurden  i^l.  Kiue  weitere  Ent- 
wicklung der  Pit^kiiltur  erfolgt  nur  dann,  wenn  dieselbe 
nicht  so  sehr  von  NKhrgelatine  bedeckt  ist,  sondern  eine 
Entwicklung  in  feuchter  Luft  an.sserbalb  des  Nährsnbstrates 
Bf&lgt.  Bis  zum  2ü.  Tage  nach  der  Äu^aat  hatte  sich  ein 
gnugrflner  lUsen  von  etwa  4  mm  Darchmeeser  entwickelt, 
deoMn  in  die  Luft  ragende  feine  Hyphen  genau  dieselben 
etabf&rmigen  vier/elügeo  Conidien  auf  kleinen  äeitüchen  Aus- 
wUeWn  entwiekelu,  die  auf  den  Conidienpolatem  der  Lärchen- 
nadeln  entatefaen  (Fig.  7d,e).  Damit  ist  der  Zosunmeuhang 
badei    " !'  ''  roien  zweifelloa  be^vieseu. 

t  Auaiaat  in  Wasser  keimten  auch  diese  Conidien 
mhr  bald  nnd  hatten  schon  nach  20  Stunden  die  in  Fig.  7f 
dargestellte  Entwicklungsstufe  erreicht.  In  der  Folge  machten 
«■•  dieicll)«  Entwicklung  durch,  die  für  die  Ascosporen 
«UiigeiteUt  ist.  Es  wird  somit,  sowohl  ftlr  die  Ascospjren 
aU   ftoclli   för  die  Conidien  in  günstigen  EniäbrungaTcrhält- 


200 


SiUtmg  der  iiiaA.'pHtfß.  Cltuuf  mm  IS.  Juni  iflSff', 


niss«n  ein  Zeitraom  von  3  Wocheo  verlaofeo,  bis  nacb  Her 
lufeotioD  wintler  seue  Cuniilienpolater  mit  reifen  Couidien 
zur  Aui^bilrliiDg  t^elanj^cu.  Die  VerKrÖBeruii;?  der  Pilxculhtr 
uacb  dem  Begiaue  der  Cutiidienbildun^  war  eine  »ehr  Ung- 
WDie  aber  dadurch  &uägeKeicbnete,  da»  &m  tUnde  des  Pil»- 
nwens  die  Nühri^elatine  eine  fuchsrothe  Färbung  erhielt. 
Eü  iht  die}  der^tbe  Parbentoo.  den  die  outer  der  fipidarmis 
gelegfoeu  Zellen  der  kranken  Lürcbennadeln  einige  Wochen 
nacb  der  Infection  erhalten. 

Ana  den  vorstehend  mitgetheilten  Ünten»ncbiingsorKol»- 
nlfisen  ISast  sich  nun  eine  Ittnhe  von  bishi^r  nnerkl&rl>ami 
Krunkheitserächeinunf^n  leicht  Tervteben. 

In  reinen  Lärchenl^eständon  hindert  nicbU  das  Auf- 
flteigeu  der  reifen  Aseosporen  durch  den  Liiflzutt  zn  den 
Nadeln  der  Baumkronen  und  die  nahe  xusunimcu«tehenden 
Bäume  inticiren  »ch  gegenseiÜte  dtiroh  die  Conidieo.  Be- 
sonders schädlich  ist  aber  die  Unt-rrmischiinfiE'  der  Lnrchtr 
mit  der  Fichte,  weil  die  abfallenden  kranken  Nadeln  auf 
den  Fiohtenzweigen  in  grosser  Menge  liegen  bleiben,  hior 
ebenso  Peritbecien  entwickeln,  wie  anf  den  Streu-  tind  Moo4 
decken  dos  Erdbodens  und  die  reifen  Ascoapuren  mit  j 
Leichtigkeit  seitlicli  auf  die  Nudeln  der  benachbarten  Läroha 
verbreiten. 

In  der  Tlmt  hat  .-iicb  die  Mwchunp  diosi'r  l>eiden  HoU-' 
urieu  iil<  vcn!eri»enbringend  für  dio  Ijärfh«  »Twicsien.  Nur 
dann  blieb  sie  gesund  und  kräftig,  wann  ne  auf  ihr  beHin- 
dem  Bttsagendem  Hoden  von  Ju^nd  auf  weit  dber  dt-ii 
Fichlcnbefitaiid  biuau.Hwuch.4,  so  da^s  die  Kronen  der  liHrchi-n 
unlMibindert  und  dem  Liiftxug«  ansgesetxt  Hber  die  Ficbtfn- 
kronea  hinauäragivu. 

I*  kenne  'u-'  '       ilil  von  LürebenlMaCiindeD 

die  n.i  Micb<*n'^  nd,  wie  t.  B.  den  Idircli 

wald  oberhalb  Tegemsee,    die  sich  der  trefflichit«n  OmmA 
heit  und  des  herrlichsten  Wach««  «Hreues.     Im  FoisUafe^ 


H.  Unritß:  i>w*  NfutehrJiüttepÜM  der  IMdu. 


291 


L'uing  bennilHt,  sicfi  <^in  cu.  80  jähriger  LärchoiiljeätaDil«  der 
tor  -iO  Jahren  sehr  krank  war,  sf»  duxs  t*r  slark  Hnrchhaiieii 
niid  mit  Ruthltnchen  unterbaut  wurde,  weil  man  ^lunbte, 
dam  der  Kchteolit^  Wiicli:^  Polf^e  der  BodenrcrscbUchte- 
rnng  üei.  Die^r  Ue^taiid  ui  oeibdom  vülli}^  f^asund  ge- 
wordwi  und  »otn  treffliohsten  Wuchne.  Er  war  noch  Ende 
Oktnber  vorigen  .lafares  voll  honadfU  und  keine  Spur  der  Bifttt- 
kmnkhpit  wur  in  ihm  zu  finden.  An  den  Lürchennadeln 
entwickelte  sich  erst  am  Boden  ein  saprophytisoher  Pilx  mit 
iwanten,  kagetforniif^en,  glatten  P^cntden.  der  bisher  un- 
kannt  war  und  von  Uorrn  Allewher  beschrieben  und  neu 
_^flBannt  worden  ist') 

DicM  gflnfllige  Wirkung  der  Buche  auf  die  Oesundbeit 
3«T  Kürehi*  i-rklärt.  xieh  diiruu«,  das»  die  kranken,  vom 
August  bis  Oktober  abfallenden  Ltirchennadehi  Ende  Oktober 
Tnn  d^ni  ftbfultcndNt  Bnchentaiibe  gr5ästentheilä  zuge- 
dffckt  werden,  wodurch  dm  Entweichen  der  Ascosporen 
nach  oben  rerliindisri  wird.  Insoweit  aber  doch  einzelne 
SjMireti  in  die  Luft  gelangen,  findet  eine  förmliche  Filtration 
dv'TwIbvn  in  dem  dichten  Laubiluche  des  Bncheubettaude-s 
■tott,   das  KU  Anfang  Juni  schon   TolUtündig  entwickelt  ist. 


')  Ben  Andr.  AllMcher  alellt  für  diete  neao  Art  die  naobsbähftndv 
Oiagaow   anf:  iian^om   Hartigianom,    Parithecua  tparsts, 

eniiapeoti   »upi-i  globow-deprcftMn,  sicco  subcapuliformibiu, 

mriitbranu^i«  alroolirftcois,  pnmani  clnusi»,  dein  latc  apertia,  margine 
orU  loliato,  ca.  100— IM)  ^i  iliani.;  ipoml»  namerogi^,  filiform ilios, 
rvcli«.  atriBqDeobtuoiaaculta,  minute  nioltigutlulatis,  hyaUai«,  ca. 40 -60 
lanrftb  BoPi*.     Hab.  in  ncubas  putrancentibiu  [«ariciB  eoropaeae*. 

DaM  n  «iefa  bei  liiMom  Pilze  lediglich  um  einen  Saprophjtan 
hMd>ll»  gebt  «obon  dikno»  bervor,  du«  die  Sporonfrüchie  im  tlerbitc 
aaf  den  tOTpUinVcn  Niwleln  reiften  und  die  fudoDfArmigeo  Coaidiem 
•ofort  nadi  di't  Auüaat  keimten,  wogegen  im  Krilbj&hrc  auf  «len  im 
Vorjahne  abgcfalleoen  Nad^lo  nnch  Anfang  Juni  nur  unreife  Conidien- 
frAdttn  tu  ftndeii  waren.  loffctionaveivocbi*,  die  ich  im  September 
ffonipia  Jabraa  auf  grUaen  Lärcheanadelii  auflfQbiie,  miMlangcB. 


S92        Sitgum§  der  math.'pltjf».  Ctane  ron  /5.  Juni  IS95. 

Aucb   die  Thatsache,    dius   die  Lärcb«  im  Hochgebirge  ge- 
simd  bleibt,  erklärt  sich  nun  in  einracher  Weise. 

Wir  habeu  gesehen,  dtiss  die  AsctwporenfrÜcht«'  sich  im 
KrQjfthrc  auf  den  am  Boden  liegendun  Lärcbennsdcln  ent* 
Mrickelo  und  bei  uns  erst  Anfang  Juni  zur  &|>urmtr«)fu  gv- 
laogeii.  Vor  Juli  treten  bienirts  nene  ConidienfwUtur  auf 
den  LärubcDmidelu  nicht  auf.  Dem  r'anuntvn  «tehen  nlru 
vier  Monate  xur  altgemeinen  Verbreitung  durch  Conidieo 
Äur  Verfügung. 

Je  weiter  wir  bergauf  titeigen,  um  so  später  verscbwindüt 
der  äcbnee,  um  so  »pättir  kann  mithin  die  Ausbildung  der 
Paritbecien  beginnen,  um  so  später  werden  die  Ascospon>n 
reif,  um  so  kOraer  wird  die  Zeit,  in  welcher  der  Paraidt 
sich  durch  OonidienbÜdung  zu  vermehren  vermag,  zumal 
der  Winter  ja  eutdprechend  früher  eintritt.  In  einer  Htn-h- 
lage  von  1500  m  beginnt  die  Vegetation  etwa  2Vt  Monat« 
■fjtäter  als  im  Flmdilande,  d.  h.  etwa  Anfang;  Juni,  die  Reife 
der  Ascospurcn  wird  demnach  auch  um  2^»  Monat«  hinau»- 
geachoben,  beginnt  alw  erst  Mitte  August.  In  der  That  fand 
ich  in  dieser  Uoehlage  am  26.  September  an  den  L&rchea- 
nsdelii  nur  wenige  Flecken  und  auf  diesen  kaum  die  enlm 
Sporen  der  ConidienpoUter.  Am  28.  September  lagea  dieee 
liärchenparthien  »chon  im  Schnee. 

Daran«  ist  zu  ergehen,  dass  von  einer  gewissen  Höhen- 
lage aul'wurtä  /.war  die  Lärche  bei  einer  Vegetationsdauer 
von  3*^ — 4  Monaten  noch  gedeihen  kann,  dass  aber  die 
Hpbaerelta  nicht  mehr  die  za  ihrem  Gedeihen  erfordi^riiohe 
Vegetationszeit  vorfindet,  wemhalb  die  Lärche  völlig  gesund 
bleibt,  wenn  ihr  auch  der  Standort  wegen  der  Künte  der 
Vegetationsperiode  nicht  mehr  so  jmMgt,  wie  die  tieferen 
Lagen.  Aebnlichas  gilt  offenbar  auch  zur  Erklärung  des 
Vorkommens  der  Lärche  in  Sibirien.  Sie  wüchit  dort  w» 
im  H(.*chgebirge  evhr  langMun,  im  flachlamle  «lebr  «chnelK 
Dort  können  ihr  die  Paruitoa  nicht  mehr  beikommen,  hier 


Ä.  Hartuf:  Uer  Nfuielschüiteiüig  tler  Lärche. 


293 


werden  sie  von  derselben  itnerbittHcb  bekäiDpf^.  Man  gebe 
denshalh  den  Anbau  dieser  Holxart  in  den  Vorbergen  und 
im  Kluchlandt;,  wuäelbbl  ihr  diu  Klimu  viel  beuser  be- 
hagt,  als  in  der  urspriWi  glichen  Hochgebirge  läge, 
dem  sogenannten  ^natfirlichen  Siundorte*  nicht  auf, 
sondern  man  t9eh(ity,e  sie  gegen  ihre  Feinde,  indem  man  sie 
nur  in  rnlernujjchiiug  mit  der  Rotbbuclie  anbaut  und  lobetLirer 
die  Aufgabe  zuweist,  den  Nadflpilz  der  Lärche  zu  vernichten. 
Da  in  reinen  Beständen  der  Lärcheukrebspilz  leicht  ver- 
derbliche Ausbreitung  findet,  .so  behandle  man  die  Lärehe 
nur  als  einen  Baum  der  Mischwälder,  in  welchen  er  unter 
den  Nadelhulzarten  die  erste  Stelle  einzuuehmeu  hat. 

Vom  Anbau  der  Lärche  darf  man  aber  von  vorneherein 
da  Abstund  nehmen,  wo  i^tändige  Luftfeuchtigkeit  die  Kut- 
wicklnng  ihrer  Pilzpara-siten  in  hohem  Grade  begünstigt. 
So  gedeiht  x.  B.  die  Lärche  im  Bayerischen  Walde  nicht 
wegen  der  Nebel,  die  dort  oft  lange  Zeit  hindurch  nicht 
weichen.  Die  Pilzeutwickbmg  wird  dadurch  in  einem  so 
hohen  Grade  begüu-stigt,  dms  man  von  vorneherein  vcr7.iohten 
aollte,  diesen  Waldbaum  /.u  erziehen. 


295 


Zum  Cauchy  sehen  Integralsatze. 

(NacbLnig  za  ilcm  Aufaatu  auf  S.  St)— 72  dieses  Busdes.) 
VoD  Altrti  PriagshelB. 

lo  der  Einleitung  imuner  Mitiheilnnfif  über  den  Canchj'- 
len  tnte^riilsatz  habe  ich  darauf  uufiucrks^tiu  gemacht, 
gewisse  auf  Continuitäts-Betrachiungen  gegründete  Be- 
^eiae  jenes  Satzes  iusoforu  iDckeiihall  erscheinen,  als  sie  auf 
d«  stilUchweigend  gemachten  Annahme  beruhen,   da^  der 

DifTerenren-Qaotient   —  , — '    -     fdr  alle  in   Betracht 

n 

kommenden  Werthe  Ton  s  stet«  gleichmäasig  g^en  den 
Werlh  f'{£)  convergirt,  d.  h.  da«  nacli  Voi^abe  einer  be- 
lisbig  kleinen  positiven  Grösse  e  sich  stets  eine  positive 
GrteHt  Q  80  tixiren  laase,  dai«  fllr  alle  in  Betracht  kommen- 
den WerUie  von  s  stets: 


l/>iÄ)-A') 


— /"Ü)    <«,     fHlls:  \fn<Q. 


Ich    fflgte    htnzn,    man    mOue   also,    um   jene    Bewciäe 
'j  m:iehen,   entweder  die   fragÜrhe  Bodingiing  aU 
n        ,      ■llf,  dt'r  lAmctiou  /  (r)  H  priori  zukomDiende  Eigeu- 
^-hafl  »umIrOcklieh  in  die  Voraussetzung  aufnehmen,*)  oder 

■  tt  d«in  teiUiftf  «rvchiettPneD  ersten  B&ade  von  Weieritraii* 
i^cxkf-a  liDdfft  DOQ  rinrii  llewei^  ditt  Lao rcQt*«chra  Sattes,  bei 
«vldieni  la  (Jcr  Tbat  die  frnfrlii'hs  IteUitijurung  beiw.  oiae  ibr  im 
wflM«ltiriH-ii  lu^ijaivatnote  aU  •[leoiftlUi  Vomiimeiianft  eracheiot. 


2M 


SUtiing  dtr  maik.-fhya,  Clmtt  rom  15.  Jwm  S895 


VMnuchen,  dieiwUH;  uls  untnittelbare  Folge  ein^hcrvr  Kif^en- 
acbaftcD,  tstwa  der  Stetigkeit  von  f'{x)  darzustellen:*)  in 
wieweit  dies  möglich  wäre,  liaw  ich  dahingestellt  and 
»prach  nur  die  Vürtuuthiing  aoa,  das»  der  Buw«i«,  ireaa 
flberlianpt  durchführbar,  auf  ziemlicb  Achwierige  und  am- 
atSndliche  üetrdchtungen  führen  dUrAe.  Nachdem  ich  in- 
deMen  iißuerdingM  erkannt,  dass  der  fnigliche  Beweiü  niclil 
onr  möglich  ist.  aondern  auch  mit  verhältnisHmSs^g  einfachen 
Mitteln  gefflhrt  werden  kann,  m5chte  ich  denselben  —  xn- 
mal  der  Sat/.  an  mtih  mir  nicht  ganz  nnwiohtig  erscheint  — 
an  diefler  Stelle  mittheilen.*) 

Ks  »ei  ^C')  im  Innern  und  auf  der  Begrenzung  eii 
gewissen  Bereiches  T  eine  endliche,  eindeutige  und  litetige 
Function  der  comptexen  Variablen  _-.  Liefert  aodann  die 
SnUtitutiun  r  =  *-f  y  die  Be/.iehung: 


(1) 


/(/)  =  7-(«<.v)-f  »-vC^.y). 


wo  g"(T.y),  y'(z,}f)  reelle  Functionen  der  reellen  VerSnd* 
lichffu  x,tf  Iwdijutvji,  tut  folgt  bekanntlich  au«  der  voraiu- 
gentKten  Stetigkeit  von  f(s),  dwe  auch  tpiz^p),  V'C'*^) 
nniliiiht>  und  Kt4>ti^e  Functionen  vnn  x.r/  und  zwar  fftr  den 
Bcrvtch  T  gleich  ma»Hig  stetig  aind. 

ß»  sei  ferner  f'(g)  gleichfalU  in  T  (d.  h.  immer  in 
Innern  und  »uf  der  Grenze  von  T)  endlich,  eindeutig  und 
stetig*  M>  hat  man  apeciell; 


*)  In   ttietnem  Aubttic:    „Deber  die  Entwicklunfc   eindpnti^r 
analytUchrtr   FunctkiDen   in   Potnatreihen**    {S.  S9  ff.   ditam  Baade»), 
bHt>«>   icli   u.  li..   Koxcifft,  diiM  fOr  „atiAlytiicIifl",   d,  b.  dareh  POteas»^ 
reihflo   definirt«   Funclioaeo  die   betretfeode  Bediof^aj;  iteU  erfailt 
iii  t«.  a.  0.  8.  tiS.  »41. 

*)  Cebri^a«  wlii  Ben-Oeunai»  wie  leb  ent  aachlrfiifltoh  b«- 
inorki  habe,  bei  MJndtu  Uvwi^ii«  dt!»  Ctttrhy'iclieB  SaUu  (Ad.  matlk 
T,  IV.  )t,  1901  dsB  ftmtfliclipn  Hilfnutn  luiMirUckUch  ala  bekaant  votmaa^i 
•odaaa  alM  fawr  di«  TOD  mir  «rbobeoe  Kinwoadnar  biaCUlIir  enieMaL 


A.  Prinffidteim:  Zum  CttH^hjf*sdien  InteffraUaU.  20/ 

^  *''  ~         3:c  ~        3{Fy)      ' 

wobei  M  im  Innern  Ton  T  frei&tebt,  diese  i)artiellpii  Diflerential- 
QooUenien  aU  ror-  oder  rQckwarU  genommen  r.ii  vereUhen: 
i\Sfir  w«nn: 


Uipmuji  folgt  umüchsl.  daas  diu  partiellen  Differential- 
Dti.«nt«*n  v'i  (x,y).  v*»  (a:»y)t  V'i  (^^!f)^  Vi  (a^..v)  in  T  gleich- 
fslU  endliche,  eindeutig  bestimuit«  WerLbe  besitzen,  welche 
den  Bedingungen  geniigen: 


(») 


nnd  dasa  bit^  —  in  Folge  der  Sfaetigkeit  ron  /'(*)  —  in  T 
gleich  mÜNfig  sU.'t)gt>  Kiinctioneu  vun  ^r,^  sind,  il.  h.  jeder 
brliehiK  klein  TorgeHchriebönen  poHitiveti  Gri'tss«  A  \äsät  sich 
eine  {xx-^jÜTc  Urüss«  (>  90  zuordnen,  dam  ffir  alle  x,y  des 
BcrvicbiM  T; 

H  f7(*-}-».tf-f*)-2(Ay)l  <•*    far:A»+^<e\ 

pro  ;5  jede  beliebige  di*r  Functionen  7,.  91,,  Vp  yp^  bedeiiti't). 

Die«  roraoAgescbickt  gilt  nun  der  i^ai?.: 

Sind  fia),  fis)  eindeutig,  cndlicb  niid  stetig  im 
Inpern  unH  auf  der  Orenxc  des  Bereiches  T,  so  con** 
r*rgirt  der  Ansdruek: 


b.-f*yfL  OcMc  mm  U.  Jmm  18K. 


/ 


J-- 


-  ru^\ 


mit  Jz  in  T  gleiebm&ssig  gegen  Xoll,  d.  it.  jedi 
beliebig  klein  vorgelegten   positirea  Gr&s4e  <  las« 

aicb  eine  positive  GrG9»e  f»  so  xoordnen,  dft«e: 

i/-(f  +  Jx)-/'(ir) 


J# 


— /</>    <«,     bU.:     J*     <«  >> 


Beweift.     Setit   man  Ai  ^  h-^ki^  ao  wird  tanirlMt* 

■''•                       k  Ih  +  ki 

+  ,— I        — +  • g  l 

\n  Folg«  der  onch  dem  o)ieD  Gesagtes  »t»  der  Vo 
■ebning    folgenden    StetigkeitseigenttcbftfteD    der    Knnctb^ni^tT 
9'('*y)*  V't'^y)  ^^  *^^^  pnrtMtllen  Oifferential-QuoticnUu 
ist  ea  geetnttrt  naf  die  dimmllicbra  hier  suftret^ndec  Diffi^rvazen* 
QiioÜHiten  de«  ltoI!e*schen  Mitlrl«erth-;^tz  ftnztiirendwi. 

Bcxeichne(  imm  m\m  mit  0.  '''       : '  re»?II<»  Grösse:    ■    '  V*j 
dem  InterraUe  von  0  bis  1  {au  liuu  ii«r  Grrt 

gebdren,  lo  louin  man  tetKao: 

')  Dftb«i  kommen  oatOrlich.  Ctlli  <  suf  <!«r  Qr«RM  tob  T  oivr 
tD  dann  Habt  lieirt«  nur  lolcbe  Ji  (■  Betraebt,  lir  ««kbe  #-^Jj 
noch  dsn  Benicfa«  T  ui^BbQrt 

Der  analoge  S&lx  Ar  Funetksc*  «iner  wsBwi  TerftMhrliä 
(lodri  «dt  bffi  Taonerjr.  IfitnrdaetiOB  k  U  Ut^ri«  da  IbaeKoü,  y1 
4t«KLb«8toU.OmdKicedert>iir<enatiAi-iLlaU8»lradwanv*  p.M~ 


m 


A.  Prmjfäkeim:  Zwn  Camchyfuthin  JtttegraUati. 
is 


209 


h~\-ki 


A  +  ii* 


ist  ftber  andererseits  nacb  Gl.  (2): 

A')  =  7i(-P.y)-f»'V'i(*.y) 

==«  {»>i(*..v)4-«-y',(ir.)y)}- 

9«r  mü  Benutzung  der  Bexiehnngcn  (3): 


A  +  Ai 


(«) 


-f  {9f(a-.y)  +  iv»(*.y)}' 


A  +  fti' 


'-r(.) 


ftulitraliirt   man  jetxt  Hiesw  Gleichung    ron    Gl.  (5),   so 
«rT^«bt  aicb: 

Am 

=  (t,  («4- '>*.;/ -h*)  —  Ti(-r.|f)) -^jTjj^^ 

-h    ( V«  (Jf.  .V  +  »?'fr)  —  V*,  (X, « )}  •  ^-^. 

Knn  kann  man  nncb  dem  oben  Gesagten  (s.  üngl.  (4)) 
e  ao  foimi,  iUm  für  A*+  A*  <  (>»,  alwt  |  A+ti  |  <  o,  der 


BOO         Sitivny  der  math.-pf^yii.  Olaant  wm  IS.  Juni  tSM. 
absolute    Betrag  jeder    Klamuiergriisse    anter    i*ine    belieli 
klcini!   positive  Qrftsse,   die  mit    -   bezeichnet  werden  möge, 

hpral>siiikt.     Da  nuKüerJem  bei  beliebigen,   nicht  gU^ichxeil 
vprsrliwiniii'nden  rfolleit  Werthen  von  h  und  l  .*le(«: 


*o  folgt  .«chlieaslich: 


<l 


<&+i:» 


<». 


fiLt^-f<')-rU)\^,       fnr: 


niermii  ist  der   oben    ansgesproohenc  Satz,   d.  h.  der- 
jcnigt*  Satz,    welctier  fUr  den  eiacten  Bewets  des  Caaehy^H 
sehen  liitegml-ThiHiroiiw  t-rfiirderlich  war,  bewiesen.  ^ 

An  dieses  Kesiiltnt  tftsst  sich  nun  noch  die  folgende  fflc 
di«   Ki->h&rfere    Begrflndang    der    gt'^^nimtpn    C*tich;'i»eli 
Kunrtioitfn -Theorie   nicht   unwichtigo  Betrachtung   kunpfi^ 
Schreibt  man  ia  Ungt  (7)  /  Matt  r,  a^  »inlr 


f(,'+jä)-n/) 


-/'(/)<*         (Or:  |.U|<e 


nnt«*r  d«r  Viir»iMcUtii)g,  daas  aocb  r  and  /+J'  dem  Btfreicfa«  T 
Lii^'h&ren.  Setit  ouia  d«Bn  in  (T):  Jx^sC.  in  (8):  Jr^m^^ 
wo  di«  C«  £'  svei  beliebig«  camplext  GnWMvn  h«de<rtMi,  d4*i^a 
abmitttcr  B«li^  uaWriialb  o  ti«gt,  u  folgt  dureli  SobtrocHoo 
der  rngUicliMgait  (7)  and  (8):  ^^ 


^U'+C^-f*>^     rr,+.^_r,M 


-i/'uvrwi  <er. 


In   Fblg«  der  $tv6glceit   rom  fif)  bnin    msn   }<Aii, 
|Kia(t  fta  #  wthleu,  da»  '/'('')  4 

«nd;   i— iKiwidiiT  I    vtrd.    w««u    in«n   t ' 


A.  /VMpttheiw:  ?Mtn  €auchi^Mdim  fntfffraiiiatt. 


301 


'/'(')l*^«i')   aodasä  üugl.  (9)   die  folgeoden   nacb 


«iah  ti«bt: 


/■r/+0-«')    f(^i'^)~M 


(10) 


<'J 


für: 


(wenn  man  Kur  A-bkürzung  6  statt  '  e  schreibt).    Man  kann 

aomit  an  Stelle  des  oben  bewieäcneo  Satzes  Jetzt  auch  den 
folgendra  setzen: 

Sind  f(M)t  fUs)  eindeutig,  endlich  and  stetig  im 
Inoern  und  aufderOrcnzc  eineB gewissen  Bereiches  7*, 
to  iit  der  Uifferenzon-Qiiotieut: 


■«.  - 


•ine  i^leicbaiäHHig  stetige  Function  der  beiden  Vari- 
ablen s  und  C  fUr  alle  £  des  Bereiches  T  liud  ulU 
C.  deren  absoluter  Betrag  nnter  einer  gewissen 
Grenze  q  liegt,  d.  h.  jeder  beliebig  klein  vorgelegten 
poBiliven  Grösse  6  läset  sich  eine  positive  Qrösse  q 
M>  xnordnen,  dass  die  Ungleichungen  (IG)  stattfinden. 


')  Scfact  miui  nUulich: 

•■— r  «  Ä-i-i-i, 

I  A  h.  i^nf  ürund  «I«T  oben  Ketroffraeo  Beatiminung: 

fi^\^n*n<'»   rar:  IÄ-Ht»l< 


ts 


ao* 


mtmmf  4er  malk-rlt!f$,  Omm  mm  IS.  Jmm  If^S 


Der  Sitx  in  dieMT  Form  besitzt  oan  di«  wichtige  Bg 
Mrhaft,  tMieh  umkehrbar  XQ  «eju,  <1.  b.  utto  kann  aus  dem 
DtfUhen  der  Unglekbnngea  (10)  —  welrhr  offenbar  dt« 
nMilichkeit  and  Etndeutigkeit  toii  ({t\  ab  srlbfttrenitäodlJcbe 
VoTauswtrung  enthalten  —  die  Stetigkeit  tod  ^(«),  »wie 
die  GndUehkeii,  Eindcutif^keit  und  Stetigkeit  «oa^(r)  folgf*m: 

Setzt  man  nämlich  In  (10)  j'^f,  ao  wird: 


Ol) 


;^:^Ä(£),^<-^0-/<^)|<,i.,:{ig)<„ 


und    hieraus    folgt  zanficbst,   daa  der  UiflGBremeo-QuciÜeiit 

' iL — L — l   für  ]im  i'^O   einen   eindentäg   bestimnib^n, 

endlichen  Grenzwerth  besitzt,  aodaas  man  «ebsen  kann: 

(12)  umO£±ariAf)  ^  ^(,j, 

d.  k.  /*(«)  btsitzt  in  T  durchweg  einen  endUeben«  eindi^utig 
bostinimten  ßUIerential -Quotienten,  itit  aUo  ro  i;^"^  — '-  eine 
Htetige  Function  ron  s.  Tru  auch  noch  die  ."^  _  :  vun 
f{t\  zu  erkennen,  bemerke  rann,  dius  aoi  (11)  und  {\*i)  ful^: 


(13)       Yf')- 


/•('-fO-/^') 


<A    för;  ICKe 


und  analiig  für  jeden  anderao  4e«  Hergebe  T  aBg»fa5ris 
Wertb  /: 

Hieraas  folgt  durch  Subtnctiün: 

Qod  wenn  man  jetzt  #' der  fWdiBguag  unterwirft:  |/— «i<p, 
m  findet  man  wblieiBlich  mit  ßtmOtzung  von  tfngl.  (10): 

(IC)  !/-,/)_  ;-(,)!<  3«, 


A.  Primiftbifm;  Zum  CawAj/'adten  iHtiffrahais.  808 

womit  die  fragliche  Umkehrun^  des  obigen  ^Uee^)  in  uUcn 
Theileo  bewiesen  iat.  Nunmehr  kann  man  aber  jenen  Sute 
mit  d«r  cbrn  tK'wit^enen  Umkehning  in  die  folgende  präg- 
nantere Fort»  zusammenfasäen: 

Die  mothwendiffe  und  hinreichende  Bedingung 
ilafQr,  dm»  die  im  Bereiche  T  endliche  ond  ein- 
deutige Function  f{i}  daselbst  stetig  ist  and  einen 
ead liehen,  eindeutigen  und  stetigen  Differential- 
Quotienten    f'{M)    besitxt,    besteht    darin,    dass    der 

Differenzen-Quotient ^^*'*"'^^^~^^*^  fflralle  Werthe* 

de*  BereicUes  T  und  alle  J#,  deren  absoluter  Be- 
trag auter  einer  gewissen  Grenze  liegt,  eine  gleich' 
iD&B*ig  stetige  Function  der  beiijea  Variablen  # 
und  Jm  »ein  uiuss. 

Die  gleicbmässige  Stetigkeit  des  Differenzeu- 
Qaotienten  in  dem  näher  definirten  Sinne  bildet  uUo  die 
nothwendige  und  hinreichende  Bedingung  dufUr,  d;i&i  die 
endUt:hft  und  eindeutige  Function  /*(j)  im  Sinne  Onuchj^ 
synoktiäcb  iüt. 

Ich  luöclite  schh'eääliüh  diese  Qelegmiheit  Ijentitxen,  um 
d«o  in  meinem  früheren  Aufsätze  mitgetheilten  historischen 
Nottxcn  einige  Krgänzungeu  hin7.uxuftigeii. 

leb  habe  dort  u.  n.  bcnrorgehüben,  dass  der  uuf  die 
Intrgralformul: 

X«grQodete  Meweiä  des  Cauchj'schen  Sat7.es  bereits  von 
Canchy  «olb«t  gekannt  und  auch  in  der  Hauptsache  publi- 
eirt  worden  sei«  und  glaubte  aus  dem  Unustande,  dass  jener 
Bov«»  —  im  Gegensätze  zu  dem  ursprOnglich  von  Cauchj 
^qpebeoen    und  de§Ben  Uoditicationen   —   ganz  allgemein 

*)  Da*  Aoalogon  ßr  FoDetionen  einer  raoUcn  Vkrioblcn  findet 
b«i  Harnack.  Elemente  der  Diff.-  und  InUgr.-Kechntm);,  p.  37, 


304 


SUsut^  der  wnUh.-pkffa.  Ciaae  vom  SS.  Juni  I89ä. 


ultt  der  Ri«manu*acbe  bezeichnet  wiril,  deu  •Schluoi  xiehvii 
KU  dUrfun,  dtt^s  jene  TbaUoche  titilier  .  völlig  unbemerkt* 
geblieWn  »ei.  *)  Ich  bäUc  kUII  tleswn  etwa  sagen  KolIt:ii : 
.nahezu  uubeiiierkt'.  Demi  ich  habe  iniwischeu  die  Wabr- 
Utihiuuug  geuiftcbt,  daaa  Casoratt  in  der  histarifloheü  Kin* 
leituDg  seiner  .Tcurica  dellc  funztoni  di  variabili 
colli]! leiisü"  jeuer  CauciiyV'hen  Nute  auüdrncklich  ICr- 
wübnuDg  ibuL  Das  Uleiche  ihI  auch  in  dem  jüDgHt  er- 
•cbiunent'ii  Referate  der  Uerren  Brill  and  Nüther  Aber 
.Die  Elitwicklung  der  Theorie  der  algebraischen  Functionen* 
geschehen.^)  Immerhin  kann  wohl  kaum  behtritteu  wurdoii, 
daM  das  mathematiiiohe  Publikum  mit  Auünnhaie  einer  sicher' 
lieh  »ehr  kleinen  Minderheit  den  fra^lieltcn  Ueweu  bisher 
ganz  ansschliesslieb  auf  Uiemann*»  Conto  getietzt  hat. 

Ferner  habe  ich  inzwi<«chen  bemerkt,  dass  auch  Herr 
Kalk  im  Jahre  1883  einen  Betruift  des  Catichjr 'sehen  Intpgrul- 
satzes  veröffentlicht  hat.*)  Doä  Original  der  betreffenden 
Arbeit  ist  mir  leider  bisher  nicht  zu^iiuglirh  gewezteu.  In- 
dessen lätet  sich  aus  einem  Auszüge,  den  der  Verfa^Aer  wllnt 
in  einem  Briefe  an  Herrn  Hcrniite  mitgetheilt  hat,*)  immer- 
hin so  viel  ersehen,  daae  joner  Beweis  in  seiner  ganzen  Au- 
läge  »ehr  einfach,  wenn  auch  vielleicht  eivrns  weniger  nutQr^ 
licli  erscheint,  aU  dor  ron  mir  gegebene,  und  daa»  er  ins- 
besondere  wieder  atif  gewissen  VoraniiBetzniigea  Ober  die 
Beschaffenheit  der  Ititegratians-Onrven  bembt,  derun  princi- 
pielle  UeberflOasigkeit  ich  gerade  nachzuwaücii  versucht  habe. 

1}  a.  a.  0.  p.  U. 

^  a.  a.  0.  p.  70.  Sp&terhin  (p.  S70)  wud  fVttilich  der  frmelicli« 
Bewpiii  wi«dmitii  lediglich  auf  ilie  K  t  e  m  a  n  n  'ache  DisvBrtntioa  inrfidi* 
gefOhrt. 

'J  JahrMberiebi  der  d«nUchon  HatheiuatiVür-YereinigUDfr,  Bd.  lU, 
p.  17S. 

*)  D^monairation  du  th^or)>ra«  de  Cancby  tor  rintf- 
grale  iPutte  roncKoa  complesv  iNova  Acta  Iteipa«  8oc.  Up«a> 
hsaiift.  8er.  ITI,  T.  XH). 

>)  DarbottS,  BaUeUa,  2.  idrie.  T.  TU,  p.  187. 


305 


Sitstmg  vom  6.  Juli  1896. 

1.  Herr  H.  Seeligbr  legt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
Gymnasiallehrers  Dr.  Adolf  Schmidt  in  Gotha:  , Mitthei- 
lungen Ober  eine  neue  Berechnung  des  erdmagneti- 
schen Potentials*  vor«  welche  in  die  Denkschriften  auf- 
genommen werden  soll. 

2.  Herr  W.  Dtgk  macht  eine  Mittheilung:  .Beiträge 
zur  Potentialtheorie.  H.  Die  Gauss'sche  Formel  für 
die  gegenseitige  Umschlingung  zweier  RaumcurTcn 
und  ihre  Ausdehnung  auf  höhere  Mannigfaltigkeiten. 
Darstellung  als  Kronecker'sche  Charakteristik  eines 
Funktionensystems.*  Der  Bericht  hierüber  folgt  im 
nächsten  Hefte. 


307 


YenceichnUs  der  «Ingvlaut'oavu  Urucktfclirit'len 
Joauttr  bla  Jnni  1896. 


Dto  nnlatktmi  GomUmImRiii  md  fnMJtule,  mit  HrarrWa  uMtn  AJudMula  In 
raUli^  w«r4*D  fflM«^  ia«tetalMnd«i  V«nokliDü«citfUohals  KwiAiici- 


Tod  folgandOD  QoseUsohafteD  und  Institaten: 

Gnehiehitcerei»  in  AachtHs 
7«itMiirlft.     16.  Biuid.     1B9I.    6^ 

Hiatoriedie  Oentllachaß  in  Anrau: 
Bftnd  XXV.     1894.    8«. 

Univtraittf  of  tfie  State  uf  Nctc-iutk  in  Alhany: 
Librar;  ßull«im.     U-gUlatioo  Ko.  6.     1895.     8<>. 

und  AtterthumMforKcheniie  0€»cü»cht\ft  de»  0»terlondca  in 
AUcnUurg: 
Mittbc ilunKee.     lUnd  X.  Hefl  4.     18U&.    8^. 

Natur foncheiiiie  Oeafllschafl  tUs  Ogtertnnttfs  in  AUmbufff: 
Mittbeilank'eo  üb  dem  Oslerlunde.     N.  F.     Band  6.     1804.    S*^. 

Ifiittorincher  Verein  in  Äu^sbury: 
ZoitJkhrift.     Üond  XXI.     IdM.     8^ 

Jdhnv  Ifnitküw  ünieersitff  *'«  BaUi»»ore: 
[il»r*.     Vol.  XIV,  No.  116—118.     I8tt5.    4". 

HistoriMcher  Verein  in  BamUerij: 
M.  u.  M.  Benofat  i:  d.  ioAkn  1893  u.  1890.     1803/04.    8^ 

HatHrftrradunde  GtseilKhaft  in  Bwteii 
f«rfauidliair«i.    Band  X,  Na  2.  9.    1804/96.    8^. 

//  w»i(/  fintiiiuarvfdte  Ofgeilifchaft  i»  BofH: 

If.  Jfthtv'  ir*4r  diM  Jobr  1808/94.     18IM      R". 

MtUWilii&g«a.    N.  P.  IV.     1894.    foL 


Verifichnis*  dtr  eingetoMfenm  l}ruduArift<m. 


OenooUchap  van  kuMten  en  leetensdutpjtet*  in  ßaititia: 

Tijd«chrift     Dcel  37,    al  4-6.     Deel  Sö.   I— S-    1894.    8«. 

Notalcn.     Ueel  83.  No.  1-S.     1694.    8*. 

TcrbuKlvlintfen.     Dcel  47.    3.  «tak.     1894.     4*. 

Cfttalogaa    der    etbnoloffiaohe    Terutmeling.      4.   druk.     Stipiilemeofc 

1604      6^ 
NiMlcrlucdicb-liiditcb  PUkuatboek  1603—1811.    Deel  XII.    1894.    B*. 
Ditlfh-llrgiitär  f^bouden  int  Ca^ttfct  Ba-UvU  Asdo  1G66.     1894.    8^. 

Obuercaiory  in  Batactai 
Ob«orr»tioni      Vol    16,  18H8.     18'.il.     fol. 
B'grnwuraii'MuinKeD*     XV.  Jahrg.  161*3.     1604.    fi^. 
K.  SerbiMche  Akmlemie  in  Rthjrnd: 
SqMki  etnoffraftki  i)>ornik.     KtiIkh  1.     1804.    Sfi. 
Ohw.     XX,   No.  46-47.     löW/itö.    8*», 

H).ntnr-uik.     No.  26.      Ib9&.     4^ 

JftMTMm  m  JienjeH  {NonPtfftni- 
Uo   l.ht>  ilevolupiiieni  oud  xUucturu    uf  tiie  «h&lit.     Tiitt  1.     1^/  tiutit. 

TtuldUTg  und  Kndfjot'  Numieo.    1894.    fol. 
Aarl>OK  Otr  1808.     1894.     ßO. 

l/niverntif  nf  Ctüifomia  *n  Bvrkdty: 
liullctin  of  Ib«  t)eportm«nt  of  tieolofj-.     Vol.  I.     1993—1805.     80. 
Ilpffiiilcr  iif  Ih»!  l.ftiiremity  gf  Cttliroroiii  1893—1891.     8". 
Hmniiial  K<>|iort  of  Lbn  rreaiJent  of  tbe  Univi'rtiitjr  1893.    8M)nun«ii 

Annual  U(>i>ort  of  tbe  Sccretar>  of  Uie  ßoard  of  Heg(oU  of  Lbv  Hai' 

vcnit^  of  CuliforDia  für  th«  yt^it  uudiii(c  Juon  SO.  1894.    Sacni- 

mcnto  1891.    8^>. 

A  bn«f  aci:oaDt  of  Uio  Liok  Obfl«rvatorjr  by  Edw.  S.  Holden. 

niouto  18%,    8". 
Itrport  of  work  of  tbe  ftffrjcultuml  exiierintent  sUtioaR  for  1893/98. 

Samtiiicnlo  1894.    8**. 
He|»ort  of  viticuttural  work   darinff  tho  i«uoBi  1887 — 80    by  \t,  Pa- 

parelli.    Sacruinanto  1892.    8*. 
I.tit  of  lonordod  I-Jirtb(iuukef  in  <.^aliforDia,  \>j  Edw.  S.  Holdon. 
inpnto  1887.    8«. 

K.  preuJiMttcht!  Akiul&mir  der  WiMenacknfttn  in  Beriin: 
8itsilliff»)>(>rirhU<.     1894.    No.  39-63.     189^,    No.  1-35.     irr.  8>. 
iBMripliouc»  treibe**  innalnrum    rnnris   Acgaei.     KajH^,  I.     1896.    fol. 

A'.  geolog.  LainhtanjitaU  umd  Verijfikailemie  in  Bt^irn 
Jabrbocb  fOr  da«  Jahr  1898.    Band  XIV.     1894.     4«. 

DeulMk«  dumiMu  OtuttUdtaft  ih  Brrtin- 
D«riclitv.    37.  Jahnr-.  No.  1»-2I.   38.  Jftbrit.,  No.  l-ll.    ]89i/06.   6^., 

Medieinüeh*  OtttÜM^haß  in  BtHin: 
VarbMdlaax».    üasd  XXV.    169A.    S«. 

/>#t((«eAc  pwIoffiaAtf  GtutüteKufl  im  BeHm: 
KaitMkria    Bd.  4«,  lUa  3.     16M.    8*. 


Y*rgMdMi*$  ikr  eintfvifUiftneN  Druchtchrifttn. 


309 


Pkj/fäknlüfdte  Oe»eli»chaft  in  Berlin : 
le  l^ort«ebritle  ilpr  Phvsik  im  J^aire  1888.    AbL.  I— UI.  Bmuntcfaweiir 
180(.    HP. 

Pht^sii>Jo'iitichr  fifscUtvhnfi  in  Bfrlin : 

Cenlnilblatt  mr  rh)-iiu]ot{ie.    Bd.  VIII.    I£l9i.    No.  20-36.    ÜanU  IX. 

IBM.    No.  1—7.    8". 
Twliui41tui>rüti.    Jftlirg.  1894/06,  Ko.  1—16.    8^ 

K.  tcchuifchr  IIi*chtchtitf  »»  Herfin: 
Uv  Gm^Ii  too  der  I-Irbaltutig  iler  Kneifer  tind  aeioe  iledt^uluDg  (Br 

tJio  Tnhoik.     [{«de  von  A.  Hltkhj.     18ß5.    A'*. 

KtiUerlieh  »Uutachai  urchdoio^iacMu  In^liiul   in   Hcrlm: 
J*farbuch.     BmiiI  IX,    Fielt  4.     B>iod  X,    lieft  1.     StKäDzutiKsbea  3. 

isaö.    4«. 
Anlilce  Deokm&Ur.     lUnd  II.  Heft  2.     1895.     fol. 

K.  jncuMa.  ui(ieon.itogiKlte$  InatitHt  in  HcrUn: 
Krffvbninv  der  meleurol    Ik'obochtunifen  in  PoUdiiiii  Jm  Jufafv  IBOit. 

1R9&.     fol. 
ErtfobaMO  der  Keobnihtunfiän  no  den  Staliooeu  II.  udU  III.  Ordnaiig 

•■"•      Heft  2.     1805.     fol. 
!  di-r  mett'orol.  Bi-obocfaluntfen  in  Bremen    Jahrfc-  5.  1895.  fol. 

l-cui^Li,^.  AleUofol.  Jahrb.  für  1891.     Ueft  H.     1«»6.     4^*. 

Jnhrburh  ührr  dir  ForinchritU  der  M<ithemniik  in  Jtniin: 
Jalirborli.     B,l,   XXn*.  Hrft  1.     Berlin   I8D5.     8*. 

VfrriH  zur  VerhrrUHtnj  dr»  Oiirtrnhnntg  in  den  t'fCUMiitAen  StmUen 

i«  lierlin: 
Gurtcaflor«.    43.  JahrKünK-    180t.    4". 

NatuntLifrnKchaftUfhe   Woche nechrift  in  Ihrlin: 
W.-l,TOm:hrirt.   Bond  IX,  Heft  U.  12.   B*nd  X,  Heftl-ft.  189J/U5,  fol. 

Ztittchrtß  für  ImMritmenUnkande  in  Berlin: 
/  P-      XV.  Jahrfran«   1896.     Beft  1-6.     4«. 

M(f  grtchiehlufamehetKte  (itnfltuchnß  drr  SdittfU  in  Bitrn: 

jKbrbocb  für  Schweizerikche  <>t>«c-hi(ht«.    20.  Band-    ZOrich.    1890.   8°. 

Xnlurnl  llixtnry  nnd  l*hiloMphical  Society  in  BirminffhttH: 
Pnxtfedinjpi.    Vol.  IX,  1.     1894.    8". 

Ji,  Accaäemin  delle  S<'ien3e  dcll'Ittituto  di  Bologna: 
Vi*.    S^ineV.     Tom.  Mi.  fa»c.  l— 1.     1863.    4». 

R.  Vepulasione  di  giuria  patria  in   Boliujna: 
Atti     in.  Serie.     Vnl.  Xll.  fiuc.  4—6.     IBW-     8«. 

Socirti  de  gentfrajihie  eommrreiah  in  Bordeaux: 
B«]l«tu.     1894.     No.  3a   34.     1895.     Ko.  1-13.     8«. 

American  Acndemy  of  Art*  and  Scicneea  in  Bottan: 
Pncmtioff»,    Vol.  XXIX.    leoi.    8°. 

PiMtc  Library  in  Bottom 
4a.  iuiqmX  Beport  1884.     18%.    8<*. 


310 


Vereeiehmas  der  nmgiiauftWH  DmekaekHflat, 


B»9ton  •Soa«(y  of  natnrttt  History  in  SttOtm: 
Proceedingt.     Vol.  XXVI.  part  2.  S.     I«tW.    4«. 
Memoirt.     Vol.  IM.  No.  IJ-     18Ü4.    4« 
Occasional  Pftperx  tV.     1BU4.     8». 

StiKhmnfjintnit  tu  BraufuelhiNiiff: 
UtkoDdcnbacli  der  Studt  Uruuu*ichwei^.    tJanJ  U,  Abth.  1.    1895.    i^. 

NntHnrLsitfnschaftlich^r  Vrrein  in  Brrmen: 
Abbandlua^n.     Band  XIII,  Heft  2.     1895.    8^. 
Beitrftffe  t.  nordwestdeatschen  Volkii-  d.  LaDdeakundc.  Urfl  t,  1806.  E^. 
IliatoriiuJt'Mtatijiliadie  Sektion  der  t.  k.  mÜhrixcHtn  LaiufirirOutdutfit- 

QtaeUatjMß  in  üfrün»; 
äobriften.     Band  29.     1895.    8°. 
NotUenblatl.    Jahrg.  IB94.    4P. 

Natur foTKchentler  Verein  in  BrUnn: 
VarlniDdiuDffcn.    S2.  Band  1893.     1894.    ffi. 
XII.  Iterinht  der  raetcorol.  Commia.tioo.     1894.    8**. 

Acadimic  Itnyale  Je  tnrdecine  in  ßrtt*.«!: 
Bulletin.    IV.  S(:rie.    Tome  7,  No- II.    Tomo  9.  No.  1-4.    I894/M.  8ff. 

Acndemie  lioyale  de«  nctencet  in  BrüMtl: 
Annaairc  1895.    Gl«  auu>«.    8° 
Boltetin.   3«3är.    Tonil*  38,  No.  12.    Tuuio  2d.  No.  1-5.    t6M/Sft.   8^. 

iiociUi  da  BiMatuiiitte«  in  Brunei: 
AnnlecU  BolUndiana.    Tom.  XIV,  (mv.  \    2.    1895.    6^. 

l^eUti  beige  rf*  gMi>git  in  BrÜJtMlt 
Bulletin.    Tome  H,  4—7.     1888/93.    8". 

JwKffCiin  fAHowphicat  ÄMvdntion  in  Brtfn  iVimor  (Penstflvtinim). 
Tcaniactions.     Vot.  26.     1894.     Boatoa  1894.    8*. 

K"    ttnfjttrtsche-  Akademie  der   WtMrTtythuflen  in  Bvdafiext: 
Haihemutinche  tt.  natorwiaMtmaohaflliclie  ßi*rii'bt«  unn  IJD^rn.    ßd.  XIL 

1.  UiUn«.     Bürlin  1895.     6**. 
UnKi^riM-be  Hevoe.    14.  Jahrg.    HaA  9.  lU.    18%.    H«a  1*4.    Ügdfr-I 
prut  lt(9«.     ffr.  8". 

iL.  MHytirüM«  ffwhgi^che  Anstaii  in  Buäapett: 
IJlWlIii  rii  ht  mr  18'J2.     1891.     8°. 
MOtai  kJtrtnnv      Knnd  XXIV.  UeA  11.  12.     1894.    8^ 
OMlo^iiche  irt>5  ron   Unfrtrn.     Blatt  Zone  14.     OoL  X3 

roll  erk  lVx(.     1894.     8«. 

äl6oM^  of  natmrid  Kieite94  in  Suffaio: 
Buttetin.     Vol.  5.  No.  4.    1894.    8". 

Acitiirtnui  liiitnattn  in  llnknresti 
Doeamente  iirivitilre  U  utoriu  Homiknilor.   tiuppl.  I.  Vol.  6.  SuppL  U. 

Vol.  3.     1895.    4". 
Aulfle.     Svr.  II.    Tome  M.    1891—98.   8«t  liter.  u.  8«t    Sr-entTf. 
,      15.    1892-98.    Bcct.litrt'.n.partrft;- 
,      16.    1898-94.    I^utw  admmiitr.  1 
{MtndM  tSMW.    4^.  ... 

BMnel»  Bomia»    Stodtn  comjiantiTti  de  LÄiw,  Suoäou.    1896.  8^. 


Fcnei^ttWi  der  eingtinuftnen  Ihtickschri/itn. 


311 


ImttHutQ  y  OhMtrattnio  de  mariua  tU  San  Ftmando  in  Cadia: 
AnaXff.    SeccioD  2.     Ano  161)8.     lt^9i.     Tot. 

Soeiiti  LinHfenne  dt  ynriHaiuiie  in  Caen. 
Hullrlin.    4*  S^.     Vol.  6.  fuic.  S.  4.    1395.    8«. 

''  '        '      ■  •'  Driiartmeui  i*(  il\<  (iovcrnnicnt  oflnäta  in  Cttlcutttt: 
M  .  r  Keviöw  1894  Jaly     iKtmiWr.     1805.     fol. 

-Liil  Ub:^ervatiüiu  1894  Julj-  -  l'ecemb'ir.     ISÜf».     fol. 
:  '^oroJogical  Mnmoir».    Vol.  V.  pari  4.  &.  ß.    Vol.  VII,  1.  2. 

13LM.       ful. 

In»(rattioiii  lo  obscrven  of  Ibe   lodiao  Ueteorological  Dcpaiiment. 

By  J.  Kliul.     1894.     8". 
IljLin&II  of  India.     iU^  yuar  1893.     1894.    fol. 

Aaiiitic  Socifi*/  of  Bmgnt  in  f^aJcMlta: 
Bibliotlietu  IntlicA.     New  K^r.     No.  847-849.     1894.    8*. 
Journal.    No.  888.  340-348.    1894/flö.    8». 
ProcDwIiiijf?.    1894.    No.  X.     1896.   No.  T— III.     18it4/9ß.    9*. 

QeoJnffictit  Surrey  of  I*tiJi<t  in  t^Ueuita: 
Ri^oord«.    Vol.  27.  piirt  4.     Vol.  28,  part  I.  2.     1894/9r».    4» 

Pkdonophial  Sockty  in  Cambridge: 
rroe«tlmg«.     Vol.  Vnr,  jiart  4.     1896.    8». 

Mtetum  of  eompnrativr  eoohffif  in  Cambridgr,  Masx.: 
Anoual  Heport  for  1893-94.     1894.    8». 
Memoit*.     Vol.  XVU,  No.  3.     1894.     4P. 

UoUetia.  Vol.  XXV.  No-  12.    Vol.  XXVI.  No.  1.  2.  Vol.  XXVII.  No.  1. 
18»4/9fi.     Vol.  XVI.  No.  16.     1896.    8". 

AalroHnmicnl  fttnirrviitory  al  IJtircnrii  CofUjfe  in  Citmhridge,  Mm».; 
»»»»•  annual  Report  18'.^3-1)4.     1894.    ffi. 
'  mwdt.   Vol.  XXXV.  WiitCTfille  1894.    Vol.  XXXIt,  part  I.    1896    4". 

Accademitt  Qioema  <h  sciente  natitrali  in  Catania: 
Atti.    8«n«  IV,  Vol.  7  und  BoUettino.  fnw.  36—86.     1694.    4<>. 

*  iT.t(.-/i(r    firirhunnstnlt   in    f'^hiirhttlriihurif: 

Uent'  tiiiugr  der  «.Juer k^ilbiT-Norraültbcrniometcr  von 

J.  yanvel.  W.  J^er  u.  K.  Liumlich.    Berlin  16%.    4^ 

J'\eld  Colnrnbin»  Museum  in  Ch'icunrt: 
Publictttioaa.    Tal.  I,  Mo.  1.     1894.    8». 

XtÜMjxTifi  „The  Monist*  in  t',h*ca<jo: 
Tfc«  llonUt.    Vol.  V,    No,  2.  3.     16»&.    8^. 

Z-nttehriß  ,7V  (J/tr»  f^Mrt*"  in  Chietujo; 

Opan  Coort.    No   382-893.  395— 4ue.     1894/95.    A<*. 

Bittunttit-anttqHiirii^i-he  OeselUtAaft  in  Chnr: 

'XXW.  Jftbmibericlit    Jahi^.  1894.     iH9&.    BP. 

(Atnermtary  in  Oinnnnati: 

P«blinilioBi  of  ihc  CiadanaU  OliHorvalory.    Nr.  18.    1895.    4<>.        ' 


313 


FinwMnü«  tl*r  eitufetnufmen  Drwkgchrifttn. 


ChanikfT'Siritvnfi  in  Cölhen: 
Ohemtkflr-Zfltianf;  1S94.     No.  102-10«.     1896.     No.  1-47.    fol. 

Ifniurhiiitoriadu  Oescllnehaft  in  CiUmnr: 
MiUheiliiDfreB.     N.  F.     Bund  3.    Jahr^Ang  1601-94.     18M.    fi^. 
Aefidtmitt  nnri/ntnl  de  rirpeiat  in  f/inlrinx  (Jtrp    Art}rtttjma): 
Hol.'t;«      Tom.  XII.  a.    XIV.  1.     Buenos  Aires.  I8l»l— ?"4.     8". 

Uniceniiät  in  C$emo*rüt: 
Vonctchmu  tlcr  VorlciiUDgea.    Sommpr-Sctn.  \89b.    8^- 

HiAUmtckrr  Verrin  in  Daromtadt: 
goarUlbllVIUr  1894  in  A  ilefUn.    B«. 

Verftm  für  Hetgtjtchv  üesckichte  >n  ItanusUflt: 
Aichif  far  Beiaüche  GeMliicht«.    N.  F.     Band  11.  Uea  1.    t8»&,    9, 

t'4)lvraäo  Scientific  &tciftv  in  Denrcr.  Cnloraih: 
ProoMdiafft.    Toi.  IV.  1691-93.     IBM.    8°. 

Vtrtin  für  AHhnttwi^r  OnehieitU  in  Dt*»au: 
U\iiht>i\»nfm.     Band  VII.  Tb«tl  %.    1896.    6*. 

Umian  f/totr^tpiuqut  rf«  N»nl  d*  Ia  Frmmcr  im  Ünvoi: 
Hullrtin.   Tdow  XV,  3«  trimntre.    Tom.  XVI,  4*  lrÜD«üiie.    16M.   8^. 

SiKirtr  ntirmumtifitt  ihtfM  ta  DarptU- 
Kph^-mrriAi*  d««  iitoÜira  jioar  18%.    CP. 

fin^al  IriA  JLcAttfm^  i«   ThMin: 
Prac<«din«K.     Srr.  Ul.    VoL  >.  N«.  S.     18M.    8". 
CwwtftirhMi  Mrfrwirg.     No.  10.     I8»4.    4*. 

Qnhrieal  Statt f  im  ESmtmffit: 
TnoMHäoM.    Vftl.  VI,  part  4.    18K.    8*. 

Bßfol  Sftiti^  im   ftTdiiAaryt: 
Pmn«4iBr*      ^'^i    VX,  im««  Saft*5»l.     18a&.    8*. 


Jxkrr^Wn^kk  lAr  U>4/»  aetM*  Abkaa^oa«  vaa  Q.  Kfi&a: 
«ar  liefcUchU  ddi  GjraaaisBaa.    idSft.    4^. 

jr,  Jlti—ir  fmiiaaOiiiii»  IT"    p^iiJ^Ka  im  fSrfmfr 

Idbgfcnriiar.    N.  r.    IM  Sl.    I8W.    fl*. 

Ata^  Jltmatimm  tki  Gmiy^K  im  /%m«bit 

Alli.    8ar.  IT.    Tot  17.   ««^l  &  4.    VoL  Xft,  diif^  I.     I«»i«fc.    0. 

Jt  Xliyfii    11   A  «an«  f  Xiia  «a  flanntr 

D^aaiiati  di  atiria  itahi—     Ovrawati  daD' aDbw  «MtitatäoM  drll' 
oMaw  dl  nrmjo,  ^«liW  d«  P   Sutir       --       4». 

■^a<ya«<^Bji   *•      M  lil  .  -W/vrafJir.: 

c«.    Ila«l  X>ia.  BaA  A.    Mi&    c* 


Vtettiditw  Aer  ein^elauf&nrn  Druckschripett. 


313 


■  1 

I 


Naturteüsenschafiliefur  Verein  in  Frankfurt  a/0.: 
Helio*.     12.  Jahr«.     No.  7-12.     1894y95.     8". 

Bocietatuiu  Lilerae.  8.  Jahrg.    1694.     No.   10-12      9.  Jabrg*.  1896. 
No.  1-3.    8^. 

ÜntnerMtfit  Fftiburg  in  der  Schwfis: 
CoUdctanea  Fribarffenain.     Fuc  Itl.     1895.    4'^. 
Festreden  t894/9B.     1806.     8* 

Ii*hÖrdeB,  Lehrer  und  Studirendc.  3.-S.  1896.  W.-8. 189fi/96.  1895.  8«. 
Aat<.rilr8  i.roff.s-ieurrt  et  liliulianU.  Sem.  d'biver  1894/95.  189t.  8*. 
Index  iMtionum.    S.S.  1895.    8*^. 

OOerhfiiifisdjer  öeachithtifVCTein  in  Giease»: 
MittheihiDgen.     N.  V.     Band  V.     189i.    8«. 

K,  Oeulifidiaft  der  Wigsentiehaften  in  OiHti»yen: 
GOltingirtrhe  Retehrte  AnKeiffen.     1895.     No.  1— 6-    4*. 
NachrichWn.    PliiloL-bist.  Claoie.    1894.    No.  4.    1895-    Hr.  1.  2    8°. 
,  MaMiein.-phys    Claase.    1894.    No.  i.    1895.    No.  1.    &*» 

Nachrichten  u.  gcechaft liehe  Mittheilnngf^i].     1895.     llcH  1. 
Jnlioi  Pltiükers  gesamoiülte  wisscmcbafdiche  Abhandlun^RD.    Band  I. 
Leipzig  1895.    Bf>. 

Obedauaitzisehe  Otsellsehaft  der  Wissenschaft en  in  QörliU: 
Keuet  lAoaitxiacbeH  Ma^zin.     Band  70.  Heft  2.     IdOt.    8°. 

The  Joiirtittl  af  CoNtp'irntire  Ifmrologif  in  Qranritie  (V.  St.  A.)i 
Tbe  Journal.    Vol.  IV.  p.  193-206  n.  CLIII-CCXtl.    Vol.  V.  p.  1-70 
u.  I— XXVI.     1894/95.     8». 

^rttunrisnenschrtftJirJter  Verein  für  Nru-Vorpommer»  in  Oreifuwnld: 
Mittheitangen.     2C.  Jahrg.  1894.     Berlin  1895.    8°. 

FüfsUn-  und  LaMde^whide  xu  Grimma: 
Jubresberichb  1894/95  mit  Abhandlung  von  P.  Mejn*:  Samuel  Paren- 
dorf.     1895     4«. 

K.  lH»lituut   voor  de   Taai,  Land-  en  Votkenkundr  im  IJamj: 
Bijdragiiu.  V.  Keeiö.  Deel  IX.  VI.  Rppk«.  D^el  I.  No.  12.   lö;)4/95.  Sf*. 
NaamliJHt  der  Icdun  op  1.  Januar  1895.     1895.    8°. 

Teyler  ffemiolKchap  m  tiaurffm: 
ArehiTea  du  Muatte  Tevlur.     Ser.  II.    Vol.  4,  partie  III.     1894.    4^. 

S'tclHr.  IlnUandnisc  des  Science«  in  IlanrUm: 
Archiv««  N^erlandaiaes  des  aciences  exacte«.  Tome  28,  livr.  5.  Tome  29. 
livr.  1.     1895.     8°. 

Kaisert.  Le^tjxtläinisch-CaroliniMt'he  JieutMche  Akademie  der  Üiitur- 

forächer  in  Halle: 

Leopoldina.    Beft  30.  No,  21-24.    üeil  31.   No.  1-10.    1894/95.    4'^. 

Deutsche  worgetiiändtHche  (itsellsdxaß  in  Ilidle  : 
Zeitschrift.    Band  48,  Hea  4.    Hand  49.  Heft  I.    Lrip^ig  1891/95.    8°. 

.TfOtfhunh  der  Kleltmchfmte  tu  JlaUe: 
Jahrbuch.     1.  .(ahrg.     Ualle  1895.    8». 


314 


Verteidmiu  der  tinffdaufencn  DruekKhriftfn^ 


UmcersUät  in  HatU: 
[>fljt  tweibundertjlüirige  JiiTiilftum   der  UnWertiiUU  Kalle-Witt«Db 

Festbericbt  tod  D.  B.  Beischlag-     1895.    A^. 
Verzeiclmiss  der  VorlesuQ^n.     Somm.-Sem.  lB*t5.     A°. 
Jiatuncissftvtchiiftlichcr  Yerein  fiir  Stuhstn  u$ui  Thüringen  in  IlaRti 
Zeil^bnft   ffir  Natur mfi«>eiiiicban«n.     Huid  67,  Heft  6  o.  6. 

7%ttn'nj7tJtoh-«ilehj»ucA(T  Vertin  für  KrfoTKhung  taterl.  AlteriAtnm ' 

in  HatU: 
Neue  MitUieiltingen.     Uftncl  XIX.  1.     1995.    8". 

Tcrrin  für  Hnmburger  Ge»ch*t^te  in  Bamhitrg: 
MiUlieilnDgen.     16.  J»hrK.  1B93/94.     1694.     8>. 

tVri'iii  für  nati»rwin«n»d*afüicke  VnterhaitHnp  in  ffamhurtj- 
Verbmndlangtn.     B*&d  VUL     1891-93.     1804.    6». 

Nalwwi«>'tn»(haftii(her  Vertin  in  Uamhutg: 
AbhandluBgen.    Band  XIU.     1B96.    4°. 

Hittorischrr  Vcrttn  für  NiederMdtstn  in  JTnnnorer 
ZeiUclirin.    Jahrgug  1894.    8^. 
Atlftrf  Torgeacbicbtiicber  IJefesti gangen  in  Nieder*itcfa>ea.    Heft  9.  n.  4- 
1890— M.    fol. 

Ünieer»ität  SeideUMrg: 
Erwin  Hobde,  Üie  Eeligion  der  Griechen.     Beda.     189ft.    4®. 

JliKtoriitch-jjhihwpMacher  Verein  in  Uddelberg: 
Neue  Ueidelbcrger  Jahrbücher.    Jahrg.  V,    Heft  1-     1806.    $fl, 

Naturhiiitorvtch-medidnMdicr  Vertin  tn  lieidMerg: 
Verhan'Ilangcn.    N.  ¥.    Biuid  V,  Heft  3.     1894.    8«. 

Vfrfin  für  ii*hcn}>ürit\nd*f  jMmlfithinHe  tu  JlermnnHatadtt 
Archi».     N.  K.     Homi  XXV.  Heft  2.     1896.    8». 

Muihußiin  Min%n<f  HetvMii  in  ihtughion: 
CftUtugoe  of  thf  Uichig&tt  Mining  School   lä9:i~94.    8*. 

i-erdinandeum  in  Inntbruek: 
Wappenbach  der  SUdte  und  UArkU  Tirol«.     1894.    6. 

MetlirimMrh'HatunriMtenmckaßtKlu!  ÜftirJljickitß   in  Jmn: 

DenkathrilVn,    batid  IV,      Liefsrang  1    'r<*it  UT><i  Atlaa- 

ÜHntl  V.       Lieferung  1.    '  '  MIm, 

[laed  Till.  Uer»ruog  1.   i  \t\v(.  1898/94.  foL 

JmaiKhe  ZfitarhHft  für  Natnr»)s«#(W«-faalr.  Miuid  '^J,  Heft  3.  1891.  8^. 

UnittrtiUU  Kittnn: 
Ut«ehenU  SapiiU     Bind  62,   i-fi.     1895.    8*. 
Medicinitohe  Lioclor-DiMorUtion  »"n  P.  PTiMtriew'tlrf.     1894.    8^. 
3  H«dleiBiM>he  OiMeriiitionfn  •  uev.    18Rft.   8^.' 

Kaiiterii^  Vt^ 
Sa|.liVi.     1WI4.     No.  4.     18Ö5.     N.>.  I    2,     ö**. 
M.  'l'tkhoinant.1rit«.k)',  Tbvortc  dcw  inlogral*«  tt  ileü  faBiriioniotliptiqi 
leöft.    HO. 


Verieiehttiu  der  eingflaufewn  DruckjtcJtriftfn. 


815 


MiniMtfniAt-<'ommyinon  rur  l/nterauekuwf  der  dftttsdtfn  Meere 
IN  Kifl: 

;rK*bni»M  der  U«obRclitangs- Stationen.    1808.    Hoa  1—13.    1694/96. 

qurr   4*. 

WiM«uchaftlirJi«  Meeres*  UnteranohaoffdD,     N,  F.     Oiiad  1.    Hefl  1. 
IBM.     1» 

iTdfff,  UnirenitAt  in  Kinv: 

UwMliju.    1P!H.    Band  34,  No.  II.  12.    Ban.1  35,  No.  I.  2.    1894/95.    8" 
äpiflok  nie.  (Vcnr^ii-hnis^  dn«   PärnOuaU).     lB'.t4.     Sfi. 

yaturhutnrüeh^Ä  Lamiemnmrum  m  Klagenflirt: 

Hhrljmh.    H*ft  29.    I8l»6.    8^. 
Iita^nLiucai\     läd4.     Toi. 

Aer:tlifh-natHrieiit»«n*ekaftlieher   Verein  in  Klan/irnhurtf : 
Eriaiitd.    S  Hcltä.     1B94.    S«. 

ArchwiliHfischr  kroiätjfche  Ge»elUchafX  in  KnmJ 
OkMlo.    Bud  1.  Xu.  1.  3.    1805.    8^ 

K.  Akademie  der  W%»$en*chaßen  in  KopenJtagen: 
Dwer  pliintjinim   n'>viuiini   vel   minu>«  cogoi- 

1  Kmc    [-ni.     1864-66.     fol. 

'■  löi'i.   ^.-■.  a.    idys.  No.  i.    i894/i>5.    8". 

V  «•  S«:r.  Süction  dea  icienrea.   Tom.  VIII,  No.  10.    1894.  A?. 

*Jtvrlinrhitft  fiir  t*oniLX,Jtf  Alteithumjtkttniir  itt   Kfpfnhtii/rtt: 

A«rliAi^r.      It.  Uut'kkp      Hariil  9.    Hvlt  ü.  4.      Ituml   10,    Hefl  I    und 

Tillaoit  iii  Hand  ö      I8;U/»'..     8*. 
Jltinoiroi.     Nonv.  S^^r.   itWÖ.     IHW.     B". 

Qenetiitijiiak  Imtilut  in  Kopenhtttfen: 
ItanmarkH  RirkebOtfer.     IB96.    8<*. 

Akademie  der   Wisifmehnftrrt  in  Krakau: 
iA  '     ''-      Jftnuar—Mfti.     8". 

}}.  -g.     Tom.   20.  31.  23.      [toziininy   ßlcnof.     Tom.  SO. 

Uom  '  t.    8™. 

MAuanu-tit.i  liieJiJ  «rvi  hittorica.     Tom.  14.     1884.     *•. 
8T«mvc<Jaiu&  koniUyi  jfivkowcj.     Tom.  .5.     1894.     tfi. 
A   '  '   L.     Tom.  l.'fk«:.  3.     1891.     6"*. 

isj-i  hirttor.    Tom.  7.     1391.    BP. 
!  '  k.     Tow.  29.     1891.     8». 

inim.     Totii.  15.     1894.    8*. 

,  .<. 1894.    8^. 

Tiy  GAlicyi.    Hefl  ITI.    (Text  und    M\&a.)    I8fM.     fol. 


Soeirti  Vawlour  de»  tteiewnm  HtüureUe»  in  LoHManne: 
Vol.  30.    No.  115.  llfi.     I«94.    9". 
■  der  SfiWrfnndtehr  Letirrkuiide  in  I^itUn: 
t^lMJirift.    Pwl  XTV.  I.  S.    1896.    B^. 
IML  HaAk'iaiJ«^  CL  1.  21 


310  VerzeiAmim  der  eimptimKfenrm  DrmBtmkrifl/rm 

.St«nar«rtr  m  IjeiAem: 

ATdiir  4er  Mathrmatil  vtuf  Avinlr  m  lAäfiziß: 
AnMv     IL  UeitK.  TbtdJ  13.  Heft  S.  4     ia»l/^'i.    ä". 

ViertelJKfanMthrift     Jalirgaa^  3d.  Heft  S    4.     Jb^ug  3(1.  H^  1.  2. 

if.  «äduÖM:^  Getitüaduifl  der  Wiegenndurfiem  im  Leifäfz 
Benihte  der  nu^tb  ptiT£.  CiutK.     IS»!.  IL  IIL     18>ä,  L     8". ' 
AUiaDdlTuipmdta-iD&lb.-pbvs.Claä»e.  Bsad  XXL  Ko.S-fi.  BandXXIL 

N'ö    l/  1«©.    -1^. 
Bericbte  ü*a-  paiioL-h.rt.  '.'Im**.     1394.     Heft  %.    ?•. 
Abbs.ndliZDg«D  d«r  \thl\'A.-UA.  CIum.     Ba^  XV,  X.    4*. 

J'jmrfoi  fir  yraiHtekt  Ckemir  m  Lrijuifi: 
Jourm>].     N.  F.     Bud  M,    Heft  1—11.     lä».    ^. 
('•ciMTAt«  cofAofifv«  tu  Loar-em: 
Annii&ire  18^.     8^. 

Tbe»-f      Xo.  654—670.     F»cTilt«  de  ibeologip.     1BS>4.     8*. 
Pfv>trriimiiH:  de»  conr«  de  l'aimee  aca<d«miqDe  IBM  tt.     1994.    8^- 
J.  Vuiboon.  ArkoMs  d«  L^-mbecq-C'iabecq.     1894.     8*. 
V.  ätf  Bnck,  Mgr.  de  Kjim.     Päii«  1865.     8*. 
M.  Anndi.  ComnienUirea  de  Cbarle*  V.     Brnxellf«  1650      B^. 
\\.  A.  Ar«ndt,  Leo  der  Grot«e.     Mainx  18S5.     8". 
J.  J.  Ttonüseit.  Vie  du  oomtr  FenLxuad  de  Hem«.     19GS.     8^. 
J.  J.  ']  tioniKwn.  Vie  du  coiuie  F^^iii  de  Mt-PT-Ie,     1861.     8*. 
J.iii*:-njii*.  '-T-.^iU*  d"V['res.     l&S'S      8^. 
J.  IJ.  L^or-'-t,  OTDr*.     le^-O.     t'^'. 

Her  Mrijc-tv'f   G'Tfrnmrttt  in  lyvttkm: 
The  Vovdjre    of  H.   M.  d.  '  h»'.-tD4.'*T.     A    samm»ry    of   tbe    scientific 
K^r^it*.     I'an   I  a.   II.     lSi*5.     4". 

lt.  Iri^tUulton  of  Grtnt  BrttiUn  in  lyiKtiiiN: 
Procee-iin?-.     Vol.  14,  2.     1?9''.     8^. 

r/«-?  Kngii-h  IltJ-toncil  H^rieir  in   Iym(U>n: 
Hittcri  al  Kenew.     Voi.  S.    No.  37  o    3?.     1695.     iT. 

Ji/jya}  S'Kitiy  in  lyntdon: 
l'r.cf*.-.i:Dg-      Vol    57.    Xü.  3W-346.      Ib1*5.     S^. 
Fhij'.B  ■}.hK*;  Tran^ai.ti-'ur.     V-!.   leo.    p..rt   1.     A.  B.     Iö95.     4'. 
Litt  of  M*-mbre-.     1694.     4  '. 

Ji,  A'irntiomi'^il  S'-fi^ty  i'i  /»»utvii  ,■ 
i!öLt^lv  N-ticet.     V.jL  55.    Nv.  2-7.  'l891'.t5.     ^■". 

IVA'Hinj?..     SfSBioD   1^94-95.     N'.-.  143—1.^3.     ö". 

■'oiiij;i..    .*•' jj-plementÄTv  Numb'-r  I^lti  und  Xr.  3r6  -391.    Janaary  — 

-'une  Irjif5.     H". 
<:h»rt*rr  and   Hv   t>;iwB.      \f*f^r^.     ><\ 
A  Li-t  of  the  Officera  ao-l  Ktllow«.     1S95.     8^. 


Vanvtdmiv»  der  eingelaufenen  DracktieJuißen. 


3t7 


Geotoffitnl  Society  in  iMiuhn: 

Thü  quÄTterlv  .Joarm*!      No.  107-200.     1891.    Ö". 
LiaU     Noveoiber  t.     1894.    8°. 

Jitiiiiit  Micro6COj/ictil  Sociely  in  Ijondon: 

Joarnul.     ISUL     E'iut  6.    6°. 

/tutlitglCül  Society  in  Iai  ihn: 

Proceedinga.     1894.    Vnrt  IV.     1895,    P»rt  1.     1895.     8*. 
Traiwaiiiiiiw.    Vol.  VHI.  10.     1896.    4* 

XfitMchrifl   „yiHure"  in  Ijuidon: 

Nature.     Vol.  61.   No.  1309—1833.     !89V»r>.     4". 

Atcoilemitt  di  xcienzc  in  Lticca: 

Atti.    Tomo  37.     I8UI>.    i^'. 

Uniterailät  in  L»Hd: 

ActA.     Tom.  XXX.  1    2.     18ü:(/94.    4«. 

Jttstitut  Qraitil  Hucnl  (Sedion  des  science»  natnreltct)  in  Liixembnftf : 

PabliratioDt.     Tome  2.  S.     1894.    8^. 

Verein  für  iMxrmhurijrr  (i^srhirhtr.  i«  iMiemhartj: 

_,Oiw  HdmMht'.    VerLina-OrKMn.    Jahrg.  I.   No.  8.     1895.    8». 

Wasl^mrn  Obaerrrttory  in  BtaäiBon: 

"^Poblicaliona.     Vol.  VII.   pari  3.     1894.    i». 

Government  Antrunomer  in  Madrna: 

Uadru  Meridian  Circle  OtMervntions.     Vol.  VIII-     1894.    4". 

Oovemment  Museum  in  Mttdras: 

Bulletin.    No,  3.     1895.    S<^. 

R.  Acaiiemia  de  eiettcias  in  Madrid: 

.Jknn&rio.     1896.    8". 

R,  Acftdewia  de  la  hi^toria  in  Madrid: 

'Doletin.     Tomo  20,   coüd.  1—6   and  lodice  geDoroI  tu  Tom.  1—25. 
1895.    &". 

R,  (hservatorio  uMfonomica  di  Brera  in  Maiiand: 

OtHt-rvasioni  m^teorologiche  dell'  auno  id'M.     1691.    4". 
Fublic&zioni.     Nr.  88.     I8U3.     fot. 

Sftcietä  Ifaliiwa  di  neietue  niituridi  in  Mailand: 
Memorie.     Tomo  V.     1895.     4». 

Societä  Storicti  Lombarda  in  Mailand: 
An.'tiivio  Storico  Louibardo.    3er.  III.    Anno  XXI,  farfc.  4.    Anno  XXIL 
fuc.  1.     1894/96.     ßo. 

Literary  an^l  jthäoaöphietä  Soöiet*/  in  Mam^stfr: 
Doim  and  l^nHcediaKR.    iV.  8cr.    Vol.  8,    No.  4,    Vol.  9,  No.  I.  3. 
i894/96.    e*. 


SIS 


Vtntitkmiu  itr  timffdmmfenm  2)nMlHM|flM. 


Ffirsten-  und  LaMätstOude  Sl.  Afra  in  MtiurH: 

J&hreibcricht  fiir  du  J»hr  181H/95.    l\ 

Vereim  für  OffchidUe  ätr  St-oät  Alrüsr«  in  XeiA*ftt 
MiUlwilang«!!.    Band  lU,  4.    I8»4.    8>. 

Zei\ite\rifl   THriwta  tli  Storim  Arüica  in  JUcstima: 
RiviAt«.    Anno  I,   fuc.  1.    1696.    S". 

Aeadimie  in  MeU: 
HtfBkQbt».     Anaoe  1893/93.     1890.    6». 

OeieR«cJid^  fAr  tAthrimyuckt  Qesehiehtt  in  MHx: 
Jdu-bach.     TL  Jahrguag  1691.    4^. 

Bolo«äa  aMHoel.    1896.   1-4.    4«. 

Sodf^tad  cifntificn  ^Antnnin  AUaU'  i«  Jfcrioor 
Memoriiu.    Toma  6.    No.  1— i.     1894.    S**. 

Sücifiad  tie  historia  natural  in  Jfaneu: 
U  NAtBmliuL     11.  Sene.    Toido  2.   Ko.  6—7.     1868,91.     Ibl 
Natural  Uittonf  SofiHy  9f  ITmcvmi«  ^m  Mtitraaket: 
OccuioDAl  rupen.     Vol.  II,   N'o.  3.  3.     189 1^&.    8^. 
Sociftä  dH  nitinra/üft  m  Mi*dtmii 
Alti.    Anao  38.    Ser.  111.     VoL  3,   r&M.  1.     tb94.    6*. 

Sunam  iFi^amyts  titiemttli^HaHX  dt  itwMrrrtfwM  dt  Ut  lUiiMifm* 

de  VUn^Uiij/  in  M'mteviämi 
Loi  dtt  rujronnemont  lolkire.     1894.    4^ 
ABUnwia  MtAdütico  de  la  R«püblic«  unenl&l  del  Urojnujr«    Ano  16U3. 

1696.    4«. 
RaUdiitJtt  eicolar  aSu  de  IBBS.     1894      4^ 
KMgoa  biOKTiiticov   d«l   S«Qor   Doh  Mmd   Idiiato  Bordik,    Prc«id«a( 

d«  U  U«-i>ilblictt  0.  ilc  Ui-ogw^.     Ibä4.     4". 

ihn^U  ImprruiU  Uea  NaittraJistrs  i#i  Motiau: 
BoUetio.    looM  1S94,    So.  S.  1.     1891/95.    B». 
Lädt  Obaavaiary  of  the  Umvtrtitp  «f  Califonäi^  in  Mommt  Aawfitm.- 
Pablicatioaii.    Vol.  III.     1894.    :^«cfmn»tito.    i* 

Dwtt^  Off^H\a/l  für  Anthropologif  in  JtrrliH  ttttd  J/AncArM.* 
CompondemxblHtt.     1894.   Ko.  9-13.     1695.    No.  1—5.     189S     4*.j 

K.  TVefcffiMJIi«  HüchuchuU  in  Mümrhen: 
PrTMm&UtoziJ.    äointii«x<S«in.  189&.    8*. 

MftropoKt^tfK- ■■•'•''   V<knthe»-hytitiMff  im  if&McAri) 

SebaBUtumitt  der  Üt  :  ftr  das  Jklir  1696.    6^. 

AffltobUit  div RndiOctsu  JlondisB uul  Ftetinic.  Iti95«.  No.  1  - 1&.  &».' 


Ktrtridbfiw  4er  ciHij^JaHfenen  Dritdudirifttin. 


319 


K-SiaatamfHtstenMtt  äe»inn«rnf&r  Kirchett'  und  SetHäamjele4fenhetUn 

in  Mthtcfirn: 

Vmt  IS»«9bahTi-Kiv<>llcment  dr.r  K.  H.  StoiiUeitenbiihnL'n.     1894.     -l**. 
G«ainio«tJ»i't!  'ho(\t.-.     VII.  Jiibrg.   ISm.     Cu<>H-t  lß06.     4**. 

i/'  /    Ktfririn   con  (Jberhaycrn  in  München: 

KculHcbrift.    4.  Jnbr?.  1895.  Na  t«6.    Jftnuiu— Jani.    8*. 

AiademUchrr  Verhuf  Sfünchrn: 

Uoch-Aul  NaihricUten,     Nu.  50-62.     1Ö94/9&.    4". 

Z«iUi:farUl.     Uana  C2  und  ErgaDiuogshea  I,   Lief.  2,     1804.    8^. 

^ccif^cmia  dW/<^  »eietise  fiticht  «  matematict  in  Neapel: 
B«a4icooU>.     8eri#  11.     Vol.  Vlil,    fanc.   U.   IS.     Seri»  III.     Vol.  I, 
fiMC  1-4.     1894y9G.     KT.  80. 

Zo^iogifcht  Station  in  Xfiapel: 
UiUhtfilaai^fi.     Bd.  XI.    Hea  4.     189fi.    8". 

//wfyrwcftcf  Verein  in  yeitbur^  ttIV.: 
SuahaeiftT  Ko1l"littiifi>D-Btiitt.    n7.  Juhrffftn;;  1893.    8°. 
StutüuU  ofMüttnti  anj  Me<Aaniettl  Kiujinfi-rs  i»  Ntv^iarUe-ujutn-Tifru:: 
TlmiwrtioB».     VoL  44.  part  2.  3.     iei»5.    8". 

JHf  Ataeririm  JoHnnü  of  Science  in  N^w-liaren: 
'Thfi   Airmriciö   Joaraoi.     Nr»,  iföö— 294.     Juniiary— June  löyö.     S**. 

Acndfmi/  of  Sdencta  in  Ncw-York: 
TnifAi.i-.oaM.     Vol.  XIII.     16M,    SC, 
ABUla.     Vol.  VU  (hulrx,).     Vol.  VIU,  No.  0.    1895.    8». 

Antertcan  MuxfHi»  of  yaturai  llittorff  in  J?<v-Kort: 
BoUrtiD.     Vol.  VI.     löW.    ifl. 

American  Chemical  Sodfty  in  NcK-York: 
Thr  Jvoni»!.     Vol.  17,    No.  1-7.     Eaaton  1895.    8". 

-im^ricun  Ötwjrajshicnl  Sitcxeitf  in  Nftc-York: 

bolUlin.    Vol.  26.  No.  4.  jart  I.  II.    Vol.  XXVII.  Mo  1.    I8IM/96.  «P. 

O'nnanittrheH  KntiortaltiiH»eurti  *'"  .ViIpfiätt 

Anutjjc«''     Jttlittf.  1891     S^. 

BB.     JabiK.  189L    8*. 
dlfr  Buli^l&c-kc  de«  XV-XVIIL  Jnhrli.    Tlieil  11     1894.    &, 

..Vf»  ■   Gt^lM^itft  in  Odt»Mi: 

liixUirijtehrr  I'^rin  in  Onnahriick: 

0«»lirur».-r  .„.  '    "      .Ilcii.    Rand  in.     I89Ö.    8*. 

rrran  fm  ..'.e  H»d  LnHdrukunär  in  timr^TÜck: 

KillWlwpcM.    ÜMii  Itf,  ]ö94  o.  ttefrüUu-  tu  Band  1-16.    8^. 


320  Venatkmn  der  angelaufenen  Druekaduriftem. 

SodetÄ-Veneto-Trentina  di  seiemze  naluräli  in  Padopa: 

Bollettino.     Tom.  VI,  No.  1.     1895.    8». 

Cirecio  malematieo  in  Palermo: 
Rendiconti.    Tom.  IX,  fasc.  1.  2.     1895.    3P. 

Academie  de  medeäne  im  Pari$: 
Bolletin.     1894,    No.  52.     1695,    Ko.  1-25.     6^. 

Academie  de«  scienee»  in  Pari»: 

Comptes  renda«.     Tome  119.    No.  2&.  27.     Tome  120.    No.   1-25. 
1894/95.    4". 

MoniteuT  säcntifique  in  Pari»: 

Monitear.     Litt.  637—642.     Janvier—iain  1695.     i". 

Museum  d'histoire  naturelle  in  Paris: 

Bulletin.     Ann^  1895,  No.  2.  S.    8». 

Societe  geographique  in  Porig: 

BaHetin.     7«  Ser.,  Tome  15,   Tome  16.     1894,   3«  et  4»  trim      1895, 

I«'  trim.     8f*. 
Comptes  rendns.     1894,   No.  18.  19.     1895,   No.  1—8.    8^. 

Societe  maihematique  de  France  in  Paris: 
Bolletin.     Tome  22,    No.  9.  10.     Tome  23,    No.  1  -S.     1891/95.    8*. 

SociHe  zoologique  de  France  in  Pari«: 
Bulletin.     Tome  19.     1894.     8". 
Memoires,     Tome  VII,  part  1—4.     1894.     8". 

Zeitschrift  ^L'Electricien''  in  Paris: 

L'EIectricien.     Tom.  VIII.  No.  209.     1894.     4«. 

AciidcHtie  Imperiiile  dei  sciences  in  Sl.  Pttcr^unj: 

Bulletin.     5*  Serie.     Vol.  I,    N'-^.  4.    Vol.  II.    No.  1-4.     1894/95.    4». 
.\le.\.  Veselovsky.  Boccaccio.     Tom.  II.     1894.     8*. 
Memoires.     Tom.  42.    No.  12.     1894.     4". 
Iiv:ayxiva  joovtxd.     Tom.  I,  Nr.  2-4.      1894.     4". 

Botanischer  Garten  in  St.  Petersburg: 

.\cta  h<irti  Petropolitiini.     Tom.  XIII,  2.     1894.     6\ 

Ktiis,  riis,^.  minernhijifchc  Gesellschaft  in  St.  Petersburg: 
Verhandlungen.     II.  Serif.    Ban«l  XXXI.     1894.     8*. 
Phu.-ikal.-chtmischc  GeseJlschaft  an  der  kais.  Universität  St.  Petersburg: 
Si^^hurniil.    '{\^m.  XXVI,  No.  8.  9.  Tom.  XXVII.  No.  1-3.   1894/95.   8<*. 

Phi/*ika!ischeit  Central-Ob^ercaloritim  in  St.  Petersburg: 

Annaien.     Jahrp.  1893.    Theil  1.  II.     1S94.     4^ 

Ittj^rtoriam    für   Meteorologie.       Suputem.-Band  VI    o.    Band  XVII. 
1^9r     4». 


Pirrxn'cAMutf  Her  ein 


Druckschriften. 


321 


t 


I 


KttUerliehe  Univer^nt  in  8t.  PelerjAnrg! 

IJoHtgchoyact  (Jahn-iact).  8.  Fcbmir  J895.     S*. 

P.  M.  Melioruni^ki,  Kurze  GramTuatik  der  KoFak-Kirgisischen  Sprache. 

Tbeil  I.     (In  ross.  Sprache.)     1891.     ifi. 
Ja«.    Korono.    Hawtrh  •  jnpaniiiche   Gesprüche.      (In    ruus.    Spreche.) 

1884.    4^ 
bectiuimiin^i-n    (Hr    die   ßenuUnng    t]cr    K.    DnivernilllU- Bibliothek. 

»In  rma,  Spra<Iie,)     18D4.     8». 

AcijJtmij  of  tinlurai  Sfiene<s  in  PluhtddiJna: 

Proceedin^.     1S94.  pari  IL  III.    8". 

Journal.     Sccond  Seriea.     Vol.  X,   part  2.     1894.     fol, 

Auitricnn  jihnnn(icf.ulicitl  Ansociatum  in  PhiladeljttUai 

Proeepdinga.    XLII.  annual  Meeting  at  Aaheville.    Sept.  1894.    Balti* 
niore  1894.     ß^. 

Geogrfi}ihical  Club  in  Pbilndel}ifntt: 

BttUftin.     Vol.  I,  No.  3-5.     1894/95.    8«. 

mstorkfxl  Sociftff  of  FeHfiiyhama  in  Phüadelphia: 

ThePennüylvaniaMoKaxineof  Hiftory.  Vol.lS,No.2-'4.   1894/95.   8". 

Americftyt  plulosophicai  Society  in  Phifadrlphia: 

ProcMdinga.    Vol.  32,  No.  148.     Vol.  33,  No.  146.     1893/91.     8«. 

S&eietA  Toncana  di  sciense  nainrah  in  Pisa: 

AtÜ.    Vneesxi  verlmli.     Vol.  IX,  pug.  133—241.     1694/95.     4«. 

K.  Gymnasium  in  Plauftt: 

'lnhr»btfricbt  Kv  18f)4/96  mit  AblmndluDg:   Lucianstudien   von  Job. 
Rentsch.    1805.     4^. 

Historische  QtaeUndiaft  in  Paacn: 

XrfiUchrift.    7.  Jahi-g..  Heft  1.  2.     1894.    fll». 

Cmtriti-Bureau  tleg  meteotoltHjischtn  iHntilulM  in  Potsdam: 

Verhiindhinjfen   der  1894    in    Inniibnick   abf^chalti^nen   Conrereoz   der 
Pertiunenten  ContmiMJon  der  latcroationalifn  Erdmeiurun);.   Berlin 
1896.     4». 
*  K,  f/eodätischfs  IngtUul  in  Potsdam: 

'OVomisch-Käotl.ltiache  Arbeiten  I.  Ordnunf;.  TeleKntphiBcfae LUnfieii* 
bestimmangen  in  den  Jithrea  1890—93.     1695.     4". 

Astro/ffit/nikalinchea  ObservatortHttt  in  Potsdam: 

Pablikationen.     Band  VII.  2  und  X.     1895.     4^ 

Kaiser  Frana-Josef  Äkodeinic  in  Prag: 

Rotpravy.     THda   1.    llwniU  3,   ^(ilo  3.   4.     Th'ila  tll.    Ro^nOE   8, 

Wulo  B.     1894.     Kr.  4«. 
V^tnVk.     Hotni'k  8,  cialo  7-9.     1894-     gr.  8». 
Almiumch.     Ro^Dik  5.     1895.    8*>. 


322 


VtTseichniui  der  nng<lauf<nett  PmnlwAnYlrff, 


OeseUnehnft  tttr  yHrderung  dtulucher   WMennfihnßj  Kuiui  und 
TMeratur  im  UöhwcH  in  ih'ag: 

R«cheD4chnilUboricht  vom  1&.  Dfiouiber  1891  nnii  Milili(yilqnir  Nö  III 

u.  IV.     181t5.     8". 
Etilen  HoUiicr.  Htudien  so  EuHpidM.     Wien  IBO&.    B". 
Bibliotlit>k  ileiit^cher  Schriffcat«lter  am  Ikihmeo.    Banil  II.    Nik.  Uar- 

niftao.     Wien  1895.     8«. 

K.  BÖhttiut^he  GrHflhehttft  der  WüaeuKdutfleH  i»  Prn4j. 
Jahrp4li.>ncU  Hlr  du  Jabr  1891.     ISSri,    8^ 
.SiUunKibf^riobte  1894.     a)  rtivii4i>  für  Philosophie. 

b)  MotbeiD.-aiilurw.  ClasM.     1885.     8«. 

I^»t-  und  HedthaUt  der  druttchen  StmIfmUn  in  Prap: 

Bvriobt  ober  das  Jabr  181M.     1896.    e/>. 

K.  Bökmtvchf^  MuHcum  in  Prag: 

Öuopii.    Jahre-  1894.    4  HeOe.     1894.    ffi. 

K    K.  Sirm^ftrtr  in  Prag: 

Mo^eiiichc  und    meteorologiüobe    Beobaobtungeti   im  Jnlire   Ifi 
66.  Jabrg.     1696.    4». 

Venttchr  Carl-Ferdinand*- Univeriiit4t  in  Prag: 
nie  feierlicht!  In.^UIIatioa  dm  R^^ton  (Ar  «lu  Jahr  lfl94/9&.    18M.  SA 
OrdnuiiK  der  VorlesunfieQ.     Somnirr-Svm.  1895.    (P. 

Verein  für  Geiichicttte  der  Druturhrn  m   BAhmf!H  in  Pcftjf: 

Uittlieiliintcon.    BS.  Jahrg..  No.  1—4.     1894.    tfi. 

Katurfotichfr- Verein  in  Jiiffti: 

CorretpODdenzblatt.     Nr   37.     1894.     8". 

ya«t«c}irifl  MQM  AnliL-'i  fleioM  FiOjahrii^cD  Hcnt^bcnB.     1806.    8". 

Oftnrrvaiorio  in  Hio  -i^  .I.i„'->r->. 

Annnano  1894.     1693,    8«. 

^Limburff"  Provinä'i^  hifdlnn^gt  ITefra- 

Limbnrff'i  Juarboock  I.     18$*i.    0». 

R.  Aecttdemin  dei  Ltfrr,  ,n  iinm: 
Ananario  1H95.    tfi. 
Atti.    8«ne  V.     Cla«iie  di  i»cit*nzc  morali.     Vol.  11,  fvirt«*  3.     Nosiiie 

dfgli  fwr\,  Sett-^Di«.  r  Indtco  W9-I.    Vol    III,  p.  2.    Iroanait)— 

Mann  1896.    4^. 
Itendioonti.    Clnt^  di  •d<*nx«  mnnilL   Seri«  V,    Vol.  ITI,  fa««,  10— IL 

Vol.  IV.  fa«c    1-8.     1891/96.    ft». 
Alli.  Snr.  V.  CIa<i«e  di  «cicase  baicbv.  Kcmlu-i^ti.  VoL.  llt.  BiwnMti«  2. 

fa«r-  9-12.     Vol.  JV.    äciu«iitre  l,  lu'c.  l-U.     Va»if%b^     4". 

Accatlewia  PoHtifiti't  de'  Nnoet  Limen  in  Romt 
Atii.     Abda  IS,  MW.  7.     Anna  47.  «r«.  4.     1894.    4". 


V4neidini«9  der  tingdauinuH  Drucksehrifltn, 


323 


K.  Comitato  fitfihfficä  d'Jt«tHa  in  Jittm: 
IßolktciDo.     Anno  1691.  No.  4.    idt«&.  No.  I.    8". 

'fieftd  nty!ii'i't)ojii/cficn  Institut  (rßm.  Aitth.'  in  Rom: 
HJlt  :i.     aind  IX.  No.  4-     ar.  8". 

JViKMf«n>  Hi  fufrirultura,  indttsina  e  eoniniercio  in  tiom: 
delle  ßibliotfcbe.    3  voll.     ISM.D^.    i". 
Office  certtralf  tnetfarolonico  r'n  H'fm: 
P&8Bsl3.     Vol.  XII.  partp  'i     1«90.     1895.     i" 

Societä  Jivmatut  di  ttoriei  patria  in  Unm: 
Aftbivio.     Vol.  XVIK  fkM.  S.  4.    1894.    8*. 

Acrndrmin  Afqli  A*fi(iti  in   TiOfcrelo: 

UtlL    Aaoo  Xir.     lÄ'Jl.    Serie  IlL    Vol.  I.  foic.  I.    I89B.    8". 
Amrn^,in  A*j»H'intioit  f»r  Ihe  ni-<tnceuiettt  of  9cienetM  tri  Sateot: 
Vtor^^Mtiftn,  heW  «t  Mndiiron,   Wisconsin.     Au^uiit  1B93,     l&H.    8*. 
yatHnri-*t»geheiftlieht  OeaeUachufl  in  8t.  GaÜen: 
iifrncut  I**ft2'9S.     1994.     8". 
[  Joachim  Vatinn  von  Kmil  Arbvnx.     Iä9&.     V*. 

Cttliforuin  AcndrtHif  of  SoeHce«  tu  San  fVartfürco: 
Tfo./'.'ilioftii.     IN  Srrie».     Vol.  IV.  part  1.     1894.    8*. 

ihrercatnHo  oätrotiöwico  tnettorot6^ico  in  San  Salftttor- 

■iuiiuniiO    li^ft.      fol. 

K.  K.  arvhüiiloffin-he«  Mtatettm  in  Spiäato: 
BuUrttino.    Anno  Ifi.  No.  1  -ß.     1895.    ö». 

Mttsfum  Irr  •9fiit 'iMiirti: 
[  A»r*b(rr«entB2  for  1693.     1894.     8". 

Grtellidtaft  für  Pinnmrr'sclir  iirmhu-lUe  in  Stettin: 

B*n-   and   Kanat^lfoliiiiüler   de^   RvK'BexirltN    Kö:i]ia.     Bud  U, 
HcA  1.     tdSt.    ffr.  6", 

cb«  ältidten.    Jahr»;.  2t.     18^4.    tf*. 
K.  \'trtfrh<tx,  lltAtorir  ixlt  AnlitiHitets-Al^ailetnie  i»  Stockholm: 

U*mUwna.r      Vv\  Sl.  3i      189B.     8". 
f  Aali^Mmk  Tid-knft    XIII,  1      XIV,  8.     XV.  2.     ]t^94/95.    ifi. 

S<Ateeifr«9  6/fei'ttich«  Bif'ltolUekfn  m  Stock/tolm: 
;  Aecyxton^Katulufr.     IX,  1804.     ISdh.     B'^. 

OvwW/lcAa/'l   tur  f'orilfrunff  dfr   Wisnenifhnftm   in  fitrnsftlmrff' 
[MoMtaWrichl,  b»nJ  2w,  fwc  8-!0,  !n'.>i.  Ban.i  29.  Hfft  1—5,  1905.  fP. 

Sacifte  de*  »citnctM  in  StrtiA/ihurff: 
FBal]«tlfl  raeonel     Tome  Hd,  Xo.  7.     1894.     S". 

if.  9fiifMf(4cV-«  lotMlf^'iine  In  Stuttgart: 
WQrt<rmli>^^i»rhäJiürrl>&cberntrSutit1iku.Lundrffkumle.  Jnbr:g  1894, 
litA  t-3      1B96.     4«. 


324  Verteichnisg  der  eingelaufenen  Dnteischriften. 

K.  öffentliche  Bibliothek  in  Stuttgart: 

Wirtera bergisches  Urkondenbucb.    Band  VF.    1894.    4". 
Hermann  Fischer,  Geographie  der  schwäbischen  Mundart^  Text  und 
Atlas.    Tübingen  1695.    fol. 

Württembergische  Kommission  für  Landesgeschichte  in  Stuttgart: 

Wörttembergiache   Vierte) jahreahefte    für   Landesgeschichte.     N.  F. 
Jahrg.  ni,  1894,    Heft  1-4.     1894/96.     8». 

Department  of  Mines  and  Ägriculture  in  Sydney: 

Palaeontobgy.    No.  8,  part  in.     1895.    4«. 

Records  of  the  Geological   Survey   of  New -South -Wales.     Vol.  IV, 
part  3.     1895.     49.^ 

Observatorio  astrnnömico  nacional  in  Tacitbaya: 

Boletin.    Tom.  I,  No.  20.  21.    Mexico  1895.    4^ 

Physikalisches  Observatorium  in  Ti/lts: 

Beobachtungen.    Jahrgang  1892.     1894.    fol. 

Deutsche  Gesellschaß  für  Natur-  und  Völkerkunde  Ostasient  tn  Tokio: 

Mittheilungen.    55.  Heft.     1895.     fol. 

Imperial  Universiiy  in  Tokv>: 
Calendar  1893/94.    8« 
The  Journal  of  the  College  of  Science.    Vol.  VII,  2—4.   1894/95.  4». 

Medicinische  Facultät  der  Universität  Tokio: 
Mittheilungen.     Band  U,  No.  2.     Bd.  IIl,  No.  1.     1894.     4°. 

Muirn  ciiico  di  sfona  naturale  in   Triest: 
Atti.     Vol.  IX.     18<t5.     8«. 

li.  Accndemia  delle  ttcienze  in    Turin: 
Atti.     Vol.  XXX,  disp.  1— 11.     189(/95.     8". 
Osservazioni  moteornlogiche  dell'  anno  1894.     1895.     8*. 

llitma}iistika  Vctetikaposamfund  in  Upsala: 
Skrifter.     Band  II.     1892—94.     8". 

Uiiirersitfit   Upsala: 
Bulletin  mensiiel  de  I'nbservatoire  mt^teorologique.  Vol.  26,  Ann^e  1894. 
1894/95.     fol. 

Ilintorisch  Genootschap  in  Utrecht: 

Bijdragen  en  Mfdedeelingen.     XV.  Deel.     s'Ciravenhage  1894.    8". 
Werken.     ?er.  Ill,  Deel  5.     »'Gravenhage  1891.    8". 

Pmviiicial  Utreclitsch  Genoatfchap  in  Utrecht: 
Aantfekenin^en   1894.     8**. 
Ver-Inj.'.     1394.     60. 

Ateveo  Veneio  in  Venedig: 
L'Ateneo  Venpfo.    Ser.  XVI,    Vol.  1.  2.    XVII,   Vol.  1.  3.    1892/93-    8». 


Vtruichrtin  lUr  eiiifjelaufiittfn  I>rucl»chrift€n. 


325 


lititttio  Vfnfto  di  KifMt.  ttttere  e  ttrti  in  Ventditj: 
Atti.     Tom.  50.  di«p.  1—10.   n.  2  Apptfmlioe*.     Tom.  51,   Nr.  1— 10. 

Tom.  52,  No.  1-S.     1891— W.    b". 
TetDt  tli  invmto  dal  19,  Matritio  1695.    S". 

Anonal  lUport  of  the  Coain  _         _         -lon  for  1891/93.    2  Voll. 

1894.     9f*. 

Burenu  nf  American  ^hutitoffv  in  WoMhington: 

XI  AnaoAl   Itrport   for    1809/90.     XII.   .\anuil   U«t>ort   for  1890/91. 

J894,     4». 
CoDtnbntion«  to  North   American    Ktboologv.     Vol.   IS.     1893.    4°. 
Ab  aociifnt  C|turrjr  ta  IndiaD  Terrilory.  by  W.  H.  Holme».    1894.   8". 
LUt  of  the  Pablimiions  of  tlie  Bur^äU  of  Ethnolof^y.     1894.    8«. 

i.V.  Ä  Dr}h%ritmrHt  of  AfiricuUurr  in  WnntUnfftini : 

IS«rth  Amcricun  F-voua.     Nö.  8.     IS96.    H". 
B  SmithMnittfi   Ingiitulinn  in    It't^ifi^oii  : 

K*^ — -^  Rrjmrt.  tj  S.  Nutionftl-Mmearo  1891.  1802.    ie9aAt8.   S". 
Kl  rf.     .Futy   H93.     1894.     80. 

Pd.  .. .Ui-.-.I-i-,...  CoII<^tion#.    No.  a'i4.  9G9.  970,    1894.   8*. 

iHftrr  of  «  Jourt>  Ji  Mot.ifolin   and  Ti^iet    in  IBOl    und  1693 

ly   W.ll,»ro  ^\  ■    Uockhill.     1894.     8". 

y.  S.  «Vorn/  Übxrrmtory  in  Wadiinifton : 
Ot-  -  raiidp  dnnntf  (»i^  ycar  1889.     1893.     4*. 

Th  '-  of  üip  füur  inii.^r  iil.iiu'U  ftwd  the  fundamentAl  cooi^taott 

üi    ARironomy  by   Simon   Newromb.      1696.     bfi. 

r.  S.  VtNUt  and  (irndftie  Sicrr^y  m   ICnaAinf/Zon : 

Annnnl  Rvioit  for  1892.     Pure  IT.     1894.    f^°. 
Balldlin.     No.  31 -S3.     1B94/96.    6^. 

Vttited  Stairs  Geotf>yicai  Stirtcif  in  WaMnt/ton: 
XII.  annok)  H^port  in  3  pArl«.     NHL  in  3  put«.     18»1fU2.     4**. 
Mcmotfrapbi,.     No    XIX.  XXI.  XXII      IbO».     4^ 
Min«i«i  H«^•ouI\M.     181>2.  lt>dä.     1894.    6^'. 
RalUtin.    No.  *7-U7.    1693/94.    8», 

ilarzrrrcin  für  Gcgchichte  in    JÜ'trttigerotlr : 
ZeiUt-lirin.    Jahrg    28,  HeA  1.     1895.    tfi. 

KaitfrUche  Alndcßiie  dtr   WifUfntchofteu  in    Fl'iVn: 

SiCaoaff«Wr>- bl«      Fbito-« -biwl.  CIukö.     Band  ISO.     1694.    tfi. 

M.ith, ,  .   ,  ./,,  wi-^enpch.  ClaBM.     lSy3/94.    Bf. 
AI. II.    i      i"::i.    No.  8-10.     1894.    No,  1—8. 
II.     I8lt3,    No.  8-lü.     1894.    No,  1-6. 


>  DiBhackrirUn. 
Aiehir  flir  A*4e 


IIb.  IH?18.    No.  8-10.     1894,    No.  1-8. 
III.     1H»3.    No.  8-10.     1694,    No.  1-4. 


rbtlo<i.bi>t    rifts^f».     Band  43. 


L'lAue.     Hnod  60.     1894.     4^ 
chtc  ElaodäO.a.  Band  81.1.  1894.  60. 


326  Verzeidittigs  der  eingelaufenen  Druekndtriften. 

K.  K.  geotogüche  ReichsaMstalt  in  Wien: 
Verhandlnn^n.     1894.    N'o.  10-18.     1895,    1-7.     4*. 
Jahrbach.     Jahrg.  1891.     Band  44,  Heft  2-4.     4<>. 

K.  K.  GradmessHugs-Bureau  in  Wien: 
Astronom i-^che  Arbeiten.    VI.  Band.    Längenbeatimmnngen.    1894.   4°. 

K.  K.  Gesellsehafi  der  Aertte  in  Wien: 
Wiener  klinische  Wochenschritt.  VIII.  Jahrg.  1896,  No.  1—26.  1895.  4". 
Ernat  Ludwig.  Schwefelbad  llidze  bei  Sarnjero  in  Bo-inien.    1895.    8*^. 

Anthropologische  Geseihehaft  in  Wien: 

Mittheilungen.     Band  24,  Heft  G.     Band  25,  Hea  1.     1894/95.     4". 

Geographische  Gesellsdiaft  in  Wien: 

Mittheilangen.     Band  37.     1894.     6^. 

Zooiogiseh-botanifche  Gesellschafi,  in   Wien: 

Verhandlungen.    Bnnd  44.  Jahrg.  1891,  III.  u.  IV.  Quartal.    Band  45, 
Jahrg.  1895,  Heft  1—5.     1895.     8". 

K.  K.  ReidiS'Kriegs-Mimsterium  „Marine-SecHon"  in  Wien: 

Relative  Schwerbeatimmungen  durch  Pesdelbeobachtungen.    1896.  8<*. 

K.  K.  naturhistorisches  Hofmuseum  in   Wien: 

Annalen.     Band  IX,  Xo.  3.  4.     Band  X,  No.  1.     1894/95.     4". 

Phij'tikaliitcli'medieinische  Gesellschaft  in  Wartburg: 

Verhandlungen.    X.  F.    Band  XXVIII,  Xo.  2—7.    Band  XXIS,  No.  I. 

1894/95.     8". 
Sitzung^^l.eriLhte.     1891.  No.  5-10.     1895,  No.  1.  2.     1894/95.     S**. 

Historischer  Verein  von    U nterfran'ken  iii  Würzhurg: 

Archiv.     Band  36  und  Ergiinzungsheft.     1693/94.     8*. 

Jahreaberlchl  für  lö92  ii    1893.     1393  u.  1894.     8^ 

Dr.  Th.  Henner,   Der  historisfclie  Verein  von  Unterfranken  in  seinem 

tWfjährigen   Wirken.     1893.     8^ 
An-icht    pon    Wiirzburg    im   Jahre    1648    au-»    Merian's   Topographift 

FranC'^niae   1650. 

Schtreizerische  Metenrohujische  Centralanstalt  in  Zürich: 
Anmileo    l.-(92.     Jahrg.   29.     1891.     4". 

Schireizeri^che  geoiojische  Commission  in  Zürich: 
Beitrage  zur  geologiäihen  Karte  der  Schweiz.  Lief.  33.  84.  1898/94.  4"*. 

Antiquarische  GesrUschnft  in  Zürich: 
Minheilun;?en.     Band  XXIII,  7.     XXIV.  1.     1895.     40. 
Xnt II r forschende  Gesellnchaft  in  Zürich: 
Viertel.iahr.->cliri[t.  -lahrg.  39,  Heft  3.  1.  Jahrg.  40,  Heft  1.    1894/95.  8". 

Urticersitiit  Zürich: 
Schrift..-n  der  Univeraitit  vom   1.  Mai  1891  bis  1   Mai  1895.    4"  n.  S". 


Verg>eitkm49  (ler  <iH9<JaufetuH  DrweiwMftm. 


327 


Ton  folffendan  Privatp«rBODen: 

Le  l^nct  Albert  /"  «fr  Monaco: 
9nr  le«  premitr«  campagne^  •cientiGqu««  de  ,Prinoe8W  Alice*.    Fuis 

ie%.    4«. 
$ar  la  demtit«^  er  l'alcalinit^   den  eaux   de  I'AtlantiqDe  par  M,  J.-T. 
Bucbonan.     P.iriii  lti95.     4^ 

J.  P.  AliUert  in  Fans: 
Note«  Fttr  BC  deconTert«fl  ei  ses  IrATAm.     18%.    4**. 

/V(t«cr«r>»  Bn'otchi  in  Hom: 
Relnia  müU  vil«  e  «ulle  o|>t>re  <)i  Arturo  Cftyley.    1695.    4". 

y.  fiutbOU  in  Kopenlifigen: 
T««fttr-Verarae.    169».    9" 

M.  F.  roucart  m  Athen: 
HccfaerchfiM  *ur  rorigine  et  1&  natare  des  mjaterpj  d'^Ietiai«.    Paris 

18M.    8<>. 
Arifltot«.  routiliitioD  d'Athines,   aote«  tur  la  lecoade  parti«.     Pari« 
18^.    8«. 

C.  Htmitpu»  Fffurniun  in  Wie.tbadfii ; 
Asleitnoy  xar  <)iiAli(atirirn  cbt?niifit  heo  AuAlv'4e.    16.  Auf).    1895.    6^. 

Itr.  Ocrli«<i  in  F.lanthnru  {Hdstein'^: 
(Itii  Aiuflug  nach  den  o»tboUt«uiMcbea  äeen.    Halle  1693.    S*. 

hmü  Htunfr  in  Ltindfiu  (PftiisJ: 
KntalDg  dei  ilildtisrhen  Museums   in  Landau   i.  d.  Pfalx.     1896.     B*>. 

Fnalnch  Htrih  in    Tsehutvi'Kmy  fi'htnitl: 
l>ie  Lüttder  de»  I^ilüin  nach  chinei-ii^L-beQ  Quellen.    1.    Luiden  lü&t.    &". 
Ue'^er  ilen  Svbrlttearerkehr  vod  Km»ur  t»  Murco  Polo'i  i^>it.    l*<fiden 

Da«  Rrich  MaUbar  Dsch  Chao-Ju-Kua.     Leiden  1696.    8°. 

}Vilh<lt»   Htf  in  Ltiyzig: 
Di«  aiuiLoiiuacb«  Nooieaclitur.     Sep  -Abdruck.     1895.    8°. 

Charle»  Jauft  in  Benncni»: 
6tndH  rar  Ica  focrnii.     Nota  IV,  V  et  VI   (mit   i  weiteren  geologi- 
'   tchn  Abhandlungen).     Paris  1604.     4°  □.  8°. 

Atf'f^  JAnjfMrn  in  Kojtrnhiufrn : 
Drr  UnpniDir  d«r  Weinbefen.     .feoa  1895.     8*>. 

Albert  wn  Köitdcr  im  SVürsiiur^: 
KnÜk  der  llypothcsun  über  aniOUiidc  Bcweguogcu  der  Neorodendran. 

IB85.  af. 

yicitltiot  Kritpi  in  Athen  i 
fUm  StMffia   irüv  A^xa^^M^:^p  aj*t9ftStr.      1895.      ä*>. 

Otto  Kunttt  t»   Frtftgnttu  '"■•    r*-"-'"-: 
OwHiliiitiirhii  Btfitrftge.     Li'ipiig  ld&&.     Bf^ 

Amffunt  Kun  tn  Aut/sbur'j 
Utt  BuuiMihiliiagr  lAu4icbi>)tt).     imu.    6^. 


32S  Ttneiekmitf  iler  tinp^awfemm  Dnutfdknftfn. 

Htmy  OlUrier  Le«  im  nSmMjiwi: 

FliDoKipUcsl  Su.    1896.    B*. 

Gabritl  Mimoi  im  Pmrit: 

R«T«f  bifioriqne.  XX.  AnBee.-  Tom«  57.  Nc«.  1.  3.  Toaae  56.  Xo.  1. 
PuM  ]89&    8*. 

EmU  Piäioppi  i«  Pomtraima: 

Kikwi  d«lf  itiomfl  n>a«i»t*cfak.    Faac  IT.    169&.    8*. 

JUiektJe  £^m  i»  MaäMui: 

S-aW  «aranioae  divnft  dellft  dccliauMB«  ma^Beüca  «  Mibao  18K.  8^. 

Diftrieit  Bfimfr.  ftvfr.  VfHaaiitamJImmfi  im  Bnlim: 

Zeinduifi  ffir  «frikuiiKb«  nnd  c>c«uü*cfae  S-pnAem.  Jalafr-  L  BcA  1  — 9l 

.iflwt  SttreS  im  Parit: 
"Sotiet  nr  11.  Futtel  de  &-«lug«s  pv  M.  Albert  Soni.     lOS.    4* 
Diaccv»  poBT  U  rw«ftMn  df  M.  Albert  Sorel.     18ML    4^ 

Artmro  Sfiria  y  Mata  im  Ma4nd: 
C*ngca  poliedxico  de  ^  «cpfedet.     IdM.    8*. 

Cualofpe  of  tbe  Sanskrit  BU]niMrif<u  in  tbe  I^ibnir  of  ihe  MtiV'y* 
of  JuEtED  uid  KAshmir.     BdmbkT  18M.     4**. 

Xodöe  elnitoloeicbe.     ld9S.    d**. 
1  dMOoin:  dei  reitiM.     l?i*^.     ?•. 

li  goM-re  Ar rt IwiöimiD  l>ct.:ni      IÄ»S.     S*". 

r^Sw  pt^xBäert  Beryt-'T'ftki.le.     lf^s^.    4'. 
tr.    T-fjH-a  in  .VrMi'ii'fl: 

5-torii  äe:  Lartti.     li^«.     ?^. 

Gauihtfr  Vülarf  rt  ^f  im  Parif 

BepfTtooY  'r-::>':iop;%7>t5<^Df  de»  »cinM^  loAtbeniMäqveft.  1  Söie. 
F.rbts  &  :Ciö.     13S4      ?••. 

'■b  Ib«'  Vr.ltpJc-  IVc<ii''rc>cixi^  of  tbf-  At^oe;:  Wei^t»  of  EltJuitataiT 
ScbstMirfH  :x  w-Utic-ii  u  ibf  cn::  of  Hvirftpfai.     lä».     J**, 

•  »t  ibe  F.vji«ipe  fcff»-.räpä  >t  B,-»5f >  Law  o:  i  7»rrmuteBt  OnttiactM 
of  ibe  RAäi:  V^  t ««.  rf  tb*  rUartm-x  Ort.i».     1896.     9". 


Sitzungsberichte 

der 

kOnigl.  bayer.  Akademie  der  WisBenachaften. 


Mathematiscb-physikaliBche  Glasse. 

Siteang  vom  3.  Norember  1896. 

1.  Herr  L.  Radleopkr  legt  eine  Monographie  der  Sapin- 
daceen  -  Gattung  Paollinia  vor.  Dieselbe  ist  fQr  die  Denk- 
achriften  bestimmt 

2.  Herr  K.  Goebsl  macht  eine  Blittheilang:  .Ueber 
die  Abhängigkeit  der  Blattformen  von  Campanula 
rotundifolia  Ton  der  Lichtintensität/ 

3.  Herr  Al7.  ParoasBKix  spricht:  «Ueber  Potenz- 
reiben auf  dem  Convergenzkreise  und  Fourier'sche 
Reihen.* 


Ifllk  MUk.-plir&  GL  a.  22 


331 


öeber  die  Abhängigkeit  der  Blattfonn  von  Cam- 
p&nula  rotundifolia  von  der  Lichtintensität, 

VoD  K.  (kiebel. 

fMvrftiVta  7.  yoNMawr-l 

In  ni(*inen  .Pflanzpnbiologwchen  Schilderangen'  (II.  Theil, 
H.  2d4,  1Hd;i)  tmite  irli  darauf  hingewiesen,  da«s  die  bekannte 
H«terophyIli«  von  Sa^ittarta  safriltifoHa  insofern«  von  der 
LtchtintonHität  heeinHn<wt  wt^rdp,  als  hei  5chwacheni  Lichte 
nur  dt«  bundluniii^eu  Uliitti^r  auflreten,  währmid  xiir  Hilthin^ 
'der  pfcilförmiffflo,  flb«»i'  den  Waasenspiegel  «ich  erhebenden, 
bnbert?  Licbtinten.sität  erforderh'ch  idt.  Weitere  Vertuche 
(mitgotbvill  in  Science  progress,  Vol.  I,  Nr.  2,  und  Flora, 
ÄO.  Bd.  (1895)  p.  9tl  ff.  befitÄti(TtPn  diwe  AntTawuriff. 

la  der  letxtgcnu unten  Zeitschnfb  bube  ich  auch  die 
i-r  erfolfften  Vernffentlirburt^fen  von  Klebs  und  Vrichtinj^ 
d«n  EinilasB  der  Lichiintunsität  auf  die  Organbilduug 
einigor  Kakt«en  besprochen.  Aus  den  dort  gleichfalls  er- 
nten Untersiiohunfren ,  die  einer  meiner  Schfiler  in 
nein  Laboratoriam  ausführte .  ergab  f^icb  ferner ,  daN§ 
■nch  h*»  dmii  Keim(ingitprotie«8e  einiger  Lebermoose  die  Oe- 
dUltung  der  Keitupflanxe  dnrob  die  Liehtintensitfit  Iwdingt 
ifl.  "  'Veittia  cnrnmutata  /..  B.  entsteht  bei  schwacher 
Bei-  ,4   nur   "in    fu(i»*nfiprmig4?r  Kcim?cblaucb,    der   l>ei 

[MUrIcer   Lichtin fcensität   sich  mr  Zellfläche  rerbreitert;    diem? 
Itann  bei  schwacher  Lichtintennität  wieder  Yeranlasst  werden, 
CaiBi«ebUucb  weiter  y.n  wochwo. 


332      Sütung  der  math.-ph^a.  L7oum  vom 

Da  die  Untersuchung  der  Althänj^gkeit  der  Orj^übH- 
dang  von  äusseren  Faktoren  von  ^rosäer  Bedeutunfi;  für  tuu 
kausales  Verständniss  der  so  verwickelten  vegetabiliiK^hpn  Op- 
staltungsprocesse  ist.  so  bube  ich  bei  den  höheren  PflaD^en 
nach  weiteren  Fallen  gebucht ,  in  denen  eine  eolcbp  Ab- 
böngigketi  t^ich  DHchwf*i<jen  Usst. 

Viele  Phaneroganieii  7^igen  die  Erscheinung  der  Heb 
phyllie,  d.  h.  sie  bringen  ira  Veriftufe  ihrer  Entwickel 
verschieden  gestaltete  ßluiter  hervor.  Dokü  dieAe  Het 
phyllie  uicbt  eine  erblich  lixirte,  sondern  eint;  durch  innere 
oder  äueaere  KintiOäse  bedingte  ist,  konnte  ich,  auch  abge- 
sehen Ton  dem  oben  angefnhrten  Falle  von  Stgittaria,  frflher 
in  einigen  anderen  B4;l^pieIeIl  nachweisen. 

Die  KeinipflauM  von  Vicia  Faba  z.  B.  bringt  xunftoti 
»ebr    einfach    gestaltete,    sogeniumte    Primärblütter    he 
M.'hufipen artige  Gebilde,  die  sich  von  den  später  aufti^b 
LaubbltttLern  beträchtlich  unbencheiden.     Es  zeigte  sich, 
dieselben  Henimungübllilungeu  von  LaubhlütLern  sind,  i 
XU  Stande  kommen  durch  CorrelatiooiieiBcluünijngen.M 
kann    demgemä»!  die  Hildung   dieser  tctinppentormigen 
niärblätter  unterdrücken  und  die  Fflance  n5tbigta,  «t«tt 
Lftubblitter,  oder  ^wiäcbenbildungen  Kwincben  dieeen  und 
Primirblftttem  hervontubriiigen. 

Ein  anderes  Ikispi^d  liofert  eine  ueiiseeländiach«  ' 
Art  (V.  cupreäsuides).     L>iesetbf  gleicht,    wie  der 
bttogt,    dnrch    ihre   üchupponfurmii^on,    der  Sproisofc 
anliegenden  Hliitt«r  einer  Ctiprexäinve.    Diu  Verringerung 
Blattgrösse  ist  hier  eine  Anpassung  an  trockenes  Klim». 
Keimpännxen    dagegen    besitzen  rAinich«t  Hache, 
deneu  anderer  Veronica- Arten  gleicht^ude  Blatter,    fck  ; 
die  Ptlanzen  durch  Kultur  in  feucbtvni  Knuiue  zur  A«nd« 
ibrvr  Blaitform  eu  bringen  (Pil.-bioL  Schilderungtm  I,  S.{ 


>)  Tffl.  CTebcr  ili«  JagOMbafltad*  der  E'Oaat«».  Plar»  IS&lt.1 


K.  Oeebd:  Dir  AbhOnffifikeit  tler  Waltform  etc. 


393 


'begflBRtigt  jeder  Änwwre  Faktor,  welihcr  mn  r|en 
[  LlitwDsbe^linirutigen  der  Pflnn/«  aliw&icht,  die  Klick- 
fktthr  mr  Jngendblattfnnn.  Eine  solche  Rückkehr,  also  einen 
Rnck>ch!aj»  äu  enr.ielen,  Rflnng  Buch  hfi  Heteranthera  reni- 
fonnie.  Ks  ist  dies  eine  monokotyle  Sumpfpflanze,  welche 
mit  laiiggestielten,  nierenfönnigen  Blättern  versehea  ist.  Die 
KrinipHanzen  «her  bringen,  wie  die  vmi  Sagitturia,  Kunöchfit 
OpL  ■     t:^.  handfiimiigö  BlHt+«r  hervor. 

i'ilan'Afn,    weicht?  «chon  nierHnfÖrmige  Blätter  her- 
TOTyebnicht  hatten,  wnrden  in  Sand  bei  schwacher  Beleuch- 
tung kultirirt.     Bei  einigen  derselben,  die  schwach  wuchsen, 
f^cUng  e?,  nie  zur  Hfickkehr    zur  Bildung  der  bandfijrniigen 
Priniärblätter   au    nfithigen.     Dies  kommt  in  der  Natur,  so- 
w»it  bis  jetxt  Beobachtungen  vorliegen,  nie  Tor.    Wohl  aber 
habe   ieh    Ivei   einer   anderen  Pontederiacee,   bei    Eichhomia 
'i     acnrea,    einen     derartigen,    an    Seitensprossen    auftretenden 
B  K6ck»chlag    frQher    constatiren    können    (Schilderungen    II, 
H  S.  2t*8>.     Ob    die    verminderte    Lirhtint<»nsitat    bei  Heteran- 
^U^ni  reniformis  die  lTn>iiche  de^  UUckitchlags  war,  mus  ich 
^BPHngestetlt   nein    lassen,    da   da»  Material    ein    ym  dürftiges 
war,  tind  wie  oben  erwähnt,    ulle  die  Vegetation   nngQnstig 
bceioflinBendeD    Faktorpn    Aas    Anftretetn    Ton    Rflckscblaga- 

IbUdBttg«»  begOmitigen. 
Ganz  klar  nnd  unzweideutig  aber  waren  die  Ergeboiase 
bet  «iner  dikotyten  Pflanze,  der  Campantila  rotundifulia. 
Kamen    wir   einen    1itQliendf>n    Spross    der8elb«*n    in   divt 
Aog»»  »  «eigt    denwll)r  di«  Kracheinnng  der  Het^ropbyllie 
daHn,  daw  er   beginnt   mit    der   BUdang   gestielter  Blätter 
I      nnit  nii  "    '       f"  "       -ite,  die  vom  Stiele  deutlich  abgesetzt 

tüL     L'  '<'^n   an    der  Basis,   sie   gehen   oft  so 

svitig  KU  Grnnde,  daM  si«  snr  Zeit  der  Blßthenentfaltung 
nieht  mehr  nacliwi'isbar  sind.  Nach  oben  hin  folgen  auf 
diea«  Bl&tt#r  triebe  ron  ganz  anderer  Gestalt ,  sie  sind 
iaowktliefa,   ohne   Differenz    von   Stiel   und   Spreite.     Meist 


SU 


£•3 


n  te  Kl 


w  4» 


£■1- 


Hkk^iMi    trigim    aüh     Fol- 


■■  Tir  nihAnii   fort,  «tickt  sa 
mcfct  «or  Bafaag  4er  Ua^bmmr,       . 
■Mfciii  «ord^ft.  ^kaam  «ir  <6a»  frftiMr  b«  S^pUftm  «ic»    ■ 
«bik  «m4m  kmte.  «f  4m  <*!  il         4v  Ji^iwiyiH 
ira  (im  4pr  Prw^fhtttor)  mrilftiphilfrf     Wories  4er- 
flrtäfft  PAmomi  4tnkt  aa  4a*  FanMtr  girtiUi.  ao  «atvicifitaa 
öa  aacfa  aoM«  Moaaft  laLagUitter  ra«  fpsz  ■a4mg  Pona 
aa4  BUUbca. 

2.  Hab«a  4w   faai  nwwn4wftoia  Lkhtartritt 
Pftamea  aa  ifarcm  fiade  «choa  cioc  WfllWnkawpe  ■njjilinl. 
ao  M  6maäi  4aa  VlaA/Aum  ^  Ml«iäa4ea  SpraaH  BAtflr- 
ikh   abgatchlnawa.     Abar  ab  tMttaavjpnaae  aatvicJcln  ^k 
datto  riflibeh  Trieb«,  «eleba  RuadhCUiat  tf^ao. 

3.  äproan,  w«4ek<>  xwv  «r^oo  LugfaläUar,  abar  bäae 
UlUlienkaAsiiao  aagelcKt  bab'j).  kteoeB  bei  geaundartar 
Iiichtüitanirtil  tfunUaii  ««rdeo.  a«  ilar  ^tsa  wi«4«r  Kaad- 
bttttar  «1  UMaa.  DaaiU  iA  die  normala  Btatftfolg«  darvb 
die  KokurbediagaigM  voUfttodig  na^pokclut. 

Die  AhbSnftigkaU  6m  AaftrataM  dar  baideo,  ao  aefar 
▼anrhiadeDea  BUufonuen  mo  der  Liditinl«ti«iUl  äi  damit 
hinmebeod  bewi«MD :  <He  Boadbttttar  fanten  bai  achwaidier» 


K.  QoeiKi:  DU  Abhänjfiykeü  der  Blatt  form  eU. 


335 


A\e  Langblfitt«r  bei  stärkerer  Beleucbtang  auf.  Erstere  tjind 
auch  für  tStandorte  von  geminderter  Lichtinteiisität,  wie  sie 
dit)  Keimpflanze  2.  B.  an  einem  von  andern  Pflanzen  be- 
aebBtteten  Standort  voHindet,  be^unders  geei>;uet,  denn  sie 
besitaen  in  ihrem,  seine  Wacbsthumstabigkeit  lange  betbe- 
haltenden Blattstiele  ein  Organ,  das  geeignet  ist,  die  Blatt- 
spreite in  die  gfinst-ige  Lichtlage  7,a  bringen.  Bei  den  ohne- 
hin dnrch  die  Verlängerung  der  Sprossreste  über  die  Ura- 
f^bung  emporgehobenen  Langblättem  ist  eine  solche  Ein- 
richtung übörflQseig,  während  die  Schmalheit  der  Blatt- 
spenite  sie  gegen  schädigende  KinflQsse  von  Wind,  Hegen  etc. 
widerstandsfähiger  macht. 

Die  Frage,  ob  die  Bildung  der  Rundblätter  bei  einer 
Keimpflanze  unterdrückt  w(;rden  kötme  (wobei  dieselbe  also 
sofort  Langblätter  hervorbringen  wtlrde),  wenn  die  Keim- 
pflanze von  Anfang  an  starker  Beleuchtung  ausgesetzt  wird, 
wurde  in  verneinendem  Sinne  entEH;hieden.  Trotz  Anwendung 
einer  sehr  starken  Licht^juolie  (zweier  Bogenlampen  zu  je 
2000  Normftlkerzeu  Lichtatärke)  bildeten  die  Keimpflanzen 
zunächst  auch  Rundblätter.  Dabei  ist  hervorzaheben,  dass 
es  sich  nicht  etwa  nur  \\m  Entfaltung  von  im  Samen  schon 
vorhandenen  Anlagen  von  Kundblättern  handelte.  Dieselben 
wurden  vielmehr,  wie  die  entwicklungsgeschichtliche  Unter- 
snohong  lehrte,  thateächlicb  bei  der  Keimung  neu  gebildet. 
Dieses  erste  Auftreten  ist  also  erblich  fixirt. 

Ueber  die  FurtsetKuug  dieser  Untersuchungen  hoffe  ich 
später  berichten  zu  können. 


587 


üeber  Potenzreihen  auf  dem  Co&vergexizki*ei8e 
und  Fourier'sche  Reihen. 


Ton  Alfred  rrtogflielm. 


En  wi  2^  A^  X*'  eine  Potenxrcibe   mit  dem  Cunvergenzr 
r«dzua  jx    ^=1.     Seiet  iubii  alsclium  /.uiiacht^t  für  ixKl; 


m 


Z-A,2f  ^  fix). 


«o  ma^  fix)  fl)T  die  Stellen  x  =i  c**  diw  CimTer^eiiwkrt'isM 
im  all^emWDeu  durch  niimitttilbare  analytische  Fortst^tzuog 
und  för  etwuige  singulare  Stellen  e^'  uU  lim  /"(«**)  definirt 

»ein,  Ikzw.  da,  wo  dieser  GreDXwerth  nicht  exiatirt,  aU  un- 
definirt  gclton. 

CoQVflrgirt  nuD  die  Iteihe  ^A^s^  fQr  jc=:e^  noch 
durchweg  oder  wenigstens  im  allgenieinen  (das  soll  hier 
und  im  folgenden  xLetü  bedeuten:  iiiit  eventuellem  Ausschluss 
eia«r  endlichen  Anzahl  von  Stellen),  so  ist  fflr  alle  Con- 
vergniMtelleo  aacH  eineTo  bekannten  AbeTachen  Satze: 


n) 


f(^  =  S'A.f'^^ 


Zj*"  Ar  \CUö  y  i^  -j-  l  •  Hin  V  (*  (. 
0 


338      Silsung  der  maXh.-phys.  Clasie  oom  3.  Nooember  1895. 

Andererseits  ist  f{e^^  in  Folf^e  der  gemachten  Voraus- 
setzungen mit  Ausschluss  einer  endlichen  Anzahl  Ton  Stellen 
1?'  eine  nicht  nur  stetige,  sondern  unheschrankt  differenzir- 
bare  Function  der  reellen  Veränderlichen  &.  Unter  Hin- 
zufOgung  der  weiteren  Annahme,  dass  jene  singnlären 

Stellen  &'  die  Integrabilität  von  /"(c**)  nicht  atteriren 
sollen,  muss  sich  daher  /(c*')  in  eine  Fourier'sche  Reihe 
entwickeln  lassen : 

(3)  /■(«*')  =  ^^"!f/'(^Orf^ 

Alsdann  folgt  aber  aus  einem  bekannten  Satze,  dass  die 
Coefficienten  dieser  Entwickelang  keine  anderen  sein  kOnnen, 
als  die  oben  mit  A^  bezeichneten.  Mit  anderen  Worten: 
Allemal  wenn  die  Potenereihe  ^Ä^x'  =  f(x)  för 
X  =  e**  im  allgemeinen  convergirt  und  /"(c**)  als  »n- 
tegrahle  Function  von  &  definirt,  so  ist  sie  iden- 
tisch mit  der  Fourier' sehen  Reihe  für  f{e^*). 

Von  den  drei  Voraussetzungen,  unter  welchen  dieses 
Resultat  hier  ausgesprochen  wurde,  nämlich : 

1)  der  endlichen   Anzahl    der   singnlären    Stellen    von 

2)  der  durchgängigen  Integrabilität  von  /"(c    ), 

3)  der  Convergenz  von  Zj  a^  c    ',   — 

lässt  sich  die  erste  ohne  weiteres  beseitigen,  wie  die  Unter- 
suchungen von  Du  Üois  Reyraond  über  die  DarstelJbarkeit 
einer  beliebigen  trigonometrischen  Reihe  als  Fourier'sche 
Reihe  lehren,^)   sofern   nur  die  Voraussetzungen  2)  und  3) 

')  pBeweiK,  daii  die  Coefficienten  der  trigonometri- 
■  chen  Reihe  etc."  Abb.  der  Bayer.  Akademie,  ßd.  XII  (1676).  Vgl. 
inabeaondere  p.  48. 


A.  i*rift0sh«im:  Uelfar  rtttcntrgihen  iiit/*  dem  dnuergejukrtise.  380 


1 


bleib«u.     Da  indessen   die  betiouderen   Bigenibfim- 

1  :i,    von   welchen  hier  gebpnxjlien  werden  soll,   M:hon 

bei  t'uncti<t;ien  mit  einer  eniUichen  Anzahl  von  Singolnri- 

it«o  zum  Viinfchein    kommen,    ao  null  im  folgenden  immer 

ur  vuii  «ülcheu  die  Hede  sein. 

Auch  die  zweite  VomuAseUung  kann  man  bis  xu  einem 
wi<!Ten  Grade  fallen  la^en.  Wie  nämlich  itiemann  ge- 
i^t  htit/)  Kchlie»(t  duri  AuFtreLen  gewisser  rnendÜchkeits- 
lltrn,  nt'lchedie  Integrubilitikt  von  f{e^^)  aufheben,  den- 
noch die  Darstellbarkeit  durch  eine  trigonometrische 
ihe  nicht  aus.  Es  sind  das  solche  Stellen  &',  fHr  welche 
(e*0  ohne  Maxima  und  Minima  von  niederer  Ordnung  aU 
dw  erRten  unendlich  wird  (NB.  wenn  nw\i  nicht  von  hin- 
iSnglich  niedrigerer  Ordnung,  um  die  Integrahilität  von 
/■(*•*•)  ÄU  »ii;hern)  und  för  welch.»  /-(^f'*"^*'')  -f  /"(c**'"*^)  in- 
tegrahfl  ist.  Freilich  werden  in  diesem  Falle  die  Integrale, 
olcho  die  Coeflicienton  in  der  Fourier'scheu  Form  darzu- 
stellen liättt^n,  in  dem  gemeinhin  tibllchen  Sinne  divergent. 
3w»  brhnltett  jedoch  ihre  richtige  Bedeutung,  wenn  man 
ihre  Hanptwerthe  im  CauchyWhon  Sinne  nimmt,  d.  h. 
wetLD  man  setxt: 


}r(''>> 


rlO    = 


P 


Und    mit  Hinrjifügting    die.ser   MtMJification    bleibt,    wie 
'■         !:  Miui  gezeigt  hat»*)  die  Eindeutigkeit  der 

L  :    I      timmiing.  abw  die  Identität  Kwi^^chen  tri- 

fifOooiDotrtsohvr  beviehungs weifte  Potenz- Reibe  einereeitii 
nud  Fourier*6cher  Keihe  andererseits  bestehen.  Ich  möchte 
.1, — .,*....    I^^then  aU   uueigentliche  Fourier'scbe  Keilien 


*}  «Uetter  die   Üaritülltittrkeit   finor   Kanclioa   durch 
Bio«  trigunotncUitvhe  lUihfl*.  Art  13.  (Om.  Werke,  p.  244,  a4&J 
>)  a.  a.  O.  Are  M,  p.  ST  C 


340      tiiUnnt;  der  math.-phjfs.  Ctavtt  «oM  9,  Jfontmber  ltf9t. 

bezeichnen  und  benatse  diese  Gelegenheit,  um  ein  einfAcheü 
liei»<piol  einer  solchen  Kcihe  mitzutheilen  (s.  g  5  dicRp«  Aaf- 
satzes),  bei  welcher  die  ConverKenz  durch  giinx  elementare 
Rechnung  direel  erwiesen  werden  kann,  wRhrend  die  Diver- 
genz der  Oocfticienten  iti  der  Fourier'schen  Integnilform 
ohne  weiterem  aus  der  Form  der  zu  entwickelnden  Pnnctioo 
hervorgeht. 

lui  nhrigen  bleibt  hier  noch  die  Frage  ofiPen,  nb  die 
dnrch  die  conTergente  Reihe  i-i  Ayt^  darg^tellte  Func- 
tion f{«r*)  nicht  auch  solche  Singulariläton  besitKen  küntite. 
wfdche,  ohne  zu  der  eben  betracliteten  Kategorie  zu  gehSrcn, 
die  Integrabilitüt  von  f{e^*)  aufheben  und  damit  die  Oar- 
»Mlbarkeit  der  Rfiheii-Coefficienten  in  der  Fourier''*chea  ' 
Knrm  unmöglich  machen  würden?  Ob  dieser  Fall  in  Wirk-' 
lichkeit  eintreten  kann,  niusä  vorläufig  dahingestellt  bleiben: 
das  Gegentheil  ittt  wenigsteiu,  so  viel  ich  weiss,  bisher  nicht 
bevrioaen  worden.  — 

Wan  nnn  endlich  jene  dritte  —  die  Convergenz  vodj 

£  ^r  e*^  verlangende  —  Voraussetzung   betrifft,  m   dQr 
mau  vielfach  der  Ansiebt  ttegegnun,  doss  muu  divswibe  ohne 
weiter»)  fallen  lassen  könne,  sobald  nur  die  Entwickel  barkeit 
von  f{e^)   in   eine   convergente    Fourier'whe    Reihe   fes^i 
steht,  und  dai»  man  geradezu  aus  der  Existenz  dieser  lebir-^ 

tcren  auf  die  Convergenz  von  ^Ä^e^  (und  damit  «o 
ipfin  auf  die  tdentit&t  der  hetrefTenden  beiden  TIeihen):J 
echlieMten  dOrjV.  Ho  «tagt  z.  B.  Herr  Darboux  in  N<riQ«mJ 
«If^mnire  nur  rapproximution  des  fonctiontt  de  tr«8- 
granda  Dombres  etc."  ganz  ausdrücklich'):  »Nou«  royona 
qne^  ti  f{*),  conaid^r^e  commc  foncbion  de  Targo* 
ment  w  de  a  sar    le   cerclr*    de   convergence,    eutt   d<- 


^J  Jounal  ü«  MntbAm.    8<^»-  S4m,  T.  IV,  p.  IS. 


A.  Primgiheim:  Vihtr  I'nUnireihiH  auf'  df.m  Crmrer^ouifcpfte.  341 

reloppftble  en  serie  tri^onometriquef^)  la  aerie  qui 
l^reloppe  f{x)  suirant  les  pui»»ance:4  de  «  ijemeurera 
iBCure  cuDVergente  »ur  lecurcle  liiuite.*  Dieeer  Au-s- 
s|iru<^h  Ktummt  zwar  «clton  aus  dem  Jabre  1878,  d.  b.  in- 
deoiea  imiu«rUin  aus  einer  Zeit,  iu  welcher  die  iu  deu  Äi^ 
beit«n  dor  Herren  Christuff«!*).  Pr^ui")  um)  Schwarx*) 
(IH71/72J  zu  Tage  tretende  «^.Imrfere  Prüfurifc  der  (irund- 
Iak^ii  den  a4)g.  Dirichlel'achen  Priiicipef)  bereits  ge- 
fp-Onilete  ßeiJenkeii  K^geti  <lie  StichhaltiKl^eit  der  ohiKcii  Be- 
bauptung  bervorrufun  komite.  Im  nbri^eii  t^lutibe  ich,  daus 
uQcb  beut«  nocb  Tiele  Mathematiker  jene  Darbtiux'ache 
Aicfat   theileo    und    die  Frage   nach  der  Oonvert^enr.  einer 

i>t«nisrcihe  auf  dem  Cotiver^enzkreine  »cbtechtbiD  mit  der- 
jenif^rn  nach  der  Entwickelbarkeit  der  betretleiiden  Uaud" 
function  iu  eliie  Fouri«r'»ofae  (leihe  ideiitiHcireu.  ßin<^ 
(reogere  Behandlung   die^^er  Krage    iH  mir  nur  in  den  Ar- 

Uteo  des  Herrn  Thutue  Über  Uiiearu  DitferentittlgUicbunKeii^^ 
und  einer  daran  ankuHpfenden  Abhandlung  •lieber  Con- 
vergenit  und  DivcrgeuK  etuer  PotenKreibe  auf  dem 
Cc/nTergenzkreiHe**)  begegueL  Hier  wird  vor  allem  be- 
wieoen,  dass  unter  den  nber  die  Natur  der  »tingulÜron  Stellen 

M  tÜpmnter  iit  immer,  wie  aua  dum  giiawn  /aiammeahange 
tiBiweid«utSft  bvTTorg<>ht.  eine  FonrierVche  Keih«  lu  rentehea. 

*)  Uebttrütelnteitrutton  Tonxwei  {iftrtiellen  Differen> 
tialgleichungen.     Unit  Nachr.    IH71,  p.  4S&. 

*)  Zur    Integratioa     der    Differential-Oleiahung        -^ 

+  ?*  ^  «  0.  —  Jonm.  f.  Math.     Bd.  78.  p.  860. 

*)  Zar  Integration   der  parliellea   Differentialglel- 

«bttn«  |v  "^  |~i  =  **■  -  Jo"»«-  '■  M*"^-    ^*^  ''*'  P-2^®- 

*l  Znr  Thijorie  der  linearen  l'ifferentialgleichongen 

—  Joam.  t  Math.    Bd.  t)l,  p.  itU-i  ff.     i.  be«ondeni  Art.  4.  9.  10.  — . 

D«tfl.  Bd.  95,  p.  U  ff.    «.  Art.  8. 

'»  Joum.  r.  Math     &).  10<),  p.  1«7. 


342      Silivng  der  malh-ithipi.  CltUM  pom  3.  TiftottmUtr  tf&6. 

gemaoht«n  Voraus«elzuii)i(en  die  OoefHoienten  der  Poten«- 
reilie  wirklich  identisch  Rind  uiit  den  Foiirier'sclien  Knt- 
wickelunga-roeffirienten  der  Kntiiifimotion,  und  sodann  tirri 
anä  der  ConvergetiK  dieser  Fourier'ticbBn  (leihe  auf  die- 
jenige der  (ntif  dt^m  Ootivergenzkreise  mit  ihr  identiticheo) 
Putonzrcihe  geschlossen.  Ohschon  nun  aus  dieser  Art  d<r 
BttweisRlhrnng  die  M>?inung  des  Verfassers  deolh'ch  hrrTor- 
gebt,  daas  es  Fälle  gehen  konnte,  in  Jenen  die  fra^lictie 
f^chlufflweise  nicht  zutrifR',  so  ist  ea  doch  weder  hier,  niKh 
aocb,  80  riel  ich  weiss,  in  anderen  Arbeiten,  deren  Gegt^n- 
stand  dies  nahe  gelegt  hätte,*)  direct  ansgesproclien  worden, 
daas  ea  derartige  Fälle  —  und  :cwar  tfolche  vtin  verhaltni»- 
m&ssig  einfacher  Natur  —  wirklich  Huch  giebi.  K'h  will 
nnn  in  diesem  Anfsntze  zeigen: 

Ka  giebt  tbatsächlioh  Potpnzreiben,  welche  anf 
ihrem  Convergenzkreise  divergiren,  obvchon  die  lu- 
gehörige  Randfanction  in  eine  convergenfce  i^f^vnVr*- 
sobe  Ueihe  entwickelt  werden  kann. 

In  den  folgenden  l>eiden  Fara^phen  theite  ich  znnilchfl 
die  allgemeinen  üeherlegungen  mit,  welche  mich  mr  Coa 
Rtmetion  derartiger  Fttnctionen  gefQbrt  haben  nnd  die  m>- 
dann  tu  H  \  /nr  Bildung  befttimmter  Beittpiele  bendtzt  Wfl 
den  sollen. 


§2. 
&  seien  die  beiden  Reihen: 


(I) 


y;(Ö)  =  ZJ*"  {ür  iic»  r  0 -\- K  wn  r  0) 
V(#)  ■=  &(-  t^ CO»  r  Ä -t-  a, «n  r  #) 


'  <J  z.U.  Bar&a«k,  Abwendon«  der  Fnarisr*«eb«a  BtUe 
aaf  die  Tb«ori«  der  Fonctioncn  einer  uompUxev  VerA«- 
derltchen-  —  Math.  Abo.     Bi).  31,  p.  800. 


A,  PfinfjAfim:  lTfh*r  Valentreiheri  anf  4em  CtmverffeHtkreine.  ^^43 

fQt  0^^^2.i  durchweg  oder  weui^iiins  im  allgemeinen 
conTerß*>nt:  ()nl»ei  Mullcn  diß  CovfHcionten  a^^  b  reelle  Gröasen 
von  der  Be^cbalfenbeit  äein.  dütüH  für  f  ^  co  dex  (irenz- 
w«rtb    bc2w.    die    obere    Uiibe»tHumtbeUägreiiir.e    von 

niindefftinui  einer  der  beiden  OrftsBcn  |  fl,  |  *",  \K\^  ^®"  Wertl» 
I  hat,  wÄhr*»nd  der  enbtprechende  Wcrth  für  die  andere 
■li»ter  QröiMeii  «uch  <  1  sein  darf.     Seb.fc  man  sodann : 


(2) 


£'•(«.-*-*,»)•«-*'  =  /i(*)i 


■o  conrerKirt  dieae  Reihe  für    \x'   >t.  sie  diverfrirt  för 
JB  <t,  während  sie  fOr  |di;|^l   Qhergelit  in: 

(3)        /;  {r*'>  =  £;»-  la,  +  h^i){co»  r^  —  i-mn  v  V>) 

0 

.twi  in  Fntge  der  gemachten  VoransBetznng  anf  dem  Con- 
Tsr^07.krei»e  niK'h  dunihwef^  od«r  im  allgemeinen  oon- 
Tergirt, 

Anf:;eDomroea  nun.  f^  {x)  lasse  sich  Ober  das  gesammte 
Innere  des  Kinbeite- Kreises  als  eindeutige  analytunhe 
Funclinü  ohne  aingulüre  Stellen  fnrtjietzen,  ho  niusa  eine 
flir  /  «I  <  1  conrergirende  Potenzreihe  existiren,  deren  Suinm^ 
/",  (*)  iirt,  aUo  ■ 


Ef  iitt  nun  leicht  zu  enehen,  daaa  diese  PoteDzreihe  auf 
dem  Kioheit«lcrei«e  nicht  convergiren  kann.  Denn  wäre 
die»  der  Kall,  m  hKtte  man : 


(r*l 


/j(r«0  =  £*">*^(co5»'i9-|-i-»in  vtf) 


uud  die  Verglrictmng  mit  (8)  wDrde  ergebon,  dass  gle.ichÄeitig: 


344       SUxung  der  mathrphtfa.  Cliusc  vom  3,  AToMmf'Cr  199S. 

A^  =  Oy  +  by  i     und     J,  =  —  (a^  +  K  *) 

sein  mOBste.  whb  uiiniflgiich  Ut. 

Mail  hätl«  also  auf  diese  Weise  in  der  That  eine  PoteUK- 
reihe  f  (x)  ^ '^  A^.  x"  gewüiineii,  welche  die  oIwd  verlangte 
EigeTwchafl:  hat ,  auf  dem  BinbtMtKlc reifte  £u  d  i  r e rg i  reu , 
obschon  da^^olbät  eine  conTergcnte  trigonomotriache  Reihe 
für  /|  (c*')  vorbanden  bt. 

Diese  letztere  besitzt  hier  in  gewn«er  Bexiebnnf^  noch 
einen  ganr  speciellen  Charakter:  ne  bildet  nämlich  die 
Grenze  der  Entwickdung  von  /",(»)  nach  negativen  Po- 
ienxen  von  X.  Man  erkennt  indesBtiii,  dusi  diese  Kigetiächnfl 
durchaus  unwesentlich  und  tu  Wahrbeil  auch  leicht  sui 
beseitigen  ist.  Bezeichnet  man  nilmlit-h  mit  f^x-=^  B^  3^ 
eine  l'otenzreihe ,  deren  Convergenzrudius  f^l  ist«  und 
die  im  Falle  ^  ^  1  auf  dem  Elnbeitskreiae  noch  durchweg 
oder  im  allgemeinen  conrergirt,  fo  wird  offenbar  die  Keihe: 

(6)  f(x)  =  f\ix)-i-f,{x)  «  h{A,.±B,)-iif 

n 

för  x  =  tf*'  gerade  »o  divergiren,  wie  die  Reihe  /",(*), 
während 

(7)  /  (r*')  -  t^  {  (o..  +  h,  i) .  ff-*  +  B,  .  e^*  } 

0 

wirdf  und  dieae  convergirende  trigonometrische  Reihe  jetxt 
nicht  mehr  die  (irenxe  di-r  Kntwickelung  von  f{x)  nach 
negativen,  und  im  Fülle  ^^1  auch  nicht  diejenige  der 
£ntwickelung  von  f(x)  nach  positiven  und  negativen 
Potenzen  von  x  bildet.  Man  erzielt  die»  z.  R  am  einfarhsten, 
wenn  man  speciell  «etxt: 

(8)  f,(x)  =  t^{ay~f>^i)-x*- 
also: 

(9)  /,  te*')  =  £»•  (fl^  —  6, 1)  (cos  K  ö  +  i .  Min  v  0) 

0 


J.   fVinffttm»  t  Utber  PiaeMreth«H  anf  dem  C&ntergtHMkreiM.  345 

in  welchem  F»!!»*  dann  fix)*^  f\{x)±  f^{x)  auf  dem  Ein- 
rheitakrei«  durch  die  trijfonometriische  Reihe  2<p{&)  btww. 
[2t-v'l^)  darguliellt  wird. 

Durch    die  Tontcbende  Betrachtung   iid   die  Möglick- 
|.k«ii,   Reiheo   d«r   gedachten  Art  xu  construiren,  «nnewn« 
[sohald  es  geling,  Keihen  nach  lu'^ativen  Potenzen  von  sp, 
wie  die  oben  mit  f^  {x)  bezeichnete,   boreuHtellen,  welche  uaf 
dem  Einheitdkreise  convergiren  und  iu  das  Innere  aU 
eindeutige,  dnrchweg  regni&re    Functionen   von  x  fori- 
|f{6eetxt    werden    können.     Um    dies  zu  erreichen,    wird    [oan 
^natQrlich  niinÄchat  nicht  wie  oben  von  irgend  einer  bestimmten 
1  AnDabme    beKÜglicb    der   C o e  f f i  c  i  e n  t e n    a^ ,    6,   ausgehen 
kOnnen,  aonderu  viehnehr  ?or  einer  Fegtätellung  der  Singu- 
laritäten,   welche    für  /",(«)  auf  dem  Kiuheit^kreise  erfor- 
derlich   und    zulassig   erscheinen.      Man    erkennt   über   ohne 
weiteres,  daas   hierbei  auseerwesenilicb  singulare  Stel- 
len, Mifiie  algebraische  und  lo^arithmiitche  Verzweigungs- 
punkte  jedenfalU    Ti>n  vornherein    auiczUbchUe^t^eu    sind,    da 
die   ersteren   die  Divergenz   von  S  (f,, -f- Ä^  i)  •  tf'"'*'  nach 
I «ich   r-iehen,   die    letzteren    die  eindeutige    Forbet^barkeit 
vüu  /*!  (x)  verhindern    würden.     AU    mi  »gl  ich  erweise  zuläftsig 
bleiben    daher    nur  weRentlich  singulare  Stellen,    welche 
nm:h  die  besondere  Kigeiiäcbuft  beait»:en  intlsaen,  daas  /,  (2), 
tulln  di«  Variable  x  von    aussen    her  oder   längs  der   Peri- 
pherie deü  Kinheiidkreisea   .-«icb    einer    itolchen  Stelle    nähert, 
unter  einer  endlichen  Grenze  oder  Kuni  inindeäten  integrabel 
bleibt 

I  Der  EinHusB,  den  eine  derartige,   auf  dem  CoDTergenz- 

kreise  einer  Potenzreihp  angenommene  singnl&re  Stelle  auf 
deren  Convergenz  utid  Divergenz  uuüQbt,  soll  nun  zunächst 
genauer  untenmcht  werden. 


wa.  lUik-rbr«  ct.  a. 


38 


346      SUxtmg  der  wiatk,-fkp$,  CUu$e  ran  2.  November  1895, 

§3. 

Es  sei  f(x)  eindenttg  and  regulär  för  x  ^R,  wo 
i2>l,  mit  Aasnahme  einer  einsigeD  Stelle  auf  dem  Eio- 
heitskreise  x^=a  =  e^.  BezfigUch  der  Beschaffenheit  dieser 
aingalären  Stelle  x  =  a  antersehdden  wir  die  folgenden 
zwei  Fälle: 

I.  £0  sei  f{x)  fOr  x=:a   noch   absolut  integrabel, 
sobald    der  IntegratJonsw^   dem   Innern    oder  der   Peri- 
pherie  des    Einfaeitskreises   angehört ,    d.   h.    das   Int^ral 
• 
J  f{x)   -dx  werde  in  diesem  Falle   mit   iX^ — a\  bdiebig 

klein  —  eine  Bedingung,  welche  z.  B.  stets  erfäilt  ist,  wenn 
f{x)    iui  Innern  und  auf  der  Peripherie  des  Einheitskreises 
in  jeder  beliebigen  Nähe  der  Stelle  a  stets  unter  einer  festen 
Grenze  bleibt. 

Alsdann  lässt  sich  zeigen,  dass  die  zunächst  ffir  }  x  ;  <  1 

geltende  Potenzreihe  für  f{x)  =  ^r  A,  x^  noch  för     x  :  ^  1 

0 
mit   eventuellem  Ausschlüsse   der  Stelle   x  =  a    convergirt 

und  mit  der  Fourier'schen  Reihe  für  /  (e  ')  identisch  ist. 
Um  dies  nachzuweisen,  denke  man  sich  den  Ginheits- 
kreis (£)  constniirt  und  die  Stelle  a  mit  einem  Kreise  {K) 
von  beliebig  klein  anzunehmendem  Radius  q  umgeben.  Be- 
zeichnet man  sodann  mit  (C)  diejenige  Curve,  welche  aus 
dem  Einheitskreise  (£")  entsteht,  wenn  man  das  kleine  durch 
den  Kreis  \K)  ausgeschnittene  Biigenstfick  (f)  durch  das 
entsprechende,  innerhalb  (77)  verlaufende  Bogenstuck  (Jt) 
von  (jK^)  ersetzt,  so  hat  mau  für  alle  Stellen  x  im  Innern 
von  (C).  also  sicher  für    x   <  1  —  o: 

(woU-'i    'la>  IMu-izeichen    vor  C  die  positive  Inte^rationsrich- 


A.  Pringaheim:  Ueber  Fotemreihen  auf  dem  Convergenekreise,    347 

tang  andeaten  soIJ.  Da  aber  in  Folge  der  gemachten  Voraus- 
setzung der  von  dem  BogenetKcke  (Je)  herrührende  Bestand- 
theil  dieses  Integrals,  gerade  so  wie  ein  Über  (e)  zu  er- 
streckendes mit  (k)  und  (e)  —  also  schliesslich  mit  q  — ■ 
beliebig  klein  wird«  und  da  andererseits  f{x)  einen  ein- 
deutig bestimmten,  von  q  unabhängigen  Werth  hat,  so  kann 
man  ohne  weiteres  das  Integral  Über  {k)  durch  das  ent- 
sprechende über  (e)  ersetzen  und  erhält  somit  an  Stelle  der 
Beziehung  (1)  jetzt  für  |  x  |  <  1  die  folgende: 

und  hieraus  in  der  Üblichen  Weise: 
(3)  fix)  =  t-Ä,a^ 

0 


wo: 


(4) 


(+*)  0 

in 

(+1)  0 

Dabei  lassen  sich  diese  Coefficienten  Ä^  noch  in  fol- 
gender Weise  umformen.  Bezeichnet  man  wieder  mit  ((7) 
den    oben    definirten  Integrationsweg,    so   bat  man  offenbar : 

2i,J^^'*''*'"'"^'  =  0  {i.=  1.2,3,...) 

oder,  da  man  hier  wieder  genau  wie  oben  den  Integrations- 
weg (C)  durch  den  Weg  (£)  ersetzen  kann: 

^''^2!rJ^^'^*''^''"''^      /^-J/(«'")-c'''"'*?';     0  (.  .1,2.3,...) 

38» 


348      Sittung  der  math.-phys.  Glosse  vom  2.  November  1895. 

Darch  Addition  und  Subtraction  dieser  letzten  Gleichung 
lässt  »ich  daher  A^  in  die  doppelte  Form  setzen: 


(6)    Ar  == 


-  I  /"(O  •  cosyi;  •  dt] 

0 

— .  I  /"(e^O  '  sin»'»?  •  f^V 

TM«/ 


(v=  1,2,3,...) 


und    man    erhält    daher,    wenn    man    x  =  r-e^*  setzt   und 
r  <r  1  annimmt,  aus  Gi.  (3)  die  Entwickelung : 


vt 


an 


£i7i*J  n  ,         ^ 

0  »  0 

Andererseits  muss  sich  f{e^*)  in  Folge  der  gemachten 
Voraussetzungen  in  eine  mit  eventuellem  Ausschluss  der  ein- 
zigen Stelle  i9^a  convergirende  Fourier'sche  Reihe  ent- 
wickeln lassen,  nämlich : 


2.-I 


2.T 


(8) 


"^    (1  -"^   1      0 


und  da  die  Reihe  (7)  für  r  =:  1  in  diese  letztere  übergeht, 
so  folgt,  dass  in  dem  hitr  betriichteten  Falle  die  Potenzreihe 
/  (x)  =  2j  Ay  X*'  noch  für  x  c^*  (mit  eventuellem  AuE^schluss 
der  Stelle  x  ^  a, /'  =  «)  couvergirt  und  mit  der  Fourier'- 
schen   Keihe  für  /'(e'-*')  identisch  ist.   — 

II.  Es  sei  jetzt  f{x)  für  x  =  a  noch  absolut  inte- 
^rabel.  vnmn  der  Integrationswi^g  dem  Aeusseren  oder 
lit-r   PtTipherie  drs   Kiiiheitskri;i.-e.-  an^ehJ>rt. 

Kür  das  (.n-bict  1  <I ,  a:  <  iJ  existirt  alsdann  nach  dem 
Ijunn-nt 'M:lH'n  Sal/,e  «'ine  Kntwickelung  von  der  Form: 


A    Prim/fäheim'  üfhtr  Poi9nirfihtH  auf  Atm  CotntrgtnMknitf.  849 


OD  II  I 

wobei  di«  R«ihe  iler  positiven  Potenzen  (welche  «ch  auf 
'  di«  Cottütuit«  A^  redncirt,  wenn  f{x)  ttburhanpi  keine  wei- 
tere «toguUre  Stelle  ausser  x^a  besitzt)  für  \x\<ZR,  aUo 
iiub«BODdere  nocli  fGr  ;x|  ^  1  abaolut  corivergirt.  ^Setzt  mau 
aUo  (il.  (9)  in  die  Form: 


(10^ 


t'A_,X"-   =   /(x)-i;r^^ 


1 


-  aus  dem  Ergeb- 


•o  folgt  mit  Hälfe  der  Substitutioii  x  ■ 

ntaae  de«  Falle«  1  ohne  weiteres,  dass  ^A_,x~^  noch  auf 
dem  Einheitskreise  —  mit  eventuellem  Ausschluss  der  Stelle 
x^n  -  convtirgiren  luuäs.  Das  Gleiche  gilt  somit  von 
der    Gesammtreihe   (9),    wurüUä    dano    aucb    wiederum    die 

+  00 

Identität  von  £»-4,*^"^  mit  Her  PourierVheu   Reibe  für 
—  « 
I  f{^*)  sieb  ergiebt. 

Daraus  kann  man  aber  mit  Hilfe  der  in  §  2  angestellten 
Betrachtung  weiter  fwhliesaeü,  dass  die  im  Innern  des  Ein- 
heiUkreiMa  geltende  Kutwickeliing  von  f{x)  nach  positiven 
Potcoxen    vuo  x  auf   dem  Einlieitakreiae    divergiren  muas. 

Um  die  Beechatfeuheii  dieser  letzteren  Ueibe  und  ihre 
Beiziehung  zu  der  Fourier'üchen  Entwickelung  von  /"(«**) 
'  genauer  festzustellen ,  bat  man  aucb  hier  wiederum  fOr 
j;^<  l  —  o  zunähst: 


1(10 


"■>-^,Jß 


fit) 


dt 


t+oi 


in  I  aui^egebene  Bedeutuug  haben).    Be- 
niit  {k*)  das  ausaerhalb  des  Kinheits- 
[  krewea  verlaufende  BogenatQck  des  kleinen  Kreisea  um  a,  so 


350      Sitgung  der  math.-phya.  Clagae  vom  3.  November  1895. 

kann  hier  offenbar  das  Über  den  aus  (e)  und  (/:')  zusammeu- 

gesetzten,  geschlossenen  Weg  erstreckte  Integral:  I  ■  <l t 

%i  i  —  3f 

durch  Verkleinerung  von  q  beliebig  klein  gemacht  werden. 
muss  also,  da  es  einen  von  q  unabhängigen,  bestimmten 
Werth  besitzt«  gleich  Null  sein.  Addirt  man  dieses  Inte- 
gral zu  dem  in  Gl.  (11),  so  ergiebt  sich: 

ftlr  |a!|  <  1  —  ß,  bezw.  für  [a;|  <  1,  wenn  man  schliesslich  q 
unendlich  klein  werden  lässt. 

um  zunächst  das  zweite  Integral  auszuwerthen,  hat  man : 

1      ^ 1_      J ^  ^^v^?^«'*""' 

t—x       *— «!_  [^z3.        1   {x~  «r 

und  daher: 


-ay~^-dt 


(13) 


1 

Die  rechte  Seite  lässt  sich  in  eine  für  \x\K\a\  d.  li. 
fßr  I  a;  j  <  1  convergirende  Keihe  nach  positiven  Potenzen 
von  X  entwickeln,  so  dass  sich  ei^ebt: 

wo : 

(15)        B,^  fj-i-lY'  («  +  »'-1),.-  C_,a-<«+.). 
1 

Ferner  bat  man  für    x   <  1 : 


A,  Pringtheim:  Ueber  PotenäreAen  auf  dem  Convergemknist.  351 


wo: 


(17) 


'i-iJ?-'  kJf^-'^-^^ 


+'  0 

flieraach  liefert  Gl.  (12)  för  1*1  <  1  die  folgende  Ent- 
Wickelung : 

(18)  fix)  =  f,y  B;  X-  H-  S-  O-r  (a:  —  a)-' 

0  1 

=  f;''(J5;H-B,)-x^, 

0 

deren  zweiter  Theil,  wie  die  Form  der  Goefficienten  C.y 
(s.  Gl.  (13))  lehrt,  die  Gesammtheit  derjenigen  Bestand- 
theile  enthalt,  welche  die  Stelle  a  zu  einer  (wesentlich)  Sin- 
gular e  n  macheu :  es  sind  nämlich  die  Coef^cienten  C-  y 
genau  diejenigen,  welche  man  als  Coefficienten  der  negativen 
Potenzen  von  x  —  a  erhalten  würde,  wenn  man  f{x)  in  der 
Umgebung  der  Stelle  x^  a  nach  dem  Laurent'schen  Satze 
entwickelt.     Hieraus  folgt  aber,  dass  die  Reihe: 

f;»-  B'^x''  ^  f  (x)  -  f^y  0-y  (x  —  a)-»" 

0  1 

noch  fOr  x  =  a,  also  schliesslich  auf  dem  ganzen  Einbeits- 
kreise  sich  regulär  verhält.  Sie  besitzt  somit  einen  Gon- 
vergenzradius,  der  grösser  als  1  sein  muss  (nämlich  den 
Oonvergenzradius  H ')),  so  dass  sie  insbesondere  für  |  o:  |  ^  1 

1)  Dab«i  ist  i?^  oo,  wenn  f{x)  keine  weiteren  siof^Iären  Stel- 
len im  Endlichen  betitit;  und  falls  auch  die  Stelle  x^ao  keine 
sinf  ul&re  ist,  ao  redocirt  sich  jene  Reihe  auf  das  constante  Anfangif^lied : 

I 


352      Sittung  der  math.-phy8.  Classe  vom  2.  November  1895. 

noch  absolut  convergirt.  Da  aber  die  Gesanimt-Entwicke- 
Inng  von  f(x)  nach  positiven  Potenzen  von  x,  wie  oben  be- 
merkt, für  1x1  =  1  dirergirt,  so  erkennt  man,  dass  diese 
Divergenz  aasschliesslich  von  jenem  zweiten  Bestandtbeile 

f^yß^igr  herrührt. 

0 

Es  läset  sich  aber  auch  genau  angeben,  welche  con- 
vergente  Entwickelung  für  x  =  e^'  an  die  Stelle  jenes 
divergenten  Bestandtheils  tritt,  dergestalt  dass  für  fie^') 
schliesslich  eine  convergente  trigonometrische  —  nämlich 
die  Fourier'sche  —  Reihe  zu  Stande  kommt. 

Hierzu  bemerke  man,  dasn  die  Coefücienten  Bl  zwar  in 
(17)  zunächst  genau  in  derselben  Integralform  erscheinen, 
wie  die  Ä,,  im  Falle  I  (s.  Gl.  (4)):  aber  es  ist  a  priori 
klar,  dass  sie  nicht,  wie  jene,  mit  den  Fourier'achen  Ent- 
vrickelungs-Coefficienteu  von  /"(e*')  identisch  sein  können. 
Um  den  Zusammenhang  mit  diesen  letzteren  aufzuklären, 
hat  man  die  Beziehung: 

J  ,U{i)'t''-'-dt  =  0  (r=  1,2,3,...) 

(+0 
wofür  man  wiederum,  analog  wie  oben,  schreiben  kann  : 

0 

0  : 


wo  : 
I) 

1 


-   .,     .i,^.\{y—\)>.-ra"'*-{f-ar-'-r{t)'dt 


{Kl 


A.  Pringsheim:  Ueber  Potettereihen  auf  dem  Couvergetukreite.   35S 

(20)  D,  -  t-{v-\)^_,C_^-a''--- 

Durch  Addition  bezw.  Subtraction  Ton  Gl.  (17)  und  (19) 
folgt  alsdann : 


(21) 


i?;  =  . 


\fit^*)  •  CÜ8  VT]drj   —   Dv 

0 


so   dass   die   Entwickelung   (18)   för  sc^r-e^*  und   r<l 
»ich  folgendermuassen  schreiben  lässt: 

(22)  /(rc^O      i^ jAc'")-d>?  +  ii;»'r'- J/\e'").cos,.(,?-Ö).rf,? 

0  '  0 

1  u 

Da  andererseits : 

(23)  /  tc*')       ^:^U{e'i')'dl)-{']Xi''{t{e'i'^  •  cua  v(»;  -  »>)  •  dri 

0  0 

und  in  Gl.  (22)  für    r  =  1    alles  mit  Ausnahme    des  letzten 
Bestandtheils  conver^ent  bleibt,  so  folgt: 

(24)  lim   [^yB^r'e^^A  =  ^y D  e-'^ 

womit   die   gesuchte    Grenz- Entwickelung    von   "^B  3^   für 
J  =  c^  gefunden  Ist. 


854      Sütung  der  math.-phys.  Classe  com  2.  Noeember  1895. 

§4. 
[.  Setzt  man  jetzt: 

(1)  f,ix)  -  A  =  e.A'\ 

80  erföllt  offenbar  die  einzige  singulare  Stelle  x=^\  dieser 
Function  die  im  Art.  1  des  vorigen  Paragraphen  eingefiihrten 
Bedingungen.  Man  hat  nämlich ,  um  das  Verhalten  Ton 
f^  {x)  in  der  Nähe  der  Stelle  x  =  1  zo  erkennen : 

(2)  /,  (1  +  f  +  >?<)  =  e     ^^' 
also:  t 


(3)  |/'i(H-f  +  '?»)    =  e     ^v\ 

Gehört  nun  die  Stelle  x  =  1  4"  f  4"  *?*  "o^^  *^ß"*  ^^~ 
nern  des  Einheitskreises  an,  so  ist  ^  wesentlich  negativ 
und  daher  —  was  auch  rj  bedeuten  möge  —  stets : 
f^ix)\<e. 

Gehört  hingegen  x  der  Perijiherie  des  Einheitükreises 
an,  «o  möge  gesetzt  werden  x-  =  e^',  also : 


X — 1  =  «      \e      — c        /  =  -»c      •  sin  ^ 

und: 

X  1    ,1    ar  +  1  1        1  .       ,  /> 

:.-]    =  2  +  ü-x-l  =  2-2^-'^"^2 
folglicli : 

,.  i  -  J  .  -  cot  ? 

(4)       /,  (e^M   =.  e  ' 

=  e-  y  cos  ( ^  cot  2)  —  '  ■  «'"  (2  *^*^^  2)1' 

')  Der  Factor  r  iwt  nur  hinzugefügt,  um  einen  möglichst  ein- 
fiu-hen  AufiJruck  für  die  Kntwicklunge-CoefBcienten  za  erhalten 
(^.  (.iL  19>). 


Ä.  Pringshtitn:  üeber  Potenereihen  auf  dem  Convergenelcreise.  355 

80  dass  also  in  diesem  Falle  \f^(x)\  =  e  wird  —  auch  in 
beliebiger  Nähe  der  Stelle  i^  =  0  d.  h.  x=  1. 

Es  muss  daher  nach  Art.  I  des  vorigen  Paragraphen 
die  zunächst  ftlr  { a;  |  ^  1  geltende  Entwickelung : 

(5)  /;(*)  =  t-A,x- 

0 

noch  für  |:i;|  =  1  —  mit  eTentuelleoi  Ausschlüsse  der  Stelle 
a;=  1  —  convergiren,  d.  h.  es  gilt  die  Entwickelung: 

(6)  /;(c*)  =  c*'^'"^*«  =  i;v^^(co8v*-|-».sinrd) 

0 

für  0<^<2;i:,  und  dieselbe  ist  mit  der  Fourier'schen 
Reihe  fflr  f^  (c*0  identisch. 

Daraus  folgt  dann  noch  insbesondere,  dass  die  Reihe  ffir 
^  =  0  divergirt. 

Was  die  Coefficienten  Ay  betrifft,  so  findet  man  atis: 

1 
e-e'~'  =  e-  £«  (- 1)^  -. (1  - x)"" 

=  e  (i  +  £«  (-ir- -^,2-  (« + "  -  \)x') 

unmittelbar  für  v  >  1 : 

(7)  Ay  =  c.£>c(_l)^\.(«4-v-  1), 

=  c  •  £-  (-!)"•  ^,{>c  +  y  -  1)^_,        (r  =  1,  2,  3 ) 

und  speciell:  J^  =  c  •  ij«  ( — 1)  •    ,  =   1-     Man  kann  aber 
0  ^• 

auch    die    hier    in    Form    unendlicher    Reihen    erscheinenden 

Grössen  Ay  mit  Htilfe  der  Mac  Laurtn*schen  Entwickelung 

in  geschlossener  Form  darstellen. 


356      SUtung  der  math.-pkjfs.  Clasne  vom  2.  November  1895. 
Man  findet  auf  diese  Weise: 


und  ffir  V  >  1 : 


Nun  ist  allgemein: 


=  t    ir-7.i''+*-i*^-7^ir^!-*^~''?'''*(y) 


r; 


(x-1).' 


(8)  =  (-  ly.  ix  V  ('•  - 1 '   ,•1'"^"  •  9-'"*(y) 

und  daher: 

alüo  sehlieäslich : 


II.  I>ie  Function  : 


lim 


/j  (XI    =    t"  =(.*-( 


weiche    zu    der    c1h*ii    l»etracht«'t*Mi    in    <ler    /.wiefachen    Be- 
ziehunc  ^t*'ht: 


(11- 


^(J)  = 


/ 


■C) 


1    • 


A.  Pnnijiihcim ;  üfber  Foteiureihem  auf  dem  CoHwrgcnzkrdee.  357 

genügt,   wie   leicht   zu   sehen,   den   b  Art.  11   des   vorigen 
Paragraphen  statuirten  Bedingungen.     Da  nämlich: 


(13)  1^,(1  +f  +  ,,i)i  =  e    ^*^' 

^«o  wächßt  dieser  absolute  Betrag  über  alle  Grenzen,  falls 
|i}|<Xc<!fI  {k  eine  endliche  positive  Zahl)  nnd  {  negativ, 
nnmerisch  sehr  klein  genommen  mrd,  also  wenn  a:  auf  irgend 
einer  geraden  Linie  au»  dem  Innern  des  Kinheitskreises  sich 
der  Stelle  1  nähert.  Da  im  übrigen  \fj{,x)\,  wie  die  erete 
der  Beziehungen  (11)  lehrt,  för  Steilen  ausserhalb  oder 
auf  der  Peripherie  des  Kiulieit^kreises  auch  in  beliebiger 
Nähe  der  Stelle  x  =>  \  stets  unter  einer  endlichen  Grenze 
bleibt.  80  folgt  aui«  Art.  II  des  vorigen  Paragraphen,  daas 
die  ftlr  !«{  <  1  geltende  Potenz-Entwickelung  von  /j(x)  ffir 
\x\  ==  1  divergiren  muBs,  während  andererseit«  /if«**)  durch 
eine  convergente  trigonunietrii-che  Ueihe  mit  gan?.  neuen 
Coefficienten  darstellbar  ist.  Um  diese  letztere  zu  finden, 
kann  raan  ohne  weiteres  die  Formel  (24)  des  vorigen  Para- 
graphen anwenden.  Man  hat  —  unter  Beibelialttiug  iler  dort 
angewendeten  Bezeichnungen : 


f,{x)  =  r'    '  =   1  +1.(-1)»'-  -^(«-1^- 


also : 


CL.  =-  (-  ir 


und  daher  (noch  §3,  Gl.  (20)): 


358      SUsw%g  der  math.-phys.  Glosse  vom  2.  November  1895. 
so  dftss  jene  Gl.  (24)  hier  lauten  würde: 

(14)  lim  |l»'Ä^r»'c'^'j  =  ^^A^e-"^'. 

Beachtet  man  jetzt  noch,  dass  die  in  §  3  mit  B\,  be- 
zeichneten Grössen  für  v  >  1  sämmtlich  Null  sind  (da  f\  (x) 
keine  singulare  Stelle  ausser  x  =  \  besitzt)  und  dass  (g  3, 
Fussnote) : 


1     "■' 


80  kann  man  Gl.  (14)  mit  Hinzufügung  dee  Gliedes  B'^  fol- 
gendermaassen  schreiben: 

(15)  /tCc^O  =  lv^(cosv^  — i-sinr^), 

0 

ein  Resultat,  dessen  Richtigkeit  man  mit  Hülfe  der  Glei- 
chungen (11)  und  (6)  sofort  verificiren  kann. 

Es  scheint  mir  auch  nicht  ohne  Interesse,  die  aus  den 
allgemeinen  Ergebnissen  des  vorigen  Paragraphen  hergeleitete 
Divergenz  der  Potenz-Entwickelung  von  f^{x)  für  ,x  =  l 
nachträglich  noch  durch  die  Kechnuug  direet  zu  bestätigen. 

Es  werde  gesetzt  für  \x  <^\: 
1 
(It))  f^ix)  =  e'~'^  ^B^x'- 

0 

(w(>l>ei  also  jetzt  das  im  altgemeinen  Falle  und  oben  mit 
B'q-\- B^  bezeichnete  conütante  Glied  der  Einfachheit  halber 
mit  Bq  bezeichnet  ist). 

Alsdann    hat    nnin    Bf,^=  f^i*))  ^  e   und    für    i'>l   /n- 

näch.4 : 

1 

'''  r!\      fix'      /,  =  ,>        r.'V,/("y;„^_,- 


A.  Pring^im:  lieber  Potmzreihen  auf  dem  Convergenxkreise.  359 
also  mit  Benützang  von  Gl.  (8) : 

schliesslich : 

(17)  B,  -  c.iwi(»'-l)^_,. 

Da  hiernach: 

so  wird  mit  r  ^  oo  auch  lim  ^^  =  00^  was  dann  nothwen- 
dig  die  DiTergenz  von  SSB^x*  fQr  |fi;|  ^  1  zur  Folge  hat. 

III.  Die  soeben  betrachtete  trigonometrische  Reihe  für 
ff{e^)  convergirte  mit  Ausschluss  der  einen  Stelle  ^  =  0. 
Man  kann  indessen  aus  den  Ausdrucken  /*,  (x)^  f^  (x)  leicht 
neue  bilden,  deren  trigonometrische  Entwickelung  auf  dem 
Einheitskreise  ausnahmslos  convergirt,  während  die  be- 
treffende Potenzreihe  dort  divergirt. 

Setzt  man  zunächst: 

=  2  I  ■  c  sm     _- . I 

^2t    X — 1/ 

so  wird  die  für    xj  <  1  geltende  Potenzreibe: 

(19)  U{x)  -  S^^Ä.-IK)-^" 

0 

wiederum  für  x  =  c*'  divergiren.    Dagegen  wird  die  Reihe: 

(20)  /;(e^0  =  —  2i-e"«sin(^  cot'^)  =  2\%'A,,'%\mv^ 


360      SitMung  der  math.-phys.  Classe  tom  2.  November  1895. 

jetzt  aach  noch  für  ^  =  0.  also  ausnahmslos  conver- 
giren.  Sie  convergirt  freilich  in  der  Nähe  der  Stelle  i>=  0 
nngleichmässig  —  wegen  der  unendlich  vielen  Maxiiua 
und  Minima,  welche  /g(«^0  daselbst  besitzt. 

Indessen   auch   diese  Eigenschaft   lässt  sich  noch  besei- 
tigen.    Ich  setze : 

(21)  F,{x)  =  (x-l)./;(a:) 
so  hat  man  für  |xi<  1   nach  Gl.  (5): 

(22)  F^{x)  =  {x—\)-3>'Äy  x'' 

0 

A^-\-^{A,-A,.,)x*+' 


0 


und  nach  §3,  Art.  1  für  0<i?<2.t: 

(23)  J^,(.^.)  =  2.-.sin|.J-^'(*-'"^^ 


-  -^0  + Jv(4^_^      ).c 


^.(>'+i)*^ 


Diese  lieihe  convergirt  aber  auch  noch  für  />  =  0  — 
nämlich  ifegen  den  Werth  Null  (da  in  Fol^e  der  bewiesenen 
Convergenz  von  ^A   e''*'   offenbar  lim  yl    =  0   sein  mus>). 

Sie    convergirt    .somit   aiisnuhmslns    und,    da   sie    mit   der 

Fourier 'sehen    lieihe    für    die    stetige    Functitm    f\  (/'''•) 
identisch  ist.  auch  durchweg  gleichmüssig. 

Betrachtet  man   nun  ferner  die  Function: 
(24)  i;(x)  ^  (x       1)    l.ix) 

6u  winl  für    x   <  1  : 

{2r»)  F^ix)        .X      \)^Ii,r'         -  li^-^^-di,,    5..^,).x*'+' 


A.  PringAeim:  Ueher  ^tetureihen  auf  dem  Convergentkreüe.  3C1 

und  diese  Reihe  muss  wiederum  nach  §  3,  Art.  II  für  a;  =  e*' 
divergiren  (da  ja  der  Charakter  der  singulüren  Stelle 
a;  =  1  durch  den  Factor  (x  —  1)  keine  wesentliche  Ver- 
änderung erleidet). 

Andererseits  hat  man  aher  für  {fr|>l  nach  Gl.  (11) 
und  (5): 

=  (x-  l)-2yA^x-'' 

0 

(20)  ==  A^:e-3^(A,-A^_^,)'X-* 

0 

und  da  nach  §  3^  Art.  I  diese  Ueihe  noch  f(lr  x  =  e^*'  im 
allgemeinen  convergiren  muss : 

(27)        F,  (c*0  =  ^0  e*'  -^U,-  A,.^,)  •  e-^', 

0 

Die  Vergleichnng  mit  der  Reihe  (23)  zeigt  dann  aber 
ohne  weiteres,  dass  auch  diese  Reihe  ausnahmslos  und 
durchw^  gleichmässig  convergiren  muss. 

Hieraus  erkennt  man  also,  dass  selbst  in  dem  Falle,  wo 
dif  Handfunction  in  eine  ausnahmslos  gleichmässig 
convergirende  trigonometrische  Reihe  entwickelt  werden  kann, 
man  noch  keineswegs  ohne  weiteres  auf  die  Convergenz  der 
im  Innern  geltenden  Potenzreihe  für  die  Stellen  des  Oon- 
vergenzkreises  schliessen  darf. 

§5. 
Während  das  Charakteristische  der  in  Art.  II  und  III 
des  vorigen  Paragraphen  betrachteten  Beispiele  darin  bestand, 
dass  die  betreffenden  Potenzreihen  auf  dem  Convergenz- 
kreise  divergiren,  obschon  die  zugehörige  Randfunction 
durch    eine    convergente    Fonrier'sche    Reihe    darstellbar 

1895.  Mfttti.-pfaja.  Ol.  ».  24 


3C2      BUsung  der  maiK-phys.  Classe  vom  2.  November  1895. 

iatf  will  ich  jetzt,  wie  in  §  1  angekündif^t  wurde,  ein  Bei- 
spiel einer  Potenzreihe  geben,  welche  nachweislich  auf  dem 
Convergenzkreise  (mit  Ausschluss  einer  einzigen  Stelle)  noch 
convergirt,  wohingegen  die  Existenz  einer  »eigentlichen" 
Fourier'sche  Reihe,  d.  h.  einer  solchen  mit  schlechthin 
convergenten  Integral-Coefficienten  (vgl.  §  1)  nach  der  Natur 
der  dargestellten  Function  definitiv  ausgeschlossen  erscheint. 
Ich  setze: 

also  für  \x\<\: 

OD 

(2)  /(x)  =  -|-^--2^«,.^»' 

und  daher: 

(3)  lv(_fo-  +  ^  +  ...  +  "^+';y  =  Jv.' 

so    dass   sich    zur  Bestimmung    der  Coefficienten  a^   die  Re- 
cursionsformel  ergiebt : 

(4)  ^"^  .vfzr  ==  '       (i'  =  0,1,2,...) 

und  hiorauH  speciell : 

(5)  «0  =   1- 

Ich  zeige  mm,  das?;  die  Coefficienten  a^  sämmtlich  po- 
sitiv sind,  mit  wachsendem  Inik'X  T  he.stJLndig  abnehmen 
und  für  r  = -x  gegen  Null  convergiren. 

Sclireibt  mun  in  Gl.  (2)  (r  — 1)  statt   »■.  also: 
'■-I     a^ 

u      •'        ^ 

und  setzt  '11.  (1)  in  die   Korm  : 


A.  Pringdteim:   XJeher  Potenxreihen  auf  dem  Convergemkreigt.  3C3 


(7) 


f  »-H-l-x 


+  «v 


1, 


so  folgt  durch  Subtraction: 
(8) 


V-l 


-    (»._x)(r-f  1-x) 

Hieraus  ergiebt  sich,  dass  a^  >  0  ist,  wenn  das  gleiche 
von  Og,  Oj, .  .  .  a,,__,  gilt.  Da  aber  a^  =  1,  so  folgt  in  der 
That  allgemein :  a,.  >  0. 

Schreibt  man  ferner  die  Gleichungen  (4)  und  (6)  fol- 
gen dermaassen  : 


(i>) 


1_    .    4^       <^x        _  - 


y 

2^ 


-x-i 


7  »-4-1-« 


=  1, 


so    folgt    wiederum    durch    Subtraction    und    Multiplication 
mit  y  -|-  1 : 

(10,  (.,+  ,)^^^^_.^  _.«  =   ,. 

Setzt  man  hier  v  —  1  für  i-,  also : 
(11)  v^     -^  -i'   r=   1 

und  subtrahirt  diese  (xleichung  von  der  vorigen,  so  kommt: 


I— 1    f        ,,  _|_    1  y       \ 

I 


7    \r-\-\—x        r-xJ 
o<ier  anders  geschrieben: 

(12) 


v-l 

-X  .-- 


d.  h.  a,._j  —  üy   ist    sicher  positiv,    fiiUs    alh?  vorangehenden 
r>ifferen/.on    es    sind.     Dii    aber    aus    Gl.  (10)    für    v  =   \ : 

21* 


S^i      SkrMm0  der  malJt-fityt.  OoMte  wm  2.  Sor€^>er  1^5. 

a^  —  Oy  ^  ;t  sich  ergiebt.  £0  folgt  wiedernm.  das?  allccmeic: 

a,_.  —  fly>0  sein  moas. 

Da  bieroAcb  die  posidTen  Grössen  a,  mit  wachsendem  r 
bestäodig  abnehmen,  so  besitzen  sie  für  r  =  x  einen  be- 
stimmten Grenzwerth.  Dieser  muss  aber  Null  sein,  da  ac- 
dernlalls  die  linke  Seite  der  Recamonsfonnel  (4  t  wegen  der 
DiTeigenz  der  harmonischen  Reibe  mit  r  in"s  Unendliche 
wachen  wurde. 

Aas  den  eben  nachgewiesene  q  Eigenschaften  der  O^efti- 
cienten  a^  fulgt  aber  Iwkanntlich  die  gleichraässige  C^n- 
vergenz  der  Kelhen  2^a^<i:\tsr{t.  ^a^»mr&.  mit  even- 
tuellem Ausschlüsse  der  -Sterile  &  =  M.  also  schliesslich  die 
gleichmääsige  Convergeuz  von  J^a,  x'  für  x^«*^*'.  mit 
erentoellem  Ausschlüsse  der  Stelle  x  =  1.  Hier  divergirt 
in  d^r  That  die  betrachtete  Keihe.  wie  ^ich  daraus  ergiebt, 
dass  lim  f{x)  =  —  x    wird,    wenn  x  auf  dem  Radios  der 

stelle  1  zustrebt. 

Andererseits  erkeimt  man  ohne  weitere-,  das?  f\x\  aU 
KuEcti'>n  von  x  in  'ier  Xäli-,-  'ler  St»-lle  x  =  1  nicht 
inte-^raWl    ist.    da    si**    f'Jr  x  =  1    >■'    'ineadlich    wird,    wie 

h-  mri>-i  'iiinn  at.'^r  üUi-n  /    r     i  als   tunclinn 

1.1  X 

vun  »>  an  der  Stellf  <>  ^  n  lüe  Intriirabilitäi  verlieren,  da 
('.'''  —  1  (  ^  li  I  ■  €"    '  •  sin       für  (^  ^  •'  iierade   so   von    der 

•■r>t*'n  OrHn!m!;r  ver^chwinfi^rt.  wie  tx  —  1 1  für  x  =  1.  Hier- 
a'i-  fiplgt  dann  aV^r.  -laN-  din  Ii.t<-irraI-l.'i:'eftioienten  der 
Fouri'- rächen  Reihe  nii  .o!:i'*iit liehen"  -Sinne  divergent 
w.-ri-n  mi.i-,--n  :  liie  l".-irrliV-n<if  Rfili«^  i-t  aUo  eine  ,un- 
fiLT'-nT  Ül' i;«:?"'  F-';r  i-r —li-  Il'-ilie  in  -icin  t>hr\\  (Jj  1)  näher 
'i'-ri'iir*'-:'   S:i;i>. 


ac5 


Ooffentlichö  Sitzung 

VII    Ehren   Seiu«r    Majest&t  des    Küni^js   und  Jseiner 
Königlichen  Huheit  des  Prinz-UegeDken 

um  16.  MoTeinber  180&. 


Der  PriUident  der  Akadezniß,  Hürr  M.  v.  Petteukoferf 

crölfnei  die  SiUunjf  mit  folgender  Ansprache: 

Die  beatige  Festsitzung  za  Kfaren  anseres  hohen  Pro- 
unt,    dw  Priir/. -  Rt'Et^nten   I,uiti>olH    vm  Buv*'rn,    zu  dem 

t'hrfurch*«iToll  Jiufbliclu'u,  mahnt  uns  xnglficli,  seiner 
Vorgänger  ans  dem  Haiue  Witteisbach  zu  gedenken,  welche 
sich  um  uuj^re  Akftdemie  iu  hervorragendem  Muasäe  verdient 
genui'ht  haben. 

Vier  von  ihnen,  welche  wir  theÜH  als  Stifter,  theilä  al» 
Keorg«nt!«atoren  der  Akadeniic  verehren,  bat  unsere  Akademie 
der  Hentelliitig  tmd  Krrichtung  dieses  Kestsaales  dadnn-h 
0D4erft  XU  ehren  (jegliiul)t,  dii&s  äie  inmitten  der  Symbole 
aod  Wiihlsprdcfae  unserer  Akademie  ihre  Portrait^  an  der 
Uecke  des  Saalt»  anbruohte. 

/aoürhfit  ixt  n  der  eigentliche  SÜfler  unserer  Akademie, 
KarfQnit  Maximilian  111..  welcher  nach  den  Worten  meinea 
Vorgängers  an  dieser  Stelle  in  ihr  «einen  Herd  für  Qeüte»- 
Hldang    and    ernst«    Studien    für    Bayern    geschaffen*    und 

einem  bialong  Im^tt^ron  Gebäude  die  erste  Fackel  aiige* 
xfliidet  hut*. 


36Ü      Sitzung  der  math.-phys.  Clause  com  15.  Sorember  lbi*5. 

Ihm  zur  Seite  ist  das  Bild  des  EorfGreten  Karl  Theodor, 
des  Stifters  der  karpfölzischen  Akademie  der  WisäenschafU^n, 
welche  zugleich  mit  der  alten  kurbajerischen  in  der  jetzigen 
königlichen  Akademie  fortbesteht.  Karl  Theodor  bat  »ich 
unter  uns  dadurch  ein  bleil>endes  dankbares  Angedenken 
ge-ichert.  dags  ein  Ton  ihm  herstammender  Fonds  von  etwa 
180,000  Mark .  der  sogenannte  Mannheimer  Fonds .  eines 
der  wenigen  Stiftungscapitalien  ist,  Ober  deren  Rente  unsere 
Akademie  in  freier  Weise  für  wissenschaftliche  Zwecke  ver- 
fügen kann. 

Der  dritte,  als  Stifter  von  uns  verehrte  Fürst  ans  dem 
Hause  Wittelsbach  ist  König  Max  Joseph  I.,  welcher  im 
Jahre  1807  der  Akademie  eine  den  Fortschritten  der  Wis>en- 
schaft,  sowie  der  grösseren  Äusdehnuug  des  bayerischen 
Staates  angepasste  Organisation  gegeben  hat. 

Damals  wurden  unserer  Akademie  eine  grössere  Reihe 
von  wissenschaftHchen  Sammlungen  und  Instituten  ange- 
gliedert und  untei^eoi^net.  von  welchen  ich  die  damalige 
Hofbibliothek,  jetzige  Hof-  und  Staatsbibliothek,  das  Xa- 
tumliencabinet.  das  chemische  Lab>ratorium.  das  Mfin/cabinet. 
das  Antiquariuin .  das  astronomische  Ubservat^triura  als  die 
wichtigsten  nenne. 

Eine  Aenderuni;  in  dit^er  (>rcrani»atinn  veranlasste  die 
Verlegung  der  Ludwiif-Maximilibins-lniver^ität  von  Landshut 
nach  München,  welche  im  -hihre  1>^2'1  unter  der  Regierung 
Kiinig  Ludwisr--  1.  trfolirte.  Manche  der  genannten  und 
andere  wissen>cha!'iliche  Institut*-  und  Sammlungen  mnsaten 
nun  in  nähere  ViTbiiniuiii:  mit  der  Hochschule  gebracht  und 
desshalb  ans  ihrer  bisheri<;en  Al>häniriirk<_'it  von  der  Akaileuiie 
theilweise  befreit  werden.  Es  erscliien  als  zweck mris>ig,  in 
der  Form  einer  Personalunion  ihre  Verhindunir  mit  der  Aka- 
demie tiirt/usetzen.  indem  liit*  Akaileniikcr.  wt-iche  Conserva- 
toreu  \\>u  Sammlungen  waren,  aucii  zu  l'uiver>itätsprofes- 
soren,    udt-r   unigekt-hri  riiiver?iiat?prul"t.**5ureu   zu  Couserva- 


r.  P€$te»kofrr:  ErtJffmimjsTtdt. 


S67 


Uiren  ertumofc  wurden.  Die  bis  dahin  der  Akiuleinie  nn- 
g«glivütfrt«n  ivitsen^cliuflliciioa  loitituto  oud  äauimUmgen 
bildeten  eine  eigene  unter  dorn  üeneratconi^ervatorium  (geeinte 
K i"^  '  ift,  wälirend  die  Akiidemie  den  Charakter  eines 
fi<  <  inä  vun  Gelehrten  erhielt,  dea^o  Aufgabe  e»  sein 

aoUic,  die  WisKeuM^haft  zu  pflegen  und  sn  erweitern,  sowie 
durch  \erejnte  tCrufl  Werke  hervorzubringen «  welche  die 
Kraft«  des  Einu'lnuu  übtir&teigeu. 

ZogUich  bekam  die  Akademie  die  Aufgabe,  die  wisisen- 
MbafUioliv  Vi^rbindiing  mit  gelehrteu  Körperschaflea  des  Xn- 
iind  Aiulandt^  ku  pflegen. 

Oi»  Piiixinaltiiiioii    mit  jenen  im  OeneralconjtervatoriüiD 

iten  wiaBeni>cliaftlicben  Sammlungen  wurde  dmlnrch  her- 
geNtellt,  da-ift  der  atifangs  gewühlte,  tlanu  vom  Künig  ernannte 
VuntAXkd  der  Akmlemie  zugleich  zum  GenoralcuiiHervator 
bestimmt  wurde,  »owio  dadurch,  daiä  in  der  Kegel  nur  Mit- 
gliedar  der  Akademie  zu  Conservatoren  der  wisse nscbaftÜchen 
Sammlungen  und  Institnio  ernannt  wurden. 

[Jurdi  die.«u*  Neunrgauitiiitiun,  wclube  heute  noch  du» 
Gnindgesetz  beider  KiJrperschafteu  büdel,  hat  König  Ludwig  I, 
den  Anftprueh  erworben,  den  Orfindern  unserer  Akademie 
beigesälilt  im  werden. 

Unsere  Akatlemie  ial  in  ilen  seitdem  verstrichenen  sieben 
Jahrxelmteu  der  ihr  gestellteu  Doppelaufgabe  treu  geblieben: 
in  einer  langen  Keih*)  von  Händen  hat  »e  durch  vereinte 
Kraft  wuftieüpchbftliche  VVörke  von  bleibendem  Werthe  ver- 
5fl»»lli<3bt;  in  ület«  äteigendem  Ma^iäe  bat  nie  mit  gelehrten 
Körper^- haften  dtw  in~  und  Auslände»  wi-uenw-hiiftlichen 
Verkehr  geptiogen  und  auf  dem  Wege  dea  Schriftentaiusche* 
die  inxwiKbeii  »rt1'?<iänd)g  gewordene  Uof-  und  Stiukt^bibüothok 
mit  einem  Schatz  werthroUer  Bücher  bereichert. 

Aber  eine  neue  groMC  Aufgube  ist  Mither  an  unsere 
Akademie  wie  an  die  anden^n  verwandten  Oelehrteu-QeselU 
«obaftcu   der  alten  und  neuen  Welt  herauge treten«  die  Auf- 


9G8      SittUHff  der  mtUh.-iihtfif.  Claiae  mm  tS,  ^ortmler  IfiSö. 

gilbe  Dninlich,  nicht  nur  die  wiaätinscliaftliclien  Untcrsuchutij^en 
ibrer  Mitglieder  durch  den  Druck  en  reröffentlichea,  sondom 
in  Freierer  Wei>ie  nuch  gelehrt«  Forschungen  Andcri^r  «uf 
allen  VVissenagebielon  aiiznregen  und  zu  unterstützen.  Dieser 
Aufgabe  können  t>ich  die  Akudemion  in  ihrvr  freien,  nicht 
durch  die  Zwecke  des  Unterrichts  gehundenen  VerfiuKtin^ 
weit  besser  unterziehen,  »U  die  rniverbitäten,  uder  als  eine 
etwa  unmittelbar  von  der  Staatsregierinig  abhiingige  Beh5rtlt*. 

König  Maximilian  II.,  mit  seinem  erleachtet«n  und 
warmen  Interesse  für  die  Wisyenschuft,  hatte  diese  neue  Auf- 
gabe der  Akademie  klar  erkuont:  er  begründetu  darum  bei 
der  historisclien  Cliisse  uii.terer  Akademie  eine  eigene  hi'^t-i- 
riäche  Comminsion  und  «teilte  ihr  die  Kente  einen  CapitMls 
von  6.')0,0ü0  Murk  zur  Verfünrmg  mit  der  Aufgabe,  QnellfU» 
nuiterial  für  die  deutsche  Oenchu'hte  in  ihrem  ganxen  Dm- 
fang  aiifzutinden  und  herauszugeben,  vtssencchafUicIie  Ar- 
beiten auf  diesem  iiebiete  hervurxurufen  und  ihre  Pohlicatiou 
zu  enuüglicheu. 

Auch  fQr  die  NaturwisseoiKhaflen  batt«  K5nig  Max 
Aehnlichea  im  Sinne.  Leider  hut  sein  frOher  Tod  die  Aos* 
fnhrung  rereitelt,  ^\  das»  nunmehr  die  l>eiden  linderen  ClasaeO 
un«erer  Akademie,  diu  phüijNupbisch- philologische  und  d\i 
mathemati:ich-phj^ikalische,  mit  einem  gewinen  Neid  auf  ihre 
reichere  SchweNter  blicker. 

l^nd  doch  dari'  ich,  ohne  den  Vorwurf  einer  unbilUgvn 
UevorzQgUD«  duA  WlsHenägebietea,  dem  ich  penunlich  meine 
Dienste  gewidmet  halw^  befOrchlun  zu  mEfMien,  hier  di«  \^^ 
hnuptnng  auf^it^llen.  daas  heutzutage  <t      V         '  .    ''  '■■  m 

tiebiet     der     NaturwiaMtuehalleu     wi  •:- 

ttuchungen  Anzuregen  und  zu  untendCftzen,  aUgeturin  aU  dat 
allerdringetid»tf?  empfunden  wird. 

rosere  Uofiuung,  dui  auf  dem  Wege  der  StaatAhlUf« 
dieses  iSedUrfnim  eine  auAgiebi^o  Befrit^igung  flndra  werde, 
ist  — '   üflai  geetanden   —    nur  eine  geringe.     £!■  wfir«  auch 


p.  Vtltenicofer:  Üröffnungareäi . 


m 


n  '  "  -    von   der  Mehrheit  der   «ii»   der  Mause  de«  Volkt» 
u  1  Vertreter   7M  erwarten,    dhss  nie   alle  ein    klares 

VffrKtiindni-«    dafür    liiilMm,    daa«    miUelhar    die    der    reinen 
iV  iiaft,    dienL'nden    üntennichunKen    tmd    Korsclrnngen 

^-..1  eine  die  Woblfahrt  und  den  Wohlntand  de»  kränzen 
Mkw  r'>rderDdo  Kot^e  haben,  wofUr  ich  Beispiele  in  meiner 
Antrittsrede  als  Präsident  der  Akademie  mit^etheili  halw. 
Ferner  aind  die  Anfr>rderiin>;en,  welche  Heer,  Schule,  Ver- 
kehr II.  ft.  w.  an  die  Steiierkrufl  des  Landen  »teilen,  so  gross, 
dass  jede  Lnndtat^verhandliing  fHst  iuinier  wie  ein  Markten 
Kwittcheii  Regierung  tin<l  Volksvertretung  über  diw  Mehr  «der 
Minder  der  für  diew  nuthwendigsten  BedürfniH-so  fiforder- 
liehen  Geldmittel  erscheint. 

Eher  dürfen  wir  erwarten,  duss  einzehie  einwchtigo  und 
zugleich  wohlhabende  Männer,  namentlich  Industrielle,  welche 
mit  einem  durch  eigene  wiaieDachafUiche  Vorbildung  gc- 
■kchürflen  Urtheil  erkannt  haben,  welche  Vortheile  der  Ton 
hnen  betriebene  Industriezweig  mittelbar  streng  wisseu- 
diaftlichen  Forschungen  und  Untersncbungen  verdankt,  sich 
ibrcrKeit«  der  Wissciwchaft.  gleichtun  wieder  dankbar  erweisen 
n-'T'Ii-n,  indem  sie  unserer  Akademie  die  iiothigen  Mittel  zur 
Verfllgnug  stellen,  uaturwiasenächafttiche  Forschungen  und 
Untt'rMunhuugen  anzuregen  und  7u  unteretützen.  Solche 
Männer  werden  nicht  so  engherzig  oder  knrriiichtig  sein,  xn 
erwarten.  da.i-*  derartige  riiti^rsnohuiigt-n  gleich  von  vorn- 
herein Mtfort  einen  in  Geldwcrth  umzurechnenden  Nutxcn 
versprechen,  üondem  sich  von  den  Wuhleiprachen,  welche 
iiiiaerB  Akademie  hei  Au-vichmHckung  dieses  Saales  sich  au- 
greignH  hat,  den  vor  Augen  halten,  welcher  sagt;  Serimus 
mrboret  poateritati  profutunüt!  LusAt  un»  Baume  pflauxen 
der  Nachwelt  lum  Nutvtent 


370     Sitzung  der  mathrphyg.  Glosse  vom  15.  November  1895. 

Wahlen. 

Der  Classensekretär,  Herr  C.  v.  Voit,  giebt  eodanii  die 
vüD  der  Akademie  Torgenonimenen  und  von  Seiner  König- 
Hchen  Hoheit  dem  Prinz -Regenten  bestätigten  Wahlen  be- 
kannt. Es  wurden  in  der  mathematisch-physikalischen  Classe 
gewählt : 

zum  ordentlichen  Mitgliede: 
Dr,   Ferdinand    Lindemann ,    ordentlicher    Professor   der 
Mathematik  an  der  hiesigen  Universität,   bisher  ausser- 
ordentliches Mitglied; 

zum  ausserordentlichen  Mitgliede: 
Dr.  Wilhelm  von  Miller,  ordentlicher  Professor  der  Chemie  , 

au  der  hiesigen  technischen  Hochschule;  J 

zu  correspondireiiden  Mitgliedern:  i 

1.  Francesco  Brioschi,  Präsident  der  Accadeniia  dei  Lincei 

und   Prüfe:*sor    der   Mathematik    am    K.  Istittito    tecnico 

superiore  in  Mailand; 
'2.  Dr.  Karl  Neuniann,  Professor  der  matheniatirschen  Physik 

an  der  Universität  zu   Leipzig; 
;J.  Dr.  Hendrik  Antoon  Lorentz,  Professor  der  Physik  an 

der  Universität  zu  Leiilen; 
■1.  Dr.  Alexander  Kowalewski.  Professor  der  Zoologie  und 

Akademiker  zu  St.  lV't<.'rsburg; 
."(.  Albert  Uaudry,  Prolosor  der  Paläontologie  am  Jardin  j 

de.>   Plantes  zu   Paris,  Menibre  de  Tlnstitut;  j 

<■".  Sir  Archibftl'l  *ieikie.    tienunildirektor  der  Geologieal 

r>urvev  viin  Gr^^^^lJ^itilnIlit'n  in   London  ; 
7.   Ni'vil   Story  Maskelyiio.   Professor  der  Mineralogie  an 

der  UTiiver>ität  zu  t>xi'urd. 


371 


flitsimg  vom  7.  Dwemlifr  IgWfi, 

1.  HoiT  H.  SKKMaKR  In^t-  nnf^r  H«M-itrc(;lning  Jes  Inliulin 
t*Inc  AbUundlung  des  Herrn  Vroi^^on  Dr.  K.  Leqmamn- 
KiTBEsin  Berlin:  .üeber  die  SUcuUrAt<irutig  tler  Länge 
des  MnntieR  tintcr  d«r  Annfthtne  oiner  sich  nicht  mo- 

U'ntun  fortpfl»KZt»iiden  Schwerkr»ft'   vor. 

2.  Herr  W.  Dyck  bringt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
IVivmtdnxenten  Dr.  Eduard  von  Wkber:  .Ueber  gewi««© 
S^nteme  Pfttff'acher  Oleichüngon*   in   Vorlage,    welche 

^  «ch  an  die  in  der  Kebraar-Sitzung  d.  J.  mitgetheilte  Unter- 
^■^sQcbnng  anäclilieäsL 

j^^H  3.  Herr  C.  v.  Vqit  tbeilt  die  Hauptresultate  einer  in 
^^^win«>m  Ijabonitorium  von  Hrnrn  Dr.  AtKXANDBK  Ku.iNGEk 
^HKa^Ueführtcn  Untu^!^uchullg:  «lUber  dun  Nührwerth  deü 
I^^^AuiijiGptons*  mit. 

m    üeber  die  Säcularstörung  der  Länge  des  Mondes 
unter  der  Annahme  einer  sich  nicht  momentan 
fortpflanzenden  Schwerkraft. 

rWivifaitfbi  7.  DNtmkn.l 

Seitdum    Laplnc«    im    VII.  Capitel    den   X.  Buches  der 

nique  Celeste  eine  Untersucbuug  tllwr  die  Wirkung  einer 

-ion    «Qccefaive   de    In    pt^antenr"     miti^otheiU    hat, 

^1 !;3cbe    Diftcnsnonen    des    Newlon^chen   Oravitatitinä- 

g<  v-t/<  -^  for  lange  Zeit  von  der  Tage.inrdnung  rerst-liwundfU. 
Krot  in  nrueror  Zeit  hat  ainn  derartige  Kragen,  Ober  deren 
^V-  ■  V  V^it  wohl  kein  Streit  «ein  kunn,  wieder  mehr  in*s 
A  .i.-1-it,  indem  nmn  einerseir.'S  die  Fr»lgi«n  i-iner  t'iwnigein 

rndliche»  KortpflanKtingsgeAch  windigkeit  dtT  Qraritatiun  für 


372      SUfunff  Ar  malhrj^y».  (JlmM  vom  7.  Dteember  tSM. 

die  planeUriscben  Bewegungen  auf  Grund  Ternchiedener  Uj- 
potheian  erörtert,  andererseits  in  Krwägiing  gezogen  hat,  ob 
die  Inteosilüt  der  Krufl  nicht  in  niiier  linderen  Fomi  a!« 
Function  des  Abotandes  der  sich  anziehenden  Massen t hei Ichiii 
^e^ebei)  trerden   nitiHS,    aU  gm  durch  Nowtxiu   gtäcbehen  iat. 

Beeocdera  die  letztere  Frage  hat  vor  etwa  einem  Jahre 
»tine  sehr  bedeut^iime  K5rderuns^  erfahren  durch  SeeUf^r'a 
AiifttHtz  .flebt^r  dius  NewtrMr»che  OraviUiionsgoMtK*  (Attr, 
Nnchrichten  Nr.  327<i).  Eine  weitere  sehr  amfassende  Biv 
rcicherung  di<r  diesen  Uogensturul  betrefTendt-n  Literatur  ist 
erfolgt  durch  die  soeben  erschienene  Schrift,  ton  Cur)  Neu- 
munn,  « Allgemeine  Untersuchungen  Über  das  Newton 'sciie 
Princip  der  FernwirkuDKen/  Ueber  den  Inhalt  dieaes 
bi>chst  wichtigen  Werkes  gab  schon  eine  ohne  Zweifel  vnn 
C.  Keiimann  selbst  Terfasate  Anxeige  in  lien  »Mtiteihmgen 
der  Verlagsbuchhandlung  B.  (S.  Teubner  in  Leipzig*,  28,  Jahr- 
gang, Nr  5  eine  vorlänfige  Orientirung. 

TJebcr  die  xiierst  genannte  Fmgo,  die  nach  drr  awrit- 
Ucben  Fortpilan/uug  der  Gravitatiun,  liegt  gleichfalls  eine 
anwhuliclie  Literatur  vor.  Li  di&tes  Gebiet  gehören  auch 
iVw.  1'nten4iichungpn  (tber  den  KinRuss,  welcln^n  z.  B.  die 
relatire  Gescbwiudigkeit  der  sich  anziehenden  Punkte  auf 
Grund  des  Weber'scheii  oder  Riemann'schen  Gesetzes  auf  die 
planctJiriK'hon  I^jwegungen  ttii:snbt.  Eine  »ehr  schätzhare 
/Cusjimmenntelhing  der  wichtigfiton  oinKchlägigen  Arheit«*n  i»i 
erat  kUr/.lich  in  dem  Auf>Ht/.e  von  S.  OppeiihMint  .Zur  Krag« 
nach  der  Fortpflunzungvgeichwindigkeit  der  GravitAbon*, 
Jahresbericht  llber  das  k.  k.  Akadenii»che  Gymnasium  in  Wjtn 
für  dai  Schuljahr  1894—95,  gegeben  wonlon. 

Die  vorhandenen  Untersuchungen  begeben  sich  alte  in 
erster  Linie  auf  die  Itewegnng  eine»  Planeten  um  die  Sonne« 
und  *'inc  Anwendung  diT  für  die»e  gefundenen  Formeln  aaf 
die  B«wi.*guiig  des  Munde«,  wie  sie  S.  Oppenheim  auf  S<  IH 
»eiiivr  SohrifL  bei  Baiprecbung  der  von  v.  Hepporger  ifi  dau 


t^hmanit'hVhfA:  HücutarMtärunp  rfw  lainqi  da  Mondn  nie.  373 

8itÄung»iherichten  der  kais.  Akademie  der  Wit^sfaschaft«!]  in 
Wien,  1888  voröffentlich ten  Arbeit  „Ueber  die  Fürtpflaniitmgs- 
ffescb^^  Ii    der  VJravitAÜon'    von   dessen  Ausdruf^k    für 

die  Su :  L  tiiiig   der  Läny:e   eines  PUnofcen   geruaobt    düt, 

ftthrt  xn  keinem  richti^n  HesalUt. 

Der  Verfasser  der  vorliegenden  UnterHuehiin^  h«t  bereits 
im  .Iiihre  1884  in  Nr.  2<>.^0  der  Astr.  Nachrichten  eine 
Untv^miichving  Ober  die  Bewegung  eines  Planeten  unter  der 
Annahme  einer  gieh  nicht  tnomentun  fortpHan7.euden  Schwer- 
kraft Teröffcntlicht.  Die  dor  Kcchntinp  zu  Grande  jjelegte, 
später  auch  VOM  ?.  Hepjier^^er  in  Anwendnng  gebrachte 
HjrpotfaeM  ist  die,  da»  die  Gravitation  ähnlich  wie  da^  Licht 
»on  dem  Kraftc^ntrnm  aui^trahlt.  nnd  dasfi  die  tlravitations- 
fttrahten  j<ich  wie  die  Licht-^trahlen  mit  constanter  tiesohwin- 
digkoit  gradlinif7  im  lianmc  verbreiten.  Bei  der  Begegnnng 
mit  einem  Miuäenpunkte  ut  also  deit  demAn^ganj^e  dea  be- 
ti«ff«nden  Imritlaes  eine,  wenn  auch  Uücb  m  kurze  Zeit  ver- 
gangen, in  welcher  der  anziehemde  l'itnkt  im  Allgemeinen 
Moeti  Ort  gettnderi  hat  Hierdurch  entstehen  dann  Be- 
wejriinifKstrvrnngHn  gegenüber  dem  Fall  einer  siich  momentan 
Buabreit'-'uden  Kraft,  welche  eine  gewisse  Analogie  zu  den 
Ab*'rriitif>DM*rschein(ingen  be8it7,en. 

Diese  Ilypotbone  ist  aU  eine  rein  inathemati^cbe  aufzn- 
£uAen.  indem  ir^iend  eine  VorstoIlunR  Öbor  die  physikalische 
Nator  der  (Inivitatioii,  wie  wir  sie  z.  U.  Itei  LupUcu  linden, 
daiin  nicht  aimtgcüiprochen  ist. 

Die  DnrchfOhrnng  der  erörterten  Hyyiotbe^e  i*t  nnn 
jedenfaib  «ino  unvolUtondige,  so  lange  sie  nicht  auf  den- 
jenigen HimmelNkörper,  dessen  Bewegung  un»  wegen  seiner 
gToci(«n  Nfihe  ihre  Kigenthntniichkeiten  am  deutlichsten  er- 
kennen lä^t,  angewendet  ist.  Auch  nnter  Zngrundelegang 
ftoderer  l]ypMtbe«en,  /.  B.  des  Weber'schen  Oe^etKeA,  ist  die 
Moniib«wegiing  bisher  noch  nicht  genauer  untersnuhi  worden, 
ofTenbar  deihalb,  weil,  wie  v.  liepperger  am  Schlujb«  meiner 


37  4       Sitzung  der  wxth-phjf*.  Cla*$€  rom  7.  Dfsmbtr  1S£*5. 

Abhandlang  ganz  richtig  bemerkt,  die  Entwickelaogen  ,in 
Folge  fler  krommlinigeo  Bewegung  der  Erde  ood  der  durch 
die  Sonne  bewirkten  Stürongen  mit  großen  Schwierigkeiten 
TM-bnodea'  sind. 

Wenn  hier  in  dieser  Richtung  ein  erster  Schritt,  der 
boffientlich  Nachfolge  finden  wird,  gemacht  wird,  so  ist  von 
Tomherein  zu  beachten.  A-ass  das  Verfahren  bei  der  unge- 
meinen Comptication  der  Aufgabe  nur  ein  approximatiTes 
sein  kann.  Auch  ist  das  Thema  insofern  eingeschränkt 
worden,  als  vorzugsweise  die  SäcuUrstörung  der  Lunge  zum 
Gegenstande  der  Untersuchung  gemacht  wurde,  wozu  der 
Umstand,  dass  ein  Theil  der  säcolaren  Beschleunigung  des 
Mondes  durch  die  Theorie  noch  nicht  erklärt  ist,  aafzu- 
fordern  schien.  Dass  hierbei  der  Kadinsvector  und  die  Länge 
auch  in  altgemeiner  Weise  untersucht  werden  mussten,  liegt 
in  der  Xatur  der  Sache. 

Das  Resultat  i^t  ein  negatives,  da  nicht  eine  Beschleu- 
nigung, sondern  eine  Vtrrzögerung  der  Mondbewegung  ge- 
funden wird,  deren  Betrag  noobdazu  zu  Annahmen  über 
die  Fortpflanzunjr>gesthw'ii:<iigkeit  der  Gravitation  nötbigte. 
welche  wenig  plausibel  erj^heinen. 

Derartige  Reobminirsertrebnisse  dürfen  nach  An>iebt  des 
Verfa-saer?  nicht  iluhiii  t'ühreu.  die  Behandlung  der  betreffen- 
den Fragen  überhaupt  aufzugeber..  Vielmehr  ^ollte  man  die 
Unter.-«uchungen  auf  ver»ihiedenen  Grundlagen  weiterführen, 
.nicht  etwa".  wi>'  C.  Xeumann  in  iler  erwähnten  Anzeige 
seine*  Buche>  ?agt.  .in  d^r  Hoffnuiig.  d*-:^  eine  soK-he  Theorie 
sofort  zu  phvsikiili^th  wichtigen  Auf^cblü^^st-n  fübien  werde, 
vjndern  nur  in  dem  Be>ireben.  den  j^anzen  Kreis  der  hier- 
b»-r  ;iebörig»^n  \  '>r>ielluijgfn  zu  ordnen,  zu  erweitern  und 
vii.-lleicht   t'iir  kunfliLien   'lelirauili   nutzljar  zu   machen. 


Lehmann-Pühia :  SaetüarstÖrung  der  Länge  des  Mondes  etc.  375 

L  Aufstellung  der  Differentialgleichungen. 

Wir  nehmen  ein  im  Räume  festes  Coordinatensystem  an, 
in  Bezug  auf  welches  der  Schwerpunkt  der  Erde  zur  Zeit  t 
die  Coordinaten  ^ot  i^oi  ^o  ^a^*  ^i^  Element  dm^  der  Erd- 
masse habe  in  Bezug  auf  den  Schwerpunkt  die  Coordinaten 
fo*  9of  io  ""^  ^^"  Abstand  ^^  von  demselben,  so  dass 

Ql  =  3^0  +  924-3?  1) 

Das  Massenelement  der  Erde  wirkt  anziehend  auf  das 
Massenelement  dm  des  Mondes,  dessen  ganze  Masse  m  heisse. 
In  Bezug  auf  das  feste  Coordinatensystem  habe  dm  die 
Coordinaten  ^'.  i/,  t\  in  Bezug  auf  den  Schwerpunkt  der 
Erde  x\  }j\  e'.  Der  Abstand  zwischen  dm  und  dw^  heisse  <$, 
zwischen  dm  und  dem  Schwerpunkt  der  Erde  dagegen  r', 
sodass 

d»  =  {X'  -  y„)»  +  {y'  -  ijj»  +  {z'  -  ,,o)^  , 


l-(/-»)o)*+Ü'-W'  1 

'-'/o-»»o)*H-(C'--:„-io)M 


Wenn  die  Geschwindigkeit,  mit  welcher  sich  die  Gra- 
vitation fortpflanzt,  durch  —  bezeichnet  wird,  so  ist  die  Zeit, 

zu  welcher  der  auf  dm  wirkende  Impuls  von  dm^  ausging, 
gleich  /  —  öd,  und  zu  dieser  Zeit  waren  die  Coordinaten 
von  rfmp 

^o-^fo       ^"'       at       "■"  1-2*       dC^  1-2-3'       rii»        ^"■" 

^o-^9o    "»•     ^i"  '^Y-i'^   di-i        1.2-3*     ,^3"   "T--- 

^i-io      •'°*' V(  "  "T"  i.'2  '      rfr^  1.2.3'    "d(3      -r-- 

Da  nun  aber  jedenfalls  66,  d.  h.  die  Zeit,  während 
welcher  die  Gravitation  die  Strecke  ö  durcheilt,  eine  sehr 
kleine  Grösse    ist,   so  genügt  es,    nur  die  erste  Potenz  der- 


376      Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  vom  7.  Deeember  1895, 

selben  zu  berücksichtigen,  d.  h.  für  die  CToordinaten  von  dm^ 
folgende  Werthe  anzunehmen : 

fo  +  ä«-«''-^t-'^ 

Der  Abstand   zwischen  dm  und  dem  durch  vorstehende 
Coordinaten  bestimmten  Orte  von  dtn^  ist  hiernach 

La(fo+Jo)*      dt       ^a(»;o+M'       <i'       "^atCo+jo)        dt      J 
oder  mit  Hülfe  von  2) 

und   hiernach   wird   die   der  ^-Ächse   parallele   Componentc 
der  von  dm^  auf  dm  geäusserten  Beschleunigung: 

t.       to  — fo +  *'*'— ~  ^7 

(<)+»[(--i,-,„)"''^'«V':'-^„-y*;^''s'+(c'-;„-i„)'"^'"'jj= 

oder,  wenn  auch  hier  wieder  Ö*,  Ö^,  .  .  .  vernachlässigt  werden 
und  ^'  —  £q  =  x\   t/  —  »;o  =  y',   C'  —  C©  =  Jb'  gesetzt  wird  : 

-3e.^'^V"[(-'-fo)'''':it"'+<y-w''''T,t*''+(''-^^''''^T'ij 

Wir  werden  nun    zunächst  in  diesen  Auj^druck    die  von 

.i.'r  li..t.uti..n  ihn-  Knie  li.'rrfihronden  Werthn  von  '','".  ''^.  ''f" 

'//      ((/      ff' 


Lehmann-Fühis:  Säcülarstörung  der  Länge  des  Mondes  etc.    377 

einsetzen.     Bezeichnen  wir  die  Winkelgeschwindigkeiten  um 
die  drei  Coordinatenaxen  mit  q>Q,  Xq^  V'o'  ^  ^^^ 

~^*'  =  ZoJo  — V'o^o 

Indem  wir  beachten,  dass 

«0  d(  ^  9o  dt  -I-  3o  rff  —  " 

ist,   erbalten  wir  für  obige  Beschleunigungscomponente   fol- 
genden Werth : 

-  *'<'<».  j^  +  h  ''ji  +  l,  (Xoio  -  <PM  3) 

-  ZB^-^J."  [(;.■  _  f„) 'Jf  +  W  -  ,„)  «^/^  +  (.'  -  ^,)  '^] 

Um  die  Einwirkung  der  ganzen  Erde  zu  erhalten,  haben 
wir  den  Ausdruck  3)  über  die  ganze  Erdmasse  »ig  zu  in- 
tcgriren.     Aus  1)  und  2)  folgt: 

d»  =  r'»  -  2  {x'  fo  +  ilX  +  ^'  Jo)  +  fo'. 

woraus,  wenn  wir  nur  noch  die  Glieder  zweiter  Ordnung  in 
Bezug  auf  die  Mondparallaxe  mitnehmen: 

^        ^  flu.,. ^'?!>±y'*'-'-'-!^<'     "_eo      »(»+_2)  (■^-'yo+?/t)o+g'to)-1.. 

Wir  nehmen  nun  an,  dass  die  Erde  eine  aus  homogenen 
cüncentrischen  Schalen  zusammengesetzte  Kugel  ist,  so  dass 
der  Schwerpunkt  im  Mittelpunkt  liegt  und  alle  Durchmesser 

18M.  Ibtli.-|di7«.  CL  8.  26 


378      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  7.  Dezember  1895. 

Hauptträgheitsaxen  sind.     Wir  haben  dann  nach  bekannten 
Sätzen : 

JyS  dnh  =  S^l  ''»«o  =  Si  ^»h  ==  "a  }   5) 

XeS  dntt,  =  2-^0 

X{^'  fo  +  y'  ^0  +  ^'  3o)*  '^»'o  =  ^'  ^0- 

wenn  mit  Aq  das  Trägheitsmoment   der  Erde  in  Bezug   auf 
eine  durch  den  Mittelpunkt  gehende  Äxe  bezeichnet  wird. 

Mit  Hülfe  von  4)  erhalten  wir  hieraus  folgende  Re- 
lationen, in  denen  nicht  über  Glieder  zweiter  Ordnung  hin- 
sichtlich der  Mondparallaxe  hinausgegangen  ist: 

f'-'-t,,   ,  .•■■  L    4-  «("-3J.-<ül 

J      ,T''"'o  =-,.„['""+         4         r=J 

J        fiH        "»'0        r-«  ["'0  i-         4         r'sj  ^  2r'N 


+.^ 


6) 


Lekmann-FUbes:  Säcularstörung  der  Länge  des  Monäes  etc.    379 

J   ~~di '^'"0  -  v^  [»»0  +  —r-  ?aj 

fU'-to)(x'-So)  ,      _  *V  r        ,    n(n-5)  ^ol 
J  s»  «»"o  —  r'„  [»'o  -r     "4        r-aj 

n^' - Jo) (y- tto) ^^  _ ^'v' L  _i_  « (" - 5) ^ol 

J sn ^*^o-  7^  [«0  +  — ^—  iiiaj 

ff^'  -  rol  lo  j„,   _  «-  a  ."  ^0 Ao 

Mit  Hülfe  dieser  Relationen  erhält  man  als  Integral 
von  3): 

Wir  haben  hieraus  die  Coniponente  der  bewegenden 
Kraft  zu  berechnen,  welche  die  Erde  auf  den  ganzen  Mond 
ausübt.  Zu  diesem  Zweck  ist  der  vorstehende  Ausdruck  7) 
mit  dem  Massenelenient  des  Mondes  zn  niultipliciren  und 
über  die  ganze  Mondniasse  zn  integriren.  Wir  nennen  die 
geocentrischen  Coordinaten  des  Mondschwerpunktes  j;,  ;/,  z-, 
die  auf  diesen  Schwerpunkt  bezogenen  Coordinaten  dos 
Massenelementes  f,  ^,  j;  den  Abstand  des  letzteren  vom 
Schwerpunkte  q.     Dann  ist  in  7)  einzusetzen 

a:'  =  X  T-  f,  y'  =y-\-\),  z'  =  z -{'  l, 

r'»  =  ( X  -i  f )»  +0/4-  X))^  +  (^  +  \Y  =  *■»  4-  2txy  +  ^1)  -f  ^5)  -1-  q\ 

wo 

r»  =  a:»  +  i,^  +  .-», 

Q^=f^  1,'^  +  j^ 

25» 


380      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  7.  Dezember  1895. 
Hieraus  folgt  nach  Analogie  von  4) 

r'"'"r''[  r«  2r^'^         2  r*  ]' 

wobei  Glieder  von  der  dritten  Ordnung  in  Bezug  auf  den 
scheinbaren  Moudradius  vernachlässigt  sind. 

Man  kann  hieraus  eine  Anzahl  von  Reductionsgleichungen 
herleiten,  die,  vom  Vorzeichen  der  Coordinaten  y,  9,  3  ab- 
gesehen, den  Formeln  5)  und  6)  analog  sind,  wobei  der 
Mond,  wie  vorher  die  Erde,  als  eine  aus  concen Irischen  homo- 
genen Schalen  zusammengesetzte  Kugel  angesehen  wird, 
deren  Gesammtmasse  i»  und  deren  Trägheitsmoment  in  Be- 
zug auf  eine  durch  den  Mittelpunkt  gehende  Äze  Ä  heissen 
möge. 

Durch  Integration  erhält  man  demnach  aus  7): 

-  P  {"^  X  +  («.„.„  -  '^-^  -t^)  ^l^  8) 

wobei  die  Producte  der  Trägheitsmomente  vernachlässigt  sind. 

Died  ist  die  t-Componente  der  bewegenden  Kraft, 
welche  die  Erde  auf  den  Schwerpunkt  des  Mondes  ausübt. 
Für  den  Einfluss  der  Sonne  kommt  natürlicli  ein  äiinliches 
Glied  hinzu,  in  welcliem  wir  folgende  Bezeichnungen  an- 
wenden wollen: 

Es  sei  m,  die  Masse,  A^  das  auf  eine  durch  den  Mittel- 
punkt gehende  Axe  bezogene  Träglieitsinoment  der  Sonne, 
welclie  wir  wie  Erde  und  Mond  als  eine  aus  homogenen 
concentrischen  Schalen  zusammengi'setzte  Kugel  ansehen. 
Die  Coordinaten  des  Schwerpunktes  (Mittelpunktes)  in  Bezug 
auf  das  im  Kaunie  feste  Coordinateiisystem  seien  sj,  i,j,  Lp 
die  geocentrisehen  CunnJinaten  desselben  I'unktes  x^,  i/j,  £■, ; 
der  Abstand  der  Mittelpunkte  von  Erde  und  Sonne  heisse  r,. 


Lehmann- Fähes:  Säciäarstörung  der  Länge  des  Mondes  etc.    381 

Die  heliocen irischen  Coordinaten  des  Moudmittelptinktes 
werden  demnach  x-—  x^^  y  —  y,,  e  —  e^.  Der  Abstand  des 
letzteren  vom  Sonnen mittelpunkte  heisse  J.  Endlich  seien 
(^j,  Xii  V'i  ^'^  Winkelgeschwindigkeiten  der  Sonnenrotation 
\ini  die  drei  Coordinatenaxen. 

Hiernach  wird  die  Componente  der  von  Erde  und  Sonne 
auf  den  Mond  ausgeQbten  bewegenden  Kraft,  wenn  wir  für 
den  Augenblick  die  auf  das  feste  Coordinatensystera  bezogenen 
Coordinaten  des  Mondmittelpunktes  li  >?>  C  nennen : 

'»  rf,3 *   (  r»    ^^  r**"*>  ra  )  r»  dt 

Q  ^«.«,  mAo^mQA\fix  (     d$Q    ,       dtjo    ,    „'ifo^ 

-"/'^(Xo^-V'a!/)j 
-  ft«  (-;*  (X  -  .,)  4-  (mm,  -  ^^i^^A)  l^  ^. 

Da  wir  nun  die  geometrische  Bewegung  des  Mondes  zu 
untersuchen  haben,  so  muss  auch  -~^^    gebildet  und  von    v.j 

abgezogen  werden,  wodurch     ,'    erhalten  wird. 

Man  findet,  wenn  (y,  x.  •/'  die  Coniponenten  der  Winkel- 
geschwindigkeit der  Mondrotation  bedeuten: 


382      Sitzung  der  math.-pHtjs.  Claase  com  7.  Dezember  1895. 
*    l~"rt8    ^1  +  (^'»oOTi  r^2  ]r^%dt 

~  3  (^.«0»!, ^      j  ^.^,  (^Xj  ^j  -h  yi  d(  -h  ^1  d(  j 

Bildet  Dian  dud  aus  9)  und  10)  die  Differenz 

d»f  _d^  =  ^ 
d/2         d(»         dt* ' 

so  erhält  man  eine  Gleichung  von  der  Form 

rf(a  +  *       H      ^       3x  ^^'  11) 


wo 


o  =  ft>m,  (l_'3+_y?/t±üi) 


12) 


In  dem  Ausdrucke  für  X,  der  alle  mit  H  raultiplicirten 
Glieder  umfasst,  wollen  wir  für  die  Componenten  der  abso- 
luten Geschwindigkeiten  der  Sonne  constante  Werthe  an- 
nehmen, indem  wir  setzen 


dt  '    d 


_  „        "■11  ^   Q        "  «1  _  ., 


Dies  ist  allerdings  nicht  völhg  streng;  denn  wenn  die 
Geschwindigkeitscoraponenten  des  Schwerpunktes  des  ganzeu 
Systems  die  Constanten  Werthe  a,  /?,  y  haben,  so  ist 

dt  ~  V  "^«ii  ^  '    }  »M  (/( 

wo  jeder  Planet    zu    berncksiehtigen    ist.     Setzen   wir  in  X 

einfach      "  =  a  ,    so    vernuchliUsigen    wir    damit  entweder 

Glieder  von  der  Ordnung  der  Producte  der  Planetenmassen 
oder  von  der  Ordnung  des  (Quotienten  einer  Planetenmasse 
dividirt  durch  r,*.  Heide  Vernachlässigungen  bedürfen  keiner 
Kechtfertigung. 


I^ehmann-Fühis:  Säcularsiöning  der  Länge  des  Mondes  etc.    383 
Ferner  beachten  wir«  dass 

fo  =  ^1  —  ^i>  ^0  ^  '?!  -  yn  ^  ==  Ci  —  if, ; 

Hiernach  findet  sich 
X     ~h^  (m,-m)  f  1-  ^»±?o^)  4a-JtX  ( >  -  -^*^.^-)  ^,  a 

+  ft»„.  (1  _  !?:oA±a£o\i 

,   Ttf  \ /1     inj4o4-mn4\  fl'i'',  ,  ,.     /,      mAtA-mnAX  6  dx 

+  3  i-'  (»„  -  m)  (1  -  •"  tf^^)  '^  («^  +  (»2/  +  y^) 

V  mwor*      /  T^  dt 

Durch  cyklisclie  Vertauscliung  innerhalb  der  drei  Buch- 
.staben^ruppen  a;,  y,  -?;  «,  /^,  ;':  */>,  z,  1/'  erhält  man  aus  X 
auch  die  Componenten  Y  und  Z  der  von  der  nicht  momen- 
tanen Fortpflanzung  der  Gravitation  herrührenden  störenden 
Kraft. 

Die  Differentialj^leichungun  di-r  geocontrischen  Hewej^ung 
de:«  Mondes  tauten  also : 


13) 


384      Sitzung  der  mtUK-phys.  Classe  vom  7.  Dexember  1895. 


U) 


Wir  werden  dieselben  jedoch  für  unsere  Zwecke  trans- 
forroiren.     Zunächst  erhalten  wir  leicht 

(lx^-\-dy^-^dz^  —  2  jfc»  '""^"'Q  4-  Ä»  -  "t*^-  15) 

wo  /c*  °  die  Integrationsconstante  iat  und  die  Integrale 

als  untere  Grenze  die  Osculationsepoche  haben. 
Ferner  geben  die  Gleichungen  14) 

Weil  nun  aber  r*  =  x*  -f~  2/*  +  '^'»  *^so 

SO  erhält  man  durch  Addition  von   15)  und  10) 

1  <i'^  (r^)        7.2  "'  -\-  "'0    I     7.»  m  +  n/,) 

2  ~dt^  ~''         r~  +  '^  ri~' 

+  2  J(X<?^  +  Ydy  +  ;frf^)  +  (xX  4-  y  V  +  ^Z) 

Hetrachten  wir  allein  die  durch  die  endliche  Fortpflun- 
zungs^eschwiiidigkeit  dertiravitation  hervorgebrachte  Störung, 
so  erliulten  wir,  wenn  d  jene  Störung  andeutet: 


Lehmann-FVhee:  Säcidariitörunff  der  Länge  des  Mondes  etc.   385 
^^'M^k^^^±a^{rdr)  17) 

H-  2  X(Xdz  4-  Ydy  +  2d«)  +  (xX  -f  yY-\-£Z) 

Mit  Rficksichfc   auf  die  Bedeutung  von  Sl  lässt  sich  in- 
dessen diese  Gleichung  noch  auf  eine  andere  Form  bringen. 

Da  biä  zu  den  Gliedern  von  der  Ordnung  — ,  incl. 

J-r.L'"^  r,»  2r,^'T"2  r,i  J' 

so  ist 

p  _  ^l"!  Fl  _  '  '■^  4-  3  (a'.ri  +  yyi  +  ggi)»'! 
r.    [*        2ri«"^2  r.*         "J' 

oder ,    da   das   Glied  '    weder   zu    <J  ( **  3"  li    noch    zu 

2  d  I  (=-;  dx  ■•\-  y;  dij  -\-     '  dzj  einen  Beitrag  liefert: 

r,     [2  r\*  2   r«]* 

Hieraus  ergieht  sich 


und  analog  ^      und   v    . 
Ferner : 


dx    '    -^  9y  9j  9r 

Mit  Rücksicht  auf  das  Spätere  sollen  hier  an  Stelle  der 
geocentrischen  Coordinaten  x,,  y^,  ^,,  r^  der  Sonn«  die  auf 
den  Schwerpunkt  des  Systems  Krde-Moud  bezogenen  Sonnen- 


386      Siteung  der  math.-phys.  Claa$e  vom  7.  Desember  1895. 

coordiuaten  Xq,  y^,  jPq^  r^   eingeführt   werden.     Man   findet 
sofort : 

X.^Xo-\ j X 

tu 

-^1  —  *o  +  zrx".z-  •  -P- 
fli-|-mo 

«n  1 

Bezeichnen  wir  den  Factor  — . ,  der  etwa    ~  betrü";t, 

durch  e  und  vernachlässigen  e*,  e'  .  .,  so  finden  wir 

p  _  ft2m,  rS  (^.ro-hyj/o+^fol»  _  1  l!] 
ro    La  V  2  ro^J 

,    fc2|M,  l'O  j-xo  +  yyo  +  'f'o   ^a       16  fxjo4- yyo  + g^o)^1  - 

aß  _  khHi  I"    j:go  +  yyo  +  zzp    „  _  5_] 

I    *='_*"i  1 3  ü!:!«   I    6  -gJViH-yyo  +  g^o  _  l5(.r3v,  +  yyn  +  g*o)^L 
"^  "ro    l     ro«   "^  ro*  ro»  J  ' 

Analog  3^-   und   /^. 

AVie  man  sieht  sind  die  mit  e  behafteten  Glieder  von 
einer  höheren  Ordnung  als  die  letzten,  welche  wir  bei  der 
Kntwickelung  noch  berücksichtigen  wollten,  weshalb  wir 
innerhalb  der  festgesetzten  GenauigkeiUgrenze  haben : 

f>  ^  ^^"'1 13  (j!j!a±UÜL±1/o}^  _  1  »■!  I 
ro    [z  ro*  2  ro^J 

Iliernsich  darf  man  also  in  der  StÖrungsftinction  und 
ihren  Ableitungen  die  goocentrischen  Coordinaten  der  Sonne 
durch  die  auf  den  Schwerpunkt  des  Systems  Krde-Mond  be- 
zogenen (harycentrischcn)  Sonnenooordiniiten  ersetzen. 


L^mann-FähH:  Säcularstörung  der  Länge  des  Mondes  etc.    387 
Wir  fÜbren  nun  ein 

x^rcoaßcosX  Xq^Vq  cos  ß^  cos  X^ 

y  =  r  cos  /J  sin  A  y©  =  ''o  cos  /Sq  ßin  Aq 

jf  =  r  sin  /J  ^0  =  »"o  »in  /*o 

wo  X  und  ^  die  geooentrische  Länge  und  Breite  des  Mondes, 
Aq  und  ßfj  die  barycen irische  Länge  und  Breite  der  Sonne 
sind.     Es  ergiebt  sich 

ß= -'^^^^[3cos»/?  -  2  4-  3  cos V  cos  (2;!.  —  2  Ao) 

+  3  sin  2  /?  sin  2  i?o  cos  (A  —  Ao)], 

wo  bereits  die  zweite  Potenz   der  Sonnenbreite  /?o  vernach- 
lässigt  ist.      Da  jedoch    die    Störungsfunction    schon    einen 
starken  Verklein  er  ungsfactor   hat,   so  werden  wir   hier  auch 
das  Quadrat   der  Mondbreite   sowie  das  Product  der  Breiten   . 
von  Sonne  und  Mond  vernachlässigen,  so  dass  einfach 

ß-*-^,^,[l-|-3cos(2i-2Ao)].  19) 

Da 

und 

so  nimmt  Gleichung  17)  folgende  Gestalt  an: 

+  2  X(Xdx  -h  rdy  4-  ^rfiT)  4-  (:r  X  +  y  r+  £r;f) 
oder,  da 


390      SÜMumg  der  matk.-pky$.  Claate  zom  7.  Dezember  18Si5. 

xX+yr+^i^=2*»(«•o-m^(l-?^^^j*;ax-^;?y-r>■.'. 


dt 

\  mwt^T*      J  T     dt 

,<  ["  x  —  X,  +  ;<  j(  —  y,  -/■?  —  ■?,] 

+  t",  (yzi  —  xy,^l 

-^  In  w'or-        '  r-       ^ 

'^  Tnii:„r-        '  f-  'It 

.  ,  m  .■1,1 -i- n:«  .4     f    ■   ff/  —  V  /..• 

—  VMI      1 '—,         I     .  ■  ■ 

n;  B\,r-  r-  if ' 

.,  ,,  ,   ,  y.A.  —  V...\  ,    »F  [ 

—  ..  A*l«,  I  I  -      ^  ;       .     -  I    j.    Xy,  -  yj-,    («    X  -  X, 

....        ,  ,     ««A.-t.+»t.-4o  ,  ■•  j      .        \ 


Lehmann-Fähia :  Säcularstörung  der  Länge  des  Mondes  etc.  391 

+3ft'(m„-«)  ( 1  -  "Ad^f )  |dK«=t+/Jy+y*) 
X[a(x-x,)+ti{y-yd  +  r(^-^J\ 

+  'f  (^-"^^^°  +  ^^r')  {xdy-ydx) 


302      SitMung  der  math.-phys.  Glosse  vom  7.  Dezember  1895. 

n.  Bie  Störungen  der  Planetenbewegnng. 

In  den  Differentialgleichungen  20)  und  21)  treten  d 
Störungen  ÖTf^  und  öXf,  auf,  d.  h.  die  von  der  endlichen  For 
Pflanzungsgeschwindigkeit  der  Gravitation  herrührenden  Sti 
rungen  des  Abstandes  der  Sonne  von  dem  Schwerpunkte  d 
Systems  Erde -Mond  und  der  auf  diesen  Punkt  bezogen< 
Sonnenlänge.  Diese  Störungen  sind  natürlich  identisch  n 
denen  der  heliocentrisclien  Coordinaten  jenes  Schwerpunkte 
Zur  Berechnung  dieser  lassen  sich  die  bereits  entwickelt* 
Differentialgleichungen  nach  einer  entsprechenden  Vereii 
fachung  benutzen.  Setzen  wir  nämlich  in  9)  und  10)  f»j  = 
30  erhalten  wir  die  Bewegung  der  Masse  m  in  Bezug  a 
die  Centralniasse  Mq.  Ist  diese  Masse  ein  System  von  Massei 
punkten,  so  sind  diese  im  Schwerpunkt  vereinigt  zu  denke 

Für  dies»»  setzen  wir  '^^  =  o,  ^^f  =  ß,  ^f  =  /,  wo  a,  /?, 

constaiit  sind.  Hierbei  sind  offenbar  Glieder  von  der  On 
nung  der  Masse  m  vernachlässigt,  welche  wir  als  ausse 
()riiontli(li  klt'in  im  Verliiiltniss  zu  »(<,  betrachten.  W 
worden  deshalii  üherimupt  Glieder  mit  dem  Factor  ni  we| 
lasst'ii. 


llit>niui.'h  wird 


t 


■  (-;■ 


iU        '  ~   .11 
l'iiter  Mitiiuhnk'    der  Uauptijlieder    erhalten   wir  somi 


Lehmann-FUkis:  Säcularstörung  der  Länge  des  Mondes  etc.  393 
Die  Subtraction  ergiebt 

;^  +  iM»»o  +  »»)  ^  =  -  Ä»ö Wo  "a 

Unter   dem    Central körper    wollen    wir  jetzt   die  Sonne 
verstehen,  so  dass  »«^  =  1  gesetzt  werden  kann. 
Setzen  wir 


26) 


so   werden   die    Differentialgleichungen    der    heliocentrischen 
Bewegung : 


+  i-Mi  +  »Oä=A' 


27) 


Aus  diesen  Gleichungen  folgt  in  bekannter  Weiset  wenn 
eine  Integrationsconstante  bedeutet, 

WO  von  der  Osculationsepoche  an  zu  integriren  ist. 
Ferner  folgt  aus  27) 

niitliiii,  weil 

I8W.  lf«Ui.-pby>.  CK  S.  26 


894      SUtung  der  math.-jahy».  Cltuae  vom  7.  Dttember  1895. 
ergeben  die  obigen  Gleichungen  durch  Addition 

Bexeichnet  Sr  die  von  der  endlichen  Fortpftanzungs- 
geecb windigkeit  der  Qravitation  herrührende  Störung  des 
RadiasTOctora,  so  ergiebt  vorstehende  Gleichung: 

W  +  Ä»(l  +  m)  ^^J^  =  2j{Xdx  +  Ydy  4-  ^rf^) 

+  (a:XH-ry  +  f^).  28) 

Wir  Sachen  zweitens  eine  Gleichung,  welche  die  Störung 
der  in  der  :cy- Ebene  gezahlten  wahren  Länge  X  giebt. 
Man  hat  aus  27) 

aUot  wenn  man  von  der  Osculationsepoche  an  integrirt  und 
fOr  diese  Parameter  und  Neigung  der  Bahn  gegen  die  xy- 
Ebene  mit  p  und  i  bezeichnet, 

^.^PjryA^  -  fc  /p  (1  +  »I)  cos  t  ^^{xY-  yX)  fU. 

Setzt  man  zur  ÄbkQrzung  die  Projection  von  r  auf  Hii) 
a;y-Ebene  gleich  ^,  so  hat  man  also 

P»  f  ■  ^  Je  Vi(l  -f^fii)  •  cos  t  -i-  J{x  Y  —  yX)  dt. 

Für  die  Störung  dX  hat  man  demntich  die  Differential- 
gleichung 

Da  nun  dp  von  der  Ordnung  der  Grösse  0  ist,  so  kann 
dk 
dt 


man  statt  -rr  den  ungestörten  Werth 


—    \ •  cos  t 


Lehvumn-Fühis:  Säaäarstörung  der  Länge  de$  Mondet  etc.  395 
einsetzen,  so  dass 

-jf= ^i  cos»  (gJr)  +  -^{xY—yX)  dt.   29) 

Da 

so  ist 

QÖQ  =  rSr  —  ede. 

Man  wird  demnach  auch  de  zu  berechnen  haben.    Ans 
der  dritten  Gleichung  27)  ergiebt  sich  sofort 

^  +  A'  (1  +  «')  ';  =  3  *•  (1  +  «)  .t^'^  +  Z.     30) 

Wir    wenden    uns   zunächst   zu   der   Storungsgleichung 
für  dr.     Man  findet 

Xdx  +  Ydy  J^  Zdz  =  ~^ {adx  +  ßdy  +  ydß) 

-\.  tü{edx-xäz)-\-^>^{xdy~ydx)] 

Nun  ist,  wenn  Q,  die  Knotenlänge,  t  die  Neigung  der 
Bahn  gegen  die  x^- Ebene,  p  den  Parameter  bedeutet, 

ydg  —  edij  =       ]cVp[\  -\-  m)  sin  ism^dt 
sdx~  xdz  =  —  kVpiX  -\-  m)  sin  «cos  ß  dt 

xdy  —  ydx  =       k  Yp  ( 1  -f  '»)  cos  i  dt, 
so  dass 
X^/a:4-  Ydy-^Zdz^^  -  ~  {adx  ~\- ßdy  +  yde) 

+  ;JÄ«ö(ax4-/?y  +  y^)$ 

-j-  (/'j  cos  ij  d  t. 
26* 


396      Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  7.  Dezember  1895. 

Bezeichnen  wir  die  Rotationsgeschwindigkeit  der  Soane 
mit  ß;0,  die  Neigung  und  Enotenlänge  des  Sonnenäquators 
in  Bezug  auf  die  a;^- Ebene  mit  J^  und  Kq^  so  ist 

yo  =       ^0  8in  Jo  si«  ^o 
Xo  =  —  Wo  sin  Ja  cos  Kq 

ipQ  =       ioq  cos  Jo  , 

wodurch  die  letzte  Klammergrösse  wird 

Wq  [sin  Jq  sin  i  cos  {Kf,  —  ß)  +  cos  Jq  cos  »]  =  Wq  cos  Aq  , 

wenn  Nq  die  Neigung  des  Sonnen äquators  gegen  die  Planeten- 
bahn bezeichnet.     Hierdurch  wird 

Xdx  +  Tay  -\-Zd2=-  —  ~  {adx  +  ßdy  -f  ydg) 

+  3A»Ö  (ax  ^ßy^-  yz)  %  +  ^ft'MoC^o  V'^cos  iVo~ 

Nun  ist 

mithin 

t  t 

J( AV/x  +  Y<ly  +  Zrf^ )      -  A'^ f*  '^f '^'" -h/^'ö J(aa:+  ,^i^  +  ;'^)  ~ 

U  0  ( 

0 

+  ^  ö ^^, 

wo    die   Integrale    als    untere    Grenze   die   Osculationsepoche 
^  =  0  haben,  und  Xg,  y^.  Zq,  ^o  f^'""  die:se  Zeit  j^eiten. 

Ist  M   das   Art^ument  der   Breite,   su    findet  man   leicht 

ux  -{-  fiy  -^  yz  ^=  r  (a'  ccs  ?/  -f~  i^'  -"^i"  ")i 

wo  wie  in  A.  X.  2)130 

u'  =  u  cos  O)  -\-  ß  sin  i^ 

,V'  =  —  «  sin  ^r^  cos  (  -j-  ;">'  iv»>  ''~',  fus  /  -|"  /  '^in  '• 


Lehmann-Filhis:  SäcuJarstÖrung  der  Länge  des  Momles  etc.  397 

Da  ferner  «  =  u  +  '"i  wenn  v  die  wahre  Anomalie,  w 
den  Bogenabstand  des  Perihels  vom  Knoten  bedeutet,  so  ist 
auch 

ax  -{-  ßy  -\-  yg  =  r  (et"  cos  i;  -j-  /If"  sin  r), 
wo 

a"  =       a*  cos  ta  -\-  ß'  sin  w 

ß"  ^  —  «'  sin  io  +  /?'  cos  w. 
Demnach  ist 

J(ax  -^ß!/-\-  YJf)  ^'  =  a" Jcos  f  'i^  +  ß"j.m  v  '^,. 
Diese  Integrationen  sind  leicht  auszuführen. 

Da  nämlich  rfr  =  Ä- 1/  --"^  •  csin  rd^,  wo  e  die  Ex- 
centricität  bedeutet,  so  ist 

Mithin 

f(ax+i^i/4-j'Ä)'|i- -;^^(a" 00821-+;^" sin2t—2/^"i)  +  Const. 

Endlich  ist 

=      rrW^    fd  +^-'~f- 2c  cos  r  +  ;%o.  2  r)  rff 
=      i/ 1  ('  -^  ^'l''  -i   ^*^"i»  '■  +  T«i"  2i]  -f-  Const. 


398      Sitzung  der  math.-j^hys.  Glosse  vom  7.  Dezember  1895. 
Hiernach  wird 

+  — 2>»      lA'  +  äj"- 

4-  2  csin  r-r  ,  sin  2t 

4 


-] 


k'^Be 


+  '^>-cos2i'o+/S"8iD  2to+2/f  "to^ 

4p 


&'d^OO>oCOI 


^[(^  +  ^)^o 


2p* 
+  2c8inio  +  -8in2vo  • 

In  28)  tritt  auch  die  Grosse  xX-\-yY  -\-  zZ  auf.    Wir 
finden  leicht 

a;X+//r+irZ=2Jt»ö^-t^/--t-^-^' 

r 
Setzt  man  nun  31)  und  32)  in  28)  ein,  so  ergiebt  sich 

—^ — |-Ä:»(l+»«)-^  =  -  2^-(«   cos2t+/^'sin2i;-2^"r) 

+     "     K'  "lA*  +  2J^' 


+  "Je  sin  i'  +  ,    sin  2i- 


wo 


I^htnann-Vähni:  Sücvlarvtärung  der  Länge  des  Munde»  etc.    399 
^tzen  wir  ferner 


J?  = 


aA'fliiowoCOs  J^o 


F=  —       iiß'*  —  — 


fttpCOB  J 


so  nimmt  die  DifiTereniialgleicIiung  für  dr  fulgeiide  GeäUlt  an 

33) 


^"^'^^k^H^mf-^j; 


dit 

=  C-f-  Ö*J  4-  -ß^ain  t  -j-  Feaia  2ü  4"  Geco8  2i;. 

Der  Umstand,  dass  diese  Dißerentialf^leichuDg  aaf  der 
rechten  Seite  nur  die  Variable  v  enthiilt,  tat  ein  Kingerzeig, 
doM  man  diese  vortheilhaft  als  unabhängige  Variable  ge- 
braachen  Icann. 

Mit  Zngnindelegung  der  fQr  die  ungestörte  Bewegung 
geltenden  Oleichtingen 


dv  _  t  K p II  +  p*)     rfr 
dt  ""  r«  'dt' 


ky   -^  -  e  Rin  L-, 


il(t  fZ  '    *"        I  +  ecOTt' 

\i  man,  wenn  man   1  -|-  m  ^  1  . .  .  setzt, 


rfi» 


'':.'m^'T'^)-'^'{^^'^-H 


Setzt  mau  dies  in  33)  ein,  so  ergiebt  sich 

esii 
-\- Fe  sin  2v -{-  Gecos2v)->^  W, 


%'  •¥  ^r  =  -^-^(C^  Dv-\-  Ecmv  34) 


398      Siteung  der  math.-phys.  Glosse  vom  7.  Dezember  1895. 
Hiernach  wird 


I  k^eAQtoQCOBNo  r  /  -    ,   e^\ 
-f-2esin  t-p  ,  511121) 


31)  -1-  i»Ö  °'  CO«  «^0  +  ß'  "'°  *'o 

4p 

(9  1 

+  2c  sin  i'o  4-  -  sin  2  Uq  . 

In  28)  tritt  auch  die  Grösse  xX  +  yY  -\-zZ  auf.    Wir 
finden  leicht 

j;X  +  }iY^  zZ  =  lU-v>  °'^  + AyJr.j'^ 

r 
Setzt  man  nun  31)  und  32)  in  28)  ein,  so  erj^iebt  sich 

(■^  1 

+  •Jt'sin  '"-f  ,    sin  2f 


wo 


-  '-"-'^'^r"^'!  ( >  +  ^)-o  +  2«^«"  .„  -r  ■;.in  2.„| 


Lehmann-Fühis:  SäcuJarstörutig  der  Länge  des  Mondes  etc.   399 
Setzen  wir  ferner 

E  _  2A-^fl.^oa)oC03  JTq 

jP _  ^^((^u  -^owoCoa-Wo  e\ 

ff  =  —  -—  a", 
SU  nimmt  die  Differentialgleichung  für  dr  folgende  Gestalt  an 

=  C  +  7)v  +  JS:c8ini-|-Fcsin2tJ  +  6rccos2t*. 

Der  Umstand,  dass  diese  Differentialgleichung  auf  der 
rechten  Seite  nur  die  Variable  f  enthält,  ist  ein  Fingerzeig, 
dass  man  diese  vortheilhaft  als  unabhängige  Variable  ge- 
brauchen kann. 

Mit  Zugrundelegung  der  fUr  die  ungestörte  Bewegung 
geltenden  Gleichungen 


at r'2         •    di~^y    ~ 


_  +  tM        . 

— —  c  sin  f, 


,/(2  j-a   '        '    ''        l-(-eco8i' 

orhült  man,  wenn  man   1  -|~  "t  =  1  .  .  .  setzt, 

dt^^       dt^'^*^~^'^di-dT~^'^  dt^' 

kh^coat-  .         2k'^e»mvd,)r        (h^pd'^fir      2A'-=f ainiwM/-\ 

r*    \  rf f*  p  /         j^    \d v^  p       } 

Setzt  nmn  dies  in  33)  ein,  so  ergiebt  sich 

'!"/'/ + ^'- = A-C  ^'' + ^''  +  ^'  '"•  *'       ^^^^ 

+  Fesin  2f  +  ffc  cos  2i)  =  TK 


402      SitMung  der  mtUK-^ys.  Cleute  vom  7.  December  1895. 

In  einif^en  dieser  Integrale  tritt  t;  ausserhalb  des  Sinus 
und  Cosinus  auf;  diese  Glieder  sind  in  dem  zweiten  und 
siebenten  Integrale  allerdings  nicht  vollständig  angegeben, 
jedoch  sind  sie  deshalb  nicht  von  Bedeutung,  weil  sie  mit 
höheren  Potenzen  von  e  multiplicirb  sind  und  ausserdem 
periodische  Factoren  haben;  v  tritt  in  diesen  nur  in  der  ersten 
Potenz  auf.  Dagegen  tritt  v*  nur  in  dem  zweiten  Integrale 
auf,  und  zwar  ohne  periodischen  Factor.  Die  Vernach- 
lässigung von  e\  e*  .  .  .  ist  daher  berechtigt,  da  die  wich- 
tigsten der  säcularen  Glieder  mitberücksichtigt  sind. 

Nun  ist 

<Jr  —  c, sin  V  +  Cj cos  i' +rj-  {sini J*r'costr7u  —  costj r'sin vdi) 

4- .  j  -  {sin  r J  r^L'  cos  vdv  -  cos  i' J  r'tsin  irft} 

H-T^^lsin  rir^sin  vcosvdv 

—  cos  i'Jr'siu'irfi/ 

+  ,.,    {sin  r  (r'-'sin  2v  cos  vdv 

—  cos  fjr^sin  2v  smvdvf 

-|-  ,    {sin  r  j  r^  cos  2  v  cos  v  d  v 

—  cos  i- }r^  cos2v  s\n  idvf 

d.  h.  mit  Vernachlässigung  von  c',  e'  .  .  .  . 

Or  =  c,  sin  V  -\-  Tj  cos  r  -\-  -f-        - 1  ,lh) 

3  Ca^         .  /3  7J««    .     l  7s'(i*\  8  ;>*(-'      .,    . 

-g    -^^cs.n2r-g    ^.,   .cos2..- 

Die  Con^tiinten  c^  uniJ  Cj  hat  nitin  geinibw  ^\^^T  Bedingung 
zu  bestimmen,  dass  für  ilie  Os<ulationsepoclie,  d.  li.  für  /  ^  ü, 

sowohl  cir  als   auch  —r-  verschwinden    müssen.     Wenn  wir 

nt 


Lchittann-fUhiM:  SAcutargt&ruuy  der  JAnife  dta  Monde»  Hc.  '103 

die  mit  0  multiplicirten  Glieder  bei  «lieaer  BestimmuDg,  wulche 
durchaus  wM  die  äiissfrakti  Sebärfe  beansprucht,  Ternach- 
läsnif^en,  so  haben  wir  mit  Rflclnicht  auf  die  Kelntion 


folgende  Beding^nngsgteichuugen: 

c,  sin  ij  -f-  f,  cos  Vq  -h  ^,  (C  -H  PVf,)  —  l) 


n» 


c,  cos  V,  —  c,  MU  t'o  -f  jj  Z* 


0. 


<•,  =  -  ^,  [fC  +  Dv^)  Bin  r«  -I-  D cos  1,] 
^=  -  %[(C -i-  ^O cos  Vfl  —  D sin  tj. 

Es  ist  zweckinäj>8ig,  an  dieser  Stelle  eine  knrse  Er- 
wägung Ober  die  CoefficiHiten  C,  i),  £,  F,  G  unKuatellen. 
In  dieoen  tritt  neben  den  Grössen  a**  und  /?"  ancli  der  Co- 

efficteot  -i^"*  Auf,  in  welchem  Aq  das  Trägheitsmoment  der 

Sonne ,   (Oq  die    Rotationsgefichwindigkeit   derselben ,    p    den 

Faraniet«-r   der    Hlanctenhahn    bedeutet.     Obgleich    nun    das 

Trägbuitfiniüaieut  des  SonnenkOrpers  unbekannt  ist,  so  können 

3 
wir  doch  annehnien,   dass  es  kleiner  als      72^  ist,   wenn  JR^ 

d«o  Radii»  der  Sonne  bedeutet,  deren  Masse  wir,  wie  bereitg 
firOher  gesagt  gleich   1  ge&etzt  haben.    Hieraus  ergiebt  sich 

nun,   das»  ^  -  ein   ausserordentlich    kleiner  ßruchtheil  der 
p 

Ge^hwindigkeit  eines  Planeten,  z.  B.  der  Krde,  sein  miiss, 
wiUirend  et"  und  ß"*  entweder  von  derselben  Ordnung  wie 
di«se  Geachwindigkeit,  oder  doch  wenigstens  merkliche  Bmch- 
thuUe  derselben  sind.    Wir  werden  deshalb  mit  vollem  Uecbte 

alle  Glieder  mit  dem  Kuctor  -'^  vernachlässigen,  wodurch 


404      Sitzung  der  math.-pht/s.  Claase  vom  7.  Dezember  1895. 

unsere  Coostanten  werden,  wenn  nur  die  erste  Potenz  von  e 
mitberücksichtigt  wird: 

C  =  -^  (o"  cos  1;^  H-  /S"sin  v^)  +   g-*  (a"  cos  2  v^, 
F *«r 

2a 

Es  wird  übrigens   erlaubt  sein,   in  G  das  zweite  Glied 
gegen  das  erste  zu  vernachlässigen,  so  dass 

C  ==  —^  (a"  cos  v^  -\-  ß"  sin  v^).  38) 

Hiemach   erhält  man  für  die  soeben  bestimmten  Inte- 
grationsconstanten : 

c,  =  —  2aß  {a"  cos  v^  -\-  ß"  sin  (•(,)  sin  v^ 

=  -  aö  {a"  sin  2  i-ß  -  ß"  cos  2 f,,  -f  /1?") 

^2  =  —  2af9  (a"  cos  l'^  -f-  /?"  sin  i'o")  cos  Tq 

-=  -  aö  (a"  cos  2 i'o  -I-  ß"  sin  t«  +  a") 

Setzt    man   diese  Werthe   in   den  Ausdruck   3G)  für  dr 
ein,  so  erhält  man 

dr     2aö(ft"eosf„+,'?"sinrJ-aö(ff".sin2io-,*/"cos2io+//")sinr 

-rtfl(a"cos2ro+;?"sin2i:„+a'')cosr 

+  1  aeß"cAm  2i+  l  «öa*'ccos2r 
40)  +aeß"ev 

-  3aÖ(a"c(ts  *'o+/^"  sin  rj  t'fsin  t- 
--oöit;''e*i  cos  r 

4 

4 


39) 


X^ehmann-FOhSa :  8äcul<ars0rung  der  Länge  des  Mondes  ete.  405 

Dieser  Ausdruck  ist  formell  vollständig  ausreichend,  wenn 
auch  in  den  Coefficienten  kleine  Glieder  den  Hauptgliedem 
gegenüber  vernachlässigt  sind. 

Wir  wenden  uns  jetzt  zu  der  Gleichung  29),  welche 
die  Störung  der  Länge  in  der  2// -Ebene  giebt.  Wir  setzen 
fest,  dass  für  die  Osculationsepoche  die  Bahnebene  mit  der 
xy  -  Ebene  zusammenföllt ,  also  «  =  0^  «  =  0,  $  =  r  ist. 
Allmählich  werden  i  und  e  von  0  verschiedene  Werfche 
annehmen,  deren  zweite  Potenzen  und  Producte  mit  Stömngs- 
grössen  wir  jedoch  vernachlässigen  wollen.  Wir  werden  des- 
halb durchweg  p  =  »*,  (Jg  =  dr,  cosi=l  setzen,  und  Glei- 
chung 29)  wird,  wenn  man  die  Planetenmasse  der  Sonnen- 
m&sse  gegenüber  vernachlässigt: 

Da  aber 

ddX  ^  dSl    kVp 
dt   ~   dv  '    r»  * 

so  geht  diese  Gleichung  über  in 

Wir  haben  nach  26) 

xY-,jX  =  ^'  («y  -  ßx)  +  '-^J'. 

Nun  ist 

X  =  r  (cos  M  cos  ^  —  sin  «  sin  Q,  cos  i) 
y  =  r  (cos  u  sin  ß  +  sin  m  cos  ß  cos  i), 
mithin,  wenn  man 

cos  i=  1, 
«  =  i;  -j-  to. 


406      SiUmng  der  math.-pktfs.  Ciatae  vom  7.  Daember  1895. 
4- it»ö  (a  cos /7  4- ^  sin  fl) '-i^"  +  ! 


r      '        2r»      ■ 
Zar  ÄbkfirzQDg  wollen  wir  schreiben 

a  003  /7  -f  5  sin  /7  =  a'"  ] 

—  c  sin  /J  +  /S  cos  /I  =  ß'"  J      ' 

Vernachlässigen  wir  wie  bei  der  Berechnung  von  dr  das 
völlig  bedeatungslose  mit  A^  multiplicirte  Glied,  so  i$t 

Das  Integral  J{x  Y  —  ^X)  dt  lässt  sich  zwar  mit  Leich- 
tigkeit streng  berechnen,  da 

J-'?-rf/==eioj5natr 

J     r  ek  \  cos V  ' 

wo  {p  den  Excentricitäbswinkel  bedeutet. 

Wir  ziehen  jedoch  auch  an  dieser  Stelle  eine  Ent- 
wickelung  nach  den  Potenzen  von  c  vor,  von  denen  wir 
übrigens,  mit  Vernachlässigun*?  unwesentlicher  Glieder,  nur 
die  erste  beibehalten. 

Wir  finden 

i'ixY—ijXjdf  —  —  /.-l  a  H(it-  co^  v  +  ,i"*sin  v) 

+  kVa  e  --  («'"  cos  2r  -\-  f  sin  'Ji ) 

4 

—  If. 

wo 

-//=  —  /."l  «  *y  I«'"  ci»  (q   i   ;:/*"  !sin  t^) 
+  /;|'^r.  Ö  ^  (a'"  ,:os  2.0  +  ß'-  sin  2.,)  +  /.-f  ^'  »  ^  .^ "  'o- 


Lehwumn-tHlhia:  Säcidarstörung  der  Länge  lUs  Mondes  etc.  407 

Üls  wird  aach  hier  genügen,  nur  das  Hauptglied  zu  be- 
rticksichtigen,  d.  h.  zu  setzen: 

H^  —  Jc  Väe  (o"'  cos  i'o  +  ß'"  «"  t'o)-  43) 

Ferner   findet    man    mit    analogen    Vernachlässigungen 
aus  40) : 

-  Ö(a"  cos2to+/?"  sin  210+0")  cosv 

-^(a"cos2io  +  iS"8in2fo 
2 
+  _-a")  ecos2v 

-  2  (a"  sin  2 1  „  -  /?"  cos  2 1,, 

+  ^ß")eBm2v 
+  eß"ev 

-  3ö(a"  cos  t'o  +  (l^"  sin  ig)  ev  sin  u 

-  -  ß  (a  "  cos  I'o  +  /:?*'  sin  Vq)  c*  v  sin  2  r 
-V  <?,:#"  eH'»sinr. 

4 

Hiernach  ergiebfc  sich  dann  nach  41) 

-f  Cj»  [2a"  sin  2in  -  2,i"  cos  2(o  +  2,1/*'  —  ß'"]  i^in  r 


-f-  ö  [2a"  cos  2i„  -f-  2,r  sin  2*0  +  2a"  -  a'"]  cosf 
+  #|a"coa2ie+,rsin2i-o-i-  3«"+  J«"'|ccos2r 

4-  öl«"sin2io-^"cos2to  +  -l^"  +  ]  ,i"'\es\n2v 
+  Qd[a"  cos  ffl  +  (i"  sin  1*0]  et-  sin  i- 


408      Sitzung  der  matK-phys.  Clasae  vom  7.  Dezember  1695. 

+  3  Ö  [a"  cos  uo  -f-  ß"  sin  Vq]  e»  v  sin  2  v 

Die  Integration  dieser  Gleichung  giebt: 
dX  =  Ä"  —  ö[(4a''  —  a'")  cos  t'o  +  {Aß"  —  ß'")  sin  t'o]  f 

-h  d  [2  (o"  cos  2  i'o  +  /»"sin  2  t^o)  -f  2  a"  —  a'"]  sin  f 

—  ö  [2  (a«sin  2  Vq  +  /»"cos  2t;o)  +  2ß"—ß"']  cos  f 
H-  I  [a-  cos  2  t^o  +  /»"  sin  2  r^  +  |  a"  +  |  a"']  e  sin  2  f 

-|[o"sin2to-/'''cos2fo-|-|rH-^/S'"]ecos2f 

44)  ^^ßß^e'vsmv 

—  60  [a"co3  Vq  -j-  /^"sin  V(,l  ev  cos  f 

Q 

—  -  Ö  [a"co8  i'o  -f-  /S"sin  t'o]  c*^  c*>s  2 1- 

—  ^dß^e^v^cosv 

—  I  (9  (4(*"— /!?"')  e**- 

Für  £^  findet  man  das  Uauptglied : 
K=e[{A a"  —  a"')  cos  r«  +  (4/;?"  —  (!?'")  sin  v^]  r„ 

-  d[2(a"cDs  2ro  +  /?".sin  2l'o)  +  2a"  —  a'"]  «in  r^ 
+  ö  [2  (a^'sin  2ro  -  /^"cos  2io)  +  2ß"  —  ß'"]  cos  r« 
oder  rediicirt 
Ä"     e\{\a"  -  a"'-ß"')  cos  ro  +  (4/;;"  +  a'"  -^^^"0  sin  ij        4->) 

Wenn  es  sich  um  eine  genaue  numerische  ßerechiiunj; 
von  dr  und  dX  handelte,  so  würde  der  l'mstand,  dass  in  den 
Oleicliungen  40),  44),  45)  von  allen  Coefficienten  nur  die 
lliiupttheile    burücksichtigt    »ind ,    in*.s    Gewicht    fallen.     Rs 


Lthmamt-FüMs:  SäouUirstOrung  der  Län^e  des  MomteM  elc.   400 

yrtire  in  diesem  Falle  z.  B.  vOllig  illusorisch,  rein  periodi)*chc 
Oliffler  mit  8in2u  nnd  co8  2v  noch  miteiiDehinen ,  da  diese 
mit  €  ninltipliciri  sind,  während  in  den  Coefficienten  von 
»in  V  und  cos  t-,  »»wie  in  den  constanten  Gliedern  c  vemach- 
Iftssigt  iät.  Efi  ist  aber  wobt  zu  bt.'Achten,  dtiaä  es  sich  hier 
gor  nicht  um  eine  zaliteniuäätnge  Suaimation  der  Stürungs- 
glieder,  windeni  nur  um  die  FesisteHutig  ihrer  Form  und 
eine  an^ofUhre  Be?itiiumung  der  Einzelbetriigi;  handelt,  wes- 
halb die  hier  vorgenommenen  Vemuchlüssigtingen  als  durch- 
ans  xweckmöang  anzusehen  sind. 

WOnscht  man  aus  irgend  welchem  <Vunde  eine  weitere 
Entwickeluiig  der  Coefticieiiteu,  bo  ist  dieselbe  nach  der  vor- 
getragenen Methode  mit  Leichtigkeit  zu  erlangen. 

Der  Vollständigkeit  wegpn  wollen  wir  noch  die  StÄirong 
senkrecht  zur  Bahnebene  erörtern,  obgleich  dieselbe  im  Fol- 
genden keine  BerQckHichtigung  ßnden  wird.  Die  Stoningn- 
grTisw  ist  hier  «,  al»»,  wenn  wir  Glieder  von  der  Ordnung  ff^ 
■owie  auch  A^  veniachläasigen,  nach  2Ö)  und  27) 

^'+t*(i  +  «)4 — ^»4. 

Diese  Gleichung  soll  in  ähnlicher  Weise  wie  die  Dif- 
ffrt*uiiiUgU'ichung  33)   umgeformt   werden.     Es   ki  nämlich 

tlt*  ^   r»    V  Jh«     "^   r        p  r/' 
mithin  wird  die  Gleichung,  wenn  man  «cur  ÄhkCrzung 


xekxt. 


Ütu  aUgmneino  Integral  dieser  Gleichung  lautet: 
a      c'sinü  +  c''  coav —  ^aint*  lrcoafrfi»-f  -  co8t'  |rsint(2v. 


IW^  MMIu-pk^B.  d.  a. 


27 


410     SiUmtg  der  «uitt^y«.  CIomu  vom  7,  Deiemher  1895. 
Nun  ist 

\rcoBvdv  =  ^  (v ^1 

J  e  \         coup/ 

I  r  sm  vdv  e=  £  log  nat  r, 
mithin 
»  — c'8inv  +  c"co8v-— sintlv |+— coewlognatr.     48) 

Entwickelt  man  nach  Potenzen  von  «,  so  hmien  die 
An&ngsglieder 

Ä  =  c'  sin  V  4-  c"  cos  ü  —  Äy  +  ■-■evmav. 

Da  ftlr  die  Osculattoosapoche  ^  ^  0 

«  =  0  und  ^  =0, 

80  ergiebt  sich  genähert 

c'  =  $y  sin  f^,  c"  =  0y  cos  r^, 

also  mit  dem  mehrfach  erörterten  beschränkten  Genauigkeits- 
grade der  Coefficienten : 

s  =  ßy  cos  {v  —  I'-)  —  By  -\-  -'-  ev  sin  r.  40) 

Ist  der  Planet,  dessen  Störungen  hier  berechnet  sind, 
von  einem  Trabanten  begleitet,  so  gelten  die  Stürungswerthe 
für  den  Schwerpunkt  des  Systems. 

Die  hier  berechneten  Störungsgr Östren  dr  and  6k  werden 
in  den  folgenden  Entwickelnngen,  in  denen  allerdings  nur 
die  Hauptglieder  Berücksichtigung  finden,  unter  der  Be/cicli- 
nung  Sr^  und  öX^  auftreten. 


Lehmann-Filhfs:  SäcidarstäntMff  der  Länge  des  Monde»  etc.   411 

m.  Die  Bewegung  des  Mondes. 

Wir  haben  die  Gleichungen  20)  und  21)  zuerst  in  der 
Weise  zu  integriren,  dass  wir  die  Glieder  von  der  Ordnung 
der  Exceutricitaten ,  Neigungen  und  der  Sonnenstörungen 
des  Mondes  vernachlässigen.  Die  Differentialgleichung  20) 
wird  alsdann 

wo  0}  die  halbe  grosse  Äze  der  von  der  Sonne  beschriebenen 
Klipse  istf  und  a  die  mittlere  Entfernung  des  Mondes  toiu 
Erdmittelpunkt  bedeutet. 

Gleichung  21)  wird  alsdann 

^A^^ 2a^-^<Jr+J(xr-.,X)d/, 

oder,  wenn  man  für  ^  die  mittlore  Winkelbewegung  n  des 
Mondes  setzt, 

rj»  ''^*^'  =  —  tan^r  -^Ux  Y  -  ijX)  dt.  51) 

Für  die  auftretenden  Kraftcompouenten  sind  dann  natür- 
lich unter  demselben  Gessichtspunkte  nur  die  Hauptglieder 
auszuwählen. 

Man  findet,  wenn  l  und  /|  die  mittleren  Längen  von 
Mond  und  Sonne,  t^^  die  mittlere  Bewegung  der  Sonne  be- 
deutet, 

xX-{^ifY-\-sZ     ß<i^l2H'^iacf>sl-\~,i^ml)     ^^u\{acoalj-\-ßsml^) 

-^Hj[«cn.s-2/-/,)  +  /^sin(2/-/,)]-|-2«>«,a,8in(i.-i)| 

27* 


412       Säimmf  der  matk.fkyt.  a«ue  vom  7.  DextmSfr  läft». 

+  1  »»^o sin -2/- /,*-;* cos  (2/  —  /,)]  4- n*»,«,'«-^*!-*' 

zF — yX=  da' jii*(asin/  —  ;:?cosn  —  -«'<<*  sin /^  —  ßccäl^* 
-f-|nl[osm(2?  — /^i  — ;*c<Ki2/  — ?,ij  -f  n'iijO,  «&)/,  —  U 

22/i«- f^'^^^-'-^*-^-^-^^<-^-'i'i^  ir--"'^''"'"'^') 


wo 


..  _I_  _tj  ( -^V-^_4»l.  _-<:■-.,  i 


-r  —"■  '^-i^  r    -:    j  :::: 

•   ♦..  —  I.    »  J  • 

wenn  l     un-i  T^*''  für  die  <  t-tulativn-'^f'oc'i.e  /  = '.•  i:ell<e-. 

Einige  der  hier  auftrete:: i*i:  Gütri-r.  die  fkh  "cr^irrel- 
bar  aus  den  Formeic  für  ö:e  Kra!ioon:p  r-riter.  er^-*r-rc. 
köriiten  übrigen*  ihrer  Kleinheit  w^ir^:.  -ier  ::'rt^rlA.*>er. 
werden. 

Setzen   wir  noch 

..-  — J.f  =  .-.  ^Ä 

•fi  erhali-tru  wir  au*  Ö'>  • 


Lehmann-Fähes :  Säcularstöntng  der  Länge  des  Monde$  etc.  413 


H- ^"^-^^fl,  sin (/-/,)} +Ä<-f-C. 

Cm  diese  Gleichung   zu  integrireiif   beachten  wir,  dass 
die  Differentialgleichung 

in  welcher  die  o«,  &^,  a,-,  /!?^,  x^,  Xi  sowie  A  und  0  gegebene 
Constanten  bedeuten,  das  allgemeine  Integral  bat 

y  =  rj  cos  >■  X  +  (',  sin  r  a;  +  2  ;f=~l  cos  (x^  x  -\-  o.) 

wo  c^  und  r,  die  Integrationsconstanten  sind. 

Dies    auf  die   Differentialgleichung    fQr    dr   angewandt 
giebt 

(Jr  =  c,cos»'/  +  r, sin  vi  -|-  3Öan,    ^-^   ,- (acos  ?j  -j-  /Ssin  /, ) 
-  ^  Ö  a  ,^ "'/4-  To'"'  -    vii  r«  cos(2  ?     /,) +i?8in(2 1 - O] 

+  2  »  «".  („r:7^p3(;7:;T„)q  «■»(«-',)  +  ^s  + ,,    54) 
Um   die  Constanten  c^   und  c,   zu   bestimmen    bedenke 

man,  da&s  für  die  Osculationsepoche  t  =  0  auch  ör  und  -.- 

verschwinden.     Hieraus  erhält  man 

r,  =  —  3  ö  «  «,  ".j"^-  "'  (a  cos  if  +  .tf  sin  Zf) 


414       SUtwig  der  wa(*.-jAyf.  Clont  am  7.  Dexember  1895. 

-  2  ö«..  .-t^r^^jTj  cos  im-  W  -  ^ 

Den  gefundenen  Werth  54)  von  Ör  haben  wir  non  in 
die  Gleichung  51)  einzusetzen.  Bei  der  hier  inn^ehaltenen 
Genauigkeit  ergab  sich 

so  dasü 
,,   -  -  —        <*,  ct»s  r  / r,  sin  r  /  —  m  Ö  (a  cos  /  +  .i  sin  /) 

•*,       M    Sm,  — 2't     '  *  I  2m  »r — 2«:  i    2mh*  — 2«!'" 

1*10  Intojrraion  ergiebt 

ii  »■      '  «1  r     ' 

3  *         ''■  ll«*-"3'':— t»i'.,  ^  , ,     ,  .  -».1-1 

Ä  S»i'i-2»:        ,j  (■         S»--  — 2'.: 

"art  *  a»n».^— 2'.:  " '    ~  1    2'.  s^— 2'.|  ■  '~^'*»-    ^^) 

l>it'  noue  Intoijrations^': -lAnte  «-j  :.-;  s-:-  /.:  t»estimmen. 
tirtvi   für  *iio  (VoiilalionsqHKli-   '  =  "   ;iUi.h   i5i  =  ',t  wird. 


LdtmMtt^^lMt:  Söcularätdrung  der  lAnge  de»  MondM  tte.    415 

Die  Uleicbinigen  54)  und  55)  ({eben  eine  ungefähre 
Vopitclhing  von  den  durch  die  endliche  Geschwindigkeit  der 
<iravitntion  liedirijjieii  SWnmgen  {\\*r  MnndbewcKiinK.  Will 
iu«n  die  AnnÜhenin);  w(;iter  ireibtMi,  so  fnif^t  e-t  sich,  wtig 
fttr  8tdrung>j?lieder  ein  derartige«  Interewe  heon^pmchen, 
diNt  ihr«  »chärfere  Kntxvicknlang  dtT  Mflho  lohnt  Offenbar 
tut  n  nur  die  Silcularätüruug  der  Länge,  die,  falls  Oberhaupt 
vorhanden,  mit  der  i^eil  merklich  wcnleu  künnte;  wir  wer- 
den uns  deshalb  auch  nur  angelegen  aein  lassen,  diese  ge- 
nauer kennen  xu  lernen. 

Die  fUr  9r  und  6X  gefundenen  Werthe  ■>4)  und  .'»5) 
htiben  wir  nun  leur  Borechnung  der  indirecten  Glieder  iu 
dun  Vüllätändigcn  Differentialgleichungen  20)  und  2!)  zu 
TBr«end«n. 

Wir  haben  uns  schon  öberzeugt,  das»  der  Unterschied 
der  geocentrischen  und  bHrycentrischen  Sonnencoordinuten 
fttr  uns  bedenlungälos  ist,  weshalb  wir,  um  nicht  jetzt  die 
Uexeichnungen  zu  ändern,  statt  des  in  20)  und  21)  auf- 
tretenden Index  0  überall  den  Index  1  schreiben. 

Setzen  wir  fClr  den  RaditusTector  des  Mondes  den  Werth 


m  wild 


r»        «»        a»y  r*) 


S6) 


Di&i  haben  wir  io  die  rechte  Seite  ron  20)  einzusetzen; 

nir  —f-  genflgt  es  aber  n\  zu  setzen,  da  Glieder  mit  diesem 

kleinen  Factor,  welche  auwterdcm   mit  der  Excentrioität  der 
ßrdbaim  nmltipliiürt  sind,  y5llig  unl»edeutend  sind. 


416      Sitzung  der  m(Uh.~phj/s.  Glosse  vom  7.  Dezember  1895. 
Gleichung  20)  nimmt  hiernach  folgende  Gestalt  an 

~Iw^  +  (n»-2n!)(r(Jr)  =  2^{Xdx+Ydy+Zdß)+(xX-i-yY'i-0Z) 
-{■[Sn*'EfiCos{Xit+bi)+ßn\cos{2l-2lJ]adr 

57)  — 6w!o«8in(2i-2;,)(JA-3tt!a»[l+3cos(2Z-2i,)]^j|* 

+  6nJa»8in(2i-2/,)dA, 

-h  lnW([l-\-3cosi2l-2l^)]^^''  ~^n\d^jsm{2l-2l^)ddl^ 
+  3n^a  r[l+3cos(2i-2y]^Mr  — 9«;a»  r8in(2i-2y^(J>. 

—  Gn;a»r[l+3co8(2I-2y]^*^*  -i-9vwUri{2l~2l,)^^dX, 

—  (>  ttj o  fßin  (2 ;  -  2/j)  dl,  dr         -6n]a*  (cos{2l-2l^)dl^dl 

+  9«Ia' fsin  (2Z— 2/,)  dX,~-'        -\-Gn\a*Ccosi2l-2J^)dX,dl^ 

Wie  man  sieht,  sind  in  dieser  Gleichung  die  Producte 
der  Coeffieienten  /,  der  Mondungleichheiten ,  sowie  deren 
Producte  mit  der  Erdbabnexentricität  sowie  Quadrat  etc. 
der  letzteren  zum  Theil  bereits  vernachläsaigt.  In  den  mit 
«'  niultiplicirten  Gliedern  sollen  auch  die  ersten  Potenzen 
dieser  Grössen  vernachlässigt  werden,  soweit  dies  noch  nicht 
geschehen  ist. 

Auf  der  rechten  Seite  von  Gl.  21)  setzen   wir 

Ä  =  l  -\-  ^  (ji  cos  {li  t  +  h,)  , 
also 

'^^  ^  =  H  -f  5J  (Ji  li  cos  {li  t  -\-  hi'. , 

wodurch,  wenn  man  noch  mit 

multiplicirt : 


Lehmann-Fith^»:  SSndanlöniNg  der  L$itff«  dea  Monde»  itc.   417 

+  r»  j  (^.T^  ''•^  +  all  ^^  +  Wr,  ^^  +  Wai.  ^^^n 

fwicr,  ind^m  man  in  den  tod  Ü  abbängigen  Gliedern  die 
Excentrk'itStcn  elc.  Türnaohlässigt 

—  3Hi  r8in(2f  — 2J,ly  — 3«?  j'oo8(2i— 2^  dJL 
^^^  H-|«tj8iD(2/-2y^  +  3HtJcos(2f-2/,)dA, 

Wir  betrachten  »nerst  die  Gleichang  58).  Cm  die 
Säe u birg tiedtir  in  ÖX  lu  erbuUen ,  haben  wir  in  - .-  die 
nicht  periutlisc'hcn  der  Zeit  t  i)rtt[>ortiona]eQ  Glieder  atifxu- 
rachea.  Bin  solches  Glied  tritt  znnäcbst  in  —  -^  {r^r)  anf, 
weebalb  die  Keutxstimmung  dieser  Grösse  aus  57)  noth- 
wendig  ist.  In  den  anderen  Gliedern  von  5S),  in  denen  die 
(iröäsen  (5r,  «JA,  (Jr|,  dX^  durchweg  mit  Verkleiaeruugs- 
factoren  behaftet  aind,  kann  mau  die  schon  bekannten  An- 
aifaerungen  verwenden. 

Um   das  betreffende  Glied  aus 

TM  erhalten,  hat  man  in  dr  nur  die  Glieder  von  der  Form 
/  (-OS  {Xi  t  -f  Const.)  oiler  i  sin  (A<  t  -\-  Conaf..)  /u  berücksichtigen. 
Da  derartige  Glieder  aber  in  54)  nicht  vorhanden  sind,  so 
ist  flir  unsprn  Zweck 

-  '^  T  U^?'^  -  -"/"^^  «*  ^^^  +  M  =  0 
qWtien. 

In  dem  Glied« 


418      Sitzung  der  matK-phys.  Glosse  com  7.  Dezember  1895. 

mQssen  zuerst  die  in  xY  —  yX  auftretenden  constanten 
Glieder  bestimmt  werden.  Bezeichnet  man  durch  TI  und  U^ 
die  Längen  des  Mond-  und  Sonnenperigäums,  so  sind  die 
hier  in  Betracht  kommenden  Werfche  von  ^t  -\-bi,  d.  h.  die 
Azurnen te  der  bedeutendsten  Ungleichheiten  der  Mond- 
bewegung, die  folgenden  : 

22  —  2//        I  (^^^***lP""^*^gl6^*^*^""g) 

l    _2Z, -f //  (Evection) 

2l  —  2l^  (Variation) 

/,   —  //,  (jährliche  Gleichung). 

Wird  der  der  jährlichen  Gleichung  entsprechende  Werth 
von  fi  mit  /*&  bezeichnet,  so  erhält  man  nach  weitläufigen 
Rechnungen    als  constantes  Glied   in   x7  —  yX  den  Werth 

^  [**"'»  -  2  ^'  "*  (2  +  ^0  ^«  ''"  ''1  -  '^  "^«^  "^^ 

in  welclieru  freilieh  diis  mittelste  Glied,  da  es  von  der  Ord- 
nung n]  Ci  resp.  «J  /",  i:*t,  aus<:je lassen  wird. 

Glieder     von     der     Form      t  sin  (A,- 1  -j    Const.)      oder 

^cos  (A,^ -|- Cuiist.),    welche   gleiehfalk  in  -.A(xY—yX)dt 

der  Zeit  t  proportionale  unperiodi.sche  Glieder  erzeugen 
könnteu,  sind  in  xY — •  i/X  niclit  vorhanden,  t^o  dass  für 
unsere  Zwecke 

{Ay  -\-  ."io'/ü        ^Uvi] 


oder  geiiiiifend  genau 


r 


Lidniiann-Fiäti$:  SäeutarttOrwnß  Her  Linge  dt»  Mondu  tte.  410 

Die  vier  letzUn  i»  58)  aiißret^nden  Ulieder  ergehen   l>ei 
«ler  hier  f<!«tge%*Uten  Ctennulj^keiiägrenz«  kein  säcuUrv»  Glied. 

Die  Diffcrciitiiilffleichung  Fdr  Cl  lautet  (iernnach 


dt 


=-»--Mr)+«|*^+';(<i^^-"S'-^;-.)j/  sc.) 


u.>  für  (rdr)  nur  das  der  Zeit  proportionale  ünperiodiHch« 
'i;i"fi  «iiuiisetuMi  hi. 

Wir  wenden  uns  nunmehr  xn  der  Gleichung  57),  um 
da»  Mieben  genannte  Qlied  zu  liestininieu.  Dasselbe  wird 
ofFcnbnr  hervorgebniolit  durch  ein  analog  gestaltetes  Glied 
auf  der  rechten  Seite  von  57). 

Zunächst  ist  das  coniitante  Glied  in  2' ^--57^^^ 

xa  untersuchen.  Die  niUhsame  and  langwierige  Entwicke- 
luug,  welch»?  hi«r  nicht  TorgefOhrt  wenlen  wdl,  ei^ab  aU 
eonstanten  Theil 

*a  v"' "  I  ">  ^A  -  ä'»)  -  "  (2/,  -\-e,)\\a  sin  IT, -fi  cos  //.] 

wo  tu,  Wg,  W|  die  llotationsgeschwiudigkeiten  von  Mond,  Erde 
und  Sonne,  </,  «/g,  t/,  die  mittleren  Neigungswinkel  dtir  be- 
tr«ir<^ndvn  At^|tii4toren  gegen  die  Ebene  der  Mondbahn  be- 
leuten.  Aus  bereits  nrörterten  GrQnden  kann  doä  erste 
ilied  fortgel«Me&  werden. 

Mit  jtiu»cblie88licher  Kücfcsicht  auf  das  entwickelte  Glied 
haben  wir  aWo 


420      SUxung  der  math.-pttya.  Glosse  vom  7.  Dezember  1895. 

Indess  lässt  sich  dieser  Ausdruck  mit  Rücksicht  auf  die 
Veränderlichkeit  der  Lage  der  Mondbahn  noch  vereinfachen. 
Es  ist  nämlich  leicht  zu  erkennen,  dass  die  mittleren  Nei- 
gungen der  Äequatoren  gegen  die  Mondbahn  wenig  von  den 
Neigungen  der  Äequatoren  gegen  die  Ekliptik  abweichen;  die 
Cosinusse  werden  von  den  Cosinussen  der  zuletzt  genannten 
Neigungen  nur  um  Grössen  von  der  Ordnung  des  Quadrates 
der  Neigung  der  Mondbahn  gegen  die  Ekliptik  verschieden 
sein.     Hiernach  ist  zu  setzen  : 

CO  cos  /==  »/',  Wq  cos  Jq  ^  »/'(,,  Wj  cos  Jj  =  (/',  . 
woraus 

Hinsichtlich  eines  der  Zeit  proportionalen  Gliedes  ist  ferner 
xX+ijY-\-eZ=0. 

Desgleichen    mit    Hülfe    der    gefundenen    angenäherten 

Htörun^swerthe 

[:> /(^ U  /,  cos  i?.it  -f-  b.)  -f  <;«■;  cos  {21       -J/j)]  aör  =  0 

0»;a'sin(2/  —  2/j)<JA  =  0 
Hn\a'    1  -f3cos(2/  — 2y 


In  57)  folgen  nun  zehn  Int^^grale,  von  denen  wir  sofort 
diejenigen  vit-r,  welche  dt\  <'nthalteii,  fortlassen  dürfen,  da 
sie  nur  (.Uieder  von  der  Ordnung  «J^i  ergeben.  Hs  irst  dem- 
nach zu  untersuchen,  ob  die  übrig  bleibenden  sechs  Integrale 
unt«r  dem  Inte^nd/.eicheu  (.)onstant*'n  entlialten ,  weiche 
innerhiilb  unserer  Geniiuigkeilsgrenze  liegen.  Du-*  ist,  wie 
man  leiclit  erkennt,  nicht  der  Kall,  wesiialh  diese  InU'grale 
siimnitlich  =  0  zu  sft/.en  sind. 


Die  Gl«iohaog  57)  lautet  deuinacb: 

also  mit  »(unchlieaBlicbor  Rttckaiobt   auf  das  üucolare  Glied: 

S«t2t  miMi  dies  in  59)  ein,  bo  «rhält  man 

dt  «•  — 2«*     L  «*     •"  a  \       «*  «t* /J 

mitbin 

^''^  =  -  i(«--a^»  *  i  «•  +  2 1 — ;ii «7  /  r •  *^^^ 

Die«  i»t  also  dio  Säcular»börttng  der  MondUinge,  deren 
Wcrth  sich»  wie  der  Vergleicb  mit  52u)  uud  r>r>)  7^igt,  durcb 
riu«  efüite  Berücksichtigung  der  indirecten  Glieder  auf  den 
recbtfn  Seiten  der  Differentifllgleichungen  niclit  geändert 
bat.  Wie  das  Vorzeiubon  von  dl  zeigt,  hat  man  es  nicbt 
mit  einer  Bebchleuüiguug,  Bonderu  mit  »iiier  Verzögerung  der 
iBvircgiiug  Am  Mundes  m  tbuu,  und  diosce  Ucsultat  wtlrde 
auch  Bestand  bebalten,  wenn  man  durch  weiter  getriebene 
Ajiproxiniationen,  die  auf  Grund  den  Vorbergohcnden  prin* 
cipielt  einfacb,  in  der  Ausführung  aber  äiusi^rüt  compÜcirt 
sein  werden,  den  Wertb  tod  <U  noch  schärfer  bestimmen 
wollU. 

Die  genaue  nnmerische  Berechnung  ron  dl  ist  auch 
abfJeMhen  von  Avm  imheknunten  Knct^r  0  wegen  der  Ünbe- 
kanntschafc  mit  den  TrUgheitamomenton  A^  A^^  A^  nicbt 
möglich. 

Nennim  wir  die  lladien  von  Mond«  Erde  und  SoDoe 
C«  9o*  9v  '^  Ifönnen  wir  Mtson 


422       Sitzung  der  math.-phys.  Clasae  vom  7,  Deaember  1895, 

A  2     , 

■^  —  g  ß»  Wo  £o 

A  2     , 

wo  die  Factoren  e,  e^,  e^  verrnntblich  ächte  Brüche  sind, 
da  die  betreffenden  Körper  höchst  wahrscheinlich  nach  dem 
Mittelpunkte  zu  an  Dichtigkeit  zunehmen. 

Man  kann  hiemach  dX  unter  folgender  Form  darstellen: 

^"'  61) 

,    iwo    /eoVv'o.        J.fBo+">    «I    /""iV /"e^^*  ^!»*1 /> 

Nehmen  wir  an,  dasa  die  Geschwindigkeit  der  Gravi- 
tation das  G- fache  der  Lichtgeschwindigkeit  ist,  welche  für 
die   Zeiteinheit    des   mittleren   Sonnentages  in   planeirischer 

Längeneinheit  ausgedrückt   .„-^7,  V'eträgf,  so  ergiebt  riich  für 

/  tropische  Jahrliundcrte 

(j;  =  — -"'^"ll  +  0.000004  £-fn.  11 18  £o- 0.0008  ^J/^ 

oder,  wenn  man  die  ganz  unmerklichen  Glieder  vernach- 
läs-Mgt, 

J/  =  -  -  2""-^^'  32"  1 1  _^  0. 11 1 S  £„1  <^ 

Um  die  Säculur.storung  der  Liingf  des  Mondes  auf  ein 
erträgliches  Maass  herabziidrücken,  müsste  man  daher  der 
Geschwindigkeit  der  Gravitation  einen  iiuniensen  Werth  bei- 
legen,   violleielit   das  Millionfaclie   der  Lichtgeschwindigkeit. 


423 


üeber  gewisse  Systeme  Pfaffscher  Gleichungen, 

Von  E.  T.  Weber. 

Die  Theorie  der  besonderen  Systeme  Pfaffscher  Glei- 
chungen, welche  in  der  vorliegenden  Mitteilung  untersucht 
werden^  umfasst  diejenige  der  partiellen  Differentialgleichungen 
in  drei  Veränderlichen  als  einen  speciellen  Fall,  und  bildet 
gleichzeitig  die  Grundlage  einer  allgemeinen  Integrations- 
theorie  der  letzteren ;  es  gelingt  nämlich  auf  Grund  der  nach- 
folgenden Entwicklungen,  die  Darbe ux^sche  Integrations- 
Iheorie  der  Gleichungen  2.  0.*)  nicht  nur  zu  vervollständigen 
und  nach  Lie'pchen  Principien  geometrisch  zu  interpretieren, 
sondern  auch  auf  Gleichungen  und  Gleichungssysteme  be- 
liebiger Ordnung  zu  übertragen.*) 

Im  ersten  Abschnitt  entwickeln  wirdie  notwendigen  und  hin- 
reichenden Bedingungen  dafür,  dass  die  genannten  Pfaffschen 
Systeme  Integralflächen  der  grösstmöglichen  Mannigfaltigkeit 
besitzen  und  charakterisieren  hierdurch  eine  Klasse  von  Inte- 


1)  Ann.  de  l'Ec.  Norm.  Vil,  1870;  vgl.  :iuch  König,  Math. 
Ann.  2i. 

2)  Ansätze indieser RichtuDR  ßadonaichbereitain den  Bäcklund'- 
Hchen  Abbandlungen  Math.  .\iin.  11  und  13;  der  zuletzt  genannte 
Aufsatz  enthalt  auch  schon  z.  T.  die  Resultate,  welche  ich  in  einer 
früheren  Mitteilung  (Sitzungsber.  der  k.  bayer.  Ak.,  1895,  Bd.  XXV, 
Heft  II  unter  III  gegeben  habe. 


424      SiUung  der  math.-phj/s.  Glasst  vom  7.  Dezember  1S95. 

grationsproblemen,  welche  die  partiellen  Differential  gl  eich  im  gen 
beliebiger  Ordnung  in  3  Variabein  und  die  Systeme  solclier 
Gleichungen  umfasst;  im  zweiten  Abschnitt  werden  hinreichende 
(aber  im  allgemeinen  nicht  notwendige)  Bedingungen  dafiir 
angegeben,  dass  sich  die  im  I.  Teil  studierten  Integrations- 
probleme  auf  gewöhnliche  Differentialgleichungen  zurück- 
fahren lassen. 

I.  Abschnitt. 

1.  Sind  X,  y  nnabbangige,  m  eine  abhängige  Variable, 
so  sei: 

Verstehen  wir  unter  f  eine  Funktion  von  Xy  y,  £, 
aj\  , . .  o^\  unter  daf,  dx^  .  .  rfaj,"*  beliebige  Incremente,  so 
setzen  wir: 


"  1=0  r=ü  «'"r 


df       =  Pi"-"  OT  dx  +  D^"-"  (f)»,j  +  j^  /f,„  doi", 

df      -  j)|--"  (f)dx  +  i)<"-"  (/)  ,hj  +  s  /f.,  da':\ 

also  z.  B. : 

(1)  (j  =  0,l,...  ft;  Ä  =  0,1,..  n—U. 

Ist  femer  stets: 

so  folgt  aus  (1) 


V.  Weber:  Pfaff*sche  Systeme.  425 

rf<Ja;**  =  drfa;**  (ft  =  0,l,..H  — 2), 
nbrend  wir  die  Ausdrücke 

Betsen  wollen.     Notieren  wir  nocli  die  Identität: 


(2)         d(if)-didn-:-.'^--U-TA'i^t 

1  =  1  '''*i-i 
2.   Betrachten  wir  nun  die  k  Pfaffschen  Ausdrücke : 

(3)  (<J),-JI/,d:t  +  A;jy  +  2'l,.,'J''r 

(»=l,2,...ft;  &>1  und  <«) 

worin  die  M^,  Ni,  A,,i  Funktionen  von  a:,  ?/,  ^,  aj,'\..  «J,"' 
bedeaten.    Wir  nehmen  an,  dass  aus  dem  Qleiehungi^sy.steiu: 

(4)  (d),  =  0(i=],2,..&) 

keine  Relation  /.wischen  dx,  6y  allein   folgt,   .so  divss  nicht 
alle  ib-gliedrigeu  Determinanten  der  Matrix 

^0.2, ....  j: 


(5) 


lo,* 


Ä„,k 


identisch  verschwinden,  dass  dagegen  alle  ft  +  2-glietlrigeii 
Determinanten  der  aus  2  k  Zeilen  und  «  -f-  3  Oolonneu  be- 
stehenden Matrix 


(6) 


Ni,    0,        An,i,    ....    Ä»,i 


')   Vgl.   den    §  4    meiner  Arbeit:    „Die   Charakteristiken   der 
partiellen  Differentialgleichungen*,  Uuth.  Ann.  47. 
18».  Hfttb.-ph7i.  Ol.  3.  28 


426      Sitzung  der  math.-phy$.  Glosse  vom  7.  Desembtr  1S95. 

identisch  Null  sind,  ohne  dass  dies  bei  allen  &-f-l-gltedrif;en 
Determinanten  der  Fall  ist. 

Aus  dem  Verschwinden  aller  ft -f- 2 -gliedrigen  Determi- 
nanten der  Matrix,  die  aus  (6)  durch  Streichung  der  ersten 
Colonne  hervorgeht,  und  aus  dem  Umstände,  dass  nicht  alle 
Xr-gliedrigen  Determinanten  (5)  Null  sind,  lässt  sich  beweisen, 
dass  die  k  Gleichungen  mit  der  Unbekannten  f* : 

(7)  'A  (/')^  S  -^'■•/'''"'  =  0  (i  =  1,  2, . .  K) 

8  =  0 

genau   n  —  /.-f  1   Wurzeln    gemein    haben.     Seien    dieselben 
durch  die  Gleichung 

n-k+t 

definiert,  so  kann  man  also  setzen: 

k-I 


fc-l-r 


Die  Ar,,  Qi  sind    rational   durch    die    As.j   au?idrückbar; 
umgekehrt  hat  n»an ; 

'1.    Aus  unseren  Voraussetzungen  ülier  die  Ausdrücke  (;{) 
folgt  ferner,  dass  sich  die  2  k  Gleichungen 

anf  ^i'iism  /r-f-'  i'i  don  a|"+'*  iin;iIiliiu!Ki<(e  (jleichnngen 
reduiien-n.  Diese  können  nun  uiit'  folgende  Form  gcbraciit 
H"eril**n  : 


f.  Wtbtr:  PfaifiKAe  Sfttfmt. 


427 


»-M-I 


S?."!^" +  ".  =  "('■  =  "•''••*>■ 


.=« 


lu  der  Tbat  kanu  man  die  PuDktioneo  x^  eindeutig  so 
(i(ätinimen,  duj»  für  jeden  Wert  der  o^^""^*'  die  Beziehungen 
gelU*n : 

tSSM  «SU 

denn  die  Cwefficienten  der  ä:J"+^*  sind  wegen  (8)  auf  beiden 
Seiten  gleich,  und  die  Vergleicbung  der  von  a['**^*'  freien 
Olioder  liefert  fQr  die  Unbekannten  x^  die  2^  Bedingungen: 


k-l 


k   I 


a<i 


'+I 


laaa  aber  alle  A:-{- ^-gHedrigen  Ueterminanttrti  der  /.u  diesen 
l«k'ichungen  gehörigen  Matrix  veri>chwinHeD,  ohne  das.s  dies 
ile  A:^' 1-gHedrigen  thun,  folgt  au^  den  Voraussetzungen 
*fler  N.  2,  wenn  mau  fOr  die  A,f  ihro  Werte  (8)  in  (li)  «ub- 
tttituirl  und  heaclit«t,  dass  Qf^  »U  nicht  identisch  verschwin- 
dend angenommen  werden  kann. 

Da    man    ans   denselben  Grönden   die  K,   Term5ge  (II) 
linriire    homogene    Funktionen    der    üt<,    Vi   ausdrücken 
ann,    to   »ind    die  Systeme  (9)  und  (10)    völlig   äquivalent. 

i.  AI»  «Charakteristik  n.  0.*  des  Pfaff'schen  Systeme 
(4)  beiUMchnfii  wir  jeden  Streifen  o.  0.,  der  einem  der 
jh — Ä-J*  l  folgenden  Gleichungssye>teme  genHgt: 

(13)  rfa;"=(o;^+" -f--^,«;;+^^)(ii:(.=0,..r;  r  =  0,..n-l) 
(U)  rfa^-'  =  W-^"  -f-^,  allf)  rfx(.-  =  0,  l...ti). 
unter  ^^,  -^^^^^'/fm-h^i  die  Wurxetn  der  Gleichung 

38* 


428      Sitzung  der  math.-pkys.  Clasae  vom  T.  December  1805. 

unt«r  den  0^*+'*  Funktionen  von  x . .  a^**'  verstanden^  die  (10) 
befriedigen.  Die  Elimination  der  ajr+"  aus  (10)  (14)  führt 
wegen  (15)  auf  die  folgenden  Gleichungen,  die  (14)  ersetzen 
können : 

(1*5)         S  ^..v  ^<'.  +  ^  rf^  =  0  (i  =  0, 1, . .  i), 

■=o 

r=iJ 

Aus  unserer  Definition  folgt,  dasta  alle  00*  Flächen- 
elemente fi  -f  1.  0.,  die  sich  an  eine  Charakteristik  anschliessen, 
den  Gleichungen  (10)  genügen. 

5.  Ein  mit  dem  PfafiTschen  System  (12)  (13)  (IG) 
äquivalentes  System  erhält  man  auch,  wenn  man  in  jeder 
der  Identitäten 

(17)      (<}),= ZI  f..  ('''');'"  ('=1- 2,..  i) 

1=1 

die  Coefficienten  der  öx,  c).v,  daj."^  auf  heiden  Seiten  gleich- 
setzt, und  hierauf  die  p»,  eliminiert.  Zur  Verification  dieser 
That«ache  bemerken  wir,  dass  au.s  der  einzehien  Identität 
(17)  durch  die  geschilderte  Operation  ausser  den  Relationen 
(12)  (15)  zwei  Gleichungen  für  die  r/a|"'  hervorgelien,  die 
andererseits  auch  erhalten  werden,  wenn  man  ans  dem  ent- 
.sprechenden  Gteichnn^sjianr  (9)  und  ans  (14)  die  a|"+''  eh'- 
niiniert.  l'nsere  Behauptung  f<di;t  dann  ans  der  Ae([uivalen/ 
vrm  (9)  und  (!')). 

•  1.  Ist  nun  fi  ein  .gemeinsamer  Streifen  n.  0.  der 
Pfaffschen  Gleichunj^en  (4)",  d.  h.  «^enii^t  s  den  Gleichun- 
gen  (4).  ^o  tulgt  ans  (171.  dass  die  »  Gleichnnf^en 


p.  Wtber:  Pfaff'ueht  liyifteme. 


439 


kieii  ttuf  geimii  m — k  ntmbhänf^ige  reducieren,  wenn  die 
äs,  (jy.  äfuj"'  dtiii  Kelationen  (12)  (1(5)  gGnüf;;en;  es  können 
nämlich  nicht  alle  ^'-gliedrigtin  Determinanten  der  Matrix 

i:  e.,  II 

identisch  verschTrindcn,  dagich  wtosi  entgegen  unserer  Vomns- 
elztin;^  nber  die  Ätisdrflcke  (3)   filr   dirselben   eine   lineare 
IdetiLität  ergftbe.     Wenn  nun  keine  der  Relatiunen 


(19) 


dy  =  ^».  dx  (»  =  1,  2. . .  «  —  i  4- 1) 


erftlltt  ii«f.,  tio  knnn  miin  ati^  (12)  (Iß)  (18)  die  Grössen 
dx,  dy,  rfaj"*  eindeutig  bf^^ttimmen,  wie  aus  der  Korm  dieser 
Gleicbungtm  leicht  bervorgeht.  Bezeichnen  wir  mit  ärX^dyy, 
d^a*^^  dieseti  liStsungttTstem ,  mit  e,  «',  e"  succe^sive  Kle- 
mente  n.  0.  von  5,  so  gibt  es  n  —  k+i  zu  e  benachbarte, 
mit  ihm  Tercinigt  liegende  Elemente  fy  (x  -^  d^  x,  . . .  «j^*" 
■j-dfC^*^);  ans  der  geonietriscben  bedeutang  der  Uleichun- 
(18)  folgt  dann'),  dass  diese  Elemente  mit  c,  r'  zu- 
niif  dennelhen  Ktement  ii-j-1.0.  E  gelegen  sind, 
da»  nach  der  Schlnsdbemerkuiig  der  vorigen  K.  die  fWla- 
tioncn  (10)  btsfricdigt.  Desgleichen  gibt  es  «  —  fr+1  zu  c* 
benacbbiirte  Kleniente  e^  {x-\- d^x  +  dx-\- dyäx, .  ,  .  .)s  die 
mit  e'  e"  xuMiinmen  ein  den  Relationen  (10)  gendgendes 
Element  n-\- 1.  ü.£'  bestimmen;  die  Increaiente  rf^dx-rf^dcj;'' 
I         '  (•ich  au»  (12)  (16)  (IB),  nachdem  man  darin  unter 

1^  liliguög  der  N.  1    die   X-«;,"'    durch  X  •\- dz  et«, 

ersetzt  bat.  Durch  s  geht  mithin  ein  und  nur  ein  Streifen 
«  +  1.0.5,  döwen  Kiemente  E^E'.,  den  Gjeichnngen  (10) 
geoflgen*),  und  die  Kiemente  e^,  ej, .    .  erfüllen  für  r  =  l,.. 


1)  V|tl.  meine  pag.  426  ciittrte  Arbeit  l  4. 
>)  Ua«*r1b«  folg-t  küner  üaraiM,  daM  die  Elimination  der  af^^^ 
•  ui  flOl  QDfl: 


.  «i*^»»  ö*+  a}5.t »  6if  I«  -  0, 1, . .  a) 


430      SU4un0  dtr  math.-jthjfs.  CUiSM  vnm  7.  Dtiember  J89S. 

H  — ft+l  einen    und  denselben,   auf  8  gelegenen,   zw  8 
naclibarteu  und  niit  ihm  vereinigt  liegenden  Streifen  «|. 

7.  Verlangen  wir  nun,  dass  «,  wieder  ein  Streifen 
des    Pfafrschen    SysteniH  (4)  Hei,    so    mflssen    TermQgoJ 
aoserer  Annahmen  fiber  s  die  Beziehungen  gellen : 

rf^(d),  =  o,  (i«u..t) 

wie  uuch  e  auf  s  gewählt  lein  mag.  Da  nun  nui  (I7X  iu- 
dem  man  darin  d  und  d  durch  d^  ersetzt,   die  B«y.iehungeD 

fülgon,  so  hat  man  auch  d(^,)^  =  0,  da  doch  e'  und  «' 
ebenso  wie  e  und  e^  Elemente  einer  Chttrakteri»tik  sind. 

Mitbin  setzt  :iich  unsere  Forderung  iu  die  andere  uu). 
da«   die    (von  den   zweiten   Difl't^reatiuleu    freieu)  ÄusdrGcke 

(20)  rf,(*)<-rf(rfA 

identisch  verschwinden,  wenn  die  </yX,  d^t),  d  a^"'  den  Re- 
lationen (12)  (Iti),  die  6x  .  .  den  Gleichungen  (18)  genfigen. 
Nun  sind  aWr  die  d,.x  etc.  auch  durch  (12)  und  (14)  de- 
finiert, unter  den  aj^+'t  Grössen  ver«t«üden.  die  (10)  bo- 
friedigen,  und  das  tillgemeiuste  Increm eoteDHj:item  doJ"\  diu 
(18)  erfüllt,  itd.  demzufolge  durch 

(21)  «;-+»*,  +  a;;+'My 

gegeben,  worin  die  a*^*+''  dieselbe  Bedeutung  bnben,  wie  in 
(14),  während  die  dz,  d^  ganx  willkOrlich  bleibfu.M 

Fuhrt  mau  jetxt  die  Üifferentiatiuuan  iu  (2U)  uuch  K.  I 
aus  und  ersetzt  hinterher  die  lucremtrnte  durch  ihre  Werte 
(14)  (21),   so  erhiUt   man    nach    kurzer  Rechnung   aU   nol- 

aaf  dit  Bedin^unffen  (4)  fOhrt,  und  d*M.  wenn  dtcAf  trfntlt  ■ind. 
■ui  den  Rennanten  ÜlrichuBfreo  dir  al***^ "  -mdenttir  Nerrckncn 

Iwma,  wmn  kein«  der  Hv-Utioofo  (VJ)  <  < 

1)  Vffl   4u  Cital  aar  pmff.  la'J. 


V,  IVtter:  Pfafftehe  SyMemt, 


431 


wwi<ii>50  und  hinreichend«  BtHÜn^UDgen  daftlr,  daas  s^  wieder 
ein  Streifeu  deä  Pfttff'äcben  Systems  (4)  Bei,  die  folgeudeD: 
Man  niuäs  vermöge  der  Gteichnngen  (9)  oder  (10) 
idcutisoh  haben: 

(22)  ßf;\V^)  -  Z);\tr^       (i  =1,2.,.  k), 

udar»  «rt«  wegen  (H)  d&Melhe  inf: 


(23)       ir\h\^,)  =  D';\A\)       is  =  V,  1.  -  -  A- -  I). 

8.  Dia  somit,  wenn  diese  Bedin^urigeii  erfüllt  sind,  auf 
#j    ala    einen    gerapJn^nmen    Streifen    der    Pfnff 'sehen    Glei- 

Pchun^cu  (4)  wieder  ilieselhcn  ScLIühsh  ungeweiidet  werden 
höiinen,  wie  unf  *.  bo  Icomnit  mnn  durch  unhegrenxte  Wicdor- 
btdurig   dieier  Schlud^weLie   zu   titiiu  iJe^iulUt,    dann    durch  s 

Feine  lind  nur  eine  Klüehe  v  hindurchgeht,  die  deu  (jJei- 
cbuDgen  (4)  tw>wohI  als  auch  den  k-{-  i  partiellen  Differential- 
gleichungen n  4"  1-0.  (10)  identisch  geuDj^t.  Bemerken  wir 
nämlich,  dnsa  die  Fläche  r.  sofern  sie  üherbnupt  existiert, 
BcboQ  durch  die  Forderung,  5  (und  S)  zu  ontbalten  und 
irgend  einer  der  Gleichungen  (10)  xu  genügen,  völlig  be- 
stimmt s>i*m  mu**,  ^o  folirt.  dif»  Existenz  dieser  Fläche  nu» 
deu  bekunnion  Fundamentallheorenien'),  wenn  wir  gt^wiiise 
C(>otioQit%tähedin^uu(;eD  &lä  erfQUt  nn^ieheo;  olbo: 

n  Bestehen  die  Kelntionen  (23),  so  geht  durch  jeden  ge- 
'  n  Streifen  n,  0,  vnii  (4),  der  k*äne  der  Gleichungen 
U  -jicdigt,  eine  und  nur  eine  , IntegralflUche*   de«  Pfoff*- 

sehen  Systems  (4),  welche  ans  je    oo^  Cbarakteri»tikeu  eiuea 
jeden  der  n  —  i  +  1  verschiedenen  iSysteuie   aufgebaut  ist.* 

Dos    so   erhalt*?ne  fntegral  (4)    bStigl    offenbar   ab   von 
,11    -  ff  -\-  I   nrKltrün^n  Funktionen  je  eines  Arguments.*) 

1)  Ctenügl  n  ausser  den  Relationen  (4)  nacli  einer  der  Olei- 
chQBjpiD  (Ift),  obne  indei  eine  Charakteriitik  in  Käu,  so  ffebl  durch 
ihn  »ific  Inl^(raJäad>e  von  (4),  die  ihm  entl&ng  einf  Bnckkehr- 


432       SiUung  der  nath.'phgt.  daut  wm  7.  Dttember  1896. 

D.  Sind  die  Vonu^seUungeD  der  NN.  2  und  8  in  ßetretT 
der  AnsdrUcko  (3)  erfnllt,  ao  nennen  wir  die  Gesamtheit  der 
w  —  Jt  +  I  ChKrakteriätikensysteme  der  Gleichnnjfen  (-1)  ein 
«unbeschränkt  integraliles  Streifensystem*  und  be- 
zeicben  es  mit  dem  Symbol  Sf^^l,,'  -'e  OBchdem  nun  die 
Auädrflt^ke  (3)  keine,  oder  1,  2.  .  .  k  unabhan^gj  lineare 
Comliinationen  der  Form  ^*  gestatten  (iint«r  den  0^  Funk- 
tionen von  X  .  .  o***'  rerstanden).  ergicbt  sich  eine  wiebtitre 
Einteilung  der  Systeme  S'l^}_^  in  Ä+l  Arten,  die  wir  mit 
dem  Symbol 

24)  ^:U,{l^O,\,.Jt) 

l>eKeichneu  wollen.*)  Besonderes  Interesse  bietet  der  Kall 
/^A;  man  kann  dann  die  {6)4  durcb  die  dtP«  ersetzen  und 
demzufolge  den  Aoadr^cken  Jf«,  Nt^  At.i  <ivr  N.  2  beic.  die 
Bedeutungen 

beilegen.  Die  Bedingungen  (23)  sind  JKtxt  eine  Folg«  der- 
jenigen der  N.  2;  man  erkennt  dies  entweder  nncb  N,  7 
aus  (2),  indem  man  /durch  die  (/>,  er»ptr.t,  ^ler  direkt  daraos, 
daMt  die  Helationen  (22)  nunmehr  identisch,  nicht  nur  vvr- 


3*. 


kante  n.  0.  bttiUt  (vgl.  m<Mne  pfttf.  42S  eiti^rte  .Arbeit,  $7];  dareb 
•ine  Charakieriitik  geht  «iae  Schaar  von  latfgralfUebeD ,  die 
noch  von  einer  arbitrftren  Punktion  einei  ArgurnrtnU  a^hAnffl.  Die 
JntegmlllucheD  des  Ttite«  lind,  al«  Scbaaren  Ton  's:'  Klicbenplemralen 
aarfcefaact,  die  Al1;;r>m<>in-len  .Intef^ralftfiairnlent«'  (Jm  PfitfTaffarn 
SjsUmf,  daa  i»uf  ■t*r  rnlen  Orupiie  der  <iWichungen  (t)  um!  nua  (4.t 
gebildet  würd. 

1)  Die  in  tneiaer  frllbcren  SqU  aad  in  mnin«  Arbeit  Math. 
Ann.  47  betnu-bteteo  SyMcme  «ind  dennarh  mit  iSJ^jff -0, 1,-.«), 
dos  CbarahtervitikenejBiem  einer  (ilnichnag  n.  0.  mit  ä*^*!!.!,!  *"  '"^ 
wichnra;  den  Fall  Aj^'^  botruibtet  gelegmiltrh  Herr  Bftrklaod 
(Math.  Ann.  IS):  Baiipiele  für  Jtu  Fälle  .Sj,'^  and  ^i\  fio'inu  «ich 
in  loeiBar  oban  cUiorien  Arbeit. 


V-  H'e6er;  l^ulf'adte  Ütfvtemr^ 


433 


iiiCigi'  (1>),   erfntlt  »iiid.     Die  k  in  !{n7.n>r  auf  die  aj***  nnab- 

hangigim  Citeichungcn  11.  0.: 

(25)  a>,=  CHi=  1,2...  Ar), 

ia  denen  die  Ü,  willkürliche  Gonätanti^  bedeuiea  und  die  wir 
als  ein  In voluiinii^^-tvstem  bezeichnen,  hp-sitxRU  dunn  ein 
gpnu'insnm««  lot^^gral  mit  «  —  A*-f*  1  arbiträren  Funktionen,  in 
dem  Sinne,  daän  durch  jeden  ihrer  gemein)»amea  Streifen  n.  0. 
im  ungemeinen  eine  und  nur  eine  gemcinstime  Intograißilche 
biudurcbgebt. 

10.  Die  vomtehcndeu  Bemerkungen  gelten  auch,  wenn 
einige   der  d,    etwa  die  f;i  ersten  CO<m^A:),   durch  Null 

rCr^tzt  werden;  die  I^dingnngen  der  N.  2  mtlasen  jetzt  vor- 
Ui  ü  g  e  der  Gleichungen 

<^i  =  0,  .  .  </>«  =  0 

f'beftehen,  und   auf  eben   diese  Kelntiooen    ist   auch  bei  der 
AVahl  de»  AungungKstreifens  jr  (N.  I>)  Rflcksicht  zu  nehmen. 

11.  Die  Uedingnngeu  (28)  drücken  an»^  dikai  die  (Mei- 
chungc»  «4"  ^.0.  (10)  im  Sinne  der  vtirigen  N.  ein  lu- 
volutinn^eyetem  bilden.  Ist  umgekehrt  ein  System  von  £ -|~  ^ 
iQTolatoriscbon,  in  Bezug  auf  die  fi^^''+'>  Jineiirea  und  unnb- 
höogigen  Gleichungen  11  -f-  !•  0.  vorgelegt,  so  kann  man 
ckuaelbe,  wie  leicht  zu  äehen,  auf  die  Form  (10)  bringen, 
worauf  durch  (3)  und  (17)  ein  System  äJI'^j  ,  definiert  ist, 
wenn  mau  setzt: 

*-i  *-i  * 

M,^^^lr»*wi    Nf^^lrt^^x;    A^4^^^^~r,U 

r=«  r=o  .=ü 

unter  den  i,t  irgend  weiche  A*  Funktionen  von  x  .  .  üjl**  mit 
nicht  ideutincb  TerMshwiudender  Deteruiinunle  verbtunden. 
Der  Charakter  t  des  Systems  ^l^i^t  hestimrot  sich  dann 
durch  algebrriifM^he  Operationen,  die  /  intcgriibeln  Combina- 
liont'U  d0i  der  Ausdrucke  (d),  tlurvh  Int^fgnttiun  gewöhn- 
licher DiCTereutialgleichnughsyi^temM. 


434      Sitgung  der  mathrphys.  Clasae  vom  7,  Dezember  1895. 

IT.   Abschnitt. 

1.  Wir  betrachten  ein  Pfaff'sches  System 

(1)  (tJ>-=0  (t  =  1.2..Ä) 

von  der  in  I,  NN.  2  und  7  geschilderten  Beschaffenheit  und 
das  dazu  gehörige  System  von  k  -\-  \  linearen  partiellen 
Differentialgleichungen  n  +  I.  0,  (vgl.  I,  (10)): 

(2)  K.  =  Q>  (i=0,  1,...Ä). 

Aus  den  Beziehungen  I  (23)  folgt  dann  leicht:  Üiffe- 
rentiirt  man  die  Relationen  (2)  ^'-mal  partiell  nach  x  und  y^ 
wobei  die  Grössen  a[.*>  als  Funktionen  von  x  und  y  be- 
trachtet werden  ,  so  reducieren  sich  die  resultierenden 
Gleichungen  vermöge  aller  vorhergehenden  auf  k-\-j-\-\ 
der  Form : 

(3)  ürf=5i?A''l"+'r^"  +  "i"  =  o  (.-  =  0,1,.. i+j), 

worin  zur  Abküri^ung  m  =  »(  —  k  ge.setzt  ist*). 

