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Full text of "Sitzungsberichte - Bayerische Akademie der Wissenschaften, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse"

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Uebersicht 

des  Inhaltes  der  Sitzungsberichte  Bd.  XXI 

Jahrgang  1891. 


Dto  mit  *  bezeichneten  Abhandlungen  sind  in  don  Sitzungsberichten  nicht  abgedruckt. 

Oeffenilichc  Sitzung  der  kgl,  Akademie  der   Wissenschaflen   zur 
Feier  des  132,  Stiftunqstages  am  21,  März  1891, 

Seite 
C.   V.  Voit:    Nekroloffo 139 

(ktfentUche  Siizung  zu   Ehren  Seiner  Mnjesfät  des  Königs  und 
Seiner  Königl.  Hoheit  des  Prinzregenten  am  15.  November  1891, 

Wahlen       273 

Sitzung  vom  3.  Januar  1691. 

All.  Steinheil:  Krläutenincren  zai  dem  Handbuch  der  ange- 
wandten Optik  von  Ad.  Steinheil  und  K.  Voit  (Theil  T)         1 

ij.   Üeckna^fel:   Zur  Hypriene  der  Wohmin;» T) 

AV.  l)yck:  Tebor  die  f^estaltlichen  Vcrhilltnissi«  der  durch 
eine  Hitierential^^leicbunj^  erster  Ordnung?  zwischen  zwei 
Variabein  definirten  Curven»*yNtenie.    (Mit  Tafel  I— IV)    .      23 

Sitzung  vofn  7,  Februar  1891. 

«■.   \s.  Wi'ber:  Zur  Messunp:  der  magnetischen  Inklination    .     .      59 

■.\.  VoKs:  Ueber  spezielle  Differentialinvarianten  in  derFlikhen- 

theoric 59 


Sitzung  vom  7,  Milrz  1891, 

C.  W.  ▼.  G  um  bei:  Geologische  Bemerkungen  über  die  Thermen 

▼on  Bormio  und  dan  Ortlergebirge     ...         ....      79 


N.  Rüdintver:  Ueber  die  rmbildiin^  der  Liebprkülin'schon 
Drüsen  durrh  die  SolitärfoUikel  im  Wuriiiibrtssitz  den 
Menschen.    (Mit  Tjifel  V) 121 


Sitzung  vom  2.  Mai  1891, 

£.  Lommel:    Ueber  die  Schwingung^richtun;^  des  polarisirten 

Lichtes Irtl 

*S.  Kinsterwalder :  Die  von  optischen  ^Systemen  grös^^erer 
Oeffnung  und  grösseren  *le'<i<*ht.sfL'lile'<  erzeugten  Hil«ler, 
auf  Grund  der  Seiderscben  Fornndn  untersucht       .     .     .     IH) 


Sitzung  vom  ü.  Juni  189 1. 

*C.  V.  Voit:    Uehcr  die  Glykogenbildung   na<h  Aul'nahnie  ver- 
seil iedener  Zuckerarten       .     is«) 


Sitzung  vom  J.  Juli  1891. 

*K<1.  Frhr.  V.  Haerdtl:    Mkizzen    /u   einem  >j)«'/-ielU*n  Fall  d»'s 

ProbleuiH  der  drei   Körper lÖl) 

F.  V.  Sandhergi'r:  Veljer  den  Krzgantr  d«T  <.iru])e  s^airra 
Familia  in  L'ostarica  und  de-sen  [{rdeutnng  für  die 
Theorie  der  Erzgänge 191 

A.  Urill:    l'eber  da-ü  Verhalt«'n  einer  Funktion  von  zwei  Ver- 
änderlichen in  dt'r  Umgebung  einer  Niill>telh* 207 


Sitzung  rom  7.   Xonmlur   isui. 

n.  See  liger:    Xmiz   über  die  Strahl<*nlin*chung   in   der  Atmo- 
sphäre   2ui» 

II.  .Se«»lig»'r:    Ifber   di«?  Kxtini'tinn   «h-s   Li()ii«'>    in  u»'r  A^nm- 

sphärr  217 


Sitzung  com  :!.   Dczrmttcr   tsUl. 

I<eo  Königsberu'er:   L'eber  d in  Irreductibilität  drr  ;ilgi'br.ii-i.lii'n 
partiellen  Dirterentialgleiriiung''>y^temi! 

•W.  V.  liümlii*!:  *^eogno^tis«•lle  iJesthrriliung  vc»n  Mayern  iFr.'in- 

kisrher  .Iura).     Viert«*  Abhandlung      ....  ...     27 1 

F.  V.  Sand  berger:   L'i'brr  die  Krzgiingi'  iler  (irgm^l  von  FriMniru- 

sta<1t  und  Hularh  im  württembergi^chen  Sfliwar/.wald     .     2*^1 


27'. 


Kinsendungcn  von  Druck^rhrit'twi 221.  '6\\} 


•  • 


Sitzungsberichte 

der 

königl.  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 

Mathematisch-physikalische  Classe. 

Sitzung  vom  3.  Januar  1891. 

1.  Herr  Ad.  Steinheil  überreicht  der  Classe  sein  mit 
Herrn  Professor  Dr.  Ernst  Voit  herausgegebenes  «Hand- 
buch der  angewandten  Optik*  (Theil  I)  und  knüpft 
daran  einige  Erläuterungen. 

2.  Herr  M.  v.  Pettenkofer  legt  eine  Abhandlung  des 
correspondierenden  Mitgliedes  der  Classe,  Herrn  Professor 
Dr.  Georg  Regen aoel  in  Passau  «über  Bestimmung  und 
Berechnung   des  Luftwechsels   in  Wohnräumen*   vor. 

3.  Herr  Walther  Dyck  hält  einen  Vortrag:  «über 
die  gestaltlichen  Verhältnisse  der  durch  eine  Dif- 
ferentialgleichung erster  Ordnung  zwischen  zwei 
Variabein  definirten  Curvensysteme*. 

Erläuterungen  zu  dem  Handbuch  der  angewandten 
Optik  von  Ad,  Steinheil  und  E.  Voit. 

Von  Ad.  Steinheil. 

(EingdunftH  8.  Januar.) 

Das  Handbuch  der  angewandten  Optik  soll  ein  Hilfsbuch 
für  den  ausführenden  Optiker  sein,  dem  zu  seinen  Arbeiten 
bislang  eine  zusammenhängende  und  die  neueren  Untersuch- 
ungen berücksichtigende  Anleitung  mangelte.  Es  darf  der 
Ausspruch    Fraunhofer's,    djiss    für   den   aiL^übenden    Optiker 

l^igi.  MaUi.-pby».  CL  I.  1 


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*  *  *. 


2  Sitzung  der  maih.-phya.  Clause  vom  3.  Januar  1891. 

allein  die  Dioptrik  Klügers  etwas  Brauchbares  liefere,  noch 
heute  als  zutreffend  bezeichnet  werden ;  obwohl  seitdem  die 
Bahn  brechenden  Arbeiten  Fraunhofer's  selbst,  sodann  die 
eines  Bessel,  Gauss,  Helniholtz,  Seidel  und  anderer  erschienen 
sind.  Wir  waren  bemüht,  in  dem  Handbuche  die  Resultate 
dieser  Untersuchungen  auch  demjenigen  zugänglich  zu  machen, 
der  ausgerüstet  mit  den  Hilfsmitteln  der  Algebra  und  Trigo- 
nometrie sich  der  Herstellung  der  optischen  Instrumente 
widmen  will. 

In  den  einleitenden  Kapiteln  geben  wir  zuerst  erprobte 
Methoden  zur  Orientirung  und  numerischen  Bestimmung  der 
optischen  Eigenschaften  der  Glassorten. 

Sodann  stellen  wir,  auf  die  analytischen  Methoden  fussend, 
die  Anschauungen  zusammen,  welche  zur  Orientirung  über 
die  Eigenschaften  der  optischen  Systeme  sowie  über  die  von 
den  Bildern  zu  erfüllenden  Bedingungen  dienen. 

Hierbei  unterlassen  wir  es,  auf  eine  strenge  mathematische 
Beweisführung  einzugehen,  indem  wir  es  dem  hiefür  sich 
Interessirenden  überlassen ,  in  der  einschlägigen  Literatur 
sich   Rath  zu  erholen. 

Wir  schliessen  uns  in  diesem  Theile  unseres  Buches 
enge  an  die  von  Gauss  eingeführten  Betrachtungen  an,  nur 
in  einem  wesentlichen  Punkte  weichen  wir  ab,  beziehungs- 
weise erweitern  wir  die  Gauss'sche  Theorie. 

Gauss  und  alle  Nachfolger  desselben  nehmen  an,  dass 
bei  einem  idealen  optischen  Systeme,  die  Anfangspunkte  der 
Brennweiten  für  verschiedene  Oeffnungen  in  einer  zur  Axe 
des  Systemes  senkrechten  Ebene  (der  Hauptebene)  liegen. 
Nach  dieser  Annahme  ist  die  Brennweite  bei  grösserer  Oeftnung 
länger  als  die  bei  kleinerer ;  wenn  man  dagegen  die  von  dem 
Brennpunkte  aus  mit  dem  Radius  gleich  der  wahren  Brenn- 
weite gezogene  Sphäre  als  Ort  der  Anfangspunkte  der  Brenn- 
weiten (als  Hauptsphäre)  betrachtet,  erhalten  alle  Brennweiten 
des  idealen  Systemes  gleichen  numerischen  Werth. 


4  Sitzung  der  math.-}}hy8,  Classe  vom  3.  Januar  1891. 

Aus  den  späteren  Kapiteln  des  Buches  heben  wir  die, 
nach  der  oben  erwähnten  trigonometrischen  Kechnungsmethode 
hergestellten  Tabellen  hervor. 

Die  erste  Tabelle  liefert  für  Linsen  von  gleicher  Brenn- 
weite den  Einfiuss  der  Oeifnung;  und  dann  für  Linsen  von 
gleicher  Brennweite  und  Oeffnung  den  Einfluss  der  Linsen - 
form,  der  Glassorte  und  der  Linsendicke  auf  die  übrig 
bleibenden  Fehler  im  Bilde  von  Objectpunkten  in  und  seitlich 
von  der  Axe. 

Die  zweite  Tabelle  ist  von  grösserer  Bedeutung;  für 
diese  sind  Doppellinsen  gerechnet,  alle  von  gleicher  OeflFnung 
und  Brennweite,  sowie  frei  von  Farben-  und  Kugelgestalt- 
fehlern ;  und  es  ergaben  sich  die  bei  verschiedenen  Linsen- 
formen übrig  bleibenden  Fehler  in  Bezug  auf  Verzerrung, 
Farben ver grösser ung  und  Kugelgestaltfehler  für  eine  zweite 
Farbe. 

In  einer  späteren  Auflage  hoffen  wir,  diese,  langwierige 
Rechnungen  bedingende  Tabelle  dahin  erweitern  zu  können, 
dass  auch  der  Einfluss  der  Glassorten,  sowie  der  der  Linsen- 
dicken und  Abstände  hervortritt. 


0  Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

mir  bereits  früher  begründeten  theoretischen  Rechnungen,*) 
durch  welche  der  Luftwechsel  annähernd  auch  für  diejenigen 
Fälle  ermittelt  wird ,  in  denen  jene  Umstände  nicht  mehr 
die  gleichen  sind.  Es  wird  auf  Grundlage  einer  solchen 
Messung  und  Beschreibung  möglich  sein,  für  jede  Jahres- 
und Tageszeit  anzugeben,  welche  Leistung  ungefähr  man  von 
der  Porenventilation  und  welche  man  von  einer  bestimmten 
ebenfalls  nur  auf  Temperaturunterschiede  und  Winddruck 
begründeten  Lüftungsanlage  zu  erwarten  hat. 

2.  Am  einfachsten  wird  die  Messung  des  Gesammtluft- 
wechsels  mittelst  der  von  Pettenkofer  begründeten  Methode 
der  Kohlensäurebestimmungen  ausgeführt.  Die  Anwend- 
ung dieser  Methode  hat  bereits  zu  schönen  Erfolgen  geführt. 
Seit  mittelst  derselben  nach  dem  Vorgange  Pettenkofer's 
Breiting,  Rietschel  u.  A.  zahlreiche  und  systematische  Unter- 
suchungen über  die  Steigerung  des  Kohlensäuregehaltes  der 
Schulluft  ausgeführt  haben,  wird  kaum  noch  ein  neues  Schul- 
haus gebaut,  ohne  dass  eine  besondere  Lüftungseinrichtung  vor- 
gesehen würde.  Demnach  ist  zu  hoffen,  dass  auch  der  Privat- 
wohnung Heil  widerfahren  wird ,  wenn  man  sich  in  den 
massgebenden  Kreisen  der  Aerzte,  Miether,  Bauherren  und 
Architekten  gründlich  und  zahlenmässig  überzeugt  hat,  wieweit 
das,  was  wir  zur  Zeit  in  unseren  Wohn-  und  Schlafzimmern 
an  Luftwechsel  besitzen ,  den  grössten  Theil  des  Jahres  hin- 
durch hinter  den  unerlässlichen  Forderungen  der  Hygiene 
zurückbleibt.  — 

Die  bis  jetzt  allerdings  noch  wenig  zahlreichen  Versuche, 
welche  ich  in  Gemeinschaft  mit  Herrn  Lycealprofessor 
Dr.  Putz  ausgeführt  habe,  gaben  Veranlassung,  die  Methode 
einer  etwas  eingehenderen  Prüfung  zu  unterziehen.  Dabei 
schien  uns  der  chemische  Theil  des  Verfahrens  —  Baryt- 
wasser mit  Oxalsäure  titrirt,  Phenolphthalein  oder  Kosolsäure 
als  IndicHt4)r —  hinreichend  einfach  und  genau;  die  Rechnung 

1)  Sitzungrtberichte  vom  6.  Juli  1878  u.  6.  Dezember  187*J. 


8  SUzung  der  tnath.-phys,  Ciasse  vom  3.  Januar  1891, 

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IL 

Für  den  Fall,  dass  während  der  Zwischenzeit  zwischen 
den  beiden  Kohlensäurebesiimmungen  in  dem  Versuchsraume 
selbst  Kohlensäure  nur  auf  Kosten  des  in  der  Luft  des  Raumes 
enthaltenen  Sauerstofis  producirt  wird  —  wie  z.  B.  bei  der 
Athmung  von  Menschen,  welche  sich  im  Sauerstoffgleich- 
gewicht befinden  —  gibt,  wie  schon  Jacoby  1.  c.  nach- 
gewiesen hat,  die  Formel  von  Hagenbach*)  den  Zusammen- 
hang zwischen  dem  Kohlensäuregehalt  c  (pro  mille)  der  zu- 
geführten  freien  Luft, 

dem  anzüglichen  Oehalte  Cj, 

dem  schliesslichen  Gehalte  c,  der  Zimmerluft, 

der  stündlich  im  Zimmer  selbst  producirten  Kohlen- 
säuremenge l  (Liter), 

dem  kubischen  Inhalte  des  Zimmers  K  (Kubikmeter) 

der  stündlich  zugeführten  Luftnienge  V  (Kubikmeter) 
und  der  Zeitdauer  des  Versuchs  t  (Stunden). 

Die  entsprechende  Gleichung  ist: 

-l=e''    (1 

C^  C  y 

wobei  e  die  Basis  der  natürlichen  Logarithmen  (2,718....) 
bedeutet.  Die  Voraussetzungen,  welche  dieser  Gleichung  zu 
Grunde  liegen,  sind : 

1.  Luftwechsel,  Kohlensäureproduction,  Temperatur  de« 
Zimmers  und  Luftdruck  sind  konstant. 

2.  Jeder  kleinste  Theil  der   zugeführten  Luftmenge  so- 

1)  Mitgetheilt  von  Dr.  Carl  Breiiing  in  seinem  Berichte  an  da« 
Sanitätscollejj^um  von  Basel-Stadt  über:  Untersuchungen,  betr.  den 
Kohlennäu regehalt  der  Luft  im  Schulzimmem,  1870.   S.  48  tf. 

Die  zweite  Formel  von  Seidel  setzt  voraus,  das«  im  Versuchs- 
raume Kohlensäure  producirt  wird,  für  welche  das  Aequivalent  an 
Sauerstoff  nicht  aus  der  Luft  genommen  wird.  Die  erst^»  Formel 
Seidel's  setzt  eine  Kohlensiiureproduction  im  Versuchsraume  über- 
haupt nicht  voraus. 


10  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  3,  Januar  1891. 

(K  Kubikmeter).  Dieses  C  ist  vermöge  der  verschiedenen 
Raummaasse,  welche  für  /  und  K  angewendet  werden,  mit 
den  c  gleichartig  und  derjenige  Kohlensüuregehalt  (u  pro 
mille),  um  welchen  bei  Mangel  jeder  Ventilation  der  Kohlen- 
säuregehalt des  Zimmers  in  einer  Stunde  zunehmen  würde. ^) 

Dann  erhält  die  Gleichung  die  Form: 

e'^ — 1 

und  es  kommt  die  Grösse   F,  um  deren  Ermittelung  es  sich 

V 
handelt,    nur    noch    in  der  Verbindung   „    vor.     Man    kann 

demnach  die  Schreibweise  vereinfachen,  indem  man  dieses 
Verhältniss  —  den  relativen  LuftwechseP)  —  durch  ein 
Zeichen  E  ausdrückt. 

Zugleich  soll  die  rechts  stehende  Funktion  der  beiden 
Grössen  E  und  t  künftig  mit  /  bezeichnet  werden,  so  dass 
nun  die  Gleichung  die  folgende  Form  erhält: 

wobei    L  =  i>   das  Verhältniss  der  stündlich  im  Haume  ent- 
K 

1)  Dieselbe  Grösse  (C)   ist  der  reciproke  Werth  des  «Luftkubus'' 
(  .  J   für  1  Litor  stündliche  Kohlensäureproduction. 

V 

2)  Dem  relativen  Luftwechsel  v,  hat  der  Spi-ach^ebrauch  bereits  den 

V 

Namen  ^Stündliche  Lufterneuerung"*  beigelegt,  tla  man.  wenn  -»• 

ilie  Wi»rte  1.  2,  3  .  .  .  hat,  zu  sagen  ])fiegt,  es  finde  in  ileni  Haume  Ä" 
stöndlich  einmalige,  zweimalige,  dreimalige.  .  .  Luftemeuerung  statt. 
Obwohl  dies«;  Benennung  nicht  streng  richtig  ist  und  d«'r  falschen 
Vorstellung,  als  ob  nach  vollzogener  ^Luftemeuerung*  von  der  früheren 
Luft  nichts  mehr  anwesend  sei,  Vorschub  leist<'n  konnte,  soll  sie  in 
ihrer  Eigenschaft  als  alter  Bekannter  beibehalten  werden. 


12  Sitzung  der  viathrphys.  Classe  vom  3,  Januar  1891. 

Da  während  der  Beobachtiingszeit  Kohlensäure  im  Saale 
nicht  producirt  wurde,  ist  in  Gleichung  (2 

zn  setzen.     Für  c  (den  Kohlensäuregehalt  der  zuströmenden 
Luft)  wird  der  Werth  0,4  angenommen.     Somit  wird 

2,93-0,4 
^=  3,55- 2,93  ='^'^^- 

In  Tabelle  I  findet  man  unter  dem  Kopfe  30  Minuten 
den  Werth  4,08  aufgegeben  und  erhält  als  entsprechende 
Lufterneuerung  Jb!  =  0,44.  Der  stündliche  Luftwechsel  be- 
trägt somit  0,44  des  Rauminhaltes,  und  da  dieser  840  Kubik- 
meter ist,  berechnet  sich  die  stündlich  zuströmende  der  ab- 
strömenden gleiche  Luftmenge  zu  0,44  •  340  oder  150  Kubik- 
meter.*) 

1)  Als  Beispiel  einer  Beschreibung  der  massgebenden 
Umstände  diene  folgendes: 

Der  Lehrsaal  liegt  im  zweiten  Obergei<cho8se  eines  frei  »stehenden 
GebiludcK  und  hat  zwei  freie  mit  je  zwei  Fenstern  versehene  Seiten- 
wande,  deren  eine  von  7,41m  Länge  nach  Süden,  die  andere  9,84  m 
lang,  nach  Westen  gewendet  ist.  Auf  der  Nordseitc,  welche  die 
ThUre  enthält,  befindet  sich  ein  Vorzimmer,  welches  durch  ein  offenes 
Fenster  mit  der  freien  Luft  und  durch  eine  ottene  Thüre  mit  dem 
Corridor  verkehrt.  Auf  der  Ostseite  ist  der  Saal  durch  eine  glatte 
Mauer  von  einem  geschlossenen  Privatzimmer  getrennt. 

Die  ganze  Höhe  beträgt  5,64  m,  steigt  bis  zu  3,60  m  glatt  an 
und  geht  sodann  in  ein  vergipstes  Spiegelgewülbe  über  Oberhalb 
ist  ein  luftiger  Speicher,  unterhalb  ein  ebenfalls  gewölbter  Lohr- 
saal,  der  vor  dem  Versuch  durch  halbstündiges  offenstehen  lassen  aller 
Fenster  und  Thüren  gelüftet  worden  war.  Der  kubische  Inhalt 
wurde  zu  840  cbm  berechnet.  Die  innere  Temperatur  war  anfange 
19.4,  am  Ende  18,4,  also  im  Mittel  18.9*^  Cels.,  die  der  äussern  Luft 
—  4*^  Cels.  Der  unterhalb  liegende  Saal  zeigte  im  Mittel  8'*C.  Baro- 
meterstand 742  mm.    Windstille. 

Besondere  Bemerkungen.  Die  Fenster  s<'hliessen  mittelmässig, 
die  Thüre  sehr  schleiht,  die  Diehlen  zeigen  grosse  bis  zu  1  cm  breite 
Zwischenräume.    Im  Ofen  brennt  das  Feuer  bei  offenem  .Aschenkasten. 


14  Sitsung  der  matK-phys,  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 


f  und  ß  gleich  gross  ausgefallen.  Da  dieses  nicht  der  Fall 
ist,  muss  das  Probiren  fortgesetzt  werden,  und  es  ist  der 
relH^rsiohtlichkeit  wegen  nützlich,  die  drei  zusammengehörigen 
Worthe  von  E,  fuudß  in  ein  Täfelchen  zusammenzustellen. 

/  =  20  Minuten. 


Nr. 

E 

f 

ß 

1 

1.0 

8,53 

1,03 

1 

2 

2.0 

1,05 

1,28 

8 

1.8 

1,22 

1,21 

Uuivh  /unahnio  von  E  wächst  auch  der  Werth  des 
Hiuoh«\N  ;V;  hinjjogtMi  nimmt  /'  ab  (wie  aus  der  Tafel  er- 
MoUtlu'l\V  S*nuit  naht^rn  sich  in  unserem  Falle  (wo  ß  <  /) 
dio  bo\don  l«riVsst»n  ß  und  /',  wenn  man  E  zunehmen  lässt. 

.Vwxi^itt  alH»r  nun  in  Abtheilung  2  der  Tafel  wieder 
on\o\^  lvhobi>rtM\  Worth  von  E  zu  wählen,  scheint  es  fSrder- 
\\s\w\,  eu  ovwttir«*»^  divis  bei  wachsendem  -B  das  /Sf  langsam 
..\uv\u\u>l.  wrtluvud  /  rasch  abnimmt.  Das  weist  uns  an, 
\\\A\{  t  vMulorn  /als  willkürlich  Veränderliche  zu  nehmen 
uu.l  mmuou  Wouh  iiAwr  nahe  an  ß  also  etwa  auf  denjenigen 
r»I^^U\oMh  cw  uvkon»  welcher  zunächst  oberhalb  des 
>K'^    »^n^%M^   Unu  hw  crthes  (1,0,S)  liegt. 

l^uu«»    k«'mmt    \\\i\n  auf /^=  Ij^o. 

P».   V  u>  .uispiuht    F    -^-,0  und 

1  00 

o,7S 

liixKnt  tu  ut  r.utf  r«H-hinals  mit  /*  dem  ß  so  nahe  rückt 
\\'  s-  »'luu  l  »'iviNj»nui;rii  M'inos  Wertes  geschehen  kann, 
•  ilt.^U   lu.iu  ,\U  »litiio  r<uti««  /u>Hmniengt'höriger  Werthe 

-  l  -.\   /•       KS,  ,V=--1,21. 


G.  Eecl'nagel:  Zur  Hygiene  der  Wohnung, 


15 


Der  Unterschied  zwischen  fxxnd  ß  ist  nun  so  klein,  dass 
man  sich  bei  J?=  1,8  beruhigen  kann. 

Drittes  Beispiel.  Bei  Anwesenheit  von  zwei  Personen 
in  einem  Räume  von  100  cbm  Luftinhalt  sank  in  30  Minuten 
der  Kohlensäuregehalt  von  1,75  auf  1,13  pro  mille.  Wie 
gross  war  der  stündliche  Luftwechsel? 

Es  ist  beobachtet  Cj  =  1,75 ;  c,  =  1,13  und  angenommen 

«.        2  *  20 
c  =  0,4;    ^=  Y  -   =0,4.     Somit   ist  E  aus  der  Gleichung 


/=' 

),73 

0.4: 
0,62 

E 

zu  berechnen. 

t  = 

30 

Minuter 

1. 

fl 

Nr. 

E 

f 

ß 

1 

1 

T 

1,54 

0,53 

2 

2 

1 

0,582 

0,855 

3 

1,6 

0,816 

0,774 

4 

1,64 

1 

1 

0,785 

0,784 

Man  erhält  filr  die  erste  willkürliche  Annahme  E=\ 
die  unter  No.  1  eingetragenen  Werthe  von  /*  und  ß,  und 
geht  nun  wie  im  zweiten  Beispiele  mit  f  in  Abt.  2  bis  zu 
dem  zunächst  über  (ß  =  0,53)  liegenden  Tafelwerthe  0,582. 
Dadurch  wird  E  =  2  und  ß  =  0,855.  Durch  Fortsetzung 
desselben  Verfahrens  wird  /*=  0,81(5;  J?=  1,0;  /:?  =  0,774 
erhalten. 

Nun  ist  der  Unterschied  zwischen  /  und  ß  kleiner  ge- 
worden, als  die  Differenz  zweier  auf  einander  folgender  Tafel- 
werthe von  f  (nämlich  0,S16  und  0,74());  und  daraus  folgt 
zxiDAchst^    da-s   E  zwischen    1,()  und  1,7    liegt.     Mit  diesem 


10  Siiznuft  der  wath.'jilfvf,.  Ciusst  mn.  .'j    »^inttua^   isitl. 

ßetsultate  wird  m&n  in  den  meisOiec  Fkliei:  bi>sr.iiiit^sei  dürifu. 
Will  Uian  aber  eine  weitere  Aimiiheruiic  erzieiei».  sc»  kaiiD 
dieselW  durch  luterpolatit-L  erli »icei. : 

Mao  t heilt  die  noch  zvJMLt-n  *  llc  ;  Nt- ^:•■Lt•zl(.lt-  i>:f- 
fvrens  <0.042)  im  Verb&lILi^^  der  Citt-i  i  ▼  :i:C.  .1:1.  •  .*  t-i. .  niit 
welch*"!!  ^icL  /"and  fi  Snöerii.  T*ies*  •■•?*«iTt'viiiiiiirk«'ii'.*L  •^nminuuT 
luan  aua  den  Aenderunc'en.  weictie  f  uhl  ;  tu',  den.  l  fiicriruiurt  voni 
zweiten  ruuu  driitfn  NaheruiijEr''Wt;ruif  £n»t  1  friiüirei.  tiiii»ei^.  Ef 
Mt^hen  wich  in  unher^an  ÜeiFjtje*  r.rJf  —  (..hr^  =  lJ.iJR4  fü:  ;  ond 
li).h'}b  —  0.771  --  ■  0,0*1  Tt  ,*  c*'reni.i»er.  v-fi-.-.iit  iOLtuti.  sn-i  -yh'  nahe 
wi*,'  y :  1  verhallen,  d.  h.  dje  '.■•e'*i;"Lw;ndiijc*^:; .  mi:  vt-j-her  r»t.»:  einer 
l/4;vtiifirijtezj  ZuuaLime  tcib  f  aar-  '  hMim^ni:.  is:  nuht  anMiuai  «o 
j^roH*'  alr  «Jiejeni;r»r.  mii  welcher  der  brucL  ;  wjr-ii^:  Uai,  na:  dem- 
n«M-h  0.04^  Jij  zwei  TheÜe  zu  iLeij**!;.  ¥>*i'.ti»  m-  1.  xiiAiifZi.  wit  8  zn  1 
viffhüit«'!].  Soi'.he  Th»'!]e  -iiid  O.Oi^l  und  (•.';•:  1  Li..--:  njüi  im.  0.(61 
ahrif'hjiK'fj  liiid  ^'^  uiu  0.011  wach!*eL .  h.  trriik^^fL  inMUt  ut^n  Verüi 
0,7a6f  lind  «'»<  i»!=t  no'.h  dü^  ru  oie-^eii.  "^V.TTiir  iül  *  i?t*iifiriirf  £"  zc 
aiiirhi^rj. 

/•/  ji«'/*  y.wi»'«  hnfj  J>j  und  1.7.  uxiu  «..■>■  rui:-iir»r;xrvi:  TiUf)wt*rthf 
vuii  /  ijiit«'i><  h«'jd«'iJ  >ii'\i  um  0.^.*^1.  wÜLreiiLi  uhh*«:  \\'»*:ti  vot.  ;  tob 
tit-m  <»J;«T«'ii  iit'rt't'Wn'n   uju  0.031   al'weicLi. 

K?  J.-I  Jil>';  dji'Kraiife  rij  f^-an^ iR  orten :  "Wj*-  rit-.  Hundrrteln  en!- 
."•|;iii|»l  i|nv«-  I  Ml  «Tili  y.  0.031.  wenn  10  HüiiOrTi*-.  i'-r  I';ät»rr*nr  Üüßl 
rill. -(»»i'«  lull y     Wie  Aulwort  /j^jt  d^r  WertL  v  .l  x   .t  d-:    {'ro|hirtion 

O.'Al  :  10       0.031  :  l. 
Uli.-   MI  li  lii'i    1        4   f</J/t . 

jiii  I1I/.I1  '*.i}ii'f  i.ri/^w«'!-' •  \''jj  /.  .^:  h 'ii.:i  Li»-!.  >•■:;•.:  man  liel^ 
.t  |i,i  II  /iji  ri',M    .11  «irf.  Jjf>-i.  i-:i..  -0  eri.1.  :   ü.ul  a.r    ii.;t    ■  —  0.786 

liiliii  I'  l.i  li'i     ■.»#iM-.|j    1  .fi."  i-.'jtj.      /aL.    ^1.70*. 

IV. 

S'tin  »..i'mIj' l.«rj  Lil»  wi '  Jj.-i-i  f  M.'Aa::.«:  r;i..*:.  '^ -r^.!.  ij?  itifiieii. 
vw!«in  l'iMii  l-«,Jif^y  :t  '11-;.  M'.-r.fcT*-'.  VL"..  'M.:. ••»••'  und 
lh/*iit\,ti  -ji  ••   l.il.M*  l'ViV   .'    .-••.!.<:••    .^•••'  :^;.  ::  !:  •■:  :i.:i:"«^;flli. 


18  Sitiung  der  math.-phyg.  Glatne  rom  3.  Januar  1891. 


Ü 


II 

■Sa 


II 


II 


G,  RecJcnagel :  Zur  Hygiene  der  Wohnung,  19 

Die  Versuche  sind  in  demselben  Zimmer  in  verschiedenen 
Jahreszeiten  bei  verschiedenen  Temperaturen  angestellt.  Die 
Motoren  des  Luftwechsels  können  jedesmal  nur  zwei  ge- 
wesen sein:  Temperaturdifferenz  und  Winddruck. 
Macht  man  die  Hypothese,  dass  erstere  allein  wirkte  —  also 
die  Mer>sungen,  wie  es  nach  einer  mir  durch  die  Güte  des 
Herrn  Autors  zugekommenen  mündlichen  Mittheilung  in  der 
That  angestrebt  wurde,  bei  Windstille  ausgeführt  sind  — 
so  lassen  sich  die  vier  Mittel werthe  (1  —  3),  (4  —  8),  (9  —  13), 
(15  —  18)  vergleichbar  machen,  indem  man  aus  jedem  der- 
selben den  Luftwechsel  berechnet,  welcher  stattgefunden 
hätte,  wenn  die  äussere  Temperatur  O^C,  die  innere  +1^^. 
gewesen  wäre. 

Der  durch  Temperaturdiflferenzen  veranlasste  Luftwechsel 
ist,  insofeme  er  nur  durch  kapillare  Wege  stattfindet,  der 
Gewichtsdifferenz  zweier  Luftsäulen  von  gleicher  Höhe  (ä) 
proportional,  und  zwar,  wenn  die  äussere  Temperatur  /,  die 
innere  T,  der  Barometerstand  B  ist,  dem  Ausdrucke 

welcher  ersetzt  werden  kann  durch 

n        T-t 

Der  Luftwechsel  eines  Zimmers  von  constanter  Beschaffen- 
heit ist  demnach  der  Temperaturdifferenz  nicht  streng  pro- 
portional, sondern  auch  einigermassen  von  den  Temperaturen 
selbst  beeinflusst. 

Für  ^  =  0,  T=\  erhält  man 

Es  stehen  somit  die  Lufterneuerungen  E  und  E^,  welche 

in  demselben  Räume   einerseits}  bei  den  allgemeinen  Tempe- 

2* 


20  Sitzung  der  math.-phya.  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

raturen  (T,  t),  andererseits  bei  den  besonderen  (F  und  O^C.) 
vor  sich  gehen,  in  der  Proportion : 

T—t  1 


oder  es  ist 


^'^«       273-fT+r  274' 


^      £       2n  +  T-\-t 
^0        f—i'        274 


Die  Vernachlässigung  des  zweiten  Faktors  beträgt  z.  B. 
bei  T  =  24^,  <  =  10°  .  .  .  12  Prozent  des  Werthes  von  E^ 
(der  reducirten  Lufterneuerung). 

Ich  habe  nun  aus  den  umgerechneten  Versuchsresultaten 
Pettenkofers  die  Eq  berechnet  und  als  Mittelwerthe  erhalten: 

Für  den  7.  März  jB^  =  0,075  bei  t=  O^C. 
,  ,  9.  ,  E,=0fi6l  ,  ^=  O^C. 
.      ,    20.  Okt.     Ef,  =  0,\08    ,    t=    19<>C. 

FüiTden  11.  Dez.' ~E^~Ö~M7  bei  /  =  —  P'c. 

Die  reduzirten  Lufterneuerungen  (£),  welche  unter  der 
Voraussetzung,  dass  die  E  in  einem  Räume  v(m  cons tanter 
Durchlässigkeit  der  Begrenzung  durch  Temperatur- 
differenzen allein  veranlagest  seien ,  gleich  gross  ausfallen 
müssten,  weichen  demnach  erheblich  von  einander  ab. 

Dass  die  Beobachtungen  vom  11.  Dez.  einen  kleineren 
Werth  von  Eq  liefern,  ist  selbstverständlich,  da  sie  nach  absicht- 
licher Verminderung  der  Durchlässigkeit  durch  Verklebung  der 
Thor-  und  Fenster- Ritzen  mit  Papier  angestellt  worden  sind. 
Die  übrigen  drei  Werthe  ordnen  sich  offenbar  nach  den 
äusseren  Temperaturen,  in  dem  Sinne,  dass  sie  um  so 
grösser  ausfallen,  je  höher  jene  Temperaturen  sind,  und  der 
Zusammenhang  ist  ein  so  einfacher,  dass  sich  die  3  reduzirten 
Lufterneuerungen  durch  die  Formel 

E^  =0,0<)1  +0,0025  / 

exakt  darstellen  lassen. 


G.  Rechnagel:  Zur  Hygiene  der  Wohnung.  21 

Demnach  wäre  am  11.  Dezember  JE^  =  0,0585  zu  er- 
warten  gewesen,   und   der  Einfluss,    welchen    das  Verkleben 

der  Ritzen  hatte,  ist  auf  —  -  oder  ungeföhr  25  Procent  des 

beobachteten  Luftwechsels  anzuschlagen.  Damit  ist  vielleicht 
der  B<*itrag,  welchen  die  Ritzen  der  Fenster  und  Thüren 
zum  Luftwechsel  lieferten,  voll  bemessen,  insbesondere  wenn 
das  Papier,   mit  welchem  verklebt  wurde,    noch  feucht  war. 

Im  Uebrigen  kann  man  in  der  einfachen  Beziehung 
zwischen  der  reduzirten  Luftemeuerung  E^  und  der  äusseren 
Temperatur  <,  wie  sie  in  einer  Gleichung  von  der  Form 

hervortritt,  eine  schöne  Bestätigung  für  die  an  sich  sehr 
wahrscheinliche  und  auch  schon  frtiher  von  Märker  und  von 
C.  Lang  ausgesprochene  Ansicht  finden,  dass  die  Begrenz- 
ungen unserer  Wohnräume  bei  höherer  Temperatur  für  Luft 
durchlässiger  sind  als  bei  tiefer.  Denn  wenn  eine  solche 
Beziehung  existirt,  so  kann  sie  jedenfalls  durch  eine  Reihen- 
entwickelung von  der  Form 

dargestellt  werden,  von  welcher,  wie  es  scheint,  die  ersten 
beiden  Glieder  für  das  beschränkte  Intervall  der  Tempera- 
turen, welches  die  Versuche  umfassen,  genügen. 

Es  ist  nicht  nöthig,  bei  der  Beziehung  zwischen  der 
Durchlässigkeit  der  Wohnungsgrenzen  und  der  Temperatur 
die  Gedanken  auf  die  Erweiterungen  zu  beschränken,  welche 
die  Poren  der  Steine  .  .  .  durch  Ausdehnung  des  Materiales 
erfahren.  Es  wird  vielmehr  neben  dieser  Wirkung  der  Wärme 
auch  der  Einfluss  in  Betracht  zu  ziehen  sein,  welchen  sie 
auf  die  Feuchtigkeit  der  Wände  . . .  ausübt.  Die  Feuchtig- 
keit schliesst  nicht  nur  die  Poren  der  Steine,  sondern 
sie  verengt  auch  durch  Quellung  des  Holzes  die  Fugen  und 
Kitzen,  denen  ein  grosser  Antheil  an  der  Durchlässigkeit  zu- 


22  Sitzung  der  mtührfhyt,  Classt  vom  3.  Januar  1691. 

zuschreiben  ist.  Hohe  Temperaturen  werden  demnach  die 
Durch lassigkeit  auch  dadurch  yergrössem,  dass  sie  zur  Aus- 
treibung der  Feuchtigkeit  mitwirken  oder  deren  Festsetzung 
(Condensation)  in  den  Hauern  verhindern. 

Daraus  folgt,  dass  man  die  grösste  Durchlässigkeit  und 
somit  den  grossten  freducirten)  Luftwechsel  nach  einer  Reihe 
trockener  und  warmer  Tage,  den  geringsten  nach  kalter  und 
feuchter  Witterung,  mittleren  bei  trockener  Kälte  und  bei 
veränderlichem  Sommerwetter  zu  erwarten  hat. 

Die  Resultate  der  Pettenkofer'schen  Versuche  wider- 
streben dieser  Erklärung  nicht,  zur  Bestätigung  derselben  sind 
jedoch  weitere  Untersuchungen  in  Verbindung  mit  genauer 
Beschreibung  der  meteorologischen  Verhältnisse  erforderlich. 


G.  Becknagel. 


Tafel  der  Wert  he  tob  1:i«a— d 
I.  Abtheil UD(^. 


(Min.  Beob- 

E 

10' 

16' 

20' 

25' 

30' 

40' 

50- 

60'      120'  ' 

ichtangueit 

0,10 

59,5 

39,5 

29,5 

23,5 

19,5 

14.5 

11.5 

9.5    4,5 

oo 

0,12 

49,5 

32,8 

24,5 

19,5 

16.2 

12.0 

9.5 

7.8    3,7 

0,14 

42.4 

•28.1 

20,9 

16,7 

13.x 

10,2 

8.0 

6,6    3,1 

0,16 

37,0 

24.5 

18,3 

1  4.5 

12.0 

H.9 

7.0 

5.8    2.7 

0,18 

32,8  \ 

21.7 

16.2 

12.8 

10.6 

7.8 

6,2 

6.1    2.3 

0,20 

29,6  ' 

19,5 

14.5  . 

11.5 

9,5 

7.0 

5,5 

4,6    2,03 

0,22 

26,8 

17,7 

13,1   ' 

10,4 

8,6 

6,4 

5.0 

4,1     1.83 

0,24 

2t,5 

16,2 

12,0  1 

9,5 

7,8 

5.8 

4.5 

3.7  ,1.63 

0,26 

22,6 

14.9 

11,1  ; 

8,8 

7.2 

5.3  . 

4.1 

3.4     1,47 

0,28 

20,9 

13.8 

10,2 

8,1 

6.6 

4,9 

3,8 

3,1     1,34 

0,30 

19,6 

12.8 

9,5  , 

7,5 

6,2 

4,52 

3.58 

2,86  1.22 

0.32 

18,3  . 

12,0 

8,9  i 

7,0 

5.8 

4,22 

3.28 

2.65  1.18 

0,34 

17,2 

11,3 

8,3  , 

6,6 

5.4 

3,94 

3.06 

2.47  1,05 

0,36 

16,2 

10,6 

7,8  . 

6,2 

5,1 

3,69 

2.86 

2.31  0,97 

0,38 

15,3 

10,0 

7.4 

5,8 

4,8 

3,16 

2.69 

2,17  0.89 

0,40 

n.5 

9,5 

7,0 

.'..5 

4,52 

3,27 

2,53 

2.03  0.82 

0.42 

13.8  ' 

9.0 

6,7 

5,2 

4,29 

3.11 

2,39 

1.91  0.76 

0,44 

13,1   1 

8.6 

6,4 

4,9 

4,08 

2,94 

2,26 

1,81  0.71 

0,46 

l2Ti 

T               1 

8.2 

6,1   , 

4,7 

3,87 

2.79 

2.M 

1.71  0.66 

0,48 

12,0  ' 

7,8 

5.8  , 

4,5 

3,69 

2.65 

2,03 

1.62  0.62 

0,50 

11.5 

7.5 

5,5 

1 

4,31 

3,53 

2,53 

1.93 

1.54  0.58 

0.52 

11,1  : 

7.2 

5,3 

4,13 

8.38 

2,42 

1.84 

1,47  0,55 

0,54 

10.6 

6.9 

5.1   ' 

3,97 

3,24 

2.31 

1.75 

1,40  0.52 

0,56 

10,2  , 

6.6 

4,9  . 

3,82 

3,11 

2,21 

1,68 

1.34  0.49 

0,58 

9,8 

6,4 

4.7  1 

3,67- 

2,98 

2,12 

1,61 

1.28  0,46 

0,60 

9,5 

6,2 

4,52 

3,53 

2,86 

2.03 

1,51 

1,22  0,43 

0,62 

9,2 

6,0 

4,36, 

3.41 

2,75' 

1,94 

1.48 

1,170,41 

0,<>4 

8.9 

5,8 

4,22 

3,29 

2,65 

1,86 

1,42 

1,12  0,39 

0,66 

8,6 

5,6 

4,08! 

1 

3,18 

2,56 

1,79 

1,36 

1,07  0,37 

0,68 

H.3  1 

6,4 

3.91' 

3,07 

2,47 

1,73 

1,31 

1,02  0,35 

0,70 

8,1 

5,21 

3,80' 

2,96 

2,39 

1,68 

1 

1,26 

0,9810,33 

0.72 

7,8  , 

5,()() 

3,68 

2,87 

2,31' 

1,62, 

1,21 

0,94  0,312 

0,74 

7,6  , 

4.92 

3,57. 

2.78 

2,24! 

1,57' 

1,17 

0,91  0,297. 

0,76 

7,1   1 

1J8 

3,47, 

2,69 

2,17 

1,52 

1,13 

0,88  0,282 

0,78 

7,2 

1,65 

3,37i 

2.61 

2,10 

1,47 

1,09 

0,85  0,267 

0,80 

7.01, 

1,52 

3.28. 

2,53 

2,03 

1.42 

1,05 

0,82  0,253; 

0,82 

«>,83 

1,40 

3,20, 

2,46 

1,97' 

1,38 

1,02 

0,79  0,240' 

0,84 

6,6r,, 

4.29 

3,ll' 

2,39 

1,91 

1,31' 

0,98 

0,76,0,228 

0.86 

6.49 

■1,18 

3,02' 

2.32 

1,86, 

1,30 

0,95 

0,74,0,217 

0.88 

6,33 

4,08 

2.94 

2,26 

1.81 

1,26 

0,92 

0,71  0,206 

0,*M) 

(i,lH' 

3,97 

2,86 

2.20 

1.76 

1,22 

0,89 

0.68  0,197 

0.92 

(>.01 

3.87 

2,79 

2,M 

1.71 

1,18 

0,87 

0,66  0.188 

0,94 

r>,9i' 

:178 

2,721 

2,0^ 

1,66 

1,14, 

0,84 

0,64.0,180 

0,96 

5.78 

3,69 

2.65 

2,03 

1,62' 

1,11, 

0,82 

0,62,0,172. 

0.98 

5,65, 

3,61 

2,59. 

1,98: 

1,58 

1,08, 

0,79, 

0,60  0,164 

1,0(» 

6.52. 

3,53 

2,53! 

1,93 

1,541 

1,05. 

0,77 

0,58!  0,156 

Tafel  der  Werthe  ron  1 :  (e*— 1) 
IL  Abtheilung. 


II 

(Min.  Beob- 

>;  1  10' 

15'       20' 

25' 

30' 

40' 

u        -  - 

50' 

60' 

120' 

Aohtangsxeit 

1,01   5,52 

8,53    2,53 

1,98 

1,54 

1,05 

0,769 

0,582 

0,166 

1,1 

i  4,97 

3,15 

2,26 

1,71 

1,36 

0,924 

0,666 

0,499 

0,125 

1,2 

;  4,52 

2,86    2,03 

1,54 

1,22 

0,816 

0,582 

0,431 

0,100 

1,3  j   4.1S 

2,60 

1,84 

1,39 

1.09 

(»,726 

0,512 

0,375 

0,080 

1,4  ,  3,80 

2,39    1,68 

1,26 

0,98 

0,648 

0,452 

0.327 

0,065 

1.5     3,58 

2,20  11,54 

1,15 

0,90 

0,682 

0,402 

0,287  0,052 

1,6!   3,28 

2,03    1,42 

1,05 

0,816 

0525 

0,358 

0,258  0,042 

1 

1,7'   3,05 

1,89  ;  1,31 

0,97 

0,746  0,475 

0,320 

0,228  0,034 

1,8 

2,86 

1,76  ,  1,22 

0,90 

0,684  0,431 

0,287 

0,197  0,028 

1 

1,9 

2,69 

1,64  ,  1,13 

0,83 

0,631 

0,392 

0,258 

0,175  0,023 

i 

2,0    2,53 

1,-54  '  1,05 

0,77 

0,582  0,358 

0,233 

0,156  0,018 

2.1  1  2,39 

1,45    0,98 

0,714 

0,538 

0,827 

0,210 

0,139  0,015 

2,2 '   2,26 

1,36   0,92 

0,666 

0,499 

0,300 

0.190 

0,125  0,012 

2,3 ,;  2,14 

1,29   0,86 

0,622;  0,463 

0,275 

0.172 

0,111  0,010 

2,4  '  2,03 

1,22    0,82 

0,582 

0,431 

0,253 

0,156 

0,100  0,008 

2,5  1  1,93 

1,16    0,77 

0,545 

0,402 

0,233 

0,142 

0,089  0,007 

1 

2,6'   1,84 

l,09,0,725JO,512iO,375!o,2U 

0,129 

0,080  0,006 

2,7.   1.76 

1,04    0,684 

0,481  j  0,350  0,197 

0,117 

0,072  0,005 

1 

2,8'    1,68 

0,99    0,648 

0,452 

0,327  0,183 

0,107 

0,065 

0,004 

1 

1 

2,9,1  1,61 

1  0,94    0,614 

0,426 

0,306  0,169 

0,098 

0,058 

0.003 

3,0 

1,54 

0,90 

0,582 

0,402 

0,267 

0,156 

0,090 

0,052 

0,0025 

23 


üeber  die  gestaltlichen  Verhältnisse  der  durch 

eine  Differentialgleichung  erster  Ordnung  zwischen 

zwei  Variabein  definirten  Gurvensysteme. 

Von  Walther  Dyck. 

(Binffria^tn  $.  Januar.) 

(Mit  Taf.  1  bia  IV.) 


§   1. 

Fragestellung  und  Disposition. 

Die  Untersuchungen  über  die  gestaltlichen  Verhält- 
nisse des  durch  eine  Differentialgleichung  erster  Ordnung 
mit  reellen  Coefficienten  zwischen  zwei  Veränderlichen  x,  y: 


(..)  w.4^)  - 


0 


in  der  Ebene  (a;,  y)  definirten  Cunrensystems  haben  sich  vor 
allen  Dingen  mit  den  Differentialgleichungen  erster  Ordnung 
ersten  Grades 

(2)  x+r^^  =  o 

a  X 

(wo  X,  Y  reelle  eindeutige  Functionen  von  x,  y  bedeuten) 
beschäftigt.  Unter  der  Voraussetzung,  dass  ^im  Allgemeinen* 
die  Entwicklung  von  X,  Y  an  jeder  endlichen  Stelle  Xq,  j/q 
nach  ganzen  Potenzen  von  x — x^^  y — y^  möglich  ist,  und 
dabei  die  Glieder  erster  Ordnung  der  Entwicklung  stets  vor- 


24  Sitzung  der  math.-phifs.  Clause  vom  3.  Januar  1691. 

banden  sind,  lassen  sieb  die  singulären  Stellen  des  durcb  die 
Gleichung  (2.)  definirten  Curvensystems  cbaracterisiren  durch 
das  Verbalten  der  Curven  des  durch  die  Gleichung 

(3.)  (m,x  +  n,y)  +  (m^x  +  ««1^)  j|  =  0 

gegebenen  Systems  im  Punkte  x  =  0,  y  =  0,  und  es  fugen 
sich  durcb  eine  geeignete  Transformation  auch  etwa  im  Un- 
endlichen vorhandene  singulare  Stellen  des  Systemes  (2.)  in 
diese  Characteristik  ein.  Je  nach  den  Werten  der  reellen 
Coefßcienten  m,  n  in  (3.)  lassen  sich  drei  Haupttypen 
von  singulären  Stellen  unterscheiden  —  auf  welche  wir  im 
Folgenden  noch  einzugehen  haben  werden.^) 

Von  hier  ab  haben  sich  die  Untersuchungen  einmal  auf 
specielle  Fälle  jener  Typen  ausgedehnt;*)  weiter  aber  hat 
Poincare  in  einer  Reibe  von  Abhandlungen  «Sur  les  courbes 
definies  par  une  equation  differentielle*'  Methoden  aufgestellt, 
welche  den  Gesammtverlauf  des  durch  eine  Differential- 
gleichung (2.)  definirten  Curvensystems,  welches  die  Ebene 
(j?,  y)  einfach  überdeckt,  zu  discutiren  gestatten;  überdies  hat 
Poincare  diese  Untersuchungen  auch  auf  Differentialgleich- 
ungen höheren  Grades  und  auf  Systeme  von  Differential- 
gleichungen ausgedehnt. 

Betrachten  wir  nun  die  ^allgemeinen*  Differential- 
gleichungen erster  Ordnung 

(1.)  F(a:,y,/)=0, 


1)  Man  yerpfleiche  hierzu  etwa  die  Entwickelun^en  in  Serret*8 
Differential-  und  Integral-Rechnung  (in  der  Bearbeitung  von  Harnack) 
pag.  68  ff.  der  2.  Abt.  des  IL  Bandes,  sowie  die  sogleich  genauer  zu 
besprechenden  Untersuchungen  von  Poincare  im  Journal  de  Mathe- 
matiques  Serie  3,  Bd.  VII  und  VIII;  Serie  4,  Bd.  I  und  II. 

2)  Vergl.  z.B.  Björling,  lieber  singulare  Punkte  der  gewöhn- 
lichen algebraischen  Differentialgleichungen  1.  0.  und  1.  Grades. 
Grunerts  Archiv,  2.  Reihe,  Bd.  4. 


2()  Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

Lösung  darstellt.    Es  mnss  dann  jedenfalls  neben  den  Gleich- 
ungen (5.)  noch  die  weitere 

dF  ,dF 

für  alle  Punkte  dieses  Ortes  erfüllt  sein. 

Weiterhin  aber  gibt  die  Möglichkeit  eines  Zerfallens  der 
Discriminantencurve  in  eine  Reihe  mehrfach  zählender  Fac- 
toren  Anlass,  noch  weitere  besondere  Vorkommnisse,  wie 
den  Ort  von  Berührungspunkten  je  zweier  Curven  des 
Systemes  u.  a.  zu  untersuchen.^) 

,Im  Allgemeinen*  treten  jedoch  alle  solche 
Vorkommnisse  nicht  ein;  die  Discriminantencurve 
ist  Spitzenort,  und  die  Gleichungen  (5.)  und  (6.) 
sind  nur  für  einzelne  Punkte  gleichzeitig  erfüllt;  diese 
Punkte  der  Discriminantencurve  sind  dann  wesent- 
lich singulare  Stellen,  definirt  durch  das  Gleieh- 
ungssystem: 

dh  dF        ,dV 

1)  Man  yergl.  hierza  neben  den  soeben  genannten  Arbeiten 
noch  die  Untersuchungen  von  Casorati  aus  den  Jahren  1874 — 1881 
in  den  Rendiconti  und  Memorie  della  R.  Accad.  dei  liincei,  zum  Teil 
abgedruckt  im  Bulletin  von  Darboux,  2.  Serie  Band  III  (1879). 
Femer  einen  Aufnaiz  von  Björling  ,üeber  die  Coincidenzcurve  der 
gewöhnlichen  algebraischen  Differentialgleichungen  erster  Ordnung* 
im  ,Bihang*  zu  den  ^Handlingar*^  der  k.  schwed.  Akad.  d.  W. 
Band  12,  Abschnitt  I  (1887).  —  Weiter  einen  Aufsatz  von  Workman 
^Theory  of  the  singular  Solutions  .  .  /  im  Quaterly  Journal  Band  22 
(1887),  in  welchem  die  Litteratur  ausführlich  besprochen  ist.  — 
Sodann  eine  Note  von  Kaptejn  im  Bulletin  von  Darboux,  2.  Serie 
Band  XII  (1888).  —  Auch  eine  Dissertation  von  C.  Schmidt  (Giessen 
1884)  ist  zu  nennen,  welche  indes»  weder  auf  Darboux  noch  auf 
Cayley  u.  a.  Bezug  nimmt. 


28  Sitzung  der  mathrphys,  Glosse  com  3.  Januar  1891. 

geben  sich  hier  die  durch  Gleichung  (3.)  characteri- 
sirten  Formen,  wie  sie  bei  Gleichungen  ersten  Grades 
auftreten. 

Nun  lässt  sich  allerdings  aus  den  Poincare'schen  For- 
mulirungen sofort  erkennen,  dass  die  Curvensysteme  in  der 
(:ry)-Ebene  aus  der  Projection  der  von  ihm  auf  der  Fläche 
F{x^y^e)  =  Q  betrachteten  folgen.  Es  läjsst  sich  auch  der 
Umstand,  dass  die  Discriminantencurve  der  Ort  der  Spitzen 
der  Integralcurven  ist,  direct  aus  der  Bemerkung  ablesen, 
dass   die   auf   der   Fläche   F  =Q    verlaufenden   Curven    die 

dF 

^Umrisscurve*  x— =  0  (die  dann  in  der  Projection  die  Dis- 

criminantencurve  abgiebt)  in  der  (Projections-)  Richtung  der 
^-Axe  durchsetzen.  Das  Verhalten  des  Curvensystems  in  den 
singulären  Stellen  (der  Umrisscurve)  bedarf  aber  noch 
einer  speciellen  Discussion,  um  aus  ihm  den  Verlauf  in  der 
Projection  auf  die  a?y-Ebeue  abzulesen.  Auf  der  Fläche 
F  =^Q  erscheinen  die  in  Gleichungen  von  der  Form  (3.) 
gekennzeichneten  drei  Haupttypen,  aber  ihre  Lage  gegen 
die  Umrisscurve  und  gegen  die  Projectionsrichtung 
(die  £r- Axe)  ist  in  den  einzelnen  Fällen  wesentlich  und 
erst  aus  deren  Fixirung  ergiebt  sich  der  Oharacter 
der  singulären  Stelle  in  der  j:y-Ebene.^) 

Es  erscheint  mir  daher  nicht  unwesentlich,  auf  eine 
genaue  Discussion  des  Verlaufes  der  Curven  in  der  Um- 
gebung dieser  singulären  Stellen  einzugehen  und  zwar  in 
der  (a;y) -Ebene  selbst.  Sie  ist  in  §  2  der  vorliegenden 
Mitteilung  ausgeführt,  und  zwar  dadurch,  dass  in  der  Um- 
gebung der  singulären  Stelle  die  allgemeine  Differential- 
gleichung ersetzt  wird  durch  eine  Gleichung,  welche  die 
Glieder  niedrigster  Ordnung  in  der  Entwickehing  umfasst: 
Dies  ist  im  Allgemeinen  eine  Differentialgleichung 

1)  Vergleiche  Seite  39  des  Folgenden. 


'Mi  Hitzuiuj  (irr  math.-phys.  Cinsse  rom  3.  Januar  1891. 

i'in  h4)lrli('H  lIiilic'Niirnintwonlen  eintritt;  dann  wird  nämlich 
liio  lt'i/t4*  (If^r  (ileichungen  (7.)  dadurch  erfflllt,  dass  gleich- 
/«*itif< 

dF  dF 

winl.  Ks  ist.  nirlii  uiiinioressant ,  auch  diese  Punkte,  fOr 
vvfli'liti  nich  /uhiiflist  wieder  (iloichungen  von  der  Form  (3.) 
zu  (iruhili*  lt»j^t»n  lassen,  weiter  zu  verfolgen.^)  Ich  will 
iiiirh  uImm'  in  der  gegenwärtigen  Mitteilung  zunächst  ,auf 
den  allgenteineu  Kalh  (^wenn  diese  zur  Abkürzung  ge- 
\Niihlte  Uo/eiehnnng  gestattet  ist)  l>esi»hranken.  — 

Nel»en  den  durch  die  itleiohungen  (7.)  detinirten  ,wesent- 
heh*  Ninu\ilaren  Stellen  treten  nun  für  unsere  Differeutial- 
^leirliungen  ^>ot'erue  >ie  nur  von  höherem  als  zweiten 
Uiaile  Nkud^  im  Allii[euieinen  mvh  Sin ir^iluri täten  auf,  welche 
\\u\\\  ik\>  ,«uiN>er\\  esenilii'ho*  Iv/eichnen  kann:  Es  sind 
\iu'|eiui;ei',  Stellen  vier  Koene  «x,  t^K  in  welchen  die 
lM*iv  i  luiMniiCev.vurx  e  eir:e  Si»it.<e  be<itxt.  also  defi- 
u n  t   A K\ i  V-  ii  d .fc ^  vi  lo u  h u i*.  jT s s \  st -e rü : 

.'  f  .'*  F 


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1        1. 

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■    ;4    »     v.rA^-'.    iuc!^    Uifel  IV.   Fiv:.  IV)  aof 
■.-N  •'■    V.-,  ,ix>ci.-r.»:s    ';   reseri  >tellen  kurz  ein- 

!     :        ■.'*     ■    :  }  :':Z'-'i     '  '     '^'i   \l*.*.^  de- 

.    t    .  ■'  "*^         .  :   X    :  :    i " -f  :  jj  Ai  I-jCi* meinen 
• ;  ^       •  .       •    '^      ■ ;     ij  11  "i  ■-  sst?  -ersi:  h  «"3  p  ft. 
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4   •  • 


«     ■  V 


32  Sitzung  der  math.'phys.  Clasae  f)om  3,  Januar  1691. 

gleichungen  erster  Ordnung  definirten  Currensysteme  anzu- 
wenden. Ich  denke  dabei  auch  auf  solche  speciellere  Frage- 
stellungen bei  nächster  Gelegenheit  einzugehen.  Einige  dies- 
bezügliche Bemerkungen  habe  ich  in  §  5  mit  Bezug  auf  den 
Verlauf  der  Haupttangentencurven  einer  Fläche  angefOgt. 
Es  schien  mir  nämlich  nicht  unintereasant  zu  zeigen,  dass 
die  sämmtlichen  drei  Haupttypen  wesentlich  singn- 
lärer  Punkte  im  Verlauf  der  Haupttangentencurven 
einer  algebraischen  Fläche  vorkommen  können  an 
(parabolisch  gekrümmten)  Stellen,  in  welchen  die 
Fläche  eine  ganz  bestimmte  Tangentialebene  besitzt, 
sich  also  im  gewöhnlichen  Sinne  regulär  verhält^). 

Der  Character  der  in  der  vorliegenden  Mitteilung  unter- 
suchten ,im  Allgemeinen  vorhandenen"  singulären  Stellen 
eines  Curvensystems  ist  wesentlich  bedingt  durch  die  Defi- 
nition des  Systems  durch  eine  Differentialgleichung.  Be- 
kanntlich gelangt  man  zu  ganz  anderen  Resultaten,  wenn 
man  von  der  Definition  eines  Curvensystems  durch  eine 
Gleichung  zwischen  x,  y  und  einem  willkürlichen  Parameter 
ausgeht.  Es  schien  mir  passend,  (in  einem  letzten  §  6)  die 
unter  der  letzteren  Annahme  ^ini  Allgemeinen*  eintret- 
enden besonderen  Vorkommnisse  zusammenzustellen,  wo  dann 
der  wesentliche  l^nterschied  der  beiden  .\nnahmen  klar  zum 
Ausdruck  gelangt. 

1)  Hierzu  verj^leiche  man  den  Aufsatz  von  Klein  im  VI.  Bande 
der  mathematischen  Annalen  .Ueber  Flächen  dritter  Ordnung,*  in 
welchem  einer  der  hier  zu  besprechenden  Typen  dargestellt  ist  fQr 
den  Verlauf  der  Haupttangentencurven  in  der  Umgebung  der  soge- 
nannten asymptotischen  Punkte  (a.  a.  0.  pag.  576  und  Tafel  VI). 

Bezüglich  des  Verhaltens  der  Haupttangentencurven  in  singu- 
lären Punkten  einer  Fläche  habe  ich  zusammen  mit  Herrn  Finster- 
walder  im  math.  Institut  der  techn.  Hochschule  Tutersuchungen  ver- 
anlasst, über  die  bei  anderer  Gelegenheit  berichtet  werden  soll. 


TT.  Dyck:  Differentialgleichungen  1.  0.  33 


§2. 

Die  wesentlich  singulären  Stellen  einer  »»allgemeinen 
Differentialgleichnng  erster  Ordnung. 


€€ 


Um  das  Verhalten  des  durch  die  Gleichung 
(l.)  F(x,tj,y')  =  () 

definirten  Curvensystems  in  .der  Umgebung  eines  singulären 
Punktes,  für  welchen 

dF  dF        ,dF 

dp  ox  oy 

statthat,  zu  studiren,  sei  der  singulare  Punkt  im  Coordi- 
natenanfangspunkt  j;  ==  0,  y  =  0  angenommen  und  die  x- 
Axe  in  ihm  als  Tangente  an  die  Discriminantencurve, 
so  dass 

^  ==  0,     y  ==  0,    y  =0 

ein  Lösungssystem  der  Gleichungen  (7.)  bildet. 

Die  nach  den  Voraussetzungen  über  die  Funktion  F  an 
jeder  Stelle  mögliche  Potenzentwickelung  gestaltet  sich  im 
Nullpunkt  zunächst  folgendermassen : 

+  \  rF„x*  +2F,,xy  -fr, ,  y»)  +  (F^+F, ,  ,,)y'  +  J  F,,  >/» 

+  a>\Ma:»+  ■  .  . 

Nun  wird  die  Gleichung 

d  y 

erfüllt,  wenn  man  setzt: 

y  =  y  .x^v 

1891.  tUtlL-pbj».  Ol.  1. 


•    •    • 


34  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  3.  JantMr  1891. 

wo  V  für  X  =  0  nicht  verschwindet.  Substituiren  wir  diesen 
Wert  von  y  in  der  obigen  Entwickeiung,  so  erhalten  wir 
Aufschlass  über  die  Grössenordnung  der  einzelnen  Terme 
derselben.  Die  oben  durch  Unterstreichen  hervorgehobenen 
Glieder  sind  in  x  und  y  von  der  zweiten  Dimension,  alle 
übrigen  von  höherer.  Indem  wir  eine  etwas  kürzere  Be- 
zeichnungsweise für  die  Zahlencoefficienten  jener  Glieder  ein- 
führen, von  denen  „im  Allgemeinen*  keines  verschwindet, 
erhalten  wir  folgenden  Satz: 

Das  Verhalten  des  durch  die  Differentialgleich- 
ung zweiten  Grades: 

(II.)  y^  +  2cxy  +bx^  +  2ay  =  0 

definirten  Curvensystems  in  der  Umgebung  des 
Punktes  x  =  0^  y  =  0  ist  typisch  für  die  ,im  Allge- 
meinen" auftretenden,  durch  die  Gleichungen  (7.) 
definirten  Singularitäten  einer  Differentialgleich- 
ung erster  Ordnung.^) 

Die  Integration  dieser  Differentialgleichung  lässt  sich 
sofort  bewerkstelligen.  Ich  führe  dieselbe,  um  die  Beziehung 
der  hier  auftretenden  Singularitäten  zu  den  bei  den  Gleich- 


1)  Man  vergleiche  besüglich  der  allgemeinen  Formalimng  der 
R^duction  einer  Differentialgleichung  auf  die  Glieder  niedrigster 
Dimension,  vor  Allem  die  schon  genannte  Abhandlung  von  Briot 
und  Bouquet  (im  36.  Heft  des  Journal  de  Täcole  Polyt.)  Abschn.  III 
und  IV.  Weitere  Ausführungen  darüber  enthält  auch  ein  neuerdings 
erschienener  Aufsatz  von  Fine  ,0n  the  Functions  defined  by  diffe- 
rential  equations,  with  an  extension  of  the  Puiseux  Polygon-Con- 
struction  of  these  equations.     American  Journal  Bd.  XI,  1889. 

Wählt  man  für  F(x,y,  z)  =  0,y'  =  z  wieder  die  Deutung  als 
Fläche  über  der  {x  t/)-Ebene,  so  besagt  hier  die  Beschränkung  auf  die 

Glieder  (10.),  dass  die  Fläche,  welche  wegen  i-'j  =  Ü,  Fg  =  0  im  Co- 
ordinatenanfangHpunkt  die  Ebene  (x  z)  berührt,  ersetzt  wird  durch 
ein  Paraboloid. 


W,  Dyck:  Differefitialgleichungen  1,  0.  35 

ungen  1.  Grades  stattfindenden  möglichst  scharf  hervortreten 
zu  lassen,  im  Folgenden  näher  aus: 

Durch  Differentiation  nach  x  entsteht  aus  (11.)  die 
Differentialgleichung  ersten  Grades  in  x  und  y: 

(12.)  (c  a-  +  y')  g  +  i«  -I-  («  +  c)  y  =  0 

Es  sei  nun  der  Uebersichtlichkeit  der  folgenden  Entwickelung 
wegen  in  dieser  Differentialgleichung  x  durch  die  Bezeich- 
nung x'  ersetzt.  Wir  deuten  dann  den  Verlauf  der  Curven 
dieses  Systems  (12.)  in  einer  Ebene  (x\y)  und  kehren  von 
ihr  zu  den  Curven  des  Systems  (11.)  zurück  mit  Hülfe  der 
ein-zweideutigen  Abbildung  der  Ebene  (x\  y)  in  die  ursprüng- 
liche Ebene  (x,  y): 

X  ^~~  x^ 

(13.)  ,  ,/ 

y  =  —  ca;il/(c*  —  b)x^  —  2a  y  , 

wo  dann  umgekehrt: 

(13a.)  y=-2^(y»  +  2cx'y'  +  Jx'») 

ist. 

Das  Integral   der   Differentialgleichung  (12.)    lässt   sich 

nun  bekanntlich  in  der  Form^) 

(U.)  ix+X,yY     (x+X,yy^  =  C 

darstellen,  wobei  man  hat: 

a  +  2_c_-f^l/5      .    _  a  +  2c  —  [/D 
**  ~         ~  2b  '    ^«  -  2  6 

1)  Ea  ist  für  das  Folgende  unerl&sslich,  hier  eine  lleihe  be- 
kannter Konnein  zusammenzustellen,  bezüglich  deren  man  etwa 
Serret-Harnack,  Diff.  u.  Integral-Rechnung  II,  2  pag.  66 ff.  ver- 
gleiche. 


36  SiUunp  der  math.-pht/s.  Hasse  vom  3,  Januar  1891. 

6    -ff+l  D     ^^  _b    a  +  yo 

''    ->      VI)  "•  •^*-2~7/-5-- 

/>  =  («  +  2f)*  — 46, 
und   hier  ergeben   sich    nun    die    drei    Haiipttypen    der 
singularen  Stellen  der  Differentialgleichung  ersten 
Grades  folgendermas$en  : 

r.     Für 

werden  die  Wurzeln  /^  und  Ä,,  und  ebenso  g^  und  ^,  imagi- 
när. Die  Integnileurven  bilden  ein  System  logarith- 
mischer  Spirillen  um  den  Nullpunkt.  [Fig  V  der 
Tafel  1. 

II'  und  Iir.     Für 

(17.)  «I  -r  -'')'    -  4//>u 

hat  man  zu  unterscheiden,  ob 

ir.     (j^   und  r/j  gleiches  Vorzeichen 

Iir.   ffi  und  //^  verschiedenes  Vorzeichen  besitzen.     Dies 
hängt  davon  ab.  ob 

(1>^.)  r{u  +  c)  —  b^O 

ist. 

Im  Falle  11'  bilden  die  beiden  Geraden 

r.wei  ausgezeichnete  Richtungen  durch  den  singularen  Punkt 
imd  es  schliesst  >ich  das  (.'iirvt*nsystem  an  diese  in  der  den 
Kxi>onenten  ^,  und  //,  entspr^chenilen  Ordnung  asymptotisch 
m.     [Fig.   ir  der  Tafel.] 

Im  Falle  III'  laufen   sämmtliche  Curveu  des  Integral- 
ivstems  durch    den  singularen  Punkt    und  berühren  hier  die 


W.  Dyck:  Differentialgleichungen  1.  0.  37 

eine  der  beiden  ausgezeichneten  Geraden,  und  zwar  die  Ge- 
rade G^,  bez.  Oj,  je  nachdem. 

(19.)  -■?»<! 

ffi   > 

ist.     [Fig.  III'  der  Tafel.] 

Die  Transformation  (13.)  verwandelt  nun  diese  Typen 
in  die  von  uns  gewünschten  für  die  singulare  Stelle  a;  =  0, 
y  =  0  der  Differentialgleichung  (11.)-  Die  gestaltliche  üra- 
formnng  ergiebt  sich  dabei  in  übersichtlichster  Weise:  Die 
Ebene  {x\  y)  wird  derart  auf  die  Ebene  {x^  y)  abgebildet, 
dass  das  Geraden bflschel : 

übergeht  in  das  System  der  die  a;-Axe  berührenden  Parabeln : 

(20.)  (JA»— 2cA+  l)a;*4-2aA»y  =  0, 

während  die  Parallelen  zur  y'-Axe  wegen 

X  =  X 

wieder  in  solche  zur  y-Axe  verwandelt  werden.    Die  Gerade 

(21.)  ca;'+y'=0 

wird  übergeführt  in  die  Parabel 

(6  — c*)x»  +  2a//  =  0 

und    diese    bildet  in   der  Ebene   (x^y)   die   Discrinii- 
nantencnrve:    Der  Teil 

(Ä  -  c»)  X*  +  2  a  y  <  0 

dieser  Ebene  erscheint  doppelt  überdeckt  bez.  von  den 
Bildern  der  beiden  Hälften 

ex  -\r-y^O 

der  Ebene  {x\y). 


38  Sitzung  der  maä^.-pkys.  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

Ffir  die  weitere  Characterisirung  der  Abbildung  ist  es 
nun  wichtig,  die  gegenseitige  Lage  der  Geraden 

(24.)  ö  =  «'  =  0,  G,  =  »' +  ii  y' =  0,  ö,=«'  +  A,y'  =  0 

and  jener  eben  genannten 

für  die  Fälle  II  und  III  genau  zu  bezeichnen. 

Man  schneide  zu  dem  Ende  die  letzten  drei  Geraden 
durch  eine  Parallele  zur  y-Axe  (6r)  und  bezeichne  die  Ordi- 
naten  der  Schnittpunkte  bez.  mit  yj,  y^i  j/»,  dann  ist  für  die 
gegenseitige  Lage,  wie  sich  sofort  aus  den  oben  mitgeteilten 
Formeln  ergibt,  folgende  einfache  Beziehung  massgebend: 

(25.)      Vt  —  y^ :  y^  —  yr-  Pt  —  yi  =  9i  '  9i  '  9i  +  9t 

a)  Aus  der  ersten  dieser  Proportionen  folgt  unmittelbar, 

dass  im  Falle  II,  also  für  ^  >  0,   die  Geraden  Q  und  6?. 

9i 

von    den    beiden    anderen    G^    und    G^    getrennt    werden, 

während  sie  im  Falle  III,  für  —  <  0    nicht   getrennt 

werden. 

b)  In  letzterem  Falle  besagt  dann  der  zweite  Teil  der 
Projwrtion  (25.),  also  etwa: 

Vn—yi  9i' 

dass  die  Geraden  G  und  G,  von  Cr,  und  ö,  getrennt, 
beziehungsweise  nicht  getrennt  werden,  je  nachdem 

9^ 

ist,  also  (vergleiche  die  Formel  (19.))  je  nachdem  die  Gerade 
ö,  oder  G^  von  den  Curven  des  Integralsystems  berührt 
wird.    Die.se  letztere  Bedingung  lässt  sich  auch  so  aussprechen: 


W.  Dyck:  Differentialgleichungen  1,  0. 


39 


Im  Falle  III  wird  die  Qerade  Cr,  und  diejenige  der 
beiden  Geraden  G^,  (?,,  welche  von  den  Curven  des  Systems 
nicht  berührt  wird,  getrennt  von  der  Geraden  O  und  der 
zweiten  der  Geraden  6rj,  G,. 

Der  Zusammenhalt  der  durch  (a)  und  (b)  ge- 
kennzeichneten möglichen  Lagen  ergibt  also  im 
Falle  II  wie  HI  wesentlich  nur  je  eine  scheraatische 
Figur,  welche  die  gegenseitige  Lage  der  vier  Ge- 
raden  bezeichnet: 

FiK.  1. 


G. 


Dabei  ist  in  Figur  III  die  Gerade,  welche  von  den 
Curven  des  Systems  berührt  wird,  mit  G,   bezeichnet. 

Nunmehr  lässt  sich  das  Resultat  der  Transfor- 
mation auf  unsere  in  den  Figuren  T,  11',  III'  der 
Tafeln  dargestellten  Typen  auch  gestaltlich  mit 
aller  Bestimmtheit  angeben. 

Man  beachte  dabei,  dass  alle  Schnittpunkte  unserer  in 
der  {x'  y  )-Ebene  gegebenen  Curven  mit  der  Geraden 

ex  -{-  y  =0 

zu  Spitzen  auf  der  Discriminantencurve 


40  Sitzung  der  math.-phys.  Clasae  vom  3.  Januar  1891. 

(h  —  c^)  x^  ■}-  2  a  y  ^=  0 
der  (x^  y^-Ebene  Veranlassung  geben  *). 

I.  Fall  I.  Die  logarithmiscben  Spiralen  des  Typus!' 
ergeben  in  der  (x,  y)-Ebene  Curven,  welcbe  im  Innenbereich 
der  Discriminantencurve  unendlich  oft  um  den  singulären 
Punkt  oscUliren,  und  dabei  mit  Spitzen  auf  die  Discrimi- 
nantencurve auftreffen.  Vergl.  Fig.  (I)  der  Tafel,  in  welcher 
(wie  auch  in  den  folgenden  Figuren)  die  Beziehung  zur 
darüberstehenden  Figur  (!)  durch  verschiedene  Ausführung 
der  entsprechenden  Linien  angedeutet  ist*). 

II.  I  m  F  a  1 1  e  II  erhält  man  aus  den  Geraden  G^  und  G^ 

X  +  ^j  II  =  0  und  a;'  +  A^  y  =  0 

(vergl.  Formel  (20))   die   zwei   durch   den  singulären  Punkt 
laufenden  Parabeln : 

x^  -\-  2X^y  =  0     und     ic*  -|-  2  ij  y  =  o, 


1)  Die  Gerade 

c  ./•'  -\-  y'  =  o 

verbindet  in  der  (x\  y')- Ebene  die  Punkte,  für  welche  y"=OD,  d.h. 
die  Tangente  parallel  zur  y'-Axe  ist;  so  lüsst  sich  (vergl.  die  Figuren 
r,  ir,  lir  der  Tafeln)  aus  diesem  Umstand  die  oben  entwickelte 
gegenseitige  Lage  der  Geraden  (rj ,  G%,  G^  auch  gestaltlich  er- 
schliessen. 

2)  In  Figur  I,    wie  in  II  und  III   ist  femer  durch  die  ganz  fein 

punktirte  Linie  dieCurve  der  Wendepunk  te  für  das  System 

angedeutet;  es  ist  dies  die  Ourve,   welche   (vergl.  Darboux  a.  a.  0. 

Bulletin  Band  IV,  pag.  161)   durch  Elimination  von  y'  aus  den  zwei 

Gleichungen 

l^ir.y^y)^o.     ^-+-^^y=o 

entsteht;  in  unserem  Falle  der  Gleichung  (10.)  erhält  man  die  Parabel 

h  in^  —  c^  +  h)  .  .1-2  -1-  2  ri  (ri  -f  c)^  .  y  =  o 

welcher  in  der  Ebene  (x'  y')  die  gleichfalls  punktirt  angedeutete  Gerade 

b  x'  +  (a  -f-  c)  y'  =  0 
entspricht. 


42  Sitzung  der  math.'phys,  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

§3. 

Die  ausserwesentlich  singulären  Stellen   einer  ,,all- 
gemeinen"  Differentialgleichung  erster  Ordnung. 

Zur  Discussion  der  durch  das  Gleichungssystem 

d  F         a*  F 
(10.)  F  =  Oy  —-,  =  0,  -  .,  =  0 

defiuirten  singulären  Stellen  unseres  Curvensystems ,  den 
Spitzen  der  Discriminantencur ve,  sei  wieder 

als  Lösungssystem  von  (10.)  angenommen.  Die  Entwickelung 
von  F  an  dieser  Stelle  gestaltet  sich  dann  folgendermassen : 

F,x  +  F,y  + 
+  i  (P,x  ^'  +  2~F,,xy+~F,,  y')  +  (F,,  x  +  F„  y)y 

Hier  sind  analog  wie  in  §  2  die  Glieder  niedrigster 
Ordnung  (durch  doppeltes  Unterstreichen)  hervorgehoben  und 
dann  auch  (durch  einfaches  Unterstreichen)  die  Glieder 
nächst  höherer  Ordnung.  Für  die  Betrachtung  des  Curven- 
systems  in  der  Umgebung  der  singulären  Stelle  legen  wir 
also  (mit  kürzerer  Bezeichnung)  die  Differentialgleichung 
dritten  Grades  zu  Grunde: 

(2(>.)  0  =  a  X  —  y  -}-  b  X  }/  -f-  ry'^ 

bei  welcher  ^im  Allgemeinen*  keines  der  Glieder  fehlt. 
Gehen  wir  zunächst  auf  die  erste  Annäherung  durch 

(27.)  o  =  ax-}-ci/^ 

ein ,  so  kennzeichnet  dieselbe  die  Singularität  der  einen 
durch  den  singulären  Punkt  laufenden  Curve  des  Systems: 
y    als  Parameter    betrachtet,    ergibt   sich   für  x  und 


44  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  3.  Januar  1891, 


§4. 

Belationen  zwischen  der  Anzahl  der  singnlären  Stellen 
in  einem  gegebenen,  von  der  Discriminantencurve 
begrenzten  Gebiete.   Bemerkungen  Ober  den  Oesammt- 

verlauf  der  Curvensysteme. 

Handelt  es  sich  darum,  sich  über  den  Gesammtverlauf 
des  durch  unsere  Differentialgleichung 

(1.)  F{x,y.y)  =  o 

definirten  Curvensystenis  zu  orientiren,  so  wird  man  zunächst 
mit  Hülfe  der  Discriminantencurve,  längs  welcher  die  ver- 
schiedenen Wertsysteme  y  ,  welche  den  Stellen  {x,  y)  zuge- 
hören ,  zusammenhängen ,  die  Ebene  {x,  y)  in  eine  Anzahl 
nur  einfach  überdeckter  Gebiete  zerlegen  —  es  sind  dies, 
wenn  wir  wieder  an  die  von  Poincare  gewählte  Deutung  von 
2^=0  als  Fläche  denken,  die  einzelnen  Schichten  der  Pro- 
jection  dieser  Fläche  auf  die  {x,  j/)-Ebene.  Nehmen  wir 
z.  B.  F  als  eine  rationale  ganze  Function  von  x^  y,  y\  in  y 
vom  Grade  n  an ,  so  sind  es  eine  Anzahl  von  höchstens  n 
durch  die  Discriminantencurve  von  einander  getrennten  Ge- 
bieten (die  ihrerseits  wieder  aus  mehreren  Stücken  bestehen 
können).  Ich  habe  in  einer  früheren  Untersuchung*)  aus- 
führlich gezeigt,  in  welcher  Weise  wir  diese  einzelnen  Ge- 
biete und  ihre  gegenseitige- Lage  im  Sinne  der  Analysis  situs 
vollständig  characterisiren  können. 

Jedem  der  Teilgebiete  kommt  nun  eine  „character- 
i8 tische  Zahl*  jKi  zu  —  die  bekannte  Zusammenhangs- 
zahl, die  ich  in  der  Form  der  -Kronecker'schen  Cha- 


1)  Beiträge    zur     AnuIyniN   situs   III.  Mitteilung.      Berichte  der 
k.  Häcbs.  GeselUchaft  d.  W.  vom  März  1887  pag.  44. 


SUeung  der  math.-phys.  Clcuae  vom  3.  Januar  1891. 


Zerachneidiing    der 
Gebiete    läogs    der 

Discrimin&nteD- 
curre  beachtet  wer- 
den, dase  das  eine 
der  zeracbnittenen 
Teilgebiete  flberder 
(x  y)-Ebene  sich 
Uberkreuzt,  wie  in 
der  untenstehenden 
Figur  5,  in  wel- 
cher die  zerschnit- 
tenen Teile  von  ein- 
ander getrennt  dar- 
gestellt sind: 


Hat  man  in  der  angegebenen  Weise  die  Zerschneidung 
getroffen ,  so  läuft  in  jedem  Teilgebiet  durch  jeden  Punkt 
des  Innern  sowie  des  [{aiide^  nur  je  eine  Curve  des  Integral- 
Systems.  Von  den  wesentlich  singulären  Stellen  1,  II,  III 
des  Randes  aber  laufen  beziehungsweise  je  0,  2,  oo  viele 
Zweige  aus ;  von  den  ausserwesentlich  singulären  Stellen  ver- 


48  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

Summirt  man  über  die  sämmtlichen  Teilgebiete  und 
beachtet,  dass  dann  jeder  singulare  Punkt  zweimal  vor- 
kommt, so  folgt: 

(29.)  K=2Ki=Sf,+s    —Äg, 

wo  jetzt  die  s  die  Gesammtanzahlen  der  wesentlichen  Sin- 
gularitäten l**"",  II***"  und  III**»"  Art  bedeuten,  und  die  Zahlen 
für  die  ausser  wesentlich  singulären  Punkte  B^,  iJ,,  die  immer 
paarweise  auftreten,  in  Wegfall  kommen. 

Formeln  von  der  Gestalt  (29.)  erhält  man  für  jeden 
in  sich  geschlossenen  Teil  der  Fläche  F  =  o.  Diese 
sind  (bis  auf  die  Zählweise)  identisch  mit  den  von  Poincar^ 
a.  a.  0.^)  gegebenen. 

Bezüglich  der  Allgemeingültigkeit  der  Formeln  (28.) 
und  (29.)  sei  noch  erwähnt,  da^s  es  keinerlei  Unterschied 
macht,  ob  etwa  einige  Teilgebiete  sich  durch  das  Unendliche 
hinerstrecken.  Solche  Gebiete  sind  dann  (soferne  sie  nicht 
durch  eine  blosse  Projection  ganz  ins  Endliche  gebracht 
werden  können)  Gebiete  „von  umkehrbarer  Indicatrix*,  was 
aber,  wie  ich  schon  Annalen  32  hervorgehoben,  für  die  zu 
Grunde  gelegte  Art,  den  Zusammenhang  abzuzählen, 
ohne  jeden  Einfluss  ist*). 

Für  die  Ausführung  der  in  Formel  (28.)  angedeuteten 
Summation  über  die  Punkte  P  und  R  für  ein  Teilgebiet  von 
der  Characteristik    Ki    werden    nun    die  Punkte  Ä,  und  Rq 

1)  Journal  de  math.  Serie   \  Bd.  I  pag.  203. 

2)  Diirin  und  in  der  gleichfalls  hier  benutzten  directen  Sam- 
mirbarkeit  der  Formeln  liegt  der  Vorteil  der  Abzahlung  des  Zusam- 
menhanges mit  Hülfe  der  Punktcharacteriatiken.  Poincare  betrachtet, 
um  der  Schwierigkeit  zu  entgehen,  die  unendlich  weiten  Elemente 
der  Ebene  übersichtlich  in  die  Formulirung  einzubegreifen,  die  Pro- 
jection der  Ebene  auf  eine  Kugel  vom  Centrum  aus.  Hier  tritt  also 
der  Character  der  Ebene  als  Fläche  mit  umkehrbarer  Indicatrix  da- 
durch hervor,  dass  die  Ebene  zweimal  auf  die  Kugel  abgebildet 
erscheint,  wobei  dann  der  Aequator  als  „Uebergangslinie*  die  Stelle 
der  unendlich  weiten  Geraden  in  der  Ebene  vertritt. 


50  SUztntff  der  mathrphyH.  Clanne  vom  3.  Jatniar  1891. 

so  lassen  sich  die  gestaltlichen  Möglichkeiten  für 
ein  dieses  Gebiet  überdeckendes  Curvensystem  auf 
eine  Reihe  von  kanonischen  Formen  zurückführen, 
zu  denen  noch  die  Aenderung  der  Systemcurven  je 
um  gewisse  ^Perioden  wege" ,  welche  die  verschie- 
denen Teilränder  des  Gebietes  umkreisen,  hinzu- 
treten. 

Ich  denke  in  weiterer  Ausführung  dieser  Untersuchungen, 
die  ganz  im  Sinne  der  Foincare\schen  Darstellungen  liegen, 
auf  die  hiermit  gegebenen  Mannigfaltigkeiten  noch  näher 
einzugehen.  Hier  seien  nur  noch  folgende  besondere  Fälle 
erwähnt,  bei  denen  wir  voraussetzen,  dass  ausserweseutlich 
singulare  Punkte  R  fehlen  sollen  (wie  dies  z.  B.  bei  den 
Haupttangentencurven  einer  Fläche,  und  überhaupt  für  jedes 
durch  eine  üifFerentialgleichung  zweiten  Grades  definirte 
System  im  Allgemeinen  der  Fall  ist).  Man  entnimmt  dann 
der  Formel  (28.)  unmittelbar  die  folgenden  Sätze: 

1.  Im  Falle  eines  „einfach  zusammenhängenden . 
einfach  berandeten**  Gebietes,  für  welches  Jf ,=  I 
ist,  sind  mindestens  zwei  singulare  Stellen  vom  Ty- 
j)us  I  oder  III  vorhanden. 

Dabei  ist  bemerkenswert,  dass  für  diese  Minimalzahl 
der  singulären  Stellen  der  leicht  darzustellende  Gesam mt- 
verlauf des  Curvensvstems  im  Sinne  der  Analvsis 
situs  vollständig  festgelegt  ist  mit  der  rnterschei<l- 
ung  der  folgenden  drei   Fülle:      Im   (lebiete  liegen 

a)  2  singulare  Stellen   vom  Typus  I 

b)  1  singulare  Stelle  vom  Typus  I  und    1    vom  Typus  III 

c)  2  singulare  Stellen  vom  Typus  III.  — 

Die  Discussion  des  ( i esa nun t Verlaufes  des  durch  die 
I)itf<»rentialgleichung  (11.)  d«*Hnirten  ('urvensyst^^ms.  welches 
das  (ieliiet  {h  -  c^)  x^  -^  2  a  t/  <C  o  doppt^lt  überdeckt,  i4 
nicht  ohne  Int^^esse  und  kann,  soferne  es  sich  dal>ei  um  den 
^ellipti.schen*    Ti*il    der  El)ene    handelt    (wie   in   Fig.   I.)  als 


W.  Dyck:   JyifferentuiUfleichungen  I.  O.  •^>1 

Beispiel  für  den  Verlauf  von  speciellen  Curvensystemen  in 
einem  Gebiete   Äi  ~  1  dienen. 

2«  Im  Falle  Xi=  —  w^)  sind  in  dem  Gebiete  min- 
destens 2n  Stellen  vom  Typus  II  vorhanden;  die  Art 
der  Verteilung  dieser  Stellen  auf  die  verschiedenen  Ränder 
des  (iebietes  liefert  dabei  die  kanonischen  Formen  für  den 
Gesammtverlauf  des  Systems. 

Speciell  hat  man:  Nur  für  die  Characteristik  Ki=o 
eines  Teilgebietes  kann  es  eintreten,  dass  das  über- 
deckende Curvensystem  keinerlei  singulare  Stellen 
besitzt. 

§5. 

Ueber  die  gestaltlichen  Verhältnisse  der  Haupt- 
tangentenenryen  einer  Fläche  z  =  f(x,if). 

Eine  nicht  uninteressante  Anwendung  unserer  Unter- 
suchungen lässt  sich  für  die  Theorie  der  Haupttangenten- 
curven  einer  Fläche 

(30.)  e  =  f(x,ii) 

machen.  Hier  hat  man  es  für  die  Projection  der  Hau])t- 
tangentencurven  auf  die  [x^  </)-Ebene  mit  einer  Ditterential- 
gleichung  zweiten  Grades: 

(:U.)      F(x,  y,  y)  '   f,,  y^  +  2  t\,  y  +U,=o 

zu  tuen,  in  welcher  die  /it  die  zweiten  partiellen  Ableitungen 
von  f  nach  x^  y  bezeichnen:  Die  Discriminantencurve  ist 
hier  einfach  die  parabolische  Curve: 

(32.)  in  -  tn  tu  =  0 

der  Fläche      Auf  ihr  liegen  im  Allgemeinen  stets  wesentlich 

1»  Für  au8  einem  Stück  bestehende,  in  die  Kbene  ausbreitimre 
Gebiete  i»t  die  Zahl  Ki  stets  <;  1 ;  dio  Zahl  der  Kandciirven  «le^^  i ie- 
bietes ist  dabei  gleich  2  —  Ki. 

4* 


Sitzufiff  der  maih.'phtfs,  Clatfse  iv»m  .V.  Januar  1891. 


sin^uläro  Stellen  der  Haupttangeutencurven,  die  Punkte,  fiir 
welche  ausser  der  Gleichung  (31.)  F  =  o,  noch  (Formel  7) 
die  anderen: 

erftlllt  sind. 

Ks  ergibt  sich  nun,  dass  in  der  Tat  die  Dif- 
ferentialgleichung (81.)  allgemein  genug  ist,  um  für 
eine  Flache  #«=^(a?,y)  singulare  Punkte  der  Haupt- 
tangentencurven  von  allen  drei  Typen  auftreten  zu 
lassen,  ohne  dass  darum  an  der  betreffenden  Stelle 
in  der  Kntwiokelung  der  Function  i — t  {^ ^^  die 
Glieder  erster  OrdnunnT  verschwinden,  d.h.  ohne  dass 
die  Flache  an  einer  solchen  Stelle  aufhört  eine  irun/ 
l^estinunte  Tangentialebene  zu  besitzen. 

Ks  sei  der  CiXkntinatenanfangspunkt  eine  solche  singulare 
Stelle.     Knt wickeln  wir  dort  die  Function  £  =  /ix.  y): 

.11^  i  t*»czen  r.ur.  weiter 

'       — -  •         .  •        _^_ 


•)4  SitcHiKj  der  mathrphifs.  ('la^se  com  3.  Januar  1891. 

(1.)  F(x,y,y)  =  o 

oder  von  einer  Cnrvengleichiin^ 

(34.)  0  (x.  //,  c)  =  0 

mit  einem  willkürlichen  Parameter,  sieh  ergibt,  seien  jetz 
noch  kurz  die  ,ini  Allgemeinen"  eintretenden  singulären 
Stellen  eines  durch  (34.)  detinirten  Systems  zui^am mengestellt. 
Dabei  machen  wir  für  die  Function  (I>  von  x^  //,  c  nunmelir 
dieselben  Voraussetzungen,  die  wir  bisher  für  die  Function  F 
von  X,  //,  //  festgehalten  haben. 

gibt  wieder  die  «Discrirninantencurve".  Deuten  wir  für 
c  =^  ß  wieder  0  {x,  //.  j^)  ---  o  als  F'läche  über  der  (x,  y)- Ebene, 
so  .sind  jetzt  einfach  die  Horizo ntalschnitte  derselben  die 
Curven  di*s  Systems.    Diese  Horizontalschnitt*^  durchschneiden 

im  Allgemeinen  die  ^Imrissciirv«^*  =o  auf  der  Fläche; 

in  der  Projection  berühren  sie  die  Frojection  der 
Umrisseurve,  die  Discriminantencurve. 

Die  auf  der  Disrriminantencurve  auftretenden 
>ingulären  Stellen  sind:  Er>tens  diejenigen,  welche 
durch  iliis  (den  (ileichungen  (7.)  analoge)  System: 

?  a>         ?  (/>       5  (/> 

3  f  ex  «?  // 

j^eirelKMi  -»ind  —  für  welche  auf  der  Fläche  (^  =  o  ein 
Horiznntalsthnitt  di«*  Umri?scurve  lierührt;  zweitens 
di  »'je II ige II  Stellen,  für  welche  hl»»n  Gleichungen  (10.) 
analng)  die   B^zitOiungen  : 

(:;♦).)  0  =  0      ,     =0      ^    , -^  «^ 


W,  Dyck:  Differenticdgleichungen  1.  0.  55 

statthaben,  es  sind  die  Spitzen  der  Discriminanten- 
curve. 

In  der  Projection  auf  die  (x,  //^-Ebene  ist  ftir  die  durch 
(35.)  gegebenen  Punkte  die  Berührung  von  Systemcurve  und 
Discriminantencurve  vierpunktig.  —  In  der  Umgebung  der 
durch  (36.)  bezeichneten  Spitzen  der  Discriminantencurve  ver- 
hält sich  das  Curvensystem  (wie  Fig.  V  der  Tafel  IV  dar- 
stellt) völlig  allgemein;  in  jedem  Punkt  der  Discriminanten- 
curve, und  so  auch  in  der  Spitze,  berührt  eine  Curve  des 
Systems,  in  der  Spitze  in  Richtung  der  Spitzentangente. 

Weiter  aber  bilden  ausser  diesen  auf  der  Dis- 
criminantencurve gelegenen  singulären  Stellen  noch 
die  Punkte,  für  welche  gleichzeitig 

30)  dO 

(37.)  (ü  =  o,     3-^-=o,      3^=0 

.statthat,  singulare  Punkte  unseres  Curvensystems^). 
Es  sind  die  Doppelpunkte  der  Systemcurven,  die  sich  in 
i^lirte    und  in  Doppelpunkte  mit  2  reellen  Aesten  trennen. 

Stellt  man  nun  die  den  Formeln  (28.)  und  (29.)  analogen 
Beziehimgen  zwischen  den  singulären  Stellen  eines  solchen 
Systems  und  den  zugehörigen  Characteristiken  K  und  A, 
derselben  auf,  so  ist  folgendes  zu  beachten: 

Betrachten  wir  wieder  die  von  den  Curven  des  Systems 
einfach  überdeckten  Teilgebiete,  welche  sich  über  der 
Eigene  (x,  y)  (beziehungsweise  auf  der  Flache  0  =  o)  durch 
die  Discriminantencurve  von  einander  trennen,  so  besitzt  ein 
solches  Gebiet   einmal    singulare    Stellen    auf   dem    Rande. 

\}  Das  gleichzeitige  Bestehen  der  analo^'en  Gleich un;^cii 

dx  d  // 

für  die  I>itFerentialgleichun>j  (1)  hczcirhn»»!  ^ewissi»  Wciuh-p  unkt«' 
de»<  xugehörigen  Curvensystenis,  aLso  keine  singulären  8t«'llon  in  dnu 
hier  zu  Grund«'  gelegten  Sinne. 


56  Sitzung  (ier  mathrphys.  Glosse  vom  3.  Januar  1891. 

Durch  einen  beliebigen  Punkt  des  Randes  läuft  eine  iSystera- 
curve ;  die  durch  die  Gleichungen  (35.)  detinirten  singulären 

r  r 

Stellen  sind  als  Punkte  /T,  und  77^  zu  bezeichnen,  indem 
nämlich  an  den  Berührungsstellen  einer  Horizontalcurve  mit 
der  ümrisscurve  in  dem  einen  der  beiden,  durch  die  Umriss- 
curve  getrennten  Flächenteile  zwei  Curvenzweige  verlaufen, 
in  dem  anderen  keiner.  —  Die  durch  die  Gleichungen  (36.) 
definirten  Punkte  des  Randes  verhalten  sich  wie  gewöhnliche 
Punkte  des  Randes,  wie  wir  erkennen,  wenn  wir  an  Fig.  V 
(Tafel  IV)  die  Zerschneidung  längs  der  TImrisscurve  vor- 
nehmen, w^elche  in  Fig.  5  auf  pag.  40  für  den  analogen  Fall 
angedeutet  ist.  Rs  ist  dann  unmittelbar  ersichtlich,  dass 
vom  singulären  Punkte  aus  je  eine  Curve  des  Systems  in 
die  beiden  dort  getrennten  Gebietsteile  verläuft. 

Im    Innern    der  Gebiete    sind   dann    weitere    singulare 

Punkte  n^  und  77^  vorhanden  (wenn  wir  an  der  Bezeichnung 
des  Index  nach  der  Anzahl  der  von  einem  Punkt  auslaufenden 
Aeste  festhalten). 

Für  die  Charaeteristik  Ä,  eines  Flächenteiles  ergibt  sich 
sonach  (aus  der  Annalen  32  pag.  501  gegebenen  Formel) 
die  folgende  Beziehung  zu  den  durch  die  Gleichungen  (35.) 
und  (37.)  gegebenen  singulären  Stellen : 

r       i 

in  welcher  die  /r,.,  /i,.  die  Anzahlen  d^r  betrettenden  singu- 
lären stellen  bezeichnen. 