2.  Tnter  einer  „Charakteristik  Ji-j-r.O."  des  Pfaff'schen 
Systems  (1)  vcr.-tehen  wir  einen  Streifen  H-j-r.O.,  der  die 
folgenden  Ditferentialgleichnngen  befriedigt: 

(-4)  dy=^.'f,,dx', 

(5)       <ia\''  =  {a\"+'^  +  .i^,  u\'+'']iixU  =  0,\.,h  A  =  Ü,1,.. 

..«  +  r— 1): 

((>)       da.        =  («,  ^  ^     -f  -^,,  ß,^.i  ^  J  (/x  (i  =  l),  1  . .  »  -f  r), 

unter  -^/^  eine  der  w-|-  1  Wurzeln  -^^, . .  v/„,+i  der  Gleichung 
(7)  z(--^)-0 


c.  Weher:  Pfaff^ache  Systeme.  135 

(vgl.  1(15)),  untttr  deu  Gröswen  f^^^^^  • "  ^^i^"^  irgendwelclie 
PunktionoD  tou  xyiu^K.a*^^  verstanden,  die  den  Gleichun^on 

(8)  ir;*'  «=  0  (i  =  0, 1  . . .  *  -f-  A:  A  =  0, 1, ..  r—  1) 

(9)  jr;''=0(t  =  0,l...*  +  r) 

idnifcisch  genflgen;  die  Systeme  1,8)  (9)  sollen  auch  von  den 
liitegrationscoaatanU'n  X. .  oJ^|j;^\  mithin  von  allen  FJäcbeti- 
eletnenten  des  Streifens  erfüllt  weTtJen.  Eine  solche  Chsrak- 
teristik  bexeichaen  wir  generell  rait  C'''+'^.  Die  m  +  1 
Chiir»l(tvrir4tikensy:<tenie  ti-f-r.O.  bilden  ziiHaruroeu  ein  un- 
beechniukt  in tofi^r Ablest  Streifen^ystem  iS"*+*'*). 

Oie  Elimination  der  o<"-M-n  am  (6)  und  (.9)  filhrt  nuf 
die  i-f-r-f-l  totalen  DifferentialglLMchungen 

die  wir  mit  (4)  (5)  Kusnmmen  als  die  Dfünitionsgleichungeu 
der  C'""^*  beliehnen  wollen.  Ist  ^ft  keine  mehrfach  zäh- 
lende Wumel  von  (7)*))  **>  »»'D^  längs  jt'defl  Streifens  Cj7*oo* 
(^'(n+i)  I>estimmt.  deren  einzelner  durch  Angahe  eines  seiner 
Häemcnt«  »-f  l-O.  festgelegt  ist;  ebenso  goheu  durch  jede 
CJ,»+i)oo»CM--'  etc. 

3.    Wir  verstehen   unter  F  eine  Funktion   der  Grössen 
'  '  "i+T^  setzen 

4    -      9^' 


')  Vgl.  I,  N.  9;  doch  dorcheielit  dieie«  System  oirhl  den  iraiiz«n 
Haoin  X,  .oj,*^',  madtn  nur  die  doreb  |B)  definierie  UanDiKfaltif;keit. 
')  Vgl.  S  1  meiner  Arbeit  in  <len  M»t.h    Ann    R'l.  47. 


436      SiUung  der  maOt.']>Stfn.  Ülatte  vom  7.  Iksember  1895. 
ferner,  wie  in  I,  K.  1 ; 

und  nehmen  an,  dnss  dF  eine  integrabte  Cumbination  der 
I)etiuitioit!tgleichun}(en  der  Oj^"^"*  sei^  d.  b.  duss  man  fllr  alle 
Werte  der  Incremente  dx^  dy^  rfojH^^  vermag«  (8)  ideutisch 
habe: 

(U)  a  {dy  -  ^^.  rfx)  +  j]  o,  [d^^       dF, 

unter  a,  tr,  nicht  näher  bestimmte  Funktionen  vun  x^'-a^^^ 
verstanden.  Solche  integrable  Coiii))inutiouen  sind  z.  U.  die 
Ausdrücke  rf/^'*^"'*;  doch  setzen  wir  voraus,  das.s  nus  den 
Gleichungen 

(12)     dF  =  0,  djsr;*^"  =  0  (t  =  0,  1  . . .  /(  +  r  —  1) 

vermöge  (8)  keine  Helation  zwischen  dx^  dy  allein  folgt*), 
inflbeeondere  also  auch,  duas  zwischen  den  linken  Seiten 
dieser  ItelatioDeD  keine  lineare  Identität  besteht;  dF  sei 
dann  eine  eigentliche  iutegrable  Coinbini*tio(i  der  Cj*+^' 
genannt.  Für  F  erhält  man  aus  (11),  indem  mau  duria 
die  Coefficienten  der  dx . . .  auf  beiden  Seiten  gleichsetzt 
und  die  a^  Ot  eliminiert,  ein  System  homogener  linearer 
partieller  DiiTerentialgleichungen  1,  0.,  worin  die  Viiriabeln 
x..aj^*;+'*  den  Kelationen  (H)  au  geuQgeu  haben,  und  bich 
die  Zahl  der  unabhaugigen  Variabein  denigemüi»  reduciert. 
Alle  etwa  vorhundencu  integrubeln  Comhinationen  der  CJ^**^* 
werden  also  durch  Integration  gewöhnlicher  Differential- 
gleichun^tysteme  gefunden. 


1}  Im  Falle  r=0  toll  dunelbe  fllr  die  OleicfauuRen 
d/''=0,  (ti)^-iO(i»1.9.  ...*) 
gelten. 


4.  Unsere  Aunabme  in  Bezu^  nnf  F  lai  mit  der  aiiclern 
ttciuivnlont^  daa<i  der  Aur^lrack 


Tcrmöge  (8)  (9)  rerschwinde,    t\.  li.   iloss   vermöge  (8)   eine 
Identität  der  Form 


^KK'^t  (»i"^"  (J^ + ^^  ^;"^'  i^) 


bestehe,  unter  p,  Xt  Funktionen  von  x  .  .  o'"J^*  verstanden, 
Aläsn  verschwinden  vermöge  (8)  alle  Ä -f  ** -h  3-gHederigen 
Determinanten  der  Matrix 


«o'            1  e«.  ?i.  • 

0 

,    0 

^r        .  0.  e,. . 

0 

,     0 

KJär                   ,     0,     0,    . 

Qm 

«  tm+l 

D':+"'\F),  A,,  A,,  . 

A„^, 

,     0 

/>r+'"^n  0.  ^, . 

.  /i»+r- 

It    J^M+r 

was  für  F  wieder  ein  -System  partieller  Dilferentialyleichunffen 
I.  0.  (lart(te)lt,  dessen  ffemeinsanie  Integrale  aber  nanniehr 
die  etwaigen  integrabi^lu  Conibiuatioueu  aller  m  -f-  1  C(M+r)- 
systenie  liefern. 

Ks  möge  unigelcehrt  F  obigen  Bedingungen  genügen, 
aber  nicht  alle  k  -{-  r  -\-  2-  gltedrigen  Determinanten  der 
Matrix  (14)r  inübcsundere  aber  iineh  niubt  alle  ans  den  letzten 
n -+•'*+ 2  Colonnen  gebildeten,')  zum  Verschwinden  bringen; 
dann  Uwitzen  die  Gleichungen  (7)  und: 


J)  Sonst  wrirde  ntts  (12)  eine  Relation  für  dx,  dy  rolgen. 


■■ 


'438      Sitzung  der  maih.-phys,  Ctasse  vom  7.  Dezember  1895. 

wie  leicht  ereichtlicb ,  genau  m  gemeinsame  Wurzeln ,  die 
mit  -^1  .  .  .  y/r-\  -^r+!  -  .  -^«+1  bezeichnet  und  durch  die 
Gleichung : 

(15)  ^ej-^r'-^o 

gegeben  seien.  Man  verificiert  nunmehr  leicht,  dass  eine 
Identität  der  Form  (13j  besteht,  sowie  dass  die  k-\-r-{-2  in 
den  aj"+''*  unabhängigen  Relationen,  auf  die  sich  demnach 
die  Gleichungen  (9)  und: 

i)^"+'''  (F)  =  0 ,  Dj,""^*  (F)  =  0 
redaeieren,  die  folgende  Form  erhalten  können: 

(16)  Lf  =  2  «;  «i"+t'"'  +  f  =  0  (i  =  0,  1, .  i  +  r  +  1). 

*=ü 

Durch  J-malige  Differentiation  dieser  Gleichungen,  die 
vermöge  (8)  ein  InvolutionssyHtem  bilden  (l,  N.  N.  10,  11), 
erhält  man  veruiöj^e  (8)  und  der  vorhor^ehendpn  Diffen-n- 
tiationsgleichun^en  Je  -]-  r  -\-  J  -\-  2  Gleichunf^fen 

(17)  L^/'  =  ()       (i  =  0,l..Mr+.M-l). 

Die  , Charakteristikeil  C^|'+*"+'''''  des  Involntionssystems 
(16)  sind  definiert  durch  die  Gleichungi?n : 

./*/     ^,.dx\(hif     («|'^'V^,a;'^+")(/x  [h      U.l...A-+r-l-r') 

worin  ^..  eine  Wurzel  von  (1'))  bedeutet  nur]  die  a'"+'*  die 
Kelationen  (8)  (17)  (18)  identisch  erfiillen.  und  bilden  ein 
unbeschränkt  inte^'rables  Streifensysti'ni  'S"|,"j",'"''''^');  die  Glei- 
chung 

(18)  F^C 

1)  V^l-  tlit'  Anm.  pag.  485. 


p.  Web0r:  Pfafr»cl*<  Sy»t*mr. 


490 


bat  oläo  mit  (1)  ein  Inte^al  gemein,  daa  ron  m  willkQr- 
Uchen  Futiktioncn  jo  eines  Argnraeats  aUiuni^t.,  indem  durch 
jcdeo  gatncinRnniPD  Streifen  n  -|-  r.  0,  ton  (1)')  und  (18)  eine 
uod  uur  eine  Fläche  liindurcbjfelit .  die  den  Gleichungen 
(l)  (18)  geaügt. 

5.  Mnn  entnimmt  dem  Vorhergehenden  leicht  den  fol- 
genden nllgemmnen  Sntv:: 

-Ist  r'  >  r,  J^  eine  Funktion  von  x  . .  a'*'^'^  und  be- 
iäiic«n  die  Delinitiousgleichuugeu  der  Cj7+''*  von  (1)  die  inte- 
grabolc  Conibination  dF",  so  ist  auch  df  eine  solche,  unter  /' 
irgend  eine  Funktion  von  F  und  F'  verstanden.' 

6.  S«i  die  ganze  Zahl  5  >  r,  ferner  r^fi.  <P  eine  Funk- 
tion Ton  *'.oJJI^'.  d^  eine  eigentliche  integrahle  Combi- 
nation  der  Deänitionsgleicbungen  der  C]^^  Ton  (1),  so  ist 
rfff>  offenbar    auch    ein«  eigentliche   integrahle   Corabinution 

der  C'i.''+''  des  Involutinu?wye(temH  (Itl);  iilsu  reduzieren  sich 
die  k -^  » -^  4  GlHiohungen; 

t^-»«,0.  i>i"+^*(©)  =  0,  ßj;"+"(üt)  =  0 

auf  A* -f"  *  +  J^  in  den  aJ*+H-i)  unabhängige,  die  Termögo 
der  forbergehenden  Gleichungen  (17)  und  vermöge  (8)  ein 
Involutioiivijstom  bilden,  und  die  Gleichungen  (1)  (18)  nnd 
*p  =s  f '  liaben  somit  ein  Integral  mit  m  —  1  willkürlichen 
Punktionen  gemein ;  durch  Wiederholung  dieser  Schlussweise 
*trh&U  man  scblieftiilich  folgendes  Theorem : 

»Iift  die  gnn/.e  Zahl  /<m,  sind  die  partiellen  Dif- 
ferentialgleicbungeo 

ns^  ,.._,..  /.',  =  t',...  /•',  =  r;, 

ll  KtD  streifen  n-^r.O.  ron  (1)  Ut  ein  eolclier,  deieon  Ele- 
turnte  n.  0.  den  dleichunnpn  U^.  dcs-cn  KIcniente  n  -f  1.0.  den  Ee- 
UtJoa»n  (3)  «tc.  K<>t>Q|;en. 


44'f       Sitrung  der  wuUh^phy*,  CJaK*-r  w*»  7,  iHirmher  Jf-f'S. 

berw.  TOD  d«r  Ordnao;?  b -f-r,. -- n  — r.  und  ist  ft-^-r  die 
(rr^ifftct«  dieser  ZafalfD.  >>tt;itzeii  ferufr  die  Definitions^leicb- 
UDgeo  d**r  CharÄkterislik^-n  C!*"^' .  ..  C-""^/'  des  Pfiifi~«cfaec 
Systems  M)  bez.  die  eigentlichen  inte;;riit>eln  Com'riiniiioscn 
dF^. . .  äFy.  80  definieren  da*-  STstein  (1 1  nnd  die  GJficb- 
angen  (19^  durch  ihre  gemeiuBamen  Cbarakteri--'titeD  n-^r.*\ 
«in  unbescbriükt  integrables  Streifensysteoi  >',;^'  und  be- 
sitzen daher  ein  getneinsameä  Integral  mit  w — Ä-J-l  arbi- 
trären KunktioneD,  indem  durch  jeden  ihrer  semeinsamen 
Streifen  n-|-r,  0..  df-r  keine  Charakteristik  des  Erstem*  5",^^ 
ist,  eine  und  nur  eine  gemeinsame  Integralfläcbe  hindurch- 
geht." 

7.  Wir  nehmen  endlich  an,  dass  die  Funktionen 
F^. . .  Fm-,  F\  . .  F\  bez,  die  Ordnung  n  4"  '"i  •  •  «  -f  »'■i  - 
w-f-rj. ...  H-f-  ri,  befiitzen,  dass  man  hal>e  r,!>r, (i  =  1.2....»*j. 
und  dai*  r  die  gröbste  der  Zahlen  r,  sei.  Es  sei  femer  für 
i=i\^2^..  m  dFi  eine  eigentliche  integrahle  Combinarion 
der  C"-*^.'.  <J  F',  eine  sr.lobe  der  r'-'+'i'  de«;  PfafTsL-hen 
System-  (1;:  iui  Falle  r,  =  r',  -etzeu  wir  iil>:-pli*r-  Tora;-, 
fla.-»«  zwi-(:ii(,'ii  <i(;ri   Aii-'lriii;'K»Mi 

( 2MJ       ^/  /•; .  >i  i'\  ■  'i  Ky  •  .  /( =  0.1 . .  /.-  -  r_     1) 

bt'Z.   im    Kuli«;  r,  = '',  zwi.M.lj.-ii   .l.-n    A:i-lri'..k'-ii 

(21)  ä}\,  .//■';.  U\..  {]=  l.-^.../;)"i 

k'-ifiM   Ihican;    l'ltrititiit   Kt-t-li'-. 

I-t  j''tzt  s*  fiii  ^cnicin-üiiifr  Stp-it'-ii  n.  (*.  'icr  Gleidt- 
uri'^eii  M  .  'l'T  kcituT  *it'r  »j  +  1  Wt-iiitiorit^n  4  iieiifii^t.  -n 
i-^l  ilitii  '-ntliiii^  ein  iiiiti  nur  i-in  Stn-iffn  .<."+'  iitMinmit. 
il<'*-f'ii     lOli-rinMjt*'    u  -{-  r.  II.    (Iji-     llflütiuii»-!!     '^      Ipt'frjt'ilic«-!) 

'i   \'jS.  dl.'   Aniii'-rkun^f.  paj,'.  4;iri, 


p.  Wtber:  Pfaff'äche  Sytttme. 


441 


(I,  N.  8).  Drucken  wir  die  aa  «<"+'»  gehörigen  Gröiwen 
j0,..«J^*  als  FuuktioDeo  eines  Paraiueterti  aos  uud  «ubsti- 
tiiieren  diese  Wert«  in  die  m  Punktinnitpanre  Pi^  Ft^  so 
knnn  uinn  die  m  Fanktionon  tf,  auf  eine  und  wosentÜnh 
ntir  eiut!  W<ei^e  6o  beätiiimiea,  daoa  uiau  f(ir  jeden  Wert 
dtti  Puruinelerd  i(]entitM:h  UaI: 

9',(F,,^1  =  0  (i  — l,2...m). 

DieM  Bestimmung  wäre  unr  dann  unauafHiirbar,  wenn 
sieb  die  beiden  Funktionen  eines  Paars  vermöge  uoserpr 
Substitution  iiuf  Confitanti'  ri-dacii'rLeu^  dünn  aber  würe,  wie 
leicht  zu  sphen»  ,<""  eino  Clianiktcriatik  von  (l),  was  aus- 
guficblofisun  wurde.  Ist  »u  die  Form  der  Functionen  ^  ge- 
funden, Kl  ist  «t"+'^>  ein  geuieinwinier  Streifen  der  Gleich- 
ungen (1)  und: 

%{K^K^--^  (.--1,2,...«.), 

»Iche  nach  K.  5  und  6  tuit  (1)  zusammen  ein  unbeschränkt 
ötegrables  Streifensystem  St""*"'''  bestimmen.  Dan  Letztere 
wäre  nur  dann  nicht  der  Fall«  wenn  einer  der  Äusilräcko 
dff'i  keine  eigentliche  integrable  Combiuation  des  xuge- 
hörigen  C ]■*+*' '-Systems  wäre;  dann  aber  hätte  man  not- 
wendig r«  =s  r«!  und  «^"l  genügte  einer  der  Relationen  (4) 
oder  e«  bestände  zwiücheu  den  Ausdrucken  (20)  bezw.  (21) 
eine  lineam  IJeutitAt,  was  uu:$eren  Annahmen  gleichfalls 
wider«pricbl.  Da  nun  die  Intügralflächen  eines  Svsleoi* 
^^^)  sich  durch  Integration  eine«  System»*  gewöhnlicher 
DtflVrfnUalgteic bangen  bestimmen  liiAitea ,  da  auicsenieni 
auch  die  Funktioneupaure  Fi^  F^  als  Integrale  solcher  Glei- 
chungen erhalten  werden  (N.  3),  ^  können  wir  schliesälieh 
den  8ttti  autiniircjchen : 

«Unter  den  zu  Anfang  dieser  N.  gemachten  Voraus- 
«et^ungen   kann  die  Aufsuchung  der  alt  gemeinsten  Integral- 


,  K«Uu-phT*.  ci.  I. 


a» 


442      SüMung  der  math.'fhya.  Classe  vom  7,  Deeember  1895. 

fläche  Ton  (1)  durch  lategration   gewöhnlicher  Differential- 
gleichangsaysteme  geleistet  werdeu.'^) 

Existirt  nicht  fflr  m,  sondern  nur  ffir  X  der  m+l 
Gharakteristikensysteme  von  (1)  je  ein  Funktionenpaar  ^/,  ^,- 
der  geschilderten  Beschaffenheit,  so  vereinfacht  sich  die 
Integration  von  (1)  insoferne,  als  sie  auf  die  Aufsuchung 
der  Integralflächen  gewisser  Systeme  SJ^lj'  zurückkommt. 


^)   Ersetzt   man   im  Vorstehenden   das   System  (1)   durch   die 
einsige  Gleichonfjf 

(I,  N.  1),  so  erhält  man  die  Integrationstbeorie  der  part.  Differential- 
gleichungen n.  0.  in  8  Variabeln,  im  Falle  n=2  eine  Erweiterung 
der  Darbonx'ächen  Theorie,  indem  die  der^elbeo  anhaftende  lie- 
schränkoDg  auf  Funktionen  paare  gleicher  Ordnung  aufgehoben 
erscheint. 


443 


Ueber  den  Eiweissumsatz  bei  Zufnlir  von  Antipepton. 

Voo  Carl  VolL 

(Mütfibi^  it,  Jmnumr  IBM.) 

Hurr  Dr.  Alexander  EUinger  bat  in  meiocui  Labora- 
torium Vursiicbe  fiber  den  EiiveissuiiisaU  bei  Zufubr  von 
Auiijwpton  am  Huniio  uii^ftäUllt. 

Zn  oiaer  Zeit  aU  man  glaubt«,  die  Aufuahaie  der  Stijff'e 
uus  tlem  Verdauiingtiachluucbe  in  die  Säfte  erful>(e  eiiifuch 
durch  Oamoäe,  nabiu  mau  au,  das  Eiweids  intUäo,  bevur  ea 
in  die  SüfU  Qbergehcn  kunne,  durch  die  Verdauung  unter 
Eintritt  ron  Wasser  in  leicht  onmirende  Stoffe,  in  , Peptone* 
rerwandelL  werden,  da  man  bei  oäniüt-iHchea  Verbuchen  da» 
l^wöbuliche  Eiweisa  uicfat  oder  nur  in  minimaler  Menge 
durch  «ine  Membran  hindurch  gehen  sab. 

Wenn  aber  da»  gewöhnliche  Eiweias  nur  aU  , Pepton* 
resorbirt  werden  kann,  dann  rnuat  aian  annebmen,  dass  daa 
reMjfbirte  l^ept^u  irgcndwD  im  Körper  wieder  in  gewöhn- 
lich«« Ei  weiss  unter  Abftpattung  von  Wasser  r.urGckrer- 
wju)()elt  wird. 

Iit  dies  Alles  so,  so  muss  das  Pepton  vollständig  und 
iD  allen  Stncken  die  Rolle  des  Eiweisseä  Qbemehraen,  und 
man  mu«»  im  Stande  sein  mit  Pepton  unter  Zuäatx  von 
aticküloffi'reien  KahrungMtf>ffen  nicht  nur  den  Organismus 
auf  Mrineui  Beistände  an  Eiwei;«  zu  erhalten,  «undera  anch 
einen   Anuitz    von    Eiwei»   zu    bewirken.     Em   könnte   aber 

SB* 


444      SiUung  der  mathrph!f$.  Cla»$e  votn  7.  De£embfr  tliOS. 

auch  sein,  dofis  das  Pepton  nur  alü  ein  sohr  guter  Eiwoia 
schntser  wirkfc,  ähnlich  niler  vielleiclit  noch  hvssvr  uU  der 
Leim;  in  diesem  FaÜe  würde  der  KOrper  stets,  trobs  reich* 
lieber  Pepton ftitterunp,  noch  etwas  Kiweiss  von  sich  ver- 
lieren, nui)  eä  dürfbe  kein  StickstoHgleichgewicbt  der  Kiu- 
nahmen  und  Aaigaben  auwie  kein  Aniiatz  von  Ei  weil 
eintreten. 

iüs  ist  selbstverständlich,  da&i  mau  xur  Uwuug  di««er 
Frage  zu  dem  Pepton  kein  anderes  eiwei>4ihaltigci  Nahruug»- 
miliul  geben  durf;  denn  in  diesem  l''ulle  könnte*  der  Ännalz 
von  Eiweiß  aus  deui  Eiweisä  dirse:«  Xalirungatuittelä  erfolj^ 
sein;  nur  wenn  der  Ansatz  von  Kiwtiba  ^rGaser  i^t  uh  di-r 
Giwei«»gebalt  jene«  Nahrungsmittela,  könnte  ein  sicherer 
Schlusü  gezogen  werden. 

Nach  den  ersten  Ernährung^vcnmohou  mit  , Pepton* 
verschob  sich  bekanntlich,  n&uiuntlich  durch  die  Unter- 
suchungen von  KOhne,  der  Begriff  dieses  Stoffes.  Man  be- 
zeichnete mit  diesem  Namen  unfaD^;§  dafi  Produkt  der  Ver- 
dauung deH  KiweisM-s  durch  vi^rdljuntr  Suj/jutur«:  und  IVjuln. 
Man  lernte  aber  spfiter  Zwischenprodukte  Kwi«ohen  dem 
Säureeiweiss  und  dem  Itflxten  Produkt  der  Magenvenhitutng. 
dem  eigentlichen  Pepton  (Am|ihopeptoii)  kennen ,  nUiulich 
die  ()c>genanDt«n  Albumoeen:  ebenw  Zwischenprodukte  »wi- 
schen dem  (ilobuUn  und  dnn  h^t/ten  VerduuungKproduktrn 
der  PaukrooMverdauung,  dem  Aniijwpton  und  dfui  Hemi- 
pepton,  welches  let/t«re  bei  der  weiteren  Venluuung  wr- 
aetxt  wird. 

Ee  war  ali^o  iiothig  rait  allen  diesen  Produkten  Krnäh- 
rangs versuche  Hnxustellen. 

Adnmkiewicz  hat  mit  dem  iBogenannt^n  WilteWhcn 
Pepton,  einem  Gemenge  vun  viel  Albumoieu  und  wenig 
Amphnpepton,  Kcarheitft  nnrl  Iwi  /ngabvi  Vnn  Ki^t  einrtn 
geringen  iStick^totfunKatx  bei>bacht4}t.  L«ider  enttreckt  Mch 
Min  Venuob  oar  auf  einen  einzigen  Tag. 


VoU:  ü«b«r  dm  JStirWMuw*aU  6a  Zufvht  wm  Anlipeptan.     445 

Dann  hat  Pollitzer  Ventiiche  mit  ADi))hap«]>tnn  tin<] 
mit  üwei  Albiitiii>i<en ,  der  Prutfllbutmwe  und  der  Hetoro- 
ftlhumoRe.  aii^e«t^tlt  wiid  mit  allen  drei  Stoffen  einen  KiweiM- 
niisatx  L'rlmlU'o;  allerdingK  ist  dabei  der  Harn  nicht  in  ein- 
VAndfreier  Weise  auf^ejammeU  worden. 

GaHlich  hat  V.  Gerlach  mit  den  Albuniosen  in  dem 
\Vitte*schcti  Prüpamt  und  tuit  dem  durch  Pankrenjirerdauung 
herff(wt«d!t*n  Antifj^pton  Versuche  gemacht:  hei  ersterem 
Keigte  »ich  ein  Ansatz  von  ßiweisa;  bei  letxterera  erhielt  er 
kein  Kesnltat,  Hn  der  Hund  nuch  Ginnabnie  den  Aniipeptons 
erkrankte.  Auch  hier  wurde  der  Harn  nicht  direkt  auff];t'fan};en. 

AUe  nbrigan  BeohHcbter  g*t>en  die  verschiedenen  Pepton- 
pHipanite  des  HundeU  mit  anderen  stickstoffhaUipen  Nahrongs- 
uiiltehi  3^  B.  mit  Rms  etc  ,  gri'iHNtentheiU  bei  Vernnchen  am 
Menschen.  Sie  entschieden  daher  nur,  ob  der  Ki^rper  bei 
Zufuhr  Tun  Eiwet»  in  anderen  Nahrungsmitteln  und  Zusatz 
von  Pepton  sich  auf  seineiu  Eiweiftsj^Ieicbgewicht  zu  erhalten 
vermu^  und  vVnsaU  von  Kiweiss  .stattfindet.  Diese  Versuche 
Kind  von  hohem  Werthe  für  die  Ernühning  Kranker«  aber 
sie  enb^cheiden  nicht,  oh  die  Peptone  volI»tiiiidi{L;  für  da« 
Eiweisa  eintreten  oder  nur  ak  ansgexeichnete  EiwuittsschUtzer 
gewirkt  haben. 

Kacli  den  angegebuneii  VcrAUcheu  erscheint  e»  im 
ehrten  Oradt*  walirM^ht-inlich.  diuü  die  Albuniosen  einen 
ron  Kiweiss  bewirken,  auch  wohl  das  Amphopepton; 
er  wie  das  Autipepton  wirkt,  das  iat  noch  nicht  entschieden. 

Diese  Frage  hat  Herr  IV.  Kllinger  zu  beantworten  ge- 
«uchL,  da  uns  von  Seiten  der  Farbwerke  von  Meister,  Lucius 
und  UrGning  in  H5chät  in  dunkenswerthester  Weise  das 
kostbare  Material  (ctogenaonte«  Eh-flsenpeptoo)  zur  VerfQguog 
geMt«llt  wonlen  war. 

Vjs  wurde  in  den  entscheidenden  Versuchen  bei  dem 
gleichen  Hunde  das  DrQHenpepton  in  Keiner  Wirkung  mit 
dem    KiweiflsrOckKtaiid     des     mittelst    Wasser    ausgelaugten 


446      Sitzung  der  mafA.-jAy«.  Oatae  vom  7.  Dezember  1895. 

Fleisches,  mit  der  Soroatose  (Älbumoee),  die  wir  von  der 
Fabrik  Bayer  und  Comp,  in  ElberfeM  bereitwilligst  erhalten 
hatten,  und  mit  Witte'schen  Albumosen  TergUchen. 

Es  ergab  sich  bei  einem  Oeberscbuss  des  Eiweisses  des 
Fleisch palTers  und  den  Witte'schen  Albumosen  ein  Ansatz 
Ton  Eiweiß  am  Körper.  Von  der  Somatose  wurde  viel  mit 
dem  Kotfa  entleert,  so  dass  eine  dritte  Vergleichung  nicht 
möglich  war;  jedoch  wurde  so  viel  gesehen,  dass  sie  eben- 
falls das  Eiweiss  ersetzt.  Bei  dem  Drfisenpepton  (Anti- 
pepton)  trat  kein  Ansatz  von  Kiweiss,  sondern  ein  beträcht- 
licher Verlust  von  Eiweiss  vom  Körper  ein,  so  dass  das  Anti- 
pepton  nur  etweissschOtzend  wirkt  und  fQr  das  Eiweiss  nicht 
vollständig  eintritt. 

Das  Antipepton  ist  also  wohl  schon  weiter  zersetzt,  so 
dass  es  im  Organismus  nicht  mehr  in  Eiweiss  zurQckver- 
wandelt  werden  kann.  Dieses  Resultat  steht  auch  in  üeber- 
einstimmung  mit  der  Angabe  von  Siegfried  über  die  Fleisch- 
■•«änre,  welche  wahrscheinlich  identisch  ist  mit  dem  Antipepton, 
M>wie  auch  mit  den  Molekulargewichtsbestimmungen  von 
C.  Paals,  nach  denen  das  Molekulargewicht  des  Antipfpton's 
nicht  grösser  ist  als  das  des  Traubenzuckers,  während  die 
Albumosen  und  das  Eieralbumin  ein  viel  höheres  Molekular- 
fjjewicht  erj^aben.  Dr.  Ellinger  hat  für  das  von  ihm  ange- 
wendete Drüsenpepton  ebenfalls  ein  sehr  niederes  Molekular- 
gewicht erhalten. 


447 


Beiträge  zur  Potentialtheorie.*) 

Von  Walther  Djck. 

^S^•v^^/^  Mi.  »ntwAm  I89S.) 

u. 

Die  GauHB'scbe  Formel  fQr  die  gegenseitige  Umwiadung 
zweier  Ranmcurven  and  ihre  Ausdehnung  auf  hObero 
Mannigfaltigkeiten.  Darstellung  der  Windongszahl 
zweier  Mannigfaltigkeiten  durch  Kronecker'sche  Cha- 
rakteristiken gevisBer  Funotionensysteme. 

(>er  vorliegende  zweite Theil  der  .Beiträge  xur  Potential- 
theorte'  ttehanileli  riiimchst  aosfUhrlich  die  Theorie  der 
L'nifchlirigDng  /.wt'ier  geBohlosseiier,  sich  nicht  schneidender 
Liuittu  im  liaum'^ ,  foebi  sodanu  die  Üelimtion  der  Um- 
sclilingung  für  Mannigfultigkeiten  höherer  Dimensionen  in 
(Murni  n-dimen2iif>naleii  Gebiete  und  i^nt^vickelt  die  zugehiirigen 
naulytiücbon  Furmulirungen  in  Erweiterung  der  für  zwei 
Ctirren   im   Räume  gewunnenen   nnrslelltuigeu. 

Im  ersten  Abschnitte  handelt  es  sich  am  die  genaue 
Darlegung  der  Beziehungen  des  Gnu»8Vc[ien  lutegruls 
far  die  Anzahl  der  l'mschlingungcn  zweier  Kanm- 
curren  zu  den  im  ersten  Theile  dieser  Beiträge  (dioüo 


1}  Vorf{clnig«n  in  der  Sitr-ong  vom  6.  JoU  1896. 


452     Nachtrag  e.  SiUung  der  matkrphjf».  Cttust  »>«  S.  Juli  1896. 

Gs  sei  hier  erwähnt,  daaa  wir  alle  iu  der  Kol^e  aaf- 
trcteiiden  QuadralwunwlaiisdrQcke  positiv  »nnehnien;  es  ist 
dies  gestattet,  weil  dieselbün  untrer  dem  Wurzelzeichen  stets 
eine  Summe  von  Qiiudruten  i^nthalleii,  weichte  im  Allgenieineii 
nicht  sämiutlich  gleichzeitig  in  den  betrachteten  Gebieten 
verschwinden,  so  das«  olöo  die  Wiirxel  inuerhalb  des  Ge- 
bietes ihr  Vorzeichen  nicht  wechselt. 

Rechnen  wir  nun  in  nnsrroni  Cnordinateruiystenl  die 
Richtnng  der  Axe  #,  nach  Osten,  die  von  f,  nach  Norden, 
die  Ton  ^,  nach  dem  Zenith,  ho  ^ibt  da^  Vorzeichen  der 
InhaltAdeterminantc  die  foli(cnde  Interscheidimg  für  die 
gegenseitige  Richtung  der  Ktemente  do\  und  äol: 

Stellt  man  sich  in  die  positive  Richtung  dea  Klementa 
do'i  der  ersten  Curve  und  blickt  auf  dus  Klement  do\  der 
zweiten  Curve,  so  dreht  dieses  im  entgegengesetzten  Sinne 
des  Uhrzeigers  am  d&i^  wenn  die  Determinante 


3) 


#1— *i      —  rf*i     dß'i 
#8 — ^i      —dsi     däk 


positiv  ittt  (vergl,  Fig.  l),  im  Sinne  des  Uhrzeigers,   wenn 
diese   Detenninante    negativ   ist   (Fig.  2).      Dieselben    Be- 

TiÄ.  1.  Pig.a. 


-^^^ 


<^ü 


W.  Djfck:  Beiträge  mr  PDfenttolAeorw.  IJ.  458 

oehaDgen  ergeben  aicb  dabei,  wenn  wir  Ton  do\  nacb  dof 
bücken  ^). 


§2. 

Formeln   für  die  Windnngszahl  unter  der  Voraas- 

setzung,  dasB  die  beiden  Eaumcurren  in  Parameter- 

darsteliung  gegeben  sind. 

a)  Das  OaoM'Mhe  Doppelintagral. 

Der  Gauä8*8che  Ausdruck  für  die  Windungszahl  V  läset 
sich  direct  ausfahren,  wenn  man  die  beiden  Linien  in  Para- 
meterdarstelluag  gegeben  annimmi     Es  eeien  dnrcb 

4' )  £i  =  qpg  (Ai)  und  4-)  Jsi==ipt  W 

die  Coordinaten  der  Punkte  unserer  beiden  UaumcurTen 
dargestellt ,  abhängig  von  den  Parametern  X^  bez.  X^. 
Wir  setzen  dabei,  der  präcisen  Äusdr ucksweise  wegen,  die 
Ftmctionen  q>i  und  ipi  als  eindeutige,  reelle  Functionen  der 
reellen  unbeschränkt  veränderlichen  Grössen  >l,  bez.  X^  voraus; 


1)  Et  schien  für  die  vorliegenden  Unteraacfaangen  sweckm&isig, 
durch  die  eben  *  gegebene  Auizeicbnang  des  einen  der  beiden  la 
einander  symmetrischen  Coordinatensysteme  die  Vorzeichen  4~  und  — 
der  Determinante  in  die  beatimmte  Beziehung  su  den  Figuren  1 
Dod  2  EU  bringen.  Dabei  babe  ich,  um  für  die  in  der  Regel  all 
«posiiiT*  bezeichnete  Drehung  Fig.  1  auch  eine  positive  Windangt- 
zah]  za  erhalten,  die  GaosB^acbe  Determinante  noch  mit  einem  Hinos* 
zeichen  venehen,  welches  fibrigena  bei  der  Ableitung  der  zweiten 
und  dritten  Colonne  der  Zftblerüeterminante  durch  Differentiation  der 
ersten  Colonne  naturgemä«  in  die  Formel  eintritt 


454    NadUrag  i,  SiUung  der  wtatk.-phya,  Chu$e  vom  6.  Jmli  1S9S, 

die  q>t  und  t^«  seien  ferner  stetig  nnd  OberaU  endlich,^)  and 
nach  den  Parametern  >l,,  bedehongs weise  Ä,,  differentürbar. 
Die  Kaumcniren  sollen  keinen  Punkt  mit  einander  gemein 
haben,  d.  h.  i/',  —  y,.  \p^ — y,,  ip^ — y,  niemals  zugleich 
für  dieselben  Werthe  der  X  verschwinden.  Femer  sollen  nie- 
mals gleichzeitig  die  drei  Ableitungen  ^n,  f^n,  ipti  der 
Functionen  ^i(Ä,)  nach  Ä,  rerschwinden  und  gleiches  fSr  die 
Ableitungen  iPit,  t^,  i^^  der  Functionen  ^t  (i«)  nach  Xi 
gelten. 

Es  ergiebt  sich  dann  unmittelbar  fQr  die  Windangszahl  V 
das  Doppel  integral : 


^•:~yi 

-yn 

«-"» 

5) 

•-"j-yt 

-y« 

*-"« 

V  )M 

«^•s-Ts 

-y« 

«-'•« 

bei  weiLlieiii  den  ubigen  Vitraussetzunfjen  /ufulfje  die  Inte- 
i^ratiun  über  die  /.  an  eine  Grenzbelingung  nicht  mehr  ge- 
buutien   i:::t. 

rin  die  Kicbtung  für  die  Integration  auf  beiden  Linien 
nach  den  in  §  1  jrei;el>enen  Be^tiinmuniren  festzulecen.  wählen 
wir  an  einer  bestimmten  (al>er  ubri^eni  willkürlichen)  ?*tell»' 
jrtU'r  der  beiden  Curven  diejenige  Riobttini»  für  die  Zählung;: 
der  Hoiienlängen .  für  welche  die  dem  Linienelemente  d  o\ 
0>ez.  do\^  an  dieser  Stelle  entsprechende  Aei.derung  <//, 
(bez.  /,,»  |X)siiiv  ij-t.  Da  nun  für  die  Elemente  der  beiden 
t'iirven 

r  ^o  »ia*^  wir  hier,  was  iniie*!«  die  Allffem-inheit  der  Beirach- 
tuDgeD  Dii-lit  wes«-Dtlii.h  be-^rhränkt.  nur  T>?n  ifanz  im  KndlicbeD 
geU'peneii  Curvt-n  reden. 


W,  Djfclc  Beiträge  xur  Pi4t»UicUh«or%i.  IL 


4fi5 


rf')l  =  V^7»:.4y';.+vi.-rf^ 


bfldebuDgaweise 
6') 


rfoI-l/iA^+ri^^+'/i'di, 


Ut«  M  fblf^,  da  vrir  die  Quadratwurzeln  positiv  annehmen, 
dam  wir  fOr  di«  Integration  im  gunxeu  Gebiete  die  Ele- 
mente rfi,  bez.  f/x,  positiv  zu  nehmen  haben,  aUo,  kurz 
atwgedrQckt,  das»  wir  itn  Sinne  der  wacheenden  Wertbe  /^ 
and  i,  Qi>er  die  Curveu  ku  int«griren  haben.*) 

Alis  Formel  (5)  für  V  ist  nun  die  Bedeutung  der  Win- 
dungszahl aU  Kronecker'scher  Charakteristik  direct  zu  er- 
fohh'etisen.  Die  Entwicklungen  der  §g  1  and  2  der  «Bei- 
trag« 1*  (Formel  (12)  auf  Seite  26<{)  ergeben  nändich  dd- 
mittelbar  den  Saty. : 

Stellt  mau  das  Gauss'ache  Integral  für  die  Cm- 
schlingung  zweier  Uaniocurvea  mit  Hülfe  einer 
Parameterdurtttetluiig  (4)  der  Cnrven  dar.  so  ist  die 
WindnngAzahl  V  gleich  der  Kronecker'schen  Cha- 
raktoristik  des  Systems  der  drei  Functionen: 

der  Kwei  Variabetn  ^1,,  X^. 

Deuten  wir  nach  Korniul  (3)  der  «Beitrüge  I*  die  drei 
FuoctioneD  im  Itaume  der  Coordinatea  #,,  /,,  #j»*) 


1)  Die  I>Kn(ellang  iit  in  dtefter  weitl&ofigcD  Form  mit  Rflckaichi 
aar  di«  >m  Kolgcmlen  entli&lteouo  Auv^iliranftea  gegeben. 

2)  K»    iftt    fttwiofatlicti    mit    Üackeiofat   aur   dlo    folgciatlen    i'or- 
mtln  die  Beuiclinang  der  Coordinatoa   üurcb  z,   beibelmlit-n:    dieie 

>t«a  hi«r  an  die  Stelle  Ut^r  x^  der  Korinul  (2)  io  den  .tluitrigen  1*, 
nd  du  in  jener  Formel    nil  «^  btüeicliaeten   T'animeter   hi«r 
durch  di«  i,  «nivtit  tiad. 


450    Naditroff  '.  SitMtmff  der  math.-jihjfB.  CituM  vom  ß.  Jtäi  H0i. 

* 

so  folgt  der  Satz: 

Die  Zahl  der  gegenseitigen  Umwindaogen  der 
in  (4)  (iargesielltdi  Raumctirren  ist  gleich  der  Znhl 
der  Windungen    der    Fläche  (8)   um    den    Nallpuukt. 

Die  KlTwibe  (8)  ist  dubei  auf  die  eiufucliiiio  Weise  geu- 
meirifich  aua  den  beiden  Curven  abzuleiten.  Legt  man  näm- 
lich durch  den  Kullpuiikt  des  CnurdiuBtensysteius  Strahlen 
purullel  zu  deu  zweifacb  unendlich  violen  zwiachen  beidi-n 
Itaumcurren  zu  ziehenden  Sehnen  und  schneidet  auf  diesen 
Strahlen  je  die  Längen  dieser  Sehneu  (genieftsen  in  der  lljcfa- 
tnng  VOM  der  ernten  zur  zweiten  <^urvft  ab,  so  bilden  die 
Endpunkt«  dieser  8trn)ileu  eben  die  Fläche  (@).') 

Die  Formeln  (8)  ergeben  weiter,  dasa  die  ßostalt  der 
Flüche  Ton  einer  gcgt^o^eitigen  durch  ParallelverMrhit'- 
bang  der  beiden  Curven   hervorgerufenen  Lagcnv.  riimbTiiug 

1)  Man  kann  licb  iiucb  eiit*  aoaebauHcbe  VonuüJuni;  TOn 
iiDoereD  Kl.'ichtfn  dmlunli  vcncbalTeti ,  Ja«i  nuui  «i«  uU  »Trani- 
lalioniflftcbiiu*  auffasst,  di«  «ich  aur  gIdq  lur  ^l'-  ^.^^'A^%) 
conffforat«'  Qod  auf  oino  xwrite  aui  der  M*  darch  .äjiiogclonfr  am 
NuUpuakt*  eotftandene  Curve  '^^^ — f^fX,)  &I- Leiicurven  beliehen. 
Ilorr  Piniterwaldvr  hat  inehrcr«  Modelle  »olchcr  Flftchen  coa- 
itniirt,  die?  im  Drill'^cben  Verlage  er»chi?n«n  sind-  EKne«  der*e]beB  h«' 
tiebl  nch  «{lecielt  mir  ewci  in  i^Hhöfr'mAlt^n  Kheaen  fftegeaea  Kreiw 
aU  Urillinien.  Tviiianlicbt  r  nntonr  HetnicblaDirfO 

*U'ineotnn*tcn  Fall    der   g*::  ■         ..huguog    iwplcr    Krci««. 

Auch  Tiio»  der  din  ThooHe  der  TmnfllalioiuQllcbpn  va  Verbinilang  mit 
den  pnUpn^cbfnden  [wiietlen  UiffereatialjiflctcbiinR-en  zwr3t«r  Ord- 
iiUDg  na^gvbaut  bat  fVvrgl.  neben  Altorcn  UDtcr«urhuni;r#n  die  eb* 
«un)menfu«9en<lt-n  l>ante)luoKen   ia  den  l  - 

Mlltcban  d    W.  Hd.  ih),   veranlaviite    ioi 
IniUtQl  dt«  QtntttUnag  von  Uodallon  gewiitar  'l'nuivlAUoiiifl&obra. 


W.  Dtfck:  Beitrag«  mr  l\tleftttai0Mjri«.   II. 


457 


unabh&ngig  ist  and  daboi  nur  die  L&K*'  ^^^  Kläcbu  j^e^cn 
den  C(>ordinat«n- Anfangspunkt  geändert  wird;  die  WindungH- 
/.ahlen,  welche  die  Klüche  mit  Bezug  auf  die  verschiedenen 
Punkte  des  iCaumes  aufweist^  geben  also  zugleich  die  Wiii- 
dung93MfaIen  der  beiden  Ourven  fQr  ulle  möglichen  durch 
Parallelverschiebung  entstehende  l^gen. 

Die  Entwicklungen  in  den  «Beiträgen  I*  zeigen  nun- 
mehr, da«i  wir  sofort  noch  zwei  weitere  Darstellungen 
fQr  die  Winduugsuilil  V  bilden  können,  nämlich  mit  Hülfe 
eines  einfachen  Integrals  und  durch  eine  Sumiuen- 
formel.  Wir  betrot^hten  noch  kurz  diese  Darstellungen  und 
ihre  geometrische  Bedeutung. 

b)  Darattlloog  ron  V  durch  ein  einfaches  Ist^raL 

Die  Wiudungsxahl  lässt  ütcli  (nach  Formel  (2G)  der  ,ßei- 
1*,  fSr  ft  =  0)  darstellen  durch  das  einfache  Integral : 

I        «  -Tu     *P'. 


IS 


fl) 


%'Tf         Tti      «/'« 


1         r         »/'.-T,      -Tai      »/'m 

"'s"  *  1 7=^^ — ''^»' 

it  aber 

^j— V>,  =  0, 

wclchofl   die  Windnngnuibl    der  -Schnittcurve   der  Fläche  (8) 
mit  der  Ebene 

'.  =  V'i  — Ti  =  0 
'tim    den  Nullpunkt    darstellt    und   in  welchem  <lo,  ein   stetB 
|M»itiv   zu  uehniLMideä   Ktement   bedeutet .   welches  den  beiden 
Gleichungen ; 


.10') 


(/o,  = 


T<i 


rfA, 


IM»  Umtk't^jm.  a.  I. 


80 


458    Nachtrag  g.  Sitmng  der  math.-phys.  Classe  vom  6.  Juli  1895. 
beziehungsweise 


10") 


do,  = 


V^ii 


•  dX, 


entsprechend  für  die  Ausführung  der  Integration  zu  ver- 
wenden ist.^)  Es  ergiebt  sich  dann  (indem  man  die  Determi- 
nante nach  der  ersten  Horizontalreihe  auSöat  und  die  oben 
genannten  Formen  für  dOi  benützt)  folgende  Form  des  ein- 
fachen Integrals: 

0 


H) 


^  =  27. 


J 


-dX^    dX^ 


%i      H'i 


M 


{{%-<Pt)^-\-{^,-<P,)') 


Führen  wir  hier  die  Coordinaten  ^I,  ^^,  £3  beziebunjjs- 
weise  eu  ^'z-,  ^3  ^^r  beiden  Raumcurven  (4)  ein,  so  können 
wir  auch  schreiben: 


12) 


K  = 


1 


I 


0 


f-i   -  £■  I 


-1 


1 

dz'i 


z'i  —  z'^         f/rä     fh^t 
das  Intei^ral  erstreckt  über  s]  —  e[^=0. 


1)  Deutet  man  die  Parameter  J.,,  /n  als  rechtwinklige  Coordi- 
naten einer  F^benc ,  so  iat  lioi  nichts  andere^i  aln  da^  Linicnelement 
der  Curve 

dargestellt  durcli  seine  l'rqjectioQen  d^-i,  di-^  'ii^'  die  Axen.  —  lieber 
diese  Deutung  der  /,  die  ich  hier  nicht  weiter  verlolge,  vergleiche 
man  die  Schlu^abemerkungen  des  ^  !*. 


W.  Üjfck:  Beiträgt  »ur  ihtttutiaUhmrif.   II. 


450 


In  dieser  Funn  In^  uich  die  geometri^ctie  BedeutUQg 
dieseb  cinfacben  IntogruU  am  leichtesten  Olrars^hen: 

M.1I)  (lenke  sich  oäuilich  eine  Qernde,  stets  pa- 
ralUI  zur  Kljcne  r,  *,  bleibend,  an  den  beiden  CurTon 
entlang  gleiten,  so  iniAst  die  Antthl  der  vollen  Um- 
drebangen,  die  diese  Oernde  im  entgegengesetzten 
Sinne  des  Uhrzeigern  bei  dieser  Bewegung  beschreibt, 
die  Anzahl  der  gegenseitigen  Umwindangeu  beider 
Curren. 

Man  Oberzengt  sich  von  dor  Uichtigkeil  dieses  Satzes 
sofort  durch  Aufstellung  des  die  Uindrehungszabl  darstelkn- 
deo  Integrals.  Für  die  nnnclmuuogäuiiUifige  Verfolgung  der 
ß^wegtmg  der  Getadeti  ist  diibei  noch  folgendes  zu  beachten: 
Denkt  man  sieb  durch  die  gleitende  Gerade  eine  Ebene 
parallel  /.ur  Kbune  t^tg  gelegt,  so  erfährt  die  (Gerade  in 
dieser  Eben«  die  xu  messende,  drehende  Bewegung  und 
gleichzeitig  wird  die  Ebene  selbst  in  Itichtung  der  Axe  m^ 
|>amllel  vernchobeu.  Besondere  Stelleu  iJur  Bewegung  sind 
nun:  ErateuB  diejenigen,  in  welchen  der  Sinn  jener  Drehung 
umkfhrt;  diese  sind  durch  djis  Verschwinden  der  Zäbler- 
^rterminante  nnseres  Int«gniW  gekennzeichnet  (Vergl.  die 
eiden  durch  x  «  bezeichneten  Stellen  in  nebenstehender 
Figur  4.)  Zweitens  diejenigen,  in  welchen  die  Kichtung  der 
ParalleKerschiubung  der  Kbeue  uutkehrt.  Die  leizt*?roM  Stellen 
Sind  durch  da^  Verschwinden  von  >/',,  bexiehung» weise  v<>n  ^p^^ 
gegeben,  d.  b.  darch  diejenigen  Lagen  der  sieb  rerschieben* 
den  Kltenu,  in  welchen  sie  eine  der  t>eiden  Curveu  berfliirt. 
Berührt  dab*.'i  die  EbfMie  die  zweite  Curve  (ist  also  '/',|=^0), 
m>  gleitet  die  bewfglicbe  Gerade  auf  dieaer  im  Sinne  ihrer 
aagenbl  ick  lieben  Bewegung  fort,  wahrend  die  Bewegung  auf 
der  erateu  Curve  direct  unikelirt  (vergl.  die  beiden  durch 
o«  betetobneteu  Stellen  in  den  nebeii^teheuden  Figuren  3 
und  4j.  Dem  unt»|>ncht  Huulytitfch,  daas  aud  der  Formel  (10*) 
fttr  da»  poaifcir  su  nehmende  Element  (^o, : 

80» 


4I>0    tfacJitrag  t.  SiUmiff  dtr  moJA.-jAyr.  Claae  vom  6,  Jiäi  lAML 


■f.,  — - —  di, 

fülgt,  dass  mit  i/',,  gleichzeitig  dÄ^  »ein  Zeichen  wechselt. 
Kin  Gleiches  ergiebt  sich  bezüglich  des  gleichzeitigeD  Zeicben- 
wechaeli  von  ^,j  und  dl^.  Die  beiden  Curven  werden  aUo 
im  gegenwärtigen  Fülle  nicht  (wie  im  Kulle  dea  Duppel- 
integrals  (5))  im  Sinne  der  wachsenden  Parameter  X^  ond  2, 
durchlaufen,  sondern  im  Sinne  des  positiven  Ktementes  <io^, 
Die  n(:l>eitatchendrn  Figuren  dienen  n<icb  7.ur  Ver»inn- 
lichung  des  Umalundes ,  doss  nach  dem  Gesa^^ten  bei  der 
Bewegung  der  gleitenden  Geraden  im  Allgemeinen  ein- 
zelne Theile  der  beiden  Curven  mehrfach  in  verschiedeuer 
Richtung,  andere  gar  nicht  von  der  Geraden  QberstricheQ 
werden  können. 


Fig.  3. 


Fig.  4. 


Weiter  aber  zeigen  sie,  dnsa  der  Verlauf  dieser  Bewegung 
eich  auch  aus  mehreren  getrennten  Cylclen  za^unimensetten 
kann,  uhne  da-ss  darum  die  fraglichen  Ourren  aus  mehrerto 
Zügen  zu  bcwlohen  brauchen.  Der  Sinn,  in  welchem  in 
diesem  Falle  die  einzelnen  Thcilbewegungen  zu  addireo  «iad, 
wird   fwtgetogt   durch  den    an    einer  AnfangBftelle   der  Be- 


W.  Dtfck:  Beiträge  gut  Potentialtheorie.   IL 


461 


wegung  auf  beiden  Raumcurven  (gemäsa  §  2,  pag.  454)  ein- 
getragenen Richtungssinn,  durch  welchen  auch  die  Rich- 
tung beim  Beginne  jeder  in  sich  geschlossenen  Theilhewegung 
der  Geraden  festgelegt  wird. 

e)  Darstellang  von  F  dnrcb  eine  (Kronecker'sobe) 
BmnmenformeL 

Aus   Formel   (13)   und   (14)  der  »Beiträge  I*    ergeben 
sich  fQr  V  sofort  die  beiden  Summenformeln: 


13  a) 

und 
13b) 


r  =      ]C  sign. . 


-  tp 


l   -  ff)..     ih..   i 


<ru   "/'ii 


V=^  -Dsign.  jCVs-Ts)' 

wobei   die  erste  Summe   sich  erstreckt  auf  alle  Punkte,  für 
welche 

V^  — ^1  =  0,     t/'a-y«  =  Ot     %~<fi>0 

ist,  die  letztere  auf  alle  Punkte 

(/',-y,  =  0,      i/'a-f/,  =  0. 

Schreiben  wir  auch  diese  Formeln  direct  in  den  Co- 
ordinaten  ß'i  und  *,'  der  beiden  Raumcurven,  so  lauten  sie, 
wenn  man  rechts  noch  mit  dX^'dX^  raultipHcirt: 

—  de'i    de] 


14a) 

und 

14b) 


r=       Lsign 


./: 


F^  _  •  2J  8ignJ(r;    £,)•. 


de't    ds\ 

—  dz\     dz] 


\. 


-  -dz\     de'i  .' 


462    Nadttrag  m.  SäMwng  der  malh.-pkyt.  Cla*$e  vom  6.  Jtdi  1895. 


die  Sammen  aosgedehnt  Aber 

#;— #;»=o,  #;— #;=o,  #;— #;>o, 

benehnngBireise  Aber: 

dabei  ist  za  beachten,  dass  hier  däi  nnd  dg'i  diejenigen 
Aenderangen  der  GoordinateD  bezeichnen,  welche  positiven 
dX^  nnd  dX^  entsprechen. 

Die  geometrische  Bedeutung  dieser  Formeln  ist  un- 
mittelbar ersichtlich: 

Es  wird  die  Windnngszahl  V  bestimmt  durch 
die  Pnnktcharakteristiken  der  scheinbaren  Doppel- 
punkte, welche  das  System  der  beiden  Raumcurven 
vom  Zenith  ans  gesehen  (vergl.  Saite  452)  darbietet 

Dabei  ei^ebt  sich  folgende  anschauliche  Deutung  fttr 
das  Vorzeichen  der  beiden  in  der  zweiten  Snmmenformel 
enthaltenen  Factoren: 

Der  erste  Factor  js",  —  sf'i  entscheidet  durch  sein  Vor- 
zeichen, ob  im  scheinbaren  Doppelpunkt  die  erste  der  Curven 
unterhalb  oder  oberhalb  der  zweiten  Curve  verläuft 

Das  Vorzeichen  des  zweiten  Factors,  der  Determinante: 


15) 


trennt  die  scheinbaren  Doppelpunkte  in  zwei  zu  einander 
symmetrische  Gattungen  in  folgender  Weise:  Man  projicire 
die  beiden  Curven  in  der  Dichtung  vom  Zenith  aus  auf 
die  Ebene  #,  jt,  und  trage  in  der  Projection  die  auf  der 
Curve  festgesetzte  Fortschrei  tun  gsrich  tu  ng  ein.  Unterächeidet 
man  dann  die  beiden  Curven  wie  in  den  obigen  beiden  De- 
terminanten als  erste  und  zweite,  so  entäprechen  einem  posi- 


?*» 

V» 

dXi '  di,  = 

-  tia, 

d^l 

9I. 

Ifß^ 

-  de\ 

de\ 

W.  Dyck:  Beiträge  tut  Potenttaitheorie.  II. 


4Ö3 


tiven,  beziehungsweise  einem  negatiTen  Werthe  der  Determi- 
nanten in  den  scheinbaren  Doppelpunkten  die  durch  Fig.  5  und  6 

Fig.  6.  Fig.  6. 


>f^ 


Z 


^ 


X 


gekennzeichneten  beiden  Falle.  Die  Determinante  giebt  n&m- 
lich  den  mit  dem  bekannten  Möbius'schen  Vorzeichen  ver- 
sehenen doppelten  Inhalb  des  Dreiecks,  welches  durch  die 
beiden  vom  scheinbaren  Doppelpunkt  (im  positiven  Richtungs- 
sinue)  auslaufenden  Bogenelemente  bestimmt  ist. 

Die  Formeln  (14a,  14b)  zählen  also  die  Windungssahl  V 
ab  gemäss  der  durch  die  folgende  Figur  7  gegebenen  Unter- 
scheidung der  scheinbaren  Doppelpunkte,  die  wir  in  ihrer 
.Ansicht  in  Richtung  vom  Zenith  aus  darstellen  und  wobei  die 
stark  gezeichnete  Curve   dem   Beschauer  näher   liegen  soll: 


Fig.  7. 
(le[     de\  I 


~d9[     djsl 
:  -  de't    del 


<0 


£i  —  Zi>0         -*- 


^ 


^. 


T 


464    NttdOroff  j.  Sitaiui§  dtr  maOi^pk^.  CUm*  «om  6.  JmU  1695. 


Die  Formel  (14b)  entreckt  sich  nnr  über  die  Pankte, 
fitr  welche  #1  —  «•>0  ist  Dabei  lüat  sich  diese  Formel 
unmittelbar  in  die  andere  (14b)  überf&hren,  wenn  wir  be- 
achten, daas 


16) 


ist,  £eü1s  wir  die  Sammation  Ober  alle  scheinbaren  Doppel- 
punkte (die  Unterschiede  im  Sinne  der  Figuren  5  and  6  ge- 
nommen) erstrecken.  Es  entspricht  diese  hier  anmittelbar 
geometrisch  einleaefatende  Beziehong  der  allgemeinen  Formel, 
welche  Kronecker  fOr  die  Vorzeioheasamme  aller  Panki- 
charakteristiken  eines  Fnnctionensjstems  angestellt  hat 
(Tgl.  .Beitrige  I',  pag.  268). 

9  3. 

Formeln  fflr  die  Windnngsxahl   nnter  der  Voraus- 
setzung,   dass  die   beiden  Raaracurven   als  Schnitt- 
linien je  zweier  Flächen  gegeben  sind. 

Nimmt  man  die  beiden  Kaumcurven  Ml  und  Mi  je 
durch  zwei  Gleichungen  zwischen  den  Variabein  £^^  s^,  ar^ 
gegeben  an  und  zwar  die  M'x  durch : 

■P'o('i.'f.'e'»)  =  0, 

if',  (f,,  *„£,)  =  0, 

die  M'x  analog  durch: 

■F,('n'„*»)  =  0, 


17") 


17') 


so  lässt  sich  das  Gauss'sche  Doppelintegral  für  die  Win- 
dungszahl nicht  allgemein  aufstellen.  Dagegen  treten  hier 
direct  die  Formeln  fflr  die  Kronecker'sche  Charak- 


W.  Djfck:  Btiträge  nr  PotentiaUheorie.    II 


■tos 


(«rifltik  KAes  Systemi  der  vier  Functionen  (mit  drei 

Variftbelu) 

18)  F^,  F^,  ^„  f,      ein. 

Ms  lässt  sich  uns  den  geometrischen  Kntwicklangen,  die 
Kronecker  insbesondere  in  den  Abschnitten  II  und  V  seiner 
Abhandlung  Ober  Functionensystenie  vom  März  18ß9  gegeben 
b*t  uod  in  welchen  die  ChHrnkteristik  als  Windunf;^jLabl 
einer  gewissen  ebenen  Curve  um  den  Nullpunkt  erscheint 
(vgl.  hiezu  .Beiträge  (",  §  3),  die  Hedentung  der  Kronecker'- 
scfaen  Charnkteriiitik  aU  Zahl  der  gegenseitigen  Windungen 
zweier  Kaumcurren  (im  Falle  von  drei  Variabein)  herleiten. 
Wir  gehen  inde&s  auf  diese  Furiu  der  Herleitung  nicht  näher 
ein,  beweisen  vielmehr  in  den  folgenden  8§  4  und  6  die  Ueber- 
oinsttmmung  der  in  den  §§  1  und  2  gegebenen  Gauss'itchen 
Zahl  V  mit  der  im  gegenwärtigen  §  definirten  Kronecker'- 
]«chen  Charakteristik  Ä*  durch  eine  directe  Vergleichung 
der  fBr  V  abgeleiteten  Summenformel  (13ft)  und  der  ent- 
sprechenden, sogleich  zu  erwähnenden  Summenformel  fflr  K 
(Formel  (26b)). 

Aus  den  in  den  .Beiträgen  I"  entwickelten  Formeln 
(12),  (2r>)  und  (IH),  (U)  ergiebt  sich  die  Dar^telJung  der 
Zahl  K  durch  ein  dreifaches,  durch  ein  zweifaches  und  durch 
ein  einfuche--i  Integral,  sowie  durch  den  Kronecker'schen 
Snmmenansdnick,  Formeln»  die  wir  der  Vollständigkeit  halber 
in  Ktirze  hierher  setzen. 

a)  Das  dreifache  Integral  fQr  K  Lautet: 

F  F,,  F»  F„ 
F,  F„  F»  F„ 
F,    F«     F„    Fn 

K^^S    ^'    ^"    ^-    ^"     ..0,: 


466    Nachtrag  e.  Siteung  der  tiMth.-phya.  Glosse  vom  6.  Juli  1895. 

hier  ist 

20)  rfoj  =  äjBj  •  dss^  ■  de^ 

das  positiv  zu  nehmende  Element  der  Integration  und  die 
Int^^tion  Qher  die  Gesammtheit  der  reellen  Werthe  z^.,  e^^  e^ 
zu  erstrecken. 

b)  um  die  Darstellung  durch  ein  zweifaches  Integral 
zn  erhalten,  zeichnen  wir  eine  der  Functionen  F,  z.  B.  F^ 
aus  und  es  folgt  dann 

0       J^oi      -'^oi      -f«  I 

F,  F„  i^„  J-,.  I 

i\    Fu    F„    F,, 
F,    F„    F„    F,,  , 


21) 


..J 


Vf]-^FI-\-  Fl-  VfI  +  Fl  -h  Fl 


■  dOt, 


wo  dOi  das  stets  positiv  zu  nehmende  Element  der  Fläche 
J^'ü^O,  über  welche  die  Integration  zu  erstrecken  ist,  be- 
zeichnet. Für  die  Integration  ist  es  zweckniiissig,  dot  in  den 
drei  verschiedenen  Formen 


22) 


doi^ 


/,  ft,  /  =  1,  2,  3 


ds^  ■  d£, 


anzunehmen. 


c)  Das  einfache  Integral  erstreckt  sich  über  eine 
der  in  Betracht  kommenden  Ctirven,  ?..  IJ.  übt-r  /*',  0,  7*',  0. 
in  web;hem  Falle  wir  erhalten  : 


28) 


jr= 


W.  Dyck:  Seiträge  zur  PotentitUtheorie,   IL 
0     F^    F«    F„ 

0      F„     -F..    F„ 

jF.    f.,    f„   j*» 
F,    Fai    F„    Fgi 


467 


1 


w. 


J 


l/F»a_  p>*  l/  ■  ^<"    -^w    -^^ 


•rföi, 


wobei  do,  das  stets  positiv  zn  nehmende  Linienelement  der 
Curve  Fo^O,  Fi  =  0  bezeichnet,  welches  für  die  Integration 
(beim  Auflösen  der  Ziihlerdeterminante  nach  den  Uuter- 
deterrainanten  der  Matrix  der  ersten  beiden  Reihen)  zweck- 
mässig in  den  Formen 


24) 

doi 

Ol      -^01      ■''os   i 
n      Fit      Fu  ; 

Fak      Fol  i 
F.*      Fu' 

dz, 


i,A-,i=l,2,3 


anzunehmen  ist 

Die  Factoren  w,,  w^,  la,  der  drei  IntegralausdrUcke  sind 
beziehungsweise : 

25)  w,  =  2/1*,  (Ol  ^=  irr,  w,  =  2.T. 

d)  Als  Summenformel  zur  Darstellung  von  K  end- 
lich ergeben  sich,  wenn  wir  die  Functionen  Foi  F', ,  Ft  vor 
der  letzten  F^  auszeichnen,  die  Formeln: 

/l  Ft.1     F(n    F„ 


2r>;0 


K  =  —  ij  sign. 


Fu    Fu    F, 
,  F^j    Fn    Fa 


4<«S    Saditrag  s.  SiUung  der  math..phy8.  Claaae  vom  6.  Juii  1895. 


26b)        iC=  -'i^sign. 


0  i^o.  F„ 
0  Fn  F,, 
0      F„     F„ 


Fl    Fn    F„    F„  \ 
die  erstere  Summe  erstreckt  fiber   die  Punkte,   für  welche 

f;«0.        i^i  =  0,        F,^0,        F,>0 
ist,  die  letitere  ao^edelmt  Ober  die  Punkte 

F.  =  0,         F,  =  0,         F,^0. 
Man  hat  dabei  die  Relation 


ÜT) 


Lsign. 


/j    -^»i       -T«       *■« 

F..    r.,    F., 


=  0. 


/;.  J'«  ^'t. 

fiUb  die  Summe  Ober  alle  Punkte 

F.==0.         K,  =  0.         F  =  0 
ens^Twkt  winl. 

B^fi^Hoh  dor  g!^nnetrisvht'n  Hedeutunp  der  vorstehenden 
Int^^ifralf^rnietn  sei  «uf  die  Kntwiokluniren  der  »IViträge  !• 
verwiesen.  Auf  dit»  PiA-ussion  vlor  Sumuier.tormela  haben 
wir  Ä^jjK'ioh  oinim^'hen. 

AbltMiunjy   einer   neue«  Formel   für  die  Bestimmung 
der  Oharakteristik   K. 
K<  haiidell  sieh  nunwehr  ir.  e.eii  fv''irtr.-:e"   ^5  4  und  5 


d{U',uu.  .lie  IVlvivinstsumr.'.'.'.»;  der  /-Ah;   *' 


und  2') 


u»t  der  wux  ^\\\  g  :r  Wiraehteion  /ihi   -V  :,:  tTWv.^n. 


W,  Ifyck:  Beiträge  eur  PotentiaUheorie.   II,  466 

Zunächst  stehen,  wie  schon  die  geometrische  Bedeutung 
der  Terschiedeuen  Ausdrucke  erkennen  lässt,  die  für  beide 
gewonnenen  Formeln  in  keiner  directen  Beziehung  zu  ein- 
fttider.  Vm  sie  mit  einander  in  Verbindung  zu  bringen  und 
ihre  gegenseitige  Stellung  zu  kennzeichnen,  verfahren  wir 
folgend  er  niftssen : 

Wir  knüpfen  an  die  beiden  Summenfonneln  (13a)  und 
(26a)  ffir  V  und  K  an  und  zeigen,  dass  die  in  diesen  For- 
meln dargastellten  Zahlen  an  denselben  Stellen  und  in  glei- 
chem Sinne  sich  ändern,  wenn  wir  die  gegenseitige  Lage  der 
Curven  M[  und  M'^  durch  Bewegung  derselben  abändern. 
Nunmehr  bringen  wir  beide  Ciirven,  ohne  sie  zu  deformiren, 
in  eine  aolche  Lage,  dass  sie  keinerlei  gegenseitige  Ver- 
schHngung  mehr  besitzen  (was  unter  Voraussetzung  von  ganz 
im  Endlichen  gelegenen  Curveu  stets  möglich  ist);  fQr  die8e 
Lage  ist  V  sowohl  wie  K  gleich  Null.  Bewegen  wir  von 
dieser  Ausgangslage  der  Zählung  aus  die  Curven  in  ihre 
ursprflngliche  Lage  zurück,  so  ändern  sich  die  beiden  Zahlen 
in  gleicher  Weise  und  damit  folgt  schliesälich  f(lr  die  End- 
►  Uge: 

28)  r=ir. 

Gleichzeitig  aber  gewinnen  wir  in  dieser  Ab- 
zahlung der  Aenderungen  der  Zahlen  F,  beziehungs- 
weise K  im  Laufe  der  Bewegung  der  Curven  Ml  und 
•^1  K^K^n  einander  eine  neue  Methode  zur  Bestim- 
mung unserer  Windungszahl.*) 


1}  Die  hier  an g« wendete  Methode  der  Ahz&hlang  eiser  Charak* 
tcn«tik  hat  Krooecker  gani  allftemein  fonnulirt  mitteUt  der  EiDnihmng 
willkOrlicher  Pumineter  in  die  Fonctionen  de«  SjfifteiaB;  er  hat  bei 
dieaer  Gelegenheit  auf  die  durch  die  KinfübrunK  eines  Puninieteri 
gegebene  Möglichkeit  einer  Abz&hlung  der  Charakteri<(tik  mit  HiVIf« 
des  Stunn'acbes  Ver&hreDS  hingewiesen.  Vergl.  Berliner  Monat«- 
bsrichte  vom  31.  Febr.  1878,  pog.  147,  146. 


470    NadUrag  s.  SiUung  der  math.-fhjfs.  Gaste  vom  6.  Juli  1695. 

Zar  rechnerischeD  Darlegung  wählen  wir  speciell  fQr 
die  Veränderung  der  gegenseitigen  Lage  der  beiden  Gurren 
eine  Yerschiebiing  der  Garve  M'i  in  Ricfainog  der  Axe  ^„ 
bei  festgehaltener  Gurve  M'i. 

Wir  betrachten  zanäcfast  die  Sammenforme!  (13  a) 

13  a)  r=i;sign.  |, 

die  Summe  au^edehnt  Über: 

i/*,  — y,  =  0,         t/'i  — yj=0,         t/',  — 'y,>0. 

Die  Curve  MI  sei  um  die  Strecke  C  in  Richtung  der 
negativen  Axe  r,  verschoben,  so  dass  also  fßr  die  ver- 
schobene Curve 

29)  r,  =  i/v 

ist.  Wühlen  wir  nun  C  so  gross,  gleich  6',,,  dass  für  alle 
^clieinlmren  Doppelpunkte  f;',  —  ff,  =  0,  t/'a —  qr»=  0  der 
beiden  Curven  stets 

ist,  so  wird  di'_'  einer  solchen  La^e  der  beiden  Curven  ent- 
sprechende Zahl  Fr  =0  sein,  weil  alle  scheinbaren  Doppel- 
punkte ans  dem  Bereich  der  Abzahlung  i^erückt  rsind.  Von 
hier  ab  also  als  Ausganyshige  h;iben  wir  die  Zählung  zu 
beginnen  und  nunmehr  C  vun  C'o  bis  U  ubiiehuien  zu  bissen. 
Pasfliren  wir  nun ,  die  Curve  M'i  in  der  positiven  lüch- 
tunj4  der  Axe  r,  an  die  fe>te  Curv».*  M[  her.mschiebend,  mit 
einem  Zweij^e  der  MI  die  3/|.  .-o  tritt  an  einer  solchen 
Stelle  C  =  C.  für  welche  also 


W.  Dydt:  BtUrägt  sur  }'otenti<tith4torie.    tl.  471 

*.  — 'ri  =  ^'  VS-Tt^*"«  fl/',  — Ö)  — 7>,  =  0 

ict,  der  betreffendo  ächeiubarc  Doppeüpiuikt  ia  dcu  Bereich 
anderer  Abzühlung  ein,  weil  bier  die  Ftiuction  {\pt — C) — q*, 
von  viui.->Di  negativeu  zu  einem  {XHiüren  /aliUvertb  ilbergeht. 
Der  Werth  von    V  wird  aliw  an  einer  solchen  Stelle : 

um  1    vermehrt,  | — 7",,     «/'n   >  0 

wenn  ftir  diesen  Punkt  . 
um  1   vermindert,  |  —  y«     ifi„   <  0 

ütt.  Die  im  Laufe  der  Bewegung  von  C^^C-n  mit  abnehmen- 
dem C  bis  C^O  an  den  Durch^aijf^puukten  der  beweg- 
lichen Cunre  durch  die  feät«  Ctirre  eingetreLenett  Aenderungeu 
ergeben  aUo  ftir  die  Kndlage  der  beiden  Curven  die  iCuhl  K 
auHgedrQckt  genau  durch  die  ubige  Summenformül  (13a). 

Zu   einer   neuen  Summenformel   werden  wir   dagegen 
Ihrt,   wenn  wir  dieselbe  Betrachtung   unter  der  Voraus- 
stzung  der  De&nitiou  unserer  Curveu  durch  die  Gleichungen 
^^sbO  durchfabrcD. 

Ks  handelt  sich  hier  um  die  Summenformel  (26  a) 


26a) 


iC  *=  —  £  sign. 


-F«    K    F„ 

h\i    Fu    Fu 
F,x    F„    F„ 


die  Summe  aa«gedebob  aber 

F.=-0,         f,==0.         F.  =  0.         F»^0. 

Die  Verschiebung  der  Curve  Ml  in  Iticbtung  der  nega- 
tiven Axe  M,  um  den  Betrag  C  giebt  fßr  die  VHrachobene 
Ciirre  die  G!eiehnng<*n: 

^.('i.»*».+  Cj  — 0. 


S()| 


472    NmktMg  IT.  aasmmg  da-  MtiLfAyt.  CUum  tarn  ß,  JmU  18M. 

Wihtt  man  abo,  alle  Fliehen  Fi=0  ak  ganz  im  Kid- 
Heben  liegend  TOiaMgeeuUi,  nur  C  gran  gmng,  ^öch  C«, 
ao  werden  a&mmtliehe  Punkte  der  Terachobenen  Cnrre  Mi 
Ueinere  Ordinalen  bentzen,  ak  die  Punkte  der  festen  Fliehe 
f«^0  nnd  damit  auch  kleinere,  ab  die  Punkte  der  auf  ihr 
liegenden  festen  Cnrre  M^.  Dann  ergiebt  sich  für  einen 
aolchen  WerÜi  C.  von  C  die  Zahl  iQ^==0,  wdl  die  Glei- 
chongan 

keine  reellen  gemeinsamen  LSeangen  mehr  besitien. 

Von  dieser  Lage  0=«  C«  als  An&ngalage  ans  Temhieben 
wir  nun  wieder  die  Cnrre  Ml  in  der  Richtung  der  positiTen 
Aze  Sgi  es  handelt  sieb  dann  darum,  zu  bestimmoi,  an 
welchen  Stellen  Ü  die  doreh  die  folgende  Formel  g^bene 
Zahl  Kc  sich  ändert 

31)  IF.,(r.,*„*H-C)  F„(*iAA+C)  F^J-iA  ä-.+C) 


Jrr=-ljsign. 


Fn{£iyZt^,+0  F„(#,^,^,+C)   J',^X,J',J',+Oj 


F„(r,^,^,)       F„{st,g,^,)       Ft,(jft^jje,) 
die  Summe  au^edehnt  über  alle  Werthe 

-F.  (*.,  ^»  '.  -r  (^)  =  ".    F,  (#„  r„  #,  +  C)  =  0, 
F,  (^„  r„  £.)  =  0,  i;  #,.  A,  £,)  >  0. 

Zunächst  treten    tou    C  =  C^  an  je  paarweise  gemein- 
same Lösnngen  der  Gleichungen 

auf  an  den  BerQhrungästellen  der  sich  verschiebenden  Curve 
M'i  mit  der  festen  Fläche  f\  =  Ü,  bezieh nngs weise  ver- 
schwinden je  zwei  solche  Punkte,  die  im  Laufe  der  Bewegung 
der  Curre  J/7  entstanden  sind,  wieder.  An  dieseu  Stellen 
Ui  die  Determinante  in  der  obigen  Formel  (31)  fOr  Kc  gleich 


H^.  Dyck:  Beitr&ife  sur  FnUstttütlthettrir .    U, 


473 


NdII,  während  sie  fdr  die  beiden  im  Berühruagspunkt«  ku- 
wwnivnrUckenden  Schnittpnakte  der  Corve  mit  der  Fläche 
Fm=  0  (wenn  wir  von  .singul&ren  Vorknmmutssen,  wie  dies  hier 
steta  geschieht.  aUncben)  je  verschiedenei  Vurzeichen  aufweist. 
Dien  Stollen  (ibon  al»o  keinen  Kinflus»  auf  die  Zahl  Ko  au9. 
Wenn  dagegen  ein  Zweig  der  Ciirvc  JtfT  die  feste  Curve 
M\  pasairt,  d.  b.  an  den  Stellen,  tur  welche  die  Gleichungen 


32) 


j;(#„*,.*,  +  c)  =  o 


einsame  LCiaangen  besitzen,  tritt  eine  Aeoderang  in  der 
Abzahlung  ein,  insofeme  ein  Pnnkt,  fflr  welchen  die  drei 
ersten  Gleichungen  erfüllt  «ind,  entweder  aus  einem  Gehitrt*, 
in  welchen  JF\<0  ist,  in  das  Gebiet  i^i  >  0  eintritt  und  da- 
durch bt)i  der  AbEählung  gemltes  Formel  (30  neu  hinzu- 
kommt, oder  umgekehrt  aus  f\  >  0  iQ  das  Gebiet  JP,  <  0 
eintritt  und  dadurch  für  die  Abzahlung  in  Wegfall  kommt. 
Kine  solche  Stelle  ist  alüo  im  ersten  Falle  mit  ^  1  für  die 
Bildung  der  Zahl  K  in  Rechnung  zu  setzen  je  nachdem  die 
Determinante  in  der  Formel  für  Kc  an  dieser  Stelle ^  0  ist,  im 
zweiten  Falle  dagegen  mit  +*!. 

Nun  seien  *,»  *,,  i,  die  Coordinuten,  C  der  Parameter 
in  einem  solchen  Durcbgang»punld  der  beweglichen  Ctirve  M' 
durch  die  fetite  Curve  Juli;  ror  dieser  Lage  kommt  der  be- 
weglichen Curve  der  l^arameter  C -f-  rfC-,  nach  deraelben  der 
Parameter  C  —  dC  ^u,  wo  nach  unserer  Aniiahniu  Ober  die 
Iticbtong  der  Verschiebung  (von  C^=C^  bix  CssÜ),  dC 
vinc  pa^iitive  Aeudertiug  be'/eichnet.  Die  Coordinateu,  bez. 
der  Parameter  fOr  den  gemeinschaftlichen  ticiinittpunkt  ilt^r 
drei  FUchen  JV— 0,  ^'i==0,  J;— 0  vor  und  nach  dem  Durch- 
gang durch  die  singulare  Stelle  sind 


474    Ktditrm§  i.  Sänmff  der  matk.-fltft,  CIock  nwi  6.  Juli  1895. 

i,±dzt,        Ä  +  rf^j,         F.±d£^.  ܱdC 
wob«,  wie  sich  dinct  ergiebt: 

F       F       F  F 

33)  ds,:d£,:dz^:dC=     F^     t.i     F^^  F»    . 

Fn     F^     F„     0 

Der  Unterschied,  ob  beim  Durchgang  durch  die  singo- 
läre  Stelle  der  Scbnittponkt  der  drei  Flächen  f*,  =  0,  i^,:=0. 
f  ,  =  0  aas  einem  Gebiet  J^,  <  0  in  ein  Gebiet  F^  >  0  rückt 
oder  ob  das  umgekehrte  stattbat,  wird  dnrcb  das  positire 
oder  negative  Vorzeichen  des  Wertbes  von 

34)  -  iF„  dz,  +  F^  dz,  -i-  F,,  ds^. 

(die  C — dzf)  als  die  Aenderungen  der  a  nach  dem  Durch- 
gang durch  die  singulare  Stelle  gerechnetl.  entschieden,  aL<o 
mit  BerGcksichtigung  der  obigen  Wertlie  ßir  die  dz,  durch 
das  Vorzeichen  des  Determinantenquotienten : 

F      F,      "      7", 

/  /■•;  F, 

/":.       /.         "         F,, 
:i-t  —  :      /':      /'::      F.     : 

F.,     F.     F       " 

F..     /.:     F,. 

F:,       /«       /■  <• 

Nun  Ljt  aber  nach  Seite  47o  für  »li»*  Abzähluriir  tVr 
Durchsanir^itunkte  -j-  1  in  li'-ehiuinir  zu  -et/en.  je  iiaohdein 
(it?r  A'L«Jriick  Clöj  und  die  LMerminante  in  \'M  \  d.  i.  die 
N'-'nnerleterniinante  von  (35l.  gleiL-hes  oder  unirleiches  Vor- 
/eicL^rn  haben.  Die  an  eint^r  snlchtrn  St-^Ue  erfoIirt*nJe  Aen- 
fl»-r'in;r  drfr  Zahl  K,_  erüiebt  sich  »!?<■  zu  —  1,  j»'  nachdem  die 
Zälilirr'ivl'Tininante  einen  j'-i-itiven  n-lrr  nejrativen  \V.»rth 
l<.-iTzr. 


ir.  Oifci:  Beiträgt  tur  Potenlwtthtorie.   II. 


475 


Danach  erf^iebt  sichaleo  fdr  die  Abzahlung  der 
Zuhl  A*^  durch  die  Sumniatiuu  sätnrotlicher  Aende- 
rutigeti,  welche  die  Zahl  Kn  von  C ^  Co  bis  C^O 
erleidet,  die  folgende  neue  Formel: 


36)         iTs^Ssign. 


Fi,    F,, 


F,.     F^ 


F.,    F^    F,,      0 

die  Summe  eriitrecki  fiher   alle  Punkte,   l'fir   welche 
F,  (i.,  ^,.  s,  +  C)  ^  n.    F,  (f..  r„  r,  +  (7)  =  0, 

F,  (#,.  r,.  e,)  =  0,  F.  (ff.,  #„  #,)  =  0 

und 

C>0 
ist 

Man  erkennt  dabei  sofort,  doss  K  sich  durch  diene 
Korniel  dümtellt  als  Kronecker'sche  Charakteriäiik  des  Sy- 
steme der  tünf  Kuni^tionuD 


371 


r,  (#„  #„  M,  +  CT),      F.  (ff .,  #„  -r,  +  C), 

>;  (»„  *„  #,).  J'i  ('m  #ti '.).         c? 


mit  den  vier  Variabein  ^-j,  ir„  x„  C,  und  kann  sieb,  davnn 
aiugehviid,  auch  direct  ?oa  der  Uebereinstimnmng  der  in  den 
Formeln  (20  b)  nnd  (30)  (gewonnenen  Zahlen  nlicnH-Mij^en. 

Man  hat  zu  dem  Ende  nur  die  Krouei^kcr'sfuhe  äummen- 
formel  za  bilden  für  die  Functionen : 

F..  =  0.        F,  =  0,        F.  =  0,        C  =  0,        F,  >  0, 

nra  unmittelbar  Formet  (20n)  zn  erhalten.  Dabei  ist  frir 
die  BeMUmmnnfi^  des  Vorzeichen:«  die  Vertauschnng  der  Reihnn- 
fulge  der  Functiotieu  F,  und  G  xu  borUcksichtif^en. 


47$    jr«dtfray  x.  SJfiM^  4ct  wrfi.fiji.  Omm  ttm  C/iA  «äW 


§   >- 


Beweis  der  CebereinstimmoBg^  der  Zahlea  V  und  £1 

Sfit  Hfilfe  der  neoen  Fcvmd  för  die  Beakimmnng  der 
Zaiil  £^  iit  nmt  der  Udiergaiig  Toa  dieaer  zn  der  mxb  dem 
System  der  FoDctioaen  i^i — tfi.  fi — y,.  ^^l — f^  abgeleiteten 
2^   ^  S^S*^**"-     ^'^  ToTzeicheii  der  DeCenninante 

r 
38)  I 


^n 

P« 

0 

Fu 

^„ 

Pn 

Fn 

0 

F„ 

F« 

^» 

t> 

QDterscheidet  nämlich  die  scheinbaren  Doppelponkte  der  bei- 
den Corren  Jf,'  and  M\  O^enommen  in  der  Richtnnf;  der 
Aie  z^)  in  demäelben  Sinne,  wie  das  Voraeichen  der  De- 
terminante 

-Tl.      '-"it 
39) 

-  'hl  •'*« 
von  «Je=.-ien  Bedeutung  wir  in  §  2  (^pag-  ■tf)2)  gehandelt  haben. 
Die  letztere  Determinante  trennt  nänilich  die  scheinbaren 
Doppelpunkte  nach  dem  Vorzeichen  de^  kleinen  Flächen- 
elementd,  welches  bei  Projection  der  auf  den  beiden  Curven 
im  scheinbaren  Doppelpunkt  angenouimeuen  Liuieuelemente 
do\  und  do\  auf  die  Ebene  r,  z^  enb-teht.  Dabei  sind  beide 
Curven  im  Sinne  der  wachsenden  Parameter  durchlaufen  au- 
fgenommen. Sind  nun  die  beiden  Kaumcurven  durch  die 
Gleichungen  F,  ^  0  gegeben,  so  hat  man  für  die  r/;,,  d:'.,  ih 
der  ersten  Curve 

-'' 31  f'  ^'i  +  -^33  ^'  ^'^  -r  ^'  33  *'  - '^  ="  "  ■ 


W.  Dyck:  Seiträge  eur  Potentiaitheorie.    II. 
und  für  die  zweite  Gurre  analog: 

F,,dz:-^F,,dK-{-F,,de:=^0, 


477 


40*) 


Ffihrt  man  diese  Beziehungen  ein,  so  folgt  nach  kurzer 
Umrechnung  för  den  Inhalt  jenes  kleinen  Elementes : 


41) 


—  dz\     de'i 

—  de'i     dz^ 
0 


\  F       F 


F^^     -F.,       0      F„ 


\f     f     f 


F      F      F 


0 
0 


—  ^n     ^» 

—  f$i     ^n, 

\  F       F    \ 


.  dX^  dX^ 


dzl 


i-p^i  -f;«i 


F      F   ! 


Tl.     ^1,1 


Nun   gilt  aber   für  die   positiv  zu   nehmenden   Linien- 
elemente beider  Curven : 


F       F       F 

-^  Sl        -*^  82        ■*  SS  ,    , 
.  dg 

\  F      F    ' 


42") 


rf(,;  =  1/  (/-:,  +  ,/.j,  -I- ,/.;,.  d?.^  = 


V 


F      F 
-^51     ■'^it 


F      F       F     * 

F       F       F 

'^  II       ^18        -'13 


-'Ol        -*^  OS 


F       F 

-^  11       -*  IS 


-  •  dz',. 


Xehmen    wir    also    (wie   stets)    die  Quadratwurzeln  aus 
den    Q  u  ad  rat«;  u  mm  eil    {lusitiv,    so    sind    für    die   äumniation 


478    NadUrag  z.  Sütung  der  Math.-phjfs.  CUu»e  vom  6.  Juli  1895. 


zugleich  mit  (/A,,  beziehungsweise  dX^  auch  die  beiden  Auti- 
drücke : 


dz. 


—        und 


de't 


43) 


F      F 


F       F 


Ol 


« 


,^..  ^"i 


positiv   znnehmeo*)^   d.  h.  für   alle    Elemente   der    Suni- 
mation  ist: 

—  Tu     M',,   I 


44)       sign.  {;  |[  =  sign.{j 


dz,    dz] 


Tr 


üf. 


tt 


=  sign. 


F       F 

•'Ol      'ob 


0      /•' 


F       F        Ü      F 


F       F       F 


0 


/•;.  /•«  ■?•«  0 

Es  kommen  somit  für  die  Abzahlung  der  Zahlen    V  und  K 
durch    die    Formeln    (13a)    und    (36)    dieäetben    Punkt  f. 


1)  Man  bemerkt  unmittelbar,  da«ä  diese  Vorz eichen bestimmuni; 
genau  Obereinstimmt  mit  der  durch  das  Kronecker'sche  ,Fort'^nga- 
princip*  (Errichte  der  Berliner  Akademie  vom  M&rz  1869,  pag.  IGOi 
gegebenen.  Nach  der  Kronecker' sehen  Regel  ist  die  Fortgangs- 
richtang  anf  den  beiden  Carven   so  za  wrihleo,    da-sa   die   Ausdrücke 

*h       *h      *3  /-Ol     >»..     V-m 

i-'ji     Ffi     F-a     •  'l *^   Itziehungsweise      /'n     i-',2     F\y     ■  <l 'I' 


F«   F^,   i-;, 


•/',   ^s 


■tets  poaitiT  sind;  ersetzt  man  für  die  lieiden  Auadröcke  die  will- 
körliche  Function  *{^i,  r^,  r,}  darch  :,<  ^f  ergeben  »ich  die  obigen 
BedingUDgen. 


W.  Dychi  Heiträijc  aur  Fotentitütheorie.    II. 


•479 


iiüciiiich  die  bei  der  ßewegung  vou  M]  gegon  3/i  Auftreten- 
den  wirklichen  Doppelpunkt«,  genommen  beiderHeitu  mit 
denselben  Vorzeichen  tu  Rechnung.  Damit  ist  aber  die 
Identität  der  nach  den  Formeln  (13a),  (2Ga)  nnd  (36)  ge- 
wonnenen Zahlen   V  und  K  bewiesen. 

Wir  fassen  das  ResiiUat  der  vorliegenden  Unten^ucbung 
'scusaminen  in  dem  Satze: 

Die  Zahl  der  gegenseitigen  Umscliliugungen 
zweier  Raumcurven  im  Ganss'schen  Sinne  ist  ideu- 
tiäch  mit  der  Kroneck  er 'sehen  charakteristischen 
Zahl  des  Functioneusystems: 

7)  i^,(A,)-9>i(A,).  V'.(y-y,(^i)>  V'3(i.)-5P«Wt 
beziehungsweise  des  Functionensystems: 

18)  Ji('i,^..'3).  '''iC'p-t.'i).  -FfC^n^t»*!).  •^•(■'ii^r^jX 
wenn 


4) 


beziehungsweise 


und 


17) 


und 


^^-'/^(^), 
-«=-v\(^f)i 
-%  =  '/'.(^(). 

i'\('p-*-..-'.)  =  0, 
^a('ii'.i^s)  =  0 


die  zur  analytischen  DarsteMung  der  beiden  Curven 
dienenden  Gleichungen  sind. 


480    NaOOng  m.  8iUtm§  der  Motik-iAy«.  Oasae  vom  6.  Jtdi  1895. 


Zweiter  AbBohttitt. 

Tkeorie  der  gegeHseitigOB  UmwtBdoiig  ib-dlMenelonAler 

uadn — ft  — l-dlaeBsloniUer  HanalgfftlttgkeltoB  Im  Ubo- 

areB  (Gebiete  tob  n  DimeBsloBeB. 

§6. 

Verallgemeinerang    des  GansB^schen   Integrals  für 
Gebiete  von  n  Dimensionen. 

Die  Gau8s*8che  Formel  fflr  die  Zahl  der  gegenseitigen 
Umwindnngen  zweier  Baumcurven  und  ihre  Darstellung  als 
Krön  eck  er'sche  Charakteristik  eines  zugehörigen  Functionen- 
Systems  lässt  nun  die  nachfolgende  Erweiterung  fQr  höhere 
Mannigfaltigkeiten  naturgemäss  erscheinen: 

Es  seien  im  Gebiete  von  n  reellen  Variabein  e^,  z^, ,,.  t^ 
die  wir  (zu  kurzer  Sprechweise)  als  rechtwinklige  Coordi- 
naten  des  linearen  Raumes  L^  von  n  Dimensionen  bezeichnen 
und  deuten  wollen,  je  zwei  geschlossene  Mannigfaltigkeiten 
M'k  und  M'ft^k-\  von  Ä,  beziehungsweise  von  n — k — 1  Di- 
mensionen gegeben;  so  definiren  wir  als  gegenseitige 
Windungszahl  Kder  beiden  Mannigfaltigkeiten  den 
Werth  des  Integrals: 


W.  Üifek:  BvUrägt  «r  l\4eMuüthenrit.    // 


481 


45) 


,      ,        Ol,         («),  («>,  V^])  \>H)    («-»J 

*,— #,     — d«|  -rfr, ...  -(fr,  </f,  fui ...  fZff, 

(i>        m         (»»  tH^)  f»+«^  «»-ii 

*,-#;  -ätj  -rw; ...  -rf*;  tf«;  fh\ ...  dz, 

i\>  («  W  (»+»>  <*4^    *■-» 


u» 


») 


(*)      (H-H    (H-S)    <•-» 


Die  Intof^tioo  erstreckt  sich  dabei  ftir  die  Varisbeln 
^.,,tl  Clbw  die  Mnnnigfalkigkeit  Mi.  flSr  die  VArial>elu 
^1..^«  fiber  die  Mauni^fiilti^keit  Jlf;-i_t.  (tJn.i  bexeicbnet 
die  « —  l-diun'n*iouale  Obertläche  der  .Kuxel'   vom  Riidius  1 

»?  +  •,•+. ..  +  <-=!• 

H!h«  wir  r^gen,  da«  durch  dieses  Integratf  ausgedehnt 
ober  xwei  geschJossene  Mannigfalligkeiten,  eine  ganze  Zahl 
iditrm^telll  wihi.  bitnichten  wir  die  Bedeutnng  des  unter  dem 
llnU'grulzeicbeD  «t«hendi'Ti  Auädrtickcs. 

Anagehend  rom  Punkte 

*;,   *;,   «;    ...   *: 

Ser  ^i  sind  »uf  dieser  Mannigfiütigkeit  in  bestimmter  Reihen- 

Dlge  k  Nacbbiirpunkte: 

trt  (fl  (0  tfi 

BfHKMntDeii.     Kbutuo,  vom  Punkt« 

'i »    '« •    'ii  *     • "     '« 

der  M^^it^\  ausgehend,  auf  dieser  n — k — 1  Nachbarpunkte 

'!  +  «,     #,  +  d»,    #,-|-rf*, ...     <  +  </*«    j  =  ft  +  l,...w-I. 


482    NaOOrag  «.  SUnmg  dar  maA.-tlif§.  CkuM  vom  6.  Jtdi  tf&5. 

Diese  n-\-\  Punkte  bilden  die  Eckpunkte  eines  dem 
Tetraeder  im  dreidimensionalen  Baume  analogen  Körpers 
im  i%,  welchen  wir  analog  wie  das  Tetraeder  cum  Parallel- 
epiped  m  einem  parallelepipedischen  Element  do,  dessen 
Eckpunkte  sieh  aus  den  oben  gegebenen  durch  Addition  der 
Coordinaten  ergeben,  ergftnEen  kSnnen.  Der  Inhalt  dieses 
Körpers  ist  durch  die  Zählerdeterminante  des  anter  dem 
Integialseichen  stehenden  Ausdruckes  dargestellt.  Die  in  der 
Mh  liegende  Gruppe  von  lt-\-\  Punkten  bestimmt  dabei  ein 
parallelepipedisches  Element  der  JG,  (loii  und  ebenso  die  in 
der  Mm-h~i  liegende  Gruppe  Ton  n—fh  Punkten  ein  solches 
Element  do;.^-\  dieser  Mannigfaltigkeit  Im  Nenner  des 
Ausdruckes  steht  die  (absolut  zu  nehmende)  «**  Potenz  der 
EntfemuDg  r  der  beiden  Kiemente  doi  und  doC-t-i  von  ein- 
ander, die  wir  auch  als  den  Inhalt  des  .fi  dimensionalen 
Wflrfels*  von  der  Kantenlänge  r  deuten  können. 

Fflr  die  Integration  Aber  die  beiden  Mannigfaltigkeiten 
setzen  wir  in  Analogie  mit  der  fUr  das  Gauss^sche  Integral 
zu  beachtenden  Bestimmung  fest,  dass  die  Elemente 


/  '  dz[ 

0) 

dz\ 

(1) 
dz\    . 

(i)      » 

46') 

rfo»  = 

1        m 

1    ": 

(91 

dz\ 

(2) 

dz\    . 

(2) 

..    dz'^ 

(*) 
dz. 

dz'^  . 

(») 

..  dz; 

und 

^    dz\ 

dz, 

(*+n 
dz\    .. 

..   dz; 

46") 

rfoi^-i  — 

(H-2> 

iiz\ 

{H-2) 
dzl    . 

(*+2)  ; 
.  dz; 

(••-1) 
,dz\ 

dz\ 

(N-ll 

dz\    . 

(n-n 
..    dz'. 

W,  Ittjck:  Btilfuje  zur  PolfHtiaUhau-ie.    II. 


läa 


der  Mi  b«nsw.  Mü-k-i  in  unserem  ganzen  Gebiete  nicniaU 
rerscbwinden  sollen,  dass  also  niemals  gleichzeitig  die  sünimt- 
lichen  UnUfrdetorminanten  einer  der  Matrices  Null  sein  wUen.*) 
(Vprgl.  die  Beinerkunj(  auf  pti^'.  452)* 

Dan  Vorzeichen  der  Determinante  im  Zähler  unseres 
Integrals  unterscheidet  dann  in  analoger  Weine  wie  im  Ge- 
biete TOD  drei  Dimensionen  zwei  wesentlich  verschiedene 
Lagen  der  Elemente  *ioi  und  (io^-k-i  gegen  einander,  die 
wir  in  Analogie  mit  der  dort  gegebenen  geometrischen  Vor- 
Bt«Ilung  als  ,itn  entge^^engeselxten  Sinne  windend'  bezeichnen 
wollen.     Wesentlich  ist  dabei  der  durch  die  Reibeufnige  der 

k  bexw.  «-»ft  — 1  Fortschreitung!*nchtiingen  (die  durch  die 
(0,  (;) 

dl  bezw.  dß'  definirt  sind)  in  die  Elemente  doi  und  don-t-i 

gelegte    Sinn.      Dieser    Uichtiing:^nn    ergiebt   sich    ftlr    die 

ganze  Mannigfaltigkeit  J/i  bezw.  ßfi^k-i  >n  eindeutig  be- 

Htimmter  Weise,  wenn  er  filr  ein  iM^^^ttniintes,   aber  tibrigens 

beliebiges  Klement  von  MX  bezw.  M^-k-i  fc^^tgelegt  ist.    Man 

vergleiche    för  diese  Festlegung   die  Formeln  (49)  und  (64). 

Durch  unsere  Annahmen  Ober  die  Möglichkeit  der  ein- 
deutigen Festlegung  des  Kichtungssinnes  t^hlieasen  wir  die 
■ogenannten  , Doppel  man  nig  faltigkeiten*,  bei  welchen 
man  in  dem  hier  entwickelten  Sinne  von  einer  Windnngs- 
ziiht  nicht  sprechen  kann,  von  der  gegenwärtigen  Betrach- 
tung aus. 

Es  Ut  noch  folgender  Umstand  bemerkenswerth:  Wir 
konnten  dem  positiven  und  negativen  Vorzeichen  der  Deter- 
minante in  Fonnel  (45)  im  Falle  zweier  Raumcurven  eine 
ganz  bestimmte  Lagenbeziehnng  der  beiden  gerichteten  Ele- 
mente do{    und    do'   der  Raumcurven    an    die   Seite   stellen 


l)  Ea  genflift   übrif^Da  schon,    anzuaebineD,    dan   die   Unter- 
rtntnatiteo  j«  einer  iler  beiden  Matrice«  m  (16')  und  (46*)  nicht 
ntUi-h  xugleich  fUr  Uebiete  von  1  —  1  )>exw.  von  n — fc-SDimen- 
8«a  a«f  Mg  be&w,  itf«_A„|  verschwinden. 


484     2fachtrag  i.  SiUnntj  der  malh.-pHj^».  (^aagt  com  ft.  Juli  ItXtS. 

(Fif;.  1  und  2,  pa^.  452)^  welche  gegenseitig  uiiikebr- 
bar  war. 

Im  Falle  zweier  Mannigfaltigkeiten  von  %  be>£w. 
n  —  k—  1  Dimensionen  ist  die.te  Bezielning  nicht 
mehr  in  allen  Fällen  eine  gegenseitig  umkehrbare. 

Vertanschen  wir  nämlich  in  der  Formel  (45)  die  beiden 
Mannigfaltigkeiten  Äfi,  und  JI/;-|.i  miteinander,  »o  erhält^ 
wenn  wir  die  Reihenfolge  der  Ltnienelemente  auf  beiden 
festhalten,  die  Determinante  dos  Vorzeichen 

(-1)"-*. 
die  Determinante  behält  also  bei  der  Vertauschung  das  Vor- 
zeichen, wenn 

n  gerade,        h  gerade  oder  angerade 

fi  ungerade,    h  ungerade 

idt;  d.  h.  in  diesen  Fällen  ist  die  Windung  des  Elementes 
doit  gegen  das  Element  do'n-k-i  dieselbe,  wie  die  Windung 
des    Elementes   do'^^k-i    gegen    do'i.     Dagegen  wechselt   für 

n  ungerade,   ifc  gerade 

die  Determinante  ihr  Vorzeichen,  d.  h.  die  Windung  des 
Elemente«  do'^  gegen  dOm-n^i  ist  entgegengesetzt  gleich 
der  Windung  des  Etcnientpcs  rfoi_*_i  ge^eu  rfoi.  Die  Win- 
dungszahl der  geacblo83enen  Manuigfaltigkeiten 
seibat  wechselt  aUo  für  ungerades  n  und  gerades  k 
bei  der  Yertanschung  derselben  ihr  Vorzeichen. 


Formeln  für  die  Windungszahl  unter  Voraussetzung 
einer  Parameterdarstelhing  fflr  die  beiden  Mannig- 
faltigkeiten. 

Wir  legen  analog  wie  für  die  beiden  Raumcurvca  jetzt 
für  unsere  Mannigfaltigkeiten  M'^  und  Jlf^_|_,  eine  Para- 
meterdarsteUung  zu  Grunde  durch  die  Öleichungssj-steme: 


471 


W.  Dyek:  Beiträt/a  tur  Putenliallheorie.   IS. 


485 


beziehungsweise: 


47-) 


in  welchen  die  Functionen  (p  bez.  y/  wieder  als  eindeutige 
reelle  Functionen  der  reellen,  von  einander  unabhängigen 
Verilnd  er  lieben  A,,  ^,  ...  X^:  /.^^,.  k,^^,  ...  X^_^  vorausge- 
gesetzt  sind. 

Wühlen   wir  jetzt   znm  Ponkte  i'    auf  Hf.  gerade  die 

(0 

ft  Nachbarpiinkte  e    -j-dz' ,  welche  entstehen,  wenn  wir  nur 
je  einen    der   Parameter   l     um   den   positiven   Betrag   dX 
äadern   und"  verfahren  in  gleicher  Weise   im  Punkte  r^  auf 
^n-k~v  ^  ^^^^'^  ^'*^^^  unser  obiges  Integral  (45)  direct  um 
in  die  Form : 


*/Wa    -T,i--T*4    V'a*+r"  "V.-l 


r^^  .       j — r--^r-"tt,."</A,_ 

in  welcher  die  den  y>  bez.  i//  angefügten  zweiten  Ludices  die 
nach    dem    cntsprecheudeu   Parameter  l   genommenen    Dif- 


486    NadUrag  g.  SiUung  der  math.-phjfg.  Clas$e  vom  6.  Jtdi  1895. 

ferentialquotienten  bezeichuen.  Die  Integration  erstreckt  sich 
dabei  über  die  ^mmtlichen  absolut  zu  nehmenden  Elemente 
der  beiden  Mann^faltigkeiten  Jf]^  und  -Sf^.^.,,  för  welche 
die  Formeln  gelten: 


49*)     rfo;=    / 

1  <Pii    ^ti 

äX,, 

9*1*        ^2» 

•      y«» 

beziehungsweise 

49-)            ,    / 

«^u+i  'Vi  • 

M  — 1  1 

wir  verfügen  dabei  über  die  Richtung  der  Elemente  Ittr  die 
Integration  so,  dass  wir  im  Sinne  der  wachsenden  /  intt*- 
griren ;  die  dX  sind  also  stets  positiv.  Die  lutegr.itioii 
ist  an  Gren/.bedinguDgen  nicht  geknüpft. 

Formel  (48)  kennzeichnet  äoniit,  nach  den  im 
I.  Theil  der  Beiträge  gegebenen  Entwicklungen 
(Formel  (12)  auf  pag.  2ij(i)  die  Zahl  V  als  Kron- 
ecker'sche  Charakteristik  des  Systems  der  h  Func- 
tionen: 

50)  '".-r..     '-''.-Ti.     ••■     '■",.- y., 

der  n — t  Variabein  /.,.  ...  /,.  /.  , ,  ...  /.  ,.  T"  ist  da- 
her  auch  .-;tets  eine  gan/.e  Zahl,  ilie  wir  eben  als 
Windungs/ahl   bezeichnen. 

Fiihrt'n  wir  nun  in  Analogie  mit  imsm-n  friihen'n  For- 
MU'In  (S)  ilit'  durch  die  Gl«»ichung<*n 


51) 


W.  J>yck:  Beiträgt  ntr  PottntialthmrU.    IT. 
'$  =  V«  (^H-i'  •  •  •  ^— 1^  ~  ''t  (*t^  '  ■  ■  K)^ 


487 


dcfiniri«  II — l  duu«uäiouaIe  Mannigfaltigkeit  ein/)  ao  folgt 
aach  hier  der  SaIz: 

Die  Znht  der  gegenseitigen  ümwindtingen  der 
in  (47)  dargestellten  Man  nigfaltigkeiten  M^  nnd 
^-»_i  ist  gleich  der  Zahl  der  Windungen  derMau- 
uiKfaltigkeit  (51)  um  den  Nullpunkt. 

Die  Zahl  V  lüsst  sich  nunmehr  als  Charakteristik  des 
fanetionen^teni?  (50)  im  Am^chluss  an  die  in  den  .ßei- 
Igen  I'  entwickelten  Formcla  weiter  darstellen  durch  ein 
i(  —  2-fache8,  n  —  It-fachea,  .  .  .  einfachem  Integral  und  durch 
eine  Suutuienformel,  und  est  ergeben  sich  hieraus  neue  Mi*- 
fhoden  für  die  Herjeitung  der  Windungszahl  in  Analogie 
mit  den  in  §  2  fOr  zwei  Raunicurven  gegebenen.  Es  ist 
nicht  uuinten^^int,  deren  Bedeutung  im  EinKeloen  naher  ku 
verfolgen*);    wir  greifen  aber  im  QegeDwärtigen   von  dieser 

IJ  Die  Hsanigfalttjfkeit  3f„.i  151)  kann  dabei  analog  wie  die 
l^l&cb«  (8)  in  übersicbtlii-her  Weise  entstanden  gedacht  werden  (Li- 
durch,  da«!  mau  durch  den  Nultpunkl  dos  Coordiniiteiiayftl^nu  Strahlen 
parallo]  zq  den  (n  — 1)-fach  unendlich  rielen  zwischen  den  beiden  Man- 
oijffaltigiieiten  ta  ziehenden  Sehnen  zieht  und  nnf  diesen  je  die  L&ngen 
die*er  Sehnen,  geuiessen  in  der  Kichtun^  von  der  ersten  zur  zweiten 
Mannigfaltigkeit,  abacbneidet.  A&deremeit«  ktuin,  analog  wie  dort, 
jV^_,  kucli  entstanden  gedarbt  werden  ati  «TranslationiuianDig* 
(altiffkeit',  die  lich  auf  eine  znr  Jf^_t_|:i^  —  yfUj^.|  f<  i^_|) 
I  '•'  aad  auf  eine  sweit«  aiu  der  Mj^  dorcb  «Spiegeliug  au 
'  *  entttandeoe Manaigfoltigkeit  'i  =  —  Vti^i  •  •  >  ^k)  »1» l'Cil- 

gebildtt  bexiehU 

3)  Man  vergleithe  fOr  eim?  weitere  Deutung  der  liierbcr  gehöri- 
gen Formeln  anch  die  SchliiMhemerkungen  de«  3  9. 


488    Nachtrag  b.  SUxung  der  math.-phy8.  Clasee  vom  6.  Jtdi  1895. 

ganzen  Reihe  der  DarstellnDgen  von  V  nur  diu  letzte  Glied, 
die  Summen  formelf  heraus,  auf  welche  wir  in  der  Folge  noch 
einzugehen  haben. 

Die  Suramenformel,   in  ihrer  doppelten  Qestalt,    lautet: 


52a) 
F=(-ir'2;8ign. 


oder 
52  b) 


r={-iriLsign. 


-9'ii     -9=12    ■■■-'Pik    V,*+i    -V,»., 


(v.-vj- 


die   erste   Stimme   ausgedehnt    über  alle  Punkte,    für  welche 
ist,  die  /.weite  ausgedehnt  über  alle  Punkte 


Vi 


■'/,  =  *-*i       '/'o— '/..=  0. 


'/'„  ,  — v„M  =  '*- 


Wir  können  diese  Punkte  in  geometrischer  Sprechweise 
l»e7.eichnen  als  die  scheinbaren  Doppelpunkte .  welche  dio 
Ansiclit  der  beiden  im  linearen  Itauine  L  der  z.  .  .  .  z  i'c- 
lej^euen  Mannigfaltigkeiten  3/i  und  il/;!,_*_i  gesehen  in  der 
Kichtnng    der  Axe  z     darbietet.      l)ii>  Vdrzeiclien    des    pac- 


W.  Dyck:  Beiträge  zur  PotetUi€dtheorie.   II. 


489 


tors  {yf^  —  97^)  an  jeder  dieser  Stellen  besagt  uns,  welche  der 
beiden  Mannigfaltigkeiten  dort  dem  Beschauer,  den  wir  wieder 
im  Punkte  r^  =  +  00,  z^^=z^  .  .  .  ^^^  =  0  aufgestellt  denken, 
näher  liegt.  Das  Vorzeichen  des  zweiten  Factors  trennt  die 
scheinbaren  Doppelpunkte  nach  dem  Sinne  der  n  — 1  Fort- 
schreitungsrichtungen  auf  Mi,  bez.  Mn-k~i-  Dabei  gilt  f[ir 
die  Gesammtheit  aller  scheinbaren  Doppelpunkte  die  Kron- 
ecker'scbe  Formel: 


53) 


Ijsign. 


-*Pii 


ni 


-<p 


11 


W 


i*+i 


■'/ik 


1'i 


2k+l 


Vi— I 


'i'in-l 


-0, 


die  Summe  ausgedehnt  über  alle  scheinbaren  Doppelpunkte 

eine  Formel,  welche  die  Uel>erf(ihrung  der  Formeln  (52ft)  und 
(52b)  in  einander  vermittelt. 


Formeln  für  die  Windnnj^szahl  dor  Mannigfaltij;- 
keiten  unter  Voraussetzung  ihrer  Darstellung  durch 
G 1  e  i  c  h  u  n  g  s  s  y  s  t  e  m  e  z  w  i  s  c  li  e  u  den  C  0  0  r  d  i  n  a  t  e  n . 
Bewein  der  Uebereinstimmung  der  in  §  7  und  8  ge- 
wonnenen Zahlen. 

Gehen  wir  nuniueiir  von  dor  Dar^^tellung  der  beiden 
M.innigfaltigkeiten  .Ufc  'i"d  il/,',_t-i  dnrcli  GlcichungssysK'nie 
in  den  CtHjrdinaten  c,  aus.  Ks  sei  die  J/,',  c  1  gcj^eben  cinrcii 
die  (A+  1)  Gleichungen: 

1895.  Matb.-pliyB.  C1.  3.  32 


490    NmOdMi  m.  aUma^  der  ma.-jkfs.  Omw  mm  6.  JmU  1896. 

^iC'n  't»  --•  'ii)  =  0, 
M-)  

**  ('r  'r  ■  -  •  *■)  =  0, 
und  analog  die  Mk  dareh  die  (m — k)  Gldchungen 


54') 


-F.      (*,.  ^.,  ...0  =  0- 

£s  laut  sich  dann  aach  hier,  wie  im  Falle  zweier  Raum- 
corren  das  in  Formel  (45)  gegebene  Int^ral  f&r  die  Win- 
dangmahl  nicht  allgemein  aufstellen.  Man  erhält  aber  analog 
wie  dort  den  Satz: 

Die  gegenseitige  Windnngssahl  der  beiden  dorch 
die  Gleichungen  (54')  und  (54')  definirten  Mannig- 
faltigkeiten ist  gleich  der  Kronecker'schen  Charak- 
teristik JT  der  in  dem  Gleichungsäjstem  euthaltenen 
(n-|-l)  Functionen 

55)  F^  Fp  F,,  . . .  r. 

der  n  Variabeln  j,,  r,,  ...  r^. 

Der  Beweis  dieses  Satzes  ergiebt  sich  genau  den  Dar- 
legungen des  §  4  entsprechend,  wenn  wir  anknüpfen  an 
die  Darstellung  der  Zahl  K  durch  die  Summenformel : 


Ol 


Of 


Fl, 


56)  Jr=(  -l)"-i;sign. 


Fn-ii    Fm-ii 


Fn-U 


W.  Vyck:  Beiträge  eur  Potenlialtheorie.   IL 


491 


die  Summe  erstreckt  Über  alle  Punkte,  für  welche 

ist,  und  diese  mit  der  in  Formel  (52  a)  gegebenen  Darstellung 
der  Zahl  V  vergleichen. 

Verschieben  wir,  etwa  in  Richtung  der  Äxe  jt«,  die 
Mannigfaltigkeit  Mn-k-i^  so  ändern  sich  die  Zahlen  Fund  K 
»prungweise  an  den  Stelleu,  in  welchen  die  bewegte  Mn^k-i 
die  feste  J/i  durchsetzt.  Wir  beginnen  nunmehr  die  Ab- 
zahlung dieser  Aenderungen  von  einer  Lage  der  Jlfi_»_i  an, 
in  welcher  diese  völlig  getrennt  von  der  Jlfi  erscheint.  Es 
lässt  sich  eine  solche  Lage,  wenn  wir  voraussetzen,  dass  beide 
Mannigfaltigkeiten  ganz  im  Endlichen  liegen ,  stets  durch 
eine  endliche  Verschiebung  der  M^-k-i  (lUe  wir  hier  in 
Richtung  der  negativen  Axe  e^  vornehmen)  erreichen.  In 
dieser  Änfangshige  ist  V  sowohl  wie  K  gleich  Null.  Die 
Aenderungen  der  Zahl  V  zwischen  der  Anfangs-  und  End- 
lage führen  unmittelbar  zu  den  Formeln  (52)  für   V. 

Aus  den  Aenderungen  der  Zahl-fiT  aber  ergiebt 
sich  (ganz  entsprechend  den  Entwicklungen  auf  («g.  472-475) 
die  folgende  neue  Formel: 

■foi  -fo2  ■■•     Fon-l  0  Fon 

57) 

Fu  Fy, 


K   (-l)"+'-lJsign. 


F, .._, 


-Fl- 


h\i      F,2      ...  i';„_i      0  F,„ 


i'«. 


F,,         ...    K.«.; 


492    Nadttrag  s,  Sittung  der  wtath.-fltgt.  Omtae  wom  €.  Jtäi  1895. 
die  Samme  erstreckt   über  alle  Paukte,   ffir   welche 

and  OO  ist,  eine  Formel,  weichet  als  Eron- 
ecker*8che  Charakteristik  des  Systems  der  Func- 
tionen 


58) 


j;(r„ir,,...r.+  0,  ...  F»(z„r,,...r.+  0, 


mit  den  Variabein  f^n^^.  -.--f«,  0  darstellt. 

Naomehr  aber  lassen  sich  die  Formeln  (52)  nnd  (57) 
fOr  die  Zahlen  V  und  K  direct  mit  einander  Tergleichen; 
sie  beziehen  dch  beide  auf  die  «scheinbaren  Doppelpunkte", 
welche  die  Mannigfaltigkeiten  M't  and  Jü^t-k-i  gesehen  in 
lÜcbtung  der  Aze  f«  darbieten  und  unterscheiden  dieselben 
in  derselben  Weise  nach  dem  Vorzeichen  der  Inhaltsdeter- 
minante: 


(I)  ■ 
-rf*i 


(2) 


59)     Jn~l  = 


0)  (2) 

— f/^2        —ff ^-2 


-dz'. 


dz\ 


rfr:. 


(--I) 

. . .  rf^r 


(-«-1) 


(I)  (2) 

■de'n^x   —dz'^-\  ... 


—  dz'„  - 1  dz'lt  _  I  . . .  dz'u  _ ] 


der  linearen  n — 1  -  dimensionalen  Configuration,  welche  sich 
ans  der  Projection  der  k  bez.  n — k  —  1  Linienelemeiite  der 

M't  bez.3/;_i_i  in  dieCoordinatenmannigfaUigkeit~-j,:j r„_; 

(durch  Orthogonftlprojection  in  Uichtung  der  Äxe  z^)  ergiehl. 


W.  Dyck:  Beiträge  sur  Potentialtheorie.   IL 


493 


FOr  die  obige  Inhaltsdeterminante  erhält   man  nämlich 
zunächst  in  den  9>,  ifj  geschrieben  die  Formel: 


dl,dX,...dXt,dXt^-i...dK.i- 


-fn-ll  -7*11-12  ".  -«JPh-U    »/'m-IH-1  —    •/'«-!  n-1 


Für  die  Umsetzung   in  eine  in   den  Functionen  F  ge- 
schriebene Formel  beachte  man,  dass  die  Matrix 


(1)  CD  (0  (!)   : 

—  dgi     —  dg'i    .  .  .     —  rf^M-i      —  deU  ' 


61') 


—  de[      —  (h'i     ■  .  .     —  f?J«-i     —  dsfn 


correspondirende  Matrix  ist  zu 
(32) 


2-: 


F.. 


■<»1  '   »2 

und  ebenso  die  Matrix 


/'' 


H  II  —  1 


F_ 


494    NadUrag  z.  Sitzung  der  mcUh.-phy».  Glasse  vom  6.  Juli  1805. 


Ol") 

(1-1)        (»-M 
de]        dzl 

corr^pondirende  Matrix  zu 


de- 


dsl 


de. 


n-\ 


de: 


F. 


62') 


Ol 


»1 


02 


-ft2 


F. 


o»-i 


F 


F. 


0» 


-   fc  M 


Fahrt  man  dann  in  der  Mannigfaltigkeit  M'k  etwa  die 
Coordinaten  Zi^,  Zi^,  . . .  Zi^,  in  der  Mannigfaltigkeit  3/^_^_j 
die  Coordinaten  Zj^,  Zj^,  .  . .  zj^^^^^^  als  unabhängige  Variable 
ein,  wählt  die  &,  bez.  n  —  k  —  1  Fortschreitungsrichtungen 
auf  diesen  Mannigfaltigkeiten  so,  dass  jeweils  nur  eine  der 
obigen  unabhängigen  Coordinaten  sich  ändert,  während  dimii 
die  abhängigen  Coordinaten  den  Gleichungen 


d.~-u 


-*   Ol      1      ^  ^   o/t    ^.'  "' 

ö  =  /c-f  1,    .  .  .    «,  t  =  V    ^2' 

beziehungsweise 


'i.. 


''=A.-k 


■Sz- 


r  =  0,  1,  . . .  i-,      i = j,,  i.,  . . .  i,._t_p 

entsprechend  sich  ändern,  bezeichnet  endlich  D,-  bez.  Dj  die 
üeterminjinte  der  i^,  welche  durch  Streichung  der  Vertical- 


W.  Ihfck:  Beiträffü  zur  Potentialtheorie.   IL 


495 


reihen  tp  /'.,  ...  i^  in  der  Matrix  (02'),  beziehungsweise  der 
lieifaen  j^,  /,  . . .  J„.t_j  in  der  Matrix  (62')  entsteht,  so  folgt 
fiir  die  n  —  1  gliedrige  Determinante  (59)  der  äjs  in  den  F 
geschrieben  die  Formel: 


63) 


X-.  =  (-ir+' 


F 


F 
F 

12 


F  0 


In-I 


F 


ll» 


F  F 


F. 


kH-l 


^A+|i.-l       ^ik+li. 


0 


F  F  F  F  0 


A 


-0> 


Nun  hat  man  aber  fUr  die   positiv   zu  nehmenden  Ele- 
mente der  beiden  Mannigfaltigkeiten  die  Formeln: 


T„        y«       ■  .  •        y«,    ' 


ITi*       *f-.. 


T. 


••fc 


FF  F 


*+l« 


FF  F 


•  dX^  rfAj  .  .  .  lU^  = 


^2;  rfz;  ...  ds'i. 

1        1 * 

Di 


und 


64' 


406    üTodUnv  m.  aUmmg  i«r  a«Ck-jlkyi.  doM»  vom  6.  Jidi  18SfS. 


'U,-|/ 


^1-1      V„_,     •••     «P.n-i 


■^01  ^M 


P         F  F 


Der  Vergleich  dieser  Ausdrücke  ergiebfc,  dasB  einer 
Sammation ,  in  welcher  die  ElenMute  dX^  . . .  dXi  bezw. 
äh^i . . .  dXn~i  rtets  positiT  genommen  sind,  eine  Summation 
enteprichtf  f&r  welche  die  AusdrAcke 

^'^ä'k-^^^^'i,    beriehnngsweise    ^^''''^-   •^^— 


A 


A 


stets  positir  gerechnet  werden.*)  Hieraus  aber  folgt  durch 
Vergleich  der  Formeln  (63)  und  (CO),  dass  fOr  alle  Elemente 
der  Summation  das  Vorzeichen  der  Determinante  (59)  in 
den  dß  Übereinstimmt  mit  dem  der  Determinante  (60)  in 
den  %  tp  und  mit  dem  der  Determinante  (63)  in  den  F. 

Daraus  aber  folgt  die  Identität  der  durch  die 
Formeln  (52)  und  (57)  gewonnenen  Zahlen  V  und  K 
und  damit  der  zu  Eingang  des  Paragraphen  aufge- 
stellte Satz. 


1)  Du  aui  dieaen  Formuln  fiir  die  Mannigfaltifckeiten  abxa- 
leitende  .Fortganffiprincip''  erweist  lieh  all  VerallgemeineruDg  des 
TOD  Eronecker  in  der  Abb.  Tom  März  1869  (vergl.  auch  dieie  Abb. 
S.  473,  Anm.)  gegebenen,  worauf  ich  in  einer  folgenden  Note  noch 
nfther  einingehen  gedenke- 


IV.  Dtfck:  Seiträife  eur  PiMeHttaitHeorit.  It. 

8  9- 


il»7 


Folgerungen.    Scblnssbemerkuogen. 

Der  hiermit  gewonnene  Sütz  Ober  die  6«ieutung  dür 
KroD«cker*8chen  Charakteristik  der  Functionen 

F,.  F„  ...  j*; 

rWindiin>;8zahl  zweier  MftDni^faltigkeiten  Mi  und  Af;.)-], 
Ke  durch  Nu]Lsetzen  von  n — k  bez.  von  Ä-j- 1  der  obigen 
Functionen  gewonnen  werden,  lässt  nun  die  Bedeutung  der 
i\  K  für  dieees  Funclionensysti'in  in  ganz  allgeineiner 
i^eiäe  Übersehen: 

Wie  wir  auch  das  System  der  i»+l  Fnnctjonen 
von  II  Variabein  #  in  zwei  Theile  «erlegen,  stets 
(lofiniren  die  gleich  Null  gehetzten  Functionen  der 
beiden  Theile  zwei  sich  ergänzende  Mannigfaltig- 
keiion  von  k  bez.  von  n  — Ar — 1  Ditnenäionen,  deren 
WindungBzahl  stclB  dieselbe,  und  gleich  der  Kron- 
eckor'scheu  Charakteristik  £^des  Functionensystema 
ist.  Fflr  k^O  erhalten  wir  ein  System  von  Punkten 
in  Verbindung  mit  einer  Mannigfaltigkeit  von  n— 1 
Dimensionen^),  ftlr  k  ^^  l  eine  lineare  Mannigfaltig- 
keit und  «ine  ti  —  2-dimen8ionale  n.  s.  w. 

Im  zweidimensionalen  Räume  handelt  es  sich  um 
die  Windung  von  Linien  um  Punkte,  im  dreidimensio- 
nalen Usume  um  die  Windung  von  Fl&chen  um  Paukte, 
von  Linien  um  Linien,  im  vierdimeusionalen  Kaume 
um  die  Windung  von  dreidimensionalen  Räumen  um   I^inkl^, 

Fl&cben  um  Linien,  im  fünfdimensionalen  Räume 
die  Windung  von  vierdimensioDiUen  Räumen  uiu  Punkte, 

dreidimensionalen  Räumen  ura  Linien,  von  Flächen  um 
'Flächen  u.  s.  w. 

1}   Es   cncheint   in  diMeiu   Zuaftiuiiienhaugc   atnii(^miLM,  auch 
^VAB   eioer  Windaognahl   einer  (n  —  1) - dimeniionftlen  Hanrngfalti^ 
ktit  ara  bin  Pimkli^ttem  <u  «prechen. 


4&8    Saektrag  i.  StUiutg  der  wuttkr/hg*.  Qm 


I  0.  Juli  1109. 


Ditbci  liefern  die  verKchiedeotfO  Müglicbkeiten,  die  H-f-t 
Functionen  des  Sy^ms  zu  je  1  und  n,  lui  2  und  ii — l  n.  s.  w. 
abxuthi'ilen    im    Ganzen    » H~  ^    verächiedeoe   Punktj5Ttiteai«,J 

7^  Linien,  altgemein  (-   .  *)  /e-diin«n«ünale  Mannig* 

faltii^keÜPii  in  Verbindung  mit  ihren  crjniplementaren  Marnii^»- 
fftltigkeiten   Ton   n  —  k — 1    Dimensionen,   denen   äiinimtlich 
ein  nnd  dieselbe  Windungszahl  zukomraL 

Diesen  rerschiedenen  MögHchk«iten,  dieZahlJC 
als  Windnngszabi  zweier  doreh  Zerleguogdes  Fano- 

tionensjrstemä 

F,,   y,,     ...    Fi     l|     /Vfi,     ...     Fm 

hergestellten  Mannigfaltigkeiken  aufftafaisea,  ent- 
sprechen nun  paarMTcisc  die  Torscbiedvnen  Art«0 
der  Darstellung  ron  TT  durch  bestimmte  lategrali 
Qter  (Snuimenformel)  bis  (n  -j- 1)1«'  Ordnaug,  roal 
denen  wir  im  ersten  Tbeile  dieser  Beitrüge  gu- 
bandett  haben. 

Speciell  bezieht  sich  die  dort  in    (14)  '      e    Krön- 

ocker'scbe  Summenfurmel,    und   ebenso  an<i- :  _   diu  voq^ 

Kronecker  abgeleitete  (ir— l)-facfae  Qber /"^^  0  ausgedehnt 
Integral  auf  die  Deutung  der  Charakberlttik  uU  Windung»- 
xahl  der  (n — I)-dimensiQnalen  MHonigfaltigkeit  /^,^0  nm 
das  I\uikfcäyst«m  i*^,  ==>  0,  ...  Fm  ^»  0.  Allgemein  giebt  das 
in  Fwmel  (26)  der  Beiträgi'  I  gegeben«  (n  —  i  — I)-fach« 
Integral  nnd  ein  correepondireodea  k'fachiet  die  Aufiiurong 
di<r  Zahl  K  aU  Winduognrjihl  d«r  Maonigfaltigkaiban 

und 

Ks  verdient  dabei  in  diesem  Zui^ammenbange  noehmala 
der  dort  schon  erwähnte  Urnftand  herTorgeboben  sn  werden 


W.  Dt/tk:  Beiträge  9W  Voientuüüuorie.  IJ, 


400 


datt^  das  ^\xt  Berechnunt;  der  Wiadungäzahl  dienende 
(n  — Ar— l>-fttche  InfctfjLfrtil  aicb  aber  die  M'^-k-\  »U  GronM 
erstreckt,  wührend  der  unter  dem  Tntejjralzeichen  .stehende 
Aufdruck  lediglich  von  den  zur  Detioitiou  der  Mi  dienenden 
FuncÜoneu  ablmngt  Mit  Hülfe  der  in  den  dortigen  Kril- 
wicklungen  kq  Grunde  gelegten  Deutung  der  Functionen  7'' 
ü\a  Cuordiuaten  eines  (n -f  ]]'diinen8iünalen  Räume«  Xq^x^^...x^ 
erhält  dubei  der  unter  dein  Integrnl^eichen  sU^hi'nde  Aus- 
druck die  gerade  ftir  die  Auffassung  de^  Integrals  ab  Win- 
dung^zahl  weäentliche  Bt^deutuug  als  DUI'erential  eines  (n-£-l)- 
dimensionalen  „ränmljcbea   WinkeU'. 

Das  n-fache,  in  Formel  {\2)  der  .Beiträge  l*  gegebene 
Integral  fiir  K  hat  fflr  die  liier  erörterte  Theilung  des 
Futictioncnsystems  der  F  keine  unmittelbare  Bedeutung.  Ein 
Intejj^ral  diei^er  letzteren  Art  hat  dsLgegen  in  den  auf  die 
I'iinunetenlar»tt;llung  der  beiden  Mnniiigfattigkeiten  M^  und 
iVrt-J-i  he/.tiglichen  Formeln  (§  7)  den  Tebergang  der  an 
die  Kroneiker'sche  Chamkteristik  anknüpfenden  Integrale  /u 
der  Oanss'^hen  Darstellung  der  Windangszahl  rermittelt. 

Umgekehrt  kann  man  nun  auch  die  Deutung  der  X»hl  K 
als  Windungs/.fthl  zweier  »usammongeordneter  Mannigfaltig- 
keiten wieder  anwenden  auf  das  huh  der  Parameberdarstellung 
(Fumiel  47'  und  47*)  gewuunene  Functionensyatem 


50) 


'^  — Vn    Vi  — "yt'     -    */'-  — y« 


Betrachtet;  man  nimlich  die  n — 1  Parameter  Xi  als 
Courdinaten  eines  (» —  l)-diniensionalen  RaumeSf  so  ergeben 
jBch  auch  hier  durch  Nntlsetzen  je  zweier  sich  ergiinzender 
trappen  »on  Functionen  »/'^  —  tfi  einander  zugeordnete  Paare 
von  MoonigfuUigkeitea ,  deren  gegenseitige  WindungsKabI 
et>en  wieder  unsere  Zahl  K  ist.  Ich  gebe  indess  hier  nicht 
nibor  auf  diese  Botstehu Hg« weise  der  Zahl  K  ein. 


500    Na^troff  «.  8Unmg  der  ma^.-ph^.  Clane  vom  S.  Jidi  1895. 


Berichtigungen 

zum  I.  Tbeile  der  Beitrfige  zur  Potentialtheorie. 

Auf  Seita  S64  Fonnel  (6)  und  im  Nenner  die  Matrizttriohe  so  erglnien. 
«       ,    371  Zmle  9  TOn  oben  tat  m  letw  Oleiohnng  (16)  itett  (16). 

.       .    S76      .    7 (91)     ,     (19). 

.        .    S76      .     9 (96)      .     (28). 

.       .376      .     8    .   unten    ...  .        (H)     .     (19). 


m 


YerzflietiniRf4  der  einj^elanrenen  Druckfirlirirten 

Juli  bU  December  1895. 


DU  ranbrncban  Go— llarluttoa  «ul  luUtat«,  mit  wolehen  ititMn  Ak«4amU  in 
hMebf  ■tl«hr  lUhl,  wartn  giktXm,  aulwtalMadM  VmtMiaiaf  MgMdi  »li  EhpAuki- 
'aucvnn  «■  MrMkba«. 


Tob  folgenden  0«MlUahAft«n  and  Infitltatra: 

Sivüii  iVIitHulattOH  in  AbbetiUc: 
Tome  18.  19.     1893/94.     8». 
Nlütin.    Annt^  1893  No  2— 4,  1893  Ko.  1— 4,  1B91  No.  1.  3.    8«. 
fCiu4]aeDUoftire  de  M.  Erneet  PnironJ.     1891.     8". 

Hfij/al  Society  i'f  Stmlh-Australia  in  Adctaüle: 
TnuwftcUon«.     Vo)    19,  part  1.     1896.     B^. 

SütUtariMhe  Aktulemic  der  WitsenscHafttn  in  Agram: 
Lji>topi>  T.a  ^diou.  1694.     189.>.     B^ 
LBiuI.  Vol.  117-122.     181*495.     8*. 
|opumcoU  Bpectaatia  btstortam  StavoriuB  merid.  Tot.  XXVI.  169t.  8". 

BViuentu  liiftorico-iuridicB  Slar.  mend.     Vol.  T.     1891.    B° 
_jla.     Vol.  XIV.   1.  ■  1895.     4". 
Tode  SmiL'ikliu.  Ztvol  i  djcht  D»  Kranje  Ra^koga.     1895.     8*. 
'Uiluo  B«jtetar,  Zailar<ki  i  Riifiinia  Ijekctonsr.     1894.     8^. 
Ncte-York  StuU  Library  in  Alhany. 
Kev.Tork  Sute  Mai^um.    47t>'  ancDal  Report  for  1893.     1694.    S«. 
New- York  State  Library.   76t>>  annual  Report  for  1692/93.    1691.   80. 

Vnit:€rtit\t  of  the  State  of  Nttc-York  m  Alhantf: 
Sut«  Ubnm   Bolletin,     a)  Biblio^rapfay  No.  1,    b)  Additions  Nr>.  2. 
1894/96.'   80. 

SociH^  tU»  Antiquaim  d«  PiatrtKe  in  Amient: 
"Bodetin.     Aonö'3  1893  No.  1-4.     1694  No.  1.     189S/94.    8«. 
A'.  AkwUmif  der   Wins^tttschaftrn  in  AmtttrHam: 
TwbindcliDgeD.    Afd.  Nntanrkamle  1  S<-otip.  Deelll.  7.  DeelMI,  1-4. 

II  Sooüo,     liwl  IV,   1-6-      1694/96.     4!>. 
VnbttBdcliDfrrn.     Afd.  Ullerkaode.     Ueel  I,    No.  4.     1896.    -I". 


502 


VeneirJinU«  der  cingtUinftntn  limekMtAriflw^ 


Zitting^Terolag«!).    Afd.  KntuarkuD<le.    Juar  1S94/95.     ISUß.    4". 
Ver«liig6D   en  Mededeeliogen.     Afd.  Lotttfrkunde   3*  K««k«,    DmI  II. 

IB'JB.     8". 
Jaarboek  voor  18*U.    60. 
Hyrmedon  aliaqne  poemata.     1866.    S**. 

Penhodij  InjttitHie  i»  Baltimore^ 
2S">  annoat  Report.     June  1.  1805.    8^ 

Joh»s  Hopkins  Vnivfnity  in  B'tHimore? 
Circolant.     Vol.  XIV,  No.  Uft,  120.  131.     18%.     4«». 
American    Jüarnal    of  Ualtiematic«.      Vol.    XVI.   4.     XVII,    1-8. 

1894/95.    4". 
Thry    Am«ruMin    Jouraat    of    Philotogy.     VoL    XV.    3—4.      XV] .    I. 

1891/95.     8^. 
AmeriL-iui  Chemicftl  Journal.     Vol.  16.  No,  7  a.  8.   Vol.  17,  No.  1—7, 

I804/»o.     8«. 
.loliD«  Hopkini  Untvcrcttv  Stndief.     Ser.  Xlf.    No.  8—13,    Sor.  XUI, 
No.   l-e.     1894/95.     60. 

Naturfornchende  GejieUxchaft  in  Basdi 
Verluiudlaogen.     üund  XI,  1.     1^96.     SP. 

Ui«tori*ch'(iittiquari$(Jte  Oetelhchaft  i»  B(uel: 
Uavlcr  Chronik.    Luipxtg  1895.     8'^. 

UnieerntätubilAialtuk  in  Ba»el: 
8cbriflen  der  Uaivenit&t  »uo  dem  Jithre  1804/90.  4"  und  8". 
Batneiamch  GfiiwAachap  tun  KuuBter*  tu  W'elenJtcfinpften  in  Balaria: 
TijdscbnfL  Derl  38,  nÜ.  4.  6.  1695.  8«. 
Noiuteu.  Deel  3J.  aO.  4;  O&^l  33.  utl.  I.  2.  1895.  &>. 
Verhaailetipgen.  Ued  4b.  ituk  3;  I^eel  Öü.  1.  1894/95.  8*. 
NL-dcrland«ch-lQd:8cb-riak;iall>iiek.  Hw\  Xtll.  1605.  9fi. 
Kiji.  tiatuiirkunfUge  Vcrreniijinij  in  NtäetlaHttacJt  Inttic  tu  Bnlartn: 
Natunrkuiiaig  TijÜMibrirL     Dfwl  51.     1895.     8. 

Bot^kwarkea    tur    tafel    gebracht    in   de   Tergadaringea    1883.    19B4. 
1894/05.     8». 

Hütorvfchrr  Verein  in  Bai/rcHth: 
Archiv  nir  Gtfiehiohte  u.  Alterthosiikunde  is  iJatfrankaa.  Band  XIX,  IL 
1894.    8». 

JC  Akadtinie  der  Wkaem^flm  in  Belgrad: 
QU«.     No    4a     1896.    Sfi. 
äpomenik.    Mo.  36.  27.  39-     1896.    4P. 

A'.  pMU»i*ch*  Akadrmte  dtr  Wmevuchaften  in  Bertin: 
AbbaadlD Offen  au«  di'ra  Jahre  1694.     4^. 
SJfetting«lK-mbt«.    18U&.  No.  SG  -  36.     4° 

A'.  peoiitjf.  LautlfintitstaU  und  Bertjakiiäemie  iii  Berlin: 
Abbandluo^im.      Neun   FuIk«.      Uufl   Iß,    17   u.    19    mit   xoirehOrij^m 
AllanUn.     1895.     1°  u.  loL 

hrutvhe  dtemitek»  Gt»eil*dmft  in  Bertin: 
Bericbtfw    38^  Jaluv-,  No.  13-18.     IBM.    S**. 


Vtraridinimi  der  ringrhxufenen  DrueJuchriflett, 


503 


» 


DcuiM^hr.  getiUjffitKJie  Gtidlichafi  in  Bertin: 

:.     BftoJ   Iß.  Heft  4;  47.  Keft  1.  8.     J894y9ö.    8^. 

Ph<f»iki%iifchr.  GcKctUchaß  in  Berlin: 

Di«  Fortidiritt«  *ler  Physik  im  Jahre  18d3.    49.  Uhtfi.,  Abtb.  I— Ilt 

L>o.  i.  J.  188VI;  46,  Julirg.  3  Voll.     Br*uoBo.liwei>;  1695.     8". 
Verhaadliuij;«!!.     12.  Jubr^.   No.  I.    13.  Jnbrg.   No.  1-4,    14.  Jabrg. 
Nö.  1  u.  2.     I.pipiiir  180»,    8». 

/  'h<  (ifUfUscJtaft  IM  Berlin: 

CeDtmlllott  für  1 :._.  ,      ^.c.    It(95.    No.  8-14.    16-19.    6^ 

Kiiiterlich  detU»ckf4  urehatilnijiitcheg  Institut  in  hfflim: 
Jabrefb«Hobt  Qbcr  d.  Jahr  1891/95.     16^5.     4". 
Jahrbuch.    Bwad  £.  Helt  2  u.  5.     18»5.     4° 

Oeoäiitinche*  luAitttt  in  Berlin: 
Sentthdistuitun    bot  BeiUmmaii)f  der  H^ibeolage  der  Nordtteo-InMlii 

Uelg<'Und  etc.     1895.     4<>. 
A.  Wulphal,  UDtertUL'hungcn  Ober  den  BelbittregUtrirenden  DnÜrenal- 
p(i(ei  XU  SwiDetuilDde.     I89ß.     4**. 

A'.  preass.  wetfvroliyji^chf«  Iitttitut  i«  Berlin: 
Bdrit'ht  Aber  d.  Jahr  IB04.     IStfS,     8«. 
Krgt'hniwe  der  metcorol.  Ueobacbtuii>;t-n  in  PoUdam  im  Jaliro  1894. 

1895.     4*. 
Ergebnis»'  der  Oewitterlteobat'bttintfea  im  Jahre  1891.     1696,    4*. 
"    ebntne  der  Nleder<chla}^l*üobachtanK<'ii   im   J-   189S.     1806.    4*. 

Jaftrhuch  ulicr  die  Furttchritte  iler   M'tthfimnlik  in  licrlin. 
Jahrbuch.    IW.  XXIV.  U^ll  a.  3.     ie95.    8". 

Vernn  für  Gtuchtchte  der  ^ff^rk  Bratute nhuri/  in  Berlin: 
t'or»chupi;*-n    »ar    brunleobargiachen    und    ProuMitcheii   Gc«ohichM. 
Bund  Vill,  I.     Uipfiu  1895.     3^. 

NatuneisjientKkafUtche  Wochenschrifi  in  Berlin: 
Wocbnischrin.    Hand  S,  Uta  6-U.    1B9&.    (oL 

Zeitachnß  für  Instrumentcnkumte  in  Berlin: 
ZnUehriti.    16.  Jahrg.    Icfä6.    No.  7-12.    Ja)i-Dexemb«r.    4". 

Natur foriichrnäe  Qeiellfdxafi  in  Bern: 
V.  IUI  d.  Jahre  1891.     1895.    80. 

,f  eiätri«^  Gttellachaß  für  die  getammten  NatuncisMn' 

ßchafien  in  Bern: 
Stw  DcnkochriAvn.     Btod  B4.     189&.     4°. 

VerhandluDKtm.     77.  JahrwTereammlanff'.      Schat1'han'>en    1691.      6*. 
Nt*b«t  einer  fraiiaOiiMibRD  Uebwotmang.    (Jenevu  1894.    8^. 
Hisloriteker  Verein  in  Bern: 
Archif.     Band  XIV.  3.     1895.    8". 

SnciHe  fl' f^mttlation  du  Ifoubt  in  Bc^an^n: 
Uimoim«.     VI.  Süne.  Vol.  7.  8-     1893/91.    6«. 

Ä.  Itepniaxioeu  di  «forin  ;Mlriü  per  U  Pnmneie  tU  Bomnifmi 
in  Boloffnat 
Sari«  111.    VoL  Uli.  fMO.  1-8.     ISflA.    40. 


-VM  Vmeiekmm  4tr  fM»rfii^-»'n  /»■Awlryfam. 


S«kriflea  av  dca  Jahn  IBM^  m  4*  a.  ^. 

Fcrem  rm  .:4ltgytt«Mii<ii  i  ■■  Ji  ■  w  «wirfai^fc  n  Am>: 
n»s  imkrUcher.    Heft  «^-M.     ISSSl    4*. 

3'i^v*MConjdbcr  fVrm  der  ^mHJÜdbn  ffeüf^hie  m 

Saäiti  ie»  tdemees  gkftifmft  <f  m&tmftBtM  im  Biirietmr: 
Mtmoixt^     rV<  Serie,    loa«  OL  1    IT.    L  3.    Ptoi»  ec    BwAouix 

Sadite  Ijmmeemme  n  Biriemmr: 

Aetea.     VoL  4&.  46.     laSS.    6*. 

CatelofK  de  b  h*btiotk«q«e.  «mc  1.     läM.    flF. 

5a<ieC<  d«  fio^apkie  commeniaie  »  fljrjfj- 

BoUecia.    1«6.    Xo.  13—30-    8*. 

Ardm  der  St^Ü  Brmmiutkmfi^: 

Crrnadeaboeh  der  Staat  BraoMcbveir.     Bd.  ü.  AUk.  1.    1896.    4.*- 

5dU«j>K&«  0**eiUdusfl  fmr  r^friimduekf  Ciätm-  im  Binlmi: 

72.  Jabraben'iht  aeUt  EigtaznagsiiWt     1696.    8*. 

irutoritek^^iftüeke  Stktiom  dtr  t.  t.  MAnttkem  Lamdwink*dt*%fU- 

GtMUtAafl  m  Brinm: 
Urknaden  zv  Geachicbte  der  Sfiadt  Brlaa.     1896.    8*. 

A<:-j4fmi<!  Ryy-iii  It-t  fci^Hc^-*  im  Brü.*nri: 

M-^=io:.-*i  des  m«mbrM  in  1«.  To=ie 50.  pan  2.  T.  51   5X  l^Sa*»!.  1> 
Mr=:::res    x^rocE-^   :e   V'.     Tc^-?  53.     H'^3  ^.     V-. 
Ur-Ar^   -'ziTOna-^  in  *.     T031*  47.  5Ö.  51.  51      I??i  ■»      S». 
'.orr^Ji-on-iAn-^*  'ii  CiriiEal  de  'jraETrlle.  Tone  X  <t  XI.   IsiiiS  ;^t.  4\ 
B-^TiVtiie  ii»::jn-»>.     T:me  Xll.  2.    Slii.  I.     ISSi— 9*.     5'^ 
B:;:>t-n.     3.  S^rie.    T:=:e  2-:*.  No.  6:    Te=:e  3i>.  N:.  7-10     1895.    8* 

Ai i-^i »tt'i  i?'>y  SiV    iV  «^i^i.T-<  ii   Bniv-^,'- 
M-rciäirea    vO::r.im-H    et    »a-re:    rc-rmoire*.      Tome    XIV.    y.->.    1—5. 

B::::r*.:n.    [V.  :rrr>.     To=;e  IX.    No    7-10      Ir^ö      S*. 

Ba.>-.iii.     VoL  1.    No.  1.     1^95.     s\ 

.Aa4>.Li  BoiUniiAEa.     Toae  XIV.  3  j    4.     1595     ^•>. 

-Ar.ca'r«.     T  m.  3?.     Ii9*.     ä*. 

>v 'V  /.'.'j,  1.'"  mi.' t.;r.*  y.  ,■  (:■    .'.    71-    ■     j'  !  -  /;-;..." 

Auü-iirt.      ToE^   27,      .\-Le-    l'?9-J,      5*^^- 
i'r. TT  aai.     1-93     95      ö* 


KfrtciWiiiiM  d*r  eimgttlaufenen  I>ruei$dirißen, 


505 


K.  tinfTAHMAc  AktiHemit  der  Wi»a0n.v:hafien  in  Biutapttt: 
Ücigiuriiiclie  Hevac.     1895.     Betl  6—7.     B"». 
Almanacb.     laSA.     B» 
Njehtadom.kn;i  K0il?m><Dy9lt.     iSpruchwiueniühAftl.  MiUheilongeD.I 

B<1.  XXIV.  3    I;    X.W.  1.  2.     IH93/94.     S^. 
Zt.  SiniOQj'i,  A  >[it;;vur  batUoiük-     lOie  Elc«timmungsipOrt«r  im  Oa- 

Kan-chen.i     B-)."  11.  2.     189Ö.     ßo. 
ÖT.  /mUia},  Nyeki'inl'-ketnk.    (Tinpre  SprAchdenkmAler)     1894.    4°. 
TedtftiPKuJ.  Krtekeu^wk      (Hialnriache    Äbhandlunjfen.)    XVI,    2—6. 

l8ft.H-95.    B». 
TckIi^»    Ualtor,    Ujab   adaMkok.     (Npuere   Beitrft^e    zu    den    Kehen- 

innr.liriftpn.l     1894.     4". 
MonnmeniacomitiikiiaregDil'raiisvUaiiiae.  Vol. XVI.  XVII.  IS9S— 94.8*. 
örÄrj,  L  A.  M.  T.  Aknd.  torU-neliui   biMttsiljfiinak  oklevöliniUalatai. 

(UrkuodeD-Ab^chriften  d.  hi-toi    Conimifis-ioD  }     Öd.  2.    1891.   8". 
Kirllv  •!■.    roJAoay   viiros  jof^H   a  KQit^pkorban.     (pKiibarger  Studt- 

retht.)     1894.     8*. 
ArchaiK>loj;iai  fvrtoaitfl.  ( An;bIloIog.  Anzeiger.)    XlII,S-6;  XIV,  1  —  5: 

XV.  1-3.     1893      4°. 

Archatotoffiai  Koavmt^Dyi^k.    (Arch&ol.  Miltbeil.)  Bd.  XVII.    lB9fi.   fol. 
Tarsadulmt  ^rtekeiü^ek.  (Staatawi^sensch.  Abhandiangeo.)  XI,  7—10. 

1894-95.     B". 
N>*elvtudom.»u.    Krtt?kezL^sek.      (Sprach wtiien.%chaftl.    Abbaudluogen.) 

XVI.  4.  &.     1894.    8°. 

Knaklcsi  B.,  A  VotjAk  nyelr  «zölär«.     (Votj^kiiKrbea  WCrterbnch.) 

fasc   3.     1898.    8". 
MaK^^^'"'''^-'^R^   Unulök   kUlföldßn.     (Uagariflch«  Stodirend«  im  Ans* 

landd.)     Vol.  III.     1898.     8°, 
Af^'iy  .1.,  KH  penzOaylOrtt^elnii  taoalmiVojr.    (Zwei  ttaaoxgeflcbicbt- 

tit^hc  Stadien.)     1894.     b^ 
Fnknui  V.,  MiVtvtii  Kir.lly  leretet.     (Sektion  fdr  ftuiaere  Angelegen- 

b«Heo.)    Vol.  I.     1803     e<>. 
Tbftlj  K.,  üercatfayi  bÄsa«a£ga.    (Die  £fae  Bercaenrt'i.)     1694.    8^. 
Uonumeota  Hungariae  bistonea     C)tt»i.  il.     Vol.  33,     1894.     8*. 
Hunpel  J.,   A  r>'tribb   Kilx/pkor   emlckei.     (Denkm&ler   des   fräberen 

HittcUU«r>t )     Vol.  1.     1894.     6^ 
Tcniii^'xt^llDdütui'myi  elrti>kc£i;sck.  { Natur wiMeoAcbaril.  Abbandlungea.) 

XXm.  3-12.     1894.     8». 
Kthcniaiikai  l':rtt-k<>Ei.'4ek.  (Uuthem.  Abbandign.)  XV.  4.5.    1894.    8*. 
ftthctuatikui  Krt'-iHA.    (Unthemat.  Anmi^'er.)    XI,  6—9.  XII.  1—12. 

XUI.   1.  3.      1893-96.     &>. 
Haibenmtikai   KOElcmt-ayeb.     (Matbem.  MiUheilungen.)     XXV«   4.  6* 

XXVI.  1.  a.     1693-91.     8». 
Uaibematiiiobe  und  aatarwiswuMh.  Berichte   am  Ungarn.     XI,  1.  X 

XII.  1.  2.     1898—95.     B^. 
lUppöH.     1893     1391.     1894—9.1.     y". 

Cb.vzerC-^  L.  Kuliv.vAtki.  AruneapHungaria«.  Tom  MI,  l.  1892— »4. 4^ 
MttjBT  Ootth.  AUft^d.    H'.T  filt.>vra(*  Sai^  d«4   bell.  Simeon  ia  Ztr& 

fin  Ungar.  Sptoabe.l     1U94,     tvl. 
SiuiöU  UtT&D.  A  Sobllgh  Mag.var  Scöjfg^b^k.     1894.    B**. 


IINtt  Msil>  -pkr*  u.  I 


39 


506 


Vtmkkmaa  S»r  rimffdauftnAn  i)ruek»ehripem. 


StatiaiMhü  StiTtan  der  Haufil-  urul  HwleHesloät  Budnpnt: 

PablikktioBen      Vol.   X\V,  2.     1896.     (fi. 

K.  ungarische  groln/fhi^e  Xtw(«fi  in  Budaput: 

P.rUnyvt  (Jafarlocfa.)    Bd.  XL  S-6.    XU,  1.    1895.   8^  «nd   AUu 

-  ■^I    »  In  fol, 
X  18  dem  Jahrilucbe.     Bd.  IX.  7.     1895.     8*. 

1l._:-:.  --ij/.     Üd.  XXV,   1—6.     1895,     8». 

BotaHi*eheT  OarUn  in  Bttitensarg  (Jatu 
VedAdeeliogea  ml '«  Lud«  Pluit«Dtain.   No,  XIV,   HaluviA  1095.   4^/ 

Rttmänifchfx  metearoto^gch*!*  IwUtiHt  in  BuknrrH: 
Aulele.    Tom.  IX,  nmil  1693.     1895.     49. 

SociHt  LtHnienne  ti€  ifurmanätt  in  Caen: 

BallHiiL     IV.  Sdrie.  Vol.  8.  fiur.  1-4.  Vol.  9.  Cw.  1.     IdM/Btt.    6*. 

Ainatie  Socitty  of  Bengtä  in  CnJenttn: 

BibUoUHKa  Indica.     Np«  Stfr.     No.  SflO-.'tft.     Ifi'Jl-9A.     8*. 

JotttBftl.     N'o.  844—46.     1895.     8^ 

PfOC««diiu(9.    No.  4—8.  April— Aiyro»t  1895.    8*. 

OtoJogicel  SMreey  of  Jndia  in  CaXeutta: 
lUcordi.     Vol.  38.  piH  3  a.  4.     189&.    4". 

Mtteorolwjical  Department  nf  tht  (hrernment  nfjnüta  im  Cilleitll*: 
Monthlj    Weither    Review    1896   iuiauy^Joljr   and    Aiwiuü 

mary   1894.     189».     foL 
iDdiu  Meteorologe«!  Uemoi».  Vol.  V,  pari  7—10.  Cal 
ladiut  Metcorolöjticftl  Htfinoir«.    Vol.  VIL  p«rt  1  -i.  ^ 
Report  OB  the  AdmUtutraioD  in  1891/96.     1695.    fuL 

I^ilaaophical  Soctftv  in  Camhrid^e: 
Pfoeeedingfc    Vol.  Vni,  part  6.     1M6.    8«. 

JfiMnim  ofcomparattve  Xootogj/  at  Harieard Col1e$t  in  Cambridge^  Sfiuf.: 
Bolletui.    Vol.  27,  No    1  -«.     1895.    8». 
Umaom.    VoL  XVTII.  XTX.  1.    1896.    4". 

WiHenKhaftlirfae  Abhunltaojr«^.     H4    II.     H  4^ 

Die  TUtiffkeit  der  pb/4ika)tscb*i«chai«cfa«o  i  .     »tt  IH9I/U. 

BotUb  188&.    i^ 

JL  «ddUitch«  wttltenlof^iat^i  ImtliM  im  O^mmU: 
JiüiriMiai  1894.    Jt^g.  Xil.  1.  HIUU.    ISM.    4^ 

Soeiiti  [lei  «aawo  fii>tar«l7i  ^oMr9: 

B«muoM»  «ar  U  »anneUIwre  h^MUic<  .i^r  Amtf.  Le  Jolit. 

Pftri«  16M.    fl». 

Z^mOmfl  t1h€  Mvmaf  im  CMcuff- 
IW  MmUC    Vol.  i,    So.  4.    Vol.  «,    No.  l.     1R9&.    6«. 

TWt  Opea  Coari.    No    100-480      ISM.    4* 


rpr»«cÄN»«  rfrr  eim^eXaufemem  Drucksdtrtften. 


507 


Nnnetff.  GrAdmeagunijfhf'ommiinriti»  in  OhriätiAnifi: 

A^'  li<*  BeobaiiitnngeD      1895.     4* 

0.  1  •',  licsultfite  tlt-r  18[>4  auiKefOfartca  Pendelbeobactitangon. 

IbUü.    &o. 

SalHrfm'aehendt  Genelt^chaft  GravhÜHdeHM  in  Chur: 
JabrpflbcTicht.    K«un  Folge.     HJ.  5^     1896.     8^, 
r.   Loreu.    Di*    Hrgcboiite   der   sanitnri^chnn    Cntersacbungefl    der 
Rpkniton  des  Kaotoi»  GrantiandeD.     lieru  I69fi.    4^. 

Ch€mili€i--Zfitmti/  in  Cothtn: 
Chanuker-Zeituiift  ISDfi.    No.  48 -101.    fol. 

UnirfririUtt  in  f;: 

Veni'ij'tiTiiM  fl.>r  Vorlrannaen.     Wn.i   .  -i-«  1696/M.     1896.    fl". 

r<  "?u  [{«br.rai'a  16dä/i)6.     18^,     8^. 

pM  >  :t  d^j  Utfktor..  um  4.  Okt.  1S94.     1896.     8«. 

FroeiMtal'CoMnuMton  lur  yencaltuutj  <U:r  irestpretiMiiaehen  Procintint^ 

Mmtee»  in  Daraüji 
A)>baD01nii|;en  zur  Lmde^kunde  der  Provinz  WestpreaMon.    lieft  IX. 
ISSl.    4^ 

ColoroAa  Scientific  Societj/  in  Denver,  Colorado: 
ft  Abbundlnngen  au4  dun  Proceedlogv  von  18%.    S*^. 

VfffiH  (Ar  Anhailiyctit  OeschtcJile  in  Desmu: 
MUtbeilongCD.     Band  VIJ,  3.     1895.     8^ 

Aeademe  dcg  Scienca  in  V\jon: 
Hdmoira».     IV.  StJrl«.    Tome  4.     Anni^M  1808-01.     1804.    B". 

GtUhrie  tsittiiKfte  OcMlU^Mß  in  Vorpat- 
5ittuag«b«richte  1694.    1895.    e». 

Uniyn  gfoffrai'biffve  du  Kord  tlf,  ta  Kranet  in  Zhnah 
BoUetio.     Vol.  16.  tritaestre  1—3.     1896.    6". 

K.  9afk«i*cS«r  Alttrthum4v«rti*i  in  Drenh»: 
Jalnwbencht  1B94/9&.     1895.     S^ 
HeoM  Arrhir  für  «ac-bsiicbe  tioschicble.     Bd.  XVI      1B9S.    8^. 

Getternläircktton  ilcr  kfjl.  Snmmlungen  in  Orc^ttcti: 
icbt    (ihtT    dio    VerwnUung    der    kgl.    Sammlongen    in    Dresden 
199^8.     1896.    fol. 

Amcrienn  ChemieaJ  Saeielij  in  JCaMon.  Pa.: 
Tim  äonrntA  of  Uie  Amchcoa  Cbcmical  Society.     Vol.  17,    No.  10, 
1996.    8^. 

Scottj^  Micrascopieai  Socirttf  in  Edinburgh : 
FMoeedingi.    S<a»iou  1891—95.    p.  177—276.    S«. 

iioyitl  Soctttjf  in  Kdinbuffih: 

Pfoeatding«.     Vol.  XX,'  p.  88S-4dO.    1805,    8". 

Vnrnn  fur  ÜeitchieMe  im  JiniUben: 
lUnifelder  BUtter.     IX.  Jabrg.     1896.     t^. 


508 


FflrMfdMtt  dffr  almgätoMftmtm  DnnAaArifltn. 


Geaeltachafl  für  bädtndt  Kunnt  w^  raterläitd.  ÄtterUtAiwr  m  Emden: 
Jahrbuch,     ßd.  XT.  I.  2.     1896.    6« 

NaturforifchenJe  (icseUschaß  in  Knuhn: 
79.  Jahmbericht  ßr  18»3/»4.     1096,    8«. 

K,  üniFcrsitäi  Sriun^fn: 
SrhriAffo  awt  dem  Jahre  1B94/d5.    4«  a.  8<^. 

Btale  Accarlemia  äti  Ocorffofüi  in  Florenz: 
AUi.    IV.  Ser     Vol.  18,  di«p.  2.    1895.    8^. 

Senfkfuhrryt»chr  natur forscht mte  OitelUchnft  in  Frankfurt  o/iV." 
AbhaiKllungen,     Band  X[\',   No.   1.  3.     I89&.     40. 
Bericht.     1895.    S^. 

PhynknliMcher  Verain  in  Frankfurt  (i/3f..* 
Jabre«bcnr.ht  fQr  IHQSSi.     1895.    B«. 

Js'nturtciAs«n%chafUichfr   Verein  in  Fttinkfurt  äff*  - 
HelioR.    18.  Jahr«,  1896.    No.  1-«.    8^. 

NaturfofBchtnde  Oewlltfhnft  m  F^eibiir§  ^Br. 
berichte.    M.  IX.  1-8.     1894-05.    8". 

KitrMu'h'hiittorigfhef  Verrin  in  Fretbwrg  t/Br 
Frtiborger  Diöce^nn-Arcbiv.    Bd-  A4.     1896.     8**. 

Unicergität  Frtibnr^  in  tter  Schwelt: 
CoUeetanea  FriburMensm.    Ftuc  IV.    1895.    4". 
BehArdftD.    Lehnr   and   ätudircndc.     Wint.-Sem.  1895/90.    1696.     8<^. 

Institut  national  in  Genf: 
Hulletin.    Tome  SB.    1895.    6^. 

OitMrvateirt  in  Otnfi 
Keflum^  mt^t^roloffiqot!  de  l'ano»^  1894.     1695.    8<>. 
Sor  qoelqaet  part^otturit^  de  l'hiver  1691/95.  par  A.  Eamraarttaif^ 
1896.    8^. 

Soditi  de  jjht/itiqttt  et  tFhistoire  HatureUt  in  Otnf: 
HteoiMs.     Tome  XXkll,  1.     1894-96.    4°. 
L^nirersUät   Genf: 
Schriften  aiu  dem  iifchre  1694/90.    ^. 

Mtueo  eivico  rfi  stoha  naturale  ni  Genua: 
Asaali.    Ser.  II.     Vol.  14.  16.     1894-96.    8*. 

OberhesMche  QetelUchafl  far  Niitur-  und  Ueükunde  in  Oittunx 
SO.  Bericht.     1896.    8«. 

lluicrnntSt  m  Gitstm: 
Sohrirten  »tu  d^m  Jahn;  1801/96  in  4"  und  B9. 

t Jtxrtauxttiüehe  ÜetetlM^aß  der  Wi*«ef>t  haften  in  GOrlits: 
Neu»!  UuHtUuube«  llagnzin.     Bond  71.  H'-ft  1.  2.     1895-    tfi. 
IC    G^tfflUrhiiiy  ■i'-r  WinKftuiehftftrti  in  Göttinnen: 

n.  N'o.VIl- XH.JtiIi-r>*c«uiberieWk  «♦. 

:.,... ^„.     i]  .:.  ^„ Li*M.     Hea  S.  I.     1896.     4«. 

HatheiiL-pbjr»  Clam.    Haft  S.  8.    1995.    4^ 


VeftHAniu  der  tingelaufenen  DnteltMehriften.  509 

AvtroDoraiscbe  Mitth^ilDogen  der  k.  Steravart«  %-a  Oottingen.  Tb.  IV. 

1895.  4». 

Gr«ch&flliche  .Vlittheiluagm.     1896.     No.  2. 

HUtnvsarte  in  Gtktiivjen: 
A.  raa  Koeoeo   u.  W.   Schnr,    Ufb«r   die  AuKwalil   der  Punkte   bei 

nBttii)K«n ,    an   wplchen   bei   Probe- P^cdplmeuungen  nifferenKn 

fU  cnrnrten  naren.     1695.    4'. 

Dtniaon  Scirutifio  Äsmetation  in  OrnnvOlt  (Vhio). 

Bull«^  of  tbe  Scientific  Lubonktorte«  o(  Deaisoa  QniTenrity.  Vol.  VIU, 
pari  t.  2.     t&93UL     6^. 

7Ä«  Journal  of  Comparatic«  Jfturoiogy  in  Orantütt; 
JourMt.     Vol   V.  p.  71-138.     8". 

Z^ndeamasettm  Joanntum  in  Gras: 
I.XXXIII.  .lAhrMbericht  Qber  du  Jnbr  1894.    1396.    8^. 
Uütoriseher  Verrin  für  Steiermark  in  Ortu: 
Uttlheilai)K«n.     43.  Hcfl.     1806.    8°. 

Stttu/vis*fn,<vhnf(lu'hfr  Vfrfin  für  Steiermark  in  Oroi: 
MittbeilonKen.     Jiihrf?.  I^ttt.     HWt  Sl.     1895.    8^. 

Qtsdhchnft  für  P,minrr(tchc  Of-ichichte  in  Greifgwnld: 
Pomitiench«  nwn-alOitiHn.     Bd.  h.     1996.     S'. 

A",  A'  RtniffHm  im  IToof): 

J.  A.  C.  Oudflmatu,     .  .      -  tion  von  Java.  IV.  Abtb.    1B95.    4'*. 

Nederiuidsch  kruidkuuUi»{  AicUuf.  L  Ser.  6.  L>e«l.  4*  Stnk.  Kijmcgen. 

1896.  BO. 

JC  Jnstttuut  toor  dt  Tnnl,  I^mi-  en  Volkenkunde  tan  NederluntlatA 

tndtr  im   /fiirlfl: 
Bijdnictn.     VI.  Rrolcs.     D^ol  I.   aflav.  s!  4.     1895.    8». 
De  Gwi'bÖg'«  te  NgBJo^ry^k.irli  door  J.  Gronerain.     1995.    4**. 

SnciiU  lloltimtlaise  de»  Sciencen  in  flaarfem: 
Arrtiive»  N^'rlan'liiiftM  d«  «ciMice*  f>xActes-  Tome  29,  Ii»r.  2. 8.  1895.  ö*. 
OeHtn*^  compli't.'«  tU  Cbri^tiaAn  RDygt»!«.   Vol.  VI.  La  llnyo  1896.  *•. 

Tfi/lev  OenniUHt'hnp  in  Ilnarlem: 
ArcHJm  da  Muti.V  fevler.     Ser.  II.    Vol.  4.  purtie  4.     1896.    4«. 
Vrfhandlaogvn    ran    Teylen   twcede   Oenoot«chaii.    N.  B.    D«l.  V, 

•tuk  1.     1896.    8". 
VrrhaadluDfrtfn  Tan  Teylera  go^Kflleenl  Oonoot^cbap.  N.  S.  Üacl.  XV. 
1B96.    80. 

GfnauMMm  ru  llnJl  in  Tyrot: 
f*n>grtuDio  1684/96.    1695.     8". 
Xiaw.  Ltopoiäinixch-Carotiniifche  dcuUche  Akademie  der  Haturfondier 

in  Ht\Ut; 
UnpoLdiaa.     Urfl  XXXI.    No.  11-23.     1895.    4". 

ThftringiKh-iiiiiumehrr  OeAchifhlit-  und  AUerthumtvtfein  im  Malte: 
Jahreabericlil  iQr  1894/96.     1805,    8". 


510 


Vtrstidimta  der  tingtlaufeiien  Drucktdirifttn. 


ÜentKhe  morgen!AnilUeke  OtMetlsthaß  in  B'iJh: 
ZeiUchriit.    Band  19,    Heft  2.  3.    Leipzifr  1895.    8<*. 

VnicernUtt  IJaUr: 
SchrifloD  va»  dem  Jahr?  lBOl/95  in  4"  and  8. 

HatuncUntnschafXlithtT  Verein  für  Snchten  und  Thüringtii  in  Ihiitr: 

Zoit^chriflf.  NatonriMen^chafti-n.  Dd.  (W.  ll«ft  1  o.  2.  UjpHitfl896.  8^. 

SUt\UhibH(HK(k  in  Uimhurg: 

Jahrttnrh  der  HiLmburgiichen  wiiwoKbnill.  AnitiUteB.  XL  Jfthrg.  1999 
Qod  Beiheft.     161^1.     1^. 

Wtitttauitcht  GettUnchafl  für  di*  ff*§ammte  Naiurkund*  m  ITanOM: 

Oericlit.l  ie93-9n.     189&.    Bfi. 

Nistorischer  Verein  für  NiedersiKktten  in  Ilnnnorer: 

Zeitschrift.    Jahrgiuig  189&.    ^. 

Vnicergitiit  HeuMber*}; 
Leo  KOntj^berf^er,  Hcrronnn  7.  Heimholt?/«  Unterancban^n  (Iber  die 

Grandiosen  der  Mathcntatik  und  Mcohanik.     1895.    4". 
Schriften  der  UniTersitAb  uu«  dem  jAlirü  tö9l/ä6  in  i^  a.  8*^. 

Hiitoriseh-jJiiloAOfJtiMcficr   Verein  in  Jleidettirrg: 

Neue  Heidelberger  JftbrbOcfaer.    Jahr^.  V.   Heft  2.     1895.     9^, 

Fiutändhche  GeHeUgclutft  der  WumenMChnfien  in  UfUiugforn; 

Obscrratioa«  mttttiorologifiuef.    1889-1890.    Küopio  1B96.    ToL 
ObMrrat'ons  (mßr^orologiqueftj.     Vol.  MI,  Itvr.  1.     2894.    foL 
Acta  BOi^iotAtis  scientiarum  Fcnnicac.    Tom.  20.     189&.    4**. 
OfveraiKt  XXXVI.    18t)9/Ü4.     1894.     8^ 
Didrog    tili    kAnncdom    af  Finluidi   Natnr  och   Folk.     Hefl  61'Btf, 
1894/95.     8«. 

UnitemHiH  Ihhwgfarg : 

T^hrifien  der  UnirentUt  Heliingrori  aus  d,  Jahre  1894/96  in  4<*  u.  6^. 

Verein  für  »iehehb&rffiMchi  LaHth9>:nHde  in  HermanfutatU: 

Archiv.     N.  K.     Band  XWI,  Heft  3.     18tt6.    8**. 
Jahresbcricbt.  fQr  dna  Jahr  1894/96.     1395.    8«. 

Üit'JiriJiiirgiftchr.r    Verein    für   NatunriMtmuJiaften  in    Ha'mtinHatatU: 
Verhandlungen.    H.  Jahrg.     1696.    S^. 

Michitfan  AUmHt/  Srhool  in  UmigUt/tn' 
ProipKtai  of  eloctive  ittidiea.     May  1895.     6**. 
Kar imihtn- Verein  in  Ifflö: 
Jahrbueb.    XXIL  Jahrg.     1896.    fiO. 

yerdinamUum  in  Inn$bruck: 
3.  Kolfre.     Band  S9.     1895.    6*. 


Zeitschrift. 

Ji;naiBobc  /. 
Bea  i. 


I6WV.    tfi. 


in  Jena! 
'•ft8u.4.  Bd.&Ü. 


Vcneiohnüjr  der  tingetaufenen  DntckifChrifien. 


511 


ftrein  fär   TMritiffücHe  Qtsckiektt  und  AlUrthuiMhiHHe  in  Jtna: 
ÄöUchrift.     Bd.  VIU.  9.  i;  IX.  1.     1693/04.     Sfi. 
U«^««tA  dipiomutuA  Decooa  epiEtoIann  bUtoriae  Tboringiae.    I.  Halb- 
banJ.     leiflS.     4". 
KaturfitrAthende  GeßelUchafi  hei  der   ünivtrsUäi  Jurjetc  (Dorpat) 
SitjtuBifsber.cbl«.    Bd.  X.  3.     lÖÖö.    S\ 
Schr»ft«n.     üo.  VIII.     leW,     4". 

U»iver»ilät  Jurjew  {Darpat): 
SobrifUm  der  OnivemUt  nu«  dem  Jahre  1891/96  in  1"  a.  8^ 

Centridbureaii  für  Idfteorolv^it  tte.  in  Kttrhrnh*: 
Jftbreibertcht  dei  Ceniralbureaua  fOr  daa  Jahr  1691.     1695.     1^ 

Gmi'.shenoijlieh  icchni^che  Hnchnchule  in  Karlaruhe: 
Schria«n  au«  dorn  Jabro  1891%  la  -t"  u.  h<>, 

(ho$^i.  hadtaehe  StaatifAllerÜiAmeraammiunn  iu  KarUruhe: 
VeTdffontlicbuQf^en  der  groaih.  badivcbcn  Samtnlungea.    199S.     1". 

Socifli  fihyxieo'TnatheHiitH'jue  in  Kasan: 
üolleün.    n»  Slirie.     Tome  IV.  No.  3.  4;   V.  No.  1.  2.     1894/96.    SP. 

Vmcerfiittil  Kotan : 
Utachenia  äupiski.    Tom.  ei.  No.  3.  7.  B.  0.  11.     1895.    8«. 

Verein  für  hesnindtf  Geachichie  in  Kaaael: 
Zeitachrift.    N.  F.     Bd.  XIX.     1394.    8». 
Milltieiltingen.    Jahrgang  1892.     1893.    8*^. 

Vernn  für  Naturkunde  in  Ka$tel: 
Abhaadlongeo  und  U«ncbt  XL.     1896,    8^. 

Vitiremlät  Kharkov: 
Sapiiki.     1895.    H«ft  8.    B^*. 

K.  Univerntät  in  Kiel: 
8chnfT«a  aui  «Um  .I:»hre  1894/96.     l«  u.  8«. 

OnelUchnft  f\lr  SfhUswui'lMHtein'Lnuenburffuiche  Qenchiehte  in  Kiel: 
/^iUcbrin.     Uaud  24.     1881.     8^ 

yatuntinnetmdtaftlicher  Verein  für  Sddetwig-JIolttein  in  Kiel: 
8chrift«n.    Band  X.  Deft  2.    181».    8^ 

fTniversitSi  in  Kiew: 
ItWBvUja.     Vot.  ?6,  No.  S-in     1896.     B*. 

AeTztlich-tiittuniitsettiiehafHieher   Verein  in  Ktttusenbnrg : 
foto-itO.     3  Hefte.     1895.     Sfi. 

Krnntifchf  arehnalo^isehe  OtAclUchaft  in  Knin: 
flwiilu.     Itaad  I.  n<'ft  9.     181)6.     «o. 

Phj/9iknli9i:h-ökomttiti»<^  OegeÜ«du»ft  in  Königt^rg; 
ScfarJfUn.    36.  Jabrgaug.    1891.     1896.     4<>. 

Vnirrrtität  m  Kirnitjaberg: 
Scbrin«D  nn-t  dem  Jahre  1891/96.    40  n.  9*. 


M 


Verteiehniti  der  eingdaufentn  Drucktchrifien. 


QtntaiotfiAk  Itutitut  in  KopetJmpent 
Ärabere  og  Kabylcr  Skildrineer  nf  Carit  Etlar    2  Bde.    1868—70. 

K.  Alndewie  lirr   Wis^ciiichaßcn  in  Koptnhn^cn: 
Ovemgt.     18H5,    No.  2.     8". 
Skrtfter.     1)  hifltr,n>k,  Afd  H'.  3.    21  nRt«rtid.  Afd.  VnT,  1.  1895.  t 

GenfUitefKtß  für  ttnrdiiieht  Altrrthumiikandf  in  Knpenhagtfu: 
AarbOgw.     II.  Ka«kke.     Baud  10,    Hett  2  u.  3.     1890.    8°, 

Aliattfmit  der  WitsrnschaftcH  in  Krakau: 
Sprftwotd&nift  koniiHyi  BKjro^ftficzoej.    Tom.  39.     1894.    8^. 
Zltiür  wiadomi^äci  do  Antro|>ol.    Tom.  XVIU.     1896.    ffi. 
.Anzeiger.     1895.    Juni.  Juli.  Oktober.  Noreml>er.    8". 
Koxpniwy,    a)  histor.-filoz.     Ser.  II.   Tum.  U.    b)  matbemat    8«r. 

Tom.  7.     1895.    &*, 
B\h]\(iifkn  pinarijr  iK>Ukich.     Tom.  SO.     1890.     8*. 
Kinkel,  Bibliot^sfia  bittor.    Tom.  2,    Beft  1.     1895.    8*. 
Archiwom  Uterat.    Tom.  8.     1896.    B*. 
Pamiftoik  (mathemat.)    Tom.  18.    Heft  8.     1896.    4*. 

ßUtoriscfttr  Verein  für  Jfiederba^em  i«  Land^tU: 
V«rbandlnng(^n.     31.  Htutd.     189&.     8^. 

SocirU  Vauitoiat  den  fctetice«  naturrllea  i»  Lamatme: 
BolleÜB.     IH.  Serie.     VoL  XXXI,    So.  117.  118.     1895.    8". 

Maatgdtappij  van  yederlandäche  Letterkunde  in  Leiden: 
Tüddclirift.    Deel  XIV.   No,  »,  4.     1895,     8", 

K.  f/ichfMrAc  Ge*e.U»ehaß  tJer  Wutfhßehaßrn  in  Leijitig: 
Abhandlaogen  der  pbtiol.-bial.  Cla«8c.    Band  XV,  No.  &.  4.    189&.    4*. 
Bericht«.    T'hilol.-hlst.  Claw»'.    1896.    I.  U.    H". 
Abhandlungen  der  ro*lb..pliv».  Ola«?.     Bd.  XXII,    No.  3—6. 
Bericht«.    Math.phr.  i'la«»«.     1896.    Heft  II-IV.    8". 
Journfil  für  yraktitche.  Chemie  in  Leiptitj: 
Journal.     N.  V.     Bd.  61.   He(t  12.     Bd.  52.    Hell  3-11.     I89&. 

Jnatomiitche  Ge^eHschnft  tu  Letftti^: 
Wilhelm  Hii,  Die  ooutumiBcbe  Nomimclatar.     1896.    8*. 

AjtironotHfMhe  OeMrlltehafl  in  Lriptig: 
Katalog.     I.  Abih.    10.  StOck.     1896.    4^. 
Vierteljafarmchria.     80.  Jahrg.     Ilea  S.     1896.     8*. 

Archie  der  Maiheotatit  uml  Phyxik  im  Leiptif/: 
Archiv  der  Mathematik  nnd  Pb;»k.   IL  luibc,  14.  Thnl,  1.  o.  3 
1896.     8". 

Verein  für  Erdkunde  in  Leiptig: 
WiiHmfcbaaiiche  Veröffentlichungen.     Bd.  tf.     1896.    8". 
UittbeUaiign.    18»4.     1886.     8*. 

yae*dU  in  IMU: 
Traraoz  et  Memoire*.    Tome  III.  N'o.  In  i -<>s.    go. 

PfliMTPity  of  Sfhmaka  » 
Boriottn  or  tbo  Agneoltunvl  Kxperincnt  tiutiun.    No,  4S.    1696. 


VtrseüAnist  der  nngetaufenen  Druektehrifien, 


A13 


MuMttrn  fVancwO'CaTohnum  in  Lins: 
53.  Juhre«bericht,  oeb«i  17.  Lieferung  der  Beitritige  sar  Landcslnuide. 
1895.    8P. 

Zriturhrift  ,La  CrlMe*  im  Locuien: 
Lh  Cellulo.    Tom«  XI.  1.    1896.    4". 

2'hf  JCn^/lish  Htstoricai  Rrvicw  in  London: 
Hutorienl  Rcviev.    Vol.  X,    Nu.  SQ.  40.    1895.    SP. 

Royal  Socitiy  in  IjondoH: 
FbiliMophiml  Tr&naftptioQs.     Vol.  Ufi,    port  IL    k.  B.     1895.     4*. 
I*n>«(?din(f«.    Vol.  58,    So.  347-862.     1896.     SP. 

R,  Axtronomica!  Socitty  in  London: 
MoDthly  Notice#,    Vol.  65,  No.  8.  9.     Vol.  56.  No.  l.     1896.    tf». 

Chemical  Societi/  in  Limdon : 
Journal.    No.  892-397.    Julj— IX*c«mber  1896.    8». 
Prw^pfliliDg«.    No.  164-166.     1895.    8«. 

Otfniogicttl  Socicly  in  Lonilon: 
Tl  rly  .lourna!.     No.  201-201.     1995.    ä». 

G*  i.iterwtart"  ilarinfp  Ihe  h&irycur  caded  Dec.  1894.  1895.  8*. 

Liitnfan  Societt/  in  J/indon: 
ProcceOLD^q.     Nov.  1893  to  Junti  1894.    6°. 
Th?  .loornftl.    Zoolofry.    VoL  25,   No.  168-100.     Botiiny.    Vol.  SO, 

No.  209.  210.     18V14.    8". 
Tite  Tran«>»ctioni».    II  Ser-   'AK>Iogy.  Vol.  VI.  partS,   Bolanv.  Vol. TV, 

pMt  'ii    V.  part  \.     1891-96.    4«. 
Lift  1891/05.     1894.    8". 

Meäicnt  and  Chirurijieai  Sodetg  in  Landdn ; 
Tranioction«.     Vol.  78.     1895.    8°. 

Roiitd  Microicopicid  Socfeiif  ■•(  London: 
Jonrnal.     1895.    Piirt  4-6.    8». 

Znotngical  Soc\<ty  in  London: 
ProcMdln^.     1895.    VmK  II.    8® 

Xcitnchrift  ^Naturr."  in  Ijondon: 
Natur«.    Vol.  62,  No.  1334-57.     1895.     4». 

Atadfmy  of  Sdfnee  in  St.  T^uiti: 
Tnuaactioa^.    Vol.  VL    No.  18.     Vol.  VII.   No.  1—3.     1896.    8^. 

SociHi  ffrotot/i/iuf  de  ßelgiquc  in  Lattich: 
Annales.    Tome  XX.  3;  XXI,  3:   XXII,  J.  2.    1892-95.    8». 

dtetion  hijitoniiue  de  l'insiitut  Hoy<d  Grand-Ducnl  in  Lnscadiunj: 
Poblicallün«.     Vol    43—41.    1898.    ff*. 

ffiilorifrhef  Verein  der  f&nf  Orte  in  Luiern: 
Der  OoncliichlJifrrami.     Bd.  60  o.  l  Kascikel  Beilagen.  Stao«  1895,  8*, 

Acftd^mie  de»  ticiencta  in  Lyon: 
CftrtDiairc  Ljonnnio,  durumvnU  intiit«  recueillis  et  ptikUt^n  par  M.-C. 

Ötiigue.    Tome  II.     1898.    4^. 
lUmflirtiL    Soiencion  et  leUrwi.    IIL  8<*r.    Tome  3.     I*arU  1898.    4^ 


514  Veneidutut  der  eimfdmmfemen  DrmektAriften. 

Societi  «Ta^riealfatre»  «cünee  et  imimttrie  m  Xvm: 
Anale«.    TU.  5^r.    Tome  L    1833.     1891.    4*. 

SocUti  d'amtkropolopit  de  Lyom: 
fi«lI«ti]L    Tom«  12.  13.     1894—95.    6*. 

Socirti  Limmfenme  in  Lyon: 
AaaMlea.    Tom«  S8-40.    1891—93.    8*. 

OBOtJben  oo  Oenotber».    Lee  inei  et  le  Tia  par  1«  D'  S&iBt-Lagcr. 
Puü  1893.    &<*. 

JS-  Äaidemia  de  la  hittoria  in  Madrid: 
BoletiB.     Tomo  27.  co»d.  1—6.     1895.    8*. 

B.  Äeademia  de  eieneia»  in  Madrid: 
Hcmoriw.    Tomo  XVI.     1895.    4^ 

Fondazvjne  $cientifiea  CagntAa  in  Mailand: 
Atti.    Tot  .\!I,  XML     1894,'95.    8«. 

h.  iHUuto  lamhardo  di  »cienze  in  Mailand: 
Bendkonti.     S*r.  II.     Vol.  2«.    Iö93.    Vol.  27.     1894.    8". 
M«mori<.    a;  CliLive  di  leltere.     Vol.  XIX,  2;    XX.   1.     bl  Cla»e  di 

»r.itfüte  luattniatithe.     VoL  XVII.  4:    XVIII.  3.     1893  95.     4« 
Indic«  g«Der<tlt;  d«i  laTori  d^Ila  fündazione  all'  anno  188^.    1891.  8^. 

Soeittä  It'.iliana  di  scienze  nnturali  in  Mailand: 
AttL     Vol.  35.  Uk.  1.  2.     1695.     fc°. 

Societä  Storici  Zy/titbard-i  in  MoHand: 
Arcbirio  Storito  Loiubardo.    S*?r.  III.    Anno  22,  fx^c.  C.  7.    1895.    8". 

Lilf^rary  ai"I  j'fiiio''Oi'hicaf  ^'triet'i  in  M'irchtifcr: 
M<;nifjir-   arii   iV'.t- ■];;i--.     IV.  S-rle.    V   !.  9.    Nj  3-6.     l^OJ/Vö.     .t.». 

Viü-'.r-'.yit    in   M-irl.ir-j: 
.Sci.rift^n  a-j^  d-ni  -J^hrf:  1891/05  in  4'  u.  b''. 

/■'■ '.'('■■V  f/t-   -ct'.'C^'   iK    .V';*->r .('' ■ 
AnLal"-      Tomo   lü.  fi^   .   1-3   -t   .S-ipi-l-::. ■■:.:.     T.m.'.  IV.  fjsv.  1-3. 

iib'j:i.:>4.    ;" 

AnnaleB-l^  rir-i'-it  •■  ■•:id:c.--^'..:o!o_'''jj- ■  o'or.  a!    V./.I.  P.iris  1893.  S». 

Mitthfilung'jn.     li-ind  IV.  1.     1^95.     6 '. 

Mt.-m'.ire».     .\nri-;e:.  1*-0J,'0^.  :5:'3/iU  .-•   1831 '.'ö,     l^'^tö.     6«. 

(fha(rv'i('jri'i  hii'"'i-<ih>ji<:-<  r.  ,.'rn'   m   M-jicu. 
lJ"l«lin  men-'Ual.     .Mayo  — S.-tieinbr*;   H'.'^.     4''. 

Comi'io»  n'i'h'ijirii  M'.."C'ii-a  w.   Mtncn: 
Bol.-tin.     Nu.  I.     1895.  '  -1^ 

Kip'r'li'rion  «if-nti'i'a  ^1  Pui.""  .it-'peti  ]tor  J  ?-•  'i.  .\iru:!era  v  Ezequiel 
Oploüez.     I6'.t5.     b'. 

H^'f'i   Arr-t'l'  nt'i  ih   -rifuzi'  U'fTr  (d  ni't  tit   M<"lena: 
Mtmorie.     Serie  II.     Vol.  iD.     1894.     4». 


^ttrei^uitti  dtr  etngeiaufenen  Vrxtcktthnßen. 


516 


j4mmtntff rn/ione  <M}i^  Pahbiicarioni  Cogninesi  in  JUoHteaiiUtno  (CanrtaJ: 
"■  1  Casin^nso.    Toram  IV.  1.     189fi.    fol. 

1    .'ioifjt  TtiHsrh' B urctni  (Irr  firjmttUk  Urutfuny  in  MontfriHen: 

Coraercio  exterior  jt  movimieato  Je  DaTOtfAcion  vn  el  ftSo  1894.  1898.  4^. 
2!ae«tft)  piis  por  Or«stes  Araiijo.     1895.    6K 

AcatlimU  tl/  ictencci  ft  Ifttrcs  in  Montpctiier: 
fmolret.    Sedion  dej  lettre«.  2»  Sörie.     Tome  I,  No.  1—4. 

SectioQ  doi  rttieDces.  a*3er.  Tomel,  Xo.  1  —  4.  Tome a.  No.  1. 
Section  de  iiieacciau.   2«  St-rio.    Tome  1,  No.  1.    1893.    8». 

Siüt^miititsclienkoetipiiani«^  KoU^kiij  DaacbkovikaiTO  ethoofjnifitacbes* 
kB«r.  Musta.     Ud.  IV.     1895.    4*^. 

Direction  tUti  Mutica  puhUt  et  lioumiatUiou}  in  Mo:(kau: 
Conpto-nHido  (in  ru<w.  Sprache).    1893 -9i.     1890.    80. 

Söciit^  iHiftMate  d«  KaiNralialtii  in  Mo9kau: 
nalietin.    AnD<!«  139&.   No.  1.  2.     1695.    8^ 

Lick   Oftxcrcntttrjf  in  ^[<^a^tl  Ifnmihon,  Califamia: 
Cüatributionf.     No.  4.    äncramcnto  189<'i.    8**, 

iMiit^t  OcKtlUehnß  für  Anthropnhgir.  in  fttrltn  uhJ  Münthen: 
CorTMpondrnKhlalt.    1895,    No.  ft— lü.    4". 

K.  hatftr.  (trhuifchf  ITo^h'^chiile  in  Münchem 
Pmursmm  f.lr  da»  Jahr  IS'Jä/DO.     li('J5      8". 
'  '   dm  J*lir  1891/95      1896.     I*» 

'  ind.     WiiittirSernt-^ter  189&-9«.     1896.    SP. 

f/nii-rrsität  i«   Miindt«n: 
Schiiftfln  109  drm  Jahr  1695  ia  *^  a    6^. 

HiMoritchrr  Yernn  in  Milncftcn: 
MonaUichrift.    1^95,    No.  10,  11,    9". 
Obrrbftycri-rhra  Archiv.     Bd.  49,    Ht'ft  1.    1896.     8». 
C«.  nud  67.  Jahre«Wricht     1896.    8^ 

Amtlicher  Vtrein  in  MüHcIscn: 
SitzuiiK«bericbte.     IM.  IV.    1894.     1696.    8°. 

.iindeitti^her  Vfr\n(i  Üfänchtn: 
Ho^h-cboi  NArhnchUn,     189ß.     No.  66—59.     4°. 
We^lphnl  rrof'iniMtl- Verein  für  M'UgmjKhaß  um<  Kunst  in  Müiitttr: 
33.  JahTL-ibehebt  f\\r  1898/94.     1894.    8". 

Aca/Ifmie  liei  Stonislag  i«  YaiHJy; 
IKinoirM.    6«  8<$rw.    Tom«  10.  11.    1803.    8*. 

Sociiti  des  scirnces  in  Nnnc}/: 
Bulletin.     Stfr.  IL     Tomo  19,  fiuic.  38.  29.     Pari«  1894.    8«. 
Cfttalo«ro«  d«  In  biblioth^quc.     1891.     6°. 

lUai*  Atctulemux  di  tcitmta  marali  ei  potitirltr  i»   X^'n/t^f- 
AtU.     VoL  97.     1894-96.    1B86.    8«. 


516  FtirwidMM  dtr  Hugiiamftnem  DrudCtekr^U», 

B*  Äecademia  äUe  tdaue  /biehf  «  mmiemaH^  in  UfeapH: 
Beadieonto.     8er.  8.    Yot.  I,  ühc.  6-11.    1896.    0». 
AttL    Bor.  n.    ToL  7.    1896.    4*. 

Zoohgitek«  SMh»  m  Neafa: 
Hittheiltiagea.    Bd.  XII.  1.    Beriin  1886.    Sfi. 

Batoritdur  Vmrtm  m  NnAurff  ofD,: 
KoUektaBMii-BIfttt.    68.  Jahrg.    1894.    8^. 

ITortlk  ofSnglmtd  ItutÜuU  of  Engiiutn  m  Ifew-CoMe  (uptm-iytu): 
TkaawetiOBi.    YoL  44,  purt  4  and  Appeadix.    1896.    6^. 
Beport  «f  the  Procmdinip  of  tb«  ffimelcn  «zplodTw  Oommittee. 
Pwt  I,  S.  1895.  8*. 

C!»f»i«elteMC  Äeadem^  of  Ärtt  and  8a€ne$9  in  ümf'Savm: 
TnaMfOtiona.    Vol.  IX.  L    1896.    8^. 

2k«  Jmeriean  Jounud  of  Seünee  m  New-Havon: 
JoaraaL    No.  S96  n.  396.    Jaly  iDd  Anffiwi  1896.     No.  396  —  800. 
Ootober— Decembar  1695.    tP. 

Obotrvaioiy  of  tAe  Tal«  UnivtnUjf  in  New-Hapen: 
Beport  fbr  the  year  1884-95.    1896.    8*. 

American  Mtueum  of  Natund  flicfory  in  Nete-Tork: 
ABBoal  Beport  for  tha  year  1894.    1896.    8^. 

Amtriean  CheaneaJ  Soäety  in  New- York: 
Journal.    Toi.  17.  No.  8.  9.  11.    Eaatoii  1896.    ffi. 

American  Oeograpideat  Soeietjf  in  New-York: 
Balletin.     Vol.  37.  No.  3.  8.    1895.    6*. 

State  Museum  in  New-York: 
Bulletin.     Vol.  3.  No.  13.  13.    Albany  1896.    S». 

NatHrhistoriache  OeaeUsehafl  in  Nürnbertf: 
Abhandlungen.     Band  X.  Heft  3.     1895.    8». 

Verein  für  Genchiehte  tler  Stadt  yürnberg: 
JabresWricbt  1898.  1894.     189495.    8^. 
Mittheilnngen.     Heft  U.     1895.    ef*. 

Verein  für  Naturkunde  in  Offenbach: 
33.-36.  Bericht  1891—95.     1895.    8«. 

Verein  für  Geschichte  und  iMnileitkunde  in  Osnabrück: 
Mittheilonffen.    20.  Band.     1895.    8«. 

Xaturvingenschaftlidier  Verein  in  Osnabrück: 
10.  Jahresbericht.     1895.    8P. 

GeologietU  Surrei/  of  Canada  in  Ottava: 
Annual  Report.     New  Series.    Vol.  VI.     1395.    8". 

Royal  Societti  of  Canada  in  Ottaica: 
Proceedin^ra  and  Transactions.    Vol.  XII.     1895.    4«. 

Cire^o  matematico  in  Palermo: 
Kondiconti.    Tomo  IX.    fa-<c.  3-6.    1895.    4^ 


Ytrnithmn  der  cingalauftmen  Drucludtrifien. 


il7 


Acad^Miie  dt  m^eeine  in  PoHb: 
Tb.     1896.     No.  26-61.    8«. 

AciuUmK  des  ncitnctt  in  Prtrwr 
Uomptei  rradtu.    Tome  131,  Ko.  1-6,     6-26.     1095.    4<'. 

JUUiotheque  naliontUt  in  Parix: 
Cotalogu«  ilet  UoDiucrit»  tiraWs.     Fivic.  3.     1S*J5.    fot 

Rcole  poljftccfinitjati  in  J^nris: 
Joantal.    Cähier  63  et  64.     lBt)3/0i.    4^ 

Comitr  tHltmotiomd  lUa  jwiiti*  ft  mesurea  in  PartM: 
TnvAnx  et  Uumolrcs.    Tüdiq  B.  10.     1893/91.    fol. 
XVi«  Bftpport  «ar  IV^ercic«  ilu  1892.     1893.     fol. 
Monitear  Sfienti(liur  i«  Paris  t 
Ifoniteor.    Lirr.  613-64H.    .foillot-LMc^mbre  189S.     ifi. 

yS»nie  ttiitmet  in  Puris: 
Anniilps  in  40.    Tome  XXV.  XXVI.  1.     1894.    4**. 
Anualei^.     Bibljathl'que  d'ütiide«.     Tome  4.     1894.    8^. 
UcToe  de  rbittoire  des  r»i!ijtions.    Tome  37.  8;    28,  1—3;    29,  1— S; 
SÜ.  1-3:  Bl,  l.     1893/9*.     8". 

Muiii'um  d'hiiftoire  nnluretle  in  Paris: 
Balletin.     Anuöe  1895,   No.  4-6.    8». 

Nouvellci  Archirei.    Sör.  111.  Tomo  V.  VI.   1.2.    VIF,  I.    1898—96.    4». 
Ccntennirt'  de  In  fondatiün  da  Museum   d'hUt.  nat.    Volume  commd- 
momtif.     1898.    4". 

Soei^ti  d'anthropolöyie  im  Pari«: 
Bolletina.    1893.   No.  6-12.    1894.    No.  1-9.     l893/9t.    8". 
Udmoire.^.     III.  Sc'rie.     Tome  I,  fuic.  1-8.     1898/1».     8*'. 

SoctHc  df  tßo'jrnphie  in  Paria: 
OomptM  rendat.     1895.     No.'9-l3.    8». 
BuUetJB,    VU.  S^rie.    Tome  XVI,  ä  et  3  trim.     1895.    8«. 

Sociitf  de  mathfmatique  de  France  in  PttrU: 
HoIIetin.    Tome  23,  No.  4-8.     18D5.    8». 

SofiJ:tf  tooloyique  de  hVanee  in  Porig: 
Bulletin.    Tome  18.    1893.    b". 
U^oin«.    Tome  VI,  pftrti«  1—4,    18U3.    8<*. 

Acitdimi«  Ittipiriide  de»  icienceu  in  St.  Peterabttrg: 
Önltetia.     V.  S^r.     Tome  3.  No.  ö.    Tömü  8.  No.  1.     1895.    ■*•. 

Comtt^  tjhJoguiue  in  Sl.  Pelcraburff: 
Bnlletinf.  Vol.XU.8.»:  XIU,  1-9;  XIV.  l-SetSapplnuTomeXlII. 

1893-35.    8«. 
UdmoireH.     Vol.  Vltl,  2.  3;  IX.  3.  4;  X.  8;  XIV.  I    3.     1894/96.    40. 

BuMtiche  cutronümiscHt  (haeüschaß  in  St,  PeterttbitJrg : 
liweatiJB.     llea  4.     1896.     8*. 
ßphi'mendiM  dea  eloUcs  (W.  DAIIen)  ponr  1896.     1695.    8^. 

Ktnhtrt.  ruMii^he  r/e>Kiiti}tintdif  GrsrU.fcUaß  in  St.  Peten^urfft 
tkubachtODgm    der    ruMiicfaeii    Polarstation    iui    der    LenaDtflndana. 
Th.  I.     1863-84.     1896.    4» 


518  FirrzWdhwü«  /Irr  eingrlamfen^m  Dr$iel-»d»rifttm. 

Kaitrrl.  mineraloyifche  G^Sflltdhaft  in  St.  PrUrthmrff: 
HaUrialien  zur  Geologe  Rasslands.     BJ.  XTII.     IStKi.    6^ 
I^ivsital.-diemücht  Gfselhdiaft  an  der  lyiw,  l'nicfnilät  St.  PeUnhmrg: 
Schornal.     Tom-  XXVII.  Heft  4-8.     1895.    8». 

Societe  des  naturalisttt  de  St.  Piterthurg: 
TnTAax.    a'i  Section  de  geologie.    Vol.  23.    b>  Section  de  zooIogie. 

Vol.  25.    c)  Section  de  botaniqae.    Vol.  25.     1395.    8**. 
Protokolj.    1896.    So.  1-5.    8^. 

Kai$erii<^e   L'mvfrfität  i'n  St.  PeterAmrg: 
Obosrenie.     18'.»ö/96.     IS95.    fc». 
WostoUchnvje  Samjetki.     ^OrienUlische  Bemerkungen.)    1895.    -t** 

Actidemg  of  natural  Scienca  in  Phüad^phia: 
Journal.     Vol.  IX,   part  4.     IÖ95.     foL 
Proceedings.     1S95,  part  I.     &^ 

Hisiorieai  Societg  nf  p€nm.*^lrama  in  PkÜadttphia: 

The  Peousrlruia  Uat^azine  of  HUtorr.    Vol.  XIX.  No.  1—3.    1895.  8*>. 

Alumni  Association  of  tht  Coilty.  of  Phtvmactf  in  Phitaielphia: 

Alumni  Beport    Vol.  31.  Xo.9.  Jane  1395.    Vol.  32,  Xo.  1.  2.  October, 
XoTomber  1695.     6*. 

Amfri*:tMn  Philonyfitieal  >jf*>/y  in  Philad-rlphia: 
Proceedinp«.     Voi.  34.  Xo.  147.     1595-     5*^. 
Transaetions.     New  Series.     VoL  XVIII.    part  2.     1S95.    V. 

Ü    SfinV^i   Htrin-ilir  fHpfry-rf  'ii  Piim: 
AnnAÜ.     Scien:o  fi-::b-?.     V;',  V[i.     IS-^ö.     •?'■'. 

i'  ■::;.*. j  S;-.-i;->  ■:■''  -V:'.:  11^-  '■,  -.-^  F  r'.'w.l ■ 
riw-tViiin»:*.     Vol.  II.  :irt  .i.     IS^ö.     5''. 

K-  ir.iwv.    TKviil.   K  ■  ::;i  .>.      ■'.:'-:  Tr.  ii  II.  K:  :n:k  3.    li^b  22— 32. 

"i"     i*   V.i.   Wxz-.t  3.       *:      1    -n:    4       If>t.     c  . 
H;-tor..\'.    Ar.hiv.     0>:.*  6.      l-v'       ■'''. 

vC'stn-.t.    k.ukIV.    C -:    :    i;     :^.''     s-'. 

B-.:.'.-v.:c  mltr-jiv.or.  i".    C.-*'-e  i:-  ?      =  >;-  ~i:z-iiv.'  [i-t*  I.    1394.    8^, 
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■-^.i      N     :■'.-  .-  .     He.:  ?      'ls'J4.     8". 

VmcichniMt  drr  nmtetaufenen  Druf^Mchnßtm. 


5t9 


An^aetfhgktü  Inntitute  of  America  im  PntutflAJi  (NeK-Jtnfjf): 
AmeHcRti  Joiiriml  of  t  i -<%.    8". 

lUlMliig  der  Bibliolbek.      lii.  i.     lSlir>.     &*. 

Itistürwcher  Verein  in  BtgnvKburg: 

VffrhaDdliiiifCcn.    B.iiid  47.     IB96.    9*. 

t)b»erTaittrin  in  Ttiö  *U  Janeiro! 

Annaario  1805.    18'J4.    8«. 

irfdliHjititl  S»nV/(/  o/"  Xmencvt  in  ÜAchfalrr: 

Bolletin.    Vol.  Vf'.    15f)5.    8». 

^,  Jcfd/f^uu'fi  cjrt  Lineei  in  Jlnm: 

AUi.  Ser.IV.  M«aiOTr.»iIf!la  i.!ii!i»e(li  »niontp  fi?ioh-.  Vol.  VlI.  1891.  4". 
AUi.  S*r,  V.  CInsrtr  <li  »nenxc  fl'iirhe.  Kendiconti.  Vol.  IV,  Semestroi, 

f»»t  12.     SVp--"-  ■:    fa«c.  1-7.     1695.     i". 
Alti.    St.  V.  CI..  fix«  rnniali.   Voi.  I.  pnrt.  I.   Meninrie.    \^9L 

VoI.Ul.  pari.  -.  -  .  .10  dcgli  »cavi.  April— Äoi».  IS95.  1894/95.  4*. 
RrndiooDti-    C1a»e  ili  Bcienxe  mnrali.    Bcrie  V,    Vol,  IV,  fa«c.  4—8, 

1895.    e*". 
IlftTHlicnnto  <1«1|'  adaiiAoza  solenne  del  9  Giu^no  1896.     181^5.    4**. 

I{,  Comitato  geologteo  d'Italta  in  liom: 
BollPttino.    Anno  1896,  So.  2  n.  B.    ff), 

Acc't'}*t,ii.i  Pimtificia  (Ir   yvori  L\MCfi  m  Rom: 
AtÜ.     Anno   17.  tica.;ono  V.    Anno  18.  .Sc^ionc  I-Vll.    1B94/9&.    4«, 

Kain.  iteutMchff  nrchA'tlA/p$chf»  Institut  (rönt.  Abth.i  in  Rom; 
UiUbeitungcn.     Vol.  X.  No.  |.  2.     1895.    8^. 

R.  Miniatero  drtia  IstruHonf  pwhbliea  in  Rom; 
Indid  e  cataioffhi.    43  Uffi«.     1686/95.    8**. 

^fiWhri/l   J.Ufrifntt  in  Rom: 
L'OrieBte-    Uif'wia.  *r  .  Anno  11.    No.  I.  Ä.     1896.    S*. 

Kijl,  '  '■''  Rr'jiemng  in  Rom' 

Oper«  di  Oalilfil     Vol.  V.    Firrn7.<;"l896.    4». 

R.  Sodtlä  Rumana  di  eioria  patria  in  Rom: 
Aifhirio.     Vol.  XVni.  1.  «.     1896.    8^. 

Unirergitiil  Rontoek: 
Schriften  &09  dem  Jahr  1891/96  in  4"  u.  8^. 

Aniilrmi«  tU»  taitnet»  in  Routn: 
Pr^ta  fta&ljtiqae  d««  InmuL   Ano^»  IB91/93  ei  ie»'.4/B3.   1895/94.   &**• 

Aecadtima  degh  Agnxti  tu  Rottrtto: 
AIÜ.     Anno  1J5,  Serie  IlI.     Vol.  I,  fiuc.  2.     1805.    8fl. 
TKe  American  AttoHaivw  für  tke  ataneemtnl  of  tcienca  in  Salem: 
rrocoedingt  for  liu^  43'  M<.-flin^'.     Aiu'utt  1B94.     1806.    8°. 

Aturricnf*  Jourmti  fif  .*■»''*>»«?  in  Saitm: 
JoowU.    No.  397.    (Svpt.  1886.)    &. 


f;20 


/eitm  DrmduArifUn^ 


HiMnrisdtfr  Vertm  im  81.  Oatlm: 
Drlnzn  !  l-r  Abtei  Sund  Gallen.    Tb.  IV.  UaL  4.    1686. 

Der    K  )>    in    Itnnrharh    und    der   St.  Oaller  KricR   1489/1 

Ton  jr.|i,   hJin»'.     1695.     Ö*. 

Ohtertaiorii}  tutronumco  mettonl^fim  m  Sam  S^rmler: 
Auln.    1B95.    fol. 

CaiiforttM  Acadfmf  of  Seiemtt*  im  .S^"   f'-^^A««»,- 

Proceeding«.    VoL  IV.  pari  2     1896.    8». 
MuDoin.     VoL  II.  No.  4.     189&.    4«. 

OewUsrittiß  für  Salthtngtr  LantleskHMäf  im  Sal^ury: 
Mitthcilon^n.    36    Vereinsjahr.     I89S.    S^. 

K.  K.  Siaalwg^mwMtimm  in  8atabttr§: 
Prognnm  Rlr  Jm  Jahr  18di9G.    1896.    8". 

ImMituto  n  Obatrcatorio  dr  marina  in  S^m  flmMiiA: 
Alraaaaqoe  nultko  p«ni  1897.     Madrid  ld9&.    4*. 

£.  K.  arcAäii/«^wdk/v  Miueum  in  SjM^aio: 
ÜttUeUino.     Anao  18,  Ko.  6—11.    1895.    8^. 

ßiitonadur  Verein  der  Ffait  im  Spejffr: 
MittheUoDffen.    XIX.     1886.     8». 

K.  ffcAirnfiseA«  Aktulemie  drr  W'tMarn^ihaftcti  in  StoeiMctm: 
Öfrenigt.     Vol.  61.     \9B4.     1805.     »•. 

ABtfonomUka  Jaktt«({«l«er.    Vol.  V.  n*rt  1—4.    I88S-96.    4ß. 
Bj.  Tbeel,  Om  Sveritceii  xoologiiikA  h«fj»Ut)Oo  Kfiitia«b«g.    189(.   6^. 
HandÜBRnr.     Hd.  36.     1894/95.     4". 

K,  Vtttrrhettij  Utütarif  och  Anti^uitrtjfAkmiemit  im  Stocy^alm: 
AnÜqaarnk  Tidtkrifl  ftr  aMri««.     Del  V,   So.  4;    Di-l  XIV,   N.»   'i; 
h*i  SVl,  l-B.     1896.    8». 

Oeotogiskn  Förtning  in  StoeltMm- 
FflrhaDdliDgar.     Bd.  17,  Heft  1-6.     1896.    6*. 

Oe»eU»ehaft  tut  ForJerumg  drr  WittemtdM^fUm  im  SSrasrhurfi 
MooaUbericht.     Heft  6  u.  U«ft  1896.    9>. 

Univerwität  lhraM$bMrg: 
Schriften  um  dem  Jahra  1894/M.    4^  a.  »\ 

K.  MtatistiM^es  LandetAwit  im  StmUgarl: 
Se^ehraibong  de«  Obmsb  i'aauUdU     1696.    8*. 

Oeotofieat  Smrep  of  Nr^'Snutk'WmlM  m  Sgän^p: 

BeeonU    Vo).  IV.  4.    1686.    4*. 

M^moin     PaUeonUilOKr.     No.  8.     1686,    4*. 

Miyu/  Socieif  of  JftwSomih^WaJtM  in  SfUtpr 
Joanukl  uul  ProcMtUafa.     Vol.  38.    1884.    8*. 
/»OMirfwiU  of  Mimn  and  Afrt^tmrt  tf  Jlf,-Somih-  Wmie*  im  Syrfiwy: 
Jkmaml  iUport  fer  tt«  jcw  1691.    1886.    bL 


Vertriehnun  rfw  eingHaufenm  Unteks^riftrH. 


52  L 


Obrtertntorio  nMtmndmicft  mtctoHiit  in   TaeHhajfni 
Bololio.    Tomo  1,  Nm,  22.        Mexico  1B95.    i^. 
Aouario,     AAo  tlc  18%.    Mexico  18U&.    6* . 

Jforske  Vulrtvikaint  üelukab  i»  ThrondhJ^^  (Vronthetm): 
Skririer  1698.     \&9i.    Sfi. 

rh;/KikiiiiseJi€9  Obticnatorium  m  TifUs: 
B.   '     ■  !     _on  im  Jftlir  1898.    1896.     foJ. 
li<  -'<'ii  ilor  TL'inp^rulur  du«  Erdbodtfos  ia  den  Jahreu  18S8/W* 

VfutarA*  Ütitrlltrhaft  für  Nntw  «inrf  V^ikttkun^e  OttiuieiM  in  Thkjfo: 
"^tü)«tlunfrn     Ht^n  56  ti   Stippl  -H^n  3  xu  Bd.  VI.     1S95.    A^. 

Unkeriitfit   Tokyo  (Jupan): 
Tho  .fnnrnal  of  tbe  Collrife   of  Scienc«.     Vol.  7.   part  6.     1895-    4*. 
TliK  Imperial  Ljöiverwt)-  Calcndar.     1894/96.    8". 

Bihliateea  e  Muten  comunaif  in   Trttnt: 
Arohfvio  Trentinn.     Anno  XII,  fMc.  t,     ld9ö.    6^. 

11,  Accademia  delU  ndttize  in    /Witt.' 
Atta.    Vol.  SO,  di«p.  12-16.    1895.     8". 

B.  Museo  gtiAoaico  jh  2^nN: 
Emu  «ur  roroxvnüi  de  U  Lerre  p.ur  Fud.  Sacco.     1895.    l/*. 

UmocrtUät   Tütfingcn : 
SchrifUn  awt  dem  Jahre  1694/95.    4(*  □.  8<*. 

A'.   0(9rÜ9chaft  der   Wit^ctwckaften  in  {jp$ala: 
Xov»  Ada.     Str.  IM.     Vol.  XV,  2.     18»5.    4". 
ümttrsiiCii  in  Ufoala: 
ScbrifUit  iki  i  ».vrrMtlt  am  d.  J.  l8»4/fi&  ia  4^  a.  &*. 

Slittoriiich  Gcfumiiichap  in  Utrecht: 
tiiidn^tm  OD  Mededo^liniffQ,     Dcri  XVI     'BGravenbikfre  1*)^     Ö*. 
Venlaii   Vkin   d«  alRcmepne  vetgaderiotf  der  luden,    16.  April  IdÖB. 

UUmvcnhnKe  1895.    b^. 
Werltea.    lU.  :)eri<>.     No.  6-    »'Urarviiha^  1894.    8». 

PftynoJojVWcA  T^abomrortHm  rJ«r  llooijetchnol  in  ütrtdU: 
ODdenoGkit)f{i>B.    IV.  R«ek^  UI,  2.     1896.    B». 
.Af^nw  Vtwto  In  Venedig: 
L'Atcneo  Vencto.     Serie  XVItl.     Vol.  1.  3.     1894.    6» 
li.  IiOituto  Veneiö  tli  ticiente  in  Venedig: 
Toiuo  »8.   di«p.  4-0.    Tomo  68.   diap.  1-8.     1898—96.    8». 
Dorie.     Vol.  2fi,  No.  1  -3.    1894.    \^. 

Buret^H  of  Ethnntoflff  in  WtuhingUmi 
Cfp-^-u    v  ,.     ...  v-;ini  Boui.     18tH.     €fl. 
A:  lioiiK  in  Jame«  »od  Pot«imitü  Valleys,  by  Heranl 

Tk«  Siounn  Tribe«  of  ihe  Eait  hf  Jtu»es  Moooer.    1994.    S". 


522  Verzeiehniss  der  eingelaufenen  Drueksdiriflen. 

ü,  S.  Departement  of  Ägrkulture  in  Washington: 
Bulletin.    No.  6.     Division  of  Ornitholojfy.     1895.    8^. 

Surgeon  QeneraVs  Office,  U.  S.  Army  in  Washington: 
Indei-Catalogue.    Vol.  XVI.     1895.    4". 

V.  S.  CooJit  and  Oeodetic  Surcey  in  Wcuhington : 
BoUetin.     No.  34.     1895.    S«. 

United  States  Oeological  Surcey  in  Washington: 
Bulletin.    No.  118-122.     1894.    8». 
MonoRrapha.    No.  XXIII.  XXIV.     1894.     4". 
14tl>  annual  Report  1892/93.     Part  I.  II.     1893/94.     4° 

Kaiserliche  Akademie  der  Wissenschaßen  in  Wien: 
Denkschriften.    Mathem.-naturvisaeoschafd.  Classe.    Bd.  61.    1894.   4**. 
Sitzungsberichte.     Philon.-histor.  Classe.     Band  131   and  Register  %a 

Band  121-130.     1894.     8*>. 
SitzuDgs berichte.     Mathem.-physikal.   Clasae.     Band   103,    Abth.   1, 
No.  9-10,  Abtb.  2«.  No.  6-10,  Abth.  11»»,  No.  4—10,  Abth.  III, 
No.  5-10.     1891.    8°. 

Archiv  für  österreichische  Geschichte.  Band  81,  HälOe  II.  1895.  8». 
Fontes  rerum  Aaatriacarum.  Abth.  II.  Bd.  47.  Hälfte  2.  1894.  &*>. 
Honumenta  conciliornm  f^eneralium.  Tom.  IIT,  pars  3.  1895.  fol. 
Almanacb.     44.  Jahrg.     1894.     8°. 

K.  K.  geologische  Reichsanstalt  in  Wien: 
Jahrbuch.  Jabrg.  1895.  Band  45,  Heft  1.  1895.  40. 
Verhandlungen.    1895.    No.  8-lB.     4«. 

K.  K.  Central  ansialt  für  Meteorologie  in  Wien: 
Jahrbücher.     Jalirf?.  1892.     Band  37.     1894.     '4". 

Oesti'rrcichische  (rraiimensungs-Commifision  in  Wien: 
A8trononii''i'he  Arbeiten.     1895.     4*^. 

Ä".  Ä".  Gesellschaft  der  Aente  in  Wien : 
Wi.'oer  klinische  Wochen^ihritt.     1895.     No.  27-42.  44—52.     4». 

,1  iithropi^loffische  (re.''-ellschnf't   r'n    Wie»  : 
Mitthcihingfn.     Band  XXV.  2.  3.     161)5.     4". 

/^<'Hitri<iisch-hntniii>'ihe  Goielhchnfl  iti    Wien: 
VerlKin«llunf,'On.      15.  Band.  Heft  6-9.     1Ö95.     ^\ 

K.   K.  Haturhiylorische-'  Hofmuseitm  in    Wien: 
Annalen.     Üan.l  X.  2.     1895.     4». 

Vir*:n  ;ny  \'rrlirt'i!u)ir;  n(ilnnri^-i'nsthiifllir}i''r  K'iuitnisrte  in  Wien: 
S>.  hiifi.Mi.     35.  Hand.     Vcrein-jahr  1694  95.     189.J.     8". 

Verein  für  N'isi^nii'sche   Alttrthinnskiinilc  in   Wiesbaden: 
-Annalen.     27.   Han.l.      lbÜ5.     «r.  b''. 

Xit.y.'iituischer  Vticin  fttr  Katitrhumh  in  Wiesbaden: 
J.ilirbil.  h'T.     Jahrfj.    18.      1895.     tt". 

l'lii/sikiili'irh-Hifiiiinische  Ot  •'lU.-ih-ift   in    M'iir::biirg: 
V.Tiiaodlungen.    N.  F.     Bd.  29,  No.  2—5.     1805.     8°. 


TUitffJcAmu  der  einffttaufvfufi  Drucktchrißem.  533 

Obscrco/oriuin  der  fmäeri.  diarine  in  WUhetautuiven : 

Bmlioobtnogen  der  motcorolog.  SUHon.     Th.  I.     Bf>r1in  1695.     i". 

Oriental   Cntceretli/  Institute  in  Wnkxmj: 

Vidmody»,  thd  SanBCrit  critic»!  Jotirnnl.  Vo),34,  No.4— ft.    189ß.   8*. 

ITersoßUrhe  BiMtnthfi  in  WnJ/'enbatt ff : 

Otto  V.  Heineinunn,    Die  URadsL-hriftea    der   benof^Iichtiti   Bibliothek 
la  Wolfeuböttel.     Band  V.     1895.     8». 

Natur funchend«  OetfUifdi<tfl  in  Zürich; 

Vi«rt«ljahrMchrift.     40.  Jahrg.     Heft  2.     189ß.    tf». 

Ph^xikaJiaühe  Gesellschaft  in  Ziirich: 

7.  Jnhrenbericht.     1893  n.  1894.     1806.    e". 

ZeitHtirif\:  Agronomisch«  MittholHngtn  in  ZOrieh: 

AtirODOm.  Miilhetlungea.    Jahrg.  XII,  No.  65  a.  86.     1895.    8^ 


Tob  folgenden  FrivatpersoDon: 

Le   Primc  Albtri  l"  de  Monaco: 
Il/«i)lt«(ji  des  cunpngne*  Keicntifiquc».    Fnac.  VITI  et  IX,    1895.    foJ. 

luiUtard  UodrmntiM  in   H'innovff' 
DitfLeElmix-naDÜRclinflei]  derlciMleott.  Hihliotlirk  in  Hannover.  1899. 6^* 

lUnvcxitd  BrandßttUtr  in  Luxem: 
Mjiluo-i'oljrne^iache  Forschnngen.     No.  IV.     1896.    i°. 

Ludwig  Frif'Uiindfr  in  StroMburgt 
JuveoKÜ»  Mtumruni  Ubri  V.     3  Voll.     Leipzig  1896.    8°. 

IL  FritfChf  in  St.  PetrriAwrg: 
Uaber  den  Üammmftnhang  Kwitchen  der  i^rdmni^rtiärheti  Horisoutnl- 
iBtnuitM  Dad  der  Inrtinntion.     1896.    8^ 

Knut   llnrekfl  in  Jena: 

Syttomatiiche  Pbylog^nie  der  Wirbelthiere.    Bd.  III.    Berlin  1896.  8^. 

C.  A.  Hering  in  Dresden: 
Ihu  EntwivklangMgvietx  der  Knie  and  der  ErzUgerftfttten.    1B96.    8". 

GuAtartiM  Detlff  Ifinricks  in  Saint-Lamt: 
The  ElemanU  ol  Atom-Mechiuiics.     Vol.  1.     ISfti.    SP. 

Charit»  Janei  in  Ptiria: 

6  xoologiKba  AbhaBillungt^Ti  in  Si-pantnbdrdcken  a.  d.  Jahre  1896.  6". 

•/am»  K.  KtfUr  in  Chicago.     (  JjrwiUm  ?] : 

1.  Condition«  affectint;  t he  Form  of  Linoi  in  'jm  of  Satani. 

2.  A  SpoctroAcopic    I'roof  of  the   Meteoric   i  u    of  Siilam'f 

Ringi.     1896.    ä". 


524  Veneidmin  der  eingdaufenen  Druekgdiriften, 

JJbert  mn  KSttiker  in  Würthurg: 
Zorn  feineren  Bau  des  Zirischenbinu.    (Sep.-Abdr.)     1896.    8^. 

Otto  Kunte  in  Friedenau-Berlin: 
GeognoBtisehe  Beiträge.    Leipng  1895.    8". 

Le  comte  de  Landberg  in   Tulzing: 
Arabica.     No.  lU.     Leide  1895.    8». 

£mÜ€  Lemoine  im  Paris: 
3  nuthematiflcbe  Abfaandlan^n.    (Sep.-Abdr.)     1894/95.    8P. 

Emgt  Lfyst  in  Mo$kati: 
6   Abbandlangen  am   dem   Gebiete   der   Meteorologie   nnd   des   Erd- 
magnetinnos   ans   den   Bftaden   X— XVTII    des    Repertorinm    für 
Meteorologie.     St.  Peterabarg.     4". 
Katalog  der  meteorologiscben  Beobachtnogen  in  Knssland  and  Finn- 
land.    St.  Petersburg  1887.     4". 
Observation?  faites  ^  TObserratoire   m^teorologiqne  de  ITniversite 
Imperiale  de  Moscou-     1693.     1894/95.     (Janrier— Mars).     4". 
Gabriel  Motiod  in  VersaUles: 
Rerne  hiftoriqae.    Tome  58,  No.  IL   Tome  59,  No.  I.  II.  Pari^  1895.  8^. 

Julius  r.  Olirier  in  MüncMtn: 
Ww  iat  Ranm.  Zeit.  Bewegung,  Masse?     1896.     8". 

Joseph  lieber  in  Aschaffe nburtj: 
Comenins'  Werke.     Band  I.     Giessen  1806.     8". 
Carl  Meiner  in  Ee^<:n.4>Hrj- 
Taciti  opera.     Vol.  2,  fasc  7  ed  Car.  Meiner.     Berolini  1S95.     8°. 

<>;/.>  li.Kh^ch  in  L--l}i:i:i: 
Verifi:-:  op^ni  rec-  0U->  Kibb-?ck.     Vo!.  ll-p.".     If*^.     ^'>. 

M'vhuvi    >'L'-.%'»iii'(V'*   n     11'   .■'ir'i'.'T  ■ ; 
I'ie   F''rt|'danzuD::>s-.sc-hw:nd-.:ie.t  '.i?-  ^^■!:  iK.s       l'rii:   16'.'j.     ö'^. 

Sind  ucäer-.'   l'ersononndinen    '.ber-et /' r.r  r      159'».     :;^. 

I.'lw'f  i     l'f.ih'.ii'     •:.      V''  •.r-fr-C  ■h-!'      ii       //..l»;.',--('f . 

L\li>.  lir-f  voo  K^-inhaLi^en.  Bidth'!' ?ron  Hü  leil^ei::..  I;.i7'.*  — 1114    I^U.t  ?'^'. 

AllT,cht    M\Wr  i.     B-rU-: 
\\-d.-...h-*  BeitriUv.      1S9'>.     4'^ 

7'Vit  TnWi    !■■•'     Il:-'.'i     '■    h:     -    i'  •'■ 
t'od.-i  ■iifi'.vmaticL-  Sai'^L^-.t.i::-:-.     Tj--;     \\\.      l-^'-iTv     S '. 

J/'      M-.:'.,r     ..    S-;j'  ■■!     ; 
Kinieiiun^'  r:r  G^*  ■!!   ■  to  -Kr  W:-s  n-  !:  ifVii       l" '5.     S". 

if  ■.  i    .'     M   *r.       :-  r     ..       (■;.■.-.      .-:■- 

Toi-o^r.ii'Sr.*'  Att  Buk  'W-ra-      1>'.'''      ^'  . 

/,.rfTr./    ;■■.    .4-    U"n;.-"--   v.    A"  ;■'';-;■•'.,  : 
L>*?  [•an-k''   iIun':Tr-r:'l'"---Ma-  rk.-r.      :"•.■'. 
L--"  Memmen*-  runi'|':>*s  d-»  ".XÜ'-mi.-n--*.      I~  'i      >*  . 


525 


Xamen-Reüister. 


V.  Baeyer  Adolf  197,  278. 

T.  Uanernfeind  Carl  Haximilian  (Nekrolog)  161. 

Bauachinger  Julius   239. 

Boltzmann  Ludwig   25. 

BrioBchi  Francesco  (Wahl)  370. 

Dyck  Walter   1.  261,  805,  447. 

Gaudry  Albert  (Wabl)  370. 
Geikie  Archibald  (Wahl)  870. 
Göbel  Karl   73,  331. 

Hiirtig  Robert   199,  279. 

V.  Hausbofer  Karl  (Nekrolog)    171. 

V.  Helmholtz  Honnann  (Xekrolog)    185. 

Hyrtl  Josef  (Nekrolog)  181. 

I-'mail  Pa-icba  (Nekrolog)   158. 

Kowalcwski  Alexander  (Wald)   370. 
Kundt  August  (Nekrolog)   177. 
V.  KuptYer  Karl    197. 

Lehniann-Filhi's    K.  371. 

Linderimnn  Ferdinand    219.  278,  (WahlJ  370. 

Lorentz  Hendrik  Antoon  (Wahl)  870. 

Maskelyne  Ne?il  t^tory  (Wahl)  370. 
V.  Miller  Wilhelm  (Wahl)  370. 


/ 


/ 


Sitzungsberichte 

der 

mathematisch-physikalischen  Classe 

der 

k.  b.  Akademie  der  Wissenschaften 

zu  Müinchen. 


Band  XXVI.    Jahrgang  1890. 


München. 

Verlag  der   K.  Akuileniie. 
1897. 

In  Gomuiasloti  dw  G.  l'niu'KboD  Verlas«  (J>  B«tk). 


Akadamiacli«  Buebdnickcrai  roa  F.  8tnab  in  MfinehAii. 


Uebersicht 

den  Inhaltes  der  Sitznngsberichte  Bd.  XXVI 
Jahrgang  1896. 

Die  mit  *  boiciobiwteit  AbbuidlungaD  sind  in  d«n  SitiungaberiolitMi  nicht  Kbgvdniokt. 

Oeffentliehe  SUzung  der  kgl.  Akademie  der  Wissenschaften  eur  Feier 
des  137.  Stiftungstaffes  am  14.  März  ld9fi. 

V.  Pettenkofer;    Ansiiniche        309 

V.  Voit;    Nekrologe 314 

(kffentlicfte  Sitzung  zu  Ehren  Seiner  Majcstüt  des  Königs  und  Seiner 
Königl.  Hoheit  des  Prins-Reyentcn  am  14.  November  1896. 

M.  V.  Pettenkofer:    Eröffnungurede 43U 

Wühlen        440 

Sitzung  vom  4.  Januar  lii96. 

*K.  Ilivrti^':  Di«'  Kinwirkiing  iler si-liwoHiffen  Siiure  auf  ilie  NiuU'ln 

uml  di«  (Jf.'snndheit  ii«r  Fii-htc         ...         1 

A.  V(i*a:    ütiber    ilit;   ros^TciIienti-    Tnin-iforiimtiüii    der    liilint*aren 

Formen  in  sich  mrUM 1 

Sitzung  vom  1.  FrWnnr  Itiüfi. 

'\\,  Hurtig:    LFi'hrr   ih-ii   Kiiiflu?<s  ih's  Ilriukcs  auf  di«'  .Viishihluiif; 

dtN    H()ly.jji!W(;be-i    Ihm    dt'n    Nsulelliül/.tTii .    in'^Iii.-sondtT«;    der 

Fichte         24 

'11.  SfüliRwr:   UeltiT  <iif  srluünbiiro  Vrr^riigserunjf  des  KnUehattena 

lit'i  MondBfin-tt'niis.si'ii 24 

.Vlfr.    Ijfiwy:    llt'rnerkuiiiri'n    zur    Tln'nrii'    der    knnjiijfirteii    Tmns- 

loniiiition  i'int'r  hiliiu'an'ii  Fnriii   in  sirli  srlhnt 25 

F.  Lindeiniinn:  IJcImt  tiii-  lineai-i-n  '['ninsforiniitiimpn  einur  qiiiulra- 

ti-<rhi'n  Miinnij;ialti^'k''it   in  sich 31 


IV 

SiUuntj  vom  7.  Mär:;:  IS'JU.  Mt« 

*W.  V.  Miller:    Zur  Lsamurie  der  StickBtoffvt'rhinilun'jtMi        ...       67 

'Zistl:    BtirechnunK  der  Miucbfarben  im  ßeugungtibilde  eines  engcu 

Spaltes       67 

J.  Ranke:   Ver(fleichende  BentimmunRen  der  Schädel-  und  Bück- 

gratahöhle 67 

G.  C.  Price:   Zur  Ontogenie  eine»  Myxinoiden  (Bdellostoma  Stouti, 

Leckington) 69 

L.  Sohncke:   Ueber  polarisirte  Fluoredcenz,  ein  Beitrag  zur  kine- 
tischen Theorie  der  festen  Körijer 75 

W.  Godt:    Ueber  den  Fenerbach'tichen  Kreis  und  eine  Steiner'ache 

Curve  vierter  Ordnung  und  dritter  Clasae 119 

Alfr.  Pringsheim:    Zur    Th»)rie    der    i^ynektiaohen    Funktionen     167 

E.  Lienenkluus:    Die  Oiitracuden  aus  dem  Mio^-aen  von  Ortenburg 

in  Niederbayem  (Collektion  Eggers) 163 

Siteung  vom  2.  Mai  1896. 

A.  Voss:    a)  Ueber  die  Anzahl  der   cogredienten   und  adjungirten 

Transformationen  einer  büinearen  Form  in  sich  selbst     .     .     211 

b)  Symmetrische  u.  ulternirende  Lösungen  der  Gleichung 
SX  =  XS' 273 

'Gg.  Fri'*iUander:    Ufln-r   die    K'-;<jri»tiün    gi'bj.-ttT   Eiweissstoffe 

im  Dünndurm 209 


Sitzung  vom  fi.  Juni  ISWi. 

*  K.  Hiirti;::  l-i-ln-i-  di'ii  Eiiiliii~-  drs  Rauclif'  unf  die  Gi-frundheit 
diT  Ni)iii-lbi>l/er.  mul :  L'eber  i-in*-  iiL'ue  T;inn<*nniininnotte 
fArsryn'^ibia  fiindrlhu 282 

'.Ifjli.    liiiikrit:    UebtT    die    Ehtwirkluii;:    di's    S]iinildarrii-    tn.-i 

S.-la<lii<'rii  .     282 

\..  F'Miini:     I»i<-   Wrllrnliiii^'e  -Ivr  h''tiit;:».'ii-Mntlil'ij  .     283 

Sifzutiff  vmn  4.  Juli   ISUG. 

'  W.  llartiL':    L'-lx-r  dii>  .\l»>tiTlirii   vmi   Hauiiijrnijtjten  duirh  IJlitz- 

-hla-  287 

('.   C'liarüi-r:     L  ntiTHUchuiig    iibt-r    die    Methudfn    /.um    'J'alnilireii 

d^T  Stiiruiii;«'!!  dt-r  klt'iii>-ri  Flatit'ti'ii  287 


Sitzung  vom  7.  November  1896.  ^^ 

H.  Seeliger:   Ueber  daa  Newton  sehe  Gravitationsgesetz      .    .    .    373 
F.  Lindemann:  Die  analytische  Fortsetzung  dei^enigen  Functionen, 
welche  das  Innere  eines  Kegelschnittes  conform  auf  die  Halb- 
ebene abbilden        401 

E.  V.  Weber:  Ueber  partielle  Differentialgleichungen  II.  Ordnung, 
die  sich  durch  gewöhnliche  Differentialgleichungen  integrieren 
lassen 426 


Sitzung  vom  5.  Dezember  lö96. 

*L.  Sohncke:   Ueber  die   drei   ersten  Fahrten   mit   dem  Ballon 

Akademie' 446 

K.  Croebel:  Ueber  Jugendformen  von  Pflanzen  und  deren  künst- 
liche Wiederhervorrufung         447 

E.  V.  Fedorow:    Einige  Betrachtungen  über  die  Grundfragen  der 

KrjBtallographie 499 

S.  Kantor:   Ueber  n.  Momente  von  Äi  -  Complexen  im  Br    .    .    .  631 
C.  W.  T.  Gümbel:  Ueber  die  Griinerde  von  Monte  Baldo      .    .    .  645 
A.  Pringsheim:    Ueber    die   eogenannte  Grenze    und  die  Grenz- 
gebiete zwischen  Convergenz  und  Divergenz 606 

F.  Lindemann:  Zur  Geschichte  der  Polyeder  und  der  Zahlzeichen 

(mit  9  Tafeln) 626 


Ein&endunjr>^ii  von   Dnirksth ritten 349,  759 


Sitzungsberichte 

der 

kOnigl  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 


Mathematisch-physikaliBche  Glasse. 

Sitzung  Tom  4.  Januar  1896. 

1.  Herr  Robert  Härtiq  bespricht:  »Die  Einwirkung 
der  schwefligen  Säure  auf  die  Nadeln  und  die  Gesund- 
heit der  Fichte.'  Die  Abhandlung  soll  an  einem  anderen 
Ort  Terü£feutlieht  werden. 

2.  Herr  Ferd.  Lindeuann  legt  eine  Mittbeilang  des  aus- 
wärtigen Mitgliedes  der  Classe,  des  Herrn  Professors  AurelYoss 
in  Würzburg:  ,Ueber  die  cogredieute  Transformation 
der  bilinearen  Formen  in  sich  selbst*   vor. 


Ueber  die  cogredlente  Transformation  der  bilinearen 
Formen  in  sich  selbst 

Von  A.  Voss  in  Würzburg. 

(SiMgriauftn  4.  JoMMcer.) 

Den  von  Herrn  Lindemann^)  in  seiner  Bearbeitung  der 
Cleb.sch'.schen  Vorlesungen  über  Kauui^eouietrie  für  drei  und 
vier  homogene  Variable  bezeichneten  Weg,  alle  linearen  Trans- 
formationen einer  quadratischen  Form  in  sich  zu  bestimmen, 
hat  Herr  A.  Loewy  neuerdings  in   i>eiuer  Inauguraldii^sertation 


•)  Vgl.  Vorlesungen    übur  GeoraetriL'   vuii  UlebBoh-Lindemann, 
11,  1,  a.  356—308;    Ueber  die  TraiLstbriiKition  einer  qaadratiacheu  Form 
in  sich  seibat,  von  A.  Loewy,    Nova  Acta  der  Lcop.  Carol.  Academic, 
m.  LXV. 
ISM.  Mftth.-ph7i.  Cl.  1.  1 


2  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  rom  4.  Januar  1890. 

für  Formen  von  n  Variabein  durchzuführen  gesucht.  Aber  die 
so  gewonnenen  Formeln  lassen  weder  die  Anzahl  der  willkür- 
lichen Parameter,  noch  die  Analogie  mit  den  Cayley*9chen 
Formeln  erkennen.  Es  ist  daher  vielleickt  nicht  ganz,  über- 
flüssig, im  Folgenden  eine  etwas  einfachere  Behandlung  des 
Problems  auszuführen,  welche  einerseits  den  Vortheil  bietet,  als 
eine  unmittelbare  Erweiterung  der  Cayley'seheu  Darstellung  zu 
erscheinen,  andererseits  aber  auch  die  Ausdehnung  auf  das  all- 
gemeinere Problem,  eine  bilineare  Form  von  nicht  verschwin- 
dender Determinante  cogredient  in  sich  zu  trausformireu,  gestattet. 


§  1. 

Die  cogrediente  Transformation  der  bilincaren  Formen 
in  sich  selbst. 

Soll  eine  bilineare  Form  von  n  Variabein 

a:,  x,  .  .  .  x„ 

1)  Vi  1/i  •  •  ■  ?/.. 

S  =  ^(1  .  r  V, 

durcli  die  uogrt'flii-nte  Tran;?tnrrnati<>n 

in  jsic-h  üi»f.'rgt.'t'iihrt  wenU'n.  ^o  sind  diu  */-  iituidnitisL-hen  (ilfi- 
L-hiin^rn 

veniiHiT'^'  der  Stilp>titutiMii^-('oeflioi»'iit('ii  y.n  crfrilliMi.  An*;  ilnu-n 
(.j-j^ii-lit  -if!! .  füll';  di''  I>i-tt'rmiimiit''  /  der  i-'unu  >'  riirlit  ver- 
M'liwitidft,  f'\\\f   \'Mi;iii>sct/uii;^",    '!if  im    Knlifiidcn   lt».*-tiiinliLf 

i'f>t'.^,.l|jjt,.|i   wcrdt'n  M)ll    — .  dii-> 

f:'  =  1 

i>t .  iiiitt-r  C  di.*  l>t-t.TniiiiiiriT''  ■lt*r  Siili-titulinn  "J  i  vt*r.-;tiindeu. 
I>i<- li-i/.t<-it'  lici"i  lirk;uiiitlii.ii   '-intMit  l  n  ii  ("h-r  Liiifi.L,'t-*ntiiLh , 


A.  Vo88:  Ueber  die  cogrediente  Transformation  etc.  3 

je  BAohdem  C  gleich  4*  ^  (^^er  —  1  ist.  Sind  alflo  die  ^^  über- 
haupt lineare  Functionen  der  x^  und  genügen  die  Coefficienten 
den  Bedingungen  8)^  so  sind  auch  umgekehrt  die  x^  als  lineare 
Functionen  der  f^  darstellbar. 

Setzt  man,  was  immer  zulässig  ist, 

wo  i,  T,  T,  T,  A,  X  vorläufig  ganz  willkürliche  Variable  be- 
deuten, so  ist  die  nothwendige  und  hinreichende  Be- 
dingung für  das  Bestehen  der  Gleichung 

gegeben  durch 

wie  man  sofort  durch  Eintragen  der  Ausdrücke  4)  in  die  vor- 
stehende Gleichung  ersieht.  Die  Gleichung  5)  ersetzt  daher 
vollständig  die  sämmtlichen  Transformationsbedingungen  für 
die  Coefficienten  c.^  und  es  ist  nicht  erforderlich,  nachzuweisen, 
dass  die  letzteren  jene  Bedingungen  erfüllen. 

Nun  ergeben  sich  aus  4)  und  2)  die  Gleichungen : 

t(7',-^r.r,)  =  ;.(T,  +  2-c,,T.) 
Hieraus  folgt :  Verschwindet  die  Determinante 

unter  dem  Symbol  iS^^  das  Kroneckcr'sche  Zeichen  verstanden. 
welcheü  durch  die  Uluicliungen 

definirt  ist,  oder  anders  ausgedrückt,  verschwindet  die  Cha- 
rakter ist  i.s  che    Function    der    Substitution    nicht    für 

1* 


4  Sittung  der  math.-phys.  Classe  vom  4.  Januar  1896, 

^=1,  80  sind  die  r^  lineare  Functionen  der  t^  and  die 
T^  sind  zugleich  die  nämlichen  linearen  Functionen 
der  T^.^)  Und  mutatis  mutandis  gilt  dasselbe,  wenn  die  cha- 
rakteristische Function  wenigstens  nicht  die  Wurzel  p  ^  —  1  hat. 
Setzt  man,  etwa  unter  der  ersteren  Voraussetzung, 

^=^/»,.'. 

SO  wird  die  Bestimmung  aller  Transformationen,  hei  denen  ^  =  1 
nicht  Wurzel  der  charakteristischen  Function  ist,  da  nunmehr 
zwischen  den  t^  keine  linearen  Gleichungen  mehr  auftreten 
dürfen,  zurückgeführt  auf  die  Lösung  der  n'  linearen  Gleichungen 

s;  i=  1,  2  .  .  .  n 

zwischen  den  »*  Unbekannten  ß.  Dies  ist  bis  auf  einen  ganz 
unwesentlichen  Unterschied  das  merkwürdige  System  linearer 
Gleichungen,  das  ich  in  einer  früheren  Arbeit*)  genauer  unter- 
sacht habe. 

Verschwindet  aber  die  charakteristisclie  Function  für  q  —  1 
und  zwar  so,  dass  auch  noch  ihre  //  —  l'*"  Uutertleterniinanten 
sämmtlich  mitverschwinden,  die  »/'^"  rntiinieterminanten  (Sub- 
determinanteii  n  —  ."'*"■  Ordnung)  dagegen  nicht  melir  älimmt- 
lich  Null  sind,  so  git?bt  es  eine  /(fache  Maniiigialtigkeit  von 
Lösungen  des  Systemes  von  linearen  Gleichungen 

welche  durch  die  Werthe 

(i=\,2  .  .  .11 

^1  l'ntcr  iK'r  (.liarukteristisLhcn  Function  einer  Substitution  f  soll 
hit;r  'He  l)>tpruiiniiutc  der  Koriu 

r-i-,,/; 

Vl'-t  llnl'Tl     Wi'lr!,.n 

')  l't'byr  ilif  lü^'re'liL'nt«.'  'I'ian-f'i'rniatioii  iler  hilinearen  Formen. 
Abh.  il.  Iv.  ba\r.   Acuiltiiiiii-  d.    Wi^-ö.     ISihj. 


A.  Voss:  Ueber  die  cogrediente  T^raruformation  ete.  5 

bezeichnet  werden  möge.     Die  fi  linearen  Formen 

sind   alsdann   von   einander   unabhängige  d.  h.  es  findet   keine 
Relation  von  der  Form 

statt. 

Nun   folgt  aus   6)   durch  Multiplication    mit  den  y^  und 
Summation  nach  i 

das  heisst:  Verschwinden  noch  alle  ^—1*"  ünterdeter- 
roinanten  der  charakteristischen  Function 

für  e  ==  —  1  (^  =s  -|-  1),  so  bestehen  zwischen  den  %  (t) 
fi  von  einander  unabhängige  lineare  Oleichungen. 

Dieser  Satz  lässt  sich  in  der  folgenden  Weise  umkehren: 
Giebt  es  bei  einer  Transformation,  welche  die 
Form  cogredient  in  sich  verwandelt,  ein  System  von 
H  von  einander  unabhängigen  linearen  Oleichungen, 
denen  die  T  {t)  genügen,  so  muss  die  charakteristische 
Function  für  q  =  —  1  (^  =  +1)  mit  allen  ^— l**"  üuter- 
determinanten  verschwinden,  während  die  /***°  Unter- 
determinanten nicht  mehr  eämmtlich  Null  sind. 
Unter  der  Voraussetzung  der  Gleichung 

folgt  nämlich  aus  G)  die  Gleichung 

^{Jct,  +  Xr,)  Jf  -^(fit,  +  ^O  c,,  ??  =  0, 

aber  eine  solche  Gleichung  kann  nicht  bestehen,  da  sonst 
zwischen  den  x^  allein  .schon  eine  Uelation  vorhanden  sein 
würde.  Eis  müssen  also  notlnvendig  alle  Coefficienten  in  der- 
selben gleich  Null  sein,  d.  h.  es  ist 

womit  der  angegebene  Satz  bewiesen  ist. 


6  SitMung  der  math.-phys.  Classe  com  4.  Januar  1896. 

Dieses  einfache  Tbeorem  ist  die  Grundlage  der  folgenden 
Untersuchung.  Aus  demselben  geht  hervor,  dass  sich  alle 
Transformationen  der  Form  in  sich  selbst  durch  An- 
nahme von  linearen  Relationen  zwischen  den  t  oder  t 
ergeben  müssen. 

Diese  Transformationen  zerfallen  nun,  sogar  noch  auf  zwei- 
fache Weise,  je  nachdem  man  die  Wurzel  ^  :=  -j-  1  oder  ß  =  —  1 
bevorzugt,  dem  Verhalten  der  Unterdeterminanten  der  charak- 
teristischen Function  entsprechend,  in  bestimmte  Classen.  Und 
die  Aufgabe,  die  Transformationen  jeder  Classe  durch  die  ilir 
entsprechende  Zahl  von  rationalen  Parametern  zu  bewerkstelligen, 
wird  im  Folgenden  ihre  Losung  finden.  Dabei  ist  es  natürlich 
nicht  ausgeschlossen,  dass  die  einzelnen  Classen  aus  einander 
durch  andere  Processe,  insbesondere  Grenz  Übergänge,  abgeleitet 
werden  können. 

Unter  der  Voraussetzung  nun,  dass  genau  n — /i  =  ff 
von  einander  unabhängige  Relationen  fUr  die  t  und 
damit  auch  für  die  T  bestehen,  kann  man  setzen,  unter 
V,  to  willkürliche  Grössen  verstanden, 

t  =^a    r 

I  IJi        N 

8)  T,  =  2:"rt,  H- 

S=  1,  2  ...  u;  i  =  1,  2  ...  11 

wo  die  f^,._nit  unlickiiniit*.'  CinrfticitMiten  sind,  zwisc'lufn  denen 
keine  linean?  Lli'ntität  vmi  der  Furm 

1=^  \,-2  ...u 

Iii'-tclit.  Alsiliinn  siuil  vuii  d^n  ji-  //  <iK'irliiiM;r)'ii  i'>)  für  die 
',  T  iri'iiaii /'  iil»'rilii>-i;^,  uu'l  tii»-  iibriijfn  n  n  er^n-ln-ii  diese 
(irri-.,M'ii  uK  dii'^i'l  lii'ii  liiii'iirt'ii  Kunetion.-ii  'I'T  /.  b'-zii-lmiitrs- 
w.-:-.'  7".  wciMi  man  i(  dt-r  (!n".,— i-ii  /.  T  willkürlich  Himiinnit. 
K-  :-t   ilaluT  /.!!   ^■■izt'M 


A.   Voss:  Ueber  die  cogrediente  TVanaformation  etc.  7 

wo  die  A,  X  wieder  willkürliche  Parameter  sind  und  die  h^^^p^^ 
ebenfalls  unbekannte  Coefficienten  bedeuten.  Trägt  man  die 
Ausdrücke  der  t,  r,  T,  T  aus  8)  und  9)  in  die  Gleichung  5) 
ein,  so  ergiebt  sich  in  Folge  der  WillkUrlichkeit  der  Parameter 

f„   Wr'   K^  S 
r  ^  1  ...  ft 
S  =  1  ...  tt 

das  folgende  System  von  Gleichungen 

10)  ^av*«,> />*«  =  <> 

welches  für  alle  Werthe 

r,<,?=l,2...ju 

erfüllt  sein  muss,  während  die  Indices  i,  k  unter  dem  Zeichen  2 
sich  von  1   bis  n  erstrecken. 

Von  der  näheren  Untersuchung  dieses  Systems  von  Gleich- 
ungen hängt  es  ab,  ob  die  gegebene  Form  überhaupt  congre- 
diente  Transformationen  von  dem  angegebenen  Charakter  zulässt. 
Die  hierauf  bezüglichen  Untersuchungen  hoffe  ich  bei  einer 
anderen  Gelegenheit  darzulegen ;  der  Zweck  der  vorliegenden 
Mittheilung  ist  es,  die  angegebenen  Gleichungen  auf  die  beiden 
ein  besonderes  Interesse  in  Anspruch  nehmenden  Falle  der 
Transformation  der  symmetrischen  und  alternirenden 
Formen  anzuwenden.  Dabei  würde  es  müglicb  sein,  die  Dar- 
stellung in  eine  einzige  zu  verschmelzen.  Ich  ziehe  es  jedoch 
vor,  die  l>eiden  rällc  »gesondert  zu  behandeln,  theils,  um  eine 
grössere  Uehf?rsii'litliclikeit  zu  erreichen,  theils  der  besonderen 
Äuftnerksanikeit  wegen,  die  man  von  jeher  dem  ersten  Falle 
zugewendet  hat. 


i?  2. 


Die  Transformation  der  sy nimetrisclien  Formen, 

Ist  die  bilineare  Form   syniinetrisch,    so    ist   es   bequemer, 
an  Stelle  derselben  die  quadratische  Form 


*?  Sitzung  der  math.-phff8.  Clas9e  com  4.  Januar  1696. 

«.%  =  «*, 

zu  betrachten,  und  die  Hnearea  Transfer matioDen  derselben  in 
sich  zu  bestimmen.  Ohne  wesentliche  Beächrankang  könnte 
man  natürlich  S  auch  gleich  als  eine  Summe  von  Quadraten 
der  Variabeln  voraussetzen. 

Setzt  man  nun 
1)  -0**^="* 

oder  J  t^^^u^A^^ 

wo  die  A^^  die  adjiiiii;irti^n  Elemente  der  Elemente  a.^  bedeuten, 
so   reducirt    :^ich    die   Bedingung  ö)  des  §   1  auf  die  Gleichung 

Bestehen  nun  zwischen  den  in  —  u  lineare  Relationen,  d.  h. 
ist  p  =  -p  1  eine  Wurzel  dpr  charakteristi-Jchen  Function,  für 
die  noch  die  « — .«  —  P*°  Vnterdeterminanten  etc.  verschwinden, 
so  bestehen  ebensoviel  linear  unabhüngiire  *Tleicbungen  zwischen 
den  \t^^  nämlich  die  folgenden 

()  =  1.2  ...  n — it 

Dif><:*  >in'l  in  Akt  Tha:  vnn  .•■nitn.iMr  u:!;itiii;u;L:!i:.  'lenn  dio  An- 
nal;m<*  mIiilt  liev.titiLt 

::.-   /-A    =-' 

w'ip-lrr,    da    'lie  lV-trri!;i::u:rLH  J   i.ici.t   v..r~ei:u-iii.ict.    ».•rftirdern. 


/■=  1  .■_».. .  u 
:..v  ■:.'.:. ^:j-:  [' ir.i:.  v:vL-    •■  :■..:•■:..  ->  oxi-tireii  keine 


Ä,  Voss :  Ueber  die  oogreeUente  TtaMefOrmtOion  ete.  9 

dagegen  gibt  es  n — fi  =  v  Systeme  von  Grossen 

welche  die  Gleichnugen 

*)  Ja„af  =  0,  ...  :So,^af  =  0 

befriedigen,  und  diese  v  Systeme  sind  untereinander  linear  un- 
abhängig.    Um  nun    die  Gleichung  2)  zn  erfüllen,   setze  man 

WO  die  X^  ...  Xy  wieder  willkGrliche  Parameter  sein  mögen, 
während  die  erste  Summe  von  p  ^  1  bis  e  ^  x  geht.  Dabei 
folgt  zugleich,  dass  x  =  ju  sein  muss.  Denn  wegen  der  Un- 
abhängigkeit der  V  würde,  falls  in  dem  Ausdruck  ftlr  r^^  auch 
Vf^.  vorkäme,  die  Gleichung  2)  nur  so  erfüllt  werden  können, 
dass 

wäre.     Aber  diese  Gleichungen   charakterisiren  jene  ß^u+q  ^ 
lineare  Functionen  der  af^^  deren  Auftreten  in  x^  bereits  durch 
die  Form  von   5)   berücksichtigt   ist;    Überdiess  ist  in   §  1    die 
allgemeine  Darstellung  der  t  bereits  gegeben. 
Die  Gleichung  2)  reducirt  sich  nun  auf 

a,  s  =  1 , 2  . . . /u, 

welche  fiir  die  unabhängigen  v  zu  befriedigen  ist.  Dies  liefert 
die  Gleichungen 

in  der  die  p^^  willkürliche  Pjlemente  einer  schiefen 
Determinante  /i**'  Ordnung  sind.     In  der  That  kann  man 


10  SÜMung  der  mtdh.-phy».  Clas$e  com  7.  Januar  1896. 

wegen  der  fiber  die  a  gemachten  Vorauaseizung  immer  aus  den 
Gleichungen 

da  eine  der  ii  reihigen  Determinanten  der  a  sicher  von  Xull 
verschieden  ist»  die  Grössen  ß^^  bestimmen.  Dabei  scheint  es 
noch  möglich  zu  sein,  sogar  (n— «)/i  Werthe  der  ß  ganz  will- 
kürlich anzunehmen.  Indessen  gelingt  es,  die  Trans- 
formationsformeln von  den  ß  Oberhaupt  gänzlich  zu 
befreien. 

unter  den  angegebenen  Voraussetzungen  hat  man  nämlich 
wenn  zur  Abkürzung 


-j^A,,a^^^B,^ 

Ä=l,2...« 

r=1.2...» 

H  —  it  =  i 

•gesetzt  winl, 

7) 

■  K< 

Setzt  man  j<*tzt  (iic  nefund»*non  Aiis'lriicki'  in  din  l'urint'In  -l) 
ilw  S  1  ein,  -f)  C'rt^t'l)t.'ii  sich  'liircli  Klinniuition  tlfr  v,  /.  die 
fik'ichun^rcn,   wt-Lln'  fiii;  ;  «inrili   illt.-  x  aii'-ilrüi-ken. 

l  in  iVu:  Urclinniif^  ni"'>L'Iicli>t  lii*ijiu-ni  iui~/.ul'iiliren,  innlri- 
|>lirirt.'  man   'lii;  )MilfM<:Imii;jen 

X  ^  I:f  -\- ;./ 

r  II 

mit  tit_'n  (c^^  nnil  '•nnimirf    üln;r  /'.     Infitli;«-  ilt-r  Gli-i(.lnin*;('n  4) 
vv<;i(lt'ii  liit'lunli  ilit*  /.,...  /j,  eliminirt    uh'I   m:in   i'rltiilt 

-)  i"«  X  =  i\hJi    •- ;. -;  )»   r  . 

'  I  \  t  ■  (    I  '  '       l    1  .    s  I' 


A.  Voss:  Üeber  die  coffrediente  Trcuuformation  ete.- 


11 


wobei 


^«„<'..=i^^^., «,.".. 


die    Elemente   b^^  einer   symmetrischen    Determinante 
und  die 

nach  6)  die  völlig  willkürlichen  Elemente  einer  schie- 
fen Determinante  ^*"  Ordnung  sind. 

Setzt  man  endlich  die  Determinante  der  /*  + 1  Gleichungen 

x,  +  §,  =  2k2B,^v^ 
gleich  Null,  so  ergiebt  sich 


0  = 


^.  +  h 


-%i^i 


Aus  dieser  Formel  gewinnt  man  die  Darstellung  der  §^ 
durch  die  x.,  sobald  noch  vorausgesetzt  wird,  dass  die  in  völ- 
liger Analof^ie  mit  den  Cayley 'sehen  Formeln  auf- 
tretende schief  symmetrische  Determinante 

9)  ^'--^Ko^nKo\ 

«,  ö=  1,  2  .  .  .  .»,  {)<n  <n 

nicht  identi:?ch  verscliwindet.  Für  den  Fall  //  =  h  ergeben  sicli 
die  Cuyley'schen  Formeln  selbst. 

Zur  Uestimmuiig  der  Anzahl  der  willkürlichen  Para- 
meter, von  dent'ii  die  Cneflicieiiteu  der  Tnuhsforniation  ab- 
hängen, genügt  tnlgende  einfache  Uetruclitung. 

Die  ('(iL'flicionten  a  ,  deren  Zaiil  u  ti  ist,  sind  zwar  will- 
kürlich,  aber  nicht  alle  wesentlich.  Denn  man  kann  durch 
eine  lineare  Transfornmtion 


C  =  ^;'     /r 


12  Sünmg  der  math.'jihys.  Claue  vom  4.  Jantutr  1896. 

vermöge  der  die  Gleichungen  3)  übergehen  in 

bewirken,  dass  fj}  der  Grössen  d^^  willkürlich,  aber  fest  gegebene 
Werthe  annehmen.     Setzt  man  nämlich 

80  kann  man  für  die  Indices  X;  stets  solche  ^  Werthe 

ff]    ff|   .    .    .   A„ 

atiRWählen,  dass  die  Determinante  der  Gleichungen  10)  Ton  Null 
verschieden  ist  Demgem&ss  sind  von  den  nfi  Grössen  d^^  oder 
Oj^^  nnr  (n  —  fi)ft  als  wirklich  wesentlich  anzusehen.  Die  Wahl 
dieeer  willkürlich  bleibenden  Parameter  kann  noch  auf  mannig- 
fache Weise  geschehen,  insbesondere  kann  man  z.  B.  die  a^^^ 
dem  folgenden  Schema  entsprechend  ansetzen: 


^.. 

0 

• 

.      0 

^. 

i.. 

• 

.       0 

Xyj 

K- 

12 

. 

0 

K, 

■ 

• 

0 

0 

• 

• 

0       0 


"v/i 


welches  n  horizontale  und  n  verticale^Heihen  enthält. 

Hiermit   ergiebt   sich  als  Gesanimtzahl    der    in  der 
Transformation  auftretenden  Parameter 


(«  -f*)f*-i- 


2 


.  "iü^i)  _  ("— /OJ"  —  A^  — 1) 

"9.  o 


A.  Voss:  üeber  die  cograUenU  Transformation  ete.  13 

welche  Zahl  für  ^  =  n,  fi^n  —  l  ihren  grössten  Wexth,  näm- 
lich — ^^ — ^,  annimmt.') 


§3. 
Die  charakteristische  Function  der  Substitution. 
Die  charakteristische  Function 

erhält  man  ohne  weiteres  aus  den  aufgestellten  Gleichungen 
für  die  x  und  ^.     Hat  man  nämlich 

wo  «;,...  w^  irgend  welche  Variable  sind,  vermöge  deren  sich 
die  ^  als  Functionen  der  x  ausdrücken  lassen,  und  setzt  man 
zugleich 


so  ist 
oder 


^<=^^c,,x. 


^<^i.P,k  =  U 


-('^..H-eOP.*  =  ?/*  +  eP, 


ik 


Hieraus   folgt,   dass   die   charakteristische   Function   durch   die 
Gleichung 

-f^(e)|p.-t|  =  |«.-*-i-ep.-*| 

gegeben  ist.     Da  nun  nach  den  Gleichungen  7)  des  §  2 

l==k:sn^v^-i^ß^^v^-x,x\^...-x^x: 

1)  Für  /t  =  1   erhält  man  z.  B.  die  bekannte,  bei  f^radem  n  un- 
eigentliclio  Transformation 

wo 

zu  setzen  isit,  mit  ?i  —  1  willkürlicben  Parametern. 


3CL  Bo  vizd  die  chankterisäicbe  FvDctäon 
ä:;7vb  ci«  Determiziaxite 

**'„''-^«>-*.^un-«)...i-a^ii-T^;-ii.,(i-*-.xt.e-ii..jj".e-i.» 

aQig«iiir>kt.  Cm  sie  in  eine  eisfadiere  Form  za  bringen, 
molupiidrt  m^o  dieöelbe  mit  der  nicht  Terschvindendeo  Deter- 
ininuit^ 

«, .      -  -     o.  - 


er.         .  .     a 

'      yi       ■   yl 


in  der  die  y  völliii  willkürliche  *.Tr~»s-?en  t.-e'ieuten.     Man  erhält 

dann,  f-iü.^ 

^x'i  t/{  =  ig  Ol:  0.0  =  1.  J  . . . ) 

zur  AbkQrzune  gesetzt  wird,   unter   BerÜLk*ii;ht:i.'iinp  der  Kor- 
n.»-l!;    1    '■*^  ö  -   -'ji'vrt  die  (T;.,'i^:.-:r.ff 

WO  iwiter  Cj  ■-   die  Deierminant«^ 

illi     .       Ml  i 

■i  1  (  ■>  j  t 

ur.T'-r   //  (:-    dag"-_'..-n  dj--   Ii<'tt-riijii;.i;.r'.- 

/'-..'l  -(/'— '-y;:*! — ("   ■■   /■''■„' 1 -ifl  "-';'-,,*  l—o' 

^■''u:  1--','  — ^K:  1-e   ■-  /.''„.,  i-rt^  -'^■^.,.*i    e) 


^öHf:   (fekfr  die  eottrftittttte    Trnn»fm'matmn  etc. 


tn  vei-iituhep  ist,  wobei  die  letztere  nun  lien  ira  g  2  ein j^c führten 
Klviuvnti^n  6^.  mtiw  sjuitüetrl^hen  ^  sonio  den  witlktirlichon 
Klementen  p,,  eines  schiefen  Systems  besteht. 

Aus  d«r  angegebenen  Formel  folgt  tHr  q^w 


also  endlich  durch  Division 


W- 


mithin  för  ^  =  0  wegen  £/(0):=ii, 

WOrdis  man  Übrigens  die  Yarinbeln  t  anstatt  der  /  in  der 
gauz«u  Dar4ullun^r  bevor^u^t  hnheii,  h<>  erhült  mau  eine  cha- 
rakterttfUiiche  Function  F' \o)  von  der  folgenden  Korra 

iiit.  m  das«  «ach 

i.-o  — (— ly 

wird. 

Hieraus  folgt:  Die  charakteristische  Kuaction  Fiq) 
der  Transforinatiun  hat  die  v  —  ;i  fache  Warzel  ^=»1, 
für  die  noch  die  n~/i~l^°  Unterdetermirianten  sämmt' 
lieh  verschwinden.  Versrbwindet  aho  die  Det^raunaote  B 
der  /vi  nicht,  waa  7on  der  Wahl  der  l'arameter  a  abhängt,  so 
ist  diew  Wurxcl  auch  nicht  iu  höherer  Multjplicität  vorhanden, 
|,  h.  die  7;u  ihr  gehörigen  Elcrnentartheiier  ^^iod  alle 
^einfach.  Wenn  diigegen  Jena  Determinante  verschwindet,  oder 
Oberhaupt  der  VVurselfactor  l  — g  in  höherer  I'otenx  auflrilt, 
wird  die  Vertheilnng  der  Klementartheiler  eine  andere»  so  lange 
|ber  Überhaupt  die  a  den  ^  ;-  'üiißn  VorauKnetzangen  genifiu 
pwähtt  wcrdt-n,  Icjinn  diw  \  .nden  der  Unierdt-tiTuiiniinten- 

■ysteme  sich  nicht  auf  einen  höheren  als  dfln  angegebenen 
Grad  crntrecken. 


16  SiUnng  der  math.-phifs,  CUuse  vom  4.  Januar  1896. 

Die  Determinante  der  Transformation  ist  ( — 1)*"'*; 
man  erhält  also  uneigentliche  Transformationen,  so  oft  « — n 
eine  ungerade   Zahl  ist,   also   insbesondere   (ür  fi=^n  —  1   die 

von  — -   Parametern    abhängigen   imeigentlichen    Trans- 

fonnationen. 

£8  beweist  zugleich  die  angegebene  Darstellung  nnter  Be- 
rQcksichtignng  der  eben  gemachten  Bemerkungen  die  folgen- 
den Sätze: 

Verschwinden  bei  eigentlicher  (uneigentlicher) 
Transformation  die  n  —  fi**°  ünterdeterminanten  für 
die  Wurzel  e=  1  nicht  mehr,  während  alle  n  —  fi  —  1*" 
noch  Null  sind,  so  ist  n — fi  eine  gerade  (ungerade 
Zahl),  und  analog: 

Verschwinden  bei  eigentlicher  (un eigentlicher) 
Transformation  die  n  —  ^*^  Unterdeterminanten  nicht 
mehr  für  die  Wurzel  ß  =  — 1,  so  ist  ft  eine  gerade  (un- 
gerade) Zahl.^) 


^}  Ein  anderer  Beweis  dieser  Sätze,  welcher  lich  der  von  Herrn 
Frobenius  ermittelten  Eigenschaften  der  Elementartbeiler  der  Trani^- 
formation  bedient,  ist  folgender. 

Bezeichnet  man  die  ru  p  =  l  und  p=  -1  gehörenden  Elementar- 
theiler  durch 

Xi      Xj      ...      x^ 

k\    K2    ...     frj 
90  ist  bei  eigentlicher  Transformation  (bei  uncigentlicher  gelten  ganz 
ähnliche  Betrachtungen) 

«1  H"^2  ~h  ■  •  ■  ''r   ^i°®  gerade  Zahl 
und  «,  +  ^2  +  ■  ■  ■  «r  +  ^'1  "H  ^'2  "T  ■  ■  ■  ^\  +  2  ni  —  n 

wo  m  die  Zahl  der  reciproken  Wurzelpaare  brdeutet.  Sind  nun  die 
Elementartheiler  mit  ungeraden  Exponenten 

"1       M     •  •  •     ^'0 

so  \st  die  .Anzahl  der  übrigen  Klementartheiler  y,  Je  Jedentaltn  eine 
gerade.  Daher  int  auch  o  eine  gerade  Zahl,  folglich  die  Anzahl  « 
di-r  Elementartheiler  von  der  Form  ij — 1  aeUiHt  eine  gerade. 
Daraus  folgt  dann  aber,  dass  auch  die  .\nzab]  der  Elementar- 
theiler fc  ebenfalla  gerade  sein  uiuss. 


Ä.  Voss:  Ueber  dit  cogrediente  Transformation  ete.  17 

Einige  Bemerkungen  über  die  im  vorigen  auftretenden 
Determinanten  mögen  hier  noch  ihren  Platz  finden. 

Die  Determinante  ir.y  ist  immer  ron  Null  verschieden. 
Denn  wenn  sie  verschwände ,  so  würde  bei  völlig  beliebigen 
Werthen  der  y  der  Ausdruck 

für  Werthe  der  y^  Null  sein  müssen,  die  von  den  y  unabhängig 
sind;  dies  ist  aber  nur  möglich  wenn 

^^7^  =  0 

ist,  was  durch  den  Charakter  der  xf  ausgeschlossen  ist.  Ver- 
steht man  unter  to«  die  aus  tOg  entspringende  Determinante, 
welche  entsteht,  wenn  man  die  v  Reihen  der  y  durch  die  x^^ 
(  =  1  ....»■  ersetzt,  so  ist 

4)  w^w^=Qw^^ 

wenn  unter  Q  die  ft  reihige  Determinante  der  Grössen 

2  a,   a,   ^  q 

verstanden  wird.  Und  bezeichnet  man  mit  P  die  aus  lo^  ent- 
springende Determinante,  welche  entsteht,  wenn  man  die  // 
durch  die  Grössen 

ersetzt,  so  erhält  man  leicht  die  Formel 

WO  nun  B  die  symmetrische  Determinante  der  hr,  bedeutet. 

Endlich  ist  auch  noch 
6)  P*J^'^^BX 

wobei  X  die  v  reihige  Determinante  der  Grössen 


JSxe^'fl., 


IHM.  Hath.-|iliya.  Gl.  1. 


18  ataif  Ar  ■■m  jlji  Omm  m  C  A 

DoRh  DhiMB  TOB  5)  od  6)  feigfc  abo 

HiamiH  tqplit  >>cl>«  da»  die  Deierminftnfce  «b  nur 


■it  Qt  und  daas  die  eymaetrisclie  Dctermimuifce  B  nur 
■it  X  Terscb  windet. 

Die  im  Tongen  enfcwiekdln  Fonndn  HefSam  nUe  Pu»- 
■äMiTeiihillmu^iii  der  TramAimaftioK  in  sich  aallMt  ohne  Gteni- 
fibagtnge.  Dabei  ist  die  VariaUe  I  (t)  beronagi,  und  dieeem 
UniUode  entopriclit  es.  dass  die  Wavad  f  «*  1  ninichst  in 
hSkenr  YidfiMhlieit  auftritt  Es  iit  indoKu  leicht,  die  be- 
Midiien  Bedingungsn  anngeben,  unter  denen  F{f)  aneb  die 
Wand  «»  —  1  erhilt 

Nach  den  Deuieikuugen  in  §  l  kann  dies  nur  dann  der 
Fall  sein,  wenn  aoeb  die  r  einem  Syelem  lineanr  Gleichungen 
genOgen.  Sind  also  genau  x  von  einander  nnabhingige  Rdi^ 
ftmgn 

Torbanden,  so  mnss  nach  §  2,  7)  wegen  der  Willkariichkeit 
der  Vr  und  i. 

sein.     Damit  ei^ebt  sich  aber 

''.  =  ^<'.,*,     r=l,2...,. 
wobei  die  Grössen  h^  nun  den  Uleichungen 

oder 

genügen  mOsseu.  Giebt  es  nun  x  von  einander  unabhängige 
STsieme  der  A^,  d.  h.  verschwinden  noch  die  x  — !*•■  Unter- 
detenninant^n  der  schiefen  Determinante  der  p     so  ist 


A.    Vau:   Üelter  die  eoyrtäittite   Transformation  etc. 


10 


oder 


mt\m  dii)  w,  willkflrlicho  Groosen  bed«uton. 

l  nd    dli«Mer    Ausdruck   reiträäentirt    genitit   x    nnabhängigf» 
Systeme  von  (Irössen  rf^. 

Beataade  nämlich  eine  Relation 


nnch  S  2,  (unter  8) 

d.  h.  die  A^  wären  Regen  die  Voraussetzung  nicht  von  einander 
unabhängig.  Es  wird  aUo  die  charakteristische  Func- 
tion F{q)  för  e  ■= — 1  noch  mit  sämmtlichen  x  —  1*** 
UnterdeternuTiunten  vernohwinden,  wobei  e-^  von  Intereexe 
acheJDt,  daas  dieser  Charakter  derselben  lediglich  durch  die  Wahl 
der  ßlemeute  jv,  aufgeprägt  werden  kann. 

Die  Foriueln  dieses  %  ergeben  aWj  eine  nach  der  Anzahl 
der  Elementartheiler,  welche  zu  p=-f  1(^  =  — 1)  ge- 
hören, ausgeführte  Classification  der  cogredienten  Tranaforma- 
tiooen,  and  twar  so,  duaa  innerhalb  jeder  Closse  genau  die 
nothwendigc  Anzahl  willktlrlicher  rationaler  Parameter  vor- 
banden ist.  Keine  dieser  Cla&seu  kann  aus  der  anderen  direct 
abgeleitet  werden :  dagegen  ist  dies  durch  tireuzfibergänge  immer 
mtVglich.  Denn  die  eigentlichen  Transformationen  bilden  ein 
irredncibeieB  System,  d.  h.  jede  noch  m  specielle  Trang- 
formafcion  dieser  Art  kann  durch  einen  derartigen  Proce:«  aus 
der  allgemeinsten  der  Gattung  hergeleitet  werden.  Setxt  man 
andererseits  irt^end  eine  bestimmte  ntieigentliche  Transformation 
mit  einer  anderen  dieser  Art  zuf^aninien,  so  erhält  man  immer 
eigentliche  Trnimfurmationen,  und  hierawi  folgt«  dui«  auch  alle 
uneig«*utlichen  Transforroationen  aus  der  allgemeinsten  ihrer  Art 
durch  Grenzübergang  gefunden  werden  können. 


20  Mwfy  ibr  wflfc.  jfcyt.  Ohttt  vom  9,  Jamumr  189$. 

9*- 

Die  eogrediente  Tranaformation  der  alternirenden 

bilinearen  Formen  von  nicht  vertehwindender  Deier- 

minante  in  eich  selbst. 

Die  IVansformation  der  alternirenden  Formen  von  nicht 
▼eraehwindender  Detenninante  Hast  sioh  nun  in  ToUstftndiger 
Analogie  mit  den  Beohnnngen  der  g  2  nnd  S  in  wenigen  Worten 
ansfUhien. 

Setrt  man  in  den  Bedingongagleiehnngen  10)  des  §  1 
Toraus,  dssB 

ist,  and  seist  man  ferner 

80  rednciren  sich  die  beiden  letiten  Gleiehnngen  10)  auf  die 
eiBsige  Gleichung 

welcher  man  in  derselben  Weise  wie  in  §  2  durch  die  Annahme 

2)  «"^^i 

<    =1,2.  .  .ff 

genfigt,  wobei  die  Coefficienten  a^^  in  derselben  Weise  wie  dort 
eingefQhrt  werden.    Die  noch  fibrig  bleibende  Gleichnng  10)  §  1 

sagt  femer  aas,  dass  die  Grössen 

ZU  einer  ajmmetrischea  Form  gehören,  die  völlig  will- 
kürlich angenommen  werden  kann. 

Unter  den  angegebenen  Voraussetzungen  wird  nach  §  1,  9) 


A.  Vau:  Uebgr  die  eoffredienle  TVaiuformation  ete. 


21 


Nun   ergiebt   sich  aus  den  Gleichungen  3)  zunächst  durch 
Multiplicatiun  mit  a^^  und  äammfttion  über  i 

[oder,  wenn  man  zur  AbkQrzung 

*=I,2  .  .  .  w 


t  setzt: 


2z,a„~S(kS,,  +  XlJv,  +  2i,p„a„. 


MulfcipHcirt  man  jetzt  mit  den  a^^  und  suuimirt  Über  /<:,  so 
[ergiübt  sich,  wenn  man  an  Stelle  von 


-^B..".,^ 


■  2  a.^a.a, 


'ik     »■  "  kr 

[die  Elemente  einer  alternirenden  Form  h^^  setzt,  wäbreud  die 

durch   die   Elemente  s^^  einer   völlig   willkörlichen    syra- 
metriächen  Form   ron  /4  Variabein   vertreten  werden,   zu- 
folge der   Gleichungen ,   denen   die  p^^  genügen    mOssen ,   das 
olgende  System  von  /'  +  1  Gleichungen 

Paus  dem  man  durch  Elimination  der  v^  die  Gleichung 


*/* 


2ka, 


'AI 


•*^ 


22  Sittung  der  wuUk.-phif$.  Cla$»e  vom  4.  Janmar  1896. 

ableitet,  welche  die  Darstellang  der  %  durch  die  x  gestattet  so- 
bald die  Determinante 

nicht  identisch  Terschwindet. 

Die  Zahl  der  willkQrlichen  Parameter  ei^ht  sich  auf 
demselben  Wege  wie  in  §  2  gleich 

M-hi) +  („_,)„ 

2  2 

und  diese  Zahl  erreicht  ihren  grCssten  Werth  ftir  fi^n.  dem 
«allgemeinen*  Ton  Herrn  Frobenius  behandelten  Fallet* 

Auch  die  charakteristische  Function  erhält  man  in  der 
nämlichen  Weise.  Unter  Anwendung  der  nämlichen  Bcieich- 
nungen  bat  man 

F^e^jw^p^^  =  (-i)-'-''(i  -e)-^HCe)ic,, 

wo 

wieder    eine    h   reihisre    schief-symmetrische    Det^rminanie 
ist.     Hieraus  t'oliit  fiir  p  =  x 

mithin 

;tl>o   Üir  o  =  <•.   weiren 

r=  F    =■— 1." 

Oie  n«'ti'rniin:inte  der  Tr;i:;>l'.irmation  i^t  daher 
:iii!HT  c'tMi  li  -J-l.  ti.  b.    iie  Trar.>f'.'rn:ation  eine  eii;eut- 

K  :    .  ■     1  *i;.i;  n;»r.  ..  H.    :;o  ^  jT-iirn'.e  Tracsiormation 

'     -    'i  l     i    \  y 

iiitt    .1.  :.         r.i;a^;-.i!i'Mi   .i 


A.   VoKt:  üehcr  Ae  cögrtäienlt  TrannforntUitm  He.  23 

liehe.  In  der  Thai  lü.tst  ja  aueh  eine  alternireiide  Form  von 
nicht  verschwindender  Determinante  überhaupt  keine  uneigent- 
lichen Transformationen  in  eich  zu. 

Man  erhält  auf  demselben  Wege,  wenn  man  die  Variable  % 
bevorzugt,  die  churakterietische  Function 


WO 


^'(e)=(i+€)-'*^^' 


//'(e)  =  l*5,.(i+?)-6„(i-e)|. 


Ueberhaupt  kann  man  hier  fast  alle  die  zu  Ende  des  §  3 
gemachten  Bemerkungen  wiederholen.  Ist  z.  B.  ju  eine  gerade 
Zahl  und  verschwindet  die  schiefe  Deteruiinante  der  h^^  nicht, 
so  hat  die  Function  F{q)  die  m  — ^t  fache  Wurzel  ß—  1,  zu 
welcher  nur  einfache  KLeuieutartheiler  gehören.  I&t  dagegen  ft 
ungerade,  so  verschwindet  jene  Determinante;  die  Eleraentar- 
fcheiler  können  daher  nicht  mehr  sammtHch  einfach  sein.  Es 
giebt  aber  die  Transformation  der  altemirendcn  Farmen  noch 
zu  mehreren  anderen  Bemerkungen  Veranlassung,  auf  die  ich 
bei  einer  anderen  Gelegenheit  einzugeben  beabsichtige. 


24 


Sittong  vom  1.  Februar  1896. 

1.  Herr  RoBEBT  Habtig  hält  einen  Vortrag:  .lieber  den 
Einfluss  des  Druckes  auf  die  Ausbildung  des  Holzge- 
webes bei  den  Nadelhölzern^  insbesondere  der  Fichte.' 
Die  Untersuchung  wird  anderweit  zur  VeröfiFentlichung  gelangen. 

2.  Herr  Hooo  Seeliqeb  legt  mit  erläuternden  Worten  eine 
Abhandlung:  «Ueber  die  scheinbare  Yergrösserung  des 
Erdschattens  bei  Mondsfinsternissen*  Tor.  Dieselbe  soll 
io  die  Denkschriften  aufgenommen  werden. 

3.  Herr  Febdinand  Lindemann  überreicht  eine  Mittheilung 
des  Herrn  Alfred  Löwy  in  Göttingen:  .Bemerkung  zur 
Theorie  der  konjugirten  Transformation  einer  biline- 
aren Form  in  sieb  selbst."  Herr  Lindemann  knüpft  daran 
einige  Bemerkungen:  ,Ueber  die  uneipentlichen  linearen 
Transforniatiuneu   einer    quadratischen  Form   in  sich.* 


25 


Bemerkung  zur  Theorie  der  konjugirten  Transfor- 
mation einer  büinearen  Form  in  sich  selbst 

Von  kifrtd  tUwj  in  GOttiogen. 
Bformirt  man  die  bilineare  Form : 

ISSN  k=n 

deren  Deberoiinante.  wie  im  Folgenden  stets  angenommen  wird, 
nicht  vorMhwinddu  soll,  durch  die  zwei  Substitutionen: 

;>! 

y.^EPi, '/,»•  =  1.2.  .« 

eine  andere  bilineare  Form,  8o  hetsst  eine  derartige  Tnuu- 
fomiation  nach  Jakobi  konjiigirt.  Mit  der  kunjtigirten  Trana- 
formation  einer  bilinearen  Form  in  nch  selbst  bat  sich  Herr 
Voss  in  einer  in  den  Sit/ungs berichten  der  Milnchener  Akademie 
(Sitzung  vom  I.Juni  188U)  erschienenen  Abhandlung*)  auf  doa 
Eingehendste  beschäftigt.  Diese  Note  ist  im  Anachluäs  an  die 
erwähnte  Arbeit  jenes  Qetebrben  abgefaast  worden. 
Ordnet  man  der  linearen  Substitution 

'I  Teber  die   konjOK^He  TraoiformatioQ   einer  btlineoren  Fom  in 
Hlbtt:  Sitmagvbericbte  der  math.-pfa^s.  Klasse,  Bd.  19,  p.  ITA  ff. 


m 


26 


Sitiung  Her  mtUh.-phyi.  Clocte  vom  i.  Februar  1896. 


die  bilineare  Form  P  =  ^p^iX^y,  zu  und  bedient  eich  der  tod 
UcrrD  Frobenius  in  die  Theorie  der  bilineflren  Foriuen  einge- 
ftthrten  Symbolik*),  so  wird  die  von  Herrn  Voss  a.  a.  0.  be- 
handelte Aufgabe  symbolisch  durch  die  Gleichung: 

PAP  =  A 

dargestellt.  Wie  Herr  Voss  nachweist,  lässt  eine  jede  bilinearc 
Form  Ä  TOD  nicht  verschwindender  Determinante,  vurausgeaelz 
Aasü  dieselbe  nicht  etwa  in  ßer.ng  auf  koatragredienie  Trans 
formationen  irreducibel  ist,  von  der  identischen  Substitution  ver- 
schiedene konjugirte  SubätitntioDen  in  «ich  zu. 

Die  Transformationsdeterminaate  bat  bei  der  zu  betrachten- 
den Substitution  aieU  den  Wert  -f  1  oder  —  1,  nnd  dement- 
sprechend unterBcbetdet  Herr  Voss  auch  hier  swischen  dgent- 
lichen  und  nneigentlicbeu  TransformBiianen.  Bezeichnet  man, 
wie  es  Qblich  ist,  die  Deteriuinaote  der  bilinearen  Form : 

wo  (i  einen  variablen  Parameter  bedeutet  und 

ist,  als  charakteristische  Funktion  der  Form  P,  so  erhält  man 
sofort  folgende  Ergebniaee : 

Das  Produkt  aller  Wurzeln  der  cbarakteri&tidcheD  Oleicfanng 
\P~  g  E\^0  besitzt  den  Wert  +  1  oder  —  !,  je  nachdem 
die  TransformatioD  eigentlich  oder  uneigenttich  ist.  Da  die 
charakteristische  Gleichung  nur  reciprnke  Wurzeln  ausser  den 
Wurzeln  +1  besit/t,  §o  tnuss  bei  uneigetitlicher  Transfonnatiuo 
die  charakteristische  Funktion  stets  die  Wurzel  —  1  eine  un- 
gerade Anzal  mal  besitzen. 

Nach  diesen  Vorbereitungen  stellen  wir  die  Frage,  welche 
uns  hier  beflchftfligen  sott. 


*)  l'rofaenini,  Uaber  lineare Sabrtittition«!)  omi  bilioeare  FiHrmsii. 
Jcrnm.  f  d.  r.  o.  rnng.  Hntli.    Ud.  8t.  p.  l  C 


9h-*/:   Thcarie  dar  konjuffirten    lyanafonantion  ele.  27 

Man  soll,  irenn  eine  bilineara  Form  A  von  nicht 
ver»chw)ndeiider  Determinante  gegeben  int,  autt  ibrum 
Charakter  entscheiden,  ob  »iu  nur  eigentliche  oder  so- 
wohl eigentliche  wie  nneigentliche  konjugirte  Trans- 
formationen in  sich  xalässt^) 

Das  Resultat,  zn  dem  wir  gelangen,  zeigt  wieder,  wie 
gldcklich  und  vorteilbuil  gewählt  die  von  Caucb}*  Btamniende 
.charakteristische  Funktion"  und  die  von  Weieratrass  einge- 
ftlhrten  ^Glementart^iler"  sind.    Wir  finden  folgendes  Ergebnis: 

Damit  eine  bilineare  Form  A  von  nicht  verschwin- 
dender Determinante  sowohl  durch  eigentliche  wie  un- 
eigentliche Traiisfurmationeu  konjugirt  in  sich  fiber- 
gehen soll,  ist  notwendig  and  hinreichend,  dass  die 
charakteristische  Funktion  \A  -^E^  von  yl  wenigstens 
einen  £lonientarteiler  mit  ungeradem  Exponenten  be- 
sitzt. Die  AnsBugen,  das»  die  cUarnk teristiche  Funk- 
tion einer  bilinearen  Form  nur  Blementarteiler  mit 
geraden  Exponenten  besitzt  oder  dass  die  bilineare 
Form  nur  durch  eigentliche  Transformationen  in  sich 
Obergeht,  sind  daher  identisch.') 

Zum  Beweise  bedenken  wir,  dass  ähnliche  Formen  stets 
durch  ahnliche  Substitutionen  konjugirt  in  sich  übergeführt 
werden  und  dass  älinliche  Transformationen  ^iets  Det«rminanten 
jFon  gleichem  Werte  ha^en.  Hieraus  folgt,  dass  ähnliche  Formen 
in  gleicher  Weise  entweder  nur  durch  eigentliche  oder 
durch  beide  Gattungen  von  Transformationen  konjugirt  in  sich 
Qbergehen.  Hat  die  charakteristische  Funktion  |  A  —  9E\  einer 
Fonm   A  die   Klfmi-nhirtoiler  : 


')  Vgl.  Frobeniai,  Usber  d!«  scbiefA  tiiTariante  einer  bilineareo 

'od»r  qaftdrstiachoD  Form.     Juurti.  f.  d.  r.  n.  ang.  Uath.     Bd,  86,  p.  \A. 

'*)  Bine  bilineare  Konn  A,  welche  eine  unKerade  Antahl  von  Vari- 

abtcopoaren  beiitit,  bat  itets  «iDeo  Klementuteiler  mit  oogeradeni  Ex* 

DoenlcQ,  dft  die  Snmiiie  aller  Klenientarteiler  gleicb  der  Ansahl  h  von 

rariAbleapaaren   \A.    Eine   dcrarLif^  Form   geht   aniebtUch   darch   die 

Traut formatioD  —  f;  »on  der  Detenninaate  —  1  in  iich  Ober. 


wo  fi  di«  Antthl    ron  Variablenpiareo    der   Korm  A  Mt  nad 
einselo«  a  und  a  aach    oot«r    einander  gleich  «erde»  kfinneBtj 
•0  Ml  ji  der  Foto: 

°i  (*i  Vi  +  *.yi  +  •  -  *..  V,.)  +  (*,  y,  +  *,Ä  4- .  -*«._,  »J  + , 

ihnÜdi;  die  Ictxtere  Form  wtrJ  anii  dorcb  die  SufasÜtotioDen : 
*i  ■■        »1  J  *i  ^        ?i '   •  '  *a.  '^        >«,  •  *a4+I  ** 

konjnfprt  in  sich  Obergeffibrt.  FDr  ungerades  a^  ist  diese  Tnins- 
formatioii  iinei|;entlich.  Jede  bilineare  Form,  deren  efa&rak- 
terinttscbe  Funktion  einen  Ktenientarteiler  mit  ungeradem  Kx- 
ponenten  hat,  läast  also  nneigentliche  konjngirt«  Transforma- 
tionen in  «ich  xn. 

Wir  wollen  nun  annehmen,  dam  eine  bilineare  Form  A 
Vau  nicht  ver^hu-indeniler  Detenninant«  durch  uneigentlicho 
Subsiiiii Honen  konjugirt  in  sich  flbergebe;  m  set  al»o  PAF^^A, 
Da  P  eine  nneigentlichc  Transformation  ist,  so  hat  die  cha- 
rakteristiHche  Funktion  i!'(g)  ^  IP —q  E\  den  Faktor  (ß -|- 1) 
eine  ungerade  Anzahl  etwa  p  mal.  Es  sei  (/'(9)  zerlegt  in 
i/r(^)  ^  ixi,  (f)  i//,(^),  wo  1p^{(f)  da«  Produkt  oller  derjenigen 
Klemontarteiter  ist,  die  fllr  p^  — 1  venfchwinden;  t^,(c)  hin- 
gegen vemchwindet  nicht  für  p  =  —  1.  Wir  konstruiren  uns 
liann  eine  bilineare  Form  P,,  welche  nur  die  p  Variablen- 
PftM«  JP|y,t  s^Jft  ..  z  if  bat  und  dieselben  Elementarteiler 
wie  V'i(c)  bawtat;   ebenso  möge  die  aus  den  Variablcnp«aren 


^l.  jAhcjf:   Thturir  der  lMi\juffirte»   Traruformation  ete. 


20 


t^,  y^j  - .  -z^  y„  koDstniirte  bilineare  Foriu  P,  dieaelben  Kleineu- 
Urteiler  wie  i/',(p)  aafweisen.  T*q  =  Pj  +  /*,  ist  dann  der  Korn» 
F  ähnlich ,  da  beide  Pormen  die  nämlichen  Elomentnrteiler 
haben.  Aehnliche  Subäiitutionen  führen  äfauliehe  Formen  kon- 
jngirt  in  sich  Über;  daher  giebt  es  eine  zu  Ä  ähnliche  Form 
^«,  da» 


*A"ft  *  «  —  ^n 


Srd.    SeUt  man 


äO   ist 


Da 


^=-i:a^.y,  =  A^,  +  ^.. 


E,A,E,  =  E,P,A^P,E,  =  P,E,A^E^P, 


wird ,  BO  folf^,  don  £|  ^  £|  identisch  verschwindet ;  denn 
diese  Form  wird  durch  zwei  Substitutionen  i',  und  P,.  deren 
charakteriäli&che  Gleichungen  keine  recipruken  Wurzeln  haben, 
in  sich  fibergeführt')  Ebenso  zeigt  man  das  identische  Ver- 
schwinden von  E^A^E^,  Hierauj»  ergieht  sich,  diu»  A^  in  der- 
selben Weise  wie   Pp  zerlegbar  ist,  also  A^^^  A^-\-  A^, 

Die  Form  A^  hat  mithin  auch  eine  ungerade  Anzahl  Ton 
Variablen  paaren,  und  daher  hat  die  charakteristische  Funktion 
roa  Af  nämlich  |  ^4,  —  qE\  wenigstens  einen  Klementarteiler 
mit  un^eradt^m  Ex|>anfnten.  Folglich  bntitzt  aiirh  die  charak- 
terijiiiächf!  Funktion  tou  ^q  näutlich  A^^^qE]  wenigstens 
einen  Elementarteiler  mit  ungeradem  Exponenten;  denn  die 
Elemeutarteiier  von  ^  A^  —  e^\  s\n6  da^  Produkt  derjenigen 
fon  \  Aj  —  e  E\  nnd  A^  —  P  ^ '■  Da  die  chnraktcristiscben 
Funktionen  von  A^,  und  Ä  dieselben  Kiemen tarttiiler  haben,  so 
ist  unser  Satz  bewieeeu. 


*)  Frobcnins,  Joarn    f.  d.  r.  ti    aoff.  Halb.     Bd.  84,  p.  S3. 


81 


üeber  die  linearen  Transformationen  einer  quadra- 
tischen Mannigfaltigkeit  in  sich. 

VoD  F.  LlodeniuiD. 
{XtHftla^iti  7.  Min.) 

Trotzdem  von  Cayley  allgemeine  Formeln  für  die  Tratw- 
fornitttion  einer  Summe  ron  Quadraten  in  sich  aufgestellt  waren, 
und  trotv-tiem  Herr  Frobenins*)  diese  Formeln  von  der  Lage 
des  Coordi^atenäy!^tems  unabhängig  gemacht  bade,  war  die  Auf- 
gabe, all«  linearen  Trunsformationen  einer  quadratischen  Form 
in  äich  durch  Parameter  darzustellen,  doch  noch  nicht  erledigt^ 
da  sich  die  uneigentlichen  TraDäformatiooeu  jenen  Formeln 
entzogen.  In  den  von  mir  hearheilet^n  ^ Vorlenungen  Über 
Geometrie*  habe  ich  diese  Lücke  fUr  den  Fall  von  vier  homo- 
genen Viiriabehi  ausgefüllt,  und  Herr  Lowy  hat  entsprechende 
TJeberleguugea  für  beliebig  viele  Variable  angestellt.')  Neuer- 
dings hat  Herr  A.  Vos»^)  dieselbe  Aufgabe  in  anderem  Sinne 
geirxtt;  Zweck  der  folgenden  £nt«icklungen  i«fc  es,  die  L&wy'- 
Bchcn  Formeln  so  umzugestalten,  dus  ans  ihnen  die  von  Herrn 
Voss  aufgt^tellteu  Endresultate  hervorgehen.  EU  bietet  sich 
dabei  Gelegenheit,  jenen  früheren  Untersuchungen  manche  er- 
ganzendü!  Bemerkung  hinzuzufügen.  In  Betreff  der  Litteratur 
sei  auf  jene  Arbeit  des  Herrn   LÖwy  verwiesen. 

')  Crene's  Joanwl,  Bd.  84. 

')  L'eber  die  TraciforniKtioaen  einer  r(iiadratitchen  Form  in  lich 
«elbat,  Nor»  Acta  ticr  Knis.  I.eop.-Carol.  DeotscheD  Akademie  di^r  Natur^ 
foncber,  Üd.  LXV,  HaMf  1891)  (loaugurftl- Dinertation  der  Univerftitftt 
M(Uich«n}. 

')  Siebe  SittungibericbLe  vom  A.  Januar  189G. 


w^  ^^"Miiiy  fl^r  MflB«>*]M)Ws 


PI,  1,  }iwk  der  Tön  mir 
P^  Gt^ley'äciiea  Formeln  ftr  £0 
efoer  P^he  rweiter  Ordonag  in  tkk  m  iar  «l%MMiMB  Fro- 
betiias*deh«n  Fonn^  weuB  mmi  nni  PukI»  I  md  «  bilaaUil^ 
i^die  kanuNuaehe  PoU  m  Boig  anf  fis  giyhaw  IMAb 

I        sind,  und  deren  VerbinduDfiKaiii  fif  tUA»  jtt  ^WifbaklMe  i 
^        aod  £  trifft,  welche  aus  einmkif  :4mk:9^ 

formadon    herTCirg«hea.     Die  ÜBMra  BeHnkUff   wM 


b 


benp3Bt«Ut.  das  mas  I  abPdt  MBer  Bnba  «  m  BMlig  aaf  ^ 


Hiebe  (1>  b«tracbt«t.  r  aber  ab  dn  dieMr 

wiilfcBilkli—  loMmn  Con^oie  ngeofdnateB  Pokfc,  m  ^am 

Ä  ».-  «n  %  +  «rtS  +  «rtS  +  «««4« 

«•  J^^  fie  VateMnuMDtai  der  c,^  bedeolan.  «ÜbcmI  vt 
i^te~a^  wSSkSA^  PnuMfar  boBBÜhnefc  wiiiiiM.  Die 
ftiffiAi  «igwiUinlie  Tnnsfonintioii  ist  dann  dordi  die  Qlö- 
diaagea 

(4)  x,=  x<,+  Ir  ,         l,=  x<,  -  ir 

daigmldlt,  aos  wdeben  man  die  Grflawn  m^  za  dimiainB  hat. 
Zq  dem  Zwecke  bildet  man  ans  (4)  darch  Addition: 

(5)  *.  +  f.  =  2  X  (4,,  «,  +  ^,, «,  +  J.,  «,  +  ^,,  «,). 

Hieraos   and   ans   den    enlai   rier  Oleichnngen  (4)  ergibt 
flieh  durch  KKmination  der  «.: 


«I 

I>ll 

Pa 

P» 

Pu 

*. 

Ptl 

Pn 

Pt» 

Pu 

*» 

Pn 

Pn 

Pn 

Pu 

•»i 

Pu 

Pu 

P** 

Pu 

+f. 

2k^ 

2xA 

2xA„ 

2xA 

(6)         '       *»  P«  Pn  Pn  Pu        =0. 


F.  lAndemann:  lieber  die  linearen  Transformationen  etc. 


33 


Für  t  =  1,  2,  3,  4  sind  hierdurch  die  £.  mitteUt  der  x^  aus- 
gedröckt;  es  ist  P^»  =  ^t-^,*  +  ^«^^  gesetzt.  Die  aufgelöste 
Transforination  erhält  man  durch  Ersetzen  von  7i  A.^~\-  Xa.^ 
durch  X  A^j^  —  A  «^j. 

2.  Während  die  Punkte  t  bisher  beliebig  waren,  müssen  sie 
durch  lineare  Bedingungen  beschränkt  werden,  um  die  uneigent- 
lichen Transformationen  zu  liefern.  Durch  diese  Ueberlegung 
geleitet,  habe  ich  die  letzteren  a.  a.  0.  in  folgender  Form  auf- 
gestellt, in  denen  zunächst  die  Punkte  t  auf  eine  Ebene  v,  die 
Punkte  T  auf  eine  conjugirte  Ebene  w  beschränkt  werden: 


(7) 


1  d^ 


Hier  ist  tj  der  Pol  der  Ebene  v;  f  =  0  ist  die  Gleichung 
der  Schnittcurve  dieser  Ebene  mit  der  Fläche  (1)  in  Ebenen- 
coordinaten  t/,  so  dass 


«.       Vi 


M,    r. 


(8) 


ip  = 


■•sa 


=*43 


"3 

'i 

"4 

«4 

0 

0 

0 

0 

Die  Punkte  t  erfüllen   eine  zu  v  conjugirte  Ebene  w^  die 
folglich  der  Bedingung 

(0)  iJi:^,^«.  «;,  =  () 

genügt;  und  (vtvn)^  ist  der  Factor  von  w^.  in  der  Determinante 
^  -H  Wj  t'g  R'5  u^.  Miin  künnte  zuiiäclist  versuchen,  die  Punkte  t 
ganz  unbeschränkt  variiren  zu  lassen,  also  zu  setzen: 

^,  =  ."'  (»■'  »t''  "),  -f-  .""  (f  w"  ")y  +  V  T].. 

ItiM.  Mith.-phj8.  Cl.  1.  3 


( 


»ne   dea   ßflscbels   ft*  tc'  -|-  /i"  ir"^  welche  tlurcb 
A*ge1it     Die   Punkte  t  «ind    11I40   in   der  Tfaat   an 
I        be  gebanden. 

I   lühgen  {7)  sind  dien  Olptchunj^en  (5)  darin  ^;pnau 

n       ie  Xf  und  |^  durch  HuiriKvariabie  u    mit  pinander 

I        iung   gesetzt   werden.     Herr  Voss   eJistr**bt  r.  m.  0. 

t  Äufütellung  einer   zn  (G)  anHloffen  OIpichiiti^T'     l^ioö 

re   ergibt   sich    in   der  Thftt   durch   Eliminatitm  der  u^  mw 

acn  Gl«)chiiogen  (7).     leb  butte  a.  a.  O.  diese  Elirniiitilion  mit 

HUlf«    derjenigen    beiden    Ebenen    bewerltiilelligi^    welcbo    dem 

durch  die  Hibenea  r  und  w  be^limmton  Büschel  aiifitebGren  und 

diij    Flucht}  (1)    b«rlllbr@xii    mnfacber    füiirt.   der    folgende  Weg 

zum  Ziele. 

Setzen  wir  m  bäkannfer  Weise 

80  ergibt  sieb  aus  (7): 

(10)  «'.=  »'^. 

denn  es  ist  offenbar 


Sei  ferner 


so  erscheinen  die  ersten  vier  Gleichungen  (7)  in  der  Form 

(12)  x^  v^  -  j;^  t>,  —  r^  S  (x  W^^  +  A  y^  J  h^, 
und  an  Stelle  Ton  (5)  haben  wir: 

(13)  ;t,  +  S,  =  2x (f„  «,  4-  *  s  «j  +  fn  «3  +  "^a  ".)■ 


,  i^.  LimdetHnnm  Ü^tr  dis  HHeartn  Tfanvfbrmaliontn  He. 


35 


(14) 


fe^tn  der  Hchoo  bei  Ableitung  von  (1 2)  benutzten  Relationen 


ist  von  (Jen  vii*r  GIeichunR<"n  (12)  pine  die  Folge  der  nbrißen; 
aus  diesen  Ülcicbun^en  (12)  und  oiner  Gleicbutig  (13)  ki'Mtneu 
die  w,  nicht  unniittelbur  durch  Di^lermiiiaiittmbildiing  eliminirt 
werden.  Wegen  der  ReUitione«  (14)  ündern  sich  weder  die 
jeichun^cn  (12),  noch  (13),  wwnn  man  «^  durch  M^-f-/"'»  ^r- 
Itzt;  ilnrch  pa^^eiide  Walij  von  /'  kann  luati  ^  ^rrt^ichpn,  dasfl 
dicM  Kbeoe  u  -{-  fiv  durth  den  Pol  */  von  v  gebt.  Wir  klinuKn 
daher  annehmen,  dass  die  in  (12)  und  (13)  Torkommenden 
Khi:nen  u  alle  durch  r;  hindiirehgeheii,  d.  h.  nur  eine  zweifach 
nnrndlicbe  Mannigfaltigkeit  bilden:  und  dann  bat  die  Bliminution 
keine  Schwif'rigkeiten.     Fügen  wir  nämlich  die  Bedingung 


(16) 


E  «,  'V.  =  ^ 


hinxu,  so  ergibt  sieb  aus  3  Gleichungen  (12)  und  einer  Glei- 
ch uiig  (13) 


(16) 


'l^■ 

-';i''. 

x¥'„ 

• 

xV^^  +  iVu 

V,- 

-Vt^. 

'«'^..+^9.1 

xV„ 

- 

<%i  +  ^9n 

*.«•,- 

-%", 

*'^,i-^^9u 

^%. 

«^^M+^9»* 

»,1«- 

+^.) 

2x'P 

2KV 

2xV„ 

2x»f,, 

( 

) 

'^i 

*?! 

'<'s 

'/« 

0, 


Ifldem  man  aus  den  vier  Gleichungen  (12),  einer  Glei- 
chung (13)  und  nur*  (15)  di«  GrfHeen  r^,  v^  ond  u^  eliminirt. 
erhält  man  diia-elhc  Ri.'^nltat  in  der  mehr  svmiut'tmcheii  (iet^talt: 


ri7i 


'il 

■^. 

i^ii 

/»it 

Pu 

/\i 

'/■ 

a^. 

P« 

/'n 

/'n 

P« 

*i» 

*. 

Ptx 

/'w 

r» 

fM 

*u 

X, 

/\l 

/"u 

i»«» 

fu 

0 

^i-^^i 

2xV„ 

2x^,. 

2x^,. 

2x 

0 

0 

11 

«:. 

'/• 

% 

*\ 


'0. 


8' 


36 


JS'ifrMf^  der  ma^.-ph3fg,  Clem«  vom  S-  Fdtruar  1690. 


wo 


f** 


f..+H 


V** 


'0. 


«, 


^1' 


■ffl 


Ci 


'V,W, 


(■"* 


■  w.  t'i 


;^*' 


Die  Gleichung  (IG)  oder  (17)  tntt  »n  Stelle  von  (4);  sie 
hat  mit  letzterer  Gleichung  die  Eigenschaft  gemein»  dasa  in  den 
Eleoienten  p^^  die  Facloreö  toü  x  fiir  eich  eifle  Bymraetrische, 
die  Factoren  roQ  l  fUr  sich  eine  windBchiefe  Determinante  bilden. 

3.  Aof  letetere  Eigenschaft  legt  Herr  Voss  a.  a.  0.  be- 
sonderes Oewii^ht.  Um  aber  doä  gefundene  Resultat  in  die 
Vöss'ffcheFonn  yja  briDgen,^ sind  noch  einige  UniformungeQ  nötfaig. 

Die  in  (12)  und  (13)  vor  komm  enden  Ebenen  ti  bilden  einen 
Btlndet,  da  sie  an  die  Bedingung  (15)  gebunden  wurden ;  die 
Courdinaten  i*^  können  daher  durch  diejenigen  Ton  drei  festen 
Kbenen  w\  uj^',  w"*  und  durch  drei  Parameter  f^^,  ^j,  ft^  (ter- 
när«  Cüordinaten  im  Bündel)  ausgedrückt  werden,  &o  dasa 

(18)  tt^  =  ^j  w)  +  ^j  »;'  +  fij  w]". 

Führt  m»n  dieae  Wertbe  in  (12)  ein,  raultiplicirt  b«zw* 
roil  w),  w^,  ^i'  and  addirt»  so  ergeben  eich  die  drei  Gleichungen: 

(19)  w'^  =  ^i^  JT^  4-  ^,  ?rta  -t-  ^8  ™«* 

wo  zur  Abkürzung 

(20)  «„  =  xP,,  +  iC,.,       P,.  =  SSf„«KO«^')  =  P,^, 

«,» =  £  L  ?„  <"  w<»'  =  -  e,..,       «,, = 0 

gesetzt  ist.     Die  Elimination   der  Grossen  ju,,  fi^^  fi^  aus  (19) 
und  (13)  ergibt  endlich: 


(21) 


»_ 


w_ 


tc. 


TT, 


ff,. 


?r. 


^11        '^M       ^«^W 
TT.,       «:„      TT, 


Sl       ''81       "88 


==0; 


nn.'  Uebtr  äi«  Untartn 


v^üÄmnM  «Ml 


37 


hierin  ist:  /7^^^2x 


f^^io<''\    Diese  Utzte  Gleiohoag  ist 

mifc  der  tod  Herrn  Voss  fQr  diesen  Fall  aufgestellten 
identisch.  Die  Elemente  /r^^  setzen  sich  wieder  aus  Kle- 
menten  P^^  =  P^^  uiid  Klementi^n  Q^^  =  —  9»,  ansamnien:  von 
letzteren  kommen  nur  drei  {Q^^^  Q^^,  Q^^)  Tor,  die  keiner  wei- 
teren Bedin^ag  genügen,  während  in  (17)  Rechs  Elemente  q^^ 
auflretenf  die  noch  an  die  xwiscben  Llnieiicuordi nuten  geltende 
Identität  gebunden  sind. 

Die  Gleichnng  (21)  hängt  nur  scheinbar  von  den  Grössen 
w^,  wj',  9o'y  ab;  man  kann  diese  durch  irgend  welche  lineare  Cora- 
bioatiOD  >*]  *f ^  4~ ''i  *"]' H~  ^s  *<^^ '  eraetzen,  ohne  das  Resultat  zu 
Andern. 

Die  xur  Elimination  angewandte  Methode  wird  iltusorisch, 
wenn  ^  in  der  Ebene  v  liegt,  d.  h.  wenn  letztere  Ebene  die 
Fläche  f'^0  berflhrt.  Dann  folgt  aus  (7)  »-^Qo;  es  ergibt 
sich  also  die  Transformation  a;^  =  —  f^,  welche  jede  Kläclie 
»weiter  Ordnung  in  sich  überführt. 

Will  man  kanonische  Formen  fUr  die  einzelnen  Fälle  her- 
stellen, ao  muHS  besonders  beracksichtigt  werden,  ob  die  Fläche 
f^O  von  der  Schnittlinie  der  Ebenen  v  und  iv  berührt  wird 
oder  nicht  (vgl,  «Vorlesungen*  a.  a.  0.  p.  3Ü9  f.). 

4.  Die  Punkte  t  mi.'igen  wieder  eine  Ebene  v  erfflllen,  die 
Huukte  t  dagegen  auf  eine  bestimmte  Gerade  beschränkt  wer- 
den. Der  Ansatz  würde  wieder  durch  (7)  gegeben  sein,  wenn 
man  die  Annahme  hinzufügt,  dass  zwLichen  l  und  v  eine  lineare 
Relation  besteht.  Da  aber  r  durch  (10)  bestimmt  iE»t,  so  kann 
eine  solche  Relation  nicht  bestehen ;  es  bleibt  nur  der  Fall 
r^O,  wo  alle  Punkte  r  mit  dem  Pole  ij  zusammenfallen 
(Tgl.  die  Gleichungen  (23)  a.  a.  0.  p.  3G9). 

6.  Die  Punkte  i  mögen  auf  eine  gerade  Linie  be- 
schränkt werden,  also  gleichzeitig  in  zwei  Ebenen  (tf  and  w) 
liegen;  es  seien 


(22) 


9ik 


r,w,-w,p. 


80  dua  die  OleJclinnK  ^^^0  in  Eb^nencoonKnatea   y    die  G 
chimg  d€«j(>nigen  PunktopaarM  darsUillt.  in  weJcboui  die  Ft| 
/  s«=  0  von  der  *jer«den  q  jfetroffen  wird.    Es  «ei  /  dpr  Pol 
Bbene  m  in  Bi/.ii(^  auf  die-'«»  Punkti'fjuir,  also: 


(24) 


1  d0 

2  9fi; 


Bfzeirhnen   wir   mit  ?;  d«n  Pol   di*r  KWne  w,    mit  .V 
Pol   der   Eben«   iC,    mit  (m  r  »*•)   di-n  Srhuiltpinil.»     -4«i-    1*1-. 
w,  V  und  «r,  so  kttanen  wir 


(25) 


',=  «?l'0+   P»**.-^-  ei(M*''"\ 


!4etzen.  Die  Polarebcue  de^  Punktes  t  n&mlich  in  Brxnf^ 
die  Fläche  ^=0  gebt  durch  die  Pole  ij  und  *>  der  Kbeoi 
und  w,  in  deren  Schnittlinie  i  nach  (24)  liegt,  uixl  durch 
\ierteD  harmonischeD  Puukt  von  t  in  Beztig  uuf  iliu  Poa 
paar  <D  =  0.  d.  h.  durch  den  Punkt  («  f  (*■);  die  Gl 
(25)  stellen  al«i  in  der  That  uiueu  belii'big^n  Pui^«.  -.  i 
Poinrobeae  dar.  Letztere  dreht  sich  uoi  die  Oeradv  g,  « 
u  variirt;  der  Punkt  r  nirnntt  also  in  d«r  Thai  all«  möglic 
Lagen  im  liaunie  an.  Aus  (24)  und  (25)  erhalten  wir  naoh 
die  Trjm.'it'nrniJkti"nsf<iruieln : 


F.  Lmdemann:  Uebtr  die  Intearen  TremsformationeH  etc.         39 

(26)  ^^^ 

Durch  ÄddiUon  ergibt  sich 

(27)  X,  +  I,  =  .c ^     2x (ü..,  «,  +  a>,, „^  +  ffl,  «,  +  ©., «,), 

ferner  durch  MultipHcatiün  mit  v^  bez.  w^  und  Addition 

*',  =  »'",  +  '■'  '■d-         w^^  =  »-  tP,  +  »■'  w,?, 
demnach  durch  AufiÖsung: 

wo: 

Dieser  Ausdruck  ist  nur  gleich  Null,  wenn  q  zur  Erzeu- 
genden der  Fläche  wird.  In  dem  Falle  würden  alle  Punkte  t 
auf  der  Fläche  liegen,  also  mit  x  und  |  zusammenfallen;  der 
Fall  ist  also  auszusch Hessen.  Durch  Einsetzen  der  für  v  und  v' 
gefundenen  Werthe  gehen  die  Gleichungen  (26),  wenn  noch 
zur  Abkürzung 

(28)  F.  =  Wx,  -  .„  {r^  w,,  -  «-^  .,,)  +  ,'>,. (t;^  tr,^  -  w^  r,^) 

^.   'h  ^ ; 

=      '>        '■.;        '0     ' 

"•.      «V;      «7>  : 
gesetzt  wird,  über  in 

Dil  die  lleliitifuion  U  r^r  =  n,  2J  U'^.  r  =  0  identisch  er- 
füllt sind,  sind  zwei  der  (ilcichnngm  (25)  eine  Folge  der  beiden 
übrigtfn.      Dii'  Kliniiiiiitiun    <lcr  u.  wird  (hulurch    möglich,    dass 


40 


Siteur^  der  maih.-phy8.  Clasae  vom  1.  Febnuir  1896. 


sich  die  Gleichuogea  (29)  nicht  ändern,  wenn  man  u^  durch 
«*,  "h  M  V;  +  A*' w^  ersetzt;  man  kann  in  Folge  dessen  die  ur- 
sprünglich willkürliche  Ebene  u  der  Bedingung  unterwerfen, 
nur  beliebige  Punkte  zu  geben,  z.  B.  durch  die  Punkte  ij  und  &. 
Zu  den  Gleichungen  (27)  und  (29)  können  wir  somit  die  Glei- 
chungen 


(30) 


«,=  0. 


«ö  =  0 


hinzufügen,  und  die  Elimination  der  u  führt  zu  den  Trans- 
formatiousformeln: 


(30) 


V,              xa>„ 

.     ^^i,-\-^Qii 

n              ^a>«4-^ 

Qn     • 

•     ^^u-\-^9u 

W{x, -{-§;)     2x0)^, 

.     2x0*,, 

0                   1?, 

•     Vi 

0                  »^ 

.     ** 

'0. 


Dasselbe  Resultat  erhält  man  aus  (26),  (27)  und  (30)  durch 
Elimination   der  Grössen  u^,  v,  v'  in  der  symmetrischen  Form 


(31) 


^1 

'n 

X, 

xü>„ 

■      ^tÖ'u-f-^?,* 

^ 

'a 

^4 

>'-^u  + 

^741       ■ 

•      =^<^\. 

0 

0 

X 
1 

+^. 

2  .  <lr^ 

•     ^-«'a 

0 

0 

0 

'n 

■     '.1 

0 

ü 

0 

^, 

.     '^^ 

=  0. 


Tni  flie  Voss'sclie  Form  dieser  Bedin^nn^  zu  erhulten, 
bf'/eiclinen  wir  mit  w'  uri']  tt"  irf^end  zwei  Kbeiien,  welche  den 
liedinf^un^'en  (:iü)  j^rfuiinen  (d.  h.  dunii  die  conjngirte  Polare 
der  Linie  q  liiiidurchgehen).      Diiini   ist 

",  ^  ."i  "i  +  /'2'<'- 
und  di-'  <i]cicliini^''tMi  (2ti)  eri^eben  : 


.32) 


"1    =."l'.M    +."3' 


K  liind^manH:  0$lw  du  linearen   TrnmsformathneH  etc. 
"wo  wieder 


41 


wenn  ^j^  die  Coordinftten  der  oonjagirten  Polare  von  q  b«deat«n. 
Machen  wir  noch 


und; 


(33) 


iL 


2  X  S  <P,»  <.       //,j  =  2  X  L  0»,, »;, 


so  ergibt  sich  durch  Elimination    der  Grössen  /i,  t  ff  aus  (82) 
und  (27)  dofi  Resultat  (31)  in  der  Gestalt: 


(34) 


y>. 


3t, 


It 


womit  die  toq  Voss  angegebene  Form  hergestellt  ist. 


/!..    n. 


0. 


6.  Da  die  Punkte  i  durch  eine  gerade  Anzahl  linearer 
Bedingungen  (r,  ^  0,  w^  ^b  Q)  bcAchränkt  werden,  so  stellen  die 
GUicfaungeu  (26),  be;^.  (30),  (31)  oder  (34)  nach  den  allgemeinen 
Sätzen  dt»  Herrn  Löwt  (a.  a.  0.  p.  23)  eine  eigentliche  Trana- 
fonuatiou  dar.     In  der  That,  sei 

/■«2JK,X,  +  2X,X„ 

und  die  Ebene  v  möge  durch  X,=aO,  10  durch  X,  =  U  darge- 
stifllt  werden.  Es  ist  Ü*  =  2 //,  V^\  der  Punkt  \  hat  die  Co- 
ordioateo  0,  0,  1,  0,  i^  hat  die  Coordiuaten  0«  1,  0,  0.  Man 
Badet  abo  aus  (25) : 


X,  =  («  +  ;•)'/.. 


S,  =  (x-^)ü,, 


^4  =  («  +  ^)£^„ 


4S 


Sittung  der  malk.-phi/a,  ('tfuxe  vom  /.  fV6r«Mr 


und  durch  AufirWung: 
(85)  X, 


fr  —  / 

Die  DetermiDftntc  dor  Gloichonfren  ist  gleich  -f"  li  *^«  ^ 
ihr  all^nieinen  eigenilicben  Trftn^»rinution.  Den  hier  behui- 
deiten  Fall  hnttp  ich  M  nirint'r  AnfzAhlunt;  der  ei^entlichea 
SttbitibitioTten  uichfc  explicite  angegeben;  Herr  L^wy  hat  /Br 
ihn  (t.  ft.  0.  p.  27)  die  Portnoln  (35)  »ufgi^tMIt,  E>  ist  di» 
einer  der  von  Herrn  Proben iu)»  nnf{iP*trllU'n  GremcflU«; 
in  der  That  ergeben  sich  die  Foraieln  lltü)  atu  drr  ksM*- 
nischeo  Pnrin  der  AtlKetueineii  eigeutÜcben  Sub«titation  (a.  &.  Ul 
p.d64): 

wonn  man  i,  unendlich  gros«  werden  Iftsat. 

7.  Sollen  die  Honicl«  t  ein«  einfach  n  in'n«ihc(.f 
ManDigfalti(<)ceit  erfüllen,  wühreod  die  Punkte  i  wieder 
auf  die  Gerade  9  beiK-lirünkt  werden,  «o  nitUften  die  Punklef 
die  conju^irte  Polure  der  Gernden  q  bilden,  danir 
Verbindungslinie  iweirr  Punkt**  t  und  r  die  Flathtiü  (1)  in 
SQ  diesen  Punkten  harnioniitchen  Pnukt<-n  triÜu  1^  int  in 
vorstehenden  Formeln  (2ä)  ?j  =  0,  öder  in  (26)  i  s  O  eo  »im. 
Die  dann  aus  (35)  bervorgeliende  kanouifiche  Form 

X,  ^  j:,  ,  A,  5=  —  ^, .  X,  =  —  j:,,  X^  ^  ^^ 

habe  ich  a.  a.  O,  bereit»  besonders  (als  eine  cingenUieho 
formatiuni  emähni. 

8.  betrachten  wir  jotzl  eine  quadratiacho  Forio 
n  homogenen  Variabetn  z,,J^....x^  und  doren  Tf 
formatiun  in  »icb.     Die  OleicbunK 

deren  Detertninant«'  nicht  v^r^ichwinden  mflge,   stellt  «in«  ii 
g^ebeueu  Jf,_|  (Maunigfolligkeit  Ton  v     1    DiaMi2si(*nM| 


tmannt 


iydnafÖrmatiort«7t  eh.         ^-^ 


fäfjfene  -Ä/J,",  dar  ('i.  h.  Manrn'jf;ill.ictkeit  von  «  —  2  Dinu'nvionen, 
diH  durch  irine  Üleicliung  2^^  OrdmiiiE;  be^^timmt  wird).  Die 
allgetncinstc  Transfonnation  der  JJf'^lj  in  sich  wird  dann  nach 
Cayley  und  Frobenins  dnrch  di«  Gleichnnj^en 

(36)  x,^^t,-\-X  I ..        §^  ^  %t^  -  A»,. 

dargestellt,  wenn  : 


WO    A^^   die    ITnterdeterminanten    d«r    a, 


dar^teMpn     nnd    wo 


V» 


Dt^^=  —  Oj^;  dpr  Bi^wei*  kiuiu  in  dors^lben  Weise  jjeometr!.«ch 
gefQbrt  werden,  wie  ich  es  n.  n.  0.  fdr  n  =**  i  tbat.  Ist«  eine 
gerade  Zahl,  so  stellen  die  zweiten  Oleichungen  (2)  ein  Nult- 
sydteni  dnr;  die  Punkte  r  sind  d»on  kein«D  Bedingungen 
iin tern-tirfen.  Ist  n  eine  tingi-nule  Zaiil,  5o  verschwindet:  die 
Determinante  drr  Coeffipieiiti-n  «^^  identi-ii'h;  die  l'imkte  r  iii(lasi»n 
•!«o  auf  «ino  lineare  3/JJ^j,  beschränkt  werden,  damit  die  Glei- 
chungen auflösbar  werden.*) 

FOr  jede  Zahl  »    hat    man    verschiedene    Fülle    im    iint«r- 
ecbctdpD.  ja  nach  Lh^c  de?  doroh  die  Oteichung 

(3B)  ^««(*,y.-*,-=»)=-f> 

darge^bellten  tSebildee  xu  der  Wfl^  /"=0,  und  Je  nachdem  die 
Uetenninant«  oder  die  ersten  udcr  auch  hühere  Uuterdeteruri- 
nanten  der  Grosso  a^^  ver;«t:li>viiideu. 

l)ni  atlp  niiVgliehen  Fälle  zn  luiifnaten,  sind  die  Gleichungen 
(87)  dnrch  andere  za  enetten,  dentn  Determinanten  verschwinden. 
Das  er»te  (j|eichui)g.s.-«\'stinn  \i^ni\  dabeä  im  Uebrigen  wUlkQr- 
licb  gewählt  werden ;  das  zweite  Ödstem  mu«»  der  Bedingung 
£i»^*^  =  0  identi<<ch  gt-nlii^on,  wenn  u^  die  Coordinatcn  der 
Polar -il/*,'|.2  von  t  nind.  Diu  Funkt«  t  werden  dadurch  auf 
1«  lineiire  oder  auf  mehrere  lineare  Miuintgfultigkeiten  he- 
Unkt;  für  die  PunklA<  r  Mnd  alte  dann  noch  bleibenden 
M5g]ichkeiteo  inV  Auge  »u  fawu'n. 

'I  V|fl.  «.  B.  RaUier,  Theorie  der  PetorminuDica  5  8  fp-  M  der 
drilt«B   Auflag«,). 


44 


ÜiUmmg  drr  wkoth.-jih^.  ClmM  w&m  t 


sm6. 


9.    Um  Punkte  t   iu    allgemeinster   Weise    auf  m  Une 
Muuiig&ltigkeiteii 

(39)       Lri'»<.  =  0,     St'«>«,  =  0 x;«i-»i,  =  0, 

d.  i.  ftof  die  diesen  Jüf^-i  g^i^^insame  Jl^i^,:-,**  n  iMecfaAnken. 
werden  wir 


(40) 

'.= 

1  dO 

2  9u, 

wteeDf  wo: 

«U        ' 

•      *i« 

«I 

^'»  ■ 

rj.» 

«.1     • 

•      »«. 

". 

*«-'  -• 

^.) 

(41)       0  = 

»I 

•      «. 

0 

0      .  . 

0 

el»      . 

0 

0       .  . 

0 

• 

. 

. 

.  . 

. 

0 

0 

'1 

Der  Punkt  t  ist  dann  der  Pol  der  dorcb  die  Oleicliangeo 
(39)  zusammen  mit  der  Gleicbun^  "«  ^^  ^  bestiromten  M^-m-i 
in  Bezog  auf  diejenige  qaadmüeche  -A^'^r^^  welche  auf  der 

Fläche  f  0  durch  die  linearen  MannigfalÜgketten  (39)  ftiMigt- 
schnitten  wird. 

Unter  t  sollte  irgend  ein  Punkt  der  Polarebene  von  I  in 
Bezog  auf  die  Fläche  f=0  verstanden  werden.  Da  t  auf  den 
m  linearen  M^_^  (39)  liegt,  so  liegen  die  Pole  i^***,  ^». . .  tf^^ 

dieser  Mannigfaltigkeiten  auf  der  Polarel>ene  Ton  f.  Sind 
C"'i  b**'  .  .  .  .  fi"-*->i  irgend  welche  andere  Punkte  dieaer  Polar- 
ebene,  so  kann  man  daher  aetxen 

-ei-!5"+ «.'.?'  +  .... +<'.'r +»-+.  ^"  + ••••  + ?►.£"*"• 

Der  Punkt  t  tnun  linear  von  den  io  (40)  Torkommenden 
Hilfi  - Voriabeln  u,  abb&ngea.  BCan  wird  diose  AbblDgigfccfl 
am  ainfiichaten  dadurch  zum  Aosdmcke  briag«o,  6tm  man  ^ 


y,  Lüdemann:  l/eber  die  Uncar^n  TrangformattoHeH  etc,         1*> 

Punkte  ^  auf  deu  m  Munnigfaltigkeiten  (30)  wählt«  gleich- 
zeitig aber  in  der  Mannigfaltigkeit  w.  Die  Punkte  ^'^  liegen 
I  dann  von  selbst  in  der  ['<]|ar-i/J,'^j  des  l'ucktes  i,  da  die  Mannig- 
faltigkeiten ('39)  TOD  ihm  und  Ton  der  Kbene  u  in  derselben 
linearen  ^^_„^_j  geschnitten  werden.  Die  Funkte  C*'^  müssen 
aUo  den  m  -\-  \  Bedingungen 

1(42)  JJ«,t;"-=o.  Et;</'S;^«o,  St;»)Cjn— o,...Et^,-»D,')«o 

genflgen.    Man  befriedigt  dieselben  in  allgemeinstAr  Weise,  in- 
ld«m  man 


m) 


setzt,   wenn   die   rechte  Seite   den  Coefficienten  von  w^   in  der 
I  n-reihigen  Determinante 


AU) 


Ü=s{t!ju  i;**' . .  .  !/"•>  »t^* , . .  ivt"-"-«!) 


bedeutet,  und  wenn  die  t^'  wieder  die  (Koordinaten  der  Mannig- 
fftltigkeiten  (39)  bezeichnen,  die  tcf^  dagegen  Symbole  be- 
zeichnen, die  für  sich  genommen  keine  Bedeutung  haben, 
während  erst  einer  (n-m-2)-reihigeu  aus  den  tvj*' gebil- 
deten Unterdeterniinante  eine  wirkliche  Bedeutung 
zukommt  Durch  Einführung  dieser  Symbole  w  bedienen  wir 
uns  derselben  Schreibweise,  die  Clebäch  für  die  Theorie  der 
Complexe  im  Räume  von  drei  Dimensionen  eiugefQhrt  bat. 