Dehnt  man  die  Formel  über  die  ganze  Fläche  aus,  so 
fallen    hier    auch  noch   die  Stellen  (35.)  des  Rundes  einfach 

r  r 

heraus,  weil  sti»t>  eine  St^»lle  H^  mit  einer  anderen  //^  cor- 
rospondirt  und  man  erhält  die  bekannte  Formel : 

CMK)  A  =  (7^  —  r;^ 


W.  DycJc:  Differential (fleichungen  1.  0,  57 

Das  Resultat  des  Vergleiches  der  für  die  eine  uud  andere 
Definition  eines  Curvensystems  »im  Allgemeinen*  eintretenden 
singulären  Stellen  lässt  sich  der  Hauptsache  nach  folgender- 
massen  zusammenfassen: 

Sehen  wir  ab  von  dem  verschiedenen  (aber  stets 
•algebraischen*)  Verhalten  der  Systeme  längs  der 
Discriminantencurve,  die  im  einen  Fall  als  Ort  von 
Spitzen,  im  andern  Fall  als  Ort  der  Berührungs- 
punkte der  Systemcurven  erscheint;  sehen  wir  ebenso 
ab  von  dem  ebenfalls  „algebraischen*  Character  der 
Systemcurven  in  den  Spitzen  der  Discriminanten- 
curve. so  kommt  der  wichtigste  Unterschied  der  beiden 
Definitionen  dadurch  zum  Ausdruck,  dass  die  wei- 
teren, im  „Allgemeinen*  auftretenden  singulären 
Stellen  eines  Curvensystems  wesentlich  Singular  (trans- 
cendenter  Natur)  sind,  wenn  wir  ausgehen  von  der 
Definition  durch  eine  Differentialgleichung  erster 
Ordnung: 

dagegen  ausserwesentlich  singulär  (algebraischer  Natur), 
soferne  eine  Gleichung 

mit  einem  Parameter  zu  Grunde  gelegt  wird,  vor- 
ausgesetzt, dass  den  Funktionen  F  und  Q>  die  Ein- 
ijangs  bezeichneteEigenschaft,  , algebraischer**  Natu r 
zu  sein,   beigelegt  wird. 


59 


Sitzung  vom  7.  Februar  1891. 

1.  Herr  Leonhard  Sohncke  legt  eine  AbhandJiing  des 
Herrn  Dr.  C.  Ludwig  Weber,  Direktor  der  hiesigen  elektro- 
technischen Versuchsstation  »zur  Messung  der  magnet- 
ischen Inklination^   vor. 

2.  Herr  AüREL  Voss  hält  einen  Vortrag  »über  spezielle 
Differentialinvarianten  in  der  Flächentheorie".  Der- 
selbe soll  anderweit  veröffentlicht  werden. 


Zur  Messung  der  magnetischen  Inklination. 

Von  C.  L.  Weber. 

( Kitt  gelaufen  7.  Fgbrvar.) 

Unter  den  Elementen  des  Erdmagnetismus  ist  ohne 
Zweifel  die  Inklination  dasjenige,  dessen  genaue  Bestimmung 
noch  die  grössten  Schwierigkeiten  darbietet. 

Obwohl  die  bestehenden  Methoden  im  Laufe  der  Jahre 
wesentliche  Verbesserungen  erfahren  haben ,  so  genügen  sie 
doch  nicht  allen  Anforderungen  und  die  Frage,  welche  von 
den  bekannten  Methoden  die  beste  sei,  ist  keineswegs  abge- 
^hloesen.  Bei  diesem  Stand  der  Dinge  muss  auch  das  Be- 
streben ,  neue  Wege  zu  diesem  Ziele  aufzusuchen ,  gerecht- 
fertigt erscheinen;  und  selbst,  wenn  hiebei  kein  Fortschritt 
sich  ergeben  sollte ,  so  wäre  doch  eine  kritische  Discussion 
derjenigen  Verfahren,  die  überhaupt  möglich  sind,  eine  wich- 
tige Aufgabe;  insofeme  nämlich,  als  dadurch  der  Ueberblick 
über  das  ganze  Problem  erleichtert  wird. 


60  Sitzung  der  mathrphya,  Classe  vom  7.  Februar  1891, 

Von  diesem  Gedanken  geleitet,  habe  ich  vor  2  Jahren 
3  neue  Methoden  beschrieben,  die  sich  auf  die  Anwendnng 
eines  bisher  zu  diesem  Zweck  noch  nicht  benutzten  Princips 
gründen*).  Dieses  Princip  scheint  eine  sehr  grosse  Zahl  von 
Abänderungen  zuzulassen  .  so  dass  sich  im  Anschluss  an  die 
3  erwähnten  noch  eine  ganze  Reihe  von  mehr  oder  weniger 
ähnlichen  Verfahren  auffinden  liess*),  von  denen  jedes  als 
eine  selbständige  Methode  betrachtet  werden  kann. 

Obwohl  nun  eine  vollständige  und  erschöpfende  Discus- 
sion  aller  sich  bietenden  Möglichkeiten  für  die  Beleuchtung 
des  vorliegenden  Problems  von  Werth  wäre,  so  soll  doch  im 
Folgenden  blos  eine  dieser  Methoden  l)esprochen  werden,  die, 
wie  mir  scheint,  vor  vielen  anderen  gewisse  Vortheile  bietet. 
Einige  Resultate,  welche  mit  derselben  erlangt  worden  sind, 
dürften  diese  Meinung  bestätigen. 

Grundgedanke. 

Dem  neuen  Verfahren  liegt  folgende  Ueberlegung  zu 
eirunde.  Es  sei  gegeben  ein  Stromkreis,  der  um  einen  hori- 
zontalen Durchmesser  als  Axe  (Schneide  etc.)  leicht  beweg- 
lich ist.  Es  sei  der  Schwerpunkt  so  gelegen,  dass  die  ma- 
gnetische Axe  des  Kreises  in  der  i{uhelage,  die  er  ohne  Strom, 
unter  dem  Einfluss  der  Schwere  einnimmt,  einen  Winkel  ;* 
mit  der  Horizontalen  macht .  der  etwas  grösser  ist  als  die 
Inklination. 

Liegt  die  Schwingung.sebene  senkrecht  zum  m ag ne- 
tisch tMi  Meridian,  und  durcli läuft  ein  Strom  den  Kreis  in 
solcher  IJichtung,  dass  an  tleiu  nach  unten  zeigenden  Ende 
der  magnetischen  Axe  ein  Nord|>ol  entsteht,  so  tritt  ein  Dreh- 
moment auf  v(m  der  (irösse: 

\'  I  '  i  eos  ;' 

li  C.   li.  \\>l>er.    \Vie<l.  Ann.  86.    p.  810.    ISHH. 
2)  Siehe  auch:  Tiivrcblatt   «I^r  61.  N;itiirfnr.«h**r-V«'rsaninilun;r  zu 
Köln.     IbtiS.     )).   11. 


('■.  L.  H'rhfr:  Zur  Memiunff  der  mngnet.  Iiikliiuition. 


Gl 


0. 


n: 


wo  V  die  Vertical-Int-en- 
sität,  /  die  Windungsfläcbe. 
i  die  Stromstärke,  y  den 
erwähnten  Winkel  bezeich- 
net. 

Liegt  derselbe  beweg- 
liche Stromkreis  mit  seiner 
Schwingungsebene  im  Me- 
ridian, so  tritt  zu  diesem 
Drehmoment  noch  ein  zwei- 
tes hinzu,  herrührend  von 
der  Horizontalcomponente 
H  und  von  der  Grösse : 

-^n '  f  '  i '  sin  y 

Wenn  das  zum  Nordpol  gewordene  Ende  der  magne- 
tischen Axe  gegen  Norden  geneigt  ist,  so  subtnihiren  sich 
l)eide  Momente. 

Dreht  man  jetzt  die 
gedachte  Vorrichtung 
um  eine  verticale  Axe, 
so  dass  die  Schwing- 
ungsebene allmählig 
von  der  Nord  -  Süd- 
C*  nach  der  Ost -West- 
Richtung  übergeht,  so 
bleibt  in  allen  Zwischen- 
lagen das  von  der  Ver- 
tical-Componente  her- 
rührende Drehnioiiieiit 
in  ungeänderter  (irösse  erhalten:  d;is  von  der  Horizoiittil- 
connvonente  herrührende  diigegtMi  hat  in  einer  Zwisehenlag*», 
die  um  den  <5C  «  v<m  der  Nord-Süd-Hichtung  abweicht,  n\ir 
noch  die  Grösse :    Hfi  sin  y  •  cos  a. 


62 


SUzutifi  der  malh.-phi/it.  Clasne  enm  7.  Ffhruar  ISO}. 


/l^.  s. 

0. 

V.JI/.  cos  y 


fi[ircos.g^-jr.c 


fL^.cos.  y-Jf.sm.  ff 

N. 


Das  gesaiunite  Moment  ist  al^o  in  diaser  Lage 

/?  =  V  fi  cos  y  —  II  f  i  sin  y    cos  a 

Ist  ;'  so  gewählt,  dass  V  fi  cos  y  <Z  H  fi  niii  y;  ist  also 
;'  grösser  als  die  Inklination,  so  ist  es  offenbar  möglich,  einen 
<^  a  zu  finden,  so  dass 

R  =  0     wird. 

In  dieser  Lage  wird  also  heim  Durchlaufen  des  Stromes 
durch  den  Kreis  kein  Drehmoment  auftreten:  der  im  strom- 
losen Zustand  in  einer  bestimmten  Kuhelage  befindliche  Kreis 
wird  beim  Schliessen  des  Stromes  keinen  Ausschlag  gel)en. 
Man  hat: 

V  ■  fi  '  cos  7  ^  //  •  /  i '  sin  y  cos  a    also : 

V 

jf  =  ^9  7'  <^^<>^  «  =  ^if  J- 

Man   findet  also  die  Inklination   /.   wenn  es  möglich  ist,  die 
Winkel  y  und  o  zu  messen. 

Man  erkennt  sofort,  dass  dieser  Weg  g«»wisse  Vortheile 
bietet:   Stromstärke  und    Windunjjsfläclie  l)raucht  man  nicht 


64         Sitzung  der  mathrphys.  CloRse  vom  7.  Feltruar  IfiOl. 

zeug  betrachtet  werden.  Es  wurde  aus  dem  früher  \)  be- 
schriebenen Apparat  hergestellt  durch  Kntfernung  des  Wage- 
balkens  und  Zufögung  eines  Horizontalkreises.  Mit  der  ver- 
ticaleu  Tragsäule  wurden  Fernrohr  und  »Scala  fest  verbunden. 

Es  besteht  demnach  aus  folgenden  Theilen.  Ein  Drei- 
fuss  mit  Stellschrauben  trägt  eine  in  konischem  Zapfenlager 
drehbare  verticale  Säule.  Mit  derselben  dreht  sich  eiu  Theil- 
kreis,  dessen  Nonien  am  Dreifusse  befestigt  sind.  Auf  dem 
oberen  Ende  der  Säule  belinden  sich  isolirt  zwei  Iridium- 
platten als  Lager  für  die  Schneiden  des  Strom krei.^es.  Dieser 
hat  circa  10  cm  Kadius  und  circa  500  Windungen.  Mit 
Hilfe  einiger  radial  angeordneter  Streben  ist  er  an  einem 
nahe  quadratischen  Messingrahmen  befestigt,  der  auf  seiner 
inneren  oberen  Seite  die  Schneide  trägt;  letztere  ist  aus 
Iridium  gefertigt,  vom  Rahmen  isolirt  und  um  den  Strom 
zu-  und  abzuführen,  in  2  Theile  g(»treiint,  die  durch  dünne 
Drähte  mit  den  Windungen  in  Verbindung  stehen.  Die 
Stronizufülirung  geschieht  also  mit  Hilfe  der  Lagerplatten 
durch   die  Schneide,    was   sich    über  Erwarten  gut  bewährt. 

Zum  Beobachten  und  Justiren  sind  am  Stromkreis 
2  Spiegel  angebracht.  Der  eine  (I)  ist  nahe  den  Schneiden 
befestigt  und  steht  in  der  Kuhelage  nahezu  vertical ;  er  dient 
zur  Beobachtung  der  Schwingungen;  der  zweite  ist  mit  den 
Windungen  (resp  dem  Rahmen  derselben)  fest  verbunden ; 
seine  Ebene  wird  j)arallel  der  Windungsei»ene  justirt.  Beide 
können  mit  ''\  Scrh rauben  und  Spiralfedern  beliebig  justirt 
werden. 

Das  Fernrohr  ist  mit  Hilfe  eines  ausladenden,  versteiften 
Armes  an  der  verticalen  Säule  befestigt  und  trägt  eine  kurze 
Scaln  in  linra  <K'2't  m  Abstand  vom  Spiegel  1. 

Zu  dieser  Einrichtung  kommt  noch  eine  Arretirungsvor- 
richtung  hinzu  und  endlich  ein  Schutzka^ten  gegen  Luft- 
stnunungen  (bei   meinen    VerMi«-hen  aus   Pappe). 

1)  b.  r. 


^U]  Sitzung  dir  math.-phy»,  CloMse  vom  7.  Frfrnitfr  l&Sßl. 

li*irJii  ^<?nuii  %ij  riiai:ht'ri,  bfswjnders  wenn  beide  Spiegel  nahe 
iifliiüi-  ofl(;r  üWüreiniiiuler  Hind,  und  eä  ^bt  dann  die  Nor- 
iiiiilii  /ii  S|)i<*K<''  II  genau  die  I{ichtung  der  magnetischeD 
Axi*  (lifH  KLniiiikn*iseH  an;  seine  Ebene  ist  parallel  der  mitt- 
IttnMi   Winduiigselxine. 

Ad  2)  hat  nmii  nun  den  Winkel  zwischen  Spiegel  I 
und  II  /u  Mi(*HH«*n.  Dies  gfwrliieht  genau  so,  wie  man  den 
lirrrliiMidfii  Winkel  «'int^  Prismas  auf  dem  Goniometer  be- 
stiuinit;  dit*  da/u  iiöihige  Aufstellung  ist  nach  Obigem  schon 

Ad  W),  Süt/t  man  den  Stromkreis  wieder  auf  seine 
linU*rlago  und  neigt  ihn  durcli  passende  Belastung  so  lange, 
l»is  iiiuii  in  t'intMu  horizontal  gestellten  Fernrohr  (Nivellir- 
iiiNtruuuMii,  Kuihotometer  oder  Beobachtungsfemrohr  selbst) 
iliiN  vom  Spiogt'l  I  roflectirte  Fadenkreuz  mit  dem  Faden- 
kn*u/.  si*ll)Nt  zur  Oookung  gebracht  hat;  oder  bis  das  Spiegel- 
liild  oiniT  mit  dorn  Nivollirfernrohr  in  gleicher  Hohe  be- 
lindlii'htMi  Marko  am  Fadenkreuz  erscheint.  Alsdann  liest 
man  um  AbKviotVrnn^hr  den  einstehenden  Theilätrich  der 
Soala  ab.  In  dieser  Lage  gibt  dann  der  sub  2)  gemessene 
W  inkel  direkt  die  Neigung  (;)  der  magnetischen  Axe  des 
SiuMukreises  an.  Für  eine  ändert'  Ruhelage  ergibt  sich  der 
KMe^malige  Wmkel  ;  au<«  der  Ivtreffenden  Scalenablesung 
\\\\\   llilie  de>  Al>stands  von  Spiegel  und  Scala. 

K>  i^t  leu'ht  mogluh,  das  Instrument  so  einzurichten, 
.i;is^  alie  a:e>e  Justirui-.gen  ai:  ihm  selt^  ausgeführt  werden 
\ V» :•  :•  e : *. ;    »i *  ?*>  ^ *  *: ev.  1 1  ä.: i^t hesur.di heil  eine«  Goniometens: 

-•'-"'—     V  :*.;•:. i^ r:' :>     .. v. «:    Bei^ häwh lunissfemrvhr    bereits 


t  •  ■  •  % 


V'-N     ♦       ' 


:>  •.>:  w.'r.:-.*:  -'.  «äkt..    id^Ä*  i>£ti€  m^uÄirus^.   bezieh- 
.'\.C.  '..:    :   »*:v.-.;      i.'.  u^r       Vz:  s.S.  i:*  Ski-k:  Spieijel- 


68         Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  7.  Febmar  1891. 

Man  stellt  nun  zunächst  die  Schwingungsebene  des  In- 
strumentes ungefähr  in  den  Meridian  und  probirt,  ob  beim 
Stromschluss  in  einer  bestimmten  Richtung  der  bewegliche 
Kreis  nach  grösseren  oder  nach  kleineren  Scalentheilen  aus- 
schlägt. Hierauf  dreht  man  die  Schwingungsebene  um  ein 
grosses  Stück  —  etwa  20^  —  nach  einer  Seite  z.  B.  nach 
Ost,  bis  der  Ausschlag  nach  der  entgegengesetzten  Richtung 
erfolgt;  darauf  wird  nach  Massgabe  der  erfolgten  Ablenkung 
zurückgedreht  und  so  fort ,  bis  man  das  Azimuth ,  dem  der 
Ausschlag  0  zugehört,  in  ein  Intervall  von  10  bis  5  Minuten 
eingeschlossen  hat;  die  zuletzt  beobachtete  Ruhelage  wird 
ebenfalls  notirt. 

Nun  erfolgt  ein  zweiter  Satz  von  Probeeinstellungen  auf 
der  anderen  Seite ,  also  westlich ;  darauf  wird  die  Nullstel- 
lung ostlich  wiederholt  und  so  weiter,  wobei  man  in  der 
Regel  eine  allmählige  Verschiebung  in  der  Ruhelage ,  also 
eine  Veränderung  des  Winkels  y  bemerkt,  weshalb  auch  die 
einzelnen ,  auf  derselben  Seite  abgelesenen  Azimuthe  nicht 
die  gleichen  sind.  Das  Auffinden  der  einzelnen  Azimuthe 
erfolgt,  nachdem  die  beiden  ersten  festgelegt  sind,  in  der 
Regel  mit  3  bis  5  Einstellungen;  um  die  Empfindlichkeit  zu 
vergrössern ,  kann  man  die  Stromimpulse  multipliciren ,  an- 
drerseits dämpfen. 

Die  weitere  Behandlung  der  Ablesungen  erläutert  sich 
am  besten  an  der  Hand  eines  Beispieles.  Man  hatte  durch 
die  vorausgegangene  Justirung  ermittelt,  dass  für  eine  be- 
stimmte Ruhelage,  bei  welcher  die  Ablesung  am  Beobacht- 
ungsfernrohr den  Sealentheil:  82,7  ergab,  der  Winkel  y  die 
Grösse  hatte :  06^  36'  24". 

In  der  Zeit  von  3»»  25  bis  4^  6'  am  23./7.  90  wurden 
die  dem  Ausschlag  Null  entsprechenden  Azimuthe  abwech- 
selnd in  Ost  und  West  nebst  den  zugehörigen  Ruhelagen 
in   folgender  Weise  beobachtet: 


70 


Sitzung  der  wathrphys.  Cla8$e  vom  7.  Fdffuar  I8D1, 


Besultate. 

Zur  weiteren  Kennzeichnung  des  Verfahrens  sollen  noch 
einige  Beohachtungsreihen  mitgetheilt  werden,  wobei  noch- 
malH  betont  sei,  dass  die  absoluten  Werthe  durch  Localein- 
ttOsHe  fehlerhaft  sind. 


Datum:  H.VII.  2»'45'-4^0' 

j  I 


n 


l \ ^— 


16"  16',5  66"35'  88"  ■  6ft"43'  86" 

16»13',6  66"86'   8"  i        48' 29" 

16"  5'  «6»34'17"l        43' 32" 

16«66'4^  ,66*»33'26"|        43' 36" 

15"54'  66"33'    1"          43' 27" 


Mittel: 


66"43'  32" 


Datum:  16. VH.  9*26'-10M8 


_  ..y. 


16020' 
16"  8' 
16"47' 
16"44' 
15"  24' 
16" 16' 


66086' 83"  166048' 16" 
34'  42"  I  48'  87" 
82'  85"  '  48'  42" 
31'44"i        48*11" 


29'  87" 
27' 66" 


43'   2" 
42'  14" 


Mittel:  !  66048' 10" 


Datum:  16.  VII.  2»»0'— 2"'55* 
a  Y  I 


16"54'        66"30'28"  65" 40' 48" 

15"37\6  1        28' 85"  40' 8C'* 

29'  14"  41' 12" 

28*21"  40*53" 

27'  30"  40'  40" 

26' 13"  40' 48" 


15"36',7 
15"8*2'»6 
l.V'26' 
15" 12' 


Mittel:     66" 40' 49" 


Datum:  18.  VII.  10*'-10*40' 


l.._  X, 


.1. 


I6"28'ji  66026' 21" 
15"31',2i       28' 46" 


15"18'J 
16"21',2 
16"18\7 
15010' 


26' 89" 
27'  6" 
26'  89" 
96'  28" 


66«41'  18" 
41'  28" 
40' 84" 
40' 44" 
40'  84" 
40*   9" 


Mittel : 


66040'  48" 


Diese  Zahlen  zeigen ,  dass  mit  dem  neuen  Verfiahien 
selbst  unter  ungünstigen  Verhältnissen  Resultate  ersielt  werden, 
dio  conourriren  können  mit  den  besten  bisher  Terwendeten 
Methoden  (Scherings  und  Wilds  geneigter  Erdinductor).  Ein 
gnv^'r  Vorzug  des  Verfahrens  dürfte  darin  liegen,  daas  man 
unabhängig  wird  von  einer  besonderen  Bestimmung  des  ma- 
gnetischen Meridians  und  der  Variationen  in  Deklination. 
Man  erhält  vielmehr  zugleich  mit  der  Inklinationsmessung 
auch  eine  Festlegung  des  Meridians.  Ein  weiterer  Vortheil 
li(»Kt  darin,  dass  man«  wie  beim  Nadel inklinatoriom,  nur  ein 


72         Sitzwig  der  mathrphys.  Classe  vom  7,  Februar  189  t. 

Schluss. 

Da  ich  die  beschriebene  Methode  nicht  als  etwas  voll- 
ständig Fertiges,  sondern  blos  als  einen  Vorschlag,  als  eine 
Studie  betrachte,  deren  weitere  Ausarbeitung  Anderen  oder 
wenigstens  einer  gelegeneren  Zeit  überlassen  sein  möge,  so 
habe  ich  auch  von  einer  ausführlicheren  Diskussion  derselben 
abgesehen  und  mochte  nur  anhangsweise  einige  Gesichtspunkte 
nach  dieser  Richtung  hin  entwickeln. 

Betrachtet  man  in  der  Formel: 

X  =  tg  I  =i  tg  y  '  coQ  a 

den  Winkel  y  als  vollständig  bestimmt,  so  ergibt  die  Diffe- 
rentialgleichung : 

d  X 

-T-  =  —  tgy  -  sin  a; 
da 

dass  die  Bestimmung  von  x  mit  Hilfe  von  a  um  so  genauer 
wird ,  je  kleiner  a  ist ,  je  mehr  sich  also  y  dem  wahren 
Werthe  der  Inklination  nähert,  wie  man  auch  von  vorne- 
herein einsieht. 

Man  könnte  auf  Grund  dieser  Verhältnisse  glauben,  dass 
es  besser  sei,  den  Winkel  a  überhaupt  nahezu  gleich  Null 
zu  machen,  d.  h.  blos  im  Meridian  zu  beobachten  und  nur  y 
so  lange  zu  ändern ,  bis  es  mit  1  übereinstimmt ,  d.  h.  die 
schwingende  Windungsfläche  so  lange  durch  zugefügte  Be- 
lastungen zu  neigen,  bis  ihre  Axe  genau  mit  der  Inklination 
übereinstimmt,  alsdann  wird  auch  der  Ausschlag  Null  be- 
obachtet. 

Ich  halte  dies  Verfahren  aber  nicht  für  vortheilhafl ; 
denn  abgesehen  davon,  dass  dies  eine  besondere  Meridianbe- 
stimmung  voraussetzt,  wird  man  doch  über  die  Grösse  der 
möglicherweise  vorhandenen  Abweichung  vom  Meridian  Auf- 
schluss  suchen  müssen  und  zu  diesem  Zwecke  um  die  verti- 
cale  Axe  drehen. 


74  Sünmp  der  wuttM.-fky$.  CliUife  vom  7.  Fthrmar  1891. 

Brin^  man  aber  wiUlnirlich  meßbare  VerindenmgeD 
in  ;'  herror  und  bestimmt  ftr  die  neoe  Neigung  (/  +  <})  den 
zugehörigen  Einstellungswinkel  a,.  so  kann  man  diew  zweite 
Beobachtung  mit  der  ersten  (7.0  t  eombiniren  und  es  ergibt 
sich  so  eine  Abänderung  des  VeHahrras.  bei  der  die  direete 
Messung  des  Winkel  ;'  ffanz  umgangen  und  durch  die  Be- 
obachtung seiner  Veränderung  i  ersaetzt  wird. 

Man  erhält  nämlich  aus  den  Gleichungen: 

igl  =  /<7;'coso  =  /(7(r  +  ')<w<'i 


co^a. 


\—igytgd         * 


die  weitere 


woraus 


^  •       ,    ,         coso,  — cosa        cos«, 
•    ^        •  '  ig  6  cosa  cosa 


tfr  = 


^    '      \  cosa/^l      *•       V  CORO/         cosa 

Man  kann  aK>  y  aus  d.  o  und  o,  berechnen  und  ans 
diesem  Werthe  die  Inklination  bestimmen. 

Um  die  direete  Bestimmung  des  Winkels  y  zu  umgehen, 
kann  man  enillioh  einen  zweiten  Weg  einschlagen,  der  sich 
mit  dersellvn  Anordnung  des  Apparates  durchf&hren  läasi, 
aWr  nicht  mehr  auf  eine  Xullmethode  fthit,  sondern  die 
Re<>bachtung  von  Ablenkiincswinkeln  ndthigt  macht  ^). 

Hat  man  nämlich  östlich  und  westlich  Tom  Meridian 
l^ihaohtet  und  damit  die  4ir5s!«  a  und  die  Lage  des  Me- 
ndians  l^estimmt.  si>  kann  man  die  Neigung  y  finden,  indem 

V  Kinr  i^iosbet;i^hcb^  Andeutung  fiadei  tick  bereit«  in  eioer 
frithon^Yi  Ahhanaiunc :  C.  L  \\>}.er :  Wieaem  S5.  p.  816.  1888  oad 
ein  «lamuf  prfti.iji^eTc*  *»riMaii*ii^?ps  Verfahr«:  Tafpebhitt  der  61.  Na- 
turfr^TM^her-VerRainiiilang  m  KMa,  18^  p.  14.  anter  IV. 


C.  L,  Wd>er:  Zur  Messung  der  nmgnet.  Inklination, 


75 


man  in  der  nun  bekannten  Ost  -  West  -  Ebene  die  beim 
Schliessen  des  Stromes  in  2  verschiedenen  Richtungen  auf- 
tretenden  Ablenkungen  ermittelt. 

In  dieser  Lage  (Schwingungsebene  Ost- West)  entstehen 
beim  Stromschluss  zwei  Drehmomente:  von  Seite  der  Verti- 
calintensitat  und  von  Seiten  der  Schwere.  Erstere  sucht  die 
Axe  vertical  zu  stellen  und  dreht  so  lange,  bis  das  von  der 
Schwere  ausgeübte  Moment  ihr  Gleichgewicht  hält.  Ist  in 
der  Ruhelage  die  Neigung  der  Axe  des  Stromkreises  gegen 


0. 


fK 


die  Verticale  =  /?  =s  90  —  y,  während  der  Schwerpunkt 
genau  vertical  unter  der  Drehaxe  liegt,  so  gilt  für  eine  Ab- 
lenkung q>^ ,  die  durch  Stroipschluss  in  einer  bestimmten 
Richtung  hervorgebracht  wird,  die  Gleichung: 

F  •  /■»  •  sin  (/?  —  qpj)  =  P  •  sin  q>^ ; 

schliesst  man  den  Strom  in  umgekehrter  Richtung,  so  ergibt 
sich  ein  Ausschlag  (p^  nach  der  entgegengesetzten  Seite, 
80  dass 

V '  fi  sin  (ß  +  q^^)  =  P  •  sin  y, 
worin  P  die  Masse  des  beweglichen  Theiles  multiplizirt  mit 


76         Sitzung  der  math.-pkys,  Classe  vom  7,  Februar  1891. 

dem  Abstand  zwischen  Schwerpunkt  und  Drehaxo.    Aus  beiden 
Gleichungen  erhält  man 

sin  (ß  —  (p^)  sin  (jp, 

sin  {ß  4-  (jr,)  "■  sin  y, 

oder 

sin  ß  ctij  fp^  —  cos  ß  =  m\  ß  ctg  (f^  -f"  ^^^  ß 

oder 

tg  ß  -  (Cütg  y ,  -  cotg  qr>,)  =  2 

also 

4    o  2  ^  sin  (f^  sin  y,  . 

faß  =   -    -      -.--         =^2-.--— -\  =  ci(/y 

ctg(f^—cfg(f^  sni(g), -^5,) 

so  dass  also  y  aus  den  beiden  Ablenkungen :  qf^  und  if^  er- 
mittelt werden  kann. 

Obgleich  von  diesen  indirecten  Bestimmungen  von  y 
nicht  jene  Genauigkeit  erwartet  werden  kann,  wie  von  einer 
directen  Ausmessung,  so  sind  sie  doch  als  Gontrollen  von 
Werth,  zumal  da  sie  sich  mit  dem  för  die  vorgeschlagene 
Methode  adjustirten  Instrument  ohne  Weiteres  ausführen  lassen. 


i 


80  Sitzung  der  mathrphys.  Clcisse  vom  7,  März  1891, 

Anspruch  auf  Vollständigkeit  nicht  machen  können  und 
wollen,  so  hahen  sie  doch  zu  einigen  Ergebnissen  geführt, 
welche  für  eine  spätere  eingehendere  Erforschung  dieser 
Gegend  von  Nutzen  sein  können  und  wenigstens  über  die 
Quellenverhältnisse  nähere  Aufschlüsse  zu  geben  geeignet 
scheinen.  Sie  sind  desshalb  in  dem  Folgenden  kurz  zu- 
sammengestellt. 

Die  Thermen  von  Bormio  treten  am  Südrande  des 
gewaltigen  Kalkstocks  der  Ortlergruppe  da  zu  Tag,  wo 
die  Kalkschichten  dieses  Gebirgsmassivs  auf  einem  thonig- 
schiefrigen,  impermeablen  Fundamente  aufruhen  und  der 
ganze  mächtige  Gebirgsstock  von  einer  tief  einschneidenden 
Querbucht,  nämlich,  jener  der  Adda,  bis  unter  diese  Unterlage 
durchbrochen  ist.  Zwar  kommen  die  Uauptquellen  jetzt  nicht 
auf  der  tiefsten  Thalsohle  der  Addaschlucht  zum  Vorschein, 
wie  man  folgern  könnte,  wenn  man  den  Ursprungsort  der 
Quellen  mit  dem  Thaleinschnitt  in  unmittelbar  genetischem 
Zusammenhange  sich  dächte,  sondern  sie  brechen  80 — 100  m 
höher  an  dem  Berggehänge  zu  Tage  aus.  Dies  hat  jedoch 
seinen  Grund  in  dem  Umstände,  dass  der  grossartige  Ge- 
birgseinschnitt,  der  von  Bormio  bis  auf  die  Passhöhe  des 
Stilfser  Jochs  emporzieht,  da,  wo  jetzt  die  Hauptquellen  bei 
dem  alten  Bade  ausfliessen,  in  früherer,  wie  sich  nachweisen 
lässt,  diluvialer  Zeit,  nicht  bis  zur  jetzigen  Thalsohle, 
sondern  nur  bis  etwa  zur  Höhe  des  alten  Bades  eingetieft 
war,  so  dass  die  Quellen  zur  Zeit  ihrer  vermuthlich  ersten 
Entstehung  allerdings  auf  der  damals  tiefsten  Einbuchtung 
ihren  Ausfluss  sich  verschafft  haben .  den  sie  dann  auch 
später  und  bis  jetzt  als  den  bereits  gebahnten  und  die 
geringsten  Widerstände  bietenden  Weg  beibehalten  haben. 
Dass  die  Quellen  bereits  in  sehr  früher  Zeit  auf  beträcht- 
licher Höhe  ausgeflossen  sind,  das  deutet  die  mächtige, 
wahrscheinlich  diluviale  Conglomeratbildung  an,  deren  durch 
eine   dem  jetzigen   Quellenabsatz   ent8}»rechende    Kalksinter^ 


82  Sitzung  der  math.-phya.  Classe  vom  7.  März  1S91. 

Steinsspalte  und  fliesst,  Dampf  wölken  bildend,  durch  ein  Ge- 
rinne und  über  die  mit  einer  weissen  und  z.  Tb.  gelben 
Sinterkruste  überzogenen  Felsen  unbenutzt  ab.  Sie  soll  eine 
Temperatur  von  89®  C.  besitzen  und  1,7  Sekundenliter  Wasser 
liefern.  Die  zur  Trinkkur  benützte  Pliniusquelle  kommt 
etwas  tiefer  am  Thalgehänge  aus  einer  deutlichen  Felsenspalte 
mit  38,3®  C.  (nach  meinen  öfteren  Messungen)  und  1,9  Se- 
kundenliter Erguss  zu  Tag. 

Eigenartig  ist  die  sog.  Augen  quelle  (St.  Carlsquelle) 
wegen  ihres  ockerigen  Absatzes;  sie  liefert  nur  lauwarmes 
Wasser,  das  wohl  als  eine  im  Geröll  abzweigte  und  bei  dem 
Durchfliessen  durch  letzteres  mit  Eisencarbonat  angereicherte 
Ader  der  Hauptquellen  anzusehen  ist.  Entfernter  von  diesen 
Hauptquellpunkten  am  Steilgehänge  der  Addaschlucht  ent- 
springen noch  zwei  grössere  Thermen,  die  sog.  innere  Ost- 
gothen-  und  die  Nibelungenquelle.  Uebrigens  Ihh)!)- 
achtete  ich  in  der  ganzen  Umgebung  des  alten  Bades  an  sehr 
zahlreichen  Stellen  Quellen,  welche  einen  gegen  die  Luft- 
temperatur erhöhten  Wärmegrad  erkennen  Hessen  und  gleich- 
falls als  Thermen  oder  Abzweigungen  von  solchen  gelten 
müssen.  Das  wird  auch  durch  die  an  den  Felsen  der 
ganzen  Umgegend  beobachteten  V^orkommen  von  Salzaus- 
blühungen  bestätigt,  welche,  wie  Untersuchungen  gelehrt 
haben,  fast  rein  aus  Bittersalz  mit  nur  geringer  Bei- 
mengung v(m  Glauber-  und  Kochsalz  bestehen.  Ueberhaupt 
scheint  mir  das  ganze  Erdreich  an  diesem  Gehänge  weit  und 
l)reit  erwärmt  zu  sein,  wodurch  die  ungewöhnlich  üppige 
Vegetation  in  dieser  Gegend  ihre  Erklärung  tindet. 

Zusammenfassende  Messungen  des  Ergusses  aller  Quellen 
liegen  nicht  vor.  Der  Schätzung  nach  mag  derselbe  18—20  Se- 
kundenliter und  die  mittlere  Temperatur  'M — 39®  C.  betragen. 

Was  die  chemische  Zusammensetzung  des  Mineralwassers 
anbelangt,  so  zeichnet  sich  dieselbe  durch  das  Vorwalten  der 
Sulphate  neben  beträchtlichen  Mengen  von  Kalkcarbonaten 


84 


Sitzung  der  math.-phys.  Classe  f>om  7.  März  1891. 


Kalkcarbonat       .     .     . 
M  agnesi  u  mcarbonat 
Kieselsäure     .... 

Thonerde 

Phosphors.,    Mangan    elc 
Eisenoxyd 


Plinius- 
quelle 

0,1288 
0,0038 
0,0164 
0.0137 
Spuren 
0.0005 


0,9375 


Ostgothen- 
quelle 

0,1429 
0,0019 
0,00G2 
0,0042 
Spuren 
qXXK)9 
0,9124 


Es  ergiebt  sich  daraus  im  Vergleich  zu  dem  Gehalte  der 
jMartinsquelle,  dass  ein  bemerkenswerther  Unterschied  nicht 
besteht,  um  so  weniger,  wenn  man  die  gegenwärtige  Be- 
schaffenheit der  letzteren  in  Rechnung  zieht.  Nach  meiner 
Untersuchung  liefert  die  Martinsquelle  jetzt  0,973  gr  bei 
110^  C.  getrockneten  Rflckstand  in  1  Liter  mit  0,0733  t  MgO 
und  0,4206  SO, ;  die  Quelle  des  römischen  Bades  unter  gleichen 
Verhältnissen  0,8650  gr  Trocken rückstand  mit  0,0568  MgO 
und  0,5070  SOj  neben  0,0025  Cl.  Die  Augenquelle  endlich 
ergab  0,9740  grTrockeurückstand  mit  einem  bemerkenswerth- 
hohen  Gehalt  an  Eisenoxyd,  nämlich  0,0100  gr.  Als  Haupt- 
bestandtheile  der  verschiedenen  Quellen  erweisen  sich  dem- 
nach mit  grosser  IJebereinstimmung  Gjps,  Bittersalz,  Glauber- 
salz und  Kalkcarbonat,  Salze,  welche  die  aus  Gypsstöcken 
kommenden  Wasser  gewöhnlich  zu  enthalten  pflegen,  wie 
z.  B.  jene  von  Leuk  in  der  Schweiz.  Auch  die  Quellen  von 
Borniio  entnehmen  ihren  Mineralgehalt  unzweifelhaft  einer 
Gypsablagerung,  wie  wir  später  ausführlicher  erörtern  werden. 
Auffallend  i^t  dabei  der  gerinj^e  (lehalt  an  Chlomatiium, 
was  eine  Armuth  oder  einen  Mangel  an  Steinsalz  in  dem 
betreffenden  Gypsstock  andeutet.  Noch  auffallender  ist  das 
fast  gänzliche  Fehlen  von  Schwefelwasserstoff  sowohl  in  dem 
Quellwasser  selbst,  wie  auch  in  den  mit  aufsteigenden  Gasen. 
V.  Planta*)    konnte    nur  quantitativ  unbestimmbare  Spuren 


\)  V.  Fluntii  u.  a.  U.  S.  15. 


86 


Sitzung  der  mathrpliys.  Classe  com  7.  März -1891, 


Mineralwassers  im  Behälter  sich  eine  Umsetzung  von  Bitter- 
salz lind  Kalkcarbonat  vollzogen  zu  haben. 

Im  Verhältnisse  zu  dem  Gehalt  der  Quellen  an  Kalk- 
carbonat ist  die  Sinterbildung,  namentlich  da,  wo  das  Wasser 
vertheilt  über  die  Felsen  abfliesst,  eine  sehr  beträchtliche. 
Neugebildete  derartige  rosenroth  und  saftgrün  gefärbte  Ab- 
sätze sind  so  innig  mit  Algen  ^)  durchwebt,  dass  sie  sich  wie 
Lappen  abheben  lassen,  während  die  älteren  Sinterkrusten 
mehr  oder  weniger  arm  an  organischen  Beimengungen  sind. 
Die  röthliche  Färbung  wird  vorzugsweise  durch  Leptothrix 
dictyothrix^  und  Sctftonema  Bortniense,  die  grüne  haupt- 
sächlich durch  Äphanocapsa  thermalis^  Chroococcus  mem- 
braninus,  Lynghya  conglutinata^  Chihonobla^stus  Planiae^ 
Phormiditim  Lynghyanum  u.  s.  w.  verursacht.  Die  Zu- 
sammensetzung eines  solchen  beim  Austrocknen  lederartigen 
neugebildeten  Lappens  (nach  einer  Analyse  von  Herrn 
A.  Schwager)  (I)  und  die  einer  alten  Sinterkruste  (II)  ist 
folgende : 


Kalkcarbonat 

Bittererdecarbonat     .     .     . 
KalkHulphat 

Kali 

Natron     .     . 

Thonerde 

Man^^anhaltiges  Kisi/noxy«! 

KicHelerde 

Organisches  (und  \Vass«>r) 


I. 

II. 

8a,44 

92,80 

1,22 

1,14 

3,18 

1,81 

0,12     1 
0.12      j 

Sp. 

1,G3 

0,72 

3,50 

0,92 

8,61 

1,25 

99,«« 

100.00 

Bei  dem  Keichthuin  der  (iiiellen  an  gelö.stem  Kalksul- 
phat  ist  die  Aus.*<cheidung  von  (iyps  eine  verhältnissmässig 
geringe;    dius  Kulkcarl)onat    aber   scheidet   sich  raseh  und  in 


1)  Vffl.  Brn^^er  in  .lahresb.  d    Naturtbrseh.  («en.  (.irauhündeni*, 
N.  F.  Vm.  1863.  S.  2«. 


8^  SUzHHg  iler  mathrithtfi.  Chis$€  rom  7.  März  1H91, 

Mrlieint  von  Her  Zersetzung  des  Arsenkieses  herzurühren, 
welclier  in  dem  von  dem  Mineralwasser  durchzogenen  Schioht- 
^re:<tein  Torkommt. 

Wenn  wir  nun  weiter  nach  den  Ursachen  der  Ent- 
stehung und  des  Gehaltes  der  Quellen  von  Bormio  f raffen, 
>o  können  uns  nur  die  geologischen  Verhaltnisse  dieser 
(legend  Anhaltspunkte  für  die  Beantwortung  geben.  Wir 
werden  daher  darauf  hingewiesen,  zunächst  einen  Blick  auf 
den  geologischen  Bau  der  l'mgebung  des  Bades,  und  da  diese 
nur  einen  kleinen  Theil  des  grossen  (iebirgsstocks  der  Ortler- 
gruppe ausmacht,  auf  jenen  der  letzteren  9e\\ysk  zu  werfen.*) 

Der  Graubündener  Ealkzug  im  Allgemeinen. 

Die  durch  die  Höhe  (890')  m),  Massenhaftigkeit,  gross- 
artige Wildheit  seiner  Felswände  und  die  beträchtliche  Aus- 
breitung der  lilebicher  berühmte  (inippe  des  Ortlergebirges 
verdankt  diese  Eigenartigkeit,  welche  sie  vor  fast  allen 
lIochalpenst(>cken  anszeirhnet,  wesentlicli  der  Entwicklung 
der  K  a  I  k  s  c  h  i  c  li  t  e  n ,  die  seine  Hauptmasse  ausmachen. 
Während  wir  sonst  in  den  Centralketten  der  Alpen  nur 
ältere  krystallinische  Bildungen  zu  finden  gewohnt  sind,  sehen 
wir  den  Ortler  als  ein  jüngeres  Kalkgebirge  über  den 
Urgebirgsbildungen  ausgebreitet  mitten  imCentralstock  mächtig 

1)  Vj^l.  Loonhardi,  Da«  Veltlin.  1860;  Ch.  G.  Brflgger,  Ost- 
rhaotiHche  Stmlicn.  1863;  Tlieobald.  Has  BOndner  Munsterthal  im 
Jahro8b(T.  d.  Naturf  Ges.  GraubiindenM,  N.  K.  VIH,  1863.  S.  53;  Theo- 
hai d,  Geol.  HeHchroibung  von  Graiibümlen  1864,  und  2.  Theil»  1866; 
Der»,  und  J.  J.  Woilenmann.  Di»»  Bilder  von  Bormio  (ohne  Jahres- 
zahl); Theobald,  Bormio  u.  s.  Bilder,  Chur  1865:  Dr.  C.  Meyer, 
AhrenH  und  Ch.  G.  Bril«^>ifer.  Die  Thermen  von  Bormio,  1869; 
G.  Stäche  im  .lahrb.  ti.  k.  k.  ^eol.  Heichs.  1877.  S.  162;  Stäche  und 
C.  V.  John,  (ieolo>^.  u.  petrog.  Beiträj^e  das.  1879.  S.  318;  Stäche, 
in  Verh.  d.  geol.  Reiche*.  1873,  222:  Dort»,  das.  1878.  174;  v.  Moj- 
gisovicH.  (Joolo;;.  Bed^ut.  d.  Rheinlinie  im  Jahrb.  d.  preolog.  Reichs. 
1873,   152. 


90  Sitzufuß  der  math.'pfhys,  Glosse  vom  7.  März  1891, 

Gleichwohl  ist  es  trotz  der  beträchtlichen  Mächtigkeit 
dieser  Kalkschichten,  welche  sich  hier  auf  dem  langen  Zug 
von  Chur  bis  zur  Eönigsspitze  entwickelt  zeigen  und  trotz 
der  nicht  zu  verkennenden  reichen  Gliederung  des  8chichten- 
baues  bis  jetzt  noch  in  geringem  Grade  geglückt,  befriedi- 
gende Itesultate  in  Bezug  auf  Gliederung  und  Gleichstellung 
der  unterscheid  baren  Stufen  mit  denen  der  Kalkgebilde 
einer  der  Nebenzonen  zu  gewinnen.  Es  rührt  dies  haupt- 
sächlich von  der  trostlosen  Armuth  der  Schichten  an  organ- 
ischen Einschlüssen  und  von  der  eigenthümlichen,  durch  fast 
alle  Schichten  hindurch  gleich  bleibenden  Gesteinsbeschaffen- 
heit her,  welche  den  Vergleich  mit  den  Gliedern  der  zunächst 
benachbarten  Kalkablagerungen  erschweren. 

Zwar  hat  der  bewunderungswürdig  fleissige  und  un- 
nachahmbar  eifrige  Theobald,^)  welcher,  wie  kein  anderer 
Geologe,  diese  Gebirge  genau  durchforscht  hat,  die  Grenzen 
festgelegt,  innerhalb  welcher  die  mächtigen  Kalkmassen  dieses 
Gebiets  in  das  System  einzureihen  sind,  nämlich  zwischen 
den  alpinen  Muschelkalk  und  den  Belcmniten  führenden 
Liasschiefer,  im  Einzelnen  aber  hat  er  diese  einzuschaltende 
(ilieder  zu  schematisch  mit  den  in  den  benachbarten  Kalk- 
alpen unterschiedenen  Abtheilungen  der  Trias  in  Parallele 
gestellt,  ohne  für  eine  derartige  in\s  Einzelne  gehende  Ein- 
theilung  immer  genügende  Anhaltspunkte  durch  Versteiner- 
ungen gewonnen  zu  haben.  Indem  er  sich  vornehmlich 
nur  auf  die  Gesteinsbesehaffen heit  und  die  Lagerung« Verhält- 
nisse stützt,  gelangt  er  für  den  (iraubündener  Kalkzug  zu 
nachstehender  Reihenfolge  der  Schichten  in  absteigender 
Ordnung: 

1.  Im     Hangenden:     Lias     (Steinsbergkalk     und    .Algäu- 
schiefer). 

2.  Khätische  Stufe  (Kössener  Schichten). 

1)  Beiträge  z.  geol.  Karte  der  Schweiz,  111.  Ahth.  Hl  XX,  1866. 


92  Sitzung  der  mathrphys.-Classe  ooni  7.  März  1891. 

derMuschelkalk  wurde  an  charakteristiHchen  Versteinerungen 
sowohl  bei  Tarasp,  als  im  Chiamuera-Thale  erkannt.  Etwas 
höher  liegen  dünngeschichtete,  schwarze  Mergelschiefer  mit 
Fischschuppen ,  BacfryUien  und  Ostracoden ,  welche  gleich- 
falls einer  bestimmten  Stufe  zu  entsprechen  scheinen.  Ferner 
fand  ich  in  einem  hellgrauen ,  durch  Verwitterung  gelblich 
gefärbten  Mergel  in  der  Nähe  des  Passes  Sür  Som  zwischen 
Zernetz  und  Münster  zahlreiche  Versteinerungen  vom  Typus 
jene  der  Kaibier  Schichten.  Es  deutet  dies  an,  dass 
trotz  der  Armuth  an  organischen  lieber resten  innerhalb 
mächtiger  Schichteucomplexe  durch  eine  sehr  genaue  Unter- 
suchung des  Gebiets  Anhaltspunkte  zu  einer  schärferen  Gliede- 
rung sich  wohl  gewinnen  lassen. 

Was  die  den  Muschelkalk  unterlagernden  Bildungen 
anbelangt,  so  glaube  ich  mich  durch  eine  ausgedehnte  Unter- 
suchung dieser  Grenzschichten  vom  Davoser  Thal  an  über 
Filisur  nach  Bellaluna  und  dem  Stulser  Thal,  dann  bei  Ponte 
im  Engadin,  bei  Tarasp,  insbesondere  im  Ofen-Passthal  über- 
zeugt zu  haben,  dass  die  von  Theobald  im  Verrucano  zu- 
sanmiengefassten  graubraunen  Schiefer  und  rostischen  Quar- 
zite,  welche  stellenweise  in  ein  Augen gneiss-ähnliches  Gestein 
und  in  Sericitschiefer  verlaufen,  stellenweise  durch  ächte  Con- 
glomerate  und  rothe  Sandsteine  mit  zwischengelagerten  grün- 
lichen und  röth liehen  Schiefern  ersetzt  werden  und  stets 
concordant  unter  dem  schwarzen  Kalke  ihre  Stelle  einneh- 
men,  den  Werfener  Schichten  bezw.  dem  alpinen 
Buntsandstein  entsprechen.  Man  vergleiche  nur  die  hier- 
hergehörigen Schichten  bei  Werfen  selbst  und  zwischen  Bi- 
schofshofen  und  Mitterberg  mit  jenen  im  Samina-Thale  bei 
Vaduz  am  östlichen  Rheinthalrande,  mit  den  Felsen,  worauf 
Filisur  steht,  mit  den  Schichten  im  Eingang  des  Chiamuera- 
Thales  bei  Ponte,  mit  dem  Sandstein  des  Ofen- Passes  bei  Hg 
Fuorn  oder  im  Spöl-Thale  bei  Livigno  und  endlich  mit  den 
Mffophoria  costata   einschliessenden,  ()etr()graphisch  gleichen 


94  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  7.  März  1801, 

zwischen  den  kalkig  doloraitischen  Gehirgsgliedern  und  der 
Sehieferunterlage  verläuft  auf  der  Südseite  von  Livigno  her 
am  Fusse  der  Cima  di  Piator  und  des  Mt.  della  Scala  zum 
alten  Bad  Bormio  in  fast  genaa  W-0-Richtung.  Auf  dieser 
Strecke  begegnen  wir  Aufschlössen  an  den:i  alten  Passüber- 
gang unterhalb  den  beiden  Wachtthürmen  (Pass  la  Scala) 
und  längs  dem  nach  Bormio  führenden  Wege  namentlich  in 
den  Wasserrissen  oberhalb  der  einzelstehenden  Kirche  zwi- 
schen Premadio  und  Torripiano.  In  der  Addaschlucht  selbst 
und  an  den  Felsen,  aus  welchen  die  Thermen  von  Bormio 
hervorbrechen,  verdecken  mächtige  Lagen  von  Gehängeschutt 
und  zum  Theil  ältere  Diluvial-Conglomeratbänke  die  Grenz- 
region bis  auf  einzelne ,  aus  der  Ueberdeckung  aufragende 
Felsenköpfe.  Eine  ähnliche  Schuttmasse  verbreitet  sich  auch 
weiter  ostwärts  am  Fusse  der  Kalkwände  des  Mt.  Gristallo 
über  das  nördliche  Gehänge  von  Valle  del  Zebru,  in  dem  nur 
durch  einzelne  tief  einschneidende  wilde  Schluchten  wie  Val 
Campello,  V.  dUJzza  und  mehrere  unbenannte  Gräben  bis  zum 
Val  Marmotta  und  dem  Zebrugletscher  anstehendes  Gestein 
blossgelegt  und  der  Beobachtung  zugänglich  wird.  Daraus 
erkennt  man,  dass  die  (irenze  zwischen  Kalk-  und  Schiefer- 
gebirge unter  der  Wand  des  Mt.  Gristallo  von  einer  Ein- 
sattelung des  Dosso  Keit  gegen  Casa  del  Zebru  streicht  und 
der  Thalsohle  bei  Prato  Beghino  und  der  Alphütte  II  Pa- 
store ganz  nahe  kommt,  um  von  da  an  über  das  Königsjoch 
oder  über  Passo  Cedek  zum  Suldenthal  hin  über  zu  biegen. 
Die  Königswand  und  die  Felsschroifen  an  der  Königsspitz 
bestehen  aus  Kalk>  und  Dolomitschichten,  das  Schrötterhom 
aus  krystallinischem  Schiefergestein,  dazwischen  verläuft  die 
Gebirgsscheide  durch  einen  oder  den  anderen  der  genannten 
Pässe.  So  viel  sich  aus  der  Ferne  l)eurtheilen  lässt,  besteht 
dit*  Kreilspit/e  auch  aus  Kalk,  sodass  die  (lesteinsgrenze  auf 
den  Cedekpass  treffen  würde.  Doch  ist  dies  noch  genauer  zu 
ermitteln. 


Im  iir'i-,-cii  iin'l  ■<;iii/^ii  oi-iiii^rki  man  auf  Hitwer  ianift^n 
lirenzlinie  —  einzelne  Strecken,  namentiicli  an  Verwerfungs- 
ü]ialteii  au^^iiomnitrii  —  eiui:  wirklich  uder  doch  nahezu 
i-oncordante  AuÖR^frunjr  Jer  kulkischeD  ^Schichten  auf 
ileD  krvstallini:'i.-hen  SchielVm.  In  <)eutlich  discunlsritei 
Latiening  i^t^hen  z.  B.  ■)■■■  Sciiiihwii  auf  der  PaaafaShe  iles 
Stilfser  Jiiches  an.  wu  rji^  M-hir-lt-riireii  Phvlliie  nurdweatlieh 
einfallen,  währeml  ili*-  /inSi-h-i  »n^re^iliKtSi^eneD  »chwarz^ei 
si-hiflerikien  Kalke  eine  Xeiiriinir  navh  S« ».  liesitzen.  weil  hiei 
i'ine  Ver» ertiinir-*pah<-  hiii-lurch  zieht. 


:-^j*r.. 


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\n  ,!.v 

i;  M,.i-. 

li. !«;.  ■-■ 

ii  mar.  einen  cmsüen  Theil  il« 
'.:thaiitri>  de«  Onlerbauptetock^ 
A  ;d,iir'-ri'.:'i-jrfn7e  auf  den  krvstal 
V.::  dftn  äiisserst^n  nf^rillichei 
i.>{iiT7  a:i  zfiaeii  die  Kalk^chichtei 
T;i:v»r':t-.twänle,  die  Felsen  untf 
:--!rTi  '  ►ni>-nileisiher  his  fieK^"  ''* 
:;■-  K-.r.!a!]ei.,  da-  in  den  «renigen 
".■••-T  ia-  'i!i-T*ihereir  rni^ehendei 
iZf  l..i:-r ;n;:  üWnnpehen  scheint 
:.'..i  y.oii  w;r-)i-r  ein  üteileres  Kin 
.  ;;.  S, :;..  iiten  ^tark  i;etaltet  unt 
i\-  TT  !L...:,  Slden  zu,  schon  in 
■  >\:.:.l;Tei,  und  nehmen  an  dei 
.:■:■    .■..-  Ml.  ^.■ri^t4^no   stfhlie*=licl 


100  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  7.  März  1891. 

Der  Rest  enthält  in  °/o: 

Kiesel-  und  Titansänre  .     ,     .     .     78,75 

Tbonerde 13,00 

Eisenoxyd •    1,00 

Kali 1,93 

Natron 0,72 

Wasser 3,70 

99.10' 

Demnach  macht  die  Hauptmasse  des  Gesteins  Kieselsäure 
aus,  welcher  eine  thonige  Substanz  und  sericitische  Schuppen 
beigemengt  sind.  Ein  Feldspath bestand theil  lässt  sich  in 
DümischliflFen  nicht  erkennen. 

Diese  rostfleckigen,  quarzitischen  Flaserschiefer  reichen 
im  Marltprofil  bis  zum  Sattel  dieses  Bergrückens,  über  welchen 
der  Steig  sich  nun  abwärts  zu  den  Tabaretta wänden  umbiegt. 
Schicht  für  Schicht  aufgeschlossen  zeigen  diese  Grenzschichten 
einen  deutlichen,  allerdings  raschen  Uebergang  in  tief  schwarze, 
splittrige,  blättrig  verwitternde,  8  m  mächtige  Kalkschiefer 
( 1  des  Profils)  mit  noch  halbkrystallinisch  ausgebildeten,  seh  wach 
glimmerglänzenden  Thonflasern  und  üeberzügen,  welche  faj»t 
dasselbe  Aussehen  besitzen,  wie  manche  Phylillite.  Solche 
halbkrystallinisch  entwickelte,  phyllitähnliche  Thonflsisem 
wiedt^rholten  sich  in  Zwischenlagen  noch  mehrfach  inner- 
halb der  nächst  höheren  Schichten.  Mir  scheint  dieses  Ver- 
hältniss  von  grosser  Wichtigkeit  zu  sein.  Es  wird  doch 
wohl  Niemand  dieselbe  als  Folge  einer  Metamorphose,  sei  es 
durch  Druck  oder  Contakt,  deuten  wollen.  Dafür  lässt  sich 
hier  nicht  der  Schein  einer  Veranlassung  auffinden. 

Diese  krystallinische,  phyllitähnliche  Ausbildung  der  den 
Kalk  sonst  in  Form  von  gewöhnli^rhem  erdigen  Thon  begleiten- 
den Flnsern  beweist  viehnehr,  dass,  wie  auch  bei  den  unter- 
lagernden Flasersihiet'ern,  die  eine  krystallinische  Entwicklung 
begünstigenden  Verhältnisse  an  dieser  Stelle  und  in  gleicher 


102  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  7,  März  1891. 

des  Ortlerstocks  zusaramensetzen.  Man  klettert,  auf  dem 
Steig,  welcher  an  den  Tabarettawänden  zur  Payerhütte 
führt,  über  die  Köpfe  dieser  Kalk-  und  Dolomitschichten, 
die  nur  von  wenig  mächtigen,  mergeligen  schlecht  aufge- 
schlossenen Mergelbänken  unterbrochen  werden,  zum  Sattel 
empor.  Auch  die  obersten  aus  dem  Gletschereis  des  Ortler 
Ferners  aufragenden  Felsköpfe  bestehen  noch  aus  dem 
gleichen  dolomitischen  Gestein.  Dass  in  diesem  ungemein 
mächtigen  Schichtencomplexe  noch  verschiedene,  bisher  nicht 
getrennte  Triasglieder  verborgen  stecken,  ist  nicht  zweifel- 
haft. Aber  die  enorme  Ausbreitung  der  Gletschermassen 
hindert  hier  eine  nähere  Untersuchung,  jedoch  findet  man 
in  dem  von  der  Ortler  wand  auf  den  Marltgletscher  und  den 
Endder weit- Ferner  herabgestürzten  Gesteinsbrocken  nicht  ge- 
rade selten  einzelne  Stücke,  welche  durch  eingeschlossene 
Versteinerungen  auf  das  Vorhandensein  mehrerer  ünter- 
abtheilungen  hinweisen.  Ein  solcher  tiefcch warzer,  kry- 
stallinisch  körniger  Kalkbrocken  mit  94,<30  Kalkcarbonat, 
2,750/0  Bittererdecarbonat,  2,00^/0  Thon,  0,58 <>/o  Eisenoxyd, 
0,05  kohligen  Bestandtheilen  und  Spuren  von  Phosphorsäure 
umschliesst  zahlreiche  weissschalige  Ueberreste  von  Gastn»- 
|K)den  und  Bivalven.  Unter  ersteren  befinden  sich  namentlich 
^a/ica-iihn liehe  Formen  und  solche,  welche  der  Neritopsis 
oruata  Schaff,  sehr  nahe  stehen,  wenn  nicht  mit  dersell>en 
identisch  sind. 

Die  Grenze  zwischen  dem  Phyllitschiefer  und  den  Trias- 
sohichten  verläuft  von  dem  Marltsattel  nordwärts  unter  den 
Kalkwänden  des  Härenkopfs  und  der  Hochleitenspitz  deutlich 
erkennbar  bis  zu  einer  Einsattelung  zwischen  der  letzteren 
und  dem  Zumpanellberg  und  senkt  sich  dann  zum  Trafoier- 
thal.  Südwärts  st()sst  man  wieder  auf  die  hier  weniger 
vollständig  aufgaschlossene  (le>teinsscheide  am  Kuhberg  vor 
dem  Endderwelt-Ferner.  Auch  an  dieser  Stelle  wiederholt 
sich    dieselbe    Schichtenfolge,    wie   am    Marltrücken.     Tiefer 


104  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  7.  März  189 J. 

quarzitische  Schiefer  an,  welche  auf  der  nördlichen  Thal- 
seite nach  NO.,  auf  der  südlichen  nach  SW.  einfallen,  so 
dass  das  Thal  ungefähr  in  eine  Sattellinie  eingetieft  erscheint. 
Zahlreiche  Blöcke  des  schon  erwähnten  Eruptiv -Gesteins, 
Palaeophyr  (Suldenit  und  Ortlerit),  mit  Uebergängen  in  eine 
Tonalit-artige  Felsart,  deuten  auch  hier  das  Vorkommen  zahl- 
reicher Gänge  desselben  an. 

Weiter  abwärts  im  Thale  stellen  sich  mehr  und  mehr 
phyllitische  Schiefer  ein,  welche  von  der  Brücke  imterhalb 
der  Casa  del  Zebru  gegen  die  Berghäuser  an  den  Gehängen 
bei  St.  Antonio  mit  grünen  chloritischen  Schiefern  sich  in 
die  Herrschaft  theilen.  In  dieser  Kegion  legt  sich  auch 
ein  am  Gehänge  fortstreichendes  Lager  von  weissem,  körnigem 
Kalk  an,  das  sich  weithin  verfolgen  lässt. 

Näher  gegen  Bormio  zu  erblickt  man  hoch  oben  unter 
den  Kalkwänden  des  Mt.  Cristallo  in  den  auslaufenden 
Schluchten  des  Val.  d'  IJzza  eine  Lage  eines  blendendweissen 
Gesteins.  Um  es  zu  erreichen,  steigt  man  auf  dem  östlichen 
steilen  Gehänge  dieser  Thalschlucht  über  ziemlich  constant 
nach  NO.  einfallende  phyllitische  und  chloritische  Schiefer, 
in  welchen  auch  als  Zwischenschicht  der  körnige  Kalk  wieder 
ausstreicht,  zu  einer  felsigen  Region  von  quarzi tischen  Schiefem 
und  feinkörnigen  Augengneissen  empor,  in  welchen  sich  das 
Thal  mit  zahlreichen  tiefen,  wild  zerrissenen  Seitenfurchen 
vergabelt.  Merkwürdig  ist  hier  eine  in  die  Felsen  einge- 
sprengte, jetzt  verfallene  Canalanlage,  welche  in  alter  Zeit 
zur  Bewässerung  der  tiefer  liegenden  Alpweiden  gedient  zu 
haben  scheint.  Ueber  diesen  zackigen  Felsenriff  legen  sich 
wieder  graue  phyllitische,  leicht  verwitternde  und  ein  weniger 
schroff  ansteigendem  Gehänge  bildende  Schiefer  bei  etwa 
2340  m  Höhe  an.  Es  folgen  dann  zniiächst  darüber  cjuar- 
zitische,  braunfleckige,  flaserige  Quar/.itschiefer,  wie  im  Marlt- 
])rofil  und  dann  l>ei  2450  m  das  blon-ltMidweissr  (iesti»in,  das 
sich  nun  als  Gyps  zu  erkennen  giebt.    Derselbe  bildet  hier 


■i 


10(3  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  7.  März  1891. 

Der  Rückstand  mit  concentrirter  Salzsäure  unter  Luft- 
abschluss  in  der  Koehhitze  behandelt  gab  weiter  25,48% 
Lösung  (die  SiO^  ausgeschlossen)  mit: 

Eisenoxyd 4,75 

Thonerde 3,50 

Eisenoxydul 5,75 

Kalkerde 2,00 

Bittererde 0,48 

Wasser        .......  3,00 

25,48 
Dazu 

Kieselsäure 6,00 

Bei  dieser  Lösung  scheint  sich  hauptsächlich  der  Chlorit- 
ähnliche  Bestandtheil  zersetzt  zu  haben,  der  allgemein  in 
den  Phylliten  enthalten  ist  und  vom  typischen  Chlorit  durch 
seine  verhältnissniässig  leichte  Zersetzbarkeit  durch  Salzsaure 
sich  unterscheidet.  Ich  habe  diesen  Gemengtheil  desshalb 
unter  der  Bezeichnung  „Phyllochlorit**  (üeog.  v.  Bayeni, 
L  Bd.  S.   IGO)  vom  eigentlichen  Chlorit  unt-erschieden. 

Der  letzte  Rest  ist  immer  noch  grünlich  gefärbt  und 
erweist  sich  zusammengesetzt  aus  faseriger  hellgrüner  Horn- 
blende, gelblichem  Epidot  mit  Quarz  und  spärlichen  schup- 
pigen Theilchen.  Nach  dem  speziiischen  Gewicht  getrennt 
theilt  sich  der  Rest  in 

Epidot 5 

Hornblende 30 

Qiuirz ()() 

l'nbestimmt 5 

Der  Flusssäure-Anfschlnss  ergab  ein  Gehalt  von  8,4% 
CWoralkalirn,  in  welchem  Kalium  nur  in  ganz  geringen 
Mengen  v»»rtret^*n  war.  Drr  wriss«»  schuppige  Gemengtheil 
dürfte  demnach  aus  Paragonit  bestehen. 


108  Sitzung  der  math,-phys,  Glosse  vom  7,  März  1801, 

Phylliten  und  chloritischen  Schiefer  vorüber  allmälig  in 
die  Höhe.  Die  Schiefer  fallen  hier  noch  constant  in  St.  3 
mit  10  —  15°  nach  NO.  ein.  Auch  die  Einlagerung  von 
weissem  körnigen  Kalk,  welche  wir  im  Zebruthale  und  in 
der  üzzaschlucht  bereits  kennen  gelernt  haben,  taucht  in 
der  entsprechenden  Streichlinie  wieder  auf.  Wir  gelangen 
endlich  zu  einer  breiten  kesselartigen  Einbuchtung,  erfüllt 
mit  Gebirgsschutt  und  grossen  Kalkfelsblöcken,  unter  denen 
mächtige  Quellen  (bei  1625  m  mit  6,5°  C.)  hervorbrechen. 
Diese  Vertiefung  unmittelbar  vor  der  Steilwand,  über  welche 
der  Weg  zu  der  mit  den  zwei  verfallenen  ThOrraen  ge- 
krönten engen  Passschlucht  emporzieht,  scheint  durch  Aus- 
waschung eines  in  dieser  Schichtenregion  zu  vermuthenden 
Gypsstockes  entstanden  zu  sein.  In  der  durch  ungemein  reiches 
Vorkommen  von  Edelweiss  ausgezeichneten  Schutthalde  sah 
ich  zum  ersten  Mal  in  diesem  Gebirgstheil  Bruchstücke  eines 
rothgetärbten  Trümmergesteins,  welches  unzweifelhaft  dem 
sog.  Verrucano  entspricht,  wie  es  von  da  westwärts  bei 
Livigno  und  in  dem  Ofener  Passthal  öfters  anstehend  zu 
beobachten  ist. 

Bei  dem  Aufsteigen  zum  Pass  überschreiten  wir  zuerst 
—  die  tieferen  Schichten  sind  hier  von  Schutt  überdeckt 
und  verhüllt  —  äusserlich  graue,  etwas  gelblieh  angewitterte, 
im  Innern  schwarze,  trümmerige  Dolomite,  wie  sie  am  alten 
Bade  anstehen,  dann  wohlgeschichtete,  dünnbankige,  schwarze 
Dolomite  mit  weissen  Kalkspathadern,  in  welchen  die  Scharte 
(1875  ni)  eingeschnitten  ist.  Jenseits  derselben  erweitert 
sich  die  Fürth  zu  einer  verelmeten  Fläche,  auf  der  eine 
Kapelle  steht.  Die  Kalkwände  bestehen  hier  aus  grauen, 
weissfleckigen  Dolomitschicliten,  für  welche  weisse  Kalkspath- 
adern imd  kleine  weisse  rundliche  Kalkspathknöllchen  cha- 
rakteristisch sind.  (iegen  die  Seen  hin  legen  sich  mit 
gleichem  N<  )-Kinfallen  älinliche  Schichten  mit  zahlreichen 
hellen    Streifen    und    dann    intensiv    schwarze ,    weissaderige 


110  Sitzung  der  math.'phys.  Classe  vom  7.  März  1891. 

Bestandtheile  eine  sericitisehe  Beschaffen Keit  zu  besitzen 
scheinen.  Sie  erinnern  an  die  Fhyllit-ähnlichen  Schiefer  in 
den  liegendsten  Schichten  des  Kalkgebirges  am  Marltkopf. 
Eine  Reihe  schmaler,  langgezogener,  parallel  neben  einander 
fortlaufender  Hügel  zieht  sich  an  dem  Thalrande  fort.  Die 
jähen  aufragenden  Kuppen  derselben  bestehen  aus  karren- 
feldartig  ausgewitterten  Bänken  eines  harten,  grauen,  z.  Th. 
weisslichen,  seltenen  röthlichen  Kalks,  während  in  den  Ein- 
tiefungen zwischen  den  einzelnen  Hügel  rocken  weiche,  leicht- 
verwitternde Mergel  ausstreichen.  Man  wird  hierbei  lebhaft 
an  das  Vorkommen  gewisser  Dachsteinkalke  erinnert.  Doch 
glückte  es  mir  nicht,  Versteinerungen  in  diesen  Schichten 
aufzutindei).  Erst  am  Fusse  des  am  nördlichen  Thalrande 
aufsteigenden  Berggehänges  von  Piz  Ciumbraida  finden  wir 
gaschlossene  Lagen  eines  hell-  und  dunkelgrau  geileckten 
Mergelkalkes  und  schieferiger  Mergel  anstehen,  welche  den 
Liasfleckenmergel  oder  Algäuschiefer,  wie  sie  sich  am  P.  Li- 
schana bei  Tarasp  vorfinden,  entsprechen.  Ihre  Schichten 
fallen  conform  mit  jenen  am  südlichen  Thalgehänge  nach 
NO.  ein. 

In  diesem  breiten,  mit  vortrefflichen  Weidflächen  ver- 
sehenen Frälethale  haben  sich  bereits  aus  zahlreichen  Quellen 
die  Gewässer  zur  Adda  gesammelt  und  fliessen  ostwärts  in 
eine  enge  unzugiinglir.he  Felsschlucht  zur  Ponte  del  Piano, 
wo  der  Bach  d«»s  Brauliothales  sich  mit  der  Adda  vereinigt. 
Hoch  am  (it*hänge  verläuft  ein  Steig  aus  dem  Frälethale  zu 
dieser  Brücke  und  <ler  Jochstrasse.  Schlägt  man  diesen  Weg 
ein,  so  sto.ssen  wir  in  <ler  Nähe  der  östlichsten  Alphütte  der 
Thalverebnung  auf  das  Ausgehende  der  rhätischen  Mergel- 
kalke, in  der  Fortsetzung  jener  am  oberen  Thalrande  und 
steigen  dann  über  dii»  aufgewitti^rtcn  Schichtenköpfe  der  Daeh- 
steinkalk  ähnlichen  (iesteinsl)änke  zu  einem  Sattel  empor, 
von  dem  sich  nun  der  Steig  zu  der  wilden  Schlucht  des 
Forcolabachs    senkt.     Hier    begegnen    wir    erst    wieder  sehr 


112  Sitzung  der  mathrphys,  Glosse  vom  7.  März  1891. 

und  35,49%  Bittererdecarbonat.  In  demselben  ist  auch  der 
Stollen  der  Martinsquelle  eingetrieben.  Zwischen  den  ein- 
zelnen zu  Tag  emporragenden  Felsenköpfen  ist  theils  üe- 
hängeschutt,  theils  eine  Art  diluvialer  Nagelfluh  ausgebreitet, 
so  dass  die  unmittelbar  an  diesen  Dolomit  angeschlossenen 
Schichten  hier  nicht  entblösst  sind.  Doch  stehen  unfern  der 
Badgebäude  an  einem  schmalen  Steig,  welcher  aufwärts  gegen 
die  Nibelungenquelle  und  dann  abwärts  zur  Addaschlucht 
führt,  intensiv  schwarze,  sehr  dünnschieferige ,  mergelige 
Schichten  an,  in  welchen  ich  ähnliche  Fischschuppen,  wie 
in  der  p-Schicht  des  Val  Triazza- Profils  bei  Tarasp  ^)  und 
OstracodcfiSchü\chen  fand.  Das  Hangende  wird  von  gelblich 
verwitternden  Dolomiten,  die  in  eine  2.  Lage  solcher  dünn- 
geschichteter Schiefer  und  dann  in  schwarze  weisspunktirte 
und  mit  kleinen  KalkspathknöUchen  durchspickte  Schichten 
übergehen,  gebildet.  Aehnliche  Schichtencomplexe  sind  auch 
an  der  Jochstrasse  bei  dem  0*'"  Kilometerstein  blossgelegt. 

Indem  wir  die  Aufschlüsse  an  der  Jochstrasse  weiter 
aufwärts  verfolgen,  beobachten  wir  zunächst  über  dieser  Ke- 
gion schwarzer  Dolomite  und  dünngeschichteter  Schiefer, 
welche  constant  nach  NO.  einfallen,  wohlgeschichtete,  z.  Th. 
tiefschwarze,  z.  Th.  hellfarbige,  selbst  röthliche,  vorherrschend 
weiss  gefleckte  und  gebänderte  Streifenkalke,  welche  vielfach 
von  der  Strasse  durchschnitten  werden.  Sie  erinnern  leb- 
haft an  die  hell>treifigen,  oft  breccienartige  Kalke  der  Rad- 
städter Tauern.  Auf  grössere  Strecken  laufen  sie  mit  dem 
Strassenznge  parallel  bis  in  die  Nähe  der  2.  (^antoniere. 
Bevor  man  diese  erreicht  hat,  stösst  man  auf  intensiv  schwar/e 
Dolomite  mit  wiissen  Cr //ro/>orf//^w-ähn liehen,  aber  nicht  deut- 
lich abgegrenzten  und  durch  die  späthige  Beschaffenheit  der 
Aushüllungsmasse  auch  inikroskopisrh  nicht  bestimmter  er- 
kennbaren   Einschlüssen    neben    sehr    deutlichen    Crinoideeti' 

\)  a.  a.  ().  ^:.  22. 


114  Sitzung  der  math.'phys.  Classe  vom  7.  März  1891. 

In  Allgemeinen  seheinen  Schiefer-  und  Kalkgehirgsschichien 
in  gleichförmiger  Lagerung  sich  an  einander  anzuschliessen. 
Sicher  nachgewiesen  ist  dieses*  Verhältniss  zwischen  den 
hängendsten,  den  krystallinischen  Schiefern  ähnlich  ausge- 
bildeten flasrigen  Quarziten  und  den  liegendsten  kalkigen 
Schichten. 

Leider  geben  die  im  Ortlerstock  bis  jetzt  aufgefundenen 
spärlichen  organischen  Ueberreste  noch  keine  zureichende 
Anhaltspunkte,  um  das  ungemein  mächtige  Schichtensystem 
zwischen  den  sicher  nachgewiesen  rhätischen  ScTiichten  und 
den  flasrigen,  weissfleckigen  Quarziten,  welches  man  als 
(janzes  wohl  Ort  l  er  kalk  und  -Dolomit  nennen  kann,  in 
einzelne  Stufen  zu  gliedern.  Nur  im  Vergleiche  mit  den 
gut  unterscheidbaren  Stufen  bei  Tarasp  und  im  Ofen-Gebirge 
sowie  nach  der  Aehnlichkeit  in  der  Gestein8be.schaffenheit 
lässt  sich  vorläufig  ungefähr  folgende  Schieb tengli^denmg, 
welche  mit  der  bereits  18r»J5  von  Theobald  für  das  BOndner 
Kalkgebirge  aufgestellten  Reihenfolge  nahezu  Qbereinstimmt, 
vorschlagen : 

Lias:  Algäuschiefer- ähnliche  graue,  dunkelfleckige 'Kalke 
und  Mergelschiefer  mit  Algenabdrücken  und  Beleniniten- 
Einschlüssen. 

Dickbankige  graue  oder  weissliclie,  stellenweise  röth- 
liehe,  in  Karren  fehler  auswitternde  Kalke  (Lias-  oder 
DachsteinkalkV) 

Khätische  Stuf«?:  Versteinernngsreiche,  graue,  rostig  ver- 
witternde Mergel  und  Kalke. 

Ortler  Kalk   und  -Dolomit: 

ai   Hellgraue,  splittrigc   Dolomite  (V  Ilauptdolomit). 
1>)   Hsiuliwarke.  nur  stellten w«*is«»  entwickelt. 
(•)  Schwjirz«*,    dünnl»ankige.    ver4eincrungsreiche  (kleine 
(rasfarojtodnL   Crinoidvm,  Foramiuifnvu)  Kalke  und 
Dolomite  (V  lJaibl«T  StutVj. 


116  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  7.  Mars  1891, 

und  unzweifelhaft  einer  der  tiefsten  Schichten  des  Kalk- 
gebirgs  nahe  der  Schiefergrenze  angehört. 

Es  ist  sehr  bemerkenswerth,  dass  diese  Quellen  sichtlich 
nicht,  wie  es  so  häufig  bei  warmen  Quellen  zu  beobachten 
ist,  mit  einer  gewissen  Heftigkeit  empordringen  und  aus  der 
Tiefe  aufsteigen.  Im  Gegentheil  macht  die  Art  ihres  Zu- 
tagtretens  den  Eindruck ,  als  ob  sie  von  oben  her  sich  her- 
abzögen und  desshalb  auch  hoch  an  dem  Bergabhang  und 
nicht  im  tiefsten  Thaleinschnitt  ihren  Austritt  fanden.  Dass 
die  einzelnen  Quellenergüsse  einem  gemeinsamen  Hauptherde 
entstiimmen,  dürfte  nach  der  nahe  vollständigen  Ueberein- 
stimmung  in  ihrer  chemischen  Zusammensetzung  kaum  zu 
bezweifeln  sein. 

Was  zunächst  die  in  diesen  Thermen  enthaltenen  Salze 
anbelangt,  so  scheint  nach  dem  geologischen  Bau  der  Gegend 
sicher  angenommen  werden  zu  dürfen,  dass  diese  Salze  den 
Gyps  führenden  Schichten  (ut.  des  voranstehenden  Profils) 
ent^itammen,  welche  in  der  nächsten  Nähe  zwischen  dem 
sericitischen  HjLsrigen  (^narzitschiefer  und  den  tiefsten  Doloniit- 
schichten  sowolil  im  Izzathale  wie  am  Südabhang  des  Mt. 
della  Scala  oberhalb  IVemadio  bis  zu  Tag  ausstreichen.  Fi 
ist  eine  stets  sich  wiederholende  Erscheinung,  dass  mit  solchen 
(lypsablagerungen  Ausscheidungen  von  Stein-,  Bitter-  und 
(ilanbersulz  vergesellschaftet  sind.  Doch  fehlt  stellenweise 
eines  oder  djis  andere  dieser  Begleitsalze  oder  ist  nur  spärlich 
vorhanden. 

Letzteres  s<^*lieint  bei  den  Gypsablagerungen  des  Ortler- 
stocks in  Bezug  auf  Steinsalz  (('lilornatrium)  der  Fall  zu 
sein.  Ks  fehlen  in  dem  die  (iypslinsen  einschliessenden 
Mergelscliiefer  dementspn'cliend  auch  jene  würfelformigen 
Kindrücke  oder  Kry.-tallau>tfillinigcii  von  Steinsalz,  welche 
son>t  so  liäutivr  in  derartigen  Sc)ncht<»n  vorzukommen  pflegen. 
Daraus  erklärt  sich  die  relative  Ariuuth  der  Thermen  an 
Chlornatriuiu   gegenüber  <leiu  ü ehalte  an   Gyps,    Bitter-  und 


1 18  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  7.  März  1891, 

nördliches  Einfallen  beobachtet  wird,  so  mnss  sie  sehr  tief 
hinabgreifen.  Das  Wasser  sinkt  in  den  zerklüfteten  Dolomit 
ein  bis  auf  die  impermeablen  Schiefer,  welche  unter  den 
Kalkbildungen  liegen,  und  steigt  dann  von  dem  südlichen 
Schenkel  der  Mulde  durch  die  Klüfte  des  Dolomits  wieder 
auf.  Es  ist  tief  genug  hinabgegangen,  um  eine  Erdwärme 
zu  treften,  welche  genügt,  um  es  bis  zu  39®  C.  zu  erwärmen. 
Dass  es  grade  an  der  Stelle  erscheint,  liegt  daran,  dass  hier 
eine  synclinale  Einbiegung  in  der  Richtung  der  Streichungs- 
linie ist,  welche  man  deutlich  beobachten  kann  und  in  welcher 
auch  die  Schlucht  der  Adda  verläuft,  welche  aber  eine 
Erosionsschlucht  und  späteren  Ursprungs  ist,  als  die  durch 
die  Erhebung  des  Gebirgs  bedingt«  Biegung  der  Schichten/ 
Theobald  leitet  demnach  die  hohe  Temperatur  der  Quellen 
von  der  inneren  Erd wärme  und  von  dem  Umstände  ab,  dass 
Tagwässer  sehr  tief  in  die  Erde  eindringen,  dort  an  einer 
undurchdringlichen  Uesteinsschicht  sich  ansammeln  und  er- 
wärmen, um  alsdann  wieder  an  günstiger  Stelle  zu  Tag  aufzu- 
steigen. Woher  die  Quellen  ihren  Gehalt  an  Salzen  nehmen, 
wird  hierbei  nicht  erörtert.  Indess  kann  man  von  einem 
solclien  Aufsteigen  der  Thermen  aus  der  Tiefe  nichts  wahr- 
nehmen ;  (las  Quelhvasser  scheint  vielmehr  da,  wo  es  zu  Tag 
tritt,  v\wr  von  der  Höhe  >ich  herabzuziehen  und  zwar,  wenn 
man  die  Verbreitung  der  verschiedenen  Quellpunkte  ins 
Auge  fasst ,  von  dem  hohen  mächtigen  Kalkstock  des 
Mt.  Cristallo  her.  Dazu  kommt,  dass  die  geringe  Neigung 
der  Kalkschichten  am  N.-  und  S. -Hände  des  Ortlerstocks  nicht 
für  eine  heträchtig  tiefe  p]inmuldung  der  Kalklagen  spricht; 
es  scheint  vielmehr  der  Kalkstock  auf  einer  schwach  nach 
SW.  geneigten  und  nur  gering  eingebuchteten  Unterlage 
aufgesetzt  zu  sein. 

Zur  Krkläruiig  der  hohen  Tenij»eratur  der  Quellen  ist 
aber  auch  die  Annahme  einiT  soKheii  tief  niederziehenden 
Schichtenbiegung,    aus   der   die  Thermen    wie<ler  empor  zur 


i 


120  Sitzung  der  tnathrphys,  Classe  vom  7,  März  1891. 

niedrigsten  Punkte  dieser  sich  kreuzenden  Linien  finden  die 
bis  dahin  unterirdisch  circulirenden  Gewässer  den  geringsten 
Widerstand,  der  ihrem  Austritt  zur  Tagesoberfläche  ent- 
gegensteht und  hier  an  dem  Felsenabbruch  des  alten  Bades 
ist  es,  wo  sie  dann  aus  den  Klüften  des  Dolomites  als  Thermen 
hervorquellen. 

So  wenig  wahrscheinlich  es  auch  für  den  ersten  Augen- 
blick sich  darstellen  mag,  dass  so  hochgradig  warme  Quellen, 
wie  es  die  Thermen  von  Bormio  sind,  ihren  Ursprung  eis- 
kaltem Schmelzwasser  sollten  zu  verdanken  haben,  so  leicht 
begreiflich  wird  diese  Annahme,  wenn  man  sich  die  geo- 
logische Constitution  der  hier  herrschenden  Gesteinsbildungen 
und  die  eigenthümlichen  Oberflächen  Verhältnisse  eines  fast 
senkrecht  bis  gegen  2000  m  aufsteigenden  Gebirgsmassiv 
ins  Auge  fiisst.  Bestätigt  wird  diese  Annahme  überdies 
noch  durch  die  Wahrnehmung,  dass  in  Jahreszeiten  lang 
andauernder  Kalt«,  wälirend  welcher  kein  Schmelzwasser  er- 
zengt wird,  die  Ergiebigkeit  namentlich  der  Martinsquelle  als 
eine  der  liöchstgelegenen  beträchtlich  nachUlsst.  Es  wird 
gesagt,  da.ss  diese  (2nelle  schon  auf  kurze  Zeit  ganz  ausge- 
blieben sei,  dann  aber  bei  Beginn  der  Schneeschmelze  wieder 
zu  fli(»ss«Mi   bpgoiini^n  habe. 

Das  eingehende  Studium  der  (iuellenverhältnisse  von 
Borinio  hat  mich  nunmehr  zur  Ansicht  geführt,  es  sei 
auch  für  die  Thermen  von  Gastein  wahrscheinlich,  dass 
einfach  durch  ein  Niedersinken  von  Schmelzwasser  auf  den 
benachbarten  höchsten  Gebirgstlieilen  der  Taurenkette  in 
das  Irmere  des  Gebirgsmassivs  l)is  auf  dtis  Niveau  von 
Gastein  genügt,  um  dem  Wasser  den  hohen  Wärmegrad 
zu  ertheilen,  mit  dem  es  zu  Ga-stein  gleichfalls  ohne  irgend 
beträchtlich<»n  Druck   wahrnehmen  zu   lassen,  zu  Tage  tritt.*) 

1)  V.  (JüiiiIm'I,  iit'iAo'^.  H»Mnerk.  n.  «1.  warmen  Quollen  von 
(ijifltt'in  im  JSitz.  d.  l>ay»T.  A<  ad.  «1.  Wi^s.  math.-pliy.^.  (. 'lasse  18H9. 
XIX.  S.  407. 


121 


üeber  die  ümbildimg  der  Lieberkülm'schen  Drüsen 
durch   die   Solitärfollikel    im  Wurmfortsatz   des 

Menschen. 

Von  N.  Küdinger. 
(Mit  Tafel  V.) 

(StMg€lam/«n  15,  Juni.) 

In  den  letzten  Jahren  hatte  ich  Gelegenheit  die  Wurm- 
fortsätze von  fünf  Enthaupteten  bald  nach  dem  Tode  heraus- 
nehmen und  in  geeigneter  Weise  conserviren  zu  können. 
Die  Individuen,  denen  die  Wurmfortsätze  entnommen  wurden, 
sind  in  den  Sektionsprotokollen  als  gesunde  krufti^re  Manner, 
in  den  mittleren  Lebensjahren  stehend,  bezeichnet. 

Der  Magen,  der  Dünn-  und  Diek<iarm  zei^rten  sich  bei 
denselben  von  normaler  Beschatienheit  und  bei  drei  der 
Enthaupteten  konnte  con>tatirt  werden,  dass  die  Dünndarm- 
verdauung  eingetreten  war. 

Die  Wände  des  Duodenum  und  des  Jejunum  zeigten 
sich  etwas  gerötbet,  das  Darmrohr  miis-ig  stark  ans^^ed^-hnt 
und  etwa«  geschwellt.  Bei  der  Eröffnunt;  «les  Leerdarnu*s 
floss  der  braungelbe  Inhalt  aus  und  die  Oberfliuhe  ih-v  Mu(«.>a 
war  mit  zähem  Schleim  belegt.  Der  Wurmfort-atz  wunl»* 
entweder  dicht  am  Coecum  abgetragen  «nler  in  Verbin<bintr 
mit  einem  Stilck  des  letzteren  herau-gfnommen,  th»Ml.<  in 
Mnller'scher  Flüssigkeit,  theil^  in  Pirriii-Salpeter-änr«*  imd 
einzelne    Stücke    auch    in    Alkohol    conservirt.      VWi    fiueni 


122         Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  7.  März  1891. 

der  Enthaupteten  konnten  sechs  noch  lebende  Spulwürmer 
aus  dem  Ileum  entfernt  werden  und  später  zeigte  sich,  dass 
der  Inhalt  des  Processus  vermiformis  bei  diesem  Manne  Ton 
den  Eiern  des  genannten  Thieres  ganz  durchsetzt  war.  Die 
Stücke  des  Darmes,  bei  welchen  die  Picrin-Sal petersaure  zur 
Conservinmg  Verwendung  fand,  waren  fast  alle  unbrauchbar, 
weil  eine  starke  Schrumpfung  des  Objektes  und  Loslosung 
des  Drüsen-  und  Darmej)ithels  eingetreten  war  und  kamen 
daher  diese  in  Picrin -Salpetersäure  conservirten  Präparate 
bei  Beurtheilung  der  Untersuchungs- Ergebnisse  am  Wurm- 
fortsatze nicht  in  Betracht. 

1)   Die  lymphoiden  Zellen  im  Wurmfortsatz. 

Jene  Forscher,  welche  sich  mit  der  Schleimhaut  des 
Darmkanales  beschäftigt  haben,  wissen,  dass  die  Solitär- 
follikel  im  Dünn-  und  Dickdarm  in  Grösse  und  Zahl  einem 
hochgradigen  Wechsel  unterliegen  und  wurde  von  Hof- 
meister ganz  bes(mders  darauf  hingewiesen,  dass  das  ade- 
noide Gewebe  d.  h.  die  Lymphzellen  in  demselben  bei  Hunger- 
thieren  spärlicher  sei,  als  l)ei  gut  genährten.  Aber  auch  die 
Gesamniternährung  sei  von  Kinfluss  auf  die  Zahl  von  Wander- 
y.ellen  in  der  DarnischlcMinhaut.  Seilet  unter  ganz  normalen 
Verhältnissen  sind  in  dem  einen  Falle  makroskopisch  gar  keine 
Follikel  an  der  freien  Schleinihautfläehe  des  Darmes  sichtbar, 
während  in  einem  anderen  die  Schleimhaut  des  ganzen  Darms  mit 
kleinen  runden  Krliöhungen  reich  besetzt  ist.  Zuweilen  sieht 
man  an  der  Stelle,  wo  dit?  Follikel  an«xebracht  sind,  kleine 
Einseiikungen,  die  man  an  den  Mandeln  und  der  Zungenwurzel 
ebenso,  wie  im  Colon  und  Kectum  beobachtet.  Diese  Buchten, 
die  Krypten,  stellen  Kinsenkungen  der  Schleimhaut  an  der 
Stelle  der  Follikel  dar,  die  man  jednrh  im  Wurmfortsatz  des 
Menschen  ganz.  vermis>t.  Hier  tritl'l  man  den  Follikel  in 
gleicher  Kbene  mit  jener  Sthleimhaiittlikhe,  die  nur  Lieber- 
külursche  Drüsen  einschliesst. 


.     ii 


124  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  7.  März  1891, 

sowohl  die  einzelnen  SolitärfoUikel ,  als  auch  die  Gruppen 
der  Follikel  nicht  gleichmässig  in  der  Schleimhaut  des  Wurm- 
fortsatzes vertheilt  sind,  sondern  um  so  vermehrter  auftreten, 
als  man  sich  dem  blinden  Ende  desselben  nähert,  so  ergaben 
doch  die  Schnitte  des  Wurmfortsatzes  von  verschiedenen  In- 
dividuen, welche  annähernd  an  übereinstimmenden  Stellen 
desselben  gewonnen  sind,  dass  in  dem  Verhalten  und  der 
Zahl  der  lymphoiden  Zellengruppen  einerseits  und  der  An- 
ordnung der  Lieberkülin'scken  Drüsen  andererseits  ziemlich 
grosse  Verschiedenheiten  bestehen. 

Während  die  Schleimhaut  eines  Querschnittes  von  dem 
Wurmfortsatz  des  Individuums  A  in  ihrer  grösst^n  Aus- 
dehnung keine  Lieborkühn'schen  Drüsen  besitzt  und  fast  nur 
von  lymphoider  Substanz  durchsetzt  ist,  zeigt  der  Querschnitt 
von  dem  Processus  vermiformis  des  Mannes  B  in  der  Schleim- 
haut fast  ausschliesslich  Lieberkühn'sche  Drüsen.  Wo  die 
solitiiren  Kollikel  in  der  Schleimhaut  des  Wurm- 
fortsatzes auftreten,  fehlen  die  Lieberkühn'schen 
Drüsen  und  wo  diese  in  voller  Ausbildung  vorhanden 
sind,  ver  Uli  SS  i  nuin  die  Follikel.  Beschränken  sich  die 
Follikel  auf  die  siibglanduläre  Zone  der  Schleimhaut,  so  dass 
sie  noch  aus>erhall)  der  Muscularis  inuco>ae  sich  befinden, 
dann  stehen  die  Lieberkühirscheii  Drüsen  ohne  Tuterbrech- 
ung  ziemlich  «licht  gedrängt  nebt»neinaiider,  theils  von  gleicher, 
tlieils   von   ungleicher   Grös>f». 

Dies»*  Thatsache  allein  drängt  not h wendig  zu  der  Frage- 
stellung, wodurch  dieses  anatomisch -vcrsdiiedene  Verhalten 
der  Schleimhaut  be<lingt  sein  kl'uine.  I)ic>er  Wechsel  der 
(iebilde  niuss  unzweifelhaft  in  einem  Zu-iannut»nhang  stehen 
mit  der  |{uhe  und  der  Thätigkcit  der  Schleimhaut  in  den 
verschietlenen  Stadien  der  Funkt inu  im  Dickdarm  resp.  im 
Wurmlortsitzl 

Nach  den  hi^hcrigcn  Frj^cl»ni>MMi  meiner  l  nter>uchungen, 
die  ich  am  Wurmfort>atze  gewinnen  konnte,  niu>s  ich  die  erste 


126  Sitzung  der  mathrphys.  Clause  vom  7.  März  1891. 

likels  nicht  im  geringsten.  Würden  die  Lieberkühn ^schen 
Drüsen  bei  der  Vergrosserung  eines  Follikels  verdrängt,  so 
müssten  dieselben  dort,  wo  der  lymphoide  Zellenhaufen  eine 
Vergrosserung  erfahrt,  dichter  zusammenrücken,  was  aber 
durchaus  nicht  der  Fall  ist. 

Man  kann  ganze  Schnittreihen  untersuchen,  ohne  eine 
Aenderung  in  der  Stellung  der  Lieberkühn'schen  Drüsen  zu 
einander  wahr/unehnien. 

Ein  Vergleich  der  Schnitte  von  den  Wurmfortsätzen  der 
verschiedenen  Individuen  ergibt  ganz  überraschende  Resultate. 
An  der  einen  Schnittreihe  von  einem  Individuum  A  lässt  sich 
nachweisen,  dass  die  Lieberkühn'schen  Drüsen,  wie  Palissaden 
neben  einander  stehend,  die  Schleimhaut  fast  des  ganzen  üm- 
fangs  des  Procassus  vermiformis  erfüllen  (Fig.  I),  während 
sich  an  einer  anderen  Schnitiserie  von  einem  Individuum  B 
in  gleicher  Ausdehnung  in  der  Schleimhaut  nur  drei  oder 
vier  LieberkühnVche  Drüsen  zählen  lassen.    (Fig.  II.) 

Fassen  wir  vorerst  noch  den  gegen  die  freie  Schleim- 
hautfläche vorrückenden  Leucocytenhaufen  in's  Auge,  so  sieht 
man,  dass  er  in  dem  \'erhältniss,  als  durch  ihn  das  Epithel 
der  Schleimhaut  vorgewölbt  wird,  ihre  Cylinderzeilen  um- 
formt, indem  aus  diesen  platte  Zellen  hervorgehen,  die 
schliesslich  wie  ein  einschichtiges  IMattenepithel,  den  Solitär- 
follikel  j^egen  das  Darmlumen  abgrenzen.  Die  Cylinderzeilen 
und  au(?h  ihre  K»*rne  werden  so  al^geplattet,  dass  der  grösste 
Durchmesser  der  letzteren  der  Si.hhMmhauttläche  parallel  steht. 

Unzweifelhaft  ist  diese  rrnforuiuug  der  Cylinderzeilen 
zunächst  da<  lu'sultat  d»M-  mechanischen  Einwirkung  des  sich 
vergrössi'rnd»Mi  lynii>li(>i<len  Zelleuhaufrns,  welcher  die  Sehleim- 
haut hügelig  nach  dem  Dariuluinen  v(>rwi*)lbt.  Die  Verdünnung 
der  Epithel/eilen  erreicht  allnuihli.Lr.  wie  dies  schon  von  an- 
deren Autoren  hervorgehoben  wurde.  tMuen  so  hohen  (»rad, 
dass  die  Kitt-substanz  zwischen  d<*n-;fll»eu  od«»r  die  Zellen- 
platten selbst  zerrei.-sen    und  dem   Follikelinhalt  den   Eintritt 


128  Sitzung  der  mathrphys.  Glasne  vom  7.  März  1891, 

ces.sus  vermiformis  annehmen,  das8  dieselben  eine  endgiltige 
Rolle  im  Darminhalt  spielen.  Nicht  eine  einzige  Thatsache 
ist  mir  bei  diesen  Untersuchungen  entgegengetreten,  die  ich 
dahin  venn'erthen  könnte,  dass  eine  Hückkehr  der  einmal  in 
das  Darmlnmen  gelangten  Kerne  der  Leucocyten  in  die 
Schleimhaut,  denn  nur  Kerne  allein  kann  ich  im  Darmrohr 
wahrnehmen,  stattfindet.  —  Lymphoide  Zellen  oder  nur 
deren  Kerne  gehingen  nicht  nur  zwischen  den  Cy- 
linderepithelien,  sondern  auch  nach  Verdünnung 
und  Zerreissung  des  Epithels  an  den  solitären  Fol- 
likeln und  den  Follikelgruppen  in  das  Lumen  des 
Wurmfortsatzes  zu  dessen  Inhalt.  Dass  der  Wurm- 
fortsatz immer  mit  einem  feinkörnigen  oder  einem  graugelbeo 
Sekret  erfüllt  i.^t,  geht  aus  den  rnt<'rsuchungen  der  fünf 
Präparate  klar  hervor.  In  dem  einen  Falle  war  der  Inhalt 
ganz  durchst't/t  mit  den  Eiern  von  Ascaris  lumbrieoides, 
wt»lchcr  l)i*i  der  S«»kti()n  aus  dem  Dünndarm  genommen  wurde. 

2)  Die    Einwirkung   der    ly ni]»h()iden   Zellen    auf  die 

Liel)«»rk  ü hn'schen   Drüst'n. 

\\v\  den  MusternngtMi  der  Schnitt.serien  des  Wurmfort- 
^at/«'s  an  <hMi  fünf  IndividutMi,  deren  Darm  in  den  verschie- 
flriit'ii  iStadi«*n  (irr  Verdauung  l)ei  der  Conservirung  «ich 
befand,  beohuditet«'  ich  ein  (eigenartiges  Verhalten  der  Lieb«»r- 
kühn'M-lieii  l)rü>en  zu  jenen  Stellen,  wo  ein  S<ditärfollikel 
oder  eine  Follikelgnippe  ;^e^en  die  lji(»lM«rkülHrschen  Drüsen 
vorrückt.  Im  ersten  Augen hlick  nni^^te  man  an  verschiedene 
MöglidikeitiMi,  welch«'  «ii«*>e  immer  wi«Mlerkehrenden  Bilder 
in  der  SihliMinhaut  zu  Stand«*  l)riii^eii,  clmken  und  man 
konnte  zuiiiich>t  annelniM'n.  daxs,  w«Min  man  die  blinden  Enden 
der  Li«*lM*rkiUinV(  lien  l)rii><*n  In-i  v»'r.s(  lii«*.lenariijxer  Schnitt- 
fühnmg  zur  An-rhaunniT  brluL^t,  die  /♦•Ilengrnppen  derselben 
olin«*  Lnmt'U  und  (din«*  r«*»^«'lMiässiL;e  Aiioniiiung  sich  zeigen. 
Allein   bald   nHi»te  ich  «ii»*   l  eber/<*n<riiiij^  «gewinnen,  dass  in 


130  Sitzung  der  math.-pliyA,  Clas/tc  vom  7,  März  1891. 

Zellen  eingetreten  ist,  die  rothe  Farbe,  resp.  das  Protoplasma 
mehr  und  mehr  schwindet,  walirend  an  der  entgegengesetzten 
Unirandun}^  der  Drii.se  die  rothe  Färbung  des  Drüseninhalts, 
in  welchen  die  blauen  Kerne  auifallend  durchschimmern, 
erhalten  ist.  Neben  der  Aenderung  der  Form  und  der  Stell- 
ung der  Cylinder/ellen  zueinander  und  zur  scharf  begrenzten, 
kernhaltigen  Tunica  propria  der  Urils«)  geht  die  Zellenniembran 
und  das  Protoplasma  der  Cylinderzellen  zu  Grunde,  denn  die 
Zelle  wird  kleiner  uml  die  specitische  Farben reaetion  bleibt 
an  der  formell  geänderten  Zellenreihe  vollständig  aus.  Die 
blau  gefärbten  Zellenkerne,  wenn  auch  in  unregelmässiger 
Anr»rdiiung,  sind  jetzt  um  so  deutlicher  geworden.  Sehr  bald 
erkennt  man  auch  keine  Tunica  propria  der  Drüse,  die  sehr 
charakteristisch  und  deutlich  war.  und  in  dem  Verhältniss, 
als  der  solitäre  Follikel  sich  vergrössert,  wird  die  Lieberkübn- 
sche  Drüse  in  ihrem  ganzen  Umfange  in  den  beschriebenen 
Kreis  der  Veränderung  gezogen  :  ihr  Lumen  schwindet  all- 
mählich gänzlich,  die  Tunica  propria  ist  gar  nicht  mehr  zu 
er  keimen  und  an  der  Stelle,  wo  die  Drüse  war,  ist  jetzt  ein 
Nest  von  blau  gefärbten  Kernen  aufgetreten.  Dieselben  be- 
schränken sich  anfänglich  noch  auf  die  Stelle,  wo  die  DrOse 
war  und  schli<\sslich  schwindet  auch  diese  Begrenzung,  so 
dass  die  Li(*berkühn\sche  Drüse  ganz  und  gar  den 
Charakter  des  SolitärfoUikels  angenommen  hat  und 
auf  dem  Querschnitt  nur  die  helle  centrale  Parthie 
des  Follikels,  das  Keimcentrum,  mit  dem  dunklen 
dichten  Hof  vorhanden  ist.  (Fig.  II.)  Diese  Veränder- 
ungen der  Drüsen  schreiten  von  ihren  blinden  Enden  gegen 
die  freie  Öchleimhautfläche  hin  fort  und  an  der  Stelle  der 
Lieberkühn'schen  Drüsen  befinden  sich  nur  noch  lymphoide 
Zellen,  an  welchen  das  Proto]>hisma  eine  kaum  sichtbare 
Schichte  um  den  Kern  herum  bildet.  Selbst  bei  Anwendung 
starker  Vergrösserungen  erhält  man  den  Kindruck,  als  seien 
in  dem  Öolitärfollikel,  wenn  derselbe  die  Schleimhautoberfläche 


132  Sitzung  der  math.-jjhys.  Classe  vom  7.  März  1891. 

Ich  sah  in  den  Cylinderzellen  der  Lieberkühn 'sehen 
Drüsen  vielfach  Kerne  derselben,  welche  gegen  die  dem 
Lumen  der  Drüse  zugekehrte  Abtheilung  der  Zelle  vor- 
rücken und  finde  in  einer  und  derselben  Ebene,  ganz  dicht 
nebeneinander,  zwei  Kerne  auftreten,  die  kaum  anders 
als  Kerntheilung  ohne  Mitose  gedeutet  werden  können. 
Diese  Kerne  vergrössern  sich  und  wandern  auch  bis  in  das 
Drüsen lumen,  in  welchem  man  ihnen,  wenn  auch  nicht  sehr 
häufig,  auf  (Querschnitten  der  Drüsen  begegnet.  Seltener  sieht 
num  diese  Kerne  gegen  die  Basalmembran  der  Drüse  vor- 
rücken und  glaube  ich  auch  nicht,  dass  sie  diese  Richtung 
regelmässig  einschlagen,  was  doch  geschehen  raüsste,  wenn 
dieselben  zu  den  Wanderzellen  der  Follikel  werden  sollten. 
Ich  vermuthe  vielmehr,  dass,  wenn  die  Lieberkühn'schen 
Drüsen  durch  die  Einwirkung  der  FoUikelelemente  um- 
gewandelt sind,  eine  Neubildung  derselben,  welche  a  priori 
angenommen  werden  muss,  durch  Theilung  der  noch  erhal- 
tenen Drüsenzellen  stattfindet.  Man  sieht  nämlich  an  ein- 
zelnen Stellen  gabelig  geth eilte  Lieberkühn^sehe 
Drüsen  in  grösserer  Zahl  auftreten,  während  die  meisten 
Drüsen  durclischnittlich  einfach  geformte  Cylinder  sind.  Zwei, 
drei  und  sell>st  vierfache  Theihingen  der  Lieberkübn*schen 
Drüsen,  wie  man  sie  /.  13.  im  Dickdarm  des  Hundes  beob- 
ac-lit('t,  sind  im  Processus  vermiformis  und  auch  im  Dickdann 
des  Menschen  gnxse  Seltenheiten.  Aber  an  einzelnen  Ol>- 
jfkttMi  begegne  ich  die.-er  Verd(>|)j»hing  der  Drüsen  in  so 
grosser  Zahl,  dass  ich  eine  totah.»  Theilung  derselben  ver* 
ujuthe  nach  jenem  Verdauungsstadium,  bei  welchem  die 
Drüsen  zu  Leucocvtlien häufen  umgewandelt  wurden.  Ware 
diese  Theilung  der  Drüse  als  imii  regelmä-ssiger  Vorgang  nach- 
gewiesen, >o  würden  die  HeobaelituniT^'n  v<»n  v.  Davidoff 
meiner  .Mt»inung  nach  auch  dahin  gedeutet  werden  können,  dass 
die  Vermehrung  «ler  Kerne  in  den  (.'vlinchTzellen  der  Schleim- 
haut dann  erforderlich  ist,  wenn  beim  Follikeldurchbruch  eine 


134  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  7,  März  1891, 

Schleimhaut  aus  nach  der  freien  Oberfläche  fortschreitend, 
hesdirieben  und  in  seiner  Figur  13  abgebildet.  Hier  erscheint 
doch  der  Vorgang  der  Art,  dass  man  viel  eher  die  Ver- 
änderungen des  Epithels,  durch  den  vorrfickenden  Follikel 
bedingt,  von  der  Tiefe  nach  dem  Lumen  des  Darmrohres 
hin  fortsclireitend,  «ableiten  möchte,  als  ein  umgekehrtes  Ver- 
hältniss  annehmen.  Wenn  auch  die  Bildungsstätte  für  die 
Leueocyten  nach  der  Anschauung  v.  Üavidoffs  in  die  Epithel- 
zellen der  Schleimhaut  verlegt  wird,  so  kann  doch  die  That- 
sachc  nicht  geleugnet  werden,  dauss  der  Inhalt  der  Follikel, 
wenn  dieser  eine  gewisse  (i rosse,  resp.  eine  bestimmte  Reife 
erlangt  hat,  in  das  Dann  röhr  einwandert.  Ferner  darf  auch 
iin  die  Möglichkeit  gedacht  werden,  dass  die  Kerntheilung 
in  den  Epithel/eilen  der  Schleimhaut  sowohl,  als  auch  in 
den  Lieberkühn'schen  Drüsen  als  Einleitung  der  Zelltheilung 
stattfindet,  um  das  zu  (i runde  gegangene  Driisen-  oder 
Schleimliaut- Epithel  wieder  zu  ersetzen.  Eine  Neubildung 
der  Lieberkühn'sfheii  Drüsen  von  dem  Epithel  der  noch  vor- 
handenen Drüsen  oder  \(m  der  Schleimhaut  aus,  ganz  ebenso 
wie  das  letztere  bei  der  erstnuiligen  Entwicklung  zu  Staude 
kam,  mu.-s  doch  als  einzige  Möglichkeit  festgehalten  werden. 
Für  eine  andere  Art  des  Wiederersatzes  der  Lieberköhn'schen 
Drüsen  spricht  keine  einzige  Thatsache  an  den  mir  vor- 
liegenden ()l>jekten. 

Doch  muss  ich  noch  auf  eine  Eigenthümlichkeit  in  dem 
V(;rhalu*n  der  LieiM'rkühirscheii  Drüsen  hinweisen,  für  die 
ich  el>ens(>wenig,  wie  für  die  erwähnte  Neubildung  eine  Er- 
klärung geben  kann.  In  «ifr  Figur  S  der  Tafel  V  sind  Quer- 
schnitte d(.T  l)rüs«Mi  ge/riclinet,  wrlciiH  i'ine  stdir  verschiedene 
^Irösse  zeigen.  An  t*in/elnen  Stellen  der  Schleimhaut,  ins- 
))es<»ndere  dort,  wo  ein  Ijencocytenhaufen  vorhanden  war, 
begegnet  man  >elir  kl  «»inen  Lieberkü  lin  sehen  Drüsen, 
an  welchen  ich  am  Querschnitt  einen  Kranz  von  1^ — 18  Cv- 
linderzellen  zählen    konnte,    während  ich  an    grossen   Drüsen 


Büdinger:  Umbildung  der  Lieberkühn* sehen  Drüsen.         135 

40  —  48  Cylinderzellen  annähernd  festzustellen  im  Stande 
war.  Indem  man  im  ersten  Augenblick  diese  kleinen  Lieber- 
kOhn^schen  DrQsen  für  neu  gebildete  ansehen  möchte,  konnte 
ich  über  ihre  Herkunft  keinen  Aufschluss  erlangen.  An 
keinem  einzigen  Prapartft  der  Wuritifortsätze  konnte  ich 
Längsschnitte  dieser  DrQsen  zur  Anschauung  bringen  und 
bleibt  mir  daher  ihre  Abstammung  und  ihre  Deutung  unklar. 
Iph  zweifle  nicht  daran,  dass  wenn  man  eine  genügend 
grosse  Zahl  von  menschlichen  Wurmfortsätzen  gut  conservirt 
zur  Verfügung  hätte,  und,  was  ich  besonders  betonen  möchte, 
lückenlose  Serien  ven  Querdurchschnitten  herstellt,  alle  die 
berührten  Fragen  beantwortet  werden  könnten.  Nach  meinem 
Daf&rhalten  stallt  der  Wurmfortsatz  ein  besonders  geeignetes 
Gebilde  für  das  Studium  aller  Vorgänge,  welche  sich  in  des.sen 
Schleimhaut  bei  den  verschiedenen  Verdauungsstadien  ab- 
spielen, desshalb  dar,  weil  derselbe  mit  seinem  Inhalt  un- 
versehrt zur  Conservirung  und  Untersuchung  gelangen  kann. 


136  Sitzung  der  mnth.-phys.  Clattse  vom  7,  März  1891.  . 


Beschreibang  der  Figrnren  aaf  Tafel  Y. 

Figrara  I.  Darstellung  eines  Abschnitte«  der  Schleimhaut  den 
VViirmfortsatzeH  vom  Menschen,  an  welchem»  die  Lieberküho*t(cheii 
DrÜHen  dicht  gedrängt  vorhanden  nind.  Der  ganze  Querschnitt  den 
Processus  vermiformis,  von  dem  die  Abbildung  gewonnen  wurde,  lässt 
nur  vier  üolitäre  Follikel  erkennen,  während  zwischen  denselben  eine 
grosse  Zahl  der  Lieberkühn'schen  Drüsen  erhalten  ist.  Diese  zeigen 
ganz  normale  Abstünde  voneinander. 

Fig.  II.  Diese  Figur  ist  einem  Querschnitt  eines' Wurmfortsätze« 
entnommen,  an  welchem  nur  sehr  wenige  Lieberkilhn'sche  DrflHen 
sichtbar  erscheinen.  Die  einzelnen  noch  erhaltenen  DrÜRendurfhschnitte 
treten  nur  in  der  Nähe  der  Schleimhaut  auf.  Die  Follikel  1.,  2.  und  8. 
erscheinen  lang  gestreckt  uml  <las  helle  Keimcentrurti  zeigt  dieselbe 
längliche  F(»riM,  wie  drr  ganz«'  Follikel.  1.  Schiefe  Abschnitte  von 
drei  Lieberkühn'schen  Drüben.  5.  Fine  lange  Drüse,  welche  von  zwei 
Follikeln  umschlossen  i>t. 

Fig.  III.  Querschnitt  von  einem  Pr(»cessus  vermiformis,  an  welchem 
all«*  Srhiihtcn  vnn  d^r  Muscularis  propria  bis  zur  freien  Schleimhaut- 
tlärli«'  auf>^enoiiiiiu'n  s^nd. 

1.  Musculari«*  propria  de<  Fro('r«;<*us  vermiformis." 

2.  Subniuiosa,  in  welcher  »-in  >i«b  entwickelnder  Follikel  ein- 
gertchlossen  ist.  (»erscU^e  beiludet  *■!<  h  nnili  ausserhalb  der  Musculari« 
mucosae,  welch«»  sich  bei  riorm.ilem  N'erhaltcn  die  .Mucosa.  von  der 
Submu«*0'<a  abirn-n/t. 

t.  Die  bieb«»rkübn'si  h«'U  Drii-«'n  ^riHst«'uth«'iK  «pier  durch<«chnitten 
r>.  Frj'i«'  Silileimliautllacli«'  mit  dem  « 'vlinilerepith«'l  überkleidet. 
i).  ."^^ülilariT  Follikel   mit  einem  Ip-lb^n   Keimccntrum. 

Fig.  IV.  Si»litärfollik»'l  bi-  zum  Kpithel  d<'r  >c|ileimlunil  vorg«*rfl«'kt. 
1    Di«'    L«Mict»cvten    «tIüII«!!    »licbt.L,n.,||-.,„^r|    ,|,.p    <ranzen    Follikel 
und   reii-hen   bi^  zur  S<-lil(Mmliaut   1.2). 


138  Sitzung  der  math.'phys.  Clasae  vom  7,  Märe  1S9J. 

Fig.  VII.  Solitärfollikel  bei  schwacher  Vergrösserung.  1.  Dichter 
dunkler  Hof;  2.  Hellen  Reimcentnim  des  FollikeU  3  und  4,  Ver- 
änderte Lieberkühn'sche  Drüsen,  von  welchen  einzelne  ganz,  andere 
zur  Hälfte  durch  die  Einwirkung  des  Solitärfollikels  verändert   sind. 

Fig.  Vin.  Eine  Gruppe  von  verschieden  grossen  LieberkOhn*schen 
Drüsen.  1.  Grosse  Drüsen  quer  durchschnitten,  deren  AasführunMTS- 
gang  von  vielen  Zellen  umringt  ist.  2.  Reticuläre  Bindesabstanz.  in 
welcher  8,  kleine  langgestreckte  Drüsen  mit  einer  geringeren  Zahl 
von  Cylinderzellen  ausgekleidet  sichtbar  sind.  Abgesehen  von  der 
Kleinheit  dieser  Drüsen,  ist  kein  Unterschied  von  den  grossen  zu 
konstatiren. 


Sitzungsberichte 

der 

kOnigL   bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 

OefiFentliche  Sitzung 

zur  Feier  des  132.  Stiftungstages 
am  21.  März  1891. 


Die  mathem.-physikal.  Classe  hat  im  verflossenen  Jahre 
5  Mitglieder  durch  d^n  Tod  verloren  :  das  ordentliche  Mit- 
glied Dr.  Frinz  Hessler,  den  Senior  der  Classe  und  der 
Akademie,  dann  aus  der  Reihe  der  auswärtigen  Mitglieder :  den 
französischen  Geologen  Edmond  Hebert  in  Paris;  aus  der 
Keihe  der  correspondirenden  Mitglieder :  den  Chemiker  Hein- 
rich Will  in  Giessen,  den  um  die  physiologische  und  land- 
wirthschaftliche  Chemie  verdienten  Forscher  Wilhelm  Henne- 
herg  in  Göttingen  und  den  russischen  lloisendiMi  und  (l(»o- 
graphen  Peter  von  Tschichatscheff  in  Florenz. 


Franz  Hessler. 

Im  Jahre  1878  stellte  sich  dem  damaligen  Classensokretrir, 
Herrn  von  Kobell,  ein  altmodisch,  aber  sorgfältig  gekleid<'t<'r 
Ctrcis  als  der  pensionirte  kgl.  bayer.  Hezirksarzt  Dr.  Franz 
Hess  1er  aus  Wemding  vor,  mit  der  Angabe,  er  wäre  aus- 
wärtiges  Mitglied    unserer    Akademie    und    träte    bei    seiner 

IUI.  lUtb.>plixa.  Cl.  ?.  10 


140         Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  31.  März  1891. 

Uebersiedelung  nach  München  Statuten  gemäss  als  ordentliches 
Mitglied  der  matli.-physikal.  Chtsse  ein.  Herr  v.  Kobell, 
dem  der  Name  und  die  Verdienste  Hessler's  gänzlich  un- 
bekannt waren,  erfuhr  in  der  That  aus  den  Akten,  Abs» 
Franz  Hessler  schon  im  Jahre  1848  auf  Vorsclilag  Walther's 
zum  correspondirenden  und  im  Jahre  1852  auf  Vorschlag 
der  Herren  Kingseis  und  Martins  zum  auswärtigen  Mitgliede 
der  Akademie  wegen  seiner  Verdienste  um  die  KenntnisR 
der  altindischen  Medizin  erwählt  worden  war. 

Es  ist  wahrlich  ein  seltenes  Vorkommen,  dass  ei«  viel- 
beschäftigter Arzt  das  Interesse  besitzt  .und  die  Zeit  sich 
abringt,  um  eine  Sprache,  die  damals  nur  Wenige  beherrschten, 
sich  anzueignen  und  in  jahrelanger  Arlieit  die  merkwürdigen 
Aufzeichnungen  einer  der  ältesten  Heilkunden  der  ärztlichen 
Wis.senscliaft  zugänglich  zu  machen.  Vor  50  Jähren  war  es 
zwar  noch  ziemlich  häufig  der  Fall,  dass  der  Arzt  sich  mit 
irgt?nd  ein<*in  Zweige  der  Naturwissenschaft,  namentlich  d^r 
beschreibenden,  eingehend  beschäftigte  und  an  der  Erforschung 
der  FhuM  und  Fauna  seines  Wohnortes  sich  betheiligte;  auch 
das  ist  bei  d«?r  ei;ienartigen  Entwickhmg  der  Medizin,  welche 
innner  mehr  Special- Kenntnisse  und  Ftjrtigkeiten  von  ihres 
JiMP^iMii  verlangt,  Jeibuh  unliegreifliclier  und  unheilvoller 
\Vei>e  im  deutschen  lu'iche  trotzdem  weniger  Zeit  zum  »Stu- 
dium bi.'iin-))ru('lit  wi'*  früher,  kainn  mehr  möglich;  die 
Zficheii  deutm  aber  aucli  .-chnn  jetzt  darauf  hfn,  diws  dies«? 
•■xpan>ive  Au>biMung  nui'  Kn-ten  der  Tiefe  derselben  ge- 
M-hit-bt  und  d;i<  V(>r/ti;(lieb  aus  cb-u  Xatur\vi>senscliafteii  ge- 
wunueue  ^  «•r^täuihn>.-  <l«'r  VtirgliliLTe  .-owie  die  feine  Heob- 
arlituiig>gabe  ib'-  alten   Ar/t<'s  dabri    Nerlon-u  geht. 

l>a>  äu->«r«'  Li'beii  i'ranz  llf-'-b'r'^  vt-rlief  in  iler  ein- 
fachsten    \\  ei^e. 

Er  wurdi*  zu  KniHibarb  bii  A"'lialV«iilnirg  am  1:^  Ok- 
tnlier  di'>  .labres  ITi'"^  nU  (b*r  Sidiii  -<  blirbler  liauersleiite 
geboren.    Nachdem  er  da- <  ivnina>iuiu   /u  A-rbaffeubnrg  mit 


r.  Vnit:  Xelrolog  auf  Franz  Hessler.  111 

Auszeichnung  absolvirt  hatte,  bezog  er  zuerst  die  Univer.-ität 
Würzbury,  begab  jsich  aber  balJ  von  da  nach  Heidelberg, 
um  uut^r  Ijeitung  des  l*n»fe3.sors  Creuzer  während  der  Jahre 
1823  nnd  1S24  Philologie  zu  studircn,  wodurch  er  den  Grund 
zu  seiner  Kennt niss  des  Sanskrit  legte.  Nach  Würzburg 
zurückgekehrt,  wurde  er  jedoch  der  IMiiiologie  aus  mir  un- 
U-kannt  gebliebenen  Gründen  untreu  und  begann  Natur- 
wissenschaften und  Medizin  zu  treiben,  auf  welche  er  «J  Jahre 
verwendete.  Nach  rühmlich  erlangtem  Doktorgrade  der  Philo- 
sophie nnd  der  Medizin  fungirte  er  in  Würzburg  während 
zwei  .tahren  als  Assistenzarzt  an  der  städtischen  ambulanten 
Klinik  unter  Fend  und  Ruland,  und  bestand  dann  die  da- 
malige Prüfung  für  den  gerichtsärztlichen  Staatsdienst  sowie 
die  sogenannte  Proberelation  bei  der  Prüfungskommission  in 
Bamberg  mit  der  Note  der  Kminenz.  Darauf  bekleidete  <*r 
während  2  Jaliren  die  Stelle  als  Leibarzt  bei  <lem  in  Deutsch- 
land reisenden  russischen  (irafen  Wielhorskv,  bis  er  im 
Jahre  1833  als  kgl.  Landgerichtsarzt  in  Miesbach  angestellt 
wurde.  Auf  seine  Bitte  wurde  er  von  da  in  gleicher  Eig(»n- 
schafi;  nach  dem  kleinen  Badest^ldtchen  Wemding  im  Ities 
versetzt,  woselbst  er  28  Jahre  hindurch  (bis  lSß2)  <lie  me- 
dizinische Praxis  in  allen  Zweigen  der  Arzneikuiide  ausübte 
und  zugleich  als  Badear/t  thätig  war. 

Hier  in  der  Abgeschiedenheit  von  dem  Treiben  der 
Welt  entstand  das  Werk,  welches  seinen  Namen  über  seinen 
Wirkungskreis  als  Ar/t  bekannt  machen  sollte.  Kr  üIxt- 
s^tzte  den  .Ayurveda  d.  i.  das  Lehrliucli  der  Heilkunde  de-^ 
^$n>ruta  aus  dem  Sanskrit  in\s  Lateiniselu?  in  3  Händen  und 
2  Konimentar-Fascikeln,  welche  mühsame  Arbeit  einc^n  Zeit- 
aufwand von  20  Jahren  in  Anspruch  nahm. 

Von  Wemding  wurde  er  im  .lahre  ISiiü  als  He/irksarzt 
nach  dem  oberbayerist-hen  Markte  (»eisi-nfeld  vers*'tzt,  in 
welchem  er  11  Jahre  wirkte,  bis  er  1^7^»  im  Alt«'r  von 
7'}  Jahren  in  den  erbetenen   Kuhotainl,   unter  Anerkonnnng 


141  Sitzutuj  der  nuührphys.  Classe  vom  21.  März  1S9J, 

uiiseroin  Ijerühmten  verstorbenen  Collegen,  dem  Orient alisteu 
Markus  Josef  Müller,  auf  dsi»  Entschiedeuste  betont  wurd«. 
Ks  würde  allerdings  die  Gescliiclite  der  Medizin  eine  neae 
Grundlage  erhalten  haben,  wenn  der  Susruta  das  hohe  Alter 
gehabt  hätte  und  die  (Quelle  der  europäischen  Medizin  ge- 
wesen wäre,  wie  llessler  meinte;  aber  seine  angeblichen 
Beweise  Hessen  sich  leicht  widerlegen  und  als  grundlose  An- 
nahmen erkennen. 

Trotz  alledem  muss  man  andererseits  bedenken,  dass 
llessler  mit  seiner  Uebei^setzung  nicht  der  Philologie,  son- 
dern vorzugsweise  der  Medizin  dienen  wollte,  indem  er  der 
ärztlichen  Wissenschaft  die  altindischen  Anschauungen  über 
die  Krk  ran  klingen  und  die  Heilmittel  zu  erschliessen  bestrebt 
war.  l'nd  dass  man  hierin  ihm  zu  grossem  Danke  ver|»flichtet 
ist,  das  ist  keinem  Zweifel  unterworfen,  wenn  auch  die  Philo- 
lt>gie  von  seinen  Arbeiten  keinen  Gewinn  gehabt  hat  und 
wenn  auch  die  an  die  Ufbersetzung  des  Susrutu  weh  an- 
knüjd'i'iide  eigentlich  wissiMischaftliche  Thätigkeit,  durch 
welcln»  dem  Buche  >eiin'  wahn^  Stelle  in  der  Wissenschaft 
hätte  angi*wii'.-en   werden  si»llen.  eine  misslimgene  ist. 

Man  braucht  zu  dem  Zwecke  nur  den  Kindruck,  welchen 
rlie  !\eimtni-s  (lc>  Axiirveda  des  Susruta  auf  einen  der 
ersten  KrniHT  der  i  icMliiclite  der  Medi/iu,  auf  H.  llaeser, 
gciiiaclit  iiat .  sich  zu  vcr|^i*gfii\värtigeii.  Obwtdil  Ilaet^'r 
elMiit'all>  gi'iren  II es .4er  g»'lteiid  machte,  dju-^s  die  in  der 
Saii.rkrit -Sprarhe  veria»h'n  nuMli/iniM-lien  Schriften  wahr- 
-clieiulich  iiii-lit  tViiin-r  al>  km/  \nr  »Imi  Anfange  der  chri>t- 
lidn'ii  ZeitivcliimiiL^  Mi«'ili'rL^r-rliiic})i'n  wordm  >ind,  mi  hält 
er  dncli  «icn  Auirveda  i'iir  ijas  wiciitiirste  der  vielen  noch 
v<»rlianleiH'M  nudizini-cluM  Sai>krit\\crkc.  Kr  )»erichtet  aus 
llr.'-!«'r'.>  Wrrk  aii^^fülirll«  h  in  «».•in<iM  Lelirbui-li  «ler  ^iesrhicht-e 
der  Meili/.in  iiln-r  die  daiiii  iiji-'hTLT'-li'L^tc  >tannenerregende 
Ma— c  v<iii  iii»Mli/.iiii>ilii  M  ll.'i.lr.Hlitui.LTeii  niid  Krfahrungen, 
zu   deren   fSaiiinilii!:;;  ^ii  J-.erÜ«  h  .laiirluiidiTti*  ih'»thig  gewesen 


r.   Voit:  Nvkrohij  auf  Fr  um  Ifcs;<Jer.  1  !•» 

s<>ieu.  Wir  lernten  daraus,  dass  in  Indien  damals  eine  ei<^ent- 
lieh  wiT-senscbaftliche  Heilkunde  noch  nicht  bestand,  da  ilir 
vor  Allem  die  Grundlage  jeder  wissenschaftlichen  Medizin, 
nümlich  die  Kenntni."«  den  Uaues  und  der  Verrichtungen  des 
Körpers,  gänzlich  mangelte;  nur  diejenigen  Fächer  der  Me- 
dizin, welche  sich  bis  zu  einem  ge\visM»u  Grade  rein  em- 
|nri:;ch  zu  entwickeln  vermögen  wie  die  Chirurgie  inid  di«^ 
Geburtshilfe,  waren  zu  einem  übernischend  hohen  Grade  drr 
Ausbildung  gediehen. 

Das  unbestreitbare  Verdienst  Hessler's,  uns  ein  wichtig*»« 
Gebiet  der  ält^jsten  Geschichte  der  Heilkunde  zugänglich  ge- 
macht zu  haben,  hat  offenbar  die  einsichtigen  und  bedeutenden 
Aerzte  Walther  und  Ringseis,  von  denen  der  Erstere  wegen 
seiner  Verdienste  um  die  Physiologie,  namentlich  durch  Ein- 
führung der  allgemeinen  Anatomie  in  Deut.schland  in  seinem 
gettreich  geschriebenen  Lehrbuch  der  Physiologie,  der  Letz- 
tere wegen  seiner  Verdienste  um  die  mineralogische  Samm- 
lung Aufnahme  in  unsere  Akademie  gefunden  hatten,  ver- 
anla:ist.  Hessler  zum  Mitgliede  der  Akademie  vorzuschlagen. 
Auch  hat  der  hiesige  ärztliche  Verein  Fle^sler  aus  dem 
gleichen  Grunde  zu  seinem  Ehrenmitgliede  erwählt. 

Hessler  war  eine  stille  iMJscheidene  Natur,  freundlich 
und  liebenswürdig,  voll  edler  Begeisterung  für  die  Wissen- 
schaft. Im  März  des  vorigen  Jahres  wohnte  der  1)1  jährige 
würdige  Greis  noch  mit  aller  Aufmerksamkeit  der  Fe>tsitzung 
der  Akademie  an.  Im  Monat  Juni  wurden  wir  durch  die 
Nachricht  überrascht  und  schmerzlichst  berüiirt,  da^s  unser 
College  am  15.  Juni  ohne  vorausgHgan;^ene  Krankheit  g«;- 
storben  sei  und  bereits  auf  dem  Friedhofe  zu  HaidhaustMi 
^ein  Grab  gefunden  habe.  Ohne  da-  Geleite  trauernder  An- 
gehöriger und  Freunde  ist  er  in  dt-n  SL-ho'>s<;  rler  Erde  ver- 
aerikt  worden.  Er  war  nach  dem  Tode  seiner  L»*bensgetahrtin 
fas»t  ganz  vereinsamt  und  lebte  ohne  weiteren  Tnigang  in 
seiner   der    Stadt   fern   liegenden  Wohnung   in    der   Wolfen- 


1  l<»         Sitzuntj  tler  math.'iHiy^t,  Clause  com  2L  März  1891, 

hiiu.'seiier  ^trasäc.  Die  letzten  «Itilire  seines  Lebens  waren  noch 
durch  >chwere  Nalirungssorgen  getrübt,  da  er  fast  sein  ganzes 
durch  niillisflige  Arlieit  errungenes  kleines  Vermögen  ohne 
sein  Verschuhlen  verloren  hatte.  Die  Mitglieder  der  math.- 
phy.sikal.  Chisse  erwarben  ^eine  Grabstatte  und  Hessen  da- 
selbst AU  seinem  Andenken  einen  einfachen  Stein  setzen. 

AVir  werden  des  braven  Mannes,  der  der  Wissenschaft 
nac'li  Kräften  v.xi  dienen  suchte,  gerne  gedenken;  sein  Name 
wird    mit    der    (beschichte    der    Medizin    dauernd    verknüpft 

Ideiben. 

Ediiiond  Hebert. 

Am  1.  Aj>ril  181H)  starb  im  Alter  von  78  Jahren  zu 
Paris  der  Ueolnge  Kdmnnd  Hebert.  Derselbe  nahm  durch 
seine  umfassenden  Kenntnisse  und  seinen  kritischen  Blick  einen 
der  ersten  Pliit/.e  unter  den  Geologen  seiner  Zeit  ein  und 
i;alt  als  das  Haupt  der  französischen  geologischen  Schule. 
Während  Daubree  die  experimentelle  und  dynamische  Geo- 
logie in  Frankreich  vertrat,  Delesse  in  der  chemischen  und 
kartographiselien  liichtuiig  besonders  hervorragte,  war  Hebert 
in  s<Mnem  Vatcrlaiide  unl>estritten  als  der  erste  Vertreter  der 
strati((ra])hischen,  ]>a1äontologischen  und  historischen  Itichtnng 
in  dieser  Wis-en.schaft  anerkannt.  Es  gibt  in  der  That  kanm 
eine  wiclitigt?  Krage  auf  diesem  Gebiete  der  Gliederung  der 
Schiiditen  der  Erdrinde  und  ihrer  Verbreitung,  an  deren 
Lösung  er  sich  in  seiner  langjälirigen  wissenschaftlichen 
Tliätigkeit  nicht  mehr  oder  weniger  erfolgreich  betheiliget 
hätte. 

Hebert  wurde  im  Jalire  1812  zu  Villefargeau,  einem 
Dorfe  in  der  Nähe  von  Auxerre  im  Departement  Yonne  ge- 
hören, woselbst  sein  Vater,  ein  alter  Soldat  der  Republik 
und  des  Kaiserreichs,  Pächter  eines  Landgutes  war.  Die 
ersten  Studien  machte  er  in  der  öffentlichen  Schule  zu  Auxerre 
mit  solchem  Erfolge,  dass  man  ilm  für  eine  gelehrte  Lauf- 
bahn   und   zum  Eintritte  in  die  Ecole    normale  in  Paris  be- 


V.  VoU ;  Nekrolog  auf  Edmond  Hebert.  1 1 7 

äiinimie.  Während  er  sich  zum  Eintritte  in  diese  Schule  vor- 
bereitete, musste  er  sich  vorerst  die  hiezu  nothij^en  Mittel 
selbst  erwerben;  ergab  daher  als  ISjähriger  Jüngling  nach 
seiner  Ankunft  in  Paris  in  einer  Pension  Unterricht  im  La- 
ieiuisehen  und  war  dann  in  einem  Institute  als  Studienaufseher 
verwendet.  Es  gelang  ihm  endlich  im  Jahre  1833  in  die 
Ecole  normale  superieure  aufgenommen  zu  werden,  in  der  er, 
auPs  Fleissigste  seine  Zeit  benutzend,  drei  Jahre  verblieb. 
Gleich  nach  seinem  Abgange  von  dieser  Schule  erhielt  er 
einen  Posten  als  Lehrer  der  Physik  in  der  höheren  Lehr- 
anstalt zu  Meaux,  wo  er  sich  durch  seinen  Eifer  und  sein 
ruhiges,  bestimmtes  Wesen  so  sehr  auszeichnete,  dass  er  nach 
2  Jahren  (1838)  an  die  Ecole  normale  als  Aufsichtslehrcr 
zur  Ueberwachung  der  Disciplin  und  der  Studien  der  Schüler 
zurQckgerufen  wurde.  Bis  zum  Jahre  1857,  also  volle  19  Jahre, 
verblieb  er  in  dieser  untergeordneten  Stellung. 

Bei  seinen  eigenen  Studien  hatte  er  sich  anfangs  vor- 
zfiglich  mit  physikalischen  Problemen  beschäftiget.  Da  ihm 
aber  die  sitzende  Lebensweise  nicht  zusagte,  so  unternahm 
er  Ausflüge  in  die  schöne  Umgebung  von  Paris,  bei  welchen 
er  sich  für  die  Geologie  zu  interessiren  begann,  der  er  sich 
Ton  1840  an  ausschliesslich  widmete.  Durch  diese  Exkursionen, 
denen  sich  die  Schüler  anschlössen,  brachte  er  nach  und 
nach  eine  ansehnliche  Sammlung  von  Versteinerungen  und 
Mineralien  zusammen,  welche  er  von  stratigraphischen  Ge- 
sichtspunkten aus  ordnete.  Diese  Sammlung  diente  nicht  nur 
zu  seiner  eigenen  Ausbildung  in  der  Geologie,  sondern  auch  zur 
Belehnmg  und  zu  Arbeiten  der  Schüler;  es  waren  dies  die 
ersten  Anfönge  der  später  für  die  geologischen  Studien  in 
Frankreich  so  erfolgreich  gewordenen  Schule  Hebert's. 

Durch  die  Thätigkeit  als  Aufsichtslehrer  fand  Hebert 
nicht  die  Zeit  eine  Doktordissertation  zu  verfassen;  erst  1857 
vertheidigte  er  seine  Thesen  mit  der  bemerkenswerthen  Ab- 
handlung:   ySur  la  faune  des  premiers  Sediments  tertiaires''. 


1  18         S'itzuiKf  der  math.-phys.  Chisse  vom  21,  März  189 L 

Noch  in  dcniselbeii  Jahre  wurde  er,  hauptsächlich  in  Folge 
der  ali<^enieinen  Anerkennung  einer  im  Jahre  1856  erschie- 
nenen Sclirift,  auf  welche  wir  nachher  noch  zu rfiek kommen 
werden,  mit  den  Vorleriungen  über  Geologie  an  der  Sorbonne 
betraut  und  dann  mit  dem  Titel  eines  Professors  der  Geo- 
logie an  derselben  an  Stelle  des  verstorbenen  üonst4&nt  Prevost 
von  dem  Minister  des  öflentlichen  Unterrichtes  angestellt  und 
zwar  gegen  den  Vorschlag  der  Fakultät,  welche  sich  für 
Herrn  dWrchiac,  Mitglied  des  Institutes,  entschieden  hatte. 

An  der  Sorbonne  gründete  Hebert  alsbald  eine  neue  An- 
sialt für  Geologie,  welche  von  Anfang  an  von  einer  beträcht- 
lichen Anzahl  von  Schülern  besucht  war.  So  entstand  seine 
grosse  Schule  für  Geologie,  in  der  er  über  20  Jahre  durch 
seine  N'orlesungen,  die  Arbeiten  in  der  Sammlung  und  die  Ex- 
kursionen wirkte.  Er  besass  die  richtige  Art  des  Lchreiis, 
indem  rr  seinen  Schülern  am  Ül)jekt<j  zeigte,  wie  man  beol»- 
aclitcn  müsse  und  sie  bei  seinen  eigenen  Arbeiten  mitwirken 
lioss.  In  lieix'vollster  Weise  nahm  er  Jeden,  der  es  ernstlich 
mit  der  Wissenschaft  meinte,  auf;  er  wusste  alle  durch  die 
fc.-scliiden  Mittlieil untren  aus  seinem  reichen  Wissen  für  die 
Wisseiiscliaft  zu  bcgei.-tcrn  und  zu  selbständigen  Arbeiten 
anzuleiten.  Auf  diese  Art  gingen  viele  treffliche  Abhand- 
lungen aus  alh'ii  Tiieijen  <ler  (le(>logie  aus  seiner  Anstalt 
iiervor :  -eine  Srliüler  >iud  Jetzt  dit?  Ltdirer  geworden,  und 
e>  siinl  f'a-t  alle  f.elir>tülile  d'-r  Geologie  an  den  Fakultäten 
Fraiikreicli.-  von   iliuen   lu'-etzt. 

l)ie  wi>se!iM- halt  lirhell  Arbeiten  ll«''berl.*s  sind  höclLst 
bediuteuile.    iiaineutlit'b    auf  dem  ^lebii'te    der  Stratigraphie. 

In  der  i'r>tfn  Hälft«'  -eiii.T  wi<^i'usclialtliclien  Thätigkeit 
bc>eliräukt»'  er  .-»i«'!!  mit  <l»'r  Krfnr.-cbung  de-  für  «lir'  Geologie 
<it  merkwünligen  l^'c■k^■U'^  \n\\  Pari-.  de>MMi  sekundäre, 
terliäri*  und  i|uartän'   nilduntr«*ii  »-r  u^te^'^ueht»^ 

Seine  ersten  Publil\;iti(nieM  >iaiiini»u  ans  den  .Jahren  l>^i7i 
luid  1^17.     In  denselben  hatte  Hebert,  nanientlieh  in  der  Ab- 


r.  Vuit:  Xckrnhtj  auf  Ednumd  llvhvrt,  NO 

Imuillung :  Note  .sur  le  culcaire  ])isulitlie,  bereits  auf  die 
Wichtigkeit  eines  Scliichtenconiplexes  liiiii^ewieson ,  weklier 
bis  dahin  vrdli^  verkannt  worden  war  und  eine  Stellung 
zwischen  den  crebtcischen  und  den  alttertiären  Schicliten  ein- 
nehmen sollte,  von  ihm  jedoch  der  cretacischen  Gesteins  reihe 
(der  Kreide)  ziij^orechnet  wurde.  Kr  zei^t«  mit  Herrn  de 
Mercey,  dass  die  Kreidcfornnition  des  Beckens  von  Pari.s 
trotz  ihrer  scheinbaren  Continuität  doch  aus  einer  Anzahl 
von  verschiedenen  »Schichten  best-eht,  von  denen  jede  ihre 
be:ionderen,  ihr  zukommenden  V^erstcinerungen,  namentlich 
die  vorher  nicht  gekannten  verschiedenen  Arten  des  Echinu- 
derineugenus  Micraster,  einschliesst.  Er  hat  diese  letzteren 
Formen  spfiter  bis  nach  Enghmd  und  Br)hnien  verfolgt  und 
auch  die  Analogien  der  cretaci:<chen  Schiebten  von  Mauleun 
und  Gensac  mit  denen  von  Mastricht  erkannt. 

Seine  folgenden  Untersuchungen  befassten  sich  zunächst 
mit  der  Feststellung  des  Verhältnisses  der  sogenannten  unteren 
Miocanbildungen  der  jüngeren  Tertiärzeit  zu  den  Kocän- 
ublageruiigen  der  älteren  Tertiärzeit.  Es  ist  ein  ganz  wesent- 
liche:} Verdienst  Hebert's,  durch  minutiöse  Beobachtung  des 
Details  daä  Pariser  Tertiärbecken  in  Bezug  auf  diese  Ge- 
bilde volLstandig  in's  Klare  gest.ellt  zu  haben. 

Feber  die  Juraformation  des  Beckens  von  Paris  machte 
Hebert  eine  grosse  Anzahl  vtm  Erfahrungen,  welche  in  einer 
massgebenden  Arbeit:  les  mers  anciennes  et  leurs  rivages 
dans  le  l)as.sin  de  Paris,  terrain  jurassicjue  (IS.Mj)  zusamuien- 
gefusst  ^iind ;  in  derselben  konnte  er,  im  Ans(hlu>se  an  die 
in  Frankreich  herrschenden  Ideen  der"  Cit^birgshebungeii,  die 
zur  Jurazeit  eingetretenen  hichwankungen  im  Meeresniveau 
durch  eingehende  Beobachtungen  nachweisen. 

Daran  schliessen  sich  mehrere  geistreiche  und  inlere.-:>ante 
Arbeiten  an,  in  welchen  Hebert  die  \^»ränderung  «ler  <  ^Ijcr- 
flächc  und  der  Bildungsnu'ore  in  ver-cliii"den«'n  lV'ri<Ml»n  1»!** 
in  die  Neuzeit  verfolgte.     So  suchte    er  zu  /figen.    da>s  die 


150  Sitzuntj  der  nuithrphi/s,  Classc  vom  21.  3Iärz  1891, 

Sevenneii,  sowie  die  subalpine  Kejjion  und  die  Provence  erat 
nach  der  Ablagerung  des  jurassischen  Korallcnkalkes  erhoben 
worden  sind  und  ein  Festland  wurden,  über  welches  der 
obere  Jura  sich  nicht  ablagern  konnte.  Es  knQpfte  sich 
daran  ein  heftiger  Streit  mit  den  Anhangern  der  Annahme, 
dass  das  ^Corallien''  nur  eine  Faciesbildung  sei,  welche  sich 
allmählich  v(»n  den  Oxfordschichten  bis  zu  den  Portland- 
schichtcn  entwickelt  hat. 

Ausserdem  war  Hebert  unermüdlich  thätig,  die  Unter- 
scheidung und  Fesistellung  der  verschiedeuen  Unterabtheil- 
ungen  in  den  cretacischen  und  tertiären  Schichtonreihen  immer 
exakter  zu  begründen.  In  dieser  Richtung  ist  eine  vortreff- 
liche Arbeit:  nouvelles  observations  relatives  au  calcaire  a 
Lophiodon  de  Provins  (18i)2)  hervorzuheben. 

Uvi  seinen  Studien  über  die  cretacischen  und  tertiären 
Scliichton  in  Bezug  auf  deren  feinere  Gliederung  und  ver- 
gleirliende  Altersbe/iehungen  zu  analogen  Bildungen  ansser- 
halb  (hs  Beckens  von  Paris  und  ausserhalb  Frankreichs  ge- 
rietli  er  bi'znglich  der  Auffassung  der  Verhältnisse  bei  der 
s(i(irran/r>.siscJuMi  Kreide  in  eine  leidenschaftlich  geiuhrte 
Confroverse  mit  d<*m  kundigen  Marseil  1er  Geologen  C(M|nHnd 
und  mit  d<*m  Grafi-n  dWrcliiac,  ein  Streit,  der  indess  dt>ch 
für  die  Kliirnng  der  be>trittenen  Frage  tmd  für  die  Wissen- 
schaft s«*lb>t  iiirlit   ohne  Früchte;   bliel). 

In  ähnlidier  Weise  heftig  wendete  sich  .später  Hebert 
in  Ik'zug  auf  die  sogenannte  titlinni^che  Fnige  gegen  die 
in  Deutschland  herrschende  .Ansicht,  namentlich  in  der  Ab- 
handlung: sur  les  liniites  de  la  periode  jurassique  et  de  la 
]MTi«Hle  crelate  et  >peeialenient  sur  le  cale'aire  si  Terebratnies 
dipliya.  l*ii-er  leider  >o  früh  ver>torhcMer  unvergesslieher 
Tnllege  ()j»pel  hatte  als  ganz  junger  <i«*lehrter  die  marine 
/.Avisrhenbildung  zwisrjien  d^T  jüngsten  .Iura-  und  der  ältesten 
Kreidetormation,  die  s^igmannte  tithnnisch««  Stiife.  aiifgi'funden, 
und  es  wurde  lebhaft  darüber  gestritten,  t)b  dioe  tithonische 


152         Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  21,  März  1891, 

grosser  Tragweite.  Bei  seinen  Reisen  in  der  Bretagne  nnd 
in  der  Normandie  sowie  in  der  Halbinsel  Cotentin  stellte  er  das 
V^orkonnnen  einer  neuen  Schicht  zwischen  dem  Gneiss  und  dem 
„Cambrien*,  die  er  ,Arclieen*  nannte,  fest;  dasselbe  hat  die 
gk^iclie  stratigraphische  Lage  wie  das  sogenannte  „Huronien* 
in  Canada.  In  den  Ardennen  fand  er  in  dem  Schichten- 
coniplexe  zwischen  Trschiefer  und  St^inkohlenformation,  zn 
welchem  die  ältere  silurische  und  die  jüngere  devonische 
Formation  gehören,  in  der  letzteren  die  Ablagerungen  von 
„CuMÜnien",  welche  bis  dahin  zu  der  silurischen  Formation 
gezählt  wurden. 

In  der  letzten  Zeit  seines  Lebens  hat  Hebert  von  Nenero 
vorzug>weise  den  Tertiärbildungen,  an  denen  das  Becken  von 
Paris  so  reich  ist,  seine  Aufmerksamkeit  zngewendet,  wie 
die  vergleichende  Studie :  „recherchcs  sur  le  terrain  tertiaire 
de  l'Knro])«  meridionale**  zeigt.  In  Cvemeinschaft  mit  einem 
seiner  besten  »Schüler,  Munier-Chalmas,  bereiste  er  die  SOd- 
alpen,  Korditalien  und  Tugarn,  um  die  Tertiärformation 
dies(»r  Länder  mit  der  von  Paris  zu  vergleichen ;  es  ergab 
sich  daraus  das  Material  zu  einer  seiner  bedeutendsten  Publi- 
kationen:  ^noiivf.*lles  recherches  du  Vicentin  (1878)*.  Ein 
äns>erst  sorglältig  dnrehgj't'ührtes  vergleichendes  Schichten- 
]»roiil  der  >ü(l:il|)ineii  Tertiärgebilde  mit  einer  prachtvollen 
Saniuiliing  von  zahl  reichen  Belegstücken  erregte  in  der  Pa- 
ri>er  Aus>tellinig  vom  .fahre  1S7^»  die  Hewundenmg  aller 
Sjieliverständigi'M.  Indem  er  die  >tratigraphischen  Beziehungen 
alb'r  diesrr  Horizonte  unt^T  sich  rpNtstollte,  führte»  er  die  Be- 
zeichnung dt»r  seitlichen  Fju'i«'>  für  ila^  tertiäre  Terrain  ein. 
Kr  tliat  dar,  da-^s  di«?  Sü->\\a<>ersclMclitcn  von  Champigny 
da>  Aetjuivaleiit  von  (Jyp^«*  \\\\\\  die  kalkigen  Süsswas>er- 
schichten  von  Proviu.-  di»*  UKiriueu  Sibicliten  des  oberen 
(Jrobkalke.s  repräsnitiren.  Indem  er  di«»  Ansbri-itung  der 
Schichten  dt*s  Pariser  Heckens  vi-rfnl'jte.  rrkunnte  er,  dsu«s 
zur  tongrischen  Zeit  sich  tlas  Me«'r  einstens  bis  nach  Kngland, 


r.  Voit:  Nekrolog  auf  Edmond  Hiberf.  153 

Belgien,  in  den  Norden  von  Europa,  in's  Rhoinfchal  l»is  nach 
Busel,  in  die  Norniandic  und  in's  libonebccken  bis  nach  Süd- 
frankreich erstreckte. 

Als  Hebert  seine  Arbeiten  begann,  rangen  zwei  An- 
^*bnuungen  über  die  Entstehung  der  Gebirge  mit  einander : 
die  Eine  liess  sie  aus  gewaltsamen  Erhebungen  hervorgehen, 
die  Andere  dagegen,  welche  Hebert  theilte,  aus  langsamen 
Veränderungen.  Er  gerieth  darüber  in  einen  erbitterten  Streit 
mit  dem  berühmtesten  der  älteren  Geologen  Frankreichs,  mit 
Elia  deBeaumout;  ebenso  über  die  Zugehörigkeit  der  Num- 
niuliten  zur  Tertiärformation,  über  die  Gletschertheorien  und 
Ober  die  Existenz  des  Menschen  in  der  Quartärzeit. 

Es  ist  ferner  als  ein  nicht  zu  unterschätzendes  Verdienst 
Hebert's  hervorzuheben,  dass  er  zu  den  verhältnissmiLssig 
wenigen  Geologen  seines  Vaterlandes  gehörte,  welche  es 
wagten,  der  in  Frankreich  lange  Zeit  herrschenden,  so  zu 
sagen,  offiziellen  Geologie,  welche  zum  Nachtheil  einer  ge- 
sunden und  freien  Entwickelung  der  Wissenschaft  von  den 
Mit{;liedern  des  Corps  des  Mines  ftist  als  ausschliessliche  Do- 
maine  beansprucht  und  von  P]Iie  de  Reaument  als  Allein- 
herrscher dirigirt  wurde,  entgegen  zu  treten. 

Hebert  versuchte  auch  mit  einigen  wenigen  (iesinnungs- 
genofisen  einen  Verein  zu  bilden,  um  den  von  Elie  de  Beau- 
montV  Einfluss  völlig  abhängigen  offiziellen  geologischen 
Karten  andere  nach  freieren  Prinzipien  entworfene  (entgegen- 
zustellen. Er  emancipirte  sich  noch  in  anderer  Weise  durch  die 
Gründung  einer  selbständigen  Zeitschrift  in  Verbindung  mrt 
Milne-Edwards,  dem  Vertreter  der  Paläontologie:  den  Annairs 
des  seiences  geologiques,  welche  seit  dem  Jahre  \Hi}{)  bestehen. 

In  allen  seinen  Werken  erkennt  man  den  sorgiViltigfu 
Beobachter  und  scharfen  Diagnostiker,  welcher  sich  nicht 
darauf  beschränkt  einfach  die  Thatsachen  zu  sanmu.'ln,  son- 
dern es  auch  versteht,  diese  zu  weitergelHMulen  Sclilnss<»n 
geistreich  und  erfolgreich  zu  verwerthen. 


1*^4        Sitzung  der  mathrjfhys.  Classe  vom  21,  März  1891, 

Seine  stratigrapliischen  Arbeiten  haben  sich  nicht  nur 
nüt/Jich  für  die  Wissenschaft  erwiesen,  sie  fanden  auch  ab- 
baldig«.* Verwertlinng  für  das  Aufsuchen  der  Miueralschätie 
des  Landes,  für  die  Bolirung  von  Mineralqnellen,  die  Anlage 
der  Eisenbahnen  und  der  Tunnels;  för  die  dereinstige  Her^ 
Stellung  eines  Tunnels  unter  dem  Aermelkanale  wird  die 
Heiuhtung  seiner  l'nteretagen  in  der  Kreide  von  grossem 
Nutzon  sein. 

Den  Verdiensten  Hebert's  entsprechend  waren  auch  die 
äusseren  Kiiron,  die  ihm  zu  Theil  wurden.  Er  war  seit  dem 
Jalire  1S77  Mitglied  des  Instituts  von  Frankreich,  ebenso 
Mitglied  der  Akademie  der  AVissen?Jchaflen  in  der  Sektion 
für  MiiKMulogie;  1878  wurde  er  durch  Akklamation  zum 
PriUidenteii  des  in  Paris  tagenden  internationalen  geologischen 
('ongres«<es  gewählt;  drei  Male  war  er  Präsident  der  geo- 
logiselieii  (lesellsehaft  von  Frankreich;  zwei  Male,  1886  und 
ISiSi»,  übertrugen  ihm  seine  Collcgen  von  der  Fakultät  das 
Amt  eines  Dekans. 

Mit  ihm  ist  einer  der  hervorragendsten  Gelehrten,  der 
sein  Leben  ganz  im  Dienste  der  Wissenschaft  verbrachte, 
daliin  gj'gangeii.*) 

Heinrich  Will. 

lieinricli  Will  bat  sich  um  die  Entwicklung  der  Chemie 
grr»>se  Verdienste  erworl^en,  sowohl  durch  seine  bedeutenden 
wissenselisiftlieben  Arbeiten  als  auch  namentlich  durch  seine 
unermüd liebe  und  erfolgreiche  Thätigkeit  als  Lehrer  im 
Laboratorium.  Er  war  einer  der  W^enigen,  welche  die  wunder- 
bare Zeit  im  Liebig'scheu  Laboratorium  zu  Giessen  noch  er- 
lebt haben,  durch  das  unstreitig  der  Grund  zu  der  heutigen 
Hlütbc  der  Ohemie  in  Deutschland  gelegt  wurde. 

1)  Mit  Ilonüiznnj^  von  .T.  Her;;oroii,  IJeviic  pi'neralc  des  Rciences, 
18'.M)  No.  7  p.  228,  lind  Discour.s  jirononers  sur  la  iombe  de  M.  F^dmond 
Ilel»ort. 


^    w    ^ 

V.  Voit:  Nekrolog  auf  Heinrich  Will.  loo 

Will  wurde  am  8.  Dezember  1812  in  dem  schön  ge- 
legenen Städtchen  Weinheim  an  der  Bergstrasse  geboren. 
Nach  dem  frühen  Tode  des  Vaters  nahm  der  Direktor  der 
Lateinschule  zu  Weinheim,  Hofrath  Grimm,  den  aufgeweckten 
Knaben  in  sein  Haus  auf  und  sorgte  in  väterlicher  Weise 
für  dessen  Erziehung.  Nach  Absolvirung  der  Lateinschule 
entschied  sich  Will  für  das  Fach  der  Pharmazie ;  er  trat  als 
Lehrling  in  eine  Apotheke  des  badischen  Städtchens  Gerns- 
bach  ein  und  war  darnach  Gehilfe  in  verschiedenen  Apo- 
theken Badens,  zuletzt  in  Heidelberg.  Er  zeigte  sich  dabei 
als  einen  höchst  fleissigen  und  geschickten  Arbeiter,  der  zu- 
gleich Liebe  zur  Wissenschaft  und  ein  höheres  Streben  besass. 
Er  benützte  daher  den  Aufenthalt  in  Heidelberg  (1834),  um 
an  der  Universität  Vorlesungen  zu  besuchen  und  sich,  nament- 
lich in  der  Chemie,  weiter  auszubilden. 

Dadurch  erregte  er  die  Aufmerksamkeit  des  damaligen 
Vertreters  der  Pharmazie  an  der  Universität,  des  vortrefflichen 
Lorenz  Geiger,  der  den  eifrigen  Studenten  als  Assistent  auf- 
nahm. Nach  dem  im  Jahre  1836  erfolgten  Tode  Geiger's 
war  der  berühmte  Chemiker  Leopold  Gmelin  erfreut,  eine 
so  tüchtige  Kraft  als  Gehilfen  gewinnen  zu  kimnen ;  aber 
er  sollte  nur  kurze  Zeit  in  seiner  neuen  Stellung  bleiben. 
Liebig  hatte  bekanntlich  mit  Geiger  die  verbreiteten  Annalen 
der  Pharmazie  herausgegeben,  welche  er  nach  dem  Tode  des 
letzteren  allein  fortführen  musste.  Da  nun  Will  bei  der  Re- 
daktion der  Annalen  sich  Geiger  als  höchst  nützlich  erwiesen 
hatte,  so  suchte  ihn  Liebig  nach  Giossen  zu  ziehen,  um  bei 
der  Redaktion  der  Annalen  eine  Hilfe  zu  haben. 

Es  ist  begreiflich,  dass  Will  dem  lockenden  Ivufe  nach 
Giessen  Folge  leistete,  woselbst  Liebig  schon  eine  grosse  Zahl 
junger  talentvoller  Chemiker  aus  allen  Ländern  um  sich  vor- 
einigte und  von  wo  die  bedeutendsten  Arbeiten  ausgingen. 
Will  trat  daher  als  PrivaUissistent  bei  Liebig  ein. 

1891.  Math.-pbys.  Cl.  2.  1 1 


15(5         Sitzung  der  mathrphya,  Classe  vom  21,  März  189 L 

Hier  war  der  riclitige  Platz  für  ihn,  an  dem  er  seine 
Kräfte  entfalten  konnte,  so  dsiss  er  bald  als  Forscher  sich 
hervorthat  und  eine  grosse  AVirksanikeit  als  Lehrer  gewann. 

Durch  den  Andrang  von  Schülern  war  es  Liebig  all- 
mählich unmöglich  geworden,  die  Leitung  des  Laboratorinin^ 
fernerhin  allein  zu  besorgen  und  er  war  genuthiget,  sich 
nach  einer  Hilfe  umziLsehen.  Er  zog  Will  zuerst  zum  Unter- 
richt, be^ionders  in  der  organisclien  Chemie,  heran,  und  als  es 
ihm  gelungen  war,  das  Filiallaboratorium  auf  dem  Selierser 
Berge  einzurichten,  übertrug  er  ihm  die  Leitung  desselben.  Zu 
gleicher  Zeit  (1844)  habilitirte  sich  Will  als  Privatdoeent  an 
der  Universität,  nachdem  er  im  Jahre  1839  in  Giessen  sich 
den  Doktorgrad  erworben  hatte.  Schon  im  Jahre  1845  er- 
folgte sein«»  Ernennung  zum  ausserordentlichen  Professor. 

In  dieser  Stellung  entwickelte  er  eine  so  erspriessliche 
Thätigkeit  bei  den  Vorlesungen  und  im  Laboratorium  sowie 
auch  in  d<T  wisstMischaftliehen  F^orschung,  dass  es  bei  der 
llorufuug  Liebig's  nach  München  (1852)  als  selbstverständlich 
erschien,  dass  Will  als  Liebig's  Nachfolger  zum  ordentlichen 
Pn»fcss<»r  der  FiXporiuientalchemie  und  zum  Leiter  des  La- 
boratoriums erwählt  wurde. 

Diiinit  war  der  H öl h«) »unkt  si»iner  Laufbahn  erreicht  imd 
ihm  i'iii  w»-it OS  und  iVuclitbarcs  Feld  der  Arbeit  eroftnet. 
Viille  dieis^ig  .lahre  wirkte  (.*r  in  dieser  Stellung  in  volLst^T 
Kr;il't  und  mit  unerniütllicheiu  KiftM':  dann  ai)er  ffihlh?  er, 
<la'-s  es  Zoii  ^ei,  jüngeuMi  Sihulteru  die  Last  zu  übertragen. 
obwohl  es  dmi  an  iuteii>ive  Thütigkeit  <iewohnten  schwer 
wurd«',  dem  Amte  /n  i'iii>aLfeii  und  >ich  der  Wuhe  hinzugelK^n 
(|S>^-|.  Nsiclidem  er  iwnh  .im  1.  M:ii  1S^*J  unter  lebhafter 
und  lier/li»ii«T  'riii'ilnjihmr  >i'iii»T  vi«"lcM  Schüler  und  Freunde 
fla-:  ."lOjähriire  Duktnrjuliiläinn  ^n.'f.'iert  uiid  am  2S.  .luli  \'i>W 
der  ff'irrlichrii  Mutliüllung  ih--  Lii-lii-/- 1  >iMikmjils  in  Giessen 
lii-igewohiit  hafte,  traf  ihn  :im  IT».  ( )ktnli.T  rin  S^-hlagantali. 
der  di*m  LelnMi  «h-s  7>^iiihii^i'n  <ini>«'s  ra-rh  i-in  Knde  machte. 


r.  Vnit:  Nclrohg  auf  Udfinch  Will.  157 

Noch  am  8.  Oktober  hatte  er  an  seinen  alten  Freund 
Pettenküfer  geschrieben,  er  möehte  ihn  so  gerne  noch  einmal 
im  Leben  sehen  und  grüssen,  aber  es  dürfte  dies  nicht  mehr 
zu  lange  verschoben  werden,  da  er  den  Druck  der  Jahre  in 
Kt«ts  wachsender,  gerade  nicht  erfreulicher  Weise  fühle; 
wenige  Tage  darnach  hatte  er  sein  Tagewerk  vollendet. 

Ueberblickt  man  die  wissenschaftliche  Thiitigkeit  Willis. 
so  ersieht  man,  dass  er  dadurch  in  mehreren  Richtungen  die 
Chemie  wesentlich  bereichert  hat. 

Zunächst  liegen  von  ihm  Arbeiten  aus  dem  Gebiete  der 
anorganischen  Chemie  vor. 

Die  mit  Fresenius  (1844)  herausgegebenen  l-ntersuchungen 
fiber  die  anorganischen  Bestandtheilc  der  Vegetabilien  er- 
hellten nicht  nur  die  Bedeutung  der  Mineralstoffe  in  den 
(pflanzen,  sondern  stellten  auch  die  Methode  der  Analvse  der 
Prianzena.schen ,  namentlich  der  Bestimmung  der  darin  ent- 
haltenen Phosphorsaure,  fest.  Man  war  bekanntlich  schon 
längere  Zeit  vor  ihnen  auf  die  Nothwendigkeit  der  Mineral- 
stoffe in  der  Pflanze  aufmerksam  geworden  und  namentlich 
auch  darauf,  dass  die  verschiedenen  dem  nämlichen  Boden 
entsprossenen  l'flanzenarten  die  Aschebestandtheile  in  sehr 
angleichen  Mengen  aufnehmen.  Liebig  hatte  aber  damals 
die  Wichtigkeit  und  ünentbehrlichkeit  der  Mineralstolfe  für 
Eniährung  der  Pflanzen  von  Neuem  betont  und  den  Werth 
dieser  Lehren  für  die  Landwirthschaft  mit  der  ihm  eigenen 
Energie  entwickelt.  Zur  weiteren  Hinsicht  in  diese  für  di»» 
Wissenschaft  und  Praxis  gleich  wichtigen  Verhältnisse  mus.sti»n 
viele  nnd  genaue  Analysen  der  Aschen  der  verschiedensten 
Pflanzen  und  Pflanzentheile  gemacht  werden,  was  Fresenius 
und  Will  in  ihrer  grossen  Arbeit  übernahmen.  Es  stellte 
sich  dabei  heraus,  dass  in  der  That  bestimmte  Pflaii/eiitlKMle 
ganz  bestimmte  Aschebestandtheile  enthalten,  so  z.  B.  die 
meisten  Samen  fast  ausschliesslich  pli().>*]>horsanre  Alkalien 
.and  alkalische  Erden,    die  Holzartt^i    und    krautartigeu  (ie- 

11* 


158        Sitsnng  der  math.-phys.  Classe  vom  21.  März  1691, 

wachse  vorwiegend  kohlensaure  Alkalien  und  alkalische  Erden, 
die  Halme  der  Gntsarten  viel  Kieselsäure. 

Ebenfalls  in  Uemeinschaft  mit  Fresenius  veruffenilichte 
er  ein  in  jeder  Hinsicht  aufs  Genaueste  durchgearbeitetes 
neues  Verfahren  znr  Bestinmiung  der  Pottasche  und  Soda, 
der  Säuren  und  des  Braunsteins,  wobei  sie  nicht,  wie  es 
früher  von  Gay-Lussac  geschehen  war,  die  zur  Sättigung  des 
Alkalis  noth wendige  Menge  der  Säure  ermittelten,  sondern 
die  durch  die  Säuro  entwickelte  Menge  von  Kohlensaure 
in  einem  jedem  Chemiker  bekannten  ausserordentlich  ein- 
fiichen  Apparate  bestimmten. 

Will  führte  ferner  eine  grössere  Anzahl  von  genauen 
Minoralwassoranalysen,  zum  Theil  auch  mit  Fresenius,  aiw, 
wobei  er  in  mehreren  eisenführenden  (Quellen  einen  Gehalt 
an  Arsen  entdeckte. 

Kine  hikhst  ersjuiessliche  Fördern ng  hat  Will  der  or- 
ganischen Chemie  gebracht  durch  die  mit  Varren trapp  erdachte, 
einfache  und  vit>lfach  angewandte  Methode  der  Bestimmung 
d«'s  Siick>t<)lls  in  organischen  Vorbindungen  mittelst  Natron- 
kalk. Die  beiden  haben  die  möglichen  Fehlerquellen  dt»s 
Verfahrens  sorgssim  ermittelt,  so  dass  es  bei  richtiger  Aa^- 
führiMiLr,  trotz  mancher  Widersprüdh?  von  Seiten  Unkundiger, 
lue  geiKuioton   lu'.-ultjite   liefert. 

l'Jiin'  Krilie  treiilirlicr  Untersuchungen  Will'.**  galt  der 
Kiforsrliuiig  der  Kigen>clijiften  uml  der  Zusammensi>t%ung 
organiM-hcr  \  erbiii(liin;^eii. 

Dieersti*  .\rl»eit  d^s  angehenden  Chemikers  vom  Jahre  1840 
war  die  .Vuflin«line.^  zwei«*r  IMIan/.i'nlm^en  aus  Ch(didrmiuni 
niajiis  und  au>  Neratiuni  :ilbnni,  de>  ('helithmiirs  und  dt*s 
.lervin's,  w«»ran  >i«h  eine  Ideine  Uiit»T>nrhung  über  den 
Aether  der  von  Mr-nk  au-  dem  Saluidillsamen  dargotellten 
Veratrinsänre  anM-hln».  |]r  erniiltrltr  l'ernrr  die  Zusammen- 
si't/.tnig  des  ütheriMlien  O»*!-  drr  Kaute.  weNh«*s  spiU<T  zum 
.\nsgang-punkt  einer   {»i'ih«'  von    Arln-ihn    andi'ier  (-hemiker 


r.  Voit :  Nekrolog  auf  Heinrich  Will.  1 59 

ifcunle;  er  prüfte  dats  eigenthtimliclie  Verhalten  des  Jods 
zum  Aiüs-  und  Fenclielöl;  er  untersuchte  in  einer  «ehr  be- 
merkenswerthen. Arbeit  mit  Bott^er  die  durch  Einwirkung 
von  Salpeter>'aure  auf  den  Stinkastmt  erhaltene  Styplinin- 
säure,  dann  die  aus  der  bei  Darstellung  d(?s  Kaliums  erhal- 
tenen schwarzen  MiL«:se  gewonnene  Krokonsäure  und  Khodizon- 
ȟure;  er  stellte  das  schwefelsaure  Eijsenoxydchinin,  einen 
Alaun  einer  organischen  Base,  her,  und  auch  eine  wichtige 
Verbindung  des  Nikotins  mit  Benzoylchlorid ,  womit  er  die 
Möglichkeit  der  Vereinigung  von  tertiären  Diaminen  mit  den 
Süurecbloriden  bewies. 

Seine  weitaus  bedeutendsten  und  für  die  Erkennung  der 
Constitution  organischer  Verbindungen  folgereicii.sten  Ar- 
beiten sind  die  über  das  fifenföl.  Schon  im  Jahre  184  1  gab 
er  seine  Untersuchungen  über  die  Constitution  des  ätherischen 
l>e!es  des  schwarzen  Senfs  heraus,  durch  welche  er  Löwig's 
Angabe  be^tatigtc,  dass  dieses  Oel  keinen  Sauerstoff  enthält, 
und  zugleich  darthat,  dass  es  eine  Schwefelcyanverbindung 
des  Radikals  Allyl  sei.  Er  entdeckte  auch  eine  Anzahl  von 
Abkümmlingen  dieses  Oels  z.  B.  diis  durch  Einwirkung  von 
Ammoniak  daraas  dargestellte  Thiosinnamin,  den  ersten  einfach 
substituirten  Sulfoharnstoff.  Daran  reihte  sich  die  rntersuchung 
einiger  Verbindungen  des  Senfölschwefel Wasserstoffes  an. 

Sehr  interessant  sind  seine  mit  Körner  ausgeführttMi 
Verbuche  fll>er  die  Entstehung  des  Senfr)ls  in  d(^n  Samen 
de«  schwarzen  Senfs,  wobei  sich  die  Kxistenz  eines  eigen- 
thQmlichen  ungefonnten  Fermentes,  des  Myrosin's,  ergab, 
welches  aus  dem  in  den  Sahien  enthaltenen  myronsanren 
Kalium  ausserdem  Senfol  noch  Zucker,  Sohwj'fol  und  Mrhwefrl- 
saures  Kalium  abspaltet. 

.Später  wurde  von  ihm  auch  der  weisse  Senfsamen  unti-r- 
»ucht.  Er  lehrte  dabei  einen  neuen  Bt'standtlieil  dfssrlbrn 
kennen,  nnd  beschrieb  in  seiner  letzten  mit  Laiibmlieinicr 
yerofienilichten  Arbeit  (1879)  das  Glucosid  des  weis.H'u  J^enf- 


100         Sitzung  der  math.-iihys.  Classe  vom  31,  Mars  1891, 

i^uiiieiis,  das  Sinaibin,  Avelclies  durch  das  Myrosinferniciit  in 
Sinalbinsenföl,  Zucker  und  ßinapinsulfat  zerfällt. 

Allen  Chemikern  wohlbekannt  ist  ein  aus  den  bewulirteu 

a 

Erfahrungen  des  Ciiessencr  Laboratoriums  eutätandenes  Büch- 
lein Will's :  Anleitung  zur  chemischen  Analyse,  welcheä 
12  Auflagen  erlebte  und  in  fiust  alle  lebenden  Sprachen  über- 
setzt wurde.  Es  hat  für  den  ersten  Unterricht  in  der  ana- 
lyti.^cheu  Chemie    ungemein  nützlich    und  anregend  gewirkt. 

Er  hat  sich  endlich  auch  ein  nicht  zu  unterschätzendes 
Verdienst  durch  seine  werkthätige  Theilnahmc  au  dem  von 
JjielMg  und  Kop])  herausgegebenen  Jahresberichte  über  die 
Fortschritte  der  Chemie  erworben,  sowie  durch  die  Ueher- 
nähme  der  Kedaktion  desselben  nach  Liebig's  Rficktritt  im 
Jahre  1850,  welche  er  bis  zum  Jahre  18G8  fortführt^^. 

Will  hat  sich,  wie  schon  erwähnt,  niclit  nur  als  Forscher 
in  der  Chemie  einen  mit  liecht  geacliteten  Namen  gemacht, 
sondern  auch,  und  ftist  noch  mehr,  als  vortrefflicher  Lehrer. 
Sein  Vortrag  in  den  Vorlesungen  war  von  vollendeter  Klar- 
heit und  fesselnder  DjirsteUung ;  das  grösste  Talent  besass 
tT  jedoch  in  ilrni  Unterricht  im  Laboratorium,  wo  er  mit 
untM'mü'llicher  Ausdauer  die  Anfänger  /um  selbsiständigen 
Ornkrii  in  d«'r  (liciiiie  anhfitete  und  die  Vorgerückteren  in 
ihrrii  wi-senM^liartliclnii  Arbeit<*n  mit  liath  und  Tbat  forderte. 
Kim*  -rhr  brlriich fliehe  Anzahl  von  Schülern  aus  Deutsch- 
laiiil  uinl  drm  Au>l;m«l(',  jrt/.t  grö.s-tenth».*ils  angestdiene  Che- 
miker. >ind  ihm  dafür  zu  un;iu>lösthlichem  Danke  verpflichtet: 
er  liat  dadiircli  dem  (heini^ichcM  Interrirliie  und  damit  ancli 
dt'r  Ausbreitung  und  Au>l»iMnng  ilieser  Wissenschaft 'einen 
hervorragt-ndfii  l>ien.-t  grlri>trt.  \'»im  Allen,  die  ihn  kannten, 
war  er  wi'^en  >i'in»'^  rhrmtf-ii-ii ,  grraden  »Sinnes  geliebt: 
er  hat  ein  glüekliehes  L«'i>rii  in  ra>tln>er  und  fruchtbarer 
Arbeit  geführt. V) 

li  Mit  iH-niit/un;,'  iIm- (inli-nkliiail'"-  vi»n   A.  W.  llutinann.  in  i!on 
iM-rii-hti'U  iUt  ili-utfrlii-n  i  li*'iiiitrli(fn  tlr-«.'!!««.  Ij.ilt    IS'.M)  N'».  10. 


102         Sitzinnj  der  math.'phj/if,  Classe  vom  21,  März  Itsifl. 

.siu'hung  Liebig\s  über  dus  Fleisch  betheiligen  zu  dürfen; 
er  führte  auch  dort  »eine  ersten  cheiuischeii  Arbeiten  aus  und 
diiruiiter  auch  .sulclie,  welche  ilim  für  i^eine  spätere  Thutigkeit 
als  Agrikiilturcheniiker  von  Nutzen  waren. 

Nach  Beendigung  seiner  akademischen  Studien  verbmchte 
er  drei  Jahre  auf  dem  heimathlichen  Gute,  wo  er  sich  ein 
kleines  cliomische.s  Laborabjrium  eingerichtet  hatte,  um  Mch 
mit  der  praktisclien  Landwirtlischaft  ganz  vertraut  zu  machen, 
als  noihwfinlige  Vorbereitung  zu  seiner  späU'ren  wissenschaft- 
lichen Tliätigkeit  auf  diesem  Gebiete.  Daran  schlo.s.s  sich  eine 
längtM-e  licjse  nach  Kngland  zum  Studium  der  dortigen  gross- 
artigcu  landwirthscliaftlichen  Einriclitungen  an. 

Narli  >v\\wr  Zurückkunft  übernahm  er  im  Jahre  1851 
eine  Anstellung  als  zweiter  Sekretär  des  landwirthschaftlichen 
Vereins  im  llerzngthuni  IJrannsehweig,  verblieb  aber  du.selbst 
nur  ein  Jahr,  nacli  welchem  er  der  Berufung  als  erster 
Sekretär  «ler  köuigl.  hamioverischen  Landwirthschafts-Gesell- 
schaft  in  (.■eile  folgte. 

Hier  in  Celle  ijegründete  er  mit  anfangs  sehr  besehränkten 
Mitt»*In  ein  a^riKnltunlieuii>ches  Laboratorium,  weK'hes  vtir- 
/.u;^>w«M.-e  di'M  Zwecken  cler  praktisrhen  Landwirtlischaft  dienen 
M»lli«'.  1>  w.ir  iH'kjiiiiitlieh  in  Folge  der  Anregungen  Liebig's 
in  Muckern  bei  rieij»/iL(  im  .lahrr  lsr)2  die  erste  unter  di-r 
L«Mtiing  Villi  ('ru>in^  und  WOlll"  blühende  landwirthschaftliche 
Ver>uih--t;iti"n  in  I)eut^(lil;inil  erriehti't  w<>rden  mit  der  Auf- 
L^iibi*  untt-r  Aiiweiiiluii^  ilrr  Xalurw  i-scnscliaften,  l»e>onders 
di-r  (.'lii'niii',  lue  <M>et/.i'  ilrr  Ptl.nizt'u-  und  Thierproduktion 
/.um  Nut/.en  einer  raliMiirllri]  Laiidwirth^ehaft  kennen  /u 
lerum,  liaili  dricn  Mu-t»r  uNI-aM  viel»*  l'ilr  ilie  Lantlwirrh- 
>eliat"l  .-o  Jiu»i-ri'rilriitli«'li  iiiit/.iiiiMiffn'ie  Anstalten  der  Art 
•  •nl*«tjindeii  >inil. 

Seit  lsr»;t  \i\i\\  1Iim;ih'1h|m;  im  Aulir.i:^»'  «l«-r  Landwirth- 
M'.haft.N-CieM'lIsrliaft  da-  Juiinial  \nv  Lan'h\  ir:li-i|iaft ,  ver- 
bunden  mit   ein*'!!!  vor/iiirliriii-i;  JaLr-  -iMjieliti'   iIImt  die  Fort- 


c.   Viiit :  Nckroloij  anf  Wilhelm  Ilcnuvhenj.  l*'»»^ 

schritte  der  Laiidwirth^cbatl,  heraus;  letzterer  erschien  als 
Siipplemeiit  iKv>  Journale,  unter  dem  Titel:  „Berichte  über  die 
ruten»uchun^en  und  Erfahrun«;en  auf  dem  Gebiete  der  latid- 
wirthüchaftlichen  Pflanzen-  und  Tliierproduktion"  bis  zum 
Jahre  18G8.  In  dem  bis  zu  seinem  Tode  fortj^esetzten  Journal 
finden  sich  die  wissenschaftlichen  Abhandlungen  }lenneber«i;\s 
bis  auf  seine  ers^ten,  welche  grösstentheils  in  Liel)ig\s  An- 
nalen  veröffentlicht  worden  sind.     • 

Das  Labüratorium  in  Celle  bestand  bis  zum  Herbst  des 
Jahres  1857,  zu  welcher  Zeit  daraus  die  Iandwirthschaftli<'he 
Versuchsstation  Weende  bei  üöitingen  als  Institut  der  königl. 
Landwirth&chafts-Geseilschaft  hervorging.  Die  Weender  Ver- 
suchsstation stand  bald  durch  die  bedeutungsvollen  Arbeiten 
ihroä  Vorstandes  und  seiner  Schüler  in  der  vordersten  lieiiie 
und  sie  übte  eine  solche  Anziehungskraft  aus,  dass  sehr  viele 
der  jetzt  an  landwiithsehaftlichen  Anstalten  angestellten 
Leiter  an  ihr  sich  ausgebildet  haben  und  tlijltig  waren. 

Neben  .seinem  mühsamen  Amte  als  Vorstand  der  Ver- 
such.sstation  wurde  er  18C5  zum  ausserordentlichen  und  187'^ 
znin  ordentlichen  Professor  der  Landwirthschaft  an  der  l-ni- 
versitut  Göttingen,  später  zum  königl.  preus-^ischen  (leheimeii 
lUfgierungsrath  ernannt;  1874  erfolgte  die  Verlegung  der 
Veräuchsstati(»n  von  Weende  nach  Göttingen,  wo  er  an  der 
Erziehung  tüchtiger  Lnndwirthe  erfolgreich  mitwirkte. 

Henneberg  entfaltete  an  diesen  Orten  eine  ungemein 
fruchtbare  wissenschaftliche  Thätigkeit.  2^ie  begann  .^chon 
1840  in  Jena  mit  einer  hi  Erdmann's  Journal  vtTÖffeiit lichten 
Untersuchung  üljer  das  Zirkon;  in  [jiebig's  Aiinalen  linden 
sich  mehrere  in  dem  Liebig^schen  La))oratorium  ent^andnic 
Abhandlungen:  über  einige  pyrophos]diorsaure  Doppelsal/e 
und  über  phosphorsaure  Salze,  dann  eine  in  <iiessen  begon- 
nene und  später  zu  Hause  fortgesetzte  Arbeit  über  einige 
Zersetzungsprodukte  des  Mellonkaliums,  welche  ihm  (l'^ÜM 
alä  Inauguraldissertation  zur  Erlangung  der  Dokti>rwür(le  in 


1G4         Sitzung  der  math.'jifiys.  Classe  vom  21,  März  1S91. 

Jena  diente.  In  Gie-s^en  führte  er  noch  Analysen  der  un- 
organischen Bestandtheile  des  Iltihnerblutes  aus,  bei  welchen 
er  «inen  Gehalt  an  Kiet^elsäure  fand,  die  dazu  dient,  den 
Federn  des  Thieres  die  nötliige  Kieselsaure  zu  liefern. 

Seine  Hauptarbeiten  bewegten  sich  jedoch  auf  dem  Ge- 
biete der  Ernälirnngslehre  der  Wiederkäuer.  Schon  im 
Jahre  1849  bracrhte  er  in  Liebig's  Annalen  eine  fQr  die  da- 
maligen Keniitnisise  sehr  benierkenswerthe,  auf  dem  Gute 
Was.serleben  an  Merinohanmieln  gemachte  Untersuchung: 
Heiträge  zur  Ernährung.  Man  war  bekanntlich  eine  Zeit 
lang  der  Meinung,  den  Nährwerth  eines  Nahrungsmittels 
aus  seinem  Stickstoffgehalte  entnehmen  zu  können ;  der  ver- 
diente französische  Landwirth  Bonssingault,  dem  wir  die 
ersten  ])raktischen  Versuche  an  Hausthieren  ober  Nahrungs- 
ä(inivalente  verdanken,  vermeinte  diesen  Satz  in  einer  Anzahl 
von  Fällen  aus  dem  Gewichte  der  Tliiere  bestätigen  zu  können, 
nicht  selten'  zeigte  sich  aber  eine  Nichtübereinstimmung 
zwischen  Theorie  und  Praxis,  woraus  er  schloss,  dass  der  Stick- 
stoffgehalt des  Futtew  nicht  der  einzige  Faktor  fllr  den  Nahr- 
wt»rtli  dt^sselben  sei.  Henneberg  fütt^rt^  nun  die  Hammel  mit 
der  gleichen  Menge  von  Kleeheu  und  Weizenstroh  unter  Zusatz 
verschiedener  anderer  Futtermittel.  Der  ebenfalls  aus  dem 
Körpergewichte  erschlossene  Nährwerth  der  zu  ein  und  der- 
selben Gruppe  gehörigen  Nahrungsmittel  z.  B.  der  RQben 
und  Ktirtnffeln  stellte  sich  in  der  That  proportional  dem 
Stickstoffgehalte,  aber  nicht  d<»r  einer  anderen  Gruppe  wie 
des  Kleehcns,  in  dem  bei  gleicher  Wirkung  wesentlich  mehr 
Stickstoff  verzehrt  wurde.  Diese  ersten  Anläufe  la&sen  schon 
die  späteren  Bestrebungen  Henneberg \s  erkennen,  aber  auch 
wie  sehr  sich  die  Anschauungen  über  die  Ernährung  und 
die  Methoden  ihrer  Erforschung  im  Laufe  von  40  Jahren 
umgestaltet  haben. 

An  der  Versuchsstation  zu  Weende  begann  die  Thätig- 
keit,  welche  seinen  Namen  bekannt  gemacht  hat.    Zum  Ver- 


166         Sit:i<tnj  ihr  nitUh.-phi/a.  Classe  vom  21.  Mär3  1S9J, 

Schweinen  Hessen  nur  diis  Consumveniiogen  der  Thiere  für 
die  einzelnen  Nillirstoife  erkennen  und  zeigten,  mit  welelieu 
Fnttennisehungen  eine  rasche  Mästung  zu  cr/äcleu  war. 
Ebensowenig  kamen  die  damals  an  den  landwirthschaftlichen 
Versnclisstationen  in  Deutscliland  angestellten  Versuche  Qber 
vereinzelte  Erfahrungen  nicht  hinaus.  Allerdings  hatt«  Wolff 
einen  wesentlichen  Fortschritt  gemacht,  indem  er  für  die 
Futterberechnungen  ausser  dem  Gehalte  an  stickstoffhaltigen 
kStoH'en  auch  den  an  sti<'kstüfFfreien  Stoffen  berücksichtigte  und 
auch  auf  die  Verdaulichkeit  der  verschiedenen  Futterstoffe  auf- 
merksam machte,  wobei  er  die  Kohfaser  als  unverdaulich  von 
dru  übrigen  organischen  .Substanzen  al)zog;  er  hatte  dadurch  die 
Zeit  der  Fütterung  nach  irhemischen  Cirnndsätzen  angebahnt. 

llenneberg  erkannte  wolil  bald  das  Ziel,  welches  man 
anstreben  müsse,  um  einen  näheren  Einblick  in  die  Ernähr* 
ung>v«»r^iiugo  zu  erhalten  und  der  Praxis  zu  nutzen;  er 
wollte  den  gesetzmiUsigm  Zusammenhang  zwischen  Stoff- 
bildung (Fleisch-  und  Fett  Produktion)  der  verschiedenen  Haus- 
tbiere  und  der  (^»ualität  und  (Juiintität  des  Futters  durch 
ruter>uc]nniu[  der  Nalirun«^  und  der  Exkrete  erforschen.  Er 
:-ntlit«.'  drn  j>liy>i<»|(»iri>rhru  Wertli  der  Nahrungsmittel  fe>t- 
zuNtellen,  indem  er  dtii  venlauten  Theil  ihrer  Nahrungsstoffe 
d.  i.  ihre  Ausnutzung  im  Darinkanal  ermittelte;  als  letztes 
Ziel  d^r  limdwirth-cliaft lieben  Tbierprorluktion  bezeichnete 
er  mit  Vorliebe  die  Aut'>t<'llung  von  St ojf Wechselgleichungen 
a  juiori. 

HenuflM.Tg  hatte  .-eli(»n  vi«*!«'  Vf-rsiuh»»  am  I\in«le  in 
dii'>er  Kichtiuig  aiig«'>tellt,  als  di«'  von  l^i-rlioff  und  mir  am 
Hund«'  g«'m;iebti'n  \'er>uehe  (1^'<'»<^)  «tsi  bient-n,  deren  Vor- 
läufer di«'  «lenkwünlig«*  IntiTsUibmiir  von  Hidib-r  und  Schmidt 
üb»*r  di'u  .Siolfweehsfl  war.  Lb  battr  v orber  für  den  Flei>ch- 
fn'sser  die  Mftlio«le  cb-r  Krmitt'dung  de-  Eiwei^um.-^atzes 
festgestellt  uni|  ang<*g»*b«Mi,  wit*  man  «mij»'  niöglirji^t  einfache 
und  in  ihrer  Zu-sininiensetzung  genau   bekannt«*  Nahrung  aus 


168        Sitzung  der  math.-j)hy8,  Claese  vom  21,  März  1891. 

Friedricli  Stohmann  am  Rinde  schon  gemachten  Versuche  zu 
übertragen  und  bei  weiteren  Versuchen  zu  benützen. 

Sein  mit  Stohmann  herausgegebenes  Hauptwerk  hat  deu 
Titel:  , Beiträge  zur  Begründung  einer  rationellen  Fütterung 
der  Wiederkäuer" ;  das  erste  Heft  derselben  (1860)  beschäf- 
tigtet sich  mit  dem  Erhaltungsfutter  zweier  ausgewaclisener 
Ochsen,  das  zweite  (1864)  mit  der  Ausnützung  der  Futter- 
stoffe durch  das  volljährige  Rind  und  mit  der  Fleischbildung 
im  Körjier  desselben. 

Während  wir  beim  Fleischfresser  den  einfachen  Fall 
d(>s  Stoffverbrauchs  im  Hungerzustande  zu  Grunde  legen 
konnten,  mnssten  Ilenneberg  imd  Stohmann  beim  Pflanzen- 
fre-s<M\  da  es  l>ei  ihm  wegen  des  im  Darme  in  Mai^se  rück- 
ständi^on  l'utters  niclit  möglich  ist,  den  Hungerzustand  rein 
zu  bonbiuliton,  von  dem  Nährst  off  bedarf  hei  Erhaltungsfutter 
aus.i^(»h<'U.  Si<»  wählten  zu  dem  Zweck  als  voluminöses  trockenes, 
vonhmlich«»  Kiweissstoff«»  nicht  ül)er  den  Bedarf  hinaus  ent- 
haltendes Flitter  ein  (lemenge  von  Heu  und  Stroh,  welchem 
sie  dann  v(»rsc'hiiMhMn»  Nährstoffe  wie  Kleber,  Rübol  und 
Stärl\('m«*hl  zns«*tzteii. 

V(»n'r>t  aber  mnssten  dnnrh  umständliche  Versuche  die 
McthndiMi  d«»r  cli^'nn^ilK'n  An;ily>e  der  comjdicirt  zusamnien- 
j^i'M'izi»'!!  Fnttrrmittel  sr» wie  (h»s  Kothes  ausgebildet  werden. 
Di'ii  |i"»Nli«lHMi  >lirl\stoll'i'n'ic]i  H<*standtheil«'n  wurde  die  jetzt 
jiII«^«*mHiii  <i»*bräii(hlirhr  Btv.i'ichnunif  der  stickstofffreien  Ex- 
traktstnir«',  (h*r  Hulzta^tr  <l«'r  Xmuhmi  lu»lilasi*r  gegeb«*n  :  in 
«li'nisrllM'ii  Sinn»'  s]ir;ulirii  .xii«  virn  Iinhi»nitein  und  Vf»n  Roh- 
i'rtt.  I);uliirrh  «ri'ljint^  <•>  ihnm  ili«*  rr>tfn  zuvfrlilssigpron  An- 
^^sibrn  (Umt  ili**  Nrnhiuluhki-it  ihv  |»H;i!i/liel]«*n  Futtermittel 
b«'i   Wirih'rkäiU'rn   zu   injH-li'Mi. 

I)i'i  di'ii  rMti'r>iuliimui'n  üb»-»-  ilji-  lirhjiitMn^^sfutter  fiind 
>irh .  d;iN-.  vnni  liaMhtnttiM*  d.  h.  vniii  Ib'U  und  Stroh  nur 
rtwa  dji'  llällti'  dl 'S  KMii|irot»'iiis  /ur  lii'M>rjilinn  im  Darm 
gt'hiMijt,  Von  dt'ii  stirkstnll'hvit'ii  KxtriiktNtMir»»n  !'•  ^<»J^"/|,,  viui 


1/0         tSitrunfß  ihr  nmth.-}Jnjs.  Clnsste  vom  31.  März  189 1. 

von  Iiülx"»!    machte   eine   bessere  Verwertliung   der  Rohfa^r 
und  auch  eine  etwas  günstij^ere  des  I^teins. 

Dabei  konnten  sie  anch  die  Ilanptgesctze  des  Eiweiss- 
nnjsat/cs  und  des  Kiweissansiitzes  oder  der  Fleisch bildung,  wie 
sie  für  den  Fleischfresser  von  uns  festgestellt  worden  waren,  filr 
den  I Ml anzen fresse r  bestätigen.  Zunächst  den  fÖr  solche  Ver- 
>uclu;  wesentlichsten  S^atz,  dass  aller  Sticksto£P  der  im  Korper 
zersetzten  sfickstofi'haltigen  ^Substanzen  im  Harn  und  Koth  aas 
demsell)on  austritt  und  nicht  gasformig  durch  Haut  und  Lunge 
entfernt  wird.  Sie  fanden  ])eim  Ochsen  bei  Erhaltungsfutter 
den  Stickstoff  der  Nahrung  bis  auf  5,8%  im  Harn  und  Koth 
auf,  biMui  Schaf  konnte  später  völlig(.*ä  Stickstoffgleichgewicht 
der  p]in nahmen  und  Ausgaben  nach  gewiesen  werden. 

Per  linsatz  des  p]i weisses  steigt  und  ßllt  ferner  wie 
l)eiiu  Hunde  mit  der  Menge  der  verdauten  stickstoffhaltigen 
Nahrungs.-totfe;  bei  mehr  Kiweiss  im  Futter  erscheint  dem 
eiits]>rcchend  anfangs  mehr  Stickstoff  im  Futter  bis  allmäh- 
lich unter  Kiweissansatz  wieder  Stickstoffgleichgewicht  ein- 
tritt. Zusatz  von  stickstofffreien  Stoffen  (Kohlehydraten)  ver- 
mindern den  Ei  Weisszerfall  sowie  den  Eiweissverhist  vom 
Thicr  und  verstärken  den  Kiw(Mssansatz.  Hei  absolut  mehr 
Kiweiss  in  dem  Futter  und  gleichem  Verhältniss  der  stick- 
stoll  halt  igen  zu  den  stickstofffreien  Nährstoffen  ist  der  Eiweiss- 
ansatz  grösser,  wodurch  die  am  Hunde  gewonnene  Einsicht 
von  di-r  hohen  Hcdcntung  des  richtigen  Verhältnisses  der 
stickstolfhaltigen  zu  <1»mi  .stickst^)frf'reien  Nahrungsstoffen  auch 
für  ilen   IMlanzenfrcsscr  sich  bestätigte. 

Eine  reichliche  VVasserzufuhr  l)e wirkte  eine  grossere 
StiikMoifausschciilung  im  Harn,  also  einen  verstärkten  Ei- 
wcisszerlali,  wie  ich  es  auch   für  den  Hund  zu  finden  glaubte. 

Kndlich  zeigte  sicii  auch  ein  Kinflnss  der  Körperljeschaffen- 
heii  des  Thiercs  auf  den  Kiweissverbrau<-h ,  indem  letzterer 
wie  beim  Hunde  b<»i  (Mueni  st^liwereren.  an  Fleisch  reicheren 
Organismus  grösser  war. 


172         Sitzung  der  muth.-phys,  Glosse  vom  Hl,  März  ISDl. 

Nahrung  steigt  und  flLllt,  wobei  sich  allmählich  wieder 
Stick.^tofFgleichgewicht  herstellt.  Wenn  ein  500  Kilo  schwerer 
Ochs  in  der  Ruhe  eben  250  Gramm  Eiweiss  taglich  umsetzt, 
bewirkt  ein  reichlicher  Zusatz  von  stickstofffreien  Nährstoffen 
keinen  namhaften  Ansatz  von  Eiweiss,  dieser  letztere  tritt 
erst  bei  Steigerung  der  Eiweisszufuhr  ein,  jedoch  ist  wie  bei 
unseren  Versuchen  die  Zunahme  des  Eiweissansatzes  geringer 
als  die  Vermehrung  der  Eiweisszufuhr. 

Eine  reichlichere  Aufnahme  von  Tränk'wasser  durch  die 
Thiere  rief  in  der  Kegel  einen  grösseren  Eiweiasumsatz  hervor, 
aber  nicht  momentan,  sondern  erst  nach  einiger  Zeit. 

Eine  Veränderung  des  Ernährungszustandes  des  Thieres 
ergab  unter  sonst  gleichen  Umständen  wiederum  eine  ent- 
sprechende Veränderung  des  Eiweisszerfalles. 

üie  Kohlensäureproduktion  stieg  und  fiel,  ebenso  wie 
bei  unseren  Versuchen  am  Hund  und  Menschen,  unter  sonst 
gleichen  Verhältnissen  mit  der  Zufuhr  der  stickstoffhaltigen 
und  stickstofffreien  Nährstoffe,  so  dass  alf^o  der  Ansatz  von 
Eiweiss  und  Fett  geringer  ist  als  die  Vermehrung  der  Zufuhr 
von  ^]iwoiss  und  Fett  in  dem  Futter. 

Es  wurde  auch  dabei  für  das  ausgewachsene  Schaf  bei 
Erhaltungsfutter  die  Vertheilung  der  Mineralbestandtheile  des 
Fiittt'rs  auf  den  Harn,  den  Kotli  \nid  die  Wolle  festgestellt 

Es  würde  viel  zu  weit  führen,  wollte  ich  auf  alle  die 
vielen  UntiTsucliungon  Henneberg's  und  ihre  Resultate  ein- 
golion ;  ich  suchte  nur  durch  Aufzählung  der  wichtigsten 
Erge})nisse  eine  Vorstellung  von  seiner  Wirksamkeit  zu  geben. 
Zu  seinen  ei^renen  Arbeiten  kommen  noch  die  unter  seinem 
Eindnsso  entstandenen  zahlreichen  von  seinen  Schülern  in 
seinem  Lal)()ratorium  ausgeführten,  welche  mit  dazu  beitrugen, 
die  Lehre  von  der  landwirthschaftlichen  Thierproduktion 
zu  ffirdern. 

Wenn  aucli  in  der  letzton  Zeit  auf  diesem  Gebiete  durch 
Andere  so  manches  wichtige  Neue  hinzugekommen  ist,  durch 


174  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  tom  21,  März  1891. 

Iieitsliebe  auszuführen.  Als  einen  solchen  Mann  haben  llenue- 
berg  auch  seine  Freunde  und  Schüler  gekannt,  voll  Be- 
geisterung für  die  Wissenschaft,  welche  er  auch  seinen 
Schülern  einzuflössen  wusste;  sie  hatten  an  ihm  das  beste 
Beispiel. 

So  wie  auf  die  Ausfiihrung  seiner  Arbeiten  konnte  man 
sich  auf  ihn  auch  im  Leben  fest  verlassen.  Ich  habe  das 
Glück  gehabt,  ihm  persönlich  näher  zu  treten  und  seine  treff- 
lichen Eigenscliaften  kennen  zu  lernen.  Trotz  seiner  Erfolge 
strebte  er  nicht  nach  äusseren  Auszeichnungen,  er  suchte 
seine  Befriedigung  ausschlies^^lich  in  der  reinen  wissenschaft- 
lichen Arbeit;  stets  bescheiden  und  anspruchslos,  aufrichtigen 
Sinnes  und  von  g«»radein  Wesen  war  er  in  jeder  Beziehung 
ein  edler  Mensch.  Im  gewöhnlichen  Verkehr  war  er  zwar 
wortkarg,  aber  wer  ihn  näher  kannte,  wusste  den  Werth 
seines  Wortes  zu  schätzen. 

Es  hat  daher  Viele  die  Kunde  tief  betrübt,  dass  Henne- 
berg am  22.  November  1890  gestorben  sei.  Schon  im  Ok- 
t^)ber  1889  erlitt  er  einen  Schlaganfall,  von  dem  er  sich 
wieder  leidlich  zu  erholen  schien;  am  22.  November  1890 
richtete  er  sich  zu  einer  Reise,  besuchte  noch  die  Räume 
dos  Laboratoriums  und  fnlir  Mittags  nach  dem  nahen  Greene 
bei  KreitMis(Mi  zum  Besuche  seiner  Schwester,  wo  Abends  ein 
ernüut(T  Schlugaiifull  seinem  Lel:)en  ein  rasches  und  sanftes 
Ende  machte,  niittm  in  seinem  Schaffen  und  mitten  in  neuen 
Entwürfen  zur  weiteren  Ausgestaltung  seiner  Arbeiten.  Er 
hat  (las  Glück  geliabt,  die  Neugestaltung  der  Ernährungs- 
lehre seit  40  Jahren  zu  er]el)en  und  durch  seine  bewundems- 
werthen  rntersuchungen  an  Wiederkäuern  wesentlich  an  der- 
selben mitzuwirken.^) 

1)  Nach  VoUi'ndung  dieses  "Naolinifes  sind  Nekrologe  über  Henne- 
berg erschienen:  von  Th.  Pfeiffer  in  den  landwirthschaftlichen  Ver- 
siichästationen  vom  Nobbe  1891,  Bd.  30,  Heft  1 ;  und  von  F.  l^ehmann 
iin  Journal  fGr  Landwirtbsebaft   18iK),  Hd.  38,  Heft  3  u.  4. 


176        Sitzung  der  math.-ifhys.  Glosse  tom  21.  März  1891, 

eine  wissenschaftliche  Reise  in  das  sibirische  Gebirgsland  des 
Altai,  das  bis  dahin  nur  sehr  wenig  bekannt  war,  zu  Untei^ 
nehmen.  Die  Resultat«  derselben  sind  in  dem  schonen  Werke: 
Voyage  scientifique  dans  KAltai  Oriental  et  les  parties  id- 
jointes  de  la  Frontiere  de  Chine  (1845)  zusammcngefasst, 
einem  'stattlichen  Bande  in  Quart  mit  einem  Atlas,  geo- 
logischen Karten,  Plänen  und  Zeichnungen.  Im  ersten  Theile 
des  Werkes  werden  in  höchst  lebendigen  Schilderungen  der 
Verlauf  der  Reise,  die  physikalischen  Beobachtungen  und  die 
ethnographischen  Bemerkungen  mitgetheilt ;  der  zweite  Tbdl 
beschäftiget  sich  mit  den  geologischen  Beobachtungen,  bei 
deren  Bearbeitung  Elie  de  Beauniont  und  de  Vemeuil  in 
Paris  sowie  für  die  paläontologischen  Pflanzenreste  der  kun- 
dige Geppert  in  Breslau  beliilflich  waren. 