I  Ist  insbesondere  m  =  n  —  3,  so  kommt  nur  eine  Reihe  von 
Gr5esen  u>  in  Betracht;  diese  haben  dann  wirkliche  Bedeutung 
und  sind  die  Coordinaten  einer  linearen  ^^^If  Letztere  ent- 
hält alle  «  —  3  Punkte  r;t/l  und  die  beiden  Punkte  t*'\  ^'',  die 
hier  allein  zu  berfick^ichtigcn  sind.  Die  Punkte  %  liegen 
daher  fflr  m  =  h  —  3  in  einer  festen  linearen  M^^}_^tCf 
welche  zu  den  n  —  3  Mannigfaltigkeiten  (39)  coujugirt 

{M  in  Bezug  auf  die  Flftche  A^O,  sonst  aber  willkltr- 
lioh    gewählt   werden    kann   (ahK>  noch  von  2  Paiametem    ab- 

f  hangt). 


46  Sitzung  äer  math.-phjfä.  Cltuse  tom  1.  Februar  1&9€. 

Setzt  man  die  gefundenen  Wertfae  /,  und  r-  in  die  Glei- 
choogen  (36)  ein,  so  ergibt  sich 

X,—  ^ — +/i'Mü">....rf""ic'>'....if"—--'V+i-,  »*'>-;.....+  >■.» '.■»!. 

Diese  Gleichungen  stellen  in  ungemeinster  Weise 
alle  diejenigen  linearen  Tranäforiuationen  der  Mannig- 
faltigkeit /  in  sich  dar.  welche  iu  den  Gleichungen 
(M'})  und  (;J7)  nicht  enthalten  sind  Die  'frausformations- 
fonneln  ergeben  sieh  durch  Eliniination  dfr  Grössen  r,  und  m,. 

Für  «  =  4,  »i  =  1  erhalten  wir  aus  (45)  die  Formeln  (T). 
insbesondere  für  ^.^0  die  in  Xr.  4  besprochenen  Gleichungen: 
für  H  =  4  und  m  =  2  erf^eben  sich  die  Gleichungen  (2t>). 

Die  abgeleiteten  Ilesultate  stimmen  mit  denen  de^  Herrn 
Löwy  (a.  a.  p.  17)  im  WesentÜclien  überein.  Wir  benutzten 
zur  Bestimmung  eines  Punktes  r  einen  Punkt,  welcher  in  der 
von  den  Mannij^faltigkeiten  ff>>  \md  h  gemeinsam  bestimmten 
Mn-m-i  lipgt,  .-^ich  aUii  durch  **  — vi  —  1  .-jn'<.it.-lle  .-ulche  Punkte 
5"'  ausdrücken  lär.'st.  wie  es  hi  1 4:i)  i;e>cliali.  Diese  Punkte  -"' 
geniigen  den  Gleiehungeti  \\2).  Herr  L'">\vy  lienul/.t  .-talt  d''s>eii 
nur  n—m^'l  ?-]'eeieile  Punkte  -''.  'iie  dfiv-eU'eii  (ilfRliun<;iii 
und  einer  willküriieli   ;inLreM.iniiii>-nt'n   'iirirlmnt^ 

Lli'nüj/fii.  Ditj  (i'.-.-;iii:iiitz;i!ii  i]i.-r  l.i-.'!iiii/.:eii  I'iii'iiinelt'i"  wird  il;i- 
(lup'b  l"-eintl'i  v-t,  >o  IiniuT''  lujin  'li--  tr  a!-  < '''ii-Li:,;»'  ht-iraclitr; . 
H'-rr  L"f  wy  >ellt<t  -i-iii  rl;.--i.-  *  Ir'"»-<-n  ;ib'r  n;nlin;i_'licli  al~ 
l"imrti<Mi''n  der  (/  an  iiiid  -h-Ilf  il,i']ur>'h  'iu'  ii'''tlii^'e  Allijenii'iu- 
li.-it   wieler  her  (;i.  n.  < ».  y.  -J'I  u.   l!»). 

1".  K'  li;ii;iit'!r  -irli  j-'/t  diii  riiii.  <\\  ■  »n  i--- >-n  K  an>  ili-ii 
fi!'M<-hiijj:r'-ti  I  lö)  /.u  ..■iiiniiiir'-n.  Liii  'ii"  .M-v_'hL  lilw-il  il.  r  Kli- 
nunatiuM  /u  /ei^'en,  iiuiiul/.i  Herr  L'*>\\  \  a.  u.  '.>.  tine  Hülf^- 
^!'-ic!iiin;^  h<",h'rf:i   Gra'Ie-«    in  liet  i:leii,h'-n    \\r;-",    wie  ich  Ijei 


F.  lÄndemann:  Deber  die  Uneartn  Trttnsfonnationen  etc.         47 


n  —  4  eine  quadratische  Gleichung  benutzt  hatte.  Die  Wurzeln 
jener  Gleichung  kommen  im  Resultate  der  Elimination  nur 
symmetrisch  vor,  so  dass  das  Resultat  nur  die  Coefficienten  der 
Hülfsgieichung  enthält  und  auch  fQr  den  Fall,  wo  Wurzeln 
zusammenfalten ,  in  Anspruch  genommen  werden  darf.  Man 
kann  die  Elimination  aber  allgemein  in  gleicher  Weise  aus- 
führen, wie  dies  oben  in  Nr.  2,  3  und  5  für  n  =  4  geschah. 
Wir  setzen : 


(40)  F.= 


'i"   ".:    ^.. 


',!"' 


1  IM 


= Wx. + w,  tff) + . . .  +  ^«  h';'\ 


wo  zur  Abkürzung 


«„  =  L  y*^''  t/!'\ 


während  mit  ^V.  die  ersten  llntordeterniinanten  bezeichnet  sind; 
insbesondere  ist 


(47) 


W  = 


2« 


Durch  Multiplication  der  ersten  n  Gleichungen  (45)  mit 
v^^  und  Addition  erhält  man  für  y=  1,  2,  .  .  .  »h  ein  System 
von  m  Gleichungen  zur  Bereclinung  der  Grössen  »,,  •••■*'„; 
es  wird 

v(j'>  =  i\v  ,  4-  y,v  ,  A-  .  .  .  -\-  r    v     : 

X  1      _;  I      '         1     jl      '  I         Ml     J  ril 

und  hieraus: 

^^'ix  —  )■,  r'.''  -  »■,/'-' —  I'  *;'">)  =  V.. 

^1  1      'I  -'      <l  IM      'l  « 

Die  ersten  n  Glt'ichiiiiyen  (lö)  werden  daher 
/ 1      3  (/J  dil\ 


vii. 


tag  der  malh,-phjfs^  Cluue  vmn  1.  FAruar  IftMf.- 


I  di«  DeterminanU  (44)   bezeichnet   wird.     Kien^« 
AUS  (45)  folgeade  Identität 

ToQ  deaGleicfaaogflQ  (48)  dnd  m  föne  Folge  der  abrigeu  «-«; 
n  wird  di«  EUmination  der  u^  möglich;   d«nn  die  QIm- 
peo  ftndarn  rieh  niebt,  wenn  oulq  «^  durch 

Wir  kfinncn  daher   ßr  dis  tfanoigfaltigkeit  u  Dotih    1 
M  ^Miure  Bedingangen    hiuKufiigen ,  ohoe   dofi  Resultat  sn  b«- 
iinfloiMii,  z.  B.  fardern,   da«»  die  m  Pole   ^'^  der  Manotg- 
Mligfcliliiii  v(^*  in  der  Mannigfaltigkeit  u  liegen,  d.  h.,  dasa  di« 

W  E«,^J/>-.o  rat y=  i, 2, . ..m 

tff&Ut  seien.  Die  EliminatioD  der  Grossen  v  and  u  aus 
den  Gleichungen  (45),  (49)  und  (50)  ergibt  dann  das 
Resaltat: 


(51) 


'/?* 


0 
0 

0 


0 
0 

0 


*l 

Pll 

••  Pi« 

^n 

Pnl 

••^H- 

x,+  i. 

2x0),,  . 

.  .  2x0». 

IN 

0 

v;>     . 

•  ■  '/L" 

0 

vr' 

•  ■  '/!"' 

=  0; 


hierin  ist  i'(fc  =  x*P(4  +  ^g'^fc,  wo  ©^^  dieselbe  Bedeutung  bat, 
wie  in  (49)  und 

_  _      _    d^Q    _  _    B*Q  _ 


t\  jÄndemann:  Uther  die  linearen  Trtiiufbrmationen  ete. 


49 


Dieselbe  Gleichung   lässt  sich  auch  in  der  Form 
schreiben: 


(52) 


w— «  '  M-m.  ] 

0 


'/." 


0 


t 


Im) 


2x0. 


=  0. 


r,(«) 


für 


Die  in  (51)  tind  (52)  auftretenden  Deterniinanteu  kann 
man  wieder  auf  Determinanten  mit  weniger  Reihen  reduciren, 
%venn  man  die  durch  (50)  beschränkte  Mannigfaltigkeit  m  mit- 
telst gewisser  fester  Mannigfaltigkeiten  to^^  und  willkürlicher 
Parameter  /*  ausdrückt.  Bezeichnen  wir  also  mit  wj'\  w'-\  . . .  wj."-"") 
die  Coordinaten  von  n—m  linearen,  von  einander  unabhängigen 
Mannigfaltigkeiten,  welche  sämmtlich  durch  die  m  Pule  )/''  hin- 
durchgehen, d.  h.  den  Gleichungen 

i=l,2,...H-»i:        y=  l,2,...m 

genügen  (also  zu  jeder  Mannigfaltigkeit  r^j*  in  Bezug  auf  f=0 
conjugirt  sind),  so  haben  wir 

An  Stollf  der  Uloicimngen  (19)  bo/.w.  (^2)  erhalten  wir 
ji'tzt  Itehitionen  dei*  Form 

für 

/  =^  1,  2,  :'►,  .  .  .  n  —  m; 

und  hierin  ist 
und  weiter 

1S9C.   Matli.-i>Iiyit.  Cl.   1.  4 


50  SitZHWj  der  math.-jJi^s.  CUuse  vom  1.  Febrmir  1890. 


(^■')         <?..  =  X1S; 


3^i2 


*  3  w  3  » 

■         ■  r         • 

Setzen  wir  endlich  noch 

BO  ei^iht  sieb  durch  Ktimination  der  Parameter  /<,  ans 
Gleichungen  (53)  und  {49^  die  «gesuchte  Trnnaformation 
Mannigfaltigkeit  -WJf^j  *°  *^*'^  Gestalt 


(r,0) 


X 

''ii 

''l2      ■ 

•'ji 

■'^>     -    • 

''vi 

'^2    •  • 

^.+^^ 

"n 

n. 

IV 


;r 


ar 


// 


=  0 


fOr  »=  1,2,  3» . . .  «;  dabei  ist  i- =  «  —  w.  Diese  Gleichni 
hat  die  von  Voss  betonte  (lestiilt:,  indem  in  ihr  eine  Det<^rn] 
nante  mit  den  Elementen  ;r^^  auftritt,  die  nach  (54)  und  |ö 
sich  axM  Elementen  1\^  =  1\.  und  Q.^  —  —  Q^^^  linear  zusir 
mensctzen.  Ks  ist  indessen  hiTvor/.uliebcu,  dass  auch  schi'i. 
der  Gleichung  (51)  eine  iinaloi;»'  Detemiiniinte  benutzt  wuri 
Die  Gleichunj^en  (öiii  stellen  die  ^^.  als  lineare  Kuncti'i.'. 
der  X.  dar;  die  Auflö.suni^en  die-er  Kormeln  erij;eben  sicli.  V'y- 
(iiiin  in  (öO)  ubenill  x  mit  i:  und  ^,4  "'it  Q^^  vertauscht:  i: 
neben  (5;')  bestehi.'ii  unch  die  lib'ichnngen: 


AVÜ 


^■'.',v 


11.  In  I'V)In;e  un>en*-  ^i-ntin-trisflien  Ansatzes  sind  ""- 
sicher,  diiss  die  Gli'ichun^'  /  = '*  diii'L-h  die  aufgestellten  Trir.- 
foniüitioiien  in  sii-li   iilieri^efiilii-t    wird;  es  geht  daher  die  Kt-ra 


/''.  l^fuiemann!  Utttef  tUa  Htuttren  Traiuformationen  elc.         M 


S^fl,4^,^A  in  iV  X:  £  w-fc  ^^  £^  Über,  wo  M  einen  zn  bestim- 
menden Factor  bezeichnet.  Diese  Beätimmung,  die  ich  a.  a.  0. 
[fflr  n  =  4,  m  =  0  and  die  Herr  Lüwy  für  w^O  und  belie- 
ibige&n  durchgBfUbrt  halte,  kann  in  folgender  Weise  geschehen. 
Multipliciren  wir  die  beiden  Systeme  der  Gleichungen  (45)  mit  ü. 
und  addiren,  so  ergibt  aich 


(57) 


^  =  "»»t  t'ii  -f-  f,  f«  . . .  +  f„  t;,„  „  =  -  V 


yd0 


da  ^  —  f.'^  3^  0  ist.    Multipliciren  wir  mit  a^^  und  addiren,  so 


folgt: 

(58)   '  '        '  *        i  i      j 


Nun  erhält  man  sofort  ans  (41) 


'     / 


^Sa,?.«a-=-S'^+'i''^.-^'i'*'''i+ -••+<- ^)''''^"''^« 


wenn 


'f  = 


«11  • 

-  «1., 

vj'> 

. .  «1"> 

"«1  ■ 

.  .  a 

t;[')    . 

0 

. .  ü 

tfi"'»  . 

0 

.     u 

■^d 


1 


Aus  (58)  erhalten  wir  daher 

-cf  V, +  ...  +  (- I)-tf>*^^ 


52  SUtung  der  math.-phtft.  Cltuae  mm  1.  Februar  ltf9€. 

und  ebenso: 

also  mit  Benutzung  von  (57): 

(00)  L  L  a,,  x^  ^,  -  L  £  a,,  f  ■ .',  =  -  2  ^  («,  -  «,). 

Multipliciren  wir  die  Gleichungen  (45)  mit  u.  und  sum- 
miren,  so  folgt  wegen  (50): 

Die  rechte  Seite  von  (60)  ist  also  gleich  Null;  d.  h.  der 
Factor  M  ist  gleich  1;  die  Form  f=^^a^^x^x^  bleibt 
bei  unseren  Transformationen  absolut  iiugeändert. 

Da  die  Determinante  von  f  sich  bei  linearer  Transforma- 
tion um  das  Quadrat  der  Substitutions- Determinante  ändert,  so 
ist  dieses  Quadrat  immer  gleich  1,  die  Suhstitutions-Determinante 
selbst  gleich  +1.  Welcher  Werth  zu  wählen  ist,  hängt  von 
der  Zahl  m  ab.  Rs  ergibt  sich  das  einfach,  wenn  wir  zuvor 
diejenigen  linearen  3/^'J^.,  be»tinimen.  die  in  sich  überj^eführt 
werden. 

12.  Ist  zunächst  »i  =  0,  so  Hndet  man  die  fest  bleibenden 
Punkte  aus  den  <Tleiehungen  (^30)  und  (37).  indem  man  die 
Bedingungen 

(01)  X,  —  üi.  =  M 
Itinzugefügt;  dies  gibt  die  Uleichun^eu 

^-  i /  ( \-o)  j^,.  -^ ;.  (1  -yu) «  j  H^  ^  1».       ;  =  1.  2.  .  .  .  u. 

k 

üif  fra^lielten  n  Punkte  werden  ihiliiT  diircli  ilic  Gleichung; 
H**'"  l_inulf.>  in   u 

■"''In  -r  "u     ■  •  •   ."'•^.  +  ";., 
tt  A   ,  -|-  ((      ...  .((  .-1      -1-  ii 


F,  lAndtmnnn:   üeher  ilie  Hnenrcn   Trannffirmntiowen  rtc 


r.'l 


ftliiiiini.    Weisen  der  Bediugun^en  a.^ 
Wurzel  /i  eine  andere   —  fi.     Da  nun 


—  ffjj.  entspricht  jeder 


ffwetxt  wurde,  eo  erliult  man   — ;i  auA  /*,  indem  «)an  q  mit  - 

e 

Tertaoscbt.  Die  Wurzeln  sind  so  paarweine  einander  zu- 
i^eordnet;  int  n  eine  ungerade  Zahl,  ito  muis  fol^Hch  eine 
Wurxel  pcÄ  +  J  sein.  In  der  That  ist  in  die-sem  Falle  die 
Deteriiiitiunfce  der  a^^,  d.  h.  da«  eonntanto  Qtieil  in  lileichung 
(02),  gleich  Null,  Hl<iO  eine  Würzet  ft  gleich  Null.  FCr  ein 
nngerades  n  h»!  daher  die  charakteris^tiäche  Fnnda- 
nien tnlgleicbriTi^  unserer  Tran-sformation  stet«  die 
Wumel  p  =  -f  1. 

Ver*(ch windet  ftlr  ein  Rerides  n  die  Determinante  der  a^ 
*tt  vorseliwindeu  auch  alle  ersten  Unterdeterminanten.  Tritt  olao 
fflr  B  =  2  !■  eine  Wnr/el  g  s*  -f"  1  »^f»  ^o  ist  dies  eine  Doppel- 
wurMl,  n.  s,  f.  Die  Wurzel  p  — —  1  dagegen  kann  (wenn 
m  ^  0)  nie  anftreten,  wenn  die  Determinante  der  a,^ 
von  Null  verschieden  ist;  denn  p  —1  würde  eine  Wnr/el 
/i  =  OD  bedingen.  Kbenso  kann  ftJr  »  =  2»  4-1  *li«  Wurzel 
0  =  +  1  mehrfach  anftreten;  verschwinden  aber  dann  alle  ersten 
UnterdeterminantCTi  der  a^.^,  so  verschwinden  auch  alle  zweiten 
Unterdeterminanten;  kommt  also  die  Wurzel  e^  +  l  doppelt 
vor,  so  kommt  sie  auch  dreifach  ror,  u.a.  f.  Bei  geradem  n 
kann  die  Wurzel  g  =  -^  1  in  der  charakteristischen 
Knudamentalgleichnng  in  gerader  Vielfach  heil,  bei 
öngeradem  «  nur  in  ungerader  Viclfachheit  auftreten.*) 
Kine  analoge  üeberlegnnc  zeitft.  dass  die  Elementartheiler  der 
Qlcichnng  ebenso  wie  die  Wurzeln  einander  paarweiee  zuge- 
ordnet, und  zwar  paarweise  einander  gleich  sind. 

Für  die   »ich  seihst  entsprechenden  Punkte  gilt  der  Satz, 

sie  auf  der  M'^]_^  ('^=0  liegen,  mit  Äuxuahme  des  bei  un- 

kdom  n  der  Wurzel  ^^-J-1   enUprechendeu  Punkten,    und 


')  Tgl.  Frobenini,  o.  a.  O. 


54 


aUftmg  dtr  math.'phi/t,  (Jlane  vom  t.  »Ivwar  i0Mj 


dass  ihre  TaD|^ctitial-3/||'^j  in  sich  flbergefOhrt  werden.*) 
ungerndt'ui  n  enL-Dpricbi  der  Wuricel  ^  e=  -f-  l    ein  fc«l«? 
iiuesprhalb    der    -Aflfli  f=^0    Itegeuder    Punkt,     desver 
PoUr-Jtf[JJ.,  in  sich  abergcfObrt  wird, 

IS.  Ist  m  vofl  Null  verAobieden,  ho  liefern  die  Gleäcb 
(57)  sofort  m  linnnn?  ^V^llg»  welche  je  hl  iioh  abor>rch*m 
lujui  erkennt  sofort,  das»  zu  jeder  ^/^.'Ij  f^^  eine  \V 
^ss  —  1  der  oharnkterisliüchen  Fundamentalgleic 
gehören  mn*8.  Die  zugehörigen  m  Pole  i5<'>  bte: 
natQrlich  auch  fest;  sie  geallgen  den  Oleichaogen  (Ol) 

Die  abrigen  n  —  m  sieb  selbi^t  xu^eordaeUll  Punkte  eigcbts 
«ich  ans  den  Gleichangen  (4>>),  bez.  {4S)  oder  (53). 

Iq  der  durch  die  Uleichuug  f^^O  und  die  GIeicbaoge<n  (39) 
beätimmten  ^If'..!;«'  denken  wir  un«  eine  lioeare  Tr*naformatii<i 
der  11  —  IN  Paranieterf  welche  einen  I^inkt  Linear  batrimm-^. 
derart  nn.<tgef(lhrt,  dasx  dio«  (piudraHdcbe  M»-^^^  in  «ich  Aber- 
gefabrt  wird.  Statt  der  Punkte  der  quadrstisclien  J/«-«.g 
köuneo  wir  ihre  Polar-Ebenen  in  Bezug  auf  die  Gleichung  f 
betrachten:  wir  erhalten  dann  eine  lineare  Transformation,  nt- 
m5ge  deren  die  {n  —  m)  (irOftsen  bi<^''  linear  darch  u*'*  dmrtif 
ansgedrflckt  werden,  dass  di«  Gc«amnitbeit  der  lineuim 
welche  durch  die  m  Pole  r/''  gehen  und  die  M^^  f^ 
rChrett,  in  üich  Qbergefnbrt  wird. 

Diese  Transformation  ist  uns  durch  die  Qletehangeo 
dargeattiUt,  wenn  wir  noch  hinzufQgen: 

(63)  <"  =  A',(-P„-^e-.)  +  -    •  +  ''— (''^^.— —  *«„ 

Die  Gleicbung^o  (53)  und  (63)  Kt^llen  zasammeo  eine ' 
formation  der  Art  dar,  wie  wir  sie  in  Nr.  12  bptrvcbtvl  bafasj 
ea  ist  nur  i«  durch  n  —  M  enfelzt  worden.     Wir  kADDen 
lblg«iideD  8ats  sDasprechea: 


Bd.  13  Qod  hOvj 


I.  Crelle's  Jvamal   Bd.  80;  To««, 
a.  0. 


V.  Lindemann:  lieber  die  linearen  Transformationen  etc.         55 

Ausser  den  m  linearen  MannigfaUigkeiten  v^^^  wer- 
den in  sich  Übergeführt: 

a)  wenn  n  —  m  gerade  ist,  « —  m  lineare  Tangen- 
tial-Mannigfaltigkeiten  von  f^=0^  die  einander  paar- 
weise dadurch  zugeordnet  Bind,  dass  die  ihnen  ent- 
sprechenden Wurzeln  der  Fundamentalgleichung  zu 
einander  reciproke  Werthe  besitzen. 

b)  wenn  n  —  m  ungerade  ist,  eine  lineare  Mannig- 
faltigkeit, die  im  Allgemeinen  nicht  Tangential- 
Mannigfaltigkeit  ist,  und  ausserdem  n — w— 1  Tangen- 
tial-Mannigfaltigkeiten  von  f=Oy  die  einander  in 
gleicher  Weise  zugeordnet  sind. 

Die  Gleichung  vom  Grade  n  —m^  durch  welche  die  zuletzt 
erwähnten  festen  ^/J^'lg  bestimmt  werden,  d.  h.  welche  die  in 
den  Gleichungen 

tüji  —  Q(t)  tvf  =  0 

auftretenden  Grossen  ^^^  bestimmt,  wird  aus  ((>3)  und  (5;{)  in 
der  Form 

''vi      ''v2  •  ■•   "yy 

gefunden,  wo  v  =  n  —  m  und  -tI-j^  =  5<(1— ?) /^.^  +  ^-(1  +  ?)  (^,4) 
während  P.^^  und  Q.^^  wieder  durch  (54)  und  (55)  definirt  sind. 
Dieselbe  Gleicliung  wird  aus  (45)  in  der  Form 


'n     ■  ■  ■   '-1 


,.ii 


/.' 


Pu         -Vln 


*    M  1        "    *    '      '    II  « 


0  //')     .  .  .    /<" 

'1  'h 


=  0 


gewonnen ,   wo  p'.^  =  x  (1  — g)  Qi^^  H-  ^ ( 1  +  (?)  (/,^.     Diese   Glei- 
i.Iiung   kann    nie    eine    Wurzel    q^  —  1    haben,    während    die 


50 


Siltutnj  tUr  math.-phtfg.  Ctwue  vvm  I.  FeLniar  fftitß. 


Wur?.«!  e«=-f  1  eine  pprade  oder  ungernde  AnÄfthl  vnn  Malen 
aiiftrcU'n  kann,  je  nuchdem  » —  m  gerade  oder  ungerade  iftt 
Eine  Wunel  —  1  könnte  iu  der  Tbal  nur  auftreten,  wenn  die 
für  X-^0  eiittt^Liende  Gleichung  erfüllt  wäre:  dtmn  über  tuQwite 
die  den  (-ileichnngen  (39)  gemeinsame  lineare  M^^^-i  eine 
Tungential - Mimnigfaltigkeit  von  f'^aQ  sein;  alle  l'uukte  I 
würden  in  den  Knotenpunlct  derselbe]]  (d.  i.  den  Bftrnhruni^- 
punkt)  zusaiuQienfalleD,  und  im  könnte  überhaupt  keine  Raum- 
Transformation  entstehen. 

Idt  n  —  m  ungerade,  so  ht  die  Determinante  der  Q^,^  iden- 
tisch Kuli;  alle  Punkte  £  liegen  in  einer  von  »  unabhängigen 
linearen  ^f'jl,^.  Dem  entspreohend  kann  man  eine  Iteihe  der 
in  S}  lind  in  (45)  auftretenden  Symbole  w  at»  Coordinaten  die«er 
festen  ^fj^ig  auffassen.  Da  die  OrÖaien  v^  durch  w^  -f  o^  vj'^ 
-\-  . . .  -\-  a^  cj*"*  ersetzt  werden,  also  die  Bedingungen 

tiiur.ugefngt  werden  können,  ohne  die  Gleichungen  (45)  tu 
ändern,  ao  folgt  in  der  Thal 

Ein  tritt  jedesmal  nne  Wursel  ^^  -(~  1  ^^r  Kundaraetital- 
gteichung  auf.  wenn  eine  Symbolreihe  w  durch  wirkliche  6rö««en 
«rsetzt  wird.  Thut  man  dies  mit  einer  [leihe  von  Symbolen, 
HO  spielt  von  selbttt,  falls  n — M  gerade  ist,  eine  zweite  Hciha 
die  Rolle  von  wirkUchen  tiröasen  u.  s.  f.  Ist  n  —  m  ungenule, 
NO  gilt  dies  fdr  eine  dritte  Reihe  von  Symbolen,  sobald  es  Hlr 
eine  zweite  Reibe  gilt,  u.  s.  f.  Jede  lineare  MaooigfaltigkeÜ  v, 
weicht!  »4>  einer  Doppelwnrzel  ^a»  4*  1  zugeb5rt,  bleibt  in  »ich 
feilt,  kann  aber  durch  eino  andere  Mannigfaltigkeit  d«  linearen 
Systems  der  ic^^  ersetzt  werden,  insbesondere  aUo  auch  durch 
gewiitte  Tangential -Mannigfalligkeitea  von  /'»O;  auf  sotcbo 
wOrde  man  diroct  geführt  werden ,  wenn  man  die  Üoppel- 
wiirxfll  ( :s  -|-  1  ans  einem  Paare  einander  gleich  werdender 
rvciproker  Wurzeln  enUdehen  \ai»i. 


ncW9H0* 


B^die  lintareH 


rmatitmem  ete. 


Herr  L'öwy  jnbt  a.  a.  O.  fßr  jeden  Kuli  eine  lineare 
Maooi^faltif;keit  w  an,  die  bei  der  Transfornuktioa  fe»t  bleibt. 
d.  h.  der  Hediiigiing  (64)  j^enUgt;  er  berichtigt  diese  Angnbe 
ab«r  ifpftttfr  selbst,  indem  er  io  Kewiasen  Füllen  die  Urnssen  w 
wieder  von  den  m^  abhftngif^  denkt. 

14.  Wir  sind  jetzt  in  der  Lage,  die  Determinuiite  der  nuf- 
tellten  Transformationen,  deren  Quadrat  gleich  -f-  ^  gefunden 
wurde,  xu  berechnen.  Die  Transformation  ist  durgu»tellt  durch 
m  Gleichungen  von  der  Form 

durch  ft  Gleichungen  von  der  Form 


,  m 


«/;'  =  wf 


fnr    /=1,2,.../^ 


endlich  durch  ^(n  —  m  —  /i)  l'aare  von  (ileichungeo  der  Form 


w^»>  =  o  (/*'»>,      u^+i) 


1,2,... 


n  —  m — fi 


Führt  man  neue  Variable  X^  ein,  welche  gleich  den  links 
afcahenden  Ton  einander  unabhängigen  linearen  Fnnctiuneu  sind, 
und  entsprechend  neue  Variable  S^,  so  ist  di«  l^ubstitutious- 
Deterroinante  gleich  ( — 1)"*.  Dieser  Werth  bat  demnach  all- 
gemeine Gnltigkcit.  Die  Determinante  ist  gleich  (— IV", 
wenn  m  Itneure  Mannigraltigkciien  v^-'*  in  ausgezeich- 
neter Weise  benutzt  wurden. 

Je  nach  dem  Werthe  der  Determinante,  d.  i.  je  nachdem 
m  gerade  oder  ungerade  ist,  bexeichaet  man  bekanntlich  die 
Tranüfnrmntion  als  eigentliche  oder  un eigentliche.  Itit 
jHsaO,  so  bat  uian  die  allgemeine  eigentliche  Tnuisformation ; 
ist  m  gnude,  m  bat  man  nrich  Herrn  Löwy  diejenigen  Fälle, 
welche  Herr  Frobenins  als  Grenzfftlle  behandelt  hatte*  wäh- 
rend für  ein  ungerade*«  m  früher  keine  allgemeinen  Formeln 
Bufge«t*>Ilt  war<?n. 

Bekanntlich  kajin  luku  fQr  ein  gerudeä  n  die  eigentlichen 
und    uneigcntticben    Transformationen    auch    geometrisch   leicht 


38 


SUiUfUf  der  auÜL-^Ay«.  GasMt  com  1.  /efrrMor 


Tuu  vtnttEider  tmt«rt!tc)ieii]en.  Bttx  n  4  '£.  11.  (d.h.  iro  Räume) 
Imi  eruieren  jedes  System  von  Erzeugenden  einer  Af^'  »Is 
orhallen,  wührend  durch  letzter«  die  beiden  Systeme  mit  «b- 
ander  Tert«M»cht  werden.  (Jhne  Rechnung  «rkeiint  nion  dj» 
auf  folgende  Weise.  Bei  der  uneij^entticfacn  TraaaformaiiDS 
(ri  s  4,  tn  an  1,  ß^t  \)  bleibt  eine  Hbene  «*  iinil  deren  Vo\  r 
fest,  femer  zwei  Tangen tenebenen,  die  tuo  fj  anAgoheo,  «W>  dir 
Flilche  in  je  einem  Pnnkl«^  der  Ebene  r  berQhren.  Die  mn 
ihnen  auägeäcbuitteiien  Paure  von  Krzeugenden  hleibtfrn  elwfi- 
ialls  fest;  sie  bilden  ein  windKchiefes  Vierteil,  dessen  eine  Dia- 
gonale die  Herührnngspnnlcte  verbindet ;  anf  der  anderen  Di»^ 
gonale  liegt  der  Pul  i;.  Auf  dittier  bleiben  daber  da«  i*aar  dtf 
beiden  Ecken  fest  und  der  Pol  r/ ;  es  bleibt  also  critvreder  jeder 
Punkt  dieser  Diagonale  uugefindert,  oder  nur  der  Punkt  19  md 
ihr  Schnittpunkt  mit  der  Kfiene  t;,  wfthrend  jene  boidtm  Eckn 
und  also  die  betr.  Kr/engenden  der  Fliehe  Mich  mit  eioanitr 
vertaaschcQ.  In  ersterem  Falle  liegt  eine  einfache  ei^ttnUtcbc 
Tranäfürmabiun  (mit  der  Determinante  -|-  1)  vor;  es  bleibt  aW 
nur  der  andere  Füll  für  die  Üeterniiuante  —  l. 

Äeholiche  Ueberlegungen  gelten  fOr  gr&asere  gvrült 
Zahlen  n.  Die  (Orzengenden  zerfallen  hier  aber  nicht  in  foll" 
ständig  getrennte  Sjsteme,  die  bei  uncigentlichen  Tnusafomi' 
tionen  Tertauscht  werden;  jsondern  eü  wird  nur  von  den  auf 
zwei  Weisen  möglichen  Arten  der  Anordnimg  dieser  Kneogente 
in  gewisse  lineare  Munnigfaltigkoiten  die  eine  Art  mit  der  andtfo 
Art  vertauöcht.O 

Bei  angeradem  n  ist  von  nolcher  doppelten  Anordnun«; 
nicht  die  Rede;  dem  eatcprechend  kiiunen  aach  die  eigentlicbn 
Transformationen  ron  den  uneigi'ntlichon  geometri>)cb  oidhit 
unterschieden  werden;  in  der  That  kann  jede  Trannfgi 
mit  der  Determinante  -f  1  durch  die  Substatutian  jb^ 
welche  die  goometrische  Bedeutung  der  bomof;enen  Coordi: 
nicht  ändert,   in  eine  solche    mit  der  Determinante   —  1 

1)  lian  ab«nii>fat  dut  am  «inracbtUn,  indem  man  die  Htenofrnr 
Abbildung  der  lU^^L^  anf  eine  M^^Lf  durchnihrl,    »rI.    Klein 
Ann..  Dd.  6.  p.  364. 


F.  JAndemann:  lieber  die  linearen  Trtüuformationen  etc.         5d 

>reführt  werden.  Es  ist  aber  nützlich,  sich  von  dieser  evidenten 
Thatsache  an  unseren  Formeln  direct  Rechenschaft  zu  geben. 
Wir  führen  die  Kechnung  bei  h  =  3  (d.  h.  am  Kegelschnitte) 
durch. 

Kür  «1  =  3,  m  =  0  haben  wir  nach  (51)  die  Transformation 


!  ^1  Pn  P»  Piz 

,,.-.  j  ^i  P%\  Pn  Pn 

■  ^3  Pii  Pii  Pas 

:  ^.+  '.  2x0),^  2'A(I).^  2xÖ>^3 


=  0. 


Setzt   man   unter   Anwendung   der  symbolischen   Bezeich- 
nung^ weise 

so  ist  hier  ®^^  ==  --1.^  und: 

Pn  =  *^in  Pia  =  *  ^i»  +  -4^3,       p,^  =  x^„  -  Xw^ 

i'si  =  *«  ^si  -i-  ^  «'^^       2?^^  =  X  ^„  —  ÄH?,,       ;j53  =  X  ^„. 

Für  H  =  3,  »1  =  1  erhalten  wir  nach  derselben  Formel 

!  '^i     ^1  Pn  P'n  P\z        I 

I   '/2     -^"2  P21  P'ii  Piz         ; 

(06)       '  '.3  *^3       Pii      ;^;.      i'33      =0, 

,0      a;,  +  i,     2x^f^,     2x'K,     2.^F^^\ 

i*^     *>  '/i         ^.        'z.      , 

und   hierin  ist  v;  ^.  7^,^  ;,^  »^  —  (^  ,(  ^^»^  also  'K^  =  {a  v).  {a  t')^, 
ferner 

P'n  =  ■'^  "'*')'l'  P'n  =  '■('^'Oi  ("t')..-f  ''•''3.  ^ia==  '«(«Ol  {<^v\  -'^'^r 

\\.  s.  f.     Ks    lpczeic)inet    /;    den    Pol    der    Linie    t%     also    ist 
r  =  r  r^,  ^  ft  7;   ;  und  es  ist  Imkanntlich: 


(a  u  h)  (a  «  c)  c,j  h,j  =  - o«  ^(6 cuf-  'f^f^,, \l[[['  ]'.- 


wo  A=^fS{nhcf.     Deü  tirf^süeü  p„v  l^ii*  P'U  «tüd  ilw  Iwi 

gleich 


y(6f*;.a5-*.4i??.       ^(Äc),(ftc),^-|^i?,ir,  +  i^«,, 


2  (frc),('/0ai-2'^'»''«~^*'*^' 


^^        In  ^ntaprechender  Weise  sind  die  demente  Pi^tuid  p^^un^ 
i       ;(ufüriueu.     Multipliciren  wir  die  Elemente  der  cmUn  Veritioalr 

L reihe  ton  (6ö)  bez.  mit      ji»;,,  ä-^'Tfli  ö'^'7t  ^^^  »ÄÄrä«  <fi« 

KBodueto  10  den  drä  leteten  Vertiaüimfaen,  eo  werden  di*  Kb- 
mente  der  eisten  H<nriH>ntelr«ibe  (il,j^««((e)<(^«\)* 


..i>t 


%i  »I.  *Ai»  *-^4-^*'»»  *-^i»  — i^ti 


iVj^;2|:««x(^.    Die  Gleiefanng  (66)  gebt  so  Aber  in: 


(67) 


^I 

*1 

Pil 

1».. 

Pis 

% 

x^ 

P« 

i»« 

Pi 

% 

^8 

p5i 

P32 

i^M 

:0, 


0      x,+  f,     2x£,^     2xjy,,     2xJS^3 

0         0  1?,  »?2  »^3 

WO  nun  Bj.jj  =  -  A^^  u^  —  Ä  rj.  t]^  und  die  Elemente  pj^  aus  den 

Elementen  p^.  der  Gleichung  (65)  hervorgehen,  indem  man  x 
durch  Ä,  w  durch  v  ersetzt.  Die  zweite  Verticalreihe  in  (67) 
stimmt  mit  der  ersten  in  (65),  die  vorletzte  Horizontalreihe  mit 
der  letzten  in  (65)  Qberein.  Wir  multipliciren  weiter  die  erste 
Verticalreihe  mit  A^  die  dritte,   vierte  und  fünfte  bez.  mit  Vj, 


M  Vgl.  c.  B.  Clebich:  Vorleinnffen  Ober  Geometrie,  Bd.  1,  p.  S86. 


P^  lÄndematm:  (7d*er  Jk  Itncorm  IVtamfilwmatiimm  etc. 


Gl 


^,  i'i  und   ffubtrtihiren  »ie  Ton  der  erslen.     Die  Elemente  der 
leUtercn  werdeu  sodann 

Endlich  multipliciren  wir  die  letzte  Horizoctulreihe,  d.  h. 
die  Eleiueute 

—  *',,»  0,  i;,,  ^,,  ij, 

mit  x^r^^  nnd  sddireo  sie  xtir  vorletzten;  dann  werden  die 
dlleuieute  der  letzteren 

f.  X.-I-5,,  2kA,,  2A-J,.„  2Ä^.,: 

and  nach  Absf*ndpnin(5  des  Factors  r^  redncirt  sich  die  filnf- 
reihige  Deteriuiuuuto  auf  eine  vierreibige.  Die  Qloicbang 
(67)  entsteht  so  in  derThat  au8(G6),  wenn  man  x  durch 
kf  f  dtircb  V  ersetxt 

In  gleicher  Wei?e  werden  sich  diese  Determinanten- I'ui- 
formun^en  bei  gnisseren  Wertberi  von  n  und  tu  durchführen 
buMQ.  Werden  in  den  Transformationen  (51)  m  Mannigfaltig- 
keiten f  und  pt  lineare  Mannigfaltigkeiten   so  benutzt,   ist  alao 


(wenn  mit  0„  der  Ansdrack  (41)  bezeichnet  wird  und  mit 
SXm.fi  der  Ausdruck  (44),  in  welchem  ft  Reihen  w  wirkliche 
Gi^isMn,  nicht  sjnibolische  Zeichen  innd),  so  sind  diese  Trans- 
formationen in  obigem  Sinne  aequivalent  mit  denjenigen,  fflr 
welche  fi  Mimnigrulii^keiten  v  and  m  Mannigfiiltigkeitt^n  w  zur 
Uildung  DÖtbig  waren ;  vgl.  noch  die  Zusammenstellung  in 
Nr.  15. 

Bei  geraden  Werthen  ron  tf  ist  eine  analoge  Umfommng 
der  Detenuiuauten  nicht  möglich ;  denn  a.  B.  fOr  m  <=  4,  m  =  0. 
f4  =  2  hal>en  wir  in  (öl): 


^■ 


AltiM»j;  der  mutlK'jih»fs.  Clamf  i-^m  I.  Fet/rmir  ifiötf.  ."A 
Dngügäii  bei  «^4,  ta '=  2^  /i^O:    4.1*.    ujv,   1  ^m  .*  ..* 

BeÄdfl  Trandormatioiieii  sind  eig'euiliche;    naA  die  letitore 
■  '         all  iD  der  Trausfonuatign  m  =  0 ,  /4  =  0  eathtfton; 

15.   Fflr  die  niedrigiten  ZaUen  »  mSge  hier  eme  Zo- 

awtonmig  «koijanigflii  F&lb  gegeben  werden,  wdefae  in 

^ittf' dSe'lldlM^^  der  ^oitonnMMden  Won^  der 

nentilgtoMnaig   mQg]ioh  and.     Die  OAli»  MtfiÜBt 

lU  die  AiURi^>4er  '^o^^eln^  welche  £^cb,,--l  wndt  ^ 

II  die  Anseilt  der  Wimeln,  welche  gleich  +  i  sieb  ogeboi. 

Äi^heriiWr  ._■  ■■^;-'--'        ''•_;   "/';,,,:'^'' "':^ 

^'fL^m^O,  ju»lj.  .'ä(e  ^ufep  Pjankte  der  Torge^^tän 
Innren  qoedrsfaechen  Form  f  bleiben  jeder  BUr  aöcli  fest 
.,n.  Mwl,  ff.«"!.,  Ba  bleiben  zwei  änaader  in  Benig 
fc^,;,^'  mä'fmm'd  oonjngirU  Punkte  fesi;  der  eine  nntriit  die 
Hnp^iiiftigkeu  «,  dar  andere  die  MannigfalngKeii  w; 
die  beiden  Orandpunkte  der  Form  f  werden  mit  ein- 
ander  rertaascbt. 

Zweitens:  n^^Z. 

I.  m=»0,  /J  =  I.     Eine  feste  Linie  w;  in  ihren  Schnitt- 

punkten mit  /*s=0  zwei  feste  Tangenten,  denen  zwei 
Wurzeln  a  und  a~*  der  Fundamentalgleichung  ent- 
sprechen (vgl.  .Vorlesungen"  11,1,  p,  384).  Beide  Tan- 
genten fallen  zusammen  für  a     a~'=    1  (vgl.  ib.  p.  385). 

II.  ffl:=l,  /i  =  0.  Eine  feste  Linie  v,  an  welcher  die 
Ebene  in  gewissem  Sinne  gespiegelt  wird.  Die  For- 
meln (45)  lauten 

X  9  (Z> 


i 


P\  JAfnifvtanH :  Veber  dit  Unearen  lyaMformatioHtn  elc. 


Ö3 


Macht    man    /  =  2x,  jBj,  +  Ji^.    F=  2m,«, -f- «J, 
p,  =  0,  Fg  =  0.   P,  =  1,   w  ist  0^2u^u^,    »/,  =n, 

%  =  '^»  'yft^  *•  "''^• 


x  +  i 


"p 


xj-J 


"a, 


-*.• 


treten  in  iler  That  zwei  zu  einan<ter  reciproke  Wurzeln 
auf;  djefivlbeu  können  inabesondere  ^^  l  wenlen;  duiin  hat  man 
eine  perppeclivische  Transforraation.  Nnr  letzteren  Fall  habe 
ich  ft.  a.  0.  p.  385  erwähnt ;  doshalb  wieilerhole  ich  hier  die  all- 
gemeineren Formeln;  die  euUit^hende  Transformation  ist  atler- 
dinffft  nach  Kr.  14  mit  I  vreeentticb  identisch. 

Drittens:  ti  ^  4. 
I.    )^  ttj  ^  Ol  /i  <=  0.     Zwei   Paare   reciproker   Wurzeln 
(flfp  öj,    ö,"',  •'^M-     Linearer    Ojmplex    in    allge- 
meiner   Lage    zu    f^O;     vier    feste    Erzeugende. 
Zwei  von  letzteren   fallen  zusammen,  wenn  ir,  =  a,; 
dann   können  ferner  alle  Erzeuf^enden  einer  Art  je 
in    sich    transforuiirt    werden    (».  a.  0.    p.  3ril    H*. 
Nr.  1.  2,  r.) 
2)  w  =  U,    /*  =  2.      Ein    Paar    reciproker    Wurzeln 
(ff,  ff~*).     Der   lineare  Complex   ist   ein   specieller 
in    allgemeiner    Lage    zur    Flüche.     Die    Axe    de?«- 
selben  berührt  die  Fläche,  wenn  a     o-'      1.     Die 
Axe    kann    dann    auch    zur    Erzeugenden    werden 
(a.  a.  0.  Nr.  3,  4,  0). 
IL    vt)  fM  ^  1 1    fi'^  \.      Ein    paar    reciproker    Wurzoln 
((T,  ff-^).     Eine   feste  Ebene  v  und  eine  feste  con- 
jugirto  Ebene  w  (a.  a.  0.  Nr.  7). 
4)  m=  I,  /i  =  3.  a.  a.  0.  Nr.  8  und  Ö. 

II L    5)  m  ^  2,    fi'^0.      Kin    Paar    reciproker    Wurzeln. 
Di«9er  Fall  wurde  oben  in  Nr.  0  behandelt;    vgl. 


mum^dftr 


L-|*ftt.  OtMie  «M  /.  f'dwwr  1806. 


0»t  DctenamuiU  cnUtllt  a+fli  +  l— j  ReÜMA.  «IIwmA 
<P  «bcMO.  wie  in  (51^.  doreh  ili«  («i-f  ■»  +  !)  reJlnge  Daltr- 
wtnairtf  (41)  definiit  vL 

16.  Die  Anxftbt  der  ia  aa«eren  Tranirfornfttiooen 
entlialteo«o  pAratnet«r  int  leiebt  zn  hestimmeD.  Im 
P«lle  M^O  ist  die  Aotahl  d«r  CoefficieDtea  a^  in  (:$7)  ^Mch 

-ii(tt— 1);   du  ReralUt    der  KHmiiution    et   im  Z&hler  and 

Nenner   honogeo  io  dicNo  a^^  und  in  dem  Veriiiltma  x  :  X. 

Di«  Anzfthl  der  Pan»n»ft<r  iwt  ab»  gleicb      i»  (»  —  l). 

WeoD  m  >  0  »t,  so  hängt  das  Bendtat  von  den 
uaien  derjenigen  linearen  M^_^^^  ab,  die  ron  den  (ileichunf^ 
(39)  bcstimini  wird.  Die  Anzahl  diawr  Coordinaien  üA  »(h  l) 
—  m{m  —  1)  ■»»!(«  — «).     In  dieser  M^_^_^  haben  wir  «ne 

Veriratidt»eKafl,   die  ron  ^  (n  — «)(il— «— 1)  ConstAntim  ah- 

hingt,   denn  e»  ist  jetzt  n  darch  ii — M  so  enetxen.     Die  Qe- 
saannitheit  der  TerfQgbaren  Constaoten  ist  daher 

2  (ii— «)  («— »I— 1)  +  w  (n  — w)  =  -  (»— ai)  (a+ai  — 1). 

Dinelbe  Zahl  wird  von  Herrn  Voss  in  seiner  letzten  Mit- 
theilang  abgeleitet;  unsere  Zahl  ti— m  ist  dort  mit /<  bezeichnet. 

17.  Die   Ton    uns   befolgte  Methode   wird  dorcfa  das  V« 
üchwinden    der   Determinante    ron    f=0    nicht   w--»"»''-*i 
fitdrt,  wie  ich  a.  a.  O.  for  den  Fall  n  =  i  {"Tntu:  u 

ÄM^inuren  KngelkroiBeR  oder  einea  Panktepaares  in  neb)  bereit« 
ansgefOhrt  habe,  Dadarch  wird  et  mflglich,  «oeh  die  Tr 
farmationen  einer  bilinearen  Form  in  sich  allgenifliii  aa£ 
stellen,  insbesondere  diejenigen  einer  altemirendeo  Form. 
Waren  im  Vonteheoden  die  a^,  gegeben  «nd  die  o^C^^  ~  "i«) 
aU  FaraiMter  aafzafaasen.  so  sind  Ym  der  nllpmirenden  Form 
afflgakehrt  die  u^^  gegeben  nnd  die  a^^  sind  da-  raraoirler.  w«»- 
bei  aber  die  FSlle,  wo  Determinanten  nnd  (Jnterdeterminanten 
Ton  f^O  Tenechwifideo .  mit  in  Betracht  gescogen  w«*rden 
mBaiim}  auch  diMe«  habe  ioli  fflr  ii  =  4  a.  a.  0.  daigel^t. 


Sitzung  TOm  7.  M&rs  1896. 

1.  Herr  W.  V.  MiLLKB  halt  einen  Vortrag :  ,Zur  Isonierie 
der  Stickstoffverbindungen/  Derselbe  wird  an  einem  an- 
deren Orte  veröfifentlicht. 

2.  Herr  LeonhardSohncke  macht  eine  Mittheilung:  ^lieber 
polarisirte  Flurescenz^  ein  Beitrag  zur  kinetischen 
Theorie  der  festen  Körper.* 

3.  Herr  E.  v.  Lommel  legt  eine  Abhandhing  des  Herrn 
Gymnasiallehrers  Dr.  Zistl:  , Berechnung  der  Mischfarben 
im  Beugungsbilde  eines  engen  Spaltes'  vor.  Die  Ab- 
handlung soll  in  den  Denkschriften  erscheinen. 

4.  Herr  Johannes  Ranke  theilt:  , Vergleichende  Be- 
stimmungen der  Scliiidel-  und  RHckgratshÖhle*  mit. 
Die  Abhandlung  wird  an  einem  anderen  Ort  veröffentlicht 
werden. 

r».  Herr  FEBDl.«iAND  LiNDEMANN  überreicht  eine  Abhandlung 
des  Herrn  \V.  (iodt  in  Lübeck:  .Üober  den  Keuerbach'- 
schen  Kreis  und  eine  Steiner'sche  Curve  vierter  Ord- 
nung und  dritter  Classe." 

r>.  Herr  Alfred  Pringsheim  macht  eine  Mittheilung:  »Zur 
Tiii'orie  der  synektist-hen  Funktionen." 

7.  Herr  Carl  v.  Kupffer  legt  der  Classe  eine  aus  dem 
liicsigeii  liistoloj^ischen   Lnboriitorium  hervorgegangene  Abhand- 

6* 


■^-  -J^lr»^ 


r 


tintg  d«s  fien-n  G,  C.  Price  Am  Gbläanäai:  ,Zvr  Ontogeni« 
«ine»  Hyiiooiden  (Bdellostoinft?  «pect)*  vor. 


8.  Herr  C.  A,  v.  Zittel  lägt  am  Ablwndlnng  des  Hflnn 
Jea«nblaoa  in  Chnahrfjck.*   «Die  OttrAcoden  aim  dem 

ben    700  Orten tjurf?  iit  Niederbajern  (Oollektion 

>ffa>'   TOT, 


;rtJ 


m 


Zur  Ontogenie  eines  Myxinoiden 
(Bdellostoma  Stouti,  Lockington). 

Vtm  G.  C.  Price  ntu  CalifomieD. 

(Ans  dem  bistologtHcben  Laborntonam  so  MAnchen.) 

(ffüpfa^lta  a.  Min.) 

Das   in    der  Arbeifc   7.u   bäsprecheiide  Materiul   wurde    ron 
nem   chinesischen    Fificher  m    PaoiHc   Grove,    OAlifornten«   an 
*nneiii  Angelhaken  hängend  im  Augui^t  heraufbetunl^rt. 

Dass  diese  Eier  Bdellostomaeier  Hnd ,  unterliegt  keinem 
/weife],  denn  ich  habe  mit  jenen  identische  £ier  im  Mutter- 
tiere selbst  spjiter  beobitchtet.  Die  erwachsenen  Exemplare  des 
JTierc«,  die  ich  in  Hunden  habe,  zeigen  dnrchweg  12  Paar 
liLisere  Spiracula,  jedoch  Keigt  das  hinterste  Spiraculum  der  linken 
Seite,  welches  mit  dem  ductuü  oesophago-cuttineuH  yerbunden 
ist,  nicht  eine  kleine  runde  Oeffnung.  wie  die  flhrigen,  sondern 
■inen  longitudinal  gestellten  7  —  8  mm  langen  Schlitz. 

Ich  rermute,  dass  anaser  im  Auguat  auch  zu  anderen  Zeiten 
Kiählage  ütattHndet.  denn  ich  habe  gelegentlich  sowohl  im  späten 
Winter,  aU  im  Beginn  des  Frilbjiihr«s  reif  aussehende,  jedoch 
keine  Embryonen  entbaltende  Eier  au^  Ufer  augeächweuimt  ge- 
funden. 

Diese  Kier  innd  iHn^licb  cylindriäch,  etwa  22  mm  lang 
und  haben  8  mm  iti  der  ktlreeren  Axe.  Die  Eischale  ist  bruuu 
und  homartig;  sie  iit  an  beiden  Polen  mit  Ffiden  besetzt,  die 
Ende  je  einen  Haken -Apparat  tragen,  wie  die  Eier  ?on 
fyxino;  mitteU  dieser  Haken  heften  »ich  die  Eier  aneinander. 
Ah  einem  Ende  iät  an  der  Schale  durch  eine  circul&re,  dunklere 
Linie  eine  Art  ron  Deckel  begrenzt;  diaa  ist  daa  rordere  Pol- 
ende des  Eiee,  weil  hier  dim  Kopfende  des  Embryos  steh  findet. 


■■■  ^  iT^ 


Bb  Begm  mir  dra  IBBlajuwiriiiBJHiii  diens  Timm  vor,  fift 
riii  ^  Jl  «nd  O  miieneliiedeii  werden  nflgea.  Vba  j1  od  C 
■ft  «iae  SEBidma^  des  EodMTO  auf  dem  DottoDMtfce 

oaSliidfaiBBkidff  Biclit    AneAUada«s 
magAmAm  Ailiafc  nr  Wwdatgabe  hnawi 

]h  Bkiiini  ii  iit  der  Mmhry  kttnv  ab  der  tifiidiwliii 

i  21  HB  hage  Dottanaek.    Der  Kopf  Obarx^  da  vorierai 
M  des  Dottenacke»  aar  wenig  and  iefc  iftaik  venfaalwicfa  ga- 
k;  derRmapfdeeEmbiTo  fiigi  geitaeeki  auf  de«  Dotter 

Baft  UnteK,  iag«i|ätrt  aoe;  das  TliiitiiineMiie  araefat  des 
Fbl  des  Dottenaekee  nicht,  sondern  alakt  a«^  ob 
6  aai  davon  ab.  Im  AUgemeinett  le^  dteeei  Stadiam  eher 
dl»  HaliefaM  «lam  Teleoetienies,  ab  dea  eiaei  Fehoa^aoaka, 
«bar  dm  iadert  aieb  Ui  «am  SfadimB  C  betricMiiA.  Ym 
fiemm  8Udiam  lag  aar  em  Kiiiiiler  vor,  dm  bie  aaf  «iaa 
yriiy  BeeohidignBg  am  hiaferea  T^  der  liakaa  RooffbilAe 
gat  ertattwi  war.  Hier  irt  ein  anaihend  ^indriedMr  Kopf- 
W  fiai  Aber  den  Dotter  in  lang«  Anedehnang  voigewaebaen, 
M  «idi  veBtralwfate  gebogen  and  liegt  eingebettet  in  eine 
tiefe  Farche  an  der  ventralen  Seite  des  Dottersackes.  Dieeer 
ist  noch  Ung  elliptisch,  miast  aber  nur  13  mm  in  der  Langs- 
ame. Ein  korxer  dorso-ventnl  abgeplatteter  Schwanz  krfimmk 
sich  um  das  caadale  Ende  des  Dottecsackes  ventralwärts,  gleich- 
&U5  in  «ne  Forche  eingelagert.  Der  das  Hirn  enthaltende 
Teil  des  Kopfendes  erscheint  knopfförmig  verdickt. 

Ich  gehe  non  ra  einer  genaueren  Charakterisierung  der 
drd  Stadien  Qber.  Das  AoffaUigste  ist,  dass  dem  Embryo  im 
Stadium  Ä  jede  äussere  Oeffnung  fehlt.  Es  findet  sich  ein 
Nasen-Hjpophjsenkanal,  der  aber  sowohl  an  seinem  vorderen, 
ventmlwärts  gerichteten  Ende,  wie  hinten  blind  geschlossen  ist. 
Dieses  hintere  Ende  entspricht  der  Hjrpophrsis.  In  den  Gang 
Offiien  sich  paarige  Riechsäcke,  die  vom  anter  dem  Hirn  blind 
heginnen. 

Der  Darm  ist  in  diesem  Stadium  A  innerhalb  des  grösseren 
Teiles  der  Kopfregion  vom  Endobla$t  des  Dottersackes  abge- 
schnOrt.     Dieser  geschloesme  Vorderdarm  erstreckt  sich  candal* 


O.  G.  iVice:   Zur  (Jtttwjtnie  rincM  MyxiituuUti. 


71 


nicht  ^iin^c  bb  Kur  Hölie  Jt»  ersten  8|uu)Ltuiin|jftion.  Im 
liiuUjrcu  Teile  ist  sein  Lutiiun  uunälierad  quodratitKib  im  Quor- 
«chnitt,  mehr  nach  vom  wird  das  Lumen  breiter  Aber  sehr  eng 
in  dono-ventraler  Richtung,  dann  knickt  e»  sich  im  Winkel 
veniratwurtä.  Kine  Mundoffnunff  if^t,  wie  erwähnt,  nicht  vor- 
hiknücii,  auch  vermir^t  man  eine  Tentrals  mediane  i^inalUlpiiii^. 
Uade  blind  endet  der  Darm  vom  aber  nicht,  er  setxt  sich  viel- 
mehr nach  vorn  in  einen  engen  Kanal  fort,  welcher  in  den 
Nmwn-Hypophysenkanal  einmündet. 

Dreizehn  Paar  Kien>enta»chen  sind  in  diesem  Staditiin  vor- 
banden: 5  in  der  Region  des  vom  Dotter  abgeschnürten  Darmes, 
8  im  Bereich  der  offenen  Darmrinne.  Keine  der  Kiera entaschen 
öffnet  sich  nach  atiäien.  Die  drei  vordersten  kommen  nicht 
einmal  in  B4.'H)hrung  mit  dem  Kpiblast,  die  folgenden  zwei  be- 
rflbren  sich  gewiss  mit  dem  GpibliLtt,  die  letxten  acht  wahr- 
scheinlich, aber  eine  Verschmelzung  findet  nicht  statt. 

Die  Beziehungen  des  N-  facialis  zu  dem  vordersten  die>«i 
13  Tascbenpaare  ergeben,  d&äs  diese  Kiementiiäcbe  der  hyu- 
mandibularen  Tasche  entttitricht.  — 

Im  Stadium  ß  ist  der  Hypopbydeukanal  kürzer  als  im 
Stadium  A  und  endet  uuu  vor  deui  hiutereu  £ude  des  Trichters 
in  beträchtlicher  Entfernung  vom  Darme.  —  Die  Nase  ist  schon 
sehr  oompUciert;  sie  erscheint  in  Form  paariger  AuietUlpungen 
Xasen-Uypuphysenkanalä,  aber  jede  Hälfte  ist  durch  secuii* 
Au«fitQ]pungen  in  3—4  Unterabteilungen  gegliedert  worden; 
ich  fa^e  die»e  Septieruug  aU  Anlage  der  Nasenfalten  auf  und 
sehe  in  der  paarigen  Anordnung  nicht  den  Beweia  einer  ur- 
aprQnglich  paarigen  Anlage  des  Kicchorganä. 

Die  beim  ^jtudium  A  erwähnte  Verbindung  j^wi»cheu  dem 
vordoroten  veutralen  Kude  des  Darmes  und  dein  Nasen-Uypo- 
phy^enkanal  existiert  hier,  im  Stadium  £f,  nicht  mehr.  Letzterer 
KAOal  hat  eina  kleine  äa-were  Oetfnung  erhalten.  £ine  Muud- 
Qfihwig  des  Darmes  iat  auch  hier  nicht  Torhondeo.  Aber  beider- 
»eitit  ventral  greuxt  die  Damilicbtung  an  eine  whr  verdünnte 
Stell«  dl»  Kpiblatite,  et>  macht  den  Kindruck,  aU  wenn  sich  au 


72 


aUtumg  der  m0th,*ph^».  Cluvr  vom  7.  Märt  ISO«. 


(üpi^eii  Stellen  OeÖhua^en  bilden  wollten  und  £var  uucb  »be 
eine  flolcbe  mediiui  aufgetreten  i^L 

Man  trifH  in  diesem  Stndium  B  12  Paar  KicnienlBcebMi 
un,  aber  mindesieni)  3  Haar  vordere  sind  reduciart  wordeO:,  waa 
man    aas   den   'zuf^hSriKen   Aortenbogen    ericblieieen    kaoD.  — 

DaA  V'ordereude  des  Kopfta  vom  Stadium  C  zeigt  bereit« 
die  rier  der  Art«  wie  den  bisber  bekannten  Myxinoiden  Qb«r- 
hanpt  7.nkommenrlen  Tentakel  paare.  Zwei  Paare  nmstefaeo  den 
Kingang  in  den  Nasen  rachengang,  zwei  nahe  KUHammengerQckte 
Tentaketpaare  stehen  am  Seitonraude  einer  Platte,  in  dinrn 
Mitte  »ch  die  MundSflüiung  bilden  wird,  die  hier  aber  nocb 
fehlt.  Der  Notienracheugaug.  resp.  Nasenhypopliydciikanal  der 
frnher«n  Stadien,  bat  aber  bereit«  eine  engt-  äussere  Ouffuun;; 
und  vereinigt  nich  hinten  klaffend  mit  dem  Darme.  Der  Uarm. 
wie  der  Naaenracheogang  &etxen  sieb  nach  Tom  und  veotnü- 
wärtä  in  »wei  gleichgestaltete,  parallel  hinter  einander  gelegene 
Köhren  fort.  Die  Mundröbre  endet  blind  gegun  eine  dick« 
Epiblastplatte,  davor  li^  die  enge  äossere  OeSiiuDg  de»  Naaeo- 
rncbenganges.  Dieser  rQhrenfSrroige  AnfaogHteil  dex  Qangw 
hteigt  von  der  ftnaseren  Mündung  fast  vertikal  gegen  die  Nase 
auf,  knickt  sich  dann  und  verläuft  unter  dem  Hirne  nach  hinten 
zur  inneren  MQudung  in  den  Dann.  An  der  Knickiingsutelle 
öffnet  sich  das  auch    hier  paarige  Riechorgan  in  dietieu  Gang. 

In  diesem  ältesten  der  vorliegenden  Stadien  iiind  11  Paar 
Kiemen  vorhanden,  welche  in  Bezug  anf  Lage  aod  Bau  mü 
denen  der  erwnch.^nen  Tiere  Qbereinstimmen.  Sie  liegen  in 
don  Segmenten,  welche  dem  10 — 20  Spinalganglion  entffprochen. 

Ich  kann  nicht  bestimmen,  wie  vi^le  Kienientascben  nb«r- 
haupt  sich  bilden.  Im  Stadium  A  sind  mindeit^ns  G  aotcher 
vor  dem  ersten  Spinalgangtion  vorbanden.  W&ren  s&minUiche 
KiementaMhen  vor  dem  19  SpinalgangUon  erhalten  geblieben, 
•o  wäre  die  Oesammtxahl  derselben  auf  3b  zn  ncfaiitzen. 

Ohne  viel  Gewicht  auf  die  absolute  HichÜgkeit  dieser  Zftht 
legen  ko  wollen,  kann  man  doch  bebaupt«o,  das  die  blsibciMUD 
KiementAochen  oiueres  Timm  «ich  nicht  mit  denjenig«ii  von 
PetTomyi:ondeokeii,iondemvol]itjlndig  dahinter  zu  hegen  kommen. 


73 


Das  Kxoretionrssystem  anlnn^end,  so  eretreeH  es  sich  im 
Stadium  Ä  dorcli  60  Sef^iiic-nt«.  Im  vordersten  die^r  Sej^mente, 
welchem  der  Lage  nach  dem  11.  ^pinalKanglion  enbs'pricht, 
Hndel  man  eine  einfache  Verdicknnt;  der  Soniat/ipleure.  Im 
zweiten  S<^ment  bcwrkt  einp  Ipirhte  AnsatOlpunff  dio  AnUpt* 
eines  Vomierenkfinälchen!«  «nr!  dieses  ist  durch  eine  verdickte 
Platte  der  Sotnatopleure  mit  einem  gleichen  Kanälchen  de« 
dritten  Segmenten  verbunden,  l^udalwärts  tnnd  die  Kanälchen 
in  der  Entwicklunit  weiter  vorRe»chritt«n.  Die  sie  verbindende 
Verdickung  wandelt  »ich  xunnchfit  in  einen  WnUt  und  dann  in 
«inen  nnn  vi^lliff  von  der  ^^<mlHtopleure  ah^el('l!tt,en  Strang  um. 
Dieser  Strang  i^t  der  8e|j;u)ental|^'an|j^.  Die  Mflnduuf^en  der 
Se^entiilkftuülchen  schieben  »ich  eine  kurze  Strecke  weit  in 
den  Sej; mentalgang  vor,  ahne  jedoch  die  gleiche  Mündung  im 
NuchbAreegment  7.n  erreichen.  Im  lot/.ten  Segment  ist  kein 
Kanülchen  vorhanden.  In  einigen  der  am  weitesten  caudal  ge- 
legenen Segmenten  haben  dit;  Knniilrhen  ihre  Verbindung  mit 
dem  Coelom  eingebüsst.  Der  Segnientnlgung  erstreckt  «ich  in 
diesem  Stadium  eben  sd  weit,  wie  beim  erwuch^eneu  Tiere, 
kommt  aber  nicht  mit  dem  Uypoblafit  in  Bernhruug. 

Die  angefnhrten  Thatsachen  berechtigen  uns,  dos  ganze 
System  als  Pronephros  xu  deuten. 

Im  Stadium  Ji  hnben  sUnitlichc  KanÜlcfaen,  mit  Ausnahme 
niger  vorderer,  ihre  Verbindung  mit  dem  Coelomepithel  ein- 
gebnsst.  In  den  letzten  19  Segmenten  sind  die  Segmental- 
kanSlchen  spurlos  verschwunden.  Dasselbe  .soll  beim  erwachsenen 
Tiere  in  grosser  Ausdelmung  der  Fall  sein.  —  Di^r  grösste  Teil 
des  Segnen  tat  gnngefl  hat  eine  Lichtung  erhalten.  Das  hintere 
noch  maanve  Ende  dewelben  ist  mit  dem  Hypoblust  in  Be- 
rQhruog  gekommen. 

Im  Stiulium  G  sind  alle  Spuren  des  excretorischen  System» 
in  den  20  vordersten  jener  09  Segmente  verschwunden.  In 
den  xiinurtist  dtmiuf  folgenden,  d.  h.  den  unmittelbar  hinter 
den  Kiemen  gelegenen  Segmenten,  hnben  sich  die  Segntental- 
kanittfhvn  in  die  Kanälclien  der  heim  erwachsenen  Tiere  Roge- 
nannten   Kopfniere   (Weldon    ISS-i)    umgewandelt.     In    vor- 


74  SiUtmg  der  matk.fhga.  Clane  vom  7.  Man  1896. 

liegendem  Stodhim  sind  jedoch  die  Yerhilfenine  noch  riel  ein- 
&cher,  ab  beim  erwachsenen  Tieie.  Die  flbrigen  Kanälchen, 
wdefae  dem  Meaonephros  nach  Weldon  entsprechen,  haben 
Glomernli  erhalten.  Der  Segmentalgang  Gffnet  sich  io  die  Kloake. 

Diese  Tfaaisachen  zeigen,  dass  das  exccetorische  System  in 
firOhen  Embryonalstadien  durch  die  gania  spatere  Kiemenregion 
des  erwachsenen  Tiera  sich  enbeckt,  ja  noch  eine  Strecke  weiter 
eraoialwärtB  imcht.  Diese  Verhältnisse  gewinnen  noch  mehr 
an  Interesse,  wenn  man  die  von  Boreri  bei  Amphioxos  nach- 
gewieaBnen  Exerefeionsorgane  in  BerOcksichtigang  sieht. 

Ich  kann  mit  Bestimmtheit  die  Behauptung  aufstellen,  dass 
die  Ton  Weldon  1884  als  Pronephros  und  als  Meaonephros 
nnterschiedenen  Abschnitte  beim  erwachsenen  Tiere  sich  ans 
einer  in  jeder  Beriehang  gleichartigen  und  einheitlichen  Em- 
bryonalanlage differenzieren  und  dass  der  Segmentalgang  im 
giSssten  Teile  sdnes  definitiren  Verlaufs  im  Anschluss  und  in 
Verbindung  mit  den  Anlagen  der  Segmentalkanölchen  entsteht. 

Üeber  das  Hirn,  das  periphere  Nervensystem  and  das  Kopf- 
skalett  dieser  Embryonen  sind  meine  UnteTSuchungen  noch  nicht 
zum  AbschlubS  gelangt. 

Gin  Larvenstadium  besteht  bei  Bdellostoma  offenbar  nicht; 
die  Entwicklung  an  diesem  meroblastischen  Gie  verläufl  direkt. 


» 


Polarisirte  Fluoreacenz; 

ein  Beitrag  zur  kinetischen  Theorie  der  festen  EOrpmr. 

Von  L.  Sohncke. 

l&wpt^Amfm  18.  ir<ir*.) 

Inhalt  £  ^  I.  Kinli'ituiiir.  S  2.  Vergleich  nag  mit  d«n  Ersdieiaunffim 
trQloM'  Mrnlion.  «1  rinsw'pkpilon.  V»!  Kinfiwh  l<rfchen'3e  ff*t<* 
Kflrpvr.  I.  Alisfhiiilt :  Fluurt>«piMiK  aiitJM-h  piauxigtir  KrjratiilU'. 
K  S.  Khanbu6driM:lie«  Sy«tem.  KiükipAtb.  %  4.  JJesaeoDalo« 
-  '  .  \i  ■!  §5.  Kort-ffziiri)?.  Bwyll.  JJ  6.  iJu.i<lniliHi:b{w 
iiin.  g  7.  Forlflfl/iinn.  Hurnblni.  II.  Al'hiclinilt : 
Kliit>rr«rpni  optiurli  r.wiMaxiprr  Krvi«tiill<*.  8  8.  HJuimhidfhr:* 
Sv-tcHi.  Topas.  B  0.  Foftsou-iiHR.  -iViraRoiiit.  RIO.  Knrtnetziing. 
H<;<<>l*lGHTrz.  §11.  Moiiubliiifti  87ft«in.  RobmiclEcr.  j}  13,  Tri* 
kluK's  äjal«m.  Cfiiuit.    ft  13.  Boifiütatf.'. 

)$  1.   Einleitung. 

Die  kinetische  Theorie,  ureprQuglich  für  den  Gaszustuud 
aufgcstlellt,  über  von  Olauitiu:«^)  «ogleich  auf  den  Hn!4«if{en  Z\i- 
dtnnd  uu!:f^dt.'hnL,  hat  fUr  letzteren,  wie  Herr  Chr.  Wiener*) 
.tchon  ror  langer  Zeit  entwickelt  hat,  oinen  beinahe  aui^en- 
ttclii^iulichen  Beweis  in  den  Brovrn'schoD  Motekularbewegungan 
Kuftiadt'ii.  Man  kann  nun  tinniöglich  nur  den  gasigflo  und 
Üfläftigen  Zustand  kinetisch  auSiusen,  »oadera  muM,  wie  es  »cbon 
Claueiii«  tbat,    auch   in   den  festen  Körpern  die  Theilcben  für 


1)  CUuüiM.  U«b«r  die  Art  d^r  Hewi^iinK-  dl«  wir  Wtrroe  aeniieii. 
l'oKirx-nJnrtb  Annalm.   100,  353.    1867. 

^,  t  hr.  Wtcuer.  Krk).  •!.  niomirtiacfaen  Woaena  des  tropfbu'-flajuig. 
Mrpanuii!tjuidfw  luid  U««UUiguiif;  dowelbeti  duruh  die  Mgea.  Uoleknlnr- 
'"nrepinjren.    Voan-  Ann.   118.   :<.  7^',   ISfiS, 


.SjUWN^ 


rftBi  ~    .WiSr;  ts;iti 


bewerft  erklären.  XatHrlich  kfinnen  hier  im  Allgemeinen  nicht 
Iwiiebig  fortschreitende  Bewegungen  auftreten,  sondi^m  die 
Tbeilcben  werden  —  bei  konätuuter  Temperatur  —  nur  in 
Schwin^iDgen  oder  irgendwie  gearteten  TTmlaofebewegiiTigim 
um  feste  Mittellagen  begriffen  sein.  Ich  war  nun  Kchon  vet 
längerer  Zeit  bemOht.  Thatsachen  aiifKiititiden,  welche  geeigne 
erscheinen,  unsere  Vorstellungen  Über  die  Bewegung^ Vorgang 
der  Theilchen  der  festen  KOrper  zu  klären  und  bestimmter  n 
gestalten. 

Weil  die  Molekularbewegfungen  nothwendiger  Weise  im 
engsten  Zusammeohange  mit  den  Wärme-KrscheinungeD  stehen, 
wi  kann  niiin  hüffeo,  auf  Grund  der  letzteren  eintm  tieCer 
Blick  in  die  molekularen  Bewegungsvorgäuge  zu  tfaun.  Wäbmd 
ich  diesen  Gedanken  bei  anderer  Gelegenheit  weiter  zu  rer^ 
folgen  gedenke,  schlage  ich  in  vorliegender  Abhiuidlung  einen 
ganz  anderen  Weg  zur  Erreichung  des  vorgH^ckten  Zieles  ein. 

Sobald  man  dm  molekulare  Verhalte»  fester  Ki')rpor  nnter« 
«acht,  moss  man  beachten,  das»  man  es  —  abgesehen  vielleicht 
TOD  den  fßiten  Körpern  der  orguiii<cb*.'n  Xatur  { von  Hulx. 
Knochen  u.  ».  f.),  sowie  von  den  Colluideu  —  immer  und  Qberall 
nur  mit  krystallisirtem  Stoff  zu  thun  bat:  denn  auch  die  al» 
amorph  bezeichneten  Gläaer  sind  wohl  nar  uU  in  besondem 
hohem  Orade  kleinkrystalliniscli  aufsufaaseo.  *)  Somit  ist  die 
Frage  nach  der  Art  der  Molekularbewegungen  in  featen  KOrpem 
im  Wesentlichen  zu  ersetzen  durch  die  Frage  naf?h  diesen  Vor- 
^bgen  in  Krvstallen. 

Dass  die  Molekularbewegungen  im  Innern  eines  KrjrvtaUs 
nicht  ganz  regellose  sein  können,  sondern  durch  die  Art,  io 
der  die  Bausteine  den  Krjstalls  angeordnet  sind,  d.  h.  durch 
seine  Struktur,  bedingt  sein  mOasen,  iTHcheint  »elhfttTe»täDd|jelLij 
Wenn  man  nun  irgend  welche  Theilchen  eines  Krjitalli 
Flnoreaciren  bringt,  d.  b.  wenn  man  sie  veranUnt,  Schwing- 

')  W.  Voigt.  ThBorct.  StatlMHi  ab.  d.  EluticttaUvvh.  d.  Krritall«. 

AU|^  4.  k.  Om  .1  Wim  1.  a«ttiii««B.  M.  iWT.  8.  Aa  —  r»- 

^i^im,  tviach.  d.  baid.  KUirtäeitAteliotittnn1«n  isotn-iiW  Kflvprr 
ouatw  Aniiaiea  88.    1980.   H.  »74, 


i*  üiihneiit:  Potarmrte  nuortteenj. 


EtmudflB,  ao  isk  dies  nur  dadurch  mö^rlich.  dass  dt« 
Ttieilchejt  /.iiror  selbttr  in  Sehwingungen  veräet/.t  süien;  und  die 
Untersuchung  des  ausgesendeten  Fluorescenzlichtes  wird  gewisse 
KfickächlQsse  nuf  die  Soliwingunp^vorgange  der  flaorescirenden 
Theilchen  selber  gestntten.  Allf>rtlingä  bleibt  es  hierbei  ganz, 
unentschieden ,  welche  Gebilde  es  »nd .  die  da  fluorescirend 
schwingen:  oh  Atome,  beitiebnngsweise  Atomkomplexe,  oder  nur 
etwa  an  den  AU)nien  haftend«  elektrische  Ladungen. 

Auf  welche  Art  immer  ein  Ort  im  Krystall  za  einer  Licht* 
quelle  gemacht  sein  mag,  jedenfalls  muss  die  von  dort  aus  fitafci- 
findendo  Licbtausbreituug  —  da  sie  durch  daa  krystalliairte 
Medium  hindurt:b  vor  sich  geht  —  die  gewÖhüHcben  Gesetze 
der  Lichtbenogung  in  Krystallen  befolgen;  also  rouss  in  allen 
Krystallen,  die  nicht  dem  regntiiren  System  angehören,  DoppeU 
bri^ohtin^  eintref^en,  so  daas  nach  jeder  Richtung  zwei  seukreoht 
luieinandor  pülarisirte  Strahlen  vom  Erregung^-entrum  ausgehen. 
Ist  oon  der  Kry-ttall  nicht  genide  ein  dichroitiächer,  d.  h.  ein 
»olcher,  welcher  die  beiden  Strahlen  merklich  verschieden  ab- 
ßorbirt,  so  werden  beide  nach  senkrechtem  Austritt  au»  einer 
KryäUllÜilcbe  noch  dfiöselbe  Intem^itäUverhältnisä  haben,  welches 
ihnen  von  vornherein  innewohnte.  Wenn  sich  daher  jetzt 
ain  Strahl  dem  anderen  an  Intensität  überlegen  zeigt, 
•o  scfaliesat  man  mit  Nothwundigkeit  auf  eine  anfäng- 
liche Veracbiedenheit  der  Intensität  beider  senkrecht 
zu  einander  schwingenden  Strahlen  und  somit  auf  ganz 
bestimmte  Seh wingungsbewegungen  der  fluoresciren- 
den  Theilchen. 

Man  darf  vennuthen,  dass  im  Krystull,  zumal  wenn  er 
irgend  wie  von  Licht  getroffen  wird,  ähnliche  Bewegungen 
dauernd  vor  sich  gehen,  im  Altgemeinen  freilich  nicht  mit 
hinreichender  Stärke,  um  sich  dem  Auge  durch  Fluorescenz  xu 
verrathen,  ati-iser  eben  hei  geeigneter  BeLstruhlung.  Aber  selbst 
wenn  diese  Vermuthung  nicht  zuträfe,  so  werden  auf  dem  an- 
gegebenen Wege  doch  jedenfalls  diejenigen  llichtungeo  im 
Kryi^tatl  aufgefunden,  nach  welchen  hin  jene  Licht-ao&iendenden 
Schwingungen  vorzagnweise  sich  vollziehen  können. 


78 


SiUitrifj  tief  math-ithj/ä.  CluH»e  rom  7.  JtfJrr  SüHtJ. 


Derartige  Beobachtungen  bilden  den  Inlinlt  des  Folf^nden: 
Ü'w  hier  behoDdctt«  Krßcheinnng  ist  in  Tereinz<?U<m  Kiillwi 
schon  frnher  beobachtet;  ihr  Entdecker  Graitieb^).  der  sie  an 
fünf  verschiedenen  PlaiincyaiidoppcliiaUen  gesehen  bat  nnd  al» 
,Doppelfluorescenz'  hexeichnet,  entwickelt  sehr  klare  Vorst«!- 
Inngen  Über  dieselbe.  ^Merkwürdig  ist  die  Tbat»uche,  dass  ein 
Dichroismas  des  PluorcBcenztichtes  beobachtet  wird ,  der  mit 
dem  Dichroismns  des  Kn-stallkrirpers  bezßgh'ch  duii  '      '  i 

Lichts    in    keiner  Beziehung   zu    stehen  scbeint.      N      i  _  ^        -i 
Dichroismus  hier  nicht  der  recht«  Ausdruck,  da  es  sich  mehr 
um  Unterschiede   in    der  Intensität,   als   in   der   FArb4« 
t]tt^  lächts  handelt     Das  Licht  der  Kluorescenz  dee  Calciuiu-i 
platincyanflrs  Tihrirt  xenkrecbt  eur  L&ngtMiiute  de«  herrscfarade 
I'rijmia  intensirer,   obschon  OaKinniplatincyooflr  mnaragdgrüafi 
Licht  dnr*blil.-st,  &  mag  |I  oiler  X  zur  Läng*?naxe  vibrireu.*  . .  . ' 
,ln  allen   diesen   Füllen    zeigen    die    eigentlichen   Körperfarben«^ 
die  man  im   durch  gelassenen  Lichte  beolwchtet,   durchaus  keil 
Aiialogun,    Die  krystAlIi»che  Äh^orptiüii  t:«t  in  keinem  heAÜnin^ 
baren  ZusBrnnienhange  mit  der  kry>»t«llischen  Fluoretfcenx.*. . . . 
.Die  Elaülicitat   innerhalb   des  Moleküls    mnsa  eine  uidere  üein 
als   ausserhalb    desselben    im  KrrsUiltgansen.     FCr  die  fluore 
cirendeo    Molektlle    verhält    sich    der    nhrige    Krjaftalt    nnr   uli 
durchsichtiges   Medium.     Die    Dnp|HdtluoreGC«nx  iat   Moleknlar-1 
dichroisranSf    Molekularabaorption.   im  Gegensatz  cum  gewöhn- 
lichen Dichroiämus  der  Kry&talle.* 

KOr    Magnesiumplatineyannr     beschrieb     v. .  Lommel    die) 
dichroitiache    FlaorescenE    xaer^t.*)      Im    gl4?ich4?n    Jflhre    fa 
Ma»kelyne')     PolariiMition     de»     durch     KathudenMrAhlen     er* 
regten  FlnorescenKtichtea  Ton  Smaragd.  Sapphir.  Zinnat^in 
UjFacinth,  und  zog  aus  »einen  Beobacbtangen.  frtriltrh  mit  ailiiu 


't  Omilirfa,  Kf7ataIlc^mpliL'<ipl>«^t  TTnti'macbinii^n.    Wlva.    18S8. 

S.  C4  u.  ST. 

*i  T.  LMannel.  WMnnaiiiij  Annalm  &   I8T0.  fi,  üSi 

*}  \nimaf[  n   mntr   Abhiudlttag   v<m  OrcwJtm.    iVoe.  B^f.  Sor. 

Utabw.   96.    187V    S.  «77. 


L.  Sohneke:  Potnräitie  J'luoresceiu. 


79 


Vorbelialt,  den  Schtu»«,  d»s&  imEnpr  jene  Stmhlen  nr/f^ni^  werden, 
doren  Vibrniionsriclitung  der  Kichtun^  innximaler  optischer  Kla- 
iiticiUt  im  Krv?*tAlle  entspreche.  —  Dies  üit,  AOTiel  mir  bekannt, 
das  bisher  vüHiegendi?  ReolmclituriKsinalerial.  Es  Ist  sehr  npärlich, 
trotzdem  da^a  die  ICrscbeinung  uugeiiieiii  verbreitet  sein  rausa. 
Niinlich  ich  halte,  nuf  Ornnd  der  obigen  Erwägungen,  dii» 
polarisirte  Flnorescenz  fflr  eine  Eigenschaft,  die  allen 
mit  FiiKtresocny.  begabten  tlopp(>)brechci)den  Kry stallen 
Kiikonimt,  so  das»  ihr  Fehlen  ^ine  Auönahnie  wäre,  die  enrt 
eine  eigene  Erklärung  t'i-rorderu  würde.')  Um  diese  meine 
Auffassung  zu  lieweisen,  erscheint  es  Tor  Allem  notbwendig, 
die  pulariairle  Kliiorescenz  womöglich  an  gänzticb  wasserhellen 
und  duher  von  Diohroismns  freien  Krjtttallen  nachzuweisen ; 
Di&mlich  .starken  Fleochroismu.s  können  nur  stark  absorbirende, 
d.  i.  lebhafl  gefärbte  Krystalle  zeigen'.*) 

Die  sehr  einfache  Versucliäjin Ordnung  bestand  darin,  paral- 
leles Licht  (der  Sonne  oder  der  elektrischen  Lampe)  durch  eine 
Linse  von  27  cm  Brennweite  and  5  cm  Durchmesser  (ea  war 
eint!  Hcri^tcryi^tulltinHt«)  in  ein  tichwach  konischen  Strahlenhündel 
umzugestnltrn  »nd  so  in  den  Krystall  eintreten  zu  lassen.  Immer, 
ausser  bei  der  tlatersuchung  des  Kalkspaths,  war  ein  violettes 
Ota<!  vor  die  Linse  geschaltet.     Dasselbe  Ifiast  das  ganze  Blan 


*}  Eine  gaux  andere  Aii^asuiui);  bnt  F..  Wiederoann  entwickelt 
lAunalen  9.  1860.  S.  I&B).  Die  dichroitiecho  Pluoreacenx.  welche  die 
l'laiincrundnpprjRtilx4«  iintir  d«*r  Wirknng  der  KRihndi*ntttTuhl«n  u*igen, 
führt  K.  WirHtrumnn  djiraiif  zuräcJc.  dou  die  oborÜlithliLhc  Hchifllit  ein«? 
'  r,  il»*!«  dio  ticft'r  liegeticIcTi,  unootwiüiK'! '  ■•'ii'-n 

.'i  :  ■    '  in'il,  und   Ahm»  lnl/.tvri*N  Lirht.  die(>b»*;i  tiirht 

chdriagvud.  tn  2  ■enla-f^oht  polarisirl«  CoinponPiiton  xnrli^rrt  word«, 
vprtchieilttnt»  AbaoriJtifui  nrlpiili'ü.  Wahrond  diene  Dnitnnfr  anf  die 
i  viMi  Mojtkrlvnp  stiidjrttni  Snb»tnin[fn  ulfenbar  kflinc  diroktö  Änweiidimg 
tlndet.    wÜ!  nu<-h  mit   der   vnn   Gmiltcb    hM-vorgt>hul>4.*nen   gitiix- 

liehen    Vw^  i  ^i-H    zwisi^hm    .UopjioIHluirnK'fnx'    und    Ihrhroinmus 

dm  Knr^ialU  für  dnrcbgelaa^cne»  Licht  ni^ht  r<fcht  in  Einklang  bringm 
Inweu. 

•)  Dtotb,  Ph.T»ikaH«Thi»  Krf«(aIto(rraphl*'.  Dritte  Anflagp.  T.eipxig. 
leoft    8.  IRB. 


80 


i/A.-jAy«.  am 


tSO€, 


nod  Violett,  von  etwa  >i  ^^  O^.S'^S  //  an,  d.  h.  von  £* 
H  hinau.'i,  —  mit  nnr  eini*m  xchcualeu  AbturptioDautiretfon  joa- 
ieiU  S  —  hindiircli,  ferner  nucfa  den  kifliuffo  Tbeil  des  Rotb. 
der  die  Linien  A  ond  B  enthält  (0,780  IjIh  (i.OSO  ;<),  ond  ebw« 
schmalen  streifen  im  Anfnu);  de«  GelbKrQu«  von  0^h76  bis 
0,551  /*.  Der  im  Krystall  durch  Flaoreicenx  ncli  al>Keichti«fidi> 
Struhleuwef;  wurde  vuii  der  Seite  her  durch  ein  Niix>r«:bc* 
Prifma,  nnthi^«"  Falls  mit  Lupe,  beobachtet.  In  rielen  Wr- 
äucheii  war  duü  Licht  dicht  Tor  steinern  Eintritt  ia  den  Kryst«!! 
)»preitji  dorch  ein  Nicorwbes  Hrisuia  hindurcbgeschickt. 

In  derTbat  lieferten  alle  Oberhaupt  fluoreecirpti- 
den  doppelbrechenden  Krystalle  Fiuore8cen:&Ucbt, 
welches    sei   es   theilweisef    sei   es   rollständig    polari- 
Htrt  war,  wie  im  Folgeaden  näher  dargelegt  wird.     & 
schniiit  übrigen»,  —  wie  hier  beiläuÜg  bemerkt  «i,  —   aU  wenn 
eine   fluorescirende   krystallisirte  SnUtaDz   die   Eigeoschafb   der 
Kluorescenz  nicht  uothwendig  vermöge  ihrer  charakberistiscbBii 
chemischen  Zusammensetzung  besitzt.  Aondem  oft  nur  verinj^ 
minimaler  fremder  tieimengungen.     Nur  »u  .•scheint  es  mir  rer- 
ständlich,  daas  z.  B.  mehrere  von  mir  untersuchte  völlig  wawer- 
lielle  Rhomboeder  Isländischen  DoppeUpathe  starke  Fluurc 
zeigten,  während  eine  eben»>  helle  Kftlks|>ath5äQie  an»  Egremon 
in  Cuuiberland  nicht   Hie  geringste  ^pur  davon    erkennen   lin«; 
ferner  dass  ein  sehr  klarer  schwach  gelblicher  Hibiriücher  TufMb 
gar  nicht  tlaoresicirie,    während  zwei  andere  mitidest<?n«    e^• 
klare  Topase  von  der  Urutga   bei   NerUchinsk   lebliaft    Üuu;.^ 
cirten,   jedoch   der  eine  stärker   als  der  andere,    und    zwar  ao 
gewissen  Stellen  des  Innern  besonders  st^rk.    Auch  die  nachher 
zu   erwähnende    merkwürdige    Verschiedenheit    der   FIik  r       - 
zweier  Aquamarine  findet  wohl  in  der  vnrschiedenen  (Jua  ^ 
die  FluoreiKenz  bedingenden  Beimengungen  ihre  Erklärung, 

Keine  Spur  von  Fluorettcenz  bei  der  ßeäiruhhnig  mit  dcfD 
durch  das  violette  Glas  gegangenen  Licht  der  elektrischen 
Lampe  zeigten  die  von  mir  untersuchten  Krystall«  folgender 
Substanzen :  Alaun ,  Sylvin ,  Chlorsaures  Natrium ,  Dolomit, 
Natronsalpeti^r,    Supphir,    Phennkit,    Qyp»,    Kupfersulfai.     lu- 


L,  Sohwke :  RrfarwiXf  lluoreseenz. 


81 


dessen  ist  es  mir  doch  gelungen ,  für  jedes  Krystalkystem 
einen  oder  einige  deutlich  Üuoreücirende  Repräsentanten  zu 
finden;  freilieb  sind  einige  davon  nicht  so  frei  von  Dichro- 
i»mu8,  lUs  wün^clienswerth  gewesen  wäre.  Sie  werden  in 
zwei  Abschnitten  yorgefilhrt;  im  ersten  die  optisch  einaxigen 
Krystalle  Kalkspath,  Apatit,  Beryll,  V^esuvian,  Homblei;  im 
zweiten  die  optisch  zweiaxigeii  Topas,  Arragonit,  Woissbleiera, 
Zucker,  Cyanit.  Bei  der  BeschaiTung  des  zum  Tbeil  sehr  kost- 
baren UntersHchnngsmaterials,  sowie  bei  der  Zurichtung  des- 
selben, »tand  mir  Herr  Professor  Dr.  Groth  stets  su&  liebeus- 
wtirdigste  mit  Hatb  und  That  bei;  ohne  seine  nnermndliche 
und  stets  bereite  Unterstützung  würde  mir  die  Ausführung  der 
vorliegenden  Untersuchung  überhaupt  nicht  möglich  gewesen  seiu. 


I 
I 


§  3.   Yorgleichang  mit  den  Erscheinangen  trOber  Medien. 

Der  Durchgang  eines  Strahls  durch  einen  Huorescirendeu 
Krystall  bietet  eine  gewisse  Aehnlichkeit  mit  dem  Durchgänge 
durch  ein  tröbea  Medium;  es  ist  daher  wichtig,  beide  Erschei- 
nungen bestimmt  zu  unterscheiden. 

a)  Flfissigtceiten. 

Wenn  ein  durch  eine  SammelHnae  coucentrirbes  weisses 
Slralilenböndel  (vou  Sonnen-  oder  elektrischeui  Licht)  durch 
Wasser  hindurchgeht,  das  z.  B.  durch  Vermischung  mit  einer 
kleinen  Menge  alkoholischer  Mastixlüsung  wenig  getrübt  ist, 
so  erscheint  der  Strahlenweg  in  diesem  Wasser  bekanntlich 
bldnlich -weiss  oder,  bei  sehr  geringer  Trübung,  rein  blau,  und 
jeder  vou  diesem  Strahleuweg  senkrecht  ausgesandte 
Strahl  ist  polariairt,  so  daas  seine  Polarisatiousebene 
den  Strahlenweg  in  sich  enthält.*)  Bei  Anwendung  vio- 
letten Lichts  sind  die  vom  Straliienweg  senkrecht  ausgebenden 
Strahlen   ebenso   poUrisirt  wie  bei  Anwendung  weissen   Lichts. 


<l  A.  I^lfmund,   Comptei  rendus.    18C9.   t.  69.   p.  189.  283,  917. 
Tyndnlt,  Phü.  Mag.  U).    m>%  87,  383;  38.  150.    Stniit  (Lord  JUyleiRfa). 
Phil.  Miȧ.  (J).    1871.    4t    p.   107,  274,   147. 
1898.  Matli.-|>ti7».  GL  I.  0 


82 


8iUwt0  <ler  mttih.-pht/a.  CIm»*  mm  T.  Märt  Ite**!. 


Enetvt  man  aber  Aas  trObe  Medium  durch  nnp  flnorescirendc» 

'Flüssigkeit  (z.  B.  b'IuorwtceVnlÖsuDK  '»tler  iVtrolHiim),  wi  »endet 

der  flaorescirende  Strohlentreg  fast   voUkomnien   unpulari- 

Birt«8  Licht  aas. 

Bei  Drehtin^j  eine«  NicoPsdien  Prismas  vor  dem  Anj 
erscheint  der  Strnhlenweg  höchsten»  eine  Spur  WKisslicher«  so- 
bald die  Polarisationsebene  rie»  Kicol  den  StrnliltMiwog  in  neb 
enthält,  während  bei  dazn  senkrechter  Stellung  d^  Nicol  nnr 
die  gnoR  reine  Fluorescenzfarbe  zum  Vorschein  kommt.  Di«' 
geringe  Beimengung  mehr  weisslichon  Lichts  im  eruieren  Fall 
litt  offenbar  die  Folge  einer  geringfögigen  Trübung  des  Medium«. 
Bei  violetter  Bestrahlung  sendet  aber  der  fluorestirende  Rlmhlrn- 
we<^  vollkomuten  unpularisirtes  Liebt  aus;  Drehung  des  Nico! 
Tor  dem  Auge  bewirkt  nicht  die  geringste  Intensitats-  oder 
FarbenSn  dem  ng. 

Za  demsetlien  Ergebniss  fßhrt  die  Anwendung  polnri- 
sirt   eintretenden     Lichts.      Der   jetzt    iu    einem    trQban 
Medium  sieb  abzeichnende  Stmhlenweg   —    blünücb-woiB  oder 
Tiolett,  je  nach  Anwendung    weissen   oder  violetten   Lichte  — 
schickt   hauptüüchlich    nur   in    der    PolariaatLOusnbeno  dw   ein- 
tretenden StraIileDbündel!j  Liebt  utu,  und  zwar  in  dieser  Ebene 
polarinrtes;  nenkrecht  dazu  aber  ftuft  nicbtn.    Wird  der  polari- 
^sirte  Strahl    hingegen    in    eine    fl  norescirende    Fln^nigk^nf 
geschickt,  so  zeigt  «ich  der  Strabienweg,    wenn    w^iaseä    Licht 
angewandt  war,  in  der  Potariiiatinnsehene  nur  eine  Spur  weis»- 
[Kcher  nU  senkrecht  zur  PolarbutionMebcne,    in    welch*    letzterer 
[Richtung    die    reine   Fluoreecenzfarbe    gesehen    wird.    —    Bei 
^polaris! rter    violetter    Beut rah lang    Hendt*l    aber    der 
rtnoreflcirende  Strahlenweg  rollkomnien  unpolarisirtet 
larht  auf),    und  r.war  in  gleicher  St&rke  nach  all»n  au 
ihm  Hcnkrechteu  Kicbtungen. 


Zw  Sf^Hckt:  fidaritirtt  Fltiorttevtu. 


83 


b)  Kinfacb  brechende  feste  Kdrper.^) 

Ich  untersuchte  zwei  OloHwUrfel;  ein  unpolarisirt  eintreten- 
der weiia<.*r  Stnihl  zfichnett;  seinen  We(f  in  dem  einen  grün, 
in  dem  anderen  blau  fluorescirend  ab.  Dem  Fhiorescenzticbt 
ist  in  beiden  Filllfn  ziemlieh  viel  welsslicbes  Liebt  beigemengte 
und  daa  roni  Strahlen  weg  senkrecht  auf^esaodte  Liebt  ist 
ziemlich  stark  polarisirt  jn  der  den  Strablenw^  enthaltenden 
Ebene.  Stellt  man  die  Polurisationsebene  des  tor  das  Auge 
gehaltenen  Nicols  senkrecht  zum  Strahlenweg.  so  erlischt  der 
polariAirte  weiAsliche  Antbeil,  und  nur  dai>  reine  FluorescenzUcht 
bleibt  flhrig.  Der  pfjlarisdrte  Antheil  int  offenbar  dadurch  be- 
dingt, dAH  dm  Gins  zugleich  aU  ein  wenig  trflbes  Medium 
wirkt.  Bei  rioieltor  Bestrahlung  sendet  der  flnorescirende 
Strahlanweg  voUkommen  unpolarisirtea  Licht  aus;  es  leigt  die 
reine  Fluoresoenzfarbe.  Schickt  man  pulari»irtea  veissee  Licht 
in  die  Qlä^er,  so  sendet  der  Btrahlenweg  am  meisten  Licht  in 
der  PotariNationaobene  de«  eintretenden  BündeU  aus,  und  y.war 
ziemlich  stark  in  ihr  polarisirtes.  Bei  polarisirter  violetter 
Bestrahlung  sendet  der  Strahlen  weg  gänzlich  un- 
polarisirtes  Licht  aus,  und  zwar  vou  gleicher  Starke 
nach  allen  zu  ihm  senkrechten  Kichtungen. 

Ein  ^hr  groaaes  «aaserhelles  SpaltongastUck  des  regulär 
krystallisireiulen  Flussspaths,  tum  der  k.  b.  Staatssummlnng 
entliehen,  erschien  bei  gewöhnlicher  Besichtigung  merklich 
homogen.  Aber  beim  Hineinsenden  eines  StrablenbDndels  zeigte 
es  «ich  au9  zwei  verschiedenen  Schicht<_*ii  beätehend«  deren  eine 
dos  Verhalten  eines  stark  trüben  Mediums  darbot,  während  sich 
die  andere  ganz  frei  von  Trtlbung  erwies.  Denn  derselbe  Strahl 
Kcichnete  sich  in  crsterer  mehr  bl&u lieh •  weiss,  in  letzterer  rein 
blau  ab.  Die  tröbere  Partie  zeigte  in  jeder  Beziehung  das- 
selbe Verhalten  wie  die  beidun  Ulaswflrfel;  die  gilnzlich  unge- 
trübte das  Verhalten  einer  reinen  flnoroacirenden  Flüssigkeit. 

Dan  Gesammt-Ergebniss  ist  folgendes:  Bei  den  der 
FlnoreaoflDX    f&higeu    flQssigen    und    festen    einfach 

^i  Yrrgl.  auch  LallMnaDd  &.  a.  0-  &  OIT. 


84 


SiUvm$  der  wtiüh.-phijM.  Oaut  ron  7.  Man  MW. 


brechenden  Stoffen,  mögen  letzter«  regal&r  IcrystaUi-. 
sirt  oder    »morpb    sein,    senden    Alle   Tbeilohen    eine« 
lediglich    flaoroscirenden,     nicht    zugUich     IrQbvnJ 
StrablenwegeB.    wie    er   im    Allgemeinen    durch    Vor-l 
schttltuiig  eines  viuletlen  Otases  erlinUen  wird,  vuUigj 
nupolurisirtes    Licht   aus.      Die    bei    Anwendung     wetaa«« 
Lichts  Auftretende  theilwei.He  Polarisation  des  vom  SirahlHiiwege^ 
ausge^andteu  Lichte»\  dessen  Polarisationsebeue  den  Strabl^aweg: 
in  aiuh  enthält,  sowie  seine  weitsslicbere  Färbung  ist  eine  Folget 
der  ^Trübheit*  de.s  McdinmSf  also  einer  ganz  anderen,  tod  der 
Fluorescenz  gänzlich  unabhängigen  Krscheinung, 

Im  Folgenden  wird  daher,  am  die  Bracheinungen  nicht 
durch  die  aus  f.'twa  vorhandener  geringer  TrObbeit  dos  Mediums 
entspringende  Polarisation  zu  compliciren,  faat  aoaschUecBHch 
violette  ßetstruhluug  angewendet.  Denn  diese  ruft,  nach  dem 
Vorigen,  bei  wenig  trüben,  aber  flaoreficenxfäbigen  Medien  nur 
Fluorescenz  herror,  ohne  die  fQr  trflbe  Medien  charakteristische 
Polarisation. 


1.   Fluorescenz  optiftoh  einaxfger  Kr^stnlle. 
§  S.    RhomboAdrisches  System.    Kalkspath. 

Da&s  der  Kalksputb  fluorescirt,  und  xwar  mit  ziegelrothem 
Lichte,  wenn  ein  Bündel  concentrirler  Hunnenütrnhlen  bindurch- 
geschickt  wird,  hat  zuentt  Herr  v.  Lommel  beobachtet.')  Mit 
etektriächem  Lichte  ist  die  Erscheinung  viel  weniger  deutlich, 
daher  untersnchto  ich  sie  stets  mit  Sonnenlicht  im  Dunkeltimmer 
unter  Weglassung  des  violetten  Glasen.  Dabei  ist  ti&  zur  Ab- 
biendung der  vielen  hellen  Reflexe  sehr  förderlich,  sowohl  muti- 
schwarxes  Papier  als  Hintergrund  zu  wählen,  als  auch  den 
Kryatall  mit  solchem  Papier  xu  bedecken,  welche«  nur  durch 
eiu  mehrere  Milliinuter  weites  Loch  die  Beobachtung  des  rothea 
Strablenwegeä  gestattet. 


M  Wiedouiiiuiu  Aumilun  2L    1S«4.    S.  i2U. 


Sohnatus:  Poiarifiirte  Fluoraeent. 


85 


t 


Nachdem  ich  an  zwei  dem  physikalischen  Institut  der  tech- 
niBchen  Hochschule  gehörigen  grossen  wasserhellen  Khomboiidem 
von  Isländischem  Doppelapatb  die  polariäirte  FlnoreBcenz  ganz 
zweifelloR  festgeätellt  hatte,  —  die  übrigens  Herr  t.  Lommel 
ausdrücklich  in  Abrede  stellt,*)  —  anchtc  ich  sie  unter  den 
einfachsten  Bedingungen  zu  beobachten.  Dazu  sullte  der  Strahl 
iinabgelenkt  eintreten  und  im  Rrvätall  senkrecht  zur  optischen 
Axe  verlaufen.  Also  bedurfte  ich  eines  Krystalls  mit  einer  zur 
Axe  parallelen  Flüche  (Süulenfläche).  Als  ich  aber  zu  dem 
Zweck  eine  der  k.  b.  Staatssammlung  gehörige  ganz  klare 
sechsseitige  Kalkspathsäule  Ton  l!^reniont  in  Cumberland  anter- 
suchte,  zeigte  sie  überhaupt  keine  Spur  von  Fluore^cenz.  &- 
folgreich  erwies  sich  dagegen  die  Anwendung  eines  mir  von 
Herrn  v.  Lommel  aus  dem  physikalischen  Institut  der  hiesigen 
Universität  gQtigät  zur  Verfügung  gestellten  ganz  klaren  Khom- 
boedei^  von  Isländischem  Doppehpatb,  an  welches  sowohl  ein 
Paar  paralleler  Flächen  von  der  Stellung  der  ersten  Säule  (also 
2  Itandecken  des  Rhomboeders  abstumpfend)  angeschliffen  war, 
als  auch  ein  anderes  Fiächenpiuir  von  der  Lage  der  geraden 
Endääclie,  abo  senkrecht  zur  optischen  Axe.  Dos  erat«  Flächen- 
paar  fasst  eine  Kalkapathächicht  von  43  mm  Dicke,  das  zweite 
eine  solche  tod  28  mm  zwischen  sich. 

1.  EinirUi  in  die  Säulenfhkhe.  Das  RhomboSder  wird  so 
gestellt,  dass  seine  optische  Axe  vertikal  ist,  und  dass  das  hori- 
zontale SonnenstrahlenbUndel  senkrecht  in  die  aogeechliffene 
Säulenfläche  eintritt. 

n)  Man  blickt  zunächst  senkrecht  durch  die  hinten  oben 
gelegene  Rhombo^derf lache,  deren  Ftächenuormale  zu- 
sammen mit  dem  innen  verlaufenden  rothen  strahlen  weg  eine 
Vertikalebene  bestimmt.  Dreht  man  jetzt  ein  Nicol'sches  Prisma 
vor  dem  Auge,  so  erscheint  der  rothe  Strahlenweg  bei  Weitem 
am  schwächsten,  wenn  die  Polarisationsebene  des  Nicols  vertikal 
ist  und  somit  den  Strahleuweg  und  die  optische  Axe  enthält, 
d.  b.  wenn  sie  mit  dem  Uauptschnitt  des  ins  Auge  gelangenden 


t;  V.  Lommul  a.  a.  0.  S.  423. 


r  mutllL-fltfa.  Ctmm  ••»  7.  Märt  BML 

■t  Pagiyn  iil  4&r  nttc  StnUmreg  am" 
MM»,  —  tiriiädrt  4BMlMMlM^ipuaiebcr] 
—  wem  4it  PoUriMÜn— fca—  te  Hkob  n 
•chatt  Mrtitlil  iii.  Bbi0  Aciwlgiuag  de»  FaHMakm  mC  nit 
aM*  liitiiwlflifilii  ng  nidrt  verinlpft.  B«  7im«iifc%iit 
4m-  Jittehin  hUkUhmm»  m  VnmdM  Pa«Mg  w«f4e  ■■■ 
•bo  ■mnin.  dMB  £•  voe  dco  flooreacircoden  Ttfflrhw  in  ofaigiar 
Bichfamg  »BD  Aog*  gomdte  StraUoBK  «as  ScbwinpaoffeB 
bwteht,  4ie  Jich  TorzKfpweiie  im  HanpUcbiiitt  voiUj 
niheo.  DiorIIm  Folgnug  ädit  man  bei  Za|) 
4cr  ilililiiiMag.iiriH«h<n  liefattteorie  fiir  die  elektriach«b 
aAwtt^oiyn.»)  W«gv  fienr  UebrnntnoniBg  «dl  im  Fo 
gaadaa  natar  ,  :jch  wiagumgir  itthlnwy*  immut  di»  Bidttuay 
iiiltibliiiii  Scliwici|psii(^  oder  die  Fr«soel'«elM  Scti« 
ncbfeag  vaiteadaa  werden.  Auf  Orattd  der  firwiigmf|«B 
9  l  nhl'wd  IB«B  weiter,  da*«  die  flnorescireoden  Tk^-'--^"-f 
■eiber  ebenfalls    rorxogvweise  in  jenem  Uaupt  ij 

ffchwingen. 

b)  Btickt  nan  jetzt  dnirb  eine  aodero  der  3  oberen 
briMerfilcben  auf  denselben  Stiabtenwig,  w  enebeiot  er 
nndnjtlicbvten,  weno  die  PolaräntioasebetM  des  Nieob  vrrtil 
■tehi,  abo  die  optiaebe  Axe  (nber  nicht  den  ^timhleowef^)  in 
■eh  «aUUlk;  daf^egeo  am  beUttan  bai  biem  «Akmcbi«!-  Kiool' 
■laOimF.  Im  letBteren  Falle  ist  die  PodarimlioMtbcaa 
mm  Haoptacbnifet  dm  ins  Ang«  gelaofcndoa  äti^hla; 
■ebiiemt  man  wieder,  da»  »eine  Schwiagmigcn 
im  BanpftaefaDiti  erfulgen.  AIm  ecbwingen  die  fiuoreaeiivade 
TbaÜebn  aacb  vomifpweiie  in  di«Mn  Uauptscbnitt.  W«ni 
ioast  die  flooreacireodcn  Tbeiltben  sowohl  rorragyweiie  im 
•ntaran,  ab  in  diesem  leUleieu  UaapU*baitt  «ehwiogeo 
■o  ■!■  ihre  HanpUehwiagongsrichtang  in  der 
läai*  liegan,  welche  beiden  Hanptachaitien  gwneiamm  bi,  d.  b, 
in  der  optiRcben  Ax& 


M  J.  C.  Ifuwril.  A  Tnatbr  nn  Qoetricity  tioil  Mai^nntirau    tftTB 
VoL  U.  Cb»pt,  XX.  «rtidc  TUT. 


^  Ütttuiek«:  I'ntttrwiHe  JlwofMewt*. 


87 


fe 


lebet  schickt  mui  da8  SonnenstrahlenbÜndel  vor  aeioAtn 
Eintritt  in  den  KryätatI  ziienib  dun^h  ein  polarisiremle-s  Nicol'- 
«ch««  l'nunm  und  b^^ibschtet  den  Strabipnweg  wieder  nach- 
^nander  durch  dieselben  beiden  Ubomboederäächeu.  Mug  nun 
die  PolAri>tAfion«ebt*iie  des  eiutrett^ndeti  LicbU  X  uder  )|  nur 
optischen  Axe  dm  Krystalh  sein:  die  Stellunften  des  Analysator- 
nicols  zum  Eintritt  der  deutlichsten  oder  undeutUdisteii  t^ichtbar- 
keit  deti  roth  fluurescirenden  Strohlen^^-oge»  sind  dieselben  wie 
bei  iinpolarisirter  Beätrahlun^.  —  Femer  erkennt  mau  mit 
onbewaifuetem  Aiige ,  beäondera  bei  der  Besichtiguugsurt  b), 
da^  der  Strufalenweg  bei  Drehung  des  polarisirendeu 
NicuU  Beine  Intensität  ändert:  er  i^  bei  Woituoi  um 
hellsten,  wenn  die  Potahsatiuiiäcbene  des  eintretenden  Lichtü 
senkrecht  xur  Axe  ist,  d.  h.  wenn  die  Schwingungen  des 
FInorescenz  erweckenden  Strahls  parallel  zur  opLisehen  Axe 
ge.nchehen.  Somit  ist  erkannt:  Mag  dai»  erregende  Liebt  ||  oder 
j_  zur  uptiscbcn  Axe  .scliwingen,  die  erregten  FluoreÄCcuz- 
iwingungen  Tollzioben  i^ich  immer  hauptsächlich  parallel  der 
optischen  Axe«  jedoch  am  ätürkHleu,  wenn  schon  die  err^enden 
Schwingungen  dieselbe  Iticbtung  haben. 

c)  Blickt  man  bei  unpolarisirter  Bestrahlung  darob 
die  gerade  Endfläche,  also  ||  der  uptjtichen  Axe,  anf  den  rothen 
Strahlenwcg,  so  bemerkt  man  bei  Drehung  dm  Nicola  vor  dem 
Auge  keinerlei  Intenaitätsäiiderungen.  Hieratu  folgt,  dass  bei 
den  Schwingungen  der  äuore^cirendeu  Theilchen  keine  der  zur 
opttMheo  Axe  nenkrechton  Hichtungen  vor  der  anderen  bevor- 
zugt iitt,  —  Betrachtet  man,  bei  i>oIuri»irter  Bestrahlung, 
den  Strablonweg  ron  derselben  Richtung  her,  ko  ist  er,  wie  es 
sohei&t,  ein  wenig  heller,  wenn  die  Erregerschwingungen  ||,  aU 
wenn  sie  i  rnr  optischen  Axe  erfolgen.  Alto  scheinen  auch 
die  senkrecht  zur  Axe  gerichteten  Cfnnponenten  der  FluoreHConz- 
schwingungen  am  fltürksten  geweckt  zu  werden  durch  Erreger- 
■chwingungcn,  welche  der  Axe  ||  sind. 

B  2.  Eintritt  in  ditf  gerade  Endftä^ie,    Während  das  Rhom- 


itatf 


88 


8ä$ung  der  mtUh.-phifs,  CioMt  com  7.  Mars  iS9C. 


hurixotiUt  lief^,  tritt  Her  hon£ont«le  Sonnenstrahl  Beokracfat  in 
dio  gerade  Endfläche, 

a)  Btickt  [imn  senkrecht  auf  eine  angeschliffene  S&nleo- 
fliehe,  so  erscheint  der  ^trahlenweg  un  hellsten,  trenn  die 
PoUriiuitiuniiebene  dee  AnaljBatoniiools  1  zur  opti»cheu  Axe: 
dftgegva  vioUeii'ht  nur  V»  *3  hell,  wenn  sie  1|  der  A\  '^  -.i. 
daffielbe  lei^  sich,  wenn  dm  St>nnenticbt  bereits  p(4& 
tritt ,  maff  »eine  PolarisationBehflne  horiaontal  oder  rertäal 
liegen.  Ab»  ancli  dorch  einen  znr  optiachen  Axe  pttrmUelefi 
^GtnihU  d.  h.  durch  Schwingungen  1  zar  Axe  werden  FlnnriB- 
ooancbwingungeo  erregt,  deren  weitaus  gritaste  Cbmponente  war 
cfümhmk  Axe  ||  ist 

h)  Blickt  man  aeokrecht  durch  eine  der  var  ESntritififliche 
beoachb«ii«o  RhoinboMerffitchen,  so  crb2ft  man  genau  diwnlbe 
&g»hnisK.  Dieft  ««gk«  »cfa  beioadcn  adi&o  aa  einea  der  tec^ 
itMnn  Hoehsehale  gehi5r%eo  BkonahoSder  mit  ^em  aoge- 
bülIhMB  Gttdftk^eapaar.  vekbca  eue  Kaftryaththkht  raa 
10  am  awüthau  »cb  OmL  As  diaaem  Eiattpbr  wwidte  ich 
aock  eine  andere  Reohadttaa^tamHlMde  an.  KämÜch  lUtt  darch 
«in  Nicol  ru  ««Imb,  legte  nk  dk  iMuvAofmhe  Lope  Sdkk 
jin  jeoe  R^omboMarfidK,  «o  iam  te  Haiiftorhiutt  4er  Lapt 
(«le»  I  4cr  Axe)  1^,  die  fcäiw  QwUi'ito  tho  bon- 
Rtal  Bfl«ca  «iamaa«  h^ea.  BeMe  Qoaiak»  ecscMacn  ia  dem 
IgwnrtflKv   rWwBlea«   aker  is  ga&i 

t\^aiiiiatiwunfc— I  iwtftal,  •iat,  i  wmr  M^mikim  As» 


3«  •RMM^V  MI  eaitt  «BM 


Diaie] 


r^»«rMi  mwf  er^tt  ftber  palanairte] 

r  hhiüiii 


Em 


Bl 


«  5*«,  «1»  66 


Kin^iittiaift  {91 


h.  SdÄwdtf  r  PdoriwrtA  Ftuoretcens 


Hhohibo^erfläoho,  so  »ieht  man  die  beiden  dnrcli  Doppel brechang 
Bttictandenen  Strablea  ihren  We\i,  im  Innern  roth  abzeichnen. 
od  xwar  beide  gleich  hell.  Verschiebt  man  jetxt  den  KrysUll 
jmrallel  mit  sich  zur  Seite  (AufstcliuQ};;  II),  tm  dasä  das  Licht- 
bflztdo]  nicht  so  nahe  an  dar  Kante  eintritt,  und  duss  fotf^Iich 
das  von  den  Huoreäcirendeu  Theilchen  in»  Äuge  gesandte  Licht 
längtire  We^e  durch  den  Kalkspatb  zu  durchlaufen  hat,  so  er- 
blickt man  4  rotho  Strahlenwego  (odra  aach  bei  anderer  Ver- 
chiebiiii^  dfw  Krystalls  nur  3,  indem  die  zwei  iim-h.st  benw.h- 
»rti»n  mittleren  äu  etuem  TerschraelMn).  Die  Slmhleu  mogeu 
Yon  olwn  nach  unten  als  erster,  «weiter,  .  .  gewählt  werden. 
Bei  Drehung  des  Nicola  vor  dem  Äuge  verschwindet  einmal  der 
erst«  und  dritte,  sodann  der  zweite  und  vierte,  während  die 
entteren  wieder  aufgetaucht  sind.  Die  beiden  flhrig  bleilienden 
Strahlen  siud  jedesmal  unter  einander  gleich  hell;  aber  während 
das  Strahtenpaar  2  und  4,  wenn  es  allein  sichtbar  ist,  sehr 
hell  cmcheiut,  ist  das  allein  übrig  bleibende  Paar  1  und  3 
wesentlich  matter,  jedoch  von  gleicher  Färbung.  Macht  man 
diu  entsprechende  Beobachtung  bei  der  Aufstellung  I,  so  bleiben 
7,war  immer  beide  Strahlen w^e  sichtbar;  aber  bei  einer  ge- 
wissen Nicolsteljung  sind  sie  am  he1Ut«n  und  zugleich  am 
schmälsten;  bei  der  um  90^  gedrehten  XicoUtellung  sind  sie 
am  mattesten  und  wieder  um  schmaUt^u,  und  zugleich  fast  um 
ihre  eigene  Dicke  gehoben.  Offenbar  liat  mau  es  bei  dieser 
Aufstellung  I.  ebenfalls  mit  4  Strahlenbilderu  xu  than,  ron 
denen  aber  je  2  so  dicht  beisammen  liegen,  dasa  sie  zu  einem 
einzigen  Terschmolzen  encheineu. 

Wenn  die  ätrahlen  aro  undeutlichsten  sind,  schätze  ich  die 
l'oUrisfttion.'iebeno  den  Aualysatomicols  zur  optischen  Äxe  pa- 
rallel. Um  dieöe  und  die  darauf  senkrechte  Lage  der  Polari- 
sationsebene  genauer  zu  be«itin)nien,  legte  ich  ein  schmale« 
Papiernt reifchen  an  jene  Fläche  des  KrystalU  dicht  an,  welche 
derjenigen  ||  iat,  durch  welche  hindurch  die  Erscheinung  be- 
sehen wurde.  Dann  Terschwiodct  beim  Drehen  deä  NicoU  bald 
dw  oino,  bald  das  ondi^re  der  beiden  Bilder  dieses  Streifehens, 
and    zwar   gleichzeitig   mit   dem  Vor»chwindMn    des  eineu    und 


90 


Süfiunff  dar  math.' 


TOM  7.  Man  XSUO. 


aodereD  Stntltlenpaares.    So  ilbentenfirt  ruan  sich,  dsas  di«  fliio- 
reecirenden  Kalk&patbtiieilchen  auch  bei  dieser  Versuchsanordnu 
Licht  Aussenden,    welches  znm  gr^flsten  TlioU  senkrecht  am 
Hanptschnitt  polaristrt  ist  —  Die  Beaiehtiguog  der  Bild 
de«  Papierstretfens  Terhilft  xti^Ieich  zur  Widorlet^ing  eines  gt»- 
wissen  Bedenkeuä.     Weim    uüiiilich    das  Kicol'äche  Prisma   auf 
möglichste  Aiistöexbung  der  rüthen  Strahlenwege  eingesteUl  u^ 
Bo  bemerkt   mau   viele   gläaicende  Pünktchen  im  KrjstaU,  re 
inuthlich    kleine   Hohlräume;    dieselben    verschwinden    bei    der^ 
anderen    NicohtlcIluDg,    welche   die    roiben    Strahlen   am   deut- 
lichsten  -Mtigi.     ^   wäre  nnn  nicht  undenkbar,   da&s   vielleicht 
in  Folge  des  Fehlens  dieser  hellen  Pieflexe  die  rothen  Stnh 
jetzt   soviel   intensiver   gesehen  werden.     Inde&sen   wenn   biena^ 
die  wahre  Ursache  des  grossen  UelligkeitBunterscIüedes  der  Flno- 
reeenizentchciniing   bei   beiden  NicolAielluiigeo   Uge,  «o  mt 
das  Bill]   des  duK'h   den   Krystull    hindurch   geseheoen   Papier-^ 
streifeai  entsprechende  HelligkeitAuntemchiede  aufwdsen.    Hier- 
von Hess  sich  aber  keine  Spur  bemerken  ]    Dies  beweist^  daas  jeiifl 
Reflexe,  wcnTi  sie  auch  die  Beobuchtungen  erschweren,  doch  in' 
keiner  Weise  al»  Ursache   des  Verblassens  der  rothea  Lrschei- 
onng  bei  der  einen  NiooUtellung  herangezogen  werden  künnetiJ 

Gesammt-Krgebnijn«:  Darob  Strahlen  von  welcher 
Richtung  auch  inxmer  der  Kaikspath  zum  Fluorescireo 
gebracht  sein  mag:  Die  Schwingungen  der  flaores- 
oirenden  Tboilchen  sind  immer  solche,  dasi  ihre  grUsste 
Componente  parallel  ist  zur  optischen  Axe.  Von  allen 
dazu  senkrechten  Richtungen  erscheint  keine  aunge-^ 
zeichnet.  Am  stftrksten  wird  die  Fluoresceni  errpgl 
dnrch  ScbwinguDgen,  die  der  optischen  Axe  parallel 
sind.    (Vgl.  Ib  und  c) 


§  4.    HezBgonalea  STstem.     Apatit. 

Das  mn  mir  imtervachto,  der  k.  bavar.  Staalssunmlunff 
gabärige  Exemplar  vom  KloitmthaJ  TTiml)  hat  als  Begreanog 
Ewai  «{«rad«  Biidfiftchea,   welche  eine  Talsl  mu  L5  mm 


Sohnekt:  iVarimrie  FlttoreMetxr 


91 


xwisoheu  aicli  lassen«  femer  zwei  nebeneiDandcr  liegende  Flächen  der 
aacfasseitigen Bälde  und  unregeltnü&siiteBnicIjflächcti,  endlich  einige 
schnuilfl  Di bexaeder flächen.  Der  Apatitkrystall  ist  merklich  farblos 
und  Eßigi  keine  Spar  von  Bichmistniis  im  durchgehenden  Licht. 

1.  Eintritt  in  die  gerade.  Endfläche^  Beobachtung  durch 
eine  Säitlmftächc.  Der  gulbticli^rUii  fluorescirJe  Strahlenweg 
sendet  Licht  auä^  das  sich,  durch  ein  Nicol  besichtigt,  fast 
vüllkciniiucn  im  Hauptschnitt  poUrit«irl  erweist.  Dies  ist 
tiuch  der  FaII,  wenn  dsfl  Licht  vor  seinem  Eintritt  in  den 
Krystoll  in  ir>;end  einem  Azimuth  poluriifirt  ist  Ein  ||  der 
Axe  verlaufender  Strahl  erregt  aho  Fluoredcenz- 
Schwingungen  senkrecht  zur  Axe. 

2.  Eintritt  in  eina  Säulctißäche.  Nur  l>ei  Besichti|?ung 
durch  die  gerade  Endfläche  ist  der  f^elblichgrUne  4StnihlGn- 
we^  Oberhaupt  wahrAunehmen,  während  man  bei  Beobachtung 
dtircb  andere  Flilcheii  kaum  etwas  anderem  al»  das  violette  £r- 
regerlicht  bemerkt.  Das  von  den  finorescirenden  Theilchen  || 
der  Axe  ausgesaudte  Licht  erweist  sich  als  vOUig  unpolarisirt; 
al«o  roÜsKen  die  Schwingungen  jener  Theilchen  nach  allen 
Richtungen  senkrecht  zur  Axe  merklich  ginch  stark  erfolgen. — 
Schickt  man  polarisirtes  Liebt  in  deu  Krystall,  so  ist  das  durch 
die  gerade  Endfläche  austretende  Flnorescen/licht  wieder  un- 
polarisirt,  jedoch  ist  es  am  intensivsten,  wenn  die  Polarisations- 
ebene des  eintretenden  Lichts  die  optische  Axe  in  sich  enthält. 

Gesaiuml-Ergebnitts:  Im  Apatit  schwingen  die  fluo- 
raicirenden  Theilchoo  murklich  nur  senkrecht  xor 
optischen  Axe,  aber  in  die&er  Ebene  gleich  »tark  nach 
allen  Richtungen.  Die  stärkste  Fluorescenz  wird  er- 
regt, wenn  die  Erregerschwingungen  schon  seihst  1 
cur  Axe  erfolgen. 


%  5,   Hazago&alec  System.     Fortsetcung.     Beryll. 

Mir  standen  vier  der  k.  h.  Staatasainmlnng  gehörige  Exem- 
plar« nur  VerfiLgnng:  xwei  meergrCInn  (Aquamarin),  ein  hell- 
«roingetbea  tmd  ein  prächtiger  .'Smaragd.     Der  eine   meergrUue 


94 


SUzHtil} 


7.  Mär:  tSDO. 


durc-hgehendeu  Lichte  über  diohroitiKh;  denn  b«!tm  Aiifseixpii 
der  dJcbroskupi»clien  Lupe  auf  eine  Säulenflnolie  ist  jenes  qua- 
dratische Bild,  Hitssen  Polnrisation8«bene  die  optieche  Axe  des 
B^rrU«  enÜiiilt,  iM?hwacIi  nieergrüalich  gefärht,  das  andere  blau. 
—  Da»  Verhtilten  diö*w  Kryiiitalls  weicht  von  dem  der  U-mImj 
Torigen  rnerknrfirdig  nb;  um  doHüelbe  xu  echildem,  man  man 
nämlich  in  der  vorigen,  übrigens  unveränderten  Uarateltaug 
Oberall  die  Worte  blau  und  rotbviolett  miteinander  ver* 
taonchen!  Hier  geschehen  aUo  die  Hlaaachwingungen 
der  fluorescirenden  Theilchen  bnuptii&chlich  ||  der 
Axe,  nicht  1  zur  Axe  wie  dort;  die  rothrioletttrn  da-j 
gegen  1  zur  Axe,  und  zwar  merklich  gleich  stark  nsc] 
allen  Kichtungeo  in  dieser  Ebene.  Eine  kleine  Ab- 
weichung zeigt  nur  die  He«ichtignng  durch  die  gerade  Knd- 
Siu^he,  bei  welcher  der  ganxe  Krystall  xiemlich  gleichmiueiig 
durchleuchtet  erscheint^  und  /.war  mehr  blau  al«  violett. 

III.  Der  tief  amarugdgrdne  Erystnll  von  S.  F^  de  Bogoti 
hat  die  Gestalt  einer  1,3  cm  langen,  sechMeitigen  SSule  von 
1,r>  bis  2  cm  Diclie,  begrenzt  durch  zwei  SpaltnngsÖächen  ron 
der  Idge  der  geraden  Etultlllche.  £r  ist  riastg  und  trüb«  und 
im  durchgehenden  Lichte  mü»hig  dichroitiMb:  das  im  Haupt- 
echnitt  fiohirisirte  Bild  ist  ziemlich  rein  grOn,  das  rindere  nifhr 
blaugrün;  docii  ist  der  Farhcnunterächied  nicht  gross.  Uer 
Kryatall   zeigt  nach  der  Beairahinng  merkliches  Nao]iteucht«n. 

Die  dich roi tische  Kluonüicenx  diettes  Krystjtlls  ist  wiedcrai 
eine  andere.     Man  muKS  xu  ihrer  Beachr«ibaug  in  der  übri| 
gänxlicb    unTeraiidertvi)  Schihlerung  des  Verhalten«   de« 
AquamAfins   überall   eUtt  Blau  Ziegelroth  aetsen,    und  äUtt 
Uothviolett  Ülauviolett. 

GeoiMOSBui  ibi  allen  vier  Beryllen,  dass  sie  dichroUiael 
fluoresciren:  die  xur  optl-icben  Axe  HenkrechUn  Schwinguag 
aind  gleich  stark  nach  altrn  Kichtungen  in  dieser  Ebene,  ond 
&n  Farbe  entweder  blau  oder  rotbviolett  oder  roth;  die 
optischen  Axe  parallelen  Stdiwingungeu  f^ind  entweder  roth^ 
Tiolett  oder  blau  oder  bUuTiolett.  Die  enteren  scheinen 
•twn  etlrker  in  »tin. 


L.  Sohncke:   fVjIrtn'x.Wc    Fliinrfiecem, 


95 


§  6.    Quadrstischos  System.     Vesuvian. 

Mir  standen  xwei  KrystftUe  von  Ala  in  Pieinont.  aus  der 
b.  Staatasamniliin^  7.iir  VerfSgtiog.  Der  tirute  ist  eine  qua- 
(Jrafcwche  Säule  mit  zugehöriger  Pyramide  and  kleiner  Gerad- 
flndflüchet  IS  mm  lang,  5  und  7  mm  dick;  die  Süulenkant«Q 
ftind  durch  die  zweite  Säule  wenig  abgestumpft.  Das  zweite 
nur  weni^  kleinere  Kxeni|)iar  gleicht  dem  ersten  Übrigens  voll- 
kommen,  jedoch  ist  es  weniger  rissig,  und  daher  wurde  es  zu 
den  meisten  ßeobacbtungea  verwendet.  Beide  Krystalle  sind 
dun^h.Hichtig  grQn  und  im  durchgclienden  Licht  deuth'cb  di- 
chroitisch:  das  im  Hauptschnttt  polarimrte  Bild  i^t  gelb,  das 
andere  grdn.  Die  durch  violette  ße-strahhing  erweckte  Fluores- 
ccnz  ist  fttets  ein  lenchtendefl  Roth,  dcKUja  Be4)hachtuDg  das 
Auge  sehr  schnell  crmüdeL 

1.   ünpoiarisirtes  Licht  tritt  senkrecht  in  eine  Sättlenfläche, 

a)  Besichtigung  durch  eine  Nacbbarflache  der- 
selben Sfiule.  Wenn  die  Polarisation  »ebene  des  Analysatom 
die  optische  Ajce  euthült,  ist  die  Fluoresceuz  etwa»  helU-r.  als 
wenn  sie  zu  ihr  senkrecht  steht^  aber  die  Farbe  ist  beide  Male 
nicht  merklich  verschieden;  denn  die  im  letzteren  Falle  bei- 
gemeiigteti  Spuren  vun  Violuit  beruhen  augenscheinlich  nur 
auf  Iteflcxion  des  einfallenden  Lichte.  Die  zur  Axe  senk- 
rechten Schwingungäkomponenten  der  ftuurescirenden 
Theilclien  sind  ntnu  etwas  grösser  als  die  parallele. 
Die  durch  polarisirt  einfallendes  Licht  erweckte  Fluorescenz  ist 
dAOn  «im  stärksten,  wenn  es  im  Hauptscfanitt  p<^ilarisirt  idt;  doch 
ist  der  Unterocbied  bei  Avimuthändemngen  ^pt  einfallenden  Po- 
Inrisniionsebene  nicht  fitrOÄS.  Das  vom  flnorcficirenden  Strahlen- 
weg durch  die  gerade  Endfläche,  also  ||  der  Axe,  hinausgesandte 
Licht  zeigt  diesen  Unterschied  etwas  stärker.  Man  schliesstf 
dass  die  zur  Axe  senkrechten  Schwingungen  einfallen- 
den Lichts  Rtürkere  Fluorescenz  erregen  als  die  znr 
Äx«  ptirnltelen. 

Wenn  das  einfallende  Licht  senkrecht  znm  Haaptaohnitt 
polarisirt  ixt,  so  ittt  daii  geweckte  FluoreBcanxlicht  ebenfalls  fast 


Ofi 


SitniHti  >ler  MatK-ithi/n.  Ciatae  iwn  7.  Mars  Jtm. 


voUkomcuen  cit>Dkrechi  zum  UHUptäcbnitt  pularisirt.  und  wunn 
(Iftä  eiufalleude  Licht  im  UaupUctiuitt  polmiäirt  ist,  ist  auch 
dftM  Fluorescenzlicht  wierler  fast  vollkommen  pnbri^irtt  jetzt  aber 

daas    seine    PulHrisatjonsebene    die    Axe    enthält.      Hieniii<i 

ehliesst  man:    Schwingungen    parallel  zur  Axe   erregen 

ganz  aberwiegend    FlaureBcenzschwingangen    parAllel 

zur    Äxe;    ebenso    Schwingungen    senkrecht    zur    Axe 

überwiegend  solche  1  %ur  Axe. 

b)  Hiermit  stimmt  Überein,  dass  die  Flnorewenz  bei  Be- 
sichtigung durch  die  gerade  Endfläche  im  ersteren  Kalte 
nur  sehr  schwach  en>cheint,  im  leixtereu  Falle  viel  »tärker,  und 
zwar  dann  am  Ktark.Hten,  wenn  die  I'olariäationäebene  des  Analy- 
sators den  Strablenweg  enthält. 

2.   Eintritt  in  die  gerade  Etidßäche.     Besichiigimg  durch 
eine   ääuleufläche.     Bei   unpularisirt   eintretendem  Lichte   lehrt 
die  Beobachtung  mit  dem  Analyäator,  das^  die  Scbwingnngeiis 
der  fluoreRcirenden  Theilchen  eine  etwa»  grossere  Com-n 
ponente  senkrecht  zur  Axe  besitzen  aU  ||  zur  Aza,  ganz 
wio  bei  der  vorigen  Erregnngsart.    Tritt  aber  poUriairtee  Licht 
(*iu,  dessen  Polaruationsebene  jj  einer  Säuleuääche  ist,  m>  lehrt 
die   Beobachtung    in   dieser   Ebene,    dasci    die    Fluoresceaz    am 
hellsten  erscheint,   wenn  die  Pülarisationaebene  des  Analysator 
in  derselben  Ebene   liegt,   wiitireud   bei  ßetmcbtiing  durch  die 
anstossende  SäuteuHäcbe,  also  aus  eiiier  Uiclitung  1  zur  Polari- 
sationsebene des  einfallenden  Lichts,  ein  ICinfluss  der  Aualysabor- 
stetlung  nicht  fewti^uättilluii  ist.    Die  hierbei  erweckten  Schwing^J 
nngen    der    Buoroscireuden    Theilchen    haben    ali>o    die 
Componente  ||  den  7s:hwingungen  des  Krregerh'clii«  (1  xur  Axe)«^ 
während  die  beiden  anderen  kleinereu  ComiwneDt«  (|i  und  1  zur 
Axe)  nicht  merklich  verschieden  sind. 

Geiammt-Ergebniss:  Im  Vesuvian  haben  iJiß  Flun- 
reacenKBch wiugungen  «twad  grCäscrr  Comiioaenlrn  1 
als  II  aor  Axe;  auch  werden  sio  am  stärkstoo  durch 
Schwingungen  ersterer  Richtung  urregt.  Schwingungen 
des    Erregeriichtx,   di«   ||.    beziehungsweise  J.   zur  Axe 


//.  Sohncke:  Pbiarwirtt  J'ViiJiWiHiii. 


OT 


«rfolgen,  rufen  auch  nberwie|?end  Fltiorescenxschwinff- 
ungen  || ,  be£i«buugswet6fi  1  7.ur  Axe  hervor 


^  7.  Qnadratiscliefl  System:  Fortsetxnng.  Hornblei  (Pbosgenii). 

Von  Herrn  l'rofessor  Qüld-Hchuiiüt  in  Heidelberg  wurden 
mir  in  liebenswürdigster  Weise  zwei  durch  ihre  Grösse  und 
Klarheit  besonders  geeignete  konthare  Kristalle  von  Monte  Poni 
auf  Sardinien  xur  Verfügung  geitt^ljfc.  Der  grbssere  von  beideOf 
durch  Spalttingsflächen  parallel  der  Säule  und  der  geraden  End- 
fl&chc  begrenzt,  hat  durch  claa  Vorwalten  der  Kndiluche  die 
Gestalt  einer  flachen  Tafel  von  etwas  Aber  1,5  cui  Dicke,  wÄb- 
reud  die  Querdimensioiieu  2  und  3,5  cm  betragen.  Der  /weile, 
wesentlich  kleinere  Krystall  ist  begrenzt  von  einer  grossen 
UeradendH&cbe  und  drei  Flächen  einer  Säule  nebst  einigen  an- 
deren Flächen  der  Säulenzone.  Beide  sind  im  durchgehenden 
Lichte  schwach  dichroitisch :  dos  im  Haupt^chnitt  ]>olansirte 
Bild  ist  leiobt  ritthlich,  das  andere  leicht  grünlich,  aber  die 
Ffirbungen  sind  ünsserst  gering.  Beide  Erystalle  zeigen  flber- 
einstimmende  Fluoreacenzerscheinungen;  weil  al>er  beim  zweiten 

C'ne  nuTkwördige  IJngleichmäaeigkeit  ^tr  Verbreitung  der  fliio- 
ecirendon  Theilchen  dtirch  seine  Masse  hin  die  Beobachtungen 
ersobwert,  mj  bezieben  sich  die  folgenden  Angaben  wesentlich 
auf  den  ersten  Kryatall. 

1.    Eintriit  in  eine  Säulenßäche. 

a)  Berichtigung  durch  eine  andere  Fläche  der- 
selben 8Ruie,  Der  tluorescirende  Strahlenweg  erscheint  am 
hellsten  und  zwar  gelblichgrün,  vrenn  die  Polariantionsebene  des 
AnalvKatont  die  optische  Axe  in  sich  aufnimmt;  minder  hell 
ond  mehr  bläulichgrQn ,  wenn  jene  Ebene  senkrecht  zur  Axe. 
Kb  ist  nicht  unwahrscheinlich,  dass  die  mehr  ins  Bläuliche 
jHelende  FSrbung  im  letzteren  Fall  auf  der  Reflexion  des  auf- 
nllenden  Blanviolett  bembt  Die  Schwingungen  der  fluo- 
mscirenden  Theilchen  (gelblichgrOn)  erfolgen  hier- 
nach hauptBÜcblicb  senkrecht  zur  Axo.  Bei  polarisirter 
Bcflimbluug  wird  weiUius  helUte  Fluoresoent  dann  geweckt, 
um.  ibUL>faqr&  ol  i.  7 


vB  SiUutiff  der  math.-pliyn.  Clatxe  vom  7,  Man  lliSti. 

wenn  d«  ejnfalleßde  Licht  senkrecht  zur  Axn  poUrisirt  ist 
Dies  gilt  auch  bei  UesichtigunK  durch  die  Endflüche.  Hiermit 
stehen  wir  »or  der  Thntsuche,  dasa  die  Fluorescent- 
»ch wingnn^en,  welche  selber  huaptsÄchlich  senkrecht 
7.ur  Axe  8ii:h  vollziehen,  am  sLürkstea  geweckt  werden 
dnrch  Strahlen,  deren  Schwingungen  zur  Axe  pArallel 
^ind.  Hiermit  stimmt  Oberein,  dass  die  Mtiorescenzerscheinnngeo 
bei  poluri^jirter  Bo'itrabliing  ^enau  dieselben  sind  wie  bei  un- 
polahiiirter,  fiUls  dait  einfallende  Licht  ^senkrecht  xum  Haupt- 
schnitt polariairt  ist,  also  ||  der  Axe  schwingt.  Ist  d^^en 
das  einfallüude  Licht  im  nauptscbnitt  polarisirt  (schwingt  w 
^.also  1  zur  Axe),  so  zeigt  fich  im  Analysator  nur  ganx  schwache 

^luortJÄcenr,,    falls    seine     Polarisationsebeni'    die    Axe    enthiltf 
stürfcere   dagegen  l>ei  dasm  senkrechter  Lage.     Alao  erweckt 

jicbt,    dessen    Schwingungen    .HenkrBchl    «ur   Axe  erji 
rolgen,  fast  nur  Schwingungen  purutlel  der  Axe. 

b)  Besichtigung  durch  die  gerade  Endfläche  x«igt« 
dass  dos  parallel  zur  Axe  hinausgeaandte  FluoreAcenslicht  ub- 
polarisirt  ixt,  gleichgilttg  ob  das  orregende  Licht  polarit^irt  ivt 
oder  nicht.  Folglich  schwingen  die  fluorescirenden 
l'heilcben  nach  allen  Richtungen  senkrecht  xur  Axe 
merklich  gleich  stark. 

2.  Ewtritt  in  die  gerade  Endfläche.  Beobachtung  durch 
eine  Säaleii  Hache.  Der  Huorescirende  Strahlen  weg  sendet  un- 
p<jlarb<irtei(  Licht  aus,  mag  i\u»  i-infallcudu  Lieht  unjicdartsirt 
oder  in  irgend  eioom  Assimuth  polaiiiirt  sein.  Die  Inteontät 
der  Fluoreircenz  iät  unabhängig  vuni  Azimuth  der  Pobiriüations- 
ebene  den  einfüllenden  Lichts.  In  diesem  Falle  sind  uisu  die 
^■hwingmigen  der  fluorescirenden  Theilchen  ||  und  1  %\ix  Axe 
nerklich  gleich  stark.  Folglich  erwecken  hier  Schwingun^e 
d(>>  einfallenden  Licbbt,  welche  «en krocht  xor  Axe  erfolgen 
:«LMrku  FtuureM.-en7Jichwingungeu  parallel  der  Axe,  tlbc-reiii 
stimmend  mit  einer  Achon  vorher  ge/ogeut^i  Folgerung- 

Oevaiumt-Ergebniss:  Im  Phoagenit  erfolgen  Fluo- 
reicenisrhwingnugen  au  ittärkAten  «eakreeht  xar  Ax«; 


L.  Stihrtoke:  Potannrte  Fhioretwtu. 


nd 


nach  Allen  Richtunfj^en  innerhalb  dieser  Ebene  aber 
gleich  stark.  Diese  Schivingungen  werden  am  stärksten 
errei^t  durch  Lichfc,  dessen  Schwingungen  ||  £ur  Axe 
erTolgen;  wahrend  Licht,  dessen  Schwingangen  1  zur 
Axe  geschehen,  hauptsächlich  Pluoresceuzschwing* 
ungen  ||  zur  Axe  erregen. 


11.    Fluore.Hcenr.  optisch-zweiaxijicor  lürfsUlte. 

g  8.    Rhombisches  System.     Topas.     (Fig.  1.) 

Mir  standen  aus  der  k.  b.  StaatssaoimLang  rier  schbne 
Krjr>talle,  zum  Theil  von  ansserordentlicher  Grösse,  zur  Ver- 
f^K'^^K*  ^*®)  derselben  zeigten  kaum  bemerkbare  8|>uren  von 
FluoreHceu'/..  uümhcb  ein  dunkelgoldgelber  roUc>r  Sprtinge  ans 
linisilien,  und  ein  ganz  hell  weingelber  aus  Sibirien.  Die  beiden 
anderen  von  der  Uruiga  bei  Nertschinsk  in  Ostsibirien  zeigten 
dagegen  «in  sehr  tlbereinstimmende»  Verhalten;  ich  be^breibe 
Dnäcbst  die  von  dem  grösseren  von  beiden  dargebotenen  Er- 
Cheiuungen.  Der  vültig  durchsichtige  und  fiist  farblose  Krystall 
iät  hauptsächlich  begrenzt  von  den  vier  Flächen  einer  rhom- 
bischen !:^Uule  (der  sogenannten  zweiten  Säule,  deren  Wiukel 
etwu  92"  beträgt),  und  von  dt^r  geraden  Kndüikhe;  untergeordnet 
treten  noch  die  Flächen  der  ersten  Säule  und  einige  Domen 
auf.  Die  Länge  der  Säule  beträgt  6  cm,  ihre  Querdimensionen 
etwa  4  und  4,5  cm.  Der  Blick  auf  die 
Endfläche  bietet  etwa  nebenstehendes 
Aussehen.  Die  Ebene  der  optischen  Axen 
ist  II  den  kry-^allugruphischeu  Axen  a  und 
c  (Figur),  die  erste  Mittellinie  der  opti- 
schen Axen  liegt  in  der  Snulenaxe  c  Im 
durchgehüiiden  Lichte  ist  sehr  schwacher 
Vi$- 1-  Dichroismus    bemerkbar,    indem   dae   im 

ILitiptächnitt  pokriairte  Bild  ein  wenig  lichtschwächer  ist  ale 
dftü  andere,  ohne  daes  dabei  eine  Farben  Verschiedenheit  anf- 
tritt. 

7' 


102 


SittufUf  tief  mtüh.'j^ifs.  CIuMe  vom  T.' 


Hiiuy;  durch  eiue  Säuleuflache    erscheiDt  die  CoinpoDente  e 
halb  Überwiegend,  weil  von  der  Componente  a  nar  die  1  xor 
ausgebenden    Strahl    geiiotnincne    Compooente    wirksani    wird. 
Geschehen  die  Erregerscbwingunt^en  II  a,  so  wird  die  stäi 
Kluor^scenz  geweckt,  dagefren  so  gut  wie  keine  durch  Schwiof^* 
ungeri,  die  1  zur  Ebene  der  optischen  Axen  erfolgen. 

Der  Kweit«  Eryatall  flaoreiscirt  eia  wenig  schwächer.  Auch 
bei  ihm  eind  die  Fluoreecenzschwingangen  auf  die  Ebene  der 
optischen  Äzen  beschränkt;  aber  noch  mehr:  Man  kann  nber- 
hnupt  nur  '!  der  Mittellinie  c  vor  sich  gehende  Schwingungen 
wafamehnien;  eine  Componente  II  a  ist  hier  nicht  nacbwei^liar. 

Gesammt-Ergebniss:  Von  welcher  Kichtong  her 
der  erregende  Strahl  auch  in  einen  Topaskryatall  ein- 
treten mag:  die  Fluorescenzflchwingungen  erfolgen 
immer  in  der  optischen  Axenebene.  Im  Attgemeinen 
Oberwiegt  die  Componente  c  (oder  sie  ist  aogar  allein 
rorhanden).  Nur  wenn  der  erregende  Strahl  T  c  ver- 
läuft, ist  die  Compooente  a  etwa  von  gleicher  Grfias« 
wie  c.  (Beim  zweiten  Krystall  ist  sie  jedoch  nicht 
merklich.) 


§  9.    Rhombischee  System.   Fortsetzung.    Arragonit.    (Fig.  2.) 

Znr  Verftlguiig  stand    mir  ein   der  k.  b.  Staalissauimlung 

gehöriger  Krystall,  in  Gestalt  einer  rhombi^hen  Säule  mit  stark 
auägedelinten  AbetumpfungiififiGhen  der  scharfen  Siiuleukanb 
(1  zur  Kryetall&xe  6),  welche  eiue  Tafel  Ton  0,8  cm  Dicli 
zwischen  aich  lassen,  während  die  Dimensionen  längs  derKryalAll- 
aien  a  uttd  c  hi>7.(if^lich  1,S  und  6  cm 
Am  Ende  wurde  eine  Fläche  1  c  angeschtiflen,  vni 
eine  andere,  etwa  1  qcm  grosse  1  a.  Den  Quer- 
schnitt des  Krystalls  1  c  xeigt  Fig.  2.  Die  o[»ti»c)i 
Axenebene  enthält  die  Kryatallaxen  h  und  £;  letztere  M* 
die  erste  Mittellinie  der  optischen  Axen.  Der  Kmtall 
ist  hell  weingelb  und  zeigt  im  durch  gehenden  Liebte 
keinen  Dicbroismaa.    Nach  der  Bestrahlang 


nn 


/a  Sohndc«:  Jf^iiaruirte  Fluurt8ceH$. 


103 


er  8  bw  10  Seknmlen  lan^  deiitlicli  nach.  Der  Stmhl  wird 
tiaoheinAndor  I  den  drei  aufeinandur  senkrechten  Kichtiui^en 
0.  h^  c  in  den  Rrystali  geschickt  und  die  erweckt«  Klunreecenz 
jedesniBl  von  den  beiden  anderen  Richtungen  her  untersucht. 
So  gewinnt  man  Anhaltspunkte  znr  Beurtheilung  der  Grösse 
der  zu  jenen  drei  Dichtungen  paraUi'len  Cooiponenten  der 
SchwingQDgen  der  fluorescirenden  Thrilchen.  Diese  Com- 
ponenteu  süUeu  selber  durch  die  Buchstaben  a,  b^  c  bezeichnet 
werden. 

1.  Eintritt  in  Richtutiff  e  in  die  kiift^tliche  Endfläche, 
a)  Besichtigung  längs  a  dnrch  die  andere  ange- 
schliffene Fläche.  Der  apfelgrftu  fluoresctrende  Sirahlunwog 
bebftit  bei  Drehung  des  ADalysators  seine  Farbe,  ändert  alwr 
fteine  Intensitüt;  er  erscheint  vie\  beller,  wenn  die  Polarisations- 
cbene  [I  ae,  al&  wenn  sie  t|  ab.  Bei  polarisirter  Bestrahlung  i^t 
die  IntenintÄt  etwas  griSsser,  wenn  die  Polarisationsubene  Aea 
Polarisator»  |i  a  c,  als  wenn  sie  I  f/c  Hält  man  des  Analysators 
Polariäation'^bcne  I'  ac,  so  erscheint  der  Stnihlenwog  bei  dvr 
ersteren  Polarisatortitelluug  wesentlich,  bei  der  zweiten  etwas 
heller,  al»  wenn  der  Analysator  II  ab. 

h)  BeHichtigung  längs  H  durch  die  Ahstumpfungs- 
flÄcbe.  Die  Fluorescenz  erscheint  in  ungeänderter  Farbe,  aher 
viel  heller,  wenn  die  Polarisat ionsebene  de.t  Analysjitors  I  der 
opttKchen  A][eael>ene  6c,  al»  wenn  sie  I  ab.  Bei  poUrisirter  Be- 
»trahlung  ist  die  Intcrrhitat  weäeiitlicb  grtWser,  wenn  die  Poiari- 
aationsebene  des  Polarisators  II  (c,  aU  wenn  ^e  II  ac,  amge- 
kehrt  wie  unier  a).  Hält  man  des  .Analysators  Polarisations* 
ebene  !l  der  optiitcben  Axenebene  bcy  no  erscheint  die  Flnoresceuz 
Iiei  der  ersteren  Polarisiitorstellnng  viel,  bei  der  zweiten  etwas 
heller,  als  wenn  der  Analysator  II  ab. 

Aus  den  unter  1  a)  nnd  1  b)  zuerst  angeführten  Thatsaehen 
folgt,  dasi  die  Theilchen,  welche  durch  den  II  der  Mit- 
tellinie c  vurluuft-ndon  Strahl  zum  Fluoresciren  ge- 
bracht sind,  aber  wiegend  in  der  xu  c  senkrechten 
Bbone  BchwingQo.     Erfolgen  die  erregenden  Schwing- 


104 


SHtunff  äet  0idlA.-jfAy«.  Ckmt  vom  7.  Mars  itßfG 


nngeu    '.  b   (Polarisator  11  oc),  so  ist   b   viel  >C  (cf.   In).' 
and  a  etwas  >  c  (cf.  1  b).     Folglich  ist  b  >  a^  c.     Lir- 
folgen aber  die  erregenden  Schwinguugen  IIa  (Polari- 
ttator  II  bc)t  90   ist  h  etwas  >c   (cf.  la),   otid  a  viel  >e 
(ef.  1  b).     Polglich  ist  jetzt  a>b>  e, 

2.  Eintritt  in  Richitmg  b  in  die  Abstumpfmtgsflrirhc 
u)  Besichtigung  längs  c  durch  die  angeBchliffone 
KInoh«.  Der  fluorescirende  Struhlenweg  erecheint  apfelgrilö, 
wenn  die  Pol&rii^atiunäebeDe  des  Analysatora  I  ac.  dagegen  ein 
wenig««  bläulicher  und  wohl  auch  heller,  wenn  ttio  I  6c  iüV 
Bei  poUrisirter  Bestrahlung  ist  die  Intensität  wesentlich  grösaerj 
wenn  die  Polarisaiionselwne  in  die  optische  AxMuebene  hc  fitllt, 
als  wenn  sie  a  b  ist.  Im  ersteron  Falle  ist  die  Erscheinung 
heller  und  zugleich  bläulicher,  wenn  die  PoIaiisatioQ^bene  dta 
Analysatora  ebeufalU  in  die  optiäche  Äxeuebenc  füllt,  uls  wenn 
de  in  ae  fallt.  Im  zweiten  Falle  hat  die  Stellung  des  Analj- 
itors  keinen  merklichen  KinfliisH. 

b)  Beniclitigung  längs  a  durcb  die  angeschliffen^ 
Fläche  zeigt  doä  Fluor  exen  Klicht  unpolariflirt.  Bei  polariaii 
Bestraliluug  wird  apfelgrHnes  Fluoresceozlicbt  erregt,  wenn  di 
Polarii^ationsebene  in  die  optische  Axenebeue  bc  fällt,  da 
mehr  bläuliches,  wenn  sie  1  ab.  Mit  dieser  goringoo  PVrbcn- 
änderung  ist  keine  merkliche  (ntenaitätAänderung  TcrknQpfl. 
Füllt  die  PoUriflationsehenc  den  Erregerlicht«  in  he^  90  iat  die 
£r«obeiDUOg  etwas  heller,  wenn  die  Polarisation sebene  des  Aua- 
lysators  II  ac,  als  wenn  sie  W  ab  ist.  Liegt  aber  die  Polnri- 
aationsebene  des  Erregerlichts  I  a6,  so  i«t  die  Fluoreecenz  rieU 
leicht  ernc  Spur  heller  und  etwa«  blaulicher,  wenn  die  PoUri- 
sationsebene  des  Analysatorü  I  oA,  als  wenn  sie  il  ac  ist.  Mun 
erkennt  ab«)  folgende» :  Erfolgen  die  erregenden  Schwing- 
ungen II  (1  (Polari'^ationsebene  de«  Polariiatori  bc)^ 
•0  iat  a  merklich  >  b  (cf.  2a),  und  h  etwas  >e  (ef.  2  b); 
aUo  a>&>r.  Krfolgen  aber  die  erregenden  8«hw)ng- 
ungen  I'  e  (Polarisator  ll  ah),  «o  ist  die  erregte  Flnc 
rescenz  riel  sebwächer.  und  et  iat  a^^b  (of.  2a),  und  e 
eioe  Spor  >  6(?);  aUo  a  ^  6  ein  wenig  <e« 


ncte:  fotnrwrt«  Fltmrtaevna. 


tOö 


Eintritt  in  lUchtxmg  a  in  die  anffeschliffme  Fläche. 

a)  Besiclitif^tini;^  läng«  b  dnrch  die  Ab<4tnnipfunf^s- 
fläehe.  AnalyjiatordrehuTig  ist  ohne  merklichen  KiiiHti^.  Bei 
pu)»ritnHer  Bestmiilung  ist  die  Fluorescenz  irohl  ein  wenig 
stärker,  vrenn  die  Polarisatiousebene  1  ab  als  wenn  sie  II  ac. 
Im  ersteren  Fall  ist  sie  muhr  liliiulich  und  vietleiclit  i»ine  Spur 
heller,  wenn  die  Polarisatiousebene  des  AnatynatorH  ab,  als 
wenn  sie  II  Ae,  wobei  die  Farbe  mehr  apfelfj^Un.  Im  zweiten 
Fall  ist  die  Helligkeit  woht  etwas  gröasert  wenn  die  Polarisations- 
ebene  des  Analysators  II  bc^  als  wenn  sie  II  ah. 

h)    Besichtigung   längs  c  durch  die  angeHcbliffene 
Flftohe  7.eigt  die  Kluorescenz  eine  Spur  heller^  wenn  die  Polari- 
sationsebene   des    Analysators   |l   ac,    als   wenn   sie  II  he.     Bei 
polarl«iirter    Betitrablung    ist    die    Fluoreücenz    deutlich    stärker, 
,  wenn  die  Polariuat ionsebene  II  ac,  als  wenn  sie      ah.    Im  letz- 
lieren  Falle  ist  kein  deutlicher  Einfiuss  der  Stellung  de»  Anuly- 
[.Batani    zu    bemerken;     im    er^teren    Falle    ist    die    Erscheinung 
trielleicht  eine   Spur    heller ,    wenn    die   Polarisatioosebene    des 
JjaatorB  II  ac,    als    wenn    sie  1'   he.     Hieraus    folgt:    Ge- 
schehen   die    Erregerscbwinguugen  II  c,    so    ist   c  eine 
Spur  >a  (cf.  3a),  und  (i  =  fi(?)  (cf.  3b).     Geschehen  sie 
'ftber  II  h^  so  iut  a  eine  Spur  >  c  (cf.  3a),  und  b  eine  Spur 
>a  (cf.  3b).     .Also   ist  im   ersten   Falle  a  a6<c,   im 
[letzteren  Falle  J!i>a>c,  aber  alle  drei  nur  wenig  rer- 
'ichieden. 

Im  Vorstehenden  finden  sich  zweimal  Beobaclitungen  f^x 
den  Fall,  dass  das  erregende  LichtbUndel  seine  Schwingungen 
II  a  ausfnhrt,  nämlirb  einmal,  wenn  der  errt-geiide  Strahl  II  e, 
dftnn  wenn  er  II  h  verläuft,  und  enUprechend  für  die  anders 
F|[wicbteten  Erregerschwingnngen.  Wenn  die  Ergebnisse  unter 
beiden  umstünden  auch  nicht  identisch  sind,  do  widersprechen 
pjöe  einander  doch  auch  nie.  Diese  Resultate  mögen  hier  noch* 
mala  xuäammenge^iteltt  werden. 


106  SUitttttf  dtr  wnüh.-phj/ii.  ClaMsg  oom  7.  Mär:  i/^TH. 

Erregerscliwtngangen  l|  a, 

Krregeriitrahl  längs  c:a>6^c     a  he'i  WeiU^m  am  graulen. 
«  ,      b:  a>b>e    a  sehr  merklieb  am  grOsaten. 

ErregerscliwinguDgen  tl  (. 

Itlrregeixtrabl  längs  c:  h>a^  c     b  hei  Weitom  am  grflssiun. 
,  .      a:  b>  a>c    alle   drei  wenig  verschieden. 

Erregerschwingungen  1    c 

Errogerstrah!  lUngs  6:  a=b  eine  Spnr  <  c  (?) 
,  ,      a:  a  =^b  eine  Spur  <  c  (?) 

Man  erkennt,  dass  im  Arragonit  immer  jene 
Schwingungscoupouente  der  fliioresciremlen  TlieiU 
chen  um  grQssten  ist.  welche  zur  Krregersch wingung 
1  iai;  indeaaen  wenn  leUfcere  I  c  iat,  ao  Qberwiegt  dio 
SchwingungAcooipononte  c  kaum  merklich  die  beiden 
anderen  etwa  gleichen.  Ueberhaupt  geacbehcn  die 
Schwingungen  am  schwierigsten  [|  der  MittetHnie  c 
der  optischen  Axen,  vielmehr  sind  die  zu  c  senk- 
rechten Cnniponenten  im  Allgemeinen  am  gr^ssten; 
beide  werden  fast  mit  gleicher  Leichtigkeit  errogti 
jedoch  die  sur  optischen  Axenebene  senkrechte  Com- 
ponente  a  noch  etwa^  leichter  als  b.  Ferner  senden 
die  fluorescirenden  Theiicben,  durch  polari^irtefl  Licht 
erregt,  im  Allgemeinen  nach  jener  Richtung,  wohin 
die  ßrregeräch  wi  ngungen  geschehen,  nur  schwaches 
liioht  aus. 


§  10.     Rhombisches  Sfatem.     Fortsetzung. 
Weissbleierz  (Gerossit). 

An    dem   der  k.  b.  Staatsaammlung   geltörigen,    nur   von 
aohlochtan    Flüchen   begrenzten  Krjetall   von  5  cm  Länge  undj 
1,5  und  2  cm  Dicke  wurden  drei  aufeinander  tenkrechU  FUchaal 
II  den  Symmetritsebenen   angeschliffen :   die  schmale,   die  breite 
und  die  JSndflAoba  bexQglioh  1  zu  den  Kr^rat&UaxeD  e,  b  und  a. 


mcJU:  ito/arürtrfe  /1uor«M«Mr, 


107 


Die  ICbCne  der  optischen  Axen  i^t  ||  a  und  r,  sie  fallt  also  mit 
der  .breiten*  Flache  xiiMinuiien.  Oie  erslp  MtitelHiiitt  ixt  r,  die 
xweite,  a,  fllllt  tiiit  der  Lüngi^xe  des  KrTstnlLs  KiManimen.  Det* 
matt  grGnlicb^elbe  und  nicht  valikomiuen  klare  Krjstall  hi 
«chwaoh  dicliroilisch ;  denn  in  der  dicliro-Wopischen  Lujie  ist 
das  in  der  optischen  Axenebene  polarisirte  Bild  mehr  gelblich, 
dos  andere  mehr  blüulichgrua.  Dies  zeigt  sicli  bei  Hetrachtiuig 
Kiowohl  läng»  c  al»  lüngs  a,  vKbrend  ||  b  (1  zur  optischen  Axen- 
ebene)  kein  Dichroiamufi  bemerkbar  isL 

1.   Eintritt  \\  der  ersten  Mittellinie  c. 

a)  Besichtigung  längs  der  '/.weiten  Mittellinie  a. 
Der  gclbgrQn  fluorcicirende  ätrnhtenweg  erscheint  etwas  deutr 
2icht>r,  wenn  detü  AnalyKatunt  Polnrisationäebene  1,  als  wenn  sie 

zu  ihm  steht;  im  letzteren  Füll  lagert  sich  noch  etwas  Violett 
(in  Folge  der  Trübheit  dei  Mediums,  cf.  g  2)  Qber  da^  Grün. 
Bei  polarisirt4?r  Bestrahlung  liege  die  Polar isationäebene  xu- 
^näohctt  tl  Ac;  dann  hat  Drehung  des  AnalysAtor»  keine  merk- 
i  Siehe  Aeiiderung  der  Farbe  odt-r  Intensität  zur  Folge,  Liegt 
jene  PularisatiouBebene  aber  H  ac,  so  enfcheiut  die  Fluureaceuz 
am  helUten,  wenn  die  Polarisation sebene  des  Analysators  |  ab. 

b)  Besichtigung  längs  h.  Der  Strahlenweg  erscheint 
fiolett  nnd  bei  Weitem  am  hellsten,  wenn  die  Analysator- 
•bene  ihm  ||  ist,  so  daas  wohl  aar  die  Erscbeinang  der  trfiben 

letlion  vorliegt.  Mit  dieser  Auffassung  stinwuen  die  Beob- 
'tchtungea  bei  polarisirter  Bestrahlung  Qberein.    Wenn  n&mlicb 

die  Poluri&ationsebena  |]  &c,  so  i:iit  der  riolette  Strahlenweg  sehr 

bell,  falb  die  Anulysatorebene  ihn  aufnimmt;  bei  dazu  senk* 
Lrechter  Stellung  deä  Analysators  aber  sehr  dnnkel.  Wenn  jedoch 
r«r«tere  PolarinatioQaebene  ||  tic,  eo   encbeint  der  viülette  Weg 

bflUer,  wenn  der  Analysator  ||  a&,  dagegen  dunkler  nnd  mehr 

blau,  wenn  er  tl  frc. 

Aus  1  u)  Hchtief«t  man,  das»  bei  Lichleiniritt  tl  c  gelbgrfme 
FtuorewenZHcbwiDgungen  nur  in  der  Ebene  bc  nachweisbar  &ind 
aod  hier  ihre  gröeste  Componente  |  e,  eine  etwan  kleinere  ||  6 
haben.     Ut  die  Krregerschwingung  ||  a,  so  »t  6  ^^  o,   während 


110 


SitJiitHg  ätr  math.-j>hif9,  Cloese  vom  7.  Mnrt  1H90. 


firregersübwingun^eu  ||  c. 
ErregortftraUl  längs  6:  &!>e  Ijeidu  sehr  klein. 

,  ,     a:  a~^h>e        alle  drei  nor  klein. 

Die  2ur  errcßcnden  Schwingung  parallele  Schwing- 
ungscompononte  der  fluorcscirenden  Tbeilcbeu  ist  nie 
am  grüsston,  wahrscheinlich  sogar  stets  am  kleinsten 
(analt^  wie  es  bei  Hürablvi  gefunden  wurde;  siebe  oben).  Die 
grQfste  Componente  ist  im  Allgemeinen  |1  der  ersten 
Mille  Minie  c,  ausser  wenn  die  erregenden  Schwing- 
ungen (lie^iclbe  Kichtung  haben. 


§  11.     MonoklinoB  System.    Rohrzucker.     (Fig.  3.) 

Mehrere  von  Herrn  Dr.  L.  Wulff  (Schwerin)  gcxOcbtele 
und  mir  gcAcbfhkweiae  fiberlaa»ene  gross«  ond  TßUig 
helle  Kry.stalle  diraien  znr  Uotemicbnng.  Sii;  sind  nach  dfV ' 
Spsltnni^üfläcbe  a  Ufelformig;  der  grfiaafce  hat  die  Dinienäioni>n 
l'^it  2*/a,  37i  oni.  Die  Eben»  der  optischen  Axea  enth&H  xwei 
Kni*«tal)Axen.  nämlich  die  verticale  c  und  die  Klinoaxe  a,  wäh- 
rend «lie  Krystallaxe  h  auf  ihr  senkrecht  steht.  Ich  schliff  zwei 
Fl&chen  an:  die  eine  senkrecht  cur  Axe  ft,  die  andere  srnkrccht 

xnr  ersten  Mittellinie  der  upfci!<cben 
Axen.    I>iese  Mittellinie  M  Hegt  in j 
stumpfen  Winkel  der  Krjstallaien  41 
and  r,  mit  letzterer  67*/f*  bildend. 
Kine  dritte  KUoho  hätlc  scokr 
ZOT   xweiten   MikielUnie  ■If'   stehen^ 
iu>Uen ;  statt  ihrer  benutzte  ick  die 
natOrliche  Krystallflacbe  r,  deren  Stellang  nar  3^/«*  roa  d«r  gv- 
wotlteo  abweicht  Die  Krj&talja  sind  g&nxlich  frei  ron  Dicbroismn 

1.  Eimtriti  |  Her  entm  MUletiime  M  im  eme  arnfttektiü 
Ftdeke, 

a)  Besichtigung  lings  der  sweitea  Üf  durch  die 
Fläche  r.  Der  grOoliob  fluonMctivodo  Strahleowcg  ist  atn 
Hellikivfi,  iiif  PolariaatioRwbene   dw   Anal^iaton  in 


1/ 


A 


"■-«. 


/.,  Sithnckf:  J'uUtrixirie  FlwtreKeu: 


tu 


flwhen  Axenebone  liegt.  Wenn  das  einfallende  Liebt  in  dieser 
Kbene  polari^irt  ist,  gilt  noch  dasselbe;  wenn  es  aber  senkrecht 
tu  jener  Ebene  [Mlarisirt  ist  (!i  Mb)^  so  ist  die  Pluorewens 
etwas  weniger  bell  und  durcb  die  Aoalysatorstellonf^  aiclit  merk- 
lich beeinäii&ät. 

b)  Besichtigung  längs  h  durch  die  andere  angeBchliffene 
Fliehe  z«igt  die  grünliche  Fluorescen?.  am  hellst«*»,  wenn  die 
Analysatorcbene  ||  Mb.  Wenn  dw  einfüllende  Licht  in  der 
Ebene  der  opti84:ben  Axeu  polariairt  ist,  ao  ist  die  Ererheinung 
undeutlich;  sie  iät  noch  am  lieUsten,  wenn  die  Analy^atorebene 
II  Mb ;  dagegen  fast  0,  wenn  sie  ||  M*  b.  Ut  das  eiofalleade 
Licht  aber  |]  Jlf6  poUriidrt,  m  ist  die  Fliiurescenz  am  hetlstea, 
vronn  die  Ännlysatorebene  gleich&lls  ||  Mb  mU 

Hiernach  sind  die  Schwingungen  der  fluoreäcirenden  Theit- 
eben  ganz  überwiegend  »enkrecht  £ur  Kbene  der  optischen  Axen 
gelichtet.  \n\,  die  Erregerschwingung  i|  6,  so  ist  &  >  3f  (vgl.  1  a) 
und  If' >  W,  jedoch  beide  nur  klein  (cf.  1  b).  AUo6>Jf'>3f. 
liier  überwiegt  h  bedeutend,  während  M  fast  =  0  ist.  Wenn 
iiber  die  Erregerschwingung  ||  M'  ist,  m  ist  b^=^M  uud  von 
7.iemliobcr  OrOsse  (cf.  1  a),  und  Jtf'  >  M  (l  b).  Als«  ist 
Jf '  >  (Jf  ^ /»),  alle  drei  ziemlich  stark. 

2.  Eintritt  [|  der  »weiten  Mittellinie  M'  in  die  Fläch«  r. 

s)  Besichtigung  längs  der  ersten  M  durch  die  an- 
"geschl  iffene  Flüche.  Der  Strahlcnweg  flaorescirt  jetat  bläu- 
lichgrüii,  aber  schwach;  er  ist  noch  am  besten  sichtbar,  wenn 
die  Polarisationsebene  des  Analysators  in  die  optische  Axenebene 
rätit.  Ist  das  einfallende  Licht  in  irgend  einem  Aziniuth  pola- 
risirt,  MO  gilt  noch  dasselbe. 

b)  Besichtigung  längs  b  durch  die  andere  ange- 
schliffene FtScbe.  Der  bläulicfagrnn  flunrescirende  Stmhlea- 
wrg  i»t  sehr  aehwucb  sichtbar;  die  Anal^satorstelluug  hat  keinen 
EinfltHB.  ht  dm  einfallende  Liebt  in  der  Kbene  der  optischen 
Axen  polariairt,  so  ist  der  lluorostnrende  Strahlenwcg  nach  dieser 
Richtung  hin  überhaupt  nicht  zu  sehen;  ist  e»  aber  \iM' b  ]ioilii- 
ri<iirt.  so  iat  er  itchwach  siclitbnr,  dooh  scheinbar  völlig  unpularisirt. 


112 


SitSHtiff  (l«r  math.-jiJtyii.  Clantc  eom  7.  JUärt  J89ß. 


Alsu  wird  durch  den  zu  lit  parallGlen  Strahl  nur  schwache 
bläuÜcbgrüni?  Fluorescenz  geweckt,  deren  Schwingungen 
ausschliesslich  |^  b  erfolgen.  Erregerschwingungen  [|  V  erwecken 
vrosentlicb  nur  gleichgerichtete  Schwingnogen  dor  6nonNioir«nden 
Theilchni;  denn  nach  2«)  int  h  viel  >  M'  und  Jlf=sJlf'  merk- 
lich «s  0.  Sind  diu  Erregerscbwiugungen  |:  M,  so  ist  wiederum 
b  viel  >  Bt  und  M^M'  eebr  klein. 

3.  Eintritt  l!  Ä  durch  die  angeschliffene  Fläche. 

a)  Besichtigung  längs  üf'  durch  die  Fläche  r.  Der 
btäuhchgrdn  fluorcscirendc  Strabienweg  erscheint  am  helUten, 
wenn  die  Analysatorehene  ||3f'6,  [st  das  eintretende  Licht  in 
der  Ebene  Mh  potarisirt«  so  ist  die  Fluorescenz  schwach  und 
nicht  merklich  polari^irt.  ht  es  aber  ||  M'h  p^ilarisirt,  ito  iati 
die  grüne  Kluorescenz  »ehr  hell,  wenn  die  Analysattirehent^ 
gleichfalls  ||  M*  h  ist;  dagegen  fast  0.  wenn  letztere  Kheoe  in 
die  optische  Äsenebene  HM'  lallt. 

b)  Berichtigung  Ungs  M  durch  die  angeschliffene^ 
Fläche.    Die  Flooreacenz  ist  am  hellsten,  wenn  die  £l>ene  de 
Analysators  I|  Mh.     Ist  dan   einfallende  Licht    in  dieiier  Ebene 
poUrisirt,  so  i.st  die  Aualysatonstellung  von  zwur  nicht  g^<)»>e^^J 
aber  di>ch    unverkennbarem    Riufluäc.     Orüiwie  Helligkeit    iceigtj 
sich,    wenn  beide  Polarisationsebenen   ir.u.sammenfaUen.     Ist 
eintretende  Licht  \\  M'  b  polohtdrt,  so  giebt  dic«elbe  Analytuitor- 
sfcellang    wie   vorher   gröast«  Helligkeit,   die   aber   die    kleiiksia^ 
Dicht  viel  übertriffl.     Sumit  folgt: 

Wenn  die  Krregerschwingungen  {|  Jf '  sind,  toui  M^^h  uod 
sehr  klein  (3a)  und  Jf '  >  b^  jedi>ch  nicht  sehr  verschieden  (3  b);J 
also  Ht  >\h=i  if),  alle  drei  nicht  gross.    l«t  aber  die  Erreger*' 
Schwingung  ||  Jlf,  so  ist  if  viel  >  b  (letzteres  fast  0)  (3  a),  und 
it  nicht  viel  >  b\   also  M  viel  >Jlf'  >&,  letztere  beide  wenig 
verschieden. 

Geaammt-Ergebnias: 

ErregerschwtngQogeo  ||  fr. 
Bmgerstrahl  Iftogs  Mxh>M'>M,  hier Ut 6i«ehr groM,  JTfMt 0. 
.  •     if:  b  ist  merklich  allein  vorhanden. 


fVWitt, 


in 


Errefi^erschwinguii^mi  i    M. 
trnlil  länfi*  3f':  /*  fiel  >  (At  •=  M),  letztere  sehr  klein. 
,  /' :  Jlf  viel  >  M'  '>  h,  letztere  beide  wenijf 

verschieden. 

iürro^m'scbwin^qnfceii    '   M'. 
Grret^enttrahl  litiigH  M:  M*'>{M^xb),  alle  drei  r.ierolicli  ffrom. 
•  •         ''•  3/' >  (3f  != //),  Bl|pdr<>i  klein  und  wnniK 

verschieden. 

Im  Rohrzncker  ist  also  fast  immer  jene  Sebwing- 
nngscoraponente  der  fluoreseirenden  Theilchcn  iim 
^rfisstrn«  welche  der  ßrrefr*^''^''')^)n(f"'if?  II  >'^i  '^i"  >iuf- 
fSlIigNton  ist  die.s  fflr  die  /.tir  optischen  Axeuebene 
senkrechten  Krre^erscb winjfunKen,  welche  fast  nur 
ffleichgerichtete  erwecken  Nur  wenn  die  Errejjer- 
sth wintfunf^en  |  3f,  während  der  Strahl  länizs  M'  ver- 
Terlänft,  Überwiest  die  A-Sch winKunR^componente  der 
finoreacirenden  Theilclien  die  heideo  anderen  Compo- 
nenten  sehr  erheblich.  So  zeif^t  sich,  dass  nberhanpt 
die  zar  Rhene  der  optischen  Axen  aenkrer-hten  Flun- 
re^cenzMch wingnn^cn  nm  leichtesten  z»  Stande  kommen. 

K  12.     Triklines  System.     Cyanit- 

Zur  VerfHffimg  stand  mir  ein  der  Ir.  b.  Staat*iammlung 
Küh'iriger  snulonfTirmlger  Krystall  von  Hwa  fn-ni  Länge.  1.."»  t'rn 
Breite,  0,8  cm  Dieke,  hegren/t  im  Weöentlicben  tun  -^  Flüchen 
der  Säuleozuiie.  wahrend  die  Koden  unregehuäbsig  abgebrochen 
tünd.  Die  er»te  Mittellinie  M  der  optischen  Axen  steht  nahe 
senkrecht  wir  UauptMpaltnngNtliichf*,  dnrrh  welche  der  Krystall 
brtiit«4kulenfürmig  idt.  Die  zweite  Mittellinie  M'  liegt  also  fiut 
in  dieser  Kliiche  und  macht  etwa  ."tO"  mit  der  Säulenkante 
(d.  h.  der  lUchlung  der  Krystalliixe  r),  und  /war  im  spitzen 
Winkel  der  Kry^tallaxen  6  und  r.  Die  /.nv  ojitiKchen  Axen- 
ebeoK  senkrechte  Richtung  sei  s  genannt.  Der  Krystall  Ut 
stark  pleoi'hroiti)»oh;  denn  vwirt.  man  mit  der  diehroakopiachen 
IMS.  M*iiL-iair*.  VL  I.  8 


\u 


Siiitntg  d^  mtUh.-]jhya.  CtOMMt  wm  7.  Man  1895. 


Lnpe  ll  der  Hauptspaltungdfliiche  durch  die  schmtile  S£uleit.<t«it 
so  ist  das  II  e  polarisirtc  Bild  gelb,  dos  andere  tief  blau;  ristr 
Dion    durch  die  HuupUjialluiigAfliiche,  so  'ui  das  ||  c  ^mlariflirt« 
etwas   weniger  tiefblau    als   das  1  c  polnrisirte.     Der  KrrMtall 
flnoreMHrt    dunkel    purpiirroth;    doch    >änd    die    Beobacbtong 
schwierig    und    Jäher   nicht  ^hr   genau,    weil  diese  Farbe  di 
Auge  »cbnell  «rniQdeL.  und  weil  sie  mit  dern  erregeodco  Vicilett 
eine   gewisse    Verwand tächafl    besitzt.     Zudem  sind   die    Beoh 
»chtuntfen  uitTollständig,  weil  es  weder  gciaog,  den  erregend 
Strahl  nahe  1,  der  Säuleuaxe  in  den  Krysfaall  eintreten  xu  launn 
noch  ancb  in  dieser  Kithtuug  zu  visiren. 

1.  Eintritt  ||  der  ersten  MiitcUinie  M  dureM  die  Ilatipt- 
gpaltHhffsfläehe, 

Uesirhtignng  längs  der  tut  optischen  Axenebrar 
senkrechten  Richtung  s  durch  eine  Sänlenkante.  Die 
•luri;h  nnpoUrisirte  Etestrahlnng  erregte  rothe  KtoorBacanz  ist : 
i)el|!$ten  y.u  sehen,  w«in  die  Polarisationsebeoe  des  Analj 
II  M*».  Die  ntioreacenx  iat  bei  Weitem  am  »lärkaten.  wenn 
dn;*  Brregerlicht  in  der  Ebane  der  optiaebeD  Axeo  pobi' 
Dann  zeigt  obige  AnalysatoratelhiDg  etwas  grAsBer«  li.rMi^B-.t 
aU  die  dazu  seokreobte. 

Alao  weitAQB  am  st&rksten  erregen  ScbwingiLBgeci  || «,  d.  h. 
senkrecht   juir  optiscben  AxeDeb«ne;    dann   iat  M  i4«-a'  >  JT^j 

2.  Eintritt  senkreekt  gur  opttseMeu  Astmehemc  ,  s  dttrek  eime^ 
Sätdenkafiie. 

Besichtigung  längs  M  durch  die  Hauptspaltungs- 
flfiirhe.     Uellüte  Ploorescens  eracheiiiti  wenn  die  Polarisatkut»^ 
ebene    des    Analjnton    mit   der   Khooe    der   optischen    Ai 
leuiiamntenliUlt.     Rri    poUrvirter    Besfcntfalang    tritt    die 
Flunmcenz  weitaus  am  dcatbchrteii  nnf.  wenn  die  Pol&r 
ebene  di»  folarttatoVB  ]  JV'jr,  nnd  dann  i»t  sie  am  hrlUten 
di^r  eben  genanntefi  AnaljrsatorctelluDg.    Ist  aber  daa  einfaltend 
Livlit  I]  Jf «  polarüirt«  so  zeigt  sich  nur  hlanfioMlcs  Erregt^rficht 

Also  vir'  '  >nngunorn  '  iT  nhcrhaapC  nicht  (»«rklic 

flaiircac«Bcarv>  sun  sülrk»t^u  hingegen  Scfawinguntren  1t . 

AUdann  ist  <  >  JT. 


L.  SoKnekf.  Potarinrtt  Flwaretteenz.  1 1^ 

Gesauami- Krgebaiss : 

Krreguntchwin^tini^en  i|  s. 
BrwffBr«frfthl  läng«  M:  M  etwiu  >  ilf'  (nf.  1). 

ErreRorschwingungen  !l   M. 

Brregfimtruhl  längs  «:  »  >  M'  (cf.  2.1. 

Erri'gerschwinKnn^^en  ,    Af . 

Km-L'^Tsirahl  IRnars  A/:   iVriolIeicht  >A/\beicieaehr  kIoinV(cf.l). 
,       «:  af  =  3f'  =  0(?) 

Im  Ganzen  scheint  imioer  3f  >  ä  >  M'.  Pproer  «eigt 
Hich,  daHM  Soh winf^uittitcn  ||   Af*  ülierKaiipt  kautD  mcrk- 

lii'hc   KI  ticirpscptr/   i-rrc^^en. 

§  13.     Resultate. 

Im  VorhcrgehenfJen  i^t  gezeigt,  daf»  alle  Unterpachten 
Krystalle,  welche  doppeihrechend  nnd  mit  Plii<»re5)cen7,  begabt 
sind,  nach  v»?rschiod«MU'n  Riclitungen  hin  mehr  oder  weniger 
vollkuumien  pohirinirt^  Licht  aussenden.  Schun  frtiher  '^ind, 
wie  BingangR  erwähnt,  eine  Reihe  anderer  krystallisirter  Sub- 
stanzen aU  mit  polari^irter  Phior^cenz  be<!;aht  erkannt  worden. 
Da  nun  bisher  keine  Ausnahme  gefunden  wurde,  RO  scheint 
folgender  Satz,  der  Öbrigens  w\n  allgemeinen  krysta II physika- 
lischen Krwägungen  eine  gewisse  innere  Wahrscheinlichkeit  b»- 
»(itxt,  auch  experimentell  hinreichend  festgestellt  zu  sein: 

Die  polarifiirte  t'lnorescene  ist  eine  allgemeine 
Kigenxchaft  aller  dop pel brechenden  fluorescenz- 
fähigon  Krystalle. 

Ana  dv-r  [Vdnri.^ation  de»  FUiorescen/.lichled  scblies^t  man 
i'  jene  Uicbtungen,  nach  welchen  die  Huorexcirenden  Theil- 
ehen  mehr  oder  weniger  leicht  in  (liehtauweudend«)  Schwing* 
tingen  v«rs«txt  werden  können  ({$  1  und  ^  3,  In),  oder  nach 
welchen  bin  ne  vielleicht  immer  bchon  in  Schwingungen  be- 
griffen trind.  Im  aus  der  «•n(cblo«»eneii  GrSnenfolge  der 
ächwingiing!4enmponentcn  die  Schwingnngsbabnen  vtlbur  abxu* 

8» 


16 


BUm^  rfer  m^.fAft.  Oaae 


7. 


laten,  wttnico  entes*  BtiMUDgea  de»  Orilaav 
ConpoDcvtco .  —  alw  pbatocDiAnKfa«  Miwiiiiy  ■  —  «■  fmilN« 
lieb  «an,  tvatena  &li«r  dw  Brmfttohing  ikrtr  PhMmulcr- 
•diwdc,  za  irelcfa«r  je4ocb  end  «tu  We|C  gvfofM3«a  ««rdm  m&vte. 

Die  dicbroitificbe  Flooracmz  mancher  Sobetanxen  (Hnöatk 
Bach  Msdcd^o«,  Beryll  a.  A.)  ber^t  dArmaf^  «lufe  4ie  SghwiuiK 
mg  OBOi   flooraKtnndeo  Tbeikfaew    ba  AUgvmaiieD  hm  Rv- 
inilUale  Toe  mefaxereD,  in  vencbiedAiMCi  Ebenen  itattfiadctticn 
8cfairisgQnK«n  iit.  wdebe  —  /   '  l^t  Anordnaof?  der  KrT^fed)- 

bamteiae  —  renchiedeo  nnd  ..^  :.  .eriod«  nnd  Amplitude,  »!■> 
nach  Farbe  nnd  IniensiÜt.  Darcb  Anwendong  dei  Kk«l  gdasgi 
unter  Umtftndea  ein»  einzelne  dianr  TheiUchvingtingen  alletn 
oder  doch  rorwiegend  zur  Wnhm^hmnng. 

IiD  ISfvnideren  lieferten  die  10  ootersocbten  äohHtaoiMt 
frilf^^nde  HaupteigebniaK : 

0)>ti«eh  einaxige  Krystatle. 

Im  KalkMpatb  tiaben  die  Schwingungen  der  fluoreacirew 

den  Theilchen   ihre  grTiwt«  Componenie  p»nü)pl    der  opti»ch«n 

Axe.     Aach    wird    die    Fluorewenz    durch    Schwin^ngen    nw 

I  dieoer  Kichiong   am  Bt£rkateu  erri^^     Von   allen    n\  Ihr  •^^nk-. 

rechten  Kichtnngvn  vA  keine  atugezaebnet. 

Im  Apatit  itchwingen  die  fiuoreocirenden  Theilr.hen  nerir- 
lich  nur  senkrecht  zur  ''pÜMThcn  Axu ;  auch  wird  die  KlunreKcens 
am  Htärkfiten  durch  Scfawingtmgen  Kilchor  Uichtangeo  erweckt. 

Bfrjll  ätKiraHciri  didiroi tisch.  Die  xqr  »pli^^hrn  Axe 
senkrechten  Schwint^unt^en  sind  blau,  die  parallelen  rothrinletl;. 
Bei  dnem  anderen  Kitoniplar  ißt  es  gerade  umgekehrt.  Beim 
^!nm^llgd  ^ixl  diese  Kurbln  roth  und  blautiülett, 

im  Venu  vi  an  haben  die  Fluorescenaaehwingungen  etwu 
grtMM   Componenten    «eiikrecbt    ul«    parallel   zur   Ale:    aoob 

werden  «i*  nni  .ftürkst^'n    durch    enUre   erregt.     Sclnv  r 

den    Krregvrliclit»^   die  parallel.    beKiehiingsweiae   hudIci  >r 

Axe  nind,  rufen  Überwiegend  glmchgerichUite  Kitii/r 'i.  n/- 
ncbwingnnf(en  lierfor. 


L.  Snhnekg:  Pt^arigirte  Fltufregcttu, 


117 


Tai  Hurnblei  8inrlHicPlaorcscei)s»chwingiinffmiuuiijtSrlcHtf>n 
wakrecht  zur  Axe.  Krrof;eriM;hwini;ui)^oti  parallel  der  Axe  rufen 
»m  stiirkjBtan  Fluort!ticäuz»chwingURgen  seukrecht  zur  Axe  her- 
vor, und  umgekehrt. 

OpÜKcb  itweiaxtge  Krysialle. 

Im  Tiipas  nrfnlgen  die  Fluorescenjöchwingimgen  nur  in  der 
Kbeue  der  optucheu  Axen;  die  Hauptcooiponente  'ml  parallel 
der  eräten  MitU;llime. 

Im  Arragonit  ist  immer  Jene  Schwingangdcompouetite 
der  fluorescirenden  Theilchen  am  grossten,  die  parallel  zur  Er- 
rcgerschwinjfnriK  ist;  doch  geschehen  die  Schwingnngen  parallel 
der  ersteti  Mitt^lliuie  am  sdiu^ierigtiteri,  die  beiden  lU/.u  senk- 
rechten fast  gleich  leicht,  am  leichiesten  indoäseu  die  Kur 
optischen  Axenehene  »enkr^hte. 

Im  Weiesbleierz  i«t  die  zur  Erregerschwingnng  panilielc 
fsohwingungscomponente  der  äuure^cirenden  Theilchen  uie  am 
grOwten,  wührscheinlich  sogar  tsieis  um  klointiten  (vgl.  Homhlei), 

Im  Rohrzucker  ißt  fast  immer  jene  Schwinguagscom- 
ponent«  am  grti«8ttiu,  die  zur  Knegerschwingung  purallel  ist; 
jedoch  erfolgen  die  Sobwingungen  bei  weitem  am  leichtesten 
senkrecht  xur  Ebene  der  ui>tiiichei)  Axen. 

Im  Cjanit  ist  die  kleinste  Compunente  der  KluoreDoenz- 
Hchwiiigtiiigeii  initiier  j>arutlel  diir  /weiten  Mittellinit'  dur  optischen 
.Axen.  Erregerschwingungen  von  ditwer  Itichtun«  i-rwecken  ilher- 
hanpt  kaum  merkliche  Elaoreacenz. 


i-th  i' 


M  ■ 


lieber  den  Feuerbach'schen  Kreis  und  eine  Steiner'sohe 
Curve  vierter  Ordnung  und  dritter  Klasse. 


Von  W.  tiodt  in  UtMck. 
(»1  lih  U»!  7.  JUn.) 


Der  Feuerbach'fldie  Satz  von  den  BerUhruiigvkruised  der 
'  Sritun  eiiiüä  Dreieckt«  ist  vielfach  verifJKiert,  seltener  wesentlich 
bereichert  worden.  Hezftglich  der  umfangreichen  Litteratur  kamt 
iiuf  t\\v  gründliche  Arlteil  von  Prof.  Dr.  Julius  Lange:  Geschichte 
dos  Fenerb  ach 'sehen  Krei.^ea.  Berlin  1894.  Beil&ge  Eum  Jahres- 
Iwricht  der  Kriedricha-WerderVhen  Oberrealschule  r«  Berlin 
verwiesen  wenleii.  Im  Folgenden  ist  auf  selbständige  und  wie 
Verf.  glaubt  neue  Weise  dafi  Problem  behandelt  nnd  aus  seiner 
bisherigen  Vereinzelung  in  einen  grösseren  /uTtammenhang  ge- 
rückt. TMx  Htrenger  Beschräukung  auf  solche  Kiemente,  die 
in  vielfacher  Beziehung  merkwürdig  sind,  wird  die  Figur  ziem- 
lich verwickelt.  Freunde  de«  Gegenstandes  kiWinen  vom  Verf. 
eine  Iteihe  hinreichend  genau  ansgeführter  Blätter  zur  Ansicht 
«rhalten. 

Hervorgehoben  sei  noch,  dass  sich  im  Lanfo  der  Darstellung 
von  selbst  die  Beweiae  zu  einer  I{eihe  von  Sätzen  ergeben, 
welebo  Steiner  lu  Betreff  .einer  besonderen  (Jurve  dritter  Klasse 
(nnd  vi«rt<*n  Linide«)*  ohne  Hewei«  mitgetheilt  bat  (lB5<i,  tie- 
«mmelte  Werke,  Bd.  2,  p.  0-il  ß'.).  Ein  Theil  diew>r  Sätze, 
soweit  sich  dieselben  nämlich  au»  den  nll  genieinen  Hüfana 
über  CurvQu  dritter  Ordnung  nder  dritter  Klagte  ableiten  Imbmil, 
tut  vchon  von  Cremuna  in  diesem  Sinne  behandelt  (Sur  t'bypo- 
cycloide  tt  trois  rfbrousseraents.  OrelleS  Juumal,  Bd.  64).  Der 
Zu.Hamnienhung  dtm  Feuerbucli'.'ichen  IvreJM«  mit  den  Steinnr'- 
«ch«o  Sätzen  scheint  bisher  nicht  erkannt  ku  «ein. 


ISO 


Sitjung  der  math,'phya.  Clane  am  7,  Miln  tftO0. 


I.   Ueber  die  Geometrie  auf  einem  Ereise. 

1.  Behufs  der  Geometrie  auf  einem  Kreise  vom  Radiu»  I 
kaiin  man  in  folgender  Weit»«  verfahren :  Man  wählu  in  der 
IVripherie  «•iiien  tjcliebi^^tin  feuiün  Punkt  0  und  einu  but^tiiomte 
Umluuf^richtung,  etwa  die,  wubei  man  die  innere  Kreiflflüche 
zur  Linken  liai,  ab  [Kwitive  und  lege  einem  Punkte  X  den 
halben  Bo^en  (}X  aU  Parameter  bei.  Dann  gehört  jedem  be- 
liebigen positiven  oder  ncpatiTen  Parameter  nur  ein  einziger 
bestimmter  Punkt  der  Peripherie  xu,  einem  beliebigen  Punkte 
aber  gehören  unendlich  viele  Parameter  zu,  die  sich  um  ganze 
Vielfache  von  n  von  einander  unterscheiden. 

2.  Sind  a  und  ß  die  ParameLer  vou  zwei  ENinkien,  «o  ist 
ihr  Abstand  gleich  dem  aljsoiuten  Werte  von  »in  (o  —  ß).  Sind 
aß  yd  die  Parameter  von  vier  Punkten,  ho  spriclit  die  Identität : 

läü  (a  ~  ^  stn  {ß  -  y) + 91X1  iß- 6)  inn{y-a)'i-iän{y~Ö)  »in  {a~ß)'~^0 

den  isogen.  Lehi^tz  deä  Ptoiemtiuä  au»  und  Kvrar  ia  allgeuieiu 
gültiger  Form  fUr  beliebige  Lugen  der  Punkte. 

3.  Sind  aßyS  die  Parameter  von  vier  Punkten,  so  i^t 
das  Doppelverhältnis  de»  Paiire«  aß  getrennt  durch  yd 

sin  (a  —  y)  ^  airi  (a  —  6)  sinj/f  —  <5)  sin  (y  —  a) 

ainCy  —  /?) '  sin  (d  —  /T)  "^  ~  ain  {ä~—  ^5"«"  iß  "  T^ 

Die  oeclis  verächiedeoeu  Doppel verh&ltnisse,  die  man  durch  ver- 
schiedene Anordnung  der  Pnnkte  desselben  Quadrupels  erhält, 
sind  bezttglich  den  negativen  Werten  der  üeohn  Quotienten  gleiob, 
die  HUI»  den  drei  Gliedern  der  Identität  in  2.  sich  bilden  lausen. 

4.  Seien  aß  yd  zwischen  0  und  /r«  der  GrÖA^e  nach  g6- 
ordnet,  Parameter  von  vier  Punkten  und  P  der  Schnittpunkt 
der  tveraden  a  ß  und  /  d,  so  ii^t  ersichtlich  das  Teilnngsverhältni» 

aP Act  yd  (iin  {y  —  «)  sin  (d  —  a) 

T~ß  'dßjd  ™  ~  «in  (y  —  pl)  «in  ( J  —  ß) 

und  dieae  Gleichung  bleibt  bestehen,    wenn  sich  die  ParameUr 


W.  Ooäi:  lieber  lUn  J'cucjiiuch'seAcn  Kftü. 


121 


U*liobi|?  verüiidern.    lis  wird  aUo  ullgemeia  die  Strecke  a(i  von 
der  Geraden  j'd  jyeteilt  nach  dem   Vtrhältnii^o 

«in  («  —  y)  ain  (a  — -_d) 
~ain(/(  — >')8i^(^  — df) 

Tj.    StiJeu  a,  und  ß^^   a,  und  /f|,  a^  und  ^g  die  P&rami<ter 

dreittr  Paare  von  Punkten,  uo  ist  os  leicbt,  die  Bedingung  «n- 

,  zii^^ebtja.  diUfi)  die  drei  durch  nie  besiiuimien  Geraden  einen  t^e- 

ktneinaanien  Schnittpunkt  haben.     Nnch  i,  ist  dazu  nnrnUrh  tni 

|a)lgemoinen  erforderlich  und  nn^reichend,  dAS8 

sin  {a^  —  a^)  «in  (ß^  —  «o  >in  («j  —  a^)  ain  (o^  -•-  or.) 

sin  (o,  —  fi])  «in  (Ä  —  ^,)  ~        «in  (o,  —  /*,)  sin  (^,  —  /»,) 


(»lur  in  Uaterniinantenfnriu 
(  «iD(«,  — a,)ffln(/^,  —  a,) 


ain  (flg  —  a,)  sin  i(i^  —  o,) 
sin  (öj  —  pf,)  .sin  (/Jg  —  {i^} 


0 


fi.    Diese    Relation    mass    ihrem   Sinne   nnch    gegen   Ver- 

tauBchungen   der  Indize»  1,2.3  invariant  »ein.     Qni  dies  auch 

lin  der  Pnrm    zum   An»druok    x«  bringen,   kann    man    die   link« 

^stvhende  Determinante,  sie  heisse  für  den  Augenblick  D,    um- 

getftalteu.   Mit  Aufli\>iing  der  Sinusprudukte  erhiUt  man  zunächut 


4i>. 


co«(cf^  +  /^,-2o,)     C0H(a5  +  /^,-2«,)     l 
ca»(a,  +  />,-2i?J     cm{c^  +  ß,-tß,)     1 

lokiplixiert  man  nun  kolonnenweise  mit 


f      co«2/f, 


-cm: 


sin  2^, 

{) 

^sin  2a^ 

0 

0 

1 

=  — sin(2o^  — 2y*,) 


wird 


Sümmf  der  matk^fk^.  Ommr 


—  ■iD-«in(2a,  —  ^fl^) 

(•der 

*»  K  +  /*«)  *»°  (<S  -f  Z'i)  ««  2/f,  —  «9  2«, 

4i>  =  ^coi(a,  +  ^,)  cm{a^  +  ßj  -  sin  2^*,  +  an  Co, 

|c«K-^.)  «*{'^— /'s)  aiii(2«,-2i»J     I 

oder   t*n<lbdi,    wenn    mAO  die  letite  KoIooim  iiiiiftiiilillit,   den 
Faktor  2  nio  (a^  —  ß^)  ftbaondert   md  vckcd  d«  Pdl^eiidett  die 

AnoidouDg  iodert 

Die    [letcroiinaBte    recht»    «orde    sor    AbkAimtg    udi    mit 
^(o,,  /*,;  o,,  /f,;  o,,  ß^i  oder  mit  -:/  hwiwchtnl 

7.  Wie  iD  5.  bemerkt«  ist  i)  =>  Q  aar  in  alljKemeuiai  <i>e 
Bedin^Dg  daftr.  daas  die  drei  (jermdeo  darcb  flinoa  Ihmkt 
geheo.  denn  die  Ableitung  setzt  vorftne,  da«  die  INoametar 
dtj  nud  /}|  venchtedeDen  Punktesi  uigehOr«a  and  nielit  Hv» 
demMiben,  SoMtr  di«!  n&mlirh  einmal  der  PaU  «etn,  cn  ItOniite 
von  eÖMin  bertuumten  TeilangarcrbältDia  der  Strecke  a,  ß^  ibcbt 
(geredet  «ctdeo,  dw  «tne»  bevüicailea  Punkt  cKftfaktehotrt«, 
D^O  wOn&e  daan  Ober  die  zmite  and  dritte  Gerade  Ober- 
banpt  nicht»  ■miMgin  Die  g«oaoe  Bedisgung,  dam  drei  Ge- 
rade darcb  einen  Pankt  geben,  irt  vielmebr  itet»  da«  V«iw 
echvinden  vun  J,  wenn  nan  nur  uatar  der  Ueradan  0,  a  oder 
a,mit  -{-a  die  KrtifUageDt«  in  dem  Punkte  mit  dem  l^wrm- 
meter  a  rerstdit     80  mB  es  im  folgenden  geKbebeo. 

8.  SoD  etne  Gerade  nicht  nur  ihmr  Lage,  «mdeni  auch 
ibrer  ltiebtaa|r  nach  in  Betracht  i;ezo(cea  «erden,  ao  dum  de 
all  in  antm  bcattnunten  Sinne  au  durchJanfen  vorgcalellk  wird 


W.  G^:  Veber  Htm  i'>N«r6acft'HAtfn  KreU. 


123 


ditd  die  Ebene  in  ein  linkes  nnd  ein  ruohtefi  oder  ein  positive» 
und  fiii  ntjfxatirois  Gebiet  zi'rlegt,  so  ntHg  «ie  ein  Lagfstrahl 
btfi«4en.  Zwei  t'arameter  a  und  ^  legen  Kwei  Punkte  unil  dHUiil 
eine  Gerade  und  in  noch  bestimmterem  äinne  einen  Liiufstrabl 
foht.  Bei  HUrtif^er  Attnderung  ron  ß  dreht  .sieb  uündicb  die  tie- 
nd«  o  (i  um  den  Punkt  a  und  wir  künnon  fe^tüetzeu«  cliue  üe 
aU  Ijau&trahl  o/tf  in  demjeni^e»  Sinne  zu  versieben  8«i,  bei 
dum,  wenn  ß  mit  «  gleich  geworden  ist,  ihr  Hnkes  Ufer  im 
BerilhrungRpnnkte  mit  dem  linken  Ufer  dw  Kreisen  xu.sammeii- 
fallt.  So  vervtanden  kann  man  a  und  ß  als  Koordinaten  eines 
LoufxtmhlH  aiifT&%sen  und  etwa  Kreiskoordinaten  dessen>en  nennen. 
Aendert  sich  eine  Kreiskoordinate  eines  Laufstrahls  um  /r,  so 
flLllt  t^r  in  die  entKe}?enf(e.-^etzt«  Kicbtunj^  durgelbon  Oeradmi. 
Die  Kreiskoortlinaten  a  •\- ft  uod  ß -{- n  legen  also  denselben 
l»Luf!tlnLht  f»9it  wie  a  und  ßy  \\\v  Kreiskoordinuten  a -f- tt  und  ß 
ltder  a  und  ß  '\-  j*   aber  den  entgegenge»et7.ten. 

9.  Durch  den  Mittelpunkt  Heu  Kreises  le^eu  wir  ein  recht- 
winklif^  AchüenkreuK  und  xwar  wählen  wir  fOr  die  Rirhttmf^ 
der  X-Acb^e   den   Laufstrahl   mit  den  Krel'skrxirdinaten  0  tmd 

—  -n->   W'  die  Richtung   iler   T- Achse  den  Laufetrabl  mit  den 

Kreiskoordinaten   .    und  —  j.    Sind  dann  a  und  ß  die  Para- 
4  4 

Dieter  zweier  Punkte,  w*  lautet  die  Gleichung  der  hindurch- 
getefften  (if^radtfn  in  rfrhtwinkligen  Koordinaten  und  in  der 
Normalform 


XCQ»{a'\-ß)-\-^  sin  (o  -f  /fj  —  ooa  (a  —  /?)  =  0 

und  dabei  gieht  der  Auadruck  coc*  (a  —  ß\  nicht  nur  durch  seinen 
aljsoiuten  Wert  die  Lange  de»  vom  Mittelpunkt  auf  die  Ge- 
rade aß  getiLlllen  Lotes  an,  (sondern  durch  sein  Vorzeichen  auch, 
auf  welcher  Seile  da«  LaufstruhU  a  ß^  dur  po&ttivea  oder  nega- 
tiven, linken  oder  rechten,  der  Mittelpunkt  liegt. 

Schneidet  oder  berührt  ein  Laufstrabi  den  Kreiü,  an  sind 
■pino  Kreiskoordinaten  nwll.  trifft  «r  d«n  Kreis  nicht,  iat  ab<»r 
nwU,  «0  itind  dicawiben  konju^ert  komplex. 


124 


gtUitng  (i«r  malK-pIt^.  CUM«  9m  7.  MUn  U09. 


Actf;  der  Gleichung  Her  Geraden  in  rechtwinkligen  KoonH- 
DAttfu  ergiebt  ^icb  die  Be<tin(7ung,  d»ä8  drei  Gcmdc  durub  eine» 
Punkt  gehen,  in  Kreit^koordinaUn  aii^edrQckt  ohne  weitorce  in 
der  Form  ^7^=0  von  7. 

10.  Die  Gprude  5,  habe  die  Kreiskoordinaten  a  und  ß^^ 
ao  hat  ihr  Pol  P^,  wie  leicht  iw  -»ehTi.  die  rtfhtwinkli^jiru 
Kourdinaten 

X,  =  ^-   --    ,^      und     y^  =  — 7 ,i^ 

Hierau^i  ersieht  äicb.  daäs  die  au»  den  Krei^koordiualea  dreier 
Geraden  gebildete  Determinante  J  in  naher  Beziehung  za  dem 
Inhalt  Jf.  des  Dreiecks  steht,  dessen  Ecken  die  Pole  der  Ge- 
raden üind.     Es  ist  nämlich 

J^=2Jj,'C<»{a^~  ßj)  cos  (o,  —  /*^  CO«  (a,  —  ^f,) 

Bezeichnet   man   den  Inhalt   des   von  den   drei  Geraden    selber" 
getiildeten   Dreiecks  mit  J^^   äeiue   drei  iluheu    mit  4,,  \,  A^, 
die  Koordinaten  seiner  Eckpunkte  mit  ^ '/j,  ^  ^t«  ^»  *?>•  s<*  'Er- 
hält man,  da 

s.  ■?.  - 1  I 

^     "?.     -1 
durch  Multiplikation  dieser  Gleichung  mit  der  vorigen 
Ä,  A,  A,  =  4  J,,  .rf,  -  C0&  K  —  pf,)  cos  (a, —  /:»,)  ooa  (<^  —  ,!(,) 

11,  Obwohl  es  mit  dem  eigentlichen  Thema  dieses  Auf- 
satxee  nicht  näher  xiiäammenhängt,  niag  noch  Folgendes  be- 
merkt werden.  Sollen  ewei  Gerade  konjugiert  sein,  dan  hetast, 
soll  die  eine  durch  den  Pol  der  anderen  gehen,  fio  ist  nach  9. 
und  10.  die  Bedingung 


W.  ftnät:  Xf^ier  dm  ^VtferftrtcVjMÄe«  /Creijr. 


oder 


0**  K  +  /J'i  —  «I  —  /*i)  =  CO*  ("s  —  ^i)  «^o^  («1  —  ft) 

wnraii«  mnn  dfuMioh  die  Gef^en<;>eitigkeit  dieser  B«r,ie)uing  t^nneht. 
Ebpuiio  symmetriBch  drückt  sich  die  Bodin^uug,   das;  drei 
^Gerade  ein  Polardreit^ck  de«  KrciHeü  liildti»,  durch  die  drei  Glei- 
uhiifif^t'n  AUS : 

«•  («I -t- i»t  —  «,  -  ^i)  =  CO«  (<»i  —  ^j)  c«  ("»  —  W 
«» («I  +  /*!  —  «s  —  ß%)  ■*  COS  (a,  —  /?,)  cos  (o,  —  /?,) 
CO»  (0|  +  ft  —  ö,  —  /^i)  =  C08  («i  ~  /*»)  CO»  (a,  —  ß^) 

12.  Die  Bediu^uii^,  diu»  drei  Gerade  durch  einen  Punkt 
gehen,  in  KreiHkuordiniiten  kaun  man  noch  in  einer  anderen 
Form  erholten,  die  später  nützlich  und  an  sich  intereitsant  ist. 
Die  I'unkte,  deren  Tarameter  a^,  er,  and  a,  sind,  fasse  man  aU 
Ki'keu  eines  Üreieck«  auf,  »o  $ind  die  Teilverhftttniaäe  von 

n  •.                ,       .    «       .                          sin  (c,  —  a,)  sin  (a,  —  ßA 
S«te  a,a^  durch  Gerade  a,rf,  = ^-^ ''   .    ;  ' ^ 

*  »  *'•  sin  K  —  o,)  sin  (fir,  — /y,) 

Seite  «,  er,   dnrrh  fi<mulp   n,  ,^,  = r-j-' \   .    ,     x\ 

I  *    '  '    '  «in(a,  — a,)»in(cr,  — i!?j) 

Q  -i               .      1    r,      j          ^              sin  (o-  —  o,)  nn  («,  —  //,) 
Seite  a.o,   durch  Gerade  a,rf,  =* :— i-J '    .    ,^ f{ 

*  '  ^    ■  sin  (o,  -  «,)  ain  (a,  —  ,*,) 

Die   drei  Geraden    gehen    onn   darch   einen    Ponkt,    wenn   da« 
Produkt  der  drei  Teilverhältnüse  gleich  1   ist,  also,  wenn 

sin  (o^  —  /?»)  ■  Kin  (a,  —  /?,)  «in  (a,  —  ßt)^-^ 
sin  (o,  —  ß^) .  «in  (o,  —  ß^) dn  (a,  —  ß^) 

oder  wenn 

«in(o,-/*,)«in(o,-ii(,)»iD(ü,-/*,)-sin<a,-/äfg)8in(a,-//,):-m(a,-^,)=0 

und  in  der  Thiit    kann  man  »ich  durch  Eittwickiung  und  Ver- 
gleichung  leicht  flberxeugen,  dat»  identisch 

idn  (ff,  —  ß^)  «0  (tf,  —  /*,) »dn  (o,  —  ß^) 

—  xin  (n,  —  ß^)  «in  <a,  —  ß^)  «in  (o,  —  /Ü,)  =  -  J 


125 


SUtumff  der  wiath.-phj/M.  CltiMie  tvtm  7.  Mnrs  t896. 


Vielleicht  ist  die  linke  StriU?  nnrh    nbersIchUicher   in    der 
Korni: 

«in  (a,-^,)siD  (0,-/^^810  ((ir,-/S,)+sin  (;^,-o,)siD  {ftf-a^)mi{ß^-iÄ^t 

Ableitnng  und  letxte  fileichnng  lehren  dst>ei,  rlai^t  dip«tfr 
AuHdriick  seinen  Wert  nicht  ändert,  wenn  man  i^^Hrl(l  eiu  o 
tnit  dem  entsprechenden  fi  Tertatischt.  Zngleich  ergieht  j^ieh 
der  einfache  geumctrische  Siitz:  Wenn  bei  eim-iu  Sechseck  iin 
Kreide  die  drei  Verbindungäliiiien  rnn  je  /.wei  gegenüberliegen- 
den Ecken  (Hauptdiagoualen)  <lurcb  einen  Punkt  gehen,  bo  »itid 
die  beiden  Pmdnkte  aus  je  drei  nicht  aneinander  hnnj^endr^n 
Seiten  gleich. 

13.  Wir  stellen  die  unter  12.  und  0.  gefundenen  IdiMiLi- 
tftten  noch  einmal  zur  l^qnemlichkeit  /.uranmien.     ht 

cofi  («I  +  ^i)     «n  («I  •+-  ßi)    cos  (a,  -  ^,) 

c^  («I  +  W    s»a  (*S  +  f^t^    *=«»  l"«       /*f) 
COR  («s  -1-  /fg)     siu  (a,  -f  /^g)     cos  (n,  —  fi^)  ' 

Sil  hat  man  identisch 

-J^üia  {a^  —  ß,) »in  («,  -  ^,) hin (a,  —  /*,) 


4-  sin  (/*,  —  or,)  sin  (//,  —  o,)  ain  (/^g  —  o,) 


imd 


sin  (a,  —  a^)  Pin  (i^,  —  ß,)     sin  (a.  —  o,)  ^in  (/*,  -  ft,) 
Bin  <a,  —  (i^)  sin  (^,  —  ß,)     sin  (o,  -  /¥,)  nn  {{i^  —  jtf,) 

14.  Äebnlich  wie  wir  jeder  Geraden  ein  Paar  Paranietfir 
nh  Kreiskoordinaten  l>eigelegt  haben,  können  wir  die.^  auch  ly>t 
jetlem  Punkte  atitiflihren.  Wir  .setzen  fc^t,  das!^  als  Kreiskoordi- 
naten  eines  PunkteH  diejenigen  «einer  Polare  t^enomnien  werden. 
Sind  dann  ab  /w^i   Ktilchi;  Kreiutkuurdinaten    uineü  PnnkU^,    so 


sind  «eine  CArl-eriischen  Koordinatan  - 


coa(n  +  6)  ^    ,  8in(o-f  ft) 


cof»  (a  —  h) 


nnd 


ca* 


Ü^^^ 


1^ 


n«r 


Kreis. 


127 


Setzt  man  t1ie«e  Werte  Pär  x  und  y  in  die  linke  Seite  der  auf 

Null  gebrachten  Gleichung  eines  Laufstrahles  aß  ein,  so  erhält 

,        .      ,      ,     cos  (a  -|-  6  —  a  —  ß)  ,  ,.       ,    , 

man   den  Ausdruck    ^^ ;r — ■ cosia  —  tf),   d.  h, 

cos(o  — 6)  ^         ^' 

wenn  unter  K^a  die  Knifernung  des  Pniikt«»  ah  von  dem  Lauf- 
strabl  aß  verstanden  wird  und  zwar  positiv  oder  negativ  ge- 
rechnet, je  nachdem  der  Punkt  auf  dor  positiven  oder  DCgatiTen 
S«ite  d(w  Strahls  liegt,  so  ist 


co8(a— ft)  ^ 


'«/' 


Griten  a  und  ß  als  Variahle  angesehen,  so  i-^t  diese  Gleichung 
als  Gleichung  den  Düi^cheU  der  Tangenten  eine«  Kreises  auf- 
%ufa»»'n  auRgedrlickt  in  Kreiäkoordinuten  der  Strahlen.  Hierbei 
ist  bpBcht«nt)Worb,  da."«  dabei  die  Tangenten  in  bestinimteni 
Sinne  als  Laufstrableu  genoiuiuen  aind  oder  mit  andereu  Worten: 
•Sind  i\  and  h  die  KreiKkoordinaten  eine^  Punktei«, 
or  und  ß  die  Kreiskoordinaten  einen  LaufstrahU  nnd 
ist  r  eine  absolute  Zahl,  so  sagt  die  Gleichung 


cos  (a  +  ft  —  g  —  ß) 


—  cos  (o  —  ^)  =  —  r  (resp.  =  -|-  r) 


cos  (a  —  ft) 

'ans,  dass  der  Laufstrabi  aß  den  um  a6  mit  r  genchla- 
geneu  Kreiü  berUbrl  und  zu  üeintsr  linken  (rtii^p.  recliteu) 
Seite  tä»8t. 

15.  Die  obigen  Bemerkungen  lassen  sich  nach  verschiedenen 
Seiten  weiterfOhren  und  verallg^nieinern,  es  Ist  mir  nicht  un- 
wahrncheinlich,  dass  Steiner  mehrfach  ähnliche  Wege  betreten  bat. 


n.   Üeber  den  Feuerbach'schen  Kreis. 

16.  Wir  betrachten  ein  vollatändigos  Viifreck  i/^  if^  J,  «/„ 
tlessen  Gegenseiten  t\\  einander  senkrecht  stehen.  Die  Seiten 
«/g '/j  und  «/|  */a  itcbnf'ideii  8iob  in  Ä^  ^0*^%  ""d  c/^«/,  iu  /f, 
Jjf/,  and  t/| «/,  in  C.  Die  Mitten  der  s^ecbs  Seiten  des  Viereck» 
heiibi^n  M^^,  M^  n.  h.  w.     Sieht    mau    irgend   drei    unter   den 


I2S 


SiituS^n^^ 


9f>. 


rier  Piinkleii  J  hU  Ecken  eines  Dreieck»  an,  so  hat  dmwgib» 
allemal  ilen  vierten  Punkt  J  sum  llOheuschnittpunkt  und  A  B 
und  C  KU  Hßbenfu«)f)piiDkten.  IHo  drei  Ptinkio  A  B  C  und  die 
sechs  Pnnkt«  M  liegen  in  der  Periphme  eine»  Kreises  <P. 
diener  int  Feucrbach*4cher  Kreis  ffir  jedos  der  vier  auä 
dco  Punkten  J  zu  bildenden  Dreiecke  und  üpielt  in 
den  folf^enden  Ueberlugungeo  eine  fundamentale  Kollp* 
Wir  wählen  auf  0  einen  Anfan^punkt  0  und  eine  l'mlauf 
richluug,  m  hat  nach  1.  jeder  Punkt  von  </>  »einen  bin  auf 
Vielfache  von  n  bestimmten  Parameter;  die  Parameter  vun 
J/y,.  5/,j  und  Jtfii  seien  a,  ß  und  y.  Wir  nelunim  ferner  an. 
d»tr  Punkt  0  wi?rde  eo  gewählt,  d»?8  die  Summe  a-^ß+yj 
einem  Vielfachen  von  7r  gleich  wird.  Es  giebt  drei  Holch«* 
Punkte  und  sie  bilden  die  ECoken  eines  gleictweitigen  Dreieck«, 
l'nter  a,  fi  und  •/  können  wir  dann  der  Rinfuchhrit  wegen  ffl>- 
gar  itolcbe  Werte  verstehen,  deren  Summe  uleich  Null  ist.  Da 
die  Sehne  AM^^  parallel  mit  der  Scihne  J/„  Äl^^  i^t.  hat  A 
«um  Parameter  den  Wert  — a-|-/i-f*?'^  —  -*"  "ßd  ebeoR 
fliud  —  2fi  und  —  2  y  Parameter  vou  B  und  C-  Zu  Para- 
nietom    der  Punkte   i*f„,  M„  M^   ferner   kann    nitin    nnrh  Im- 

kannti-n  Beziehungen  «i-«  /'i.,,  yi.T  nehmen. 

£  £  '2 

17.  Wo  kein  MiwverstÄndni«  /.n  bi-sorgen  ist.  kirnnfün  wir, 
wie  schon  frflhi'r,  einem  Punkte  von  0  und  »mninn  l'aramiH«^ 
die  gleiche  Bezeichnung  geben. 

Durch  die  Gleichung 

sin  0>«  —  «)  +  «™  (P»  —  ^)  +  «n  f  p,  —  y)  ^  0 

wird  ein  Parameter  p«  bis  auf  Vielfache  von  n,  der  Punkt  p, 
aliio  vi)llii{  he^timntt     Nun  tat  idmtiMh 

sin  f /*,  —  a)  «in  (^  —  y)  +  «iu  (jj^  —  /?)  «n  f V  —  o^t 

H-*in(;s  — y)Mnfa  —  f«)Ä4i 

alMj  füllet,  diLw 


W.  Oodt:  Utber  den  Feuerhack' »dten  Krcü.  129 

—  fa  aiu  {pa  —  tt)  =  sin  {a^ß)  —  sin  (y  —  et) 

—  e«  sin  (p(,  —  pf)  =  ain  (/?  —  y)  —  ain  (a  — ^) 

—  Po  sin  (Po  —  r)  =  «n  (y  —  o)  —  sin  (ß  —  r) 
worin  (^  ein  noch  n&hcr  in  bcätimmender  Faktor. 

Kerner  folgt 
—  ^,  (sin  0>o  -  «)  +  «n  (Po  -  W  *"  »»"  Ci*  —  y)  —  »in  (y  —  a) 
oder 

_    .     /         a-\-ß\        ß-a 

oder  wegen  a  -f-  /S'  +  y  =  0 


„       ^       ^-o  .    |»-2y  +  a 

—  =  2  C08     ^     sin  '^ ^^ 


eo«n(Po  +  2) 


Jnndnert    nmn   diese   Gleichung  und    fßbrfc    Kosinnsse   ein,   flo 
knmnit 

rf(l -009(2 Po  +  y))=  1  -  coeSy 


ergiebt  sich  nncb 

^C09(2p5H-a)  — 008  3«  =  ^-  1 
f;cos(2p,-f^)-co63^«^-l 

tHese  drei  Oleichangen  lassen  nan  auf  tiruod  Ton  14)  eine 
bemerkenswerte  geometrbche  Deninng  zu.  Sie  /«igen  nämlich, 
dai«  die  Tier  Liui&trablen  mit  den  Kreiskoordinateti  a  und  —2a, 
P  und  —  2/f,  y  und  — 2^,  p^  und  /i^  einen  nnd  denselben 
Kreis  berühren  und  zwar  ihn  alle  auf  der  gleichen  ^eiie  haben, 
d«»eo  ßudiu»  dem  a)iM>iiiten  Werte  von  ^—1  gleich  üt.  Die 
Csrteeüchen  Koordinaten  seinem  Mittelpunktes  sind  ^*  cos  2/j^ 
und  ßj  ein  Sp^,  er  berührt  aUo  0  im  Punkte  p^.  Hiermit 
haben  wir  den  von  Peuerbitch  und  äteiner,  der  ihn  digne  de 
remarquo  nennt,  gefundenen  Satz: 
UM.  lf*lk.-»lif«.  ci.  i.  % 


Die  irier  B«rtkrasgslrr«iM  mmtM  VinA—ht  b^rftfcrva 

fmmpmnkUt  gckt 

18.  Aoi  der  DeABÜMMskickiiY  ftr  ji^ 

■"fe— «)  +  "»(P#-W+"n(A— *>••• 
Mg|,iramawidie8liH»Mfltt  nd  cioM  Fbktor  f  öAInt: 


/■•«n  (A +  *)«-=  «in  («  +  *)  +  «n(/^  +  *)  +  «n(r+J^ 

ftr  jeden  W«it  von  «.  Sebfc  mu  —  a  filr  «  «in,  ao  logt  «in 
V«i^kieh  mit  17.,  dam  /'— «^  id.  Ba  irt  abo  ftr  jsd« 
Wert  Ton.  d! 

1^  «n  (p,  H-  *)  =»  «n  (o  +  x)  +  «n  OJ  +  x)  +  «n  (y  +  ») 
insbeaondere  wird  %.  B.  ftr  x  s=  -  —  p^ 

ffo  =  cos  (po  —  o)  +  cos  f  Po  —  /f)  +  cos  (Po  -  y) 
Um  9o  durch  o,  ß,  y  ausgedrückt  zu  erhalten,  bilde  man: 
^  =  ^8in«p^+^co82po 

=  3  +  2  cos  (a  —  )9)  +  2  cos  (/i  -  y)  4-  2  cos  (y  —  a) 
Nun  ist  aUgemein,  wie  leicht  zu  prüfen, 

coe  a  4-  cos  ^  4"  coä  c  +  cos  (o  4-  i  +  c) 

.        a-\-h       h-\-  c       c4fl 
=  4  cos  — ^—  cos  — ^r—  cos  — ~ — 

a  Z  a 

also  wird: 


ßj  =  1  +  8  COS      ^j      cos  — ^—  cos  ' 


Das  Vorzeichen  von  (g  wflrde  erst  bestimmt  werden,  wenn  wir 
verfugten,  welcher  der  möglichen  Werte  fQr  p  zu  nehmen  sei. 


W.  OotU:  Uciter  flen  »uerAacVacftm  Kreü. 


lai 


19.  Um  uuch  die  den  drei  Übrigen  Der tlUrungitk reisen  de» 
Dreiecks  ^/,«/j<A,  zugehörigen  Weriu  zu  erhalten,  hnt  ninn  mir 
jedwniiil  je  zwei  von  den  Panuneberit  der  I^iinkte  Af„  J/ß,  Sf^^ 
KU  Terändero,  einen  uro  +  ^''^  einen  um  —  /r,  und  zwar  setzen  vir 

e,  ilu  (p,  +  ^)  —  sin  («  -f  J!)  —  (tf  +  Jf)  -  sin  (y  +  x) 
e,  sin  (/;,  -I-  «)  -I  —  aiu  {a  ■]- x) -^  ( ß -\' x)  -  sin  (y  +  a:) 
*»  sin  (/j,  +  jr)  =  —  sin  (a  4-  i)  -  (/<  +  X)  H-  sin  (y  -f  x) 

wo  also  alle  drei  Gleichungen  fUr  jeden  Wert  von  x  gelten. 
Die  Punkte  p  mögen  Feuerbach'scLe  Punkte  des  Dreieoks  e/,  J^  /, 
faeissen,  die  Tangenten  von  <Z)  in  dieseu  Punkten  Keuerbach'sche 
Linieo. 

20.  Au*)  dan  so  gewonnenen  Qlcicbungen  lassen  sich  manche, 
wie  es  scheint  noch  nicht  bemerkte,  Folgerungen  ziehen.  Setzt 
mau  cur  Abkürzung 

sin  {/?  —  y)  ^  Äj         sin  (y  —  «)  =■ 

folgt  aus  18.  und  19. 

BinO;,-«)--s,+Äa   ei3in(j>,-/J)       »j+s,   e,8iuQ»,-y)--ffi-», 

Die  Strecke  J/,^  Ü/j^  wird  aldo  nach  4.  von  der  üeradeu  p^p^ 
geteilt  nficli  dem  Verbültuis 

»Sn  (y  —  p,)  sip  (y  — P,)  "*  sj  —  *| 
und  von  der  Geraden  pQp^  nach  dem  Verbältniä 
^  aiu  (^  —  p^  ^ojß^Pi)  _  sj— ^ 

»n  (y  -  Po^  «n  (y  —  P|)  ~  *|  —  4 
(1.  b.  der  Sdiuittpunkt  der  Qeraden  p^p^  und  |i,  p,  liegt  auf 

4  —  ^1 

JWj,  3/*,,  und  teilt  die  Strecke  nach  dem  Verhältnis    „    — ^. 


.  *,        sin  (o  —  /9)  =  Äj 

*5-»i  eo*i"(Po->')=  *»-*• 


!■  «ttflUirtielierer  BcMsebnong  httl  bimi  Rlr  lU«  VcrWtn» 


Ffir  die  Teilong  der  Siredce  -V» -Vu  dorch   die  Gvnule  J3C 

hat  man  noch  4. 

_  rtn(^  +  2^)gB(^4-2y)  _ «n  (y  -  fl)sip3;? 


alao  wied«r  datoselbe  Verbfiltnu,  d.  b.  die  rier  Gendeo 

^3»^»  ^^         i^Pi  PiA 

Kehen  darch  einen  Puakt,  etwa  X,,.     Kbexuo  ergiebi  ^ch 
M^^M^        CA        p^pt        p^p^  gehen  durch  Ponfct  X^ 
it^M„         AB        p^p,        PiPm       *         •  •       JC. 

Die  Schnitipookte  der  Gegensei irn  des  Feoerbach^- 
schen  Vierecks  fOr  ein  Dreieck  sind  die  Punkte,  in 
deneo  die  Seiken  de*  Dreiecks  der  Seitenmitten  tob 
den  entitprecbendeo  Seiten  des  Dreiecks  der  Hobett' 
fusapunkte  getroffen  werden. 

21.  Die  Seite  p^p^  gebt  durch  Kwei  funkte,  in  denen  die 
XU  Po  und  p^  gehurenden  UerflhruDgHkreise  von  einem  Kreise, 
näuilicb  (P,  berOhrt  werden,  ahm  durcb  einen  ihrer  Aebnlicb- 
keitapunkte^  der  als  Funponkt  einer  Winkelbalhierenden  d««J 
DreitfCks  tfjtT, «/,  leicht  y.u  btätiiiimen  iitt.  Daher  kann  vuM- 
die  Feuerbach*tchen  Punkte  auf  fnigende  einfache  Weise  koa- 
struiren:  Man  verbinde  die  Punkte  X^^X„X^  beie.  mit 
den  KutttfpuQkteii  der  Winkelhalbierenden  auf  der  ent- 
sprechenden Seite  von  (/,«/|«/,.  su  schneiden  siob  die 
drei  80  erhulteneu  Paare  von  Geruden  eu  je  dreien  in 
vier  Punkten  und  diese  sind  die  Fouorbach'schen  Punkte 
des  DreieckA  J^J^J^. 

Auf   ühnlich    einfachr  Weis«?   kann    man   auch    die  Fener- 
bach'sch'tn  Tangenten   finden.     Die  Feuerbach*acben  Tangenten  i 
in  p^  nnd  p^  schneiden    Hieb    im    Pol    von  Xoi,   nbo    auf  derj 


W.  Godt:  Vthtr  dtn  FeuerbacA'nchen  Krei», 


183 


ÖeniiUn  Xn,X„.  »io  ^icbnciden  sich  aber  auch,  weil  die  be- 
treffendfii  Unrü)irung»kreiäe  ia  p^  «nd  p^  von  uiiieiu  Kreise, 
nänilich  0^  berührt  werden,  auf  der  Potenzlinie  dieser  l>eiden 
Kreise,  die,  wie  man  leicht  erkennt,  Winkelhalbierende  des 
Mittendreiecks  ist.  Die  genauere  Znweisunf^  der  Elemente  nia^ 
der  Kürze  halber  fibergangen  werden,  es  findet  sich:  Die  drei 
Paar  Winkelhalbierenden  des  Dreiecks  3/,j3/,j^/,,  tref- 
fen die  korrespondir(*nden  Seiten  des  Dreiecks  X^iX^Xg^ 
in  drei  Punktepauren  und  diese  »ind  die  drei  Paar 
Gegenecken  des  Tollataodigen  Vierseits  der  Feuer- 
ch*schen  Tangenten  von  Dreieck  JxJ^Jy 

22.  AI«  Diagonaldrcieck  eines  in  Q>  einbeschriebeuen  Vier- 
eck» ist  daa  Dreieck  Ä'^,  ^m^C^  ein  Polardreieck  von  fl).  Es 
giebk  daher  eine  einfach  unendliche  Reihe  ton  Vierecken  in  <P, 
die  alle  dieselben  Punkte  r.um  Dragouatdreieck  haben  und  unter 
dienen  /.eJchnen  sich  die  beiden  ans,  die  Iwz.  Jf„  J/,,  Üf,,  und 
ABC  enthaltou,  ihre  vierten  Kcken  mögen  Q^  und  i^^  heissen, 
oder  mit  andern  Worten:  Die  drei  Geraden  X^jitf^,,  Xo,3fj, 
und  X^  AT,,  gehen  durch  einen  Punkt  (ÜgaufCP:  die  drei 
Geraden  X^^A,  X^g^B^  X^^C  gehen  durch  einen  Pnnkt 
R^  auf  0. 

Efl  ist  nun  von  Interesse,  die  Lage  der  Punkte  Q^  und  i?„ 
gegen  ABC  näher  zu  betrachten.  Da  B  C  von  AB^  und 
JKf,|  3f|2  in  dmu8ell>en  Funkte  X^^  getruSen  wird,  tK>  hat  ma.n 
nach  4. 

siu(-2?'-f-2a)sin(-2y-Äj)  flm(-2)'-/*)siB(-2y-j') 

oder  wegen  a  4*  /^  +  y  =  0 

HmiH^-^-^ß)      Bin  3 ;? sin  (a  —  ß) sin  (2 y  —  2 a) 
rin  (Ä,  +  2y)  ""  «n  Sysin  (y  —  a)«n  (2  a  —  2^) 

—  gäp^/ZcogCy    g)  _  wn(2j?  -2a)  +  8in(2^  -2y) 
~  «in  3y  cos  {a—ß)  ""  sin  (2y -  2;?) -f  «in(2y — 2a) 

Setzen  wir  »ur  Abkürzung 

«m(2^  — 2y)  =  ff,      sin(2y  —  2«)  -=0,      sin  (2a  — 2^)  =  ff. 


134  SiUunff  der  math,-phtft.  Cl««a  mm  7.  Man  IBM. 

90  haben  wir 


Ebenso  wird 


ain  (i?o  -I-  2  •/)  ^  g,  —  q, 
sin  (Bf,  -h  2  a)       o,  —  ff, 

daher  kann  mit  einem  Faktor  r^  geschrieben  werden: 
i'osin(7?(j+2o)=ff,-ffj    rosin(Ä„+2/0=ff,-O4    rjsin{B(,+2y;  =  o,-a* 

Die  hieraus  folgende  Gleichung 

sin  (Äo  +  2a)  +  sin  (Ä„  +  2/?)  +  sin  (ff«  +  2y)  «  0 

Iftsst  eine  einfache  geometrische  Deutung  zu.    Nach  17.  folgt 
nämlich : 

^0  ist  ein  Feuerbach'scher  Funkt  fflr  dasjenige 
Dreieck,  welches  seine  Seitenmitten  in  ABC  hat»  es 
beisse  ABF. 

23.  Da  ßC  von  M^Q^  und  M^^M^^  in  demselben  Punkt« 
Xg,  getroffen  wird,  so  hat  rnun  nach  4. 

ain(-2^-o)8in(— 2/f-gp)  8in(-2j?-/f)sin(— S/f-y) 

8in(— 27-«)8in(— 2^-^^**      Bin(-2y-/ilj8in(— 2y-^) 

oder  wegen  o  +  /^  -f-  7  =  0 

Kin(  g^-f  2 ^)  _  sin  8/?  sin  (a  —  fi) 
«n  (Vo  H-  2  y)  ~  «in  3  y  «in  (y  —  a) 

Ebenso  wird 

Bin(^„  +  2y)^sin3>'8in(/J  -  y) 
sj*!  {Qq  +  2  o)       sin  3  o  «in  (a  —  /?) 

Daher  kann  mit  einem  Faktor  g,  geschrieben  werden: 
,.«,(«.  +  2.)  =  -^"^^ 


W.  Oodt:  Uelter  Jen  Fcuerbach'Achen  ifrvw. 


IS5 


So  brauchbar  auch  diese  Ausdrücke  schon  uiudt  xiehon  wir 
w  doch  vor,  8\e  urazugestalten  durch  £rw6il«r(ing  der  Quo- 
tientßn.     \?k  iai 

—  nn  3  a       —  2  sin  3  a  cos  (/)  —  y)  a,  —  o^ 

B(n(^  -y)      2  sin  iß  —  y)co8{ß  -y)~      ff, 

uUo  haben  wir  auch 


flo»in(<?o  +  2a)=.*'»— -H« 


<?,sin((?,4-2/() 


V,sin(efl  +  2>*) 


Ga  mag  hier  bemerkt  werden,  da«  die  Grössen  s  und  a 
nicht  nur  eingefnhrt  sind  der  AbkQrxung  wegen,  sondern  weil 
«ie  eine  einfach«  geomptriache  Dpntonf^  7utas$«n.  Sie  sind  näm- 
lich de»  Seiten  der  Preiecke  itf^  3/,,  J/,,  «nd  ABC  ubge-sehen 
Tora  Vorzeichen  pri>i>orliünil.  Gerade  durch  diesen  Umstand 
empfehlen  »ie  sich  aber,  denn  bei  den  mannigfachen  und  ziem- 
lich verwickelten  Beziehungen,  die  noch  belrachtet  werden  «ollen, 
würde  der  Versuch,  die  absoluten  Wert«  der  Seiten  ntit  expli- 
citen  Vorzeichen  in  der  gewöhnlichen  Weise  xu  benutzen,  ala- 
bald  auf  eine  «nübersehbare  Menge  von  verschiedenen  Fällen 
ffihren,  während  mau  auf  unaerem  Wege  aller  mühsamen  Unter- 
ifcheidungeu  ßberhoben  bleibt. 


24.   In  20.  ergab  steh 


also  ist 


Ä=»  —  Ä=* 


^a^oa 


**  — fi* 


^^,.     4-' 


^h\  ^01 


.1/^  M,, 


^  Ji^.    J^u  a: 


« 


Kit» 


und  wenn  man  anf  den  Seiten  des  Dreiecks  J/^,3/j,  3/,2  die 
unendlich  fernen  Ponkto  fOr  den  Atigenbtick  mit  oo,  oo^  oo^ 
bezeichnet,  m  sind  din  Punktgnippen 


13G  SiUuntf  der  math.-pfufs.  Glosse  vom  7.  Mars  1896. 

3fs,  Xo,  Jlf„  00, 
^n  ^Ai  ^  ^> 

Xo3  3/,!  A/„   00, 

projekti  Tisch  uud  mithin  sind  z.  B. 

3f„  A«  ^1«  «»1     on«'     ^si  ^os  ^s  ^M 
zu  einander   perspektivisch   f^elegen  und  zwar  von  J,  ans.     So 
findet  sich : 

Die  Seiten  des  Dreiecks  X^^X„X^  gehen  dnrch  die 
entsprechenden  £cken  des  Dreiecks  J^J^J^. 

Uierans  lassen  sich  Folgerungen  ziehen,  die  zweckmässig 
durch  eine  allgemeinere  Betrachtung  vorbereitet  werden. 

25.  Die  in  dieser  Kummer  zu  benutzenden  Bezeichnungen 
galten  nur  hier.  In  der  Ebene  eines  Dreiecks  Ä^  Ä^  A^  mit 
den  Seiten  a^  a,  o,  li^^n  vereinigt  Punkt  0  und  Gerade  o. 
Von  0  nach  A^^A^A^  gehen  die  Geraden  3^3,9,.  o  schneidet 
«1  öj  «j  in  ^1 Ö,  i^s-  Wir  bestimmen  Strahl  f,  harmonisch 
tXL  3,  bezdgtich  rt,  und  a,.  ebenso  f,  und  e^:  femer  Punkt  E^^ 
harmoniÄ*h  /u  D,  bezilt;lioh  A^  und  -4,  und  ebenso  ÜT,  und  E^. 
Dann  irelior. 

-'i  '-.  -j  ^i-'t^"'*  «"^i^  P'.nk:  /', 

^5^:  .    .      .      .     /; 

.. ..  !     ' .   .  ^ ... 


■   •  ''^  ■      "  ■  i  '  * ' 
;\      •;::*.•,•:;  A    ':'     ■  :-.i  A^  ':\    ■.-  ■  .1,  j-",  .rf    tr  i  :n:h  einer 


W,  Godt:  Ueber  den  Feui!rttad%'iichen  Krcu, 


137 


Die  Schnitipunkte  a,  e,  und  a^e^  und  a,  e,  liegen  iu  einer 
Geraden  ß,   Taiigento  von  k'^K 

Diy  Schnittpunkte  ff,/'j  =  ?7,  nnd  e^f^  ss  ü",  und  e^f^  ^  f/, 
liegen  in  einer  Geraden  e,  der  Tangente  von  f*^*  in  X,  die 
Geraden  E^  F^  ^=  u^  und  K^  F,  =  u,  »iid  F,  Fj  =  «^  (?Rh<»n 
durch  einen   Punkt  A",  den  Berührungspunkt  von  a  mit  /ir<^'. 

ö,  G,0,  0  sind  Pole  Ton  9,3,9,  a  her.  iP«'. 

;7,  tfi  fft  0  sind  Polaren  von  /),  2),  D,  X  bei.  A**^ 

Je  zwei  mit  gleichen  Buchstaben,  gri)«  und  klein,  be- 
zeichnete Kiemente  sind  pokr  ber..  eines  dritten  Kegelschnitts, 
di-r  also  insbesondere  f^f^f^  und  o  in  F^F^F^  und  0  Iterührt, 
A^  Ä^Ä^  /.lim  Polardreieck  hat  ti.  s,  w. 

20.  Die  Bexifliungen  vnn  2U.  Knden  »ich  in  unserer  Hanpt- 
ligitr  zweimal  verwirklicht,  an  die  Stelle  von 

A,A,A,F,F,F,E,E^F,Ä 
treten  einmal 

M^  Af„  ^^n  Jx  ^^  ''*  ^01  ^n  -^01  ft 
andere  Hai 

ABCJ,J,J,X„X„X„R, 

Aas  der  Menge  von  Sätzen,  die  sich  hieraus  ergeben«  heben 
wir  nur  einige  hervor. 

Der  KegeUchnitt,  der  die  Seiten  des  Dreiecks 
/,  tTi  iTi  in  den  Mitten  berQhrt  (Steiner'sche  Ellipse 
von  '^i  <^s  «/g).  schneidet  <&  in  Q^, 

Der  Kegel  schnitt,  der  die  Seiten  den  Dreiocks 
/,-/,•/,  in  den  Uühenfnuflpunkten  berührt,  schneidet 
0  in  n^. 

Die  drei  Punkte,  in  denen  sich  entsprechende  Sei- 
feen der  Dreiecke  J,  J^  J^  und  X^i  X^  X^^  begegnen, 
liegen    in   einer  Cjeraden,    dieselbe   geht   durch  Q^  und 


1S8 


Siliwmg  thr  maÜL-ftty»,  Clmmt  mm  7. 


R^  and   berfihrt  dacelbst  die  eben    g«n»Diiteo    Keg«l- 
«cbnitte. 

Die  drei  Ponkte,  io  denen  sieb  enUprechende  Sei- 
ten der  Dreiecke  M^^JJ^Mj,  und  X^^X^gX^  begegocn, 
liegen  in  einer  Geraden,  dieselbe  gebt  durch  den  Sebwcr^ 
pnnkt  des  Dreiecks  J^J^J^, 

Die  drei  Punkte,  in  denen  sich  enUprecbeod«  Sei- 
ten der  Dreiecke  ABC  ond  X^^X^X^  begegnen,  lie- 
gen in  einer  Geraden,  dieselbe  geht  dnrch  den  Höhen* 
Schnittpunkt  des  Dreiecks  J^^^J^- 

Die  Seiten  des  Dreiecks  M^  Jl/,,  JIA„  werdao  in  den  Ponkteo 
X«,  X«|  X^  Ton  einem  KegeUchniU  berfihrt  and  xwar  roo  «ia 
Parabel.  CHe  Geraden  J^  JC,^  ond  /.  X^  nnd  J,  X^  sind  es»- 
•ader  parallel  oad  geben  die  '***^*— *g  der  Acb«e  der  Fuftb«! 
an.     Die  Parabel  hat  ihren  finduipaaU  in  R^ 

Die  Ifiite  Bencriraag  beititigt  «eh  an  einfiMhatro..  wm» 
■wn  di«  ihnlicben  Ponktreibcn  auf  den  Tuigenlcfl  Über  J^ 
nach  9  pnyiiiert,  dean  dnaa  eriEcant  nna«  das  din  i 
d«  dtnUbaicM  kn^yiMBt  nd. 


27.   Wiranckfl 
dM  in  ABC 


r,  wie  CS  dank  die  I 
■  DkiMeli^BC  odOTdMDniMk^ar,] 

Die  Cebericgvngen,  die  aa  das  Drö- 


eck  J^  J,  /,  aagekaftpft  wiudeu,  laai 

dv  liat«M  BaMi^e  aa  «ffkaltaa,   bat 
wd  <  dia 


aacb 


diaDn»- 


hm  /,  Jf,  JE,  « 


dM 


«■  f 


W.  Otßdt!  Utber  (Um  Ftutrbuch'Kchtn  Kreia. 


i:iu 


durch       a 


/•-h 


7t 


n 


womns  sich  das  Nötige  fttr  die  s  und  a  ergiebfc. 

28.  Die  Punkte  li^U^Ii^R^  bilden  das  Peuerbach'- 
Hche  Viersck  fOr  Dreiuck  ^-iBf^  es  gilt  fDr  sie: 

r,  sin  (flfl  4-  2o)  =  c7,  —  «,  r^  ain  {R^  -f  2 /^)  =  ff,  —  a^ 

ro  sin  (7?o  -f  2  ^)  =  a,  -  a, 

r,  sin  (B,  -1-  2a)  =  -  o,  +  tf,         r,  sin  (fi,  +  2/;)  =  ff,  +  «7, 
r,  8in(ß,  -|-2y)=-ff,  -0, 

i-j  MD  (Ä, -f- 2  o)  —  —  ffg  — Oj       r,  sin  (B,4-2y9)=a  —  ©^-f  ,1^ 
r,sin(/J,  4-2}')«o,  -ho, 

^r,  sin  (i?8  -f  2  «)  =  ffj  +  ff,         r,  sin  (Ä,  -|-  2/*)  =  —  a,  -  a, 
Tj  sin  (Äj  +  2  y)  —  —  ff,  -f  ff, 

woraus  alle   eDbiprcchendcn  Folgerungen   vu   ziehen   sind,  wie 
aud  den  Gleichungen  in  20. 

Die  Punkte  ^o  ^i  ^t  ^s  bilden  ein  dem  FeuerbiLch'- 
scben  b)?igeordnetes  ausgezeichneteä  Viereck  für  Drei- 
eck v^BT,  C8  gilt  für  sie: 


'tfo«"UVo  + 2  «)  =  "*-"* 


ffo«n(goH-2y). 


"n  («.  -I-  2  a)  =  —^"^ '-*'''     7.  sin  (V.  +  ^  /O  =  -^;-  -^ 
g,«nW.+2y)  =  !^iJ^ 


142 


SiUwtg  dar  wtifA.-fAy*.  Clasae  wm  ?.  Man  tSOe. 


n^  Vs    uud   /?„  V,    tr«[feu   B  C  \n  d«inseibea    Punkie  O^ 

lind  ttiiien  es  nach  dem   Verhältniä 


c\-o] 


Das  Panktepaar  G^^  G^  isi  also  harmoniscb  zum  Paar  B  C 

Kbtio^  findet  man:  Die  Sclinittpuuku;  (7?,  <?,,  /?,  9«)=  ffog 
und  (Ä,  Q^.  Ä,  Q,)  =  Gj,  lieRon  auf  CA  und  bilden  ein  har- 
luonisches  Paar  zu  CA;  die  Schnittpunkte  (F^  <^,,  7?,  <?,)=*  tf« 
und  (Ä,  Vf.  ^f  Vi)  =  ^if  liege»  auf  4  B  und  bÜden  ein  har-' 
moDitfcbes  Paar  zu  A  B. 

33.    Stellen  wir  die  Teil ungB Verhältnisse  auf  den  Seiten  von 
ABC  durch  die  Punkte  Q  Ql>er3ichtlich  xutjamtnen.  m  kommt: 


BGm        «1-0?    «i-«1 


BG, 


Ö«,C 

°i 

»» 

G„C 

CG« 

"?- 

"5, 

.^ 

»7 

"?= 

ce„ 

0«.'» 

". 

ö,.x 

>*o« 

"': 

«1 

— 

"■  = 

-4Ö,. 

ö«,ä" 

"s 

e„A 

Drei  Punkte,   bei  denen    das  Produkt  der  TeiUerb&lt 
gleich  —  1  ist,  liegen  aber  in  einer  Geraden  und  es  ist  G^^=^  G^^^ 
also  finden  vir,  die  Punkte 

G..G»Ö„ 


G«  e„  0„ 


liefen  je  in  einer  Geraden  uder:  Die  drei  Panktepaari 
G^^  nud  G„,  G^  und  &„,  0^^  und  (f,,  sind  die  Otrg«n- 
eck<?n  paart*  eioea  Tvll»landigpn  Vi«rieiU,  die  SeiUn 
BoUen  heioMn  ^,  g,  y,  p,. 


H'.  Goät:  Vfhtr  den  FeHerba^*»dieu  Krei». 


143 


34.  Die  Schnittpunkte  von  BC  mit  J^J^  u./,«^,  heiasen  //„,  m.  Ff^^ 
»  •  •    Cil    ,  JffJj  ,  t/./j       ,      ür„  „  //,, 

Wir  finden  dann  folgende  Werte  ron  Doppelverhältniseen : 
{CA,  G^HJ  =  (CA.  "„««)  =  -3^-J 

S  8 

(A  B,  G^  //„)  =  {A II,  G,,  nj  =  -  °1^; 

3^  wie  bieraus  folgt: 

(B  C,  Ü,,  W^)  =  (C//,,,  ^  G^O  =  (4  G^,  //»,  B) 
^  {B  a  G„  B^,)  =  {C  H^.  A  ö,.)  =  {A  G\,,  Zr^  B) 

Ahm  den  zahlreichen  geometrischen  Be/iehvingen,  die  hierin 
'alecVen,  greifen  wir  nur  eine  heraiiB.  Die  Pnuktreihen  BCG^^H^ 
nnd  B Hj^Gq^ä  «iud  projektivi'jch  und  weil  sie  das  Element  B 
ontBpreehend  gemein  haben,  perspektivisch  und  xwar  Ober  •T,, 
also  geht  die  Gerade  Og^  G„  durch  ./,.  Fflgon  wir  die  ent- 
sprechenden Schlösse  hinitu,  bo  ergiebt  sich: 

Die  Seiten  go'JtOt^fi  ^^^  Vierseits  in  33.  geben  be- 
zOglicb  durch  ^a'^t'^t'^t- 

Dabei  ordnen  «ich  die  Strahlen  ff  so  ein,  dasa  mit  leicht 
verstand  lieber  Bezeichnung  die  Strahlb  tisch  el 

/„  {A  B  Cg,)  7\JAAB  Gg,)  ?\J,{AB  Cg,)  7\^^{AB  Cg,) 

projektirisch  sind. 

35.  Unter  Benutzung  von  4.  kann  man  die  Lage  von  72' 
gegen  ABC  ausdrucken  durch  die  Proportion : 


riaM-Ä'):»in(B-Ä'):«in(C     Ä') 


aj-oj    öj^oj   al-ol 


144  Sitsunfj  der  maÜt.-phj/M.  Ciaw  vom  7.  Siärz  99911, 

Ziehen  wir  uiin  hier  uocb  die  Gleiobung«n  in  33.  hintu, 
80  Bndeil  wir  leicbt  die  geonieirüche  BeziebuDg: 

Die  drei  Krei«e,  die  Aber  den  Strecken  Gp,  G^  nnd 
Gf^^G^^  und  G^O^^  als  Durchmessern  errichtet  werden 
und  daher  zu  O  orthogonal  sind,  herflbren  sieb  gegen- 
seitig in  einem  Funkte  und  £war  in  R*. 

Bekanntlich  bilden  die  Gber  den  Diagonalen  eines  Vteneit 
als  Durcbmeeser  geschlagenen  Kreise  im  aUgeroeinen  ein  BÜMibel 

mit  getrennten  Onindpunkten,  aUo  haben  wir  hier  eine  charak*J 
teriätische  £igent>cbaft,  durch  die  das  Vierseit  der  g  sich  au^' 
zeichnet. 


in.   üeber  das  Sieiner'sche  Büschel  dritter  Klasse. 

30.    Der  Funkt  72^  ist  nur  ein  ganz   bestiniintcr  tod  deBI 
vier  Fenerbacb^schen  Funkten ,   die  dem   Dreieck  -4^  B*  F*  zo- 
gehören.     Wie   dieser   aus   dem   Dreieck  ^BT  abgeleitet 
ebenso  würden  wir  die  drei  anderen  ans  den  Dreiecken  BFJ^^ 
r J A,    J AB  erbalten,  wenn  J  der  Huheo^hnittpunkt   tüu 
A  Bf  vA.    in  der  That  haben  wir  das  analoge  Verfahren  acboH 
bei  Dreieck  A  BF  eingeechlageu  and  seine  Tier  Feaerbach'a 
Funkte   aus   den  Wer  in  J^J^J^J^  enthalteoeo  Dreücken 
springen  lassen.    Gleiche  t'eberleguogen  künnea  wir  aber  aock] 
auf  die  Dreiecke  A*  ß*  F*  and  sofort  and  rflckwirts  auf 
der  Dreiecke  /,*',/|.  ^»♦'»•'«,  A'^ö'^ii  ^t^i^t  ^^  **  fort  ao-"] 
wenden  ond  werden  so  veranlaait,  eine  Keihr  Ton  rollfliadigea' 
Vierecken  ins  Äuge  zu  haseo,  die  im  allgemeinen  rorw&rts  and 
rQckwixts   ins  Unendliche   rerlängert  werden  katto,    bei  jede 
Schritte  Torworti  «ndeutig,  rUckwärts  vierdentig    Dir  Dis 
eelmi  aller  dieser  Vierecke  liegen  auf  0  und  die  Mitten  ds 
je  aedis  Seiten  ebeoColla.    Sind  UV  H'drei  Funkte  Ton  0», 
deren   Parameter  die  sänmme  Null    bab«a,  so  sind  die 
drei    Paar    Winkelhalbierenden    des    Dreieck«    VVW 
die  drei  Paar  Gegenseitao   einet  solchen  TollstAadigei 
Vierecks, 


W.  (Ml:  Udfer  tkn  Fm 


145 


37.  Jede  Seite  ^inw  der  roUatändigen  Vierecke  m-hiieidet  <D 
in  £w«}i  PuiiUtcn.  der  eine  int  die  Mitte  der  Seite,  der  andere 
ihr  Schiiittpuskt  mit  der  Qegentieite  und  zwar  stehen  b^ide 
Seiten  senkrecht  •/«  einunder.  Sind  die  Purameter  der  Punkte 
hw,  N  und  y,  so  ist  jedesmul  2  m  -j-  v  ^=0  falls  Ranze  Vielfache 
Ton  flf  wie  es  hier  erlaubt  ist,  vomnchläasigt  werden.  Ga  ge- 
hören daher  die  SoitfHi  aller  der  vollständigen  Vicr- 
ucke  «inein  und  deniselben  liestimniten  Strahlbatichel  ^ 
an«  al»  detiäen  Gleichung  in  Kreiskuurdinuteu  man  die 
Gleichung  2u-f  v*-0  auffassen  kann. 

Niit'h  9.  winl  das  Büschel  ^'  durchlaufen  von  der  Geraden 

X  cos  u  —  ysintt  =  co8  3« 

wenn  man  u  sich  ändern  lät»t.  Da»  BMschel  ist,  wie  die^e 
(iteicbung  lehrt,  von  der  dritten  Klasse  oud  nicht«  andere« 
aU  die  von  St«iner  behandelte  besondere  Kurve  dritter  Klas«« 
und  vierter  Ordnung,  vgl.  Steiner'«  ge*.  Werke  Bd.  11,  pag.  »541. 
Die  a,  a.  O.  mitgeteilten  Eigenschaften  des  B(i»cheU  ergeben 
«ich  hier  grossenteibt  von  selbst  und  sollen  so  weit  nicht  wieder- 
holt werden.  Die  Pole  der  ^^trahl«n  von  £  beKÜglieh  <D 
bilden  ein«  Kurve  dritter  Ordnung  mit  isoliertem  Dop- 
pelpunkt im  Mittelpunkt  vnn  tf*.  deren  reelle  Wende- 
punkte auf  der  unendlich  fernen  Geraden  liegen. 

38  Sollen  drei  Strahlen  des  Bo^icheU,  deren  Mitten  di« 
Parameter  m,  w,  m,  haben,  durch  einen  Punkt  gehen,  ^o  iiit  dio 
Bedingung  dafllr: 


CO0M, 
00««, 


am  u, 
sin  u. 


008  3  u. 


0O8U, 


sin  Wft       coB  3  ai. 


=  0 


Tie  liukh  sU'hende  Determinante  geht  durch  S[teuuli»ierung  der 
Duterminant«  ^  in  13.  Kanäclist  Über  in  den  Aoädnjck: 

—  2  {  an  (•*, -I- 2  «,)  sin  («, -h  2  «,)  «n  («, -h  2  «,) 

-f  Bin  (—  2  •*,  —  »,)  ein  (—  2  •«,  —  «,)  sin  (~  2  «,  —  «, )} 
IM.  MiOL-pkT«.  Ol.  I.  10 


148 


Siteun</  tirr  math.-pKj/ß. 


Man  itm. 


Ü&t/.:  li^t  diu  Summe  iler  Parameier  von  drei  Htrafalen 
in  2'  ein  Vielfaches  von  n,  ho  gehen  die  drei  in  ihren 
Berührungspunkten  errichteten  NurmnUn  durch  «iiitiii 
Punkt 

41.  Der  Strahl  a  de.<<  Büi»chels  ^^  deieen  Mitte  und  Scheitel 
in,  und  f^  also  die  Parameter  a  und  — 2a  haben,  wt-rd»-  »..m 
Strahl  u  iu  p,  geschnitten;  so  ist  nach  4. 

nit  p^  _  _     Mnjtt  —  «Jain  {a  4"  2  m) 

p^^^  ~      &b{    ~2b  —  w) dn  (—  2« -j-  2«) 

Bin  (a  -{-  2  «)  nin  (a  +  2  u) 


2  ein  ( —  2  o  —  ii)  cos  (o  —  u)      —  »in  (a  +  2  u)  —  «n  :( a 

mithin : 

ra,j),  ^  wn{o  +  2ii) 


sin  3tt 


Rechnen  wir  nun  Ab&tüiide  auf  dem  Strahl  a  positiv,  wenn 
für  in  deui  Sinn  xu  nehmen  ^ind,  der  ihm  nach  R.  uht  Lmif- 
ütrahl  zukommt,  so  wird  m,  f ,  =  —  2 -«in  3  u  mid  dnhtr 
TOjp,  s«  2  «in  (o  4- 2  m).  Lassen  wir  n  =  o  werden.  «)  rückt 
p,  in  dt?n  BerUhrun^punkt  t,  de^  Stralile^  a,  dabei  wird 
m,  t,  ^2HiD  3a:  Scheitelpunkt  und  Bernhrunßspunkt 
eine?  Strahle?  liegen  gleich  weit  ron  neiner  Mjtt<>. 
Der  mit  Strahl  u  ein  FWr  bildende  Strahl   gehOrt  zum  Piirn- 

met«r   u  :£;  n^-     Jedes    Paar    Hchneidei    also    auch    Jedru 

.Strahl    von  Z  in   xwei    Punkten,    die   gleich    weit    von 

»einer  Mitte  abstehen.     Insbesondere  ftind  auch  die  Schnilt- 

Lpunkte  deä  Strahles  a  mit  dt*r  Kwrre  ^  von  der  f^hichen  Art, 

sie  werden  auKgenchnitten  ron  dem  Paare   mit  den  Para- 

auAem  —  a  -\-  r  und  —  =  —  -r  oder  mit  anderen  Wurten:  Die_ 
«4  ^4 

Kurve  2*  schneidet  aus  jeder  ihrer  Tangenten  ein  Sttt< 
von  der  gleichen  L&nge  2  heraus,  der  Halhierungs- 
punkt  rleK»4^lh*in  liegt  auf  (P  und  ist  der  iiU  Mittv  des 
Strahle     bczfichuete    Punkt,     die    Tangenten    in    den 


U^wr  ätn 


bMM.i&tfct, 


i4d 


Schnittpunkten  bilden  ein  Paar.  Allt^emeiner  eri^iAht 
sicti :  Stohen  zwei  Punkte  eines  Strrthles  a  von  ^  >(leich  weit 
Tun  M*iQer  Mitte  Ab,  ao  gehen  durch  jeden  noch  zwei  weitere 
Strahlen  de»  ßfiiicheU,  die  zwei  Paare  bilden,  sie  beatinimen 
aiiswr  ihren  Schnitzln  noch  zwei  weitere  Schnittpunkte  tind  die 
Gerade  durch  die^e  beiden  ist  aticb  ein  Stniht  von  2*  und  bildet 
mit  dem  Strahl  a  ein  Paar.  Oder:  Durch  jeden  Punkt 
flehen   drei  Strahlen   von  £,   nimmt   man   die  drei  mit 

inen  Paare   bildenden    binxu,  so   hat   man    die  Seiten 

IneH  rullständigen   Vierecks. 

Die  drei  Paar  Winkelhalbierenden  jedes  Dreiecks  A.^B'C* 
in  29.  bilden  je  ein  solches  Viereck. 

■12.  Die  (ileicbun);;  m,  p,  =*  2  sin  (a  -f-  2  u)  der  vüriReu 
Xiimnier  tässt  bei  variablem  tt  den  Punkt  p,  naffiuMen  »\a  Pro- 
jektion eines  anderen,  der  einen  Kreis  mit  dem  Itadias  2  durch- 
läuft.    Dies  fnhrl  zu  folgender  Üeberlegunj?. 

Kfl  seien  a  ß  y  drei  Parameter  und  zwar  a  -\-  ß  -\-  y  =  0, 
so  legen  sie  auf  0  drei  Punkte  m,  m,  m,  fest,  Z.,  L^  Lg  seien 
die  f^trahlen  des  ßascheli«  2  in  dem  Sinne  alti  Laufstruhten  ge- 
nommen, wie  er  durch  die  Kreiskoordinaten  a,  — 2  a  bezw. 
ß^  —2ß  und  y,  — 2y  vorgeschrieben  wird,  ihre  Schnitt- 
punkte i,  i,  iy.  Dann  sind  m,  m,  m,  die  Seitenmitten  fQr  Drei- 
eck lii,t|,  denn  nach  voriger  Nnmmer  ist  m,  t,  =2sin(a-|-2/) 
und  m^  i,  =  2sin  (a  -|-  2^),  also  m^  i,  |-  m,  i,  =  0.  Legen  wir 
durch  t|  i|  ig  deii  Kreiu  £1,  so  hat  er  den  EUdiiw  2  und  wir 
können  vermOge  des  gemeinsamen  Schwerpunkt»  der  Dreiecke 
Uljin,  m^  und  i|  i,  ig  al»  Aehnlicfakeitspunkt  Über  die  Punkte 
von  JQ  eine  Parumetervt?rteiluug  vornehuien,  bei  der  i^  («  i«  >i>e 
Parameter  aßy  erhalten.  Verschieben  wir  nun  einen  Lauf- 
tttrahl  parallel  mit  sich  von  L^  aus,  bi.i  er  0  mit  Uebereiu- 
«timmung  im  Sinn  berührt,  so  bat  der  BerOhrungapunkt  in  <2> 

den  Parameter  —  ^,  ver^chiebra  wir  ihn  aber,  bis  er  fl  ein- 
stimmend berührt,  so  hat  der  BerührungApunkt  iu  ü  den  Para- 
meter —  A  "h  Q*   Nehmen  wir  also  in  Q  irgend  einen  Punkt  P 


mit  d«iD  Parameter  m4'ö'«  ^  '^^  ^*'  Bogen  vom  BerOhniii),^ 
paaktii  bis  F  gleieb  a-^'Zn  und  für  p^  als  FtuBpookl  dos 
Um  /*  »af  X|  gsAUtea  Lot«  m.p,  ^2iiii  (a +2m),  aucli 
^dtm  Simn  dttch.  Da  «a  sieh  bei  den  voa  i*  aaf  L,  and  X^ 
Jkeo  Lokefl  inii  den  Puaspunkien  p,  mul  p,  entsprechend 
ferb&lt  und  also  p,  p,  p^  '^^^^  ^1*  ^^  äcbaittpnnkte  von  L^  t^  L^ 
out  dam  Strahle  n  von  £  sind,  ao  haben  wir  liiennit  die 
Sieifier'aehe  ErxeoguuK  von  2  gefanden.  In  Anl&hBufifc  an 
§t«iner*ä  Wort«  können  wir  erweiternd  aa»fpre<chen : 

Pitti  man  aus  jedem  Punkte  i*  in  der  einem  Drei- 
eck nmbescbrtebenen  Kreislinie  aof  die  Seiten  Per- 
pendikel, «o  liegen  die  Je  drei  Futspankte  allemal  in 
irffend  einer  Geraden  G  und  dieae  Geraden  G  bilden 
ein  Ba»chel  £  dritter  Klasse  and  vierter  Ordnung- 
Daftselbe  kann  auf  die  gleiche  Art  ans  od*  vemchi«- 
daoen  Dreiecken  abgeleitet  werden.  Die  Seiten  mitten 
der  Dreiecke  bilden  eingeschriebene  Dreiecke  in  9. 
Aas  einem  erzeugenden  Dreieck  kann  man  die  Gesamt- 
heit aller  ableiten,  indem  man  bei  seinem  Seiten- 
uittendreieck,  w&hrend  die  Ecken  desselben  anf  0 
bleiben,  je  eine  Seite  lur  Zeit  mit  «ich  selbst  parallel 
beliebig  verschiebt. 

4ä.  Wir  decken  ans  ein  Ihnlicfa  verinderlicht-f  ebeue» 
^yviem  SU  bewvgt,  das  xwet  seiBer  Paukte  bca.  mit  der  Mitte 
ud  dem  Scheitel  eines  Strahls  von  S  ausammenfsnea,  wihmid 
disaer  das  BOscbel  darchlftaft.    Üeber  die  drei  kritwehoa  Lagwn, 

in  dnea  Mitta  oad  t^dwifeil   iimw— nfclliii ,  hwlia wir. 

dM  dM  S^ndam  giefahw—fig  ihaBdi  {SndJty  otaanr)  bUtbcii 
soll.    Die  Kormelo  wardea  £ea  von  aaBbai  naeh  sich  neben. 

Der  Stnhl  a  von  JT  hat  die  GWtchaag 

IChrtesachen  Koocdinalepaeiiier  Mitte  ■aadcaaaimMidan  2  a 
seino  t^chiritel»  •    ,    oas4i»,-«in4« 


W  Qodt:  Üthnr  den  Faur^Mth'Mchsn  Krtü. 


Eine  Gerade  des  zum  Strahl  m  ^ßhclrigpa  Systems  ist  be- 
-itirnrnt  durch  den  Winkel  6  gemesHon  xom  Strahl  xur  Geraden 
und  dafl  Verhfiltnid,  io  dem  sie  die  Strecke  vun  m  nach  %  tuilt, 

«ei  gleich        und  dabei  sei  m  -f-  «  =  1 ,  dann  «ind  die  Car- 

tomchen  Koordinaten  des  Teilpnnktä 

m  00«  2  »  -^  n  cos  4 II     bez.     m  sin  2  «  —  n  sin  \u 

Eine  Uerade  falle  xiinächst  auf  den  Strahl  m.  Wir  drehen 
Rte  iini  den  Punkt  m  um  den  Winkel  d,  »n  werden  ihre  Kreia- 
kiMjrdinaten  u  und   —  2  m  +  d,  ihre  Gleichung  also 

^^^         X  cos( —  M  -j-  d)  -|-  ysin( —  «  -|-  d)  =  cos  (3  u  —  d) 

^^B       Nun    verschieben    wir   sie    parallel    bitt  zum  Teilpunkt,    m 

■  fällt  «ie  in  die  Syatemgerade  und  deren  Gleichung  wird 

I  2CCKi(*tt-f  d)-f  ysin(-M+d)  3E=  (mcoa2u+Ncos  4«)coa(-u+d) 

H  +  (m  sin  2  M  -  n  sin  4  u)  sin  (-  «  +  d) 

H  oder  einfacher : 

I  xctw(-  M  +  d^  +  ysin  (-  w  +  d)  =■  mcos(3«  -  d)  +  fi  co»  (;3  tt  +  6) 

■  ^  coB  3  M  c«  d  +  (w  -  n)  bin  3  M  sin  d 

H  Oieoe  Gleichung   lädät  eine  einfache  geometriiiche  Dciitung 

y     XU.     Wir  können  eine  positiTe  Zahl  f  und  einen  Winkel  9  üu 
bestimmen,  daM 

00a  d  =  /"coe  9>  (m  —  n)  sin  d  =  /"sin  y 

dann  wird  ade 

xco8(— «  -f-^  H-yMnC—  »*  -f  <0==/'coa(3«  -  y) 

Wir  denken  uns  nun  wieder  pine  Gerade,  die  zuuäehst  mit 
dum  Stnüi  1  u  ziujini menfal  1 1 .  D reheu  wir  dieselbe  n m  da» 
Centrum  von  0  um  den  Winkel  9^  ao  werden  ihre  Krda- 
koordinaten 

«H-^-^     nnd     -2«4-i*, 

tbrii  Gteichang 

« ooa  (- u  +  ^) -|- y  sin  ( —  u -f  ^)  =  ooB  3  M 


152 


StfXKHjT  der  math.-pkjf».  OtoMt  «■  7.  Mttn   tf9tt. 


TransformireD  wir  «e  nun  durch  f-hxhe  VergriiMienaiii? 
vom  Centram  atu,  iio  wird  ihre  duul>  Qleicbung 

X  coi  (—•* -f  Ä)  +  y  am  (—«-(- ^)  =  /■•«•  3 «» 

und    führen  wir  hier  einen   neaen  Parameter  w  ^  w  —  £ 

m  kwnint 

Die  hierdurch  dargestellte  Gerade  erwugt  bei  nDrenitidvr- 
liebem  u  daäselbe  HtrahlgebiJde,  wie  die  SyetemKerade  bei  tui' 
▼eränderlicbein  u.  wenn  nur  3|s™  —  ip  und  ^-|-*=sd  ge- 
macht wird.     Daa  heiMt: 

Bewegt  sieh  ein  nhTilieh  Teränderliche»  ebenei 
System  in  der  angegebenen  Weise,  so  dorchliafi  Jede 
ninzelne  Gerade  des«elbeii  f^in  Büäcbet,  dan  mib^  ähn- 
lich i.-<i,  alle  so  erzengien  ßQschel  haben  dax  Centrum 
TOD  0  zum  gämoiuHumeu  Duppelpnnkt.     Die  Vor- 

grösserung  ist  /",  die  Drehung  d  —  ^9. 

In  dieaem  !Sat»e  t^ind  frQber  aufgefundene  Beziehungen  aU 

beeoud(u-e  Fälle  enthalten.     För  d  =■  —  und  8=1»  wi  =  f *  er^ 

gieht  sich :  Die  f.u  den  Strahlen  des  KOschel«  X  je  im  Scheitel 
errichteten  Normalen  gebOren  ebenfnlU  dem  BOschel  an,  vgl.  39. 

Fdr  ^^.y  und  w  =  2,  «=sl  ergiebtsich:  Die  sn  den  Strahlfo 

de«  BtlnchelB  2"  je  in  ihrem  BernbrungHpunkie  errichleten  Nor- 
malen,   d.  L  die  Nurmalen  der  Kurve  £^    bilden  ein   ähnliche 
BdAchel,  da»  gegen  £  dreifach  vergrTimeri  und  um  180"  geilret 

iat,  vgl.  40.     Fttr  d^^,  m^O  ood  n^  1  ergiebt  sich:  Die 

EU  den  Slralilen  dm  BOschels  S  je  in  der  Mitte  erricbleten 
Normalen  bilden  ein  kongruentes  Btbchel,  das  gegen  £  am 
180*  gedreht  ist.  Mau  beachte  (tbrtgcas  du»*  wegen  der  Gi— 
•talt  dee  BUscheb  die  Drehangen  hier  alle  um  gaose  Vii?lfachf> 

Ton  -,    gcAndert  werden  können. 


oer  den  Feuefbatfh'ßt^n  Xrei*, 


IfiS 


14.  Kk  lit^t  nulle  zu  l'raf^en,  welche  Kiibtipii  Ihm  tk-r  i*bHU 
betrachtete!]  Beiref^uiig  die  ein^eluen  Punkte  des  ähnlich  ver- 
äaderliohtrD  ST8t«niB  durvhlaufen. 

Wir  kennen  di»  Laffe  eines  Systunipunkte^  Htirch  die  beiden 
Winkel  d  und  «  anheben,  um  die  man  eine  Gerade  von  der 
^11)^  doa  8tnihlu  u  von  S  aus  um  tn  oder  0  drehen  uiu&s,  bis 
durch  den  Punkt  geht.  Fflr  die  Koordinaten  doa  Punktet) 
flnden  wir  dann 

X  «in  (^  —  £)  =3  «in  d  co»  (2  «  +  «)  —  äii «  cos  (4  «  —  3) 
ff  «in  (d  —  «)  ^  siü  d  sin  (2  «  +  «)  +  sin  e  «in  (4  «  —  d) 

Wir  denken  iinR  nun  um  den  Anfun^^nnkl  de»  Koordi- 
naten*>y-<t«niä  einen  Kreiä  mit  dem  Hadiu^  r,  rollen  auf  meiner 
Innenseite  einen  Kreis  ab  vom  Ilatlius  ^  und  verfolgen  die  Hahn 
oinw  mit  diesem  Kreise  fest  verbundenen  Punktes.  Derselbe 
«oll  im  rollenden  Kreise  die  Polarkoordinaten  ü,  a  hnben. 
Seine  Koordinaten  iverdon  dann   bei  pa:sscnder  Anfangslage 

■■{r  —  q)  cos  (p  -\-  (icosla  —  — "  ^  j 
:  (r  —  e)  üiu  y  -i-  0  «in  [  o (p\ 


y 


Uiewa  Uleicbungun  f;ehen  iu  die  vorigen  ülwr,    wenn   umii  tiirbet 


2  sin  (ä  —  ä)" 


o  ^ 


am  t 


?r  4-  d  -f  2 1 


[)a  ba  nicht«  aufmacht  fOr  den  Systempiinkt,  wenn  d  oder  « 
um  n  vergHVfwMfrt  werden,  m  kann  man  auch  immer  r  und  a 
positiv  macheo. 

Bewegt  sich  ein  libniich  veränderliches  ebenes 
äjstrm  in  der  angegebenen  Weise,  so  durchläuft  jeder 
einzelne  Punkt  de^isulben  eine,  im  allgemeinen  ver- 
längertt>  oder  verkürzte,  tlypo/.ykloide.  Bei  allen  ist 
der  Kadias  des  rollenden  Kreises  ein  Drittel  vom  Ka- 
liuB    des    Cirundkrci»eü,    div    ürundkreise    sind    kon- 


VA 


fülgHttg  lUr 


«r  tvm  7.  Uäre  18 


xentrjsch  mit  0.  Alle  so  erhaltenen  Hyjjoxvklifiden  ge-lu^ti 
durch  dieselben  drei  Pnnkte,  die  Scheitel  der  Kurve  Jf.  wtiU'be 
ein  gleich-zeitiges  Dreieck  mif  (P  bilden. 

IiisbeäODdere  ist  die  Bahn  ein«9  Sy>t«nipDukti»  der  Kurve  ^* 
ähnlich«  wenn  Hin  d=:  2  sine.  d.  h.  wenn  er  einem  gpvriwHii 
Kreise  angehört,  dem  Ort  der  Punkte,  deren  Abstände  vun  m 
und  9  sich  verhalten  wie  1  : 2.  unter  diesen  Punkten  xeicbneu 
sich  die  aus,  die  auf  dem  Strahl  u  selber  liegen.  Der  eine  ist 
der  Berlibruugspunkt  und  durchlauft  £  itelber.  Der  and*tre 
teilt  m  9  nach  dem  Verbültnü  l  :  2  ionen,  wir  erhalten  »^eio« 
Bahn,  indem  wir  d^n  —  2e  und  c  unendlich  klein  «etxen; 
nie  ist  gegen  die  Kurre  S  dreimal  verkleinert  und  nm  180* 
gedreht. 

45.  Wir  betrachten  zwei  ähnliebe  Systeme  bestimmt  durch 
die  Mitten  und  Scheitel  der  Strahlen  u  und  v  ron  £,  die  m,  ^^ 
und  m,  0,  beisscn  m5gen.  Zwei  enUprechende  Geraden  der 
.Systeme  haben  nach  43.  die  Gleichungen 

xcraC-  u-f  d)+yBin  (-u  +  dt  »9  0o«3i«oosd-|-(fN-ii)eüi  3M«ind 

beziehungsweise 

X  CO«  (- p+ d)  +  y  sin  (- n  +  iJ)  ^  cos  3  e  CO»  <5  +  («  -  n)  »in  3  c  sin  d 

Werden  die  Sjstemgenulen  entsprechend  parallel  Tcrnchoben, 
ao  durchläuft  ihr  Schnittpunkt  eine  gewiftte  gerade  Linie.  Die 
Gleichung  derwiben  entspringt  dnrch  Klimination  von  (m  — »>. 
Formt  man  sie  passend  um  nud  führt  eine  Gröase  w  eiu  durcfa.j 
die  Gleichung 

■0  kann  man  ne  «chreiben: 

*  (coe  (2  »» -f  d)  4-  «»  (2  r  -|-  J)  +  00»  (2  w  -h  *)) 
-t-  y  (nn  (2  «  -f  ^  +  nn  (2  e  4-  ^  -f  nn  (2  «r  -f  d» 

AD  C«  —  9} 

Aeodert  sieh  d,  ao  ättdeit  neh  aoch  dieae  Gerade,  an4  xwar 
dreht  Nie  sieb  d»b«  um  aiiiao  fortan  Punkt,  den  Doppelpunkt 


viMrrnafl 


xrtu. 


1S5 


der    Keidon    ähnlichen  Systeme.     Der  Doppotpunkt   Ut  tiltto  Her 
Schnittpunlit   /.weier    besomlereu    Holuheii    Gonuleii,    tlcrcn  Ulci- 
cbnnK<-D  ■'■ind: 
der  einen 

sin3(«-f) 


sin  (m  -  w) 


0 


a;(co6  2M+cos2t;+co82  «;)+»/( sin  3M+3in2p+sin  2») 

der  anderen 
X  (sin  2  H  -I-  zgn  2  0  +  sin  2  v)  -  j/  (coh  2  w  +  coe  2  0  -f-  cor  2  it) 

Beide  stehen  seDkrecbt  »u  einander  und  die  zweite  ij^bl 
urch  den  Mittelpunkt  von  CP, 

Die  Symmetrie,  mit  der  die  Grössen  H,  v,  w  in  die  Glei- 
chun|;en  eingeben,  veranlaflst  die  gleroh/^ifcige  Betrachtung  dreier 
ähnlichen  Systeme,  die  durch  die  drei  Strahlen  u,  v,  w  von  S 
bf^f^tinitni  sind,  wo  u  -f-  r  -f-  tc  ^  0.  Mitt«'  und  Scheitet  des 
dritten  Strahles  mägen  nt|  0|  »^in.  Bilden  die  Strahlen  das 
Dreieck  1,  i,  I,,  ^  sind  nach  Frflberent  die  m  und  6  die  Seiten- 
mitten und  HöhenfuAspunkte  desselben. 

Wir  fragen  zunächst,  wann  drei  enUprechende  Syatein- 
gerwlen  durch  einen  Punkt  geben.  Bet^timmen  wir  dieselben 
wie  in  43.  durch  m,  n,  d,  w  ergiebt  ^icb  die  Bedingung 

C0B(-M+d)     8in(-u+d)     co83ucoed+(ifi-«)sin3«öind  ( 
co»(— p  +  d)     jrin(-«?  +  J)      cos ;:t r» cos d +  {m-n) sin 3» sin <J  \*^\} 
OQi(-w+d)     iftQ(-w+<J)     cos3wcüsd+(m-«)8in3i<?HiniJ  I 

Mit  Hälfe  der  Identität  in  38.  lääet  sich  die  Detemiinnntv 
links  anders  schreiben.     Man  erhält  für  sie 

Dfttemiinaiit«;  =  i  sin  («  —  v)  jnn  (v  —  tc)  sin  (ti?  —  «) 

{cos  («  -|-  p  -|-  »)  CO»  d  +  (m  —  n)  Äin  (m  -h  t>  -|-  w)  sin  6] 

Wir  woUen   nun   hier  nur  den   besouderen  Fall    im  Äug« 
ehattiM),  wo  u  +  p  +  iomO  ist    Da  ergiebt  sich  al.10  owd^O 
nnd  flir  die  Ko<jrdinaten  de*  betreffoiden  Schnittpunktes  ergeben 
flieh  die  Wert« 

(M  —  n)  (coe  2ii4~cos2v-f-cüe2i0) 
und     (w  —  h)  (sin  2  M  -|-  sin  2  i?  -f  sin  2  w) 


S^rmit  <<pr  mMtk.-fhf9.  ülant  mm  7.  Man  /8W. 

Kr  rlurrliläufl  die  Gemlc,  die  als  ECater^scbe  Ger»d«  d«e  Drei- 
eckü  1,1,(3  bezeichnet  worden  ist. 

Wir  kommeu  Hp&ter  auf  die  Pignr  curikk   und  fumttt 
iiätfhulv  f^metriscbe  Reenitat  in  den  Säte  xnounmen: 

Bedtimmt  man  drei  irleiehwetidig  ähnliehe  ^i^ynteoi« 
ffo,  da»<i  die  Seitenmitten  and  HöhenfuMpnakte  einr«'^ 
Dreieck»  homologe  Punkte  sind,  »o  gehen  je  drei 
homologe  Geraden,  die  so  den  Seiten  senkrerbt  «teheo. 
diirfrb  einen  Funkt.  Dieser  Punkt  durchlanft  dii 
Eiilfr'Kche  Gerade  des  Dreieck»-  Auf  dentelben  liegei 
auch  die  drei  Doppelpunkte  je  xweier  System«  und 
sind  rlie  Puaapunkte  der  ron  den  Ecken  des  Dreiecks 
auf  sie  gefällten   Lote. 

4ii.    &   iteien    m  <  I  Mitte  Scheitel   oiid    BerflhninKifpunkt 

oinet  StrahU   von  £,  so   ist    nach   41.  nit=s^-ft.     Geht  der 

Strahl  in  eine  benachbarte  Lage  Ober,  so  ist  also  das  von  m  t 
l>estrichetie  Dreieck  ein  Viertel  deti  ron  9 1  benttricheneo  oder 
ilat  von  8  I  bestrichene  Feld  ein  Drittel  des  von  m  •  be»trichrt]r«. 
Hicraiu  folgt  allgemeiner:  Wenn  ein  Strahl  das  Bfiscbel  ^* 
durchliiuft,  so  int  das  von  mt  bestrichene  StCick  eine« 
Zipfel«  ein  Drittel  ron  dem  durch  m$  besirichenen 
Stück  der  Kreisfläche  O,  ein  ganxer  Zipfel  gleich 
einem  Drittel  dnr  gunxen  KreiKfläche. 

Auch  die  Rektifikation  der  Kurve  2!  kann  man  leicht  an- 
schaulich ausführen.  Zwei  Strahlen  mögen  denselben  Böge 
run  eineui  Scheitel  der  Kurvu  bis  zu  einer  SpiUe  grnrchnc 
berühren  in  (  nnd  t,,  sich  Mchninden  in  p,  so  ist  mp-pl  'm,p*p6,. 
Hetxen  wir  für  den  Augenblick  mt^$^  m^9^=4^,  tp  =  j>, 
ptj  =  9.  alle  Längen  absfjlut  genommen,  no  erhalten  vir 

(*  +  pM2*  +  p)«(*,— 9)(2«,  -9) 
•»der     ^pt-^•^qe^  -fp"  — v'  — 2*«-2** 

aUo,  wenn  die  Sirahlem  benachbart  nnd,  p  nml  7  iin<*ndlich 
klein  werde». 


H^.  Oodt:   Ueber  den  Fenerludi^MAen  Krei».  157 

»-f-9  ist  ftb«r  dati  Hoffen element  der  Kurve,  also  beträgt  ein 
logen  (lor  Kiirvit   von  einem  Scheit«!   aus  gerecbnet  - 

der  Schnti,  die  0  von  der  Tangente  im  Endpunkttt  »h- 

schneidet,  ein  Bogen  von  einem  Scheitel   bis  xn  einer  Bpitze 
a 

=■  lUdieu  von  0. 

Man  folgert  hieraus  leicht  geometrisch  direH  oder  unter 
Hrnntznng  von  44.  Ende  und  (i bereinst immend  mit  43.:  Wickelt 
man  die  Kurve  2^  ab  bei  eineuj  Sebeitel  beginnend,  so 
istdicEvdIvente  eine  ähnliche  Kurve,  die  ihre^pitxen 
in  den  Scheiteln  der  ersteren  hat. 


TV.   Ueber  Steiner's  Punktquadrupel  und  Hyperbelnetz. 

47.  Jeder  Punkt  von  0  ist  Mitte  fiir  einen  und  Scheitel 
ftlr  zwei  Strahlen  van  ^',  Scheitel  eines  Paareä  nach  39.  Kommt 
dem  ^^cheitel  einess  Paaret«  ein  Parameter  — 2oe  eu,  »o  sind  die 
Oleichuiigen   meiner   Stnihlcn ,    denen    wir   die   Kreisle ounlinaten 

ü,  — 2  a  und  « -H  .t,  — 2«  beilegen  dürfen, 

xcoso  —  ysina  —  coa3ci  =  0 
und     *  sin  o  -|-  y  cos  o  -J-  «in  3  o  ^  0 

Diu  Produkt  diu»er  beideu  Oleichuugen  int  die  Gleichung 
dcK  Paares  und  Väsat  tnch  schreiben : 

(ar'  —  y»  4-  2  i)  «in  2  «  -f  (2  x  y  —  2  y)  eo«  2  a  —  sin  *»  a  —  0 

In  dieser  Form   gi'ben  die  Piutre   von  £  »Ich  in  erkennen 

aU  die  zerfallenden   Kegelschnitte  eines  Net7.cs 

A  (**  -  /  +  2  «)  +  /i  (2  4f  y  -  2  y)  -  v  .  1  =  <l 

Durch  rmfonnungQn,  wie  aieschon  wiederholt  vorgenommen 
irden,  kann  man  dieser  Gleichung  die  (iestalt  geben 

{£*  — y*  -P  2  x)  «in  2  (/)  4-  <2  djy  —  2  y)  CO«  2  <p 

^  «in  {4  o  -f-  2  9>)  +  üin  (4  /i  +  2  (f)  +  sin  (4  y  +  2  <;p) 

worin  o  -|-  /S  +  y  ^  0  wiii  soll. 


158 


Siunttg  da-  matK-pt^.  dornt  ram  7,  Man  ItfiC, 


Von  allfremmoretn  StAndponkt«  Ma  myritiii ,  berabeo 
di«  Eigentüiiilichlteiten  dieses  Netzes  tat  twtätrUä  llnsliadeB. 
Enit«iM  besitEt  es  die  projektiTisch  inrariaiite  Kigemuchsflf  eine 
Doppet^erade  211  enthalten,  daber  7yerßllt  ^ine  Jakobuche  Karr? 
in  eine  (ierade  uod  einen  KegeUchnitt;  xweiteo»  bat  e»  die 
meiriBche  BeMinderheit,  dawt  die  Ooppelgemde  die  noradGcb 
ferne  Gerade  der  Ebene  ist  und  daas  die  Doppelpunkte  der  In- 
volatioQt  die  tod  allen  Bflscheln  des  Net7^  i^leiciifirtrei»«  anf 
ihr  ftosfrescboitten  wird,  in  die  iroaginären  Kreispfiokte  fallen. 
die  Kreijipunkte  mnd  kooju^rt  fBr  alle  KegeiAcbnitt«  de^  Notuw« 
Hie  Jakohi-xclie  Korre  besteht  nug  dem  Kreise  (&  und  d«r  un- 
endlirh  fernen  4iera*len.  Der  Körze  wegen  bleiben  wir  iml»'^ 
bei  der  gewöhnlichen  metrischen  Auffas^^nngB'  und  Aimdmok^v 

48.  Ein  Blick  anf  die  tileichung  dea  Netzes  lehrt  aurnrt, 
da»  alle  Kegelaobnitte  dea  Xetzea  gleichaeitige  FIt- 
perbeln  nind.  Suchen  wir  den  Mittelpunkt  einer  der  Hyperbdn 
soff  so  finden  wir  für  aeine  Kvjrdinaten  die  Werte  ons  4  9* 
aad  — nnig>.  Der  Mittelpunkt  irgend  einer  Hyperbel 
dea  Netzen  lie^t  allemal  auf  <D  nnd  hat  daselbst  dvn 
Pnrameter  —  2^.  Alle  Hyperbeln,  die  dentielbDO  Mit- 
telpunkt haben,  haben  auch  dasselbe  Asymptotenpaar» 
seine  Gleichung  wird 

(j^  —  y»  +  2  x)  «in  2  y  +  (2  xy  —  2  y)  CO«  2  qp  —  «n  6  V«  0 

d.  b.  die  Asymptotenpaare  der  Hyperbeln  sind  die  Paitre 
von  2V) 

Bildet  man  die  Gleichung  der  Tolaren  eines  T*unkte6  ron  0, 
■o  ergiebt  mcb: 

Die  Polaren  eines  Punktes  von  0  bexriglicb  &ller 
Hyperbeln  des  Netxes  sind  parallel  mit  dem  Strahl 
Ton  £,  der  in  dem  Punkte  «eine  Mitte  bat. 

Diejenigen  Hyperbeln ,  die  durch  den  Punkt  geh«m«  b^ 
rQhreu  ak»  ebenda  den  Strahl  itsid  «ich  gv-^ndtdiig. 


')  lUn  kann  aluo  «agoa:  £  üt  di*  Oajler'tclio  Karre  d« 
Ntteca,  Tgl.  Cramoaa  a.  a.  O. 


Hjrp«H>«|. 


W.  Godt :   Heiter  tUn  Feuei^iach'Achrn  üfri-w. 


159 


49.  Denken  wir  uns  in  (ier  Gleichunf?  einer  der  Hyperbeln 
o,  ß^  f  feät  jj^ewiihlt  nnd  <f  veründerlich ,  so  Jnrchi&nft  :4ie  ein 
Bfischel  mit  Wer  festen  i_irundpiinkt«n.  Diese  sind  leicbfc  näher 
isu  bf^immen.  Wird  nämlich  z.  B,  7»  =  o,  so  wird  die  Olm- 
chuu}(  vermü^^e  a  +  /?-+-  jf  ^  0  xu 

(**  —  y»  +  2  ü)  sin  2  a  -f-  (2  JJ  y  —  2  ^)  cos  2  a  =*  sin  G  a 

nnd  diiüs  ist  nai?h  47.  die  Gleichung  eines  Paares  von  2*.  i>i>' 
driri  7.errallendi*n  Kef^elachnitte  des  BüBchelii  bestehen  also  ans 
den  drei  Haaren  von  Z,  deren  Scheitel  die  Parameter  —  2  er, 
—  2  /?  und  —  2 ;»  haben.  Die  drei  Scheitel  bilden  da»  Polar- 
dreieck der  KegeUchnitte  de«  Hfl^chels  die  vier  tirundpuokt« 
ein  Quadrupel  nach  Steiner.  Irgend  zwei  Hyperbeln  des 
Netze«  achneiden  sich  allemal  in  einem  Quadrupel; 
irgi^nd  xwei  Quadrupel  liegen  allemal  in  einer  Hy- 
perbel des  Netzes. 

Die  Koordinaten  der  Funkte  eines  Quadrupels  sind : 

X,  ^  -  coi»2a  -t-co9  2y*4-co»2j'  x^  =  cos 2ö  — 0082^+0082}» 
i/j  t=  -  iiin2a-f  sin2/j-('sin2>'      Vf  =  «iti2o  —  8in2^ -|-sin2)' 

«,  ^coe2a-|-cos2/J  — coa2y  x^,  =  coaSo— cos2^— ooft2y 
y,  ^sin  2a-f^'n2^  — sin  2j'       y«  ^^      »iu  2a -an  2)5     ßin2y 

Kflr  roelle  Werte  von  a,  /J,  y  sind  auch  alle  vier  Punkte 
dos  Quadrupels  reell  und  verteilen  «ich  auf  die  vier  Felder,  in 
die  das  von  der  Kurve  2*  eingeschlosnene  Gebiet  durch  <P  «er- 
legt wird.  Aendert  sich  ein  Punkt  eines  QuadrupelSf  so  ändern 
«ich  die  andern  utit.  Die  genauere  Verfolgung  der  tiabei  ein- 
tretenden Verhältnisse  wHrde  in  ein  vom  näheren  Ziel  die«jr 
Studie  ubJit.*gendeH  (.iekiet  hinelnfohren,  doch  mag  Folgende« 
bemerkt  werden.  Aendert  steh  ein  Quadrupelpunkt  stetig  inner- 
halb eines  der  vier  Felder,  ohne  seine  (JrenKen  r.u  berühren, 
so  ändert  ^cli  aneh  jeder  andere  stetig  innerhalb  seines  Peldi^s, 
ohne  die  (»reuzen  zu  berühren.  DaVtei  kann  jeder  Punkt  dos 
gftmu)  Innere  fteinea  Felde«  durchlaufen,  »o  dan  die  vier  Felder 
in  dip»er  IWclirilnkiing   eindeutig   aufeinander  «bgi;bild«t  «nnd. 


160 


ff».  <na 


MArt  $it»C, 


Läiin-  ein  Punkt  anf  einer  Hjperbol  (la  NeteeSf  so  laufen  A\t 
/.tigtihnrigen  auf  dnrveJben.  t*äuft  iDsbecuDdere  ttiu  I'iinkt  »uf 
einem  Stnhl  von  2^  ro  läuft  der  zweite  Muf  dcoütelbeii,  di« 
beiden  übrigen  laufen  auf  dem  zugehnriKcn  H^rftbl  de*  Puire.«. 

50.  Erwillmeaswert  ist  nr»ch  eine  metriHfbe  Hrlatidn.  K^ 
UHiUiife  ein  l^i]»ilrujietpiinkl  Innerhalb  seines  Felden  eine  durch 
Strahlen    von    S  gebildete    DreieokaÜäche.      Die    Rcken    teien 

V  V  W.  Param(?t4?r  der  fiegeusetten  iil»  Strahlen  von  2'  jwien 
uei«.     Kacb  41.  ist  dann 

V  V  -  2«n<w  +  2tj)  +  2mn(M;+2tt)  ■tcu*(u  +  t'+w?)sin(«-üT 
UW      -2sin(ti  +  2w)  +  2ain(p+2u)  -^  iüQti{u+v+U})iin{M -tct 

Die  Drehung  vom  L&ufatrahl  to  y.nm  Lnufütrabl  v  betraf 
te  —  V,  daher  wird  Dreieck 

Ü  y  If^—  8  coa*  (« -f  »  -f  w)  sin  (u  —  v)  sin  (v  —  w)  «u  (w  —  m) 

dabei  die  Fläche  toit  ^inn  genommen,  i^oRitiv  wtmn  sie  b«i  der_ 
UmUnfung  ü  VW  xur  Linken  liegt. 

Die  von  den  anderen  Punkten  de»  (juwlrupebi  umlaufenen 
Dreiecke  werden  bez. ; 

—  8  coe'  {h  -{•  V  -{-  w)  cos  {u  —  v)  sin  (w  —  u-}  c'»s  \^w  —  «; 
lind  —  H  c«8*  (u  +  I?  -f  w)  cos  («  —  v)  CO«  (v  —  tc)  «-in  {w  —  y) 
und   —  8  coti*  (m  +  v  -f  w)  ain  l«  —  r)  cos  (r  —  w)  cos  {w  —  w) 

Die  Summe  aller  Dreieckafliicfaen  ixt  daher  gleich  Null. 
AJlgemeiner  folgt  hierau«:  Umltiaft  ein  Qu(tdru|iel[)iinkt  inner- 
halb Meines  F^ldrat  einen  Flacbenteil ,  «o  findet  gleiche»  bei  den 
ftiiden-'U  Punkten  dea  Quadrupeln  at4kU,  die  .Summe  der  uiuUufonni 
Fläch enciHcke,  mit  Sinn  genommen,  int  immer  Null.  Odvr  mit 
anderen  Worten:  Die  in  i9.  erwähnte  Abbildung  der 
Felder  aufeinander  ist  mo  beiicbuffen,  dasa  irgend  ein 
Uebiei  irinerlialli  *ß  iuhal tngleich  ist  der  Summe  der 
entüprechenden  Qebiete  in  den  drei  Zipfeln.    Inübeiiondtir* 

Lergit-bl  «ich  also  wie«ier,  wie  in  40.,  da«  die  Flache  rnn  0  gleicb 

rdur  :>umme  der  drei  Zipfel. 


W.  Ovdt:  (Jebtr  dtn  FetMrbaoh'echtH  Kr«U. 


161 


V.  Relationen  in  der  Hauptfigur. 

51.  Wir  kehren  ikxJi  einmal  zur  Figur  des  zweiten  Ab- 
scbniti«  zurück,  um  uini^e  Beziehungen  hinzuzuHigeu. 

Die  Punkte  t/^,  J^  J,  »/,  in  IG.  u.  fl*.  bilden  eins  unserer 
ijuwlrupel,  die  Werte  ihrer  reclitwinkligen  Kourdinateu  ^iud  die 
in  -10.  angeschrieben en.  Der  Kreis,  der  nach  22.  (2>  io  itg  und 
die  .SfiUii  von  Dreieck  ABC  berührt,  habe  den  Mitteljninkt  K^^, 
.so  sind  nach  Analugie  Ton  17.  lieiue  rechtwinkligen  Knurdiii:iieii 

Dabei  ist  entsprechend  18. 

Fj  cos  Ä5  =  cüa2a-f  et«  2^4-  oo^Zy 
—  r^  sin  J^a  =  «in  2  n  -f  sin  2  /J  +  ttin  2  y 
sind  die  Koordinaten  von  J^ 

« (*/o)  —  —  ^0  CO«  J<o         1/  ( Jfl)  =*  »"o  «n  ^ 

Mit  Benutzung  der  koiuplexeu  Einheit  könnte  niun  die  Bu- 
Kii.'hung  Kwischen  J^^  nnd  K^  deiunach  schreiben 

\^  W  -¥  *  y  («/o)!'  =  x  (ig  - » y  (K,) 

wodurch  in  der  komplexen  Zahlenebene  J^  und  der  komplex 
konjugiert«  Funkt  von  K^  »ehr  cinftich  einander  zugeordnet  »nd. 
Wir  können  uns  aber  uuch  geumetriHcher  ausdrQckcu.  Es  sei 
Jf  der  Mittelpunkt  von  Ö»,  so  i^t  MlKo=  M Jl.  Die 
Gerade  M  J^  i«t  die  Euler'sche  Gerade  des  Dreiecks  J,  J,  J^, 
aie   ichneidot  tfi   in   swei    Tankten,   deren  Parameter,    wie   die 

n       \  1 

Koordinaten  von  J,  zeigen,  -  —  5- B,  und  — -  Ä^  Mnd.    Wir 

finden  also:  Die  Schnittpunkte  der  Euler'schen  Geraden 
den  Dreiecks  J^J^J^  sind  die  Mitten  zweier  Strahlen 
von  ^\  die  ein  Paar  hilden,  und  ihr  gemuinrtamer 
Scb«il*l  ist  der  Punkt  R^.  Boim  Entwürfe  einer  Figur  ist 
dies  angenehm,  da  auf  U>  der  Bogen  tou  li^  bi»  0  doppelt  »u 
lang  sein  niuj»,  uIh  dt;r  von  0  \>\^  an  die  Kuler^sche  Gerade, 
itw«  ■iiUi.^Hir».  ci.  i  11 


W,  Oodt:  Ütber  den  Feutrbaeh'g^tH  Kreis. 


U\t\ 


Nnn   folfi^  aus  51.,  ähnlich  wie  in  18.,   dius    fOr  jeden  Wert 
von  JB 

I    r^  «in  (a:  —  Äfl)  =  win  (2  a  -f  «)  -j-  sin  (2  ^  -h  x)  -f  sin  {2  y  -^  x) 

m\t\  i\ikä3  insbesondere 
^^^^B  Tfl  sin  (a  —  Wft )  =  ain  3  o 

HIV  ^0  °n  (^  -  ^o)  =  sin  3  ^ 

H    aWi  ist 

I         0 


JtZ  =  Jtf„i)„«=JI^,i>„  =  Jtf„7i,=-  .in3^ 


Die  Punkte  D^^  D^^  ^o  ^^  liefen  iu  t^iuem  Kreise, 
dessen  Centrum  if,,  iRt. 

Hierau.H  erfpebt  aich  nun  leicht,  dus  I>„  und  R^  eym- 
metrisch  zur  Geraden  Jtf,,  2Si^^  Ue^eu  und  damit  unser  Ziel  bei 
dieser  tJeberlegnng: 

Die  Enler'scbe  Gerade  des  Dreiecks  «^i •/,*'»  i^^  die 
Direotrix  der  Parabel,  die  die  Seiten  seines  Seiten- 
mittend reiecks  M^^[^^  iVj,  in  X^^  X^  X^  berührt  und 
in  H^  ihren  Brennpunkt  hat.     V^l.  20. 

ICntspreohendes  gilt  natürlich  auch  für  Dreieck  J^  J^  J^ 
u.  s.  w.,  wie  nicht  immer  wieder   bemerkt  tiu  werden  braucht. 

53.  Aus  20.  und  24.  wissen  wir,  dat«  X^^  X^  X^  Polar- 
dreieck Ton  0  ist  und  das»  deine  Seiten  bez.  durch  •/,  •/,  •/, 
gehen.  Da  Entsprechendes  gilt  von  den  Dreiecken  X^  X„  X,o, 
-Yj,X,(,A'„  und   -^^'m^jjX^,  so  folgt: 

Es  liegen  je  auf  einer  Geraden: 

J^        Zy,  X^^  aaf  X|  der  Polaren  von  J^  bez.  O 
Afl,  i,g  A,,     ,      ^t      *  •  •      ''i 

•^  '^n  -^  »     •''i     •  .  ■      ^'i 

Das  volUtändige   Vierseit  x^x^x^x^    hat  tu    Dia- 
^nalseiten  die  Tangenten    von  0  iu  A,  B  und  Ü.     Dir 


164 


flttfiMff  der  math.-iJtitM.  Ctoit*  ram  7.  MAn  JS9*f. 


Diagonalecken ,  niso  Pole  der  Seiteo  von  A^  B^  C,  nennea  mr 
t/^,  {/^,  O^.  Jedes  I^aar  Gegeneoken  spannt  hei  M  einen  rechten 
Winkel. 

54.  Deutlicher  aU  b«i  den  TnrherxehendeD   Betnichttinffcn 
flchimmert  der  projektiviacbe  Hintergrund  beim  Folgenilen  durch. 

Die  Puuktreihe 

Äfl  Ä.  Ä,  Ä,  /  B  O g>  i4»  ß»  C»  J?^ 
int  perspekti  Tisch  über  S^  mit 

R^Ii^R^S^Q'CBA  Ä>  C^  i2'  ^» 
diefte  i-st  pentpekUvijich  Qber  B^  mit 

Ä,  Ä,  Ä,  Bfl  5ii  C>  C^'  A^  B»  C> 

diese  Qber  B^  wieder  mit  der  ersten.  Die  l'unktreihea  sind 
AJ»)  alle  drei  projektiviach  nnd  paarweise  pernpektivisch. 

Die  erat«  Ueibe  ist  perspektivisch   Qber  A  mit 

x.,x,.x..i„r*ci<.«  .  .  . 

nber  B  mit 
über  0  mit 

wenn  T^  der  Schnittpunkt  von  BC  mit  di'r  Tangi*nt«*  vtin  0» 
in  ^,  x^  der  mit  der  nnendlich  fernen  Geraden  i^t;  entsprechend 
sind  ^t  ^j  "»j  CO,  ÄU  verstehen.  DieMC  drei  Keihen  äind 
nläO  projektirisch  und  da  »ie  putirweide  einen  Punkt 
entsprechend  gemein  haben,  paarweise  perspektivisch 
nünilich  bez.  Ober  f^^^^^^- 

55.  Wir  können  auch  sugen,  die  Gruppe  von  12  l'unkten 
auf  0  in  t}i.  Bei  in  dreifacher  Anordnung  mit  »ich  sollet 
proJL'ktivisch,  Wir  projizieren  nun  die  drei  Anordnungen  \n'i 
von  B,  V  und  A  auf  die  Seiten  von  ABC  und  crlmiLuu 


riHfa 


W.  OwU:  U^er  dtn  Feu«Hmdt*nt^tn  Krei*. 


^165 


ftuf  CA  die  iMinkfcreihe  X„,  X„  X,«  X^^AT^CH^  ,  »^ 


^t^,»^^o'\x^'^',KO    » 


d.  h.  die  vier  Geraden  x^x^z^x^  (siehe  53.)  sind  Thd- 
^enten  einer  Parahel,  die  zugleich  die  Seiten  von  AßC 
in  n^n.n    und  die  Merade   T  1\  T    berührt. 

Nnn  siiid  feruer  x^  ic^  x,  r,  uud  die  unendlich  ferne  Ge- 
rede die  polaren  bezüglich  O  von  J^  J,  J, «/,  und  Jf,  also 
ist  die  Piirabel  Polar  kegeUch  n  i  tt  bez.  0  von  der 
ffleiehseitifi^en  Hyperbel,  die  durch  das  Quadrupel 
Tß  J,  J,  J,  und  durch  3f  hindurchgeht.  Nach  49.  ent- 
hält diese  Hyperbel  auch  die  Übrigen  Punkte  des  Quadrupels, 
deni  Jf  angehört  und  als  Polarfigur  der  Parabel  die  Punkte 
U   If,  V    und  den   Pol  der  Gpraden   7'  T^T . 

Auf  der  anderen  Seite  bernhrt  die  Parabel  als  Polarfigur 
der  Hyperbel  auch  die  Polaren  der  drei  flbrigen  Punkte  des 
if  -  Quadrupel«. 

Der  eben  erwähnte  Pol  der  Geraden  'i\  T.  T  ist  Qrebosoher 

a       9      t 

Punkt  von  A  B  C  genannt  wonlew. 

Aus  51.  and  52.  folgt  noch:  Die  Hyperbel  hat  ihren 
Mittelpunkt  in  Jl^  tind  das  Paar  von  ^  mit  dem  Schei- 
tel R^  bildet  sein  Asymptotenpaar.  Die  Parabel  hat 
ihren  Brennpunkt  in  /^,  der  dritte,  ausser  dem  Paar« 
durch  R^  gehende  Strahl  von  2*  ist  ihre  Achse.  Ihre 
Directrix  geht  durch  M  und  verbindet  die  Mitten  des 
genmnuten  Paares  von  2, 

56.  Denkt  man  sich  A  B  C  und  was  davon  abhängf,  «ttetig 
veränderlich  mit  der  Bi'dinguug  u -\- fi -^  y  •=  0,  so  durchliiuft 
das  Tripel  ABC  eine  doppelt  unendliche  Sohaar,  das  Büschel  £ 
und  das  Ket«  gleichseitiger  Hyperbeln  mo  wie  die  Quadrupel- 
■chaar  bleiben  unverändert.  Die  Hyper)>el  aus  55.  durchläufl 
ein  BfUschel  mit  vier  festen  Grimdpunkten«  die  Parabel  eine 
Schaar   mit  drei   fo9t<^n  Tangenten,   ee  sind   also  Je  unendlich 


■^^^r  ^P^P^^^^M^P   ^^Wf    ^^^^^^V^^^^^^^^v   *^P^^^^^P   ^^^^^P   •       ^^^^^W    ^H^^^^* 


Iwwlui^bM  und  je  imaDdlieh  viele  Dröeeke  Ü^  V^  IT  dondboi 
BypnM  «inbeiehriebm  o.  b.  w. 

.  Wir  iind  Iteant  in  iinwfw  UittenDchaiig  xa  amam  Ptmfcle 
flltBgtt  wo  (Ue  BerorEOgong  der  imagniireii  Krenpunkte  nad 
in  otwndUdi  Ünroen  Gendea  ferner  niebt  erypriewKeh.go  sehi 
iebilDt.  Wir  brechen  daher  ab,  in  der  HoAmng,  die  aBge- 
aeinere  ProUem  in  entipreebender  Weise  bebaodelfc  gdegent- 
Wi  den  Idebbabem  der  Qeometrie  Torkgen  an  kflnaeB. 


167 


Zur  Theorie  der  synektischen  Functionen. 

VuQ  Alfreil  Prln^helm. 

1. 

Id  einer  frflheren  Mittheitung'):  .lieber  die  Bntwicke- 
lung  eindeutiger  analytifloher  Functionen  in  Poten^- 
reihen*  habe  ich  ger-eifj^t,  wie  man  den  Laurent'schen,  bezw. 
dun  aU  speciellen  FaU  darin  entbalteneu  Ta^rlor'schen  (Mac 
Laurio'schen)  Satz  ftlr  , analytische*  (d.  h.  in  der  rDi- 
gebong  jeder  nicht  singul&reo  Stelle  durch  eine  gewöhnliche 
Potenzreihe  deftnirtc)  Functionen  mit  Hölfe  einer  gewi»>en 
Mittelwertb-Betrachtung  vüUig  streng  und  zugleich  elementar 
b^rflnden  kann. 

Hieran  anknüpfend  habe  ich  in  einem  späteren  Aufsätze 
mit  dem  Titel*):  .lieber  Vereinfachungen  in  der  elemen* 
taren  Theorie  der  analytischen  Functionen*  hervorge- 
hoben, diise  die  Gdltigkeii  derjenigen  Beziehungen,  welche  die 
eigentliche  (Grundlage  der  fr^tichen  Kntwicklungen  bilden, 
keineswegs  den  .analytischen"  Charakter  der  betreffenden 
Functionen,  sondern  lediglich  die  gleir.hmUssige  Stetigkeit 
ihres  Differanzen-Qaoiienteu  vorau.«8etzt.') 

Nai^hdem  ich  nun  an  einer  anderen  Stelle  nachgewienen, 
dufie  dieefie  letztere  Eigenschaft  allen  in  irgend  einem  Bereiche 
»synektischen',  d.  b.  eindeutigen  und  mit  einem  atettgan 


t)  8iU.-Ber.  18V6,  p.  7&  ff. 

>)  Math.  Ann..  Bd.  47,  p.  Ul  IT. 

h  A.  h.  Ü.  p.  U7.  Znani*. 


flttwiiV  Ar  watt.  fHy.  CSmm  «dm  7.  Jf*«  20M. 

Differentiftl -Quotienten  begabten  Fnnetio&en  Enkommt,') 
iie^  f^  nahe^  die  in  Rede  !^t«hcnde  Methode  aacb  fflr  dtti  Be- 
weis der  Entwkkeibarkeit  einer  nur  als  .synektisch'  Tonas- 
p;esetzten  Function  zu  verwerthen.  Und  da  man  aaf  diesem 
Wege  in  der  That  da/u  gelangen  kanti,  die  Fnnotionen-Theorie 
auch  bei  Zuf^rundelegung  des  aUgemeiaen  Caoelij-Riemann*- 
scheu  Functions- B«|^iffe3,  in  völlig  einwandMer  and  dabd 
w(*?i!ntlicli  PLufacherer  W^isne  aiifzubaufu,  aia  dies  bisber  der 
Kall  wftr,  so  möchte  icb,  einer  Äureguiiji^  des  Herrn  G.  Viranti 
folgend,  die  Uebertragbarkeit  jener  Matbode  anf  Bjnektische 
Ftiuclionen  etwa«  naher  begründen  und  ränige  weitere  Be- 
merkungen hieran  kntlpfen. 

Icb  rtelle  tn  diesem  Befanfe  ranicbat  die  Haupt -Eigen- 
■dwften  des  charakter^flchen  Hittelwertbes  SIC  (fir))  in 

X'igen  Form   fibersicbtUeh  zusammen,   wie  sie  fttr  den  ab- 
nden  Beweis  zweckmässig  eracbeint. 

2. 

Es  bedeute  a^=:  ß^-\-  y^i  die  am  nächsten  zu  der  Stelle  1 
gelegene  Wurzel  der  Gleichung  a^**  ^  l  mit  positivem  y^,*) 
f  (x)  eine  zunächst  ftlr  alle  x  mit  einem  gewissen  absoluten 
Betn^e  \x\=r  eindeutig  definirte  Function.   Setzt  man  sodann: 

r;S»'/K'r)-fJ!lj/-(r)), 
80  gelten  die  folgenden  Sätze: 


*)  Zorn  Cauchy*Bchen   Intepralsatze.     Sitz.-Ber.  1805,  p.  303. 
*)  Älao,   wenn    man   von   der   tranasoendenten    Form   der  Einheit^- 
Wurzeln  Gebrauch  machen  will : 


o-  =  c 


=  cos  ^—,  4-  i  sin    '   ,, 
2»-i    '  2**" 


A.  PringAeim:  Zur  Theorie  4er  ffyn«JklwcA«fi  FuMeHonen, 


^^H         I.    IhL  f(x)  äteÜK  l&nj^  des  Krdnes    x|^r  (wobei  alao 
^^fl^isscbliesslich  Werthe   von  x    mit    Absolutfni    lietnig«  r  in 

Botrucht  zu  riehen  sind,  ho  beflitzt  011'^  (/"(r))  dir  «       /)  einon 

betitiniutten  Greoxwerlh*): 


(1) 


lim -Snt  (Ar))  =  Sni  r^(r)). 


Dies  ÜDflft  niicli  diiriii  niKih  sUtt,  wenn  /"(jc)  nnr  diirrb- 
v,'v)f  endlich  bleibt,  dagegen  die  l!^i^enM;hafL  der  Stetigkeit 
nur  «im  »llgumeinen*  besitzt,  d.  h.  fUr  eine  endliche  Aneahl 
vf.iQ  Stt^llen  endlicb-uostotii^  win)  uder  innerhalb  endlicher 
Grenzen  osciltirt.*) 

II.  \ht  /  (x)  durchweg  eindeutig  detinirt  und  endlich,  nus^er- 
dem  im  allgemeinen  stetig  fßr  alle  Stellen  x  de^  Ititi)^* 
t^ebiet«  Ä,<|x  <Ä,  so  ist  ?ffL(fir))  filr  alle  x  jene«  Ge- 
bietes eine  eindeutige  und  an!mahin.*>li>s  stetige  Function  der 
reellen  Verinderliohen  r. 

Denn  man  hat: 


I  -t 


Ver«.lehl  man  hierbei  unter  r  einen  l>eliphig  gewählten 
festen  und  unter  r  einen  Teränderlichen,  dem  fraglichen  Inter- 
valle Angehörigen  Wcrth,  so  hat  man,  fallt«  ({x)  ab  uu:^- 
nahmsloa  stetig  und   e>0  beliebig  klein  angenooimen  wird: 

I  ((x)  —  fix)  \  <  «     etwa  fttr :     | «'—  j  |  <  d. 


i|  Ma«^.  Ami.  •.  a.  O.  |,.  132. 

1  A.  a.  O.  p.  \M.  Mit  Ut-niltzuDt;  bekanntnr  Mclbtnieii  kiu  ilcr 
Thn^irir  ihf  ht^üninten  Intpgmlp  (•.  k.  11.  Dini-Lttroth.  (iriindJagrn 
ftlt  die  ThiTirio  dir  Fuiirtinnm  rtc,  9  187)  lonon  rieh  di<?  rullUiiigtiii 
AtHnAhiiM'-ittt'nim  aw^h  auf  (Kirint^  nnendlifhi*  PunkhuitniEen  «»inlphn«i. 
'  'durch  rii  'if   für  dnn  hier 

,    kfiiu*'    "  I ,    rtn   «•!»•   irii 

davon  «b. 


170  Atnpiy  der  mwlh.  j*yr  aim<  nm  7.  Xmn  XBK. 

and  daher: 

^/-(V)  — 9'IL.A'-)   <«      ffir:         r—r    <  <J, 
abo  acfaJieaBlich  aaeli: 

9!Lr/(r))-9!L(/(r))   S«      fär:        /  — r   <d. 

Besitzt  f{x)  eine  endliche  Anzahl  ron  rmtetigkeita-Stcllen, 
•o  werden,  wie  groae  man  auch  ii  annehmen  mag,  in  dem  lecbts 
fltdieiiden  Anadnicke  der  Gl.  (2)  höchstens  eine  mdliehe  *»**lil 
(«twm  ="!■■)  Ton  Summand«!  T<n%onunen,  f&r  wdche  zwar: 

ftx)-nx)  >€. 

aber  immerhin: 

f(:^')-f(x)   <  fix)    -r   fix)   <9. 
wo  g  eine  endliche  positiTe  Zahl  bedeutet.    Aisdann  ergibt  öch : 

und  daher  fßr  n  ^  x  : 

?nL(/(r'))  — fTLl/^rn  <^. 

so  daai»  aW'  die  Stetigkeit  von   'VxLif  r  \  erhalWu   bleibt. 

HI.  Lst  i  \x)  nicht  nur  stetig'.  j-Midern  ?ynektisch  für 
lias  Kin^iijebiet  R'^<i  x  <  i?'.  ^j  das*  alv:-  /(xi  nach  dem  in 
Art.  1  citirt^-n  SatZf  einen  gleichniäÄsitr  ^tt-tigen  Differenzen- 
Quotienten  l>e^U/.tM.  ^i  i-t  !£)TL'/  r)  ttir  Fy.<ir<.R'  t<_in- 
.-taiii*!.  'i.   h.   man   iiJii : 

{■n  ^11  (/  R-  )  =  2)lc  1/  -y^  =  f^lc  (;  ^'1. 

•  h-:  ■:-.'  Bil'iur.^-  i-r-  l'iff-rr'^tiV.-  : -.-zw.  rt-.tft-nr-iizei:  -  guf>tieDtt-ii 
f\ir   i:\r.'-   ■■.-!    Beer  rr.  2*;rii:    uniT'-h'.'rii:'.-  cr^Hc  .    kommen   auch   immer 

nur   äol'.Ltr  Wtrtbf  -■    ii;  B^n-B'^ht.   die  d«m  Gebiet«  ^*^    j  ,  S  Ä    ao- 
flreh<^r»^n. 

-    A.  a.  'J,  p.  140,     Haupuaiz. 


ngsheim:  Zur  TTteorie  der  «yn«Jt4wehra  J^ndvmtn. 

IV.  I»t  f{x)  «jaektisch  fdr  alle  x  im  Innern  des  Rinf;- 
galnetes  R^<x<li,  so  ^It  znnäcbsfc  die  Besiebtmi^  (3)  für 
alle  r,  welche  der  Bedingung  genügen: 

B;^<r<R\  sofern  nur  ü^ >  Äo'  ^'<R- 

Ist  dann  ferner  f{x)  noch  eindentig  detinirt  nnd  endlich 
für  alle  x  mit  dem  abiuluten  Beiragt!  /2q  hezw.  H  und  iLtinser- 
dem  im  atlgemeineii  stetig  fdr  solche  z,  welche  der  ße- 
reniEUDg.  bezw.  dem  Inuero  des  Ringgebietes  R^<.x<~  R  an- 
Vhören,  so  haben  zunächst  ©!L(/"Cüy),  €JTt(/(Ä))  nach  I. 
eindentig  bestimmte  endhche  Werthe.  Da  aber  andererseits 
nach  II.  die  Differenzen: 

|91l{/(Äi))  — 9K./iA,))l  bezw.  |€)tL(/-(/n)  — ^TL(/"(/J))] 

gleichzeitig  mit 

Äi  —  Äo         bezw.         n-R' 

beliebig  klein  werden,  ao  folgt,  daas  geradezu: 

(4)  m.  if{R^)  =  m.  {f{R^)  =  m.  inji-))  =  ©ri  (nio} 

sein  muBs.^) 

y.  Mit  BeoDtzung  des  letzten  Resultates  ergiebt  sich  jetzt 
leicht,  da«  die  Consbauz  von  ^!f(C(f{r))  auch  dann  urhalten 
bleibt,  wenn  ftir  die  im  Gbrigen  sy Hektische  Function  im 
Innern  eines  gewissen  Itinggebiebes  Punkte  vorhanden  sind, 
in  denen  über  den  »ynekiiMchen  Charakter  von  f  (x)  nur  «JTiel 
MtBgaMgt  werden  kann,  daas  f{x)  daselbst  eindeutig  nnd  end- 
lich bleibt,  während  über  die  Existenz  und  Stetigkeit  dett 
Differential -Quotienten,  ju  Hber  die  Stetigkeit  von  f{x)  seihet 
keinerlei  VoriiUää(>tzung  besteht. 

Denn  angenommen,  es  sei  im  Innern  des  Ringgebietes 
(/i^,  H)  eine  solche  Stelle  x^  vorhanden,  w&hrend  f{x)  im 
flbrigen  fllr  Bp<|«|<Ä  aU  synek tisch,  fOr  |z  -/J^  |»I-Ä 

h  Zu  U.  und  IV.  vgL  äits -Bor.  p.  90.  ZiuaU  l 


172 


aUmmf  ibr  Mtffc,<fAy«.  CTow  mm  7   M»n  f{««. 


suro  mindpsten  aU  endlich  and  im  allgemeioen  sictig 
Toratisgesetxt  wird,  so  tfanle  man  das  Rinfncebtpt  (R^  R)  de 
EinscbaUiiii^  einm  Kreiaea  mit  dem  Raditn  r^^x' x^\  in 
xvei  Rinf^gebiete  (/7^  r^)  und  (fg,  iO.  Äl^daiu  folgt  aber  nach 
Sttte  rV.,  dus: 

(5)        9n  f/-(Ä,))  =  @n  (/^cr^) = m.  ifim 

d.  h.  durch  das  eventuelle  Änflreten  einer  »olcben  Aiumafamr* 
Stell«  Xf,  wird  die  fiidsteuz  der  Fuudamentatgleichang  (2)  in 
keiner  Weiw  htwinträcbtigt. 

Ja  raan  erkennt  sof^ar  an«  der  Art  des  Bewoaes.  4aM  d« 
betreffende  Resultat  aucli  dann  bestehen  bleibt.  falU  Ober  die 
BesehaiFenheit  von  f  {x)  längs  des  ganren  Kreises  |  x  j  ^  |  a^  | 
gET  keine  Voran^setzung  besteht,  fjofem  die  eindeutige  Kunrtion 
/'(jr)  dowlbst  nur  durchweg  endlich  und  im  allgemeioen  stetig 
bleibt.  Tnd  dus  gleiche  gilt  offenbar,  wenn  an  die  Strilr 
eined  itolcheu  Ausuahniekreises  eine  beliebige  endliche  Anzahl 
solcher  Kreise  tritt. 


3. 

L    Sei  nun  f{x)  sTnektisch  im  rtiuio?ebiet<  Bp<.x<rÄ. 
Bw.eiehnet  dann  x^  irgend  eine  willktirlich  gewählt»  Stelle 
im  Innern  des  betreffenden  Gebiete»,  so  bilde  man: 


(«) 


<P(t) 


^^YW-/^W 


X  — *« 


Albdann  ist  <f{x)  sicher  synektisch  fOr  jede  tod  x,  ver- 
schiedene stelle  2,  welche  dem  fraglichen  Gebiet«  aogehuK. 
Für  X  =  Xo  int  tfi  (x)  /.uniichst  Oberhaupt  nicht  dufinirL 

Xun  ist  aber: 


(7) 


(8) 


Hm  »/•(«) 


•rf*«v 


Drfinirt  man  aUo  '/  i-j^a^  iiurtb  *\\<  tileiehUDte: 
*f  (*,)  =  lim  y  (x). 


A.  I^inf/üheün:  Hur  Thtorie  iler  Bynektudten  Functunien.       173 

M>    ist   jtftxi   tf{z)    eine    im    Kingi^ebiete    }{^^\  x  \<i  H    auH- 
nahuitflos   eiucleutijje  uud  sbeti}Ce,    uusdärüem    uit  eveiituelltim 
Ausachluiue  der  Steile  x^^x^  gersdexu  sjnektische  Function. 
In  Folge  demeu  hat  mau  aber: 

und  daher: 

=«(«t'«;)-«(|-ü5), 

m  dann  dtircfi  ^eiiau  dieaetbeu  Entwickttlungeii ,  wie  an 
den  entiprecbendeii  iätclleu  der  übe«  citJrteu  Aufsätte  *),  der 
Lacireat'dcbe  bezw.  im  Falle  Rj,:=0^  der  Mac  Lanrin'tiohe 
Sote  EÖch  ergiebt 

U.  Ueberträgt  man  diese  iCei^nltate  von  einem  Hing^biete 
mit  dem  Mittelpunkte  4;  =  0  auf  ein  »olche^  mit  beliebigem 
Mittelpunkte  j:^,  so  erkennt  man  xunächst,  da&j  eine  für  eine 
gewisHt  Llnigebung  \z^x^\^q  einschliesslich  der  Stelle  2^ 


synektische  Function,   durch    eine  für 


\x  — 


x^\<^Q  conver- 


gireeide  Ueihe  nueh  po.sitiven  Puten/.en  dargestellt  werden  kann. 
Üiea  bndet  aber  flQr  jede  von  x^^  verschiedene  Stelle  x  jeuer 
Umgebung  selbst  dann  tiuch  statt,  wenn  die  Beächalfenheit 
Ton  fix)  für  die  Stelle  x^  selbst  fraglich  iat,  und  nur  .so  viel 
festateht,  dass  f{x)\  in  beliebiger  Nahe  der  Stelle  x^  unter 
einer  endlichen  Grenze  bleibt:  denn  in  diesem  Falle  kann 
die  Kunäch&t  nach  dem  Laurent'bchen  Satze  &ich  ergebende 
Kntwickelung  für  /  [x)  in  Wahrheit  keine  negativen  Fotoniien 
Tun  {x  —  Xq)  enthalten.  Schliesst  man  sodann  mit  Itiemaan 
ein  fOr  allemal  den  Fall  ans^),  das»  /  (x)  beb  bare  Unstetig* 
keiteu  besitzt,  su  folgt  ohne  weiteres,  dasü  die  betreflünde  Eut- 
wickeluug  auch  ui>ch  fllr  diu  Stelle  2,  gilt,  und  dass  ^omit  f{x) 
auch  fOr  x^x^  s^nektisch  iett, 

*}  8tt*.-Bcr.  p.  M.    Maih.  Ann.  p.  148. 
*)  ü(w.  Wirki',  p.  21. 


174  SBfiMf  4fr  ■rffc.jfcj«.  CImw  wom  7.  MOn  1S96. 

HionMch  ät  abo  «me  m  «nem  gawiawu  Beroiche  ein- 
denftig«  mtd  endHebe  Fnaetioa  /(s),  weldie  dasalM  .im  all- 
geneinen**)  sjnektitch  ■(,  i&  jenem  Beniebe  aniBahmB- 
los  ijnektiscli,  ond  es  aebt  aomit  die  «im  allgemeinen* 
vonoigBKfste  Stetigkeit  Ton  /*(«)  die  ananahmslose 
Stetigkeit  nach  sich.  Man  erkennt  abo  auf  diesem  TflUig 
eleoMDtaren  Wege  einen  fimdamentalen  üntenehied  iwiaehen 
den  diSeieniirbaren  Functionen  einer  complexen  nnd  den- 
jcnigai  einer  reellen  Veiinderiiehen.  Bei  letzteren  kann,  wenn 
aoeh  r  (^)  vorwärts  nnd  rfickwärts  genommen  filr  jede 
Stelle  s  irgend  eines  reellen  Interralles  einen  eindeutig  be- 
stimmten, im  allgemeinen  mit  x  stetig  Teränderlichen 
Werth  bentirt,  noch  keineswegs  auf  die  ausnahmslose 
Stetigkeit   von  fix)  geschlossen   werden.    Man   betrachte 

s.  B.  die  Function  /'(x)»x*-sin  — ,    wobei  f^teciell  /'(0)»0 

definirt  werden  mag.    Man  hat  hier: 

r(0)~limA-mix  — 0 

und  für  jedes  0  verschiedene  x: 

f  (x)  =  2  «  sin Wö  — , 

so  d&äs  /' (x),  obscbon  durchweg  eimleutig  detinirt  und  au5(ser 
für  x  =  0  auch  stetig,  an  der  Stelle  x  =r  i>  unstetig  »•■'t. 


4. 

I.  Nachdem  nun  durch  die  t^rgebnisse  des  vorigen  Artikels 
festgestellt  worden  ist,  dass  jede  in  einem  Bereiche  T  synek- 
tische  Function  (ein  Begriff,  der  bei  Kinfühning  geeigneter 
(irenzen  aucii  die  einzelnen  Zweige  der  niebnlentigen,  differenzir* 
baren  Functionen  unifawt)  in  der  l  ingebnnif  jeder  im  Inneni 
von  T  gele^t^nen  Stelle  Xq  nach  gun/.^ii  positiviMi  Potenzen  von 

'^  Vgl.  Art.  %  I,  Fiiaäiiote. 


jL  Pnng8ht%m:  Zuf  Theorit  der  »}fnekt%Kkei%  Functiofitn,      17>*i 

(2  ~  s^  entwickelt  werden  kann,  löaet  sich  anch  Hie  Lehre  von 
den  Intof^rAleti  »olcber  Functionen  in  tiberaua  einfacher  Wei^e 
befanden:  daa  CnuchyVhe  Kundamemfatl -Theorem  erscheint 
hierbei  als  eine  Folge  der  e lernen tjirsten  Sätr^  aus  der  f^ewöhn- 
liohen  Integnil- Rechnung.  Da  mir  die  fragUcbe  Bewei«niethode 
bisher  nirgends  beg€ignet  iBt,  so  mag  es  gestattet  sein,  mr 
näheren  Erläuterung  des  Gesagten  Folgendes  7:0  bemerken.*) 

Ist  ^  (u)  eine  stetige,  reolle  iK^er  oomplexe  Function 
der  reellen  Veränderlichen  u  mit  einem  integrnblen  Differential- 
Ijuotienten^  ao  hat  man: 

"f'i?-^-w..)-'M-.)'[.wr. 

Da  nnn,  falls  c  eine  beliebige  retle  oder  coniplexe  Con- 
fftante  bedeutet  : 


rU 


(« -h  c)*+' =  (n  H-  1) .  (u  4- c)- 


fDr  jede«    po8itive  oder   negative  ganzxahlige  n  mit  Auflschlui« 
vi>n  n  =  —  1   (aber  mit  Einschluss  Ton  «  ^  0).  so  wird : 

(n4-l)J(«  +  c-r  .  rf  M  -=  |(u  +  c)''+']*' 
-.  "• 

(nH.l)|(«i4-rr.V/u==(fi-f-l).r^'.J(«— ciT'rfw 


(9) 


Während  der  DnicUegong  dieser  Note  ist  der  iwoite  Theü  van 
O.  Stult'  UninflxOf^  der  DiflFerontial-  luid  Intef^lreriinniig  er- 
ttchiei)en.  Hiiir  winl  (AbarJuiitt  XV,  Nr.  3)  das  Oanchy'icbe  Integral- 
Theorem  tta  ,holouiorplie"  Funrtiuneu  (d.  h.  solche ,  die  in  der  Dm- 
Ifobung  jf*dcr  8t-^Ue  ^0  dnrcli  eine  ^  (.r — x^  dant«llbar  iiodj  in  ganii 
ähnlicher  WoitM?  hd^rdodet  und  nU  Quelle  fOr  die«e  Beweit- Methode  auf 
die  W  ei  er  dir  asB 'sehen  VurlwuD)(«D  verwieasa. 


Wand 


176 


jilii  ftr  »^f -4-  1JI 

/(*)-ipfe«;>H-i.tf.(£,r;) 

«De  trächcn  d«D  P—Hw  j^  ^  ^  -f^  ;^,  ■  und  ^,  =  ^| 
^  '  der  Curre  C  (£f)"«0  eiodeatif^  definirte.  endliche 
and  im  Allgeoi^ineu  ilrtigi  fuacbüo  vud  j«  90  definire  taaii 
-tft«  ab«r  den  Integniiioaswgy  {€)  *uo  j:^  bis  x,  entrevkte  In- 
üignd  duralt  die  Gli^ckmg: 


•1  '•;•»' 


Dasidbe  hat  akdano  einen  bestimmien,  ledi|^idi  tod  den 
WertheB,  wdebe  f{x)  liztge  dw  Corre  C  uunint,  aiehi 
aber  tob  der  bflaondocB  Form  des  dabd  m  Gnnide  gdegteo 
srithnetiseben  Aosdrnekes  BbbftngigMi  Worth.  Bd  Cm- 
fahiBBg  der  latagntioBs  -  Richtung  gebt  dieser  Werth  in  den 
Aber. 


Nun  betrachte  man  zunächst  das  Integral  C^'dx  er- 
streckt Ober  die  Begrenzung  (B)  eines  Rechteckes  mit  den  Eck- 
punkten: a-\-bi^  a'-{-bi,  a'-\-b'i^  «-p&'i,  wubei  etwa  a-^bi 
den  linken  unteren  Eckpunkt  bezeichnen  möge,  iK)  dass  also 
die  Folge  jener  Punkte  der  gewöhnlich  aU  positiv  bezeichneten 
Integrations- Richtung  entspricht,  $0  erv^iebt  sich  zunächst  auf 
Grund  der  Definitions-Gleichung  (10): 

«'  b' 

(ff)  (I  b 

m  b 

-f- J(i:  +  b-  if  .  d  ;  +  Jla  +  ',  0"  •  '■  d  i,. 


also  mit  Benutzung  von  Gl.  (9): 


A,  Vrintfahtitn:  Zur  ThmrU  det  «^«ifc^wcAa«  fliHCtinncn.      177 


\j*'dz 


V-+I 


B+1 


(I +  &'•)"■*•'     +    («•4-,,.)' 


,"+! 


A"+l 


+   (.^  +  fo'trM+    (a  +  .?t7 


•<+M 


das  hebst 
(U) 


f X"  •  d  jf  =  0 


und  Äwar  für  «>0  und  n<  —  2,  mit  der  ein/.igim  tlitischrnnkting, 
dttss  im  Falle  oiiica  oegutiven  n  diu  Stolle  x  =  0  nicht  ge- 
rade auf  der  Begrenzung  (wohl  aber  im  Innern)  Ton  JR 
liegen  darf. 

Grsetxt  mati  iu  (1 1)  X  duruh  j;  — x^  (was  wegen  der  WiU- 
kürliclikeil  der  in  Ol.  (9)  mit  c  beKeichueten  CunHaiilo  ohne 
weiteres  Kuläsäig  iitt),  so  folgt,  da&a  nuch: 


(12) 


i' 


(x  — Xo)"-rf«*=0    (fi>0,  n<:  — 2), 


^tafefern   nur  für  h  <  0   die  Stelle  x^  nicht  auf  der  Rtsgrenzung 

V^  li  liegt. 

■  Dieses  Heaiiltat   tilsfit  sich  nffenbar  ohne  weiteres  auf  den 

I  FaO  Oljerirngea,  daas  an  die  äUtle  des  Tiechteck»  {R)  ein 
»Treppen -Polygon*  (d.h.  eine  gebrochene,  aus  [*arallclen 
XU  den  Coordinaienoxen  bedtehende«  Hieb  selUt  nicht  Hchueidende, 
gcaoblooene   Linie)   tritt,   da  ein  solches  durch  Kioächaltung 

I  passender  Hnlfslinien  stets  in  eine  endliche  Anzuhl  vun  lte«cht- 
£'cken  zerlegt  werden  kiuin,  und  die  von  diesen  Hfllfhlinien  h«-'r- 
rührendt*n  Integrul-Bestandibeile  sich  schlieäslicb  wieder  berans- 
heben. 
Und  da  man  einer  beliebigen,  einfach  geschlossenen 
Curve  (5)  sU^ta  ei»  »olehes  Trepi>eii  -  H'dygon  (P)  so  anordnen 
IcAna,  dau  die  Differenz  der  Ober  {S)  und  (P)  erstreckten  In- 
tegrale beliebig  klein  wird^),  so  Hndet  uiao^  dasa  auch: 

')  Vgl.  «Ueber  den  Caueby'sehen  Itilf«graUatx*,  Sük.IUt. 

ib%,  p.  6c  tr.  mi  tt. 

ISW.  Halb-pti/«,  Ol.  I.  la 


SüMf  io"  mcOL-fitfa,  CXmw  m»  *.  Jura  JBK 


14 


(immer  mit  der  EinedirftnkQog,  dwe  z^  im  K«Ue  m  <  0 
Aaf  der  Carre  (^  liegen  darf). 

Wcaa  jetst  die  Bcshen: 

0  s 

für  iri^end  wdche  Bemcbe  cooTcrgiren,  so  enn^bi  flieh  vcmiy» 
der  glttichmä^sigen  ConmgeuA  eolder  lteik«i,  daia: 


(15)  j(f>a-,-(x-x.)-'yrf^==2'a_r  J(x    aJ-'.rfx-O, 

blk  die  getckbrnnoe  Gurre  {8)  den  CSbOTeqfeos-Bereicbc  der 
bobeffeodca  Reibe  engehörL 

IL  NoQ  8C3  f(x)  sjsektiflch  xom  minde^r»  ftlr  afle 
^Hellen  im  loueni  eines  gewuaen  Bereicbes  7\  aod  es  bedeute 
T'  ein  Ton  einer  oder  mehrerrn  R«odcQrren  begrenztes,  inner- 
kalb  T  liegeodes  FÜchenstfick.  Alsdann  ensUrt  für  jede  Stelle 
x^  im  Innern  nnd  auf  der  Begrenxnng  ron  T*  eine  gewime 
Umgebung  |X  — x^  <?,   imicrhalb   deren   eine   Kiitwidcelang 

ao 

tf»D   drt-  Form  f{x)=^^^/  Orix  —  r,)*  beaCeht.     Die   poMtire 

o 
/üb!  ^  bcntxt   nun   nicb   bekannten  f^teen    ein  gewimet  von 

KuU  TenckiedeoeftlCinimam  d.  Zerlegt  man  jetxt  den  Bereick  1* 
dnrcb   Parallflen   im   den  Coordinateo- Axen    im  Afastnnde  -=r 

in  Tfaeilberncbe,  «o  taft  die  grAute  Kntfrraung  «weter  PunM«, 
foB  denen  etaer  im  Innern,  der  andere  auf  der  Qrensc 
eine»  «rylcbeo  Theilbcreicbes  /  tiegi,  kleiner  ab  die  Diagonale 


)ringshcitn : 


orte  der  »i/HfktiM'heu  FttnctUmeft.      170 


eines  Qundrftics  mit  der  Seite  -^  d.  b.  <  ij.    Ninimi  man  also 

eine   SU'lle  jr^  gnnr.   beliebig   im    Innern    von  i  an,   so   liegt 
deasco  gesammte Begrenzung  noch  innerhalb  dos GüU-igkeitM- 

Bereiclies  der  Entwickelung  /"(x)  =  ^' n^  (a;  —  x^)*^.    AMann 

ergiebt  biuIi  aber  nach  Gl.  (15): 


(IC) 


i 


und  aua  der  Addition  der  von  allen  einzelnen  Thuilbereichen 
herrührenden  Intcgralti  (wobei  sieb  wegtun  der  Kindeuligkeit 
von  f{x)  wiederum  alle  auf  die  Ufllfslinieu  erstreckten  Inte- 
gmli'  horniisht'ben) : 


(17J 


jf{x)'dx  = 


=  0. 


womit  dits  Canchy*scho   Fundamental  -  Theorem    Ix'wiesen   Ist, 

Üdbei  kann  schliessHch  fDr  die  Integrations-Cnrre  [T') 
auch  die  BegrenKuiig  (7*)  —  ganz  oder  tlieilweise  —  uubslitiiirt 
werden,  nnwifit  f  {x)  duäelbst  noch  durchweg  endHch  nnd  im 
allgctneincn  stetig  ist. 

IIT.  Ist  a  eine  .singrilüre  Stelle  von  /"(.J),  so  wird  dip 
Luureut'si'be   Eiilwickriuiig: 

f{x)^^-a,{x-af 

—  OB 

negative  Totenzon  von  (j:  -ft)  in  begrenzter  oder  imb«'grt'n7.t«r 
Zahl  enthalten.  Bedeutet  dann  wieder  (S)  eine  ge^cliltxHiene, 
im  ConTei^tin7^IIereiche  dieser  l^ntwicketiing  verlaufende  Curve, 
«0  folgt   mit  Bentltzung   der  Gleichungen  (14)  und  (15),  da«8: 


(18) 


f/-(x).rfjr«a-,f(4f-a)-'.rfx 

*tii  VI) 


u* 


tm 


-pftyiL  CUk  «-  7. 


Ick 


kk  wk»r  ak  htegaüammt^  4m  Ifrfirf 


—  1  —  I.        1  — 1%        1  +  1,        —  1  + 1. 


f^  =.T-^  -t^'-?-  ^tAL  ^  f _i^5_ 

<•  — t  — -  — -  -T* 


■  '  _■■■  * 


lii'. 


—I 


t*   rf? 


^K 


=-r.^\=-±'  - 


_    T    l. 


I.        '         =- 


*  j 


,'.-, 


-'     •.-».--.  :i  i:t   ^*^•  Be- 


dtr  «jfnttHitdUH  FHneÜonen.      1BI 


(20) 


wo  x'  Jude  beliebige  innorbalb  (T)  geiu;(ODe  Stelle  bedeuten 
kuiin. 

iV.    Uuai)U«Ib»r  aus  der  Oetmitiun  eines  InlegmU  von  der 

Forin  ]f<x)'^x  folgt,  da»  der  absolute  Werth  eines  solchen 

Integrals  zugleich  mit  der  Länge  des  Integrationsweges  beliebig 
klein  wird,  falls  'f{x)\  auf  demselben  durchweg  unter  einer 
endlichen  Grenze  bleibt. 

Sind  jetzt  m,  n  zwei  ganze  püsitive  Zahlen  ohne  gemein- 
aen  Tbeiler,  tf>{x)  eine  iunerbalb  eines  gewissen  Bereiches  7* 
Tyncktische  Function,  a  irgend  eine  iiu  Innern  von  {T)  gelegene 
Ötelle,  »0  lääät  bich  noch  zeigen,  dass  ftir  m<N  da.s  Integral: 

ff  ix) 


h 


-Ä  *^* 


uftcb    Festäetxung    eines    bestimmten    Anfangs-Werthea    fQr 

{x  —  o)",  einen  bestimmten  endlichen  Werth  besitr.t,  falls 
es  Über  eine  innerhalb  (T)  verlaufende,  den  Punkt  n  zunächst 
nicht  umkreisende  Curve  bis  nach  a  hin  erstreckt  wird ;  und 
da^  djisselbe  Integral,  genommen  über  eine  einfneh  geschlossene 
Carvc  am  den  Punkt  a  berura,  zugleich  mit  dem  Integrations- 
wege beliebig  klein  wird. 

Beides  erkennt  man  mit  Hülfe  der  Substitution: 
I 
{x  —  o)"  =  *,  oIsü;  jp  =  j"  -f-  a, 

Termine  deren: 

f-5^^«  dx^  fjF— •-»  ■  .r(j-  -h  o)  •  da 

Dabei  ist  m  —  m  —  I  >  0,  da  n  >  m  vorausgeset^  wurde, 
"Sd  xugleich  y  (*■  +  o)  för  die  dem  Werthe  j:«  o  enUfirechende 


132 


Sütung  dir  fwitA.-jihy«.  ÜtiAnnt  vom  7.  31tiri  181W. 


Stellt?  s  ^  0  eine  synektische  Kunctioii  von  jf,  00  <iii."*s  die 
FÜLibtiglfeit  der  beiden  aiisgea|>rofilie«eü  ßeliaupluiij^eü  oliüu 
weiteres  aus  dem  HauptsAtze  II.  und  der  am  Eingänge  Tt>n  IV, 
gemachteü   Bemerkung  hervorgeht. 

Die  TOrstehendeQ  Sätze  reichen  im  wesentlichen  votlfttündig 
ntj«,  um  die  Lehre  tou  den  Integralen  rationaler  Func- 
tionen, de»  eyclouietrischeni  elliptischen  und  bj^ier- 
«Uiptischfsn  Integralen  mit  einem  verhrtilnissmässig  geringen 
j^ufwand  von  fuoctjunentheoretiechen  Hülftmiiteln  «u  entwickeln. 


188 


Die  Ostrakoden  aus  dem  Miocaen  von  Ortenburg 
in  Nieder-Baiern. 

Collektion   Egger. 

Revi<)i<-rt  V.MI  K.  Llonenklaiu  in  Oiinahrnr^k. 

(JHtefita^fta  7.  Mir*.) 

Diu  rüicUe  äiuuiiiluiig  der  Ostrakoden  uns  dem  Mtocuen  von 
Ortenbui^,  dir  wir  dem  uncnnudliclien  Fleisäo  Elgger's  vor- 
danken,  entliält  iiU  Arten;  Egger  znhlt  in  seiner  Bearbeitimg 
derselben  5ri  Arten  aof.  In  Deutm.-1iland  hat  also  Ortenburg 
nächst  Bünde  die  grusste  Zahl  von  Ostrakoden-Arten  geliefert. 
Leider  iH  jedoch  die  Arbeit  Egger'ü  der  Wissenschaft  biä 
jetzt  wenii(  zugut«  gekommen ;  verhültuismässig  selten  ist  in  der 
Litteratur  auf  Egger  Bezug  genommen,  und  wo  dies  geschehen 
ist,  sind  Egger>  Arten  vielfach  unrichtig  aofgefasst  und  miss- 
deutet worden.  Dies  bat  in  erster  Linie  seinen  Gruud  in  der 
mangelhaften  Beschaffenheit  «leiner  Abbildimj^en ;  die  Figuren 
sind  fast  durchweg  zu  grob,  manchmal  auch  ganz,  unrichtig. 
Ein  weiterer  Onind  liegt  sodann  darin,  dasa  zn  der  Zeit,  aU 
Egger  seine  Arbeit  Teröffentliclit©  —  1858  — ,  verschiedene 
Gattungen,  welche  die  Wissenschaft  jetzt  unterscheidet,  noch 
nicht  anfgetitellt  waren;  man  begnUgte  sich  damals,  soweit  das 
Tertiär  in  Betracht  kam,  im  allgemeinen  mit  den  Qattungea 
fihpre,  Cytheridca,  Bairdiii  und  Cytberella.  Hätte  Egger 
9n  damals  die  Gattungen  Loxoconcha,  Xestoleheris,  Cythe- 
rurftf  Cytheropleron,  Cjtherideiji  n.  %,  unterscheiden  können,  so 
wfirden  diene  (tattungmamen  an  sich  »:hoa  erhebliches  Liebt 
auf  monehu  seiner  Arten  geworfen  haben.     Wer  aber  die  reiche 


184 


SitSHnif  der  matS.'pht/B.  Cltuue  vom  7.  Mars  lKn> 


Sammlung  Kgger'a  atis  eigener  ÄiiJjcliauung  keutitrn  lernte, 
luii&^te  auf  das  lebhafteste  bedanern,  dass  sie  der  Witfäunäcbafl 
80  wenig  xngllnglich  war.  Ata  mir  daher  Herr  Gebeinirat  l'rr>* 
fffifsor  Ton  Zittel  in  seiner  groesen  Liebenswürdigkeit  die  SAmm- 
Umg  zur  Benutzung  flbertandte,  hat}e  ich  diesellie  itiner  Kerision 
unterworfen,  deren  Uesultate  ich  nachfolgend  mitteile. 

Das  zunuehst  folgende  Verzmchnis  fUhK  die  ror)iandaieit 
Arten  in  der  Ileihenfolge  auf,  in  der  Egger  sie  giebt,  mit  der 
neuen  Benennung  dahinter;  in  dem  zweiten  Yerzeichnisi«e  da- 
gegen äiud  die  Arten  systematisch  geordnet. 


Egger. 

Neo. 

I. 

Cylhtirelln  <;omi>rf*»«  Mutr. 

= 

C.rtbej'elbi  wunpri-mi. 

8. 

• 

infU'xa  Kfijff. 

— 

■                  * 

S. 

* 

Jnnriiuiin  Bii«]. 

^ 

,           jinti'^iiUiitii  I.klN. 

4. 

lliUrüitt  lubloltoiiltta  UFir. 

M 

Ilair«Iin  lubilrtltniili-fl.                        * 

6. 

areoftti.  Mitr. 

= 

,       animtii                                , 

6. 

nr.'.         f--.. 

=s 

Cyth.                                                     ~ 

7. 

ti:L             .a. 

= 

Ponl.. 

8. 

luvtilu-  iUi>«. 

s 

Xe»'ti>lt'Lit.Tii  luiiüiiV 

0. 

glnta*»  Kftg. 

= 

,             ir)iifiit>ii  l-^  <1i-firi'««t  Sra  \ 

la 

pufilln  Eg)?. 

= 

V 

11. 

erwtaipLlii  Kkk* 

■- 

•* 

12. 

«xili«  Ku. 

^ 

I*anulnTOBU>inn  earvftliiiu  LkU.? 

13. 

Fiibtamida  K({g. 

= 

<'                 '  tb'bfli"  .loa.? 

U. 

gynit4k  Kkk, 

- 

'  .               :  jtyniU. 

15. 

•           • 

«: 

nrrobicttlata  l.kl«. 

16. 

mbrom  Rjnr. 

= 

,           rnbriwu 

17. 

fubGribrana  E|j>p, 

= 

CjrÜic'ri<.lon  Bubrrihrt«», 

16. 

an  ■                   -';?. 

= 

Krilh«*  hm '                '..n. 

IV». 

Cjlbi'ridcii             .     H  Effg. 

-s 

Cjtiiwridp»   '   '           Miic  Sp. 

•iO. 

revnm  Hg);. 

= 

t          roierva. 

31. 

tnnriila  lUs. 

s 

y  ■--!-''■"      •■  -    .': 

32. 

rhnmbu»  Rinr. 

SÄ 

1 

sa. 

IfiM. 

s: 

•           MuUcii  M«ti-. 

34. 

= 

•                                                 B 

3&. 

i-lrpoua  Kgg. 

= 

1.4)Xi)rnnchit  »Xl* 

:iG. 

•ubofsta  .Malr. 

-« 

C/l1i»*n'pt*n.'»ti  Kj£)^'rij[iiini  n.  «(, 

»7. 

Cythtwe  Jttrinei  M«tr. 

M 

Cythrre  Jurini^i. 

m 

. 

ditarimta  R«]7. 

= 

•            • 

■ 

^^^ff"  J.»«i#«Wotf«:  /ii« 

thtrakoden  Pon  Ortenhurfi.               l^ö          ^^H 

99. 

Gylbeit;  Av 

=  Oyth(^n:  .liiriiici.                                           ^^| 

80. 

.          piv 

^                  pli«»tA.                                           ^^1 

81. 

«t.'rubi(.*ulH.lii   Mntl'. 

r= 

Mcrol'inilaln?   Mifr.  vur.                  ^^H 

82. 

fltrtntopunctiita  Koi-m 

.«= 

4ti-iii.topiinr>tAU  ?                            ^^1 

8S. 

4i*nbm  Matr. 

= 

araltrn,                                                ^^| 

84. 

i*ilbiirrnt»irulji*a    E^jf. 

:3 

«iilMcniliiriilitlu.                                ^^H 

36. 

fkimnlittti  Mj>lr. 

CS 

pUDrtllta?                                                  ^^1 

36. 

cipfttrinosa  Km, 

£= 

ciaitrimtoi.                                     ^^| 

S7. 

Kmt^lpniii  fUa. 

=  Loxocouulla  EgKpriaitii  n.  h*.                     ^^H 

8& 

,       MuUuiirulivta  Rgff. 

=s                        NuhiitigtiUla.                             ^^1 

90. 

titthmifsttttila  Kg};. 

°      ^                               ■ 

«. 

vitriolnlu  l^g;;. 

■ 

41. 

htMlntu  Kjm. 

a>  LoiDfonchti  vtiriulithi  Itnuly.                      ^^H 

42. 

canalicnlnta  !{*>><, 

=  Cytbcrc  (^niilir.alutu.                                      ^^M 

43. 

tmncatn  H»». 

SS                 bamricn  n.  s\t.                              ^^M 

44. 

rorruipita  R*^. 

=                 iiiiirrnt»om  Ho«q.                            ^^H 

4r). 

Neptiini   K^f^;. 

<=                Ni'ptiiii)  Egg.                              ^^H 

40. 

plitmliila   Ums. 

=                  plii^tula.                                        ^^H 

47. 

hüpbtcfi  Kiijg. 

^  Cyt-herani  hopliteid.                                         ^^H 

46. 

BCuticMta  Kgg. 

^:  Cytbcrt!  tnuicata  Rw.                                 ^^H 

4!). 

mAnnhritim   Kgf?. 

SS  Cjrthf^-nira  nmtmlirinm.                                   ^^^ 

50. 

lyrifiinni»  Kgg. 

=  Cytiiörr>  lyriformi».                                          ^^H 

fil. 

IMlpilin    Kag. 

^  Cytlieroptcrun  («pilio  ICgg.                        ^^M 

52. 

v(wniortilio  R»w. 

=^                            TC9y)ortilio  Km.                   ^^M 

63. 

draoo  £gg. 

=s                          Iriqaetnun  Bw.                 ^^M 

54. 

cornuta  Ras. 

=  Cythere  ainiuta.                                          ^^H 

&&. 

i'ornnuta  K'iL'ni. 

^                  ÜmhriAta  M.ttr.                              ^^H 

W 

'enn  wir  also  von  den 

iinbentimnihAren  KnihrTonalfurinrn         ^^M 

Bairdia 

piisilla,    Bairdia  cri.sU-galIi ,    Cvtherc  subsa^tlula   und         ^^| 

Cyther 

}    viiriolabi   abHehen, 

so  sind   mit  Etnschliis»   einiger  in         ^^M 

Bggor'ti  Saminlung   mit    andereD    ziisAmmen geworfeneu   Arten         ^^| 

folgern 

e   Arten    vürhiiii<ip|i. 

■ 

1. 

Pon 

*i*^ypri"i  il.V'tvlii-   i-'.'^^.  s|> 

1).  Cythert'  ptin<tatn  M>4r.V                        ^H 

•X 

lliür 

<liii  t<u)M]>.>Uui(lt*iL  M-Ir.  ff) 

10.                   ninnlit-uliila  liiB.                        ^^H 

B. 

• 

arcimtti  Mrftr.  «p. 

11.                   urabm  Matr.                                 ^^| 

4.  Cjtl 

i.Ti-  .Im-inei  Hair. 

12.                 |iU(Hto  Hotr.                             ^H 

ft. 

•iiiiJaUi?  Mutr.  viu 

.     13.                 plicatuU  R«B.                            ^H 

(1. 

'     Ktini). 

*    U,                NVpliiiii  Rgg.                           ^H 

7 

■  Fffff. 

15.                 tnin'^tA  Rm.                              ^^| 

a 

1 

k 

i-u<AlritxwH  Kw. 

IC.                  hararicA  n.  «p.                           ^^| 

186 


Sttmnff  der  math-phifH.  Clwttt  wm  7.  Mari  1896. 


17. 

(jjr)  iii'n.'  lynfunuU  Kfr^. 

»•1. 

Xcfil'iloUcrH  lui-Jüu  lim.  «it.'i     A 

18. 

a         inniToporn  lUtmi. 

35. 

CyLhrrum  Siu-iü  Urntly.               | 

V.l. 

.         cnriiQlii  RüA. 

86. 

,           t)ot{li^>-U  U». 

ai). 

fiinUriAtA  Hittr. 

37. 

«              lUHIlutlriQUI    K}E)f.    *|k, 

'ii. 

CyUifriik'a  Müllen  M«tr.  vp. 

88. 

,         hopllioi  Egfr.  «p.      1 

22. 

,             Jebüia  Jon.? 

SO. 

Cythuroptt'rOQ  li4(Kcni*i""i  *)■  ^i' 

23. 

,            falittoformtH  Hp. 

•10. 

,                rcf^iiliirt*  n,  k]i. 

ii. 

,             rcverfa  Kuk- 

41. 

,                t'i!«p''riiliu  K«.     j 

36. 

,            rhomliiiR  Kf^fc. 

43. 

,                tri<jiictruin  It*«.  «f|fc 

ao. 

,            tfubcribroKU  Kgjf. 

48. 

r               papilio  Kgff.  «|i.f 

27. 

Kritiic  bartonijnnw  Jon.  Mp, 

U. 

Cytiieridoi«  litliwlomi>ir!ij»  Un«i.sp. 

28. 

Loxocxmeha  NulxiviitA  MHr.  "i*. 

46. 

,            «t;t\>)iii-titflU   l.kl». 

30. 

.             variülrtta  Hra/]y. 

46. 

K^  ■               ■    -!'■            1 

80. 

,             Kf^guriutm  u.  «^. 

47. 

,             Crj-                _'_'.   --i'. 

31. 

.        fulmnjfiitHtiiKffg.  f]K 

4B. 

rnrmlnxuatonm  rarvatum  l.kl«.? 

S2. 

Xualolrlivrid  tumiilu  K^«.  b)i. 

40. 

CrthcniUii  cnmprtsswi  Metr.  «]>. 

33. 

,            glaUea  EjJK.  »p. 

&0. 

,           piii(9iulcaU  LikU. 

Fiiniilio  Cypridne. 

OeoQS  Pontocypris   0.  0.  Sara. 

Pontocypris  dactytu»  Egger  Rp. 

Buirdia    dactjrlua   Egg.  Orienburg,   Neues  Jahrb.   f.   Min. 
isns,  p.  7,  t.  1,  f.  7. 

I'ontocypria  dactylus  Lkls.  Zeitschr.  d.  deutsch,  geol. 
1894,  p.  172. 

Hontocypritt    mjtiloido^    Brady  Trans.  Lidd.  Soc.,    tiDiidun 
XXVI  2,  p.  385,  L  25,  f.  20— :10. 

PontocyprU  uiytilüidea  Brady  Crossk,  et  Kub.  I*ulaeunt.  Soc., 
Undoii  1874,  p.  130,  t.  15.  f.  7,8. 

Pontocypri«  mykiloides  Brody  Norm.  Tran*.  U.  Dubl,  Soc. 
IV,  p.  107.' 

1   Exetuplar  von  Hatt»bncli,   1   voti  Mairhuf. 

Die  von  Bgger  ubgebildcte  Form  punctatii  vnti  Hhiu 
iftt  nicht  vorbandL*n,  sUtt  deswn  aber  eine  ^laitc  Form.  Kggel 
bat  b«i  diewr  Art,  ivie  aus  «uiner  Zeichnung  zu  ervehen  i»L, 
Vurdrr-    und   Uittterende    verwechKlt;    hiernach    ist   seioe 


JS.  iMMniilitun;   Ikc  Uaititkodcn  ruir  tfrtcninmj.  187 

ütfi  »'''<»  linlcf  Kta]tp<i  wt  '^ie  iSrössere*.  zu  U'i-icIiti^PD. 
In  »eitler  Sainmlung  hat  or  diese  Art.  (IbrijLfcns  aU  iJuiidiii  uti- 
guiculus  bozeicbuet. 

Familie  BairdiMue. 

Oenus  Bairdia  M'Coy. 

1.    Bairdia  äubdeltuidea  v.  Münster  sp. 

B.  subdeltoidea  Egg.  Ortenburg,  p.  5«  L  1,  f.  1. 
B.  Bubdeltnidea  auct. 

8    Kxpniplure    von    Hausbuch ,    9    von  Mairhdf.     Diefiolben 
amen  voUkomraeu  mit  denen  von  anderen  Fundorten  Qbereiu. 

2.   Bairdia  arcnata  t.  Mflnster  sp. 
B.  arcuttta  Egg.  Ort.,  p.  5,  t  1,  f.  2. 

B.  arcnata  auct. 

Kt«ra  10  Exerajiinre  von  Ilau^ibaub,  5  von  Mairbof.  Auch 
diese  atinimen  mit  der  typischen  iiorddeutAcben  Furni  Ilberein. 
Die  6  Exemplare  von  Bnchleiten,  welche  Kgger  ol)enfaIls  hier- 
her gerechnet  hat,  gehören  dagegen  znr  Gattung  Cythcrideiä 
tiud  xwar  teils  zu  C.  lithodomoides,  teils  zu  C.  cribru^ta. 

Familie  Cytliürida(\ 

Oenas  Cytbere  MflUer. 
1.    Cythere  .Turinei  t.  Mflnster. 

C.  Jurinei  Ilgg.  Ort.,  p.  20,  t,  3,  f.  5  u.  7. 
C.  divaricatn  Egi;.  Ort.,  p.  22,  t.  3,  f.  8. 
C.  accedens  Egg.  Ort.,  p,  2X  t.  :i,  f,  II. 
C.  Jarioei  auct. 

Etwa  6fl  Bxemplare  von  Hnnsbacb,  8  von  Mairhuf,  2  von 
Buchleitcn. 

Die  Orteiibiirger  Kxenijdare  stimmen  beswr  mit  der  fnui- 
nsüben    als    mit   der    typi-scbeo  norddeutschen  Form    fiberein* 
sind  freilich  mehr  oder  weniger  iiturk  angewittert.    Sie  nind  in 
lUgel  etwas  gedrungener,   besonders  am  Uint«rende   etwas 


188 


Sittung  der  math.-ph*f».  GlatH  vom  7.  Mars  1896. 


ahiiiipfer,  als  ausgewachsene  norddeiitÄche  Stflok«.  Die  Ober- 
Üüche  ist,  »üweit  der  ErlmltuD^^/.ustund  die»  noch  prkonurii 
iSsai,  entweder  glatt  oder  mit  QrGl>chen  tragenden  Knrch«n 
Tersohen.  Die  von  Kgger  uufgeetelltc  Form  ovnta  dnrfUi  kuuui 
als  Varietät  gelten  können ,  ebenso  wenig  wie  die  Vun'ctut 
»enüurnata,  welche  nur  die  Läugafurcheu  mit  ihren  Grtibchen 
bei  besserem  Krhaltungszustande  deutlicher  »eigt  alä  die  Übrigen 
StUcke.  Es  sind  für  die  erste  V^arietät  4,  für  die  zweite  3  Bxem- 
plare  auägeschieden. 

C.  divaricuta,  von  welcher  Kgger  sagt,  dass  sie  ia  der 
Gestalt  ganz  mit  der  Varietät  ovata  fibereinstimme,  in  der  üc- 
schafFenheit  der  Oberfläche  aber  von  ihr  verschieden  sei,  liegt 
in  2  Exemplaren  von  Hausimeh  vor,  welche  je<l(«ih  unter  sich 
wieder  verschieden  sind,  indem  das  eine  mit  grösseren,  reihig 
geordneten  Gruben,  das»  andere  mit  feinen,  in  der  Mitte  mit 
etwas  grösseren  Grübchen  bedeckt  ist.  Die  erstere  Korni  findet 
sieb  vereinzelt  auch  in  Norddeutschland,  die  andere  schlic«! 
dich  wohl  an  französische  Formen  an.  C.  dlvaricata  ist  daher 
nicht  von  C.  Jurinei  zu  trennen. 

C.  accedeuä,  die  in  2  Exemplaren  von  Uaushach  und  4  von 
Mairhof  vorliegt,  ist  nach  Gestalt  die  typische  C.  Jurinei.  Die 
Scheidewände  zwischen  den  liüngsfurt'hon  sind  jedoeh  Ht>ft*aUeDd 
stark  rippenfürmig  entwickelt.  Bei  der  Veränderlichkeit  der 
Beschaffenheit  der  Oberfläche  der  C.  Jartnei  dQrflß  das  jedoch 
kein  genügender  Grund  zur  Bildung  einer  l>e9»onderen  Art  sein. 
C.  Jurinei,  0.  divarieata  und  C.  accedens  sind  daher  aU  eine 
Art  festtxii halten.  Dabei  ist  jedoch  zu  bemerken,  dass  C  Jurinei 
&[slr.  in  der  Ornamentik  stark  abändert:  Bald  Ist  die  Ober* 
fläche  ganz  gtatt  (Ortenhurg,  Jeiirre),  bald  Oberall  dicht  uod 
fein  punctiert  (Ortenburg) ,  bjild  tiriden  sich  zwü^lien  diemn 
feinen  [linkten  auch  noch  zarte,  glatte  LängArippen  (Dclsbcrg 
bei  Bern,  Frankreich),  bald  sind  die  (Iruben  nach  den  ftündmi 
hin  klein,  auf  der  Schalenmitto  dagegen  gntsii  und  in  grbogenen 
Lftng8rt*ihen  oderLiiug-^fiirchen  geordnet  (Nordd^utHcblaud,  Orten- 
barg^,  bald  «jnd  nur  diese  gröaieren  Orubon  auf  der  Mitt«  fo€~ 
bMidvD  (fMt  Qberoll,  typnehe  Purni),   bald   finden   «icb   di« 


K.  Liencnklau*:  Die  09tr»ik 


«0«  OrtcnOitrg. 


189 


Qruheii  auf  der  ganzen  Oberfläche  (Nor'ldetit'^chlanrl 
^T  C.  Woodtana  Jon«»  in  Kuglnnd),  bald  endlich  traten  die 
äcfaeidewünde  z^vi^chen  den  Län^^lHirchcn  mehr  üder  weiii|<er 
■tark  rippig'  hervor  (Orteubur^).  Die  Unterschiede  in  der  Oe- 
ftUU  —  sofaiankere  und  gedrungenere  Kürm  —  durften  ^.mU 
jlters-f  teils  (jieechleclitsuiiterBcfaiede  sein. 

2.   Cytbere  scrobtculata  v.  Mfinster  rar. 

C.  scrobiculuia  £gg.  Ort,  p.  25,  t.  4,  f.  7. 
Ü.  Bcrobiculata  auct. 

4  Exemplare  von  HauMbach^  10  von  Mairbof,  8  von  Bucb- 
leiten. 

Die  Ortenburger  Form  weicht  erheblich  von  der  typischen 
Dorddeutsuben  ab,  melir  noch  aU  die  Form  von  Jeurre.  Der 
Bauebrand  ist  weniger  concav;  das  Hinfcerende  ist  nicht  oder 
Icamn  hippeafürmig  zusammengedrückt.  Die  KinschnUrung, 
welche  sieb  von  der  Mitte  aus  die  Bauchseite  entlang  noch 
hinten  idebtf  sich  vor  dem  Hinterende  nach  oben  wendet  und 
die  charakteriätiscbe  Wölbung  der  typischen  Form  bedingt,  fehlt 
hier  wie  bei  vitilen  Kxeiuptareu  von  Jeurru  ganz;  auch  isf  die 
Schale,  von  oben  gesehen,  weniger  eiförmig  und  wesentlich 
ächroator.  Abgesehen  von  dem  letzten  Punkt«  stimmt  daher  die 
Ortenburger  Form  mit  derjt;Digen  von  Jeun*e  einigermaästm 
nberein,  nnr  dass  sie  viel  grosser  int  i^le  kann  daher  vielleicht 
als  Varietät  festgehalten  werden.  Cebrigens  zeigen  sich  auch 
bei  dwn  Ortfinlnirger  StUckiMi  Verschiedenheiten.  Leider  Hind 
alle  mehr  oder  weniger  stark  angewittort. 

3.    Cythere  striatopuoctata  Koemur? 

C.  slriatopunctJita  Egg.  Ort.,  p.  20,  t,  4,  f.  8  u.  0. 

Jo  1  Exemplar  von  Hausbach  und  Miiirbof,  3  von  Buch' 
leiten  nnd  2  aU  Varietüt  bezeichnete  von  Mairhof. 

Von  oben  gesehen  ist  der  Abfall  nach  hinten  ^hr  steil, 
»omiich  rechtwinklig,  so  das^  die  i^chale  von  dieeeui  Abfall 
eine  deutliche  Ecke  bildei  wi«  1>ei  C,  lyratu  IIas.,  deutlicher  uU 
''''SK'^''  gexelchnef    hat.     Ah«r  auch   nach  vom    npit/fc  sich  die 


190 
Schale 


SifMuty  der  mtah.-iity».  CUum  tm  7,  M*n  IS96. 


h  zn,  erheblich  sUrker  ab  bei  C.  If  rata  am!  xugt 
gerader  ak  bei  C  strifttopQOcUU  nadi  Botiquet.  Das»  tt  wirk- 
lich die  C.  «triatopoDetaia  Roecaer  ist,  wie  Hosqaet  dieaelbe 
RbbiHet,  ist  mir  «ehr  zweifelhaft.  Leider  i«t  mir  bisbiog  weder 
das  Material  tod  Bosquet,  oocfa  dasjenige  ron  Roemer  Über» 
hanpt  xog&Dglieh  gewesen,  so  dan  ich  die  Frage  nicht  ent^ 
Itcheiden  kann  and  die  Kt^xtiminnDg  ron  Egger  rorl&tifig  be- 
stehen lanen  nims.  Bosquet  sagt  nan  aber,  dasa  Roeneri 
C.  ■triatoptuieUtA,  die  er  unterjocht  habe,  eine  Jugendform  sei. 
Um  90  mehr  erscheint  es  mir  wüniKhen^wert,  daas  das  gesaiatf 
Material  der  verwandten  Arten  C.  itcrobicutata  Sfair.,  atrUto- 
paoetata  Rnem.,  Ijrata  Ras.,  bixpida  «Sp.,  Bomemanni  Sp.,  obli- 
qaaU  K«.,  Berobicaloplicata  Jonen,  laqneata  Jones,  Njßtiaai 
Botq^  Joneaiana  Bosq.  und  anguintopora  Rn.  einer  sorgfältigidi 
Revision  unterworfen  werde. 

Die  ab  Varietät  bezeichneten  2  ExempUre  stimmen  nicht 
mit  Egger'ä  Zeichnung;  das  «ne  ist  rieluiehr  den  Sbrigm 
Stficken  ganz  gleich,  das  andere  —  eine  einxelne  Klappe  — 
weicht  beionden  durch  seine  6r3i«e  ron  dens<-IU>n  ab. 

E^S*'  bat  abrigeoü  die  echte,  typisohe  C.  scrobicnlut«  M»tr. 
Ton  Kassel  in  seiner  Sammlang  ab  C  «triatopunctata  bezeithnct, 
ob«;1e>cb  dieselbe  viel  grösser  iit,  Gbt^rhaopt  nicht  mit  wioer 
Ortenborger  C,  Ktnutopunctata  11befein«timmt. 

4.    Cjthere  snbscrobiculata  Eggar. 

C.  8\ibscrubi(?ulata  Egg.  Ort.,  p,  27,  t.  3,  f.  6. 

10  Exemplare  von  Mairhof,  6  von  Huchleiten. 

Diese  Art  hat  den  Habitus  der  CyLheridea- Arten,  ist  jedoeli 
nach  dem  Scbloss  eine  Cjthero.  Egger'a  Zeichnung  ixt  vnm 
etwa.-»  zu  liocb  geraten,  indem  das  Vorderende  zu  stark  nach 
ant«n  aiisgexogen  ist. 

&.    Oytbere  cicatricosa  Ueuss. 

C  eteatrictisa  Egg.  Ort,  p.  29,  t  4,  f.  0. 
Cypridina  cicatricosa  R^.  Wien,  p.  07,  t.  9,  f.  21. 
Örthar»  cieatrimM  Bo«i.  Krance  e4  Itolg.,  p.  70,  t  3,  f.  \X 


f:  DU  Otttrai-oden  mn  nrUnburg.  UM 

(Tfthere  cicatricoea  Brady  Antwerpen,   p.  387,  t.  64,  f .  X 
Cythore  eicntrifota  LtcLs.  Jeurr«,  p   KU. 
PGypririina  punctata   Kss,  Wion,  p.  Ü8,  t.  9,  f.  24. 

C/tbere  mn  ab  rügen»  U  Lklü.  XordvreäUlt-'uUchlauiI,  p.  191. 

L  13,  f  n. 

12  Kxemplare  von  HansWl),  2  von  Mairbof,  4  vod  Bach- 
teit«n,  Dieselben  stimmen  mit  der  typischen  Form  von  lleusa 
iina  dem  Wiener  Becken  f^ut  Dbereio. 

0.    Cythere  punctata  t.  Münster.? 
C.  punctata  Egg.  Ort.,  p.  28,  t.  4,  f.  5. 

1  Kxeniplar  von  Hnu>«bach.  Rer.Ugliob  dieser  Art  verwei&e 
icb  auf  dnä  in  meiner  Arbeit  Über  die  OstrakoJen  von  Jeurre') 
Gesagte.  Die  in  der  Litteratur  als  C.  puucttit-a  Mstr.  utifge- 
mbrien  Ostrakodeo  bedrirfen  noch  der  llevision. 

7.    Cjrtbere   canaliculata  Rqosb. 

0.  canaliculata  Egg.  Ort.,  p.  33,  t.  5,  f.  10. 
Cypridina  canaliculata  Res.  Wien,  p.  7(1,  t,  9,  f.  12. 
Cythere  canalieuluta  Lkls.  .lenrre,  p.  130,  t.  3,  f.  1, 

2  Exemplare  von  Haufibacb,  2  von  Mairbof,  3  von  Bucbiciten. 

Es  iftt  die  echte  0.  canaliculata  Ras.,  wovon  icb  mich  dnrcb 
Verglbicbong  mit  den  Wiener  Originalen  überzeugt  habe. 

Vur.  daednioa  Egg.  2  Exemplare  Ton  Hausbacb.  Diese 
Korrn  kommt  aoch  bei  .lenrre')  und  wie  icb  neuerdings  ge- 
fuuilt'ii  habe,  im  Ober-Oligocaen  von  GuLtentrupp  im  KOrHten- 
tnni  Lippe  vor. 

V;ir.  cryptoploca  Egg.  1  Exemplar  von  Hauabiicb. 
UdSKullic*  uittei%cliüidet  sich  wenig  von  der  Form  ilaedalea. 

8.    Cythere  acabra  v.  MUnster. 

C.  «al«  Egg.  Ort,,  p.  2(i,  t.  4,  f.  10. 
C.  acabra  auct. 


*)  10.  Jiibn.iib(Tncbt  U.  Nutunr.  Vercinn  *u  0>iiinbrflck,  \>.  135. 

S)  Irt.  .I»hm»bf*i-  il.  Niilnrw.  Vomin«  xu  f^nnabrUrk.  \>.  \  40,  t.  8,  f.  1  itmli'. 


192  Süsttrtff  der  math.'phjf*.  Clane  vom  7.  Man  1800. 

4  Kxt'mplart*  von  Hiiusbucli.  Dji;  Knifleu  felilfii  zum  ^rmst^n 
Teile«  ütuitt  derselbeo  bemerkt  man  Grübchen.  Äebnlicheä  findet 
man  fibrigeaa  auch  häutig  an  älteren  ExerupiareD  von  anderen 
Fundorten. 

9.    Gjthere  plicata  v.  MQnster. 

C.  plicata  Egg.  Ort.,  p.  24,  t  5,  f.  9. 
G.  plicata  auct. 

1  Exemplar  von  Hausbach.  Es  ist  die  typiBcbe  C.  plicata  Mfl 

10.    Cythere  pticatula  Benas. 

C.  plicatuk  Egg.  Ort.,  p.  38,  t.  5.  f.  6. 
Cypridina  pticatula  Rss.  Wien,  p.  d4,  t.  10,  f.  2."^'. 
Cythere  pticatula  Bosq.  Krance  et  Belg.,  p.  92,  t.  'l,  t.  13. 

10  Exemplare  von  üau^bach,  1  von  Mairhof,  2  too  Bnch- 
leiten,  1  von  HabdfaL 

Die  Schale  ist  nicht,  wie  Eggor's  Zeichnung,  vom  höher 
als  hinten,  sondern  Überall  gleich  hoch.  Der  RQck<mrand  %vigt 
vorn  nicht  die  starke  Ausbuchtung  der  Figur  bei  Egger.  Das 
llinterende  ist  stumpfer  und  eeigt  ausser  dem  groesen  Zahne 
mehrere  kleine  Zähne.  Die  Zähne  des  Vorderrandes  sind  deut- 
licher HUägebildet  aU  in  Egger^H  Zeichnung.  Der  untere  und 
drr  mittlere  Hauptkiel  VL>reinigen  sich  hinten  nicht ;  der  mittlere 
Kiel  iät  ebenfalls  scharf.  Es  ist  eine  gedrungene  und  eine 
■chlankere  Form  da  (9  und  5?)i  erskertt  sUiunit  mehr  mit 
Kgyer'.-*  Zeichnung  Uberein.  Die  ZiigehDrigkeii  de«  Kxeuipluni 
von  Aluirhuf  xu  dieser  Art  int  zweifelhaft:  daaselbu  i:it  jetloch 
angewittert.  Auch  daä  Exemplar  von  Habühl  \»i  unklar.  Dus 
einzige  Exeniplur  der  Var.  minor  Egg.  von  Haushihch  \A  wohl 
eine  Jugcndform. 

Die  SüitenunMichi  dieser  Art  bei  HeuKs  i«t  woMoUich  rich- 
tiger aU  diejenige  bei  Egger;  am  richtigsten  idt  die  Zeich- 
nung bei  Bosquet. 


9  Exemplare  voi 

Eine  gute  Art.  Die  drei  LSngskiele  der  Ober6&che  sind 
tlit  kräftig,  aber  in  ihren  Seitearändern  rielfuch  unregel milbig 
schwielig.  Der  mittlere  und  der  obere  Kiel  endigen  im  Schlieos- 
muskclbücker.  C.  Neptuni  Egg.  und  C.  variaos  Born,  sind  zwei 
durchaus  verschieflene  Arten  und  nicht,  wie  Egger  vermutet, 
?.n  vereinigen-  An  Egger's  Xeicbnnng  Fig.  a  wt  das  Vorder- 
ondo  zu  hoch,  da  die  Schale  vorn  wenig  höher  ist  als  hinten. 
Kig.  c  und  d  sind  uacb  vorn  bin  %u  gerade  zngespit'/t;  der 
Schlii>säniuskelht}cker  ist  in  Fig.  d  zu  kräftig  und  liegt  zu  weit  vom. 

12.   Cjthere  trnncata  Renss. 

C,  acuticosta  Egg.  Ort.,  p.  40,  t.  6,  f.  7. 
Cjrpridiua  truncata  Rä».  Wien,  p.  79,  t.  10,  f.  15. 
Gythere  acnticosta  Brady  Antwerpen,  p.  391,  t.  OG,  f.  5. 
Cythere  acuticosta  Lkis.  Nordwestdeutschl.,  p.  213. 

1   Exemplar  von  Mairhof. 

Ich  habe  4  lijcempLire  der  C.  traocala  Ras.  aus  der  Reuss^- 
Gehen  Sammlung  von  Roätel  in  Mähren  und  Eggerd  Original 
der  C.  acuticoäta  neben  einander  unter  dem  Mikroskop  gehabt. 
Die  Wiener  Kxerapliir««  sind  etwas  gr<")Säer.  Davon  abgpdehen 
ist  aber  die  IJebert'inäliinnuing  der  beiden  eine  rollkümnu'ne; 
ifilbit  in  den  kleinsten  Teilen  der  Skulptur  zeigt  sich  nicht  der 
geringste  ITnterscbied,  was  urn  so  sicherer  festzustellen  war,  als 
der  Erhaltvingszustand  bei  beiden  ein  guter  ist. 

Die  norddeutsche  und  Antwerpener  Form  zeigt  jedoch  nicht 
unerhebliche  Abweichungen.  Auf  die  wichtigsten  habe  ich  be- 
reits  in  der  'Zeitschrifl  der  deutschen  geohtgidchen  Gesellschaft, 
Jahrg.  1894,  p.  214  hingewiesen.  Hinzu  kommt  noch,  dnss  an 
der  Wiener  und  Ortenburger  Form  sich  die  Verdickung  dea 
Rückcnranden  in  der  Gogond  de«  hinteren  Schlosszahnee  drei- 
eckig erweitert   wie   bei   C  macropom  Bn^q.    und   verwandten 

ISN.  HftUk.-»Jija.  ül.  1.  13 


104 


SiUung  der  maihrfihya.  Claaie  rvM  7.  MSrä  IS&V. 


Formen.   Die  norddeutsche  und  belgische  Form   ISnt  inch  jiAiA\ 

wenigstens  als  Yarifltiit  festhalten. 

13.   Cytbere   bararica  oov.  ap. 
C.  tmncata  (non  Kenss)  Egg.  Ort.,  p.  34,   t.  .'■,  f.  4. 

2  Exemplare  von  Mausbach,  4  von  Mairhof,  2   von 

leit«n. 

Oiese  Art  stimmt   nicht  mit  Reuss*  C.  trunciiia    fl 
Die  Schale  ist  erheblich   ^blanker,    vom  und    hinten    fast 
gleicher  Höhe,  nicht,  wie  Kgger  gezeichnet  hat,    vurn  erhi 
lieh  höher.    Die  Längsrippen  und  die  Qrübchan   Kviriacfaeo 
wlben  sind  in  Egger*8  Zeichnung  zir  regelmftasig,   let«t«re  a' 
XU  deutlich.    Die  hohen,  geU<^gtMien  L9ngaripp«n  äiiul  alter 
die  Art  charakteristisch.   Iro  Dbrigen  ist  kein  wc-Hcntlirbt^r  Un 
schied   Kwischeo   dieser  Art   und   der  C.  macropora   Uom|. 
banden. 


14.   Cythcre  macropora  Bosqnet. 

C.  corrugata  Egg.  Ort.,  p,  35,  t,  5,  f.  3, 

C.  macropora  Bostj.  Krancc  et  Belg.,  p.  97,  t  5,   f.  2 

C.  macropora  Brady  Äntw.,  p.  392,  t  G7,  f.  1;  t.  CG,  C  Ü. 

C.  macropora  Lklä.  Kordirestdeutscht.,  p.  20Cf  t  11,  f.  0—0. 

C.  macropora  Lkls.  Jeuire,  p.  142. 

C.  eonfluem  Speyer  Kawel,  p.  31,  t.  4,  f.  3. 

5  Exemplare  von  Hausbach. 

Die  Orieuburger  Exemplare  stimmen  mit  der  C.  mocn^pi 
aus  dem  norddeutschen  Tertiär  und  von  Jeurre  voIUtAndi^ 
liberein  und  zwar  mit  der  Form,  auf  deren  OberÜiicUo  die 
Längskiele  deutlich  entwickelt  sind.  Leider  sind  sie  etwas  sUuk 
angewittert.  Kgger'ü  Zeichnung  i^t  vorn  zu  hoch.  Die  breite, 
Mcharfkautige  Verdickung  des  RDckenrandes,  die  sich  in  i!>'i 
Qegend  dee  hinteren  8chlos8£ahne.s  sogar  dreieckig  erweilei 
ist  in  Egger's  Fig.  d  gar  nicht  zu  sehen. 


//.  lAenenktaita:  Die  Ostrakodcn  von  (irtoAurg. 


195 


16.    Cjrthore  lyriformia  KggerV 

C.  lyriformis  Egg.  Ortenburg,  p.  41,  t.  6,  f.  6. 
2  Exemplare  von  Miiirbof. 

Bei  flüchtigem  Besehen  roHchen  beide  den  Kindruck  einer 
kl«in(?n ,  abgeriebenen  C.  mocropora.  Die  Oberfläche  «oheint 
jodoch  unverletzt  zu  ^ein,  und  Kwar  ist  sie  glalt  und  mit  Karten, 
weiäutiu  Knuicben  spärlich  besetzt.  Uie  UauchHücho  zeigt  einige 
sehr  xarte  Längärippen,  Die  Zoichnung  bei  Egger  ist  wenig 
reffend;  beispielsweise  sind  die  Kiele  hinten  nicht «pitK,  sondern 
5n  gerundet,  so  da*»  dus  Banchfeld  sehr  schön  herzförmig 
^erscheint.  Die  Rnekenun^cht  lässt  die  Hinterenden  der  Kiele 
deutlich  sehen  etc.  Ich  halte  es  übrigens  nicht  für  ausgeschlossen, 
duss  hier  nur  eine  .Ingendfurm  vuii  C.  macrupora  Bosq.  rorliegt. 

16.    Cythere  coruata  Reuss. 

(J.  curnuu  E^g.  Ort.,  p.  44,  t.  0,  f.  11. 

C.  cornuta  auct. 

l  Exemplar  roii  Mairbof.  Dasselbe  stimmt  mit  anacrer 
'  norddeut^clicn  Furm  liberein.  C.  cornuta  i.st  übrigens  wohl  nur 
1  eine  der  vielen  i'ormen  der  C*  fimbriata  Mstr. 

17.    Cythere   fimbrtata  v.  Münster. 

C.  coronaU  Egg.  Ort.,  p.  4-5,  t.  6,  f.  12. 

Litterutnr  und  Synonyme  s.  LkU.  Nordwestdentscbl.,  p.  216. 

1    Exemplar    von    Hausbach ,    1    von    Mairbof.      Dieselben 

^stimmen  mit  unseren  norddeuLschon  Furmen  vültständig  Oberein 

und   zwar  ist  auch  die  Scbalunfläche   mit  Zahnen   be<;etzt,   wie 

hei  den  meisten  unserer  miocaenen  und  Dnter-üligoi.'ueiieu  Formen. 

lDie-s(?Bcznhnnng  ist  freilich  in  Fig.  12a  nicht  genau  wiedergegeben. 

Genus  Cythoridea  Bosquot. 

1.  Gytheridea  Mfilteri  r.  Münster  sp. 

C.  MnUeri  E«g.  Ort.,  p.  18»  t.  2,  f.  7. 
0.  heterostigma  Egg.  Ort.,  p.  18,  t.  2,  f.  8. 
Cythere  vel  Cytheridm  Mulleri  «t  fa«t«ru«tignw  snct 

18» 


1 9<i  Sitsung  der  atalK-phyg.  Ctaste  vom  7.  MÜtm  189€. 

1  Exemplar  von  Laingart,  Ü  vou  Bacbleiten. 

Die  ätQcke  vou  Bucbleiteii  hat  E^^ger  als  G.  iiotärosligiDa 
bezeichnet;  jedoch  hat  schon  Speyer  mit  Kecht  C.  faeterosiif^mn 
Jhs»,  mit  C.  Müllcri  vereinigt.  Ein  7.  Exemplar  von  ßachleiten 
stimmt  in  Gestalt  mehr  mit  C.  papulosa  ßosq.  übercin,  ikt 
freilich  ätark  augewittert. 

2.    Cytfaeridea  debilis  Juiiee? 

Bairdia  subtumida  Egg.  Ort.,  p.  10,  t.  1,  f.  8. 
Cytheridea  debilis  Jones  Tert.  Entom.  England.    Pal.  Soc. 
1856,  p.  43,  t.  6,  f.  13. 

Cylheridea  debilis  Lkls.  NordwestdenUchl,  \\  221,  t  15,  f.  2. 
Cylhurideu  debilis  Lkb.  Jeurre,  p.  144, 

l  Exemplar  von  Hauabach.  DaKselbe  ist  leider  wenig  rean, 
scheint  jedoch  mit  C.  debilis  Oberein/.ustinimen,  und  zwar  ent- 
spricht es  der  von  mir  1.  c.  taf.  15»  f>  ^^  abgebildeten  Korm. 

3.    Cytheridea  fabaeformis  Speyer. 

C.  heteropora  Egg.  Ort.,  p.  15,  t.  2,  f.  9. 

C.  fabaelorrais  Sp.  Kassel,  p.  52,  t.  2,  f,  1. 

C.  fnbaeformis  Lklä.  NordwestdeatschU  p.  226. 

8  Exemplare  vou  Mairhof,  3  von  Buchleiten,  G  von  HawWh. 

Es  ist  dies  die  von  Speyer  in  seiner  Arbeit  über  die  Kas- 
seler Tertiär -Ostrakoden  als  C.  fubaeformis  beschrifbon**  Art. 
In  der  Eggur'ächen  Sammlung  finden  sich  auch  3  Exemplar» 
dieser  Art  aus  dem  Ober-Oligocaen  von  Kassel,  welche  Egger 
ebenfalU  als  C.  heteropora  bezeichuet  hat.  Hiernach  wünl« 
Kgger's  Name  als  der  ältere  festzuhalten  sein,  wenn  nicht 
^ISS^^^*  Zeichnung  to  unvollkommen  w&re,  daan  die  Art  niclit 
wiedererkannt  ist*  Egge r 's  Zeichnung  i«t  vorn  erheblich 
XU  hoch. 

4.    Cytheridea  reversa  Egger. 
a  reveraa  Egg.  Ort.,  p.  10,  t  3,  t  10. 
&  Exemplare  von  Mairhof,  3  von  Uuchleilen. 


R  VettmVmt:  Dte  Oatrtäboden  wom  Ortembmrg.  197 

Diese  Aji  »ohliesat  sich  an  die  Torig«  an,  ist  aber  durch 
ihre  wifEülende  Wölbung  chanikU!ri»iert.  Vou  obt^n  geseben 
bot  sie  nämlich  gro«Be  Aehnlicfakeit  mit  Cythere  Jurinei  forma 
amplipunctaU  Sp^  «o  da»  man  sie  hiernach  kaum  für  eine 
Cytberidea  hält.  Das  »tarke  Maximuui  der  Wölhun^^  liegt  gaoK 
iialie  vor  dem  Biuterende,  von  wo  die  Profilliuie  sich  fast  rtwhl- 
«inklig,  eine  deutliche  Ecke  bildend  zum  Hiuterraude  wendeL 
Von  der  Seite  geaehen  hat  dagegen  diese  Art  grosse  Aehnlich- 
keit  mit  C.  fabaeformis  Sp. 

5.    Cytheridea  subcribrosa  Egger? 

Bairdia  subcribrosa  Kgg.  Ort.,  p.  13.  L  3,  f.  1. 

3  kleine  Exemplare,  wie  es  scheint  .lugendfortnon,  ron 
Haiicibacb.  Diescl):)6Q  gchüren  nicht  zur  Gattung  Bnirdia,  wnhr- 
scbeinlicb  zu  Cytlierideai.  Der  Vorderrand  scheint  fein  gezäbnelt 
gpwt*seii  zu  win.  Von  oben  gesehen  zeigt  nur  1  Exemplar  die 
seitliche  KinschnGrung ,  die  jedoch  wesentlich  enger  ist ,  aU 
Kgger  8ie  abbildet.  Ijie  Orilhchen  sind  undeutlich.  Die  3elb- 
stUndigkeit  der  Art  ist  jedenfalls  zweifelhaft. 

6.    Cylheridea  rhombus  Egger. 

C.  rhombus  Egg.  Ort.,  p.  17,  t.  3.  f.  9. 

't  Kxeuiplare  von  Hausbach. 

Dieee  Art  v-eichnei  »ich  durch  ihre  rhombische  Gt^tall  be- 
sonders des  HinWreudes  nus.  Egger  hut  freilich  in  der  Zeich- 
nung Übertrieben ;  die  Schale  ist  schlanker  und  hinten  weniger 
stark  Bosgebuchtet.  Das  Schlosa  zeigt  die  der  Gattung  eigen- 
tümliche Bezahnung. 

QenuB  Erithe  Brady. 

Kritbe  bartouensis  Jones  sp. 

Bairtli»  angulosa  Kgg.  Ort.,  p.  13,  t.  2,  f.  10. 
Cytberideis  bartonensis  Jones,  Englaud,  p.  50,  t.  A.  f.  2  u.  3. 
Krithe   hartonensia   Brady,   Oronkey   et  Uobertson,    l*oet- 
Tert.  Entoni.,  p.  184,  t  2,  f .  22— 2fl. 


It8 


SiUurtj/  dw  math.'phy9.  VtiWM  9im 


18X. 


Krittle  liurtouensiß  LkU.  Nord west^lputuchK,  p.  252,  t.  1 7,  f.  9. 

Krilhe  bHrtononsis  Lkis.  Jeurre  p.  Uti. 

Oytberina  gracilis  Rss.  Wien,  p.  52,  t.  11,  f.  3. 

Ehrn  50  Exemplare  vou  Hauübach,  1   von  Mairhof. 

Dieae  Art  ist  nach  Gestalt,  Narben  und  Sctilow  atm;  Krithr, 
und  Kwur  stimtnt  sie  mit  Kritbe  burtononsifl  übcroin,  nur  er- 
»cbeint  da«  Hinterende  etwas  weniger  stark  übgentutKl,  uU  ba 
HiMor  Art  Regel  ist;  jedocli  dflrfte  das  eine  Trennung  wobl 
nicht  rechtfertigen. 

Oenos  Loxocondui  0.  0.  Sons. 
I.    Loxoconcha  subovata  t.  Mdnster  sp. 

Cytheridea  clypeus  Egg.  Ort.,  p.  19,  t.  11,  f.  5. 

Cytbere  subovata  Mstr.    N.  Jahrb.  f.  Min.  1830,  |i,  6», 

Cytherina  »nbovata  Mstr.  ibid.  1d35,  p.  446. 

Cytherina  subovata  [{5ra.  ibid.  1838,  p.  515,  t  6,  f.  4. 

LoxocoDcha  subovata  LkU.  Nord  westdeutscbl,,  p.  234. 1. 16,  C  4. 

2  Exemplare  von  Hantibach. 

Es  ist  dies  die  echt«  L.  .snboTatu  Mstr.,  sia  stimmt  mit  der 
norddeutsch eu  Form  völlig  Überein.  Die  Zeichnung  bei  Egger 
lÄs.'it  die  Art  nicht  erkennen;  auch  in  der  Beschreibung  ist  der 
charakteristische  Kiel  nicht  erivähnt. 

2.    Loxoconcha  variolata  Brady. 

Cytbere  hostata  Egg.  Ort.,  p.  32,  t.  2,  f.  6. 

Cytbere  clathrata  Egg.  Ortenburger  CoIL 

Loxoconcha  variolata  Bnidy  Antwerpen,  p.  400,  l.  68,  f,  4. 

2  Exemplare  von  Mairhof,  2   von  Banhieiten. 

Dies  ist,  wie  bereit«  Brady  1.  o.  vennutüt,  I..  variolata. 
Die  von  Egger  gezeichnete  Bc/ahnung  des  Schloftsmnd««  ni 
nicht  vorbanden.  Soweit  man  nach  der  Zeichnung  bei  Reu»i 
urteilen  kann,  mtimnit  sie  Qbri^eu»  nicht  mit  C.  hastaU  R«, 
libt^roin,  daher  ist  die  Ireilich  jüngere  Benennung  tun  Bradj 
beiicnhehalten.  G.  eUthrata  Egg-,  weli^he  Mch  tu  einem  ExeoK 
pUr  von  Mairhof  in  Egger'»  Swnmlung  findet,  aber  nic)it  vna 


'K!'ZienifnhJ{tH9:  T>tr  Ottrako^en  wm  Ortenburg. 

rr>ira    be8clirie)»t»n  ist,  ist  walirschfinlich  die  schltnkerö,  uiüiin- 
I  Wehe  Kurni  von   U.  vuriolaU. 

3.  Loxoconcha  Kggertana  dot.  &p. 
Cytliore  Kostelcnsis  Egjf.  Ort.,  p.  29,  t.  4,  f.  4. 
1  Exüniplar  von  IlauHl'ach.  DuRselhe  stimmt  mit  Cytliero 
I  Kostcltnsis  11sj>.  jedenfalls  nicht  Ub<?rfin,  ist  fJbi'rhnnpt  keine 
ICythero,  Bouderu  eine  echte  LoxocoQchn  mit  Heb r  fein  und  dicht 
|)iinktiert/>r  Oberflache.  E'p^gcr'ä  Zeichnung  itd.  vom  %u  hoch 
und  durchweg  ku  eckig.  Bauch-  und  Uintcrraud  vereinigen 
sich  in  dem  für  die  (jattiuig  charakteristischen  thicben  Boj^eu. 
Die   Enden   sind    bei   Kgger's  Itückenansiubt   xu  schart  atu- 


4.    Loxoconcha  subangiitata   Kßger  flp. 
Cythere  subanguhita  Egg.  Ort.,  p.  30,  t.  4,  f.  1. 
4  Exemplare  von  Mairbuf. 

Es  iirt  ebenfalls  eine  echte  Loxoconcha,  vrie  Egger*«  Zeicb- 
[nung  rerainten  Hess.  Sie  nähert  sich  der  vorigen  Axt,  int 
jedoch  erheblirh  kleiner  niul  vorn  nicht  oder  kaum  schief  ge- 
rundet. In  Egger'M  Zeichnung  ist  das  Vorderende  erheblich 
!»i  scbri^;,  in  Kig.  d  und  e  itit  auch  die  kanrn  oder  gar  nicht 
[  bemerkbare  CoiicavitAt  t»  stark.  Das  Hinterende  ist  etwas 
ntürker  aiMgezogen,  als  Egger  gcTicichnet  bat. 

Qenns  Xestoleberis  G.  0.  Sara. 

1.    Xestoleberis  tumida   Kcuss  sp. 

theridea  tnmidn  Egg.  Ort.,  p.  17,  t.  2,  f.  11. 
Cytheriua  tumida  Ha».  Wien,  p.  57,  t.  8,  f.  29. 
Xestoleberis  tumida  Lkls.  Nordwe.st>ieut<K:hl.,  p.  237, 1. 16,  f.  7. 
Xestoleberis  ttimida  Lkls.  Jeurro,  p.  148. 
Cjtherina  ovuhim  Hvs.   Wien,  p.  Tjö,  t.  8,  f.  lU. 

10  Exemplare  von  Hausbacb,  3  von  Mairhof,  l  von  Btichleiten. 
Dm  von  Egger  gezeichneten  ScbloMiATibne,  die  ja  der  Gat- 
ItuQg  durchnuD  widemprechen,  sind  nicht  vorbanden.    Die  Seiten- 


200 


SUfung  der  mtttk.'phjft.  Clane  vom  t.  Mtn  J99fi. 


ansieht  ist  von  Ekk^*''  ^"  eckig  gM«icbnet  Zwar  entspricht 
das  £xeix)pUr  von  liuchleittfii  iu  dieser  Ber.iohuuf(  dor  Zeicb* 
nnng  figger's;  dasselbo  i«t  jedoch  verdrückt  und  besitzt  iafol]^'« 
doMen  gerade  iu  der  gerundelea  Ecke  de«  UQckenmttda)  eiot« 
Quersprung. 

2.   XeHtoleberis   lacida  KeuA«  «p.? 

Bairdia  Incidti  K^.  Ort.,  p.  7,  t.  1,  f.  5. 

Cjtherina  lucida  lUs.  Wien,  p.  50,  t.  8,  f.  4. 

I  Exemplar  vou  Hauäbacb.     Dasselbe  steht  der  X.  tumsd« 
uahe,  iät  jedoch  schlanker,  Ton  der  Seite  gesehen  liinfceu  etwa] 
regelmäßiger   gerundet    nnd   von   oben    gäechen    hinten    ftw«i| 
weniger  breit.     Alte   diese   Unterschiede    kOnnen    abrr    Altern! 
bexw.  GeschlechtAuntonchiede  aein,  ao  daM  mir  die  Artbereck- 
tigiing  der  X.  lucida  zweifelhaft  ist.    lob  kann  aber  auf  Orutid  ; 
des  einzigen   vorliegenden  Exemplars   nichts   entscheiden.     Di« 
Iteufs'scbe  Art  von  Wieliczka  hat  mir  nicht  Torgelcgen. 


3.   Xestoleberis  gintaea  Kgger  sp. 

ßoirdia  glutaea  Egg.  Ort.,  p.  8,  t.  1,  f.  6. 

Xa»toleberi.<t  depressa  Sars  Over^igt  af  Xoi^e»  Ostr.,  {lu  68. 

Seitoleburiii  deprefuft  Urody  Antwerpen,  p.  400,  t.  6i>,  f.  8. 

XestoleberiädepressaßrodyChallengerExp.,  p.  124,  t.  31,  f.  ll 

Xestoleberis  depressa  Lkls.  Jeurre,  p.  148. 

1  auegewochseneä  Exemplar  und  2  Jugaadforiuen  von 
Moirhof. 

Das  ausgewachsene  Exemplar  stimmt  völlig  mit  X.  depressa 
G.  O.  Sars,  wie  Brady  diese  1.  c.  abbildet  und  wie  sie  bc*i  Jeurre 
vorkommt,  sowie  mit  meinem  reccnleu  Material«  dieser  Art  ans 
der  Nordsee  nnd  dem  Adriatiachcn  Meere  Obcreiu.  Der  Name 
X.  depressa  ist  daher  durch  den  &It«reu  Namen  X.  glutae«  Egg. 
zu  ersetzen.  Von  den  beiden  unausgewachüenen  Stücken  ist  dott 
gr(>98ere  in  der  Hückenausicht  etwas  ecki^.  stimnit  aber  im 
nbrigen  mit  der  Art  ziemlich  nberein. 


I 


hlaMi  Die  O$irahoien  to»  Ortftibtuf. 


SOI 


Qenaa  Gjiberara  O.  0.  Sara. 
1.    Cytfaeruni  Sarsii   Bra(]T. 

C  Snrtii  Drody  Rccent  British  Oatnooda.  Trans.  Lianran 
•Soc.  20,  p.  4-12,  t.  32,  f.  39-42. 

1  Exemplar  ran  Mairhof.  Dasselbe  stimmt  volUtüiidig  mit 
G.  äarsii  Qberein,  wie  Brudj  dieselbe  abbildet  und  beachroibfc, 
nnr  dass  der  ICrlialtutigszustand  die  vollsUlndig  ^lalU*  Oberllüclit! 
und  natflrlich  aucb  die  spärlichen  Härchen  derBclbon,  die  m'  li 
an  den  recenten  Stücken  tinden^  nicht  klar  erkennen  läs»t. 

2.    Cytherura    neglecta  (Renss?). 
Bairdia  neglecta  I^g.  Ort,  p*  6,  t.  3,  f.  2. 

3  Kxemplaro  von  Mairhof.  Diese  stimmen  in  der  FiQcken- 
ansieht  nicht  mit  der  Figur  bei  Reass  Überein,  aber  nach 
Bgger's  Zeichnung  trifft  nicht  zu.  Es  ist  eine  Cytherura,  und 
%war  schüesst  sie  sich  an  C.  SarsÜ  an.  Sie  ist  jedi>ch  etwas 
schlanker.  Der  Rflckenrand  ist  erheblich  stftrker  und  zwar 
re^elmaang  gewOlbt,  Das  Hinterende  ist  mehr  zugespitzt,  und 
zwar  liegt  die  Spitze  i'aft  unten.  Von  oben  gesehen  ist  das 
Vorderende  etwas  stumpfer  gerundet,  jedoch  so,  da«  der  Yorder- 
rand  seihst  aU  deutliche  Spitze  vortritt.  Die  Spitr^  des  Hinter- 
endes tritt  etwas  weniger  vor.  Falls  Cytherina  neglecta  Rss. 
a\is  dem  Wiener  Becken  nicht  Übereinstimmen  sollte,  was  nach 
der  Zeichnung  bei  ReusK  kaum  der  Fall  sein  dtirfle,  und  doch 
die  Wiener  Art  eine  Cytherura  ist,  wäre  der  Name  xu  ändern. 

3.    Cytherura    manubrium   Egger  sp. 
Cylhüre  manubrium  Egg.  Ort.,  p.  41,  t  6,  f.  3. 

4  Exemplare  von   Mairhof,   1   von  ßuchleiten. 
Kn  ist  ebenfalls  eine  Cytherura  und  zwar  eine  wlliständige 

Art.  Die  Schale  ist  schlanker  als  nach  Kgger*s  Zeichnung. 
Der  Vordrrnind  ist  oben  wesentlich  flacher.  Die  Oeaamtgestalt 
ist  die  einer  typischen  tvvihi'niru;  hinten  unten  zeigt  die  Schale 
jedoch  jederseits  einen  antrallciideii  Höcker,  ähnlich  dem,  den 
Egger  bei  l^rdia  neglecta  var.  gibboea,  1. 1),  f.  4,  geaoichnet 


202  SitMuttff  tf«r  matK-phya.  CImu  vom  7.  Mibn  t899. 

bat.    Daä  6acbe  Bauchfeld  ist  durch  eine  deullicbe  Kaut«  ran  Avr 
SeiteuSäcbe  getrennt;  diese*  Kiiiiie  läuft  hinten  in  dem  Uüekrr  «tu. 

4.    Cytberura   hopliteä  Egger  ap. 

Cythere  boplites  E^'g.  Ort.,  p.  3it,  t.  6,  f.  5. 

i  KxempUre  von  Ilausbach,  4  von  Mairbof,  2  von  Uachletleu.^ 

()iese  Art  steht  der  C.  alaia  LkU.  «ehr  nahe,  uiitt'RU'brid« 
sich  hauptüttchlich  nar  dnrcb  die  ße^cbnffrnheit  der  Olierfläch«. 
Di«  S<^hule  iüt  tiämlicb  b«i  ^ut«m  £r)ialtuti^iptzu>(taude  t 
lieh  zablreichen,  bobun,  unreffelmÜÄMj;  verlaureuJ»u  Luii;;:    -,  ,    u 
bedeckt,  welctie  durch  /^irtere  QuerlciHten  mit  einander  verbnndnn 
sind.    Ist  die  Schale  aber  abgerieben,  »o  ist  sie  j»chwer  von  drr 
C.  niata  zu  untorscheiden.    Bei  C.  hopliios  ist  die  IjuerdeprtMnoKj 
häufig  etwas  gri>ä»er,  die  Spit/e  de«  Flügel»  gerade  nach  hintea 
giTichtet;    uft  reicht   auch  der  Finget    rieltcicbt  nicht  m  weil 
nach  hinten  wie  bei  C.  alata. 

Au  der  Vuhetät  rugulosa  Egg.,  die  in  2  Exemplaren  toh 
fUusbach  vorliegt,  ist  der  FlUgel  wenig  entwickdt 

Oenus  OTtheropteron  O.  0.  Sara, 
l.    Cytberopteron   Eggerianam   nor.  ap. 

10  Exemplare  von  Uausbocb,  3  von  Matrbuf,  1  vou  Buob-^ 
leiten,  4  von  HabQbl. 

Diefie  Art  hat  mit  Loxoconcbu  subovat«  M4r.  nicht«  gemein, 
«tirbl  dagegen,  wie  sich  aus  Egger'it  Zeichnung  auch  ergiel 
Cvtheropteron  ßos^iueti  Sp.  nahe,  nur  i»t  sie,  vou  oben  geseheOil 
etwa.'*  weniger  eifilrmig,  auch  wohl  etwas  weniger  als  EggerV 
Kijfur.  Die  Oberfläche  zeigt  ferner  nicht  die  grossen,  tiefen 
Ürubun  der  C.  Boequeti,  Boudern  auf  der  BuuchMate  und  uutefl 
auf  der  SeitenHäcbe  zarte,  gebogene  Längäkiele;  im  Gbrigvn  uk 
tfie  mit  »trten  Knötchen  ziemlicli  spärlich  bcsetxt. 

2.    Cytburupteron   reguläre  nor.  ap. 

4  Exemplare  von  Mairbof;  ditttelbtm  fandim  sich  twiscbea 
Cytheniptenin  Eggerianum  von  Mairfaof. 


IJtnmklaun :  Dia  0» 


ien  vott  fMcnburg, 


Die  Schale  i^  ziemlich  grcK»,  etwa  iVi  uial  so  I»u^  laU 
huchf  vim  der  Seite  betrachtet  vorn  rcgelm&Hsi^;  und  voll  ge- 
ruiiilel,  hitiLen  in  eine  auütäig  laug«,  die  Mitt«  den  FTinterendes 
«innchmende  Spitze  aiisgezojretn,  in  welcbo  der  nhrigens  gerade 
Rdckenrand  im  concnven,  der  Übrigens  schivach  concave  ßunch- 
rand  int  flach  coovexeii  Bogen  übergeht.  Von  oben  gesebeu 
ist  die  Schale  elliptisch  mit  der  grösslen  Breite  in  der  Mitte, 
schwach  verflachten  Seiten  und  in  kurzen  SpiUen  nusgezogcneo 
Enden,  und  zwar  tritt  das  Mintereode  etwas  stärker  ror  aU 
da«  VorJeronde.  Der  achwaclie  FlOgel  ist  bei  der  Röcken- 
ansieht  als  scb wuchs,  stumpfe  Kcke  sichtbar.  Der  Querschnitt 
der  Schale  isL  dreieckig  luit  ziemlich  scharfen  llasiswiftkeln  nnd 
etwas  convexen  Seitcngchiütten.  Die  Oberflache  ist  mit  etwas 
entfernten  warten  Knötchen  besetzt;  die  Uauchfläche  zeigt  deut- 
licha  Längsfiircfaen.  —  Die  Art  hat  gewisse  Aehnlichkeit  mit 
C.  latiM^siuium ;  das  Vorderende  tat  jedoch  regelmässig,  nicht 
»chief  gerundet;  die  Spitze  des  Hinterendes  tritt  Schürfer  her- 
vor, besonders  auch  bei  der  Rückenansicht,  und  die  Verztening 
der  Oberfläche  weicht  gänzlich  ab. 


3.    Cytheropteron    vespertilio   Keuss  sp. 
Cythere  resi^rtilio  Egg.  Ort.,  p.  43,  t.  0,  f.  8. 


I 


Cypridinn  vespertilio  Kss.  Wien.  p.  81,  t.  11,  f.  13. 

Cytheropteron  alutiuu  Sars  Overaigt,  p.  81. 

Cylheropteron  aUtum  Brady  Marine  and  Freshwater  Ostr.- 
Trans.  Rnval  Dublin  Sac.  IV,  p.  214,  t.  20,  f.  8-10. 

4  Exemplare  von  Mairhof. 

Sie  nntf^rscheiden  sich  nicht  unwesentlich  von  dem  einzigen 
Onginalc  von  Uoubs  aus  dem  Tegel  von  Grinzing.  Der  Flügel 
ist  weniger  lang,  am  Vorderrunde  »tÄrkpr  gerundet  nnd  am 
HilittTrimde  unge/Übnt*  es  ist  hier  nur  ein  kleiner  Hucker  vor- 
handen, alles  jedoch  Unterschiede,  welche  Jugendformen  von 
0.  alatiim  /.ukommen  (s.  Rrudy  1.  c).  Daee  C.  veapertiliu  Uc-u.-ns 
au!«  dem  Wiincr  Hecken  ident  sei  mit  C.  alatiim  Sars,  vermuL«l 
b«r<tits  Brady  1.  cit,  p.  213.  Nach  genauer  Unteraochuug  und 
Vergleichung  des  ReuMs*schen  OriginaU  mit  der  Beschreibung 


20 1  Sittunff  der  maOt,-}^.  Class«  wm  7.  JfJrv  JAM. 

und  Abbildunf^   der  C.  ftlatiim   bei    Brady  1.  c.    mnn    ich  die 
bestätigen,  ich  finde  keinen  UnterBcfaiod. 

4.    O^theropteron  triquetrani   Renas   sp. 

Cythcre  drwo  Egg.  Ort.,  p.  44,  t.  6,  f.  10. 
Cy|>ridina  tririuotra  Has.  Wien,  p.  82,  t  10.  f.  19. 
Cythere  gradaU  Bostj.  France  et  Belg.,  p.  127,  t.  ß,  f.  II. 
Oythere  bilacnnoaa  Sp.  Kaäsel,  p.  S4,  t.  4,  f.  (5. 
Cythcropteron  gradatnra  Ürady  Anlweqxjn,  p.  403.  t.  69,  f.  4. 
Cytlieropteron  tri<]neirQui  Lkls.  Nordwestdeiitschl. ,   p.  248. 
4  Gxeiui^lare  Ton  Mairliof.   1  vun  nucbleilen. 
Ks  ist  diea  die  typiscbe  Farm  von  C.  tri(|uetruixj. 

5.    Cytheroptheron  pnpilio  Egg.  sp. 

Cytbere  papilio  Eßg.  Ort.,  p.  42,  t.  6,  f.  9. 

3  Exemplare  von  Muirbof. 

Diese  Art  »tebt  der  C.  triquetrum  sebr  nabe,  iat  aber  utwas 
grosser  und  gedrungener,  indem  der  FlUgel  stärker,  die  Spibu* 
des  Ilinterende»  dagegen  weniger  stark  entwickelt  ist;  auch 
fehlen  auf  derOberfliiche  die  unregelmäaBigen  Palten  und  HSckcr. 
ßrody  bat  in  Antwerpen  p.  403  C.  papilio,  nicht  aber  C.  draco 
mit  C.  tri(|uetrum  vereinigt.  Auf  Grund  der  t'rwiibnten  Unter- 
schiede zwischen  Exemplaren  vüu  demselben  Fundorte  kann 
jedoch  C.  papilio  vielleicht  als  besondere  Art  bestehen  bleiben. 

Gtonaa  Cytherideis  R.  Jones. 
1.   Cytherideis  litkodomoides  Bosquet  dp. 

Bairdia  lithodomoides  Bosq.  France  et  Belg.,  p.  36,  t,  2,  f.  3. 

Cytherideirt  lithodomoides  Qrady  Antw.  p.  405,  t.  03,  f.  3, 

Cytherideis  lithodomoides  Lkls.  Nordwestdeufschl..  p.  2M, 
Textfig.  4. 

2  Exemplare  Ton  Hausbach ,  0  von  Mairkof  und  5  als 
BiLirdia  urcuaüi  bcKcichnct«  von   Bucbleiten. 

.41le  stimmen  in  der  Gestalt  mit  0.  lithodomoide»  überein. 
zeigen  jedoch  auf  der  OberüÜcbe  nicht  die  bogenrürmige  Streifung. 


R  Zienttiktatts;  Die  Ostrakoden  oon  Orierdturg.  205 

die  freilich  auch  häufig  Stocken  von  anderen  Fundorten  fehlte. 
Uebrigans  unterscheiden  sich  lebende  Cytherideis- Arten  in  der 
Schale  ofl  so  wenig,  daes  man  sie  ohne  das  Tier  nicht  sicher 
beälimmen  kann.  Daher  können  die  fossilen  Arten  nur  einen 
relativen  Wert  beanspruchen. 

2.    Cytherideis  scrobiculata  Lienenklaus. 

Bairdia  gyrata  pars  Egg.  Ortcnb,,  p.  11. 

Cytherideis  acrobiculatn  Lkls.  Nordwestdeutschi.,  p.  358, 
t.  18,  f.  2. 

Cytherideis  gyrata  Lkls.  Jeurre,  p.  155. 

5  Exemplare  von  Hausbach,  2  von  Mairhof,  1  von  Bnchleiten. 

Diese  Art  ist,  von  der  Seite  gesehen,  gerade,  vom  mehr 
oder  weniger  deutlich  und  zwar  schräg  zugespitzt.  Der  Bauch- 
rand ist  gerade,  der  Hückenrand  dacht  sich  nach  vom  in  sehr 
flachen  Üogen  allmählich  ab.  Das  üinterende  ist,  von  oben 
betrachtet,  stumpf  gerundet,  etwas  stumpfer  als  bei  der  folgenden 
ArL  Die  Grübchen  auf  der  Oberfläche  sind  von  mittlerer  Orlisse, 
mehr  oder  weniger  mnd  und  dicht  gedrängt. 

Bemerkung.  Diese  von  mir  aus  dem  norddeut^heu  Ter- 
tiär in  der  Zeitschritt  der  deutschen  geologischen  Gesellschaft 
1894  beschriebene  Art  habe  ich  in  der  Bearbeitung  der  Osfira- 
koden  von  Jeurrc  (X.  Jahresber.  d.  Naturw.  Ver.  zu  Osnabrück, 
p.  155)  mit  C  gyrata  Kgg.  vereinigt.  Bei  genauer  Unter- 
l^chung  des  gesamten  Materials  in  Kgger's  Sauitnlung  ^'tellt: 
^ch  nun  aber  herau:t,  das»  Egger  unter  dem  Namen  B.  g}'rata 
xwei  verschiedene  Arten  zusammengeworfen  hat,  von  welchen 
die  meisten  Kxemplare  zu  C.  scrobiculata  Lkls.  und  nur  -1  zu 
der  von  Egger  beschriebenen  und  abgebildeten  C,  gyrata  ge- 
boren.   C.  scrobiculntu  Lkls.  ist  also  als  Art  festzuhalten. 

3.    Cytherideis  gyrata  Egger  8p. 

bairdia  gyraU  Egg.  Ort,  p.  11,  t.  1,  f.  10. 
4  Exemplare  von  Mairhof. 


206 


SiUvng  der  matK^pht/f.  Cltute  com  7.  Mars  JSOG. 


Die  Schale  iät,  tod  d«r  Seite  gwehen,  fast  tod  dcv  Gettalt 
der  vorigen  Art,  vom  vielleicht  ein  wenig  stSrker  itigespHzi. 
Der  Vorderrand  ht  mit  pinigen  grossen,  gemndet«n  ZÄbnen 
besetzt;  bei  C.  scrobiculata  sind  dieee  Zähne  erheblich  klein>>f 
lind  zahlreicher.  Die  Oberfläche  erscheint  «ehr  »tark  rtnulig 
und  zwar  nm^vbliekseu  die  wullurtigeii  Krhi)hiinf^)*n  sehr  growe, 
Hache,  eckige  Gruben,  welche  jeducb  zum  Teil  iu  uoregelmAatig 
verhtitfende  (juerfurchen  zusauunenflieHBen. 


( 


4.    Cytberidois  cribrosa  Kgger  sp. 

Bairdia  cribrosa  Egg.  Ort.,  p.  12,  t  1»  f.  II. 

ö  Exemplare  von  Hausbacb,  7  von  Matrhof,  4  von  Buch- 
leiten. 

Diese  Art  int  Ul>erall  gleich  hoch,  vom  also  nicht  zuge- 
spitzt. Der  Bauebrand  ist  «ieuilich  stark  coucav,  der  Uürki^n- 
rnnd  entfiprecbeiid  convex.  Das  Hinterende  bildet,  wenn  man 
die  Sehale  von  oben  betrachtet,  mit  den  Seiten  mehr  oder  weniger 
deutliche  Ecken.  Die  GrUbchen  auf  der  Oberdäche  sind  Mtdir 
grosi)  und  gewöhnlidi  tief,  aber  nicht  dicht  gedrängt. 


Funilie  FaradoxostomutidAe. 

Oenos  Paradoxofitoma  Fischer. 

l'aradoxostoma  cnrvatum   Lienenklaua? 

Bairdift  exilis  Kgg.  Ort,  p.  10,  t.  1,  f,  9. 

Paradoxosttnna  curvatuiu  Lkls.  Nurdwc'^tdentächl.,  p.  254, 
t  17,  f.  11. 

1  Exemplar  von  Hausbach,  2  (?)  von  Mairbof. 

Das  Exemplar  von  Hausbach,  welchen  Egger  ab;^ebtldet 
hat,  zeigt  diu  grösste  Aehulichkeit  mit  der  uordiJt:ut(>cheii 
P.  curvnttiin ;  leider  liUst  «ich  die  Gattung  nicht  mit  Sicherheit 
beatiniMien.  Die  beiden  Exemplare  von  Muirhof  scbeineu  da- 
gegen Jugend/ormen  einer  Cytherideia  xu  sein,  jedoch  lii*vi  si.h 
auch  hierüber  ein  sicheres  Urteil  nicht  abgeben. 


E.  Lienenki^us:  DU  Oslrakoilen  von  Oritnburg.  207 

Familie  Cytherellidae. 

Qenus  Cytherella  Bosquet. 

1.  Cjthereila  compressa  v.  Münuter  sp. 

C.  compressa  Egg.  Ort,  p.  4,  t  2,  f.  2. 

Cythere  vel  Cytlierella  coniprcäsa  auct. 

1   ICxeniplar  von  Hausbach,    1   von  Habübl. 

Dftä  Exemplar  von  HabUUl,  welches  Egger  als  C.  ioflexa 
beschrieben  hat,  ist  stark  rerdröckt  und  volter  Sprünge,  woraus 
»ich  die  abweicliende,  ungewöhnliche  Form  erMSrt.  Es  rortritt 
keine  besondere  Art,  sondern  gehOrt  offenbar  zu  0.  coiu]>ru%qi. 

2.  Cytherella  praesulcata  Lienenklaas. 

C.  Jone:«innft  Egg.  Ort.,  p.  5,  t.  2,  f,  1. 

C.  praesulcnta  Lkls.   NordwentdeutecbiM  p-  2r>5,  t.  18,  f.  9, 

1   Exemplar  von  Üauubach,  1   von  Mairliof. 

Beide  wohl  erhaltenen  zweiklappigen  Kxeniplare  haben  dio 
churaktoristifiche  Furche  am  Vorderrande  der  linken  KkpiMi  wie 
die  norddeutsche  Form,  während  dieselbe  der  rechten  Klapjie 
ganz,  fehlt.  Nach  Egger'd  Zeichnung  Fig.  b  musste  sie  an 
beiden  Klappen  schwach  auttgebildet  sein^  was  jedoch  nicht 
der  Fall. 


Sitzungsberichte 

der 

königl.  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 


Mathematisch-physikalische  Classe. 

Sitzung  vom  2.  Mai  1896. 

1.  Herr  Ferdinand  LiNDEUAMM  legt  zwei  Abhandlungen  des 
auswärtigen  Mitgliedes,  Herrn  Aurel  Voss  in  Würzburg,  vor: 

a)  ,Ueber  die  Anzahl  der  cogredienten  und  ad- 
jungirten  Transformationen,  welche  eine  bili- 
neare Form  in  sich  transformiren' ; 

b)  «Symmetrische  und  alternirende  Lösungen  der 
Gleichung  SX^XS'.^ 

2.  Herr  Carl  v.  Yoit  tbeilt  die  hauptsächlichsten  Resultate 
einer  in  seinem  Laboratorium  von  Herrn  Dr.  Georg  Fried- 
länder ausgeführten  Untersuchung:  ,Ueber  die  Resorption 
gelöster  Eiweissstoffe  im  Dünndarm"  mit.  Dieselbe 
wird  in  der  Zeitschrift  für  Biologie  veröffentlicht  werden. 


180«.  ]|tth.-|iliTa.  ci.  2.  U 


I 


211 


Heber  die  Anzahl  der  cogredienten  und  adjungirten 
Transfonnationen  einer  bilinearen  Form  in  sich  selbst. 


Von  A.  Vowi  in  WQrtburg. 


B   Transf 

■  tn  meiner  Arbeit   Über  die  cogredieuteu  Trans  form  niioncn 

einer   biiiriearen  Torrn   in  sich  selbstV)    habe  icli  den  Satz,  be- 

I  wiegen,  dasä  jede  nicht  singulare  (eigentliche)  Trans forniati an 
dieser  Art,  welche  eine  Form  S  von  nicht  verschwindender 
Determinante^)  in  sich  überftibrt,  mit  Hdife  den  Syätems  linearer 
Gleichungen 

I)  5r+5'r=o 

I    bestimmt  werden  kann,   nnd  dass  die  Anzahl  der  willkarlichen 
Parameter,  welche  in  den  Üoefficicnten  der  Transformation  auf- 
treten,  gleich   der    der   linear    unabhängigen    Losungen    dieses 
ISystemä  ist. 
Setzt  man  in  1) 
so  folgt  daraus 
and  das  System  I'j  ist  dem  System  I)  völlig  äquivalent. 


')  Uobor  die  cogredienteD  Trunsformationen  einer  bilinearen  Forni 
tn  rieh  selbst,  Abb.  d.  k.  b&yer.  Ak.  a.  Wisa.  II.  CI..  Bd.  XXV[[,  desf^l. 
äitxgab.  J.  k.  bayer.  Ak.,  Gl.  II,  Bd.  XXVI,  Heft  1.  1896. 

^)  tlnifT  .S'  aoU  im  Folf^enileii  immer  eine  Konn  von  ilii'XM.r  Rigen- 
flqbaft  reratiunilcii  worden.  FQr  deii  blosD-^n  /n-crk  <ler  TraiiHfurmiLtion 
ist  allerdings,  wie  ich  schon  a.  a.  0.  S.  78  bemerkt  hrtbe,  diMe  Vomns- 
vetstmg  nicht  erforderlich,  wohl  aber  fUr  die  hier  vorliegenden  Dnirr 
uiohaugen. 


212  SitMung  der  iiia<A.-jAys.  Claaae  mm  2.  Mai  1896. 

Den  coKrodienten  Transformationen  {7,  d.h.  denjenigen, 
welche  bewirken,  dass  die  symbolische  Gleichung 

irsu=s 

erfQlIt  ist,  kann  man  eine  andere  Klasse  von  Transformationen 
:eti(>riln«ii,  wtitchij  ich  adjangirtß  nennen  will.  Unter  einer 
adjun^irten  Trunufurmalii^n  verstehe  ich  denjenigen 
Suj^fititutiupspruceiitf,  waluher  durch  die  Gleiehang 

außgßd rückt  ist.  Die  atijaugirten  Transformationen  sind  da- 
her di<!  Li-i^ungen  des  Syateitiic  Linearer  Gleichungen 

11')  SU-Ü'S=  0 

oder^  wenn  U^  YS  gesetzt  wird, 

II)  Ä'r^5r  =  o, 

d«0«n  nah«  H<t%itrUiing  zu  I)  unverkennbar  ist.  Dass  es  in 
der  That  Substitutionen»  welche  die  Gleichung  ll*) 
bt?fri(i(liy(jn,  giwbt,  d.  b.  Formen  CT,  deren  Determinante 
nicht  TCTBchwinilet»  ist  leicht  einzusehen.  Hat  nämlich  die  Glei- 
chung II)  im  Oftnaen  q  linear  iinabhiinjpge  Losungen 

y,  r. .  , .  .  r,, 

(unter  diraen  befindet  sich  die  evidente  Liisung 

Y,  =  S-\ 

so  dass  q  mindestens  gleich  1  ist),  so  hat  .sie  auch  ebenso 
viel  von  einander  unabhängige  Li'isungen,  deren  De- 
terminante nicht  verschwindet.     Denn  .^etzt  mim 

so  kann  man  immer  dem  Parameter  q.  einen  solchen  Werth 
geben,  dass  die  Determinante 

nicht  verschwindet.  Und  zwischen  den  /f  kann  keine  lineare 
Relation 


A.  Voits:  Zahl  der  Transformationen  einer  Bilinearfonn  in  sidt.     213 

T 

J'^.a.  —  O 
bestehen,  du  sonst 

verschwinden  mflsste,  was  wegen  der  voransgesetzteii  Unab- 
hünf^igUeit  der  y  nur  möglich  wäre,  wenn  alle  a  vorschwin- 
den, da  man  Q^  immer  aU  von  I  verschieden   annehmen  kann. 

Eine  symmetrische  (alternirende)  Form  S  wird  z.  B.  durch 
alle  Formen  U^MS^  wo  M  eine  fijtumetrische  (alternirende) 
willkürliche  Form  i^t,  adjnn^irt  in  sich  transformirt,  und  es 
existiron  auch  ausser  den  angegebenen  Formen  U  kuine  andern. 
Denn   setzt   man  U^MS^  so   folgt  unter  der  Voraussetzung 


cS, 


±1 


aus  der  Oleiohung  II') 


SMS^aSM'S, 
oder  M  =  a  JlT, 

also  ist  M  entweder  symmetriacb  oder  alterairend. 

Die  Anzahl  der  Parameter  in  den  Ooefficienten  der  Trans- 
formationen, welche  die  Form  S  adjiiiijjlrfc  in  nich  IrmiKfuiiiiren, 
ist  gleich  der  der  linear  unabbüiigigen  Lösungen  der  Glei- 
chungen II)  oder  ir).  Die  beiden  Gleichungen  I)  und  II)  sind 
von  der  Art,  dass  sie  n*  Gleichungen  ffir  jene  «'  Ooefficienten 
liefern,  also  dnrch  bosondore  Kigenechaften  ihrer  Unterdetenni- 
nantemiyäteme  auszeichnet.  — 

Im  Folgenden  soll  nun  die  Anzahl  der  linear  unabhängigen 
Lösungen  des  Gleichnngssyatems  I  (I')  beständig  mit  P,  die  ent- 
sprechende Zahl  für  die  Gleichungen  II  (11')  mit  Q  l}Ozeichnet 
werden.  Die  Aufgabe,  die.<?e  beiden  Zahlen  in  allen  Fällen  zu 
bestimmen,  ächeiut  ohne  apedelle  Untersuchungen  Ober  den 
Charakter  der  Form  5,  wie  z.  H.  Heduktion  der  zu  S  gehörigen 
Formenechaar  (S' -1- ß  Ä^  auf  ein  System  elementarer  Formen  etc. 
nicht   niQglich   zu  sein;   eine  directe  Untersuchung   der  Unter- 


~  I  I  dUnmg  der  mathr^yt.  C7<inc  vom  'J.  Mtt 

deU'miinunicnsystcme   von  1)  und  II)   iitt   mir   wontgstena   Iroti 
vielfältiger  Versuche  iiiolit  gelungen. 

Aber  es  giebt  einen  ausger.eichnet«n  Fall ,  in  dem  die 
Wertbe  tod  P  und  Q  nnniiKelbar  un|;egeben  wcrd(*a  künncn 
Wenn  nfinilich  die  zu  den  Wurzeln  ?  =  il    der  ch»r»k- 

terisliflchen  Function*} 

\S-\-fiS' 

gcliurigen    Klententartheiler    snmmtHcb    einfach    8ind,i 
wührend    Ober   die  Bei4chaf!onheit  der    Ubrigeu   Wnrzviu    nie 
vorausgesetzt  zu  werden  braucht,  i«t 

P'-Q=r-fi, 

wo  n{y)  die  Anzahl  der  Wurzeln  —  1  (4- 1)  der  charakterisrhe 
Kiinction,  iV  die  ^Mih!  der  mit  der  antisymmetrischen  For 
(S')"'S  vertausch  baren  Formen  bezeichnet. 

Auf  diesen  Fall,  in  dem  es  also  gelingt,  die  Untersucbnni 
der  Determinante  von  n*  Reihen   auf  die  der  charakteristiscbe 
Fimctinn  /urndfÄufliliren,  wozu  nur  rationale  Operationen  nütliij 
sind,  beziehen  sich  die  folgetiden  Unteräucliungen  ;  nur  im  letzter 
Paragraph    Bnden    sich    einige    weitergebende    Betrachtung 
Ohanikteriätisch    ist    aber    für    den    (iang    der    Untersuchanfi 
die    Art  und  Weise,   wie    die   vorliegende   Frage   in    Za-^ 
sammonbang  mit  der  Aufgabe  gebracht  wird,  die  An- 
zahl  der  symraetrisoben  und  alternirenden  Formen  zu^ 
finden,    welche    einer    gewissen    aus    1)    abgoleitAteu 
Gleichung  genOgen,   die  in  dem  obigen  Falle  liier  zugleich 
ihre  Erledigung  findet. 


'i  l'io  Dot'.'iiiiiiiftmo  emw  Form   C*"™  ia^iX^y^  «oU  ilui-oh 

odrr    I  U I 


'  a 


ihi 


herWohnet  werden ;  nntiT  demselben  Symbol  hwtn  man  dann  auch  jodd 
Partialdetenninantc  /<^  Onlaong  versieben,  wenn  den  Indioei  hitft  vitti| 
oinaniler  ««reclüedene  Werthv  «rkbelll  waideo. 


A.  Vba»:  JTaV  ttfT  TrnmtformrttütneH  einer  Bitinearfbrut  tu  tfuJi.    215 


Ein   ttligcinciner  Satz    über  die  cogreilionteii    und   ud- 
jungirtcn  TrAiisforuifttiouen  einer  Form  in  sich  selbst 

Unter  VorauKsetxiing  der  Gleichung 

1)  5XH-X'S=0 

folgt  duroll  LTebeigang  zu  den  conjugirten  Formen: 
X'5'-f  fi-'X  —  O 
oder     X'«  — 5'X(&'')-^ 

Setzt  man  diesen  Werth  in  l)  ein,  so  ergiebt  Hich 

2)  {S')~^  SX  —  X(S')-'  5=1) 
oder 

2a)  S-'S'X— XS-'.S''  =  0. 

Jede  Form  X,  die  der  Gleichung  1)  genügt,  ist 
also  mit  der  Antisymmetrischon  Form 

{Sy^S    oder     .?-'«' 
rertnuschbar. 

Aus  der  Gleichung  2  a)  folgt  noch 

8)  X'  S(S')-'  -  S(SY^  X'  =  0. 

daas  jedes  X'  die  Gleichung  ä)  befriedigen  mnsa.     Aber  aus 
der  Uleichung  2a),  die  man  auch  iu  die  Gestiilt 

5-'  8'  S''  {SXS-^)  -  XÄ-»  S'  S-'  =  0 
»der 

(5XS->)  S(S')-'  -  S(S')-'  (SXS-^)  =  0 

bringen  kann,  folgt  ferner: 

Ifit  X  eine  Lßgung  der  Gleichung  2),  so  ist  SXS~^ 
eine  Lönung  der  Gleichung  3). 

Ich  bezeichne  nun  mit  N  die  Anrjihl  der  linear  uniilr- 
iitingigen  Formen,  welche  der  Gleichung  2)  genügen.    Sind  femer 

X,,  X|  .  .  .  Xjf 


(lieztti  Furmen  seit»!,  so  ist 

dii'  iil)f^*mt*in4tir   itiPMcr  (itvichunff   ^nQg«nde    Kunti,    iitlU 
mit  n  nillkarltche  l'arnmetor  hozcichnti.    Em  bandelL  sich  da 
jetzt  um  die  Bestimmung  derjenigen  Werthe  der  er,    dcirclj 
xngleioh  diu  Glrichtin^  1)  h«*frii'digt  wird.    Trii^t  mau  ku 
Zwecke  den  Werth  von  X  in  1)  ein,  m  «rgiebt  sich 

4)  -Tü^-VX^S-»  +  Sa^X^  =  i) 

Nun  sind  alicr  Äufoljfe  der  Unabhänpigkr-it  der  X^^ 
einander  uuch  die  X^  onter  einnnder  imalibängig.  |>en 
vA  nach  dam  vorhin  angeführten  Satze 

4a)  SX,S''  =  Eß,,X\ 

90  dass  ans  4)  folgt: 

5)  Xa^ß^,^-tt,=^0, 

Die  Cnefficienten  /f^,  «her  lassen  sich  naher  definrwBT 
gehören  einer  Form 

vun  A  bitiuearen  Variabcln  an,  deren  Qtmdrat  gleit 
der  Form 

iat    In  der  Tbat  folgt  aus  4  a)  durch  üebergoug  tu  den 
jugirten  Formen 

{s'r^x:s'^£fi,,x. 


A,  Vc»»:  ZnM  iJtf  Tfamfnrmationtn  eintr  Büinenrforot  in  «cft.    2l7 

Hi<>rauB   aber   crKiebt  sich  wcßen  der  Uiiubhiingi^keil  der 
formen  X  das  Svsiem  von  Identitäten 


6) 


^yui'^t.  =  ^. 


fAllii  unter  «9,^  diu  KroneckerVhe  Zeichen 
d,.=  l,     /-* 

vorstanden  wird.  Die  Coefficienten  ß^^  bilden  aIso  ein 
Synteni,  deasen  eharakteristiscbe  Function 

nur  die  einfachen  Klementarthailer  ^  =  J^  1  hat.*)  Ist 
nun  p  1=  -f-  1  eine  P  fache  Wur?*!  der  Gleirbong 

fto  fi^ebt  es  auch  genau  P  linear  nnabhängigo  Grössenreiben 

a}   oj,  .  .  .  af, 

Z=l,  .  .  .  iV, 

nnd  ob^nsn  groAs  ist  daher  die  An7,abl  t\^T  linear  von  einander 
unabhängigen  Formen 

X^  =  2XX,,        e=\  .  .  .  P, 

welche  die  Üleicbung  1)  befriedigen. 

Eine  ganz  analoge  Untersuchung  liiuäi  sieb  über  in  Bexug 
auf  die  <iIfi.hnnLr 
1')  SX  —  X'S^O 

fnhreii.  Denn  intch  diese  ergiebt  zur  Uestiminnng  von  X 
yunüchst  wieder  die  notbwendtge  Gleichung  2).  Und 
»etzt  nisn  ans  den  Löeiingen  X^^  jet/.t  die  UJ<iung  ron  l') 

xiisaninien,  m  fulgl  /tir  Btistirnmung  der  Coefficienten  y  das  Syatem 

^)  Dinnr  Satx  ftnilnt  «ich  beroiU  in  uieiner  froheren  ArtuHt  k.  a.  0. 
8.  101.  aber  unter  VomtiaMtittiiff  «ioor  onnMlugeD  Botchrankiin^*. 


M8 


fltowy  Ur  mwOk,  |ifi. 


mh'Mm  4eiB  «—JT— P-fftehen  Wanelfaetor  (r+9  ^r 
eharftkteriitisehen  Fonetion  entopreebead  eia  8j»l«w 
▼on  H  liaear  nnabhSngigen  Formen,  veleli«  der  Glai- 
elrnng  7)  genttgen. 

Nim  Inan  man  ftttlicli  die  dbamtUdun  FwÜ , 
mit  {«iner  ge|^ebcne}i  Form  Tatrawhbw  fliad,  wie  idi  ia 
in  rjii«n«t)  Sitxun^herifihten  endneneneii  Note')  geaeigt 
verhältniMmiMif^  einfach  bertimmen.  Aber  die  ftmiUahag  dv 
(^efticient^n  ß^^  und  damit  der  Zehlen  P,  Q  eebeint  aof  Sdwi»- 
rifrkmtii»  /.u  fuhren.  Aui  dem  V orBtehenden  eigicbtadi  daher 
fonielMfc  nur  der  Sefa: 

Die  Summe  der  Ansahlen  der  Parametar,  dorafc 
die  eine  Form  von  niebt  Tersohwindender  Daiaraii- 
nante  8  eogredient  und  adjungirt  in  sieb  tranaformirt 
werden  kann,  iit  gleieb  der  Zahl  'S  derjenigen  For- 
men, welehe  mii  der  antisjmmetrxseben  Form  8^^^ 
Tertanechbar  sind. 

Han  kann  diesem  Seise  uch  die  folgende  Form  geben: 
Die  aämnitlichen  N  linear  nnahbSngigen  Formen 
X,  welche  der  Gleichung  2)  genfigen,  lassen  sich  in 
zwei  Klassen  von  P  und  Q  Formen  theilen,  von  denen 
die  eine  die  Lösungen  der  Gleichung  1),  die  andere 
die  der  Gleichung  1')  darstellt. 

Die  Determinante 


I>  = 


ri 


y's 


')  Uelier  die  mit  einer  liilinearen  Form  vertauschbaren  Formen, 
Sitzgaber.  d.  k.  bayer.  Ak.  d.  Wisa.,  1889.  Vgl.  auch  die  folgende  Note 
Ober  symmetriKhe  und  altemirende  Lösungen  derCUeichung^X— XS"— (t 


A.  Voss:  Zahl  der  TVamtformaHonen  einer  BUinearform  m  fich.    210 

kftiiu  iiUiiilich  niclit  verschwinden.  WKr«  <liw  der  Küli,  so  ^Übu 
.«  P  Znhlen  A?  und  Q  Zahlen  Jt",  für  die 

£  A^  oj  +  L  Ä*  yj  =  0 

e==l  . . .  /\     ff^l, . .  ^ 

'Ist,    für  ttll«.'  Wertho  von  k  vnu  1   bis  A^     Dann  i^t  übur  auch 
xtifolge  der  Gloichnngen  ^)  wnd  7) 

mithin,  wenn  man  die  vorstehenden  Oloicliungun  niii  den  A^,  k" 
lunltiptiotrt  und  addirt, 

vAeof-2"fr*'y;'  =  ü, 
WH»    mit;   der  vorhin    aufgeütelUen  Gleichung  unverträglich  ist, 
dn   nlsdnnn    die  aj  schnn    unter   pich    von    einander   linear  ab- 
hängig wUren.     Mithin  sind  jene  P  -j-  Q  Können  von  einander 
unabhängig. 

8  n. 

Qtfber  alternirende   und  symmetrisclie   Formen. 

Die  Qleichung  2}  des  §  T  ist  von  einer  ganz  eigenthtitu- 
lichcn  Gestalt.  Es  iät  daher  zu  verrauthen,  das»  auch  ihre 
Lösungen  durch  besondere  Eigenschaften  ausgezeichnet  sind. 

Setzt  man 

so  sind,  da  die  DetAritiiuante  von  S  nicht  Null  ist,  die  Formen 
Z^  ebenso  top  einander  unabhiingig,  wie  die  Formen  X^,  sie 
gonflgen  aber  der  durch  ihre  ausgezeichnete  Form  be- 
merkenswertbeu   Gleichung*): 

')  Sie  hat  die  für  diu  b'olgentle  weauniHohr  Gifjentjchnft,  (Jiiss  ont- 
«precbend  dor  Oleicbnng 

xpsvv^z(V)'^  CS'  V'^  trs^w'^zivr^  vsü. 

_bei  jeder  oogrodicntött  Tran^fortuntioii    von  8  nurh  diu  LA* 
liungen  Z  cugredieDt  trautforuiirt  wurden,  was  bei  UleichanK  3) 
1  nicht  der  Full  ül. 


220 


der  math.'jiftffti,  (^OAfC 


9.  XM  ieo€. 


Und  da  atu  1)  zagleich  fol«! 

•0  hui  man  iU*n  I^aIs: 

Die    Gleichung   1)    wird    dnrcb    alternir^ndp    ai<l 
ayrametriBofae  Formen  Z  befriediget,  nftmlich  durch  die 

Kormeti 

:s,±zi.      fr-i  -  -  -  .  iv, 

welche  den  Formen  X^  zugeordnet  sind. 

Die  symnietrischen  Foriutfu  jC^  4~  ^«  tollon    im    t*ol|i 
mit  dem  Symbol  6*^,  die  atternireuden  Fornieu  JS^  —  ^^  mit 
bezeichnet  werden.    Die  jS^  sind  im  all^'enieineii  nicht  run 
ander  unubbnngig.     Best«hun  ubor  />  lineiir  unabb&ttgigi*  ^l 
tioneo  zwiKcheu  den  S^^  ist  also 


so  ist 


P. 


Es  sind  also  Ton  den  ^  Kormen  S^  N  —  p  TOa  einander 
linear  unabhängig.  Und  zugleich  existiren  dann  genau  p  alter- 
nireude  Formen 

welche  von  einander  utiubhängig  »itid.  Denn  eine  lineare  Ke- 
lalion  kannte  9;wischen  den  A^  nur  dann  stattfinden,  wenn  die 
Coefficienten  a^^  wenigt»r  iil»  p  unabhängige  Systt-nie  darstellten, 
—  gegen  die  VoratiBsetznng.  Man  hat  also  den  folgenden  Satx, 
welchef  die  Krgän/.iing  'lu  dem  um  Kode  doü  §  I  aUAge&prochänon 
Theorem  bildet: 

Die  Gesamnitzahl  der  unabhängigen  alternirendcn 
und  symmetrischen  Formen,  welche  die  Gleichung  1) 
befriedigen,  ist  gleich  A\  oder  auch: 

Es  existirt  immer  ein  vollständiges  LÖKUngssysfeem 
der  Gleichung  1),  welches  aus  Unter  altern irendea 
und  dymmetrischen  Formen  zusamniengeieizt  isL 


A.  V(m:  Zaid  der  Tfünjsfonnatvmen  einer  Häiimarform  in  »ich,    221 

In  der  Thnt,  bezeichnet  tniui  die  ü^yuimetriikoben  von  ein- 
Ander  uiiabhäuf^gen  Kormen  durch 

SiSf  .  .  .  Sji^^, 
die  alteruirenden  mit 

kuuu  mich  zwischen  dieaon   keine  linenre  Itelation  beatehen. 
Vfnre  nüruUch 

m  wäre  durch  den  üebergauii;  7.u  den  coujugirten  Fomieii  auch 

d.  h.  es  wären  schon  die  S^iA,^  unter  siob  nicht  linear  un- 
ftbhSnf^ig. 

Die  Aufgabe,  diese  alternirenden  und  symmetri- 
«ehen  Formen  direcfc  kg  hestiinmen,  führt  nno  auf  eine 
Haur.  ähnliche  Untersuchung,  wie  die  des  §1. 

Bezeichnet  man  wie  oben  die  üiitninLlicheu  von  einander 
iiniibhüngigen  Li'eungen  Ton  1)  durcli  ^^,  £  =  1,  .  .  .  iV,  so  iat 

die  altgeiueinate  Luhnng.     Süll  Z  b-ymnieiriM.-h   oder  alt-emirend 
^n,  so  miiss 

«Her 

sein.     Nun  genilgt  aber,  wie  leicht  zu  :»eheu,  die  Form 

denelben  Gleichung  3)  §  1,  wie  X\  es  ist  aUo 

and  sotnit  folgt  xur  Bcrttiminutig  der  CoeCficienten  a  dos  System 
der  Gleichungen 


oder 


Und  da  ferner  '    ! 

ist,  ao  «rgiebt  sich 

so  dass  die  Coefficienten  y^^  wieder  ein  Syst^Ut'liSld'As, 
dessen  charakteristische  Fanction  nur  einfache  Ble- 
ttentartheiler  top  der  Form  9±1  besitak 

Ich  f&hre  noch  einige  SStze  an,  die  einra  weiterisa  Z«- 
sammenhang  zwischen  den  Coeffici«iten  ß^^^  y^^  begritodea. 
'  '■  Ans  der  Gleiohnng 

sx.(s')-'=.jry.,x; 

fidgt  noch  §  I,  4a) 

(S')-SX.  =  ^y„/S,.X.. 

Setzt  man  nun  fQr  einen  Äugenblick 

so  dass  die  griechischen  Indices  die  Werthe  von  1  bis  n,  die 
lateinischen  die  Werthe  von  1  bis  N  durchlaufen,  so  liefert 
die  letzte  Gleichung  durch  Coefficienten  -  Vergleichung  die 
n  N  Relationen 

Die  charakteristische  Function 

habe  nnn  eine  Wurzel  ^  =  q^.  Dann  gibt  es  mindestens  ein 
System  von  Grössen  j?,  welches  die  Gleichung 


Ä.  Vott:  Z*M  der  TVttntformaiionen  einer  Büinearfomn  in  sich,    223 
eiftUlt,  mithin  wird 

^  ^Hfi  ^i  ft  =  —  ?i  -^' A,  5ii 
oder,  wenn  man 


^ßM. 


•?: 


-^xM*^=  -Pi'ii- 


Das    heiäst:     Jede    Wurzel    der    charakteristischen 
FunttioB  .y^"  Grades 

ist  auch  eine  Wurxel   der  charakteriätischcn  Function 
n**"  Grades 

|S4-e&"|. 

Der   i^ittz    gilt   aher   auch    umgekehrt.     Denn    bexeichnet 
iimn  mit  o^  eine  Wurzel  der  letzteren,  bo  ist 

oder 


wie  zu  zeigen  war.  Die  beiden  charakteristischen  Fooc- 
tionen  haben  daher  nur  durch  die  Grade  der  Vielfach- 
beit  verschiedene  Wurzeln. 

In  dem  besuDderen  Falle,  wo  die  Wurzeln  der  charakte- 
ristischen Function  '  S  -^  q  S'  \  sämnittich  von  einander  ver- 
schieden sind,  ist  JV^ti  und  man   hat  den  Satz: 

Sind  die  Wurzetu  der  charakteristischen  Function 
|i9-|-(5'|  alle  von  einander  ver^ichieden«  so  ist  die 
charakteristisch«  Function  i^», +  ?}'|,  I  'on  derselben 
nur  um  eineu  Constanten  Factor  verschieden. 


224  BÜamtff  der  math.-fh9$.  Otofn  vom  8.  M»  1896. 

Dieser  specielle  Satz  Iftsst  sich  ttbrigens  leicht  direct  hef^ 
leiten.  Wenn  nämlich  |  iST  +  '^  9 1  lauter  einfache  Wurzeln  hat, 
nnd  etvro 

|isr-»s  +  ^l  =  i-j.fl^ß+  . . .  on^ifT-'-hr 

gesebtt  wird,  so  sind  die  n  ersten  Potenzen 

der  Form  Ü^(8'y^S  von  einander  unabhängig;  sie  bilden 
das  vollständige  LOsangssystem  der  Gleichung  StXf^XQ,  und 
ingleicb  ist^) 

Sr-a^iir-'-\-  .  .  .  -|-(_l)-»a,ß  +  (-l)*fl"-0. 

Die  mit  a^^  bezeichneten  Grössen,  welche  den  Gleichungen 

i/  =  2'Oj,i2'-\        fc=.l,  2  .  .  .  11 
«=1,  2  .  .  .  « 
genügen  mOssen,  erhalten  wegen  der  Unabhängigkeit  der  For- 
men Si  sofort  die  folgenden  Werthe : 

ff„  =  o„  =  o„=   .   .   .  «,_],.=  1. 

.  .  .  <'„„_i  =(— 1)^  «„_2,  a„„=«„-i; 

alle  übrigen  a^^  sind  gleich  Null.  Und  man  erliitlt  hieraus  die 
Gleichung 

womit  die  Ueberein Stimmung  der  beiden  Functionen  n^"  Grades 
direct  dargethan  ist. 

Während    diu    vorhergehenden  Betraclittingen    die  Bestim- 
mung der  Ton  einander  unabhängigen  Lüsungen  der  Gleichung 

2)  SX  +  aX'  S^O,  «  =  ±1 

von  der  Ermittelung  des  Systems  der  Coet'ficicnten  ß^^^  abhängig 

machen,    kann    man    auf    einem    anderen    Wege    sämmtliclie 

*)  Vgl.  Frolx'iiiii K,   Ut;ber  hiivuru  äubi^titutioiifii  und   bilinean> 
Koniion.  .I»iiniiit  fdr  MiithL'iniitik,  \M.  BL  ri.  12. 


A.  Vom:  XaM  der  Tranitflirmationen  eiyur  BÜintarfbriH  in  nick.    225 

Lösuufj^eD  explicite  darsielleu.  Isfc  X  eine  Losung  Kon  2}  und 
aei?.i  man  nach  g  I) 

A'  =  ra.X^.        k^\  .  .  .  .  N 

oder  nach  §  I,  h) 

=  il  V  a,  Xj  —  ( l  —  Ä)  -i'  (S' )- '  a^  X;  S' 
80  wird  fttr  X^  =  if^5'  nach  1) 

Man  kann  uUo  jede  LOsung  von  2)  in  die  Form 

8vl»!n.  Umgekehrt  aber  ist  jeder  Ausdruck  von  der 
Form  3)  eine  Lösung  der  Oleichung  2),  sobald  2  eine 
Lösung  von  1)  ist,  und  die  Gleicbung  3}  stellt  alle 
Lösungen  von  2)  vor,  wenn  an  Stelle  von.?  ein  System 
von  unabbÄngigen  Lösungen  von  l)  gesetzt  wird,  so- 
bald man 

p  -^  aq  =  0,  q-\-  ap  =  0 

setzt,  welche  beiden  Gleichuiigeu  wegen  m^-^1  miteinander 
verträglich  sind. 

Wählt  man  insbesondere  hierzu  das  aus  den  symmetrischen 
und  alternirenden  Formen 

best«bende  Sy«tero  und  setKt  man  x.  B.  a  ss  -[-  l 

erholt  man  als  Lösungen  der  Gleichung  S X  -\-  X'8^0 

4)  X,«S.(5-^} 

X,^A,{S-\-S'). 

Diese  iST  Formen  sind  aber  nicht  von  einander  unabhängig 
und  M  ist  auch  nicht  schwer,  die  xwiscben  ihnen  bestehenden 


metriachea  Lösungen  der  GleichuDg  l),  ao  isl 
und  zugleich,  wenn  ,  S  -|-  5*  |  :t^0, 
lägegea,  wenn  jS'  — 5|:t:0, 


§ia 

HOlfssKtse. 


'jr  riv'i*5*i -■  *  -«'^ 


, '*^.    -.« 


"■j  - 


Enthalten  die  Coeffidenten  einer  Form  T  m  FusaMtar' 
i|  . . .  JUi  >o  heiasen  dieselben  wesentlich,  warn  wwi>4nt^ 
Wahl  der  X  m  von  diesen  Goefficienten  willkflrlich  Torge- 
schriebene  Wertbe  eribeilen  kann,  d.  b.  wenn  es  m  Coefi- 
cienten  giebt,  die  binsicbtlicb  dieser  Parameter  von 
einander  unabhängige  Functionen  sind. 

Wird  eine  Form  einer  von  diesen  Parametern  unabhängigen 
linearen    Transformation    unterworfen,    so    bleibt   die   Zahl    m 


1}  Es  sei  Doch  der  hierher  gehörige  Satz  erwähnt:  Int  S  eine  aym- 
metrische  Lösung  der  Gleichung 

und  verschwindet  i  S'  -J-  S  |  nicht,  80  ist 

eine  altemirende  Lösung  derselben  Gleichung;  und  ebenso  inius,   wenn 

eine  symmetrische  Lösung  sein,  wenn  //  eine  alternc  ist.  Wenn  also 
beide  Determinanten  nicht  Null  sind,  gehört  zu  jeder  Lösung  der  änea 
Art  eine  der  anderen,  d.  h.  es  ist  p  =  q. 


A,  Vdiwr  Znht  rfer  Tranjßfhrmntfmen  einer  Jiüineiirform  in  »dt,    229 

UDReftnderfc.  Bildet  man  aus  mehreren  Fortnen  T^  ,  ,  .  T^  darch 
Addition  und  MuUiplitation  iinW  uinandür  oder  riiil  anderen 
Knrnien  neue  Forineu,  so  lüaat  sich  im  allgeuieiucu  nur  be- 
haupten, dass  die  Zahl  der  wesentlichen  Ptirameter  in  der  Ke- 
äultante  nicht  grösser  ist,  aL^  die  (jesantnitTabt  der  in  den 
Componenten  vorkommenden. 

Sind  insbesondere  die  Cuefticieuten  lineare  (allgemeiner 
rationale)  Functionen  der  I'aranieter,  so  kann  man  sie  ohne 
lieschränknng  aU  homogene  Functionen  derselben  voraus- 
setxen.  lüine  Form  T  mit  m  wesentlichen  linearen  Purametem 
iüt  also  von  der  Gestalt 

und  die  linearen  Formen  T,  sind  alsdann  von  einander  unab- 
häni;!};,  d.  b.  en  besteht  keine  lineare  Relation  mit  Constanten 
Cuefficienteu 

xwist:hen  denselben ;  umgekehrt  enthält  ein  ttoU'he>t  Af^gregat  T 
von  m  linear  unubbänj^igen  Foroien  T^  auch  m  wesentliche 
Parameter. 

Addirt  man  zn  einer  Form  T»  (1)  mit  m  wesentlichen  Para- 
metern eine  zweite  £/,  welche  neben  den  Parametern  l  noch 
n  Parameter  fi  enthält, 

wobei  die  U^  keiner  Voraussetzung  unterworfen  Rind,  bo  ent- 
hält die  Form  U -\-  T  genau  m -}- u  wcseutliche  Parameter, 
Hobuld  die  Formen 

ü,-\-T^  «nd  F, 
i  >=«  1 ,  2  .  .  .  m ;  ft  =  1 , 2  .  .  « 

von  einander  unabhängig  sind.  Denn  liesHo  sich  {/-(-  7  in  ein 
Aggregat  i,  o»,  -f~  •  -  ■  ^,*'\  verwandeln,  in  dem  die  v^  ,  .  .  v^ 
linear  vun  einander  uimbhHngige  Functionen  der  JL, /i  sind,  und 
wäre  m-f-fi>«,  so  könnte  man  CT-j-T  dadm'ch  zum  Ver- 
schwinden  bringen,   daaa   man   s  der   Qruäeteu  1,^4   durch   die 


330  SUsnnff  der  mMh^pht/n.  ÜJiwre  vom  2.  M^ii  iS9C. 

übrigen  m  -{-  n  —  8  ausdruckt,  Jies  ist  aber  niclit  mligUcli,  rla 
ja  alle  l^ft  verechwinden    nitiiwen,    wenn   U -\- T   Terwckiwindt*. 

Dicker  sehr  eelhstversülnd liehe  Satz  konimt  im  Fütgetideb 
in  der  besonderen  Karm  mr  AnweoiJung: 

Ist  A  eine  aUerniTende  (sjmraetrifiche)  Form,  deren 
CoefficienteD  m  wesentlJiilie  Parameter  A^  eaLbulteü, 

und  «beQ«o  S  eina  eymtuetriBchfl  (alternirend?)  Farm, 
derftn  Coefficienten  neben  jenen  Parametern  t  nocb  n 
andere  Parameter  t*  entJialtep, 

wülfci  die  S^  von  einander  unabbaD^ig«  aymraetriscbo 
(aUernin^nde)  Foruten  sintl,  ho  enthalt  die  Form 

X^pA-hqS 

g«nuu  »I  +  n  wesentliche  Parameter. 

Df^nn  die  Voraussptzungen  äea  obigen  Satzes  tdnd  hier  er- 
fnltt.  Wären  nämlich  {es  möge  nur  der  Ffill  b^tnicbtet  werden^ 
wo  die  A  altern,  die  .6'  syanaetnäch  aiud) 

A,-hS^.  Sl 

Ton  einander  abhängig,  also 

2:a^(A,  +  S,)-\-^ß,Sl  =  0 

so  hätte  man  auch  durch  TJebergang  zu  den  conjugirten  Formen 

hieraus  folgt  aber  durch  Subtraction,  dass  alle  a  verscbwinden 
müssten,  und  demnach  auch  das  Verschwinden  aller  ß^. 

Man  kann  dabei  noch  folgendes  bemerken,     fis  sei 

wobei  die  ot^  .  .  .  ta^  linear  unabhängige  Functionen  der  iL, /i 
sind.  Die  Formen  {7  bestehen  aus^  symmetrischen,  CTj , . ,  ü" ,  2 — p 


r««i7 


der  Tran 


IS^iHfr  Baiwarform  in  eich     231 


altemirenden  Ut^i . . .  f/,,  eniJlich  v  —  l  Kormen,  die  von  keiner 
hoiJ^n  Arten  eind.     Dann  ist 

Ä  =  l  .  . .  ;) ;  ü*  =  ;»  -f  1  . .  .  /;  s'  «=  J  -f  ^  •  •  •  *"• 

Nun  foIy:t  aus  w^,  =  fl,  w^,  ^  0  Has  Verschwinden  von  il, 
«Iso  »Her  X.  Es  ist  daher  v  —  f)  =  fN,  oder  da  v^sm-^n^ 
H  =  j>.  Die  Zahl  der  in  X  auftretenden  symmelriachen 
Formen  ist  also  unrurilndürlich,  auf  welche  Art  auuh  X 
in  dio  angegebene  Form  f^ebracht  werden  muf^. 

Ich  Bchliesse  hieran  einige  Satze  über  die  Tranüfurnmtion 
altt'rnirender  nnd  symmetri.scJier  Formen. 

Fl*  ^ei  IVeine  Form,  in  der  der  höchste  Grad  nicht  sämmt- 
Lieh  verschwindender  UnterJctorminanten  gleich  »  —  fi  sei,  oder 
in  der  die  0,  !,,,/<  —  1**"  Unterdeterminanten  noch  üänmit- 
lich  verschwinden,  während  miudeätena  eine  ft^  ünterdetermi- 
nant«  nicht  Null  Ui.  IWeichnet  mau  nun  mit  E^  und  £",  die 
Formen 

so    können    bekanntlich   stets   rwoi    Formen    U,   V  nicht   ver- 
schwindender Determinante  angegeben  werden,  so  dosa 

l*it.     Allgemein  m<^ge  vorausgesetzt  werden,  dam 


*)  Bftxeichnct  mao  di«  Coeffioionten  von  W  durch  a^^, 
mit  o*  *  :  e,  o  —  1,  .  .  .  »* — /*  ein  Sjitcm  dicHer  Coefficiynten 
detarn  Detvrminante  nicht  Null  iat.  so  UsBt  sich  immer  bo- 
wirken,  davi 

wird.    Einu  lulehe  Tninifbrmutiön  Hndel  mui  auf  fnlgendem  Wef|«w 
Man  kaon  die  ttloicbuuj^n 


1)    r,..,/,-o. 


2)  ^^»:»=o 


5ttnnv 


"n  9i  Mfnf  MM^ 


Üi,   wo   die  Determinante   roo  E^P  E^  geUtIdei  in  Ken;  lij 

ilie  wirklich  vorkoiitmt^ndeD  n  — /i  VariiibeliipiMfcre  nicht  Null  it-j 

Aas  dicaor  Gleichuni^  folgt  nun 

vwv^B^PE^r-'  ir. 

Iit  W  ein«  nitemirende  oder  £yni metrische  Form,  iokj 
die  rechte  Seite  —  sie  »ei  durch  Q  hezeicbnefc  —  Ton  «icnuel^  j 
GhMrukter.     Aus  den  Gleichungen 

folgt  aber 


oder 


UWÜ'^E^QE^. 


Und  die  Determinante  \onE^SlE^  kann  nicht  veracbwindeJ 
Denn  die  Form 

bat  eine  nicht  verschwindoiido  Deterroinante;  aDderer^tiita  ist  aber 

\M\^\r'^\\ü'\\E,nE,\. 

Auf  demselben  Wege  erhält  man  Rlr 

ru-'E^PE^  =  a, 

rwr^E^n^E^, 


auch 


(fotlurch  befriedigen .  du»   inftn  die  e  den  Gleirbiin^fen   I)   fllr  X:^}- 

n  =  1, . . .  »  —  fi  umi  die  C  den  Qleidiuiifieii  2.1  ftlr  '"  —  •«■  e  •*  1  . . .  m « 

nnterwirfl.    Dieeo  Gleichungen  liefern  dum  die  r^  ,  ftiugetlrdckt    ilt 
die  willkürtich  bleiticnden  übrigen  f,  and  olieniio  div  Ct-t  aQ*^<Irücli 
durcb  die  willkürlich  bleibenden  Übrigen  C>    äetirt  man  uun 


80  wird 


uml  man  kHnn  hIho,  indem  miin  diejunigen  f,  *}  glcieli  Null  »cUt.  ilurt'nJ 
Indii'cft  bMÜglii'b  nicht  drn  Reihen  i|  . , .  »i,.^;  Jki . . .  it'^_;i  nnffchfin«,  j 
erreiehen,  dati 

wint. 


A.  Vota:  Za 


MT 


Afanatitimnen  einer  BUinenrfortii  in  nich.     SHH 


HaD  hat  also  zwei  cogreilienfce  Transformationen, 
welche  die  symmelrir^cliü  oder  altornirende  Form  H^ia 
(*ine  symmütrisohe  oder  nltcrnireude  Form  von  nicht 
verschwindender  Determinante  ßberfUhrcn,  snbuld 
UWV=E^PE^  ist.  Diaae  beiden  Transformationen  fallen 
nur  dann  ztummmenf  wenn  V^^  ü'  ist,  d.  li.  wenn  schon  die 
Toranaf(esetzte  Trauaformation  eine  cogredionte  iät. 

Dieser  Satz   kann  in  folgender  Weise   umgekehrt   werden. 
'Sind   Ut  V  zwei  Transforniatiouen,  welclie  die  Form   W  cogre- 
dieol   in   Formen    transforuiiren ,    welche   nur   die   in  E^  vor- 
kommenden Variabeln  enthalten,  also 

V  WV^E.n^E^ 

so  ist 

also  pyiebt  es  auch  xwei  Substltutiunen  f7,  F",  welche  die  Form  W 
in  den  analog  gebauten   Ausdruck  E^PE^  verwandeln. 

Bine  allgemeine  Form  W  kann  nur  unter  ganz  besonderen 
Bedingungen  cogredient  in  die  Form  E^  P  E^  transformirt 
werden.     Aus  der  Gleichung 

Ü*WÜ^E^PF^ 

folgt  numlich 

aläo  auch 

ir(W-\-^W')Ü^F^{P-^llP')E^. 

Damit  abK>  W  cogredient  in  eine  nur  die  Variabein  von 
E^  enthaltende  Form  trau^iformiri  werden  könne,  mwts  die 
Deteraitnante 

iir-f  e  W| 

mit  allen  fi  —  1*^  l^ntcrdetonniniintcn  filr  jedes  q  verschwinden. 
Und  ist  umgekehrt  durch  zwei  von  ^  unabhängige  Sub- 
fcitutionen  Ü",  F"  die  Seh  aar     W  -^-^YT  ^  in  eine  Seh  aar 


234  Sitzung  der  matK-phys.  Classe  vom  2.  Mai  1896. 

P  •\- Q  Q  transformirbar,  welche  nur  die  Variabeln  der 
1^'orm  £*!  enthält,  also 


80  folgt 


also  auch 


uwu'  =  E^PE^  r-»  ü' 

UWü'  =  E^QE^V-'  ü' 


VWU'^U{V')-^E^Q:  E^, 

d.  h.  es  ist  U  und  ebenso  V  eine  cogrediente  Trans- 
formation, welche  die  Form  W  in  eine  nur  die  Varia- 
bein der  Form  E^  enthaltende  Form  transformirt. 

Im  Folgenden  wird  es  sich  häufig  um  die  alternirenden 
oder  symmetrischen  Lösungen  X  einer  Gleichung  von 
der  Form 

^  X  =  0 

handeln.     In  dieser  Beziehung  sei  also   W  eine  Form,   für  die 

U'WU^E^FE^ 
sei.     Die  Losungen  der  Gleichung 

irA'  =  o 

sind  zugleich  die  von 

Die  Form  U~^  \{l'  )~^  nni.s.s  ulso  der  einzigen  Bedingung 
genügen,  dass 

i-;  r-' A'(r'j-^  =  0 

ist,  da  K^  V  K^  j  al.s  von  Null  verschifdcii  voraiis^gesetzt  wird. 
Süll  nun  A  aUern  odi-r  MtiiiTK'trisch  sein,  so  fril;^t  aus  die-<t'r 
Bedingung,  da-;?-  auch 

r-' A'(r'V'  /■;  =  <» 

i^t,  also 

eine  alterne  oder  symnietrisclie  Form  ist,  \vel(;he  nur  die  in  E^ 
vdrkoniniendi'n  Variabeln  LMithult.  Man  liat  also  den  folgenden  Satz: 


A,  Vont:  Zitfä  der  7)ratuformntionm  einer  BÜinearfornt  m  Weh.    235 

Ist  W  oino  aUcrniren<]o  (oder  -«yramotrische)  Porin, 
deren  ^i  —  I"*  UnLerdelermiuuuten  uoch  HUmiuilicb  ver- 
schwinden, so  giebt  es  nur 


/'(/"  +  !) 


ff^U' --iy] 


von  oinander  linear  unabhängigo  synimctrische  (alicr- 
utrcude)  Formen  A',  welche  der  Gleichung 

IVA'  =  0 

Ren  (igen.     Aus  diewn    läs»t   sich  dann   natOrtich  jede  andere 
Lösung  dieser  Gleichung  zusammensetzen. 


5  IV. 

liestimniung  der  Zahlen  p,  q;  P,  Q. 
Erster  Kall. 

Im  Folgenden  soll  eine  synimotrische  rorni  beständig 
durch  Jf,  eine  aliernirende  durch  A  bezeichnet  werden.  Die 
Gleichung  I  des  §  I 

Ifiasb  sieh,  wenn  I" -|-  y^l\  )"—  1*— ^4  gesetzt  wird,  in 
der  Gestalt 

1)  (S'  +  5)2--l-C5'  — 5)^  =  0 

schreiben.  Es  sei  nun  zunächst  liV'  +  '^l  nicht  gleich  Null, 
während  etwa  noch  die  ft  -!••■  Ünterdetcrniinanten  von  15'-S| 
KÜninitllrh  vifrsohwiudeu.  Alsdann  gehi»rt  zu  jeder  Losung  dtr 
au8  1)  folgenden  Gleichung  (vgl.  g  11,  S.  227) 

2)  {S'  ~S)Ä  (S'  +  S)  —  {S'  -\-S)A(S'-S)^0 

eine  volUtüudig  bestimmte  Form  ^  vermiVge  der  Gleichung  I); 
den  p  Formen 

entsprechen  also  zunächst  aucli  ebenso  viele  Formen  2*.  Dies« 
Irt y.( »■reu    •.iinl    iiltpr   n j.-li l   vnn  einander   unabhängig. 


2-S6  SUiung  äiv  ptntK-phrfM.  ClasgA  Dom  2.  Mni  J^SMJ. 

Denn  unter  den  Formen  Ä  befinden  sich   (vgl.  §  lU,   S.  2:W) 
g«uau 

von  einander  iinabhiiiigi(;5e,  welche  die  Gleichung 

Ijtffriedigen,  während  Ais  (Ibrigen  linear  unabhängigen  A^  tWeset 
Uldchting  nicht  geuiigen. 

Die  der  ersten  Klasse  ton  Portnen  Ä  zuj^eliörigen  -2*  trind 
»ämintlich  identisch  Null  zufolge  der  Oleichung  1),  wührcnd 
zwischen  den  i"^*  welche  zu  den  Qbrigeu  A^  gehören»  «nmös'licli 
eine  lineare  Uelation  stattfinden  kann.    Denn  wegen  der  Idenlitül 


würden  uUditnn  auch  die  A  nioKt  von  einander  oder  von  den 
bcrcitä  ausi^eschiedenen  A  mmbbütigig  sein.  Die  Anzahl  der 
«ymnietrinchen  Formeu,  welche  der  Cileichnng  2)  ge- 
nfigon,  i«t  tlüher  mindestens  gleich  der  dL*r  Foruieo  A^, 
also 


3) 


q  =  p 


+  X 


wo  X  eine  positive  ganze  Zahl  oder  Null  ist. 

Man  kann  nun  eine  ganz  analoge  Untersuchung  in  Bezug 
auf  die  Gleichung 

SY-S'  Y'c^Ö 
oder 

4)  {S  +  S')  ^  +  (5'  -  S)  2"=  0 

anstellen.    Man  erhält  dann  zu  jedem  2",  welches  der  Gleichung 

{S  +  S')  2 iS'  —  S)-  (S'  —  S)  2"(S'  +  Ä^)  =  0 
genfigt,   ein  bestimmtes  A,   und  hieraus  folgt  ganz  wie  vorhin 

5)  ^  =  j_, ("_+!)+ K 

WO  Y  ebenfalls  eine  positive  ganze  Zahl  oder  Null  ist. 


A.  V<m:  ZtAi  ä^r  'Drantfortuatüinen  eintr  Bäinearform  m  «M.     »37 
Aas  den  Gleichangeu  3)  and  5)  und  nach  §  II,  B.  228  folgt: 

25 

(ai  +  I) 


■>r-^^ii^  +  x  =  2^ 


2p«=iV^  — /i 


-I-  y^2P 


lat  nun  n  eine  gerade  Zabl,  so  kann  /(^O  sein.  In 
dipsem  Falle  hat  man  alm, 

Ut  dagt!gen  n  ungerade,  und  verschwindest  nur  die  De- 
terminante I  S'  — S|  selbst,  so  ist  X+  1'=  1.  Hieraus  ergiebt 
»ich,  da  N  jetzt  nothwendig  eine  ungenid«  Zahl  ist, 

^  2     ' 

0  =  ^+^ 

Kine  gan?.  ähnliche  Untersuchung  lässt  sich  nun  in  dem 
Falle  anstellen,  wo  S'  —  S  als  von  Null  ver*cliieden  ruraus- 
gesetzt  wird.  Verschwinden  aUdann  noch  die  r  —  l*^  üntei^ 
determinauteu  von  ,^-f~^'lt  ^  tindet  man 


p  =  q~- 


9=P  — 


2 


x,  +  r.  =  .», 

and   anniit   nacli    der  zm  Fud«  des  g  II  gemacht<'n  Bemerkung 

'(»'4-1) 


2  /?  «  A'  - 
2?  =  y- 


2 

K'-l) 


--'  +  -V.-2^, 

-^  +  r,  =  2  p.') 


1)  Ich  huLo  ilü<  hier  entwickpitfn  FanuaUi.  iKh  an  ctefa  ottr  mne 
«dtf  oiigtüuaur  U^-tue  ergeben.  uichL  unlenJrfli'kt,  um  xu  uikcd,  wi<* 
lAJcht  der  .lUlgffmninn  KiUI*  «ich  bebiiadulB  IftHt. 


238  SUsunif  ilrr  math.-phys.  Clfisse  mm  3.  Mni  1890. 

Ist  also  bei  geniJem  n  v  gleicL  0  oder  1,  so  tat  JL*t]ü«iil»l 

Dorch  die  vor  Ausgehenden  FormeEn  ist  die  Zahl  der  cof^re- 
dientc0  uud  adjungii'teu  Transformationen  einer  Furm  in  sich 
selbst  in  allen  den  Fällen  bestiDimtf  wo  die  beiden  Determi- 
nanten |SH-5'|  und  [S'  +  S|  nicht  gleichzeitig,  und  keine 
derselben  noch  mit  nllen  ersten  UnterdeterminätitBii  verschwindet. 

FQr  den  Fall,  wo  die  charakteristische  Function  |S-|-^iS' 
nur  einfache  Wurzelu  hat,  also  N  - n  ist,  haben  Chrlstoffel 
uud  Kronecker^)  die  Zahl  P  und  zuji^leich  die  esplicite  Dar- 
ütelhing  der  P  Transformationen  vermöge  der  Wurceln  jener 
Fonctiüti  gegeben.  In  meiner  oben  erwähnten  Arbeit  habe  ich 
dieae  Methode  auf  den  Fall  aus^gedehnt,  wo  Jene  Function  nur 

einfache  Klementartheiler  besitzt.    Da  aber  hierbej  nur  1  -  ]  Trans- 

formatianen  ermittelt  ßind»  bleibt  die  Aufgabe  noch  ku  er- 
It^digen,  in  dem  hier  besprochenen  Falle,  und  obeüso 
un 1 1' r  Aex)  iv e i E e r Ii i n  b l- h a n d e 1 1 imi  ü  11  g e in lm n e r e n  V u' r - 
aassetzungen  alle  Transformationen  in  sich  —  etwa 
anter  der  Voraussetzung,  d^s  jene  Wurzeln  bekannt  sind  — 
zu  bestimmen,  auf  die  ich  hier  nur  hinweisen  kann, 

§  V. 

Fortsetzung. 

Die  im  vorigen  §  erhaltenen  Resultate  lassen  steh  noch 
erheblich  weiter  führen,  wie  jetzt  geschehen  soll.  Hierzn  ist 
ein  genaueres  Eingehen  auf  die  Gleichungen  1)  und  5)  des  §  IV 
erforderlich. 

Ist    zunächst    wieder    \S-^S'~:^0,    so    kann    man,    falls 
S  —  jS  I    noch    mit    allen    ft  —  l**"   Unterdeterminanten    ver- 


')  Borchardt'a  Journal,  Bd.  C8,  S.  253  und  S.  273. 


A.  VoBa:  Zahl  der  Tmntformationen  einer  SUinearform  in  eich.     239 

'ficliwindet,  durch  eine  c<»gredienU>  Transformation  V  nach  g  111 
bewirken,  doss  dio  Gleichung   1)  des  §  IV  die  Form 

1)  *-5'  +  oA  =  0 

annimmt,  in  vreichor 

wieder  eine  symmelrläcbe, 

ü*{S'  —  S)U  =  a 

eine  aliernirende  Form  »st,  welthe  Iptxtere  nur  von  den  in  der 
Form  E^  vorkommenden  n  —  /<  Variabelnpaaren  X,  1"  abhängt, 


und  es  iht 


^.  =  x,  r.-h  .  ..  A;,}; 


i'\ 


'  A'^l+1    ^^+1+    •    ■    -    \  ^n 


Dabei  'uX  bekanntlich  n  — /4  äne  gerade  Zalil,  denn  die 
Deterruinant-B 

wird  als  von  Null  rerschieden  Toransgesetzt     Durch  die  näm- 
liche Transfurraation  aber  tritt  an  Stelle  der  Oleichung  X)  jetzt 

2)  sA^nS^Q. 

Die  Symbole  A  und  2*  bedeuteu  dabei  wieder  (sielie  die 
Anmerkung  auf  ä.  210)  alternirende  und  symmetri&che  Formen, 
welche  durch  die  cogrediente  Trunsformation 

I  den  im  §  IV  durch  eben  dieselben  Buchstaben  bezeichneten 
Carmen  hervorgehen. 

Nun  mUBS  jedes  ^^  welcbei  der  tileicfaang  1)  genOgt,  auch 
Idie  Gleichung 

i  befriedigen,  nnd  diese  iat  keine  andere  als  die  darch  die 
I nämlichen  cogredicntcn  Tranüformutioneu  tranafor- 
[mirte  Gleichung  t)  oder  la)  des  §  II. 


240  Sitzung  der  matK-phys.  Classe  vom  2.  Mai  1896, 

Aas  3)  folgt  aber 

4)  I!^s2:E^{E^aE^)^0 

5)  {E^aE;)E^ZsE^  =  0 

6)  E^s  2^  E^{E^a  E;)  —  {E^a  E^)  Et2  s  E,=^  0. 

Von  diesen  Gleichungen  sind  4)  nnd  5)  nnter  einander 
identisch,  denn  die  eine  ist  die  conjugirte  der  anderen.  Aas 
ihnen  folgt,  da  die  Determinante  der  eingeklammerten  Form, 
wie  oben  bemerkt,  nicht  Nall  ist,  dass  in  der  Form 

alle  Coefficienten  p^^  verschwinden,  deren  erster  Index  der  Reihe 
1  ....  ^,  deren  zweiter  der  Reihe  ft  -\~  l  ...  ■  n  angehört 

Nan  enthalten  die  Coefficienten  von  ^  nach  Voraussetzung  q 
wilikQrliche  Parameter.  Damit  aber  die  Gleichung  1)  befriedigt 
sei,  müssen  die  weiteren  Bedingungen 

7)  E.sZE^^O 

8)  E^aAE^  -\-E^sl^Ei  =  0 

erfüllt  sein.     Aus  8)  und  9)  folgt 

}■:,  AJ\  =  -  {K,  a  E,)-^  {E,  s  ^  // ) 

j-:.,  A  ]■:,  =  -  {!■:,  a  e^)-'  (/:,  s  2'/;,) 

und  durch  (lio.>e  (Uoichungen  sind  die  Cuefficienten  der  gebuchten 
alternireiiden   Korm  A  völlig  bestimmt,  bis  auf  — ~ — -,  in 

;■,  .1  j:, 

iiuflreteiidc,  die  vollkommen  willkürlith  bleiben.  Dafür  aber 
.-ini.i  lue  C»H-flicienten  von  -1'  den  weiteren  Bedingungen  7)  zu 
iiiiler\v.*rten.  l>a  liiernaeh  alle  Coefficienten  p.^  von  s  2",  deren 
lii'liie>  der  Iteihe  1.2  ...  /*  entnommen  sind,  gleich  Null  sein 
niü->eii.  scheint  die  An/.ahl  der  hieraus  entspringenden  Be- 
tlingungeu  gleich  ft*  zu  sein.    Eine  genauere  Ueberleguug  zeigt 


Vorn  X(M  der  Tyntuformatioiten  einer  Hitintarfarm  in  nick-    2-il 

er,   dam  itiebe  Zahl    vifl   zu   )j;rus8  litt.     In  ^er  Tbitt   i'r^k'bt 
«ich  nach  iler  uum  5)  fulgeii(ien  Uk'icltiing 


Ks^K 


0 


die  Kc'Iatiua 

/!.',  j  2'  s  ^,  =  /v',  s  ^  K^  (il\  Ä  £,) 

und    tlulier    fulgt    büreiis    aus    d«m    Vench winden    der    sym^ 
nu!  t  ri  seit  t!  II    Knrni 

tliti  Olt^ichitfi)?  7),  sobald  nur  die  Deteriiiinaiite  vou 


E,sE, 


nicht  vergeh  windet.    Unter  dieser  VorausseiKini^  iiiD^jea  al 
die*  Ouctticienten  der  symntetrisclien  Korni  ^  nur  noch 


180" 


weiteren  Bedingungen  unterwarfen  werden  und  die  Anzahl  der 
in  2'  willkQrlicIi  bleibenden  l^arameter  tdt  ionach  unndestenft 
■gleich 


Nach  dem  zu  Anfuug  de^  g  Hl  ttufgestellten  ll(ilf:«atze 
ist  daher  die  Anzahl  der  wetJcnUichen  Puruoietor  in  der  Lösung 
der  Gleichung  I)  des  §  I 


in^ 


p^q-^ 


+ 


+  A% 


wii    A    eiui'    iH>.-<itivi:    fjaii/.e    Zahl    o<Ier    Null    Ut.     Geht    IUP 
xweitcn«   von  der  Glcicliung  2)  atu,    »u  erhält  man  auf  genau 
deiuäellwii  Wege  die  Qleichung 


H) 


oder    wegen   der   uu*f    10)    und    II)   durch    Addition    folgenden ' 
IJleichuiig 

nur  durch  X  ^  0,    >'=  n  hefridligt  werden  kann, 

'UM.   M«Ui.pli;a.C).  1  IG 


4^  m^k.fk9B.  Omam  «m  Z  Mm  MC 

kä  la  bertekneUigai   Mfc,  das  •  —  ^  eis«  ireraJc  Z«U 
wini«  ii*  die  Detennmazite  der  «JtenurendeD  Form  •  vdMl 

■gegvB   die  D«tcrtnio»nie   wn  S'  —  S  ineki  ver- 

er  die  ron  S'  -f-  6'  noeb  mit  allen  r— !*•  Uftltr» 

1  KoU  ist,  so  kann  man  die  Gleioiiang  1)  de*  §  1 

"  VOfWBMixao,  in    welcher  a  nur  nodi  ?o«  d«a 

Yariahrin  al»hiaft  nad  die  Deti  iiiifiiMli 

all  bL  Brial  imd  jcfatk,  ton  der  Glcichii^  1) 


rafi^l 


^^rap  altemiread«  Fnmien  A^  welche  den  Bedin 

genOgen.     Diese  Formen  liefern  vermöge  der  Gleichongen 

E^XE^  4-  (E^sE^)-^  E^aÄE,  =  0 
E^2: E^  -^  {E^s E;)-'  E^a  AEj^O 

eine  bis  anf  — ^-^ — -  willkörliche,  in  E^XE^  aoftretende,  Pan- 

meter  bestimmte  symmetrische    Form   Z^   falls   die   Parameter 
in  A  den  weiteren  Bedingungen 

1*)  E,aAE,=^0 

unterworfen  werden.     Da  aber  nach  4) 

E^aAaE^  =  E^  a  A  E,  (E^  a  E^) 

ist,  so  repräsentirt  die  Gleichung  7')  nur 

^(^-1) 
2 


A.  VoMs.  y.tihi  dfT  TranAforoMtionen  nnet  Bitinearform  in  «öfc.     243 

weitor«  H**«linj{uiij;en    für   d'w  X,   so   lauge  die    Detfirmi- 
uaute   von 

nicht  verscliwindefc.     Man  erhrilt  dulier 

uud  elwnsir  mit  lUiltia  Ton  2) 

e  =  ? 2 + 2 '^^■ 

9,  ^  =  7»  (vgl.  am 


t) 


iMler  X,=  K,  =  0,  und  emlliclii  W(?geii  P- 
Kodc  von  §  II) 

Hiebe!  ist  iiatQrlich  n  eine  gerade  Zahl,  da  sonst  |5'-i^| 
Null  wäre.  Aber  auch  v  innss  eine  gerade  Zahl  sein,  da  die 
Voraussetzung  |  A',  o  A', ;  t  Ö  sonst  nicht  zutrifft. 

IJtiiUer  die  beiden  für  die  Kortii^ln  I  und  1'  beziehungsweise 
Tiothwendigon   Yorautiäet^ungcn 

|K,sK,   4:0,  \j:^aE^\:rO 

möge  hier  noch  folgende  Bemerkung   hinzugefOgt  werden,  die 
«ich  auf  die  invariante  Natur  dieser  Bedingungen  bezieht. 

Geht  eine  form  F  durch  die  Substitutionen  ü",  V  in 
eine  Form  K,  P /?,  (Iber,  wetcbe  nur  die  in  E^  vorkom- 
menden V^ariabeln  enthält,  und  deren  Determinante  in 
Bezug  auf  diese  letzteren  nicht  Terschwindotf  und  geht 
gleichzeitig  eine  Form  G>  durch  dieselbe  Substitution  in  eine 
Form  31  Über,  so  ist  die  Form  E^ME^  eine  Invariante 
in  dem  Sinne,  dass  die  Eigenschaft  von  7^,  3fJ?, ,  mit  allen 
Unterdetermiuiiriteii  bix  xu  denen  der  k~^  l*^  Ordnung  inclusive 
ZU  verschwinden,  bei  allen  Transformationen  V^  V  der 
nogegebenen  Art  erhalten  bleibt 

Der  Beweis  dieses  Satzes  kann  auf  folgende  Art  geführt 
werden. 

I6* 


244  SitMtmg  «kr  ■Mlk.'jAy«.  CSotH  vom  9,  Mm  XB9e. 

Ist  nSmlich 

12)  ÜFY=^E^PE^ 

13)  U0V=^M  . 

14)  U^FV^^E^P^E, 

15)  t7i<PF,  =  ifi, 
•0  folgt  aas  12)  nnd  14) 

EtPiEt=U^  Ü-'E^PE,  K-»  r,. 
Hieraus  geht  hervor,  dass  die  Formen 
E^U.U'^E^PE^ 
E^PE^V-'V.E^ 

Terschwinden,  so  dass  also  zufolge  der  Voraossetcung 

die  Formen 

16)  E,  ü,  U-^  E^ 

beide  verschwinden  müäsen.     Setzt  man  nun 

u^  mv,  =  u,  u-^  M K-'  \\  =  i\  r-'  E,  ME,  r->  k, 

4-  l\  U-^  E,  ME^  V'^  V,  +  l\  r->  E^  ME,  K->  V, 

so  folgt  ans  der  unter  10)  gemachten  Bemerkung 

E,  l\ (I>  V,  E,  =  E,  .V, E,  =  H,  l\  r->  /■;.  ( H,  MI'\)  I\  K-»  K,  E, 

oder,  wenn  zur  Abkürzung 

"1        ^'i  *■  1  ^■'      -''1 1  --J  —  '•!  '        '^  I  ^'l 

gesetzt  wird, 
171  7'  M  E  =i*  /■'   ME  1* 

Ks  ist  aber  nuch   l(>)  ebenfalU 

r,  r-  =  i>,  +  K,  r,  v-'  /■;,  +  £,  er,  u-'  e^ 
y-  ■  r,  = «.',  +  A'.  K-"  K.  £; + ^  r-'  r.  e^ 


fTriAäur:  Xaht  iler  Transformationen  einer  Bitimarform  in  »ich.    245 

Da  niiD  die  Deteruiiuantcn  linkorband  sicher  von  Null  ver- 

iiieden  sind,  sind  eä  auch  die  beiden  Detcrminauten  £i^  und  Ü^. 

)er  nur  von  den  in  £^  enthaltenen   Variabein  abhängige  Theil 

dtT  Korm  jV,  hat  daher,  wie  17)  zeigt,  die  Eigenschaft  dtirch 

die  Subfiiitution  /i,.  'i,  au^  E^ME^  herTorzugchen,  wie  ku 

zeigen  »Tar. 

Die  Formeln  1  (T)  beantworten  daher  die  im  Kiu- 
Kango  dieser  Arbeit  gestellte  Frage  vollständig,  so- 
bald die  Determinanten  |&"-|-*''|»  (I  äi'  — S\)  nicht  ver- 
schwinden, nnd  auRserdem  eine  gewisse  In  Variante') 
der  Form  8'  —  5,  (Ä+iSj  von  Null  verschieden  ist. 

Die  obiffen  Abiühlung'»n  können  durch  eine  directe  Rech- 
nung besüiligt  werden.  In  der&elben  sollen  die  Indices  j^j,/'  * .  * 
die  Werthe  /<  +  1  .  .  .  .  «,  di«  Indices  i,  i*,  t*,  .  .  .  die  Werthe 
1  ,  .  -  /i,  endlich  die  Indices  /,  m  .  -  die  Werthe  l  .  .  k  dnrch- 
lanfen^  und  jedem  ^  Zeichen  dasjenige  Pj«ili>ra  der  Indices,  in 
Bexug  auf  weluhes  siimmirt  wird,  beigefügt  werden.  Beu^ichnet 
man  forDcr  die  Coefficienten  der  Formen 

5,  a,  ^',  A 

in  derwlben  Ileihenfolge  durch 


ff*       PI*      Ff'       r»* 


wobei 


ist,  so  treten  an  Stelle  der  Oleichnngen  4)  nnd  n)  die  folgenden 

6»)  ^  (',/  V  ^V/  "  °jr  "r«  V  ^  **• 


*]  Vgl.  die  Beiiinrkatijr  am  T.nAv  tnn  $  VII. 


^n  ßtltwm$  der  mdU-fAy*.  Oame  tom  3.  Mai  1896, 

Die  Ahxaütt  der  OMcfaungetL  4a)  birirn^  ;i(it  — ft),  dio 
Glciobungen  ü»)  vrfalUn  tu  tt — /<  Glcdclitingvii 

1 

'cntapracfaend  dum  FulJe  j=j   and  ^(r-'/'X«  — >*— 1)  wettere 

OIw<jlumgen,  wenn  j  ^j.    Zd  diesen  kommen  endljcli  noch  di« 
Bcdiogungen 

7»)  S%'-r^">- 

AUdäiüD  geVSrt^  wie  o^en  bemeirkt,  »n  jedem  System  der  ff, 
welches  diese  Gleichungen  befriedigt,  ein  System  von  Grossen  a    , 

in  dem  -^  ^  (l>f  —  I)  CoefllicieDten  ganz  willkürlich  aogetkoti^men 

trctden  küunen^     Nun  enthalteD  die  Gleichiiugeti  4ft),  Ou)  Dur 
di<yenit^en  o,  in  denen  wenigenstens   einer  der  Indices  aas  der 

rt«ihe  der  j  entnommen  ist,  sie  lassen  daher  die  ."  — ^    -  GrQsara/^ 
*«'  I?*"*  wiUkflrUch,  m  besitKeii  also  die  Gleicliuiigen  •!»},  6a) 
genau 

^  2 

von  einander  unabhängige  Lösungen  a. 

Die  Gleichungen  7  a)  bestimmen  aber  die  Grossen  a^^,  ver- 
möge der  Grössen  a.  und  zwar  so,  dass  erstere  von  selbst  ein 
System  symmetrischer  Grössen  bilden,  so  dass  keine  neuen 
Bedingungen  für  die  a.^  hinzutreten,  sobald  voraus- 
gesetzt wird,  dass  die  aus  den  s^^.  gebildete  ^t  reihige 
Determinante,  welche  oben  durch  K^sE^\  bezeichnet  wurde, 
nicht  verschwindet.  Um  dies  zu  zeigen,  bringe  man  die 
Gleichungen  7  a)  in  die  Form 

7  a)  x:.,,.a..,  +  s;s,^a   =0, 

multiplicire    dieselben    mit    den    Unterdeterminanten    S^^,.,    der 
Determinante 


A.  Voss:  Zahl  der  Transformationen  einer  Büinearform  in  sich.    247 
und  summire  über  t.     Dann  entsteht 
18)  ÄV,.  +  Ss,,V^-.-  =  0- 

Entfernt  man  hierin  die  aus  der  Gleichung  4  a)  oder 

TT     J>'    *'i    '     y    Jf    }i 

folgenden  Werthe  der  o  .^  nämlich 


so  wird  aus  18) 


^V  =  -,^V^i-.^M' 


•     »        .  rT  ^'3    J3     jt       t   i       ti" 

und  hieraus  fulgt  durch  einfache  Vertauschungen  gleichwerthiger 
Indices,  dass 

a =  ff..,.,. 

ist,    wie   7,u   zeigen    war.     Damit  ist   zugleich    die  Formel  10) 
hergeleitet,  in  welcher  X  =  0  zu  setzen  ist. 

Eine  ganz  ähnliche  Betrachtung  lässt  sich  nun  auch  an 
den  Gleichungen  4),  6),  7)  vornehmen,  mit  der  einzigen  Modi- 
fication,  dass  die  Indices  /  jetzt  von  v  -\-  l  .  .  .  n,  die  Indices 
(  von  1  .  .  .  v  gehen. 

Man  erhält  nünilich  an  Stelle  der  Gleichungen  4'),  0')  jetzt 
4'a)  i;a,,a,.==0 

O'a)  U  i't .,  ct. .,.  s., .,  —  s. ..  a.. ,  ff, ..)  =:  0 

und  diese  Gleicliungen  ti'a)  repräüentiron  nur 

Gh'ichuni^cn,  da  sie  inr  J  =^  j    von  selbst  erfüllt  sind. 
Die  Bt'diii^'ungen    l'a),  O'ii)  lassen 

r{v  —  \) 


248  Sittunft  äff  malti.-f^t/i.  Clastf  «om  U,  Mni  fSüC. 

wesentlirhe    ParKniet«r   für   die   or  lu.    Atist    den    Itedingnngni 

7')  oder 

7a)  i;a,^ö,.^  +  S«,^.fl^^  =  0 

findet  man  unter  der  Voraussetzung,  daas  die  mit 

beMohnck  Determiunnte,  dtsren  UntcrdetermiDanten  A^     seien, 
Hiebt  versciiwindet, 

18')  A  a^^.,  +  L«^^ aj.^  A^.,^  =  0, 

während  aus  den  Gleichungen  i'&).  oder 

durch  MnHipHcntion  mit  Ä^^^  und  Siiramation  nach  t'  folgt 

A  a^j,  -f.£  fy^-  a^^.^,,.,.  =  0. 
SoUt  mnn  Hio.sen  WertL  in  18)  ein,  so  folgt 

und  liierauis  durch  VurUusehutif?  der  Indicea,  dass  die  so  be- 
stimmlen  GWJssen  a  ein  alternirendew  System  bilden.  Dadurch 
i«t  Kuglc^ioh  Af.r  iiitWr  1 1 )  ungegebene  Werth  von  Q  bestätigt. 
Kntllich  wird  man  Htch  ohne  Miihe  davon  überzeugen,  dass 
bei  der  Untersuchung  der  zu  den  Gleichungen  4),  6),  7)  ana- 
logen aus  der  Betrachtung  von  2)  entsteh eiulcn  Delationen  ganz 
entsprechende  Verhältnisse  stattfinden,  deren  besondere  Darlegung 
hier  unterbleiben  mag. 

§  VI. 

Bestimmung  der  Ziililcii  P,  Q',  p.  q. 

Zweiter  Füll. 

Üie     vorhergehenden    Betrachtun<(en     beruhten    auf    dem 

Umstände,    dass    von    vorneherein    drei    Ilelationen 

zwischen    den    gesuchten    Zahlen    7',    Q^  p,   q   vor- 


Tba:  Zahl  der  lyamforwalianen  ritier  Bäinearform  {h  idch.    219 


hnnden  ivaren.  Ga  soll  jetxi  Angenommen  werden,  dass  für 
die  Form 

noch  die  ft  —  1^",  fdr 

noch  die  r — !'•■  Volerdetermiiianlen  TerschwMid(.'ii.  ÄMann 
lässt  sich  S  -|-  S'  durch  cogrediente  Transfornmtion  verwandeln 
in  Hie  nur  von  de»  « —  f*  in  i?,  vorkommenden  VarJHbeln  jib- 
han^^e  Form  s  und  bei  dieser  Tran^formittion  gebt  S  —  S 
über  in  a.  Kbi;nso  gehl  auch  5*  —  5  bei  einer  anderen 
GOgredienten  Transfurmution  in  die  aliomirende.  nur  von  den 
n  —  y  in  Ju^  vorkommenden  Variabein  abhängende  Form  a\ 
gleichÄeitig  aber  S'+S  in  s  aber.  Dabei  int  S  £(-f£',-J?,'-*-i^. 
Kndlich  soll  noch  vorausgesetzt  werden,  da«s  die  beiden  Deter- 
minanten 


/?,fli?, 


b;*,j5?;I 


von  Null  vertichfeden  sind,  und  gleiches  gilt  selb-ttveratündlicb  von 

Ii'h    bütraclile    nun    zuerH    die   der   Gk'ichung  1    dos   §  i 
üciuiralente  ßleicbung 

1)  82--l-ffi4  =  0. 
Die  Gleichung 

2)  aAs  —  sAa^t) 

hat  p  Losungen,  und  /.ii  /i,  von  ihnen  geliQrt  jedesmal  nach  der 
in  g  V  geführten  Hechnting  eine  ganz  he«timuit«!  Form  J^  rer- 
mi>go  der  tileichuugeii 

7?,  s  E,  K,-r;?,  -\-J^aAI':^  =  0 

7v,  a  w<  i^  =-  0, 
falls  noch  die  Bedingung 
1}  JS:,o^J5:,  =0 


250 


Sittitmf  der  math.-jihtj«.  Cttust  vom  9.  Mm  JttM. 


hiii/.u^erügi  wird,  —  bis  auf  A\t*  in  h\  S K^  iinflrotenden   -    T 
willkürlich  bleibenden  Coeffieieoton.  wobei 


Pi^P  — 


2 


ist.    Di«  Formen  A^  welche  dk  fileicbiing  2)  erfnllen,  xer 
ouu  in  drei  Klassen.     Die  urHte  Kloäse  besteht  uuh  (leiljetti| 
Formen  A^  fUr  die 

Aa^O 

ist,  d.  h.  für  Können  A^  welche  — ^-^ — -  willkflrlicho  Parame 

eniimlten.  Aber  %n  diesen  Formen  A  gehören,  den  Gle 
chungen  3)  xufolgi?,  nur  Formen  ^,  dernn  Coefiiciont«n,  sowe 
sie  ans  diesen  Gleichungmi  bestimmt  werden,  siänimtlich  ver 
schwinden. 

Die  zweite  Klasse  besteht  aus  den  Formen  A,   fHr  di« 
5)  J  /l  =  0 

ist.  Die  Bfxlingun^  2)  iM.  dann  erfilllt;  aber  dies«  A  liefer 
nur  dann  Formen  ^\   wenn  imoh  H)  und  4) 

0)  a;  n  il  =  0 

ist.     Nun  folgt  auH  5)  über 

A,  .4  =  0 
und  aus  /.',  n  >4  =  l\  a L\  A  -\-  i'\ a  l\  A^^  K^a  l'\  A    zufof 
der  eben  gefundenen  (^leichung 

y?,  y4  «  0. 

Mithill  ist  A  selbst  identisch  Kult;  die  Formen  dieaisj 
Kla.sse  sind  nnter  den  Pj  (Überhaupt  nicht  mit  eln^ 
begriffen. 

Die   Formen  X,   deren   aus   den    Gleichungen  3)    foltcende* 
Coefficienten    aus    den   A    herstammende    Parameter    enthaltm, 
gehören  daher  ausRchliesslich  r.u  den  Formen  A  der  dritten 
Klasse,  fQr  die  weder 

A  a         noch         A  s 
Tersch  windet. 


.'l.  Voss:  Zahl  der  Transformatutnen  einer  BUinearforni  m  sich.    251 

Jeder  in  diesen  ^  vorkommende  Parameter  muss  nun 
aber  auch  in  ^  auftreten.  Aber  es  genOgfc  nicht,  nur  dies 
nachzuweisen;  vielmehr  muss  gezeigt  werden,  dass  jeder  in  den 
Ä  vorkommende  wesentliche  Parameter  auch  ein  wesent- 
licher Parameter  für  die  ^  wird.  Zu  diesem  Zwecke  be- 
zeichne man  die  unabhängigen  Formen  der  dritten  Klasse  durch 

>l,^,  .  .  .  ^p, 

dann  ergeben  sich  vermöge  der  Gleichungen  3)  ebenso  viele 
Können 

V     V  V 

Gesetzt  nun,  es  wäre 

al.-o  diese  Formen  nicht  von  einander  unabhängig,  so  wäre 
auch  nacli  den  Gleichungen  3)  und  4) 

d.  h.  unter  den  Werthen  der  A  wären  Formen  erster  Klasse 
mitgezählt  —  im  Widerspruch    mit  der  Voraussetzung. 

Demnach  eutlialton  die  Formen  -i",  soweit  sie  der  Gleichung 
1;  genügen,  sicher 

_  r^(»'  —  1_)  _  !^(^'^\ )       /'  (./'  +  1 ) 

woseiitliche  Parameter.     Nun  gt'nügt  aber  jede  dieser  Formen 

zugleich   diT  (ileichuiig 

ö)  a  Jt'i-  —  sl'a  =  0. 

Unter  den  q  liösnngeu  derselben  befinden  sich  die  bereits 
Im:!  dt.T  soelji'ii  ausgeführten  Analyse  bemerkten 

•> 

Furmon,  für  dii'  1)  deshalb  erfüllt  ist,  weil  Aa  und  ^s  gleich- 
zeitig verschwiinli'u.  Diigegen  gehören  zu  den  Lösungen  von  5) 
auch   nocli  diejeiii«;en,   für  die 


■i-    LiMt   ficb  aas  xet^ea,  4Mm  keiac  iieacr 


»i^+n 


••  hat  aas 

Wf  3"-^ j— J— + ^ +^ 

vo  X  etae  |^bsc  fo^tUfc  Zahl  «i«r  Kall  ^^«aWC 
Vm  dio  ■aiMuBiBM,  «die  mm  nefc  csmI  la  4cr  Giä- 
AaBic  li  «ar^     Daiak  4te  qyaiS^ea  Ti 

Selwa  4>e  Gliichangra  1)  aal  5)  Stbv  ia 


DÜK  Glocbaa«  irf  alleHiBp  erfllUt«  «na  J^a'«n 
Aber  n  dioea  WtrtWs   foa  ^  köoMa  aie  Wertbr  fw  ^ 

fftUWra.  *(»   hmm  JT"  tob  Xall   TMwbi^d«!   Wt     Dma   tw- 
Böj^e  1  )  ist 

El «'  J"  =  0     oder     /;,  2r  =  0. 

Wäre  Don  auch  a  ^  =  0.  so  ist  wegen 


^ 


aacb 


£,y=*\ 


mithin  ^  selbst  gleich  Null.  Dann  aber  ist  nach  l')  a  A'  =  0, 
and  da 

r'aA  r'''  =  a  A'. 

ttr>  ui  aacb  aA^O.  Demnach  gehören  die  Werthe  der  A  xa 
der  ersieo  Klaase,  die  bereite  au^eschieden  war,  and  hiermit 
iafc  der  Beweis  fQr  die  Gleichung  0)  erbracht.  Unter  der  Voraoa- 
aetzoDg,  dasB  die  beiden  Determinanten 


A.  Vom:  Zahl  Her  TVant/ormntNmrn  eintr  BUinearform  in  «VA.     2*^3 


ron  Null  ventchiwlen  siud,  kunn  ab»  die  Gleichung 

nicht  durch  Foriueu  A  befriedi^jt  werden,  ftlr  die  vIä^O  ist, 
und  übenso  wenig  durch  Können  —  fUr  die  i'ü«=Ü  i**t.  Und 
cbenäo  lässt  sich  zeigen,  dass  die.  Gleichung 

7)  a2'-f-»,4  — 0, 

d.  h.  die  <jleichunf7  11)  des  §  I  nicht  durch  Fürnicn  Ä  be" 
friedigt  wird,  für  die  ^a^Ü,  oder  durch  Purmen  2\  für  die 
-S»=-0  ist. 

Eine  ^anz  nnuloge,  an  der  Gleichung  1)  ausgerohrte  Be- 
trachtung, hei  diir  man  xuorfft  die  Formen  —  aus  der  Be- 
dingung 5)  und  duun  die  zugeliörigeu  Funiicn  A  ermittelt, 
liefert  die  Gleichung 


8)  p- 


/-(^H-l) 


+  y- 


1) 


2        ~''  2 

Da  nun  aus  <>)  und  8)  folgt 

Sü  ergieht  sich 

Diese  Formeln  bestimmen  die  Anzahl  der  alter- 
nirendeu  und  Kyuimetrischeu  Formen,  welche  der  Glei- 
chung 1)  des  3  II  genuinen.  In  ihnen  bedeutet  aber  n  —  fi^ 
sowie  V  stets  eine  gerade  Zahl,  da  nur  in  dickem  Falle  die 
geoiachtea  Vorausäetzungeu  zutreffen. 

Kacb  dem  ÜGllssatze  des  §  III  Hudet  man  ferner  aus  der 
Gleichung  l),  ausgehend  von  der  Gleichung  2),  Hlr  die  Zahl  B 
den  Werth 

nnd  ebenso«  wenn  man  von  5)  ausgeht, 


2M  Süimmg  6tr  math.'fkg*.  CUum  mm  3.  Mai  tms. 

aod  hieraus  dorcli  Addiüoa 

wo  f  =  Xj  T-  A'j   wieder  eine    positire   ^Tänz«    Zahl    <Mier 

ist.     Verfährt   man   ganz  ebenso  mtt  der  Gleicliani^  7),  «o  «r- 

Ifcbn  sidi  die  GletehdDg^s    . 


/!(«  +  !)      /i(;i~l) 


fr. 


+  n. 


9)  2^  =  ?r+^_,4., 

find  endlich  durch  Additioti  toq  8)  aod  9) 

,=  =  0.  ^^0,  x,-x,-r,  =  r,  =  o, 

2  g  =  JV  -i-  ;'  "  r 

ond  zDgl^ich  ergeben  fuch  aufs  Neue  aach  die  Werthe  von  p^  q^ 
so  dass  diese  letzteren  Zahlen  auf  zwei  von  einander  unab- 
hängigen Wegen  bestimmt  sind. 

Sei,    um  diese  Theorie   auf  eiu  Beispiel    anzuwenden,    die 
Form  8  von  vorne  herein  zerlegbar 

wo  *  nur  n  —  y  =  /(  Variabele  aus  E^ ,  a  nur  die  Obrigen 
»Äfi  —  fi  aus  Ej  enthält,  und  s  eine  symmetrische,  a  eine 
altemirende  Form  ist.  In  diesem  Falle  sind  die  Gbrigen  Vorans- 
Setzungen  ebenfalls  erfQllfc,  da 

also  keiner  der  Facioren  rechterband  verschwinden  kann.  Da 
nun  (vgl.  den  folgenden  §) 


A.  !'(»«:  Zahl  ikr  TfatuformaHiönm  einer  BüiHearfnrm  iu  w>A.    2r>5 
ist,  so  ergiebt  sich  nncli  II) 

Die  Ricbtiffkeit   dieser  Ziihl    Ittsst   sieb   durch  eine  directe 
Untersiicbang  voo  S  leicht  l)efitütigen.     Denn  die  Gleichnn^ 

wird  hi«r  nnr  diidurcli  befriedigt  werden  können,  dass 
J^tOA  =0    uud    EiS^^O 

sind,  woraoB  fflr  A  und  2" sich  nach  §  III  — --  —   und         J^ 

willkdrlicbe  Paninicter  ergeben,  vras  mit  dem  Oir  P  gefundenen 
Werthe  Qbereinätiuimt. 
Und  die  Gleichung 

liefert  hier  nur 

/;,aK,2-/;,«j?,  =  0, 

wonach   also  £  selbst  eine  symmetrische,   ebenso  wie  i  zerl^ 
bare  Fortn  sein  muas,  welche 

2 


q=. 


+ 


willkürliche  Coefficienten   besitzt,    wie  auch  «ui  I)  hervorgeht 


§  VII. 
Bestimmung  der  Zahl  N. 

Nach  Uerm  Trobenias  ist  die  Zahl  der  mit  einer  Form 
U  rerUusch  baren  Formen 

A=.ii4-2-S«j;  Är  =  l,  2 

wo  «^  der  Grud  des  gröasten  gemeinsamen  Factors  aller  Hntenleter- 
minantei]  ri-i**"  Grades  der  ehanikteristiichen  Function  von  /7  ist*) 


M  Vfhtr  hWint^ro  FomMU,  Journal  fOr  Math.  Bd.  S4,  8. 3ti. 


2.V)  SUtmmy  der  ■«tib.-jiftyf.  CTone  nm  9.  Mm  1899. 

In  dem  Torliegenden  Fftlle  handelt  «  sich  daher  om  die  Unter- 
«ocbang  der  Function 

od«-r 

welche  man  durch  cogrediente  Traosformation  auf  Gestalt 

bringen  kann,  wo  8,  a,  /.  a  s-vmmetrische  und  altemireode 
Formen  bedeuten  und  »,  r^  zur  Abkürzung  für  I  -f- p*  p —  1 
gesetzt  ist.  Die  Determinante  Ton  s  -{•  a  oder  «  -p  a  bleibt 
dabei  immer  von  Null  Ter^chieden. 

Wenn  S"  —  S  mit  allen  u  —  !*•■  Unterdeterminanten 
noch  ver«!ch windet,  so  kann  man  Tomnssetzen.  dass  alle  a^.^,  so- 
weit äie  den  Variabein  in  E^  zugehOren,  gleich  Xult  sind. 

Setzt  man  zur  Abkürzung 

sr>  j^ebt 

■>)  f,  =  ;'"  /"    "  J^J^-i-  .   .   . 

du.-!  G\\fA  in  d-^r  Entwieklunir  von  tj,  weluhes  die  niedrigst«.' 
Potenz  v'-n  £  enthält.  Üi-;  Wurz-.-l  Q  =  —  1  ist  also  .»  füch 
vorhanden,  wenn  J^  nicht  ver-cliuiniet.  l'nJ  zuirleicb  erhält 
niHn.  t';ilU  ni;in  <■>  mit  eini.Mii  K'i.-  Je  /(  willkürlichen  (ir"K,-;..Mi- 
reihen  n.  v  ifbild-^-tvii  Uanie  v.-r:?it'iit,  fiir  dies-'  Oeterminunt»' 
ai-r   V'-n  a   'inii','iiai:gi^'-.s   Aiif;in^>^liv'l 

wo  U.  V  zwei  ;i'!-  d'-n  h.  v  iillein  /UTatntneni;e>et/.te  «  reiliiiie 
Determinanten  sind.  Di»'  ir"'^  1' n  terdet'.Tminanten  von  (' 
verschwinden  dalter  niemal-  mehr  für  |=0.  während 
die--,  wie  h-icht  zu  .-ehen.  nocli  bei  allen  [ii — A)'"*  der  Fall  i?l. 
Ganz  ähnliche  BetrachtiiniTen  gelten,  wenn  !i  -\- S  noch 
mit  alh-M  r—l*-"  rnttTdeterniiiianteii  X'ill  i-t.  und  Ix'i  der  ent- 
^pfrlii-ndeii  c'tgredienteM  'rran.~rt'niiati"n 


wtus:  Znht  der  DraMformationm  nner  Bäüuarfbrm  in  nch.    2h7 


gOBetxt  wird. 


Wenn    nun   die    beiden    Determinanten   ^. 


und    <:/j 


nicht  verschwinden,  gehören  xu  den  Wurzeln  ^  =  tt  ' 
nar  einfache  Elenientartheiler.  Aber  es  gilt  auch  um^ 
kehrt  der  Satz:  Damit  die  zu  (9  =  — 1(^=4*1)  gehörigen 
Elemeotartbeiler  alle  einfuch  sind,  niflasen  die  Deter- 
minanten ^,  (^J)  von  Null  verschieden  sein.  Bs  ergiebt 
sich  dies  unmittelbar  ans  der  Bemerkung,  dtiM  da.i  Verschwinden 
der  UnterdottTminunten  sich  nieniiil»  weiter  als  uuf  die  /i  —  l** 
(r —  l**"}  erstrecken  kann,  während  die  Vielfachbeit  des  Wurzel- 
factors  1(17)  in  der  Determinante  ttt  selbst  jedenfalls  um  eine 
Einheit  höher  ist  als  ^  (y). 

In  diesem  Falle  lässt  sich  also  auch  ohne  weitere  Unter- 
suchung der  CoefScienten  von  S'  -{-  S  und  S'  —  S  die  Zahl  A 
bestimmen.  Aber  sobald  eine  der  beiden  Betenninanteu  ver- 
schwindet, ist  dies  allgemein  —  wenigstens  auf  diesem  Wege  — 
nicht  mehr  möglich,  und  dies  ist  auch  der  Grund,  wesbalh  die 
Ermittelung  der  Zahlen  /*,  C  p,  q  (ohne  besondere  Voraos- 
setsmngen)  Ober  diesen  Fall  hinaus  weitläufiger  wird.  Nur  einige 
hierher  gehörige  Bemerkungen,  die  im  folgenden  §  zur  An- 
wendung kommen,  mögen  hier  Platx  finden. 

Wenn  die  mit  J^  bezeichnete  Determinante  verschwindet, 
so  kann  man  annehmen,  dass  alle  die  Ck>efßcienten  s^^^  deren 
einer  Index  aus  der  Reihe 

entnommen  ist,  während  der  andere  der  Reihe  der  1  2  ...  /j 
angehört,  identisch  Null  sind,  und  dass  jU]  4-  IS  =  M  ^*^' 

Ist  zunächst  /'t  ^  l,  verschwindet  also  J^  ohne  seine  ersten 
Uaterdeterminauteu,  eo  hat  cj,  wie  aus  einer  bekannten  Gügeo- 
acbaft  schiefer  Determinanten  folgt,  mindestens  die  /j-f  2fache 
Wurxel  ^  E3  0.     Dagegen    liefert    die  Entwicklung  der  mit  be- 
ll»«. Midk-pb/B.  a  2.  17 


wo  6  die  /<  —  1  rahige.  tob  XqII  leiicliieJcae  DefarroinwU 
derjeaigeii  Form  »i,  Aof  wcjcli«  die  Picini]  ^«K,  redociit 
«rmrde.  Unter  keiDeo  Umrtindta  kSntien  aliO  dir  enien  Uoier- 
detenuinMiteii  der  charaktcrätMclwii  FaiKtioa  den  Factor  ^  äs 
b"berera  nh  ft  —  1^*  Graile  enthalten.  Der  erile  EletneoUr- 
tbeiler  iid  also  mindestens  Sfach,  die  MgieDdea  ■  hid  simrat' 
lieh  einfach. 

Weoa  dagegen  ^,^2  til,  hat  i»  mindestvos  den  F«elar 
i^'^^  Vnä  die  ersten  ünteTdctemiinazkten  beginom  mindtsitidii 
mit  dem  Factor  f^,  während  die  zweiten  rnUrdeienrnnaiit« 
niemal*  einen  höher^i  Factor  aU  |^''  urhtJtcn  kCmaen. 

3o  ibrtfiümod  erkennt  man  die  Richtigkeit  des  folpmdcn 

8»faM. 

Ufitcr  der  VormometzaBg,  dan  die  Detemibant«  von  ßj^B^ 
mit  allen  f,—  1**  PpterdeterminaBten  rencfa windet,  ahur  «mlava 
besondere  KalttioBWi  Kwiechen  den  OoeCSeieatan  von  4  ond  a 
nicht  stattBoden,  welche  eine  Erh&hoag  von  Wuraelikeftorca 
harrorbringan  kteseo,  int  bei  i^radem  pi^=:2k  der  Worxsl- 
factor  (  in  den  0.  I,  2  .  .  .  2A**  Unterdenunaaten  /<  -f  SA« 
M  +  2A  — 2,  /i  +  2*  — 4....;i  — 2*fiich  »grbaadeti, 
d.  h.  ei  sind  zu  pe»  —  I  geb^riff  2  A:  KleaieuUrtbeiter  fH«ich  2 
imd  die  Dbrigen  sind  gleich   1. 

Hw  ungeradem  /*,  ^  2  A:  +  1  ist  der  Wut  ■  « 

in  den  0,  1,  2  ....  2  A  -  1*~  l'nttrMc.ci....Mank'n  H  n-  ~-  rA 
fi-{-2k-\,  ^  +  2  Ä  -  3,  ...  /i  -  (2  &  -  1)  fach  vorhanden, 
d.  h.  ein  Kleiuentartheiler  ist  gleich  3,  die  2  Jt  ri>lgendüU  gleiefa  2 
nnd  die  (Ibrigea  gleich  1. 

Ganz  ähnlifihe  UeeuHate  ergebtfi  nchf  weuu  die  Delermi» 

mit  den  r,— l*"  Unterd^terminanten  Vftitcb windet,  nnd  »'•»,4*'f 
(wobf'i  r,  eine  gcruiie  Zuhl)  int,  fnll^  mun  nirht  w*iti»rf»  Vorauifc' 
ntaimgen  über  die  (>H-ft{ri<miui)  von  a  und  s  Uinftnfmct. 


A.  Vfi»K:  Zahl  der  TYanitformatifinen  einer  Sümaatiia 


259 


I 


I 


Ist  zunächet:  r,  ^^  1,  also  y  uiiffenule,  ao  biit  to  niindeateOH 
den  Kiictor  »/*"+';  die  ersten  rnfcerdetenninaDlen  aber  babMi 
niemals  einen  höheren  Wur/elfaetor  aU  r/''-*,  denn  die  Ent- 
wicklung der  oinfacii  mit  u,  v  gerÜnderien  Determinante  be- 
fpnnt  mit  dem  Gliede 

wo  a  die  von  Null  rerBchiedene  t)etermin«uto  derjenigen  alter- 
nirendou  Fnrni  ist,  uuf  die  ^1  a'  l^t  redncirt  werden  könnt«; 
(tin  Eleni  entartheil  er  ist  >;lm'li  2x  die  Übrigen,  in  gerader  An- 
zahl Torhiindencn  sind  gleich  1.  Ist  i*,  ^  2,  also  i*  f^orade,  so 
hat  ta  den  Factor  tf"^;  die  ersten  Unterdeterminanten  haben 
mindeNtemt  den  Factor  »/  und  die  /.weiten  kciiiHn  höheren  Factor 
als  »;"**-  ^  fortfahrend  zeigt  sich,  das^  für  r ^  =  Ä;  k  Ele- 
mentartheiler  gleich  2,  die  (Ibrigen  v  —  J(  in  gerader  Zahl  vor- 
handenen gleich   1  sind. 

BekannÜtch  ist  die  charaktenstiiiche  Fnncb'on  \Ä^-^ßtj\ 
aweier  Formen  A^  B  bei  allen  simultanen  Transformationen 
TOD  A  und  B  eine  Invariante:  d.  h.  alle  Coefficienten  der 
nach  Potenzen  von  5.  ^  entwickelten  Function  sind  Minnltane 
Invarianten  von  A  und  li.  Verschwindet  nnn  die  Determinante 
von  B  noch  mit  allen  ft  —  l*«"  Unterdeterminanten  und  int 
l^f+/?,|  =  C£/' ,/.-/'+   .  .  .^ 

C^^O,  so  gehören  zu  ^  '^  lauter  einfache  Klenientartbeiler. 
beidejj  Invuriautco,  welche  am  Schlüsse  de^  §  V.  ti.  24A, 
erwähnt  «nd,  «ind  daher  die  Coefficienten  von  ^'' y  '*,  l""*  ij** 
in  der  Entwicklung  von 

|{S-h5'jf+(S'-S)vl. 


8  vm. 

Erweiturun};  der  vorhergebenden  Uoterduchungen. 
Kh  mi'igü  jetxt  angenommen  werden,  daas  in  der  üleichuag 

ftlls  S  —  S  durch   cogredieute  TriiiiHfonnation  auf  eine  ntter- 
nirende  Form  «  v/m  niclit  vienifh  winden  der  l^eterminante  redu- 

17- 


260  SitMung  der  wtathrphys.  Clane  vom  3.  Mai  1896. 

cirt  ist,  welche  nur  von  den  in  E^  Torkommenden  Variabeln 
abhängt,  die  Determinante 

nicht  mehr  von  Kall  verschieden  ist.  In  diesem  Falle  kann 
darch  cogrediente  Transformation  bewirkt  werden,  da«s  wenn 
man  die  zu  £,  gehörenden  Indices 

i  =  l,  2  ...  ,1 
in  zwei  Gruppen 

/=  1,  2  .  .  .  /i^ 
H=,i,-hl  .  .  .  /* 

theilt,  wobei  fx^-^  fi^  =  ft  sein  möge,  alle  Coefficienten  von  s 
verschwinden,  deren  einer  Index  aus  der  Reihe  der  t,  der  andere 
aus  der  Reihe  der  H  entnommen  ist,  während  die  Determinante 

nicht   mehr   verschwindet;    ihre  Unterdeterminanten  seien  Sjj.. 
Unter  dieser  Voraussetzung  nehmen  die  Gleichungen  4a)  7a) 
des  §  VI  oder 


1) 

m 

a.    s     = 

j  Kl     m  1 

=  0 

2) 

1  m     m  1  " 

^  0 

folge 

nde  Form 

an.      Die  li 

leieluini; 

1)  zerl 

e<^t  sich 

in 

la) 

^^;.'-V. 

y    '■ 

r'y-'  = 

:    1) 

Ih) 

l^%'yn  = 

-  <i. 

Gleit 

■hun<^ 

2)  in 

2  a) 

l^o.j.s^. 

^r'j-'-^ 

0. 

2  b) 

> 

1}  j  11 

=  0 

und 

diese 

letzt.' 

ren  wieder 

in 

2aa) 

-  Vj-*>j 

r  +  -^'V 

j'  >^ 

0. 

PWs:  Zahl  der  Tratufonniitiontti  einer  Säinearfonu  in  »ich.    2fi\ 


2ab) 


-^'<'iij>«j.j  +  -^'<'if«**j  =  *>' 


in   jmler  diesfir  Oleichung&n    wi«    aut^h  in  den  ft^lgciidon  tat.  in 

fBezng  auf  diejenigen  Indices  zw  eumrairüii,  die  unter  dem  ^'Zeichen 
doppelt  vorkommen. 
Aus  den  Qleicbungen  2aa)  folgt  nun 
und  ebenso  aus  1b) 
mit 


mithin 


3*  <ij.j„.  —  20^^  8^j.  Sj^j.  s^j  8j...j, 


aus  welcher  Oleichung  sich  ergiebt,  daas  die  auf  dienern  Wege 
bestimmten  <fj.j...  von  »elbst  7.»  einem  «ymmetrischon  Syntem 
geboren.    Aus  den  Gleichungen  2ab)  folgen  die  Wertbe  der  <f^j,. 

Setzt  man  ferner  den  aus  3)  folgenden  Werth    ron  O.j  in 
2ba)  ein,  so  entsteht: 

diese  Bedingung  i»t  aber  vennöge  der  Gleich  uugen  Ib  erflÜlt. 
Das  Oleicbungsvystem  2bb)  ist  also  allein  noch  den  Gleichungen 


i) 


^  (*ji  V  "rr  ~  V  'rt  'if 


hinzufügen.     Wie  man  siebt,  bleiben  dabei  die 

Giteeo  o^^,  ganz  willktlrlicb.  Die  y\  Bedingungen  2bb) 
sind  TOD  einander  unabhiingig,  da  die  Determinante  Tun  z\  a 
nicht  verwhwinden    darf;    e«    ist    dadurch   aber   nicht   ausge- 


auder  unabhuDfpg  sind.')     Hau  bat  ab«» 


5)     P. 


9  2^2  2  ^» 


—  i] 


Hinv  ganz  fthtiHche  tJniorKUchiiOg  taaii  jmcIi  aii«U>Uvil 
der  ViiraiLsset-zniiff,  da**  S'-\-S  durch  co^rtnliont«  Traiwfi]) 
auf  die  Form  n  (gebracht  IH,  wi-lclie  nur  noch  m  —  r 
konimonde  Vuriabclii  onthAlt,  dcrpii  neterniinnnti' 
schwindet.  Hei  lücMer  O|)«mtioo  i^ehu  nun  iS'  —  S] 
I»  möge  ab«!-  die  Detenninantc 

I  E\  a'  £1 1 

so    verachwinduu,    duiv<    diu    Koriu    ^i  u'  £|    dm 
Trtiitäforniution  in  eini*  Korai  von  y^  VarialM^ln  Tervri 
kanut  deren  Determinaute  nicht  Null  ist;  auch  «ei 
Kpwtrt,  wobui  »1  t'in«t  ((»l'nd«  Z'iht  ihU     AJadanii 
Ueobnuiig.   üiti   bivr   nicht   aiii^eführt  werdtfu   imjU, 
früher«»  ganx  aiiiilt>g  einxuricbteu  iHt,  daas  au  den 
geiit«lll(>u  Belli tigiingeu  uucb  weitere 

*|  Man  nuhmt:  x.  H.  un.  iUhk  n  von  dur  Form  -ik  int, ' 
airvDilt;  Form  .? — S  aioh  auf  äJt  =*  »^-/j  Variiibh-   riHliicirt-ji 
KisK,  iJouti»*ch  Null  i«t.    AlK(liiiin  ül-Iküi  die  IJlcitliiiupvn  4a> 
lUe  Indicus  /4^-l  .  .  .  h  ilurcli  ^'  bc^teichnel  wcnlcn« 

nnd  «in  ivfordem.  iIm«  alla  a«i^  a,>  venohwinitiiB.     Dkinit 


A.  TttM:  Zätd  der  TraiutfonnatiafieH  einer  Bätnearfiarm  in  yich.    ^03 
hinzu/Aifil^üU  bind,  man  findet  also 

^       ^  2     '^ — 2 2 ^^' 

wul)L'i  X,  und  X^  wieder  positive  gnnze  Zahlen   oder  die  Null 
bedeuten.     Üurcli  Addition  von  5),  0)  fol^t  aUo 

Auf  ^anz  analogem  Wef^e  findet  man  die  Gleichungen 

7)    Q^Pi- '^- ') - '-""f^ - ^^ii^y  +  r,. 

und  hieraus  durch  Addition  von  5)»  G);  7)«  8) 


wobei 


2»>l 


SSitm^ 


«owie 


II) 


2p  =  y-p-»-i;,,0',-l)-ir,(r,-n4i,-r, 


fulgi.  Aber  die^e  Gleichangen  reichen  nur  in  den  «io&cbäe 
Fällen  zur  Bestimmung  der  Zalilen  P,  p  .  .  .  hin,  und  mI« 
weim  P  und  Q  ermittelt  sind,  sind  p  und  g  Docb  oiclit  «OfifJ 

bestimmt. 

Istt.  B.  /<,««1,  y,»0,  80  iit  £+?=l-    D«mberiibi 
v  eine  gerade  Zahl  sein  muss,  folgt  aus  der  ersten  Gleicht] 
dasa  I -s  0,  rj  =  l    ist;    die   Zahlen  JP  und  Q    bleiben 
dieAein  Falle   unge&ndert.     Wenn   dagegen  ^,  ssQ,  v^^l,: 
mnn  v  ungerade  »ein  und  daraus  folgt  wieder  ^«sO,  fj- 
Aber  in  dem  Falle  fi,  =  ►,  =  l  laasen  »ich  die  Werthe  der  X, 
nicht  mehr   durch  Congruenzen  (modulo  2)    bestiirtmen. 
diesem  Falle  kann  Rinn  steh  indessen  der  auch  annet  verwe 
baren    Bemerkung   bedienen,   dass  die   Zahlen    f,    Q   dnrcl 
eine    weitere   tSpeciali«iirung    der   Coefficienteu    von 
niemals  abnehmen  können.    Lä«at  man  nun  den  Fnj] /«^ >= 
y,  =  l  nii8  dem  Fall  /<,  =  <).  »"i  ^  l  herrorgehen,  so   hat  man 
fllr  den  letvieren,  wie  gezeigt: 


2(7^)  =  .V4-»'  — M~  l 


und  nach  I) 

2^. 


iiV+v-,i-l  + 


2  g  =  A"  -h  /i  -  »■  —  I  4- '/ 


$+,;-2. 


Nnn  erfahrt,   wie  in  g  VII    gezeigt  wurde,  der   ron  de 
Wurzeln  f^'il   herrührende  Theil  von  iV  keine  Veränderung 
wenn  /i,,  i',  die  F>inheit    nicht    ÜberHehreiten.     Sotirt   man 
roraus,  dii»  durch  die  eingefQhrte  Speciuliaining  der  Cuefficieat 
nicht   etwa  in   dem    Ton   den    fibrigun    Wurzeln    herrfihrendenJ 
Tbeile  ron  N  eine  Zunahme  stattfindet,  und  würde  man  fj^sQ 


b) 


A.  Vom:  Z^  der  TranaformtUtoHtH  einer  BUiHearforn  in  nkh.    2ti5 

aniiühmen,  eo  wQrde  Q  wo  2  Einheiten    kleiner  sein  auf  (Q)* 
Also  ist  ry  =  2,  5  =  0. 

Man    kommt   daher   sta   folgenden   Resultaten.     Unter  der 
Vorftosiietxang,  dasa  die  Zahlen   //,,  r,  die  Einheit   nicht  Qhcr-    1 
steigen,  hat  man 

Erstens,  wenn/i,  ^l,  r,  ssO  (r  gerade) 

2P— ^'-f »— M       X, « r,  =  X,  =  1),  y,«i, 

Zweiten»!,  wenn  //jS=0,  i*,  ^  l  C»*  ungerade) 
2P  =  A'4-i'  — ^£—  1 

2g-Ar+./i-*4-i       x,  =  x,-  r,  =  o, 

2j,«^_;i  — y-f  1  >;^  I. 

Dritten«,  (dt  ti^^v^v=\  (»ungerade),  «im allgemeinen' 
dioeelboD  WertLe,  wie  im  zweiten  Falle. 

Eb  ist  wohl  nicht  Uberflßnig,  durch  einige  Beispiele  die 
allgeineiueiL  Unterauchnngen  der  vorigen  §§  eu  h&it«ti|L;en.  Du 
weitläufigere  Rechnungen  notbig  werden,  aobald  die  Glei- 
chungen Ca)  oder  6'a)  dee  g  in  gn^sserer  Zahl  vorhanden  sind, 
so  wähle  ich  dazu  die  Fälle,  in  denen  sich  dieselben  so  wdt 
wie  mi)glich  reduciren. 

1)  Die  Form  S  bestehe  aus  einer  allgemeinen 
alfeernirenden  Form  und  dem  Oliode  x^y^.  A.tsdaon  hat 
man  den  Fall  einet«  geraden  oder  ungeraden  n  zu  unterscheiden. 

Es  sei  n  zunäciist  ungerade.  Nun  reduciren  sich  die 
Gleichungen  4'a),  6'a),  7'a)  auf 

**•)     ^»„«..  =  0.        .  .     ,  ,   ,     , 

die    «chiflfe    Düt^rminanto    J[^\a^^\    darf    hier    niclit    rer- 
schwindeut   da  sooRt  die  Determinante  von  S  i*olb«t  Nnll  wäre. 


SmUkdk  wird  die  Utacho^  G^^a).  £Uik 
n'crtke  äueizt: 


Dft    aha-    der    Torfais    mit    _/    boackiMte    Aasdmck    too 

XbU  Taradii«deii  »a  moss^  so  kasn  cbe  oodi  zd  bc&iedigefide 
^»  -  « 

■ar   dttrek   die   Wexilie   a 


•-^  »— T       •— I  •  - 1  a — »  ■       «  ■  —  1 


__,  =  c^^_j  =  y   erfolh   werden. 

Man  fiBdet  ako  f  =  ^*~^^i'~"'  ^ai  efacs»  a»  der  Fw- 
Bd  b)  §  Vra  farr  =  a—  2.  .,  =  1.  «  =  1 

2  P  =  ■  +  (, «  —  2 » I  a  —  :>  ^  -r  ■  -  2  —  1  —  1 , 
vm>  iawt  ia  Kafcbng  ste^t 


A.  Von:  Xühl  der  TfanßformntioneH  einrr  BSinearfbrm  m  gieh.    269 


3)  Die  alteroireDiie  Farai  S'  —  S  nw^e  durch  cogredienfce 
TranfiforiiiBtion  auf  die  Form 

gebracht  venlcn  kennen,  S'  -j*  ^  dagegen  sei  dann  gleich 
t  =  -^s^^x^if^.  Atsdann  besitzen  die  unter  4n),  6a),  7u)  be- 
nutzten Indices  j  nur  die  Werthe  »,  »  —  I   und  man  erhält 

4tta)  ^'o^^«,,  =  0 

4ab)  -^«.-..*r-  =  0 

7a)  ^^iV  =  0 


^o_,s, 


mt*ln-l 


=  0 


2ci_ 


.«..  =0 


12) 


t,  i'^^l,  2  ...  «  —  2;  Z=  I,  ...  n. 

Bei  der  Discnsaioo  dieses  Systems  sind  zwei  Fälle  zu  unter- 
beiden. 

Erster    Fall.     Die  Determinau te  .i/o=  |ä^^|    ver- 
Bohwindet  nicht. 

Aus  den  tileicbungen  4aa),  Ooa)  und  ebenso  aus  4ab),  Gab) 
bält  man 

venu  mit  S^^  die  engten  UnterdeferminAnten  von  ^^  bexeirhnet 
den.     Aus  (^a)  folgt  dann 

niso  A  =  /i.    Und  aus  den  Gleichungen  7  a)  kann  man,  sobald 
die  Determinante 


ttiebt  rerKcbwindßl,  all«*  <r^,,  /-  1,  2  .  .  .  m~2  berechnen. 


270 


'fmtK-phj,B. 


iS.  Mai  ta»«. 


Ktt  bleiben  daher  mir  X  und  die  Coefticienlen  einer  ali<^r- 
nirendc»  Fürni  vun  n  —  2  Varialdeii  willkUrlicb,  d.  b.  e»  i«t 

P  =  i{H-2)(n-3)  +  I 

lind    daaselbi*   ergit:bt  sieb    ftiia  der    Formel   H)    g  VI,    in    der 
fi  =  u  —  2  zü  netzen  ist,  für  iV  =  n  +  (»  —  2  (n  —  3). 

(jnnz  imdeni  verläuft  die  tierticliiiuiig  der  o  .  wenn  die 
Determinante  J^  verleb  windet,  obne  dnas  dir  t-nAi^ 
riitpfdetprniinanten  sünirotlich  Nnll  sind.  Da  nnn  ^,  =  1,  « 
kiinn  man  vnraa^tt^txen,  doss 


*Ii.-2'    *»»-J 


%-2n-2 


sUmintHch  gleich  Null  sind.  Zanäcbst  hleiheti  die  unt«r  12) 
ant^egfbcnen  Werthe  bestehen,  ebenso  die  Uleicbuntc  X^^ft. 
Nun  Riebt  aber  die  Qleichtinf^  7»)  für  »'  =  »  —  2 

aiwi  fOr  i  =  «  — 2  nach  12) 

Da  nnn  der  Factor  von  X  liißr  gloinb  der  Det^nninant^  J^ 
i«t,  *»  lässt  sich  diwte  Gleichung  nur  durch  X  =  0  bvfriudigM. 
Damit  verschwinden  nisfi  alle  Grürwen  o^  bifi  auf  o^_,^,^, 
weleheä  voUkoiumen  willkürlich  bleibt,  womit  tiich  diesellK  Zahl 
fllr  jP,  wie  vorhin,  ergiebt. 

Zweiter  Fall.  Die  Determinante  J^  ist  g1«>icb 
Nnll.  At^dann  darf  die  mit  ^,'  be/.oichnote  Determinante  nicht 
mehr  verschwinden,  da  sonst  die  Determinante  der  Form  l*4~' 
nicht  mehr  von  Null  verBchiedeu  wäre,   wie  tun»  der  GUichuag 

hervorgeht.     Man  hat  hier  die  weiteren  Unterteile  zu  nnn-r' 
scheiden. 

Wenn    erätuiiti    weder    alle  S^j,   noch    alle  S,^,p 

i=  I.  .  .  .  K  verschwinden,    bleiljen    ilic    voripon    Itwnibib* 

,  uhptf  Einacbrilnkung  güllitj.    Nur  die  MiV-^licJikeit,  duioi  Ä,„„_,     Ü 


,  Taw;  ZidU  Her  Tratufitrmntionen  fiarr  ßiJineurfvrm  mi  ittch.     271 


wäre,  nclieint  tiiri<t  AuMiulimt^  biJdfu  r.u  können.  Ha  iils<lattn 
l^ft  iu  Wegfall  Icoiuur'u  würde.  Ist  über  S^^_^  =  U,  m  folgt 
aus  der  bekannten  Identität 

für  r  =  n,  /  =  «— ) 

und  hierHUjt  erjypebfc  Mich,  dn^  »lle  iS]^^  veiwjfawinden  tnO^sen, 
fiibttld  mir  ein  einzifjc«  S^_,„  nicht  Kuli  ist  —  im  Wider- 
spruch mit  der  eingefQhrtou  Vomuiisetzun^.  Es  inu»»  alun  der 
Kftll  /J=»fi— 2,  *  =  y,«sl  (b)  §  Vlll)  vorliegen,  und  man 
wrbalt  denselben  Wcrth  von  /'  wie  im  ersten  Falle. 
W«nn  Kweiteu»  die  ans  der  Matrix 


"II 


■ii 


"13 


•t« 


'1« 


"Sm 


%-«» 


«,.1 


"»-82 


••,2 


%-2ii 


'deten  ?^ — I  retbigen   Dfitcrniiimnten,    also  alle  S^.  ^  VL*r- 
fcb\viiid<Mi,  di»  S^j  nlk-T  niclii  alto  Null  iiind,  so  bnt  tiuui 

nir 

Ar  =  l,  2  .  .  .  H 

1=  I,  2  .  .  .  «  -2 

und  dio  n»it  beliebigen  GrÖfwen  ti,  .   .   ,   H^,  »J,   ■  .  .  v^  einfuch 
gcrändfrtc  Ortemiinuntc  der  s^^  wird 

-[■.-^a,H.]K-^«,r,]Ä„ 

I  da.«t,  fulls  nicht  ftlle  ersten  l/*nterdet«'ruiinant«n  von  ^f^^  ver* 
»chwindpn ,  auch  S^^'^O  ist.  Beßtimnit  man  nun  aus  den 
(tltMt'lniniji'ii  4 üb),  fialt)  ilii*  (7  _.  .,  an  Hndi^t  iniui 


J\  ^a     ,,8     , ,  =  5 


H         «— l  M-1" 


SUammff  der  math.-pHifg.  Cla/ur  von  2.  Mfai  /SM. 


also,  da  naeb  liu)  dio  Summo  linker  Hand  verscbirind«u 


ond    rniui   «rhält  jetxt  ans   den   Gteichung«n  4ab)    sftmmt&l 
ff^_i^,  2^1,2  .  .  11  —  2,    aoBgedrQükt   durch    <'^._,,    wÄhreni  ' 
ff^,  =  /i5^,,  /=  1,  2  .  .  .  w  i^t.     Wie  man  rieht,    bleibt  Mck 
hier  nur  ft  willkürlich  und  die  i^ubl  V  bleibt  dieselbe  wie  frfiber. 

Wenn  endlich  drittens  alle  8^_^f  und  S^g  versohvia- 
den,  90  verschwinden  Oberhaupt  alle  ersten  DnterdeterttiinABteB 
Vfin  Jq.  Man  kann  dann  in  den  (jleicbunf^en  4aa)t  4uIj)  dir 
Werthc  der  ff.^_,,  o,.,  "«-i«-!  »»•>»  wiHkOrlich  an- 
nulmien;  die  Gleichungen  Oaa),  (iab)  sind  nun  von  selWt  er- 
fallt,  und  Gleidies  gilt,  wie  sich  zeigt,  anch  von  der  Glei- 
chung Oa).     Die  Zahl  P  wird  hiemach 

(ii-2)(M-a)  ,  ^ 

2  "^"^ 

und  KU  denselben  Resultate  gelangt  man  auch  durch  Formel  IT) 
§V1  fOr  /i=n  — 2,  y^2. 

Hiermit  sind  die  säuimtlichen  gesuchten  Trans  form  ationco 
der  Form 

in  sich  seilet  hedtimmt.  Bei  weiteren  Untersuchungen  nhnlichtn' 
Art  wird  man  aich  mit  Vortlieil  der  Kronecker'schen  Kormal- 
fortn*)  der  alternirenden  tuid  bilinearen  Formen  bedienen  können; 
eine  weitere  Äusftihrung  derartiger  Rechnungen  roass  hier  ia- 
deasen  unterbleiben. 


1)  Barliucr  Uonat«boricbte,  1874,  S.  893. 


273 


Symmetrische  und  alternirende  Lösungen  der 
Gleichung  SX=XS\ 

Von  A.  Voss  in  WOrzburK. 

In  der  TorherK^b enden  Arbeit  Ober  die  Zahl  der  cogre- 
dit>nieu  etc.  Tratibfurintttioiien  einer  bilitieuren  Form  S  in  sich 
hat  es  sich  als  nntxlich  erwiesen,  die  Anzahl  der  sjminetriscbeo 
und  alternirenden  Kormen  zu  bestinitnen,  welche  der  Bedinj^ung 
8'  XS  i^  SXS'  geaügen.  Ich  mikkte  hier  auf  ein  verwandtes, 
sllerding!«  viel  einfacheres  Problem  hinweiät^n,  uamtich  auf  die  Be- 
stimmung der  Anzahl  der  Hymmelriächen  und  alternen 
FormoD,  welche  die  Gleichung 

1)  SX^XS' 

»friedigen. 

Bekanntlich  giebt  es  immer  Transformationen  X,  welche 
eine  Form  S  contragredieni  in  die  ihr  ähnliche  S'  ver- 
wandeln, d.  b.  welche  die  Gleichung 

hefrie<1igen,   wobei  \X\    nicht  KntI    inL     llnt.er  die«er  Vorans- 
Setzung  kann  jede  andere  Lifsiing  2  von  1)  in  der  Form 

aogenomnien  werden.    Man  erhält  durch  Hintragen  von  Z  in  1) 

I  SYX^rXS'^YSX 

■  oder 

■  SY^TS, 

H         I8H.  MMlL-rhx«.  Cl.  i  18 


274  9utm»9  itr  m^k  jkf».  (%mm  «v  iL  Mm  JMl 

Die  Aoxabl  der  linear  nnabbln^igeD  Loioagett  4er 

Gleichung  t)    ist  daher   ebeoBo   grojs,   wie  div  d«r  nxH 
8  rerUQ^cbbareo  Formeo,  aJio  glttcb  JT. 
Da  WM  t)  folgt 

■o  MiHa  mit  X  tof^leieh  aa«b  di«  f^netriKkc  (•liiiiiiiiiiAi) 
Fono  X  +  Jt^JT-X)  cUr  Ulckbua«  l)  tfwflc«.  Di* 
JT  linear  QOftbbMDgigeD  Lös«ngea  too  1)  £«rfaUtD 
aUo   i&  /i  5j[nn)«tr(scbe   ntid  q  alteroe.   and  dabei   iii 

Mao  kaondieae  formea  auf  folgendem  Wege  hratimmf  SSni 
A,,  Aj  .  .  .  Xjf 
die  anabhängigpii  lÄMangen  tob  1).  ao  iif 

die  angVmeinite,  Qod  zQr  Erniitteliiog  der  JTmmetträcbai  oder 
attemen  Formen  X  hat  man  die  Oleicbung  i 

Eff,x,  =  iEcr,x;.  k^u2..y. 

Üa  can  X^',  wie  soeben  hüinerkt  wuzde^  gleichhtUa  linear 
durch  die  X,  ■  .  X^  darstellbar  ist,  so  folgt 

ond  bieraoB 

X^  =  -2-a^,X; 

oder 

X^  =  Xo^,a^^X^, 

woraus  wegen  der  Unabhängigkeit  der  X^ 

und  d^^  =  0  für  Ä:4^m,  d^^  =  1  für  ä,  m  =  1  .  .  .  A  zu 
nehmen  ist. 


')  Vgl.  die  vorherf^ehende  Arbeit  Ueber  die  Anzahl  der  cof^redioDten 
ond  adjungirten  Transformationen  etc.    8.  220. 


A.  To9*:  Lö»ungen  ätr  OUichuno  SX^  X8'. 


275 


Die  Coefficieotea  a^,  bilden  alao  niu  Syslem« 
dessen  charakteristische  b'iinctiou  jV^"  Qradea  p  ein- 
fache Klementartfaeiler  ^ —  1  und  q  einfache  Eleiuen- 
tartbeiler  9+  1  hat. 

Bei  beiden  Zahlen  p  und  q  lassen  sich  leicht  mit  Hülfe 
der  tjlemeatartheiler  der  charakteristischen  Function  von  S  be- 
stimmen. Geht  man  von  der  öleiobung  1)  £u  der  äquivalenten 
Gleichtinf^ 

über,  80  xeigt  sich,  dass  man  durch  cnntrugrediente  Trans- 
formation S  in  jede  äquivalente  Form  tranftformiron 
kADOt  ohne  dasä  die  beiden  Zahlen  p  und  q  sich 
Andern,  da  hierbei  X  nur  eine  cogredienlo  Transformation 
erfährt 

Aus  den  Sätzen,  welche  Herr  Frohen  ins  in  seiner  Arbeit 
Ober  biliucare  Formen')  entwickelt  hat,  und  die  ich  bereits  in 
einer  in  diesen  Berichten  verößentliohteo  Note')  zu  einer  ähn- 
lichen Betrachtung  Iwnutzt  habe,  crgiebt  sich: 

Ist  die  Form  ^zerlegbar  in  Formen,  deren  chnrak* 
te ristische  Functionen  keinen  T hei  1er  gemeinänm 
haben,  so  ist  jede  LUsung  X  in  derselben  Weise  ser- 
legbar. 

Anf  Grund  dieser  Bemerkung  be/^ichne  man  in  der  dnrch 
contragrediente  Transformation  bewirkten  \V eierst rass'schen 
Normal  form  von  S  mit  a^  eiue  n,  fache  Wurzel  der  charak- 
terirtischen  Function  von  S,  deren  zugehörige  Klein entart heiler 
der  Grösse  nach  geordnet, 


<><> 


^C 


■cn.     Dann   besitzt  die  Kormalform   von  S  den  Destandtheil 


))  Jdunuü  mr  Mathematik,  Bd.  84,  S.  37  u.  f. 
*)  Uobcr  die  itiit  uDor  biUmau-vn  Fürm  rbrtaiuchliarun  bnEneiiren 
D,  8it<g*ber,  d.  k.  baycr.  AJtad.  d.  W»«.    189»,  S.  2Uä. 


die  MuUiplication  jedesmal  so  vollisieht,  dass  die  Horizontai- 
reihen  i  des  ersten  Factors  mit  den  Horizontalreihen  k  des 
zweiten  Factors  combinirt  und  die  so  entstehenden  Ele- 
mente (iJe)  in  beiden  Resultaten  einander  gleich  ge- 
setzt werden.  Bringt  man  diese  liegel  auf  die  Gleichung  3) 
zur  Anwendung,  so  ergiebt  sich  folgendes  Verfahren. 

Sind  die  zu  a^  gehörigen  Elenientartheiler  der  Grösse  nach 
geordnet 

<><  .  .  .  >cl,  1  .  .  .  1, 


A.  Vosn:  Lösungen  der  Gieichung  8X  =  XS'.  277 

so  dass  k  Elenientariheiler  grosser  als  1  and  8*  gleich  1  sind  und 
«,  =  ei+  .  .  .  ei  +  y 

die  Multipliciiät  der  Wurzel  a.  ist,  so  haben  die  zugehörigen 
Ooefficienten  x*^^ ;  /,  m  =  1  . . .  n^  die  aus  dem  folgenden  Schema 
zu  entnehmenden  Werthe: 


I) 


S' 

-^1 

< 

< 

s' 

S^S* 

L 

€*€* 

^< 

< 

«5  5' 

4^ 

eie; 

<i 

44 

« 

5 

1 

i 
^ 

'k            '^k'* 

<< 

Dabei  vertritt  jedes  Feld,  z.  B.  e'e*  im  ganzen  Xft  Coeffi- 
cienten  x' ,j.  Die  Werthe,  welche  denselben  zu  geben  sind, 
ersieht  man  um  einfaclibten  aus  einem  beätimmten  Beispiele, 
etwa  .s'  =  n,  cj=  4 ,  c^  =  4 ,  cj  =  ;t ,  ej  =  2  ;  jeder  Coefficient 
Xj^^^  soll  dab*M  einfach  durch  (i,  m)  bezeichnet  werden,  so  dass 
plelclie  Symbole  (/,»/)  je  ein  und  denselben  völlig  will- 
kürlichen Piiranieter  repräsentiren  (in  der  Tabelle  S.  278 
ist  der  Kinfachheit  halher  die  Kliininier  ()  weggelassen). 


278 


SUxttng  der  nialhri/hyii.  Clmte  tom  2.  Mai  1896, 


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V* 

V 

V 

Vom:  tbnuufgn  der  Gleichung  S  X  r:=  X  S'. 


379 


Wie  man  sieht,  erfnlpt  die  Angnhe  der  Coefficienten  dnrch 
ein  tuechaniscbeH  Vurfahrüu,  indem  dicjenif^en  ICIeDiüiitf;  JlsIcs 
Feldw  C.  ej,  —  tind  annlopj  dam  die  der  Felder  s*  ei  — ,  welche 
von  Null  verschieden  gewählt  werden  kOnneo,  ein  gleichseitig 
rechtwinkliges  Dreieck  von  der  Höhe  fi  (/*  <  X)  ausnmehen  und 
alle  in  derselben  Diagonale  .stehenden  Klenieniu  den  nämlichen 
wiUkürlicheu  Werth  erhalten. 

Damit  nun  die  Coefficienten  einem  symmetrischen  System 
BHffehören,  hat  man  fesUtisetxen ,  dass  jedes  Symbol  (Im)  in 
der  Tabelle  denselben  Parumeter  wie  (m  l)  bedeute;  zur  Ent- 
efcebung  altemirender  Formen  aber  hat  man  ((wi)  =  —  (w /), 
insbesondere  also  alle  Elemente  in  den  zu  (u^  cj),  (tjfj) .  .  («^cj) 
gehörigen  Feldern  gleich  Null  zu  setzeu.  Nach  diesen  Be- 
stimmungen kann  man  die  Anzahl  der  Formen  einlach  an  dem 
Schema  I)  abühlen.  Daäaelbe  iot,  da  es  sich  nur  am  aym- 
metri«.che  und  altern«  Furnieu  Imiideln  suU,  durch  die  Haupt- 
diagonale*) in  ein  rechte  von  derselben  liegendes  Urtieck  mit 
Feldern  xerlegt,  welche  von  der  Form 

s*s'     g*t^,     t*e*,     c^.  e'     /*eil 
Miul.     Nun  kommen,  wie  leiclit  zu  sehen, 
anf  das  Feld  a'V  :    yCs'-f-l)  Parameter  einer  symmetrischen  Form 

m  ^  t  S     t^,    t  Sr  m  .  m  m 


und  es  ergeben  sich  im  ganzen 

viUUg  willkQrliche  Parameter  einer  symmciriachen 
FuDOtion. 


■)  Dtesetb«  Ut  im  Druck  durch  ^  liervorgehobu. 


^280  SiUmmg  4tr  mtuK-fkjft,  ChtMU  «om  2   Mai  tt&ß. 

^1         Di|;cgea  tod«t  man  ebenso  fiOr 

^^^Hm  Feld  y  J*  :  -^Cc*  — 1)  Parameter  eioer  altnum  Form 


tf« 

^ 


»Ito  im  guiun 


B^^iclinet  BJAn  jetit  die  MultipHcital  4«  Factors  ^  —  o^ 
in  den  ersten^  zweiten,  .  .  o***  L'nterdetenninaiiten  der  chamk- 
tenttt*efa«fl  Fuuctioo  tob  5  mit  n^,  ff  ^  1,  2  .  .  ,  A-  +  j*  —  1, 


<-, 


"•4^ 


also  wird 


mithin 


p,  =  n'H-«;  +  «;  + 


"*+•. 


wobei  n^  den  grössten  gemeinsamen  Theiler  der 
x**"  Unterdeterminanten  der  charakteristischen  Func- 
tion von  jS^  bedeutet.     Dabei  ist 

wie  zu  erwarten  war. 

Man  kann  die  hiemit  beantwortete  Frage  auch  so  stellen : 
Man  soll  alle  symmetrischen  (alternen)  Formen  finden,  welche 
mit  einer  Form  S  durch  Multiplication  zusammengesetzt  eine 
symmetrische  (alteme)  Form  liefern. 


A.  Vom:  LÖKUHtjfn  der  Otdchunfj  S  X^  XS". 


2RI 


Die  symmetrischen  Formen  kann  man  stets  -so 
rftbinn,  da  SS  fllr  keine  derselben  die  Determinante 
verschwindet,  wie  der  blosse  Anblick  des  Schemas  auf  S.  278 
xeigt.  Die  altemen  Farmen  dagegen  mtlttsen  bei  unf^eradem  n 
immer  eine  verschwindende  Determinante  haben.  Soll  aber  t>et 
geradem  n  eine  alterne  Form  X  von  nicht  ven$ch  winden  der 
Determinante  vorhanden  sein,  so  ist 

8X=Ä 

xvieder  eine  alterne  Form,  also 
■^  S^AX-K 

d.  h,  die  charakteristische  Function  von  S 

Ut  das  Quadrat  einer  ratimialeu  Function  von  e  "ti<1  verscbwindft 
für  jede  ihrer  Wur/eln  sicher  mit  den  eisten  Unterdeterminanten. 

Die  ÄOKahl   der  Formen  X  betrügt  aUo    hier  miodestens  ^ " * 

Ebenso  kann  jede  Form  5  anf  p^  Arten  durch  da«  Pro- 
dukt von  zwei  »ymmetrinibon  Formen  dargestellt  werden,  von 
denen  mindestens  eine  eine  nicht  veräcfawindendt.'r  Determinante 
isL  Dagegen  kann  eine  analoge  Darstellung  durch  zwei  alier- 
nirende  Formen  nur  unter  gewissen  Bedingungen  erfolgen, 
welche  im  vorigen  für  den  Fall,  daas  die  Determinante  von  S 
nichfc  Null  ist,  angegeben  sind. 


Berichtigang. 

In  der  Arltcit  ,Ucl»i!r  ilia  coKredienl«  Triinvfommlioii  i!er  liilint^nn-n 
nen   in   sich  BvlbKt'   fdiew   äiUgnb.  Janaur  18i)6)  mvs»  die  Formul 
8.22,  Z.  Ö  V.  o.  beiMcn: 

w(*i-H)      (a-;*)(a-;i-H) 
2  a 


1.  Herr  Koskrt  Habtiq  spricht:  ,Üeber  d^n  Einflns« 
des  Kaaehes  auf  die  Gesondheit  der  N&delh&lzer*  nnd 
,Uüber  eine  neue  Tannenminirmotte  (Argyre^tliiit  futi- 
d«lla)'.  Die  beiden  AbK«Hdluiit;eu  werdeü  atiderw^U  ver- 
&fl«DiIicfat. 

2.  Herr  Jodakkks  Riicxert  halt  «inen  Yortraf;:  .Ueb«r 
die  Entwicklung  des  Spiraldarms  bei  Seljicbiera.*  Uie 
Rmiltate  ÄoUeo    äo   «inem  ftuderen  Ort<&   sur   PuhltkAtioD   ge* 

^  Herr  ElFQRK  v.  Lovubl  legt  eine  Mitibeilüti^  des  Hprm 
l>f.  L.  FotütD,  Affiiatent«n  an  dem  hie^igeti  phv^ikali^cheti  1d- 
«tittlt  der  CniTerritSt:  .Die  Wellenlänge  der  Köntgen- 
Sbrablen*  top. 


Die  Wellenlänge  der  Röntgen -Strahlen. 

Von  Dr.  I..  Fomm. 

Proft54sor  Or.  Rrmt^^en  spricht  am  Rchlnsse  seiner  ersten 
Verufft'iitlicIiiMiK:  »L'eber  eine  neue  Art  von  Strahlen*,  die  Ver- 
matnng  aus,  da«  zwischen  den  von  ihm  entdeckten  Strahlen 
und  den  liichUtruhlen  tine  Art  von  VerwandUchaft  r.u  bestehen 
Mclieiue  und  »teilt  die  Prut^Cf  ob  niiui  eä  etwa  wegen  des  aasser- 
^wühnlichen  Verhalten«  dieser  Strahlen  mit  Inn^itudioalen 
Atithersofawingungen  zu  thiin  habe.  Von  anderer  Seite  wnrde 
die  Piiluj'scho  Hypothese  iiher  dws  Wesi'n  der  Kathodenstrahlcn 
aucli   auf  die  Kout^eti-Strahten  angewandt. 

um  die  Frage  nach  der  Natur  dieser  Strahlen  im  Sinne 
der  Wellentheorie  zu  CDtscheiden,  war  es  notwendig;,  nachzu- 
weiaea,  dass  die^e  Strahlen  iutcrferen/iahig  sind.  Da  sie  keine 
nennenswerte  ZurtickwerfunK  und  Brechung  aufweisen ,  blieb 
nur  noch  der  Weg  der  Beugung  Ober. 

Za  den  Versuchen  in  dieser  Richtung  diente  eine  von 
Geiaaler  in  Honn  bezogene  HittorfHche  Köhre,  welche  von  einem 
Kunkeniuduktor  von  15  cm  Muximnlsch  lag  weite  bedient  wurde. 
Die  birnfrirmige,  30  cm  hinge  Köhre  /.eigte  bei  einer  Entladung»- 
apannuDg  tou  ungefähr  30  mm  au  der  der  Kathode  gegenüber- 
liegenden  li laswand  einen  thalergrossen,  inteoaiT  grün  leuchten- 
den FluorescenzUeck.  Die  hier  austretenden  Königen -Strahlen 
vermochten  noch  in  einer  Entfernung  von  3  m  Bariumplatin- 
cyanUr  ku  deutlicher  Fhiurescenr.  zu  erregen.  Aus  den  Stellen 
lebhaftester  Fluorescenx  wurde  nun  mit  Hülfe  eines  Mefläog- 
^talkea   eine    Lichtlinie    von   0,5  nun    Breite    abgcgreazi     Die 


2ft4 


AiCfwif  4er  «mffc.  ji>jw  0aam  >mi  f.  •/■»'  ISft. 


^divergrabw   Strahlen   tnfien  auf  etn«  bocheoipABdlicfae  pl 
apbüche  Platte^  n&cbdem  si«  riaen  iveiteo  8p«lt,  dm 
f^ng!»p«lt,  durcliAeiKt  hatten. 

Spultbreite  ond  Schimtfthctaad  wurdtti  in  der  niu)ifrfn'-b«t< 
Webe  geändert  und  bei  jeder  VenocbiaBordDaax  «ur^CiuLroli 
ein  ßengungsbild  mit  blAuem  Licht«  eneogt.  Di«  Breit«  d« 
beug<*nd(5n  Oeffhung  wbwaokte  zwiMcben  2  bis  0,1  mm. 
Schirmabstand  zwiftcben  10  ond  50  cm.  Bei  OJ  Wim  Sp&libMil 
war  bereits  eine  £xpwitM»iazeit  von  50  Minuleo  aStig. 

Die  erhalteneu  Aofnabmen  zeigen  alle  etoeo 
Tjpan.  Dos  Spaltbild  i-t  meiner  Qrü««  nach  das  geome 
bedingte  Abbild  der  Strahlenquelle ,  d.  h.  ea  Ifts^  keiD«  V« 
breiterung  nach  weiften.  Za  8eit«n  dietea  üildee  sind  kein«  Intcr^ 
ferenntreifen,  d.  h.  Maxima  nnd  Minima,  wahrziinehaiea; 
gef{eu  zeigt  sich  dw  Innere  de«  SfwUbildeii  Ton  ht*Ilea 
dunklen  Strvifvn  durch/^en,  eine  ErscbeiDung,  wie  m*  bei 
wöhnliclieni  Lichte  aufiriit,  wenn  man  dm  Beuguup«p«li  gfii 
.^vähtt.  Dien«  Aufnabinen,  welche  ich  bereita  im  MooAt« 
erhielt,  «telltrn  zwiir  die  Wellennatur  der  Röatgen-^itrahlen 
gndatteten  aber  Irider  keine  Berechnung  der  Wellenlnngv,  da 
ihnen  die  genOgende  Schürfe  fehlte,  um  Abstand  und  Zahl  der 
Streifen  einer  genauen  Mauung  zu  untor werfen.  Immerbin 
zeigte  der  Charakter  der  Beugnngsbilder,  verglichen  mit  ähn- 
lichen Erscheinungen  bei  gewöhnlichem  Lichte,  da»  inAia 
mit  vehr  kleinen   Wellen  zu  thun  bnbe. 

Qelegentlicli  weit«rer  Veronche  hatte  ich  giflcklich  die  Ab-^ 
■tAnde  der  Lichtquelle  von  l^ngungnpali  und  ph(itogTa|ifaia 
Platte  und  die  Hreitr  der  beugenden  Otffnting  so  g^'wflhlt, 
in  der  Mitte  des  Spiiltbilde>4  ein  erste«  Minimum  auftrat.     Ilier«^ 
mit  war  nun  die  Mögliclikeit   gebot^^n,   in  einfacher  Weise  die 
Wclk*nlünge  zu  beruchnen. 

La&*it  man  die  Strahlen  einer  icbmalen,  )<' 
liiiie  durch  einen  genügend  engen  Hpalt  auf  ein- 
•o  entutehcn  bekanntlich  zu  beiden  Suiten  doa  dirdcten  Bpalt- 
bstdes  belle  und  dunkle  Streifen  (Maxima  und  Minima).  Kr- 
weitert  man  nun  bei  «m-it  coufttauter  Aufstellung  die  beuget 


X.  yamta:  Dit  WtUenlänge  der  Sßntgen-Strahhn, 


285 


OofTuuiiß  itiimer  uiehr  und  riielir,  so  zielien  sich  dieee  Intcr- 
ferentstmfeii  enger  und  enger  gegen  das  Mitt^lliiid  hiit  zu- 
snmiuen  und  plötzlich  erscltetnt  in  leUterem  in  der  Mitt«  ein 
dunkler  Streifen,  dae  erste  Minimiini. 

Fährt  man  mit  der  Vergröaserung  der  beugenden  Oeffnung 
fori,  »0  luaciii  dieses  Minimum  einem  Maximum  PJat^f  wodurch 
zwei  Minimii  entstehen  und  so  fort.  Mit  ilülfe  der  Formeln 
und  Tabellen,  welche  F'rofesaor  Dr.  v.  Lomniel  in  seiner  Ab- 
liiindlung  ,Oie  Beugungser^cheinnogen  geradlinig  begrenzter 
Schirme"*)  berechnet  biit,  lilsät  tiich  nnu  aus  dem  Auftreten 
dieser  Maxima  un.d  Miniraa,  beziehangüweise  ihrer  Abstünde 
und  den  Kon^^tanten  der  Versucbsanordnung,  leicht  die  Wellen- 
länge dea  angewandten  Lichtes  berechnen.  Diese  experimentell 
cinfftcbe  Methode  ist  namentlich  da  sehr  empfehlenswert,  wo 
man  wegen  geringer  Helligkeit  der  Lichtquelle  gezwungen  ist, 
verhältniflsmäsAig  weit«  Beugungsspalte  anzuwenden. 

Prof.  Dr.  V.  Lomtnel  gibt  auf  Seite  78  (600)  seiner  Ab- 
handlung folgende  Be;&iehung: 

liier  Wdeutet  A  die  gesuchte  Wellenlänge,  o  den  Alistwnd 
von  laicht  nnd  beugender  Oeffnung,  b  den  Abstand  der  letzteren 
vom  Auffangschimi  und  r  die  halbe  Spaltbreite.  ^  ist  eine  aus 
Fig.  1  (am  Schln:sflo  obiger  Abhandlung)  xu  entnehmende,  al^ 
sniute  Zahl  und  ist  in  untrerem  Falle^  d.  h.  beim  Auftreten  des 
«rsleo  Minimuuiij,  gleich  U. 

I>ie  Kornttantcn  des  Versuchet«  waren 

a  =  200  mro 
6  =  200    . 
r«0,05   . 


■)   r.  Louunel,   Ali  band  Ian>rcii  rter  k.  tNi^-cr,  Akademie   der  Wiw., 
.a,  XV.  Bd..  ULAMlL,  1880. 


28G 


Sücung  der  math.-j'hyß:  Gtagse  vom  ß,  Juni  tB$tJ. 


Denjnach 


2fc    400 


.  0,05»  =  0,000014  mm. 


11  40000 

DiB  Wßtlenliltigie  ist  demuuch  ungefähr  1 5  mal  Ideiner  aU 
die  bitrlier  untersuchte  hleinste  Wellenlänge  im  Ultraviolett 
Da  der  Abstand  der  ersten  Minima  bei  so  kleiner  WellenliLnui* 
mhx  gering  ist,  so  lässi  sich  au«  den  erhaltenen  AufDubmen 
nicht  mit  Sicherheit  constatieren,  ob  man  es  noch  mit  d^m  eret^n 
Minimum  zu  thun  hat.  Ich  uüchte  deäshalb  obige  Znbl  mir 
als  obere  Grenze  der  von  der  bei  den  Versuchen  verwendeten 
Hiltorfftchen  Rühre  üusgehenden  Röotgen- Strahlen   bezeichnen. 

InKwiöchmi  haben  die  Herreu  G.  Sagnac'),  L^  Calmette  iiad 
G.  T.  Lhuillief')  Versuche  in  derselben  Richtung  veröffentlicht. 
0.  Sugnac;  wendift  ein  Drahtgitier  an  und.  berechnet  aus  eint^r 
kaum  it»e&sbaren  Verbreiterung  des  Spältbildeä  eine  obere  Grenze 
von  0,00004  nim  als  Wellenlänge.  Cahnette  nnd  Lbnillier 
haben  Beogtingsversuchö  mit  zwei  Spalten  augeäteilt,  erhnitt'n 
ebeofallä  helle  und  dunkle  Streifen,  ohne  sich  jedoch  Über  die 
Grösse  der  Wellenlänge  lu  äussern. 


ij  G.  Siignae,  Comptee  Rcndu«.  Tome  CXXll,  No.  13. 
^  L.  Cftlmette  nnd  G.  T.  Lhtdllipr,  Compteii  Bcnduu,  Tome  CXXIl, 
So.  1€. 


287 


Sitzung  vom  4.  .Tiili  IS^Mi. 

1.  Herr  Rourbt  Hartk)  hält  eioen  Yorir&f; :  .Ueber  das 
Ab«lQrl>nn  von  Bftuuigruppen  darch  UlitKschUg.*  Die 
Arbeit  soll  anderweit  veröffentlicht  werden. 

2.  Herr  H.  Sekmqek  legt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
Dr.  C.  Charlier,  OWrvator  an  der  Sternwarte  der  rniversität 
Upsala:  «Untersnchung  Über  die  Methoden  zum  Tabu- 
liren der  Störangen   der  kleineu  Planeten"   vor. 


Untersuchung  über  die  Methoden  zum  Tabuliren 
der  Störungen  der  kleinen  Planeten. 

Von  Dr.  C.  GkorUer, 

{UtHftlMi/tm  4.  JkU.) 

lu  der  ersten  Heibe  unter  den  Aufgaben  der  reebnenden 
Astronotnie  der  Oegonwart  steht  ohne  Zweifel  die  Berechnung 
der  Störungen  der  kleinen  Planeten  zwiecheu  Jupiter  und  Mara. 
r>a  es  sich  hierbei  um  eine  Frage  handelt,  deren  LJteung  jeden- 
falls Hehr  viel  Arbeit  und  Talent  in  Aniipruch  nehmen  musA, 
und  da  ausaerdeu]  die  gewünschte  Losung  der  Aufgabe  so  be- 
Mbaffen  sein  ddrfle,  da^  die  ganze  Rechnung  nicht  noch  kurzer 
Zeit  neu  gemacht  werden  muss,  so  wird  es  von  Interesse  Bein, 
die  Mothfxi^>n,  die  den  Astronomen  hierbei  r.ur  Verfügung  !)tehen, 
von  no  vielt^n  Seiten  wie  mOglieh  zu  mustern,  damit  man  unter 
den  vielen  Amwegea,  die  xu  (Jebot  stehen,  den  möglichst 
zweckmiuägsten  aoswiblen  kann.    IOü  ist  übrigens  nicht  ku  er- 


288 


SiUrnnff  dtr  mndjÄf».  CUum  «pa»  4.  JyJt  099, 


wart«n,  da.«  eine  einzige  Methode  ftlr  at(e  Fälle,  die  im 
üystvnie  vcirkotnmpn,  nuHmoben  wird;  vielmehr  wird  m  mk 
wahrscheinlich  heraiisst«lt«n,  dai«  die  verschiedenen  Wertb*  A( 
Iiite^ationskonstanten  ver^hiedeD«  Bobondlua^metliodea  th 
hoischeD  werden.  Su  kaun  man  dich  k.  B.  folgende»  Arböti- 
schenm  als  ptau^ibt!!  vorateUen:  Die  PUnt^ien,  deren  oiiUlat 
Uowogiitig  iiuhi*  unmQiBiitiurab(>l  mit  derjenigen  vom  Jupitet  Ml, 
werden  bei*ondenf  gerechnet;  unter  den  Obrig'eii  tcomiticn  Üt 
riaiitfltjU  mit  kU'iner  Kxceiitrit-iUt  und  ^V'i^uu|;  zuaauuinea  ■ 
einer  Khit»e;  und  zmiächüt  koiumeii  die  Uhrige'n  PJantitea,  Utttff 
denen  vielleicht  diejenigen,  di«  Jupiter  aid  nSch^^tea  Ue^ 
eine  he^undere  lt<5handhing«methode  erfordern   werden. 

Man  kann  sich  anch  andere  Qesichtaiiunkte  bei  der  Bt- 
linndlung  des  Pruhloniü  denken:  u  B.  ob  man  abs<i|ute  Bahnen 
nach  Gylden's  Betrachtungsweise  rechnen  soll,  oder  ob  loat 
sich  mit  allgHuit^inen  Stririiii^en  begnQgen  darf  n.  19.  w. ;  aber 
auch  dann  wird  man  Bchhossltch  Hoch  nicht  von  dt^n  venclüe- 
denen  AVerthen  der  Integrationskonatanten  abeehen  können,  ic«* 
dern  man  wird  wieder  auf  die  obige  Eintheilung  zurQckj/efnbrt 

Im  t^utgendeti  werden  zwei  VorBchläge  zum  Tubuliren  dvt 
Störungen  der  kleinen  Planeten  auiteinandergelegt  und  so  weit 
gefOhrt,  dasB  man  eine  Uebertiicht  Über  die  fOr  das  Tabulirvii 
t.w  fordernde  Arbeit  bekommen  kann.  Dieaelbea  dflrf«n  mit 
Vortheil  beniit7,t  werden  können  bei  Planeten,  deren  Kxcentri- 
cität  und  Neigung  kleiner  als  ^^  (12")  betragen,  ond  es  ver- 
dient bemerkt  -/.n  weriien,  dasit  die  Zahl  solcher  Planeimi  Ober 
70^/0  der  gesammten   Planeten  ausmachen. 


I. 

Setzen  wir  zur  Abkürzung 

p  ms  ain  i  cos  ^ 
q  3C3  sin  i  sin  ^, 

wo  e,  i,  TT  und  Sl  die  ExcentricitUt,  die  Inklination,  die  Perihf-f- 
länge  und  die  KnotenlikOge  des  gestörten  Planeten  bedetit^'u, 
und    sind  ff\  h\  p    und  q   die  entsprechenden  Gr5sBen    fßr  d4 


^  s=  e  C06  7r ; 

Ää  csin  n ; 


Choriieri  TahuHren  der  Störungen  der  kleinen  Ftantien,        280 


atorenden  Planeten,  ao  lassen  sicli  bekanntlich  die  Störnng^- 
fuoktion  und  ihre  partiellen  Ableitungen  aln  Potenzreiben  nach 
den  positiven  Potenzen  von  y,  /t  etc.  daratelltm.  Die  Koefficienten 
in  diesen  Reihen  sind  dann  abhängig  nur  von  dem  VerhäUniss  a 
zwischen  den  halben  grossen  Achsen  a  und  a  und  von  der  als 
unabhängige  Veränderliche  benut7.ten  Winkelgröüse.  Behalten 
wir  die  Kun»tanten  g^  A,  p  und  q  unbestimmt,  geben  aber  u 
einen  bestimmten  Werth,  so  kann  man  die  Integration  numerisch 
ausführen  und  erhalten  nach  derselben  die  Koordinaten  ald 
Polenzreiheu  nach  diesen  selben  Grössen  p,  h  etc.  dargestellt 
Um  die  Begriffe  zu  fixiren,  nehmen  wir  an.  das«  irgend  eine 
Koordinate  X  nach  der  Integration  durch  die  folgende  Iteihe 
gegeben  wird  : 

X^YiX{a,u)yhpqg'  h'  p  q\ 
wo  wir,  wenn  die  Indices  bei  X  angezeigt  werden  sollen,  setzen 

*■  Cni'm' 

X(o,  «)=  X  (a,  tt). 

ktMM 

Die  Koefticienten  X  sind  nun,  indem  wir  vorläufig  von  den 
sekularen  GUedem  wegsehen,  ia  Fourier'äcbe  Reihen  nach  den 
Vielfachen  von  u  entwickelt,  und  die  Koefficienten  in  diesen 
Ausdrücken  sind  allein  von  der  Grösse  a  abhängig');  es  wird 
unteräucht  werden,  wie  sich  das  Tabulireu  dieser  Koefficienten 
bequem  ausfUbreD  lässt. 

Zunächst  ist  ersichtlich,  dass  eine  derartige  Tafel  für  die 
Berechnung  der  Störungen  der  kleinen  Planeten  von  dem  gröbsten 
Nutzen  sein  wQrde.  In  Besitz  einer  Tafel  von  den  Funktionen  X 
hatte  man  in  den  Ausdrücken  für  die  Koordinate  nur  die  be- 
sonderen Wcrthe  von  gt  h^  p^  q  einzu^ietzen ,  um  sogleich  durch 
einfache  Addition  die  allgemeinen  Stomngsau.sdrflckc  eines  be- 
liebigen Planeten  zu  erhallen.  Die  ganze  Arbeit  um  die  voll- 
ständigen Sbörungsausd rücke  eines  Planeten  zu  erhalten,  würde 
kaum  viele  Stunden  in  Anspruch  nehmen.  Weiter  ist  es  zu 
bemerken,  da.>i8  wenn  nach  einigen  Jahrzehnten  die  oskulirenden 
Elemente   des  Planeten  sich  so  viel  geändert  haben,  dnss  man 

')  Und  von  der  EpocbelUnge,  von  der  wir  atior  hier  abveheo  kOjuieii. 
la».  auLb.-|kUyi.  ci.  1.  1'^ 


SM 


Sättmff  der  mafh,-jihjf0,  CtoMW  tarn  4.  JaÜ  /SM. 


eine  Uns;ena"iglcpit  der  Sfirunjc^nsdrCcke  x«  Ix-fOrcbten 
nnd  somit;  neae  St&ningen  berechnen  will,  to  kann  man  lUbei 
wt«der  dieselbe  Tafel  benutzen  und  die  neuen  StnrungitvriiMirtidE« 
ebenso  leicht  erbfilten') 

Um  benrtheilen  zn  können,  in  welchem  Orafiing  eine  colclie 
Tafel  berechnet  werden  soll,  habe  ich  in  der  beigefOtifieii  Ta- 
belle die  311  ersten  kleinen  Planeten  nebst  deren  Ksentncitfil 
und  Neiffun^  zusammengestellt. 

Man  sieht  aus  dieser  Tafel  unter  Anderem,  dias  zwiscben 
log  a^O.41  and  log  a « 0.50  Ober  200  tob  allen  Planetmi 
enthalten  sind.  Diese  Planeten  sind  diejenigent  deren  mitilete 
ßeveganK  zwischen  der  zweifachen  mittleren  Bewegunir  roa 
Jupiter  und  der  dreifachen  derselben  liegt.  Ffir  dieses  Gebiet 
von  a  (entsprechend  a-Wertbe  zwischen  9.094  und  9.784)  wird 
also  die  besprocbene  Tafel  besonders  günstige  Ke.sulUte  liefern. 

Wir  werden  nun  das  betreffende  Problem  etwas  uäber 
nntenrachen.  Han  kann  in  vielerlei  Weise  das  genannte  Pro- 
gramm durchführen  je  nach  der  Wahl  der  unabhängigen  Ver- 
finderlichen  u  und  der  Wahl  der  Koordinaten.  Alle  diew 
Methoden  haben  eine  Eigenschaf)  gem«n,  auf  die  ich  zuenl 
aufmerksam  macheu  will. 

Betrachten  wir  die  Stornngsfunktion  ^i  orler  irgend  eine 
Ableitung  derselben,  so  kann  man  dieselbe  auf  die  oben  ge* 
nannte  Form  fDr  die  Koordinaten  bringen.     Setzen  wir  nan 

ß  =  L  ß  («t «)  ff  Ä  f  g  ff'  A'  p  ?'. 

so  haben  di«  Q  (o,  u)  folgende  Eigenschaft.     Man    kann  setxen 

ß(ff.«)  =il^(o,^J  +  iil(a,^)  coäu -1- .  .  . 
+  i>;(a.^)8inü-f..., 
wo 

^  =  1  +  o*  —  2o  cos  (i  •*  -f  JJ) 

and  Jl  eine  gegebene  Funktion  von  a  tsL 


')  In  der  Tbat  braacfat  man  aar  die  aus  den  neiim  ff,K  f*^  lM>^' 
TflihnBdva  KöTTektloasgUaiUr  blntufDgen. 


Churiier:  Tabuliren  Her  Störungen  der  tieinen  PianeUn.        291 

Die  ubige  Keihe  ftlr  12  (a,  u)  entliiilt  immer  eine  endliche 
Zahl  Ton  Glieduro  und  Kwar  ist  diese  Zahl  nicht  grösser  aU 

it  +  I  -h  w  4-  »  +  A'  +  ^-f  »•'  +  H  -h  1 : 

piter  sind  die  Koefficienten  immer  von  folgender  Form: 

WO  wieder  die  Zahl  der  Glieder  endlich  i^t  und  die  k  Funktionen 
von  a  alU'in  sind.  In  Besitz  einer  Tafel  fllr  die  Kntwickelung 
von  A'  erhalten  wir  somit  leicht  die  Entwickelung  der  Funk- 
tionen Ür-  Wir  werden  einige  ro«  diesen  Funktionen  im  Fol- 
genden bilden. 

Die   einzige  Ausnahme   TOn  der  obigen  Form   ist,    du^ä  in 
einigen  Ausdrücken  ein  Faktor  a\ü{Au-\-B)  hinzukommt. 

Wir    werden  jetzt   zur    Bildung    der   Funktionen  fi   über- 
llien.     Als  Koonlinnten    werde  ich  Polarkoordiuaten ,    bezogen 
auf  ein  durch  die  Sonne  als  Origo  gelegtes,  festes  Koordinaten- 
system, wählen ;  als  unabhängige  V^eränderlicke  wird  die  wahre 
Anomalie  de»  gestörten  Planeten  gewählt.   In  den  Lagruuge'schen 
H    Differentialgleichungen 

I 


r*  coa'  £•  T7i  T-  2  r  cos'  o  -  -7-  —  2  r'  cos  o  sin  ft  tt  t^  ^  V 
dt'  dt  a  t  dt  dt       ^ 

^d*b.^    dräU  ^^  .    ,        ,(dt\^       „ 


fahren   wir  also   statt   i    als  unabhängige  Veründoriiche  v  ein 
durch  die  Gleichung 

r^dv^Ycdi 

und  wenn  wir  gleichaeitig  -  »tatt  r  anwenden,  bekommen  wir 

nach   «inigen  Transformationen,  die  ich  hier   übergehen   kann, 
das  folgende  System  von   Diäerentiatgleichuugen  : 


Indem    wir   ueu    auf   die    3t5rtmgvo    entcr  Ordnaoff    be- 
[ik«0,  küiiD^a  wir  diese  DüTerentÜLtgleicliangea  fblgeoder- 
■n  int^nrei);. 


(B) 


?-^. 


«=«<,  +  » 

l   6  =  J,  +  *, 
wo  r,,  /,  and  fr,  darch  die  folgenden  Gleicbangen  bestimmt  sind: 


(C) 


P 
% 


d?„ 


rf»6. 


^-^>  =  cos.(l+tg»fto) 
^  +  co8»itg6„(l  +  tgn,)  =  0. 
f!ur  B«Etiinman|f  von  9,  ^  und  £  bekommt  man  dann  das 


Chäriter:   Tabultren  der  Slörtingen  der  Meinen  PlitHcten.        29>'t 


(X>) 


ds 


dv 


=  C08t(tg»ft-tg«6o)  + 


l  +  t«'i 


■J^ 


r»rft 


.  H- cmS' [  1  +  4  tgn„  +  .-^  tg*  y .  ^  =  c. 


Wir  bemerken,  dafls  r^,  Ig  und  A^  nicbt  ganz  mit  den  an- 
törteo  Koordinaten  znsammenfallfln,  da  dieselben  von  v  and 
~nicfat  Ton  der  uu^estürten  wahren  Anomalie  abhängen.  Weiter 
will  ich  bemerken,  dasB  man  ohne  viele  Abänderungen  in  dem 
Folgenden  statt  den  Gleichungen  (A)  bi»  (D)  die  Laplace'&chen 
Gleichungen  mit  /  als  unabhängige  Veränderliche  anwenden 
kann.  Ich  habe  die  obige  Foim  bevorzugt,  nar  weil  die  Ent- 
wickelung  der  St(}rung»fuuktion  sich  etwas  einfacher  ge^^taltet, 
wenn  v  eh  unabhängige  Veränderliche  benutzt  wird. 

Die  Integration  von  (0)  giebt 


(1) 


—  =  1  -f-  ^  C06  w  +  A  sin  V 


sin  &g  «=  |)  ain  V  —  q  coa  r 


.  r  cwidv 

•»"Jr-sinM'sinMp- 

1 „      .     1 


{V-S2) 


Indem  wir  setzen 
(2)  K  =  /.(i;-c)  +  c' 

bekommt  man  fOr  v   den  Ausdruck: 
(rt)p'=K-2/i(*/8in«  -Aco8r)  +  2(/;'sin  T- A'cos  F) 

+|/i[(^«-Ä»)sin2p  2^Acoe2t']f^(i^'*-A'»)sin2r-|jVco82r- 

-2^Sffl'[sin(tf-Fj+«in(v+nj+2;iA^'[co6(i;-K)+co8(i;+F)] 
-2//</A'[co8(v-r)-co8(r+K)]+2//AA'[-siu(i;-r)+«DKn] 


Aer  TCB  mir  in  itiae»  Asfiatx:    ,filiwKrr  ölrer 
t'  IL')  liiimilM   IttAodt.  im  kk 


Ia^vb  vir  wtzjra 


(4)    .    -    . 

mu 

1 

i-^-'-'^f 

1 

«                         36 

«o  //  dim   Wink«!    iniscben  dem  Badins  Vehlar  des  gestGrtoi 
vaä  des  stdreodec  E5rpen  bexekhoet,  who 

H  =  CO«  fr  CO«  /  cos  6'  cos  /*  +  cos  6  sin  /  coe  6'  sio  T  +  hu  6  sio  V. 

Die    Entwickelaog    Ton    -^,    geschieht    nnn    in    folgender 
Wei«e:  *" 

Ee  ist 

r"»  =  f*-f  r'»  — 2rr  Ä 

and  also,  wenn  wir  setzen 

J^  =  Q*  -\-  a*  —  2 a  a'  cos  w. 


wo 
ond 

so  ist 


JF"  =  r*  +  r'»  -  2  r  r  //  -  a»  —  a'>  -}-  2  a  a'  cos  w. 
»)  Bihang  tili.  K.  Svenska  Vet.  Akaderaine  Skrifter.     Bd.  19. 


1 


Ciiarlier:  Tofrultrtfn  der  Störungen  der  üeinen  Planeten.       295 

Führen  wir  jetzt  die  Bezeichnnogen 

r  =  a(l-|-ß);  r'  =  a'(l -|-e);  fl'=cosw  +  M 

ein    nnd    beobachten,    dass    man    statt  w  Qberall  ^q    einführen 
kann  durch  die  Relation 

2 a a  cos m;  —  a*  +  a"  —  ^ 

und  die  daraus  abgeleitete 

4  a'  a'"  ain« «;  =  4  o*  o'*  —  (o'  +  a'*  —  ^)*, 

so  bekommen  wir 

(5)  F=  (n»  -  a«  +  -=^5  e  -  (a»  -  a*  -  ^J)  p'  -  2  a  a  m 

-f  a" ß^  ^  a'« e«  -  (a«  -f  a»  -  ^) ^  e'  -  2  a  a  « (e  +  «')  - 

—  2aa  ug q\ 
und  da 

1  -^        \        'A  F       Ifi  F* 

oder  nach  Einsetzung  des  obigen  Ausdruckes  (5)  für  f 

r"*       z^„       2^     ^      ^^j;^^2l     ^J  ^V^ 


und  wenn  wir  setzen 

erhalten  wir  aoniit,  indem  wir  gleichzeitig 

a 

a  =    , 

a 

(ti)  J^  =  1  +  a2  -  2  a  cos  w  =    ,° 

Ol 

einführen,  folgende  Ausdrücke  filr  die  Koefficienten  2): 


J>m,- 


2  d'  '2  /I* 


2^6^       -'^lar 


Jetzt  ^Uen  wir 


(7) 


1 


m 


;''-'-^  =  2^'^.,-e'?'«- 


und  die  Koefficienten  P,,i^  erhalten  dann  folgende  Werthe: 

P      =  —  P 

_3a»(I-a«)  la' 

«"  ~  2  "       ^J»  2  ^i» 


I 


CharUer:  Tahutiren  der  Störungen  der  JUemen  Planeten.       207 

P     —  15  g(l— Q*)*  _  ß  (21-6a*-15a*)       ^  ^_^  j_ 
«"       lü        zl'  16  A^  "^16      ^»      "^ 

P     ^15«n  -«V       9al  +  2c«-3a*      3a    1  +  3 a» 
«*""16        ^^  16  J"  16'       A* 

_  1 5  a»(l  +«*)  _  3  ^ 
"» ~  4  J'  4  J» 

_  _  15  a(l-a»)»      1  a(15  +  6a«-21  a*)      la(l-5a») 

+  -8^  +  2«(lH-a»)-2ozC 

_15a'(l-a')>       3aMl+a')       1  «'       g    . 
"»~  4  ^'  2  ^»  4^» 

P      Ä  —  P 

■*  011  ■*  101' 

Die  Entwickelung  von  Q  und  i2  ist  von  eben  derselben 
Form.  Wir  begnügen  uns  aber  mit  den  obigen  Angaben  der 
Koefficienten  P^  da  es  hier  hauptsHchlich  auf  die  Beurtheilung 
der  bei  dem  Tabuliren  notbwendigeu  Arbeit  herauskommt. 

Nachdem  jetzt  die  Entwickelung  in  der  Form  (7)  erhalten 
ist,  hat  man  die  Ausdrücke  fQr  q^  q  und  u  einzusetzen.  Diese 
Ausdrücke  sind  bis  zum  zweiten  Grude  in  ^,  h  etc.  die  folgenden: 

Q=      g  cos  v-h  sin  v~  ;^  (*'y'  +  A*)+  5"(!?*~  A*)  C08  2tJ-|-^9/*sin2t; 

e'  =  —  tj  cos  (y  —  w)  —  h'  sin  [v  —  w)  + 

+  /'.w'  I     e()st(?-f"*-'"^(2  V    IC)]  -j-  fth;/[     sin  w  +  sin(2t;  — w)] 

4"  ., .'/  //  [1  —  cos  2  (ü  —  ici]  —  (/  h'  sin  2  (y  —  w)  + 

+  ,"  i/  ä'  [si'i  1*^  +  sin  (2  r  —  ip)  ]      ^w  h  h'  [cos  w  4-  cos(2  v     mj)] 

-i-^Ä'A'[l+cos2(t.— tt-)]. 


298  Sitzafig  dtr  *»rt(A.-juA^s.  i^atsf  rom  i,  Jtdi  iS96, 

-i-  cosht[-  ^* (r»  -^  h*)  +  ^i*(ff»  —  A*)  coa2tt  -|-  2/#»j|A  atna» 
-C?''  +  A'')  f(>'*-A'»)cf»s2(p-ir)  +  2yA'sin(2F-iF)] 

[3 

4- 1 0?'*  -  Ä'»)  siü  2  (d  -  w)  -  I  ir'A' cos  2  (t^  ^  «•)! 

+  2^i^j'[co82tp— co92(p— ir)]— 2w<yA'[8in2K'+siti2(«j-«?)] 
+  2^A/[fiin2w— sin2(r— w)]  +  2.uAA'[cos2^ir  +  co«2(t'*w)] 

Diese  Wertbe    von    p,  p*  etc.  in  (7)  eingesetzt   geben  nna 
Diin  die  gewQttöchte  Form  für  F.     Wir  scbreiben 

(B)    ^r*i*  =  jl{0)  +  ji(<;^l)cosü  + j4(c-S)cofi2r-H.  . 

4-  a  (ä  ■  1)  ain  r  +  j4  (ä  .  2)  »in  2  r  -h  .  ,  ., 

ttud  die  KoefiicieQten  j1  werden  daon  nach  Poten5?rn  Ton  ^,  <;'  etc. 

eatwickelt;  eine  Eatwickelung,  die  wir  schreiben: 


(9) 


L-  I-  _i  _■    ff   t   Wir  n    k'  r    m'    M' 


Die  pr:*(:en  Koei'fiKienten  in  <Iieser  Entwickelung  —  bis  zam 
zweiten  Grade  —  werden  wir  jetzt  anführen : 


Entwickelung  von  A{0) 
(enthält  nur  Glieder  geraden  Grades  in  ^  A  etc.). 

0000 

Ä  (0)  =  Pooo 

0000 

2000  *  " 


002 


')  Wenn  bei  einer  Funktion  die  Indicea  oben  oder  unten  nicht  ange- 
zeigt sind,  80  8oU  das  bedeuten,  dass  dieselben  sämtlich  gleich  Null  gind. 


ChartUr:  TabuHren  der  Störungen  der  kleinen  beuteten.        299 


^C0)  =  ^(0) 

OSOO  2000 

2000  1  1 

^  (0)  =  2  Poio  -  CO«  w  ^001  +  2  ^020  +  2  8in»  IT  Poc2 

0200  2000 

^{0)  =  ^(0) 

1000 

^(0)  =  —  P     /ico8W-f2/iCOs2wP^|  — 4^co8wP^ain*w+ 

1000 

+  ^  cos  w  P.,Q  -H  sin  w  P^Q.  sin  »  +  /*  sin  io  P^j,  sin  uf 

0100  1000 

^(0)  =  X(0) 

0100  1000 

1000 

^ (0)  =  -  Po,oM8intt7  +  2^sin 2 «7P^, -4/<9intt;P^^sin»w-i- 
oloo 

-j-  ~  sin  w  P,jQ  —  cos  «7  PjQ^  sin  tt>  —  /£  cos  MJ  Pq|,  sin  m; 

0100  1000 

^(0)  =  -^(0) 

1000  OIUO 

Die  Glieder,  die  Ton  der  Bahnneigung  abbäogeDf  schreibe 
ich  besonders  aus.     Dieselben  lauten : 

—  .,  (;>9'  — i>'9)sin  w  7'ooi  "  "^  [(p  — ;>')*+  f?-  2)*]  cos  wP„,. 


Entwickelung   von  ^  (c  •  1) 
(enthält  nur  Glieder  ungeraden  Grades  in  g^  h  etc.). 
A{c-\)  =  —  P 

1000  100 

^(c.  l)  =  2/isinTüP 

0100  001 

1000 

A_{c-  \)  =  —  Pcosw  —  2Pain*  w 

010  001 

0100 

Ä{C'  \)  =  P  sin  w  —  2  P  sin  to  cos  w. 

(110  (Ol 

Die  übrigen  Koefficienten  sind  Null. 


Wie  fHlher  bemerkt^  sind  also  —  and  das  gilt  aJlgcmön  — 
die  FunktioDen  A  entweder  tod  der  Form  F{J)  oder  i^(J)  sin  ir. 
D»s  Dameriscbe  Taboliren  derbelben  geschiebt  äoaserst  bequem, 
wenn  man  früher  in  Besitz  einer  Tafel  für  die  Kotwickelongs- 
koefficienteii  ron  J*  iet-     Gesetzt 

(10),—  -,  i V      \      ^^  +  2jSncosif-r2.i^''cos2ir-f-..., 


^)  ft,  iIm  VerhiiltniB«    zvüchen   den  mittJrrt-o  Bewe^ngen.   hängt 


■r-T -f  —  -*.—  "^uaen  ab.     AsB&herDtl  i»t   «  =  a 


1 


ChaHitr:  TiUfulinn  der  Störungen  dir  klrtnfn  Planeleh. 


303 


iid  liekanuilicli  die  Kw^fticienlen  f:/*'*  Hir  n*iwisj*e  Werthe 
von.  8  taliulJrt  in  ilcni  Hiiii  klc^iicheii  Tafdwerk^),  jedoch  für 
den  jeUt  voriii'HendeD  Zweck  in  nngenOgender  llmfaasuii)^. 
Duge^en  sind  vou  Musal  w.'hr  ausfüIiHiche  Tafelu  vurfaimdim 
ßber  die  Eiitwickelunga-Koefficiwiteu  in  der  Eiitwickeluug  von 
der  Funktion 

[1  —  o*aiD'  m]*', 

reichen   die  Wwrthe   von  /^J"  nh|i?elt'itet  werden    können.*) 
)er  Befjuemlichkeit   halber  eiuptiehlt  es  sich,  auch  Tufchi 
fDi'  liit»  Funktionen 


zil    b«rer.hnf!n.     Sie   sind    indessen   aas  den  Tafeln    itlr  J'  sehr 
leicht  2U  erhalten,  da  man  hat 


(II) 


am  10 


l    "ji 


NaobdeiD  in  dieser  Weise  die  P,  Q  und  R  Ubiilirt  worden 
sind,  werden  die  Difl'erentinlijrleichungen  (/))  für  jedes  a  integrirt. 
Die  Integrale  werden  zweckmässig  auf  die  Fnrm 

{  =  Ä  (0)  -f  fi  (c  •  I)  cos  r  -f-  JJ  (c  -  2)  C08  2  I»  -t-  .  . 
-h  fi  («  •  J )  sin  f  +  iJ  («  •  2)  sin  2  r  -I-   .  . 

efat,  wo  die  Kneflicienten  R,  nach  Potenzen  Ton  ^,  A  etc. 
entwickelt,  somit  für  jedes  a  tnbulirt  sind. 


n. 

Die  zweite  Methode  zum  Tabuliren  der  Störungen  der  kleinen 
Ptnnettm  werde  ich  nur  kurz  aki/^iren. 

Dieselbe  bernhi  wesentlich  auf  die  KinfQbrung  des  Gj'Iden'- 
scheu  di&kontiiiuirlicheu  Arguuienteä,  und  zwar  vor  der  Inte- 
gration der  Diflerentiiitgleichungeu. 

M  flniithflonian   crnntrihution»  to  kmiwU^ilge   Vul.  IX. 
^  ö)ph<>  Hiilletin  j^*troiioiiii(|iiP  Jhd.  XH'.iC,  wuiierZunummfüiluuiK 
kwüchen  iliowrii  Kocfticießlen  von  Kadau  anMiaaiMlergeKUt  worden  iiL 


aUtum^  der  math.-pkjf$.  0tu9B  mom  #.  ;l)lCr  19K. 

LCrinnt^rn  wir  kun  an  die  EigenAchaften    dm  Too  GfliMJ 
eingefQhrten  Ärj^umetitea.') 

Die  SUJrung)ifunktiun  und  ihre  pArticIlra   Abt«£tm^H  ■■ 
urvprnnglich  von  den  Koordinaten  de«  ^estörU'n  Körpen  wvdll 
vio  von  denen  des  störenden  Körpen  abhunf^'fp.     Vm  d»  b*- 
gration    aiiir/.nfllhrcn,    drtlckt   omD  umi  die    K         *      .t<>n   \»ikr. 

Körper  durcb  eine  einzijfe  Veräoderliclie  aus,    u     _^f  j;ewOtir- 

lieh  indem  mtiu  die  Aiiadnlcke  in  trigonometrische   Reihm  mv 
wickelt.    DieHB  Iteihen  8chreiti*n  nber  nicht  nnch  d«ti  Vielfach 
eine«  eiii/jgen  WinkeU    turt,   sondern  outhfiLt«n,    wi«  taan 
auMlrückt,  xwei  .Argumente*.   Nennen  wir  das  eiae  ArgamtntJ 
ao  wird  das  andere  fi  f,  wo  /j  gleich  dem  VerhiUtiitss  xwiacbea 
ileii  mittleren  BewogQDgen  der  beiden  Körper  iat     Dit  erbaliNKB 
iteüien  sind  also  Ton  der  Form 

Könnte  man  jetzt  cos  /i  v  und  sin  f«  v  nach  deo  Vielfftcbeii 
voD  V  entwickein,  würde  mau  die  formell  riel  einfacbwe  Bat- 
Wickelung 

*^     •  8jn 


Solche  Reihen  von    .    /<  v  sind  auch  möglich   xu  er- 


erhulten. 

halten«  konvergtren  aber  ao  langsam,  dass  dieeelben  pruktiiicb 
unbrauchbar  werden,  ti^ld^n  bat  nun  gezeigt,  wi«  man  durch 
einen  Kunstgriff  Ueibeu  der  gewünschten  Art  erhalten  kann, 
die  gut  konvergent  sind,  welche  aber  fUr  jeden  halben  Uiulnuf 
neue  Koefficienten  bekommen.     Man  erhalt  nämliofa 


V-if** 


l'—  In,«« 


I        (Jptf 


1)  8i«lie  (jjrlddn:  .Grunddiufl^  of  an  method  för  bcrUViLiiLf^  af 
absoluta  HtOriiigiu-*,  Dib.  tili.  K.  Vut.  .\luL<lt'miii3  lluijdl innrer,  ikl,  3,  und 
Cbarlier:  .Ueber  die  atlgumuini'n  .lii|)it4!rftt>riin^fD  <1m  Plünelea 
Thetii*  K.  V.  Akudeuiiui  Handlinger  Bd.  22. 


Chariier:  TabuXiren  der  StÖnmgen  der  kleinen  Planeten.       305 
v6  m  eine  ganze  Zahl  ist«  so  gewählt,  dass 

0^  bestimmte  Zahlen  bezeichnet. 

Die  KoefGcienten  in  der  Summe  rechter  Seite  sind  nuu^) 
^r  alle  geraden  Werthe  Ton  in  gleich  und  ebenso  fUr  alle  un- 
geraden, und  folglich  hat  man  praktisch  nur  zwei  verschiedene 

Entwickeluniren   von         u  v.     Biese    enthalten    ausserdem    den 

•^  sin' 

Winkel  mf*/t^  der  för  jede«  halben  UnilHur  den  Wertli  ändert. 
nnd  dieser  Winkel  ist  das  Gylden'sche  diskontinuirliche  Argu- 
ment.    Wir  neuDen  es  X^'),  «o  dass 

Führt  man  dieses  hinein,  so  wird  nun  unsere  Reihe  die  Form 

(13) £B,^"'tr 

^     '  Bin 

bekommen,    wo  aber  jetzt  Bt  von  dem  Argument  X«  abhängt 

und  somit  filr  jeden  halben  Umlauf  den  Wertb  ändert.     Man 

erbält 

(14)    .    .    B,^b^-\-h,co$X^~\-h^cos2X^+  .  .  . 

-1-  c^  sin  X«  -f-  c,  sin  2  X«  -1-  .  .  ., 

wo  die  h  und  c  zwei  Werthe  haben,  den  einen  fllr  gerade  »M, 
den  anderen  fUr  ungerade. 

Nun  kann  man  das  Argument  Xn  entweder  vor  oder  nach 
der  Integration  einführen.  In  der  citirten  Abhandlung  habe 
ich  bei  der  Berechnung  der  Thetia- Störungen  X«  nach  der 
Integration  eingeführt,  und  es  ist  offenbar,  da&s  man  auch  so 
Verschiedenes  gewinnt.  Indessen  dflrfte  es  zweifelsohne  in  den 
meisteti  Fällen    vortheilhafter   sein,   schon    vor   der   Integration 


')  Wie  iimii  11119  dem  Fultlor  (--  1/*"  aieht. 

')  Uei  aiiiar  tbaUächtichcii  Ueciiutin^;  euiptiehlt  es  Bicb,  einen  etwOH 
venchicdenen  Werth  von  X^  «v,  bonutxeD,  uäintich 

X^  =  /« (m  ii  —  c)  -f-  c'. 

IBM».  Maili.-ph]rai  OL  S.  30 


1  ■ 


309 


OefFentliche  Sitzung 

xur  Feier  des  137.  StiftuDg^ta^ea 

am  li.  Mlirz  1896. 


Der   PräHiüent   der  Akademie,   Herr  M.  v.  Petteokofer, 
leröfiiiet  die  Sitzung  nnt  folgender  Ansprache: 

Die  öffentliche  Festsitzung  im  Monat  Mära  jeden  Jahres 
dient  xur  EriuueruDg  an  die  Grdndnng  der  biiyeni^chen  Aka- 
deniie  der  Wissenschaften,  welche  vor  137  Jahren  durch  eineu 
der  Vorfahren  Seiner  Könglichen  Hoheit  des  Prinz- Regeuten 
Luitpold  von  Bayern,  tiosres  derzeitigen  Protectord,  erfolgte, 
durch  Kurfürst  Maximilian  Joseph  111.  Alle  Regenten  Bayerns 
standen  dieser  Stiftung  ganz  im  Sinne  ihres  Stifters  gegenüber, 
weicher  wörtlich  aussprach,  dnsa  er  dereu  Protectur  nicht  nur 
lieissen.  sondern  aach  sein  wolle.  Hervorragende  Verdienste 
seiner  Nachfolger  hervorzu hohen,  hatte  ich  in  der  letzten  Öffent- 
lichen Sitzung  im  November  vorigen  Jahres  Gelegenheit. 

Die    ho<:hverehrten   An  weifenden    erinnern    sich ,    daas    ich 
Bohon  wiederholt  betont  habe,  dass  Geldmittel  für  wissenschaft- 
liche  Zwecke   unsere  Akademie   bisher   hauptsächlich   nur   von 
I  gekrönten  Häuptern  aus  dem  Hause  Witteisbach  und  vom  Staate 
[«mpfangen  hat,  aber  nicht,  wie  andere  Akademien  der  Wi&sen- 
(schaften  in  so  hohem  Masse,  auch  von  Privaten.    Wie  bekannt, 
bei  uns  nur  zwei  Privat^itiflungen,  die  Liohig-Stiftung, 
im   Jahre    1870    Landwirthe    und    Freunde    der    Land- 
[wirthschafl,    einer  Anregung   Uebiga   folgend,    15200   Oulden 
schenkten,  und  eine  Stiftung  für  Studium  und  Erforschung  der 
griechischen  Sprache  und  Literatur,  wofür  der  Bankier  Christ-akis 


r  gespendet  bat-  Die  Rvntra 
dieser  beiden  Siiftnngen  dienen  ihren  ganz  scharf  begrenzten 
Zwecken  und  die  Liebig-SHflung  wird  ron  einem  eigenen  Curi- 
torium,  die  Zograpbos-Stiflting  von  der  philosophisch- philologi* 
sehen  Classe  unsrer  Akademie  Tervraltet. 

Die  historische  Clause  unsrer  Akademie  ist  durch  ein  gnWM» 
Q«id»enk  Seiner  Majestät  weitand  König  Max^  II.  h»  Grüadnif 
der  historischen  Commission  hedatht  worden. 

Die  mathemalisch- physikalische  Cluse  nt  die  &mKt«;  m 
«rfordern  heutzutage  aber  gerad«  die  NaturvisBefftschaiten,  welche 
in  ihr  Tertreien  sind,  zu  ihrem  erfolgrnchea  Betriebe  lid 
grOnere  Uitiel,  ab  ihr  rom  Staate  gewihrt  Verden.  Di«  SUab* 
regienmg  beschränkt  ihre  Ziucbltaae  wesentlicb  anf  Zwedu  im 
Unterrichts  und  anf  Erhaltung  der  winemehafUicken  Sttoa- 
ivttgea  des  Staates. 

Benie  bin  ich  nun  in  der  glftckticben  Lege,  tob  ei 
nenen  Stiftung  n  gumieu  4er  k.  ba,rer.  Akadeoiie  der  W; 
icballc»  zn  spiechen,  deren  Renten  aocb  FoncfanB^Kwecka 
der  »>thrwti9cb*pbrsikalixhett  Oeiiwi  la  gute  kommen  kOonn. 
Is  luflutuiui«  Jahre  nahm  ich  Gelegenheit,  mit  Hens  Oosk 
Mmji'ttrath  Lodwig  Weinmamt  dakier  sa  fprachen,  vie  «rte- 
wJbetiaw«th  c«  -m,  dvi  ebwiso  wie  in  Bertia  nnd  W»  maA 
m  HSnehea  PriftaÜftmgcn  f&r  die  Akadenne  der  Vfvatit- 
M^aAeB  gefuechi  wftrdea. 

Ben  WeiBnaaa  drUckle  ^r  gleich  sät  Wärae  aeiBe  a«f 

IwdieW 
«i<l  gmmm  M«.  «««■  ^ 
BOB  ihr 
bt  n«r  fir  ««iMe  Bvso«  fir  üw  Zwmk 


r,  Petttnkofer:  An/ipracht. 


8U 


Ulla   fufcm    noch    mehrere    ZeichniiDgen    in    HElde    m    Aussicht 
stünden-     Kr  übergab  mir  folgendes  ÖcbreibcD : 

«Hochgeehrter  Herr  Geheimrath! 

In  l'olge  der  mir  jf^ebenen  Aiifforderun};;  hübe  ich  bin 
heute  50  500  Mark  )«ut  underseitig^r  Aufstellung  an  Zeich- 
nongen  r.a  f^nsteo  der  kgl.  Akademie  der  Wiasenacbaflen  er- 
hAÜen;  weitere,  ich  bofle,  nicht  anbedeutende  Zeichnungen 
stehen  noch  iiuä  und  denke  iuh  in  Bälde  darflljer  Vortrag  er- 
statten £11  können. 

Auch  habe  ich  bereits  Anordnung  getroffen,  dass  die  Eid- 
sahlnngim  der  bisherigen  Zeichnungen  bei  dem  hiesigen  Bank- 
Kuse  Merck.  Kinck  k  Co.  zur  Verfügung  der  k.  Akademie  der 
Wissenac haften  erfolgen  werden. 

Die  .sHiiiLlicben  Geber  richte»  uu  Sic.  geehrter  Herr  Geheim- 
rath, die  Bitte,  diese  Seienden  zu  einer  Stiftung  als  Zeichen  der 
grossen  Verehrung  ond  des  Dankes,  welchen  Ihnen  die  MUncbener 
für  Ihr  erspriemtiches  Wirken  damit  aussprechen  wollen,  in  der 
Art  3CU  verwenden,  dass  die  Bcjitimmungen  fiber  die  Verfügung 
vun  Ihnen,  oder  mit  Ihrer  Zustimmung  festgesetzt  werden,  und 
daw  die  Stiftung  den  Namen: 

Müuchener  Bllrgerstiftung 

bei  der  kgl.  Akademie  der  Wissenschaften 

•m  Kbren  des  Herrn  Gebeimratheä  Dr.  Max  v.  Pettcnkofer 

tnigen  möge. 

Mit  der  Versicherung   vorzaglicbster  Hochachtung  zeichne 

ich  aU 

Ihr  ergebenster 
Weinmann.' 

In  der  Liste   der   hochherzigen   Spender  stehen    folgende 

Firnia  tinbriel  äedlinayr,  Bierbrauerei  zum  äpaten. 

,       Georg  i'achorr.  Bierbrauerei. 
Herr  Frufesnor  Dr.  Linde. 
Firma  Kathretuers  MalzkHtfeefabriken. 


312 


Oe/fentlkhe  Sittung  vom  t4.  Märe  JS9S. 


Herr  Rentner  MathisH  Pschorr. 
.      Keichsrath  Huj^o  v.  Maffei. 

Firma  Merck,  Finck  &  Co. 

Herr  Commerr.i^nrath  Max  Kiut<*rmann. 
,      logenienr  Heilmnnn. 
,      GommercieDrath  Bulliiiger. 

Firma  KunstmQhle  Tivoli. 

,       München  -  Dnchaner    Actien^«icll.schaft    för    IC«^ 
Acfainenpapierfabncntion. 

Firma  Hack  er- Brauerei. 

Herr  Oominercienrath  Weinmann. 
TJeberrascht  und  tief  ergriffen  sprach  ich  im  Namen  der 
Akademie  der  Wiaseosebaften  Herrn  Commercienrath  Weinninnn 
den  Dank  aus  und  bat  ihn,  auch  den  flbrigen  Spendern  innigsten 
Dank  zu  sagen.  Die  Annahme  der  hochherzigen  Stiftung  ist 
Tnn  der  allerdings  nicht  za  bezweifelnden  Genehmigung  der 
kgl.  Staatsref^erung  abhängig,  welche  zu  erlangen  ich  niofat 
aäuraeii  werde.  —  Dann  ist  ein  Statut  nuMzuarUjiten,  welches 
die  Verwaltung  und  Verwendung  der  Stiftung  regelt  and  welch« 
die  Wan&che  der  Geber  thunlichat  her Uo knie htigt.  Der  Titel 
iMOnebener  BQrgerstidang*  ist  mir  sehr  sympathisch.  Wir  Aka- 
demiker mßssen  stolz  darauf  ^ein,  dsss  die  l>«yeriscbe  Akadenu* 
die  erste  und  ein/Jge  ist,  weiche  eine  BUrgerntiftung  bwitat: 
aber  gegen  den  fQr  mich  allerdings  sehr  f»^hmeichcll1aflen  Bei- 
satz: «zu  Ehren  des  Oebeimrathea  Pettenkofer*  habe  ich  schwer- 
wiegende Bedenken  und  werde  bei  Au:«iirl)eituDg  da»  iStatat« 
dessen  Streichung  beantragen,  weil  er  der  Stiftung  nichts  nOtzen 
wOrde.  aber  schaden  könnte.  Menschen  und  Namen  (tind  Ter- 
j^nglioh.  nur  die  MQnchener  Bürger  und  die  bajenHchu  Aka- 
demie der  Wissenschaften  werden  fortl>est«hen.  Stifltmgen  mit 
Kamen  zu  bezeichnen,  halte  ich  nur  dann  fUr  zweckmäwig, 
wenn  ett  sieb  um  etwas  hundett ,  was  damit  zum  AbscUiiM 
kommt,  oder  wenn  es  der  Name  den  Stifters  ist,  welcher  da- 
durch verewigt  wird.  Zu  der  MUncbener  BOrgerstiflung  habe 
ich  keinen  Pfennig  beigetmgen,  und  wpnn  mein  Name  damÜ 
verbunden   wird,  kann  es  ihr  gehen,   wie  der  Liebig-Stidang, 


V.  Pttttnkofer:  ^nipmcAe. 


318 


Hebe  seit  J*i»  Hinacheiden  des  unvergleichlich  grossen  Forsche» 
keinen  eiu%igi;u  Zuvvachä  mehr  erbalten  hat.  Die  MUncfaener 
BDff^er  ehren  die  Wiasenschafb  und  ich  wAnsche  and  hoffe,  dasa 
auch  KukUnflige  Bürger  die  Wiasetuchaft  unterstützen  und  fOr 
sie  noch  BedUrfniss  beisteuern. 

Diu  Reuten  der  Müncheuer  Bttrf^erstiflung  werden  fßr 
Dnrcbftlhrung  Wissenschaft  lieb  er  Arbeiten  verwendet  werden. 
Die  Stifter  erwarten  nicht,  dass  die  momentanen  Ergebnisse 
solcher  ForBchungen  auch  sofurt  eine  prakti&che  Verwerthting 
ßnden  niQssten,  da  ja  alle  wütsen,  dass  es  fast  ein  Jahrhundert 
gedauert  hat,  bis  die  wisisenschuillichen  Unter^uchangen  rou 
GaWani  und  Vnlta  fibor  die  Contact-Klektricitat  zur  elektrischen 
Beleuchtung  und  zur  elektrischen  Trambahn  geführt  haben. 

So  wissen  jetst  alle  Bierbrauer,  wieviel  die  wissenächafl- 
llchen  Siudieu  Über  Hefe  genützt  haben,  während  das  bayerische 
bierregulwtiv  vom  Jahre  1811,  welches  gesetzlich  vorschreibt, 
was  zur  Biirrfabrication  verwendet  werden  soll,  dass  dazu  nur 
Malz,  Hopfen  und  Wasser  genommen  werden  darf,  die  Hefe 
noch  mit  keinem  Worte  erwähnt. 

Die  Ki^maschinen,  denen  Professor  Linde  zu  einer  ao  groasen 
Anwendung  und  Bedeutung  verholten  hat,  hätten  nicht  erfunden 
werden  können,  wenn  nicht  zahllose  mUhselige  und  ko^t^■pie!i^fe 
Experimente  über  Verflüstiigung  der  üsise  und  Über  Würme- 
bindung  bei  Verdunstung  solcher  FlOssigkeiten  vorausgegangen 
wiren.  Professor  Linde  hat  sich  als  echter  Mann  der  Wissen- 
schaft auch  dadurch  bewährt,  dass  er  für  die  MQnchener  Bdrger- 
stiftuug  einen  namhaften  Betrag  gezeichnet  hat. 

Den  erstaunlich  starken,  felsenfesten  nnd  wasserdichten 
Mauern,  die  man  jetzt  mit  sogenanntem  Beton  herstellt,  ninssten 
die  Untersuchungen  Ober  Silikatbildung  vorangehen,  zu  welchen 
ein  hochverdientes  Mitglied  onsfer  Akademie,  Johann  Ncpomuk 
T.  Fuch-s,  whoM  im  Jahre  1629,  hIso  vor  08  Jahren,  in  seinen 
Abhandlungen  OWr  Kalk  und  MOrtel  und  über  die  hydraulischen 
Kalke  den   wi»<en»cbiiftlii:heQ   Qrund   gelegt  hat. 

Die  Wisaenschafi  entwickelt  «ich  nie  sprungweise,  sondern 
langsam  organisch  wachsend.   £rst  wenn  eine  besondere  BlQthe 


314 


OeffentUeht  SiUung  odM  U. 


oder  Frucht  an  den  zahlmchfn ,  schon  lunge.  veffetirfndftaj 
ZweigpD  am  Baume  dor  KrkeiintniKs  sich  voll  entwickelt  »eigt^ 
err^t  t»  die  allgemeine  Aufmerksitnikeit.  Die  RiSntf^en^sehea 
Strahlen,  welche  xur  Zeit  so  prosnes  Interesse  erregen,  ^ind  ein 
sclilagpndefl  Ueispiel  davon.  Rönt^^en  selb^ft  heht  hervor,  das?  er 
ohne  die  voraasf^egangenen  UnteMUchiirig^n  und  Kntdi^'kimgen 
von  Hertz,  ohne  die  HittorPfchen  nnd  GeiKsler^schen  R&hretii 
welche  nur  Fachleuten  bekannt  wurden,  nicht  zu  aeineo  so 
merkwürdigen  Strahlen  gekouimen  würe. 

Solche  Uei^picle   liessen   sich  noch  viele  namhaft  machen, 
aber    diese    wenigen    dürften    schon    genügen,    um    mit   voner 
Zuverwicht    hoffen    und    ftUAspri'chen    tu    kennen,   dft«  u     ' 
Arlwiten ,     welche    mit     Hilfe    der    Mflnohener    Hnr^cr 
durchgeführt  werden  und  fibcr  welche  jUhrlich  Bericht  erslatt 
werden  roII,  allmählich  glünzende  Blflthen  und  FrDclite  traget 
werden,    wenn    nur   wissenschaftlich    gearheit^^t  wird.     tTn^" 
dafür  hat  die  Akademie  der  Wissenschaften  zu  mrgen. 


Darauf  theilte  der  Classeosekretär,    Herr  C.  v.  Vuit,  toil 
das»  die  Olasse  im  vergangenen  Jahre   zwar  kein  einheimische 
Mitglied  durch  den  Tod  verloren  habe,  aber  den  Hingang  von 
ttecUs  auHWärtigen  Mitgliedern   zu  beklagea  habe,    niluilich  der 
beiden  Zoologen  Ludwig  Ratimeyer  in  Basel  und  Sven  Lovraj 
iu  Stockliuhu,  des  Biologen  Thomas  Henry   Uuxley  iu  London«'^ 
des  Physiologen  Carl  Ludwig  in  Leipzig,  de»  Thytikerv  Frnnx 
Ernst  Neumann  in  Ktinigijberg  und  des  Oculugea  Jaine»  t)wight 
Dana  in  New-Uavon. 


Ludwig  Rutimeyer. 

Am    25.    November    I8M5    ist    dt^r    herv«  B«wl« 

Zoologe    and  Oeologe  Lndwig  ROlimeyer  im    .    .    L.  t -^n-:»!*» 
gestorben.    Er  gehörte  ru  dm  eigenartijjen   kraftvollen  .■" 
Naturforschern,  welche  durch  die  Gni*tartigkeit  und  Schönheit 
dur  Natur  ihre«  Vateriande«  xnr  Beobaelibang  und  «ur  Erk«an| 


C  Voitr  Ntknlofj  auf  Tai3v^  Jt»Hmaytr, 


815 


niw  derselben  (?etriel)en  wurden.  Er  war  ein  echtw  Natur- 
fursclicr:  voll  tic^eistening  fllr  steine  Wisi^tiBchaft-,  ein  iinermnd- 
licher  Arlraiter  von  iinifas«enHcm  Wiwen  und  foiner  Beobachtungs- 
gabe und  ein  geistvoller  Interpret  der  gefundenen  Thttt^aohen, 

In  einem  kindcrreiclien  Pfarrhaiise  in  Bif^len  im  Eiuraenthal 
um  2(>.  Februar  1825  geburen.  erhielt  er  Jen  ersten  Unterricht 
Ton  seiiieni  Vater.  Dann  kam  er  oacfa  Bern  na  das  Gynanasiom 
and  an  die  UniversitÄt,  um  Theologie  f.\i  «tndiren.  Aber  die 
Naturwiüsenftchaften  hotten  ihn  dchon  im  Uynina-iium  so  sehr 
gvfMselt,  dii9s  er  auf  Aitreguni;  »eines  geliebten  Lehrers  Bern- 
hard Stnder,  der  das  ungewöhnliche  Talent  und  den  Eifer 
des  jungen  Studenten  erkannt  hatte,  bald  zur  Medizin  Oberging, 
rtut  welclier  aus  »cliun  mi  Viele  den  Weg  xur  Naturfifr^tdiung 
gefunden  haben.. 

Kr  beftchrankte  sich  jedoch  nicht  auf  medizinictche  Vor- 
lefiuugen,  sondern  horte  auch  die  alle  seine  ächülvr  fUr  dus 
Studium  der  Natur  begeititernden  geologii^chen  Vorlesungen  von 
Studer,  und  maoht<>  geuloglscbe  bixkunuonen.  eo  das»  er  noch 
ala  Mediziner  auf  der  Nnturforscber-Vcräuninilung  in  Sohtthurn 
Ober  seine  UiiterHUcItungen  dr-r  Bt-HvhHnfnht'it  de»  Lander«  zwischen 
Thunersee  und  £ninie  xur  aUtertiären  ^it  berichten  konnte. 

Nach  Beftt«ben  dee  medizinischen  StaaUexanieii»  und  nach 
der  Promotion  zum  Duktor  der  Medi/in^  uuOlr  er  eine  werth- 
Tolle  geotdgiHche  DiKsertal  ion  flbur  dos  «chireizerische  Numrau- 
litenterraiü  geschrieben  hatte,  begab  er  sich  ta  seiner  Ausbildung 
und  itur  Krweiterung  xeines  UesichNkreise«.  wie  es  in  der  ?>chwttX 
rielfauh  löbliche  Sitte  ist,  mit  warmen  Km(ifyhlungen  Studer's 
versehen,  auf  Reisen;  dieselben  fahrten  ihn  nach  Paris,  über 
die  Al[>en  nach  Turin  und  Niy^ui  an  da.^  Meer,  wo  er  nich  mit 
der  marinen  Fauna,  hesondens  den  Kirchen,  bekannt  machte, 
dann  nach  London  und  al«  ür/tlicher  Begleiter  Dach  Neapel  und 
Palermo.  Dabei  lernt«  er  die  berühmten  daumligen  Geologen 
und  Zoologen  die«er  Orte  perröulich  kennen. 

Da  wurde  der  junge,  viel  versprecbende  Gulebrte  aU  ausaer- 
ordentlicher  Professor  der  vergleichenden  Anatomie  an  der  Uui- 
rcnität  KU  Born  angestellt,    wa»  ihm  ta  «einer  gro«i<en  KreoiU 


316 


0«lfentSv!^  SUruny  mm  14.  Märt  iS9ti. 


Lerm5glir.hte,  Hie  Median  7,n  verlassen  und  sich  ganz  der  Natrtr 
Wissenschaft  zu  widmen.  Bald  darauf  erhielt  or  durch  Pet* 
Merian'?  Vermittlung  die  Benifung  anf  den  neu  f;(egrandet«n 
Lehrstuhl  der  Zoologe  und  vergleichenden  Anatomie  an  d«r 
Baseler  Universität,  woselbst  er  trot«  melirerer  Rnfe  »ein  ganz*^ 
weiterps  Leben,  40  Jahre  hindurch,  nU  Zierde  dieser  Hrwh- 
schule,  hoch  geachtet  und  geliebt  von  seinen  CoUegen  und 
Schfliern,  sowie  von  seinen  Mitbürgern,  verblieb.  Hier  hatt«  er 
die  ffir  seine  Thätigkeit  richtige  Stellnng  erlangt,  welche  ihn 
anch  mit  einer  Anzahl  gleichgeinnntert  trefflicher  Gelehrten  xn- 
sammen  führte. 

K"!  Iä88t  flieh  denken,  dass  em  Mann  wie  Kfititnpycr,  lU 
von  frOh  an  bestrebt  war,  sich  HU'^gebreitete  Keniitniw**  7U  er- 
werben und  das  Talent  fOr  die  Beobachtung  der  Natnr  in  hohem 
Gnule  besftss.  VorzOgliches  für  die  Wiissensr^haft  leif<ten  nm«rt»T. 
Er  bat  ßich  zu  einem  ungew5hulich  vielseitigen  Naturforscher 
eutwickelt,  denn  er  war  bewandert  in  der  Zoologie  der  Siiuge- 
thiere,  der  Paläontologie  der  Wirheltbiere,  der  Geologie  und 
Geophvsik,  der  Thiergeogniphie,  der  Anthropologie  und  Kthno- 
gmphie. 

Bei  Beginn  seiner  Laufbahn  bettchiftigt«  er  sich  nnter  dem 
BinflosBe  Studer's  mit  rein  geologischen  Arbeiten,  aber  bald 
lenllte  sich  steine  Anfnierksamkeit  den  in  den  Gesteinen  vor- 
kommenden Organismen  zu.  Man  kann  wohl  sagen,  dass  er  seit 
dem  Tode  von  Hermann  v.  Heyer  die  erste  Autorität  im  Ge- 
biete der  fossilen   VVirbelthiere  geworden  iRt, 

Aus  meinen  geologischen  Beobachtungen  sachte  er  zu  ent- 
ftehraen,  wie  die  Veränderungen  in  der  Vertheilung  von  Land 
und  Meer,  sowie  die  VerSnderungen  der  Gletscher  auf  die  Knt- 
Wicklung  der  Sftugethiere  einwirken.  Zu  diesem  Zwecke  rousst« 
er  sich  mit  diewn  geologischen  Veränderungen  auf  der  Krd- 
oberflärhe  im  Laufe  der  Zeiten  eingehend  beschäftigen  und  die 
Vorgänge  der  Vei^angenheit  niis  di*n  noch  vorhandenen  Zeichen 
er^chli'uewn.  Kr  thiit  dies  mit  selt^nur  Be«onneiibeit  und  ohne 
der  Pbantmcte  zo  viel  fCanm  tu  geben.  Die  Resaltat«  dieser 
seiner  Studien  und  die  darauf  sich  gründeodM  geattvolten  Vor- 


C.  Voit:  Nekrohtj  auf  XMdvig  liütimeyer. 


317 


&(elluui;en  bat  er  in  der  Peter  Merian  Kugeeigneien  Schrift: 
^Ucber  Thal-  und  Seebilduni^^  uiedergelegt.  Niebt  minder 
chiih  dies  in  seiner  grossen  geoIogt«chen  Arbeit:  «Heber 
Ptiocaco-  und  {:^i»f)eriod(>ii  auf  beiden  Suiten  der  Alpen*,  worin 
er  natnentjicb  die  Sparen  der  Gletscher  \ert<}\gie. 

Die  in  den  Pfuhlbuuten  der  Schweizer  Seen  von  Ferdinand 
Keller  in  so  grosser  Anzahl  Torgefundeaen  Tbierraste  gaben 
ibiu  die  willkomuiene  Veranlassung,  eine  Geschichte  der  Wirbel- 
thiere  der  priUit.storischtni  Zeit  zu  schreiheu.  In  seinen  , Unter- 
suchungen der  Thierreste  aus  den  Pfahlbauten  der  Schweix* 
lieferte  er  eine  uwböpfend«  vergleichend -anatomische  Beschrei- 
bung der  wilden  und  sabuien  Tbiere  jener  Zeitepoche;  er  legte 
die  Uezitiliungen  der  Uau^tbiere  den  Menschen  7.u  ihren  noch 
wild  lebenden  Verwandten  dar  und  beschrieb  die  Veränderungen, 
welclie  die  jetzt  noch  l)>bendcn  Tbiere  seit  dies^er  Zeit  erfahren 
haben.  Später  hat  er  in  ähnlicher  Weise  die  am  Salere  bei 
Genf,  sowie  bei  Thayngeu  im  Kunton  SchafTbausen  mit  Spuren 
de6  Meoscben  gefundenen*  jetzt  erloschenen  Arten  angehörenden 
Thieräberreste  bearbeitet. 

Herrurr, II heben  »ind  auch  »eine  Unier»uchun(;;en  Über  die 
fossilen  Schildkröten  der  Steinbrüche  im  Jurakalk  bei  Solotburn. 

Von  grösater  Bedeutung  waren  jedoch  seine  Arbeiten  über 
die  Geschichte  und  die  rüumliche  Verbreitung  der  fossilen  und 
lobenden  Säugethiere^,  bei  denen  er  aas  den  Formen  des  Scbädela 
und  Skelett««  besonders  aus  dem  Bau  und  der  Entwicklung  der 
Z&hne,  die  Abstammung  der  Säugethierurdnnngen  ku  erkennen 
snobte.  Hierher  ^ehurt  zunächst  die  Arbeit  über  die  fossilen 
Pferde  der  Diluriakeit  mit  einer  vergleichenden  Odonto^raphie 
der  Hufthiere,  wobei  er  durch  die  glückliche  Benützung  dea 
MilchgebiiueH  eine  uUgeiueine  Sy:«ten)aiik  der  Hufthiere  i^cbuf; 
femer  sein  Versuch  einer  natürlichen  Geschichte  des  Rindes, 
worin  er  die  Herkunft  der  mannigfaltigen  Kaceu  desselben  tou 
der  Tertiftr/eit  bis  xur  Gegenwart  verfolgte;  endlich  seine  natür- 
liche Geächichte  der  Hirsche. 

In  iveiner  letzten  Arbeit,  der  eoclLoen  Säugetbierfouna  in 
den  Büfanerxen  von  Engerkingen,  gelang  ihm  der  merkwürdige 


318 


Oeffentlid^e  Sittumff  tom  t4.  Märt  ISdt. 


Nftchweis,  da.4S  zu  der  langen  Festland/.eit  der  ScliweiK,  d«r 
alttertiiiren  Zeit,  zu  welcher  der  Jura  und  die  Alpen  noch  ttichl 
bestanden,  viele  Säugetbiere,  z.  B.  manche  Halbaffen  und  ans- 
gestorbene  ürup{>en  von  Hofthioren,  cxi^itirten,  wie  sie  in  gleich- 
atieri^on  Schiebten  ron  Neti-Nfexiko  rorkoniuien. 

Der  heutigen  Audbildun)^  der  Zoologie,  der  feinen  mili 
skopifchen  Unter^iucbun^  der  'l'hoile  der  Thierc  und  dem  Studiam 
der  Entwicklungsgeschichte  vermochte  er  nicht  mehr  au  folgvn. 
Dagegen  war  er  Überzeugt,  das§  es  in  dfn  OrgBni?>iuen  eine 
zeitliche  Entwicklunar.  eine  alltnühliche  Umwandlnng  der  Kor- 
Dien  und  eine  Verilnderlichkeit  der  Spesie«  gäbe;  hat  er  doch 
selbst  durch  Peine  Unterätichungen  viele  Thatsaohcn  zam  Beweis 
für  fliege  Ani^;hHUung  beigebracht.  Aber  d**r  DnrwinWhea  £r- 
klärang   diefier  Entwicklung   durch   die  natürliche  Antlesa   t«i>- 

^mochte  er  sich  bei  aller  Bewunderung  der  Werke  des  genialen 
^ngliinders  nicht  anxiit4chiiet«cn  und  noch  weniger  den  gan« 
nnsicheren  Versuchen,  schon  jetxt  die  8chöpfqnKRge>ebicbt«  und 
den  Stammbaum  de»  Menschen  festxuütellen. 

Ei»  sei  D(>ch  bemerkt,  dass  Rütimeyer  ein  gans  TorcQgliebe^ 
Beine   Schüler   für  die  Wimenscbaft   begeistcmder  Lehrer  war. 
Jeder  fOhlle  e«.  dass  ein  Mann  voll  idealer  Pflichterfüllung  T€ir 
ihm   stand,   dem   die  Wiasemtchaft   etwa«   ernstes  und    beiligoi 
war;  dazu  gesellte  eich  noch  der  fesselnde,  an  Gedanken 
Vortrag  und  die  glänzende  Darstellungsweise.    So  kaut  es, 
alle  Btrebeamen,  eine  allgemeine  Bildung  suchenden  Studireud 
der  UuiTcrsiiät  Basel   die  Vorlesung    Hber   Zoologie   bei   Kill 
nieyer  hurten  und  einen  geistigen  Gewinn  fflr  das  ganz«  Leb 
davon  trugen.     Daas  dies  ge-*icbab,  ehrt  in  gleicher  Wtöte  dna 

-Lehrer  wie  den  Schüler;  gewöhnlich  ftucht  man  hentantage 
leider  uicht  den  Ucl^t  zu  bilden  und  zu  erbeben,  sondern  w 
■Mf  Unsahl  von  EinzelnvorlvBiongoo  das  im  Kxamen  geforderte 
für  einige  Munal«  auswendig  zu  lernen. 

iiütimeyer   hat  für  die  WiMeiidcburt    unendlich  viel  Gt 
gestiftet,  was  ihui  nnvergenMin  bleibtiti  wird. 


C.  YMi:  VAntog  auf  8vtn  Ludwig  Lovin, 


310 


Sven  Ludwig  Lov^n. 

Das  anawärtige  Mitglied  un^ierer  Akademie  Sven  Ludwig; 
LoT^n,  (Professor  der  Zoologie  und  Vorstund  der  soologischen 
AblheiUing  fUr  EverU'braten  des  nattir historischen  Reich'miufi"nins 
iu  Stocbhottu,  ist  am  :t.  St^ptttttiber  18^^  in  dem  hohen  Alier 
von  86  Jabreu  gestorben.  Er  war  sain  langes  Leben  hindnrcb 
unenridrlHch  fHr  die  Wissenschaft  thätig,  ein  ungemein  sorg- 
föttiger  uud  grUndh'cber  Arbeiter  und  der  angesehenste  Zoologo 
Sohwedena. 

Am  ß.  Januar  18Ü9  in  Stockholm  geboren,  studirfce  er  an 
den  Landt'^utiiversitüten  ('{täala  und  Lnnd.  Nachdem  er  sieh 
w&brmiil  £wei  .iHltreu  iu  Berlin  bei  b)hrenberg  in  der  Zoologie 
weiter  anagebildet  ood  bei  Carl  Kitter  mit  der  Erdkunde  ver- 
traut gemncht  batu*,  wurde  er  als  Dozent  für  Zoologie  an  die 
Diiirersität  Lund  L>erufen.  Hier  begann  er  Keine  auägedchnten 
Unleniuchuugeu  über  die  Meeresfauna  an  der  weltlichen  KOate 
Schwedens ;  ^fniier  führten  ihn  seine  wissenschaftlich en  Henen 
nac:li  Norwegen,  nach  [''ionnmrken  und  nach  Spitzbergen.  Von 
Lund  kam  er  in  die  Stellung  nach  Stockholm ,  welche  er  bis 
KU  seiuem  Tode  iune  hatte. 

Seine  Huu}itthuiigkeit  galt  der  Erforschung  der  Morpho- 
logie uud  der  Entwicklung  der  wirbellosen  Thture,  sowie  der 
gflographliclieu  Verbreitung  der  Thierwelt  in  den  nordlichen 
Gebieten.  Die  rfesnUate  seiner  r^tudien  «ind  in  einer  grossen 
Anzahl  von  Schriften  niudorgelegt.  Lov^n  war  ein  moderner 
Zoologe,  der  mit  ilen  llitf^mitteln  der  neueren  Zeit  vertraut  war. 

Unter  fleincn  ersten  Arbeiten  xeichnet  sich  sein  Beitrag  xnr 
Kenntnim  Ton  Oampanularin  und  Syncoryne  ans,  worin  er  den 
IUm  dieser  Cototiienlbieru  uud  ihre  Entwicklung  darstellte. 
Forner  die  Abhandlung  Ober  Erndne  Nordmunni,  in  der  er  die 
()rgani»Mtion  dieses  kleinen,  bis  dahin  anbekannten  Krebaea, 
nein  (iefjUs-  und  >'  i  *  ni,  seine  Öinne^organe  etc.  etc.  auf 

das  Genaueste  bv-^'  i'  ht  minder  bedeutend  waren  seine 

Arbeitim    UU*r  die  Entwicklung  der  MoUnsken,   über  den  Bau 
von  MjnuMioma   cirriferum,   «ioca   auf  der  Haut   von  Comatula 


320 


Oetfentlidit  Sittung  vom  14.  Marx  J89€. 


scbmarotzend  lebeinJea  Wurmes»  ober  die  MeUmorphoM  eines 
Gliedernurmes,  über  nordiächc  Meereäniolluaken,  Aber  scfair»- 
diäche  Trilobiten,  die  ältesten  fossUen  UeberreHe  Ibierischer 
Organisation. 

Einer  Hervorhebung  verdienen  noch:  die  malaco logiseben 
MitthöilungeD,  die  Beschreibung  von  vier  neuen  Arten  von 
SUninuser-Crasiaceen  aus  Sfidafrikn,  dann  die  der  Zungeo- 
bewafTnung  bei  Molhisken  und  besonders  sein  Index  Mollitscurum 
litora  Sc-andinaviae  occideutalis  habitantiuoi.  Von  grosser  Wich- 
tigkeit sind  seine  Beiträge  znr  Kenntnis«  der  Entivicktung  der 
marinen  Masche Ithiere. 

Seine  beiden  Abhandlungen  Über  einige  im  Wettw-  nnd 
Wenersee  gefundenen  Crustaceen  und  Übr*r  die  O^itsee  brachtt^n 
merkwQrdige  Aufschlüsse  Qber  die  geographische  Verbreitung 
der  Thierfornien  in  den  arktischen  Meeren  und  Hinnenseen  nnd 
deren  Ursprang.  Als  eine  höchst  bedeutungsvolle  I/eistnng  sind 
seine  Untentnchungen  Qber  die  arktischen  Meer-Orustaceeo  und 
See6dche  xa  bezeichnen,  durch  welche  er  nachweisen  konnte, 
dass  ein  Theil  derselben  seit  der  Ei^/.eit  in  der  ÜMtaee  und  den 
BinnenwäRs«rn  Schwedens  zurfickgebüeheti  ist;  seitdem  Lavvo 
auf  diese  von  ihm  mit  dem  Namen  , Relikten'  in  die  Wissen- 
schaft eingefQhrten  Thiere  aufmerksam  gemacht  hat,  wird  da« 
paradoxe  Vorkommen  von  Meeresformen  innerhalb  einer  SQa»- 
wasserfauna  nicht  mehr  als  eine  unerklärliche  Erscheinung  be- 
trachtet. 

Kndh'ch  mdseen  genannt  werden  seine  Stadien  fiber  die 
Echinodermeu,  besonders  über  die  Echinuiden,  welche  er  bis  in 
die  letzte  Zeit  seines  Lebens  forigesetxt  hat;  er  begrflodete  da- 
durch die  Morphologie  der  EohtnoidenM'hulen  und  bra-  «I 

Menge  von  lieobachtangen   zur  Organiiiation  dieser  ei^:.: u-J 

liehen  Thiere,  r.ur  Krkenntniaa  der  Veränderungen  ihres  Skel< 
während  des  Wachsthnnis    und  xu   ihrer  Entwicklung   während 
der  verschiedenen  Perioden  der  ErdgcftcbichU*. 

Aach  für  die  Piilüontologie  hat  J^ov^n  versehiedefle  iobalts- 
Mliwere  Beiträge  gratet,  ron  denen  vor  AU«m  dte  Abhaod- 
laog    flber    Uyponeme    Sarai    von    Cap  York    xo    oeantB 


C,  VoUt  K4knilo0  aMf  TKom<u  Utnry  Hwelf^. 


321 


Icber  gegöuwarti^  oücb  lebende  HiuiMtcru  in  die  Gruppe  der 
Bttdeea    oder    Seeiipfel    gebQrt,    Diithin    eiuer  Claase    fossiler 

lilchiiiodermen  zazuzäblen  ist,  welcbe  bis  dubiu  als  wäbrend  der 

palÄozoischen  Zeit  au^geätorben  galt. 

IjOTen    hat    sieb    endlicb    aiicb    durch    die    Gründung    dor 

■chwedischuu  zoologischen  Station  Knstioeberg  verdient  gemacht. 


Thomas  Henry  Huxley. 

Am  2d.  Juni  1895  starb  im  71.  Lebensjahre  in  London 
der  berübnite  Uiologe  Thomas  Henry  üaxlej*  der  »ich 
durch  sein  entschiedenem  Eintreten  fflr  die  fntwicklungslvhre 
Darwin's  und  für  das  H^cbt  der  Forschung,  unbeeinfiusst  von 
anderen  Rücbfichten,  die  Naturerscheinungen  m  nntersucheo 
und  ihre  Un^chen  zu  erkennen,  einen  allbekannten  Namen  in 
England  gemacht  hat. 

Hnxlpy  wurde  am  4.  Mai  1825  zu  Ealing  in  der  Graf- 
schaft Middlefiex  ah  <ier  ^Hihn  einea  wenig  bemittelten  Lehrers 
geboren.  Sein  Schwager,  welcher  Ar7.t  war,  (Iberredete  ihn, 
Mediän  zu  «tudiren  und  verscbaÖ^e  ihm  die  Zulaäsung  in  die 
mit  dem  Charing-Oroas-Hospital  verbundene  mediainiacbe  Schale. 
Allerdings  wäre  er  seiner  Neigung  nach  lieber  Maschtuen- 
Ingenieur  geworden;  die  Heilkunat  hat  ihn  auch  nie  besonders 
gefesaelt,  es  interessirte  ihn  nur  die  Physiologie,  welcbe  er  die 
Baukunde  der  lebenden  Maäcbineu  nannte,  und  auch  von  dieser 
weniger  die  an  der  Organisation  ubUufenden  physikaliwhen  und 
cbemiäcben  Vorgänge,  als  vielmehr  die  wunderbaren  formen 
und  der  mannigfaltige  Bau  der  Malchin  entheile. 

Nach  abgelegtem  Kxauieu  bekam  er  eine  Stelle  aU  AssiätenK- 
arxt  in  dem  Marinebospital  in  Hiular,  von  wo  er  auf  diu  brit- 
tiscbe  Kriegsschiff  .Kattle  snake*  versetzt  wurde,  wodurch  ihm 
die  erwünschte  Gelegenheit  geboten  wurde,  wührend  4  Jahren 
Fahrten  in  der  Südsee,  be^nderü  längs  der  üättiuhen  und  nörd- 
lichen Kiute  Australiens  zu  machen.  Kr  lernte  dabei  die  merk- 
würdige und  anziehende  Meeresfauna  näher  kennen  und  1^^ 
dadurch,  wie   seine  Vor^^nger  Darwin   und  Dana,   den  Urund 

MM.  MALL-pfej«.  CL  Z  21 


322 


ÖrftenÜidu  Sitzung  vom  t4,  Biän  1896. 


za  seinen  zoolo^schen  und  vergleichend -anatomiscben  K^-nnfc- 
nissen,  auf  welchen  er  später  seine  theoretischen  Anachauaogen 
aufbaute. 

Nach  der  RQclckehr  in  die  Beimatb  wurde  er  Frofeseor 
der  Naturgeschichte  und  Falänntolo^e  an  der  kgl.  Bergscfanle 
in  London  und  dann  nuch  dtizu  l'rofessor  der  Physiologie  an 
der  Royal  Institution;  später  erhielt  er  aucli  die  Profeanir  der 
vergleichenden  Auatf>niie  au  dein  Uuyal  College  of  Surgeona. 
In  Folge  des  grossen  Ansehens,  welches  er  sich  durch  Beine 
Arbeiten  im  In-  und  Aui«lande  erworben  hatte,  fielen  ihm  rahU 
reiche  Ehrenstcüeu  und  Ehreuerweisnngen  zu :  er  war  President 
der  englischen  geologischen  und  ethnologischen  Oe^ieiUcbafl, 
Lord  Rektor  der  Universität  Aberdeen,  Sekretär  und  Präsident 
der  Royal  Society  in  London  und  MitglieiJ  des  geheimen  Hntbt>A. 

Hniley  war  einer  der  th&tigsten  Zoologen  und  vergleichen- 
den Anatomen,  dcs^eu  Arbeiten  Hich  durch  ZuverläMsigkeit  der 
Beobachtung  und  Schärfe  der  Änslegnng  aufnu^ichneo.  Er  hat 
durch  dieselben  unsere  Kenntniä^e  von  dem  Leben  der  niederen 
Thiere,  namentlich  der  BntwicklungHgesohicht«  der  wirbellosen 
Thiere,  sehr  erweitert.  Ferner  hat  er  durfih  mikroskopsMb« 
Untersuchungen  die  feinere  Stmktur  der  thieriHcfaen  Organiamen 
erhellt  und  dadurch  auch  wichtige  Au^chlQs»«  aber  die  Organi- 
sation urweltUoher  Thiere  gebnujht. 

Anfangs  beschäftigte  er  sich,  veranlasst  durch  das  bei  seiner 
vorher  erwähnten  Seereise  gesammelt«  reichhaltig«  Material, 
mit  den  niederen  Meeresthiereu.  In  seinem  ernten  gni!*erec 
Werke  »Uistory  of  the  Ozeanic  Hydruzoa"  brachrieb  er  in 
niustergiltiger  Weiie  die  hOchat  inierawonten  Konuen  der 
■cbwimmenden  R5hreni]uallen ,  welche  in  ao  aiisgaaiprochener 
Wei«e  den  Kinäu&4  der  Arbeitstheihiog  auf  die  DiffemnxiraDg 
der  zum  Thierstock  vereinten  Individuen  erkennen  lanen. 

In  der  Untersuchung  Über  den  Flosskrebs,  welche  zugltrich 
eine  vortrvfFliche  Einleitung  in  das  Studitim  der  Zoologie  giebt, 
trat  er  jnierst  für  die  Evnlutionfilehre  ein. 

Später  befawte  er  sich  dugehend  mit  deu  anatomiacbeu 
Verhätlnitaen  der  Wirbeltbiere.    Kr  wiurde  dadarch  immer  mehr 


C.  Voii:  Kekrolog  auf  Thcmaa  Henry  Jluainf. 


32.^ 


von  der  Rioliligkeit  der  von  seinem  Landsmann  DArwin  ver- 
treienec  Anschauung  einer  allmählichen  Entnicklang  dor  Thiere 
bestärkt. 

In  seioera  groesM  An&ehen  erregenden  Buche  Ober  die 
Stellung  den  Menschen  in  der  Natur  hat  er  die  Oonsequenzeu 
der  Lehret!  Darwins  fUr  das  Krscheinen  des  Menschen  anf  der 
Erde  gebogen,  indem  er  denselben,  kflhn  Qher  Darwin  hinauf- 
gehend, in  den  Kreis  der  tJlinähliohen  Hutwicklung  der  Thiere 
aufnahm. 

Seine  Hchriffcen  über  die  physikalische  Grundlage  derLebeus- 
crscheiuungen  und  Über  das  Leben  und  den  Ban  des  Proto- 
plafliuas  haben  7u  der  jetzigen  Autfuaanng  Über  das  Ziistaude- 
konimen  der  Lebenserscheiuungeu  beigetragen.  Er  war  fcrotx 
seiner  Detail kenutniss  duch  kein  Spezialist,  er  liebte  es,  all- 
gemeine Schlüsse  zu  j-.iehen  und  die  gegenseitigen  Beziehungen 
der  einzelneu  Naturwifisen$chaften  zu  erkennen. 

Aber  in  der  Auffindung  neuer  Tbutsachen  anf  dem  Gebiete 
der  Biologie  lag  nicht  der  Schwerpunkt  seines  Wirkena;  das 
gröwte  Verdienst  hat  er  eich  durch  seine  ganz  eigenartige 
Thütißkeit  als  Lehrer,  als  populärer  Schriftsteller  nnd  als  Redner 
erworben. 

Als  Lehrer  hat  sich  Hnxlfy  von  dem  Gewohnten  ab- 
weichende Anschauungen  flber  die  Erziehung  des  Geisten  ge- 
bildet. Er  führte  nicht,  wie  ee  zuaiei.st  geschieht^  jährlich  alle 
ThatMoben  seiner  Wtüsenäirhuft  den  Schfliem  vor,  welche  sie 
dann  raccbnnisch  ihrem  Ge^ltlchtnisa  einprägen,  sondern  er  suchte 
dieselben  zur  eigenen  Beobachtung  anzuleiten  und  sie  dadurch 
zn  selbständigem  Nachdenken  nnd  zum  wahren  Verständniss  der 
Vorgänge  zu  bringen.  Die  Schüler  fiollen  nach  ihm  in  den 
NaturwisHeoschatiten  nichts  in  blindem  Gluubeu  an  die  Worte 
des  Lehrers  und  an  die  üeberlieferang  annehmen,  vielmehr  wo 
möglich  Alles  durch  praktisches  Studium  mit  eigenen  Sinnen 
erkennen;  danim  brachte  er  in  den  Vorlesungen  nur  wenige 
zam  Verstttndniss  wichtige  Thatsnchen  nnd  erläuterte  ihre  Be- 
ziehungen /.u  dün  allgemeinen  Qesebseu.  Hat  der  Jünger  in 
solcher  Weise  einmal  wissenscfaaflliches  Denken  gelernt,    dann 

31* 


824 


Oeffentiiehe  Siltung  vom  U.  Märt  X86e. 


wird  es  ihm  leicht,  in  diesen  festen  Rahmen  Hie  vielerlei  That- 
sachen  einzuordnen  und  sich  in  den  speziellen  Füllen  zurecht 
zu  finden.  Er  bat  wohl  auch  erfahren,  wie  suhlimm  e^  zumeist 
mit  dem  jeUigeo  Universitätsstudium  bestellt  iat,  wo  die  Mehr- 
zahl  der  Studirenden  im  Absitzen  der  Vorlegungen  ihre  Schul- 
digkeit getban  zu  haben  glauben  and  von  einem  selbständigen 
Studium  kaum  mehr  die  Rede  ist. 

Auä  diesem  ßesireben  entstanden  auch  seine  berühmten 
biologischen  Lehrbücher,  welche  durch  die  ungemeine  Klarheit 
nnd  Schönheit  der  Darstellung,  H)wie  durch  die  gltlcklicbe 
Trennung  des  zu  dem  Zwecke  Wesentlichen  ron  dem  Unwoecn^ 
liehen  als  Muster  von  Schriften  der  Art  anKuseben  sind.  Hier- 
her gehören:  Das  Handbuch  der  Anatomie  der  Wirbeltbiere, 
das  Handbuch  der  Anatomie  der  wirbellosen  Tbiere,  die  Ein- 
fabrung  in  die  Classifikation  der  Thiere,  die  Vorlesungen  Qb«r 
vergleichende  Anatomie  und  die  praktische  Biologie  zu  deo 
Bootomischen  Uebungen  im  Laboratorium. 

In  der  festen  Ueberzeugung  der  hohen  Bedeutung  der 
Naturwissenschaften  für  nützliche  praktische  Verwerthnng  und 
für  die  Entwicklung  dm  (jvitii&n  uud  der  Kultur  schrieb  er  |x»- 
puläre  Bücher  und  hielt  uffeutLicbe  Vortmge,  wie  sie  bei  streng 
wiasendchaftlicber  AuSasnung  wirksamer  und  venitäadlicher  nicht 
g^eben  werden  küiinejj.  li^r  errang  sich  damit  den  beoeiden*- 
werthen  Namen  eines  Lehrers  des  Volke«.  Ks  seion  nur  ge- 
nannt: die  von  It^osentbal  ins  Deutsche  übersetzten^  ursprOng- 
lich  für  Lehrer  nnd  Schüler  in  Knaben-  und  Mädohen.<«cbuleu 
bestimmten  Grnndzüge  der  Pbysiologief  die  Vortrige  Qbsr  das 
VerhSltnisB  des  Menschen  zu  den  Thieren,  über  unsere  Kenot- 
mme  von  den  Ursachen  der  Erscheinungen  in  der  orgauiJ^rbeo 
Natur»  über  die  Entwicklungslehre«  Über  den  Darwinismus,  Über 
Wisaenscbafl  und  cbristlicbe  Tradiliun,  über  WiwenKbaft  und 
Kultur,  über  Kvotution  und  Elbik.  Er  suchte  ferner  mit  all«r 
Kraft  durch  Gründung  von  Volkmcbulen  die  Bildung  de* 
Volkes  zu  heben,  denn  in  der  B<ikumpfuug  der  UnwiawDhett 
erblickte  er  den  Fortschritt  des  Moaschungescblecbtes. 


C  Voä:  tfikroloff  auf  Thomas  lltnry  Uuxlty. 


325 


Die  Lehre  Damin*«  bat  ihn  von  Anfanf?  an  ^ewalii^  an- 
geregt und  er  yertheidigie  sie  in  Wort  and  Schrift  mit  dem 
grÖ68teu  Aufwand  von  Qeisfc  und  Beredsamkeit  gegen  die 
mächtigen  Gegner.  E)s  wird  wohl  kaum  einen  Naturfontcher 
mehr  geben,  der  nicht  die  schon  vor  Darwin  angenommene 
£nbitehnng  der  Arten  durch  allmähliche  Entwicklung  au3  den 
einfachateD  bia  zu  den  hdchnten  Formen  annimmt,  wenn  auch 
die  Darwiii'&che  Erklilrung  dieärr  Evolution  dnrch  die  natflrlichc 
ZuclitwabI  viele  und  bedeutende  Gegner  gefunden  bat.  Man 
vermag  sich  beut'  zu  Tage  keine  andere  MSgUchkeit  der  Ent- 
stehung der  Organismen  auf  der  Erde  zu  denken  und  sie  wird 
durch  die  Lehren  der  Entwicklungsge^cfaicbte,  der  vergleichenden 
Aniitümie  und  der  Paläontologie  immer  wahrscheinlicher. 