Nach  Vollendung  dieses  AVerkes,   welches    ihm  alsbald 
den   Kuf  eines  ausgezeichneten  Geographen  verschaiFte,  ging 
er  gleich    an  die  Vorbereitungen   zu  einem    neuen  grosseren 
Reiseunternehnien.    Er  hiitt<?  den  lebhaften  Wunsch  das  untef 
der    türkischen  Ilenrschaft    damals  verödete    und  schwer  W- 
gängliche  K](Mnasien,    die    ehemalige  Perle  des  altröniischen 
Reiches ,    in   naturwissenschaftlicher  Beziehung    gründlich  tJi 
erforschen.    Als  aber  die  politischen  Verwicklungen  den  Nach- 
fulgt-r    dc>.    Miüisters    Koiikrin,    (trafen    v.    Nesselrode,   ver- 
anlasston ein  solilu's  wiss«»n>r'liaftli('hes  rnternehmen  unter  den 
damaligen  Verhältnissen   für  unausführbar  zu  erklären,   trri 
Tschirhatsvthetf.die  R«*i>e  auf  eigene  Gefahr  an.    Es  kam  ibiO 
dabei  sehr  zu  Statten,  da^s  er  >einen  zweijährigen  Aufenthall 
in  Kon>tantinr)jM.»l    als   Attaehe    hei    der    kais.  russischen   Ge- 
wand t.-ehaft    benützt    hatte,    <lie    so    nüthit^en   Kenntnisse    de 
türki.>rhen  Sprarhe  und   ihn-r  Mun<lart«'n  sich  zu  verschaffen 
Mit    sein«'n    eiLr«'n»*n    Mitt«'ln    nu'l    nur    in    Hegleitung    eine 
Dieners  unternahm    er  vnn    1^17   l)i>    !><<'»:»  fast  jährlich    voi 
den  IftM'n  «les  Bo'ipuru-.  ^\^'>  Marniaranieeres  und  des  mittel 
ländiscln>n  Meore>    aus    j^rosse  Touren    durch  Kleinasien  un< 


178         Sitzung  der  math.-jfhys,  Glosse  vom  21,  März  1891. 

peditiou  mehr,  nur  besuchte  er  im  Jahre  1878  in  Begleitung 
seiner  Frau  das  Innere  von  Algerien  und  Tunis.  Er  beschrieb 
diese  Länder  in  Briefen  an  seinen  Freund,  den  berühmten 
Nationalökonomen  Michel  Chevalier,  welche  in  dem  Buche: 
Espagne,  Algerie  et  Tunis  (1880),  später  auch  in  deutscher 
Sprache  verijfFentlicht  wurden. 

In  hohem  Alter  beschäftigte  er  sich  noch  mit  allerlei 
Ausarbeitungen  wissenschaftlicher  Fragen  und  mit  Zusammen- 
stellungen des  Wissens  in  den  seinem  Studium  naheliegenden 
iJebieten.  In  dieser  Art  lieferte  er  einen  Abriss  der  Geächichte 
der  geographischen  und  naturwissenschaftlichen  Kenntnisse 
in  verschiedenen  Zeiten  in  einer  Abhandlung:  Etudes  de 
Geographie  et  d'Histoire  naturelle  (1880),  und  schrieb  er  in 
der  Revue  des  deux  Mondes  und  der  Revue  Britannique  in 
sehr  fesselnder  und  interessanter  Weise  über  das  Naphta  in 
den  Vereinigten  Staaten  und  in  Russland,  über  die  sibirische 
Stej)[»e  Gobi,  üi)er  Tibet,  über  die  aralokaspische  Tiefebene 
und  die  Oase  von  Merph.  Auch  übersetzte  er  das  Werk 
Grisebacli's  über  die  Vegetationsverhältnisse  der  Erde  unter 
Zufügun»i  von  Eigenl)enierkung<Mi,  und  die  Rede  Liebig*s 
über  Lord  Racon  aus  dem  Deutschen  in's  Französische.  Eine 
weit  angelegte  Arbeit:  les  deserts  du  Globe  wurde  durch 
seinen  Tod  unterbrochen  und  ))lieb  unvollendet. 

Im  h<^li^*n  Altrr  von  S2  Jahren  erlag  Tschichatscheff 
einer  Lungenent/ündung  nach  kurzer  Krankheit  zu  Florenz, 
wo  er  zumeist  lebt«».  In  seinem  Testamente  hatte  er  der 
Pariser  Akademie  der  Wi-^sen-chaften  eine  Million  Franken 
vermacht,  um  «iamit  I {eisen  in  die  un))ekannti.>n  GebieU' 
Asiens  zu  unterMützen. 

Kr  besass  alle  für  einen  lieiseiiden  in  uncivilisirte  Länder 
nöthigen  Kigen><haften :  aus>er  juisgebreiteten  Kenntnissen 
eine  imponirendi?  Gestalt,  eisi-rne  <n*>;undiieit,  grosse  Energie 
und  l'ner>chrockenlieit  in  Gefahren.  Nur  so  war  es  möglich, 
dass  er   bei  >eii!en  Zütr»'n  durrli  KlrinaMrn  während   >^  Jahren 


r.  Voil:  Nekivlog  auf  Peter  c.  Tschichatscheff,  179 

in  einem  halb  barbarischen  Laude  inmitten  einer  fanatischen 
Bevölkerung  so  bedeutende  Erfolge  erringen  konnte.  Er  war 
ausserdem  ein  Mann  von  vortrefflichen  Charaktereigenschaften, 
geschätzt  von  Alien,  die  ihn  kannten.  In  Anerkennung 
seiner  Verdienste  um  die  Kenntnisse  der  Erde  hatten  ihn 
zahlreiche  gelehrte  Gesellschaften  zu  ihrem  Mitgliede  erwählt, 
ausser  unserer  Akademie,  deren  correspondirendes  Mitglied 
in  der  Abtheihmg  für  allgemeine  Naturgeschichte  er  seit  dem 
Jahre  186C  war,  die  kais.  russische  Akademie  der  Wissen- 
schaften zu  St.  Petersburg,  die  k.  preussische  Akademie  zu 
Berlin  und  das  Institut  von  Frankreich  in  der  Sektion  für 
Geographie.^) 


1)  Mit  Benützung  des  Nekrologes  von  J.  J.  Stabnitzk,  vorgetragen 
in  der  Sitzung  der  kais.  rassischen  geographischen  Gesellschaft  am 
7.  November  1800. 


180 


Sitzung  vom  2.  Mai  1891. 

1.  Herr  E.  Lommel  hält  einen  Vortrag:  ^über  di 
Schwingungsrichtung  des  polarisirten  Lichtes*. 

2.  Herr  L.  v.  Seidel  legt  eine  Abhandlung  des  Heri 
Dr.  Sebastian  Finster  walder,  Privatdocent  der  Matbemat 
an  der  technischen  Hochschule  dahier:  »die  von  optische 
Systemen  grösserer  Oeffnung  und  grösseren  Gesicht 
feldes  erzeugten  Bilder,  auf  Grund  der  SeideTsche 
Formeln  untersucht*  vor.  Die  Abhandlung  ist  für  d 
Denkschriften  bestimmt. 


IS 


üeber  die  Schwingangsrichtiiiig  des  polarisirten 

lichtes. 

Von  E.  LommeL 

Die  schönen  Versuche  des  Herrn  Wiener,*»  diini-h  welche 

derselbe  die  Existenz  stehender  Lieht  wellen  nachwie>.  ha)>en 

auch  die  Frage  nach  der  Schwingungsrichtung  des  |x»lari>irten 

Lichtes  wieder   in  den  Vordergrund   des  Interesses   und    der 

Discussion^)  gerQckt.    Ich  nehme  hicTon  Anlass,  an  von  mir 

vor-längerer  Zeit  mitgetheilte  Versuche^»  zu  erinnern,  welche 

die    letztere  Frage  berühren.    Lassen  sich  auch  die?e  einfachen 

Beobachtungen  mit  den  sinnreichen  Experimenten  Wiener'j^ 

*tt    Verdienst   nicht   vergleichen,   so   fuhren    sie   doch    die:>e 

f'^^e  mindestens   ebensoweit,   ja  sogar   weiter,  der  lA>suiig 

^^^tgegen,  als  die  Wienerischen  Versuche. 

Seit  Fresnel  und  Arago  steht  fest,  diiss  in  einem 
^tropen  Mittel  die  Lichtschwingungen  senkrecht  '/um  J!ftrahl 
*^  der  Wellenebene  erfolgen,    und  dass  dieselben    im  gerad- 

1)  Wiener,  Wied.  Ann.  40.  p.  203.  1890. 
*  2)  P.  Drude,  Wied.  Ann.  41.  p.  154.  1890.   A.  Cornu,  ('.  H.  112. 
P-  189,  365.    H.  Poincare,  ib.  p.  325,  456.     A.  Potier,  ib.  p.  383. 
^-  de  phys.  (2)  10.  p.  101.  1891. 

3)  Lommel,  Wied.  Ann.  8.  p.  634.  1879. 


l 


182  Sitzinifß  th'r  rnttthrphifs,  Classc  rom  2.  Mni  1891, 

liiiig  polarisirteii  Liclit  in  einer  dureli  den  Strahl  gelegten 
El)ene  stsittfinden,  welche  zu  der  experimentell  stets  gegebenen 
PolarisationselKMie  entweder  senkrecht  steht,  oder  mit  ihr 
zusaninienrällt.  Von  der  Lichtschwingung  selbst  wissen  wir 
aus  der  Erfahrung  nur,  dass  sie  in  einem  .periodisch  ver- 
änderlichen Zustand  besteht,  der  sich  in  einem  Substrate  vpn 
un))ekannter  Beschaftenheit  wellenartig  fortpflanzt. 

Die  ver.schiedenen  Theorien  des  Lichtes  unterscheiden 
sich  von  einander  durch  die  Aninihmen,  welche  sie  Ober  die 
Ki;(enschaften  des  fortpflanzenden  Mittels  macheu.  Welcher 
Art  aber  auch  diese  Hypothesen  sein  mögen,  so  sind  doch 
die  aus  ihnen  abgeleiteten  partiellen  Differentialgleichungen, 
welche  den  Vorgang  der  Fortpflanzung  transversaler  Scl\win- 
ungen  beschreiben  sollen,  von  derselben  allgemeinen  Form. 
Aus  diesen  (ileichungen  folgt  aber,  dass  mit  jeder  solchen 
Schwingung  eine  in  der  Wellenebene  zu  ihr  senkrecht  ge- 
richtete ebenfalls  periodisch  veränderliche  Grösse  von  gleicher 
Schwingungsdauer  und  ))roportionaler  Intensität  untrennbar 
verknüpft  ist,  welche  mit  demiselben  Recht  wie  jene  als 
„Schwingung"  bezeichnet  werden  kann.  In  den  elastischen 
Lichttheorien  sind  diese  beiden  zu  einander  senkrechten  Richt- 
ungsgrössen  (Vectoren)  einerseits  die  Verschiebung  der  Aether- 
theilchen,  andrerseits  die  Aenderung  der  die  Fortpflanzung 
bewirkenden  elastischen  Kraft;  in  der  elektromagnetischen 
Lichttheorie  die  elektrische  Schwingung  und  die  dazu  senk- 
rechte magnetische  Schwingung. 

I)jis  theoretisch  geforderte  Vorhandensein  zweier  ver- 
schiedener, vom  analytischen  Staudpunkt  aus  gleichwerthiger, 
Kichtungsgrössen  wird  man  daher  auch  bei  üeberlegungen, 
welche  sich  an  f>fahrungsthatsachen  kniipfen,  zu  berück- 
sichtigen haben. 

Die  Thatsache  der  Polarisation  aber  beweist,  dass  diese 
beiden  Kichtungsgrössen,   von  denen  die  eine  in  der  Polari- 


184  Sitzung  der  maih.'phys.  Clasat  vmn  ^,  Mai  1891. 

Das  rothc  Magnesiumplatincyaiiur,  welches  in  schön 
ausgebiUk'ten  quadratischen  Säulen  krystallisirt,  zeigt  di- 
chroitisclie  Fluorescenz,  welche  besonders  schon  hervortritt, 
wenn  niuii  sie  mit  an  sich  licht^ch wachem  aber  stark  er- 
regendem violettem  Licht  hervorruft. 

Erregt  man  mit  ]K)]arisirtem  Licht,  indem  man  das  ein- 
fallende violette  Strahlenbündel,  nachdem  es  durch  ein  Nieol- 
sohes  Prisma  gegangen  ist,  senkrecht  auf  eine  Seitenflache 
des  Krvstalles  treffen  liLsst.  so  strahlt  die  belichtete  Fläche 
scharlachrothes  Fhiorescenzlicht  aus,  wenn  die  Polarisations* 
ebene  des  ^einfallenden  Lichtes  zur  Ilauptaxe  des  Krystalles 
parallel  steht,  dagegen  orangegelbes  Fluorescenzlicht,  wenn 
die  Polari.satiousebene  zur  Krystallaxe  senkrecht  steht^ 

Durch  ein  zweites  Nieol  betrachtet,  erweist  sich  das 
ausgestrahlte  Fluorescenzlicht  für  die  genannten  beiden  Haupt- 
stellungen des  ersten  Nicols  jeweils  in  demselben  Sinne  jk)- 
hirisirt  wie  das  erregende  Licht,  nämlich  das  scharlachrothe 
parallel  zur  Krystallaxe,    das  orangegelbe   senkrecht  zu  ihr. 

Mit  dem  Spectroskop  untersucht,  zeigt  das  scharlach- 
rothe Fluorescenzlicht  ein  ^^pectrum,  welches  von  der  Wellen- 
länge A  0,r»50//  bis  zu  X  0,578/1  reicht  und  im  Orange- 
roth etwa  bei  A  0,()()0/i  ein  Maximum  der  Lichtstärke 
besitzt;  das  Spectrum  der  orangegelben  Fluorescenzfarl)e  da- 
gegen  erstreckt  sich  von  A  0,t)40  jti  bis  A  0,562 /i,  und 
erhebt  sich  im  Gelb  bei  X      0,578/1  zu  einem  Maximum. 

Wir  lassen  jetzt  das  horizontale  polarisirte  Bündel  vio- 
letten Lichtes  auf  die  HiisisHüche  des  quadratischen  Prismas 
senktrecht  tretlen,  indem  wir  den  Krystall  -so  aufstellen,  dass 
seine  Ilauptaxe  mit  der  Hichtung  der  einfallenden  Strahlen 
zusannnenfällt  ( Anfangsstellung).  Die  Basisfläche  leuchtet 
nun  mit  scharlachrothem  Fluorescenzlicht  (Spectrum  bis 
A  ()J}7Xfi),  welches  unpolarisirt  ist,  und  seinen  Fnrbenton 
niclit  ändert,  wenn  man  den  Krystall  oder  das  Nicol  um  die 
Strahlenrichtung  als  Axe  dreht. 


1^^')  Sitzung  tier  math.-phys.  Classe  vom  2,  Mai  1891. 

au>^^strahlte  Fluoresccnzlicht  mit  dem  erregenden  Liebt  je- 
weils parallel  polarisirt  int. 

Ms  fol^t  daraus,  dass  auch  der  Lichteindruck  einer 
geradlinig  ixjlariisirten  Liehtwelle  in  unserem  Auge  durch 
Sth\vingnng«Mi  liervor<^el>racht  wird,  welche  zur  Polarisations- 
<'l><»iic  senkrecht  st<*hen. 

Andrerseits  hat  Wiener  den  experimentellen  Nachweis 
j^i'liefert,  dass  die  chemisch  wirksamen  Schwingungen  einer 
geradlinig  ])nlarisirten  Lichtwelle  zur  Polarisationsebene  senk- 
recht sti'lien. 

\hi  für  di<?  Wiinnewirkungen  einer  Lichtwelle  die  Po- 
l.irisationseheiie  dieselbe  Lage  hat  wie  für  ihre  Lichtwirkungen, 
da  feriHT  <lie  Phosphoresrenz  von  der  Fhiorescenz  im  Wesen 
II  je  hl  verschied  1*11  ist,  so  dass  beide  von  E.  Wiedemann 
passend  unter  der  Henennnng  ^Luminescenz'  zusamnien- 
geliissi  werden,  so  ist  hieniit  für  alle  Lichtwirkungen,  optische, 
thennische,  chemische  und  Lnminescenz -Wirkungen  experi- 
nuMitell   bewiesen  : 

Die    Lichisch Windungen    stehen   zur   Polarisations^ 

ebene  senkrecht. 

Ilieniil.  ist  aber  nnr  die  erste  unserer  beiden  Fragen 
erledigt,  und  /ugleich  dargethan,  dass  alle  bekannten  Licht- 
Wirkungen  nur  von  dem  zur  Polarisationsebene  senkrechten 
S«'hwingung.szust}unl  bedingt  sind;  von  vorneherein  wäre  ja 
immerhin  denkbar  gewesjm,  dass  etwa  die  optischen  Wirkungen 
von  der  einen,  die  chenn'schen  Wirkungen  von  der  anderen 
dazu  senkrechten   periodischen   Grösse  abhängig  wären. 

Die  zweite  Fragt»  dagegen,  ob  die  Verschiebung  der 
TJH'ilchen  des  AFediunis  selbst  oder  der  zu  ihr  senkrechte 
Schwingungszustand  die  wirksame  Lichtschwingung  ist,  bleibt 
dabei  noch  ollen;    für  ditf  elastischen  Lichttheorien  z.  B.  kt 


188  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  2,  Mai  1891. 

in  der  That  von  Troughton^)  und  von  KlemeniK^ 
suche  ausgeführt  worden,  welche  beweisen,  dass  die 
irischen  Verschiebungen  (^displaceinents")  zur  Polaris; 
ebene  senkrecht  stehen.  Nimmt  man  daher  an,  da 
Lichtwellen  mit  den  elektrischen  Wellen  dem  Wesei 
übereinstimmen,  so  ergibt  sich  wiederum,  dass  die 
Schiebungen  des  fortpflanzenden  Mittels  zur  Polarisation 
senkrecht  stehen. 


1)  Troughton,  Nature  39.  p.  393.  1889. 

2)  Klemen6ic,  Wiener  Berichte,  Feb.  19,  1891. 


189 


Sitzung  vom  6.  Jani  1891. 

Herr  C.  v.  VoiT  machte  weitere  Mittheihingen  über  die 
in  seinem  Laboratorium  seit  längerer  Zeit  iu  Gang  befindlichen 
Untersuchungen  ^über  die  Glykogenbildiing  nach  Auf- 
nahme verschiedener   Zuckerarten**.     Dieselben    sollen 
in  der  Zeitschrift  für  Biologie  veröflfentlicht  werden. 


Sitzung  vom  4.  Juli  1891. 

1.  Herr  H.  Seelioer  bespricht  eine  von  der  Kopen- 
l^ner  Akademie  mit  der  goldenen  Medaille  gekrönte  Arbeit 
^  Herrn  Dr.  Eduard  Frhrn.  v.  Haerdtl,  Dozenten  für 
Astronomie  an  der  k.  k.  Universität  zu  Innsbruck:  „Skizzen 
*^  einem  speziellen  Fall  des  Problems  der  drei 
Korper*.  Dieselbe  soll  in  die  Denkschriften  aufgenommen 
^«rden. 

2.  Herr  W.  v.  Gümbel   legt  eine  Abhandlung  des  aus- 

^wtigen  Mitgliedes,    Herrn    Prof.  Dr.  F.  v.  Sandberüer   in 

"örzburg,  vor:    „über  den  Erzgang   der  Grube  Sagra 

13* 


190  Sitzung  der  math.-phys.  Clasae  vom  4.  Juli  1891. 

Familia  in  Costarica  und  dessen  Bedeutung  ffir  die 
Theorie  der  Erzgänge*. 

3.  Herr  W.  Dyck  überreicht  eine  Abhandlung  des  co^ 
respondirenden  Mitgliedes  der  Classe,  Herrn  Prof.  Dr.  AleL 
Bbill  in  Tübingen:  „über  das  Verhalten  einer  Funk- 
tion von  zwei  Veränderlichen  in  der  Umgebung  einer 
Nullstelle*. 


191 


Bn  Erzgang  der  Grube  Sagra  Familia  in 
i  nnd  dessen  Bedeutung  für  die  Theorie 
der  Erzgänge. 

Von  F.  V.  Sandber^er. 

(Eingelaufen  4.  Juli.) 

Sebirge  der  Republik  Costarica  (Central -Amerika) 
lach  den  bisherigen  Forschungen  aus  verschieden- 
steinen. Als  ältere  werden  Granit  und  krystallinische 
ngegeben,  von  welchen  goldhaltige  xAlluvionen  ab- 
die  frfiher  ergiebig  gewesen  sein  müssen,  da  Gold- 
n  alten  Indianer-Gräbern  in  nicht  unbeträchtlicher 
funden  worden  ist.^)  Bergbau  auf  Gold  scheint 
esem  Gebiete  nicht  betrieben  worden  zu  sein.  Die 
lesteine,  welche  jene  an  vielen  Orten  durchbrochen 
od  unter  sich  wieder  von  verschiedenem  Alter. 
mblende-Andesiten,  die  z.  B.  am  Vulkane  Chiriqui*) 
en,  zuweilen  aber  auch  Augit  und  Quarz  enthalten,') 

Wagner,   Naturwiasensch.  Reisen   im   tropischen  Amerika, 

.  daselbst  S.  25t  ff. 

ümbel.    Diese  Sitzunpsber.  1881  S.  357. 


192  Sitz  im  ff  der  mathrphys.  Clasne  rom  4.  JuH  1891. 

konnuen  reine  Au^it-Andej*ite  von  basaltähnlichem  Habitus*) 
vor,  jenen  ähnlich,  welche  M.  Wagner*)  in  der  Umgebung 
des  Cotopaxi  gefunden  hat.  In  der  mir  vorliegenden  Literatur 
ist  aber  nirgends  die  Rede  von  dem  Vorkommen  letzterer 
Gesteine  in  den  Urwäldern  des  westlichen,  dem  Stillen  Oeean 
zugekehrten  Theiles  von  Costariea,  wo  sie  iudess  offenbar 
eine  wichtige  l?oIle  spielen.  Man  wurde  erst  auf  sie  auf- 
merksam, als  18<)()  ein  Firzgang  in  ihnen  entdeckt  wurde, 
der  sich  als  goldhaltig  erwies.  Es  bildete  sich  ein  Consortium, 
welches  unter  Leitung  des  schon  vor  längerer  Zeit  verstorbenen 
trefflichen  Bergingenieurs  L.  P^ich  aus  Oberhessen  zwei  Jahre 
lang  auf  demselben  Bergbau  betrieb.  Die  „Sagra  Farailia' 
benannte  Grube  Hegt,  eine  Tagereise  von  der  Stadt  Elsparsa 
entfernt,  einsam  im  dichten  Urwalde.  Das  am  Ausgehenden 
mit  anderen  Zersetzungsproducten  der  Oangmasse  gefundene 
hochsilberhaitige  Gold  wurde  natürlich  in  der  Teufe  nicht 
mehr  getroffen ,  sondern  es  traten  hier  Schwefelraetalle  an 
dessen  Stelle,  welche  behufs  der  Amalgamation  aufbereitet 
und  geröstet  werden  mussten,  aber  eine  wesentlich  geringere 
Ausbeute  ergaben.  Die  Grube  wurde  daher,  wie  mir  die 
s.  Z.  dort  wohnende  Wittwe  des  ehemaligen  Leiters  mit- 
theilte,   1868  aufgegeben. 

Die  merkwürdige  Mineralassociation ,  welche  den  (}ang 
ausfüllt,  hatte  mich  schon  bei  der  ersten  Besichtigung  dör 
Eich'schen  Sammlung  lebhaft  interessirt*)  und  ich  habe  daher 
die  Gelegenheit  wahrgenommen,  letztere  für  das  unter  meiner 
Leitung  stehende  mineralogisch-geologische  Institut  der  Uni- 
versität VVürzburg  zu  erwerben.  Schriftliche  Aufzeichnungen 
über  die  Grube  Sagra  Familia  fanden  sich  im  Eich'schen 
Nachlasse  nicht  mehr,  was  sehr  zu  bedauern  ist. 


1)  Hers.  iliisolljHt  S.  362  ft". 

2)  A.  a.  0.  S.  531  ff. 

3)  Jahrb.  f.  Min.  1874  S.  171. 


104  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  4.  Juli  1891. 

gut  die  Flächen  oo  P  co  •  x'F  •  ooP'  •  oP  und  Poo ,  stets  in 
deutlicher  Verwachsung  nach  dem  brachydiagonalen  Flächen- 
])aare.  Sie  schmelzen  vor  dem  Löthrohr  unter  rothgelber 
Färbung  der  Flamme  zu  weissem  blasigem  Email  und  werden 
beim  Kochen  von  concentrirter  Salzsaure  völlig  zersetzt,  sind 
demnach  Labradorit. 

Der  Augit  erscheint  in  kleinen,  nur  im  frischesten 
Kerne  noch  grünlich  schwarzen  Krystallen  der  Combination 
oc  P .  ooPcx;  •  QoPoc  •  P,  welchc  gewöhnlich  zu  Zwillingen  nach 
a.  Poe  verbunden  sind,  er  lässt  ausser  den  gewöhnlichen  Be- 
standtheilen  einen  nicht  unbeträchtlichen  Gehalt  an  Mangan 
bemerken.  Magneteisen  ist,  wie  schon  oben  erwähnt,  sehr 
gewöhnlich  in  ihm  eingewachsen. 

Das  Gestein  ist  also  ein  mikropoq>hyrischer  quarzbaltiger 
Augit-Andesit,  welcher  in  Bezug  auf  seine  Zusammensetzung, 
in  welclier  manganhaltiger  Augit  und  Labradorit  die  wich- 
tigste Rolle  spielen,  schon  länger  bekannten  des  ungarisch- 
siebenbürgischen  Erzgebirges  z.  B.  aus  der  Gegend  von 
Xagyag,  Felsöbanya,  Nagybanya  u.  s.  w.  ungemein  nahe 
stellt,^)  die  dort  nicht  mit  solchen  durch  Uebergänge  ver- 
bunden sind,  die  statt  des  Augits  manganhaltige  Hornblende 
führen,  wie  z.  B.  der  Andesit  von  Kapnik.  Die  häufige  Umsetz- 
ung des  Angibt  zu  Delessit  und  Kalkspath  liedingt  aber  auch 
eine  gewisse  Aehnlichkeit  mit  manchen  Augit -Porphyren*) 
und  Melaphyren. 

Von  grossem  Interesse  ist  das  chemische  Verhalten  des 
Gesteins.  Kocht  man  das  Pulver  desselben  einen  Tag  lang 
mit  destillirtem  Wasser  aus  und  lässt  es  dann  längere  Zeit 
stehen,  so  hat  das  Wasser  die  löslichen  Salze,  vorwiegend 
schwefelsaures  Natron,   aber  auch  etwas  Chlornatrium,  voU- 

1)  li-b  konntt*  mich   hiervon  an  einer  Suite  überzeagen,   welche 
ich  vor  Jahren  von  Herrn  Prof.  v.  Szaho  in  Pesth  erhielt. 

2)  Kjerulf  Christiania-JSilurbeckon  S.  21  f. 


r.  Sandberger:  Erzgang  der  Grube  Sagra  Eamüia.         195 

ständig  gelöst  und  dieselben  sind  dann  leicht  nachzuweisen. 
Zugleich  geht  aber  auch  organische  Substanz  in  Lösung  und 
scheidet  sich  am  Rande  der  Schale  als  brauner  Ueberzug 
wieder  ab.  Ebenso  deutet  das  Verhalten  im  Glührohre  auf 
ziemlich  viel  organische  Substanz,  welche  vermuthlich  einem 
Körper  aus  der  Ulminreihe  angehört,  da  neben  Wasserdampf 
starker,  dem  Paraffin  ähnlicher  Geruch  zu  bemerken  ist. 

Mit  kalter  Salzsäure  entwickelt  das  Gesteinspulver  Kohlen- 
saure, von  dem  bereits  oben  erwähnten  Kalkspath  herrührend, 
aber  keinen  Schwefelwasserstoff,  der  auch  beim  Erwärmen 
ebensowenig  auftritt,  als  rothe  Dämpfe  bei  Einwirkung  von 
Salpetersäure.  Fertig  gebildete  Schwefelmetalle  sind  daher 
im  Gesteine  nicht  vorhanden. 

Salzsäure  zersetzt  das  Pulver  bei  fortgesetztem  Kochen 
völlig  und  hinterlässt  nur  pulverige  Kiesels<änre  und  Quarz- 
splitter, welche  beim  Reiben  mit  dem  Glasstabe  knirschen. 
Beim  Schlämmen  bleiben  auch  nur  diese,  aber  kein  Zirkon, 
Rutil  oder  Turmalin  zurück. 

Die  Lösung  enthielt  nach  der  relativen  Menge  geordnet : 
Kieselsäure,  Kalk,  Natron,  Eisenoxydul  und  Oxyd,  Thonerde, 
Mangan,  Titansäure,  Phosphorsäure,  Kiipferoxyd,  Antimon, 
Arsen,  Zink,  Magnesia,  Kali,  Blei  und  Baryt.  Silber  und 
Gold  waren  auf  diesem  Wege  in  10  g  nicht  zu  entdecken. 
Fast  alle  diese  Elemente  treten  in  mannigfaltigen  Verbind- 
ungen auf  dem  Erzgange  auf. 

Ehe  dieser  aber  genauer  besprochen  wird,  mag  es  nütz- 
lich erscheinen,  ein  in  mehreren  Abänderungen  in  der  Nähe, 
an  einem  Pina  grande  benannten  Fundorte  beobachtetes 
Gestein  zu  erwähnen,  in  welchem  aber  kein  Erzgang  er- 
schürft wurde.  Die  frischeste  desselben  ist  tief  sehwarzgran, 
noch  sehr  hart  =  6,  gibt  im  ülührohre  nur  ganz  wenig 
Wa'^er  ab  und  entwickelt  keinen  brenzlichen  Geruch,  eben- 
sowenig braust  sie  mit  kalter  Salzsäure.  Der  Habitus  ist 
aber  ganz  jener   des  Gesteins  von  Sagra  Familia,    nur  fehlt 


196  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  4.  Juli  1891. 

der  Quarz   im  Gemenge  gänzlich.     Die  Augite   sind  grosser 
und  Delessit- Mandeln  seltener    und  dunkler   geßLrbt  als  in 
jenem.    Die  Augite  zeigen  durchweg  die  Gombination  xPao  • 
00  P  •  ooPc»  mit  bald  stärkerer  bald  geringerer  Entwickelung 
von  P;  Zwillinge  sind  weniger  häufig  zu  bemerken.    Mangan 
ist  in  ihnen    nicht  zu  entdecken.     Der  Schliff  ist  jenem  des 
ersten  Gesteins  im   höchsten  Grade  ähnlich,    nur  ist  Glas  in 
der  Zwischenmasse    und  in  den  Feldspathen  reichlicher  vor- 
handen.   In  der  salzsauren  Lösung  des  Gesteins  fehlen  Mangan, 
Zink,  Kupfer,  Antimon  und  Arsen  gänzlich,  die  übrigen  Be- 
shindtheile  sind  dieselben  wie  oben. 

Die  zweite  tischgraue  Varietät  ist  schon  etwas  zersetzt 
und  braust  mit  kalter  Salzsäure,  der  Feldspath  erscheint 
durchweg  angegriffen  und  matt,  die  Augite  sind  zum  Theil 
noch  frisch,  zum  Theil  in  Delessit  umgewandelt,  welcher 
auch  in  griVssereu  und  kleineren  Mandeln  zu  beobachten  ist. 
Ausserdem  treten  aber  bis  haselnussgrasse  Ausscheidungen 
eines  weissen  fast  dichten,  nur  stellenweise  verworren  strah- 
ligen Minerals  auf.  Dasselbe  gil)t  im  Cilührohre  ziemlieh 
viel  Wasser  al),  seliniilzt  vor  dem  L()throhre  nach  vorherigem 
Aufblähen  unter  intensiv  rotiigeli)er  Färbung  der  Flamme 
zu  weissem  blasigem  Email  und  gelatinirt  mit  heisser  Salz- 
säure au-«^ezeichnet.  leh  kann  es  daher  nur  für  Mesotyp 
lullten,  wofür  auch  die  Härte  spricht.  Der  stark  angegriffene 
Zustand  des  Feldspaths  (L;il)ra(i()rit«^)  lässt  nicht  bezweifeln, 
(lass  sich   dieser  Zeolith    auf  Kosten    desselben    gebildet    hat. 

Noch  stärktu*  zersetzt  ist  die  dritte  schmutzig  röthlich- 
graue,  tlionig  riechende  und  weiche  Varietät,  ein  wahrer, 
von  lluniierten  erhseugros^er  Mesotyp- Manileln  erfüllter 
Mandel-tein,  in  de.«.stMi  weicher  Gruiidmasse  die  Augite  un<l 
Feldsp;ithe  nur  noch  an  den  Iniri^^en  ihrer  Krysta  11  formen 
zu  erkennen  sind.  M.  Wagner  erwähnt  bereites  ein  Mdches 
Gestein  aus  der  Nähe  der  Panama- Fi>enl »ahn. 


r.  Sandberyer:  Erzgang  der  Grube  Satjra  Familia.  197 


II.  Die  Ausfüllung  des  Ganges. 

Nach  dieser  Abschweifung  kehre  ich  zu  der  Besprechung^ 
ifiA  Ganges  zurück,  dessen  Mächtigkeit  nach  den  vorliegenden 
Stücken  zu  schliessen  höchstens  0,2  ui  betragen  zu  haben 
scheint,  und  gebe  zunächst  eine  Anzahl  von  Beispielen  für 
die  Faragenesis  desselben. 

1.  1)  Grobkomiger  weisser  Kalkspath  I,  in  Drusen  im 
Grundrhomboeder  krystallisirt  und  häurig  überzogen  von 
einer  Lage  von  2)  lichtem  Brannspath.  3)  Quarz  II  in  dru- 
sigen üeberzügen.  4)  Weisser  Arag(mit  in  strahlig  gruppirten 
Nadeln. 

2.  1)  Derselbe  Kalkspath  im  Gemenge  mit  graulich- 
weissem  Quarz  I  mit  eingesprengten  Kiesen,  der  ihn  an  vielen 
Stellen  völlig  verdrängt.  In  Drusen  2)  Quarz  II  (ooR-[~R) 
überzogen  von  Wad  und  jüngstem  Kalkspath  III  ( — 2H). 

8.  1)  Weisser  Quarz  im  (iemenge  mit  2)  viel  Uoson- 
spath.  In  Drusen  über  letzterem  3)  Quarz  II  (oc  R  -f  H). 
4)  Manganocaleit  in  rosenrothen  Büscheln. 

4.  1)  Zersetzter  Rosenspath.  2)  Quarz  II  stellenweise 
mit  Hervorragungen  tafelartiger,  jetzt  ganz  von  ihm  ver- 
dängter  Krystalle  (Schwerspath?).  3)  Manganbraunspath 
(R)  in  Gruppen  und  in  hohlen  Pseudomorphosen  nach  Kalk- 
spath II  (-2R). 

B.  1)  Weisser  Quarz  mit  eingesprengten  Schwefelmetallen 
(Fahlerz,  Zinkblende,  Kupferkies)  in  zusammenhängenden 
Lagen  oder  in  unregelmässig  gest.altet(»n  Nieren,  welche  von 
2)  Rosenspath  mit  denselben  Erzen  rings  umgeben  stelliMi- 
weise  eine  aasgezeichnete  Cocarden-Structur  annehmen.  In 
Dnwen  über  3)  Quarz  II.  4)  Manganbrannspath  {\\)  und 
BOäcbel  von  Manganocaleit. 


202  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  4.  Jidi  1891, 

8.  Eiiargit.  Findet  sich  nur  an  einem  Gan^ficke  derb 
und  in  Verwachsung  mit  der  gleich  zu  besprechenden  Zink- 
blende. Das  Verhalten  des  Erzes  im  Qlöhrohre  und  seine 
deutliche  Spaltbarkeit  lässt  über  die  Natur  desselben  keinen 
Zweifel.  Es  enthält  neben  Kupfer,  Arsen  und  Eisen  auch 
Blei,  und  zwar  wie  es  scheint  etwas  mehr  als  der  Enargit 
der  Sierra  Famatina  in  Argentinien. 

9.  Zinkblende.  Tief  schwärzlich  braun,  in  dfinnen 
Blättchen  mit  honigbrauner  Farbe  durchsichtig,  kommt  die- 
selbe in  grob  krystallischen  Massen  von  hohem  Glänze  und 
ausgezeichneter  Spaltburkeit  vor  und  bildet  mit  den  vorstehend 
geschilderten  Schwefelmetallen  gemengt  Erzmittel.  Sie  ist 
eigenthüralich  zusammengesetzt  und  namentlich  durch  einen 
höheren  Mangangehalt  ausgezeichnet,  als  ich  ihn  bisher  in 
Blenden  beobachtet  habe,^  daneben  auch  wie  der  Enargit 
durch  einen  kleinen  Gehalt  an  Blei,  der  von  Einmengungen 
nicht  herrühren  kann,  da  Bleiglanz  auf  dem  Gange  gänzlich 
fehlt.  Sonst  enthält  die  Zinkblende  Zink,  Eisen  und  etwas 
Cadmium,  wie  gewöhnlich,  Silber  und  Zinn  wurden  nicht 
nachgewiesen  und   Kupfer  nur  in  Spuren. 

10.  <ryps,  meist  mit  Malachit  oder  Kupferlasur  ge- 
mengt, erscheint  in  Form  kleiner  stark  in  der  Richtung  der 
Hauptaxe  verlängerter  Nadeln  ooP  —  P  ■  ^/aPoc  ,  ist  aber  in 
Folge  seiner  Löslichkeit  in  Wa^sser  nur  in  geringer  Menge 
erhalten  geblieben. 

11.  Kupferlasur.  In  kleinen  Drusen  über  Malachit 
auf  zersetztem  Knargit  oft  in  prächtig  blauen,  aber  kleinen 
Krystalh'U   xP  -  oP  •  ^j^Vcc ,   xPoo    i>t  kaum  angedeutet. 

12.  Malachit.  In  dünnen  Ueberzügen  auf  demselben 
Sclnvefrlnuttalle,   jjäutiger  aber  auf  Kupferkies,  sowie  auf  ge- 


1)  Den  luM-liston  (2,()6"/o)  hat  man  in  der  schwarzen  Blende  von 
Hrcitenbrunn  (rhristophit  Pircith.)  gefunden,  welche  auch  in  Com  wall 
und  hin  Villedf»r  ([)«*]>.  Mnrhilnin)  vorkommt. 


204  Sitzunff  der  mathrphtfs.  ClauM  vom  4.  JhH  1891, 

Wie  uian  siebt,  sind  auf  dem  Gange  sammtliche  im 
Nebengesteine  nacb gewiesenen  Elemente  mit  Ausnahme  der 
Tbonerde,  Titansiiure  und  der  Alkalien  in  Form  von  freier 
Kieselsäure,  sowie  von  kohlensauren  und  Schwefel -Verbind- 
ungen wieder  zur  Al)lagerung  gekommen  und  zwar  in  be- 
stimmter Ht'ibenfolge.  Die  Hauptmasse  des  verfügbaren  Kalkes 
findet  sich  im  älteren  Kalks])ath,  die  bei  Zersetzung  des 
Feldspatbs  abgeschiedene  Kieselsäure  im  Quarz.  I  wieder, 
doch  blieben  Lösungen  derselben  auf  dem  Gangraume  noch 
längere  Zeit  zurück,  welclie  theils  mit  anderen  Elementen, 
namentlich  Manganoxydul  und  Eisenoxydui  zur  Bildung  an- 
derer Verbindungen  verbraucht  wurden,  theils  selbstständig 
als  jüngere  Kalksjjatlie  und  Quarze  wieder  zum  Vorschein 
kommen.  Der  jüngere  Quarz  erscheint  stets  in  der  auf  den 
Scheninitzer  Gängen  allgemein  verbreiteten  Form.  DasMangan- 
oxydnl,  welches  den  reichlich  vorhandenen  Itosenspath  (s. oben), 
einen  der  charakteristischsten  Bestandtheile  des  Erzgangs  ge- 
liefert hat,  ist  schwerer  löslicli  als  der  kohlensaure  Kalk  und 
erscheint  deshalb  später  im  (xangraumc.  Es  rQhrt  hier  ebenso 
zweifellos  aus  manganlialtigem  Augit  her,  wie  anderswo 
z.  B.  zu  Kapnik.  Schemnitz,  Vöröspatak.  OfiFenbanya  u.  a.  0. 
aus  manganhaltiger  Hornblende  und  auf  gewissen  Freiberger 
Gängen  ausmaiiganhaliigem  Glimmer.  Heines  Seh  wefelniangan, 
welches  anderwärts  z.  B.  zu  Offenbanya,  Kapnik  und  Nagjag, 
in  Mexico  u.  s.  w.  den  Mangansj)ath  begleitet,  kommt  auf 
Sagra  Farn i IIa  nicht  vor,  wohl  aber  eine  ungewöhnlich  hock 
numganhaltige  Zinkblende. 

Da  sich  im  Nebengesteine  reichlich  schwefelsaures  Natron 
und  organisihe  Substanz  ))etindet,  so  waren  alle  Bedingungen 
zur  Bildung  von  Schw»?felnatrium  vorhanden.  Die  Schwer* 
nietalle,  welche  vermuthlich  als  kieselsaure  oder  kohlensaure 
iSalze  aus  dem  zersetzten  Nebengesteine  auf  den  Gangraum 
geführt  wurden,  konnten  daher  alsbald  als  Schwefelmetalle 
niedergeschlagen  werden  und  müssen  schon  darum  auf  diesem 


206  Sitzmiß  der  math.-phijs,  Classe  vom  4.  Juli  1891. 

Die  Vergleich nng  des  Ganges  von  Sagra  Farailia  mit 
jenen  von  Schemnitz,  Felsöbanya,  Kapnik,  Nagyag,  Vöros- 
patak  und  gewissen  Nevadas  (Austin)  und  Mexicos,  welche 
ebenfalls  reicJiIich  kohlensaures  und  kieselsaures  Manganoxydal 
nebst  übereinstimmenden  Erzen  ftihren  und  in  Andesiten 
mit  manganhaltiger  Hornblende*)  oder  Augit  aufsetzen,  er- 
gibt die  allergrösst«^  Aehnlichkeit,  die  man  ja  in  jeder  grösseren 
Sammlung  leicht  constaiiren  kann.  Nur  der  sonst  fiberall 
vorkommende  Bleiglanz  ist  auf  Sagra  Familia  nicht  vertreten. 
In  älteren  Gesteinen  kommen  Gänge  mit  ähnlicher  Art  der 
Ausfüllung  nur  äusserst  selten  vor,  wie  manche  bei  Freiberg. 
Es  wäre  gewiss  am  Platze,  diese  unt^r  dem  Namen  ,, Mangan- 
spatli-Formation*  zu  vereinigen  und  als  besondere  Abtheilung 
von  Breithaupt\s  „klinoedritischer  Blei -Zink -Formation*  zu 
unterscheiden. 

Was  die   secimdären  Mineralien    der  oberen  Teufe   be- 
trifft, so  ergaben  sich  kaum  besonders  interessante  Thatsachen. 
Die   kupfer-  und    bleihaltigen  Erze   liefern    wie    gewöhnlich 
zunächst   schwefelsaure    Salze,    welche   durch    den    reichlich 
vorhandenen    kohlensauren    Kalk   in   Gyps    und    kohlensaure 
Metalloxydo    umgesetzt  werden.     Die  edlen  Metalle  scheiden 
sich,    weil    unoxydirbar,    als    Silbt^rgold    ab,    ein    Theil    des 
Malachits   mag  wohl  durch    reichlich  vorhandene  organische 
Substanz    zu   gediegenem   Kupfer  reducirt   worden    sein,   da 
älteres  Hothkupfererz,   welches  etwa  durch  Schwefelsaure  in 
schwefelsaures  Kuj)fer(>xyd    und  gediegenes  Metall    gespalten 
worden  sein  könnte,  auf  dem  Gange  nicht  nachzuweisen  war. 
Das    kohlensaure    Manganoxydul   geht    durch    Oxydation    zu 
Hyperoxyd    in   Wad    über.     Nur   ein  Theil    des   Kupfers  ist 
auch  mit  ebensolchem  Hyperoxyd  zu  einer  Verbindung,  dem 
Kupfernianganerz  zusjimmengetreten.     Damit  glaube  ich  die 
Verhältnisse  des  Ganges  vollständig  erläutert  zu  haben. 

1)  Die   man;ifanreichst(?   von   diesen  (8*^/0  MnO)    ist   wohl   Breit? 
liaupt's  Gamaigradit  (Berg-  11.  Hüttenmänn.  Zeitung  XX.  S.  83). 


207 


Ueber  das  Verhalten   einer  Function  von   zwei 
Veränderlichen  in  der  Umgehung  einer  Nullstelle. 

Von  A.  Brill  in  Tübingen. 

(Stngtlauftn  4.  JulL) 

Das  Verfahren,  nach  welchem  man  eine  algebraische 
Fanciion  yon  einer  Veränderlichen  in  der  Nähe  einer  Stelle, 
wo  sie  einfach  oder  in  höherer  Ordnung  verschwindet,  in 
Potenzreihen  zu  entwickeln  pflegt,  rührt  bekanntlich  von 
Newton  her,  der  in  der  Abhandlung  „Analysis  per  quanti- 
tatum  series,  fluxiones*  etc.  gelegentlich  der  Auflösung  nu- 
merischer Gleichungen  auch  den  Fall  betrachtet,  dass  die 
Coefficienten  einer  Gleichung  nicht  Zahlen,  sondern  von  einer 
Veränderlichen  (species  indefinita)  abhängige  Grössen  sind. 
Danach  nimmt  jede  Wurzel  die  Form  einer  nach  ganzen  oder 
gebrochenen  Potenzen  der  Variabein  fortschreitenden  Reihen- 
entwicklung an ;  die  Coefficienten  lassen  sich  durch  Einsetzen 
bestimmen,  wenn  zuvor  die  Bruchformen  der  Exponenten 
mit  Hilfe  des  bekannten  Parallelogramms  ermittelt  sind. 

Neuere  Arbeiten  haben  sich  mit  dem  Nachweis  des 
Convergenzbereiches  dieser  Reihen  und  mit  der  Beseitigung 
des  Parallelogramms  beschäftigt,  aber  die  Grundlage  un- 
berührt gelassen.  Indessen  ist  das  Newton'sche  Verfahren 
ein  indirectes  und  steht  gegenüber  einem,  das  mit  iden- 
tischen  Umformungen  operirt,   in  mancher  Hinsicht  zurück. 


208  Sitzituff  der  math.-ithys.  Chisse  vom  4.  JuH  1S9L 

Wenn  niiin  jede  Wurzel  ohne  Rücksicht  auf  die  bereits  ge- 
fundenen für  sieh  bestimmt,  so  bedarf  es,  bei  strenger  Be- 
handlung, naeliträglich  des  Beweises  der  Vollzähligkeit;  im 
Falle  einer  irreducibeln  Gleichung  des  mühsamen  Nachweises, 
dass  alle  verschieden  sind  u.  s.  w.  Dies  wird  entbehrlich, 
wenn  man  jene  Reihenentwicklungen  nicht  durch  Verification 
vorläufiger  Annahmen  herstellt,  sondern  durch  identische 
Zerlegung  der  linken  Seite  derjenigen  Gleichung 

F{xy)      0, 

die  in  der  Umgebung  der  Stelle,  für  welche  die  ganze 
Function  F  von  x  und  y  verschwindet,  y  als  algebraische 
Function  von  x  definirt,  wobei  denn,  wenn  etwa  x  0, 
y      0  diese  Stelle  ist,  soviele  Linearfactoren  von  der  Forin: 

entst^^hen  —  unter  ^  eine  mit  x  verschwindende  Potenzreihe 
verstanden  —  als  Entwicklungen  von  y  nach  Potenzen  von  x 
existiren,  die  jene  Gleichung  befriedigen. 

Soviel  ich  weiss,  hat  man  eine  solche  directe  Zerlegang 
nt)ch  nicht  vei*sucht,    wiewohl  der  Gedanke   nahe  liegt   und 
auch  für  die  Theorie  der  Functionen  von  zwei  Veränderlichen 
vorwerthbar  ist.    Eine  gewisse  Schwierigkeit,  der  man  gleich 
anfangs  begegnet,  führte  mich  auf  einen  für  die  Functionen- 
theorie  bedeutsamen  Satz,  der,  wie  ich  später  bemerkte,  bereits 
von  Herrn  Weierstrass  in  allgemeinster  Form  ausgesprochen 
worden  ist,   und  der  die  reV>erführung  der  Function  F{xy) 
in  eine  not h wendige  Form  bezweckt.    An  dieser  ^reducirten' 
Form    vollzieht    >ioh    dann    die    Spaltung    in    Linearfactoren 
ohne  Weitere>,  ausgenommen  den  Fall,  dass  sich  die  Glieder 
niederster  Mimension    zu  einer  Potenz  vereinigen.     Die  qua- 
dratische Tran>fonnativ»n.    deren    man   sich    sonst    in  diesem 
Fall  zur  Trenn  uns;   der  Wurzeln  zu    bedienen  pflegt,    reicht 
niobi  aus.  wenn  es  >ioh  darum  handelt,  den  Grad  hinsicht- 
lich einer  der  Variabeln  zu  erhalten.    Ich  benutze  eine  solche 


Brül:  Ueher  das  Verhalten  einer  Function  etc.  209 

TOD  höherer  Ordnung,  die  eindeutig  nicht  umkehrbar  ist. 
Es  ist  dann  nur  noch  zu  zeigen ,  dass  der  Spaltungsprocess 
convergente  Factoren  liefert. 

Die  Ausführung  enthält  das  Folgende. 

1. 
Wenn  für  x  ^0,  y  =  0  die  ganze  Function,  oder,  wie 
ich  allgemein  annehmen  will,    die   gewöhnliche  Potenzreihe 
Dach  X,  y   F(xy)   verschwindet,    so    kann    man    durch   eine 
Transformation  von  der  Form : 

X      X'\-  ay 

die  Reihe  F  so  umgestalten,  dass  das  Aggregat  der  Glieder 
niederster  (w-ter)  Dimension  für  x-  0  sich  auf  y**  reducirt. 
Multiplicirt  man  dann  F  mit  einer  Reihe  von  der  Form  : 

a       1  +  «1  +«2  +«3  H 1 

wo  die  Indices  die  Dimension  des  betreffenden  Gliedes  in 
'»Jf  angeben,  so  lässt  sich  bei  passender  Bestimmung  der 
Coefficienten  der  a,  das  Product  in  die  Form  einer  Heihe 
f  bringen  : 

welche  y  in  nicht  höherer  als  der  n-ten  Potenz  enthält, 
^«fgleicht  man  links  und  rechts  die  Glieder  gleichhoher 
Dimendon,   so  erhält  man   gleichzeitig  die  Coefficienten  der 

Polynome  a^  und  der  f^^_^  in  eindeutiger  Weise.    Ich  über- 

phe  hier  das  Nähere  dieses  Verfahrens  sowie  auch  den 
Weht  zu  erbringenden  Nachweis,  djiss  es  eine  innerhalb 
gewisser  Grenzen  in  der  Umgebung  von  x  0,  y  0  con- 
▼ngente  Reihe  f  liefert,  nachdem  dies  in  anderer  Weise  von 
Herrn  Weierstrass  (Functionentheorie,  188(J,  S.  107)  und  in 
weiterer  Ausführung  fiir  den  Fall  von  zwei  Veränderlichen 
▼Oft  Herrn  Stickelberger  (Math.  Annalen  Bd.  30)  gezeigt 
wordäi  ist. 


210  SiUung  der  matK-phys.  Glosse  rom  4.  JM  1891. 

Ordnet  man  f  nach  Potenzen  von  y,  so  kommt,  weil  y* 
nur  einmal,  nämlich  in  dem  Term  niederster  Dimenaioa 
auftritt, 

wo  die  Sß  gewöhnliche  Potenzreihen  von  x  sind. 

Wie  äich  nun  eine  ganze  Zahl  dadurch  in  Primfactoren 
zerlegen  lä^sst,  dass  man  sie  zunächst  in  das  Product  von 
zwei  kleineren  verwandelt,  dann  mit  diesen  so  fortfährt,  bis 
man  zuletzt  bloss  Prini/ahlpotenzen  erhält,  so  kann  man  die 
hinsichtlich  y  ganze  Function  f  zunächst  in  zwei  Entwick- 
lungen zu  zerlegen  verlangen,  die  in  y  von  niederem  Grade 
sind  als  f  und  wiederum  in  ^^reducirter'  Form  erscheinen, 
und  mit  diesen  so  fortfahren. 

Diese  Aufgabe  lässt  immer  und  nur  eine  Losung  za, 
wenn  die  Anfangsglieder  <fp  und  iffq  der  neuen  Entwicklungen: 

f     y'/'      (ffp-\x^(pp-\+x^(rp^i-^ ) 

wo  /„         (fp  \ff^ 

also  V"^  Q       ^ 

ist:  1)  durch  irgend  welche  vorgängige  Spaltung  des  homo- 
genen Ausdrucks  /m  ermittelt  sind  und  2)  keinen  Factor  ge- 
meinsam haben. 

Vergleicht  man  nämlich  beiderseits  die  Glieder  gleich- 
hoher Dimension,  so  kommt 


Aus   diesen    identischen    Gleichungen    lassen    sich   aber, 
nach    einem    bekannten  Satze   der  Algebra,    die    hinsichtUch 


Brill:  lieber  das  Verhalten  einer  Function  etc,  211 

X.  y  ganzen  homogenen  Functionen  qpp-i,  ^/'^-i;  (p'p-^u  V'J— i; 
••••  paarweise  der  Reihe  nach  eindeutig  bestimmen,  wenn 
man  die  aus  den  vorhergehenden  berechneten  jedesmal  in 
die  folgenden  Gleichungen  einführt.  Nur  wenn  q)^  und  x^fq 
einen  Theiler  gemeinsam  haben,  also  insbesondere  wenn  fn  die 
n-te  Potenz  eines  Linearfactors  ist,  versagt  das  Verfahren. 
Hat  aber  /«  ungleiche  Linearfactoren,  so  kann  man  die  Zer- 
I^ung  von  f  soweit  fortsetzen,  bis  die  Einzelreihen  mit 
Potenzen  von  Linearfactoren  beginnen,  und  bei  bloss  un- 
gleichen Pactoren  von  fn  ^^^^  durch  wiederholte  Spaltung 
/  in  lauter  Linearfactoreu  (hinsichtlich  ij)  von  der  Form 
zerlegt: 

y  +  «0^  +  «i^'  +  o>'  H — 1 

wo  die  ÜQ  Constante  sind. 

Für  diese    zunächst    formale   Operation    ist    später    der 
Nachweis  der  Convergenz  zu  erbringen. 

2. 
Vorher  möge  der  Fall  untersucht  werden,  dass  fn  einen 
j>- fachen  Factor  (/)>1): 

besitzt.     Die  zugehörige  Entwicklung,   von  den  anderen  ab- 
getrennt, sei  von  der  Form : 

Setzt  man 

y  +  ax-  y^,        x      a;,, 

so  gewinnt  q>  die  Gestalt: 

Man  ordne  jetzt  die  Glieder  nach  ihrem  Grad  in  x^  und 
schreibe  der  Reihe  nach  diejenigen  an,  deren  Coefficienten 
von  Null  verschieden  sind 

i'f ;  *ryM-.  •^rW'"'':  «tyf~';  - 


212  Sitzunp  der  math.-phys.  Classe  vom  4.  Juli  189L 

wo  a  —  ;:?>0;  y  — d>0;  c  —  f>0;       • 

ist  und  a  <  y  <  £  <  — 

ebenso  wie  /^,  d,  c,  ••••   ganze  positive  (von  Null  verschiedene) 
Zahlen  sind.     Nun  bilde  man  die  (unächten)  BrQche: 

a       y       e 

—  •    _—  •    —  •  .... 

ß'    d'    C' 

und  nehme  den  dem  Werth  nach  kleinsten.  Dies  erfordert 
jedenfalls  die  Aufstellung  nur  einer  endlichen  Zahl  vor& 
Quotienten,  weil  ihr  Werth  mit  wachsender  Dimensionszakl 
zunimmt,  indem  der  Zähler  wächst,  während  der  Nenner  di^ 
Grösse  p  nicht  überschreitet.^) 

Sei  (lieser  Quotient,   auf  die  einfachste  Form  gebrachb^ 
gleich  //x,  seien  also  i  und  x  theilerfremd  und 

^  —    •      -1—    ">  —  •      —  ^  —  •    .... 

[ix'  d     x'  rx' 

Fülirt  man  diinii  in  die  vorliegende  Reihe  neue  Varia- 
belen  ein  nütt<;lst  der  Formeln 

so  wird  das  Glied 

hinsichtlich  Xj,  y,   von    der  Dimension  pi,  während    die  Di- 
inen>ion  irgend  eines  anderen  (iliedes 

Dl   "  < 

gleich  .  /  ^i        i  \ 

(;;-r)/-tx/i       ^^'  ^    '""•  (  ^  -  "  I' 

also   höluM-   als  pi   wird,    ausser  für    diejenigen  Glieder,    f^^ 
welche,    wie    für    das    den  Zahlen  /,  x    entsprechende,  jeH*^^ 

1 1  Man  hat  höchstens  l»i>  /u  dciiijenifren  Grad  in  .rj  fortzuachreit^' 
(1»T  «hin  h  die  in  (h-ni  Hruv  h       y  i'nrhaltcne  ^^anze  Zahl  hk-H  ausdrücl^ 


Brül:  Ueber  das  Verhalten  einer  Function  etc.  213 

Quotient  den  Werth  i/x  besitzt,  wo  dann  die  Dimension  eben- 
falls gleich  pi  wird.  Es  existirt  also  in  der  transformirten 
Reihe  mindestens  noch  ein  Glied  von  der  Dimension  des 
Änfangsgliedes,  während  keines  von  niedrigerer  Dimension  ist. 
Aus  diesen  zweien  lässt  sich  ein  Linearfactor  von  der  Form : 

mit  Ton  Null  verschiedenem  Coefficienten  b  oder  doch  eine 
Potenz  eines  solchen  ausscheiden,  was  nun,  nach  Massgabe 
von  §  1,  wieder  zur  Spaltung  der  Reihe  qp  verwendet  werden 
kann.  Denn  die  Glieder  (p  +  l)-ter  und  höherer  Dimension 
enthalten  y,  höchstens  in  der  (p  —  l)-ten  Ordnung ;  nach  Aus- 
scheidung der  p(i — l)-ten  Potenz  von  x^  besitzt  also  (p  in 
X,,  jy,  die  in  §  1  zu  Grunde  gelegte  reducirte  Form: 

qp  -  ojf'^i  (ipp  +  xi  i/v_i  +  xlipp-i  H ). 

Befindet  sich  unter  den  Linearfactoren  von  ipp  einer,  der 
nur  einmal  vorkommt: 

so  lässt  sich  nach  jenem  Verfahren  aus  xp  der  Factor  absondern 

welcher,  nach  Vereinigung  mit  dem  Factor  x*~^  durch  Rück- 
substitution von  X  und  y  die  Gestalt  annimmt 

y,  -\-  bx^  -(-  b' Xi*^  +  "  •    - y-}-  ax  -{-bx    -\-  b' x      +  — «. 

was  einer  Entwicklung  von  y  nach  gebrochenen  Potenzen 
von  X  entspricht. 

Hat  üfp  dagegen  y^  +  bx^  zum  g-fachen  Factor  {q<^p)^ 
so  schlage  man  den  gezeigten  Weg  zur  Zerlegung  der  ent- 
sprechenden Entwicklung : 

X  ---  (y%  +  ^^tY  +  xh-i  +  •••• 

von  neuem  ein. 


214  Sitzung  der  math.'phys,  Classe  vom  4.  Juili  189t. 

Erhält  man  an  Stelle  der  früheren  Zahlen  i,  x  jetzt 
etwa  die  Zahlen  A,  /i,  und  scheidet  sich  aus  den  Gliedern 
niederster  Dimension  der  neuen  Reihe,  die  man  durch  die 
Substitution : 

erhält,  etwa  der  Linearfactor  y^  -}'  ^^s  ^^^i  ^  bekommt 
man,  wenn  dieser  nur  einmal  auftritt,  eine  Entwickloi^; 
von  der  Form : 

^3  +  <^^8  +  ^'^3  +  c'x\  -i , 

die  durch  rückwärts  einführen  der  alten  Variabein  in : 

Vi  +  bx^  +  cx%   +  c'a?2'*  +  — 
und  weiterhin  in: 

y  -\-  ax-{-hx^  -{-  cx     ^^     -{^cx      ^^       -j 

übergeht.  1) 

Tritt  dagegen  der  Factor  //j  '\-  cx^  mehrfach  auf,  so 
hat  man  wiederum  zunächst  eine  Substitution  vorzunehmen 
u.  s.  w.  Da  die  Ordnung  des  ersten  Gliedes  hinsichtlich  y 
bei  jeder  neuen  Abscheidiing,  die  möglich  wird,  sich  er- 
niedrigt, so  hat  das  angegebene  Verfahren  im  Allgemeinen 
ein  Ende. 

1)  Au8    den   Zahlen,    veriTiöf^e  deren   oben   die  Exponenten  der 
successiven  TninHlbrmation  gebildet  wurden, 

x'    /i'    V      ' 
entstehen  diejeni^^en  Exponenten  der  Reihe  in  x,  die  H.  J.  S.  Smith 
„kritische'*,  Halphen  , charakteristische'*  Zahlen  genannt  hat.     Unter 
den  Brüchen  : 

l  t  A  —  fl  /  X-ft      ,       V—Q 

--,    ■  -   ~r ,     -    i ~-\ , 

X  X  fix  H  fix  0  f*  ^ 

sind  es  diejenigen,  für  welche  die  hinzutretenden  Factoren  des  Nen- 
ners: «, /^  e  ,•-•-  von  1  verschieden  sind. 


Brül:  Ueher  das  Verhalten  einer  Function  etc,  215 

Nur  in  dem  einen  Fall,  dass  das  erste  Glied  der  trans- 
formirten  Reihe  selbst  die  Potenz  eines  linearen  Ausdrucks 
y^  4"  Ä  Xy  von  der  Höhe  desjenigen  der  vorhergehenden  Reihe 
ist,  also  wenn  z.  B.  oben  die  Function  ipp  wieder  p  gleiche 
Factoren  besitzt,  ist  zunächst  eine  Abscheidung  unmöglich. 
Man  wiederhole  dann  das  Verfahren  so  oft,  bis  die  Factoren 
venjchieden  werden.  Erhält  man  aber  immer  wieder  nur  i>-te 
Potenzen,  so  muss  man  schliessen,  dass  die  vorliegende  Reihe 
überhaupt  die  p-te  Potenz  eines  Linearfactors  y  +  ?  (x)  ist, 
wo  ^  eine  gewöhnliche  Potenzreihe  ist. 

In  der  That,  wenn  ipp  (s.  oben)  eine  p-te  Potenz  ist, 
wie  y^,  so  muss  zunächst  x  ^  1  sein.  Denn  die  Rücktrans- 
fonuation : 

^t   ^i"  y  y%  -  ^1  ^i ""  1 

auf  das  Anfangsglied  von  9): 

{q      0,  1,  ••••;>)  angewandt,  liefert: 

also  nur  dann  ganzzahlige  Exponenten  von  x^^  wenn: 

X        1 

ist.  —  Wendet  man  ferner  jene  Rücksubstitution  (mit  x      1) 
auf  die  Glieder  höherer  Dimension  i/'p+<^  {^^^)  ft^' 

Xi  H'p+O  ^^    Aq  Iß         ^2         -^2 

(q       1,2, — p),  wo  Aq  ein  Coefficient  ist,  so  kommt: 

Es  ergeben  sich  also  nur  Glieder,  die  bei  gleicher 
Ordnung  in  y^  von  höherer  Ordnung  in  a?j  sind,  wie  die  bei 
der  Rücktransformation  aus  iffp  hervorgegangenen.    Dies  gilt 


2H)  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  4.  Juli  1891. 

auch  noch  nach  Einführung  von  xx^^  V  ""Vi  —  ^-^i-  ^^^ 
nun  für  jede  Wiederhohnig  des  Transformationsproceäses,  so- 
fern immer  wieder  eine  ;>-te  Potenz  auftritt,  die  gleiche  Be- 
merkung gilt,  so  wird  die  nach  mehrmaliger  Wiederholung 
erhaltene  Reihe: 

nach  erfolgter  Rückwärts- Einführung  der  Variabein  x,  y  in 
die  Form  übergehen : 

(f     (y-x-ax-^-  hx'  4-  c^-H-i  -I-  ....  ]cx^y  +  ^{x,tj\ 

wo  (t>  höchstens  von  der  0^ — l)-ten  Ordnung  in  y  und  in 
Bezug  auf  x  in  jedem  Glied  von  höherer  Ordnung  ist,  wie 
die  liinsichtlich  //  gleich  hohen  Glieder  der  f>-ten  Potenz  des 
Linearfactors. 

Weil  nun,  wenn  man  den  Process  unbegrenzt  oft  wieder- 
holt, der  Exponent  K  unl)egrenzt  wächst,  so  geht  q>  in  die 
/>-te  lV)tenz  eines  Linearfactors  //  -\-  $  {x)  über,  wo  in  ^  nur 
ganzzahlige  Exponenten  vorkommen,  w.  z.  b.  w. 

Ist  insliesondere  die  Ausgangsfunction  F(xy)  (§  1)  hin- 
sichtlich der  Veränderlichen  x,  y  irreducibel,  so  können  sich 
nicht  immer  nur  wieder  p-ia  Potenzen  als  Anfangsglieder 
ergci)en.  Denn  enthielte  die  redncirte  Form  f(xy)  einen 
Factor  von  der  (.i<»sfcalt : 

wo  7>>  1  ist»  so  würde  aus  der  in  der  Umgebung  von  x  --■-  0, 
7/      0  identischen  Gleichung 

aF      / 

folgen,  dass  nicht  nur  F  ihn  besitzt,  sondern  auch  der 
Differentiahiuotient  von  /''  nach  //,  was  mit  dem  BegriflF  der 
Irroducibilität  unvereinbar  ist. 

In  allen  Fällen  gelangt  man  durch  das  angegebene  Ver- 
fuhren  zu   einer  Zerlegung   der   Keihe   f  in    Linearfactoren, 


BrilJ:  üther  das  Verhalten  einer  Function  etc. 


217 


und  zwar  zu  einer  einzigen.    Denn  wären  zwei  verschiedene 
Zerl^ngen  möglich,  also  zugleich  : 

(y-Q)(y-Q')--.(y-  O->0, 

und  die  ^  von  den  Q  verscliieden,  so  niüsste,  weil  das  eine 
Produck  für  y  ^  verschwindet,  dies  auch  mit.  dem  anden^n 
der  Fall  sein,  also  etwa  ^  Q  sein.  Dann  könnte  man 
beiderseits  mit  j;  —  ^  dividiren  und  die  Uebereinstimmuiifjr 
eines  weiteren  Linearfactors  links  und  rechts  nachwei.sen  u.s.  w. 

3. 
Es  erübrigt   nun   noch,    einen  Giltigkeitsbereich    nach- 
Mweisen  för  den  in  §   1  angegebenen  Process  der  Spaltung 
«er  Reihe  f  in  die  beiden  y,  \p : 


) 


'), 


(1) 


Wo 


fn 


^pn\ 


n      p  +  q 

•  Zu  dem  Zweck  wird  hinsichtlich  der  Coefficienteii  von 
'  ^ie  Annahme  gemacht,  da.ss  sie  dem  absoluten  Betrage 
na^lj  <^  I  gjnJ^  ein  Verhalten,  das  sich,  sofern  /'  überhaupt 
***  der  Umgebung  von  x  0,  y  0  convergirt,  durch  eine 
***4nsforniation  von  der  Form  x  ox  und  Division  der 
"*^titität  f^-^<p^f  mit  einer  passend  gewählten  Constanten 
*^*tiier  herstellen  lässt. 

Man  bemerke  zunächst,  diiss  die  aus  der  Identität  (1)  tties- 
^^den  Einzelgleichungen  nach  J;  1   alle  von  der  Form  sind  : 

^•o    f;_,     ^Wy"-'  -i-  (-7>) ^") //- --.t-  +  ("7')  /l<->//'-^^-' 


b 


218  Sitzung  der  math.-phys.  Clasae  vom  4.  Juli  1891, 

eine   bekannte,  y^,  tpq  ebensolche   theilerfremde,  O^-i,  V,-i 
gesuchte,  in  j;,  y  homogene  Functionen  sind.    Die  Coefficient^ 
der    letzteren    bestimmen    sich    aus   den    n-^P'\-  q  linearea 
Gleichungen,   die   man    durch  Gleichsetzen    der  Coefficientea 
von  y*^~\  yl^~^Xy  — ic""'  links  und  rechts  erhalt,  und  zwa-.ic 
enthalten  die  Ausdrücke    die  Coefficienten  A^*'^  von  F  linea^ 

und   homogen.     Irgend    ein    Coefficient  a<*)    von   <2>^_i,  V, 

stellt  sich  also  durch  eine  Summe  dar  von  der  Form : 

wo  die  BS*^^    nur  noch  von  den  Coefficienten  von  ^y,  i/^,  ab — 
hängen.    Ist  nun  unter  allen  Ausdrücken  IP**^   der  dem  ab — - 

sohlten  Betrag    nach  grösste  absolut  genommen  =  -  ,  so  ge — 

n 

niigt  jeder  Coefficient  a^*^  von  Ö>^-i,  ^q-\  der  Ungleichung:^ 

;  a(*)    <qA,  (2a) 


wenn  A  der  grösste  unter  den  Coefficienten  |  A^^  j  von  F  ist. 
Nun  lautet  die  erste  der  aus  (1)  folgenden  Identitäten: 

WO  (pp,  i/'y  gegeben  sind.  Die  absoluten  Beträge  der  Coef- 
ficienten von  y^p-i,  U^q-i  vergrössern  sich,  wenn  man  hier  statt 
der  Coefficienten  von  /i,-i  die  zu  grossen  Werthe  1  einsetzti 
also  statt  /„_!  die  Function : 

oder  statt  ihrer: 

einträgt.  Nach  2  a  erhält  man  so  für  den  dem  absoluten 
Betrag  nach  grössten  Coefficienten  a  von  qpp_i  und  ipq^i  di^ 
Ungleichung: 

« I  <  ^1 


wo  Q  die:selbe  Bedeutung  wie  oben  hat. 


Brül :  lieber  das  Verhalten  einer  Function  etc.  219 

Die  anderen  Identitäten  sind  säninitlich  von  der  Form: 

+  V^?'  y;-!  +  <--,->  V'i-i  +  ••••)  -  -f:*!,     (3) 

Es  erhöht  sich  wiederum  der  absohite  Betrag  der  Coef- 
ficienten  in  JP,  wenn  man: 

1.  Statt  der  Goefficienten  der  Einzelfactoren  ihre  absoluten 
Beträge  einsetzt, 

2.  Die  Goefficienten  in  p^}_^  allenthalben  gleich  1  macht. 

3.  Für  diejenigen  von  qp,  i/^;  bezw.  q>\ip';  •••-  y^*"'\ 
i^*-i)  gewisse  sogleich  zu  bestimmende  zu  grosse 
Beträge  a  bezw.  a',  a",  ••••  ö^*""^^  einträgt. 

Tritt  auf  diese  Weise  an  Stelle  von  F^^^ ,  die  Function : 

(yr-1  ^ ^-.r«-^)(2ct(*-l)a  +  2a(*-2)«'_| ) 

<><ier   gar: 

(y  +  a:)"-^!  +  2a<»-»)  a  +  2a(*-2>a  -| \ 

^  folgt  um  so  mehr  —  wegen  (2  a)  —  für  die  Goefficienten 
^''   von  (pW  j,  i/;(*i, : 

a<*)  <  ^  (1  +  2  a<*-0  a  +  2  a^*-^)  ß'  „j j        (4) 

Die  anstatt  der  Goefficienten  von  qp,  ij.f;  q>\  i//;  ••••  ein- 

Rrführten  Beträge  a^a\a\ — a^*"')    wollen  wir,    weil  dies 

^^    der   That   eine   Vergrösserung   bedeutet,    folgeweise  den 
Gleichungen  entnehmen: 

a        Q 

a         q{1  +  2aa) 

d"  —  ^(1  -\-  2  a"  a  +  ^' "') 


^^Iche  aus   der   Relation  (4)   hervorgehen,    wenn   man    das 
Wichen  <C  durch  1=  ersetzt. 

1«»1.  lUt]i.-phy8.  OL  2.  15 


220  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  4,  Juli  1891, 

Aber  dieselben  Gleichungen  ergeben  sich  aiis  dem  spe- 
ci eilen  Problem:  Die  in  der  Umgebung  von  S,^  0,  i;^0 
durch  folgende  Reihe  definirte  Function  : 

in  ihre  Linearfactoren  zu  zerlegen 

f    0;-^ +  «?  +  «'?  +  «"!* +  ••••) 

In  der  That  gehen  für  diese  Identität  die  allgemeinen 
Gleichungen  (3)  genau  in  diejenigen  (4  a)  über.  Anderer- 
seits berechnen  sich  die  «<*)  in  (5)  mittelst  der  Binomial- 
formel  aus: 

''      hi^-l-^"     /^(l-2,'|-2,'(l +  ,%"--) 
und  weil  aus  der  Convergenzbedingung : ^  <C  1 

sich  die  obere  Grenze  ableitet:    !  ?|  <^  -:-  ^  ,    ^* 

4  ^'  +  1 

so  folgt,    dass  auch    die  Reihen  der  y^*ip  V^-i  convergiren, 

wenn  der   «absolute  Betrag  der  Veränderlichen  x  die  Grenze 
nicht  übersteigt: 

'     '       4  ^'^  +  1 
Hiermit  ist  ein  Convergenzbereich   für  die  Reihen  y,  ^ 
und  also  ein  Giltigkeitsbereich  für  die  Identität: 

f      W 
nachgewiesen. 

Ein  solcher  existirt  demnach  auch  für  die  ganze  Zer- 
legung, weil  dieselbe  nur  in  der  wiederholten  Anwendung 
des  Spaltungsprocesses  besteht. 


221 


Teneiehniss  der  eingelaufenen  Drackschriften 

Januar  bis  Juni  1891. 


Di«  ▼«rehrliehen  6«sellsehjiften  nnd  Imtitute,  mit  welchen  nnsero  Akademie  in 
■«hverkehr  steht,  werden  gebeten.  nachHtehendt!»  Verzoichniss  zugleich  als  Empfangs- 
itigaog  SQ  betrachten.  —  Die  zunächst  fQr  die  phiio8.-philol.  u.  hislor.  ClaHHe  bc- 
tait«n  DmckMhriften  sind   in  deren  SitzungHlH>richten  1891    lieft  III   verzeichnet. 


Von  folgenden  Gesellschaften  nnd  Instituten: 

Observatory  Adelaide^  South  Australia: 
teorological  Observations.    Year  1883  and  1888.     1889/lK).     Fol. 

Boy  cd  Society  of  Smdh  Australia  in  Adelaide: 
iwactions.  Vol.  XIII.  part.  2.     1890.     8». 

Südslavische  Akademie  der  Wissenschaften  in  Agram: 

to  Pilar,  Geografijeske  Koordinate.     1890.     Fol. 

t.  Janecek,  Ob<*a  teoret.  i  fizik.  lucba.  I.     1890.     8^. 

New- York  State  Museum  in  Albarnj: 
öoire.  Vol.  I.  Nr.  1.     1889.     4^. 

Royal  Dutch  Meteorological  Institute  in  Amsterdam: 
atiempt    to    corapare    the    instrumenta    for    absolut o    maj^netic 
measurementA  by  Van  Rijckevorsel.     Utrecht  1890.     4®. 

Societe  d'Hudes  scientifiques  in  Angers: 
lletin.  Nou?.  Serie.  Annee  XIX.  1889.     1890.     8". 

Naturwissenschaftlicher   Verein  in  Augsburg: 

Bericht.    1890.    8«. 

15* 


222  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Johns  Hopkins  University  in  Baltimore:  ] 

American  chemical  Journal.   Vol.  12  Nr.  6—8.    Vol.  13  Nr.  1.    18» 
-91.    80. 

Studies  froni  the   biolo^cal  Laboratory.  Vol.  IV.  Nr.  6.     1890.    ^' 
American  Journal  of  Mathematics.  Vol.  XIII.  Nr.  1.  2.     1890.    4®. 

Naturforschende  Gesellschaft  in  Basel: 
Vorhandinngen.  Bd.  IX.  Heft  1.     1890.    ^, 

Magnet ical  and  Meieorological  Ohservatory  in  Batavia: 

Observations.  Vol.  XU,  1889.     1890.     Fol. 
1{egcnwaamemingen.  XI.  Jahrg.  1889.     1890.    8®. 

A".  Akademie  der   Wissenschaften  in  Berlin: 
C.  CJ.  J.  Jacobi'8  gesammelte  Werke.  Bd.  V.  VI.     1890/91.    4^ 

Centralbureau  für  internationale  Erdmessung  in  Berlin: 

Verhandlungen  der  1890  zu  Freiburg  im  Br.  abgehaltenen  Confere^^ 
der  permanenten  CoinmiHsion  der  Internationalen  Erdmesson^ 
1891.     4». 

Deutsche  chemische  Gesellschaft  in  Berlin: 
Berichte.     23.  .fahrg.  Nr.  18.  19.   24.  Jahrg.  Nr.  1—11.    1890/91.  9* 

Deutsche  geologische  Gesellschaft  in  Berlin: 
Zeitschrift.  Bd.  42.  Heft  3.  4.     1890/91.    8°. 

Medic'nmchc  Gesellschaft  in  Berlin: 
Verhandlungen.  Bd.  XXI.     1891.     8^ 

Physikalische  Gesellschaft  in  Berlin: 

Die  Fortschritte  der  Physik   im  Jahre  1884.     Jahrg.  40.   Abth.  1—3. 

1890.     8^ 
Verhandlungen.  9.  Jahrg.     1891.     8^ 

Physif)hgische  Gesellschaft  in  Berlin: 

Centralhlatt  fiir  Physiologie.   Bd.  IV.   Nr.  20—26.    Bd.  V.    Nr.  1-^^ 

1890/91.     8^. 
Verhandlungen.  1890—91.  Nr.  1—5.    8^ 

K.  Technische  JTochschule  in  Berlin: 

Dout.*?chlands  Leistungen  und  Aussichten  auf  techniäcbem  Gebi^* 
von  F.  Ueuleaux.  (Festrede.)     1891.     gr.  8^. 

K.  preuss.  geodätisches  Institut  in  Berlin: 

Die  Schwerkraft  im  Hochgebirge,  von  F.  R.  Helmert.     1890.     4P, 
Das  Berliner  Baxisnetz.     1891.     4". 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften,  223 

Ä".  Preussiaches  meteorcHogiaches  Institut  in  Berlin: 

andlangen.  Bd.  T.  Nr.  1     3.     1890.     4^. 
k.  preu89.  tueteorol.  Institut  von  W.  v.  Bczold.     1890.    8". 

Jahrbuch  Ä6cr  die  Fortschritte  der  Mathematik  in  Berlin: 
rbach.  Bd.  XX.  Jahrg.  1888.  Heft  1.  2.     1890.    8». 

K.  geologische  Landesatistalt  und  Bergakademie  in  Berlin: 

landluDgen.  Neue  Folge,  lieft  3.    Die  Foraminiferen  der  Aachener 
Kreide,  von  Ignaz  Bei88e].     Text  und  Atlas.     1891.     4^. 

Verein  zur  Beförderung  des  Gartenbaues  in  Berlin: 
tenflora.    Jahrg.  1890.    8®. 

Naturwissenschaftliche   Wochenschrift  in  Berlin: 
chenachrifl.  1891.  Nr.  3—26.     4«. 

Zeitschrift  für  Instrumentenkunde  in  Berlin: 
ischrift.  XI.  Jahrg.  1891.  Heft  1—6.     gr.  8». 

Gewerbeschide  zu  Bistriz: 
l  Jahreabericht  f.  d.  J.  1889/90.    8». 

Naturhist.   Verein  der  preussischen  Bhcinlande  in  Bonn: 
bandlungen.  Jahrg.  47.  2.  Hälfte.     1890.    8». 

Societe  de  Geographie  commerciale  in  Bordeaux: 
lelin.  1891.  Nr.  9—12.     8^, 

American  Academy  of  Arts  and  Sciences  in  Boston: 
ceedings.  Vol.  XXV.     1890.    8«. 

Boston  Society  of  natural  history  in  Boston: 

«eedings.  Vol.  XXIV.  part  3.  4.     1890.    8«. 
noirs.  Vol.  IV.  Nr.  7—9.     1890.     4«. 

Meteorologische  Station  in  Bremen: 

rebni»}*e  der  meteorol.  Beobachtungen  in  Bremen  von  1803—1890. 
Jahrg.  I.     1891.     4". 

Naturwissenschaftlicher  Verein  in  Bremen: 
bandlungen.  Bd.  XII.  Heft  1.     1891.     8«. 

Natur  forschender  Verein  in  Brunn: 

Handlungen.  Bd.  28.  1889.     1890.     8^. 

W.  Bericht  der  meteorologischen  Commission.     1890.     8^. 


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rzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  225 

Gedofjical  Surveif  of  India  in  Calcutta: 

XXIII.  part  4.     1890.     4^ 

XXIV.  part  2      1890.     4«. 

i  Indica.  Ser.  XIU.  Vol.  IV.  part  1.     1889.     Fol. 

rhHosophical  Society  in  Cambridge: 

Toi.  VII.  part  3.     1891.    8«. 
Vol.  XV.  part  1.     1891.     4«. 

:  Ma.nceU  Memorial  Committee  in  Cambridge: 
Papers  of  James  Clerk  Maxwell.  Vol.  1.  2.     1890.    4**. 

m2)ar(ttice  Zoölogy  at  Harvard  College  in  Cambridge^  M,: 

t  for  1889-90.     8°. 
XX.  Nr.  4—8.  Vol.  XXI.  No.  1.     1890/91.    8«. 

'ard  College  Observatorg  in  Cambridge^  Maus.: 

he    ÄHtrononiical    Observatory.      Vol.    XXIII.    part    1. 

CIV.   Vol.  XXVII.     1890.     4». 

:»  Harvard  College  Observatory   1840-1890.     18'.K).    8<^. 

leport.     1890.     8'>. 

•ring,  Variable  Stars  of  long  period.     1891.     4". 

Accademia  Gioenia  in  Catania: 

nsile.    Nuova  iSer.   Fase.  XV— XIX.   November  1800  bis 

891.     &\ 

.  Vol.  2.     181K).     40. 

.  sächsisches  meteorol.  Institut  in  Cliemnitz: 

t^eorologisches    Jahrbuch.     I.    ilillfte.     Abth.    1    und    2. 
4». 

lyciHe  des  sciences  naturelles  in  Chcrbourg: 
n.  XXVI.     Paris  1889.     8<>. 

jmmittcc  of  thc  Nonregian  North- Atlantic  Expedition 
in  (-hristiania: 

Jordhavs-Expedition  1876-1878.     Nr.  XX.     1891.     Fol. 

C  Norwegische   Universität  in  Christiania: 

met»?orol.  Instituts  für  1888.     1890.     4". 
itheniatik.  Bd.  XIII,  2-4.  Bd.  XIV,  1.  2.     181H).     8'». 
for  Naturvidenskaberne.  Bd.  XXXI.  Nr.  4.    1890.   8». 
er,  Viridarium  Norvegicum.  Bd.  III.     1889.     1^*. 

Observatory  in  Cincinnati: 

!^r.  11.    Charts   and  micrometrical  measurea   of  nebulae 
;.  Porter.     1891.     4«. 


22G  Verzeichniss  der  eingelaufefien  Druckschriften. 

Chemiker- Zeitung  in  Cöthen: 
Cbemikei-Zeitung.  1890  Nr.  100—105.    1891  Nr.  1—46.    1890/91.  A 

KccXe  polytechnique  in  Delß: 
Annales.  Tom.  VI.  livr.  2.     Leiden  1890.     4P. 

Meteorologisches  Observatorium  in  Dorpat: 

Brriclit  über  die  Ergebnisse  der  Beobachtungen  an  den  Kegenstationei 
ITir  das  Jahr  1888.     1891.     4^. 

Union  geographique  du  Nord  de  la  France  in  Vouai: 
liullelin.  Tom.  XT.     Janv.-Juin  1890.     8». 

Itoyal  College  of  Physicians  in  Edinburgh: 
Keports  from  tlie  Laboratory.  Vol.  III.     1891.     ö*>. 

Geological  Society  in  Edinburgh: 
Tran>aition8.  Vol.  VI.  \MiTt  2.     1890.     8». 

H.  Physical  Society  in  Edinburgh: 

rrocoiHlinj,'>.     So^^ion  1889—1890.     8<*. 

Xaturforschettde  Gesellschaft  in  Emden: 
75.  .Iahro$l»eritht  pro  1889'^.     1891.     8®. 

H.  -4riM«/r»»ii«i  dfi  Ocorg*.tfili  in  Florenz: 
Atti.   I.  .Sorio.  Vol.  Xlll.  disp-  3.  Vol.  XIV.  disp.  1.     1890/yi.   8». 

Sr  iK'Af  i''c  T/iM?*^  Xaturfnr>chtPide  Get^ellschaft  in  Frankfurt  ü/J»-' 

Abluiidliinju-t-n.  Ud.  XVI.  Hoft  2.     1890.     4«. 

Kaia'.oiT  der  Vo*:»'i>.imm!unir  im  Museum  der  iie^ellsihaft,  von  &*» 
Hart«rt.     1S91.     ^'. 

Km'.  i\ut.  h  i  (f  f»f'>if.>oÄ/i/>  IkHhmaea  in  Gent: 
l>.^tar.>vb  J.t.irKvk.     S.  .'.i.ir»rani:  1891.     S^'. 

M'*s'..  n   \^,    ii  '.•'•.•1:1  M.if«irji/<  i'fi  Genua: 

Ar.n;»    .  ^rr.«*  1!.   Vol    7-9      l^^^-Ä^.     8". 

<  1= . . '. .  X vv  ', ■    (;:>-.' V  \  !•'•   '•i'-  Sitar-  und  Heilku »de  in  GifPf*- 

^  I       1*......,  t  iT*;^'         c    . 

'T-'.  :'    S\-'\.    IM    'nl>»J«Hr: 


Verseichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  227 

kientific  Liihoratories  of  Denistm  University  in  Granvüle,  Ohio: 
lletin.  Vol.  V.     1890.    8«. 

iurwissenschaftlicher   Verein  für  Neu- Vorpommern  in  Grciftncnld: 
itheilungCD.  Jahrg.  XXII.     1891.    8^. 

'.  InstUuiit  voor  de  T(mI',  Land-  en  Volkenkunde  von  Nederlandsch- 

Ifuiiä  im  Haag: 

Badooj'8  door  Jul.  Jacobs  en  J.  J.  Meijer.     1891.     8®. 

^Jididino-Carolinische  deutsche  Akademie  der  Natnrfortfchcr  in  Halle: 
poldina.  Heft  XXVI.  Nr.  21-24.  XXVII.  1—8.     1890/91.     4«. 

Deutsche  Seewarle  in  Hamburg: 
aloff  der  Bibliothek  der  deutschen  Seewarte.     1890.     8^. 

Musee  Teyler  in  Harlem: 
bives.  Ser.  II.  Vol.  IL  partie  6.     1890.     4®. 

Societe  Hollandaise  des  sciences  in  Harlem: 

lives  Net»rhindai8e8  des  sciences  exacteH.  Tom.  XXIV.  4.  5.  XXV. 

Nr.  1.     1891.     8*^. 
vres    completes    de    Christiaan    Huy^cns.     Tom.    III.     La    Haye 

1890.     40. 

Naturhistorisch-medisinischer  Verein  in  Heidelberg: 
landlunj^'en.  N.  F.  Bd.  IV.  Heft  4.     1391.    8». 

^Jenbürgiscf^er   Verein  für  Naturwissenschaften  in  H^rmannstadt: 
land langen  und  Mittheilungen.  40.  Jahrgang.     1890.     8'\ 

Medizinisch-natuncissenschaftliche  OeseUschaft  in  Jena: 

•ische  Zeitschrift  für  Naturwissenschaft.     Bd.  25.     Heft  1  und  2. 
1890.    8^. 

Section  medicale  de  la  Societe  des  Sciences  in  Kharkow: 
Ij.  Jahrg.  1890.     1891.     8«. 

ist,-K<mimisHion  zur  Untersuchung  der  deutschen  Meere  in  Kiel: 

ericht  für  die  Jahre  1887—1889.   XVIL  bi«  XIX.  Jahrg.  II.  Heft. 

1890.  Fol. 

.^bni.xse   der  BeobachtungH-Stationen.    Jahrg.  1890.     Heft  X— XII. 

1891.  ({u.  40. 

M  deutscher  Mecresalgen.  Heft  IL  Lief.  1  u.  2.     1891.     2^. 

Natuncissenschaftl,   Verein  für  Schleswig-Hfplstein  in  Kiel: 
riften.  Bd.  VHL  Heft  2.     1891.     8«. 


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VerzeichnUs  der  eingelaufetien  Druckschriften.  229 

B,  Microcopical  Society  in  London: 
lal.  1891.  Tart  1—3.     8«. 

Zoological  Society  in  Londofi: 

wdinj?».  1890.  part  IV.  1891.  pari  I.     8^. 
sactioDs.  Vol.  XIII.  part  1.  2.     1891.     1^. 

Zeitschrift  Natur e  in  London: 
re.  Vol.   t3  Nr.  1105—1122.  Vol.  44  Nr.  1123—1125.     1891.    4P. 

SociHe  geoloffique  de  Belyique  in  Lüttich: 
l«j.  Tom.  XVI,  2.  XVII,  4.     1890.    ^. 

M^ashburn  Observatory  in  Madison: 
cations.  Vol.  VU.  part  1.     1890.     4P. 

Scientific  Association  in  Meriden,  Conn.: 
iiutions.  Vol.   l.  1889—90.     1891.     8^. 

(Mtserratorio  astnmomico  nacitmal  de  Tacubaya  in  Mexico: 

rio.  Anno  XI.  1891.     1890.     ^. 
in.  Tom.  I.  Nr.  2.     1891.     4'>. 

Observatorio  mcteorolöyico-magnetico  de  Mexico  in  Mejcico: 

in  mensual.  Ucsumen  meteoroloj^ico  del  ano  de  1889.    1890.   4®. 
rf«  p.svfrometricas  calnihulas  para  la  altura  de  Moxico,  por  Jose 
Zcndeja.s.     1889.     8«. 

Dciedad  de  yvografia  y  estadistica  de  la  repüblica  Mexicana 

in  Mexico: 

in.  Tom.  II.  Nr.  1.  2.     1890.     &. 

Sociedad  de  historia  natural  in  Mexico: 
uturaleza.  II.  Serie.  Tom.  I.  Nr.  9.     1890.     Fol. 

Deutscher  wissenschaftlicher   Verein  in  Mexico: 
ivilungen.  Bd.  I.  Heft  2.  3.     1890.     Fol. 

Societä  dei  Naturalisti  in  Modena: 
Serie  III.  Vol.  IX.  Fase.  2.     1890.     8". 

Geoloyical  Survey  in  Montreal: 
ribationa  to  Canadian  Talaeontology.  Vol.  III.  Nr.  I.     1891.    4^. 


230  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Drucksthrifttn, 

Societc  IwiKriale  des  Naturali stes  in  Moskau: 

Bulletin.  1890.  Nr.  8.  4.     1891.    8«. 

Meteorologisclie  BeobachtuDgen.   1890.  I.  u.  IL  Hälfte.     189( 

Deutsche  Gesellschaft  für  A  nthropologie  etc.  in  Berlin  und  1 

Correspondenzblatt.    XXI.  Jahrg.  1890.    Nr.  10—12.    XXII. 

1891.  Nr.  1.     München.     4^ 
GediichtnisHfeier  iQr  Heinrich  Schliemann.     1891.    8^. 

K.  Staatstninisterium  des  Innern   für  Kirchen-   und  Schule 

heiten  in  München: 

Die  Deutdchen  Expeditionen  und  ihre  Ergebnisse.  Bd.  I.  l 
licher  Theil,   herauBgeg.   von  6.  Neumayer.    Berlin  ] 

Die  k.  Observatorien  für  Astrophysik,  Meteorologie  und  Gec 
Potsdam.     Berlin  1890.     4«. 

Societe  des  Scioices  in  Naticy: 
Bulletin.  Ser.  11.  tom.  10,  fasc.  23.     Paris  1890.    8®. 

Accademia  delle  scioize  fisiche  e  matematiche  in  Neaj 
Rendiconto.  Ser.  II.  Vol.  IV.  Fasc.  1—12.     1890.    4®. 

Zoologische  Station  in  Neapel: 
Mittheilungen.  Bd.  IX.  Heft  4.     Berlin  1891.    8«. 

North  of  England  Institute  of  Engineers  in  Newcastle-upc 

I{c]K)rt  of  the  French  Commission  on  the  use  of  explosives. 

1891.     8«. 
Transactions.  Vol.  39.  part  I.  II.  Vol.  40.  part  1.     1891.    8 

Connecticut  Academy  of  arts  et  sciences  in  New-Hart 
Transactions.  Vol.  VIII.  part  1.     1890.     8^ 

7he  American  Journal  of  Science  in  New-Haten: 
Journal.  Nr.  239—244.    Nov.  1890 -Apr.  1891.    8». 

Academy  of  Sciences  in  New -York: 

Annals.  Vol.  IV.  Index.  Vol.  V.  Nr.  4-8.     1890.     8« 
Transactions.  Vol.  IX.  Nr.  3—8.     1889—90.     8^. 

'The  Journal  of  comparaiive  medecinc  and  vetcrinary  ar 

in  New- York: 

Journal.  Vol.  XII.  Nr.  1-5.     1891.    8«. 

American  Museum  of  natural  history  in  New- York 

Bulletin.  Nr.  7.  8.  Vol.  II.  Nr.  9.  10.  Vol.  III.  Nr.  1.  All 
—  1890.    gr.  8«. 


Verseichniss  der  eingelaufenen  DrucJcschriften.  231 

American  Chemicai  Society  in  Nett-Tork: 
Journal.  Vol.  XII.  Nr.  10.  XIII.  1—4.     1890.    8». 

American  Geographical  Society  in  New- York: 
Bolletin.  Vol.  XXII.  Nr.  4  and  Supplement.  XXIII.  Nr.  1.  1890/91.  8«. 

Neuntssiscfie  Naturforschende  Gesellschaft  in  Odessa: 
Sapi^ki.    Tom.  XV.    lieft  1.  2  und  Mathem.   Abtheilung.    Tom.   XI. 
1890     8^. 

Naturtcissenschaftlicher  Verein  in  Osnabrück: 
d.  Jahresbericht  für  die  Jahre  1889  und  1890.     1891.     8^ 

Societä  Veneto-Trentina  di  scienze  naturaJi  in  Padua: 
Atti.  Vol.  VII.  Fase.  1.     1891.    8«. 

Circolo  matematico  in  Palermo: 
Rendiconti.  Tom.  V.  Fase.  1-3.     1891.     8^. 

Collegio  degli  Ingegneri  in  Palermo: 
Atti.   Anno  XIII.  1890.  Maggio— Dicembre.     1890/91.     4». 

AcadSmie  de  medecine  in  Paris: 
ßuUetin.  1890.  Nr.  52.  1891.  Nr.  1-25.    8^ 

Acadimie  des  Sciences  in  Paris: 

Coniptes  rendus.  Tom.  111  Nr.  26.  Tom.  112  Nr.  1-25.   1890/91.  4^ 
'^euvrcH  compl^tes  d'Auguatin  Cauchy.  II.  Ser.  tora.  IX.    1891.   4». 

Comite  Intematio^nal  des  Poids  et  Mesures  in  Paris: 

Procea-verbaux  des  säances  de  1889.     1890.     8^. 

^'He    Rapport  aur  Tannee  1889.     1890.     4^. 

^•*^pte8  rendus   des  seances  de   la  premiere  Conference  generale  en 

1889.     1890.     4®. 
l*^vaux  et  Memoires  du  Bureau  international  des  poids  et  meauripH. 

Tom.  VII.     1890.     4». 

Labaratorie  de  Geologie  ä  la  Sorbonne  in  Paris: 
^naoDd  Hebert.     1891.    8^. 

Moniteur  scientifique  in  Paris: 
Boniteur  scientifique.   Livr.  589—695.  Janvier— Juillet  1891.    gr.  8^. 

Museum  d'histoire  naturelle  in  Paris: 

^o^velles  Archivea.  II.  Särie.  tom.  VII.   Fase.  1.   III.  St^rie.   tom.  II. 
Pasc.  1.     1884—1890.     Fol. 


[ 


232  VerzcivhyuM  der  eingelaufenni  DruckM^riften. 

Societe  (Tanlhropdlogie  in  Paris: 

Memoires.  2«  S«^r.  tom.  IV.  Fase.  2.     1890.    8®. 
Bulletins.  III.  8me.  tom.  XII.  Fase.  4.  IV.  Serie,  tom.  I.  Fase. 
1890.    8«. 

SociHe  hotanique  de  France  in  Paris: 
Bulletin.  Tom.  88.  Üomptes  rendus  des  seances.  Nr.  1.     1891.    i 

Societe  de  g^ographie  in  Paris: 

Bulletin.  VII.  Ser.  tom.  XI.  trimestre  3.  4.   tom.  XII.  trim.  1. 

— 91.    8®. 
Compte  rendu  1890  Nr.  16.  17.  1891  Nr.  1—18.     8^. 

Societe  math^matique  de  France  in  Paris: 
Bulletin.  Tora.  XVIII.  Nr.  5.  6.  XIX.  Nr.  1-6.     1890/91.    8». 

SociHe  zoohgique  de  France  in  Paris: 

M**moireH.  Tom.  HI.  partie  4  et  .5.  Tom.  IV.  partie  1  et  2.  Fe 

26  a  S5      1890/91      8^ 
Bulletin.  Tom.  XV.  Nr.  7—10.  Tom.  XVI.  Nr.  1—5.     1890/91. 

Zeiischrifl  VKleciricien  in  Paris: 
I/ßlectricien.  II.  Ser.  tom.  I.  Nr.  1-26.     1891.    gr.  8®. 

Accademia  medico-chimrgica  in  Perugia: 
Atti  e  rendiconti.  Vol.  II.  FaHC.  4.     1890.    8«. 

Comite  gMngique  in  St.  Petersburg: 

Memoires.    Vol.  IV.    Nr.  2.    Vol.  V.    Nr.  1  und  6.    Vol.  VIII.    J 

Vol.  X.  Nr.  1.     1890.     4^ 
Bulletin.^.  Tom.  IX.  Nr.  7.  8.     1890.     SP, 

Chemisch'phyaikaluiche  Gesellschaft   an  der  k.   Universität  ti 

St.  Petersburg: 

Scbumal.  Tom.  XXII.  Nr.  9.  XXIIl.  Heft  1—4.     1890/91.    8®. 

PhgsikaUsches  Central-Observatorium  in  St,  Petersburg: 
Annalon.  .Ia}irj<.  1889.  Theil  H.     1890.     4®. 

Acadcmy  of  natural  sciences  in  Phüadelphia: 
Proceedinjjs.  1890.  i)art  II.  HI.     1890.     8^. 

American  pharmaceuticnl  Association  in  Philadelphia: 

Proceedinjf8.    38**»  annual  meetinj?  held  ad  Old  Point  Comfort. 
tember  1890.     b^. 