Durch  vergleichend  anatomische  und  entwicklungsgeachicbt* 
liehe  Untersuchungen  suchte  er  die  Stellung  des  Meatcben  zu 
den  Thieren  zu  ergründen.  Er  sieht  zwischen  dem  Menschen 
und  den  Thieren  keinen  grosseren  anatomischen  Unterschied 
als  zwischen  den  uns  nächststehenden  Thieren;  auch  die  Psyche 
trennt  nach  ihm  den  Menachen  nicht  prinzipiell  von  den  Thieren, 
da  bei  diesen  selbst  in  ihren  niederen  Kornien  Spuren  eines  Sen- 
soriuuis  zu  beobachten  sind.  Trotzdem  hielt  er  den  Abstand 
zwischen  den  ziviIiÄirt<*n  Menschen  und  allen  Thieren  fflr  einen 
ungeheuren  und  betrachtete  den  Menschen  nicht  ata  ein  Tbier, 
wenn  er  auch  vom  Thier  abstammt. 

Er  zeigt  sich  auch  in  höheren  Fragen  als  ein  streng  ob- 
jektiver Naturforscher,  der  offen  und  ehrlieh  »agt,  was  er  nicht 
weiHs  und  nicht  erkennen  kann.  Den  sogenannten  Materialisten, 
welche  im  Weltall  nichts  weiter  kennen  ale  Stoff  nnd  Kraft 
und  nothwendige  Gesetze,  vermag  er  nicht  zu  folgen;  er  weiss 
nicht»  oh  es  ao  ist,  und  kann  auch  nicht  sagen,  daas  ee  kein  fQr 
den  menschlichen  Geist  Unbekanntes  und  kein  Unerklärliches 
^be.  In  dieser  Hinsicht  nennt  er  sich  im  Gegensatz  zu  den 
Atheisten  einen  Agnotitiker. 

E>  ist  natOrlich,  dass  solche  Anschauungen  grosse  Erregung 
und  heftigen  Widerepruch  hervorriefen,  besonders  in  denjenigen 
Kroaeo,  w«tcbe  atnog  an  der  Ueberlieferong  nnd  am  Buch- 


326 


Of^nUUdte  3it9untt  vom  14.  Mötm  t»9e. 


$taben  festhalten  und  dem  forhHchreitendpn  WiF^sen  dos  Metnc 
keinen  Einfluas  darauf  gestalten.  Die  einmal  entstandeDe  Be- 
wegung läast  sieb  nicht  mehr  aufhallen,  atich  nicht  durch  Ver- 
folgung und  Verdammung.  Die  VViiM«n$ch:if>.  wird  fortAfbeiUa 
und  rauss  versuchen,  alle  Krscheinnngen  nach  mechanischen 
Prinzipien  zu  erklären.  Schliesslich  wird  sich  beratusteUen, 
«ras  die  Wahrheit  ist.  Aber  auch  wenn  die  Entwicklungstheorie 
al»  richtig  erkannt  werden  sollte,  wird  sich  an  den  weit  Aber 
Bolcbcu  Dingen  ntehenden  Grundwahrheiten  des  Christenthanu 
nichts  ändern,  so  wenig  wie  durch  die  sichere  Erkenntnias,  das 
sich  die  Sonne  nicht  um  die  Erde,  sondern  die  Erde  um  die 
Sonne  bewegt.  Man  wird  sich  in  jene  Anschauungen  ebenso 
gut  finden  und  die  Zeit  nicht  verstehen,  in  der  man  iu  der 
Annahme  einer  fiolohen  Lebre  eine  üottetUsternng  nnd  eine  tiefe 
Bcbädigong  der  Religion  erblickte. 


Carl  Ludwig. 

Von  der  Generation  der  hervorragenden  deutschen  Phyno- 
logen  nach  Johannes  MQller  nnd  Bmot  Heinrich  Weber  ist  am 
24.  April  1B95  einer  der  letzten  Vertreter,  Carl  Ludwig  in 
Leiptig,  aus  dem  Leben  geschieden. 

Die  meuten  meiner  (jenossen  :  Schwann,  Brücke,  Helmholtx, 
Du  Bois-Reyroond,  entstammen  der  Schule  von  Johannes  MflUrr: 
nur  Ludwig  hat  ron  Anfang  an  seine  eigenen  Wege  eing^ 
echUgen  und  sich  ohne  diesen  roicbtigeu  Einfluss  entwickttlt; 
er  fühlte  sich  aber  denaelben  im  Geiste  zugebürig  nnd  tst  bald 
in  freundschaftliche  Beziehungen  xn  ihnen  getreten,  namentiicb 
für  den  genialen  Helnihottz  hatte  er  die  hSohste  Verehrung. 
8ein  im  .luhre  1858  emcbieuene«  Lehrbuch  der  Phjaiologie  ist 
den  Freunden  Brücke,  Du  Bois-Reymond  und  Helmholtz  ge- 
widmet 

Die  Richtung  seiner  Forschung  war  jedooh  zumeist  eine 
andere  als  die  seiner  Freunde.  Wülirend  diiMt,  wie  Du  Bou* 
Reymond  schon  hervorhob,  Aufgaben  suchten,  bei  welchen  dia 
Erecfaeinungen,   insbwondtre  die  pfayaikalia^en ,   wie  i.  B.  an 


a  V&U:  Iftknlog  auf  Carl  lMdwi§. 


827 


ieoUrt*n  Muskeln  nnd  Nerreii,  möglichst  einfadi  lagen,  betrnt 
Ludwig  kühn  Gebiete  des  leViemlen  Or^ani-imus,  io  denen  die 
Terwickeltaten  Vorf{änge  zugleich  mit  einander  ablaufen,  welche 
er  mit  grösstein  Scharfblick  und  unerreicht«r  Runiit  des  Ex- 
pehmentirens  zu  entwirren  euctite. 

Demjenigen,  welcher  die  Entwicklung  der  Physiologie  seit 
dem  Anfang  der  vierziger  Jahre  aufmerksam  verfolgt,  tritt  die 
Wirkung  Ludwig's  überall  ent^effen.  R^r  hat  die  Physiologie 
mit  einer  ungemein  grossen  Anzahl  grundlegender  Tliatäachen 
bereichert  und  sie  mit  vielen  neuen  HUfämitt«ln  der  Forschung 
beschenkt  Durch  ihn  vor  Allem  erhielt  die  Physiologie  die 
jelüge  liicbtung  und  Gestaltung;  er  war  ihr  gröttster  Färderer 
und  der  auerkunnt«  Führer  seiner  Zeit. 

Das  Leben  Ludwig's  verlief  einfach  iu  rastloser  stiller 
Arbeit  als  das  eines  echten  Gelehrten. 

Er  ward  am  29.  De/.ember  181l>  zu  Wit^enhausen  in  Kiir- 
besBen  geboren;  sein  Vater  war  während  der  uapoleonischen 
Kriege  OfBaier  und  hatte  darnach  eine  Stelle  als  Iteutmeiater 
erhalten.  Nach  Abäolvirung  des  Gymnasiums  in  Hanau  trat 
er  an  die  Universität  Marburg  zum  Studium  der  Medinn  Über, 
musste  aber  dieselbe  wegen  Konflikten  mit  den  Behörden  ver- 
lassen und  auf  ein  Jahr  an  der  Chirurgenschule  zu  Bamberg 
ZuHucht  suchen.  Nach  Marburg  zurückgekehrt,  erhielt  er  nach 
Beiner  Promotion  die  Stelle  aU  Protektor  an  der  unter  der 
Leitung  des  ihm  freundlich  gesinnten  Ludwig  Fick  stehenden 
anatümiächen  Ao^tJiU  und  dann  eine  ausserordentliche  Prufetiaiir 
für  vergleichende  Aiiatoniie.  Darnach  folgte  die  Berufung  als 
urdentUcher  Prufefi^or  der  Anatomie  und  Physiologie  nach  Zürich 
und  G  Jatire  darauf  die  au  die  damalige  medizinische  Militär- 
akademie, iliis  Jo»ephinuni,  nach  Wien.  Nachdem  er  daselbst 
10  Jahre  hing  gewirkt  hatte,  gelang  es  (1dt>4)  dem  scharf- 
blickenden Ȋchsbiclien  Cultusmiuister  v.  Falkenatein,  deu  be- 
rnhuiieti  Ph^'ttiulugen  für  die  Universitüt  Leipzig  an  die  Stelle 
von  Ernst  Ueinrich  Weber  zu  gewinnen.  Ein  glücklicherer  Griff 
könnt«  für  die  Universität  und  für  die  Wiaseoschaft  nicht  ge- 
macht werden.    Es  wunle  ihm  gestattet,  nach  seinen  Erfahrungen 


OrfmÜiA»  SlUwt^  wöm  U, 


um. 


md  Auiehauuiigw   cm   phTnologiielMa  liniilrt 

wtlebas  mH  allen  Hilfinint4«lB  sar  PaiwliBug 

und  ftlleo  «pätcren  AbiIiUhi   der  Art   xud  MaBto    iIm  iiIi       Ib 

iIiiiiwUmii  eotwickelle  löeb  Bvs  di«  grSMt«  phjactiguchi  SAalt 

nad  oae  Tbftbgkdt  tooder  OteiekeD,  d«r  aar  di«  w  Ginoeaa' 

ebeniieben  Lftbofaiorian  oolcr  Liehig  ui  die  Seite  so  afadleB  iiL 

Lodwig  hatte  noch  dt«  Zeit  erlebi.  wo  in  Deoteehlaad  di» 
fttr  die  EatvieUang  der  KeteiwiMeueiheft  oad  heMadwffi  dv 
PfajaioSogiesovBbalTolie  |{iclitqBgderW«larphThiniliielwiiK,h>«. 
TOD  der  Dor  wenii^e  nDchterne  Foncber  «cb  gacx  frei  xa  faeltes 
Termochten.  SUttdie  KncfaeinuDgea  za  beobeclitea,  Er&hnn^ea 
vad  TbaUaebea  xd  ■amfot^to  uod  ihre  ünachen  dordi  Veno^ 
zu  erkeanen,  hat  man  mit  Oleichniiien  ood  WociqiMlen  die 
VorgftDge  verbaut  ood  darch  leere  Speknlaäoaea,  welcbe  ni- 
letzt  in  ein  diu  völlig  uoTerrtiadlicbeBi  GeacfairUx  aoaartetco, 
zu  ergründen  geroeiot,  zu  was  and  wodorth  ein  Ding  4a  aei. 
Namentlich  aaf  dem  Gebiete  der  Lebeflaendieiaungea  hatte  d» 
Wurt  ,Lel>en«krafl*,  die  mit  den  Organen  tbat.  «raa  ve  will, 
and  sich  nicht  nach  den  Gesetxen  de»  GeKhebeni  in  der  flbiifgm 
Kalur  richtet,  jede  wirkliche  Foncbung  im  Keime  erkkU. 
Viel  Mfihe  bat  es  gekoetet,  aus  dieser  on|(lsabltcben  Venrrong 
wieder  auf  den  richtigen  Weg  der  Natnrforsehung  ni  komaea; 
es  ist  eines  der  grösaten  V^erdienste  Ludwig*t,  dam  inii  fpttnr 
Kraft  beigetragen  zu  haben,  nicht  durch  aiiaiUelmfteo,  aoodom 
durch  daa  Beispiel  seiner  For»cbuDgtiwei«e.  Fast  bat  e*  daa 
Anschein,  aU  ob  wir  in  manchen  Stücken  wieder  io  die  FehUr 
der  Überwundenen  Naturpbiloeophie  surOekfallen  wollten;  deaa 
es  werden  nicht  selten  beut'  zu  Tage  wieder  blose  HjpoUMHB, 
welch«  höchstens  Mdglichkeiten  sind,  die  auf  ihre  Wafarbait 
erst  geprüft  werden  mOsiien,  als  glAnxendi'  EmingenachafUa 
der  Wii«enachaft  geprieeen.  Hoffentlich  wird  ona  Ludwige 
Vorbild  Tor  einem  atiennsligmi  .Sieg  solober  SiteknlatiooeB  Ober 
den  roUhKaraeo  fc^rwerb  der  Thatsachen  bewahren. 

Uan  «uchie  damal«  die  Lebeu«eraoheinunf;en  sunftebtt  «af 
b^anntere  phjsikaiische  Vorginge  xurfioktufDhmi  nnd  spite* 
Mtt  auf  chemische,  sowie  die  Physik  firOber  sich  entwickelt  bat 


C  VoU:  Nekroloff  auf  Cnrl  Ludwig. 


329 


I 


I 


als  die  Chemie^  welche  letztere  erst  seit  Liebif;'^  energischem 
Eingreifeu  fUr  die  Pbysiolugie  mehr  au  Bedeutung  gewann. 
Waren  doch  die  bahnbrechenden  ßntdeekungen  und  Ideen  des 
Chemikeni  LaToiaier  lange  an  den  Pfay«ologen  fast  »purid«  und 
ohne  Verständnis^  Torflber  gegnnf^n;  denn  Jubannet«  MuLler 
äusHerte  sich  noch  1885,  Lavoisier  habe  die  Bildung  von  Wasser 
aus  WasserslufF  im  Tbierkörper  durch  Oxydation  nar  zum  Vor- 
theil  seiner  Verbrenn ungstheorie  erfunden.  Dieses  spatere  Ein- 
treten der  Chemie  in  die  Physiologie  hat  zu  einer  mehr  pbyäi- 
kalüichen  Aiuhildnng  Ticler  Physiologen  gefOhrt  und  in  Folge 
davon  zu  der  unseligen  Abtrennung  einer  einseitigen  physio- 
logischen Chemie,  während  doch  die  meisten  Lebeuserscheinungen 
auf  gleichzeitige  physikalische  und  chemische  Vorgänge  unter 
den  Bedingungen  der  Organisation  curückgeführt  werden  mQaaen. 
Obwohl  schon  längst  vor  Ludwig  und  seinen  Zeitgenossen 
manche  Lebeneer^heinuiigeo  auf  den  Gesetzen  der  Physik  be- 
ruhend  erkannt  werden  konnten,  so  kam  doch  erst  damals  die 
^,jkrenge  physikalische  Denkweise  und  Mtithodik  in  der  physio- 
logiscben  Forschung  zur  Anwendung;  Keiner  war  sich  hierin 
klarer  wie  Ludwig.  In  der  Kinleitung  zu  seinem  Lehrbuch 
der  Pbysiolugie  spriclit  er  sich  Ober  das  Ziel  der  Wissenschaft 
vom  Leben  in  einer  fQr  seine  Anffassiing  charakteristischen 
Weise  folgender  Massen  aus:  .Dieser  Erfahrung  ent<tprechend 
xieht  man  den  Schloss,  daas  alle  vom  thierischen  Körper  aos- 
gehendeo  Leistungen  eine  Folge  der  einfachen  .\nnehungen  und 
Abetoasungeu  sein  mikhten,  welche  bei  einem  Zusammentreffen 
jener  elementaren  Wesen  beobachtet  werden.  Diese  Folgerung 
wird  unumstt'isslich,  wenn  es  gelingt,  mit  mathematischer  Schärfe 
nachzuweisen,  es  seien  die  erwähnten  elementaren  Bedin^nngen 
nach  Richtungf  Zeit  ond  Maasa  im  thierischen  Körper  derartig 
geordnet,  das«  aus  ihren  Gegenwirkungen  mit  Nothwendigkeit 
alle  Leistungen  des  lebenden  und  todteu  Organismus  herfliesaen.* 
Kr  (^Lelltu  autjdrflcklich  die.<«e  Autfiissuug  als  physikalische 
der  hergebrachten  Titalistischen  gegunüber ;  von  Anfang  an 
ging  sein  Beetreben  dahin,  die  Vorgänge  im  Thicrleib  in  mög- 
lichst   einfacher    Weise    auf    mechanische    Grundsätze    zurück- 


330 


Or/fentlidu  SÜtunff  wm  14.  Hart   tSM. 


i 


Euftibren  nnd  eine  sinnlich  deutliche  Voralelinnf;  Toa  dMinhc 

sti  bekoDimen.  Allerdings  rouaste  er  npät^^r  bekrnnvn.  4m 
man  sich  die  Snche  nikcb  den  entten  f^luckliofaim  Anliofaia 
manchen  Stücken  einfacher  rorfifeBtellt  bitb«,  mia  ••  tieh 
erwies,  wo  man  immer  mehr  dms  Einjfreifen  der  «o  iiiipiMi 
Terwickelt«n  Bedingungen  der  Or^anitiation  erkannt«.  Ladw 
bat  diesen  m&aesfj^ebenden  Kinfiuss  d(*r  Or^anisBlion  nie  ttf- 
kannt;  er  war  einer  der  enden  Phjüiijlagen,  der  stetn  di«  fäsan 
Straktar  der  Thcile  bei  der  Darätelltinf^  der  Lebonsror^^iuF! 
berfi(!ksichtigte.  Es  war  fUr  ihn  von  fp-oeoer  Bc<leutunK.  dM 
er  ein  ^encbulter  AnaUnn  war  und  die  roikroükopiach«  Techeik 
iu  uD^ewi5hnlicher  Weisü  beherrschte;  dem  Fbjsiolo^n  erwwn 
daraus  der  WtinHch,  nicht  wie  m  gewöhnlich  geschah,  die  todfa 
Tbeile  mikroskopisch  zu  untentucben,  sondern  sie  während  da 
Lebens  zu  belauH4:hcn. 

Seiner  anatomischen  Kenntoif»  entsprang  wohl  aocb  d« 
Tollendete  und  schunende  Technik  als  Experimentator  am  lebe» 
den  Thier,  in  der  nur  Matrendie  oder  Claude  BerDard  mit  ilia 
XQ  Tei^leicben  waren,  wodurch  er  wohl  am  meisten  dazu  bc» 
trug,  die  Physiologie  in  dieser  Richtung  zu  einer  experimenUlteil 
Wissenschaft  auszubilden. 

Ludwig  war  als  Lehrer  gleich  auBgezeicboet  wie  alä  Forscher 
ja  68  waren  bei  ihm  die  beiden  Aufgaben  untrennbar  ▼ereinigl 
Von  Anfang  an^  schon  in  Zürich,  arbeitete  er  ron  KrGh  fai 
Spät  gemeinsam  mit  seinen  Hchnlern,  unter  deren  Namen  g« 
wfibnlich  die  Ergebnisse  rerufTentlicht  wurden.  Er  gab  die  JedM 
passende  Aufgabe,  stellte  den  Gang  und  die  Methndeu  der  Ver 
suche  feät,  erdachte  die  zur  Durcbfnlirung  nötbigeu  Apparat« 
fQbrte  die  Experimente  am  Tbiere  r.umeist  sellK<t  aus«  ja  be 
schrieb  häutig  die  Resultate.  Er  übte  durch  teine  Schule  eina 
grossen  Kinfluss  auf  die  Ausbildung  der  jüngeren  Physiologen 
die  fast  alle  und  aus  allen  Ländern  sein  Laboratorium  aa£ 
suchten. 

Um   dem  Leser  eine  Vorstellung  von  Lndwig^s  Wirksam' 
keit  zu  geben,  will  ich  nur  die  wiclitig<it«n  seiner  Ärbettea 
erwähnen. 


C.  Voil :  Ntkrolog  auf  Cart  Ijtttlwiif. 


831 


£ine  seiner  ersten  Unlereuchun^en ,  welche  er  ah  Habili- 
Utionsschriffc  ejngereicbt  hatte,  beächäfti^  sich  mit  lieii  Ur- 
eacheo  der  Absonderung  des  Harns  durch  die  Nieren,  welcher 
er  den  charakteristischen  Titel:  .Beiträge  zur  Cehre  Ton  dem 
Mechuuiifmus  der  Harnsekretion"  gtkb.  Er  lieferte  durin  in  der 
That  die  er»ie  phväikalische  Theorie  des  Alisonderungsvorganj^ea 
in  einer  Drüse;  er  leitete  die  Uarnsekretion  aus  der  Struktur 
der  Niere  und  den  darin  waltenden  physikalischen  Kräften  ab, 
indem  er  sieh  vor^tellte^  dattg  die  im  Uhite  rorgebüdeten  Haru* 
bestandtheile  aus  den  Blutgefässen  der  Mal pighi 'sehen  Bläschen 
durch  den  Blutdruck^  d.  i.  durch  Filtration,  mit  einem  Ueber- 
schuss  ron  Wasser  ausgeüchieijen  werden,  und  das  letztere  in 
den  üarnkanfilchen  wieder  durch  Oamose  in  das  Blut  zurück- 
trete. Seine  Theorie  ist  zwar  nicht  gebliebeu«  aber  die  durch 
Versucbn  gefundenen  ThatMchen,  nach  denen  die  Harnnhton- 
derung  vom  Blutdruck,  von  der  Geschwindigkeit  des  strömen- 
den Blutee,  den  Widerstünden  in  den  Üamwegen  und  dem  Ge- 
halt des  Blutes  an  barnfähigea  Sboffen  abhängig  ist,  haben  sich 
erhalten. 

Diese  Arbeit  Ober  die  äekretion  führte  ihn  zu  den  wichtigen 
Voriuchen  über  die  Osmase,  den  Austausch  zweier  L5saugen 
durch  eine  Membran  hindurch«  welcher  im  Thierkörper  viel- 
fach Torkümub. 

Eine  seiner  glänzendsten  nnd  vielleicht  die  folgenreichste 
.teiner  Entfleckungen  war  die  Erkennung  des  Einflossee  der 
Nerven  auf  die  Sekretion  der  Drüsen,  inslM'srmderG  der  Speichel - 
drdwn.  Man  hatte  bis  dahin  nur  die  VVirkuug  des  gereizten 
Nerven  auf  den  peripheren  Muskel  gekannt,  welche  in  einer 
Konnveränderung  des  letzteren  leicht  »icbtbiir  ist;  nun  erfuhr 
man  aber  durch  Ludwig,  dass  der  gleiche  Nervenreiz  auch  in 
emcr  DrUse  eine  Aeoderung  nach  sich  lieht,  welche  zu  einer 
Sekretion  führt.  Man  erkannte  dadurch  Iwsondere,  durch  den 
NerveneinäuHS  Dusgelö«fce  Thatigkeiten  der  Zellen  dos  DrUseu- 
pareochyms;  die  Eigeosoboileu  dieser  Zellen  mushteti  die  Sekre- 
tion bedingen,  und  nicht  etwa  der  Blutdruck,  denn  der  Speichel 
zeigt  sich  wärmer  als  das  der  DrQ^  mgeführte  Blut,  ferner  ist 


OigfndfceAi  ßitam\f 


14.  JUt»  sem. 


im  Aimintouayili  mk  im  AosAbmikgigtni^  im  Orfbie  giTWiwf 
•li  dar  BhrtdnKlc.  ja  «  danert  die  Sekretion  adbst  aach  Untei^ 
biadtug  der  Blulf^efässn  noch  fort  Sowie  der  Hothc)  bei  der 
CoDtraktioD  cbemiaebe  Veriodenuigfa  und 
der  kleinsten  TbeÜdieD  er&hit,  so  iak  die«  «och  an  deo  Dr 
ceUto  der  Fall,  an  welebeo  dareh  die  widitiffea  nil 
Beobachtoofcen  Heidenbain^s  aorh  FonnTcrlodeningvn  bei  dv 
Sekretion  dargethaa  worden  änd.  Aber  welche  Erfahnngiea 
nnd  welche  Geaehkklichkeit  gehörten  daxn,  nini  enlen  Mal» 
die  feinen  Nemo  der  SpeicfaeldiBam  am  lebenden  Thier  aaf- 
tu6adeu  und  dem  Venoch  zuffänjzlieh  zu  machen.  SpÄter  ist 
in  »einem  Labaratoriom  ancb  noch  die  Wirkong  dar  Nerraa 
auf  die  Sekretion  der  Galle  nnd  des  BaoohspcMhelB  RieprOft 
worden. 

Dnmnf  folgte  die  ingeniOm  Erfindung  einet  Inctrament 
dei  WeUensch reibers  oder  Kymographionü.  mit  welchem  er 
raaehen  Schwankangen  des  dorch  Halee  and  PoiseuHle  bekanotvn 
Blttidruckes  aafteichnen  lieaa,  indem  er  auf  die  Qaecksilber 
dea  Manometers  einen  Stab,  den  Schwimmer,  au&etxte,  der 
Bewegungen  des  Qnecksilbeni  getreu  mitmacht  ood  durch  etnc 
Pineel  auf  eine  durch  ein  (Thrwerk  bewegte  Trommel  auf- 
xeictinet.  Auf  diese  Weise  erkttnnt«  er  Hie  Aenderungen  de« 
Blutdruckes  in  den  Arterien  durch  die  AthembewegungSBi  eine 
Abnahme  deaselben  bei  der  Einatlimung  und  eine  Zunahm«  bei 
der  Attsatbranng.  Be  war  dadurch  die  sell>»irefnxtrirendt*  gra- 
phiwhe  Methode  in  die  phjiiologiKhe  FonKbiing  einßefQhrt 
worden,  welche  Ton  da  tib  Überall  zur  Anwendung  kam,  wo 
«  galt,  Bewegungen  genau  aufxuxeiohnen,  wie  %.  B.  die  Muakol* 
contraktion  durch  das  Mjof^phion  oder  die  Pabbewegnog 
durch  den  Sphygmographen. 

Von  fri^n«  beaondarer  Bedeutung  waren  femer  eeine  Unter* 
•ochungen  aber  die  ßlutgase  und  nber  die  IJrasche  dea  Uebnr- 
gang*  de«  Sauontoffee  der  Luft  aus  den  Lungen  in  daa  Blut 
und  Ton  da  in  die  Gewebe,  eowie  der  Abgabe  der  Koblenaftmit 
aus  den  Gewebes  iu  daa  Blut  und  in  di«  Lungenluft,  Lvtlur 
Majrar    hatte    zuent  die   bta   zu    einem    hoben   Grade    vervoU« 


0.  VoU:  Nekrolog  auf  Carl  Ludwig. 


333 


snimnetc  Methode  der  Gasanaiyse  von  Bimsen  auf  die  l'nUr- 
9Uchung  der  ßlutgase  übertragen,  welche  er  durch  Aoskocheo 
des  Bhit«3  gewann.  Ludwig  wandte  das  Vakuum  eu  diesem 
Zwecke  an  und  con&truirte  die  Biutguspumpe.  Während  Lothar 
Mejer  die  Kohlensüure  nur  zum  kluiiien  Theil  ohne  Weitares 
BUS  dem  Blute  austreiben  konute  uml  die  Hauptnienge  erst  nach 
ZoaaU  einer  Säure  erhielt,  gelang  es  Ludwig,  ins  Vakuum  die 
Kohlensäure  fiist  vollständig  r.a  bekommen:  es  ergab  sich  dabei, 
dass  aus  dem  Blutserum  der  gröaste  Theil  d^r  KuhlensÜura 
nicht  in  das  Vakuum  Übergeht,  sondern  erst  nach  Zusatz  einer 
Säure  oder  nach  ZufQgung  von  Blut;  es  haben  also  die  Blut- 
körperchen die  Kigenhchaft,  die  Kohlensäure  auszutreiben.  Auch 
führte  er  die  ersten  Bestimmungen  der  Spannung  der  Gase  im 
Blute,  in  dem  Blutserum  und  in  der  Ljmphe  ans,  woraus  her- 
vor>;ing,  dasi  das  Athmen  auf  einem  Ausgleich  der  Spannungen 
der  betreffenden  Gase  in  der  Lungenluft  und  im  Ulute  beruht. 

Ks  sind  bei  ihm  auch  Untersuchungen  des  Gesammtgas- 
wechseU  au  Thieren  gemacht  worden  und  zwar  mit  Hilfe  eines 
Ton  ihm  erdachten  sinnreichen  Bespiratiunsapparates ,  welcher 
den  Gaäwechsel  während  kurieer  Zeit,  einigen  Minuten,  ermitteln 
lasst.  Ulla  wurde  damit  der  Kiufluss  der  Temperatur  der  üusseren 
Luft  auf  die  SanerstofTaufnahme  und  die  Kohlensäureabgabe, 
sowie  der  Gasaustauscb  bei  Eiiisprit£ung  vou  Nabruugsstoffeu 
und  anderen  Stoffen  in  dos  Blut  geprüft. 

Lauge  Zeit  beschäftigten  ihn  die  Vorf^nge  am  Her/en  und 
an  den  Blutgefiiäseii.  Kr  untersuchte  den  cumplicirten  Verlauf 
der  Muskelfaireni  des  Herzens,  dann  diu  Foruiveränderungen  des- 
selben bei  der  Tbätigkeit,  woraus  sich  die  Ursache  das  Herz- 
atoases  ergab,  und  die  Entstehung  des  ersten  Herztons.  Dar- 
nach folgten  die  ungemein  zahlreichen  Arbeiten  Qber  die 
Innervation  der  Blutgefässuiuskeln  und  ihre  grosse  Bedeutung; 
es  wurde  gexi^igt,  dass  an  einer  bestimmten  Stelle  des  ver- 
längerten Markes  die  Oeßaamuskelnerven  entspringen  und  dass 
durch  die  Reizung  difstes  Centrums  die  Blutgefaase  sich  zu- 
SKOUDenzieheu  bis  fast  zum  Verschwinden  ihres  Lumens,  und 
ao  je   DAch    dem   KrtegongBcastand   dieses  eogeoannten   vaao- 


884 


OfffenitUkt  SitntMff  mm  H.  IBärr  iSStf. 


motorischen  Centrums  di«  WeiU  der  BltikgeAoae  um!  m 
die  VertheiluDg  des  Bltit«8  im  KOrp^r  und  der  Blatdrack 
lirt  wird.  Durch  Krnat  Heinrich  und  ü^uard  Weber  wur 
deckt  worden,  dosit  die  Reizung  des  Nernis  wf^u»  di« 
cuhl  des  HerKens  bis  eom  Stilbtand  in  Erschlaffung  berftbtrtat; 
Ladwi);  fand  nun  durch  ganz  Ausserordentlich  fein»  Erpcrinitti 
im  Gehirn  entsprin^nde  be^chleunif^ende  UersDerreo .  w«kte 
b<>i  ihrer  Reisong  zAhlrcichere  Uerzschläge  bewirkoo.  £•  ww 
den  bestimmte  Hezi'^huni^en  der  beiden  Herxnerren,  dar  hc» 
menden  und  der  boächleuni((enden,  nachgetrie«ien.  Bin  bonodif» 
merkwtlrdi},;ßr  Nerv  ist  der  den  Blutdruck  regulirende  Nermsi^ 
presflor;  derselbe  entspringt  im  Herv-en  nad  6t«ht  mit  dem  Gcfite* 
cenirum  in  Verbindung;  seine  KrrepuDg  durch  einen  tu  jgroMi 
Blutdruck  bewirkt. Herahset/ung  derTimüi^kritdesUeAaaoenCni^ 
Ausdehnung  der  Blutgefässe  und  Verminderung  de«   Blutdnxl& 

Daran  sch!ie*«eu  siüli  die  vielen  Untersuchung«*!!  Ober  S$ 
Blntfltrömung  an.  Die  KrÜiiduiig  der  Strümuhr  zur  Be^tiramong 
der  Ge^hwindigkeit  und  der  Menge  dm  in  einem  Blutfcefwn 
während  längerer  Zeit  strömenden  Blutes,  wobei  sich  ceigte, 
daaa  diis  PforiaderAyütem  durch  seine  wechselnde  Fnllung  dw 
Druck  iu  den  Äesteu  der  Ä.urta  regultrt  Kerner  die  bei  hudvi^ 
begonnenen  und  von  Hoaao  fortgcoetoten  pleth^ramographischMi 
Versuche;  der  ISHchweia  von  der  Abhängigkeit  des  Blutdruckes 
von  der  Herxarbeit,  der  Weite  der  Blutgefässe  und  der  Blut- 
meuge;  die  mit  vollendeter  Injektionstecbnik  ausgeführte»  Unter- 
suchungen  der  Anordnung  der  Blutgefässe  in  vielen  Ordnen 
r..  B.  in  der  Leber,  den  Muskeln,  den  Lymphdrüsen,  im  Dami, 
im  Kehlkopf,  im  Auge,  iui  Trommelfell,  im  Ohrl&byrinth. 

Die  gröbsten  Auf&chlGssti  aber  die  Vorgänge  im  Tbier- 
körper  haben  Lndwig's  Arbeiten  ilber  die  Ent»teh«ng  der  Lymp 
und  die  Truachen  ihrer  Bewegung  in  den  LyniphgefKaseu  jgi 
bnkcbt  Dieselbe  stammt  nach  ihm  aus  dem  Blut,  dessen  Plaai 
durch  die  dünnen  Ocfaaswandungen  durch  den  Blutdruck  filtrirt 
wiril  und  dann  alu  Kruähruiig»flrii»igkeit  die  Organe  durch- 
tränkt. Da  er  mm  grusse  Schwankungen  in  der  Strömungs- 
geschwindigkeit   und  dem  Dmck    der  Lymphe   in  den  Lymp! 


ier-     ! 

I 


0.  Voii :  Nekrohg  auf  Carl  Lmlwiff. 


33S 


gefltten  wabmohni,  ro  schlos»  or,  diiss  iler  aber  die  Blutgefua^ 
wand  hinaus  wirkende  Blutdruck  dijr  hauptsüchliclute  Motor 
fttr  die  Lyniphbewegung  aei.  Dies  ist  aber  nnr  dann  toö^licb, 
weiin  die  Lympligefa<)^e  offen  in  den  Gewebsmaschen  enden, 
welche  Voriiuss^tzunf;^  f^icb  nun  auch  bei  genauer  mikroskopischer 
Prfifan^  aU  richtig  hemusstellte.  In  solcher  Weise  hat  er  in 
vielen  Organen  die  Bahnen  der  Lymphe  ermittelt.  Ad  Stellen, 
au  denen  der  Lyaipbsirümung  grOstiere  Hindemiase  entgegen 
stehen,  wie  in  den  gro&sen  KiVperhöhlen,  bat  er  besondere 
Pumpwerke  Aufgefunden;  in  der  Bnuchhöble  sind  es  die  Athem- 
bewegungen  des  Zwtirchfelles,  welche  die  Lymphe  in  die  Oeff- 
nungen  der  LymphgefiL&te  in  dem  äehni^en  Theil  des  Zwercb- 
felles  hineintreibt  und  in  der  Brusthöhle  ebenfalls  die  Athem- 
bewegtmgen,  welche  die  Aufnahme  in  die  Oeflfnungen  an  dem 
Bmstfell  der  ItCwiftcbenrippenräume  rertirsachen. 

Von  gr&ster  Tragweite  sind  seine  Untersuchungen  des 
Stotfweehselit  einzehter  Organe,  was  man  bis  dahin  nicht  ftlr 
nifiglich  gehatten  hatte.  Zu  diesem  Zwecke  schaltete  er  durch 
Abbindnng  der  BliitgeOUw  gewisse  Organe  i.  B.  die  Muskeln 
oder  den  Darm  aiu*  und  beHtimmte  die  dadurch  hervorgebrachte 
Aenderung  dm  Gesammtgaswechsels  des  Thieros;  so  fand  er, 
dass  nach  Unterbindung  der  Darmarierien  der  respiratorische 
Qaiwechset  um  30  Proc.  abnimmt.  0(jer  er  schnitt  bebtimmte 
Orgttoe  ans  dem  Körper  gnn£  ans  und  erhielt  sie,  indem  er 
einen  kOustlichen  Kreislauf  mittelst  detibrinirten  Blutes  und 
anderen  KlQaaigkeiten  herstellte,  längere  Zeit  am  Leben.  E^ 
sind  dies  die  Versuche  Ober  den  SUitfwecbael  uud  die  Thätig- 
keit  isolirter,  Dbcrlebender  Organe.  t5o  vermocht«  er  das  Frosch* 
herz  Tage  lang  am  Ijeben  und  in  normaler  Thatjgkeit  zu  er- 
halten uud  die  Wirkungen  von  uUerlt't  StufTün  uud  anderen 
EinäHssen,  t.  B.  Terschiedencr  Tempemturgrade,  auf  seine 
LciistuDg'jfahigkeit  zu  gtudiren.  In  derselben  Weise  stellte  er 
Veninche  an  der  isolirten  Leber,  an  der  Niere,  am  Dann  und 
am  Muskel  un.  An  dem  let:Rteren  7«igte  ea  sich,  daas  wnhreud 
der  Contruktion  mehr  Blut  Uindurcbäiusat  und  der  Gaaaustansch 
erbaht  ist,  aber  verliiUtDiwmättig   mehr  Kohlensäure   produzirt 


wiriL 


ii<th<a>  i»t 


fcOdRt,  L  &  BD  d«r  Krtintnit  d«r 

■OB  Gtyfaakaa  vni  Tl Maimi    in 

OMfctt  fther  ^  BiUttBg  des  Harn- 
■  d«r  Leber  ob  des  Vontafen  dvr- 


bd  iJuB  fiber  in 
So  mrmi»  s.  B.  oacb- 
TOO  dtr  Rai>- 


U«b«r  £e  FuM«  Sm  ROefcvBawfai  bc^BB  sftbireiebc  md 
pwflifpfle  CalflnoctaigHi  vor,  wobsi  «r  die  KoHi  des  Sx- 
pmBiBtiniK  ud  lefaeadcn  Tbaera  oad  di»  der  Erfiadong  sur 
Diiil— jliuiiidiiin  htiftianBlv  kkMt  BfcInBBBriEMbidMille  gfr- 
fiigiawr  iMtn— BB*B  in  Tofluadüw  flwiiB  ^ml^  &  oemittelie 
diduii.h  den  V^Hanf  der  TtriHngrVifc^fft  ia  den  weina 
Süfagwi  d«  Backea— rfce».  fcwwtliMii  dir  Lekre  too  d« 
Befcnw.  «tedtrte  die  BiibiimIihii  Bad  die  Aaebreitang  der  £r- 
TCgaageB  oad  mterhiwJ  die  Frage  nach  der  Rtöbarkcst  dee^ 
Blkhf  laaiiu  durch  direkte  Keizong. 

El  winn  Doeh  viete  hwieahanie  Arbeitaa  sehr 
Inhaka  aa&aiiUeB:  Bber  die  Beriuiug  dei  PanntoOi  im  Blat, 
tber  die  EDUtefamg  ^  Gelfaeadrt,  den  UaterMUed  ia  dtr  Z^et" 
witiiiiig  des  ia  da  Magen  nnd  des  direkt  in  daa  Btot  eiage- 
kfaebtea  SwekneB,  und  die  Ober  die  Wege  der  ReeorptiOB  dce 
Hhreiaee,  des  Zocken  and  hwwdeni  dee  Fcttei  aos  dem  Darm- 
kaaal  aitd  ibren  Ueb«rguig  lo  die  Blnt-  oder  CbjtoagiAbM. 

KnHKch  diiib  noch  eviflce  Lehrbncbe  der  Phjniokigie  g^ 
daeki  werdea,  «aldiee  id  ervter  Aodaga  im  Jahre  I86S  «od 
ia  iirnler  Aoflag»  ia  dea  Jahreo  185B— 62  eraebioB.  Ei  ist 
«in  merkwBrdiges  B«ch  and  nach  dem  Handbuch  der  Phjäo- 
kgie  dea  Uemeheo  von  Johanoei  MOller  da*  origioeUaU  and 
anregandiite  Lehrbncb  dar  PbjMologie,  vobl  weniger  flir  den 
«nUn  Unterrichi  da  Btodirandcn  all  fOr  nifere  Leaar.  £a 
■atetielMidet  «eh  ron  den  Lehrbttebern  der  frOheraD  2mk  ganx 


ff  Ntitroiog  auf  CivrJ  Ludwijf. 


S87 


lieh  durch  die  schon  erwähnte  strenge  Anwendung  der 
scnschnft lieben  Methoden  zur  Erfassung  und  Krkläning 
der  Erscheinungen  im  Thierkörf>er.  Durch  die  EinfUhmng  neuer 
griffe  und  Ansdruck.swcifien  mhien  es  daiuab  schwer  ver- 
liidlich,  jetzt  liest  man  e^  mit  stets  steigendem  Intereesei 
seine  Arbeiten  haben  zur  Krreichung  des  darin  gesteckten  Ztelee 
viel  beigetragen. 

AuB  dem  Torstehenden  üeberblick  über  seine  Arbeiten  geht 
wobt  hervor,  dftss  Ludwig  der  vielseitigste  Physiologe  .seiner 
Zeit  wnr,  denn  er  hat  die  Physiologie  auf  fa^t  allen  ihren  Ge- 
bieten  mit  einer  Ffltle   der  wichtigsten  Thatsachen    beschenkt. 

Kfi  war  vor  Allem  sein  Bestreben,  neue  Thatsachen  anf- 
Kotinden,  aus  denen  er  nur  die  nächsten  Sc hlussfol gerungen  zog; 
nie  Terstieg  er  moh  zu  weittragenden  Theorien  ^  welche  durch 
die  nnchifte  neue  ThaUacbe  wieder  umgestossen  werden  können. 
Bei  der  streng  naturwitsaeuschaftlicben  Hichtung  seines  Geistes 
waren  ihm  alle  in  das  Al>ätriikte  führenden  Auseinandersetzungen 
zuwider.  Kr  vermied  anch  den  Streit,  namentlich  wenn  tr, 
wie  es  leider  jet/.t  nicht  selten  geschieht,  in  unlauterer  Weis« 
geführt  wird,  und  er  zog  es  vor,  Material  zur  Entscheidung 
der  strittigen  Fragen  beizutragen. 

ALi  Forscher  und  Iiehrer  zeichnete  er  sich  aus  durch  rast- 
loee  Thätigkeit,  seltene  Pflichttreue,  eine  erstaunliche  geistige 
Frische  und  jugendliclie  Freude  an  Furderung  neuer  Thatsachen 
bis  in  die  letzten  Ti^c  seines  Lebens,  und  durch  die  Auf- 
opferung ftlr  seine  Schtller,  die  ihn  wahrhaft  liebten.  Aber 
nicht  nur  fUr  die  Physiologie  hatte  er  das  lebhafteste  Interesse, 
sondern  fflr  Hie  Entwicklung  aller  Naturwissenschaften,  ja  aller 
Wissen  sc  haften.  Für  die  Schunheit  der  Natur,  fQr  die  bildende 
Kunst  und  die  Musik,  fdr  Alles,  was  einen  Fortschritt  der 
Men^clilicit  und  ihrer  sitLlichen  Aufgaben  brachtef  war  er  voll 
Begeisterung. 

Von  hohem  idealen  f^inne  liebU^  er  die  Wissenschaft  und 
die  Wahrheit  um  ihrer  selbst  willen,  seine  Person  trat  dabei 
völlig  zurück.  Frei  von  Ehrgeiz  und  Eitelkeit  blieb  er  bei 
allem  Bowusstsein  seine?  Wertiiee  schlichtf  freundlich  und  ffQtig; 

ISM   lUlk-^kyt^  O.  L  33 


dflft 


nr    mnr   futttibw    toA   iliBte   «all   AacriEcnnnag    der    Vonüffori« 
Amknr. 

J«il«r,  ilv  4faMni  Mmm  ytn  «dalrtm  Cbanüttor  twbtr 
H»to»ftwi^  nit  nupftig  von  ifam  «Icn  Eiadnick  einer  ungewShik* 
hahtm  «^Martapn  pMiBaBeUtett,  ainet  raicheo  Gebtei,  ^ 
Mm  alibaU  lllr  «di  fnaabm.  Seioe  Rede  war  stete  tod  Be- 
teteaff,  de  naf{te  fo«  adtwUniÜgeni  Urtfaeil  und  «e  war  fgf 
mtrtt  dorefa  vortrelTbchen  Witz.  Wahrlich,  es  i*t  ein  wnoder- 
faanr  Maon,  der  aur  xam  Bcj^n  dur  Wisseiuseiuli  und  der 
gaiebfc  kat,  mit  ihm  dahingegaogoi. 


Froax  Ernst  KeamanD. 

Am  28.  Hai  1B9&  irt  der  ehrwQnlige  Vatenn  der 
kriege,    soirie  der   Veteran    detr   l*hrsiker    im   AJkR- 
97  Jaiireii  ans  dem  Lebeo  geeobiedeo,  in  den  «r  dwck 
und  Lehre  Ittr  die  Pkraifc  Ofoat  geedhaflea  kafc.    Br 
Begrtuder  der  tfaaoretiscben  Physik  in 
Zeit  hindurch  ihr  BerTomgMditar 

Kr  «arde  am  11.  äefiemhar  1796  a 
rckenni&rk  gebono»  «oaelbct  etSD  Vai«  mm  «ansr 
[Aadmann   war.     Nach   Ahaohnaf 
B«lia  teai  der  1 
g;  dbikaain  g 
fteMfiger  Jifler  ia  dM  Kda«9»  I 


Tt  Nekrotog  tutf  7'VafUi  EnH  Nettmattn. 


830 


ChristiAD  Samuel  Weiss  erkannte  seinen  Wertfa  ond  forderte 
ihn  in  seinen  Bestrebungen;  jedoch  war  es  vor  Allem  Aas  eigene 
Studinm,  durch  welches  er  sein  Wissen  und  Können  in  der 
Mathematik  und  Physik  verToUkoinmnete. 

Seine  ersten  Ärlieiten,  darunl:«r  seine  Doktordissertation, 
mit  der  er  zu  Berlin  promovirte,  galten  der  l*]rforschung  der 
Kr^^tallformen,  welche  die  Aufmerksamkeit  weiterer  Kreise  auf 
den  junf^en  Gelehrten  lenkten.  In  Folf^e  davon  wnrdo  er  ah 
Priratdozent  mit  einer  kleinen  Remuneration  des  l'nterricht»' 
minidtcrium»  iin  die  Univen^itAt  Künigälierg  berufen,  an  welcher 
er  sein  ganees  Leben  getreu  verblieb  nnd  eines  der  berUhni- 
testeo  Glieder  werden  tif>lUe.  Kr  hatl«  da.'«  Gidck,  daselbst  mit 
Bossel  und  Jacobi  zusammen  zu  wirken,  wodnrch  die  Univcr* 
sitfit  Königsberg  längere  Zeit  der  Mittelpunkt  der  ostronomificlien 
und  phy^ikali.'ichen  Konchung  wurde.  Auf  Bessela  dringende 
Empfehlung  wurde  er  bald  zum  ausserordentUchen  und  dann 
zum  ordentlichen  Profts«or  der  Physik  und  Mineralogie  bc- 
ftirdert. 

In  klarer  Krkenntniss  der  Bedeutung  für  die  Ausbildung 
des  jungen  MaUieiuatikers  und  Physikers  gründete  er  alsbald 
im  Verein  mit  Jacobi  ein  matbonmtisch-pliyaikaliHchcs  •Seminar, 
in  dem  «ich  ttne  ganz  ausserordentliche,  für  die  Wissonschaft 
fruchtbringende  Thatigkeit  entwickelLp.  Vergeliens  suchte  er 
vom  Staute  ein  physikalisches  Laboratorium  zu  erhalten^  er 
mutete  seineu  Unterricht  iu  einigen  Zimmern  seiner  Privat- 
wohnung  halten,  wo  so  manche  wichtige  Probleme  nicht  in 
Angriff  genommen  worden  konnten;  and  doch  braclite  er  ans 
dun  ärmlichen  Uauiuen  der  Wissenschaft  die  glänzendsten  Gaben 
Aus  dieser  berühmten  Kuaigsbergor  Schule  der  matbe- 
matiscbeo  Physik  sind  die  ausgezeichnetsten  Mathematiker  ond 
Physiker  hervorgegangen,  welche  durch  ihren  Lehrer  ungeregfe 
worden  waren  und  die  von  ihm  geweckten  Ideen  weiter  ver- 
folgten. Man  braucht  nur  die  Namen :  Auwers,  Paul  du  Boi»- 
ß«ymond,  BorchonU,  Urin,  GleiHfch,  Gordau.  Ilease,  Kirchhoff, 
Lipachitz,  Luther,  O^kar  Emil  Meyer,  Lothar  Meyer,  Carl  Keu- 
uno,  Quincke,  Uinwnhai»,  ScUrfider,  Senff,  W.Voigt,  P.  Volk- 


OtffenÜH 


rotii  U.  Märi  l8De. 


mit  denen  er  vielfache   KcNjfaaefalMtl 


Idtendftr  ftafler  K<)r|ier, 
anatuHte. 

Von  )j;m86«'m  Wcrihe  sind  auch  »eine  üntersochnngaii  ^1 
KlasticitäUverli&UnisäB  <l(*r  Krptalle,  aus  welchen  «rdie(Wtil 
lind  Fornielo,  noch  donen  di«  WinkelSndernngen  der  Kx7i«iä| 
bei  einseitigem  und  alUeJtif^era  Druck  vor  sich  gehen«  aUi 

£r  bescbilftigte  uch  dann  mit  der  Theorie  der  C«piUin9b| 
wobei  er  kq  dem  Satze  kam,  dai»  die  Winkel,  anter  deonäl 
/uittandt!    Af&    Qtäich^uwicUbi    drei    Flflssigkeiteu     l&n(cs 
Kante    ztisauimenätosscn,     ilire    Bestimmung     vull^äodig 
ihre  Caput Rritiit5*Constaot«n  finden.    Auch  )^b  er  eine 
Ableitung  des  PoitieniUo'scbon  Satxea  der  FlOaaigkeital 
in  Rubren  aiu  der  Theorie  der  Reibung. 

Bei  Gelegenheit  seiner  Untenucbiinge»«  inabewiMUn  fa 
«lektro-dyoamiscbcnt  erfand  er  eine  Anzahl  herhat  sinnreicbe 
nnd  brauchbarer  Apparate  und  Me.-isinalniiuente,  wie  z.  Ü.  «» 
DitTurentialgalranomettir,  den  sur  Bestimmung  der  nia^etiaeliB 
Inklination  dienenden  Differential- Erdinduktur^  das  Kheoaifltar 
zur  MessDug  starker  Ströme  in  absolutem  Maass,  die  Terboscrte 
TangentenbiiBsole. 

Auf  rein  mathematischem  Gebiete  bofhoste  er  sich  nur  mä 
der  Theorie  der  Kugelfunktionen. 

Aber  nicht  nur  in  seineu  eigenen  Veröffentlichungen  findet 
sich  das,  womit  er  die  Wissenschaft  so  sehr  bereichert  hai; 
Vieles  hat  er  nur  in  den  Vorlesungen  seinen  ScIiQiem  gegeben; 
Einige  derselben  haben  später  das  Gehörte  ausammengcutelb 
und  das  ku&tbare  Gut  weiteren  Kreisen  zugänglich  geouicht 
So  manche  Gedanken  sind  in  dieser  Weise  ron  ihm  auerst  aus- 
gesprochen worden  und  späteren  For&chem  zu  Gute  gekoiumen; 
ao  entwickelte  er  in  seinen  Vorlesimgen  die  mechanische  Wärme- 
theorie,  auch  gebrauchte  er  schon  frGh  den  Ausdruck  ,  Arbeit 
vorrath*  und  wandte  seine  Yorstellungeu  darQber  auf  die  W&r 
nnd  die  Elektrizität  an. 

Neuniann  bewahrte  sieb  stete  eine  ideale  LebenBanffassuT 
80  wie  er  in  der  -lugend  sich  in  Begeisterung  ftlr  das  Vnt 
liind  opferte^  gab  er  sich  später  der  Wissenschall  hin  und  BucbU 


C.  Voit:  NtlanUog  auf  Jama  Dwifftu  l>ana. 


848 


mit  aller  Krnft  des  Odiätes  die  Wahrheit  durch  die  Erforschung 
der  Ge8et/.e,  nach  deuen  sich  die  Naturerächüiuungeu  richten. 
Er  suchte  die  wahre  Befriedigtiag  nar  in  der  tieferen  Erkennt- 
oifia  der  Dinge,  jeder  äussere  Huhm  und  Vortheil  war  ihm 
gteichgiltig.  Daher  blieh  der  gutsse  Gelehrte  doch  von  schlich- 
tester Kiufachheit  und  Bescheidenheit.  Bis  in  die  letzte  Zeit 
fleinee  langen  Lehens  war  er  wissenschaftlich  thütig  und  hewahrte 
luine  geistige  Krische  und  sein  reges  Interesse  für  alles  Wissen. 
Durch  sein  tiefes  Nachdenken  und  seinen  reinen  Sinu  hotte 
er  sich  einen  heiteren  Frieden  und  ein  inneres  Gleichgewicht 
errungen .  das  diesen  Ptitrinrchon  der  Wissenschaft  xu  einem 
der  hebten  und  auch  glücklichsten  Menschen  machte. 


James  Dwight  Dana. 

Der  am  14.  Aprit  1895  in  New  Haren  im  Alter  von 
82  Jahren  rerstorbene  Geologe  und  Mineraluge  James  Dwight 
Dana  war  wohl  der  angesehensto  Naturforscher  Nordamerikas 
und  einer  der  eisten  Kenner  unseres  Erdballes. 

In  Utica  im  Staate  New -York  am  12.  Februar  1813  ge- 
Oren,  kam  er  zu  seiner  Ausbildung  nach  New-Haven,  woselbst 
er  im  20.  Lebensjahre  in  das  berühmte  Yale- College  eintrat. 
Es  war  besonders  der  ältere  Silliniani  der  Chemiker  uud  Mine- 
niogOj  TOD  dem  er  dorten  Anregung  zu  naturwissenschaftlichen 
Stadien  empfing. 

Er  hatte  das  Glück,  auf  ausgedehnten  Reisen  Länder  und 
ere  durch  eigene  Anschauung  kennen  zu  lernen  ond  ^^n 
Sinn  für  die  Beobiu;htimg  der  Natur  zu  scharfen.  Zuerst 
machte  er  als  Lehrer  der  Magnetik  nnd  Nantik  au  der  Staafes- 
Navigationa  -  Schule  auf  einem  KriegsschifTo  von  1833  —  1835 
eine  Reise  int  Atlantischen  Ozean  und  im  Mittelmeer,  wobei  er 
die  Küsten  Frankreichs,  Italiens,  Griechenlands  und  der  Tflrkei 
besuchte.  Von  grösstem  Einfluss  anf  seine  Entwicklung  war 
die  Anstellung  als  Mineraloge  and  Geologe  bei  der  von  den 
Vereinigten  Staaten  ansgerOsteten  und  vom  Kapit&n  Wilke  ge- 
führten wissensohafilichen  Expedition  zur  Erforschung  d«i  gnwsan 


Oeffenltithe') 


t4. 


Oso^iis,    welche  vier  Jahre  (1838—1841)  !n  Aiisproeh 
tf  sah  dabei  die  bt!ideii  KGsten    von  Sodamerika,   ein« 
von  Inseln  das  Stilleu  Ozeans,    dann  Australien,    Kea-I 
den  Gilbi-rt- Archipel,  die  Karolinen- Inseln,  die  Saodwich-l 
und  die  Küste  von  Oregon.     Nachdem  er  hier  8chiffbnRli 
litten  und  seine  Ilabe,  suwie  einen  Theil  der  SaimnltiDgfB 
loreu  hatte,  reiste  er  zu  Land   iiacli  San  Franciaoo  and  bibl 
von  da  Über  die  Sandwicb-Inseln,  Singapor,  das  Cap  der  i^its 
Hoffnung  nnd  St.  Helena  in  die  Heimatb  Kiirtlok. 

Als  er  diese  grosse  Reise  antrat,  wuren  viele  ron  den  la^ 
de«  Stillen  Ozeans  noch  fast  unbckaiiol  und  von  der  Ciritiattia 
unberührt«  so  daas  sich  ihm  die  reichste  Geiegenbeit  su  Bf 
ubachtungen  bot. 

In  den  folgenden  Jahren  war  er  damit  beschäftigt,  £> 
reichen  Sammlungen,  welche  er  von  dieaer  Retse  mitfpebracbt 
hatte,  zu  bearbeiten;  in  der  grossen  Beschreibung  der  Et' 
jiedition  lieferte  er  den  Bericht  über  die  Zoophyton  and  iäk 
Krusfcenthiere  des  Stillen  OKeans,  sowie  den  über  die  geologischea 
Beobachtungen,  beaondem  über  die  Koral leninsei q  und  die  vul- 
kanischen Erscheinungen  in  der  Sädsee. 

Dana  hatte  sich  durch  diese  Leistungen  rühmlich  bekanol 
gemaoht,  so  dass  er  im  Jahre  1850  zum  Professor  der  Natur- 
geecbicbte  und  spater  (18G4)  zum  Professor  der  Geologie  tud 
Mineralogie  am  Y'ale-College  gewählt  wurde.  Er  blieb  daaelhfit 
als  hervorragender  Forseber  and  als  beliebter  Lehrer  tbatig  bis 
zum  Jahre  1894,  wo  er  emeritirt  wurde.  Nach  dem  l{ncktritt 
vom  Amte  widmete  er  seine  gauxe  Kraft  der  Umarbeitang 
seines  berühmten  Werkes:  des  Manual  of  Geolog;.  Zwei  Mo- 
nate nach  Vollendung   desselben   legte  er  sich  zur  Grabesruhe. 

Die  geologiäcbc  Wissenschaft  befand  sich  daniaU  in  hef- 
tigster üäbrung;  die  Neptunisten,  Plutonisten  und  Vulkanisten 
waren  noch  in  vollem  Kampfe  begriffen.  Dana  wandte  aieh 
Turziigsweiße  den  Kragen  der  dynamischen  Geologie  zu  und  be- 
schäftigte sich  dabei  mit  den  grossen  Problemen  der  Grdge* 
schichte:  der  Bildung  der  Gebirge,  dem  Kntatehen  der  Con- 
tinento,  der  Eiszeit,  dem  Ursprung  der  Vulkane,  dem  Auftreten 


C.  VqU:  Nekroiog  auf  Jame*  Ihcight  Vau». 


345 


der  merk wörfl igen  Korallcnrifle.  Seine  Anncliautiii^en  ÜW  die 
Gebirjursbildung,  welche  der  von  Klie  de  Beaamont,  Alexander 
V.  Humbuldt  und  Leopnld  v.  Bnch  anfgestellten  Theorie  ent- 
>;egen  traten,  sind  heut*  za  Ta^e  die  herrschenden  f^cwordcu. 
Die  jetzige  Oeätaltung  der  Erdoberfläche  leitete  er  Ton  der 
Oontraktion  der  äusseren  Schichten  in  Folge  ihrer  Abkühlung 
ftb.  Die  Untersuchungen  der  Geologie  von  New-IIaveD,  Berk- 
shire, MassachosetLs,  Wci<tuiinster  etc.  etc.  sind  Muster  für 
Forschungen  der  Art.  Sein  Werk  über  den  Bua  und  die  Ent- 
stehung der  Korallenritfe  steht  dem  gleichzeitigen  Werke  Darwins 
ebenbürtig  znr  Seite.  Auch  die  Abhandlang  Aber  die  Ur- 
sachen und  die  Charakteristik  der  Vulkane  auf  den  Hawai- 
Inaeln  verdient  besonders  hervorgehoben  zu  werden. 

Einen  grossen  Impuls  erhielt  die  geologische  Wisäenschaft 
durch  das  schon  erwähnte  Manual  of  tieolngv,  ein  umfang- 
reiches Lehrbuch,  welches  zum  ersten  Male  die  amerikanischen 
Verhültniä^e  zum  Ausgangspunkte  der  Betrachtungen  nahm 
und  sich  »chon  dadurch  von  allen  bisherigen,  meist  nur  auf 
Kuropa  zugeschnittenen  Lehrbüchern  wesentlich  unterscheidet, 
aber  auch  in  der  ganzen  Anordnung  des  Stoffes  und  in  der 
Behandlung  der  dynamischen  Geologie  so  viel  Neues  brachte, 
dass  es  bald  als  das  bis  dahin  unerreichte  Muster  eines  Lehr- 
bucheä  der  Geologie  angesehen  wurde.  Fast  alle  neueren  in 
Europa  verfossteu  Lehr-  und  Handbücher  der  Geologie  haben 
sich  den  durch  Dana  angegebenen  Verbesserungen  angeschlossen 
und  sein  berfihmtes  Werk  al»  Vorbild  benrttzt. 

Nicht  minder  hervorragend  iät  Dana'»  ThUtigkeit  als  mine- 
ralogischer Schriftsteller.  Er  ist  als  einer  der  Ersten,  unter 
denen  auch  unser  einheimisches  Mitglied  J.  N.  Fuch8  zu  nennen 
ist,  von  den  blos  physiächen  oder  den  naturhistortächen  Kenn- 
zeichen EU  dem  System  der  cbemisohen  Kennzeichen  überge- 
gangen. Eh  sind  namentlich  die  chemischen  Beziehungen  der 
Mineralien  zu  einander  und  diejenigen  der  Kr}'stallform  zur 
Zusamnicntwtzung  derselben,  welche  ihn  beschäftigt  haben  und 
auf  Grund  deren  er  für  eine  Reihe  von  Mineralgruppen  eine 
ftuf    chemiächeu    Prinzipien     beruhende    Systematik    au&tellte. 


OrffetUfieH«  &ltmny  vom  14.  Jlfärs  IS9e. 


welcli«  einen  wesentlichen  FortAchritt  nnf  diesem  G«bk<«  biUik 
So  iai  er  /,.  B.  der  Grstr  Kewe»Rii,  welcher  in  die  lerooe  wi 
chemisch  m  verwickelte  Famih'e  di*r  G] immer iniii«ErA]icB  Di^ 
heii  gebracht  hat,  und  die  lirundzll^e  der  von  ihm  an^goataAü 
Einiheilung  denfelben  sind  auch  nach  den  neoeaten  Ponebm^ 
die  maass^ebenden  gebliebmi.  Die  Reaaltote  dieMr Stadial  wvte 
von  Dana  ftm  volUtändigsten  vervrerthet  in  eeiliem  amCu^^reiclA 
Buche:  .System  of  Mineraloge,  ISHB*,  das  noch  boale  du  hrii 
f'xistireude  Handbuch  dieser  WiBaenftcbaft  ist.  Niobt  goringm 
Anerkennung,  als  dieses  Werk  sich  in  den  Kreisen  der  Fitt 
niünuer  erwarb,  ist  in  neiU^ren  Kreisen  auch  seinem  kürtes 
hehrbuche  der  Mineralogie  und  IVtrographie  za  Theil  gewordsB. 
Petrographiucho  llntersuclttingen  über  amerikanische  GeifaiM 
bildeten  namentlich  iu  den  letzten  Jahreu  seines  Lebens  fo 
Gegenstand  mehrerer  seiner  Publikationen. 

Die  ansscrordcntlicho  Vicl.«oitigkeit  Dana*a  xeigt  »ich  aoch 
darin,  daas  er  auch  auf  dem  iiebiete  der  aysiematiscliea  Zoologie 
eine  Än/.ah]  hervorragender  Werke,  besonders  über  das  Ve^ 
kommen,  die  Lebensweise  und  die  Organisation  der  Kitf  kornlks 
in  der  SüdKee  und  über  die  Crustaceen  geschaffen  hat. 

Er   war  auch  Mith*?raiuigeber  des  in   der  Literatur 
hohen    Rang    einnehmenden  American  Journal  of  Science 
Arts   vom  Jahre    184(3    an    bis   zu   seinem   Tode,    zu    dem    er 
viele  Jleiträge  geliefert   hat;   dieses  Journal  ist  die  bauptsich- > 
lichste  Htätte  fOr  die  naturwissenschaftliche  Forschung  in  Theorie 
und  Praxis  iu  Nordamerika.    Dana  hat  mehr  wie  irgend  Jemand 
dazu  beigetragen,  die  Naturwii^enschaften  in  Amerika  auf 
hobeu  Stand  zu  beben,  auf  dem  sie  sich  jetzt  belinden. 

Er  bewahrte  sich  bis  zuletzt  das  Feuer  der  Jugend  und 
verstand  es,  während  seines  langen  Lebens  Schritt  7u  halten  mit 
den  FuriHcbritten  der  Wiäuenschaft  und  deu  führenden  Gedanken 
derselben. 

Er  war  darum  stets  bereit,  frühere  Anschauimgen  den 
neuereu  Erfahrungen  der  Wissenschaft  zu  opfern.  Während  er 
in  den  enten  Auflagen  stHnes  Lehrbiirbs  noch  eine  besundprv 
SchiJpfung  der  rielen  sich  in  den  geologischen  Zeitabsohuittea 


>ralkii 

M 


n 


C.  VoU:  NeknAog  auf  James  Dwight  Dana.  347 

folgenden  Arten  der  Pflanzen  und  Tbiere  festgehalten  hatte, 
vertrat  er  in  der  letzten  Auflage  die  Lehre  von  der  allmählichen 
Entwicklung  dieser  Organisationen. 

Er  war  ausserdem  ein  ganz  vorzOglicher  Lehrer,  welches 
Talent  er  besonders  bei  den  Exkursionen  in  die  Umgegend  von 
New-Haven  mit  den  vorgerfickteren  Schülern  nutzbringend  ent- 
faltete. 

Viele  Ehren  sind  dem  ausgezeichneten  Gelehrten  zu  Theil 
geworden.  Er  war  Mitglied  unserer  Akademie  seit  dem  Jahre  1854 ; 
die  hiesige  Universität  hat  ihn  bei  der  Festfeier  ihres  400jährigen 
Bestehens  im  Jahre  1872  zum  Ehrendoktor  der  Philosophie 
ernannt 


romelchnlfM  der  eingeliinrenen  Dmckf)rhHrt«ii 

Juitiar  bin  Juni  1800. 


Dl»  vttrvhrllflhMi  B«MllMliftfl«i  and  lD«titnt«,  mJI  wkichsn  uttMr«  Akadotul«  1» 
TsawliTffrkobr  vt^ht,  mntUn  Babartan,  iucluit«b«mlen  VarxflIeliBia«  luglKich  ila  KoipfluiicM- 
b<«UU(anK  «■  balrscbtan. 


Ton  Foleend«!!  OdseTUdltAfUfi  uiI  InaUtnton : 

OestehidtineTtm  tu  Aacheui 
7,*\Uc\r\t\^.     17.  Band  nnd  R8gi<4t«r  «um  8.— 16.  Bd.     1896.    0O. 

I/iHonAche  Oeaellschcfl  ih  Aafau: 
ArffOTia.     Rand  XXVI.     189S.     8». 

Ohserratorti  in  Aä^aide: 
Meteorologicol  OtwerraiioDi  1B91— 96.     fol. 

Jinyal  Sf>ri«ty  of  SoHtfi-Australia  im  AMaitle: 
TrnB»ae(ioBa.     toi.  1»,  pari  2.     1896.     B". 

SüfiMiaBi»Ae  Äktulttnif  der  Wi$8enichafttn  in  Agram'- 
t{ad.  Vol.  128.  134.     1896.     ^. 
SUnne.     Uasd  27.     189^.     8». 

Monumenta  ipcetantia  hicioriam  SlaTorum  rnnrid.   Vol-  XXVIT.  1896.  B°. 
C.  Goi^anOTit-t-Kramberf^r,  De  piscibua  fossiÜbui.     1896.    4". 

Arehädütk/ische  Oefdlstthtiß  in  Afjrnm: 
Vininik.    N.  Ser     Band  I,     1896.     1896 -9ti.    4«. 

Jlfevr-ybrJk  ÄViiif  JV/N-vrinii  in  Alban^: 
EtultHin.     Vol.  3.  No.  14.  16.     1895.     4". 

tioci^lf  ihn  AHtiqttnire/i  Ar.   JSßardit  in  Amient: 
riiillelin.     Anntd-  1694  No.  4:  1805  No.  1.     1891— W.    ffi. 

il%*tnn$ther  Vfrtm  für  Srhteaben  und  tfeuhu^  in  AttyiAttrg: 
KciUchiifV     lland  XXII.     1896.     8^. 

JfihH»  Ifopkinji  tjnittergitif  in  Baltimore: 
Lfrcttlftr«.    Vol.  XV,  No.  132.  123.  184.  126.     1896-96.    4«. 

K.  JiiUliothfk  in  Rrnnberu: 
Katklofr  der  Uandiifllirifl^n  der  BiltIioLh«k  bani)>(*rf7   von  Fr.  LeiUcbub. 
Band  I.    Abt  I.    Li«r  1;  Abt.  II.    Ltof  2     Band  11.     18»ft.    8». 
BatntinajirJi  firttfuiUrhaft  van  Kunntm  ri  M^'ßtfwthappen  in  Ittiiaria: 
T    '  -5.    »fl.  6;  09,  fttt.  1.     1696.    8», 

N  l>  l'takaalUtok.     Oa«1  XIV.    1896.    8*. 

idijjn  lujjiHi.'r  j;.iiif)udt'fi  int  CaxU-el  BfUavia  Aqdü  1060—67.    lOWk   8*. 


ddo 


Ver»eicimia$  (br  rirnffttaufenn  t>nuk$chn/irn. 


Ottrmipry  in  Batacia: 
ObMmlionn.    Vol.  XTIT.  1804.     1896.    fot 

NiedeHäwiixch-indigdie  Regierung  m  Bmlmäin 
n«fannuBeiningen.     XVL  Jalirg.  1891.     18»S.    8*. 

K.  SerbißrJte  AktiAemift  in  ßdgrad: 
Wladan  Borbewitsch,  Griecfaiscfae  and  aeri>i*che  KrklSniBieeB.    (In 

Sprache.)    1896.    8^ 
Itu-ioD  Rabarar,  Brachftficlte  etc.  fde«gl.)     1896.    8*. 
(iodücboiAk.    Till.  1894.     1896.    8* 
Qlftä.     XX,  No    i9.  60.     189S.     8«. 
Spomenilc.     No.  XXT.    1896.   A*\   No.  XXX.    Id9«.   A'*. 
Poibrnik  (SUtui«B).     1896.    &<■. 

Mudeum  in  Bergtn  fNortt^gtn): 
Awbog  for  1894-96.     1886.    8*. 

Unirerrily  of  CaUfamia  m  Berkel^jf: 
Ein    Fa*dkel    von   2S  Scfaiiften   der  UuTenitjr   of  CdJfoniu    «u«    ti« 
Jahren  1881—1896. 

A'.  yrtuaiseke  Akadaitie  der  H'tJumxdka/lna  im  Beriim: 
Actn  bonmica,  aetreidehancltflapulitik      Band  t.     iffOG.    Sfi. 
PoHtiacbe  Kormpoodenz  Priedhchd  de»  tirowen.    Bd.  XXII.     18D6. 
iC'crpafl  inicriptionotn  Atlicarum.     VdI.  IV,  p&n  3.     1006.     toi. 
AbUandluDgen  üxtä  dem  Jahre  1396.     4**. 
SitzoDgfbericbt«.    1896,  No.  39 -&3:  IB96,  No.  l-SS.    ir-  8^. 

A~  geolog.  iMTuUtanttalt  und  Bergakademie  in  Beriin; 
JafarbDch  m'r  daa  Jahr  1694.     Band  XV.     1896.    jn*-  B*. 

Jieidu-Ltmta-Cummtasujn  in  Berlin: 
D«r  Oberffermaniach-Tt&tuche  Umea.     l.iet.  III.     Uciilelbcrtf.     1806.     4*. 

Veutsdie  chemitAe  GesdlMduift  in  Berlin: 
Il<>richtc.    38.  Jahrg..  No.  19.  20;  29.  Jnhry«  No.l-10.     1896.    8^. 

Deulurhe  geolnginche  OcjieUsehaft'm  BeHim: 
ZriUehriO.    Bud  47,  Uefl  3.     1896.    8«. 

MetiicitiiKkt  Oejirlhehaft  m  Beriim: 
Verbandlasgen.     Band  U6.     1806.    8«. 

Phyvikaiiitdte  Geedleehaft  in  Berlin: 
Die  rortoebritte  d«r  P^yitlt.    60.  Jabrg..   Abih.  l—UL    BnoMclii 

1896.    (P. 
VeriMadlonK«.     1«.  JAhr«.  No.  8-5:  16.  J«hrg.  No.  1.    1896     <^     *^ 

PhyfiMoffieetu:  (hmdladutft  im  BerHit: 
CentmlbkU  Ar  Pbjrsiolotö^.     Band  IX.     1695.     No.  SO-M;    Uantl 

1896.     No.  1-6.     8*. 
Verbaadlangen.    Jthrg.  1894-96.  N«.  16-18;  I69fr— 96,  No.  i— II. 

Ji.  tedmtisakt  //odkccAWr  im  Brrlim: 
H«iarifth  Jial1cr-Bre*<tftu.   Von  KrioM  hiitcr  d«r  Front  1870/7L    FaÄ^ 

fWtrtff.     1B9S.    4«. 
E.  Iabi|i«,  R«de  b«I  der  Fnicr  du  aCrj&br,  GrdeftkU|{«i  d«r  TroktMiiiruf 
d«!  Deatwhw  Ooicbw.    188«.    4*. 

Kninerlidt  -trchMögiedirji  Iiuhtut  in  Herlimi 

iftbrwbericbt  Qbi^r  ..  .>-kcit  dw  taatital«  1891/91.    1894.     #. 

JiArbMfc.     Rand  X.  IMt  4,  BMd  XI.  Hna  I.    18M.    4*. 


Verseitimiu  der  eüi^ttmiilmmikyikmtimknflat. 


3äi 


Oeoä&tisckes  IngtittU  in  BerÜnt 

»bericht  18f4— 96.     189&.    8d. 

K.  prems^  meteoroiMtschts  Itistitut  in  Berlin: 
TexOffentlichangen  le^Tü.     Üeft  II.     1896.     Toi, 

Jtütrluch  über  dU  FortJicJtritte  der  Maihenuttik  in  Berlin: 
Jahrbuch,     lid.  XXV.  U«a  I.     1896.    8". 

Dtitisdie  technische  Uundxchmt  m  Berlini 
RuDdichao.     J&hrg.  189ft/W.  No.  1  und  3.     1895.     40. 
Verrtn  cur  Itefönlerung  ilea  Öarlrnhimex  in  den  preuss.  Staaten  in  Berlin: 
ÜarieDdora.    Jahrff.  44.    1895;  infarg.  45.  Hea  2  und  6-13.     1S96.    8*. 

Verein  für  OesehicfUe  der  Marl:  Brandeyihurg  in  BerUn: 
FonchunKen  zur  ßrandeoburgischen  ii.  PrcaMiachea  üeaehicht«.    IM.  VUl« 
zweite  HKlfte.     Lei|)xig  1895.    8^. 

Natvrwitsengehaftlirhr  Wodtenjschrift  in  BerJin: 
Wochenschrift.    Butd  X,  Heft  13.  1895  j  üd.  XI,  Heft  1-6.     1806.    fol. 

Xeilsthrift  für  I tutrumentenkunde  in  Berlin: 
Zeitirthria.     16.  Jfthr^.    1896.    No.  1-7.    Jan.— Joli.     4». 

Aügevteine  gesehiehttforaehende  Gtseltuchaft  der  Schwfit  in  Bern : 
Anteiger  far  Schweixenuche  Üesrhichtc.    1805,  No.  4.     4". 

IfaturnJ  Jlitiovtf  and  rhUogophicttl  Soeietff  in  Btrminijhatn : 
rroceedingf.     Vol    IX,  2.     )89Ä.    8». 

/?.  DeptUasiont  äi  storia  patria  per  te  Provincie  Ji  Ramoffna  in  Biiloffnit : 
AUi  e  Uemone.    Serie  III.    Vol.  Xlll,  fmc.  3.  4.     1896.    tP. 

Nitdtrrheinia^  Qe»eVschitfl  für  Natur-  und  UeÜkumlt  in  Bnnn: 
äilcmigiiberichte  1605,  1.  ILklOe.     B^. 

Verein  von  Alterthumsfretinden  im  BheiräanJe  in  Bonn: 
Bonner  JahrbOcher.     Ücft  09.     1896.     «o. 

Naturhistitriifcher  Verein  der  prcussLuchen  BJteiulande  in  Bonn: 
Verhandlangen.     53.  Jahr^.    1.  lUlEle.     1895.    6^. 

Sociiti  de*  sacncr«  pfit/siquen  rt  unturdteg  in  Bordenuj:: 
MiSmoirN,     IV»  3ärio,  tome  V.     i'ivi«  1895.     8*. 
(>b«ervationi  pluviomutrMiucB  1893-94.     1894.     8°. 
SoeiiU  Linnitnite  in  Bordeaux: 
Actci.    VoL  47.     1894.    8*». 

Societe  de  geoiimphic  commercialc  in  Bordeaux: 
Balletin.    1895.  No.  31-24;  169tj,  Xo.  1—13.    6« 

American  Aeaderny  of  Arts  and  Seienee*  iu  Soston: 
ProceediogB.    Vol.  XXX.    1896.    «". 

American  Phäological  Auociation  in  Bogton: 
Tnuisa4:tioii».     Vol.  36.     1896.    8«. 

PahUc  Library  in  Bo*t(m: 
44U'  annual  Report  for  1895.     1696.'  ifi. 

Biiidim  Sttciety  of  naturtil   lliidory  in   Bottitn: 
ProoMdiagB.     Vol.  XXVt,    pwt  4.     1895.    Vol.    XXVIl.    |Arl    I  -  C. 

1896.    8». 
MMMtn.    Yol  V.  No.  1.  3.     1805.     40. 

MeteorototriMhe  Station  in  Bremen: 
DratNchti  Meteonilüg.  Jahrbarh  fUr  1805.     J«hrg.  Vf.     1890.     4^ 


SM 


FcrffpdbiuM  4er  fimfHwm/t^e»  UrrtdOttrifit 


ÄkadgmuOm  ZMdUnc  la  Cum— tor 

Ul  Jaluo-VervmliM0ibtricU.     IMS.    8». 

PwiHirtif  M  Ol  r—iüi  .• 
TirariftaiM  te  V^rlemgtB.    SMnMr-AcBMCer  1896.    ^. 
Ke  ftfarifcht  iBMgvntkiB  4«  Bäkloa  la  4.  Okt.  IStB.     isas. 

Schfüles.    N.  F.    Bud  IX.  1.    IdM    6^. 

C«tor»J»  Säemtifie  Soeklf  im  Arnttfr.  CwJlmuJii  .• 
3  AbhtwUoagCB  %ta  dem  PrtioeMiagt  i.  J.  1886.    8*. 
CoBcmtioM  of  CWleedoaj  tad  Opttl  ia  Obddtsa  aad  BbjoIiU  in  Cola- 

ndc*  lij  Honee  B.  Pakiaa.     19W.    a*. 
Tbc  Niek«r  Deptxila  bj  W.  L.  A«K».    1S96.    8* 

FfTfiB  /br  ^R&dlrMdk«  0€MMdkftf  i«  Jkwtom: 
MiUluüiiBgea.     Bud  Va  4.  6.     UM.    ^. 

fiuteriKhcr  Ftraa  tn  DJUmytn: 
Jftbmbcricbi.    TITL  Jabrgmaic  1896.    18M.    6». 

ÜMq^  fhgrajkifm  Ai  Ibnl  il«  Ia  Aiun»  fo  Dmmi: 
Ballelin.   Tom.  Vfl,  tnniMtn  4.  1896.  Tom.  XVU*  trioMü»  1.   U 

ProcMdiBfft     8er.  m.  Vol.  S.  No.  4  a.  6.     1696-99.    8^. 
TwamadÜoiu.    Vol.  30.  |Hirt  1fr— XK    I896-9C    4*. 
List  of  Um  Membm  lö»6  a.  189&    6*. 

BoftU  VMim  8oei4t9  im  Dm&Mm  : 
Tbe  •deDÜfie  ProMcdiagi.    N.  S.    Tot  8.  part  S.  4.    1801-96. 
Tb«  Mittüfie  TrUMOtiOM.  Seiw  H.  Tbl.  6.  No.  6-11   V»l.  6.  N« 
1894-96.     4". 

Pntlickia  in  Dürkhrim: 
MittheilmgeD.    62.  Jahrg.   No.  8.     1894.    63.  J«brc.  No.  9.     1895.     ^. 

.ilm«rüraii  C3k*«wcaJ  &>aV/y  im  /;<ulo»»,  r<».; 
Tbe  Joar&fcl.    Vol.  17,  No.  12.    1896.    Vol.  18.  No.  1  a.  3:     1896.    EP. 

OeoUifficai  S^<ty  in  Kflinburyh: 
TnaMcÜou.     Vol.  VII.  3.     1696.    8". 

Soyal  Society  in  KtUnhurgh: 
pRMaedinfff.    Vol.  XX.  p»^  481—516.    181)5.    e*>. 

Hotfiü  Phj/iticat  Socieij/  in  l^hHl>nr^: 
Proceedinfff.    Seuioa  1894—96.     1B95.    8". 

Karl  Fritäneht'O^mmitm  fl«  £w«fiffcA  ■' 
Jabr«A«nobt  f.  d.  J.  1806/96.     1696.    4«. 

Vernn  für  aetehidU«  der  Grafichafi  MaHsfdä  im  £i«l'7.^» 
Uiuulffticler  Mäazes  t.  Herrn.  GrA>^ter.     1606.     8". 

Naturfarwehende  Geaältdiafi  in  JSmdmr 
80.  JahrOHbericbt  fQr  1694/96.     1696.    99. 

iT.  Akitdemir  gemeinnättiger  WiM»€WHitaflcm  im  jLrfmri  .- 
JabrbOcher.    N.  F.    Bc»  22.     1890.    b«. 

Jitnie  Acead<mia  dei  Qcorgttßi  m  FUremt  • 
AUi.    TV.  Her.     Vol.  18,  diBjx.  3.  4.     Vol.  19.  diip    L     1896-96.     8«. 

R.  Iftitutü  dt  Mtudi  Muperwri  in  Flormii 
PubblicKzioDi.  >)  S«uoni  di  nioMfiik  •  iilnlo«{ia.  6  lUft«.     1890-««      4*. 
b)  8«sioai  discirn»*  titicbe  o  naturali.  fi  iieftc».  1 '"  |*. 

ej  Seidoai  di  mediriDB  e  chiruigiu.  7  Ilttflr.  1  40, 


VerseichHits  dtr  tingtXauftntn  Drucktekrifltn. 


865 


iSenr.ki'.nliergiscJtf  nnturfttrechettde  OevetLcHaft  in  Frankfurl  afM.: 
Al)bAn<))iU)gei].     Band  \1\.   lieft  3.  4.     IBSti.     4<>. 

Verein  für  GeschidUe  in  Frankfurt  afM.t 
Archiv.     Ul.  Fol^'e.     Bud  &.     1696.     4^ 

Brfi'^dH-KtrWn  i^chati  init^  Land  in  Frnhurij  iJHr.: 
•ScUq  im  Und.'     21.  JabrUaf,    Beft  1.  2,     I89Ö-96     fol. 

f7nir«rm((5i  F'reihiirg  in  der  Schweif; 
Collcotanea  rriburffenii».     Kiiic.  V.     I99ß.    4^. 
B^Arden.  L«hrer  aad  Stadirende.     Sommer-Semeitor  1696.    Bfi, 
Rfde  roo  I>^o  r.  Savl^j  ober  die  SlellonK  der  KecbtKwiisenacbftft  znr 

ÜDiTi>r«itIit.     1696      4^. 
Iml»  lectionuni.    Sonimer<S«me6ter  1896.    Wintcr-Semeater  1696/97.   8^. 

Bibliothcqne  f/ublique  in  Genf: 
Campta>Fendu  pour  ranoü«  189K.     189(1.    8°. 

Soeifti  tfhistoire  et  d?archeologie  in  Genf: 
MiSmoirea  et  Documents.    Tome  n— XX  et  H*  8<<rie,  Tome  I— 111.  T,  t. 

1848-93.    8«. 
Uüuiotr«8  et  DocnmentH.     S^rie  in  49.    Tome  T.  U,  1.    1S70— 93.    4fi. 
Bnlletin.     Tome  I,  Hvr.  1-4.     1892.     8". 

OttHTTM  liistoriqaei  et  litbSr&iraa  de  Lton&rd  Banlacre.   3  voll.    IB&7.  B*. 
M^orial   des   &0  prvDiteres   uuit.'ei  de  la  aoci^tö  d'hiiitoire  et  d'iurbäo- 

logie  de  Gen^ve.     1889.    ^. 
H^geefce  Oeneroia  ou  Bvpcrtotre  chroooloffique  des  DocumenU  itoprim^ 
rel.  k  rhiAtoirc  de  ta  rilto  de-  Oenere.     18G6.     4°. 
Ulo;irue  de«  ÜTre»  appartenant  U  la  Socii^U.^  d'hiwtoire  et  d'urchL'ologie 
d(!  (»pntve.     18fl7.     (fl. 
'Nölic)»)^  «nr  d'&octt^n«  oenibrM  dp  la  eodi^tä  parCbarlfii  l,c  Fort.  1888.  4**. 
Ivlouard  Favre,  Le«  otudes  orientalea  k  la  aocitft«^^  d'bisloire  «t  d'archuo- 
logie  de  G«&i)««  1888-1894.     1694.     Ö«. 

Kruidktmdig  Genootschfip  Dodonaea  in  Qttit: 
Botaniich  Jaarboek.     VIL  Jahrg.     1896.    8*'. 

Naturfor fehende  QeseiUchaft  in  OörlitSi 
Abhandlungen.     Bd.  XXL     1896.    8«. 

K.  Oe»elUchaß  der  Wi*»tn»dtaflen  in  Giitlintjen: 
GOttingiMhe  gelehrte  Anxetgen.    1896.     No.  1-VI.     Berlin  169B.    4,°. 
Abhandlungen.     Band  40  in  3  Abtbei Innigen.     1806.     A". 
Abhandlungen.     Neue  Folge.     Bond  I.  No.  1—3.     Berlin  1896.     4°. 
Nachncbten.     u)  Oeiicbärtlicbe  hlitLbeilujigeu.     1890.     Uefl  L     if*. 

b)  i'bilul.-hist.  Ctusw.     Iä96.    Heft  1.     4". 

c)  Mathtfin.-ph)-».  Olaase.     1894   Heft  4.     1898.    4^     1896 

Heft  1.     4". 
Joliofl  Pinckerri   ge^Ainmelte    «risaenschaftliche  Abhandlirogen.     Band  H. 
Uipzig  1896.    8^. 

Sternwarte  in  Oöltingm: 
Wrttero  Mittheilungen    flher    dl«   Ergebnime    Ton  Pendel metaangen    bot 
OOItingeo.     1895.    A'*. 

Lebengpenidiernnfftttank  fir  DetiisdUnnit  in  Oolka: 
67.  Rechcnichan^bericht  für  1899.     4". 

Qütriforg»  Köfftknlti  in  Onthentmrg: 
Arvkrin.     UtuiJ  I.     189&.     8". 


niu  der  etnff^aufentn 


Schriften. 


»57 


Vtrein  für  »iebenhürtfUchc  LttndeskuHde  in  Hermawtstaät: 
Archiv.     N.  V.     Bun-l  XXVM,  Hi-a  1.     1896.    Sfi. 

SielirMhiiryijtcher  Verein  für  NnttinriiLsen/tchaßrn  in   UermanngtiuU : 
Vt?rliaiiiHui)f(pn  and  Mittheilnngen.     -46.  Jiihrg.     1606.     6^. 
Der   SitibenbOrgiscbe  Verein  fUr   NaturwIueBsohftfien  in   HermnnoHUdt. 
1896.     8«. 

Michigan  ^fining  Seitool  in  HougiUont 
Ännnal  Report  of  the  I'irectär.     AugniL  le^''.     1895.     8". 

Vngurischcr  K<\rpal)ien- Verein  m  Ig^: 
Jnhrbuch.     XXIII.  J;ihrg.     1896.     8*. 

Mfilivtmn'h-tuttttnriiHeniichafttirhr  tJfsfUnchtifl   in  Jenn: 
Jooaiaobe  ZciULbrUl  ITlr  Naturwi88i*nMrhafl,  Bd  30,  Hell  3  o.  8.    1896.    S*. 

NttiHrforiichfnd<  OenelliK^aß  bei  der   Universität  Jurjeic  (Dorpaf): 
Archif  nir  die  Natorkonde.    IL  Serie.     Hd.  XI,  Lief.  1.     1895.    8^. 
SittuD^TBberichk'.     BJ.  XI.  l.     1896.    8«. 
ScIiriOcn.     Ni>.  IX.     1890.     4«. 

Nalurwixxemichafllifher  Verein  in  Karlsruhe: 
Verfanudlungen.     XI.  Band.     1800.     Sf. 

SociMe  phif»tcv'miithf:matinue  in  KanitH: 
Bulletin.    11«  86r\e.    Tome  V.  No.  3.  4.     1895-06.    8°. 

Vnirersität  Kasan: 
UUcbeoin  Sapiiki.    Bd.  63,  No.  12.    1895.    Bd.  63,  No.  1—5.    1806.    B^. 

Kaiserliche  Uniiersität  in  Kharkom: 
AnniUei  1805,  Heft  1;  1B06,  Hea  1-9.    8*. 

Sociite  (ic  midecine  a  l'univertili  in  Kharkote: 
Trudy.     1895.     Heft  1.    8^. 

OeneUnchafl  für  Schleneig-noletein-lMitenburffitche  Geschichte  in  Kiel: 
XeiUcfarift.     Band  25.     1895.    ffi. 

Kommi»4ion  sur  tcüuensdiafll.  Unterguehiuuj  der  deu^ch«H  Meere  in  Kid : 
WiMenecbafUiche  Ueeresunterracbanffen.    N.  F.   Bd.  I,  Heft  2,    IBOO.   i^ 

Universität  in  Kiew: 
UveUiju.     Vol.  35.  No.  tl.  12.     1895.     Vol.  36.  No.  1-4.     1896.    8*. 

OeachichUverein  für  Kärnten  in  KioQenfwrti 
JabrcHbericbt  fQr  1804.     1895.     6«. 
Carinthia  l.    85.  Jahrg.     No.  1—6.     1895.    6«. 
FetUcUrilt  det  OenoluchUTerem»  fUr  Kilmten.     1896.    ^. 
Medic.-natttrwigsena^taftl.  Sektion  des  MwieumBvereiHB  in  Klausenburg- 
I%rte«it0.    3  HeOe.     1895.    8«. 

Kr^xitiftchr  nrthäolotjische  Gtfitllschaft  in  Knin: 
SUiohrTnUka  Pnwrjcta.     BU.  I.  Heft  4.  1895.    Bd.  11,  Heft  1.    1B96.    4«. 

Stadtarchiv  in  Köln: 
Uitlbeilungcn.    37.  Holt     1696.    &<>. 

Phi/sikati*(h-<^uniomiKht  (hf^ichaß  in  Königsberg: 
Sohriften.    S«.  Jahrgang.     1S9&.    4^. 

K.  Akademie  der  WissenKhaften  in  Kopenhagen: 
ReKeeta  diplomiiticn  hiatariue  danioae.  Ser.  IL  Tom.  2,  pars  QI.  1896.  4°. 
Ovemigt.     »896.    No.  3.   l;    lö98.    No.  1-8.    8». 
Skrifter.    6.  lU«kke,  historiiik  og  Gloi.    Afd.  Hd.  III,  i.     1896.    i«. 
Bkrifter.    Natorrid.    Afd.  TUI,  X     1896.    40. 


8S8 


Vtnäehmm  der  dnif^aufencn  DrucktAriftttk. 


GeaellturJwft  für  norHuwh^  Altert huutAkum'ie  in  ICopathayen: 
M<*moii«a.    Nodt.  8uriti  1894  «i  1696.    8". 
AitrbOeer.     L89&.  Heft  4;   1696,  Hea  1.     1896.     8«. 

Akademie  der   WiMemehaßtn  in  Krnkau: 
BprmwoaUiutie  komiayi  fizjognScxneJ.    Todi.  80.     18B6.     8^. 
ADxaffcr.     181)5.  Dezember.     1896.  Juiaar  hin  Mai.    8^. 
Hozpmw^.    a)  hialor.'filolog.  Ser.  II,   Tom.  7.  9.    b)  mfttkifniKl.    äer. 

Tom.  8.  9.     1895.     8«. 
Atlu  geologiczn;  SMzyt  V,  mit  TexL     1896.    foL 

Botanucher  Verein  in  LandtJitU: 
14.  Bericht  1891-96.     189C.    &*. 

SodiU  VatuloiM  dre  s^iencet  natttrelUs  in  LausoMm^: 
llalletin.     IV.  S<^ne.     VoL  31,    No.  119.     1896.    SO. 

MaatHrJtapjiij  van  Nederlandacht  iMterkuudt  in  Ittititn: 
Tij(lM<l.ria.     lleel  XV.    No.  1.     1896.    8* 
HiiaaelmgeD  en  Medede«liiiKsn.  jur  1894—96.     1895.    8^. 
Le?eMlM!richten  1894-96.     1895.    8". 

0.  Tiui  der  Schueren'ü  Tcuthooiila  of  DayUchlender,  nilg.  door  J.  Vc 
1B96.    S9. 

Ardwo  d$r  Mathtmatik  und  FAynit  m  Leiptig: 
Archir.     IL  Reihe,  U.  Theil.  3.  Heft,  1896;    4.  Uefl.  I89C.     Ö". 
K.  säelmjidu  (fetellschafl  der   Wi^engchaßtn  in  heijis^i 
AbhaDdloDKen  der  |ihilol.-hii.l.  Cliuae.    Ikl.Xril.  No.  I— 4.  1895-96.  4* 
AbhaniilunKifn  der  math.-pby«.  Classc.     HU.  XXUl.   No,  1.     169W.     4*>. 
Ii*richt«.     rhilol.-hiit.  Claue.     1895.    III.  IV.    8*». 
Üerichte.    Mathphys.  Claw.     1895,  Heft  V.  VI;  Iö96,  Heft  (.    fiP. 

A»tronoinvsd\e  Genellachafi  in  Leiprig: 
VierteUahnschrifL.    30.  Jahrg.     llert  4   and   BegiBtcr  ra  Jabtg.  1— SS. 
1096.    8*. 

FürstUeh  JablünowskCaehe  Gt$Hliduifl  (n  LHptig: 
Pn;i««:hrifteo.     No.  XKX  raid  XXXI.     1895,     A°. 

Journal  für  praktiichf  iltemie  in  Ijeipsig: 
Joomal.    N.  K.    Bd.  63,  Heft  \2.     Bd.  68.   Heft  1-11.     1896— iS.    fl*. 

Verein  für  Krdkvnde  in  Leipiig: 
MittfaeilDDKen  1896,     1890.    8*. 

MuMitm  Frandico-Caroiinum  in  IAhm: 
64.  Jiihreitbericht.     1896.    8^. 

Obterviittyrio  astrttnomico  in  Liffabon: 
Obtertatioiu  mt'ridieDDci  do  la  planeie  Mar»  pendaot  l'oppoviUoB  d«  181^ 

1695.    4<>. 
'  lAtemry  and  Phdotoptiical  Society  in  IJperjn^: 

rroceediDtri.    Swion  79(1889-90)  lo  84  (1894—96)  No.  ü-iO.  hcm4om 
1890-95.    80. 

Unicersiii  cathotiqtu  in  Loewen: 
Aanaaire  1690.    60"  man^o.    &\ 

i'rugntmiue  de«  cours  de  TiuiDee  iu:ad*<roi<]ue  1896—90.     1696.     8*. 
Auguitixiiu  Knoch,  De  libcrUte  in  oocieUte  cirili  diiicrtaÜo.    1895.    SP 
Tfaena  am  den  Jahren  1891/96.    8". 

ZntMchnft  ^J.a  Cclhde'  rn  lAtwtn: 
Uk  Ccllole.     Tome  XI,  3.     1890.     Liern.     4*. 


VerMChntaa  der  liingdauftnen  Drucktdu-ifUn. 


359 


Minjiü  IiiMtilatioH  of  Greiit  Krilttin  in  iMtuton: 
PfOcMdiutfB.    Vol.  XIV,  piirt  3.     18iHJ.    Ö*». 

The  Kmjlüfh  Ilutarictü  lievir.w  in  London: 
Hiatorical  Review.    Vol.  XI.    Ko.  41.  42.     18»6.    ö^. 

lioyat  Society  in  LnHdon: 
C'uUloaae  of  Srieotific  Pap«»  (1874-83).     Vol.  XI.     1686.    40. 
Prooeeding».    Vol.  69.    No.  353-857.     1896.    8». 

iZ,  Aiitronomicai  Sticiety  itt  LotidoH: 
Mootlilv  Notico*.  Vol.  50,  No.  2-8.  1806—96.  6^ 
Merooifi.     Vol.  Ol.     1092-96.     1Ö95.     4» 

CVwmrcrtl  SDciciif  in  London: 
A  List  of  the  OfBoen  and  KoIIowi  of  tbe  Chemiral  Societ/.     IR96.    8^. 
Jouraül.    No.  308—403.   Januory— Judo  1896.   S9.  Sapletnentarv  Numb«r 

18Ö6.    &>. 
Proccoding«.    No.  167-167.     1B96-1«.    tfl. 

Littneim  Socifit/  in  TjOnHonr 
The   Journal.     Zooloi5y.      No.  161.     Üotanj.     No,   211-314.     1895.     8«. 
The  TraiuactioDB.    11.  Ser.     /')ologv.     Vol.  V,    i.     liol&uy.     Vol.  IV,    3. 

1896.     4^ 
LmL  1896—96.     1696.     efl. 

Jtoyiü  Mieroacopietü  Society  in  London: 
Joonwl.     1896.     Part  1-8.     8». 

Zooioificai  Society  in  JjO  tdon : 
TmntiuUoDa.    Vol.  XUI.  11.     1895.     Vol.  XIV,  1.     1896.    4"- 
Proctiedtag».     1695.     Part  111  u.  IV.     1896.     Part  1.    a*. 

Zeit<iChrift  ^Nitture"  in  Londoti: 
NatUK.   Vol.  68.  No.  1366-1883;  Vol.  64,  N'o.  1384—1887.  1896—96.  4«. 

lietäe  Accfutemiii  di  »cienxe  m  Lutea: 
Attt     Tomo  28.     1896.     8^. 

SoeiHi  gicHogiiiue  de  Behiiitte  in  LiUtieh: 
Annatra.    Tome  XX.  4.     1892—93.    Tome  XXIM.  1.     1896—96.    8". 

Cnirergität  JMnd: 
Acta  onivervitatis  Lnndensit.    Tom.  31,  pars  1.  S.     1896.    4*. 

Instiiut  Gritnd  Dueal  üi  Luxemburg: 
Publicationi  de  la  wction  d4*s  sciencca  naturelles.    Tome  24.    1896.    8*. 

ünitergiti  in  Lyon  : 
Annal«.     Tom.  VII.  VIII.  IX,  (tue,  1.     Parii  1696.    S". 
HUtoirc  de  la  cocopeDiAtion  cn  droit  romain  par  C.  AppletoD.   Paris  1896. 
La  lUpablimie  de«  ProTiooea-Uniei,  la  I-Vanoe  et  lei  Pays  Oaa  Eipagoola, 

par  A.  WaddiDglon.     Paris  1696. 
PhoD^tii|ue  hiütoritiue  da  ."janflcht  par  P.  ttegnaud.     Parii  1896. 
Heche-rcbes  aar  quelqne«  däriv<^>  eurchlord«  par  Et  Barrnl.     Pari*  1896. 
Sai  la  repräee&tation   dei  courbea  gauchea  alg^briquei   par  L.  Autonoe. 

Paria  1B96. 
Kmile  LesoaiH.  La  jeunewo  de  William  Wordrvorth.     Pari«  1896.    8^. 
M.  Oörard,  La  Botaaiqtw  it  Lyon.    Paria  1896.    &». 

Wtsconiiit  Araiicmy  <>(  SdencM  in  Uadi^on: 
Traninctioni.     VoL  X.  1894-96.     1805.    8«. 

GovemmetU  3fw««Hn  in  Madrat: 
UalloUn  No.  4.     1896.    8^. 


360 


Verieidmian  ikf  eingelaufenen  Dfuckechriflem, 


The  Government  Obuertatory  in  MttdroM: 
Daily  Heteorolofncal  Meuu  by  C.  Micfaia  SmiLh.    1896.    4**. 

R.  Academia  de  dendaa  in  Madrid: 
AoDDario.     1896.     16^. 

Ji.  Academia  de  la  historia  in  ^f^tArid: 
BoleUn.     Totno  38.  cuad.  1—6.     1696.    8«. 

fiocietä  Ilalianu  di  aeiente  tuUttraU  in  JÜaitemä: 
AUi.     Vol.  35,  fasc.  3.  4;  Vol.  SC,  (mc.  1.     1S90.    SP. 
Sodetii  Slorica  I/timbarMt  in  MaUand: 
Arobivio  Storico   [^orabanlo.    Sor.  111.     Aono  33,   (üac.  8  nnä  Anno 
fiuo.  B  a*  9.     1896—96.    &*. 

Ji.  Osservatorio  tutronowico  in  Alnitand: 
OueTva7.ioni  meUorolof^iche  nell*  anno  189r>.     1806.     4^. 

lÄierarj/  and  jAilosofihical  Sodettf  in  Mane^tester i 
Memoin  and  ?n)ceedin[(s.     Vol.  10,  No.  1—3.     1696.    fil*. 

FuchIU  de»  gciencea  in  JUameiUe: 
Annalei.    Vol.  IV,  fiiK.  4;  Vol.  V,  fwc,  1-3.    1894-96.     4°. 
Anonlea  de  l'lnstitut  bolanico-gL^lo^pque  coloDial.    111*  anii<^>,    8*  toL 
(1695).    Lille  1896     8». 

Fürsten-  und  Lanäesechuie  St.  Afra  in  Meieeen: 
Jubreibericht  auf  d.  J.  1895—96.     1896.    4<». 

Piihiic  Libfiirti  of  Victorüt  m  MelbuttmeT 
Uuellta-,  Select  Extru-Tropicol  Plunto.     1895.    8". 

ScieHltfic  Asitociatiun  in  JUeriden,  Conn.: 
TraoHOctiona     Vol.  VII.     1895.    B». 

Kivista  di  etoria  antica  in  Messina: 
UiTiito.    Anno  I,  faK.  8.  4.     1896-96.    6°. 
Oeteilochaß  für  lAithringiMhe  Geedtidtie  und  AtlertvmtiuttJe  in  Meitz 
Jahrbacb.    7.  Jahrg.     1895.    4^ 

Ingtilitto  gtoUffieo  in  Mexico  t 
Uol«tin.    No.  a  u.  8.    189&— 9«.    Fol. 

Obsrrratfrrio  meieorotögico-ma^n^ticn  eentrat  in  Mhieni 
Boletin  mensool.    Octabre  -  Dtoiembre  1696.    Kaero— F«brcro  18M. 

Observalorio  tutrondmico  naeional  de  Tiictduiffa  in  Mtxieoi 
BoleÜD,    Tora.  I,  Mo.  28  u.  24.     1896-96.    4^ 

Sociedad  dentiflca  „Antonio  Alteite"  in  Mexico: 
Mcmori.m  j  Reviita.    Tom.  9.  No.  1—6.     1896—90.    8*. 
L>ato«  para  la  hiatoria   dcl   colngio  de  zoinerfa  per  SaoliacfO  BAafr 
1894.    8*. 

Sociedad  dt  hisloria  nufurol  in  Afexioo: 
La  Naiarmteia.    Vol.  H,  No.  8.  9.    1894-96.    Fol. 

Public  MuAtum  of  Ihe  City  of  Mtlirnukee: 
IS.  annDal  Knport.    1896.    8« 

Jtcgia  Accadtmia  di  sciense  letterr  ed  mrti  in  JJoJwu; 

Hemorie.    Bvrio  IL    VoL  11.     1896.    4*. 

Intcrmtiional€»  7*atuieh- Burrau  drr  Itrpufdik  Üriuftuig  in  Montevideo 

Ann.iTio  ratadJUirn  de   ta  K^publtca  orifMital    d^l  llniKuar.     AAo  I8M. 

Itf95.    4*. 


FifWKftmw  der  eingelaufnum  JinelmAh/ten. 


361 


Wtfiuorik  pres4?utai]a   at   PnrndeDttf   D.  Juan  Idthrte  Ik>rda   i»or   K.  Vvr- 
Däude£  Kepiiü  Jurante  ta  epidetuia  dt*  cölera  de  18M~96.    1UU5.   8''. 
Soeifte  Jm/*irütle  d(6  NaturnJiates  in  Moskau: 
Uullelin.     Anni^  1B05.    Nu.  8.  4.     1696.     8^. 

tick  ObaervtUory  in  Mannt  Hamilton,  Califnrnia: 
lleleon  anU  ^ttoaetfi  in  16113—96.     Socmmentu  189&.     ifi. 

DetUxdte  Geselhchafl  für  Anthroputofrie  in  Bertin  und  Mündten: 
CorrwpoDdcnitl.Iatt..     1895,  No.  H.  12;  1895,  No.  l— 8.    4^. 

Direktion  der  k.  b,  I\tsten  und   Tchfiruphrn  in  Jtfiinctitn: 
Vemichniiti  der  in  und  auiwrfaaUt  Bayern  enfcbt'incnden  ZetlanK«a  für 
dnii  Jahr  1896.     i". 

K.  hayer.  Itdinijtehe  ffttehMhnle  in  München: 
PcntonnlaUnd.    Wmter-Svme«t«r  1895—96  u.  Soniin^rSenicster  189«.   8*. 

Metropoliian- Kapitel  Mnuchen-Frcisint/  in  München: 
Schi-inatisma«  der  Uetntliohkeit  Tür  du  Jahr  1896.    ffi. 
ÄmUblult  der  ErxdiOwse  Milacben  und  freüiiDK-    1B95,  No.  16-26.    B*. 

Univcrifität  in  Münchfn: 
Sr.hrinen  an«  dem  .Itifar  1895  in  A°  ti.  6*>. 

AiiiUii^ht'B  Veneithni»  de«  Ptirsonals.   Winter-Seiuertar  1896/96.  Sommer- 
Seroeatcr  1896.    8*. 

Uiftorischer  Verein  in  Münehtn: 
Monatsschrift.     1895.     No.  12;  18^>,  Ko.  1-ß.     8«. 
Aerctiicher  Verein  in  J/A'ioArn: 
HiUuDfr9b«rii'hte.     Bd.  V,  1895.     1898.    8^. 

Vertaii  der  Ifocfun'huKNachrichten  in  München: 
IIcHih«chul  NaihrichteD.     1896/96.     Ury.  64— Ö8.    4^ 

Verein  für  Luftschiffahrt  in  München : 
Jahresbericht  f.  d.  J.  1895.     1896.    8«. 

Verein  für  GeaehicMe  ut*tt  AiterthumshtmJe  Wtsiftden»  in  Münster: 
ZeiUchrift.     (Und  59      1895,     8*. 
Kr(ran)!Qn(i»hefte  1.     Lieferung  3.     1896,     8". 

Weittphal.  rrocimiiil- Verein  für  Winfienst^fi  wul  KnHit  in  M&ntter: 
28.  Jahresbericht  für  1894/95      1895     8^. 

Aeadhnie  de  Stani^a«  in  Nancff: 
Uämoirei.    6«  StSrie.    Tomi'  12.     1896.    8<*. 

Jte(äe  Acctidemin  Ji  »denee  mortui  et  poUttche  in  Neapel: 
Rendiconto.     Anno  3l.     1895.    8*'. 

Accadetttia  deltt.  tciriu«  fitict^  e  mitternntieht  in  Neapels 
Rendiconto.    8er.  lU.   Vol.  1,  hsc.  12,  1895;  Vnl.  2,  fuc.  1-5.   1806.    4°. 

Zooloffigehe  Station  in  Neujtel: 
Mitiheihingon.     Bd.  XU.  2.    Berlin  1896.    ffi. 

Niffih  vf  Entßand  Irutittite  of  Kmiineers  in  Nev-CaatJe  {upon-2'ynej: 
TfüiiMactioni).     Vol.  45.   pari  3.  5;  Vol.  46.  part  1.  2.     1896-96.     8**. 
Kt'port  of  th«  ProrHeüinfp  of  tlie  flamelesH  explo-iivei  Commiitve.    Part  3. 
1896.     tfi. 

Ihe  Amtrican  Joumnl  of  Seieneg  in  Net^Hawni 
.fouroal.     IV.  Serie«.    Vot.  1.  No.  1—7.    JaoBtiary-Jnly  1896.    tf". 

Astron,  Otmerrntort/  nf  the  Ynle  Ihnvergity  in  New-Haven: 
TnuuacÜon*.     VoL  l,  pari  6.     1896.    4". 


862 


FirnndMii  dir  äiujfinufeHtH  DrueJcm^rifitn. 


Ötu.iic«.     Vol.  III.     181t5.    8« 

Acmlfmy  of  Scifnetx  in  iVcM'-lVrfc.* 
Tnuinaution«.    Vol.  XIV.     m94-»B.     It)'J5.    8^, 
Anoals.     Vol.  VIII,    No-  6-12.     1895.    Bf*. 
Mämoirctf.     Vol.  1.  ptirt  1.     1B9D.    4''. 

Atnerican  MtueuM  of  ÜiUural  llüUory  in  New- York: 
Bulletin.     Vol.  7.     1896.    tf». 

Amencan  CArmicd/  Society  in  Netc-York: 
Journal.     Vol.  18.  No.  S— 7.     KoHton  1896.    8". 

Amfrican  Geuf/raphieat  Societi/  in  New- York: 
bulltfUn.    Vol.  27,  No.  4.    1696;    Vol.  28,  No.  1.     1690.    9^. 
American  Jnrish  Ilitttoriaü  Society  in  Nnt-York: 
PDblicatiou  No.  4.     189H.    89. 

GemiamMcheH  NalionalmuteHm  in  NänUttry: 
Anxeiffer.    Jahrg.  1806.    &>. 
rUilllK'ilun^eti.     Jftbrf;.  1896.     dfi. 
Ällu  lum   Katalog  der   tu   german.  Utueum   vorbnndenva  llolaUkiw. 
Xn  Tafeln.     IBMl.     fol. 

Neunutische  nnturforachende  Ge»cUtcha(t  in  Odena: 
SüpiiVi.     Tome  XXI.     1896.    8^. 
Sapbki  (mAlfaeniat.  Abtb.).    Band  XVIl.     1895.    8f. 

Gcologictü  Surrcjf  of  Canada  in  Ottatra: 
CöDiribuUoB  io  Canatlian  Patupontaloffy.     Vol.  II,  |>art  I.     18&&.     6".  i 

IttiäcUffe  Obuervulunf  in  Oxford: 
Observailonii  maü«  io  Ibc  yenni  1BB8  u.  ISB'i.     1896.    6^. 

H,  Accailemia  di  Ktenxe  im  PaJua: 
AlU  e  Mnaorie.     Noova  Serie.    Vol.  XI.     1896.    6". 

Socieih  Veneto-Trentina  di  ecienxe  naturtJi  in  Padm» 
AtU.    Serie  II.     Vol.  II,  fiuc.  3.     1896.    6*. 
BuUetino.    Tom.  VI,  No.  2.    189G.    B". 

Circofo  matematiou  in  Palermo: 
R«n(liDontL    Tom.  X.  fa*c.  1-4  a.  Annuano  1896.     1896.     40. 

Acadimie  de  midecine  in  Paris: 
Bulletin.     1B96,  No.  62;  1896.  No.  1—27.     1890.    b^. 

Acadiwiie  des  aciencee  in  Paris: 
Compt«   rendoi.     Tome   121.    No.  87.    1896!    Tom«  122,    No.   1—36; 

Toiae  123,  No.  1,  1896.    4«. 
Owrrm  d'Auj^atin  Caucbjr.    U.  8^r    Tom.  10.    1896.    4°. 

Comiti  intcrnittional  dee  poitU  et  mesure»  in  Paris: 
TravAQX  ot  U^moirM.    Tome  X(.     189&.    4^. 
Procte-rerbaoi  den  b4!uicm  de  1894.     1896.    tfi. 

Moniteur  Seienti/üjue  in  Pari»: 
Mottitettr.     Livr.  649— 666.    Janvt^r-Jnillel  1896.    4^ 

jVim^«  Ottimet  in  PariA: 
Annale«.    OibIioLhl»ue  dctadci.    Tome  6.     1896.    8^. 
lt«rue  de  l'htstoin  dea  rvbiriaai.  Tomif  31,  No.  2.  8;  82»  No.  1.    1H96. 

Mutium  tVhtMloire  nnlurrUe  in  Paria: 
Bulletin.     Anu^e  1886,   Ko.  7.  8»  1886.  No.  1.    8<^. 


KtrfeKjftnsH  der  cingdtu^enen  DmdbcArt/trn. 


S63 


MtiniHire  de  l'fn*truclioH  pufttiffue  in  Paria : 
Bibtin^aphie  de«  trmTniix  si-irntitiiiues  iiublu'^s  par  1p«  tocit^Uüi  aavuitc« 
de  Ift  Kran«  pur  J.  Deniker.     Tom.  I,  Ütt.  1.     1895.     -l". 
Societc  it'authropolotjie  in  Paris: 
Bullotina.    4«  St^r..  tom.  6.  No.  10;  tom.  6,  No.  1—4.     1801—95.    8» 

SodtU  tic  ißotirixjfhie  in  Paris: 
Com]itP8  rftiniiia,     1895.  No.  11-16;  1896.  No.  8-12.    8«. 
BoUctiu.     VII.  Serie.     Tome  XVI,  4.  trioi.     1895.    8**. 

SocUti  de  mttihfmatiqut  de  France  in  Paria: 
Ba1l«iifi.    Tome  3a.  No.  9.  10,  1895:  Tome  34,  No.  1-4,  1896.    tfl. 

SocifU  fOoioffiiiue  de  l^ance  in  Paris: 
Bulletin.    Tomi)  20.     1896.    tfl. 

Comiti  ffiotogifiue  in  8i.  Petendfurg: 
BallctiuB.     1895.   Vol.  XIV,   No.  6—9   und  Suniilümenl  an  Tome  XIV. 

1896.  Vol.  XV.  No.  1.  3.    8«. 
Momuiri-8.     Vol.  X,  No.  4.     1895.     Vol.  XIII,  3.     1894.     4». 

J{iiKsiM.-he  atttronomitche  GtaeUitchaft  in  St.  PcUraburg: 
fUwwtija.     189C.    No.  1-4.    B«. 

Botanincher  Garten  in  St.  Petembnrg: 
iTrvKlj.     Tom.   XIV.  1.     1895.     6«. 
[6«ripia  llolunica.     Tom,  IV,  2;  V,  I.     1896.     8*. 

Kaiserl.  miner aiotjiftdte  Oeselinchaß  in  St.  Petersburg: 
'TerltandludgeD.     U.  R«ilie.     tid.  33.     Lfr^.  I.     1895.    &*. 
Phtf/tikitt.-ehemische  GeseUsehaft  an  der  kais.  VnitersitM  St.  Petersburg: 
Sthurnul.     Vol.  37,  No.  9.     1895.    8".     Vol.  28.  No.  1—4.     1896.    8*. 

PhvsikalisiheM  Cenlral-Obsercftlfirium  in  St.  Peten^nrg: 
knnaXcn.    Jahrg.  1894,  Tbeil  I.  11.     Ib95.    4^ 

SoeiM  den  naluralistes  de  St.  Pt^terAurg: 
Protokoly.     IÖ96.    No.  6.    8". 

Histur.-philol.  Fakultät  der  kais,  Universität  i»  8t.  Petendfurg: 
Lßapiski.     Vol.  36   8G.  33.     1895-96.    8". 
lOoiliiefaD;  Akt,  8.  Febraar  1896.     8°. 

Musie  ißiAogiquK  de  l'Unieerniti  de  St.  Peierthurg: 
Tmvaoz   de   la   Sectioo  g^lofrique  tlu   cabioet  de  Sa  Majeite.    Vol.  I, 
livr.  I.  2.     1895.     S». 

Aciidemy  nf  natural  Sciences  in  Philadelphia: 
Journal,     U.  Sor.     Vol.  X.  p«rL  8,     1896.     40. 
Proceedinni.     189B.  part  11  u    III.     1HÖ6-9«.    tfi. 

Alumm  Associ^ion  of  the  CoUeye  of  Phnrmac]/  in  l^adelpitiai 
Alumni   Report.     Vol.  32.   No.  3   (Dec«mb.  1895).     No.  4-6    (Jan.  to 
March  1896).  No.  8  (May  1896).    8». 

American  tibamtacettticoit  A*»ocialioH  in  Philadelphia: 
ProceediDgi.     XLIII.  oonua.!  AleetiDg,  helil  at  IJenrer,  Col.  Anguet  1896. 
Baltimore  1895.    6°. 

öeoffrapMcal'CInb  in  Philmtelplna-- 
BulletiD,     Vol.  2,  No.  1.     1896.    &>. 

Ilistoricai  Society  of  Pennayivania  in  PKdadelphia: 
The  PcttiuyUiLDia  Hatpuine  of  Hutory.    Vol.  XXX,  Nu.  4.    IBM.    8°. 


■Mi\ 


KerteicAntw  äer  eingdavftnen  f)rut^i»cttrif1em. 


AmericttH  J'hilfmtjthictil  Sorietif  in  Plutatlelphiat 
Froct)«diug8.     Vol.  3't,  No.  148.   149.     1696.     80. 

Societa   To&cnnn  tU  scicme  mitttraU  in  Pi.^n: 
AUi.     Trocewi  ?erbali.     Vol.  IX.  p.  213—310.  1BD5;   Vol.  X,  ii.  I  — I3a 

ieü5-96.    4". 
Atti.    Memorie.     Vol.  U.     189&.     6«. 

K.  Gyrnntmum  in  Plauen: 
.Iah  reiben  cht  für  18Qfi— 96.     1896.    4*. 

Historische  OeseJUchuft  in  i^.ien: 
ZmUchrifl.    Jahr«.  IX,  Hefl  3.  4;  Jahr».  X.  Hc-ft  l— I.     1896.    S». 
BüDderTerOäeutlicboDKCu    Ht.     Dai    Jahr    1703    von    Kodfcero    PrfliMll 

1896.    S« 
Central- Bureau  Her  inlernaimutlen  Krdmessung  in  Putndam: 
Vcrbandlan^^en  der  XI.  allffemeinen  Confereoz.  1,  Theil.  Sitzuof^boricbte. 

HerVm   1894}.     4^ 

ßöhmische  Kaiwr  yrans-Jotejih-ÄJcatietnie  in  Prtig: 
7iikmuD(l  Winter,   iivoi  cirkevnf   v   äeehAch.    (Daa  kirchlicbe  Lftben  in 

Böhmen.)     1895.    89. 
Sbirfaa  praincnflT  etc.    fSatnnilang  der  Qoellen  tut  Kenatait  Jm  tit«r»- 

riBchen  Lebeci  in  Böhmen.)     tikiipina  I,  lUda  2,  r-i4]o2,  II,  ^i'aloSi 

lU,  cwlo  1.     1895.    40. 
Rozprawy.    THda  [,  KoinA  4;  THda  D,  Rodniki;  't>ii]a  III,  Koi-afk  4. 

189fi.    Bf*. 
Codex  jorif  munieip&lü  ref^ii  Bohemiae.    Ton.  LI.     189S.    B*. 
BUtorick^  ArchiT.    Cislo  7.    1895.     6^. 
T^lnik.    Ro^ofk  IV.    Öfalo  4—9.    ia»D.    8*. 
Alraanacb.     Roinlk  VI.     1896.    8". 
BullL'lin  intemationaL  Gaxse  de«  Kicncw  niAtbt-miitiqiic«  H  On  3  De 

1896.     8». 
Ge*elUcKafi  zur  Förderung  deutgeher  WügetutAaß,  Kuiut  und  LiUrain 

in  Böhmen  xu  Pra^: 
Joteph  Neuwirth,    Mittelalterliche  Wandgem&lde-   and  Tafelbilder 

BorK  Karl<t«iii  in  Böhmen.     1896.     Fol. 
Jul.  Lippert,  Social-Geschicbt«  BObmeni  in  TorbiutiitiMher  Zeit.     Bd.  1. 

Wien  1896.    8^. 
l*rager  .Studien  au»  dem  Gebiet«  der  clMetscben  Altortami wiasenecfa 

Heft  6.     1896.     8". 
Joseph  Meuner,  Ein  tebenibilil  von  Paul  Mewner.     Lobfa^w.    1695. 
MittbeiluDgcn  der  Gesellfubaft.     No.  V  n.  VI.     1896.     8°. 
RMbeQ*chafl«bericht  entattct  am  14.  Dez.  1895.     1896.    Bf. 
CrUnterungen    zor   geoloffiMfacn    Karte   de«    bOhmiiohen  Mitt«lg«Uf! 

BI.  I.    Wien  16^.    8**. 
Bililiotliek  denUober  Schrinileller  %w  Böhmen.    4.  Bd.    Wien  1896.    8^.^ 
ScbildkrntenrL'ste   aui   der  böhmiachen  UraunkohlenformaUon   voo  UoaL 

C.  Uube.     1896.     4". 
R.  T.  WettateiD,  Monographie  der  Gattnog  Eupbraata.    Leipng  1896.    4*, 

Bfdaktinn  't.  Krot.  in  Prag: 
Caupüi  et«.    (Portachritt    ZeitKhrifl   Für  dan  Geiainl){vbict  dei  R«a]- 

•chalwaKiu.)    Jahrg.  U-VIU;  IX,  1— 10;  X,  1—7.     1888-»«.     8*. 


K.  Bßhmiaehe  Gtulhehaft  dtr  WitunMäu^n  m  Prag: 
jA.hre>i>ertc]it  Hlr  Jm  Jahr  1B96.     1886.    8^. 

Sttzungibericbte.    a)  Cluage  für  rkiloeopbie.    1896.    b)  UAthem.-nAtarv, 
Cluse.     1895,    I.  11.     1896.    6^. 

MfUhemnttMih-fittj/inkttliitchf  GtsclUrhaft  in  Prag: 
ÖttBopii.     Band  2R.  No.  3-6.     1805-96.     tf". 

Lete-  und  Redehaile  dtr  deui*chen  Studenten  in  Prag: 
Bericht  tihe.t  au  Ja.hr  1896.     1896.     ifi. 

K.  B^unigehes  Miueum  in  Pragi 
ÖoMpii.     Bd.  69.     1896.    6^. 

K.  K.  Stentwarte  in  Prngt 
M«f^<stMche  0.  meteorolo(n«cb€  BoobAchtunRon  im  Jahre  1895-    189G.  8*^. 

Denische  Carl- Ferdinands -l'nivrr^ntät  in  Praff: 
Die.  fpierlicbe  iDaUllution  des  Rcctor»  fQr  du  Jabr  lS9&/!)6.     1895.     Sfi, 
Onlnang  der  VorlciaDgcii.    SoDimdr-Semuter  1896,    8". 

Kerf  tu  fär  Qe^chiehte  der  Dnitschen  m  B^men  in  Prag: 
MiKhoitunffea.    U.  Jnhrff.    No.  1—4.     1695—96.    8". 

Arehneologicai  InftitHtt  of  America  in  Princeton  (New-Jersei/): 
Amerinvn  Jonrntl  of  Archaeoloff^.     Vol.  X.    Ckt,— Dec.  1896.     Vol.  XI. 
No.  I.     1896.    8*. 
Obeervalorin  Qftfonäwicn  j/  wteUoroMpico  df  Quito  (EcuadnrJ: 
Boldtin  Ano  1.    No.  1—6.     1895—96.    SP. 

Ntiturforscltcr- Verein  in  Riga: 
Correopoiideniiblfttt.    No.  SB.     1895.    8^. 

In$tituto  hjftorieo  r  geot/raiihteft  e  ethnographico  in  Bin  de  Jnnetro: 
Uuma^^ta  K  memoriii  ile  S.  M.  o  S«nhar  D.  Fetro  II.     1891.     8". 
Kt!vi»ta  trim«n»i[.    Tom.  56,   parte  I[,   triiii.  8.   4.     Tora.  57,   |iart«  F, 

trim.  1,  2;  pari*  11,  irim.  8.  4.     1894-96.     8*. 
Comiiiiano&   uentrole   üo    bibliugraphie    brctiltenne.     Annöe   I.    fMc   I. 
1806.    fP. 

Ohsenatorio  \n  Bio  de  Janeiro: 
L.  Cmls,  I^  crttiiiftt  de  Bio  de  Janeiro.     1892.    i'>. 
L.  OuU,   Miithode  grtphiqae  itctir  ta  d(=t«nnmation   dei   hfiare«  appro- 

ch^ieB  dw  erlipÄeN  da  v>lvi\.    1891.    8**. 
I«.  Crnifi»   D«fceni)inav3o  das  po«i^-ÖM    geogruphtcas  de   ßodeio,    Gntn»- 
Rhm  eU.    1894.    40. 

Acadfmff  tif  Sdence  in  Bocheeter  K-  V.i 
ProceedioiT».     Vol.  II.  p.  201—348.     1894—95.    8». 

B,  Accademia  dei  Ltncei  in  Rom  ■* 
Atti.    8er.  V.    Clajfp  di   iirien»e  fi«ii-he.     Hondironli.  Vol.  IV,    nein.  2, 

fiww.  8-13.   1896;   Vol.   V.  fiwc.   1  — II.     IR*MJ.     4». 
Atti.    Ser.  V.   CUue  di  iciün/o  morali.   Vol.  HI,  parte  2;  Vol.TV,  ntuioS. 
NolitiA  dpgii  icavi.  Seit.- Die.  1806  •  lodic«.  Oena*jo  — ApriU  1696. 
1895-06.     8*. 
lUndi'onti.    t'laSB«    ili    M^icntc    mnrali.     Serie  V.    Vp\,  4,   fuo.  9— iS; 

ürrin  V.     Vol.  6.  f*»a   1-3.     1896.     8". 
Atti.     UfndiconUt  df-U*  adananui  hoIcodo  dei  7  Giugno  1896.    4^ 

B.  CotniUiUt  iffningien  d'Ualia  in  B'>m: 
ftDlI^tino.    Annn  1696.  No.  4;  1896*  No.  1.    8". 


36ti 


VeneitJmiaa  der  cingelaufentn  DruckaAriften. 


Aceademia  Fontificifi  de*  Nunci  Lincd  in  Uomt 
Atti.     Amo  49.    6e««ione  1—8.    1806.    -4". 

Kait.  detttscheä  ardu5<Jogischa  Institut  (röm.  AhtlO  in  Jtom: 
XliUheiluii)j;eB.     Band  X,  No.  8.  4:  Band  Xt.  No.  I.     1890.    0*. 

R,  MinMero  della  Itilrunone  puOblu-n  in  Ttom: 
Indici  e  cataloKbi.     No.  VIII.  Vol.  1,  faic.  1;  No.  XI.  Vol.  2,  Aue.  l.  2; 
No.  XIV.  fMC.  2;  No.  XV,  Vol.  1.  fasc.  fi;  No,  XVI.     1896.    8». 
2i.  Societit  Somana  di  atorin  jHttritt  in  Jiom: 
Arehivio.     Vol.  XVUI,  8.  4.     1896.    8^. 

Genoottichnp  der  Prnefonderrindelijke  Wtjiihegefrle  in  UaUtrdttta  : 
Nieuwe  Verhaadelingeii.    Buitcngewone  ABererinf^.     ISOfi.     4**. 

Acadhnie  drs  Kcifnces  in  itourn: 
Pr^ci«  de«  traTWii.     Ann^  1893—94.     1895.    ß». 

B.  Accadcmia  degli  AgttUi  in  Jtarereto: 
Atti.    Serie  III.    Vol.  11,  fiuic.  I.     Anno  1895,  Tamc  4.     IBdO.    fl^. 

American  Journal  of  ScUnce  in  SaUm: 
Joornal.    VI.  Seri«.     Vol.  I.  No.  6  (June  1896).     1896.    8«. 
NalunrisseftschaftUche  Genfllt-vftafi  in  St.  QaUen: 
Bericht  Über  die  Tbfttiglceit  1893—94.     1895.    8*>. 

Imtitulo  y  C>heercatorio  dt  marina  in  San  Fernatuio: 
Anale«.    S«<cioo  1,     Observationet  utronotniciLi.    Aiio  1893.     1fU)6.    4**.' 

Caiifornin  ActuUmt/  of  Scifncfs  in  San  FrnnciKO: 
ProoetNÜngs.     II.  Series.     Vol!  V.  pari  1.  3.     1896—96.    B". 
Memoir*.     Vol.  II,  No.  6.     1896.     4«. 

Bosnijtdtllerzrgopitiiichcs  XjanJeKvtHgciim  in  Sarnjeto: 
Wiuoiuchum.  MiLteiiongen.     Md.  HI.     Wien  18UÖ.     1*>. 

Bonnitth' Heriegavinisr.hr  J.nmlesregitTung  in  Sarnjeva: 
RrgalniiMo  der  meteorologiiohen  ll«oliacb taugen   im  Jahre  18B4.     Wi^a 
1896.    8*. 

Verein  für  meklenburgiitcke  Gead%iehte  in  Schwerin: 
Jobrbilchor  und  Jubresberichte.     60.  Jahrg.     1695.    8*. 

/T.  K.  itrchätAagineheii  Jlfiui^uni  in  SjMtlatn: 
BuUetlino.     Anno  18,  No.   12.  1896;  Atme  19,  No.  1—5.     1806.    8^. 

K.  RchtrfdiM-he  Akitdetaie  der  Wissengdtaftcn  in  StockSntm: 
rifvenigt.     Vol.  62  fifly.'i).     1B96.     8». 
Hiui.IlinHiU      N-  y-     Bd.  27.     l89ß-96.     4». 
Kihun^-  til  Handling»r.     Vol.  20,  «fd.  1-4.     1894-96.    tfl. 

K.  öffentliche  BibUnthei  in  Stoeklu^v%: 
A««e«tODi>-KiitaIog.     X,  1606.     1896     8". 

JCntomnlogiAka  t'Arenimjen  in  Stockftnim: 
Kntomologiak  Tidtkrifl.     Arg.  16.     1696.     U«fl  1—4.    8°. 

Qe*iiogiMlca  F&rening  in  Stockholm: 
KOrbandliRgur.     Bd.  I-XVI  n.  »«gl.tcr  tu  1— X.    1872-94.     Hd.  XVII 
Hüft  7.  1896;  Bd.  XVIII,  Heft  1-4.     1896.     8*. 

Inttilut  W»v  ■""  in  Sioekhtdnf 

Hverige«  geolngiik»  andenOk:-  .   .\%  No.  110-118:  Ber.  B'*.  No.8| 

Hur.  C,  No.  136-169  mil  KarUa.     1804 -9G.    8*. 


Drucktchnf 


3Ö7 


Nordigkn  Mustri  in  StttckhiAm: 
Samfandet  1893  ocb  1894.     MefldeluKleu.     1896.     8^ 
K&rU  Öfvcr  SkAimen. 

OfKilurUaft  »iiT  FönteruHQ  rf«r  WiMennehnftttt  in  StTtu^urff: 
WonftlBbericlit.     W.  20.  No.  9.  10,  1895;  Dil.  30.  H-ift  1—5.     18M.    8«. 

Württemhertfiftehe  Kommi»$Utn  für  JMudfJtgtgehichte  in  Stuttgart: 
Vierte) jiihresLeft«  Hir  LandeKK^^hicbLe.    N.  P.    Jahr^aaj^  IV,  lleO.  I — I. 
1896-96.    8^ 

Ä".  Württemb.  statiäliadhts  LamicMumt  in  Sluttffart: 
WArttembärgiscbc  Jahrbücher  iQr   ätutiätik  und    LanÜcskundo.    Jaürg. 

1896.     1896.    8". 
Die  Bcrtscbaf tag« biete  dea  jetztifea  Kgr-  Wflrtt«mberK.   Karte  neb«t  be- 
Kleitendein  Text.     1896. 

Otoiopieai  Survey  of  Nrw-Soulb'WaU»  in  Sydney: 
RecoKls.     Vol.  V.  part  1.     1896.    4*. 

J}eut$che  Geselhchaft  für  Nntttr^  und  Völkerltunde  Oftatiens  in   Toiyo: 
Mittheilungen.    Hefl  67.     189(>.    4fi. 

Kaiscrl.  Universitäl  Tokyo  (Japan): 
Tho  Journal   of  the   College   of  Science.     VoL  VIII,   part  3;    Vol.  IX. 

part  1.     1896.    4» 
Mittheilangen  aua  der  rnKdiriniflchen  Karaltüt    Ud.  III,  No.  2.    \B^.   4^ 

Canadian  Inititutt  in   Thronto: 
TrannactioTit.     Vol.  IV,  part  2.     1895.    8«. 

Miniitter  öf  KHucafion,  OtUnho  in    Toronto: 
ArckaeoIoKical  Heport  1894—95.     ßy  Ihitid  Bojlc.     1696.    tfi, 

liititiultcn  e  Mugetj  comiinaJe  in   Drient: 
Ardiivio  Trentino.     Anno  XII,  fa»c.  2.     Iif96.    Sf*. 

Tuftß  CoHeqe  Liltrary  in  Tuflt  CeU.  Mm*,: 
Studie«.    No.  IV.     1896. '  8®. 

H.  Accttilemia  delle  tcienxe  in  THiriit; 
AUL    Vol.  XXXI.  di>.p.  1—11.     1895-96.    8". 
■"Itmorie.     Serie  II.    Tom.  46.     1896.     4". 

erviicinni  tnoteorologiche  nell'  anno  1896.    8*. 

Verein  für  Kutiat  und  Altertum  in  Ulm: 
MilUilungen.    Hefl  6-9.     18äÖ.    A°. 

Mettorolntf.  f)h»enuttnrium  in   Upaaln: 
DalleUn  mentuet  de  Tobiierratoir«  müUorologiqoe.  Vol.  27.  Annüe  1896. 
1896-06.     Fol. 

Univemität  in  Upaalat 
l'pflala  I-'DiveniteU  Hfttnker  nig.  »f  3.  ron  Bahr  och  Th.  Br.indherg. 
189«.    ffi. 

Iliniorisrh  Ocnootscfiap  in  Utrecht: 
tt\jt\ragrn  en  Mededeflinh"!»-     Deal  XVH.     'aOraveDhoge  18'.M.     8*. 
Kekcnin^ivn   der  Sta<i  liroiiingen   uit  de  16.  eenw  ttitg.  door  V.  3.  Utok. 
'«Oriivcnhaxe  180«      fe*» 

Pht/ni^iitfi.nch  Latfirnhiriaift  drr   tfoitgr>fCJ%^Ml  iil  tUrtcht: 
ündofzonkingon."   IV.  Iteeks.  Uecl  4.  aH.  1.     1896.     ff*. 

Si)c>rlf   1'mvinriiilf  dr*   Art»  et  SfirnerM  in  Iftrtchl: 
yvflnfCtn  ditr  algrnii'eno  vergadcnng.     1896.    6**. 
Autf'kraiDgen  van  do  «pcti#-iHir)radt>ringeD.     180fi     B". 


370 


Vtrseü^mitt  ä«r  tingtUufenen  DtMC^tttkrifltn. 


H.  Q.  IlatiburtoH  to  BosIoh: 
l>wuf  somrals  and  irftditiona  as  to  Pj'gmT  RaoM.     1895.    8*. 

J   B.  Jftfk  in  CoHitant: 
2  SepanUbdrücke  Iwianiiichen  Inhalt«.     1896.    B". 

J.   G.  Inda  in   Genua: 
(^mmemonutioDe  di  Cesare  Canbii.     Kireoz«  1896.    8*^. 
Adaibfrt  vort  KßtliKer  in    WUrzbttrff: 
Handbuch    der  Gewebelehre   de«  Hcnichen.     A.  Aut,    Bd.  H,    2.  HtHUul 
Leipzig  1896.     8°. 

M^trit  Kuhn  in  Wim: 
Uaxaittelbare   and  sinnffeiniHvB  Aafrtelluoff  der  «Energie*  alt  madwai- 
achen  Hauptbegrilft!«.     Wien  1800.     8^. 

C.  Orttf  fon  Landber^-Hailherger  auf  Sehlou  TUttiiuf: 
Die  Legende  vom  Hönch   BarliA   von  Ign.  Ooldaiber  and  C.  Omf  vom 
Landt>erg-Hallberger.     1896.     6«. 

Henry  Charit*  Lea  in  PhHadetjiliia: 
Ferraod  Martinez  and  tbe  Muiacres  of  1891.     1896.     8*. 
A  Hiftory  of  auhcolar  ContNvion.     Vol    1.  2.     Philadelphia  1896.     8*. 

Gabriel  Monod  in  Vfraaittea: 
fUrne  historiqoe.    Tome  60.  No.  1.  9.     Tome  61,  No.  1.  9.    Paris  1886 
a.  IB96.     efi. 

K.  Piettt  in  ffMUiivny  CArtUnneiO' 
VeHtigOM   de   ]a  iM^riode   de  trantJtioci  dann  la  grotta 
BeaugeuL-y  I89fi.    8^. 
Miehflc  Bnjna  ih  M<t0atui: 
Soll'  Bpparmto  aaaminatüre  di  Uvell«.     Uiluao  1896.    8o. 

Verlag$hnMillufig  Dietrieii  Jtetmer  in  BerttH: 
Zeitachrift  fBr  afrikani-^che  und  oceaoiMrh«  Sprachen.    IL  Jahrg..,  l.  aad 
2.  Hea.     Berlin  1896.    4*. 

Anno  Bf  titer  in  Hei  tri  ng  fort: 
Cftber  die  Palpen  der  RI]0[>aloeeren.     HcUiiigfor»  1696.     1°. 

AJberto  Sanchti  in  San  Salvador: 
La  Coraoide.    San  Salvador  1696.    ^. 

F.  Strauh^  Aktidennjicht  Bucfi^rMc.krm  in  M^nthen: 
Kdiuird  CflaHcr,  Di^  Abemini^r  in  Arabi^'n  oad  Afrika.     1896.     8^. 

JSV-iisf  Tiädter  in  Leipwip: 
Oebcr  die   Begründung   der  In6niU«iuiairechj)ung    durch    Newton    asd 
Leibnia.    Laipug  1896.     4^. 

Heinrich  Ulmann  in  Ornfncatä: 
Ua»«r«  Vergaogeaheit  und   da«  Werk  tob  1671.    Oreifiwald  1676.     0*. 

Frank  W.  Verjf  in  Chicapo: 
Pbötometry  of  a  lanar  ecUpt«.    Chicago  1896.    8**. 
Juliu»  Wtingarttn  in  Berlin: 
Snt  la  dtfortuation  dea  nirikcai.  (Abb  d»  Ac[a  mathematioa.)  1896.  4». 


lUatui  et  lacane. 
da  Ua»-d'aail. 


Sitzungsberichte 


der 


köQigl.  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 


Mathematisch-physikalische  Glasse. 

Sitzung  vom  7.  November  189G. 

1.  Herr  H.  Seeliqer  legt  eine  Abhandlung:  „lieber  das 
Newton'sche  Qravitationsgeaetz*  vor. 

2.  Herr  F.  Lindehann  macht  eine  Mittheilung:  „lieber 
die  analytische  Fortsetzung  derjenigen  Funktionen, 
welche  das  Innere  eines  Kegelschnittes  conform  auf 
die  Halbebene  abbilden*. 

3.  Herr  W.  Dtck  legt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
E.V.  Weber:  , lieber  partielle  Differentialgleichungen, 
U.  Ordnung,  die  sich  durch  gewöhnliche  Differential- 
gleichungen integriren  lassen". 


1896.  Hutb.-phya.  Cl.  3.  36 


373 


Ueber  das  Newton'sche  Gravitationsgesetz. 

Von  H*  äcellKiT. 

iMiftfin^  7.  Mntmhir.) 

Vor  etwa  zwei  Jähren  ^)  habe  ich  auf  Schwierigkeiten 
aufmerksam  RSDiacht.  welche  aoftretea,  wenn  man  die  Gültig- 
keit des  NewtoD^sobon  rtravitatioii^i^esetze«  auf  uiioruesshch  groaBe 
f{äi>me  ausdehnt.  Die  angestellten  Ueberlegungeu  ergaben  die 
Nüthweudigkeit,  Kwüchcn  den  beiden  ÄnuabmeD  eine  Wahl  lu 
treffen:  1)  die  Oesammtmaase  de»  Weltalls  int  unt^ndlich  grosa, 
dann  kann  da«  Newtnn'äche  Oeset?,  nicht  als  ni athematisch 
genauer  Ausdruck  für  die  herrächendeii  AnzieiiungskrätV  gelteu. 
2)  das  Newton 'sehe  Gesetx  ist  absolut  genau,  dann  können  nicht 
unen'Uich  grosse  Hüume  det>  Weltalts  mit  Masse  von  endlicher 
Dichtigkeit  erfüllt  Aeio.  Da  ich  für  dia  xweite  Annahme 
irgend  weiche  in*a  Uewicht  fallende  QrOude  nicht  finden  kann« 
habe  ich  mich  a.  a.  0.  fGr  die  erste  Annahme  eut»chiedea. 
^^eitdem  ist  mir  bekannt  geworden,  dass  Carl  Neumann*)  Achon 
früher  auf  Schwierigkeiten  ähnlicher  Art  anfmerksam  gemacht 
hat,  die  «ich  ale  speciello  FäJJc  der  von  mir  vorgebrachten 
Argameote  darstellen  dürften.  Die  Zustimmung  eines  so  hervor- 
ragenden Forticbers  und  auch  der  Umstand,  daas  sich  die  von 
mir  angestellten  Ueberlegungen  zwar  auch  in  anderer  Form 
aussprechen  laitseu.  da^s  hierdurch  aber  ihr  wesentlicher  Inhalt 
nicht  sich  ändert,  k(>nnte  es  tlberflüattig  ervchesnon  lassen,  auf 
diesen  Uegenataud  zurückzukommen.     Andererseits  aoheint  mir 


*)  Ueber  da»  Ki»«ton'eche  Gravi tatiomgeaet».  AiUvn.Nuchr.  No.S373~ 
^  Vergl.    Cturl    Neumaun ,    AUgemeiot:    Uulenruubiingeii    Ober   d»^ 
Nnwioti'<ehe  Prinnp  etr.    [^ip»^  \WB,  Ö.  1. 

afi» 


374         Sütung  der  math.-ph^$,  Cltutt  com  7.  Jiovtmber  J896. 

aber  die  ganze  Frage  Ton  einiger  Tragweite  fHr  die  gelammt» 
theoretische  Astronomie  zu  sein  ond  deshalb  eine  eingebende 
Beleuchtuug  zu  verdieaen.  Auch  kann  ich  leider  nicht  be- 
zweifeln, das  meine  früheren  Bemerkangen  ofieobaren  ftiim- 
Teratändnissen  ansgeaetzfc  gewesen  fdnd,  wie  ich  a.  A.  aus  dem 
Ztuammenfaang  schliessen  muss,  iu  dem  mein  Au&ala  csfcirt 
worden  üt  Aus  diesen  Gründen  «cheint  es  mir  nicht  onnOti 
zn  sön,  die  angeregten  Fragen  noch  einmal  zu  besprechen. 
Es  soll  dies  im  erstten  Tbeil  vorliegender  Abhandlung  geschabeu. 
Das  vorliegende  Problem  hat  mit  einem  nndem  aebr  br- 
kannlen  eine  gewisse  Aehulicbkeit.  Cheaeaux  und  spater  Olben 
(•teilten  sich  die  Fruge^  wie  es  komme,  dass  die  mittlere  Flicban- 
faeiligkeit  des  Himmels  eine  sehr  geringe  ist,  während  sie  der 
Sonnenhelligkeit  rergleicfabar  sein  sollte,  wenn  man  die  Anxabl 
der  lenchtenden  Weltkörper  anbegrenzt  gross  annimmt.  Es 
schien  mir  nnn  um  itti  wünRchenswertber,  auch  dieseit  F'mblem 
eingehender,  aUi  es  früher  geschehen  i§t,  zu  besprechen,  al« 
man  hierdurch  zu  der  Einsicht  gelangt,  dass  die  Schlossfolge* 
mniren  von  Olbers  keineswegs  einwurfafrei  sind.    011)f  '  '~rt 

das  anscheinende  Pamdoxon    bekanntlich   durch    die    r  :•□ 

des  Lichtes  im  Wettranme.  Die  Zaiässigkeit  dieser  Annahme 
kann  natürlich  nicht  bestritten  werden;  ihre  Nnthwendigkeft 
aber  folgt  keineswegs  aus  einer  TornrtbeiUfreien  Hetnicbtaag 
der  Frage. 


Für  die  Berechnung  der  Anziehung,  welche  die  im  Uot- 
versum  vorhanileuen  Massen  auf  irgend  einen  Punkt  ausQben. 
wird  man  mit  Vortbeil  diese  Maflaen  durch  eine  continnirliehe 
HafisenTertheilung  ernetzen,  welche  beliebig  grosse  xtiMmnien- 
bängende  Raumtheile  ausfüllt.  Dies  kann  in  der  einfachsten 
Weise  geschehen,  wenn  man  die  einzelnen  Weltkßrper  als  Kugrin 
ansieht,  deren  Üichtigkeil  in  conoeotri^chon  Schichten  ange> 
ordnet  ist.  Die  Anziehung  einer  solchen  Kugel  auf  einen 
aosserbalb  gelegenen  Punkt  wird  nicht  getUtdert,  wena  dmo 
ihre  Man«  in  eonoentriseb  wigoordnete  KugeUcbicbWn  ruu  b*- 


K  SetU0tr:  Uehw  doi  Newton'whe  QTavüationMQewU.         375 

Itebij;  grossetn  Durcbmesäer  ansein  and  erzieht,  soUni^e  iinr  der 
angezogene  Punkt  ausserhalb  aller  dieser  Schichten  bleibt.  Mit 
den  einzelnen  Theiten  dieser  Schichten  kann  man  aber  ühu- 
Ueb  rerfahren  und  so  orgiebt  sich,  dass  man  auf  unendlich 
liele  Arten  eine  continuirtiche  Massenvertheilung  erhalt,  die 
linen  nusf^edehnten  Raum  ausfüllt  und  die  jjleicbo  Anztehitnf^ 
auf  den  betrachteten  Punkt  ausübt,  irie  der  ursprüngliche  Welt- 
knrper.  Hat  der  Raum  eine  endliche  Ausdehnung,  an  hat  auch 
die  erhaltene  Massen  dich  tigk  ei  t  Qberall  einen  endlichen  Werth; 
man  kann  aber,  ivic  leicht  zu  sehen,  stets  die  Substitution  ao 
Ausfllbren,  dass  die  Dichtigkeit  eine  abtheilungswoise  stetige 
Funclinn  der  Raumcoc^rdinaieu  Ut.  Integrationen  Gher  Noiche 
Mu-NSt-overtheilungori  bieten  aber  weder  Schwierigkeiten  noch 
Bedenken  dar. 

That«i&chlich  sind  freilich  die  Himmelskörper  nicht  con- 
centriM'h  gejtcliicbtete  Kugeln;  sie  fiind  es  aber  sehr  nahe,  ao 
dftKf  die  erwähnte  Substitution  die  vorhandenen  Anziehungs- 
kräfte bia  auf  einen  sehr  kleinen  Procent^atz  genau  7um  Aus- 
druck bringen  wird  und  dies  genügt  vollkommen,  weil  es  sich 
im  Folgenden  nur  darum  handeln  wird,  das  Unendlich  werden 
oder  die  Unbestimmtheit  der  AuadrGoke  fOr  die  Anziehungs- 
krüt^  zu  besprechen.  Im  Uuhrigen  tätat  sich  auch  ganz  streng 
die  KinfQhrung  der  continuirlichen  Massenvertheilong  recht- 
fertigen. 

Die  Anziehnng  also,  welche  irgend  ein  Punkt  A  thatsach- 
lich  erfahrt,  wird  dieselbe  sein,  wie  die,  welche  ein  Oberall  mit 
einer  Masse  von  der  Dichtigkeit  d  belegter  Raum  auf  ihn 
ausObt.  Der  Raum  P  wird  im  Inneren  einen  von  Masse  freien 
Hohlraum  enthalten,  in  welchem  Kich  A  befindet  und  seine  Russere 
liegrenzimg  wird  alle  vorhandenen  Weltkörper  nmschlieasen. 
Innerhalb  P,  der  durch  die  beiden  Radienvectoren  It^  und  Ä, 
timmt  '\At,  kann  A  als  abtheilungsweise  stetig  verlaufend  und 
überall  endlich  und  von  Null  vorsclnedeu  nngenomuien  werden. 
Im  Vebrigen  kann  auch  in  endlichen  Tbeilen  von  P,  d  Null 
«ein,  ohne  die  weiteren  Schlüsse  ungültig  zu  raacbco,  doch  ist 
M  wohl  kanm  nCtbig  hierauf  Rfickaicht  zu  nehmen. 


370         S4ttiui0  der  matk.-pK/B.  Ctass*  oo«  7.  JfortmAm  SOL 

In  der  NKhe  von  A  und  zwar  in   der  Entfemf  ^ 
mo^  der  AtifanK  eine«  rechtwinkligen  CoordiaatenmlaBl 
Eb  »eien  q  und  r  die   Entfeniungea  eines  MaMMMitH 
von  A  lip/.w.  O,  )•  der  Winkel  dm  OA,  tp  der  Winkel 
dor  Ebene  Jm  OJ  und  fiaer  durch  a    gahenden    fobs  I 
Itit  diuin  diiä  PolenttaJ  der  An/.iähuu>^kräfiQ  swiacbttB  ^ 
allgeniein  durch 

/•(e) 

gegeben,  so  wird  das  Gosamnilpoteotial   der  huF  .-I   »hh 
Annehung : 

!■•»       n  II. 


u        u  fc,, 


3a 


oiid  Z- 


Hieran»  ergeben  sich  leicht  die  ßröesen  X 

t'flr  a  =  0.     Fahrt   mitn    xur   BequeiuUuhk«Jt    die    I^nl« 
geTidre*»c'hen  Functionen : 


P*  (coa  y)  —»  CO»  y  t 


ein,  ao  ist: 


^  =  |co--r-^ 


K 


«I 


U  0  iE,. 

X  wi  die  Bedchleuuigung,  welche  der  Huiilit  0  iu  der  Kicbtil 
erfahrt.  Die  Grösse  Z  habe  ich  a.  a.  0.  die  Zerrung  gen 
denn  Z'-da  ist  die  ßeschleuuigung,  itiit  welcher  sieb  zw 
der  sehr  kleinen  gegenseitigen  Entfemiing  Sa  befindlicbea  Pi 
von  einander  zu  entfernen  streben.  ICs  ßoU  gletcii  der  spe 
Kall,  in  welchem 

ist,  angemerkt  werden.     Fflr  diesen  ist: 


H.  Sediger:  Oeber  das  Netcton*»chf  Graeii(tiu>Htgeseir. 

5j.        -t  fit 

*  1^9  1  finydy  lA-r^'^-är 


377 


K 


Äi 


dr 


ft 


X,  =  (1  ^- „)  Jd^  f Pl  .  sin  y  rfy   f*5 

0  0  Ho 

0        0  /^ 

Für  das  Newton 'sehe  GeaeU  ist  n  =  0,  also: 


dr 


(1) 


/^=  idip  I  um  y  dy  iA*r* 


dr 


?» 


dr 


X,  =  f  rf?'  f  /'*  -  sin  y  dy  (a  • 
^,  =  2  Jrfy.  fP»  .  sin  Y  äyj  d 


(2) 


Kl 


r 


fi« 


Diese  Aiudrflcke  sollen  zunächst  näher  befcrachtefc  werden. 
J2o  idt  eine  gewisse  endtiobe  GrSsse,  12,  daf^egen  wird  immer 
grösser  und  grossem,  je  mehr  wir  von  dem  Univeräun]  zu  um- 
fassen suchen.  Es  wibchst  also  Über  alle  Grenzen  und  wird 
«chliesRlich  schlechtweg  unendlich.  Dann  aber  können  die  in 
ßezng  anf  r  genommenen  Integrale  in  (2)  sinnlo«  werden,  in- 
dem sie  vollkommen  unbestimmte  Uuendlichkeiten  darstellen. 
Ed  intt  dies  ein,  wenn  d  innerhalb  unendlich  grosser  Strecken 
endliche  und  von  Nnll  verschiedene  Werthe  bat.  In  diesem 
Falle  sind  aber  im  Aligemeinen  auch  V. 
die  den  Punkt  A  alßcirenden  Kräfte 
der  Materie  in  ihm,  welche  durch  die  Zerrung  mitbestimmt 
wird,  sind  durch  sinnlose,  völlig  unbestimmte  Ausdrücke  gegeben. 
Sie  ttind  al«o  für  UD.i  ebenso  unerkennbar,  wie  die  Grenzen  des 
unendlich  ausgedehnten  Universums  uns  unfassbar  sind.     Etwas 


,,  X,  und  2j  sinnlos, 
und    die    Beac  h  äffen  heit 


m^km  «Mite  M»  4n  Btrhhp.  mn  hb  J; 
Mfcriilwmr  W«lw  ? mi  7  aa4  ^f  >lihUgii  Hut,  «wa 
W«g  »iMtoK  •»«  BM  iBttfc  Ibrtvftfacaies  Tu 
•Ml  i«^  V(/nil«llang  «iMi  ■nwirflwbw  Humb  afhai  knn.  Km 
(k^  .Unn  «MIM  Rmm  mit  biithiiiilur  ni^iiiiiiiiBg  dadnrdi  in*« 
h»  witrliMD,  diM  qum  dicM  Hmiwi Hilft  nach  gttoi 
\jmi\mm\»n  ümHiu^  lieb  onAnfbfirUch  ftowiakaen  UiBsi.  Man 
kann  X.  H,  f'm*-  *  '  uaoebmen  und  ütreo  lUdioa  waebae« 
Immii  o<t«(r  (Mn   >  1  /.u  Orand«  l«g<m  und  xu  den    itnnwr 

l|r/)Mwr  wttrilfitdm  cymfocslon  Kllipmideo  nlvergebeu.  Welche 
KltUOiH  wir  iM  Orundr  Ir^co  und  nach  welchem  Oneb«  wir  nc 
WHiliKMi  InaMin,  it>i  iiffembar  unserer  WillkOr  uiheiinRef^ebco, 
il,  hl  ^1  i«l  f*l'>H  ^iLnx  beliohigfl  Kunotiou  von  y  und  v*«  ^  (<ut 
ivHi'liwtiMhim  r  auf  hn|ii<lii^r*m  WVf^i'  unendliob  f^rowi*  WoHhr 
Hdiilniint.  Wrnii  dtum  «^  (turch  Mannt«.*  Functionen  dorge- 
nU'III  !■(,  Iiiihii  Miiiii  U^  iinmvr  w)  wiUil'^n,  daAS  nach  Beliehen 
A|  Unit  ü^  «Imin  btwtiuiniton  Siun  bithält  und  bestimmte  Wertb« 
Hiihiiiihit  uditr  niohl.  Mim  kann  dos  erstere  x.  B.  leicht  ef 
i«lohot),  wohn  diti  InU^rolu 


und 


J' 


rfr 


UAch  Ku|t«l^ni^f^n^n  f>ntinckclbAr  «nd  und  wenn  die  Kogel- 
HftlMtfiitvit  trvi«r  Onlttung  iai  «nbn  Uilcgnl»  vnd  da»  Kogvl- 
ftMMAtonvM  »wvttvr  Dr^nnir  im  t««it«a  Inligimla  eodüebe  Cbaf- 
<»t>iilw>  h«btftt.  AU  eialkelnl«  Biri^iiil  kana  4m  Arinahwi 
*Mli{»hu»l  »»i<twi;  4  •»  OHMt.  «ad  H^  ««  lUdrat  cner  iaaav 
«ilMr  aMlwi^ia  K^taL  Dum  Md  2.  mod  J^  atela  «^ÖA 
WMi\  w^p  a^NH  awa  »i»  b  a^^w*a 
K^«i4»  Ukwuk  in  Di»  AaaU  aalfko-  Ai 
«IMibaf  MW4KA  kWk 


iw:  WfM  «  afe 


H.  Steliger:  Veber  dtu  Nmettm'ädu  (iramtatkmafftMt*.        379 

and  uraf<ekehrt  bei  jedem  vorgeschriebenen  Ä,  kann  inati  ^  «o 
wählen,  das«  die  ^teuanutcn  Grössen  wiederum  Iieliebige  Werthe 
erlftof^en,  also  z.  Q.  unendlich  werden. 

Wir  hatten  soeben  beispielsweise  d  ^  Const.  angenommen. 
Ist  dann  Ii^  der  Kadiiis  einer  nm  A  als  Centnim  gedachten 
Kugel.  MO  ist,  wie  btrrriU  t-rwähnt,  A',  =  ^j  =  0  und  diMe 
Grössen  bleiben  jedeufalts  eudliob,  wenn  /^  irgend  eine  be- 
liebige Flüche  definirt,  da  diese  jedenfallji  im  h)udtiehen  verlanfl. 
Nimmt  man  aber  das  Oenlrnin  der  unendlich  grossen  Kugel  in 
der  Kntfemung  c  von  A,  bo  wird  der  Punkt  nach  dem  Centrum 
mit  der  Kraft  \nd'C  ange-zx^en,  während  die  Zerrung  in  der- 
selben Kicbtung  gleich  einer  ficia  endlichen  Constanten  muUi- 
plicirt  mit  i)  iHt.  Ist  nun  e  beliebig  gni^s,  scbliessliib  unend- 
lich gross,  eo  wini  also  auch  die  Bescbleunigang  grosser  al» 
jede  noch  «o  gr)t^se  Zahl  und  ihre  Kichtung  ist  ganz  willkHr- 
lioh  unbestimmt,  du  mau  das  Centrum  der  Kugel  in  ganz  be> 
liebiger  Richtung  gegen  A  legen  kann.  Dieses  Beispiel  ist 
dasjenige,  welches  Carl  Neumann  anführt.  £r  bezeichnet  dann 
mit  Rocht  die  dargelegt«  ConHei|nenz  des  Newton *scben  Ueset/es 
als  alu»urd  und  schiiesst  daraus,  dass  das  Anziehungsge^etz  bei 
hamugener  Massenvertheilung  auf  Widersprüche  führt.  £»  sei 
gestattet  fflr  constante  d  noch  ein  zweites  Beispiel  Tor/ufQhren. 
Es  ist  nach  (2) 

X^  =  d  prjP^  (cos  y)  dn  Y  lR|  -  Rfi)  rfj' 


«1 


Z,  =1.  2i  Jr/7 ^/••(co.y)  sin  y  I..g  (^)  ity 
0  0 

Nimmt  man  nun  ftir  das  ürösser werden  von  J2  an,  dass  m 
(dne  gleicbmässig  in«  Unendliche  gehende  Grösse  sei  und  a  eine 

Zahl,  die  grösser  als  -^  ist,  und  sotxi  man 

log  ^  =  0  m  4-  M  i"  (cos  y) 


380        Sitsmf  dtr  «aill.-jA«w.  ClaiM  wmi  7.  Jfwmhm   tSO«. 


«0 


ao  wird: 

JT 

II 


d.  b.  also  ee  bleibt  stete  X,  =>  0  und  die  Zermng 
ttabegrenzt  gross. 

Ebenso  leicbt  liessen  sieh  lindere  Beispiele  wfthtAo ,  m 
deaeu  A  eine  andere  Function  dee  OrUs  ttrt.  Ka  ont^rtiegt  aber 
Iteiiiem  Zweifel,  daas  die  aufgedecicten  Widersprncba  fQr 
jede  xnugliche  und  denkbare  Massenrertheilang  be- 
,  uteben  bleiben,  wenn  nur  6  die  stets  hervorgfholM^tie  Kigen- 
^schafl  hat,  da«»  eä  in  unendlich  grossen  lUinnlheilen  endlübr 
▼on  Null  verscliiedene  Werthe  besitzt. 

DieBe  unlöebaren  Widersprüche  lassen  sich  natOrlicIi  u«ch 
verscbiedenen  Heiben  bin  beleuchten  und  in  anden^r  Form  dar- 
stellen. Ich  will  die»  hier  nicht  thuu ,  vielniefar  nur  ninv 
Folgerung  ziehen,  die  sich  auf  die  Gruudsfttze  der  Potential- 
theorie  statzt. 

Das  Newton'ache  Potential  V  erfüllt  im  ganxeii  KenMC 
die  Bedingung: 

3»K 


(3) 


Wir  denkitn  uns.  entsprechend  der  gewöhnlichen  VonAaUmy 
im  Weltall  lauter  isolirte  keioflswegs  homogene  Weltkörper 
m^.  m,  ...  mn  mit  den  Dichtigkeiten  <J, ,<*,.,.  .  Ini 
aollen  die  d  gewiHae  BediugunfiteD  der  Stetigkeit  erfDll^a  oi 
auch  die  Oberflächen  der  WeltkOrper  dHrfen  bestimmte  Singti- 
larit&t«n  nicht  beeitr^n,  da  (3)  und  auch  der  Green 'sehe  Sati 
zur  Anwendung  kommen  aoll.  Es  ist  also  «'IF  ks  — 4  3t  4, 
innerhalb  m^  etc.  und  BMwerhalb  aller  Maaseo  int  AV  ^  0. 
Kennt  man  dx^,  di,...  die  Volumelemunte,  «f«]«  d«, . . ,  dj« 
UberSftchenelemente,  »i .  n,  .  .  .  die  nach  innen  geriehtatea  Hoc- 


IT.  Seetigtr:  Ütbtr  Au  NtwUM'adu  üramtnhfmtgtatte.         381 

mulrn    ilcr  OhBrflKchi'n    der  Weltkörper   w,,  m,  . . . ,  w   giebt 
der  Grwu'sohe  >*iiU 

^3K 


Nebmnn  wir  eine  geBchtosscne,  muH  willkfirliche  Fläche  7**, 
welche  die  Massen   m, ,  m^,  . . .  tHu  umschliesst,  so  ist 

•3K  .    .       .  r^y 


dsu 


^»/''+     ■■+J3V, 

Wondet  man  denselben  GroenV-hrn  Siitz  riuf  den  Kmmi 
üD,  der  durch  F  imd  die  Oberflächen  der  Miäaeu  m^  . . .  Mm 
begrenxt  ist,  innerhalb  dessen  also  JK«:  0  jai,  so  kann  man 
die  Itttzte  Qleicfaung  auch  tfchr«iben : 

^-    <i«  =  4a  (m,  -i-  .  . .  +  m«) 

Nennt  man  Jlf  f       )  den  arithmetischen  Miitrlwerth  aller 
\3nJ 

längs  der  Oberfläche  8  Ton  F,  wo  aUo    I  d«  ^  i5  iit^  dann 


9n 

erhalt  man  : 


''(ID-"'--±s- 


Denkt  man  "vich  aäiumtliche  Massen  innerhalb  de»  Haiiuira  li, 
welchen  /'  uiiiH:hlies»t,  und  deaseo  Volumen  Ji  »ei.  ^'leichuiujttfiij 
vertheilt,   so  erhalt  man    die  gleich  förmige  Dichtigkeit  dg,    wo 

R  *^  =  m,  +  . . .  +  m« 

Man  kann  dann  die  zuletzt  gefundene  Gleichung  sclureibeu: 

n 


4.tA„ 


S 


382 


Sil »mtf  dtr  «tolk-iifty«.  dmam  mm  7.  iViMoifrer  iSSV. 


Die  rechta  Seite   Itum   nun   durch  Vfrytriiwjiung   va 
beliebig  fp'tiss  ^nicbt  Verden.    Es  mOssan  abo  anter  den  eis* 

Minen   —  nnbegr^Bit  gnae  vwkoauneD.    Nach  der  Poteotial* 

theuri«  Diflseen  detnxnlbi^  im  üntversnm  nnbegrenEt  ^an-^ 
endticb)  groase  Be^chleaniguo^eu  rorkoaunea  und  ; 
bflt  jeder  denkbaren  MutwütreriheUnnc^  Dai  sind  alao  B«- 
w^^n^en,  die  mit  eodlicber  GcBchwiiidigkeit  beginnend  in 
•odlicber  Zeifc  xu  aneodlich  gimaaii  QeKhwiiidigkeiUn  fObren, 
was  an  öch  arboo  «ne  absolute  ünaaliMJj^l  »it  enthält,  vrcüin 
Mftn  nicht  die  f^anie  Mechanik  in  Frage  itellen  will. 

Sokbe  Zw«if»l  aa  der  ■baolulm  Richtigkeit  des  Kowtoq*achen 
OaielaMB,  wie  die  TOf^abnchtea«  werden  noch  inioier.  «cbeiat 
f«,  mit  Mkpatranen  aofgenoaunen,  obwohl  m  kaum  mü^ch  nia 
dOrfte,  etwa«  StiehhalKigw  8*0»  «»  wjwubfiBgen.  Der  Onrad 
hitrfttr  wag  darin  tieK»ii,  da«  awa  snm  Theil  inibig»  der  no- 
gaheoMiiu  Krfolge  der  NewtooVhen  Formet  in  der  Airtronomit 
•ich  nicht  immer  irBnOgend  kbr  mncht»  dam  dieae  Formel  niehlh 
attdarm  iit  «ad  sein  kann ,  ab  ein  rein  caphdche«  Geaeti. 
Dma  m  bei  limw  «ehr  halben  Grad  der  Aoniherang  den  that- 
■khlielMtt  Y«rhiltniwen  ■wtafrieh^  daran  wird  fcewi«  Niemand 
tu  iwviMn  wt^—,  Mahr  k^mi  aber  die  Erfcfarnng  nicht  aa»- 
«mtm  und  M*  hai  b«*  jetil  aoeh  dnn  keinerwe^  mit  der  Sicher^ 
hail  getban.  wia  «ieibah  ceglMbt  wird. 

IH»  im   V<abiig>hindm  tax  Sfenthe  gebnebten   Ün$^ 
rviuilheit-  ohwindea  dnrch  beliebig   kleine  aber 

»udliirb«    '  iioaea    am    Kewton*«ch*n   Oesetc.   die 

«Mi  in  ttUe««i»  giuama  toaaen  merkbar  an  werden  brancben, 
uitd  Mann»  lb%l  «cbmk  dam  dl»  FmdMMg  die-  tioneft 

bvtumwent  dwek  die  IhfcbiMii^w  iHnerbalk  eo  i K&ume. 

wW  dai  |*kiiile>iji<im  eomimail»  bgüanirl  m  wmdat  braaetit 
Am  m»k  iuaNiafeb  rnhr  viel  y?iiium  M^ae  dm  NewtonVbe 
Um^«  da«  ifciiAkit  jgmmmn/tm  Ibiliathiaifiii  gcnOgen  koaat«. 
lUbw  dM  IHiMlM^irinB  I^mi  nmben  «bmrha«pt  die  Br- 
r«Uiu»mvM  nbAl  ntmw  Mi  «alM  mbfc  lohe  Abwmchnngeo  n« 
i*m  gv»A»»H«  iUm^i  akil  Sinbm^ail  tmttttitm  an  kHaoen. 


//.  StiUffer:  Üehtr  äa$  Ntttton'Khe  OracitaUofUfMiU.        383 

Es  ist,  wenn  anch  wohl  wahrscheinlich,  donh  keineewegs 
IbsUemtändlich,  doss  die  AniiehuDgMln-äftij  an  alten  Orten  den 
Weltults  denselben  Gfesetzea  folgen.  Man  kann  ulso  nur  mit 
einiger  Berechtigung^  vermutfaen,  da»«  t.  B.  die  Beweguni^ 
der  DoppeUterne,  ebenso  wie  die  der  Planeten  durch  das  New- 
ton'fiche  Gi»et^.  geregelt  wird.  Die  Crenuui^keit  aber,  mit  welcher 
die  bekannten  DoppeUternbahnen  diese  Vermnthnng  bestätigt 
baben^  ist  eine  ziemlich  ^^ringa.  Wir  kÖnuen,  wie  ich  /.u  wieder^ 
holten  Malen  naclidrOcklich  ausgeeproohen  hübe,  nur  sagen,  da» 
sieb  in  den  genannten  Systemen  die  Newton'scbe  Formel  im 
Qrowen  and  (jnnzen  bewährt  hut;  Über  etwaige  kleine  Correc- 
tioiuglieder ,  die  indewten  doch  innerhalb  nnaereü  Planeten- 
systomes  zu  den  unleidlichsten  MisAstimtnungen  zwiüchen  Theorie 
und  Beobachtung  Veranlagung  geben  werden,  können  die  rer- 
hältni&sniä^sig  wenig  genauen  DoppeUtenmieasuugen  keine  Aus- 
iiage  machen.  Wie  ea  »ich  nun  gar  mit  der  Geltung  des 
Newton*8ehen  Ciesetzes,  als  genauer  Formel,  durch  die  wetten 
Kixüteruräume  hindurch  verhüli,  darüber  liegt  bis  jetxt  auch 
nicht  die  gehngiite  Erfahning  vor. 

Man  kann  aUu  aus  der  Krfahrung  nicht»  ableiten,  was  die 
Unznliaaigkeit  einer  Oorrection  des  Newtorrtfchen  Gesetze«  dar- 
thlUe,  wenn  diese  innerhalb  imserex  IManetensystem»  nur  eine 
gewüse  Grösse  nicht  Übersteigt.  Fast  hat  e«  aber  den  Anschein, 
als  ob  man  von  mancher  Seite  dem  Qravitationsgesetz  die  lOigen- 
ächaft  eines  aprioriätischen  Erkenntnissreäultates  zuschreiben 
möchte.  Auch  ist  die  Newton'scbe  Formel  aU  mit  unaerer  ßauni- 
anachauung  /.usnmnienbäugend,  ja  aus  ihr  folgen<),  bezeichnet 
worden.  Solche  Auffaesungcn  »nd  bei  vorurtheilsfreier  He- 
trai'hiung  einfach  nn  verstand  lieh.  That:jächlirh  bat  die  Fnrm 
einet)  Kraftgeeetzee  gar  keine  audere  Bedingung  kh  erfilllen,  alu 
eine  genOgsnd  genaue,  abn  in  letzter  Instanz  »ugenäherte,  Dar- 
üleltung  der  beot>acbtet«n  Bewegungen  /.u  sein.  Diese  Zusamuien- 
iumng  der  Thatnuchen  in  eine  Formel  erleidet  nur  die  »telbst- 
TnatAndliche  Einsuhr&nkung,  das»  sich  au«  ihr  keine  Ungereimt- 
heiten ergeben  dUrfen. 

Da  also  das  Newton*t*ch«  UeAetz  nichts  mehr  tat,   als  eine 


384         SiUuHf  der  noift.-jihy«.  OZoh«  vom  7.  Nowmbtr  $896. 

rein  empirisch  abgeleitete  Formel,  die  tDnerbftIb  eogbegranxttr 
Räumt;  einen  hoben  Grad  von  Annäherung  an  die  Beobachtungen 
giebt,  kann  jede  andere  Formel,  die  dasselbe  leisitet,  an  aetae 
Stelle  gesetzt  werden,  iDsoferti  sich  dicker  Ersatz  dmrh  andere 
wiiüieiiiichaflliche  Röcksicbteu  empäehlL 

Die  obigen  Auseinandersetzungen  haben  ergeben,  diM  eine 
Correction  des  Newton 'sehen  Gesetzes  in  jedem  Falle  schon  des- 
halb wOnschen-iwerth  ist,  weil  man  hierdurch  misshchen  meta- 
ph^iioben  Uetrachtiingeu  über  die  Kndliclikeit  oder  Unendlich- 
keit der  Materie  entrückt  ist,  dass  diese  Correction  aber  aboofail 
uotbweudig  erscheint,  wenn  man  die  Annahme  nwcbt,  die  da« 
UniTersom  ertüllende  Masse  sei  unbegrenzt  gross.  Uieee  letiteTV 
Meinung  aber  ist  für  Viele  Kelbsivurvtündlich,  für  Andere 
freilich  nicht,  äie  lässt  sich  aber  meines  Kmchtens  gegm- 
wärtlg  ebenso  wenig  wie  in  Zukunft  durch  Üeobachtui^ca 
/.ur  Knl6cheidiuig  bringen ,  wie  uuiucbiiml  versucht  wonUo 
ist  Schon  die  an  sich  durchaus  plausible  A  nnabme  einer 
Absorption  des  Lichtes  im  Weltraum  Teriücbtet  die  Aus- 
sicht iiber  gewisse  t>egrenzte  Entfeniuugeu  Iiinaus  leuchtend«- 
Wellkörper  wahruebmeu  zu  kOnneni,  und  falls  die  Fixstem- 
räume  anch  von  vielen  nicht  lenchteuden  Körpern  erfüllt  lind, 
werdea  die  perspectiriscbe  Verdeckungen,  ferner  aber  aoch 
die  Afaforptioueu  iu  den  ausgedehnten  Ncbelgebilden,  die,  mw 
neuere  Ueobachtuitgen  zeigen,  uns  allenthalben  zu  uiDgeb«& 
Hcheiuen,  den  Kaum,  der  unseren  optischen  Ufil&mitteln  erreichlMr 
ist,  Überaus  beschränken.  Von  einem  Hineiuäehen  in  dtax  «un- 
uudlichen  liaum'  kann  aus  allen  diesen  CJrUnden  keine  Hede  nin. 
Zudem  handelt  es  aicb  in  den  obigen  Darlegungen  gar  nichl 
allein  um  jene  Massen,  die  xuf&lUg  sich  in  dem  Zustande  be- 
iluden, welcher  die  Aussenduug  von  ätrahJen  innerhalb  eiig  be* 
greuzter  Wellenlängen  xulässt.  Das  Leuchten  ist  nicht  Attribut 
der  kosmischen  Mu.*vH.*n,  wie  eigentlich  selbitventiLndlieh,  abw 
auch  durch  die  Krfabrung  nachgewiesen  ist,  wohl  al^er  mOven 
wir  die  ÜraviULtion  aU  ein  solchem  ansehen,  wenn  wir  nicht 
von  voraheirein  ihr«  uniTcnwllo  Gültigkeit  leugnen  wollen.  Aut 
dieMD  Punkt  soll  im  xweiten  Abschnitte  näher  ein^^egangeo  werden. 


H.  SteUfftr;   Üeber  tias  Neteton'tchc  GracitaHowtgtaett,         385 


Die  Ungereimtheiten,  zw  welcfa«D  das  Newton'ache  Gesetz 
fCihrte,  Ter»cb winden  f(ir  ein  PoteotialgeMtz,  fSr  dw  die  in  1. 
vorkom tuenden  Integrale  einen  Sinn  bebalten,  auch  wenn  A 
nberall  im  Räume  endüclie  Werthe  hat.  Solche  Gosetee  gtebt 
selbstTerständticfi  anendlich  viele  nnd  man  kann  demnaoh 
den  an^ü^tellien  üt^berlegungeu  nicht  dvn  gerin^ten  Schlusti 
auf  die  Correotionen,  welche  das  Newton'ecbe  Gesetz  zu  et^ 
hulteu  hat,  ziehea.  Carl  Keuiuaun  hat  aaf  Grund  der  Feni- 
wirkung»lhei>rie  die  Sachhige  iu  Be^ug  uuf  die  e1eclro>itati>«chen 
Kräfte  untersncht  und  wenn  auch  die  gewonnenen  Resultat« 
nicht  ohne  Weiterem  auf  Gravitation«ei«cbeinnngen  anwendbar 
aod,  so  wird  doch  die  tKinetiige  Analogie  /wiKcben  beiderlei 
Krftften  die  fundamentale  Untersuchung  von  Neuuiaun  auch  för 
du  vorliegende  Thema  Ton  hüchster  Bedeutung  erscheinen 
luBen. 

Carl  Neumunu  stellt  sich  a.  a.  0.  das  schwierige  Problem, 
jene  Kraftg^äotsu  xu  finden,  welche  einen  Gleichgewichtszustand 
der  auf  beliebii^en  Condocturen  ausgebreiteten  electriächeu  Haaee 
überhaupt  xulasst-'n.  Kr  findet,  dass  eolche  und  zwar  eindeutige 
Gleichgewichtuiufitäiidc,  deren  Existenz  als  durch  die  Erfahrung 
erwiesen  angeeefaen  wird,  stattfinden,  wenn  das  Potential  der 
wirkenden  Anziehung»-  und  Abstusmngskriifte  durch  die  Fnrmel 
gegeben  ist : 

nr)=^+^+...  (4) 

und  hierin  die  Grossen  X  iwmtiv,  die  A^  B^  C  etc.  von  einerlei 
Voriwichen  sind. 

Wie  mau  sofort  aiebt,  hebt  diesem  PotentialgeseLz  die  oben 
erwühnten  Schwierigkeiteu  auf,  »ubald  die  l  endliche,  wenn 
auch  noch  so  kleine  Grössen  sind,  denn  die  Ausdrücke  I  stellen 
jetzt  endliche  und  hestimnite  GrijS!«en  dar.  Als  Grenzfall,  näm- 
lich vrenn  durch  Annahme  unendlich  vieler  Glieder  die  rechte 
Seite  von  (4|  ein  gewisws»  be&timnites  Integral  wird,  stellt  sich 
daa  Puten Ualguöetz  dar: 

A 


fir) 


(5) 


386         SiUttnfj  der  math.-phy»,  Clasie  com  7.  November  1996. 

Dieses  Geseb.  üt  bereits  von  Green  einf^ehend  ontersocht 
und  auf  electrostatische  Anff^aben  angewendet:  worden.  Oa/t- 
selb«  kann  flir  die  Astronomie  nur  in  Frage  kommen«  wenn  i 
ein  Überaus  kleiner  echter  Bruch  ist.  Nach  Formel  (1)  besei- 
tigt aber  diese»  Gesetz  uicbt  die  erwähnten  Schwierigkeiten, 
denn  V^  und  X,  werden  im  Allgemeinen  bei  endlichen  A  durch 
sinnlose  Ausdrücke  bestimmt,  während  allerdings  Z^  einen  end- 
Uclien  Werth  erhält.  Aus  diesem  Grunde  muss  dieses  GeseU 
als  keinen  Vortheil  vor  dem  Newton'schen  gewährend 
abgewiesen  werden. 

Schon  DHch  den  UnientuchuD^on  Newton*»  ist  bekannt. 
dftss  die  Formel  (5)  säculare  Bewegungen  der  Perihele  der 
Planetenbahnen  hervorbringt  und  es  ist  deshalb  natQrlicb, 
dasf)  durch  eine  pantende  Wahl  von  X  die  bekannte  Anomalie 
in  der  Perihelbewegung  des  Mercur  erklärt  werden  kann.  Dm- 
halb  hat  neuerdings  A.  HulP)  dieses  Gesetz  in  Vorechlag  ge- 
bracht (.1  —  0.00000016)  nnd  Newcomb*!  hat  die<ien  Vorschlag 
als  plausibel  erklärt.  Nach  dem  Gesagten  kann  ich  mich  dieier 
Meinung  nicht  anschliessen. 

Ich  selbst  habe')  als  Bei<tpie1  für  ein  FemwirkungügeKfa^ 
welches  die  besprochenen  Ginwände  bebt,  die  Formet  fQr  die 
An^iehuDg  zwischen  zwei  Massen  m  und  m*  angefUhrt 

m  m'  •  e~^'  .-. 
ifi) 


Es  sollte  daniitf  wie  ausdrücklich  erörtert,  kein  Vor9cb1af{ 
ftir  eine  wirklich  an  das  Newton'sche  Geiietz  anzubringende  Cor- 
rection  gemacht  werden.  Ka  war  nur  ein  Beispiel  beRbsichtigt« 
das  der  Analogie  /.wjschon  der  Ausbreitung  dos  Lichte«  und 
der  Gravitation  angepatst  ist.  Diese  Formel  ist  Übrigens  befreit« 
von  Lapbkce*)  erwähnt  worden,  der  sie  ebenfalls  im  Anachlua» 
an   die  Theorie   der  Ausbreitung  des  Lichtes   in   etPem  abeor* 

'}  Antroooujic.  Jotinml  Nu.  327. 

*)  llifl  Elutienia  of  Lhn  foiir  luniM-  I'Uinetn.    Wii^bibfrtoo   IfQfi. 

*}  A>tr.  Nachr.  No.  3278. 

«)  Mtomiiiii«  ctfiMto  T.  V.  Um  XVT.  Ch.ip.  fV. 


if.  &«K^rr.-  Veher  Hm  Nevton^cht  Gramlationiiitjc$cU.        387 

birendeu  Medium  safgcetcllt  hat.  Das  fDr  diese  Formel  die 
Integrale  in  I  einen  Sinn  buben,  itit  leicht  kh  sehen  uud  bedarf 
keines  näheren  NachweiseH. 

Ob  eine  der  Formeln  (4)  und  (6)  geeignet  ist,  das  Newton Vhe 
Gesets  zu  ersetzen,  darüber  kann  in  dieser  Allgenicioheit  gegen- 
wäriig  eine  Entscheidung  nicht  getrofiTen  werden.  Im  Sonnen- 
system hat  bisher,  bis  auf  sehr  vereinzelte  AusnahmeDf  das 
Xewton'sche  Gesetz  ausgereicht,  die  Bewegungen  bis  ins  kleinste 
Detail  darziuitellen.  Zu  dioflen  Ausnahmen  gehört  die  lier^ts 
erwähnte  Anomalie  in  der  Bewegnng  des  Mercurperihels.  Die 
Formeln  (4),  (5)  und  (0)  geben  sämmtlich  eine  solche  Bewegung, 
deren  Uetxag  sich  leicht  berechnen  läuat  Die  Coustauten  i.  in 
diesen  Formeln  !^ind  von  vomberein  als  sehr  klein  anzunehmen. 
Setxt  man  noch  zur  Abkürzung  ('(1  -j-m)^/«,  worin  k  die 
Gftuaa'sche  Constante,  m  die  Planetenmasse  und  1  die  Sonnen- 
mafiHi  bedeutet^  so  hat  mau  in  Formel  (4)  (NeumanD) 

/*  -=  ^  -h  B  4- . . :     /iÄ«  —  il a;  -H  ß/J  4-  ■  .  . 

anzunehmen  nnd  erhält  dann  für  die  im  Radiusvector  r  wirkende 
Coraponente  der  stürenden  Kraft  genügend  genau 


Die  Formel  (5)  (Green)  giebt  Rlr  K 


Ä  = 


Al-r-^) 


bliesslich  (6)  (Laplace) 

Die  Varitttionen  der  elliptischen  Bahnelemente:  e  Excen- 
tricitlt,  a  grasite  Hulbaxe,  /  Lunge  des  PuriheK  si"d,  wenn  die 
wahre  Anomalie  r  an  Stelle  der  Zeit  t  als  unabhängige  Variable 
eingeführt  wird: 


de      Ar'aintt        1 
dv  fi       ^      a 

IMNI.  ■lUi.'pli)!.  d.  X 


2ellr*mnv 


dv 


388        SitsuMff  der  matk.-pKtft.  Cla$M  vom  ?.  Noptmbff  ftt94. 

SScalare  Glieder  treten  nur  in  x  au^-  ^^io®  höehct  «n&cb« 
llecbntiDg  ergiebt,  wenn  man  nur  die  erste  l'üteny.  von  <  miL- 
nimmt,  sctiliesslich  auch  dv  =  n*  AI  setzt,  ffir  die  Arr  %eii  jii 
entsprechende  ääcnlare  Aenderung  Ay: 


Neumann: 


k'arn   ..       l* fi 


-iz=*r,-j'  =  *-ä^f"- " 


Green: 


Laplnce: 


=  -^.w 


Ai 


Die  säcularen  Aendeningen    des  Perihelü  sind  ulsn  fOr 
einzelnen  Planeten  nach 

Neumann's  Formel  proportional  mit    y^ 
Green'«  


Laploce^s     .     ,  .     .  - 

Va 

Setzt  man  Ax  fdr  Mcrcur  2U  iO*  im  Jalirhuadert  aa, 
welches  der  unerklUrte  Tbeil  der  Perihellwwegung  dieae«  Plaii«l«ii 
ist,  so  wird  für 

Nennuinn  lilre«n  ijinlmr  Ncwwimh 

Veniw           5.V  Kr  29'  _8-  +  37' 

Rrde              ((4  10  25  H  H-    8 

Mars             70  5  20  fi  +    4 

Es  »ind  in  dieser  Zusamnienstelluxig  unter  «Newoomb*  di«- 
jenigeo  Wcrtho  fOr  die  Peribelbewegungen  nebit  na.  FchUni 
angefahrt,  welche  Newcomb,  al«  durch  die  Theoritt  nicht  erkliit. 
empirisch  aus  den  Beobachtungen  abgeleitet  hat.  Diese  empi- 
rifichen  Correctionen  sind  durch  NeumAnn^ti  Formel  gewi«  nicht, 
dnrch  die  LaplaceVhe  nur  scbwerf  durch  die  Oreen'ache  sb«r 
aiifTnltend  gut  zu  orkUren.  Trotzdem  nird  man  et  a1«  einm 
Zufall  betrachten  niilMseii,  daH»  (ir"4<n''<  Koriiwl  -«ii'h  »m  n«li*-  A^-yx 


ii.  Seeiiger:  tftt/er  da»  Ntwton't^e  Qrtmtatioitegtteis.        389 

BeobachtuQgen  anschliesst  Die  Bedenken  gegen  diese  Formel 
scheinen  mir  von  grOssctrem  Gewicht  zu  sein,  aU  die  Ueber- 
einstimniung  der  angeffllirten  Zahlen.  Die  HnomiJe  Perihel- 
bewegung  des  Mars,  welche  liaiiptsHchltch  den  Ausscblag  giebt^ 
erscheiDt  nicht  sicherer  coiiätatirtf  als  andere  von  Newcomb 
gefundene  eropinsche  Glieder  u.  A.  in  dem  Knoten  der  Veniu- 
bahn,  welche  durch  eine  Modification  de«  AnziehungsgesetzM 
Oberhaupt  nicht  dargestellt  werden  können.  Es  iät  deshalb  nicht 
unwahrscheinlich,  dass  die  Bewegung  des  Perihels  des  Mercur, 
des  Mars  etc.  in  gan-i&  andern  und  näher  liegenden  Ursachen 
eine  Erklärang  finden  wird.  In  diesem  Falle  würden  also  vor- 
läufig überhaupt  iiu  Plaueteuäyatem  keine  Andeutungen  vorbanden 
sein,  welche  filr  die  Nothwendigkeit  einer  Correctur  des  Newton- 
schen  Gesetzes  sprächen.  Da  diese  Nothwendigkeit  für  eine 
unbegrenxte  Anwendung  des  UrBTitationsgesetzee  aber  durch  das 
Vorhergehende  nachgewiesen  ist,  würde  dies  nur  bedeuten,  dai» 
das  Planetensystem  eine  riel  zu  geringe  Ausdehnung  besitzt, 
um  in  dun  vorliegenden  Frag«i  eine  Entscheidung  berbeifQbreu 
tu  können. 

11. 

Ich  gehe  nun,  wie  oben  angekündigt  worden  ist,  auf  die 
Fmge  näher  ein,  ob  die  Anzahl  leuchtender  Massen  im  Univer- 
sum ebenfalls  als  unbegrenzt  gross  anzunehmen  sei  und  welche 
Folgerungen  hiermit  für  dit'  Uelligkeit  des  UimmeUgrundea  ver- 
knQpft  seien.  Im  Weeentlicheu  liaben  wir  es  also  mit  einem 
Gegenstande  zu  thun,  den  f)lbers  in  einer  bekannten  und  viel 
citirten  Abhandlung^)  besprochen  bat 

Olbera  sagt  a.  a.  0.:  «Sind  wirklich  im  ganzen  unend- 
lichen Räume  Sonnen  vorbanden,  sie  mögen  nun  in  ungeföhr 
gleichen  Abständen  von  einander  oder  in  MilchstrosseDsystemen 
vertheilt  sein,  so  wird  ihre  Menge  uucndhoh  und  da  müsste  der 
ganze  Himmel  ebenso  hell  sein,  wie  die  Sonne.  Denn  jede 
Linie,   die   ich   mir  von  unserem  Auge   gezogen  denken  kann, 


^)  Ueber  die  Durcliucbti^ksit  de«   Wulttuunu.    AtitrDii.  J^hrbudi 
mr  1830.   Olben'  Werkt*  I,  Ü.  138—144. 


S90         Sitgwtg  der  mathrphjfs.  Cltutt  mm  7.  Novemlier  1896. 

wird  nothwetidii^  auf  einen  FixsUrn  treffen  und  da  mÜssUt 
jeder  Ponkt  am  Himmel  Fixsternlicht,  Hko  tSonnenlicht,  xu- 
aenden."  Aehnliche  Betrachtungen  hat  flbrigen.«,  wie  W.  Struve*) 
bemerkt  hat,  schon  viel  früher  der  Lausanner  Astronom  L.  d« 
Cbeseaox  ausgeführt.  Der  Gedanken^i^ang  von  Olbers  ist,  wenn 
die  gemachte  Voraussetznng  unendlich  vieler  lenchtender  Wel^- 
körper  2uge^beu  n^rd,  ebensowenig  zu  beanstanden,  wie  die 
weitere  Folgerung,  dass  die  Annahme  einer  Schwächung  de* 
Lichtes  beim  Dnrchdringen  des  Itauraes,  aläo  einer  Äb«>rption, 
abulich  wie  sie  nicht  gan?.  durchsichtige  Medien  ausQben,  alle 
Schwierigkeiten  beseitigt.  Dagegen  iüt  die  gemachte  Vonw»- 
Setzung  nicht  als  eine  nothwendige,  vielleicht  nicht  eincniü  all 
eine  plausible  xuzulaaseß.  Wie  Bohon  oben  erwähnt  wordeu  ÜL, 
darf  nicht  ohneweitereic  die  im  Universum  enthaltene  Mocie, 
welche  Gravitationskräfte  aoäUbt,  mit  dem  selb^tleuchteoden 
Theil  derselben  ideutificirt  werden  und  wenn  wir  geneigt  nnd 
die  erste  als  unendlich  gross  anzusehen,  so  folgt  hieraus  noeb 
keineswegs,  dass  Gleiches  fQr  einen  Theil  derselben  gilt. 

Zuerst  £oll  der  Ausdruck  für  die  mittlere  FlächeuheUigkett 
des  Fixsternhimmels  abgeleitet  werden.  Derselbe  ergiebt  sich 
ohne  MObe  aus  den  Betrachtungen,  die  ich  in  einem  verwickej- 
teren  Falle*)  ausgeführt  habe.  Ein  irgendwo  im  Welträume 
gelegenes  leuchtendes  Flächeneleuient  de  roüge  dem  Beobachter 
die  Lichtmenge  dq'  zusenden ,  wenn  es  ^ei  läge.  Nun  kann 
es  aber  durch  davor  liegende  Weltkörper ,  welche  hier  der 
Einfachheit  wegen  als  Kugeln  angenommen  werden  sollen, 
verdeckt  werden,  in  welchem  Falle  es  die  Lichtmeage  Knll 
zusendet.  Im  Uittel  wird  de  also  eine  andere  Lichtmenge  dq 
dem  Beobachter  zusenden  und  ee  wird  sein 

,  dq  =  dq'  •  fo 

wo  w  die  Wahrscheinlichkeit   daftlr  ist,   dass   das   Elemi^t  ilr 
von  keiner  davorstehenden  Kugel  verdeckt  erscheint.   Man  kann 


*)  l^nde«  d'AxtroDomie  ■lelliiire  pi^.  84. 

^  Theorie  der  UeteuuhtutiK  ütatilifönnietir  kuiani)i(JiFr  Mumh>ii.    Ab- 
Itan'Iliinffitn  tW  H(im\vstu>T  AkaUt^mie  der  W.    Itiinü  XViCl,  ISUS, 


9e3i^T  Ueb«r  das  NewUm'Mhe  GratitaHonigtteti.        ^01 

tv  auch  st\8  einen  echten  Bnicli  bezoichnen,  der  den  ftu&u- 
suchenden  Mittelworth  cbarakterisirt.  Es  mögen  nun  im 
f^nzen  Weltraum,  den  wir  nnä  zunächst  als  einen  irgendwie 
begrenziou  endlichen  Ratmi  P  Torstellen,  N^  Kugeln  mit  dem 
Radius  Q^^  K^  Kugeln  mit  dem  Radius  o^  etc.,  ^m  Kugeln  mit 
dem  Radius  q^  vorkommen.  Uei&eichnet  dann  allgemein  w«,  die 
Wahrscheinlichkeit  dafOr,  das»  keine  Vordeckung  durch  eine 
Kugel  mit  dem  Radius  g^  eintritt,  w  ist: 


wr  :==  w,  ur« 


lOn 


Die  Oberflüche  jefler  leuchtenden  Kugel  kann  man  »ich  aus 
liehen  Elementen  de  zusammengesetzt  denken.  Ist  also  q^  die 
BprQngliche,  ungewhwächte  Licht4^uantität  einer  leuchtenden 
Kagel  vom  Radius  ^m*  so  wird  eine  solche  im  Mittel  die 
Lichimenge 

q  =  qm'W  (1) 

zusenden,  falls  nur  die  Om  genügend  klein  gedacht  werden. 
Bezeichnet  tT«  die  mittlere  Leuchtkraft  (Lichtmenge,  welche  bei 
•enkrechter  Emanation  ein  OberflSchenelement  l  einem  Beob- 
achter in  der  Entfernung  I  zusendet)  einer  Kugel  Kp,  vom 
Kadtu.4  (>,„.  r  ihre  Entfernung  vom  Beobachter,  ao  ist: 


qm  =  /«  -T 


(2) 


Jm  kann  nuttirlich  auch  gleich  Null  sein,  was  fQr  einen 
dunklen  Körper  zutrifft,  ic»  ist  die  Wahrscheinlichkeit,  dass 
der  Mittelpunkt  von  Km  irgendwo  im  Kaume  P  liegt ,  nur 
nicht  innerhalb  eines  geraden  Kreiscy linders  Cm  niit  dem  Ra- 
dius (p«,,  dessen  Axe  vom  Beobachter  bis  zum  Weltkörper  reicht. 
Man  darf  nun  annehmen,  dass  die  Weltkürper  :;ehr  sparsam 
im  Ranme  vertbeüt  sind.  Dann  wird  sich  tCm  leicht  und  genau 
genug  angeben  lassen.  Bezeichnet  dx  ein  Volumelement  und 
<pm  eine  Function  der  Itaumcoordinaten ,  welche  die  relative 
Häufigkeit  des  Vorkommens  der  Kugeln  Km  in  den  einzelnen 
Raumtheilen  angiebt,  ao  wird: 

ir,  =  (l-X.)''"'  (3) 


302         SUaung  dar  matK-jihya.  Cltuue  oom  7.  November  JS06. 

Hierbei  ist: 
Y, 


Xw   =  ^  :  Ym    =  j^-^^^'  Zm    =   jrm 


rfr 


Das   tntflgral   Y„    ist   auf  den    Cylinderraum   f„,    ^«    «d 
den  ganzen  Kaum  JP  aiiiizndehneii.    ßo^eirbuet  cfw  die  Oeffimng 
eines    Kegel§,    dessen    Spitze    im    Beobachter    liegt,    «o    wird 
dr=^r*dotdr.     lu  diesem  Elemente  befinden  sich 

Kugeln  Tum  Radios  q„,  die  dem  Beobachter  zuf^esandte  Lichte 
menge  wird  also  sein 


■  9:«r"rfey  rfr 


^N^y-'q^tcr'do^dr 


ü 


lutegrirt  man  in  Bezug  auf  r  tod  r  ==  0  bi«  r  ^  i2,  wo 
B  der  Grenze  des  Raumes  P  entspricht^  und  dividirt  durch  dw, 
so  erhält  man  die  mittlere  Flöchenhelligkeit  in  der  Ritj^tunf;« 
deren  Richtungswinkel  in  der  Funktion  tfm  vorkommeo.  Di« 
mittlere  Helligkeit  des  f^anzeu  Himmels  ergiebt  «ich,  wenn  man 
(4)  ausser  nach  r  auch  noch  in  Bezug  auf  dw  integrirt  und 
zwar  Aber  die  ganze  Fl&che  S  der  Eiabeitakugel  und  durch  i  n 
dividirt.     Es  üit  also: 

»      0        1       ^" 

Man  wird  nun,  uro  Hir  die  Ausrechnung  geeignetere  Au»- 
drOcke,  die  jedenfalls  genau  genug  sind,  zu  erbalten,  an  berflck- 
«ichtigen  haben,  dasd  X.  Überaus  klein  ist.     Dann  i«t 


und  wenn  dies  eingeführt  wird: 


•-*«.Jf- 


JB 

'  Ä  0 


^ȣNm 


nn 


Diese  Formet  soll  xuorst  auf  den  einfBchfften  Fall  ange- 
wiii)d«t  werden,  in  welchem  eine  gleich  in  asnitEe  V^ertheilung  der 
Kugeln  im  Uauuie  !itatt6ndet.  Mau  hut  dann  7«  =  1  zu  äetz«n. 
Kerner  wird 

I'w  -=  yi  *  .t  -  r 

Den  Kaum  /'  kann  man  in  beliebiger  Weise  begrenzt  an- 
nehmen und  diese  Hegren/.ung  ins  rnendliche  waehiwn  lassen. 
Es  werde  fKr  P  eine  Kugel  mit  dem  Radius  R  angenommen, 
also: 

Die  Kormol  (11)  wird  hierdurch: 

0  '  X 

Die  mittlere  Flächenholligkeit  J  der  Kugeln  wird  man  de* 
finiren  können : 


rfo»  ■ 


wird  als«): 


S«tzt  man  demuucli ; 
tfchlieaslich : 


r 


Fuhrt  man  einen  gewü-Acn  mittleren   Radiiii«  {i,  ein: 

2'  iC  tC 


Gö  = 


-i'A-üi 


(5) 


Z04 


SiUunff  rftr  maih.-ri 


tarnte  wtn  7.  November  t89S. 


so  liegt  ^Q  zwischen  deiu  grossten  und  kleinäten  Qm-  E»  üÜ 
dos  Gesammtvoluinea  aller  im  Raom  P  enthaltenen  Kugeln  K. 
also  : 


-    =    i.    V  V     o»    =  t^   V71J 


w  kttDn  man  (ib ersichtlicher  schrcibea: 


R 


-!(?) 


r^ 


R 


i  \P 


Weun  demnach,  wie  im  ersten  Abschnitte  dieser  Abhand- 
lung ftogenomnien  worden  isl,  die  Masse  im  Welträume  mit 
endlicher,  wenn  auch  noch  so  kleiner  Dichtigkeit  rertbeilt  ist, 

ao  wird  ^   endlich    &ein    und    man    wird    /'   dtirch    VergrS»- 

i^erung  von  R  beliebig  gross  machen  küniien.  F  tat  aUo  füi 
Hjis  gaiixe  üoiversuTU  go  zu  setzen.  Wäre  nun  /  unabhiin^i^ 
ton  At  so  wäre  h  =  J  und  hierin  {»t  itn  Wesentlichen  du 
Resultat  von  Olbers  enthalten.  Im  allgemeinen  Falle  kann  mm 
eine  ähnliche  Reduction  ausführen.  Bezeichnet  J^^  den  Mittel- 
werth  der  einzelnen  Jm  in  der  Richtung  03, 


J..  - 


2"  JV„  ^4,  Jm  »T» 


Z^ 


It. 


SO  wird  nach  (II) 


-=  i  Jrfa>  Jdr  J«, .  U  N„  0^  <r,n  ^-)  ■  e--^^-^ 


a        0 


Man  wird  mit  derselben  Genauigkeit,  mit  der  die  Gleichung  (1) 
giltf  setzen  können: 


r 


7.  Se<U^er:  Ucber  das  NtvUtni 
Setei  man  niso: 


305 


■u  wird 


(HI) 


5  0 


Hier  ist  es  vielleicht  (i^i^rsichtUcher,  die  mittlere  Flächen- 
heiligkeit hu,  in  einer  beniiniiuten   Kiclituu^  anzugeben: 

r 

Ä«  =  (V„,  '€'*dx  (IHu) 


-JV,,,-.-' 


fU  ist  dies  ^onau  die  Formel  (5).  Auch  lu  diesem  atlgp- 
meiuen  Fall  lasst  sich  zeigen,  dass  /'  mit  R  inn  Unendliche 
wächst,  wonn  die  in  der  gewählten  Richtung  gleichmassig  ver- 
theilte  Matwe  eine  endliche  Dichtigkeit  hat. 

Die   Anzahl   t'„  der   Kugeln   iC«  in   der   Volumeinheit   ist 


^onnt   man   n   die   Anzahl   aller   Kugeln    in   der    Volum- 
einheit, also 

n  —  n  +     •  •  +  »'- 

so  wird,   wenn  n^  ein  gewisser  Mittetwerth    aller   q^  bedeutet, 
gesetzt  wei-den  können  : 

Hiermit  hat  man 

tt 
r  =  .7  I  «  oft  t/r 


SBü        Sittung  der  MutA.-^y«.  Ctojue  com  7. 


BSp  latfr 


Bezeichnet  mau  mit  M  (n  gl)  den  ariÜimeÜHchea  Miuel- 
werth,  80  kt 

r  — i  TT  K  jif  (« ri) 

Aas  dieser  Formel   er^^ebt  sicli   der  ausgeaprocheue 
vun  selbftl. 

Es  iafc  unmöglicb,  h  bis  auf  uueudtich  kleine  GrOssen  geumi 
durch  die  Beobachtungen  festzustelieti.  Da  weiter  Jta  nur  eod- 
liche  Werthe  annehmen  kann,  wird  man  die  beobachteten  A» 
durch  endliche  Werthe  von  P  beliebig  genau  darstellen  künnpn. 
Was  hier  von  der  Helligkeit  des  Himmelsgrundes  gesagt  worden 
ist,  gilt  auch  allgemeiner.  Infolge  der  perspectiTischen  Vrr- 
deckuug  der  Weltkörper  durch  die  darorsteheuden  wird  nur 
ein  endlicher  Raum  unseren  Wahrnehmungen  Kug&nglich  svin 
tmd  seine  Dimensionen  werden  tbatäüchlich  wesentlich  b** 
schränkt  werden  u.  A.  durch  die  Nebelmassen,  die  uns  allent- 
halben zu  umgeben  scheinen  und  die  Aussicht  hemmen. 

lieber  die  Vertbeilung  der  Kixsteme  im  Räume  wissen  wir 
noch  HO  wenig,  daas  wir  untt,  um  durch  eiu  Beuqiiel  eio«a 
Ucberblick  über  miigliuhc  Zahlen  werthe  zu  erhalten,  an  die 
Formel  (5)  halten  können,  die  ausserdem  dieselbe  Gestalt  hat 
wie  (lUa). 

Zuerst  soll  noch  auf  die  —  Olbers^sche  —  Absorption 
Lichtes   im  Wettraum  RHckdcbt  genommen  werden.     Dits 
achiekt,   wie  man  sofort   übersieht,   wenn   man   in  der  Fonoel 
3t*tt  J^: 

Wtati.  wo  X  den  hypothetischen  AbsorpHonscoefficienten  bedeuLeC 
IX«  Formel  (5)  wird  iludurch 


(6) 


Nimmt   man   beüpielsweiie  J  unabhftngig   von   r  nn,    «o 
wird  fiir  i2  ^  ao 


UeOer  Jaa  Jfctotontche  OrttnUUioH$get^.        307 


h^J' 


(7) 


Zablontuässigo  Aii8r«cbnuugeii  Ton  (7)  können,  bei  der 
ftbtioluten  UnkenntTiiss  ober  die  mittleren  Wertbe  der  Leucht- 
kraft, Massen,  Grössen  und  Kntfernungen,  selbst  der  ans  Dachsten 
Musen  des  Unirersonis,  nur  {fanz  beilüuti^'  und  auf  mehr  oder 
weniger  willkaHicheii  Annahmen  bertibeiid  ausgeHibrt  werden. 
Es  kann  sich  eigentlich  nur  darum  bandeln,  die  GrOssen- 
Ordnungen  der  verschiedenen  Grössen  festzustellen.  Als  Einheit 
der  Entfernung  werde  die  eines  Sternes  mit  der  Parallaxe  0r2 
angenommen  und  kurz  Siriu^weite  genaunt  Die  mittlere 
Parallaxe  der  Sterne  i\.  Gröaae  soll,  unter  bekannten  Voraus- 
Btzungen,  zu  0r03  angenommen  werden.  Bis  zu  dieser  Ent- 
*fernung  R  sollen  6000  Sterne  in  nahezu  gleichmSesiger  Ver- 
fcbeilung  Torkomnien.  Qg  «otl  das  Doppelte  des  Sonnendurch- 
messers  sein.     Es  ist  dann  bis  zu  dieser  Entfernung 

f  ~  =  8.10-» 

Diu  Abiorptiun  de«  Lichtes  im  Welträume  möge  in  der 
Siriu«weite  0A%,  betragoo.  Es  ist  also  X  =  10~*;  ferner 
Ofl  —  O.Ox  10-«;  iQf,  =  0.9x  1Ü-".  Wenn  nun  dieeelbe  gleich- 
mftssige  Dichtigkeit  in  der  Vertheilnng  der  Himmelakürper  im 
izen  unendlichen  Räume  augenommeu  wird,  so  ist  nach  (7) 

h  ^  J.  3.3  X  10-" 

Die  FlächenhelUgkeit  des  Mondes  ist  etwa  1:600000  der- 
jenigen der  Sonne.  Die  Helligkeit  des  UinimeUgrundes  bei  Vollmond 
[«oU  nach  Olbera^)  ungefähr  =  1  :  100000  der  des  VoUmondeit 
lin  —  eine  Angabe,  die  ich  nicht  zu  controliren  vermag.  Be- 
zeichnet Ja  diese  Helligkeit  und  setzt  man  J"  ^=  Y'^on  ^^  *^o 
die  SonDenboUigkeit  ist,  so  wird 


-r« 


(«) 


>)  a.  a.  0.  Werke  8.  189. 


898         SiUnnif  dtr  vtath.-phj/a.  Claasc  «wi  7.  Novtmiher  f9M. 

Jedenfnlts  dürfte  dieses  Beispiel  ^teigra,  daas  in  der  Thftt 
die  Absoqitinn  ausreicht,  uro  die  geringe  mittlere  Helli^'keii 
des  FixitlernhimmeU  zu  erklären  und  zwar  auch  dann,  wenn 
die  Anzahl  der  leuchtenden  Massen  mit  der  Itaumansdehnung 
iu'ti  Unendliche  wächst.  Es  ergiebt  &ich  aber  uuch,  dass  Aim 
nur  ätatitiiiüoi.  wenn  der  Absorptionscoefficient  eine  gewiüu 
Gröst»   Qberschrcitet,   so    wird    nach    Formel   (7)  h  nur   dann 

3  S 

gegen  J  sehr  klein,  wenn  Xq^  sehr  gross  gegen  j  p  ist.    Femer 

ist  klar,  dass  dte  Annahme  der  Absorption  keine  noth wendige 
Annahme  ist,  denn  dasselbe  Resultat  wird  erreicht,  wenn  «in 
gKwisäer  MiLtelwerlh  von  J  einen  bestimuiten  kleinen  Werth 
nicht  übe^i^chreitet.     Betrachten  wir  i.  B.  die  Formel  (5) 


=  p.e-- 


dz 


ao  kann  man  h  durch  rielerlei  Annahmen  Ober  J  aehr  klvin 
machen.  Der  einfachste  dieser  Fälle  ist  der,  dass  J  im  Mittel 
Ql}erall  sehr  klein  t»>t.  K^  würde  dies  aussagen,  doas  dberali 
im  Kaume  noch  sehr  viele  dunkle  oder  »ehr  wenig  leuchtende 
Weltkörper  vorkommen,  wobei  man  indessen  sehr  weite  Strecken 
in  unserer  Umgebung  oder  aucb  In  andern  Theilen  des  Uni- 
Tersums  ausnehmen  kann.  Mit  den  obigen  Zahlen  orgiebt  fich 
z.  B.  für  die  Helligkeit  des  HimraeU,  wenn  hierzu  alle  Welt- 
k&rper  in  der  angenommenen  Verilieilungüdicfatägkeit  bis  sn 
einer  Entfernung  von  r  Siriusweiten  beitragen  : 

h  =  [j.  e"  dx;     z,  «=  3.3  x  10""  •  r 

u 

Bei  constantem  J  und  wenn  r  nicht  allzu  gross  int,  wird  aUo; 

/,  =  3.3  X  10-'«  -r-J 

Wenn  demnach  r  ^  1000  gesetzt  wird,  frhtilt  man  ent 
dieselbe  Zahl  wiii  in  (8).  Auh  solchen  l'ebtirlegungen  folgt, 
dsM  man  nur  anzunehmen  brancht,  die  Leuchtkraft  der  Wel^ 
körper  »ei  erat  in  ganz  enormen  Entfernungen  im  Mittvl  kleiD. 


W.  Seeliiftr:  üthtr  d*u  Ntiotun'teht  ChavitntionstgtstU.         3^0 

DisM  letztere  Annahm«  gonUgt  ferner  fQr  endlicbo  Strecken, 
denn  wie  sich  die  tuitlUie  Leuchtkrafl  in  sehr  ^roitneu  r  ent- 
«prechendeu  KDifemun^en  gesUilt^t,  ist  wiederum,  wegen  des 
Factora  e*  g9^m  gleicli;;üUi}^.  n(?rgteicken  Annnhmen  scheinen 
mir  aber  uichl  nur  durchaus  /uliUiig  zu  Mein,  iiondurn  »ogar 
den  Vorzug  vor  audern  zu  besitzen. 

Die  Zeit,  während  der  ein  Fixstern  -^ich  in  einem  Zustand 
befindet,  iu  welchem  er  optisch  oder  phul^graphiseb  wirksame 
Strahlen  aussendet,  haben  wir  jedenfalU  aU  nberaua  kurx  an- 
zusehen gegenQber  der  Zeit,  während  der  er  aich  in  diesem 
Zustande  nicht  befindet.  Wären  die  in  den  verschiedensten 
Stadien  der  Entwicklung  betindlichen  Weltkürper  nach  dem 
Zufall  im  Weltraum  Tertheilt,  ao  mOsBie  demnach  ihre  mittlere 
Helligkeit  in  jedem  Ilaumtheile  eine  sehr  geringe  sein.  Diese 
zufällige  Vertheüung  anzunehmen ,  wird  man  indessen  mit 
Hecht  bedenklich  finden,  obgleich  nidht  zu  übersehen  ist,  dass 
Leuchtkraft  zn  einer  bestimmten  Zeit  wesentlich,  auch  bei 
Innahmo  eines  gleichzeitigen  Beginnes  der  hlutv,*icklung,  von 
der  Grösse,  Wärmeleitungäfahigkeit  und  anderen  physikalischen 
Bigenscbaften  der  einzelnen  Körper  abhängig  sein  muaa,  wie 
denn  z.  B.  kleinere  Körper  im  Allgemeinen  rascher  erkalten 
als  griSseere.  Ks  »precben  aber  mannigfache  Erfahrungen  dafür, 
daa  sehr  venuhieden  groes«  Massen  in  unserer  Xähe  als  Fix- 
Sterne  leuchten.  Eine  Schwierigkeit,  selbet  fQr  die  uns  nächsten 
Tbeile  des  Kaumes  an/unehnien ,  dass  hier  die  Anzahl  der 
dunklen  Sterne  die  der  ienchtenden  bei  weitem  überwiegt, 
kann  deshalb  wohl  kaum  bestehen.  Indessen  ist  dies  gar  nicht 
nötbig.  Der  Entwickln ngszustand  des  WeItkÖr[>ers  wird  als 
eine  Function  des  Ortes  und  der  Zeit  zu  betrachten  sein.  Die 
rerscfaiedenen  Kaumtheile  werden  sich  demnach  zu  einer  be- 
stimmten Zeit  in  sehr  verschiedenen  Zuständen  befinden  und 
nach  dem  früheren  werden  wir  annehmen  mOssen,  dass  die 
Qbcrwiegende  Anzahl  dieser  Zustände  dem  Leuchten  nicht 
gQiuiig  ist.  Hierzu  kommt  noch  die  BerQcksichtigung  der  Licht- 
seit,  d.  h.  der  Zeit,  die  das  Licht  braucht  um  von  den  Himmels- 
k3r|M'rn    tu    uns    r.u    gelangten.      Fflr   {*ehr   entfernte    Uegionen 


400  Sitsiiiig  der  math.-phys.  ('lasse  vom  7.  Novrmher  tSViJ. 

kommen  dann  Zeiten  in  Betracht,  die  auch  in  der  Ühitwicklnnga- 
gescbichte  der  Weltkörper  nicht  ku  vernachlasaigen  sind.  In- 
dessen ist  leicht  einzusehen^  dass  das  Resultat  der  angestellten 
Betmchtung^ii  hierdurch  im  Wesentlichen  ungeändert  bleibt. 
Wie  maa  auch  diese  Ueberlegungen  im  Einzelnen  weiter 
ausföhren  oder  auch  umgestalten  mag,  jedenfalls  dfirfte  an* 
ihnen  hervorgeben^  dasa  dieThataacbe  des  wenig  bellen  Bimmels- 
gr»nde£  keineswegs  mit  Nothwendigkeit  auf  eine  Absorp- 
tion des  Lichtes  im  Welträume,  im  Sinne  von  Olbers,  hinweiid. 


j 
I 

L 


401 


Die  analytische  Fortsetzung  derjenigen  Functionen, 

welche  das  Innere  eines  Kegelschnittes  confonn  auf 

die  Halbebene  abbilden. 

Von  F.  Lindenanu. 

Für  Ellipse  und  Parabel  sind  toq  Scbwarz  zaentt  die- 
jenigen Formeln  mitgetheilt,  welclie  den  innerhalb')  oder  ausser- 
halb*) einer  solchen  Curve  gelegenen  Theil  der  Ebenu  confonn 
ftof  den  Kinhejtskreis  abbilden.  Für  die  Hyperbel  habe  ich 
die  entsprechenden  Gleichungen  hinzugefügt.*)  Im  Folgenden 
M}11  es  unsere  Aufgabe  sein,  die  hierdurch  detinirten  Abbildungen 
in  ihrer  Bedeutung  für  die  ganze  Ebene  sowohl  der  einen 
als  der  anderen  Variabeln  zu  verfolgen.  Dabei  leit-e  ich  die 
Schwarz'schen  Formeln  von  neuem  ab  auf  iitund  eine»  allge- 
meinen Ansatzes,  den  ich  früher  Ü\r  eine  gewisse  Klasse  der- 
artiger Probleme*)  gegeben  habe. 


*)  Uüber  «niifu  AbbildiintTMiifirnbeii.  196*J.  CreUc''!!  .Toonml.  Bd.  70. 
und  Annuli  tli  inatb«miiticu,  Scr.  3,  iVL  .1.  lic.<nnim«:lt«'  AhlntnJIungen, 
Bd    2,  8.  77  und  103. 

*)  Uobw  einnii  Hn'nKnlmrjpiTig  dorcfa  alt^niirrnde«  Verfwhivii,  1870, 
Vierteljahntchrifl  der  naturfor«>.bt'nd0n  l^meUitfhaft  tu  XOricb,  lld,  Ib, 
Uei.  AMiandltingcn.  IM.  3.  8.   Ul. 

')  Sitziint^borielit«  d«r  IikI-  l'ityer.  Akadomi«.  malb.-phji.  KIiuk(>. 
1805.  Bd.  3&  (and  Mrhon  frtthor  in  mniien  TorlMungen). 

')  I'hjiiiktU.-akuiiouiiscli«!  iiVMuUwhafl  Kii  Ktiniipiibvrii  i.  Pr.  äilzunic'- 
böficUl«»  vom  7.  .Iinii  IHM. 


402 


Süevng  4eT  mnih^-jA^s.  (ßasae  vom  7.  Nnpeinber  1896. 


I.   Kltipse. 

1.  Wir  seken  g  =^  x  -\-  i tj,  s^  =  x^  itf^  Z ^=  X  -\-  i  T. 
Ut.  Jami  f{£,  ej)'^Q  die  Gleichung  fier  Ellipse  in  der  r-Ebeup, 
so  wirtl  nach  meinem  früheren  Ansatz  die  Abbildung  des  Innern 
derBelben  aul  die  obere  Halbebene  (F>  0)  der  ^-Ebene  durth 
die  Forme! 


(1) 


4Z 


V{X-Ä)  {Z-  B)  (Z^A,)  (2-  B,) 


^H-c- 


TermittelL  Hier  bedeuten  C  und  (f  Constante;  Ä  and  B  umd 
diejenif^en  Punkte  der  oberen  Halbebene,  welche  den  Brenn-  ^ 
punkten  der  EHipae  zugeordnet  sind;  A^  und  B^  sind  die  con- fl 
jitgirten  Puukte.  Liegen  die  Brenopunkte  der  Ellipse  in  den 
Punkten  ^  1,  und  setzen  wir  Ä  =  i^  B  ^^  a  -^  i^,  wo  /?  >  0, 
i»^  geht  die  Öleicbang  (l)  flber  in: 

(2)      ^^JL==c(-^  ^^  +C\ 


n\-\-z^)[{Z'- 

Durch  die  Substitution 

a-\-iß-\'  i    Z—i 


<»  = 


Ä»  = 


«)*  +  /^] 


a*  +  (^-l)* 


I 


a^iß  —  i    Z-\-i'  a* +  (/*+!)* 

wird  das  Integral  der  rechten  Seite  von  (2)  gleich 

2  r dl 

Die  Gleichung  (1)  erscheint  daher  in  der  Form 

/o\         Z—i         a-\-iß~i  , 

(3)        ^-p  .  =  ^_^-^^.    Bin«  am  {y  arcsm  r  -f-  y  ), 

worin  die  Constanten  y  und  /  noch  näher  zu  bestimmen  sind. 
Nun  soll  für  ^  :=  1 1  also  arcf^in  £  =  ^  \  Z^=i  und  för  ^  =  —  1 

[also  arcflin  e  =  —  ^^  \  Z ^  a '\-  iß  werden;  folglich: 


/■'.  lAmkmoHn:  Die  Analj/ii$che  FhriaeHmftf  «fc 


403 


zr 


y^  +  y'^o. 


+  /  =  +  ^. 


wenn  K  djia  ganze  elliptiäche  Inte^rnl  erster  (ratlnng  bezeichnet 
W&hlen  wir  das  untere  Zeichen,  so  ist  schliesslich  die  ver- 
langte Ahbildung  dnrch  die  Formel 

Z  —  i  _  a-{-iß-i 


Bin'  am  l 


arcsin  a- 


dargestellt.  >) 

Dem  Brennpunkte  «  =  1  haben  wir  den  Punkt  Z=i  will- 
kQrlich  zugeordnet;  die  Ahbildung  wird  dahur  völlig  bestimmt, 
wenn  wir  noch  einem  Punkte  des  ßande»  der  Ellipse  einen 
Punkt  der  reellen  Axe  zuordnen.  Sei  a  die  halbe  grosse  Äxe 
der  KUiptte  und  s  =  a  der  Scheitel,  so  m&ge  diesem  der  Punkt 
X=^  Ä^  y  «  0  entfiprechen ;  dann  sind  die  Cousianteu  a  und  ß 
aus  der  Gleichung 


(5) 


«H-J/'-f  • 


sin'  am 


arcsiD 


ina-f) 


zu  ermitteln. 

Um  die  Symmetrie  der  Ellipse  gegen  ihre  beiden  Axen 
nuch  im  Bilde  herrortreten  zu  lassen,  empfiehlt  es  sich,  dem 
Punkte  J.  eine  speciellc  Lage  zu  geben.  Wir  wählen  Ä^Oi 
dann  ist  nach  (5)  auch  a  =  0,  und  wir  erhalten 

i  "=  (f^)  =  *'"* ""'  (^  "'^'^ "  -  f)  • 

Ferner  gibt  die  Formel  sin  am  1  — ö~  )  =  (  ^~  )  ****  Itesultat: 

iK'  .   fiK'ft\ 

~,         „^cos,n(^-2-^-j. 


(6) 


(7)       ~ 


K  K 

arcsin  a =- 

n  2 


0: 


(8) 


Aas  (4)  erhalten  wir  sonach  für  o 

-  — r  =  +  V  am*  am  1        arcsm  t ^  I  • 

-f-  j       -»-  \  ,.f  2  / 


^  + 


1)  Vgl.  Schwan  a.  a.  0. 
iraa.  lliaii.-|ii«H.  LI.  3 


37 


401         Siliitntj  eUr  math.-i/h^s.  Cit%iat  cum  T.  Ntteember  J8Üß. 


Wir  wjiblr^n  für  fJas  Fulgenil«  ihia  untere  A'iohen. 

lat  die  KUi\iäe   ^egebfn,    so    wird    mittelst    (7)    dl 


Pertaden-Ver! 


tni«s 


iK' 


AUS  der  halben  grossen  \i 


b«>recbiiet;  dann  ist  h*  bekanntf  und  auä(6)  fiuijetniac 
den  Piiakfc/ii,  welcher  dem  Brennpunkte   —1  eutsp rieht 

3.  Ist  j  reelle  so  muas  nach  (8)  Z  rein  imaginär  iiein. 
d.  Ii.  der  grossen  Hauptaxe  der  Ellipse  entspricht  die 
1*-Axe. 

Vertauschen  wir  i  mit  — i,  so  ergibt  sich  aus  (8): 


Z  +  i 


Ä' 


Lung»  der  kleinen  Hauptaie  der  KlJi|iae  iat  s  -^  £^  ^0. 
«iu*  am 

1  —  sin*  ÄTn  ( —  arcsin  * —  i 


.'i  ^        '1  J  \n  2  , 


1  —  //'  sin*  am  (      arcain  j^  —  -,  1 


(9) 


Set/.t  man  dies  in  (8a)  ein,  so  ergibt  sieb: 

1  —  k 


^•^'-  1+Ä' 


also  die  Gleichung  eines  Kreises,  dessen  Mittelpunkt  im  Anfangs- 
punkte liegt.  In  bekannter  Weise  vorgenommene  , Spiege- 
lungen* an  diesem  Kreise  und  nn  der  Axe  X  =  0  ent- 
sprechen in  der  Halbebene  T'>0  den  Symnietrie-Be- 
xiehungen  der  Ellipse  gegen  ihre  Hauptaxen. 

3.  E)s  handelt  sich  jetzt  darum,  dasjenige  Qebiet  der 
£-Ebene  zu  bestimmen,  welches  der  unteren  Halbebene  (y<0) 
der  Z-Ebene  entspricht.  Ueber  der  ^-Ebene  denken  wir  nn> 
diejenige  zweiblättrige  iliemann'sche  Flüche  construirt,  welche 
die  Wertbe  von  ^,  darstellt,  wenn  z  und  r,  mit  einander  durch 
die  fileidiung  der  Ellipse  verbunden  sind.  Die  Fläche  bat 
Twei  Ver/weignng'^punkte,    und  zwar  in  den   Brennpunkten  der 


rlnuAiiR* 


mmttfhAcMe  ForUtlzu***!  4i1e 


Ktlfpse.  Längs  der  letzti^ren  ist  einer  der  Hpjden  lu  s  gehi'in)?ffn 
Werthe  von  r,  gleich  a;  — ry,  wenn  j  =  jr -}-  iy  ^eNeUt  wirJ. 
Dns  Bliitt  Hnr  FliU'h«;,  in  dorn  dies  Kiitrifft,  und  in  dem  %vir 
uns  den  reellen  Zug  der  Ellipse  gelegen  denken  ^  bezeichnen 
wir  aU  das  untere  Blatt.  Nur  in  diesem  unteren  BUtt«  nnd 
l&ogä  des  reellen  Zuges  der  Ellipse  ist  daher  s^  xu  s  conjugirt» 
soüfit  bezeichnet  js^  andare  cnmplex«*  ZahUn  definirt  durch  die 
Gleichung  der  KilipRe: 


(10) 


,.('-t',y_.f-^)L... 


wobei  «'  —  A*  =  I   sein  ning. 

Im  Innern  der  Ktlipi^e  ist  die  Beziehung  Kwinchen  i  und  Z 
eindeutig.  Denjenigen  Theilen  der  beiden  Blatter  uniM.<rer 
Fläche,  welche  im  Innern  der  Ellifwe  liegen,  entsprechen  daher 
über  der  Halbfbene  }'>0  zwei  einander  congrnente  nnd  tlber 
ftinander  liegende  Blätter  einer  neuen  HiemannVben  Fläche, 
welche  mit  einander  durch  die  beiden  (den  Brennpunkten  ent- 
xprfchenden)  Verrweigungspunktti  i  und  a-j-i^  verbunden  sind, 
und  welche  durch  die  roelle  Ase  begrenzt  werden.  Oern  reellen 
Zuge  der  Ellipse  (im  unteren  Blatte  der  ersten  Flüche)  möge 
die  Axe  V=fl  enbprc'.heii,  insofern  sie  im  unteren  Blatte  der 
neuen  Flache  gedacht  wird:  dor  im  oberen  Blatte  der  ersten 
Fläch«  genau  Ober  der  gegebenen  Kllip-e  liegenden  RUipse  ent- 
spricht dann  die  reelle  Axe  Y  =  0,  in»>rem  sie  das  obere  Blatt 
der  neuen   ßiemann'ächen  Fläche  begrenzt. 

L'eberschreitet  nun  Ji  im  unteren  Blatte  die  reelle  Axe, 
so  überschreitet  #  die  gegebono  Ellipse.  Ueher  der  Halbebeno 
]'<  0  breiten  wir  eine  ans  xwei  Blättern  bestehende  Riemnnn'sche 
Fliü'hr  uns,  welche  längs  der  Axe  l'^^O  im  uutert*n  Blatte 
■tetig  mit  der  9(K>ben  besprochenen  Fläche  Kn$umnienhängt,  nnd 
deren  Blätter  durch  die  Ver/.weigungüpunkte  — i  und  a  —  ifi 
mit  filiander  verbunden  sind.  Das  obere  BUlt  dernolben  wird 
wieder  durch  die  reelle  Axe  >' =  U  hegren«t,  hängt  hier  aber 
in  keiner  Weise  mit  dem  oberen  Blatte  der  Aber  der  llalbeliene 
)">  0  »oelieD  cnnstruirlen  Fluchi*  iiwiinun^'n.    Was  enlitprieht 

37» 


■iOCt         Sitiwtff  dtr  mtith.-phffti.  CIums  i.>oiii  T.  Navemhifr  /89(7, 


nnu    di«ser    über    der    Halbebmie    1'  <  0    construirleii' 
Kweiblättrigeti    Fläche   in   der  Ebene    der  Variabelb  j 
oder    besser:    in   der   Über   dieser   Ebene    vermögü    di*r 
Gleichang  (10)  zu  constrairenden   Fläche? 

4.  Wir  »eUeti 
(1 1)  u  -\-  ip  =^  arcsin  (x  -j-  iij) 


z  ^  am  tt 


f/  :=  cosin  « ~ , 


so  dikss  ein  Syi^tem  coDfocaler  Ellipsen  und  Hytierbeln    mit  <!rn 
Hrennpuukten  ^  I   durch  die  Gleichangea 


(Iß) 


(c^  e-y 


(13) 


cos'  H 


=  1 


=  k' 


in  bekannter  Weise  dargestellt  wird.     FUr   reolle   Wiertfae    too 
Z  ist  andereraeiU  nach  (6)  and  (7): 

—(St)' 

=  «' sm'  am  I  —  [v,  -\-  %v) -y  sin' am (       {«  —  i v) —  I  • 

am'*  am  I  —  « V )  ^  ^'°   ^™  ( —  *" )  I 

1  —  k*  sin  *  am  ( — -  u —  1  sin '  am  ( - —  v  \    I 

Damit  diese  Relation  erfüllt  sei,  muss 

gesetzt  werden,    unter  h  eine   ganze  Zuhl    verstanden;    denn  es 
ist  in  der  That 

sin  am    -  ^       =     .     . 
^   /       \k 


F.   lAtiitrvxiittn:   Ihf  iinnhftinthe  yurUtitung  «ie.  407 

Vermftpe  dt*r  Gleichunj?  (7)  wtrHen  also  der  r<>ellen 
Axo  Y  =»  0  unendlich  viele,  einaiid(*r  confnculu  Hülipütiii 
des  System»  (12)  zugeordnet,  deri'n  Parnmeter  v  durch 
(14)  gegeben  sind. 

Im  Iiineru  der  gegebenen  GI1i()de(10)  kiinn  keine  ändert? 
liegen,  deren  Pammeter  v  durch  (11)  gegeben  wird.  Mit 
wHrhsendeni  v  wächst  auch  die  groNfie  Axe  der  betreffenden 
Ellipse  (12).  Der  tn  (10)  gehörige  Parunieterwerth  ff, 
wird  also  aus  (U)  für  m=0  gefunden: 

.---  iCn         .  in 

(55)  Po—  ^j^  =i-arcsina  — — , 

denn    es    genügt,     pKwitive    Werthe    Ton    v    in    Betracht    zu 
ziehen. 

Tritt  nnn  X  ans  der  oberen  Halbebone  Über  die  X-Axe  in 
die  untere  Halbebenc  ein,  so  überschreitet  m  die  gegebene 
EUii>se;  und  der  zwei  blättrigen  Fläche,  welche  Aber  der  unteren 
Halbebone  cunstruirt  wunle,  entspriclit  der  ringförmige  Fläeben- 
raum  zwischen  der  gegebenen  Ellipse  mit  dem  Parameter  fn 
und  der  Ellipse  mit  dem  Parameter 


rZvrei  Pankte  dieses  Ringes  sind  dadurch  ausgezeit-hnet,  da« 
sie  den  Verzweigungspunkten  — i  und  —  ßi  jener  Fläche  ent- 
sprechen;  es  sind  die  Punkte  e,  und  f,,  wobei  nach  (8): 


K  .  ^  BT 


st 


also: 


tu»  fol^  hieraus: 

K  K 

ixJer: 

(10  ^^,,u\-^^-j.~] 


Die    FunkU- 


lifgen    auf    der 


nietriach  zum  Mittelpunkt  der  Ellipse. 

Uebersclireitflt  nun  m  don  KiusBreii  Rand 
Ilioges,  lo  tritt  ^  wiptier  in  die  obere  H&lbehene 
Ketzbere  ist  luit  zwei  Blütt^m  vun  Neuem  Oberd 
di«  mit  einander  in  den  Punkten  (  nnd  ßi  werxwtA 
den  zneret  betrachteten  Bl&ttem  aber  nicht  zassn 
Diesen  beiden  BUttern  entspricht  in  der  ^-Rbene 
oniptischer  Hing,  begrenzt  durch  die  KIlipsen 


und  t^,«^. 


2/C    • 
fn  diesem  Ringe  liegen  die  beiden  Punkt« 

:,  —  coainl— ^^ — 1,         e^  =  —  cosmf — i^ 

welche   den    Funkten  i  und    ßi   zugeordnet    aind, 
orgeben  sich  Über  der  Halhebene  r>0  iia<t 
wechaelad  aweiblättriite  Riemann'itoliaJi'i 


/■'.  JÄndeoiuHn:  IHe  analytutche  l'urtset£Utuj  elc. 


m 


m  Flüche  unendUch  viele  weitere  Dop|iol-HalbeWonen, 
scliselnd  i'iir  y>0  und   F<0  an»cbli essen. 

■  5.  Die  Abbildung  des  Aensseren  einer  Ellipse  auf 
Halbene  wird  ebenfalls  diircb  eine  (.JleichtmR  der  Form  (1) 
üittelt;  es  ist  nur  die  rechte  Seite  zuTor  so  abzuändern,  dass 

,,1r  ei«pu  bestimmten  Punkt  A-\-Bi  der  Halbebene  T>0 
ndlich   gross  erster  Ordnung   wird;   ferner   sind   die  Brenn- 

tkte  nicht  besonders  zu  bcrncksichtigeu.  da  sich  ausserhalb 
BIlipse  Ifein  Brennpunkt  befindet,  die  Punkte  A^  B,  j4,,  B, 

d  daher    nicht  einzufOhren.     An  Stelle    vcmi   (1)    entsteht  sn 

!  Gleichung: 

o  i2  =  A  -\-  i B^  Sij^ A  —  iB  gesetzt  ist,   und  durch  Aus- 
ihrting  der  Integration 


- —      f  Z  —  O  \" 


NO   a   und   ß  Coustante    bedeuten.      Damit   s   uncudlicli    gruse 
fjrster  (»rdnung  wird  für  iT^ß,  mnss  ä=1  aein;   und  wenn 
fdcr  Punkte  ^a  (Scheitel  der  Ellipse)  dem  Punkte  j?=sco  ent- 
sprechen soll,  so  folgt 

äetzt  man  noch 

so  ergibt  sich  die  bekannte  und  vielfach  behandelte  Abbildung^) 

1 


welche  das  Aeossere  der  Klli[)se  in  das  Innere  eines  Kreise»  cimform 
ObcrfQhrt.     EU  ist  nicht  nöthig,  auf  dieselbe  näher  einzugehen. 


-K"+?V). 


')  Vi-rjri,   2.  B.  IIoUiutllli.'r ,  Einleitung  in   dif  ITieorie  der  iwv 
gunaltio  Vcrwiiniltwliaftnn.    Leipnig.  l4dU.   Ü.  NU  IF. 


SiUtmg  dtr  matk-flif».  CToM«  com  7.  3f» 


II.   Hyperbel. 

6.    Üait  von  einem  Hyperb«laste    un    dwwp  omi 
beßreoKte  Gebit;t  der  Ebene   iat  als    ein  aolcb«   n 
dessen  Rand  im  unendlichen  eine  Ecke   besitzt;  und  iv> 
die  Iwideu  an  difi^r  Ecke  zusammen  »to^tendeD  Tingalil 
lUndes   einen  VVinkcI  gleich  demjenigen,    deo   dit 
der  nyperbet  einschliesüen  (^  a). 

Die  Brennpunkte  der  Hyperbel  mögen  an  deo 
liegen,  und  zwar  der  Brennpunkt  -J-  1  im  Innern 
bildenden  KlächeastQckes.  Demselben  niö^e  der  Punkt  JS- 
in  der  Halbebenc  y>0  entsprechen;  dann  ergibt  nc^' 
Analogie  zu  (1)  und  (2)  die  Gleichung 

und  durch  Inte^ation 

worin  die  Constanten  ß  und  y  and  die  zusammen gebOcigcn 
zeichen  der  beiden  Quadratwurzeln  noch  zu   beetünmon 

Um  /  7U  finden,   entwickeln    wir  ir~^   nach   Poteue 
Z~^  mittelst  der  Gleichung 

Für  das  obere  Zeichen  ergibt  sich  eine  Qleicbong  dei 
(21)  r'  -  Z-'(c,^e,Z-*-}-c,Z-*  -(-...), 

und  für  das  untere  Zeichen 
(21  a)         *-'  =  Z^  (c;  +  c\  Z''  4-  c;  Z-*  4-  . .  .), 

Im  ersten  Falle  wäre  also  y  =  — ,  im  zweitea 

denn  an  der  Stelle  ^~'  *=  0  bilden   die  Tangenten    dea 
unseres  Flachensidcked   mit  einander  den  Wiiikiil    a, 
die  Abbildung    in  den  Winkel  »   gestreckt  werden 


F.  Lindtmattn:  Die  ttnat^tuche  l'WtsetsuHff  etc.  411 

Estante  fi    bestimmt   sich    dadurch,    dass   dem    BrenTipuiikte 

B=  1  der  Punkt  iT^t^tf*    zugeordnet  wurde;  wir  erhalten 
i  ersten  Falle 

Y^i  ai 

2)  I  =iie~^~  =^ße*  =/!f(o-i-i]''T^«"). 

td  im  andern  Falle 


at 


2a)      l«/9-e 


i    


=  ße     «  =.ii(a  —  iyT^i 


Die  Entwicklungen  (21)  nnd  (21a)  beruhen  auf  den  Potenz- 
ihen  für  1/  1 r  und  1/  1  +  -„- .    Kratere  gilt  flir  a:  >  1, 

tztere  für  F>  1  bei  reellen  Werthen  von  et  denen  rein 
taginäre  Werthe  Ton  Z  entsprechen,  da  im  Bilde  dieselbe 
rmmetrie  bestehen  moss,  wie  in  dem  gegebenen  Plächenstflcke. 
acht  nun  g  im  positiven  Sinne  einen  halben  Umgang  um 
=  1,  80  beschreibt  zugleich  Z  einen  halben  Umgang  um 
=  i.     Für  a;  >  1  lautet  daher  die  Gleichung  (20): 

so  för  a!<  1: 

x±iVi-'j^=^ße  «  (r+'Ti-y). 

Lassen  wir  nun  x  =  a,  also   F  =  0  werden,  so  kommt 

■  Das  obere  Zeichen  gilt  fOr  den  Fall  (22),  das  untere 
r(SSft).  In  beiden  Fällen  itil  dipHA  Gleichung  eine  Identität. 
'^ir  Baben  alao  schliesslich  die  Äbbildungsformel 


a±iVl—a'^e~  «  =ße' 


j-jii 


s^Vf'-y 


a-^yv^^ 


P=:(;ffr^  +  iK 


■112         Sittuny  der  utnth.-iAf/s.  i'ianK  mm  T.  November  lüiHl. 

vfohm  die  Vorzeieheii  der  i^uadcatwurüeln  diircli  1.23)  für  x  >  t* 
deliuirl  ;siiiil.  Aendert  man  <Jie  beiden  Vorzeieheu  üuf  «itr  titikvn 
Sfiite,  so  muäs  recbts  das  Vorzeichen  des  Exponenten  g'cändert 
werden.  Bei  unaerer  Vorzeichen -Definition  enttpricht  dem 
Quadranten  X<  0,  !">  0  dur  Thei!  des  Hyperbe]-KlÄchea«tüükw, 
in  dem  x>0,  y^^i  ist.     Die  Aufl&aung  von  (Ü*l)  ergibt: 

Dieeti  letztere  QldcluiiiK^  lässi  deutlicli  erkennim^  dnas  rein 
inmgintiren   Wertlien  Ton  Z  reelle  Werthe  von  s  &nlH|arecbrn. 

7,  Um  den  Verlauf  der  durch  (24)  dargest^^Uten  Function 
til>er  daü  ur^prdiii gliche  Gebiet  hinaus  zu  verfolgen;  denken  wir 
im«  CibtT  der  ^-Ehcn«  wieder  diejenige  zweibläittrige  RiemniiD^iH^be 
Fläche  canstruirt,  welche  «,  als  Function  von  £  f^etuä«!  der 
Gleichung 


(25) 


(^SrO'+  (^r- 


1 


d»rstedlt,  wo  «*-J-ft"  =  l.  Diese  Flüche  hat  twm  »icli  anf- 
hebende  Verzweigungspunkte  für  *  =  0  und  zwei  einfache  Ver- 
zweigungen in  den  Brennpunkten  4-  1,  Den  Brennpunkt  -j-  1 
verbinden  wir  längs  der  reellen  Äxe  (y  =  0)  mit  dem  unend- 
lich fernen  Punkte  durch  eine  TJebergangslinie.  Im  unteren 
Blatte  liegt  die  gegebene  Hyperbel,  im  oberen  unmittelbar 
darüber  eine  congruente  Hyperbel  (vergl.  oben  Nr.  3).  Diese 
beiden  Blätter,  begrenzt  bez.  durch  die  genannten 
beiden  Hyperbeln,  sind  durch  (24)  iiuf  zwei  Ober  der 
Halbebene  }'>  0  liegende  Blätter  einer  anderen  Rie- 
niann*achen  Fläche  couform  abgebildet;  und  die  beiden 
Blätter  der  letzteren  hängen  mit  einander  längs  einer  Ueber- 
gangslinie  zusammen,  die  vom  Punkte  Z=i  längs  der  Axe 
X  =  0  nach  dem  Punkte  Z  =  cd  verläuft. 

Uebersch reitet  £  die  Hyj'erbel  (25),  so  tritt  Z  aus  der 
oberen  Halbebene  in  die  untere  { )'  <  <>)  ein  nnd  über  dieser 
enUteht   t-iiit-    i^veiblätterige  Fläche,    die   der    für   1'  >  0    con- 


m 


^ 


Btmurttfn  völlijx  syiuiuflrbwb  int,  mit  derselben  aber  uur  im 
iiDterun,  nicht  niieh  im  oberen  Blatte  liing»  <Ier  Axe  y  s  0  y.n- 
«animenhilngt.  Deni  Rando  des  oberen  Blattes  lärgs  dieser 
Ax«  enUpricht  in  der  «-Ebene  eine  näher  xu  bestimmende 
Ciir*p  C;  ilas  »on  dit«er  Cune  und  der  j^ej^ebenen  Hypurhi?! 
eingesohloHscne  Klächen<<iüc-k  ist  der  uräprlinKlich  innerbnlb  de« 
Uyperbelastef)  conati-uirten  zweiblättrigeii  Fläche  xngeordnet: 
letztere  bat  sich  bei  diener  2iUordnun<^  in  eine  einblättript!  ver- 
wandelt, txnd  die  Cnrve  C  geht  uns  derjenigen  Hyperbel  hervor, 
welche  das  obere  Blatt  der  urdprUnglicIten  Fläche  begrenzt 
(unmittelbar  Über  der  gegebenen  Hyperbel  liegend);  die  Curre  0 
wird  durch  folgende  L'eberleguog  bestioiint. 
Wir  »etxen  /.iir  AbkOry-nug 


(36) 


P-(jC+KX'+iy.        ,^«^2«-i)«. 


wu  P  eine  reelle  potntive  Zahl  bedeutet,  und  bezeichnen  mit  J^ 
den  ungemeinsten  Werth,  den  die  Functioa  (24  a)  unter  fic- 
rOoksichtijXuug  ihrer  Mehrdeutigkeit  annehmen  kuuu;  dann  wird 

*«  =  i  (^  +  P'')  cosin  r„  +  i-  (P  -  P-')  Bin  r^  . 

Itit  ahMi  ^^^  BS  X  ~f  'y^*  ^  besteht  längs  der  reellen  Axu  (Y  =  0) 
die  Identität 

(27)  -f-.  -  ^  »  I  , 
cos"  «^        Hin'  «^ 

d.  h.  die  Gleichung  einer  itn  (20)  cunfuculen  Hyiterbol,  die  fOr 
H  =  0  mit  (25)  «jJbst  identisch  ist.  Der  Scheitel  der  Hyperbel 
nähert  ^ich  mit  wachsenden  n  dem  Anfangbptuiktef  überfichreitct 
deoäelben  und  wandert  nach  links«  bis 

(28)  «,  <  rr  <  ..^, , 

um  dann  wieder  auf  die  rechte  Seite  Uberzuspriogen,  u.  t.  f. 
Untiere  Curve  C  ist  riSenbar  durch  dt<n  Werth  ft  =s  1  gegeben;  den 
beiden  II her  der  unteren  Halbebene  (}'  d  0)  bezw.  inner- 


41 4         Sittunff  der  matA.-jAy«,  OlatM  vom  7.  Nitvanber  W96. 


Iialb  der  Hyperbel  (25)   ausf^ebreiteien    Bläilern.    enl 
spricht  dtiher   der  Flücbeufitreifeu   Kwincbeii    dem    be- 
trachteten HyperbelaBte(25)  und  dem  analogen  Aste  der 
fOr  ft^  1  durch  (27)  dargestellten  confocuten  Hyperbel. 

Geht  Z  im  oberen  Rlntte  wieder  in  das  Gi>hipt  y  >  0,  *u 
entstehen  hier  zwei  neue,  den  froheren  congraente  Blütt«r,  die 
vermöge  (24)  auf  einen  zweiten  Flächen  streifen  der  «-Eben« 
abgeleitet  sind,  der  von  den  beiden  fflr  « *=  1  und  «  ^  2  dnrvb 
(27)  dargestellten  Hyperbeln  begrenzt  wird,  u.  e.  f. 

Besonders  zu  beachten  ist,  wie  sich  hierbei  die  von  i 
nscb  ioo,  bez.  Ton  — i  nach  — i  oo  verlaufenden  g«nidlinif^>n 
Uebergan^i^linien  dieser  Doppel-Halb-Ehenen  transformiren.  Die 
UebergangsUnie  der  ersten  zweiblättrigen  Fläche  (y  >-  0)  ging 
über  in  die  reelle  Axe  der  «-Kbene  filr  1  <C  x  <  oo.  AUgemetn 
linden  wir  aus  (21a)  alt)  Coordinaten  |^,  %  eines  Punktes  d«r 
Uebergaugslinie : 


1 


(29)  A h-  =  1 

dabei  ist 


810' 0_ 


co6»n'  0|^ 


Den  fraglichen  Üebergangslinien  entprechen  da- 
her Hyperbeln,  welche  ebenfalls  xn  (25)  confocal  xind 
und  bez.  innerhalb  der  erwähnten  KISchenatreifea 
liegen.  Den  Punkten  jh  i  der  Z-Ebene  ist  die  Boihe  Ton 
Punkten 


s*.  =  cosin  a 


=  0 


(30) 

zugeordnet. 

8.  Eine  besondere  Beachtung  benn^mcht  der  Flldutt* 
streifen,  dessen  begronzende  Hyjwrbelu  durch  die  OIeichuo|(  (27) 
mit  dem  Index  n  und  die  entsprechende  mit  dem  Index  fl  4-  1 


F.  Limiemann:  Vit  antttjfti»rJtr  J''or(ul^tHi{r  cl€,  415 

r1ar^^i<t«1It  wcrtloii,  fnlls  n  ()urcli  <Ii«  nD^leichuiig  (2R) 
bestimmt  wird,  Danu  iiiimllch  ÜL't^t  die  Uyperlx-'l  mit  dem 
Index  n  -f~  1  rechts  von  der  Uyperbel  mit  dem  Index  ti;  der 
fragliche  FliicliP-nntreifen  alM>r  si^htiesst  »ich  links  an  die  entere 
H}'i>«rb«l  nn,  ist  an  einer  noch  zu  bestimmenden  Stelle  ver- 
xwei^,  bedeckt  also  das  Innere  den  Hyperbetastes  mit  dem 
Index  n  ganz  oder  tbeilweise  doppelt  and  dehnt  sich  in  dem 
zweiten  Blatt©  bis  an  die  Hyperbel  mit  dem  Indei  n  +  1  au«. 
Die  beidon  Hlättcr  gehen  längs  der  reellen  Axe  in  einander 
Ober,  zwischen  dem  Pankte  —  cn  und  dem  zn  bestimmenden 
Ver£weif»iingspnukte.  Dieser  Linie  entspricht  in  der  if-Ebene 
ein«  Carve,  welche  durch  folgende  Hechnnng  f^efimden  wird. 
Die  Auflüsuug  der  Gleichung  (24)  ergibt: 


{s + v^^Y'  +  (' + vp^Y  J . 


Ist  £  reell  and  >  l,  so  ist  ^  imaginär  und  ab?  ^>  1,  wie  es 
noch  Kr.  7  aein  uiuss. 

Sei  *  =  X  und  jc  <  —  1,  x  =  —  |,   aLw  ^  >  I ,  eo  wird, 
wenn  m  eine  ganze  Zahl  bedeutet 

oder,  wenn  Ä  »  >  +  V?— I  gesetxt  wird: 

2  X  =  (Ä  —  72"')  sin  (2  »j  -f  1) '' 

(31) 

2r«(Ä+Ä*')oosin(2iii4-l)-  , 

und  hieraus: 

^®^^     (cosiniam+I)^)    "  (^.in(2«i-f  D'^j   ~ 


■tUi  HilJtanf}  ihr  math^jjhtix,  lUax^i  foih  7,  S^n-mUfef  l»:m. 


Den  Punkten  v^^*-  -^^  "  ^  ^^^^  iRellfiU  Axe  enl- 
JKpriuhfc  dfther  in  der  Z-Vliteoe  eine  Hy|n'rltcl,  »irre« 
BreuDpiinkti?   an    ilcn   Stellon   +i   Hegen.     r3*»m    Brena- 

ininkte    —  1    det   Kef^ebetien    Hyperlii-4    pnta|iricht    iii»b«*ondü-e 
ilrr  Sr.hritel  (l<?r  Hyi-orlwil  i'A2)  i  , 


A'  =  ') , 


t*  =  cmin  (2  w  +  I)' 


Für  tti  =  0  ist  hierdurch  die  »unJLchst  geakllte  Fl 
l'icantwortet:  Der  gesuchte  Yerxweii^utiKf  [Kinkt  de«  durcli 
die  If ni^loirhnng  (2R)  hßsLimmfceri  z weiblüttriK^'n  Fli- 
chcoatreifpii»  ist  mit  dt-m  Br(Min|iunkt«  —  l  der  ge- 
gelmnen  Hyperbel  identisch.  Die  für  m  ^  l  durcli  (32) 
durgi'wUtlllt^'  llypfrbei  wilnln  fri  atialoger  \Vi*t3e  für  ^ineii  FJ&cbvn- 
streifen  der  «-Ebeno  tM  bunutÄeti  »ciö,  für  den  di«  Indic«"»  der 
In^KriiriMrideii  HypurU^lii  durch  dit*  rngleicbun^ 

^<»«<  Vi 

nharakt«risirt.  «ind«  ii.  tt.  f. 

Kiti    eiiUsprechende^    Verhalten    tritt    ein^    wenn    dj*    Un- 
gleichung 


«    <  2  »I  7r  <  € 


«+i 


erfüllt  ist.  Der  fragliche  Flächenstreifen  wird  KweiblHtirig: 
seine  Uebergangslinie  erstreckt  sich  längs  der  reellen  Axe  von 
x=l  in's  Unendliche,  und  ihr  entspricht  in  der  Z-Ebene  die 
Hyperbel 


(33) 


\cosin  (Sw^l/  V'n  (-'«t)'' 


=  1. 


9.  Sowohl  über  der  /-Ebene  iils  über  der  z-Ebene  werden 
sich  in  der  geschilderten  Weise  unendlich  viele  Blätter  aus- 
breiten. Nur  wenn  a  ein  rationnles  Vielfaches  von  n  ist,  wird 
die  Anzahl  der  Blätter  beiderseitig  eine  endliche,  in  dem  die 
^libildond*'  i''niirt,ion  eine  algelirai^clic  wird. 


/•■   l.imlemiinHt  I)ir  nni^t/tUrhe  Jf^ttUeUnHij  elf. 


111 


BeMind«.'T8  niiagtiecichnofc  i*t  der  Kiill  a^  ,r.     Als  gegeben 

eraclieinb  eine  gloicluaeitigo  liyperbel  (25),  D«ui  Innern 
Jes  recliU  liu^enften  Astes  cnUpricht  conforni  die  obere  Halb- 
Kbene  V^O;  und  /.wnr  ii^t  sowohl  jeiie^i  Innere  uU  dit;  Hulli- 
ebene  xweililüUrig  zu  denken.  0*^  Doppclhrtlbobeno  r<0» 
deren  unteres  Ulatt  ^ch  an  da&  utit«re  BUtl  der  Doppellmlb- 
ebene   ]'>()  anik:)ilieti:^t,   tfnt«|mcht  dor  iiJtreifen   zwischen   der 

gegebenen    Hyperbel    nnd   der   Hyperbel  (27),    wenn    «„  *=  "t 

QUOniinen  wird;  dann  fUllt  aber  ditiüe  Hyperbel  mit  d»m  linkä 
geuden  A^te  der  gegebenen  gleichseitigen  Hyperbel  zusammen. 
Dem  zweibläitrig  za  denkendeu  luuern  dieses  linken  Aütea  eut- 
äpricbt  also  wieder  ein  Htätterpiiar  der  Üatbebene  V  ^  0, 
welches  dem  ersten  ßlütterpaare  vollkommen  oongrueni  üt; 
man  kiinn  diihcr  das  obere  Blnlt  des  Paar»«  )'  C  0  liingä  der 
reellen  Axe  direct  mit  dem  oberen  Blatte  dea  enitea  Paares  in 
Sugamnienbang  gebracht  denken.  Jedem  Punkte  der  Halb* 
Itbenc*  )">0  entsprechen  daher  ?.wai  Punkte  der  *-Kbene,  einer 
im  Innern  des  recht«  liegenden  Zweiges  der  gleichseitigen  Hy- 
purbel,  der  andere  an  »ym  metrisch  er  Stelle  im  lunem  des  linkt« 
liegenden  Aste.4.  Kbcnso  enUprechen  jedem  Punkte  der  Halb- 
ebene )■  <  0  zwei  Punkte  der  «-Ebene,  der  eine  rechts,  der 
andere  links  von  der  Äxe  x  =  0^  welch'  letztere  jetzt  an  Stelle 
der  Hyperlwl  (21))  tritt.  .ledeni  Punkte  j  aber  entspricht  nur 
ein  Punkt  /f.  Ks  ist  jetzt  nicht  mehr  nöthig,  die  beimchteten 
Klüchciiid&cke  zweiblüttrig  zu  denken;  und  «a  muBs  Z  eine 
ganze  mtinnale  Function  Kweit«n  Orndea  ron  £  werden.  Jn  der 
That  erhält  man  aus  (24  a)  die  vielfach  studirto  Abbildungti- 
formel  *) 


(34) 


2y 


10.    Durch   einen  HypHrbeluät   wird   die  j-fclbene  in   xwei 
Theile  t^etheilt;  der  eine  Theil  liegt  an  der  umcitven,  der  andere 


»)  Vjfl.  X.  »,  H»lxmnlli«r  n.  .i   ('    S   liW  (K 


418        Sitsung  der  matk.-jihjfi.  Ciaae  com  7.  NocewI/er  itüH. 

an  der  convoxon  Seite  der  Hyperbel.  Die  cunfbrne  Abbildung 
des  erätertiu  (des  «iDnem'')  warde  in  Vorstehend eni  bebandclt; 
es  fragt  sich  jetzt,  wie  der  letetere  (das  «Aeusaere* 
des  Hyperbelastcs)  conform  auf  die  Halheben©  abge- 
bildet wird.  Da  in  dem  fraglichen  Gebiete  ein  BremipDnkt 
(nünilicb  — 1)  eathallen  ist,  er^bt  unser  allgemeiner  Ansialx 
wieder  eine  Gleichung  von  der  Form  (10),  wenn  man  festsetit, 
dass  dem  Brennpunkte  —1  der  Punkt  +  i  der  Halbebeue  }''>0 
zugeordnet  sein  soll.  Die  Bestimmung  der  Constanieu  ß  und  / 
in  (20)  ist  aber  jet^t  eine  andere.  Da  die  Asymptoten  des  be* 
grenzenden  Hvperbetastes  jetut  den  Winkel  2  m  —  o  einschlieaaen, 
so  erkennt  man  »ofort,  dass  in  den  frOhern  Formeln  aar 
a  dnrch  2fr  —  a  zn  ersetzen  ist;  nnd  somit  ergibt  toA 
aus  (24): 

ni  Sä — « 


(35)       z-^V7^\  =  -«•  (2-f  V^M^i) 

und  aua  (24  a): 


c^(Z+l/^M^)^+  e'"'  (-^H-  YZ^)"^] . 


(35a)  #-- 


In  der  That  ist  dann 
*  -=  -1 


fOr     ^  ^ 


—  oosm 


Z 


Unsere  obigen  Krörterungen  Ober  das  gegenseitige  Ent- 
sprechen der  Ober  beiden  b^beuen  auszubreitenden  Hiemanu*seh| 
Flächen  wiederholen  sich  jetzt  genau  in  der  gleichen  Weil 
Wir  haben  Doppel-Halbebenen  über  der  ^-Ebene  und  tlXeluB- 
streifen  in  der  ^- Ebene.  lctar.tere  wieder  begrenzt  durch  die 
Hyperbeln  (27).  Ein  äulcher  Streifen  dehnt  sich  jetzt  ron  der 
erateu  Hyperbel,  deren  linker  Ast  als  Grenze  in  Betracht  kam, 
aber  den  Unken  A^t  der  niohsten  Hyperbel  hinwog  bu  sun 
rechten  A«te  der  letzteren  aus  und  \&i  somit  als  zweiblfttki^ 
zu  denken,   so  das«  sofort  beim   ersten  ätreifeo,    wie   bei  alln 


h\  tiudfmitHn.'  />i>  /iiuilj||Wldbf  FnrtMetrunff  etc. 


ni> 


folKeiifien  die  Uebprlesuiigen  von  Nr.  8  Anwendung  linden. 
Ani'li  die  Hyperbeln  (29)  behalten  ihr«  Bedeatuni^. 

ht  a  ein  rationales  Vieifnchefl  von  n.  so  ist  die  Func- 
tion (H'l)  al^efaraiMoh.     Der  einfuchitte  FhII  tat  di^rjenifce  der 

(gleichseitigen  Hyperbel  i  «=—] .     E»  wird 

(35)  2*'  =  .^(4^-|-3). 

Ueber  der  «-Ebene  haben  wir  eine  dreiblättrige  Flüche, 
die  in  4  Tbeile  zu  Kerlegen  ist,  Über  der  ^-Gbene  eine  Kwei- 
blättrige  Flücb«.  Der  erste  Theil  ist  das  gegebene  Flüchen- 
attlck  und  entspricht  der  oberen  Halbebene  F  >  0.  Der  «weite 
Tbeil  uiufasst  das  Innere  des  begrenzenden  (linken)  A<tte<i  der 
gleichseitigen  Hyperbel,  nod  zwar  in  doppelter  Belegung,  und 
dehnt  sioh  im  zweiten  Blatte  riber  die.ien  Ast  nach  reehta  bis 
7.ur  Axe  x=0  aui)  (denn  ei  ist  hier  «,  =  0  in  (29),  also 
Ij  =0);  er  lAt  auf  die  Hatbebene  YK.0  abgebildet.  Der  dritte 
Theil  i^t  »«ymnietrifich  zum  zweiten  gegen  diese  Axe  und  der 
Haibebene  T'>  0  zngeordnet.  I>er  vierte  Theil  ist  Kymmetrisch 
7.um  ersten;  er  braleht  aus  dem  Innern  dei  zweiten  (rechts 
liegenden)  Astes  der  Hy[>erbel  und  ist  wieder  auf  die  Halb- 
ebene   3'<0  bezogen. 

U.  Ks  erübrigt  noch  dasjenige  FlächenstUck  in  Betracht 
zu  ziehen,  welches  Ton  den  beiden  Aesten  der  Hyperbel  ein- 
gescbloflsen  wird.  Im  Inneni  desselben  beHndet  «ich  kein  Brenn- 
punkt, BO  da»  an  Stelle  von  (19)  die  Gleichung 

zu  henutzvn  ist,  oder 

wo  /i  und  Y  "^"^  Conntante  Unleaten.  Unser  fiebiet  dehnt  sich 
nach  zwm  verschiedenen  Seiten  in's  Unendliche  aus;  e»  ist  zu 
behiindelnf  als  wenn  der  begrenzende  Itand  im  Punkt  f  =  gd 
zwei  H>ken    bildete,   von   denfu    jede    den  Winkol  n  —  tt   ein- 


420  Siteung  4er  imUh.'tihjfis.  Wuaüw  timt  T,  Stttfmher  I^C. 

»cliliesÄt,  wenn  a  dieselbe  Bedeutung  hat,  wie  oben  in  (24). 
Bei  dftii  Ansätze  (30)  entsprechen  diesen  beiden  Kcki^ii  du* 
Punkte  Z^O  und  Z^oo,  welche  mit  Hülfe  linearer  Traiis- 
forturition  dtirch  zvrei  beliebige  amJere  Punkte  der  Axe  Y^O 
ersetzt  werdet]   können.     Es  ibly^L  hieraus,  da-y* 


y  = 


n  —  a 

ST 


gesH'*t  werden  -niiisa. 

Wie    rtii«    den    Symmetrie -Verhältnissen    hervorgeht  * 

spricht  die  Axe  X  =^  0  der  Äxe  jf  ^  0,  während  die  Aie  y  t=  0 

dwrcli   eiuen  Halbkreis  »bgebiUet   wird,   dessen  Mittelpunkt  in 

Z ^  ^    liegt.     Dor  Radius  desselben    ist  noch    willkftrlich.    wir 

wäUleo    ihn  gleich    der  Einheit,   »o   doss   der  Mittelpunkt   iler 

Uyperbel   (*  ^  0)    in   den    Punkt   Z-=i  übergeht;    dem    eat- 

aprechend  muss 

ai 

gea«t?:t  werden.     Wir  erhalten  somit: 

(37) 

und  aufgelöst: 

(37a) 


-f  V,^ -i^c"'  z 


1 1^,-- 


+  e'  ~"-  Z 


-I 


12.  Die  Fortsetzung  der  Äbbildun«;  über  das  ursprOngliche 
Gebiet  hinaus  ist  wieder  durch  die  Mehrdeutigkeit  der  Func- 
tion (37a)  gegeben;  wir  haben  allgemein 


und  für  reelle  Werthe  von  Z,  wenn   V  =  X    ^    ■< 


^="2(^"'"^)'''"("""    9"* 


P.  lAndemnnn:  tiie  analytUch«  FotiMettiimj  rtr 


toi 


Dudiirch  »ind  wieder  Kcwixsc  FTyperbeln  des  ziJ*roh6ritfeii 
confücnten  Sj»icms  aU  BpgrenzunjLCJ^Iinieii  der  auf  die  Hiüljobeiie 
y>0  und  r<0  abj^ebildetcri  FlnoticnstQcke  i;eu;ehiru,  und  es 
wiederho)i:*n  Bich  im  We»entiiclien  die  Uet)vrleßtini;en  tud  Nr.  7. 
.Zu  beachten  int,  dasn  jetxt  die  Halbebenen  der  >f-Ebene  immer 
f  i  u  bliibiri|;(  zu  denken  sind.  Insbesondere  kann  ein  solches 
FlÄchenstüok  einen  Brennpunkt  entbnlten  und  den  bf^treffenden 
Bereich  der  «-Ebene  theilweise  doppelt  Oberdecken.  Dabei  tritt 
der  ausserhalb  der  Brennpunkte  gelegene  Theit  der  x-Axe  als 
Uebergangalinie  ein.  Um  die  ihr  entsprechende  Curve  der 
>?- Ebene  zu  finden,  sei  *  >  1  und 


reell  uud  positiv,  dann  folgt  uu:$  (37)  durch  Aufii>sung: 


X-t-»l=^>Uin       ^ looBon — ^ — y 


2m  ßi 


wenn  ^  «= und  m  eine  ganze  Zahl  bedeutet,  also 


(SB) 


\  =  Qcn82mß,        Y=Qtntt2mß. 


Hierdurch  ist  eine  gerade  Linie  dargestellt,  welche 
mit  der  A'-Axe  den  Winkel  2  m/?  bildet.  Der  aiu»erhaJb 
des  Kreidet)  X^  -^  Y*  ^^  [  gelegene  Theil  derselben  (^>  1) 
entspricht  dem  p<>sitiTen  Zeichen  von  Vx*  —  1,  der  innerhalb 
gelegene  Theil  (^<  1)  dem  negatiren  Vonteichen  von  1  j'  —  1. 
Dem  Schnittpunkte  des  Kreises  mit  der  Linie  {'AB)  entspricht 
ein  Brennpunkt  der  gegebenen  Hyperl>el. 

Die  Abbildung  ist  wieder  algebruisch,  wenn  a  ein  ratiunaler 
Brucfatheil  ron  n  i«t.  Für  die  gleichseitige  Hyperbel  I  rr  «=  -  i 
findtm  wir  insbeHonder*»  atts  (37): 


#•  = 


38' 


422  SitauHfi  iitr  malk'phffi.  Cliust  mmi  7.  Noitmbtr  ttt^Hi. 


fieide  KIwnen  sind  doppult  Obei'däi'ki  7u  danken.  D«r 
•rsten  oberen  Hailmbene  }''>0  eubpricht  die  Klüch«  zwüftcbeti 
den  beiden  Aesten  der  Hyperbel,  ;;edacbt  im  unteren  Blatt«;. 
Die  daran  sich  an<irhlieAsendt^  uiit^rQ  Halbebeiic  ist  auf  dus 
doppelt  zu  denkende  Inner«  des  einen  HyperMfLsttn*  abf^ebildeL, 
Das  Äweite  Blatt  der  Z- Ebene  ist  in  aymnietriicher  W^jise 
auf  die  andere  Hälfte  der  Ober  der  ^-Ebene  ausxu breitenden 
Flfiche  belogen. 

nr.    Parabel. 

13.  Bei  der  Purul>el  bedarf  das  Verbalten  der  Ab- 
bildiiDg^füiiction  im  Unendlichen  einer  f^eaautreii  Kr5rtürttnf{. 
Durch  Transformation  mit  reciprokeu  Radien  wiri]  aus  dem 
Innern  einer  Parabel  das  Innere  eioee  mit  Spitze  Ten»eheD«ni 
OvaU.  nnd  diese  Spitw  geht  aiLi  dem  unendlich  fernen  Punkte 
der  Parabel  hervor.  .Sei  nämlich  die  Gleichung  der  PiLrutii*! 
in  der  Form 

so  geht  dtftsellw  dorch  die  SnhMtitution 


t 


(iber  iu: 


oder 


1 


.,y■i^^vt^,(X^;,)-^f^7^^i> 


der  SteUe  $=  |^. 


Die  ^Äxe   ist  Tangeute   des   im    Anfangspunkt   lie^nden 
[{(Ickkehrpunktes;    daii  Oval  schneidet  ausserdem   die  |-Axe   an 

In   der  Spitze   stowen    zwei   Zweite    de« 

Handefl  unter  dem  Winket  Xnll  zu<4animen.  Die^^r  Winkel  «oU 
in  einen  solchen  von  der  Grüsw  n  gestreckt  werden;  bei  der 
Abbildung  von  Kreiabogenpolygoneu  geschieht  dos  bekanntlich 
dadurch,  daäs  #~*  xu  lug  Z  proportional  ixt,  wenn  ;  =  0  ein* 
untche  Kcke  mit  dem  Winkel  Null  darHbellt,  und  ihr  der  Punkt 
^s=  (»  7.ugpordnet  winl.    In  iinHermii  Kiille  haben  wir  «a  mit  «ioftr 


^Hdmrtiin.'  JMe  nmüytitvM  FvrtfcUttnij  etc.  123 

Aber  der  #-EHene  ftusge breiteten  zweiblattri^en  Fläche  y.u  thun; 

in  ihr  ist  nicht  T,  sondern  1  l  in  der  Nilhe  der  Stelle  ^^  0 
eine   nuunillich    kleine   OrÖsse   erster   Ordnung.      Kh    niiii«   uUq 

C    *    oder  Vä  in    der  Nabe   dieser  Stelle   sieb    verhaltea    wl'^ 

log  Z  ftit   Z'-mO. 

Wir  setzen  nun  fest,  daas  dem  Brennpunkte  *  =  /)  der 
Punkt  ^=i  dbf  Bildebene  und  dem  Punkte  j»«oo  der  Punkt 
i^sscc  zugeordnet  sei.     Dann  ergibt  un^er  allgemeiner  Ansatz 


*^  \  t  —  p  « 


Kl-l-2' 


r^-p«  i'-  iok(z+ /[  +  if')  -I-  Y- 

Die  }'-Axe  muas  eine  äyumetrie-Liuie  der  Abbildung  nein;  ea 
rausB  daher  der  dcheitel  *  =w  ^   dem  Punkte  X  =  0  enlAprechen, 

Mosserdeni    dem    Punkte   « :=  ^    der    Punkt   Zssi.      D.idtirch 
sind  C  ond  C*  bestimmt,  und  wir  finden 

, ,0)  v/  -■  /.  =  ^/  log (2 + yr+z')  -  '• )/  ^ 

Mnchen  wir  in  (39)  die  Snbstitution 

90  ergibt  sich 

1    rd;  _  iF2j>  r    ^ 

0  II 

und  wenn  noch  p  ^  2  gesetzt  wird 

iTM  im  Weeentlichen  die  ton  Schwarz  gegebene  Koruiel  iKt. 

Die  weitere  Di>cu<isiüu  geschieht  jetzt  ebenso«   wie  bei  der 

WUpw.     Fnhre«  wir  Polarcoordineten  ^.  u  ein,  indem  wir  setzen 


421  SilsuTtfj  der  mtith.-phys.  CVawc  wm  7.  Nortniter  Jl^ft. 


90  zerfallt  für  reolle  Werthe  von  Z,  fiills  die  Mehrdeutigkeit  Am 
Logurithniuä  berücksichtigt  wird,  die  Gleichung  (40)  in  di.«  hi't«!i'n 


V,. 


coa 


w 


n 


Aus  der  xweit«n  Gleichung  folgt  durch  ijiiadriren 


e  = 


1  —  coain  w  ' 


wo  n  eine  gan%e  Zahl  bedeutet.  Der  Axe  J'^O  ist  daher 
eine  unendliche  Reihe  confncaler  Parabeln  augeordneL 
Bei  Fortsetr-ung  der  Abbüdungsfunction  Ober  das  ursprüngliche 
(icbiet  hinaus  erscheint  die  obere  bezw.  untere  Doppeihalbebea« 
abgebildet  auf  einen  von  zwei  confocalen  Parabeln  liegrvnztvn 
FlächeDfitreifen.  Mit  geringen  Modificationen  wiederboltm  sich 
ijomit  die  in  Kr.  4  gemachten  Erörterungen. 

14.  Soll  da§  Aeussere  der  Parabel  aui'die  HalbebeneK^O 
abgebildet  werden,  so  ist  zu  beachten,  das«  aich  im  Innern  d«a- 
eelbcn  kein  Verzweigungsptinkt  unserer  Riemann'^cben  Fläch« 
befindet,  und  dass  im  Unendlichen  eine  Ecke  mit  dem  Winkel  *j  n 
sich  befindet,    unser  Ansatz  fuliri  daher  zu  folgender  Gteichun{^: 


J''^  =  ^P-  +  ^- 


Sollen  die  Punkte  » 
Z  =^  i  und  X  ^  0  entspTechen«  so  finden  wir 


0  und  /  =  ~-  bezw.  den  Paukten 


V7^P^Vpz  +  i\/^. 


Kk  ii«t  al»o  £  eine  ganze  quadratiache  FumHioo  von  Z, 
wir  kommen  auf  ein«  bereibi  vielfach  behandelte  Aufgabr,  deren 
wiederholte  Besprechung  nicht  oothwendig  ist 


J23 


Ueber  partielle  Differentialgleichungen  IL  Ordnung. 

die  sich  durch  gewöhnliche  Differentialgleichungen 

integrieren  lassen. 

Vou  E.  T.  Wfbftr. 

itImftItttftHt  7.   .VMMHhfr  I 

In  einer  Note  aus  dem  Jahre  1870*)  hat  Herr  Darboux 
hinreichende  Criterien  dafür  auge;;eben,  dass  eine  partielle  Dif- 
ferential;^leichung  2.  Ordnung  in  3  Variabela  sich  mit  Hfilfe 
von  Systemen  gewöhnlicher  Oifl'erentialgleichuugeu  aUgemeiu 
iuti^grieren  lasse.  Späterhin  hiit  Herr  Kßnig*)  diese  Theorie 
des  Näheren  dargelegt,  und  zugleich  auf  Qnind  einiger  von 
Herrn  M-  L^vy*)  imgegebenen  Sätze  die  Behauptung  aufge- 
fttellt,  dass  alle  Classen  partieller  Differentialgleichungen  2.  Ord- 
nung, deren  Integration  auf  diejenige  gewöhnlicher  Differential- 
gleichungen hinauskommt,  durch  die  DarhouxVhen  Criterien 
erschöpft  werden;  doch  ßt'heint  weder  für  jene  L^Syy'schen 
Sätze,  nr>ch  für  das  diinin  anknüpfende  Knnig^Mche  Theorem 
ein  Beweis  bisher  veröfft-ntliclit  y.u  sein.  In  der  vorliegenden 
Mitteilung  soll  deshalb  Tersncht  werden,  das  letztgenannt« 
Thoorem  durch  geometrische  hezw.  begriffliche  Ueberlegnngen 
XU  begrdndcn,  indem  Kunachst  die  Forderung,  dass  eine  gegebene 


')  Aim.  de  r<5colft  norm.  t.Vll.  1870:  in  meiner  Arbeit:  ^Uelier  gc* 
wino  8ytt«me  P&fTMher  üleicbimKea*  iSitndn^fibca-.  il.  k.  bnyer.  Ak.  d. 
Wia^  Bd.  XXV,  1896.  Hpfl  UU.  Ualw  ich  dir«?  Aiu&Uir  lu  nner  allKe- 
meiiitfD  liitogrationstbeorie  ücr  part.  Differential pnildome  iu  3  Vtuiabeln 
«snritttert, 

*i  Math.  Auii.  31. 

■)  Cciiupt«)  Rendu»  7S  p.  1004  (1672). 


426  SiUun^  ii«r  math.-jihjfi.  Cttu»«  vom  7.  ^Vocrwbcr   ttl9e. 

Oleichung  2.  Ordnung  sich  durch  gewi^hnlicbe  DifferentUl- 
gifichungen  integrieren  lasse,  auf  rino  wichtige,  von  d»Mi  Ch»- 
rukteristiken  der  Gleichung  zu  erfüllende  Bediugun^  zarflck- 
peführt.  und  sodann  der  Nachweis  geliefert  wird,  doBs  dieM 
Bedingung  im  WesentUclien  mit  den  Darboux'schen  Criterieii 
&({uivalent  int.  Wir  gewinnen  solcherweise  nicht  nur  eio«i 
Beweis  des  Künig'^cbeu  Satzes,  sondern  auch  einen  ti6fer«n 
Einblick  in  die  Eigenart  des  geometrischen  Gebildes,  das  durch 
eine  partielle  Differentialgleichung  dargestellt  wird :  daneboD 
Üudeu  wir  üel^enheit,  die  Tragweite  der  von  der  Geometrie 
der  Flächenelemente')  an  die  Hand  gegebenen  Methoden  in 
einer  interessanten  Anwendung  zu  prüfen. 

1.    'Ea    sei    gegeben    eine    partielle    Difierential gleich ung 
2.  Ordnung: 

(1)  f  («,  v^  '.  p.  ?i  r  9i  0  =  f*. 

worin  £  die  abhängige,  x,  y  die  unabhängigen  Variaheln  be- 
deuten, während  unter  p,  q  die  ereten,  unter  r,  »,  /  die  ^weifa 
Ableitungen  von  g  nach  x  und  y  verstanden  werden. 
Gleichung  (1)  integrieren  beiMt,  alle  zweifach  ausgedehnten 
Mannigfaltigkeiten  von  Werlsystemen  x^  y  *  ,  t,  6.  i.  too  KlA- 
chenelementeu  2.  Ordnung  angeben,  welche  die  Helationeu  (l). 
üuwie  die  totalen  Ditferentialgleichungen: 

(2)  rf*  =  prlx  -f  jrfy,  dp  =  rdx-\-  *dy,  dg  =:  si/x -f*  ^^$ 

identisch  erfüllen.  Ist  nun  die  Gleichung  (t)  «mit  Hülfe  g»> 
wohnlicher  Diäerentialgleichungen*  allgemein  intf^rierbsr,  «o 
läast  sich  diem*  Eigenschaft  geometrtach  offenbar  m  aunprecheo: 
•  Mau  erhält  die  allgeuieiuate  zweifach  ausgedehnt« 
Integralmannigfaltigkeit  der  Gleichung  (1)  durch  pak- 
sende Aneinanderreihung  von  je  m^  ihrer  einfach  aoa* 


*)  Für  die  Theorill!  der  Klichriudvini-iit«  bohanir  Onlnuug  *el.  an^wr 

den  aaUreithen  Arii«ten   von  Liv  und  Hilckltind   nooli  dnn  Itarh  nm 

Oflarsat  ,Le^y>n«  aur  l'inl^'grBtioii  det  i^fjuatiMti«  aus  d*>rtvv«.i  partMlIa 

da  2.  ordrr'    PaKii  X^l.  ttiwi)*   meine  AufRatxi*  in  d«n  lAmth.  Ann.   «i. 

.  Mi  und  47. 


r.  Wehrr:  PariitUe  IHffm »iiiittfjfgtdbiiiyiii  //.  UnUuwj.        427 

^«debuteu  lutegralumnni^falUf^keiteii,  also  von  Strei- 
feil  2.  Ordnung,  die  ihrerseits  ala  Integrale  einem  ge- 
wissen »?ystein}i  gewölinlicher  Differentialgleichangen 


(S)     .,(x.,,..,f|,..Jl,f^.,.0O 


1.2,...) 


definirt  sind,  und  dlei»«»  System  uiutiä  selber  lediglich 
mit  Hnlfe  gewöhnlicher  Differentialgleichungen  er- 
mittelt werden  können.* 

2.  Ueber  die  Gleichungen  (S)  ki>nnen  wir  nun  Aofitrt  fol- 
gi'iide  nähere  An>;nben  machen.  Da  die  Integrale  von  (3)  Streifen 
darstellen,  deren  Klemento  die  Gleichung  (1)  befriedigen.  mOssen 
die  Reltttionen  (2)  sowie  die  folgende: 

unter  den  Gleichungen  (3)  enthalten  sein.  Die  linken  Seiten 
der  (Ihrigen  Kelatinnen  (3)  aber  werden  von  gewissen  arbiträren 
Funktionen  und  Parametern  abhängen ;  wird  Ufaer  diese  will- 
kürlichen Elemente  in  einer  bestimmten  Weise  verfügt,  .so  möge 
das  Spätem  (3)  in  da^  folgende  übergehen: 


(3a) 


V,(*»y, .    -)  =  Ü  0'=  1,2,...) 


.le  00*  Integrabftreifen  dieses  Syjtt«ms  mUssen  sich  zu  einer 
Integnilmannigfaltigkeit  von  (1^  zusammen  ordnen  und  die  Glei- 
chungen (3)  mQsäen  allgemein  genug  sein,  um  alle  (nicht  äingu- 
lären)  Integriile  von  (1)  in  difti^er  Weise  xu  liefern.  Damit  aber 
dnrch  KinfUbrnn^'  des  SyHtems  (3)  in  die  Rechnung  eine  wirkliche 
Vereinfacliiing  üvh  [ntegrutiousgesQhftfta  enielt  werde,  d.  b.  damit 
die  Ermittelung  deA  System«  (3)  nicht  cid  Prublem  ron  eiientto 
hoher  Ordnung  sei  b\^  die  Herstellung  des  [n»  '  'bärec 

Funktionen  eintr«  Argumentn  abhängeud*'n)  » 
von  (1),  werden  wir  Yrrltingc^n,    daiei  in  d 
(3)  auwer   einer  endlichen  Zahl   von  V 
Cf>efficient«n   huclistem«  ei  Der 


.  428         SitXHni)  <ier  miUh,-pliyf.  Ctasse  vom  7.  NoMmhtr  lüSG, 

nientfl  eintfehen.  Aua  der  cndlicIiF^lindrii^ea')  SobttT 
Inte^alätreifeii  des  einsetneu  Systems  (3a)  mwM  äich  SOnit  ein« 
uneadlichgliedrige  Scbaar  zwei&ch  ausj^edelinter  Intcf^U 
niannigfaltigkeiteu  von  (1)  aiifbiini?n  Ia.ssen,  da  sonHt  die  Ge- 
Knmtlieii  der  Syntenib  (3u)  nicht  hinreichen  wllrHe,  um  das  all- 
gemeine liitejiaal   von  (1)  in  dieser  Weise   enUfc«ben  -im  lawen. 

3.  Ein  einzelner  Streifen  2.  0.,  der  einem  bostimmten 
Systeme  (3  a)  genflgt,  muss  nach  dem  Vongen  nnbegrenzt  vielen 
Iiitegrftiflächen  von  (1)  ünjfebören ;  bekanntlich  aber  kommt 
nur  den  .ChuraktiTistikcn  2.  0.*  der  Gleichung  (1)  diese 
Kigeo^iohaH  zu.    Sind  die  Wurzeln  yS^,  -/i^  der  Gleichung 


JB^-S^-f-r 


0 


(«  --  3-^  etc.), 


wie  wir  von  jetzt  ab  aiiiiäliuien,  uicbi  vt^rm5^r  (1)  iilnitiMrh, 
80  gibt  es  zwei  versrbiedeue  Systeme  von  OhurakteriHtikcn  2.  O., 
die  bez.  durch  die  beiden  (iruppen  von  Gleichungen: 


(5) 


dij  =  ^i^d  X.  f/  j  =5  (p  -f  ^^  q)  rf jc, 

Rdr  +  (5— Ä^^)  ds  +  Mdx  =  0 
Rds  +  {S-Eytyjt  -f  Ndx  =  0 


[i^  1,2) 


dffiniert  HJud,*)  und  deren  Individuen  kuntw^  mit  C^  bexetchnM 
werden  sollen.  Eines  der  beiden  Systeme  (5),  etwa  dm  erst«, 
mufti  somit  unter  den  Kelutioneu  (3)  euthuUen  &ein,')  d.  h-£ 
»Die  Integrale  eines  jeden  der  Systeme  (3*)  beitlvben 
ans  Charakteristiken  CiV 

4.   Zur  Ableitung  einer  weiteren  wichtigen  Kits^enj^chaft  des 
OteichungenHyst^nu  (3)    wollen    wir  i'inige    Ulllf!>rfiHtze    au» 
Theorie  der  Charakteristiken  einschalten. 


M  <).  h.  vuii  iiiner  L'ndUt-heu  PiinuQetcrtakl  ahhUngootlidi. 
*)  Die  Be-Istlon  H\  ivt  (tise  TcA^  Ton  mi. 


^f  ^J^  ^^^f  ^Jf^    V-    '^X.'^-L-^^-l-i*^ 


c.  H'tft»cr:  Viirttelte  DiffereHtiaJyidd^ttt^H  It.  Ordnumj.  429 

Durch  1- — l-uiali^^e  partiolle  DifffirenÜaliiih  von  (i)  nach 
X  und  y  erhalt«  mitri  die  v  GJeichuugeu : 


wona 


o<»> 


('=-1.2). 


l^eaetict  ist,  während  unter  den  M^^  gewisse  leicht  zu  bildende 
Funktionen  der  Variabein  x,  </<  '•  Pi  ■  •  ^^^  vnrstAnden  wfrdim. 
VjS  \i^hi  nun  für  jode»  v^Z  zwei  verHchiedene  Systeme  von 
Oharakieristikeu  i*.  0./)  d.  h.  von  Streifen  t:  0.,  welche 
hex,  definiert  sind  durch  die  beiden  Qleiohuugssysteme : 

(7)  RHai;}_^-\-  (S  —  R ^;iii a<^>  -j-  M^^dx  =  0, 

und  f^i'h'pt'ntlich  als  .Streifen  C'l*'*  be/^ichnet  werden  sollen. 
Die  oc*  Fl&uhenelemenie  i*.  0.  x,  i/*  «,  p  .  .  a^>   eines   solchen 

Streifens  befriedigen  flberdice)  die  jämtlichen  ^  v  {v~  1)  ReUtioneu 

(8)  /  =  0,  Af  =  0,  {x==l  ..l;  1  =  2.3.,.  t-\) 

5.  Wir  führen  noch  hisioriäch  die  fulgendeu  Sütxo')  an: 
a)  Jede  (nicht  singulare)  Integrulfiäcbe  von  (1)  ist  von  od^  cha- 
nik terifitischen  Streifen  i:  0.  eines  jeden  der  beiden  S^'steme  Über- 
deckt; h)  durch  jede  CharakteriätiU  Cf  sind  oc^  «ie  enthiilteudfl 
Charakteristiken  C«  bestimmt,  und  xwar  ist  die  einzelne  unter 
diesen  Ci**"*"*'  durch  Angabe  eines  ihrer  Flächenelemente  »'-|-  1. 0, 
eindeutig  festgelegt;  umgekehrt  ist  aufjedeinStreifeuC!''''^' ein  ganx 


1}  Vgl.   meine  Arbiul:    .iJlu  CbomkUmtiketi    ilur   |jiurtiellim    l)if-J 
.    Miith.  Ann.  Etil.  47,  tüwie  diu  yi^.  4S0  cHior 
•  iiajp.   IV. 

i|  Ea  win)  4er  ÜlXtw  kalber  (4!"'=''t  «i^^'^l'«      " 
*)  UannHt,  1.  r.  Uhap.  IV:  MniU,  Amt  47,  l«(l 


434  Silsuitg  'Itr  tnath.-phf/s.  CluMMt  com  t.  November  tiÜtG. 

bftiien  Klemente  der  Streifan  C'/.  C,"  .  .  C',.  Uidem  die  Oh*- 
mkterwtik  C,  in  die  neue  Loge  C^  Qbei-gelit,  nimnit  f^leicbteitig 
da»  Rlemf^nicnponr  r«  e,  die  neue  Lage  «,  e^  an,  nnd  zwar  ist 
diirob  Angabe  dea  Kleiueuts  e  das  xugehorige  Nachbar- 

•  lument  r,  oindutitig  mitbestimini,  daJnderVor>  n^ 
nacb  innerlialh  der  Scliaar  von  Lagen  C\^  welcbf  ,  -xh 
Mnnodromie  annimmt,  jede»  Individuum  durch  ein  £l«mcBl 
N.  0.  festgviagt  ist.  Jedem  Element  n.  O.  «,  in  welcb«  • 
duruh  Verschiebung  täng«  chArukt-emtiscber  Streifen  des  2.  Sy- 
ittonut  nlwrgeht'n  kanti,  ist  .«omuh  ein  ganx  be^mmtcs  Nachbar^ 
element  c-,  xugewieäeu. 

F.!)  gibt  nun  aber  ein  und  nur  oin  Element  n-f-  t*  O.  der 
Maauigraltigkeit  ^-ft«  dos  die  EUmeale  «,  c,,  sowie  das  an  e 
benachbarte  Klement  des  Streifens  C^  enthält ;  durch  diem 
BUmeot  >■  +  l.  0.  int  nacb  Satx  b)  l&ngs  C,  ein  cfaaraktcö^ 
tisoher  Streifen  a  -f~  l-  0'  festgel^t,  dem  nb^n  mit  e  bezeklh> 
neti'n  Klouient  abo  ein  Element  n -\-  1.0.,  mitbin  auch  eit 
gani  bestimmteB  Kachbarelemeni  e,'  zugevrieven  n,  a.  w.  Dnith 
Wiedttholung  dieses  ächlusses  ergibt  sich  aofurt,  daas  die  vor- 
hin geschilderte  Zuordnung  der  Elemente  e«  r,  aclioa 
durch  Angabe  der  beiden  NaehbareUuente  r,  r^  toII- 
kommen  defioirt  ist, 

13.    Jb  werde  nun  aagenocmea,  daat  die  von  iftem 

*  «iMgalMote  Cfatrafcwnitapeo  «.  0.  4m  cw«il«a  SjaU— 
auwwU  AUnaigfidtigkMt  iC  HbwMiwtih—  (N.  II):  itKM 
miBk  dam  Vorigen  jedem  ffeiaaot  «  voo  lU  «ia  guu  he>  I 
4imBtM  Nachhvekvaot  «,  mgeordnei;  alrilt  Jener  die  C^-  \ 
rakteriatik  C^  eine  <kr  l^igen  dar,  ia  welche  C,  dvrck 
dromip  gehncbt  «eiAeii  kann,  und  iit  c  irgeod  mnm 
KUencafee  a.  0.,  ao  catkält  sie  aocii  daa  ra  e  ^etifirige 
e,,  «beno  4m  4mb  Kl— ent  c,  iiigurieeuuu  Kacbl 
tt.  4>  v^  4*  k.  ae  wtn  Mcn  flen  ScUeMVifebBa  ocr  vw- 
doinh  die  Wahl  dar  keidea  Kadkhttefaftf  e,  ^  saa 
«aet  a«r  EleHeale  c  wihnii   öadBoft^  fiH^^ricgt,   auf 


,  r.  Weher:  PartidU  Differential^eixihutuftn  II,  Ordnung.         435 

beltehig«)  Chni-akUriÄtik  C,  ».  0.  durch  Monodromie  Qbergeheu 
kann,  wäre  achuii  durch  Augabe  zweier  succeäuiver  Kleiuente 
n.  0.  e,  *'  von  C,  yollkommen  deüniert,  und  es  g&be  nur  ein- 
fiich  UDündlich  viele  derartif^e  Scba&reu  von  Lagen,  da  ja  nor 
00^  Elemente  e  existieren,  die  zu  einem  fi^^benen  Element 
«.  (>.  r  benachbart  und  mit  ihm  auf  einer  Charakteriatik  C, 
gelegen  sind.  Dies  ütt  ahur  absurd ;  denu  es  würde  in  diewm 
Falle  die  Olfiuhung  (1)  Glierhaupt  nur  eine  endlicbgliedrige 
Schaar  von  Charakteristiken  C'i"  besitzen.  Also  kennen  die  von 
irgend  einem  Kteuient  e  auslaufenden  Charakteristiken  Cf>"'  nicht 
die  ganze  MaQuigfuttij^keit  J{^  (auch  kein  iu  R^  enthaltenes 
Continutini  gleicher  Dimension)  Überürtreichen,  und  wir  haben  daa 

Theorem  III.  . Besitzt  eine  partielle  Differential- 
«gleichuQg  2.  Ordnung  diu  Eigenschaft,  dass  jede  ein- 
«Keine  Charakteristik  2.  0.  des  einen  Systems  durch 
«MoDodromte  nur  eine  eudlichgliedrige  Schaar  von 
.Lagen  annimmt,  innerhalb  deren  jedes  Individuum 
«durch  Angabe  von  u-\  successiven  Flachenelementeu 
,2.  0.  festgelegt  iftt,  so  existirt  in  der  Reihe  der  Zahlen 
«2,  3  ...  n  weuigKteiiH  eine  Zaiil  r  von  der  Beschaffen- 
,heit,  dass  die  Definitiunsgleichungen  der  Charak- 
.teri&tiken  f.  0.  des  zweiten  Systems  eine  iutegrabU 
gCumbinatioa  zulassen.* 

14,  Wir  behalten  die  Bezeichnungen  der  N.  12  bei,  und 
nehmen  an,  daas  die  Definitioujigleichungen  der  Charakttiristiken 
Cp,  C^  .  ,  Ci  irgend  welche  integruble  Comhinatiuncn  be- 
Hibeen.  Dann  wird  das  Hllement  e  darcfa  Verschiebung  längs 
chnrakteriätiseher  Streifen  ».  0.  des  2.  .Systems  eine  Schaar  von 
Logen  e  annehmen  können,  welche  innerhalb  der  Mannigfaltig- 
keit i£n  durch  ein  System  von  Gleichungen  der  Form 

fio)  Fm^Fy  0^m  .  .  . 

definiert  ist,  und  mit  if»  hezeichnet  werde.  Durch  Angabe  des 
Klenii-nte  r, ,  das  in  e  benachbart  und  mit  ihm  auf  Woer  Cj*' 
gelegen  ist,  wird  nach  N.  12  jedem  Klument  e  von  K^  «iu  be- 

ISM.  IUlk.-|>b7«.  ci.  a  39 


4$6         Sit$u*'fj  Wer  mntb.'phfiK.  (TJanitf  roni  7.  ?iovrmbfr  tH^. 

stinimt«!^  Nachbareleineut  p,  zugewiei*n,  so  zwar,  diias  <lie  Qe- 
sanitbeit  der  Elcmeuienpaare  e,  tf,  idcnÜsch  ist  mit  der  Gesamt- 
heit der  Lugen,  die  dos  Elemeiitenpaar  e,  «'  durch  VerschiebniiK 
längs  cbnraktcrlsliitcbL'r  Streifen  C/  anzunehmen  tmatande  iat. 
Eu  sei  jetzt  £  irgend  ein  Element  n-f- 1. 0.  der  durch  die  UeUtiou«n 

(U)      /•=0,  ^;,^'  =  0  ()t  =  I,2,.Ai  A«3,  3..«) 

deHiiierten  Mannigfaltigkeit  i2„+i,  »n  >iud  auf  K  zwei  und  nur 
zwei  )4ucceäMrc  FJächenelemente  ».  O.  gelu^en«  die  zusammeD 
einer  Charakteristik  n.  0.  C]  angehi^ren  kDnnen.  Bezeicbnen 
wir  diese  Elemente  gerade  wieder  mit  e,  r,,  ferner  die  Mauiuk- 
fiiltigkeit  vnn  Lagen,  in  die  das  Element  E  durch  VerschiAbung 
längs  charakteristischer  Streifen  Cj'"'"  *  tibergehen  kunn ,  mh 
Üh+i«  dann  besieht  Rn+i  aue  einer  Schaar  von  Elementen 
ti  4*  !•  ^'1  ^i*^  ^^^  erhält,  indem  man  dem  einzelnen  Element  c 
von  Rh  entweder  die  Gesamtheit,  oder  auch  immer  nur  gidm 
der  einfach  unendlichen  vielun  Element«  » -j"  !■  O.  «iinfcrt, 
welche  e  selbst  und  das  ihm  zugeordnete  Kachharelcment  ^ 
enthalten.  Andererseits  gibt  ea  zneifarh  unendlich  vieJe  B^ 
mente  rt  -)-  1.  Ü.,  welche  ein  gegchLMies  Klement  n.  0.  e  enthattm 
und  den  Relationen  (11)  ßenfige  leisten.  Mittn'n  ist  di«  Mannig- 
faltigkeit Tfn-i-i  definiert  durch  die  UMationrn  (10)  (11)  and 
wenigstens  eine  weitere  Gleichung  der  Form: 

die  sich  rermogc  (1 1)  nicht  auf  eine  Ton  den  höchsten  Ableit 
aj*+'* .  .  c[|'+"  freie  Form  bringen  Hast.     Hieraus  fulgt  das 

Theorem  IV.  .unter  den  VoraussetEungen  i)et  Theo- 
«rems  Itl  besitzen  auch  die  Oefinitionsgleichungan  de* 
, Charakteristiken  »-f  1.0.  des  zweiten  Syitemfi  w«nig* 
«sten»  eine  iatograble  Combinatton.* 

15.  Ana  den  Ergebnissen  meiner  frQberen  MittA^lang: 
.lieber  gewiaae  Syateffi«  PfaiTscher  Gleichungen*')  erhält  taan 
dnrcb  f^eeignot«  S(>ecialiinrung  unmittelbar  den  Satx: 

>)  Vgl.  die  ant«  Ania.  p  43S. 


Vtberi  ParticUi  lUfi 


II.  Ordnung.        437 


,Gibt  CS  zwei  verschiedene  Ziihlen  r,  r  von  der  BeschaiFen- 
«heit,  das»  die  Düßuitionaffleichungpii  der  Charakteristiken  C^' 
«und  Ci^  je  eine  iiitef^mble  Comliiiiation  zulassen,  eo  kann  man 
«die  gef^bene  Gleichung  (1)  dnrch  gewohnliche  Differcntinl- 
f^leicbungen  allgemein  integrieren/  Alis  den  citierten  Ent- 
wickäliini^t^n  »t-liHe-Mt  man  atirh  ohne  weiteres,  dass  unter  der 
gemachten  Aimiihnie  jede  Ghurakteritftik  Ci  der  gegebenen 
Gleichung  durch  Monodroniie  nur  eine  endlichgliedrige  Schaar 
von  Lagen  unnimuit.*) 

Indem  wir  diese  Resultate  mit  den  Theoremen  I,  III,  !V 
vergleichen,  gewinnen  wir  schliestiUch  das 

Tfaeoretu  V.  .Die  notwendige  und  hinreichende  Be- 
. dingung  dafUr,  dass  sich  eine  partielle  Differential- 
«gleichung  2.  Ordnung,  deren  beide  Charakteristiken- 
«syutenie  nicht  Kusanimcnfallen,  tnit  Hülfe  gewöhn- 
, lieber  Oifferentiatgleicliungen  ullgemeiu  integrieren 
,la<;!>e,  ist  die  Existenr.  zweier  verschiedener  Zahlen 
,r,  r  Ton  der  Eigenschaft,  daaa  die  Definitionsglei- 
«cbungen  der  Charakteristiken  sowohl  der  r.  als  auch 
.der  r.  Ordnung  eines  der  beiden  S^rstenie  je  eine  inte- 
»grable  Combination  besitzen.**) 


*)  Dann  gehört  njlmliüL,  nach  der  1.  c^  gehra-ucbten  Tn-mioolofne. 
JMie  ühiimktvniilik  tj  \  faJU  r>  r".  einem  und  nur  einem  .unkettrhrankt 
inU*gru>ilen  tiltviransyrtcim  A^''*  an. 

*i  Wir  ti&l)cu  im  Texte  d«i  Kall,  da*«  die  gejfebene  Olcichuiig  {1) 
io  r,  ».  l,  r(— «•  linear  irt,  der  KUrxe  wejfen  beiseite  geltL-Mt'ii;  unter 
die«(*r  Vuniutt(>i-litin^  nxistierfo  twei  viynchiedeiip  Systemi?  vun  choruk- 
teruliidieo  Streifen  erster  Ordnung,  uud  die  vor b ergeh L>udeu  Kuaultjtto 
und  nur  diihin  tu  niodifideren.  dius  in  Theon^ni  UI  die  Zahl  r,  in 
Theormi  V  die  Znhlpn  r  f  auch  den  Wert  ein«  uinubtam  knunnn. 


is« 


439 


Jeffentliche  Sitzung 

zo  Ehren  Seiner  Majestät  des  Königs  and  Seiner 
Ktiniglichen  Hoheit  des  Prinz-Regenten 

Uli  14.  Novambcr  1896. 


» 


▼Der  IVfL^idenl  Her  Akademie,  Herr  M.  t.  Pettenkofer, 
efOftiet  die  Sitzung  mit  folf^euder  An.cprache: 

Ute  heutig  FesLäitzung  der  kgl.  bayer.  Akademie  der 
WissenschaFteii  gilt  ilirem  hohen  Proteclor,  Sr.  k.  Hoheit  dem 
Prin«-Itegpnten  Liiilpold,  des  Königreichs  Bauern  Verweser. 
Mit  Khrfurcht  und  Dankbarkeit  blicken  wir  zu  Allerh5chst- 
detuselben  auf,  noch  eine  lange,  gesegnete  Refperung  ihm 
wflnschend. 

Mit  diesem  jährlichen  Festtage  ist  stets  auch  die  Verkün- 
dang  der  neuen  Wahlen  verknöpft ,  welche  die  Akademie  vor- 
genommen und  deren  Prntectnr  bestätigt  hat. 

Ala  Ebrenmi^lied  wurde  vom  PräsidentBn  und  den  drei 
CtasseDseoretären  vorgeschlagen  Se.  k.  Huheit  Prinz  Ludwig 
von  Bayern,  von  der  Gesammtakadomie  am  23.  Juli  da.  Ja. 
per  acclumationem  gewählt  und  am  10.  November  1806  vom 
Protector  bestätigt.  Wir  hegrQssen  in  ihm  nicht  nur  ein  Glied 
unseres  vprohrtcn  Künigithause«,  sondern  auch  ein  Ehrenmitglied, 
welches  bei  verschiedenen  Anlässen  ein  umfassendes  Wissen  ge- 
zeigt und  der  W^issenwhaft  und  ihrer  praktii^chen  Anwendung 
namentlich    auf  Landwirthschaft    und  Verkehr    behOlflich  war. 

Ich  entuehe  nun  die  Herren  CloAsenaecreture,  die  übrigen 
vorgenommenen  und  licstätigten  Wahlen  von  außerordentlichen 
und  correspondirenden  Mitgliedern  kundzugeben. 


440 


fh/fcHlli^e  Sittunff  vom  14.  Novumher  JS$0. 


Hierauf    verküadeben    die    ClassensecreUre     die     weiteren 
WahUn  und  zvar  der  Sfcretar  der  Tl.  ClasHe,  Herr  C  ▼.  Voit,H 
folirende  Wahlen  ftlr  die   mathematisch -physikalische  Cln»e: 


bU  ausserordentliche  Mitglieder: 

1.  Dr.  Wilhelm  Königs,  auaserord.  Professor  an  derIJoir«niiUt| 

Mtlnchen ; 

2.  Dr.  Karl  Linde,  Honorarprofeasor  an  der  tecUniiichen  Huch- 

schule  iu  MQucben; 

3.  Dr.  Kmil    Selenka,    Honorarprofessor    an    der    Cnirersätit 

Mflnchen,   TormHli  o.  ö.  Prol'ejijior   der  Zoologie    und    rer- 
gleichenden  Anatomie  an  der  UniverintÜt  Erlangen; 

als  correspondirende  Mitglieder; 

1.  Ku^rapli  von  Fedorow,  Professor  dur  Mineralogie  and taeo- 

logie  au  der  Isndwirthschaftlichen  Schule  zu  Moskftu; 

2.  Dr.  Waltber  Flemming,  ord.  Professor  der  Anatumie  au 

der  Universität  Kiel; 

3.  Dr.  F.  Robert  Helmert,  ord.  Professor  so  der  lrnrer.n:Ut 

Berlin  und  Direktor  des  kgl.  preuisischen  oreodätJM'hrTi  tn* 
stituts  daselbst; 

4.  Dr.  Wilhelm  Uittorf,  Geh.  Ilath,  ord.  Professor  der  Pbyukj 

au  der  Akademie  Münster; 

5.  Dr.  Wilhelm  Konrad  Köntgen,  ord.  Profe»ür  der  PhnikJ 

an  der  Universität  WOniburg; 

6.  Dr.  Ani^üst  T&pler,  Geh.  Ratli,  ord.  Professor  der  Ph;«!:] 

an  der  technischen  Hochschule  to  Dn^den : 

7.  Ur.  Wilhelm  Waldtyer.  ord.  Professor  der  Analittuie  on^ 

der  UoiTersität  Berlin. 


V.  Feltcnhtffr.  EröffmtnffKrtdi, 


441 


T^reuTfulir  Qfhcimrath  v.  Tettenkofer  fort: 

Ü(.'Vor  Herr  College  Walter  D)c.k  die  nogekilndigte  Kest- 
rede  hält,  sei  mir  gestattet,  noch  einige  gescfaäfllicbe  Mit- 
(huilnngen  zu  mucheti. 

Üer  Präftidtnt  der  Akademie  der  Wissenschaften,  mit  welcher 
Kunt'tion  biüber  nuch  die  des  Generalcnnservators  der  wissen- 
!)chaniich(>n  äammlungon  des  Staates  verhunden  ist,  wird  stets 
auf  drei  Jrthre  vorn  Pniteolor  ernannt.  1890  und  1893  fiel  die 
Ailerliüchäte  Ernennung  auf  meine  P«n>(>n,  Huhe»  ÄlU:r  und 
Kränklichkeit  Hessen  mich  wünschen,  nicht  «um  drittenmal  er- 
annt  zu  werden.  Se.  k.  Hoheit  der  Prinx-Kegent  sprach 
Bir  jedoch  den  Wunsch  au^,  der  auch  vun  den  CluHsensecreiuren 
geÜieilt  wurde,  daas  ich  eä  doch  kudi  dritUmmale  reräuchon  solle. 
Der  Wunsch  unsere»  Protectora  war  mir  Befehl.  Ich  wüneche 
mir,  dass  e^  mir  gelingiMi  möchte,  dem  in  mich  gesetzten  Ver- 
truui-n  doch  noch  einit^ornuisäen  uucli  thatäilchlich  zu  entsprechen. 

In  der  letzten  ÖffenlUcben  Fe^Lsiitzung  im  März  dieses  Jahres 
war  ich  in  der  gldckUcheu  Lage,  die  Gründung  der  Münchener 
UürgerstiftuDg  verkünden  zu  können,  welche  Stiftung  un« 
luifTun  lilsHt-,  do^  anch  uii.serer  Akudumie  allnmhticb  vun  Pri- 
vaten so  reiche  Mittel  zaflieseeo  werden,  wie  sie  die  Akademien 
der  Wisseuschaften  In  Berlin  uud  Wien  besitEcn,  welche  ftlr 
wiaseDMchaft liehe  Arbeiten  und  wissenschafUiche  Quecke  fiber 
die  Kenten  aus  PrJTat«tiftungen  verfQgen,  deren  Capitnl  Millionen 
vüu  Mark  und  Gulden  Iieträgt.  Die  MUncheuer  BOrgerstiftung 
betrug  bei  ihrer  Gründung  5Ü,500  M.  und  bat  ^icb  bis  heute 
auf  70,900  M.  erholit. 

Die  Genehmigung  der  kgl.  Staatsregterung  erhielt  die  Mün- 
cbener  Bdrgerstiftung  am  8.  Juni  189l},  nai:lidem  ein  Statut 
ausgearbeitet  wonleu  war,  welcbea  die  VerwuiLung  und  Ver- 
wendung der  Stiftung  regelt  uud  welcliea  die  WOnscbe  der 
Spender  thunlichst  berUck^-ielitigi.  Das  ÄUerhöcltft  genehmigte 
.Statut  lautet: 

g  1.  Aus  Spenden  MOncbener  Bürger  uud  Kirnien  wird  eine 
Stiftung  errichtet  unter  dem  tarnen  »Miluchoner  BQrgerstiftuug 
bei  der  kgl.  bayeh^icbeu  Akademie  der  Wtäsenacbaften'. 


442 


OfffrnÜiehi  SUtump  rom   14.  iV««Mi*6r  USt, 


§  2.    Zw^clc   d<n-  SHftnnff    Ut,    aas   den  Znua 
kj^l.  Akademie  zur  Verfnfntnff    geateMten  OipiUk  f 
«uf  drni  Geliiet    derj^tuÄen  WimenfH^haflen    txx 
zu  untCTritntzen,  welche  in  der  inafchematisch'phyxtl 
Vertretung?  finden. 

§  3.    Das  Stiilunfr^Terniü^en   wird   (gebildet:  dudi 
reite    einpe^ahlfcen    Oeldhetni^e,     ferner     durch    kQotti|t. 
gleichen  Zwecke  gewidmete  Speuden.    endlich  dar^  wdn 
f^ebrauchte,    7,tim  Cnpitul   f<eechlafrene    Zirtsen.  —  SoOti 
tinTorher^CHohen«    Ereii^isse    eine    Vennindenmi^    d«  Q 
eiutretfii,   80  muss   dAsselbe  ans  den   Jährlichen   Keaicft 
auf  »eine  roriffe  HBhe  gebracht  werden. 

§  4.  Anlnf^e  und  VermiltunK  des  Stift4ing»v«rBi9a 
folgt  dnreh  die  Casfienverwaltnnß  der  legi.  Akadetnip  d«r ' 
M'liuften  nach  den  für  die  Ohrigen  ak4&demi»cheu  Sti 
geltenden  Vortichriften. 

§  5.  lieber  die  VerwonrJung  der  jährlichen  2iM 
Stiftongsverntögens  zu  dem  in  §  J  bo^eichneteii  Zweck  cot 
eine  Commission«  welche  ans  dem  Prl-fidenten  der  k.  Ak 
dem  SecretKr  der  miitbemaÜAch-phyinkHlischen  Clane  v 
weiteren,  auf  ja  drei  .Tiibre  gL'wiihltcn  Mitgliedern  dicM 
beerteht. 

§  6.  Die  Namen  der  Bürger  ond  Finnen,  welche 
Münchener  Btlrgorstiftnng  einen  Beiimg  vnn  mindestens 
(eintauBend  Mark)  gesf>endet  buhen,  werden  xum  ebr«D( 
däclitniss  auf  einer  tn  den  Räumen  der  k.  A  kademi* 
bringenden  Tafel  verzeichnet. 

g  7.  Aendeningen  dieftes  Statute  sind  nur  auf  Anb 
mathemati^ch-phyitikali^hen  Clause  durch  einmtlthL^eii  Bi 
de«  Pffwidenten  der  k.  Akademie  und  dftr  drei  ClasseujN 
und  mit  Allerhöchaler  Geuebmigung  zuläs-sig. 

Die  iiu  tj  6  des  Statuts  urwabnte  Q^donktal'el  Iim 
Itauamtniann  Adelung  durch  die  geübte  Hund  des  Aral 
Kreutpr,  des  HchreinermeiHtera  Küllmayr  und  des  Hta 
meisters  Kehin  ausfithrcn  lu^sen.  äiu  i»t  in  dem  no  di 
aaal  anstossenden  Ver-^ammhingsranm  angebracht. 


p^^Pftttnkofer:  EHiff)»tmgtre4e. 


443 


)er  hexitipe  Festtap  verschafft  mir  Gelegenheit,  auch  noch 
reitere,  «ehr  ansehnliche  PriTatstiftunß;  zu  verkünden.    Seine 

lenz  Herr  StnatsminiRter  [)r.  v.  Landmann  erhielt  von  Heim 

|or  Fr])rn.  v.  Cramer-KleU,  erblichen  üeichsrafch  der  Krone 
ans  HohenaHchau  einen  Brief  vom  21.  Ocfc.  1896,  wel- 

[Se.  Excellenz  der  Akademie  im  Original   mitxuthetlen  die 

lliAUe.     Das  Schreiben  lautet: 

Hochwohlgeborener  Herr 
Hochzuverefarendeter  Herr  Staatsminister ! 

i  ist  mein  reges  Bestreben,  dem  Vorbilde  meines  verewigen 
ers,  soweit  m  mir  eben  vergönnt  ist,  nachzueifern.  Derselbe 
vi  dem  Gewprbemnseum  in  Ndrnberg  und  der  k.  Technischen 
ocfaschule  in  München  nicht  unbedeutende  Stiftungen  gewidmet, 
^enn  ich  auch  die  Höbe  dieser  Stiflungssummen  lange  nicht 
reichen  kann,  so  möchte  ich  doch  mit  dem  Capitalbetrag  von 
),000M.  eine  .Cramer-KIett-Stiftung"  bei  der  k.  b.  Akn- 
imie  der  Wissenschaften  zu  MOnchen  begründen  dürfen.  Neben 
im  »teteu  Rückblick  auf  das  Vorgehen  meines  gut^n  Vaters 
n  auch  ich  von  dem  Wunsche  beseelt,  dem  derzeitigen  Pra- 
lentcn  der  Akademie  der  Wissenschaften,  Herrn  Geheimen  Kath 
r.  Max  V.  Pettenkufer,  ein  Zeichen  meiner  Verehrung  kund- 
igolien  und  wfinsche  ferner,  dass  auch  auf  die  »Cramer-KIett- 
äftung"  im  allgemeinen  jenes  Statut  Anwendung  finde,  welches 
Beziehung  auf  die  ^Miliichener  RHrgentüftung  bei  der  k.  b, 
kademie  der  Wiäseuschaften"  von  eben  dieser  Akademie  am 
S.  April  lfd.  Ja.  beschlossen  worden  ist.  .ledoch  bäte  ich  ganz 
'gebenst,  es  möge  in  dieses  Statut  unter  Aenderung  der  §§  I 
id  3  und  mit  Binweglassung  von  §  G  für  meine  Stiftung  die 
estimmung  aufgenummen  werden ,  da&s  der  Zinsertrag  der 
i-amer'Klett-Sliftung  zu  neun  Zehnteln  auf  den  Stiflungszwcck 
ilbst,  KU  einem  Zehntheil  aber  alljährlich  r.ur  Grhöhtmg  de» 
Eiftungscapitals  verwendet  werden  soll.  Khe  ich,  vom  1,  No- 
jmber  lfd.  .h.  an  als  Attache  au  die  k.  b.  Gesandtschaft  am 
,  italienischen  Hofe  AUergnädigst  einberufen,  in  den  nächsten 
ageu  meine  Reise  nach  Rom  antrete,  gestatte  ich  mir,  an  Kner 


444  OeffenUicke  SiUuiuf  eom  14.  Nootnü>er  1896. 

VjXceWem  die  ganz  er^^ebenste  Bitte  zu  ricliten,  die  Allerhfichxte 
lundci^herrticbe  Bestätigung  der  ,Cruiuer-K[ätt-Stiftiiu^*  huch- 
geneigteät  befürworteu  zu  wollen  und  meine  Verm5g«DS-Admim* 
atralion  in  Mönchen  (Ottostrasse  0)  p;efä]ligst  verständigen  m 
lo^en,  wohin  sie  das  Stiflunj|;f8c;ipitftl  von  ßO,OOll  M.  tii  '  l<m 

habe,  welche  l^iiizahlnng  dann  sofnrt  bew«rkst«liigt  vn-.  .  .\. 

Mit  dem  Ausdruck  der  ausgeKeichnetsben  Uocbachtunnf  h»be 
ich  die  Ehre  zu  sein 

Euer  Excellenx 

gHOZ  ergebenster 

Th.  Frhr.  r.  Cramer-Klclt, 
erblicher  Heichsrath  der  Krone  B*,veni. 

Die  Akadeiuiecftsse  bat  die  00,000  M.  bereits  in  EmpfftOfE 
genommen  und  in  WertlipapierL-n  angelegt. 

Das  Statut  haben  Prä-^idcnt  und  CI&.ssensecretflre  nach  dem 
Wunsche  des  Spenders  entworfen  und  werden  es  oiich  Gegm- 
zcicbnuug  desselben  dem  k.  Stoatäminibterium  zur  Gcnehaiiguog 
unterbreiten. 

Der  jugendliche  Reicbsrath  der  Krone  Uajrem  hat  ftlr  dl* 
bajeriflche  Krone  wirklich  etwa^  Ciroüees  geleistet,  indem  vr  dvm 
verliältnis-sniil^Hig  armen  Staab^in^titut  der  k.  b.  Ak«deuiie  der 
Wiwenschaften  die  Konten  einer  »o  namhaften  Summe  zur  Ver* 
t'Uguug  stallt,  was  die  kgL  Staaloregierung  gewiss  auch  eol- 
iiprechend  anerkennen  wird. 

Ich  rufe  daher  im  Namen  der  Akademie  dem  hochhorxig«n 
Stifter  tief  gerUbrt  den  inuightun  Dank  nach  Rom  ultra  moiite» 
binfiber. 

Hierauf  hielt  Aha  ordentliche  Mitglied  der  Akadumtu  IVjf. 
Walter  D^ck  die  Festrede  «Teber  die  wechtieUeitigen  Ituuehungvii 
zwischen  der  reinen  und  der  angewandten  MatbcniaLik*^.  Mit 
dem  Vortrag  war  die  Sitzung  geschlossen. 


445 


Sitzung  vom  5.  Dezember  1896. 

1.  Herr  Ferd.  Lindemann  hält  einen  Vortrag;  ,Zur  Ge- 
schichte der  Polyeder  und  der  Zahlzeichen/ 

2.  Herr  Ferd.  Lindemann  legt  eine  Note  des  Herrn  Pro- 
fessor S.  Kantor  in  Kopenhagen  vor:  „Ueber  n.  Momente 
von  iJ^-CompIexen  im  Rr.' 

3.  Herr  Leonbard  Sohncke  macht  eine  Mittheilung:  .lieber 
die  drei  ersten  Fahrten  mit  dem  Ballon  , Akademie*.* 
Die  Veröffentlichung  der  Beobachtungen  erfolgt  an  einem  an- 
deren Orte. 

4.  Herr  PaüL  Groth  legt  eine  von  dem  correspondiren- 
den  Mitgliede  Herrn  E.  v.  Fedorow  eingesandte  Abhandlung : 
»Einige  Betrachtungen  über  die  Grundfragen  der 
Kry stall ographie"   vor. 

5.  Herr  K.  GoEBEL  reiclit  eine  Abhandlung  ein:  .Ueber  Ju- 
gendformen von  Pflanzen  und  deren  künstliche  Wieder- 
hervorrufung." 

t>.  Herr  W.  v.  GCmbel  spricht:  „Ueber  die  Grünerde 
vom  Monte  Baldo." 

7.  Herr  Alf.  Prinosheim  macht  eine  Mittheilung:  .lieber 
die  sogenannte  Grenze  zwischen  Divergenz  und  Gon- 
vergenz." 


447 


Ueber  Jugendformen  von  Pflanzen  und  deren  künst- 
liche Wiederliervorrufung. 

Von  K.  GMbel. 

Im  Wesen  der  Entwicklung  lie^t  e»  bci^rUniJet,  Aass  die 
ersten  Sturen  derselben  vuu  den  füllenden  nbweiciien.  Dies 
tritt,  wie  ich  frDlier  fUeber  die  Jugendztutäsde  der  Pflan/eu, 
Flora  1S89,  p.  l  If.)  nachzuweiäeD  versucht  hübe,  besonders  dann 

I  auft'alleiid  hervor,  wenn  die  ernten  Entwicklungsstadien  anderen 
Luääeren  Verhültniäeuii  an^epassb  sind,  al.s  die  t'olf^enden.  Su 
tinden  wir  bei  einer  Anzahl  xerophiler  P6anzen  die  späterhin 
eine  Keduktioa  der  DluttflUche  zei^eu,  die  Jugend  Türmen,  die 
im  Schutze  anderer  Pdanzen  aufwachsen,  mit  wohtentwickelten 

rBlättem  versehen;  die  frUher  angeführten  Beispiele  zeigen  aber, 
welche  Schwankungen  in  dieser  Beziehung  vorkommen.  Es 
Keifen  z.  B.  die  Keimpflanzen  von  Cosuarina  und  Ruäcuä  acul- 
eatus  keine  Abweichung  von  der  Ge»tüttun>;  der  »erwachsenen* 
Pflaoz«,  während  diejenigen  ron  Kosods  androgynoa  (Seniele 
andrngyna)  wohl  entwickelte  Lanbblätter  Witzen,  obwohl  auch 
hier  später  die  Blätter  verkQmmeru  und  dit<  Anüiniilution  den 
blattii balichen  Phyllokliidien  übertragen  winl. 

Aber  auch  da,  wo  die  LebenAVertültiiiiise  der  Keimpfianseo 
nicht  in  erheblichem  Maaasc  von  denen  des  späteren  Altera  ab- 
weichen, 6ind  die  Ge&tAltungMverhältni^ue  oft  rerttchieden.  Diene 
Erscheinung  gewjihrt  xunftchst  ein  morphologisches  Intereme. 
FaMen  wir  nur  div  Ix'blättertt'n  PHan/en  zrinächiit  in  das  AujTf, 
und  bezeichnen  wir  die  in  der  Jugend  auftretenden  Blätter  als 


4-^8         Sitiutiif  der  math.-jJty»,  iVoMae  roin  S.  Detember  tu 


Primärhiätter*),  so  fragt  es  sich:  folgnn  Hiefip  von  <Ipn  »pi- 
teroQ,  ileu  Kuigeblätteru,  oft  »o  weit  abwcichendi'H  Gebilde 
dtiOiädbcMi,  nur  in  gewisser  Beziehung  abgeünüertea  Kniwick- 
lungs^nge  wie  jene  oder  nicht? 

In  einer  An^hl  von  iinierKiicbten  Füllen  halte  ich  nach- 
gewiesen, das«  dfts  erstere  der  Fall  ist,  dass  der  Entwickhing)*- 
gang  bei  allen  Blaitgebilden  einer  Pflanze  arsprUnglich  Dber- 
einsticuMii  und  Abweichungen  dadurch  /.ü  Stande  k-üiuwen,  dan 
die  Priniarblütter  auf  einem  gewiddon  Entwicklungsstudium  stehen 
bleiben,  und  nun  eine  V ergrösser uiig  oder  sonstige  V'^erUndönmg 
einzelner  Theile  erfahren.  Sie  eracheiuen  »o,  wie  ich  nachwies, 
ah  IK'mmungHhildun^pn  gegenüber  den  ttpäter  anftreti-ndeo 
Hlattiiilägen,  abgesehen  naUirlich  von  den  Fallen,  in  denen 
letztere  selbst  der  Reduktion  anheimfallen,  wie  bei  den  austrs- 
liäcben  Akaxien,  Clematis  afoliata  u.  a. 

Derartige  Krscfaeinungen  haben  xunächst  in  phy1ogeneti«ch«r 
Beziehung  Am  Interettse  auf  sich  gezc^en,  weil  die  'Ingendformen 
hier  Obere! nstiminen  mit  drn  Oe.^tultiingHverhältuittäeu  die  bei 
anderen  PHnn/eii  die  auch  später  hemchvuden  darstellen.  Durmuf 
möi-hle  ieh  hier  nicht  n&her  eingehen,  sondern  nur  hervorheben, 
dass  der  Nachweis,  doss  eine  Jngendforn)  andern  VerbültuiaMn 
nngepiis«t  ist  als  die  folgenden  Stadien,  noch  nichts  gegen  eine 
etwaige  phylogenetische  Bedeutung  der  Jugend.tladien  Ijewetafc. 
Darüber  kann  nur  der  Vergleich  mit  anderen  Formen  oa^ 
scheiden.  Auch  da,  wo  Ober  die  pbylogimetische  Bedentung 
der  Jngendatudien  wohl  kaut»  eine  MeinungBrenohiedeniMBt 
besteht,  wie  bei  den  auBtr<iti:>chen  Akii7.ien,  »ind  di«it«tben  offm» 
bar  anderen  Verhältnissen  angepasst  als  die  epitem  und  haben 
deashalb  eich  erhalten. 

In  neuerer  !^it  i;it  aber  gegenüber  der  formal  moq>bo- 
logiMsfaen  Betrachtnng  eine  andere  Frage  in  den  Vtirdergnind 
getreten,    die   nach    der  Abhängigkeit  der  einzehien    Kntwiek* 

*)  Der  «Utl  da«»en  tob  «inigvu  Autoraa  angewandte  AiMdmck 
PritnunÜMlbliUlt'r  i»i  zu  verwerfen.  PrbuünliiLlh1;itt  int.  wie  der  N*aie> 
•äfft.  <*ine  ai»  Jrün  Blatt iirimonlium  hi*rvorgegtuigöD«  tJlattiuila^e.  iw 
haium  Gicliler  iind  ioh  ilnn  Amtlruck  aaub  gubnuuiht. 


A*.   fiüthfl:    Vfhcr  J Hgrntlfnrmeii  von  Pftancrn  ttc. 


-M9 


äNtiidicn  von  äii^^eren  Kaktoren,  Auf  die  Kräfte,  ob  diu 
Auftreten  der  Jugendformeu  au  auderc  ünsseTe  Ueiliugun^t^u, 
cpeciell  ati  andere  Starke  der  Uohtint^nsitUt  peknllpf*.  a«,  als 
dus  der  folgL*nden  Entwicklnngwtufen,  wurde  schon  in  meiner 
oben  erwiifanU'n  Arbrit  lnn^L•v^ieseu.  Ist  die»  der  FnII,  po  tnuw 
eä  nmäcbst  mö^licli  »ein,  die  Dauer  der  Ju^endform  künstlich 
%n  Terlan^erD,  sie  zu  einer  theoretiech  unbegrenzten  zu  machen. 
Die  Natur  fflhrt  dies  Experiment  gelegenMich  bei  einigen 
Wiwserpflrtnzen  aus,  und  so  wurde  denn  auch  xunüchsfc  bei  einer 
solchen  l'fianxe,  Sagittarin  sagittiiefulia  ton  mir  nachj^ewieseo*), 
dass  dio  .Tugendform  —  die  nch  durch  ihre  abweichende,  ein- 
fachere niattforni  auszeichnet,  dauernd  crbulten  blfibt,  wenn 
man  nie  bei  schwacher  |jichtint».'D^ität  kultivirt,  und  doäselbe 
wurde  spater  f(lr  eine  dikotyle  LandpftaD/e,  Campanula  rotundi- 
fiilia  gezeigt. 

Iod(»>s  kämmen  hei  der  Erbaltuug  der  Jugendfurmen  keines- 
wegs nnr  Süssere  Kiinvirknii^en  in  Betracht.  Dien  %ei;;t  unä 
schon  das  Verhalten  der  , fixirten '  Juf;endfonnen  mancher 
Coniferen,  z.  U.  der  Üiota  und  Chamaecypari8-(Uetini.spnra)- 
Artrn.  Man  kann  hier  die  durch  abstehcndi:  Xaileln  atttge- 
zeichnctc  Ju^endforra,  wie  früher  niitgetheilt,  dadurch  erhallen, 
diiM  nuin  an  Keimpflanzen  die  ganze  obere  Partie  entfernt,  nnd 
nur  die  an  der  Baais  stehenden  die  Jugendblattfunn  /eigßuden 
Sprosse  stehen  Übst.  Diese  erüahren  jetxt  eine  kräftige  Knt- 
wicklung,  wahrend  sie  sonat  durch  die  anders  beblätterten 
Sproftie  bald  unterdrOckt  werden.  Ks  kommen  atiKi  auch  Cor- 
relationsTerhältnisse  in  Betracht. 

An  die  Frage:    wodurch   man   eine  Pflunze  zum  Beharren 

auf  dem  Jugendiittadinm  veranlassen  könne,  firl)liesst  .-«ich  natur- 

.gemö^die  weitere,  üb  und  wodurch  es  möglich  ui,  die  Pflanze 

ItUckkebr  zur  Jugendform  zu  bringen. 