American  j)hilosophical  Society  in  Phüadeljthia : 
Proceedin^rH.  Vol.  28.  Nr.  131.     1890.     8*^. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  233 

GeologicaJ  Survey  of  Pennsylvania  in  Philadelphia: 

lary  of  Fossils.  Vol.  2.  3.  Hamsburf?  1889—90.     8^. 

Southern  Anthracite  Field.  Part  III. 

port  on  the  Oil  and  Gas  Fields.     Harrisburf^  1890.     8^. 

Societä  Toscana  di  scienze  naturali  in  Pisa: 
lemorie.  Vol.  XI.    1891.    SP. 

Mathematisch-physikalische  Gesellschaft  in  Prag: 
I.  Bd.  XX.  Heft  1-4.     1890/91.    8». 

K.  höhmische  Gesellschaft  der  Wissenschaften  in  Prag: 
^berichte.  Mathem.-physik.  Classe  1890,  I  u.  Tl.    8®. 

Sternwarte  in  Pülkoioa: 

ment    III.    anx    observations    de    Poulkova.     St.    Peternbiir^. 
1891.     Fol. 

:phemeriden  auf  d.  Jahr  1891  von  W.  Doeller.    St.  P.  1890.   8®. 
des     Directors     der    Nicolai  -  Hauptsternwartc     1887 — 1889. 
St,  P.  1890.    8®. 

Obserratorio  in  Rio  de  Janeiro: 
i.  Anno  V.  Nr.  12.  Anno  VI.  Nr.  1—4.     1890/91.    8«. 

Äcculemy  of  Science  in  Rochester  IL  St.: 
ding«.   Brochure  I.     1890.    8®. 

Accademia  Pontificia  de^  Nuovi  Lincei  in  Rom: 
Inno  43.  Sessione  4—6.     1890.    4^. 

R,  Comitato  geol4)gico  d^Italia  in  Rom: 
ino  1890.  Nr.  11.  12.    8^ 

itaafsch  Genootschap  der  jtroefonder-mndeUJke  Wijshegcertc 

in  Rotterdam: 

e  Verhandelinger.  II.  Keeks,  3.  Doel,  3.  Stuk.     1890.     4^ 

California  Academy  of  Sciences  in  San  Krancisco: 
onal  Papers.  I.  III.     1890.     8^. 

Naturwissenschaftlicher  Verein  in  St.  Gallen: 
t  wahrend  dea  Vereinnjahres  1888/89.     1890.     ^. 

R.  Accademia  dei  Fisiocritici  in  Siena: 
Serie  IV.  Vol.  3.  Faac.  1—4.     1890/91.    8^ 


234  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Drucksdtriften. 

Societe  den  Scietices  in  Stransburff: 

Bulletin   mensuel.    Tom.   XXIV.    Fase.  10.    Tom.  XXV.   FaRC.  1-4. 
1890/91.    8«. 

Royal  Society  of  New-Soufh-  Wales  in  Sydney: 

Journal  and  ProceedingR.    Vol.   XXIII.    part  2.    Vol.  XXIV.  pwt  1 
1889/90.     8». 

Physilcalisches  Obserratorium  in  Tiflis: 

Meteorologische  Beobachtungen  im  Jahre  1889.     1890.    8^. 
Magnetische  Beohachtungen  im  .lahre  1888 — 89.     1890.    8^. 

Deutsche  Gesellschaft  für  Natur-  uml  Völkerkunde  Ostasiens  in  Tokp 
Mittheilungen.  45.  Heft.     Yokohoma  1891.     Fol. 

Mediciniscfte  Fakultät  der  kaiserl,  japanischen  Unicersitdi  in  Tokyo 
Mittheilungen.  Bd.  I.  Nr.  4.     1890.     4«. 

College  of  science,  Imp.   University  of  Japan  in   Tokyo: 
Journal.  Vol.  IV.  i)art  1.     1891.    4^ 

Kansas- Academy  of  Science  in  Topeka: 
Transactionfl.  Vol.  XII.  part  1.     1890.    8®. 

Canadian  Institute  in   Toronto: 

Transactions.  Vol.  I.  part  1.  2.     1890.     8". 
41»'  annual  Keport.     181»!.     8®. 

Jieale  Accadcmia  delle  scieme  in   Turin: 
Osscrvazioni  meteorologicho  delT  anno  1890.     1891.    8®. 

Ohservatoirc  mctt'oroloyique  de  Vüniversitc  in   Upsnla: 
Bulletin  uiensufl.  Vol.  XXII.  Anmn»  1890.     1890-91.     Fol. 

U.  S.  Department  of  Agriculturc  in   Waslnngton: 
North  American  Fauna.  Nr.  3.  4.     1890.     ö**. 

Nary  Department  in   Washington: 

Astronomioal  Faperrf  ol"  the  American  Ephemeris.     Vol.  II.    p*"^ 
untl  Vol.  JV.     1890.     4". 

Smithsmiian  Institution  in   Washington: 
Report  1888  and  National  Museum  Heport   1888.     1890.    8^. 


VeriekhnisB  der  eingelaufenen  Druckschriften.  235 

U,  8.  Naval  Observatory  in  WasJungton: 

[)ort  for  tlic  year  endiof^  1890,  June  30.    ^. 
terfations  for  1885.     1891.     4^. 

Surgeon  General* 8  Office  in  Washington: 
ex-Catalogue.  Vol.  XL     1890.    4P, 

U,  S.  Coast  and  geödet ic  Surccg  in  WatHiington: 

|K)rt  ot'  tho  Su])orintendent  during  thc  year  endiD^  with  Juiie  188Ö 

1889.     4<>. 
letin.  Nr.  19—21.     1891.    4«. 

U,  S.  GeoltHficai  Surveg  Office  in   Washington: 

aographs.  Vol.  I.  Liinke  ßonneville  by  Clrove  Karl  CiillM?rt.  1890.  4^ 
teral  Kesources  of  the  U.  Öt.  Calendar,  year  1888.     1890.    8". 
letin.  Nr.  Ö8--61.  63—66.     1890.    8». 
th  Aniiual  Keport  1887-1888.     1889.     4". 

Natuncissenschaftl icher  Verein  des  Harzes  in    Wernigerode: 
ritten.  5.  Band  1890.     8^. 

K.  K.  Akademie  der   Wissenschaften  in   Wien: 


1889—1890.    8*^. 


longsliericht«.  Mathem.-naturwiHsenscIiafll.  Klasse. 
I.  .\l»th.  1889  Nr.  4  -10.  1890  Nr.  1—3.    1 

11»  Abth.  Iö89  Nr.  4-10.  1890  Nr.  1-3. 

11»»  Abth.  1889  Nr.  4—10.  1890  Nr.  1—3. 

in.  Abth.   1889  Nr.  5-10.  1890  Nr.  1—3.    ) 
ikMiriften.    Mathem.-naturw.  Klas.se.  Bd.  56.     1889.     4". 
theilun^en  der  prähistorischen  l'ominission.   18iH).  Bd.  1.  Nr.  2.    4^ 

K.  K.  geologische  Reich^anstalt  in  Wien: 

Handlungen.  1890.  Nr.  14—18.  1891.  Nr.  1—7.     t«. 
»andlun^en.  Bd.  XIV.  1890.  Bd.  XV.  Heit  3.     1891.     Fol. 

K.  K,  Gesellschaft  der  Aerzte  in  Wien: 
'ner  klinisehe  Wochenschrift.  IV.  Jahr>,'.  1891.  Nr.  1—27.     4". 

Anthrojmlogischc  Gesellschaft  in    Wien: 

theilun^ren.     Bil.  XX.     Heft  3.  4.     XXI.    Hell  1.  und  Kefj:istiT  au 
Bd.  XI— XX.     1890/91.     4». 

Geof/raphische  Gesellschaft  in    Wien: 

tbeilnngen.  Band  XXXIII.     1890.     8^. 

H.  MaUi.-pliy8.  CL  2.  16 


236  Vereeichnias  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Zoologisch-hotanische  Gesellschaft  in  Wien: 
Verhandlungen.  1890.  Quartal  3  und  4.    8«. 

K.  K.  naturhisiorisches  llofmuseum  in  Wien: 
Annalen.  Bd.  V.  Nr.  4.  ßd.  VI.  Nr.  1.     1890/91.    gr.  8«. 

K.  K.  UnicersitätS'Stermcarte  in  Wien: 

Annalen.    I.  Suppl.-Band.    Katalog  der  Argelander*dchen  Zonen  tob 
Edmund  Weis».     1890.     8« 

Verein  zur  Verbreitung  naturwisscnachaftl.  Kenntnisse  in  Wien: 
Schritten.  30.  Bd.     1890.     8*^. 

Ndssnuischcr   Verein  für  Naturkunde  in   Wiesbaden: 
Jahrbücher.  Jahrg.  43.     1890.     8«. 

rhysikdlisch-medizinische  Geselhvhaft  in   Würzburg: 
Verhandlungen.    N.  F.    Bd.  XXIV.    Nr.  6.  7.     XXV.    Nr.  1.  2.    \^ 

Sitzungsberichte.  1890.  Nr.  8—10.  1891.  Nr.  1.     1890/91.    8". 

Naturforschende  Gesellschaft  in  Zürich: 
Viertel.jahrsschria.  Jahrg.  35.  Heft  2—4.     1890.     8®. 


Von  folgenden  Privatpersonen: 

Hftrentinn  Amrffhinn  in  liueuos  Aires: 
Ktn-inta  Argi*ntina  dt*  liistnria  natural.  Toni.  I.  entrega  1.  2.  1891.    ^ 

Gitn'uuui  Cnpcllini  in  Bologna: 
Zifioidi  Fossili.     1891.     4^. 

]{.  Fresenius  in   Wiesbaden: 
Die  Th('riii.ilqut»lh»n  Wi»'sl)a<lenH  in  chemischer  Beziehung.    WM).    ^ 

Xikolni  con  Kitkscharntc  in  St.  Petersburg: 
Matrri.iiit'n  zur  Mineralogie  Hu<-]ands.  Bd.   X.  j).  225—352.    1891.    ^ 

7>.  Krnnrckrr  in  Berlin: 

13  mathiinatisrhr  Ablian<Hnn}^«'n.  Sejjaratabdrfhki'  au^;  den  SitxiinAJT 
bi'rii'hti'ii  dtT  Mi-rliiuT  Akatlemi««  uikI  d,  Journal  für  di»»  ivi*' 
und  aiigfwundtp  Matlicmatik.     IblH).  in  4"  u.  8*'. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  237 

A,  Kurz  in  Äugsbury: 

illarität.  2.  Mittheilun^.     1891.    ^. 
moderneo  (Jaätheorie.     1891.     8^. 

11.   W.  Middendorp  in  Groningen: 

th  düH  Kocirdchen  HeilverfahrenH  gc^en  Tubcrkuiuse.  Emden 
91.    8*. 

Fürst  Albert  I.  con  Monaco: 

»rHcIiun^  der  Meere  und  ihrer  Bewohner.  Uebcrsetzt  von 
nil  von  Marenzeller.     Wien  1891.    8». 

Ph.  Plantamour  in  Genf: 
uuients  periodiques  du  8ol.  12.  unnee.     1890.     8^. 

Michcle  Stossich  in  Tricsl: 

ilella  Croazia.  .  Zagreb  1890.     8^. 

Veneti.  IL  Serie.     1891.     8«. 

;  Dinpharagus  Dujardin.     1891.     8^. 

Jean  Servais  Sias  in  Brüssel: 

ition  en  Thonneur  de  Jean  Servais  Stas  k  ToccaHsion  du  60^ 
miversaire  de  hh  nomination  comme  nieiii)»re  titulaire  de  la 
i^se  des  äciences.     1891.    8^. 

G.  Tschermak  in  Wien: 
ritgruppe.  Theil  I.  II.     1890/91.    8«. 

Budolf  Wolf  in  Zürich: 
aiüche  Mittheilungen.  Nr.  LXXVII.  LXXVIII.     1891.    8». 

Silcestro  Zinfio  in  Born: 
raMformazionc  della  glicerina  in  glucoäio.     1890.     i9. 


Sitzungsberichte 

der 

iigl.  bayer,   Akademie  der  Wissenschaften. 


Mathematisch-physikalische  Classe. 

Sitzung  vom  7.  November  1891. 


[err  H.  Seeliger  legt  den  zweiten  Band  der  neuen 
en  der  Kgl.  Sternwarte  vor  und  macht  hierauf  zwei 
üuugen : 

1.  .Notiz  über  die  Strahlenbrechung   in  der 
Atmosphäre" : 

2.  .lieber  die  Extinction  des  Lichtes  in  der 
Atmosphäre." 


Über  die  Strahlenbrechung  in  der  Atmosphäre. 

Von  H.  Seeliger. 

{Bingtiau/en  7.  Novttnbtr.) 

^enn  eine  Kugel  von  einer  brechenden  Atmosphäre 
•en  ist,  so  wird  dieselbe  einem  Beobachter  ausserhalb 
grösseren  scheinbaren  Durchmesser  zeigen  als  in  dem 
wo  kein  brechendes  Medium  die  Umhüllung  bildet. 
Wrgrösserung  des  scheinbaren  Durchmessers  ergiebt 
n  überaus  einfacher  Weise  und  völlig  streng  aus  den 
nfachsten  Sätzen  der  Hefractionstheorie.  Nimmt  man, 
lies  ist  die  einzige  erforderliche  Voraussetzung,  an, 
las  die  Kugel  umgebende   brechende   Medium    in  con- 

lBUi.-pb7«.  CL  3.  17 


240       SUzuuff  der  math.-pfiys.  Clanse  com  7,  November  1891. 

centrischen  Schichten  gleicher  Dichtigkeit  angeordnet  ist  und 
bezeichnet  man  mit  f.i  den  Brechungsexponenten  in  einer  Ent- 
fernung r  vom  Centrum  und  mit  i  den  Winkel,  den  die 
nach  aussen  gericlitete  Tangente  der  Itefractionscnrve  uiit 
/*  in  jenem  l^uncte  bildet,  so  ist  bekanntlich 

f4  r  sin  i  =  Const.  (1) 

für  iille  Puncte  der  Refractionscurve.  Wenn  demnach  ein 
Punct  der  Oberfläche  einen  Lichtstrahl  unter  einem  Winkel 
z  gt'gen  den  verlängerten  Kadius  aussendet  und  dieser  Strahl 
dtMi  Beobachter  trifft,  so  muss  zufolge  (1)  sein: 

t/„  a  sin  ^  ^  *y  sin  a 
und  hierin  bedeutet:  u^  den  Brechungsexponenten  an  der 
Oberfläche  des  Planeten,  a  seinen  Uadius,  ^  die  Entfern uni; 
di's  Beobachters  vom  Centrum  und  a  die  scheinbare  Ent- 
fernung des  genannten  Punctes  vom  Centrum  der  Planeten- 
scheibe. 

Nennt  man  nun  o^  den  scheinbaren  Radius  der  Planeten- 
Scheibe,  wie  er  ohne  Atmosphäre  erschiene,  so  ist 

a  =  J  sin  <Tq 
nrnl   demzufolge 

sin  a  =  /Uq  sin  a„  sin  g. 
Der    Lichtstrahl,    welcher    in    Betracht    gezogen    worden   ist, 
wir«!    giM'aile  iu»ch   den   Beobachter  errreichen  können,    wenn 
z  =  90**  wini.     l)ann    hat    man    also  für  den    factisch  statt- 
lindenden  scheinbaren   lunlius  a  die  Formel: 

sin  a  =  Uq  sin  a^ 
oder  für  listrononiische  Zwecke  genügend  genau 

o   -   ii„  a„.  (2) 

Diese  Formel  gilt  g.tnz  allgemein,  gleichgiltig  nach  welchem 
Vn'>etze    tue    Dichtigkt'it   des    brechenden    Mediums    von    der 

Kntfernuni;    vom    CtMitrum    der   Kugt^l    abhängt.     Man   sieht 

übrigens,   da>s   einzig   und  allein   der    Brechungsexponent  an 

der  (>i)erfläohe   in   Frage  kommt.     Ferner  ei^iebt  sich  aber 


Seeliger:  StrahLenbrechung  in  der  Ahwisphäre.  241 

auch,  dass,  falls  das  Mittel  eine  Dispersion  aufweist,  die  in 
Tersehiedenfarbigeui  Lichte  gemessenen  Radien  a  von  ver- 
schiedenen Grössen  ausfallen  müssen.  Betrachten  wir  z.  B. 
die  Erde  vom  Monde  aus.  Hier  ist  für  die  beiden  Frann- 
hofer'schen  Linien  B  und  ö,  an  welchen  Stellen  des  Spectrunis 
die  optischen  Strahlen  noch  keineswegs  unwirksam  sind 

B"'^^=  1.000  2935 
tf....^^=  1.000  2987 

und  mit  der  Mondparallaxe  57' 2"  findet  man  die  Ver- 
^rösserung  des  Erddurchmessers  für: 

n    .     .  2  "0087 

ö     .     .     .     2".  0443 
Differenz   .     0".03() 

Ganz  rein  werden  diese  Differenzen  in  den  Messungen 
nicht  hervortreten,  da  durch  die  Absorption  die  brechbareren 
Theile  des  Spectrums  etwas  mehr  geschwächt  werden:  auch 
werden  die  Ränder  nicht  mehr  ganz  scharf  sich  darstellen 
und  schliesslich  bewirkt  die  Diffraction  der  Lichtstralilen  an 
den  Rändern  des  Femrohrobjectives  eine  V^erschiebunjjf  d*»s 
scheinbaren  Randes,  welche  wahrscheinlich  vcm  der  Farbe 
abhängig  ist.  Im  Allgemeinen  ergiebt  sich  aber,  da.^s  die  im 
blauen  Lichte  gemessenen  Durchmesser  grösser  ausfallen 
müssen,  als  die  im  rothen  und  man  wird  berechtigt  sein 
zu  behaupten,  dass  bei  dichteren  Atmosphären  von  grösserer 
Dispersionskraft,  die  nicht  nur  denkbar  sind,  sondern  gewiss 
vorkommen,  die  oben  erwähnten  Differenzen  bis  zu  sehr  be- 
merkbaren Beträgen    wachsen    können^).     Es    darf    indessen 

1)  Die  im  Vorigen  dargelegten  höchst  elementaren  Ueher- 
lefpingen  begründen  die  Ansichten,  welche  ich  über  diese  Fra^e  seit 
Jahren  in  meinen  Vorlesungen  auszusprechen  pflege  und  auf  welche 
sich  Herr  Dr.  Well  mann  in  den  ,  Astron.  Nachrichten*  Bd.  119, 
S.  241  bezieht. 

17  ♦ 


242       SitzuHff  der  tnathrphi^s,  Clanse  vom  T.  November  tfi9t. 

hierbei  ein  Cinstand  nicht  ausser  Acht  gelassen  werden,  dessen 
Xichtberüuksichtignng  zu  den  allergröbsten  Irrthümern  ver- 
iiii lassen  kann.  Die  F'orniel  (2)  erleidet  nämlich  eine  sehr 
wichtige  Beschränkung,  weil  sie,  obgleich  die^  aus  der  obigen 
Aufstellung  nicht  liervorgeheu  konnte,  doch  über  die  Con- 
stitution des  brechenden  Mediums  eine  gewisse  Voraussetzung 
niiicht.  Diese  besteht  darin,  dass  die  Refractionscurve  ohne 
Unterbrechung  durch  die  Gleichung  (1)  definirt  ist.  Dies 
findet  aber  nicht  statt,  wenn  totale  Reflexionen  eintreten. 
Soiclie  tobile  Reflexir)nen  sind  aber  bei  dem  Uebergauge 
eines  Lichtstrahls  von  dichteren  Theilen  des  brechenden 
MndiuuLs  in  weniger  dichte  unter  gewissen  Bedingungen 
möglich  und  da  die  Atmosphären  der  Himmelskörper  unter 
normnlen  Verhältnissen  mit  zunehmender  Höhe  an  Dichtig- 
keit abnehmen,  so  mfissen  diese  Verhältnisse  näher  betrachtet 
werden.  Aelinliches  gilt  auch,  wenn  ein  homogenes  Medium 
den  IManeten  umgiebt  und  in  der  Höhe  h  unstetig  an  den 
leeren  Raum  grenzt.  Hier  muss  an  der  Grenze  zufolge  (1) 
die  (Gleichung  stattfinden 

/!„  a  sin  g 

sm  t   =       -    j— 

a  -j-  h 

und  die  obigen  Betrachtungen  erfahren  keinen  Widerspruch 
nur  dann,  wenn  unter  allen  Umständen  sin  i  <C   1   ist,  also: 

/V«     <    I 
a+h 

d.  h.  h  >  (//q   —    1)  (I. 

Ist  h  weniger  bedeutend,  dann  finden  totale  Reflexionen  an 
der  (irenze  statt.  Die  Verfolgung  dieser  in  photonietrischer 
B»*ziehung  ist  verwickelt  man  sieht  aber  sofort  ein,  dass 
untt'r  kf'inen  Urnständen  der  Planet  grösser  erscheinen  kann, 
nU  wenn  die  .Umosphäre  zu  ihm  als  fester  Bestandtheil  ge- 
hörte, weil  von  der  Grenze  dieser  alle  den  Beobachter 
erreichenden  Liclit^trahlen  gradlinige  Wege  beschreiben.    Um 


Seeliger:  Strahlenbrechung  in  der  Atmosphäre.  2^i'^ 

den  allf];emeineren  Fall  in  Betracht  zu  ziehen,  niuii^s  man 
selbetrerständlich  das  Gesetz  der  Abnahme  der  Dichtigkeit  dos 
brechenden  Mediums  kennen.  Dann  lässt  sich  die  Bedingung 
f&r  das  Nicht  Zustandekommen   totaler  Reflexionen   aus  der 

^«"°8  sin  i  <  1 

stete  ableiten.      Es   soll    für    die    Erdatmosphäre    diese    Be- 

dinjifung  aufgestellt  werden.    Es  würde  hierbei  voraussichtheh 

ffenQgen  von  den  Temperaturabnahme  mit  der  Höhe  abzusehen. 

f       '"  gleich  einfacher  Weise,  wie  für  diese  .\nnahme,  liisst  sich 

*w  die  Betrachtung  nach  der  Besserachen  Refractionstheorie 

eriedigen,    die   freilich    bekanntlich   den   thaisilch liehen   })hy- 

sikali^hen  Verhältnissen  nur  sehr  roh  Rechnung  trägt.    Nach 

dieser  Theorie  sind  die  Dichtigkeit  q  in  der  Entfernung  r  vom 

^'ttelpunkte  der  Erde   und  die  Dichtigkeit  Qq  an   der  über- 

*^he  durch  die  Gleichung  verbunden 

'*^'*  fi  eine  empirisch  bestimmte  Constante  ist.  Da  die 
Breolinngsexponeuten  der  Luft  sehr  wenig  von  1  verschieden 
*'"^'»  darf  auch  bei  Aufrechterhaltung  der  älteren  Annahnifn 
stets     gesetzt  werden 

Totale  Reflexionen  werden  nun  jedenfalls  aasgeschlossen  sein, 
wenn 

H  r  >  Mo  «. 


man  zur  Abkürzung  «<;  =     .so  kann  man   diese  Be- 
dingpiug  schreiben 


m  Am 

—  i\ 
Nun  ist  ,-  =:^'-  stets  positiT  und  nimmt  mit 

wachsendem  s  ab,  während  die  rechte  Seite  Ton  (3)  ebenfalb 
positiv  i-st  «nl  gleich mJiNiij  wäeh'it.  Für  «  =  0  werden  beide 
^feiten  Ton  (S)  irlt-ich  Null.     Wenn  demnach  für  5  =  0 


"^  li.  -  1 


.«•o  wird  diese  Bedinping  <3)  auch  für  alle  grosseren  s  erf&llt 
>eiii.  Demnach  werden  totale  Ketlexionen  nicht  eintreten 
können,  wenn: 

:-i  <  -^  (4) 

Die  Verhältni.s.se  der  Erdatmosphäre  sind  nun  sehr  weit  von 
dieser  Bedingung  entfernt,  denn  es  ist 

und  es  niiKste  nach  (4^  sfiii 

,:^  <  0400. 

In  der  That  ist  aber  fi  =  74t). 

Wie  sicii  die  ^^Jiche  auf  einem  physikalisch  so  total  von 
der  Knie  verschiedenen  Ki)q)er.  wie  es  die  Sonne  ist,  verhält, 
kann  man  nicht  von  vornherein  wissen.  Ich  werde  aber  in 
♦?in<»ni  andern  Aufsatze  zeigen,  dass  gewisse  Wahniehmungen 
dafür  zu  s] »rechen  scheinen,  dass  dort  wirklich  tot;ile  Re- 
flexionen stattfinden.  Im  anderen  Falle  müssten  die  in  den 
verschiedenen  Theilen  des  Spectrums  gemessenen  Sonnen- 
durchmesser  um  so  be<leutende  Grössen  verschieden  sein,  du» 
dies  den  Beobachtern  nicht  hätte  entgehen  können,  obwohl 
ähnlii:h«*n  Fragen  bisher  noch  nicht  die  genügende  Auf- 
merksamkeit geschenkt  worden  ist. 


>  «r. 


Setiiger:  Slrahienbrechntuf  in  der  Atmosphäre.  -4' 

Die  Dispersion  des  Lichtes  in  der  Rrdatmosphäre  äus^^ert 
sich  in  der  Erscheinung,  diiss  die  einfachen  IJchtpuncte 
der  Fixsterne  zu  Spectren  sich  verlaufenem.  Die  Länge  dieser 
Spectren  dt  lässt  sich  sehr  leicht  berechnen.  Bis  zu  Zenith- 
distanzen  von  etwa  80°  wird  man  mit  genügender  Genauigkeit 
ansetzen  dürfen 

wo  C  die  Refraction  in  Zenithdistanz  und  d  f-f^  die  Differenz 
der  an  der  Erdoberfläche  stattflndenden  Brechungsexponent-en 
fiir  die  Farben  des  Spectrums,  welche  die  Grenzen  desselben 
angeben,  bedeuten. 

Herr  Ketteier*)  hat  die  Dispersion  der  Luft  untersucht 
und   gefunden: 


Linie 

i 

^0 

d 

B 

0.H87 

1.00029353 

4 

C 

0.656 

29383 

1 

D 

0.589 

29470 

+  2 

E 

0.527 

29584 

+  2 

F 

0.486 

29685 

+  3 

G 

0.431 

29873 

—  2 

ü 

0.397 

30026 

1 

Hier    sind    die    Wellenlängen    in    '/looo    mm.    angesetzt. 
Ich    finde  hieraus  durch  die  Cauchy'sche  Dispersionsfbrniel 

iu  =  1.000  290  lOj  4-  159.9    \ 

welche    Formel    die    äusserst    kleinen     Fehler    J    im    Sinn«* 
Rechnung-Beobachtung  übrigläsbt. 

Setzt  man  Aq  a=  0.575,  ungefähr  entspn'cheud  dorn  heilsten 
Theile  des  Speetrums,  so  wird 

1)  U.  A.     .Mouition,  liehrbiK'h  tler  IMiysik.  II    S.  r>4H. 


246        Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  w>m  7.  November  189L 


cJC  =  0.00542C.(-^--^) 


und  wenn  nach  der  BesseTschen  Refractionstafel 

f  =  57:7tg£r 

gesetzt  wird,  so  ergiebt  sich: 

Man  findet  hieraus  für 

A  =  0.400;  A  =  +  i:01 

A  =  0.700;  A=  -0:31 

Die  Gesammtlänge  des  kleinen  Spectrums  innerhalb  d 
angegebenen  Grenzen  ist  also  1'32.  Vor  kurzer  Zeit  b 
Herr  P.  Henry*)  durch  Versuche  für  dieselbe  Grosse  l"  < 
gefunden,  was  auf  eine  etwas  grössere  Dispersion  hindeat 
würde,  als  Herr  Ketteier  gefunden  hat. 


1)  Coinpt.  Hend.  Hand  112. 


247 


üeber  die  Extinction  des  Lichtes  in  der  Atmosphäre. 

Von  H.  Seeli^er. 

(Eingdanfm  7.  November.) 

Die  Extinction  des  Fixsternlichtes  in  der  Atmosphäre 
ist  in  genauerer  Weise  zuerst  von  Herrn  Seidel*)  und  in 
neuerer  Zeit  von  Herrn  6.  Müller*)  empirisch  bestimmt 
worden.  Die  Resultate  beider  Beobachter  stimmen  ziemlich 
nahe  mit  einander  überein  und  man  kann  bepaupten,  dass 
die  von  beiden  Beobachtern  gegebenen  Extinctionstabellen  in 
ihrem  characteristischen  Verlaufe  sogar  vollständige  Aehn- 
lichkeit  zeigen. 

Aber  auch  mit  der  Theorie  stimmen  diese  Tabellen  bis 
zu  sehr  grossen  Zenithdistanzen  überein,  wie  im  folgendem 
erwähnt  wird  und  wie  auch  ganz  neuerdings  Herr  G.  Müller 
gezeigt  hat.  Diese  letztere  Arbeit  des  Herrn  Müller  ist  mir 
indessen  erst  nach  Abschluss  meiner  Rechnungen  bekannt 
geworden,  was  ich  deshalb  erwähne,  weil  ich  die  von  mir 
abgeleiteten  Differenzen  zwischen  Theorie  und  Beobachtung 
anföhren  und  benutzen  werde  und  nicht  die  a.  a.  0.  ge- 
gebenen. 

Was  die  Theorie  der  Extinction  betrifft,  so  kann  die  von 
Lambert  aufgestellte  ganz  ausser  der  Betrachtung  bleiben; 

1)  Abhandlungen  der  kgl.   bayer.  Akademie,  Band  Yl,   3.  Ab- 
theilung,  1852. 

2)  Pablicationen  des  Potsdamer  Observatoriums,   Band  III,    1883 
and  Band  VIII,  1891. 


248       i<itzunff  der  mathri^^ys,  ('lasse  com  7,  November  IHOl, 

denn  dieselbe  ist  nichts  weiter  als  eine  Interpolaiionsfonnel, 
welche  mehr  zu  bestimmende  Parameter  enthält,  als  noth- 
wendiji^sind.  Dagej^en  besitzen  die  von  Laplace^)  abgeleitet-en 
Formeln  einen  hohen  Grad  der  Allgemeinheit.  Um  hierüber 
keinen  Zweifel  zu  lassen,  werde  ich  dieselben  in  Artikel  1 
des  folgenden  Aufsatzes  in  etwas  allgemeinerer  Weise  ab- 
leiten, als  von  La  place  geschehen  ist.  Dagegen  sind  in 
neuester  Zeit  besonders  von  Herrn  Langley*)  beachtens- 
werthe  Einwendungen  gegen  die  Voraussetzungen,  aufweichen 
diese  Extinctionstheorie  gegrün<let  ist,  erhoben  worden.  Ob- 
wohl schon  auch  von  anderer  Seite  bemerkt  worden  ist,  dass 
diese  Einwände  in  practischer  Beziehung  nicht  so  folgenschwer 
sein  können,  als  Herr  Langlej  vermuthet  hat,  so  schien  es 
mir  doch  nicht  ganz  unnütz,  auf  diesen  Gegenstand  noch 
einmal  zurückzukommen.  Dies  soll  in  Artikel  2  geschehen. 
Schliesslich  soll  in  Artikel  3  die  Extinction  in  der  Sonnen- 
atniosphäre  betrachtet  werden.  Die  vorliegenden  Beobach- 
tungen lassen  allerdings  nur  ziemlich  unsichere  Schlüsse  zu. 
Es  scheinen  aber  durch  sie  merkwürdige  und  von  vornherein 
nicht  zu  erwartende  Andeutungen  über  gewisse  Eigenschaften 
der  Sonnen atmasphäre  gegeben  zu  sein,  die  kurz  besprochen 
zu  werden  verdienen. 

1. 

Bezeichnet  u  den  Brechungsexponenten  der  in  kugel- 
f()rniigen  Dichtigkeitsschichten  angeordneten  Atmosphäre  in 
der  Entfernung  r  vom  Centrum,  «,,  denselben  für  die  Ober- 
fläche der  Erde,  deren  Hadius  a  sei,  ferner  dt  das  Element 
der  Itefraction  im  Sinne:  scheinbare  Zenithdistanz  weniger 
wahre,  i  den  Winkel  zwischen  der  nach  Aussen  gerichteten 
Tangente   an   die   Kefractionscurve   und   r,   e  die  scheinbare 


1)  Mecaniqiie  Celeste,   Hand  IV. 

2)  American  Journal  of  Science  18b4.  Vol.  2Ö. 


Stdiger:  Extinction  des  lAchtes  in  der  Atmosphäre.         249 

Zenitlidisianz  des  Fixsterns,   ds   ein  Längenelenient   der  Re- 
fractionscunre,  so  ist  bekanntlich: 


urs\i\i  =  Uq  a  sm  js 


.  dr 

ds  = 


—  rf^tgi 


(l) 


^>et2et  man  noch,  wie  üblich 

^^    c  eine  Constante  und  q  die  Dichtigkeit  der   Luft  ist,    so 

Der  Absorptionscoefiicient  wird  zufolge  sehr  plausibler 
^"'^^hmen  der  Luftmasse  proportional  gesetzt,  welche  der 
Lichtstrahl  triffl;. 

Demzufolge  hat  man  für  die  Intensität  des  beobachteten 
^*®**  rilichtes  J  die  Gleichung 

-j=  —  QQds 

^aa       man  mit  Hilfe  von  (1)  j^o  schreiben  kann: 

—  =—  ^'. —  Q      '  rdr  (2) 

J       cUf^uüinz      a  (> 

Nach  der  BessePschen  Refractionstheorie,  welche  die 
beoV> sichteten  Erscheinungen  im  Allgemeinen  gut  darstellt 
unl     welche  deshalb  hier  angenommen  werden  soll,  ist 

^^  Q%  die  Dichtigkeit  der  Luft  an  der  Erdoberfläche  und  ß 
^ne  empirisch  bestimmte  Constante  ist.     Hieraus  folgt 


250       Sitzung  der  math.-phys,  Classe  vom  7.  Noeemher  1691. 

dr^ r» 

^rf^""      ßa 

und  hierdurch  wird  ( 2) : 

dJ^      2Qa    /M_ry     d^ 
j  cfi^ß    ^  a  f     sinir 

Der  Factor    (  -   - )    weicht  nur  dort  von  1  merklich  ab, 

y/o  d^  sehr  klein  ist;  aus  diesem  Grunde  wird  man  ihn, 
wie  dies  in  ähnlicher  Weise  bei  der  Entwicklung  der  meisten 
Kefnictionstheorien  geschieht,  fortlassen  können.  Es  wird 
demnach,  wenn  H  eine  Constante  bedeutet: 

dJ  H       ,^ 

—jr-  = 7—  •  d  t 

und  mtegnrt 

log^=C--^    C  (3) 

Die  gewöhnlichen  Kefractionstafeln  geben  die  Refraction 
S  in  der  Form 

wo  a  mit  £^  selbst  veränderlich  ist.  Bezeichnet  man  nun 
mit  J^  die  Lichtintensität  des  Sternes,  wenn  derselbe  im 
Zenith  stände,  und  mit  Jq  die  Intensität  des  ungeschwächten 
Stern  lichtes,  so  ergiebt  sich  aus  (3) 


,       J  „a  —  a^  cos  je: 

log-=-  =  —  H  "^     - 

^  e/ j  cos  ;er 

loK^'-  =-Ha„ 


(4) 


Dies  sind  die  bekannten  von  Laplace  gegebenen  Glei- 
chungen. 

Unter  der  Correction  wegen  Extinction  log  q>  versteht 
man  die  Grösse,  welche  zu  den  beobachteten  Helligkeita- 
logarithmen  zu  addiren  ist,  um  auf  das  Zenith  zu  reduciren. 


Setiiger:  ExHnction  des  Lichtes  in  der  Atmosphäre.         251 

abe  nun  aus  der  a.  a.  0  gegebenen  Extinctionsiabelle 
[errn  6.  MQller  die  Wertfae  von  log  q^  in  passend  ver- 
iu  Intervallen  herausgenommen  und  diese  Werthe  durch 
ormeln  (4)  nach  der  M.  d.  kl.  Q  dargestellt.  Die 
er*8chen  Werthe  sind  mit  M,  die  aus  der  Formel 
iden  mit  L  bezeichnet. 

xapp  M  L  M  —  L  X 

0»          0  0  0  1.0 

20  0.004  0.005  —    1  1.1 

40  0.024  0.023  +1  1.3 

50  0.048  0.043  +5  1.6 

60  0.092  0.077  +  15  2.0 

70  0.180  0.146  +  34  2.9 

75  0.261  0.216  +  45  3.8 

80  0.394  0.352  +  42  5.6 

81  0.432  0.395  -}-  37  6.1 

82  0.477  0.448  +  29  6.8 

83  0.533  0.515  +  18  7.7 

84  0.607  0.599  +    8  8.8 

85  0.707  0.707  —    0  10.2 

86  0.846  0.859  —  13  12.1 

87  1.045  1.066  -  21  14.8 
87.5  1.176  1.208  —  32  16.7 

ie  Consiante  H  ergab  sich  aus 

log  (Ha^)  =  S.887  4— 10 

-y  =  0.837 

''0 

'ie  Darstellung  der  Beobachtungen  ist  eine  recht  be- 
ende. Indessen  sind  die  Dififereiizen  doch  von  systema- 
oCharacter,  dem  wir  um  so  grösseres  Gewicht  zusprechen 
1,  als  auch  die  SeideTschen  Beobachtungen,  die  mit 
ganz  anderen    Instrumente   ausgeführt  sind,    Abwei- 


252       Sitzung  der  math-phys,  Ciasse  i^m  7.  Nocember  1H91. 

chungen  von  der  Theorie  in  demselben  Sinne  geben.  W 
des  Folgenden  fassen  wir  das  Resultat  der  Vergleichunj 
Beobachtungen  mit  der  als  richtig  vorausgesetzten  Th 
so  zusammen.  Die  beobachteten  Helligkeiten  stiramei 
0®  und  85°  Grad  Zenithdistaiiz  völlig  mit  den  l>erechi 
überein.  Dazwischen  sind  die  ersteren  etwas  kleiner,  dai 
hinaus  sind  dieselben  etwas  grösser. 

2. 

Herr  Langley  hat  zuerst  darauf  aufmerksam  gern 
dass  die  obige  Absorptionsformel  strenge  genommen 
für  einfarbiges  Licht  giltig  ist.  Nennt  man  die  wirkl 
also  beobachtete  Intensität  des  Lichtes  eines  Sternes  Jb 
muss  gesetzt  werden 

wo  die  einzelnen  c  die  Trausmissionscoefficienten  der 
schiedeneii  Theile  des  Speetrums  sind  uml  die  B  die  Aul 
der  einzelnen  Farben  an  der  (iesamnitintensitiit  darsti 
y  giebt  die  Dicke  der  Luft.schic-ht,  auf  welche  sich  Jb  be 
hängt  also  in  einfacher  Weise  von  der  Zenithdistanz  al). 
im  obigen  auseinandergesetzte  Extinctionstheorie  nimm 
gegen  auch  im  Allgemein(»n,   wie  bei  einfarbigem  Licht 

Man  kann  sich  nun  die  Berechnung  der  2  willkurl 
Constant^Mi  C  und  A  in  letzt».*rer  Formel  so  ausgeführt  dei 
djiss  für  2  Zonithdistanzen,  also  fiir  2  verschiedene  W 
von  y,  J/i  711  Jji  gemacht  worden  ist.  Ks  fragt  sich  dann 
die  Differenz  log  Jji  log  J/^ ,  }il>  Function  der  Zenitlidi4 
dargestellt,  verläuft.  Die  beidtMi  Wertlie  für  y,  für  w 
Jb  und  Jft  übereinstimmen,   seien   y^  und  y^.     Dann  ist 


Seeliger:  ExHnction  des  Lichtes  in  der  Atmospfuire.         253 

Setzt  man  noch 

/j  =m  /o'  wo  tw  >  1 

und    allgemein 

so  findet  man  leicht 

JB(x)  =  B^b',+  IUhl+    -"Buhl 


—  X 

I 


X-  m 


•">«*     demzufolge  (3) 

Hieraus  lässt  sich  für  ganze  m  sehr  leicht,  wie  bereits 
"^''•*  Langiey  gezeigt  hat  und  für  beliebige  m  auf  etwas 
^^'^Jilicirtere  Weise  zeigen,  dass  jederzeit  Zm(0)  >  1  also 
^B  ^^  Jj^  für  y  =  0  ist.  Es  folgt  hieraus,  dass  die  gewöhn- 
lich^ Extinctionstheorie  die  Schwächung  des  Sternlichtes 
^™  Zenith  zu  klein  giebt  und  hieraus  hat  Herr  Langiey 
geaolilossen,  dass  der  aus  der  Extrapolation  der  gewöhnlichen 

Exbiticiionstheorie  hervorgehende  Werth      '  um   einen   sehr 

beträchtlichen  Procentsatz  verkleinert  werden  müsse,  und  zwar 
sollte  er  es  wahrscheinlich  machen,  dass  der  richtige  Werth 


i 


.    •  ' 


•r    rr,_  -   *#|. 


'.*.•-.     "»m   '    y  r*mher  1891. 


'"Z*"  .  ^;'— ='»*»j       """.fra* 


H'I-^-ioherweise  in  der 


•  » 


■?-      Z-  -  L-   ::e-.  ^e  -^chon  erwähnt. 
--■::  i»-.-   v-*i-:-r:    »rr  i«!-n. 
"  1".  -T  c     i~-  -i^.^  in  lien  Hanpt- 


t       « 


_  I 


•       f 


J.      ?. 


r  'sih  reiben 
■il>  TV-lfifT  ;ilv).  weil 


=  .  hat  ilfmnaeb 
iT  :.a^.h  oben  ge' 
-v-^:.AXe  \ri  =  «'■  in 

'•^*  -nr.r   "  <  f  <  I 
.  .r-*i:.i!'h.    /,wi<cli»'ri 

^  '*■  "winiernni  olier" 

7  k  «r-.-   oes    vorij<en 


»•  —  - 


.V— /.  ihremVor- 

f.  .tr:.  K'.xiäü«»en. 
:«"«  .f  iiiDdeufien, 
ZLiT-:  %i\Anr  Weist* 


Sedifier:  Kxtinclion  den  LiclUen  in  der  Atmosphäre,         255 

durch  den  Einwand  Herrn  Langley's  getroffen  wird.  In 
der  genannten  Tabelle  wird  log  Z{x)  -  0  für  ^  0  und  jsf  85^, 
was  den  Werthen  x  =  1  und  a:  =  10.2  entspricht.  Es  sind 
übrigens  zur  besseren  üebersicht  in  der  genannten  Tabelle 
gleich  die  den  verschiedenen  £r  entsprechenden  VVerthe  von 
X  mit  aufgeführt  worden. 

Man  kann  nun  auch  den  Transmissionscoefficienten  der 
Luft  im  Zenith  «  =  Ä^^  aus  jeder  einem  beliebigen  x  zu- 
gehörenden Lichtintensität  berechnen.  Diese  Werthe  von  a 
werden  unter   einander    nicht    übereinstimmen.     Denn  es  ist 


^B,b,+  '■  +  B„bJ 


wiw;  man  mit  Hülfe  von  (3)  auch  schreiben  kann : 

Oller  auch 

locT a  =  *^^(^)  -^Qg'^^C^)  1  log  Jp {fn)  —  log  Jb {\) 
^  x--\  ""  m~\ 

Nach  den  Mü Herrschen  Beobachtuncfen  der  obigen  Tabelle  ist 
m=10.2;  logJ'5(w)  — log/Ä(l)=—  0.707 


d.  h. 


,^^^^  ^  _  log^.(^)-logjMf)  _  ,07^.8         (4) 


Es  folgt  hieraus,  was  eigentlich  von  vornherein  selbstver- 
ständlich war,  dass  log  afüriC=l  und  jc  =  m  denselben 
Werth  erhält,  ferner  dass  für  dazwischenliegende  Werthe 
log  a  kleiner  ist.  Indessen  werden  durch  die  Division  mit 
X  —  1  die  Abweichungen  in  log  y  zwischen  Beobachtung 
und  Rechnung  wesentlich  verkleinert.  Man  kann  sofort  aus  den 
Zahlen  der  obigen  Tabelle  die  verschiedenen  Werthe,  welche 
filr  log  a  hervorgehen,  angeben  und  da  diese  nur  wenig  von 
einander  abweichen,    so  wird   man,    im  Gegensätze    zu  einer 

1891.  lUtb.-pliys.  Gl.  3.  18 


.-.-  -*..-.   ^■:,-^^-r.'-:\  Brluiuptiinp.  in  iler  Ueherein- 

^    .-•■   ■  ::■     -  •-    i:    mir   i'inen    si'hr  weiiitf  entsohei- 

,..^:..;>vr«  «  j-:.    ii»*  Borecliti«^nng  il^r  Laii^ley'- 

..: .  ■•■•-   '^'  -:  *-  k.*:.!:  man  aber  zei'^t.Mi,  (hiss  ans  den 

■    :    •    V  -    >.  :  j-:-  ii».T  lif.'oUachtetiMi  un»l  berechneten 

■  -.    c»-' '       ---■     ::> 'tVrn    diese    nur    ilnrch    eine   im 

■«- •  :.r    ■        Vi::'    Kxtinitit>n>tlu*ürie   entstanden  sind. 

•    j- A  *.. ::   Annalimen  auf   die  Ab^veirliunp 

■.    /  jT'-^Mtret    ist,     was    im     All|jreni einen 

•  :]\:r..'.    .:.:: 'ii  Lrleichkomnit.    Hierbei  sollen  di»» 

.  -.    ^   ■ ;.    :::::  «lr*ni  IJoloraeter  gefunileiien  Trans- 

.    .    •.  ■  :   »jr linde  i^elegt  werden. 

>    »ru'iebt  sieh  sofort  der  Ansdruck 

1 


A-.  ;    iir^cM"  Aufdruck  für  x'  =  2,  niinilicli: 


•» 


XX       1. 


«t      I 


fc    * 


ili,l>,  +  ■■■■  +li.h,X' 

^'.  ,\-.  ".i  ••v:r;h  i'.i's  zweiten  Glieiles  rechts  (I) 
N;-  •  :  iv.:\n  .">  den  griVssten  Wertli,  den 

«    ■    l-filU  ^I)  kleiner  als 


Stetiger:  Extinclion  des  Lichtes  in  der  Atmosphäre.        i^i)/ 
tmd  da  der  zweite  Factor  wiederum  viel  kleiner  als  1  ist,  jedenfalls 

DieTransmissionscoefficienten  b  der  nicht  ganz  lieh tscli wachen 
Regionen  im  Sonnenspectrum  bewegen  sich,  wenn  man  von 
selectiven  Ahsorptionswirkungen  absieht,  innerhalb  der  Grenzen 
i=0.C4  und  b  =  0.80.  Man  findet  hiernach  für  den  Maximal- 
werth  ß : 


und  hieraus 


/?<  0.03125 


JuiO)    M2) 
Nach  der  obigen  Tabelle  ist 


'"4-cl= -"•»'•■ 


woraus  man  findet 

Jb{0) 


<1.07 


Jr(0) 

Danach  ergiebt  sich  der  Transmiasionscoefficient  des  Licht^i 
om  weit  weniger  zu  klein  als  um  etwa  7°/o. 

In  Wirklichkeit  aber  sind  alle  diese  Hechnungen  auf 
Hypothesen  begründet,  die  bei  der  optischen  Photometrie 
P'  nicht  zulässig  sind.  Die  physiologischen  Wirkungen  d<»r 
^Meinen  Farben  in  einem  gewöhnlichen  Spectrum  concentriren 
^^  aas.<:erordentlich  im  Gelb  und  hier  ist  es  nur  eine  schnuile 
2one,  die   an  AVirkung   auf  das    Auge   alle   andern  Farben 

*  ftosserordentlich  übertrifft,  dass  man  z.  B.  beim  Sonneii- 
"^nt  fast  nur  sie  allein  zu  berücksichtigen  nöthig  hat.  Bei 
*oWlend  gefärbten  Sternen  mag  die  Sache  sich  anders  ver- 
*^kn;  bei  der  überwiegenden  Anzahl  der  Sterne  aber  sehr 
'•hitcheinlich  nicht.  Man  kann  für  divs  Sonnenspectrum 
^^   betreffende     Rechnung     ausführen,      wenn      man     die 

*  proportional  den  relativen  physiologischen  IntensitättMi 
^  einzelnen    Speetralfarben   setzt   und    für  die  b   die   von 


258       ASUsinig  der  matK-pliys.  Classe  rom  7.  Navemher  1891, 

Herrn  Langley  selbst  angegebenen  Werthe,  welche  sich 
zwischen  O.G  und  0.8  bewegen,  einsetzt.     Dann  ergiebt  sich 

fiir   r    //^v  der  von    1   minimal  verschiedene  Betniir  von  etwa 
Jr  (0)  * 

1.01.  Eine  solche  Rechnung  ist  freilich  insofern  eine  hypo- 
thetische, weil,  soviel  ich  weiss,  nicht  bekannt  ist,  ob  sich 
bei  der  Mischung  von  Farben  die  Intensitäten  nach  diesem 
Grundsätze  zusammensetzen.  Um  indessen  auch  fQr  andere 
und  zwar  wesentlich  verschiedene  Annahmen  einen  Ueber- 
blick  über  den  Verlauf  der  Funktion  Z  zu  gewinnen,  habe 
ich  noch  einige  Rechnungen  angestellt,  die  hier  kurz  an- 
geführt werden  mögen. 

Trügt  man  die  einzelnen  fc,  wie  sie  z.  B.  Herr  Langley 
gefunden  hat,  als  Function  der  Wellenlänge  l  auf,  so  erhält 
man  «»ine  sehr  schwach  gekrümmte  Curve.  Es  ist  deshalb 
erlaubt,  l)ei  rel>erschlagsrechnungen  fiir  diese  Curve  eine 
gt»rade  Linie  zu  setzen  und  anzunehmen 

d  h  -   n  (1 1, 

Xinuut  man  noch  einen  stetigen  Verlauf  der  Absorption 
inuerhulb  des  Sjuvtrums  an.  .<ieht  also  von  dem  Einflösse 
der  dunkltMi  Linien  ab,  und  setzt  alle  5=  1,  was  also  eine 
gleiihe    jdiy>iologische  Helligkeit    aller    Farben   voraussetzt, 

>o  ist 

worin  a,  uiui  Ä^  die  Wellenlüngen  für  die  Grenzen  des 
v.vhtbaron  S}>«'itrr.uis  r*:ui  1'^  \m\  h^  die  die^^n  entsprechenden 
rnir.smissionMwftiiicv.top.  beiier.«en.  Die  Formel  (3)  giebt 
*inr,n 

2        ,2       \*-> 


-•  r 


'    ». 


lii^V    wrv.'. 


Steliger:  Eu'tinctioH  des  Lichtes  in  der  ÄtmoapMre,        259 


glotzt  wird : 

Als  numerisches  Beispiel  möge  den  Langley'scheu  Werthen 
von  b  für  die  Wellenlängen  0.66(5  und  0.430  ungefähr  ent- 
sprechend log  y  =  9.8920— 10  und  der  obigen  Darstellung 
der  MOllerschen  Beobachtungen  zufolge  m  10.16  gesetzt 
werden.    Dann  ergiebt  sich 

^  =  log/^x)  -  log  ,/^(.r)  =  0.7079  +  loff  (lrJ^—\-j-{x-l)  [0.01014] 

und  hicFmit  für  die  linke  Seite  dieser  Gleichung 


X 

X 

M    L 

0 

+  0.011 

1 

0 

0 

2 

-  0.008 

-0.015 

3 

-0.014 

-  0.037 

4 

0.018 

-0.047 

5 

-  0.020 

-  0.04« 

6 

-  0.020 

-  0.038 

8 

-0.014 

-0.014 

10 

-  0.001 

0 

12 

+  0.018 

+  0.013 

14 

+  0.043 

+  0.022 

It) 

+  0.073 

+  0.030 

18 

+  0.108 

- 

Eine  grosse  Aehnlichkeit  des  Verlaufes  von  X  mit  dem  der 
*M  einer  graphischen  Darstellung  der  M— L  entnommenen 
•Berthe  ist  nicht  zu  leugnen.  Wenn  man  auch  diesem  ziemlich 
^llkürlich  gewählten  Beispiele  keine  grosse  Wichtigkeit 
^rtheilen  kann,  so  scheint  doch  auch  diese  Annahme  dafür 
^  sprechen,    dass   ein  Theil   der    Differenzen  M  — L   in   der 


''■* 


*ic^'tAsi   ür  MK^-mt».  ■.-fc«#.f   '"«  r.  Si':>eaifKr  i^t. 


z   iini   irc  t.ii  E*-r-^  L4z.zl-*j  •*ri:':**c-is  Einwand 

*j!?i  •i-'-r  't»t.  -•  f-tc  W'eni   TIC   i  sriir  ki*cia  and  { 

ziiiii:  TIC  fe.fcr  j  is:.    Zvr  -ti^r^v-liri*  W,er:h  vir  x  =  0  : 

z-wirtic-rz.  z  I  II.  1  j  ^1  ■  iz  1  T^*'Ji:?  T.*r?cäw  13 leod  gq 
ii*  W-ertL*  rzr  **rLr zr:*»«r  r.  Ea  i«  ;i  T-r-c  Torrii*r?iji  kbr,  d 
'-el  "s^rlir  kl-rin-ii.  HT'i-tc  ::-r  Elrn:z:^-:-CÄL'?:r>,  maf  nicht  m*^! 
':Lr.rjini2*:i-ir»  L::i:  iz:^rTri^i:.  :;^T»=i^?r*  Fehler  zeissren  mc 
W;-r  :-  irz:  in^rri'-r:**:!  Bri-^T»!-?  ein  >>«■:««■  Anschli 
ä£.  i:-r  Br^/tiniin-^-ri  •err-ri-ittiT  wir.  &!:»  «wfc  ciuraächlieh  i 
•iir  Bi-:  ri-riT^zz-rn  ies  Htttt.  Miliar  -fnr^b^c  hat.  ao  komi 
ZLÄi.  '»r:  d-rr  ALiihxr  H      V  -"-  JAE^  e-OTia^n  Abweichaiu!« 


1 1 


*i 


«I 


i'i 
I 


♦  »'»1 

•        *    TT 

.l:;.7 
-IM 

.  1  •  •'. » 


I   I 


.«•41 


1 U  II 

B'-nierkeii-iwenh  »-r-chHint  aWr.    •iaac*  ^^ll^^t  hier  \kx  Wer 
von  A'  für  JL      M  einz»flntr  Wert  he  zwischen  -i*      1  und  i 
fiirht  .•^>  liede'it^fii'l  '"'»er>teiirt.  «Ijlvs  sich  die  Grus?e  des  exti 
\\(i\\rx.^Ti  \\  »-rth»f^  für  r     0  iii«:ht  "ofwrt  i[i  den  Abweiehunö 
/wjVrh'fn  IVr'jl^achtiinir  und  Tht/oriv  vermthvn  niusstt^. 


262      Sitzung  der  math.-phys.  Classc  vom  7,  November  18ÜI. 

Die  Differenzen  31— L  sind  hier  so  angesetzt,  wie  sie 
iricli  aus  einer  graphischen  Darstellung  der  in  der  ursprüng- 
lichen Tabelle  enthaltenen  Differenzen  ergaben  und  mögen 
vielleicht  in  der  letzten  Stelle  nicht  ganz  sicher  sein.  Was 
nun  die  Grössen  X  betrifft,  so  zeigen  dieselben  in  der  That 
die  Eigenschaft,  dass  sie  für  x  0  bis  1  wesentlich  positiv 
sind  und  zwischen  x  1  bis  a;-  10  negativ  bleiben  und 
zwar  zu  nicht  sehr  bedeutender  Höhe  anwachsen.  Aber 
schon  die  letzteren  Differenzen  dürften  sich  kaum  mit  den 
Beobachtungen  vereinigen  lassen,  wie  die  Vergleichung  mit 
den  Zahlen  31  — L  beweist.  Für  grosse  Zenithdistanzen 
{ni>  10)  ist  vollends  die  Abweichung  so  enorm,  dass  man 
sagen  muss,  das  Langley'sche  Beispiel  entspricht  auch  nicht 
entfernt  den  durch  die  Beobachtungen  angezeigten  Ver- 
hältnissen. Man  wird  schon  hieraus  vermuthen,  dass  es  auch 
zwischen  x  0  und  x  1  sich  nicht  bestätigen  wird.  Es 
kann  dies  natürlich  nur  durch  Beobachtungen  auf  hohen 
Bergen  untersucht  werden  und  in  der  That  sprechen  die  von 
Herrn  Müller  auf  dem  Säntis  angestellten  Beobachtungen 
keiuoswogs  dafür,  diiss  die  Kin Wendungen  des  Herrn  Lan|zley 
ein<»  solche  practische  Bedeutung  haben,  wie  derselbe  meinte. 

Mau  wird  nach  alledem  behaupten  dürfen,  dass  tur 
die  Photometrie,  welche  die  Stärke  des  Lichtes  nach  seini^n 
physiologischen  Wirkungen  misst,  die  Kinwände  des  Herrn 
Langley,  trotz  ihrer  ]U'iuzipiellen  Itichtigkeit  und  Wiehtijr- 
keit,  von  keiner  grossen  BedtMitung  >ind.  Andeutungen  der 
erwähnten  ^Einwirkungen  zeigi'U  sich,  wie  in  dem  Früheren 
auseinandergesetzt  worden,  in  unzweifelhafter  Weise.  0:1»* 
die-elben  aber  nur  in  stdir  verkleinertem  Maassstabe  eintreten 
können,  wird  nach  den  obigen  Bemerkungen  erklärlich  er- 
scheinen. .]«'doch  wurde  hierbei  stets  von  der  selectiven 
A))sorpti()n  abgesehen.  I)i(»se  kann  in  den  (»bigen  Formeln 
dadurch  zum  Ausdruck  gebracht  werden,  dits.s  man  eine 
ilirer    »Stärke    entsprechend«?    Anzahl    von    Strahlen    mit  sehr 


-*>  I       SiCuuff  ihr  uhtth.-i^iifs.  C7tr^•^•c  wm  7,  Nocemhcr  löOJ, 

notlnvendipr,  A\e  Liehtvertlieilung  iunerhalb  der  Sjxjctra  der 
btH^liaohtvtvn  Sterne  zu  uutersuchen  und  in  Rechnung  xu 
y.iohon.  JodenfalU  orgitl»t  sich,  dass  das  Resultat  der  Ex- 
tinctionsboi»baclitnnfiren  in  verwickelter  Weise  von  rielen  Ura- 
>tiindi»u  abliiiniit.  I^a>s  die  Färbung  der  Sterne  von  Einflu;« 
auf  difses  Resultat  ist.  haben  ebenfalls  die  Beobachtungen  des 
llorrn  li.  Müller  deutlich  ironiacht. 


8. 

K.N  i>t  uv,o!:fail>  lir.e  iniere->ante  AufgaW,  zu  versuchen, 
i» »  ii:i'  l.a}^l.*i  OM^iie  Kxiinviio::>ihoone  auch  noch  auf  einen 
xvn  ti.  r  Kriie  >:»  sehr  verschiedeiien  Köq»er,  wie  die  Sonne, 
:i::\\er..;:v»r   i\e:;^:. 

iVv.k:  r.av.  sich  viie  >.^i:i:e  als  einen  glühenden  Korper. 
>.»  \\  r.i  .:: -.'Selbe  >ivh.  wrür.  anien*  die  für  solche  Körper 
::■/.:«::.:;:■.  :'::.  :o-.,.t:r:^/..-:::  «.ir;.ndireseize  Gehung  behalten, 
.i'.s  c^.isl.-r:::*»:  ht'.'.e  KrriSMrhrilv  dirsiellen.  Es  war  schon 
1 V  •/ ;: . .  V  r  •  -.  N  .k  :■.*..: ,  /.  .*><  v.rs  ü  : :  ii:  ier  Fall  ist,  viel  mehr  die 
:•;...  ^  N  -.: :  ^  .■ .  ^  1  : : . '. ;  ,:  r.  i :  :-.  .\ . '::  : •■ ;::  Ran  ie  me rkl  ich  ab- 
':[..:.',  <  .  ^:  l..»;- . .; .  -  •  ju:  iis  \  «: rhandenseiu  einer 
..  ■-  r  •.::*..*;.  S  •':•..:.•..  sy.Arr  4:•-^:i:'. 't^j^n.  Seine  den 
«.;::■. -:..■•.     -..:-':•  •.;:-.   ':!-.•.:  u  :,::;:::  iTrhe::  aber  von  einem 

>:'.-•    ...>    .    ::.:::^    .:\. •:::!'.    vi:-sr:j    -l^^rT   die   Helligkeit 

« - 

V  ^-     .-.•■.    -         K  -.      •  ,   ■     ^ 

•.i-.v  .  ::■:*:•  ....    T  V  ^  V.   .'  •:  T   ir  Hr.'/jVeit^veriheilunsj 

:'.     >■■••-.    -.    -    .  •  •     ■■    ■.■.r.'.T-:'::    Z-*::    v.;in    Herrn 

:*  ^     -; .    "      ■.  -,;-''     -'.    v.    -•--      .::  :    :w^r    mit    einem 

^    .'. :  '  ■•---   '•  .  ^ : .   '. '-:  sr..f  Mt-j^-ingen  auch 

. .  .  - .  V :  V.  - :      .  '. .  -    Vf  :'^-essermc   des 


.  >•  . 


:    -  :f":--    ■=    H-Tf^r. 


2GG      Sitzung  der  math.-2)hij8.  Classe  vom  7.  November.  1801. 


Ich  habe  nun  die  Beobachtungen  des  Herrn  Vogel 
zunächst  mit  dem  Werthe  f^Q  l  nach  Formel  (1)  redncirt 
und  die  besten  Werthe  von  v  im  Sinne  der  Methode  der 
kleinsten  Quadrate,  angewandt  auf  die  Helligkeitslogarithmen, 
für  jede  Farbe  abgeleitet.  Man  findet  alles  in  der  folgenden 
Tabelle  zusammengestellt.  Es  sind  unter  B  die  beobachteten 
und  unter  R  die  berechneten  /  (Numeri)  gegeben.  Ich  habe 
hierbei  nur  einen  Auszug  aus  den  VogeTschen  Tabellen 
benutzt  und  die  Ausgleichung  bezieht  sich  auf  die  Hellig- 
keiten für  Q  0.0,  0.1,  0.2  •.••  0.9.  Die  Werthe  für  q  -  0.95 
sind  nur  zur  Vergleichung  angesetzt,  denn  es  war  doch  von 
vornherein  nicht  zu  erwarten,  so  nahe  am  Rande  noch  mit 
der  Formel  (1)  auszureichen.  Die  Wellenlänge  der  Farbe, 
in  welcher  die  Messung  ausgeführt  worden,  ist  in  0.001  mm 
angesetzt. 


Violett 

Dunkelblau 

Blau 

ürüD 

Gelb 

Roth 

;. 

---  0.109 

;.  =  0.4 13  1 

;.  =  0.470 

>l  =  0.513 

;.  =  0..579 

l  =0.662 

B 

li 

B 

7il 

B 

7;  , 

B 

B  ; 

B 

R 

B        B 

0.0 

10.0 

lOÜ.O 

lOO.O 

lOU.Ü 

10"  ».0 

100.0 

100.0 

100.0. 

100.0 

100.0 

100.0  100.0 

o.l 

Ö9.i> 

90.7 

9?.7 

09.6 

90.7 

99.8 

99.7 

99.81 

99.8 

09.8 

09.9     99.9 

0.2 

08.5 

98.7 

98.7 

98.0 

98.8 

99.! 

98.7 

90.0 

99.2 

96.2 

99.5     99.5 

0.3 

96.3 

97.1 

96.8 

97.3 

97.2 

07.8 

06.9 

97.8  1 

98.2 

98.0 

98.9     9A.8 

o.i 

93.4 

94.6 

94.1 

05.0 

04.7 

96.0  ! 

94.3 

05.9  1 

96.7 

96.9 

98.0     97.7 

O.'i 

89.7 

91.0 

OO.-J 

91.7  '' 

91.3 

93.0' 

1 

90.7 

93.1  1 

94.5 

93.8 

96.7     96.1 

«'.6 

82.4 

85.8 

84.5» 

87.0 

87.0 

89.3  ' 

86.2 

80.1 

00.9 

90.2 

94.8     917 

0.7 

74.4 

78.3 

77.8 

80.0 

80.9 

83.4 

80.0 

83.1  1 

84.5 

84.7 

91.0     90.3 

CS 

C3.7 

C6.5 

67.0 

68.0 

71.7 

73.9  1 

70.9 

78.5 

74.6 

75.9 

84  3     $4.1 

0.9 

47.7 

4.'..4 

5»  ».2 

49.« 

57.6 

55.7 

50.6 

55.1 

59.0 

68,6 

71.0     71J 

[0.'.».'> 

34.7 

l.»6.8J 

[3:>.o 

20.3] 

[4.').6 

36.0] 

[44.0 

86.2] 

[46.0 

40.8] 

[5S.0      56.5] 

V  O.-'C 

)0O 

0.2 

419 

0.1 

P69 

0.2004 

0.1795 

0.1127 

log 

r  9.4: 

•40 

y.3s:n 

0.204 1 

9..3018        , 

9.2543 

0.0J17 

.\u.s  dfii  \Vi»rth(»n  v  ergei)en  .<ich  für  den  Transmissiou>- 
co(;t'ti(:ienieii  di*r  Sonncnatnio.'^phäre  (Iiiten.sität  für  z  ** 
dividirt  durch  die  iinj^r'.-^cliwiichte  Inten.^itiU) 

Kotli     .     .     .     0.77  Blau     .     .     .     OXA 

(irlh     .     .     .     n.rHi  Dunkelblau     .     i)M 

(Jrüii    .     .     .     n.ii.S  Violett       .     .     0.54 


\ 


268       Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  7.  November  1891, 


Violett 

i 

Dunkelblau 

Hlau 

Grün 

—  0.947 

-    =0.947 

—  =  0.92 

—  r-  0.92 

/'o 

/*o 

/*o 

f*a 

9        B 

R 

B 

R 

B 

R 

B 

R 

0.4      93.4 

93.1 

91.1 

91.1 

94.7 

94.8 

91.3 

94.7 

0.5      88.7 

88.7 

90.2 

90.3 

91.3 

91.5 

90.7 

91.8 

0.6      82.4 

82.8 

84.9 

85.0 

87.0 

87.0 

86.2 

86.5 

0.7       74.4 

74.8 

77.8 

77.7 

80.8 

80.6 

600 

80.0 

0.8      63.7 

63.7 

67.0 

67.0 

71.7 

71.5 

70.9 

70.9 

0.9       47.7 

47.7 

50.2 

50.2 

57.6 

57.7 

56.6 

56.0 

0.95   [34.7 

36.8] 

[35.0 

37.8] 

[15.6 

47.6] 

[44.0 

46.11 

V  40.4101 

0.3268 

0.3048 

0.8165 

log  V  9.6134 

9.5112 

9.4840 

9.4990 

'^^  -  0.39 
i 

0.47 

0.50 

0.48 

Wie  man  sieht,  ist  schon  jetzt  die  Darstellung  eine  so 
vollkommene  geworden,  dass  es  völlig  illusorisch  wäre,  etwa 
durch  Veränderung  von  (Hq  einen  noch  besseren  Anachluss 
zu  erzielen.  Eine  Behandlung  nach  der  ]\fethode  der  kleinsten 
(Quadrate  scheint  mir  vorderhand  nicht  am  Platz,  da  es 
sich  durchaus  nur  um  Abweichungen  handelt,  die  von  den 
Beobiichtun^en  kaum  verbürgt  werden  können.  Man  wird 
aber  auch  nicht  den  Zahlenwerthen  (Hq  allzu  grosses  Gewicht 
beilegen  dürfen  und  als  gesicherte  Folgerung  darf  nur  gelten 
gela-ssen  werden,  dass  man  mit  solchen  Werthen  von  /i^, 
welche  um  einige  Hundertstel  grösser  als  1  sind,  die 
vorhandenen  Beobachtungen  in  den  obigen  vier  Farl>en  gut 
darstellen  kann,  während  dies  bei  Roth  und  Gelb  schon  mit 
Werthen  von  //q,  welche  sich  nicht  merklieh  von  1  unter- 
scheiden, gelungen  i.st.  Im  nun  einzusehen,  auf  welche  Ver- 
hältni.sse  in  der  Soniienatmo.sphäre  die  angestellten  Rech- 
nungen hindeuten,  nni.<s  zuerst  hervorgehoben  werden,  dass 
die  Formel  (1)  .schon  l)ei  der  Berechnung  der  p]xtinction 
in  der  Erdatmosphäre  nicht  ausreichend  ist.  Denn  es  genügt 
nirht,  in  dem   Ausdruck 


Stelifjcr:  Krlutction  (Ich  Lichtes  in  der  Atmosphäre.  -<»i' 

vro  Zq  die  scheinbare  Zeiiitliilistanz  ist,  a  als  constant  vomiis- 
zu^etzen,  wohl  aber  wird  es  bei  den  in  diesem  Artikel  vor- 
koniuienden  Zenithdistanzen  genügen,  zu  setzen: 

worans  die  Extinctionsforniel  hervorgeht 


log 


J  (1      cos^o       ;'     sin  >.Q 


-■'{- 


'i  i^ 


(3) 


Die  e^  sind  bei  den  Torliegenden  SonnenbeobaclitungtMi  nicht 
bekannt.  Die  Rechnungen  zeigten,  da^s  man  mit  den  beiden 
Formeln  (2)  und  (1)  auskommt;  die  gefundenen  Uq  sind  nun 
aljer  keineswegs  die  Brechungsquotienten  an  der  Sonnen- 
oberfläche, vielmehr  sagen  sie  nur  aus,  dass  die  Brechungen  in 
der  Sonnenatmosphäre  nicht  mehr  nach  (1),  sondern  nach  der 
allgemeineren  Formel  (3)  berechnet  werden  müssen.  Um  dies 
einzusehen  braucht  man  nur  die  gefundenen  von  l  wenig 
verschiedenen  Werthe 

zu  setzen  und  die  zweiten  und  höheren  Potenzen   von  A  zu 
vernachlässigen.     Setzt  man  dann 

sin  e  --  sin  z^-    X  sin  Zq 
in  die  Fonnel  (1)  ein,  so  ergiebt  sich  sofort 


loff-^--   —  V 

0 


"/« 


1  —  cos  Zq      .  sin'^  r^l 


COS  Zq  cos  r^J 

also  genau  die  Formel  (3),  wenn  nur 


a 
gemacht  wird. 

Hiernach  sagen  an  sich  auch  die  absoluten  Werthe  von  (Hq 
nichts  aber  die  Brechungsquotienten  an  der  Sonnenoberflilche 
aus3,  sie  konnten  nach  Umständen  auch  kleiner  als  1  werden, 
ohne  zu  physikalischen  Widersprüchen  zu  führen.  Dagegen 
al^er  spricht  der  Umstand,  dass  die  Worthe  von  u^  so  verschieden 


270       Sitzung  der  viathrphi/H.  Clanse  vom  7,  November  1801. 

von  einander  sind,  so  entschieden,  als  es  der  Genauigkeit  der 
Beobachtung  entspricht,  dafür,  das«  eine  ziemlich  bedeutende 
Dispersion  in  der  Sonnenatinosphäre  stattfindet.  Dieser  Schluss 
ist  freilich  wesentlich  darauf  gegründet,  dass  die  Beobacht- 
ungen im  Roth  und  Gelb  einerseits  und  in  den  übrigen 
Spectralfarben  andrerseits  nicht  durch  nahe  dieselben  Werthe 
von  ^  darstellbar  sind  und  man  wird  natürlich  diese  Folgerung, 
da  sie  sich  nur  auf  die  Beobachtungen  eines  Beobachters  und 
eines  Instrumentes  stützt,  nur  mit  grosser  Reserve  au&sprechen 
können. 

Wenn  nun  die  Sonnenatmosphäre  wirklich  so  bedeutende 
Dispersionen  zeigt,  wie  die  oben  angeführten  Zahlen  an- 
deuten, so  muss  zunächst  der  Widerspruch  beseitigt  werden, 
der  darin  liegt,  dass  die  in  verschiedenen  Farben  gemessenen 
Sonnendurchmesser  nicht  jene  enorme  Diiferenzen  aufweiaen, 
wie  hieraus  zu  folgen  scheint.  Nach  der  früheren  Notiz 
ist  die  Vergrösserung  des  scheinbaren  Durchmessers  der  Sonne 
o  proportional  mit  (//^  —  1)  und  zufolge  der  obigen  Werthe 
wäre  diese  Vergrösserung  so  gross,  dass  sie  auch  ganz  rohen 
Messungen  nicht  hätte  verborgen  bleiben  können,  auch  solchen 
nicht,  die  mit  keineswegs  monochromatischen  Ulendgläsern 
ausgeführt  worden  sind.  Man  darf,  obwohl  diese  Verhältnisse, 
deren  Untersuchung  genug  des  Interessanten  darl)ietet,  nicht  aus- 
reichende Beobachtung  gefunden  haben,  doch  mit  ziemlicher 
Sicherheit  beliaupten,  dass  die  Verschiedenheit  der  in  ver- 
schiedenen Farben  gemessenen  Durchmesser  nicht  grösser  als 
vielleicht  (»'2  l)eträgt,  wenigstens  sind  die  von  Herrn  Auwers*) 
neuerdings  ausgeführten  Messungen  kaum  mit  grösseren  Ab- 
weichmigen  zu  vereinigen.  Ks  ist  aber  leicht  einzusehen, 
wie  man  beide  Tliat<achen  in  Uebereinstimmang  bringen  kann. 

Nach  den  g<*fundenen  Wertlien  für  v  ist,  wie  schon 
hemerkt.  di(»  Al>sorption,  welche  die  Sonneiuitniosphäre  ausübt. 

1)  Astron.  Nachr.   Nu.  20:55. 


272        Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  7,  November  mOl, 
und  für  zwei  verschiedene  Farben 

Es  wird  demnach  a^  —  a^  und  demzufolge  auch  die 
Differenz  der  Brechungquotienten  för  zwei  verschiedene 
Farben  nur  dann  nicht  von  derselben  Grössenordnung  wie 
Xq  —  ^1  werden,  wenn  ß  sehr  klein  ist  und  dies  ist  nach  der 
ersten  Gleichung  für  k  nicht  möglich,  weil  l  klein,  nämlicb 
einige  Hundertstel  ist. 

Wenn  sich  auch  der  Gegenstand  nicht  weit  genug  ver- 
folgen lässt,  so  scheinen  sich  doch  interessante  Ausblicke  za 
eröffnen  und  es  wäre  sehr  wünschenswerth,  wenn  solche 
Beobachtungsreihen,  wie  sie  Herr  Vogel  geliefert  hat,  wiede^ 
holt  und  mit  der  grössten  erreichbaren  Genauigkeit  ausgeföhrt 
werden  möchten. 


273 


Oeffentliche  Sitzung 

u  Ehren    Seiner    Majestät   des    Königs    und    Seiner 
Königlichen  Hoheit  des  Prinz-Regenten 

am  15.  November  1891. 


Wahlen. 

Von  der  mathematisch-physikalischen  Classe  wurden  ge- 
ihlt  und  von  Seiner  Königlichen  Hoheit  dem  Prinz- llegenteii 
ätati^t: 

zum  ordentlichen  Mitglieder 

^rr  Dr.  Ludwig  Boltzmann,  k.  k.  österr.  Hofrath  und 
Professor  der  theoretischen  Physik  an  der  Universität 
zu  Mönchen; 

zum  auswärtigen  Mitglieder 

!«  bisherige  correspondirende  Mitglied  Herr  Dr.  Krnst 
Ha  ecket,  Professor  der  Zoologie  und  vergleichenden 
Anatomie  an  der  Universität  zu  Jena; 

zu  correspondirenden  Mitgliedern: 

fr  Dr*  Eduard  van  Beneden,  Professor  der  Zoologie» 
und  vergleichenden  Anatomie  an  der  Universität  zu 
Lottich ; 

fr  Dr.  Giovanni  Capellini,  Professor  der  Geolo«?!«'  und 
Paläontologie  an  der  Universität  zu  Bnlocrna. 


19 


o* 


274 


Sitznng  vom  5.  Dezember  1891. 

1 .  Herr  L.  ▼.  Seidel  überreicht  eine  Abhandlung  des  cor- 
respondioenden  Mitgliedes,  Leo  Kon igsb erger  in  Heidelberg: 
,, über  die Irreductibilität  der  algebraischen  partielleo 
Differential  gleich  an  gssysteine.* 

2.  Herr  W.  ▼.  GOmbel  legt  seine  Publikation:  «Vierte 
Abhandlung  der  geognostischen  Beschreibung  tob 
Bayern  (Fränkischer  Jura)  in  fünf  Kartenblättero 
und  einem  Textband  mit  einer  üebersichtskarte*  mit 
einigen  erläuternden  Bemerkungen  vor. 

3.  Derselbe  Qbergiebt  sodann  eine  von  dem  auswurtigeo 
Mitj^liede,  Professor  Dr.  F.  v.  Sand  berger  in  WürzburfT 
eingeschickte  Abhandlung:  „Ober  die  Erzgänge  der  («e- 
gend  von  Freudenstadt  und  Bulach  im  Wurttem- 
bergischen  Schwarzwalde.* 


275 


üeber  die  Irrednctibilität  der  algebraischen 
partiellen  Differentialgleichnngssysteme. 

Von  Leo  Königsberger  in  Heidelberg. 

[BimgtlanftH  7.  Nov^mbtr.) 

Ich  erlaube  mir  im  Folgenden  einige  Sätze  bezüglich  der 
Irreductibilitat  partieller  Differentialgleichungssysteme  mitzu- 
theilen,  deren  ausführliche  Darlegung  nächstens  im  ,  Journal 
f&r  Mathematik**   erscheinen  wird. 

Eine  algebraische  partielle  Differentialgleich- 
ung erster  Ordnung,  die  sich  bekanntlich  stets  auf  die 
Form  bringen  lässt 

3g(^r.,xr„-.^,.,H,—  ,  -■—,<,;   ^^ 

(i)      '     '      3^  ä^ 

worin    G   und   G^    ganze   Functionen    der   eingeschlossenen 
Grössen  und  ^j  eine  Lösung  der  mit  Ädjungirung  der  Grössen 

du  3u 

algebraisch  irreductibeln  Gleichung 

(2)       ö(,.,,„....A«,|^,...-|^,<)  =  0 


276      Sitzung  der  mathrphys,  Glosse  vom  5.  Dezember  1891. 

ist,  soll  irreductibel  genannt  werden,  wenn  kein  ^« 
ihrer  Integrale  das  Element  eines  IntegralsysteiK^s 
irgend  eines  Systems  algebraischer  partieller  Di  'f' 
ferentialgleiehungen  mit  beliebig  vielen  abhängigem  ^ 
und  nur  /i  —  1  der  unabhängigen  Variabein  -?, ,  jer, •  •  ^.^ 
bildet,  oder,  was  dasselbe  ist,  wenn  keines  ihr^ ' 
Integrale  eine  algebraische  partielle  Differential^ 
gleichung  beliebiger  Ordnung  mit  nur  ju — 1  der  un-' 
abhängigen  Variabein  befriedigt. 

Eine  algebraische  partielle  Differentialgleich-' 
ung  erster  Ordnung  mit  zwei  unabhängigen  Varii — 
beln  ist  also  irreductibel,  wenn  sie  mit  keiner  ge — 
wohnlichen  algebraischen  Differentialgleichnn^ 
irgend  welcher  Ordnung  ein  Integral  gemein  hat. 

Man  zeigt  dann  leicht, 

dass  eine  irreductible  partielle  Differential — 
gleichung  erster  Ordnung  mit  einer  anderei* 
partiellen  Differentialgleichung  erster  Ord — * 
nung,  aber  niederen  Grades^)  nie  ein  IntejjraX 
gemein  haben  kann,  dass  aber,  wenn  dieselbe?* 
mit  einem  partiellen  Differentialgleichuup?' — 
System  höherer  Klasse*)  oder  derselben  (ersten^ 
Klasse,  aber  höheren  oder  desselben  Grade>  ein»- 
Integral  gemein  hat,  dann  auch  sämmtli«*!!«-^^ 
Integrale  der  partiellen  DifferentialgleichiiHr^ 
erster  Ordnung  Kiemente  von  Integralsysteinec» 
des  partiellen  Differentialgleichungssystem  j-^ 
bilden   werden, 

und  daraus  wieder  unmittelbar, 

1)  Der  (.irad  der  partiellen  Differentiiilj^leiehunj»  wird  durch  J«"** 
(irad  d«'r  (Jleichun>(  (2)  in  Beziij;  auf  t  definirt. 

2)  I>ie  KliiHs«»  «'in«'s  partiellen  Diften'ntialjfleiohunß^^Hy'^tenis  ^'^^ 
«liinh  die  Anzahl  der  ahhängi-^'en   Variabein  bestimmt. 


i^Aerger:  Irreductibüitätpart.Differentialgleichungssy steine.    277 


dass,  wenn  eine  irreductible  partielle  Dif- 
ferentialgleichung erster  Ordnung  mit  einer 
algebraischen  partiellen  Differentialgleichung 
höherer  Ordnung  ein  Integral  gemein  hat,  sie 
alle  Integrale  mit  derselben  gemein  haben,  also 
selbst  ein  algebraisches  Integral  der  letzteren 
sein  muss. 
Die  angefahrten  Sätze  führen  nun  mit   einigen  Modifi- 

onen  auf  die  allgemeine  Irreductibilitätsdefinition  und  die 
dieser    entspringenden     Sätze    fQr     beliebige     partielle 

Ferentialgleichungssysteme. 

Sei  das  partielle  DiiFerentialgleichungssjstem  m^^  Klasse 
den  fit   abhängigen  Variabein   u^^u^^  —  tim  und  den  f.i 

.bhängigen  Variabein  ^,,^2^*"   ^f*  vorgelegt 


3) 


dt,  a«, 

dt'  de.  * 


a<?  9m„ 


^t^     dz. 


'-  =  G 


m. 


^H  G^^O^^'-CTm  ganze  Functionen  der  Grössen 


du, 


•-Pp^ji  ••'«'/*»  w, r  w,,  ••  w«, 


du 


m 


du 


dz^'       dZfi 


'  -    ( 


*     t^  eine  Losung   der  mit  Adjungirung  der   Grössen   (a) 
^feraiöch  irreductiblen  Gleichung 

^J  du^       du^       du^      du„,      \ 

^0  soll  dasselbe  ein  irredactibles  genannt  wer- 
^,  wenn  kein  System  von  1,  2,  3,  •  •  oder  tw  -  1  In- 
rralelementen  ?c,,  m,,  -  ••  tim-i  wiederum  1,2,3,  — 
^r   m  —  1    Elemente    eines    Integralsystems    eines 


278       Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5.  Deiember  1891 

partiellen  Differentialgleicfaungssystems  beli 
Klasse  and  beliebigen  Grades  bildet,  in  welch« 
den  nach  z^  genommenen  partiellen  Diffen 
qaotienten  nur 

du^   .    3tt,  aa,  du^'  au,     a«. 

-:r— ^ öderer— ^,  :;^-^f  oder —  ,  oder  -:r— ^,  -:r-^i"— :r 
dz^  dz^  ^z/  ajer/  ajer/        di 

enthalten  sind,  oder  welches  die  Form  hat 

3  h, 


a  -    =  Vk 


M 


i^'^) 


a ?<i    a t(j     a Vj     ar^^     au,      ^vi-^-t 
a^/  a^' "  ä"^/ "  a  ^~' '  ä ^' "  Ti,/ 

du^    awj      ar,      ^H:f     ^Wj      arjt+^ 
ar/  a^,'  *"  dz^ '    "ä^£^f  '    9f"      ^/i 

worin  t  eine  der  Zahlen   1,2,  ••  m — 1   bedeute 
und    i/^j,    •  ^fk-\-f   alge))r{iische   Functionen   der 
scblossenen  Grossen  sind. 

Mit   Hülfe  dieser  Definition    lässt   sich    nun   der 
nientalsatz   der  Irreductibilität   iblgendermassen  aus3| 

Wenn  ein  Integralsystem  des  irredoc 
Differentialt?leichun^ssystenis  (3)  einen  Th 
Elemente  oder  alle  Kiemente    fines  Integrals 


Eömigiiterger:  Irredvetibüität  part.  Differentialgleichungssystenu.    279 


des  algebraischen  partiellen  Differentialgleichangs- 
sjstems  höherer  Klasse  oder  derselben  Klasse,  aber 
höheren  Grades 

BH  du, 


(6) 


3H  au,  ^ 


bildet,    worin    H^,  H^,  ••  Hx    ganze     Functionen     der 
Grossen 


li^--..4r,,^,,.    5^, «,,«,,    •!«,, 


du. 


_j     aw;     au, 


Zfi 


de^'     dZfA 


und  T|  eine  Lösung  der  mit  A.djuugirung  der  Grössen 
\ß)  algebraisch  irreductibeln  Gleichung 


(7)  U  (^p-?,,  •  •  ^^,u^, «/,,-•  M,, 


aw.     a/t,     du 


au,     ^wi    \ 


0 


"^.  so  werden  alle  Integralsysteme  von   (3)  das  Dif- 
'erentialgleichungssystem  (6)  befriedigen. 


CS 

X 

C 
9 


282       Sitzung  der  wmth.-pkyM.  Clas$t  vom  5.  Dezewtber  1891. 

Gruppe  grosstentheils   verdeckt   and  tritt  erst  am   Sfidrande 
des  C)den Waldes  bei  Heidelberg  wieder  an  die  Oberfläche. 

Bezuglich  der  Gliederung  des  Buntsandsteins  mi^  einst- 
weilen l>emerkt  werden,    dass  ich   keine  Veranlassung   habe, 

Ton  meiner  früheren  Auffassung  derselben  abzugehen.     Hier- 
nach folgen  Ton  unten  nach  oben 

1.  Heller,  oft  ganz  weisser  Sandstein  mit  zahl* 
reichen  Feld.spath-Bröckchen  und  Flecken  von  Mangan- 
oxyden  und  Brauneisenstein  (Tigersandstein),  zuweilen, 
namentlich  nach  oben  reich  an  Porphyr-,  aber  auch 
(juarz-Geröllen.  stellenweise  CTonglomerat-Bänke  bildend 
(Kossbuhl.  Bahnhof  Teinach). 

2.  Kothgefarbte  thonige,  oft  plattenf5rmige  Sand- 
steine nach  oben  von  gröberem  Korne,  reich  an  Kaolin- 
Bröckcben  und  gewohnlich  auch  an  infiltrirter  Quarz- 
substanz, zu  oberst  mit  einer  oder  mehreren  Conglomerat- 
ßünken,  in  welchen  Gerolle  von  weissem  Quarze  und 
verschieden  farl  »igen  hartenQuai  z.>andsteinen  vorherrschen . 
Kieselsaiid.>tein  (Sandb.).  Mittlerer  Buntsandstein  (tick). 
Ueberall  verbreitet. 

3.  Bläulicher  oder  violeter  Sandstein  mit  dolomi- 
tischen Putzen  und  Cameol-Jvihnnren,  nur  an  einzelnen 
Orten  gut  aufgeschlossen,  z.  B.  am  Kienberg  bei  Freuden- 
stadt, Kniebis  beim  Gasthaus  zum  Lamm  942,32  m, 
Elmen  bei  Baiersbronn  899,20  m.  Kossberg  800  m. 
Wildberg  bei  Calw,  Durlach  u.  s.  w. 

4.  Thouiger,  meist  dunkelrother  Sandstein,  nach 
oben  in  dünnplattige,  glimmerreiche  Lagen  übergehend 
(Lossbnrg,  Kodt,  Wittlensweiler,  Neu-Bulach  u.  a.  0.) 

5.  Kother  »Schieferthon  (Roth),  ebenfalls  nicht 
überall  gut  aufgeschlossen,  aber  oft  sehr  deutlich,  wie 
in  den  Eisenbahn-Einschnitten  bei  Freudenstadt,  Calw, 
Pforzheim  und   Durlach. 


-        T 


s 

r 

C 


284      Sitzung  der  math.-pJiys.  Glosse  vom  5.  Dezember  1891. 

Kückhicht  auf  die  chemische  Beschaffenheit  derselben  folgen 
zu  lassen.*) 

Der  Tigersandstein  ist  stets  licht  gefärbt  und  nament- 
lich in  der  tiefsten  Region  reich  an  Flecken  von  Mangan- 
und  Kisenoxyden,  welche  ich  schon  1861  als  Reste  mangan- 
haltiger  Braunspatlu*  erkannt  hatte.  *)  In  den  Bohrlöchern 
zu  Teinaoh ')  war  dieses  Bindemittel  noch  vollständig  erhalten 
vorgefunden  worden,  es  ist  das  Material,  aus  welchem  durch 
Einwirkung  der  in  den  Wassern  des  darüber  lagernden 
Sandsteins  reich  lieh  vorhandenen  Kieselsaure  die  Kohlensaure 
entwickelt  wird,  welche  den  Teinacher  Quellen  den  Charakter 
von  Säuerlingen  verleiht.  Aber  nicht  bloss  unter  Tag  lasst 
sich  das  nachweisen,  sontlern  wenigstens  ebenso  schön  auch 
in  dem  erst  seit  dem  Bau  der  württembergischeu  Sehwarz- 
Wiililhahn  freigelegten  grobkörnigen  Sandstein  am  Bahnhof 
Teinaoh,  342  m  ü.  M.,  also  ungefähr  in  demselben  Niveau, 
in  welchem  die  Wiesenquelle  in  Teinach  erbohrt  wurde. 
Hier  steht  ein  zwar  nicht  gefleckter,  aber  durch  sein  grobes 
Korn  und  seinen  Reichthuin  an  Feldspath-TrHuimem,  wie 
durch  sein  Niveau  noch  deutlich  als  zu  derselben  unteren 
Abt  hei  hing  des  Buntsandsteins,  wie  der  Tigersandstein»  ge- 
hörig erkennbarer  Sandstein  zu  Tage  an,  dessen  Bindemittel 
(20,:57  pn)e.)  durchweg  aus  lichtem  etwas  bittererdehaltigem 
Kalkspath**)  l>e>telit,  welcher  sich  in  Salzsaure  unter  starkem 
Brausen  autlöst.  Kekige  (lerölle  von  Quarz- Porphyr,  bis  0,04  m 
lang  und  0,03  m  breit,  herrschen  in  seinen  Conglomerat- Bänken 

1)  1^/üglirh  der  in  ileiii  ^>chirimiuruck8tande  der  sammtlichen 
Saudsteine  enthaltenen  Mineralien  mnj;  l»enierkt  werden,  das«  in 
ihnen  niikroskopi'*ther  Zirkon  un<l  Turmalin,  sowie  Magnetkies  nie- 
mals? telilen.   zuweilen   ist  aiuh  Kutil   in  geriu»;er  Menge  vorhanden. 

2)  (.Jeolog.  Beschreib,  der  iie^end  von  Baden  8.  19. 

3)  Uegelniann,  Quellwasi<er  \Vürtteail»er>»s  S.  30. 

4)  10,13  CaOCO^  4,10  MgOCO'^  und  0,3t  Ca  OSO». 


286      Sitzung  der  mathrphys.  Clause  tcm  5.  Dezember  1891. 

geschehen  ist.  Sie  schlieäsen  mit  Banken  von  grobem,  vor- 
wiegend aas  Gerollen  von  weissem  Qoarze  und  Yerschieden- 
farbigen  harten  Quarzsandsteineo  gebildetem  Conglomerat  nach 
oben  ab.  Nor  der  in  Berührung  mit  den  Erzgängen  im 
grossen  Steinbruche  an  der  Christophsaue  bei  Freudenstadt 
aufgeschl4)8sene  Theil  dieser  Gruppe  wird  spater  genauer  n 
schildern  sein. 

Ebensowenig  geben  die  Aufschlüsse  in  der  mittleren 
carneolfiihrenden  Schichten-Gruppe  hier  zu  weiterer  Be- 
sprechung Veranlassung.  Die  oberen  rothen  thonigen  Sand- 
steine, unten  regelmässig  in  Quader  und  oben  in  glimmerreiche 
Platten  abgesondert,  sind  ül)er  das  gAnze  Plateau  ver- 
breitet und  bilden  bei  Neu-Bulach  das  unmittelbare  Neben- 
gestein des  dortigen  Ganges;  soweit  bis  jetzt  bekannt,  enthalten 
sie  ausser  Eisen  und  wenig  Mangan  keine  Schwermetalle. 
Diese  Gesteine  zeigen  im  Gebiete  des  süd westdeutschen  Bunt- 
sandsteiu-Zuges  eine  ausserordentlich  grosse  Beständigkeit  in 
petrographischer  und  chemischer  Beziehung,  so  dass  es  mir 
nicht  möglich  sein  wurde,  Hand>tQcke  von  Lossbui^,  Neu- 
Bulach  und  Durlaeh  von  solchen  ;ius  dem  badischen  Oden- 
walde  oder  Franken  zu  unterscheiden.  Auch  die  Analvsen 
zeigen  höchstens  Schwankungen  im  Kieselsauregehalt«  d.  h. 
in  der  Men^e  des  Quarzsandes.  *)  Die  Leitpflanzen,  Ano- 
mopteris  Moii^eoti  und  E(|i]isetum  Mougeoti,  sind  ebenfalls  von 
Villingen  bis  Durlach  an  einzelnen  Orten,  namentlich  bei 
Nagold*)   beobachtet. 

Ebenso  verhält  es  sich  auch  mit  dem  rothen  Schiefer- 
thone,  dem  Höth.  dessen  petrographische  Beschaffenheit  und 
durch  sie  bedingte  Uinliirchlässigkeit  für  Wasser  ihm  in  dem 

1)  Ver^l.  (iie  Aniily«»en  de-«  oberen  BuntHandHteini»  von  Nfuen- 
bfirj?  vnn  Wolfl*  i  Württerab.  Jabresh.  XXIII.  S.  84  und  von  Elrlabrunn 
un«l  Tliün>f«r.-b<;im  bei  Würzbur;:  von  Hil>fer  (Mitth.  a.  d.  pfaarmac. 
In.ititutt-  und  Laboratorium  t.  ;in>^«'w.  Chemie  zu  Erlangen  I.  S.  140ff.i 

2)  begleitworte  zu  Blatt  Calw  S.  9. 


288      Sitsung  der  math.-phys.  Classe  vom  5.  DtMemher  1891. 

Seite  des  Xagoldthales  mächiger  entwickelt.  Kleine  abgerissene 
Ablagerungen  auf  der  linken,  wie  bei  Neu-Bnlach,  beweisen, 
dass  das  ganze  Plateau  von  Freudenstadt  an  nördlich  bis 
gegen  Pforzheim  von  ihnen  überdeckt  war,  aber  sehr  starke 
Abächwemmungen  erfahren  hat.  Der  Kupfergehalt  dieser 
Bänke  ist  schon  lange  bekannt^),  eine  genauere  chemische 
Tniersuchung  derselben  hat  niemals  stattgefunden,  wurde  aber 
für  die  vorliegende  Arbeit  nothwendig.  Das  Material  habe 
ich  bereits  im  Jahre  188(3  an  Ort  und  Stelle  gesammelt  und 
1891  zweckentsprechend  ergänzt.  Hierbei  ergab  sich,  dass 
nur  die  in  dem  oben  angegebenen  Profile  angeführten  ver- 
steinerungsleeren  unteren  Dolomit-Bänke  Kupfer,  Arsen, 
Antimon,  Wismuth,  Kobalt  und  Silber  enthalten,  wie  sich  bei 
Verwendung  von  20 — 22  grm.  auf  das  Deutlichste  heraus- 
stellt, und  es  ist  nun  an  der  Zeit,  diese  eingehender  zu  be- 
sprechen. 

Die  unterste  Dolomitbank  ist  fast  nur  in  Eiseni>ahn- 
Einscbnitten  im  un verwitterten  Zustande  zu  treffen,  sie  stellt 
dann  einen  schwarzgrauen,  fast  dichten  Dolomit  dar,  welcher 
seine  Färbung  einem  reichlichen  Gehalte  an  Bitumen  ver- 
dankt. Gewöhnlich  ist  er  aber  in  Folge  der  Verwitterung 
bereits  in  ein  gelbgraues,  äusserst  feinkörniges  Gestein  um- 
gewandelt, wie  z.  B.  in  den  Profilen  bei  Aach,  Wittlensweiler, 
Nagold,  an  der  Signalhöhe  zwischen  Neu-  und  Alt-Bulach 
u.  8.   w. 

Was  zunächst  die  chemische  Zusammensetzung*)  betrifil, 
so  liegen  ältere  Analysen  I— IV  von  Wellendolomit  vor, 
dessen  Niveau  nicht  bestimmt  wurde,  Analyse  V  bezieht  sich 
aber  auf  die  zweitunterste  Bank  von  Grünthal  bei  Freudenstadt. 

1)  V.  Alberti  Monographie  1834  S.  37,  39,  41. 

2)  Der  SchlilninirQckstand  des  Wellendolomitd  enthält  nur  sehr 
wenifi^  mikroBkopischen  Zirkon  und  Turmalin,  sowie  Maj^etkies  und 
seine  Bestandtheile  haben  daher  keinen  Einfluss  auf  das  Resultat  der 
Analysen. 


2->0       Sitzi$Hg  der  muh^-pk^^  Oagae  nmt  5.  DeztwAtr  1891. 

gewitterten  Varietäten  war  aber  kein  metaUglänzender  Körper 
mehr  zn  entde«!ken.  Termathlich  ist  das  Erz  hier  schon  in 
die  später  zn  besprechenden  gelben  erdigen  Massen  um- 
gewandelt. Der  geringe  SehwefeLsäaregehalt  des  Gesteins 
würde  ebenfalls  dafür  sprechen,  wie  spatere  Beobachtangieo 
über  die  Zersetzung^ Pn>i acte  des  Fahlerzes  darthan  werden. 
Der  Schlämm  rjck^tand  des  mit  Salzsäare  behandelten  Ge- 
steins bestand  überwiegead  aris  Qaarzsplittem.  AusblGhuDgai 
von  Salzen  schwerer  und  eiler  Metalle  wurden  an  der 
untersten  Bank  nicht  beobachtet,  sondern  ledigtich  sehr  dönne, 
dunkelschwarze  Ueberzüge  von  Wad  aaf  den  Kluftflachem 
auf  welchen  nicht  selten  Gruppen  von  Kaikspath-Rhomboeden 
«iiier  Solche  von  wasserhellen  Ara^onit -Nadeln  aufsitzen.  Za 
NeU'Bolach  sind  auf  Klüttchen  auch  Aggregate  kleiner  darch 
Bitumen  schwarzgefarbter  Quarzkrystalle  Torgekommen.  Das 
kohlensaure  Mau^an<jxvdul.  welches  zweifellos  dem  friächen 
Dolomit  als  is<»morpher  Bestandtheil  angehört,  in  den  Analysen 
der  verwitternden  Gesteine  aber  als  Oxydhjdrat  angegeben 
wird,  irt  daher  zuerst  als  Hyivroivd  abgeschieden  worden. 
wi}  üuf  d^ü  Kluftt-n  dt^s  «^iesteins  lufthaltige  Wasser  ein- 
^edruniren  waren  und  gleichzeitig  wurde  auch  ein  Theil  de* 
kohlensauren  Kalks  gelöst  und  als  reiner  Kalkspath,  bezw. 
Aragonit   wieder  abge.-etzt. 

Was  die  zweitunter^te  Bank  des  Wellendolomits  betriflft« 
so  i^^t  sit*  nicht  fein-.  »onJern  mittelkörnig,  im  frischen  Zu* 
Stande,  wie  z.  B.  in  <len  Eist-nbahn-Einschnitten,  dann  in  iex% 
Briichen    bei    Grünthal    und    Glatten    bei    Freudenstadt   tieC 
schwarzgrau  und  -o  hart,   dass  sie.   abgesehen  von  dem  Ge^' 
brauche  als   .schwarzer* ,    d.  h.  hydraulischer  Kalk  auch  »1^- 
Strassen materifil  benützt  werden  kann,  z.  B.  auf  der  Strasse* 
von  Freuden>tadt  nach  Dietersweiler.    Sehr  gewohnlich  enthält 
ftie  kleine  Bitter>path- Druden,  in  wtdchen  Grup}>ensehr  kleine^ 
Fahlerz-Kry ställchen    aufsitzen,    welche   diesen>eu    Elemeottf^ 
enthalten,  die  oben  aus  dem  untersten  Wellendolouiit  angeführt? 