Nachdem  nun  eine  Anzahl  derartiger  Fälle  bekannt  ge- 
worden ifti,  wird  es  von  Intereüse  sein,  sie  in  Verbindung  mit 
einigen  neuen    hier  zusammeafasnend    zu    besprechen.     Dass  es 


M  PQMiiMibiolog.  Schilderungen  lU  p.  'Jm&.  Flom  189A,  p.  110. 


4&0  SUsunff  der  math.-iiki/a.  Claxite  vom  5.  Itestmber  J896, 

sich  auf  diesem  Gebiete  nur  um  eineu  Anfuog  bändelt,  ItTMcbt 
kaum  hervoi^ehoben  711  xverden,  immerhin  ergeben  sieb  docb 
ftir  Pflanzen  aus  ventcbiedenen  Gruppvii  einige  gemeinauEM 
(jedcbtepunkte,  wenn  auch  Manches  noch  Kweifdbaft  bleibt 
und  ausgedehnter  Prüfung  bedarf.  Die  meisten  der  im  Fol- 
genden beitprochonen  UnU*r6Uchungei)  wurden  th*-ihi  von  mir, 
tbeiU  auf  meine  Vcrunlussung  iu  dem  hiesigen  pÜuni&enpbjMio- 
logistibeu  lüätitute  ausgefahrt,  andere  Beispiele  wurden  der 
literatur  entnommen. 

1.  Lebermoose. 

Untersucht  wnrde  das  Verhalten  /.ureier  Marchantieen. 
der  Keimung  der  Sporen  enlalebt  zniiacbAt  ein  KeimachUoch, 
zur  Bildung  der  an  diesem  entstehenden  Keiaiecbeib«  ist,  wie 
schon  Leitgeb  fand^  höhere  Lichtintensität  noth wendig.  Bei 
.starlcem  Lichte  bleibt  der  Keimsehlanch  kurz  (cfr.  Fig.  I,  I) 
und  geht  M)fort  an  seiner  Spitze  zur  Bildung  der  aua  rier 
Zellen  l>estelienden,  rechtwinklig  zar  Kichtnng  der  Lichtstrahlen 
orientirtea  Keimscheibe  Ober,  deren  eine  Zelle  zur  Si  '  II< 

der  KeimpHonxe  wird.     E!a  bildet  sich  so  eine   mit   zv.'.TviM.t'i- 


f^'A 


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/. 


^. 


FS?-  T    PreiBBia  oommuUt«  fhaIb«f}icmTtti*fh>.   1.  Opki-imti«  8pnr*.  oliea  n 
L943h«ib«  bben^iiesid.    2.  Juti  ' .  J   ds« 

••■itwRiide.    in    linm    obcrii    '.  .  j'ttig« 

l'll,  r  ["ift.    H-  Eiu*^  Kcimucbi'ilir,  lu  .]<:t  iu  il  %ty 

fiiu  l'1l«n/''  ntiv'l'V'' w»ir»le  (i- St'ljritelzt*ll>  ■>»- 

•rhi'ibi:  !C.  i  ■■ml  im  npti[i'*h<'n   I 

,  jmif;«  1*1'-!  !■*  in  iV'ltfe  vrniiiii- 

iri»'»tfr   'inii    h'  iiiH^liI  111'  !i    .i;;-i;'"A;ti  li.itül   t»t.       l  'TiCrj 


JC  GocM:   ffeher  Juffen^onnen  von  Pftanien  .eie. 


451 


» 


diger  Sühmtelzetl«  wouhsunde  Zellflüeke.  Brinp;i  miui*)  diuse 
in  i^eniindertes  Licht,  sü  wuchst  die  Scbeitelzelle  wieder  %am 
Klinisch  I»ucho  aus  (I,  5)  der  nun  wieder  —  höhere  Liüht- 
intensität  vorausgwetzt  —  zur  Bildung  einer  ICeinischeibfl 
schreiten  kann.  Dieser  Versuch  lilsst  Mich  durch  Withael  der 
Lieh iintensi tut  beliebif;  oft  wiederholen,  die  Möglichkeit  dazu 
hört  aber  auf,  subald  der  Si-heitel  des  Vorkeinis  die  Struktur 
angenorainen  hat,  welche  nan  die  l)leibeiide  wird.  Auch  andere 
Zellen  des  Vorkeims  kQnnea  zu  Schläuchen  aoswachsen,  und 
zwar  geschieht  dies  nach  Verletzung  der  ScbeiteUelle  regel- 
inäsaig.  Es  war  nun  nicht  unwahrscheinlich,  dass  man  durch 
Aussaat  der  Sporen  bei  hobf^r  Lichtiutensität  die  Bildung  des 
Keimschtaacbes  ganz  unterdrücken  ond  sofort  KeirascheibeQ- 
bililnng  herbeiflibren  könne.  Kin  bei  sehr  starker  elektrischer 
Beleuchtung  uui^gefilhrter  Versuch  luit  Plagiochaftiua  Aitouiana 
ergab  aber  ein  negatires  Resultat,  K ei nisch tauche  traten  trotz  der 
starkeu  Beleuchtung  auf»  ihre  Bildung  kann,  soweit  die  Erfahrung 
bis  jetzt  reicht,   nicht  Gl)ersprungeu,   resp,  unterdrückt  werden. 

Wenn  an  dem  Vorkcim  eines  foliosen  Lebermooses  die 
Bildung  einer  i^prossanltt^e  erfolgt  ist,  so  Iwginnt  die  Blatt- 
bildung zunächst  mit  der  Kntfstehung  einfach  gestalteter  Priniär- 
blfttter.  Es  fragt  sich,  ob  man  die  Bildung  derselben  auch  auf 
spateren  Stadien  wieder  berrorrufen  kann. 

Jungermannia  bicnspidata  besitzt  bekanntlich  BIfitter,  die 
auf  einer  Zellfläche  oben  zwei  gleichfalls  au^  Zelldüchen  be- 
stehende Lappen  tragen.  I'äunzen  dieser  Art  wurden  längere 
Zeit  bei  schwacher  Beleuchtung  gezogen.  Ks  entwickelten  sich 
vielfach  Sprotne,  l>ei  denen  das  Blatt  nur  noch  ans  zwei  an- 
reihen bcätAnd.  Kin  solcher  Fall  —  nicht  der  extremste,  der 
zur  Beobachtung  kam  —  ist  iu  Fig.  11  abgebildet  Da»  Blatt 
war  das  17.  eines  Seiten  Sprosses,  «res  desehatb  bemerkt  werden 
musgi ,  weil  die  untersten  Blütter  von  Seiteosproesen  ohnedies 
einfacher  gestaltet  zu  sein  pÜegen,  als  die  oberen.     Es  ist  hier 


4^4         SiUung  der  math.-jfhifs,  GVcwe  vom  H.  Destmhvr  J500. 

Grabou  am  Stollenniuudloch  der  Uachschiefcrz«che  Lebniten  bei 
Ludwigstftdl  in  Oberfraiikcn  gewachsen  und  besaasen  hm  ni 
5  cm  Dicke  bei  niuer  Ausdehnung  von  oft  Ober  15  col.  Die' 
konipaktcD  Polster  zeigen  beim  Durchschneiden  deutlicli  eine^ 
äcbichtun}^.  die  oberste  Zone  {etwa  bis  2  niui)  seigt  ein«  uAch  I 
unten  abnehmende  intenniv  grOne  Kärbung.  Merr  r.  QQmbel  i 
war  xTreifelhaft,    ob  dies  Gebilde  eine  Fadenalge  darstelle  oder 


Fig.  111.     Pro  toll  eraapuliter  Ivun  Biram   ppfoilo-tnijaotnna?!  tn   natllr- 
Uäher  GrOeii«.     Daswlbe  oUt  oimud  Stack  Uoli  ««f, 

ein    sehr    eigeniirtigee    Moo^protonema.      Das   zuorst    Toa    mir 
untersuchte    Maierliü     lieas    den    Zellinbalt    nicbt    mehr    dent- 
Lieh  erkennen.     Koch  der  Gestalt  der  verzweigten  K&den,  Mm 
denen  die  Polater  Eusanimengesetzt  itind,  glaubte  ich,  eioe  ChW-  M 
rotyliiim-Art  vor  mir  haben.     Frisches  Material,   welche»  Herr  " 
T.  GUmbel  kommen  zu  laseen  die  Freundlichkeit  hati«,    zvigU^ 
dasä  offenbar  ein  Moosprotonema  vorliegt,  fTcilich  in  einer  Aaa- 
bilduog,  die  es  zu  einem  höchst  fremdartig  auseehenden  OebtU« , 
macht.     Die  i'oUter  bestehen,   wie  erw&hnt,   aus   venwoigteo, 
durch  Querwände  in  cylindrischc  Zellen  gegliederteti  Fäden.    Di« 
CblorophyllkOrpcr  haben  ganx  die  Gestalt  wie  bei  den  Moqrb., 
und  in  den  Zellen  ii»t  nur  ein  einziger,  verhüJttiiMmätt»ig  grwiir 
Zellkern  vorbandtru,  vras  ohne  VVeiterea  zeigt«  da£s  man  es  mit 
einer  Cladophoreo   nicht   zu   thnn    haben   kann.     Irgendwelche  1 
Furtpflanzungwrgane    wuren    nirht    viirhati'lfn    und    der    —  tti 
Worten  schwer  wiedarzuj^ebendfl  —  GwauuuthabLlua  d«r  FidenJ 


wrJufftndformmrmT^mmn 


45Ö 


mtiast«  jemand,  der  wie  ich  sich  viel  nut  Moo^protonemeu  be- 
fasst  hat,  die  Uobenseugung  anfdrangen,  dafus  ein  Mooeprotonema 
rorliegt. 

Die  Zelltheitung  erfnlgi  vorzugsweise  in  den  Spitzt>n7^IIen 
der  Fäden.  IndesH  kummen  auch  interkalnre  Theiltin^en  vnr, 
durch  die  nicht  Be\ien  kleine  scbeibeuförraige  Zellen  abge- 
schnitten 'ffrerdeo,  eine  Erscheinung,  die  auch  bei  anderen  Moos- 
protonemen  aich  findet,  namentlich  wenn  »Gcniroenbildnng'  ein- 
tritt (vpl.  mitten).  Die  Wände  ^«telien  meist  ipier,  oft  aber  auch 
geneigt  cur  Faden  -  Längsachse ,  in  einem  Fullc  traf  ich  auch 
eine  Längswand  an.  Noch  nnten  hin  verliert  sich  in  den  Fäden 
die  grtlne  Farbe  der  Chlorwphyllkörper,  sie  werden  erst  gelblieh- 
braun  und  geben  dann  ganz  zu  Grunde. 

Die  Verzweigung  der 
Ffiden  ist  in  den  Figuren  IV 
und  V  dargestellt.  DieSeiteu- 

'  aind  dünner  als  die  Hanpt- 

üe  und  entspringen  meist 
nur  auf  einer  Seite  dereolben,  ix 
dosa,  wie  Fig.  IV  zeigt,  auch 
interkalare  Astbildung  vor- 
kommen kann  —  eine  sonst 
bei  Müusprotouenieu  nicht  be- 
kannt<>,  bei  manchim  Clado- 
phora-Arton  sich  findende  Er- 
scheinung —  steht  offenbar 
mit  dem  Vorkcinmien  intor- 
kalarer  Zelltbeilung  in  Ue- 
xiehnog. 


Fig.  IT   and  V.      Rinzelnt?   VüiXcn 

KW   dem   in  Fi}?.  III   »IiK"tnMi>tpn 

Prntaneiim|tolst«r. 


«Hhixoiden"  fehlen  TotUtändig.  Sie  wQrden  auch  bei  den 
kompakt  wachsenden  Fäden  ebensowenig  funktionelle  Bedeutung 
haben,  als  etwa  bei  den  Staninichen  von  Sphaguuni. 

Do»  die  VoUter  ein  nicht  unbetritchtlichea  Alter  besitzen, 
ist  ihren  Gröe^enverhaltnissen  nach  wahrscheinlich,  wenngleich 
dfiA  \Vaeh»thnm  in  ströuiendeu   Wasser  ein    beMnderd   üppigea 


456         Silsunff  i«r  math,-phy».  Claa»«  Mm  6.  Dftembtr  189S. 

ZU  sein  pfle^^.  FrOber  hat  man  die  Verlan gerunfi^,  welch« 
manche  Pfianzen  in  fliessendem  Wasser  zeigen,  auf  die  mecha- 
nische Wirkung  des  Wassers  ziirDcky-ufülireii  verbucht.  Ich  habe 
bei  anderer  Gelegenheit^)  darauf  hingewiesen,  dass  dies  nieht 
genüge,  dass  vielmehr  auch  die  Verhälfcni&*e  der  Beteuchtuo^ 
der  NäbrstolF^uftihr  uud  der  Durchlüftung  in  Belracht  kommen. 
Demeu sprechend  kamen  F.  Darwin  und  D.  Peru*)  neuerdings 
auch  zu  dem  Heßnltnte,  daaa  die  Assimilation  in  bewegtem 
Wasser  eine  stärkere  ist,  als  in  ruhendem. 

In  Luft  kultivirt,  wuchsen  dif*  Protonemcn  weiter,  die  Fiden 
wurden  aber  schmäler,  and  die  hei  den  Polstern  so  auffallende 
Bevorzugung  di;r  Spitienzellen  mit  Be/ng  auf  Cblorophjll|;efaalt 
war  bei  weitem  weniger  vorhanden.  Die  in  der  Luft  ent- 
wickelten Fäden  verfallen  ausaerordenÜich  leicht  in  «iniLelne. 
eine  oder  mehrere  Zellen  umfusende  StQcke.  Inden  tat  der 
Vorgang  hier  ein  anderer,  als  bei  der  .Gemmen^bildung,  die 
an  Funariaprntonomen  nicht  selten  auftreten,  uud  auf  die  ychoB 
früher  hingewiesen  wurde.*)  Hier  6nden  wir  nümlicb  leen 
Zellen,  deren  Membran  mit  Kongoroth  sich  sehr  raech  (ftrbt 
nnd  später  in  ihrem  unteren  Theile  vorquillt,  zwischen  plaicma- 
reiciie  eingeschaltet*),  die  späterhin  dann  zu  neuen  Protonoma- 
iaden  auswachsen  können.  Die  Figur  V  mag  eine  VorsivUung 
von  diesem ,  an  die  Uemmenbildung  von  Miicor  erinnernden 
Vorgang  geben.  Wie  dort,  wird  auch  hei  Fuuaria  die  Giunnien- 
bildung  eintreten,  anter  Umständen,  die  fllr  da«  vegeUtivt 
Wacbsthum  uugGn&tig  sind. 

Zur  Bildung  von  Mooesknottpen  haben  e«  die  ab  Luid- 
pflaozen  kuUivirlen  PoUterproton erneu  bia  jetzt  noch  niebt 
gebndit. 

0  PflantenbioloR.  SohUderunjren  U,  p.  882. 

*)  Od  the  effert  of  wnter  etirrtmtjt  on  tbe  minniiliitSoa  of  «apiatie 
plaata.  bj  Francü  Panwiii  and  P.  F.  &I.  VovU  (Procpvdmie*  of  tha  Ca«> 
briclgi'  phi]o«uphicai  itwieLj  Vo\.  IX,  P.  Xl/. 

*)  );«wj»<?|.   lüf  Mii*><-mnmi<  Srh"nV't  HünHttnch  Tl,  p.  lÄ**. 

»II  ■■  ~ 

auch  ein-  I  _  i  _ 

irliva  Docb  Chlvroph^UkOrper  bekitart. 


f 

und  d«9s  Kock  bä  nuden:  Pfianzai  da?  Aixftreiai  der  Sexual- 

OT^Tfts«  TielfbCii  ui  eis*  Han^-^:^  der  T«e*saxiTe£  £nt«ickhc:g 
«li*  iTiT  rei^  rTT*:cJi.e;i»:br,  i»?r  i;«r£  griiggrataflaein  plaoäblc 

körr^er.  ä*  bi-:iir:*r>c  5'Ä^  •"i^'i^az.  ikfere=:  &1»  vener  «ct- 
iHftfhr  TrirsT  ist  >ei:ifc;;:rrfc:it  küf^üiu  *di/*  Scafe,  über  die 
Ä*  ^K  5:3^fczni*   kZiiz.    —■::.:    "r '-.fsag-'.fc- gri„     Ist  die»  Ai- 

*-«  zx  5*r  G"-sriI-*:J:-»;c-r»r"r-  zr^lz'^  isE. 

F*sC*:"SÄ<Ch  ii5  rT.TÄ-  ::j::  z.z:r,    cicc    dii?   Ia:ia    xar  Bü-Jsiur 
öÄT  iC.^-istr'.tCiec:  r-rf^iTfCiüc  is.-    izit  rrir  Läcc':  tob  böiicTfT 

i/ir*i:i:-  Ti  z^fs^r  "TmiCfcii  t.ji  'irLirtrsi.  B^riiSmchfiem  nieäl 
Sf!r^.iÄ»:*r^  w-ci-ü  sr.  ^:  t'^ui-fiL  i-rsi  Asck'tME  siebt  mit 
Sü-^tc-:«r  r=r  £iT>-^~ :  zz^  i~-  ?rij?t  iienLrifffaocwn  verde!:. 
•wm:!   trä^r*  TiiiicLr'St   :  .«.^  t.::  zrt  r»l  iiir  ä^  lloa£kiio?p«n 


1  -  .'.^a,  ..-  .  _ 


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GoeM:  m 


»ff tnil formen  ton  ^mm^T 


•ISO 


Wbs  zunächst  die  AD^tiUen  iu  der  LitemUir  iinbclnngi, 
faud  ich  nur  folgende. 

Schimper')  säte  Sporen  von  Funaria  hy^roinotrica  iiuf  sterili- 
sirten  Sand  und  andere  in  destillirtes  Wa-iser,  dem  er  einige 
Trjpfen  Salpetersäure  zusetxte.  Die  let7U?ren  keimten  xucml« 
gingen  dann  aber  zu  Grunde.  Die  andere  Knltur  zeigte  2fr  Tage') 
nach  der  Au.s9aHt  die  ersten  Moosknospen;  t»  würde  darauH 
herTorgelien,  dass  die  in  der  Spore  vorhandenen  Stoff«  unter 
/uhilfenahm«^  der  dnrch  die  Aüstmitation  j;eMldeteu  genQgten, 
um  die  Bildung  von  Moosknospen  /.u  ermöglichen,  doch  darf 
wohl  angenommen  werden,  daas  das  Sabatrat  die  Aufnahme 
von  A5cheb<-5tandlhdleQ  nicht  ansgewhkvtsen  hatte.  MQlter- 
Thurgnu  faud,  da?is  zwei  Kulturen,  die  eine  auf  mit  Brunnen- 
waHser  befeuchteten  Kiessand,  die  andere  auf  atutgekoohtem  mit 
NiUirli'wung  getränkten)  Spbagnumtorf  —  eich  verschieden  ver- 
hielten. Die  letxtcre  h&OM  das  kräftigere  Aussehen,  die  erster« 
entwickelte  früher  eine  groaae  Anzahl  Moosknospen. 

Gelegentlieh  meiner  üntensuc hangen  nbcr  die  Abhängig- 
keit der  ßlattforni  rnn  Oampannia  rotundifolia  halie  ich  eodann 
gezeigt,  des8  durch  starke  Lichtintansifcät  die  lllutwicklung  dee 
ProtnnenmV  Mcb  nicht  unterdrücken  länt,  wfthrcnd  man  hätte 
veroQulheu  kftnnen,  daae  hierdurch  die  Mooaknospeubildung 
auf  Ko-tten  der  F'rot'ineniBbildung  so  erheblich  beschleunigt 
werde,  da>«  die  letztere  sehr  /urückirete.  Freilich  ist  ein  Ein- 
blick in  die  ganze  Frage  damit  noch  nicht  gewonnen,  wahr- 
scheinlich ist  es  ja  fDr  die  Knospcnbildung  ein  Optimum  der 
Licbtinteusitüt  vorhanden,  daa  bei  meinen  Versuchen  vielleicht 
nberachnt(«n  \var. 

Die  Kulturen  der  Funariaaporen  wurden  mit  der  Absicht 
untemomnieu,  Material  xur  Elntächeidutig  folgender  Fragen  xu 
gewinnen. 


*)  W,  V.  Si'hiniiwr,  Rtn-farrchM  annUtmiquu*  et  muntholoKiquc«  Mir 
te«  mouMC«.  p.  4. 

')  In  i|«r  t  »rigiuaUrboit  iit  —  offenbar  in  FoIk"  ainM  Drurkfvblan 
(IvT  30.  Fobniar  angegeben,  am  i.  war  die  Autiaat  erfolgt. 


T 


Fjp.  VII.  Protonruia  von  Fiinari»  Iiy^'ionu'tric-u,  I>iinkplkultur  mit  Zucker. 
12  Tiif!»*  alt.  Dan  Protonema  ist  trotz  licd  LichtnianKelH  ganz  normal 
au8gcbiUIet  und  hat  auch  oln  ..Khi/.oiil"  mit  n'iht winkeligen  ijuenränden 
gebil(lt?t.  E«  sind  zahlreiche  L'hloropbyllki)r])er  vorhanden,  dun  „Rhizoid" 
dapcjs'i'n  f-rscht-int  hell.  In  den  ChlorniihvIlkiTpern  viole  kleine  Stärke- 
kiinirhen.  In  dtTnelben  (übrigens  mit  ^ichiniiiifliiilzen  inficirten  Kultnr) 
waren  noch  grossen*  Trotonenien  vorhanden. 


fjnthfi:  Urhtr  Jugtmtfhrmen  von  Pflanten  ete. 

Die  Schiefstellung  der  Wände  in  den  unterirdischen  Proto- 
'nematheilen  ist  vielfach  —  verinuUiun^weise  auch  von  mir  — 
ah  direkt  durch  den  Tiichtniangel  heditigt  aiifgefoffifc  worden*). 
Um  Protonemen  bei  LichtabschUiss  längere  Zeit  IcultiTiren  zu 
ktmnen.  wurden  dem  Substrat  organische  Substanzen  zugesetzt. 
Ks  zeigte  sieb,  dass  Funurin-Protoneineo  bei  vollständiger  sapro- 
phjtischer  Krnührung  zu  beirüchtücber  Grösse  heranwachsen 
können.  Die  Ausmaten  erfolgten  auf  Agar-Agar  in  Petri- 
schalen, welche  eine  dauernde  Prüfung  der  Kulturen  ohne  Oeff- 
nnng  bei  srhwaclier  VergrÖssoruug  gestatteten.  Diis  Nährsub- 
fitrat  enthielt  theils  die  gewöhnliche  Nührflti>frirx<!ung,  theila 
einen  Zusatz  von  Qlykoae  oder  Popbm.  Letzten.-»  erwiw  sich 
aU  wenig  geeignet,  de^eholb  wurden  die  Kulturen  meitt  mit 
l — 2*/o  Glykose  gefüttert.  Ks  wuchsen  die  Sporen  im  Dunkeln 
auf  das  Vielfache  ihres  ursprünglichen  Voinmens  bernn  (vgl. 
Fig.  VII)  nnd  bildeten  zahlreiche,  meifft  in  schwach  gHin  schim- 
memde  Chloroplaäten  eini^eachlos^ene  Stürkeherde ;  sind  die 
Starkekörner  kleiner,  so  treten  die  Chlorophyllkörper  deutlicher 
hervor.  Die  Differenzirung  iu  dUnnere,  den  Uhizoiden  ent- 
sprechende und  dickere  Fäden  erfolgte  auch  im  Dunkeln,  iu 
beiden  traten  aber  nicht  die  «schiefen*  Wände  auf,  so  daas 
dieselben  nicht  durch  den  Lichtraangel  bedingt  sein  können, 
selbe  könnte  bei  dem  gewöhntirhen  Verhalten  höchstena 
biner  der  mitwirkendi*n  Knkt«ren,  über  uiclit  der  allein  ans- 
äe hUggel>en  de  sein.  Die  Anlage  von  Uooskoospen  worde  an 
den  Dunkelkulturen  nicht  beobachtet,  dieselben  zeigten  zwar 
ein  Oppiges  Wachsthuin,  morsten  aber  nach  einiger  Zeit  wegen 
des  Auftretens  von   Bakterien    und    ächinimelpilzeu    aufgegeben 

')  Dotroff«  d«  Anndtio»  der  •(•hi<»frn  Wftn»!"  vs(\.  ,1.  ijf  Wililcmant 
h^tucli?#  «ir  TiitiArbe  de*  fluiHnnii  rrlliiln  oouronne«  et  M^. 

»I«  «avant«  i'tmnjf»«T»  publi*'«  pur  l'Aci  ^^.  ,  n*  1898).  —  Ich  habe 

(tbriiifnu  »cbon  1681  als  Vurmathttng  auage^prorhen ,  „doM  nach  lüft 
••rtiirft'  ätelluiig  tlrx  Qavnrlld<iä  in  dm  Rhix/jitlin  dudurch  xu  Stunde 
kttniiiM,  du»!  niiii>  unijirOiiitItch  rri'htwinkitli^  jur  Kiidrnarhsn  orirntirtp 
y  f«hiof(»  ^L'Hnnff  Tfipiclirtlicii  winV"      (>h-*4'  WriimthunK 

|i_  liiiUi.   d<-iii    mr<int<   Aoira^'C    untH'kuiiit    gi'hliolM'ii    tu    «xiin 

•cheint,  barUligt 


402         Sitmng  dtr  mnth.-jJtyt.  Clame  tom  5.  Dexemher  1890. 


werden.     Jedenfalls    aUo    kann    nmn    die    Fiin«rm-Prribr>nom«n 
kfiufitlich   ftlü   Saj)ropb,vten   ziehen,    während   ohne    Zusatz    roa 

Zncker  sie  im  Uunketn  iinturlich 
nar  eine  geringe  OrOne  er- 
reichen Icöunen ,  wofür  Fij^. 
VIll  Ä  ein  deiitlicht*>*  Btwpit'l 
Rbfpbt 

Aus  den  Lichtkultureu  tra- 
ten un  den  mit  Zucker  gt^fSb- 
terten  die  Moof^knospen  io  einigen 
frnher  und  reichlicher  auf,  ahi 
an  den  ungefütterten.  Wenn 
da«  nicht  immer  der  Kall  war, 
80  ist  zu  bedenken ,  daas  dt« 
einxeluen  Protonemen  naier  (tieb 
an  Kröfligkeit  u,  s.  w.  verschie- 
den «ind. 

Kf)  erinnert  das  eb«n  ange- 
führte Vcrbalton  an  die  bokunut« 
Thatsache,  daaB  an  abgeschnit- 
tenen Mootblattem  daa  Protouena 
ficbon  nach  unbeträcbtlicbar 
Entwicklung  —  (vergtichen  mit 
der  bei  der  SporeukeimuDg)  — 
zur  Knospenbildung  »ohrattefc 
(t^.  die  Äbbt]*lniigi*o  vou  Berg- 
gren,  J  akttage  Iser  öfver  tnot- 
somas  kÖnlim  fortpUntning  ge- 
noni  groddknoiipar  och  m6<2  d«B 

anuUtgii  Bildningar,  L >    *^-*fi, 

Tab.  111,  Fig.  ii-9^    .  ,1. 

spricht  auch  eine   Heotmchtong 

ron    Klebfl    (n,  a.   0.    p.  548), 

womach    da«   aus  abgtMchnittcncD    Blättern   von    Kunaria   «nt- 

wickelte  Protoneiua  viel  frflher  MmMkuottpen  eotwickeile,  ak  daa 

'Sporen protonema^  da  orsUra  bekommt  vom  BUtic  acbon  ätotfr 


^. 


KiK.    VIII.     A.     IVot*.- 
I*aiik«*lkiiltiirinit  nt^r:!!! 

Nahntoffeii.   H.  << 

nema  nun  oin"r  7- 

den     yrf'Ufn 

M-hininu'mdt 

H  t>i?i  lirrnellK'ii  \  ■  i  ■ 


l'roW- 

ir.      In 

».■rilrilirb 

'.    A   iiiiil 

.>ll,jr    (J^^ 


K,  Qodteh  ü*btr  Jugtadformin  ton  /'/fitnxm  tte. 


463 


mit«  die  vom  Sporonprotonenm  erat  erxeuf^t  werden  mQitsen. 
Damit)  häii^  es  auch  cusammeD,  daas  das  HtaitprDtouemii  voru 
LicUto  betrffFs  der  Kiiospvaauleguug  unabtiüiitcigor  ist  Es  wird 
ttlier  sehr  anf  den  Zu^tauii  ankommen,  in  welchem  du  Blatt 
sich  Tür  dein  AWhnoiden  hefunili'n  hui.  Ea  wirü  niüglich  sein, 
vin  Kunariablatt  t^o  zu  bchoudula,  diisä  da«  utia  ihm  hervor* 
gebende  Protonenia  sich  von  dem  Sporen protonema  nicht  wesent- 
licli  imterstfheidct,  Sii,  w*rnn  man  die  Ki)iiuriiipQau7.e  vorher 
unter  ungUnntigen  Bedingungen,  ^chwacbem  Licht  etc.  kulUvirt 
oder  wenn  man  Blätter  einer  fruktifidrendea  Pfiamce  nimmt.') 
\Vpiu^f3ten8  sprechen  ftlr  diese  Annahme  die  bei  der  Regen«i*aliou 
von  Prultania  freniacht«n  Beobftchtunt.;en :  im  Winter  entstehen 
auf  den  Blüttern  sehr  leicht  Advi-i)tiv8prL>s<ie,  im  Sommer,  wenn 
die  PUftUTie  fruktificirt,  nur  selten.  Eh  wäre  zu  unteMuohen,  ob  im 
tet/.tfren  Falle  dunh  Znfulir  or^jHtii-H-her  St*jffe  die  Kegeneratiomt- 
filhigkeit  gesteigert  weiden  kann. 

Schon  der  schöne  Versuch  von  Sachs*)  mit  Begonla  zeigt, 
daan  es  bei  der  Kegeneration  anf  den  Znstand  ankommt,  in 
welchem  das  Blatt  sich  befindet,  und  duw  die.-er  nicht  in  allen 
EntwicklungAperioden  derselbe  ist;  im  Frühjahr  enttstanden  an 
den  abgeschnittenen  Blättern  von  Begonia  Uex  Adventivsprosse, 
welche  zunächst  eine  gTös«ere  Aninhl  von  Lftubblättern  hervor- 
hrachten,  und  erbt  nach  5  Monaten  zur  BlUtenbildunj;  schritten, 
während  Blätter,  die  hlühreileji  Pflaiuon  entjiommen  waren, 
schon  in  der  ersten  Blattachael  des  AdveutiTFprosses  eine  In- 
florescenz  bildeten. 

Die  Fra^e,  ob  ee  mü^'lich  »ei,  die  Anlagen  zu  Mooeknoepen 
wieilor  zur  Bückkehr  zur  Protonemiibilduug  xu  veranlanen,  tat 
bejiLhend  zu  beantworten.  Das»  dies  der  Fall  «ein  wHrde,  war 
mir  wahracbeiuHch  durch  eine  vor  Jahren  an  einem  eigenthfim- 


1)  In  der  Thnt  hatten  Rlatt^r,  die  ich  nner  mit  viueni  Jansen 
tipon^oa  rfr«ü)«aen  PHunr.a  entnubm  und  Anf  N&hrlilauni;  braiihtn,  nach 
10  T(iiri*n  ftwnr  reichlich  Prittonainm  alt4«r  kmito  Kn<MfM.-n  lU»  ilnniM'lbon 
oiitwirki>ii. 

*)  iSaclis,  l'fay«jologi«cho  Noliko»  I,  Flom  Itfirl,  p.  1. 


» 
liehen,  leider  anvoIlitiDdiiit  bekannt«n  jaTaniwfcm  L 
gemachte  Beobachtung.  Dieoe  upiphytisch  mcbndl 
TorlEiiifig  eU  EpbemeropSN  bexeiciinH  wu/d«.  läjll 
Fällen,  da«  die  angelegte  KniMpe  an  ihrer  Spitxe  in  i 
toneniafiubn  »uswucfaii,  in  einem  Falle  vor,  izD  üd^v 
Bildung  der  Blätter. 

Uei  Fanaria  wurde  diea  in  einer  viel  ftiBwemt. 
Fällen  b<*obachtet.  Diu  Kulturen,  in  deueu  ftcboe  i 
Moot^knnspen  aufgetreten  waren,  wurden  einige  Zi 
Diinkelmtim  gebnitht,  dann  wieder  an  das  Licht  |^ 
Durchmusterung  ergnb  zuniichst.  da««  au  den  MfaoB' 
gescbriLLeuen  Moo»kno8pen  die  Kiiixoiden  sonkreeht 
gewachsen  waren,  ihr  Kindrintren  in  den  Boden  wiH 
normalen  Verhältnisficn  offenbar  bedingt  durch  negat 
tropinmiM,  ob  aie  überhaupt  geutropi-sch  sind,  ac\x&\ 
lieh,  ich  hübe  inde^ä  diesen  Funkt  nicht  näher  tut 
jungen  Moosknospeti  waren  alle  au  ihrem  Scheltd 
äch leimschiebt  bedeckt,  welche  ihre  Kntatehung  kea 
Schleimhaaren  verdfinkt,  die  frühzeitig  auftreten, 
wird  unter  Sprengung  der  liwisr-r^len  Menibraii.^b)c 
Solche  Scbleinipapillcn  sind  bekanntlich  L>ei  Let>ermi 
thaltcieu  aU  foHoheu,  ein  regtiluiäfiAigos  Vorkonim 
Sclileiui  hat  hier  meiner  Anglicht  nach  dieselbe  Bed 
bei  den  Was-serpflutizen,  bei  denen  ich  auf  die  weite  ) 
der  Schleimbildung  hingewiesen  habe.  Bei  den  L 
hat  man  auf  die  Funktion  der  Hiiurbildungen,  sowetl 
kann,  bis  jetzt  gar  nicht  geiichtet,  etwa  mit  An« 
.Paraphyflou",  deren  Aufgabe  aber  noch  noch  der  J 
l>edarf.  Jedenfalls  ddrfteu  Schleinipapillen  Wbitor  verl 
AuHser  bei  Funariu  kenne  ich  Schloimhaare  noch 
stciuni^l;  hier  bestehen  Hie  aus  Zellreihen.  Die  > 
durch  Sprengung   der   üueHerüten  Membraa^ebiL:... 

M  V([l.  Ooebel.  Morpbologi»ibc  and  biulugUcbe  8i« 
Jni-diii  bobuuquc  dl?  lluit««izorg  VII,  p.  89. 

')  Sit'  kouiitii'ii  hir>i'  nicht  nur,  wiu  S^inmjior  aii^ttrt 
Homluru  ;Luch  tui  den  Tcgontlireti  Tlieilen  »I^t  Pflanxq 


A*.  Ooebrl:  Ueber  Juffenilformen  von  Pflatura  ele. 


405 


Den   hat  Schimper')   abgebildet,   Uber  die  Entstehung   der- 

III  aber  keine  weiteren  Mittbeilimgen  gemticht. 

t  Von  den  Ktut^pcuanlai^cn  blieben  die  einen  stellen,  andere 

*^    ar^n  die  llückkebr  ztir  Protoneniabildiing.    Bekanntlich  wird 

¥tt  Knospcttbildiin^   eingeleitet   dadnrcb,    dass   in   der  Endzeile 

«  Proton  cm  austca  eine  zur  Liingaachse  schief  geneigte  Wand 

^"lUritt,    Hün  der  dadurch  abgetrennten  uheren  Zelle  wird  nach 

^igen  weiteren  Theilungen   die  dreiseitig- pyramidale  Scheitel- 

^  der  Moosknospe  hervor. 


•  mi 


Tig.  IX.     Foniiria  bygromclricii.    Anlajfi-'ii  von  MüiwktiuBpfti.  die  auf  vor- 
chiwleni'iiSUulitnihri'rKntwickliinK  auFn.tf^tiii,'iiiii(iiilfiiMii5j,'t>wa*'hi«en8ind, 

Die  Figuren  IX,  X  und  XI  zeigen  nun,  wie  auf  ver- 
[schiedeneu  Stadien  der  Kauspenbildung  die  Rückkehr  zur  Proto- 
ueniaform  eingetreten  ist:  die  Zellen  wachsen,  ntatt  sich  am 
Aufbau  des  Kno^i)en7.e11k5rpers  zu  betheiligen,  zu  Täden  aua. 
In  den  Fällen,  die  uns  Fig.  IX  zeigt,  war  die  dreisoilig-pyrami- 
dale  Scheitelzelle  noch  nicht  zu  Staude  gekommen.  Wohl  aber 
ißt  dies  bei  Fig.  X  der  Fall.  Hier  ist  nicht  die  Scheitekelle 
r selbst,  soodern  das  jüngste  Segment  zu  einem  I^rotonemofodeu 

1)  a.  a.  0.  y.  53  Tab,  VI,  Fig.  4S— 40.    Scfaimpcr  glaubt,  ee  bilde 
flieh  in  einer  pnm&n'n  Faniphjite  eine  «ßkiaidär«  luii)  g^tl^genÜicfa  anoii 
'  nini'  (-prtiört'.    In  Wirklirhkt'it  hnndplt  es  lich,  wie  üben  Hiigeg><1irn,  om 
oiui'  8i'ltli'iiiiUilili>iit(. 


aiwgoVBcWn.  In  andern  Fällen  schien  mir  «acK  JbS 
Bell«  aosgewachMii,   inUeBS  iat  «•    bei  dem  Otwin  ra 

das  auj)  den /(.'llkorpern  h^nrorf^efat,  sehr  «chwerdaal 
hoit  zu  beobacht^ru.  Die  ersten  ßiitvricklantfsrnnel^ 
lagen  ron  solcfaeu  Uebildcn  nicht  ror.  Jffdpnfiilli  bßrt  - 
meine  Hoobttchtunf^en  reichen  —  die  M'  it  der  I 
auf«  fsobald  die  Hlattbildunf;  deutlich  ht't  >'.-iiiitt.  Di« 
dein  in  Fig.  X  aln,^bildeteii  Fülle  auf  den  ernten  Stäim 
gcbliebfn.  Kiinwpen,  bei  denen  sie  weiter  gebt  kSan 
aus  ihrer  SproiM)oberflii.che  noch  xahlreii  '       "  nnJQ 

»eugeii  (.Kig.  -VI}»  nicht  aber  aus  ihrer   -: -yn. 


¥ig.  X.  Aeltert»  KiH>Bp(>,  ein  &t«trtiit!iit  iat  lu  emam  noch  k 
iuni'niiifiklen  uuii^ewaebs<!n.  Liiucs  iin  cp^--'^-  ■■■  OntnbjwJuu 
(etwun  K'-'dri'Lt)  in  Aud'i<;iiiiii»<it:h(.    ■*»  St-*li  />  I*rotoi 


(etwun  K'-'dri'Lt)   ___   

der  aicb  au»  Jeiit  jlliigsteu  SikgiL^. 


-roUrt 
«wickelt  )nl; 


(ndees  schien  mir  wahi-Hcheinlich,  dasa  atich  in 
Fähigkeit  zTir  ProtnnunmbiMnng  ttiteiit  vurhnndeti  sei 
durcli  andere,  uuteu  zu  besprechende  Cni&tando,   nicht 


K.  Goebel:  üthtt  Juqtndfarmiin  wm  Pfltwi^n  ele. 


467 


Wenn  es  geläDjice,  die  Wach^thamseneripe  der  Scheitel- 
*n  bedeutend  abzuschwächen,  so  würde  sie  in  ihren  Kigen- 
i«len  sich  den  ßbrigen  Stellen  de^  McM>skorpers  näliern  und 
vdiese  dann  auch  die  Fähigkeit  Protonema  zu  bilden,  Keiften, 
jU^Ührt  die  Nntnr  selbst  dieses  ,Äb3chwäcbun)^*-Bxponment 
Bid  zwar  dann,  wenn  Sprotse  be^^ren^ten  Wachsthuius  auf- 
pn.  Solche  finden  sich  hei  Schistostega  osniundacea.  Die 
latativun  unverzweiglen  Sprosse  dieaea  merkwttrdigen  Moodes 
len,  nachdem  »ie  eine  Anzahl  Blätter  hervorge bracht  haben, 
Wachsthum  ein.  Man  findet  dann  am  Vegetatiouäpunkt 
ge  Bhittanlagen  rerschiedener  Entwicklung,  die  stehen  blei- 
sauiuit  der  ScheitelKeUe   ulliuiihlicb  zu  Grunde   gehen. 


."^ 


XI.     AetirreH  Fiinanapflänzrhen,   welclim   Rclwn  Blätter  entwickelt 
t.    An  Rpiner  Basis  haben  alch  zahlreiche  Protoneinanidrn  gebildet. 

neidet  man  nun,    ehe  der  Scheitel  ganz  abgestorben  ist,  die 

re  ab  und  bringt  ^e  auf  eine  feuchte  Unterlage,  z.  B.  ein 
Torf,  50  wächst  die  Scheitelzelle  xu  einem  Protoneraa- 
an  aus,  an  dena  bald  neue  Päanzen  entstehen,  man  sieht 
n   zwischen   den  jungen  Blattanlagen   (die  stehen  geblieben 

«.  Mfttta-phji.  Ul.  X  Sl 


mt.  Mfttta-phji.  Ul 


468  Süfun^n^^M 


»ysT 


Voase  roM 


sind )  den  SprosRscboitel  xii  einem  Fad<*n  verlängert ,  tCfi 
dem  tu  fflr  unsere  Kriif^estellnnf^  fjcteifht^Qlti}^  i»t.  ob  ef  aU 
.Rhizoid*  oder  nU  f^rDner  Proloneinafuden  uuf^ritt ,  da  htido 
gleieUwertbig  sind. 

Wir  sehen  al^o,  dass  die  Sc1ieitc1%cUe  ihre  Pähi^kcil  >i 
weiter  zu  entwickeln  hier  zunächst  noch  nicht  rcrloren  hat, 
aber  dass  sie  qualitativ  verändert  ist.*)  Sie  hat  etwas  veriorcii, 
was  aie  sonst  besass,  sie  ht  den  Dbrif^en  Stammzelitn  ßletcli 
geworden,  1>ezeichnen  wir  das  Verhalten  dieser  mit  a,  ao  üt 
die  Scheitelxelle  im  normalen  Ztistnude  =  a  -f  j;.  bn«4  «t« 
das  X  ein,  so  verhätt  aie  sich  wie  die  Qbrigen  Zellen.  Wodoicli 
sie  es  verliert,  ist  unbekimnt,  die  Thatsuche  sclljet  ab«r  i«i,  wie 
mir  scheint,  von  gro&sein  Interesse.  Analoges  wird  bei  dm 
Karnprothallien  zu  erwähnen  sein. 

Auch  ans  anderen  Zellen  des  Schiatostegaai&Duncbens  eat* 
wickeln  sich  unter  den  angeführten  Umständen  Prot^inema- 
fiLden^  an  den  einschichtigen  Blättern  habe  icb  sie  nicht  auf- 
treten sehen,  vielleicht  geschieht  died,  wenn  aie  vom  Stamm  ^h* 
getrennt  unter  günstigen  L'uistauden  sich  be6nd«n.  Aach  Ui 
Sphagnum  sah  ich  bis  jetzt  Protoneniabilduiig  (in  der  fflr  diese 
Gattung  charakteri6ti»cheii  Qe«ta!t)  nur  an  abgeschnittei 
Sproasnchsen,  nicht  an  Rlätterii. 

Was  die  Blattbildung  der  Moospflauze  anbelangt,  so  irt  bei 
der  Einfachheit  derselljeu  die  Verschiedenheit  der  PriinärbliUv 
von  den  Folgeblütiern  meist  nicht  ao  groi^s,  wie  bei  den  hAheren 
Pflanzen.  Immerhin  tritt  aie  in  nicht  wenigen  PftUen  dvuUick 
hervor.  So  finden  wir  am  jungen  Stämuicheu  von  SchtatosUgi 
osmundacea  statt  der  Zellilächen  die  BlüttiiT  aU  Zelli 
suernt  auftreten,  bei  Sphagnum  und  bei  Bryum  Hrgun 
fehlen  den  PrimarbUtt«rn  die  leeren,  abgeslurbeuen  Zellen,  Im 
Polytrichum  die  Lamellen,  hei  Fissidons  dt-r  chnrakterutiicii« 
FlUgeL    Kanu  man  die  Pfliiuze  auf  der  Prinmrl>Iuttfurni  lu 


')  Vor'  ■       ■  I     *!.  iluM   miiu 

An  weiUr    '  In   uuik   in 

lldUiuig  bk  >ur  l'nuiftrbUlUlufL*  hemb. 


lel:  Vetttr  JufftndfiirwMn  mm  PfianMnt  «fc. 


46» 


nullen  und  tnAsen  sich  diese  PnmitrbltlUer  auch  an  älteren 
Pflaazen  nieUer  hervorrufen?  Für  einit^o  Sphn^numforaieo  und 
Bryum  argenteuiu  ist  (üeee  tVage  theilweiii4>  beantwortet.  FOr 
erstere  ist  es  bckunnt,  doas  die  Bl&it«r  untergetauchter  Sprosse 
(ftber  nicht  Iiei  allen  Arten)  lÜe  einfnchüre  Oentaltung  der 
PrimärbläLter  aunehtueu  künuon.  Für  Br^'tim  argeDtouiu  habe 
ich  gezeifTt,^)  daiw  hei  Kultur  in  feuchtem  schattigen  Räume 
diejenige  Ausbildung  der  HlÜtter  unterbleibt,  von  der  die  PBanxe 
ihreu  Namen  hat,  und  die  PiiiuäibbttUtruIctur  auftritt  Indeas 
gilt  die«s  nicht  fttr  alle  Mouse.  Nach  den  Angaben  von  Ba«tit*) 
soll  es  allerdings  möglich  («ein,  bei  Polytrichum  die  Lamellen* 
bildung  bei  Kultur  in  Wobaor  zu  unterdrücken.  Di*ra  wider- 
sprechen aber  meine  tirfahrungen.  Wenn  man  die  Lufliprf>?«e 
von  Pol^trichuru  juniperinum  in  Wasser  bringt,  ao  sterben  die 
allen,  an  der  Luft  entwickelten  ßiäller  ab  und  werden  xcbwnrx. 
Aua  der  Spitze  dieser  Sprosse  entwickeln  sich  neue  Triebe^  die 
dem  Wassertebon  angepas»!«  Blatter  hervorbringen.  Aber  selbst 
wenn  man  sie  Monate  lang  unter  Wasser  wacbi»en  laut,  «ind 
die  Lamellen  nicht  volLluDdig  verschwunden,  sie  sind  nur  sehr 
reducirt,  und  dasselbe  tritt  ein,  wenn  die  PHanzen  nicht  unter- 
getaucht« suodeni  in  ständig  feacht  gehaltener  Luft  wachsen. 
Die  Lnmina  i»t  dabei  »ehr  chlorophyllreich  und  mehr  entwickelt 
uU  boi  den  gewt>hnlicheu  Blattern,  e^  findet  eine  Annäherung 
BD  den  Bau  der  Prim&rbl&tter  statt,  aber  keine  vollntändige. 
Weiter  geht  di&ielbe  unter  den  gleichen  &usaereu  Umiitiiodea 
bei  Cntharinoa  uudulata.  bei  der  ju  die  Lnmellenbildung  ohnedic« 
eine  geringere  ist,  aU  hei  Pot^tnchuni.  Bei  Kx^mplaren,  die  ich 
in  feuchter  Luft  und  bei  abgevchwäohtem  Lichte  kaltivirt«, 
waren  die  Blätter  zwar  tief  grün,  die  Lamellen  aber  bis  auf 
gatu  kleine  Spuren  ver^cbwnndeo. 

Uie  unten  fdr  andere  Pflanxen  anzufllhrendeu  Thatsachen 
macbea  es  wahracheinlich,  das»  eine  geeignete  Knl  tu  rangelt  nng 
ttoeh    bei  Polytrichum  äcfalieaalidi    die  Primärblattform  hervor- 

1}  riont  IB9(1,  iiag.  tO. 

*)  liaAtit,  U^e^crchiM  aaatomiqoM  «t  ph;^W)logi(iu«^  cur  la  tige  nt 
1b  fuaill«  «Im  muiiwHi«.  Ken«  de  botani>|U«  XU,  p.  870. 


rufen  kanu,  Twlleickt  auch  bei  solchen  MI 
L«;ucol)r7Um  bia  jeixt  pioz  renitent  geseilt  habetL 
Was  Fissiilons  aubetrifil,  so  konnte  ich  snr 
anftretendon  i'rimärb]iUt«r  rei^roascm.  nicht  abd 
bindern,  Kn  der  büheren  Btattfonu  fortxTrecbreiteo 
man  den  QipfeltbeU  cintu  Sprosaai  von  Finden«  a4 
80  entwickelt  sieb  nabti  dtr  SclmittÜficIie  ein  8«it«nq 
beginnt  bei  Pflan/en,  die  bei  (j:t!wübDlicber  Beieodtl 
werden,  mit  einem  oder  zwei  Tri  mär  blättern»  6.  b. 
wie  die  der  KeinipflauKe.  die  Form  gewöhnlicbet 
babpn,  also  den  fllr  dt»  Fbuidenabläiter  cbamklerifili 
nicbt  besitzen  (vgl.  die  in  meinen  vMascineen*,  Sc 
buch,  11.  Bd.*  p.  360  wt«der|;eg«bene  Abbililaug), 
Blatt  zeifft  schon  eine  Andeutung  des  Fidgeb,  d 
nicbt  bis  zur  BUttbosi»  reicbt,  bei  den  folgenden  I 
er  dann  rollHtündig  atisgebildeL  B«  Pflanzen,  die 
bei  &ebr  uchwacber  Beleuchtung  entwickeln  m' 
Zahl  der  Priinärblätter  eine  grössere  (in  eiuein  mir 
liegenden  Falle  f'lnf),  ebenso  die  der  Uebergang« 
die  späteren  bildeten  einen  volUtändigen  FlClgel 
auch  kleiner  bbeb,  als  bei  den  LicblpÜnnzen.  Da 
Triebe  handelte,  wetclie  die  Keäervestoffe  des  Stftq 
nützen  konnten,  so  sollen  die  Versuche  mit  aus  Pn 
standenen  Pflanzen  fortgesetzt  werden .  Immerbii] 
die  oben  mitgetboilte  Thatsache  fQr  FiBsidens  ein 
halten,  wie  das  anderer,  hier  besprochener  Pflanz« 

Furue. 

Die  ersten  Entwicklnngastadien  d^r  Gescblec 
tion  sind  bekanntlich  nicbt  bei  allen  Äbtbeiluuffei 
ttbereinstiromend.  Die  Polypodiaceen,  mit  denen  wii 
nächst  7.U  thun  haV>en,  bilden  bei  der  Sporenkeim 
einen  aus  einer  kürzeren  oder  lilngeren  Zellreibe 
Faden.*)     £s  ist  seit  lange  bekannt,  daas  die   Fj 


*)  Es  Lddarf  luium  de.<i  ilinwciicii  daiauf.  diun  dii 


K.  (rttthti:  Üthtr  Jttyendfi>fm4m  rou  Pflantm  r/r.  471 

tige  äussere  Verbültut.««,  namenHich  Ijii^htniunt;«^],  lütig^r 
werden  kann,  als  dits  unter  normalen  Wachstbuma- 
lingiiDgen  der  Fall  Ott,  nnter  denen  bald  Bildnn^  einer  Zell- 
fiäche  erfolgt.  Es  können  so  verzweigte,  mit  Antheridien  ver- 
sehene Zellfiiden  i.'nUtehen. 

Aber  ancli  ZMÜflüchea  kOunen  wieder  in  Zellfaden  über- 
gehen. 

Schon  Hofmeister  (vgl.  Untersucbangen  Taf.  XVU,  Fig.  35) 
hat  einen  Fall  abgebildet,  in  welchem  eine  kleine  Protfaalliuin- 
fläche  in  einen  Faden,  dieser  wieder  in  eine  Zcllfläche  (tber- 
gegangen  war.  Spfitere  .\ukoren  haben  t)ei  anderen  Farnen 
Aebnliche«  gefunden,  m>  Pedersen')  (vgl.  Taf.  VIII,  Fig.  35) 
bei  Aspidiiim  fitix  mas  u.  a. ;  in  jeder  dichtgesaten  Protbatlien* 
knltar  von  Polypodiaceen  lowt  rieh  Aehntiches  finden.  Von 
Interejwe  ii=t,  dn««  auch  bei  O^rnitindacern,  die  bei  der  Keimung 
sofort  w»r  Bildung  einer  Zt-Ilflilche  dl>ergehen,  die  Fähigkeit  zor 
Piidetibildung  latent  vorhanden  ist  und  bei  Dicbtaaat«n  auf- 
tritt.') Aber  keiner  dieser  Autoren  hat  meines  Wissens  die 
Frage  erörtert,  sind  die  Prothfillien  anf  allen  Kntwicklangs- 
stvdien  und  in  allen  ihren  Theilcn  gleich  fähig  v.u  dieser  Rfick- 
kehr  xur  Jogendform?  (Tnd  kann  diea  auch  durch  eine  andere 
Ursache  ala  abgeschwächte  Beleuchtung  erzielt  werden  ? 

Die  SchtÜKse,  zu  denen  ich  weniger  durch  direkt  auf  diese 
Frage  gerichteto  l^ntortuchungen,  aU  durch  vielfache  Beschäf- 
tigung mit  Famprotbaltien  gelangt  bin,  sind  folgende: 

Die  Rdckkehr  zur  Jugendfurm  erfolgt  bei  jugendlichen 
Prothallien  durch  Aufwachsen  der  apikak-u  Zellen,  die  hierxu 
ofl*enbar  durch  ihre  bemere  Ernährung  befähigt  sind,  wie  denn 


tiagu  iDfloipme  vnrtbcilbni't.  lat,  all  «ic  diultircb  in  ^artige  LichtverhAlt* 
iiiMe  gelaairm  kflnn«m. 

*)  Pnlerwon,  üeHmfi  zur  Entwicklmigti^Moliiehie  dr«  Vorkäme«  der 
PolT^todiartwn  m  fsf-htink  uii«l  Lar«eu.  Mittht«ilutiir^ii  ii.  •}.  f*t«iammt> 
Kebietit  der  Botaiuk  II.  p.  130  0*. 

*>  LOnirn,  Xut  Kninttui{iiMteacbicbt-e  der  UMimiiinu'cni,  ibiil.  I,  p  4AD. 
Cvbrigvw  kninit  Hnmuiiüa  Ulnjtoninna  nach  Cnmpbi'U  mviit  in  Form 
ein«  kuTMn  ZrIlfiulf>nH  (vgl,  Campball,  tanura  «od  fw,  p.  890). 


472  SütuHff  der  math.-phifs.  Cla»»$  vom  5.  Det«tth«r  1^8, 

die  polare  Differenxirung  der  Prothallii*n  anob  sonst  horrnririLL. 
In  dem  Maasse  aber,  in  welchem  ^as  charakteristisch«^  M^nntpfD 
sich  ausbildet  (uud  das.^  diese  ÄusbildQD}^  eine  all  tu Sh liehe 
ist,  zeigen  uns  schon  die  bekannten  uinrpholo^viscbcn  Th»tcNiu:ben 
—  so  der  bei  vielen  rormen  erfolgende  Uebergang  von  der 
Sc  heilet /.eile  zur  8c  he!  teile  ante),  Tcrliert  Hie  Si-beitelregion  di^ 
Fähigkeit  der  Rückkehr.  Die^e  tritt  auch  au  normal  wacb«ra- 
den  Prothaltien  vielfach  auf,  beschränkt  »ich  dann  aber  aof  die 
hintere,  dem  Scheitel  ferne  liegende  Region,  sie  f7ttt  um  n 
mehr  auf,  Je  mehr  diu  Mehst<:m  gesohwilclit  wird.  [)to  IVo- 
thallien  reagiren  also  verschieileo  je  nach  ihrem  Zustund.  Wenn 
ich  ein  junges  Prothallium  in  schwaches  Liebt  bringe,  sprnHl 
es  zu  Füden  aus,  an  einem  älteren  kann  das  ebenso  d«r  Fall 
sein,  aber  nnr,  wenn  man  es  ameriutisch  gemacht  hat  oder  an 
den  Tom  Meristem  entfernten  Theilen.  Je  mehr  da«  Menslem 
geschwächt  ist,  desto  leichter  treten  AdventiTspn»»  auf,')  ob 
diese  sofort  eine  Zellflache  oder  einen  Zetlfaden  darMellea,  b&ngt 
ab  Ton  äusseren  Bedingungen  eiuernuit«,  von  dem  Zustand  d« 
Protballiums  andererseits.  Es  ist  klar,  dasa  unter  besonde» 
gQiititigen  äusseren  Bedingungen  eine  Prothiillium/eUe,  die  «oint 
zum  Fadeo  ausgewaehseu  wäre,  :^ofurt  eine  Zulifliu'hn  liefi 
kann. 

Die  Kicbtigkeit  der  über  die  Möglichkeit  einer  UQckk«br 
zur  fadenförmigen  Jngendform  oben  geärifuerten  Anachauiuig 
glaube  ich  auch  durch  von  Dodel-Port^)  früher  gemacht«  Be> 
obachtungen,  die  er  freilich  ganz  anders  deutet,  aU  icb,  bc2e>gMi 


*)  Am  deoilicbsten  neigt  dir«  die  Th&tMcke.  daM  nach  AiiMrlttM^d^  I 
des    Mwiiit«!!!«    sich    die     Prothalli^-n     mit    AdvHnlifJtprtxtsim     l 
(vgl.  die    mit   Hpfm    Hnm   aiiügf- führten    „l'iiltTJmhunf'i'ii    tib-,:    . 
prothnllien",    Flora   1896).    Wa«    die   dort    uifr«ftüiricn    Angi^Nai 
GOntfacr  Beck   Über  S(«lniH<ndriam   betrifft,   «o  «ind  dit*  .3wrteiikMB*^J 
die  dieser  Autor   bm   .s«-idofiHitüriuni    hrtnlituihtnt   linbrn   will .    vi^i 
nicht»  AndorcA  u! 
Ubiderten«  ifft  dii~ 
Vorimiae  gleichen.  bM  dcplopendriooi  Au»Mfr9t  njiwnknchfr: 

*)  Das  amphibiftcbe  Verhalten  der  l'rathal^*Mi    vun   r<)iji>o>u 
von  Dr.  Amolü  l>odel  l'ori,  ».Konnoi",  April  1880. 


K  OoH*ei:  üeber  Ju^ndfitrmtn  vom  Pfiantt^t  tic. 


473 


m  können.  DoHrl-Port  (^l&ubfc  Pnlf^ndofl  nncliwe»en  ku  können: 
pDtu  Furnpruiliallium  tre^itzt  ilemnnch  antphiliisclie  Cit*wohn- 
heiteu;  es  oteUt  in  seinem  Togetativen  nnd  reproduktiven  Ver- 
halten in  (1i*r  MiUt>  xwisi.-ht'n  AM-^Mcliticäitlicheni  Wusurbewobner 
uinerseits  und  dem  aiigschliessIicbeQ  Lnndbowohuer  andererseits.* 
Das  FadeDAtadium  soll  die  «priniitive  Entwicklungsiture  der 
kuntVrveniirtigen  watwrbi'Wtihiiendt'n  V^orfiihren  der  Iii»faerm(xwe 
reprä.<iüntir(!nf  aus  denen  dte  Farne  herTor^n^en  etc.  Dodel- 
Port  schloä«  die^  daran««  dass  an  einem  alten  FarnprothalHuni, 
das  Iftüf^ere  Zeit  outer  einem  Deckglas  itn  VYiuser  gelegen 
war,  eine  grosse  Anzahl  fudonRinniger  AdventirsproBse  hervor- 
gingen. l-)as  betreuende  Pruthaliium  von  Ai^pidium  riotaceam 
liafcte  eine  Kutinpfian»;  hen'qrgebracht,  die  aber  abgestorben 
war,  es  war  femer  nach  der  J^icbnnng  in  Fig.  1  a.  a.  0. 
nnierifttiscb  geworden ,  und  befimd  sicli  sicher  in  einem  ge- 
»chwiü'htou  Znstandf  wie  sieb  schon  dadurch  zeigt,  da»  einzelne 
Stellen  des  l'rothaLliuuis  abge:itorben  waren.  Einerseits  fiel  die 
j^ahrungtieotnuhmt;  durch  die  Keiuipflanze,  underervL'its  die  durch 
Meristem  de«  PruthiiltiuniH  .seihst  weg.  Jet7.t  konnte  jede 
Zelle,  begOnitigt  durch  die  Wasserzufuhr  auswachnon,  und  da 
dieselben  in  einem  al^esch wachten  Zustand  sich  befanden,  so 
bildeten  sie  nicht  Zellfiüchen,  sondern  ZellfUden,  die  erat  unter 
günstigen  Betiingungen  (spedell  bei  genOgendero  Lichtr.uthtt) 
in  Zellflächeu  Qborgeheo.  Daas  es  sich  um  ein  schlecht  behan- 
deltes Prothalliuni  handelte,  zeigt  auch  die  Thai-toche,  da^  an 
den  fadrnloriiiigen  Adventivspn^'ien  nicht  selten  sehr  bald 
Aotheridien  auftraten,  wie  dies  in  Dicbtsaateu  bei  den  mehr 
oder  weniger  unlerdrflckten  Prothallien  der  Fall  ist.  Dodel- 
Port  hat  l>«i  zahlreichen  andern  Farn  prothallien  dieselben  Er- 
Bcheinungcn  beobachtet,  er  erwiihnt,  du»s  alle  rebergangnatofen 
xwischpn  liidigen  und  breiten,  zungi>n-  oder  läppen  form  igen 
AdventiTeiproeaon  atiflreten.  Diese  letzteren  bildeten  sich  nament- 
lich an  untergetauchten  jungen  Prothallien,  die  noch  keine  be- 
fruchteten Arcbegonion  besasson,  aUo  noch  keinen  beblKLttirten 
Kmbryo  xu  ernähren  hatten,  während  die  alten,  laugst  befruch- 
teten Prothallien  vorwiegend  —  aber  keineswegs  aiiüamthlieäctlich 


474         SUnmg  der  math.-jphyv.  07(tMte  vom  S.  Daeinbtr  1899. 

f ä d i g e  Adventivsprosse  bildeten.*)  Dtrae  VenH:hiedenheit  ixt 
zwar  nicht  Ton  Dodel-Ports  phylugenetischer  B^tracbtoDK^weiite 
ans,  wohl  aber  Toa  der  meiniii^u  leicht  verstand  lieh,  nnd  ßndrt 
ihr  voUständiges  Analogon  in  dem  Verhalten  mancher  Mono- 
kotylen beim  Wechsel  des  Mediums.  Dies  wird  anteu  ausftlbi^ 
lieber  za  besprechen  sein,  hier  sei  nar  erwähnt,  daas  diese  auf 
eine  Veränderung  des  Wachsthumsmediuma,  überhaupt  auf  j«de 
ungOnetige  äassere  Beeinflussung  zum  «ßQckscblog*  auf  die 
Jugendform  gebracht  werden  können.  Ganz  ähnlich  ittt  m 
bei  dtm  Furuprothallien.  Ein  kräftiges  Prolhaltium  reagirt  aber 
auf  das  Untergetaucht  werden  andere,  uU  ein  geschwächtes.  E» 
findet  zwar  eine  Beeintrüchtigung  des  Wachsthums  auch  hier 
statt,  und  darauf  erfolgt  Bildung  von  AdTentinprossen.  Aber 
BM  dem  noch  relativ  kräftigen  Prothallium  werden  sie  Hofort 
fluchen  förmig,  mehrere  Zellen  können  sich  bei  ihrer  Bildung 
betheiligenf  bei  den  geechwücbteti  verlüuft  die  GnKiheinang  so. 
wie  sie  oben  beechrieben  wurde.  Da  in  der  »SchwächuDg*  alle 
Abstufungen  auftreten  können,  »o  verhalten  t^ich  die  einxeliun 
Prothnllien  nicht  gleich,  es  ist  nicht  zu  vt-rwundern,  dass  aucli 
an  befruchteten  und  dann  unter  Wattser  kultivirteo  ProthallieD 
gelegentlich  flächenförmige  Adventivspro«««  auftreten.  Nicht 
ein  «amphibisches  Verhalten"  der  Prothallien  liegt  hier  alao 
vor  —  es  werden  sich  genau  dieselben  Er^cheinungai  auch  \m 
Kultur  auf  festem  Substrate  hervorrufen*}  la&sen,   sondern  eine 


M  Dodel-Port  gibt  nicht  an,  unter  welchen  B<>letti;btiinfn*veriUW 
niwen  »eine  ProthAllien  sich  befanden.  Es  ist  aher  wohl  anxijiwtmtv«. 
dan  dieeelhen   bei   allen  aaitühemd   gleich   waren,    und   da-  '■'••r- 

tichiedenbeit  im  Verhalttio  Jer  Prothitllit-n  nit'bt  auf  «lie  \>t  -it 

der  äiUMren  BediuKungeu  ziirll('ki.ufülireD  int 

*)  Daftlr  spricht  auch  eine  Dcobachtuiig  von  Klebj  (BioL  CeaLtal- 
blütt  1893,  p.  64fl),  womacfa  bei  jangen,  io  «rbwucbv»  lacht  gt\mctdm» 
Prothallien   von  Polypodiaceea   bdenfftrmiKe  Adrcniivi>i>  ~ 

Leider  llUdt  sich  au«  der  kürten  Noti»  lücht  c<r*du<n,  , 
widdungs/u stand   nich  die^i^  Frothatlif^n  li^fanileii,  •■pccii^U  wir  »cit  4a» 
SUrvrtem  vcrhit'lt.     Da»   eine   Einwirkung  dr«  UiTiatfra«.   das   al«  An 
Mebtingicentrutn  nir  Baustofl'e  wirkt,  auf  die  Qbrigcn  FroUialliaiiuK)S«a 
vorhawian  ial,  ist  mir  unzwrifelbaft.     Sie  wird  nm  «o  icliwftchar,  je 


K.  Ooebel:  Ueber  Jmj^ndformen  von 


+75 


ckkehr  zur  JuRendform.  vemnliwst  durch  die  Schwirhung 
Prothalliums.  Die  Bedeutung  de»  apikalen  MeristeuKi  tritt 
offenbar  auch  hier  hervor,  nur  iflt  es  leioht«r  zu  unterdrücken, 
ala  an  einer  Mowkiiospe.  Dies  hiingt  damit  zusamnaen,  dum-i 
das  Meriätem  der  uieisten  Koruprotbatlien  (Iwi  leptosporangiateu 
Farnen)  meiner  Ansicht  nach  nhirhaupt  keine  unbegrenzt«  ße- 
generntioDitfähi^keit  b(?sitzt,  dnss  vielmehr  hier  aus  inneren 
QrOnden  ein  Ält«ru  eintritt. 

Gerade  für  die  Frage,  die  frQher  riel  erörtert  wurde,  ob 
bei  Päanzen  ein  Altern  au«  Innern  oder  aas  äussern  GrQnden 
Jünde,  geben,  wie  mir  scheint,  die  Farnprothallien  ein  lehr- 
^Üfiehes  Objekt  ab,  und  ich  mßchte  desshalb  die  Frage  hier 
kur«  erörtern.  Es  kann  sich  dabei  nur  um  unbefruchtet  ge- 
bliebene handeln,  denn  dem  Weiterleben  der  befruchteten  ist 
durch  den  Embryo,  der  alle  SUitfe  an  sich  /ieht^  ein  Ziel  gesetzt. 
Die  uül)efr lichtet  geblieben  wachsen  y.u  bedeutenderer  Grösse 
haran,  aber  es  ist  mir  bei  Poljpodiaceen  nicht  gelungen,  ne 
dauernd  am  I^ben  zu  erbalten,  stets  traten  Adventivsproffie  auf, 
die  8cblie!V4lich  \\b^  alt«  Prothalliuni  überwucherten. 

Hofmeister*)  hat  dem  Verhalten  ,abort.ireader'  Prothallien 
einen  kurzen  Abschnitt  gewidmet,  in  welchem  er  darauf  hin- 
weiül,  dass  an  denselben  häufig  Sprossungen  auftreten.  Na- 
menttich  aber  scheint  es  mir  von  Bedeutung,  das«  er  an  solchen 
alternden  Prutliallien  hei  Aaplenitim  leptentrianale  abnorm  ge- 
baute Archegonieo  auffand,  die  denen  von  Anthooeros  gleichend 
ganz  dem  Prothallium  eingesenkt  waren.  Eine  solche  abnurrae 
Ausbildung  von  OesolilechtBorganen  kommt  an  alternden  Pro- 
thallien <yft«r  vor.  Ich  verweise  betreffs  Doodya  caudmta  auf 
die  von  Heim  n.  a.  0.  gegebene  Darstellang,  und  müchto  hier 
noch  eiuen  weiteren  merkwfirdigen  Fall  kurz  mittheileu. 

Er    bezieht   sich    auf   Uemionitis  palinata.     IJnl>efrncht«te 


itnr  die  Zrllrn   toi»      '  'Temt  Bind    und  jit  mftir  iUmiJIm*  ab- 

rhwilvht'  wird.     1><-'  i    -:    mAn  Auch  «in  »rmat  uamulun  t'ro- 

tliaUiea  adTontiro  Bf^oMOngeu  mfint  an  der  fiiMi». 
I)  Vta|{leicbetid«  Untsnocbungen.  p.  8S  u.  8i. 


476         Sitnn{!  der  mnth.-phjf».  CSanne  vom  S.  Duemhrr  /Ä»(f. 

Archegonien  st;erhon  normal  nb.  Bpi  HefoinDitiii  f^scbieht  ^its 
Blieb  in  den  jOngeren  Gnlwicklungsstndien.  B«i  illtereii  Pro- 
tballien  nbcr  tritt  eine  eigenthQmlicbe,  bisher  meines  Wissen« 
von  keinem  andern  Farn  bekannte  vegetative  EntwickluD^  de^ 
UaUtbeilod  ein.')  Die  der  Mündung  des  Arcliegoniunis  nahe- 
liegenden i&eUen  gelten  ancb  hier  zu  Gmnde,  die  unteren 
aber  ergrdnen  (alle  oder  nur  ein/^lne^  namentlich  aaf  der 
convexen  Seite  des  Halaes)  und  enlwickftln  Adrt'ntivspnw»«, 
die  häufig  sofort  zur  Bildung  ron  Antheridien  fibergcben.  Es 
gewährt  einen  eigen thi)m liehen  Anblick,  wenn  nian  ein  solche» 
Prothalliiim  von  der  rnU-rspite  betrachtest  and  süitt  der  Arcbe- 
gonien  Böschel  von  AdveutiT^irosscn  t^iv-ki^  iu  deren  Mitte  sich 
der  gebräunte  Anebegonienkanal  befindet.  Dabei  haben  diow 
Arcbegonien    nicht  etwa    ihre   Befrucbtungafäbigkeit    verloren. 


r 


K 


Fig.  XII.     Uuiuiuniti«  ualmaU.     VcrgrUiite  Archcgoiü«a.    A  Im  LOag» 
ftübnitt  {K  Halükanal.  A  Antheridinni)  B  im  QuenetanHk 

Vielmehr  findet  man  »wi^tchen  den  vegetativ  anfisproMendi.'o 
einzelne,  die  Embryonen  enthalten.  Km  erinnert  dieser  Fall  an 
den  von  mir  froher  für  ein  Moos,  dna  im  Wumct  lebende 
Cunomilrinni  Juliannra,  beschriebenen,  bei  dem  die  Calyptrm  der 
Sporogonien    regeUtiv    aoanproflst.       Das    VegetativwenJea    der 


*)  Ka  iit  ?idltucht  nicht  t)bcrn(bu.if.  en  bBmrjken,  daM  t»  wh  uichl 
iini  i'inig«  wenig«,  tondtru  am  kahlrvirlio  Prothntli'«  InuiiMU. 


/r.  GoebH:   üefßtr  Jttgtndformtn  ton  PflnnSfm  etc. 


477 


ftlj^Ketlfn  b<*i  Hemioniti.H  Mmchte  ich  iils  eine  Aiter«<?T!*i.'liei- 
nun^.  bedingt  dnrcb  nine  Ab»chwiichung  Ach  Meristamn. 

Atthnlich  TerhieIt«Q  sieb  alt«  Prothaltien  fon  LygmJium 
japontcum,  nur  da«  hier  Hie  Sprossiing  nicbt  wio  Iwi  Kemiimilis 
$n  fust  jedem  Archegoniam  atiftrat.  und  sich  auf  die  Bildung; 
n  ein  oder  zwei  Adv«ntiT!iprfMw«i  aun  »»iner  der  Bani*  de<i 
Arche^^oniumbaUe«  nahelief^endun  Zetle  boschränkt.  ImmurbiTt 
war  auch  aii  dit^en  IVothiUlien  oft  eine  grössere  Aozabl  aolcber 
ans  Arcbrgonien  entstandenen  AdveiitiTsprusse  vorbnnden. 

IHose  Beispiele,  denen  sich  gewiss  noch  andere  anreihen 
latiten  werden,  /eigen  nUr),  drui«  nn  alten  I'rothallien  auch  die 
Hollen  der  GettehlprhtKorffaoü  vegeUlir  werden  krmnen,  es  ist 
eine  .Vergrtinung*  derselben»  analog  der  von  Samenanlagen 
höherer  Fflunr^n.  hei  denen  diese  Erscheinung  auch  nur  an  den 
liOlten,  den   Integnmenten  iiuftritt;. 

Soweit  die  vorliegenden  Thabwichen  ein  Urtheil  gestatten, 
verhalten  Kich  dbri^en»  die  Farnprülhallien  bexGglioh  des  Alterns 
Tenschieden.     Bei   Odmunda   sind  Alterserscheinanf^en    bis  jetet 

nicht  nachgewiesen  —  nij^gl  ich  erweise 
treten   sie  hier  erst  nach  Jahre»   ein. 
Bei     Pol^podiaceen     aber    treten    sie 
7  ■  Z'      üflenbar  aus  .inneren*    iSrßuden   auf, 

\  1^^  und    dss  Verhaltrii   diejser  Hrotballien 

i  'M    '.      bildet  so  einen  Uebergnng  zu  dem  der 

heterosporen  Farne  (und  LycoiKMÜneu), 
bei  denen  daj«  Wach^rthum  ein  noch 
begrenzteres  ist.  Wenigstenä  gilt  dies 
für  den  F'aII,  dass  die  ProthaUieu  in  der 
Ln^e  sind,  fortdnnemdi^eTURlfirgAno, na- 
mentlich Arehegonien  herver/ubringen. 
Ks  ist  denkbar,  daas  sie  imti^r  Beding- 
ungen kultivirt,  unter  denen  xwar  das 
Meriiiteni,  nicht  aber  die  iSiixnalorgantt 
vorhanden  sind ,  unbegrenzt  weiti>r 
len  können,  und  dass  die  Ursache  d«  Alterns  schliewlich  eben 
rch  die  fvrtdsuemde  Hervorbringung  von  Arohegooien  gegeben 


Fijt.  XIM.  »fhiiitiiKlwn'Ralii. 
Zw.l  !.!i.  f'M.rlüilIipn  iii  im- 
t  .    Du«  linkn 

I  A'iijt.  iitu 

f  "  Bitaü 

fffehMvi. 


'w8         SUsunp  der  math.-fifttfs.  Cituft  vom  5.  Desemhisr  IS9C 

Ist.  Wir  sind  fiber  die  LebenybedinijunGjen  dieser  s»  oft  tinter^ 
suchten  Gebilde  immer  noch  z«  wenig  (»rientirt,  um  diese  Krage 
jetzt  schon  entscheiden  zu  können.  Jedenfalls  aber  sceigm  iras 
die  Farnprotballien.  wie  ich  vor  .labreu  an  dem  Buisjncl  von 
Osmunda  hervorhob,  dass  Eijfenscbatlen  unter  bc<*timniten  um- 
stünden latent  bleiben  können.  Die  Protluillien  mn  Cimunda 
regalJB  sind  im  Stande  Embryonen  horTorzabringm,  lange  ehe 


6. 


'M 


>r 


")!>- 


\r. 


Fi}f.  XrV     KeintpBnnx«*  von  Doodya  ctuidata,   welcbL*  zur  Hürkk<^r  mr 

Prinitirbliitlbildiinir   vemnliwet   wurde,     h'  der  „Kiiiw"   *\*'r  Keimiidanao". 

'  W  Wurvln.     \>W  KUttor   itiiiü   ihrt-r  Kt!ilieiifol^'<-  imih  li>^r.iirerl.     &  bat 

]  B''lion  im  Wcs»>iitlitlieti  <lic  Fonn  der  ('pilttreii  in,vtlpr  erreicht.    \Ma\\  tl 

uU  xtatl  mehr  Fiedfm  al«  5  xn  büilcn,  stehen  g'-Midini  utxI  f  i 

i'wieUcr  ^uz  ungc-gliedi-rt  geworden,  es  stiiiiint  ftnit/  mit  'i  fii'  ir 

ist  e»  grOoer. 

sie  die  Pellia- ähnliche  Qestalt  erreicht  baban,  die  (abfreAebeii 
Tun  anderen  C>f*miindaceen)  kein  anderes  liekanutes  Fai  ■  !- 

liam  zeigt.    Die  der  Cyntheaceen  werden  durch   Kmbr.  „g 

in  ihrem  Wachsthum  oft  ftLitirt,  ehe  sie  die  Borsieuhaan*  bur* 
Turgebrucht  hab«n,  weictw  ffir  die  Oescblecbtji^^emtiun  dieser 
Familie  cbarakteriatiiich  rand. 


K   (?o«M:   lieber  Jugtndfarmea   wn  Pftanien  tic. 


479 


Ungdschlticlitliclte  Geoemtion.  Die  Verscbie<leiiheit  dar 
primär*  und  der  Folgebi&tter  ist  bei  den  meisten  pHrnen  eine 
ar  auffalltuide.  Si«  spricht  sieb  hiiufi}}  namentlich  darin  aU9, 
imaa  die  Fri  muri)  lütt  er  (^bclig«  Vencwei^ang^  der  Bluttfiüoho 
oder  doch  der  Nerven  seigea,  waa  später  vielfach  nicht  mehr 
hervortritt.')  Kann  eine  FurnkeimpflunaM  genotliigt  werden, 
y.ur  Bitdung  der  einfacheren  Blattform  zurQckzukebreo,  nachdem 
sie  die  höhere  wliou  t'iTeiuht  hat?  Dies  isi,  wie  mir  zunächst 
eine  Beubacbtunff  an  l'teris  serrulata  gezeigt  hat,  in  der  Tfaat 
der  Fall.  Aber  wichtiger  aU  diese  blosse  Feststelltuig  ist  oatttr- 
lich  die  deiä  Anlaseiea  zu  der  Aenderung.  Es  Ist  mir  nicht 
xweifelhal't,  dass  auch  hier  eine  Schwächung  der  KeiuipÜanze 
die  Urwicbe  war.  Vun  meinen  Versuchen«  die  ich  oocb  fort- 
zuführen gedenke,  möchte  ich  hier  nur  einen  anführen,  der  den 
experimeutellen  Bewei»  dafür  liefert,  daiüt  1)  die  Printirblätter 
Heninmug^büdungen  sind,  2)  dieselben  auch  dann  wieder  ent- 
Rteben  können,  wenn  schon  eine  höhere  ßlattfonn  erreicht  war. 
Die  Bl&tter  von  Doodyii  caudata  sind  gefiedert,  die  Prirnär- 
blätter  wie  bei  vielen  Farnen  einfach.  E^i  wurden  nun  Keim- 
I»tbin7.en,  welcbe  schon  gefiederte  Blätter  (mit  einem  oder  zwei 
Fiederpoeren)  angclef^t  hatten  in  ungünstige  Wuchsbedingongen 
gebracht,  unter  denen  sie  scIiliesNJich  auch  ihr  Wuchfttbuui  ein- 
fctelUen.  Zuvor  aber  brachton  sie  einfacher  gefurmte 
Butter  hervor,  die  mit  den  Primürblättern  voMatändig 
übereiustiniraten  (Fig.  XIV). 

Da^  bei  älteren  t^fian/^n  die  Wiederbcrvomifung  der 
Priniärbtätter  schwieriger,  in  vielen  Fällen,  namentlich  bei 
Famen  mit  stark  entwickelten  Sprossaehsen,  ganz  unm&güch 
sein  wird,  ist  7.u  erwarten.  Eine  ältere  Pfianzv  hat  iu  ihrem 
Stamm  eine  gKiasere  Menge  von  Keservestutfeu ,  iüt  nUo 
Schwächungen  gegenül>er  ohnedies  widerstandsfähiger.  Am 
V^egetationspuukt  ii^t  ferner  eine  griSäsere  An/alil  von  ßlatt- 
aotageiir  die,  in   ihrer   Gestuttung  schon   bestimmt.   Kunächst 


M  Dio  EotwickluuK  der  Prim&r-  »nil  dnr  Fol(fublllttcr  atiinmt  atier 
\aeh  hier  dar  Bamptiacbe  noch  Qhcroin. 


480         Sittutt^  dtr  math.-ph*/9,  Clm*e  vom  S.  Vetiwher  JSOS, 

sich  entfalten  niüäseu  uud  dabei  die  lleservestoffe  beiuispraol] 
Die  KntwickUiutl  wird  dann  Je  noch  dem  Qrado  der  ÖoblU 
digaiig  entweder  stillstehon,  oder  es  hat  sieb  die  Pflsox« 
iinterdfMsen  erholt  und  wächst  nun  mit  der  gowuUnlichen  BUti- 
torni  weiter,  wobei  nnr  eine  GrÖsseuverringerunsf  dur  ßlütter  «in- 
treten  wird.  Indess  sind  vohl  auch  hier  verschiedene  Art«n 
Terscfaieden  plfiätisch,  wie  die  unten  tu  besprechenden  Sagitiaria- 
Arten. 

Ob  es  sich  bei  den  von  Mossnrt  (La  recapitulution  et  rin* 
noration  en  embryologie  vegetale,  p.  29  d.  S.-A.)  beobacht^lrw 
Fällen,  in  denen  bei  iilWeri  fHiinzt-n  von  Adiantum  ein«  Re* 
duktion  eintrat,  um  eine  wirkliche  ifllckkehr  zur  Primärblatt- 
bihlung  bündelt«,  vermag  ich  aus  den  selir  kurzen  Angaben 
niclit  eu  entnehmen. 

Dikotylen. 

Bei  Dikotylen  sind  bis  jetzt  folgende  Fülle  bekaont,  n 
denen  künstliob  eine  Jugendrorui  der  Blnitbildnn^  wieder  her- 
vorgerufen  werden  konnte. 

1)  Bt-i  einigen  dem  australisch -neuseeländischen  Floren* 
gebiet  angehdrigen  Veronica-Artou  feind  die  Priniärblatter  ge^ 
stielt  und  den  ßtitttern  anderer  Vt-ronica-Arten  iihnlicb,  di« 
späteren  aU  dem  SUinime  dicht  anliegende  Schuppen  ausge* 
bildet.  Statt  dieser  letzteren  kann  die  Ptianxe  wieder  zur  Bil- 
dung der  Primürhiätter  gebriicht  wordon*)  z.  B.  durch  Kultur 
in  feuchtem  Kaume,  aber  offenbar  durch  alle  Umstände,  wekke 
auf  die  Vegetation  des  SproHses  ungCn.'ttig  ein^virkeu. 

2)  Gant  ähnlich  verhält  sieh,  wie  os  scheint,  ein«  Mola- 
)iaBS-Art  Anstralien«,  die  Melaleuca  mieromera.    Die*=' '  ^t 

A    flll'olgebliitter'*     sehr    kleine    anliegende ,    schupfL... u^ 

Gebilde  und  bietet  so  wewntlioh  denselbeD  Habitus  wie  die 
CDpreseoiden  Veronic»iartcu  ,  die  soeben  erwähnt  warden. 
Magona*)  hat  vor  jüngerer  Zeit   Ober  dieee  l^tlanze  eine  knru 


')  Vgl.  Uoebid,  l'HiuiKcnbiolog.  8cbiIdiTrunK«n  1,  p.  19. 

*)  MagniM,    Uobnr   •li»   UcUropbytU«    poik   Ueliümca    miimwaT 


A*.  Qotbel:  Urbfr  Jwtfndfhrmen  t*»«  Pfianstn  tie. 


481 


|||itlieilnng  gi^iiiacht,  wornach  Mötikeuiever  liftobaclitet  hatt«, 
Melaleuca  microniera,  auä  dem  Kalthaus  in  ein  wurmerm 
Zimmer  versetzt,  scttnell  die  Zweifle  aQ^spriessen  lii?sa  nnd  statt 
der  BcbuppentörmiKon  Blätter  solche  mit  abstehender  Blattvpreite 
anlegte.  Es  ist  nun  zwar  die  Koinninc  dieser  Pflanze  unbekannt, 
aber  es  nnterlii^f;t  fiir  mich  keinem  Zweifel,  dnvs  die  Hück- 
scblaif^blätter  mit  den  Primär  blättern  (Ibureinfitimm^n ,  sumal 
ich  auch  an  der  Bu.siti  von  Sprossen,  die  sich  aus  Stecklingen 
entwickelten,  die  ,KtkkscliIi»j{*blätt(.'r''  auftreten  sah.  Ich  habe 
die  Pflanz«  seit  Jahren  beobachtet  nnd  ein  spontanes  Auf- 
treten der  UUckächlagtibtätter  nie  beobachtet.  Dans  diettelbeu,  wie 
Ma^niu  hervorhebt,  eine  ausgiebige  Transpiration  ermöglichen, 
ala  die  Scbuppeublülter ,  von  denen  sie  nicht  nur  in  ihrer 
Porin,  t^ondern  auch  in  ihrem  anatomischen  Bau  abweichen, 
ist  zweifellos.  Die  Bedingungen,  unter  denen  &ie  auftreten, 
sind  aber  noch  näher  fejitzustellen,  meinen  Erfahrungen  r.u- 
folgo  sind  i^ic  weniger  leicht  hervorzurufen,  sU  die  von  Veronica 
cupresäoided. 

3)  Cantpunulu  rotundifoLia.  Bei  dieser  Pflanz«  lassen  sich, 
wie  ich  gezeigt  habe,*)  die  Frimärblätter  bei  Kultur  in  schwacher 
Beleui-hluug  wieder  herTurrofeu,  voruu&gesetxt,  da«  die  betref- 
fenden Spro.1^'  ihr  Wach^thuni  nicht  durch  BlQtbcinbildung  ab- 
gedchloshen  haben. 

Spontan  auftretende  RQckschlAgser^cheinungen  bei  einigen 
andern  Dikotylen  habe  ich  frOher  erwähnt  (Päanxenbiolog. 
fjchilderangen  I).  Ueber  die  Bedingungen  des  AunrotfnH  ist 
at>cr  bli  jetzt  nicht»  bekannt.  D.is»  di&>>e  nicht  immer  ganz 
einfach  sind,  iteigten  mir  einige  Versuche  mit  Aeacia  verticillata. 

tCs  ifit  dies  eine  der  australischen  Arten,  bei  denen  die 
BlattbiMnng  durch   Phyllodien  enetzt  ist,  d.  h.  die  Blattapreite 


SchaDor.  äiUtingsbtir.  der  Qm.  naturfoncbeiitlur  Pn^uiitio  lu  Berlin  1607 
p.  17—19.     Vgl.  Botan.  Johreaber.  lSö7  II.  p.  85. 

*)  Cebur  Oii*  Abhrut^ixkcdt  dor  filattronn  \aa  Ctuuiuutula  rutundi- 
fbtift  von  der  UcbLiiilvtMtAl,  Sil%^u^«bc^.  1$9&.  p.  881  it  ornl  Flora 
1886,  V-  1  ff- 


482 


fUttwmif  dar  md/ft-;tAy«.  Cfsaaut^  nxn  5.   Tt\  uw^  tf 


Terknniniort,  und  il^^r  Blntistieit  faEDw«leil  Miefi  fil 
TerwaudüU   aich    in    ein    Teftikal    gesteUtes 
Ich   möchte  Werth    danuf  legen,    dm»    di< 
allen   nntersuchten  Fällen   eine    wirIcKcb«,    d.  fa, 
f(eMhtcbtlich  T«rfolgbiire  ist.    Dan  heisst  9ori«J,  ^ 
Apreite  (resp.  die  Anlage  derMlb«n),    obwohl    in  f^ 
täreni  Zustande  immer  noch  nacbn-cislnar  ist,  tmd^ 
dem  }?ew<"ibnlichen  blutvicklunt^sfn^nge  folgt.    woIm 
stittl    darcb     iiitorkalares    Wadiathum     ku    aeiaer 
Form  heranwächnt.     Darauf,    datw    die    BlattAprvtU  lütf 
wie  gewöhnlich  angenommen  wird,    n 

ecbuu  früher  hiugewiesvn,*)    nnd   «ine   „.^m,-    < 

ausgeführt«  Untersuch nofi^  von  A.  Maun')    hat  dii« 
bestiUigt 

Die  Blattbildnng  von  Aeacia  Vfrttcillata  ist  too  Eoh 
(Allg.  Mür|jh.,  p.  525)  mit  der  der  Stvllaten  atnanma^ 
worden.  Wie  bei  dieeen,  (glaubte  fIormt*ü«ler  aii<:h  he 
nelien  den  eigentlichen  Laubbliltt(.-m  stehende  Mehmli' 
Nebenbl&tteni  annehmea  zu  müäseu.  Diaie  Aunahme  »tt 
enUtauden,  dftse  nur  wenige  der  scbeinh«r  wirti*liiF  angeor 
Hliltter  AchselsproBse  haben.  Inüess  zeigt  die  eeoauet« 
achtung,  das»  die  mit  Achseisp rosBen  versehenen  f 
Nebenblüiter  au  ihrer  Hosiä  haben,  ab»o  Bcfaon  da-«>;  .  4> 
angeführte  Deutung  unmögUcb  ist.  Vielojehr  Uvizi  h. 
merkwürdige  Fall  einer  veräcbiedenen  Aushilduxig  von  Phi 
vor,  bei  den  eirieu  unterbleibt  die  Auäbilduag  ron  Ac 
und  von  Neben blattfrn,  bei  den  andern  ist  beides  vorl 
Uebrigens  haben  auch  die  «slerilea*  Phyllodien  zuweilttn 
blätler.  Itiehtig  ist  dagogeu  Hofmeisters  entwicklung« 
liehe  Angabe,  dasa  die  .fertilen*  (wie  sie  kurz  bea 
mögen)  Phyllodieu  auch  in  ihrer  Kntvrickluug  dea 
Torauseileu. 


*)  Ooebcl,  yrrgleicheudi*  Entvirklim^gcaehicht«,   p.  241 
'^)  Vpl.  A.  Mfuui,    Was  bfdoQt«^   Motnmnriihose    \u    der    0 
iimugiimldtHB,    Manchen,  IBOl. 


K,  Ooebel:  üeber  Jugendformen  ton  Pfianren  eU.  488 

r  Bildang  achter  LaubbUttor  tritt  bei  dieser  Art  nur 
Ktiimpflanzo  auf.  Die  gauze  untere  Region  der  Keini- 
behült  auch  diute  Fühigktiit  zur  Laubblatfcbildung,  wenn 
iselsprüäso  auftreten,  beginnen  sie  mit  der  Bildung  eines 
eier  Luubblätter.  um  dann  zur  Phyllodiunbildung  Aber- 
\  während  diese  bei  den  weiter  oben  stehenden  Acbsel- 
r  sofort  eintritt. 

\  Frage  war  nun,  ob  man  die  Pflanzen  nötbigon  könne, 
ibliiltbilduiig  zurückzukehren?  Kultur  in  abgejächwäch- 
ibte  erwies  sich  als  eintlusslos.  Die  PSauzen  hatten 
Zeit  im  Hintergründe  eines  trockenen  Zimmers  gestanden 
lei  einen  Theii  ihrer  uadelförmigon  Pbyllodiun  verloren, 
Bst  war  eine  bedeutende  Störung  des  Wachsfchuma  ein- 
\  die  darin  sich  aussprach,  dass  der  Hauptspross  der 
f  sich  nicht  weiter  verlängerte. 

p  (zu  sechs  in  einem  Topf  stehenden)    Pflanzen    wurden 
Idas  Kulturhaus  nntt^r  eine  Glasglocke,   also   in   feuchte 

racbt,  und  nun  zeigte  sich  nach  einiger  Zeit  Folgendes. 
^PHanzü.  Hat  in  der  Höbe  von  15  cm  (vom  Boden) 
ätensproBs,  der  nach  etwa  10  dünnen  kurzen  Phyllodien 
elt  gefiederte  Laubblätter  hervorgebracht  hat  und 

ieder  zur  Phyllodienbildung  II bergegangen  i.st.    Weiter 
,nden  sich  noch  drei  Seitensprosse,  welche  nach  einigen 
je   ein    Laubblatt    producirt    haben,    dann    wieder 

n. 
Hat  nahe  der  Basis  zwei  Settensproese,   einer  derselben 

vier  Phyllodien  vier  Laubblätter  entwickelt,  ein  anderer 
ler  Achsel  seines  vierten  Phyllodiums  einen  Seitensprosa 
Ordnung  gebildet,  der  mit  zwoi  Laubblättem  beginnt. 
Ein  in  der  Phyllodienregion  stehender  Seitenspross   be- 

E't  zwei  Lanbblättern  und  bringt  daun  Phyllodien  hervor, 
ere  Settensproa^e  haben  Luubblätter    entwickelt   (einer 
ilnf)  und  gehen  dann  zur  Phyllodienbildung  Über. 
|Hat  einen  Seitenspross,  der  nach  einigen  Phyllodien  ein 
•t  hervorbrachte,    dann    zur    Phyllodienbildung   xurtlrk- 
>in    hoher  stehender  Seitenspross    hat   drei  Laubblätter. 

Ui.-|>1*7i.  ci.  3.  32 


-=1 

f  e 

-  * 

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X 


484         Sitnng  Her  math.'phyB.  CIomm  com  f.  Daadtw  JS^. 

5)  Ein  P  f  roM  beginnt 
mit  einem   I        n. 

Ü)  XhIic    der   Band:«,    aber 

Ober  der  LtiubbUttrc^on  rmrl 

Suit:t?U!4pr(»<se,    die   mit  einiffea 

PliyUodien      beginnen ,      dana 

-^^  Laubblätter  bilden,  4  cm  koch  ■ 

um  SUimnu^ben  ein  Seitensproa^  ^ 
der  nach  acht  Pbyllodieo  drei 
Laubblätter  bildet,  darauf  einige 
P)ivl[i>dien ,    diinn    uieJnr    ein 
Laubblatt,    dann    l'hjU'>di«n; 
8  cm  bock  am  StAmmcbea  eia 
Seitenspro^,  dernQobeiiraM'bn  ■ 
l*bylIodien     fünf    Laubblitter.  " 
dann  wieder  Pbj^tlodieii  biUlift 

Es  7^igtß  sich  alfo,  dun  die 
süuimtlicbon  aecbn  Püonzen  da- 
za  geuüttiigt  werden  kotiiiti^c, 
Htatt  der  PbvUodien  doppell  K*~ 
Gederte  Laubblätier  tn  bilden. 
Allerdings  wnr  die  tlflckkebr 
zur  LaiibbliiUbtldung  niu  eiiie 
dauernde,  e^i  folgte  auf  dieselbe 
wieder  IMiyHodionbildung,  wie 
di(^  ja  ancii  normal  lui  Ver- 
laufe der  Kutwiokelung  g/^ 
iitfbieht.  Die  Frage  aber,  ob 
die   Äcacia   verbicill.i*  :  b- 

deiu  sie  einmal  in  o^  int 

der  HhylMien-ßildnng  einge- 
treten iat,  wied(*r  seur  Laub- 
blattbildung  veranloi^  vicf^eo 
kannt  ist  ku  bejahen .  und  t» 
fragt  sieb  nnr,  wi>lcbca*  Faktor 
e»  iht,  der  die«  bewirke 


j 


K.  (htUi:  Utbtr  Jngen^fm 


flafueH  9tC* 


4Si 


fatllrlii'.h  wird  man  jiuimolist  an  die  £innrirkuo|f  aar  LoA- 
feuchtigkeit.  denken,  aber  a*»  einfiich  lie^  die  Saclie  nicht,  daM 
lediglich  durch  Kultur  in  feuchter  Atmospli&re  LHribbUttliildung 
hervorgerufen  werden  kann.  I>enu ,  aU  andere  l*äAn7.tin  der- 
selben Art  nnter  denselben  Bedingungen  kultivirt  wunien,  unter- 
blieb trotz  lebhaften  Wachäthun»  die  Latibbluttbitdung.  Ferner 
liewe  aich  verrauthen,  dn^  die  bei  a)len  oben  erwähnten  Vei^ 
stichspQanaen  eingetretene  lleiiiiuung  der  Entwickriung  diM 
Hauptsproesea  mit  der  beo buchteten  Krscheinung  iut  Zu^fiinimen- 
hang  stehe.  Dies  ist  aus  zwei  Gründen  nicht  anzunahnien. 
Znniiuhät  Dämlich  kann  man  durch  kfinsth'cbe  Eintfernting  Hvn 
HaupttiproAses  keine  Lauhbtattbildung  an  den  neu  entstehenden 
Seitenspruimen  bervurrufvn.  SeitHn'^praJUM,  diu  ein  Laubblatt 
besibten,  entwickeln  sich  nur  an  der  Ba-^is  der  Ptlanze,  in  der 
«Laubbloitregion*,  wo  auch  ohne  Verletxung  die  S  ^  -»se 
eich  so  verhalten.  Beuierkt  sei  dabei,  diw»  in  xwri  [  i  ao 
diesen  Seitensproesen  dem  [^kubblatt  ein  PbjUodium  TnrauHging. 
Der  xweite  Grund  i»t  der,  das»  die  Hervorrufung  Tun  Luub- 
blattbildung  auch  gelingt  an  l^flanxen,  den>n  Hauptäpn)«.s  aeiu 
Wavhsthuni  nicht  eingestellt  hat. 

£ti  wurden  zwei  weitere  ICxemplare»  die  erst  ItUigere  Zeit 
trocken  gestanden  hilten,  in  den  ftfiicliten  Uuiiin  gebracht.  An 
einem  derwlben,  welcbeH  t^uinun  Huuptgiptel  behalten  hatte, 
waren  an  twei  Zweigen  je  xwei  LaubbUtter  (mit  nnr  zwei 
Fiederpanren )  aufgetreten,  und  twur  weit  ub^'n,  etwa  noch  dem 
10.  Scheinwirtel  des  autitreibenden  Seitens prni;,sna.  Das  ander« 
Kxeraplar  hatte  Minen  tiipfel  ächon  früher  verh>rcn,  es  steigt« 
ao  einem  SeitenspruM  nach  Voraurtgeben  zahlreichor  Phyllodien 
ein  Lauhblatt.  dem  dann  wieder  zahlreiche  PhylJodieu  folgten. 

Die  Zahl  der  vorhandenen  l'Hauxen  war  damit  erschöpft. 
£•  wäre  wUnschenswertb  gewesen,  noch  mehr  PtlaDKen  (aU  aar 
ÄWei),  die  vorher  nicht  trocken  gr-^tanden  hatirn.  auf  ihr  Vcr- 
haittin  im  feuchten  Haunie  zu  prflfen.  Immerliin  ocbeint  mir 
auch  bei  den  im  Ganz<.'U  verwendeten  zebu  l'Uanzeu  der  Au^- 
•chlag  deutlich  genug.  K»  zrigt«  xich,  das:*  zur  Hervorrufung 
der  Kflck»cfalftgsbildung  hier  zweieriei  nothwendig  ist 


486        Siitung  der  maih.-phys.  Cleute  vom  5.  Destmber  1096. 


1)  Eine  .Ahschwächung"  der  Pflanze,  hervorgerufen  durch 
ungünstige  Kulttirbedinguugen  (im  trockeoeu  Zimmer  bei  b 
lieber  Wasserzufuhr). 

2)  Kultur  im  feuchten  Kaum.  Anf  2)  aber  reagirt 
Pflanze,  soweit  die  Erfahrung  bis  jetzt  reicht,  nur,  wenn  l)  her- 
Torgegangen  ist.  Desshalb  kann  es  auch  nicht  Wunder  nehmen, 
dass  hei  einer  Anzahl  von  Keimpflanzen  von  Acac.  longifolta 
die  Pbyllodienhitduug  durch  Kultur  im  Feuchtraume  nicht  unter- 
drückt  werden  konnte.  Uebrigens  stimmen  diese  angefQbrteu 
Thatsachen  ganz  flberein  mit  dem  von  mir  früher  geftlfarten 
Nachweise, ^)  dass  Rückschläge  zur  Primärblattfortn  na- 
mentlich dann  auftreten,  wenn  die  Vegetation  durch 
irgend  welche  äussere  Faktoren  geschwächt  ist. 

Von  den  beiden  oben  angeführten  Faktoren  ist  also  dtr 
unter  1)  genannte  der  aiisschlag^gebende.  Die  Knltiir  in 
feuchtem  Räume  wird  nur  begünstigend  für  eine  ntscbe  Ent- 
wicklung eingewirkt  haben.  Thatsächlich  erhielt  ich  ganz  wu- 
loge  Kückdchlagserschciuungen  auch  bei  einer  Pflanze  von  Ac. 
cyanophylla,  die  nicht  in  den  feuchten  Itaum  gebracht  wurde, 
sondern  im  Kulturhans  stehen  blieb,  nachdem  sie  vorher  vei^ 
nachläsaigt  worden  war. 

Nachdem  die  vorliegende  Mittheilung  längst  uiedrrg? 
schrieben  war,  fand  ich  neuerdings  im  Kalthans  eine  einjäbri^e 
Keimpßanxc  von  Acacia  verticillata,  welche  spontan  nticb  <iea 
Pbjllodien  das  Auftreten  von  Laubhlüttem  —  mit  allen  Zwi- 
schenstufen zur  Phyllodienbildung  —  zeigte,  und  zwar  ao,  da« 
auf  'Scheinwirtel  mit  1 — 8  Luubblatiern  (und  Phyllodien)  aotcb* 
folgten ,  die  nur  Phyllodien  hatten ,  oder  unter  ihnen  Aoeh 
GebergÜnge  zur  Laubblattbildung.  Es  standen  in  diesen  Scheia- 
wirteln  gelegentlich  3  Lüubbliitter  (resp.  Mittelbildungeu)  neben 
einander,  waa  wieder  reigt,  dass  die  Uofm eiste r'scbe  Auffiuaang 
nicht  haltbar  ist,  auch  war  keineswegs  immer  da«  Phyllodinm, 
das  einen  Achselsproa  hatte,  zur  Lauhblattbildung  übergt>g»ngen. 
Diese  Beobachtung  iteigt,  dass  bei  Acacia  verticillatn  ein  ^cbw«^ 


*)  Pthnuteobiol.  Scltildf^ningcn  It.   S.  2»C  n.  SOO^   M-tm   ih<«o.  sJI 


Ootbet:  Uebff  Jug^dformen  ton  Pftanten  etc.  487 

ben  zwischen  Laobblatt-  nnd  PhyllaJienbildun^f  statttindon  kann, 
diis  jn  bei  andern  pbyUodienbildenden  Acacien  auch  in  späterem 
Alter  noch  ftiiftritt. 

Hildebrandä^)  Mittheilung  Über  Acacia  MeUnoxjIon  lÄast 
«ich  fOr  unsere  Zwecke  nicht  verwerthen.  Denn  wenn  an  dem 
basalen  Tfaeile  eines  abgesägten  Stammes  an  einigen  Seiten- 
sproBsen  Sprosae  mit  Fiederblättern  auftraten,  so  ist  dit»  nur 
ein  Beispiel  der  hänßg  zu  beobachtenden  Tbntsache,  auf  die 
ich  schon  früher  hingewiesen  habe ,  dass  R0ck.^eblag8spro«c 
gerade  aui  untern  Tbeile  älterer  Pflanzen  gerne  auftreten,  und 
r.udem  ist  gerade  Ac.  Melanoxjlon  eine  derjenigen  Arten,  bei 
denen  auch  im  oberen  Tfaeile  das  erwähnte  Schwanken  der 
Bluttbildung  eintritt. 

Diu  bei  Acacia  verticülata  gemachte  Erfahrung  gab  Ver- 
anlaasong,  auch  das  Verhalten  einiger 

Monokotylen, 

mit  dem  ich  mich  schon  «riederholt  beaohftl^igt  hatte,  einer 
weiteren  Prüfung  zu  witeniehein. 

£e  handelt  sich  dabei  um  solche,  welche  bandförmige  Pri- 
märblätter  besitzen,  eine  BUttform,  die  namentlich  bei  einigen 
Waaaer-  resp.  Sumpfpflanzen  deutlich  hervortritt.  Dieselbe  ist 
als  «eine  Anpassung  an  da»  Medium*')  uufgefosst  worden. 
Dagegen  habe  ich  darauf  hingewiesen,  dass  solche  bandförmigen 
Blätter  in  den  normalen  Kntwicklungsgang  einer  grosseren  An- 
*M  Ton  Monokotylen  gehören,  und  duss  wir  keinen  (inind  su 
der  Annahme  haben,  sie  seien  das  Keeultat  einer  direkten  An- 
sang au  das  WaHserleben,  zumal  disielbe  Btattform  vielen 
I<uudptlunxen  angehrirendeu  Monokotylen  eigen  ist.  Dass 
PännKen,  welche  schon  eine  .höhere*  Blattform  entwickelt  haben, 


')   Janiga    neolinchtumren    aii    Kaimlintrcn    and    St^rklingim    (Bot, 
teiiuag,  18lia). 

'  ae  U  koeiete  rojake  4e  a  '    :ulX1I1  uhmi  p.  uai>. 


4S8         Silsunft  ütr  math.'jihtf».  Clnnse  mm  -S.  Tie»tm3ber  X896. 


xur  Primärbluttfortu  zurückkehreo  kOunen,  wurde  an  vier  Bei- 
spielen  nachgewiesen. 

1)  An  alten  lüxemplnren  von  Cichhoraia  Bzurea,  welche 
den  Winter  über  uls  Limilpäunzen  kalUvirt  wurden,  traten 
RüekKcliliigssprosse  rait  Priniärbliittern  auf*)  (Pflanxenbiolog. 
Schilderungen  II,  p.  287).  Vgl.  auch  die  Angaben  Bucbenan's 
über  Alisma,  a.  a.  0.  p.  20G. 

2)  Die  mit  gestielten  Bl&ttem  versehene  linnilfirm  rtm 
PotAmo^ton  nat^ins  wurde  durch  Versenken  in  Wasaer  voraa- 
lAäst,  bandförmige  Pt-imSi'blätt«r  zu  bilden  (a.  a.  0.,  p.  299). 

3)  Potamogetou  gramincos  entwickelte  (im  Herbst)  nach 
den  gestielten  SchwimmblSttern  aus  deren  Achseln  Sproese  mit 
Primärblätfcern  (vgl.  a.  a.  0.  p.  290). 

4)  Keimpflanzen  von  Heteruuthera  renifurmis,  dio  wbon 
die  nierenförmigen  .Folgehliitter"  gehildpt  hatt«n,  konnten  durch 
ungünstige  Kultlirbedingungen  zur  Rückkehr  zur  PrimärbUtt- 
form  veranlusst  werden  (Flora  1896,  p.  9).     Vgl.  Fig.  XVL 

Diesen    Fällen     Ueas«n    ddi 
■"■■'"'■"^  noch  andere  anreihf^n.  Die»  b*o4- 

fT»rniig(M»PriniÄrbl»tler(l»«r»ch8o* 
blühenden  Butomee  Hydroclni 
Humboldti  waren  mir  nor  ani 
der  Literatur  bekannt,  in  dicften 
Krtihjabr  aber  tratnt,  wie  \th 
gelegentlich  fand,  solch«  aof  an 
einigen  Trifb^n,  welche  an  ihr«f 
Basis  »bgefaull  und  dadiirrh 
nutOrlich  in  ungflnisiigc  Wads^ 
vf-rhültniss»  -  t^n     wAnm. 

Bei  kräftig  vtj^  :  i.  i.n  PHanzAO 
habe  ich  die*elb?n  niemat»  W 
obachtet,  um  so  auffaltender  war  da«  Auftretca  derselben  an 
d«u  Pflanzen,  welche  den  Winter  Über  auter  ungOn^tigen  &im- 

'I  An  krAftiit  «ti  Souiin»  vcgiHin'indfn  Exeaii '  -  r   '    '      ;  ' 
niv  bt^oltachtnt-     K^  knaii  aLin  kiinem  /.wrififl  uin 
SAnifigfti  yi>g<>tnkionKl>fiUn)^m9im   dit»   l'n«rbn    w>u»>u..     Iii«  AtauUiiMU 


Ä, 


Fiff.  XVI.     f 

iiiii.    .Iiing'j  I  IT 

bIftItHni     xur  I                             ,■ 

xurttckktfhri.  8  iuaI    ^  eij^i  üHUii. 


K.  frödfcl:   J'eiter  JHgtnäfitrwtn  von  Pfiniufn  rir. 


^89 


eil  lte(lingiin(2;en  ihr  L4?lKn  g^frJAtet  hatten.  Besonders  tehr- 
ch  aber  waren  die  Versnclie  mit  äagifctaria  nfttADS.  Diu  Vor- 
halten der  yorschiedenen  Sftjfittarift-Art«n  betreffiu  ihrer  Blatt- 
iun^  ist  ein  sehr  Terschiectenea,  es  bilnKt  mit  ihren  Lebens- 
^^tierhältnissen  auf  Am  Innjii^t«  xusammen.  Wir  haben  hier  in 
vvnvr  Giittuiig  vereinigt  Arten,  von  denen  die  einen  f&vt  ganx 
submers  leben,  die  andern  dagegen  huobsteua  ihre  ersten  BUtler 
nnt^r>{etant;ht  habiMi,  ^ehr  baM  aUfr  die  fidgendeii  in  dir  finft 
erheben.  Die  letzteren  »nd  Benohner  fenchter  Standorte,  die 
nicht  QberBchweinnit  zu  sein  brauchen.  Zniachen  den  beiden 
Extremen  Önden  sich  flbrigens  eine  Ueihe  von  AbstufungeD. 
Die  snbniersen  Knmien  behalten  die  iViniarblätter  viel  länger 
bei.  atü  die  eruersen,  Qbrigens  lassen  .Hieb  bi^i  geeigneten  Knltnr- 
bedingungen  auch  die  ersteren  leicht  als  LandpHunzen  ziehen. 
3-  L'ordifulia  gebürt  7.u  den  Formen,  Aw  eig^ntlirb  Landf^flanwn 
mnd,  !»ie  wuctist,  wt-nn  man  sie  in  Wiiener  ver>fenkt,  nicht,  son- 
dom  geht  zu  Gmnde.  S.  natans  aber  i«t  eine  fast  cubmers 
lebende  Art,  die  aiisM«r  den  xiihlreichen  bandförmigen  uuler- 
getauchten  BlJitlrrn  nur  einige  Scbwimniblütter  besitzt,  die  der 
BiQtenbiidnng  vorausgehen,  aber  auch  fehlen  kennen.  Bl&tter, 
die  mit  gestielter,  pt'filfftrtniger  Spreite  verttehen,  nicb  tlber  dm 
^maen^piegel  erheben,  kumen  bei  dt-n  hier  kiiltivirt.i*n  Kxeni- 
ftren  nicht  xor  Beobachtung.  Die  PflanE«  vermehrt  »ich  in 
aafigi«big;st«r  Weise  durch  Ausläufer,  die  stets  mit  der  Priniär- 
blntiromi  beginnen,  nibgen  sie  nun  al«  Wasser-  oder  hIk  Lnnd- 
ptianzen  kultivirt  frerden,  um  dann  xor  Bildung  von  Blftttem 
mit  gestielter  Blattupreite  dbermgehen,  rorauagasetet,  dau  die 
ätwseri'n  Bedingungen  dnxu  gQmitig  Mnd,  aUo  namentlich  auch 
die  hinreichende  LichüntenHitfit  vorbanden  ist.  Di«  Versuche 
Clber  die  AbUungigkeit  der  Uluttfgrm  von  äuwereu  Faktoren 
»ind   von    Herrn  Wüchter   auf  meine  VeranlaaMung  aosgeAlhri 


h«t  KiL'b  in  «Irr  7'h(U  ii*^iuiiixt. 
Untermirhiing  nltrrtniif,  .**!' 
vnnii    kiiUWirt    «  ■■  i  ■ 
tyriinton,  «» da»«  - 


•-.  iTflnnji  H'^mi  WÄfhlirr,  Ji'm  ich  die 
dii'  in  rciiK'ni  l^uanc 

' .'►■'■'".in«    XU 

r  Kann 


üiliuHg  der  maA.'}Aif$.  C7i 


wordea,  ich  ftihre  daraos  —  iodeni  ich  betreu  der  E 
ftuf  die  demnäcbst  erscheinende  VerößeDtlicbung  dai 
TerweUe  —   Folgendes  au. 

Wenn  eine  LandpflanK«  von  S.  natans,  die  scko 
Folgeblätter  gebildet  hat,  in  Waater  gebrftoht  wini, 
(an  derselben  Sprossacliae)  wieder  PrinssrbUtter,  a 
wie  daa  oben  für  l'oUmog.  natuns  angefahrt  «rnrit 
wenn  die  Pflanze  sich  dem  neuen  Mediuna  anf^pHst 
dann  wieder  Folgelduibir  nuf.  Dan  nun  in  dem  An 
Phmärl>lätter  nicht  etwa  eine  direkte  Anpassung  an  di 
leben  H^«  sondern  daas  dasselbe  bedingt  ist  darch  eio 
wie  sie  die  Veränderung  dea  Mediums  mit  sich  brni 
sieb  daraus,  dass  man  dieselbe  Wirkunjar  atich  enk 
ohne  die  Pflan7.e  in  das  Wasser  zu  bringc-n.  Ktd 
Pflanzen,  die  vorher  im  Waaser  waren,  an  der  Luft 
der  Wechsel  des  Mediums  als  Btüning.  Diejeniget 
welche  schon  gestielte  Blätter  hatten,  briofi^en  statt  de 
bandförmige  Frim&rblätter  hervor,  denen  Ueber^rang^ti 
hergehen,  first  nach  einer  Anzahl  Primärbl&tter  ti 
wieder,  nachdem  die  Pflanze  sich  dem  neuen  MedJ 
passt  bat,  gestielte  Blätter  auf.  Waren  solche  xi 
Medium  Wechsels  noch  nicht  vorhanden .  so  fehlt 
natürlich  die  Möglichkeit.,  durch  Aeiideriing  der  Bl 
die  Störung  zu  reagiren.  Diese  Störung  iaast  sich  w 
hervorrufen.  Schneidet  man  einer  mit  gestielten  Bf; 
sehenen  Pflanze  die  Wurzeln  ab^  so  ist  damit  bei  der 
EigenthGmJichkeit  der  Wurzelbildung  monokotyler 
wenn  man  die  Sagittaria  gegen  Vertrocknung  bcUQ 
dauernde  Beschädigung  der  Pflanze,  sondern  nur  ein 
gehende  Störung  der»telhen  gegeben.  Auf  diese  reotfirl 
Hervorbringung  von  Priniürblättem,  denen  epüer 
höhere  Blatbform  folgt.  Derselbe  Krfolg  kann  erzie 
wenn  man  die  WurzelUf  statt  aio  abzuschneiden,  in 
Wasser  tauchen  lässt;  ihnen  also  die  Zufuhr  ano 
Näfarstoffe  entzieht.  Nicht  alle  Exemplare  reagiren  t 
Si5rurigen  gleich.    Es  ist  mit  RGcksicht  auf  die  oben 


(:  Utbir  Juyendformen  eon  Pflaiuen  tte. 


491 


TerticillaU  angeführten  Thatsachen  von  Interesse,  dws  kriiftige 
Exemitlare  vou  Sa^ttaria  natans  die  RöckschlagserschemuDfsen 
oft  nicht  zeigen,  sie  aber  auftreten  lassen,  sobald  eine  Schwäch- 
ung der  PHanze  durch  unzureichendes  Licht,  schlechte  Ernährung 
nnd  höchst  wahrscheinlich  auch  noch  auf  andere  Weise  eintritt, 
z.  B.  durch  Kultur  bei  niedriger  Temperatur.  Wenigstens  deutet 
darauf  das  Verhalten  anderer  Wasserpflanzen  hin. 

Nuphar  luteum  besitzt  als  Keimpflanze  bekanntlich  —  ab- 
gesehen von  den  einfachen  eretpn  Primarblfttt.eru  —  zunächst 
tratargetancht  bleibende,  kurzge^ftieUe,  hellgrüne  W asser blätter, 
die  sich  durch  ihren  anatomischen  Bau  von  d«n  später  anf- 
tretenden  Schwimmbl&ttem  unterscheiden.  Wie  ich  an  andprem 
Orte  gezeigt  habe,  kann  die  Pflanze  an  bestimmten  Standorten 
*nf  diesem  Entwicklungsstndtum  sehr  lange  zurQckgeh alten 
werden«  trotzdem  aber  sogar  zur  BiQthe  gelangen,  und  an- 
zweifelhaft kann  diea  auch  gewheheu,  wenn  die  PHanze  schon 
Sohwimtuhlätter  hervorgebracht  hatte.  Sinkt  doch  alljährlich 
im  Herbste  die  Blattbildung  auch  bei  Pflanzen  mit  Schwimm' 
blättern  wieder  auf  diese  Stufe  herab.  Experimentelle  I'nter- 
snchuugen  daröber  liegen  nicht  vor,  indets  i^^t  kaum  daran  zu 
zweifeln ,  daits  alle  die  Vegetation  nngAnntig  beeinflufsenden 
Faktoren  innerhalb  gewiver  Grenzen  die  Schwimm  hl  attbtidung 
nnterdrDcken,  die  Wiisnerblattbildmig  hervorrufen  werden,  da» 
dabei  auch  die  Lieh tinteuui tat  eine  Rolle  spielt,  wie  ich  frOber 
hervorhob,  ist  mir  auf  Urund  anderweitiger  Erfahrungen  sehr 
wahtFcheinlich,  indes»  stimme  ich  mit  Brand*)  darin  überetn, 
dass  auch  andere  ungUnstige  StandortsTerhälLuisae  denselben 
Effekt  haben  können.  Ein  Nuphar-Rbizom>  welchem  die  Wur- 
zeln abgeschnitten  sind,  wird  vermnthlich  Wasserblätter  hervor- 
bringen, selbstverständlich  erst  noch  den  Blattanlagen,  die  schon 
die  Eigenschaften  der  Luflblätter  angenommen  haben. 

Analoge  Verhältnisse  werden  bei  den  Stecklingen  mancher 
PflAnsen  anzutreflien  sein,  fallä  Oberhaupt  noch  die  Möglichkeit 


*)  Bnuid,  Ueber  die  drei  Ülnllarton  unwr»  Nymplmonrcen.    Rotan. 
C<>DtimlbUU,  b'.  Bd^  p.  108  E 


492  SiUiiS^«^^nth.-phy$.  Ctasge  tom  S. 

zum  Wiederan (treten  der  Jujfendform  gegeben  ist.  b'rcilicr 
liegen  die  Verhältnisse  hier  nicht  immer  einfach.  Ein  Steckling 
erfnhrt  durch  seine  ÄUtrennung  vna  der  Mutterpflanze  nicht 
nur  eine  Störung  seiner  Gesammtentwickliing»  die  erst  später 
wieder  überwunden  werden  kanu,  er  ist  auch  den  CorrelatioQS- 
verhültuissen  üea  ßproas!«Tst^n)s,  in  dem  er  sicli  befand,  entxoj^pu 
und   wird   in   der    gärtnerischen    Praxis   ror   der    BewurzclunK 

uieijit    uuter    andern,    als    seinen    normalen    Lebenshi -mi 

kultjvirt.  Alle  diese  baktoren  künnen  bei  dt-r  Hur«  ^ ,  ,.,.,üg 
der  Jugendfora)  betheiligt  sein.  Üiw  Verhalten  bedarf  also  ge- 
nauer Unteräuchung.  Doss  über  derartige  Fälle  Vürkommeo, 
zeigt  H&a  früher')  kur£  ernähntc  Verhalten  Tun  Mdhlenbrckia 
platjcladoü.  Erwühnt  sei  auch  diUfjeiiige  einiger  Ph^rllanthi»- 
ÄTten,  flpeciell  vün  PhjU&nthns  luthjroides.  Der  ArtnaiMR 
rtibrt  daher,  daBS  die  PHanze  8cbeint>ar  gefiederte  Blätter,  ahn* 
lieh  denen  von  Lathyrna-Arten  bwritzt  lu  Wirklichkeit  ainid 
diese  bhittiihulichen  Gebilde  Sprosse  begrenzten  Wachnthutns, 
die  zweizeilig  beblättert  sind,  und  später  abgeworfea  werden 
wie  Blätter,  An  der  radiären  Hauptachse  (und  den  '  '  'ir 
gleich  verlialtenden,  stärkeren Seiteiitriuben) eteheu  nur  ■"■■.,  '- 
blätter,  in  deren  Achsel  dann  die  bj>äimilirenden,  mit  Laubbltuer 
versehenen  Sprosse  stehen.') 

Ich  nQnachte  duu  /.u  erfahren,  oh  diese  zweizeilig  be- 
blätterten iSpro&se,  als  Stecklinge  behandelt,  Hihig  »eien  radSr 
zu  werden,  und  ob  ne  dabei  sieb  verhalten  wie  die  KeimpfUn'xcil« 
an  deren  Ilauptacbitvn  zunächst  Laubblätter  auftreten 

Zunächst  sei  erwfihnt.  daaa  diese  zweizeiligen,  dor^i>'-*eiu.utf-a 
Sprosse  in  der  That  genjSthigL  werden  können,  sich  uU  radiäre 
Ächwn  anszubilden,  wenn  man  Über  einer  jungen  Anlag« 
eines  solchen  Seiteniprosses  den  Hanptspro«  entfernt  und  aiurb 


1)  Ploni  1896.  p. ». 

<)  l>i>  Mürphiilnijif  4]«r  rhylldittbusuriun  int  br«iirocb<An  in  Dlnftlnr, 
Die   Fl»iii5proaN'    der   PI  1.  H>*rt.    Miliubt'O   IW6.      I«awjh«t 

Wüil    p,  I8>^  IE,    du  K<  iiti'    von    •■itil>{rn    l'liytliinfhn««f1rti 

uiitgi-tlirilt. 


K.  Ooeheh 


Ttigtndfbimtn  ton  PfU^^n 


493 


Ktitif^ung  anderer  Sprotaanlagen  sor^t,  «reiche  die  Fort- 
d«fl  HnnpUiproaee:^  Olierneluui?»  könrit«ii. 

Auf  die-so  Woiee  wurde  z.  B.  ein  Seitensproas,  der  schon 
3  Blätter  in  zweüeiliger  SlelJun{(  angelegt  liatte,  veranlasst,  aU 
radiäre  FortseiÄung  seines  H^upl^prosiae«  weittT  /.u  wachsen.  Kr 
brachte  dann,  wie  die  Hauptachse  der  Keimptianzen,  xuntichst 
Laubbläiter  hervor,  in  deren  Achseln  aich  dornventrale  Aasi- 
milationssproffse  bildeten.  An  älteren,  schon  hnrizoutiil  ati^go- 
breiteten  Sprossen  ivt  mir  die  l'mbildung  büt  jetzt  nicht  gelungen, 
68  entwickeln  sieb  „AchseUprosse*  der  blattühulichen  Zweige 
sehr  leicht  zu  radiären  Trieben,  jenen  selbst  aber  wird  mit 
fortschreitendem  Alter  die  Umwandlung  7.u  radiären  Sprossen 
offenbar  schwieriger,  aU  ioi  Jugendzutttaud. 

Dm  Verbalten  der  Stecklinge  eotepricht  dieser  Annahme. 
Kein  einziger  derscrlben  wandelte  sich  nSmlich  r.a  einem  radiären 
Triebe  um.  Vieiraehr  wuchsen  die  Sprosse  al«  »weizeilig  be- 
blätterte Tripbn  weit4'r,  f-xv.  t<rreichten  dabt^i  jetzt  m:hon  (nach 
einem  halben  Jahre)  eineLange,  diedasi — 5  fache  ihrer  normalen 
beträgt,  sie  sind  in  ihrer  Entwicklung  nffcnhar  unbi^grenzl,  und 
fahren  auch  fort,  Blöthen  hervor/.ubringen.  Ihr  Verhalten  ent- 
spricht offenbar  dem  manclier  Conifiercn,  s.  U.  der  Araucarien, 
aus  deren  dorsi ventralen  Seitenzweigon  man  auch  keine  radiären 
Sprosse  erziehen  kann.  Wohl  aber  entstehen  Holche  gelegentlich 
aus  dem  .Calln»*  an  der  Basiü  der  Stecklinge  und  diet  i*<t  auch 
bei  Phyllantho«  sehr  häutig  der  Fall.  Diese  zeigen  dann  Ge- 
stoltungsverhältniäse,  die  mit  denen  der  Keimp6anxen  überein- 
stimmen, sie  haben  die  Jugcodform  angenommen,  und  der 
Steckling,  uu  dem  ein  aolcher  radiärer  Calluä-Spross  entstand, 
xeigt  dann  nur  begrenzte«  \Vacl)»thiim,  er  verhält  sich  also  »u, 
als  ob  er  ein  Seit^nspross  des  radiären  Triebi-s  wäre. 

Das  Verhalten  von  Phyllanthus  scheint  mir  in  mehrfacher 
Hioüicht  Tou  Interesse.  Wir  ttahen,  daas  dem  zweiKeilig  be- 
blättvrten  SprosM  zunächst  noch  die  l'^ahigkeit  zukommt,  in  die 
radiftre  Jugendform  der  ganitou  Pflanz«  ülurzugeben,  Abss  er 
sie  aber  späterhin,   auch  w«uo  tf  ab  '"  '.  weiter  wächst, 

verliert,   obwohl   ans  dem  embryonalen  tÄUu»({eweb«   deawlben 


494 


SÜ$unff  der  mtäh.-jihys.  Cltust  vom  6.  Dueviher  SSM. 


Stecklings  nuti&re  Sprosse  hervorgehen  können.  Der  Vegetatiotis- 
punkt  des  dorsi ventralen  Sprosses  wird  immer  weniger  nm- 
wandtungsfiihig.  Nennen  wir  den  Antrieb«  der  die  Anlage  eines 
zweizeitig  beblätterten  Sprosses  nach  Entfernung  der  Haupt- 
achse dazu  veranlasst,  deren  Eigenschaften  anzunehmen,  der 
Kfirze  wegen  den  «Safldruck*,  so  wird  da»  Verhalten  sich  in 
verschiedener  Weise  anffassen  lassen.  Entweder  nämlich  beruht 
das  Verhalten  älterer  zweizeiliger  Sprosse  darauf ,  da«s  dem 
VegetatioDäpunkt  immer  mehr  die  nntbildungsfahigkeit  verloren 
geht,  oder  darauf,  dass  der  ^Safldroak*  weniger  leicht  auf  tfaa 
einwirken  kann.  Ich  glaube,  dass  letzteres  hauptsächlich  in 
Betracht  kommt.  Ein  Tannenzweig  kaun  am  SUnime  nach 
Verlust  de.s  Qipfels  lange  die  Fähigkeit  behalten,  radiär  zu 
werden,  ala  Steckling  bringt  er  es  meist  nicht  dazu.  Die 
mangelhaftere  Bewurzelung  des  Stecklings  kann  k<*ioen  solchen 
, Saftdruck "  erzeugen,  wie  er  im  Stamme  vorhanden  ist  J* 
grosser  ferner  der  Weg  ist,  den  der  ,Safldmck*  zuTOckialegMi 
hat,  desto  weniger  wird  er  wirksam  sein.  Damit  kOnnen  wir 
uns  fOr  das  Verhalten  von  Phyllanthus  wenigsten»  eine  ^  ' 
Stellung  machen,  iu  andern  Fällen  werden  natOrlicfa  ai 
Faktoren  in  Betracht  kommen,  die  .IndnVtion*,  welch«  den 
Vegetationspunkten  ihre  Eigenschaften  aufprägt  und  die  d«r 
Jugendform  ganz  verdrängt,  wird  auf  verschiedene  Weüe  »i 
Stande  kommen  können. 

Kehren  wir  nach  dieser  Abschweifung  zu  den  Monokotylen 
zurflok,  so  sei  hier  noch  ein  Fall  von  einer  Landpflan/e  ange- 
fahrt. Monntera  deliciosa  zeichnet  sich  hekanntiich  durch  ihre_ 
eigenthnralich  durchlöcherten  Blätter  aus,  während  die  Prü 
blätter  diese  Lochbilduug  nicht  aufweisen.  Solche  einfaebc^ 
gefunnten  Blätter  treteu  aber  bei  erkrankten  oder  sehr  schlcdit 
behandelten  l^anzen  auch  im  späteren  Alter  auf;  wenn  die 
Pflanze  wieder  erstarkt  ist,  kehrt  sie  zn  ihrer  normalen  6l«t^ 
bildung  zurtick. 

Wir  sahen  an  den  geschilderteu  Beispielen,  1)  dass  die  Mi^g- 
lichkeit  der  Ausbildung  der  Pnmärblftttvr  bej  manchen  Pfianxcn 
auch  im  späteren  Lebensalter  noch  besteht,  2)  dast  diooer  Vor- 


K.  OotM:  Vtbtr  Jugemiformen  von  PfiiuueH  Ue. 


495 


I 
I 

I 

I 


Qg  ftn  andere  Bedingnngen  geltnUpfl  ist,  aU  der  der  Bildung 
der  Folgeblitter«  3)  daas  eine  Scbwücbung  der  Vegetation»- 
Iwdiugungen  der  letzteren  die  nerrorrufung  der  ersteren  ver- 
anU»t  reap.  erleichtert.  Teleologi^cli  betrachtet,  muss  dies 
Verbalten  in  den  meiKten  Fällen  aU  ein  zweckiuässiffes  betrachtet 
werden.  Zwar  ist  nicht  einzusehen,  welchen  Vortheil  es  einer 
Wasserpflanze  von  S&gittaria  uatans  bieten  könnte,  daas  «ie  durch 
den  Mediumwechsel  oder  nach  Abschneiden  der  Wurzeln  auf 
die  Primär bUttforiD  zurUckHinkt.  wohl  aber  ist  dies  der  Fall, 
wenn  x.  B.  eine  LandpÖanze  Überschwemuit  wird,  denn  die 
Priinärblritter  sind  die  für  die  submerse  Lebensweise  geeigneteren, 
sie  können  sich  raacher  dem  Waseerleben  anpassen,  weil  sie 
weniger  difivrenzirt  sind  und  durch  ihre  Arbeit  erstarkt  die 
Pflanze  nach  einiger  Zeit  soweit»  dass  sie  wieder  Schwimm- 
blätter  bilden  kann.  Für  die  morphologische  Betruchtung  aber 
kommt  hier  ror  Allem  in  Betracht,  wie  wir  uuh  das  Verhältnias 
der  beiden  Blattformen  Torzastellen  haben.  Wie  bei  Campannia 
rotundifnlia  komme  ich,  indem  ich  mich  zunächst  lediglieh  an 
die  experimentelle  Erfahrung  halte  und  phylogenetische  Er- 
wägungen ganz  auäser  Acht  lasse,  auch  in  den  andern  vor- 
liegend l)esprocheueu  Fällen  zu  dem  Hesultate,  daas  nur  die 
Primarblattfurm  anf  die  Nachkommen  vererbt  wird,  und  da» 
ent  im  Verliiufe  der  Entwicklung  diejenigen  stotTlichen  Ver- 
ändertmgen  »ich  ergeben,  welche  zum  Auftreten  einer  andern 
Blattform  fuhren.  Nehmen  wir  an,  daas  die  Gestultungsver- 
bältni^e  der  Blätter  bedingt  werden  dorefa  specifiache  Stoffe, 
so  würden  aUo  nur  die  der  Primärblätter  den  Samen  überliefert 
werden.  Wo  es  nicht  möglich  ict,  die  Primärblätter  dnrcb 
Veränderung  der  äusseren  Bedingungen  wieder  hervorzurufen, 
sind  meiner  Ansicht  nach  die  b^^tretfenden  Stoff»  trotzdem 
latent,  wenngleich  nur  in  geringer  Menge  vorbanden,  da  sie 
den  Enthryoneu  im  Samen  überliefert  werden.  Ihr  späteres, 
acheinbares  Ventchwinden  kann  damit  zusammenhängen,  dasa 
sie  bei  der  Bildung  anderer  organbildender  Stoffe  verbraucht 
oder  gebunden  werdtin.  Dm  *änd  indes»  zunächst  Gleichnüne, 
die  nur  den  Zweck  haben  darnnf  hinzuweisen,   da»   ich    mi< 


40n         Sitrung  drr  «iitth.-fAy«.  Ctasmc  vom  5. 

den  neueren  «Tolutionistiscben  VererbongwÜiei 
nicbL  ftna<:hli«aaen  kann,  Theorien,  die  meiner 
das  We*en  der  Kiitwicktnn^  nicht  v«ntfta4UR 
Doia  der  Verlauf  derulbeu  vor^eitoichaet  ist  duTtb^ 
BswchnfTfitheit  de«  Keimon,  i«t  -/weifelina,  »ber  cftf  ä 
der  Entwicklung  enUtehcn  diejeriif^en  AendernafA 
einer  h<lheren  Anabildung  ftibrea,  ebenso  ctw«  wk  h 
einr>r  (iulle  die  embryonalen  Zvllen  einv*  BUtt«  ^v- 
inrkun|{  ileäQuIlenthieres  zu  einer  Ausbildung  Trra^ 
die  ihnen  uhne  diese  ICinwirkung  nicht  xtigekommeo 
Art  der  abweichenden  Ausbildung  aber  iat  auch  hitf 
BeBcbaHV'nheit  der  reBfanrendni  Zellen  b<^in^,  ianft 
aoweii  wir  niaseu  —  in  den  Oalleti  keine  aadera  Gn 
vorkommen,  als  die  betreffende  PflnnKe  sie  «uob  m 
andern  Arten  und  in  andrer  Verthc*ilung-  herrorbrii 
die  von  Moaien  oben  beachrielwnen  VerhSUni^ae  s 
betconder«  lehrreich.  Die  £nUtehun^  der  Mocskas 
buuden  an  bestimmte  ärnsere  Verb»ltiiissef  und  daa 
/e)f(t,  dusrt  sie  atluiählicb  ror  sieb  K«*ht  Deon 
wurde ,  kann ,  nticb  wenn  schon  ein  Xellkilrner 
einer  Mooäknoäpe  entstanden  ist,  der^^elbe  bis  xu  eine 
Stadium  wieder  xur  RQckkehr  «ur  ProtoDemnbildnng 
werden. 

Aber  die  Scheitelzelle  maoht  von  der  MiS^^lichkei 
derannahme  der  Protonemaform,  sobald  sie  einmal 
diflercnzirt  ist,  eine  Ansnahme,  wenif^tens  an  eitn 
Mooeslüuinichen  kann  man  zwar  an  aligeächnittenei 
Stamm theileu  etc.  leicbt  Protonenmbildung  herroi 
Scbfituixelle  hat,  so  lange  sie  funktitmirt,  noch  nii 
artige  Euln-icklung  gezeigt.  Und  doch  haben  wir  bei  S 
gesehen,  da^  die  Fähigkeit  7,ur  Protonemnbildutie  auch 
vorbanden  iät.  Stollen  wir  uns  vor,  das  Mooagtiiumchei 
aU  Gatienbildiing  am  Protooema,  und  dieso  Qallenb 
infolge  der  Einwirkung  eines  enzymurtigeu,  von  ein 
dem  Protonema  beigebrachton  Körper«  eutetunden,  so 
Scheitelzelle    den  Theil    darstellen,    in    welchen]    di« 


K.  Goebel:  üeber  Jugendformen  von  Pflanzen  etc.  497 

danemd  vorhanden  ist,*)  und  sich  vermehrt.  So  lange  dies  der 
Fall  ist,  kann  auch  keine  Probonemahildunfi;  stattfinden.  Die 
Zellen,  welche  zu  Gebilden  beschränkten  Wachsthums  werden, 
speciell  die  Blätter  haben  dieses  Knzym  zu  produciren,  das  aber 
unter  normalen  Verhältnissen  dem  Sprossscbeitel  zufliesst,  sie 
können  in  Folge  des  durch  die  Abtrednung  von  der  Pflanze 
ausgeübten  Reizes  zu  Protonemaräden  auswachsen.  Das  , Enzym" 
aber  entsteht  bei  der  Sporenkeimung  erst  durch  die  Thätigkeit 
des  Protonemas  selbst,  so  lange  es  noch  in  geringer  Menge  vor- 
handen ist,  können  selbst  Zellkörper,  die  eigentlich  Moosknospen 
werden  sollten,  wieder  zu  Fäden  auswachsen.  Auch  das  ist 
natürlich  nur  ein  Bild.  Aber  auf  Bilder  oder  Vergleiche  werden 
wir  zunächst  angewiesen  sein,  wenn  wir  versuchen,  von  der 
Entwicklung  uns  eine  Vorstellung  zu  machen. 

Nach  der  oben  kurz  entwickelten  Vorstellung  hat  da«  Me- 
ristem einer  Keimpflanze  andere  Eigenschaften,  als  das  der 
älteren  Pflanze  und  noch  mehr  sind  die  Keimzellen  von  den 
Meristem  Zellen  verschieden.  Dies  scheint  mir  für  den,  der  die 
Epigenesis  als  den  einfachsten  Ausdruck  der  Thatsachen  be- 
trachtet, zunächst  eine  unabweisbare  Folgerung  zu  sein. 

')  Vj?].  Heiyerinck'a  .Wiub.ieiizyiue"',  Hot.  Zeit.,  1888,  p.  26  und 
Ö;iclis'  bekiimito  AMiainlIniij^en  über  ..Htutf  uml  Form". 


499 


Einige  Betrachtungen  über  die  Grundfragen  der 
Krystallographie. 

Vou  Kagrapliui«  tod  Fedoroff. 

b^iDem  Arbeiter  nuf  dem  Felde  der  Wissenschaft  ist  es 
ganz  unentbehrlicb,  von  Zelt  zu  Zeit  sein  mehr  oder  weniger 
schmule.:^  AckentCick  zu  verlassen  und  einen  allgemeineren  Blick 
auf  das  flbergroase  Feld  der  Wissenschaft  tu  werfen,  um  ku 
prkennenf  auf  welche  Wet.<M2  seine  eigenen  Kräfte  productiver 
angewandt  werden  krtnnen. 

Schon  dieser  Rück-  und  VorwürÜ4bUck  kann  der  Annähe- 
rung an  die  Wahrheit  in  seiner  VVeltanschituung  förderlich  sein. 
Je  mehr  sich  mit  der  Zeit  das  Feld  der  Wi:^enschaft  ausbreitet, 
di^lo  mehr  entsteht  Einigkeit  und  Hurmonie  in  der  gesaminten 
Thitigkeit  der  einzelnen  Arbeiter. 

Aher  selbst  dies^eä  bewährteste  Mittel  iüt  noch  nicht  ge- 
uQgend,  um  xur  Wahrheit  ohne  jede  Abweichung  nach  einet 
Seit«  KU  kommen.  Die  verschiedenen  Arbeiter  rerbleiben  doch 
bei  verschiedener  Weltanschauung;,  und  dementsprechend  irren  die 
Kinen  »ich  in  der  rcborschätrung  der  einen  und  Unterschätzung 
anderer  Dinge,  die  Anderen  weichen  in  anderer  Uiuäicht  von 
der  reinen  Walirheit  ab.  Je  mehr  aber  ein  Arbeiter  aich  der 
Wahrheit  genuhert  hat,  desto  productiver,  bei  seinen  gegebenen 
geintigen  Kräften,  muw  seine  Arbeit  »ein.  Üettswegen  Mcheiot 
mir  die  Darlegung  der  Grundanäicbfeu  von  nicht  geringerem 
pruktincbem  \Verthe,  uU  die  unmittelbare  tlrmittelung  experi- 
menteller Thabiacheu  vou  uubekunutein   Wurtlie. 

1«1W.  Vab.-t>kyA.  GL  3.  ftS 


500         Sitzung  der  mcUh.-phyg.  Claaae  vom  5.  Dezember  1896. 

In  dieser  Notiz  wage  ich  in  kurzen  Worten  meine  Grund- 
anschauungen in  dem  Gebiete  der  Wissenschaft,  und  ganz  be- 
sonders in  dem  der  Krystallographie  darzulegen,  nachdem  eine 
intensive  Arbeit  von  einem  Yierteljahrhundert  vorüber  ist. 

Ich  ersah  während  meiner  nicht  sehr  kurzen  Thatigkeit, 
und  stets  mit  Bedauern,  dass  es  zu  viele  Arbeiter  giebt,  welche 
den  empirischen  Tliatsachen  einen  zu  grossen  Werth  beilegen; 
manchmal  stehen  sogar  ihre  Betrachtungen  der  Frage,  wozu 
eigentlich  die  constatirten  Thatsachen  dienen  mögen,  ^uizlich 
ferne. 

Nicht  selten  vernahm  ich  sogar  die  extreme  Meinung,  die 
alleinige  Aufgabe  der  Wissenschaft  sei  die  Beobachtung  und 
Gonstatirung  der  rohen  empirischen  Thatsachen.  Manche  ver- 
werfen gänzlich  oder  fast  gänzlich  die  Anwendung  der  Mathe- 
matik auf  die  naturbisfcorischen  Wissenschaften.  Alle  diese 
Meinungen  scheinen  mir  sehr  irrthGmIich  zu  sein. 

Was  speciell  die  letzterwähnten  betrifft,  so  scheint  mir 
dieselbe  zu  besprechen  keiner  Mühe  werth,  da  die  Autoren 
solcher  Aensserungen,  so  viel  ich  solche  kenne,  eben  mit  dem 
wiclitigoit  lIilf^nlittel  des  menschlichen  Intellects,  welches  sie 
mit  leichtem  Herz  ah  etwas  Untaugliche^)  und  HebertlüsHiiges  er- 
klären, ganz  unbekannt  sind.  Es  i^renügt  aUu,  Kenntnisse  dieser 
Art  zu  erwerben,  um  dicde  inthüniliche  Meinung  zu  verla.-^sen.'| 

Die  reinen  E[uiiiriker,  ^velche  mir  bei  der  jetzigen  Latre 
tler  Wissen^^cl]at't  besonders  zahlreicii  vertreten  scheinen,  ver- 
werfen nichts,  was  ihnen  unbekannt  ist,  sie  t^treben  möglichst 
umfangreiche  Kenntnisse  von  Thatsachen  zu  erwerben;  aber 
sie  ignoriren  die  pliilosonhisclien  und  Überhaupt  die  tlieoretischeu 
Schritte  in  der  Wissen-chaft,  sie  verlangen  immer  wirkliche 
Thatsachen  und  niclit  theoretische  Speculationen. 


'j    Amler(;rH(.'it-    kt^mii^     irli    iiKiiirln.'     i.'iiKi    iMtj^ar    horvcirracfiiiU 
Mitthfinntikor,  welch.:  »■tirn^.j  ilm   Nutzi-n  i|i-i-  Aiiwi-mliiuj;  ilert-cU'en  a  ;: 
»lie  NiUurwis-enschuft    \.T\vi.'rfrii    iin<l    lÜi^si^lli-  .il-  lilnsst'  ' Jynina.'^tik  i\-- 
(ici>teH  betriu  bti'ii.     Nm-  :ili-'i-  .'ri- Imi.-h   ~i.  )i   ^'.-nul.'  ilifsc    MilniitrT  liuiili 


E.  r.  Ffdörott:  Oruntt fragen  tter  Kryntallagraphie. 


501 


Mit  Jen  Anhänf^em  Jiftwr  Schul«  wfir«  viel  zu  slroitpn, 
wären  siu  uicbt  tou  vurnherüiii  so  glBicbgflltig  und  kalt  fOr 
alle  theoretischen  Aiiseinander^^etKun^en. 

VoD  gewLwcin  Staiidpunltte  haben  sie  unbesta-cikbar  Hecht. 

en  wir  die  Moi^hchkeit  gehabt,  alle  ThaUachen  zu  kennen. 

rilre  dieä  iXi^A  ße-nttt,    und    diK  Wissen-schaft  solUst  wHre   «in 

[ganz  ÜbprAüKsii^eä  und  mQwigei  Ding.    Da  aber  nun  einmal  von 

dieser  Atlkenntnis«  keine  Rede   sein    kann,    so    halt  die    Logik 

I  und  der  gesunde  Sinn  e«  für  das  Uecte,    eine   tuügtichst   grosse 

Anzahl  ron  Thatsachen  zu  kennen,    wenigstens  in  einigen  Ge- 

Ifbieten.    Nun  aber  lehrt  uns  die  gesammte  Ueschichte  der  Wis- 

[Aensclmft,    diiss   ein   einziges  gut  festgestelltes  Gtt*etx  in  sich  so 

viele  TbiiUiBchon  enthält,    dase  es  auf  enlpi^itw^ll(•lu    We^e  ganz 

unmöglich  wäre,  alle  dioie  Thatsuichen  an  der  Hand  der  directen 

[Erfahrung    zu    prflfim ;    day:u    wäre    die   iiiten^iTute    Arbeit    bei 
längster  Lebensdauer  eiueä  Forschers  viel  zu  kura. 

Der  allgcineiu  erkannte  WertU  der  Gesetze  der  Wissen- 
schaft besteht  gerade  darin,  dass  ein  solcher  dber  den  Rahmen 
der  directen  ß4K)t)arhti)ng  hinaiiftreirhb,  und  das»  utle  neuen  Hü- 
obachttuigun,  n-i-rlche  dem  Entdecker  des  Gt-setze^  durch  directe 
Beobachtung  unbekannt  waren,  dasselbe  nur  beet&tigen  und 
.bekräftigen. 

Ans  derselben  Geschichte   entnehmen    wir   ferner   die   Er- 
fahrung, dau  seihst  dann,  wenn  nach  längerer  Kenntnis  eines 
gut    abgeleiteten    Qeset7.es    eine    Beobachtung    zum    Vorschein 
kommt,  welche  demselben  scheinbar  widerspricht,  auch  dies  nur 
einen  weiteren  Schritt    in    der  Wissenschaft    liedingt,    und  bald 
klar  wird,  dass  nicht  dos  Gesetr.  unrichtig  sich  erweist,  sondern 
[^dic  Formulining  de-wdlien   noch    nicht  gan/  streng    und    allge- 
j  mein  war,  so  dans  iui  Allgemeinen  nach  einer  solchen  wichtigen 
iKntdwkung  da^i  früher  constatirte  Gesetz   nicht   fallt,    nicht  xu 
I  Grunde  geht,   sondern  nur  eine  Variation    in    der   Kormuliruug 
erleidet,  re«ipec-tive  durch  Kritdc<i:kung  neuer,   allgemeinerer  Ge- 
l^etzp  in  hohem  Grade  an   Hedeutung  gewinnt. 

Darin  liegt  meiner  Ansicht  nach  der  Grundunterschied  in 
'den   Standpunkten    «inos   Mannes    der  Wiasenschnft   und    eines 

35* 


502         Sittung  dvr  mtUh.'phifa.  Cta$$t  twn  5.  ßtseviber  1896, 

Arbeiters   auf  empirischem  Gebiete.     Der  Letztere    6nd«i   V« 
Interesse    in    der    Kenntaisa   von    Gesetzen ,    welche    ihm    nicht J 
direct  zum  Wegweiser   in  seiner  Tfaätigkeit  dienen,   und   di«i»| 
hat  oft  mit  den  complicirteäteo  Combioatiouen  zu  rechnen.    FOrj 
ihn  sind  solche  enjpiri^cUe«  vielleicht  ganz  sufällige,  ReUtiooeni 
von  höchstem  Werthe,  welche  auch   in  der  Mehrheit  der  FiUfl 
in  den  Umständen,  in  welchen  er  arbeitet*  frich  ahi  richtig  er- 
weisen.    Für   ihn    hat   sehr   wenig  Werth    der    Umstand,    da 
unter   sehr   zahlreichen    Füllen,    welche    ror   ihm    vorbeigehen» ' 
eine  nnbedenteade  Anzahl  in  directem  und  p-ellem  Widenpncfas 
mit  seinen    empirischen    Schlüsjien   teilen.     Kr   nimrai   sie  ab 
einfache    Ausnahmefälle   an,    and   ist    von    Anfang   nn    kq    dtr 
Ueherzeugung  gelaugt,    da»  es  unmöglich  bei,  daas  keine  Am* 
uabnieialle  vorkämen. 

FOr  einen  Mann  der  Wissenschaft  ist  gerade  das  Ocgu- 
theil  der  Fall.  Kin  einziger  Ausnahmefiill  ist  i^enQgend,  ua 
seine  früheren  Schlfisse  zu  verlassen  und  aU  imrichtig  eu  e^■ 
klfiren.  NntQrlich  muss  der  Ansnahraefall  ganz  uch«r  vaA 
zweifellos  constatirt  sein. 

Ist  ein  Mal  ein  Ausnahmefall  von  einer  Seite  angekOodigt 
worden,  so  kauu  eine  Bulche  .\ngabe  nicht  direct  und  von  run- 
hereiu  nngenouimen  werden,  sondern  sie  unterliegt  einer  wXür 
seitigen  kritischen  Besprechung.  Es  kann  vorkommen,  dass  der 
Widerspruch  ein  scheinbarer  ist  und  von  der  Ungeoanigkcit  der 
neuen  BiH»bachtiiiig  herrührt,  oder  die  von  derselben  ge];eli«QPD 
Zahlen  vielleicht  sehr  nahe  an  der  Grence  der  BeohoLchtunff^ 
fehler  stehen,  oder  endlich  ist  es  möglich,  dass  das  früli«r  an- 
gekQudigte  Gesetz  richtig  ist,  aber  nur  ein  Gronzgesetx  t^d  d.  k. 
in  dem  Rahmen  der  hierzu  geh^Sreuden  Erscheinungen  nicht 
allein  gültig  ist,  sondern  zugleich  ein  auderes  res]»ectiTe  ander» 
Gesetze  in  densellwn  ihren  Theit  nehmen,  aber  die  Otlt^kfU] 
derselben  nur  ausserhalb  gewisser  C*reuzea  erktmobar  ist.  Nvnl 
ist  anch  der  Fall  möglich,  daas  das  Oeaeta  bei  der  frOhrren 
Formulirung  sich  wirklich  als  ein  ungfnau'»$  erweiitt,  qnd  xwv  j 
in    Folge   einer    UDgeuauen    Auffuasung    und    Defmitiun    einiger 


JSl  r  Pednrov:  OrunHfragtn  ittr  KryattdloffrapHie. 


503 


ihm  zu  Omnde  liegender  Bet^riffe;  mit  der  enUpreobenden  Ro- 
rtchti^uiig  erhält  das  Gesetz  seine  volle  Kraft. 

Ea  wftrc  Behr  leicht,  f)tr  alle  diese  Fälle  so  riele  Boiapielc 
Anzugehen,  wie  man  will,  aher  gerade  dessiregen  glaabe  ich 
keine  heihnngen  zu  mflssen. 

So  weit  sii^h  Qjeine  Erfahrung  enttreckt,  glaube  ich  einen 
Schritt  weiter  zu  gehen  und  auüsprechen  zu  k5nnen,  das«  viel- 
leicht kein  einzigt^s  Mal  in  der  Ge:ichichtti  der  Wit^aenschaft  ein 
Oesetz  von  altgemeinerer  Bedeutung  uls  ein  zurdlligi»  Rt>siiltat 
der  enipirbfcbeu  Beobocbttmg  hervortrat.  In  den  Qheruus  meuten 
Fällen  entstund  es  im  Kopfe  seines  £nt<]eckers  aU  Resultat 
seiner  speeulativeu  ThStigkcit,  und  nachdem  es  als  ein  fester 
^blusfi  abgeleitet  war,  wandte  sich  der  Entdecker  selbst  oder 
ein  anderer  Gelehrter  der  experioientellen  Prüfung  der  dedactiren 
Folgerung  zu.  Beachte  man  nur,  daas  bei  der  experinneutelleu 
Prßfung  so  viele  nebensächliche  umstünde  vorkonmien,  welche 
seihst  da«  heAto  und  geuauc^to  uller  Geselze  maskirt  htltten, 
dans  e»  wirklich  nur  dann  mOglich  erscheint,  da.4selbe  an  der 
Hand  der  Krfiihrung  unbestreitbar  fettt/ustellen,  wenn  der  For- 
scher, Ton  deni  Liclite  der  deductiven  Theorie  als  einem  be- 
währten VVt»{weider  gefnbrt,  allen  dietten  ätöreodeu  Umstünden 
Rechnung  trägt  und  dieselben  in  dem  Gange  seiner  Uoterauchung 
Qberwiudet  und  znr  Seite  stellt. 

Oieoe  Behauptung  zu  verthcidi^en  wäre  eine  -«^pecietln  Anf- 
i,       gäbe  in  der  (Jeschichtc  dt-r  WisseiiMrliaft.     Ich  gehe  jetzt  nicht 
^M  80  weit;  aber  ich  kann  nicht  umhin,   gegen  den  Qbertriebenen 
H  Werth  der  empirischen  Thataachen  ein  Wort  zu  schreiben. 
^^  Ka  giebt  Thatsachen  iiud  Thatsachoo. 

^^^  Eh  int  eine  unhestritlen  feststehende  empirisebe  Tbatsachef 
^^^  dia  Sonne  sich  um  die  Erde  dreht.  Diese  That'tache  wurdo 
in  allen  Zeiten  und  von  allen  Menschen  wahrgenommen.  Ist 
efl  aber  eine  Wahrheit?  Oder  nieht  gerade  diis  Gegentheil, 
d.h.  dass  die  Erde  sich  um  die  Sonne  dreht?  Ebenso  unbe- 
stritten feilt  strht  die  empirische  That»uche,  dura  ein  grosser 
und  inäohtiger  Staat  da«  Recht  hat,   Ober  einen    kleinen   und 


504         Sitsung  der  mitth.'jthy».  Cittue  wm  5.  Detemhtr  JS$9. 

schwachen   Staab   ku    domiDirenV      Ob    aber   nicUt    wieder 
Wahrheit  gerade  das  Gegentbeil  wäre? 

Um  aber  auf  da«  Gebi«t  der  Kristallographie  zu  kommen,  J 
betrachten   wir  einige  ßeispidlc  aus  diefieni : 

Steht  nicht  fust  jede  ein/.eln  ^enummcne  Beobocbtang,  eine 
jede  MessuDg,  in  directem  Widenaprucli  mit  dum,  was  gewohn- 
lich   alä    Grundgeäetz    der    Kry^taltographie    bezeichnet    vrirdf] 
Stellen  wir  die  Keihen  der  Messungen  zweier  BeobachlCT  eioerj 
und  denielben  krystalliniäcben   Subitanz   zanammcn,    ßnden  wir! 
dann  nicht,  dass  die  directen  Beobacl)tuiigEr/.ableD  für  venchie- 
dene  Flüchen  verschiedenartig  aiueliiandergeben,   waa  ganz  un- 
möglich wäre,   wenn  das  Gesetz   in   allen  Fällen    und    fOr   all» 
Flächen  seine  volle  Gitligkeit  besässe?    Noch  merkwürdiger  ist 
es  aber,  dass  gerade  die  Empiriker  es  trotz  dieses  Widerspruche» 
als  eine  unbestreitbare  Tbat^ache  erkennen,  und  sich  Ton  ecilcheui 
Schlössen    reep.    Gesetzen    abkehren,     welche    keine    derartigen I 
experimentellen  Widerspruche  xeigen  reap.  sogar  ihrem  Wrvco 
nach  keine  solche  Widerapröche  zu  zeigen  im  Stande  aind»  wicj 
z.  B.  duä  Gesetz  der  Symmetrie  (32  Svoimetriearten),  da«  G«eti| 
der  krystallinifichen    Homogenität,    in    welchem   der    Verf.   J« 
wirkliche  Wesen,    das   echte  Grundgeäetz   der  Kryätallograpbie 
erkennt  (es  ist  zugleich  da.^  Gesetz  der  parallelen  Lagerung  der 
Krystalltheilcben)  und  manche  andere. 

Auch  in  BetrefT  der  sogenannten  optisch -anomalen  Krystallp 
ist  es    nicht   die   am    besten    constatirte   (rmpirischG  Thaiancbe, 
das»    Terschiedene    Theile    demelben ,    eclbst    solcher    KrystaDa, 
welche  in  Hinsicht  ihrer  äusseren  Formen  der  kubischen  Sy»-  j 
gonie  angphnren ,    sich  aU  doppet brechend   oder  Mgar  aweiang  I 
erweisen.     Manchmal  gelingt  es  luu  beaten  xu  <!       '  ' 
Terschiedene    Theilchen    eines     und     demelben    1' 
mAcbte  sogen  einet  und  desselben  Indinduums)  sich  in  o|>iiMob«rJ 
Hinsicht  aUt  lea  verschiedeneu  Syngonieartcn    gehürig   erwetsonJ 
wiu  dieä  z.  B.  in  neueater  Zeit  von  Hrn.  C.  Klein    ganz    kl 
dargelegt  worden  ist.    Ob  aber  die  Wahrheit  ist,  daKS  wirkticb] 
venchiedene  Theilchen  einer   und   d«r«(dl>«Q  SnbvUni    xa 
terachiedenen  MineraUrten  gehnren? 


JB.  V.  FetiortHc:  Grundfragtn  d«r  Kr^tfMo^apkit. 


&05 


iieiwitfi  sehe  ich  nicht  den  geringsten  Grund  /u  zweiftrlu, 
Wahrheit  nicht  in  dem  empirischen  Standpunkte  h'e^ 
nod  dass  die  einzige,  mflglicherweifle  wahre  Anschannng  in  deoi 
hoch  theoretischen  Standpunkte  vnn  Hrn.  Klein  liegen  kann; 
Bf>Iclie  Tbatsachet)  (wwei^wn  ant*s  Klarste,  dn^s  die  rohen  opti- 
I  fichen  Beobachtungen  Doch  nicht  genfigeud  sind,  um  von  vorn- 
herein  die  Syagonieart  der  KryaUlIsiibhianz  £u  coustaiiren,  nnd 
?ielmohr  andere  UrnsUinde  wie  Druck ,  iaomorphe  Bei- 
chungen  auch  ihren  EiDÖu<ts  üht'n.') 

Sind  noch  andere  BciRpiele  dazn  notbig,  zn  leigen,  dasa 
nicht  der  empirische  Standpunkt  der  nia.s»gebende  fDr  die  WiäHen- 
eohaft  «ein  nia-«,  daas  gerade  diirin  der  Unterwhied  iwiiichen 
den  Arbeitern  in  der  Wissenschaft  nnd  denen  anf  empirischem 
Gebiete  besteht,  dass  fDr  die  letztere»  die  einzelnen  empimoben 
TliAbtachen  der  letzte  Zweck,  für  die  ersten  aber  sie  nur  in- 
sofern  von  Interesse  sind,  aU  sie  zur  Erkenntnis»  der  Gesetze 
dienlich  sind? 

Sind  noch  solche  Beispiele  ans  dem  Oebiete  der  Krystallo- 

I  graphie  tind  Mineralogie   herbeizuziehen,   so   nehme    ich    zuerst 

als    ein    solches  da.s    des  Lpucits.     War  es   nicht  eine  der  best 

!  conf^tatirten  empiriAchen  Thatsachen,  dass  derselbe  der  kubischen 

I  8yngonie  angehört;  und  doch  haben  die  Arbeiten  eines  G.  vom 

lath  und  einer  Keihe  anderer  hfrTorragender  Spfci allsten  diese 

Keinbar  fe-itgestellU'  ThaUache  umgeworfen  und  sogar  ftlr  die 

reinen  Kmpiriker  klar  gemacht,  dass  derselbe  nicht  kubisch  ist. 

Dieses  Beispiel  ist  dem  der  l'mdrehung  der  Sonne  in  dem 
ISinne  analog,  daxs  trotz  der  allgemein  erkannten  Wahrheit  der 


')  SchiiQ  lAngH  hube  ich  Beknnntacliufl  mit  einer  Reibe  ton  Dflnn- 
[•rfa1}fl(*n  do»  nnomiüen  (irnnKtJi  ati-i  t\rn  Tntjintk'iicheti  OmVim  (fiftn»fht, 
[  wrti*i)«  ntii-h  lu  nRlu>reo  fM-blOMtm  ahi>r  ilie  Umiu'hen  <\nt  AuamttUf  ge< 
jt  '  11,   diti 

:  b'n.Miile 

reruh   tob  au«  der  letxt«>n  Arbeil-  von  Hni.  C.  Kinn.  Hum  ilrraclbo  Auf 
[ünind   der  Beobachtungen    m    nmnohmi   HchlOotm    ifrkommtm    ut,    xn 
velcfaen  ;m«h  meine  novh  nicht  i*n'>ffi»ntlirl»t.>n  bmhK^^htuug««  gnfllhrt 
f  hatten.    Meine  HrohftchlniiffnncÜi'.KJo  wiu-  uticr  »ina  gMoi  andere. 


500 


Sitsung  rfer  mn<fi.-jAy«.  Ciiu»c  vom  5.  Drtfmhrr  IS^S. 


Leucit  iii  gew5briHchem  Verkehr  doch  als  eine«  der  bellen  Het'' 
apiole  einer  achüu  aiiskrystaUisirtfiii  kubigchen  StibstaDz  ^ultea 
kann,  fQr  welche  die  einfache  Form  (211)^  sehr  charakte- 
ristisch ist. 

Etwas  Analoges  gilt  auch  für  den  Perowskit.  Änf  Onmd 
seiner  genauesten  (wenn  auch  einseitiger)  Messungen,  hat  Hr. 
V.  Kokpcharow  die  The«;  anfgestcllt : *) 

,Üie    Gesaiiiintheit    aller    krystallagraphischen    Dntersach- 
ungen    Ifisst    keinen    anderen   Schluss   zu ,    als    den,    da»   der 
Perowskit  in  keinem  anderen  Systeme   krystallisireu   kattb,  als  i 
ira  regulären'   (also  kuhischen). 

Doch  erwies  sich  aU  eine  Wahrheit  —  and  diese  Wahr- 
heit Qiusdte  Derselbe  bald  anerkennen  — ^  daas  der  Perowskit 
nicht  kubisch  ist. 

In  den  beiden  letzten  Beispielen  war  die  Widerlegung  der 
rohen  Thatsachen  mit  dem  Entstehen  neuerer  Begriffe  und 
neuerer  Gesetze  verbunden,  ond  zwar  mit  dem  Begriff  dtt 
peeudosynimetriscben  Krystalls  und  dem  Gesetz  der  P«evdo- 
Symmetrie  und  Mimesie. 

Ist  es  nicht  eine  merkwürdige  Thatsache,  datt  die  beatoi 
Arbeiten  von  Chr.  Hesael  über  ein  hallies  Jahrhundert  fwt 
von  keiner  Seite  beachtet  wurden,  und  doch  8t«?ht  diu  Wahr- 
heit fest,  dass  die  von  demselben  angekündigte  ConcepLion  tudi 
seine  theoretisch  deductiven  Folgerungen  die  allein  richtägvoj 
waren.  Der  kuruceitige  Kuhm  wurde  anderen  Gelehrten  u 
Theil,  die  Wahrheit,  welche  nbtir  xehr  spät  begriffen  Dod  an- 
erkannt wurde ,  bleibt  mit  dem  Namen  dieses  bedcQtead«a 
Mannes  der  Wissenschaft  sowie  mit  dem  Namen  von  A.  Oadoltnj 
verbunden,  welcher  zum  zweiten  Male  dieselbe  Wahrheit 
und   verkOndete. 

Ut   der   vom    Verfasser   betretene   Weg    der    richtige,  <n^ 
muss  man    sich    in  der  wi^ifcn seh aflti eben  Tbütigkeit   \n    enkee 
Linie    bestreben ,    möglichst    allgemeine    ßegrilTo    attasn*rbeitcB 


(mss.) 


^)  Verband] uniren  k.  Mineral,  fle«.  nt  Pf^onburg,  1874,  B.  9.  S. : 


R  V.  /Vtfafw:  Onmdfhtfen  dtr  Kryataltogr^fhie. 


507 


imd  mSgtichsi  wcül&afige  dednctire  Folgemrigen  za  ziebua  und 
dieselbea  an  der  Hand  der  Erfnhning  zu  prüfen. 

8teb«fi  «rrr  einmal  nnf  dem  rein  mnpirwhen  Standpnnkt«, 
sind  »olclie  Dinge,  wie  eine  rationelle  Noinenclatar,  allge- 
^Tinbole  and  Kezeichnnngen  fast  OberAOmge  Ding«. 
Sdc  «mpiritche  Bfi^hrffibmiie  kann  ebenaogoi  miltotsi  BeBeicb- 
irani^n  eines  Hanj.  eines  L^vj  oder  einet  Kannjann  ao»- 
geAlhrt  werden.  Von  \Vider>pr{lch*<n  mit  di-n  (teaaten  kann 
d«aj)  nidll  di«  Red«  sein,  wenn  man  dem  Wesen  Dach  deo* 
aribn  imr  aejir  venig  Wertb  beilegt  nod  aaf  den  enten  PUtt 
rohe  Beofaftcbtnng  «teilt 

Stellt  mea  sich  eher  auf  dnea  aiid«!«)  SUodpirokt,  uad 
Ewmr  mai  deHJesiges«  fbr  welchen  die  AmuikMtutf  4er  eUgfr- 
maiiMo  «od  genmoto  BrgnSe  nnd  GeMtee  Ae  «khtt^it»  kt^ 
gäbe  der  Wwenaehaft  K  so  verbilt  sieb  die  Saehe  pmt 
uHleif.  Jede  Beeteeht«ng  mam  tu  Besehoog  n  filitiitiiidtiM 
oder  oodi  sieht  dcfiaitir  aii<iy<«IHi,ii  PMetsen  gebnefat  weidea; 
fon  ihr  awgcheod  i«t  es  oothwendig.  ze  pHJfeo,  «t»  nicht  «iae 
deiMfainng  la  nimreii  aÜgMoeinen  BegriSsn  Dalb«eadfig  «in^ 
wtKK  MS  BBt  aeai  ^nvteai  voecrer  9dwBHMgvraB|^EB  eieH  la 
Widcieprach  gierafth«L  Keaa  die  beol^ehteCe  Tbeftneehe  dan 
dkft*  heitiafiu,  m  vt  derwfbea  bot  en  ratatiT  geriaffir  Wevth 
hUiiiuwewn  Om  aber  voa  einer  Thatecbt  afihiai,  m  aB- 
^iiaieia<B  Piiatipieu  tlMiiagnWiu.  mwm  dimrlb*  ta  atlgn— iasi 
oad  »inheitMKr  Bexcirhming  ena|;adrflekt  «»dea. 

Wa»  vif«  Me  dn  die  Wmmmmkäk  ^htmkwwmmmkm 
nm  gvariavrtiMMa 


Haay 


dbw«  d«reh  die  rohea  ZaUea  der  I 
aroMr     Xetdtnea 
^  8ted  ewmr  Wi 


ZfÜ     !«■ 


t* 


KrTiuU»- 


608        Sittung  der  wafA.-fAy«.  CHaue  vom  a.  Thxtmhrr  tfiBG. 

Vielen  fast  gleichgÜlHg,  als  ob  dies  eine  Thatäache  dea  Be^ 
liebens  wäre. 

Wäre  dM  Oesete  der  Rationalität  allein  in  Betracht  zu 
ziehen,  so  würde  die.<;er  Standpurilrk  fast  der  ricbtige  sein.  Aber 
es  f^ebt  Symbole,  welche  keineswegs  diesem  Gesetze  aliein 
Rechnung  tragen. 

Wir  wissen  aehr  gut,  dasa  ea  roUkommen  möglich  ist, 
durch  genan  dieselben  Symbole  die  analogen  Flächeu  re«p. 
Kanten  sammtlirher  Krystalle  ausr.udrflcken,  welcher  Syngonie- 
resp.  Symmetrieort  dieselben  angehören  mCgen.  Es  giebt  abo 
etwas,  was  säniiutliche  Krystalle  aU  Kinheitlichee  rorbindeL 
Dieses  Verbandgesetz  mnss  ein  mathemaiischeii  Qesetz  sein,  da 
wir  es  hier  mit  rein  niathemntisohen  Verhättniseen  zu  thuo 
haben.  Was  ist  da^  für  ein  Ge<ietr.?  Von  wem  wurde  es  ent- 
deckt resp.  formuUrt? 

Das  Gesetz  ist  das  der  Projectivitiit  sämmtlioher  Kryatall- 
Hächencomplexe.  Dass  dies  wirklich  ein  allgemeines  and  dabd 
ein  niathcinatisches  Gesetz  ist,  beweist  unwiderleglich  die  That- 
Sache,  das^  z.  B.  auf  demselben  fuseend,  der  VerrnsHer  ein  Denen 
System  der  krystallographischen  Berechnungen  zu  Stande  bringen 
konnte,  und  diejenigen,  welche  demselben  eine  Beaebiiitig  ge- 
schenkt haben,  wissen  sehr  gut,  in  wie  ansehnlichem  Verhftltnifli 
sich  dadurch  die  Berechnungen  vereinfachen  lieascu. 

Somit  haben  wir  darin  alle  Merkmale  eines  realen  nnd 
dabei  sehr  wichtigen  Dinge«.  Dass  dieses  Gesetz  schon  llxigvl 
den  hervorragenden  Specialisten  bekannt  und  »titluchwcigrad 
aacrkaniit  wurde,  unterliegt  für  mich  keinem  Zweifrl.  AleiDer 
Ansicht  noch  wurde  diese«  Gesetst  ganz  klar  von  Miller,  vob 
Qu.  Sella,  von  V.  v.  Lang  begriffen  und  benatzt,  wirnn  ich 
auch  leider  bei  diesen  bedeutenden  Männern  keine  ausdracklicb« 
Kormulirung  desselben  finde.  Ich  gUube  dasselbe  schon  in  dem 
jetzt  gut  bekannten  Werke  von  Ht;s9el  klar  ausgedruckt  ge* 
fanden  zu  haben,  und  zwar  in  dem  von  dt^mselben  so  c- — r-'i.in 
Gerengeseise  (die  Benennung  »elbsl  ist  mir  jedoch  di  •.), 

Der  Verfasser  bedieule  sich  dieses  0«seU(»a  ahi  eine«  der 
wichtigsten    Wegweiser   von    dem   Beginn  niner  setbaiftadigaa 


/.*.  r,  Fetlormt:  Grumlfragcn  dtr  KryM^iIiogrupkü.  oOO 

Arbeiten  in  dem  Gebiete  der  Kryi>taUo|{raphie  an,  ifid«ni  in  dtn 
«Klomenten  der  QoitAlteDlehre'  gunr.  eiagehend  (mit  l^nntmng 
der  Methoden  der  syathetUcheH  Geometrie)  die  projectiren  Ver- 
Itultnisiie  säramtlicher  Kry^tallBüchencomplexe  studirt  wnrdeii. 
In  den  .Analjtisch-krystaÜojfraphischen  Stadien*  wurde  diean 
Gesetz  von  Anfun^  aii  uU  firiiiidlujL^e  an^i^nommen  und  d*hti 
die  rein  analytincbe  Methode  Angewandt.  Die  I.  und  III.  Studio 
«ind  gauzlich  der  Entwicklung  dieses  (je^etzes  gewidmet;  die 
IV.  Studie  ist  nicht«  weiter  als  die  j)rukti8che  Anwendung  dieses 
G^esetzes  auf  kry^-tnltographische  Berechnangen. 

FOr  einen  reinen  Empiriker  int  die  ExüteuK  dieses,  ehen»o 
wie  mancher  anderer  (die  Logik  hätte  die  üebertragung  der- 
selben auf  alle  Gesetze  überhaupt  gefordert)  Gesetze  ganz  gleich- 
gültig. Die  Existenz  desselben  fDgi  nicht  die  kleinste  Tbat- 
tiache  zu  dem  aasserordenilichen  Schal/*  derselbt-n  hinun.  Wer 
nher  die  Thataachen  «elbat  nur  als  ein  Material  fflr  wissen- 
sehaft-liche  Zwecke  ansieht,  fOr  den  ist  die*i  gar  nicht  so  gleich- 
gOltig. 

Damit  ein  Geectz  leichter  ersichtlich  wird,  mflssen  die 
Thatsaehen  so  angeordnet  und  ausgedruckt  werden,  daas  das- 
selbe nicht  durch  die  Bezeichnung  selbst  verdunkelt  oder  sogar 
Tordeckt  wird. 

Nun  unterliegt  et  keinem  Zweifel,  daas  eine  Reihe  Ton 
Gesetzen  existirt,  welche  dorch  analoge  und  einheitliche  Be- 
teirhuungen  in  den  Krrstallen  aller  oder  nur  einiuttr  Hyngonie- 
arten  ihren  Aufdruck  linden.  Hierr.n  gehört  auch  das  Getet« 
der  RationalitiU  der  i'arumeter,  daji  GeHetv.  der  Symmetrie  (in- 
sofern die  analogen  Symnietrieel erneute  durch  analoge  Combina- 
tir»nen  der  Symbole  aiwßfdrtlckt  werden).  Hieran  mütmen  auch 
dirlieaetze^ZwilUiigäbildung,  der  Spntlbarküit,  der  Utrtfu.ii.  w. 
gehören,  ho  bald  einmal  diene  Oenetz«  wirklich  und  streng  auf 
einheitlicher  Grundtage  deÖnirt  wcrdm.  Aus  drr  H^-ihc  hierzu 
geli9rendi;r  Gcüetze  erlaube  ich  mir  eiu  auh  der  1*henrie  der 
KrjxtalUtnicliir  ahgelrtteti!«  und  durrh  rin»  Hmhn  directvr  Be- 
obachtungen schon  im  Jahre  I884)  feMtgast«llt«s  Gesetz  dee 
WachaihuaiH  der  Krf«talle  bervorcuhvben. 


GIO         SiUung  der  maih.'phy».  CImm  mm  A.  Detrmhtr  S89*J. 


Dasselbe  lautet:*) 

Die  WaclisthumsricUtungen  der  Krystalle  sind  durrli  die- 
selben Symbole  bestimmt,  wie  (Ite  Flächen  der  fQr  die  Stmctnr 
charakteristiscfaen  Parftlteloeder. 

KatUrlicb  sind  bei  der  Formulirunf^  dieaes  Gesetzes  nie 
beliebige  Systeme  der  äymlwle  anwendbar,  sundern  nar  dt| 
allein  zulä^igen  allgemeinen  sog,  Müler'sclien  Symbole.  Nti 
habe  ich  schon  mehrere  Male  die  Frage  aufgestellt,  ob  die 
für  die  Feststellung  der  Structur  eines  Kry-stalU  gmü'" 
Gesetz  anders  als  mittelst  eines  eiuzigeu  einheitlichen  _.;: 
vun  Symbolen  ausgedrückt  werden  kann?  Dasselbe  wird  anch 
für  alle  angedeufcetea  Gesetze  gelten,  m>  bald  einmal  dieselben 
eine   allgemeinere   und    genauere  Formulirung   erhalten    babcn.j 

Diejenigen,  welche  den  Satz,  daas  die  MiUer'&cheo  Syn 
hole  die  allein  zulässigen  eind,  bekümpfUnf  haben  aber  die 
Anfrage  unbeantwortet  gelaa^en,  äie  wollen  den  Beweii  er- 
bringen, das»  üie  ausser  denjenigen  Sym))olen,  welche  im  Vvr* 
kehr  sind  resp.  waren,  noch  andere  aufstellen  können,  ohne  mit 
dem  Grundgesetze  der  geouietriächeu  Krystallographie  in  WiUvr- 
apruch  zu  gelangen.  Das  ist  ja  aber  ohne  spec-iellen  B«i 
klar.  Die  Frage  kann  nur  darin  bestehen,  ob  ein  auderM  «104 
heitlich««  System  der  Symbole  möglich  ist,  welches  nie 
nnr  dem  Gesetze  des  rationalen  Parameter  Becbnung  tcäi 
sondern  Oberhaupt  mit  dem  jetwgeu,  jedenfalls  bim- '  '  '  ■  t 
Staude  unserer  fundamentalkry»lallogra[)hiächcn  K< 
Einklang  steht.  Die  unbedingte  Forderung  ist  aber  die  Einheit- 
lichkeit, und  girade  die^e  wird  von  Manchen  veruachla«ii( 
Kä  scheint,  dats»  bis  jetzt  nur  im  Yaterlnnde  von  <Ju.  Sttlli 
diese  Forderung  zu  allgemeinerem  HewuastAein  gekomiuen  tat.* 


.Sitituijnbfncht'-D  '! 
i   lormuiirt.     Ji.  aii- 


0  Zu-  t 

burg  im  J 
XXI.  S.  b6i, 

^  Aui^b   in  der  ulletk'txUiu   Zeit   lebo   loh  *'.   ■"., 
honromMTnidmi  ^»olchrt^n  tlloani  IaihImi.  11.  C  Viola,  Ji 
^mmr  mnnor  ArmcIiI.  (VrI. Zeitorhrifl  f.  Kry^UlloKMipWe,  X\ VI,  c^  li:* ff.1 " 


X,  V,  /VdonMC:  GrwiHfragtn  der  Kryttaßogrüjihie. 


511 


Eh  äcd  mir  erlaubt^  noch  ein  paar  Worte  dem  Gesutce  der 
Sp&ltbarkeit  zu  widmen.  Wenn  das  Ciesetz  »elb.->t  mmU  noch 
bei  ff^tem  ntcbt  so  klar  and  Rll^enietD  furmulirt  worden  ist, 
so  wird    CS   doch    schon   langst   dahin    :  ichen,    dans   die 

Spaltebonen    miltoist  Symbolen    mit  cii... u   indices  aikige- 

drOckt  werden  können.  Diese  Formulirung  »teht  aach  mit  den 
deductiven  Folgeningen  der  Theorie  der  KryiftaUdtructur  im 
Einklunge. 

Das  Gesetz  selbst  hat  aiigenscbcinlich  die  Bedeotung,  dass, 
wenn  die  Krydtalltlächencomplexc  richtig  aufgestellt  wQrden, 
die  Spaltebenen  einen  analogen  Ausdruck  für  yerschiedene  Syn- 
gonieurten  gefunden  hiltten.  Und  was  wäre  dann  atw  einttni 
aUgemeiuen  Gesetze  geworden,  wenn  man  fOr  vorscliiedene 
Srngoniearten  verschiedene  Principien  zur  Anwendung  gebracht 

bitte  y 

Dnaeelbe  gilt,  wie  crwUhnt,  für  eine  Reibe  anderer  Geoetze. 

Weiter  Ober  die  Aiifälellung  der  Kry stall flächencumplexe. 
Wie  Tiele  Ge«etxmä3Kigkeit«u  sind  dadurcii  verlort^u  ii^egan^en, 
dam  man  diese  Äufatellung  mehr  iider  weniger  als  eine  Sache 
des  Beliebens  andiefat  Ich  wiederhole  mx^b  einmal,  daita  dieser 
Standpnokfc  sehr  nntllrlich  ist  fllr  einen  ßnipirikcr;  aber  iitt  es 
nicht  klar,  dase  wir  gerade  demselben  das  Verborgen  bleiben 
vieler  schätzbarer  Resultate  verdanken? 

Die  Theorie  der  Kry»talLstructnr  giebt  una  ein  festes  Princiji 
Br  Aufstellung  der  KryatAUflächencomplexe.  Für  einen  Theo- 
ker  dient  schon  dic»er  Umstand  dazu,  dieser  Theorie  sein 
besondere»  Äageomerk  zuzuwenden.  FQr  Empiriker  und  diea 
fflfittig«  Fragen. 

Jedem  Specialut^n  dt*r  Krystullographie  ist  gut  liekannt« 
dn«a  die  Complexe  der  Flüchen  mid  der  Kanten  in  nebr  engem 
ZuMunnenhange  stehen,  einander  zugeordnet  sind.  Das  gegen- 
seitige Verhältniaa  ist  das  des  Dualismus  d.  h.  eine  der  ein- 
fiMrhjlen  Arten  der  Frojrctivitlt. 

Bei  verschiedenen  AufHbelluogen  der 
Ordnung  eine  venH'biedemr.    Von  dem  PHncjpü  v 
L nicht  gleicbgClltig  ist,   w«]che  Art  der  Ciirra 


512         SiUun^  der  muth-iiht/s.  Claau  vom  .">.  Dtttmbtr  t89C. 

deuseltrao  anzuuelmicn  sei,  kominou  wir  wiederum  zu  dem" 
8chlDsse,  daas  nur  eine  Aufstellunj^^nrt  die  richtige  sein  k«na. 
Diese  mit  gauz  strenger  Begründung  aiifzuHnden,  ist  eine  der 
wiclitigsleu  und  iulereäsaut«»ten  Aufgaben  der  Hrvsttillographic. 
Kur  dann  künnen  wir  erwarten,  dass  die  wirklich  exbfti runden 
Verbältnisse  zwisclien  vei-sctiiedenen  kr^rätalliuischon  SabdUnxen 
zum  Ausdruck  kommen  und  die  vorbandenen  GedeUmäwigkeiUn 
nicht  verloren  gehen. 

^un  sind  aber  von  allen  bisher  tm  Verkehr  stehenden 
Systemen  von  Symbolen  die  Miller*9cben  die  einzigen,  wokfaa 
allen  Anforderungen  der  jetzigen  Krystallographie  genfigiea. 
FOr  rierglicdrige  Kymbule  erscheint  ee  sogar  nnmögtich,  ein« 
Correlation  zwischen  Fläohen  -  und  Kuoiencoinplexe  eindeutig 
aufzustellen. 

Ich  glaube  hier  nicht  nöthig  zu  haben,  ntidere  bntoiHier« 
und  meiiu-r  Ansicht  nach  ganx  unersetzbare  Vnrtbeile  der  Miller** 
sehen  Symbole  zu  hespreclien.  Glüeklicherweiie  ist  diei  cohon 
aus  dem  Grunde  uimöthig,  dasa  %ur  Zeit  diese  Symbole  nicht 
nur  sirh  der  vorherrschenden  Verbreitung  erfreuen ,  sondeni 
immer  mehr  und  mehr  alle  anderen  beseitigen. 

Unbegreißicherweise  bleibt  aber  ejo  Äusnuhrnuiiill  —  der 
der  hexagonalen  Syngnnio  — ,  ffir  welchen  selbiit  keilifr  ^IflBdww 
zum  Vorschein  kommt,  flir  diese  .Symbole  die  bemelMldi  Siii^ 
zu  erobern.  Dadurch  wird  aber  die  Einhoitlichkeit  des  gegen- 
wärtigen krybtallographischen  Systema  auf  ein  Mal  durchbrochen 
und  tritt  auTs  klarste  der  vorherrschende  empiriscbfr  Standpunkt 
zu  Tilge. 

Welcher  wichtige  Unutand  bedingt,  daa  mau  fQr  du« 
einzige    Sjmgonie    die    schon    fast    eingetretene    Ki  '    likeit 

bricht  und  sozusagen  zwei  venjchiedene  Krystallogru, :.  -Atrix 

einander  stellt?*) 


^)  JodenIhUi  liegen  dabei  keine  pttdogogieehM  (leticliUpuakie  tar; 
ilio  letzteren  fordern  gerade  da«  Kiittteg»>iii;e«ctzt<.  £■  veratulit  ntik  rwn 
•rllttft,  iIoM  e«  dou  Aiif&Dgem  iwoinml  90  leicht  ixt,  eine  KT;«tiiiIo|crkfthH 
XU  ttudirAO.  al»  xattluich  zwei  venrhit^drtiL'.  Dioif  l'tuüt'and  war  tteea»- 
Htm  fQr  mich  guvi  ^ugcnachrinUch ,   ilo   er>  mir  vngifiUI^u   i^t,   euiMi 


E.  V.  Ffihrmr:  Orundfragen  der  ICryttallo^apSie. 


r,n 


Ich  inufn  gestehen,  dans  ftlr  mich  iiersGnlich  diea  \m\uvi 
als  ein  Käthsel  erschien,  und  ich  snchte  vergebene  nach  einer 
gendgendot)  Erklärung  dieser  Anonuilie  (uder  vielleicht  Ana- 
chrnnisni(is). 

Der  einzige  Grnnd,  den  man  von  verschiedener  Seite  rcr- 
nimmt,  ist  gAnz  belanglos.  Man  sagt  nämlich,  dtias  die  Mitler*- 
»cben  Symbole  für  mHiichu  Symmetrieart* n  dieser  Syngonie  für 
eine  einxi^re  einlache  Figur  rerschioJen  ztiMUtumt^ngeHoLxt  wUrden. 
Wovon  kommt  aber  die  Forderung,  da:«  die  Symbole  für  ver- 
schiedene Flächen  nicht  verschieden  zusammengeseiKt  sein 
DDtlseeD?  Ob  die  Symbole  für  andere  Syngnniearten  gleich  Kn- 
aammengesetzt  aiud?  K<^  iütt  einleuchtend,  dass  gleich  zu&ammcn- 
gesetzt  nur  die  analogen  Flächen  (verschiedener  Syngoniearteo) 
»ein  kfmnen,  und  gerade  die^e  gleiche  ZtiMiniiuensetzung  gicbt 
nns  die  Möglichkeit,  hei  sehr  verschiedenen  SyugonieverhältnisM>a 
anf  die  Analogie  in  der  Icryätaltographischen  Bedeutung  ditL-^e 
Flächen  xu  Bcb  Hessen. 

Ij»t  die  Syrametriegröf*sc  eines  KryätalLt  gleich  ^,  so  ist  im 
Ailguiiieirten  eine  einfache  Figur  von  S  Flüchen  bt'grenzt,  und 
jeder  Fläche  derselben,  einsein  genomnieD,  entspricht  eine  be* 
sondere  Zusamniensetzung  des  Syml)oU. 

Nun  wendet  man  ein,  dass  in  den  anderen  Syngonioarton 
der  Unterschied  in  der  Zusammensetzung  einzelner  Symbole  nur 
in  dem  algebraischen  Vorzeichen  und  in  der  Anordnung  der 
Zahlen  besteht;  din  Zuhlun  sellxt  bleiben  aber  dieselben.  Ganx 
richtig.  Wer  hat  aber  bewieäen,  dass  dieser  unterschied  in  der 
Zosammenselzung  wichtiger  und  tiefgreifender  ist  als  der  in  der 
Aenderung  der  Anordnung  der  Zahlen  oder  in  der  Aondcning 
der  Vürzeiclieu. 

Vom  algebraischen  Standpunkte  ans  sind  inne  pD^titive  und 
eine  negative  Zahl  mit  demselben  absoluten  i  SVerth«* 

•benao  verecbiedcne  Zahlen,  wie  ir^' 
B«  etaer  Aenderong  der  Anorduuii;. 

Cunus  iJer  Ki     '   " 
will*.-  (Iar<ii< 
1!ch«n  Ditif^, 


314 


«Mi  «.  Ikig^ur  OM. 


Uatandiied  noeli  jchirfer  in  di«  AagBB;  wann  wir  2.  B.  du 
9jabofe  (a6r)  and  (6«a)  reigUicbeü,  m  finden  wir,  da«  «o 
der  Stelle  der  Zahl  a  jeU  6  otebt,  UMtett  fr  steht  e  und  ■&- 
«tatt  c  steht  a;  «ünintlich«  lodioes  des  S/mbok  and  »2m  WMssi- 
lieh  mdere  geirorden,  Dicbt  weniger  vecichiedea,  nk  wena  statt 
(«ic)  d«  Sjmbol  (d«/)  aUnde,  d.  h.  in  böden  FiUaa  mmi 
die  enetienden  Zahlen  durch  keine  GceetiiaiKigkeit  mit  der 
enelateo  Zahl  sdbel  Terbtnideii. 

Ich  erwaiie  aoeh  d«a  Eiawand,  das  bei  der  A4 
des  Vonekhens  rcsp.  der  Anordanng  der  Indiccsahka  die 
nnfli«riiehea  Werlhe  zvar  Tenchieden  «ad,  aber  die  Zahl 
nnterrinandm'  in  einfachi*m  ntnneriKhea  Yerhältniaae  steh« 
Iit  dies  aberaacfa  nioht  Ab-  die  Miner'acbca  SjEubule  der  Fallt 
Wenn  rielleieht  das  Verbdltaiss  nkbt  ao  inmitttelbar  hasdipvif- 
licb  iei,  denn  für  solche  kommt  ein  Kall  vor.  dass  da»  Hjnibol 
iaht)  darch  (— d  +  2fr  +  2e,  2a  — fr  +  2c,  2a+2&-c) 
enetzt  werden  mos,  so  iai  gans  wnlwirhtmid,  das  aelfait  fBr 
Aeeea  Fall  der  Untetaehied  ia  dem  Oesetve  der  ZnMmmca- 
aeteoag  tod  i^aox  absusehcBder  Tragweite  ist.  Uod  aua  hat 
e»  den  Amchein.  als  ob  wegen  einee  ao  giax  aebenaicklichai 
Unufcandei  man  ein  ganx  beMwdcrea  Sjrvtom  der  KrjMAf>- 
graphie  anfgeatellt  hat 

Ich  gehe  aber  weiter  and  wiH  leigm,  dua  darin  nickt  eia 
Naehtheil,  aoodeni  ein  bflcfaft  wichtiger  Vortheil  d«r  Millcr'- 
aebea  Symb<de  begt. 

In  der  Lehre  von  der  SymoMtrie  weiden  die  VeritiHnina 
sinKhcn  den  Indioea  iweier  Fileben  oder  Kanten  gegehau 
welche  durch  die  Kriiitwii  emea  SyamMtrieefemeatea  hediagl 
worden  nnd.  Dort  ist  der  Beweis  «rbracht,  dam  diena  Vo^ 
hlUnim  von  der  Art  dar  AnfaitHnng  dca  KryataHfBehnBCon»- 
pkxei  abhängig  int  nad  bei  etohmtliofatr  AulittcUong  nach  um 
der  räomltcben  Lage  das  betreSDadeo  S3rmmetrieeleiDent4!a.  hk 
%.  B.  one  xweixihlige  SymmutrisaTW  gegabeo,  nnd  fallt  dieaeibs 
mit  einvr  kryntallngrmphi'ebea  Axe  zuaammeD  (in  welchem  Falk 
die  beiden  anderen  krjtitatlographiachen  Axen  onteramandar  uaJ 
aar  etilen  senkrvcht  liod).  «o  hahao  die  Indiee»  bcid«'  gleichen 


Wv.  fkdorow:  Onndfraffen 


Rie. 


Gebilde  gleichen  absoluten  numoriachen  Wertt ,  und  Rlr  diwe 
Axe  Helh^i  hohaltfii  hw  itügAr  ila'^eltie  Vorr^ich^n;  fQr  beide 
andere  Axnn  ändert  sich  nhf>r  dru)  Vorzeichen.  Nimmt  die 
f^yiumetrieaxä  eine  andere  Loge  in  dem  Compli-xe  an,  «o  ändert 
aich  hiermit  nnch  da«  Oesetx  der  ZiuammenseLzun^  der  Sym- 
bole beider  abgeleiteten  Gebilde.  Kin  solche»  Gesetz  erbalten 
wir  ftJr  denjenigen  Kall,  in  welchem  z.  B.  diese  Ase  die  Lage 
einer  DiaKonale  einer  VVfirrelHüohe  einnimmt;  ein  noch  andere» 
GeoetK  ^ilt  fUr  denjenigen  Kall,  in  welchem  dieselbe  Axe  die 
Lage  einer  Würful-  (reäp.  Hhombcieder-)  Diai^male  annimmt. 
Ilaben  wir  einmal  dieee  Gesetxe  erkannt,  ho  scblietisen  wir  direct 
nu4  der  Ztutammenael/.nng  der  Symbole  auf  das  Vorhandensein 
bestiiiimtA.T  und  bestimmt  orieniirter  Symmctricelementc,  und 
auch  umf^ekehrt.  »ind  die  Symmetrieolemeute  bekannt^  ao  schreiben 
wir  direct  die  Symbole  der  ans  einer  gegebenen  Kläche  (reep. 
Kant«)  durch  das  gegebene  Synimelrieelement  bedin^tfu  anderen 
Klikhcn  trt^p.  Kanten).  Ind  gerade  der  oben  erwähnte  Kall 
der  hexagonaten  Syngonie  ist  derjenige,  fOr  welchen  eine  ivrei- 
zählige  .Synimi'lrieaxe  die  letxtgeuaiwite  Lage  annimmt  (da  alH^r 
fflr  die  hexagonale  Syngonie  dieselbe  Cierade  nothwendigerwei» 
auch  dreizählige  Symmetrittaxe  igt,  t«  bezieht  sich  also  der  ge- 
nannt« Kall  auT  die  secbszähli^e  Symmetrieaxe  und  ausMoblieäe- 
lich  fttr  diesen  Kall).  iJivdurch  haben  wir  also  den  sehr  wich- 
tigen Vortheil  der  directen  Kenntnis  von  d»?r  Existenz  der 
sechäziihligen  Symmetrieaxe  gewonnen,  und  diespn  Vortheil  liefert 
un8  wieder  nur  die  Anwendung  des  einheitlichen  Miller'iichen 
SystemB  der  8ymbi>le. 

Non  stehe  ich  wieder  vor  der  Frage,  wie  es  ge«ichehen 
konnte,  da»)  titatt  desjenigen  Vortbeiles,  welchen  nn»  auch  in 
diesem  Falle  das  Millcr'inchu  .Sy.-)t«m  in  die  Hand  giebt,  man 
da>  ganze  System  umgeworfen  und  Alle«,  was  mittelst  des^ellien 
ganx  klar  xu  Tage  getreten  war,  in  einen  chaotischen  Haufen 
suaom  man  geworfen  hatte.  Oem  Wesen  nach  t-*t  diese«  Verfahren 
ein  System  alittichtlirher  Verdnukelung  aller  klar  jjewordcnfn 
kry^lJillographiwhpn  lU»ullAte.  Sollte  ich  darin  irren,  «o  hätte 
ich  groHM  Befriedigung  gefnhti,  wenn  es  mir  bewiesen  würde. 
|3>«d.  i|aiti.-H«y*.  Ol.  a.  U 


,  SIC  SiUanff  der  math.'^iffB.  Ctoaxt  com  Ü.  tJtMtmAer  lsb6. 

Die  nälien*  Bekannbichafl  mit  dieser  fliigrsnt«n  AnooiBlilJ 
10  dem  jetzigen  Stande  der  Krystallograpbte  bnt  oiir  Minchli 
klar  gemacht,  vtm  wn-i  ganz  nni^laublioh  «rBchcioen  «rOnW. 
Wenn  bo  viele  Jahrzehnte  zu  gering  erscheinen,  am  moithß 
elementare  Dinge  7.um  allgeroeioen  Bewunbein  zu  bringen,  m> 
ist  M  noch  begreiflicher,  daas  diu  gimx  neue  und  urigincUe 
Sjsi«m  Tun  H.  Hessel  ganz  amser  Acht  gehuuen  warde,  denn 
sich  desfWD  xu  beniäcbtig^fn,  erfordert  nninHich  tiüI  ü:  '  -  V' he. 
Auch    werden    mir    vielfl    andere   Aeussernngen    v«r^.  .r-r, 

welche  sonst  sehr  selLqam  erscheinen  wardeii.  So  lese  ich  x.  lt. 
eine  Acu'^t^rnng  eioe«  sehr  hoch  geschätzten  und  vf^rdivolea 
Oollegen  *)  üb^r  die  neue  kry-^tallographische  NomenoUiur: 
,.. .  termini  bechnici,  deren  Zahl  allerdings  geringer  ist. 
als  die  der  bisherigen,  durch  die  aber  doch  die  Ge«unintK»hl 
der  AnsdrQctce  um  ein  i»t;hr  erhebliches  vermehrt  wird,  deac 
ei  kann  doch  nicht  erwartet  werden,  dasD  die  alten, 
eingfbargert«n  AnsdrQcke  nun  auf  einmal  durch  die  neuen 
verdrängt  werden  sollen  .  .  .'  Da«*«  ein  jede«  neue  Wnrt, 
würde  dasselbe  auch  in  der  neueren  Nomenclatur  xebn  nlie  rr* 
setzen,  doch  die  Oflsammtfaeit  aller  Worti%  alter  und  neuer, 
um  eins  rergrossert,  kann  aU  üelbslverstäDdlich  gelten,  und  üt 
anders  nicht  denkbar!  Die  Frage  kann  nur  darin  Hesteben. 
ob  wirklich  die  gesammte  An/^hl  neuer  Worte  geringer  bl, 
als  die  der  alten,  und  diese  beantwortet  der  geehrte  Oelebrte 
allerdings  bejahend.  Nun  wie  kommt  ea,  das  wölbst  noch  eäoer 
so  befriedigenden  Antwort,  unerwnrtet  die  Belimiptuug  aofg** 
stellt  wird,  daas  die  Verdrängung  der  alten  Worte  doch  nicht 
erwartet  werden  hoII.  Ich  glaube,  mein*  hochgeohrler  Cullrgt 
hat  sich  xa  sehr  an  Auoninlien  in  dem  Ot'biHe  der  Krysiallo- 
graphie  gewöhnt.  Derselbe  sucht  seine  strenge  [Wbaupiaag 
noch  zu  mildern,  indem  er  sagt,  dass  die  neuen  Worte  «rete 
M:hnn  und  kfins,  noch  xweckniiU-^ig  und  beseichnend  ♦"         '    -n- 

Da  uljer   der  Verfiuner  einigernia«en  an    der  A    .  :    ...ng 
der  ueumi  Xomenclatur  gearbeitet  hui,  ho  kommt  et  ibm  natflr- 

*)   Branni   In  dam   K*>fi*rai   Ober  f^rotb*    I*bjr«lkjU.    Rr^rtoltv- 
atOiW.  N.  Jfthrb.  f  Hin.  «ic,  \f9>2.  IT.  4(W. 


K.  r.  yedormt :  Orumdfragen  der  Kryttaltographü, 


517 


lieh  nncli  zu,  sein  Wort  aanztisprecbcn.  Vnn  der  Zweckmisaif^- 
koit  kann  ntitürlich  keine  Kede  sein,  da  uiein  CulJege  suILhI 
in  obigen  WorUjn  die  Krage  für  dwi  Verfasser  iinf  sehr  be- 
friedißeade  U'fi*;e  beaniwortot  hat.  Es  «od  also  die  Fragen 
über  die  »Schönlieit,  Kitr/e  und  die  Etgenschafl  .bezeichnend* 
XU  behHitdcln.  Leider  inii«s  ich  auch  auf  die  Besprechung  der 
ersten  KigenschAft  verzichten,  da  ich  kein  Ae<4theiiker  bin,  und 
Qherhnnpt  diese  Forderung  für  ein  Sy^t«m  der  Termini  technici 
fllr  mich  gnnv.  neu  ist.  Nehmen  wir  als  Beispiel  die  so  hoch 
ausgebildete  Nomenclatur  der  ortpiniächen  Chemie  und  werfen 
die  Pmge  auf,  ob  die  Termini,  etw»  Isovatemibutiorsäiircdibru- 
niid')  oder  son^itige,  Mch  durch  besondere  Schönheit  »utt^eicbncn; 
nder,  wenn  die  Aesthotikfr  eine  «blehnendK  Antwort  auf  dies« 
Fragen  geben  wOnlen,  mü^teu  die  Speeialisten  der  organischen 
Chemie  ihre  Nomenclatur  Über  Bord  werfen,  trotzdem  diuc«  diesp 
fQr  eie  die  beste  und  erwünschteaie  iift. 

Fnr  meine  Besprechung  geoHgen  natfirlich  die  ron  meinem 
CoUcften  wlbflt  sorgfältig  ausgewählten  Beispiele.  Kr  meint, 
dan  «Zirkon  gehurt  jetr.t  leur  diteiruguiiiil-hipvraniifUIrn  Cla:Q$u 
dee  tetragonalen  KrystalUystems ,  Kalkepath  Kur  ditrigonal- 
äkalenoedriRchen  Olasse  desselben  SjsteuML  Natriumchlorat  ge- 
hört Äur  tetra«"driach-pentogondodekaodrischen  ClftMst,  Schweffl- 
kies  zur  dyaki-xlodekaodrischen  Clame  des  knbiaohen  Krrstalt- 
sjstems.' 

Obgleich  hier  nicht  wenig  Mnhe  aufgrWHudet  wurde,  um 
die  besonders  bezeichnenden  (im  Sinne  des  Herrn  Collegen)  Be- 
nennungen auHZUwählen,  muiüte  er  dt>ch  von  «ich  wdbet  viele 
Oherflrissige  Wörter  b<?ifngcn,  um  es  möglich  zu  machen,  beim 
Gebrauch  der  Worte  der  neuen  Nomenclatur  so  unbequeme 
Kamen  i^uttauimenzuaetxen.  Dies  wiüe  nicht  geschehen,  hättv 
er  den  Principien  der  neuen  Nomenclatur  eine  Spur  Beachtung 
geschenkt.  Diwcn  Principien  geuiäw  werden  direct  die  Sym- 
metriearten bejteichnet  (Hr.  iiroth   will  dieses  Cilied  der  Clasni- 

H  Icfa  nrfainr  noKlrlicb  diMU  BcUpiel  auf»  (IfraibinireU.    £■  wJUn 
idit,  die  Beticntiimfren  in  tlozuff  au(  ihr«  ,8ch0aliuit  utul  KOrw*  noch 
mrulpr*  huniimuwtlhlpn. 


518        Sittun^  dar  matK-fhy*.  CUmt  vom  £.  pgtnwtrr  iftM. 

fication  durch  das  Wort   .Claase*    beseichnen;    meiner    Ae 
nach  ist  mgar  dieses  Wort  ganz  GbeHlOssig,  da  mit  dem«elb«a 
nichts  Neaes  gegeben  wird,    was  nicht  schon  in  der  Charakte- 
ristik der  Symmetrieari  inliegriffcn  ist),    und  die  ZtigehÖrigksit 
zu  einem  Krjätalbystem  wird  dann  von  selbst  Tcntündlicfa  ood, 
jedes  diesbexQgliche   Wort   ganz  Oberfl&sBig.      Germde    bei   der 
jetzt  herrschenden  empirischen  Terininologiu  ist  die  Anipibe  dK»| 
Erj%talli<yateuia  noth  wendig,   nicht  aber  bea  der  neuen  Xomeo-i 
cUtur;  es  wäre  ganz  unverständlich,    wenn   man  gesagt  hi(le.l 
Zirkon  gehOrt  zur  holoedrischen  Abtheilung;    es    Ist    anbedtugtl 
nothwendig  bei?.iifngen :  des  tetragonalen  Systems.     Woxn  ahrri 
von  dem  System  zu  sprechen,   wenn   durch  das  Wort   »ditrtra- 
gonai-liipyraniidal*   Alles  gesagt  worden  ist  und  dubei  eine  bild- 
liche V' orstellung  dieser  Symmetrieart  direet  ans  der  Bexcichnun^r 
selbst  herrttrgebt,  allerdings  nnr  für  denjenigen,   welcher  weis, 
was  ditetragouate  Bipyrauiide   üit.     Hätte   mein    geehrter  HffT 
College  gewQnKcht,  noch  zuRammen gesetztere  BefBeichouDge&  aof- 
xustellen.  ^o  wfirde  er  durin  Tolles  Hecht  und  onbegranstA  Uflg- 
lichkeit  haben*),  alter  da«  wäre  dann  seine  Nomeocfaifcar,  mJ 
der  Verfiweer   wfirde  genüthigt  sein,   eine  solehe  «U  aogeUkfa 
seine  eigene  abzuleugnen.     Der  Verfasser  ist  ja  eben  kein  An- 
hänger von    fiberfiOäaigen  Worten.     Als  Beleg   dazu    kann  itk 
auf  meine  eigene  goniometrische  Uiiterauchaag  des  Zirkooa  Ua- 
weisen  (Zeitschrift  f.  Krybtallogr.  XXI,  S.  597),  wodieSymmetriait 
einfach  ditetragonal'bipyramidal    bezeichnet   «ein    würde,    wtan 
nicht  der  Umijtand  im  Wege  gestanden  wire  (ebenda  S.  <^(], 
dasa  an  dem  gemessenen  Krystall  riellelcht  acheinbar  die  x^fBr 

*)  Ob  x.  B.  das  richtig  Wort  ,Biprniisido'  weniger  «ckOa  uail 
lieateichuend  ut  als  .Pvratiiide*  (welrhoi  xim  An  Zeit  ctiise«  rjtbagoiv 
in  ganx  uiderettt  Siann  gebraucht  wurde,  aU  die*  tod  den  jKsi](n 
Mineralogen  geichieht)  und  dergleif]i<^n  Fragen  Line  ich  dahin  f^wiilfi- 
Aber  irgendwie  mnas  loan  die  echte,  richtige  Pyimmidn  b«a«ck»«, 
ebeiuio  wie  sehr  riele  andere  Begriffe,  welche  bi«  Kor  Uiit«a  Xeit  ia  te  ' 
TlaDiIbilehera  keinm  Plalz  fanden.  Daran  fch»-int  der  geehrte  BotCaU^ 
nicht  geJai'bt  tu  lubcn.  Bfttt«  ur  «rlbii  dnfQr  Tormiai  tMltmd  >w- 
Mthlotfen  kAnnrn.  «n  hUt«n  vir  jedrnralU  «!»<>  am«  Htnnfmclatar  wi] 
an«  gebabi. 


3C.  ff,  Fettorvu :  Grundfragen  lUr  Kr^ntaUnQrajihie. 


519 


calen  Symmetrieebenen  f^tfclilt  hätten.  El^enso ftirKHlkHfi&th  h&tic 
er  statt  «Ditrigonal-skalenoüdrücbeClaase  destrigonaten  Krjstall- 
sysieaia*  einfacb  die  Bezeichnung  ,h<;xagonn!-skaIeni>e()ri:<i:h', 
für  Dioptas  —  »rhoniboedrisch*,  för  Natriumchlorat  —  ,t«tai- 
toedrisch*  und  fflr  Schwefelkies  —  »dodekaeflrisch*  gefandeo. 
Fnr  diese  Bezeichnnnj^en  hin  ich  gern  verantwortlich ;  die  ron 
dem  geehrten  Herrn  Collegen  angegebenen  ßezeichnnngen  ge- 
h5reD  aber  ihm  »elbst,  und  er  selbst  mius  fdr  dieselben  verant- 
wortlich sein. 

Meiner  Annicht  nach  hat  Herr  Brauns  sich  gerade  fQr 
die  ueui!  Nomencluttir  verdient  gtmmcbt,  indem  er  nach  den 
Principicn  der  jetzt  herrschenden  Noniundatar  (wenn  flbcrhaupt 
von  solchen  die  Rede  sein  kann)  neue  Bezeichnungen  bildete 
und  dann  erkliirte.  da^  dieselben  «weder  schön  und  kun,  noch 
zweckmässig  und  bezeichnend*  sind. 

Das  Bezeichnendiite  bleibt  aber  dabei,  daas  von  den  Prio- 
cipien  kein  Wort  gesagt  wird,  während  gerade  iu  diesen  der 
einzige  enttwheidende  Punkt  fQr  die  gewünschte  Einigkeit  und 
Einheitlichkeit  liegt. 

Bis  jetzt  habe  ich  nur  gegen  den  reinen  Empirismus  ge- 
RprtKhen.  Nun  kommt  manchmal  die  ganz  entgegengesetzt« 
Richtung  zum  Vorst^hein,  und  zwar  die  Neigung  zu  willkdrlich 
theoretiacben  Auffanuugec  und  Hypothesen,  welche  in  den  er- 
kannten Oe^ietzen  keine  Wurzel  haben  und  zumal  zu  keinen 
IUI  der  Erfuhrung  zu  VfriHLirt*nden  Schlüssen  führen.  Die  lange 
Qescbichte  der  WLisenschafl  hat  den  Kreis  der  su  gesinnten 
Männer  »ehr  beschränkt ;  jetzt  finden  diese  keine  Vertreter  in 
den  leitenden  wissenscbaflliclien  Kreisen.  Natflrlicfa  ist  dieso 
dem  rohen  Empirismus  entgegengesetzte  Richtung  eine  onfrucbt- 
bare,  aber  sie  scheint  mir  hei  weitem  nicht  ao  schädlich  ftlr 
den  Forbsehritt  der  Wi^AonKoliaft  nts  der  rohe  Empiristoos  selbst. 
Üie  unbegrOndeten  und  fruchthjsen  Hypothesen  haben  sehr  ge- 
ringen Werth,  aber  sie  fordern  auch  sehr  wenige  MQhe,  and 
bei  der  jetzigen  Entwicklung  der  Wissen;<fhu(l  erfreuen  sie  sich 
geringer  Beachtung.  Der  empirtttche  Standpunkt  fordert  von 
deasea    Vertretern    »ebr    viele   Milbe    und    Kruflaiifwand,    ohne 


520 


SiteiM^dSrmath.-iifti/ii.  Cliume  vom  5.  Desember  It/UG. 


vielleicht  gleiehwcrthigc  Kesultate  zu  liefc-rn;  dioseUwn  iüchtigtn 
Männer  hätteu  niö|*licherweiäe  bot  anderer  Aiiüchauung  ond  bui 
ilemselbmi  Kruftuurwand  etwas  Wertbvüllered  schall'un  köaaeo. 
tierade  in  diesem  fnokte  scheint  mir  der  gröbste  Scbuilen  Ata 
Empirismus  zn  liegen.  Die  Arbeit  atif  dem  wissensehaflliclien 
Gebiete  besonders  yeht  viel  productiver  vor  sdcb,  wenn  nicbt 
nur  die  Hände  und  Äugen,  sondern  auch  der  Verntund  m5g- 
licbftt  intensiv  an  derselben  Tbeil  nimmt.  Die  kUn^tlicbe  Fes- 
selung desselben  ist  rielleicht  dos  Scbädlickste,  was  der  «oge- 
iinnnte  Po^tirismus  in  äas  Feld  der  Wi^enAchuft  mitgebracbt  hat- 

Aiidererseits,  wie  es  sehr  oft  vorkommt,  berQbren  sich  die 
Oegeuäütze;  iob  meine  den  robeu  Gmpiriämuä  und  die  Nciguoi; 
tu  unbegründeten  Hypothesen.  Eh  ist  praktiiicb  ooDiOglicli, 
nicht  Ton  Ideen  geleitet  zu  werden,  und  derjenige,  welcher  uu 
Ehrfurcht  vor  dem  PositivümuA  mit  Gewalt  alle,  oder  wenijt»teca 
tiefergreifende,  theoretif?che  Anschauungen  aus  seinem  lntell«vt 
biuauszu  werfen  sucht,  wird  zu  einem  Sciaveu  zufälliger  und 
ganx  onbegrfindeter  Anächaunngen. 

Diese  Betrachtungen  allgemeiner  Art  haben  mich  i\t  der 
Ueber/^igung  gefnhrt,  dt^ä  in  dem  rollen  KmpinBmus  nicht 
nur  keine  Wahrheit  verborgen  int,  aondern  diese  Richtung  w 
der  WisseuHchaft  die  schEdlichste  ist,  und  in  dervclben  die 
grÖ6&ten  Hinderniaae  fQr  die  sehr  erwGnächte  Einigkeit  euthaltec 
bind.  Die  Interessen  der  kryätallograpbi^chen  Wisseovchaft 
fordern  möglichst  grosse  Einigkeit  in  allen  formellen  Attributm 
der  Wid^enächafl,  und  diese  Einigkeit,  welclie  uur  auf  der  Ge^ 
samuitheit  unserer  Kenntni^e  begrßndet  werden  kann,  kann 
nur  dann  zu  Stande  kommen,  wenn  nicht  nur  die  Wichtigkat 
der  leitenden  Principien  allgemein  anerkannt  wird,  Mindern  ia 
den  Priucipien  selbst  mehr  i>dcr  weniger  allgemeine  Uebereio- 
Stimmung  vorhanden  ist. 

Es   muss   Einigkeit    in    der    rationellen    und    einfiftolulaa 
Nomenclatur,  Einigkeit  in  den  Principien  der  Atif^tvllung,  der 
Bexeichnnng,    der   Abbildung   und    in    der   Symboli^tik    miek 
Werden.     Ich   wiederhole   nixhmalit,   dass  diese   Eiaigkett  aWj 
nnr  auf  dem  feeten  Onindi;  solider  Kenntnimc  aufgeatellt  w«ff4aj 


»;  Ofumi/Vaj^^e^K^ 


f.o 


21 


kntin.  Kehmeji  wir  auf»  lieradewohl  ein  liei^piel.  Müu  nennt 
_«fcß.  eine  der  Syngoniearten  ,'lfis  reguläre  Krystttllj^ypt^tu".  Ist 
n]ö]^lich,  damit  i^invezstandcn  m  sein,  für  den,  welcher  aus 
den  AnfunK^^rDiitleu  der  Symnietrielehre  weiss,  da»8  es  xwei 
aläre  Systeme  p^ielit:  eines,  welchem  u.  A.  die  Formen  der 
[^ulären  Körper  Tetraeder,  Hexaeder  und  Oktaeder  aagelir>ren, 
und  dua  Kweite,  welchem  Dndekai^er  und  Ikoueder  angeboren. 
Wenn  man  einwenden  will,  dass  dna  Kweita  System  in  natdr- 
licben  Kryatallen  nicht  vertreten  ist,  so  mute  in  Betracht  ge- 
sogen WLTden,  i\nsn  die  WiüäenHcbnfl  »ich  nicht  in  ab);(>rionderte 
Zelieo  tbeilcn  IKsst,  und  dass  die  Principieu  der  Gestaltenlehre 
von  einer  mehr  ubstrActen  Natur  ttind,  so  dass  sie  sich  nicht 
dwrcb  einen  specirllon  Kall  ihrer  Anwendung  einengen  und  einer 
Tbeilwiasonücbafl  unterordnen  busen;  sonst  büttco  wir  wieder 
nicht  eine  einzelne  Geälaltontebre  vor  uua^  sondern  ao  viele  Ge- 
i^taltenlebrun ,  als  Anwendungen  derselben  in  ver^cbiedeneu 
Zweigen  der  Wituieni»cbafl  genmcht  werden  können.  Auch  über 
da»  Wort  SysU'ni  habe  ich  schon  Gelegenheit  gehabt  ein  Wort 
£11  GipTechen  und  darauf  biiuuweiiien,  daas  es  eigentlich  giuiz 
unliestimmt  bleibt,  vnm  eigentlich  ein  KryiifcalUyfttem  ist.  In  der 
Ocstaltenlehre  ist  aber  denäelbe  Begriff  ganz,  deutlich  definirt 
worden,  und  dieser  He^riH*  kann  kcinoiiwegs  mit  dem  der  meisten 
Kry'itallographen  in  Einklang  gebracht  werden;  £.  ß.  hat  diese 
Lehre  ganz  unwiderleglich  ald  ein  einziges  System  die  Oesamrot- 
beit  derjenigen  sogenannten  Syäteme  der  Krytitallographeu  ku- 
sammengefftsst,  welche  aU  rhombiscbe^'f  monoklines  und  triJclinee 
besonders  bexeicbnet  werden.  Dan  wurde  schon  1S29  von 
Gh.  He.<»sel,  welcher  dieses  System  aU  ein  digonales  bcxeicbnete, 
ganz  klar  begriffen  und  aufgestellt. 

Ueberhaupt  btSsst  derjenige,  welcher  sieb  der  Kiemente  der 
Gft'dattenlehre  bemlchtigt  hat ,  fa'st  auf  jedem  Schritte  auf 
Widersprüche  der  Principion  die«er  Lehre  mit  den  bis  jetzt 
herrschenden  AufTassungen.  Folglich  kann  die  Einigkeit  nar 
lM*grUndet  werden  auf  n&liere  Ki'nntnisHe  derjenigen .  auMor- 
ordentlicb  einfachen*  Zweige  der  syntheiiächeu  Geometrie,  welcher 
schon  ron  Ch.  (le^sel  aU  tie^^idlfnlelire  brteicbnet  wurde. 


522         Sääang  der  maUtrphya.  Clasw  eom  i.  i>MCii&er  itfifo. 

In  dieser  Hinsicht  ist  auatjerunlenlliclt  verdieiutlicb  die  u< 
AufUgc  der  Pbj'si kaiischen  KrjsUillograpbie  tud  Prüf.  V.  Orukbr 
welche  einen  colossaleu  Fortächriti   iu   der  Hrzielaug   der  ge- 
wUcficbten  Einigkeit  bedeot-et. 

Mit  der  Einigkeit  Hand  in  Hand  pcebt  aoch  ^  KinfAcb- 
beit,  und  Arbeiten,  wie  ■/..  ß.  in  der  allerlebcten  Z«it  die  Tun 
C.  Viola,  begrüsHe  ich  aU  sehr  willkoutmene,  um  endliefa 
mit  müglichät  geringem  Zeit.iiifwand  alle  Krystallograpbeti  «nf 
genauefttein  und  einfachstem  geroeinsamen  Grande  %u  vcreimgen. 

Ob  diese  Kenntnisse  fQr  Einige  mit  Hülfe  der  Meiboden 
der  «ynfchefciächen  Oeometrie«  analrtiscben  tieometrie,  KioacBAlik 
oder  Qua  tern  innen  lehre  am  leiebteäten  erworben  worden  köanm, 
iüt  eine  Nebensache.    Die  Priucipien  bleiben  für  alle  dieaelbin. 


Zum  Scbluas  erlaube  ich  mir  in  wenigen  Worten  A»  kri- 
ti?>chen  Bemerkungen  zu  beantworteOf  mit  welchen  mehrov, 
Tou  mir  hochgescbät/te  Collegen  einige  meiner  Schiusafolgeningeii 
und  Äeus»eningen  beehrt  haben.  Mit  grosser  Freude  ers&h  ich. 
daas  ich  anstatt  gegnerischer  Angriffe,  zuletzt  in  der  Petw» 
mancher  dieser  Collegen  meine  Bundesgen* •■(.«? n  he^rHJ^:»en  k»Dii. 

Zuerst  hegräsäe  ich  als  »olcheu  Hi^rrn  Burlow ;  roit 
manchen  Schtossfolgenmgen  desselben  konnte  ich  mich  mcht 
einverstanden  erklären.  Nachdem  derselbe  aber  den  Niu:btrag 
zu  seiner  früheren  Arbeit  der  Oeffentlichkeit  tibergeben  hatte, 
ist  jetzt  «wischen  uua  vullstundigeUebereinbtimmung  vürbaud«o.'| 

Etwas  analogem  kann  ich  mit  Befriedigung  constatiren  be- 
treffend den  ^chluÄ^  der  langjährigen  gegen!«eitigen  Auseiniiuder- 
ttetzung  mit  Hrn.  Hecht  Über  den  vnn  mir  uiifge«trlttea  Satt 
Ton  der  dreizabtigen  ^^ymmetriease.  Mit  Deinen  Worten:*)  dw 
«der  Satz  von  der  Rationalität  der  dreizUhligen  Symmetriesxt 
natQrlicb  richtig  ist*,  ist  die  weitere  Besprechung  beachlnvoi: 
ganz  nebensächlich  bleibt  noch  meine  NiclitUbereio«timmang 
mit  seineu  binzagefUgten  VVorten  «wenn  man  die  ph^nikaliacKro 

*)  ZeiÜKbnfl  f.  Kryriallugt«phu\  Ekl.  XXV.  8.  BO  ff. 

*i  Neon  Jahrbuch  fttr  Minomlogic  etc.,  18l)&,  VI.  B^  S.  S^. 


£  V,  JVitorwp;  OrtutdfragtH  lUr  Krygtaltoffrnphit. 


523 


VerbÜltniase  berOckiiichtigt".  Einerseits  stitumeD  die^^e  Worte 
ffenule  mit  (l«TJt;nij5cii  Beliiiuptting  von  mir,  iluss  ich  ilcn  Fliiupt- 
beweis  diesf»  Satzes  in  dem  echten  Grundgesetze  der  Kryst«llo- 
graphie  (in  welchem  also  die  physikaliächen  Yerbältni»3e,  und 
xwftr  die  pbTsiknlisohen  Ki!i;enschaflen  im  weitesten  Sinne  be* 
rflcksicbii^  worden  .sind):  andererseits  aber  scheint  mir  die«« 
Uinsufüguug  Überflüssig,  da  selbäfc  auä  der  Tbcüfurin  des  tirund- 
l^eaetsea,  und  zwar  aus  dem  Grundgesetze  der  geouietrificbeo 
KTyrtallo^aphie,  dieser  Satw  ebeaio  klar  herrorgebt. 

Vielleicht  ist  es  nicht  ganz  unz  weck  massig,  dieser,  weun 
auch  ganz  nebensächlichen  Frage  ein  paar  Worte  za  widmen. 
Der  Satz  Wtebt  durin,  da§8  eine  dreizählige  Sjnimetrieaxe 
notliwendigerweise  eine  mögliche  Krystallkante  ift.  Der  Sftts 
musB  .somit  gänzlich  auf  dem  BegriH'c  und  der  Definition  der 
Symmetrieaie  fossen,  nicht  etwa  einer  Schraubenaxe  oder 
dergleichen,  wenn  auch  ganz  natfirlich  möglich  ist,  den  Satz 
zu  erweitern  uud  zu  behaupten,  da.>u  jede  Deckaxe  noth- 
wendig  eine  mögliche  Krystallkonte  ist,  anter  Deckaxe 
eine  Symmotrieaxe  oder  eine  Schraubenaxe  verstanden. 

Nun  wendet  Hr.  Hecht  dem  gegenfllwr  ein,  dass  «n  einem 
einfachen  Beispiele  die  Unrichtigkeit  dieses  Sätzen  von  rein 
geometrischem  Standpunkte  aus  darzulegen  sei,  und  zwar  aan 
der  Betrachtung  des  folgenden  Punktsystems:  .Auf  einer  von 
drei  geraden  Linien,  die  sich  in  einem  Punkte  schneiden  und 
die  mit  einander  gleiche  Wiukel  bilden,  nehme  ich,  vom  Schnitt- 
punkt auRgehend,  Tunkte  an,  die  immer  um  r  von  einander 
entfernt  sind.     Auf  der  zweiten  betrage  die  Entfernung  zweier 

Punkte  ry2  und  auf  der  dritten  ry-i.  Von  diesen  Punkten 
ausgebend,  habe  man  ein  Rauragittor  couHtrpirt.  Dann  sind 
Wkanntlich  uur  «olche  Ebenen  ala  Krystallfiächeu  milglich, 
welche  drei  Punkte  in  weh  enthalten  (Gesetz  der  rationalen 
Axenschnitte).  Die  Flächen  dieses  Raumgilters  bildra  einen 
Complex.  der  eine  dreizählige  Symmetrieaxc  besitzt'. 

NiitQrlich  bat  dabei  Hr.  Hecht  den  Complex  in  dem  Sinne 
aufgefaadt,  wie  es  gewöhnlich  der  Fall  i^t,  d.  h.  die  Uesammt- 


Sittttn^  der  vtatk.'phtjs.  (Hasse  tom  5.  iMteitJttr  /«W. 

heil  Her  dui-ch  einen  Punkt  hindurchgehenden  Flächen,  wie 
diraer  Cooiplex  zum  Zwecke  der  Berechnung  und  der  j|p-aphMche& 
Ahhildiing  der  riitirnlicheii  Lnge  der  Vlärhi'ii  '/tir  Anwendang 
kommt.  Dabei  sind  sümmiliche  parallele  FliLchen  durch  tan» 
einzige  repra«entirt.  Wenn  wir  aber  nicht  mir  die  iinpulßre 
Stellung  einzelner  Flüchen  in  Betracht  xieben,  sondern  <lt<9 
gftometriächen  Kigenschaften  überhaupt,  so  scheint  mir  dies«» 
Verfahren  unerlaubt. 

RrUfcen  wir  diRS  f^cthnn,  «o  wünle  jf'do  Untorfi^heiHiiii 
xwischen  Synimetrieaxen  und  t.  B.  Schraubenoxen  auft^4.<hdr 
haben,  und  gerade  hier  bandelt  es  sich  um  S_vmnietrieiiv<«i. 
Nnn  ipt  nichts  leichter  »la  zu  beweiaen,  dass,  wenn  wir  keil 
solche  (sonst  za  speciellen  Zwecken  anj^ewendete)  Traosfnrmatic 
des  Complexeg  ausführen,  und  denselben  genau  so  una  ronttellttn, 
wie  Hr,  Hecht  selbst  es  nns  Tor^chlägt,  die  Symmetrieaxen 
verloren  gehen,  und  als  Deckaxe  fQr  analoge  Fläciien  eine 
Schrautjcnaxe  mit  Deckschiebuugeu  reiulÜrt,  welebe  eine  geo- 
metriäcbe  Proji^redsion  bilden  (und  nicht  eine  arithmetische,  wi« 
dies  fflr  eigentlich  »ogeuannte  Schraubeiaxen  der  Complexe 
genommen  wird).  Nnn  sind  aber  solche  Deckaxen  uiiraüglicftlj 
da  nach  dem  Elementen  der  Symmetrielebre  als  niöglicht;  Deck- 
axen sieb  nur  SymmeLrieaxen  und  Schraubenaxen  in  engem 
8inne  (Deckscbiebungen  mit  arithmeli^cber  Progression)  ableiten 
lat^en ;  nur  solche  Decksymmetrieeleinente  der  Complexe 
zulässig,  alle  anderen  sind  unmöglich. 

.ledenfullä  .scheint  die  Frage  endgültig  abgeschloeisen. 

Was  mich  aber  besonders  erfreut  hiilte,  ist  die  Ceber- 
zeugung,  mit  welcher  Herr  Hecht  (Iber  die  Uicbtigkeit  de» 
Satzes  spricht,  eine  Ueberr^ugung,  welche  er  auch  frUhvr  ge* 
hegt  hatte*),  und  trotzdem  verbleibt  er  bei  dt*r  Meinung, 
dieser  Satz  keineswegs  au$  dem  gewöhnlich  angenouti: 
Grundgeeetae  der  geometrischen  Kr^ätallograpbie  herrorKebL 
Wenn  nun  aber  eine  Üeber2eugiing  über  eine  Thnt«iache  ent- 
steht, welche  nicht  unmittelbar  aus  der  Beobachtung  eMtnoninien 

>|  t4ftidur  liabe  ich  keine  ErwAfanuxig  tluvon  in  winiut  frOhansi  Ar- 
beiten finden  könne». 


R  &,  f^donne:  Orumlfragcn  der  Kri^slalUttfraiihie. 

werden  kann,  so  ist  stillsch weisend  ein  vollkoinmeu  fest^tfliendüs 
QfxeU  nngenonimeti,  and  dieses  Gesetz  ist  filr  denselben  also 
nicht  das  eben  ernähnte.  Diese  Ueberzougung  stimnit  »Iao 
enau  mit  den  meiuigeu,  nach  welcher  da«  gewöhnlich  onge- 
nomiuciio  nicht  da«  wirkliche  Grundgesetz  der  KrystAllogniphie 
ist;  in  dein  wirklieben  «ind  n&mlich  sänimtliehe  .physikalische 
Verhältnisse*  der  Krystalle  herOcksir.htigt.  In  der  Motiviriinjn 
dieser  Ileherzeugung  bestand  der  Inhnlt  meiner  Arbeit  llber 
das  Grandgesetz  der  Kry^tallogruphie.  ßs  «tcheint,  dnäi  in  dieser 
sehr  wichtigen  Frage  ich  die  Freude  habe,  in  der  I'er.-io«  de» 
Uerm  Hecht  einen  BundpcgenoMen  zn  begrOseea.*) 

Jetzt  liegt  mir  noch  ob,  einige  Aiwföhrungen  von  Herrn 
V.  Souza  de  Brandiko  zn  beiintwortoQ.  Dieser  meint.  dasH 
die  von  mir  befürworteten  MillerVlien  Symbole  nicht  kry- 
stallographisch  (?)  seien,  (und  diew  Forderung  will  er  vor 
alten  anderen  in  erste  Linie  stellen).  Kr  sagt  wörtlich;  ,Dera 
Symmetriegesetze  aber  entsprechen  die  Miller'»chen  htxu<{onaieQ 
Symbole  nicht,  indem  daa  objective  Sultätnit  dieses  Gesetzis  — 
die  einfache  Form  —  durch  sie  kein  einfaches  und  flbersicht- 
Hche»  Zeichen  erhält.*')  Aus  diesen  Worten  ersehe  ich  mit 
voller  Augensciiointichkeit ,  diiss  Herrn  ßrandüo  nubekunni 
geblieben  ist,  dass  gerade  dieee  Frage  (und  xtvar  in  allgemeinster 
Weise  —  für  alle  ^ymmelriearten  hei  alleiniiien]  Gebrancli  der 
MiUer*scheu  Symbole)  der  Gegenstand  einer  speciellen  Arbeit 
des  Yeifusers  war,  in  welcher  überhaupt  die  Relationen  zwischen 
Syranieirieelementeu  (ihre  Luge  inbegriOttn)  und  dem  Gesetze 
der  Substitutionen  der  FlüchenindiceA  der  einfachen  Figuren  mit 
bagoaderer  L'mständlichkeit  stndirt  wurden'),  nnd  deren  Resultat 
war,  daa»  die  Gesetze  dieser  Subatitutioneu  (welche  alao  zugleich 

*)  DiMclbe  Aaffiummg  iwhe  iuh  tod  Um.  C.  ViuU  atu|ptHlrückt 
(Zoi1«ohrift  ftlr  Krystallogniphie  XXVII.  8.3).  Holl  irh  frwaltiiKn,  tliuit 
im  Ov^enintK  diuii  ili««r*lb)*  AuffiiMuntf  von  einrin  Paläontologien  ■!■  eine 
hn»tbeti8che  bi'wichn.'t  wurdi-  (Bibl.  g^\.  d<- 1«  Buwic  10.  1806.  p.8l; 
Ott.  i.  Neuen  JaUrbuib  Mr  Miii.rAloffio  1896.   U.  ü,  Ü.in 

S)  Zeiüiebrirt  f.  Kry»UkUogr.  XXIV,  S.  6U6. 

*)  Diu-  Venuch  durch  «a  kiirse«  Zeichoa  die  Symbole  allor  Kloicben 
Ricfatungvn  nnazmtrilcken. 


K.  p. ; 


Orundfiragen  der  Krj/nlallograf^e, 


ri27 


Symbole  sind*,  bo  bat  er  natQrlich  Recht,  aber  er  «elbett  fOf^l; 
biDzu,  dass  diese  f^ymboto  f(lr  hexagonale  Kryatalle  lunnoklinnr 
Nfttur  wären.  Lst  dies  ein  no  wichtiger  Vurtlieit  der  BraTaia*- 
scben  Symbole ,  dts  dafür  eine  Ausnahme  noihwendi^  zu 
madien  ist,  und  die  Miller'schen  Symbole  durch  die  Uravais*- 
sehen  ku  ersetzen  sind  ?  Wäre  aber  auch  dieser  Kaohthoil 
gerade  der  letzteren  Symbole  nicht  dagewesen,  !>o  wOrde  ich 
doch  dieselben  nur  dann  aU  tau^lioh  bes^iMohnen  kOnnen,  wenn 
dieselben  nicht  nur  für  hexagoiiult*,  «ondcrn  fOr  fUnttntlirbe 
Krystalle  überhaupt  gleich  t«ugUcb  wären.  Dabei  ziehe  man 
noch  in  Betriu^hfc,  diL-u  das  gatixe  Gebiet  der  jetzigen  iheore- 
titfchen  KryüUlIograiibie  auf  der  Anwendung  der  MillerV'hen 
Symbole  beruht,  und  jeder  Studirende,  der  Hich  der  einfachen 
Principien  di*«er  Anwendung  bemächtigt  hat,  i.st  jede  rech- 
nerische und  graphische  Aufgabe  sofort  aufzuluven  im  Stunde. 
Für  die  Braraiif'Achen  Synil>ole  »teht  noch  bevor,  eine  ueno 
Krysinllographie  auszuarbeiten,  und  wir,  die  Lehrer  der  Jugend, 
stehen  selUt  vor  der  Fru^e,  welcher  Index  in  dem  Bravai»'- 
schen  Symbole  f(lr  eine  graphische  oder  rechnnri^ch^  AufgalM 
fortzulaffitm  würe,  welche  Kante  unter  einem  beliebigen  Symbol 
[r,  r,  r,]  zn  verstehen  sei,  kurz,  wir  stehen  Tor  einer  noch  zu 
lösenden  Krage  bd  jeder  Aufgabe  einfachster  Art,  welche  uns 
vorkommt. 

Die  Bravaifl'»chen  Symbole  sind  fflr  mich  ebenito  wie  die 
Symbole  Haiiy'!>i  und  viele  andere  in  Vorkehr  gewesene  Symlxde, 
nur  beschreibende,  also  nur  von  einem  nehr  einseitigen  Stand* 
punkte  ztiiasaig.') 

Darch  dius  eben  Gesagte  scheint  es  mir  QberflQssig  gemacht, 
andere  ßin Wendungen  von  Hrn.  Brandäo  zu  besprechen.  Wenn 
ich  X.  U.  mich  nicitt  einverstanden  rrklfiren  kann,  diiu  in  meiner 
Besprechung  der  Symbole  dos  Hm.  Brandiko   ich  wlhai  etwa 


I)  Wäre  ein  KryAtuUflUriiencomijlei.  mit  irmlionaler  dreiriUiligcr 
Dt'ck»xe  d^nkbiu*.  wie  v»  trUhvr  von  liH.  (iadoliit  und  Hrnht  angi!- 
iiommeD  wurdp,  *n  fivle  tloj  ßrav&te'«rhti  Axnn«jBUioi  von  »clhai  ul« 
ein  tiiuDÖglirlcto.  luiü  da«  MillerVhi*  Kjstrm  als  da« «ll^rcmeinc  bÜclM* 
Aik'h  f3r  djeweu  Fall  alh'in  anwendbar. 


ftodere  Symbole  im  Aoge  gehabt  (dorftbcr  xn  richUD  Dbvrtaa» 
ich  den  Lesern),  «o  bleifai  die  Soebe  dadorrb  «agduMlert,  da 
Hr.  Braodiko  aelbät  gmnx  aosdrOckliob  beiont,  daas  aeiD«  Sjm- 
bole  nnr  f&r  «oen  tyurifllpn  FaU  anveodbw  And.  Itib  b«tpcMlK 
aber  Bnr  die  aUgeneiD  anweadbaicn  Symbole. 

Nachträgliche  Bemerkonf;.    In  den  .Fort* 
Physik'   fDr  IRdi  in  dem  Referate  etnn-  NuUa  ron  H....  ...^». 

wricbcti  mit  F.  P.  antencbrieben  ist  (3.  225)  fitide  ich  nae 
Ih'nmrknig  Ober  einige,  mMsrerstiAdlicb«  B'^hauptQOg«ll  meiacr 
sailL  Das  «t4cfae  vm  Hm.  Hesi  wirklich  angebiicb  gafoiidMi, 
«eiBS  ich  recht  gut.  A»  der  Noib  Mlbot  wird,  mir  aber  tiicU 
klar,  ob  dieee  Menm^  nur  dirfraige  dei  Hm-  Heia  iat,  «ider 
oh  dioetltii  aodi  nm  dem  Hesra  Beüeicntea  «efheT  i  wird. 

Nor  VOD  der  Utikeo  Vom iwm< ■  gng  anagehend,  er...^»..  .cb  mir. 
dca  gtehrtea  Hern  Refereaten  ca  fragen,  wetcbe  Bebaoptno^ 
die  miamcfitftiwHichen  sein  rnJOfml  Herr  Hv*«  bat  bekanntU^ 
iwei  Punkte  meiner  Arbeitaa  aagegiiffm:  1.  dam  di«  Belunp- 
ian^  Ton  Um.  Hect  mSatk,  das  alle  laoeder  tjpi«ebe  sind, 
verctäiKlIicb  ist,  ood  daaa  in  den  Elementes  der  OcKtallcnlclure 
dea  Verf.'«  ein  gaaam  EafM  mit  dieeer  Bebanpiong 
WideRpraehe  vteht.  mid  3.  dam  «loe  too  B.  v.  8taadt  cm- 
^föhrt^  FuBctioo  von  diesem  bedestenden  <tfomifter  ungenaa 
aht  «in  Sinus  beaekhnet  wurde.  Bei  beiden  Hioweimuj(<g 
Mand  ick  atnng  aof  dam  8taiid|nakte  der  maen  Mnthematiher. 
weicher  in  iihewntarin  LehrbO^ara  gaaa  muweideutifr  a^^^i 
Km|truchm  ist.  ^^H 

Damit  meine  ente  Behanfitimg  nariehtif;  wäre,  m^  onn 
di*  glairlw  imp.  symmeknacben  Mygoae,  fatla  dieedben  die 
GimufidM*  cänm  Pbtyatoa  bOdeo,  mJkfL  ali  aolcbe  rmidabm, 
welche  deekhnr  na^  efBmetrmch  gkich  «ind,  M>adecQ  niah 
Miw  ein«  Kagel  nmgwchrtebeti  werden  aoUen.  B«i  dirwr  Dt- 
flnifexMi  hätlea  die  oBkypMrheB  I«oadcr,  daren  **•-  P  -^  ~  ia 
iiwtiH>r  Arlvnt  R&gviwigt  worden  ist,  a.  Bw  das  Hb«'  i/r, 

itU'ht  ^Ivivhe  Flächen  gehabt.  ohgWh  temmtlinhe  Flncben  d»> 
willigt  lUckbar  «fUioh  simL 


I 


Xt.  P.  FedofWt  Oruuitffag<n  der  Kr^üaVoijmithie. 

Damit:  die  »weite  ßehanpiang  uariulitig  wäre,  raus«  man 
unter  «StDUs*  nicht  einu  t'unotiim  einer  vcrilnilfrlit'heii  GrOwe 
vei>l«]ifn,  welche  als  eine  Winkelgrüsäe  auff;efii!ti>l.  durch  das 
Verhältoiss  zwischen  einer  Kathete  und  nyfK>thenu»e  eineä  recht- 
winkligen Droieck.»  (welches  den  gfgehcnon  Winkel  enthfil^ 
nnd  hU  Kathet«!  mnss  die  ge^nübur  liegende  genommen  werden) 
ausgedruckt  werden  kann«   sondern  eine  ganz  andere  ruuction. 

Sobald  ich  von  Seiten  der  Herren  reinen  Mathemati  ker 
Ton  der  Notli wendigkeit  einer  solchen  Äenderung  dieser  (jrund- 
dcfinitiünen  erfahre,  werde  ich  gerne  meine  beiden  Behaup- 
tungen zurllckiiehmen.  Bis  dahin  bleibt  es  mir  unklar,  wie 
von  einer  Missver^tündlichketi  solcher  Behauptungen  die  Rede 
nein  kann. 

Die  vorstehenden  Zeilen  wurden  vor  mehr  als  einem  halben 
Jahre  geschrieben.  Zur  Zeit  der  Correctur  bin  ich  veranlaaat, 
noch  eine  niicli  beireffende  Aensserung  y.ii  bi^sprechen. 

Rs  ist  die«  nämlich  die  von  Hrn.  K.  Uerrmann  gemachte 
Einwendung  gegeu  die  Einfibellung  de«  Oktaeders  zweit«?n  Oradts 
(nicht  aber  xweitt-r  Ordnung,  da  in  der  Moqiholugie  der  Polyeder 
unter  diesem  Worte  ein  ganz  anderer  Begriff  verstanden  wird) 
in  die  Ueibe  der  regulären  (Zeitschrift  fUr  Kristallographie, 
XXVII.  S.  1^88). 

Bei  dieser  EiiuteUung  lie«i  ich  wich  von  der  von  H.  Canchj 
(tlourn.  de  TKc.  p<dytechn.  C.  16,  p.  (>5)  gegelwnen  Definition 
der  regulären  Polyeder  leiten,  welche  in  der  jetxt  allgemein 
angenommenen  Aoädrucks weise  der  Symmetrielchre  lautet:  Unter 
einem  regulären  Polyeder  versteht  man  ein  solches, 
durch  dessen  Centrum  ebenso  wie  durch  daasen  Schei- 
tel punkti'  Symmetrieaxen  von  nicht  geringerer  als 
3-ZäbIigkeit  hinduruhgebeu.  Von  der  Kegelmässigkeit 
der  Flächen  ond  der  Qonoeder  kuun  AUtand  genommen  werden. 

Aus  dieser  Detinitioii  leitet  mau  direct  ab,  dass  die  Anzahl 
der  Flftrhi'n  und  der  Scbeitelpunkti*  nur  der  Anzahl  gleicher 
SymmetrieAxen  einer  Symmctrirart  gleich  oder  xweinial  -to  gmss 
sein  kunn. 


SSO         S^Mmfdtr^ 


Ari»t-n  rnTÄ 


Kar  dm 

und  K^heiMpiakiv  «Uefa   dar  AnxmL  ,%■ 

(Im  kuHookUvdftekaa  Br^tam, 

Vnr   da»  Oklaaler   t  &nid«»    t 

illl|»p«lt    MO    grClM,    Wad   4W  ikaÜÜ    diu      r^u-iH-ipuunr  £9 

Anulil  der  J'dÜJiyi  PjiiiiiiiiiMaiL    md  Or  dai'Wftifct-^-i 
lAii*o|iiiii  «ich  diaat  AtmMtm  natar  iiiiiMiiui  v. 

Nun   swlit  man  mtar  ^^  kWr,    dia»    fi'ir   cu-  tj 
tt,  llriKlrn  di«  vnfeifMwdMBdaB  Sdila  dnnMit 

m  (Im  'MrKAder  1.  Grvde». 

Mr.  Kf*rrii)tni]  hat  sIbo  löoäa  &ie^ 
i^tit  «mMnniiiilhi'it   roD    b  Hcueton    «u9 
ti>iliiiii|,    vrWcltM   unter  denen   toc    mir 
1S^ly«il«<rn  nicht  iingi:geb«n  worden  ättd. 

toclor  iüt  (IftiiHHlben  das  Qrigi— t 
Hfh^llii'lt  {()««  ()nf{initl  üd  in  raaMeber  <^f*i*^ 
\\\\^  (titrw^llte  Imt  nur  den  in  d«r  ZeifcKinft  : 
\XI,  R  flfl4   fnthiiUentm  «<br  knuea  4i 
V  t"       T   nm>»(Hii<llirti  ^entig  die 

au   nitlrlimt  dir  AiiuiüiiDe 
^m    Kll||i*m«litftti    lUiKnitinn    gef&hri    faüte, 

n  (inul'*«  I11>erlwa|it  oidit  «oa 
.u<<itiiHutM)^t>«etxt  werden  dflHoa. 
1tittMtjt«ni  «lud  »Ur  ^onkde  in  dieKr  Arbeit  afi*  IVM* 
*  M"!  lumpt  als  BUS  d«oM  d«  ento»  6rad« 

1     t<iv4    und   abgeteilet  mnatiM 
<    i<  ni{  wt)nl«n   abo   Qberhanpt 

I'»I»1<|(W»»    l«M*H    rl»«   Origiimi  (> 'J7T):    ,in    «iriri 
ilhn     itu.iilri>.  .1    1  MMt    li<\h«run  GradeB   ist    da»    Vor 
iii  iiirlit  XU  ltrnt(n<^n*. 


501 


Deber  «.  Momente  von  Ä.-Complexen  im  li,. 

Voü  8.  KanUr. 

Die  Reyo'ache  Moineiit«utbeorio  ist  wenn  nicht  der  fruchl* 
'  barste  uad  am  leichtesten  zu  verfolgende,  sicher  aber  der  ^rfliid- 
Itclistti  uad  unschuultebste  Fürmalisinu«  zur  Verallgemeinerung 
der  i'ühireatbeorie.  In  der  Debertragnng  dieäer  Ueye'äclieii 
Theorie  auf  den  R^  tiegi^net  man  keinen  weit«ren  Schwierig- 
keit«D  al.^  jenen,  welche  überhaupt  die  Theorie  der  lügebraisclieii 
Functionen  von  melireren  Variabein  Terschliesseo. 

Nicht  60,  wenn,  w&s  biiiher  in  keiner  Weise  gesofaehea,  die 
Methode  auf  den  Itauin  übertrugen  wird,  der  üU  Element  den 
linearen  H^  hat,  sie  aUo  in  die  (ieonietrie  der  Ä^- Mannigfaltig- 
keiten fliugefflhrt  wird,  welche  mit  Fug  iJ^-Complexe  heLsiten 
sollen.  Ohne  mich  in  Einzelheiten  einzulassen,  will  ich  in  Kiirxe 
die  weHenUiüh»ten  Principien  TorfQhreu,  von  denen  nniizagehen 
sein  würde.  Insbesondere  niuss  depÄeit  noch  unerürtort  bleiben. 
wie  dem  Momente  eine«  iS^-ComplexeH  in  Bezug  auf  emen 
iJ^  f  ^-Complex  eine  wirkliche  metrische  Bedeutung  gegeben 
werden  könnte. 

1.  Im  7?,  aei  die  Formel,  welche  das  Product  der  Di^tan/.en 
ixweier  R^^  li^.  anftdrtlckt,*)  als  Moment  oder  xAn  I.  Moment  der 
[j!.,  Rf.  iKxeichnet,  nachdem  efi  noch  mit  zwei  Proportionalitäta- 
'  factoreu  m,  m'  (Masseo)  niultiplicirt  isL 

*)  D'Ovidin  bat  fUr  dit!Mpf  Produkt  dint  AiiMtruek  bererhart  {Aili 
r>ldr  Acr.  dei  r.incvt,  Kotim  1877): 


UM  ■«tk-ylijrft  OL  X 


Sft 


ä32        SiUiMg  iter  MoM.-jtAya.  CToo«  wm  5. 


Diede  FestseUaDg  ist  hitr^  wie  scbon  iia'lR^,  eine  irillkflr- 
liehe.  Ttational  Ijckannt  sind  die  Co«fiticienU>n  einer  Gleiohanif, 
Heren  Wurzeln  die  Distanzen  von  Ä^,  Ä^.  sind,  im  72,,  r.  B. 
die  beiden  Distanzen  zweier  Geraden.  Alle  synimetriscLen  Fuac- 
lionen  dieser  Distanzen  sind  al>!0  rational  in  den  Coenicientra 
des  , absolute*  and  den  Coordinaten  von  R^,  R^.  bekannt.  Man 
könnte  mitbin  ala  1.  Moment  eineb  It^  in  Beza;;  auf  R^  irgtuid 
eine  synimetrisobe  Function  der  k  Distanzen  definirvn  nnd  vun 
hier  aus  die  der  Reve'acben  Theorie  analoge  Theorie  weiter- 
filbren. 

Indem  ich  die  obige  Fesifet/.ung  beibehalte,  bezeichne  icb 
nlff  n.  Moment  von  R^  nach  i?^.  die  n.  Potenz  des  1.  Momente» 
oder  da»  Product  der  h.  Potenzen  der  DistAnxen,  inultiplidrt 
mit  »I  m\  Als  das  n,  Moment  eines  R^  in  Beznf?  aaf  /r  ge- 
gebene R^.  bezeichne  icb  die  Summe  der  n.  Momt'nUr  ton  R 
in  Bezuft  uiif  die  einzelnen  72.. 

2,  Die  Formel  für  da^  Product  der  Di^t^inzen  wird  im  R^ 
nicht  linear  in  den  Coeilicienteu  von  72!,  R^^  wenn  i«  i"  all- 
gemein sind;  aber  wenn  »  -|-  j'  =r —  1,  dann  wird 


wo  <ü 


I) 


und  die  Factoren  in   diesen   NenoM 


Mom.  (Ä,  Ä')=±t^iua(^+z,...y^...) 
1 

die  tuit  den  x,  y  geränderten  Dolerminanten  des  aWInt«  sind, 
a  die  Determinante  der  Form  A  selbst  iat.  Die  Ueterminant* 
-  Jfp . .  .  i/j  . .  .  ist  erstreckt  illwr  die  den  R^  bentininrenden  Punkt» 
£  und  die  den  R^.  be^ttinimend^n   Punkte  y. 

Theorem  I.  Das  1.  Moment  eines  R^  in  Bexug  aaf 
einen  7{,.,_j  i^t  eine  bilineiire  Form  in  den  CoordEnAteii 
tnn  H^  und  in  den  Coordinaten  von  71,  ,^,  and  xwar 


m  1» 


'  V~to  a  /2 


^.-i. 


'+1 


•P: 


*i+i 


-O 


2i 


0  Dia  Gunul«  und  ditr  R^  crschoineii  hier  al»  Ti4(rer  «viiim  lAt«^ 

der  ßcTUiJirii  «der  de«  H^  rrstraUifH.  UhU^  i 

«rh  utarj   nicht  wif  in  iUt  K<'nril)tilirlii'ti  A- 

piinktfui  ^iiHHui-tnMiiii'tKt. 


TttntorT  Ifef^er  n.  Mfmente  i»«  Ttff^j^exen  im 


S93 


Wird  die  eine  VBriabeliiruihc  ftätf^ehnllen  und  dies««  Mo- 
einer  liomogoaen  linenren  Uedin^^uiig  unterworfen,  so  eiit- 
eine  homogene  lintMiro  (rieicbung  in  dun  Viirinbeln  diT 
/w<Mt«n  Reibe.     Also: 

Theorem  JI.  Besteht  unter  den  n  ersten  Momenten 
eines  rnrinblon  R^  in  Bexug  auf  eine  Anzfthl  /r  gf • 
jfebene  Ä^_^_,  eine  homogen».^  lineare  Gleichung,  8o  br- 
nchreibt  der  R^  einen  linearen  A^oCompUx. 

litt  ;i  =  1,  M>  kunn  der  lineare  ('oiuplex  kein  Anderer  Fein, 
alf*  der  dnreli  den  festen  Ä^_,_,  tJs  Axe  iK-sitimmte  singulare 
Complex;  also: 

Theorem  III.  Verschwindet  das  I.  Moment  eines 
Ä,  und  eines  ß,_,_|,  so  schneiden  »ich  dieselben  nnd 
schneiden  sie  sich,  so  verschwindet  da«  Moment. 

Das  letztere  folgt  sofort  ans  2),  indem  in  der  Detomiinante 
der  Coordinaten  der  Punkte  x  and  der  Pnnkte  r/  zwei  Colonnen 
einander  gleich  werden. 

Corollar.  Die  Coonlinaten  eine»  H^  Inasen  sich  altw  aU 
die  CoefHcienten  eines  lineuren  Ä^_^_,  -  Complexe»  auffaMten. 
Oder: 

Theorem  IV.  Damit  ein  linearer  Ä,,,_,-CompIex 
«in  Tollsländig  singulärer  sei,  ist  ooth  wendig  und  bin- 
rMicbend,  da«s  «nter  den  Coefficienten  dei  Comptexeit 
diejenigen  Relationen  bestehen,  wi^iche  fflr  dieCoordi- 
nnten  eines  R^  gelten. 

Ist  alm 

die  Gleichung  des  linearen  A,_^,-Complexm.  so  mflasen  unter 
d«n  a.  die  bekannten  drmgHederigen  ^uadntisehen  Ue- 

lationen  beHt«ben,  aber  nicht  jene  des  fl!^.  ^  ^«  sondern  Jen« 
d«i  R^. 

t)ie  CoefHcienten  O;      ;       sollen    nun  ah  die  Coordinuten 

de«  linearen  OmiplexeK  bexeifbo«t  wrrdeo ;  gendgen  *ie  den  er- 
wähnten Uelationen,  m  werden  sie  identi^h  mit  den  C>>ord)nat«n 
q  M»nvr  Axf» 

W 


Jteung  tier  mitttt.'jAys.  CUia»e  vom  b.  Desewb»r  It/S^i. 


Werden  in  Problemen,  wu  J{,  gefraf^  wenlen,  die  «nräfanUn 
({dationeu  weicrgelas^eu .  sn  erhält  man  lineare  Complexe  be- 
atimmi  dtirch  ilire  Coordinat«n  oder  Relationeu  unter  den«elb«n: 
erat  wenn  die  llelatioticn  hinzukommen,  b&id.immen  »ich  dir  R^^ 
Also  : 

Theorem  V.  Jedes  Problem,  das  aaf  Anffindang 
?on  Rf  abcielt,  kann  als  ein  Prublem  der  Auffindung 
jener  linearen  ^^_^_, -Complexe  in  einem  Comiilex- 
Systeme,  welche  vollfttändig  Singular  sind,  anRttseben 
werden.') 

Inäbcfiondere  lässt  man  in  3)  die  cAnoninchen  Relatioocn, 
deren  Oesammtb^it  ß  ^  0  hetsse,  unbeachtet,  .so  hat  inao  rune 
durch  iinearc  Tninsfomiationen  des  R^  unxenstijrbare  IteJatioB 
eines  linearen  B^-Complexee  und  eines  linearen  R^  ^_, -Oj«t- 
plexes.     Also : 

Theorem  VI.  Die  in  den  Coordinatt^n  »»infj«  linearen 
Ä^- und  eines  /i^_^._j-C<impl»'se^  pr«luldft/!  Form 

ist  eine  simnltane  Invariante  der  beiden  Compl«x». 

Verschwindet  diese  luvariaute,  so  hciiöt  der  ^^-GompUx 
zum  Ä^^_,-Complex  conjii^irt  oder  apular. 

Coroltar.  Im  R^^i  Vhwn  uiti  if  -Oomplex  lo  «ieh 
selbst  npolar  sein.     Es  tritt  ein,  wenn  seine  Invariant« 

■%-•  it+i%+^-     ^+'  ^^ 

verschwindet. 

Da  die  Relation  5)  sich  aus  den  Gruäsmami-ClelNich-'d  ( *(i<lii>- 
«cben  Kolationen  additiv  zuaamnieiia«t«eu  Iftnnt,  «o  folgt :  JjxjfT 
lineare  ÜE^-Cumplex  mit  singnlärem  R^  ist  im  ^^^j  sa  lich 
äelbfit  apular. 

In  der  Welae  des  Thooreme^i  II  kann  jeder  linpsire  R  - 
Comptex  dargestellt  werden  ;  nur  fragt  es  tiicb  um  dii*  nicdrigiftr 


'  I  Ml   b»M*irhne  alt  vnlUtAndtif  nn^itOr  mxmn  i> 

»ler  einen  Kiit^TiilAnm  il,  1*rMitxi.  i|.  h.  «Im  allt«  «üinK  *,.,    | 


>i-,.1-s. 


Kivttm-:  Vwher  m.  MomMHh  mm  Hj-CamphMMU  im  Jt^ 


r.sri 


ilit  .'i .  welche  man  «rreichen  kann»  vhno  dsn  der  Ci>iiipl»x 
singutBr  wird.  Für  i  :=  1  habe  ich  dieies  Miniuiuiu ,  n-eun 
r^'Zq-\-l,nUi(/-\-\   gefunden.*) 

3.  Theorem  Vll.  Soll  das  n.  Moment  eines  R^  in 
Bezug  auf  «  feste  J2^.,.,  verachwindpn.  «o  beschreiht 
A^  einen  Complei.  h.  ürdnnii^,  di>n  k.  Nullcuniplüx,  der 
ta  den  rr  Ä,_f_,  gehört. 

Die  Gleichnnj/  £im^M{R^R^J!_^,j)^  0  "^ii*d  von  derw.Ord* 
nung  in  den  Coefficieiiten  7t^. 

Tbenrem  VIII.  Jeder  Üt^-Gomplex  n.  Ordnung  kann 
als  «.  NuUcouiplex    von   ?f  ä  A^  +  l -ß,.,-!  ausgo- 

drückt  werden.  ^'^"^^ 

Hier  ist  JV,^  die  An/abl  der  Bedingungen,  welche  eine 
Form  n.  Ordnung  in  k  bomogeueii  Varifthplu  bcxtiniTimn.  Ocr 
Beweis  liegt  in  der  factiächon  Bestimmung  der  Ma^en,  wälirend 
die  Iif_f_i  noch  wiUkfirlicIi  anzunehmen  sind. 

Zu  beachten  ist  hier,  dass  die  Gleichung  dee  ('omplexi«  in 
der  allgemeinsten  Weise,  d.  h.  mit  Beachtung  der  KeUtiiman 
ii  geschrieben  werden  musi,  aläo 

worin  Jf,  willkftrlicbe  Functionen  (ä  — 3h,).  Ordnung,  dir  P^ 
aber  willkürliche  in  den  Relatidneu  ii  ger<rhrirW<ni)  Prdvnome 
if,.  Ordnung  sind. 

tn  der  tno^lirhsten  Verringerung  der  /jultl  /r  b«vttr)ii  i\w 
berfihmte  i'robUm  der  caaoniichen  Formen,  welch*«  für  i  =:  0 
und  r  =  3.  fi=3  von  Sylvester,  Ctebach  und  Reye  geltet,  IQr 
I  =  0  und  r  =  3,  m  =  4  Ton  lUrft  angebahnt  wurde. 

Auch  hier  können  die  li  vorerBt  tatont  gulassen  werden, 
M  das«  «in  Srideni  h,  (Ordnung  ron  linearen  ff^_^_,-C«rap!«xeii 
'IKitateht  und  gilt: 

Theorem  IX.  Jeder  7J,*Complex  n.  Ordnung  kann 
auf  un«ttdlioh  riwlc    Vr*-?.     vi-  -l.r  Orr    dr-r   «inguUreD 

')  Cr.  3.  lew. 


580        SiUunif  der  mue/i.j^iy«.  GlasM  vom  ö.  Datmher  ItüKi. 


li  VOM  liiieartin  /?_._, -(Joinpifxen  angeflcfaoii  werden, 
welche  in  einem  Systeme  ir.Ürduuug  vcm  linL-urf^n  ß'— '-'- 
Complexen  enthalten  sind. 

Deswegen  auf  unendlich  fiele  Arten,  weil  eben  die  ratii>- 
iialea  Kiinetionen  der  iJ  in  den  CoefHcienten  von  7'  mit  fin- 
geschtossen  »iiid. 

4.  Auch  die  symbolische  Normalform  von  Clebsch  (Mstli. 
Ann.  Bd.  H  p.  1  «Heber  die  Plöcker'schon  Complex«*)  för  die 
Ä,  -  Camplexe  in  Ji^  lässfc  eich  ent«prechend  im  H^  hendellrn, 
indem  mau 


F-\-^AiP< 


/i*|  a,   h,    c.    .  .  .     n.        .   , 
(      \     ii    Xi    AI  *iiA,\ 


71 


unttetxt  und  hierauf  die  den   llektionen  ^  entsprechviidon  Prt»- 
cesBe  J  anwendet. 

5.  Es  seien  nun  m  K^  ge^jehen  und  ein  Ii^_^_^,  b«hiUli4 
mit  Massen  (oder  IVojHirtionalitätEifaotoren).  Ich  multipHcin 
die  1.  Monientti  der  m  R^  nach  dem  I^^_^_^  und  nenne  d« 
Product  das  Moment  de«  m-tupel»  von  B^  nach  dem  Ä,_,,|i 

Kenier  bilde  ich  fllr  m  7i,  und  n  Ä,.,_,  diese  ProduoU  te- 
zQglich  Jedes  ^,.,^_|  und  addire  diese  Producte 


9) 


und    nenne   die  Summe  das   Moment   t\es   «i-tu^ieU  von  J{   in 
Bezug  anf  die  gegebenen  /?^_^_,. 

Seien  femer  m  andere  R^  gegeben,  welche  ich  mit  S^  be- 
zeichne und  dieselben  n-ß^.,.,,  dann  bilde  ich  die  eben  lie- 
schriebene  Summe  auch  fflr  die^e: 


.W'  =  i*  (JI  Mom.(SJ*>,  Ä*''     .) 


lU) 


Ich  fa 


R 


■#-i-i 


-Conipl 


ferner  jeden  R^  als   einen  volUtündig  »ingiilätvo 
ex  auf  und  dns  Product  dieser  linearen  Coroplexe 


Kantitr:  Üditr  n.  Momtute  w«  Tt^Camjilcxeu  im  W,-  -Vi? 

ttls  einen  7^^_|_  j-CoiiipIitx  m.  OrdnuiiK',  welcher  Jit  m  lincnns 
Kurfallen  '}si.  Dann  »ind  die  OueffirieDteu  der  Qleichung  diese« 
Complexea  m- linear  zoiiamniengefletxt  ans  den  Coordinaten  der 
liru'Areu  Oomplexe,  aUo  aus  den  ^uordinitten  der  A,. 

Bilde  ich  dann  nus  den  7)  und  8)  die  lineare  Conibination 
k*  M  -{-  fi  M\  bezeichne  die  Prodncte  der  Gleichungen  der 
^'r-tf_i -Komplexe  mit  /■*,,  /^,',  ihre  Combination  XF^-^-  ^F^ 
mit  F,  80  erweist  ncfa  i   dass  X  M  -\-  ^t  M'  proportional   \»i  7.u 

Hierbei  bedeutet  /'"*  die  Gleichung  dee  7f_._^_,-CompleiOB 
M.  Ordnung  in  Ä^_^_,- Coordinaten  und  F"(/ti'i,_,)  bedeutet, 
diu»  man  diese  variubeln  Coordinaten  durch  die  Coordinaten 
eines  der  ;r  gegebenen  i?^_^_,  ersetzt  hat.*) 

Ich  bezeichne  11)  als  das  Moment  der  nA,.^|  in  Be- 
zug auf  den  /?,_(_, -Complex  n.  Ordnung  F.*) 

Wenn  in  9)  die  säramtlichen  m  72,  einand'^r  gleich  wrrdon, 
nimt  daa  Moment  mit  dem  ti.  Mumeut«  diesem  H^  nach 
den  nS^_._^  al>ereiD.  Aus  11)  folgt,  dau  «la  öumme  solcher 
Ifnniente  das  Mutnent  jedes  Coniplexe«  u.  Ordnung  dargestellt 
werden  kauu  uud  daher  ist  auf  andere  Art  der  iCe^e'sche  Satx 
bewiesen : 

Theorem  X.  Ist  ein  Massenajstero  indifferent  in 
Bezug  auf  seinen  n.  Nullcomplex,  so  ist  sein  Moment 
Null    in    BeKUg   auf  Jeden  /<^_^_,-Complex    «.  Ordnung. 

6.  Wie  bei  Beye  wird  nun  definirt  aU  Folarcompiex  eines 
/t^-Complexes  k-  Ordnung   nach   einem  iv,.^_, -Complexe,   der 


*)  Jen«-  Ableitniig.  wcU-ho   Herr  Ktry<'.  in  Cr.  J.  tlU.  78  fUr  die«« 
Mutnent  gef(«}hen  hat,  nbcrtrlLgt  «ich  »atOrlicli  nicht  hierher. 

>)  Für  n  =  I,  ,T  =  I  (•nUt«ht  da»  Mumeui  einw  /',_,_i  iu  H»"«uif 
anf  »imm  lineiuvn  K,_(_,-CompIt'i  tiad  für  •  «=  r — S  Wwei»*  tnAit  It'itht 
den  Satx,  daaa  dioM«  Moment  pmportionat  ixt  üem  MoiuodI«  d<n  &,_0,\ 
in  Berug  auf  den  PoUr-7t^  ilea»<>lbi*-n  bexOtJÜi-b  des  Uueanü  Cumplexo», 
wii'  Horr  Kloiii  fdr  r  — 5  birmoikt  luit  \^rr  Salx  gilt  »Wr  nicht  inrhr 
i^r  —  X 


5Ä8 


tiiUuno  der  uiath.-phffii.  CltUM  rmn  5.   lictnithcr  IA96'. 


ti.  Nttllcouiplex  oineä  MaäaenBydteme«  ist,  als  Ort  dor  S^  ^  ^, 
wotche  (fi  — /i')-tWcIi  gezftlilt,  mit  dem  Complexc  &.  Urdnuug  mut* 
lipHcirt  einen  Gomplex  u.  Ordnung  gebe»,  in  Besng  aaf  deo 
dua  Mumont  des  Masaensjrftteraes  Null  ist.     Älao: 


1=1.,  :t 


12) 


ist  die  Gleichung   des  Polar-Ä^-Oomplex'"'    vr.n    T^*  iH^g_^}  iü 
Bezug  uuf  den  /f^-Complex  n.  Ordnung 


^w,  Mom.(Ä,/fJ'L,_,)"  =  0 


13) 


lu  12)  euthftllen  nKiDitch  die  bilinearen  Kurmen  ale  dii 
eine  Reihe  von  Variabeln  die  Coordinaten  des  i?J'i,._j,  welchör 

in  Mattsensystonie  (nij,  .  .  .  m^  entbalteu  ist,   und  als  2.  Reili« 

von  Variabeln  die  Coefficienten  ii,_^ii  das  sind  Ä^-Coordinateti 

Theorem  XL  Durch  12)  sind  eigentlich  unendlich 
viele  l'olarconipleie  bestimcat. 

Denn  in  den  Coefticienten  von  13]  »tiid  nucb  dein  zu  VHI 
Gesagten  eigentlich  noch  unbestimmte  tirüi^äcn  (die  Coefficienteo 
der  Functionen  M)  implicirt  und  diese  Übergehen  dorcb  die 
Operationen  für  12)  auch  in  die  dortigen  CoefScienUiL 
Während  aber  in  13)  dlefie  t'nbratimmten  verschwindon,  wem 
dio  i}  =  0  gesetzt  werden,  wird  difii  in  12),  da  diu  unbtvIimmtM 
Coefficienten  jet^t  in  anderen  l'otcnKen  und  N'orbindungcn  cia- 
treten  (wegen  der  Vemiindernng  der  Exponenten  tou  h  ui 
n  —  h\  nicht  mehr  sein,  die  XJnbeatinimten  bleiben  nnch  mit 
Ü  «  0. 

lfiBl>esoudere  kuuu  nun  auch  von  den  Polar-T^-rv.mi^li'Ton 
eines  linearen  i2^_^_j-Complexe8  in  Bezug  auf  einen  ]•  fX 

N.  Ordnung  gesprochen  werden  und  speciell,  wenn  der  i2^_,_i- 
Complex  vollständig  aingulär  ist,  von  den  Polarcomplexon  evMi 
71^  in  Bezug  auf  einen  /{A*um}dex  ».  Ordnung. 


Kitntnr:  L'ebtr  h.  Sivmcnle  tun  U^'CmmAexen  im  U, 


^0 


7.  Verschwindet  12)  identiiacli ,  so  ist  /"'  apolur  kuiii 
H.  Nulkomplex  des  7^^_^_j-Maa»iiiy«temet  nnd  e^  wird  (witi  bei 
Rej^e)  bewiesen: 

Theorem  XII.  Da»  Moment  des  Ä^_^_j-MassL*n- 
systemeR  i^t  Null  be'/.dgHch  nller  Complexe  u,  Ord- 
nung, welche  aus  einem  zum  n.  Nullconiploxe  apolareo 
•^.r.)'^<^^P^Q^^  ^'  Ordnung  und  einem  ganz  willkUr" 
lieben  iJ^_^_j-Coniplexe  (tt — h).  Ordnung  bestehen.  • 

8et».t  man  in  12)  *■■»,  ao  folgt  auch  noch: 

Theorem   XIIl.     Die  Bedingung,   damit  ein  J?^_^_|- 
Complex  ».  Ordnung  apolar  (conjugirt)  sei  xum  ».  Null* 
»mplexe   eiues    Massen  syst  emes   von    rr  gegebenen 

U) 


Nun  sind  m  a\ 


a'    ...  die  Coefficienten  des«.  Null- 


ctimplexes  des  Massen-^jälenis  wie  Theorem  VIU  aussagt,  sonach 
erseheint  14)  sofort  in  der  Form: 

Theorem  XIV.  Die  Bedingung,  damit  ein  jR^'Com- 
pUx  «.Ordnung  ^anPXx...m.iPl{...i^\- "P}!C\..)Sii  ""<* 
•»o  ■B,.^-rC'»"»P>**  «.Ordnung  ^Ox/ii/+i...ir+i|>UM  ..i^i 
PiS+V..;%  conjugirt  seien,  ist 

2a,o,  =  u  15) 

^0   ^N«  ^N  Coefficienten    complementftrer   Glcichuogi»- 
gHedcr  sind. 

Idi  habe  hierin  die  Formen  absichtlich  »i-linear  ge'H^hrieben. 
Da.-*  Theorem,  sowie  M:hon  X,  XH,  XUI  und  11)  gellen  mit 
ihreu  Herleitungeu  auch  ftir  nicht  symmetrische  n-lineare  For- 
men, deren  Variablen  reihen  R.  reap.  JJ^,_j-Coordinaten  äind. 

Coroltar  I,  Ein  i?^-Coniplex  «.  Ordnung  V  ist  apolar  zu 
einem   Ä^_^_,-Cunjplcxc  n.  Ordnung,    der  ein  n-facli  gezAiiltor 


&iO         Sitzung  lUr  math.-}tiiyif.  ClatMe  vom  S.  Dettmlter  IHSS. 

volULändi^    sin^ilärer   Complex    üft ,    wenn   sein    sinf^ulärer   J^ 
irgend  ein  7i^  von  F  ist. 

Corollur  U-  Eine  n-lineare  Form  /'  in  Jf^-Coordinatrti 
ist  apolar  zu  Jeder  volUtändig  sinf^uläreii  »-linear<>n  Form  i& 
Ä,_^ _j - Coordinaten ,  deren  v  singulare  Ü^  ein  Nail  -  n  tujwi 
von  r  sind. 

Es  folgt  nun  auch  leicbt:  Die  Polarconiplexe  eines  linearen 
%8tenies  vun  7^^_^_j-Coniplexen  in  Bexug  auf  einen  gegeben« 
i{,- Complex  bilden  ein  lineares  System.  Die  Polarcoinplexe 
eine«  fetiten  i2^_^._j-CompIexe8  in  Br/.ug  auf  ein  üne>ire«  Syiileni 
TOD  i2^-Complexen  bilden  ein  lineares  Systenu  In  jedem  Falle 
bilden  alle  rorhandenen,  zu  einem  gegebenen  B^  -  Coniplexc 
apolnren  Complexe  ein  lineares  Sysfcam,*)  —  Die  Dimeanoo  da 


1)  Auf  ilieacn  hier  al«  Folgemn^n  gebmchtBn  Ötttxun  beruht  ciiicid- 
lich  ITemi  Heyp'o  roliir<*nthoijne. 

K«  n'At  feroor  dsm  Tbrorera:    Itt  eine  Schaar  von   Formn« 
gleichen  Grade»  h  in  /I,-Cuordi  iiaten  ^ogeben  und  >  ' 

man  din  ^CKammte  8ohaar  ru  der  jenen  npolaren  }< "  n 

Jf,^„]-Cftordi  oaten,   «n    haben  beide   Srbaaron   dia«nlb«i) 
Coiubinaiiten    unü    xwar   sowohl   in    Äy-,  als   Jf-  .  !■*,_, 

CoDrdiuutt^n. 

Sind   die   pvfi^Wntai  Fomn*n  Wj,-Fonm'n,  »o  iat  diM   1 
kanuL    Abor  sowohl  ilieneii  «pi'i'iellc  ul«  diu  fben  awigMiiruiti-  n 

tiiprkwUrdigrr  Woi*«  aurfa  dann,  wenn  dßr  Gnul  der  PomiPO  di<f  cwaten 
::ii-l)!iar  nicht  gleich  n,  «ondem  wiUkttrlich  hoeh  v(imu«fte*et«l  wird 

Die  Uauen»(e  VaniIlg«mtduLTuuK  dürfte  jeUl  fulj<endi:  icin: 

Idt   irgend  cino  Anxafal   Formen  in  Ag,  Jti,  ■  .  .  Iff^fCtt' 
ordinalen,  alio  der  Art 


t^^t^liXi ''-ti  ..,U+i 


Ml 


gegeben  und  luau  beatimiut  die  gevaminLe  Soliaar  der  PmriiifiB, 
velchu  sn  jenen  upolar  titnd,  no  hat  diu  lotatt^ru  änfaaar  ttiit 
■  L'lbfn  Conib!nanli>nfuruipn  (Kowoht  in  Üq,  iilf  in  A|»  . . .  Jt 
CoordinatuB  oder  in  ullfn  »imultan),  Bin  diu  der  «rsttrl 
FormRn. 

Hierin  braucht  «uwuhl  für  die  Ordnung  di*r  l*orm»n  dar 
iraUn  Scbaar  al»  der  aweiten  Schaar  eine  BaNQliraakaaf 
Ueltt  einpcfithrt  ku  werden. 


Knutor:  Üdter  ».  Mvntcwtt  nvu  St^ComfAej^tu  im  U,  ^-11 

3y^lemefi  der  Polarcoiuplexe  ist  jedoch  jetzt  nicht  gleich  der 
Dimeticon  dea  Syatemä  uu.i  y?^-C*>mplexea  oder  yf^_^_,-C(>m- 
plexen  wie  fUr  i  ss  0  (Heye),  sondern  überschreitet  diese  in  Fol^ 
der  RelfttioDi*n  ß.  — 

Hievun  und  von  den  letzten  Comllurcu  kann  eine  Anwen- 
dung gemacht  werden. 

Theorem  XV.  Zwei  lineare«  rcciprok  besugeno 
«''-Systeme  von  Ä^-Coraplexen  T,,  r,,  reap.  der  Ord- 
nungen w,,  ni,  Hrxi*ugen  einen  /? -Oninplex  T  der  Ord- 
nung Mj  -r»*!  und  dieser  ist  tipular  zu  einem  gegebenen 
R^_^_,-Complex  G  der  Ordnung  m^-\~m^^  dann  und  nur 
dHnn,  wenn  die  verniögo  der  Conjunction  t\x  G  unter 
f',,  l\  hervorgerufene  Keciprocität  H  apoiar  ist  zur 
gegebenen  erzeugenden  Reciprocität  K}) 

n  ist  dftdarch  deflnirtt  d*«s  je  xwei  T,,  T,,  deren  Product 
ein  zu  O  apolarer  Cnmplcx  ist,  ein  Nullpaar  von  //  sind. 

Alle  Reciprwi täten  K  unter  beiden  SysU;nimi  ^  ,  ^^  hildirn 
ein  lineares  Sybicui  und  die  erzeugten  V  bildL'ti  ebenfatiä  ein 
lineares  ooW+"'~'  System,  aus  welchem  durch  die  ApolaritÄt 
za  G  ein  lineares  (»<'•+'>'"*- System  ausgeschieden  wird,  doni 
wieder  ein  linearen  System  aoV*+*>"-*  von  K  zu  Grundr  liegL>n 
mnas.  FOr  dieses  letztere  System  ktVnnen  als  CüUHtitucnten 
t+  I)* —  I  vollständig  singulare  [teciprooi täten  betruclitot 
Verden.  Kdr  jede  eolcbe  ist  der  erzengte  Complex  das  Product 
zweier  /*,,  /|;  und  int  diesett  apolar  zu  (?,  so  gebiert  es  nach 
der  Definition  von  H  als  Paar  der  Keciprwitit  //  an.  Dann 
ist  aber  nach  Corollar  1  zu  XIV  die  »iuguläre  K  a|H>lar  zu  //. 
Für  »ie  gilt  uUo  dos  Theorem  und  somit  fdr  das  totale  linf^ure 
SysUm  ootf'+i''-»  von  K. 

8.  Eä  erscheint  jetzt  als  ttpecieller  Fall  von  11),  wenn  die 
Form  -1)  mit  einem  proportionalen  Factor  aU  das  Moment  d«s 
/{|  -  tjoiuplexes    uud    des    /it^_^_, -Complexea     bezeichnet    ^-ird. 


')  üttr   aju»ciidl«tt!    Kall    (■■0.    ;<  =  1.   r^X   int    von  SrhlrainKer 
,  A.  XXII  MMljrtiw-i;  beinc»*m. 


542         Sitzung  der  Math.-jiltjfs,  Cttuse  vom  6.  iMiember  Stt96. 

Wird  danu  der  eine  Complex  feetgelaaseo,  werden  an  Siollo  doi 
anderen  rr  verschiedene  gesetzt  und  die  so  eiitüWlienden  n.  Mo« 
inente  addirt,  so  sei  diese  Summe  das  n.  Moment  des  R^'Com- 
plexcs  in  Bezug  auf  die  n  Complexe. 

Theorem  XVI.  VeracUwindet  das  h.  Moment  t'inri 
linearen  J2-ComplexeH  r  in  Bezug  auf  ä  gegcbrnv 
Ji^_^_j-Coraplexe,  so  beschreibt  T^  ein  System  n.  Ord- 
nung (im  Räume  der  linearen  Complexe). 

Wenn    die    den   fr  festen    B,_^_,  -Oouiplexen     xugeteilti 
Massen  variiren,  so  besehreibt  dieees  n.  Nnlls^st^m  selbst 
ein  lineares  System. 

Tbeurem  XVII.  Aus  VI)  13)  folgen  (wenn  ohne  die 
Relationen  ^)  die  ÄusdrQcke  für  das  zu  einem  Com- 
ptexsysteme  k:  Ordnung  (von  Ä^_^._j-Coniploxen)  io 
Bezug  auf  ein  System  il  Ordnung  (von  i?^-Complexeo| 
polare  System   von  i^^-Complexon. 

Aoer  in  Slid-Tirol,  April  18ÖC. 

An  das  Vorige  schliefst  sich  passend  die  Mitteilong  eiiMr 
neuen,  fundaineutilen  AuffiuHungsweitw.     Ich  sage  xun&cb«t; 

Theorem  XVIII.  Sind  J^,  J^,  .  .J^.  . .  .J,  die  Weier- 
strass'schen  Invarianten  eines  Paares  von  -flfj^,.  so  be- 
deutet dus  Verschwinden  von  t^,  das9  der  Tangenten- 
7t^_, -Complex  der  1.  M*_^  und  der  Tangenten- ß^_^- 
Complex  der  2.  ÄfJ_,  apolar  sind  im  Sinne  von  Theorem 
XIV  hier  oben. 

Der  rechnerische  Ausdruck  von  J^  erweist  sich  aU  Summe 
2 a'a\  wo  o  und  a  coroplemcntürc  Unterdetenoinanteo  der 
Determinanten  J^  und  J^  von  il/J_, ,  ^X-\  **°^-  ^^  ™l 
aber  auch  die  CoefHcienten  der  Complexgleichungeo  tüq  -lf7_|> 
Jl/^^/)  so  dam  ^a-a'  der  obige  Aiisdmck  4)  ist. 


1}  Mnn  ürliäll  (lioMt*  duftJi   Kutwiekeluug  der  4^  in  Uuivoait't  AV 
bandlunie  Liuuv.  Jooni.  1874.    (T.  bMouden  aber  Salmoa'«  ßmmirtfy  «T 


Kantor:  Ueber  h.  Momente  von  Sf-Complexen  im  H^  ö43 

Ich  sage,  daas  beim  Verschwinden  ron  J^  (<7^  =  0)  die 
beiden  ^^^  .apolar  im  k,  Range*  sind. 

Es  entsteht  die  Frage,  ob  nicht  auch  bei  Punktmannigfaltig- 
keiten  ^^j*  ^^i  ^  verschiedene  Apolaritäten  definirt  werden 
können.     Dies  ist  conseqaent  möglich  and  ich  definire: 

Zwei  Panktrarietäten  M'^^,  ^^i  sind  ,im  X:.  Range 
apolar*,  wenn  der  Complex  der  Tangenten-i9^_,  von 
M^^  und  der  Complex  der  Tangenten-Ä^_j  von  Jtf^i 
.apolar  im  1.  Range*  sind  nach  der  Definition  aus 
Theorem  XIV. 

Was  die  Complexgleichungen  betrifil,  sind  sie  die  Diskrinn- 
nanten  (nach  den  X)  der  Formen 

f-t)  (xO)  +  Aj  xj«>  +  . . .  +  X,_,  x<»))  =  0  IC) 

fiM,) (3j(i) _^i^^2)^_^^i^  ^ x;^-*+i)  =  0       17) 

so  dass  diese  Diskriminanten  nach  Division  durch  die  Diskri- 
minante  der  Form  ganze,  rationale  Functionen  der  it-glied erigen 
resp.  (r  —  &  + 1)- gliederigen  Determinanten  aus  den  ft,  resp. 
r  —  &+1  Reihen  von  Coordinat«n 

«<»' x<*)  und  x;.'), ....  xJ'-'+i)         (i  =  1, .  . . .  r  +  1) 

werden. 

Die  Consequenz  der  Verallgemeinerungen  I  bis  XVII  ver- 
langt, dass  auch  dieser  Begriff  auf  zwei  Coinplexe  aus  H^  (also 
JR^-Mannigfaltigkeiten)  ausgedehnt  werde,  die  als  Ausgangspunkt 
genommen  werden,  ohne  Tangentencomplexe  einer  iZg-Mannig- 
faltigkeit  zu  sein.  Ich  nenne  Doppelgerade  eines  jBj-Com- 
plexes  einen  iJ, ,  der  in  jedem  Ä,  durch  ihn  Doppeltangente 
der  in  den  R.  entfallenden  Strahlencurve  des  Coniplexes  ist  und 
Doppel-J?^.  eines  B^.-Complexes  einen  i?^,,  der  in  jedem 
Ä^,j  durch  ihn  Doppel -fi^  der  in  den  R.,^  entfallenden  R^- 
Enveloppe  des  Coniplexes  ist. 


three  lUmensions  iiinl  vt'rscliii'dciio  ,\rlp«'itiMi  Klciii's.         (!,  Si'jjrw  hat  in 
M.  .\.  XXTIT  lu'i  HfliaiKUim;,'  'I-'i"  •'*  'ü*'  "l'i^'e  HtMli^ntuiifr   iiiilit  Iwiru-rkt. 


544 


Sitsutiß  tUr  mathriifiifi.  Clus^e  vom  .1.  IksfutUer  ISitC. 


Ffir 


gegebenen  /V^-Coniplex  V  neu  Di 


ßinen  gegebenen  J'V^-üoniplex  /  ueuDe  loh  KPirrvo 
Taiigential-Ä,_j_,-Coiaples  jeoen,  dtr  die  R^^  enthält, 
in  denen  der  auf  den  2£_  eütfällonde  72^-<!(jmplex  aufi  F 
einen  Doppel-ii^  betüity.t.     Hiemit  definire  idi  non : 

Zwei  JJ^-Coniplete  JTj,  F^  im  R^  sind  apolar  im 
li.  Uaiige,  wenn  der  Tttagential-i?  .  ^_j-Coiuplex  von/', 
und  der  Tangential-J2^_|.^_j^-Complex  von  T^  apular  im 
1.   Uänge  äiud. 

S^in  Taiiigential-ß^.-ConipIes  ist  hierbei  F^  si^lbfit.  E^ieihK» 
für  /^.-ComplcÄ   Tj  und  /II.,-Coraplex   T,- 

Kuppnliftgftii,  den   IS.  Octolier  189(i. 


HC 


üelffir  Ott  &iiikfirä£  Tom  Smäe  Btldo. 


Ihe  unter  ö«l  SnueL  ^^rtit^-rce  rrn.  M  ['Llt  B&ido^ 
oder  yVUD  T^rwu*  mh^mt^i  Mscamncr  MLnHünku^sumz.  vf*iriH- 
ak  fiuiifnAeriiii  zur  B*sineiimir  öer  Mtur  creüuiüizzieL  M&ier- 
&rbcu  d»  MC    Vtr'i'rhtr  (^rlL»-,  djem-.  üuäe:  «ci  ul  Msi- 

SüdäruL  dit:in  ai.  ü»r  lUii^nit*':!»«.  '-r--«!»!.  ii.  «.  leintciiiiiciior 
Meuee.  da»  dMKli^  «»'Jb'ii  ^ui  Ai>?r'  i>?r  ir  xuuLtjiiiL»i:  NjeuceL 
ID  Groben  |Wf»oin<*5t  t  uro*-  uiic  auvi  .«ftz:  nf^dB  cecTiä»eL  mrc. 
Db  üafe.  wat  üiuiMr  Ut^r  di*^  ii^wjimfiei.u^a;  niic  hsn-  '^  (■rkciicnieL 
dww3'  An  'jrti^TC*^  r»*ri:iii]u:  ff*-»'.'-a*fj  iä.  dwl  mkii.'bf  F>r- 
j^kia^mv*iL  »iiii#'-'ü*;iir«*?r«i.  *;rf»'ji**'ii»*a  iiiaa.  «•  cm^-rui^  icl.  ps 
für  iij'jin    utiBiigTA^ii""    il  ^  mv^^Wj^^tl   iii*'iiit  B^fthartnmitrpr    iirif^ 

BemertuiiCfi  t*»;*.!*«!'  Lit!;:>  !■  ;  ::  II.'.V-'-.:"!  un  n. . :  (  rit.i  - 
Sribt L*-L .  t*  *.  ■.  i' . • '  r  •  1  vTi'..  : •  •  LI  •  I  -  n  ;  !  T hl  .-;  >r  j  i  i. 
V"rtiähTiitti'    'C:    *•*  ''".'•r: 


Siteung  der  wa(A.-ji^yff.  Ctane  90m  S.  S)etcmbrr  1H96. 


1.  Mineralogische  VerhftltnisBe. 

Schon  im  Ältcrlhuiue  kannte  man  als  Malerfarbe  neben 
der  hellgrUueu  Cbryaocolla /)  welche  der  Hauptsache  auch  aal 
Malachit  bezogen  werden  darf,  eine  dunkelgrQne  Farbe,  welche 
von  Vitruv  aU  Creda  viridis  oder  Praaeua,')  von  Pliuios  ab 
Viride  Appianum^)  bezeichnet  wird.  Diese  «wei  grtlnen  Keiipt- 
farben  lassen  sicli  noch  in  den  Wandmalereien  der  aus*.'  o 

Gebäude  von  Pompeji  bestimmt  nachweiaeo,  die  hellffTÜUL.  .,-., ..  r- 
haltige  und  die  dunkelj^rtlne,  welche  dem  Viride  Appianum  ctit- 
spricht  und  jetzt  noch  durch  die  unrernnderie  Frischa  dei 
Farbcntona  sich  besonders  auszeichnet.  In  dem  blossgetegtn 
liauBä  eines  Karbenhändlera  dasellfst  fanden  sich  narh  lluff- 
mann  (Liandb.  der  Min.  U,  Ö.  200)  sogar  noch  wofalerhaltMe 
Stficke  dieser  Grdnerde  in  Vorrath.*) 

Ob  das  V^iride  Appianum  dee  PUninit  mit  dem  V^orkommen 
der  Orfinerde  am  Monte  Baldo  in  Bexiehung  stehe,  war  bisher 
zweifelhaft.  Ueber  diese  Bezeichnung;  herrscht  uümlich  bei  <ifln 
Interpretatoren  de«  Ptinins  vollständige  Unciicherbeit.  ob  dieae 
Benennung  etwa  von  Appitis,  dein  Namen  des  Umit^xan  4er 
Fundstätte,  an  welcher  die  Krde  zuerat  gegraben  wurde,  oder 
von  Apiiim,  dem  Naraeu  für  Sellerie  (Apium  t^),  wegen 

der  Farbenähnlichkeit  herzuleiten  sei,  wit>  li...^..:.uo  und  nit 
ihm  die  meisten  Späteren  annehmen,  (liardninus,  Plinü  wo. 
histor.  natnr.  Ed.  II,  T.  II,  p.  688,  1741.) 

Keiner  dieser  beiden  HorlüitunErsvenmche  ncheint  jedoob  da» 
Richtige  zu  iretTeu.  Ich  Hnde  nUmliuh.  do^s  der  Wildbaeh,  der 
vom  Monte  Baldo  heral>stQrzend  sieb  in  die  Btech  uiyiiMil  and 
an  deesen  Thnt^ebÜngf^n  hoch  oben  die  GrDnerfh^gribemiea 
Uegra,  &b  Torreuto   uviana')  bezeirbnot  wird    und  daae  da» 


-iehimlockit  KcbrlMchljrb 


')  öeneiiwftjtiK  »Bl  *Uc"' 
*i  Vilruviiii*  ,Df  Ar  .   i         '  li  * 

>)  PUnii  Mn>.  hi*t.  lutur..  Üb.  XXXV.  cap.  3!). 
')  Chnpta)  in  .^nnolrs  d.  cfaimie.  1609.  Arrü. 
*>  Auf  den  KRrti>n  IiajihI  iIaii  Tbal  Val  Avjanu  od«r  mit  W*tttM«nif 
d««  nach«iAbfl>ni»  A  "Vtl  Viaua. 


f?.  W,  K,  iHtnheL    Utber  die 


pom  Monte  Ualdu        M7 


nrf,  in  dessen  N&he  dieser  Bach  in  die  Ktsch  mündet,  jetzt 
nocb  Avju  heiani.  Set^t  uiuii  »tutt  v  —  pp,  was  bei  dar  Laut- 
ttfanitclikoit  docb  wobl  zulüiwig  ist,  so  «rhalten  wir  die  \ie- 
zeiclmungs weise  des  Plimus  und  ich  hege  keinen  Zweifel,  dass 
Lbleitunp:  die  riclitii(e  ist  und  daas  du  Viride  Appiannm 
linius  HUI'  dus  Vurkniiitiien  und  die  Gewinnung  der  lirdii' 
crde  Mui  Monte  Baldo  «ich  bezieht.  Wir  dürfen  mithin  an- 
nehmen, doits  die  Grünerde  aU  Muteriul  lür  Malerfarbe  ««'hon 
im  Alterthum  hier  gewonnen  wurde. 

Die  berichte  der  späteren  Schriftsteller  über  die  grüne 
Maleifiurbe  gehen  nicht  Über  das  hinaufi,  was  Pliniua  angegeben 
hat,  lind  »ell»t  bei  den  Miru'ralof^en  der  neueren  Zeit,  wenn  wir 
fliege  mit  Agricola  beginnen  la^un,  ist  es  meist,  »ehr  xweifel- 
Itaft,  welche  MiiieraUubstoiiz  —  abgesehen  von  dem  ächten 
Chlorit  —  sie  aU  Grtlnerde  bezeichnet  haben,  w  bei  Agri- 
cola selbet  die  oreta  viridi^V)  (l-^e  natura  fufMtlium  lil>.  11,  p.  19>) 
und  100,  Ed.  tiaaileae  15r)8),  bei  Linue  boluü  viridis  (Sytem. 
nator.  Kd.  XU,  T.  lü,  p.  1205),  bei  timeliu  argUa  viridis 
(Linn^.  System,  natiir.  Ed.  XUi,  t.  X,  p.  140),  bei  Wallerins 
argila  mineralis  viridis *^  (Sjrstem.  minenil.  t.  I,  p.  51',  1772), 
bei  CroDstedt,  bolus  viridis  (Fursöktil  Miuerolugie  S.  8ü,  p.  102, 
]7riH),  bei  Haiiy,  Tale  cblorite  zographitiiie  (Trait.  min.  t.  III. 
183,  1804)  und  im  vielen  anderen  Mineralogen.  Werner  be- 
xeichneta  in  seinem  Verzeichnisse  de«  MineralienkahineU  de^  etc. 
T.  Ohain  (Bd.  I,  S.  2Ö4,  1791)  das  seladimgrttne  Mineral  von 
Monte  ßaldo  bei  Rrcntonico  in  Tirol  als  Grünorde  in  erster 
Linie  und  erhob  dadurch  das  Mineral  diese»  Kundortas  xmn 
Typnf«  der  Substiinz,  welche  man  aU  Urünerde  au  betrachten 
hat.  Anch  in  seinem  MineraUjrtifom  vom  Jahre  17^9  bediente 
•^r  ^!rb    f(ir  die  Bexeichnuiig   dieser  Minenilgruppe  de.«  Namens 


*)  Creta  viridis  pltinbui»  loma  ntudlur,  aed  optimii  Sminuu*  —  lou^ 
qnoad  colorcra  i't  \irvi  {nriinrti  itifm  i-hrysuu>Llam  inadi  FUniui). 

*)  E«  wirj  fta*drttcklir>h  bdrvorgrhob«u .  dSM  «ie  von  SKuren  nicht 
ai!-'        ""         '    '        .  '  kiü II  Kupfer  i!n(ha1tv.  von  dem  Onipliluiu 

rii  xn.  ')&>«  fs  mit  Silnron  hraosl,  timl  durfte 

WKacii  w>ilU  imf  ilvii  ufi  mit  Kalk  vertt»ob«en<>n  Qlniikiipjt  m  dcut«»  min. 


548         SÜtutuj  der  ntath-phy».  Clag$a  vom  S.  Dtttmbtr  t896. 


OrGnerde,  welche  ebenso  in  dem  I8I6  bekannt  gegvbe 
Verzeichnisse  unter  der  Sippschaft  dta  Steinmark»  eiugemiht 
wurde.  Bei  den  nnchfol>renden  Mineralogen  blieb  diese  Bezeich- 
nung lauge  Zeit  hindurch  für  verschiedene  erdige,  grün  gefUrbte 
Mineralien  in  Gebrauch,  bis  Keferstein  (Deut8chl.geugr.geot 
dargestellt  1828.  V.  3,  S.  510)  für  die  im  sog,  GrtfnMnd  ab 
färbende  Beimengung  vorkommende  Minerals ubstonz  den  Kameo 
Glaukonit  einffihrte  und  Olocker  (Genera  et  S|»oti«»  mine- 
ratium  1847,  S.  193)  sich  der  Bezeichnung  Seladonite«  pic- 
tornm  für  die  als  Malerfarbe  beuGtxt«  Grdnerde  bediente, 
wobei  er  ea  als  noch  zweifelhaft  hingestellt  .sein  lievs,  ob  der 
Glaukonit  dazu  zu  rechnen  sei  oder  nicht.  In  neuester  Zeit  hat 
mau  ziemlich  allgemein  eine  ^heidung  in  Glaukonit  und  ^U- 
donit  in  der  Weise  angenommen,  dass  man  anter  entertr  Be» 
zeichnungswei»ie  die  UrÜnerde,  welche  iu  SedimentgeEfieineu 
meist  iu  runden  Kügelchen  l>eigemengt  Torkommt,  unter  Sei a- 
donit  dagegen  die  in  vulkanischen  MandeUteinen  and  Taffn, 
auch  in  Pseudomorpho^en  iiich  vorfindende  Minc'ralxub^iaDic 
verstanden  wi.«en  will  (Ffintze,  Handb.  d.  Min.  841'  u.  f.). 
Dana  nennt  dieses  Mineral  Celadonite  (The  System  of  Minera- 
logy  G,  Ed.  1892,  683),  ebenso  Des  (Jtoiiteaux  (Manuel  de  Mine- 
ralogie I,  p.  H5).  Zu  letzterem  ist  auch  die  GrUnerde  vob 
Monte  Baldn  zu  rechnen. 

Speziell    genannt    wird    dieser   Fundpunkt   von    M  ereati 
1574 .   welcher   eine   Mineraliensammlung   im    Vatikan   aalfffie 

nnd   hierüber  einen   Katalog   verfasst«,    Metulloth ^'  -Mcana, 

welcher  freilich  erst  1717  durch  Lancisi  mir  V> ;  buug 

gelangte.  Auch  der  schon  erw&hnte  PUniusinterpretator  II  ar- 
duinus  fllhrt  1741  (1.  c.)  «n  »In  agro  Veronenfti  t»*r!  "<* 

effoditur,  pictoribus  enpeditiL*,  und  der  Schwede  Br'___  _r- 
wahnt  gleichfalls  (Bergarter,  17:10)  eine  GrQnerde  von  Verona. 
Es  geht  daraus  hervor,  dam  um  dio««  Z)>it  da«  V<  i  am 

Mt.  ßaldo   Iwi  den  Mineralogen    schon  allgemein  i».  n.ii,>.v   

Rome  d'Ule    spricht  «ich  (Crystallogrupbie  11,  K^l.  11,  p.     -- 
178.1)  dabin  aus,  da«  aL'argüle  üo  terre  verte  de  VeronA*  au 
eiuer  Zersetzung  der  von  ihm  als  Fierree  argUeostt  angefUhrttn 


4 


fTt^  OAmbel : 


ne  Grünenle  rom  Monte  Battlo.      540 


Miaeralion  abstamme.  Estner  (Yersnob  e.  Mineralofipe  II.  Bd., 
8.  7r»5,  1797)  bexeichnet  die  StibHtaiix  uh  i\  verde  di  Urentonico 
und  ii^bfc  nu,  diws  sie  in  ziemlich  ^ruasen  Stflcken  am  Mi.  Raldo 
einbreche.  H.  B.  de  Sanssare  erwähnt  gelef^enttieh  einer 
Ilei^e  in  der  Umgegend  von  Nizr.a  ein  grOne-i  Mineral,  dai  w 
fflr  Worner'B  GrUnerde  uder  die  ,t«rre  verde  du  monte  Batdo* 
hiLH,  die  er  desshalb  ohne  Weiieros  »Baldogee'  benennt 
(Voyage  dans  les  Alpes,  t  V,  §  1432;  1797).  Später  will 
Delametberie  (Le^-ona  «lern.  d.  Miner.  1811-1812, 1. 11,  p.  78) 
dusMellie  Mineral  vom  Mt.  Biililo  »U  ,Veronit'  bezeichnet  wisiieO:. 
Änsftlhrlichcr  bat  dann  noch  Giov.  de  Brignoli  de  Bruna- 
hoff  über  die  Ürünerde  dieses  Fundortes  (Joum.  d.  Pbysic,  d. 
Chimte  e.  ij.  hiat.  nat. ,  t.  1>0,  1820,  p.  855),  alwr  was  die 
luiueralogiscben  Angabeu  betrilH,  in  ganz  ungenügender  Weise 
Bericht  erstattet 

Von  den  zahlreichen  späteren  Mineralogen,  welche  den 
Mt.  Baldo  »Is  Fuudurt  der  GrUnerdu  unfUhrt-n,  mag  noch  Hiiff- 
mann  (I^hrh.  d,  Min.  11,  195}  und  ganz  in-sbesonderc  Liebener, 
der  ortskundige  Tiroler  Mineralüge  (Die  Miner.  TiroU  1852, 
S.  120  wegen  der  uueführlicheii  Angabe  angefahrt  werdon. 
Neuesten;«  erwähnen  Nicolis  und  Kegri  (Atti  del  Ist.  Vcneto 
Ser.  VII.  la  1880/00  p.  470)  da»  Vürkotumeri  der  t«rru  verd« 
aui  Mt.  Trelt<>,  daa  i^t  (>in  Vurljerg  am  Mt.  Kaldo. 

Kin  Uüuor  Abschnitt  in  der  Kunntuiss  der  GrUnerde  be- 
ginnt emt  mit  den  ohemiscbeo  Analysen  der  (irCnerde  vom 
Mt.  Balilo  durch  Vam^uelin  (Ann.  du  Musen m  d'hi^toire  natu- 
relle, Vul.  IX,  IftOT,  p.  Hl)  und  Klaproth  (Beitrag  z.  ehem. 
Kenntn.  d.  Mineralk-irper.  Bd.  IV.  1807,  S.  241),  denen  danu 
8prit«r  di«  von  Deleaao  (Annal.  d.  minee  1848,  14,  p.  74,  i. 
N.  Jahrb.  1848,  S.  .'i45)  nachfolgten.  Aach  Grtlnerden  von 
anderen  Fundort«»  und  Glaukonite  wurden  in  der  Fi»lg(^  viel- 
fach chemisch  unterKUcht  (Hintxe,  Flandb.  d.  Mineral.  S.  851)i 
v»orauü  hervorgeht,  dass  trotx  tier  nicht  geringen  Verschiedeu- 
beit  in  den  einzelnen  Analysen  dieeer  Gruppe  von  Mineral- 
stibstanKen  etwas  Gemeinsames  und  Cbarakterifitiflcbee  zu  Oninde 
liegt,  welches  nie  von  anderen  Mincralgruppcn  trennt  und  unt*'r- 


550         SUttatff  der  mafA.-jiAyjt.  Clng»e  rom  ■>    I)--zrnihfr  if^iG. 

scheiden  lässt-  Die  cibweichende  Zusiiniintiii!«;lzunf{,  Wf^h^he  dtf 
cbemUeben  Analysen  im  Allgemeinen  «r^ebon  hab^n,  ist  loii 
Äaenaboie  der  Oxydati onsstttfe  des  Eisen bestaudtheilea  doch  wobj 
auf  verunreinigende,  mit  dem  Mineral  innigst  rerwAchieii*, 
Terschiedenftrt.i^e  Beimen^nf^en  und  auf  die  Terwhi^Klene  Art 
der  Vornahme;  der  Anüly*  /.urückr.ul'ühren,  wie  «ich  in  fT»Uirrr 
Beziehung  auch  lu  DiiunäohlitTen  u.  d.  M.  deutlich  WAhr* 
nehmen  lasst. 

Die  Nichtfiboreinstiuimung  in  den  Anj^aben  öbor  dip  tirfin- 
erdc  des  uu^weifelbafi  gleichen  Fundorte<]  am  Mt.  ßatiju  \oi\ 
Klaprotb  und  Delesse  und  die  Beobachtung  t.  Kobelli, 
iAa»  diese  OrOiterde  in  Üeberelnstinnnunf;  mit  der  Au^^be  von 
Ülaproth  durch  Säure  nicht  /ersot/.t  werde,  während  Dele««r 
angicbt,  da-^is  die  Substanz  gepulvert  und  t^twu  12  Stunden  Ung 
mit  kochender  Salzsäure  behandelt,  vülUtändig  zersetzt  «erd«, 
fQhrben  den  so  erfahrenen  Miincherier  Mineralogen  zu  dpr  An* 
nähme  (Geschichte  d.  Mineral.  S.  6(33) ,  dass  die  von  Beiden 
analysirie  Grftnerde  von  Verona  nicht  derselben  Art  gewefen 
«ein  könne.  Dieiser  Umstand  allein  «chun  wäre  gunngi^ndcr 
Grund  ztir  erneuerten  Untersuchung  dieser  SuWtanz,  vtm  der 
ich  hei  einem  Besuche  des  Mt.  ßaldo  in  diesem  KrQhjahr  uo« 
den  geförderten  Vorr&tben  inid  von  dem  in  dem  Stollen  vnr 
Ort  anstehenden  Mineral  ein  reiches  Material  gesammelt   habe. 

Ueberbtickt  man  die  Heihe  der  biäher  bekannt  gegeben«« 
Analysen  der  Mineralien  dieser  Gruppe,  »o  liUst  sich  teicbi 
Gemeinsame  und  CfaRrakteristiscbe  darin  erkeanoa,  dan 
sog.  GrCinerden  wasserhaltige  Silikate  sind,  welche  bei  «inen 
beben  Gühalt  an  Kieselwure  und  Kisenoxyden  und  einem  rtUtir 
eebr  geringen  an  Tlion-,  Kalk-  und  Bittererdc  dagegen  flioe 
namhafte  Menge  von  Alkalien  im>besüudere  an  Kalium  beaitxMi, 
wie    kein  Mineral   der  Chlorit-,  Talk-   und  S  '     -Qrupp«» 

mit  welchen  häufig  dieses  Mineral  nuammeng'  ird,    Dat- 

selbe ist  ab  eine  selbstftndige  sog.  Art  auf/.ufusseo.  Welche 
Beziehungen  zu  der  IvÜnimergnippe  sich  herawKtvllen,  darauf 
wird  spiltfr  zurilckzukommeu  sein. 


C.  W,  v.  Oümhet:  Utber  dt*  (Srünanle  n>m  Montt  Baldü.       551 

Um  aber  die  nbweichenden  Angaben  VaiH|iieIins,  KIb|i- 
l^ülhtt  und  vuM  Dule»<.so  iu  Bexug  auf  die  Oxydatiuniistufe  de»c 
SiMnbe«lnndtl))!ils  Änlialtfipunkid  xu  ^i^winnen,  schien  es  wün- 
Bcbenswerth,  eine  neue  Analyse  zu  veranla&fien. 

l)ie  cheruische  Anuly-^e  wiinle  ron  Hprrii  A(uist«>nien  Ad. 
8chwBf;or  im  Labomtoriiim  des  kg).  Ober  her  gamtc«  mit  aller 
Ht^ltichlimlinie  auf  die  B^tinirouni^  von  Giitenoxyd  und  -oxydul 
vn  Material,  irelche^  ich  seibat  am  Ort  de«  Vorkommens  ge- 
sammelt habe,  vor(,'enomuten.  Die  Ergebnid^e  siud  im  Folgenden 
sogleich  mit  d^n  Angaben  tu»  V^amiuelin,  Klaproth  und 
Üelesse  sasammeng(>.-.-tellt: 


Bt^staiidUieüc* 


irMeUfturr 
Itanoxjtl 


Knlkunlc 
ßittrrrnli- 
Kali    .     . 
Natron    . 
E'hoiipbüDuluif 
Waaser    - 
Organinrb«*»     .     . 
Siunniß 


VKIlllUftlitlM    hTlaiifvkili  1  TtAlAuaa 

AtJo 

f  Schwager 

1  null  u^  im    f 

1 

Jt")_  . 

H»l 

ui*l 

r^'i 

..       ^    bl^ 

HfiO 

"1 
56^ 

6iM 

— 

— 

0.22 

0,24 

0.10 

1 

- 

7.25 

7.38 

8,30 

1.22 

2\^ 

38 

— 

1».12 

18,85 

19.1H 

- 

3U.7J 

7.09 

3.88 

4,30 

- 

— 

0,16 

0,13 

0^8 

— 

- 

0.30 

0,10 

0J4 

<i 

•2 

!>,^ 

8,16 

633 

5.84 

7,.S 

10 

«^1 

6,48 

0.04  '     9.7B 

l.!»2 

0,03 

Ija      0,82 

- 

— 

0,10 

0.07,     — 

t 

ti            Ö,H7  1     4,99 

4^7      8,77 

- 

—             —         Sjmr 

S|Hn      Si'tir 

i»9,5 


W         KO.tW    100,3».   1(W,47     -.HV»! 


Während  dis  Angaben  der  verschiedenen  Änalyuen  in 
T?reug  unf  die  Menge  der  RieseUiure,  Tbnnenle,  Kalk-  und 
Bitt»M('i(!H,  der  Alkalien  und  de»  Waasers  kanm  grö-sere  I  nter- 


'1  Mit  Too  M.  raiiJAA  tm  Ort  und  Stell''  ge*nmue]t«iii  Matoriml. 
*)  Mit  dipjitcn,  Iwimopeucn.  u[i<4Ci>|p<si^n  roinen  Htflrken. 
'l  Mit  Ton  den  nün«t4<n  StQi^k'ii  ul»tirhl>'nunliiinnii  Matmul. 
*)  Mit  CJrtüidJKlu  «OD  «t'TngUrJi  tuirit^pr  Bfarhufli-nbcil;, 


I 


mfM  (20.73*y«>  aai  htm  FlMUTr^  n.  «m  n^  <1  Baaef 
W  av  GriMrdc  woo  Kud»  od  Sartoriei  «.  Walttrt* 
ksna««  bd  jiMT  n»  Usad,  ««kke  Amm  teh  kaÖH  ««BitfiGfc 

■ickt    aogVitcUten    Anftljm    Scbvagcr*i 

1I«B98  TQo  KUcnox^d  ^Amdco  ward*  io  Vn 

mit    dm    AnalyNO    Leoaberg'*')    (ürftlH    «m    Bafrar«')    ua4 

HtdiW»*)  (GrOoerd«  «^od  Seoit  Stolir  raid  GmoU  CkMewmj). 

Zu  deo  AnAljaen  I,  U  ü&iI  HI  Heiorrkt  Schwager:  «da« 
dat  MrttTwI  XU  I  von  daer  Anohl  derber  hk  tmmä^pmm 
flftflek«  g*!iicmitD«a  wurde,  von  wckbw  ia  bis  1  ms  groM 
BUkki-li«!  x«ncblag«suMi  Tbcil»  di«  ww-lwiirnid  niiiriiiii  m^ 
geAcam  wurden. 

Zur  Asmlpe  11  dwnleB  «Be  darvh  kocbudas  Wmmt  ras 
ijen  mnict^rn  (frTiwwrrn  Stricken  aMrwharen  f>^iast«n  Thctlp,  «rÄJi- 
rend  fQr  Analyse  III  StOckcben  von  angesprochen  stängtich- 
fvierigem  GefDge  und  deutlicher  Homogenität  verwendet  wordeo. 

.Diese  Proben  zeigten  ein  feinerdiges  GefQge,  und  an  den 
vielfach  auftretenden,  oft  wellig  gefurchten  Rutsch-  nnd  Gleit- 
flächen lebhaften  Fettglanz,  wie  solcher  durch  kfinstb'che  Glit- 
tang  hervorgebracht  werden  kann. 

Die  Härte  schwankt  zwischen  1 — 3,5,  erstere  bei  den  ab- 
Hchlemmbaren  Theilen,  die  mittlere  gilt  för  die  StQcke  der 
Analyse  II,  und  die  Härte  des  Materialä  zur  Analyse  ITI  halt 
sich  zwischen  der  von  Kalk-  und  Flussspath. 

Die  Farbe  des  Minerals  ist  eine  dunkelblangrOnef  wech- 
selnd etwas  dunkler  oder  heller;  das  zerriebene  Pulver  ist  lichter 
gefärbt. 


I 


I 


\ 


I 


>)  '/.mUchr.  »1.  '1.  ffeol.  GeHell«rh.     II<1.  29.  S.  49B. 
»)  TmtiHact.  Roy.  Soc.  Edingb.  1879.    XXIX.   8.  102. 


C.  W,  r.  Oimhti:   üebtr  die  ÖrAnerde  tom  ifeiiM  BtOdo,      553 

Der  Strich  ist  raiitt,  hellg:Hln,  nicht  jjinnzrnd.  Dat 
liioend  fUblt  sich  etwas  fottig  au  und  klebt  schwach  an  der 
Zunge. 

Daa  spec.  Gowicbt  der  Substanz  Analyse  1  und  II  betrügt 
2,850—2,020,  dfis  der  Analyse  Hl  2,fi60. 

Der  Bruch  ist  tiach  muschelig,  uneben  wellig. 

Der  Schmelzpunkt  fflr  Probe  I  und  II  wunle  annähernd 
Ea  5  (Orthoklas),  fnr  ill  dagegen  xn  4,  jenem  des  ÄmphiboU  ge- 
nähert, bestimmt.  Die  Schniel/^^erle  ist  in  der  Oxydation.'^ilanime 
eneeugt  Hcbwnrz,  in  der  ReduktiunisHaninie  lichter  gefUrbt. 

Im  Külbcheu   giebt   daa  Uineral   unter  beginnender  Roth- 

ghitb  erhitz-t  VVaüser  ab.'     Die  in   leiiiste.i  PuUer  verwandelte 

Substanz  wird  durch  25  "/q  Sul^-Häure   oder  50''/i)  Schwefelsäure 

in  der  Kochhitze  während  ungefähr  10  Stunden  volUtändig  zer- 

lütcU    Die  Kie-selMtiure  bleibt  ala  pulverige  Maftm  im  Rdcluttunde. 

Behufs  der  [Cisenoxydulh<^«timn)ung  wurde  jede  Probe  aut 
zwei  verschiedene  Wt^sen  behandelt  und  auä  deu  nur  wenig  ub- 
wm'hendeii  Einzelbeätimmimgen  An»  Mittel  genommen,  welcbca 
die  Zahlen  der  Analyse  I,  11  und  111  geliefert  hat. 

Die  Methoden  bei  diesen  Ei^noxydulbestimmungen  waren 
folgende; 

1)  Die  Zersetxuog  geschah  direkt  durch  50"/a  Schwefel- 
säure unter  £inlritung  eine«  coolinuirlicbeu  Kohlenftäurentroma, 
der  bereit«  vor  Eintragung  dea  fcinstgeriebenen  Material»  und 
vor  der  Hrhit'/ung  dun:h  die  Stthwefelsäure  g«^ffihrt  wunle. 
Diese  t^iuleitung  von  Kohlensäure  in  das  zur  Zersetzung  dienende 
Gefwäs  vor  und  nach  der  Krhitieung  geschah  in  allen  angefflhrten 
Füllen  auf  (gleiche  Weise. 

2)  Die  Prnbon  wurden  In  dnem  mit  Kohlemiäure  gefQllten 
und  dann  zugwchinolzenen  tJlajirohr  mit  25'*/o  oder  SO^/o  Schwefel- 
älure  auf  120-  13ü*'C.  erhiUt,  wobei  der  Aufschluss  mit  25'»|oiger 

jre  ra»cher  erfolgte,  aU  mit  .'tO'^/uiger. 
!))  Der  Au&ciiluM  wurde  mit  einer  zur  raseben  Zontetaung 
bm   gelinder   Krwärmung   zureichenden   Menge   von   FluMsSure 
und  Schwefelsfiuru   untrr  Kiuleitnng   von  KohlonMÜiri*   bewirkt. 


«2. 


nTT*rn>qi''Trry    init  Jkans    snn    'W'iikar-ilttil»  Xj 
soB  lirmsi  Ulli   mztc^ÜHi.    £!-üi  i^Scio^  IHbeicnasL 

äfOE  famg  lecrufrwntai  Kicer-OL  3ni;  am  Siions  i 
?i£v¥F   KW4K.    üfüi    KuritHssei    in.      STl£iIl^ 
jQfilax  Tüia  n  crimate  Htsaa^  m.  Qm  lamisn  «n..  jo. 
Ö«    'TT-Iniiirb;    TUT    S;fiiut«hSf!iz     *^fr-T:»:a»ai    3a.     ^^^SBC 
«ünaai:  loixa  ctt  £lts?&&ajn>cimi.   ^^uue  :ii  Firm.  ^m.  ^^^adtsAa. 

foui^Hi     "rjn     ?Vji:3rTTUimu&-.      t  uinBiu      nmic»     ^taÜoL    -föne 


C,  W,  V,  Oümbet:  Vtbtr 


nm  BHomtm 


^tdUti.       5ÄÖ 


Nikols  die  SiiHstnnz  nts  doppelt  brt^chend  und  zei^^t  Aggrej^t- 
furWn,  wft-s  ihre  ZusanimeiUtitzung  aus  kleinen  kryätalliui* 
schon  Theilfhen  twweUt. 

Behandelt  man  die  losgel5»t«n.  gut^ereiuigleu  DUiiiischliffe 
mit  25*fo  Salzsäure,  so  verfichwinden  die  oben  erwähnten  rost- 
getbun  ricckf»  tind  es  bleiben  an  ihrer  Si*iIIij  helle,  kr^'iitalliniäirhe 
l*artien  erhalten;  mithin  scheint  die  g«Ibe  Kürbuug  u«r  von 
einem  sersetzten  Etifenminerat  herTiirQhren.  Mit  Kalilauge  be- 
handelt zerfallen  die  Dfiun»ichliin}lätt^hen  in  unregelmässige, 
meist  spies^eckige  Stückchen,  wa^  auf  eine  zerwtzende  £inwir' 
kuDg  auf  die  Orünerde  hinweist.  V^  t>e»«iiUigt  dies  unch  die 
Thatsache,  dass  l>et  der  Behandlung  dts  feinen  Pulver»  mit 
Kalilauge  bis  d*^/o  KieaeUäure  ausgezogen  werden. 

Fast  genau  ebenso  rerbült  e^  »ch  mit  der  zweiten  Gruppe 
der  GrQnerdeflibstanKen,  dtfni  Glaukonit.  Auch  fflr  dieäifn 
gaben  viele,  namentlich  die  alleren  Analysen^)  h»  auf  Sterrj 
Hunt,  C.  V.  HauHhufer  u.  A.  den  KitieribesiandthtMl  als  Oxrdul 
an,  während  0.  v.  Hanshofer  in  10  den  rer^chiedentiten  Sedi- 
nientlLrge»teinen  eutnoiumunen  Proben  durchweg  weit  überwiegend 
EisenoTjd  fand,  in  Uebereinstimmung  mit  den  Angaben  n» 
Sterrj  Hunt,  Dewa1(|ue,  r.  Rani  berger,  Meddle  und  den 
meintgeTi.  DieK«?  Ergebnis^  kann  kein  zufalligee  oder  auf  einer 
Verschiedenheit  dea  untersuchten  Materiatn  henihendee  sein. 

Da  auch  in  den  .tadatpinen  Terti&rabUgerungen  x.  Th.  Hehr 
reichliche  Beimengtingen  von  (ilnakooit,  namimtlich  in  gröntter 
Menge  in  einem  kalkigen  (trtlnsand  am  Zollbaua  dea  Mt.  Brione 
bei  Riva  am  Onrdnjtee  gefunden  wird,  uoterwtg  Ad.  Schwager 
ch  diesen  Qlaukouit  einer  Analytte  und  nbergab  mir  fol- 
ode  hierüber  von  ihm  gemachte  Beobaehtiingen: 

,Au«   dem  Grfinsaud   der  unteren  Schio*Sehicliten 
ZollhuuK  Mt  Brione,  Gardaaee. 


^(  ti  11  ni  Hfl ,  Uvb.  <1.  Natitr  a.  lliMrin|{iiwci#o  ilr«  rÜAnkonit«  (Sitx.- 
Ber.  d.  b«y«>r.  Aoul.  d.  Wim.,  niath.-fihiii.  U.  148^,  ^.AM).  C.  Birtti». 
Hofidb.  d.  HiannU.  18!».  S.  ft4f). 


556         8it*UMff  dft  wui3lk.-fiL»fi^  Ctatu  vom  i. 

Der  GrQns&ad  Tom  Ul  Brioiie. 

Dvr  Ten(it.'ineTupg«reicH«  GrQn-  oder  GlsakoDitssnJ 
der  Datentichung>4  probe  erw^t  ach  im  Mittal  (mü  As* 
acbltcM  der  &»ui;^hyiien«ctijUe»)  suttunmetigeBptxt  ma 

Qlaakonil  ia  Körnern      .     .     ^  43,97  */• 
QiWRBBBd  und  TboD  mü  wenig 

Kellen  OLimm&rschOppchen  .  24,51  « 

Scbiref«llda  3,S»6  , 

Eiwsoearboiuili 7,38  , 

Kdkcwbonak 1*3.00  . 

Bitlererdecarbonat 3^  , 

Oype .    ■     ,  l.OT  . 

StmiiDe  100,UÜ 

L'at«:r  iliesea  Gemen^h^tten  bilden  GlBuknnit,  Quin 
□ndf  mit  seltenen  Aufnahmen,  nurh  der  Seh  Wi^f«lkie*  dit 
gruberen  BetiUndtheUe  (00,fT''/o)T  welche  im  MAximam  rtw« 
Ü/i  mto  EurDgrÖtiie  erlaDgea. 

Dfe  Carbanate  mit  27,767<>  bilden  das  Terowit  ftr 
die  übrigen  Bestandtheile ,  während  der  letztangefthrte 
Gyps  als  das  sekundäre  Produkt  der  Einwirkung  der 
Atmosphärilien  auf  den  Schwefelkies  nnd  weiters  der 
solchergestalt  gebildeten  Schwefelsäure  auf  den  benach* 
harten  Kalk  anzusehen  ist. 

Aus  diesem  Glaukonitsand  wurden  zuerst  (bei  Zim- 
mertemperatur) die  Carbonate  mit  verdünnten  Säuren  m^- 
lichst  entfernt,  dann  der  lockere  RGckstand  durch  Sieben 
von  den  feineren  Theilen  befreit,  um  schliesslich  in  wieder- 
holter Scheidung  mit  Mcthylenjodid  den  Glaukonit  in 
möglichster  Reinheit,  getrennt  von  den  fibrigen  Gemeng- 
theilen  zu  erhalten. 

Glaukonit  vom  Mt.  Brione. 
Im  Korn   erscheint  derselbe  dunkelgrün    bis  grQn- 
lich  schwarz,  in  mei.-^t  gerundeten,  oft  nierenfOrmig 


\ 


a  IT.  P.  Qdmbtl:  Veber  die  Gr 


nU  BaliUi.      ^^^7 


ffetheilten   Formen    mit    mattom,    eben   wahniehmbanni 
KettglariK  aa  der  Oberfliiclie. 

Die  Härte,  in  den  kleinen  Aggregaten  schwer  be- 
atiinmbtir,  tnt^  um  3  herum  schwanken. 

ÄLs  foinos  Pulver  zeigt  dieser  Glaukonit  dnrch 
organische  äu1)«ian£  verursachte  sühmat7.igb]BQgrflne 
Farbe,  welche  nach  laug  anhaltendem  Trocknen  auf 
100— UO«C.  merklich  lichter  wird. 

Das  epex,  (lewicht  der  xiir  Aiialy.sH  verwandten 
Substanz  wurde  iu  zwei  Kälten  be-stjtunit  uud  «rgitb  diu 
Zahlen  2,055  und  2,952. 

AIb  urspriin^flichea  Korn  ist  der  Glaukonit  xicnilich 
ficbwer  schinel/.biir,  und  neltinl:  ab  tti'invs  Pulver  ninki 
seine  Schnioly.hiirkeit  kaum  unter  den  Werth  5  (Ortbo- 
klos)  der  Kobuirschou  Schmelzskala. 

Im  KÖlbchon  (frhitxt ,  Hcheidet  dt^rsellm  «olbst  boi 
m&ssiger  Ilitice  leicht  Was^ier  ab,  da^  ucb  nach  längerer 
Einwirkung  von  beigemengter  organischer  Substanz  leicht 
gefärbt  zeigt. 

Vor  der  Analyse  wurde  das  Mitterial  sorgfaltig  bei 
105*"  C.  getrockuet.  Der  Aufuchlusa  ^in  orspriiuglichtT 
Kurncrfonn)  mit  ö^/oiger  Salzsäure  am  Waaserbad  war 
selbst  nach  IGstUndigem  Krbitcen  nicht  ganz  beendet, 
wShrend  ^^^/oige  Sulzsuur«?  in  wenigen  Stundf'u  die 
KoMung  bis  auf  die  von  organischer  Substanz  bräun- 
lieh  gefärbte  KieseUäure  bewirkte. 

HenierkeiLswc^th  i^^t,  dafts  h«i  Behandlung  der  nicht 
zerkleinerten  Glaukunilkörner  mit  Süuron ,  nach 
vollendeleni  Aufschlusa  die  KieseUünre  in  der  Form 
dei  ursprQnglichen  Korne»  aU  hallidurchücheinende 
opalartige  compacte  Masse  znrflckbleibt. 

Zur  Kiitenoxydulbesitimmung  wurde  der  (»laukonil 
mit  25''/Diger  SchwefeUäure  unter  Kinleituug  von  Kohlen- 
■äure  zur  JUisung  gebracht  und  das  Eiaenoxydul  mit 
Chamäteonlöflung  titrirt. 


Summ«  100,84 

Tq  d eil tli eben  Spuren  wiinl^^ri  in  1  f^  SiiU4anz  weiter 
nachgewiesen :  Cu,  Ni  und  t'beü  noch  nachweisbar  So. 

Die  grosse  Uebereinetimmcing^  welche  sich  in  der  Z«- 
sammensetzung  des  Glaukonits  und  jener  der  GrQnerde 
(trotz  sonstig  mannigfach  hervortretender  Verschiedenheit*) 
ergiebtf  auf  welche  schon  vor  langer  Zeit  hingewiesen 
wurde,  ebenso  die  Frage  nach  der  Einheitlichkeit  ihrer 
Zusammensetzung  liess  es  gerathen  erscheinen,  diese  Sub- 
stanzen einer  Theillösung  zu  unterwerfen  und  diese  in 
Vergleich  zu  setzen. 

So  ergab  die  achtstündige  Einwirkung  von  2''/oiger 
Salzsäure    (100  ccm    Säure    auf   0,5  g   Substanz)    am 


')  Die  organißche  Substanz .  nur  in  geringer  Menge  vorhanden. 
reicht  aber  hin.  um  den  Kieselsäure- Rückstand  beim  S&ure-Anfachluss 
deutlich  /.n  fiirbeii. 

')  Diese  Verschiedenheit  ao!l  weiter  unten  durch  tabellarische  Ge^en- 
überKteltnng  der  namhafteHten  Untersuchungsergebnisae  an  diesen  Stoffen 
übersichtlicher  dargestellt  werden. 


f.',  W.  r.  tJiltuM;   Ccber  titc  Grüncnie  nm   .Vonle  BnJih        559 


Wasserbad    auf    die    feiugeriebeaen    SabsUnzen    folgende 
procenÜEwfae  Zusammensetzung  der  L^nogen.') 