292      Sitzung  der  math.-phys.  Glaste  vom  5.  Desewiber  1891. 

oberen  Margthale  ein  Fahlerz  and  Knpferwismnthglanz  fah- 
render Gang  auf.  Derselbe  wurde  urkundlich  1598,  1623, 
1787  und  zuletzt  als  Johann-Friedrichsgrube  1823—25  be- 
baut und  f&hrte,  nach  den  s.  Z.  von  dem  RevierbeamtoD 
Eisenlohr  zu  Freudenstadt  gesammelten  StQcken  zu  schlietten, 
Fahlerz  von  derselben  Zusammensetzung  wie  das  der  Freudeo- 
stadter  und  Bulacher  Gänge,  jedoch  mit  etwas  höherem 
Antimon-  und  geringerem  Kobaltgehalte.  Der  mit  Torge- 
kommene  Wismuthkupferglanz  wird  in  vielen  Schriften  irrig 
als  ,  Nadelerz  *"  bezeichnet,  er  enthält  aber  keine  Spur  Blei, 
sondern  ausser  Kupfer  und  Wismuth  nur  sehr  wenig  An- 
timon. 

Innerhalb  des  ursprünglich  überall  Ton  Wellendolomit 
bedeckten  Buntsandstein-Gebietes  und  nur  in  diesem  treten 
nun  Schwerspath-Gänge  da  auf,  wo  sich  Verwerfungs-Spalten 
gebildet  haben.  Sie  zeigen  sich,  wo  ersterer  nicht  abge- 
schwemmt worden  ist,  noch  in  dem  Wellendolomit  seihet, 
wie  bei  Wittlensweiler,  Aach  und  Glatten,  gewöhnlich  aber 
in  dem  durch  Erosion  des  letzteren  und  des  Roths  entblOasten 
Buntsandstein.  Wie  tief  sie  hinabreichen,  ist  nicht  sicher 
zu  ermitteln. 

Da  die  Verhältnisse  nicht  überall  die  gleichen  sind,  so 
erscheint  es  nützlich,  die  Gang-Gruppen  um  Freudenstadt 
und  Neu-Bulach  zunächst  getrennt  zu  behandeln,  obwohl 
ihre  Ausfüllung  nicht  verschieden  ist. 

I.  Die  Erzgänge  der  Gegend  von  Freudenstadt. 

Zu  dieser  Gruppe  gehören  die  in  unmittelbarer  Nähe 
von  Freudenstadt  in  Friedrichsthal,  an  der  Christophsaue  und 
bei  Wittlensweiler,  Aach,  Hallwangen  und  Glatten  auf- 
tretenden Gänge,  welche  seiner  Zeit  von  dem  verstorbenen 
II (Uten Verwalter  Eisenlohr  aufgenommen  wurden  und  auch  auf 
dem    Blatte    Freudenstadt    der    geognostischen    Specialkarte 


294       Sitzung  der  matk-pk^9.  CltuM  com  5.  Deiember  189L 

6.  Plattenformiger   roth    und   weiss  gestreifter 
Sandstein 0,2  m 

7.  Harter  gelber  Sandstein  ohne  GeröUe    .     .     3,5  , 

8.  Kaolinföhrender  Sandstein^)  mit  GeroUen,  za 
oberst  förmliche  Cooglomerat-Bank   ...     4,0  , 

9.  PIattenf5rmiger  Sandstein,  oben  mit  Wellen- 

forchen 1,7  , 

25,7  m 

Etwas  über  der  Mitte  des  Bruchs  nach  Süden  za  tritt 
die  erste  schmale  Grangkluft  mit  70^  Einfallen  nach  SSW 
auf,  dann  folgt  eine  zweite  breitere  mit  gleichem  Ein&Uen, 
die  dritte  unter  gleichem  Winkel,  aber  nach  N  fidlende,  ist 
schon  l  m  breit,  aber  erst  von  der  rierten,  gleich&lls  l  m 
breiten,  mit  Scbwer^path  und  Erzen  (Fahlerz  und  wraig 
Kupferkies,  sehr  selten  auch  Kupferwismuthglanz  (Emplektit)) 
ausgefüllten  an  senken  sich  die  Schichten  stark  nach  Süden 
und  liegt  z.  B.  die  obere  Gonglomerat-Bank  nur  wenig  über 
der  oberen  Sohle  des  Steinbruchs.  Der  fünfte  Gang  Ton  gleicher 
Mächtigkeit  und  gleicher  Ausfüllung  ist  jetzt  leider  durck 
das  in  den  Bruch  hineingebaute  Hotel  Waldeck  fast  ganz 
verdeckt. 

Was  die  Struktur  der  Gänge  betrifit,  so  sind  Salbänder 
niemals  und  Absonderung  in  Lagen  nur  selten  erkennbar. 
Drusen  >ind  nicht  häufig  mit  Schwerspath  oder  Eisenspath* 
Krystallen,  vielmehr  gewöhnlich  mit  Quarz  ausgekleidet,  auf 
welchen  dann  Leberzü^e  von  Brauneisenstein  und  Kupfer- 
manganerz folgen.  Die  Klüfte  in  der  Nähe  von  reichlicher 
eingewachsenem  Fahlerz  erscheinen  gewöhnlich  mit  Zer- 
sotzungsproducten  desselben,  namentlich  Mixit,  seltener  auch 
Würfelerz  und  Olivenit  bedeckt.    Das  Nebengestein  zwischen 

den  (iängen  ist  stets  vollkommen  verkieselt  und  zwar  durch 

1 1  EDthftlt  ein  weni^  kohlensauren  Baryt,  wie  auch  andere  Bont-- 
^andHteine.     Unter«.  ul»er  Erzgänge  II.  S.  356  f. 


296      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5.  Dezembtr  1891, 

I.  1.  Verkieselter  Sandstein.    2.  Fahlerz  (-J- "H"* '^  O), 

z.  Th.  von  grossblätterigem  Sehwerspath  I.  umhQllt. 

II.  1.  Wie  bei  I.  2.  derbes  Fahlerz,  hier  und  da  mit 
Kupferkies  verwachsen. 

III.  1.  Wiebeilii.  II.  2.  Sehwerspath  mit  eingewachsenem 
Fahlerz.  3.  Kisenspath  in  Rhomboedern,  stellenweise  schon 
stark  verwittert  und  in  dichten  Brauneisenstein  umgewandelt. 

IV.  1.  Sehwerspath,  zahlreiche  Putzen  von  Fahlerz  in 
verschiedeneu  Zersetzungsstufen  und  von  erdigem  Rotheisen- 
stein  umsch liessend.  2.  Mixit  in  zahlreichen  strahligen  BOschelD. 

V.  1  Sehwerspath  mit  stark  zersetztem,  in  gelbliche 
pulverige    Massen    umgewandeltem    Fahlerz.      2.    Quarz   II 

(oc  R  •  +  !?).  B.Würfelerz  in  sehr  klein. Krystallen(®0<»--|-—-l. 

VI.  1.  Grobblätteriger  Sehwerspath,  oben  mit  Krystallen 
bedeckt,  welche  mit  Quarzkryställchen  überzogen  und  z.  Th. 
schon  Pseudomorpliosen  sind.  In  Drusen:  2.  kugeliger  Erinit 
und  3.  krystallisirter  Olivenit. 

VII.  1.     Brauneisenstein.      2.    in     Drusen:     Wörfelerz 

(a  Ox         \.    3.  Schaliges  Kupfermanganerz  (Rödter  W^). 

VIII.  1.  Sehwerspath  mit  2.  Brauneisenstein-Schnflren, 
welche  meist  in  Hydrohiimatit  umgewandelt  .sind  (Chri- 
sto]>h^?thal). 

IX.  1.  Verkieselter  Sandstein.  2.  Quarz  II  (ooB--+-J8). 
3.  Schalii^^er  Brauneisenstein.    4.  Schaliges  Kupfermanganerz. 

X.  1.  Wie  bei  IX.  2.  Quarz  II  {ooR+R).  3."  Scha- 
liger Braunei>eii>tein.  4.  Kupfermangan(»r/  in  kleintraubigen 
(irup])en.     T).   Sehwerspath  II,   weisse  Tafeln. 

XI.  1.  Sehwerspath  I.  2.  Kupfermanganerz.  3.  Klein- 
traubiger  Chalcedon   (Friedrichstbal). 

Der  Berj^bau  i)ei  Freudenstadt  ist  sehr  alt  und  würde 
Wühl   tue  an  zahllosi-n  Stellen  unternommenen  Versuche  reich- 


298       Sitzung  der  math.-phys,  Classe  vom  5.  Desemher  1891, 

auftretende  Gang,  welcher  in  quarzreichem  Schwerspath  und 
Quarz  eingesprengtes  Fahlerz  führt,  ist  8chon  an  der  Mündung 
des  alten  oberen,  jetzt  anderweitig  benutzten  Stollens  der 
Grube  .Himmlisches  Heer"  noch  gut  erkennbar.  Er  setzt, 
in  zwei  Trümer  getheilt,  welche  sich  im  Inneren  des  Stollens 
zu  einem  1  m  mächtigen  Gangkörper  vereinigen,  in  ver- 
kieseltem  Buntsandstein  auf.  Hier  hat,  wie  die  bis  zum 
Bache  herabgehenden  mächtigen  Schachthalden  beweisen,  ein 
ziemlich  bedeutender  Bergbau  stattgefunden,  die  Erze  ent- 
hielten nach  einer  1723  ausgeführten  Probe  im  Centner  15 
Pfund  Kupfer  und  10  Loth  Silber.  Auch  diese  Grube  wurde 
wegen  zu  geringer  Ergiebigkeit*)  schon  im  vorigen  Jahr- 
hundert verlassen.  Auf  den  Halden  findet  man  noch  einzelne 
Gaugstückchen  mit  frischem  und  zersetztem  Fahlerz,  Mixit, 
Wad,  Malachit,  Brauneisenstein  und  Eupfermanganerz  von 
ganz  gleicher  Beschaffenheit  wie  zu  Ghristophsaue.  Der 
Wellendolomit  steht  in  ganz  geringer  Entfernung  von  dem 
Gange,  aber  nicht  unmittelbar  neben  ihm  an,  in  den  gleich- 
falls ganz  nahe  liegenden  Hauptmuschelkalk  setzt  die  Spalte 
nicht  herauf  und  auch  in  der  nahe  gelegenen  grossartigen 
Verwerfungsspalte  bei  Schopfloch  hat  sich  meines  Wissens 
weder  Schwerspath  noch  Erz  gezeigt,  sie  ist  offenbar  weit 
jünger  als  unsere  Gangspalten. 


II.  Die  Gänge  von  Neu-Bulach  unweit  Calw. 

Das  vortrefflich  ausgeführte  Blatt  Calw  der  geognostischen 
Specialkarte  von  Württemberg  bringt  die  Lage  derselben  im 
Buntsandstein  zwischen  zwei  ehemals  zweifellos  zusammen- 
hängenden Schollen  von  Wellendolomit  sehr  klar  zur  An- 
schauung, während  die  Schilderung  der  Mineral- Vorkommen 
im  Texte  viel  zu  wünschen  übrig  lässt.  Ich  habe  diese  schon 

1)  «Weil  68  in  der  Teufe  schlecht  aussähe.* 


300       Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5,  Deeemher  1891, 

III.  1.  Yerkieselter  plattenformiger  Sandstein,  reich  an 
Glimmerblättchen.  2.  Fahlerz.  3.  Quarz  11  (ooB+Ä). 
4.  Kupferlasur  in  strahligen  Gruppen.  4.  Schwerspath  II, 
wie  bei  II. 

IV.  1.  Wie  bei  IIL  2.  Weisser  blätteriger  Schwer- 
spath I,  stellenweise  zersetztes  Fahlerz  umhQllend.  3.  Qoars  11 
(oo/i«  +  ü).     4.  Kupferlasur  in  kleinen  Kugeln. 

V.  1.  Sandstein  wie  bei  III  und  IV.  2.  Fahlerz,  nach 
oben  zersetzt.  3.  Kupferlasur,  krystallisirt  wie  bei  IL,  nach 
oben  mit  Erhaltung  der  Form  in  Malachit  umgewandelt 

VI.  1.  Wie  bei  III- V.  2.  Quarz  II.  3.  Arseniosiderit 
in  kleintraubigen  Ueberzügen.  4.  Malachit,  feinstrahlig  in 
kleinkugeligen  Krusten. 

VII.  1.  Wie  oben.  2.  Qaarz  II.  3.  BrauneisensteiD. 
4.  Kupfermanganerz. 

Der  Bergbau  ist  uralt  und  wird  schon  1322  in  Urkunden 
erwähnt.  Er  wurde  meist  mit  geringer  Ausbeute  bi«  in 
das  dritte  Jahrzehnt  dieses  Jahrhunderts  betrieben.  Aach 
bestand  eine  Zeitlang  eine  Silberhütte,  welche  im  Teinach- 
Thale  an  dem  Platze  gelegen  war,  welchen  jetzt  die  Ge- 
bäude des  BadhoteLs  einnehmen.  Der  Hüttenprocess  war 
jt-denfalls  sehr  mangelhaft,  da  für  Erz-Proben  aus  dem  Jahre 
1590  nur  8  Pfund  Kupfer,  zugleich  aber  bis  4  Loth  Silber 
im  Centner  anj^egehen  werden,  während  die  Analyse  des  reinen 
Fiihler/es  in  100  Theilen  41,28  Kupfer  und  nur  Spuren  Ton 
Silber  ciufweist.  Das  Hesse  sich  nur  erklären,  wenn  einmal 
ausser  Fahlerz  local  ächte  Silbererze  eingebrochen  wären. 
Allerdings  schwankt  wohl  auch  sonst  der  Silbergebalt  von 
Fahlerzen  auf  demselben  Gan^e,  al)er  so  kupterarnie.  wie  sie 
die  Erzprobe  anzunehmen  veranlassen  würde,  sind  wohl 
kaum  bekannt. 

Von  den  ehemaligen  Grubenj^ebäuden  waren  zwei  Sti)llen 
die  bedeutendsten.  Der  erste,  Ziegel l)ach-Stollen  genannt, 
war     von     Seit/entlial     bis     zum     liimmelfahrtsschacht«    am 


^•ohWertjer:  Krzijmuje  im  icfirttemhergischen  Schicarzwald,    301 

^lädtchen  von  SO  nach  NW  lierangetrieben  und  500  Lachter 

lan^'.    Zusammengebrochene  Reste  desselben  sind  noch  jetzt 

üljer   Tag  deutlich  sichtbar.    Der  /.weite,  angeblich  ebenfalls 

50O  Lachter  lang,  erstreckte  sich  von  dem  erwähnten  Schachte 

»w     unter    dem  Städtchen   durch  gegen  Liebeisberg.     Kleine 

Tersiichsbaue   bei   Schmieh,    Martinsmoos   und  Sommenhardt 

wurclen  bald  aufgegel)en.     Im  Jahre  1883  wurden  die  zuletzt 

Doch    einmal    1820    vom    Staate    betriebenen    und    dann   ins 

Frei ^  gefallenen  Gruben  von  der  badischen  Anilin-  und  Soda- 

Fabyik   in   Ludwigshafen    gemuthet,    aber   nicht   in   Betrieb 

g'esefczt.    Die  mit  dönnen  Anflügen  von  Kupferlasur,  Malachit 

und    Kupfermanganerz  bedeckten  Gangstückchen,  welche  noch 

jets^     in  Menge  auf  den  Halden  liegen,  müssten  zunächst  aus 

tthr*    grossen  Massen  des  nietalUeeren  Nebengesteins  ausgesucht 

werden,  was  sehr   kostspielig  sein  würde.     Ob  sie  auch  bei 

sorgfältigster    Verarbeitung    mittelst    des   Cement- Verfahrens 

oder    i^lvanischer  Ausfällung  einen  Gewinn  abwerfen  würden, 

ist  Toir  sehr  zweifelhaft. 


III.  Die  Mineralien  der  Gänge. 

1.  Fahlerz  ( Wismuth-Fahlerz)^),  zweifellos  das  technisch 
wert^hvollste  und  auch  wissenschaftlich  interessanteste  Mi- 
nerc&l  der  Gänge,  kommt  meist  in  Körnern  bis  zu  Wallnuss- 
urosase  vor,  musa  aber  nach  Stücken  in  alten  Sammlungen 
TO  schliessen,  zuweilen  auch  in  kopfgrossen  Nestern  ein- 
gBoi^ochen  sein,  welche  meist  an  quarzige  Gangart  gebunden 

i.     Dasselbe   erscheint,    wenn  krystallisirt,   stets  in   iler 

0  202 

len  Form  —  -  »0.  selten  noch  mit     l^"  combinirt,  be- 

atzt    starken,    aber  etwas  zum    Fettglanz  geneigton    Metall- 

1)  Sandberger,  Jahrb.  f.  Mineral.    1864  S.  -22'^.    1866  S.  684  fl'. 
Th.  Petenen,  da».  1870  8.  404  f. 


302      Sitzung  der  mathrphys,  Clasae  vom  5.  Dezember  1891. 

glänz,  dunkel  stahlgraue  Farbe  und  graulichschwarzen  Strich. 
Das  specifische  Gewicht  betrug  bei  der  Varietät  von  Preuden- 
stadt  4,90,  bei  jener  von  Neu-Bulach  4,908.  Bin  höheres 
specifisches  Gewicht  zeigen  nur  noch  hoch  silber-  und  queck- 
silberhaltige Fahlerze.  Das  Löthrohryerhalten  ist  bei  beiden 
nahezu  das  gleiche.  Auf  Kohle  erhält  man  im  Oxydations- 
Feuer  Dämpfe  von  arseniger  und  antimoniger  Säure,  sowie 
einen  strohgelben  Beschlag  von  Wismuthoxyd,  welcher  sich 
mit  Jodkalium  fenerroth  färbt.  Setzt  man  Soda  zu  und  arbeitet 
mit  der  Reductions-Flamme,  so  kann  man  durch  Einschmelzen 
der  magnetischen  Schlacke,  welche  das  silberhaltige  Kupfer- 
korn umgibt,  in  eine  Boraxperle  das  Kobalt  leicht  nachweisen. 
Die  qualitative  Analyse  auf  nassem  Wege  führt  ausserdem 
zur  Entdeckung  kleiner  Mengen  von  Nickel,  Zink  und  Blei. 
Die  quantitativen  Analysen  ergaben: 

Freadenstadt  Neu-Balach 
(HUger.)  (R.  Smfter.) 

Schwefel       26,40  24,86 

Arsen 6,98  18,53 

Antimon       14,72  4,28 

Wiamuth 4,65  6,88 

Silber 1,37  Spur 

Kupfer 83,83  41,48 

Eisen 6,40  8,74 

Kobalt  (nebst  Spur  Nickel)  4,21  Spur 

Zink 0,00  3,82 

Blei 0,00  1,52 

98,46  99,60 

Bekanntlich  gehören  Analysen  von  Fahlerzen  zu  den 
schwierigsten,  es  darf  daher  nicht  verwundern,  dass  beide 
Analysen,  wie  so  viele  andere,  einen  etwas  geringeren 
Schwefelgehalt  ergeben,  als  die  ideale  Formel  der  Fahlerze 
4RS  'E^S^  verlangt.  Höchst  merkwürdig  ist,  dass  die  Erze 
von  Freudenstadt  und  Neu-Bulach  trotz  aller  sonstigen  üeber- 
einstimmuug  doch  auch  wesentliche  Verschiedenheiten  in  dem 


304      Sitzung  der  mathrphys,  Clctsse,  vom  6,  Desremher  1891, 

räume  in  Lösung  zu  bleiben  und  zuletzt  durch  kohlensauren 
Kalk  in  Kupferlasur  und  Malachit  umgesetzt  zu  werden, 
welche  zu  den  jüngsten  Absätzen  auf  demselben  gehören. 
Nur  einmal  traf  ich  eine  formliche  Pseudomorphose  Yon 
Kupferindig  nach  Fahlerz  ^),  in  welcher  daher  die  Substanz 
auf  der  ersten  Zersetzungsstufe  stehen  geblieben  war.  In 
der  Regel  folgt  alsbald  die  Bildung  schmutzig  olivengrüner 
poröser  Massen,  aus  arsensaurem,  vielleicht  auch  theilweise 
antimonsaurem  Kupferoxyd,  arsensaurem  Kupfer- Wismuth- 
oxyd  (Mixit),  basisch  schwefelsaurem  und  arsensaurem  Eisen- 
oxyd und  Kobaltoxydul,  sowie  schwefelsaurem  Antimonoxyd 
und  basisch  schwefelsaurem  Wismuthoxyd  bestehend.  Wie  be- 
kannt zersetzt  sich  die  Antimon -Verbindung  leicht  in  Antimon- 
oxyd und  freie  Säure  und  auch  die  des  Wismuths  erfahrt, 
wenn  auch  weniger  rasch,  die  gleiche  Umwandlung.  Die  arsen- 
sauren Kupferverbindungen  scheiden  sich  aus  der  zersetzten 
Masse  nur  selten  in  kleinen  Mengen  als  Erinit  und  Olivenit 
aus,  dagegen  häufig  mit  Wismuth  zusammen  als  Mixit,  das  Eisen 
als  basisch  arsensaures  Oxyd  in  Form  von  Würfelerz.  Je  mehr 
von  diesen  Körpern  aus  dem  Gemenge  ausgetreten  sind,  desto 
mehr  geht  die  Farbe  des  erdigen  Restes  in  schmutzig  gelbgrau 
und  zuletzt  in  strohgelb  über,  womit  eine  ständige  Anreicherung 
an  Antimon  und  Wismuth  verbunden  ist,  so  dass  das  Gemenge 
schon  bei  grünlichgrauer  Färbung  neben  beträchtlichen  Mengen 
von  Antimonocker  und  Stiblith  *)  einen  Wismuth-Gehalt  vou 
5,5  proc.  zeigt,  der  Gehalt  an  Schwefelsäure  ist  aber  auf 
0,55  herabgesunken.  Wiederholte  V^ersuche,  die  einzelnen 
Bestaudtheile  des  erdigen  Gemenges  durch  Schlämmen  zu 
trennen,  blieben  resultatlos,  auch  unter  dem  Mikroskope  bildet 

1)  Jahrb.  f.  Min.  18G6  S.  201. 

2)  Beide  Körper  müssen  deshalb  in  dem  Gemenge  vorhanden  sein, 
weil  sich  ein  iTieil  der  antimonhaltigen  Substanz  sofort  und  leicht 
in  Salzsäure  löst,  der  Rest  aber  erst  nach  längerem  Kochen  auf- 
genommen wird. 


Sattdberger:  Engänge  im  ivürttemberghchen  SdurarnBald. 


305 


r  Zersetznngs- liest  nur  eine  einfarbige  Uasse.  Die  ver- 
miedenen Miaeralien,  welche  direkt  aus  dem  Pahlerze  her- 
'Tgehen,  werden  später  einzeln  besprochen  werden. 

Ein  fibersichtliches  Bild  des  Zersetzungs-Processea  gewährt 
e  folgende  1865  entworfene  Tabelle.  Das  Yorkommen  des 
lizita  üt  erst  in  neuerer  Zeit  constatirt  worden. 

j 
1 


306      Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5,  Dezember  1891. 

2.  Kupferwismuthglanz  (Emplektit).  Das  Vorkommen 
dieses  Minerals  in  dünnen  stark  gefurchten  Säulchen  auf  dem 
östlichsten  Gange  bei  Freudenstadt  hatte  ich  bereits  1864 
bemerkt,  aber  nicht  genügendes  Material  für  quantitative 
Analysen  gewinnen  können.  Erst  später  erhielt  ich  von  Herrn 
Hüttenverwalter  Eisenlohr  ein  Stückchen  Quarz  mit  derbem 
Erze  aus  dem  Christophsstollen,  welches  dazu  ausreichte.  Herr 
Dr.  Petersen^)  fand  darin 

Schwefel 19,06 

Wismuth 69,09 

Kupfer 20,82 

Eisen       0,40 

Antimon  und  Arsen  Spur 

98.87 
Die  Uebereinstimmung  mit  der  Formel  04^  S-  Bi}  S^  ist 
nahezu  vollständig.  Das  Erz  verwittert  und  zeigt  dann  zu- 
nächst einen  grünen  aus  Kupfer-  und  Wismuth-Verbindungen 
bestehenden  Ueberzug.  Auch  in  Neu-Bulach  kommt  dieses 
Erz  vor,  aber  bisher  nur  in  mit  Erhaltung  der  Form  bereits 
völlig  umgewandelten  Nadeln,  welche  ganz  aus  Malachit 
bestehen  und  mit  Arseniosiderit  überzogen  sind.  Die  Menge 
dieses  Erzes  ist  zu  gering,  um  eine  technische  Verwerthung 
zu  gestatten. 

3.  Kupferkies.  Die  Seltenheit  dieses  sonst  häufigen 
Erzes  auf  den  hier  besprochenen  Erzgängen  ist  für  dieselben 
bezeichnend.  Erbsengrosse  Körner  finden  sich,  stets  von 
überwiegendem  Fahlerz  begleitet,  nur  an  wenigen  Freuden- 
stadter    und    noch    seltener    an    Neu-Bulacher    Gangstücken. 

4.  Eisenspath.  Das  Mineral  ist  zwar  recht  häufig,  mir 
aber  in  ganz  frischem  Zustande  niemals  zu  Gesicht  gekommen. 
Sattelförmige,  in  manganhaltigen  Brauneisenstein  umgewan- 
delte Khomboeder  bis  zu  Haselnussgrösse  finden  sich  häufig 

1)  Jahrb.  f.  Min.  1869  S.  847. 


308       Sitzung  der  math.-phya,  Claase  vom  5,  Deiember  1891. 

kommt  zuweilen  in  deutliehen  Pseudomorphosen  nach  auf- 
gewachsenen Erystallen  desselben  vor.  Sie  dringt  in  alk 
Klüftchen  des  Schwerspaths  ein  und  erscheint  hier  ebenso  wie 
in  den  Drusen  stets  in  Krystallen  der  Form  ooiZ-+£,  die 
von  Seufkorngrösse  bis  zu  mehreren  Centimetem  Yorkommen. 
In  der  Regel  ist  dieser  Quarz,  der  besonders  reichlich  und 
schön  im  nordwestlichen  Theile  des  Neu-Bulacher  Ganges 
auftritt,  völlig  farblos,  nur  selten  einmal  durch  Braun- 
eisenstein dunkel  gefärbt.^)  Juxtapositions-Zwillinge  konimeD 
niclit  selten  vor.  Die  Erze  sind  älter  als  der  zweite  Qaarx, 
die  secundären  Substanzen  aber  jünger,  da  sie  erst  Gber  ihm 
auftreten. 

7.  Chalcedon  in  milchblauen  ebenen  oder  kieintraubigieD 
Ueberzögen  ist  bisher  nur  in  geringer  Menge  über  Kupfer- 
niaiiganerz  und  Sehwerspath  I  im  Friedrichsthale  beobachtet 
worden. 


a.  Zersetzungsproducte  des  Fahlerzes. 

8.  Erinit.    Dieses  äusserst  seltene  Mineral  ist  von  mir  enst 
im  letzten  Sommer  in  hoch-spaugrüuen  kleintraubigen  Ueber- 
zügen  mit  schaliger  i^tructur  auf  Quarz  II  aufsitzend  und  z.  Th. 
von  Olivenit  bedeckt   bei   Freudenstadt  aufgefunden  worden. 
Es  i^leii.'lit  zunäch>t   täaschend   gleichgestalteten  Aggregat<*n 
von  Malachit,  braust  aber  natürlich  nicht  mit  Salzsäure  und 
entwickelt  auf  Kuhle  reichlich  Arsendampf.    Mit  Haidingen» 
HeM:lireil)ii!i^^)    .stimmt    die    Sul»6tanz    vollkommen    ül»ereiii. 
Die  von  den  genauesten  Kennern^)  brittischer  Minenilien  ^re- 
iiii>>«Tte    Ansicht,    (la>^   der    iirs]»rii!ii(liche  Fundort    nicht   in 

li  ANo  -oH»-tvoi>t;in<llich  kein  Hiiiiohtojja.-»,  dessen  FiirbuDf;  be- 
k.nml li<'li  durch  urLr.«ni«»rlii*  Sidist.mz  hodinjjt  ist. 

li)    \iinuN  Mf  IMiili.^npl.N    1S2K  IV.  p.  154. 

Ol  «i:«.*;r  and  Lett^uni  Manual  <»r  tlii?  Minoralo;;jy  of  Great  Britain 
and   Ii-rl.ind  p.  320. 


BIO      Sitzung  der  mathrphiis,  Glosse  vom  5.  Dezember  1891, 

habe  kein  Stück  mehr  auf  den  Halden  finden  können.  Es 
wird  hier  unmittelbar  von  Kupferlasur  bedeckt.  Das  Würfel- 
erz ist  an  vielen  Orten  als  Zersetzungsproduet  arsenhaltiger 
Fahlerze  bekannt,  besonders  schon  und  reichlich  aus  Comwall 
und  von  Langenborn  bei  Schöllkrippen  im  Spessart. 

12.  Kobaltblüthe.  Ist  früher  in  erdigen  Parthien  (sog. 
Kobaltbeschlag)  auf  dem  östlichsten  Gange  der  Christophsaae 
vorgekommen,  in  neuerer  Zeit  habe  ich  sie  nicht  mehr  be- 
obachtet. In  ausgezeichneter  Weise  findet  sie  sich  auf  dem 
Fahlerz  von  Kaulsdorf  bei  Säalfeld,  wie  ich  bereits  froher 
bemerkt  habe.*) 

13.  Kotheisenocker.  Erdiger  hochgeförbter  Rotheisensteiii 
tritt  zu  Freudenstadt  nicht  selten  im  Gemenge  mit  den  letrten 
Zersetzungsproducten  des  Fahlerzes,  d.  h.  Wismuthoxyd  und 
antimoniger  vSäure,  seltener  in  selbständigen  Nestern  und  in 
der  Regel  neben  reichlichen  Ausscheidungen  von  Mixit  «ot 
Würfelerz  fehlt  dann  völlig.  Ich  vermuthe,  dass  an  solchen 
Stellen  die  Arsensäure  vollständig  aur  Bildung  des  Kupfe^ 
Wismuth-Arseniats  veri)raiicht  worden  ist  und  daher  keine 
mehr  zur  Hilduiit^  von  Eisen- Arseniat  verfügbar  war.  Auch 
an  anderen  Orten  kommen  diese  Ausscheidungen  von  Eisen- 
oxyd  aus  zersetzten  Fahlerzen  öfter  vor;  die  rothen,  so 
leicht  auf  chiMnischem  Wege  bestimmbaren  Ma^ssen  sind, 
weil  auch  in  Salpc^ersäurci  unlöslich,  zuweilen  für  Zimiober 
gehalten  wordt'u. 

14.  Knpferlasnr.  Gehört  zu  den  Zierden  des  Neu- 
Hulacher  Gan<^es  und  i^t  noch  jetzt,  wenngleich  nicht  in 
gut»*n  Stücken  auf  den  HaM»Mi  häufi«^,  bei  Freudenstadt  a^»^r 
niemals  vorgekoniint'n.  D'w  Ku[)ftTlasur  tritt  bei  Neu-Hulach 
ziiwcilfMi  in  .stralilif^^-ldiitlerit^en  Kugeln  von  Wallnussu'röve. 
nifi'^t    aher   in    dicken   krystallinischen    Ueberzügen   auf,   n"^ 

1)  Jahrb.  f.  Mi«    ISü."»  S.  V.U. 


312      Sitzung  der  math.'phys.  Classe  vom  5,  Dezember  189 J. 

wärtig  tnfiPt  man  ihn  noch  theils  in  dicken  üeberzQgen  mit 
faseriger  Structur  und  glatter  glänzender  Oberfläche  (61aa- 
kopf)  oder  in  dünnen  erdigen  von  licht  brauner  Farbe,  nicht 
selten  auch  in  rhomboedrischen  Pseudomorphosen.  In  mancb^n 
derben  Massen  ist  ebenso  wie  in  den  Pseudomorpbosen  noeh 
Manganhyperoxyd  beigemengt,  falls  es  nicht  theilweise  schon 
früher,  also  unter  demselben  als  Wad  ausgeschieden  wordeo 
ist,  die  Hauptmasse  des  Mangans  tritt  aber  erst  in  dem 
den  Brauneisenstein  überdeckenden  Kupfermanganerz  oon- 
centrirt  auf. 

17.  Hydrohämatit.^)  Ist  genau  in  ebensolchen  Uebe^ 
Zügen  und  Trümern  wie  der  Brauneisenstein  nicht  selten, 
aber  von  diesem  durch  dunkel  kirschrothen  Strich  und  weit 
geringeren  Wassergehalt  leicht  zu  unterscheiden.  Bekanntlich 
verliert  merkwürdiger  Weise  Eisenoxydhydrat,  weiches  längere 
Zeit  unter  Wasser  verweilt,  das  vorher  in  chemischer  Ve^ 
bindung  aufgenommene  Wasser  und  wird  wasserfrei.  Dieser 
Process,  in  welchem  der  Hydrohilmatit  ein  mittleres  Stadiom 
repräsentirt,  muss  in  der  Natur  oft  in  sehr  grossem  Masß- 
stabe  vor  sich  gegangen  sein,  wie  z.  B.  auf  den  Gängen  von 
Irrgiing  bei  Platten  in  Böhmen,  Ilefeld  am  Harze  u.  a.  0.. 
denn  jeder  sog.  rothe  Glaskopf  ist  ja  nur  Pseudomorphose 
nach  braunem. 

18.  Wad.  Dünne  schwärzliche  Ueberzüge  auf  Sandstein 
zeigen  bräunlichen  Strich  und  entwickeln  mit  Salzsäure  riel 
Chlor^as.  Die  Lf'»-ung  eiitliält  kein  Kupfer.  Das  Mineral 
kouunt  zu  Kreudenstadt,  Hallwangen  und  Neu-Bulach,  aber 
nirgends  in  gn").sserer  Men^e  vor  und  erscheint  ebenso  wie 
auf  den  Klüftehen  des  Wellendoloniits  häufig  von  Malachit 
oder  Kupierlasur  bedeckt. 


1)  breithaupt,   Vnllst;in»l.  Iliindbuch  tl  Mineralogie  1847  S.  846. 


314       Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  5.  Dezember  1891, 

Varietät  stets  enthalten,  fehlt  aber  in  jener  von  Neu-Bulach, 
was  sich  aus  den  oben  mitgetheilten  Analysen  der  B^ahlerze 
von  beiden  Fundorten  leicht  erklärt.    Schon  bei  anderen  Ge- 
legenheiten ^)  habe  ich  darauf  hingewiesen,  dass  dieser  Körpeir 
aus  der  Zersetzung  von  Malachit  durch  Manganlösungen  her^ 
vorgeht.    Auch  an  Stücken  von  Freudenstadt  und  Neu-Bulac"^ 
ist  das  sehr  deutlich  nachweisbar.    Noch  jünger  sind  aufd^- 
Gängen   nur   die  wasserhelle  zweite  Schwerspath-Generatic:^ 
und  der  ebenso  spärlich  vorkommende  Chalcedon. 
Soviel  über  die  Mineralien  der  Erzgänge. 

Bildungsweise  der  Erzgänge. 

Wie  schon  früher  entwickelt  wurde,  sind  alle  Erz-  lüid 
Schwerspath-Gänge   der  hier  besprochenen    Gegend   AusfÖ/- 
lungen  von  Verwerfungs-Spalten,    welche  von   dem   unteren 
Wellendolomit  bis  in  den  untersten  Buntsandstein  hinabreichen, 
ob  auch  noch  in  das  Grundgebirge  ist  noch  nicht  entschieden,    ^ 
da   man  meines  Wissens  nicht  unter  den   tiefen  Christophs- 
Stollen  hinabgegangen  ist,  wäre  al)er  möglich.    Es  fragt  sich 
nun,  woher  rührt  das  Material  der  Gänge  und  da  stellt  sich 
zunächst  heraus,    dass   es   nur  aus   dem   Wellendolomit  und 
zwar   aus    den    untersten  Bänken  desselben    entnommen  sein 
kann.     Die   Buntsand^stein-Schichten   enthalten   die  Element« 
der  <  lan<(miiieralien  nicht,  wie  zahlreiche  Versuche  mit  aller 
Bestiiiinitheit  niichgewiesen  haben.    Es  handelt  sich  also,  wie 
ich  schon  früher  ^j  gezeigt  habe,    um  Ausfiillung  der  Gang- 
spalten von  <)i>en,    um   ,Üescensions-Gänge*.     Früher  wurde 
bereits  nachge\vi(\scn,    dass  der  Wellendolomit  nicht  nur  die 
Klcuicnte     eines     kalk-     uw\     niiingauhaltigen     Eisen>pathes, 
sondern  auch   fertiggebildetes,  aber  sehr  feinvertheiltes  Fahl- 

li  Untere,    über    Erz^'ünge    I    S.  123.     Diese    Sitrungsber.    1S91. 
S.  2(13. 

2)  l.'nterH.  über  Krzgiinge  II.  S.  244. 


316      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5.  Dezember  1891. 

erz  ist  vermuthlich  durch  verdünnte  Losungen  von  Schwefel- 
calcium  oder  Sehwefelnatrium  ausgelaugt  und  in  gleicher 
Form  wieder  abgesetzt  worden.  Was  den  Schwerspath  be- 
trifflb,  80  ist  seine  Löslichkeit  in  verschiedenen  Flüssigkeiten, 
z.  B.  salpetersaurem  Ammoniak  bei  gewohnlicher  Temperatur 
längst  bekannt.  In  neuester  Zeit  hat  Lattermann^)  nach- 
gewiesen, dass  er  auch  in  Soolwassem  gelöst  auftritt  und  aus 
diesen  erst  bei  starker  Verdünnung  und  zwar  nicht  vollständig 
ausfallt.^)  Dass  der  Wellendolomit  nach  seinem  Absätze  aus 
dem  Meere  noch  längere  Zeit  Salzlösungen  in  sich  zurück- 
gehalten habe,  wie  sie  in  der  Lautenthaler  Soole  vorliegen, 
darf  wohl  um  so  weniger  als  gewagte  Annahme  bezeichnet 
werden,  als  derselbe  noch  jetzt  an  destillirtes  Wasser  sowohl 
durch  Wasser  auslaugbare  Chlorverbindungen  als  schwefel- 
saure Salze  in  nicht  ganz  unbedeutender  Menge  abgibt  und 
bei  Sulz  am  Neckar  sogar  Soole  aus  ihm  austritt.')  Kohlen- 
saures Eisen-  und  Manganoxydul  ist  zwar  nicht  in  der 
Lautenthaler,  wohl  aber  in  einer  Soole  aus  einem  Bohrloche 
im  Zwickauer  Kohlenbecken^)  neben  kohlensaurem  Kalke, 
Chlorbaryum  und  Chlorstrontium  nachgewiesen  worden,  das 
Auftreten  von  man gan haltigem  Eisenspath  neben  Schwerspath 
auf  den  Gängen  hat  also  nichts  Befremdendes.  Auch  in  den 
Kissinger  u.  a.  Sool-Quellen  ist  Baryt  neben  Carbonaten  in 
sehr  geringer  Menge  enthalten. 

Soweit  die  Gänge  im  Wellendolomit  auftreten,  erscheinen 


1)  Jahrb.  d.  k.  preuss.  geol.  Landehanstalt  1888.  S.  271  ff. 

2)  Ders.  das.  S.  278.  Proben  der  i)r3cbtigen  Röhrenstalaktiton 
von  Schwerspath,  welche  sich  aus  dieser  Soole  in  der  Grube  zu 
Lautenthal  in  j^leicher  Art  wie  sonst  Kalksinter  noch  absetzen,  habe 
ich  durch  die  Güte  des  Herrn  Bergraths  Banizza  erhalten  und  selbst 
untersuchen  können. 

3)  V.  Alberti,  Ueberblick  über  die  Trias  S.  b.  Eine  Analyse  die.^^er 
Soole  habe  ich  leider  nicht  finden  können. 

4)  Karoten,  Journ.  f.  prakt.  Chemie  Bd.  XXXV.  S.  257. 


318      Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5.  Dezember  1891, 

hat  Nichts  an  die  Gänge  abgegeben,  wiederholte  Unter- 
suchungen haben  in  demselben  kein  Kupfer,  sondern  nur 
minimale  Quantit'lten  von  Arsen  und  Kalk  nachgewiesen. 
Selbstverständlich  wurde  nur  solches  untersucht,  in  welches 
keine  von  den  Gängen  auslaufenden  Trümer  hereinsetzen. 
Mit  der  massenhaften  Infiltration  von  Kieselsäure  erscheint 
die  Ausfüllung  der  Gänge  beendigt. 

Natürlich  waren  diese  nach  der  allgemeinen  Erosion  des 
Runtsandsteingebietes  schliesslich  der  Einwirkung  lufthaltiger 
Wasser  preisgegeben.  Alsdann  begann  der  Process  der  Zer- 
setzung des  Fahlerzes  sowie  des  Eisenspaths,  welcher  im 
Inneren  des  Gebirges  wohl  bis  auf  den  heutigen  Tag  noch 
fortdauert  und  aller  Wahrscheinlichkeit  nach  sehr  langsam 
verläuft.  Die  obere  Teufe  der  Gänge,  welche  nur  Zersetzungs- 
producte,  namentlich  oft  prächtig  gefärbte  Kupfersalze  auf- 
weist, ist  natürlich  ganz  anders  beschaffen,  als  die  tieferen 
Regionen,  in  welchen  noch  frische  Schwefelmetalle  und  kohlen- 
saure Salze  erhalten  geblieben  sind.  Sehr  interessant  ist  das 
Auftreten  des  jüngeren  Schwerspaths  über  den  Oxydations- 
Produi'U^n  in  der  oberen  Teufe,  ich  möchte  in  ihm  eine 
Bestätigung  der  Beobachtung  von  Lattermann  erblicken,  nach 
weK'h<»r  sich  schwefelsaurer  Baryt  in  verdünnten  Flüssigkeiten 
lange  gt'liVst  erhält,  was  ja  auch  durch  Versuche  im  Labora- 
torium vollkommen  bestätigt  wird. 

Soviel  über  meine  Untersuchungen  an  den  merkwürdigen 
Dnscrnsions-iJängen  des  württembergischen  Schwarzwaldes, 
vvi»I('Ih'  uH'inr  früher^)  ausgesprochene  Ansicht  von  der  Natur 
dersrllxMi   bis  in  die  kleinsten  Einzelheiten  bestätigen. 

1)  riit«»rM.  ülior  P>zgänge  II.  S.  244  f. 


319 


Yerzeichniss  der  eingelaufenen  Draekschriften 

Juli  bis  December  1891. 


Die  Torehrliehen  GesoUschaften  und  Institute,  mit  welchen  unsere  Akademie  in 
TauBchTerkehr  stehtf  werden  gebeten,  naclistehendesVerzeichniss  zugleich  als  Empfangs- 
bestltignng  tu  betrachten.  —  Die  zunächst  für  die  philos.-phlloL  u.  histor.  Classe  be- 
stimmten Druckschriften  sind  in  deren  Sitzungsberichten  1891   Heft  V  verzeichnet. 


Von  folgenden  Gesellschaften  nnd  Instituten: 

Royal  Society  of  South  Äustralia  in  Adelaide: 
Transactions,  Vol.  XIV.  pari  1.     1891.    8^. 

K.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Amsterdam: 
VerhaDdlin^en.  Natuurkunde.  Bd.  28.     1890.    4^. 

Peabody  Institute  in  Baltimore: 
24^^  annual  Report-  June  4.  1891.    8^. 

Johns  Hopkins  University  in  Baltimore: 

American  Journal  of  Mathematics.     Vol.  XIII.  3.  4.     1891.     4^. 
American  Chemical  Journal.     Vol.  XIII.  2-6.     1891.    8». 

K.  Natuurkundige   Vereeniging  in  Nederlandsch-Indie  in  Bataoia 
Natuurknndig  Tijdschrift.  Deel  60.     1891.     80. 

K.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Berlin: 
C.  G.  J.  Jacobi'd  gesammelte  Werke.  Bd.  VII.     1891.    4^. 

Deutsche  chemische  Gesellschaft  in  Berlin: 

Berichte.  24.  Jahrg.  Nr.  12—18.     1891.    8«. 
1891.  Math.-phys.  Gl.  3.  22 


*^20  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Drucksdiriflen. 

Deutsche  geologische  Gesellschaft  in  Berlin: 
Zeitschrift.  Bil.  43.  Heft  1.  2.    1891.    8«. 

Physiologische  Gesellschaft  in  Berlin: 

Contralblatt  für  Physioloprie.  1891.  Bd.  5  Nr.  6—17.    S». 
Verhandlungen.     1891.     Nr.  15.  16. 

K.  Geodätisches  Institut  in  Berlin: 
Jahresbericht  für  1890/91.    8«. 

Jahrbuch  über  die  Fortschritte  der  Mathematik  in  Berlin: 
Jahrbuch.  Bd.  XX.  Heft  3.     1891.    8«. 

X.  Sternwarte  in  Berlin: 
Bcobachtungs-Ergebnisse.  Heft  5.     1891.    4P. 

Verein  zur  Beförderung  des  Gartenbaues  in  Berlin: 

VerzfichniHs  der  Mitglieder.     1891.    8^. 
(hirtcnflora.  40.  Jahrgang.     1891.    8^. 

Naturtcissenschaftliche  Wochenschrift  in  Berlin: 
Wüt  honschrift.  1891.  Nr.  27—31.  33-52.  —  1892  Nr.  1.    4". 

Zeitschrift  für  Instrumentenkunde  in  Berlin: 
/oitmhrift.  11.  Jahrg.  Heft  7-12.     1891.     gr.  8^. 

Xatur forschende  Gesellschaft  in  Bern: 
Mitth.Mlun^^'cn  aus  dem  Jahre  1890.  Nr.  1244-1264.     1891.     8^ 

Alhifinritiv  Srhtrfiwrischt:  Gesellschaft  für  die  gcsammten  Naturwissen- 
schaften in  Bern: 

Nrn.'  iVnkschrilh-n.  IM.  XXX,  2.  Bd.  XXXI.     Basel.   1890.    4'>. 
Vi'rlianillunj^en  der  Schweizerischon  naturforschenden  (le.^ellschat't  zu 
havos  Ihyo,  nebst  französ.  Uebersetzung.     Davo?*  1891.     s° 

J\.  Accadimia  delle  Srien::e  dtlV  Jstituto  di  Bologna: 

K\|M)s«''  (bn  rai^ons  appuyant  bi  transartion  projHMt'e  par  TAcademie 
di'*i  s(  i(»nt»*s  de  Bologne  au  yujet  du  meridien  initial.  Home 
181K).     8". 

Sahd'histnrischrr    Verein  der  j'f'eussisehen  liheitdande  in  Bonn: 
V.Tliandlungen.  4H.  Jahrg.  1.   Hälfte.     1891.     8«. 


Verzeichnisa  der  eingelaufenen  Drucksdiriften.  321 

Societe  de  Geographie  commerciale  in  Bordeaxuc: 
Bulletin  1891.  Nr.  13-22.    8«. 

Societe  des  seiences  physiques  et  naturelles  in  Bordeaux: 
Mämoires.  3®  S^r.  tome  6.  cabier  2.  et  Appendice  au  tome  V.  1890.  8^. 

Boston  Society  of  naturai  history  tu  Boston: 
ProceedingB.  Vol.  XXV  part  I.    1891.    6^. 

Verein  für  Naturwissenschaft  in  Braunschweig: 
6.  Jahresbericht  für  die  Jahre  1887/88  u.  1888/89.     1891.    8^. 

• 

Acadimie  Royale  de  midecine  in  Brüssel: 

M^moires  couronnt^s.  Collection  in  8^.  Tom.  X.  Fase.  4.     1891.    8®. 
Bulletin.  IV.  S^r.  tom.  V.  Nr.  6—10.     1891.    8^. 

K,  ungarische  geologische  Anstalt  in  Budapest: 

fevkönyve.  Bd.  IX,  6.     1891.     gr.  80. 

Földtani  Közlöny.  Bd.  XX.  5—7.  1890.  Bd.  XXI,  4—9.  1891.     8^. 

Museo  nacional  in  Buenos  Aires: 
Anales.  Entrega  17.  (=  tom.  III.  entr.  5).     1891.     Fol. 

Oficina  meteorolögica  Argentina  in  Buenos  Aires: 
Anales.  Tom.  VIII.     1890.    49. 

Revista  Argentina  de  historia  natural  in  Buenos  Aires: 
Revista.  Vol.  I.  Nr.  4.  5.     1891.    8«. 

Institut  meteorologique  de  Roumanie  in  Bukarest: 
Analele.  Tom.  IV.  1888.     1891.    4«. 

Instituto  y  Observatorio  de  marina  de  San  Fernando  in  Cadix: 
Anales.    Seccion  II.  ano  1890.     1891.     Fol. 

Societe  Linneenne  de  Normandie  in  Caen : 

Bulletin.  Ann^e  1890.  4  Ser.  Vol.  5.  Fase.  2.  3.  4.     1891.    8^. 
Bulletin  mc^teorologique,  Mai— Decembre.     1890.     8^. 

Government  of  India  in  Calcntta: 

Scientific  ttesults  of  the  .second  Yarkand  MisHion.  Avej«,  by  K.  Bowdler 
Shiarpe,  with  Instroductory  Note  and  Map  1878  —  1891.  London 
1891.     Fol. 

22* 


322  Verzeichmss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Meteorologicäl  Department  of  the  Oovemment  of  India  in  Calcutta: 

IndiaD  Meteorologicäl  Memoirs.  Vol    IV,  pari  7.     1891.  Fol. 
Report  on  the  Administration  in  1890/91.     1891.     Fol. 
Monthly  Weather  Review.     1891  Jan.— April.    Fol. 
Registers  of  original  Observations.     1891  Jan.— April.     Fol. 
Cyclone  Memoirs.  Vol.  IV.     1891.    gr.  8^. 

Ägricültural  Department  of  the  Government  of  India  in  Calcutta: 
Memorandum  on  the  snowfall  in  the  mountain  districts.    1891.    Fol. 

Indian  Museum  in  Calcutta: 

Catalogne  of  Mammalia  in  the  Indian  Maseum  bj  W.  L.  Sclater.  Pari  II 
1891.    .80. 

Geological  Survey  Office  in  Calcutta: 

Records  of  the  geological  Survey  of  India.  Vol.  XXIV.  Nr.  1 — 8  und 

Ptegister  zu  I— XX.     1891.    4®. 
Memoirs.  Vol.  XXIV.  Nr.  8.     1890.    4». 

Fhüosophical  Society  in  Cambridge : 
Proceedings.  Vol.  VII,  part  IV.  V.     1891.    8». 

Museum  of  comparative  Zoölogy  at  Harward  College  in  Cambridge  U.  S. : 
Bulletin.  Vol.  XXI.  Nr.  2-5.  Bulletin  Vol.  XVI.  Nr.  10.  1891.  S^. 

Accademia  Gioenia  di  scienze  naturali  in  Catania: 
Bulletino  mensile.     1891  Fase.  20—22.     8«. 

K.  Sächsisches  meteorologisches  Institut  in  Chemnitz: 

Deutsches  meteorologisches  Jahrbuch.    VII.   Jahrg.    1889.    II.    Hälfte. 
VIII.  Jahrg.  1890.  I.  u.  II.  Hälfte.     1891.     4". 

Universität  in  Christiania: 
Ethnografisk  Kart  over  Tromsö  Amt.  6.  Bl.     1890. 

K.   Universität  in  Christiania: 

Archiv  for  Mathematik.  Bd.  XIV.  3.  4.     1890.     8«. 

Nyt  Magazin  for  Naturvidenskabeme.  Bd.  32,  1.  2.     1890.     &\ 

Schubeier,  Tillaeg  til  Viridarium  I.     1891.     8«. 

K.   Universitäts-Sternwarte  in  Christiania: 

Magnetische  Beobachtungen  1882-1883  von  H.  Geelmuyden.  1891.  4». 
Supplement  zu   den   Zonenbeobachtungen    in  Christiania  v.  ü.  Geel- 
muyden.    1891.     49. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  323 

Natur  forschende  Gesellschaft  Chraübündens  in  Chur: 
Jahresbericht.  N.  F.  34.  Jahrg.  1889/90.     1891.    eP. 

The  Journal  of  comparative  Neurology  in  Cincinnati: 
Journal.  Vol.  I.  pag.  107—286.    1891.    8^. 

Chemiker-Zeitung  in  Cöthen: 
Chemiker-Zeitung.  1891  Nr.  47—100.    Fol. 

Naturforschende  Gesellschaft  in  Damig: 
Schriften.  N.  F.  Bd.  VIT.  Heft  4.    1891.  8®. 

l^ccHe  pölytechnique  in  Delft: 
Annales.  Tom.  VI.  Livr.  3.  4.  Tom.  VIT.  Livr.  1.     Leiden  1891.    4«. 

Naturforschende  Gesellschaft  in  Dorpat: 

Meteorologische  Beobachtungen  in  d.  Jahren   1884  u.   1885  y.  Karl 

Weihrauch.     1891.    8». 
Sitzungsberichte.  Bd.  IX,  2.     1891.    8». 
Schriften.  Nr.  VI.     1890.    4». 

Union  geographique  du  Nord  dt  la  France  in  Douai: 
Bulletin.    Tom.  XL    Juillet-D^c.  1890.    8^. 

Royal  Dublin  Society  in  Dublin: 

The  scientific  Proeeedings.  Vol.  6.  part  10.  Vol.  7.  part  1.  2.  1890/91.  8^. 
The  scientific  Transactions     Vol.  IV.  part  6—8.     1890/91.    4®. 

Royal  Observatory  in  Edinburg: 
Catalogue  of  the  Crawford  Library.     1890.  4^. 

Reale  Äccademia  dei  GeorgofUi  in  Florenz: 
Atti.  IV.  Ser.  Vol.  XIV.  disp.  2.  3.     1891.    8^. 

Monitore  Zoologico  Italiano  in  Florenz: 
Monitore.  2«  anno  1891.  Nr.  2.  4—10.    8<>. 

Senckenbergischc  natHrforschende  Gesellschaft   in  Frankfurt  «.  ^f.: 

Abhandlungen.  Bd.  XVI.  Heft  3.  4.     1891.    4^ 
Bericht.     1891.    8^. 

Physikalischer  Verein  in  lYankfurt  a.  M,: 
Jahresbericht  für  1889—90.     1891.    8«. 


324  Vergeiehnias  der  eingelaufenen  Dntckschrißen, 

Naturwissenschaftlicher  Verein  in  Frankfurt  a.  0. : 

Helios.  Monatliche  Miitheilungen.  8.  Jahrg.  1890  Nr.  8—12.  9.  Jahrg. 

1891  Nr.  1—6.    8^. 
Societatum  Litterae  4.  Jahrg.  1890.  Nr.  9— 12.  6.  Jahrg.  1891.  Nr.  1  —8. 8^. 

Naturforschende  Gesellschaft  in  Freiburg  i.  JB.: 
Berichte.     Bd.  V.  Heft  1.  2.     1890—91.    8«. 

SociSti  dt  physique  et  d'histoire  naturelle  in  Oenf: 
Mdmoires.    Tom.  XXXI.  part.  1.     1890-91.    4^ 

Sternwarte  in  Genf: 
Rdsum^  mätdorologique  de  i'annde  1890.     1891.    8^. 

Verein  der  Äerzte  in  Steiermark  in  Graz. 
Mittheilungen.  XXVII.  Vereinsjahr  1890.     1891.    8<>. 

Naturunssenschaftlieher  Verein  für  Steiermark  in  Graz: 
Mittheilungen.  Jahrg.  1890.  Heft  27.     1891.    &^. 

Niederl,  Regierung  im  Haag: 

Nederlandsch  Kruidkandig  Archief.  II.  Ser.  Vol.  V.  Stak  4.  Nijmegen 
1891.    8«. 

Nova  Scotian  Institute  of  Science  in  Halifax: 
Proceeding8  and  Trannactions.     Vol.  VII.  part.  IV.     1890.     8*^. 

Kaiserlich  Leopoldino-Carolinische  deutsche  Akademie  der  Naturforscher 

in  Halle: 

Leopoldina.  Heft  XXVII.  Nr.  9—22.    .1891.     4^ 

Nova  Acta.  Tom.  64.     1890.     4«. 

C  F.  Zinoken,    Das    Vorkommen    der  natürlichen    Kohlenwaflserstotf- 

und  der  andern  Erdgoäe.     18*J0.     4°. 
Geschichte  der  kiiis.  Leopoldiniach-Curolinischen  Deutschen  Akademie 

der  Naturforscher  von  Willi  L'le.     1889.     4». 

Natunc.   Verein  für  Sachsen  und  Thüringen  in  Halle: 

Zeitschrift  fiir  Naturwissenschaften.  Bd.  G3.  Heft  0.  Bd.  64.  Heft  1—8. 
1890/91.     8«. 

Verein  für  natHncis.'<enschaftliche   Unterhaltung  in  Hamburg: 
Verhandlungen.  Bd.  VII.     1891.     8^'. 

NatuncisseMschiiftUchcr   Verein  in  Hamburg: 
Alihandlunffon.  Bd.  XI.  2.  3.     1891.     V\ 


Verseichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften,  325 

Miisie  Teyler  in  Harlem: 
Archives.  S^r.  IL  Vol.  III.  Fase.  6.     1891.    4». 

SociÜe  HoUandaise  des  Sciences  in  Harlem: 
Archives  N^erlandaises.     Vol.  XXV.  livr.  2.  3.  4.     1891.    S^. 

Commission  geoloffique  de  la  Finlande  in  Helsingfors: 

No.  16  et  17   de  la  Carte  gäolo^que  de  la  Finlande  accompagnt^a 
de  renseignements.     1891. 

Finlämlische  Gesellschaft  der  Wissenschaften  in  Helsingfors: 

Bidrag  tili  kännedom  af  Finlands  Natur  och  Folk.  Heft  49.  50.    1890 
—91.    80. 

Societas  pro  Fauna  et  Flora  Fennica  in  Helsingfors: 

Meddelanden.     Heft  16.     1888—91.    8<*. 
Acta.    Vol.  VII.     1890.    S^. 

Verein  für  siebenbürgische  Landeskunde  in  Hemiannstadt : 
Archiv.  N.  F.  Bd.  XXIII.  Heft  3.     1891.    8». 

Karpathen- Verein  in  Iglö: 
Jahrbuch.     18.  Jahrg.  1891.     8<>. 

Naturwissenschaftlich-medizinischer  Verein  in  Imisbruck: 
Berichte.     11).  Jahrg.  1889/90  u.  1890/91.    .1891.     8». 

Medizinisch-naturwissenschaftliche  Gesellschaft  in  Jena: 

Jenaische  Zeitschrift  für  Naturwissenschaft.  Bd.  22.  Heft  3.  4.  Bd.  26. 
Heft  1.  2.     1891.    8^ 

Centr(d-Bureau  für  Meteorologie  in  Karlsrühe: 
Jahresbericht  fiir  1890.     1891.     4«. 

Verein  für  Naturkunde  in  Kassel: 
36.  u.  37.  Bericht  über  die  Vereinsjabre   1889  und   1890.     1891.     8". 

Minister ial- Kommission   zur    Untersuchung   der   deutschen  Meere  in 

Kiel: 

Ergebnisse    der    Beobachtungs- Stationen.    Jahrg.    1890    Nr.    1—12. 
Berlin  1891.     4». 

Naturwissenschaftlicher  Verein  in  Kiel: 
Schriften.  Bd.  IX,  1.     1891.    8^ 


'524  Ffr^idbmw  der  eim^eUtmfenen  Drmckfdhnften. 

A/friUüdker  t^tmnciB&en^dtnftlicker  Vfräa  KLaugenbwrp: 

HnhrlfUm,  31.  Jahrg.  Jabilänmfbuid  1690.     1891.     4<^. 

Akademie  der  Wissenschaften  in  Kopenhagen: 
HkrifU:r.  «.  lUekke,  Natonrid.  Afd.  Bd.  VL  N'r.  2.     1890—91.     4« 

HoeUU   Vaudoise  des  sciences  naturelles  in  hausanne: 
MnWttiin.  Vol.  27.  Nr.  104.     1891.    8». 

yir/::^^»  J«r  Mathematik  und  Physik  in  Leipiig: 
AnJiiv.  n,  Hüihe.  Teil  X.  Heft  3.  4.     1891.    S^. 

Astr(m(fmische  Gesellschaft  in  Leipzig: 
ViitrUiljütirMchrift.    26.  Jahr^f.  Heft  2.  3.     1891.    8^. 

H   Hächninche  Gesellschaft  der  Wissenschaften  in  Leipzig: 

Mftrif'liln.     Mathem.-phyM.  Clanae.  1891,  H.    8^. 

Alihuri<lliiriKi*tt-    Mairiem.'phyH.    Clasne.    Bd.    XVII.    5.    6.    XVIII,    1. 
IHIM.     1". 

Jtmrnul  für  praktiHche  Chemie  in  Leipzig: 
h/iiiiiiil    N    !•'.  Uli.  44.  UM  13-24.     1891.     8«. 

Vnrin  für  Knikunde  in  Leipzig: 
Wi«-.iin.|,.illlirl,..   Vri/HlViitlicliun^en.  Bd.  I.     1891.  8«. 

S.  K.  lifrgdkademie  Leohen: 
ProK'raiiim  i.  .1.  Stii.liriijiihr  lHl)l/92.     1891.     09. 

l'nirt'r.siti/  nf  Nrhntska  in  Lincoln: 

Bulletin  of  th«»  a^jrirultiirul  j*x|MTim«»nt  Station  of  Nebraska.    Nr.   17. 
1891.     8". 

Must'um  J''rttnti»nt(\irolineum  in  Linz: 

Beiträ^'f  zur  KoM'nllor.i  v.  .1.  1».   Wiojtbaur   und  Michael  Haselberirer. 
1891.     8«. 

Matorialii'n   zur   l.iniK'nkundliilu'n   Biblio^^raphio  OberÖ9terreieb.s  von 
Han-  (oninienila.     1H91.     h". 


Verzekhniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  327 

Zeitschrift  „La  CeUule"  in  Loewen: 
La  Cellnle.  Tom.  VII.  Fase.  1.     1891.    4». 

Zeitschrift  „Nature*  in  London: 
Nature.  Vol.  44.  Nr.  1127—48.  Vol.  45.  Nr.  1149—1165.  1891.  gr.  8®. 

Boyal  Society  in  London: 

Proceedings.  Vol.  49.  Nr.  300—302.  1891.     8^. 
Philosophical  Transactions.    Vol.  181.  part.  I.  II.     1891.    4^. 
List  of  Members  1890.    4^. 

R.  Ästronomic(d  Society  in  London: 
Monthly  Notices.  Vol.  51.  Nr.  8.  9.  Vol.  62.  Nr.  1.     1891.    8^. 

Chemical  Society  in  Lofidon: 

Proceedings.  Session  1891—92.  Nr.  96-103.    S^. 
Jonmal.  Nr.  344-349.     July— December  1891.    8®. 

Geologicäl  Society  in  London: 
The  qnarterly  Journal.  Vol.  47,  part  1—4.     1891.    8®. 

Linnean  Society  in  London: 

The  Journal,  a.  Zoology.  Nr.  124.  125.  146—147. 

b.  Botany  Nr.  175.  183—193.     1890/91.     8*. 
The  Transactions.  a.  Zoology.  Vol.  5.  part  5 — 7. 

b.  Botany.  Vol.  3.  part  2.  3.     1891.    4« 
List  of  the  Members.     1890—1891.    8«. 

R.  Microscopicdl  Society  in  London: 
Jonmal.  1891.  Part  4—6.    8». 

Zoological  Society  in  London: 

Proceedings.  1891.  Part  II.  III.    8^. 
Transactions.  Vol.  XIII.  part  3.     1891.    4«. 

SociH^  geologique  de  Belgique  in  Lüttich: 
Annales.  Tom.  XVfll.  Livr.  1.     1891.    8®. 

The  Governor  in  Council  in  Madras: 

Resultd  of  Observations   of  the  fixed  stars  made  at  the  Observatorv 
Madras  in  the  years  1868—1870,  by  N.  II.  Pogson.     1890.    4". 

Naturwissenschaftlicher  Verein  in  Magdeburg: 
Jahresbericht  u.  Abhandlungen  1890.     1891.    8^. 


328  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Reale  Istituto  Lomhardo  di  scienze  e  lettere  in  Mailand: 
Atti  della  fondazione  dcientifica  Cagnola.    Vol.  10.     1691.    8®. 

Obaervatorio  metearolögico-magnitico  central  in  Mexico: 
Boletin  mensual.  Tom.  III.  Nr.  1.  2.     1891.    4^. 

Sociedad  Mexicana  de  historia  natural  in  Mexico: 
La  Naturaleza.  II.  Sär.  Tom.  1.  Nr.  10.     1891.    Fol. 

Sociedat  cieniifica  Antonio  Alzate  in  Mexico: 
Memorias  y  Evista  tom.  IV.  Nr.  9.  10.     1891.    8^. 

Societä  dei  naturalisti  in  3fodena: 
Atti.  Serie  lU.  Vol.  X.  Fase.  1.     1891.    S». 

Royal  Society  of  Canada  in  Montreal: 
Proceedings  and  Transactions.  Vol.  VIII.  1890.     1891.    4. 

Gedlogical  Survey  of  Canada  in  3fontreal: 

Contributions  to  Canadian  Palaeontolgy.     Vol.    I,    part    III.    Nr.  5. 
1891.     80. 

Sociiti  impiriale  des  naturaUstes  in  Moskau: 
Bulletin.  1891.  Nr.  1.     &>. 

Deutsche  Gesellschaft  für  Anthropologie  in  Berlin  und  München: 
Correspondenzbhvtt.     1891.  Nr.  2—9.     München.     4^. 

Technische  Hochschide  in  München: 

PeraonalHtand.  Som.-Sein.  1891. 
rrognunm  f.  d.  J.  1881—92.     8«. 
Bericht  f.  d.  Studienjahr  1890-91.     4^. 

K.  bayer.  StaatAtninisterium  des  Innern  in  München: 

Geof^nost.  Jiihre.'^hefte.  3.  Jahrg.  1800.     Cassel.     gr.  8^. 
(ieogno>t.  Karte  des  Königr.  Bayern.  Bhitt  Ansbach  mit  Krliiuterungcn. 
Cassel  1891.     Fol. 

Socivte  des  scirnccs  in  Nancy: 

Bulletin.  Ser.  II.  Tom.  X.  Fase.  24.     Paria  1891.    8". 
Bulletin.  18')1.  Nr.  4-7.     Nancy  1891.     8°. 

Reale  Aecademia  ddle  scienze  fisiche  c  matcmatiche  in  Neapel: 
Atti.  Serie  II.  Vol.  4.     1891.     4^ 


Verzeichnias  der  eingelaufenen  Druckschriften,  329 

Museo  di  Geologia  della  R.  üniversitä  in  Neapel: 

Cinqoantesimo  anniversario  deir  InsegnaiTieDto  di  Arcangelo  Scacchi. 
1891.    gr.  80. 

Zoologische  Station  in  Neapel: 
Mittheilangen.  Bd.  X.  Heft  1.     Berlin  1801.    8<>. 

North  of  England  Listitute  of  Engineers  in  Newcastle-upon-Tyne : 

Transactions.  Vol.  XXXVIII.  part  6.  Vol.  XL.  pari  2.  3.     1891.    8^ 
Annaal  Report  of  the  Council.     1891.    8^. 

The  American  Journal  of  Science  in  New-Haven: 

Journal.  III.   Ser.   Vol.  41.   Nr.  246.  246.   Vol.  42..  May— September 
1891.    Rr.  8<>. 

Acadetny  of  Sciences  in  New- York: 
Annais.  Vol.  VI.  Nr.  1.     1891.    8^. 

Joum€U  of  comparative  medicine  and  veterinary  archives  in  Netc-York: 
Journal.  Vol.  XII.  Nr.  6.  8—12.     1891.    8®. 

American  Museum  of  natural  history  in  New- York: 
Annual  Report  for  1890-1891.     1891.    8®. 

American  chemical  Society  in  New- York: 
Journal.  Vol.  XIII.  Nr.  6-8.     1891.    8^. 

American  Geographical  Society  in  Neic-York. 
Bulletin.  Vol.  XXIII.  Nr.  2.  8.     1891.    8». 

Naturhistorische  Gesellschaft  in  Nüniherg: 
Jahresbericht  1890.     1891.    8^. 

Neurussische  naturforschende  Gesellschaft  in  Odessa: 

Sapiski.    Bd.    XVI.    Heft    1    und    Matheni.    Abtheilung.    Tom.    XIII. 
1891.    80. 

Societä   Vcncto-Trentina  di  scicnzc  natnrali  in  Padua: 

Bulletino.  Tom.  V.  Nr.  1.     1891.     B«. 
Atti.  Vol.  XII.  Fase.  2.     1892.     8«. 

CoUegio  drgli  Ingegncri  in  Palermo: 
Atti.  Annatii  XIV.  1891  Nr.  I.     1891.     4«. 

Circolo  matematico  in  Palermo: 
Rendiconti.  Tomo.  5.  Fll^^o.  4.  5.  6.     1891.     gr.  8<^ 


330  VerzeichnisB  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Academie  de  midecine  in  Paris: 
Bulletin.  1891.  Nr.  26-61.*  8«. 

AcadSmie  des  Sciences  in  Paris: 
Comptes  renduB.  Tom.  112.  Nr.  26.  Tom.  113.  Nr.  1—26.     1891.    4^ 

ComiU  international  des  poide  et  mesures  in  Paris: 
Proc^  verbaux.  1890.    1891.    8°. 

£cole  polytechniqu^e  in  Paris: 
Journal.  Cahier  60.     1890.    49, 

Zeitschrift  ^V £ltctr\cien*  in  Paris: 
L'filectricien.  2«  S^r.  Tom.  II.  Nr.  27—52.     1891.    gr.  ^. 

Zeitschrift  „Le  Moniteur  scientifique"  in  Paris: 
Moniteur  scientißque.  Livr.  696—600.    Aoüt— D^c.  1891.    gr.  8^. 

Musium  d^histoire  fiaturelle  in  Paris: 
Nouvelles  Archives.  III.  Sär.  Tom.  II.  Fase.  2.     1890.    4®. 

Sociiti  d'anthropoloffie  in  Paris: 
Bulletins.  IV.  Serie.  Tom.  1.  Fase.  3.     1890.    8". 

Sociite  de  giographie  i7i  Paris: 

Bulletin.  VII.  S^r.  Tom.  XI.  Trimestre  II.     1891.     8^. 
Compte  rendu.  1891.  Nr.  14-18.    8«. 

Societe  d'Horticidture  in  Paris: 
Journal.  Tom  XIII.     Octobre  1891.    8^. 

Societe  mathimatique  de  France  in  Paris: 
Bulletin.  Tom.  XIX.  Nr.  6.     Iö91.    8<». 

Sociiti'  zoologique  de  France  in  Paris: 

Bulletin.  Tom.  XVI.  Nr.  C.  7.  8.     l«ül.     8''. 
Memoire».  Tom.  IV.  Partie«  3  et  1.     1891.     8^ 

Comite  geologique  in  St.  Pclersburg: 

G.   I).   Uomanowaki.    Materialy    dlä    ^eologii   Turkcstan^kago    Kraja. 
Bd.  III.     1690.     4". 


Verzeiehnisa  der  eingelaufenen  Druckschriften.  331 

Chemisch-physikalische  Gesellschaft  an  der  Kais.  Universität  in 

St.  Petersburg: 

Schurnal.  Bd.  XXIII.  Nr.  5—8.     1891.  8». 

Physikalisches  Central-Ohservatorium  in  St.  Petersburg: 
Ansalen.  Jahrg.  1890.  TheH  I.     1891.    4^. 

Society  Imperiale  Russe  de  g^ographie  in  St.  Petersburg: 

Beobachtungen  der  Kusaiscben  Polarstation  auf  Nowaja  Semlja.  I. 
Theil.    1891.    40. 

Academy  of  natural  sciences  in  Philadelphia: 

Bacteriologicul  Laboratory.  Reprints  of  three  Etütorial»  regarding 
the  Priority  in  domonstrating  the  Toxic  Effect  of  Matter  ac- 
companying  the  Tubercle  Bacilluä.     1890.    8®. 

Proceedings.  1891.  Part  1.    8^. 

Alumni  Association  of  Pharmacy  in  Philadelphia: 
27.  annual  Report  for  the  year  1890—91.     1891.    8^. 

JR.  Scuola  normale  superiore  in  Pisa: 
Annali.  Vol.  XIII.     1890.    &^. 

Societä  Toscana  di  scienze  naturali  in  Pisa: 
Atti.  Vol.  VII.  p.  236—846.     1891.    4^. 

Mathematisch-physikalische  Oesellschaft  in  Prag: 
Casopis.  Bd.  XX.  Nr.  5.  6.     1891.    8^. 

K.  K.  Sternwarte  in  Prag: 

Magnetische  und  meteorologische  Beobachtungen  im  Jahre  1890. 
61.  Jahrg.     1891.     4^ 

Naturforscher- Verein  in  Riga: 

Korrespondenzblatt.  XXXIV.     1891.    8^. 
Arbeiten.  N.  F.  Heft  7.     1891.    Q^. 

Ohservatorio  in  Rio  de  Janeiro: 

Revista.  1891.  Nr.  5-10.    8^. 

E8bo90  de  uma  climato  logia  do  Brazil  por  II.  Morize.     1891.     8*^. 

Accademia  Ponte ficia  de^Nuovi  Lincei  in  Rom: 

Memorie.  Vol.  IV.  V.  VI.     1888-90.     4». 

Atti.  Anno  XLIII.  Sesdione  VII.  Anno  XLIV.  Sessione  I— V.  1890 
-91.    40. 


332  Verzeiehniss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

B.  Comitato  geoHogico  d^ Itcdia  in  Born: 

Bolletino  1891.  Nr.  1.  2.  3.    8^ 

Memorie  per  servire  alla  descrizione  della  carta  geologica  d*Italia. 
Vol.  IV.  Parte  1.     1891.    8». 

Ministero  della  istruzione  publica  in  Born: 
Le  Opere  di  Galileo  Galilei.  Vol.  11.  Firenze.    1891.    4^. 

Academy  of  Science  in  Saint-Louis  : 
The  total  Eclipse  of  the  Sun,  Jan.  1.  1889.    Cambridge  1891.    4P. 

Commisaäo  geographica  e  geologica  da  Estado  de  S.  Paulo  in  S.  Paulo: 
Boletin.  Nr.  4—7.     1890.    8®. 

Department  of  Minea  in  Sidney: 

Records  of  the  Geol.  Survey  of  New-South-Wales    1890.  Vol.  II.  Part 

1—3.     1890.    40. 
Memoirs.  Palaeontology.  Nr.  5.     1891.    Fol. 
Annual  Report  1890.     1891.     Fol. 

Boyal  Society  of  NetD-South- Wales  in  Sidney: 
Journal  and  Proceedings.     Vol.  XXIV.  Part  2.     1890.    8^. 

B.  Äccademia  dei  Fisiocritici  in  Siena: 
Atti.  Serie  IV.  Vol.  III.  Fase.  6—9.     1891.    8». 

Museum  in  Stacanger: 
Aarsberetning  for  1890.     1891.     8^. 

Societe  des  Sciences  in  Sirassburg: 
Hulletin  mensuel.  Tom.  25.  Fase.  G— 10.     1891.    8^. 

Wcst-IIendon-Houne  Observatory  in  Sunderland: 
Publiciitions.  Nr.  1.     1891.     4^. 

Observatorio  astronomico  naciomd  in   Tacubaya  (McricnJ: 

Holetin.  Tom.  I.  Nr.  3-G.     1891.     4". 
Anuario.  Anno  da  1892.     1891."    8'*. 

lioyal  Society  in   2\ismania: 
Piipera  and  Proceedings  for  1890.     1891.     S^. 

College  of  Science,  Imperial   Univcrsity  in    Tokyo  (Japan): 
Journal.  Vol.  IV,  pari  2.     1891      4». 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriftefi,  333 

Canadian  Institute  in  Toronto: 
Transactions.  Vol.  II,  part  1.     1891.    gr.  8®. 

Proviuciaal  Utrechtsch  Genootschap  van  Künsten  and  Wetenschappen 

in  Utrecht: 

Die  Functionen  der  Ganglienzellen  des  Halsmarkes  von  Otto  Kaiser. 
Haag.  1891. 

Institut  Royal  mtteorologique  des  Pays-Bas  in  Utrecht: 
Nederlandsch  Meteorologisch  Jaarboek  voor  1890.     1891.     4®. 

Societe  provinciale  des  arts  et  sciences  in  Utrecht: 

Frank  W.  Very,  Distributions  of  the  Moon*s  Heat.  The  Haguc  1891. 
gr.  80. 

Physiologisch  Laboratorium  der  ütrechtsche  Hoogeschool  in  Utrecht: 
Onderzoekingen.  IV.  Reeks.  I,  2.     1891.    8®. 

Smithsonian  Institutioti  in  Washington: 

Experiments  in  Aerodynamics.  13y  S.  B.  Langley.     1891.     4®. 
Miscellaneons  Collections.    Nr.  708.  741.  764.  594.  663.  785.     1886— 

1891.     8«. 
Annual  Report  1889.     1890.    8^. 
Plates  prepared  to  accompany  a  Report  on  the  forest  trees  of  North 

America  by  Asa  Gray      1891.     Fol. 

Chief  Signal  Officer  of  the  U.  S.  Army  in  Washiyigton: 
Annual  Report  for  the  year  1890.     1890.    8**. 

Surgeon  Generalis  Office,   U.  S.  Army  in  Washington: 
Index  Catalogue.  Vol.  12.     1891.     4^ 

U.  S.  Coast  and  Geodetic  Survey  Office  in  Washington: 

Bulletin.  Nr.  22.  23.  24.     1891.     4« 
Report  for  the  year  1889.     1890.     4®. 

LandwirtlischaftUche  Zentralschule  in  Weihenstephan: 
Jahresbericht  für  das  39.  Schuljahr  1990/91.     Freising  1891.     8^. 

K.  K.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Wien: 

Denkschriften.  Mathem.-naturw.  Klasse.  Bd.  57.     1890-91.     4^ 
Sitzungsber.  Math.-naturw.  Kl.  Abth.      I.     1890  Nr.  4—10 

IIa.  1890     ,    4—10    l    oo 
IIb.  1890     ,    4-10    '       * 
,       III.     1890     ,    4-10 


334  Vereeichniss  der  eingelaufenen  Druekäthriften. 

R.  K,  Centralanstalt  für  Meteorologie  und  Erdmagnetismus  in  Wien: 
Jahrbücher.  Jahrg.  1889.  Bd.  84.    1890.    A\ 

K.  K.  Gesellschaft  der  Aerste  in  Wien: 

Wiener  klinische  Wochenschrift.  IV.  Jahrg.  1891.  Nr.  28—40.  42.  44. 
47-51.  53.    4«. 

Anthropologische  Gesellschaft  in  Wien: 
Mittheilungen.  Bd.  XXI.  Heft  2.  3.    1891.    4t\ 

Zoologisch-botanische  Gesellschaft  in  Wien: 
Verhandlungen.  Bd.  41.  Quartal  1.  2.     1891.    8**. 

K,  K,  österr.  Gradmessungs-Commission  in  Wien: 

Antronomische  Arbeiten.  Bd.  II.     1890.    4P, 

Verhandlungen.  Protokoll  über  die  Sitzungen  vom  1.  April  1890  und 
vom  4.  April  1891.     1890/91.     8^. 

K.  K.  naturhistorisches  Hofmuseum  in  Wien: 

Annalen.  Bd.  VI.  Nr.  2.     1891.    gr.  8^. 

K.  K.  geologische  Reidisanstält  in  Wien: 

Jahrbuch.  Jahrg.  1890.  Bd.  40.  Heft  3.  4.  Jahrg.  1891.  Bd.  41.  Heft  1. 4^ 
Verhandlungen  1891.  Nr.  8—14.    4«. 

K.  R.   UmversitätS'Bibliothek  in  Wien: 

Pfatf,  Rede  auf  Zeiller.     1891.    ^, 
Lustkandl,  Sonnenfels  und  Kudler.     1891.    8^. 

K,  K,  UnicersitätS'Stemwarte  in  Wien: 
Annalen.  Bd.  VII.     1891.     gr.  4®. 

Nassauischer  Verein  für  Naturkunde  in  Wiesbaden: 

Jahrbüöher.  Jahrg.  44.     1891.     8®. 

Physikalisch-medizinische  Gesellschaft  in  Würzburg: 

Verhandlungen.  N.  F.  Bd.  XXV.  Nr.  8.  4.  5.     1891.    8«. 

Sitzungsberichte.  1891.  Nr.  2.  3.    8^. 

Natur  forschende  Gesellschaft  in  Zürich: 
Vierteljahrschrift.  35.  Jahrg.  Heft  3.  4.   36.  Jahrg.  Heft  1.  1890/91.  ^. 

Physikalische  Gesellschaft  in  Zürich: 
4.  Jahresbericht  f.  d.  J.  1890.     1891.    8^. 


Verzeichiiinfi  der  eingelaufenen  Druckschriften.  335 

Von  folgenden  Privatpersonen: 

Antonio  Aloi  in  Caiania: 

)oir   influenza   deir   clectricitä  atmosferica  sulia  vegetazione   dclle 

piante.     1891.    8". 
Sulla  traspirazione  cuticolare  e  stomatica  delle  piante  terrestri.  Catania 

1891.    8*. 

Florentino  AmegJtino  in  Buenos  Aires: 
[^evistiv  Arpentinia  de  historia  natural.  Tom.  I.  entr.  3.     1891.    8®. 

Rudolf  Blasius  in  Braunschtceig: 

Systematische  Uebersicht  der  Vögel  Bayerns,  von  A.  .1.  Jäckel,  heraus- 
gegeben V.  Rud.  Blasius.    München  1891.    8^. 

Le  Dr.  Bonne joy  (du   Vcjcin)  in  Paris: 
Le  Vegetarisrae.     Paris  1891.    S^. 

Giovanni  Canestrini  in   Venedig: 
Abbozzo  del  sistoma  acarologico.     1891.    8^ 

B.  Fresenius  in  Wiesbaden : 

Chemische  Untersuchung  der  Trink-  oder  Bergquelle  des  Bades  Ber- 

trich.     1891.    8^. 
Analyse  dej  Julianenbrunnens  u.  d.  Georgenbrunnens  im  fürstl.  Bade 

Eilsen.     1891.     &>. 

Konrad  GanzenmüUer  in  Dresden: 
Kura  Kawar.  Ukerewe  Njansa.     Weimar  1891.     8^. 

S.  P.  Langley  in  Paris: 
Rech*.»rchos  experimentales  aerodynamiques.     1891.     4*^. 

Jimilie  Lemoine  in  Paris: 

Contributions  a  la  geometrie  du  triangle.     1889.     8^. 
Sur  les  triangles  orthologiques.     1890.    8^'. 

Max  Kolb  in  München: 

Die  europaischen  und  überseeischen  Alpenpflanzen.   Lief.  1 — 8.  Stutt- 
gart.    1889.    8«. 

A.  Kurz  in  Augsburg: 

5  Abhandlungen.  Sep.-Abdr.  aus  d.  Repert.  d.  Physik : 
1.  Zwei  Ap])arate  zum   Rollen   und  Gleiten   auf  der  schiefen  Ebene. 
II.  Mittheilung.    2.  Elementare   Darstellung  des  RegenbogonK. 

I3<>1.  Uatb.-phyB.  Cl.  3.  23 


33t 5  Verzeiehniss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

3.  Die  gewöhnliche  Linse  nnd  der  Achromatismus.  IIL  Mit- 
theilung. 4.  Die  Elasticität  der  Coconfaden.  5.  Stroboskopische 
Demonstrationen. 

Der  Arbeits  begriff  in  der  Elektrik.  S.A.  aus  den  Blättern  fiir  da-* 
baver.  Real  Schulwesen. 

Da»  AufiT^burger  Wetterhäuschen.  S.-A.  aus  d.  Augsburger  Sonntags- 
blatt  1891  Nr.  11  u.  21. 

Die  thermische  u.  mechanische  Au-^dehnung  des  Kautschuks.  II.  Mit- 
theilung.    1891.    8". 

FcnJinand  r.  Müller  in  Melbourne: 

Iconographv  of  Australian  ^aläolaceous  Planta.  Decadc  I — VII. 
1669AK).     4". 

fK  A,  L.  Pihl  in  Christiania: 
The  Stellar  Cluster  z  Per^ei.     1891.     4'». 

Miihclc  H'.ijna  in    Vthcditj: 
Sulle  oclissi  solari  di*l  0  Giugno  1691  e  del  IG  Aprile  1893.    1891.    8". 

Karl  von  Scherzer  in  Genua: 
Der  wirthschattliihe  Verkehr  der  liegen w.irt.     Wien.  1891.     S". 

für  st  Grijhjri  Stouniza  in  ParifC 
Le>  l«">i>  fondamt-ntale*  de  i'univers.     1S91.     gr.  8". 

.l'.ii>:i/.o    Jn'liii'"  in   Piil'.rm'i: 
Moitu-i  i'..^i.inicu>  l*anoM:iit:inu<.  Toxii.  II.  Fa-c.  S.     1S91.     Fol. 

Jltnn/    WiJ'.if  in  Lvnihm: 
On  iln'  i.iU-M-  o!' de  riu'::.:neE.i  oi' l'-rn'^iri.il  M.iijrnei'ini.      \>\\\.    -V*- 

Ii**f"  r'.    M'ii  It»  r  in   JN'i« r »< /• » r*/ : 
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337 


Nainen-Reffister. 


v;in  Bcnedeii  Eduard  (Wahl)  273. 
Boltzmann  Iiudwijr  (Wahl)  273. 
Brill  Alexander  207. 

Capellini  Giovanni  (Wahl)  273. 

Dvck  Walther  23. 

Finsterwalder  Sebastian  180. 

V.  Giimbel  Wilhelm  79.  274. 

Haeokel  Ernst  (Wahl)  273. 
V.  Haerdtl  Eduard  189. 
Hebert  PMuard  (Nekrolog)  146. 
Ilenneberg  Wilhelm  (Nekrolofj)  IGl. 
Hessler  Franz  (Nekrolojj^)  139. 

Künigäberger  Leo  275. 

Lommel  Eugen  181. 

Recknagel  (^eorg  .'). 
Küdinger  Nikolaus  121. 

V.  Siindberger  Friedrich  VM.  281. 
Seeliffer  Hugo  239.  247. 
:<teinheil  Adolf  1. 

V.  Tschichatscheff  Peter  (Nekrolog)  175. 

V.  Voit  Carl  139.  180. 
Voss  Aurel  59. 

Weber  C.  Ludwig  59. 

Will  Heinrich  (Nekrolog)  154. 


338 


Sach-Reffister. 


Bilder,  erzeugt  von  optischen  Systemen  grösserer  Oetfnung  und 
grösseren  Gesichtsfeldes,  aof  Grund  der  SeidePschen  Formeln 
untersucht  180. 

Curvensysteme,  über  die  gestaltlichen  Verhältnii^se  derselben,  definirt 
durch  eine  Differentialgleichung  erster  Ordnung  zwischen  zwei 
Variabein  23. 

Differentialvarianten,  speziell  in  der  Flächentheorie  59. 
Druckschriften,  eingelaufene  221.  819. 

Erzgang  der  Grube  Sagra  Familia  in  Costarica  191. 

Erzgänge  der  Gegend  von  Freudenstadt  und  Bulach  im  wQrttem- 
bergischen  Schwarzwald.  281. 

Extinction  des  Lichtes  in  der  Atmosphäre  247. 

Function  von  zwei  Veränderlichen  in  der  Umgebung  einer  Null- 
stelle 207. 

Geognostische  Beschreibung  von  Bayern  274. 

Glykogenbildung,  nach  Aufnahme  verschiedener  Zuckerarten  18^^ 

Inklination,  Messung  der  magnetischen  59. 

Irreductibilität    der    algebraischen    partiellen    DitFeröntiulgleicliung-^- 

svsteme  275. 
Lieberkühn'sche    Drüsen,    Umbildung    derselben    durch    die    Solitär- 

follikel  im  Wurmfortsatz  des  Menschen  121. 

Nekrologe  139.  146.  154.  161.  175. 

Optik,  Handbui'h  der  angewandten  1. 

Problem  der  drei  Körper,  Skizzen  zu  finem  sprziollen  Kall  (le.s<('ll)f»n  180. 

Schwinj^ungsriihtun;,'  des  polari-^irten  Licht«*.«  181. 
Strahlenbrechung  in  der  Atmosphäre  239. 

Thermen  von  Bormio,  geologische  Bemerkungen  über  dit^selben  79. 

Wahlen  273. 

Wohnung,  zur  Hy^'irn»'  derselben  5. 


Stl^^BerdmiM/i/iyjihtlr//m.  7a/: t 


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Sitzungsberichte 


der 


mathematisch -physikalischen  Classe 


der 


k.  b.  Akademie  der  Wissenschaften 


zu  I^ünchen. 


Band  XXII.    Jahrgang  1892, 


Mfinchen. 

Verlag  der  K.  A.kademie. 
1893. 

In  Commission  bei  G.  Franz. 


Uebersicht 

des  Inhaltes  der  Sitzungsberichte  Bd.  XXII 

Jahrgang  1892. 


Die  mit  *  bezeichneten  Abhandlungen  sind  in  den  Sitzungsberichten  nicht  abgedruckt. 

Oeffeniliche  Sitzung  der  kgl,  Akademie   der  Wissenschaften  zur 
Feier  des  133.  Stiftungstages  am  28.  März  1892. 

V.  Pettenkofer:   Einleitender  Vortrag       189 

V.  Voit:   Nekrologe 196 

Oe/fentliche  Sitzung  zu   Ehren  Seiner  Majestät  des  Königs  und 
Seiner  Königl.  Hoheit  des  Prinzregenten  am  15.  November  1892. 

M.  V.  Pettenkofer:   Einleitender  Vortrag 365 

Wahlen 367 


Sitzung  vom  Ü.  Januar  1892. 

*H.   Rauff:    Untersuchungen    über   die    Organisation    und   die 

systematische  Stellung  der  Receptaculitiden 1 

G.  Bauer:  lieber  die  Darstellung  binärer  Formen  als  Potenz- 
summen und  insbesondere  einer  Form  vom  (trade  2n  als 
eine  Summe  von  >i  +  l  Potenzen 3 

Sitzung  vom  6.  Februar  1892. 

*A.  V.  Baeyer:    Ueber    die    Reduktion    der  Benzolcarbonsäure      21 
C.  V.  Voit:   Ueber   den  Einfluss   verschiedener  Nahrungsmittel 
auf  den  Wassergehalt  der  Organe  und  den  Hämaglobin- 
^ehalt  des  Blutes 21 


^^ 


IV 

Sitzung  vom  5.  März  1S92,  seiu 

Jac.  Lüroth:  Ueber  die  Bestimmung  einer  Fläche  dui*ch  geo- 
dätische Messungen 27 

L.  Boltzmann:  Ueber  das  den  Newton'schen  Farbenringen 
analoge  Phänomen  beim  Durchgang  Hertz^scher  elek- 
trischer Plan  wellen  durch  planparallele  Metallplatten  53 

R.  Emden:   Ueber   den    Magnetismus   des   Eisens    unt«r    dem 

Einfluss  elektrischer  Schwingungen    (Mit  Tafel  I)     .     .     .      71 

H.Brunn:    Ueber  Verkettung    (Mit  Tafel  IT -IV) 77 

Walter  Dyck:  Ueber  die  gestaltlichen  Verhältnisse  der  durch 
eine  Differentialgleichung  erster  Ordnung  zwischen  zwei 
Variabein  defiuirten  Curvensysteme  (zweite  Mittheilung) 
(Mit  Tafel  V— VII)    .     .    ,    \ 101 

W.  V.  Gümbel:    Geologische    Bemerkungen    über    die    wanne 

Quelle  des  Brennerbades  und  ihre  Umgebung      ....     137 


Sitzung  vom  7.  Mai  1892. 

A.  Pringsheim:  Zur  Theorie  der  Taylor'schen  Reihe  und  der 
analytischen  Functionen  mit  beschränktem  Existenz- 
bereich       211 

A.Voss:    Ueber  die  Fundamentalgleichungen  der  Flächentheorie     247 
*N.  Rüdinger:    Uobergabe    eines    von    demselben    zusammen- 
gestellten   Kataloges    der    aiithropolo^isrhen    »Sainiulung 
der  hiesigen  anatomischen  Anstalt 21(» 

Sitzung  vom  11.  Juni  ISO 2. 

L.  Boltzmann:  Ueber  ein  Medium,  dess«»n  mechiini.sche  Eigen- 
schailen  auf  die  von  Maxwell  für  den  Kiekt r()ma«;neti>mu.s 

aufgestellten  Gleichungen  führen.     Theil  I 279 

A.  C.  Gill:    L'eber  Auflösung  und  Waclisthum  der  Krystalle    .     303 
*A.  V.  Baever:    Ueber  die  Svntliese  des  Dihvdrobenzols       .     .     271» 


♦  i ' 


Sitzung  vom  2.  Juli  1^92. 

(.'.  V.  Kupffer:    Mittheilungen  über  die  Entwieklung  de>  Störs     307 
'  \.  V.  Baever:    Weitere  Versuche   über  die  .Synthese   de>.   Di- 

hydroparaxylols 307 


V 
Sitzung  vom  5,  November  1892, 

Seite 
L.  Boltzmann:    Studien   über  Gleichgewicht   der   lebendigen 

Kraft.    III.  Theil       829 

*£.  Lommel:   Vorlage   der  gesammelten  Abhandlangen  G.  L. 

Ohm's 327 

L.  Sohncke:  Ueber  wissenschaftliche  Luftfahrten  des  Münchener 

Vereins  für  Luftschifffahrt 369 

*L.  Radlkofer:    Verlauf  und   Ergebnisse   des  internationalen 

botanischen  Congresses  zu  Genua 328 

M.  y.  Pettenkofer:  Vorlage  von  Photographien  eines  in  den 

Pampas   ausgegrabenen   grossen  diluvialen  Säugethieres    328 


Sitzung  vom  3,  Dezember  1892. 

E.  Lommel:  Sichtbare  Darstellung  der  aequipotcntialen  Linien 
in  durchströmten  Platten.  Erklärung  des  HalFschen  Phä- 
nomens      371 

*W.  Dyck:  Vorlage  des  Kataloges  mathematischer  und  mathe- 
matisch-physikalischer Modelle,  Apparate  und  Instrumente    370 


Einsendung  von  Druckschriften 309,  377 


Sitzungsberichte 

der 

kflnigl  bayer.  Akademie  der  AVissenschaften. 


Mathematisch-physikalische  Classe. 

äitzun^  vom  9.  JaDuar  1892. 

1.  Herr  K.  A.  v.  Zittel  berichtete  über  den  Fortgang 
seiner  M()nogisii>hie  iil)er  fossile  Spongieii  und  legte  zugleicii 
eine  Abhundlung  seines  Mitarbeiters,  des  Herrn  Dr.  Hkkmann 
Kauff  in  Bonn:  „rntersuchungen  über  die  Organisation 
und  die  systematische  Stellung  der  Receptaculi- 
tiden"  vor.  Dieselln»  soll  in  die  Denkschritlen  aufgenommen 
werden. 

2.  Herr  Gustav  Bauer  hielt  einen  Vortrag:  ,über  die 
Darstellung  binärer  Formen  als  Potenxsummen  und 
insbesondere  einer  Form  vom  Grade  2n  als  eine 
Summe  von  v   {    1   Potenzen.** 


189S.  Uatb.-iihyH   CI.  1. 


:3 


üeber  die  Darstellung  binärer  Formen  als  Potenz- 
summen und  insbesondere  einer  Form  vom  Grade 
2  n  als  eine  Summe  von  n  -f.  i  Potenzen. 

Von  Gustav  Bauer. 

(Eing^n/tn  IS.  Jantuir.} 

1.  Ist  /  eine  binäre  Form  n^^  Grads,  ip  eine  solche  i***"  Grads 

/•     ao^  +  (?)öti^r^^2H I-^'m^S  (1) 

i/'     Kx^,+(\)b,x\''x^+-"+b,x*;,(i<u)   (2) 
und  man  bildet  aus  ip{x^^x^)  das  Operationssymbol 

und  operirt  hieniit  auf  /',  so  erhält  man,    wie  bekannt,   eine 
Covariante  von  f  und  ip  (Intermutante)  vom  Grade  n  —  t 

V    Co  xp'+  («7')  f  1  xp»-»  ^2+  •  • ,  (3) 

deren  Coefficienten  c  durch  die  Formel 

bestimmt  sind.    Ist  speziell  t     n,  so  reducirt  sich  F  auf  eine 
Invariante 

Vo  «0  K  (r) «.  ^-. + (?) «.  ''h...  -  •  ••  +  ( -D" «« *o- 


4  Sitzung  der  math.'})hy8.  Glosse  vom  9,  Januar  1892, 

Denkt  man  sich  durch  die  Formen  /  und  \p  m,  resp.  i,  Punkte 
einer  Geraden  dargestellt,  so  ist  die  Covariante  V  geometrisch 
definirt  als  die  gemischte  Polare  der  i  Punkte  iff  in  Bezug 
auf  die  n  Punkte  /.  Sind  nun  die  Coefficienten  h  von  i/'  so 
bestimmt,  dass  die sämmtlichen  Coefficienten  c^    •  •  c,  •  •  •  c^_.  von 

F  verschwinden,  so  kann  man  \),  analog  zu  der  Bezeichnung 
von  Herrn  Reye  im  ternären  und  quaternilren  Gebiet,  die 
Form  xf)  als  apolar  zu  f  bezeichnen,  und  es  gilt  dann  all- 
gemein der  Satz:  Soll  die  Funktion  f  in  eine  Summe  von 
i  Potenzen  zerlegt  werden,  in  der  Weise  (5) 

so  müssen  x^—a^x^^x^—a^x^-  Linearfaktoren  einer  zu  / 
apolaren  Form  W  sein. 

Ist  /      — - —  (w  ungerade),  so  ist  ^  vom  Grade  — - —  mit 

— - — Coefficienten,  und  man  hat  mithin  — ^ —  Gleichungen 

zur  BestimnuHig  der  Coefficienten  b.    Die  apohire  Function  i/' 

ist  dann  vollkommen  bestimmt  und    e>  gibt   dann  auch   nur 

1 

eine  Zerlegung  von  /  in  — —    Potenzen.    Es  ist  die  bekannte 

von  Sylvester  gegebene  Zerlegung  einer  Form  vom  (irad*.^ 
2m  1  in  die  canonisehe  Form  einer  Summe  von  m  Po- 
tenzen.*) 

Ist  /  M,  so  hat  man  nur  eine  Bediugungsgleichung  fiir 
die  &,  nämlich  V^  0;  man  kann  dann  die  h  so  be<itimmen, 
dass  W  apolar  wird  zugleich  zu  w  Formen  /*,  ..../'^w*«»  Grads, 

welche  sämmtlich  mittelst  der  Linearfiiktoren  von  if'  in  Summen 

1)  Sturm.   , Darstell UDf^  bin.  Formen  auf  der  culäsolicn   Raum* 
curve.  L'relle's  Joum.  IW.  SO.  S.  117. 

2)  Pliilov  Majj.  4.  .Ser.  Vol.  II.  1Ö51.  ^?.  391. 


i) 


Sitzung  der  mathrjihys.  Classe  vom  9,  Januar  1892. 


abhängig,  in  einer  so  einfachen  und  eleganten  tiestalt,  dass 
sie  wohl  mitgetheilt  zu  werden  verdient. 