2''/oigc   äabjtUure   lOst   in   8   Stunden    anf   100<*   er- 
bitzt  aus  : 


Glaukonit  von  Mt.  Brione. 
Gesammt:  58.08  «/o 


Grßnorde  Ton  Verona.*) 


ntihonan   iii  Klnmnirj-  di»;  BnuHchaniüyfld'n   lier  hRtrcffi>n<lmi  Stolfi'K 


50,36 
7,38 
23.08») 
0,91 
4,08 
0,62 
1,58 
U,0  =  Ü,32 
HnnimelOO;W 


ft0,21 

18,9a 
i,4:i 

6,04 

0,31 

0,93 

10,07 

99,9:. 


Thonerdeetc. 

Eiaenoxyd 

Kalki^nlt' 

Biltvrerde 

KaU 

Natron 

Glahverlusl 


-  5ü,y9 

54,80 

4,28 

7,88 

-23,30 

20,21») 

0,4  ■! 

0,20 

Ü,:^l 

3,18 

=  7,81 

8,48 

-  0,91 

0,02 

-   6,50 

4.99 

H,0 


Summe  99,»7  100,80 


Witt  oRiichÜtch,  ist  die  leichtere  ZerAetzbarkcit 
dos  Glaukonits  durch  Säuren  in  den  ver/eichneton 
Helativ zahlen  für  die  Losung  in  2*'foij{er  HCl  deutlich  au«- 
gfclrtickt.  Wülirend  von  der  GrUnerde  kanm  ein  Viertel 
gelöjüt  wurde,  verfiel  bei  gleich  gcHtjiUeter  Einwirkung  Ton 
dem  Gluukonit  mehr  als  die  Hälfte  der  Lüsung. 

rngettcbtet  dies^-r  Verschiedenheit  in  den  Mengrn  dis 
Gelitten  reigt  dessen  prucentidche  i^usamnienäetxung  den- 
noch in  beiden  Fallen  grodse  (Tebereinstinimung. 

*)  Bin  Thetl  der  durrli  die  KLutd  autt  ilirftr  Verbioilunt;  frei  g»- 
wordiuien  Klesfitflare  ging  hi  die  filthrte  Saba&iireldRiutg  dbrr.  der 
R#«t  flwrwlben  wtirrle  mit  5'/i»igür  K&Ulatifi;e  dureh  m^famtflndigc«  Er- 
hitxi'M  nm  Wawterbiul  vun  ik'ni  iuumei/-tcn  HtlclntAnil  i^vlrrnnt.  Datir 
'/..  :    ilicMTf   uncli  iu  KOH  UVliciu'tt  didf  wunlfi  ilir  (ii^kaiuntt' 

I  i^ngo   tiOHwhnpt      I>(*i'  Aitthpil   iler  in  *V\f  'J"/oi||i-  Saluänre 

abej-gcfn^iigciioa  SiOt  tut  der  ßekafnintlO'uug  MHigt  beim  QlaukouJt 
123Q-  M  litT  ilrOnenle  n.M<Vo. 

'1  MnU'rial  der  AnaljTM*  l  iler  Orüjienlan. 

')  Kiflcn-OxTd  nnd  Chiydul  «ind  aU  Za\i\*tn»nmmo  angetotxt. 


560         Sitwng  der  math.-phyti.  OZaMC  oow  5.  Ikttmbm  74^. 

Die  Gpgenfiboratellang  der  beiüefOgtca  BausehaailjrMO 
liast  weiter  erkeauen,  daas  die  Theill&sangeD  mit  der  Zo' 
aammeosetzuDg  des  Gltukouita  die  g^rAvi»  AehnlicUiui, 
—  ja  in  ihrem  Häiiptbestandtheil.  '1er  KieaeliiuFe,  fMt 
absointe  Gleichheit  aufweisen.  ÄuffÄlÜge  VentcJiiedexLlust 
(abgesehen  von  dem  iM:bwankenden  Ei^ogebalt)  neigt  ach 
im  Wasserantheil.')  Die  Theüloetungen  enscheinra  lui 
Wasser  reicher,  als  die  Substanzen  im  (ianieen  and  xwar 
t>t«llt  jene  des  leichter  aufscfaliessbaren  Qlunkoaits  flchein* 
bor  dua  höhere  Uydrat  dar.  Pemer  zeigen  die  PartiAl- 
lösungen  aocb  höheren  Bittererde- und  geringeren  TboD 
gehalt. 

Die  grfiert«  Differenz  /.wischen  Theill&Attng  und  . 
analyse  wevtt  aber  die  QrÜnerde  im  Kieselftüaregvbalt 
lutf.  Dia  TheiUösuug  fiUirt  5Ü.3P.  die  BiLuacbaoalyae  rer- 
xeichnet  '>4,S*^  und  reciiuehach  tinden  mh  im  RAHutaiid, 
nach  der  Behandlong  mit  2o/oigcr  SaUtiäure,  56,17'/* 
KieseUüure. 

Dieser  höhere  Kieaelaäuregehalt  im  Rückstaod  deatd 
mOgb'cher  Weise  auf  eine  Beimengung  Ton  ungebundeiwr 
Kieselsäure.     Der    Äufschlusa     einer    GrOnt^t  mit 

Schwefelsäure  und  die  uacbfolgende  Ik-ii«;.  i.-...g  der 
resUrendon  Kiesetsfiare  mit  Kalilange,  welche  vGlIige  lA- 
sung  bewirkte,  schliessen  die  Gegenwart  von  Qmurx  ao*. 

Eine  weitere  Paraltelunter^UL'hnng  vnn  Glaukonit 
und  GrUnerde  bestand  in  der  IMiandlnng  der  feiosk- 
zerriebenen  Substanzen  mit  Kalilauge. 

5°/uige  Kalilauge  hatte  in  12  Stnnden  bei  Kocbhits» 
vom  Glaukonit  von  Mt.  Briune  14,2Ö^/ii  zereetxt. 


»»  Die   aogo«fil3rt*n   (SlOhTerioatu   füilTerenx   iler   ftIttliT»r'^"  • 
OnniMii  irad   dv  Bcatf)  piib«n  nicht  Am  Tollen  WiUMTvrlüL 
beim  (JhrtiiMi    miUnrlinuiiit^.    irimn    »ni-Ii    ^vi 
Sahainnz  crbflht    ilcn   iilUhvMrluit   nbrr  dm  I'> 
WatieTB,   wUhrcbil  ilie  Kl'^^'hiteitigr  Oirdining   von  t^rt 
Miftlnl   XU  Oxyd    Juii  OIüIiv^tIuiI   (^t'ring<*r   endieJnen   L.-'..     --^--Li....- 
•tellen  «ich  hinr  die  lilUhveHiiiitc  am  Wvnigf»  iiitHlnger  aU  der  mtmU 
lirfae  W&«*orfrebalt. 


a  W.r.  GfmiKi:  IJelftr  die  OrÜHtrilc  com  Munit  ÜtUäv       5'>! 


in  ['roceulen  der  zfirsetzteii  Menge  waryii  5*J,00''/o 
Kieselsäure  vnu  ilör  Lauge  in  Lüsutig  (^enuinmen  uixl  an» 
tiein  durch  Filtrntion  von  der  Ijd^unj;  ^ptronnten  Klick- 
sUndo  mit  kalter  verdQnnter  Sul/^ure  weitere  2<),00''/i) 
Kisenox^J  etc.  iMts/.iehbar. 

Von  der  Grünerde  von  Verona  waren  mit  lO*"/© 
Kalilaage  in  xwei  Stunden  bei  KocbhiUj?  iri,28*'/D  nuf}^e* 
:icliIo«wn  mit  •>4,0ö°/(i  KiesoU'mre  und  24,00 "/«  I'*i«cn- 
oxyd  etc. 

20°/oige  Kulitnu^e  lintten  in  30  Stunden  Itei  Koch- 
bitw  25,0  "/g  wriot/t.  Uievon  waren  55,40  "/o  Kie.^elHiiure 
von  der  tätige  direkt  gelfi^t  und  in  dem  dnrrh  Filtration 
gewonui-neii  TlClcki^Und  dann  durch  kattt*,  verdfinnt«  Sal/.* 
säure  22,22 ''/o  Elsonoxyd  etc.  löslich  geworden. 

Die  eht'.n  angffQhrti'n  rntersiichung'*er^*'biii'*it**ne^lallen 
folgende  SchlHsse  (deren  i.iiUigkfit  si'lljstriMl.*nd  vurlüiiKg 
nur  auf  dn>f  hier  tmt«rsuclite  Material  beschrankt  gedacht 
wird) : 

In  Krwägiing,  dnss  TheilliJ>suiigen  eine?  Minerals,  welches 
wiederum  raeiöt  durch  Verunreinigung,  fremde  EinächUlft^f, 
mirhge folgte  Zer-  oder  lUnset/.nngen  kein  einheitliche» 
(ianzt*  diirMtellt,  in  den  seltensten  KÄlIfn  mit  diesem  fielhut 
genau  gleiche  pnx:entische  Zusauimensetzung  der  chenii&chen 
HeatAndtheile  aufweisen  wcnlen,  dau  Theillrwtung  und  (le- 
»annntbeTitAnd  des  Glaukonits  von  Ml.  Itrione  in  ihren 
cheniiMhen  Coiistitnenten  im  Wt^enilichen  nahezu  flhcrein- 
«tiumien,  ixt  letzterer  nicht  aU  ein  Gemenge,  sondern  als 
oinfncher  Miucralkörper  anzoMhen. 

Anderseits  spricht  di**  oben  hervorgehobene,  sich  den- 
noch ergebende  Vei'schiodenbeii  dafür,  ilw^t  kein  einfachem, 
BUB  der  procentidchen  Zusamtnensetznng  des  QlaukonitH 
kurzer  Hand  abzuleitendem  chrmiscbes  Molekül  vorliegt. 

FOr  die  Itrllnerde  ergaben  mc\\  ächun  in  der  Zuminmea- 
twti'.nng  von  Theil-  und  Oesammtltwung  erheblichere  Tnler- 
Hcbiede.  und  us  vX  fraglich«  ob  diew  durch  Annabnie  einer 
complictrt>fri^n  chemiHchen  Contititntion  genttgend  lH*gHindet 

1«M   M*Ui.  ftk;»  et  4.  97 


ri62         Siieung  ^^Salh.-pkifs.  daue  vom  5.  Desembtr  lt&€. 

crscheiuen  würden,  oder  ob  wir  die  Grtlnerile  nicht  den- 
noch uU  ein  Gemenge  von,  wenn  auch  sehr  ähnlich  ru- 
sammengei-etzten    Mineralcomplexen    zu   betraetiten    haben. 

Um  kurz  einschaltend  dos  KrKebniss  der  Ein  Wirkung 
von  Kalilauge  auf  Cilaukonit  und  Grüuerde  tu  IterGhreri, 
so  beweisen  diese  Versuche,  ilass  iu  genannten  Körpf^ro 
die  Gegenwart  irgend  erheblicherer  Mengen  hydrull'h:bor 
KieselsÜtire  ausgeschlossen  erscheint,  au»  deren  Anwewn* 
heit  allenfalU  x.  B.  die  wechselnde  Härte  der  angefahrten 
tirünerdeproben  erklärt  werden  könnte. 

Die  angefügte  Ueberaicht  des  Yerbaltena  von  Glau- 
konit und  Qrünerde  in  physikalischer  und  chcmiKfaer 
Hinsicht  spricht  deutlich  für  ihre  nahe  Verwundläohnfl.  die 
Hieb  unter  andurin  in  der  grusson  L'ebereiuhtimniuug  ihriT 
Tfaeill5sungen  ausapnebt,  und  setbat  in  den  angefügt«« 
NebenbesUndtb eilen  auftüUigu  Ueberointttimmung  aiifneÄt. 
Aber    el>eii50    bestimmt     spricht    diet^e    Znsauih;  "    i; 

gegen  ihre  Identität.  Der  eine  Schluazi  au.s  ..  i  .-r 
üebereinätimmung  wird  nicht  abxuweisen  sein,  dKss  ihre 
genetischen  Beziehungen  .-sehr  nahe  sind. 


Vergleichende  Ueberaicht  des  Verhaltens  des  Glaukonits  van 

Mi.  Hrionc  und  der  GrGnerde  vun  Verona  in  phyaikalifidi«' 

»nd  cliemischer  Hinairht. 


Glaukonit 

lirOnard« 

Alt 

r...u.', 

'^■-'  ■  "^"vtlrCT  ILfatilich   gl'- 
iriMT  Villi  liiinkt'I- 

_. ..!.. .   i.i iv-itivarwr 

Farbe,  ot'                 :  mat- 
tem i    ::^..^.i.. 

breclii'n"!".  ■ 
ftt ^' 

tl 

llfllbmilui    1    1 

1—8 

strich 

•climutcig  bellblangrftn 

H&rtA 

tuiko  $ 

Si>ec.  flttiiricht 

3.9^3 

2,380— 2.»30 

fhf 


H^^S^Mtmutialdo.       503 


<i  luukoii  1 1.                               (J  rO  uoril  •- 

1 

ScbmeUbarkeit 

LAtilicbkeit  In 
S  Suren 

&  {OrthokU»)             1 4-ß  rAuiphiU)1-< MhoklM) 

■25  '/»ig«  Stilx-  «xler  !S<'hwe- 

'it(   bot 

.--■iiStdii- 

.iii  (Vio   romjMiVl 

L'ihomJc      Kie«el- 

pAiiro. 

2^/aHC1  IM  itiSSltindtm 

2&*y»  Stüx-   mler  Seliwff'^l- 
•Anre   lö^^n    dii»  Ornnordo 
nur  »U  feinOM   Pulvor   oft 
.■1  .t   nii>1.   .'4>liit- iin<)  raphr- 
Erliiiu'n     mim 
u              '    8it'dpii ,     iinU'r 

TheiU  ili?r  KipjicUaun-  uli 

1o<ti4^rui>  FuJvwr. 
i^M  HCl  UM.  in  B  »tunOuii 

bei  100»  c.  a»^"/* 

rinwirkniii,'  wn 
KitliltuiL'''  niT-'M- 

nt'n  S 

:>'7flK01l  h;ilt^in  läStim- 

rt :     Im 
In  Lfl- 

■*Hnn  H<4i-«:ii  ü2,U''Jo  Kio«e)- 
wHiin^   iihil  weit«  iit  vfr- 
ddrintci'.  kiilt'T  ?>alKWtui'0 

2ß,(IO    Kixi'llUXJ'il    l'tC.    ilUfl* 

xiohhnr. 

inVKOH  MhIo»x  in  zwyi 
Stunili^n   U'i  Ru*libit/f  im 
(iüiuen   1&.'28*V»  auf.     Hi'^- 
von  wivren  54,tif;Of,  Ki^^pI- 
minrt?  ilinV'                        i--, 
(•'nlOiinti                             ti- 
ft)lg«iu)  Miji.li  2I.I/7-J  Ki-tcn- 

ox>'d  ijIc. 
2(rV«>  KOH  80  Stunilnn  «iif 
Ko<'lihitir.r  ßulimi'btr    Auf- 
«chlu^H :     aS.*»"/».      Hifvon 
65.4i;''A)  Kii'SpUriur«  direkt 
fft*lthit    —       ■  ^  '  '  -.  -  '    in 
kulter,  Vtfi  1                           re 

11    . 
I 

wuTvn 

I^..l 1 l.         -.-rti» 

noch  im^hweiAbiU'  Zinn. 

SpeVtroiiViM    ■  *-    '    n  «irkt- 
'ar:  [iilh'<                   KM|tr<:r 
,                   Uli"    ...-  ■%■ . 

1 

Aber  auch  mit  den  neueren  Analysen  der  Grflnerden 
(SeUdonit)  von  uieiiriTfU  Kundnrten  stimmt  die  de»  OUukonits 
HO  nahe  nherein,  doss  uo  einer  niiiierulo^irichen  VerM.*hie<li>nheit 
beider  MinoralauUstAniten  nicht  m>hl  TcAt gehalten  werden  kann. 

Üieä  wird  auch  durch  daa  ithysiknhiwhe  Verhalten  des 
Gbinkonits  be^äti^^,*)  welchen,  wie  DOnnschliiTe  n.  J.  M.  lehren, 


<)  Oamüel.  a.  a.  0.  S.  isa 


87* 


küdi  4m  OlMlnnto  ■* 
nein  im  n 

i|«r  OHhKnle  vom  Xt  ftü4o  sad  d«r  noileB  GlulBOal»  4« 
farfiwwigirtihi.  4m  icK  Mck   «om  £e 

fe'm:h*'-  Vormt^l  h^r^chnen  la>««D.  fCr  eine  <^lbstfftändige  erachte, 
im  Min*rral-TÄteni  anbelanj^t.  v^  hernschen  aacb  hierüber  sehr 
v»fnK:hi«rd»fn*r  An((at>*rn,  Werner  führt  diese  Grünerde  untfr 
fteinem  Thonge»chIecht  zwischen  Bim«.Ttein  and  Cblorit  aaf: 
Naumann-Zirkel  »etzt  -ne  in  die  Gmppe  Talk-SerpentiD  io 
die  Nähe  von  Stilpnomelan,  KammeUberg  erwähnt  die  Sab- 
«Unz  )m  OeleKenheit  der  B«*chreibimg.  von  Angit.  Bauer  aowie 
Ticherruak  r*Hht  hie  der  Glimmergnippe.  Oroth  der  Kaolin* 
Pyrophyllit*Griipf)e,  Hintze  den  Kaolinmineralien  an.  Deles^e 
l>ezeir:hnet  nU  U'.rre  »erte  die  Substanz,  welche  Haay  ab  talc 
7/M)graphir)iie  heHclirieben  hat.  Sonnt  iid  bei  den  französischen 
Mineralogen  die  Hezeichniinj^  talc  dilorite  verbreitet  und  in 
neueren  B^-chreibtingen  der  in  den  basaltigen  Gebilden  des 
VirentiiuHchen  *)    vorkommenden    Grünerde  -  Substanzen    werden 


';  Miiiiifr.  Ktmle  'in  f ithoni-jin!  etc.  «In  Vic^ntin. 


I 


die  (hiiitrfäv  vom  HIomU  ItnitUt.       5G5 


iWvstt^  kU  IVoilnits  clilnritvux  und  serpentineiix  iinrl  Optc^ito  nn^e- 
ftihrt,  obwohl  uuch  <li<"«e  Au.-scht*»lungen  im  VicunünUcheii,  wiu 
ich  mich  ttber/,eugt  hnbo,  nichU  iin<ien!s  sind,  ul«  Cirünenie  wie 
jene  in  dfit  Mand^litteiDeii  am  Mt.  Baldo  und  mit  Ghlortt  uder 
Serpentin  in  keiner  U«ciehtm^  stehen. 

All]  imtiirgemäMieHteu  Mchfiot.  lys  mir  nuch  der  cheaiisohea 
ZtisauiuicnM'tKung  uml  di*r  physikulisrhcn  Kigi'iuu'liulVn  S(*lii- 
donit  Ulli  Glaukonit  der  Gümmorgniiipe  anzureihen, 
nicht  nb^r  der  Thnn-,  noch  weniger  der  Chhiritgruppu  y.iixu- 
wt'iiün. 

iiesonders  bc merket uiwerih  sind  die  KnM:h*^inunget),  welche 
mau  an  DDnuschlilTiin  u.  d.  M.  wubrnimmi,  wenn  in  luLzteren 
mit  der  ^irtlnenle  vprwnchsono  Tbeile  des  Neliengeoteins  aiige- 
^bniiteii  Mud.  Die  iiiQnerdo  greift  mit  t:ineni,  meist  dunkel- 
grün gefurbt*ri,  scharf  abgegrenzten  .Sinim  in  welligen  Schlingen 
in  den  ben&chbiirten  Maudelstein  ein  und  dringt  auch  in  ino- 
lirt^n  «nregttlniSsHJg  niiigren/teii  l'uriit»M  in  dt^iiselbiMi  vor.  Der 
MandeUtein  zeigt  sich  in  dieser  (irenv-region  ?ifark  zersetzt;  die 
I1niiptnia<ise  bildet  eine  woRserhelle  amorphe  Mawe,  in  welcher 
einzelne  noch  ziemlich  frisch  erhaltene,  bei  gekreuzten  Nikol» 
farbotv*treifige  Plagioklavulidetclieu  und  sehr  zahlreiche,  undurob- 
»ichlige,  äcbwurxe,  tui  Miign^tei^onpulver  reiche,  unregelmiasig 
unigrenvte  Flecke  einge^chlussen  bind.  Von  Augit-  und  Olivin- 
beiniengungen  ist  nichts  mehr  zu  sehen.  Es  »»cheint  mithin, 
das»  di&ce  letzteren  fieini'ngtbeite  und  die  ({bkMife  /wisehrninasst* 
der  Zersetoung  anheinigefallen  sind. 

In  StUckcben,  in  welcbeu  diu  GrQnurde  mit  Chaiceduu  ver- 
wachsen i.st,  zeigt  ^ich  keine  schürfe  Abgrenzung  zwischen 
beiden  Subetanzen  und  der  (Ihulcedou  wird  durch  in  iiuiner 
Masse  feiu  verthctlte  OrÜnerde  grünlich  gn^irbi,  während 
der  gelblich  gefärbte  Ohalcedoa  durch  eine  auf  etnx«lne 
körnige  nUufchen  vereinigte,  in  der  Haaae  Mr»treul  ein- 
gebettete rostgeihe  Substanz  »einen  b^arbentcm  erbfiU.  Solche 
gelblich«  Cbnicedoue  bestehen  mich  eioirr  Aoaly»e  von  Ad. 
Schwager  aus: 


'in 


i«r  Ti 


iMä.-jMH.   .7dMe  rtsm  '.  iMxmh^  liS^ 


ILTTU. 


'ronr 

'."I 


Hän«  =  T 
Spec.  G-rwi^ti  ^ 

Chalii-edon  in  der 
hitze  in  5  StTs 


■  I  t   -Hl 


I 


,Ts«e.  _  i*^>.     .'Auu:    ii^'jü   ^tari  zei^etzT.  aus  doch  noch  deTHÜ;! 

Ä-Luv-a^T!-  '»-nicuiitatiie!!.  ::iimäch  JU3  >^br  reichlich  tct- 
»LiiTUfiu.   la'-icii'Triiiip'in  -VaiTvÄiii:;.  A  i'X"!.  Ma^eieisen.  OÜvii 

iu  u^i  ,iitsu:'.iii»ru.  -rari  ier*tzten  Zwi^jcenmasse.  Per 
ii».:-.  T»,i^t  .tr'iiiiL-:*c  "Tvairbarseic  uc-i  die  braune  FärV-n; 
n    =■- i.  '•...-r-'*,      ^-^xt  •iTf'-'iZ   .'ri'ist -jiir  Sä'irei:  bthan  J-:t  ni':':. 

.     .        -.     -  .1.1  -d.-.'.    ffT^L,'-    A*J--'  :,    • 


-r    ir:   -i.-r  N\;.-   i 

-::   fr:-.h   iiii'l  1».-:: 


C.  W.  V.  aumbel:  L'eier  dt*  ürüHtrde  lvm  Monte  Baldo.       5U7 

eigen  /.a  »oin  pfl<>gt.  Die  Oünnächlifle  hibiieii  n.  d.  M.  aU 
iienien^liüil*'  PlaiziokUs,  Au^it,  Mn^;neU*i>en,  TiUnoiücn,  Olivin, 
Anipliibol,  liliumier,  Apatit«  Glas^wiacheniuaaeif*  und  eine  grilne 
Substanz  erkennen.  Per  IMuirioklti»«  niachl  dii?  Hiiu)it.niiui$e  uns 
und  ist  in  Kurui  suhuiHler  leiüteiiförun'ffi'r,  wa!Mii?rheller  Nädclcben 
in  gluictifüruiiger  QriW><>  durch  die  guuzi;  Mnssv  vertlieiit.  Der 
Augit  ist  hüllbrftua  geÜlrbt,  durchsichtig  mit  kaum  wtifamvbm- 
tukreni  Pieochroi^inua  und  von  Ktemlich  wechselnder  Glosse. 
Kr  nimmt  keinen  grossen  Antheil  an  dvr  ^usauuntfnjetxung  daä 
Oe»teiiiB  und  lasst  zuweilen  eine  tbeilweise  Umwandlung  in  eine 
grilne^  AggrcfifutpoltiriAation  zdigende  Substanz  erkennen.  Der 
nicht  .sclk'ue  Olivin  ist  iimi  fKrldos,  iin  den  tfÜndern  und  an  den 
durchziehenden  Riaseu  niei-st  »fcark  zer^ietset  und  uiuschlleäät  klein» 
Mftgneteiä«nkryäiällchen  neben  Picotit  üellgrQner  Aniphibol 
und  dunkle  GlinimeraclillpiH^beu  dind  sehr  selten  beigemengt. 
Ein  hervorragender  Gemengtheil  ittt  Titaneitien  in  der  charak- 
teristii«chen  letstenförmigen  Anähildung.  Dieser  Basalt  i^t  daher 
ein  typiMtber  Dolerit,  wie  er  auch  an  noch  mehreren  anderen 
Stellen  im  Mt.  Baldo-GardHSiw-Oöbiet,  %.  U.  zwischen  Tierno 
und  Bi«Agni»  unfern  Mori,  und  bei  Nugo  angetroffen  wurde. 

Der  Dolerii  Ton  S.  Valentine  besteht  ans:  im  Ganzen  (I), 
der  PliL^ioklas  in  deni»el))en  (11)  und  der  dichte  Baaalt  von 
FontMihel  liei  Brent^jnico  (Itl): 

I  IP)  IIP) 

Kieselsiiuro 50,00  63.93  42,58 

Titanoxvd 1,25  —              2,24 

Thnnerde 10,50  27.50  13,:i6 

Eisenoxyd  u.  -Oxydul     .  2(5,00  4,68  18,16 

Miuiganoxydnl       .     .     .  Spuren  —              0.24 

Kulkrrde  4.30  5,33  12.72 

Bittererde 0,50  0,88           4,76 

Kali    .    .  1.93  2,00          2.04 

Natron     .     .     ,  3,20  5.58           2.48 

Pho&pborailure  Spuren  —  Spuren 

GlQhverlnst       .     .  1,75  0,10 2,16_ 

Summe  99.43  1 00.00  100.74 

'l  AitiUjTBt'  11  uml  tu  vun  A.  fk-bwag^r. 


AUe  ODlenMdile  ÜMÜfte  am  ttt  BaUo>)  uad 
gebdm  des  F<U>pAtbbft«alfc«n,  wie  aocfa  fiMt 
jaa«  da  beoAehbarten  Vemomer  naj  ncgutüii»glw8a  Terülf^ 
gebiet«,*)  an  oad  UnBco  »ch  in  dw  Kwei  Gruppen  d«r  deutlich 
l^ry•tallim•M^b-k^nttf^  Dolertte  ond  der  (Br  da»  uobeir«ffii«te 
^  ArJK^  »cbeinbar  dichten  Feidftpmthbasalte,  w^he  di*^  ir^tWle 
Anuhl  der  VM-kooiattHM  aawBMachen  ariwinei]. 

Mit  diesen  Dolerit  von  S.  Valentino  xooicfet  kl 
der  Baialt  io  der  grabenurtigen  Vertiefnag  swueben  i  :  it 
ond  Kago,  welcher  xwincben  dem  Hanptoumma  Uten  kalk  und 
dem  oberen  mitieleocinea  KuraintiliteDkalk  d«e  Bttr|;ber^  nm 
"Satio  lifgt.  In  Heuiüelhen  machen  die  Irtitenf&rmigen  Ptagiokla»- 
tü(l«'tch<?tt  ((e^eii  '/«  der  (^nzen  O^vtdiWfflttMe  ans.  Nach  dar 
Aoalj«e  (II),  in  welcher  die  KieseJ«iaro  durch  DiOereos  bv- 
fiLiiiiriit  wurd>-^  gehört  dieMelln*  einem  kutkarmen  Labradorit  aa 
{.\.  Schwager^.  Daneben  i^t  Hehr  reichlich  leisten fTmiiips 
Titaneiiten  rorhatiden,  ebeni»  eine  bmungelbUeh  geßLrbte.  ua- 
r<ri(cluin««ig  hegrenitU',  polarisircnJe  Substanx,  welche  die  Stelle 
der  Meeostanä  vertritt.  GrOner  Augit  and  «dark  Kenvtxter 
(Hivin  iitt  npärlicher,  .tehr  vereinzelt  Apatit  vorbanden.  Vo* 
einzrJt  vorkommende  Blai^cnräume  ifiud  mit  Kalkspaih  an»- 
gefaltt 

Faxt  genau  von  derselben  Beechaffenheit  ist  der  Doleril, 
welcher  untcrhulb  Uesagno  bei  Viana  nnfera  Hori  tu  Tag 
aUflgeht;  bei  demselben  tritt  die  braungelti«  Zwiächenma«^  iiiebr 
xnrOck  und  Ohvin  ijit  häufiger  vorhuiiden.  AiiKter  ApaliloJülel' 
cbvn  xingt  sich  spurweise  eine  vioit^ttblAue  Beimengung^  wekibe 
ala  Ilaujn  zu  deuten  i«t,  welcher  reichlich  in  dem  Anatuegit- 
nrtigfn  Kuxtilt  von  Sacco  bei  Rov^rnlo  viirkornmt.  Dieser 
BiLsalt  vdtt  Uoveredo  zeichnet  äich  Überhaupt  durch  ^nl»« 
Kigentfarimtiobkeiten  au».  Kr  geh&ri  in  die  Gruppe  der  : 
Mp>ithba»alte;  der  nadelfönnige  Plagioklas  ist  besooders  reichlich 

*)  E.  Niooll«  r  Ntfi^ri  in  Aui  d.  U.  M.  Venelo  m.  IMO.    40 
*)  Knnfer  Ch.,   Thfaiei  per  ßtwlr  <Iü  tJUinmqiM.    •  •  , 

t#rituire   lin    Viitmtin    1691 :    Arlini,    Appnnti    [H-tnjijr 
Korre  th-l  Vriivto  in  Atti  d.  R  Ut  VrditId  etc.,  k  Uli.  |^  -Jbä. 


r.  W.  r  fHtHbfl:  Uthtr  Se  OrünertU  com  Monte  liüi'Ui.      o6t) 

vornftiuien.  an.v-K-nlfin  .\u^;it  in  klfint-n  Kryställchen  iit  il«r 
rliaiiptiiiiitöc*  iinü  in  ^rüssoren  Kryätullfit  riiij^oistriMil,  *^Urk  /.rr- 
F-ter  Oli?in  ist  in  nmdliohen  Ansseheiiiiin^en  bei^mftn^,  die 
Zwi»K.*hi»ntims*ie  bildet  ein  holle*',  ?..  Th.  Imiunlicli  jjHfärhten  (»liw. 
AU  besondere  KiffentliOinlichkett  ii»t  die  rnichtichH  Kvirncn^iMiij; 
Ti>ii  violrttlilmiem  Hatiyn,  <ter  ioAi  iu  j^leioher  Meti^^u,  wiu  diu 
Glad  an  der  ZiieAnimpnqet/.un^  »ich  betheilif(t.  Nfl)t!>n  «pnrlich 
vurkfiimiiHiidi'm  Apalit  und  ntK-h  ■seltener  kleinen,  stark  |>leo- 
cliroitixclien  bnvtmen  liliainierschn|t]icheii  finden  sich  j;|Mtnidij?cli 
eingi>iitn>iit  grlVssere  Au4*Rcheidnn>;en,  die  dem  Knstatit  an^eht^iren. 
In  den  /Aliln*icbeu  Kliist^iirünnien  sind  tVldjtpath  und  /«olitht* 
unmi  finden. 

Von  der  T^woiten  Gnippeder  FuIiLipiitUbiLiulton  von  dicliler 
Struktur  wurden  die  Vorkominniiae  von  Fünb-cbel  \w\  Ilren- 
lonicti,  Besiignn  unterlmlb  Bn^nlonicu  und  der  Kulbinsel  (.>igitrini 
bei  Maicesine  um  (jardunei'  nntersncbt. 

Der  Basalt  von  Fontnohel  (Analyse  U)  ist  s*rbr  diciit. 
besiebt  {\^t  im  gleichen  Tiitiileii  uum  leii»tenföriuigem  l'lagtnkbui 
und  luuiHt  gut  au.sgebiblrtrn,  riHblicIien  AngilkrystiUlolieUf  dann 
auä  kleinen  7..'rh.au»kryatallitiirtonMagneteiäenki5rncben  niid  wenig 
glasiger, steltenWL'iütt  gelblieberMeMo^itjLsw.  Ülivin  i&tbauptaiiclilieb 
eingesprengt,  an  den  Hiindern  und  Kisaen  zu  einer  grQnlicbeu 
Macue  /.er.wtzt.  In  kleinen  Bbiäeuräumen  xeigen  »icb  Neuan- 
siedelnngen  vuo  Kalbtpath  und  Zeolithen. 

0er  Basalt  von  Besagno  in  der  Nftbe  dea  oben  he- 
«ehriebfnen  Uolerits  und  demselben  /ng  basaltiger  Qcstcine  an- 
gebörig  verbftlt  sieb  ganz,  ähnlicb  wie  der  ron  Pooteebel.  Die 
Ht.t>tai)dMH'ile,  namentlich  dir  Augite  sind  etwas  gri'iftiter,  letztere 
auch  etwaig  häufiger;  der  Olivin  erticbeint  in  Kiitaprenglingen 
und  in  der  Grundiuatae  vertbeilt  in  r»  Th.  gut  auskrTatalliäirten 
Kltmem;  Magnet«?i«cn  findet  sieb  in  nici«l  aiwkry»tulli»irten 
Körnchen  und  iu  staulmrtigen  Mikrolithen.  Benierkenäwerih 
Bind  äiUMentt  feine,  lange  Niidclcbfn,  die  hanptA^blich  nt-ben 
dem  Plftgiokltt  auftreten.  Sie  gebi^n  bei  gekrcn7,t«n  Nikols 
keine  Farbenreoktioo  und  scheinen  dem  Apatit  anzugebr^ren. 


U«r    AuamwiUartit?»     fe  i  n  k  ry ti  t«  1 : 
ou»»ehende)  Basiilt  »tm  der  S.  K<.»c>in^k' 
von  Nagü  ii(t  etn  Fc]d»patbl>»Mnlt    mit    --i:ri..>i 
kliuiDädtilchon,  uubentimuii  umgreuxtiMn  Auföin 

tener   mit  b»aalti»clier  IIoi      .li....     .  ...vinbota«« 

ZerMtxungMuhfttaiis,  ApüUl  und  Kürnctiffii  *««  M 
leiKl«nförniiges  TiUnciscn. 

Ein    uahe/.u  di^iliter,    hociMt    fcinKryöiaii 
BaMilt   bt'i   der  S.  Thunimaso-Kapelle   mm  Ai 
uach  Punuone   enthuJt.    ida  Hnuptmaatio    ein 
dcncH   (leiriPHf^e    von    IMii^ioklaa    und    Aoeit 
reichlich  einKe&treulen,  gut  umfifreiizteii  riii'*"'^^- 
und    AiigitkryatallAn.     Dan    mchlich     t>ii. 
urKcbeint  in  krj^UlIimHon   K5rncheti,     wie    bti 
Hchritibenen  Basalt;  Olivin  bildet  theils  rundltdM 
linietclie  Einsprengungen. 

Baanlt   von  dtir  woit  in  den  Gardasee 
LandKUDge   von   Cn^a  Gigerini    S.    von  Ma 
dicht,  tief  schwarz  gefilrbt.     Er  bt^telit  a<t-    ^ 
rüthtich-braiiner  Glasiuaj^H«*,  in  welch<»r  lo<  i 

von  Pbi({iokIn!«,  kur/.e  Kr3')(tällrhen  von  Aiunl 
k^ruchcn  von  Magucteisen  eingebettet  »itid.  C 
llieild  gut  auskr^rstjillr&irt  dor  Me^OAtaHi«  beiaes 
kleinen  imregelniäasigeu  ButKen,  in  beiden  Fi 
vom  Rande  her  und  an  Itisi'ei)  fortechreitcDde 
Apatit  ifit  selten.  EigenlhQnilich  siud  ku^oli^e  ( 
kreisförmige)  Ausscheidungen  von  Kalks]>atJi 
einer  in  Säuren  unlöälicheu  llinde,  ala  AusfUllati- 
räumen. 

Der  Fcldüpntbbaaalt   nm  Bargberg^   von 
ausgoxeichnel  durch  die  reicliliche  Beimeni^unir 
mit  eingeatreuteiu  MagncUiHenpulver,  oft    HyuJoi 
färbt.    Die  Plagioklasnädelchen  sind  verbüjfr-  ■ 
Magncteiaenbeimengungen  reichlich    iu  kr. 
eingestreut. 


'W.  r,  Gümhei:  üebcr  die  Qruncrde  wm  Monte  Baith.      Jj71 


Uaü&lle  erscheinen  mit  ihren  Begleitern  den  Mandel- 
~  **ind  TnlFen  in  deckenrormiger  Atisbreiiung;    nnr  st>IWn 
■es,   «Mnfu  ^fiinumlij^en  Duruhbruch    wahrzunehmen,    wie 
Olivenhain  oberhalb  Arco,     Es  ist  ?on  sich  selbslver- 
,  düss  diese  Tertiürbaäulte  duü  uuterliet^ende  ältere  Ge- 
lutgartig  durcbsetzcu  uiUssen,   wie  man  dies  so  schön  an 
'e&saltKÜngeD.    welche   die   ScAglia   durchbrechen,   au   der 
von  Valdagno  mich  Mt.  Novale  und  am  Wog  nach  Casa 
4(ara  alt»  bei  Valdagno  beobacbleu  kann. 

ie  Mandeliteiue  besitzen  durcbwcf(  die  petro^niphi^che 

4iueD8etKung  der  liasalte,   mit   denen   Bie   verbunden  sind. 

^ic  Hiiufigkeii  der  Blasenränine,  die  in  diesen  angesiedelten 

^Mcben  Zersetz ungsprodukte   und  eine  fortgesclirittene  Uni- 

f^f^   mancher   Hesiandtheile    /.eicbueu    sie    vur    den    dicht^^n 

^tten  aus.     Selten    sind  darin    die  Plagiokias   verändert  und 

^^xt\  auch  die  Augite   und  Magueteisengeniengtbeile  zeigen 

n  «ine  erlitteni!  rmbildnng;  dagegen  erweist  sich  di^r  Olivin 

r  üder  weniger  zersot/.t  und  ebenso  die  Zwiscbcnniasso  viel- 

I    in  QrOnerde   umgewandelt.     Die   Mineralansiedelungen   lU 

Blasenrünmen  sind  meist  ItindenfiberzUge   über  die  Blasen* 

(idungeu,  selten  volle  AuäftUUiugen.    Am  häutigsten  kommen 

.  inerde,   Chalcedon,   eine  Bolus-artige  Substanz,  Zeolithe  vor, 

»falleud  weniger  häutig  Kalkriputh.     Bezüglich  der  bolartigen 

bstanz   ist   /u   bemerken,    dass  sie   nicht  selten   grungeilirbt 

jh  zeigt,  dabei  aus  zahlreichen   radial fanerigen   Kügelchen  be- 

iht,   die   in  p.  L.   l>ei  gekreuzten  Nikols  das  schwarze  Kreuz 

abmehmen  laAsen. 

Sehr   wechselnd   ist  die    Beschaffenheit   der   Tu f fc.     Ihre 

iehr   oder   weniger   deutliche  Schichtung,    der   Eiuschluss   von 

organischen  Ueberrestcn,  der  Mangel  an  Blnj^cnränmeu  und  ein 

nei&t   Hehr    beträchtlicher  Kalkgelmit  lassen  sie   von  dem  stark 

verwitterten  erdigen  Basalt  und  Mandelstein  unterscheiden.    IC« 

^sfc  jedoch  die  Trennung  dieser  Gesteine  nicht  immer  eine  leichte, 

enn    nur    oberflächliche    und    auf   kleinen    Raum    beschränkte 

uttichlOsse  geboten  sind.     Ein  lebhaftes  Aufbrausen  beim  Be- 

tupfeu   dos  TuSk   mit  einer  Saure   ddi'fte  ziemlich  «eher  seine 


Ö72         Siisyng  der  math.-jAyg.  Claue  vom  S.  Dcitmitfr  1099^ 

Katiir  verrathen.  Die  BeschafTeubeit  iiml  Zu>faumiea^i'tzuutf : 
wnhlnrtlirh  ViTscIiieden.  h^ihderOrtliienliflä^er^tiill«  Ujiiacbi 
Torsteincrungsreicher  Tuff  von  Sorne  mag  aU  Heispiel  dienen.  Ab 
detAen  Zu&iiiimenHeUuug  sind,  wie  die  achwierig  berxiMteHeo^ 
DilniiseblifTf  u.  d.  M.  erkennen  laitsen,  Ausser  den  mpcrt  sni  dttti 
urgat)i»chen  t(«icli  aUiuiuendea  Kalkeinäcblassen  als  Rerfe  4er 
imprflnglichen  ßusalt^^umengtlicile  m  erkeunen,  ma^  rStfalJcIt- 
hrainie,  durchspheini'nd  umorphe  Mjuee,  A^t  Glflsmesostami  enl- 
itprechcnd,  scbr  selten  ilbnlich  (gefärbte  lebhaft  poUnsirende 
AiigiUbeilchen  und  Ma^netetäcnkörnchen.  linxi'rsetzt  gebti«b«ii« 
Plagiokladtindelchen  koDoten  nicht  bestimmt  erkmnot  wen)». 
Als  Neubildungen,  welche  aiis  Zerset/.iingen  herv 
sind,  tret^^n  in  grosüer  Menge  durch  eingestreute«  feinstes  dunll 
farbige»  Pnlrer  getrtibte  amorphe  Plecken,  dann  in  randliek« 
Partien  ausgeschiedene  typische  Grflnerde,  ein«  fosrig  grün* 
gefärbte  Substanz,  welche  am  der  Zersetzung  ron  Olirin  und 
Augit  hervorgegangen  m  nein  ftcheint  und  tiot  x«(dftbi»clir 
lioiniengtiug  auf,  welch'  letztere  deutlich  dadurch  erkennbar  ist» 
da«  da«  feine  Pnlver  mit  10'*foiger  SaI■A^änre  beband- ''  '*- 
iinirt.     Ob  diese  Zeoüthneubildung  l>ei  allen  di'«*««  T  r- 

knmmtt  wäre  weiter  zu  unterRucbon.  AU  durch  BeJJKhw^ur 
ninng  eingefnbrt  »ind  (juarzkömebtM)  tn  be«ichnrn.  wl'IcIi^ 
!i|HirIich  sich  vorfinden.  Weder  Cblorit,  noch  Pennin,  nodi 
Dideiuiit,  welche  Munier*)  in  den  sog.  BrecciolcA  des  Vicmti- 
ichen  al«  Öcmengtheile  angiebt,  konnten  hier  nacbguwie««n 
wardan. 

II.    Qeologische  Verhältnisse. 

l'ebw   die   geologischen    Verhältni*«e   d««    Vorkommeni 
der  »irflnerdc  um  Ml.  Baldn   ist  in  «nff ''      '  -  Wm^e 
kaum  nielir  bekanntgeworden,  als  dass  t.\<  ifral  in  ein 

(iil'llgi'ii  <liwt«in  in  Be({leitnng  von  Basalt  angetroffi*n  wird.    Der 

Kimdurt    iTit  zwar  auf  der  fltr   ihre  Zeit  vortreffl"  .- 

-ti...  l,.''i   Kiiil'*  >h"i  •nnniantKtiM^hon  VereinK  fTlr  7i 


'I  Muiikur  iiua.0.  a  IM  u.  IT. 


0,  KT,  «f  QAmtid:  Veher  die  (rrAru-n/«  cvm  Monte  }tiJth.       Ti7S 

arlbe^  angegeben,  über  mir  bei  den  uu^ewicfanGteu  Kenni;rii 
der  Miaenlidn  Tirols  Liebeiier  iiud  Vurliauäer  Hmirn  wir 
die  näher«,  aber  kurxe  Angabe,  dass  das  Mineral  auf  Gängen 
von  einigen  /oll  Mächtigkeit',  im  HoitalLtuff  in  »Mor  Kf^Ieiluug 
von  Itrüuntich  gelbi^ni  HurnsWin.  welcher  mit  der  tirOnerdp  ver- 
wuchüün  iät,  niid  vuu  Druden  mit  Quarz,  CliuhtHJon  und  iitir^i;' 
krysU&Jl  vorkommt. 

Ks  frtt;(t  isicli  nun,  in  welclier  geulo^iäi-lieu  lie/.iehuitg  diese 
basiilii lachen  ixe^teine  ^u  den  im  Mi.  Uutdfigebirge  ent- 
wickelten nilduuKeii,  innheäimdere  zu  den  ihnen  xunuch'it  be- 
nuehbartj-'u  Alil»geriingeD  nteheu.  Uiu  diu»»  VerliultnisHv  vm 
erlüiiWrii,  crweiAt  t>8  äich  tkU  nothweitdig,  einen  wenn  mich  nnr 
«anz  flüchtigen  Blick  auf  den  geuloglichen  Aufhitu  dieoe»  groctft- 
artigen  liebirg-sstock»  zu  werfen,  wie  dereelbe  durch  die  neueren 
rntcrsuchungen  und  Schilderungen  von  Oppel,  Benvcke. 
liittner,  Vucok,  Niculiä.  Taramelli,  Viuu<sHa  de  Uri^nv 
u.  A.  Itekaiint  geworden  ist. 

Die  Betraubtung  der  liui«eren  Form  des  hohen  ßt.'l>irga- 
Iheils  zwischen  (.lardaseo  und  Ktsehtbal,  zwischon  dem  tioid- 
iUlieni-scheu  KJiu:hlnud  und  der  Einbuchtung,  die  von  Uim  nach 
Mari  verlauft,  läitet  deutlich  erkennen,  dass  der  Stock  de»  Mt. 
Batdu  vun  Uichtungslinien  beherr-cht  wird,  welche  von  SSW. 
nach  NXO.  ziehend  in  der  «og.  Judicnrii!ii!t|mlU'  auf  die  deut- 
lichste Weis«  ausgeprägt  i»i.  Bcze^ichnet  man  diese  Richtung, 
in  welcher  da^  Mt.  Buldogebirge  kammartig  WL>ithiu  uujtge- 
streckt  i;>t,  ali«  die  der  Länge,  so  Uasi  sirii  die  fast  ref:ht«'inketig 
XU  ihr  verlaufende  Kichtung^^Huie.  welche  im  Süden  und  Xurden 
den  Oebirgwtock  abgrenzt,  aU  die  der  Quere  bezeicbuen.  Wir 
können  also  sagen,  das  Mt.  Baldogebirf^e  wird  <>;einer  äuaaereti 
l*'urnj  nach  von  zwei  nahezu  puralleleti  Lüug^furcliun.  Garduiee 
— Et«cfalhnl«  und  von  zwei  Vjuerabbrachen  am  Seid-  und  Nord- 
abfull  vun  den  benachbarten  debiett^n  uU  »ell)«tbtändii;e.s  Glied 
der  äüdalpou  liMtgelJJ^t.  L>ie»er  Ausgestaltung  entapricbt  auch 
die  innere  gnolugiscbe  Struktur  diu  Gebirg». 

Verhaltnidsmäesig  schmal,  nur  gegen  10  km  breit,  dagegen 
ülinr   40  km    lang    erhebt   »ich    der  Mt.  Baldostock,  auk    fast 


SiUutuj  d<r  math.-iihys.  C7rt«f  com  S.  hesemh^r  iSBO. 

aiifläi?IiliK«licb  einsf^iti)^  nnch  NW.  )^(^neigii!in  Scbiclil^e«t«in  Auf- 
gebaut, karani-  oder  riffiirtig  2150  m  über  die  Wasserfläche  dae 
Oiirdnsee's  und  der  i>Odwiirts  angeschlossenen  Ebene. 

l<ls  liissk  sich  die  HeiTifrlinfi  dipser  Ivän^Rrichtnngen  als  fav 
din^t  durch  das  V'iprhaDtlmiHeiii  eincä  alterif  uim  kr\':4tikllttitAclian 
Felsma:i.''en  heiitelieudeii  Gebir^äratideä  analog  dem  Ton  der  Don 
Ttiparia  KW.  rou  Turin  iJber  Ivrea  nach  Arona  abj^e^  n 

IVgebirge  anffiLssen,  an  welchem  die  jüngeren  HfilJmem- 
doin  Westraude  der  Poebeoe  entlang;;  in  die  Tiefe  ilor  le 
spnrlris  sich  ab^e«enkt  haben.  Die  Schichtenbildungen  im  Herr- 
selinftsbereich  des  Judicarienlandes  haben  ^ich  erlmlten  bin  nr 
nordiialienischen  Ek'iie,  wurden  aber  glciclilnufend  mit  der 
LüngäHchtnnf;  durch  die  geotektoniflchen  Bewegungen  inneibald 
der  alten  Gebirgsmasscn  durch  S«*it<*n druck  /.u<Jimni''n«jepres»t, 
gefaltet,  heben-  und  itbereinander  geschoben,  zugleich  auch  diifch 
QtKtrbruche  zerstOckelt  nnd  stcllenweiiie  verscludifMu 

Als  Folge  hiervon  traten  Senkungen  und  li^iufiorpre^uniTen 
einwlner  zerstfickeiter  Gebirgstheile  an  den  pnt«tandetien  Rnlcttcn 
nnd  llisson  ein,  durch  welche  an  dem  anningli^h  einfarhen  Bau, 
naujentlich  wenn,  wie  Torau»KUsetxen  ist,  Gebirg^ntilrungen  noch* 
träglich  sich  wiederholten,  in  vielfacher  \Vei«e  weitere  Aeod«^ 
rnngen  bewirkt  wui-den.  Nach  dieser  AuHiia,--nng  l&wt  e»  akh 
verstehen,  dasif  die  BauptbrOcbe  und  VerrUckung^apatten  in  der 
Längeurichtung  sich  erstrecken  und  deiuentsprei:hrud«  da»  die 
Gebirgw.Üge  /.ouenweise  von  SSVV.  nach  NNO.  verlaufen,  ■owio 
dasä  verhältnis>4niÜ4.sig  weniger  bedeutende  .SUtrungc^ti  mit  dre 
QuerbrQchen  verkntlpft  inch  zeigen. 

Solchen  Lüngspressungen  in  Verbindung  mit  in  glvieher 
Richtung  erfolgten  zonenweloen  Absenkungen  verdankt  auch  der 
<iebirg3ätock  des  Mt.  Ualdo  seine  Uauptform.  die  dann  dun-li 
nachträgliche  verschiedenartige  geulogische  Eingriffe  noch  man* 
nigfache  Ahilndernngen    erlitten    hat.     Kine  HauptlioL-'    i  \' 

/.one   und    ein    growartiges  Absenkungttfeld   wt   durch 
Uefung  des  Qardasee'a  gekennzeicboei.    Ihr  ungeßthr  paraUnl 
verlaufend  begrenzt  rwtlich  vom   Kt«chthal  den  Uebirgvtr>ck  eine 
Bnichlinie,    welche  dnrch  weitere  .Ausnagungen   dem  Ki»chUu] 


0.  M'.  r.  ffuntM     VrhPT  dir  OrtburtU  com  Monte  Bahio.       375 


winff  Richtung  jjab.  /wischen  dem  Hauptgebirj^Hkaiuin,  von 
dem  die  Schichten  ziemlich  ({leichmiis-si^  zum  OrtHiwee  einfallen, 
und  dem  Steilabbruch  am  Westrand  do«  Ktachthales  zeigt  eich 
eine  weitere  mittlere  Abbruch.H-  und  Senkungsxoue,  die  ron 
Cftprinn  bis  Mori  un'l  niKh  weiter  nordwärts  sich  fortsetzt.  In 
ihr  sind  reichlich  jüngere,  tertiäre  Abl^erungen  mit  XummU' 
lUen  und  vulkanische  Bildungen  von  gleicher  Art  wie  im  be- 
nachbarten vicentinischen  und  Veroneser  Gebiet  (wie  sich  anch 
Ht4)lleuwei»e  Telurreäte  am  RuiiJu  des  Qardiuee-Niederbriielis 
erliiitten  haben)  Obrig  geblieben.  Auf  diese  Weise  glie- 
dert sich  das  Baldogebirge  der  Breite  nach  in  den  hmg  ge- 
stTt-ckten  Uauptkamm  mit  den  höchsten  Cnpfelpimkteii,  einem 
vertlacht  /um  Gardasin*  geneigten  Abhang  und  steilen  Abbruch- 
rand  gegen  die  mittlere  Hrnch-  nnd  Senknng8y/ine,  welche  als 
eine  verhaltnissmrissqg  mehr  ndcr  weniger  unebene,  schmale 
TerriLHHeuflüciie,  »wischen  dem  Kauptkauim  und  einem  mit 
letzterem  pamllH  /.iehenden,  wieder  höher  aufragenden  und  steil 
Kum  Etächthal  abfallenden  Gebirgsrücken  (Etschthalrand- 
gebirge)  eingeklemmt,  sich  der  Lunge  nach  erstnK'kt. 

In  diesem  von  tortiUren  Knmniulitenschichten  Ober- 
deckten  Zwischeufelde  acheint  die  Ablagerung  ursprünglich  eine 
mnldenfiirniige  in  Mitten  des  Hnuptkamuieä  und  des  BUchthnl- 
raudgebirges  gewesen  zu  sein.  lu  der  jetzigen  Lagerung  der 
Schichten  ist  dieMlbe  fast  rlMlig  verwischt  und  nur  atelleuwei^e 
wie  «irischen  dem  Mt  Cerbiol  und  Acque  negre  noch  xa  er- 
kennen. Denn  dieses  Tertiärfeld  ist  nicht  einfach  abgebrochen 
und  gesenkt-,  sondern  vi**l|'ach  von  Liuigaspulten  iiurcli7.<'>gen,  im 
welchen  ltipf>en  und  Schollen  der  alteren,  den  Untergrund 
bitdiMiden  Geät^insi^chichten  mitton  zwischen  den  Nnmmnlit- 
ablflgerungen  bi^j  zu  Tag  aufragen. 

Am  Sndende  de*4  Oehii^jrfMtoeke«  wendet  iiich  diesea  Brnch- 
ffld  Ewischen  Caprino  and  Ganla  fast  rechtwinkelig,  wie  aach 
die  älteren  Schichten  hier  ihre  Streichrichtuug  in  eine  «ist- 
wefttlicbe  uumei'^en.  Daiiiit  winl  eine  unfiingliche  Verhiudnng 
mit  den  NuramuliteuKhicbten  des  Garda$«egebietcs  vermittelt. 
An  diesem  SQdfuuie  dei»  Gebirges  (Mt.  ßetpo)  «ind  die  Tertiär- 


57l»         Sititttuf  der  nu/A.-jjhyit.  CloMC  t-om  S.  tictember  i£t96. 

Ncliicliten  uAbwärb  vuii  Caprinn  bui  ItuliiaQu,  Pesinn  und  Ga'^tioDf 
»liirk  ver»t{)r7.i  und  »ogar  überkippt  gelagert. 

Diesem  äusseren  Bau  des  Uebirg.s.'^tocke»  cnUpricbt  aaci 
Hie  Zusamniensetaiing  aus  ver:*<:hiedent»n  Schicbt<-iiti}'s'  -nl 

(Jwtotnsmaaöen.     Den    tlauptantheil    göwiiitit    jene    >..„ ujc 

EiitH'ickluDgsform  de»  LiaBsystems,  welche  aus  den  Itcrgeo 
i^atwürU  von  Kovercdo  al»  pBuiizenrcstereiche  Uotxu-  aiid 
marim*  Versteinerungen  beherbergende  Noriglio-Sehiclurn  kb 
Vorbindung  ruit  bellfiu-bigen  /,.  Tb.  gelblichen  und  oolitbi^cbea 
Kalken  bekannt  wurden.  Ks  «ind  vorhernichend  dunketgraue. 
niergrbge,  tbeils  dflnu-,  Uieils  dickbankige  Kalke.    '  n 

mit    /.unebuiender  *    mehr    kr>»U)lliDi»cber    iic^cli  uf 

lichtere,  ins  Weissliche  Übergehende  Färbung  anneliiiH!D,  «nr 
810  liiuiptiiu'blicb  den  Oipfelkunnn  krönen.  Die  Pflanzea* 
einscblliuäe  sind  auch  nui  ML  lialdo,  wcuigtiteu«  im  KO.  TltdJ 
de.s  UebieU,  z.  M.  am  ^^ornethalgehunge,  »>hr  häufig,  so  du» 
sie  hier  äogar  un  der  Uitdung  von  frOher  abgubaulco  l*i-(b- 
kobtenftOtychen  weitentlicb  Theil  nehmen. 

Va  i«t  autt'allend,  dass  Über  dieses  merkwdrdige  Kohlea- 
vorkonimeu  in  neuerer  Zeit  nichts  Näheres  weiter  Iwlaaal 
wurde,  obwohl  da&ielbe  in  einer  alteren  Schrift  .Dtfi  cvoiIa- 
stibili  fuääili  cmstenli  nella  prorincia  Yeroue!>e  del  conU  Ifpi. 
Uevilaciiua  Laxise  iSliJ'  be<k:hriebeii  wird  und  die  Lafirr* 
Bt&tte  auch  in  der  niontaniätisch-geognostiscbcn  Karte  eiotic- 
«eii'bnrl  tfiob  findet.  E«  mögen  desahalb  einige  Bem*rkun|f(-Jt 
in  dieser  ik^nehung  hier  eine  Stelle  6nde». 

Wenn  man  von  Corno  bei  Brentortioo  den  Weg  nacb  Chixziila 
im  Ktscbthnl  veH(dgi,80sJehtman  nahe  vordem  Aiüc^ritt 
thaU  aus  dem  Gebirge  oberhalb  CUixzuU  auf  beid  "  -*■ 

ThaU  eine  Aouüil  alter  naldeo  von  Stollen,  welche 
nong  der  Kohh»  getrieben  wurden.   Auf  dicwn  HaUra  liegen  da 
oder  dort  noch  Stttcke  der  Kohle,  v*'  '  •'  den  al'       ^      >• 

kohlen  fthnlicbe  B4*Mch4HVabeit  beaitzt.  _,        i.  •riot^r  f'>  l    ^ 

asipsbÖrt  iiud  wie  steh  leicht  ermiUeln  tätest,  anf  FlOt/eu  der  liaM»chi«a 
llntiiHH-hicblm  rinbricht.    Di«  an  (*fi.r  ''^*8** 

[igen  Kalkplalleo,  awirchcn  welche»  u«-  uuui'  iHi^vit,  uMf^fi  mit 


C,  ^.  V.  (iämhel:  Uehcr  iht  Oriihenle  cum  Mimte  HaitUt. 


-8*  nach  NW.  ein  und  .schliessen  uns  20 — 25  cm.  inüchtigf! 
Kohlen fl<)tKchuu  diu.  Auf  Jer  SüdÄeiU*  de*  Thale«  waren  drei 
HLolli'ii,  Hilf  der  Nordeeite  eiii  StoKon  nn^clej;^.  liCiner  derselben 
ist  noch  auf  7  m.  Lauge  offen  und  lässt  dus  Anstehende  de» 
KliU/.eH  erkennen.  Diiß=ellM*  ist  hier  sehr  unrein.  ß<;hwefelliie«- 
hnltig  und  uni^eilingt  unlmun-Hrdi^.  Lieber  diifsmn  nuiipfllnt/chcn 
flieht  man  noch  inohrurc  schwarte  Streifeben  zwiccben  den  Kallc- 
biiukfit  lim  GebiinjLje  gegen  die  St.  Aiitonia-KujH'lle  uu»(treiciien, 
die  gleicbfalU  kolibgen  Kiulagemngen  enUprecben.  Nach  der 
Angabc  von  Bevilacqua  wllen  diese  Kohlengruben  mit  0  Mann 
belogt  gewesen  Hein  und  die  gewonnene  Kuhle  theiU  r.uni  Zicgel- 
brenncn  viTWendcl,  ttieiln  vci^iicIiNWotsi*  bei  der  niiliUlnnebeii 
KiKL'tigj»««»rt?i  benüt/.t  worden  sein. 

Von  ihieri»uheti  Henien  i^fc  die  oft  giui»  Schichten  r.n- 
»ilHMuensetzende  ansterartiije  iMhiotis  aU  leicht  wahrnehmtiare^ 
Ki;nuxeichen  iiebt-n  Mrgaloäon  pamÜHJi  und  TerrftraO-tn  (T. 
HotMOann,  T.  Rrnivri  u.  A.)  besonder»  hervorzuhelwn.  Diejwr 
Sehichtencomplex  bildet  das  Kekeuritf  des  Gebirgskamms«  deäaen 
LilngKorstrecknng  die  Sehichteu  in»  Sireichen  folgen  und  von 
dem  weg  sie  in  fast  gleicher  Neigung  mit  dem  <iehiinge  nach 
NW.  bi«  xum  Ganlaseeufer  sich  niederziehen.  In  Folge  dieser 
Lngerungs weise  finden  stellenwei.su  grosse  Abrutscbungen  über 
die  nur  etwa  30°  geneigten  SchicfatenflSchen  statt,  äo  dass  am 
Odtufcr  des  See»  mehrfach  kolomale  Blöcke  zu  Febenmeeren, 
wie  in  den  Lnvini  di  Man:u  bei  Mori«  aufgelmufl  üind. 

Auch  im  Kt^chthalrandkanuu  tauchen  dieselben  Schichten 
Ober  einer  als  HHii;it.di)liiinii  uiigeüprocheneu  Unterhige  wied<'r 
auf  und  lassen  das  gleiche  Streichen  und  die  gleiclie  Fall- 
richtung  nach  NW.  erkennen,  wie  im  Houptkaram. 

[>if.'  Seltenheit  Mdcher  organi-schor  EinschlCUsti  (numentlicb 
Ammonilcn),  welche  auch  in  uuiti>emlj)incn  oder  in  anderen 
alpinen  Lia^bieten  Torkonimen  und  eine  weitere  Gliederung 
dicMM  .Synternft  erleichtern,  macht  as  biä  jntxt  nnthnntich,  diese 
grauen  Kalke  in  be^itimmte  Stufen  abzutheilen  urtd  mit  «ilredern 
anderer  Verbreitungsgebiete  in  geiuiue  Parallele  xu  etellen.  Wir 
n]fl<ssan  daher  dir«e  grauen  Kalke  im  llanXfU  aU  einen   Fncion- 

l;<ac.   HaUi.  ptijr«.  CL  I.  30 


578         SltMMng  der  matk.-phjf».  CltU9€  mm  5.  itrirml-^r  ISK. 

siaWvt^rtreieT  des  Gesaaioatliassyateius,  ähutich    wie  die  AU- 
gäUHcbicht«D  in  den  Nordalpen^  anffusen. 

Dabei  matn  auch  naf  die  luerkwQrdigc  Tbateaehe  an&Mrk* 
sani  gemacht  werden,  daas  westwärts  vom  Garda^ee  «ofort  dav 
Yüllig  abweichende  Liasausbildnng  Platz  greift.  '=V 
VVestufer  des  See'ü  bei  Qargaano  am  We^  nach  1 
weiter  in  diesem  Gebirge,  z.  B.  atu  Pizzooolo,  im  Sarootivü  fad 
Volano,  im  Ledrothal  bei  BezKecco  and  selbst  an  der  Ptimh^ 
Strasse  nahe  bei  Itiru  besitzeu  die  LiaKschichtea  auf  IcAnm  3  km 
Entfernung  vom  Gebirgästock«  deit  Mt.  Baldo  eine  voUfGbidi|E 
abweichende  Beschail'enheit.  E»  sind  hier  Torberrschend  graae, 
bornHteinreiche  Kleckonmergel  mit  ziemlich  xahlrmcbm  Ff^ 
st«irii*rnn}^eti,  namentlich  von  AtHmuutten  (Mt.  Pimocolo),  in 
Allgemeinen  vom  Typus  der  Oesteino  des  Br«acianer  Odiieb, 
weicht"  uns  der  beste  Kenner  dieser  Gegend,  Hnggnxoni,  wi  «ir- 
tr«^il'iicli  l>e^brieben  und  iu  ihren  venM:biedenen  AbtcLafuogBt 
kannen  gelehrt  bat.  Wir  werden  sehen,  wie  diene  Vvracfaiodc«- 
heit  in  der  Scbichtenaasbildaug  o«t-  und  westwärte  vnm  Crarla- 
nee  in  illteren  und  jüngeren  Ablagerungen  aich  wiedvrhnU,  m 
V<*rhulten,  welche»  unzweideutig  auf  heteropische  Kntwicklai 
gebiete  hinweist. 

Die  Liasschicbten  des  Mt.  Baldogebirg»  haLim  am 
fuw  des  llauptkanmis,  wie  am  Ebtchthalrand«  auf  eine  ffnmm 
Streck«  ein  System  liellfarbiger,  oh  ins  Röthlicbe  apieliHU«. 
kleinklQftiger  doloniitisclier  Gesteine,  welche  nuin  dirni  llsofit* 
•Inluniit  KloichjEustellen  vflegt,  xu  ihrer  UnUrlngc.  Die  Um»- 
■rhicbien  g<*geu  den  auflagernden  Lias,  in  welchen  man  dm 
Charakter  der  rhätischen  AbUgerungen  stt  finden  erwartca 
«iditu,  fi'hlen  hier  in  ihrer  typischen  Kntwickinng.  werden  riA- 
ttfirht  durch  lichter  gefärbte  Kulkpiatt^n  mit  UracJtiofioJtm- 
Kinw  lilflittM^u  Terlrett-n,  ähnlich  wie  ea  i^tlicfa  von  Riivf*re<^>  tiei 
diiM   K«l klugen    mit  GerviUia  Bucht ^  dt.  Colombono  >«r, 

diir  l*'iill  «u  »ein  scheint.    Im  Gegens-it«  xu  diesen  Vi 
JiudciM    wir,   wjbald  wir  die  Gebirge  im   Wroton   dw     •  . 
tHw(ihr#ilon.   nber  dem  lI»uptdrdomit  die  rh&iixohen  Mer^fel 
imMHI    vi>n    xalilrt^ichen    charaktarifitisclifm    VemtiHneningen    ib 


C.  W.  V.  Gümtßtl:  L'dicr  äic  Cirüncnie  pww  M<mte  Ütiltto.       r>7!l 


j?«tix  ty|iischer  Entwicklung,  bedeckt  von  einem  dichlen,  weissen 
dem  oberen  Dachstciiikalk  entsprechenden  ^>chichtencoalplex 
(Cornea),  der  daim  die  typischeu  Liaswchiobten  Über  »ich  trügt 
Ako  auch  in  Üey:uK  auf  die  rhälische  Trins  hernH:bt  zwischen 
Ofit-  and  VVe&^ardaaeegebiet  eine  ent>ichiedene  Ueteropie. 

Teber  die  Abgrenzung  der  Liaslagen  gegen  oben  besteht 
im  tUldogebirge  eine  rnsicherheit,  ob  die  oberen  hellen  z.  Th. 
oolithiüchen  Knlkbinke  noch  dem  Ltas  oder  sthon  dem  I^ggfi* 
Kuzurei-hnen  sind.  Erst  mit  dem  versteiuemngsreicben  Garda- 
kalk  am  (!np  St.  Vigilio  beginnt  unxweideutig  eine  neue  Stufe, 
welche  durch  da«  Vorkommen  allgemein  verbreiteter  Ammoniien 
wie  A,  oitalittuSj  A.  Murrkhonae  die  tiefsten  Abtbeilungen  deH 
aiis-seralpineu  Doggera  vertreten.  Kino  Reihe  rolher,  grauer, 
gelber  oder  weisser,  z.  Th.  krystallinischer  Kalke  führt  uns  über 
dem  (lardakalk  v.u  einer  weiteren,  rersteinerungsreichen  Oogger- 
stufe,  welche  durrh  den  Einschltisa  von  Posidoiiomi/a  al/iina^ 
Atnmotiitcfi  tripartitus  u.  A.  aU  den  Klau»schichten  der  Ost- 
»I|>en  gleichalterige  Ititdnng  sich  r.u  erkennen  giebt. 

Am  Nordüstmude  des  Mt.  Ualdo-Stockes  bei  Mori  halte 
Oppcl  an  einem  wahrscheinlich  von  der  Höhe  im  Brentonico 
abgestürzten  Gebirgsutück  zuerst  dies«  Schichten  entdeckt  mid 
damit  für  die  Altersbestimnmng  der  hier  am  Aufbau  des  Öebirg» 
betheiligten  Ablugemngen  den  Grund  gelegt  Auch  diese  durch 
ihre  Ver>»teinerungen  so  sehr  in  die  Augen  fallenden  Kalke  sind 
wnitlich  von  Gardasee  weitliin  liidher  nicht  aufgefunden  worden. 

Nicht  anders  verbält  eä  aich  bezüglich  der  verschieden- 
artigen  Scbicbteoentwicklung  o^-  und  westwärts  vom  Ganlasee 
bei  den  Bildungen  des  oberen  Jiimsyi^t^'m!«.  Im  Baldogebirge 
tret'n  abgesehen  von  der  bia  jet7.t  nur  an  einer  Stelle  erkannten 
älteste»  iu)g.  Transversariuffkalkbaiik,*)  im  Mt  Baldo- 
Oebirge  die  rotben.  knolligen,  in  m&uig  dicken  Bänken  wuhl- 
geschichteten  Ammoniten -  reichen  sog.  Acanthicu»- Kalke 
(Ammoniticii  rumu)  genau  in  dentelbiMi   BescImfriMiheit  auf,    wie 


1)  Uhti^.  U  Vurh.  J.  k.  k.  ireol.  lU-ich-AH-t.  1»80.  'tit,. 


^T^ÄwW;  Ueber  ttie  GrOiiertle  vtm  Mtmte-  Bntdu.      &8I 


Wir  iTkennen  deutlich  ÄW«i  Haupt/it^e  dtf-t*<r  Tertiiir- 
niiluKi'riitif^fn  im  tJebiole  dfr^  Mt,  Btvldo^obirgs.  Ditr  t-iin' 
wciiUicb  von  lot/tcr^m  taucht  am  We«tufpr  den  Gardu'ieti*'«  nun 
der  grossnrtigen  cjimriarfn  l'ebprdcckung  Kwisch«*«  l)es«iK»no 
und  Sftlo  in  di>r  Iiolmn  Fclsknppn  Mt.  Mnnerbn  uiif  und  setzt 
im  See  fortatreichond  eine  U**ihe  kleiner  Inw-Icben  und  die 
grossere  Insel  Gurdn  zuMininiiui.  Die  went«re  FortMt>t7Hnt;  dieMs 
Scliiohteneoniplexes  nueh  Norden  bin  iüt  gröiiisteiitheils  in  den 
Sw  ver.H'nkt:  nur  kleine  Schollen  auf  beiden  Seewitcn  bei  Mfll- 
ceainv  und  NovaKZo-Ariaso  unfern  iJargnano  haben  *it;h  orhalhrn 
und  etat  abwischen  Rim  und  Turbole  in  der  FeLskuppe  des  Mt. 
Hri'ine  beben  ticb  wieder  niücbüf^e  Scbicbtenmaasni  «mpor,  um 
weiter  zwisclien  Aren  und  Torbole  eine  ge-^chbiasene  Schiebten* 
reihe  bu  bilden. 

Der  zwei*©  nalii>zii  piirallel  Terlnuienrle  Zuff  Östlich  vom 
Haupiknmni  den  Mi.  Baldo  Rillt  da;*  lanjlttestr eckte  ürucb-  tind 
SeukuriK-^feld  zwischen  diesem  und  dem  KUwbthalrandgehir^;« 
Ton  Mori  Über  Brentonico,  Kerrara  di  Mt.  B.  bis  Caprino  an 
der  SOdi>*it<'cke  de.«  (iebirgs  sius,  von  wo  an.  wie  «ihon  erwähnt 
wurde,  Hie  Schichten  umbiegend  sich  weÄtwTirtJi  gegen  (lurda 
wenden.  Heate  dieses  Zweiga  sind  die  durch  mächtige  ernitii>«he 
UcberlagtTungen  getrennten  weiter  im  Süden  aufragenden  KeU- 
kuppen  dos  ^hbt^sbergs  von  Gnrda  und  des  Mt  M<wciili  Iwi  Afli. 

Beide  Zflge  der  theils  der  eocKnen,  t hei U  der  oligocünen 
und  miocünen  Gruppe  ungrhnrigen  Tertiärsehichten  werden 
Ton  Basalt^  dessen  MandeLnteiue  und  Tuffe  begleitet,  welche, 
decken-  und  lagerf»rniig  zwidcben  die  kalkigen  und  «andig 
mergeligen  TertiftrflOtze  eingescbuliet,  dadurch  7,n  der  uns  be- 
chtlftigendeu  Frage  in  engste  Beziehung  treten,  da&s  ftie^  an 
'Vielen  Stellen  Orfinerde  fObrend,  auch  das  Muttnrgestpin  der 
rmc'hen  QrflnerdevorkunimnisAen  am  Mt.  Baldo  bei  Bren- 
tonico ausmachen.  Wir  werden  nna  daher  etwas  nüher  mit 
dicMin  Tertii(rliildungcn  und  ihren  Tulkantnchen  Begleitern  xu 
befiuKen  haben. 

Diene  TertÜrnblAgernngen  im  Mt.  Kuldogebiet  erweisen 
«eh    aI»  ein«  wc3^tliche  Abzweigung  der  groflMftigen  Entwick- 


563         Skeung  der  vatJii./Aji*.  CSUicm  «mi  S. 


Iunf<  uih]  Au'^lireiLiiD^  der  ganz  gleich  gearteten  SelilchteBi 
in  don  Vurber^en  von  Verona  und  Vicenza,  mit  (ivnen  irie 
die    llefi^leilim^    der    basaltischen    Zmschenlagerungen    ffemeto- 
HohHillich  hnhen. 

Sclion  län(;)«t  durch  ihren  Rcichthum  an  juriifc  erhaltenea 
ttrijiiiumlii'ii  Uubtirt-eatcn  bekannt  uud  berühmt  wurden  diert 
iHirditalienischiTn  TerLiiir^itbildo  hHUiilsäcblieh  durch  die  klasuscbe 
B«icbrcib(iM}f  derselben  von  K.  Öuess  (Ueber  die  itlimlt-rung 
doH  vicriitiniNchfn  Tertiilrgebirges,  Sitz.  d.  k,  Acail.  d.  Wim. 
I.  Ahth.  in  Wien.  1868)  genau  und  im  Grossen  nnd  Oauxen 
iMidt^ltlii^  ^o^liodert.  /ahlreiche  neuere  Untencuchunj^vu  hnben 
dtiwt)  ^rundle^Mide  Arbeit  im  Einzelnen  weiter  ^«fOhrfc 
vcrvülUUindigl.  Kftr  den  Zug  der  Tertiära bla^rungen  im 
dm  Mi.  ßuhl()-Huu])tkaRtin8  sind  es  die  vorireflflichen  Mto}^ 
aobtiMiKm  und  Schildt-rungtn  K.  v.  Nicoli»,  v  '  '  mf  4>e 
SuesA*üehe  Arboit  gestiltit,  uns  mit  den  hier  heri  i  it  Ver- 

hältniiwen  des  italicDischeu  Gebiet^tantheiU  bekannt  gcvnaoH 
haben,  lu  dem  su  Tirol  j^hörigen  <jebi«tc  des  Zuf^ea  tiaheo 
Biitner  und  Vacek  ^Verh.  d.  k.  k.  geol.  Keichs.  1878.  '.i(9lr) 
wichtig«  BfoWhtungea  angvsMtl  und  di«  ErgebDiiC!«  denelboi 
mflAnUicbU 

K»rh  OtiervinsUmniradcn  L  niersochm^pef^bniiMeii.  nehoKB 
iSk  Terliarablageranieen  am  SOtende  4«  Alpen,  ■■■iiuBim 
kiu  Vice«tini««Ken«  aHt  «iD<r  «idik  aichtigia,  aber  aelir  ciwnk- 
kfiiÜKhw,  tbeik  tafl«»«  Ikeib  UIU^^rtRnengiea  ScIucMa' 
hiüm  ikrm  AwStmft^  wtkik»  ^  XJwtimmhuUn  dm  bimC  mm 
8e«i|Mft  l»ltl»><wi  rrtigtiUw  MWle»d  w»!  ra  gbi^ 
l'i»W^tMg  ihr  Sm  iilMu^iiitkui  Schiekiteaaci 
Kl  aM  «K  «•  4m€k  4m  UMg^f  V^irkoan« 
m^mtrp^  ^kmmaäkkm^tm  e(%  Spile«eo- 
•«littliteii.    Vmm  Ütart»   tte4  4m   mia^umhin   Tcxtiir- 
wliirii>Mi  fMe<  «ick  äa  «hb  flndbv  Wci»  tmk  im  GarAmtt- 
ffvk««  «Iwr  4er  .^MgiMa  «imdUB  Tm^aih  md  Ki^o  n  4m 
Kttk*  4«r  WiuiiiiiHe^t  ««  fciil—i  «4  «hiM» da  «an  X^o 
<»  nmwn  ttm—i  ^imfcimlm.    ftm  C^v  4m  Hc  Bd4«  Uta 


lUlteM  «»4  T«e«4  <V«lk  4.  r«<L 


l$7&  S.  307)  Ml 


C.  W,  r,  GuuttuI:  VtUcr  4ie  (fTÜnerdt  niM  MuhU  Haidii.       583 

StejV  uuf  doli  Mt.  Altiäsiiiio  dieäe  tiufi'odinu  Ablagunm^  uiif- 
j^oftinilen,  Üie  sU-Ucliwoiäe  tufß^u  Beöchftrtuuiit'it  t)it:s«r  Schichteii- 
abibeilung  bewetöt  die  mit  dieser  Bildung  gleichzeitig  eiuge- 
ir4;tenc  Begleiti*rsciioiiiung  vulkAni«clier  Rrupiion«n. 

In  finum  zweiten  ziemlich  miichiigen  Schicht^ncotuplex 
vereinigt  Suess  die  darfiber  liegL'nde,  »tu  Kulkbänkeii,  Biuittlt- 
det'keo  und  Tiifflagen  xiuam  tuen  gesetzte  Reihe  der  aU  vortrcS- 
liebes  Uautuaterial  benf'iUten  sog.  Menibro,  veri»cbiedeiie  h5ber- 
liegende  ä(is.tW)i.sser-  und  Ntitniiiulit'*iik;ilke  luit  dikzwiM.'heii 
eingeleiteten  üraunkohtenflOtzen  und  viilkiiniscben  Gesteinen 
nebit  dütti  durch  seine  zahlreiclieii  Versteinerungen  berühmten 
TulV  von  liunca.  In  neuerer  Zeit  hat  man  vielfach  für  diese 
8tufe  die  Be/eichunng  .Mitteleocün' ')  in  Anwendung  ge> 
bracht,  weil  sie  wenigäiens  theilweise  dem  Grobkalk  des  Pariser 
Iteckt-n«  im  Aller  entsp^l^cheu. 

Den  gleichen  Ablagerungen  l>^^gnen  wir  auch  in  den 
Tertiärgebilden  im  Mt.  Baldngebiete  .wwuhl  xwiächen  Torbole 
und  Ni^o,  wie  in  dem  östlichen  Senkungsfetdr  bei  Breutonico- 
Criisana,  bei  Sorne,  Kerrani  und  Caprino-Co^tione  in  einer  nur 
wenig  abweichenden  Kutwickluugsfurm,  wie  die«  apAter  näher 
iiaehgR\vie»en  werden  wird. 

Int  Viceuliniflchen  ibl  nach  Suesü  der  nun  fulgeode  höhere 
Schichtencomplox,  die  Gruppe  von  PrijibunÄ,  Ober  der  dar- 
notei*  entwickelten  grossartigen  Ausbreitung  vulkanischer  Bil- 
dungeit  —  dem  M>g.  KitldiKstroui  —  durch  kalkigen  Murgel 
vertreten.  &  sind  dies  die  Unuptlagun,  in  denen  sich  neben 
uthlrcicheii  Conchylienresten  iu  groaser  Uäuligkeit  Scrpula 
sj»ini/«ra,  Opcrattina  ammouca,  Orbitoidm  und  an  Ifummuiileti : 
N.  FicMcli,  N.  intrrnicfiiujt,  N.  vascus  u.  A.  einstellen.  Kng 
twhiieaät  uch  dieser  Begiun  eine  Stufe  grauer,  aandig-mergeliger 
Schichten  uii,  di«  sich  durch  den  Heichthum  an  Bryüiorn  ganz 
bcäonden-  au$7^ichnen:  doch  gehen  die  oben  genannten  NtimmU' 
UUu  auch  auf  diuie  &biohten    Über  in  Begleitung    von  Vtcten 


')  In  (tiiMmn  8inno  irt  «H#«(»  Kfx<^)c)intinfr  Im  Nftrhfnlin*udrn  *>»n* 
^liiiit«!)  wonlnn. 


58(5 


Sitiutio  f^f  miUh,-phy».  Ctaue  com  5.  Uettmbrr  tH06^ 


KiscbzTil Indien  (Latnna  liolctnsis)  u.  A.  UatalÜMtber  Tuff 
wurde  hier  nicht  bcobachlel.  Dasselbe  Gebilde  wi«derbolt  «ich 
in  einem  kleinen  Steinbruch  S().  Tun  Nago  nnd  unter  der  atcUen 
FeUwand  NW.  vom  Bahnhof  dieses  ürls, 

Obne  lücbarfe  Abgrenzung  geht  die  unter&te  luesi 
rnthlich  gefärbte  Eocänbank  in  einen  dichten,  unnMn  wc 
Kalk  aber,  der  mit  25 — 30  m  hohen  ubgebrocbenea  Schichtru 
sich  KU  einem  fortlaufenden  FeUriCf  erhebt.  Dieser  Kalk  an* 
8cb)ie»4t  in  groeser  Anzjihl  Nummulitcn :  N.  eompianatua^  N. 
perforatu^y  iteltener  N,  Tschihaischfffy^  Alvccli$ieu,  lÄtAoikammat, 
Orbitoidcn  u.  A.  Eä  Ui  dies  die  Stufe  der  unteren  mittel* 
eiicHMcn  Ntinimotitenkalke,  welche  dem  Meuibro  im  Vicea* 
tininchen  entsprechen.  Dieses  Kalkriff  läast  sich  über  Naieo  b« 
hoch  hinauf  zu  dem  Ke)jwn  Perlone  verfolgen. 

Ein«  starke  Vertiefung  trennt  diese  uU  Kels^rlickt-n  ioti- 
laufende  Kalkbänke  von  einem  damit  purallel  ritrt-'irheinJi'n. 
gleichfalls  uhi  Felsriff  steil  sich  erhebenden  ßer^ncken  *m 
Ubniicben  Iiellen  NumniuliienkAlk<'ohichton.  Die  du/WMclMn 
liegende  Kinbuchtuug  rührt  von  der  Auswitterung  weicher,  start 
%eräetzter  buaaltidcher  Gesteine  —  Baaalt,  M»ndcUtein  toA 
Tuff  --  her,  welche  gleichfurmig  dem  unteren  Xanunulitenkalk 
auf-,  dem  oberen  unterlagcrnd,  mit  beiden  FeUrippen  foristreidM» 
AVir  sehen  die^e  5 — 10  m  mächtige  basaltische  Zwisrheolaga 
an  dem  acbon  erwähnten  Fus^teig  von  Torbole  nach  Nago,  in 
diesem  Dorfe  selb-it  unter  der  Steilwand,  auf  deren  liöhe  dtfl 
Burgruine  Cast.  Pencdoi  .^teht  und  eben^  am  Fussc  der  Fel^ 
wand  NW.  über  dem  Hahnhof  Nago.  Organische  KÜMcblOiH 
wurden  nicht  gefunden.  Dagegen  liegen  zahlreiche  ausgewit 
rundliche  Brocken  einen  später  näher  zu  beschreilfenden  Pe 
spathba^altcH  reiclilicli  Tiber  die  Oberfläche  zenitreut. 

Die  darüber  liegende  zweite  Heihe  von  Numuiulit^nkalkai 
Ixeigt  in  den  unteren  I>agt^n  «Mne  hrrniklichc  I'      '    ~    '     t  und 

erhält  reichlich  Akw»i«/i<cw;  N.  pcrforfitHS>  -\.  ^ ;*j,  .V. 

£routjniarti  (in  BlJtekcn  gefunden),  KrJtiiiiäen.,  OriMvü^i-Htide 
und  nach  Dun^hKchiiitten  auch  Oonchylim,  dir  atv*  dem  bartcn. 
spröden  Kalk    in    bestimmbaren  KxempUren   «ich  nicht  bcni 


0.  W.  r.  Gämttel:  Vthtr  %tit  nrunrrüc  tntm  Mtmtr  Hattto.       587 

M:hliig(*ii  lai«eu.  Die  obersU^u  Uöiike  lientt^liLii  aua  oiiieni  wetfBeil 
tlicIiUfii  Katk,  der  Numumlitcs  Tschihutschcffi  in  griW«r«r 
IIüuHgkvit  enthält. 

tnd^in  niun  nher  diu  mit  dum  Ikr^ubliang  glciclifunnif; 
abfallenden  Kalkschic  htm  von  dvr  Burgruine  b«i  Nagu  hinah- 
sLeigt,  gfttuigt  iiiuu  in  eine  zweite  |MiralleI  lauft-nde  Einbuchtung, 
in  welcher  aofnrt  zu  7*Hg  ausstreichende,  leicht  rerwittemde 
graue  dflnngeschic biete  ^undigu  Mergel  uutitehen;  sie  geben  sich 
durch  dos  nia»seuhafle  Auftreten  vnn  ^'ummulites  I'^ichicli,  N. 
intvrmcdius,  von  (hbitoidcn  und  OpfraUincn  sich  als  zugehörig 
XU  der  Reibe  der  Priabouaschicbten  zu  erkenoeu.  Gleich 
ihre  wnteraten  f.ugen  fulgeii  ohne  Unterbreclumg  der  Scliichton- 
fulge  in  gleichfünuiger  Lagerung  auf  die  Nuiunuilitenkalklmuke 
dea  Uiirgbergs  ((oberes  Mitteleocüu). 

Diese  Schicht4'n  setzen  ulnie  wesenttii^he  Aendorung  den 
Höhenzug  an  dcu  neuen  Fe^tungHwcrkon  von  Ni^;o  zUHJUumeu 
und  ziehen  einerseits  fast  gleichlaufend  mit  der  Kahrvtrasso  ron 
Nujfo  nach  Titrholo  mit  einem  unter  35 — 40"  nordweÄtlicliem 
Kinfikllen  \m  zu  den  oberen  Häusern  dieses  Dorfs,  andererseitH 
fine  Strecke  weit  neben  der  Stniss«  und  [Ciäenhabn  Tun  KtLgij 
nacli  Aroo  hin,  wo  ziemlich  nahe  der  Wegkreuzung  in  ionat 
der  Geateinsbeschaffouheit  nach  Hehr  ähnlichen  Lagen  mch  reich- 
lich BfyoMoin  neben  ungemein  zahlreiciicti  Orbitoiden  (0. iiaptjra- 
ctruty  0,$tellit  U.A.)  Operculinerty  NttmtnulUes Fichtelit  N.  vascu$t 
N.  inliirmedius  (seltener)  einstellen.  Diese  Schichten  dürften 
den    Yiccntint8chen  Bryozoi'nniergeln   gleich    zu  ätellen  sein. 

In  den  auflagernden  Schichten,  in  denen  sich  nach  und 
nuch  eine  Schichten  Wendung  mit  ciuem  Kinfallea  in  St.  A'/i 
mit  50*"  imrh  \V.  bemerkbar  mncht,  wurden  von  Dr.  KeiB 
neben  NummutiUs  vtiscus,  grossen  Austernt  Peclen  und  LUhO' 
thamtncH  Korailen  vom  Typus  jener  der  Custel  Gombcrto- 
Schichten  bcMibai-bLct  und  e^  ist  ^'hr  wahrscheinh'ch,  dass  man 
diesen  und  den  nun  folgenden  in  grosser  Mächtigkeit  ent- 
hckelten  Liihoihamuien-Kalkeu  die  Stellvertretung  dieser 
tnitteloligocitnon  Stufe  anzunehmen  bat.  Die  Strww«  wendet 
■ch  ron  da  an  nbwärta  bei  etwa  lüU  ni  Meereftbühe  wieder  m» 


568         ÜiUung  dr,r  mntb.'filtjft.  Cta 

Liegende    nnd    entblnssl    Lagen    graoer, 
Mergel,  dienen  wir  am  Mt.  Brione  «rieder  beg^uea 
die  fOr  die  Orientiriing  ron  Wichtigkeit  sind.     Dann  frhtifÜti 
die  Stnttse  in  dichte  weLssIiche  Lilhothamntrnkalke  ein.  wrlcbe 
durch  grosMuiige  Gletscherschliffe  polirt  sind.     Das  fcjnfalU«  ä^ 
hier   mit   35*^  in  St.  G  nach  W.   gerichtet.     In    «inaoi   Säte- 
gruben  oberhalb  Bologoanu  nnd  wi^iter  NO.  ^'gvn  St.  Giaom 
taocbeo  darunter  wieder  in  betrfichtlicher  Mibclitigkeit  die  Brro- 
aoEn-Mergel    in    St.   11  mit  S^"»  noch  NW.  einfaUend  mC     b 
weilrrem  Verfdlgen    der   tiefere»   Schichten    im    Bergkewel  W 
Mga.  Crcano  and  Ca^ll  hat  Dr.  Reif  ^emin  die  Keih«  Pria- 
bonaachichteu,  obere»  uitteUocutien  Xummulitenkalk, 
Basaltische  Zwischenlagerung,  HauptmimmuliteDkalk« 
Scaglia  beobachtet,  wie  solche  bei  Torbole  beschrieben  wurd«, 
wftttrend   in   den  Gräben    znnachj*t   mtlich    von    Bolognano   Üe 
gmneo  Fonuninifemi-Mervfel    mit  PcHtacrwttJt  difiact^Utt,  vit 
am  Ml  Kriuue  ausätrvichen.     An  einer  W. — O.  Vw  wetfuayB" 
klnfl    brechen    hier   die  Tertiürbildungen    ah    tinr]   wenden   «irli 
nan  Qber  das  Sarco-Tbal  westwärtx  llberArco  nach  VungBawti 
wo  Ae  in  einem  Seiteothälcbcn  »ehr  aehOo  eutblfiaat  auntreicbea. 
L'eber  diesen  a^r  inlereannten  Zug  soll  ou  einer  uidereu  StcU» 
berichtet  werden. 

Vrrn  Arco  weiter  thalabwärts  trennt  da«  breite  SareoikJ 
die  Nnmmulitenschkhten  des  Straanazages  Nagn-Arco  foa  de« 
weitlieh  aus  der  Thalrerebnung  und  dem  Oardaaoe  wie  nni* 
Febeoinae]  .tOO  m.  hoch  aber  die  Seefliche  atlfrageadeu  Ut 
Brione,  in  dessen  festen  Kalkbinken  die  Strasse  Ktra-To 
eingesprengt  ist  Seine  Schichten  bilden  anzweifelhaft  die  Kort* 
sotxunf?  der  Gestetiksrcahe  längs  der  Straase  Arcu-Ns^'  '  '  <? 

in  FoI)jfe  des  Dnrchfaffikefaa  des  Sarcofinans  getbeilt  w  e 

FeUtiünke,  welche  die  Strtise  von  Torbole  gegen  Kira  raent 
Muchnfidet,  bestihfln  aoa  demaelben  Lithothamnienkulk.  drr 
*n  der  SirasM  Aroo-Nagn  ent)>lS»t  iat.  Er  crhuht  dich  in 
•enkrroht«r  foriUttfender  Wand  auf  der  0«lKeite  den  Bergea  hu  in 
daawn  htVhntpr  Kuppe.  Grbängeiehntt  venlrfkt  hier  A'tf>  ztinnclMt 
tmi«riimvnhli*n  iffwIciMiDbichtai  bis  nn  der  ättawnien  Korikut 


L'.  W.  V.  ambtl:  Uebtr  Uu  OnUteMt  ram  Monte  Htdtlu.       5ä9 


«cle,  wo  fm  Hanj^enden  zuerfit  uuk  <it*tn  TrOninirrlinufwerV  fin 
KelsonrilV  von  j^niuem,  ^i'iblich  verwittoriidem  Kulk  mit  A'mhi- 
Mulitc3  Buüefutis  luiil  Lithothamuicfi  äicbtbur  wird.  Eine  weniger 
steile  UiÜitchnn};  tn'iint  ilii'se  10  —  l.'i  m  miiclitif^e  Bnnk  von  drni 
buber  laj^umdeu  linupUitbotbaiunieukutk,  des'ien  ScbidiUrn  in 
8i.  0  mit  25**  nach  W.  einfüllen.  An  einer  Studio  ira  lluiiM*nit«n 
NO.  dns  Berges  ntr^icbt  nua  noch  die  tiefere  Schichtonloge, 
nUnilicb  jener  »chou  im  Voran-sgebonden  tin  dor  ArcmtruKM^  urul 
twi  ItoiiigtiAnu  erwiibnie,  ^raue  Furiiniinifuren  nihrendi'  Mergfl 
mit  Peniacrimis  düiactplus,  kleinen  Carditen^  Pectm  und  der 
fflr  d*'n  Ofener  Mergel  und  die  HRringer  Srhicliten  elinniMm* 
ittiscben  Clavulina  Seaboi  (C.  haerintintsis  (Ibl.),  nebon  einer 
An/jibl  von  Herrn  Überniedicinutratb  Dr.  Egger  iHitiLiinintün 
Koramitiiferen  denurlbttn  Stufo  in  Ungarn  und  in  Nurdlin>l  in 
einem  Hohlwege  xu  Tage  aus.     Ka  sind  namentlich: 

Verzf^ichnii«   der  am  XO.  Fu»    de»  Mt.   Ilriono   im    Mergel  ge- 
fundenen  Kiiruminiferen- Art^n    nach    Buntimninngen    d<«  Herrn 
Oberniedicinnlratbm  Dr.  Kgger: 


\  "rk  mmi  III  fi  i^"»- 

1 

N«nen 

^h 
m 

ci_ 

ä<>iuU<{c  Kuiiilortc 

Aiiij'ni'ti-irinii  niiiiiinilliUill  Retlw 

'i'riiiiir  tn  N^pnl-  ii,  )4l(tf|- 

iJpilLxiiliinft. 

3 

Anonmlina  Hu9*»  Kfu-nv 

Mohnrr  Toici*l  im  VViMier 
IWv-kfrn. 

8 

Ekilivina  elüngmU  UauÜL 

+ 

4 

„         rtfticuUta  Ilantk. 

-h 

& 

Hliliraiiia  tninnuin  iTÜmbel 

+ 

Nordolp.  Eocfiji 

• 

Clavultna  i                  i    Hantk, 

+ 

m 

-.Utk. 

+ 

iliiria  onmtA  lluntk. 

+ 

' i^in«  ni|to«a  d'OHitft 

Oben^  Krritk .  Mrndoti, 
Strublen.  P«ttimaa4*nf^ 

lA 

ti|*(ti||p«rinii  ■«^luiUtmli«  llra*lr 

.-fg. 

CUme  MW  1  IhJxmitr 


|K«nr« 

TerkuBBias»»« 

% 

1 

1  »•  •  ^ 

Siwatigg  ntadoH« 

iä* 

3i 

n 

KwUp.  Enrftn. 

» 

,,           WUiuIm  J'OrtHg. 

WI«BCT  Tegd.  SicBA.  Le 

II 

Terti«r  in  nbmcfalniPii. 

Ji 

Hfiplni^lini^iiHnUumbddti  tUnw 

+ 

gnptor.  Thon.    Toifd  vo» 

)» 

IfurtdiuiUni  {fldtff*rnaK  Ilanik. 

+ 

\a 

HtK'lll. 

Stünibt'r^-r  (iiüalftin.  R«iM. 

17 

NtultrititiriiL  «tciLtninnln  Hiintk« 

+ 

IM 

„         11i»h»ii«i>  Hiintk. 

+ 

10 

„          *{iM|iilr>K  ttilvpiiiri 

TtH.  Huliiiiipr-nniii. 

8t) 

'M'i)lj?iiiiii|i1iitiii  tiviitifl  Ikinihi. 

Si'ptaiii-iitlin«  Villi  HiTni»- 
«Jürf. 

Ul 

I*ii1v!lnul{im  1liiJtiiirfi>  Uitiitk. 

■i- 

'4^ 

UliUidiipIrti  HbiinrKii"  (liviilk, 

+ 

y» 

Kuttiljiiu  rli^umitM  «rOrU.  iruKnii. 

I\ll1-<'lul 

+ 

LclHiliil.SilliajiiM'niini.  IW 

titliiint^u. 

•ii 

V  Uittiihnu  iSfJmM'tiMiftim  l'^it k  n. 

t^Wud. 

n 

HiiirtiliV'ultna  Umbau  IkmitMiL 

darf.     LrlwlMl. 

^ 

Ti'^^luliLri»  CaHhi^I«  tlOrU. 

■f 

Wi«nw    T*'g*'l.      |«44M*n<ii. 

Siiwa. 

ST 

M           UMimie  U*ÜvU. 

, 

»IM  ili4i  KtBUB.-Stkieht 

an 

TruMtwüM  ImWhU  tl*<Mw 

Www«    Tfrtiftr.     fTfa^t 

m 

tS^^M^M  IhfWM  Hutk. 

"*" 

m 

f  y$l\^hm  <v«MM  t^iti  a  KmL. 

j 

f^fc«<w.  —  Keemt. 

I 


V-j^.  ^'i^s.,'«  Ä>  Arte«  •JW,r-e  «vä  i^'tf  HiZftv  *a».-ä  :a  ^i•?m  *>Mr-  0<ww«- 

M\t<*'i  l'»iC^-tt.*.   «*■*  •'.•j'   c^«dt;c*ti  i  Irrte,    i't*  i,iit*tvttiUt«Tactirtt  AfT  AW 


Wir  gewinnen  diulnrch  ein  zuverläaiäf^es  Milt«!  d»t  un- 
miUelbaren  Vergleich'-  mit  den  unteroligocänen  Ablagerungen 
anderer  Gebiete  und  einen  Anhaltüpuukt  für  die  Zuweisung  der 
darnl>er  liegenden  Li thotbam nien- Kalke  xun)  Mittel- 
oligocAu. 

Verfolgt  man  das  klur  nufgesctilossene  Scfaichtenprofil  an 
der  Seestrasse  oder  länge)  den  Höhenkanfcen  des  Mt  Britme 
weiter  ins  Hangende,  w)  stORäen  wir  an  einem  einzeln  stehenden 
(Sebäude,  dem  «Jg.  S^lltiaus,  auf  der  Seeseit«  unmittelbar  Dber 
den  bis  dabin  reichenden,  in  den  hängendsten  Lügen  glaukutti- 
tiiu:ben  Litbothamnienkulken ,  auf  die  schon  frflher  er- 
wähnte glnuknnitreiclie  (irüDsandsteinbank  voll  von  Ver- 
steinerungen, namentlich  von  Prctm  dektus  {P.  Pasini).  K« 
bezeichnet  die^  den  Ueginn  der  niiocünen  Scbiofichichteii 
dts»  vicentini^chen  Gebiets,  welche  dann  weiter  in  einer  Mächtig- 
keit von  mindestens  300  m  als  hart«,  etwas  sandige,  tief  graue 
^latikunitisehe  Mergulkalke  die  ganze  Westseit«  des  Beides  /.»- 
kniiuen»ct7«u.  In  einem  kleinen  Steinbruch  an  der  FeHtnng 
H.  Nicolo  fallen  die  an  Pectcti  d  ff  r/m  reichen,  harten  Oestein-s- 
bilnke  in  ät.  C  mit  30"  nach  W.  ein.  Verfolgt  man  diese 
Schieb Len  am  Weatfnfis  de^  Berges  an  den  groasartigen  Stein- 
brDchen  in  der  katktuffartigen  quartUren  Pietra  niorte  bei  der 
Osteria  del  Mt.  ßrione  vorbei  nach  S.  Ale»sandro,  ^o  bej^bachi^^t 
man  hier  eine  starke  Schichtenumbiegang  an  einer  V^erwerfuug 
mit  einem  KinfoUen  auf  St.  0  mit  50^  in  SO.  Kt*  ziehen  sich 
dann  die  Litbuthumnienkalke  wieder  bis  zum  Qebirgsfitss  nieder 
und  an  den  Häusern  von  Qrotta  schneidet  eine  Gntblüasung 
graue,  weiche  sandige  Mergel  unter  dem  Kalk  an,  welche  r.war 
auch  HryOMorn  enthalten .  al)er  nicht  den  typischen  Öryonoon- 
schichten  enbtprcchen,  sondern  höheren  Lagen  angeboren. 

Den  Brione-Schichten  an  Alter  gleichstehende  Ablagerungen 
sind  im  Oardasoegebiet  nur  am  Südende  deü  S«e*d  im  Burgberg 
von  Garda  und  im  Mt.  Muitcali  erhalten.  Was  daxwittchen  an 
Tertiärgebilden  nicht  in  die  Seetiefe  versunken  int,  beschränkt 
ttii-li  uiif  v*-ihiUliiii«w&Mig  g<*ringe  Keate  von  Lithntharnuieukalk, 


592         Sitzuiiff  der  math.-jtkjfH.  CUume  vom  5.  Ue:tmt>tr  1896. 

Prialwna-    und    BryoKoi5n-Schicht«n   d«r   Inst-I    Gan}»    unJ    drr 
Felsen  aiu  Wesiseeufer  l>ei  Riva-Manerba.    Von  älteren  Tertur- 
biltliiiigen    ist  am  O^trande  des  See*«  nur  eine  gi^^Ber«  äeb<»Ue 
in   lind  bei  Maluesine    von   Her  Zerftü^ning  verschont  gebliebeo* 
K«  finden  sich  hier  der  Hauptsaclie   iiaoli  luergelijse  Priabtuia- 
achicbten    und    basaltige    Einlagerungen    und    £wmr    Eetjctcra   in 
VM-rgenelWliaftung   mit   einer   nebr   eigenthQiulicbea,    ^nmieo% 
gloiuerntartigen    TrQmnierbildung,    mit    welcher    der    Bargb«r 
von  Malce^iiae    in   steil    austeigendeii  Felswäaden   aus  dem  See 
nnfäteigt    Die  Unterlage  bildet  von  den  Wellen  bespaltc  Scsglia. 
Diirnuf  bunt  sich    ein  ^iy^teni    von  ßafinlltuft',  Mandolffteio   nnd 
Mergeliagen,   die   so   zahlreiche  lirocken  von   Basalt»    beannden 
von  Bpilccco-,   Brongmarli-  und  TscUihaiscUcfß-lxtAVtTi  einge- 
bettet entballt-u,  djiss  das  Ganze  ein  CunglomcrU-äbnlii^he»  Sx 
sehen  gewinnt.     Diese  Einiicblüiae  beweüeu,   du»a  in  der  Nu 
von   der  Entstehung  dieser  TrUmnierbildung  auch    die  älteiUt! 
Nuniniuliten^chichten    Torhauduo   gewesen   aein    mlbeeo,    da» 
AiiKgeheudes  jcL/.t  nicht   mehr  zu  beobachten    ist.     Ätn  obe 
Hingang    zum    SchlQs*ihof  legen    aicli    über   die    Hurgliergfe 
mergelige  Priabouaschichten  mit  Strpula  spindaea,  vielen  Orbf 
toiäen  u.  Ä.  unter  30»  in  St.  10  öach  NW.  einfallend  an.    Die 
gleiclien  Schichten  stehen   auch   an  der  Strasse  8.  von    der  S. 
Sebai^tiano-Kapelle  an  und  worden  von  bjualtigen  TaSeo  untcr- 
lagert.     Noch   etwas   weiter  sUdlidi   bei  Casu  Gigerini  äiphngl 
ein  schmalem,  au.-'  doleritischem  Baaalt  beateUendc«  Fi'^nff  wi'i 
in  den  See  vur.     Gehängescbutt  nud  erratiaches  Gen>I)   verbio- 
deru   hier  den  Zu^mmenhang  der   Seckweüio   aufge«chto«iet 
Tertiärschichten  näher  zu  erkennen. 

In  der  Abzweigung  der  Tertiarbildungen  von  Nago  in  KO 
Richtung  führt  der  Weg  uach  Pannone  Über  gros«4artige  TrQmnic 
halden  von  Scaglia,  Biancoue,  Jura  und  Lia^kalken  in  d«r  UObe 
xti  einer  »ehr  mächtigen  von  Adern  dichten  Basaltfi  durcbu>g«ae 
Basalttuff-  und  Mandeisteinlagerung,  in  welcher  maii»enhaf 
Kinscbluss  von  GrQncrde  dem  Gefileiu  Bireifenweise  «ine  grflue 
Farbe  ertheilt;  in  anderen  Streifen  treten  rothe  und  gram 
Farlientune  hervor.    Der  an  der  Uncca-Kapelle  au^l^beode 


C.  W.  V,  OAmbä:  U«bfr  dU  OrüntrUt  mm  Mantr.  BtdJo.      593 

soheiul  damit  in  Verbindaiig  zu  Ht«hcn.  Von  da  gegen  i'aunone 
hin  ragen  [*'olsrip|H;a  vuu  Litliothamnienkalk  auf,  unter  dem  au 
der  Scheide  der  Wege  nach  Pannone  uad  nach  Varaao-Chienis 
in  einer  Griihe  weiclie,  verslein  er  ungsr  eiche  PriabomischieliteD 
mit  Numnnditts  Fichtdi,  zahlreicbeu  Orbitoiticu,  Sponäj^lw 
cisalpimts,  Peciai  araiatus  und  zahlreichen  Schinidcn  in  St.  6 
mit  80"  nach  0.  geneigt,  enlbloic«!  sind.  R  i  1 1  n  o  r  crwähot 
(Verh.  d.  k.  k.  Reol  Reichs.  1S78,  398)  dieses  Vorkommen. 
Nuhen  der  noch  Varanü  aufnürtsftlbrendeii  Straaae  gehen  dann 
wieder  einzelne  Schichtenköpfe  Ton  Lithothamuienkulke,  von 
groasartigeni  erratischen  Schutt  mit  vteien  UolUtUcken  von 
Ad&mellogesteiu,  Porphyr,  Diorit,  Serpentin  u.  ä.  w.  Uherdeckt 
XU  Tag,  in  Chienia  selbst  aber  lagern  darüber  kalkige  GrHn- 
sandsteiue  mit  Pectcn  deletus  (auct.),  die  aucli  über  dem  Thal 
Ofctffärts  forbseUen  und  in  einem  Hohlweg  I'unnone  gegenüber 
in  St.  9  mit  50"  nacli  X\V.  einfallen,  wrihreml  die  l'Vlsen  an 
der  Creeta  aud  Lithottiamnieukalkeu  l>t»tehen. 

In  dem  ganzen  Zug  der  Tertiärgebitde  im  Garda-Seegebiet 
weltlich  vom  Mt.  Baldu  scheinen,  snweit  die  bifiherigen  L*nt<»r- 
suchungen  reichen,  mit  -/.ureiehender  Sicherheit  basaltige 
Zwiachenlogeruugen  nur  in  zwei  Reginnen  vorzukommen,  näm* 
lieh  zwischen  den  unteren  und  oberen  niitteleocänen  Nuniinu- 
litenkalkeu  und  an  der  Btt^iä  der  Priabonaachichten. 

Ktwu:«  anderen  Verhaltnissen  begegnen  wir  innerhalb  des 
Tertiär/ugs  am  Oafcfn^s  des  Mt.  Raldn-IUnplkammü,  (iber  dewien 
geologischen  Bau  im  Folgenden  kurz  berieht^^t  werden  »oll. 

Die  Tertiärbild nngen  dieees  langgestreckten ,  aber 
schmalen  Zug«  &ind  zucn^t  bildlich  von  Mori  oberhalb  Tierno 
an  der  StnuMC  nach  ßrentünico  unter  mächtigem  Schutt  der 
Beobachtung  zugän^Iich.  Es  sind  tuflige  BtiiwltmandeUt4!ine  mit 
Natrulitb-Ausächeidungeu^)  und  Tnfle,  in  welchen  unter  den 


^P  ')    Liebouer    and     VorhaaNor     getM'ti    dienei    Minomlinnvnr- 

kimiiiiiiti     (l>ie    Miui'i-ulifii    Tirol«    1803,     S.  1^3)     init<*r    ürr    l)i>»ricb- 
uuDK   Ut!«ulyp   in    lto){lciluuK    vuii   IV'kluUUi,    Aixtphji'llit    und    Kalk- 
INM.  yaii    fbyw.  O.  4.  Qy 


fort 


D». 


Knt  Ikm 


SO. 


Üidem  wad  Optrwulmem  ai  SL  7  vb  54*  i 

■»i  ftkcr  «iMr  ■iihtigin,  «tscii  klöaca  Wi 

<l«n    PrwboMfcalkbiKtlc   so  Tag.     Dm» 

I>r,  K0M  rao  wotar  »fvirt«  kw  CraaM  «ttj 

dtr  Birhtmig  Cnmm^Stmattakja  c»  wMikfc 

MOgamOtm,    Jh,  Hm  Umk  hmtber  Fi4|ibJu   wft;    «As 

Fhm  iar  Bcfghfibe  630  m  O.  voa  fViMMii  ^^  S«*k1ü  ■«. 

aof  «rvtciM  ckba«  Spil«eeo-Eoiwid(lB0g  iiiimfUilt«!  4m  Mite«l- 

cocin  wjflifgt    DttMllMc  htf^nnk  mit  «ömt  tocfcgw  Tr 

logc  Ton  J/oM^tfiat-faiifvailcn  Roihtariw.  fTi^gfa  nimiiii 

■ieUeowoM  «Mdi0m    ZviKbeitiidtUi    (?  ob   SfaDverteciv 

8|iil«ceobQ4iiD|p,   gebt    naeb   oben   ia    KaU«   nÜ 

Nnmanditti    Diarritsauis,    N.  PraUi    wie   im   Vk 

Ober    uad    McbU*i«i    mit   Kallcatcialageo    T4*tl  "/«antitöks 

complanciuM  and  ^.  ptrfomhu  im  Quncn  2L      _     m  nicbcig 

und  nach  WNW.  eiufUlleiid.     ta   eifi«r  tUrBuT  ftA^g&miam  Ew- 


gutt   aa.    Ha»«  AbbJjm^  de*  {«atraüiiB   «sipit  al« 
«>l|Bra4»  ZabI«»: 

Ki«M4Miir^  47.3ft 

V  Mi 

'  001 

993K 


C.  W.  r.  Gümltei     Vttttr  dir.  (hünerde  lom  Monte  Baitio,       595 

liefutij?  stelieu  tuftif^e  [^a^en  uu,  welche  durch  eine  beir&chtliclic 
Hllj^elrippu  mich  nheii  begrenzt  wird,  LeU.k're  setzt  bich  zu- 
iiächi^t  ans  f^leich massig  plaltigen  KalkHtoiiien  und  einem  schmalen 
in  dfir  Mitte  oino  Kulkentwicktung  eiii^chliessendeii  Basaltzug 
Kusnnmien.  Hier  wie  in  den  Co mplanaten- Kalken  zeigen 
sich  KiisielauAscIieiilnngen  (25  m  niüchtjg).  Von  r.wei  weiteren 
int  Haiigemlen  folgenden  Kalkrippen,  durch  KintiefungeD  mit 
weichen  deutlich  tuffigen  Lagen  getrennt,  untHchlie&sen  die  t)beru 
Bänke  organifiche  Kiiischlas.so  nünilicli  /.aiilreiciie  PecUn-  nnd 
Erhinidett'  und  riesige  Cyc/o/iVM-Arten.  Die  Kalke  sind  eben* 
plattig,  blaugrau,  in  Folge  von  Auswitterung  gel  blich- weiss 
(Mächtigkeit  gegen  25  ni).  Wührend  in  den  liegenderen  Tiiff- 
scbicliten,  besonders  in  der  unterHen,  der  Charakior  einer  Sedi- 
mcntbildung  vorwiegt,  folgt  nun  nach  Oben  eine  schätxweifle 
80  m  nuirhti;^p  tuffige  MiindeUhMiiniosso  in  ä.  Th.  intensiv  rother 
Färbung.  Uulerlagerl  wird  dieselbe  von  einem  Hebten  I'ria- 
bunakatk,  welcher  am  Kusse  de«  Aufitiiegs  murh  Brcnt4>nieo 
xnhiroiche  cbarakteristiscbe  Ven^teinerungen  umscbliesst.  Er 
bildet  die  Kortüetzung  des  oben  erwiihuteu  Kalkd  am  Wn^erfall 
l»ei  Uis«agno  und  wini  wie  dieser  im  Hangenden  T(mi  Hryo/.»H'*n- 
uiergel  begleitet.  Dieses  Hchöne  Profil  ütOast  in  Brentonico  an 
eine  N-S.  verUufende  Verwerfung,  lüng«  welcher  .Turakulk  sich 
^ervurbeht,  ab.  HrenloDici  titeht  •/,.  Tb.  auf  basaltigem  Gestein, 
t\c)ifiA  mit  Unterbrechungen  Aber  S.  Oiacomo  bis  /.ur  Scalette 
ft>rt«treicht  und  z.  B.  bei  Fontechel,  wie  an  der  Kapelle  ft. 
Valentino  BusgowitU?rto  Ba^nltbKicke  aufweist.' 

Kill  zweiter,  mit  dem  eben  be^briebeneu  Profil  nahezu 
pumlleler  Schicbtendurcbscbnitt  von  O.  nach  W.  ItLsst  sich  am 
Abbang  riea  SornethaU  verfolgen.  Der  Steig  von  ßrentonicn 
niH'T  C'u/./j»no  zur  OornebrQcke  bei  (Jörne  fßhrt  an  nach  W. 
einfallenden  Bänken  von  Scaglia,  Diphyen-,  hnrnüteinroichun 
Acantbicuskalkeu  und  Lina  vorüber  zu  einer  Kalkbreccie  (in 
8t.  9  mit  ÜO"  nach  NW.  einfallend),  filwr  welche  der  Steig 
hinauf  nach  Corno  führt.  Hier  bemerkt  man  das  Aingebende 
der  Scaglio.  ,Die  auftitgemden  mitlelcooftueu  Numnitiliteu- 
katke   Miml    hier   nach    Dr.    Keis   ywnr   nicht    ho    gnt    aufge- 

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K^' 


Uctitr  die 


ae  vom 


507 


Anstehend  findet  sieb  in  dor  Näho  der  PritiboriAkiilk  erst 
jenm.'itH  d.  h.  westwilrts  dt»  dorcli  die  Verwerfunff  y inpcac hoben en 
älU'ren  üesteinsriflB*  am  Weg  von  Brenltitiico  nach  Brftdj  nU 
aiäcbti|>$e  KalkscboUe,  in  deren  tiefen  unregeluiussif^en  Scbichtüu 
groKsc  Urocken  des  unniÜlelhnr  iinterlagiTndcn  Basal  tu  landel- 
«t«in8  eingeschlossen  sind,  während  erst  nuch  oben  wobige- 
•chichtete  Hilnke  voll  von  Echiniden  und  mit  mehr  vereinzelten 
UrifOecfn  und  Korallen  entwickelt  äind. 

,Am  Sanniwege  von  Brentonico  nach  S.  (jiaconio  begleitet 
uns  nach  Uel8  in  die  Tertiürablngerintgen  eingeschobene  Sc»gUa 
nnd  darüber  unmittelbar  anstehend  tiefet«  MilteleocUn  (Mniibro), 
irelchea  ohn(<  äon.siige  Zniächentagen  »ogleich  in  Cüin plannt wi- 
PcrforatiiB-Kulkc  mit  NW.-EinfuUen  übergebt.  Weiterhin  biegt 
aich  die  Scaglia  mit  SW.-Einfalleo  um  nnd  es  folgt  Gber  ibr 
ein  Kalk,  der  für  Memhro  7.11  hatten  ist  und  darObir  TiilT  nnd 
luftiger  Kalk  tnit  Echiniden  und  NwnmnUtes  Bromjniurti,  der 
auch  in  bmen  BU>cken  bei  Brentonico  sich  findet,  dünii  folgen 
wieder  Tuffkchicbien  und  basaltiger  MnndeUtein  nnter  einem  der 
I*rial>oniiewtiife  2iigehQrigen  Kalkklutz.  Könnte  hier  die  Scbichton- 
folge  fnr  niigcdtört  Angeooniinen  werden,  so  taiideu  die  Bruugni- 
iirli-Kttlkc  ihre  Stelle  Aber  den  Mombrokalk.  Doch  idt  dieue 
LagernngHweißü  unsicher,  weil  weiter  gegen  S.  Oiucoiuo  hin 
TuH'e  uuinitlelbar  auf  Si'agliu  sich  einstellen,  welche  iMitwcder 
in  Folge  von  Störungen  diew  StoUe  einnehmen  oder  d(.'n  ältesten 
Tnifen  entsprechen,  wie  aolcbe  im  Vicentiniüchen  an  ^er  Biuis 
des  Korün»  iinftr<'ten  mid  anch  in  diesem  Zuge  bei  FeiTnm  di 
Mt.  Butdo  vorkommen.  Hei  S.  Giucomo  legt  «ich  ganz  zweifei- 
Ich  Mif  die  Cunijilaniitiii^-Kalke  mächtiger,  geschichteter  Tntf  an, 
der  hier  eingeachwcmmto  Brocken  von  K»lk  mit  Nummulites 
eümplanatus  iin).4chlieüst.  Auf  der  Höhe  we^tlicli  von  S,  Valentine 
Midhl  ntiiTi  deiilliiih,  wie  dieser  Tutf  mit  den  tnfHgen  MundeUieinon 
und  Bnrallen  unter  die  Kalkwände  der  l'ritilKum-Stufe  der  Corona 
del  ISet*  niitt^rtiuicht.  DicM«*  Kalke  dienen  dann  mächtigen 
Brjo/.oi'nniergeln  zur  Unterlage,  diu  huher  hinauf  g(^en  die 
Bergkuppe  von  1738  m  Meerenbnhe  fortsetven  und  in  Litho- 
thamnienkalk«  Terlaufeii. 


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""'•»et  eine  l'-    ,'"'"''■«'' Nui„„*'""-' 
'""    ''''*   liefe,,  ""'■'*''  J^tet  «, '^J"  <*•.  , 


<;.  W.  c.  OAmb^:  Ueber  4i9  Orüncnie  tvm  MonU  fioMo.       509 

warfM  fulirbur.  Auf  dun  tluMeii  liuf^en  Iiiur  zutilreiche  StOcke 
TOD  fettterun  BaüültniaiuIeUteiuen  umi  vurfalloncr  llusutUiifr,  <lii- 
iit^heit  vurkietfltv  ((rGiii'nlcbrocken,  ^''^^^  "nrl  f^*lbe  Chalcedon* 
kuolivn,  WL>lcbu  im  Iiiuerri  uß  krystullisirte  (juarzuuwicbeidujijjcen 
erkennet)  lassen.  Die  KuthltisAungüii  über  Tu^  »irid  hier  zu  g;e- 
riug,  um  mit  Sicherheit  übiT  die  Art  des  Vurkomnieit^  der  Griln- 
erde  entscbeiden  7.11  kfioDen.  Die  anatebeiideo  basaltigen  Oe- 
steiusmassen  sind  stellenwei.se  BaäultninndeUU-ine,  Kti^lb'nwrjse  Ba- 
nalttuffe,  au  wolcbeu  durch  die  »treifig  wecbüflnde  Färbnng  eine 
Art  Scbichtiing  ucb  verrüth.  Ancb  fehlt  es  niclit  utt  Blocken 
uiaNsi(;;en  Basalte«,  die  uusgewiltert  an  der  Oberflilche,  t.  B.  auf 
dem  Sattel  pegen  die  S.  Valentino-Kafn'llo  Kerstreut  liegen. 
Basalt,  Buriiiltiiiandi'UUiiiie  und  TulVc  bildni  hier  ein  Oiui/i», 
welche»  i)U  Glied  /.wischen  den  f?chichten  der  Nummolitenkalke 
und  -Merjjel  eiiige-^chaltet  find,  erster*  in  deckenfVmiger  Aus- 
breitung, letztere  in  ^biebtenartiger  Ablagerung. 

Auf  der  Südseite  des  Thale»  steigen  die  St^ltenhaldfrti  in 
analoger  Weiiie,  wie  auf  der  Xurdseite  au  dem  Gttbänge  fuat 
parallel  mit  dem  Saumpfad  empur.  Auf  dicsi'm  Sndflßgf*!  i-ind 
/..  TIi.  noch  mehrere  Stollen  in  Betrieb,  deren  aneinander  ge- 
reihte An»atKäieI]en  dorn  schichtenartigen  Kortsotxen  der  Iiager- 
sUitt«  der  (»rUnerde  nach  SOden  hin  fntflpricht.  Einer  der  hncb«t 
gelegeiiea,  £ur  Alpe  Treto  gehikiger  Stullen  konnte  befahren 
werden.  Kin  Arheil^T  war  hier  mit  seiner  Knmilie  mit  der  Ge- 
winnung der  Grflnerde  beschäftigt.  Vor  Ort  dea  mflb«<^^lig  zQ 
befabrenden  StutteuH  könnt*  ich  mich  nnn  von  der  Art  desi  Vor- 
ttonimonK  der  QrUnerdo  (lbcr/.eugen.  Die  letztere  ist  aU  «'kun- 
düres  ErKeugniss  aus  der  Zeritetzung  der  Bestandtbeüe  der 
baMiiltigiMi  Gesteine  hervorgegangen  und  hat  ftifh  iiuf  vorhan- 
denen Ilohlriiuuien.  Klüften  und  KiMcn,  liunptsÄchlicb  /wischen 
Mandelstein  und  Tutf  oder  in  enrterem  in  gn'xweren  Mameo  an- 
gCMimuielt.  Sie  liudet  »ich  daher  in  gnicäeren  Btit/eii  uud  un- 
regelmäßig amgrenr.tt'n  Linsen  oder  Adern,  die  der  Gv»t«in8- 
lagerung  nach  nicb  fortr.iehen.  Ueberall  i^t  die  GrQoerde  von 
Chalcedonanmnheidungni  begleitet  und  büufig  m  innig  mit  dietra 
verwachsen   oder  vermengt  *  da«  «ic  dem  Chalecdon  die  grOon 


600 


fiülMi^  4tr  «MA.-yA9K.  CUme  nm  S. 


pmemUialieb«  FÄrbaag  mtkUMÜt,  wilmod   «ohI   dv 

niDerB)   «m   bräiuilkli{f«Ib«  Firbong  liiälil      &  M 

UinenüvergCMnaehaftimg.  irie  »olch«  äeJi  ia  4n 

d«r  HAndebieiii«  w  rider  MaaengnIcnM   voHwAtt   soi 

bei  den   flMiltininflf kleinen    de«  (pmuB   Gefaielie»  4«r   Xon- 

niililemebi«btea   voa  Yice&L)iiiacb«a    bie  »id    Mk.  BaUa  sarf 

Gardttne  wiederbolft. 

Da»  dtmer  AoaecheidangvproceM  scboa  firühinüg  tut  der 
litgenin^nifining  der  Tertiärgcbilde  etaUgefitodea  hat,  gebt 
daratw  barror,  da«  die  Grflnerdcm— i.d  tob  edrr  «ahlrficbwi, 
walUg  g«rtreifl«n,  »piegelnden  KoUcKläcben  darehsogao  wd. 
Oft  int  die  OrOoerde  wie  mit  dem  Cbaloedon  aaeb  niit  den 
NebooAtein  eo  mnig  verwjichi»en,  daoB  man  beide  nicht  ecbarf 
trennen  kann.  Solche  Maaten  werden  daher  in  den  Ombea 
mitf^ftwonnen  und  erat  Ober  TafC  tn  Uv^mmn  nnd  minder  gute 
äorten  ge»cltieden.  AiifTaltend  i^  das  Fehlen  oder  die  grove 
Seltenheit  von  Kalkspath-ÄitnobetdunKen,  die  «onrt  das  Ta 
konuui?n  von  GrHnerde  zu  begleiten  pflegt. 

Fragen  wir  nach  der  KnUtehung^wciM  der  Grflnerde,  » 
ixt  CK  im  hiVhffteii  Grade  wahntcbtiinUch,  daiui  sie  der  yriiMi1iaiij| 
den  angitiischen  l.i<*mengtheils  des  nie  beherbergenden  \m^ 
Ugeii  <>eMt<*ini  ihren  Ompning  verdankt;  aber  «chwi^rig  n  «^ 
kUren  i«t  ihr  griMuer  Gebalt  an  Kalium.  Daa  war«  veotto*!' 
lieh,  wenn  dicftu  Kwalt«  /ti  dt^r  (irupj>e  der  l^eucitiNMalke  ge- 
hüreii  würden,  in  wolcheiii  Fnllu  dvr  clw»  £er»cUte  Lencit  dai 
Kalium  liuferii  hütte  können.  Gi  iat  diene  Mineral  jedoch  b« 
jetKt  in  keinem  der  Hiuuillf  di<9tt<r  (jrgeiidüii.  Mt^bstt  iitchl  ab 
i&ucuworiiicher  GeDieii^hvil  wulirgi^nouimen  vri^rdeo.  Ka  mu»  vor* 
Ifiitlig  unenUchieden  bleiben,  woher  dieses  Alkali  und  ob  viii- 
leicht  aiM  Z'.^rsctziing  eine»  feld«{Milhigtin  ücmengthcib  oder  der 
Gladniiuwe  »tumnit. 


(7.  W.  V.  (rUmM:   Uvber  di«  OrUwnU  vom  Monte  HaUlu        001 


m.   Technischo  Verhältnisse. 

Diu  GewitiDuii^^art  dur  OrnnerJe  iiiii  Mt.  HaMo  bi*»H/,t 
iiiitofern  eiD  bmtoriscbes  lotert.'Säc,  als  wir  in  deiselben  einen 
Mineraliibbau  vor  mm  haben,  der  von  der  Ri'mierzeit  An  — 
vielleicht  mit  zeitwoise  länj^eren  llnterbrecbungen  —  liis  in  die 
Geg«nwart  hereinreichL  Solches  zeitweise  Rrliej^en  des  Berg- 
baubetriebs selieint  daraus  gefolgert  werde«  zu  dürfen,  dass  der 
ibalieDiauhe  Naturfuncber  Cesalpini  in  seiner  Schrift  «de 
nietallicis*  1610  dieses  Vorkommen  der  CJrOnerde  am  Mt.  Ltaldo 
dicht  erwähnt. 

Die  <iewinnuii^  der  Grilnerde  auf  Tiroler  (iebiet  war 
mich  älterem  österreichisch  ein  Bergrecht  dnreh  eine  kniserlicho 
Belelinung  bedingt,  da  die  SubHtauz  '/u  den  Kegalien  gehörte. 
Solche  Verleihungen  bestunden  früher  in  grösserer  Anzahl  am 
Mt.  Brtldo  bei  Brentonico,  z.  B.  an  der  Scatette<Pianetti,  bei 
Ciistiune  und  Mori.  Die  Be-iitzer  der  hiiu{iltiichliclieü  Beleb- 
nungen  alla  Vina,  Gemeinde  BrenUmico,  waren  der  («raf 
Kccfaeli  and  Aut.  Zunoni,  derOrnbe  Andrinli  daselbit  mehrere 
Kinwohner  von  Brentonico,  der  Ornben  ,alla  Scalette'  dio 
Familie  Pietro  dai  Canipi  und  noch  vier  andere  Geworke 
daselbst.  Auch  im  unmittelbar  angrenzenden  italieniscbeu  Ge- 
biete mllen  einige  Gruben  betrieben  worden  »ein. 

Nach  den  neueren  bergrL-cbtlichMn  BeNtinimiingen  in  Oe.st*-T- 
rcich  findet  seit  It^.M  eine  Belchniing  auf  GrOnnrdo  nieJii  mehr 
statt  und  die  Gewinnung  ist  dem  Grundheititzer  freigegeben. 
Kine  bergbehÖrdli<-hr  Beiinfnichiigting  der  Betnebe  beutehi  nicht 
mehr.  Zur  Zeit  meinet^  Besuchs  der  Gegend  war  nur  eine  xur 
Malga  Treto  gehiSrige  Gmbe  durch  nur  einen  Arbeiter  belegt. 
Ks  sollen  sonst  gegen  10  bii  15  Bergleute  bei  der  Grtlnenle- 
gcwinnung  in  dieser  Gegend  beachäfligt  sein,  sobald  die  Feld- 
arbeit beendigt  ist.  An  der  ob«n  erwähnten  Grub«  hatte  ein 
Arl>eiter  mit  seiner  Familie  in  einer  sehr  dürftigen  Udtte  Auf- 
enthalt genommen,    daneben  bestand  noch   ein   Bretterver«icblng 


""^''.r,   ",  ;'"*''f«''d,  oft  „J'.'""'-     I^ 
:'"^"''  den  Sto/L"™  V'^""»'»«  >r  . 


'»"  Wunde/  !fa,i^.   ,. 


W. 


^i 


rT*: 


U^er  tlie  OniHtMf  vom  MorUe  Battlo.       ^03 


Die  Sorte  l  dürfte  aiw  reiner  Grünerrle  hergestellt,  sein,  die 
zweite  Surto  brati&t  tuit  Siiiireri  belinmielt  lebhaft  unj  »elieiiit 
eine  Verruen^ung  vuii  Grüncnic  mit  Krcitlu  zu  ^eiu.  Uio  dritte 
Sorte  i»t  stark  verunreinigt. 

Es  sei  hier  bemerkt,  diii«  in  SOdtirot  noeh  eine  andere  j^flno 
Erdfurbe  unter  der  Bezeichnung  .Kliiiisener  GrCtnerde*  in 
den  Handel  kunimt,  für  welche  wahrBcheinlicIi  diis  Kutmiivteriul 
im  Faasatbal  gewonnen  wird  und  WL'Icher  die  bekannte  Omwnnd* 
lang  vooa  An^t  in  Urfinerde  ent-spricbt. 

Die  Mundlöcher  der  xiihlreichen  Stollen  im  Viil.  Aviunii 
sind  m  n^he  übereinander  angesetzt,  dass  ea  scheint,  uU  üb  in 
den  streichend  awf  der  La^enttritte  einer  Aber  dem  anderen  ge- 
trit^hencn  Stollen  die  üewinnun^  der  lirHnerde,  »twoit  dcrrn 
Aneteln-ndf»  vom  Stollrn  an»  sich  erreichen  laust,  $tattHndet. 
Die  jährliche  Gewinnung  des  IlohätofFu  betrü<^t  angeblich  ITiOOG 
bis  20000  Klgr. 

Kinige  Stollen  an  der  Scaletto  sollen  soweit  in  das  <icbirj;p 
getrieben  sein,  daun  Me  bei  der  Nähe  der  Lnndcsgrenxe  bis  in 
lins  benachbarte  italienische  GL<biot  hineinreichen,  was  hei  ein«r 
Länge  der  Stollen  von  250 — 300  m  nicht  unwahrscheinlich  ist. 

Dass  die  (irTlnerde  vom  Mt.  Baldo  als  Material  für 
ller^iteltnng  der  unt^-r  der  Bezeichnung  Veroneser  oder  Sela- 
don-GrUn  bekannten  Enlfarbf  Verwendung  findet  und  da»» 
die  Farbe  jetzt  noch  nnd  Ächon  von  den  Römern*)  ffir  Fresko- 
malcrei  l)cnntzt  wurde,  Ist  bereits  erwähnt  worden.  Sie  wird 
bei  dieser  Anwendung  besonders  wegen  ihrer  IJnreründerlichkeit 
unter  dt-r  Einwirkung  der  Atmoftpbiirilirn  »nd  wegen  ihrer  Ver- 
wendbiirlieit  unmittelbar  auf  Mörtel  und  Kalkanstrich  hochge- 
si'htii/.t.  Wenigi-r  geeignet  ist  die  Farbe  für  l*ft-t.ell-  nnd  \VaÄi=er- 
malerei.  Als  Oelfarbe  ist  sie  so  gut  wie  nnbranchbar.  Die 
geringnten  Morien  liefern  eine  wohlfeile  TOncherfurhe. 

In  Verona,  wo  huupt.'^lU-hlicb  die  Erdfarbe  aus  dem  Rub- 
tnateriftl  vom  Mt.  Baldo  hergestellt  wird,  reinigt  man  letzteres 


*)  K.  WlMguiitnii.  Die  Knlrrm  d^r  Altrn,  l^tHH, 


004 


BlUwtß  der  mtUh.fii*!/».  CIohm  <wh  Ji.  haemher  JS$>G. 


htihtifi^  <^tit  EntFeniiioR;  von  Eiaenoxjdea  mit  ^alKsatin?  und  stallt 
dann  durch  SchliiTiuiitin  de:*  feiniHemahlenen  Stoffes  vet^schieden« 
Fnrl>Mort«n  her.  Auch  gehrannt  wird  die  Substanz  zur  Her- 
stijthing  L'iritir  bniutirotbüti  Farbe  verarbeitet.  ?hlit  Kreide  vrr* 
inon^t  konmit  dio  Ftirhe  unt«r  dem  Nameo  .SteiugrUn*  al» 
Tüncherfarbe  in  den  Handel.^) 


1)  RoTHrh.  Hii- l-'fllirimtrion  ilrr  KnirarWn,  Tl.  Aufl.  1888,  iU  o.  10&; 
Mit!i'stn»ki,  l)i(^  KnI-,  Minitml-  niiil  Lockfiubeu,  IBtiä,  ISL 


Deber  die  sogenannte  Grenze  und  die  Grenzgebiete 
zwischen  Convergenz  und  Divergenz. 

Von  Alfred  Prlnir<helro. 

g  l.   Uebur  die  Dn  Bois-Reymond^sche  Pnnciion  t(u)  ala 
Gr«nzc  zwischen  GonTerf^enx  and  Divergenz. 

In  seinen  »UntorÄVichuni^en  über  die  Oonvorgcn?.  and 
DivergeuÄ  der  Püurier 'sehen  Dar»  tellun^.s  forme  In") 
bat  Dil  Hoiä-Heyraoiid  eiiit*  Fuiictimi  r(a)  eiiigefQbrt,')  v^cldie 
für  a  SS  0  nhnp  Maxima  und  Minima  verschwindet  und 
.die  Grenze  der  Convergenz  tind  Divergenz  deM  tntegrnk: 


; 


da 


x{a) 


bildrt*.  Piixii  büinerkt  er  zunücbat  in  einer  erläuternden  Foae- 
note:  »Die  Einfühning  dieser  Function  t  (a)  kann  als 
Wideraprucb  mit  dem  ScbluH.s  an^eMeben  werden,  da»» 
es  keine  Kunction  gibt,  welche  die  Or<»nxe  zwisfben 
Convergenz  und  Divergenz  bildet.  Ein  Widerspruch 
ist  indeaaen  hier  nicht  vorhanden.  Die  genauere  Kr- 
ürteruug  dieiier  etwu:^  subtilen  Frage  werde  ieh  dera- 
nilcbst  an  anderem  Orte  geben.')  Hier  dar  in  Kflrxe 
die   Andeutung,   daaa   die   Function  t    zu   den    fon   dur 


1)  ALh.  il.  tiA^er.  AkwI.  <1.  \\\  Cl.  II,  tld.  XU  (l&Tt;). 

«)  A.  n.  0,  Kiiil-Mtung.  p.  XV. 

')  DU'»  inl.  u)  vit'l  irli   M'<<li*«.  Icith'r  nii'bt  f^endifltim. 


i 


SUsunf  4er  miäh.  j4jw.  OUtm  aom  JL  DtuwA^  JBML 

Seite  der  DirergeBfi  wie  ton  der  Seite  der  ConTrrgetts 
ber  atch  ihr  aäbernd^n  Fanctiooen  in  Äbnlicber  Be- 
tiefaang  steht,  wie  der  Kreii  za  den  ihm  an*cltri«bcveo 
und  eingeschtriebeDen  Linieo  > . .  .* 

Di«  nug  «af  den  enteil  Blick  gui  pkntibel  enebeaMB. 
auch  weuA  aus  dftvoD  ftb^itbt,  daai  dsi  zur  Erliutcnii^  bcimii- 
gwogeoe  Beiquel  det  Kreices  ab  Orea<e  der  nasckriebsei 
und  eiagadirieb«iMai  Poljgone  durchaoi  nofia— 1  papttblL^ 
tfi.  Dean  der  Kreis  k«nti  anebfaängjg  too  jenem  Gnat^V 
IV>ceMe  rviogeoioetnBcb  oder  aHAljtiscb  foltsiÄ&dig  defisirt 
werdet) :  denelbe  erdcbeiot  abo  bei  dem  firrngfidicB  Grma- 
ProceM  ahs  elö  a  priori  Jcbon  Torbandene«  Object,  wekbs 
lediglieb  xu  einer  noeodlicbea  Fo%e  roa  ■«■eknebeoaa  uder 
ejngcscbn'cbrnpn  PolTgooen  in  eine  gewiae  BtaHbtni;  gvnbli 
wird,  genau  ao,  wie  z.  B.  die  rationale  Grame  eiaee  nahe* 
gr«nxten  periodivebeD  Decimalbrocbea  xa  der  >'«*t"^*« 
den  Folge  foa  «ndlicbm  D«cim»]brtlcbt9i. 

Im  dbrigen  ftkrt  gerade  dieM  letct«  B«inerlcmg  vnnaci- 
bar  ao£  «10  vßllig  «ityrfBwHife  Aealogoo,  uioilicb  £e  BmlUuttj^ 
i^er  ffratinnatzablen  aof  Grand  der  Cantor^ecben  Defini- 
tions-Methode.*;  Hier  wird  einer  passend  gewählten  nnb^renzten 
Folge  von  ratiocalen  Zahlen  {z.  B.  einem  nicht -periudischeo 
unbegrenzt  fortset7.baren  Deci  mal  brache)  ein  neues  Zahlzeicheo 
und  damit  eine  neue  Zahl  zugeordnet  und  alä  Grenze  jener 
Folge  von  Rationalzahlen  bezeichnet.  Dieser  neuen  Zahl 
können  dann  bestimmte  Eigenschaften  nur  in  der  Weise 
beigelegt    werden,    dass   dieselben    durch    entsprechende    Eigen- 

*»  Du  Boi -- KeTinonJ  verwirft  freilich  in  seiner  .AllgemetneD 
Function  eil- Theorit;'  (Tübingen  1882;  jene  ,rein  formale*  Aoffbvunfni. 
wü'me  (lea  Zahlbegriffee  la.  a.  O.  p.  55i,  ohne  aber  etwa»  besserem  oder 
überbaui/t  nur  bniucbbares  an  deren  -SWUe  zu  .-etien.  Weder  der  Du 
Boi--Rejmond':"ch''  ,Id</:ili?t'.  nrxh  -ein  , Empirist'  gelangen  xu 
finf-r  arithmt-ti-ch-^trenffi-n  Definition  de-  all^'f meinen  ZaUbegriffes. 
W'ajt  im  übriijen  bei  dieser  uiigeldifh  ,]>hilo90|>hi=cben*.  schwerlich 
:iber  .niiitbemati-chfn'  li^'trachtungswt-i-^e  herauakommt .  davon  liefert 
die  gt-niiu<*r(*  rnter-*iubiin>:  dt-r  in  Re.!.-  -lebt'ndcn  Function  t{ai  «fin  l»-- 
r<*dte-   B<-i-iii*-l. 


L 


A.  t'riwjahäiH:  Ortiue  tvnticheH  Oamciyenx  Hnd  Vieergenz.     6^7 

Schäften  der  iivtli^iligttjii  rntionulen  Zuhlen  definirt  worden. 
So  gilt  '/..  B.  jene  neue  ^ahl  (Irmtionalzablj  als  positiv, 
wenn  alte  Termc  der  definirenden  Zahlenfolge  von  irgend  eincni 
bustiniuiten  ah  (Ibcr  einer  genriäsen  pusitlren  Zahl  liegen ;  niie 
heisst  grösser  als  irgend  oine  raUunale  Zahl  a,  weuu  alk' 
Tenue  von  irgeml  einem  bestimmten  üb  >a-^«  sind  (wu 
«  >  0),  u.  8.  f. 

In  analoger  Weise  kann  man  einer  passend  gcwillitten  an- 
begrenzten  Functionen-Folge  ein  neue»  FunctiünfcZeicheu 
KUordhen  und  gelangt  daiuit  zur  KiiifQhruug  einer  nencn,  etwa 
als  Orenz-Fonclion  jener  Fnigu  zu  W^eichnenden  Function, 
sobald  BS  gelingt^  fnr  jt-ne«  neue  Functionj^-Zeichen  l>e- 
stimnite  Kigenschaften.  GrÖBSf-n-  Reziehnngcn,  Recli- 
nungB-Operatioueu  durch  diejenigen  ku  definirrn,  welche 
den  tfinxclnen  Individuen  der  betrefleuden  Functionen-Fülge  kq- 
koiumen.  In  die«<em  Sinne  kann  man  z.  U.  e*  ab  lirensi- 
Kiniktton  der  Folge: 

(,  +  .-)■.  (, ,  ;)•. .   .  („  £): 

oder  lg  j;  als  Qreuz'Function  dt>r  Folge: 

I.(]^J-l).2.(V'x-l) [9i-~ll... 

einftlhren. 

Von  einvni  Versuclie,  die  fragliche  Function  f  (a)  in  solcher 
Weifie  wirklich  xn  definiron,  ist  nun  fVeilich  bei  Du  Boia- 
Keymond  mit  keinem  Worte  die  Hede.  Kr  sagt  darQber  ledig- 
lich Folgcitdot»:^) 

»Wenn  mau  die  (Irenze  XM'ischen  Convergenz  und 
Divergenz.  auL*h  nicht  wirklieh  dart teilen  kann,  ro 
hindert  diea  nicht*  in  den  Caicul  eine  ideale  Function 
t  {a)  einKufGhren,  von  .s<ilehr>r  IlenchatTnnhiMt,  dnit»  daii 
lattigrat 

*>  A.  a.  O.  |i.  Ab. 


tt08         mtmutff  4er  maih.-ph^.  CUme 


X 


iitf 


.(«) 


conTorgirt.  daa«  mber  JcdeA   Inttfgral 


/ 


da. 


tf(a) 


divergirt,  in  welchem  fp(ct)  z>  r  {a)  gciiaei 

leb  muss  bekennen,  daas  ich    von  euer 
Function   keino  rechte  Vorstellung    habt*, 
inc  liemu  sich  in  dvin  oben    bn^eicliuet^n  S'inne 
niren,  m  kann  man  nach  eiiiur   bekannten  Uc\ 
Functionen  r, (ü)>i(a)  (imd  aot^tkr:    r,  (u)  ;>( 
fllr  welche  dos  Intcignü: 


J 


ia. 


*,(«) 


a 


fhonfnIU  noch  convorgirt:  aUdann  stellt  aber  r 
|tra4?U'ndirte  Oren/e  zwii^chen  Coorfr^ense  und  Dil 

Hiürnarh  enMTheint  die  Kinfrtbnin^  einer  xk 
t(o)  iinv.uliÜMig,  nicht  deshall»,  weil  nie  durch  U 
tioiicn  nicht  dar^ostollt  werden  ktinn,  aondern 
Anntihme  ihrer  Kxiätenz  auf  einen  logitci 
Hpriit^^h  führt. 

Man  könnte  nnn  etwa  zur  Rettung  dieaer 
iiuf  dir*  ICiemaun'schen  FtiLrhen  hinweisen,  der 
aeitig  durchsetzende  Hlütter  Kwar  nicht  mit 
fj^eeetzen,  aber,  genau  genommen,  mit  an««r«in^) 
Vorstellung»- Vermu>?eii  im  Widoraprnohe  stell 
lerirt  aber  diesen  Widerspruch  Indi^üch  wem 
tischen  Nutzens,  welchen  die  fragliche  Fictton  d 
Theorie  thatHÜchlich  ;^«til^et  hat  Kio  tfolch« 
doch    Biu    der    Kinführuug    der    Function    r  (a) 

')  ViuUuit-lil  audi  uui-  »lit  iUmii  miüiij^vu? 


Q 


^%ringaheim:  Grcnee  ncitchen  Cowpergens  und  Vhvrgtni.     609 

.^)  udJ  steht  aucb  kaum  zu  erhoffen:  in  Folge  desaeu 
■  I  keinerlei  (iruiul  vor,  diu  »o  wunderlmr  vollkommene 

Ue  Sprache  der  Änalysis  dui*ch  dergleichen  .ideale' 
t  zu  verunzieren. 


Jtteber  tirenzgebiete   k wischen  Cau vergen/   und 
<  Divergenz. 

jhrend   sich  die  Annahme   einer  Grenxe  zwischen  der 
und  Divergenz  des  Integrale 


/rf« 


y(tfl 


tuUUsig  erwiesen  hat,  kann  man  in  gewissem  Sinne  von 
.gebieten  zwischen  der  Convergenz  und  Divergenz  eines 
1  Integrales  reden.  Der  Sinn  und  die  Tragweite  dieses 
'ea  soll  jetzt  einer  genaueren  Uutersuciuing  unterworfen 
L  and  zwar  will  ich  dieselbe,  um  sie  möglichst  elementar 
talten,  zunächst  nicht  för  ein  bestiuinites  Integral, 
tn  ffir  eine  unendliche  Reihe  ffihren.  Dabei  kann  es 
slb»tver»tändlicb  lediglich  um  Keihcn  mit  lauter  gleich- 
chneten  (etwa  positiven)  und  monoton  gegen  Null 
nendeii  Gliedern  handeln,  da  für  andere  Reihen  (geradeso 
r  bestimmte  Integrale  von  Functionen  mit  unendlich  vielen 
lU  und  Minimis)  die  Möglichkeit  derartiger  Betrachtungen 
>ri  aasgeschlossen  erscheint. 

is  seien  niiu  c„  rf,  (r  =  0,  1,2,..  .)  zwei  monoton  gegen 
bnehuiende  Folgen  positiver  Zahlen  von  der  Beächaffen- 
dass  — c^  couvergirt,  —  rf^  dlvergirt  und  das»  rf,  >  c, 

l>u  Bui>*-Rey luoml  »ftjiri  hierüber  —  aiu  Scbliiase  der  oben 
Fuusnot«  —  »tfibtt  FolgouJes:  ,Pr»kti«ch  braucht  man  Obri- 

Inter  r  nicht  dieCJrr?n£e  der  Cünvergenz  und  Üivergens 
sieh   vorznstellen,   «nndern  ea  genützt,   darunler  eine 

iJQD  sich  XU  tlenki*n,  die  der  (jronxe  näher  liegt,  als  alle 
in  ileu  ^erai)<>  fiirjcelogten  Calcnl  eingi^bundeu.* 


MKtti.|ili7i.  ci.  4 


40 


*•  4iTer|fsrt,  ««■■  fer  '^v: 

mhon  onOr  f  A )  tmd  ^B)  *rf«*ijj?t«i  PSIU:  a,  ^  f^  bnw.  #,  ^  /. 

fßr  >  >  n,  w*r(rfallen;,  m»  kann  die  Reihe  -a,  noch  coiiTergir^n 
oder  direrj^iren.  Wir  wollen  al^nn  sagen,  ^e  gebore  dem- 
j*Tiig»m  Orenzjjebiete  zwwchen  Conrergeni  and  Divergeiu  u. 
whkUt^  durch  die  Schranken  (<*.),  (rf,)  defioirt  wird. 

Ntjn  darf  man  aber  ja  nicht  glaub^i  —  und  dieser  Irr- 
thtirn  ij«t  tbaUachlich  von  Dn  Boiä  Rejmond  nnd  utderen 
lieihen -Theoretikern  begangen  worden  —  daas  bei  irgend 
einer  Wahl  dieser  Schranken  alle  Oberhaupt  möglichen 
Keihen  mit  pohitiren,  monoton  abnehmenden  Gliedern  in 
drei  wohlgeHonderte  ClasBen  vom  Charakter  (Ä),  (B).  (C) 
zerlegt  werden  könnten.     Vielmehr  gilt  der  folgende  Sfttz: 

Wie  man  auch  die  monotonen  Zahlenfolgen  (c),  ((/,! 
annehmen    mag,    ko   giebt   e.s  stets  unendlich  viele  mo- 


'j  H.  z.  II,  inf\ut-  .A  I  li(*!mc'in f    Theorip  «ler    Diverftent  nod 
C-iiitvf.rt^i-nx  t-t',*.   Math.   Ann..   IJ<1.  35. 


k 


A.  Prirtfjtittm:  Grenzt  noüdUn  Cotw*Tstns  und  IMvergtru.     *>H 


notone  Zahlenfolgen  (oC),  welche  keiner  der  drei  Clas- 
sen  (A),  (B),  (Cl  an^ehOren;  iiiimlich  solche,  welche  eine 
der  beiden  Schranken  (Cr)»  (rfr)  oder  auch  beide  unend- 
lich oft  dnrcbsetKen,  nlso  durch  eins  der  folgenden  drei 
Ungleichungs-Ptiare  charakteristrt  werden: 

(A')  üi  <  Cl 

(B')  a^  >  dl 


(C) 


Ok<  Cx 


(Dabei  bedeuten  die  l  nnd  /j  von  einander  verschiedene 
Zahlen,  von  denen  beide  Katef^orien  in  unbegrenzter  Anzahl 
vorkommen  und  die  in  den  Ktillcn  (A'\  (B)  die  Reihe  der 
ganxen  Zahlen  i',  zum  mindestens  fOr  f^n^  volUläudig  er- 
schöpfen). 

Beweis.  Es  bedeute  pr  (>*  =  0,  1,  2,  .  .  .J  eine  ganz  will- 
kürlich anzunehmende  Folge  beliebiger  positiver  Zahlen, 
ffio  eine  positive  ganze  Zahl  oder  auch  die  Kuli.  Man  be- 
stimme sodann  eine  ganr.e  Zahl  m^'>mQ  und  weiter  eine  an- 
begrenzte  Folge  wachsender  ganxer  Zahlen  w,,  im,,  ....  in 
der  Weise,  diu« : 

l'i"'-,<i'o*V  ^t'*''^<Pi'^m^'  P3-''-.8<Ps'V  "■*■**•' 
was  offenbar  stetig  (auf  unendlich  viele  Arten)  nmglich  ist,  da 
«owohl  die  c,  als  die  d,  mit  wachsenden  Wertben  von  r  mo- 
noton gegen  Null  abnehmen.  Man  erbiilL  durch  diesea  Ver- 
fahren eine  unbegrennle  monoton  abnehmende  Folge  von 
der  Form: 


(I) 


Setzt  man  jetzt: 


Pik^}-^ 


"«*+» 


und  beiitimmt  im  (Ihrigen  a',  ftir  alln  ganz/abtigen  Werihe  von  r, 
die  zwischen  »i^  und  m^_j,,  (A  =  '\l,2,  .  .  .)  liegen,  in  der 
Weise,  dara  a;  fUr  vs=ifHi^  m^^  ^  |^  . . .  oi^^i  monoton  von 
abnimmt,  mi  bilden  die  a'.  für  v  =  0,  1,2.-.  eine 


"~A 


■i+i 


40' 


GU 


SiUtUfU)  der  math.fihgs.  CUum  wm  6.  Dezember  iSOS 


niibegrenzte  manofcon  abn'ehmende  Folge«   welche  nnea^lidi 
viele  Terme  vou  der  Foriii  (1)  enthält. 

Durch  passende  Wahl  der  Idsher  noch  wiÜkörlicb  g^»**«« 
Zahlen  p^  kaou  di&q  schliesslich  crmcheUf  duas  die  ZmhJbMfi 
(ai)   einer  der  drei  Classön  (Ä'),   (B'),   (C*)    ungeliM. 

ao  dtt5s  also  die  Folge  (o;)  der  Classe  ^C')  angehört. 
Berücksichtigt  man  ferner,  d&ss  (aum  tiimd«st«fi 
bestimmten    Stelle    v  =  ri    tib)    <?,  >  p  •  c,    sein    mtai 
j»    beliebig    >  1    angenommen    wird,    so    folgt    fOr 
<  I 


Pu+i 


> 


1 


"t»  »9* 


"ipii+i—^n+r  *'«*»+, 


<rf_ 


»*+- 


1  >'--.+.■ 

d.  h.  dti*  Folgo  (a;)  ^fa&rt  in  diesem  Falle  der  Cham  (A*)  ^ 


Annlog  wird  für  p^^ 


P, 


t+i 


>  I: 


%.=  P. 


..'.J^'-« 


+r 


so  dasä  die  Folge  {(i'.\  zur  Clasäe  (E)  gehört-    — 

Ans  dem  eben  bevriääeaeQ  SaUe  ergiebt  ach  ttoa  ositt^ 
bar  das  folgende  Resultate 

Wie  man  auch  die  taoQotonen  Zahletifol|eea  (f.),  W 
arahlen  mag.  so  Ki''bt  e»  :^tet$  unendlich  «i«l«  m*B«tM 


■yUaahal 

Wf»r: 

•i»» 

■«■^. 

*-?•+!   =^ 

«cna  aan: 

umimuil. 

liiB 

^.-" 

Ä'«^^ 

"-.M^ 


»• 


Ortfut  Mwit€k€H  Ctmeerffeui 


Jwergen:. 


i\U 


annehmende  Keihen  ^a;,  welche  nicht  tlfni  von  <len 
Schranke»  ((%),  (f/,)  eingeschlossenen  Grenzgebiete  an- 
gehören, and  (leren  Convergenx  oder  Divert;eiu  den* 
noch  nicht  durch  Vergleichnng  toq  o^  mit  c'^  oder  dv 
entschieden  werden  kann. 

Versteht  man  insbesondere  unter  {al)  eine  monotone  Zahlen- 
folge, welche  beide  Schranken  (<?,),  [d,)  nnendlich  oft  darch- 
setKt   (d.  h.    den  Ungleichungen  (C')   genügt)    nnd   setist    man : 

r»  ^  p-,  rf,  ^  — -,  so  hnt  man  Hlr    unendlich  Tide  VVerthe 


theiU  :  a,.  <. 


thetU :  (i;  > 


/)* 


iheiU:  D 

d.  h.  schliesslich:') 
lim  inf  D 


theihi:  C'ar_> 


a 

D' 


a[  =  0,     lim  8«i»  C^ .  o^  ^  OD 
I  wegen :  hm  -^  =^  hm  -  ^  oo  j, 

in  Worten:  Oiis  mit  Hülfe  der  C  A  herstetlbsre  Kriterien- 
?aor  ßr  CouvergenK  nnd  Divergenz  versagt  in  diesem  Falle. 

Das  gleiche  gilt  dann  ofTenhar  auch  von  jedem  durch 
weitere  Verschärfung*)  aus  C'„  I)^  ahzuleitt^ndeu  Kriterien- 
Paare.     Denn   nimmt   man  C;  -<  (7„  i);  >  i)»,    wo    wiederum: 


*)  Ich  bezdohnp  al«  nnioren  tierw.  ohoreo  Limei  (Uro.  inf.  bozw. 
Um.  su|>.)  du  nftmlirhc,  wim  Cauchy  ttU  ,ta  {ilu^  |>«tite  bcsw,  !■ 
I^BDilt*  Je*  ltiiiitt*t>*  XU  hezeirimeii  pUttgt.  Ule  uooh  'lern  Vor- 
'von  Uli  Itni«-Rpjinon(l  nenordings  fiut  allgcmvin  ül>ltch  ge- 
wordene,  nicht  gmido  fchr  b*Hincmo  Bwrichnuitg;  «Unter«  lieiw. 
ob<ri?  ünbnotimnUheiti^ronxe'  üt  letliglich  ein  ni>ner  Nftm«  ftlr 
jenen  M'bon  Cancby  voUtttiUidig  geUafigen  UegnJT. 

*)  3.  meiflu  oben  otUrt«  CoDV«TgenK-TbfHtrii!,  a-  a.  O.  p.  303. 


fiU  iyiUung  der  muak,-pky9.  CUate  mm  5,  VtttmAtr  £0«. 

C' 
Hm  ~  =  00,  «0  besteben  die  Ungleich angeu  (2)  m  forliorl. 

auch  wenn  nuui  C.  D^  darch  C^  D',  entitL,  umi  folglkli  lul 

man  immer  wieder: 

lim  inf  J)',-a',^  0,     lim  «op  C'^'O^^  co . 


g  3.     Die    wahre   Schranke    fOr   die   ConvergeDS    eiser 
unendlichen  Reihe. 

Ans  den  Betrachtungen  de»  Torigen  l*aragr«pheo  geht  bo^ 
TOT,  dan  es  in  keinem  Falle  gleichieitig  eine  «llgemet 
gQltige  Schranke  ffir  die  Convttrgenz  und  eine  «dcbe 
die  Divergenz  in  dem  Sinne  geben  kann,  da»  die  Ten» 
aller  convergenten  Reihen  frait  monotonen  GKedcm)  rr« 
irgend  einem  be&timmten  Stellenz^'i^  «h  darcbweg  onter- 
halb  der  einen  (oberen)  Schranke«  die  aller  diTergenten 
Reihen  oberhalb  der  anderen  (unteren)  Schranke  Ütgc«. 
Dagegen  lässt  sich  zeigen,  daas  eine  solche  Schranke  f&r  dii 
Convergenz  allein  existirt,  dass  dieselbe  aber  merklich  hi^fa< 
liegt,  als  Ton  früheren  Keihen-Tfaeoretikem  aageeoauDen  mirde-^ 
El  gilt  niünUch  der  folgende  Satz: 


*)  HienKtf  habn  ich  bereit*  in  der  dtirten  AbbatMllang  kiagw 
(a,  a.  0.  p,  347  ff.),   woeelbft   auch  der  hin-  folgetida  Bata  bcraitB 
itellt  und  bewieaea  wird.   Ich  reprodadre  denaelbtn  ki«r  nockaali, 
wrgen  «einet  unmittelbaren   i^uaammenbaoge«    mit  d«n 
und  noch  folgenden  BeirMchtungen,  thrili  auch,  weil  der  hi«r 
Bcweb  leines   wescntlichcrrn  (zweiten)  Theüe«  Mir  Tollkomütal 
eracheiDt,  aU  der  a.  a.  O.  und  Math.  Ann.,   Hd.  d7.  f>.  e<'il  miln 
Waa   Qbrigens   den   (tehr  leidil    m  bcweiMuideat   erit^n  TVnl 
Sutzei    bt'trifft.    mo   bat   man   dewen    Kicfatif^eit    woU    Mst   tanf«  a>* 
■  elbfl verslftndlich   angeneben.    Bewi«Ri«o    wwd«  aber  iauai 
dau  £ a^  ilivergirt,  wenn  lim  r  •  «^  ^  0,  und  tlaraa»  folgt  av 

da»  im  Falle  der  Couvergeni  von  X  a^  tleU  lia  v*i^^O  adai 

fallt    dieier    Oren«wertb    Oberhaupt     axltÜrt.     Goade    dt«Mn 
Eiiftens-Bewtii  liefert  aber  dar  ente  Thaxl  da»  fta^BdiOT 


A.  Pringsheim:  Grenze  »wischen  Convergenz  und  Divergenz.     615 

Bei  einer  convergenten  Reihe  mit  niemals  zu- 
nehmenden Gliedern  hat  man  allemal: 

Qy  ^  —       d.  h.  lim  y  •  Oy  =  0. 

Bedeutet  dagegen  (m^)  eine  mit  v  beliebig  langsam 
in*s  Unendliche  wachsende  monotone  Zahlenfolge,  so 
l^iebt  es  stets  convergente  Reihen  ^a^  mit  monotonen 
Gliedern^  für  welche: 

lim  sup  v  ■  fWy  •  Or  ==  CO  , 

d.  h.    die    Reihe   ^Oy    enthält   unendlich    viele   Terme, 
welche  infinitftr  grösser  sind,  als  die  entsprechenden 

der  divergenten  Reihe  ^ 


Oder  anders  ausgesprochen: 

Für  Reihen  mit  monotonen  Termen  a,  bildet  zwar 
die  Beziehung: 

lim  V  •  Qy  =  0 

eine   nothwendige   Gonvergenz-Bedingung,   nicht   aber 
irgend  eine  Beziehung  von  der  Form: 

lim  V  'Vir  ■  Oy  =  0, 

csae 

wie   langsam   auch  nty  mit  v  in^s   Unendliche    wachsen 
möge. 

Beweis.  In  Folge  der  vorausgesetzten  Convergenz  von 
SOy  lässt  sich  nach  Annahme  einer  beliebig  kleinen  positiven 
Zahl  €  eine  ganze  Zahl  m  so  fixiren,  dass  für  fi>m  und 
jede  noch  so  grosse  ganze  Zahl  q: 

Setzt  man  hier  speciell  einmal  e  =  /*,  das  andere  Mal 
^  =  fi-\-  1,  und  beachtet,   dass  allgemein  a,  <  a^^,,   so  folgt: 


610  SUatmit  dif  uialh.-tihtjs.  Clause  vom  5,  Ihirmbrr   l*idW. 


£    0*  >  »i 


aiiil  daher : 

(2/i  +  1) '  V+i  *""'•"  ^f- ^>  •"*.  +  '*'"  * 

I'  -  a^  <  2  e         fv  >  2  m) 
d.  h.: 

lim  p  ■  0»  ^=  0. 

Uui  den  £Wt)iteD  TUeil   des  ausgesprocht^^e"  Satzes  £u  be^ 

weiaen,    wähle  man  eine  för  jeden  Werth  ?on  *,  der  eine  ge- 

tlrisse  Zalil  j^  ilbersteäi^ti   stetige    im<5    prjsifcive^    toii  x  oio- 

rnioiQri   in^»   Uiieudliclic    wociiseiiUv  FiiDclkin  f{z)    Ton   «kr 

He^chiitTeitlieitf  du«u 

(1)  /C;c4-I)-/'W<  1^  ^^^ 

(2)  /"(r)  <  f»,.         -^-^^^ 
Vermöge  der  ersten  Festsetzungen  besitzt  die  Gleichung  : 

(3)  y^fix)        {x>x^^ 
eine  Auflösung  von  der  Form: 

(4)  X  =  f/)  iy)         (also :  q  (fix))  =  x  =  ^(<r  (x))). 

wo  (f{y)  eine  für  y  >  i/o  =  f  {jCq)  eindeutig  definirte,  posi- 
tive und  mit  y  monoton  in's  Unendliche  wachsende 
Function   bedeutet. 

Alsdann  folgt  aus  Ungl.  (!)  und  Ql.  (3): 

/•(x+l)<i^4-l 
und  daher : 

'f(/(^  +  i))  =  x+  1  <T{//+n, 

also  mit  Benützung  von  Gl.  (4): 

(5)  'r{y+\)-<f{y)>\- 


^ 


A.  Pring^im:  Grenze  zwischen  Convergenz  und  Divergenz.     617 

Bedeutet  jetzt  2—  eine  beliebig  anzunehmende  conver- 
gente  Reihe,  dereu  Glieder  durchweg  der  Bedingung  gentigen: 

C,~C,_,  >I         (A=l,2,3,  ...), 
so  hat  man  nach  Ungl.  (5)  auch: 

(i')  y(C,)~7'(C,_,)>l, 

so  dass  also  zwischen  <p(G^_^)  und  (p{Cj)  stets  mindestens 
eine  ganze  Zahl  liegen  muss. 

Nun  nehme  man  noch  eine  Folge  positiver,  mit  wachsen- 
dem V  monoton  abnehmender  Zahlen  kr  so  an,  dass 
lim  kr  ^  k  von  Null  verschieden  ausfällt  (z.  B.  k^  =  k  -\ — , 
li  _.  ^ .  g^  etc.)  und  setze : 

für  alle  ganzzahligen  Werthe  >*,   welche   durch   die  Bedingung 
definirt  sind : 

(8)  '/(C,_i)<"<y(C,). 

Die  so  definirten  Ternie  a^  nehmen  dann  offenbar  mit 
wachsendem  v  monoton  ab. 

Ausserdem  lässt  sich  zeigen,  dass  lim  sup  v  'tn^  •  iiy  ^  oo 
und  die  Reihe  — «,  convergent  ist.  '"* 

Bezeichnet  man  nämlich  mit  p^  die  grÖHste  ganze  Zahl, 
die  kleiner  als  (f{C^  ist,  also  diejenige  ganze  Zahl,  welche 
durch  die  Bedingung  definirt  wird : 

(9)  ^{c,)-\<v,<^r{t\;), 

so  kann    man    zunächst   die  Ungleichungen  (8)    durch    die    fol- 
genden ersetzen : 

und  man  hat  sodann : 


Pi.~p>.~) 


<  J'^--^^^^   (wegen:  p.  <  y  (CJ) 

woraus  die  Convergenz  der  fraglichen  Reihe  unmittelbar  her- 
vorgeht. 

Damit  ist  aber  der  oben  ausgesprochene  Satz  vollständig 
bewiesen. 

Will  man  wirklich  Reiben  Sur  von  der  eben  charakteri- 
sirten  Beschaffenheit  herstellen,  so  kann  man  etwa  Ober  Cx  so 
verfügen,  dass  man  setzt: 

C'i  =  X'\    wo:  ß  >  1, 


■\ 


Ä.  Pringsheim:  Orense  swischen  Convergen»  und  Divergenz.     019 
also  nach  Gl.  (7): 
(13)  a.  = 


för  alle  v,  welche  durch  die  Bedingung  (8)  deiinirt  sind,  d.  h.  für: 

(u)  9'((A-in<^<g'(n 

Mit  Hßlfe  dieser  Ungleichungen  lässt  sich  sodann  X  auch 
explicite  durch  v  ausdrücken.  In  Folge  der  Beziehung: 
/^(t(^))  =  *  ergiebt  sich  nämlich  aus  (14): 

(A— If  </■(>')<  r 

und  hieraus  folgt  weiter: 

(15)  X-1=[V/>)| 

(wenn  man   durch  das  Symbol  \x\  die  grösste  in  x  enthaltene 
ganze  Zahl  bezeichnet). 

Somit  geht  der  Ausdruck  (18)  in  den  folgenden  Ober: 

cß)         ^y  ^  r, — T, — /n"".r"  >v 
\ym\  -ylli  -\-Vf{v)\} 

Da  aber  offenbar: 


V7(.')|'^l//-(»')    und  daher:  Wfiv)]  '^  f{v), 

so  kann  man,  ohne  den  Charakter  der  Reihe  ^Oy  zu  verändern, 
den  Term  (16)  auch  durch  den  folgenden  etwas  einfacheren 
ersetzen: 

(>v)  n.  = jT^-'n- 

Ist  dann  z.  B.  m»  =  lg >'  vorgelegt,   so   wähle  man  etwa: 

tj 
f{x)  =  {\^x)"  =y  (wo  a>  I),  also:  x  =  r  =qp(y);  alsdann 

wird,  wenn  man  noch  pa  =  r  setzt: 

(18)         ür  =  -„ 7— Tzrr.  (^*>=  ^>o>\). 


V^^ 


V  •  e 


Li  +  y]gy] 


Sie 


^  *•     ^'  »rieht  kein 

'"';'■""■■■• ''•"^"•- / 

'*'''  «ic/jor  J,v  '^"    oft   j 


ihem:  Grenu  :U!i»Jien  Convergem  und  Divtrgeya,     621 

stets  divergente  Reihen  -a^t  unter  deren 
>itehiuen<leii)  Gliedern  unbegrenzt  viele  in- 
ler  sind,  als   die  entspreche nden  der  Reihe 

lan  hat: 

lim  in!  C^'i$r  —  0. 

aber  aacb  geradezu   ein  einfaches  Verfuhren 
bei   beliebig  vorgeschriebenem  G,  solche  diver- 
^Or  wirklich  herzustellen. 
91  (x)  wiederum  eine  positive,  mit  wachsenden 
'erfchen    von   {x)    monoton    zunehmende    Function, 
ledingunf;  genü^: 

{v)  >-  Cyt  also  a  fortiori:  rp{x)  >■  a?, 

gesetzt: 

(*).  Tj, (jc)  =  9 (9',(aJ)X.-.9'iCj)  =  <3f'(yjt_i («»'••- 

met   dann  h  eine    beliebige    positive   Zahl    >  1 ,    so 

lunächst   in  Folge   der  Beziehung  (1)    eine   i>oäitiv6 

Ixireu,  dass 

li  y,  (jc)  >  6  •  X  fflr  :  X  >  a. 

t  wird  aber  —  immer  für  x>a: 

l     IT,  (x)  =  y,  (y,  («))  >lfTi  W 


'®  Vi  W*  y*s  (•^)i  •  -  •  Va  Wi  ■  •  •  bilden  ulao  eine 
mit  X  monoton  in'ö  Unendliche  wachsende,  positive 
Und  zwar  hat  nmn  fHr  x  >  a  und  i  =  2,  :i,  •!,... 
4)  und  (3): 

passender  Wahl    von  -b   and  a  (/..  B.    fQr   ^  >  2, 
oifaUs: 


t>22         SitBuftg  der  math.-jA^s,  (UaM$e  vorn  5.  lUitmint  i*t9€. 


(C)  f  j  (a)  -  gp,_,  (a)  >  1         {X^2,  3,  4,  .  .  .), 

äo  daää  zwischen  9*t_,(^)  und  9^;(a)  steU   mindesteag  eise 
ganze  Zatil  liegt. 

Nimmt  mau  jetzt  niederum  nocH  eine  Polge  beliebiger 
pafi]ti?er,  monoton  abitehmender  Zahlen  ^(^  ^^  0,  1.2«, . .) 
mit  dem  von  Null  versehif;d<;neD  Greuzwerthe  lim  Ir^  =  li 
ttTi»  80  Süll  gesetzt  werden:  '^ 

kr 


(7) 


«,= 


fa(ff) 


ftlr  HÜe  g»iiz2üMig6n  f,  welche  durch  die  BedioguDg  defiairtsind: 

(8)  <r,-i  {a)-\<y<  q>,(a)  -  1      (Ä  =  2,  3,  4,  .  .  .)• 

Alsdann  iiBbuien  offenbar  die  Or  mit  waehseodem  » 
monoton  ab,  und  e^  läast  sich  andercrgeits  zeigen,  dsM 
lim  inf  CV  '  «r  =  0  und  die  Reihe  Sa,  divergent  ist 

Uezetchiiei  man  nämlich  (analog  wie  in  §  Hl)  mit  /i.  die 
.grSaste  ganxe  Kaiil,  die  kleiner  aU  ^^^{(l)  ixt,  »(»dassaUo: 

(9)  y,(a)-l<iJ,<?>,(o), 

so    lässt   sich  zunächst    die  Bedingung    (8)    durch   die    folgende 
ersetzen : 

In  Folge  dessen  ergiebt  sich : 


A-p, 


i„ 


"PI. 


9"^+,  (")         '/'('/';.(«)) 


'h;. 


also: 

d.h. 
(H) 


lim  y  (/);)- «p.</.- 
lim  inf  y  {»')  •  «,.  <  A: 


(wegen:  p^<gy^{a)) 


A.  Pringaheim:  Grenze  zwischen  Convergenz  und  Divergenz.     623 
und  achliesslich  mit  Berücksichtigung  von  Ungl.  (1): 
(12)  lim  inf  C-a,.  =  0. 

Ferner  hat  man: 

£*■  Oy  =  5j^  ^. ,   wenn  gesetzt  wird:  A^  =  10t'  a,. 

Da  sodann: 

80  ergiebt  sich  sofort  die  Divergenz  der  fraglichen  Reibe,  da 

Px — Px-i 

— -  das  allgemeine  Glied  einer  divergenten  Ueihe  bildet 

Px 

Pi 
und   lim  — ~  =  1  ist  (s.  üngl.  (9)). 
>i=«y,  («) 

Beispiel.  Ks  sei:  Cr^=>^,  wo  ^  >  1.  Man  kann  also 
setzen: 

(f  (o;)  =  x" y    wo:  a  >  q. 

Alsdann  wird: 

_  x)  =  (x  )   =  a;    , y^  (x)  =  x  . 

Nimmt  man  der  Einfachheit  halber  die  oben  mit  a  be- 
zeichnete Zahl  auch  ="  a  (was  z.  B.  sicher  gestattet  ist,  wenn 
o  >  2,  da  alsdann: 

TA°)  —  'Pi.-i(*^)=^°     -^         >2     —  2         >  1), 
so  wird  nach  (7)  und  (8): 

(i:i)  rt^  ^  _l^  solange:  o"       —  1  <  ><  <  o     —  1 . 

ff" 

Um  auch  hier  wiederum  l  oxplicite  durch  v  auszudrücken, 
hat  man : 


Sitmmg  Jcr  Wort  ffty«.  Umw  mm  ä. 


tm$. 


r.eieben  sagebcMtfat,  die  *w***->t^  iml 


bdunatas 


nie 


fat  abereisnistiniiiea  acbesucn. 


Die  Vtabang  dieoer  ZeidMn,  die  (TaUmcbang  dtffiber, 
wie  ne  an  dem  Oiiente  nmch  Obef-Itolien  abeitnigca  »ludcu, 
bean^rnclik  den  yrihwwn  Theil  der  folgeaden  Dnrle^uu^: 
deoB  äe  nSili^te  mich,  eincnnle  «af  die  Gqtrhirhte  dar  Zahl- 
zachen  hei  Babjlonieni,  Aegyptem  imd  Phönikeni  rinirigiihrii 
andaefseiti  möglichst  ToUclaadig  xttaMnBte&sasteUea,  wa»  ftbcr 
die  älteste  Geschichte  der  Bewohoer  Ober-tUUeo»  mo»  hitto- 
riachen  L'eberliefeningen  oder  »tu  den  R«Mxltat«D  der  A»- 
gr»bai^^  beiuuint  i^t.  Ich  hitte  Iwam  gewmgt,  eine  «Ich» 
UntersachaDg  su  outeniehiDeo.  wenn  ich  Dicht  in  Kfioig»- 
berg  i/Pr.  dorch  Zosammettlebea  mit  O.  Tiichler,  imd  taek 
deaen  Tode  durch  mefaTJährige  Theilmhoie  an  der  VerwaltoDi; 
des  dortigen  Proriiuül-Miifleains  der  phywWtixh-dkocwiiehep 
GeseUachaft  mit  den  Ei  i  uugeuaehaften  der  prihntoriacbeD  Für 
schnztg  wenigsieafi  fSr  die  locmlen  Verbältoiaae  ia  Oat^Pnimiii 
bdcBsat  gewordea  wäre,  dadurch  aber  natBrUcbei.  lebhaft* 
Intereme  Air  derartige  Üntersochtutgeo  Obefhanpt  gewoaaia 
hätte.  SelhitTctständUch  wird  in  dieaer  BezirhQDg  m«äne  (Hr- 
atellaxig  Ißckenhaft  geblieben  sein;  ich  darf  nnr  boScn.  4tf 
ofithige  Material  cor  Beurtfaaüni^  dar  auflmacheadca  Fn^a 
geearnnKh  nsd  die  vecsehiedeoen  mSgtichen  Antmirtni  auf  dimt 
Fragen  beaeicfatwt  zn  haben.  Dabei  haben  mich  die  Berroi 
Collegeo  Pnrtwäagler,  Hommel  utd  J.  Ranke  hier  unJ 
r.  Wieser  in  Innsbruck  durch  Rathschläge  und  Littcrmtm- 
nachweiee  riel^h  onterstfitzt,  worfOr  ich  ihnen  meinen  Uaak 
hier  aas^neboD  mtehte.  Auch  Herrn  caad.  matb.  J.  OöttUr. 
der  die  naÜiweiMÜgen  ZetchaoBgen  fOr  die  anUegeadia  Taftla 
■utausfeu  bat.  bin  ich  m  Dank  Terpfiichtei. 

§  L    Sa  antikaB  Bhomben-TriftkootAddsr. 

Im  Sommer  \9&6  sah  ich  im  Atelier  dea  Herrn  P'    l   ^aor 

den  Bvf  Taf.  I.  Fig.  I  (fai  oatfirBeber  Gtdme  nach  •  :u- 

gnfbie)  abgehadatea,  ammiT  an»  Broasa  gegomenan  mathaam- 

timba  KSrrper,   der  aalfirlicb  eolmt  mnn  re^sb«  lolceeme  «r- 


h\   Linärmann:  JCnr  Oett^Mt  der   JWyn/rr  etr.  («2^ 

%e.  Herr  Dr.  Niiue  famtte  deshalb  die  Preuiidlit-hkeit,  ihn 
mir  zu  abertass«ii. 

H)r  selbst  hntte  ihn  für  den  Knauf  irgend  eine«  Geräthee 
oder  einer  Waffe  ^elialten,  b«i  dem  Maiigul  irgendwelcher 
analoger  Funde  aber  vorläufig  hei  Seite  gelegt.  Krworhen  bat 
Herr  Dr.  Xaue  den  Korper  aiu  Beirut  in  KleittaHien  und  /war 
xusamtuen  mit  verschiedenen  Brüur.e- Hingen,  die  kein  ent- 
scheidendes Merkmal  /.ur  /fiibestimmiing  an  sich  tragen.  In- 
dessen wenn  die:»  auch  andere  wäre,  künut«  e«  doch  wenig  in 
Beb^cht  kommen,  da  nicht  sicher  '\f>i„  ob  diese  Kinge  mit  dem 
mathemüttächen  Körper  gleichseitig  gefunden  cänd. 

Der  K<\rper  pelbft  ist  ein  Ithomben-Triakonta^der,  d.  h.  er 
gehiVt  zur  Klasse  der  halhreguUren  Kürjter,  und  7.war  xn^A- 
bttondere  zw  den  gleichfUchigen.  Er  wird  begrenzt  durch 
•SO  Hhomben,*)  ilie  einer  nnd  derselben  Kngel  uniBchriehen 
tinnd;  diese  Rhomben  «iud  alle  einander  congrueut.  Von  den- 
selben stossen  12raaL  fflnf  nnd  20  mal  drei  in  einer  der  32  Kcken 
susanimen ;  jede  dieser  Ecken  i-^t  natOrltch  regulär. 

In  den  beiden  spitzen  Winkeln  jedeA  Uhombua  am  vorliegen- 
den Exemplare  ßttdet  sich  je  eine  kleine  runde  Vertiefung,  wo 
da»  an  den  12  fünfflächigen  Ecken  jedesmal  5  solche  vertiefte 
Punkte  Kusamnienstoitseu.  Eine  dieser  Vertiefungen  i-st  die  nach 
aussen  gehende  Oetfnnng  eine:«  kleinen  inneren  Ilofalrnumes; 
letzterer  ist  augenscheinlich  durch  einen  Gusafehier  entstanden. 
Jeder  Rhombus  ist  aufwerdeni  durch  8  der  längeren  Diagonale 
parallel  laufende,  vertiefte  Striche  verziert,  wie  dies  au  Fig.  1, 
Taf.  1  gesehen  wird. 

Die  halbregulären,  gleicheckigen  Körper  sind  bekanntlich 
von  ArchimedeH  zuerst  behandelt;  die  KeuntnisH  davon  ver- 
danken wir  Pappus,*)  der  auch  die  betr.  KI  Polyeder  aufzählt. 


'^  hl  Fiif.  2,  Tftf.  I  »irlit  man  nur  S4  «mlchrr  Uhnmbrn.  weil  die 
diidereu  bot  der  gew&hllpn  Projoction  «ich  auf  ^ft-odo  Linif^ii  n»«liictrpn; 
die  Kigur  iit  gexeirbui'i  iiacb  Catalan,  Utooini  «ar  1a  tht>orie  de» 
pdljrMpn.  J^unml  dr  VwnXv  |>oljrt«chulMUe.    t.  24  (cal.  Ült,   VaxU  ld6&. 

*)  Pa|>|ii   Alexantlrini   »tillwtinni'   »iiiAt;  »npciirtint ,    lhI.  Hiilt*rh 
iJerlio  1876.  rui.  1,  lib.  V,  |>ni|MU.  IX.  p.  851  ff. 

«• 


ti2it         SiUmug  der  MaeA.-fAy«.  OuM  CMl  i 

Die   polar  zuf^eordneten  gleich flldtigiB, 
siod  erst  ia  dief^m  Jahrbimdert  hiagagcftgL' 
^höri  aber  anMtr  TnakooUedcT.     Da  mm 
KUina^ien  seit  Be^nn  dee  UtU«lalter«  kaoa  aodi 
lieh  betrieben  vonieo  fiein  kaao.  d»  aber  4a> ' 
plar  aua  fflntniiinn  rtaonDl  and  ein«  FKUchag 


•0  ist  anzoDehtneo,  d«B  diwrtba  miitfrtffm  ia  des  «ala*  Jafcr 
handerteD  n.  Chr.  «Bgefattigt  wnrie  Papp«»  lefcAe  aa  Si^ 
des  3.  Jahrhanderts*);  da  er  die  gliirhfliiliifiM  Kvp«^  aoch 
nicht  cnrihot,  dürfen  wir  ■nnnfcMfn  si«  aätm.  am  Miacr  Zofc 
noch  nicht  bekannt  geweaeo.  Dwnale  Uffafa  £a 
nnche  Schule  bejocwlcw  in  VoidgiMiea.  Am  fjiiiB 
Jamhiichas  (AnCuig  des  A.  JthA-X  im  UtiA 
Mathematiker  unter  den  Alexandrinern;  raa  dcrt 
athenitcha  Sehnte  nen  belebt.')  Uaaiaffciaa 
(an  &10)  leUe  zeitweM  an  BaSt  6t»  P< 
Buui  hält  ihn  filr  den  Verfwo-  des  XV.  Bocks  de»  E«^ 
Ein  Mathematiker  dieser  Periode  hat  «Bhrxbeialick 
die  gleichflächigen  Kürpereatdeckt;  aadsaaaetaeB  Grabe 
mag  daa  vna  hwwhlfliyd^i   Modell  einae  Triaikn*afi4et»  «■! 


g  a   Die  keltiachea  Dodakatdor. 

Im  Somoker  1803  fiel  oör  im  Antiqaanam  ia  äct»e«ia  ^. 
der  Gjpe-AbgoM  «oes  brocxaata  Dodekaedcn  aaf,  da*  andh 
Angabe  da«  CamerTaton  Herrn  Dr.  Betti  ia  den  Kiederlaada 
lUgUgiaben  aeia  »Ute;  wcgeo  afthener  Aiwkgaftf  ««rvia*  rnkk 


Bcrm  Oeheiuuath  Coi 


te  u 


Bcrfia.    nad 


^  Kach  Hellcer  iQenoile  da-  Cwt 
LiRin«  187»  lOB  J.  H.  T.  llalUr:    f«L  ec  "^ 
F.  U«>rrai.»«ft,   Zataehrift  Ar  CzntaUAgiaifuL 
Hri«.  Eoüeitvaf  ia  dw  Lehr»  tca  6ft  Kaf^is^«^«^^ .    '  fft^ 

=*  T^  CaaUr.  ».».a  ^  ITC 

^  T^  Caatvr.  a.  a.  O.  p.  19«.  «S2.  ti« 


raoclitc  mkh  ^ntit^t  auf  seine  Äbliantlliing*)  «Qber  ein  Bronze- 
rÜtb  in  Üodekai'derform*  aufuierkaani,  iu  welcher  er  das  tor- 
adnue  MaUTial  k^^^i^^^^  b^^* 
'Ea  handelt  sich  am  ans  Bronze  gegossene  Pentagon- Dode- 
kai'der  von  iitilssi^cr  Or6«e  («o  dass  man  ein  solches  in  der 
Hund  fassen  kann).  Das  Innere  ist  bohl.  In  jeder  der  12  Seiten- 
Huchen  betiudct  »ich  eine  kreisrunde  glatte  Oeflnung;  dieselben 
und  an  je  einem  Exemplare  imraer  (wenn  auch  nicht  alle)  von 
ver«ihipdener  Grösse.  Der  um  die  Oeffnung  auf  jeder  Seiten- 
fläche bleibende  Kaum  i»t  meifit  (»u  neit  der  vorhandene  Haum 
erluubt)  mit  concentritichen  Kreisen  verinert,  die  theil«  die  OefT- 
nungen  umgeben,  tbeibi  die  EÄ:ken  ausfQlIen.  Die  20  Kckeu 
des  Körpers  ^ind  mit  kleinen  runden,  nach  aussen  vürstofaenden 
Knöpfen  besetzt.  Besser  als  die«e  Beschreibung  wird  die  bei- 
gefügte (das  unter  Nr.  5  genannte  Polyeder  darsttdlende)  Ab- 
bildung^} eine  Vorstellnng  von  den  fraglichen  Dodekaedern 
geben  (vgl.  Tiif.  I,  Kig.  3  u.  4). 

Wir  stellen  zan&clut  das  von  CoDze  gegebene  Material 
ztisamuien. 

Nr.  1.  Ucfanden  in  Basel^Äugst.  Verschollen.  Abgfbildel 
bei  Brncknor,  Versuch  einer  Beschreibung  ^iütor.  und  nntflrl. 
.Merkwürdigkeiten  der  Landschafl  Basel;  Basel  1703,  p.29M, 
Tflf.  VUI. 

Nr.  2.  liefundeu  1872  bei  Charmey.  Im  Museum  von 
Ävonches  (Aventicum).  Vgl.  Anzeiger  Rlr  «chweizerischc  Ällor- 
thumsknnde,  Bd.  4,  p.  827,  und  Bulletin  de  raüsociatioD  pro 
Aventicn,  n.  3.  LaiMiaane  1890.  p.  21. 

Nr.  3.  Gefunden  in  Oonsingcn,  Kanton  Bolothum.  Samm- 
lung Amiet.  Vgl.  Anzeiger  etc.   Bd.  1,  1870,  Taf.  XVHI,  p.  197. 


'J  'Wevtdeottclie  ZrilMhrifl  fllr  U«acbicbi'*  '  K.«.«-*    Ti»ii.-r»iuitf  XI, 

Tcier  18113.  y.  301 

*}  Man  änJut  o.  a.  O.  uu<h  Altbiljunp-a  ^iu>It:i- 1  K.v>:'iiii>liii)>,  mirtc 
getiuuo  Aniniben  Qlior  tli<^  (rrAMtic  Arr  finzi^lncn  Oi'tfnrm^eti:  an  <>ini)^ti 
Kiciiipliuvti  liitt  i'int*  iliowr  Oolfiiiingfn  noili  «■im!  ai*il1i<  br  t-'orlAi'Ixiinfi 
(in  BJchtuniE  des  KA«ltit»V  •••  ilaM  die  gnu'»  Oi>ffnitii(r  «lio  Cminlt  .>tnA». 
KchlaHellDob«*  eriiAlt. 


(1.10 


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^r.  6. 


Nr.  14     ;?''"'"  *»  Än«/.„d 

Nr.  18      "J  ''«  »l'.e«.  ""  Ö'ron  l 

^°-    f'ofuaJou  hei  1 


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'"««"«*/jii 


NAHM* 


4f  4f9 


HC. 


ihm  von  üerrn  Keinach  f^eniacht«n  Mittheil unfrtui  kann  ich 
ol>if;eni  Mntorinte  noch  folgende  Funde  hinsufO^en  : 

Nr.  17.  Gefunden  zu  Membroy,  Nanuir,  Helgleu.  Vgl.  de 
Lütour,  Hnint«  romuines  di»  Membiry,  Anjyers  1847,  Taf.  VIII, 
p.  28.  In  einem  Gebäude,  da«  bIh  Bad  erkl&ri  wird,  wurden 
mit  dem  Üodekiieder  römische  Sachen  gefunden,  so  ein  Vasou* 
fiii»  mit  der  Inschrift  ßrns«<ns,  und  M(ln/,en  desCiabrius  und  IVtricu*. 

Nr.  18.  Vgl.  Liennrd,  ArcbiHilogiH  de  In  Meu^e,  t.  IT, 
f»L  34,  »i.     (Mir  hier  nicht  zn^ünglii-h.) 

I7r.  19.  Jm  Museum  /u  Lyon,  crwätint  iu  Muteritiux  i>uur 
rhifltoire  clo.,  Bd.  17,  p.  310  (2.  Serie,  l.  13,  1862—^3). 

Nr.  20.    Im  Museum  desChateau  de  tlaye,  erwähnt  übendu. 

Nr.  21 .  <  iesehen  ron  Prof.  11  e I  h i ^  in  |{oni  bei  dem 
KuusthÜtidlcr  Martini-tt),  der  es  in  (.ienf  crworbfn  hatte,  (lohl- 
farbige  Bronze  mit  rundlichen  Kintiefungeu,  die  mit  rothem  nnd 
blauem  Kmail  ausgefntU  sind.     Fundort  Schweiz.*) 

In  »einer  (icficbichte  der  Mathematik*)  urwübnt  ('antor 
ein  von  tinif  I>.  Hugn  veröUVntliclites  Dtxlekut^icr.  Letzterer 
biapricht  mehrere,  die  theilwois«  mit  den  schon  erw&hnten  iden* 
Usch  !«in  wenlen,  auK^nlem  folgende: 

Nr.  22  und  28.  Zwei  l)üdekat'*der  im  Museum  des  Lotivrt*. 
und  /war  in  der  Outlection   Durand,  n".  (270  und  n".  4271. *J 

Nr.  24.  Zwei  Dodekaeder  im  Museum  xii  Lyon,  wovon 
eines  mit  Nr.  19  idenlUch  -Hein  wird  (a.  a.  O.  t.  77.  y.  -133). 

Nr,  26.  Hin  Dodekaiklcr  im  Muiteum  zu  Chalon-sur-Siwne 
(ib.  p.  47a). 

Nr.  &6.    Kin  Dodekarder  im  Museum  wi  Wien  (ib.). 

Diu  üogteich  in  g  ^  unter  Nr.  2  bee]>rochene  Dodckiü=<lcr 
gehört  wahrscheinlich  auch  tu  dieser  Klai»«  ton  Körpern ;  wir 
tllbren  ei  «utroniit  auf.  da  «i  massiv  gegomen  itt.     I'eUjr  die 


"»)  Vtfl    1    Aufl..  I.fiiiu|«  1980,  p,  149, 

')  t'tunpl»'''  DMidii"  tl*!"  «t^ftnr»'!)  d«»  IWmli^iitti*  'It-n  iwifrHi^,  t.  78, 
p,  430,  1878.  Vgl.  ft*n)(T;  HuIIpüii  «!«>  U  !^(M-ir(i>  inulh.  df  Pninri*.  t.  t. 
Pari*  1873,  p.  Sa. 


632 


SUntng  dtr  wtatk.-fhyB.  CUtaat  am  d.  I>tsrmher  ISS»6. 


^iBodfriittmg^  der  KJirper  «nd  die  Ti^rwrhiedenrf«!  VermuUiungco 
'aufg4»toUL  Wir  kommen  darauf  in  §  18  xurQck.  U(*nrorg»faobeo 
•f^  hier  Dur,  dan  die  Fundorte,  soweit  »le  bekannt  sind, 
in  der  Schweiz  oder  im  alten  Gallien,  bKw.  in  dtfrKftbe 
ron  dessen  Grenzen  sich  befioden.  Deshalb  bezekJinB  «cK 
diese  Dodekaeder  aU  keltisch. 


§  3.    Einige  andere  Polyeder. 

Am  Schlusie  den  erwähnten  Aufiiatzes  weiJt  Conze  auf 
rinif^  andere  Dudekaiüler  hin,  die  aus  dem  Alterthume  stunmeo 
lind  fiU  Würfel  angesehou  werden.     EU  sind  die  fulgcndeo : 

Nr.  1.  Gefnndeji  Iwi  Gerona  in  Spanien.  VerüfTenÜicht 
von  llnbner.*)  Die  von  ihm  gegebene  Beschreibong  hiutet 
folgend  ermatten : 

,Emjioni)t;  talo«  ex  lapide  ioepide,  serraine  olim  apnd 
Cavleslinuni  Ptijol  y  Camps,  nunc  Barcinone  in  museu  Martorelli; 
in  lateribus  incisi  sunt  cironli  0,  nnus  ad  duodeciro 


°gg 

OOO 

ooo 

OOO 

OOO 

praeterea  litterae  hae 

NG        SZ 

TA 

T»i 

NH        ND 

DfMcripiri.     Caelestinus  Pnjol  j  Camps  misit  eremplum.* 

ICinen  dieser  Beschreibung  ungefähr  entsprechenden  K<%rp«r 
mit  faH  identischer  Inschrift  besitzt  Herr  Gabriel  Max  hier 
in  §ejner  Sammlung.  Bs  scheint  «ich  darnach  gor  nicht  nm  ein 
Dodi'km"der  zu  handeln.  Die  Gestalt  defl  I**  '  ^ut^n  Korpcn 
ent-ntehi   vielmehr   auK   einem  Hexardcr  1/^  indem 

alle  8  linken  durch  die  Heitentläcbon  eines  regulären  Oli 
abstumpft   und  ebenso  die  12  Seiten  duich  die  Flikhen  dreie^ 
«ich  recht  winkelig  Hcliiieidender  vierseitiger  iVramiden.    Ea  «nt- 


I)  Corpus  invcriplümuni  latiBimuii,  II,  Bu]>|J.  a.  )'<li4S,  6. 


K  LintlemaHMt  Zw 


63» 


3t  SO  ©in  Körper^  der  begren/t  wird:  durch  6  Quadrate  (KeMo 
der  ursprClnglichen  Sfjiton  dus  Hexarder),  8  gleicbseiti^e  Drei- 
ecke (enUUnden  duruli  Abstumpfen  der  Ecken),  12  Rechtecke, 
deren  kürzere  Seiten  gleichseitig  die  Dreiecke  bej^Dsen,  wnh- 
rend  die  längeren  Seiten  den  Quadraten  anliegen.  In  diesen 
Rechtecken  nun  sind  die  Zahlen  von  I  bis  12  genau  in  der 
üben  beschriebenen  Weise  dorch  kleine  KreiJie  (mit  Punkt  in 
der  Mitte)  dargestellt.  Die  Dreiecke  tragen  keine  In<ichrift  oder 
'/iiiilzeichen.  In  den  (juadrat*;n  stehen  folgende  Paare  von 
Hiichstahen,  und  zwar  die  dnrch  einen  Strich  verbundenen  Paare 
in  einander  gegenüber  liegenden  Quadrtiten: 

LS-ND        TA-ZS        NH-NG. 

Div  Zeichen  siininien  mit  denjenigen  auf  dem  Barcelooaer 
Würfel  aberein,  nur  steht  hier  LS  statt  dort  TG.  An  der  (ileich- 
urtigkeit  beider  Exemplare  dürfte  hiernach  kaum  zu  zweifeln  aein. 

Die  Herren  Collegen  v.  Christ  und  Kuhn  bemerkten  mir, 
da.<^  die  Buchätahen  auf  dem  Exemplare  de«  Herrn  (lahritit 
Mdx  eine  entschieden  modernere  Furm  zeigten.  Hiemit  ist  die 
Angabe  in  UcboreinstimmuDg,  daas  der  fn^^liche  Würfel^)  aus 
(^hili  stamme.  Es  dürfte  daher  auch  der  bei  Geron«  gefundi*ne 
Würfel  nicht  aus  dem  Altertbume  stammen ;  und  deshalb 
scheidou  wir  ihn  von  den  im  Kolgeiideu  zu  betnichteuden  Kör- 
\tem  au9. 

Nr.  2,  Ebenfalls  von  Oonze  a.  a.  0.  erwähnt  wird  ein 
maüsiv  gegoltenes  Bronze-DodekaiMler  aii^Boun;  auf  den  Seite» 
desselben  stehen  Zahlen ,  und  deshalb  wird  dies  Dodeka^er 
ebenfalls  als  Spiel-Würfel  angesehen.  Besprochen  ist  es  durch 
van  VIenti-n  im  Jahrbuch  des  Vervines  von  Alterthomsfrennden 
im  Uheinlande,  Bd.  'w,  p.  19:5,  Bonn  189(i.  Daniuch  ist  da<t 
Dodekaeder  stark  verwittert  und  die  Zahlen  sind  nicht  dentlich. 

Herr    Dr.  Sonnenburg,    Oberlehrer   am    Gynuuuiuni    in 


')  Uor  Vermach,  diesen  KOqnr  ala  SpielwQrfol  sn  beiiuUni,  »n(ftc, 

'tlau   zwar  rn4M<4l*>n>*    einr»*   tirr   Qnotlrat^*   (tnii   nbiRcn    Huofaitj|l>i>D)    ,ff(-- 

«iirftti*   wini,   «Itt.«»  al«»r  hin    und  wlwlnr  drr  Wüi-fc!    muh   »n  /ur  Ruht- 

kommt,  diuM  untM  dvr  Reilitcfke  Ulfi  obere  (borliontalo)  FUdbiK  bildet. 


HiUmng  d*t\ 


CUat»  um  S.  jMxvmttßT  I4PC. 


XHiDD,    h«tt«  di«  Gate,    mir   ficJgeDde   getwuera   Beacfareibc 
tu  ienden: 

.  r>a«  fnfcKlicbe  StGck  ui  ein  mamrc»  PenUgoo-Dodekaftler 
%»•*  Hronze,  deaien  KftatenUnf^e  w^ten  Abnntxnng  oder  vir!- 
iricbt  ttoch  unprauglichor  Abrundnng  itiobt  genfto  »ozogeben 
uL  Si«  bHrägt  etw»  1*/«  cm.  Alle  FlÄchen  sind  mit  PunktM 
bfrzeichnet,  von  denen  die  deotlich  erkennbaren  ans  einer  Ver* 
tifffuDg  ond  einem  dieselbe  uint;<>bendvii  Htn^e  tieBtehen.  6e- 
mim  der  beigegebenon  Skiz/^e  (Taf.  I,  Kig.  5)  kommen  for: 
y.weimal  1,  dreimal  2,  zweimal  3,  je  einmal  4  und  5,  dreimal  6. 
I>ie  ['unkfj?  nl^lien  »fi,  wie  anf  der  Ski/zr  ang^eben,  theila  im 
Mittelpunkte  (bei  I  und  6).  tbeils  in  den  Wickeln  (bei  2,  3. 
1,  5,  G),  LlieiU  an  der  MitUi  der  Seiten  (bei  2,  3.  4).  FOr  die 
Genauigkeit  der  /^ahlen  g1aul>c  ich  trotz  der  stnrken  Oxydir 
bürgen  zu  können.* 

DirtM  Dodekaetlcr  dOrfV   aarii  Kngste   mit  den   orwmbnt 
keltiscben    Dodekaödem    verwandt  sein   nnd    eine  analoge  Be- 
deutung baben. 

Nr.  8.  Kin  von  De  Stefan i  in  Ober-Italien  auagcgrab«ncs 
steinerntH  Pudcka^dcr,  auf  das  auch  Conxo  aufmerkitam  oucbt 
Ka  int  frtr  uns  nicht  nur  wegen  seiner  (lestalt,  aondera  vor 
iJlem  wegen  der  auf  meinen  Flächen  eingegrabenen  eigentbGm- 
licheii  Zahlzeichen  beitierkenswertb  mul  we^en  iler  unerwartet 
frflben  Zeit,  aus  welcher  dasselbe  wahrscheinlich  stammt  Otei« 
Kxfmpbir  wtrtl  daher  im  Folgenden  besonders  eingehend  be- 
biiiHk-It  (vgl.  g  4  und  §  7). 

Nr.  4.     Kin  Ikosai^der  aus  Turin  (rgt.  unten  §5). 

Nr.  6.  Eine  achtseitige  Doppel -Pyramide  au«  Hedo  in 
Sndtirol  (vgl.  iint*n  g  8). 

Schon    d)jr   /.uk-txt    erwftbnte    KBrper    ist   nicht    reguÜLr. 
Andere  in  gewissem  Maoase  regulmäasige,   aber  nicht  regulär» 
I'olytidcr  kommen  ah  QewichlntOcke  bei  dt.>n   Rabylonie^n  mr. 
Diosolben    entatehen    aus    einem    reKularen   Würfel    (!f  •'  i  -'  '\, 
indem  miui  die  Ecken   durch  ein  regultires  Okunittsr  :>  X\ 

und   diu   enUU'hendeii  Dreiecke  so  gro»<«  werden  laot,   d«K  m 
der  Mitte  jeder  Seitenfläche  de«  uMtpr^nglicben  Hexarden  awei 


Rh»; 


kte  der 


6S& 


Krkeii  sMtlcher  I)rvieckc  ziisBcnnietistoMieD.  Der  Körper  ist  dem- 
jiftch  begrenzt  iJurch  O  Quadrate  und  8  pleichrioitigo  Dreiecke, 
gehört  zu  den  A  rchimedinclton  KiSrpern  ( vgl.  Taf.  I, 
Fig.  6).     Mir  Bind  drei  solche  Körper  bekannt,')  nämlich: 

Nr.  6.  Kin  im  Besitxe  des  Herrn  Collegen  v.  Wieser  in 
Innsltruck  bcHudliches  Cubo-OkUi'der  aus  Hronxc.  Sehr  gut 
urbalteii.  Auf  Jedem  der  0  Quadrate  befindet  sich  io  hebräischer 
C^tadrHtifchrift  die  Inschrift  2rtT  ^  '/ahab  «:  Qold.  Damit  ist 
das  Stück  als  Goldgewicht  charakterinirt.  In  jedem  der  8  Drei- 
ecke sind  xwei  concentrischo  KrHse  iingehrucht.  Dii-  Höhe 
(d.  h.  Diagonale  eines  jeden  (Jundrates)  betrügt  7  mm.  Herr 
Dr.  Fouim  hatte  die  QlUe,  don  Stück  im  phy.-«ika1ischeu  TuMtttnle 
der  rnireraität  genau  /.u  wiegen.  Das  Gewicht  beträgt  *J,>*HJ.''i  gr., 
aläo  ziemlich  genau  '/«  Schekel  der  babylonischen  Goldwährung 
schweren  GewichU.')  Nich  tlrtheil  des  Herrn  Goltegen  Hom- 
me]')  kann  mnn  aus  der  (lestalt  der  erwähnten  hebräischen 
Buchütuhon  »i!bHe.<<äeu,  diuts  ditrs  Gewicht  üü^  der  /tut  um  Chrit^ti 
Geburt  stAuimt.  Ht>rr  v.  Wioser  hat  dasselbe  aus  Kleinasien 
erhalten. 

Nr.  7.  Ein  zweites  etwiw  griWseres  Polyeder  derselben  Art, 
im  Besitze  des  Herrn  Gabriel  Max  hier.  K^  ii>t  weniger  sorg- 
fältig gearb<'itet;  die  Kanton  .'•tjirk  abgenutzt;  diu  Metall  ist  w 
stark  rr)thlieh,  dass  man  es  für  Kupfer  halten  möchte.  Anf 
einer  der  i|uadrutischen  Seiten  ist  ein  Sonnenbild  angebracht 
(OTat,  von  dem  eine  gTÖsäere  Anzahl  Strahlen  ausgeben).  Nach 
Angabe  des  Händlers,  von  dem  es  erworben  wurde,  soll  dajü 
Stock  au«  Hogam  sUmmen.     Dm  Gewicht   beträgt  ca.  30  gr. ; 


1}  Auch  Lnhinauo  iirwiihut  ilii>  Kxijfi«-nx  luLl>yloni4cbi'r  Gewicht« 
in  IVtIye*hT-Form  im  H«rlin«T  Aiitii]auriiim  {ZfitAchnfl  für  Bth&ologHi'. 
EM.  33,  IflOl.  )i.  620). 

*)  Vffl.  Hultirb.  Uttffchiacfatt  und  rnmiM-lif«  M^trologi^  Berlin  1683. 
p.  406. 

*)  UerHtllw  bat  der  «ntliro|>olofri'<cheii  Gem-llKliAft  in  HQni-bru  in 
der  8ilxanf7  vom  SU.  Mat  189«  nhvv  iVtf»***  llewirht  eine  MiHh>'iliiiig  gp- 
ii)a4-bt:  ¥^1,  l'<)rTi*H|Hjn>l<'UiliLktl  «Iit  iliMiuihi-n  ii<-»-INi  ImH  f<u  Anllii-o 
puloKi^i  Elliuolo)rie  und  L'rt^esnhichlr-,  27.  Jährte,,  p.  48. 


TückUr'«  Periole  D  (4,  ^  »  k  JAibwiitifl  Mcfc  C^) 
X,  B,  «ehr  bMIff  od  yiiiini   ftr  fie  P^Mc 
1,^   kflOMM»  ahtr   aödb   loaiA   titUick  «IT 

IjfdAtum  im  G«l»Meh. 

Die  <lM\ifi -QlkXai^tx  gehören  za  den  Archimedischen 
half>re((alären  (gleieheckigen)  Körpern.  Die  gesanntot 
Gewi/:bie  nod  theilweüe  gehr  ongenaa  gearbeitet;  die  Perien 
iiind  ofl  oicbt  aus  dem  regolären  Hexaedtf,  sondern  aos  eioem 
andren  rechtwinkligen  Parallelepipedon  durch  Abstompfimg 
der  Kcken  erzeugt. 


',  'i'-wi' htirt'i'k':    von    10  ."■h'-k-l    L'aJ.  e^  in  -I^r  That :    rin    'oUht- 
f\''/(f<l  au*  iJa^alt;  b*tin'l';t  -i'h   z.  li.  im   I'rili»''h'-n  Museum   (vgl,  Lrh 
iiiririn  a,  a.  O.  ji.  518f. 

'j  -Auf  »'(I^hf  I'<Ti<-n  l»'-/i<-hfn  i-lfh  offt-nbar  liie  Bemerkunf^CD  -le- 
'iriif-fi  HuK":  '.'»mpttH  r<fn<lu-,  t.  76.  j».  473,  54'J.  632;  t.  77.  p.  562: 
I.  HI,  |,,  743. 

'f  VVI.  Ti  i'.h  l»;r,  Ortfi>rfu--i.-*rh«  ttnilft-rffltler.  S-hrifti'ü  -Lt 
l-li.V-ikaliti'h-<ikon(;mi-' h'-ri  '  !<-"'Ihchiift  iw  König^luTg.  .lahi^.  19,  187^. 
I-.  239  tr. 


t\  JJtnIcutnuti  -    Xiir  iieti'hiihlf  ilfr   VnU/fdtf  ClC 


(137 


%  4.    Das  Dodekaeder  vom  Honte  Loffa. 

In  den  Atti  de«  Isfeitoto  Veneto  vom  Jahre  1885/86')  be- 
liiiii'Iolt  Sieplinno  de'  Stepbani  pim  aus  Stein  gi?«cltQitteneä. 
üubäxu  re^lUrcd  D«>dokat"der,  das  atuclieincnd  von  ^uhr  hohem 
Alter  ist  und  deühalb  j^unz  besonders  die  Anfnierkwunkeit  de« 
Mathe matikerB  verdient.  K»  sei  wir  ge«ULtet,  die  a.  a.  0.  k^ 
Uielwno  B<!<n;lireibung  des  Körpers  und  den  zugehörigen  Fund- 
bericlit  bier  wörtlich  zu  reproduciren ;  Stephani  schreibt: 

.11  pBso  di  qaesto  aolido,  intero  com*  ^.  e  beninnnio  con- 
aerratü ,  con  chatte  bilance  d*  aasaggio ,  fu  determinaUt  in 
gr.  200,840,  nientre  il  tiuo  peso  npecifico  all»  tempemtiira  die 
23»  Cent.  riauIUi  «=  2,002.') 

»Uo  argomenti  per  cred«re,  ohe  il  mineralt»,  da  cui  fa 
tratto  que^ta  specie  di  dado,  Appart«^npi  nd  nna  delle  tante 
varietii  tli  steatite,  e  «pociBounienle  u  i(iielta  dut  tnlco  opaco  di 
ciilor  bruno  di  graoa  molto  fina  e  compotta.  I  caratteri  fisici  dell' 
oggetto.  prima  che  venisae  imraerso  uelln  gelatina  per  cavarne 
la  forma  in  ^eaäo,  avvalomvano  qtiesta  niia  opinione.  condivi^a 
aiiclu'  da  poraoiie  conipetenti  all'  uopo  consultale.  Oggi  ü  cü- 
lore  §uperficiale  del  rainerato  ti  divonuto  pifi  oupo,  ed  al  tatto 
non  e  pin  cosi  dolce  c  (|iiiLKi  ^rasso  corae  prima  della  sna  ripe- 
tuU  immeraiuiie  iielta  getatina  ed  in  altre  poltiglie.  I/analiiti 
chimicn  poteva  risolvere  il  dubbio  coi  deterniinanie  la  comp<i- 
■fidone  in  qualitä  e  quantitä;  ma  io  non  ebbi  il  coniggio  di 
ran^biare  anche  in  pitcola  parte  «juwto  nnico  piü  che  ram 
oggetto  per  soii  gnaHtarlo.' 

Nachdem    der  Verfasser    die  Meinnng   ausgesprochen,   das* 


*)  Intomo  tm  do<]orft«^rn  qiiiuri  regolnrc  ili  piolr»  a  fiuct'  peiita^- 
noli  acolintif  ron  *^fr*  -doitnin  ntWt*  &nti(|ni«sitD<*  Mpanar  >Ii  pirliu  il«'l 
MoDte  boff».  Alt»  lU'l  Real'-  Islilwto  Vfiirto  ilei  »nimm-,  InUre  "M  »rti. 
Serie  VI.  I.  4'.  p.  l-MT.  \>ne/.in  1886|Ö6. 

•)  Wir  (ftflM*D  auf  Tüf.  111  eiiif  AttUilüinig  ile*  DwlpkaMcr»  (in  na- 
tOrliclivr  (JrOiwH')  und  auf  Tuf.  U  da»  xu^fnbAri«;«  NeU  *un  FOufut'ken 
mit  d«n  /ahluiclinn,  fpf^niiti  nnrh  i\rr  mw  UuStepliatit  ffHjnaibti'U 
Vi'rfiff«»ntlii'lmni». 


Ü38        SUsanff  ^€t  wath.-i^t*f8.  Ctagu  tom  5.  iHtemhrr  is'h 

das  DcKlekoL-der  wahn^cheiiilich  mitteiät  einer  uruu/.on^n  ^»ge 
(wie  sie  in  den  Pfahlbauten  der  Schweiz  und  des  (lArdu-äee^s 
gefunden  werden)  aus  dem  betr.  Steine  geschnittea  sei,  and 
nachdem  er  das  Vorkommen  desselben  oder  ähnlichen  Maternb 
in  den  vorrömiscUeu  Gräbern  von  Bovolone  und  S.  Hrizzio  di 
Lavagno  hervorgeh olieu  hat,  fuhrt  dtrrselhe  fort: 

,11  luogo  poi  del  rinreDimento  deL  nostro  dado  appcrtiene 
a  Sant'  Anna  del  Kaeilo  o  d'AIfaedo,  frazione  del  Comiine  dl 
Breonio,  ^Ixenia  parte  dei  monti  Lessini  occidpntali,  chiamoU 
dagii  antichi  storici  regione  dei  Reti  e  degU  Euganci,  i  quali 
sarehbero  staÜ  poscia  rotti  e  diepcrüi  dui  Galli.* 

t^  wird  dann  erwähnt,  daas  die  npätere  Anwewnheit  der 
Gallier  durch  Funde  niassiliotischen  Silbers  und  charakt4*mtüebar 
La-Tene-Fibeln  bestätigt  ist,  nad  dass  die  Funde  vom  Monte 
Loffa  iu  L'ugeni  Zusauuienhaoge  stehen  mit  den  Kunden  von 
Paraiso^)  und  &ich  von  der  neolithischea  Periode  ab  durch  dir 
etruskische  bezw.  euganeische  Bronze-Zeit  hindurch  bis  in  die 
gallisch-italische  Zeit  erstrecken.  Wegen  näherer  Au^fQhrungen 
wird  auf  eine  andere  Abhandlung')  verwiegen  und  dann  toit 
der  fDr  ans  wiclittgen  Beschreibung  dee  ei^euttichen  Knndurta 
feiner  prähistorischen  Wohnstätte)  in  folgender  Weise  fort- 
gefahren : 

,Si  tratta  di  una  piattaforma  denominata  Loffa  (iu  hikii 
Leapha),  a  pocchi  paasi  ditlla  piiuzu  di  Sant'  Anna  nelU  dir»- 
zione  Nord  K«t  Iu  <]iiale,  H««eDdu  di  forma  uUittic«,  «bcImo  U 
declive  pin  o  meno  rapido,  misura  in  lun^hfjxsa  ni.  170  da  ^^»'l 
a  Nord,  ed  h  larga  in  media  m.  44  da  Ei^t  ad  Orost.  1  |r 
delle  lutre  di  pietra  capitozzate,  che  atiGoravaiio  in  senao  vertt- 
cale  dal  terreno,  ed  in  qualche  punto  avanzt  di  antichi  muhcci 
u  i-ixco^  ac'cennavaiio  ad  un  riceato  di  difeaa.  nell'  int^rno  dri. 
t)aal<?  altri  profili  verticali,  in  forme  rettangolart,  eorrtx|>ondeT 


>)  Atti  de*  Istititto  Vonoto.   S^ri«  V,   rat  7,   1681;  »otm    iiv4ti  •_ 
•Ittrerwi  og^et^i  dt  altR  antirbitA   «copffTtj  n  HrMiüi   oel    «irriiORw. 

(I«1«*   tAVul«. 

'I  Att)  dt«ir  Accademiit  d*  ugriroltum.  arü  t^  (imiiuareiu  tli  Vornaji. 

vol.  I.Xil.  S,)rit!  in.  Wmna  1886. 


K  tAniicmnHti:  Xur  t^tehtchtr  thr  ISUjfetUr  tU, 


1)39 


air  area  dellc  capauuf,  couipuste  (]i  due  amhieuti  o  ceUe  eo- 
nninicanti  V  una  eotl'  altra.  Av^vano  ima  f«ola  aperturft  rivolta 
all*  eäteruo  del  reciuto,  la  quäle  doveva  serTire  di  porta«  e  dar 
aria  e  luce  ad  all'  um^U  dal  funio.  Delle  veutiaetie  capanne 
fino  ad  ora  da  nie  e^plorate,  una  miIh  i>]tiflta  dcsignata  nette 
Tuv.  in,  diilla  citata  Memuria,  t*  che  porta  il  numeru  1),  uveva 
una  scala  di  sette  roy.xi  f^radini  di  lastre  a  a«ooo  che  conducera 
al  fondo  della  capanua  piti  basso  dal  solo  esfcerno  lu.  l.riO. 
Hresciudeudo  datl«  irrugolaritä  originaJi  e  dallo  scoiivolgiiuento 
opcrato  nell'  abl>atimenbo,  si  aarebbe  calcolato  che  l'altezza  delle 
cetle  foBse  poco  piu  di  ui.  2,  e  1*  auipiezza  di  ome  su  per  gtü 
di  tn.  q.  7,80.  II  tettu  delle  capanne,  iiti  po*  inclinato  rerso 
r  estrenio,  doveva  emorgere  almcno  dal  suolo  cent.  60,  ed  era, 
del  pari  que  le  pareti,  forniutn  di  Ustroni  caJcari  del  luogo, 
sosteDnii  da  iroiicbi  di  alberi,  i  quati,  distmtti  dalP  iucendio, 
vi  ai  Irovaiio  in  parte  ancora  iottoposti  allo  atato  carbonioito. 
L*interrimento  piii  o  ineao  completo  detU  piirte  bassa  delle 
capaDoe,  oltreoht'  in  parte  all'  openi  dell'  uomo,  devesi  ai  ftuc* 
ceȊivi  frananienti  ed  al  trunporto  delle  aqiie.* 

Dieae  Schilderung  gibt  ud8  eine  deutliche  Vorstellung  vun 
der Oertlichkeit  des  Fundes:  verschiedene  Rest«  von  Hütten  und 
Wol)ii<ttäLl4>n  im  Innern  einer  zur  Vertheidigung  dienenden  Um- 
walluug;  darunter  eine  genauer  beschrieben,  in  der  dieh  die 
merkwürdigen  Steiogewicbte  fanden,  von  denen  wir  weiter  unten 
berichten  mttfisen. 

«Tomando  ora  al  dodocaedro,  e^w  venno  trovnto  sullo 
scorciu  des  genuaiu  p.  p.  »cavanda  negli  anibienti  della  capauna 
nnm.  23  e  alla  profonditä  di  m*.  1  circa. 

„ho  Strato  arcbeulogico  eru  formato  di  terr»  carbonioM, 
n)t»la  a  detriti  di  roccia,  con  prevaleuza  di  cocci  per  la  uiM^gior 
parte  di  grossolano  tinpaäto  e  seniui  ornamentuxione ;  ni»  non 
biaogna  dimenticare  anche  atcune  ptetre  grunitiche  a  conca  da 
nmctna,  i  fondi  di  focotare,  i  oiottoli  .ipianali  ad  u^^)  marielti, 
atcune  arenarie  di  fina  pastn  da  affilnre,  e  parecchio  fuäaiiiüli' 
di  pietra  e  di  terra  cutta  di  gnmdezui  e  di  forma  diveraot  ta- 
luna   con  i|uulche   nttto  grafßto   di  ornanientAKione    primitiva. 


Gfi 


tm  «Mi  ^  4U9 


tan  4m   «paC  pa«f» 
•d  atb  m&mo  Imife 
«n  Oft  mU«  4iM*iA«ie  4ri  ^äsilP»  £  c«sit  7,   fefoaftft 

■w  fiMÖB.  Fn  i  mttmiJi  tmtmtti  wnAe  mD»  iftnan  |nb»- 
■orte  fitid»  £  Bnono,  ftr  h  mgpor  p^rte  Uvucvlc  4» 
aüribs  fwe«.  «|Wife  «Ici,  4ett*  fianihn,  mo  ntko  nolta  rwn, 
•  «  ■iiiiiMIgiMi  I  »  %meam  &qgBale  mU*  opers  dd  R  p.  0.  t 
A.  d«*  Mortilleti.  Miafi  ffrkr^nriqat ,  pl  X,  fig.  60  t 
pL  XXXU.  flg.  243. 

....  T(Mfe»  eke  iD  «blt  «  bbm  rwiigwatim  doteaadro, 
iMKiiBi«  IM  ft  peasn,  k  omd  ffitwii  omr  an  oggilio  da  giauL», 
eioi  nna  fp«eie  di  dad»,  bnvanme  del  qiule  d*  bJniu  n  fii 

dotiie  iaiiinlr  a  tnni*  pi««^  di  \maa9  o  di  Iristo  mgnrio*  — 
IboHtb  qoei  gr»fliti.  iac»  adle  dodki  fiioce,  eraao  tsn  Uütn 
o  cifrc?  Afavaao  «Mi  lu  umm  o  rapporto  qaalaiMi  coQe  aiglt 
o  Dote  nDmenK  dci  p«  dril«  capaniiv  (nloilich  ans  Rapaaat 
Nr.  4;  Tf^  xaniai  §6)«  o  eoi  graffiti  dal  dbeo  di  Uovolooe  ft 
dalla  ckitoU  di  DeiDorta')?* 

Oeäkephani  hatte  renchiedaM Odehrte  um  ihre  Mdai) 
nber  da«  Dodekaeder  gefragt  Pniamot  0.  Capellini 
atatirt  dia  Aehnlicbkeit  mit  der  ChHetalform  d«a  Piritoeder, 
hJllt  «fl  aber  fUr  eio»  Worfel  Kun  OlOdcaip»«].  Graf  Oos-xa- 
tlini  wird  dnrcb  die  Höhlaogen  aaf  eiuigeo  Fliehen  dm  Xhf 
dekaeJen»  an  die  un  Xorden  oad  io  Frankreich  TorkommendM 
•pümi  h  deocUee*    aaa  der  Bromc-Zeit^)  erinnert     Proüaanr 


*)  rebn-di«»«  beiden  OegewUodtf  witd  ni  Anfang  d«  ■-••-»—  ik. 
haadtunfr  gatprocben«    «Ki  uocfa  dlBMlbeii  AlÜ,   8«ri«  T«  1-  'U 

p.  769.  —  Dir  »cheiiiUar  rftUuwIt 
Volon»  mtfi,   wi<!  irb  bei  uidei* 

lU'rm  nla  die  nri<-h«Utbcii  eitier  voilkcoaiut^  lp«birrii  land  «iH^i  ra  vber- 
Milxuudeii)  «•Inivkikchcn  Orub-IiwcLriA. 

*)  Vgl.  .lortthiY  c  B.  Driar,  Matfriwu  tw^Hr  llilrtrttrv  d»  ll^iMni*. 


P.  tAmtcmaum:  Zwr  Gachichtt  der  Ihilj/tiltr  tic. 


(MI 


U.  A.  Milaui  »a^«  'lann  iliai  •-'in«  Deutung  uiimü^licb  sei, 
glaubt  intleäsen,  dai»  &  sicti  um  Zalilfu  uad  nicht  um  Buch- 
dtat>«n  handelt.  Der  Ktruscologe  Pauli  endlich  Huasert  «ich 
sehr  aiMführtich ;  und  wir  mfisaen  seine  Darlegungen  unten 
reprodncircn. 

g  5.    Das  Ikosa^der  von  Törin. 

Graf  Cnrlo  CipoUa  hatte  sich  in  denteJheD  Angelegenheit 
an  Prof.  A.  Fabretti  gewandt;  die  Aeusst'Tung  duäselben  i&t 
beuierkenäwtsrth,  weil  dabei  auf  die  BxisteuK  eiaeti  wabrBchein- 
lieh   auch    präliistorisclien   Ikoi>aederb    Hingewiesen    wird,    ttber 

L welches  leider  eingehendere  Nachrichten  fehlen.  Qraf  Ci|)oUn 
»chreibt : 
,Parlai  col  prof.  Fabretti,  circa  il  auo  oggetto.  Egli  le 
l^verii,  mi  dice:  frattaato  egli  mi  incarica  di  dirle  che,  a  suo 
ftTTisOf  trattasi  di  un  uggetto  lusorio,  una  apecie  ili  dado.  Quei 
»egni  sarebbero  segni  conrenzionali,  una  specie  di  segoi  name- 
rali  forse.  II  Kabretti  mi  raoströ  iin  icosaedro  che  egli  tiene 
nel  suo  Muieo,  e  che  ha  delle  nttineuze  col  stio  dodecaedro. 
QuesLu  icosaedru  ^,  pare,  di  uua  pabtu  terruäü,  t^iualtata.  Dello 
timalto  restano  moUe  parti ;  es-vt  v  di  an  beltisaimo  eolore  cilestro- 
p&lipra  ciaacuna  faccia  &i  legge  inipressa  una  chiara  lettera  greca. 
Becoado  il  Kabretti  ({uestu  icosaedro  uvrcbbe  appunLo  servito 
|)er  giuoco,  e  tule  giudicandolo,  egli  lo  mostro  nl  prof.  Bruzza, 
che  81  occupö  di  quegti  argonieuti,  e  che  auKi  Mipra  gli  antichi 
oggetti  lusorii  pubblico  una  munognifiu  nel  Bull,  della  Socielii 
comnnale  Kaiuana,  1877,  com'  Ella  puö  vedere. 

I,Ohieäi  al  prof.  Fabretti  s'egU  avease  uotiue  aulta  pro- 
Tenien/A  del  8U0  icosaedro.  Egli  mi  rispose  che  apparUnevu  iu 
addietru  al  Muoicipio  di  Torino,  u  che  provenne  al  Mu<«o  dt 
nnlichit&,  in  oocaiione  di  un  canibio  fatto.  Kon  dubita  che  al 
Municipio  sia  .stato  dato  dal  cetebre  prof.  B,  Oa^taldi;  qiiindi  ^ 
piii  che  probabile  ehe  detto  oggetto  ida  atato  rinvenuto  nel  !*ie- 
nionte.     N»n  h'i  pnü  tuttavlii  lutserir  altni  di  preciito/ 

,L*icoBaedro«   diceami   il   prof.  Fabretti,  e  tuttora  iuedito. 
IVtMidend'j    in  niano  qaeir  oggetto,    ootai  ch*  caao  e,   relatira- 
ivm.  M*iii.'|iL]r^ni.  i  Ai 


»;i2 


Sitirnny  Str  wwlA^fAya.  Q^mt  «Mi  S. 


OKOt«, 


Icf^f{CfO<       lü 


per  ^«Hoto  imiiM 


dingao  di  Li«i,  tnmatma  al  |irof.  Fftbretti.  Ary*  >—■■  linigfi- 
•al«  ft  qfuelU  <Sel  aoo  dodenudro-* 

K«  in  sehr  kd  bedaoem,  doa  die  «ogcbUcb  »of  den  ScÜMi 
d«  UuNfteder«  bcfliidiicli«e  griechiKlien  BochtUbeo  bidit  wU 
({«tfaeilt  and.  So  mfinKU  wir  am  mit  dieaer  Wiedefigibe  der 
tWchmbirag  begnSgen,  ohne  da/t  fragiseb«  IkoMfidfr  M  te 
folipiidcn  OboMiaft  »catfitlirii  so  bvflekacKtigvo. 

^  6.    Die  Steingewichte  vom  Monte  Loffa. 

Von  besonderer  Wichtigkeit  zur  ErkULrang  der  naf  an«erem 
Dodekorder  )>eßndIiohen  Zeichen  «ind  eine  AnfjOil  ^^ngevirliU, 
flie  innerhalb  derselben  l'mwnllang,  aber  in  einer  aD^lereo  Wftlm- 
Ntätte  atugegraben  «rnnlen  nnd  die  elienfnUa  gewiic«  Zahlxächn 
aiifwetseu. 

Xachdom  berrorgehoben  ist.  d&»^  Prnf.  L.  P  /  ni  «v 
Uom  die  KtiiiilHtell«!  bi^ui-Iit  und  sieh  von  der  \l.'  t  nlW 

Qber  die»uU>e  genuchten  Angilben  Qberxeqgt  hatte,  fihrt  Ste- 
phani  in  seiner  Beschreibung  (a.  a.  0.)  in  folgender  Weise  fofk 

«Ora  nellft  capanna  del  LoRn,  da  n)e  contrabXgnaU  od 
n"  9,  che  it  I^ignrini  non  aveva  ancnra  completamente  fat&o 
«eavare,  qualche  giornu  dopo  U  »na  partenta  (3.  »ept.  1985) 
iilla  profondiU  di  eent.  A*\  e  i^otti^  le  liutre  di  pietm  '  V, 

Ap\  croperto  crollat'),  venivanu  in  Ince  diect  i«u  di  {•.  .  o- 

noria,  cori  detta  pietra  morta,  foggiato  a  cono  piatto  e  tronoi, 
uvenfci  cia-scuno  presto  il  »urtice  un  foro,  e  che  portaTaoo  ineite 
o  Hulhi  fiu:cia  o  ^iii  Uli  aicune  direrae  ligle  o  nüle  nununli 
per  me  inrlecifrabili,  e  che  potete  vcdore  riprodotte  in  mczfii 
gmndexxa  nelle  ßgiire  S,  4,  r>,  n,  7,  8,  9,  10,  dell'  aiiooia 
tarola. 


*) 


»1* 


1)  Die  Ootull    <li  int 

iMntJrnvn  (««'Wichten    p  '.irro  ran  '■ 

H««  in  Lstiitm  gvthintim)  «in>l ;  man  hat  iliraf*  nü'bt  kI»  1  ■ 
•dnJeni  uIh  r.i3xn  WctlN^n  gflTancbto  yn*^vi\%<^n  fivivütvt.     • 
Wp  Itnlikrr  cTit  Po-KI>mii«,  Ij*»ii»m«  lK7.t    j.  ß»  uml  Tm/  II. 

*i  Vtfl.  Allhnirnriilo  Tnf,  III. 


rfdNrtttPi:  Xur  Getichi<^t 


•Fr. 


043 


,Mft  ciii  c)r  em  curioso  i'  il  fiitU},  che  ijucsti  petti  eraiio 
disposti  a  modo  di  raggi  di  ruota  sopra  una  !a.^ra  dj  pietm, 
di  luaniera  ehe  la  punfcn  troneu  dei  coni  convergess«?  mI  oentro 
delta  niota  st«flsa,  il  cui  mo7^/>t  nello  spaKio  ceniralef  era  rep' 
presentato  da  unu  tnzza  o  biochtero  di  terra  urdinnria  foggiato 
A  «ampana,  il  ipmln  era  ripiciio  dl  ^enii  ili  fnimcntu  vnr- 
Iwnixzato. 

«Sonoiiehe  qnel  pimin  era  alqoanto  iiictinato  e  cavemoso, 
p  pBcqna  di  piout^ta,  che  vi  peiietrava  dit  secoli,  ureva  resi  mnlli 
oome  pmta  aicuni  groati  rarai  di  conm  di  cervi  che  tri  ginre- 
Tano;  od  atcuni  di  qaesti  pe«i  erano  di  nna  compagine  coci 
incoereiite  e  Bfolgiosa  e  cuKt  tn'/uppati  di  adfun^  che  alcunu 
andn  perduto:  altri,  ad  onta  di  tiitt«  le  eure,  in  qiialr.lto  parto 
&i  »fasciarono  piu  o  raeoo.  in  modo  da  non  poU^roe  calcolare 
il  vero  pcao  originale  che  per  approa^ioia/Jonc,  oonie  fd  dirä 
in  segiiito.* 

Es  wird  ferner  berichtet^  doss  in  der  Wohnstatto  Nr.  10 
ein  ähnliches  (aber  gröft^eres)  Gefäss  gefunden  ward,  wie  soeben 
bei  drn  Gewichten  tTwiihnt  wurde,  ferner  ca.  2  Ilectolit^r  ver- 
kohltes Getreide;  ebenso  in  Nr.  lÖ  eine  Menge  verkohlte  Kriraer. 

Die  in  Aussicht  ge»~telUe  aanführliche  l*ub1ication  nber  dto 
genaniniten  Funde  Ut  von  dem  inxwiMben  verstorbenen  Verfattwr 
nicliL  mehr  vollendet. 


%  7.    Die  Zahlen  auf  dem  Dodekaftder. 

Wir  reproducircn  zunächst  die  eingehenden  Darlegungen') 
Panti*s  nber  die  auf  drn  Flächen  des  Dodekat^ers  und  auf  den 
Gewichten  angebrachten  Zeichen  : 

«Le  d<>  düi]6caödre  trouvv  dan«  les  fouilles  du  niont  LotTa 
me  parait  i>tre  un  de  n  jouer.  Notis  avons  eu  grand  nombre 
de  d^  ü  jouer  de  l'anüquite  et  ce  soat  pn^ciKÜment  \o^  foiiille*) 
de  Bologne  fjui  nou»  eii  ont  fourni  ce  qui  etahlit  lenr  extAt'enc*« 
ä  une  t^poque   tres   reculee.     II    est   VFfti   qae  la  forme   en   etit 


*)  r>{n(*lHi*n  <ntu\  i>iiifn»  llrirfi*  rattli*«  %n  UcäinTanl  ««Inüinmoti 
irnJ  *tiu  l«>t)ct«r«m  a.  a.  0.  ptitHuiri- 

42' 


ftM 


2    im 


oAc 


4^ 


cvr  Ü  5  »  4m  coIm»  «t  ^ 

cor  1«  presiefB. 

.Ha»  qand  o«  eift  es  preHMe  fv  4e  fl  &■&  toai  a^ted 
»'■tteairc  s  c«  qoc  Im  4cHnB  qa^  porie  ifiWf'MrtiMl  Am  cUfiv, 
et  bar  cuocmJanca,  «vae  Im  4iHiBB  Ja  p^^  ü»m4»  «omi  an 
moBt  Loffi,  BOOt  puiBcft  4e  MippOMriioe  ea  toat  biea  daacbflniL 
Ka  dfek  ä  iec  aiaei  4mbm  m  UuuimiI  mt  ob  de  «k  anr  4» 
poidtf«  Qa  De  pcaTeai  gncrc  ra|ai><aU.r  aotn  cbcac  <|a«  te 
cfaiffna.  11  fiuit  ajooter  «ococo  ^oa  laa  «ÜBMaka  dmt  aa  oaa- 
pcMsii  caa  iKmmh  aost  Haatii^wwBaal  las  aiaMa  qae  oem  ifor 
nooa  raneantniDa  dan  lea  cUfiaa  ^■"■'"  ■■—■»■ 

.Ob  til^Bunt»  aoot  lea  auraBto*): 

.  aar  le  d^  (sorfaca  4,  5,  6.  7«  8.  9,  10); 

t  «DT  le  46  («orfree  :y.  4.  7.  10.  n  <?>  ei  rar  lea  po^ 
(figare  3.  4  et  5); 

V  (oa  A)  *or  le  dr  (atirüace  3,  9)  et  rar  1«  pojdj  (A^mr 
3,  4.  5,  7,  0): 

-^  et  X  aar  le  di  (soHaee  1)  et  aar  lea  poida  (fiKnre  6, 
8  «t  10) ; 

T  (ou  X)  «J«"  I«  <*^  (surfac«  2  et  IIX 

Outxe  cea  deeamaf  il  y  en  a  eocore  d'aatrea  aar  las  corfae» 
8  et  12  dn  d^;  mats,  poar  le  momeot,  je  lea  n^Hge  aoad  que 
lei  petita  traita  Uteraui  de  plnsieon  deeaibi  da  d«  et  U<a  poid». 

.Cea  cimplea  eleaeofca  aoat  donc  ^idemaeot  1«»  miam 
que  ceux  qui  iorment  le  ayolftiiie  nom^ique  ^rusca-roiBaia; 
1  =  1;  A=5;  X  =  10:  t«50  (ayaleme  etruaqoe);  I -=  I: 
V  =  5;  X  =  10;  1.  Xi  L  =  50  («jM^e  roiuain).  Oo  «k 
qoe  les  pointB  ou  globali  8*7  troaveDt  oassi  pour  mn- ■-'-  !f^ 
douxe  partiei  de  l*a&.    Mai«,  aubutt  tpie  j«  sacbe,  de  >- 


M  Auf  Tafel  11  «ml  •       ' 
Hobor  Wcui*  mit  ZaUtni  t«-.      ..im  i, 
ZeJrli«ii  tu  t-nnOglichen. 


F.  Lindemann:  %vr  fietdiichte  der  Poliir^er  etc. 


tUo 


funuiti;  de^  desRiDS.  on  ne  saurait  en  coiicltir«  dVirn*  maiiiurc 
abaolue  qu'iU  repondeut  aussi  en  rolcur  et  en  significatiüu  nux 
dewtoa  ^trusco-romain.«.  Pour  pouroir  le  faire,  il  f«nt  encore 
se  Urrer  auparavant  ä  ud  «xumen  particulier.  Qiiani  ä  U  d^ 
t«rmination  de  )a  valeur  de  nos  d&ä»iu8.  nons  ne  sommes  pas 
bnit  ä  fait  »ans  jtoints  d'apjtni, 

«Remarquons  totit  d'abord  que  plosieare  de  cea  deanm 
jiont  rep«tti9  Ics  nus  ä  cök*  dtu  aiiires ,  et  que  d^autre.1  ne  le 
»ont  pas.    Les  poiuts  ou  globuli  »e  Irouveni  redouble«;  en  [mr- 

ItiouHer,  il  y  en  a  deux  eiir  la  »urface  7,  trois  sur  la  surface  6, 
et  quatre  sur  la  surface  4;  le  fcrait  I  se  troure  redoubli^  sur 
deux  poidfi  (fig.  4  et  tig.  5);  le  sif^e  A  i^e  trouve  egalement 
sur  deux  i>oids  (tig.  3  et  fig.  9),  sur  le  preniier  en  double  et 
Jtn  le  dernier  en  Iriple.  Quant  aux  signes  4*  (X)  et  T  (X)  il' 
'ttl^fOOt  pas  rclmiblt^.  De  ceä  faits,  Ü  nie  seuible  qu'on  en 
potim  conclure  d'aburd  qae  le  point  ou  glübulus  düsigne  1,  et 
que  pour  le  chiffre  5  apparajssait  nn  nouvean  aigne,  absolument 
comme  dans  le  sjst^ine  Arusco-roinun.  On  peat  aossi  conclure 
qnel  ext  ce  signe.     11  ttuffira  ponr  cela  d'admrttre  que  nelui  de 

Itous  les  signeä  que  nuus  venons  dMndiquer  qni  est  le  plus  bou- 
vent   pr^   des  poinb«  ou  globuli  d^gnant  Tunit^  est  oeliii  qoi 
repr^ente   le  chiffre  r>,     Or  ce  <t)gne   est  le  trait  I  (siiiface  4, 
7  et  10).    11  upparalt  eueore  sur  la  äurface  3  reuni  au  sign«  Ai 
qni  represent  alor^   probablenient  le  nombre  10,  d'autant  plua 
qu'il  est  anssi  r^uni  une  foia  au  chiffre  1  sur  la  snrface  9.    Ces 
^m    deux  exemples  s  oppoeent  h  c«  qae  ce  signe  repi^sente  nn  nombre 
^M    plus   äev<^.     Pour  les  chiflVes   erup^rieurs  il  y  anrait   alors  les 
agnes  -^  et  X-     Quant  a  la  detennination  de  leur  valeur,   les 
signes  marqu^  sur  les  poidf!  ont  de  rimportanoe. 
I  ylls   Bont   consider^   comme  des  poid.>4  de  metier  ä  ti^ser; 

[  maiä  comme  les  deasins  tracäs  dessas  sont,  ä  prenii^re  Tue,  de 
^H  la  mfmie  esp^^e  que  cetn  du  de,  et  gelon  toute  apparenee  de 
^M  VTiÜM  chiffreü,  on  pourrait  alors  se  demander  vi  ces  poid»  nVtaicnt 
^F  ptt  r^llement  de^titK^  ä  «enrir  ä  pescr.  Cette  dernicre  stip- 
I  Position  serait  jnste  s'il  arnrait  c|ue  les  cbiffres  d^gnaient  lee 
poids  de  cha^iue   pi^e,   pr^cantion    qui   serAit  tnutile   ponr  Ic8 


Stooif  Jvi 


«^  5.  i>effftrr  /4M. 


poidb  4»  attsr  2  lim.  Povr  enwiti«r  ce  puini.  J'sran  prir 
M'  4e  Sie&ii!,  Ab  mladm^vft  U  pcsateur  4«  cb^futf  piuii»  «m 
|NuttcaU«r,   et  ttiti  le  Ufclwii   dCB  duürea    qu«  j'm    r»^  oi 


1)  AIA 

-2)  VM 

:5)  All 

*>  + 

i)  A 

'i*  X 

7>  AAA 

8)  X 


KT.    830 

.  2340 

,  l*.»20 

,  1850 

,  UWt 

.  U!«i 

,  1500 

.  2030 


^4aoUu* 


«r.  aso 

,  löö 

,  HO 

.  150 

.  .^40 

,  4»M) 
,   15UÜ 

,  100 


43fV3k 

gr.   K 


212 


.Gomine  le  poids  «ipffldaeDUire  de»  |i«4c«»  paiÜculi^ne» 
D*ail  40«  rappow,  il  Dom  aen  bi«a  pembii  dy  fiüre  i|fM;lqoc* 
(«gem  niwliticatioo»,  poor  peQ  i|D«  d'ftatm  misi>CM  oo«ia  j  A^ 
cident.    SoppoeoDS  qo«  le  poids  geoeral  dw  piöot»  smt  le  euivmiit: 

1)  =  1376  gr.,  2)  «=  2500  pr,,  3)  =  2000  gr^  4)  •=  20U0  «r.. 
.';)  =  2000    .    6)  =  1875    ,     7)  =  3000    ,    ft)  =  2135    . 

«Las  poids  m  cofflportent  ainsi  k  r^g»rd  I«  uns  de«  anins: 

11:20:  16:l():iri:lS:S4:17. 

«Mail  il  o'est  pw  Trai««niblaUe  qne  cm  Donibn» 
porUounelfl  aoient  exprim«  par  Ic«  dfloiiw  des  poids,  cmr 
U  <iiin»p  +  M).)  deTrsit  siifui6er  lÜ.  «l  le  aigne  A  <7>-> 
AAA  ==  24).  d«Tnut  «gnifier  8,  «i  pour  ces  dtox  ooii..,^. 
on  ne  verm  jnmsis  npparaitre  de  simples  eignes.  Oonuuc  le 
nrimbre  t  est  ex|)niue  par  le  poiat  .  et  I«  uombre  5  pw  I,  00 
ne  ne  trompern  psa,  n\  Ton  suppose  i|i]p  le  «igne  A  qoa  noui 
avoiu  dS}h  exsniin<'-  pltu  haut  fttmr  d'aatm  rmmmB^ 
10  et  qne  le  sign«  ^  repr^aente  20. 

.Si  notre  Aupposilion   eet  jmte,   a</ti5  -  .^tM  «so~ 

tifBT  qucl^tiijs  concltwions.     Tout  dabord    -  ., ^.^-    par 


I'\  iJutUmann:  Zur  Owcttidüe  äer  J\it^dtr  cte. 


647 


dornitsr  noinbre  quo  lo  8,vstoiuu  nuui(*ric|iie  t'Uil  viiij^^t&timul^  c^eit 
ä  dire  <|u«  cl)a4[iie  foi»  qu'on  coni|>Uil  20  il  y  avait  u(i  chiflW 
parliculier.  Gnsuite  dous  ubteuoris  des  deux  nuinlirfls  PuniU 
nuiueralc  de  poida  qui  n'eit  autre  qoe  100  gramiuett. 

,  Muis  comroe  les  chiifres  des  poid.«  indiqnes  plu^  haut 
ii'üfcttiit  esüniäs  que  relatirement  au  poids  i|ui  manque,  il  ue 
notu  apprend  que  des  valeura  approximatives.  La  veritable  unite 
niirat'^rnle  pent  donc  avoir  vt&  nn  peii  ploH  petito  ou  nn  in'u 
pluä  f^udc  que  100  gr.  De  cette  unitv  de  poidit  il  ruäulto  quo 
\m  rapports  indiqu«^  plus  haut  entre  II  :  20  :  16  :  16  :  16  : 
15 :  24  :  17  dolvent  6tre  expriroäR  äpretfeiit,  conforniümenl  aax 
mpitorta  de  H  :  10  par  las  uniieä  suivantee:  13'/4,  25,  20,  20, 
20,   18'/«.  aO,  21V«. 

,0r  ces  uniteä  de  poids  »'expriment  par  les  sigiics  :^itivunleB! 


13»/« 

=     AIA 

20        =     A 

25 

=    Vll 

18»/.      =     X 

20 

-     ^11 

30         =     AAA 

20 

-     + 

2l«/4     -     X 

,l)e  Texanien  de  cos  chiS'rus^  il  eu  re:iulte  de  iiouvellcü 
cutuoquences,  D'abord  iiouä  irouvonH  pour  Jüsif^cr  20,  noii 
seuleiiient  le  signe  +  (Kr.  1)  qui,  ainsi  (|n'on  ra  le  voir,  ei 
indiqu^  k  X  (Nr.  G)  et  ä  X  (Nr.  8),  mais  encore  ä  A  (Kr.  5) 
et  k  All  (Nr.  3). 

,Le  Premier  de  cea  signeä  et<t  parfaitenient  clair:  c'est  le 
aigDe  A  =  10,  qui  truverse  par  un  iriiit  exprime  le  double. 
Quant  an  second  aigne,  il  ne  (»eut  6tre  traite  que  plus  loin.  Le 
AIA  (Nr.  1,  Kg.  3)  .-ngniHerait  2.'i,  mai»  le  |xiidA  de  la 
a*est  que  de  IH'/«. 

,11  s^en  auit  que  ptiur  ce  f)uids  le  norabre  de  l'unite  n^eat 
que  la  moifciu  de  c^Ini  dvn  Nrs.  1,  A,  <>,  7  H  H,  jioit  donc 
Ä  pea  prös  TtO  gTaiumtw.  Maia  cette  demiere  piece  nou9  4f?mble 
oflFHr  auwi  la  poMibilite  de  d^terminar  plui«  exaciement  l'unitc 
numörale.  Kou«  avons  indiquo  plus  haut  qne  »on  poids  etait 
de  l'M^i  gniiuiui'«,    It^qiifl  divl«'   par    2'»  doone  >>h  gr.  eoratne 


Siitumf  der  i 


OB^     Mrä   d's(rä    Böckk    (MiinlogvKlM    üs 


p.  165)  U  ttire 


flik  ae  321,4U  ffr.. 


qn« 


MflnmKB  (Geschichte  im  ttaiMcheo  Mtoiwwi,  f^  2SS)  b 
ÜTTB  JtnBqoe  teik  la  4e8z  twn  ^  k  tim  iwiiii.  Us  fotfi 
de  livre  ebniiqo«  mtbü  dooe  i  poH  pfte  4e  ^^72  «vec  ^mk 
coooofde  d'ooe  maniire  ngafiav«  ronite  de  po«^ 
par  50  gTmmw»,, 

,L*Qnite  de  poidi  des  piteet  4  ä  8,  wiam  qn'oa  Ts  tv 
hsot,  ert  le  double,  iermü  mlon  d'ii  peu  pr^  1 10  ei 
a  OB  KfDu  etroiqiie.     Mam  je  d^eUn  exprtaetnent  qa*  je  ae 
tirc  de  ee  fint  Boame  eoanqBoaee;  je  bk  oanteote  tost  ^Bipfa 
BMBt  de  le  floo^Bter. 

»Sor  pfaisietin  de»  mgom  uumhkfim  m  tnKiiBDfc  de  pattta 
trarto  latersox.  Us  appcnäaent  duB  lei  «e  «liful«:  rar  W 
d^  /.  (rarf.  10),  3>J  («rt  7)  A  -  («rt  9)  «or  k  poidt  HA 
{6g.  6),  4MI  (fig.  7):  ä  feaort  dooc  »vec  certitade  de  eai  eigDe» 
qne  1^5  et  A  ^  10.  Peat'<tre  £ftai-il  mbö  üoBpnndre  dt 
eette  HUttiike  k  ogae  ^ds  d£  (sorf  U)  de  aork  qoa  bm* 
tiouweooua  eneof«  ces  fcnsto  eor  le  signe  X  =  ^- 

«Je  n*ai  pBs  eoeore  r^OHi  joiqo'i  pr^ieaii  ä  fcrooTer  b 
rigaxSeilioQ  de  ee«  petttF  tnjtF  bt^rwn  qoi  dotrent  eeriuae- 
BMOt  BToir  on  ans;  seokaKfik  ü  penlt  qu'il  y  e  qoelqoe  iBisoa 
de  soppooer  qoe  eee  petik  traik  dä^fBeat  peut-Hn  onc  dfli  dcoi 
opMatioQs  nnm^riques  negatires  de  b  wostractioa  oo  dt  Is 
diräftoa.  On  recaarqoe  eo  edlet  qoe  tiA  expnnw  35.  et  AH 
•eakocnt  20  uaÜB  de  poidi,  de  «ort  qne  trois  kiaik  bi^nn 
serveot  k  fonner  os  cfaiAv  in^erieor  h  celni  qm  evk  erprini^ 
psr  den  timitr.  Mais  eette  eoppoätioa  eit  trop  pea  ^Uji^  poor 
qne  je  poiaee  eo  tirer  d'eatne  eoDckeioB»- 

»Ob  poomüt  se  croire  BOkrii^  e  m*o\qetSa  qae  b  tbImt 
da  signes  oancKnqnes  qae  j*«  trearfe,  «Mt  .  =  U  I  ^  &.  V 
(OQ  A)  =  10.  +  (ou  X)  =  20,  X  (o«  T)  =-  50,  eaoooi««^ 
MdenuDeot  »Tee  k»  sigBei  oBSiääqaai  temqmi  I  «=  1,  A  ^& 
X  s^  10,  ^  (c(Q  4)  :s  50,  et  eur«ient  per  eankqacfit  k  mAa« 
rmleor  qoe  cm  4fm\*r*.     LSdentite   dei   Mgiwe   m1  «m»  doole 


«hidattk  «t  je  ae  k  tue  p«s; 


U  o*ea  nünlk  pae  nna 


>V  Ltwlcmiinn:  Zur  (JeMofiichit  4er  i*i4yttUr  etc. 


r,4a 


i|U*iU  doivent  avoir   U  mdtne  raleur  et  qne   les  deux  systeni&s 
itumeratix  doireni  6trd  identiques. 

,11  est  tres  posnble  qti«  dnns  le  coure  du  temps  nn  «7- 
at^roe  orig'inairemenfc  vingtesimal  ainsi  qae  je  I'adopte  pour  oos 
objeU  du  mont  Lofln,  se  soit  Ininsform^  en  un  systÄme  pure- 
nieufc  deciraal  ei  qu'alors  il  a'operät  une  modification  dans  la 
valeur  dessignes:  on  mit  chacuu  des  »ignes  lAX  dan»  un  ordre 
inferietir,  od  rptranrha  dp  la  colonne  dm  iinitt;  le  si^ne  .  un 
peu  mconimode,  tat  on  ne  le  conserva  plu.^  que  Cümnie  noinbre 
fraotionnaire  pour  le«  douste  purtief)  de  Tas,  ainsi  que  nons  le 
trouvons  Bur  tes  pi^es  de  roonnaie.  Mais  il  ne  peut  ab^olument 
pas  avoir  eu  cetie  »ignification  Ih  sur  notre  d^.  En  effet,  d'nn 
c6U*  il  u'y  aiirsit  aucune  raison  jwur  expli([ner  pourqiioi  on  nr 
Toit  jamais  apparaitre  plus  de  quftfcro  pointa  ou  globoli.  et  d'un 
Hntro  cöto,  de»  nonibrc*  comme  P/u  (snrf.  4)  ou  */i3  (surf.  6) 
Mut  absolumont  invraifiombliibles  sur  des  des.  Je  crois  doiic, 
qaVn  doit  s*en  tenir  ü  Tintorpretation  snivant  laquelle:  .  «»  1^ 
I  =  5,  A  =  10,  +  =  20.  X  =  50. 

«DanK  cette  »upposition  et  saus  tenir  conipie  de»  petita 
traits  lateraux.  il  en  re^ulterait  pour  lea  surface«  i>artit:ulii<r«Mi 
de  notre  de  les  nombree  ätiivantB: 

Surf.    1   = 


1  =  20 

Surf.     T  =     (7) 

2  =  50 

.       8  =      ? 

3  =  15 

,      9  =  (11) 

4=9 

,     10  =     (G) 

5  =     ? 

,    n  =    ? 

6=3 

,    12  =     V 

,Lei  nombres  entro  parenthtlaes  sont  ceux  oü  nons  avons 
des  traits  lateraiix.  Le«  points  d'interro^tion  d^gnent  celies 
«urfoce^.  iiui  renferment  des  signes  ne  n'pondant  pas  anx 
rignefl  mimeriqiieA  1ixe§  et  doni  la  valeur  est  oncore  enveloppüe 
d*nn  voile.  .MHi.s  comme  «ur  If»  narface»  5  et  8,  il  ^  a  un 
point  ou  f^Iobulus  a  cßitf  des  traits,  on  peut  en  conclurc  que  ce 
Hont  aiiKti  des  donn^  num^ri(|U«H.    Sur  la  surface   12  quelques- 


u 


,    »»•  i.r^     ■*'«•*.     ■  •'"1 1 


y,  ItimtemunM :  Xur  (icxcktt-hU-  >U-v  l\tiyt-itrr  rtc 


näi 


circa  Uli  iiiillimetni  o  rüiiiio  ^ra/josu  cornicu  «i  ijUutlritnUri  iiei 
({uali  lionü  prul'un demente  incuvati  dei  nuumri  di  camUiirc  rnmaiiu 
übe  Hüir  unita  ci  portano  al  Kislici,  cuine  risullu  dalP  tsuniB 
dolla  tigura  l**  la  quäle  rappretienU  in  piauu  tatto  1'  uggello 
AVott«!  nei  üeilict  ({itadrilateri. 

,1  ntiineri  hoiiu  cbiaridsimi,  le  fumie  conosciute,  eccettuato 
il  iiiiniero  cinque  e  le  sue  cotnbinazioni  nel  sei,  nel  »ette,  otto, 
iiovi*,  (|tiiiidici  c  s«dici,  ore  e  rappre.sentHtü  da  un  astn  diagonal)*, 
che  vieuo  a  corrüpuudore  appunto  alla  aiL-tü  del  dieei.  E  lu 
priiuu  votta  übe  inconlriaaio  m  tal  guis^a  etiTinciato  il  iiumen) 
ciuque  rucutre  comunemente  sj  esplica  con  due  aste  uoite  ad 
angolo  V.  Qücsta  nota  carattcriatica  ei  lasciava  spcrarc  moIUi 
prui^ima  lo  .hmIuziuuo  satia  sua  ctÄ,  um  abbinmo  cercuto  inuiil* 
raente  t  snoi  paralleli  nelle  bicrizioDi  arcaicbc  romane,  o  uolle 
imiieriali,  abbiaiiio  consultato  lu  scritta  delle  monete*)  n-piibli- 
caiie  e  delle  burbariehe,  diu  11  nuiuero  ciuque  ricorre  twoipre  ti 
poi  aempre  sofcto  la  forma  di  un  V,  e  noo  mai  enunciato  da  un 
a.sta  diagonale,  per  cui  le  nostre  ricerclie  non  portano  lace  suU' 
(.•tu  di  ({uesto  o^getto.' 

Was  deu  Zweck  und  (jebraucb  des  FniidbtQcked  angebt, 
üO  neigt  sich  Campi  der  Ansicht  xu,  daes  daaselbe  zu  irgend 
weicbem  »j^iuboÜHcb- religiösen  Zwecke  godiont  babe,  und  er- 
innert dabei  aiicb  an  das  Dodekaeder  vi>m  Monte  Lofl'a.  aller- 
dingei  anscbeiiioiid  obne  zu  bemerken,  daa»  nacb  Pauli'ti  An- 
sieht auch  auf  let'/tercm  die  Zahl  5  durch  einen  Strich  darge- 
stellt ist.  Diesüf  .Stricli  brauchte  freilich  auf  dem  Dodekaeder 
nicht  von  der  Einheit  durch  »eine  diagonale  Lage  tinterüchieden 
KU  werden»  da  hier  die  Einheit  dnrch  einen  Punkt  dargestellt 
wurde  (vgl.  oben  §  7). 

Die  7jiblreicben  audereu,  gleichzeitig  gemachten  Funde  er- 
strecken sich,  wie  die  Fibeln  beweisen,  stetig  durch  eino  Ueihe 
von  Cultnrcpochen:   die   umbrische  und  euganeische,  die  etnu- 


M  Kine  i'lnukilitihn  MUmu*.  unf  «lin  wir  ^at«r  {)}  10)  tunlckk(ininM-n, 
Tiiinttrt  iKH'b  fui  die  Alton'  lUnlKUtiin^  tU-B  /.ni'ht'iii  A,  indi-ni  diiiMw  hI^ 
10  (~  3.6)  XU  liw*u  iit,  wii*  du  Gcwiiibt  dw  Goldmäiiiw  tiAWoiit. 


652 


SUzitn^  tief  mnth.-piij/s,  (HnKtt  cow  />.  Detember  l8!Hf. 


Icische,  gnIHsche  und  römische  bis  Kur  Zeit  «1er  Volkerwftn-'**" 
Das  Felilen   von  Waffen   deutet   auf  einen  Ort,    der  f i .  r| 

Thötigkeit   vorbehalten,   vielleicht  einer  Gottheit   goweibt  wnr, 
so  dass  die  FundstUcke    zum  Theil    aU  Weih^eschenke    (qe 
P^ramiiie^)  rielleicht  auch  nU  Amulet)  zu  betrachten  diiid. 


^  9.    Das  Alter  des  Dodeka&der. 

Äehnlich  wie  mit  den  Funden  von  Mccio  ist  es  mit  den- 
jenigen von»  Monte  Loffa,  auch  sie  erstrecken  »ich  durch  «n« 
langen  Zeitraum.  AUer  während  («  nich  bei  jener  Doppel- 
pyramide nur  um  die  Zeit  von  etwa  ßOO  ?.  Chr.  bis  ct.  400 
n.  Chr.  handeln  kann,  kommt  fttr  das  Dodekaeder  r.unächEt  die 
ganze  Zeit  von  den  Anfängen  der  Kultur  bis  zum  Kndc  detj 
römischen  Republik  in  Betracht. 

Die  Funde  vom  Monte  Loffa  sind  von  De  Stepbani  in 
der  citirteu  (in  Veronu  erschienenen)  Note  vorläufig  dargej>t«IIUj 
Es  handelt  sich  dabei  nicht  um  Ciräber,  sondern  um  Wohn^ 
statten,  von  denen  eine  ohen  beschrieben  wurde.  Es  komme 
zunächst  Funde  vor,  die  der  neolithischen  Steinzeit  anzug<.*hör 
scheinen,  darunter  Stflcke  von  ganz  eigen thünilicfaer  Form,  wi« 
sie  sonst  im  westlichen  Europa  nach  Figorini*s')  Ansicht 
nirgends  gefunden  werden^  sondern  nur  in  Russland  und  Amerika 
beobachtet  sind,  deren  Alter  aber  gerade  deshalb  nicht  sichecj 
zu  bestimmen  ist.  Aus  Bronze  finden  i^ich  Reste  von  LaitKeu« 
spitzen  und  Fibeln  vom  Certosa-Typus,  Von  den  oiwmen  Qege 
ständen  ist  eine  charakteristische  lia-T^ne-Fibel  ItemerkenAWW 
die  auf  die  Gallier  verweist;  aucli  wurden  drei  masnliutis 
Münzen  ausgegraben.  Die  Römerzeit  endlich  ist  durch  MQni 
aus  dem  leisten  Jahrhundert  vertreten. 


*1  In  Baad  12  der  ZeiUirbrift  für  Ethnologie,  p.  200  )<«*cbreibl  «ui 
BcbDlenburg  eiiipii  .Si-hrftcksUin'.  der  nftoh  der  AltbiMii  '  '^  :i 
eint'T  mebraeitigen  Doi>iM«!|ijnimidt;  hal.  tiffprtiifl  tJt  «Ifi 
|i«>ntin,  diu  eine  Spitze  ist  durchbohrt.  Solrh»-  SliHnc  wtirden  nock  »w 
«rutiigi-n  Uet'eanien  im  Spreewaldo  all  Aniii]i*tt<*  KVtnHrna. 

>}  Vffl.   Rendiconti  d.   R.  Aoodemia  dei   Llncei.   *ot  L  ämfe  4». 
18.  Jan.  1885. 


^'    /.inr/rmiinN.' 


MCftl« 


6!^8 


Letztere  »ind  von  IJe  Stephani  uicht  erwähnt  und  mir 
untt  durcli  eine  göti^e  Mittheiitiiig  I'igoriiii's  IwkiiDnt  ^e- 
worden.     K«   erschien    näiulicb    wUnschenHwerth,    uähere^f    Hber 

Älter  der  gefundenen  inaäsiiio tischen  Mün;&en  zu  erfuhrea. 
Herr  College  Ktirtwän^ler  hatto  die  Güte,  deflhalb  in  Rom, 
wo  das  Dudekaeder  im  Museo  preisturico  autbewahrt  wird,  wi- 
xnfragen.  Die  von  Piguriui  prtheilt«  Auskunft  enthält  so 
manches  Bemerkenawerthe,  d«s8  es  mir  erlaubt  aei,  die^e  Mit- 
theiliin^  hier  wörtlich  lu  rcproduciren: 

„In  quel  luogo  anxi  ho  nssiHtitu  ad  alcuni  mati  che  U  mio 
eompianto  umico  (d.  i.  De  Stophani)  vi  eeegui,  ollo  scopn  dt 
studiare  glt  avaazi  di  antiche  abitazioni  iri  eHistite,  ehe  ^li 
chiamo  capaane  di  pietra  dai  materiali  coi  quali  erano 
owtnitte  (vrI.  die  oben  citirte  in  Verona  enwhieoene  Arbeit 
De  Htefani*!«).  A  parte  taluni  oggetti  di  selc«  piroauOi, 
strani  per  le  forme,  rozzvwimi,  che  s'  iocontrauu  in  notevnle 
quantitä  Nul  LotTa,  comc  attrove  uel  commune  di  Breoniu  e  in 
qnello  Hraitrofo  di  Prun,  nel  piano  che  sn  distende  nellu  cima 
del  detto  inonte  e  uelia  parte  piu  elevata  delle  sue  falde  stanno 
»epolbe  antichitu  di  dtip  jj^^riodi  ben  disHnti  cioi*:  1)  m\ci  lavo- 
rate  c  ^viglie  in  franimenti,  dell*  eiä  del  l>rDnr^,  tipiche  le 
nne  e  le  altre  della  äuppellettile  che  si  Miava  nelle  palafitt«, 
poen  lontane,  del  Garda,  —  2)  oggetti  di  bronxo  e  di  ferro  h 
cüi-ci  di  stoviglie  di  fattura  gallica  ed  etrusca,  i  piu  antichi  dei 
qmUi  noQ  vaono  certamente  oltre  il  VI  s«c.  av.  Gr.,  mentre  non 
di  trova^i  associati  a  moneie  imitanti  le  dramme  dei  Massi- 
lioU  e  {>erfino  u  denari  coi  nomi  delle  legioni  dell*  Antonio.*) 
A  cio  äi  a^sociann  le  selci  Lirorate  roz7.e  e  di  forme  assai  i^traDC. 
Die  qu««to  rario  materiale  parla  il  De  Stephaui  e  talora  porge 
anche  qimlche  figura  nellu  citat«  pubbticasionfl  Sopra  gli 
scavi  etc. 

.Per  quel  tantu  che  ho  potuto  oanerTara  anoatiendo  agli 
scavi,   devo   dirle  che  il  materiale   archeologico  dei  due  direnti 


*>)  Vft  B.  B.  Bultfliib  a.  a.  0.  p.  aO&.   Monitnipoii,  üt^ichirfattf  Arm 
rOtnwhMi  Mfiuxwiweik«,  p.  "Ad  t 


K  ;■ 


■  .-ii 


:-.   l' 


?\  IJntiemann:  jiur  (Jt»r.hu-Jäi'  i/rr  l*i>iiieilcr  r/t  *<■»•> 

eine  weeenlliche  Krgän/.unj;  erfftUrcii.  Die  Hütten  s«Ibst,  dif 
De  Stefaiii  uufn^edeckt  hatte  uutl  die  er  8cbtiiul>ar  für  Alter 
hielt,  sUiiuiueii  I'nllieitlen5  tum  der  Milte  des  «rsten  Jahrtaitsecdf« 
V.  Chr.,  also  aus  der  Zeit«  der  auch  die  Certosa-Kibe)  angehört 
(vgl.  0Ü2  II.  G72).  Die  IVUherea  Perioden  der  ersten  Ki»en7«it, 
die  in  der  Nachbar<«chat't  vertreten  sind,  feliien  in  der  Station 
vom  Mont«  Loffa.  Vertreten  ist  aber  die  Bronze-Zeit.  Hierau>t 
tit  herror,  das^i 

entweder  die  fraglichen  Wohnplatze  schon  in  der  Bronze- 
Zeit  benutzt  wurden,  dann  lange  verlassen  waren,  und  das-^ 
bei  sptitercm  Baue  der  steinernen  IlQtten  der  Boden  niiff^e- 
wühlt  wurde  und  in  Folge  dessen  natllrlicfa  die  Reste  at»  der 
Bronzü-Zeit  jetzt  innerhalb  der  Hfitten  gefunden  werden, 

oder  dass  oberhalb  der  rraglichen  Wohnplüt/^  eine  Altere 
AnMedlung  aus  der  Bronze-Zeit  lag,  deren  Iteste  im  Lauft« 
der  Jahrhunderte  herabgeschwemmt  wurden  und  so  in  das 
Innere  der  Hütt«n  oder  in  deren  rmgehung  gelangten. 

Sollten  die  in  §  0  und  g  10  besprochenen  liewicht«  etwa 
iler  Bnm/e-Zeit  euUtnnmien,  so  wüi-de  letztere  Annahme  hin- 
fällig sein,  da  die  Gewichte  nach  dem  oben  mitffetheilteu  Fund- 
benchtt>  sich  offenbar  (in  regelmiufdgcr  Anordnung)  noch  an 
ilirer  urti^prUn glichen  Stelle  befanden.  Das  Dodekaeder  wurde 
nicht  in^  »ondern  in  der  Nähe  einer  HOite  gefunden  (vgl.  oben 
p.  6H9).  Wurden  die  Hütten  durch  Keuer  zerstDrt,  eo  sollte  man 
annehmen  t  daas  das  Dodekaeder  iu  einer  UUtte  hätte  ausge- 
graben werden  mOssen.  Hiernach  ist  es  wahrscheinlich,  dan 
das  DodekaiJder  aus  einer  Zeit  stammt,  wo  die  UQtten 
noch  nicht  existirten.  Die  Gewichte,  auf  denen  üich  tbeil- 
weiw  dicitelben  Zeichen  betiuden,  luthäten  dann  derselben  Zeit- 
periodc  angehören,  und  die  Uütt^n  mQssteu  an  demselben  Platu* 
gebaut  sein,  wo  die  frQberen  älteren  Anaiedelongen  gestanden 
hatten. 

Hieraufl  folgt  nun  aber  noch  nicht,  daw  das  Dodekai^ler 
hU  in  die  Bronzezeit  zurück  ku  datiren  iat  De  Stefan!  hebt 
niimlicfa  mit  Uecht  horvur,  dw^  Waffen  oder  Kwte  von  WofliMt 


656  SUtutig  iff  NiatA.-fAy«.  CUm$  mm  5.  iMxmAer   f^*^ 

iu  aufGilli^  ^uriiiger  /iibl  bei  den  AwgnhvBgen  n  M 
Loäa  gefunden  vriirden.  Die  wenigen  BroncBttolMm  i%  «r- n 
fi^nftu  deniäelbiiu  Typuä  wie  diejeDigeu.  welche  eine  halbe  Meile 
(uiigliu)  entfernt  auf  dv^ta  Felde  von  Pftru«o  in  grOaeerwr  SIcBtt« 
gKfunden  wurden.  Dies  veranlasst  Da  Stefan i  zn  der  An* 
nähme,  dass  beim  V^erlaxbeo  der  Wohnplätie  am  Monte  Luffa 
alles  nur  irgend  verwertbbare  Metall  nach  Paratso  QbergeiTShrt 
wurde,  luler  dieser  Vorausäeizang  wQrde  dich  aoch  das  Fehlen 
von  Rttten  au«  den  Anfangen  der  Eisenaeit  (d.  h.  au»  den 
emten  JHhrhunderten  de«  eisten  JahrtauüciLda  v.  Chr.)  erkUmi- 
Hiernach  haben  wir  drei  Möglichkeiten  zu  uotersucben:  1)  das 
Dodt'kai'der  stammt  &uü  der  Bronzezeit.  2)  es  enUtnmmt  den 
AnHingen  der  Eisenzeit,  3)  e«  t^t  uus  der  durch  die  Certo«- 
Fibel  (vgl.  unten  §  12)  cbarakteri»irten  Epoche  zu  datmo. 
Sine  weveutlich  jringere  Datirujig  wird  wegen  der  auf  drto 
OodekaSder  betindlicbea  Zeichen  kaum  in  betrucbt  kommm 
können. 

Das  Dodekaeder  selbst  ist  aus  einem  Materiale  (nftmli^ 
Sceatit,  Speckütein)  geHchnitten,  dan  in  der  BroniEozeit  nnd  der 
vorrömiscbeii  Euenzeit  hüufig  beniitxt  wurde,  insbesondere  ia 
den  Grftbern  des  benachbarten  Bovolone  vorkommt.  Diev 
letzteren  Grüber  nun  werden  in  die  ersten  Änfiinge  der  EiMit- 
zeit  genetzt;  Pigorini  schätzt  ^ie^)  als  gleichaltrig  mit  den 
»Itesten  in  Oberitalien  bekannten  Gräbern  der  Eiwnuit  fdeMS 
von  BismantovH  und  Keggiano).  hält  nie  vielleicht  für  mmk 
älter,  du  üie  andererseits  verwandt  $^ieu  mit  den  Torrumam 
von  Caniualbo.  Damit  kämen  wir  in  die  Zeit  von  100(»  oder 
900  T.  Chr.,  wenn  nicht  in  eine  noch  ältere  Periode;  und  auf 
diese  Zeit  ungefähr  wUrde  die  Annahme  2)  hinweieen. 

Wie  ist  aber  diese  Anschauung  vertriglioh  mit  «I  r  *'  ' t- 
lieferung,   du»  Pythagoras  zuerst  die  regulären  K>:    :  <« 

auch  das  Pentagon -Dodekaeder)  entdeckt  und  construirt  habef 


<)  BnUvüpü  <ü  jjttleluulvgia  italiuia,  Auno  3,  18711;  Ati'''-- 
crelo  «li  Bovolnur  nvl  Vcrouoflc.  —  VRrvruadt   «ind  sueh  dh 
DitiAotiift  btti  Miuituu,  vgl.  Cbierui,  Dull.  Uit  |nilt>t.  1477.  y.  W. 


ulemtiHH:  xtS^fSiehirhte  iter   i^ilyciirr  fic. 


t)57 


Iftfl  ist  Hie  fOrdpTi  Matliemiitiker  interesflantfiste  Krage 
unHeror  gt!(^enwiirti^roM  Uutorsuchun((. 

PythuKoran  lebte  um  das  Jiihr  5Ü0  v,  Chr.  Zeitlich  i«t 
I  es  (Über  aicbk  aiisf^eachloetsen,  daw  in  den  l.'iO  Jahren  von  500 
birt  350  r,  Chr.  die  Pvlhngoräischen  Lehren  von  Silditalien  nach 
der  r*o-Ehene  vorgpdruiigeD  waren;  aber  mit  diwen  behreii 
mOMten  auch  gleichx(*it)g  andere  ^riechüche  Cultureleniont«  in 
Oberitalif^n  Einj^n^j;  gefunden  haben.  Das  lai  in  dor  That  der 
Fall,  aber  doch  nur  in  l>€tu:hräriktem  Maasse.  Afiui  hat  etnis- 
kiwbe  Nachbildungen  gricchisi^her  Vusen  gefunden,  man  hat 
auch  griechische  Originalvasen  in  Oberitalien  aufgedeckt,  und 
uuch  die  Ciüten  der  llnllNtatt-Zeit  erinnern  an  griechische  Vor- 
bilder.*) Aber  »onät  bluhle  in  Otieritalien  die  durchaus  selbsi- 
ständige  etruskische  Cultur,  und  xwor  nach  Norden  bis  in  die 
Scliwei/.  und  tief  bi*t  in  das  heutige  Tyrol.  Die  Etruäker  hatten 
ilax  griechische  Alphabet  angenoiumen'),  aber  »ie  bedienten  sich 
Relbstständiger  Zahl/eichen,  die  mit  denen  des  Dodekuüdei*  ver- 
wandt, dooh  von  ihnen  ver5cliieden  üind.  Wenn  mau  dulier  die 
Zeichen  aaf  unserem  l)(tdeka'~der  als  Zifl'erti  in  Am^prucb  nimmt, 
so  mOasen  dieselben  aus  einer  vor-etruskiscben  oder  protO' 
etruakischen ,  nls*i  auch  vorpythagoräisehen  Periode  sttttumon. 
Die  f-iriechen  dagegen  gebrauchten  in  jener  Zeit  die  hero- 
dianischen  /ahlzeichen*),  mit  denen  nn.sere  Ziffern  auf  d(?ni 
Uddekurder  nichts  gemein  haben. 

Es  bleibt  die  M5glichkeit  zu  untersuchen,  ob  nicht  aus 
geuiciiiRauier  orientalischer  Quelle  sowohl  die  Bewohner  der 
Po-Kbene  als  Pythagnras  und  seine  Schfller  geschöpft  haben. 
Kndlich  kOnnte  die  Construution  den  Ü^Hlekaeders  und  Ikosaedem 
als  selbständiger  Ansfluss  alti  tausch  er  CuUnr  zu  betrachten  sein. 

Hiermit  haben  wir  die  Fragen  gekennTeichuet,  welche  wir 


h  £4  win)  aitob  t^ntithli ,  i1:)mi  ^iii  Schiller  de«  Pyitni^iinii«  duirlt 
t  einen  etru»kiacbeii  Kuiifniaiiii  von  dru  Ptmtt*u  los^kaiift  wiinlrjt  tel  und 
diu«  Numa  eis  SchQler  Jui  ('ythug<.>m«  gewiaieit  »et;  vgl.  0.  MnlUr. 
j  Die  Ktnifiker.  Rrf^au  16S8.  Bd.  2,  p.  S4fi. 

h  VkI'  mit^n  8  12. 

*\  V^l,  A.  a  Canter.  (iMdiicht^^  dor  M»th.,  IM.  t,  p.  I(«)  11.  AiilL). 


658 


SiUma^  •>»-  iMrt,  j*f.  CUum  «D» 


aofwerfeo   und  dereo  Be^ntworttti^   wir   zu    v  iil^n.^ 

Da  dM  Rolgeade    in   erster   Linie    für  Mal  u    ^ci    iicl 

■chrieben  iat,  mtus  maiidies  UBfUhrlieber  dargelegt  w«rd«ti, 
toMt  ndthig  wäre,    am  so  mehr,  ab   mir    keiu  Werk    belciuiri 
ist,  IQ  d«ta  die  in  Frage  komaeiMfen  VerbältoisBe  etnigermMaen^ 
nbefsicbtlich  nater  denjenig«!!  GwichUpankten  dargestellt  winu,] 
die  Air  die  gc^enw&rtige  Untermchting  auaflsgebend  siod. 


^  10.    Die   Zeichen  auf  den  Stoiogewichien   vonij 

Xonte  Loffa. 

Daas  die  Zeichen  auf  den  oben  bcbcbriebenen  Steinge wicht«« 
(§  C)  zur  Erklärung  der  Zeichen  auf  den  Seiten  dt«  I>i)dekaeders| 
heranzuziehen   sind,    und  amgekehrt,    hat    schnn  I'auli    '--~^' 
erkannt;  und  wir  stimmen  seinen  Schluähfolgi^rungeii  vol. 
bei,  setzen  aber 

,  ^  1,  I  =  5.  A  =  10.  X  =  +  =  A  =  20.  AAA  = 

Die  oben  in  §  7  unter  1),  2)  ood  3)  anigef&hrteii  Oewichtvl 
bedQrfen  noch  der  Erklärung.    Der  Utuitatid,  daas  au»  A  =  Uij 
durch  Bvif^guiig   einei«  Qiier»tncheti  2U  wird,    l&nt   Terniutfaefi,  | 
daos  die  kleinen  seitlichen  Striche  nn  den  Zeichen  auf  deci  Ge- 
Wichten  3)  und  3)  «ch   auf  ein   multiplicatives  V'erßUirea   U* 
/.iehen.    Nun  itill  das  Zeichen  auf  dem  <it?wichte  3)  wieder  aU 
20  geleaen  werden;  das  tat  in  der  Tbat  der  Kall,  wenn  wir  «etvn:] 

All  =^  310  — 2.ö'=20,    • 

indem  wir  den  rechts  stehenden  beiden  vortical«*n  Strichen  vmm 
subtnKtiven  Sinn  beilege;  wir  eänd  damit  in  Uebereim^jinznaag 
mit  dem  ««pätoren  etruskischrn  Gebrauche,  wotwrh  AI  «^  I. 
XI  aU  9,  XmXX  "1»  27,  tili  al«  47»)  gelesen  wird. 

Wv  Zuichen   auf  dem  Gewichte  2),    nach  denuelbeo  Piiii*  j 
cipe  behandelt,  gibt 

IIA  =  2  .  10  4-  2  •  ?i  =  30. 


»)  VkJ.  Coritftn,  üeb«  die  9: 
I«.  40.    )m  int  zu  lM!»ofat«n.  da«  ili#  • 
iveht«  niu^li  liiil»  lauft. 


y.  Ltuäfmatiu-  Xur  tittchiclUc  dir  I'oljfcäcr  etc. 


(ir.fl 


während  mich  dur  obigen  TuWlIe  die  Znhl  25  zu  erwarten  ge- 
wesen Ware.  Wir  mUi^en  uns  liier  mit  der  Annahme  begangen, 
da^s  in  diesem  Falle  die  ScbäUung  des  febleuden  Theiles  oicbt 
7.nverIä^j<ig  aui^gefallen  Ist,  indem  mehr  fehlt,  ah  angenomniea 
wurde.  Vielleicht  i^t  auch  die  Lesuug  den  Zeicbeiiä  uuvullKtündig. 
Besser  stimmt  Jus  Ciewicht  1);  hier  erhalten  wir  naüh 
demselben  Principe 

AIA  =  10  — 5+  10  =  i:. 

anstatt   13,8*     l^ik    mehr   wie   ein    Drittel    den   QewichtäNtUokes 
ftdilt,  ist  hier  eine  Abweichung  nicht  nufTällig. 

Das  Gewicht  6)  trägt  die  Bezeichnung  X  mit  einem  oocent' 
iUinlichfii  Striche  oben,  ßelruchteii  wir  «Uesen  uU  Brntttz  fllr 
einen  Punkt  auf  dem  Dudekiu-dL'i-,  m  bedeutet  er  die  Binheit, 
nnd  geben  wir  ihm  eine  anbtractive  Bedeutung,  tto  kommen  wir 
zu  der  Qtcichung 

X  =  20—  1  =  U), 

wiu«  wieder  genau  mit  der  gemachten  Angnltc  ^«limmL 

Db8  (-lewicht  S)  nl>er8teigt  sch«>n  den  angegelioneu  Werth 
(X  ^  20)  um  0,:iO  Kinheiten,  wetm  mau  auch  von  df'r  Schätzung 
gans  absieht.  Wir  werden  daher  ab  wahreich  ein  lieben  Werth 
des»ell>en  2100  gr.  anfietzen,  indem  wir  vüraussetzen,  dass  ein 
die  Einheit  (=IOOgr.)  bleich uender,  an  additiver  Stelle  bi- 
findlioher  Punkt  entweder  flbenicben  worden  oder  durch  die 
Verletzung  des  Gewichtes  in  Wegfall  gekommen  ist 

Von  den  acht  Gewichten  stimmen  sonach  hieben 
hinreichend  genau  mit  di*r  Anniihme  ßberein,  dasaeine 
Kinheit  (.)  von  100  grammos  ku  Grunde  liege  und  das» 
I  :=:  500  gr.,  A  =  1^00  gr.  icu  setxeu  sei.  Nur  bei  dem  Ge- 
wicht«  2)  Aeigtu  nich  eine  erheblichere  Abweichung,  die  ulier 
(da  olle  Gewtobte  vertet7.t  nind)  nicht  als  fttürend  orAcheint. 

Was  den  I^URamineuhang  der  gefundenen  Gewicbtt-Kinhi^it 
mit  anderen  Systemen  betrifft,  m  erinnert  Pauli  (vgl.  oben 
p.  üi8)  daran,    dam   dnx  ctruitki^trhe  Pfund    «ftät^irer  ZiMt  nngi*- 

43* 


660  SitsuHff  iUr  math.-i>hjf9.  (ß^um  nm  5.  tHsrmbtr  tbStfi. 

Wir  218  gr.  wog^);  so  d^SA  nniiere  Kinbeit    toii    100  gr. 
ednem   halben  etruskiscbeu  Pfunde  gleichkotnrat     Noch    be 
wird  die  Ucbereinstimniung  unserer  Zahlen,  wenn  man  da*  alt-| 
babylonische  Ocwichb  IxirÜcküichtigL 

Die  leichte  küniglicbe  babylonische  Mine  betroyl 
504  gr.')  und  wurde  in  Sechzigste!  getheilt;  obig«  Einheit  von 
100  gr.  würde  also  ziemlich  genau  gleich  '/■  =  "/«•  onw 
Icichttfin  königlichen  Mine  sein,  wälirend  der  rerticaJe  Strich  I 
gerudi^  eine  s4jlche  Miue,  dagegen  duä  Zeichen  A  zwei  mAtht 
Minen,  d.  h.  eine  schwere  königliche  Mine  darstellL 

Sfinjmtlicbe*)  Gewichtssysteme  der  alten  Welt  sind  aus  dem 
babylonischen  hervorgegHngen,  nnd  zwar  wahrscheinlich  durdi 
Vermittlung  der  PhÖniker.  Dass  aber  schon  in  sehr  frQher  Zeit 
diese  Gewichte  hia  nach  Italien  Verbreitung  fanden,  wird  darth 
folgende  Kunde  bestätigt. 

Die  kleineren  l>abylonischen  tiewichte  wurden  häufig  n 
Form  von  Vögeln  (Knten)  gegossen.  Eine  M)Icbe,  1695  b«i 
Termini  in  Sicilien  ausgegrabene  Brouz«-Ente  i^t  im  Besitae 
des  Flerrn  Dr.  .).  Naoe  hier;  diese  Ente  wiegt  S5,502  gr.,  alaoj 
etwas  mehr  als  ^'^/«o  einer  leichten  ktiniglicheo  Mine.*)  PonMrl 
verüCfentlichte  Pauli  bei  »einen  Untersuchungen  Ober  die  Ift* 
Schriften  der  Veoeter^}  ein  in  Oderzo  unegegrabenes  Gewkit 


^  Haltsch  (Griechiuche  and  r6miscbe  Mrtrolotri«*,  2.  Aafl.,  Btrlia 
1883)  qritt  koiu  besondern  ftrUNldacbe»  Qaodciigovicbt  au,  tfiadum  nv  | 
Mdriy-guwichte. 

*]  Vgl.  HuUncb  ».  a.  0.  p.  3U5  ff. 

^)  Diose  Aiucbaauag  iit  nnt  bo  mehr  Ixiri^cbtigt,  «eiMMit  I-chl»«! 
oachguMrit^iifti  bal.  daaH  in  Babjlonieo  neben  der  kunigtidicm  Mixi<<  ttur^ 
«■ine  andi^rv  Mint>  im  Hundt*!  4,'i>t)ru.ncht  wnrdo  (nnd  nrur  «rbon  in  ulb^lav 
Zfit),  utu  der  (drh  da«  ili;y}itiiic)ie  l'Aind  rnn  r.i.  'M)'.)  ^i  .iii3<~bw«r 
alilcitci ;    wOhrniid    eine    AhteitunK    8U8  der  d^h 

Minr   nnr   gezwungen    mi^glirh    war.     Vgl.    /»..i-....i  -i^, 

Hd.  28,  1801,  vgl.  ferner  ib.  Verhuuiilungfn  vom  U.  Jai  >n 

18dl  und  19.  Juli  IdDG. 

*)  Von  diratt^r  llcmerkang  de*  Ba«jtjEiira  nuch»  ich  tum  nül  fffiiigT 
RrUabiiiw  dfaiidlbrn  (Johrauch. 

"^I  Altiuaiauhu  Fonuhunsi'ii.  IUI.  J,  Leipzig  1891,  |t.  M  iL  au& 


VcfffuVin? 


ivtiler  ete. 


and  Thoii')  mit  dar  viermal  vriederbotten  Inschrift  (von  rechts 
nach  linliä  7.u  lesen): 

IXAXilll  =  3  »tati. 

Da.H  Stfick  wiegt  1140  gr..  wonach  1  stato8(?|  gleich  380  gr.  sein 
mflsHte.  Da  es  aber  in  der  Mitte  durchbohrt  ist.  also  wahr- 
scheinlich noch  mit  einem  tirifTe  veruehen  war,  jedenfalls  auch 
durch  Abnutzung  gelitten  hat,  kOanen  wir  den  »tatos  etwas 
hoher  ansetzen.  Nun  sind  babylonische  Gewichte  im  Werthe 
von  "/«o  einer  leichten  königlichen  Mine  erhalten,')  denen  ein 
eifectives  Gewicht  v<in  81,98  gr.  zukommt.  Ein  Venofcpr  Statos 
würde  »ob  daher  ungefähr  gleich  ^/»o  einer  leichten  babyloni- 
)«hen  Mine  ergeben,  so  daas  */•  dieses  Stutos  glach  der  Rlr 
die  Gewichte  vom  Monte  LofTa  zn  Grunde  gelegten  Einheit 
sein  würde.') 

Die  vorstehenden  Darlegungen  weisen  darauf  hin,  da« 
unsere  Gewichte  von  einem  Volke  benutzt  wurden,  das  den 
Etruskem  verwandt  war  oder  wenig!<tens  von  Einflnss  auf  die 
ftpätere  etruskieche  Oultnr  wurde,  denn  wir  finden  Hclmn  in  den 
Zeichen  dieser  Gewichte  die  später  bei  den  EtruHkem  und 
Römern  so  beliebte  subtractive  Bedeutung  der  Zifl'ern  hei  ge- 
wissen Zusammensetzungen.  Die  Anwendung  der  scheinbar 
unnQtz  complicirteu  Zeichen  auf  den  Gewichten  1),  2)  und  3) 
wird  liier  übrigens  dadurch  erklärlich,  dass  schon  durch  die  Be- 
zeichnung /..  ß.  an  die  Muj^lit'bkeit  erinnert  werden  sollt«,  das 
Gewicht  AA  auch  zu  erzeugen  durch  3  GewichtastUcke  mit 
dem  Zeichen  A  und  2  Stücke  mit  dem  Zeichen  I. 

Bei  AufHndang  der  Gewichte  I)  bin  7)  stand  in  der  Mitte 
der  kreisförmig  angeordneten  Stücke  ein  hölr.emer,  mit  lietreido 
geffUltar  Becher  (vgl.  olxin  p.  ß-13).     Auch  dies  wird  uns  durch 


1)  Zwni  Tprnffi-nthVht  von  Uhirmnlini,  Not.  •!.  Srnt-i  1683.  p.  IM. 

■)  Vgl.  HuUvüh  u.  n.  (». 

')  pHuli   •«(%!   ilen  8tAl04  i^leirh  ^  dm  |Huincinüch-r<tani»chea 

PfumiM  diu.-,  ulmr  uiu  Bchr  vi»-!  »iiil^r-T  "/♦■it    '  ■  '  i"!,   T(rl.  H  «i  1 1  "t-b 

K.  o,  Ü.  p.  078)  rklrj^  (flrirh  *U  il"''  l'fumli**  vt-ri  iliu  nur  nl^  Man»- 

K«wjfht  und  »wb  »nt  in  rijiAtt^rRr  Zeit  vorkomuit 


fies 


mmtk  m  4er 


dM  fc^bylTJ  f4i  S^iricv  «rfcBrfidb.   Fir 
iidi  wwdM  EBov  ab  Ifaw  (« 
bsobL     Dm  Uci>ite  «Ml 
10  hmm  i=  WadÜMUtfbw-Kon)  n«  ■ 
•durerea  kOngÜdie«  Jßae.*)    Ei  Bigl  oike. 
iB  acr  ätMtcn  Zeit  mtkht  KBracr  Mlbt  n 
Mcoge«   bnrafarf  iraHn;  «d  irt  «■ 
iHition  Tora  MonU  Loffs  geidirbta. 

Umcn  Uotcnochrag  lehrt  Eenicr.  4m»  dw  G«nJ»»r  *»< 
Moete  Loffft  n  <leB  (t||etidid>ea  Gallien  kaom  w 
«tcbto;  dcaa  mm  SOA-Fnokreieh  Mt  em  »ItgalfMcher  Satt  ff«a 
Rlrtgevicbten  «rfaaheo,  denen  eine  FSab«ii  von  1130  ^.  n 
Onniile  liegt,  die  dalKr  niclit  ao»  den  tabyiciiwit—  H^riefe^ 
IfewiehU,  fmideni  a»  den  babylofriacbeo  Htnagwickta  (MiB» 
Toa  560  gr.)  abzuleiten  itt  Das  Aofkreteo  iliiair  Gewiebta  v«d 
durch  dt«  Venailtlttog  der  phohiwcticu  PSaanliidt  Mearilia  «^ 
kliiiicb.*)  as  Tuägi  aber  zuglncb,  da«  ia  cpiterer  Zaat  b 
Blld-Fraiikreich  und  wohl  auch  in  der  Po-Ebena  die  «nl 
t^ÜMcbe  Cultxir  anter  rtarkem  ffrieelnaeiMa  Rfanflana  stand,  «it  1 


')  Vir)    Hnllt^k  «.  A.O.    Kl  »c  mftrkw«nli|r.   ^i**^  aocft  IhvIb  » 

«rirtirr  f'fLuiwti    uir  HotinuuauK    «dir  kl«i&^  ür». .'H^a   and  4to  ! 

«a  r|«>tn  iftlt-AKj|»tiKfem  i^/rtrtn«  («lau  r*i-1i  TjcliinaaB  «oHk  «a  4«»  I» 
li^iitiii»'b>fnt  iu  U*n'.i<'kuii(r  SO  «Mb«!  •ckebit;  vgL  Kotlmd.  Ta«taa4> 
luDiE<^u  (itfr  ll«rUoer  atiUirupvla({iMrhen  llnydliekftll  *.  >S.  J*c     !?9ft. 

*)  Vul.  Hpltarh  B.  a.  0.  p.  6t>3:   Monmaxn.  Herrn» 
p.  20d.    -   Ip   cim-iu   lwjrt7i*chen   HOKoIgnib«  bat  Naa«« 
OewicM«  (VI    TOft  je   t)5  ta.  ß,tf»odtn,   dir    naeli    t.  Cbri 

IctiHntbix'  '     ■'•  i'i  '■■  ■  II    -     -'■■  ,    ,     ■  "       .  *         •     ■     ■  ,1^1 

jftnitrr  -  ' 

Herrn   CVtLr^en   Uiinktt   ul    die  liic<*it{»^   |irfthnt<  r  .uimlanit  tU» 

Ntoal«*  a*Qenrni|i«  in  d«n  B«dtit  von  AltfTtbftmcm  gdiuigt  -  ilii  1609 
Voll   Hrmi  Kniii  '  '•-''!'■  ,^ 

(Ui)tli>l(rrflli(f  in  ! 

lMf*h).      thiniDt'^    l>F|inä(>1     «ith     rin    ■ 

im  ifiiwirfaii'  iiim  &,i2  gt,  (»lu  linüi  l:,.    :_ 

vfiD  esni*in  9»rlixi«piM  iWr  tTvlUinten  \Hihj\tmi0*iien   Mtntt  • 


7'\  Limianunn:^ 


^uchtf  ttcr  i'itiiiriUr  tfv 


003 


3ks  ttucii  sonst  lK*kiinnt  ist  tind  wie  es  fOr  rÜe  SUtinn  vom  Mont« 
Luffa  durch  die  AufHnduii^  musuiliuügchtir  MUn^eu  (vgl.  oben 
p.  602  f.)  besUfcigt  wird. 

Aoeb  diese  Umstünde  bekriiftij^en  unsere  Annahme,  dass 
du  zu  iintereiicbonde  DodokuJ^der  au»  einer  Zeit  vnr  dem  Ein- 
falle der  GaUier  Mt«mnit');  und  die  vorliergehendcfi  Knitvick- 
lun^fcn  neiacn  auf  eine  Zeit  vor  der  eiKeuitichen  Rttlthe  der 
fttruskixchiMi  Cnltur,  jedenfnlU  vor  der  alI(?cinoineu  Verbreitunj? 
utrunjkischer  Sthrift  in  Ober-Italien. 


§  11.    Die  Ziffern  auf  dem  Dodeka&der  vergUchea  mit 
den  ä^ptischen  Zahlzeichen 

Durch  Vergleich  mit  den  Gewichten  haben  wir  eini}j;en  der 
1;;  /ubl/.eiclitMi  mif  den  ??eiten  des  Dodeka<"ders  in  üeberein- 
slimmnat;  mit  Pauli  eine  Bedeutung  beigelegt:  wir  le^n  dem- 
nach (vgl.  g  7); 

^                  die  /.ahl  auf  Flüche  Nr.  4  als    ü  ^    ü  +  1< 
^^^^ 3    .    15  =  10  -f  :i, 

^^^ 

^m  Das  Zeichen  auf  Nr.  12  »iicht  Pauli  mit  dem  Mtniskiscben 

^m  i*  =  5I>  in  Verbindung  xu  bringen;  dafflr  werden  wir  indessen 

eine  andere  Deutung  vorschlagen. 
H  Ausserdem    haben    wir   den   atif  den  (iewichten    1),  2),  3) 

H  vorkonmicnden    Zeichen    eine    äinngemä^e    Bedeutung    beilegen 
H    können ,   indem   wir  die  kleinen  seitlichen  Striche   als  multipU- 
H  cative    Zeichen    anfi'ii^len.      Das    bierin    liegende    Princip    nun, 
höhere  Ziiblen  dunrh  »olche  multiplicative  Zeicbfu  aua  niederen 
/u    bilden,   ist  im   alten   Aegypteu    vielfach   angewandt,    und 
zwar  aowohl  in  der  bierati^hen  mU  in  der  demotischen  Schrift. 
ftf.  V  — VII!  wud  die  entdprechenden  Zahlzeichen  »uikni- 
ellt.     Pnd  -/.war  enthält  Cotamn«  a   nach   de  Rouge*) 

*)  Ihr /uhUr'it'liPii  vnn  1  \tu  '.>  »»f  j-  '■■■"  •""wichtcn  *ini\ 

Antvh  ninfArbr.  ncWu  ciimniUT  K'fl^'lHr  i  irhe  iturf{r«i|.«11i. 

*)  Chnsetoinathi«  «•tp-|)t.itfniii%  tvv.  11.  I'nnit  XtSß».  p.  lU  ff. 


6IU 


SUtHng  dtf  matK'phy».  Ott»H  9om  5,  Duemker  JS9$, 


die  Ziffern  aus  dem  »c^Danoten  alten  Reiche  (alao  ha  MÜte 
des  dritten  Jahrtausenda  v.  Cbr.):  Columne  b  >(ibi  di«  catipr«- 
cfaenden  ZiSeni  aus  dem  matbemati&chea  Papyros  Rhiod,  ge- 
schrieben ca.  1700  r.  Chr.*);  Colnmne  c  gibt  nach  de  Rnuge 
die  Ziffern  aus  der  Zeit  de«  Künif^«  Seti  !.  (IX.  Djrnat<tie.  ca. 
13.i0  V.  Chr.);  in  Columne  d  änd  Ziffern  jüngeren  Datum»  ter- 
einigt.  Daneben  eteben  endlich  die  Ziffern  der  denuHt^hen 
Schrift,  welche  seit  dem  Jahre  1000  v.  Chr.  aUm&hÜoh  an  Sielle 
der  hieratischen  Schrift  (aU  eine  Entartung  deo'selbeti)  traL 
Die  hieroglyphische  Schrift  kommt  Für  unsere  jetzigen  Zwecke 
nicht  in  Betracht. 

Um  nun  das  multipücatire  Princip  bei  den  agjpii§cbeo 
Ziffern  zu  erweisen,  sei  zunächst  die  Zahl  10  hervorgdKiben, 
aus  der  durch  einen  beigesetxten  oberen  kleinen  Strich  die 
Zahl  20,  durch  zwei  beigesetzte  Striche  die  Zahl  30  enterbt, 
Kbea-^o  wird  au»  dem  Zeichen  für  100  dai^jeni^e  för  20Ü  durch 
einen  heigesetzten  kleinen  Strich,  dasjenige  fllr  300  durch  iwoi, 
dasjenige  fdr  400  durch  drei,  fQr  500  durch  vier  solche  Siricfae 
gebildet;  entiiprechende»  wiederholt  f«ioh  bei  den  Zeicfaea  fDr 
1000»),  2000,  3000,  4000.  Besondere  charakU-ristisch  irt  dai 
Zeichen  fDr  9000  in  Colnmne  c  und  d;  hier  sind  dem  («cboc 
nach  diesem  Principe  gebildeten)  Zeichen  für  3000  einfach  «w« 
weitere  Striche  zugcfdgt,  um  die  Zahl  3  X  3000  zu  Bclirviben. 
wahrend  in  Columne  b  dan  Zeichen  för  1000  dreimal  wiedcrboh 
und  dann  die^eä  3000  durch  drei  heigesetzte  Striche  in  90üO 
verwandelt  wird;  ähnlich  ist  ee  bei  dem  Zeichen  fOr  rtOOO  in 
Columne  c  und  d.  Analoge  Verhä!tni«»e  werden  wir  weiter 
unten  bei  anderen  Zeichen  oachveisen. 

AUerdingH  »cheint  auf  den  ernten  Blick  die  Art  d<«  malti- 


^)  Vffl.    Ki««n1ohr,    Kin    inathen\atiiictb«ti    Elaitilbtu-h    du-    tttlei 
Acßypt*»r  (?ftpvni»i  Bhinil   ib>   l-  '  i  < 

/HliU*?ifliHn  »ii>4  ümliTPii  Fapyriii-  ' 
ü.  a.  O,  nud  Rodut,   KuHetio  dn   lu  8ociMit  muthi'matiqun  d«  Fraacr. 
l.  VI.  p.  131». 

*)  Anf  dip  Bnltttilntiff  dr<»  '/,inch«nf  ftlr  lOiX)  kninini»<  wir  Iti  f  IS 
«iirAok. 


hinUemnHn:  Zur  Otn^irJtte  iltr  Pali/ctlfr  r(r. 


til>5 


plicaiivi'n  Verfahreaa  bei  deu  Aegjptern  eine  andere  gewesen 
KU  sein,  ah  bei  unseren  (7ewicht«n.  Denn  %»&  der  hieratiäclion  llt 
wird  durch  Beisetzen  eines  Striches  (linkii  oben)  eine  20,  durch 
Beisetzeu  eines  zweiten  Strichen  eiue  30;  ebenso  aus  lÜO  wird 
durch  Beifügung  eines  Striches  die  /ulil  200,  u.  ».  f.,  während 
wir  Auf  dem  Gewichte  2)  die  10  (AK  versehen  mit  ewei 
Strichen  als  20«  auf  dem  tiewichle  3)  die  10,  versehen  mit 
drei  Strichen  als  80  lasen.  Letzteres  Verfahren  wird  jedoch 
vou  den  Aegyptom  bei  den  Tausenden  ebenfalls  ungewandt 
(vgl.  Taf.  Vlll),  und  auch  hei  deu  Hunderteu  iät  es  entschieden 
das  ursprQngliehe.  Die  Zahl  100  nämlich  wird  durch  einen 
fikit  horixontulen  Strich  bezeichnet,  deesen  recht.es  (oberes)  Ende 
eine  Hehr  nierktichu  Verdickung  /eigt;  diese  Verdickung  ist  eben 
dadurch  entstanden,  dass  der  erste  seitliche  kleinere  Strich  (der 
hier  nach  oben  gerichtet  ist)  mit  dem  horizontalen  Striche  bei 
schnellem  Schreiben  iu  ein  Zeichen  vereinigt  ist.  Keobt  deut- 
lich lehrt  dies  ein  Blick  auf  die  deiuolischen  ZifTem.  LctzterA 
dürfen  wir  hier  unbedenklich  heranziehen,  obgleich  die  denio* 
tJBclie  Schrift  im  All^remeinen  nis  eine  spätere  Entartung  der 
hieratischen  aufgefasst  wird, 

Schon  in  alter  Zeit  nämlich  wurden  neben  den  hieratij><:hf>u 
Ziftem  zur  Bezeichnung  der  30  Tage  des  Monates  tboilweise 
ganz  vemchiedeue  Zeichen  gebraucht,  die  offenbar  iut  Volke 
schon  frßh  verbreitet  waren,  und  mit  denen  die  ä{mteren  demo- 
tischen Zahlen  (zumal  fOr  2,  4,  8,  9  und  10)  eine  unverkenn- 
bare VerwandtÄchaft  haben  (vgl.  Taf.  IV).  Oi«  Typen  der 
dcmotischeu  Ziffern  nind  daher  nicht  uothwendig  jünger  als 
diejenigen  der  hieratischen ,  sondern  sie  können  gleichaltrig 
ifcin ;  jedenfalN  dürfen  wir  annehmen ,  dass  un»  in  den  deuio- 
tiscbeu  Zitieru  alte  volksthUiiiliche  Zeichen  für  die  Zahleu  er- 
halten sind. 

Aehnlich  verhält   es  sich   nun   auch   mit  dem  ägyptischen 

^oicben  fOr  10.    DieNa  Zeichen  ist  nr^prnnglicb  in  der  Bezeich- 

lang  der  Monat^tage  «in  sohrig  stehender  Stricli  gewesen:  man 

vemb    ilin  mit  einem  seitlichen  Striche,   um  anzuzeigen,   dass 

«ich  um  einnuki  zehn  handelt;  nnd  da?j  war  uotliig,  um  deu 


5H         Sttsuns  der  niaih.-iihys.  Clawe  vom  *'>.  Iksember  tHiXi. 

bchräf^  !tt«benden  Ötricli  von  dem  gerade  stehenden  fflr  die  Ein 
heil  «sicher  7,11  unterscheiden.    So  gewinnen  wir  dos  demoUa^l 
/eiclien    fUr    10    (vgl.  Taf.  V);    ans  ünn   geht   du    hieratixchQ 
Zeichen  hervor,  wenn  niiiii  den  .seitlichen  Strich  verlänjr^    ^  I 

ihn  nicht  mehr  an  der  Mitte   sondern  um  Ende  des  u;  , 
liehen  Zeichens  Tir  10  anbringt:   in  der  That  ist  di««er  Strich 
bei  alk>u  bierntisctien  Zeichen  fiir  10  schwächer  ausgeführt»  ab 
der  lindere  ursprünglich  allein  benutzte. 

Durch  Hinzufügen  eine»  zweiten  Striches  wird  nnn  ao 
dieser  10  diu  hieniti^iche  Zeichen  fOr  20,  durch  HinzufDgen 
eines  dritten  Striches  dasjenige  fiir  30  iu  Culumue  b.  Die«!  Arl 
des  Gebrauches  multiplicativer  Zeichen  konnte  in  Epütorer  Zeit 
in  Vergessenheit  gerathen,  so  dass  man  aus  dem  /«üchon  fDr 
3000  durch  HinzQfQgen  eine»  Seitenütriches  dasjenige  fUr  OOOO, 
durch  zwei  Seiten.ftriche  das  Zeichen  för  9000  ableitet*?  (vgl. 
Taf.  VIII  C.lumne  c). 

Wenn  so  das  Sjätem  der  Bezeichnung  bei  den  Zahlen  vom 
Mmite  i^offa  mit  dem  Systeme  der  alten  Aegypter  in  mnncfaer 
Be/iehung  Ubereinstimnitt  ro  wird  es  naheliegen,  auch  die 
Zeichen  selbst  zu  vergleichen. 

Die  Ziffer  10  (A)  auf  den  Gewichten  und  auf  der  Flfiche  3 
des  Uodekat^ders  (v^I.  Taf.  fl)  sUuimt  in  der  That  genau  mit 
dem  hicrutiscben  Zeichen  für  10  fiberein. 

Ein  wesentlichor  Unterschied  scheint  darin  xu  bertaben, 
daas  auf  dem  Dodekaeder  die  Kinheit  durch  einen  l'uukt,  bei 
den  Aeg^'pteni  dagegen  durch  einen  vertikalen  Strich  dargoMtcUt 
wird.  Aber  diese  IStriche  werden  mitunter  so  kurz  geflucht^ 
dass  sie  von  Pnnkt.en  kaum  zu  unterscheiden  sind,  nnd  1>e«>nden 
wenn  sie  in  der  eben  besprochenen  miiltiplirativen  Hedeiitur 
vorkonnuen'),  sind  Rie  niei-^t  geradezu  dnreh  Punkte 
Ceberdies  dient  der  Punkt  zur  Be7eichnnng  der  Kinheit  l>ei  d«a 
Rechmingeu  des  mathematischen  Papvrns,  die  sich  auf  Getnäii 
Messen    begehen,     liier   beziTichnen   Punkte  die   Kinheit«n 


M  Vgl.  dtt*  J^rhcn  (tlr  Q  au*  dmn  ra]>rrii«  Kber«  bri  Ki«i>iil«fe 
W  .1.  O.    Vgl.  fArnvr  ».  R  ih.  Taf  11   21,  35.  11,  T*f  111,  39. 81.  BS  Aal 


anfir 


sör 


if5T^#wp35fi'lc. 


607 


i^oüchiimwissos,  ein  verlicnler  Strich  die  nächst  hßlißre  Kiiiheit 
de*»  Zflin-BcscbatnaoäseSf  ein  i^hrä^or  Strich  (verbunden  mit  dem 
Zeichen  für  IVächa)  endlich  die  Einheit  des  lOO-BeächBrnajisscs^). 
Aai«erdem  wurden  auch  die  Viertel  de«  (.■etmdt^uimLssif^  Är- 
tiihe  durch  Punkte  bezi'ichnft.*)  Im  prnVi)w:hpn  Leben  war 
daher  nucli  bei  den  Acgyptern  die  Heniit7.uni{  des  Punktes  xur 
Bezeichnung  der  Kitiheit  von  Altena  her  gebräuchlich.  Oiw  Auf- 
treten desselben  auf  dem  l^odekaeder  spricht  a!so  nicht  gegen 
den  üf(yi>tisc)ien  Ursprung  der  fraglichen  Znhl/eichen. 

Kine  Abweichung  finden  wir  allerdiitg'j  in  der  Anweudung 
eines  einfachen  Striches  zur  Bezeichnung  der  5;  du  indessen  für 
die  Kinbeit  ein  anderes  Zeichen  im  Gebrauche  war,  äo  mag 
eti  nahe  gelegen  haben,  da^  hieratti^ehe  Zeichen  für  o  durcli 
Weghi>dung  des  oberen  l^uerstricheM,  l>ezw.  der  beiden  oWren 
Punkte  (vgl.  Taf.  V)  zu  vervinfachen,  um  üo  mehr,  als  auch  im 
dcthütischen  Zeiehcn  ftir  5  dieser  Strich  sich  auf  einen  kleinen 
Ihikcn  reducirt  und  ein  dem  lei/.teren  ähnlichem  Zeichen  (und 
9:war  auch  bei  6etrei<leiueäsungeti)  schon  im  mathematischen 
Papynts  vorkommt.')  Ausserdem  mag  daran  erinnert  werden, 
dass  im  babyloniächen  Systeme  immer  2  Gewichtseinheiten  neben 
einander  gehraueht  werden,  das  leichte  und  da«  schwere  Ge- 
wicht, von  denen  da«  letalere  das  doppelte  des  ersteren  darstellt. 
Der  sehnige  Strich,  welcher  im  Demotischen  für  10  benutzt 
wurde,  konnte  al-o  aul"  einem  und  demfl;elbeu  Gewicbts>-tUcke 
angebracht  als  5  oder  als  10  gelesen  werden,  je  nachdem  man 
schweres  oder  leichtes  (»ewicht  angeben  wollte. 

Die  ZifTem  ;i  auf  Fläche  Nr.  (J,  'j  auf  Kliiche  Nr.  1  und 
20  ^^  4.5  auf  Fl.  Nr.  I   bedQrfen  jet/.t  keiner  Besprechung  mehr. 


M  Vi^l.  Kiai'nlubr  o.  n.  O.  p.  173  ff.  Ui<r  lir<lmiiMti  -U-*  l'iinkte« 
fllr  iti«*  Kinhfit  6n<lel  »ieh  uui'h  auf  einer  Ui'(-fanun>;  Ober  gebefi-iics 
(»etcnide;  vgl.  Krmuii,  Acgyptcn,  Tnbmgfn  IgSTi,  p.  449  und  Cnntor 
a.  a.  O,  |K  i5. 

')  VftL  ÜQ  Kuu^e  a.  ft.  O.  p.  1X8;  Brug»cli,  Pie  Aegyptoiogiu. 
l^eipdg  1801.  p.  »79. 

■I  VkI.  «.  ü.  Aufbnilie  Nr.  47,  Tuf.  XVI.  Nr,  76  und  77  »uf  Taf  XXI 
in  KJMitnlohr't  Antgvl««.*. 


nes 


Süs, 


Dl 


''"T«'-  yonulieg,„         '?''^'"'   eine    »„-... 
*'"=J'«'o.  ,„„  ,.^  "'"'  drei  Wei„.^„  '/«'•    ^'»fcj 


zitier 


Por 


TAtuiemann:  Ztir  Oofchtthtf  der  Puiyeder  etc. 


569 


Im  iiiathtiniatisclien  Papjru!^  iufc  dies  (Ic-t  am  wei- 
rechtä  äteheade,    indem   er  die   hori7X)ntale    Linie 

ihrem    nach    rechts   liegenden   Bndpunkte    berührt, 

en  betreffenden  Zeichen  in  der  Colurane  b,  Taf.  VI, 
Colunine  c   ullc  drei  Verticaktriche   gleichwerthig 

,  und  in  Columne  d  nur  der  mittlere  Strich  die 
Linie  nicht  Iwrnhrt,  während  der  horizontale  Strich 
•n  Seiten  über  die  verticalen  hinüben-agt.    Auf  dem 

dagegen  ragt  gerade  der  tan  weitesten  nach  linke 
rticalstrich  nach  unten  über  den  horizonbilen  hin- 
in mau  indt-csen  bedenkt,  dass  die  Zeichen  auf  dem 

nicht  geschrieben,    sondern    iu  den  Stein   einge- 

warden,  so  wird  man  auf  diese  Unterschiede  nicht 
rieht  legen  dürfen.  Ueberdics  zeigt  die  Ziffer  00  in 
am  rechten  Ende  des  horizontalen  Striches  eine  Ver- 

ach  unten,  die  bei  flüchtiger  Schreibweise  sich  mit 
»iaten  nach  rechts  ätehendon  Verticatstricbe  zu  einer 
calliuie  verbinden  kann,  woraus  dann  die  Ziffer  iiuf 
fteder  enUteht,  wenn  man  nur  rechts  und  Unk»  ver- 
be  iiolche  Vertauschung  aber  erscheint  gestattet,  da 
ttiache  Schrift  Ton  rechts  noch  links  läuft,  die  spätere 

dagegen    in    wechtwlnder    Kichtuug   geschrieben    zu 

kaben    hiernach    folgende    Resultate    gewonnen:    die 
t  dem  Dodekaeder  sind  zu  lesen: 


f  Fläche  1 :  20, 
2:  10, 
3:  15, 
4r  9, 
5:  16(?), 
6:    3, 


anf  Fläche  7  :  12, 

.  8:24, 
.  9:21, 
.  10:  6, 
,  11:60. 
,     12:  aOO(V). 


tifli  <l)i8  liier  in  Coliimiie  h  aiigegebeno  Zeichr^n  im  ma. 
Papynis  meist  ao^'ewondt  wird,  uin  60  za  boz«i(-hnPti, 
floth  im  Papyrus  die  vcrächk'Upußt<?n  Abweit'hun^ou,  so  dnaa 
I.  wie  in  Colunuie  a  anil  l-,  tiinl  nnrh  muni-bt'  andere  Ah- 
^TorkouuDeD;  »gl.  indem  Werke  von  Kisenluhr:  Taf.ll,  17; 
I  Tur.  IV.  43;  Tiif.  V.  53:  Tuf.  XIV,  40;  Tiif.  XV,  41  u.  8.  w. 


R7U        'SiUmmg  äv  mmtk.-fl»9M. 


I  S.  f»  IM  will    /«M 


Anffällig  kOnate  Uerfad  dto  ZeidMn  fftr  20  uni  FUcb«>  1 
•ncbeinen,  d«  diMelbe  voa  dam  eab{incb«ttd«ii  bienttiMciiefi 
flateefawden  abwekfat  Wir  wwen  »ber  »ehim  «ot  dem  Stodnm 
d<T  Gewicht«  {%  7  a.  10),  daaa  aeben  diaiem  Zeichen  (aof  Gewicht 
Nr.  4  und  ti)  ein  audera  gleicliwfhiga  im  Gebraocli  mar 
(aaf  Gewicht  Nr.  5).  da^  mit  dem  hierafciaehen  Zeichen  fixr  Sfi 
fiut  TölBg  identitcli  isL') 

So  weisen  onsefe  Zahlzeichen  aaf  AegTpten,  onaere  Gewicht« 
d^egen  anf  Babrlooien  hin.  Darin  acheini  ein  Wideiipmth 
xn  liegen.  Derselbe  Ifiat  Ack  indemea  durch  die  KrwJEgnog, 
dam  anch  die  ägirptiscben  Gewicfab-GinheiUo  «ch  auf  dn  tar 
bylonifiches  Urgeiricht  reduciren  ]aa»fn,*)  aod  dan  auch  £e 
ägyptiacheo  ZiHem  uiH  den  babjloaisebeB  Terwandt  «nd,  wie 
wir  vreiter  unten  aahen  weiden.  Aiuaerdem  ist  ra  bedaokca, 
datfü  wir  Qber  das  AtuBeban  der  bab5l<nitachca  CairenUchrift 
nicht  unterrichtet  sind,  das  abo  wahracbeialich  dM  achtin  is 
der  Keilschrift  ersichtliche  Verwandlechafl  dfr  Zahtzeicli 
(vgl.  unten  §  15)  in  einer  eiwaigeo  Cnirentachhlt  noch 
hervortreten  würde.*) 

§  13.    Die  Volker  der  Po -Ebene  in  prähistorischer  Z«it. 

Wie  wir  ans  auch  die  gegenaeätige  Bceiniluftung  xwi»ck«n 
ögjptlscher  und  babylonischer  (bea.  aanrmeber)  Cultur  denken 
m^en,  jedenfalls  deutet  aaser  Dodeka^er  aaf  den  Orient;  wir 
mOasen  uns  deshalb  nach  sonat  bekannten  Beziehungen  der  Be- 
wohner der  Po-Ebene  zu  den  orientalischen  OUtor- Völkern  om- 


')  Der  hnnjjtntali*  (muttiplicatin*)  dtrirti  »tehi  aar  rtwaa  licdiET,  ab 
'im  A<*gjpti«'fapii ,   WA  tr  m^ift   linki  ol»erkalb  dw  '"^  racM  wial 

fand  cwu-  im   mathematiKlieii  PsfiTraa  oft  ein  dau'  «rijoatahw 

Strirl),  tiicbt  immer  tdn  KvItrQmmtrr  titriiii.  wir  in  C-oiumn«'  b.  Taf  V; 
Tgl.  z.  a  Taf.  III.  91  bri  Ei«.-nl«br  a.  l  OJ.  Die  /^i'bHti  ^  ml  X 
ltab*<n  aarb  im  ffpAtcrmi  rtnuki»rfaf«  Alph^)ct#>  |cl«'Kh«rrrihk(R>  lledrv 
luntf  (Üarhiitah«'  t.  Tgl.  Pnoli,  ii1t)tali«di>    "  1.  |i.  liO  u.  ML 

h  Vgl.  di^  oIm'ii  citirlpn  AH«*-»!*^  «"o-i 

*\  Kinf    ■ttlrhi*    VerutuUiiaig  I   ^i/aril    ans:    vgl.    Cl 

Maüi    }U■itr:nP,^  «um  Collurlebea  il- .    .....  i-,  llaU"  1903.  |l  9lt. 


F.  LnuUiHttnm  Xuf  Oe^chüJttc  dtr  l\/litodtr  eic. 


071 


soheii,  und  zu  (Imih  Xweckn  ilulIi  i]io  Frag«  nih^ii  dor  Nntionii- 
lität  dieser  BewnUiier  selbst  in   UetrHcbt  xiebon. 

Die  erat«n  Zeichen  uieuschlioher  Cultur  in  Oher-IU&lien 
aUmmfin  rus  den  Pfiililhniiten  (Iw/.  TiTnimsinni)  nm  der  Kinilin 
und  der  l'o-Kbene.  Xacli  lIeU)i]bj;M  Imbou  wir  die  Unibrer  aU 
Vertreter  dieser  bi»  iu  die  Steinxeit  r.urilckreicbenden  CuJlur- 
Kpocbe  anzusebeD.  »Sie  wurden  tiuterwnrfen  durcb  die  Etrusker. 
welche  (w»hrscbeinlich  in  der  Bron£e2eii)  von  Norden  ber  in 
die  itHli}>cben  [jAnditchnften  einbrachen  und  den  Änstoss  zn  der 
eigenartigen  und  hüben  Oultnrentwicklun|r  der  folgenden  Jahr- 
hunderte gaben.  Gleichzeitig  oder  efcwaä  später  mügcu  auch 
auf  (U'D)  .Seewege,  wie  es  die  btstnriscbe  L'eberüeferung  will, 
«tyrrbenische*  Gin  Wanderungen  aus  Kleinasien  staitgefunrien 
haben. 

Wir  stehen  damit  am  Beginn  der  •ingenannten  llall.stati- 
Periwle,  in  der  /.uersfc  das  Hisen  neben  der  Bronxe  bei  den 
Schmuck-  und  Qebraucba-OegcnMänden  und  ilen  Waffen  benutzt 
wird.  Die  Auagmbnngen  ron  Viltanora  bei  Bologna,  von 
Mar/obotto  und  <Jerto»a  geben  utm  ein  deutliche!*  und  Ober- 
niHchendes  Bild  dieser  Zeit.*)  Innerlialb  jeder  dieser  Fundstätten 
kann  man  von  einander  getrennte  Ki>ochen,  s»i  pd  nach  der  Art 
der  Ueätattung  (denn  es  huudelt  sich  um  Ürabfunde),  »ei  es 
nach  der  ßeschatTenbeit  der  Beigaben,  unter8<:heiden.  Den  Be- 
gitiu  dieser  Cultur-Periode  ptlegt  mau  iu  den  Anfang  dea  ersten 
.Tubrtausendx  v.Chr.  /.u  netzen;  das  Ende  wird  durch  die  Aus- 
breitung der  Lu-Tene-Cultur  bezeichnet,  in  der  do-s  Eisen  zu 
auttscbliesilicber  llerrscbafl  gt*laugt  ist,  und  iÜm  deren  flaupt- 
triiger  man  die  keltischen  Volkswtüninie,  insbesondere  diu  eigent- 
lichen Gallier  Iwtruchtet.  Vergleichende  Cntersuchungen  buhen 
gestattet,  diiH  Alter  der  Funde  nach  dem  Vorkonuneu  gewiwter 
Loitfunde  abKUächlltzen ,  und  unt«r  diesen  sind  die  Gcwand- 
nadeln  (oder  Fibeln)    von  besonderer  Wichtigkeit.')     Das  mu» 

*|  l>ic  italik<*r  ili-r  Po-KV^n'*,  ti.^Bnn<li'M  p.  00  ff. 
*)  V^l.  i.  B.  *lie   kur'.»«  nfln-rxiilii    (|1i«t   (lict.,'  l'nHur   \u^\  Rniike. 
Der  Men«h.  Ihl.  II.  Brbliu». 

'')   V);).   t.  W.   Kuiikf,  a.  :i   t'    iiiiti   h^-utiiil^T*   II  ilili'liruriil .   Itnlni^ 


aüjij  iar 


CUmc  «■■I  i^ 


Iner  crwähoi  «esdcB.  vol  aocb  ia  WohmfiHfn  rom  Sloalf 
Loffft  wi^emaai^  Ciwtw  Wbeta  gafudeo  wurden  und  «vil 
rr  duMM  mHiw^ii,  ^mm  j^  Wakntitten  in  der  iofreaaiuil«a 

''Certovs-Pcöode,  d.  k  im  6.  aad  S.  Jahrlrnnd«!!  t.  Chr.  adiw 
hawiii  niudu,  «ikrod  dai  Awfifadm  der  L«-Tt?ae-Fibel  md 
d«r  inwihoti«fcett  MWiiffti,  »wie  der  LegiuMaJenre  dr»  Auhnsin 
(vgL  eben  p.  69S)   anf  feracrv  BiMitfiiiag    hn  in  die  Zeit    dv 

[Xfaifblle«  dtf  GalFier  md  der  Baigeiluiege  achli—en  ttüi. 

Dm  Votk  ToiB  Hnab»  LoAk  wmr  in  yamr  Zeit  wofanwli«!!- 

'  lieh  em  ■ndwi  sk  du  Votk  vob  Ctrtoa:  w^read  man  d« 
lilitiii  «wn  ttmhrwphpii  Hlawwit  icduMn  kman.  wobnltn  d«ma)i 
■öidlidi  des  Po  die  Eugaoeer,  Iwioden  in  der  Gegend  mn 
Padoa  und  Verona,  in  den  nock  keate  nadi  ihnen  genauniefi 
eognneiacfaeo  Bergen.  Der  HObefMnü^t  der  Caliar  dieser  Gt^cend 
wird  durch  die  Pnade  roa  Este  boMebaet.  Nach  Pro«docini 
hat  nian  hier  in  aber  einander  Uegeodeo  Schichten  5  Periode« 
EO  antetBcbeideo :  sie  aöal  filr  irai  roa  InfcerwMe.  weil 
PnadjUelle  der  rom  Monte  LolEft  am  ng^ff«**«  liegt;  sie 
daher  kort  erwähnt  werden  ond  gleichseitig  dazu  dienen,  dir 
Art  der  in  B«^ra«ht  kommenden  AltertbloMf  ra  keanxeicfanen 
nad  ÖB  Beitpiel  fOr  die  wueaMiia  Folge  dtr  Sckirhttfn  xu  goben. 

1.  Periode.     Beelattong  der  Leiebeo;  Steinxeit 

2.  Periode.  OhneVenmtUnng  cüieracHgedebnten  Bmaxe^ 
xeit,  gteben  wir  aoglcicb  am  Beginne  der  EiaenxeiL  Ziinftrkii 
allenlings  wird  Ei^n  oar  in  onförmlichea  Stocken  gef 
Broazetibeln  mit  einfachem,  theilweiae  balraAtaioig  erweit 
Bogen.  Auf  einem  Thongeftase  erscheint  Hereild  du  Hakeokr 
Leictienbraoil.     Asche  in  gebrannten  Urnen. 

:i.  Periode.     Urnen  reicher  vemert;  aihlreich*^  k 
gefasee.     Spinnwirtel    mit    Uakenkreuz    ond   Schrift. 
Fibeln  wi«  vorhin,  auch  mit  Knochen-  und  Remet^in-S 


tili  «pannHi  hitloria,  Antiquaridt  ndikrifl  Rk  armf;«.  v*\   i. 
Mm  1673—80:    Monteliu«.   Sp&iumt    fnn    bnwiUdani:    ih.  Bi. 
O.  Tiarhier,    /^turhrift   flLr  AathrDiinloK^  und  UrirMriachtr  Ak^rri^ 
IM.  4.  18B1. 


^ 


4im/mn' 


VW^ 


I*ulycäer  Hi: 


07:1 


Perlenhalshäuder  von  'Was,  Bernstein.  Knochen  oder  Korall(*n. 
Kaamadeln,     Watten  8«lten.     tlütiolbleche. 

4.  Periode.  Urnen  reicher  omamentirt,  aucb  mit  Schrift- 
zeichen versehen  ond  IwmalK  Es  treten  echt  griechische 
GeHuse  auf,  sowie  einheintische  Nai'hahmnnf^n.  Roh  in  Thon 
modellirte  Thier-  und  Menschen-F^iguren.  Die  berflhnit.en  Cisten 
aus  Bronreblech  mit  Danttel hingen  uns  dem  menschlichen  Lehen, 
/ahlreiche  Pibetn,  sogenunnte  Bogen*,  Kahn-  nnd  Scblangen- 
ttheln^  aUo  die  älteaien  Ty[>en  der  Udrdita liehen  <!ew&iidmideln. 
Hausgeräth  tind  WufiTen  in  geringer  /»hl. 

5.  Periode.  Galliscb-römische  Zeit.')  Bronze-Cisti'n  von 
aiger  Korgf^Uiger  Arbeit.  Thongefu'we  auf  der  Dreh^rheihe 
rbeitet.    Kigun-n,  Tüfflchen,  Nägol  i^Uriffel?)  an«  Bronxe  mit 

ächriftxeicben  und  luEtcbriAeu.  Galb'scbe  Münxen  aua  Maasilia 
und  römische  von  Augustud  und  Vettpa-tian.  Lange  Schwerter 
der  bekannten'  La-Tene-Korm.  La-'lVue-Fibelu  atk(  Uruniu», 
Silber  iiud  Risen.  Letztere«  Metall  M*hr  gewöbnlich.  Neben 
der  Verbrennung  auch   Bestattung  der  Leichen. 

In  dieser  letxten  PericKio  stehen  wir  auf  historiwrheni  Boden; 
wir  werden  den  Beginn  dernetben  an  d^-;  Ende  dw  •!.  Jahr- 
hundert« vor  Chr.  netzen  ma«en.  Du«  Auftreten  griechischer 
Vawn  und  aus  Griechenland  Htammender  Schriftzeichon  erlaubt 
auch  fQr  die  vierte  uiul  dritte  iVriude  eine  aniiUberutle  Datirung. 
Die  ln.Hthriflen  von  t^t«  sind  durch  Pauli  eingehend  Wlian- 
deU*)>  Nach  ihm  ist  das  Alphal>et  von  Est«  identisch  mit  dem 
im  Venetcriunde,  bi-*  nach  Steiermark  hinein  (bw-mders  in 
tiurina)  anftretenden  nnd  verwhirden  von  dem  nordet niski-schcn 
(in  ßitien  gebrauchten)  und  dem  im  eigentlichen  Etrurien  an- 
gewandten: er  schiit^^t  darau.^,  dass  wir  es  in  Este  mit  den 
Grftbem  von  Venct-em,  die  /,u  den  lUjriern  gehören,  ku  thun 
haben,    und  dnm  die  In<)chriften    (iu  Uebereinstimmung   mit 


')  Bcrtrnnd  am]  Roinitrh  (!<«••  Citlten  dmn*,  leii  vall^  du  l'ü  .1 
da  thinnlHV  Pari^  181*4,  p.  162)  trennen  noch  di*<  ^tinrhe  ron  der  rOml- 
«cbtfn  Periode. 

•)  Pauli,  AltttiitUrhr  P«r*rhuiiKi*n,  Itl.  IB.  T'i*'  Vt-nel^'r  und  ihrti 
&Jirin.li*iiknia]itr,  L<m|>M}(  16^1,  \>.  4Bri  tL 

ISM.  Hau  pfeya.  Cl.  1.  44 


67-i  Sit£UHri  der  mttth.ißh*/n.  Oiüssc  ppin  ^,  JJeitmtm'  IS9C* 

anderen  SchlaÄsfMl^eruiiKcu  'Jhirardini's)  in*«  vterle 
fünfte  Jahrhundert  äu  setzen  sind.*)  Die  viert«  der  ubigr» 
Perioden  wird  man  daher  in'»  lUufle  und  se<:bs(e,  die  dritte 
etwa  in's  sechste  und  Riebenta  Jahrhundert  netzen  können;  ein 
weiterer  Gnmd  für  diese  Dutiriiug  liegt  in  der  tbeilorsisia] 
Uebereinütimmung  des  Invenb\rs  der  Gräber  von  Este  mit  dem- 
jenigen der  Nekropole  von  Certosa  bei  Bologna. 

Das  Anftreten  der  Certiisa-Fibel  am  Mnnte  Loffa  reranUnt 
uns  endlich  auch  für  unser  Dodekaeder  in  erster  Linie  an  dw 
Rcchstc  Jahrhundert  V.  Chr.  ku  denken.  Zeichen,  die  mit  Sicher' 
heit  als  Zahlen  xu  deuten  wären,  konimen  auf  den  ältesten  In- 
schriften Tun  Hst^  leider  nicht  ror^),  ^  dass  ein  Vcrglrtoh  mit 
den  Ziffern  auf  dem  Dodekai'der  nicht  angeatetlt  werdfii  kann. 

ITeberdiea  ist  es  zweifelhaft.,  ob  wir  die  Funde  vut»  MonU* 
Ijoßa  el>enM  wie  die  des  benachbarten  Kst^'  dein  Vollrc  der 
Veueter  zuweisen  dürfen.  Uerade  in  der  biegend  von  Verr'na 
Htiwuen  die  Grenzen  verschiedener  Vßlkor  seit  der  KltAili-n  Ztit 
zusammen,  wenn  diese  Grenzen  auch  im  Einzelnen  moncbiT 
Veränderung  und  Verschiebung  unterlagen.  Ea  kommen  ffir  nn* 
aujrser  den  Veuetcrn  die  Uiiibrer,  Hüter  und  Ktigiuii'iT  in  Ite- 
tracht.  Nach  den  mir  vorliegenden  Darstollungen*)  dflrfle  man 
etwa  zu  folgenden  Annahmen  berechtigt  sein. 

Als  älteste  Bewohner  Nord-Ttalicns  erj(r.hoinen  dii»  Cmbr^'r, 
welche  ein  mächtiges  Heicb  gegründet  hatten;  wir  lassen  daibifl- 
gestellt,  ob  sie  znm  Stamme  der  Italiker  oder  xn  de»  Ketl«n*) 
gehorten.    Im  Westen  wohnten  vielleicht  ligurische  Stämme  bi» 


')  Pie«  ist  »ach  in  Debertflnstiminiifui  mit  iler  (liin^h  A.  II.  Il#]r#i 
fQr  iljp  InMchriltcn   von  («iirinu  freiffhi-tifii  Dntin.  ■  ■••^^tii- 

Lhul.   iVrcsih-u    ledfil.    wdrittr    Tiiuli    frnhpr      .  ingm. 

Bd.I.  IBSü,  tlie  InscbrifU^n  nnrtlctruflki«chrii  Atjiba^'td)  ani^evweil'rrlt  luüii*- 

»)  VkI.  P*oli  a.  ft.  0.,  m.  U\,  I».  264. 

*1  Vfil.  Pauli  nml  Ut*rtraiii)  et  Bt^inaeb  a.  a.  U„  at*wia  %n    ng 
tim  NiMi'n.  ItAlixihM  lAiii)«^kttn(lt^.  Bd.  I,  Btrh«  ISSS.  jl  !•  i 

')  I.rt/tore«  uchmcu  Hrrtrand  inul  R^innch  an.  »nl 
eho«,  Coirrapunileiutbloli  Jer  dputM'hptt  Ue<irlli«clt«R  rerAii> 
EthnnloiHr*  uitil  Tivf'whichti',  läSß.  |.,  I31I  ff. 


h\  lÄmloHnnn:  Xur  (h^hiekU  4ar  SMt^eder  etc. 


«?:• 


^ 


* 


len  t*o.*)  Von  Norden  wanderten  die  Etrii?ker  ein  nniJ 
Htärjochten  die  Ur-Kinwolmer;  HJe  KatijitniRww  Her  b^lrudkor 
x(>g  Kpäier  nber  den  Apennin  in  Aah  eigentliche  Ktnirieii;  aber 
die  DorditalLschen  Litndschan4}0  blieben  ihnen  unterlhnn  oder 
wurden  von  ihnen  7urfli'icernb<Tt.  Hie  olriijtkiHcbe  Cnltnr  nßrdlich 
des  Apennin  unterscheidet  sieb  von  derjenigen  in  Ktrurim,  du 
dort  das  nrsprüngliche  nmbriscbe  Volk  von  Wf«pntlirbeni  Kin- 
Auwe  blieb.  Hesonders  chnrnktprifiHsnh  »ind  die  reichen  Grab- 
funde ron  Villanova,  welche  biü  in'»  0.  Jahrhnndert  znrndc* 
fCehen.  Noch  ca.  K&O  vor  Chr.  erwähnt  Skjlax  die  Ktrnsker 
aU  Uowobner  der  Of;tktli«te  von  Italien«  im  Norden  der  l^mbrer. 
Ein  Theil  der  lOtrusker  ki  indt'nwen  in  den  Thalern  Afr  Alpen 
xurnt<kgi>bliel>t>n,  basondrr*»  in  der  rwilicben  Schweiz  und  dem 
tödlichen  Tirol.  Von  Westen  schieben  sieb  allmUhlicb  keltische 
Völker  in  die  P/>-Ebene  vor;  ihre  Civilinitiou  kann  ann  dm 
Grabfunden  von  (iolasecca  und  verwandten  Nckro|«>len,  die 
sich  bii«  an  den  (jomer  See  ausdehnen,  und  die  man  den  In- 
Hiibrern  r.iuchreibt*).  beurtheilt  werden;  ftie  sind  (nach  den 
flfefiindonen  Fibeln  tu  nrtheilnn)  etwa  gleichaltrig  mit  der  4. 
h*»Y.w.  'A.  Periodn  der  (trabt-r  von  Kste.  hu  Nnrdrt**l*»n  der  l*i>- 
KU'ne  NiLxen  die  Knganeer,  die  sellisi  al«  su  den  HStern,  und 
somit  2U  den  Etrnskern  gehörig  bezeirhn'^t  w^-rden.  Von  dm 
illyriitchen  Venetern  (die  nach  flerudot  und  Skylax  schon  im 
5.  Jahrhnnderi  ihre  ^«f^ileren  Sitze  innehatten)  wenlen  sie  all- 
mählich nach  Westen  binfibergedrän^  mid  wohnen  /u  Plinias* 
Zeit  in  der  Uegend  von  Verona.  Vielleicht  gehrirt  die  erste 
neolitbiMr.he  Periode  von  Kste  den  Kuganecrn  «n;  die  späteren 
Perioden  werden  in  Rücknicbt  auf  die  ScbriftKeicben  und  auf 
den  dnrchaas  »teiigen  ITt^bergang  von  einer  Periode  zur  andern 
den  Veuetem  zugettcbrieben.  Die  Grenze  zwistrhi-n  beiden  VJilkern 
muM  al80  in  der  zweiten  Hälfte  de«  ereten  Jahrtaiuendj«  r.  Chr. 
innerhalb  der  euganeiscben  Herge  zu  suchen  sein.    Den  Kundort 


^)  Virl.  H«lbi^  ^  11.  0.  p.  31.     in  norJi  iUlrnv  Kmt  «ntlnn  Ijif^m'r 
und  äiciilpf  «IUI«  Italii'u  innrifflinlit  lulivn. 

9)  Vgl.  Hnrtrani)  u.  Uutnueb  m,  n.  0.  ]>.  M  ff. 


076        3Um$m9  der  MoHk-fA««.  Oosh  m»  i.  UtumiUr  XBOG. 

des  Dodeka^er,  Monte  LofTa,  werdon  wir  ftus  «pUer  xa  eröriärn- 
den  Gründen  noch  den  Eugaiieorn,   bexvr.  Btroakem  xnweiMn. 
Za  Anfang  des  4.  Jahrhanderta  kam  dann  der  groaw  fii»- 
faU  der  etgenUichen  Gallier;  durch  sie  mirdan  die  VoHavOnuiM 
der  nördlichen    und  sUdlichcD  Etrusker  eodgiltig   von  eiaaiuler 
getrennt  und  gehen  in  ihrer  Cultureniwtcklung  getrennte  Wege. 
Das  kommt  in»l>esondere  in  den  gebrauchten  ikbrifttcidieo  xnm 
Anknicke.    Diu«  eigentlich  etruakiscbe  ÄJphabct  «rird  ans  dem 
chalkidtschen  abgeleitet;  auch  Campanien  stand  ca.  500  t.  Chr. 
unter  etrtiskischer  Herrschaft;  dort  kanieo  die  Ktmaker  mit  den 
griechischen  Coloniutcu  (inebdrandere  in  Kunie)  id  en^e  Verbin- 
dnng;    von  dort  verbreitete  sioh  wahrscheinlich  daa  elni«ki»die 
Alphabet  nach  Norden.')    Die  etruMkiachen  KUer,  weMlieh  fom 
Garda-See  (besonders  Ton  Sondno)  dagegen  bedienen  sieb  einv 
anderen  Aljthubut«!!,  dau  nach  Pauli')  mit  dem  auf  di*n  Inseln 
Metüä  und  Tbera  gebrauchten  am  meisten  verwandt  iitt  und  jedoi- 
falU  auf  ganz  anderem  Wege  nach  Nord-Italien  rerpfl&nxi  wu^ 
Das  AlphabiH  der  Itäter  i'wtlich  vom  Oarda-3ee  (Sad-Timl)  und 
derjenigen  von  Lugaau  ist  dagegen  wieder  mit  dem  eii^enÜiehca 
etrnskischen  verwandt.    Die  Veneter  endlich  bedienen  «ch  «ne» 
dritten  Alphabetes,  das  zu  demjenigen  von  Klia  die  mebfcen  Be- 
ziehungen haben  soll,  nnd  von  dort  sei  ea  auf  dem  Land-  nder 
auf  dem  See-Wege  nach  Ober-ltalieu  Übertragen  wurde.   HiienHU 
kann  man  (mit  Pauli)  scUlieaBen,  das«  die  Xord-Etnisker  in  d«f 
Gegend  von  Sondrio  bchon  vor  Einführung  der  Schrift  vih»  d«n 
SQd-Etru8kem  (vielteiebt  durch  kelti»che  Stämme)  getrennt  wann, 
daai  dagegen  die  Kord-Etni^ker  vuii  Trient.  Boneii  und  Logsao 
erst  spftter,  etwa  durch  den  Einbruch  der  Gallier,  den  7nwnnB0 
hang  mit  Ktrurien  verloren.    In  den  Küteni  der  ächwieis  kfioMB 
wir   die  zurückgebliebenen  iCeste  der   von  Norden  komioeiMlM 
Ktrusker   erblicken,    in    den    Kfitem    von  Tirol    dngtgen    ret^ 
sprengte  Theile    des   dnrch    lange  Zeit   in   der  Po-EDMoe  Iwtrr- 
Behenden  mw:hUgen  Volkes.    In  der  Gegend  von  Verona  ^i 


4 


')  Nack  Helhiff  fit.  a.  O.  p.  100)  ward  ilat  Alphabet  «n  Rtr<m*iii 
nicht  vor  dinti  8.  Jmhrh.  Hinfjc^hrt. 

!)  Vjrl    u.  «.  O.  IM   MI.  I*.  316  tr.  nii.1  EU.  1,  |i.  i4> 


F.  ]jMemantt:  Xm  QtMhuMt  Uer  I'oiytdtr  vlv 


('.77 


ne  Zweige  mit  einaiidt-r  um)  mit  den  Gu^aneern,  dlt  aber 
belbät  zu  den  lEiitern  gezählt  werden,  rttsaniineu. 

Von  den  wet^ttlicbemn  it&t«rn  verbreitete  sieb  die  Schrift 
und  damit  die  Culiur  Überhaupt  zu  den  benachbarten  keltischen 
Stämnii'n  der  Tauriskerf  Lepontier  und  Sala&<49r.  Im  Lanfe  der 
Zeit  ergubeii  nich  so  enge  Oultur-Beziehungen  zwittchon  diesen 
Kelten  und  Hätcm,  ilaäs  man  remuckt  dein  kann,  letztere  aelhnt 
aU  Kelten  in  Anspruch  zu  nehmen.*)  FQr  uns  kommt  e»  nicht 
darauf  an,  die^e  Frage  zu  entscheiden;  es  genügt,  auf  die  enge 
Verbindung  hingewiesen  zu  haben. 

Zu  Ende  des  3.  Jahrhunderts  ist  die  Po-Eheuu  vou  den 
Rinncrn  unterworfen,  und  &■«  beginnt  die  allmähliche  Itomnni- 
sirung  der  geuaiuiteu  Völker,  die  aber  noch  tauge  an  ihren 
Oebräucheu  und  ihrer  Sprache  festhalten. 

Was  nun  die  Zahl/eichen  anlangt,  so  kommen  Kotche  in 
dou  Inacbriflcu  und  auf  den  MQnxen  der  uetitLichen  NnrdeiruHkor 
(Uiiter)  nicht  Tor,  wenn  man  nicht  die  Zeichen  auf  einigen  am 
Comer-Scc  gefundenen  Tonscherbon  als  Ziffern  auffaäften  will.') 
Letztere  seti»^n  sich  aus  den  Zeichen  |,  Ai  X  zusammen;  der 
Wr.rth  drnM'lhen  kann  nlier  nicht  ungv^eben  werden.  lo  den 
luf^rhriflen  dei>  Bozener  Alphabetes  tiudcn  nch  dieselben  Ziffern, 
wie  sie  im  eigentlichen  Etrurien  vorkommen.  B*"i  der  itlngeren 
DatiruDg  dieser  laiwbriflen  dnden  wir  keine  Verbindung  nüt 
den  Zeichen  unseres  Dodekaeders. 

Um  80  aoiräiliger  ist  das  Vorkommen  anderer  Zahlzeichen 
auf  der  Doppel- Pyramide  vun  Mccln  (vgl.  oben  §  B),  die  man 
nach  l'rtheil  des  Uerm  Cullegeu  Furtwiingler  (insoweit  ein 
solcher  8ch1uss  uu»  dem  allgemeiuen  Charakter  deü  Gegenstandes 
möglich  ist)  in  diu  2.  oder  1.  Jahrhundert  t.  Chr.  setzen  muss. 
Immerhin  wird  dos  Au{lretuu  ilUerer  Zeichen  Ixm  Itegensi&ndeo 
von  religiöser  Bedeutung  erklärlich. 

In  ähnlicher  Weise  tinden  sich  auch  in  (jrieehenland  ganz 
verviuzelfc  Zahlzeichen   auf  Inscfarifleo,  die  sonst  nirgends  vor- 

*)  So  thun  rm  RcrlrAii«)  u.  Hetiiai'))  a.  a.  0>  p.  (ittfr.;  r^l  aorb 
Haoli,  a.a.O.  Hd.  I,  p.  90  ff. 

I)  Vgl.  Pauli  a.a.O.  Nr.  an 


«78 


Ate«i#  ier  mmk,'fitjß$.  flat  9»m  ^ 


konuam  umI  nor  dsrcb 
Fonoen  erklärt  werden  kfianoa.  Fflr 
ieruM«  üt  hier  biiw  argirwcbe  Inachrift^),  wIcW  d>r 
T'.Tickiednwr  GemcinAon  m  eÜMm  «nt  in  Kartao  der  I— .JMift 
uiclit  erkennbues  (vieBöcbi  aoek  raÜgMMn)  Zveck»  •■fiJkll 
In  ibr  i«l  di*  b^iobeit  dnrcb  einen  Punkt  bes«ickact 
(es  bonuDen  äo  bu  zu  ti  rimkte  Teraxnigl  vorX  <bc  10  4br& 
«iu  0.  tl.  fa.  durch  ettieii  Krct»  mit  l^kl  dnrni.  die  Znbl  Sit 
durch  rr  Co.  Die  Inscbrill  lUiomt  sta  d«r  Zcsi  Ali  ■■■in 
oder  einer  weuig  »j^ierbu  2eii.  Trotzden  tindoB  wir  S^  üt 
Zakl  10  CIO  Zeiciten,  dw  aoost  nur  ia  aebr  alten  hmhfiammhi^ 
InacbrifLpn  ^ow^  Mittbfihiiig  des  Hemi  ColUe«  Hvaanlt 
in  gleicber  Bedeutung  vorkommt  Annnrifaiu  kt  die  KJnknii 
in  dervelben  •IterihOnüiehco  Wceie  bemickaet,,  die  m»  bsnöl» 
aus  der  Bezeichnung  igTptüd»er  GetnUaninaHi  (t]^  obec 
p.  ütki  f.)  bekaoiil  ütt,  und  di«  wir  anf  nmenn  Dodeknidcr  a»- 
wi«  Ulf  einem  der  Gewichte  Tom  Monte  Lob 
In  ähnlicher  Weite  wird  neb  in  einer  (an 
5.  JabrhuuderU  datirteo>  InMviihß  run  Halikimaw  der  i 
alberth  am  lieber  Zekbeo  erklftrea,  dem  Dedantnin  aocb  aä^ 
Djit  >Si<.lieiheit  ft±)tal«he.*)  Die  beiden  Zeickan  AA  in  ier  ff«r- 
letzteu  Zeile  haben  rielleicbt  die  Bedwilna^^  n»  20,  iaAvB 
auch  hier  dameib«  ig3rpti8cke  ZeicJim  A  rorkotamt,  wm  anf 
uiuereu  Gewichten  nnd  auf  dem  DodckaSder  nm  Moote 
Zaieheo,  da«  fibrigcnt  ancb  bei  den  Pbdnikeni  m  git 
Dg  gebraucht  wurde  irg\.  unten  p.  693). 


iIiT  Itiinrhrifl  flnilrt  iBUi  Imü  Will« ib.  tl«  ilnu-* 
LInML-  M,  KM  188B. 

- 1  n  •.  L  O.  ftiu  Bf'hlotfif  'im  AliheniJlaftc.    A 
Ut  «1  lk*Kuiu  «lur  IvUU-b  /«iUr  ein  Zeidien.  itmdAaai  nm  cwn 
Jthvr  niuuidfr  •U'hetulmi  Umatm,  ibr    '— '■    ■-(—<■  "  r*!.  «i....   ^' 
buDÜra   minii  (Vr'oicin    holt   r«  Air  •! 
ort*-);  .J^i 
rlirin  »ff 

drr  Kii«UBiD«<D  mit  . 
wani««,  iiitd  »wv  *».  l-K'-'- -■-....,:   -.. 


ameT»Iitia 


F.   Linäemaun :  Zur  (i^rtvhithlc  der  /WyrWfr  etc. 


IV70 


§  19-    Atilto8to  Beziehungen  Oberitaliens  zum  Oriente. 

Wenn  wir  in  §  7  7.11  dum  S<;hluMso  kamen,  da.««  dU-  XitFeni 
uu  r  dem  Dodekaedi^r  Tom  Monte  Luffa  mit  den  äj||;ypliscben 
X:tlit(>n  vurwiindt  seien,  fso  bleibt  uns  nun,  narbdciii  die  Oi*- 
adi'whiv  der  liewnhner  der  Po-Kboijc  soeben  kurz,  »klzzirt  wurde, 
ilif»  Frage  n^n  bebiuidela :  Welche  Verbindungen  dieHer 
Völker  mit  dem  Oriente  sind  nachweisbar? 

lUhens  Volker  treten  zuerst  auf  &gypttscbei\  Denkmälern 
in  die  Oe^ohichte  ein.  Der  König  Merenpthah  (MernepbUb), 
wuhnicheinlich  1281  —  1202  v.Chr.»),  hatte  da.s  wiwtlidie  Nil- 
Delta  i^e^en  die  Einfillle  ,der  Xordlüuder  aas  allen  Gegenden 
und  vun  den  Ländern  dt.'s  Meeres*  am  vertheidigen.  E^  scbeint, 
doss  es  sieb  bierbei  nicht  nur  um  gelegentliche  Seeräubereieu, 
sondern  um  eine  grosse  VfSlkcr-Bewegung  im  ganzen  Becken 
des  Mittel »ie«rei(  geliaudelt  hat.  Unter  den  Feinden  der  Aegypter 
wenlen  auf  alten  Deukmäleni  (Wundgemfilden)  die  Tur^cb, 
Scbarkrusch  (oder  Schaklasch)  und  Scbarden  genannt. 
Schon  lange  hat  man  dtei^e  Nümumi  auf  die  Ktrusker  (Tyrrhener 
oder  Tyrscner),  Sionlcr  (die  angeblichen  IVeinwohner  Italiens) 
und  Sardinier  belogen*)  Die  Schardaner  waren  schon  frOher 
wogen  ihrer  guten  Bewaffnung  und  nngeätilnien  Tapferkeit  ge- 
filrcbtetti  }*Lraten  und  treten  andererseits  schon  unter  Rumses  D. 
(1348 — 12fll)  als  Sfllduer  de«  ägypttHchen  Pharao  auf,  und  im 
Heere  Ramsei«' II L  (1240  —  1208)  nehmen  sie  einen  KhrenplaU 
unter  den  fremden  Si'ddneru  ein. 

Kine  wesentliche  Stttt/e  erhalt  diese  f-unächst  ttbernuchende 
UyiKjtbeso  dadurch,  das«  auf  SariUnien  eine  Menge  Alterthllmer 


*)  B«{  Aut,nilir  Arr  KAiii^itiinirit  iiiu]  dvi  Julueceatilt^ti  halte  iiL 
mirli  wt  diV  OtK<r»it'litli<li*'  tNirstdlutiff  ili»^'*r  V^Thaltnia^f  bei  nammrl , 
flpwhii'hti*  Ji»«  iilt*-n  Mr.i  1    I      ■         i      18'.»«. 

*)  Vül.  aie  l«-!i-.  [.1  ,.«.».  O.  p.  IIÖ.  w 

wit>  l'rrrot  rt  Cbipi*<x,  Mi>tmn«  »!•>  lart  dann  i  iLnti<|uJlv,  low*  IV, 
l'arii  18^.  p.  tft.  Ib^Nomliii-ii  fiu^Hlir-iitl  lit*tmtiil(Ot  lit  <Hrw>  Hrpothnf 
VW  W,  Max  MnM^r.  AntMi  uuJ  Knrnjia  imrl)  altAK5ptü*'l)<*n  IViik- 
iiialt'ni,  Tjfi|wi)t  WJ3,  |i.  871  ff. 


080  SiUunff  der  math.-j>hf/)i.  Cliusc  com  A.  lh*eihb<r  /tftf. 

voi'komnien,  welche  eine  uralte  Cultur  beweisen.  Die  tM- 
reichen  eigenthamlicben  Bauten  erinnern  in  ihrer  Anlage  äa 
das  Scliatxhaus  von  Mj-kene,  also  an  eine  mit  jeritiTi  ig3rpfciMdA 
iienmldeu  gleich  alte  E^mcbe.  Beeonders  aber  sivA  verscbieal^u 
kleine  Bronzestatiietten  in  Sardinien  gefunden,  welche  Krieger 
mit  FTelm  dar»t<*llen;  und  diese  IleJme  sind  in  gleicher  Wcüe 
mit  zwei  nach  voru  stcheudtm  flOrncrn  Tervelion,  wie  die  Heise 
der  ächurdaner  auf  den  ägyptittchen  Wandgemälden.')  >^rdtnirD 
ist  von  der  Po-Ebene  alterdiugä  zu  weit  eutferut,  um  für  oiuvre 
Zwecke  in  Betracht  zu  kommen;  aber  nach  W.  M.  Mnller*) 
sind    die    fragticlien    Uelnie    tltwrliuupt    für  diM    ülU^te    tLahen 

i  charakteridti^bf   und  die  Sarden  wfireu  nur  aU  Keprüentanfceo 
altitalischer  Slämmu   aufzufa^en.     Auch   auf  dem  Bruch^Qc^ 

r  einer    Bron^-Situla,    die   bei   Matrei   in   Tirol    (D5rdlich    rt«i 
Brenner)    gefunden   wurde,   ist   ein  »ulcber  Helm    mit  HSmern 

I  dargestellt.')     Diese   Sitnia   gebort   der   aogeoanntea    Fi^IUtaa- 
Periode  an,   in  welcher  zuerst  das  Eisten  aU  Werkxuetall  orWa 

>  der  Bronze  in  Betracht   kam    und  die  Hlr  Ofteritalien  eiwa  die 

\  er^  Uälfle  des  ersten  Jahrtausends  r.  Chr.  aosfUlIfc.  Der  Uetni 
bflbst  ist  offenbar  aU  Siege^prei«  für  den  dargest^ten  Biny- 
kampf  zu  denken;  aus  seinem  Erscheinen  in  00  nördlicber  Ge- 
gend kann  aber  nicht  geschlosäen  werden,  daa  daa  Vutk,  weichet. 
«ulche  Helme  trug,  in  dieser  Gegend  wühnta.  Wir  ■■■imii*) 
Tielniehr  aus  anderen  Grabfunden  and  ans  den  Darstetli 
auf  anderen  Situlen,  dass  die  Buwuhuer  dieier  Gebirgigeftei 
(die  Teneter?)  ganz  andersartige  Helme  benotsUci;    jen«   [W- 

I  Stellung   kann   ^ch  aliu  nur  auf  einen   importiri«n  Hebn,   der 
vielleicht  als  Siegestrophä«  auf  einem  Kri«f«ug«  vhvatet  wv, 

'beuefaen;   und   daa   feindliche  Volk   h&ttni   vir   wiiilei    «04tich 


>)  V  .:.^t  gnaast«  Weck» 

Krieg«   u       ^  "nr-hrtlifki  ^ms  \ma 

«OB  Ifjkrne,    Tgi,  a.  a.  u.  ood  äcaUr-tuaoD.   M.-kfnii .    '-ttHj  UTK 


!•'.  LnuUjHami:  JSwr  Oeeck^Ue  der  i\iljfeder  efc. 


H8I 


odor  westlich  la  Kuchcu.  Uebordic«  üt  der  hier  dnrgestcllt« 
Uuliii  um  mehrere  Jubrhimddrte  jünger  uls  jene  bildlichen  Oar- 
stelluugeii  Atjgypt«iiA;  und  auch  von  doii  iu  Sardinien  ge- 
fundenen Bronze'Stulueiten  mit  anAloKeni  Üulme  tut  c6  zweifel- 
liafl,  üb  mau  sie  iu  so  alte  Zeit  &et7^n  kann,  denn  die  anderen 
in  Sardinien  vorkouimeaden  ägjptiäohea  Altorthttmer  enUtanuneo 
einer  wesentlich  jüngeren  Kpocho,  eie  ttoUen  friUiaiteiuH  auä  dvr 
Zint  dt*r  20.  ügypiiiH^ben  Dyniutie  herrühren  (d.  i.  ca.  660  bü>  030). 
Immerhin  nm^  sieb  die^lbe  Hehufunn  durch  eine  lange  Zeit 
hindurch  mit  geringen  Modilicatiuneu  erhalten  haben,  so  daaa 
iHr  die  Mi.*niilüt  der  Surden  und  i^hardaner  cm  b'iher  Grad  Tun 
Wahrucbeinlicbkeit  trotz  mancher  ICinwürfo  bcäti'rht,  und  diuiiit 
auch  für  diese  ältesten  Beziehungen  Aegy piens  aur 
Westlichen  Uälfte  de»  Mittelmeerbeckens. 

Ganz  übnlich  Hegen  die  Verb&ltuisse  in  Betreff  der  Turiioo, 
auf  jenen  ägypLütchen  tiemälden  vorkommen  und  die  unter 
Rantses  III.  als  Si^räuber  die  Küoten  Ägypten«  und  äyriens 
plünderten,  dann  aber  aU  Söldner  im  ägyptischen  Heere  auf- 
treten. Allerdings  scheint  die  Identiticirting  beider  Völker  ans* 
ichliefiDÜob  auf  der  Aebnlicfakeit  der  Nsmeu  tu  l^eruhcn.  Alier 
ich  glaube,  daeü  auch  hier  ähnliche  Analogien  wie  bei  Jen 
Sbtirdanem  gefunden  werden  können.  Nat^h  den  ron  W.  M. 
Müller  iu.  a.  0.)  gegobennrn  Darstellungen  und  Bc^schreibungen 
besteht  die  Kopfbedeckung  der  Turseu  aus  einer  spitx  zulaufen- 
den Atütxe  oder  einem  üo  gestalteten  lleltne;  dersellM;  i»t  in- 
de»an  meistens  durch  einen  Teder-Aufsat/.  verdeckt;  und  letz- 
terer wird  durch  ein  diademartigeK  Stirnband  feKt^ehalten. 
Derartige  Diademe  kommen  ja  nuch  in  der  jüngeren  etnudd- 
&chen  Kunst  vielfach  vor;  doch  darauf  wUl  ich  kein  Gewicht 
li^n.  Anflaliiger  iat  mir  doa  Auftreten  ähuLicber  Feder- 
bekninungi-n  der  Kopfliedeckung  (und  zwar  auch  letztere  ganx 
verdeckend)  in  einigen  Damtelluugen  auf  den  mehrfnch  erwähnten 
tiitulen.  Wenigstens  scheinen  mir  die  Kopfbedeckungen  von 
drei  Wagenlenkem   auf  der  in  La  Certosa   bei  Bologna  gefun- 


B82         Sitntrtff  (frr  tMth -jihifif,  Ctaiue  vom  S.  Vrxvmbwt  MM. 

denen  Situta   von  Arnoaldi   kaum   andere   aofirufiUMn   m  «ni; 
und  elwag  ähnliches  ßnden  wir  aacli  auf  der  SünJa  von  WatMb 
t)ci  den  darge-tellten  Wagenlenkern.    l>efionders    bei  einein  Am^ 
»elliim.*)     Aosserdem  tsfc  bei  den  Egvptl'Krhen  Dürvtrltungvn  ^r 
Tursen    die   Gestalt   des  Schurzes    aan^lli^^.     Mit    aii^enscbeiD* 
lieber  Äbsichtlichkeit  ist  immer  der  nntere  Kani]  des  Sclran» 
HO  at>gebildf>t,   a1:!>  oh  er  vorn    länger   wftre  als   an    den  SalcB, 
nnd  in  der  Mitte  nach  unten  in  eine  Spitze  sttslaofe*),  wihrend 
die  Scfaarw  der  Aeg7i>ter  und  Sitrden    unten  doreh  eine  bovi- 
Kutitale  Linie  begrenzt  werden.     Dieser    seiht*  spitz   ■UAlnafendv 
Schurz  findet  »ich  nun  auch  auf  der  SitnU  Denrenuti  »ti«  Kvte 
lici  einer  Pervon    der   oberston  Abtheilung,    welche  mit   Vojfel- 
jagd    betcbäfligt  zu   nein   pcbeint;    überdies   ist  dieser   Scbor« 
durch  horizontale  Streifen,  die  parallel  dem  -t  f^ande  fef- 

laufen  und    also   auch   eine   nach  unten   gen-  -intee   aof- 

weisen,  verziert,  ganz  wie  ee  auf  den  Kgy]jti»cfaen  BiMern  rar 
kommt. 

Endlich  möchteich  noch  auf  die  beiden  timi   ' 
sprocitenen  (Jlrab^telen  aus  Pesaro  hinweisen,  anf  »t  t;^ 

kämpfe  dargestellt  werden,  und  Aber  doreu  hoben  Alter  dl 
Zweifel  nicht  zu  bestehen  scheint.  Undsct  Hebt  in  ihnen  «nei 
fieweis  dafür,  dang  »choii  in  der  mykeuificben  Culturepocbo  gm- 
tüäsche  Seefnbrer  an  Italiens  Oitkttäte  landt^teji  und  auf  dea 
Orabsteleu  uns  Scenen  aiu  ihren  Kämpfen  hintcrliesaen.  Näher 
scheint  mir  die  Anuahme  zu  liegen,  da.«  Qm;^ek«brt  die  Be- 
wohner Italiens  jener  Zeit  ficbnn  mit  dem  Meere  rertrvut  wann 
und  jene  Scenen  ans  ihren  eigenen  fCrlebnuaen  xur  Dant«lhing 


')  T((f-  •^•:  betreff«- ndeii  Ablnldnnccn  i.  H.  Un  Bertrand  «1  tt« 
q^ack  a.  a.  O^  wo  auch  ilt«  iHslreflWiuleD   aiivftllirlic^tnvii  PnMü 
iuuK>(^tM!D  fljnd  (p.  961. 

^)  V|jl.  die  AM'iMunCfii  )m^  Mulir^r  «- a.  (I,  md  iVrt«!  «4 
Chtptex,  t)M*oiu)(-rk  die  liant"l]0Ti|i  ilfr  &i*>*^i'hl»ii)t  i.  B.  lin  Krmab». 
Aef{7]it4^  tuid  Alfjptiflchi**  l.rUni  Uu  Alti-rthoiu,  \k  H2.  l>t  ^^  '  i^ 
Urr  iWik'ii  Mit  ilfu  oWu  crwlUthU!!)  rt;fur»fu  (p,  680)  tut  anrl  .J 

Utlfl- 

i,Ll.fin  far  KllH...l...-i.     Rl    IT,,    \^:i    (.SM 


F.  LhHlenninft:  Xur  (iamiHcMif  t/er  I\)iy<d€f  ttc.  ^83 

BmcnUtii,  allentin^K  dabei  lieuIiiHiiHtit  ilurcli  myliMinM-liL-  udvr 
urientftlk'clii;  Vorbilder.  Und  in  der  Tbiil  »timuit  die  O-sUlt 
der  abgebildeten  Schiffe  Qbereiu  mit  derjeui^^en  der  äcbiße  juuer 
Sardeu  und  Tur^ioii,  mit  denen  die  Konij^e  Aegypteuä  ^u  häniitfen 
biiiten.  Charakteristiscii  ist  der  luihc  Vordersteven ;  dprst-lU* 
besteht  auH  einem  dickun  Balken,  d«;r  nacli  auswärts  unuierk- 
licli  ^e^enkt  ist  und  oben  auf  dem  ä^yptiticlien  Geuiäide  in  einen 
Yogeikopfarlivftiu  Vorsprunir  i-ndei.  wiihrend  auf  den  Stelen  von 
PoMro  dieser  koptartige  N'orRprung  noch  mit  Hürnem  verheben 
isL^)  Auf  letzteren  ist  ein  Sttiiiermder  am  Hintertheile  der 
[lifft!  deutlich  zu  bemerken;  ein  solche»  fehlt  noch  uuf  den 
ypÜKL-heti  Uildeni;  hier  wird  rielniehr  (ebenso  wie  auf  den 
vurn  niedriger  gebauten  Schiffen  der  Aegypter)  die  Steuerung 
duKrh  ein  beäondeni  grosses,  seitlich  angebrachtes  Knder  bewirkt 
und  d«r  Ilint^rsteven  ist  nabexu  ebenso  Im>cIi  aU  der  Vorder- 
äteveu.*)  In  der  Zeit  zwiiichen  Itam^eH  111.  und  der  Au5rtellung 
der  Stelen  von  Pesaro  hat  nlsu  der  ScbitIVbau  einen  sehr  weseot^ 
liehen  Fortschritt  gemacht.  Und  wenn  wir  nicht  aimehra«» 
wollen,  die  Aogypter  hätten  bei  den  bildlichen  Darstellungen 
ihre  weniger  vollkommene  Art  der  .Steuerung  irrthOmlieher 
Weise  anf'die  fa'inden  Schiß'e  [ibertmgen,  nitl^scn  wir  scblieasen, 
datis  die  StelfU  von  Pesaro  einer  jQngeren  Zeit  angehören. 

Die^r  S<-hlu.<^li  wird  üadiircli  untenftQL/.t«  das  tticb  auf  den 

^)  i>wu  lüiulith  ist  ilcr  Vui*Ü4tr>t«vcii  ui  iniinr  liranzrucn  Vnlir- 
Iforkv  ;iiu  Sanliitk*!)  [vgl.  i'vrrut  it  Chipiv«,  u.  a.  O.  t.  4,  p.84l;  auch 
hier  ttndni  «ivh  die  Uorarr  suf  dem  Kopfr  df^  Tordirttevrnri  (aitrh  der 
MMlkorli  i-riniirrt  an  «IiV  \>vlr.  ÜjfjrpdM-h*-!!  l>iir»tenun(fiin).  wodarrh  Jlii« 
Hypotht<««*  nl"'!'  die  ShanlAniT  »•iii'«  tn'iie  Stfll/i-  timU-t. 

*)  UtiJtft  erwILlmt,  iIimm  twrctb)  CoT)eiitatiil(<  diu  Hr^hilfMliu-iilel- 
Inngitn  von  iN^mro  mit  üpnifn  der  Di|>ylaii-ViuM«  irnr|;1Echi*n  am]  nnf  ilie 
lüUnpfi«  nntcr  Uwnim^  11.  hiiig^wiemii,  «iv  aber  uicht  auNfUlirlittHT  br- 
«pr(V'li«:ii  Irali«-.  Ph  AW-i:  Artteil  uicht  iitüier  bt-^ühn«-!  txl.  Iioiuilt'  ii.'h 
m*  ni"*lit  imili''r''lit"ii,  —  Mellii;.'  Iwtnvi'lif»*!  ili-n  Typim  der  ln*»iintnlirneii 
S4-hiff(<  uuf  (ItMi  lijfypliwi'li»*!!  AKhildan^rcn  al»  rhBmktnrintixrh  fQr  iitlt<  A«t- 
lir'bi'ii  )ltltt<lnietir\t:ilkw  jcniT  7.eH;  in  lIidtfrcinMtfmmun);  mit  dfii  äcliil- 
il*Tdnt(t!ii  Hutan-'n  (Diu  hnnit>n*rh(t  l>^i«  an«  ilmi  |i«>nlcnifllrni  m-lAiit«^ 
1.  Antl.  Utpxitc  1A84,  p.  111  ff.|. 


fiS'l 


8U$ 


ath.-jihtfg.  ClagM  vom  5.  thMmhwr  t806. 


in  Pesuro  ilargeäU'llieD  ScbifTeo  ein  deutlicher  Ansatz  xu  ahwai 
anter  Wasser  beHiidlichen  Stachel  erkeimen  Iftnt,  indem 
Vurderbug  nntcrbal  b  des  oben  beschriebenen  voisp 
Balkens  mit  leicht  oonctivcr  KrQmmujiK  Kum  Waaserspienpel  ab- 
fallt. Solche  Scbifle  aber  flnden  sich  aaf  den  ViMen  aiw  dtr 
Gräbergruppe  vom  Dipyloo  iu  Athen  mehrfach  dar^gestellt  und 
kommen  sonst  zuerst  im  8.  Juhrlitindert  v.Chr.  vor. ')  In  ^ 
S.  Jahrhundert  wird  man  deshalb  aucb  die  StelcD  vhd  Phbr 
aefaeen  rnüasen,  TioUeicht  iu  eine  etwas  frfihere  Zeit,  da  die 
ersten  biMHcheti  Dars>telhiageu  tüu  StacbelürhifTen  (Kelicf  aoi 
einem  l'ala^ste  deä  Sauberib)  nicht  uothwendig  mit  der 
Einführung  des  StochcU  zusammenfällt,  nnd  da  die  B0I 
tung  des  hohen  vorapringendcn  VordersterenB,  der  die  Wirktutg 
des  Stachels  nur  hindert,  andeutet,  dast  zur  Zeit  der  Stelen  tuq 
Poearo  der  Stächet  iKioh  nicht  lange  in  Gebranch  war. 

Zu  dieeer  Zeit  herrschte  in  Ober-Italien  die  reich  ent- 
wickelte CuUur  der  sogenannten  llalUHatt-Penode,  wie  aie  durch 
zahlreiche  Grülierfrlder  bekannt  iiit.  Nicht  leieht  irt  es,  die 
Annahtue  der  Identität  zwischen  Turven  und  Etrasifem  mit  der 
tittr  Italien  gobränclilichen  prähi!'t<irL5cben  Chronologie  to  Sn- 
klang  XU  bringen.  Wie  oben  erwShnt,  setzt  man  den  Uq^ins 
der  Hallstatt- Periode  in  Ober-Italien  tu  den  Anfiuig  dea  enfan 
Jahrtausends  v.  Chr.;  für  die  vorhergehende  eigecitJiche  Brom^ 
Zeit  hat  man  nur  verhältnissm&ssig  wenige  Funde;  Branar* 
Geräthe  und  -Waffen  treten  zneict  am  ScbloBK  ^r  Periatt 
der  Terramaren  attf  (vgl.  oben  p.  G7!),  aber  nicht  in  erh«4K 
liehen  Mengen,  ^wiacben  dem  Ende  dieser  Periode  nnd  dem 
ßegiuu  der  durch  da;»  t^rA»;  (weun  auch  noch  sfiärUclie)  Auf- 
treten de«  ICL-ieiM  charakteri<irten  Halktatt^Zelt  «cfaeint  ein» 
LOcke  za  basteheo');  es  fehlt  der  oontinniHtcfao  febergmag. 
Xach  :.  };  wanm  jene  fremden   VjUker  dei 


W^ 


l,  ^  ...  _  it..  _i  .       I.V.    D- 


n<  war 
it.  dm 


K  Idm4*muam:  Zm  OtttkitkU  4«r  PtdftStr  de. 


«85 


Leder-  oder  Kapfer-Ströflen *)  gebildet  wmrd;  der  Scbore 
ebenfalb  doreb  broDr.ene  odrr  ktipfeme  BescKUgo  wider- 
sluidsfihiger  gcoiftcbt.,  der  8cbiid  mit  brooxenen  Xi^eln  beactxt. 
Die  Itaüer  waren  so  ioi  14.  bexw.  12.  JahrhundeK  beaaer  and 
xwesfasiastger  bewaffaet  bU  di«  Aegypier*);  and  dmrvof  benifal« 
ibr  Werth  ab  S5tdDer.  Uierans  folgt  aber,  da»  sebon  in  «o 
frfiber  Z«it  in  Italien  eine  aoa^büdete  Metall-Technik  vor- 
banden war,  von  der  wir  uns  ans  den  Orabfuadeo  kein«  Vor- 
stellung bilden  können.  AJlerdin^  iat  die  ErälcDX  einer  a«f 
die  Steinjteit  folgenden,  and  der  BroBseaeh  rorbergefaendaD 
Kupferperiode  aoeb  fttr  Italien  kaum  zweifelhaft'):  aber  rm 
Aoidafanai^  und  dem  Fmfanffe  dieser  Periode  geben  vmt 
priUliatortBeben  ITonde  keine  Kande;  sie  köonea  ee  aodi 
kanni,  da  die  Kupfergerfttba,  als  die  Bronxe  aofkam,  vobi 
sicbor  allmählich  dem  Soiimdidigel  Qbergeben  worden. 

Möglich  bicdbt  ee  immer,  da»  tnkt  nancber  Analogien 
ood  trotz  der  AehnUcbkeit  der  Namen  jene  Feinde  der  Ig^rp- 
tisehea  Herrv'-her  nicht  aus  liAÜen  stamntea.  Wenn  man  aber 
der  Ujri>otfaese  Ober  die  ifcalisrb«  Abstaounmifr  dieser  Seeräober 
end  ädldiier  misUmmt,  so  mnn  man  anch  die  Anfinge  der 
Bitnneiini  bis  in  das  13.  Jahrhundert  t.  Chr.  xurOelnrerlegeo. 
Die  Doraiellnngen  auf  den  8teleo  von  Pesaro  und  auf  den  Ter- 
schiedencn  Siliibn,  die  wir  heraaiogeD,  stammen  deshalb  nicht 
aus  gleich  alter  Zeit^  sind  uns  rielmehr  fgleicbwie  die  ftlteeten 
AlfeertblhMr  ron  8«irdinien>  einerwib  Zeugen  fftr  ein  ttagerc« 
Kortbostehen  gleicher  Tnirht  und  Kopfhed^Tkang,  geben  uns 
luidereraeitii  einen  Deriebt  Aber  inawisbea  stattgcfundene  Aende- 
nmgcD  and  VorroUkommnungea. 


'i  :  mm  Bcbntir  Arj  Ilru^t  flndcn  meh  Qtiri^HA 

iti  *««.»;  ■    -  -t  SoWsten  dct  »rttN^n  IC^t'.K/.»  (r«  Hiort  i-i- 

IMO  f.  Chr.):  titU  griaaoB  a.  a.0.  p,MI. 

«)  VjH-  W.  M.  Maliern.  ».O.  p.  SSS. 

^  Vtfl    u i;..     Uuch  ntul  Virrbow  in  IVl.  U  (mm  Potun, 

I  lUL  14)  der   '  ii«r  uithnifN»ki)eiiKlifv   iraM-Uidttfl  in  Wirn 


ß86 


MOfA.-jAyir.   f^iutM   rü» 


SS  14.   Fortsetzung. 


Die  Phöniker. 


Uns  kaoi  es  Jaruuf  iiit,  die  Möglichkeit  und  W^faradiesii- 
lichkeit  der  Verbindung  Ober^ItAÜenfl  mit  Aef^Yfxfcfn  tn  aAr 
frnher  Zeit  nachxnwewen.  Ks  hrancht  eine  *nkhe  Verliindrmg 
nicht  direct  gewesen,  konnte  vielmehr  durch  andere  VÄJker 
vermittelt  worden  sein. 

Zuerst  kommt  hier  der  m^kenieche  ColiorlErevi  in  Bi*- 
tracht  Schlieiuann's  Ausgrabungen  in  Mykenae  haben  ihm 
»einen  Namen  gegeben;  er  amfa^st  gonr.  (^t-liriochenlAod  on^ 
die  benachbarten  Inseln  de.«:  ägüi«chen  Meere«.  ^)  In  der  xwritep 
Hälfte  des  /.weiten  Jahrtausends  t.  Clir.  hatte  sich  hier,  wahr- 
scheinlich hervorgornfeu  durch  zahlreiche  HandelimiedcrlsantDgoi 
der  LMiöniker,  eiue  reiche,  unter  orientuligclitMn  Kinflnsse  sieheirfe 
Onltnr  entwickelt,  unter  der  sich  diu  ütiasere  Leben  reicher 
und  glänzender  gestaltete  uh  in  der  nachfolffendeu  hoOMfittliia 
Epoche.  Ein  Zasanimenhaug  mit  Aegypten  aDt«r  Katnaai  IL 
und  llamses  III.  ii?t  nicht  zu  bezweifeln;  und  in  derXhat  werd«i 
auch  die  Dnnaer  unt«r  den  beeiegton  Feinden  d«r  AcgjrpUr 
genannt.  Wenn  aUo  eine  Uebertragnng  mykeot^cber  Cnitai^ 
elenieate  nach  Oberitalien  nachgewitten  werden  könot«^  »o  «firdr 
auch  auf  diesem  Wege  da^  Auftreten  igyptücher  Zahl-Bflaweb* 
nungen  in  Oberitalien  erklärlich  werden. 

Schon  in  den  Terramaren  der  Kmilia  tindr^  «ch  6e|[a- 
stkode,   die   mit  mjkenüjchen  Farmen  verwandt*)   «ind    (Thai- 


1)  Vgl.  Scbliemann,  Mjrki*n»r.  Lfipcig  ISTd,  •nvirdü'  xcu«aii! 
btt^ndi'  iHin'ti'llang  bei  Perrot  rt  Ohipiet,  t,  VI. 

')  Vfi\.  nolbiff,  DieltAlikAT  d«  Poob«»\  p.  «»  ar      • 
atif  Mjkfnai'  vprwieMpn    wtnl.    Einp  Wrliindung  w  vi- 
ti'in    Lnndwt'tji'    »rtrhmi  ■  ■*  flrfä»"- 

•iiiil    in    B(Miüei)    gufui.  •     Zi'st'i'^ 

Ud.  23.  p.  3861:    von  dort    haUia   «ie  «et 

trctfii  aoch  in  flnV -t- 

'  (in  i)**n  (}nUi(«ni  i 


ilalivtlu 


(188 


SUeutu/  der  math.-jJiyit.  OfiUM  rom  S.  Detrmtfer  tSB6. 


einer  Vuae)   aus  Mykonii.   auf  ileru  die  BeUgeratiif  eiaer  9ktm 
zur  AnsL-haunng  «ebraeht  wird,  ihr  Analogon  gefunden.') 

Das3  dio  norditaliwhe  Cultur  von  der  sogenunnten  vayVt- 
ni9cli*?n  Cultur  beeinflnsst  wurde,  unterliec^  biemftch  tanir 
einem  Zweifel.  Soliwierig  bleibt  ee  nur,  cJin>m)logiä»cli  den  Zn- 
sammenhan^  her/uäiellen.  Jene  älteeie  griechische  Bpocht*  (Hitt 
durch  die  ätOmie  der  doridchen  WandemDg,  die  JohndsBte 
hindurch  andauerten,  eine  pt^tzh'che  Unterbrechung;  und  mu 
nimmt  au«  dass  diese  Wunderung  um  das  Jalir  1000  t,  Chr 
ihren  Abschlusä  fand.  Die  BlQthe  der  Epoche  von  ViiUnoffl 
und  Certosa  setzt  man  dagegen  in  das  11.  hesvr.  7  '  '  'iiodArt 
V.  Cbr.    Die  ältesten  Einwohner  Urierhenlandä  wm  h  dm 

Doriom  thcÜH  unterworfen,  theÜK  flüchteten  ne  an  die  fffiittn 
Klpitia-<i«*ii^,  uud  gul>ea  &o  zur  UrÜnduiig  der  durtigmi  Oolfmira 
und  zu  den  Kämpfen  Veranlassunjir,  von  denen  Üoiuer «  Geaäage 
unij  erzählen.  Die  Cultur  dieser  Auswanderer  entsptuch  fer- 
muthlich  mehr  oder  weniger  der  durch  die  mvltvniiRbcn  F'andr 
bekannten,  erlitt  aber  imter  den  neuen  VerfaäJtaiweii  tniuiclMriä 
Abwandlungen.^)  S<jUt«  sich  da  nicht  das  Anftnk«n  ton  Nadi- 
hildungeu  mykeuischer  Kunst  an  der  WesikQii«  de«  adnaliiliMi 
Meeres  auf  die  gleiche  Ursiche  KurÜckfahren  Isaseni'  Oft  ist  in 
der  Geschichte  die  Zerstörung  eioeä  uiEcbtigen  Reich»  von  der 
gröesten  Bedeutung  für  die  geistige  Entwicklung  der  Nachbar* 
iruider  gewesen,  indem  die  Auswanderung  gerade  der  fortge- 
scfarifcteneren  Elemente  des  alten  Landoi  hffraohtccid  aod  for- 
dernd auf  die  zurfickj^eblicbeneren  Nachbarn  einwirVt«.  So  inag 
auch  der  ZuKamnienbruch  der  .mykeuittcben*  Iteiche  ant«T  Amm 
Aiütturm  der  Dorier  die  Veranlassung  dazu  gi'Wttten  soia«  daat 
keimfähige  Samenkörner  mykcnischer  Cultur  theiU  iiach  Oolcn 
(Kleinasien),  theils  nach  Westen  (Italien,  riellticbk  auch  r^antf- 
nien)  auHgesLreut  worden;  und  iß  des  Fanden  Ob«ritaUefM  aa> 
dem  Anfange  des  er*ten  Jabrlaoamds  t.  Chr.  erkfaineii  wir  du 

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hwlaHAiV 


wad  üchofiA 


Wiv  ä^md  m  abo-  aü  4en  Zfthlseichea  ib  4er  lurtwlt»- 
Znt?  Die  ii|illimi  OrieeiMD  ■■haw  «■  Eai»  4s 
I  JalntuMnis  r.  Chr^  abo  ««Iraa  «dar  «löe^  mA  4m 
WamAunat  4ie  OifciiÜMiiliM  km  4m  PMaftim 
■ef)«  aber  Ober  4ie  voo  ikacB  ii 
m^is  vir  Muts;  wir  kfiosfls  n 

ci>  pBfiiMBMBiB  vsfiB.     Nocii  vMi^v  feBattiB  vir  mk 
m  4er  mykmimhan  MftAt  ■■■■^■i.    Wir 
An    rn-*^   im  0«yeft» 
'Selknft  «eteaackl 
Oiiwi^^hw,  räüiM^  vM  «kr  Syftwtiim 
!»«}  Qn«a  «der  aw  4ca  Hi»Dglfpbcfi  v4  fWiif  Tw'th— 
HaUvt«  bwimg^^aaitaa   var,   dena   li   ii  I  i     f««  4«  li 
KRte  «ad  adhfa^ha  Sairiwv  «Icber  Art  arf  bii  li 

«dMr;  ombcIm  tob  fliaan  «Bgm  TfalilM 

üachlalM  pnAo-aftrviivcliai  TiIiImiIwi  mme  whiirMiHi  V«aw 
waaiilM  tufl  tcagea  (vgL  nvtwi  S  16). 

Dia  lUiilii  Nackihcbteo  Qbcr  £t  Vfiftar  < 
Qri^rhMha^  lirfiifi  »M  4ie  i 
friedbehe  HwrfAbrgiafcgag« .  mm4ttn  mmt  kik^uäiW  Dvr- 
Mdkaa^m  mad  nm  bilAiek  IberMsL  Ahar  4otk  iA  te  ^e 
aieU  obne  4aa  Mfedaa  «Mklw:  viaUaMM  v«r4M  «e  VSlhv 
dM  WMtlMlMB  MittebMara»  aa  Ovaa  fiirfUm  in  Aw^^^tm  wmi 


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.ci  «. 


690 


fJittung  dar  wnth.-jihifM.  CiiUMe  muh  5.  ttetctmbcr  tSOK. 


SyrieQ  eben  durch  die  Bebannbchaft  mit  den  ron  doti 
tirten  Waaren  veranlasst;  Tielleicbt  gab  unigekelirt  die 
Bewaftriung  der  vestlichen  Seeräuber  ond  Söldoor  den  ht- 
wobnern  Aegyptens  bezw.  Syriens  Verantaasang ,  mit  an  m 
grösserem  Eiter  dJe  Handebtbßr.iehangeu  zu  den  we«Uicbec 
Ländern  zu  päegen  oder  anzuknOpfen,  am  die  dort  aiüf^ebildetr 
Metall-Technik,  bezw.  das  im  Westen  su  vennatheade  Hob- 
material  den  eigenen  Zwecken  dienstbar  zu  machen.  VielldcM 
waren  beide  Motive  gleichzeitig  wirkäara.  Aber  mihi  d» 
Aegypter  kommen  hier  ala  TermittelndeB  HaodelsvaUr  in  Ap- 
tracbt,  sondern  die  Hhöniker.  die  von  frühester  Zeit  an  dam 
Nillande  in  eng»t«r  Beziehung  standen. 

^^chon  im  3.  Jahrtausend  *)  und  wieder  im  Iti.  .lahrboDdcrt 
standen  die  Bewohner  des  Landes  Paotf  da«  an  dem  Dfem  dv 
rothen  Meeres  oder  noch  südlicher  zu  ftncheu  ist,  mit  Aeig3rtirteB 
iu  Verbindung,  und  die  Münner  von  Piint  euUen  dem  8|aaMBe 
der  l'h5niker  oder  einem  verwandten  semittsoben  Stamm»  aa- 
gehort  haben.')  Mehrere  Jahrhunderte  hindurch  (ca.  1900  bi» 
1600  V.  Chr.)  »tand  ganx  Uulerägypten  unter  der  H«rncbaft 
der  sogenannten  Uyksog,  d.  h.  semitischer  Nomaden-Vülker,  d» 
aus  Asien  herüber  gekommen  waren.  8ie  Uffvtört«o  «war  dir 
ägyptischrn  Denkmäler  und  Tempel,  aber  «de  Dahmen  d<jch  all- 
mäiilicli  iigyptiäctie  CivilLsntion  an,  wie  sie  nn^ok^rt  frinlfniil 
naf  die  iigyptischc  Cuttur  einwirkten.')  Dann  kam  die  Zeit  der 
Befreiung  Äegyptena   von   diesen  Fremden  aod  em«ute  BIOIW 

I)  Vgl.  Brufr»eh.  Die  Aofiyptologie,  pw74:  Kr»na  ».  a.  0.|k.CM.| 

.     ^  VkI.  Urug-oh  a.iL.t>.  p.  B»;  Paal  Sckiadcr,  pir  |Aflnfiiwl>  [ 
fflirankr  ili^lv  idC*.>,  p.  4  ff. 

>)  Vgl.  Uoiumr]   IL  ik  0.  p.  00  t«   [Irtj^kch   it 

mr •  p.eti.  r—  •  't  ^*  ■■-    »-■" "'■' 


I 


««r 


Käcli«**:    die  lUdd 


4cr  .Mfwrir 


«<>l 


Norden  mb;  Aäm  h«  aa  ^o  Bapfant  aal  ^n  S^rin  «vA 
voo  DcbatBHMe  L  Batet« acfen;  s  Mj^ea  fie  obc*  (p.  G79)  f«- 
rafartea  Biahrftebe  der  Volker  d«  Walas  (GriechoL.  Itaükv, 
KlriaaMtam»,  d»  Aaihmtea^  4er  Batikter-Hamdhaft  n  KaaMB 
aod  S7rie&,  dana  wirfer  4m  üiiwiakgiii  im<ia-h<ii  TTiiilnii 
Mit  ihM»  IL  <ca.  1300)  cni4  wiefaMto  fiafiafe  4ir  «Völker 
OM  WBMEBs^a  V08  vcIcMB  aia  fwahnosahd 
Phitiifter  aek  Umni  ia  Kaaaaa  iiliilulia  w ') 
«oMehea  Udaara  wlfciliBÜga  Bckfae  ia  SrnM  mtd  PalUiaa. 
oad  vam  9.  Jakrfcnaiefl  ua  bqpaaeB  diaa  £e  Kzieigarffpe  4er 
Aar*«-  aaek  Waitea.  £e  aü  TAaig«r  CJafttrvirlaag  4cr  fik^ 
BikMcka  Geknto  e^j^ea.  AWr  «b»  «vber,  iai  19.  Jafa^ 
iMadart,  Jariüin  ^  «aotndica  Vdlkv  m  Sytim  md  ¥  iii 
darch  Jahifcaadirti  oalar  hakrUaichf  FiH    i       Wir  «r- 


wW  4m  fUmkm  Jakrkaatete  Uateeh 

aidii  m 

ak   faatfbmebv  Gafcar 


£•  PkaaAcr  M  ikr» 
«kTvftrafaTMnl 


Tabaa  4s  Waüea 

3eifc4wlfilta4e«««i 
4i»  (^Sasker  («oa  ftdoe 


T.CW. 


ia4  aa  4(9  K«i«a  4c 
Sariiaäen,  Sfaaäs  oad  Xovdafirika.  Wie  ««|  ä»  «c&ia  aa  frA 
ikre  Paiirte«  aack  W«iea  aaAhntrii,  bü  k^  k^vw  ke- 
■tiiim     *er  ailem  4ia  Mitili  liri  i  <t]^  Aea  p.€39£.>£^ 


n  «olekea  tTatgriikwiitga»     Je  «Ar  ab  a 
^jr  '  .iaauJ*  4eB  Ji«4k  ftkenaksiada 


ärar 


II«««aI&«.<I.  |k.M.  <«•«•  ft«.4t  ^j 


1192 


Sitsung  ätr  inath,fi^^.  Clatte  row  &.  iHw^wt^tr  /AM». 


Seite,   durch  die  Aegjpter   andererseits    bedrftngt  wni^den, 
mehr  dehnten  sie  ihre  coloniaJen  Dntemehmaogeii  aus. 

So  ist  die  älteute  fi^riechische  (mykeDi<K;be)  Coltur-^tafe  im 
wßsenUichen  als  ein  AurAu!«  Hgypto-phOnikiseh^r  Beziehacgca 
zu  betmchten,  wenn  auch  die  eelbstständige  Entwirkluof?  vnoj 
KnnKt  und  Handwerk  bei  den  Griecheu  so  nAchhultiff  auf  dii 
Heniitiächen  Vermittler  zurück nirkte,  dass  man  heute  kaam  sagffl 
kann,  ob  schliesslich  griechischer  uder  pbÖDikischar  BinfloM  tfa" 
die  mächtigere  Triebfeder  zu  bctracliteti  ist.*) 

Von  Süden  nach  Norden  and  von  Osten  noch  Westen  hnkU 
sich  fast  aber  ganz  Europa  in  der  Hallstuttporiode  eine  sie»- 
litih  gleich määeif^e  Cultur  verbKiti't,  und  die  Phrintkcr  wmrm 
die  friedlichen  TriLger  und  Vermittler  derselben.  Dorcb  dir 
dorische  Wanderung  in  Griechenland  (rielleichi  glt^iehr«itig  mfi 
einer  ahotichen  Bewegung  in  ItaJien)  trat  eine  plötzliche  Stf- 
rung  ein;  gegen  Rnde  des  2.  JahrtansendlB  t.  Chr.  wurden  St 
Phöniker  allnir4blich  aas  der  griechischen  Inxelwelt  rerdriuigt; 
mit  um  90  grösserer  Knorgie  konnten  sie  denn  im  wcsÜkImo 
Mittelmeere  ihre  Ziele  verfolgen.  Das  wichtigste  Geecbcnk  ab«r. 
das  sie  (etwa  um  das  Jnfar  lÜOO  ror  Chr.)  den  frriechücha 
Stämmen  gebracht  hatten,  blieb  letzteren  erhalten  tind  wunk 
weiterentwickelt:  die  Schrift  nnd  ein  geordnetes  Mak««-  ead 
Gewichtssyatem. 

Die  phönikischen  Schriflzeichen  seihet  sind  vielletehttliri- 
wcir^  aus  den  ägyptisclien  hieroglypbtachco  oder  hieratMcbcB 
Zeichen  herrorgegangen  und  verdanken  ao  den  vielseitiges  EW- 
rOhrungen  beider  Vülker  ihrti  Enb»t«Uu&g.')     Wie   JiKer   war 

^J  Vgl  ni>lhi({  n.  a.  0.  p.  Ifi  ff.  Herr  Cotleg«  notim.«!  hat^U 
mich  dotvuf  »nfiiirrkonm,  üom  man  H>g»r  vmviiit  «rin  k..  iIm 

VeriiällniM  xwischim  <in*n-h(»n   im«)  ft-— k—    ■■    ■? --    :M 
g«k(>hrt  iH  di»nkeii,  *o  tittt»  hftwtert 


.1.' 


•  *:ll      .U 


iL.« 


tolcUi!  lHibnwdrt«rr  im  Urirrhiii(Jifn  h«ufi){nr  wwfilm. 

''  '■■  ■'    ^  '■-- ■    U7*r,:  Larffld  a- v 

aui  p,  CS.   r«rrot 


694         Sittung  der  m(i(A,-/jAyM.  Ctau*  vom  5.  Dutmlter  tB96. 

laiclit  in   das  S.  J&hrhniidert  xurtickreicbt'),    wirfl    atlrtttfnej« 
die  Zahl  50  durch  20  +  20  +  lü  wiedergegeben. 

Auch  über  das  Gewichtasystein  der  PhOiiik«r  felill  m 
Fflr  die  ältere  Zeib  an  direct^n  Nachrichten.  Wh*  irineii,  ^am 
die  Ucbräer  sich  der  babj'looischen  Gewichte  bedienten;  d«rau» 
kann  man  schliessen,  das  aacli  bei  den  PhÖnikem  das^eß« 
System  Kiiifirang  gefunden  habe*);  and  in  der  Tbat  lassen  sich 
die  späteren  griechi^cheu  Gewichte  ans  dem  babylonixben  fwr- 
leiten,  wenn  man  eine  mit  der  Zeit  geringer  werdende  Kornd* 
mng  der  Gewichte  (wie  sie  Oberall  im  Aiterifaum  beobacbtrt 
wird)  voraussetzt.  — 

Was  hier  über  die  coloniäirende  ThiUigkeit  der  PbOnilcer 
im  Allgemetoen  gesagt  wurde,  gilt  tnsbemodero  auch  Hlr  Ita- 
lien. An  der  gauzen  Westktiste  Italiens  waren  sie  die  Vor- 
läufer der  Griechen;  aber  nur  die  ausgegrabenen  Allerthßü»«* 
oder  die  Ortsnamen  geben  uns  tod  ihrer  Anwesenheit  und 
Thtttigkeit  Kunde.  So  bezeugt  die  erwähnte  Opfert»fel,  i»»  in 
Massilia  schon  eine  phöuikiache  Niederlassung  Torbanden  war. 
ehe  die  Phok&er  um  (300  t.  Chr.  sieb  dort  ntederKemen.  Di« 
I'büniker  waren  das  etdte  Volk,  durch  weichet  ObenceMeha 
Einflüsse  iu  das  eigentliche  Etrnrien  gelangten,  und  zwar  in  der 
ensten  Hälfle  des  letzten  Jahrtausends  v.  Chr.;  in  «piterer  Zeit 
(etwa  im  6.  Jabrh.)  nahmen  besonders  die  Kartiiager  an  diewa 
Handelsbeziehungen  lebhaften  Antheil.  Vennischnng  ng7pt>* 
sehen  und  a.ssyri»chen  Styles  ist  auch  hifr  für  die  Phuniker 
charakteristisch.  Seit  dem  Knde  des  6.  Jahrhunderts  wurden  öe 
allmählich  von  den  Griechen  aui  ihren  Stellungen  verdrängt'). 
Spärlicher  sind  unsere  Konntniasc  nber  die  VerbÄltniaM  aa 

ij  VrI.  Schröder  a.  »-  0.  p-  2S7  «. 

«^  Vgl.  Mrltcvr.  GwriichW  der  Kjirthttj<er,   \VL  1,  10T9i   |L  13- 

Hiiltüfli  «.S.O.  I».  <'-^'  ■■  ''•*'    '  '  '' no  tL».0.    lAfCi  ss^  "1» 

hier  crw&linU*  »«riBAi^  "'»•  t'«  •U«r*  tu  \inaAtk 

für  M'.Mt*-  ! 


y.  LiiHkmtmm  %w  fjf^ettl«  der  I^tltfetter  tte. 


ÖD5 


der  OatkOste  Italien».  Für  die  2.  Hälfle  dtt  5.  Jahrbonderb  t.  Chr. 
kann  am  Ifordeade  des  Adriatiscbeo  Meeres  das  Bestehen  von 
Beziebangen  su  Griecheolaiid  cacligewiesen  werden.')  Ea  üt 
wahracheinUch  f  dasa  auch  hier  die  Pfaflniker  von  den  Hellenen 
venlrftngi  wnrden;  denn  nach  den  1/nti^nfucbungen  Ton  OIk- 
hansen^l  war  diu  Mfltidungagebiet  des  Po  ron  Alters  her  ein 
Haupt-Lagerplatz  flir  den  Bernsteinbandel,  indem  der  B«mat«in 
von  den  Kilaten  der  Nordsee  an  der  Klbe  aufwärts  sich  hia 
nach  Böhmen  verbreitete,  ron  wo  dann  ein  Weg  afidwestlich 
die  Po-Mfindung,  ein  anderer  (der  sich  rieUeicfat  vereinigte 
mit  einem  Handelswoge  au^  O^t-Pretunen)  BfldOstücb  zur  Kalkau- 
Halbinsel  fiihrte.  Letzterer  war  der  ältere,  denn  schon  im 
lö.  Jahrhundert  findet  sich  Bernstein  in  den  Gräbern  von  My- 
kcnae;  in  Ober-Italien  tritt  er  in  der  Zeit  der  Terramarea 
zuerst  auf  und  in  grösseren  Mengen  in  den  Kunden')  der  Villa- 
nova*Feriode  (rgl.  auch  oben  p.  675  n.  688).  Es  i»t  kaum  r.n  be- 
zweifeln, dasR  die»  kostbare  Materi;«!  auch  die  unternehmenden 
Phüiiiker  früh  anlockte;  «e  werden  im  nordijptlii-hen  Ober- 
Itilion  ebenso  auf  die  Cultur  eingewirkt  haben,  wie  im  tüd- 
licheii  KLrurien,  d.  h.  auch  hier  xnr  C«|)ertragiing  orientaliächeo 
Stylea  in  Kunst  und  Handwerk,  sei  es  aa.i  dem  Mykeuittchen 
Gulturkreise,  sei  es  acta  Ägypten  oder  Kleinasien  und  Syrien, 
beiirftrftg.Mi   habend) 

UüA  Auftreten  babylonischer  Gewichte  io  so  frfiher  Zeit 
(vgl.  oben  p.  Of»0)  i^t  uns  eine  BestÄtignng  dieser  An.tchaunng; 
dM  Auftreten  ägyptischer  Zahlen  anf  diesen  Gewichten 


>)  V,fl.  S.  liol  MowolJocchi  IHTti 

p.  XII,  Psuli,   1  -  iiunletniHkiKhcii  .\  .  'i'üg 

18A&.  ]>.  67r,  Uelbtg.  Die  Italiker,  p.  läOf.  0.  Malier  ».tuU.  p.  Hl  ff. 

^  Vffl.  ONbftUKPn,  Zott»c)irifl  fQr  £tbnologiv  und  Crgi^scfaichtr, 
Bd.  »1,  1890  wnI  1U.  -23,  1891. 

*  :  die  U«?«wbime<aii  d«r  Uniiuo«'aU  um 

JttaKor«r  ohoritaliM'hrT  llulUUtK-3^1  «uia  Ori<>Dti> ;  auch  die  Aai>n]- 
BVni^  der  Fiifurtni  anf  «Jc-u  Situleti  utiü  diu  Ikartirlltmg  pbanUMÜM-hcr 
g«ll4^Rlu>r  ThiTv  iftt  «iHmtuluKh  Vffl.  tt«rtrand  et  Rrinsrh  B.a.0, 
K  IMq.  IM  ff.  onJ  LTDÜtrt.  Zweitschrift  Ar  Ktfanoloin«*.  Bd.a»,p.»rff. 


69S 


SUiUMii  der  •latA.-jAyt.  Ctaste  vom  A.  Oes*mhfr   tt/OC. 


leicht    fibersehen    wird.     Wie   viele   Einheiten    man    dnrch  wi 
neues   Zeichen    znsammenfasst,    ist   bei    ventchiedea«n    Vfifkern , 
sehr  Tcrscbieden. 

Bie  uähere  Betrachtung  der  ägyptischen  /ahtzeich^ 
Bcheint  zu  ergeben,  dass  man  in  ältester  Z«ii  den  Punkt  (rgl. 
oben  p.  666  f.),  später  den  yerticalcn  Strich  zar  Bejcetchsauff 
der  Einheit  iriblte.  Der  Punkt  findet  sich  aber  in  mnitipü- 
cativer  Bedentnng  noch  bei  höheren  Zahlen. 

Die  Zahl  2  wurde  durch  zwei  Punkte  oder  durch  ntm 
Striche  dargeätellL 

Die  Zahl  3  wird  ebenso  durch  3  verticale  Striche  «i«dcr- 
gegeben,  in  früherer  Zeit  wahrscheinlich  durch  li  Pankte.  wi» 
e.t  uueh  später  geschah ,  wenn  die  •{  ab  mulÜplioLtivrr  Indei 
Torkommt.  Danebea  scheint  aber  auch  für  3  ein  beaandeni 
Zeichen,  der  ücliräge  gestellte  Strich  \,  in  Gebranch  gvwcaoi 
zu  eeiu;  daFOr  haben  wir  zwar  keine  directen  Belege;  durcli 
diese  Annahme  werden  uas  indessen  einige  der  folgenden  Zeiehea 
n-rständlicb.  Dieses  Zeichen  fQr  3  dßrfle  auch  im  DeHioti«:bea 
(Tuf.  V)  erhalten  sein;  en  iüt  hier  der  Strich  nur  mit  eioccB 
ScbuOrkel  versehen,  um  ihn  von  der  Giiiheit  be^n^r  m  utUar- 
^beiden. 

Auf  Taf.  IV,  wo  die  zur  Bezeictinung  der  Monatstage  g^ 
brauchten  Zifl'ern  zusaxnmengi^teUt  aind  (vgl.  ob«n  p.  <$65}i  bflr 
dürfen  die  Zeichen  fOr  1,  2  and  3  keiner  Erklärung, 

Die  Zahl  4  irtin  Taf*  V,  Culumne  a,  c,  d  durdi  4  Strkbe 
4MK^^llt ;  schreibt  man  statt  deasen  i  Punkte,  ao  werden  d» 
•elbeu  sich  leicht  bei  schnelleui  Schreiben  xn  einem  korisontabi 
Striche  vereinigen ;  in  dieser  Form  enicheint  die  4  im  matfa^ 
mati<!clien  Papyrus.*)  In  Columne  d  tritt  ein  zwcNtes  Zeicb« 
auf,  dos  sich  auch  auf  Taf.  IV  findet  Es  ist  die  V.  -  -  r  aj 
eines   schrägen  Striches  /  mit   einc-oi    geraden    ^IT'         i 


'j  Vidi. 


F.  lAndamann :  Xttr  (renchicht«  der  J^diftdtr  9U, 


609 


Dbntflleui  Schreiben  in  einen  Zug  zusammen ^fezo^en,  also  3  -f~  ^  • 
kucli  in  dem  ersten  biemtischen  i^oichen  auf  Taf.  IV  haben 
mx  diese  Zerlegung  der  Zahl  4,  nämlich  \  und  I,  indem  der 
schräge  l:^trich  nur  anders  gegen  den  v**rticalen  gestellt  iat. 
£beaso  auf  Taf.  IV  in  der  demoÜKchon  Schnübweise»  \  und  3, 
wobei  der  letztere  Üakeo,  wie  bei  den  darüber  stehenden 
Zeichen  für  2  and  3  als  Zeichen  fOr  eine  noch  hinzutretende 
Einheit  gebraucht  ist,  wohl  entstanden  aus  einem  Punkte  oder 
»ehr  kurzem  Striche,  der  bei  ecboellem  Schreiben  mit  dem 
nachfolgenden  Zeicbeu  zusammengezogen  wurde.  In  der  That 
wird  in  hieroglyphischer  Schrift  die  3  durch  drei  vt;riicale  oder 
horizontale  Striche  bezeichnet;  aus  drei  horizouUten  Strichen 
euiätoht  aber  durch  Zusammenziehen  die  demotische  8  auf 
Taf.  IV.  Bas  erste  demotiscbe  Zeichen  fQr  \  auf  Taf.  V  kann 
ala  3  4~  1  gete.ien  werden,  indem  der  erste  Ycrticale  Strich  die 
R^iiibtrit  dHrslelll-,  der  andere  Theil  des  Zeichens  dagegen  die 
hieratische  3  ans  Colamne  d;  ee  »ind  nur  die  ersten  beiden 
Striche  verkürzt,  der  letzte  verlängert  und  schräge  gestellt.  Das 
zweite  deinoti^rche  Zeichen  auf  Taf.  V  äctzt  eich  wieder  aus  I 
und  /  zusammen,  ist  ahto  auch  3  -f  l* 

Die  Zahl  5  ist  auf  Taf.  IV  zerlegt  in  2  und  3,  ebenso 
»uf  Taf.  V:  in  Columne  a  und  b  stellen  die  beiden  Punkte  zwei 
Einheiten,  der  verticale  Strich  die  3  dar;  hieraus  iächeiut  her- 
vorzugehen, dasa  nrqirOngtich  der  Punkt  die  Einheit,  der  vor- 
ticale  Strich  die  3  bedeutete;  letzterer  mnsKte  .schräge  ge^^tellt 
werden,  als  man  dazu  flberging,  die  Einheit  durch  einen  ver- 
ticnlen  Strich  zu  bezeichnen.  Bei  schnellem  SchreiHen  werden 
die  beiden  Punkte  zu  einem  horizontalen  Striche  msammen- 
ge-/ogen  und  eni'steht  dfw  dritte  Zeichen  der  Columne  a,  üwa 
sich  in  Columne  c  und  d  wiederholt  und  im  Ueuiutiiichen  wenig 
Terundert  ist  (rgl.  ol>en  p.  6r»7).  Da  der  horizontale  Strich  «ne 
4  liedentet,  kann  das  letztere  Zeichen  auch  als  4  -f  1  gedeutet 
werden.*) 


I)  Letzt«»  Uratunß  findet  auui    bei  Uruftfch  (Nain«it)nim  ii|>nt| 
Ae(i7ptwi  dinnutifiorum  doctrina,  Borltti  1849,  p.  3HI,  der  in  anu 


700         Sitsung  der  math.'jJtjf».  Cltute  vom  S,  Dttwmiber  Hüft. 

Diu  Zahl  6  wird  auf  Taf.  IV  durch   zweimalige» 
des  Zeichens  flir  3  gebtlJet;  ebenso  uuf  Taf.  V   in   Colnmn«  b 
an    eniler    and   in   Coiumne  o   an   zweiter   Stelle.     Doa  zweite 
Zeichen   in  Culimme  b   wird  veretäntllich   als  gebildet  aus  rwei 
eiuuiider  pHraüelea  (uemlich  kurzea)  tichräf;en  Strichen  \,  die 
durch  eioeu    weniger  starken  Querstrich   verbunden   siiid.     Die 
anderen  Ziffern  für  ü   werden   am  deutliclisten  durch   dos  erste 
Zeichen    in   CoJumne   u   und  d;    hier   haben    wir    den    Jtohrige 
atehendeu  Strich  \,  oben  nach  rechts  luit  eijieni   rein  ornnmtm- 
talen  feineren  Seitenstriche  versehen   (wie   er  auch   hei  der  10 
vorkommt,   wenn  man  das  hieratische  oder  deiuotische  Zt^icheu 
aus  dem  auf  Taf.  IV  ang^ebeneu  ableiti:t,   vgl.  i>bäti  p.  655);, 
linkN  o)>eu  an  diesem  Seitenstriche  stehen  zwei  woikero  Sirich« 
denen    wir   nmltiplicative   Bedeutung    beilegen,    ko   daaa    6   als 
2X3   dargestellt   i«t.     Die   Zeichen   in   Cvluinne   a    entebehe 
wenn  (bei  «chnellem  Schrcibau)  der  Strich  \  durch  ^ 
tvird,   ebensu   das   dritte  Zeichen  in  Coiumne  b.     Mao   koonl 
allerdings  bei  dietneu  drei  letzleren  Ziffern  unni/hnien,    dass  d« 
liori»nntale  Strich  {^^  4)  mit  einem  feineren  Striche  noch  oben' 
versehen   sei,    um   eine  Verbindung    mit   den   beides   darDbcr- 
stehenden  Einheiten  herzmtellen ;  dann  kätteii  wir  hier  4  -f*  2  =£  C. 
Die  demotiscben  Zeichen  entäteben  durch  ÄbkUrKung  der  liiera- 
tidcheu. 

Die  Zahl  7   wird   auf  Taf.  IV    aus  4    und  Ü  additiv  ge- 
bildet.    Recht  deutlich    iät  die  «ntvprechcDde  Bildung    bei  de 
erätcü  Zeichen  in  (Jolumne  a,  Taf.  V;  die  4  ist  ein  horizontaler' 
Strich,  die  3  ist  dargestellt  durch  drei  Punkte,   von  dMion  der 
dritte  in   einen  Stricb  sich  verlängert   und   ao  die  \'et 
mit  dem  honz<^>ntalen  Striche  herstellt.    Noch  deutlicher  i-.;  ui>-^j 
Bildung   der  7    bei   einer   im  Papyrus  Kbeni    bcnutzteu    Ziffer^ 
ein  hon)M>ntaIer  Strich  und  darunter  drei  Punkt«').    Das  swaiU 
Zeichen  von  Oolumne  a  stellt  die  3  wieder  durch  ejnm  aobrtgeaJ 

luKiT  WoiAC  eine  Dfotuiif;  der 
7A-ivhvn,   bei   tierien  für  una  ili 
wowentlieh  wur,  l^leiLuii  btü  Uiiu  ttnirkUrt. 
')  Vffl.  Riseiilolir  «.  IL.  0. 


F,  iAndemann:  X%tr  Gimckidxte  ilcr  Paljftdcr  ttc. 


7Ul 


Strich  /  dar,  an  dessen  oberem  Ktide  ein  feiner  au^t^^ezogeuer 
Seitoiistricb  sicli  befindet  (wie  soeben  bei  der  Zulil  G),  an  dies« 
drei  ist  der  lioriKontnU  i^tricli  fflr  4  direct  angeftlgt.  Im  l'a- 
pyrus  Harris  ist  umgekehrt  üben  der  horizontale  Strich  fQr  4 
aoagexügen  und  daran  unten  der  in  ent^e^^entft^icetzter  Kichtun^ 
jbchrüg  goätelltc  (und  kOnere)  Strich  \  für  «)  anKeftigt.  Die 
brigeq  Zeichen  für  7  auf  Taf.  V  eaUteheii  durch  leicht«*  Ab- 
Hitdernng  des  zweiten  Zeichens  in  Cotunine  a. 

Dus  Zeichen    fflr  8  ist  in  allen  Fallen   eine  doppelte  4, 

Die  Schreibart  der  Zahl  9  wird  uns  klar  dorch  daa 
erüte  Zeichen  in  Columne  a,  Taf.  V.  Wir  haben  den  scbrü^n 
Strir.li  \  flir  3  und  daran  oben  links  drei  knr/*  J?triche  /ut 
Andeutung  vun  8  multiplicativ  aufzufassenden  Kinheiton  (nie 
»ie  beim  Zeichen  fCr  (>  in  der  An/aht  2  auftraten);  die  Zahl  9 
ist  also  «Is  3  X  3  dargestellt.  Die  übrigen  Zeichen  in  Cohimue 
a,  b,  0,  »lier  auch  das  hieratische  und  deniotische  Zeichen  auf 
Taf.  IV  und  das  demotJHche  auf  Tiif.  V  sind  tliirrh  flüchtige 
AuBfUhrung  des  zuerst  besprochenen  ZeichcnA  entbiandcn.  Die 
Ziffer  9  in  Columne  c  kann  indessen  auch  als  7  -|-  2  gedeutet 
werden.') 

Ueber  die  Zahl  10  haben  wir  beroita  oben  gesprochen 
p.  065). 

Die  folgenden  Zahlen  werden  aus  10  und  den  betreffenden 
Kinoru  7.itsammtinge.sotzt,  wie  in  jedem  dekadischen  S^»teme. 

Das  Zeichen  für  20  wurde  auch  schon  behandelt.  Auf- 
fällig ist  das  demotischo  Zeichen  auf  Taf.  VI;  Brugäch  glaubt 
darin  den  Anfangäbuchstabeu  des  betreficndeu  Zahlwortes  (t*aut) 
KU  erkennen  (im  Hierogljph Ischen  eine  Schlange);  wir  kommen 
darauf  scurtlck. 

Das  Zeichen  fOr  30  erklärt  nich  nach  dem  mnltiplica- 
tiven  Principe.  Das  zweite  Zeichen  in  Colutune  d  und  die  demo- 
tücbeo    Zeichen    auf  Taf.  VI   worden    vervtÄndliih,    wenn    man 


^)  DiM  letster«  Zaicheu  (T^-'Jf  komml    ia  noch  Jeiitlichf^ror  Am- 
flUining  IUI  Papyni«  Ebfir«  nur  Anwrndaug. 


702 


hervor.  "'''""->  Snt.t.lZ^'«^ 

t)  ^  **®*  2«^ 


F.  lAntiemithti:  Xttr  ÜekcH4eiHe  tief  iSMifcäcr  tle. 


703 


Vua  fiiieiii,  zwei,  drei  oder  vier  Punkten  die  Zeichen  fUr  200, 
300,  400,  5000  entstehen. 

Das  Zeichen  ffir  200  entwickelt  sich  tu  nener  wlbftt- 
ständiger  Bedeutung,  indem  die  2  Punkte  zw  einem  einzigen 
dickeren  verschmelzen.  Aus  ihm  entstehen  film  dorch  IteifUgntitc 
von  drei  \wr.vk\  rier  ['unkten  die  Zuhlcn  *i(M>  «nd  800.  Die 
Zahlen  700,  000,  nnd  im  Demoti«chen  auch  600  werden  da- 
gegen  mi«   100  pfebildet  durch  Beiftlping   der  Zeichen    fflr  7, 

9   1>07,W.   ti. 

für  die   Zahl  1000   (Taf.  VIII)   begegnen    vir  wieder 
einem  oeuen  Zeichen:   ein  horixontAler  Strich   mit  nach  unten 
gerichteter  Vertnngornng  um  rechtoii  Ende;   darflher  ein  vi*rti- 
I  caler  Strich  Kur  llervorhelung  vim  einmal   lOOO.     Die  Ziihhm 

^3000,  3000,  4000  entstehen  daraus  durch  mulliplicative  Striche. 
Ks  ist  5000  als  ;2000  -|-  3000  dargestellt,  wie  5  aU  2  +  !)* 
VN'ie  für  200,  so  ist  aucli  fHr  2000  ein  neue«  Zeichen  ein- 
Ipefllhrt,  indem  entweder  da»  Zeichen  ftlr  1000  (ohne  den  oberen 
vertioalen  Strich)  »weinial  wiederholt,  oder  diese  Wiederholung 
nur  durch  einen  multiplioativen  Strich  angedeutet  i>4t  (Columne 
c  und  d);  durch  Beifügung  vnn  drei  bezw.  vier  verticalcii 
Strichen  entstehen  so  die  Zeichten  0000  und  8000, 

Das  Zeichen  fUr  7000  in  Columne  d  tst  als  7  X  1000 
veretündlich.  Dan  enite  Zeichen  in  Coltimne  h  ist  gleich  1000 
X  (5  -f  2)  =  1000  X  7;  der  untere  Strich  am  zweiten  Zeichen 
in  Columne  b  ist  mir  nicht  erktiirlicb. 

Charakteristisch  ist  wieder  das  Zeichen  fQr  9000.  In 
Onlamno  h  ist  vh  ofTcnlmr  3.  (3.1000)  zu  lesen;  in  Columne 
c  und  d  dagegen  denten  zwei  untere  Striche  eine  Multiplica- 
tion  mit  3  an  (vgl,  oben  p.  ('>0G).  Die  demoUschen  Ziffern  anf 
Tuf.  VIII  stellen  dieselben  Zerlegungen  des  Vielfachen  von  1000 
dar,  ohne  von  den  AbkQrznngen  der  hieratischen  Schrift  (ir- 
hrauch  zu  muolieD. 


M  Auf  iler  tnViw  crwlihtiten  Utvhintiifr  |p,  0H7.  Ainu,)  «-{nl  da« 
Y^V'ht'ji  H)0  [(cliildt't.  intlmn  ilf<ni  /rf>ii')ifii  fi)r  100  •laoji'nrKv  fQr  5  nx^p*- 
(Ujit  wini,  wie  wnvt  hri  700. 


794 


Wi«  •■  WcäB 
winl  rar  10,000 


rngMiab 

Yfmmthchtm  dwMlbe.  — 

Bei  lien  hunüathm  ZödMH  te  «>,  f*0  nnd  90  w«^ 
aw  fDo  »  bfipigle  ikrUfanBanttvia.   &  wirf  «rh  MRifc». 

■Use  bortberfnaBiaea  irardflo,  aimlkh  Aem  habytuahi.hf 
£•  loll  daher  un«ere  nicfast«  Aofgab«  •ein,  4i«  Z«hl" 
xeieben  der  KeiUchrift  xn  erUuUrn.  Wir  kdeMa  mm 
djibcä  nnichii  uf  Cantor'c  QMfcidM«  4m  MrthiwaHV  he- 
rMhim  Man  b«t  hier  iwiM.iw  «md  ■  i—i ii liaMklwu  »rx»- 
güftiraAlen*)  and  mdir  folfatitiiikb«  decimalea  Sjr 
xa  oDiiTvclundcii. 

Die  Ziflem  d«e  l«ttfceni  «nd  m  Pi]^.  2  aal  Taf.  IX  dai^ 
fnldli;  dMnelben  bedOrfco  keiner  Erklänug  weiter;  mm  hat 
nur  ta  beacfaten,  daM  die  Kailaehrift  voa  linki  iMch  r«c]iki  iti 
lesen  iit  Beaoadcre  Zeiebea  nnd  vorhandpn:  Ar  die  Eiofaeit 
ein  Terlicaler  Keil,  ßlr  tO  der  Winkelhaken,  d.  h.  tvei  eeMg 
Kegen  ein«oder  g»ftt^i]u^  Keile »  für  100  ein  borinntoler  Keit 
nüt  einem  vertioalen  davor;  die  anderen  ÜUUan  werden  n*di 
den  IVincipe  der  Addition  and  Maltiplicatiaa  gebildet.  Sa  «rini 
K.  B.  200  durch  da«  Zeichen  für  100  mit  zma  Einheiten  linki 
davor  dargcetellt 

Kehrt  man  die  Hichtnog  der  Schrift  am,  denkt  iich  alen 
dsA  Zeichen  fßr  lOO  Ton  recbu  nacli  Unlu  gntcbrieUm,  en  be- 
■teht  ea  aas  einem  horizontalen,  nach  rechts  verdickten,  nach 
linl«  ZQgespit/.ten  Striche  und  einem  r  '"  ;  ''  iaran  lehnen* 
dvii    verticalon    Striche;    uvht    uiitu  .    w*«   n   hm 

■chnellem  Schreiben   auf  Papjnu  natOrlich  iai,   «wunnMO, 


')  Am  yffllitlladijigtf  dor^gdbhri  auf  iler  Thoatafol  raa  ätn- 
kenk,  auf  dwr  die  guadni-  nad  CubOnahl««  i]arf«4«4ll  «ail.  Vgl. 
Caator  a.  a.  U.  p.  7i  ff. 


h\  /^iMfeMORn;  Zw  Otsshichte  der  i\Ai 


f^J^ 


70Ä 


ÜsL  dies  genau  dos  faieratiacbe  bezw.  demottsche  Zeichen  für  lOD 
l(TAf.  VII).  Abgesehen  von  der  Tcrächiedeiieii  Elichtung  der 
iBcbrift  und  dem  durch  di«  Verschiedenheit  des  Materials  b«* 
Idingten  Charakter  der  >ScbriflzUge  ist  daher  da»  äg^pti»cho 
IZeicheii  fUr   lOÜ  identisch  mit  dem  babyloniüchen. 

In  der  KuitäcLrifi  gibt  es  kein  bt»<)uderes  Zeichen   Hlr  1000; 
l^iette  Zahl  wird  vielmehr  als  10  X  100  geschrieben.    Dasiielbe 
[ist  auch  im  Aegyptischen  der  Kall.    Die  Zeichen  ft\r  2000, 
[300U  U.S.  f,  in  Cnlumne  b,  c  and  d  auf  Taf.  VIII  zeigen  nüni- 
|lich,  dik»  die  am  Zeichen  für  1000  nach  recht8  unten  verlaufende 
Verlängerung    eigentlich    die  F'orm   eines  Winkelhakens,   d.  h. 
genau  die  Korm    der  babylnniüchen    10  haben  »lotite.     Auch   im 
AegyptiMcheii  wird  dalier  1000  uU  10  X  100  geschrieben,   und 
[das  dabei    benutzte  Zeichen    für  10  ist  mit  dem    babylonischen 
l  Zeichen   ideatiäoh.     Wenn    wir    oben  die  KrkUrung    der  ägyp- 
tiitchen    Zeichen    für  50  und  70  dadurch    ^twnnnen,   daas    wir 
diesellteu  5  X  10    und  7  X  10  lafien    und   do-s   Zeichen    fQr    10 
Ulli  00^  gedreht  dachten,  m  erkennen   wir  jetzt,  da«  die»e  ge- 
drehte  10  eben  keine  andere  als  die  bnhylonisclie  10  war.    Tnd 
Im  wird  wahrscheinlich^   daas   auch  das  hieratische  Zeichen  fUr 
10   nur   durch    eine  Umstellung   des    l>ahy Ionischen    eiiLstanden 
sei.     Kndlich  wird    uns   jet^t  auch  dtu    hieratische  Zeichten 
für  40  hesrttrr  verstÄndlich.    iJer  in  Cüluinnc  a  über  dem  hori- 
Kontalen  Striche  angebnu'hte  Haken  ist  nämlich  nichts  andere» 
nlä  eine  babylonische   10,   bei    welcher  die  Spitze   nach    rechts, 
^«toU  noch  linkä  gerichtet  iat^  ao  daaä  doi  Zeichen  &U  4*10  zu 
ist.     Bei    den   jQngeren  Zeichen   in  Columne  b,  c  und  d 
I  ist   bieraiifl    ein    Punkt    oder    ein    einfacher   kurzer  Strich    gc* 
worden. 

Damals  allerdings  (p.  G65)  fastttun  wir  dm  auf  Taf.  IV 
gegebene  Zeichen,  den  schrägen  Strich  /,  aU  das  ur^prOnglich 
für  10  angewandte  auf.  .-M>er  auch  dies  finden  wir  im  Baby- 
loni»:hen.  Auf  den  Thontufeln  von  Tello  nämlich  (Tempel- 
rechnungeu  aun  der  Zeit  der  xweiteo  Dynastie  von  Ur,  d.  b. 
etwa  nu»  dem  3.  Jnhrtaiuteiid  r.  Chr.)  hat  der  schrilgo  Keil 
V.   bei    der  Angalie    von  Flöchenmoasaen    die    l^duutung    von 

IlM.  Matli.  FliTK-  <)   *  '10 


yiMfciiHii  M«  4m  aCH  TWü»  Ab  nfehetUMSses  Gaii.  De»- 
^  HMStak  «V«  ■M«£i^  oar  in  Zünssnrr- 
1 4*  iSlfiimkM^  roa  3  ttusrlireiben  < 
,  4»  IndbM  llr  5.  6.  7.  9  aui  erkuns. 
Km  «Milfe  M  6w  t9«l  Ste^  «4  l  Sar  «uümlt  60  G«: 
W  «M  «»  «I»  ^imk  Y99Jim  «■  m  Vm  Gan  ist  gfock 
9M»  liiük  BhH^lM  Miib»  X  «^  V  vürde  also  di«  B^ 
;5«[ikwaHHak  «VBB  mm  «n  krfotbeti»che  i!linii«t 
iNa  |4M^  kj^  ib  «■  ««iIMh  nB&MMMM»  aaorhmüxi    irolh»; 

tik  öcfc  Dvdaal-  am!  Sen- 
▼mIümIi   durah- 

4ocb   dOrte 

SdillW» 

<m4  bei  dfa 

^  »lf3aodb 


y.  LiitHemtiHn:  %ur  tUtdUdUr  ihr  Voi^etUr  rtc. 


707 


ft 


Kndlich  der  rertioale  Keil  J  Kodeitlet  tmoh  U  e  i  .s  s  n  «tr 
'/m  = '/aoo  Öan;  wir  hatten  also  wieder  den  Verticalutrich*) 
zur  Bozeichnimg  Ton  5,  wie  auf  ansEirem  Dodt'kfinler  und  auf 
den  Steingewi  dl  ten  vom  Monte  Loffa.  K»  kann  nAtOrlicb  eine 
direkte  Uebertraf^tif;  ans  d<^n  KitestiHi  /eit«n  Habylonienn  nadi 
Oberitalien  kaum  in  Froj^e  kuiumen.  Es  bU*ibt  über  inimcrliin 
die  Möglichkeit  indirekter  Uebertrognug  durch  die  PhSniker. 
Denn  von  letzteren  1*^1  kaum  niiKunehraen.  daas  sie  sich  des 
durch  ihre  Inächrifteu  uns  Überlieferten,  äassenvt  nnprakti^clien 
Zahlensytctenia  bei  ihren  Handelsbeziehungen  bedienten,  ü^s  ist 
vielmehr  tu  vermutheo,  Aam  sie  anch  die  Zahlzeiclicn« 
wie  Bo  vieles  andere  von  den  Aegyptern  nnd  Biiby- 
loniern  entlehnten;  nnd  wir  haben  dufdr  ISeiäpiele  au»  aller- 
dings späterer  Zeit  oben  erwähnt  (p.  fl93). 

In  di<r  Thftl  scheint  ttich  auch  umgekt'hrt  ein  KinHiiss  der 
Pliüniker  anf  die  ägyptistlien  Ziffern  nachweisen  txi  lassen.  Bei 
den  Phonikern  hatte  die  Zahl  20  eine  bevorzugte  Hedentnng, 
die  Bezeichnung  der  Zabieii  gt*i«'hali  auf  den  erhaltenen  In- 
schriften nach  dem  Vif^eitimalsy^tenie.  In  Kfk'kincbt  hierauf  nnd 
auf  die  aeit  der  Hyksos-Zeil  vielfach  constalirten  KinHa<«e  dr^r 
Semiten  Vorder-Äsiens  auf  Aegypten  i»l  es  nicht  wunderbar, 
wenn  gerade  das  phönikische  Zf>ich»'n  fflr  20  von  den  A(*gyptem 
•ogenommeu  wurde.  Das  demotiache  Zeichen  ftlr  20 
(Taf.  VI),  welefaos  wir  bisher  unerklärt  liessenr  ist 
wirklich  mit  einem  der  fUr  20  gebräuchlichen  pliOni- 
kiitchen  Zeichen  (Taf.  IX)  identisch.  Dieoe»  lct7.tere  Zeichen 
winler  ist  «iw  /.wi^i  nberfinander  gestellten  babylonist^hf^n  fli- 
ehen für  10  gebildet,  nur  zeigen  die  Spitzen  der  Winkelhaken 
nach  rechts,  entsprechend  dem  rm?jt»nde,  dass  die  pliünikidche 
Schrift  von  rechte  nach  link»,  die  Keilschrift  von  liuk^  nach 
its  Ulaft. 

(Tnerklirt  bleiben   noch   die   hieratischen   Zeichen   fttr  (>0. 


')  Boi  MoitNn<tr  wirii  oia  horiwutalfr,  nn  beiden  Enden  vorHirktor 
Keil  aU  ü  g)>lo«eii,  itiiil  »war  tK-ini  Fcldnuuu»^  (a.  u.  0.  p,  I30f:  6  Kau  in 
Nr.  T4.  2ttUe  7.  Nr.  77.  Keile  1;    tioi  Heisvner  wird    a.  ».  O.  daM«Il>o 

bftD  anil^n  inUfrpn>tirt.     Vgl.  ulii'tt  p.  096.  Atmi. 

W 


708 


SUsan^  tUr  muM.-fAy«.  Cteun  eom  5.  ti€S4mther  ta9€ 


80  uod  <J0.  Herr  College  Hotnmel  macbbe  mich,  ol»  ich  ihn 
voratehundti  xVusfUhrangen  oiittheitt«,  daruuf  aufiDerkfiaai,  ds« 
das  Zeiclien  für  60  (Tgl.  oben  p.  t)68  f.)  mit  dem  habjrtoiuscfaen 
Zeichen  ftlr  '/a  eine  aulFallende  Aehnlichkeit  Imbe.  In  Fijf.  3«, 
Taf,  IX  aiud  die  Rltbabylonisclien  Brucliz^-icheu  för  '/a  =  */•• 
>/j  =  »jlg,  »/a  — *|b«  */»  mitgetbeilt.  Die  UebereinstiimuuQfC  iit  ü 
der  That  ^las,  indeaseu  et^ibt  sieb  daraus  keine  E^Irklärunfr  der 
»gyptiBcbcn  deichen  für  80  und  UO.')  UingeKen  scfaeitil  man 
auf  folgendem  Wege  zu  einer  KrklnrUDg  auch  dieser  leiztemi 
Zeichen  gelangen  zu  können. 

Von  Meissner  und  Lehmann  int*)  ist  ein  altbabjloflanlur 
Tlioncjlinder  des  Berliner  Kuseunis  publicirt,  der  eine  roUittn' 
digc  stufenweise  Aufzählnng  der  für  die  lloblmanäse')  gebrftnch' 
lieben  Ue/^ichnungcn  gibt.  Die  Liste  beginnt  mit  '.<  Kft  und 
sciireitet  dann  in  Sechsteln  des  Ka  fort,  so  daas  xaent  die  ebrn 
erwähnten  Brflcho  vorkummen.  Dann  folgen  gAnte  Ka;  und 
aU  neue  Einheit  10  Ka,  bezeichnet  durch  dos  in  Fig.  4  Tftf^  LX 
gegel)ene  Zeichen  (zwei  sich  rechtwinklig  kreuzend«  Knila). 
Dieses  Zeichen  10  ist  offenbar  identisch  mit  dem  oben  be- 
sprochenen (Fig.  3),  aber  auch  identisch  mit  dem  ftffTP* 
tiacbcn.    Hieraus  entsteht  die  Zahl  20  durch  llin/AlftiL  ^ 

weitereu  horizontalen  iStriche:^  (Keiles)i  30  durch  eitii  u  ^...lan 
solchen  Keil*)  n.  s.  f.,  bis  dann  60  Ka  aU  neue  Einheit  d«t 
sexagesimalen  Systems  wieder  durch  einen  verlicalen  Keil  ge* 
geben  werden.  Ks  erMcheint  dünn  70  aU  ttü  +10,  84)  «)■ 
00  +  20,  00  aU  00  +  30;  d.  h.  00  idt  dargenU-UL  durch  «nen 
rerii'ailen  Strich   und   daa  Zeichen    fQr  30    (ein  rerticolu-,  toci 


*1  Brugsch  gibt  a.  a.  0.  der  boricoutAlen  Liato  in  den  Zeidura  4a. 
no>  80  dl''  tlMeotnng  von  20,  wodordi  da* '  -^^  ab  i>c90 

onrhcint:  »tif  40  uiift  90  pawt  iadMMRr  •)'  Jit 

^J  Vgl.  beouudffv  •.Ue  ToTel  un  8^'btiiMi!  de»  ciUrtuu   W^rkna. 

*)  FOr  lien  Hoadel^vitHtubr  dar  ftUwlon  XtiH  «unm  iXlP  Mirhlni— ■ 
iiOimlrtir  TOD  vuil  irrOaserar  Bctirutiing  nU  <)in  <iowirhU>:  in  iftath.  IV 
|)>riiM  tiadru  «ich  lu  B.  vide  AiifKvl>vn  üb>>r  HnhlmiiMii.  aber  kidiM  Utvt 
ifcwirhl««.  —  Vjiel.  audi  Kiiiutilulir  a.  a.  u.  }i.  156. 

*\  Alm  geiiAU  itArli  ilitu  (Qr  ddt  hicmtiarhivi  'tHrhtea  «nMUasHMMiNI 
Principe, 


4 


% 


F.  lÄntJrmanm ! 


'■enehiehlt  iUr  l^ttj/etUr 


700 


d»w  ti'tnKontnlen  Keiton  i^ptroffener  Keil).  Drehon  wir  nun 
dieses  /eiche»  um  QO^^  so  entsteht  genau  das  hiera- 
tische Zeichen  für  flie  Zahl  OO  in  Cnltinme  n,  1»,  c,  d  auf 
Taf.  VH):  es  ist  dabei  die  Drehung  um  00°  ebenso  anzuwenden« 
wie  bei  dem  Zeichen  fflr  10. 

Do&selhc  Verfuhren,  angewandt  auf  dart  soeben  t>csprochene 
bub)-t(>ni.si.'he  Zeirhnn  ftlr  :^0  liefert  nicht  die  HgvptiscIiD  'tO, 
Rondem  die  Ägyptische  60.  Diese«  wird  dadurcli  erklÜrltcb,  dafts 
im  hahyloniachen  MnassüyHt^ni  immer  zwei  ver»chie*lene  Ein- 
lieiten,  von  denen  eine  die  doppelte  der  anderen  ii<t,  nelwn 
eiminder  hergeben.  So  nnterocheidct  man  leichte.'*  und  scliwere« 
Gewicitt  und  b«i  den  LängennuL'weM  die  Klle  und  die  Doppel- 
clle*);  wahrscheinlich  galt  entsprechendes  för  die  Holilniasse, 
womuf  es  Übrigens  bei  Beiirlbeilung  der  Ziffern  allein  nicht 
»nkummt.  So  ist  alüo  aus  der  babylnniHcIten  30  die 
ägyptische  TiO  geworden,  und  ebenso  aus  der  babylo- 
uischen  40  die  agyptisclie  80.') 

Eigentlich  hitbeu  wir  nicht  eine  Ucbertragung,  sondern  nur 
eine  enge  Verwandtächafb  Kwischen  den  ägyptischen  und  baby- 
lonischen ZilTurti  nachecwiesen.  Wenn  man  indewen  bedenkt, 
da«  die  Zeiciien  fllr  60  und  90  in  Babylonien  au-^  einem  con- 
üccptont  durchgeführt«!!  Systeme  lien-orgehiuit  in  Aegypten  aber 
kaum  Tor^ndlich  eröcbeiueu,  so  kann  kein  Zweifel  d)irQl>er 
«ein,  das8  die  Uebertragung  Ton  Osten  nach  Westen 
und  nicht  in  umgekehrter  Richtung  stattfand. 

Dieses  Resultat  ntimmt  mit  der  historischen  (dureb  Jiwepbui 
erhaltenen)  nebfrtieferung.   oadt    der  Abrsham   die  Recben- 


M  LhM  tleiDoli«diL>  Zeichen  fTlr  00  tut  ohfift  Sfhwiortjtkoil  nU  1)^(  H> 

'I  V'kL  LebmuDD  a.a.O..  Verbundlaoften  eta.  vom  18.  Juli  I806u 
•l  Die  deinotiwhf  CO  tint»tcbt  mi»  tlft  ttierali^chtiii  durch  flitohligi're» 
Sehreiben ;  die  demotinche  80  iit  kti  Vrnlopp^'liing  der  dnniotii»cbcn  40 
aufiaihMSU.    Zu   beuchten   ist.  da^«  Hn   «pOteiTK  hioroglypIuMcbn« 
Zeichen  filr  00  >  i  .  u   a.  (l  jt.  ZM;  i!»>  H..ii(jt',  a.  a.  0, 

p.  imt  ilnn-h    r^%  '-n    fdiu  eini*   OWr  ilcni   atidirn)  de* 

kioratiacbKn  Zrichfti«  cnUtirbr,  tu*  nb  Irtzt^rt»  lU«  SO  «uff^^fuil  v&re. 


710        8Ü8uruj  der  mti(A.-/Viy«.  Clatst  vom  3.  DtMoAer  ffiMT. 

kaust  von  den  Ohuldäern  zu  den  Aegyptoru  gebracht  iiAbe. 
Da  Äbrahuiii  uiu  1900  v.  CUr.  lebtö*),  so  kanu  liirrb«!  tfrhi 
Name  allerdingti  nicht  in  Betracht  kuuimen;  wir  sehen  in  diowr 
UeberlieleruDg  nur  eine  BeatAtigung  der  Thatsache,  ^'  N 

zeichen    (und    Rechenkunst)    durch    Vermittlung    i»en 

Völker  von  Babjrlonien  nach  Aegypten  übertrugen  wurden, 
auch  schon  lange  vor  Abraham. 

Das  Auftreteu  der  |ihöuikificheu  20  unter  den  deuui'.i^thfi^ 
Zeichen  ist  ein  fernerer  Beweis  für  den  semiti^lien  Kinllu»'. 
lin  späterer  Zeit.  Dass  dieselben  Semiten  die  gleicheo 
(nämlich  bubyloniäch-ägyptischen)  Zeichen  aoch  coeh 
weiter  nach  Westen,  z.  B.  nach  Oher-ltalien  vorbrol* 
teten,  wird  hiernach  nicht  als  aufT&lhg  erscheinen. 

Das  ägyptische  Zeichen  f^r  GO  wurde  vielleicht  aneh  de»- 
bulb    gern    beibehalten^    weil    dosbelbe    mit    dem    pli'  u 

Buchstaben  IT,   der   in  sehr  mannigfacher  Form  <-'-   '         ,  iw-t 
identisch    ist«   und   si-imit   KUgleieh   den  Anfangsb  a  d«i 

betreflfenden  Zahlwortes  (DITI?)  darstellt.*)  — 

Die  kunc  erwähnten  und  in  Fig.  3  Taf,  1\  dargnsteUten 
Bruühzeichen  laicHin  sich  Qbrigens  vielleicht  in  folgroder  Weit» 
erklären.  Der  eine  horizonUile  Keil  bildet  das  allen  GeioeiB'' 
aame.  £r  wird  durch  einen  verticateo  Keil  halbirt,  m  est- 
steht  naturgemäss  das  Zeichen  für  Vi*  Zwei  verticale  Kiila 
ihoileu  den  horizontalen  in  drei  Theilo;  das  gibt  diM  'Ita^hm 
für  Vs>  Bei  dem  Zeichen  für  '/i  ist  einer  dieser  drei  Thotl* 
darch  einen  beeonderea  kleineren  Keil  markirt*)«  um  aozii- 
deuten,  das  dieses  Drittel  (gemäss  den)  wiederholt  •rOrtnrkMi 
nmltiplicativen  Principe)  doppelt  zu  nehmen  sei.  Zu  ifioNOl 
*/3  =  Vo  hätte  man  noch  Va  hinzuzufügen,  um  %  xu  erhalten; 
es  wäre  eigentlicli  eines  der  drei  Drittel  de^  horizontalen  K«il« 
noch  wieder  durch  einen  weit^r'.^n  verücalen  Keil  xu  balbirea; 


'J  Vgl.  Humuiul   tt.  a   I'.  i>.  oi  f. 

»)  Vgl.  Schröü»T.  PböniriM-hi-  Spnwhi«.  p.  IM  imd  Tat  B. 

*)  Die  UmfOiniDte  «iovi  äthchcn  tat  Turdupixtu&ir  i*l  mu  obca 
schon  bei  agjrpiwvhca  Zdcbeti  bcgvignet,  tgl.  |>.  664  u.  TOB 


>'.  Lintteiutitut:  Zur  U<m:hti:hlc  tUr  i^4yc<f*^  tlc,  7'^ 

U    (les.sen    lint   iimii    tiiuttu   (lur  äclion    vurliuniluiieii  K«?ilt)   m 

ItiinnUr  Wewe  vt*rtii>jiiH:lL 
Auffällig  ist  es,  dasa  für  '/t  und  10  iu  dea  vurliegenden 
altbAbyluoi-scheit  TlmnUfelii  rlatHrlbt;  Zeichen  vorknmrnt.  Aiiclt 
eines  der  pbüuiki%hen  Zoicben  für  lU  C^)  bat  auf  ctniskt- 
sciittn  MUuzen  die  Bedtmtuu^  von  */i  uiitl  zwar  itowubl  zur 
Bo7.oicbnting  der  Hüifto  de^  Didracliro«  (also  üquivulont  mit  X). 
alu  Hucli  unabbiui^ig  duvuii,')  Sollt«  iiicbt  das  pbruiiki^ho 
VigositiiulKj'^t«!!!,  iu  dem  20  aU  iiuuc  Kitilieit  bidmiidrU  wird, 
m  Yorgescliichtlichüt  ^it  eine  weitere  Verbreitung  in  Asiun 
gebubt  liaben,  tini  dünn  durcb  diu  äcxagcssiiuaUyiitetu  verdrängt 
zu  werden?  Die  KnUtfbiing  eineä  iotdion  VigediinaUtystfmtM 
könnto  man  6icb  düdurcli  erklaren,  duss  äcbou  in  tiobr  Trüber 
Zeit  vertictiiedeue  Moattaeinbeiten  (scLweres  und  leicbtea  Gewicbt, 
Kllu  und  Uoppelelle,  v^I.  oben  p.  t>t»0)  nelicn  einander  gebraucbt 
wurden.  V^  würde  dann  auch  ver»tändticb ,  we^ltalb  bei  den 
Phiiuikero  fUr  20  dtistieibe  Zeichen  (ein  Kr«ts,  vgl.  Taf  IX, 
'**iK'  n  gebraucht  ward,  das  bei  den  Babvloniern  aU  Zeichen 
fOr  10  vorkommt,  und  dorn  wir  in  dieser  liodeutung  bei  H«*- 
üprecbuug  einer  urgivLicben   loticbrtfl  bt^^^neten  (p.  U7ä). 

16.    Die  etniskiacben  und  römischen  Zahlzeichen. 

Suboii  Pauli  hat  darauf  anfnierkMtm  gemaobt  (oben  p.  640), 
dam  aufl  den  Zeichen  A.  X  auf  dein  Oodekaöder  (d.  i.  10  nnd  20) 
die  späteren  etruskiscben  Zeichen  fUr  ö  und  10  durch  Aendening 
in  der  Normirung  d*T  Einheit  (z.  B.  hei  Gewichten  und  Maiiwten) 
entstanden  f:eieD.  während  das  früher  fOr  5  benutzle  Zeichen  1 
noninebr  die  Kinheit  darstellt«.  .\uf  <«nind  solcher  dop[K>ltor 
Normirting  der  Einheit  konnten  wir  auch  da*  phönikische  Zfi- 
chen  fUr  20  mit  dem  altbabyloniichen  fOr  10  (vgl.  §  10),  dM 
ägyptische  fßr  (iO  mit  drnn  iLltbn))yloui»chen  fUr  80  in  Ver- 
bindung bringen.  Kür  die  b^trmtker  tindeu  wir  eine  directe  l)e- 
«tätigung   in   dea   8in»ki«oben  Silber-Mfinzen.     Deren   gibt  es 


1)  Vtfl.  Mnmmivn,  0(w«]iichli>  da«  rttmiiK'b«»  MaturwMin»,  p. S17 
und  aoi. 


TI2       ü 

b 

mW^  Reihe  ■ 
««r4^Chr^  4iet 


6   OBi 


lUb  Ml 


Ae  KödMB  A  «04  X  allodia^ 
iwtUM,  ■!«  tecfc  4mi  (ilibiwh  bä  4a 
■irua  lÜmM  «ai  OevidilsB  ipitar  cm«  m 
criiicifaa.  Auf  4cr  Pvrmylt  fca  ll*cltt  (*^a 
ima  mm  ZMirnkmiämiUirnj  «  i^  Aa  Mkmhwt 
rfaVorteOt»  «e  19  bocili  darch  X.  «e  3  dbs- 
W«tta  diMe  Vof^lprtuBade  aocli  a»  mMfi 
Zeit  ilunMa  mag,   Itat  öch  die  Abvc 


IwInelM  BedrabBDg  dcndbai  «rfclina  (vgl.  ofan  {i.  €77  1). 

Dm  ftof  dam   Ooddcaider   forfcuaiBH^r  raiili    Ih-  «* 
fiii4ai  «ich  io  «pUana  aü-uakiacbea  laaeknftaa  oicht 
faalijloDiadbc  ■oxagenmale  Tholiug  war  ia  V« 
falben,  und  damit  »oeii  die  Badwlnng  dicatr  ZakL 

Üa»  Zeicbeo  Ar  &0  ist  t  oder  if.     DMelbe  stete  _ 

a  deoi  agj)|diwibiiii  hMratitfchaa  Zaidiea  m  lUiiihuiig  (Taf.  TF). 
Maefat  man  ia  laUteiaai  die  drei  in  enas  PonkU 
laaÜMdta  Btrieha  gkieb  Usg,  ao  wird  iaMaHii'  4^;  ml 


■H  dm  Zeirfan.  X  («Utt  XX  »^  90)  am  A*m  fkrli««  M« 


rfW 


/•'.  JJndtmamn :  Xur  fieMkidüe  der  I '  >/ " 


ria 


irniTi  dii<  H<<iden  äuffierßn  Striche  wtedor  kf)rz(«r,  nU  den  iiiittlt'reii, 
80  bat  tiian  die  etruskische  Ziäur  TiÜ  «>  1^. 

Fnr  100  wird  ein  Kreis  mit  £wei  xu  eintinder  rechtwink- 
ligon  Durch messHm  (vgl.  Taf.  IX,  Kig.  6,  Nr.  35)  pfebraucbt 
Die  Kntjdehung  des  '/eichen»  ist  uiikUrt  TJelleichi  hangt  e»  mit 
einem  althnhy Ionischen  7«eichen  fßr  10  xuMimmen  (vgl.  olwii 
p.  G78).  Aach  für  tOÜO  wird  ein  besondere«  Zeichen  ftagegeban, 
dttH  fiber  anscheiuend  nicht  sicher  beglaubtfft  iU;  es  sidl  auf 
einem  f^tschnittenen  Karneol  vorkommen,  auf  dem  ein  Mann  mit 
einem  Abacufi  dargenteUt  ist.') 

(/harakLi^ristiäch  fitr  die  etmskiwhe  /•ahlheieichDiing  ittt  die 
tftibtrautirr  Mi'thodi*,  die  wir  auch  M'hon  mif  dmi  Gewichtan 
und  dem  Dodvka^der  rum  Monte  LolVa  vorfanden.  Sie  baaiinid 
also  Mit  Hlteoter  Zeit  und  wurde  später  sehr  aintgehildet 
(z.B.  l'Xll^yß).  Auch  für  dieae  Methode  finden  wir 
Analoga  unter  den  &Ut>flton  bubrloniücheii  XaliUeichvu. 
Auf  den  Tafidn  von  Tello  werden  nämlich  die  Zahlen  9,  8,  7, 
19,  18,  17  u.  s.  w.  ab  10—1,  10  —  2,  10—3,  20—1  u.  s.  w. 
geschrieljen*),  wie  ex  in  Fig.  5,  Taf.  IX  d«r|f«8tellt  ist;  daii 
/«iciten  T*"  ist  dabei  als  lal  =  weniger  m  leeen.  Da  diew 
Tafeln  aus  dem  Ende  de»  dritten  Jahrtausend  r.  Chr.  ütammen, 
80  liegen  /wischfln  dem  Aofireten  dieser  «ubtracliven  Schreib- 
weise in  Amen  und  dem  Erscheinen  derselben  Sohreibweij««  auf 
umierom  DodekoSdar  mindestens  1200  Jahre;  ea  fehlen  jegliclie 
verhindLinde  Zwii«chongIieder,  Eine  Uebertragimg  von  einem 
Orte  zum  anderen  kann  dnher  nicht  ohne  weiteres  behauptet 
werden.  Insbesondere  i»t  eine  ähnliche  Bezeiobnnng  bei  den 
AegTptem  nicht  (tblich  geweäun ;  vif)  leicht  allerdingü  kann 
das  auf  Taf.  V  an  erster  Stelle  gegebene  demotische  Zeichen 
für  4 ,  das  wir  alit  M  4-  I  antfassten ,  aacK  als  5  — -  1  geteeen 
wurden,    indem  der  linkM  utehende  verticalo  Strich    dit*  Einheit^ 


>)  Vffl.  f»,  MalliT.  Dil?  Ktnukcr,  II.  p.  316.  Miwie  Corttten  n  u.  O. 
Bd.  i,  p.  40  (wo  die  Xtfii^liPii  für  Od  uml  100  riffr>nbiir  durch  mnen  8nl« 
fehler   »er  '     find).    Nach  JtfUtbeihillg  dwi  Homi  Ctdleftt-n  Kur». 

wILng^ler  !  o*ini|{  Art  lAJrhmn  aaf  dem  8t«inp  lohr  nn«ii«l)nr. 

*)  Vgl.  Hei«n«r  a.a.  0.  (dImui  |>.  7001- 


714  SiUunjf  tler  math.'pJt^a.  Ctiifte  roui  S.  ttaembttr  Ji/00. 

(1er  schmg  übende  Strich  mit  dtso  beidou  Puukttai  (unob  Ou- 
lumne  a  und  b)  die  5  darstellt.  Jedenfalls  musst«  sich  das  Oe* 
dürfniss  äor  Anwendung  dieser  Schreibweise  b«w>Dden  da  g«Ueod 
machen,  wo  zwischen  1  und  10  kein  fselbststindige«  Zahluseha 
im  Gebrauche  war,  denn  eine  8  oder  9  durch  ebttiMO  viele  ciBtfitB« 
striche  wiederzuf^eben,  war  ein  lästiges  Verfahren.  Die  Ktnukrr 
hatten  nun  ein  Zeichen  für  5  (uämlich  I  und  später  A);  es  vA 
daher  wahrscheinlich,  dass  »ie  das  subtractiTe  Verfohnm  fOB 
einem  anderen  Volke  annahmen,  das  ein  besonderes  Zeichen  Ar 
5  nicht  anwendete.  Bin  solches  Volk  aber  waren  wieder  dir 
PhÖniker;  und  Ober  die  von  letzterem  im  HandeUrerkebTe  su 
den  ältetit<.-n  Zeiten  gebraucbten  Zeichen  sind  wir  nicht  ttntor- 
richet  (vgl.  p.  693).  Ks  entcheint  daher  eine  Ueberlroguug  tdo 
rAsien  nach  Oberitalien  nicht  unmöglich,  ist  aber  nicht  uocb- 
weiäbar.   — 

Nach  dem  Vorgunge  von  Momm.sen  nimmt  Biaa  in  4et 
Ue^el  an,  daau  von  den  Rümern  die  Aspiraten  de«  ciwlkiJiMilw 
Alphabets  \{x).  O  (/>),  tr)(v)  als  Ziff'ern  für  50.  100  »«d 
lOoO  verwendet  wurden  ^J,  wobei  dann  V  und  X  unerkUit 
bleiben.  Schon  Kriedleiu^)  hat  die  Grfinde  geltend  iceiuacfat, 
die  gegen  diese  Auffassung  augefithrt  werden  können.  Der  Zu- 
sammenhang zwischen  den  etruskisoben  und  rümischeu  ZiRorv 
ist  allgemein  anerkannt.  Da  wir  nun  die  erbteren  aas  dem 
ägyptischen  Systeme  erklärten,  su  sind  damit  auch  4ie 
letzteren,  wenigstens  die  Zeichen  fQr  5.  10  aod  60  er> 
ledigt,  nämlich  V.  X  und  ,^  ^  (_.  Die  Zetebeu  biixI  hier 
auf  den  Kopf  gestellt,  wa«  daher  rtihreo  mag,  das:?  die  alt- 
otruskischen  Infcbriften  häufig  so  gescfariebeo  sind,  doss  die 
erste  Zeile  von  recht«  nach  links  läuft,  die  xweit«  (?f"-  -■•« 
linlu  nach  rechts,  und  dos*  in  der  zweiten  Zrilc  gl> 
die  Buchstaben  verkehrt  stehen.  Uie  Ucbertragung  etruidcisi-lt  r 
Cultur  nach  Rom   bedarf  kaam  einer  Erklärung,   denn  in  d 


M  V'itl.  Hrihiit-r.   Rmin  v.  Malier'«  HatadtfoeH 

^Wiw    AU'it|juiiii*ti¥W«cm  ■  .   .:  1  ,  p.  661. 

iiji*l  da«  WeiueuUire  Hnr-imeci  dar  UrirebVB  bmA 
ü«n  AUmdlttttiJtei.  Rrlaaipin  IHOIK  p.  tE^ 


K  TÄmlemann:  Zur  OttckitAtt  'ter  iSiiyedcr  etc. 


715 


fioiTelcr  KöDigo  stand  IIoiii  wiederholt  unter  elruskiscber  llerr- 
Mhnft ;  SerTin«  TulliiiH,  die  Tarqu inier  und  PorneoUD 
wureu  etnuküch«  Fünften,  die  Koiu  unterjocht  hatten.^) 

Das  Zeichen  filr  100  soll  in  ältest«r  Zeit  ebenfalls  mit  dem 
elruskischen  Zeichen  0  ül>erein;je*timnrt  hal>en*);  gewohnlich 
wird  dafUr  der  Anftuigsbuchätabe  von  centum  gebraucht,  ebva«(> 
i'ür  1000  derjenige  von  niille.  Die  Taiwende  werden  hezei<:hnct 
durch  Kinfaftnen  der  betreffeudeu  Zjihl  zwischen  verticale,  halb- 
kreiäfüruiige  Striche,  so  dass  das  Zeichen  für  1000  einem  1^ 
rihiilieh  nicht;  nochmalige  Einfassung  gab  dann  10,000;  drei- 
malige Einfassung  100,000.  Die»  Verfuhren  erinnert  uuwill- 
kOrlich  an  das  Sv^tera  der  phünikischen  Ziffern,  in 
denen  dun  Zeichen  fUr  100  entsteht,  indem  dasjenige  fOr  10 
«wischen  zwei  verticale  Striche  geeetxt  wird  (vgl.Taf.  IX,  Fig.  I). 
Nach  Kriedtein  ist  auch  da«  soeben  erwähnte  etruskischc  Zei- 
chen für  100  durch  Einfassung  des  Zeichens  X  fOr  10  ent- 
Ktanden  ;  nur  haben  »ich  die  beiden  halbkrei^f  Jrniigen  Slrichn 
hier  ea  einem  vollen  Kreise  vereinigt.  Auf  diese  Weise 
Hesse  sich  also  da<)  etruskische  Zeichen  ftlr  100  anx 
dem  Systeme  der  PhKnikcr  erklären. 

Kin  hüri:£ontaler  Stricli  Qber  einer  Zahl  verwandelt  dieselbe 
in  eine  entsprechende  Anzahl  von  Tuuseudeu«  so  dass  z.  B. 
X  =  10,000  ist.  Set/,t  man  diese  Zahl  zwischen  iwei  verticale 
Linien,  so  bedeutet  da?  (nach  dem  phüuikiachen  Systeme) 
eine  Multiplication  mit  10;  es  iat  also  |X|=^  100.000;  endlich 
winJ  [xj=  1,000,000. 

Für  500  theih  HUbner  (a.a.O.)  ein  vereinzelt  vurkom- 
menden  Zeichen  mit,  daa  aus  dem  Kgyiitischen  deni(>ti>H:hen 
Zeichen  (vgl.  Taf.  VII)  entsteht,  wenn  mau  die  rechts  betind- 
liche  Schleife  etwas  vergrL»imert  und  dann  tinkä  und  recbta  (ent- 
sprechend der  vffründerten  Kicfatung  der  Schrift)  vertauscht. 


1)  Vtfl.  X.  lt.  Üor'tiuii  A.  ti.  O.  Bü.  1,  )i.  41«;  O.  Maller  a.  «.  U. 
Bd.  1.  p.  190;  Uelbtff,  Itiüiker  il«r  Po-KUtinc.  |k  103. 

*)  YhI.  O.  MaUrr  u.  n.  •).  Bd.  2,  p.  310.  Vgl  OoKegen  Uflbner 
Ai  ft.  0. 


71  ()         Sittut'iJ  der  math-}>htf$.  tltuet  com  S.  Dettm^r  tB99, 

Au8  tleii   iiltt^fiten    etru:>kiscben  ZaliUn,    und   somit' 
au»  den  ägyptiMchon   nur)    phdnikii^cheii  /iffcrn    l«Mrn 
sich    die  Zahixeichon    der   Romer    daber    angezwani^eB 
ableiten. 


g  17.    Ueber  gewisse  symbolisch©  Zeichen  aiia  prÄ* j, 

historischer,  bezw.  frUhhistorischer  Zeit.  ^^H 

Wir    huboD    die  uuf  dem  DudekiiÖder    und   auf   d«n  SUuit-        i 
gtiwicbttin  vom  Monte  LoiTa  vorkommenden  Zeichen  ohne  UUck-        | 

>  eicht  auf  etwaige  äoustige  gleiche  oder  iibuliclie  Zeichen  br- 
liaudelt;  denn  es  kam  darauf  an,  aus  diesen  Zeichen  allein, 
deren  Bodeiitting  als  Ziffern  durch  dus  Vürkotinnen  auf  Gc 
wiebten  gCäicbert  war,  alle  mir  mi>glicheu  Scblüs»e  /uneben. 
In  der  Tbat  äiud  auch  solche  Zeichen,  die  sicher  aU  Ziffera 
zu  deuten  wären,  anacheiuend  sonst  nicht  bekannt.  Wir  kennen 
aber  eine  gros^  Anzahl  ähnlicher  Zeichen  tasr-  ' — 4eUeii, 
vun  denen  es  »icher  ist,    da&^  .nie  aas  einer  Zeit    ■■   -  ■■        i-,   aw 

I  der  wir  auch  das  Dodekaeder  datirten  (Anfang,  jedenfalls  ent» 
Ilülfte  des  ersten  Jahrtausends  v.  Chr.).  und  die  daher  uiuertr 
chrono logischen  Annahme  zur  StOtze  dienen. 

In  erster  Linie  kommen  hier  die  Zeichen  auf  einaeloeii 
Stücken  des  grossen  Bronze- Schatxea  von  S.  Francesco  ia 
Detraelit,  der  1877  in  Bologna  tod  Zannoni  auägcgrabeti  wui^ 
und  von  ihm  aosfUhrlich  beschrieben  ist.')    In  einer  machtigfn 

I  Urne  wurde  eine  grosse  Anzahl  von  I'aalstäben  (Kelten),  iMutb- 
spitzen,  Fibeln,  Messern  etc.  gefunden,  im  Qanr^n  1418  Kilogr. 
Die  Fundstücke  entstammen  moi.<«tonB  der  Bronzexest,  dehiMon 
sich  aber  bis  in  den  Anfang  der  Kiäeuzeit  aus,  da  aach  einig» 
Stücke  Eisen  naclt gewiesen  wurden.')  Die  Zeichen  sind  thoU 
eingeritzt,  theils  beim  tiuss  in  Retief  hergestellt,  lii  Kr.  1—22. 
33,  38,  47  auf  Taf.  IX  (Fig.  6)  »ind  einige  dieser  Zeschen  r»- 
producirt.     Die  Zeichen  Nr,  1  —  6  stellen  offenbar  Zahlen  dart 


4 
4 


n  La  F..i.<1«<riA  m  RülMtrti.    3  H1.^    \rtMA  tmd  ISivaM.  Hnl/iitaa  ISM 

*)  V  i  Kl  |triniiUm  nn  Itaüi».  fi.  ft4X. 

•owir    '  ■  n. 


Ji\  Lutd^mann:  ICnr  <h»diieht4  der  i^ywttfr  tffc. 


717 


in  ^fr.  8  fa»ben  wir  die  utxuikirtcliu  otl  (wenn  nicht  dmi  Buih- 
Mtaben  x)  ^^^  ^^^*  ^"  ^^-  *'  t^rkonnen  wir  das»etbe  Zeichen, 
das  una  auf  einem  Gewichte  vom  Monte  LufTa  be^ef^nete,  und 
dos  wir  «U  15  lasen;  Nr.  10  ist  die  Zahl  20;  Nr.  II  tat  wabr- 
scbpinlicb  ancb  eine  Ziffer  (20?).  da  dieselbe  auf  einem  Paalßtabe 
xwt-'iinalf  auf  einem  undereu  ftlnfmiil  wiederholt  iät.  Ju  Nr.  12 
und  i'i  erkennen  wir  dies  ^yptische  /eicbea  filr  ÜO,  das  wir 
auf  dem  Dodekaeder  nachÄUweiaen  versuchten  (p.  OOS  f.).  Miiu 
künnt«  hier  allerdings  auch  an  den  Bu(.-Ii»tal>eii  K  denken  (zu- 
mal bei  dem  Zeichen  Kr.  12):  das  Zeichen  Nr.  14  ist  aber 
sicher  kein  Buchstabe,  sondern  die  hierntt5ch*ägyptische 
80  (vgl.  Taf.  VI);  und  dadurch  wird  es  wahrschcinlieh,  dnas 
auch  Nr.  13  eine  Zahl  (nämlich  00)  darstellt;  Ttelluicbt  haUm 
wir  nach  in  Nr.  4  nur  eine  tlikhtige  Schreibweise  für  dieao* 
Zeichen»  Nr.  15  ist  t^ine  Kurni  des  f^xiechiscben  Buchstuben  i*. 
Kr.  Iti  und  17  kannte  mun  aU  30  lesen,  und  f.wur  biitt«n  vnr 
in  Kr.  17  eine  babylonische  30  (vgl.  Taf.  IX,  Fig.  2),  Endlich 
Nr.  35  und  38  liefern  uns  bezw.  die  etruskiäcbeu  Zeichen  fQr 
lOO  und  .'»0.  Das  Zeichen  Nr.  18  erinnert  an  diti  Zahl  auf 
Kläcbe  Nr.  5  de^  Uodekarder,  die  ua^  Kweifolhaft  blieb.  Auiu>cr- 
dero  kommt  das  übcrnll  in  prähistorischer  Zeit  verbreitete  Ilakcn- 
.kreux  (Svaslica)  auch  bi«r  vor.  Einige  dichter  Zeichen  tindnn 
kich  auch  auf  anderen  oberitalischeu  Funden  aiu  Orübom  oder 
Wubu&tätten,  die  Zeichen  Nr.  7,  22,  50  i.  B.  in  den  Gr&bem 
von  Bunacci.  Zannoni  (a.a.O.  p.  114  ff.)  versucht  ein  «um- 
brichos'  Alphabet  aas  ihnen  zu  construiren.  Kinif(e  derselben 
dQrflen  indessen  durch  un^re  Untersuiihungtiu  nU  ZaltlzeicLcn 
nachgewiesen  sein ;  xumnl  das  Auftreten  der  ägyptischen  80 
spricht  f(tr  diese  Interpretation. 

Auü   drn    etwa»   jüngeren    Orllbem    von   Certosa   scheinen 

;Bhnliche  Zeichen  nicht  bekannt  xa  sein.^)    Nur  auf  einem  Thon- 

scherben  finde  ich  das  Zeichen  Nr.  50  und  zwar  abgebildet  bei 


*)  In  dnn  ^*rfll>«irn  von  liolsMtrxn  (vgl.  ohon  p.  070)  fladeii  sieh  die 
•tnnki«i-hon  Kiffeni,  Nr.  b,  Nr.  ü  und  Nr.  8,  tUMt'^Jcni  «iai  ^cbvn  S7 
tvgl,  ittitt*B),  Jsn  Aueh  idt  Uiu'h*'li>K''  im  ctniskiatken  AlphalieU*  vor- 
kumtut. 


718         SiUung  Aer  math.-fhn».  Ctwse  vom  5.  Dtxcmber  JH96. 

Zsnnoni^)  aaf  Taf.  13G  au»  einem  Grabe  seiner  dritten  Pcricxir, 
iu  dem  aucli  eine  sogenannte  Scblangenliebel  gefuuden  wordi!, 
das  demnach  etwa  in  das  0.  oder  7.  Jahrhundert  ?,  Chr.  xo 
setxen  ist  (vgl.  oben  p.  fi73  f.).  In  den  Gnibem  ron  K  '  ''  *t*t 
sich  wiederholt  das  Zeichen  Nr.  44    auf  kleineu  orim  -[i 

Thon-Pyramiden*);    daa8eU>e  Zeichen  gilt  bei  den   Babrloniem 

{ als  Symbol  der  Oottbeit,  ein  ähnliches  als  Zciclien  Air  den  lirad 

iT»ei  der  Kreistheilung.*) 

Daä  Vorkommen  Ton  Kr.  SO  auf  einem  Thontscherben  Iöb^ 
vermuthen,  dass  solche  Ziltern  •'>fler  auf  Vasen  angebracht 
wurden.     In    der  Tliat    findet    <4ich    dajHell»e  Zeichen    auf  twei 

'etniakiscben  Vasen  aus  Caere  im  Berliner  Antiqnuriuin*);  el»?«-^ 
die  Zeichen  Nr.  17  auf  einer  Vase  ans  Volci  (ib.  Nr.  1^  - 
Nr.  6  verbunden  mit  B8  auf  einer  anderen  et.ru«ki!*cfaeu  Va*4 
(ib.  Nr.  1840);  Nr.  38  zusammen  mit  Nr.  5  (aUu  zu  leaeo  all 
55  oder  als  60)  auf  einer  Vase  aus  Vnici  (ib.  1879).  Diese 
Beispiele  lassen  sieb  beliebig  vermehren ;  es  ittt  mir  indetMcn  no- 
möglicfa,  auf  die  sich  darbietenden  Fragen  jetzt  näher  etnzv- 
gehen.  Dase  wir  es  hier  mit  etruskischen  Vaaen  xo  thmi 
baben,  gibt  eine  neue  Bestätigung  dafOr,  dafts  anch  di« 
Gewichte  und  das  Dodekaeder  vom  Monte  Loffa  deo 
Ktruskern  (bez.  [tätern)  zugeschrieben  werden  mntsoD. 

Ziffern  wurden  auch  auf  griechischen  Vasen  häufig  an 
Roden  derselben  angebracht  (eingekratzt),  ß.  Sehfine  hat  sich 
mit  der  Bedeutung  derselben  be.'^chäfkigt  *) ;  darnach  geben  die 
Zahlen  an,  wie  viele  OefSsse  einer  Serie  fOr  einen  bestimmtea 
Preis  zu  verkaufen  waren,  z.  B.  xpanjofc:  Fl!  ^'^V-  fhhh. 
0  Kratere,  Preis  4  Dnirbmen.  Kino  ähnliche  Bedeutung  uuig 
auch  den  Zahlen  auf  den  etruskischen  Vasen  zukommen,  ebenso 


M  Eicau  della  Ccrtoaa  dl  Bologna.  1^6. 

<)  yg\.  pAttli,  Altitali«rbf  Ponchnn9«ii,  Bd.  3.  :     "' 

*}  VrI.  Cantor  a. «.  0.  p.SBt 

*)  Nr.  1718  und  1714  in  dem  voo  IfurtwäaglM  lu-r«u» 

in  hoBcran  1Vr4nH    ^JumiwuMi. 


^*.  XÄndemann:  Xw  GtMhichle  der  ISA^eder  gtc.^  710 

ion '/eichen  auf  den  Hronxen  des  Scbütees  von  S.  tVitn- 
ie-sco.  Let/.torc  Heiiierkung  hat  vrenigstens  theilirei<)e  Giliif{- 
keit;  andere  Zeichen  sind  vielleicht  nur  Fabrikmarken  \),  vie]- 
luicht  auch  EigenthuniHmarken  (zumal  wu  BuchHtahen  cinge- 
riL/i  siud). 

Hervorzuheben  i:«t  eine  besondere  Klosae  von  Gralt-Umonf 
die  sof^enanuten  Hau^urpen;  sie  sind  ebenfalls  «iruskisch  und 
stammen  aue  den  Anfangen  der  Eisenzeit,  wie  durch  die  in 
ihnen  gefundenen  Fibeln  bewietsen  wird.  An  einer  Oefhinng  im 
Dache')  findet  sich  wiederholt  das  Zeichen  Nr.  31  und  32,  daH 
an  Nr.  12  her.w.  13  (ägypti&oh  60)  erinnerte.  Auch  tla^  ent- 
sprechende Zeichen  mit  4  Strichen  kommt  vor  (ägyptisch  80). 
Möglich  iat  c»,  dosa  diese  Striche  keine  Zalilun  darstellen,  son- 
dern einen  Theil  der  Dachconätrnctioii  wiedergelien.  .ledenfolU 
ist  es  nicht  autfullig,  wenn  die  ^bl  GO  in  «ymbolischer  Be- 
deutung vorkommt;  int  sie  doch  die  Grundzahl  des  babylonischeu 
Zaiilensystenis,  wurden  doch  £.  B.  60  babyh>Qische  Hniiptgntt* 
holten  vcri'hrt,  denen  die  Zahlen  xu^eordiict  waren.")  Uebrigen.i 
nicht  nur  diese  Zeichen  erinnern  an  Aegypten,  sondern  auch 
die  LIausunie  zU  solciie;  denn  schon  im  »Iten  und  mittleren 
Keiche  wurde  oft  den  Sarcojihagen  die  QestaU  von  Hftusern 
gegeben/} 


0  A«r  (frirchicrhen  Vft^tn   «itnl   Fn'  '  '^h   nnrh- 

g4tWM«en;    vjjl.  J'.  Ilcolf i*r,  Jahn-Klcrkriiieii  l'ilolopie, 

4^  R.  nnd  10.  Kiippl.-it«!.,  Urnndiuann.  ib,.  17,  äiitipt-Bd. 

*)  Vf;\.  »lif  Atitiildiiiig  JwciiT  itolcfaer  Urneti  bei  Virchow:  Zeii- 
•chrill  filr  I^UtDologii'.  £t<l.  XV.  p.  S'il  ff.  uii<J  die  tü&gnbend«  B«v{inM:hting 
in  lim  Munutaltmeht«!)  der  Berliner  Akademie,  1893. 

*)  Vgl.  Tantnr  a.  a.  O.  p.  86. 

*)  Vjjl.  Krrann  ».  a.  0.  p.  244.  Pcrrot  et  Chipie«  o.  a.  0.  1 1. 
p.  IDd  f.  Auch  1d  DeutMirfaUnd  trtnd  Hattitumen  Kefimden.  »elbet  in  Bom- 
biihu  nnd  vtaUeicht  am-b  in  (^v^tpriniMen  (vgl.  Hoyd^k.  SitiungabcncMc 
•1<       '  '«io,  ili'fi  19,  Tur  X).    Sie  hohen  Mch  iU«n 

ri'  ;.t  (vjrl.  i)lM>n  p.  »i86  f.  Arinul   von  Af-p^pteii 

Obtir  '  ■  niwh  Nunltiii  vorltr*'it<'t,  TioIIi-irht  »nf  di-nuvUien  Wojir». 

lion  au-,.  ^^'— tpreuwMi  tu  uihlreirbun,  anch  bU  OMtpreuHon  *<«•- 

hrrileteii  t  neu  <bt<i   den«m  nur  dii>  M)(teli{lii<d«r  a»>  I>oiilacb- 

Uwd  ft^blfi)  tttiU  f)ir  ilkf  vielleicht  «nn  xweiter  \W^  flbt'r  Ui<«arlili  fObrte^ 


/•'   UnJemann:  Xur  Oftchiekte  der  i'aliftitrr  etc. 


721 


am  den  Quadern  der  Servianidchen  Mauer  z.  B.  vor:  di« 
Zeiaieii  Nr.  6  |=  10  oder  20).  Nr.  42  (=*  phönik.  20),  Nr.  47 
(=  jihönik.  10},  Nr.  7,  Nr.  8  nud  Nr.  13  (=  (50,  rielleicbt 
Buchstabe  £  oder  phöoikisch  11^).  Femer  auf  den  Mauern 
vtui  Pompeji:  Nr.  26,  Nr,  8  mit  einem  Queräiriciie  am  oberen 
Knde,  Nr.  41,  Nr.  9  (dem  wir  auf  etniskiscben  Vnwn  und  dem 
einen  Gewichte  rom  Monte  Loffa  begegneten),  Nr.  32  (vgl.  die 
Haiisumen),  Nr.  44  (vgl,  die  soeben  erwähnlpn  Thrm-I'yramiden 
von  £Ute),  Nr.  45,  Nr.  5,  Nr.  43  (dii&  weiter  unten  zu  be- 
äprochonde  Pentagramm,  vgl.  §  20),  Nr.  14  (der  phönikiscbe 
BucksUkbe  ^|,  Nr.  36  (woraaf  vrir  sogleicb  xur Uck kommen), 
Nr.  38  (etruskisch  ÜO),  Kinige  dieser  Zcichon  Hrideii  j«i(h  auch 
in  Perugia  und  in  anderen  italienisclien  Orten.  Manche  mögen 
die  Bedeutung  von  Zahlen  wirklich  gehabt  haben,  indem  sie 
die  Anzahl  der  von  demselben  Lieferanten  beschaßlen  Quader 
angaben.  Ändere  haben  nur  die  Bedeutung  von  labrikmarken 
der  betr.   Lieferanten,  m  besonder^  die  Buchstaben. 

Die  von  uns  erwahuteu  Zeichen  deuten  LheÜs  nach  Ober- 
Italien,  theils  auf  die  Phuniker;  bei  letzteren  waren  solche 
Stein metKxeichen  lücher  in  Gebrauch,  denn  phüniki&che  Boch. 
»tabeu  finden  sich  sowohl  auf  den  karthagischen  (?)  Mauern  vom 
Krrx  in  Siciti<*n*),  aU  auf  denen  vun  Taraco  in  Spanien 'J;  auf 
letzteren  insbesondoro  wrieder  die  Zeichen  Nr.  34  (=^),  Nr.  13, 
l  Nr.  15,  Nr.  &;  auiaerdeiu  auch  Nr.  20,  dos  wir  «chon  auf  den 
Mauern  von  Pompeji  Mähen  und  das  andereneit»  auf  einer  Va»e 
mit  phOnikiflcher  Iu»chrift  auü  Panormu:»')  augebracht  iit 

Die  Ansichten  über  die  Datirung  der  frugtichen  Bauwerke 
sehciDen  noch  weit  auseinander  zu  gehen;  die  Mauern  nnd 
wabncfaeinlich  jünger   aU   die  Broneen   von  S.  Francesco,   ge- 


i)  Tgl.  Ferrut  elCbipiec.  t.Ul.  t>.V6a.S34ff.  und  Richter  a.a.O. 
^  Vi-l.  Hühner.  Hmnwi,  Bd.  l.  186«.  p.  76 

1  Vi;l.  Srb  rftdor  a.  a.  U.  p.  21.    DmMclbn  Zeicbim  findet  üdi  x.  B. 

Buvhsiatwt  E  aof  VuHtn  vun  Sikyon  (tkI.  Krotichmer,  Die  grütchi- 

■     '  'i.li   lft!M,   p,  Ml   iil-   "     '    '   '."  •  In  noni* 

ituti.  Altiuli'clw  -ua  II,  p.  6U, 

iii   111.  |>.  htl;. 


F.  JAüUmnnn:  SSur  OvdtidiU  der  Pottfeäer  etc. 


723 


raU;  Nr.  13  in  11  und  III,  aUAsertlem  auf  dem  DudekatMer, 
dtiti  BroD7i?n  von  S.  Fninre>icu,  den  Mautsrn  von  Kum ;  Nr.  23 
in  II,  Nr.  24  in  tll  und  aaf  eineoi  Gewichte  vom  Monte  Lfoflfa 
(=20);  Nr.  25  in  I,  II  und  III  (vgl.  oben);  Nr.  20  desgl., 
ferner  auf  den  Mauern  Ton  Pumpeji  und  Tamco;  Nr.  27  nnd 
28  in  I.  II,  111;  Nr.  21)  in  11  und  lli,  verwandt  mit  Nr.  13, 
30  und  32;  Nr.  36  in  II,  111  und  in  Pompeji,  damit  verwandt 
Nr.  37  in  H  und  III ;  Nr.  39  in  III;  Nr.  4fi  in  II,  III  und  als 
Stcinmetz'Zeicbcn. 

Wir  seilen  ao.  daäs  jede  Gruppe  von  Zeichen  einige  auf- 
weist, die  ihr  eigenthQuilieh  zu  sein  scheinen,  während  andere 
auch  in  einer  chronologisch  späteren  Gruppe  ebenfalls  auftreten. 
Dieser  umstand  bestärkt  uns  in  der  Annahme,  dass  eine  Ueber- 
iragung  von  ainer  (iruppe  zur  anderen  fitattgefnnden  habe  und 
dass  es  sich  nicht  um  Kufullige  I'ebereinKtimnmngcn  handle^ 
dass  demnach  die  Entwicklung  und  Verbreitung  dieser 
Zeichen  von  Osten  nach  Westen  eine  ganz  analoge  ge- 
wesen sei,  wie  die  der  Ziffern. 

Wenn  sich  die  Steinmetz- Zeichen  bis  ins  Mittelalter  fort- 
geerbt haben,  so  haben  »ich  die  k^igenthumamarken  (und  als 
solche  sind  die  eingeritzten  Zeichen  auf  den  Gerathen,  Urnen 
und  Bruuxeu  vielfach  aufzufassen)  bis  in  die  Gegenwart  er- 
halten. äIh  Iiau8-  und  Hof-Marken  werden  derartig»  Zeichen 
noch  heute  in  Oktfrifätabd,  in  Mecklenburg,  Schleawig-Hul»t«in, 
in  den  kasBubiKchcn  Fischerdörfern  der  Insel  Heia  und  in  vielen 
Dörfern  von  O&tpreuasen  gebraucht.*)  Neben  Buchstaben  kom- 
men aus  unserer  Tabelle  in  Fig.  C,  Taf.  IX»  z.  B.  vor:  Nr.  6, 
19,  20.  20.  27.  28,  36,  37.  38,  39,  40,  41,  43,  44,  46. 

Ob  freilich  auch  hier  noch  von  einer  directeu  Debertragnng 

1^  Rede    »ein    kann,    ist    mehr    nU    y.wi>ifelhaft.     Mau  wird  in 

f  dieser  Beziehung  um  so  weniger  an  einen  Zusammenhang  denken 

können,  wenn  man  schliesslich  analoge  Zeichen  als  Rigeuthuiiu«- 

marken  «inenwits  bei  den  Negeni  in  Lunda  (endlich  vom  Oongo 


't  Vgl,  ll»xi*ftb«rg«r,  Ktsaii|n>bcrichte  d.  AlterthnuugiuellarJuLfT 
iPraHW,  IMI  10,  KAni|P>tii>rv  160ft,  niul  O.  Conrad,  iti.  Iliifl  ^0. 


721 
»»■1  nwnr  N,.'  ""  "^'*'*  O, 

«'■eiiit  ,u  he,,?     """n    de.  <r  ^• 

""   ihr   bL.       "'^^'■'•omii«.^»    J        ^^Pfei-«, 


^mlemttn»:  Zur  Geschichte  rier  Poii/eder  etc. 


72r» 


H  und  Giirob  in  Aegypten,  7)  auf  verächiedeiien 
^pem,  8)  auf  Thonscherben,  Skarabäen,  ans  Speck- 
^^enen  Stempeln  etc.  mm  der  mykenischen  Epoche. 

Bedeutung  der  etruskischen  und  keltischen 
Polyeder. 

en  von  ganz  elementareD  Formen,  wie  sie  durch 
eben  Gewichte  in  Gestalt  des  Cubookfcaeder  reprä- 
u,  haben  sich  bis  jetzt  im  Oriente  keine  Modelle 
>r  verwandter  Körper  gefunden.  Wir  uiössea  daher 
ng   des   Dodekaeders   vom   Monte   Loffa   in   Ober- 

Ku  erklären  suchen, 
fen  hier  nicht  an  wtssenschafllicbe  Theorien  denken, 
tu  uialhematischeu  Papyrua  der  Äegypter  6udeu  wir 
Aber  regnlüre  Kurper,  sondern  mir  an  eine  praktisch 
enntniss  vuu  der  Existenz  eines  von  Fönfecken  be- 
liezu  regulären  Korpers.  Ein  solcher  Körper  kommt 
'hat  als  Kryätallfomi  des  Pyrit  (Schwefelkies),  eines 
vor.  Dieses  Mineral  krjritalliüirt  in  ausserordentlich 
liedenen  Formen  des  tessernlen  Systems*);  unter 
'ken  wir  einen  von  20  Dreiecken  begrenzten  Körper, 
regulär  und  einem  regulären  Ikosaeder  äusserst 
ebenso  ein  von  12  symmetrischen  (nicht  genau  regn- 
cken  begrenztes  Pentagon-Dodekaüder.  Obgleich 
iwefelkies   eines   der  um  aUgemein.sten  verbreiteten 

Mineralien    i.st,    kommen    die    den    regulären 

und    Pentagon -Dodekaedern    gleichenden 

stalle    ausschliesslich    auf   Klba    und    in    den 

nach    Piemont    ans mHnd enden    Thülern    der 

onders  Traversella  und  Brnsso)  vor;  und  Herr 

th   bestätigt   mir.   Hoss   auch    bis  heute   kein  an- 

ort  derartig(<r  Krystalle  bekannt  sei. 

I,  n,  Nnnmitnn.  Kti'iiifnU'  t|i>r  Miiierulo^i«» .  8.  AuJtaKc, 
p.  30  u.  669.  tionun  KgatiLro  Ikoaafifter  und  ntxIoVnvdn' 
mtlicli  al«  Krystalle  nicht  vorkomme«. 


h 


720 


Siltum^  der  matk.-yhf».  Clmme  nm  0.  i>M«ailRfr  J996. 


Schon  in  »ehr  frflher  Zeit  wurde  auf  Elb«  und  in  den  AI|M 
EiBon  gewonnen.^)  Wenn  die  Kennlnias  vom  DodekmSdor  ilureb 
di«  Erfahrung  xuerst  erworben  wurde,  bo  konnte  diuM  Kea&t- 
niss  nirgends  anders  aU  gerade  iu  Oberiialien  »erst 
auflaudien.  Wenn  nun  andererveiU  thutsucfalich  ein  Dodek•Edr^ 
Modell  ans  den  Anfängen  dar  Eisenzeit  in  Oberitalien  gefunden 
wurde,  ao  ist  dessen  Bedeutung  erident:  Das  Kieen  hatte  jtde&* 
fall»  in  der  ersten  Zeit  seinem  Bekanntwerdens  eineu  nebr  hokcu 
Wertb;  nicht«  natQrlicher,  aU  dais  man  dem  eo  aelL- 
sam  regclmiiäBig  geformten  Minerale,  das  dieaes  faucl 
geschätzte  Metall  enthielt^  eine  Art  besonderer  Ver- 
ehrung zollte,  oder  ihm  eine  besondere  ajiuboliaekv 
Bedeutung  beilegte.  Wenn  die  Fblcben  diese»  Dodekaedvn 
mit  Ziffern  bedeckt  sind,  so  wird  diesen  rielleicbt  eine  üinliebe 
Bedeutung  zukommen  (vgl.  §  20). 

Dieue  Axt  der  Verehrung  des  Utidekat'ders  mun  von  de« 
piomonteaiBchen  Alpenthälem  oder  vun  Elb«  aadg<^gan^n  ««ü 
und  mag  sich  von  dort  einerseit»  nach  O^tm  (Monte  Uulfm)  sa 
den  Etru^ikern,  anderereeitü  nach  Norden  zu  den  rfiti«chen  feb«ti- 
hXU  etnirikischen)  und  keltischen  Völkern  der  Schweix  und 
(weiter  westlich  und  nördlich)  Galliens  verbreitet  habrn.  Da- 
durch fände  dann  auch  das  Auftreten  der  in  g  2  be- 
sprochenen Dodekaj-der  iu  Qallieu  seine  Erkl&rnng. 
Andererseit«  wissen  wir,  das«  die  Technik  der  lte«rbeitang  de» 
Eisens  zuerst  von  den  Kelten  /u  gro3»er  VoUkümmenheit  ge- 
bracht wurde;  ging  doch  von  ihnen  die  aogenannte  l^-Teae 
Cultur  au«.  E^  ist  daher  erklärlich,  wenn  dem  Dodekaii*>di*r  m 
Gallien  und  der  Schweiz  seine  Kymbuliaohv  Bsdeutang  Ungvrl 
erhalten  blieb,  aU  iu  Ober- Italien,  wo  in  der  Kmen - Tcehaik I 
bis  zum  Einbruch  der  Gallier  geringere  Forburhritte  gemacktj 
waren. 

Das  IkoeaSder  vou  Tnrin  (g  5)  mag  etwa  gleiehaltrig  «eia,! 
nnd  ihm  mag  eine  ähnliche  Bedeutung  xukoroinea. 

Einzelne  Dodekaeder  wurden  allerdings  atMKrhalti  Ijalti« 


l)  Vgl.  Ni»>-n  ■  »O.  t>-8ß7r 


F.  LtnäemattH;  Xur  UcschtdUe  der  i'utytder  tle. 


727 


gefunden.  Solche  Verschlepp unj^en  einzelner  Stücke  kommeu 
auch  sonst  vor,  und  /.war  geradu  in  der  riimi^cben  E)KK:he 
durch  Venetxung  von  Legionen,  die  eich  am  dem  Wtreffendcn 
liete  reknitirfcen.     So   erklärt  sich  k.  B.  dns  Auffinden  einer 

i&nntcn  Fl(lgel*Fibel  (ein  proTinüal-rOmiscbcä  Kr/eufniias 
aus  dem  2.  Jahrli.  n.  Chr.).  deren  eigentliche  fleimiUl)  in  Nori- 
ciini  KU  suchen  ist  und  der  ein  sehr  henchriinkte*;  Verbreitungs- 
gebiet zukommt,  in  Kuglund  nachweislich  durch  Verlegung  einer 
rümtächen  Legion  aus  Noricum  nuch  Britannien.*) 

Das  auf  Taf.  1  abgfbildete  Dodekaeder  wurde  in  Windiach 
(WeAt*^hweiz)  gefunden;  aus  demselben  Orte  atamroen  die 
beiden  Schulen,  welche  iti  Fig.  7  und  8  auf  Taf.  I  dargestellt 
sind.*^)  Sie  »eigen  dieselbe  Technik,  wie  da«  Dodekaeder;  die 
Schalen  bestehen  ans  einem  bronzeueu  Qitterwerke,  das  mit 
Kni*>pfen  besetzt  ist.  Die  Zwiechenräuuic  waren  wahr»cheinlicb 
mit  Huiail  aufigefdUt  (vgl.  das  oben  unt«r  Nr.  21  angeftibrie 
DiKlekaedor).  Dieae  Gerathc  haben  offenbar  irgend  einem  Prunk- 
Zwecke  oder  einer  »y>ubc)li»chen  (religiü^n  ?)  Handlung  gedient; 
daher  ihre  Aebniicbkeit  mit  dem  Dodekaeder  in  der  Technik. 
Da«  erhaltene  Brt«ue-Oitterwerk,  sowie  die  ellipsoidiöche  (ge- 
nauer sphäroidiscbe)  Gestalt  der  Schalen  erinnern  merkwürdig 
uu  ein  aus  den  Pfahlbauten  ron  Bnurget  (Savoie)  stammendes 
Qerääd.')  Dasselbe  iüt  ans  Tbon,  hat  spb&roidische  Geetalt  tind 
ist  Tondert  durch  Parallelkreise  und  Meridiane,  m  dass  ein  jenen 
Schalen  von  Windbtch  ähnliches  Oitterwerk  euteteht.  Das  Ge- 
fw-is  U-«itzt  firei  OeflTnuQgen,  eine  oben  und  zwei  un  den  Seiten. 
JcNieufalLs  diente  ee  also  zu  einem  ganz  besonderen  Zwecke;  und 
•»liegt  die  Vermuthung  nahe,  dass  es  zu  ähnlichen  Handlungen 

>)  Titl.  Ilililobrand,  Anti<|mu-tiik  Ti'Ukrtft.  f^r  äv^^h^i-.  IM.  4. 
]>.  IWi  f.:  Ti*rb)«r  in  dem  auf  p,  |I74  citirteu  Werk»  Mo>«r'»  Qbw 
Guriua. 

*}  NauIi  den  von  Keller  lu  a.  0.  (ob«»  p.  690)  g^btMÖ  iib- 
bllduiMr**Jt- 

')  Vi(l.  E.  Cttutrp,  Ktnilt«  ]inUH>«>lhni>lii^ii]iii*a  rlan«  Ir  Ifttin  du 
HbAni*,  3  vnl.,  Pafü  1876 — 77.  mir  nur  Itukaaiil  iliirfh  ilen  Auiuig  in 
den  MhUtwiiz  puur  ItuvUiiru  iirimitiTf*  dt*  rhamiuo,  Ritn4o  14,  vol.  18, 
8.  iS^rie,  t,  9.  Touliiiuo  ltt78. 


bm;  am  sack 

kafaeB,  wofacb  Ans  nck  «•  i^i— Mii  n«  Kccfe  (§  S)  ihre 
KirUrnff  ftadc  Da  doi  Haksdovoi  fShanlX  «ior  rvl^iflte 
Bidanlrag  luigili^-  ««4».  nad  Ak  aoauBMio  Biift 
knos  Hil  kattHeka  Braanklaekcn  ■■  ■viirai  ä 
PamUtfagnin ■  i n  boitelMBdc»  Oi— ral  Tcti  iTiait '),  ao  iat  w 
sieker,  da«  die  Kelten  ao  gmiatüwuli  lagwImiMga«  Kgarea 
•m  booBteta  flrfcllffi  kaftan  md  iiiili,biB  Vigsran  «m  i^v- 
boÜKke  HMfutung  keUegfe». 

Biftker  vardra  die  DodekaEder  IkeOi  Ar  WarM  f  wmn  «e 
aber  wegen  der  EnOpfe  an  den  Eckeo  nickt  branckbar  üi) 
gekaken^X  Üwib  ftr  Le«cn.  d.  h.  Apparate  xam  Ifnam  nn 
RBfcfen*Porekiueuau I n  (w^nn  der  rersebiedeBeB  GrSai*  d«rOafr 
nnngen,  die  siek  nicht  aaeh  eiaen  beittifflfnt^e  Sjmlaaae  akoK 
f.tnfpn  acheiDen),  tfaeiU  fQr  Leuchter  (weil  m»a  im  Innern  rä» 
Exemplarea  Reste  ron  Wachs  gefunden  katte).  Kor  Graf  Hag« 
tipricht  berpitn  Aw  Vensatboofr  an«,  daaa  m  »eh  nrn  Gertikc 
haDdle,  die  m  einem  Caltos-Xwecke  fr&braackt  wurden. 

Wou  die  LOefaer  dienten,  rermag  ich  nicht  ansugektv; 
vidleicht  waren  sie  mit  Etnail  amgefHllt,  wie  nock  den  ohtB 
(p.  681)  onter  Nr.  21  suff(efllhrteD  Exemplare  m  iqinutkq 
istf  vielleicht  mit  einer  anderen  Marne,  aof  der  Zahlen  (wie  aof 
dem  Exemplare  vnm  Mont«  Loffa)  eingegraben  waran.  Soldbe 
'Zahlen  6nden  nch  in  der  That  anf  dem  DodekaMer  ron  Bnac 
(rgt  oben  p.  633.  Kr.  2) ;  a  ist  mir  rndeB»en  nicht  gclangcsi. 
für  die  Anordnung  der  letzteren  Zahlen  einen  Gnuid  ra  Coden. 

Die  whlGJwelloch- ähnliche  Porm  der  ein««  Oefinang  M 
manchen  Exemplaren  (z.  B.  anch  an  dem  auf  Taf.  1«  Fig.  4 
al>gebildeten}  mag  den  Zweck  gehabt  habenf  da«  DodeknSdar  nof 
einem  Stabe  ao  zu  boCsiitigen,  da»  e«  (ich  nicht  draken  konnte. 


\ 


■)  Tfcl.  Hprlranil.  Lm  CbIIm  h  le«  Oaalub.  p.tl,  Fiir.  O. 
*f  V^l.  die  DAhorm  Aa|rabcn  bei  Ounie  ii.a.1). 


F.  Linthmottt':  /.ur  fir-<rhifhic  der  I\)tptd«r  flv. 


729 


Heber  du»  Altrr  Her  pinzelnen  in  §  2  Aufufexfthtten  Stdoko 
iUk  «ich  kaum  etwaij  bestimmtefi  saffen.  Der  allgemeine  Cha- 
rakter und  die  Technik  deuten  auf  die  Lu  Tene-Perimle,  was 
mit  deu  vorliegenden,  meist  sehr  mangelbnflen  Knndberiobten 
f(ut  Obereinstininit.  Die  Dodekar^der  wurden  bifi  iu  die  Itönier- 
leeit  hinein  tu  Gallien  gebnhuobt,  vfx\.  oben  §  2,  Nr.  17. 


§  19.    Pythagoras. 

Was  war  nun  die  dem  Dodekaeder  beigelegte  symbolisclio 
Bedeutung?  Doh  knnnen  wir  den  Lebren  der  Pjthagorüer  ent- 
nehmen. Wir  keliren  hiermit  /.u  der  in  §  9  aufgeworfenen 
Krage  zurQck. 

Ka  iät  bekannt,  dass  die  Pjthaguräer  jedem  regulären  Kür|>er 
eine  Hyaiboliäche  Bedeutung  beilegteu;  dem  Uexaeder  (Würfel) 
war  die  Erde  /.uge^rdnct,  dem  Tetraeder  dos  Feuer,  dem  Octu- 
«•der  die  Luft«  dem  Ikosaeder  das  Wa«>aer;  dos  Dodekaeder 
repräüentirtc  das  alles  umfassende  Weltall  (oder  auch 
Jod  Atom  des  alles  umsch  Hessen  deu  Aethers).  Cantor  bat  mit 
Uecht  hervorgehoben  ^),  da«  hier  das  Dodekaeder  im  Uegensatze 
äu  den  anileren  Körpern  eine  besondere  Rolle  spiele;  es  macht 
den  Kindruck,  nU  wären  die  vier  zuerst  bekannten  Kör^rer  auf 
die  vier  Elemente  bezogen :  als  man  dann  nachträglich  das  Dn- 
dekai^ier  kennen  lernte,  wurde  ftlr  ihn  eine  kosmische  Bedeu- 
tung erst  gesacht. 

Damit  stimmt  die  EntlLhluug  aber  den  P^rthagoräer  Hip- 
pasu«.  Derselbe  soll  zuerst  das  PentAgondodekaeder  der  Kugel 
eingeschriebeo  und  verOffeutlicht  haben;  wegen  dieser  GotUosig^ 
keit  (die  dann  l>e8tand,  dtiss  er  die  Lehren  Mioea  Meisters  ver- 
besaero  vrollt«)  sei  er  im  Meere  umgekommen.  Diese  Erzählung 
lehrt  nns  deutlich,  dorn  Pythagoras  das  Dodekaeder  zwar 
gekannt  hat,  das»  ihm  aber  eine  mathematische  Con- 
struction  (Etnbescfareibung  in  die  Kugel)  fehlte.*) 


'>  V«!.  a.a.  ti.  p.  14». 
m        ')  Noch  fllr  i'Uto  hatte  (vgl.  Kellnr,  (IcvrhirJiUf  der  4thiM*hu(t-b<'ti 
Philofl'^diiw,  Hd.  U  |iult77)  lUtf  Ctotutnu-tton  dm  DodekaAden  frevisM'  t^ehvi«^ 


730  Siteuni)  der  wath.-)>hiff.  tUttsM  vom  5.  Jieztmhtr  tt06. 

Cantor  m&cht  allerdings   dicacD  Schlus  nicht;    er  beraft 
Mcb     vielmehr    darauf,     d&u    das    Peutagramm    (Stern fUnfeck, 
Tgl.  Tuf.  IX,  Fig.  0,  Kr.  43)  von  den  Pvtba^oräera  als  Erkun* 
nongszeiclien  Iwiiulxt  wurde;  er  sclilies&t  darau«,  da^a  dax  rvgel- 
luäasige   ebene  Fünfeck   und  der  goldene  Schnitt  dem   Pjrtba- 
goras  bekannt  und  wahrscheinlich  tod  ihm  entdeckt  wand,  und 
gewinnt  dadurch    eine  Stütze    fQr  die  Annahme,   da«  }*ytba* 
goras  auch  das  Dodekaeder  zu  construiren  wututte.    Aber  dian 
Betrachtung  ist  nicht  eotächeidend,   denn  da«  Fentagratuiu  war 
wahrscheinlich  Rchon  früher  bekannt  und  wurde  schon  frOh«r  alt 
s,vmbo1i:jchcs  Zeichen    gebraucht.     Wenn    wir  dasselbe  auf  den 
Mauern  Pompeji'ä   uls  Steinmetz^eichen   fanden  (p.  7'Jl).    «o  i*t 
das  kein  sicherer  Beweiü  fürdasAU«r;  das  Pentugrainm  kommt 
aber    aiuserdem   auf  eiuer    annähernd    xu  dtitirenden   Vase 
Caere  vor,  bekannt  unter  dem  Namen  der  Ari«tpuophos-Vi 
^vetche  die  älteste  uns  erhaltene  Tt^pfer-Signutar  trügt  {Aguno- 
vorpoi  ejtotoer).     Auf  der  einen  Seit«  i^t  die  Blendung  des  Po- 
lyphem  dargeeteUt,  auf  der  anderen  der  Kampf  zwii^chen    ewri 
t^cbiffen.     Die  Art  der  Darsielhmg  erinnert  an  die  luykeniscbe 
Periode*);    der  Gegeuslaud   der  Darvtellung  an    die  Oralnielm 
vun  Peearo,   die   auch  unter  mykeniscbem  Einfluwe   entstuiden 

n>?k6it«ti.    Auch  in  der  NVuseit  Kheint  deshalb  dn*  DttdekaMer  aU  8r»- 
liol  hOfaorer  matlieoiatücher ÜiBcipHnen  angewandt  />  encbcist 

et  fzututmmcn  mit  anderen  RstrotiumtncbeD  und  f^jrni)  \ppiinilm) 

im  'I'jt>(4ktipfpr  dfs  Werkes  ron  Bougaer  (wonnif  mir: 
ruth  CüDKe  aufmerksam  machte):  La  ßgure  d«  la  I'-tt«.  -i  .  . 
\oii  obcervationii  de»  Meuioun  Boutpiu-  et  de  Li  Copdamüw,  Pari»  174 
AufßlIU{{  ist.  dau  hier  das  Dodeku&ti'r Modell  huU  und  njl  rmdea  1 
ntmgen  in  des  FlAchen  dargestellt  ist.    wie  hei  cini   kitlbwbm 
fidorn.     Auch  nuf  d«m  Wkuiiiten  rnrtrait    »Im  Jobaiin- 
(NOmhiTg  1661:  v^l.  Nr.  64!»  d«  Katulo^ta  der  kgl.  Olltfr-        __ 
1893)  hiÜt   der  DärKeatellt*',   welcher  «einem   Sühn«  UafMiidit   «vthtUt. 
ein  PfxlckaJVler-Modelt  in  der  Linken 

I)  Koch  Furlwantrli-r,  Abhumlhminm  ibu- BurUiii^r  Alctdamf«»  1*79 
yji\.   IUI    üebriiren   diu   nHheren    }•'■-- 

I».  tt,  O.  p.  10  f.    Abgrbildft  iat  dci  _a._ 

KtilLurK«4(>hiclile  fl.  Bd.,  i.  AnS..  p.  ftü,  ilje  Tm«   fUffrvi  uuil  vti]l»tAa*U 
iibguhitdpt  in  t\vn  Muuumenti  dell*  Isliluto  IX.  I. 


K  Lindtmann:  Xur  0**cftichtr  ilrr  /^ulptStr  etc. 


731 


sind  (vjjl.  oben  p.  t)ft2):  die  Schiffe  sind  ebenfalls  mit  einem 
SUcbcl  vorsehen.  Zwischen  den  huiden  Hchitfeu,  olKrbulb  und 
unterhalt)  derselbfn  beHndet  sich  jo  ein  Pentatp*anim;  und  Kwar 
ist  dasselbe  nicht  späUfr  eingeritzt,  andern  uncprGnglieh  von  dem 
Verfertiger  der  Vuae  beigeffl^t.  Der  Künstler  ist  sicher  fin 
Grieche  und  zwar  ein  Joninr;  die  Zeit  der  Anfertigung  fiillt 
frQheateaa  in  du  7.,  apUastona  in  du  6.  Jahrhundert.  Pytha- 
goru  ist  zwischen  540  und  510  nach  Italien  gekommen;  da 
aber  das  siebente  Jahrhundert  als  das  w ah rbc hei n liebere  an- 
gt!gebim  wird,  sn  müssen  wir  annehmen,  doss  schitn  vorher 
das  Pentagramm  in  Unteritalien  als  symbolisches  Zei- 
chen gobruurhi  wurde,  daas  also  Pythugorn»  e»  vorfand 
und  wahrscheinlich  auch  die  Bedeatang  desselben  (nach  Cnntor 
war  es  das  Symbol  der  Gesundheit)  beibcdüelt. 

Mun  könnte  allerdings  denken,  dasK  Pythiigoras  das  Penta- 
gramm aus  Kleinasien  mitbrachte  und  dass  auch  die  Vase  ron 
dort  niiclt  ("jiere  im|>ürtirt  sei.  Aber  das  wäre  nur  angängig, 
wenn  jenes  Zeichen  auf  anderen  griechischen  und  in  Qnetrhen*- 
land  gefundenen  Vaaen  ans  dem  7.  Jabrhnnrlert  nachgewiesen 
wKre :  das  int  aber  meines  Wissens  bisher  nicht  der  Kall. 
Wir  kennen  dtis  Pentagramm  dagegen  von  den  Mauern  Pompeji's, 
wir  kennen  das  FOnfeck  bei  den  b^truskern  durch  das  Dodeka- 
vdvr  vom  Monte  Lnira.  wir  wiNsen,  dass  Campanien  vor  den 
Grircbcii  dun:b  die  tltniüker  coloniairt  wurde;  wir  werden  daher 
schliessen,  daas  das  Pentagramm  eine  den  Ktruskern  vertraate, 
besonders  iilWnling»!  in  ihren  sQditalischen  Kiedorliut-iuhgen  ver- 
breitete Pignr  wiir.  und  dos«  die  Aristonopha-cVase  in  Cani- 
panien  (von  einem  Griechen)  angefertigt  wurde.') 

Cantor  hobt  besonders  hervor,  dass  er  das  PQnfeck,  allg<^> 
meiner  die  Kttnftfaeilimg  de»  Kreises,  auf  ägyptischen  und  chal- 
diti!«chen  Abbildungen  nirgrudu  gefunden  habe.  Auch  ich  hal>e 
vergeblich  darnach  gesucht;  nur  bei  den  Ornamenten  der  agyp* 


')  hu  uuLD  iioiist  tk'  <  iiilt  iuftt.   iliv  tit.-iiiiuLh  it'T  Vaw*  KU  lio- 

«tifniui'n.    liUnI    lirh    ou  <    de»    Herrn    Collogvii   Fu  r  t  wtin  kIit 

gegen  ditwo  Anuabin»  M<hUclt  nicht«  «ütwoMlcn. 


732         SiUung  der  muth.-yiiys.  Ütaste  vom  5.  JJtxemhe 

tUchen  Brolfürmen  des  mittleren  Reiches')  finde  ich  *■-     '"  if- 
(rtuch  eine  Sieben-)  Tbeilung  des  Kreises,  d.  h.  ein  aas  ■•  —u 

gebildetes   (nicht  f^uz  reguläres)  FUnfeck.     Hiiifiger    ist  dieae 
Figur  schon  in  den  Funden    von  My kenne,   und    zvrar    kommt 
in  Betracht:    1)  ein   goldener  Knopf  |,SchliemanD,    M/kenae, 
p.  304,  Fig.  41 S),  wo  das  Fünfeck  aber  sehr  onregelmSMig  m»* 
gefallen  ist,   2)  zwei  Ornamente   auf  einem  goldenen  Diademe, 
ib.  p.  215,  Fig.  218,   3)  eine  Zehntheilung   des  Kreises    (aUn^ 
dinga  anch  sehr  unregelmässig)  anf  einem  Ornament«  an  cdaem 
Goldbande,  ib.  p.  346,  Fig.  459,   4)  de^l.  auf  einem  goldenco 
Diademe,  ib.  p.  2G4,  Fig.  337.  5)  desgl.  auf  einer  Topfsohcrbe, 
ib.  Taf.  XXI,  Fig.  201.     .ledenfaliä  war   hiernach    das  FOnfeck 
schon  in  der  mykenischen  Epoche')  dem  Handwerker  eine  g«* 
laufige  Figur,   wenn  er   es  auch    nicht   nach    mathemabscheo 
Regeln  zu  zeichnen  wii.<«te;   dui  Vorkommen  des  Pentagramm» 
(des  Systenies  der  Diagonalen  im  Fünfecke)  in  sehr  frfibat 
wäre  daher  nicht  besonders  auffällig. 

Auch  in  Oberitalien  kommt  das  FQnfeck  in  ähnlicher  Web» 
vor.  Die  Räder  der  Streitwagen')  haben  auf  ägyptincheo  oad 
babylonischen  Darstellniigen  in  der  Regel  6  oder  S  flpoeheo, 
nuf  den  ältesten  griechischen  Daniellungen  (OrafasMen  toq 
Mykenae  nnd  DipyIon-Va«en)  in  der  Regel  4  oder  8  Speichen.*) 


>)  Vgl.  Ermaii  a.  a.  0.  p.  269. 

*)  Nicht  in  Uetrarht    k.imint  hi^i  ' -flmifihailr 

ftliifKackige  GeritLh  (Hvlbig,  Uomi^ni-i  :        ;  dab^  haa^ 

delt  68  sich  uiu  Hn  Sorfaaeck.  ui  di.ww>u  HVcbfllor  Ecke  ilvr  SÜ*1  iloi  («•- 
rAlhM  befentigt  i«t. 

>)  Vffl.  dio  AlihilitiinKrn  bei  Hi'lhig  u.  o.  0.  p.  03  ff. 

•)  Dem  vi*>rFpi»i.hiK«'n  Rmlf  fTaflX.  Fig.«.  ?tr.  5&>  iiuub  bi  dv 
HaINtatl-Pcrimlf  «rtne  gun«  b^^cndenf  ßedcutUDfr  bviirvlvi^  vonlaa  mim-. 


deun   kleine  Metallr&der   lind  wiiMlcrhoU  in  Arabern   tan  Ufk 
.iUlion   gcfiimlen   (vgl.  Sihtiouiftnn  ■».  nu  ü.  i 
|Jtitliker  eU.,  )i.  133;  fiiidprrrMjiU  c  B,  die  «tra«^ 

bil'lut  Ix'i  V.  HpUwoIiI  a.a.O.  p.  18&)     Aiirfa  Haf  Mniiiki«rbt*ii  \^ 
'flmlistflun   fni'liKiDt  dai   Rad   Und   hat  *äcb   tutcb   Nonim . 

Likiieinark  rcrlirpitol,  Tgl.  ?,  ^ohnlnnburj;.  fjäUvhrifi  ffir  I 

Bfl.  Iß.  p.  427. 


«Dii 


F.  LintlenutHtt :  Zur  GtuhttAtc  drr  iSd^tUr  «rc. 


7:i3 


Auf  der  Sifcnlu  von  Watsch  iiiid  auf  ilur  Situla  Armtaldi  (Bu* 
logna)  kommt  indessea  je  ein  Wagen  mit  fCinfspeichi^iren 
Ksdera  vor.  Das  wird  uns  nicht  merkwürdig  erscheinen,  wenn 
wir  annehmen,  das:i  das  Pentagon- Dodekaeder  bei  deu  Nord- 
etruskern  eine  besondere  Verchrnng  genoss  nnd  m  d«a  Fünfeck 
eine  allen  geläutigti  Kigur  war. 

Was  aber  die  Stellung  des  Pythagoras  zum  DudekaPdcr 
angebt,  so  sind  auch  vomtehende  Erwiignngen  nicht  entscheidend : 
fiie  untersttUzen  nur,  xasammen  mit  den  Krörtarungen  in  g  IS, 
die  Richtigkeit  der  lii»torischen  lleberliefrning.  Alexander 
Pulvbistor  (Beginn  des  I.  Jahrb.  v.Chr.)  benchtet  nünilicb, 
daw  [*Ythagora.s  von  den  tiallieni  und  den  Bramaucn  gelernt 
habe;  JamblichuR  erx&hlt  analoge«  in  B<;trf'ff  der  Kellen  und 
Iberer.  Zeller^)  deutet  diese  Kachriclit  dahin,  dam  Pytha- 
goraa  die  Lehre  von  der  Seelen  Wanderung  aus  Gnllien  em- 
pfangen habe. 

Wir  werden,  da  das  Dodekaf'der  iti  OI>oritalien  natßrliclinr 
Weise  zuerst  Beachtung  fand  (xusauimen  mit  dem  Ikosaeder  aU 
ChryHtall-Form  de»  SchwefelkieAen,  vgl.  ^  18)  und  da  Kach- 
bildung solcher  Dodekaeder  (-/u  religiösen  Zwecken  V)  auch  in 
Oatlien  flbbcdi  war,  vielmehr  annehmen,  dass  Pythagoras  ge- 
rade mit  dem  Oodckat^der  durch  die  Gallier  bekannt 
wurde;  er  kannte  die  Kigur  also  aus  der  ÄnschanuDg,  ohne 
nie  zu  confltrniren.  Dadurch  wird  ancb  die  obige  Ersählung 
Q(M:r  !A;inon  Scbnlcr  Hippasus  veratAndlicfa, 

Uebrigens  iäl  bemerkenswertb,  dass  auch  da^  Petita>;rarun) 
aich  in  sfüterer  Zeit  bei  den  Galliern  findet,  und  zwar  auf  den 
MUnKen  altgalliscber  Karsten,  £.  B.  auf  einer  Silbermdnze  mit 
der  Aufschrift  Ateuln  und  (auf  der  anderen  Seite)  Vlat^w  mit 
einem  Stier  und  dem  Pentagramm*},  ferner  auf  den  von  Mioiinet 


')  GflBcbicht«  JfT  fifrii^hischt^n  Fbilniopbir,  p.  277. 

•  Vgl.  GrBfBv,  llan'lbnch  <Jcr  alt^'n  Numiffmatik,  Leipcig  I8M. 
a1)Ki*bild«t  «nf  Taf  XI,  und  Mionn«t.  Dvwrnption  de  m^laille«  auliqnn. 
Fahfl  1606,  t.  1,  [i.  Stf.  Nr  13  WfiN?n>  MQo£<.*n  fambp  ich  noch  nicht 
Vorgldclieo  k^nni-n,  da  irJi  enl  wlhn'nd  tle«  Dniric«  drr  ror1i<ii[L'ndi*n 
Arbflit  Jorrh  ZnAüt  auf  uiuo  »olrbo  MUnxr  nnßiM^rlMAn)  niirilr. 


Tai 


mummt  dtr 


■flUr    Nr.  9.  II.  24  (^  a.O.  f.  ft  C),   44.   88.    It7  taA\ 

p.  91  u.  ifi>t  wfxfgdtkaUn  giÜMeba  ManBa, 
mkIi  «of  etfMT  KapfeffvAa»  «■  K«cmm  (( 
a.s,0.  Taf,.M,   Nr.«).     O«   gaOiKhM    Uta 

bld'U*)  ak  NadtbadoDgn 

bong  wiedvxa  hmUti^mt;  «r  wirf  Tidlwrlrt 
maa  nieb  die  £cr««k«r  di  Venatttlor  denkt; 
iiiiMiiiiili  CftiD|]am«ci,  andannati  Obg^lUlwp :  di«  Kc 
,ia  der  ^k»m  waren  aaoäfetclbare  Xadikara  der 
6tta»e;  Mxterc  nahnM  von  iko<a  die  SAiifl  aa,  wia 
reiche  gallitcha  Mlaa«  nst 
Aocfa  im  ajmbol  dm  Dodekaidn  ■wtiüfaii.  aMdh  (|  U»)  «»" 
dea  AlpeaUiikni  m  PicaMMi  aoa  aSrlfiek  aad  wiaüwfc  aa  d« 
OaJlienif  um  dort  lÄDger  io  Qebraocfa  ni  bleiben,  ab  hm  da 
Elraeltam.  Aabnlicb  mag  es  aneb  mit  der  Verbr^ilaag 
des  PantagramoiR  k^****b  Min,  den  wir  ia  vAx  IrAbar  Zat 
in  GampaoMn,  einige  Jabrboadcrie  tfUba  in  Pallien  kegpi^Mn. 
Mao  kAante  auch  dann  deokeo.  da«  da«  Pmlagnmm  naf 
der  AriitooophcM-Vaie  mit  IVtbagoraa  angalUir 
•ei,  daaa  damnaeb  die  KeoatniH  dei  Pflaladb  mid  daa 
Sdatw  rnngthehrt  von  Caappairian  aieb  nacb  GalEes  rcrbradit 
babe.  Dagegen  i|iRcbeo  aber  muere  IHlberen  6rtode  fttr  da» 
Alter  dw  Dod«fcaedcr  vom  Monte  l^ioSa  (p.  652  (T.  n.  716  ff.},  «>- 
wiedie  aonrt  onTentAadliche  KrUblang  Aber  Uippaxns.  Aacb 
andere  Ueberlegnni^eo,  die  wir  hier  oicbt  wiadarboten*),  lattaa 

■t  Tft  Momraieo.  BAanKbi»  VaanraHm.  p.  3U  n.  CTS  C 
t  Vk).  8.  OBolkfr;  lo  »  ' -rieo  dalU  tooria  <i«i  f« 

^elljiti   neu'  uttirintlA  p  od   n^  HtiOHUan  Ji  bOOfi^mfia  *  £ 

•teria  ddl«!  üii»»  matnuticbe  a  Mdip.  L  4.  Bon  1874.  B*  vini  law 
wh  ilac  di^U^b«  Wort  .I^midflDftta'  fir  4m  Pemtagnawi  «rvtimt  oad 
■of  t*rinitu'i  AblcibuMr  dcaenwo  (ab  IFtam  der  dc«h*)  tiiBg>i  eimwi: 
4l«r  in  Tiab:  nort  immcnbaag  d«>  Peatac^nm»  vaä  ab»- 

^Bcher  Figurra   lot  .:    »tt||mll»dav«  ntigiflaeit  Vnnu*3hn#w 

Um«  «■  (loch  «1«  raflf(iicfa  «neMBin.  dam  jea««  Wort  «k  Mf  dia  |^- 

,  ilachea  Priart«  lii>*irlil. 


.diMHI 


F.  iMtdcmaHn:  Zw  QeitchidUt  der  I'nlytdfr  rtr. 


735 


es  unwabrscheiulicli  ersckeiaeD,  daBS  dem  Pythagoras  die 
wiasADSchafllicbe  Conslnicfcion  des  regelmässigen  Kdnfeeks  be- 
kannt gewesen  aei. 


§  20.  Fortsetzung      Die  Bedeutung  der  Zahlen  auf  dem 
DodekaMer  yom  Honte  Loffa. 

Von  (]«n  Galliern  konnte  Pythagoras  da»  Dodekaeder 
kennen  lernen;  nimmt  man  dies  an«  so  ist  es  wahrscheinlich, 
duB  er  Audi  die  btniachbarten,  höber  civilisirten  Etrusker  auf- 
fsuchte.  Jedenfalb  äcbeint  er  xu  den  Etruäkern  in  engen  Be- 
/.iehungen  gestanden  £u  baben;  daa  Volk  muast«  ibm  aus  Süd- 
Italien  bekanot  sein.  In  der  Tbat  wird  er  im  Alt«rthunie 
hliulig  nU  ,dcr  Tyrrhener*  Hewirhnot.*)  Man  hat  dies  dahin 
gedeutet,  daes  Pythagura«  /.war,  wie  die  Ue  herlief  er  ung  will,  auf 
Samos  geboren  sei,  doss  er  aber  von  einem  eingewundertuii 
tyrrhei)L'icb*peIasgischen  Geachlechte  abätamme.  Dieser  Beiname 
bezieht  sieb  nach  unserer  Ansicht  (falls  Samofi  wirklich  die 
Geburtsstätte  war)  darauf,  dit»s  Pythagoras  vieles  Ton  den 
etruskisohen  Prieatern  in  seine  Lefaron  her  Überge- 
nommen babe,  eine  Anhiebt,  die  dnrch  den  folgenden  Um- 
stand gestutzt  wird. 

Dai  gonse  in  den  libri  pontitlcü  venteichnete  Oultusweaen 
der  Rtimer  war  von  pythagoreischen  Gedanken  durchzogen.  So 
ist  en  begreiflich,  dass  Numa,  der  allgeiueiu  Hlr  den  Schöpfer 
des  ri'miittchen  Gottesdienstes  und  der  Zeitrechnung  gehalten 
wurde,  aU  ScbUler  des  Pythagoras  galt.  Letalerer  war  in 
Rom  Hl)  hoch  angesehen,  doss  man  ihm  im  Samnitenkri^c»  ein 
Standbild  setr.te.  Wegen  des  Anachronisroos  ist  die  Numa  be- 
trefleude  Nachricht  unmöglich  riditig*);  verständlich  wird 
sie,  wenn  man  annimmt,  dass  aowoht  Numa  ab  Pythagoras 
aUD  denselben,  nämlich  aus  etrtiskiäcber  Quelle  geschöpft  hatten. 

<)  Vftl.  XelUr  ik.  n.  t>.  371.  Norh  Pliitarch  wfti»  PrthufToru  in 
Kmirit'M  (tfSoivn. 

'}  V'si  l'nK^r,  Zoitrecbnunir  der  Griechen  and  BOuiur  in  t.  Häl- 
1  sr*«  Baiitibiirh  der  Altttrtliiitnawiuienachnft,  Bd.  1,  S.  Aull..  p.  799  ii.  008. 


7*'I8         aiUung  Jer  mnth.-phtf*.  Ctmtat  om»  &.  Dtgmmbmr  JifMJ. 


In  ähnlicher  Weise  sind  aaoh  die  Anderen  bemvrkeai- 
wcrthen  Zahlen  entweder  selbst  maf  dem  Dodekaod»! 
oder  sie  können  durch  Addition  bezw.  Subtraction  be^ 
nachbarter  Flächen  leicht  gebildet  vtrdcD  (vgL  Taf. 
Wo  im  Fülgenden  Zahlen  durch  die  genannten  0( 
combinirt  worden,  handelt  es  «ich  imoaer  um  solclie  auf 
nachbarten  Flächen.  3o  kann  auch  4  aU  20  —  lti=^, — ^ 
gebildet   werden.    '>   &U    15  —  10=  F,  — /^,.    2    aU    12  — l< 

Acht    ist    bemerk eoswerth    aU   ejvter   Cahas;    wir 
20  -  3  -  9  =  F,  —  F^  -  F„  =  ?. 

Neun  hat  als  Quadrat  von  3  und  al«  SchlmezaU  der 
Dekas  eine  bedeutende  Stelle:  F^  =  9. 

Zehn  fasst  in  sich  alle  Zahlen  and  all«  KrÜW,  denn  afle] 
höheren    Zahlen    werden   aU  Wiederholung  der    10   enia 
trachtet:  i;=  10, 

Quadrat    und    Heteromekie   (d.  h.  i^  und    M(fi -{-'))] 
werden  in  der  yythagu reischen  Kategorieiiiafel  einander 
Über  gcatelli.    Suchen  wir  daher  auch  diese  Zahlen  am  Oodaha-1 
irder  festAUMtellen. 

Die  Quadrate  2',  3*  sind  schon  erledigt;  wir  haken 
4»=16  =  Fj.  Ferner  5»  =  25  = /;  +  F,  =  F, -f /;.  Ots 
Quadrat  von  6,  d.  )i.  36,  ist  eine  ganz  beMnder«  beJItife 
aie  ist  die  Vereinigung  der  rier  ersten  Geraden  ond  t'ngipr 
3«  =  1 +:3  4-fl +  7  +  2 +  •! +  6  + 8  (ald  Tetraklyi 
zeichnet);  sie  ut  die  Summe  der  drei  ersten  CabiknKI«li| 
1'  +  2>  +  3*;  sie  ist  die  Quelle  nnd  Wurxel  der  eviKW  Kater | 
nnd  repr&tentirt  da«  Weltall;  nie  war  der  höchste  Schwur  der 
Pythngiiriier.  Vielleicht  steht  rie  gerade  d^hdb  (wir  die  Zahl  7) 
nicht  direkt,  Honderu  nur  versteckt  auf  dem  Dodekaeder.  Wir 
haben : 

i^,'ff;«20  +  l6=F,  +  F,-12+24-/;+/;  +  F,^ 
-  Ö  +21  +  6  =  F,+  ;•;  «  21  +  lÄ, 

Dt-  i t^r   gegmttberliegenden    Zahlen    mi   Uv    fi  »Igvoder 

T;i  I  I  »niehon  : 


J"'.  t-imtemofin:  Zur  (/«»eluchU  <ler  I'olyctief  efe,  "^^ 

20  :  aou,    15  :  «o,   »^  ai, 
10  ^    li,    lü  :  24,   9  :  12. 

Die  deu  zuletzt  benutzten  gegcnüljerliegendeii  ZUTeni  geben  nlso. 
in  gleicher  Weise  gummirt: 

300  +  24  =•  324  =  9-30,  9  +  16  =  25  =  b\ 
12  +  3  +  10  =-  26  -.  5»,   3  -f  00  «  U  -  7. 

Die  erste  Zalil  ist  das  Prodnct  derselben  Tetraktys  in  die  be- 
deutsame Ziili)  0.  Die  sweilti  und  dritte  geben  lieide  25,  was 
kaum  Kufällig  sein  dürfte.  In  der  zweiten  Gleichung  haben  wir 
aaBsardem  die  Beziehung  zwit^chon  den  drei  iijthagoreischen 
Zahlen,  welche  dem  pytliagtireiacben  Lehrsatze  zu  Grunde  liegt, 
und  /.ngleich  ist  hierdurch  die  heilige  Xnhl  36  ku  diesen  nierk- 
wOrdigen  Zahlen  3*.  4',  5'  und  xu  63  in  Beziehung  gesetzt. 
Waa  die  gBgenflherliegenden  Zahlen  angebt,  so  ergibt 
sich  aus  obiger  Tabelle  kein  »ehr  benierkenswerfches  Gesetz;  in 
jedem  Paare  sind  gemeinschaftliche  Factorcn  enthalten. 

DieZnhl7*=^49istF,-Hr,-|-Fß-f-j;=20  +  I04-l(>  +  3 
=  F,4-F.-|  F,-f>;«l0  +  3-f  12  +  24:  8»-64  i.t  F„ 
4- i*'.+  ^;H-F,+  ^»=-6-f  9+15  +  10-1-24;  g»  =  81  ist 
^lot-'^^-i'^.  f  ^■-f->\-=6  +  21  +  24+10  +  äO;  10»«100 
—  ^^  +  9  +  ^n  +  3+12  +  2•l  +  21- 
Acbslich  verhalten  »«ich  die  heteromekeu  Zahlen.  Wir 
hahen:  2X3«6=.F„;  »X4  =  t2  =  7^,:  4X5  =  20=F,; 
5  Xrt«30-F, +  /•;-,  0X7  =  42  =  li',  +  >*,  +  F,:  7X8 
«  5Ö  -  i^\,  +  F,  +  F,  +  F,  +  F,  -  6  +  1 6  +  9  +  1 5  +  1 0 ; 
8X9i»72  =  r,  +  F„=  12  +  ftO;  9  X  10  «9t»  ^24  + 21 
+  9+16+20. 

Die  Zuhlen  12,  20,  15  »tehen  zu  dem  DodekÄi^d**r  in  \te- 
Dnderer  Ber.iehungf  da  sie  die  Anzahl  bezw.  der  ICeken,  K1&- 
chi<n  und  der  Paare  tod  parallelen  Kanten  angeben.  Der  Zahl 
60  kommt  al^  Orundzahl  d«.i  sexageai malen  Systems  eine  be- 
Torzogt*  Sti»ll«ng  zu  (vgl.  oben  p.  660),  der  Zahl  SOO  =  F„ 
atiff  d«trii^c'lben  Grunde,  denn  aacb  im  babylonischen  HTKlem« 
tindeu  wir  fOr  300  ein  besondere*  Zeichen  (vgl.  Taf.  IX.  Fig.  4 
und  olien  p,  708).     Die  Summ«  300 +  «^0  +  6  gibt  die  Anzahl 

48' 


7 10        Sitxuny  der  mathrftlti/»,  (^itU9  «e«  5.  UtMmher  JHML 


DodakaXdm 
nie  nmn  Br- 


»t^rmul 


der  Tage  im  Bonoenjahre  uur  fCr  die  Scboltjobn 
üeberlegungen  scheinen  daher  bei  CoDstniction 
Dicht  maassgebend  f^ewesen  zn  sein;  and-      '  "  ; 

Ziehungen    der    Zeichen    zu    den    Thitnl..  . :.. 

mQssen ;  solche  konnte  ich  inde»en  nicht  auffiDdon 

In  gleicher  Weise  wie  die  Quadrate  and  heteromektfii  Zahl 
lassen  sich  alle  Kahlen  bilden,  die  als  Vielfache  ron  7 
scheinen.  Ausser  den  obigen  haben  wir:  14  ^  24  — 
28  =  15 -i-104-3«9-f  16-1-3;  35  =  20  +  15;  63«l3-f34 
+  21 +  n:  70  =  1<>  + 9  +  15+ 10  +  20.  Die  vier  Sannuadtf 
von  63  liegen  um  die  Zahl  300  herum  und  schlieoien  lefitere 
Zahl  zusammen  mit  der  Zahl  60  ein;  die  Zahl  63  be^eipiclc 
ans  eben  auch  bei  Besprechung  der  Tetraktjx:  sie  eatsteht  a» 
ihr,  wenn  man  Zehner  und  Heiner  vertau^bt^  wa«  aoch  okM 
Auweudung  unserer  decimalen  Schreibweise  anffUlt,  wenn 
das  Rechenbrett  (den  Abacus)  benutzt 

Dasselbe  gilt  endlich  auch  fflr  die  Vielfachen  ron 
und  8.  Es  iatnämlioh:  35  =  20+15;  40-=  10+  l5  +  9  +  (t: 
45  =  24  +  21;  50  =  21+9  +  20;  32  =  3  +  20+9:  48— U 
+  10  +  3+20;    die   anderen   Zahlen   sind   schon  -n. 

Kine  Ausnahme  machen  nur  die  Vielfachen  von  0;  m  urt  «hat 
kann  0X3=18  nicht  durch  Addition  oder  SubtractiiMi  be- 
nachbarter Zahlen  gebildet  werden,  dag^en  wohl  alt  31— S 
durch  Subtraction  gegenüber  liegender  Zalilrn.  Die  Zahl  1*^ 
hat  rielleiclit  als  Hülfle  der  Tetraktvs  eine  ausgeEeichn^ic  SUrik 
einnehmen  sollen:  alle  Vielfachen  von  6,  ati»giefK)miii«i  dW 
Vielfachen     von    18,    köuneD    nuaaerdem    durch    V>  .9^ 

solcher  Zahlen  erhalten  werden,  die  direct  auf  dem  Utu.  H;,.^l«r 
angebracht  sind :  13  =  2  X  <**  18  =  2  X  ^.  24  =  2  X  lii, 
30=2X15.  42—2X21,  48  —  2X24;  «•  febloü  36  =  2X1», 
54=3Xi8. 

üemKaa  den  Formeln  1  +  3  +  5  +  .  .  .  +  (2ii  —  1)  =s  ««, 
2  +  4  +  0  +  .  .  .  +  2n  ^  II  (H  +  1)  sind  die  Summen  der  iia- 
girraden  und  geraden  Zahlen  mit  den  <^aadniten  und  d«a 
|if.f.....r,,.A....  '/»Iilen  idvnliKch.     Daxn  ktMum^D  diH  «ijienAiintra 


I 


rliTMitfin:  Xw  f^nehidtte  der  /Arfwfrfei'  rfr . 


14-24-3+. 


•  +»=  gWln+O. 


hIso  :j,  Ü,  10,  16,  21«  28,  36«  45.  Kur  die  letetea  drei  fiadeu 
aich  nicht  direct  auf  dem  DüdekaPder;  es  entstehen  aber  36 
und  45  At»  derselben  Znhl  24  durch  Additiun  der  benacfabarton 
12  und  21,  von  düuon  die  mne  aus  der  anderen  durch  Ver- 
tauachiing  der  Einer  mit  den  Zehnern  enULeht«  wie  ti3  aus  36. 
In  denelben  Bexiebung  ntt^hi  54  zu  45  und  es  ist  54  =  9  4-10 
4-  15  4-20.  LeUtere  vier  Zahlen  nind  durch  kleine  <^nerlinien, 
die  Ton  J'\  nacli  i^,,  F^  und  F^  flehen,  mit  einander  verbunden, 
ebenso  wie  die  Zahl  24  mit  21  und  mit  12  je  durch  einen 
tina)o|;en  Kinsclmitt  in  die  IfelreÜ'ende  trennende  KOrperkante 
verbunden  ist  (vgl.  Taf.  II  und  111).  Den  Zahlen  24,  21  und 
12  t^e^unfiber  liegen  die  Zahlen  1(>,  'i  und  9:  und  ihre  Summe 
ist  28.  gibt  ako  die  dritte  noch  fehlende  Dreieckazahl.  In 
gleicher  Weise  mit  einander  verbunden  sind  die  Zahlen  ß,  16 
und  60;  ihre  Summe  ist  82,  welche  Zahl  wieder  aus  28  durch 
Veriauschung  von  Zehnem  und  Kiuern  hervorgeht.  Durch  dieae 
Uebrrlegung  dürfte  auch  die  Bedeutung  der  erwfthnten 
Qncr-Kerben  klar  gelegt  sein;  sie  beziehen  aich  auf 
die  Bildung  derjenigen  Dreieck^zahlen«  welche  nicht 
selbst  anf  den  Flächen  der  Dudekaeder  vorkommen;  sie 
haben  gleichzeitig  eine  zweite,  sogleich  zu  erörternde  Bedeutung. 
Zunächst  liegt  es  nahe,  diesen  Kerben  einen  rein  prak- 
tischen Zweck  beizulegen;  sie  sollten  etwn  dazu  dienen,  das 
Dodekai'der  irgendwie  an  Fäden  aufzuhängen;  aber  die  Auswahl 
der  eingekerbten  Kanten  ist  gerade  fUr  diewn  Zweok  nicht 
gOnatig.  Man  kann  den  Kerben  eine  zweite  Bedeutung  im 
Anschluss  an  die  pythagorfti»»cbe  Vondellong  von  den  voll- 
kommenen Zahlen  beilegen.  Hine  Ziihl  ist  vollkonuuen, 
wenn  sie  gleich  der  Summe  ihrer  Tlieiler  i*t,  wobei  die  li^iuheit 
ftlfl  Thcilvr  mitxuMthlen  i»t  (natarlich  aber  nicht  die  Z^hl  selbft); 
z.  B.  6=  14-2  +  3:  28-14-2  +  44-74- 14:  496  =  14-2 
4-  4  4-  «  4-  Ifi  4-  31  r  «2  4-  124  4-  248.  Die  Zah!  ü  steht  auf 
Fläche  Nr.  10.  Die  Zalil  28  haben  wir  soeben  iils  Dreiecka- 
zahl behandelt:    Die  vullkunimeue  Zahl  490  erhalten  wir 


:*'-*^.*^ 


^       O»   di.  &?"**  + 300. 

T,   '^"'  z«ii/  a*  ,     *  "^  '•   ■SU 

•jr?"'""  *"^rf-  be;  .•    '^*  °"  *1  +  i 


''"I  , 


'rnt 


emann:  Zur  (rciwhichtfi  dn'  l'uli/eiUr  etc. 


743 


Iruppe  60,  ti,   IC: 

ki  +  5,;  =  5  +  18  -i-  107  =  ISO. 

S^  Gruppe   10.   l.'j,  20   (iiideDi  von  Her  hiemit  au- 
gn  Ü  ziu)äch:tt  abgesehen  wird), 

■^.; -1-^^=7  +  8  +  21  =36»), 

Tetraktyx;    während   die  Zahlen  60  und   120 

das  Sexogoaiiunlsystem    ao^ezeiclinet    sind. 

Seeer   3  Zahlen    60  4-  120  +  36   ist  gleich   216 

t>^0^  steht  also  wieder  zur  Tehraktyx  in  ei^en- 

Nciebung,  denn  es  iat  3^  =  1»  4.  2^  -f-  3'. 

der  letzten  Zahlengruppe  die  9  mit  berflcksichtigk 
erhalten  wir 

[egunQljerliegenden  Zahlen: 

PP«  +  >'«  +  '^«  +  ^3«,  =  69*- 

me  ÜÜ4  -f  42  =  736  föhrt  auf  die  Zahl  S:^  =  775, 
ifferen/.  694  —  42  =  652  auf  .S;;,  =  495  ;  es  ist 
=  216  =  G»,    S'    ==  376    und 


«52 

,S„.  =  343  =  7». 


,uch  in  den  beiden  anderen  Tripeln  von  Zahlen  die 
enden  Zahlen  ein,  80  wird 

5^;  +  S;.  -I-  5;  =  24  und  .S-  =  35, 
5«  +  -^«  + ^.'5  =  50"°^  ^«  =  42. 

me  50  4-  24  =«  74  gibt  S,\  =  39,  .S3,  -=  16  =  2*, 
^2  =  77   gibt  5-;  =  18*=  6',;.     Bilden  wir   die 

l»4-5w4-3|  =  M4-84-6  gibt  Ührigeni  3Ö. 
nehnng    xwiiirben   9    und  20   konnte    mAii    mrh    üiicli    m 
I  ola  44~6  anf  d»'m  Dodebaikltrr  ilarjfeslflll  int.   wubrt-nd 
ihrt.     [>ttnn    wüiv  ß  je   mit  16   und   00    vtrbundeu.    weil 

BO    i«t;    tiaun    ahor   inUMtPii    nurb    noch    andfre 
verbutideii   at-ia ;  e«   ist  ja  it.  B.    {0  X  2  =  20. 

it  nirlit  mit  10  vnrbumh'ri. 


74  1         SitittuQ  der 


S.   ttesernher  IHSHt, 


DiH 


ercHxeu 


der 


U   tiU  —  Ü4  —  36 


Glaagü 
TheileraummeM    gt^gi^nilber  liegender  Tripel, 

und 


feruer    3ü  -j-  70 


IW,^ 


I 


r 


^«+-^,»--60  + 73^  133    und    106 -f  133  =  239  =  S^,; 

Ä-  =  8  =  2^  und  26  +  55  =  .%,  +  .S«=  »l  =  3*- 

Die  Summe  der  drei  Zahlen  694.  24,  50  ist  709  nad 
ÄV„  =  745 ,  äV„  =  U4  =-  2  (5^;  +  Sg,  äVj^  ^  183,  «ndwrr- 
-*it«  .S";,^-f^'^*f  ^^-244,  5.^  =  189.  .S;^=-129,  oud 
12y  -f-  188  =^  2<)2,  SVgj  =  133;  ferner  S;„  =  2<l.  ^Y»  "=  '•^' 
'S«+>«-^OiS«  =  49  =  7V 

Die  der  Gruppe   (10,  15,  20}  gegeDttberliegeuile«  ZaUeft 

ergebe« 

Die  Summe  der  Tbeilermimmen  jener  Gruppe  war  36;  » 
iat  679  -f  U  =  715  und  ferner  :  S:^^  =  292  ,  S^  =  ^25. 
S;,5=162,  5,;,  =  200,  5^,  =  2rt4,  S^  =  455,  .S'^-^Stt 
=  6*,    welcher  Zahl    wir   schon  oben  bege^el^u ;    andfrrvntsk 

5«,+ ^..  =  104  +  60-104,  ä;^-iä9,  s;^=^u,  ä^=5«-J 

Die   Summe   der    drei    Zahlen    24  >   50,    679    ist    753    uo^    ' 
^i'u  =  ^^^    ^^^  die^lbe  Zahl  254   i^t  ^hhh    der  Suniui«  120 

+  m  -|-  5Ü  H-  24. 

Auf  dieäelbe  Zahl  104   wird  man  gefUhrt,   wetm   »lan  dto 

!\mr  1.1.  16  und  das  Piuir  0,  OO  betrachtet;  es  ist 

'So  +  'S«=23.     ä«  +  ä;.=  112, 

und    fttr   die  Summe   112  4-23=^135    finden   wir  S^'J^^  =  104 

Ebenso  betrachten  wir  die  durch  (iuerkerl>eii  markirie« 
FüAte  21,   12  und  24,  21  für  alch',  es  int 

50  -|-  45  ^=  95  [  und  wieder  S^^2^;  wir  biMett  «oitet 
Ä'^  =  .%,  5^  =-  12,  .S;;^  15,  N,; ^  8.  S,  =  6,  S;  =  5;  dm» 
ist  die  Summ<i  aller  dieser  Zahlen  {5  bi»*  24)  —  105  =  S,^, 

ReKeichnet    man    mit  ~  u    die  Summen    aller    12  Zahka  * 


rtftaf  nitnit  ■  Jsitf 


htf  der 


ttf. 


(ulw)  49U)«  mit  JT^^  und  Z  8^  die  Suiuniou  alt«r  12  Znlilon 
8^^  und  iS^',  90  ist 

=  300  —  20—  10  Xü. 

Wühei  10  und  t)  einander  gegenßberliegende  Zahlen  sind;  uml 
ra  besteht  die  (ia  gewissoni  Sinne)  anHloge  tjileichuDg 

Xfi  -  V5„  +  .V«  -t-  .V^  =  284  -  300  -  20  -  (10  -f-  «), 

wo  nuch  300  and  20  einander  gegenüber  liegen.    Ett  ist  femer: 

.s„,«  2X284.    380  =«10  XV 

Die  hier  rurkoroni enden  Zahlen  284  und  220  sind  wieder  aus 
den  pytiiago mischen  Lohren  beknimt ;  es  sind  xu  einander 
befreundete  Zahlen,  indem  die  eine  gleich  der  Suniroe  der 
T heiler  der  andern  ist: 

284=  l  +  2-f  4+S  +  lO-f-U  -f  20  +  22  +  44  + ö5-f  H« 
220=  I  +  2  +  4  +  71  -I-  142. 

I)nKh  ZasammeQfaaffung  aller  dieser  Einr^lhciten  kommen 
wir  XU  dem  Hesultato:  Die  Zahlen  auf  dem  Dodekaeder 
sind  Bo  auBgewühlt  und  angeordnet,  dass  die  ans  der 
ersten  Dekade  /.u  bildenden  Quadrat-  und  beteromeken 
Zahlen  entweder  direct  vorkommen,  oder  durch  addi- 
tives (in  einzelnen  Fällen  subtractiTes)  Aneinander- 
rvihen  benuchbarier  Zahlen  zu  bilden  »ind;  diio^  Qtei- 
tibu»  Ton  den  Producten  dt*r  Zahlen  der  ersten  Dekade 
gilt  mit  Aunnabme  der  Zahl  IS  und  ihrer  Vielfachen, 
bei  denen  auch  einander  gegeuOberliegendc  Zah  Jen  »u 
berücksichtigen  «ind,  da»»  die  Dreiecks-Zahlen  beson- 
d«r8  hervortreten,  ebenso  die  vollkommenen  Zuhtun, 
die  Tctraktyx  und  (wenn  auch  weniger  deutlich)  die 
befreundeten  Zahlen.  Daneben  traten  auch  BeKiehunj^en 
zwischen  Zahlen  wir  C\?,  und  M,  28  nnd  82,  h\  und  IT»  auf, 
di«  in  den  pythagnräiftchen  Ueberliefeningeo  kt*in  Analognu  xu 
haben  »cheinen. 


'•( 


-r*.r-  ':^''  ^^  t: 

""^^  dal    ^'^■''"»   w'°'*'''«'%1l* 


£Li'*.Ä.  "•»«■. 


ist 


«IJXl 


:uti,.| 


Urmantt:  Xur  Oenclnchle  der  Polyeder  ete. 


717 


IrihHguriuT    iiut  denen    ctniskisclier  Priester  vicl- 

^(p.  735  f.);    unter    letzteren    lialten  Zahleu- 
rade  eine  besondere  Bedeutung ; 
n  Zeichen  auf  den  Gewichten   und   auf  dem  Do- 
Ae  grosse  Gruppe  von  anderen  Zeichen  verwandt 

N,  die  vor  Einführung   der  phönikischen  Buch- 
Igauzen  Mittel meerbecken    angewendet   wurden 
nders  als  Stein metzzeicben)   noch  lange  erhielten 

rQnden  fügen  wir  noch  folgende  Bemerkungen 
{  auf  den  Gedanken,  Pythagora-s  habe  von  den 
1  etwas  entlehnt ,  schreibt  Z  e  1 1  e  r  (a.  a.  0. 
Selbst  wenn  einzelnes  von  dieser  Seite  her  in  den 
s  gekommen  sein  sollte,  k&nnten  es  doch  nnr 
xlnete  Bestimmungen  gewesen  sein;  philosophische 
len  umwohnenden  Barbaren  anzunehmen,  waren 
hen  Griechen  wohl  ebensowenig  geneigt,  aW  jene 
le  Lehren  mitKUtbeilen  im  Stande  waren.*  Nichts 
en  Beinamen  ,der  Tyrrliener*  för  Pythagoras  er- 
£e  Worte ;  er  machte  sich  eben  von  dem  helleui- 
eile  gegen  die  Barbaren  frei,  wie  er  so  manche 
loile  abstreifte  und  nahm  von  den  Etruskera,  wa» 
,  konnten.') 

litalieu  äia<l  diese  Zahlen-Speculaiiouen  vielleicht 
1  Übertragen,  vielleicht  Aber  Aegypten  oder  durch 
er  Phnniker.  In  der  That  verrauthet  z.  B.  Cantor 
an  der  Tetrakiys  babyloniiicbcn  L'rsprnng.')  Dahin 
i  bevorzugt«  Stellung  der  Zahl  60  auf  dem  Do- 
Stellang,  die  bei  den  Pythagoriiern  in  Vergessen- 


nch  umgekehrt  das  Intoene  der  Ktrusker  lui  ihm;   vgl. 
Lotn.  p.  G&7. 

a.  0.  p.  86.  Eiuen  Aiisflaaa  alt-orientBlisrbpr  Oeber- 
ani  man  auch  in  Act  an  die  Leber  dvn  Opfertliit*n»  ge- 
,  di<'  lifÄontli-nt  in  Etniricn  anw^'i-iilit  wunli*:  v^I.  Difc-Jit', 
U*tupliiin  von  PiArr^izii,  KtriiiikiA4-b«^  Porichimgi'n  und 
lit(«art  1882,  p.  7». 


F.  IhiilemtmMi  Zur  Guchicht«  dtr  i^yväcr  etc.  7il>i 

Mail  liftt  iliese  Wort«  als  etrnskiflcha  Zolilwurle  für  die  Zabl«iii 
1,  2,  1.1«  4,  -j,  0    aufgePaaifb,    ohne    aber    liulier    fnfUluIlen   xti, 
können,    welrlie  Zahl  durch  jedes  Wort  gemeint  sei.')     Am 
vahrscbeialicbstt*ii  iat  «d,  daas  nicht  die  ß  irrsten,  son- 
dern andere  t> /«ahlen  auf  den  WOrfctn  stehen;  vielleicht 
huiidutt  1»  sich  auch  um  Worte  mit  anderer  religius^synibolischer  ] 
Bedeutung. 

Dlt  Gebrauch,  derartif^e  Zahlen  •Relationen  auf  rei^ulilren' 
Kör]>eni  durzuätellen,  bat  »ich  iiugHidcboiiiiicb  länger  t^rhalten: 
wir  finden  ihn  auf  dem  Dodekarder  von  Bonn  wieder,  aber  das 
BewiiästKcin  von  dcnt  Inhalte  der  Relationen  und  der  Bedeutung 
der  Zahlen  war  verloren  gegangen  (vgl.  |i.  OWA  a.  72H).  In 
andercM'  Weise  begegnen  wir  demnelben  Gebrauche  auf  der 
[bip()el|iymmide  von  Meclo  (p.  t}51  u.  712). 

§  21.    Die  Apicas  des  Boötius. 

Teber  die  Herkunft  unserer  heutigen,  sogenannten  arabi^chfiil 
Ziflem  bestehen  verschiedene  Ansichten.    Sicher  ist,  dn&s  schon 
früh    in    Indien    ähnliche  Zahlzeichen    gebraucht   wurden ,   dasa I 
diose  nach  Alexundrion  fiburtragen,  von  den  gelehrten  Ambeni 
dea  Westens  (alä  sogenannte  Gobar-'/ißern)  angenommen  wurden] 
(etwa  im  10.  oder  11.  Jahrhundert  u.  Chr.)  und  vou  dort  ihFenl 
Weg  zn  den  Culturvülkern  Europas  fanden.')    Fraglich  ist  nur, 
ob   nicht  ächon   ähnliche   Zeichen    bei   Griechen    und    HtJmern 
ta    früherer  Zeit   benutzt   wurden.     In   der  Ar»  geoniftric»  des 
Bni^tiuf)   (um  500  n.  Cb.)   findet  sich   nämlich   die  Bßmerknng,^| 
du»«   beim  Itechnen    mit   dem  AbacuA  (Ttecbenbrett)    verschieb-^F 
baro  Marken  mit  dort  repr'xlucirtt'n  besi)nden.'n  Zeichen  Hir  ilie 
Zalileu  fou  1  hin  10  angewendet  wurden;  dieee  Zeichen  werde 
bU    pythagoräiiich    bf/eiclmet    und    sind    jenen    Gobar/iffem 
aehr   ähnlich.     Wir    haben   dieselben  auf  Taf.  IX,  Fig.  7    und] 
Kwar  mit  I  bi»  V  in  den  verschiedenen  Formen,  wie  die  in  de 

';-  Vijl.   B.  \i.   Puuli,    Pie   pimAkif-ph«^!!   XalilwiVrtiT.     KtnwkiidiJ 
Fonrhiinpf)  itnil  Studio».  H<*ft  3,  fitiitttpirt  ISÜl. 
»I  Vifl    KriMllnin  u.a.  0.  |i.  M  ir.  mid  tUi  II. 


752        SiUun(r  der  imillt.-jJtifii.  Ctiume  rom  '■.  iMuemJjer  StiSht, 

tischen  Zeichen   für  i  (Taf.  V).    Die  4   unter   II    bdsUhfc 
demaelbeD    Zeichen    (wenn   rcchU   uud    links    vertauscht    wird),' 
rerbunden  mit  einem  horizontalen  Striche.    Der  letztere  t»t  aber 
das  (ältere)  hierutiscfae  Zeichen  für  4   (Tiif.  V.  Col.    b).      En  wü 
ilalier   anzimehmeu,   dass   urbprüngUcb   beide  Zeichen    nnf  il«n 
Abacud   benutzt  wurden ;    der   horizontale  Strich   tat  dazu  »ber 
unpraktisch,  da  er  bei  Drehung  der  Marke  um  90**  die  Kinbdl 
bedeutet;    deshalb  m&j;r   ihm  dann  da»  domoti«che  Z<  '  '         Ifö-^ 
gefti}{t  sein.    Die  Zeichen  flir  4  unter  I  und  V  «lud    i  '  .^     "ra-j 
tionen   dea   unter  II   mitgetheUten.     Die  Ziffer  &    ist   io 
Füllen  Ton  der  hieratischen  oder  demotwchen  Zitfer   wenig  r« 
schieden ;   der   obere  Querstrich   ist   nur  leicht   gekrOmiiit  od«r^ 
schräg  gestellt.    Vertauscht  mau  in  der  hieratischen  üdcr  detao- , 
tischen  (i  gleichzeitig  rechts  mit  links    und  oben  mit  unten,  m\ 
entsteht  daa  Zeichen  |||;  und  wenn  man  letxteree  in  einem  Zogt' 
ausführt,  8o  werden   sich   Verbindungästriche    einitchiehon    {wie 
bei  dem  ägyptischen  Zeichen  fQr  8  und  dem  Zeichen  3  sof  d«B' 
Apices),  so  dass  man  die  auf  den  Apices  vorkommend*^  c^skigo  Ö 
erhült.')     Die  Ziffer  7    entsteht    aus    der    zweiten    hirratii^rhrti 
Zitier  in  Columne  d,   wenn   mau  die  abgerundeten  Kckva  ifpilx 
macht.    Die  Zitier  8  knüpft  in  der  Form,  in  welcher  si»  untcr 
V  eröcheiut.   am    besten   au  daß  demoiische  Zeichen    ftlr  8  an; 
man  braucht  nur  in  lMt7lercm  den  horizontal    noch  rechtii   ir«r* 
laufenden  Strich  etwas  nach  unten  zu  krOramen ;    b«  «chseller  I 
Auäfiihrung  der  Schrift  entsteht  dann  die  gosohloaseot  6,   wmJ 
unter  I  bis  IV. 

Diese  Betrachtung  dürfte   ergeben,   doas  di»  ■ämnatiichen 
Zitfem   des    Boetius*)   sich    ungezwungen    aas   den    tg]r|»(4M]hm 

1)  Bei  ilun  Itobor-Ziflem  ist  die  Scdu  nuiil  vi«  tn  mu  in  4arO^  , 
gcnvrart.    Na«h  der  LV  T  wWtv  t\\»  rokiffn  Sisdtt  al*  | 

di**  Rlteri»  Fonn  dp» 

•)  Nif;ht  von  uti«  l)t<liuuilf>it  wt  iliw  Z»'ii-t»pn  ;  ,iii 

d(«ra  Atat-UN   ooch  anncicoU-n  wird  und  an  du«  »J'J  ^  , 

für  10  erinnnrt   Im  Tnte  der  iin  g«nmKria  «M  ea  otriil  «rk 
Ul  denbitlt)  walinK'Whdirb  iiputffrr  %'    '  '      ' 

i^iff<>rii  tiiif  >li*ni  Abucu*  ttHgi'Bf.-tKt<*ii 


iwilzeicbf^n  üMeitcn  lasseu.  Damit  ist  dann  nach  den  vor- 
stehenden Krörterungen  erwiesen,  dsas  die  in  der  Ars  gefmie- 
Iric»  uns  erhaltene  neberlieferunj^,  wonach  st-hon  Pythngora« 
die  fraglichen  Ziffern  f^ebraiicbie,  nicht  nnint^lich  ist,  rielmehr 
eine  innere  Wahrscheinlichkeit  fflr  «ich  hat  Bei  den  re^^en 
VerbindviDgen ,  welche  in  prähiHtori^-her  Zeit  Kwi.sobeu  Italien 
und  dorn  Orient«  bestanden«  erscheint  uns  auch  eine  Keise  des 
Pjthaguras  nach  Aegypten  oder  ein  längerer  Aufenthalt  des- 
selben in  Aegypteu  vor  seiner  Ankunft  in  Italien  nicht  nn- 
wahrscheinlich. 
^B  Ki  mW  hiermit  nicht  bestritten  wenlen,    dass  unsere  hen- 

^^  tigen  Ziffern  uns  von  den  Indiem  durch  Vermittlung  der  Araber 
Überkouitueu  äind  ;  es  sollte  nur  die  Möglichkeit  betont  werden, 
■  diu»  sich  eine  Krinuerung  an  den  (Jebraiich  ähnlicher  Ziffern 
im  Occidente  prhnlten  hatte:  und  es  mllte  die  bei  Martin 
in  Betreff  der  Ziffern  •'>,  6«  7.  8  bestehende  Lflcke  aii.sgefntll 
werden. 

S  2e.    Bttckblick. 

Rh  ftoi  uns  gestattet,  die  gewonnenen  Ijt^nltate  hier  kurz 
xuxamnienxtistellen. 

I.    Betreffend  die  Geschichte  der  ZahUcicheu. 

1)  Die  niedrigeren  Bgyptischen  (hieratischen  und  denio- 
tiscben)  Ziffern  sind  aus  den  einfachsten  Eteiueiiten  ..  I,  — , 
/  tkler  \  /.usaiunienges(*t/.t*),  vielleicht  tlibllwei»!  Mihnn  in 
Anlehnung  an  babylonische  Vorbilder.  Die  Zeichen  fllr  die 
höheren  Zahlen  (00,  80.  00,  100,  KKiO,  vielleicht  auch  10  und 
40)  und  dorn  babylonischen  Systisme  ontlvhnt  (vgl.  %  15). 

2)  Diese  Zuhixeicben  wurden  im  Anfange  des  ersU^n  Jahr- 
tausends v.  Chr.  durch  Vermittlung   der  IMumiker,    für    welche 

*)  Wie  idi  i*nt  nnciitrfl|;licb  Wuirrki*.  «n-kltlrt  auch  de  tlottgä  du 
Zeichen  fDr  7  itU  $-f-4,  it)tJi>ni  fT  i]«'h  tchn'ip'ii  8tri(*li  al«  eine  »Uf^e- 
kamtf  Frtrm  ilt>M  Ki'irhetiit  filr  Ä  t>ftra><htp|  (».  a.  O.  p.  IM  f.>:  «Üf  7rfich»*ii 
fttr  TiO  un<t  70  fiiMt  aitrli  lt  oIi  Q  X  10  iinü  7  >'  10  auf. 

ISM.  MtUi   lAy«.  (1.  4  -111 


754         SiUutuj  tier  wath.-jihys.  GI<i$m  vom  5.  l)eg«mtKr  liXK!. 

fiberbaupt  die  Vermischung   babvIoniscb-uflyriBcher   und  «irrf^ 
tiscber  Cultur-Eleniente  charakberistiscii  ist,    (lacli   Ober-ICalilfl| 
fibertragen   (§  14)«    rielleicht    schoa   frtlber    durch    directe    Be- 
rührung der  Etrusker  mit  den  Aeiiyptern  (g  IS). 

3)  So  entwickehi  sich  die  späteren  etrupkischen  and 
sehen  /jnhlxeichen  (§  IG)  aii^  den  ä^pbschen.  wobei  eine  I 
derttng  in  der  Nonnirtmg  der  Einheit   zD    berGcksiciitä^tfi 
die   durch    die    doppelte   Normirunff   der   babyloniscbvn 
und  Gewächts-Einheiten  erklärlich  wird. 

4)  Wahrscheinlich  hat  sich  auch  Pythagoras   b«i  ■etiw» 
Rechnungen     ägyptischer    Zifti-rn     bedient,    wodarcli     eioe 
Boetius   erhaltene  L'uborlicferung   als  richtig  bMtitttgt   würir 
(8  21). 

5)  Mit  den  älteMen  Zahl/Wichen  Oberitaliens  treten  gleich- 
zeitig eine  Menge  anderer  Zeichen  Ton  syinboliscber  DcdtMJtoog 
auf,  deren  Änwoiidung  äich  Ober  das  gauice  Becken  des  Mitiel- 
meeres  in  sehr  frülier  Zeit  verbreitete  (g  17),  und  die  kuui  Theil 
ab  Steinmetz-  und  Kigcntbuiusiceichen  but  ins  Mittelalter  ooJ 
bis  in  die  Gegenwart  fortleben. 

II.    Betreffend  die  Geschichte  der  Polyeder: 

1)  Nicht   nar    die   gleicheukigen    halhrcguläres    (nrebii 
dischen)   Körper,    sondern  auch  die   pnlar   zngeonlnotvn    glaidi* 
fhichigeii    waren    im   Altirrthunie    bekannt,    wenn    auch   ervt  iii  i 
später  Zeit  (§  1). 

2)  Mit  den  eomplicirteren  regulären  Körpern  (IkcwaT'iier  ond 
DfKiekiu^der)  wurden  zuerst  die  Bewohner  von  Öherr  tt»d 
Elba)  durch  die  Crystallformen  du«  ei^ienhuJügen  Vya.     --...^^ut. 
Zu    Deginn    der   Bisenxeit   1(^^    man    in    Folge    deoen    dieteB 
Körpern  eine  religiöä-syiubolische  Bedeutung  b«.     Der  hi«miU  i 
vcrbnndene  Cu|tu.H  verbreitete  neb  ioAbesODder*  itadi  Oifaai  Wß^l 
Nordosten  ku  den  nordetni&kuicben,  Iwxw.  riUi.icben  tnMl 
lachen  Stämmen,  nai'h  Wuättfn  and  KnrdwMteu  zu  den  galli«rheai ' 
ViMker.-ichaften  uml  hat  »ieh   hei    h'txteren    bis  rii  die  K&iwrwitl 
erhallen  ({*  18). 


4 


>*.  Lindomann:  Xar  (hat^cfü«  tUr  i'olyvter  elr 


V.Vi 


S)  I'vtlm^fora»  wurde  uiifc  donj  Ikosa*-Jer  iiiul  ii«iii  Üo- 
dfkut'der  durch  die  Gallier  bekannt,  hgi  es  btti  (Gelegenheit  einer 
Rei^e.  sei  es  durch  die  vielfachen  Bev.iehungen  dc^  von  den 
Etruskern  beherrschten  sQdHchuu  Italiens  bu  OberiUlien  (§  19); 
coathenrntiäch  coastruirt  wurde  das  DodekoT'der  emi  durch  seinen 
Schüler  UippHäu^. 

4)  Aebolich  verhall  en  sich  mit  dem  Zeichen  des  Peikta- 
((rainnis,  das  schon  vor  PyLhuf(ora«  verbreitet  wiir  (§  19). 

Hl.    In  Betreff  der  aMgemelDen  ('ultur-Ueschtchtc: 

1)  Früher  als  man  in  der  Regel  anzunehmen  geneigt  iat, 
haben  wuhrscheinlich  lUndfUbeziehungen  ( vielleicht  im  An- 
HchhifBic  an  den  von  der  Po-Mflndting  au.sgehenden  Bemstein- 
haudel  oder  an  den  Meialtreichthuni  der  wetttlichcn  Hälfte  de^ 
Mittelmeeros)    /wischen    Italien   und   At^ypten,    bezw.  Vorder- 

Bien  beitanden,  sei  es  durch  direkten  Verkehr  der  alten  noe* 
Itrendeii  Tursen  und  Shardaner  mit  den  Avgyptern,  a^\  c$ 
durch  Vermittlung  der  PhÖniker,  wie  e«  ftlr  da?  7.  und  8.  Jahr- 
hundert  auch  allgemein  angenuinmeu  wird. 

2)  In   Kulge    davon    wurden   schon    sehr  frlUi  I>aliylr)ni8c'he 
vichte    und  Imhylonisch-iigrptiitche  Xahlxoichen    nach  Italini 

nhertrageu. 

3)  Inabesüudere  ist  der  uykeni^Iie  Culturkreis  vuu  Kinftus» 
auf  div  Kutwicklung  d<>r  proto-atruakii»cfaeD  Cultiir  gewesen  und 
zwar  durch  lehertragung  nmanientaler  Motive  und  technUciier 
Fertigkeiten,  während  die  Vebermittlung  von  Uewichten  und 
Ziffern  nicht  nachweibbar  i^t;  wohl  aber  war  in  den  «roykeni* 
Hchen*  Ländern  do-viulbti  Synt^fni  Viin  /«pichen  im  Uobniuch, 
welchea  vor  Kinfllhnmg  der  phuniki?«:hi"n  Buch:«tabenschrifl 
eine  sehr  allgemeine  Verbreitung  im  Mittelmeer- locken  geuuas. 

4)  Auch  die  arithmetischen  Spectilationcn  oder  Spielereien 
wurden  den  Ktruftkeru  wuhreicheittliuh  aus  dem  Orient*  flhrr- 
mittelt,  von  ihnen  »eUiKt  dann  weiter  ausgebildet. 

fi)  Die  pytliaguräiftche  l'hiloAophie  »tand  in  enghter  B«* 
xinhnng   xii   den  Lehren    etnukinrher   und    galliiicher   Pnwdf 

4ü' 


756  Sil£ung  der  »mt/i.-Myji.  Cid 


tietember   tStOG, 


iasbt-sündero  iat  ihre  Vorliebe  ffir  nritfanietische   Relationen  den 
Lehren  jener  Priester  entnommen  (?;  20). 

Manche  der  gewonnenen  Resultate  werden  Tielleicht  dareb 
neuere  Fnndc   oder    durch  exiiktere  Dufcimng   der    TorhAndenro 
Reste  alter  Culfcur  einer  Modification  unterworfen  werden  k<^nneii; 
insbesondere  mag  die  Frage«  ob  Pythagora^»  von  den   Ktru)«ker& 
lernte  oder  umgekehrt    diese  von  ibni,    üb  also  das   DüdekoMler 
vom    Monte    Loffn    wirklich    in    die    vorpythagoräifiche     Zeil    xa 
setzen  iat  (§  'ZO)  durt-h  ein  exakterem  Studium  uUer  uuf  i>tnt.*>ki- 
schen  AltürthOmeni    der  Bronze-  und  HallsUlt-Periode   rorban- 
denen  Zeichen  und  Ziffern  vielleicht  anders  beantwortet   werdeo 
ki^nneii.     Meine   Aufgabe   sollte   es   nur   sein,    auf   Grund    der 
mir  bekannt  gewordenen  PundstUcke  nicht  nur  den  ZiMamnieii* 
hang  zu  konstatiren,  sondern  auch  die  Art  des  ZaNunmeohaogw 
mögliclist    aufzuklären.     Wie   der    letztere    auch    gewesen    «ciii 
ma^,  jedenfallM  haben  wir   zum  er-^teu  MiJe  einen  Kinblick  in 
die  Natur  der  viel  gernhmten  aber  wenig  gekannton  Weisb«!! 
der  alten  Eltnisker  und  der  gaili.schen  Druiden  gewonnen. 


Nachtrag. 

Zu  p.  692.  In  Betreff  oearivr  AnarhftaimK<'n  Übfr  den  Vrwfruw$ 
tier  ph5niki<4C'h>->n  Sclirift  und  (llior  ileri  Rlnfluiu  dci-  lialivIonlMiim  scf 
die  iütesLe  A};y|>liache  Cultur  sei  uuf  I*arfel'l'x  l>ar«t*'UmK.'  ')•.•-•  >r..i-* 
urwillinttiu  Jnkri'dbmchU*  (j*.  130  ff.f  vt-rwieM*!), 

Zu  fi.  7S3.  Ein  Ftttifei.'k  lindvt  tiab  alu  limiux'Ut  auf  a>iii  :r<[m-ca 
lloilen  einer  ctru^kiMcbi'n  Srhule  am  TL-rnuiilt*  'j^intudmi  in  rbtit^ 
{vffl.  CorHacn,   n.  a.  f*.  U^I.  I.  p.  738);   ein   flu-  >  Rml   nnf  n*(v 

ctniHlciicben  UmbeMe  au«  iVwin>  (vgl.  Pfork.  l  <-b(  Ulwr  di»  tta- 

tbchen  Spra«:hpn  in  Uuriian*i  Jubn-Mbimcht  ObiT  die  Ftirtwkritte  iW 
kliKwifk-bi'i)  AUt>rtbuniiiwiM«ontM-baft,  Hd.  87,  Suppl.-Ud.,  p.  114K 


F.  Linde»MHn:  Zur  OemAidite  der  Vt^ijeder  etc.  757 


S    1. 

?i   2. 

S    3. 

s  *. 

ft    5. 

S    6. 

S    7. 

S    8. 

Ji  0. 

»10. 

Sil. 

S12. 

»13. 

SU. 

S15. 

S  1(>- 

S17. 

SIB. 

S19. 

?i20. 

S21. 

8U2. 

Inhalt. 

Kin  antikes  Hhumbi'ii-Triiikontaimer       626 

Die  kt'ltijichrii  üoiU'kin"dor 628 

Einige  iindere  Pi>lypiler 632 

Das  DoiU'kiHNier  vom  Monte  Lotta 637 

Das  Ikosaikler  von  Turin       641 

Die  Steinte wi eilte  vom  Monte  LofiiL       642 

Die  Zahlen  auf  dem  Dwlekainler 643 

Die  aehtKeitijife  Dopiwlpyramidi'  auä  Meclo  in  Südtinil   .     .  050 

Das  Alter  iIoh  Dodekaedern 652 

Die  Zeichen  auf  den  Steinffewlchtou  vom  Monte  Loftii        .  )i5B 
Die  Ziffern  auf  dem  Dtnlekuwler  verglichen  mit  Jon  üftyp- 

ti»chen  Zahlzeichen       063 

Die  Volker  der  Po-Kbene  in  prUhistoriHcher  Zeit    ...     -  070 

Aeltvste  Beziehungen  Oher-ltaliens  zum  Oriente     ....  67!» 

Forti^etxung.     Die  Phi^iiiker        ('»86 

Die  iigyptii«eben  und  babyloniHchen  Zitfern 097 

Die  i'truskirtcheii  im<l  rttmiBchen  Zahlzeichen       711 

L'eber    gewisse     symb<dinche    Zeichen     aiiH    jirähiatori.scher 

bezw.  frilhhiatorischer  Zeit 716 

Die  Bedeutung  der  keltischen   DtMlekaMer 725 

PythagoniH 72'J 

Fortnetzuiig.     Die  lletleutung  di*r  /^ahlen  auf  «lem  Ihiileka- 

imer  vom  Munt^.*  Lotta       735 

Die  .\piccH  des  Hoetiua 749 

KiickblJi-k 753 


TerbMwemngea. 

St'iti-  031,  Zeile  7  v.  n.  lies  liabTin-«  -tatt  (Jabrin.-. 

632.       .       1   v.  u.      .      Pri^meu       .       Pvnimiden. 


760       ,'iüiitftij  lief    mtüh.-iiiiyn.  (Hanv«  wm  ~t.  Vettmbrr  ttUKUi 


ErkUruug  der  Tafeln. 

Titf.     I,  Fi^'    1  u.  2.    Antikes  Rh<itnbL>nfchjikr)Ht««>ilvr  (|  I). 

3  u.  4.    Pa»tti^'Ori-I>ü<lr'katVlr<r  ftii*  JlmwAii  f{j  2  u.  I8J. 

&.     lirimxe-Dotlokaüiler  uue  Ikitm  ($  3  u.  20). 

6,    Ciibij'Okt&gder  (1  3). 

7  II.  8.     Bronite-ÜeriltW  wu   Wintliirli  (S  16). 

1  U'  «2.     Netx  JrT  Flüchen  'Ich  Dnt]pkkk<^Irr*  vom  Mcinlifl 

I   u.  *i,     AnMiclit«.ii  ilH.>«t'll>eii   Dixlfkatnl^r*  (%  4,  7,   1 1  Q. 

U  [n*  6.    Zeichen  a.n!  den  Sti'iti}<ewicbt«ii  vom  Honte 
(S  6  i].  lOj. 
IV,  1.     Dupi^i^lpyTaiiiLide  aus  Me4:lo  (fl  B  u.  10). 

Aegyptiiche  Zeichen  für  die  Kahlen  der  MonAt) 
V    VIII.  At-'gYiitiarhi"  i^ifTern  ii;h-Ii  ilr  HoMffi*  iiiirf  Einpfiltthr  (ft  1 1  n.  ll 
!X.  Fi^.  1.     Phönikische  Ziffern  (§  14). 

,.      2.     Ziffern  der  Keilsehrift  nach   decimulem  Systeme  (§  15*. 

S.     Altbabylonische  Bruchzeichen  (§  15). 
f      4.     Altbabylonische   Ziffern    nach    sexagei^iimalem    Systeuit- 

{§  15). 
,      5.     Altbabylon  lache  Ziffern,  «ubtractiv  gebildet  (ft  16). 
,      6.     Verschiedene  Ziffern,  Buchstaben ,   syinl wuscht'  Zeicht-n 

(S  17  u.  19). 
,      7.     Die  Apice-H  den  Boctius  (§  21). 


n 


r.vt 


VerzeiobnlüM  der  eiii^eUurotivii  Uruckuchririen 
Juli  bis  D»#inber  1896. 


DU  vonhrild)*«   OMvIlMtlMfUu    %nA   luitltul«,    mit    wwIvbMi  «tiMuni  Akftilvnil«   Im 
bwuUguns  ko  h*tnaliua, 


Ton  folj^nden  OeseUsohaften  and  Iit8Ütat«D: 

Ut*toriMche  OeatH»d\aft  des  Kanton»  Aartfou  in  Annttt: 
T««clMabuch  fOr  4u  J»hr  1890.    8°. 

'Soeiili  d'fmulatioH  in  AhbevUU: 
Bulletin.     ADn<5«  IBOl.    No.  1-S.    ä° 

Ji/ii/al  iifocit(y  **f  South- AuMraUa  in  Adetaide: 
TrHU-actioD».     Vol    XVI.  part  8;  Vol.  XX.  p*rt  I.     I89a    ft". 
SüiUltUHttche  Akademie  der    Wnnenschnßen  in  Agram: 
Riul.     bd.  120,  126.     1806.     6<>. 

MoDtuBeDtA  ipfctuitia  hiitoriam  Slavonini  meridioDiiHuiii.  Vol  2R.  I A9C.  ffl. 
toViopina  tcod.  l^Oö.     Id96.    8^. 
Ojuro  Dtuii>^h\  Altt^Dli  u  rUkoIa.     1B96.     6*^. 

K.  Akademie  der  Wisse n»eJtaßen  m  Amuterdiim. 
VerbwadcliDpea,    Afd.  Natuurknnde.  I.  Sectio.  Decl  MI,  No.fi— 9;  Hw»!  V. 
No.  1—2.  Il.Sectie.  Deel  IV.  No.7— 9;  ttpel  V.  No.  1-3.   I89,VM.  t«. 
Verbaadclinffen.    Afd.  Uttcrlrand?.     Deol  I.  No.  6-e.     1896.     4«. 
ZiUiBfftvenUffen.    Afd.  Natnurkande.   Jaar  1896/96.  I>eM  IV.    1896.    4«. 
Jaarboek  Toor  189r..    4» 
Prijaven:  Cena  io  CUodiaDo  Nvrrae. 

NatHntmaenschafthcher  Verein  in  Augubnty: 
83.  »ericbt.    1696.    8«. 

Peabodjf  [nttitute  in  Bnttiwtort: 
^h  uuiual  Report.     1896.     (V«. 

JvhHM  llttphn4   (.'mirertittf  in  3attinu*re  : 
arciUar«.     Vol.  It;.  N«.  127      \mv    4« 

Amencan  .toumul  of  Matl  V.iL  XVII.  i;  XVIIl.  1.3.  1895/96.  &*. 

Tbl»  Amrriuui  Journal  of  .     Vol  XVI.  2—1.     1896.     8». 

AmmranChoeniml  lonrnaJ.    \ol-iVII.  8-10.  Wtll,  1-6.  1800/96.    8«. 
luhn«  llopkin«  l  niv.'nir>  Htn.li*».  Ser  Xllf.  No.9— 18;  Ser.XIV,  No.l  -7. 
1895/l«6.    b«. 


Catalo^s  der  numistnatiBcbe  rersAmeling 

Kgl.  nntuurkutuUge  Vereenitfi$tg  in  NciUrtatuhch  Tkttit  im 

NatoorkuDdig  TijJachria.     Deel  05.     löO«.    8". 
Bi>ekw«.>rkea  t«r  tafel  gohracbt  in  de  Ti^rfruderingeD  1895.      IfitM 
Catalogne  suppl^mectairo  IBtiS— 1)8.     1695.    6*. 
Voordrachten.    No.  I.     1889.    8». 

liiMorUchcr  Vrrein  in  Bayrruth: 
Archiv  für  Ocnchtchte.    Band  Xl\,  8.     18%.    Sfl. 
Chr.  Meyer,    Qaellen   zur  alten  Gewhicht«   dei  KOntenilma 

Bd.  I.     18%.     8Ö. 
Katalog  der  Bücher  und  Manudcript«  des  Vereüu.     1600. 

Mitseum  in  Bergen  (ffoneet/^: 
An  Acconnt  of  tbe  Croitacea  of  Norway  by  O.  O.  äom.    Vol.  i 
I89t>.     to. 

K.  yrcusfttsche  Akademie  der  WiMtunnchaflem  im  B« 
SilxungiUricht«.    1S96,  No.  24~S9.     4*). 

Deutsche  chemische  GeseHtcha0  i»  Bertimr 
Berichte.    89.  Jabrff..  No.  U.  13-17.     18»6.     8". 

Deutliche  geotogiache  Qenrthchaft  in  Be/iim: 
Zeitachria-    Band  47.  Hea  4;    Band  48.  Heft  1.2.     IBM. 

PhifsikatiscKe  Geurlhchaß  in  Bertim: 
yerhandlnnffen.    Jnhrn.  189(i,  Ko.  2-ß.    8*. 

Pht/giofotjisfhe  Gt»elUchafl  in  Bertin: 
CentralbUtt    fQr   PhvMoloK'ie.     Üand  \  (1896),  No.  7-1«. 
VerbandluDgen.     Jahrif.  1805/W.  No.  12-17.     169«.     8". 
Kiiüterlich  ä''Ht>*fheit  nrchüohi^chet  Intlttttt  im 
Jabrbueh.     Band  XI.  Il^-tt  2  u.  8.     189Ö      4° 

K.  preusM.  meteoniiogxaAeji  InntituS  xn  Bcthmi\ 
Bericht  Über  dai  Jahr  1896.    1696.    80. 
KrKebaiHi«e  der  Beobachtungfln  an  d«<n   Stationen   11.  «ad 

im  Jttbra  1B92.     Berlin  1896     4^« 
VertifTentlichungen     1B9G.    Hpa  I. 


\>'erindttiiru>  lirt  tint/elaufemeii  Druchtdirtttru. 


-iXW 


Verein  für  (»euchichte  der  Mark   }iri\nd<nhur<f  in  ßerUn: 
KoneliiiDffeii  tur  UriuiileoljurgiM'hcn  u.  Picusuiicbcii  (^racbicbte.  Ud.  IX,  K 
Leipzig  1H96.     8". 

yaturwitiaeHMhaßlirhe   ^Vo€h*n»chnß  in  Berlin: 
Wochensclirift.     Band  Xt,  HeO  7-12.     I8Ö«.     fhl. 

/ifitfchrift  für  In^rummlrftkundt  i«  Btriin: 
7.i-iUchr\fl.    lfW>.    16.  J»lirg..  He(t  8-1».     4">. 

AliijrtNftne  fjrwJiit^tsforacheniie  Qmeihchafl  der  SehteHx  in  Bern: 
JftbrUttch  für  Schweixerische  Üesichichie.    Bd.  X\I.    ZQhch  16B6.    \iP. 

nixtt'rtficher  rVrfin  in   licitil 
Denkfchrift  tu  dotveo  FiOjährii^er  Stifttingv^feier  itn  Juni  I69fi.  Bern  1896.  6*. 
Archiv.    Bud  XIV,  i.     1896.    8«. 

^oci^U  li'Emulntinn  dn  Ihubs  m  Se$ait(OH: 
U6moint.    VI.  Serie,  Tome  9.    18Ü4.     1895.    8°. 
ötwerbfchiäe  in  ßixtrit: 
XX.  and  X.Xl.  Jabreabaricfat  139I/9&  u.   }99:>m,     19MJ9C.    8*). 
Ü.  Accademia  dette  Seiente  delV  Ißtitulo  in  Boli^na: 
Mcmone.     Ser.  V     Tom.  IV,  fa«.  l-l.     1804.    4*». 
Ji.  VryuliUionc  dt  gioria  fMitrirt  ycr  ig  Provinciedi  liomfifjnit  in  Botoyna: 
Atli  0  M«morie,     S«rie  III.     Vol.  14,  tu^c.  1-3.     1696.     A'^. 

iWtedftthfiniAchf  GrseUachnft  für  Natur-  und  llrdkumtf  m  Bonn 
äitionK^berichU  IbSfi.  2.  HAIfte:    IBM.  1.  Uftlft«.     1896/96.     QP. 

L'nireriritfU  in  Sonn: 
Subriften  »tu  ürm  Jahre  1896/96  ia  4^  □.  8*. 

Naturhi^oriH'her  Verein  der  preuMsinchen  Rhr.inJamte  \n  Bonn: 
Verhiindlongen.    M.  .lahtg,    i   HiXtie,   59.  .lubrK.  1-  HAlfte.     1BU6.    b''. 

Sfjcifte  Linnfentu  in   Bordeaux: 
Act«.     Vol.  49.     1896.    8°. 

Sftriiti  de  gfographie  commerciat«  in  Bordeatu: 
Bulletin.    1896.  Nu.  13— 17.  19-23.     8«. 

Boston  Svcicty  n(  nalufal  lUsUtry  in  Boston; 
Procuedingt,     Vol.  27.  puri  T-74,     1896.     8». 

Aciidemia  uactOHiü  de  fienetOM  in  Bueruu  Atret: 
Uoletm.    Tom.  14,  No.  S.  4.     1896.    4«. 

Muteo  naoonaJ  tn  Buemm  Aira: 
Aulet.    Tom.  tV.     1896.    gr.  S». 

Offiema  metearoliuficn  Arijentina  in  Siteniu  Aires: 
An»U*.    Tomo  X.     XBÜC.    4°. 

Arckic  drr  t>ttuU   ItranftBtAweig: 
Urlrasdeobocb  der  Stjult  Bniunw:hw«iti.    iid.  II,  Abtti.  i.    1896.    4« 

SdUmMehtr  Oetetfuchafl  fUr  rtitrr/nlnrfucAc  Cultur  in  Bmlau: 
76.  Jabreiboricht  net'it  BTgAnuuigabefl.     m96.    6". 

Verein  für  dir  Of^i'chit:kte  MiHu-emt  in   Brunn: 

Schriftro.    it'i.  m.    leim.    8". 

Dm  d^uUclic  SpTttclitrcbiei   von  Mftltftti  und  ScUleaiea   v«b  Fmnx  Held, 
1896.    S*. 


702 


Verzeichtms  der  einffettiHfmen  Orucktehriftetf. 


Aeadimü  JUtjfaic  He  midecine  in  BnUtelr 
Mömoii-ea  couroonds.    Tome  XIV.  foM.  4.  6.     lBd6.     8^. 
UuIIetin.     IV.  Serie.     Tome  X,  No-  0- 10.     189Ö.     S». 

Acadnnie  Royeäe  dt»  scieneen  in  Brüsget: 
Uullptm.    8.  S*^rie.    Tome  31.  No.  6;  82.  No.  7— II.     \&M\.     8" 
Annuaire.     G3«  aaaöe.     1897.    S*». 

SocieU  dfji  Bidlanäistf»  in  Brüsvel: 
Analecta  BolUnJiajia.    Touie  XV.  foso.  4.     1896.    6". 

K.  MoynrwtrÄc  Akndfmie  der    WitseHtekafleu  in  Bud<tpe»i: 
Almauftrh.     1890.    «". 
Nyelvtuilom&nvi  Kttxleraeujrek.    (äpracliwi-NeoioliHnUcb*  Milüsrüiuiffva.j  1 

Bd    XXV.' 3    4;  XXVI.  I.  2.     1896/90.     8». 
TOrtüDctlud.    l;;rt6kt^Z4.^k.    (HUtoriicbe  ALhaaJIuDgen.)     Bd.  XVI,  6.  7. 

1896/9».    8". 
Monumeota  cnmiliuram  regtii  Trfto'^jrlvaoiae.    Vol,  XVHI.     16itö.     8*. 
Arehaeolo^ai  KrUnitu.   Uj  Folvam:    t,Arcb&ölo;.  Ao«eiger,)   Bd.  XV,  4.1; 

XVI,  1  .j.     1806/98.    ■4». 
Arcbaoologiai    KAKlemt^nv«)!.     (Arcb&oloff.   Mittbeil.)     Bd.   XVItl.    XU. 

1895/90.  Jol. 
TarduUnlmi    I^rtekeu';aek.     (StaatiwiMduiLhalU.  AbbundL)      Bd.  Xt,    II. 

1896.    80. 
Nyelvtadomtin    Krtekez^ek.    (Sprachviuniiofa.  Abb&iidl.)    Bd.  XTI.  C  T. 

169&/96.    8« 
Muakücti  B..  A  VotjtVk  B;elv  tixitürft.  (Vo^Akiiehw  WArterbucb  )  18ML  0*. 
FrakTii^i  V..  Uätyi'u  KinU^  levelei.  iBriefä  d»  KOoiff«  MiittbUii.)  1696.  8*. 
Monumentu  Hou^fanaft  bi:<t-orioa.     .S«ct  II.     Vfil.  Bl,     1896.    8°. 
Uathematiku)  K(tettit6.    (Matbtni»t   AnKeig«r.)    Bd.  XIU,  8-r<.  XIV,  1. 1 

1896.    8». 
Mathemaitkai    KtVilemt^ü^ek.     IMutfapntat.   Hittbeil.)     Bd.  XXVI,    S-^ 

1896.    8. 
MutbematiBcbe   und  natnnriMfnfL-haOl.  Berichte   aaii  Cnifftm.     Bd.  XII, 

2.  H&Ifle  unil  Rd.  Xlll,  1.  Hbirtt*.     Berlin  1890.     9fi. 
lEapport  itif  les  tmvaux  de  rAcadomio  eo  t8U5.     1890.     8^. 
Katalog  der  Kli)4cher'8cb<-n  liot>tbe  tiammlunfs*.     1890.     8°. 
Koat  J.,  La  Hoogrie  Utter«irß  et  tcicntifique.     l'ahR  1806.    8*. 
R^?i  ma^ar  knltOk  täm  (Magaxiii  alter  aD»ntri»cher  UichtvrJ     Bd.  TT. 

1896.    8^. 
Bölcsenettuüomitnvi  Krtekeztisek.     Ud    111.  8.     1896.    ifi. 
Goqnw  atstatonim   Uungariae  mnoiciiMLliuin.     Tum.  IV.  p.  t.      l8Wk    8^. 
TOrAk  Ui^^•neti^ük  jTQrkioeht*  Hi-torik>?r )     Bd.  11.     1896.     8*. 
KatalojT  der  Werke,   welcbe  von  18H1~9A  im  Verlag  der  uiig»nii<bis 

Akademie  der  Witittenscbaftea  eriehimen  find.     1896.    8*.  ~ 

K.  uHyarisrhr  tfenlagiidtt  AnaUiU  in  Bmlayrst: 

FSldtAUt  KOzlOny.     Bd.  XXVI,  fajc.  1—10.     1890.    8°. 

A  Ma^'var  kir  fOldUni  mtÜE«L  t^Tk'^ayre.     Bd.  XI.  7.  8.     18116.    ^. 

Bolanischrr  Garten  tn  HttHentorg  fJartiU 
lied«dee)iDffeu    uit  '•   Landa   PluiUatuiu.      No.   XVI,    XVU.      BaUvia 

189C.     iO. 
Verilag  nrer  bet  jaar  1896.     BaUvU  1896.    8*. 

Soci^U  Linn^nm  d«  Iformniuhe  in  Odm 
Bttlleün.    **  3«rie-     Vol.  9.  fa«:.  2.  8.     1890.    4». 


Mruutuat»  äff  «H^/nu/r-Mi-M    Ihu--i,^<-hrt(ttH. 


ica 


tfttiv/c'/ffd/  DfjMtrtment  of  tfte   fjoventmiut  >tf  ludüt  tn  Citlnülit: 
Munihly  WeiithtT  Hcview.    Oecember  lB!*fi  und  .Inniinry  -M»y  lKl.t6.    fi>I 
tniliao  Meteorolofpcftl  Memoin.      Vol.  VI,    p«rt  3;    Vol.  IX,    iMurt  4—7, 

1896.    fol. 
He\tOTi  DD  tbe  Ailmmiitriition  1895/90.     18%.     fnl. 

Gfolitgictii  Suri'ev  of  Imiin  in  Caicutta. 
Uecord»,     Vol.  m,  ixiri  3.  4.     1896.    4«. 

Aifiatifi  SncU(*f  *tf  BfHffiU  »w  Catcutta: 
Itililiothectt  Intliei.    N.»«  S*r.    No.  872-876;  878- 886;  887.    1806.    B». 
Joanuil.    No.  861-8Ö8.     1896.     8«. 
ProcMdinff«.    1890.  No.  Il-V.    1896.    8**. 

Gtotot/ici}!  Sume*/  nf  India  (n  CalcMtUi: 
MetaotrH.     VoL  27,  pärt  1.     1896.    4<*. 

IVlltontnIoirica  lii<tica.    Ser    Xllt.    Salt-raoRe  Fomüi.    Vol.  3.    S».  XV, 
[liiii  lUynn  FoMitt.    Vol.  2.    Trinx,  part  X     1805.     fol. 
rhil^tophiciil  Soeiettf  tu  (1»tnbriHge: 
Procoediogi.     Vol.  IX,  3.     1896.    8*. 
Tronsftcliona.     VoL  XVI,  I.     1806.    8». 

^fuscuul  of  ojm imr.itivf  Xooioifj/  in  CambridffC,  Ma».: 
Hulintin.     Vol.  28,    Na  it;    Vol.  S9.    Na.  4— €;    Vol.  80,    No.  1  und  'i. 
1896.  8^. 

Survei/or-Gfntral'i  Office.  CnpK   Titten  (Sttuth  Äfricnj: 
lia|Riri  bv  Dr.  Ovvid  Oill   on  C*.Aonn\  Morru'  GeoUeiic  8urTey  of  Soatb 
Alritt.     1896.    fol 

Yrrein  für  ffflturkunite  in  Ctuutel: 
AbhuadluDfi^n  unJ  Hericbt  XU.     1896.     6° 

Ph^fnkitliKeh-technische  Heiehaaiuttüt  in  CtutrltitUtiburn: 
Die   'I*hatif{keiL    der    phyiilcalic^ch  -  t^cliniRcben    Reiciia -  AumIaI L      Ucrlia 
1896.    4'». 

K.  tdchäiidteii  meteon>iotivKhfii  Institiü  in  ChemnUs: 
Abhandlonffen.     Bclt  I.     I^iptt^  1896.     4^ 
Jabrl'och  1806.     XIII.   lahnr     I    u.  11.  Abth.     1896.    4«. 

Ftetti  (^itlumbian  Mu.-'eum  in  t^hica^: 
rublicaUoDH.     No.  10  -  Vi.    1896.    8". 

Xritfdirifi  „2'hf  Oprn  (hurt"  in  Chicago: 
The  Üp«n  Court.     No    4&6-48I.  4P6.     1Ö96-     4». 

Du  Kvanffelium    KuiMhA*   tob    ('aal    C^m«;    aui   dnn    Kngliichen    von 
IE.  V.  '.'    Uau«      lrt;ifi.     8». 

ZtittOiriß  ^Tht  MoniM"  in  Chicafftt: 
The  HoDwU     Vol.  VI.  4;    VII.  1.     1896.    efi. 

HiUHrfnmehfnde  Qe^ftUrluffX  Oraubün4ent  in  t'hun 
Jafanabericht.    Nou«  Poltt«.     Bd.  39.    1896/96.    8«. 
B.  Eblio.  Uobor  di«  Waldr^te  ilet  Avenn-  Obi>rthale<.     1696.    8^. 

Chfmikfr-Xettuttg  in  Cothen: 
Chemik«r-K«iluii(r.     No   6-^-86:  9:1-99.     1896.     M. 

»r»  '  ';trnmviit: 

VtirMtchDU«  der  Vuri  -7.    8". 

Debenioht  diu-  akaUviuiM-licu  ÜuLiirarB  i.  J.  1B96/ST.    8* 


mt 


Verein  für  Ofschiekte  und  Naturgescki^c  der  Baar  in  ] 
SobrUten.     Heft  IX,  1696.    Tflbiöj^D  1696.    ^. 

//»ioH  ghtgrajihique  du  Nord  df  In  France  in 
Bnlletiu.     Torao  17.  trimestre  2.     181>6.     8«. 

K.  xäctinMJifr  AlterthumjitrretH  t«  Dresden: 
JiihreHbtfriclit  189&.'06.     1896.     6°. 
NeuL-s  .Archiv  rUr  s&ch«i<icbc  Oeschicbt«.     Hd.  XVU.     IBM 

Verein  für  Erdkunde  in  DretdtH: 
XXV.  JAhreaberichi.     1896.    8°. 

American  Chemical  Sodetf  in  Kastitn,  Pa,: 
Vol.  XVIII.  10-12.     1806.    8«. 

Royal  Socieii/  in  Edinburgh: 
Vol.  \X,  XXI,  part  l.     109&'y«.     8«. 
Vol.  XXXVII.  (i&rt3.4:  XXXVIII,  itorl  l.i 

Ro^at  Phygical  i'oci'efi/  »»  Kdinh»rgh: 
S4MaioB  1895—96.     i«.  126-257.     18%.    8". 
Verein  für  Ofschirhte  der  Grafaftuiß  Mangfeld  in  Jft'if« 
Mufefelder  Bluter.     10.  Jitbr^-     1806.    8^. 

K.  l-'niverifitiHstfd'lvHhek  in  JCrlan^en: 
Sobriaeo  aiu  d.  3.  189&/86  m  4P  a.  8. 

lieaJe  Aceademia  dti  Oeor^füi  in  Florent: 
Atti.     IV-  Ser.     Vol.  19.  Jap.  2.    l8Wi.    8«. 

Senckeuhergijsche  natHrfttrvchende  Oegettitchaft  in  Fi 
AbhuKlInngeD.     Band  XXU.     1696.     4^ 
Beriebt     189«.     8«. 

PhyitikaiiMcIter  Verein  in  Frankfurt  o/J 
JiihrMbericht  Für  1891/95.     1896.    8*». 
Do«  Ktimu  TOQ  Fr*Qkfurta/\I.,  ron  JuUuaZu-Klt^r  u  Walter  1 

NalurwtxsenMchafUidier 
Belioi.    13.  Jabr«..  No.  7~ia.    I8fl 


The  Jotu-oal. 

l'i'üceedingü. 
Transactiot». 

Croceedingi. 


VtneüJmü*  der  ängetaufmtn  DntdimihrificH. 


7«'. 


fTithfniität  pyribarp  in  tUr  Sehwrie. 
B«h4rdeo.  hcbter  na<X  Stutlircnde.     lä»6/97.     I&iKt.    &*. 
t>'iaaut?aniUfin  ofBctelle  daa  cours  tmivtmitftiFei  h  Friboarg  pour  l'iiniKin 
18%/97.     18%.     fto. 

.SoCTfir  rthigtoirf.  tt  irnr^tMo^it  in  Genf: 
Mämoirc«  et  DocameaU.     II«  S6nt,  Tome  4.     1896.    8*^ 

SletHMurU  »H  Genf: 
V.tmm6  ni^t^orologiqu«  d«  lannuc  1U96.     1896.    8". 

Univerxität  Genf: 
Schriften  aua  dem  Jahre  1895/96  in  40  n.  Sfi. 

MiufO  cirtco  rii  ninna  naturaie  in   Omun: 
Annali.     Sfrie  II.     Vol.  lU      1896.    8«. 

iHftrhagiacher  GeMchichtrcerein  m  fHc».wn: 
Mitth«ilon«pn.    N.  F.   6.  Bd.     18<M.     SP. 

Universittit  in  Oie»»tn: 
Schriftan  aai  d.  J.  1696/0«  in  4fi  n.  8°. 

itbrrltiitJiitnilchf   detellgchiifl  riet  Wumewichaßett  in  OöHiixt 
Fmtichrtll  zum  O&Ü.  Ocdunktüge  d»  OberUaiitxer  SecbsiitJUlltfbQadniM«. 
'Ih.  l.  II.     IRy6.    8« 

OfutlUchiifl  der  Wissrn^chitfien  in  GüUingen: 
(iolliogUfhe   gelehrte   Anzeigen.     1896.     No.  7  - 13.     iJüU  — üuiiainbcr.) 

Berlin  1896.     4^ 
Nitchrit-htcn.    a)  Mftthem.'phn   Claue    1896.    lieft  2.  8. 
h)  rhiln|oi:.-hi8l.  ClaHse.    1896.    Hoft  2.  S. 
0«»chtaiiche  MittheilungeD.    18%.    Heft  -J.    4". 

llmtoriäcker  Verein  für  Stti^.rmnrk  in  Groi: 
Beiträge  xur  Kunde  «teiermtrltidcber  OetohiclitiKjuelleci.    S7.  Jfthrgtag. 
1«W.    8". 

BUfftgch-Pommergdirr  0«mA»ehl«vertin  in  OreifmcnlH : 
Die  areiTowalder  S;imnilungen     Heft  II.    Von  Tb.  P^L     1697.    80. 

K.  InatüutU  wtor  de  Ta^,  Larut-  ?»  VoJkenkundf  van  Nedcrlandtch-IndiS 

im  Hntuf: 
bijdmgen.     VI    Volgreeln.    H.  Deel,  atleT.  I      1898.    ef. 

Mntit  Ttyltr  in  Haarlem. 
ArohWüH.    SiSria  II.     Vol.  5.   2*  pwtie.     189«.    A^. 

SocUti  UoUandaiie  de»  SeienccM  in  Jltutriem: 
Archiveai  N^rUndoiaea.     lome  30,  livr.  2.  3.     1896.    S^. 

Sora  Suitia  InKtitutf  of  Scirnct  in   Italifar: 
The  rmceoding«  und  Trftnawtion«.     Vol    IX,  part  1.     1896.     8*. 

A'.  A'.  Obtrgt/mntuium  :u  Hall  m   Tirvt: 
Progrunm  fOr  du  Jüir  18g&/96.     189H.    6**. 
KaiMrl.  Leopoldinifch-Citriilitiischf  druttcSe  Akadetm*  dtr  NaiHrfnnt^er 

in  HnlU: 
Uopoldion.     HeU  33.  No.  6,  8—11.     1896.    4* 

litultKht  motyenliinditdu  OettlUchaft  in   Halle: 
ZeiljubriO.     Bttnd  &U.  U'*ft  3.  3.     l^fiprig  1896.     tf* 
AbliuDdlnngi>a  fltr  die  Kunde  den  M«rgeDliui)i«>a.    IM.  X,  No.  S>    li«{pti|[ 
1896.    8^ 


7üH 


K<rr£«i(Afu«u  der*  einijehtufetien  tinndbtehriften. 


UnittrMit&t  in  Hnlie: 
SL-liriflen  aus  dem  Jahre  189R/96  in  4*  ii.  if°. 

VerzeiobnisB  der  Vorlcjiuiigen.     Winterbalbjnlir  l8iHi/97.      1806.     0*. 
Thürinifisch-sächiiitcher  Vrreiu  mr  h'rfortchtiit^  dt*  ntlrriHmiißtfttMt 
AittTthumn  in  Htüte: 
JtUireiibericht  ^r  18vj6/%.     189C.    6^. 

Verein  für  Hamburger  Qeschiehlt  in  Hamburff: 
Zeitächrifl.    Bd.  X,  1.    1896.    efl. 

Stadtbibliothek  in  Hamburg: 
Schriften  der  wissenichaftl.  Anät«tt<>a  Hamburg«  i.  •(■  1896/06  in   4"  a  R*. 

Historischer  Verein  für  Nieäersachsen  in  Hunnoeer: 
ZeiUcbrifi.    J&hrgaog  1896.    8°. 

Grinshertogliche  Stti  nteiart«  tn  HettieWery: 
V«r0ffexitliehaag«n.     Heft  5.     KarUmhe  1896.    4<*. 

UniversitiU  Uti'hlhern: 
Die  pmktiftohe  Theologie  hU  eine  lelbst^digc  IHMÜpUn.    AJciulinn.  ttcik> 

von  H    BMfennana.    1690.    4"- 
Schriften  der  Uairenität  aus  dem  Jithni  1895/96  in  V  u.  8**. 

Hinturisch-pbiloftjj^isvher  Verein  in  UevMbet^i 
Ntnie  Hetdelb«rKer  J&hrbauher.     .lahrg    6.  Ht-fl   l      IHAA.      fl^. 
iAßmmitdiUm  gMogiqur  ile  tu  Fintttml^  i'h    '  ■• 

Carte  gtfologiqtie  de  la  Pinlunde.    Nd.  27—31.    (A  t>> 

aeigoemenLi )     1896.    8*. 
Huüetm.    No.  1-6.    1896/W.    8". 
Ofvenigt  XXXVII.    Id94/9S.     IBM.    8". 

[ntstitut  w^trifToU^ique  central  in  Hehnngfan: 
übwrv.iÜon».     Vol.  XIV.  Iitt.  1.     I8ÜÖ.    4f>. 
*>bservuUoae  m^t^rologiqoei  1681—90.    Tom»  iuppt*'tiu*nluin 
1696.     £ol. 

ünivergHät  llelsingfor»; 
StbriflMi  der  CnivcrsitAt  BelitDgfort  am  dem  JAbre  lh<.t5/9(i  in  4' 
Verein  für  neUenbCinfifche  Liituieskunde  »«   ilrrmttnual»tilt: 
Ai«hiv.    N.  F.    Band  25.  Heft  8.    1896.    8». 

VoigtJäMäiitcher  Atterthumsverein  im  fTtthe»tfubnt: 
66.  a.  66.  JafareMli«richt.    1896.    8*>. 

fenlinandeum  tn  /nnibnirA'. 
ZeiUchria     8.  Folge.    40   Hert.     Iö95.    8". 

AltJictttiich'Hatuneufiieiutchaftliche  Oeiiettiich<ift   m  Jetui^ 
DenkBi-hrifton.     Kd.  V,  Licfg,  2,  S.  'IVnt  und  AMom.    foL 
Bd.  VIII,    Lirfg.  2.  Text  und  .AUelh.     fol. 
Jfnaiwbe  Zeittchrift  Rr  NaUirwi»enA-biiit.     IBM.   8^. 

Juarntü  af  J'hvaient  ChrviiMiry  in  /(Amn*: 
Jaonuü.     Vol.  I.  N'o.  '2.     1896.    8«. 

UniversUat  Jurjev  (  .' 
Schriften  der  UniviTriUl  ua^  Ji-in    lihn*  !  t". 

f'enlrfttt'iirrau  für  M- 
JaluriWricbi  do«  iVßtralbarcaua   i  i.     . 

Cirntuther^nyltch  techniäfhe  HodtneAtde  im  Knritntke 
ädiriflen  titu  dam  JÖbrr  189r</lir.  in  4"  u    ^f. 


4 


Kivif<iv-i 


Vt!rscidiHia.t   der  cingchtufrurn    JtructjttJiriftrn, 


7«7 


Umvfirwiitit  Kiuan : 
ÜUchenüi  Suzuki.    Üd.  63.  No.  ß.  B.  10  -13.     1800.    6i>. 
3  roediciniwhe  Disof'rLitionßa  in  ninKitclitrr  Spruch«?.     1&95/96.     B** 
UiuerUtioD  A.  K.  INoicbko:  Ceber  die  NprveoenJeo  iiu  Kacbi*n  and  ia 
der  r^uttr^bre  der  SiltiKL'tbiere.     1696.     6*^. 
SociHf  ite  mriieciMc  aricntifit/ttc  ttnnex^t  d  Cünivtnitt  tU  Kharlm» 
Tnvftnx.    1886.    Hefi  I.     1696.    8'>. 

K.  Ünirfrsität  in  Kitli 
Sc^rillcti  aus  dem  J&hre  1896/9ri  in  4*»  n.  8«. 

KommiMioH  xur  witstntciMfii.  Cnttrstirhunit  der  detUtduh  Mttrr  m  KM: 
WiweMchafllicbe  McerC'^DDteraucbuogco.    N.  F.    nd.  tl,  U«tt  I.  169^.  4". 

flniverintiit  in  Kifv: 
Tswesiija.    Bd.  30,  Xo.  6—10.    18t>6.    8^. 

Of»eki^t*vfrem  für  KärM&n  in  Klagenfitrt : 
Jahre^berielit  fOr  1896.     1696.     8^. 
Uartnthia  1.     86.  JahrK-     No.  1-6.     18B6.    8". 

Afrstiieh-natitnriMrHiirhiiflUchrr  Vtrein  M  Ktnunrnhurg : 
ErtMitfl.     3  Uette.      1896.     8**. 

KrofitiidiT  itrcttnfJoiiüche  Otxellscka/t  in  Knin: 
SUrobrvatika  pruovjvU.     Bd.  II,  'i.  8-     1896.     4^ 

Hifit'inscher  VetfiH  für  lirn  Nif4errhAn  in  K^w 
A  analen.    Hefl  62.     1S96.    ^. 

Vmeertit^  Küni^t^tty: 
Schriaen  atu  dem  Jabr«  1895/96  m  «<>  a.  6^. 

K.  Alitiientie  der  Wigstnuchnften  in  KoptmkMien: 
Overrifft.    I89ß.    No,  4.  6.     B» 

Ottrllschaft  für  twrdi*ckf  AUerthvmthtndt  in  Koprnhn*ifn : 
AarbBlon-.     tl.  lUekkv.     Bd.  II,  ITelt  3.     1896,    8*>. 

Akndemie  der    WtHMnschaßen  ii«  Krakau: 
Sprawotdiuiiu.  koniU^i  «ztak.     Vo).  V.  Hefl  4.     1696.    fol. 
Ao^eiger.     Jaui,  .luli,  OkloNer,  NoTember.     1896.     8**. 
Uoxprawy,    wyth.  hiitor.filoxof.    Her.  II.  tom.  7.     1896.    8* 
ÜiMioleka  ptanroow  poUkicb.    Toui.  31.     1896.    80. 
Rnctnik.     Hok  16^/95.     1696,     40. 
MaUiTaW  antrono]o);.-areb(olof{.    Tom.  I.    1696.    8". 
Ofvald  Bal/nr,  G^^nfatügia  rta>U>w.     1895.     -l". 

ni*tnri»chfr  l'crrin  für  ,Vif,/cr6a^rn  tu  LandAiä: 
VvrbaDd hingen.     8:1.  Paod.     1696.    8^. 

ÄrjtfiV/*!  VfUnUiijie  dfji  witntts  nnturrltfg  m  Lci4*nnntt 
nulletin.     IV.  S^.     Vol.  Sä.    No.  130.  131.     189S.    80. 
[adK  bf)dioifrai»btqu^  d»  bi  fiioulti^  it«t  u-ionc«».     \mü.    8". 

KiinMM  Ünivrrnilxi  im  /rfiirrr«rr,   Kn*»iiMt: 
Tbl«  Kuaaa  Unlrmily  Qoarl^rly      Vol.  V,  N'ü.  1.     1B9G.    8*. 

MMMUMpItij  Mrt  Nfderta»>dt(Che  LettfrhinHf  »«  I.fidr-n: 
Tyd«cbrift.     Uecl  XV.  all.  2.  5.     1896.     Ö**. 

bijttra^n    int    ((••    tii-«!'.    Innd-   r^n    volk«^lciiade    ran  Nedertundacb-Indit^. 
VI     '  .  -hart*   18!Mi.     ««. 


Hanrit  1 


IH96.     H« 


IHVÖ  '."•-       1!"''IJ. 


708 


VerMnetMU»  iter  eint)tt*tiifentn  tJrtteksctin/t^H, 


SterwrarU  in  Leiden: 
Vemlag  1894/9U.     1896.     8^. 

Archio  der  Mathematik  und  Phjfsik  in  Leipsif: 
Arcbir.    It.  Reihe,    Tbeil  W.   Hefb  l.     1896.    6". 

K.  8äch$isdic  Gexeilvdutft  der  IFwrtwc/ui/lc»  in  LtipHg: 
Abhanaionf^cn  der  philoI.-biH.  Claaae.     \M.  XVK,  No.  fi.     1890.     4". 
Abhandlunir^D  d«r  laath.-pliy«.  CItsiie.     Bd.  XXIII.  3— B.     i^. 
Bericht«.     Philol.hiat.  ('lasxo.    1896.    I.     Ü^. 
Beneble.     Mutfa  pbys.  Clause.    1896.   II.  III.     1896.    8^ 
Zur  &Ojähriaen  Jubelfeier  der  K.  S&chi.  Ge»ellat-hikft  der  WiaaeuNikmlina 
am  1.  Juli  1896.    4^. 

Fürstlich  Jablottmrnki'iich«  QeaelUckaft  in  J^eip^ig: 
PreisschrifUn.    No.  X.XXU.  XXXMI.     1896.    iO. 

Journal  für  praktische  Chemie  in  Leijuig: 
Journal.    N.  F.    Bd.  &3.  Etfl  12;    Ud,  &4.  Heft  1-0.     1896.     8^. 

Ge«chi^t$-  und  Alttrthumfttrtin  in  Leitniff: 
Mittheil ontfen.     10.  Hefl.     18tt6.    8». 

Vnivernt^  of  üeOraiika  in  Lineotn: 
Bulletin.     No.  44.  45.     1B96.    S". 

Littrary  and  Phitotiophical  Soeietjf  fn  Zherpoot: 
rroceodiDf^i.    Sfüsion  1895/9G,  No.  L.     1896.    8". 

J'he  J^itgfisft  HUtorical  Hertew  i'ii  J^ndoni 
Hiitorical  Review.     Vol.  XI.    No.  43.  44.     18Ö6.    8". 

Jioifat  Sitciety  in   Ixittdnn- 
Proce<>clingH.    Vol.  69,  No.  368;    V»l.  60,  No,  SßO-StM.     ISBfi.    8*. 

R,  Aarnttomieal  Society  in  London: 
MoRthly  Noticei.     Vol.  66,   No.  9,  10:    VoL  BT.   No.  1.    Ociiftml-lMitt  | 
to  Volamc«  3U— 52.     1890.    8°. 

Chemical  Society  in  London  ■- 
.lournaL    No.  404-409.    (JaÜ— I>e»emljer.)     1896.    8». 
ProceedioK^.     No.  168-171.    1896/»6.     (Oktob^r-DmMnb«r.1    flf. 
Tbe  Jobilee  ot  Xha  ch«iuir«l  Hocicty  of  Loodon  1B91.     1896.     8^. 

Geotdfjical  Soetety  in  London^ 
The  quortarly  Journal.     Vol.  b'i.  part  4,  No.  90B.    1806.    8*. 

Li^ncan  Si*ciety  in  Jsondon- 
ProceedinK»-     April  1896.     8^. 
The  Joamat.    a)  BoUuir.    Vol.  31,  No.  215  -ÜIT;    b)  toolOfff,    Vol. 

No.  162.     189«.    8^. 
Qenen\Mndf>x  to  ttie  ftdit  20  Voloue»  of  thi*  Joam^ 
Tbe  Tranaactiont.    a)  /oology.  VoL  Vf,  part  4.6;  l 
V,  3.  4.     1896.     8". 

ttttyal  Miera»eopieai  Sodety  in  JjtndiMn 
Ji'urnal.    1896.    Part  4  u.  5,    6*. 

Zooloyical  Society  in  J»irfoii.- 
TnuimoUoD-      Vol.  XIV.  2.    1896,     4« 
Proceedinff«.     1696.     I^rt  II.  III.     1896.    8«. 
I/ut  ot  tb«  vortobratfld  Animal»  io  tlke  Ganleiu  ei  Ibc  toolotfiinü  SaeMM.] 
9"'  K^lit.     1896.    8". 


V«rt*ü^HÜK  d*r  eimjrlanfewH  Üructudiriften. 


7li9 


Ztiinfihriß  ^Nniure'*  in  London: 
Niitare.     Vol.  64.    No.  1388-1409:    Vol.  66,    No.  UIO-Il-     18&6.     1«. 

^fu»e^lms•  Verein  für  Jus  h^r^ilentfmm  Litneburij  in  LÜHrhurfl. 
.luhreaUrtchte  Hir  die  Jahre  1691 -9&.     1896.     8<>. 

S*)cieti  i/eölogique  de  Belmque  in  Lüttteh: 
Anoalei.     Turne  33.  Itr.  2/  18d&/96.     8^ 

HtutoriiKher  Verein  der  fünf  Orte  in  Lutem: 
D<Tr  QoKbichufreunil.     F)<1.  61.    SUds  lBlt6.  B<*. 

ActuUmie  des  «ciences  in  Lyon: 
K6mainM.    tlt.  Stirie.  Tome  S.     1896.     6°, 

Sociiti  d^agricuiture  seienee  tt  indu«trie  in  Liftn: 
Annale«.     VT1.  Ser.    Tom«  2.  3.    1894/96.    pAiia  1896/96.    8^. 

Societe  il'atUhropoiofie  m  Ljfon: 
Ballclin.     Tome  14.    1806.     1896.    6^ 

SffeifU  lÄnnienne  in  I^n: 
Annulea.     Tome  4).  43.     1894/96.    8^. 

Saint-IiUger,  Lea  Opntianella.  —  Ui  vigot*  da  luont  Ida.  —  Lm  Donrelle« 
flor«  de  France.     Paria  1894—96.  8  voK    8*. 
Univemiti  in  Lyon: 
Cb.  UenH.  L'ävolation  d'un  mjtl)«.     Parix  1B90.    9fi. 
Wa^hnrn  Observatory  m  Madiaim: 
rnblicaüons.     Vol.  IX,  pari  1.     1896.     i^. 

Ji.  Aatdetmn  de  In  hiitoria  in  Miftrid: 
noIeUn.     Tömo  29.  cand.  1—6.     1896.    8<*. 

NniuneiittfeHtchafllieheT  Verfi»  in  MitijJeliHrii. 
Jalirasbericht  acd  Abbaoülungen  1Ö94,  2.  Halbjahr  Um  1806.    1B96.    6^. 

li.  lititutti  I^^mtutnlo  di  neieme  m  Maiiand: 
RomlicADti.    äer.  11.    Vol.  38.     1B0&.    8*. 

Meniorie.     a)  CIii>i*e  di  leiten.     Vol.  90,  fiuc.  d.  S;  h)  Clavite  di  scieaxa 
mateaintiche.     Vul,  17,  fiu<:.  6.  6;  Vnl.  16.  fa«:.  1.     IBSg/W.     4P, 
Soeieta  Jtalimut  di  Kiense  naturaii  in  Mniland: 
AHi.    Vol.  M.  ftuc-  2.     1695.    &>. 

Sacietä  Storicn  Ijombardtt  in  Mitiland: 
ArchiTio  atorico  Lnmbardo.    3er.  III.    Anno  23,  fiixc.  10.  U,     1890.    8«. 

JAtfranf  niui  philogophieaJ  Societt/  tu  Mtinehenter: 
Lül  of  Ihe  Uuml'eni.     1896.     8*. 
Bfi'moir»!  and  rrm>>»>4iDg»'.     Vol.  41,  pari  1.     1896.    6^. 

üniverttiiät  in  Marburg: 
SchrUt«n  aua  dem  Jahn  1896/96  in  40  o.  tfi. 

Faeuiti  den  Kcienee»  in  Marxeilte: 
Amuüet.    Tom«  V.  hse.  4;  Tome  VI,  fa«.  1  -8;  Towo  VII.     1890.    4". 

llenneberffiiieher  nirerihumfforscheniier  Vernn  in  Afeiningeti: 
Neue  6«iirl«e  xiir  ne><cbit:bt4>  denUcbf*n  Altcribum«.    Unft  S.    1891>.    *° 

Verein  für  Otrehiehtt  der  Stndt  Mtiit*en  in  MeiMsen: 
MilUieilitiiir«iL    Band  IV.  3.     1896.    8". 

ZeiUeUrift  Uirixta  di  »torin  Antictt  in  ]ttf*»inn: 
Itirttla.     Anno  II,  fair.  I.     1890.    R". 

vm>.  Mxiit.pfcj«.  ü\.  4  «» 


Soetrt'i  tUi  na'.  i 

•.  III.  Vol.  XIII.  3:  XIV.  1.  id 
Umaltn  Tatuteh-Hurrau  der  Jirpi 
.vODDvmenl  «olair«   |>»r  (  1 


Boletin  < 

Boleti*.    Tor».  T. 

ll«awfto«.    Vol.  VIII.  No.  &-a; 

Sueüdad  dt  geagrafia  y  «nT* 
DolatiiL    Too.  HI.  Huc.  S— 9.     ii?"" 

AUl    8«r. 
/M(«niatioiM/<. 
Loi  da  rmyoDD 

Sticitte  ImpH^aXc  dr*   ...,..*■ 
iiilletia.     Aiiii4a  189S.    No.   ].  3.      6°. 

Detituchr  fitMiUehaß  für  Ant/i. 
CormiKtodrnxtilAtt.     .I&hrg.  27.   N'> 

Jhrrktion  drr  k    fc.   fn/iien 
I.  und  II.  Nachtrag  min  Z<9itun^p:^. 
PreiiTVseichDiM  der  ZeiUmmii  «Cc 
1807.    4<». 

JT.  6fiyer.  tecknivc/te   //ochtch 
P4Txonalt.ianil.     WiDtor-S«me«t«r   1896/97 
l'rogTunm  Ulr  lBM/97.     1806.      8«. 
Umcbt  mr  da»  JiUir  I8fi&/M.     1690.      4* 

BeobacbtuDfren   der    roet«orologiwh<>ti    Sil 

16  Heft«  der  looDaU.  üebentr;hlea  Ob 

It^obMclituD^i)   iler   meteorfilofgiachen    SlAl 

Jhhtg-  XVIII,  Hefi  1.  2.     18B«.      fbl. 

A'.  baf/er.  Staattmittütrrium  deg  . 

Oeognoitiiobfl  Jubrusbefte.    S.  Jiihr]^.    I89& 

ITiüvertität  in    Jifüi 

Sobrifliii  BM  dem  Jabr  16^  in  «o  u.  8*. 

AmtlicbH  Veraeichnie  de«  Pentoiuls.    Win 

m 


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VerieirkHÜs  iler  tifufelaufrturn  J>ruekMehrifttn, 


771 


«nu.). 


oamul. 


innalt. 


r  t  Jonniftl. 
nnnetin, 


7Ytf  Ameritan  Journal  0f  Science  in  New-Itnven: 
IV.  8er.     Vol.  2,  No.  B— 12.     ISMh    8". 
Ob«crtuUortt  of  tke   ¥(üe  UnicertHy  in  is'ric-ffatmn: 
•ort  for  Ibo  year  18»n/9ti.     \«m.     8^. 

American  Onental  Societtf  in  Ntv-HmtH: 
Vol.  17.     1896.     8«. 

New- York- AeatUmy  of  HeieMcen  in  ifev-Ywtcr 
Vol.  VlII  (Imiex):   Vol.  IX.  No.   I-S.    1896.    8». 
.^wiirneftfi  JViucHin  of  ffaturtJ  ffutortf  in  Netc-York: 
Auiiul  Kejiort  for  tbe  jnr  189fi.     1886.     8*^. 

Amerit^dH  Chemienl  SofUt*/  in  Neic-York: 
Vol.  16.  Ko,  8.  1).     Roüton  1896.    8». 

Am<ncnrt  tifnifrajtKicat  Society  in  Ntw-Ttirk: 
Vol.  28,  No.  2  a.'  3.     19»6.     8*. 
NeAerlandscIie  btttamnehn  Vereenigtng  in  Ntjtiugtn: 
Netterlan<i'irh  icraidkuDdig  Archii^f.    III.  Sf'rif.    Deel  1,  ittik  1  nnd  iDdrx 
XU  Strif  I  u.   M.     1896.     8«. 

Naturhißloritdw  GtttilHkafl  in  Nürnhtrjf 
Abluuiaiuag«o.    Hd.  X.  H<»rt  4.    1896.    8°. 

Htjit<trifctifr  Verrin  in  Oimabriick: 

IOmAbrftckfr  Urkuoddnbucb.     Bd.  11.     1896.    8«. 
Oeohffieal  Surrt^  of  Cnnndn  in  OUawa: 
A&au4l  He)>ort.    New  Seria.    Vol.  Vit    1804.    Wilb  U&p«.    1806.    8». 
i^jyoi  Socict*t  of  Canti<Sa  in  (Httvea: 
ProOMdinir*  t'^^  Tnuitoctioo«.     11.  S«riM.     Vol.  1.     1806.     8". 
H.  l'nirrrMHA  in  Padita: 
Ononate  ccDtenano  a  (jalileo  (ialilei.     1896.     4^ 
Cirm/n  mtiteinntito  ih    PiiUrmn: 
K«ndiconti.     'loro.  10.  fwo.  6.     18W.    4«. 
^ciu/^M  d«  mitleeine  in  i*anA: 
Balleiia.    1696.   No.  28-60.    8». 

IAcad^mie  des  $eiencen  in  Paria: 
Compte»   rendiu.    Tome    123,  No.  2-36.     1896.    4". 
iieatr  polytecfinique  in  Parig: 
JoantL    Stfrifr  II.     Cahi^r  1.     leOß.    4'>. 
Atnnitftfr  Snfntifiqur  in  Paru: 
Honilcur.    I.tvr.  666-661.    8«pl.-D».  1896,  Jaov.  1897.    4° 
Mu4^  Guimet  in  ParU: 
Annaliw  in  4°.    Tome  27.     1896.     4". 
H«vne  d(<  l'hiiitoire  dea  nSli^oru.    Tome  93.  No.  2.  9, 
^  Mtuhim  tfkixfoire  nntureUe  in  Pari»: 

■  Bulletin.     Aande  1896.   No.  8-i.    8<». 
PNoQTrIlm  ArabiTa-.    S^.  111.     Tonte  7,  fuc.  3.     1806. 
SoeiHi  d'antkröpotoffie  *n  Pari»: 
Uiillptirui-     S^r.  IV.    Tomn  fl.  Iwc.  6;  Tome  7,  tue.  1. 
Mtiiiuirm.    IM.  S<lr.    Tome  1.  fui-.  i.  Tome  II.  faac.  I 


1896.    Bfi. 


i" 


1896;96. 

iB9Ei/aä. 


8». 


772 


Vererichnuu  <icr  eimjriauftMu  Ihnckuclkrifieft 


SociiU  ite  (jiotjrajjhit  in  Paria: 
Compte«  rendus.    1896.     No.  18  -16.    8". 
ßalletin.    VII.  S^rie.     Tome  17,  1.  et  II.  tnm.     1890.     8^. 

SociHi  mathhnatiqu«  de  Frrtnef.  in  Pari»: 
Balletin.    Tome  21.   No.  B— 7.     1896.    8". 

AcadHmr.  Impcnait  Hti  scirncc$  in  St.  PeUfnbw^g: 

HyKantina  {^fanmika.     Tom.  11.    Heft  1—4;    Tom.  III.    Hrft  1. 

gr.  BO. 
Mäiioir^a.     a)  Classe  hiatorico-philologiaiie.     Vol.  F,  No.  1.  3.     b)  iA 
phyaico-mathemttt.     Vol.  I,  No.  9;  Vol.  II.  No.  1—9;   Ul^  No. 
IV,  No.  1;  nebst  Atlu  zu  II,  No.  4  in  foL     1896.     4«- 
ComiU  gioiogique  in  St.   Prtmhurg: 
BuUetiiu.    1896.    No.  8  et  4.     8P. 
M*Smoir«m.     Vol.  XV.  No,  2.     1896     4". 

Bu»tn»ch€  astrotiomische  GaeUschaß  in  St.  Peterttmrff: 
Iswoatija.    1896.     No.  5.  6.     1896.    8«- 

Botanischer  Gartai  in  81,  Petertburf/: 
Scripta  boUnica.    tiuic.  13,  13.     1896.    8^ 
Act»  horti  retropolitani.     Tom.  XV,  1.     1898.    S". 

Kaiserlich  Jttumche  Qrchäoiog%9(^  GiuUtehafi  mi  St,  Bett 
Sapiflki.     m.  VII.  No.  1—4.     1894.    8^. 
Physihil.tfiemiitche  GescUaehaft  an  lUr  kais.  UnieertilSi  in  St.  IVftfihtfy] 
SchurnaL     Vol.  28,  fajc.  5-8.     1B9S.    8». 

Jüttsie  nwlngique  de  t'Acadimie  Imp.  in  St   Pfifr^targ: 
Annimire  189«.     No.  1—3.    8*. 

Musfe  gMogiqur  de  rf/mvertiU  dt  St.  Pettrgburf: 
Traraax  de   la  Section  göologi^ue   ilu  cabfjMl  de   Sa  Mt^ae<^.     VciT 
No.  3;  Vol.  11,  No.  1.     1896.    4». 

Uistor.'jfhiloi.  l'akuUnt  der  kaiK.  JTnivenitüt  4n  St.  PiirrditayT 
Oloarenije  1896/97.     1696.    6^. 
Sapiaki.     Heft  88.     189«.     80. 

Academy  of  natMrai  Sdencft  in  Phüaddphia: 
ProceedingB.    1896.    |«rt  I.    8°. 

nittoricai  Societj/  of  Pennst/httnia  in  Phüadtlphia : 
The  Peniuylvania  Uaganne  of  HiKtory  and  Ittograpliy.     Vol.  90,  K0.LI 
1896.    S". 

Ältanni  Axaoäation  of  tht  CviUge  of  Pharvuuf  in  PkHaäeifki^ 
Alumni  BepoH.    Vol. 32.  No.9:  VüL33,  No.  1-S.  Sopt— Dec    ISM. 

American  Phila$oj'hicaI  Soeiety  in  Phil<uitlftkia: 
Procoeding«.    Vol.  36.  No.  160      1896.    8». 
TruMofcioiu.     New  Seriei.     Vol.  XVIM,  part  III.     1B96.     4». 

R.  ScMla  norwuäe  »nperiöre  äi  Pi**: 
Ansali.    VoL  18.     1696.    8''. 

Socitlä   Totcnna  di  scinue  nnturaii  in  JSäar 
Atti.     ProoMsi  vtirbali.     Vol.  X.  p.  121— lOH      i»«^W      ^» 

Att^rthumMvtrtin  im  Vi 
MUlheUangen.     11  n.  12.    JabrMberiiJiL     Ih m^  "^      ■- 


VerifiiclwiaD  ^^SSSgttaufcttcn 


773 


Ih^torintJt^  OeseUnchaß  tii  Posen: 
Zeitachrifl.     U.  JuhrK-.  Ht-a  1  u.  2.     18U6.     H\ 

Ceniffü-TiurrnH  ittr  internal ionnirn   ErilHirnsiiiifj  »h  ]*ofsiliim: 
Verhondlunifen  der  180IS   in  Uerli»  abffeh&ltvoui   11.  ftllfa'eineinci]  Ctm- 
tttent.    11.  Thetl.     Bt^rUn  18UÖ.    4>. 

JT.  ji^oddiMcho  insfiliif  in  PoUttam; 
JührciWrirht  189S;96!     1896.    8». 
Die  Earoi)llip<rbe  täiiffeoin'iiflincidiinj^  in   62  <lnu)  DrKito  von  Grccnwicfa 

bU  Warschau.     II.  Ht-ft.     Herhn   lti96.     i". 
HcxtiramunK   der  PiilliAbir   and   der    Inlenaitilt   der  Scbwerknifl    aur  23 
Stationun  von  der  Ottoee  bei  Rolberg  hU  xur  Srltneekoppe.     ilerlio 

1896.  8». 
Actionaeomiti  der  nUffentnneH  Lartäex-JubiJäumx'AusaUUuHy  in  J*ra^: 

Uundert  Jahr«  Arbeit.     Bericht  Ober  die  aJlgemeine  LandcaaiUBtclluof; 
in  Pnift  1691.    Theil  I  a.  IL     1692.     fol. 

ßfihmutche  Ken^Kr  Fratu-Joseph-AkaHemie  ir»  I^ag: 
Pam&fcky.     Band  IS.    Beft  7-13  und    tiegieter;     Band  17,    Hefl  1-S. 

1894—96.    \^. 
Ge»clhdMß  tur  Föriitrvtiff  äeutAcher  IVistenadui/t,  KunH  uiu/  lÄttratur 

in  iVotf; 
Kontchan^n  r.nr  Kanitf^eachichte  BöhmsB*  tod  Jo«-  Nnnwirth.    Tb^til  t[. 

1897.  fol. 
Beitraf?«'  zur  dentHh.bÖbmiHcfaen  Volkikuode.    Bd.  I.  Heft  1.2.    1396.  eP. 
Bibliothek  deTit>ichpr  Schriftsteller  am  Bdbmen.     Bd.  &.     1896.     8*. 
Rirbard  Batka,   AttDor<liKrh(.<   Statte   und    Stndieo   in   DeotiRhlaad.     Ab- 

■cbnitt  t.     Bayretilb  UW.    8". 
Wie  hebr&Kirben  Vi>rba  dpnominaiii'a.     Leipiij;  1896.    8^. 
Mu4e»w  des  KönigreUha  Böhmfu  in  Prag: 
OaMpii.    Geschliaaberi<;hte  fllr  dit.>  Jahn  1892.  93,  IM.  95.    1892-96.  S^. 

^DrttUche  Citri- FrrdinatuU'lJHieergüät  in  Prtuj: 
Peraonalatftnd  1896/97.     1896.     S"*. 
Ordnttnir  der  Vorlonin^on.     Wiiitcr-.Semeeter  1896/97.     1896.    8^. 
Hl  XtiUximß  „Krok"  in  Praff: 

H     .KrokV     Bd.  10.  lieft  8-10.     im\.    0». 

I^B  Arehtienhgical  In/dtitttf  of  America  in  Pnneeton  \  Ntw-Jtrunf) : 

Aasrican  Journal  of  Arohaoolofr.    Yo).  XI.  Nn.  X  8.    1696.    9f. 

OffMfWßtorio  aMrottömieti  tu  <^uiU>: 
Boletin  Ano  1.     No   6-11.     1896.    8°. 

rlfiitariachiT  Ytttin  in  BtgtmbMrij: 
Verhandlungeii.     Bd.  4S.     1896.    8*. 
k  Nnlitneigienitclinfaidur  Verein  iH  Jtegtntib*trif : 

Iftncble.     Heft  K.     1894/J&.     1B96.    tfi. 
fHfJterviilorio  tn  Rio  lie  /itnrtro: 
Aimoario  para  n  anno  du  1896.     1B66.    8^. 
Academy  of  Seiance  »n  lütdustcr: 
ProoeediBffH.    Vol.  Itl,  Ko.  I.    1896.    89. 
Geoiogicni  Soctety  of  Amerieü  im  Roishetter: 
BulleUs.    Vol.  VII.    1696.    ffi. 


I    /BIN 


DDO  49.  «e«!.  5-7.     1896.    4'. 

7^  CmnUaio  geologtco  iTItatia  in  Hom: 
BolJetUno.     Anno  1896.  No.  2.  9,     8". 

Kait,  dtutyichf.-i  arehJiolofjtsehea  Institut  fnhit.  Ahth 
Mittheilnngen.     B^nd  XI.  fMc.  2.  9.     1896.    Sf. 

li.  MiniAtero  detla  IftruHonc  puhhiica  m 
ladici  e  lalaloghi.    XV.    I  Manoirritli  della   K.  Bibliotoca  Rii 
Vol.  r,  fasc.  6.     1896.    8**.     XII.  Uiifgni  aiitichi  u  moden 
1696.    60. 
i.e  opere  di  Tialileo  Qalilei.     Vol.  VI.     Fireiu«  1896.     4^ 

Hfinistero  tii  agricoUura,  indiutrm  e  commcrcw  in  Hitn 
SUttitica  delle  Bibliotecbe.     Parte  II.     1896.    4'*. 

üfficia  centrnU  meieoinloificf)  itaiiano  in  Uomi 
Ajutati.     Vol.  XIII,  parte  3.  1891.     1896.     fol. 

R.  Socirin  Riimanii  äi  itoria  patfia  «N  Ahn: 
Archivio.     Vol.  XTX,  faac.  1.  2.     1896.     8". 

L'nivertitSt  fUutwl: 
Schritien  atu  dem  Jahr  1895/96  in  4'  o.  8^. 

if.  Accademia  dajli  Atjiati  in  itvptfrrto: 
AUi.    Serie  UI.     Vol.  2,  fasc.  2  a.  3.     1896.    8^. 

The  American   AumcintUitt  for  tkr  arnttremrnt  «f 
I*roc«edin>;a.     44>i'  Mcetinf;  held  at  Sprioifßeld.     A 
1896.     8». 

K,  K.  Stitatstjymnanuvi  in  Sal»h»rg: 
l'roftramm  fttr  du  Jahr  189^/90.     1890.    6*>. 

Mtueu  VnuJitta  in  San  Paiäo: 
Herist».     Vol.  I.     1896.    &». 

Verein  für  meckUnburgi$che  Ge*fJücht«  in 
Jahrbücher.    61.  Jahrg.     1896.    8*. 

Station  centrüle  mftinrtJnffique  dt  BtU^<tnt  m 
Balletin  meuuel  1896,  Ko.  lt.  12:  1806  Na.  l-6i. 


Vrr.rirtiiiist   i/rr  r\ntjflaufrufn    Itruckufftnfifii. 


775 


K.  :irhtfrilivchc  Akademie  tUr  WtAxtttMhtifteu  in  ^ockJuttut: 
»ihan«  til   Ilan.ilin^rar-     Vol    31.     (IHnf./M).     ItfÜÖ.     8*. 
MeteoroloffifikA  inkCtAgvUer  i  STPrigo.     M.  SS  (IÜ91).     18"^.    4". 

Geoiogi»k(t   l'ortning  in  StncJAolm: 
rörb&ndlingar.     Bd.  XV1(L  lieft  b.  Q.     1896.    ^. 

Qtsmlisfhafi  rur  FArtltruup  der  WimeuMfhnfteti  in  StrOMburff- 
MoDstsberiftit    1896.    Hil.  8U.  Uca  6-9  ood  Aobantr  sii  Heft  7.    8° 

Kaijterl.   UnieergitAt  SlroMburif. 
8ebrift«n  au«  dem  Jftbre  189()/9S  in  4"  u.  99. 

Knierrl.  (fnivcriiiliUt'Stimtcarte  in  StroHthurtf: 
Anulen.     BU.  I.     K&rUrabQ  IBM.     i^. 

K.  öffentlichif  BibUnthti:  in  Stuitrjitrt: 
W.  Hejd.  Bililiotfrephie  Urr  wiirtUmlierK.  Oe»cbichU.  2  Bde.  lB»5/t(6.  8^. 
Wiirtteraberip^ch«  (.;cHchirhU.)uollen.     8  Bde.     1Ö91— 9ß,     89. 
JoliuB  T.  KOhr,  llQ^rclKrilbcr  aaf  Jer  Sohwllbi»cbeD  Alb.     1802.     4. 

AitatfidaiiitiH  A^ifOciiUitm  for  the  Adi^anetment  nf  Sdenee  in  Hifdney: 
Ueporl  of  Ibe  Vl^'  Meeting  1895.     I8M.     8« 

Jonrnftl  und  Hroceeiliogii     Vul.  29.     1696,     8". 

Department  of  Mines  anJ  AgricHUtrt  of  Neu -South -Wale*  in  Sydney: 

Annual  Report  for  tbe  ytax  1895.     1896.     fol. 

(Hmfrcatvtria  axtant6mice\  Maritmal  in   Taeuintifn: 
Ananrio.     AAo  de  1897.     Mexico  1896.     B». 

PhifMktiiitcJtex  OimcrratiiriHm  in    Ttfiia: 
BeobuhtoDK«!)  im  Jahr  1891.     1H96.     4°. 
Utobachtungen  der  Temperfttut  <1^  KrdboJeni  im  Jabra  1800.    1806.    8**. 

heutuche  (ienelhehuß   für  Natnr-   und   V(itkerkynite  Ostaaiens   in  Tokt/o 
Uathi-ilimgin.    SappL-WeH  III  xu  Bd.  VI.     1896.    fol. 
Kainerliche  (jMirrrsiliit   Tukjfu  {Japan}: 
Tbe  JonruiÜ  of  Lhe  College  of  -Science.     Vol.  X,  I.     1896.    4**. 

Kanxnx  Actidexny  nf  Sdtners  in   Toi>tka: 
TrUMACtioftfl.     Vol.  XIV.     1896.    6^ 

Bihlioteca  e  Mu*eo  camunaie  in  Tritnt: 
Archivio  Tnntino.     Anno  XIII.  tue.  ].     1896.    S». 

Umvtrtfitnt  TUhingen: 
Sohriflea  um  dein  JKhre  18*.l5/9ti  id  4*  u,  8". 

li.  Acrn.lfmi»  ilrlfr  tcttttie  in   2\tri»: 
Atli.     Vol.  31,  di-m.  13-16.     1896.     fi". 
Hemorie.     Serie  11.    Tom.  46.     1896.     4". 

Utiivertität  im  ('/'«h/*j: 
Scbhflen  der  ÖDivervitnt  aus  dem  Julire  18UftA)6  in  4"  D.  0*. 

ImtUtut  Hoifiit  MMromlt*irujue  dt»  Patf»-Ba*  in  Utrecht: 
N*d«rlwd«ch  MetMlroloRiMih  tnürttoelt  voor  IbOi.     1806.     4". 

Acendttnin  Ohmji^ca  in  Vicentn: 
AtU.     VoL  «7— 29.     1898-96.     1898-96.    8». 

lUdaktiOH  der  rnnthematritttvikiit.  Atihattdlun^en  in  Wnnrhau: 
Pnice  lUt«fBAt/c«iio-Fure«ie.     Vol.  I-Vll.    1888—96.    h" 


776 


VcrzeichtMs  thr  niuicUtHfenen  Urrnktchriflrn. 


Anitrican  tlutorieoi  Amoetation  in  Wa^i^on : 
Aonuol  Report  for  the  yesr  1894.     1896.    8^. 

Bureau  of  Edueation  in  Waghitt0»n: 
Heport  for  the  jear  l8a8/94.     1896.    ffi, 

Bureau  of  Amertcan  Klhnoloit]/  in  WndUmfUm; 
18U>  annuftl  Report  (1891—92).     1896.     4«. 

Voitn-Barcau  in  WuMlttnylon: 
Alexander  MeWUle  Bell,  EaKli«i:bü  ainlitburo  S}irKcbo  in   12  Lftkltoaen. 
1896.    8°. 

U.  S.  DepartmerU  of  AffrtcuUure  in  WatihittgtOH: 
Nortii  American  Fanna.     No.  11.  12.     1896.    8«. 

Ü.S.Coast  and  Ocadetic  Survry  in  lKait/nn|r(on  : 
Uonort  1893/94.     Part  II.     1895.     4" 
Uolletin.     No.  85.     1896-    &>. 

Smühsonian  Itutitution  in  WaßhiHiftom ; 
Contrihntion«  to  kDowIcdgo.     VoL  90— S2.     18V6.    40. 
Ad  Index  to  the  Genera  auil  SpecJp«  '>r  Uie  PoramiDifen  by  Ch-  D.  Bhtt^ 

bom.    Tart  II.     18116.    8». 
Argon,  a  ne»  constitoent  of  the  Atmoffphere.     Bjr  Loni  BajrletKh  aod 

W.  BamBaj.     1896.     l*. 
MeUioilH  for  tbü  DeLenoiDftfcton  of  orKanio  matter  in  oir.    Bjr  tl.  H-  iUtfrf 
1896.     8». 

ü.  S,  Nttvai  Obdcrrdfory  in  Waihinffiom: 
AiitxonomicAl  OlmerTations.    1890.     1895.     4°. 

Siiff^ron  Generai't  Office,  U.  S.  Army  in  WtuAington: 
Ind«x-CaUlogQe.     IL  Serie«.     Vol.  I.     1896.    i^. 

Jewi^i  Hütorieal  Haeifty  in  WashimjUtu: 
Pablication».     No.  1-8.     189S— 95     8". 

United  Stateg  (ieoJntjieal  Survey  in  Waxkingtnm: 
Hallctin.     No.  123-128.  12«.  129.  131— 1»4.     1898/96.     8*. 
lCith  AuDual  Report  1893/94;    16*>'  aonuul  ll«|)ort  ld9«/96.     Port  1-lV. 
1895/96.    4**. 

Harxeerein  für  Oeiirhiehte  in  Wermtgenirlt : 
Zeitscfarin.    29.  Jahrg.    1896.    Heft  1.    8*. 

Kaüerliche  Akademit  der  Wig^tMtiiafltn  in  Wien: 
Denkschriften.    Mnthem.-nahmriMetnchafÜ.  Clan«.     Bd.  83.     1895.     «" 
SiUnogsberichte.     Philo<.-hiftor.  CUttc.     Bd.  133.  tStt.     leoA/M.     9». 
SitKnngibericfate.   Matbem.-natarwiai.Clai«e.  A.bth.  I,  Bd  104,  Bdll  — 10; 
AbÜi.  IIa.    Bd.  KM,    Heft  1—10:    Abth.  IIb.   Bd.  101.   fieft  l—lOi 
Abtb.  ni,    Bd.  104.    DeR  1—10.     1896.    8". 
Archiv  rcr  OsierreichUcbe  Gew'hiuhi«.     ß<l.  BS,  l.S;  8&.  I.    lOOSi/M.    0*. 
Font«!  rernm  AnttnVamm.     Ablh.  II,   Bd.  48,    l.  HUnt.     I89A.    P. 

Venetianiüche  Dei^eschen.     Bd.  IM.     I8ÖS.    B».  

OtOffrajjhucke  GtsrJhchafi  in  Wien; 
MHtheilungen.     Bd.  4A.    Hefe  2—4;    Bd.  46,    Hrft  I      \^m      i» 
Verbandlangen.    1898.    No.  6-12.     40. 
Abhandlungen.     Bd.  18,    Hun  1.     1896     fol. 

jr,  K.  Oa^fttuchnfl  tUr  Aerglti  in   H'*e*: 
Wipoer  kliiiin-he  Wochenscliriit,    1896.    No,  »»-*1     i" 


nrietduuM  rltr  ntujetaitfennH  OruckAthrifttn. 


777 


AtUhrupolotft^fcltc  (iexetticfiafl  in    Wi^n: 
Stthfilangco.     Band  2ti,    Heft  3—6.     1600.     4^ 

Xo()toijvich-l<atft»iMch€  GtnciUchaft  in   Wien: 
VothüDtWxmgen.    Bnnd  4B.    Heft  7—9.     1896.    e". 

K.  K.  naturhistorigehe*  Hof^nwtuM  in  Wivn: 
Aniuilen.    Band  X.  3.  4;   XI.  3.    1&9&/M.    4» 

c.  Kühner' f€h€  Sttmumrte  in  M'ieti : 
pQliUkslionen.     Bd.  IV.     1896.    4*. 

K.  K.  lJniver»\t3t  in  Wien: 
n^frentlicbo  Torlosongen  im  Somm.-S«!!).  1896  und  Wint.-8«ni.  18*JS/97. 

1896.    ffi. 
Uebcmcht   drr   akadcmiKheo   BehOrdeo    fllr   da«   Studiem'ahr    1896/97. 

1896.    80, 
hie  feierlü-be  luautfiiralion  de»  I{flit*>ni  am  26.  Okt,  1896.    8*. 
Bericht  fll<T  dio  vnlk-.thQniliclien  üniTer-ilAU-Vortr&ge  1896/6.    Ißt».   8P. 
Verein  tttr  Verhrritun/j  *tat«nci»9eH*chaßlicher  KtnnlniMtf  in  Wien: 
nften.     HJ.  36.     1896/96.     1896.     8^. 

Verein  für  NaaAnni^ehe  ÄUerthumskundt  in  Wit^aden: 
Anaalen.    38.  Uanü.     1896.    i\ 

NoAnaHiicher  Verein  für  Naturkundd  in  Wiesbaden: 
Jfthrbficber.    Jahrg.  40.    1896.    8*. 

OrientnJ  }TtihHHy  Institute  in  ffuJb'n^: 
Vidyodv».    Vol.  26.    Nr>.  5-U,     189«.    8». 

nkt/i*i1(i/ii'rA-u«(l*etHurA«  Gr*tUfehaft  in  Würabufg: 
V  N.  F.     Bd.  80.    Xo.  1-6.     1896.    8». 

.^,  JahrK.  189«.     No.  1—6.     1896,    8». 

iit^torififher  Vertin  von  ünteffranken  in  Wurthurg: 
Arehiv.    Band  S8.     1896.     8^. 
Jalir«abenchi  fQr  1896.    189«.    8*>. 

Nattrrfarßdimdr  Oesell^cSaß  in  Zürieh: 
pMluhrift     2  Thie.     1896.    Sfi. 

StetHftartr  tu  Xüry^: 
A.  Wolüsr,  'Am  BeRtüntnung  il«r  RoUtioaiwit  der  Sonno.     189«.    8". 
Attronomueke  HittbeüunK«i-    No.  67.     1896.    8*. 

Umvmitäl  tti  ^UricA; 
Schriftun  ao«  dem  Jahre  1895/96  in  4°  u.  8«. 


Von  rolgeodra  Privatpenmaen : 

H.  U.  JVmij   ÄUf-ri  t.  von  Monaco: 

lUKilUti  dM  canpügve»  Hoientifirj^jen,     Ytmc.  X,  PoiHom.    1896. 

Jatne»  S.  Alärn  in  PoMaic,  N.-  Y. 
A  'rbMry  of  Um  Sirootnre  of  Halter.    1696.    8*. 
Odtor  Bmtmann  in  Wu^i: 
Db  Tdwl  Uafia.     Laiprifr  1890.     8*. 


ful. 


778 


VermiehuiKS  der  ein^eltiutcncit  JtruckadtnfieH 


Renwanl  BrandiUetter  in  Ltuem : 
Alalaio-polyneAÜche  Forsphun^^ti  V.     181M.     i*>. 
Carlo  (^polla  in   Turin ; 
Oiuteppe  de  Leva.    Commernnrazione.     1890.    8^. 
H*   iV  Du  Hirn  in  J^Jen: 
BibIioibe<jue  Japonaise.     1890.    4". 

fif-itpJiiti  FrtediAnder  in  Bt-rlinz 
Aliaolat«  oder  relative  BewefpangV     1806.    8°. 

Albert  Gaudry  i*%  Pari*: 
EsMii  de  (HbMontologie  pfailotiOphique.     160G.    6^. 

Gatithicr-Vülars  tt  fUs  m  Paris: 
lUpertoirc  bib1iofrraphi<|ue  d(<a   loienoei  maibf^oialMiDei.     Soria  U— 1 
>*ichoi  No.  101—400.     1696/96.    8*. 

EmH  Haeckd  in  Jena : 

äjritematisch«    Pbjlofteziio    der    wirbelloken   Tbiorc.      II.  Th«al.      Berib 

181 Ü.    8*». 
Die  Ampboridcen  atid  Crstoideen.    Leipzig  lBt)ß.     4". 

Georg  E.  Hole  in  ChxcaQfi. 
OrgaDisation  of  the  Yerkes  Obtervatory.     1896,    6®. 

Frietlricfi  lUrth  in  Münzen: 
Die  In^tl  Hainao  nacb  Cb&o  Jii-Kua.     Berlin  IB9S.     i!*. 
Ueber  rremdo  Eintlilese   in  der  chineiischen  Kunil  von  ITriodricli  llirtk  j 
189«.    8°. 

G.  Jahn  in  Sertin: 
Zorn  VenUndniin  des  Sibnwaihi.    I.  II.     1896     8<*. 
Gcory  Jinufmnnn  in  Bretiau; 
Die  Oetcbiclil«  der  deutucben  UniversiUtoo.    Bd.  2.   StuLtKarl  1896.    9>. 

Albert  VOM  KOtliker  in  Würsburj/: 
Ueber  den  Fcroix  longoi  dös  Menschen.    '/Ürkh  169ß.    8^. 

Üenrtf  CharUü  Lea  in  Philiulelyhia: 
A  hifltofy  of  aariculare  confeMion.     Vol.  III.     1896.    6". 

Ltidy  Meux.  Throhald's  Park.  WaUftam  OroM. 
SoDia  Account   on   th«  Collectioo   of  H^yi'tian  Antlqultie«   m  ihc 
weeioD  of  Lady  Meux-     London  1896.    4°. 

AdfAf  MartuM  in  ßrrlitr. 

Uebi^r  die  pbotograpbieche  BeatimmungM weite  der  PoIbAb«.    18M.    1^ 

BemerkoQKcn  sa  dem   Beriebt   der   Herren   St.linnader    und    Dr.  Ilrr.krt 

iiber  die  ani  pbotogniphi*chcD  Z)>nit,bt«le«knp  nrUaltvuan   Hetaltal«. 

1896.  4« 

(^abriet  Monod  tn  Vettnältt: 

Reruo  hi<.ti>rique,     Tom.  69,    No.  1  n.  3.     1896.    8°.     TotSr  63.    Mo.  Xj 

1897.  B**. 

A.   yrhring  in  Berlin- 

Die  HerbenUiii 'sehen  AbbÜduntien  dn  Vi  und  dn  Ftiiun      189^. 

Oiotanm  /^'mAom'  in  Padma 
Vi  an  eriterio  liutle  per  i  proamtid  del  tompc.     lr>i*t>.     er- 


Verztichtiiis  da'  fiiii/fUiufi'ueH  Itnu-knihriflfn.  iil^ 

A.  E.  Outerhrittgc  in  Phihtlelpitiii  : 
The  MobiUty  of  Molecules  of  CaH  Iron.    s.  I.  1896.    8». 

Kd.  Piette  in  HumigMif  (Artlennrs): 
}^tades  d'ethnoKraphie  prelüatorique.     l'aria  18%.    8". 

Dietrich  lieimfr'g  VerluftshitiiiUutnj  iii  Itfrli»: 
Zeititrhrifl  fflr  iirrikanische  und  oceanische  Sprachi-n.  Jalii^.  LI.  Heft  9  ii.  4. 
1896.     4«. 

Joh.  liiem  in  (iottiinjen: 

l'eber  eine   frühere  ErHcheiniing  des  Kometen  111  Teblmt.     1896.    8*'. 

(fiorautti  üchiaintrelli  in  Mailuntl: 
Hubra  canicula.    Coniiderarioni  snlUi  mutazionc  di   irolore  che  ti   dke 
avvenuta  in  Sirio.     Hoveretü  1896.    6^ 

Joh.  Jos.  Schu'iekert  in  Liurmhunj: 
KritiBL-h  exegeti-H'he  UQterduihung't'n  zu  Pindaitt  IL  olympiit-hen  Siej^Ofl- 

(jesanffe.     Trier  1891.     1'*. 
ICin    Triptvcfaon    ktaisischer   kritisch -exeKtHischcr   Philologie.      Ijoipug 
1896. '  8". 

A.  ('.  Tannert  in  Nfissi: 

Der  Sonnenstotr  uls  /ufaunasticht  und  Kraftquelle.     1896.    tfi. 

IHcrre  Vuncher  in  Gen/': 
PagOK  d*lii!<toire  par  quelques-uns  de  les  iinciens  eleTen.     1895.    8". 

A.  Wittstwk  in  Leipzin: 
Da»  Aeithetiochc  Erzieh  ungssyitem.     189C.    ?P. 

J)r.  Friedrich  /.enk  in  WUrzfinry: 
Die  Ocllentlichkcit  im  MiliUrtjtrafprnzeHio.     1696.    8". 


Bftriahtignngen. 

(üu  liciTii  V.  Fedovüw'ö  AljhiimUuiif(.) 


Ö.  513,  Z.  16,  1.  „(liestT"  st.  .diege." 

S.  514,  'L.  2  V.  u.  1.    «krystallograiilnschen  Axen   zur   ithIo 

aeiikrecht  Hind"  rI.  ^kryat.  Axen  untur  einander  un 

zur  ersten  aenkrecht  sind*. 

S.  526,  'L  13  v.o.  1.  „da  dieselben  sich  nicht',  at.  .da  di< 
selben  wich  nur*. 

S.  529  Z.  8  V.  u.  1.  »dessen  Flüchencentra'  at.  .dessen  Cer 
trum"*. 


781 


Namen  -  Register. 


Charlier  C.   287. 

Dana  Jarnos  Dwi^tb  (Nekroloj?)  343. 

v.Fedorow  EujTraph  (Wahl)  440,  4W, 

780. 
FlemminK  Walthor  (Wahl)    440. 
Fonim  L.    283. 

G<hU  W.    11  i». 

Goebel  Karl   447. 

V.  Odmbel  Wilhelm    64B. 

HartiK  Robert    1,  24,  282.  287. 
Helmert  Robert  (Wahl)  440. 
Hittorf  Wilhelm  (Wahl)    140. 
Hiixley  Thomas  Henry  (Nekrolofr)  321. 

Kantor  S.    531. 

KiSnigH  Wilht.'lm  (Wahl)    440. 

Licncnklans  K.    183. 

Linde  Karl  (Wahl)    410. 

Linderaann  Ferdinand  31,  401.  (i2r>. 

LOwy  Alfretl   20. 

Lüvön  Sven  Ludwig  (Ni'kndo;^')  319. 

Ludwijr  Karl  (N.'knd<.i,')    326. 


V.  Miller  Wilhelm    G7. 

Nenmann  Franz  Ernst   (Nekroloff) 
338. 

V.  Pettenkofer    30«),  43it. 

Price  «.  C.    69. 

PrinKsheini  .\lfred    167,  005. 

Ranke  Johannes   67. 

Röntgen  Wilhelm   Konnid  (Wahl) 

440. 
Rückert  Johannes    282. 
Rütimcyer  Ludwig  (Nekrolog)  314, 

Seeliger  Hiipo   24,  373. 
Selenka  Emil  (Wahl)  440. 
Sohntke  Leonhard    7.'>,  445. 

Töpler  Angiift  (Wuhl)   440. 

V.  Voit  Karl    209,  314. 
Voss  Ann-I    1,  211.  273. 

Wuhleyer  Wilhelm  (Wahl)    440. 
V.  Weber  E.    425. 

Zinfl    07. 


ErOffnufij^rede  ziir  Offen tUi-hfri  Sitr-ttti}/:   30'.*,  4a!>. 

Feuerbach 'scher  Kreis  119. 
Fluoreacenz  pohirisirte  75. 
Funktionen,  aynektisehe    1G7. 

Funktionen,    welche    du«   Innere    eines   Kegelachnittes   confonn    auf  <iie 
Hslbebene  abbilden    401. 

Gleichung   SX  =  XS',    Myminetrische    und    iilternirende    lifisimgen    der- 
selben   273. 
Gravi tationsgesetz,   Newton'acheH    373. 
Cirünerde  von  Monte  Ilaldo    645. 

Isomerie  der  Stickstoffverbindungen    G7. 

Jiijijeridfnnn*'»!  veu  Pflanzen  und  deren  künHtliche  Wirtleiliervorrufuny  447. 

Kl  t-(iillrtgn*iiihie.   (Jnindfnijfen  derselben    4W. 


Such-  Ucffister.  783 

HittchlUrbm  im  Hi>ii)^iin>;s)iil(le  eines  en<;i>ri  S|Kilte^    G7. 
Mumentp  (n)   von  i?i  -  CViiiiptexrii  im  Jtr   531. 
Myxinuiil,  Üntogonic    6!i. 

Nekrulo^c    314,  910,  321,  S2G.  338,  313. 

OstmctKit'ii  Silin  dem   Mintwii  \'on  Ortoiilmr^    183. 

Polyt'dtT  und  ZahlzcicliPn,  ilfftchic-lito  doisi-Hu-n    r»25. 

Rauch,  KinHiiüfi  :i<if  dif  (ifxiindhrit  der  Nadulhi'il/rr    282. 
Ki'^oriitioii  fTtdiistcr  Kiwfi«s»tort'f  im  Dünndarm    2()ll. 
Iiiintfjt'n-Stnihh'n,  Wcdlenliinji^e  dt_'r?<pllii'n    283. 

Schkidel-  nnd  Kü('k;;nitshuhlf,  viTi;loi*'hend<'  Itcstimmun;,'!'!!    li". 
Svhwt'flijje  tiiiurt',  Kinwirkuii^,'  mil'  die  Xadtdii  der  Fiditt*    1. 
•Seliiehier,   Kntwirklunjf  des  Spir.ildurnn's  di-rsellien    282. 

Tabnliren  der  8tünmj;en  der  kleiin'n  liant-ien    287. 
Tiinnenminirniutte    282. 

Transfuriniitiün,  i'cmjfredieiitv  der  liilim-aren  Finnen  in  «ich  »ellirtt    1. 
TranMfonnatioii,  k>nijii;:irtc  einer  Idlinean-n  Form  in  -iieh  ni'lbst    2j. 
Tranf>furmat)onfn,  linearr  eineri{iiiidnil'i>cli<'n  Mi(iini>;taltif^keit  in  ^ieh  31. 
Traiiiifonnationen,    nin<rrudii'nti>    und    adjnii<rii-te    einer   liiline;iri-ii    Form 
in  sirli  no\Wf    211. 


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