2.  Aus  der  Vergleichung  der  Coefficienten  der  Form 


0) 


mit  den  Coefficienten  der  Entwicklung 


/■    A^(«,    -«ia;,)"+-  +  ^r(x,-a,x^)-  (2) 


ergebiMi  sich  sofort  die  w  -j-  1   Gleichungen 

/«,  «J  +  Z'o  «?  +  •••  +/',  ^)  =  (—  !)*«* 

(k     0,1,. ..iO 


1 


(■0 


Aus  irgend  i  dieser  Gleichung  erhält  man  die  Werthe  der  /i. 
Nehmen  wir  zuerst  die  i  ersten  dieser  Gleichung  um  ^,  zu 
berechnen,  sodann  die  i  Gleichungen  von  der  2^"  an  u.  s.  f., 
schliesslich  die  i  letzten  Gleichungen  des  Systems,  so  haben 
wir  «  +  2  — »  Systeme  von  je  i  Gleichungen,  aus  welchen 
wir  ebensoviele  Werthe  für  jWj  finden.  Die  Vergleichung 
dieser  Werthe  liefert  n  +  1  —  i  Relationen  zwischen  den 
(irössen  a^  •••a,  und  den  Coefficienten  a.  Um  diese  zu  be- 
rechnen, nehmen  wir  die  i  Gleichungen. 

/i,  o*  +  •  -  •    +  /i.aj  +  (~  1)*+'  a^       i) 


woraus  sich  ergibt 


-^/'j 


(      1) 


*+• 


1 


1 
a 


< 


«i  4 


1 

a 


i 


-    "i 
+  a 


k+\ 


a 


k+i 


(4) 


Bauer:  DaratclhuHj  bituircr  Fitrmcn  als  Totaizsammcn. 


wo  !    1        1     •      1 


d]      of  .   .of      !    .  (5) 


1  i  % 

Setzen  wir  in  (5)  h  +  1  statt  /c,  setzen  sodann  die  beiden 
Werthe  von  //j  einander  gleich  und  entwickeln  die  beiden 
Determinanten  nach  den  Coefficient^n  a,  so  erhalten  wir 

wenn  man   mit  d  .  die  Unterdeterminante  von  ^  bezeichnet, 

welche  man  erhält,  wenn  man  in  J  die  Reihe  der  r**"  Po- 
tenzen und  die  Vertikalreihe  mit  der  Wurzel  a,  streicht. 
Nun  ergibt  sicii  unschwer  die  Formel 

wo  ^'J*li_y  die  Summe  der   Combinationen   aller  Wurzeln   a 

mit  Aiischluss  von  a^  zu  je  i—r—\  bezeichnet.     Die  tirikse 

d.  ,    aber  ist,   wie  man  aus  ihrer  Determinantenform  sofort 

ersieht,  das  Product  sämmtlicher  Differenzen  der  Wurzeln  a 
mit  Ausschluss  von  a,  mit  einem  gewissen  Zeichen  behaftet, 
nämlich 

Ersetzt  man  nun  in  (6)  die  Grössen  d^^  durch  ihre  Werthe 
aus  (7),  so  verwandelt  sie  sich  in  folgende  Gleichung 

+  a^-i^«i  +  V,  =  0  (9) 

wo  die  2  symmetrische  Funktionen  sämmtlicher  Wurzeln  a 
(a^  einbegriffen)  sind.    Die  Symmetrie  der  Gleichung  in  Be- 


8  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  9,  Januar  1803. 

ziig  auf  sänimtliche  Grössen  a  zeigt,  dass  wir  immer  dies^elbe 
Gleichung  erhalten  würden,  wenn  wir  zur  Berechnung  statt 
fl^  irgend  ein  anderes  ju  benützen  würden.  Wir  haben  also 
nur  diese  Relation  zwischen  den  a  und  den  a;  dieselbe  zählt 
aber  für  n-|-l  — t  Relationen,  da  sie  für  jedes  k  von  k  0 
bis  k^n  —  i  gilt. 

Ist 

^-\  ^\ + (0*1  ^r'  ^,  +  ••••  0      (10) 

die  Gleichung,  deren  Wurzeln  die  Grössen  a,  «a^.  sind,  so 
geht  die  Relation  (9)  über  in 

«*  h  -  (0  «*+i  ^-1  +  (2 )  ^'*+2  ^-2 +  «*+.  *o      <>  ( 1 1 ) 

(t  -  0, 1,  ""V  -i.) 

Damit  ist  aber  der  Beweis  geliefert,  dass  die  Covariante  V 
verschwinden,  d.  h.  ip  z\x  f  apolar  sein  muss. 

Was  nun  aber  die  Coefficienten  fi  in  der  Entwicklung 
(2)  betrifft,  so  ist  ju^  durch  die  Gleichung  (4)  gegeben,  wenn 
wir  statt  der  Reihe  der  Potenzen  von  «j  die  Reihe  der  Potenzen 

von  a    weghissen   und   den    Faktor  (— 1)*~     beifügen.     Die 

Die  Entwicklung  der  Determinanten  liefert  .sodann 

8 

(»der  wenn  wir  die  ä  durch  ihre  Werihe  aus  (7)  und  {^) 
ersetzen, 

<         («.-«.)(«.-«t)  ••(«.-«,■) 

Aus  dieittsni  Aiudruck  für  ft^  können  wir  aber  alle  a  ausser 
a  mit  Hilfe  der  Funktion  ip  entfernen.  Denn  es  iüt,  wenn 
>/''  die  Abgeleitete  von  iIj{x)  bezeichnet 


Bauer:  DarsteUatuj  binärer  Formen  als  Potenzttummen.  ^ 

Setzen  wir  ferner  (13) 


^ 


-=K  ^r  ^+C70«^\'^^r'^2+ •  •• + ^^.i  4"^  ^ 


HO  ist  C':^)  _I  --  _  n['^  u.  s.  f.  und  der  Ausdruck  für  a  nimmt 
die  Form  an 

(fc    -0,1,-  .,w-i+l). 

Du  die  Coefficienton  b  nur  von  den  a  abhängen,  aber  die  a 

nicht  enthalten,  so  enthalten  die  6^*^  nur  die  eine  Wurzel  a 

und  man   ersieht  mithin,   dass  sich   die  Grössen  fi  immer  so 
bestimmen   lassen,    dass  der  Coefficient  ft ,   der  in  der  Ent- 

Wicklung   nach    Potenzen    (Xi  —  a^x^)'^    multiplicirt,    nur    a, 
enthält.  ^) 

3.  Wenden  wir  nun  diese  allgemeinen  Formeln  an  auf 
die  EntwickluniT  einer  Form  vom  Grade  2n 


in  eine  Summe  von  w+  1  Potenzen. 
Die  apolare  Form 

ip  6o^r+'+c•to^^^2+••••        (2) 

ist  in  diesem  Falle  nicht  vollständig  bestimmt,  da  das  Glei- 
chungsystem (11)  w®2  nur  2w  — (n+l)--^n— 1  Gleichungen 
zur  Bestimmung  der  n-\-\  Coefficienten  h  liefert.  Wir  könnten 
aus  diesem  System  die  b  in  der  Form  p^  +  2^'  ,Pi^  +  Si^'i 

1)  Man  ersieht  übrigeziH  auch,  dass  v^  =  0  keine  gleichen  Wurzeln 
enthalten  darf,  wenn  die  Entwicklung  möglich  sein  soll. 


10  Sitzung  der  math.'phy^.  Cla^e  rom  C».  Januar  IbO:^. 

u.  &.  f.  berechneD.  wo  Ä.Ä'  unbestimmte  Grossen,  und  es  bliebe 

sodann  die  willkürliche  Grosse  -n-  in  den  Werthen  der  Wur- 

zeln  a  und  der  Grossen  u.  <)der  auch,  wir  konnten  zu  dem 
System  (11)  noch  eine  beliebige  lineare  Gleichung 

hinzufugen.  Sind  hier  die  a  gegebene  Zahlen,  so  bliel>e  nichts 
Unbestimmtes  mehr  in  den  6  und  wir  würden  eine  spezielle 
Entwicklung  erhalten.  Lassen  wir  aber  die  a  unbestimmt, 
so  wurden  diese  in  die  b  eingeiien.  ohne  dass  jedoch  eine 
grossere  Allgemeinheit  in  der  Entwickhmg  dadurch  erzielt 
wurde,  als  im  ersten  Falle,  wenn  wir  keine  weitere  Gleichung 
zu  Hülfe  nehmen.  Zweckmässiger  wird  es  jedoch  bei  dieser 
Unbestimmtheit  der  Coefficienten  b  sein,  eine  Wurzel  u  der 
Gleichung  ip  0  als  willkürlich  gegeben  anza'^hen.  Dann 
muss  sich  eine  Gleichung  aufstellen  lassen,  welche  mittelst 
dieser  Wurzel  die  n  übrigen  Wurzeln  a  bestimmt  und  mithin 
nur  noch  vom  w**"  Grade  ist.  Diese  Gleichung  ergiebt  sich 
auf  folgende  Weise. 

Nach  Gleichung  (14)    cnler  (12)   haben  wir  für   u    das 
System  von  Gleichungen 

ik     0, 1, -•••w) 
wo  der  Kürze  wegen  il*  statt   .    if»  gesetzt  ist,  also 

Die  Elimination  der  n  Grässen  /r  aus  diesem  Svstem  liefert 


«i«»-  ««+1 


(-1»  '/'(a)/i,  =  0 


N       M  +  1  -M  **       N'T'  -*N— !  « 


Bauer:  Darstellmig  binärer  Formen  ah  Potenzsitmmcn.        11 


Setzen  wir 


a  a  .   'a. 


J, 


1 


a  I 


A  (5) 


I 


s()  ]»t  mithin 


(- 1 )"/'.- - 


A  •/'(«.) 


(•5) 


Nun  ist  ferner  f//a;  -0  die  Gleichung,  welche  die  sämmtlichen 
a  mit  Ausnahme  von  a^  zu  Wurzeln  hat.     Also  ist 

die  Gleichung  dieser  Wurzeln.  Nehmen  wir  diese  Gleichung, 
zu  dem  System  (3)  hinzu  und  eliminiren  aus  den  ii-{-2 
Gleichungen  zugleich  die  /r  und  i//',  so  erhält  man  die  ge- 
suchte Gleichung 

1  —x     +a?2    ••    -f  a;"        0 


«0       «. 


a 


(i. 


a. 


a 


%      «H+l        %+2 


a 


l 


«2H  ±«r 


0, 


(8) 


welche,   wenn   a^  gegeben   die  n  übrigen  Wurzeln  a  gibt. 

Der  Goef&cient  der  höchsten  Potenz  x^  in  dieser  Gleichung 

ist  Ä^.     Also  ist  diese  Determinante  in  (8),  wie  aus  (7)  zu 

ersehen  ^  A^  '/''(*)•    Der  Nenner  von  /u^  in  (6)  ist  also  das, 

was  diese  Determinante   wird,  wenn   man  darin  a    statt  x 
flrtzt.    Also 


12 
wo 


Sitzuntj  der  mathrphys,  Classe  vom  0.  Januar  tti02. 


1    — «  +a2     ..  +  «*• 


^K) 


a. 


a 


a, 


a, 


a. 


a, 


a. 


0 
1 


a    ,  —  ct 


I 


a„     «„+,  «^-2 


«2«  ±«r 


(10) 


und  die  Entwicklung  von  /'  ist  mithin 

(-  1)"  •  /■  = 


(11) 


HiaJ 


+ 


Hia,) 


+  ••  •  + 


(X.- 


Die  Determinanteu  die  zu  dieser  Entwicklung  dienen, 
sind  bekannte  Covarianten,  resp.  Invarianten  von  /".  J  ist  die 
bekannte  Invariante  n  +  1**^°  Grads,  welche  symbolisch,  wenn 


f     bl-^-cl'^ 


^X  X       J 


durch  die  Formel  durgestellt  wird, 

Jr=--{bcY(bdf-ighf. 


(12) 


H  ist  eine  Uovariaiite  C*«        von   der  Ordnung  2  n  und 

vom  Urade  n  in   den   Coefficienten.     Sie   ist  die   Evektante 
der  Invariante  e/^ ,  j  und  stellt  sich  mithin  symbolisch  in  der 


Form  dar 


H    {cdf-{(jhfcldl---hl 


(1:3) 


Diese    Covariante   lässt   sich   auch   schreiben,    wenn    C   ein 
Zahlenfaktor, 

(P»-2/'         d^^-^-'f  d^x-^-f 


rfa^f"-" 


dx]''~^dx^       da;y~'da;J~' 


I  M 


(14) 


(f«7-'  da;;-' 


(T' 


M-2 


/ 


dxl"-^ 


Bauer:  Varstellufig  binärer  Jfbnnen  als  Potemsummen,       13 


Ist  f  eine  biquadratische  Form,  so  ist  H  die  Hesse'sche 
Covariante. 

Die   Determinante   (8),    welche   die  Wurzeln   a  liefert, 
wenn  a^  gegeben,  ist  eine  Covariante  vom  w**"  Grad  in  den 

a?,  und  in  den  a  und  auch  vom  n*®°  Grad  in  den  a.  Sie  ist, 
wie  sich  aus  den  folgenden  n^4  ergeben  wird,  die  apolare 
Form  n*®'  Ordnung  von  der  Polaren  von  a  in  Bezug  auf  /", 
also  geradezu  die  Sylvester^sche  Ganonisante  dieser  ungeraden 
Form  (2w— 1)**°  Grads.  Sie  kann  auch,  wenn  (a,/*)  die 
Polare  von  a  bezeichnet,  in  der  Form  geschrieben  werden 


din^^{af)      cP^-^aß        (P"-8(o/) 


da:2n-2 


d^^'^ '  {af) 


d^x]^"^  dx^ 


da^"^  dayj""' 


(15) 


Der  symbolische  Ausdruck  derselben  ist 

Hier  mögen  ein  paiir  Beispiele  einer  solchen  Entwick- 
lung folgen: 

1)  Sei  /•- (.T^-l)»-/-    3a;»  +  3a;2_i 
a^  —  1,  a,  -  0,a,     ——,0,  =  0,  n«      "fr»  «5  ^0,  a,  -  —  1 


Hieniit  berechnet  sich 


/= 


42 
5*" 


Gleichung  (8)  wird 

^{(o  +  a-'»)ar»-(l+5a2)a;2  +  (5a+a«)a;-(l+a«)[-0 


14  Sitzung  der  mcUh.-phys,  Glosse  vom  9.  Januar  1892. 

Auf  der  linken  Seite  x^a  gesetzt,  gibt 

H(a).-i(a»-l)3, 

also  H  nur  um  einen  constanten  Faktor  von  f  verschieden, 
analog  wie  bei  biquadratischen  Formen,  wenn  /  ein  voll- 
standiges  Quadrat.     Die  Zerlegung  ist  daher 

_,.      i\{x     g,)«      {X  -  a,f  Ax-a,Y      {x  -  a,f  \ 
'       5  j(aj-  ly  "^  {al-lf  "^  (ai-  ly  "^  {d^      \yj 

Die  Wurzel  der  obigen  Gleichung  3**°  Grads  sind 

«~   a'  aj~  l+a« 

Einfacher  wUrde  die  Formel,  wenn  man  a  - — -j  setzt. 
Dann  sind  die  4  Wurzeln 

l+ß         \-ti  \  +  ßV~~\  1     t^V~T 

wo  nun  ß  beliebig  bleibt. 

2)  Sei  /•     *Ja://(:r* -{-//*). 

^'j    ^5    ^'^0    ^<    ^3    ^4    ^'c    ^^  j^'^<>  '^    1- 

Die  Gleichuni^  (8)  wird 

a -j' X'^cfla^-\-a^x^      0, 

deren  Wur/eln  a,  a ,  a,        - 1"^     1  , «-  l^     1 . 

Die  linke  Seite  der  Gleichung  gibt,  wenn  u  statt  x  g(»M?tzt 
wird. 


lt>  Sitzung  der  malhrphys,  Classe  vom  9.  Januar  ]bi):i. 


f^^  oder,  nach  der  früher  gebrauchten  Bezeichnung,  zu  (y^/j,). 
Dies  folgt  sofort  aus  der  Theorie  der  Polaren  oder  der  har- 
monischen Mittelpunkte. 

Ist  f  --♦?,    also  ^n   ^Vk'^H-k^    ^^    muss    demnach    J/'^_j 

apolar  sein  zu  (^j^,/),)   und   wenn   n-  k  ungerade,   so   kann 

man  für  if>  _j^  diese   F^olare   ((p^^fj)    selbst  nehmen,    da  eine 

ungerade  Form  zu  sich  selbst  apolar  ist.^)  Dies  ist  der  Satz 
von  Herrn  Sturm. 

Aus  dem  allgemeinen  Satze  ergiebt  sich  nun  aber  sofort, 
was  oben  (rfiS)  von  der  Determinante  (8),  aus  welcher  die 
Wurzeln   a  sich   bestimmen,   gesagt  wurde.     Denn  ist  ip^^i 

apolar  zu  f^^  und  i/'^ , ,  zerlegt  sich  in  (pi  •  ^„^  so  muss  iff^ 

apolar  sein  zu  der  Polare  {(pi-f^n)-     Aber   diese   ungerade 

Form  (2n— 1)*«"  Grads  hat  nur  eine  apolare  Form  n****  Grads, 

nämlich  die  .Canonisante'*  von  Sylvester,  und  folglich  muss 
ip^   eben   die  Canouisante  von  {(p^  .f^J  sein;    also  auch  die 

Determinante  (8)  nach  dortiger  Bezeichnung  die  Canonisante 
von  (a/*).  Von  diesen  Betrachtungen  ausdrehend,  hätte  man 
direkt  zu  der  Gleichung  (8)  gelangen  können,  liätte  aber 
dabei  nichts  gewonnen  für  die  Bestimmung  der  Coeftieientt^n  u. 
5.  Es  ist  bekannt,  dass  wenn  die  Invariante  J  ver- 
schwindet, die  Form  /'2h^"  Grads  sich  in  eine  Summe  von 
nur  n  Potenzen  zerlegen  liLsst.  In  diesem  Falle  •/  0  ver- 
schwindet in  der  That  in  der  Entwicklung  (11)  der  Coef- 
ficient  pi  ,     welcher    zu    der    beliebigen    Wurzel    a^  gehört.. 

Die  andern  Coefficienten  ^  aber  verschwinden  im  Allgemeinen 
nicht.  Verschwindet  nämlich  ^^,  so  wird  das  System  der 
{n+  1)  Gleichungen  (3)  n^, 

(Ä  -0,l.-w) 

1)  Roüanes ,  Lieber  ein  Princip  der  Zuordnung etc/  Crelle'«  Journ.76. 


Bauer:  Daratelhititj  binärer  Formen  ah  Potenzsummen.        17 


deren  Determinante  J  0  Ut  Lässt  man  eine  dieser  Glei- 
chungen, z.  B.  die  letzte,  als  durch  die  andere  bestimmt,  weg 
und  nimmt  die  Gleichung  (7)  hinzu,  so  erhält  man  ffir  die 
(fleichnng,  welche  die  n  übrigen  a  gibt 


•'  a 


Hq     a^    a^ 


n 


a»_i«„  *«+i   -«i,-! 


0. 


(17) 


Die  willkürliche  Grösse  a^  hebt  sich  ganz  aus  der  Potenz- 
darstellung heraus.  Die  Determinante  in  (17)  ist  aber  nicht*? 
anderes  als   die  mit  A^  bezeichnete  Determinante  (5),    wenn 

man  darin  a  durch  x  ersetzt.  Für  jede  der  n  Wurzeln  a^ 
dieser  Gleichung  verschwindet  mithin  die  Grösse  A.  im  Nenner 
dei5  Ausdrucks  für  jw  (0)  und   alle  Coefficienten  ^  ausser  ^^^ 

welches      -0    wird,    nehmen   die    unbestimmte   Form         an. 

Dieselben  müssen  sodann  aus  den  ursprünglichen  Gleichungen 
direkt  berechnet  werden,  aber  die  Einfachheit  ihres  Ausdrucks 
geht  verloren. 

6.  Ist  speziell  /'  eine  biquadratische  Form 
und  ijf  die  apolare  f^^*'"  Grads 

•"   K  A  ^-  -^  K  -^-f  '-2  +  '^  h  ^i  4  +  ^-^ 2 , 

so  hat  nnin  die  zwei  He<1ingiinf»sgleich»ngen 

a ,  ?>s      ;<  ttj  h^  +  !^  «3  '-<,      «4  ^0      '*  • 
Ist,  nun  if>  eine  zweite  biquadratische  Form 


(2) 


C') 


(I) 


IS»2.  Matli.-pliyH.  Cl.  1. 


2 


18  Sitzung  der  mcUh.-phys.  Clause  rom  0.  Januar  1S92. 

und  soll  dieselbe  Form  \p  auch  apolar  sein  zu  ^,  so  hat  man 
die  zwei  weiteren  Bedingungsgleichungen 

und  es  ist  mithin  die  Bedingung,  dass  die  zwei  Formen  die- 
selbe apolare  Form  3**"  Grads  besitzen, 

S  »l  «f  ^s 

!  "o  "l  "2  "3 

Ist  diese  Bedingung^)  erfüllt,  so  kann  man  zur  Bildung  der 
apoluren  Form  irgend  drei  der  vier  Gleichungen  (3)  und  (5) 
Iwnntzen;  also 


^f^  I  "0   «*!»*«      ^3  /-^ 


1 

X  3?- 

-j." 

flo 

«.a« 

fls 

a. 

«»flj 

«s 

«;«; 

"i 

und  CS  werden  dann  die  beiden  Formen  f  und  (f  nach  den 
Potenzen  der  Linearfjiktoren  von  (/'  entwickelt  werden  können 
und  ebenso  überhaupt  alle   Formen  f-^).(f. 

V\\\  die  Coeltirienten  u  der  Entwicklung  für  die  ein 
und  die  andere  Form  zu  l»e>timnien,  wird  man  auf  die  Formeln 
in   //"*J   zurückgehen.      Ist  z.  B.  gegeben 

7       \x\A\,y  lS.r;.r:  ;-  12  .r.  .^r|-^- i^/* . 

U   Pii'    ronil»in.int«'    />^  ,      l»"i5«>t    -ich    l<^i«'ht    in    die     symbolische 
Kürm   ülM'rfiihren.     l^t   /'      »?^^  —  /»J  .  v   =  '0     "  /'^  •  ""  eihilt   man 

\  IK  ,       (.«i/»r  Hl/'» » "  ■i»(fM'' ■»■  ■'•'{  t'','' . 


Bauer:  Darstellung  binärer  Formen  als  Poicnzsummcn.        19 

so  ist  die  Bedingungsgleich nng  (6)  erfüllt,  da  /)/,7'  0  wird. 
Die  apolare  Form  (7)  wird 

deren   Wurzeln  a^  -  0,^;^      -^V^y^^  V\\. 

Ferner  wird  für  f  die  Gleichung  (8)  (w^3) 

Setzt  man  in  diese  Gleichung  für  a  irgend  eine  der  drei 
Wurzeln  0,  +■  \'^  ein,  so  liefert  sie  die  beiden  andern.  Die 
(Jovariante  H  (hier  die  Hesse'sche  Form)  wird 

g 
Da    ferner    e/jj---^,    so   erhält   man   für  die  speziellen 

Werthe  der  a  die  Entwicklung 

18/-     16a:*  +  (^-T3V  +  (-^  +  »/3)*. 
Ffir  y  aber  ist  J^         18,  die  Gleichung  (8)  (n<>3) 

-6a2+ 18      3(a2  +  3a)a;-(a2  +  3a  +  6)a?-     0 

Ist  a  eine  der  drei  Wurzeln  0,^V^3,  so  gibt  die  Gleichung 
die.  beiden  andern.     Hieraus  (a  statt  x  gesetzt) 

H{a)  (aM-6a3  +  21a2-  18); 

also 

If (0)      1 8 ,  ff (1  3)         (3  4-  V^3") ,  ff  f     V 3)      - 1 8  (3    V'3 ) 
und  die  Entwicklung  wird 

(^     V~if  ,   (:c+^3)* 
^     ^"  +  3Tv^3^+-3-v^    • 

7.    Eine   biquadratische    Form  /*  und    ihre    Ilesse'sche 

9* 


20  Sitzung  der  mathrphys.  Ciasse  rom  9,  Januar  1893. 

Form  //(/)  können  jedoch  nie  nach  denselben  drei  Potenzen 
enwickelt  werden. 

Denn  ist 
(f     //(/)     (a^a^-af) 0:1-1-2(0^03  -    a^a^)a^^x^-i"' 

und  bezeichnet  man  durch  «^ ,  aj ,  •     die  Coefficienten  von  // 
mit  Binomialcoefficienten  geschrieben,  also 

a'^     Uq  Oj      a? ,  a;      l  (tf©  ^5  "  ^i  «2)1  "•  «•  f-i  »o  wird 


«0  a,  «,  a«  1 

a'  n  a'  a'  ■ 

0    1     3     s 

27  .^3) 

3<»  '^ ' 

a'  a'  a'  a' 

12       8       4 

WO   /,    die   (|uadratische   Invariante,    J^    die  Invariante  3**° 
Grads,  nämlich 


«0  «1  öf 


h       ^'0  «4       **  «I  «8  +  ''^  «2   '  ^s         ^1  ^«  <^s 


fl«  «8  «4 


also   J  die   Disorinünante   von  Z'  ist.     Dies  lässt  sich   leicht 
mittelst  der  canonischen    Form  von  f  verificiren.     Das  Ver- 
schwinden der  Invariante  D/,q^  bedingt  mithin,    dass   /'  eine 
Doppelwurzel  hat.     Der  Doppelfaktor   von  f  ist  dann    auch 
Doppelfaktor   von   H^),     Berechnet  man   sodann  die  apolare 
Form  ip  (7)  von  f  und  H,    so  ergibt  sich,    dass  ?/'   geradezu 
die   dritte    Potenz    desselben    Faktors   ist.     Die    Nenner    der 
Coefficienten  fi  der  Darstellung  von  f  als  Potenzsumme  ver- 
schwinden  in   diesem    Falle   und   die   Entwicklung   wird  un- 
möglich. 

1)  ClebHch,  , Binäre  Formen"  S.  162. 


«•        ..-•-■   -      .      M, 


oo 


Sitzung  der  math.'phys,  Glosse  vom  6,  FebrtMr  1692. 


niii^   mit  Brod   haben   später  Pettenkofer   und  ich  auch 
durch   Kespirationsversuche  bestätigt. 

Um  die  wichtige  Thatsache,  das»  der  Organismus  Im;! 
der  unvollkommenen  Ernährung  mit  Brod  wässriger  wird, 
direkt  darzuthun,  habe  ich  damals  zwei  Katzen  während 
längerer  Zeit  mit  Brod  gefQttert,  einer  dritten  aber  das  ge- 
wöhnliche aus  animalischen  und  vegetabilischen  Nahrongs- 
mitteln  gemischte  Futter  verabreicht;  die  beiden  ersteren  ent- 
hielten darnach  in  der  That  im  Muskel  2 — 5  %,  im  Gehirn 
•i — 5  %  Walser  mehr  iil:?  die  letztere. 

Elf  Jahre  darauf  wendet«  Herr  V.  Subbotin  in  meinem 
Laboratorium    die  damals    von  Preyer  angegebene  Methode 
der  Bestimmung  des  Hämaglobins  im  Blute  an,  nm  bei  Te^ 
schiedener   Nahrung   den   Gehalt   an    Hämaglobin   im  Blute 
von  Kaninchen   und  Hunden    zu  ermitteln.     Es  zeigten  sich 
dabei   je    nach    der    Art   der    Nahrung   beträchtliche  Unter- 
schiede.    Auch    nach    langem  Hunger   fand  sich   die  gleiche 
Hümaglobinmenge  wie  bei  der  reichlichsten  und  besten  Nah- 
rung;   anders   jedoch    gestaltete    es  sich    bei    ungenügende! 
Nahrung.      Die    Kaninchen    hatten    bei    Fütterung   mit  Heu 
dio  «geringste  Menge  von  Hämaglobin,   etwas  mehr  bei  Füt- 
terung mit  Kartotteln  oder  mit  Rüben  und  Kohl,  am  meisten 
bei  Fütterung    mit  Brod;    darnach    schien    der  Hämaglobin- 
gehalt    mit   dem    Eiweiss   der  Nahrung   zuzunehmen.     Beim 
Hunde    trat   der  Eintluss  der  Art    der  Nahrung    noch   deut- 
licher hervor;  nach  Aufnahme  von  Fleisch  oder  von  eiweiss- 
reichem  Futter   war  die  Hämaglobinmenge  wesentlich  höher 
als  bei  Zufuhr  von  viel  stickstofFarmen  Substanzen,  besonders 
von  Brod.     Eine  eiweissarme  oder  an  stickstofffreien  Stuften, 
namentlich  an  Stärkemehl,  reiche  Nahrung  bewirkt  eine  Ab- 
nahme desHämaglobingehaltes,  also  diejenigen  Nahrungsmittel, 
welche    ein  Wässrigwerden  des  ganzen  Körpers  hervorrufen. 

Obwohl   ich    diese  Dinge  für  völlig  sichergestellt  halte, 
so  hatte  ich  doch  Veranlassung,  dieselben  nochmals  zu  prüfen. 


24  Sitzung  der  mcUhrfh^ßs.  Clane  com  6,  Februar  ISO'2. 

Die  näheren  Angaben  Ober  die  ^juanti täten  der  verzehrten 
und  resorbirten  Nahrung^stolfe.  :!»owie  über  die  <.TewiehtsTer- 
hältniäöe  der  Thiere  sollen  mit  eingehenden  Betrachtungen  in 
der  Zeitfichrift   fär   Biologie   zur  Veröffentlichung   gelangen. 

Aus  den  berichteten  Versuchen  geht  abermals  hervitr. 
daää  die  Zusammensetzung  der  Nahrung  einen  wesentlichen 
Einfluss  auf  den  Wassergehalt  der  Organe  und  des  Blutes 
und  in  Folge  davon  auch  auf  den  Hämaglobingehalt  des 
letzteren  ausübt:  denn  der  gruäsere  Wassei^ehalt  des  ganzen 
Körpers  und  des  Blutes  und  der  geringere  Hämaglobingehalt 
des  letzteren  stehen  offenbar  in  Zusammenhang  mit  einander. 

Es  ist  selbstverständlich  nicht  die  Menge  der  Nahrung 
fOr  sich  allein  oder  der  Eiweissgehalt  derselben  für  sich 
allein  das  bestimmende  hiefQr.  denn  sonst  müs>te  beim  Hunger 
wo  gar  keine  Nahrung  und  gar  kein  Kiwei^s  aufgenommen 
wird,  die  Hämaglobinmenge  am  geringsten  sein,  während 
wir  doch  selbst  zuerst  dargethan  haben,  dass  dieselbe  dabei 
so  gross  ist  wie  bei  einer  vorzüglichen  Nahrung.  Es  i.>t 
vielmehr  die  ungenügende  Zusammensetzung  der  Nahrung, 
die  zu  geringe  Menge  von  Eiweiss  zugleich  mit  einem  Ueber- 
sclniss  im  l:*tärkemehl,  wie  schon  Sub}»otin  andeutete,  wa- 
den  schädigenden  Effekt  hervorbringt.  Wenn  der  Kür}M»r 
des  Kaninchens  nach  Aufnahme  gewisser  i>rianzlicher  Nah- 
rung^nn'ttei  wä-ssriger  wird  und  das  Bhit  weni^'er  Hämaglobin 
enthält  als  bei  vollständigem  Hunger.  >o  kann  doch  nur  die 
Zusanmiensetzung  der  Nahrung  die   l  rsaclie  sein. 

Ich  lege  Werth  auf  diese  That.s'uhe,  da  e>  mir  diirchau> 
nicht  gleichgiltig  erscheint,  (»b  die  denkbar  beste  Nahrung 
den  men.>chlichen  Körper  in  demselben  stoiflirlien  Zustande 
zurücklässt  wie  die  schlechtest  zusammengesetzte  z.  B.  au> 
einem  I  ebermaas^  von  Kartoffeln  be&teliende.  l)a.s>  dies  auch 
ganz  unmöglich  i>t,  geht  schon  aus  dem  schlechten  Aussehen 
einer  fa.-t  aushob lic^sslich  von  Kartotteln  >ich  nährenden  Be- 
völkeruntr  tr«*jr«*niU>er  einer  sich  reich li(h  ernähren<len  hervi»r. 


25 


Sitzung  vom  6.  März  1892. 

1.  Herr  Hu(50  Sekligeb  legt  eine  Abhandlung  des  cor- 
re8iK)ndirenden  Mitgliedes  der  Akademie,  Herrn  Prof.  Jac. 
LüROTH  in  Freiburg,  vor:  .über  die  Bestimmung  einer 
Fläche  durch  geodätische  Messungen." 

2.  Herr  Ludwig  Boltzmann  spricht:  «über  das  den 
Newton'schen  Farbenringen  analoge  Phänomen  beim 
Durchgang  Hertz/scher  elektrischer  Planwellen 
durch  planparallele  Metallplatten. " 

3.  Herr  Leonhabd  Sohncke  macht  Mittheilung  über  eine 
in  seinem  Laboratorium  ausgeführte  Untei*suchung  des  Herrn 
Dr.  K.  Emden:  „über  den  Magnetismus  des  Eisens 
unter  dem  Einfluss  elektrischer  .Schwingungen." 

4.  Herr  Gustav  Bauer  bespricht  die  Resultate  einer  ihm 
Yon  Herrn  Dr.  Hermann  Brunn,  Privatdozenten  an  der  hie- 
sigen Universität,  übergebenen  Arbeit;  »über  Verket- 
tungen.* 

5.  Herr  Walter  Dyck  bringt  eine  Fortsetzung  seiner 
Untersuchungen:  „übt»r  die  gestaltlichen  Verhältiri.sse 
der  durch  eine  Differentialgleichung  erster  Ordnung 
zwischen  zwei  Variabein  definirten  Curvensysteme 
(zweite  Mittheilung).** 

G.  Herr  Wilhelm  v.  GrMBEL  bespricht  und  überreicht: 
»Geologische  Bemerkungen  über  die  warme  Quelle 
des  Brennerbads  und  seine  Umgebung." 


28  Sitzung  der  mathrphya.  Classe  vom  5.  Märe  1802. 

linie  in  Ä^  a'  die  in  A\  so  soll  endlich  8  so  beschaffen  sein, 
dass  die  beiden  Ebenenbüschel  a(BCDE.,.)  und  a' {B' 
G*  D'  E* . . .)  projectiv  sind. 

Die  Beziehung 

a(BCDE,..)^a'  {B*  C  D' E' . . .) 

soll  gelten,  wo  auch  die  Punkte  A  B  C  D  . . ,  auf  F  gelegen 
sein  mögen. 

Es  soll   die  Natur  der   Abbildung  9    bestimmt  werden. 

§  2.  Aus  der  projectiven  Beziehung  folgt  sofort,  dass 
wenn  die  Ebenen  a  B  und  a  C  zusammenfallen ,  auch  die 
a' B*  und  a' C  identisch  sein  müssen  und  umgekehrt;  also 
entsprechen  Punkte  von  -F,  die  irgend  einer  Verticalebene 
angehören,  Punkten  einer  Verticalebene  von  F*.  Vermöge 
31  kann  in  Folge  dessen  jetzt  auch  jeder  Ebene  6,  die  in 
einem  Punkte  Ä  von  F  Verticalebene  ist,  eine  andere  Ebene 
zugeordnet  werden.  Denn  ist  B  ein  Punkt  der  Schnittcurve 
von  F  und  c,  entsprechen  den  Punkten  Ä^  B  und  der  Loth- 
linie  a  in  A,  die  Punkte  A\  B'  und  die  Lothlinie  a'  in  A\ 
so  kann  man  die  Verticalebene  a'  B'  der  a  B  entsprechen 
hus^sen.  Und  diese  Art  der  Zuordnung  ist  dann,  dem  eben  ge- 
fundenen Resultate  gemäss,  nicht  abhänj^ig  von  der  Wahl 
des  Punktes  B  auf  der  Schnittcurve  von  e  mit  F, 

(iesetzt,  es  seien  A  und  B  zwei  Punkte  von  F^  deren 
Lotlilinien  n  und  b  sieh  schneiden,  sei  es  in  einem  endlichen 
«hier  in  einem  unendlich  fernen  Punkt.  Sei  C  ein  anderer 
Punkt  von  F  in  der  Ebene  a  h.  Weil  B  und  C  einer  Vertical- 
el)ene  von  A  angeliiuen.  lieijen  B'  und  C  in  einer  Ebene 
dureh  a'.  l'nd  weil  A  und  C  auf  einer  Ebene  durch  b  sich 
betindt»n.  liefen  A'  und  C'  auf  einer  Ebene  durch  b'.  Die 
drei  Punkte  .1'  IV  (''  gehören  folglieh  einer  Ebene  durch  a* 
und  einer  durch  />*  an ;  Heiden  also  A'  B*  C*  nicht  in  einer 
gt»raden  Linie,  m»  milssen  jene  beiden  Kbenen  zusammenfallen. 


•*^0  Sitzung  der  matK-phys.  Clause  vom  5,  März  1892. 

Diese  Gleichungen  definiren  eine  projective  Beziehung 
der  beiden  Strablenbündel  A  und  A*  aufeinander.  Ueberdie 
Natur  der  beiden  Flächen  F  und  F'  aber  lässt  sich  nichts 
weiter  ausmachen.  Ist  F  gegeben,  so  kann  F'  jedes  belie- 
l)ige  FlächenstUck  sein,  das  von  den  Strahlen  des  Bfindelsi' 
in  nur  je  einem  Punkte  getroffen  wird.  Wenn  dann  Ä  einem 
Punkte  P  von  F  denjenigen  Punkt  P'  von  F'  zuordnet, 
welcher  aus  F'  von  dem  Strahl  ausgeschnitten  wird,  der  im 
Bündel  A'  dem  Strahl  PA  entspricht,  so  sind  alle  oben  dem 
31  auferlegten  Bedingungen  erfüllt. 

§  4.  Es  kann  aber  zweitens  der  Fall  sein,  dass  nicht 
je  zwei  Lothlinien  sich  schneiden.  Dann  kann  man  zwei 
Lothlinien  a  und  h  von  F  finden,  die  sich  nicht  treffen.  Wir 
nehmen  a  zur  Axe  x^=0  x^=^0^  h  zur  Aze  x, -=0  a;^=0 
eines  homogenen  Systems  von  Tetraedercoordinaten,  und  die 
a^b  entsprechenden  Lothlinien  a*  und  V  zu  den  Axen  2;i=0 
X2  =  0    bezw.  ;^;8  =  0  a?i  =  0  eines  Systems   der   x\  x^j^u* 

Wegen  der  projectiven  Beziehung  der  Büschel  mit  den 
Axen  a  und  a'  niuss  der  Ebene,  deren  Gleichung  ist  x^^Xx^  0 
die  Ebene  x^,  —  X'px'x^O  entsprechen.  Für  Punkte  von  F 
und  ihre  entsprechenden  ist  also 

x'i  __     aj 
x\  a;^ 

was  wir,  j}=  -  gesetzt,  in  die  beiden  Gleichungen 


«I 


1) 


x\  =  lai  x^        ^i  =  la^  x^ 

jiuflösen  können. 

Ganz  ähnlich  ergeben  sich  die  Beziehungen 

x'3  =  m  flj  ^'3         «^i  =  *w  a^  x^. 

Seien  nun  c  und  c'  eine  dritte,  von  a  und  b  verschiedene, 
Lothlinie  von  F  und  ihre  entsprechende  von  F\  Durch  c 
legen    wir   die    beiden    von    einander  verschiedenen  Vertieal- 


Lürolh:  lieber  die  Bestimmung  einer  Fläche  etc.  31 

ebenen  a,  ß  und  durch  c'  die  a\  ß\  die  so  gewählt  seien, 
dass  a*  der  o,  ß'  der  ß  entspricht;.  Die  Gleichungen  der 
Ebenen  o'  und  ß'  seien  bezw. 

«' «;  Ä-l  +  «:,  o;-!  +  «3  x^  +  oi  ar;  =  a'  (x')  =  0 

ß'.      .^    ß\  X\  +  /^2^2  +  /^34  +  /i^i^i  =  /^'  (^0  ==  0, 

die  von  a  und  /?  seien  a{x)=z{)  ß  (^x)  =:  0.  Wegen  der  pro- 
jectiven  Beziehung  der  Büschel  mit  den  Axen  c  und  c*  muss 
dann 

a*  (x') ^^a(x) 

sein.     Setzt  man  hier  die  Werthe  aus  1)  ein  und  bezeichnet 

a\  a,  x^  -[-  a'i  a^  x^=A  {x)     «3  a^  x^  +  a[  a^  x^  ^  ^  {x) 

ß\  «1  x^  +  ß'^a^  X,  =B{x)     ßka,  x,  +  ß',  a^x^  =  B{v) 

so  kommt 

lÄ{x)'\-fn^(x)       r    a  (x) 

lB{x)  +  mB(x)       s    ß{x) 

l{sA{x)ß{x)-ra{x)B{x)}=m{ra{x)B(x)-sß(x)^(x)y 

Mit  Hilfe  der  Zeichen 

S  =  ra{x)B{x)-sß{x)^(x) 
^  T=sA{x)ß{x)-ra(x)B{x) 

kann  man  also 

schreiben  und  findet  dann  in 

x\  =  qSx^ 

X2  =  Q  S  X, 
'8 


\xi==QTx, 


die  Bezieliuiig  der  Fläche  F'  auf  F,  wie  sie  durch  die  Ab- 
1>ildung  31  gegeben  i>t.    Diese  Formeln  sind  aber  auf  Punkte 


•32  Sitzung  der  math.-phys,  Classe  vom  5,  März  1892, 

von  F  beschränkt.  Sie  stellen,  allgemein  betrachtet,  eine 
birationale  Raumtransformation  vor,  wie  sie  von  Clifford, 
Cremona  und  Not  her  untersucht  worden  sind,  und  zwar 
geben  sie  diejenige  specielle  Umformung,  die  Not  her  auf 
Seite  570  seiner  Arbeit  im  3.  Bande  der  Math.  Annalen 
aufführt. 

§  6.  Diese  Formeln  können  illusorisch  werden,  wenn 
S  oder  T  für  die  Punkte  von  JP,  oder  gar  identisch,  ver- 
schwinden. 

Wenn  S  identisch  Null  ist,  so  ist  entweder  ^(i)  — 0 
jB  (^x)  =  0.  Dann  wären ,  weil  a^  und  a^  nicht  Null  sein 
können,  ai,  öi,  ßi^  ß^  alle  Null  und  es  enthielten  die  Fun- 
ctionen o'  (x'),  ß'  (x')  nur  x'i  und  X2^  so  djiss  c'  mit  a'  y.u- 
sammenfiele  und  dann  auch  c  mit  a.     Oder  es  ist 

r  a  (X) 
also,  weil  ß{x)  zu  a(x)  prim  ist,  ^(x)  durch  a(x)  theilbar, 

^(x)   7   CqO^x)  und  B(x)  Co/^(x),     wo    Cq    constant. 

Dann  würden  a  und  ß  für  ./g  =  (l,  ^'^  =  0  verschwinden, 
d.  Ii.  r  fiel*»  mit  b  zusammen,  gegen  die  Annahme.  Also 
kann  S  nicht  identisch  =  0  sein.  Wenn  es  aber  bedingt, 
für  die  Punkte  von  t\  verschwindet,  so  ist  F  ein  Stück  der 
Kliic'he  zweiter  Ordnung  N.  deren  Gleichung  Ä  =  (>  i^t. 
Würde  S  nicht  zerf'iillen  ,  .«-o  wäre  sie  durch  F  vollständig 
l)estimmt  und  ki'mnte  von  der  Walil  der  Lothlinien  a,  //,  r 
nicht  abhängen.  Weil  aber  für  r  die  Functionen  u  und  ß  Null 
sind,  liegt  c  auf  der  Fläehe  »S\  und  weil  c  ganz  beliebig  ist, 
müssten  dann  alle  Lothlinien  der  Fläehe  S  angehiu'en,  was 
nicht  möglich  ist,  weil  ilie  Lothlinien  eines  Flächentheils 
«»inen  Kaumtheil  erfüllen  und  S  dann  identisch  Null  wäre. 
Wenn  al)er  S  zerliele.  s<»  könnte  t»s  nur  aus  zwei  Ebenen 
bestehen,    und    F   wäre    ein  Stück    von  einer  derselben,    was 


34  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  5.  März  1892. 

auch   sich  gegenseitig  schneiden,   oder  es  gibt  Paare,   deren 
Linien  a  schneiden,  ohne  sich  zu  treffen. 

Wenn  diese  letztere  Möglichkeit  einträfe,  so  wäre  nach 
§  6  21  projectiv.  Im  ersten  Falle  müssten  a  und  alle  Loth- 
linien,  die  a  treffen,  entweder  in  einer  Ebene  liegen,  oder 
durch  einen  Punkt  gehen.  Der  Ort  G  der  Fusspunkte  wäre 
also  ein  Curvenstück  oder  höchstens  ein  Flächentheil,  der  yon 
F  verschieden  ist,  wenn  wir  den  in  §  3  absolvirten  Fall 
ausschliessen.  Aehnliche  Verhältnisse  treten  bei  h  ein.  Der 
Ort  U  der  Fusspunkte  der  Lothlinien,  die  h  treffen,  ist  auch 
eine  Curve  oder  höchstens  ein  Flächentheil,  wenn  nicht  die 
Abbildung  ä  projectiv  ist.  Wenn  G  und  H  zusammen  F 
ausfüllten,  würde,  weil  a  und  h  sich  nicht  schneiden,  nicht 
an  allen  Punkten,  wo  G  und  H  aneinander  grenzen,  Stetig- 
keit in  der  Richtung  der  Lothlinien  stattfinden  können.  Da 
wir  diese  angenommen  haben,  muss  es  sicher  auch  einen 
Flächentheil  K  von  F  geben,  dessen  Punkte  weder  6?  noch 
if  angehören.  Die  Lothlinien,  deren  Fusspunkte  auf  K  liegen, 
schneiden  dann  weder  a  noch  h.  Aus  ihnen  sei  nun  die  in 
den  Formeln  I  §  4  benutzte  Lothlinie  c  gewählt;  dann  müssen 
a  {x),  wie  ß{oc)  jedenfalls  mindestens  eine  Variable  des  Paares 
:r^  Xj  und  mindestens  eine  des  Paares  x^x^  enthalten,  weil 
son-jt  c  die  Linie  h  bezw.  a  schneiden  würde. 

Tnter  den  Lothlinien,  deren  Fusspunkte  K  angehören, 
^ibt  es  unendlich  viele,  die  c  nicht  treffen.  Denn  eine  Ueber- 
legung,  die  der  im  Anfang  des  §  angestellten  analog  ist, 
zeigt,  dass  die  Fusspunkte  der  c  sehneidenden  Lothlinien 
einen  Flächentheil  L  höchstens  erfüllen  können  und  dass  sie 
durch  einen  Punkt  gehen  müssen,  wenn  31  nicht  projectiv 
ist.  Wenn  L  mit  K  identisch  wäre,  hätten  wir  an  den 
Grenzen  von  K  und  ö,  sowie  von  K  und  U  Unstetigkeiten 
der  Richtungen  der  Lothlinien.  Daher  muss  nach  Abzug 
von  L  aus  K  noch  ein  Flächentheil  M  übrig  bleiben,  dessen 
Lothlinien  c  nicht  treffen. 


3G  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5,  März  1892. 

schneiden,  die  c  nicht  trifft  und  die  natürlich  von  a,  h  und 
c  abhängen  wird.  Da  aber  (§  7)  d  noch  unter  unendlich 
vielen  Lothlinien  gewählt  werden  kann,  die  c  nicht  treffen, 
kann  man  sie  immer  von  jener  Linie  verschieden  annehmen. 
Somit  ist  der  Fall  nicht  möglich;  die  Gleichung  U  kann 
nicht  identisch  bestehen,  wenn  S  und  T  theilerfremd  sind, 
sondern  höchstens,  wenn  sie  einen  gemeinsamen  Theiler  haben. 

§  10.  Sind  S  und  T  nicht  relativ  prim,  so  können  sie 
einen  Factor  ersten  oder  einen  zweiten  Grades  gemein  haben. 
Im  letzten  Falle  muss  T=fiS  sein,  wo  fi  eine  Constante. 
Dann  aber  geben  die  Formeln  I 

die  eine  projective  Transformation  liefern. 

Es  können  aber  S  und  T  auch  einen  gemeinsamen 
Factor  ersten  Grades  t  haben,  so  dass  S=^tS^^  T  =  tT^ 
ist.    Dann  müssten  die  beiden  Functionen  S  und  T  zerfallen. 

Soll  S  zerfallen,  so  muss,  weil  ^  und  B  nur  x^  und  x^  ent- 
halten, einer  der  beiden  Factoren  eine  Function  nur  von 
diesen  beiden  Variabein  sein,  die  wir  mx^  —  Ix^  setzen  wollen. 
Dann  müsste  S  für  x^  =  l  x^  =  m  verschwinden,  oder,  wenn 

wir  ^  (Z,  m)  =  g,   B  (/,  m)  =  /'  setzen 

rf(aiX,-i-a^x^+la^+ma^)=sg{ß^x^  +  ß^x^  +  lß^+mß^), 
somit  auch 

sein.  Nach  einer  Bemerkung  in  §  7  können  die  beiden  hier 
vorkommenden  Functionen  nicht  Null  sein.  Ist  nun  weder 
f  noch  g  Null,  so  folgt,  djiss  für  0-^  =  0^,  x^^=  —  a^  x^=0 
x^  =  0  die  Functionen  c£(x)  und  ß  (x)  verschwinden,  dass 
also  c  und  b  sich  schneiden.  Wäre  f=0^  so  müsste  auch 
g==  0  sein,  weil  ß^x^  -}-  ß^x^  nicht  identisch  Null  sein  kann. 
Danach   ist  jene  Gleichung   möglich,   wenn  f  und  g  gleich- 


38  Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5,  März  1892, 

und  C,  r  an  die  Stelle  von  A  und  ^  treten,  wenn  man  c 
durch  d  ersetzt.     Die  letzte  Gleichung  gibt  aber 

r=vA        G=vA, 
wo  V  ein  coustanter  Factor.     Aus  der  ersten  dieser  beiden 

folgt  aber  yi  =  «3  v»  yi  =  «J  t;  und  aus  der  zweiten  yi  =  a[  r, 
y2  =  a2t;.     Beide  zusammen  ergeben  daher 

Es  ist  aber  y'(x*)  =  0  eine  Ebene  durch  die  Linie  d\  a'(x') 
=  0  eine  Ebene  durch  c';  daher  sagt  die  letzte  Gleichung 
aus,  dass  c'  und  d\  also  auch  c  und  d  sich  schneiden,  was 
durch  Wahl  von  d  nach  §  8  stets  vermieden  werden  kann. 
Die  Gleichung  II  kann  also  auch  dann  nicht  identisch 
bestehen,  wenn  S  und  T  einen  Factor  ersten  Grades  haben. 
Haben  sie  einen  Factor  zweiten  Grades,  ist  also  8  projectiv, 
so  ist  die  Betrachtung  jener  Gleichung  überhaupt  unnothig. 

§  11.     Die  Gleichung  II    kann    aber  vielleicht  nur  be- 
dingt, für  die  Punkte  von  F,  bestehen. 

Ist  (D  =  0  die  Gleichung  einer  unzerlegbaren  Fläche 
vierter  Ordnung  <P,  so  ist  sie  durch  das  Flächenstilck  F  voll- 
ständig bestimmt  und  kann  von  der  Wahl  der  Lothlinien 
ah  c  d  nicht  abhängen.  Da  aber  S  und  T  für  c,  ?7und 
V  für  d,  S  und  U  für  b,  T  und  V  für  a  verschwinden,  so 
gehören  diese  Linien  tf>  an.  Die  Betrachtung  von  §  7  zeigt 
Jedoch,  dass  die  Lothlinie  a  ganz  beliebig  gewählt  werden 
kann.  Läge  sie  auf  (/>,  so  müssten  alle  Lothlinien  auf  O 
liegen.  Dann  aber  müsste  die  Function  (Z>,  gegen  die  hier 
gemachte  Annahme,  identisch  Null  sein,  weil  die  Lothlinien 
eines  Flächentheils  einen  Raumtheil  erfüllen.  Daher  muss 
die  Function  (/>  zerfallen,  entweder  in  einen  Factor  dritten 
Grades  (Pj,  der  nicht  weiter  zerfällt  und  einen  Factor  ersten 


40  Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  vom  5.  März  1892, 

Sind  d^  e^  f^  g  ,  ,  , .  andere  Lothlinien,  deren  Fusspunkte  auf 
Ä^  liegen,  so  gehören  also  afecd,  ahce^  ahcf^  ahcg^  ...• 
je  derselben  Fläche  zweiter  Ordnung  an.  Weil  diese  aber 
die  drei  windschiefen  Geraden  ahc  gemein  haben,  fallen  sie 
zusammen,  so  dass  alle  Lothlinien  aus  K  der  nämlichen 
Fläche  zweiter  Ordnung  angehören  müssten,  was  nicht  ein- 
treten kann.  Folglich  kann  die  Gleichung  II  auch 
nicht  bedingt,  für  die  Punkte  von  P,  erfüllt  sein. 
Ueberblickt  man  die  gefundenen  Resultate,  so  zeigt  sich, 
dass  keine  Möglichkeit  bleibt,  als  dass  die  Abbil- 
dung 81  projectiv  ist. 

§  12.  Diese  projective  Umformung  gilt  zunächst  nur 
für  die  Punkte  von  F,  Man  kann  sie  aber  auch  auf  die 
Punkte,  Geraden  und  Ebenen  im  Räume  anwenden  und  in 
dieser  allgemeineren  Weise  sei  sie  mit  %  bezeichnet.  Dann 
ist  81  =  J  zunächst  nur  für  die  Punkte  von  F, 

Sei  nun  c  eine  Verticalebene  von  F;  -4,  JB,  C  drei  in 
ihr  gelegene  Punkte  von  F,  Dann  gehen  diese  durch  81 
oder  ST  in  A'y  B\  C  über,  die  in  der  Ebene  81c  gelegen 
sind,  die  €  durch  31  nach  §  1  zugeordnet  ist.  Da  aber  ver- 
möge 2  aus  €  wieder  eine  Ebene  Z  e  hervorgeht,  welche 
die  drei  Punkte  A\  B\  O  enthalten  niuss ,  so  muss  J  € 
=  81  fi  sein,  weil  ja  nach  unserer  Annahme  F  keine  geraden 
Linien  enthalten  soll.  Da  weiter  ZAvei  Verticalebenen  des- 
selben Punktes  «ich  in  der  Lothlinie  des  Punktes  schneiden, 
so  folgt,  dass  auch  die  Lothlinien  von  F  du)ch  die  Tran^i- 
forniation  %  in  die  von  F*  überj^ehcn,  so  da.ss  also  Punkte, 
Ebenen  und  Geraden,  die  sich  vermöge  21  entsprechen,  auch 
durch  %  aus  einander  hervorgehen. 

§  13.  Nimmt  man  an,  man  hätte  durch  ein  gehörig 
dichtes  Netz  von  Messungen  auf  einer  unbekannten  Fläche 
F*  mit  einem  nicht  bekannten  System  von  Lothlinie  ^'  die 
Ueberzeugung  gewonnen,   dass  sie  sich  auf  einer  bekannten 


42  Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  wmr  5.  Märt  1892, 

zeichnet.  Wegen  der  Gleichheit  der  Winkel  zwischen  ent- 
sprechenden Ebenen  muss  dann  (kfiaß)=^(k' fi'a' ß*)  mu. 
Weiter  erfordert  die  Winkelgleichheit  die  Gleichungen  {In 
ay)  =  (k*  /Ä*  a*  y')i  (^  jw  o  d)  =  (A'  /u'  a'  d') . . .,  die  zusammen 

A  /« a/J  y  d . . .  7C  A*  /u'  a'  /?'  y'  d' . . . 

liefern.  Da  %  projectiv  ist,  ist  es  auch  die  umgekehrte 
Transformation  J""';  wenn  man  diese  auf  A' /m' a' /J* ...  an- 
wendet und  2:-"A'  =  A,,  SE:-V'=i"i  setzt,  folgt,  daas  i'^' 
a'/^'y'd' ...  ^  A^/Mj  a/9yd. . .  und  also  auch  rKlfiaßfi.*. 
sein  muss.  Daher  müssen  die  Ebenen  X^  ^^  mit  Xfi  iden- 
tisch sein.  Da  aber  l' /t*  die  von  a*  an  co  zu  Inenden  Tan- 
gentenebenen sind  und  a*  durch  I~'  in  a  übergeht,  werden 
Aj  fij  die  beiden  Tangenten  ebenen  sein,  welche  man  ?on  a 
aus  an  den  Kegelschnitt  ii  legen  kann,  der  aus  o»  durch  die 
Umformung  J"'  hervorgeht.  Die  Lothlinie  a  hat  somit  die 
Eigenschaft,  dass  von  ihr  zwei  Ebenen  ausgehen,  die  gleich- 
zeitig w  und  X^^io  =  i2  berühren  (Vgl.  Sturm  Math.  An- 
nalen  Bd.  28  Seite  263/64  Nr.  5).  Ist  demnach  X  gegeben, 
so  ist  auch  die  Richtung  der  Lothlinie  in  jedem  Punkte  von 
F  bestimmt  (und  zwar  zweideutig).  Nur  dann  ist  diese 
Richtung  willkürlich,  wenn  a  =  io  ist,  was  eintritt,  wenn  J 
eine  Aehnlicbkeitstransformation  ist. 

§  15.  Umgekehrt,  wenn  in  den  Punkten  von  F  die 
Lothlinien  bekannt  sind,  so  ist  J  bestimmt.  Denn  die  Haupt- 
ebenen der  Lothlinien  müssen  einen  Kegelschnitt  fl  berühren, 
und  da  F'  in  der  Eingangs  erwähnten  Beziehung  zu  .F  steht, 
muss  auch  ein  solcher  Kegelschnitt  existiren,  der  freilich  ent- 
weder CO  selbst  ist,  oder  von  w  verschieden  sein  kann.  Man 
habe  nun  entweder  L  gefunden,  dass  die  sämmtlichen  Haupt- 
ebenen  der  Lothlinien  keinen  anderen  Kegelschnitt  als  cü  be- 
rühren, oder  U.  erkannt,  dass  sie  einen  anderen  berühren 
und  diesen  bestimmt. 


44  Sitzufuf  der  m^K-ph^t*.  ClasM  com  5.  März  1892. 

Nimmt  man  an,  es  ^ei  ^11  =  ^22=  1  gemacht,  so  gibt  die 
Vergleich  ung  der  Coefficienten 

^  =  «58  —  flu  —  flia 

>:*  =  a44  — «i*  —  «5* 

^  ^  =  ««4  —  «iS  ^14  —  ^tS  ^14 

Die  letzte  Gleichung  bestimmt  die  Combination  der  Zeichen 
von  ^  und  r;:  sie  ist  erfüllt,  denn  .sie  druckt  aus,  wie  man 
leicht  sieht,  dass  die  Determinante  von  il  Null  ist..  Man  hat 
aUo  zwei  Möglichkeiten,  je  nachdem  man,  unter  ^^  ij^  ein 
Werthsvstem  von  ^,  1    verstanden, 

m  § 

Q  ui  =  &^u^-r-  r.o  W4 
oder 

nimmt.  Die  zweite  Formel  geht  in  die  en?te  über,  wenn  man 
den  Sinn  der  jri  Axe  umkehrt,  was  mit  einer  Spiegelung  an 
der  Ebene  xi  =  M  übereinkommt.    Abgesehen  von  dieser  Spie- 

gelunir  i^t  al.-ö  J  J'iroi:  Q  eiv.wwiis  bestimmt  und  folglich 
kann  man  dann   F'  \iv.  i  — '  ans  F  \\vA  —  ableiten. 

$  16.  Man  k'"r.  r. te  vm:  dem  cewonnenen  Resul- 
tate, weniir>t^n^  dt-r  l-loe  na«.h.  t^ino  Anwenduntr 
niaoht-n  auf  «lie  H^-^tiniinvii.  g  dt-r  Gestalt  eines 
Tiifili'.>  der  Kriu  Iv-ri.  "»..he  au^  irro<iäti  >:chen  Mess;- 
ini  ;ren.  h\  «ier  That  li-tiL-ru  ja  «i:».— •.  v«»:;  Basi-mes^ungen 
abi^eM'heii .  die  W  iiikvl  zwiM-lu'ii  «ie:i  Verticalt-beuen  eines 
l*nnkt»*.>.  Wt'Xiii  man  'i.i:.::.  etwa  'i::rch  Pr«»l>ireu.  ein  Modell 
F  luTi:r>tol!t  hätte  iv.it  "iL-in  Sv^tHUi  —  von  Lothlinien.  für 
das  die  Wink»*!  tier  Vt*rti«  a!»-l'enen  ehen>o  ffro-iJ  wären,  wie 
die  auf  der  Krde  ht«»ba,htet»:-!..  >■►  würt»  mar:  im  Stande,  die 
IWzirhnng  der  iie?talt  *\vr  Erdr  /i\  'li»*seni  Miriell  anzugeben. 

In  der  rraxi>  freilich  tr»:-ht  •ii»--  nicht  an.  Bei  der  ge- 
ringen  Xeignnic   iXi'gen  einan»ler,    w»*lrh»*  Aw  Lothlinien  von 


48  Sitzung  der  mcUh.-phys.  Classe  vom  5.  März  1892. 

w  (ti,  t)  =  0       ß  (u,  t)  =  0 

sind.  Sind  ferner  X  und  ^  zwei  durch  n  gehende  reelle 
Kbeuen,  A^  und  /i^.  ihre  Coordinaten,  so  verlangt  die  Fonle- 
rung,  dass  durch  n  zwei  Ebenen  gehen,  welche  w  und  fl 
gleichzeitig  berühren  (§  14),  dass 

ß(AA)  =  cw(P«A),  Ä(Aju)  =  cw(X^),  ß (/i ju)  =  c w (jM ^i) 

sei.  Da  die  Ebenen  X  und  ju  durch  n  gehen,  ist  die  Beding- 
ung dafür,  dass  n  die  Pole  von  x  in  Bezug  auf  fn  und  ii 
enthalte,  durch  die  vier  Gleichungen 

io  (Xt)  =  u)  (fi  t)  =  Q  (It)  =  ii (14  t)  =  0 
gegeben. 

Setzen  wir  £2{u)  —  c  to  (u)  =  W{u)^  so  ist  auch 

WßX)     W  {k  /O     W  Ui  h)     W  (Xt)     W(fi  T)  -.  0. 

Ist  G  eine  Ebene,  die  nicht  durch  den  Schnitt  von  A,  /u  und 
T  geht,  und  solche  gibt  es,  da  diese  drei  Ebenen  nicht  die- 
selbe Gerade  enthalten,  und  nmltiplicirt  man  die  Hesse'sche 
Determinante  von  W  zweimal  mit  —  ^A^/i,  r^a^,  so  ent- 
steht Null.  Daher  ist  W  eine  Grenzfläche  nach  der  Be- 
zeichnung von  Hesse  (Aiml.  Geom.  des  Raumes  3.  Auflage 
Seite  173).  Aus  den  drei  ersten  der  letzten  Gleichungen 
folgt  noch 

für  beliebige  p,  also  gehen  durch  den  Schnitt  von  X  und  ft 
unendlich  viele  Tangentenebenen  der  Grenzflüche,  so  dass  » 
Tangente  eines  Kegelschnitts  ist,  wenn  die  Grenzfläche  W 
nicht  zerfällt.  Da  aber  in  dem  Büschel  ß  —  cw,  wenn  nicht 
alle  Flächen  Grenzflächen  sind,  höchstens  zwei  Grenzflächen 
vorhanden  sind  —  lo  und  ß  selbst  sind  unbrauchbar,  weil 
si<»  imaginäre  Kegelschnitte  (»nthiilten  —  so  liegen,  wenn 
j<*ne  zwei  (^renzflächen  nicht  /«»rfallen,  ihre  Tangenten,  also 
die  Normalen  von  i*',  in  zwei  Ebenen,  was  nicht  möglich  ist. 


50  Sitzung  der  mathr]^s.  Glosse  wm  5.  März  1892. 

von  (0  sein  oder  umgekehrt  oder  die  Ebenen  von  (o  und  Q 
müssen  zusammenfallen.  Da  die  Transformation  Z  reell  ist 
und  die  Ebene  von  (o  ebenfalls,  so  ist  es  auch  die  yon  Q 
und  somit  ist  der  erste  Fall  nicht  möglich.  Im  zweiten  ist 
Z  affin,  weil  die  unendlich  ferne  Ebene  sich  selbst  ent- 
spricht. 

Wenn  dann  w  und  ii  nicht  identisch  sind,  bilden  die 
Ebenen,  welche  beide  berühren,  je  nach  der  Lage  yon  ä 
gegen  w,  4,  3,  2  oder  1  Ebenenbüschel,  deren  Axen  die 
gemeinsamen  Tangenten  beider  Kegelschnitte  sind  und  in 
der  unendlich  fernen  Ebene  liegen.  Die  Normalen  sind  also 
dann  Schnitte  von  zwei  Ebenen  aus  zwei  verschiedenen 
Büscheln.    Die  Tangentialebene  t  muss  den  vier  Gleichungen 

io(Xu)    0   io{^u)  =  o  n{Xu)  =  o  n(fiu)  =  o 

genügen,  welche  die  Berührungspunkte  der  Ebenen  X  und  |u 
mit   w   und  ii   vorstellen.     Sie  ist  also   die   unendlich  ferne 
Ebene,  wenn  die  Zahl  der  Berührungspunkte  mindestens  drei 
ist.     Einen  brauchbaren  Fall  erhalten  wir  daher  nur,  wenn 
die   gewählten    beiden  Büschel   zusammen    nur    zwei  Berüh- 
rungspunkte  haben.     Dies  tritt  weder  ein,    wenn  (o  und  fl 
vier  geraeinsame  Tangenten  besitzen,   noch    wenn    sie  deren 
drei  haben.   Haben  sie  dagegen  nur  zwei  Tangenten  gemein, 
so   können    diese    drei   oder   zwei   Berührungspunkte   haben. 
Nur   den    letzten  Fall   können    wir   benutzen ,   in   dem   sich 
dann  lo  und  ß  doppelt  berühren.     Die  Berührungssehne  der 
l)eiden  Tangenten  ist  dann  Axe  eines  Ebenenbüschels,  dessen 
Ebenen  Tangentenebenen  sein  können.  Die  Ebenen  aus  beiden 
Büscheln,    deren    Axen    die    geraeinsamen    Tangenten    sind, 
schneiden    sich    aber    in    einem    unendlich    fernen    Punkte, 
d.  h.  alle  Normalen  sind  parallel.    Haben  lo  und  ß  nur  eine 
Tangente    gemein,    so    wären    l    und   ^    aus   dem   Büschel 
zu   wählen,   dessen    Axe   sie  ist   und  n  wäre  eine  unendlich 
ferne  Gerade. 


Smilrn  -wänt.   ^msmsssis   sie  sm 

LjHC»    nsr   Laien  nnwi    MSOIS'   TSk^Uei    Cje    ^aintirrn»*    ^gwn 

Itiffnnipirfii;    maer  JiiiTRnnir   mriir  ttühl     '^iTfi  AÖ«r« 

üPv^rlaniiitii  im:Lh.  s/scrmumisiciijä:  3^jam:iinimpsL  icKsr  -r^ 
ILrTTnmtr  ü?  laxciiiiiie  jof  üf  Zzw  xi^soüiic  'v^eozl  jodi 
TTTT  Ji   nijffnrintiJT'  ^-*«^'    70   iann  naui  mse  mi;  iai  ^jr- 

faan.  i:t*mt*  Znfi?raiaEgi>  dtt  LiicuuwiäiraniijRi.  7.ttti  XIuhI 
snit  se  cairär-iiL  'iiemur^  cns  nun  ik  uxf  ti*r  auv^scxtiäi 
ZrTiin«üfikae  "iietiöaiiirEt    TÜiT'Hiii  niur    He  li'carüiicniiiwr 

W.SII1  usasL  Ett  "^jjcinvr  ös*  iiMr  iem  Mitii  lifesa^mieB. 
MLbficsi    Ulf   ce  ZjiaiTi'inTTmr    itg^rürriHy    uul    ä«s«^    taaaA 

ZLiirtiiit    iitai    -»i».i»t    iii.iir    z**»iüi;    ^c  ii:   Lix^«:a    ,ijc. 

n  i»r£i  irrvc^^n.  IüT  rrr«  .:in:  j.nz^r^i^ti.cr  'i-i:»?£i.  Zie  s'  -ct- 
i-rr:   Li.i-ii::!. 


54  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  5,  März  189:2. 

Lichtbewegung  in  Metallen  und  findet  im  Gegensatze  zu 
Maxwell,  dass  sie  weniger  absorbirt  wird  als  es  die  Theorie 
verlangt.  Wie  er  jedoch  selbst  erwähnt,  beweisen  die  Er- 
scheinungen der  auswählenden  Absorption,  dass  hier  die  dis- 
kontinuirliche  Molekularstruktur  der  Materie  von  wesent- 
lichem Einfluss  ist.  Da  nun  die  elektrischen  Eigenschwing- 
ungen der  Moleküle  offenbar  nothwendig  ebenfalls  Veran- 
lassung zur  Absorption  geben,  so  wäre  die  Thatsache,  dass 
letztere  ohne  deren  Berücksichtigung  zu  klein  herauskommt, 
von  vorne  herein  zu  erwarten. 

In  neuester  Zeit  haben  auch  E.  Wiedemann,  Ebert*) 
und  Hertz*)  auf  die  unerwartet  grosse  Durchlässigkeit  dünner 
Metallschichten  für  Eatedenstrahlen  hingewiesen.  Die  beiden 
ersteren  sagen  bei  dieser  Gelegenheit:  »Wir  haben  hier 
einen  neuen  Fall  vor  uns,  welcher  zeigt,  dass  die  Max wel lö- 
sche Theorie  nicht  ausreicht,  die  Erscheinungen  zu  erklären. ' 
Wahrscheinlich  hat  man  es  jedoch  auch  hier  mit  Schwing- 
imgen  zu  thun,  deren  Wellenlänge  nicht  mehr  unendlich 
gross  gegen  die  Molekulardimensionen  ist  und  welche  sich 
daher  der  MaxwelTschen  Theorie  von  vorne  herein  ent- 
ziehen, sodass  deren  Giltigkeit  auf  alle  anderen  Erscheinungen, 
für  welche  sie  allein   gemacht  wurde,    unangefochten  bleibt. 

Es  folgt  nun  aus  der  Max  well 'sehen  Theorie,  dass  sehr 
rasche  elektrische  Schwingungen,  wenn  sie  sich  längs  eines 
Drahtes  fortpflanzen,  auf  dessen  Oberfläche  beschränkt  bleiben; 
ferner,  dass  Wellen,  deren  Fortpflanzungsrichtung  nicht  wie 
im  eben  angeführten  Falle  parallel,  sondern  senkrecht  zur 
Metalloberfläche  steht  (wie  dies  bei  Lichtschwingungen  der 
Fall  ist,  die  senkrecht  in  Metall  eindringen)  innerhalb  einer 
Wellenlänge  bereits  ganz  enorm  geschwäclit  werden.  Aus 
dem  letzteren  Resultate  folgt  weiter,  dass  ächte  Lichtschwing- 
ungen schon  beim  Durchwandern  sehr  dünner  Metallschichten 

1)  Phys.-med.  Soc.  zu  Erlangen  11.  Dec.  1891. 

2)  Wied.  Ann.  45    p.  28    1892. 


5(3  Sitzung  der  math.-phys,  Classe  vom  5.  März  1892. 

(M.T.  G07,  E),  worin 

a  =  fia,     b  =  fiß,     c  =  fiy  F) 

(M.T.  616,  im  Text  unmittelbar  vor  Gleichung  1,  B.  V.  art.  1 16) 

inf=kP,     i7tg  =  kQ,     inh  =  kR  C) 

(M.T.  608,  F;  denn  die  beiden  dortigen  Vectoren  ß  und  !5) 
haben  die  Coraponenten  P,  (J,  R  und  f^  (/,  h;  vergl.  auch 
M.T.  790,  16;  statt  Maxwell's  Buchstaben  K  wurde  i  ge- 
schrieben.) 

p  =  CP,    q  =  CQ,     r=CR  D') 

(M.T.  609,  G.  Diese  Gleichungen  heissen  bei  Maxwell 
fl==  (7(5;  p^q^r  sind  die  Componenten  von  Ä;  vgl.  M.T.  61 1,1*) 

(M.T.  610,  H*) 

dt     dx'  ^  dt      d>,'  dt      d2       ' 

(M.T.  598,  B,  worin  —-=-^=-^^  =  0,    da   das    Medium 

d  t      dt      d  t 

ruht.) 

§  1.    Einmalige  Reflexion. 

Wir  betrachten  zuerst  den  Fall,  dass  nur  eine  Tron- 
nungsfläche  vorhanden  ist,  welche  wir  als  eben  voraus.setzen 
und  zur  y  £'-Ebene  wählen.  Links  von  derselben  auf  der 
Seite  der  negativen  Abscissen  sei  Luft ,  rechts  ein  Metall. 
Elektrische  Plan  wellen  sollen  vom  negativ  Unendlichen  gegen 
die  Trennungsfläche  anrücken.  Hier  werden  sie  tlieils  reflec- 
tirt,  theils  dringen  sie  ins  Metall  ein;  in  letzterem  existiren 
also  nur  Wellen,  die  in  der  Richtung  der  i>o>itiven  Abscissen 
fortschreiten.  Die  Abscissenaxe  ist  die  FortpHanzungsrich- 
tung,  sodass  alles  nur  Function  von  x  und  /  ist.     Die  elek- 


58  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  5,  März  1892, 

auch  Zci  sollen  dort  von  Null  verscbieden  sein,  so  dass  die 
allgemeinen  Gleichungen  A  bis  G  gelten.  Wir  haben  dort 
nur  die  durchgehende  in  der  positiven  rc-Richtung  fortschrei- 
tende, keine  reflectirte  Welle  und  können  den  Zeitanfang  so 
wählen,  dass  auch  das  Glied  verschwindet,  welches  die  Zeit 
unter  dem  Cosinuszeichen  enthält.  Dann  würden  die  för 
positive  Abscissen  geltenden  Gleichungen  erfüllt  durch  /*i  = 

=:P,  =  Äi  =  B,  =  0 

_4/r_Cj      _ ^- Ix- !?'.:„ /2^^ 


wobei 


-.^) 


wobei  der  Quadratwurzel  der  positive  Werth  beizulegen  ist 
und  auch  für  ^  und  >/  deren  positive  Werthe  zu  setzen  sind. 
Aus  D'  und  G  folgt  wieder  H^  =  Tg, 

und  aus  A  folgt  a^=a^  =  h^  =  ß^  =  0 


TE  t,.\         .      f27lt  X 


'2n:t 


/27t  t  \\ 

-scosi ''^l  • 


7) 


Durch  Bildunff  von  -^  '  und  —^   können  wieder  die  Gleich- 

dx  dt 

ungen  B'  und  E  noch  verificirt  werden. 

Es  handelt  j?ich  noch  um  die  Grenzbedingungen  för  die 


1)  Siehe  B.  V.  art.  9ß,  pa<T.  101.    Nach  C  und  D'  können  sich  /". 
Qy  h  von  i)y  q  redpective  r  nur  durch  constante  Factoren  unterscheiden. 


64  Sitzung  der  tnath.-phys.  Glosse  vom  5.  März  1892. 


^»  +  5*       1  +  1^2  M  4-  2  \/u^  +  v»  +  ^/m»  +  v» 

Bei  den  früher  betrachteten  Hertz'schen  Schwingungen  war 
f«  r=r  ^^,  Ä  =  1,  Cj  r  =  t; :  2  =  2.10''  L.  Wenn  also  selbst 
die  Dielektricitätsconstante  des  Metall  eine  millionmal  gr5sser 
als  die  der  Luft  wäre,  so  würden  die  für  diesen  Fall  gefun- 
denen Resultate  kaum  alterirt.  Dagegen  würde  im  Falle 
des  Natriumlicbts  die  Dielektricitätsconstante  des  Metalls  schon 
einen  kleinen  Einfluss  bekommen,  wenn  sie  der  der  Luft 
gleich  wäre.  Der  Verlauf  noch  viel  rascherer  Schwingung 
würde  dann  gänzlich  verändert. 

Die  Gleichungen  5  zeigen,  dass  mit  wachsendem  Iz^  so- 
wohl die  Dämpfungsconstante  ^  als  auch  die  Fortpflanzungs- 
geschwindigkeit 2/r:iyT  nur  abnehmen  kann.  Habe  ?,  wenn 
alles  sonst  unverändert  bleibt,  nur  Zc^  =  0  ist,  den  Werth  f^, 
so  hat  man  nämlich  ^J  =  ^  +  4  ti*  Ä;^  iWj  ^  :  t*. 

Wenn  entgegen  dem  zuerst  betrachteten  Falle  das  ij 
enthaltende  Glied  gross  gegen  das  C^  enthaltende  ist,  so  wird : 

Nun  srlireiteii  wir  zur  Kriedigun«^  des  :».   Tunkt^'s. 


Boltzmaun:  lieber  das  den  Farbenriyigen  analoge  Phänomen.     05 


§  2.    Betrachtung  einer  planparallelen  Hetallplatte. 

Seien  die  Ebenen  x  =  —  p  und  a?  =  0  die  beiden  Be- 
grenzungsflächen einer  Metallplatte.  Die  im  Innern  der 
Metallplatte  gültigen  Werthe  sollen  den  Index  1  erhalten. 
Links  auf  Seite  der  negativen  Abscissen  (wofür  kein  Index 
angewendet  wird  und  rechts  von  der  Metallplatte  (Index  2  für 
die  variabeln  Grossen)  sei  dasselbe  Dielectricum  Luft.  Von 
links  sollen  Plan  wellen  anrücken,  welche  an  beiden  Metall- 
oberflächen reflectirt  werden.  Hechts  von  der  y^-Ebene  ist 
dann  keine  reflectirte,  nur  die  durchgedrungene  Welle  vor- 
handen. Die  übrigen  Verhältnisse  sollen  wie  im  vorigen 
Paragraph  sein.     Dann  ist  aLso  für     -  cc  <,  x  <C  — p: 

g  =  Aa\n-{f  —  x y \i k)  -^  B cos  ^--  {( —  x  ^//i  Je)  + 
+  0  sin  —  (f  -I-  X  l/^-)  +  D  cos  ^"^  (f  -I-  X  yjJd- 

<.  =  4  /i  1/  ^'  U  sin  -~  (/  —  .«•  yji^k)  -\-  li  cos  ^  (/  -  xy^Jd  — 

—  C sin  -  "(/  +  X  yji'k)  —  7) cos  —  (/  -I-  X  Yttl:)]. 
Ftlr  —2)<x<0 

4  c' 'Tu  sin  C-^'  i  -1-  >, x)  +  /icos  (j'J  t  +  »; x)  1 

'■■.=2„V',('-'"'[«""Cr'-'')-«"(v'-"01+ 

+  c"'  l^'cos  C-'^'  /  I-  »,,/•)  —  //sin  (^  /  f-  '/•'•)] 

IStt'i.  Math.-pbys.  Cl.  1.  5 


<)<>  Sitzung  der  math'-phys.  Classe  vom  5.  März  1892. 


+  (- J?  I  +  F  t;)  cos  (?^  /  - 1;  a:)]  + 

ländlich  für  a:  >  0  haben  wir  nur  die  durchgehende  in  der 
positiven  a;-Richkung  fortschreitende  Welle  und  können  den 
Zeitanfang  so  wählen,  dass  das  Glied,  welches  die  Zeit  unter 
dem  Cosinuszeichen  enthält,  verschwindet.  Dann  wird  also 
für  x>0 

(/^=:jHm^-  {t  —  xyjik),  c^  =  47i  1/      Jsm*^{t—xy^i)- 

Die  Bedingungsgleichungen  für  x  =  0  lauten : 

was  liefert : 

_  2_/r  C,J        4  ;i  *  fi ,  G,  )jJ^ 

Setzen  wir 

cos      -    l//iÄ^==a,  sin J//<A:  =  a,  cos;? /;  =  />,  Am]n^=^P' 

e^P  =  y, 
so  liefern  die  Bedingtiiif?sgleicliiinge»  für  j-  ;>; 


/''-- 


Bdtzmann:   lieber  (Ins  den  Farhenringen  aiuüoge  Phänomen,    67 

4  7i:  C,  \  7  Y  I 

+  i^XH  - /S .?)  +  I  (- 6 ,? -f- /if  I)  -  ^(6 1  + /?  1?)] 

-\,FY{lnr\  ß?)+^Ah^^ßr{)  +  ^{-hri^ß^)\ 

y  y  \ 


Wir  wollen  J"™  1  setzen,  wodurch  nur  sänimtliche  Ampli- 
tuden mit  einem  eonstanten  Factor  raultiplicirt  werden ; 
ferner  setzen  wir  zur  Abkürzung 

y  y 

dann  wird: 


A       i    T>  r»      .    n  a     \   f>^^  +  ß^V   S^r/u    i/ä 

Aa  +  Ba-Ca  +  Da  =  ße+-^^^^—^^^^  |/  - 

Aa  -Ba-~Ca-Da  =  bd-\-(bei]  +  ßd^ 


27tf4^   \      k 


27t 


Multiplicirt  man  diese  Gleichungen  der  Keihe  nach:  1.  mit  n, 
a,  a^  a\  2.  mit  — a,  a,  — a,  a;  3.  mit  a,  — a,  -a,  «; 
4.  mit  a,  a,  -    er,      -a  und  setzt  noch  zur  Abkürzung: 

5* 


68  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5,  März  1892. 

so  erhält  man 

A  =  abä'\-aße  +  (abe  +  aßd)rjX-^{aßd  —  ab€)^X 

B=aße  —  abd'\-(aßd  —  ab€)fjx  —  (ahe  +  aßd)^X 

C  =  (a  ß  ä  —  ab  e)  1]  X  —  (a  ß  d  +  ab  e)  ^y. 

D  =  —  {aßd  +  abe)riX  +  (ab€  —  aßd)^7c 

^*  +  üja  =  (ja  6»  +  /^  d»)  ( j?»  X«  +  ^  ;i»)  +  2  d  €  1^  X  -f 

+  26/9(d»  —  e»)?A  +  6»d*-f-/^€« 

C»  +  D»  =  (i»  €»  +  /i^*  d»)  (/;»  i»  -f  ?  X»). 

Sobald  die  Metallplatte  sehr  dünn,  also  p  sehr  klein  ist,   wird 

a  =  b  =  d=l,     a  =  /?  =  £  =  0, 

daher 

^=1,     B=C  =  D  =  0, 

es  werden  also  die  Wellen  durchgelassen,  als  ob  die  Metiill- 
platte  nicht  vorhanden  wäre  (Fall  1).  Ein  anderer  extremer 
Fall  (2)  tritt  ein,  wenn  SX  und  xi;  (wenigstens  eine  dieser 
beiden  Grössen)  sehr  gross  ist.  Dann  verschwindet  das  ersU* 
Glied  im  Ausdmck  für  A  sowie  in  dem  für  B  und  man  hat 
A^  +  B^=C^  +  D'^.     Alle  Bewegung  wird  reflectirf. 

Man  kann  die  Frage  auf  werfen ,  wie  dünn  in  diesiun 
letzten  Falle  bei  gegebener  Schwingungsdauer  die  Metall- 
platte sein  müsse,  damit  der  Uebergang  in  das  zuerst  ge- 
nannte Extrem  eintrete. 

Wir  wollen  da  wieder  bloss  den  Fall  betracht^^n,  dass 
die  dielektrischen  Eigenschaften  der  Metallschicht  nicht  in 
Betracht  kommen,    also    t,   verschwindet.     Dann    wird,    wie 

wir  sahen,  f  =  #^  =  2  /i   1/      *     ^ 


Boltzmann:  lieber  das  den  Farhenringen  atMloge  Phänomen,    69 
Wir  setzen  ferner  A4==a<,  und  erhalten 

Dieser  Ausdruck  wird  sehr  gross,  wenn    1/  -j--  sehr  gross 

oder  sehr  klein  ist.     Im  ersteren  Fall,  der,  wie  aus  den  nu- 
merischen Beispielen  des  vorigen  Paragraphen  ersichtlich  ist, 
bei  den  Hertz'scheu  Schwingungen   eintritt,   wird  xg=;i^. 
Da 


arc  cos 
arc  cos 


a~y    k  ' 


so  wird  in  diesem  Falle  auch  dieses  Verhältniss  sehr  gross, 
und  daher  a  noch  viel  kleiner,  als  ß  sein,  dessen  Kleinheit 
die  Grösse  von  t]  x  und  ^X  zu  compensiren  hat.  a  und  b 
können  gleich  eins  gesetzt  werden.  Wir  verbinden  hiemit 
den  Fall  1,  dass  fast  alles  Licht  durchgeht,  wenn  p  so  klein 

ist,  dass  e  =jp^=  2 /rpl/ — ^—   klein  gegen  1,  <J=1  wird. 

Setzt  man  dann  die  Fortpflanzungsgeschwindigkeit  der 
elektrischen  Wellen  im  Medium  zu  beiden  Seiten  der  Metall- 
schicht (Luft)     , =  F,  so  ist 

Wenn  p  ^  gross  ist,  also  nur  wenig  Licht  hindurchgeht, 
so  wird: 


70  Sitzung  der  math.-phya.  Glosse  vom  5.  März  1892, 

Numerische  Berechnungen  nach  dieser  Formel,  ähnlich  wie 
wir  sie  an  die  Formel  des  vorigen  Paragraph  geknüpft  haben, 
stossen  natürlich  nicht  auf  die  mindeste  Schwierigkeit.  Eine 
experimentelle  Prüfung  der  Durchlässigkeit  äusserst  dünner 
Schichten  aus  schlecht  leitenden  Metallen  oder  anderen 
Leitern  für  Licht  und  elektrische  Schwingungen  könnten 
vielleicht  Aufschlüsse  über  deren  Dielektricitätsconstante 
liefern. 

Auch  die  Berechnung  des  entgegengesetzten  Falles,  dass 

C   T 

die  Schwingungen  so  rasch   geschehen,   dass  -j^-  sehr  klein 

ist  (Kathodestrahlen?),  hat  keine  Schwierigkeit,  doch  gehe 
ich  darauf  nicht  weiter  ein,  da  diese  Phänomene  wohl  durch 
den  specifischen  Einfluss  der  Resonanz  der  einzelnen  Mole- 
küle zu  sehr  gestört  werden  dürften. 


72  Sitzung  der  math.'phys.  Glosse  vom  5.  März  1892. 

Ansicht  scheint  durch  die  vorliegende  Arbeit,  die  experimen- 
telle Beiträge  liefern  soll  über  den  Zusammenhang  des  Mag- 
netismus des  Eisens  und  der  Schwingungszahl  der  magneti- 
sirenden  Wechselströme,  an  Wahrscheinlichkeit  zu  gewinnen. 

Rasch  alternirende  Ströme  kann  man  erhalten,  wenn 
man  Batterieen  sich  durch  eine  Leitungsbahn  von  genügend 
grossem  Selbstinduktionscoefficienten  entladen  lässt.  Die 
Schwingungszahl  des  Entladestroms  kann  duech  Untersuch- 
ung des  Entladefunkeus  im  rotirenden  Spiegel  experimentell 
bestimmt  werden.  Sic  ist  abhängig  von  der  Capacität  der 
Batterie  und  der  Selbstinduktion  der  Leitungsbahn.  Würde 
man  eine  Batterie  abwechselnd  durch  eine  Leitungsbahn  aus 
Kupfer  und  Eisen  entladen,  so  hätte  man  eine  Methode,  um 
eine  Verschiedenheit  der  beiden  Selbstinduktionscoefficienten, 
und  dadurch  ein  Maass  für  den  Magnetismus  des  Eisendrahtes, 
zu  bestimmen,  die  nur  an  dem  Uebelstande  leidet,  dass  die 
Umdrehungsgeschwindigkeit  des  Spiegels,  deren  genaue  Mes- 
sung äusserst  schwierig  ist,  quadratisch  eingeht.  Diesem 
Uebelstande  wurde  durch  die  folgende  Versuchsanordnung 
abgeholfen. 

Ks  wurden  gleichzeitig  2  ni(*)gliclist  gleiche  Batterieen 
benutzt,  deren  etwaige  Ungleichheit  durch  Vertauschen  eli- 
niinirt  wurde.  Die  Entladekrei.se  der  beiden  Batterieen  hatten 
möglichst  gleiche  geometrische  Configuration,  doch  war  der 
eine  aus  Kupferdraht,  der  andere  ans  einem  weichen  Eisen- 
draht von  gleichem  Querschnitte  hergestellt.  Beide  Batterieen 
wurden  gleichzeitig  bis  zum  gleichen  Potential  geladen,  in 
denjselben  Moment  entladen,  die  beiden  Funken  gleichzeitig 
in  einem  rotirenden  Spiegel  zerlegt  und  die  Funkenbilder 
auf  einer  j)hotographischen  Platte  fixirt.  Die  Rotationsge- 
schwindigkeit des  Sj)icgels  braucht  dann  nur  so  genau  be- 
stimmt zu  werden,  um  ein  Maass  für  die  Grössean Ordnung  der 
Stromwechselzahl  zu  erhalten.  Denn  die  Ausmessung  der 
photograi>hischen  Bilder  lässt  Unterschiede  der  Schwingungs- 


74  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  5.  März  1892. 

diese  Widerstände  wenigstens  fiir  konstanten  Strom  auszu- 
gleichen. Das  wurde  so  erreicht,  dass  in  der  Eupferleitung 
ein  dünner  Nickelindraht,  in  die  Eisenleitnng  ein  gleicher 
Eupferdraht  eingeschaltet  wurde.  Diese  dünnen  Drahte  waren 
so  gewickelt,  dass  ihre  Seihstinduktionscoefficienten  möglichst 
klein  wurden,  und  ihre  Längen  wurden  so  genommen,  dass 
die  Widerstände    ausgeglichen  waren.     Es  ergab  sich  dann : 

T=  0,000002 1 5 ;     0,0000079 1 ;     0,0000 1 90 ;     0,0000380" 
^1=        1,19  1,22  1,18  1,40 

Lc        (Mittel anal 2 PUtt«n    ans  23  Platten        ans  18  Platten       aus  12  Platten.) 

Eine  Aenderung  des  Verhältnisses  des  Coefficient  L  ist  also 
nicht  eingetreten.  Die  Zahl  1,22  scheint  die  oben  erwähnte 
Verrauthung  zu  bestätigen,  dass  die  Zahl  1,30  in  1)  zu 
gross  ist. 

3)  Die  Stromschwingnngen  bei  diesen  Batterieentlad- 
ungen finden  mit  abnehmender  Amplitude  statt,  bestimmt 
durch  die  Selbstinduktion  und  Widerstand  der  Leitungsbahn 
(bei  gleicher  Capacität  der  Batterieeu).  Bei  den  hier  ange- 
stellten Versuchen  zeigten  die  beiden  Leitungsbahnen  gänz- 
lich verschiedene  Dänipfungsverhiiltnisse.  Benutzt  man  stets 
die  gleiche  Plattensorte,  so  werden  die  Schwingungen  nicht 
mehr  photographisch  wirken,  sobald  ihre  Amph'tude  unter 
einen  gewissen  Werth  gesunken  ist.  Die  Anzahl  der  photo- 
graphirten  Schwingungen  auf  der  IMatte  giebt  einen  Maass- 
stab für  die  Dämpfung  derselben.     Es  ergeben  sich  bei 

T  =     0,00000215:  O.OOOUOTIH  ;  0,0000190:  0,0000380" 

Halbe  Schwingungen 

»^ei''«Ur.ner^r:  ^<j         2«  --         21 

.   Fe  I   »'»'■'»t»  ^«'     1 1  8  5  ö 

*  )    Stromkreises 

»>«'^'«lc{r.i.e'o"«?fiir.    l--i  17  13  20 

'    -^'1   lÄreV.:.       11  7  5  5 

(Diese  Zahlen  sind  Mittelwerthe  der  schon  oben  ange- 
gebenen Plattenzahl;  bei  den  verschiedenen  Platten  zeigten 
diese  Zahlen  nur  sehr  geringe  Differenzen.) 


A.  FizJcflc  iz.  »  Kizz*rjszrji:z.     B-  Fonkec  in  der  Eiäea- 
¥l2.  IL 

T 


.'.*i 


A.  F:u:k'Hi  iz  i-tr  KzTZ-zTJ'KTr.T.z-     B.  Firi«*c  in  der  Eisen- 


Ffs.  IIL 
A.  Fii-ke::  ic  ier  K::p:erlr::-ir^.     B.  F-^nken  in  der  Eiäen- 


•^1. 


lo 


78  Sitzung  der  math-phys,  Classe  vom  5.  März  1892. 

lieh  an  die  Betrachtungen  anreihen,  mit  denen  Listing  seine 
, Vorstudien  zur  Topologie*'  abschliesst. 

3.  Verkettet  mit  einander  sind  Ringe  dann,  wenn  die 
Weite,  bis  zu  welcher  sie  von  einander  entfernt  werden 
können,  von  ihren  Dimensionen  abhängt.  Wenn  eine  Anzahl 
Ringe  eine  Kette  bilden,  so  kann  keiner  vom  andern  über 
jede  Weite  hinaus  entfernt  werden,  ohne  dass  mindestens 
einer  von  allen  Ringen  über  jede  Länge  hinaus  gedehnt  würde, 
und  es  müssen,  wenn  man  die  Dimensionen  der  Ringe  hin- 
länglich verkleinert ,  sämmtliche  Hinge  auf  einen  beliebig 
kleinen  Raum  zusammengezwungen  werden. 

4.  Bildet  ein  Theil  der  Ringe  einer  Kette  J5C,  allein  für 
sich  betrachtet,  ebenfalls  eine  Kette  i%  so  heisse  k  eine  Unter- 
kette von  K. 

5.  Nachdem  der  Begriff  von  verketteten  Ringen  darge- 
stellt ist,  lässt  sich  der  von  verketteten  Ringketten  leicht 
daraus  ableiten. 

0.  Im  Gegensatz  zu  Gebilden,  die  mit  einander  verkettet 
sind,  sprechen  wir  von  un verketteten  oder  „von  einander 
freien*   Gebilden. 

7.  Unter  der  Beschreibung  des  Verkettungszustandes  von 
n  Hingen  verstehe  ich  die  genaue  Angabe  der  Ketten,  welche 
durch  die  Ringe  gebildet  werden,  und  der  siunmtlielien  in 
ihnen  enthaltenen  Unterketten.  Diese  Beschreibung  wird 
durch  ein  jetzt  zu  bildendes  Schema  gelei^tet. 

8.  Man  setze  in  e'uw  erste  Zeile  die  Namen  <ler  Hinge 
nebeneinander,  etwa 

Dann  bilde  man  die  sämmtlichen  Combinationen  dieser  Buch- 
st4iben  zu  zweien  und  untersuche,  welche  dadurch  darge- 
stellten KMng]>aare,  für  sieh  allein  betrachtet,  mit  einand^M' 
verkettet    sind,    welche    nicht.      Die   B»*zei(hnnngen    der  ver- 


80  Sitzung  der  mcUh.-jphys,  Classe  vom  5.  März  1892. 


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\j  Ob 


••     »^L-        S—      «»'S        ^-^      -««.es 
^14-    ^'-1-       ^T    o  +       "^4-    S  + 

^•X  H^    ^i  ^    ^-12* 


3  -.  .7  it^t  ?+?!-  fti* 

..-  •«     ■'it   jj^s  -^r.--  ^crS- 


0 


I   -Ä  -^  -?:-  -^  1,+  j±  st  ^t  |,t 


^o^'     -.^i"        'Si"        'Si' 


5»0 


^  « 


1-^      Cl  CO  "^  »^  ^  c^ 


S2  SitcuH^  *Ur  mnth-phffif.  (7*wj^  n>m  .5.  März  1S03. 

in  das  zweite  Drittel:  Die  Glieder,  welche  Unierketten 
enthaltener  ausserdem  aber  noch  eine  Gruppe  G  Ton 
Bochstaben.  welche  zusammen  keine  Unterkette  bilden: 

in  das  dritte  Drittel :  Die  t-fliaier,  welche  gar  keine  Untere 
ketten  enthalten. 

17.  Die  ersten  Drittel  der  sanuntlichen  rechten  Zeilen- 
hälften seien  ab  erstes  Drittel  der  rechten  Schemahalfte  be- 
zeichnet, and  entsprechend  seien  die  Benennangen  zweites 
und  drittes  Drittel  zu  ver>tehtfn. 

IS.  Die  Zeilendrittel  halte  man  durch  kleinere  Vertikal- 
striche  auseinander,  oder  man  bilde,  wie  in  dem  Beispiel  ge- 
schehen, «gleich  drei  durchgehende  Kolumnen  von  der  3.  Zeile 
an.  Sollten  *rewi?se  Drittel  i^r  keine  Glieder  enthalten,  so 
winl  es  d^ch  gut  sein,  trotzdem  die  Trenn ungss^triche  y.u 
setzen. M  In  dem  Beispit^l  11  enthält  nur  Zeile  5)  Ketten  in 
allen  drei  Dritteln  der  rechten  Hälfte,  Zeile  3)  nur  zweites 
und  drittes  Drittel.  Zeile  4)  nur  ein  drittes  Drittel,  Zeile  tJ) 
nur  die  zwei  ersten  [)rittel.  Für  die  Ketten  der  ers^teD  zwei 
Dritt**l  ist  durch  die  untertreschrielvenen  Summen  an^xetleutet. 
aus  welchen  L  nterketten  und  Buch^tabengnippen  G  sie  zu- 
-;lmulell:X^*set/.t  sind. 

n.    Bildung  von  Ketten,  deren  Schema  ein 

gegebenes  ist. 

!!♦.  Man  wurde  ^ich  den  Gegenstand  dieses  Anfsatze> 
zu  einfach  v«»r>tellen  und  den  Zweck  der  Aufstellung  eines 
>«»  iilliTenieinen  Scheniu's  nicht  ein.>ehen,  so  huiue  man  nur 
an  die  gewohnlich  5.ich  darbietende  Art  der  Verkettung  denkeu 
widlte.  l)ie  ^ewöhnlioli^ten  Ketten  haben  ein  Schema, 
dem  ab|Lr»*-ehen  von  Zeile  -)  die  rechte  Hälfte  ganz 
fehlt,  lii^er  Bt'griff  der  Verkettung  ist  ai>er  ein 
viel    Weiterer,    und    es    kann    da-    Zusiimmen  häniren 

li   Aflinlith»*-  Lfilt   tQr  Jii»  Trenuuni^v-itri*  he  iler   [Irilft**!». 


84  SUzu9^  der  meUhrphys.  ClcLsse  vom  5.  März  1892. 

Aufschneiden  des  einen  von  beiden  wieder  von  einander  frei 
machen  kann. 

23.  AuffiLlliger  ist  schon  die  Möglichkeit,  3  Ringe  so 
ineinander  zu  verflechten,  dass  kein  Paar  derselben  verkettet 
ist,  sondern  alle  drei  Ringe  frei  werden,  sobald  ein  beliebiger 
aufgeschnitten  wird. 

Tait  gibt  ein  Beispiel  für  diese  Möglichkeit,  welches  wir 
in  Fig.  2  reproduciren.^) 

24.  Wir  sind  nun  weiter  gegangen  und  haben  in  Fig.  4 
und  Fi^.  5  Taf.  II  Ketten  von  4,  resp.  5  Ringen  gebildet, 
welche  ganz  entsprechende  Eigenschaften  zeigen,  d.  h.  sofort 
vollständig  zerfallen,  sobald  irgend  einer  der  Ringe  aofge- 
schnitten  wird. 

Ja,  es  lässt  sich  allgemein  folgender,  auf  den  ersten 
Blick  sehr  unwahrscheinliche  Satz  behaupten: 

25.  Es  lassen  sich  beliebig  viele  Ringe  R  so  zn 
einer  Kette  K  verbinden,  dass  in  K  gar  keine  Unter- 
kotttMi  vorhanden  sind.  Zerschneidet  man  einen  ein- 
y.ii^en  ganz  beliebigen  der  Ringe  li^  so  werden  so- 
fort sänimtliehe  R  frei  von  einander. 

20.  Nachdruck  i>t  darauf  zu  legen,  dass  das  Zerfallen 
]M*i  der  Zersclinciduiig  eines  ganz  beliebigen  der  Ringe  ein- 
tritt, denn  Beispiele  für  Ketten  aus  n  Ringen,  die  bei  Zer- 
schneidung  eines  bestimmten  Ringes  in  ihre  Elemente  zer- 
fallen, liegen  auf  der  Hiind :  Man  denke  sich  nur  beliebig 
viele  Hinge  auf  einen  andern  aufgereiht,  wodurch  eine  Kettt* 
entsteht,  deren  rechte  Schemahälfte  die  Form 

1)  -*1.  />,  (.' N 

2)  -4  />',  AC  ,  ,  ,  .  AN 

liat,  nml  welche  beim  Zer-chneiden  des  Ringe-*  -.4,  aWr  keint»^ 
andern  in  ihre   Kleinente  /.erfüllt. 

li  »Su-hf  t'itat   l»*?i  2. 


86  Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  vom  5,  März  1802, 

dass  er  auf  der  nemlichen  Seite  von  A^  bleibt.  In  Fig.  8 
fand   zwischen   zwei   üeberkreuzungen  a;^^, ,  und  x^^.^  ein 

Umfangen,  Unterqueren  von  A^  durch  A^  statt;  an  dessen 
Stelle  tritt  jetzt  sozusagen  ein  , Reiten*  von  A^  auf  A^ 
zwischen  zwei  Paaren  von  Üeberkreuzungen  ^4,,! ,,  ^4^4.2 
und  ^54^131  ^4^4.41  indem  A^  auf  jeder  Seite  von  A^  eine 
Schleife  herabhängen  lässt.  In  Fig.  9  befindet  sich  femer 
allgemein  bei  ^gn-i  ^"^  ^2«  -^1  ^"f  ^^^  nemlichen  Seite  von 
A^  wie  in  Fig.  8  bei  x^, 

32.  Nun  zu  Aq\  Mit  diesem  Ring  bildet  A^  geradeso- 
viel Üeberkreuzungen  wie  mit  A^  und  wir  nennen  die  üeber- 
kreuzungen gleicher  Ordnungszahl  auf  Ar^  und  A^  entspre- 
chende. Die  Üeberkreuzungen  entstehen,  indem  A^  jede  der 
von  A^  herabhängenden  Schleifen  einmal  durchbohrt.  A^ 
befindet  sich  daher,  gerade  im  Gegensatz  zu  dem  Verhalten 
entsprechender  Üeberkreuzungen  auf  A^^  auf  verschiedenen 
Seiten  von  A^^  wenn  man  eine  Ueberkreuzung  ungerader 
Ordnungszahl  und  die  rechts  folgende  ins  Auge  fiisst. 

Ferner : 

1^3.  Bezeichnet  num  das  Vornhiut'en  von  A^  bei  einer 
l'eberkreuzung  mit  r,  das  Hintenlaufen  mit  Ä,  so  entspricht 
jt'der  Reihe  von  Üeberkreuzungen  eine  Reilie  von  Buchstaben 
r,  Ä,  und  es  gilt  die  Regel:  Einer  Buchstabenfolge  vv  hh 
resp.  hh  vv  auf  ^^  niuss  eine  symmetrische  Buchstabenfolge 
auf  A^  ents})rechen,  also  entweder  vhhv  oder  hvvh. 

Schliesslich  : 

31.  Syrnmetrieen  von  Buehsta])en folgen  auf  A^  niü>sen 
in  den  entsprechenden  Buchstaben foltren  von  A^  erhalten 
I)leiben. 

35.  Durch  «lie  unter  30-34  gegei)enen  Regeln  sind  nun 
auf  Aq  die  leberkreuzungen  vollständig  bestinnnt  bis  auf 
eine    beliebige,    die    zu  Anfang   willkürlich    gewählt    werden 


88  Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  vom  5.  März  1892, 

Selbstverständlich  ist  das  Zerfallen,  wenn  der  zerschnit- 
tene Ring  gerade  A^  ist. 

Zerschneidet  und  entfernt  man  den  äussersten  Ring,  so 
kann  -4,,  weil  es  auf  den  übrigen  Ringen  nur  „reitet*,  ein- 
fach von  ihnen  abgehoben  werden,  wie  ein  Reiter  vom  Ross. 

Zerschneidet  und  entfernt  (=  „löscht")  man  den  zweiten 
Ring  von  aussen,  so  kann  man  alle  Schleifen,  mit  denen  A^ 
auf  diesem  Ringe  „ritt",  nach  unten  fallen  lassen,  wofQr  die 
von  der  Mitte  dieser  Schleifen  ausgehenden  Symmetrieen  von 
Wichtigkeit  sind,  und  findet  dann  den  äussersten  Ring  nir- 
gends mehr  unterquert.  Daher  steht  dem  Abheben  des 
Ringes  -4^,  der  auf  den  Ringen  innerhalb  des  zerschnittenen 
nur  reitet,  nichts  im  Wege. 

L()scht  man  den  dritten  Ring  von  aussen,  so  werden  die 
auf  diesem  reitenden  Schleifen  frei,  und  lassen  sich,  wieder 
in  Folge  der  Symmetrieen,  die  in  den  zwei  äusseren  Ringen 
von  ihren  Mitten  ausgehen,  durch  einfaches  Abwickeln  resp. 
Durchschieben  ganz  aus  denselben  herausflechten.  Auf  den 
weiter  innen  liegenden  Ringen  findet  wieder  nur  ein  Reiten 
statt  und  dem  Ablieben  von  A^  steht  nichts  im  Wege. 

'^9.  Ueberhaupt:  Löscht  man  einen  bi'liebigen  der  con- 
centrischen  Rinj^ti,  so  besteht  die  sichtbarliche  Freimachung 
dos  Ringes  A^  von  den  übrigen  nach  Richtung  der  äussern 
in  einrni  Abwickeln  und  Durchschieben  der  Schleifen,  welche 
auf  dem  zerschnittenen  Hinge  geritten  waren,  nach  Richtung 
der  innern  Ringe  in  einem  Abheben.  Die  erste  Operation 
ist  stets  wesentlich  bedingt  durch  die  von  der  Mitte  jener 
Schleifen  ausg(»hendcMi  Symmetrieen  d(»r  Ueberkreuzungsbuch- 
staben,  welche  die  reberkreuzungen  stots  paarweise  aufzu- 
he})en  gestatten. 

Dass  nach  Ausflechtung  von  A^  die  übrigen  Ringe  alle 
frei  sind,  ist  von  selbst  klar. 

40.  Wir  werden  nun  keine  Schwierigkeit  haben,  auch 
die  Möglichkeit  des  folgenden  einzusehen : 


90  Sitzung  der  matK-phys.  Glosse  vom  5.  März  1892. 

oben  41)  und  somit  für  die  anfangs  vorhandenen  Verket- 
tungen, die  sich  nur  auf  einen  Theil  der  Ringe  beziehen, 
völlig  belanglos  ist. 

43.  Das  geschilderte  Verfahren  reicht  vollkommen  aus, 
um  bei  beliebig  gegebenem  Schema  eine  dem  entsprechende 
Kette  zu  bilden.  Man  bilde  der  Reihe  nach  die  in  der 
rechten  Schemahälfte  vorkommenden  Unterketten,  die  der 
linken  Hälfte  entstehen  dann  von  selbst.  Die  Möglichkeit, 
dass  Ringe  oder  Unterketten  zu  einer  Kette  zusammentreten, 
nachdem  sie  schon  zur  Bildung  aifdrer  Ketten  verwendet 
und  in  denselben  befangen  sind,  stört  in  keiner  Weise.  Es 
macht  also  gar  nichts,  diiss  z.  B.  nach  zwei  Ketten  ah  cd 
und  efgh  eine  Kette  acfg  im  Schema  auftreten  kann.  Nur 
ein  Paar  Worte  sind  oben  in  42  zu  verändern,  um  die  dor- 
tigen Schlussfolgerungen    auch    auf  diesen  Fall  anzuwenden. 

Andre  Methoden,  um  speciell  Ketten  ohne  Unter- 
ketten zu  bilden. 

44.  Da  s])eciell  die  Ketten  ohne  Unterketten,  welche 
unter  25.  erwähnt  sind,  einiges  Interesse  erwecken  dürften, 
so  sollen  noch  zwei  andre  Methoden  angegeben  werden,  um 
solche  Ketten  zu  bilden. 

45.  Man  denke  sich  auf  eine  Kbene  einen  kreisförmigen 
Ring  li  gelegt,  darüber  einen  ebensolchen  King  A^  so  da-s 
die  beiden  Kreisflächen  sieh  zum  grüssten  Theile  überdecken, 
und  A  etwas  mehr  nach  links  liegt.  Dann  schlage  man  — 
die  Ebene  wird  weggedacht  --  den  Tlieil  des  Kinges  A^  der 
innerhalb  des  Unifjinge>  von  li  liegt,  nach  unten  und  links, 
den  Theil  vun  7/,  der  innerhalb  A  liegt,  nach  oben  und 
rechte,  so  werden  A  und  B  nach  dem  Mu.Nter  von  Fig.  11 
zusammengesetzt  sein.  Operation  wie  l\esultat  wollen  wir 
mit  dem  Symbol  [A  li^  bezeichnen,  l^-ß]  bildet  keine 
Kette,  sondern  die  beiden   Hinge  sind  frei  von  einander. 


92  Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  vom  5.  März  1892. 

der   einerseits   durch   die  Stränge   von  Sj,    andrerseits  durch 
die  von  8^  begrenzt  wird. 

51.  Keiner  der  behandelten  Systemringe  bildet  eine 
Kette ;  sie  bestehen  aus  lauter  freien,  nur  in  eigenthümlicher 
Weise  zusammengelegten  Ringen. 

Sobald  jedoch  durch  die  Hauptöffnung  eines  solchen 
Systemringes  S  ein  Ring  oder  andrer  Systemring  T  geführt 
wird  in  der  Weise,  dass  eine  Verkettung  stattfinden  würde, 
sobald  an  Stelle  von  S  und  T  einfache  Ringe  träten  — 
am  einfachsten  also  nach  Muster  von  Fig.  3  — ,  so  sind  auf 
einmal  sämmtliche  Ringe  mit  einander  verkettet  und  zwar 
liegt  dann  eine  Kette  ohne  Unterkette  vor.  Der  Schlussring 
versperrt  sämratlichen  Ringen  die  Wege,  auf  denen  sie  aus 
den  andern  hervorgezogen  und  von  ihnen  frei  gemacht  werden 
könnten.  Man  überzeuge  sich  durch  Experimente  und  er- 
innere sich  an  21. 

52.  Dass  ein  vollständiges  Zerfallen  eintritt,  sobald  ein 
Ring  iZ,  in  einem  der  Systemringe,  sagen  wir  in  Äj,  zer- 
schnitten wird,  läisst  sich  folgend erniaassen  klar  machen  : 

Innerhalb  S  ist  ü,  jedenfalls  mit  einem  andern  Ring 
oder  Systemring  iJj  nach  Muster  von  Fig.  1 1  zusammenge- 
legt, später  eventuell  noch  gefaltet  worden.  Führen  wir  den 
Schnitt  an  R^  in  der  Nähe  von  ;>,^)  so  lässt  sich  dort  der 
Systemring  auseinanderzerren,  ganz  gleichgültig,  welche  Ver- 
bindungen er  noch  mit  andern  Ringen  eingegangen  ist,  und 
verhält  sich  in  Folge  dessen  in  Bezug  auf  seinen  Haupt- 
durchgiing  r  nicht  mehr  wie  ein  Ring,  sondern  wie  ein  zwei- 
endiger  Faden.  [7^^  7/j]  war  wieder  mit  einem  andern  Ring 
oder  Systemring  iZj  zu  einem  System  ring  zusammengelegt 
worden,  der  sieh  nach  der  mit  [R^li^\  vorgegangenen  Ver- 
änderung selbst  wie  ein  zweiendiger  Faden  verhält;  etc.  etc. 

1)  Nur   der  bequemeren  Vorstellung   wej^en;   die  Stelle,   wo   der 
Schnitt  geführt  wird,  ist  gleichgültig. 


94  Sitzung  der  math.-phys.  Clause  vom  5.  März  1892, 

aus,  und  um  sie  zu  untersuchen,  müssten  wir  über  den 
Rahmen  dieses  Aufsatzes  hinausgehen.  Wir  schreiten  daher 
zu  einer  andern  charakteristischen  Zahl  fort. 

57.  Vorausschickend  bemerken  wir,  dass  unter  einem 
Querschnitt  ein  Schnitt  verstanden  werden  soll,  der  einem 
Faden  seine  ringförmige  Natur  nimmt,  und  ihn  in  einen 
solchen  mit  zwei  Enden  verwandelt. 

58.  Man  kann  sich  nun  fragen:  Welches  ist  die  ge- 
ringste Anzahl  von  Querschnitten,  welche  man  an 
den  gedachten  Ringen  ausführen  muss,  um  dieselben 
sämmtlich  von  einander  frei  zu  machen? 

59.  Und  andrerseits:  Welches  ist  die  grösste  An- 
zahl von  Querschnitten,  die  man  zur  Zerfällung  der 
Ketten  in  ihre  Bestandtheile  ausführen  kann  unter 
der  Bedingung,  dass  nie  ein  bereits  frei  gewordener 
Ring  zerschnitten  wird? 

GO.  Wir  nennen  die  erste  Zahl  kurz  die  Minimalzer- 
schneidungszahl,  die  zweite  Hie  Maximal/erschneiduug>zahl 
unseres  niugsystenis. 

Ableitun<(  der  Zerschneid  u  n^szahlen    für   eine 
specielle   Art  von    Ketten. 

()1.  Wir  behand(»hi  zuuäclist  rlie  Zerschneidun<^sz;ihlen 
solcher  Ketten,  in  deren  Schema  die  linke  Ifillfte  vollstän- 
dig fehlt. 

Ein  solches  Schema  entliillt  kein  ein/i«j;es  (flit»d,  dessen 
Vorhandens^'in  uus  (iliedern,  die  in  voihergt'licuden  Zeilen 
angeschrieben  sind,  noihwendig  folgen  würde,  wie  etwa  au.> 
zwei  Gliedern  A  B  und  B  C  der  zweiten  Zeile  noth wendig' 
ein  Glied  ABC  für  die  dritte  Zeile  sich  ergibt. 

<)2.  Wenn  zwei  in  einem  solchen  Stthema  vnrk(>mni«Mide 
(Ketten  resp.)  Futerketten  liinge  geuieiusam  hal)en,  so  nius'j 
eine  derselben    sämmtliche   Uinge   iler  andern  enthalten,    mit 


96  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  5.  März  1892. 

vollständig  frei  sind.    Die  Minimalzerschneidungszabl  ist  also 
hier  gleich  der  Anzahl  der  Glieder  des  dritten  Drittels: 

G6.  Um  eine  deutlichere  Einsicht  von  der  Richtigkeit 
dieses  Satzes  zu  bekommen,  könnte  man  den  Einflues  der 
successiven  Schnitte  auf  den  Verkettungszustand  des  Ring- 
systems verfolgen,  was  wir  aber  hier  der  Kürze  halber  über- 
gehen. 

Maximalzerschneidungszahl  M. 

67.  Bei  Ableitung  der  Maximalzerschneidungszahl  wird 
ein  Umstand  wichtig,  der  bei  Ableitung  der  Minimalzer- 
schneidungszabl belanglos  war:  Die  Reihenfolge  der  Schnitte. 

68.  Sind  M  Ringe  gefunden,  bei  deren  Zerschneidung 
in  bestimmter  Reihenfolge  das  Ringsystem  erst  mit  dem 
M-ten  Schnitte  in  seine  Elemente  zerfällt,  so  gibt  es  sicher 
andre  Reihenfolgen,  bei  deren  Einhalten  dieses  Zerfallen  vor 
dem  Jf-ten  Schnitte  eintritt. 

09.  Jedenfalls  lilsst  sich  aus  den  M  Ringen  ein  System 
von  rfg  Hingen  herausheben,  das  mit  jeder  im  dritten  Drittel 
stehenden  Kette  nur  je  einen  King  gemein  hat.  d^  ist  dann 
die  Minimalzerschneidungszalil  (.i,  s.  den  Schluss  des  vorigen 
Abschnittes,  und  das  ganze  System  zerfällt  schon  nach  dem 
f<-ten  Schnitte ,  wenn  niiin  gerade  die  herausgehobenen  /i 
Ringe  zuerst  aufschneidet. 

70.  Die  M — /<  übrigen  Ringe  können  offenbar  nicht  in 
Ketten  des  dritten  Drittels  vorkommen,  da  sonst  mindestens 
in  einer  derselben  zwei  Ringe  aufgeschnitten  würden.  Dies 
hiesse  aber ,  einen  bereits  ganz  freigewordenen  King  auf- 
schneiden (s.  63.  I))),  was  ausgeschlossen  sein  soll  (s.  59). 
Es  müssen  dalier  |{inge  sein ,  deren  erstes  Auftreten  im 
zweiten  Drittel  erfolgt,  als  zu  (iruppen  G  gehörig  (s.  1(»). 
Schnei<let    man    einen    solchen    liing  auf,    so  zerfällt  die  Ik^ 


98  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  5.  März  1892, 

Umwege  vermeiden  lassen,  und  scheint  im  Uebrigen  anf  das 
Durchprobiren    der  verschiedenen  Möglichkeiten  angewiesen. 

75.  Zunächst  ist  für  die  Aufsuchung  von  fi  wichtig,  dass 
das  ganze  System  dann  und  erst  dann  in  seine  Bestandtheile 
zerlegt  ist,  wenn  die  Glieder  des  letzten  Drittels  zweiter  Hälfte 
im  Schema  in  die  ihren  zerfällt  sind.  Es  handelt  sich  also 
darum,  diese  Glieder  durch  möglichst  wenig  Schnitte  voll- 
ständig zu  zerföllen. 

76.  Geht  man  die  Glieder  des  letzten  Drittels  durch 
und  sucht  eine  Anzahl  solcher  heraus,  welche  aus  lauter  ver- 
schiedenen Buchstaben  bestehen,  es  seien  die  Glieder  r^y  F^ 
.  .  .  r'y,  so  ist  V  eine  untere  Grenze  für  ju.  Es  müssen  min- 
destens V  Ringe  A^^  A^^  A^  ,  .  ,  Ay  zerschnitten  werden, 
welche  resp.   den   Gliedern  r„  r„  T,  .  .  .  F,  angehören. 

Dadurch  wird  die  Auswahl  der  zu  zerschneidenden  Ringe 
unter  Umständen  wesentlich  beschränkt. 

77.  Für  M  ist  Folgendes  zu  bemerken ; 

Jedes  Glied  des  zweiten  Drittels  rechter  Hälfte  ist  zu- 
saniniengesetzt  aus  Gliedern  vorhergehender  Zeilen  und  ausser- 
dem ans  Ringen  (?,  die  zusammen  kein  vorhergehendes  Glied 
bilden,  obwohl  sie  in  solchen  vorhergehenden  Gliedern  vor- 
kommen können.  Zunächst  kennzeichne  man  in  jedem  Gliede 
die  Ringe  G ;  weiterhin  unter  diesen  wieder  die,  welche  in 
keinem  Glied  des  letzten  Drittels  vorkommen:  sie  mögen  G' 
heissen.  Durch  Zerschneiden  eines  G'  wird  ein  Glied  zweiten 
Drittels  rechter  Hälfte  in  Unterketten  vorhergehender  Zeilen 
und  die  Ringe  G  zerlegt.  Man  beginne  nun  (vgl.  71)  da- 
mit, in  jedem  Gliede  der  letzten  Zeile,  die  ein  zweites  Drittel 
enthalt,  einen  Ring  G*  aufzuschneiden  und  schreite  dann  zu 
vorhergehenden  Zeilen  weiter. 

78.  Es  ist  aber  jetzt  möglich,  dass  die  Auswahl  des  (?' 
im  einzelnen  (iliede  nicht  mehr  gleichgültig  ist,  wie  bei  den 
speciellen  Schemata  <)1,    weil    sehr    W(>lil    einzelne   Ring«»    in 


102  Sitzufig  der  math.-phys,  Glosse  vom  5.  März  1802. 

einzelnen  Hingulären  Stellen  diseutirt  und  zv^ar  je  für  die 
verschiedenen  Blätter,  in  welchen  sich  das  Curveusystem  über 
der  (a?^)-Ebene  ausbreitet. 

Im  Folgenden  ist  ein  anderer  Weg  eingeschlagen,  um 
über  den  Gesamnit verlauf  der  Integral-Curven  einer  Diffe- 
rentialgleichung erster  Ordnung  Aufschluss  zu  erhalten: 
Man  betrachte  durch  Einführung  eines  Parameters 
die  einzelne  Differentialgleichung  als  Glied  einer 
Heihe  von  continuirlich  in  einander  übergehenden 
Differentialgleichungen  und  studire  die  Aende- 
rungen,  welche  die  Integralcurven  durch  eine  solche 
stetige  Abänderung  der  Differentialgleichung  er- 
leiden. 

£s  bleibt  dann  bei  dieser  continuirlichen  Ab- 
änderung der  Gesammtcharacte'r  des  Curvensystems 
im  Allgemeinen  erhalten  und  ändert  sich  nur  an 
gewissen  Sprungstellen  durch  Entstehen,  Umfor- 
mung  und    Verschwinden    von   singulären  Punkten. 

Dabei  bezieht  sich  der  schon  in  Abli.  I.  gebrauchte  Aus- 
druck ,Gesannntcharacter"  wie  dort  auch  hier  wieder  auf 
die  Art  und  Verteilung  der  singulären  Stellen,  auf  die  im 
Sinne  der  Analysis  situs  genommene  Anordnung  der  ver- 
schiedenen Blätter  und  des  darin  näherungsweise  darzustel- 
lenden Verlaufes  der  einzelnen  Curvenzweige.  P]igenscha{len 
von  Integralcurven  dagegen,  wie  die,  sich  zu  schliessen,  oder 
noch  specieller,  algebraisch  zu  sein,  fallen  hier  ausser  Be- 
trjicht,  denn  sie  werden  im  Allgemeinen  bei  einer  infinitesi- 
malen  Aenderung    der  Differentialgleichung    verloren    gehen. 

So  versucht  die  vorliegende  Abhandlung  eine 
Darstellung  derjenigen  Eigenschaften  des  Integral- 
curvensystems  einer  Differentialgleichung  erster 
Ordnung,  welche  bei  im  Sinne  der  Analysis  situs 
nicht  wesentlichen  Umformungen  der  Differential- 
gleichung   erhalten    bleiben    durch    die    Darlegung 


104  Sitzunff  der  math.'likys.  Clasae  vom  5.  März  189:i. 

ist  das  ihr  entsprechende  System  der  Integralcurven  ein- 
fach überdeckend,  ausgebreitet. 

Die  wichtigsten  Umformungen  dieses  Curvensystems  eK- 
t^prechen  denjenigen  rmänderungen  der  Flächen  des  Sjstenos, 
hei  welchen  die  characteris tische  Zahl  (Zusammenhangs- 
zahl)  der  Fläche  sich  ändert.  Ihnen  entsprechen  Aendeningen 
in  der  Anzahl  der  singulären  Punkte  des  Curvensystems,  den 
Relationen  zufolge,  welche  diese  Anzahlen  mit  der  characte- 
ristischen  Zahl  verknüpfen.^)  Alle  übrigen  Aendeningen,  die 
bei  der  continuirlichen  Umformung  im  Verlaufe  des  Curren- 
systenis  auftreten,  sind  —  auch  wenn  dabei  singulare  Stellen 
auftreten  oder  yerschwinden  oder  sich  umformen  —  so  be- 
schaffen, dass  sie  jene  charaeteristischen  Relationen  nicht 
ändern. 

Nehmen  wir  nun  einmal  au,  für  irgend  eine  Differen- 
tialgleichung des  Systems  sei  der  Verlauf  der  Integralcurren 
bekannt,  so  lässt  sich  die  successive  Aenderung  der  Integral- 
curven mit  änderndem  k  von  hier  aus  anschaulich  verfolgen; 
spf*ciell  für  die  soeben  gemachten  Annainnen  ul)er  die  End- 
lichkeit der  Fläche  F{x,y,y')  =  i)  wird  es  einen  Parameter- 
wert  ka  geben,  für  welchen  die  Fläche  2^(x,  y,  y')  —  A'«  =  o 
lediglich  aus  isolirten  Punkten  besteht,  um  von  hier  aus  sich 
im  Haunie  der  x,  //,  y'  continuirlich  auszubreiten ;  dann 
werden  wir  von  da  ab  mit  der  Entstehung  des  Integral- 
<:urvensystems  selbst  die  Discussion  der  gestaltlichen  Verhält- 

rtich  um  die  I^dinj^iin^en  für  das  Kintreten  von  Unbe^timmtbeits- 
punkton  im  Allgemeinen  handeln  -«oll. 

Irh  nehme  <iele^enheit,  hier  weiter  ein  Versehen  r.u  berichtigen, 
welches  in  Formel  (35.)  auf  pag.  54  untergelaulen  ist.  l>ie  letzte  der 
ilort  j^egebenen  drei  Gleichungen  ist,  wie  unmittelbar  ersichtlich,  zu 
er>ctzen  <lurch 

0. 

1)  Abh.  I  pag.  47,  4^^:  Toincan-,  Liouville's  Journal  Serie  III  Bd.  •*, 
.^erie  IV    Bd.   1. 


10(5  Sitzung  der  matK-phys,  Claaae  vom  5.  März  1892. 

(2.) 


(y  —  Ißo)  —  y'o  {«  —  «o)  =  •? ;  »o  dann 


K»  kommt  dann  die  folgende  Entwickelung : 

(F;+  y'o  F,)  ?  +  F, .?  +  F,  »/'  + 

+  (^ u  +  y'o  ^« )  ^/'  +  ^«  »/ '/  +  i  F„  ry'*  +  . . . 
eine  DifFerentialgleichung,  die  das  gemeinsame  Wertesysteni 

1=0,     /y  =  0,     r/  =  0 

als  Lösung  besitzt. 

Wir  fügen  zur  Uebersieht  des  Folgenden  das  Diagramm 
bei,  in  welchem  in  der  bekannten  Weise  die  einzelnen  Glieder 
in  Bezug  auf  ihre  Grössenordnung  in  |  und  tj*  (wobei  |y 
äquivalent  mit  i/'  5)  eingetragen  sind. 


Fi| 

?.    1. 

r' 

P' 

T^ 

/»•' 

/f?' 

^V^ 

7'* 

7?' 

r 
A' 

/' 

T 

7 

/7' 

/7 

^*          1 

II 

)' 

108 


SUzutig  der  math.'phys.  Glosse  vum  5.  März  1892. 


I.  Abschnitt. 
Die  wesentlich  singulären  Stellen  der  DifTerentialgleicbungen 

§3. 
Uebersicht. 

Die  Stelle  x^^^y^^  y'^  ist  wesentlich  siugulär,  wenn  gleich- 
zeitig die  drei  Gleichungen  statthaben 

(4.)      ^•-Äf,  =  0.    J^, -i- //'„  F,  =  0,     F,  =  0. 

Das  Verhalten  des  Systems  der  Integralcurven  in  der 
Umgebung  einer  solchen  Stelle  ist  (Abh.  I)  näheningsweise 
gegeben  durch  die  Differentialgleichung: 

(5.)    U  =  F,  ,,  +  4  (F;  ,  +  2  y\  F„  +  yV^..)  5»  + 

welche    dem    aus    Fig.    1    abgeleiteten    Diagramm    (Fig.  2.) 

iMiUjiricht. 

Wir  bezeichnen  wie  in  (Abh.  1) 
die  drei  Kategorien  der  wesentlich 
singulären   Punkte  als : 

Kato^'.  I.  Punkte  Po    (Taf.  1,  Fig.I  d.  Al.li.M 
.      II.        .       Pj    iTafel    11,  FiR.    \U 
,     III.        ,       7^00  (Tafel  III,  Fig.  III.) 

Dann  sind  für  die  Interscheidung 
_  dieser  »>  Kategorien  die  Vor/eichen  der 
f^     folgenden  l>eiden  Ausdrücke  massgebend 


Hi.) 


.1/-: 


nii<i 


n. 


v 


>  M       /•■./' 


110  Süjumg  der  w^aA.-fky».  Cla$»e  tarn  5.  Min  1»S. 

A)  M  =  0  (§4.» 

B)  .V  =0  ,§  5.» 

C)  F,  =o./;  =  o    ii  C-s.) 

D)  /;,  =  ǥ  Ǥ  9,. 

bestehen. 

Bedienen  wir  uns  der  schon  in  der  Einleitung:  em  ahnten 
Deutung  der  Tariabeln  x.  y.  ff*  %k  rechtwinkliger  Coordi- 
naten  des  Raumes,  so  können  wir  folgendes  ^peometmehe 
Bild  Wi  unäeren  Betnchtungen  einfuhren: 

Das  System  der  einfach  nnendlich  rielen  Flächen 

Fix,  t'.|r»  — i'  =  Ö 
wird  i;e!^^hninen  einmal  too  der  Fläche 

welche    auf  den    einielnen    Fliehen    F  —  fr  =  0    diejenigen 
Ourven    au^^schneidet«   für   welche   die  Integmlcurren   in  der 
IVyection   auf  die   «xr^Ebece    Wendepankte   besitzen.*) 
Weiter  Ä:hrr:ir:   üe  Flictr 

»ho  Ki:u  hör.  vit>^  >\^:«:v.>  F—  l  =  •  r  :n  drü  l  mri>slinieu  Ut 
\\\  \\\\\\X\\\\ii  »irr  t  -Ay:  :  .i:?>c  i^z'.rz,  iuf  d:e  xy-Ebene  pn>- 
\w\\\.  x'n»5  a'.s\^  .v.r«Vr:;r  .:?:  S::::rr  icr  Iciegralcurven. 

t  ■    ^  i 

»lu>M -i'Mv  v\ '  V,  ^"  ■  V  V ;.  .:  :  .;:  ;« :•  u'.iii  jrve  S\  welche 
'\\\\  ^^^\\  V\\y\-^'\\    ?        '  =^     ,:    '- :    *»  t  -  f  i.  w  ]  c  h  ^inguIäreIl 

r  n  n  K  I  «'     ^;vx,  >•  /' .-. . 

\r.t   ,u.  »M    K ,      .     ^      >    >     "-    V  *. Tj.iil    nie  Punkte  aus- 
1)^  'iul»»\,»     \\a    XX.  ,    ,•     V  .k:     y  =  ••  :>t :    weiter  die- 

r   \l.»«    \.   X  ,  ,*/  .V    .>.-     ?>   s  .uuous  singulieres  ti»^ 

,.,••  «i>.  ««      •^»•x  X  s*»        ■,    »'     •-■^  •*■ -rr 'r  *     r  re.*      Bulletin  d**- 


112  Sitzung  der  math.-phys,  Classe  wm  5.  März  1892. 


und 


Jtf<0,        JV<0 

3f>0,      j\r<o 


ist.  Wio  Fi^.  1^  seheniatisch  darstellt,  vereinigen  sich  ako, 
woni)  wir  das  Flächensystem  in  der  einen  Richtung  durch- 
laufon.  y.woi  singulare  Punkte,  und  zwar  je  ein  Punkt  II 
und    oin    Punkt    111    mit  einander,  die   dann    verschwinden: 


FiC    * 


*  .  V  . 


•.X 


NX 


^    Jt. 


*.'-...  "*     T         L 


\.  '«• 


;-    :.Ai  hi»-n: 
:    :-.r    V,.r- 


•      ^  -     * 


»      '^  ». 


11 4  Sitzung  der  math.-phya.  Glosse  vom  5.  März  1892, 

Die  gestaltliche  Umformung  der  singulären  Stelle  lasst 
sich  an  Hand  der  Figg.  UI  und  I  (beziehungsweise  III'  und 
V)  der  Abh.  I.  leicht  verfolgen,  wenn  wir  beachten,  dass 
die  beiden  in  der  ersten  Näherung  ausgezeichneten  Curven- 
zweige  der  Integralcurven,  welche  den  Punkt  HI  durchsetzen, 
im  Grenzfalle  zusammenrücken,  um  dann  imaginär  zu  werden. 


C)    Die  Enotenpunkte  des  Flächensystems  F  —  Ar  =  0. 

Geometrische  Discussion. 

Die  Raumcurve  8 

durchsetzt  die  durch  die  Bedingungen 

C)  1^1  =  0,     F,  =  0,     F,  =  0 

gegebenen  Knotenpunkte  des  Flächensystems  jF — J  =  0. 

Für  den  Character  dieser  Stellen  ist  vor  Allem  die  Lage 
des  Tangentialkegels  im  Knotenpunkt  gegen ül>er  der  Hauiii- 
curve  S  und  in  Bezug  auf  die  Projeetion  auf  die  x  y-Ebene 
zu  bestimmen,  und  zwar  sind  vier  wesentlich  verschiedene 
Fülle  zu  unterscheiden: 

Der  Tangentialkegel  ist  imaginär. 

a)  Ein  elliptisch  gekrümmter  Flächenteil  zieht 
sich    auf   einen    isolirten    Knotenpunkt    zusammen, 

wenden  denselben  auch  in  der  Folge  bei  den  in  §  9  besprochenen 
Singularitäten.  Da«  gleiche  Princip,  die  Verhältnisse  in  einer  ein- 
deutigen Darstellung  zu  überHehen,  liegt  selbstverständlich  aach  den 
von  Briot  und  Houcjuet  eingeführten  allgemeinen  Tränte  form  atiooen 
zu  Grunde  und  kommt  weiter  in  der  auch  von  Poincar^  verwen- 
deten HetrachtungKweise  des  Integralcurven^ystems  auf  der  Fläche 
F  —  0  zur  deltung. 


118  SiiZHmf  der  miitk.-ph^.  Clause  ivm  5.  März  169^ 

der  Ausdruck  M: 

(13.)  JB=  _  _  — 

wirdf  so  ergiebt  sich  aus  den  obenbezeichneten  SabstitotioDeD 
der  dxidyidy'  in  die  linke  Seite  der  K^elgleichung : 


M.\F,,  »),| 


Gleiche  Vorzeichen: 
_  «      imaginärer  KegeL 

-^sj»        I    Verschiedene  Vorzeichen: 
M.  F^^.   j  reeller  Kegel. 

2.  Für  die  Projection   des   Kegels   auf  die   i^x^)-Ebene 
ergiebt  sich  sofort: 

Der  Umriss   des  Kegeb    in  der  ProjectioosrichtiiDg   der 
y-Axe  ist  imaginär  oder  reell,  je  nachdem 

_       >  0  imaginärer  Umriss. 

(15.)  ^SS-l-f'«*'     ^A  11  T-         • 

**  <  0  reeller  l  mnss. 

3.  Die  Lage    der  Raumeurre  S   gegen  den  Kegel    lä.^t 

sich  direct    aus  dem  Vorzeichen  des  Productes  der  Determi- 
nante    F^k    in  die  Determinante  bestimmen,  welche  ent>teht, 

wenn  wir     l',*     mit  den  beiden  Zeilen  der  Matrix  (10.)  (für 
die    Fort-fchreitungsrichtung    der    Raumciirve)    rändern.     Die 

l<.»tzt*Te   Determinante    reduciert    sich    auf   37.    Fn      und    ^o 

f<>l^t    direct   das   Vorzeichen    von  J/    als  characteristisch  für 
jene  gegen.seitige  Lage,  so  zwar,  dass  für 


1)  Wo  zur  Abkurzun;^  die  l>etorminanto  de-»  Ke.;^eld 

^11       ^12       ^13 
-^31       -^33       ^33 


t^esetzt  i.-^t. 


120  SäziAiuf  der  mtxth^'pk^.  Cloise  com  5.  Man  1892, 

Die  in  3.  gegebene  Unterscheidnng  der  Lage  der  Raum- 

conre  5  gegen  den  Kegel  darch  das  Vorzeichen  Ton  M 
fixiert  gleichzeitig  die  Kategorie  der  im  Knotenpunkte  za- 
sammenrückenden  SingnlaritiLten : 

Im  Falle  a),  in  welchem  der  Kegel  imaginär, 
das  den  Knotenpunkt  umgebende  und  Ton  S  durch- 
setzte Gebiet  «elliptisch*  ist,  und  ebenso  im  Falle  b) 
in  welchem  die  Raumcurre  S  den  «elliptischen* 
Raumteil  des  reellen  Kegels  durchsetzt,  fallen,  wenn 
wir  den  Uebergang  mit  der  elliptisch  gekrQmmten 
Flache  beginnen,  im  Knotenpunkt  zwei  singulare 
Stellen  I.  Art  zusammen,  um  dann  zu  Terschwinden. 

In  den  Fällen  c)  und  d),  in  welchen  S  den  «hy- 
perbolischen* Raumteil  des  (reellen)  Kegels  durch- 
setzt, entstehen,  wenn  wir  wieder  den  Uebergang 
mit  der  elliptisch  gekrümmten  Fläche  beginnen, 
im  Knotenpunkt  zwei  zunächst  Tereinigte  singulare 
Stellen  IL  Art,  die  sich  dann  auf  der  hyperbolisch 
gekrümmten  Fläche  trennen. 

Das  Verhalten  des  Inteirral>vstenis  für  die  Fläche  mit 
Knotenpunkt  sei  nun  zunächst  iicxh  dadurch  genauer  prä- 
cisirt,  dass  wir  diejenigen  Curveuzweijje,  welche  durch  den 
singiilären  Punkt  hindurohlaufen,  direct  nach  der  Methode 
von  Briot  und  Bouquet  bestimmen.  In  erster  Annäherung 
lautet  hier  die  Differentialgleichung: 

(IS.)    (F.,  +  2yo>"^.,-f-yVi;,)«-r2(f„+,/„F„)|,/  + 


^»':"  =  o 


und  deren  Intetrnil 


(19.) 


ert  ergeben  sich  also  zwei  Paral)eln   als  Näherungscurren  an 


122  Sitzung  der  mathrphys.  Clcutse  txmt  5.  März  lHSf2. 

—  2e] 

und  dann  die  Tangentialebene: 

(^, , + y'«^,^)  (*  -  «o)_+  (^„+y'o  ^.,)  (y  -  y.)  T- 

Für  die  Fläche  mit  KDoienpunkt  hat  daher  die  Conre  da* 
Wendepunkte  einen  Doppelpunkt,  der  sich  beim  Ceber- 
gang   von  —  £   nach  -f-  €  in   der  bekannten  Weise  auflast 


Der  Doppelpunkt  ist  ;     '^.   ,  ,  -     ,  -   ,     je  naehdem 

l  nichtisolirt, 

(21.)  (^,.+2y,F,.+y'.*F;.)'Fa'  JJ 

ist     Kun  beachte  man,  dasB  im  Falle 

M>Q 
F,,  und  (F,,4.2y,F;,-fy'»r„) 

notwt'iiJiir   gleichei-  Vorzeichen    be^itzen.    die  obige  Unter- 

Mheiduiiij  also  direct  die  Trennuriii  der  Fälle  !   ,^  bej^ichnet: 

l  b) 

so  konnr.t   hier : 

Im  Falle  Ä »  i>t  der  D.'}«T»elpunki  der  Wendepunktöcurve 

steU    i>olirt :    im  Falle  \')    exisrirer.    s:^t>  zwei  reelle  Zweige 

der  Wendepnr:kts.  urve  dunh    ier.  >:Lir:lären  Punkt,  die  sich 

dAir.i    Ivim  VelHTcrar.i:    Ä:.f   die  Vije:ch:ingeii    mit    —  £    bez. 

r  '    J^ls  Fttr&met<T  }e  ::i  :wfi  bv;»cH»jlische  Aeste  auflösen. 

In  dt^n  V\'illen  i  *  ura  d^  dacecen  haben  wir  nach  der 
finc»n  oder  uiidern  Forn^.  der  Wfr.dfin;nkiscurTe  je  zwei  l'nter- 
falle  yu  uiiU^rsiht'ider..  Nun  r.:»rrsjrht  man  aber  leicht 
^\rnjl.  dif  v.fti  hfoliTi^ndf  Vi  r7eif\;':.tal»elle),  daas  der  eben 
Um mi  h 1 1^\  c  A  usd  nn  k 


121  Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5,  März  1892, 

die  nach  den  Torstehenden  Entwickelungen  für  die  Unter- 
i^heidang  der  rier  Fälle  und  der  Richtung  des  UebergangB 
in  demiell^en  dienen: 


Tabelle 
für  die  Art  der  Singularitäten  in  den  Knotenpunkten 


jPj  =  0  F,  =  0  F3  =  0. 


M 

*»   ^'.» 

1 

a) 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 
+ 

Verschwinden 
Entstehen 

von  zwei 
wesentlich 
sinf^ilären 

Punkten 

I.  Art 

von  zwei 
wesentlich 
singulären 

Punkten 

II.  Art 

(Taf.  IV 
Fig.  a) 

1') 

+ 
+  ■ 

Verschwinden 
Entstehen 

(Taf.  IV 
Fi»,  b) 

«■) 

'  Entstehen 
Verschwinden 

(Taf.  V 
Fig.  c) 

'D 

+ 

Entstehen 
Verschwinden 

(Ta*.  VI 
Fiff.  d) 

8  0. 

D)  Die  Bedingung  F33  =  0. 

Wie  in  §  2  erwähnt,  besagt   das  gleichzeitige  Besteben 
der  Ciieichungen 

f(ir  die  Flächen 

F— fc  =  0, 

dass  der  Umriss  derselben  in  seiner  rrojection  auf  die  x  tj- 
Kbene  eine  Spitze  besitzt.  Die  Ordinate  y*  schneidet  die 
Fläche  F  — 1  =  0  in  drei  aufeinanderfolgenden  Punkten  und 
die  in  der  Umgebung  dieser  Stellen  liegenden  reellen  Wert- 


I2ö  Skj:wm^  liir  mOth^-fkf^  CUmsx  nm  ^  Man  2692. 

and 

Bestimmt  man  nun  niu'ii  dem  toq  Briot  und  Boaqaet  ge- 
gebenen Verlukren  mit  HUfe  die^^er  Glek-hangen  die  durch 
den  <in^^:Til2ren  Punkt  Tertanfenden  Currenzweige,  so  ergeben 
sich  znnäiehät  ans  <2:.>.)  die  zwei  Zweige: 


und  aus  rli^.^  der  weitere: 

i  24"*  )      r  =  -  -     ^  V  -"""'»     i*    •    "  •^_  T.«* _  a 

Eci  ist  mn  Tor  Allem  zu  entscheiden,  welche  L^ure  diese 
Curven/weige  zur  Umriäfijcurve,  and  damit  auf  den  drei  im 
-iniz'iliirvn    Punkt:    iusanirueuhin^jcetiden    BlaCtern    der  Flache 

F —  r,,  =  '   rin.'iehri.vf . 

l  ui  üh  ir-1  y..i::rr  i»-r  yäc'!'.'  F —  '1*^  =  =^  üe  F::^.  7  :z 
■ier  c  .»  -E:}«:;!!'^  "1  :••:;[*•-' ina:!':'"*  .>"_:•".'.  .:  :  :r"*nnH!u  i^n 'c^^  t^, 
•i'.t*  A  M  iM  .riij  i  .:  iv  ^  •  -E.:hi:».'  :u  •i:aLii».*!i.  L'»  r:  ^^r- 
<<:iit,'i:i:     n    'rr>c»ri*  A.::i.I.:t'r':riL:     1:«^    V:iir'>>-H:';rv«.»     li-*    Pani>r!. 


*^:. '  Ff---    F     —  /    f"      -"  = 


128  Sitzung  der  mcUK-phys.  Classe  vom  5.  Mars  1892. 

in  denen  wir  zur  Kürze  (durch  Vorzeichenwahl  in  F) 
JPjj -j-y'ßl^gj  als  positive  Grösse  voraussetzen  wollen,  liefert: 

Haben    (F,,  +  y\F,^)    und    2F^  +  Z(F,^+y'^F^^) 

verschiedenes  Vorzeichen,  ist  also  2i^g+3(F,34-y'o^is) 
negativ,  so  folgt,  dass  auch  F^-^- F^^-\'y\F^^  negativ  ist 
und  damit 

M=  -  (F„  +  y\  F,,)(F,  +  ^,  +  y'o  ^.»)  >  0. 
Haben  die  obigen  Ausdrücke  gleiches  (positives)  Vorzeichen 
und  ist : 

^  2^+3(F;^+y'„F„)<F;,+y',J^„, 
so  ist  (-Fg  +  i'jj +y'o-^'«s)  negativ  und  damit  wieder 

ist  dagegen 

2F,  +  3(F,,+y',F,,)>F,,i^y\E,,, 
so  ist  (F,  4"  F,3  +  y*Q  JP,,)  positiv  und  daher 

M<0. 

Also  ergiebt  sich  : 

Ist  der  in  die  Spitze  der  Umrisscurve  fallende 
wesentlich  singulare  Punkt  von  der  III***"  Art,  so  ist 
die  Lage  der  Umrisscurve  U  zu  den  Zweigen  der 
Integralcurve  durch  die  beiden  Schemata: 

Fig.  fla.  Fig.  9a. 


W.  Dyck:  Differentialgleichungen  1.  0. 


129 


gegeben,  denen  auf  die  (5i;)-Ebene  projicirt,  die  Bilder 

Fig.  8  b.  Fig.  9  b. 


entsprechen,  ist  dagegen  der  wesentlich  singulare 
Punkt  11*®**  Art,  so  ist  diese  Lage  schematisch  ge- 
geben durch 

Fig.  lOa. 


und  das  entsprechende  Bild 

Fig.  lOb. 


1802.  Math.-pbys.  Cl.  1. 


9 


130         Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5,  März  1892. 

Nun  ißt  es  nicht  schwer,  den  Verlauf  des  ganzen  Curven- 
systems  in  der  Umgebung  der  singulären  Stelle  einzutragen, 
wenn  wir  beachten,  dass  der  Character  der  singulären  Stelle 
in  der  Projection  auf  die  Ebene  (§i?0  dem  Typus  III'  bez. 
ir  der  Abh.  I.  entspricht,  wobei  die  eine  der  beiden  aus- 
gezeichneten Geraden,  welche  in  dem  dort  dargestellten  Falle 
die  singulare  Stelle  durchsetzen,  durch  die  obige  Parabel 
(26*)  zu  ersetzen  ist,  die  andere  (in  erster  Näherung)  durch 
die  Gerade  (26»>). 


II.  Abschnitt. 

Die  ausserwesentiich  singulären  Stellen  der  DifTerential- 
*gleichungen  F(x,  y,  y')  —  fe  =  0. 

§  10. 
üebersicht. 

Die  Stelle  x^^y^s/y^  einer  Differentialgleichung  F — <*„ 
=  0  ist  ausserwesentiich  singulär,  wenn 

(27.)  /',  =0,     ^„=0; 

dann  ist  das  Verhalten  des  Integralsystems  in  der  Umgebung 
einer  solchen  Stelle  (wie  schon  erwähnt)  im  Allgemeinen 
durch  die  in  §  3  und  auf  Tafel  IV  Fig.  IV  der  Abh.  I.  ge- 
gebenen Entwickelungen  gekennzeichnet. 

Neben  dem  soeben  besprochenen  Zusammenrücken  einer 
wesentlich  und  einer  ausserwesentiich  singulären  Stelle  hal>en 
wir  jetzt  noch  das  Zusammenfallen  zweier  ausserwe- 
sentiich singulären  Stellen  zu  betrachten. 

Deuten  wir  die  Gleichungen 


W,  Dych:  DifferenHaigleichungen  1,0,  131 

im  Räume  {x^  y^  y*)  wieder  als  die  Gleichnngen  einer  Raum- 
curve  F,  des  Ortes  der  Spitzen  der  Umrisscurven,  so  wird 
ein  Zusammenfallen  zweier  solcher  Spitzen  eintreten  ffir  die 
BerQhrungsstelien  der  Curve  V  mit  einer  der  Flächen  F  —  k 
=  0.     Dies  liefert  sofort  die  Bedingungsgleichung : 


(28.) 


F\         Ff  0      I 

F,i        F„  0       =0. 

I    -^851  -^1««         -^888 

Man  hat  also  zwei  wesentlich  verschiedene  Fälle 
dieses  Zusammenruckens  zu  unterscheiden,  je  nach- 
dem zu  den  Bedingungsgleichungen: 

-F,  =  0,  :f„  =  o 

noch  hinzutritt: 

E)  Fis,  =  0  (§  11), 

beziehungsweise 

F       F 

I  p        p 


p) 


=  0      (§  12). 


§  11. 
E)  Die  Bedingung  JP,,,  =  0. 

Dieser  Fall   gestaltet   sich    ganz  analog  dem    schon  in 
Abh.  I.  §  3  behandelten  allgemeinen : 

Hier  ergiebt  sich   sofort  in  erster  Näherung  die  Diffe- 
rentialgleichung : 

(29.)  (f\  +  ,/•„  F, )  ?  +  ,V  F„  „  ,/*  =  0 , 

in  welcher  als  nächste  Näherungsglieder  noch  zutreten : 

9* 


132         SUtung  der  maikrj^8.  Glosse  vom  5,  Mars  1892. 


(30.)       P,  I?  +  (F„  +  y'oF„)  I,'  +  T*iF^«..,  9'* 

Die  durch  den  singniaren  Punkt  hindurchlaufende  Cnire 
igt  in  erster  Näherung  gegeben  durch: 

(31.)  (^,  +y'oJ;)l» +  Ä^.„.  {*>?)* -0. 

Ffir  die  ümrisscurve  Ü  ergiebt  sich  (mit  Berficksichti- 
gung  der  Glieder  ssweiter  Näherung): 

(32.)A(^u+y«^,.)*^-tV-F...,((J';+yo^,)^^.'?)'=0. 

Eine  gestaltliche  Discussion  der  Umgebung  der  singn- 
iaren Stelle  zeigt  nun  einmal:  Die  Umrisscurve  deformiert 
sich  bei  ändernder  Constanten  k  derart,  dass  zwei  Spitzen 
in  der  bekannten  durch  die  Figuren  IIa,  b,  c  gekennzeich- 


Fig.  11.     b. 


e. 


neten  Weise  zusammenrücken,  um  dann  imaginär  zu  werden. 
Der  Verfolg  des  Zusammenhangs  der  einzelnen  Blätter  der 
Flächen  F — k=^0  bei  diesem  Uebergang  ergiebt  dann  einen 
ähnlichen  Uebergang  der  Curven  des  Integralsystems,  bei 
welchem  drei  Spitzen  (die  sich  auf  die  drei  Zweige  der  Um- 
risscurve  (Fig.  1  !■)  verteilen)  zusammenrücken ,  wobei  nach 
dem  Durchgang  durch  die  singulare  Stelle  die  Integralcurven 

a.  Fig.  12.  b.  c. 


131  Üitzung  der  mathrphys,  Clctsae  vom  5,  März  1892. 

maassgebend,  welcher  die  Curve 

(34.)  {F,  +  y\  F\)  I»  +  i  F„,  (I .?)»  =  0 

entspricht;  die  Art  der  Auflösung  dieser  Singularität  aber 
für  die  benachbarten  Integralcurven  wird  eine  andere,  als 
die  dort  für  den  allgemeinen  ('all  (in  Fig.  IV)  gegebene. 

Wir  betrachten  zur  genaueren  Discussion  ioi  Räume  Xg, 
^0'  y'o  wieder  drei  aufeinander  folgende  Flächen  F — Ä  =  0, 
den  Parametern 

o 

entsprechend.  Hier  bezeichne  U  den  Umriss  der  Fläche 
F  —  Icq  in  Richtung  der  y'-Axe : 

T 

s 

und  analog  ?7,  U  die  Unirisscurven  für  die  beiden  Nachbar- 
flächen ;  ferner  sei  V  der  Ort  derjenigen  Punkte  aller  Um- 
ri.s.scurveii  U  der  Flüchen  F  —  Ä;  =  0  (in  Hichtung  der  »/'- 
Axe),  für  welche  die  Tangente  auf  der  ic //-Ebene  senk- 
recht steht: 


(35.)  üy  ^^^ 


(80.) 


{   7- 3    =  0, 


Kiullicli  sei  W  ilor  Ort  der  Punkte  iiller  dieser  1'iiiri.s.s- 
curveu,  für  welche  die  Öchiuieguiigscbene  auf  der  xy- 
Ebene  senkrecht  steht: 


(:57.)  W 


F  =  0 

wo  ][  die  Hesse 'sehe  Form  von  F'  bezeichnet. 

Betrachtet  man  die  Projection  aller  Umrisscurven  in  die 
(x y)'Khene,  so  entspricht  V  dem  Ort  der  Spitzen,  W 
dem  Ort  der  Wendepunkte  dieser  Projectionen. 


13t>  Sitzung  der  matli'-phi/s.  Classe  vom  5.  März  1802, 


Fig.  14. 


ergiebt  sich  das  Zusammenrücken  zweier  Spitzen  der  Uuiri^s- 
curve  zugleich  mit  dem  Zusammenfallen  zweier  Wendepunkte 
derselben   in   der  Weise,    wie   es  Fig.  15    für   den    isolirten 


Fig.  16. 


Doppelpunkt  von  Um  einer  ersten  j)enultinijiten  Form,  Fig.  lita 
imd  b  für  den  nichtisolirten  Doppelpunkt  in  den  den  Para- 
metern /Tq  —  e  wie  k^  +  «  entsprechenden  Formen  darstellt. 


l'^^  S^ii^m^  if^.r  miik.'fAwt.  OiM^  vom  5.  JFirr  fä». 

der  we=«:tt€h  ^.gillrec  -Stilen  'j:3>ch  A*ifcTeCai  (liez.  Ver- 
ächwind«:)    toc   jes^aRDAl    zwei  PnnkLec    l'-**  od«r  II*'  Art- 

Die  Aendcniigeii  im  Füfh^nsTstefo.  welche  keine  Aeode- 
nmg  in  der  Chaneteri<ik  herrorrnfen.  lasen  auch  die  obige 
Formel  unTerändert : 

E?  entstehen  (bez.  vergeh windeni  im  Falle  A  stets  paar- 
weiae  je  ein  Punkt  P^  cni  ein  Punkt  P,.  die  dch  bei  der 
Abzahlung  compenderen.  Im  Falle  B  Terwandelt  äch  ein 
Punkt  P.  in  einen  (för  die  Abzahlung  aequivalenten)  Punkt 
P^  oder  umgekehrt.  Im  Falle  D  findet  nur  eine  Verschie- 
bung? einfö  wesentlich  si^golären  Punktes  ron  eineoi  Blatte 
der  Fläche  auf  ein  anderem  >tan.  durch  welche  sich  der  Ver- 
lauf der  Integralcurren  in  den  aus  den  einzelnen  Blattern 
be&terhenden  Teilgebieten  entsprechend  ändert,  der  Gesammt- 
verlaiif  aber  nicht.  Die  Fälle  E  und  F  bringen  ebenso  nur 
Aenderungen  herror,  die  «ich  auf  die  einzelnen  Teilgebiete 
l>eziehen.  innerhalb  welcher  5ich  (Abb.  I.  pag.  47)  analoge 
Relationen  wie  für  die  Gesammtfläche  au&tellen  lassen. 

In  jedem  Falle  sind  es  ganz  be>-timmt  gestaltlich  zu 
bc/eichnenJe  Uebertranc- formen,  weicht?  durch  die  successiveii 
Aendersingeu.  die  ein  System  von  Intearralcunren  bei  unserem 
Deformationsprocesae  erleidet,  h^rvurgerufen  werden :  sie  er- 
gel>en,  damit  mag  die  Ab?i«.ht  der  vo^^tehenden  Untersuch untj 
ziLsamnieiigefa.<.st  *ein.  innerhalb  der  >chon  Eingangs  bezeich- 
neten rirenzen  einen  weiteren  Auf^chlusö  über  den  Gesammt- 
V'jrlauf  solcher  Curvensvifteme. 


£  k- 


l-^ 


■  ^.« 


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"T-^-n    ^^j:    ui-Jrr*« 


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...■  X. 


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■•     ■■*- 


.  A 


148  Sitzung  ä/tr  wiaiK'phtfg.  Cl<U9€  vom  5.  Mmrz  JfiSur. 

Untersuchungen  von  Oberbergrath  Stmche^)  und  Dr.  T^lltr 
gewonnen  worden  sind.  Doch  dOrfeo  wir  naefa  den  gpge 
benen  Andeutungen  wohl  Termuthen.  das  im  AU^ememn 
die  Gebirgsverhaltnisse  im  Brennergebiete  sich  aimbch  dnm 
verhalten,  welche  in  so  vortrefflicher  und  eingehender  Weise 
von  Dr.  Tel  1er *j  in  Bezug  auf  die  Kanachst  südbcfa  an- 
>to36enden  Gebirgstheile  zwischen  Etech  und  Easack,  sowie  iesr 
Höhenzüge  nordlich  vom  Pusterthal  geBcfaildert  wordeo  sind. 
Pamach  haben  wir  es  in  diesen  Gebirgstheilen  riel&ch  mit 
nach  Nord  überkippten,  an  parallelen  Längsbröchen  fiber- 
schobenen,  isoklinen  Einfaltungen  jüngerer  Ablagerungen  in 
die  Glimmerschiefer  und  Gneis?e  zu  thun  and  die  hier  häufig 
beobachteten  Schollen  von  Triasdolomiten  als  DenodatioB«- 
reste  von  in  den  Phvllitzügen  eingefalteten ^  ursprünglich  ihnen 
aufgesetzten  Ablagerungen  aufzufassen. 

Ich  kann  es  nicht  wagen,  nach  einem  nur  wenige 
Wochen  dauernden  Aufenthalt  in  dieser  Gegend  zur  Recon- 
vaK^vnz,  wahrend  welchem  ich  nur  gelegentlich  einige  geo- 

loirisohe  l'r.tersr.ehun^eE  vornehmen  konnte,  den  höchst  vtr- 
\>uko;tor.  GtVir;r>l»aU  dieser  an  j^ich  in  vielen  Theilen  nicht 
lou  lit  .-r.iT.'i'.C.^  •  •:.  H»chLi]!«en  iLrhr.  ab  die  ganz  allgemeinen 
l'iuiiviuKO  ;v.  >.  r:'.  :vr::.  welche  der  Anblick  des  Gebirgs  auf 
\\\u\\  ir»'Jv.:uV.t  r.;t:.  .^e  ::r»her  llhi:  dieses  im  Einzelnen  inner- 
\\i\\h  Vuwxv  CytK'.vU'  kerir.er.  lerLt,  um  so  höher  scheinen 
uli  li-.o  S.i.w  .1  !'i:Nr::er.  .i!.z;:hri:  frr,  die  Beobachtungen  unter 
I  nuu^i. '.  Uvi:  c  - .:  vtriv;- ;rn.  um  daraus  allgemein  gultiir»* 
l\Oi;i  t;^.:-mr.      .;    :. •/:::•:'.,    wr::r.    -  ar.    nicht    grössere    Striche 

r^l  ,.  i.,'  V.  N;^  ;  i  k.  *:••  :  j.  Rei^h^anstalt  1872  S.  78: 
.;,»  ^  ->:  ..  .v  :v\  >  -::  ,.,.rV  WIV  <.  135  und  333;  Verh. 
»      »   -    -'^    -^»'^     '^^^        •»     >    ^-ii^  -ni  2^;  Jahrb.  XXVII  S.  143; 

"  '•    ^'       •■  •      ■  »T^     ' -:   y     k    cr'-\.  Keith^anstalt  in  Wi»'n 
*'         '      '^'       -^  >    ^    ^'*      ■       -:       :>-'    >    iM:     1881   S.  60:     1*^2 


152         Sitzung  der  mathrphys,  Classe  wm  5.  März  1892. 

Gesteine,  welche  man  allgemein  als  Phyllit  bezeichnet. 
Auch  in  Bezug  auf  die  näheren  Mineralbestandtheile,  welche 
zu  ermitteln  durch  eine  Partialanalyse  versucht  wurde,  zeigt 
sich  wenig  Uebereinstimmung  mit  den  Phylliten  anderer 
G^enden.  Ein  Schiefer  von  anscheinend  dem  allgemeinen 
Charakter  der  Kalkphyllite  des  Brennergebiets  entsprechender 
Beschaffenheit  aus  dem  Eisacktunnel  unterhalb  Gossensaäs 
erwies  sich  zusammengesetzt  aus 

A)  1,26%  in   ganz   verdünnter  Salzsäure  loslichen  Car- 

bonaten 

B)  35,84  %  in  concentrirter  Salzsäure  in  der  Wärme  zer- 

setzten Gemengtheilen  und 

C)  02,90  %  unzersetztem  Kest. 
Die  Carbonate  (A)  bestehen  aus 

Kalkcarbonat     ....     0,900  =  71,43  <>f* 
Bittere rdecarbonat        .     .     0,114  9,05  ^ 

Eisencarbonat     .     .     .     .     0,210         10,6<3  . 
Mangancarbonat      .     .     .     0,036  2,86  ^ 

"~1,2()0  lÖiT.ÖO^fo 
Der  durcli  concentrirte  Salzsäure  zersetzte  Geniengtheil  u'e- 
hiirt  vorwaltend  der  grünfiirbenden  Beimengung  an.  Deui^ 
nach  der  Einwirkung  der  Säure  zeigt  der  Rückstand  eii:f 
weissliclie  Färbung,  während  der  grünliche  Farbenton  ver- 
.schwunden  ist.  Die  zersetzte  'SofiA  °/oige  grüne  Substanz, 
besteht  in  "/o  berechnet  aus 

Kies(l^äure 20,85lH.» 

Titansäure 0,7228 

Thonerde 10,7:586 

Eisenoxvd 20,01i;o 

Eisenuxydul 29,190n 

Miingiinoxvdul 2,nSoM 

Kiilkenle  und  Alkalien       ....       Spuren 

Hittererde 4,0042 

^Va>ser 12,ol(M» 

100,1166 


154  8^<ntiiy  «irr  «MlJL-jiftj^  CUute  «om  5.  Märä  1899, 

Wenu  num  nun  auch  den  durch  diese  Analysen  ge- 
woniKMien  Zahlen  keineswegs  den  Weith  beilegen  darf,  dam 
dieselben  dt»  mittleren  Oehalt  der  Schiefisr  genau  angebai, 
si>  scheint  mir  doch«  dass  neben  der  mikroskopiech-minefa- 
logischen  Uutei^nchung  aooh  die  chemische  Zerlegung  nicht 
von  der  Hand  gewiesen  werden  darf,  um  weitere  Hilfrmittd 
zur  ruterücheidung  der  so  verschiedenartigen,  aber  dem 
blossen  Ansehen  nach  «ehr  ahnlichen  Thonschiefergebildea 
zu  gewinnen.  In  diesem  Sinne  mag  dieser  kleine  Beifarag 
aufgefasst  werden. 

Mit  diesen  Glimmer-ahnlich  glftnienden  Schiefem,  bei 
welchen  zum  Unterschied  ron  dem  lebten  Glimmemchi^er 
der  Glimmer^artige  Bestandtheil  sich  nicht  in  xusanunen- 
hingenden,  elastisch  biegsamen  Blattchen  isoliren  laast-,  sind 
Einlagerungen  von  Quarzitschiefer  spärlich,  solche  fua 
grünen  chloritischen  Schiefem  häufiger  TergesellachafteL 
Bei  ersteren  ist  der  tilimmer  meist  in  dünnen  weissen  Blitt* 
chen  deutlich  entwickelte  Weit  öfter  stOsst  man  auf  grOne 
Schiefer,  welche  stellenweise  wie  im  inneren  Pflerschthal  in 
horLbleiidige  unJ  dioritisohe  Gesteine  verlaufen. 

r>iese  grünen  Schiefer  In^sitzen  dem  Aeusseren  nach 
«lii-  Ansehen  der  Chlorit schiefer,  setzen  jedoch  in  dieser 
GeiTHiid  keine  iirosjieren  Gebirirst heile  zusammen,  sondern  be- 
.>cli ranken   sich    auf  schmale  Zonen    zwischen  den  PhTlliten, 

m 

au<^  d^n^n  .sie  allnuilig  durch  leberhandnahme  des  grünen 
G»-ii]<.'ritrtlieils  hervortrehen.  Dementsprei-hend  werden  sie  von 
Siilzsture  in  der  Knihhit/e  vüllitr  zersetzt  und  g^ben  mit 
Hint^rlfi»unj^  weisser  Schüppchen  und  quarziger  Theile  eine 
an  Ei^'-noxvdul  reielie  Lö.-untr.  Doch  is^t  der  Gehalt  an  dem 
tarlienden  jrrünen  Gementrtheil ,  der  sich  wie  der  Chloiopit 
des  Phyllits  verhält,  ein  sehr  wechselnder.  In  dem  grOnen 
Schiefer  neb^-n  ein^^ni  <Juar/it.-jchieferlager  zwischen  Gcissen- 
sass  und  Sterziii^  finden  sich  bi.s  0.25  mm  lange  und  0.1  nun 
dicke    Turnialinkrvställcheu     von    brauner    Farbe    sehr 


156 

danUey  bol^  Acib  aw  trpMtlwB 
wekhcn  oft  BcniciigiiiigeB 
entuMvdbcBdcn  Fibcntoii  cr^kakB,  flirili 
StnUitmKliiefier  nuneiitlicli  mm  iem  ChUiHbeffto  TUe. 
Dmcn  seUieBen  äeli  amgaaelmcle  Sapentiuc  m  B^gUtaBg 
TOD  SerpcnthiKluefer,  Dioriten  and  Ciriihiu  «iljgiM  Omtaam 
MML,  Grüne  Sebiefer  nadi  Art  ds  oba  enrihafan  wMm  4m 
BnamcigcgigiJ  Cuideiiflch  oaler  diewr  flfudm^  nckL  Selr 
eigalthiiliilicil  und  bemeikenfverlii  wk  dagegm  das 
der  BfgpirhnuDg  Besimaadit  tqq  Hemi  Sacco 
Gestebi,   welches  gleirhfiilb  eine  grIliilUe  FSiIiibi^ 

Diese  Besimandite  (Zaccagna  in  BoD.  d.  r.  eoanL  geoL 
1887.  S.  416)  sind  ans  den  WesI*  und  UgoriKiieB  Al^  be^ 
kannt.  Unte  den  Originalezemplaren  diem  GaifaiBi  gtABwia 
zwei  Stücke  nrnweidentig  einem  gKmmei&eim  Qnarspoi^ 
pfajr  an,  zwei  Stücke  sind  aber  adir  nnaoraa  Zaia.hm 
schichten  ihnlich.  Diese  innige  Yerbindong  T%m  Poiphjr 
mit  den  iast  toffiurtig  aosgebüdeien  Scbiefini  wpnAk  aeb-  m 
Gunsten  ihrer  Gleichstellung  mit  Permbildnngen. 

Der  eine  jErrunlich  gefärbte  Porphyr  rom  Mt.  Besimaoli 
in  den  ligurischen  Alpen  seihst  besteht  ans  einer  äaaaerst 
feinkry.Htallini.schen.  feldspatbig-qoarzitischen  GrandDia^««  mit 
Aggre^atjKflariisation.  in  welcher  reichlich  grQnlicbe  Komcbcfl 
und  Hlättchen  eines  Chlorit-artigen  Minerals  in  strafigen  vnd 
kry^llahnlich  umgrenzten  Partien  eingebettet  sind.  Gau 
vereinzelt  finden  sich  darin  stark  pleochroitiscbe  Xadekben 
von  Hornblende.  Körnchen  von  Magneteisen  nnd  Zirkca.  In 
dif-fler  Grundma^^^^e  liegen  meist  scharf  umgrenzte,  wck« 
Orthoklasatj-ischeidiingen  und  nahezu  in  gleicher  Menge  mefeit 
in  Kryitallforin  au.-i^^ebildete  wasserhelle  Quarze  ix4I  tos  BBf- 
clien,  häufig  von  klafTeiiden  Ri.ssen  durchzogen,  welche  v^:c 
der  Sub.itanx  der  Grundm&sr^e  aasgefullt  sind. 

Dan  Hj>«r/jfi.i';lie  Gewicht  de»  Gesteins  beträgt  2,744—2.744 


1 M         mUung  der  malh.'pkiß$.  CUum  vorn  5.  Mars  ia92: 

Die  beiden  Exemplare  des  ecbiefrigen  BeBimaiidilB  im 
dum  Vttlle  del  Perio  der  lignriflcheii  Alpen  8.  Ton  Coneo,  dv 
»ine  AUi  dem  Anfang  des  Thalee  (I),  dae  andere  roa  ,Trett 
vallo  del  Peeio  e  queUe  deU*  Mlero*  (II)  gleichen,  afageadm 
yon  ihn«r  grOnen  Färbung,  sehr  den  die  Triaekalke  der  Oen- 
Iralaliwn  aunftchst  unterlagemden  Gesteinen.  Es .  siiid  knollig 
uni»lHkn  wellig  geschichtete  Schiefer,  in  deren  grfinen  chloriti- 
nolien  AaMTigen  Streifchen  reichlich  cum  Theil  groeae  mndlidi 
ul^^n^ntte  Ausscheidungen  Ton  weissem  und  fleiachrottiaB 
Ortbukla«  und  vrasserhellem  Quane  eingebettet  liegen.  Die 
IU\i|4ma!Qi«'  d^r  Flamm  und  die  HinaalanaBcheidangen  er* 
iun\Ui^  k'bkaft  an  die  oben  enrihnten  Porphyre  ?om  Ifooie 
IW«iinMi\hU.  l>i^  i>rthoklasknoU»  sind  stark  aarUllftst»  oft 
tW9  i^i^n«  Mt$lM  und  duirh  HoUrinme  «setafc,  deren  Wiatk 
^\^IM  TK^il  mit  bieiiiw«  KÜms*  and  Hangaa-haltigieB  Qoaii- 

Ik  (VsiMM^^&iirak  v^rfcfe  jiMikrccht  n  den  *^hirhtflifhrs 
t^V«ii4vs)l  ¥^v   WeMd»  ttsn  in  finsndeff  iadrig  vetbih 

^svxV  S^AN  \  V**«  jw(j:  irlrwc^  c^jonüaekcfi  Geieugthegs  nebeo 

'  iN\\t  >»*  '  ^«;<f  i  -»i  ^sßw*iZ5Ä;iM  Ansbc-^ne^iunarai.  Auch  hier 
s%  ..^x  ^^  <*v^  iv'  V'^^  ^viT  ;^aüri:i*ifc?  riÄi  iKobaehtet.  Im 
V  ,J•^..^,«^w  ^-v-v»  .*^  ^-ür:.n;fe?«^f  —  a%*S5e&ea  ron  ihrer 
\  -  \  >  \*  <%  .x*';wvv^'  T:W.'  -  3^xr  >fStfr  de»  Besimaodt- 
*,   .  \  *  V  .^  v*-^'    ^  ^w  ^x-  :  .  i-^*--:  AiÄi'WrJMr  isese  Schiefer 

^    .  :  •  ■    >*.'>sa.: "-    »v*«iÄ  i.rr  ciau  z&beCricbt- 

.XV    '*  >v- ■  :^   -  ^  :-..    v.iiiiüu!i  ÄTi*  nri^R  Bei- 

^     y.  *  ^    .-^       ..    --^r«- T"fc  atfriisiÜM-    Der 


>>».     ^ .        « - 


^   -rt  ';r.t  •:      oe»   cie   kvniü 


X  o'-.TijMB    ffmn*  ocki>> 


'^  .      -^  i-.»."t  ■     -i'-tf   liidüc  iräi« 


102  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  tom  5.  Man  tS9S. 

liehen  Gebirgsdruckes  sind,  sondern  mit  der  Aosbüdong  der 
krystallinischen  Mineraltheilchen  und  mit  ihrem  Festwerden 
in  urHÜchlicliem  Zusammenhange  stehen. 

Ealkstein-Ein-  und  Anflagemngen. 

Es  ist  nicht  zu  zweifeln,  dass  anch  die  michtigen.  in 
dicken  Hünken  auftretenden  Lagen  körnigen  Kalkes  «nem 
iilinliehen  Bildungsprocess  ihre  Entstehung  verdanken.  Doch 
ist  CS  nicht  immer  leicht,  die  mit  diesen  Phyllifcschiefern 
vergesellschafteten  krystallinischen  Kalke  als  genetisch 
zu  l(?tzteren  gehörige  Glieder  sicher  zu  erkennen.  Oft  gleichen 
die  in  diesen  Gebieten  den  älteren  Schieferschichten,  nicht 
selt(;n  sogar  ziemlich  gleichförmig  aufgesetzten  jQngeren 
Triaskalke  ihnen  so  sehr,  dass  eine  Verwechselang  um  so 
leicliter  stattfinden  kann,  als  die  jQngeren  Kalke  hier  tot- 
hcrrschend  liochgradig  krystallinisch  entwickelt  sind  und  Ton 
glimnierartigen  und  phyllitähnlichen  Ein-  und  Zwischen- 
lagerungen begleitet  werden.  Dies  beweisen  die  in  rer- 
schiedenen  Zeiten  hergestellten  geologischen  Karten  diese* 
^if'bifftes,  l>ei  welclien  mehrfach  derartige  kornige  Kalke 
b;ilrl  als  jüngere  Trijisbildungen,  bald  als  zur  Scliieferbildung 
gelMMJ^e  Kinlagernngen  dargestellt  sind.  Einem  solchen  Ver- 
hältnisse begegnen  wir  auch  in  der  Brennergegend,  wo  z.  B. 
zwi.^clicn  Jkenii<.'r])as.s  und  Gossensass  auf  der  Ostseite  iu 
nii*liren*n  St^jinbrüchen  (auch  in  der  Nähe  des  Bades)  Lagen 
von  körni;^eni  Kalke  unzweideutig  dem  Phyllit  angehorig  au5- 
sinMclien,  während  auf  der  Westseite  von  dem  majestätischen 
Kalkstock  des  Tribulauirs  am  nördlichen  Gehänge  des  Pflersch- 
tlial<?s  eine  mächtige  Kalkzone  bis  dicht  an  die  Brennerein- 
^attelung  licranreicht,  welche  in  der  sonst  vortrefi'lichen  Kart<^ 
des  montanistischen  Vereins  gleichfalls  zum  älteren  krystal- 
liniscluMi  Kalk  gehörig  dargestellt  ist,  während  der  Kalk  des 
Trii)ulauns  selbst  aber  dem  jüngeren  System  zugctheilt  er- 
scheint.    In  n«.'ueren  Karten  ist  derselbe  Kalkzug  im  Norden 


IC 4         Sitzung  der  malhrphys.  Clcisse  vom  5,  Märe  1692. 


1.  der  südlichen  Wand  des  Tribulaun's; 

2.  vom  Stock  der  Weisswand  SW.  vom  Tribulaun; 

3.  von  den   zum  Obernberger-Thal   abfallenden    Wänden 
des  Tribulaun 's; 

4.  vom  Scbleierberg  zwischen  Pflersch-  und  Ridnauerthal; 

5.  von  der  Weissspitz   zunächst  südlich   von  Hühnerspiel 
bei  Gossensass; 


Kalkcarbonat  ^) 
Bittererdecarbonat  . 
Fe-  und  Mn-Carbonat 
Unlöslicher  Rest 


•          •         •          • 
[iL     •          •          • 

bonat 

•          •          • 

6G,50 

28,08 

0,34 

4,17 

66,24 

29,60 

0,41 

3,75 

86,80 

10,58 

0,21 

2,26 

73,80 

22,77 

0,32 

8,11 

76,30 

21,25 

0,07 

8,20 

55,19 

44,02 

0,58 

0^1 

Summe 

99,89 

100,00 

99,84 

100,00 

99,82 

100,00 

Zu  dieser  Untersuchung  wurden  besonders  solche  Gesteine 
verwendet,  welche  keine  deutlichen  Merkmale  ihrer  Zuge- 
liörigkeit  zu  jüngeren  Ablagerungen  an  sich  trugen  (den 
Dolomit  von  Mauls  ausgenommen)  und  auf  den  Schichtflächen 
einige  glimmorälmliche  Schüppchen  oder  einen  an  Phylht 
erinnernden  zum  Theil  chloritischen  Ueberzug  erkennen  Hessen. 
Ueber  letztere  Beimengungen  werden  noch  einige  Bemer- 
kungen später  beigefügt  werden. 

Zunächst  beweisen  die  angegebenen  Zahlen,  dass  mehrere 
der  untersuchten  Gesteine  die  Zusammensetzung  normaler 
Dolomite  besitzen,  andere  dagegen  zu  wenigstens  stark 
dolomitischen  Kalken  zu  rechnen  sind.  Nur  das  Gestein  der 
Probe  Nr.  15  näliert  sich  sehr  den  Fhyllitkalken.  In  der 
That  findet  sich  dieser  Kalk  auch  an  einer  Stelle,  wo  an 
einer     grossartigen    Verwerfungsspalte    die    Phyllib<chicht<»n 


1)  I)as  Kalkcarbonat  wurde  meist  indirekt  bestimmt. 


166         Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5.  März  1893. 

Ablagerungen  in  den  Centralalpen.  Ich  beobachtete  fast  die 
gleichen  Gebilde  in  den  tiefsten  Schichten  des  Ortler-Stocks 
am  Marltpass^),  an  den  üeberzügen,  mit  welchen  die  Ver- 
steinerungen in  den  Werfener  Schichten  der  grossen  Platten- 
brüche bei  Nona  iu  den  Bergamasker  Alpen*)  überkleidet 
sind,  auf  den  Gleitflächen  der  Kalkkeile  am  Gstellihom  in 
den  Schweizer  Alpen'),  in  den  phyllitartigen  Zwischenschichten 
von  Andermatt,  in  dem  sog.  Casanuaschiefer,  ja  selbst  in 
dem  Glimmerschiefer-ähnlichen  Gestein  des  Nufener  Passes 
mit  seinen  BeUminten-Einschlüssen.  Hieher  scheinen  auch 
die  Gesteine  zu  gehören,  welche  Kilian*)  aus  den  Savojer 
Alpen  als  Calcaires  et  Marbres  phylliteux  bezeichnet. 

Ich  verdanke  der  Gefälligkeit  des  Herrn  Kilian  mehrere 
Proben  der  sog.  Schistes  lustres  und  Calcaires  phylliteux  aus 
den  Savoyer  Alpen.  Die  Schiefer  sind  tiefschwarzgrau,  halb- 
glimmerig-  oder  eigentlich  fettglänzeud  mit  einzelnen  glim- 
merglünzenden  weissen  Schüppchen.  In  Dünnschliffen  und 
i.p.L.  zeigen  dieselben  Aggregetpolarisation  und  in  der  kornig 
schuppigen  Hauptmasse  kleinste  undurchsichtige  Stäbchen, 
welche  wohl  den  Rutilnädelchen  des  gewöhnlichen  paläo- 
litbischen  Thonsehiefers  zu  entsprechen  scheinen,  und  daneben 
gleichfalls  sehr  zahlreiche ,  etwas  grössere ,  durchsichtige 
Nädelchen,  welche  einzeln  eine  solche  Grösse  erreichen,  dass 
mau  u.  d.  M.  deutlich  die  bräunlichgraue  Färbung,  die 
Parallelstreifung  der  Säulenflächen  und  die  Flächenzuspitzung 
im  beiden  Enden  der  Kryställchen  erkennen  kann.  Die5>e 
be^ritzen  in  hohem  Grade  Dichromismus  und  gehören  ohne 
Zweifel  zum  Turnialin,  wie  die  ganz  ähnlichen  Nädelchen 
im  Tlionschiefor  vom  Brenner.     Diis  färbende  Princip  rührt 

1)  V.  (Jünibel    in    Sitzb.   d.  baycr.  Akad.  d.  Wiss.  1891.  S.  100. 

2)  Ders.,  Das.  1880  S.  235. 

?})  Hers  ,  (ieolo^r.  au^  dem  Engiidin  in  Jahrcsber.  d.  r.  (Jesellsch. 
Clraubünd«'ns  XXXI  S.  40. 

1)  In  Hüllet,  d.  I.  HOC.  üeol.  d.  Fran<e;  3  Ser.  1.  XIX  p.  5ö*.>. 


168  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  5.  Märe  1892. 

auf  den  krystallinischen  Schiefern  der  Centralalpen  aufge- 
setzten Kalkschollen  völlig  ausgeschlossen  und  ich  sehe  darin 
keine  anderen  Erscheinungen,  als  solche,  welche  analog  bei 
der  Umbildung  ursprünglich  sedimentärer  Niederschläge  zu 
verfestigten  Gesteinen  überhaupt  Platz  gegriffen  haben.  Sie 
sind  Folgen  diagenetischer  Processe  und  ihre  Entstehung  aus 
ursprünglich  thonigem  Material  nicht  auffallender  und  räthsel- 
hafter,  als  die  pseudomorphose  Umbildung  von  Glimmer  etwa  • 
aus  Granat  oder  Andalusit,  von  Chlorit  aus  Augit  und  die 
auch  gegenwärtig  noch  an  verschiedenen  seichten  Stellen 
der  Meere  gleichsam  unter  unseren  Augen  sich  vollziehende 
Ausscheidung  von  Glaukonit  in  den  Kanmiern  der  Foramini- 
feren})  Was  verhindert  anzunehmen,  dass  die  Bildungspro- 
cesse,  durch  welche  später  pseudomorphisch  aus  Orthoklas, 
Granat,  Andalusit  u.  s.  w.  Glimmer  hervorgegangen  ist,  unter 
besonderen  Umständen  stellenweise  auch  schon  bei  der  an- 
fänglichen Entstehung  solcher  Schiefer  mit  krystallinischer 
Textur,  wie  solche  in  den  Alpen  in  den  verschiedensten  Hori- 
zonten wiederkehren,  wirksam  waren?  Es  scheint  dies  viel 
besser  den  unserer  direkten  Ueobaclitnng  zugänglichen  und 
uns  bekanntiai  Verhältnissen  zu  entsprechen,  als  eine  Theorie 
der  umbildeiiJen  Druckwirkung,  die  nicht  erwiesen  ist.  In 
diese  Reihe  der  Erscheinungen  gehleren  auch  gewisse  andere 
krystallinisclie  Mineralbildungen  unserer  Gegend. 

Chlorit -ähnliche,  deutlich  krystallinisch  ausgebildete, 
bis  5  nini  dicke  Lagen  bedecken  die  Schichtflächen  der  tiefsten 
Triaskalke  im  inn(*ren  Pflerschthale.  Diese  Mineralsulx^tanz 
ist  tief  lauchgrün  gefärbt,  deutlich  dichroitisch,  schmilzt  v. 
d.  L.  leicht  zu  schwarzen  magnetischen  Kügelchen  und  wird 
von  concentrirter  Salzsäure  bei  Koclihitze  unter  Hinterlassung 
von  pulverij^er  Kieselsäure  zersetzt.     Das  spezifische  Gewicht 

1)  V.  Gninbtil,  L\'l)or  dit-  Natur  und  llildun«^  des  (ilaukonits. 
In  den  SitzungNber.  d.  hayer.  Akad.  d.  Wi«^!'.  inatli.-plivM.  Ciasso  1n*^6 
HI   S.  417. 


170         Sitzung  der  math.-phys,  Classe  vom  5.  Mars  1892, 

I.  II. 

Kieselerde 44,90  42,72 

Thonerde 39,61  39,00 

Eisenoxyd 2,12  Spur 

Manganoxydul    ....      Spur  — 

Kalkerde  , Spur  0,40 

Magnesia 2,17  7,02 

Kali 3,49  5,88 

Natron 2,93  5,85 

Wasser  und  Glühverlust  .       4,25  — 

99,47  100,87 

Mehr  vereinzelte  Blättchen  eines  weissen,  Glimmer-artigen 
Minerals,  dessen  Zusammensetzung  die  Analyse  II  anzeigt, 
kommen  theils  auf  den  Schichtfliichen  der  höheren  Kalk- 
bänke, theils  mitten  im  Kalk,  beziehungsweise  Dolomit,  einge- 
schlossen vor.  Es  scheint  dieses  Auftreten  anzudeuten,  daas 
die  krystallinische  Ausbildung  des  Kalks  und  Dolomits  gleich- 
zeitig  mit  der  Entstehung  der  Glimmerartigen  Mineralien  nnd 
zwar  gleich  anfänglich,  nicht  erst  durch  eine  nachtragliche 
Umbildung  in  Folge  von  Gebirgsdruck  sich  vollzogen  hat. 
Beide  Mineralien  schliessen  sieh  ihrer  Zusammensetzung  nach 
an  die  Glimmergruppe  an,  ohne  aber  mit  irgend  einer  Ab- 
änderung derselben  völlig  übereinzustimmen.  Es  möchte  dies 
auf  eine  theilweise  erlittene  Zersetzunij  zurückzuführen  sein. 

Der  Ealkkeil  am  Pflerschthal. 

Das  Mittel,  welches  die  Zusammensetzung  der  äusserlich 
sehr  ähnlichen  kalkigen  Gesteine  zu  ihrer  Unterscheidung  in 
Aus.sicht  stellt,  wäre  um  so  erwünschter,  je  verwickelter  die 
Lagerungsverhaltnis.se  sind,  unter  welchen  die  Kalke  sich  am 
Aufbau  des  Gebirgs  betheiligen.  Ein  Beispiel  hiervon  liefert 
der  KalkkeiP)    am   Nordrande   des    Pflerschthales ,    dessen 

1)  Die  I^ezekhnunj^  ist  zwar  nicht  gunz  richtij^,  weil  dolomiti- 
«ches  (lestein  vorhcrracht,  aber  doch  leichter  verständlich  als  Dolo- 
mitkeil, was  au(!h  nicht  ganz  zutrefTend  wäre. 


17G  Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  6.  März  1892. 

Pflerschthal   verdient    das  Vorkommen  von   Bleierzen  er- 
wähnt zu  werden. 

Gossensass  war  in  alter  Zeit  der  Hanptsitz  eines  leb* 
haften  Berjifbaubetriebs.^)  Noch  jetzt  bezeichnet  ein  bunt^ 
gemaltes  Bergmannswappen  mit  zwei  Bergknappen  und  einem 
zwischen  ihnen  angebrachten  grossen  Bleiglanzblock  über 
dem  Eingang  in  das  alte  Berggerichtsgebäude  (dem  Gröbner"- 
schen  Gasthaus  gegenüber)  die  Bedeutung,  welche  der  Ort 
vormals  in  Bezug  auf  den  Tiroler  Bergbau*)  besass.  Zahl- 
reiche Berghalden,  verbrochene  Stollen  und  Schächte  auf 
beiden  Seiten  des  Pfierschthales  nächst  Gossensass  sind  die 
üeberreste  eines  unzweifelhaft  grossen  Betriebs,  welcher  als 
der  älteste  in  Tirol  bezeichnet  wird.  Jia  sollen  einst  300  Berg- 
knappen, die  Schuhe  mit  silbernen  Nägeln  beschlagen,  einen 
Aufzug  im  Dorf  gehalten  haben.  In  der  That  steht  neben 
der  Hauptkirche  ein  von  den  Bergleuten  erbautes,  der  St.  Bar- 
bara und  dem  St.  Anton  geweihtes  Knappenkirchlein,  dessen 
Altäre  mit  Schlägeln  und  Eisen  sow^ie  mit  Erzstufen  verziert 
sind,  lieber  die  näheren  Verhältnisse  dieses  Bergbaues  ist 
sehr  wenig  bekannt. 

Nach  einer  Beschreibung  von  P.  R.  in  v.  MolTs  Jahr- 
bücher der  Berg-  und  Hüttenkunde  (Bd.  11  S.  140)  waren 
um  1798  noch  auf  beiden  Seiten  des  Pfierschthales  zwar 
nicht  mehr  betriebene,  aber  doch  noch  fahrbare  Berggebäude 
vorhanden.  Dieselbe  bezeichnet  das  Erzvorkommen  auf  der 
n(")rdlichen  Thalseite  zunäclist  Gossensass  im  Thonschiefer  al> 
ein  Liiger,  welches  unter  dem  Namen  Hauptgang  bekannt 
sei,  in  St.  8 — 9  streichend  unter  10^  nach  NO.  einfalle. 
Der  einbrechende  Bleiglanz  sei  grob-  und  kleinblätterig,  von 
geringem    Silbergehalte,    zuweilen    mit    Schwefelkies-Spuren 

1)  rrkundlich  wurde  1179  der  I3erg))iiu  auf  dem  Schneeberg  dem 
IJ«*r«^i^i'rirlit  zu  (lossensass  untergeordnet. 

2)  Jos.  V.  Sperre s,  Tyrolische  Hergwerksgeschichte,  Wien  17«'»'» 
S.  GO. 


ISO  SiUwmg  der  maiK-fk^.  Oaste  nm  5.  Man  1SR2L 


haben,  nahm  aber  mit  dem  Yordrmgen  in  grossere  Tiefe 
allmälig  der  Art  ab,  dass  1792  nur  mehr  106  Knappen  in 
Arbeit  standen,  die  sich  seit  1771  seihst  auäscUiessIich  mit  Aii$- 
kntten  der  alten  Halden  besehäftigtai.  Bis  dahin  war  nm* 
der  silberhaltige  Bleiglanz  Gegenstand  der  Gewinnung:  die 
Zinkblende  blieb  in  der  Grube  oder  wurde  über  die  Halde 
gestürzt.  Erst  1871  nahm  das  k.  k.  Aerar  den  Baa  energisdi 
wieder  auf  and  hat  denselben  bis  jetzt  mit  Erfolg  fortge- 
führt, wobei  haoptsachlich  die  Zinkblende  den  Gegenstand 
der  Gewinnung  ausmacht. 

Ueber  die  Xatur  der  Schneeberger  Lagerstätte  besitzen 
wir  aus  neuerer  Zeit  mehrere  Mittheilungen  Ton  bergminni- 
sehen  Autoritäten.  Oberberghauptmann  C.  t.  Beast^  be- 
schreibt dieselbe  zuerst  als  eine  ausgesprochen  lagerformtge, 
weil  sie  sich  confonn  mit  dem  Schieferge$tein«  dem  Glim- 
merschiefer, erstreckt,  nennt  jedoch  gegen  Schloas  seiner 
Schilderung  dieselbe  .einen  Lagergang  oder  dentlicber  aiB- 
gedrückt  ein  Pseudolager.  dessen  Ausfüllung  das  Resultat 
eines  späteren  Eindringens  der  dasselbe  constituirenden  Erz- 
massen sei*.  Das  heisst  doch  wohl:  die  Erze  kommen  zwar 
tbat^achlich  auf  einem  Luirerzuiif  vor,  aber  theoretisch  sind 
sie  wie  auf  Gärgen  entstanden.  Für  diese  Annahme  werden 
aWr  weiter  keine  Beweise  beigebracht,  als  die  Analogie  mit 
anderen  ?oir.  Lanerizfiniien.  Ballinir*!  wie«ierholt  diese  An- 
^icht.  indem  er  anfuhrt,  dass  die  Erze  parallel  den  Schichten 
des  Glimmerschiefers  einirela;^ert  auf  einem  Lagergang  — 
Pseudolasrer  —  vorkommen.  Posepny'»  zieht  gleichfalls  das 
la^rtTturraiire  Vnrkomnuin  nicht  in  Zweifel,  erlaubt  aber  dasselbe 
dadurch  erklfiren  zu  kernen,  dass  er  die  Bildung  der  geschwe- 
felten Erze  von  eir.er  Art  rseudom«^rph<_^en-Process  ableitet, 
bei     w-lchera     an     die    Stelle     der    antanglich    Torhandenen 

1     ♦  •»>t»:rr':-ki:.  Zoils.brift  f.  liori:-  u.  Hüttenw.   1S71.  201. 
2'  I».i*err.-t  Jahn:.  1^72.  S.  410. 
3'  ba-nl» -t  J^ihr;:.   1679.  S.  1«j6. 


182  Sitzung  der  math.'phys.  Classe  vom  5,  Mars  1893. 

oft  mit  Lettenausfüllung,  auf  welchen  die  meisten  der  Ober- 
aus  zahlreichen  Stollen  querschlägig  auf  die  Lagerstatte  ge- 
trieben waren,  verwerfen  das  Lager  treppenförmig  in  KO.- 
Richtung,  wodurch  nach  Posepny*)  eine  Art  Adelvorschub 
nach  W.  sich  ergiebt.  Bis  Ende  des  18.  Jahrhunderts  blieb 
das  Vorkommen  von  Zinkblonde  unbeachtet.  In  dem  älteren 
Bericht  aus  dem  Jahre  1798*)  wird  dieses  weitaus  vorherr- 
schende Erz  nicht  einmal  dem  Namen  nach  erwähnt  und  erst 
1799  führt  Senge r^)  an,  dass  man  auch  die  Zinkblende  za 
benützen  angefangen  habe.  Alle  diese  Verhältnisse,  welche 
an  der  Schneeberger  Erzlagerstätte  zu  beobachten  sind, 
bestätigen  die  Analogie  dieses  Erzvorkommens  mit  dem  im 
Pflcrschthal  bei  Gossensass.*) 

Entstehung  der  Brennerbad-Quelle. 

In  welcher  Beziehung  stehen  nun  diese  geologischen 
Verhältnisse,  welche  wir  in  der  Umgegend  des  Brenners 
kennen  gelernt  haben,  mit  der  Therme  des  Brennerbades? 

Man  wird  ohne  nähere  Prüfung  der  Gebirgsverhältnisse 
wohl  geneigt  sein,  dieses  Auftreten  mit  der  Entijtehung  des 
Breniierpasses  selbst  in  unmittelbare  Beziehung  zu  bringen. 
Bestärkt  wird  man  in  dieser  Annahme,  wenn  wir  den  Blick 
auf  eine  geologische  Uebersichtskarte,  wie  z.  B.  auf  die  vor- 
zü<^liche   t^eoloufiscbe   Karte    v.  Hauer 's   werfen   und  wahr- 


\)  Üie  Bezeichnung  „Trümmer"'  scheint  mir  für  derartige  Ab- 
zweigungen nicht  geeignet. 

2)  V.  MoU's  Jahrbücher  d.  Herg- u.  Hüttenkunde  1798.  II.  S.  117. 

3)  Beschrei}>ung  einer  Wanderung  na(rh  dem  Schneeberg.  Da- 
selbst. IV.  S.  15G. 

1)  Üb  der  in  der  Nähe  des  Schneebergs  an  der  sog.  Seespitz 
dem  (ilimnier:^chiefer  anfgehigerte,  weisse  Kalk  analog  jenem  am 
Tribiiliiun  und  iui  PÜerschkeil  den  Triasbildungen  zuzurechnen  sei. 
wie  es  wahrscheinlich  ist,  muss  ich  unentschieden  lassen,  da  e.««  mir 
niclit  g«*glückt  i»t,  desteine  dieses  Vorkommens  zu  sammeln  und  zu 
untersuchen. 


186  Sitzung  der  math.'phys.  Classe  vom  5.  März  1892, 

Während  das  Hauptthal  dem  Pflerschbach  folgt,  durch- 
bricht der  Eisack  in  einer  felsigen  Schlucht  einen  zweiten 
oberen  Felsriegel,  auf  dem  die  Kirche  des  Dorfes  steht  und 
durch  den  die  Strasse  nach  dem  Brennerpass  neben  der 
Eisack  und  einer  hohen  Felswand  geführt  ist.  Auch  hier 
habe  ich  keinen  Moränenwall  gesehen,  üeberall  streichen 
die  Phyllitschichten  gleichartig  quer  durch  die  Thalvertiefung 
hindurch.  Gleich  oberhalb  legt  sich  ein  Ealklager  im  Phyllit 
an,  in  dem  ein  Steinbruch  angesetzt  ist.  Dann  folgen  in 
dem  Eisackthal  bis  zum  Brennerbad,  in  zahlreichen  natür- 
lichen und  durch  den  Eisenbahnbau  geschaffenen  Entblus- 
sungen  sichtbar,  Phyllitschichten  mit  Kalksteineinlagemngen, 
welche,  abgesehen  von  örtlichen  Biegungen,  so  ziemlich  quer 
über  das  Theil  streichen.  Ein  Schichtenbnich  oder  -Ver- 
rückung in  dieser  Thalrichtung  hat  sich  nicht  nachweisen 
lassen. 

Erst  am  Brennerbad  selbst  bemerkt  man  eine  längs- 
streichende  Schichtenknickung,  die  einerseits  mit  der  oberen 
Abbruchsfliiehe  des  Pflerscher  Kalkkeil  in  Beziehung  tritt, 
amlrerseits  in  der  Nähe  des  Wolfendornbergs  fortzieht.  Diese 
Bruchlinie  in  Verbindung  mit  der  weichen  Beschaffenheit 
und  leichten  Zerstörbiirkeit  der  Phyllitgesteine  scheint  zu- 
siininien  bewirkt  zu  hiiben,  duss  die  obersten  Thalenden  der 
Eisack  und  der  Sill  zusannnenschneidend  zu  einer  gleichsam 
gemeinsamen  Thal-artigen  Vertiefung  sich  verbunden  hal>en« 
auf  der  erst  später  die  ])eiden  Wassergebiete  sich  abgegrenzt 
halben.  Daraus  erklärt  sich  der  so  auffallend  Thal-ähnliche 
Charakter  der  breiten  Brennerpass-Einsattelung. 

Damit  steht  nun  auch  das  Auftreten  der  Therme  dess 
Brenn  er  bades  nach  zw«»i  Kichtungen  hin  im  Zusammen- 
hang. Einmal  entspringt  die  (Quelle  auf  dem  Dattel  in  einem 
tiefen,  ein  Thal  vertretenden  Passeinschnitt,  wie  sonst  die 
Minerahpiellen  in  Thälern  zu  Tag  zu  treten  pflegen.  Der 
Brennerpass  hat  in   Bezug  auf  die  Therme  die  Bedeutung 


188 


Berichtigung. 

Seite  91  Zeile  6  v.  u. 

statt  [l^  B]  [C  I>]  l'J]  ,     [\AB]  [C  V]  [E  F]]  etc. 
lies  [[[A  B]  [C  V]]  e]  ,     [[[.1  B\  [C IJ]]  [E  F]]  etc-. 


Sitzungsberichte 

der 

königl.  bayer.   Akademie  der  Wissenschaften. 


Oeffentliche  Sitzung 

zur  Feier  des  133.  Stiftunjjstages 
am  28.  Mai  1892. 


Der  Präsident  der  Akademie,  Herr  M.  v.  Pettenkofer, 
leitet  die  Sitzung  mit  folgenden  Worten  ein: 

Die  kgl.  Akademie  der  Wissenschaften  feiert  heute  ihren 
133.  Stiftungstag.  Am  28.  März  1759  erliess  der  Wittels- 
bacher  Max  Josef,  Churfürst  von  Bayern,  einen  offenen  Bri(»f, 
in  welchem  er  die  Gründung  der  churbayerischen  Akademie 
der  Wissenschaften  beurkundete.  Vorher  bastand  nur  eine 
schon  von  seinem  Vat-er  Kaiser  Karl  VII.  unterstützte  ge- 
lehrte I Privatgesellschaft  unter  dem  Namen  Parnassus  boicus. 
Max  Josef  wollte  der  Wissenschaft  freie  Bahn  zu  ihrer  Fort- 
entwicklung schaffen.  In  der  Urkunde  sagt  er:  „Weil  wir 
überdiess  durch  Abschaffung  aller  Hindernisse,  die  immer 
dem  vorgesetzten  Endzweck  entgegenstehen  könnten,  die  Aus- 
breitung nützlicher  Wissenschaften  und  Künste,  so  viel  an 
Uns  ist,  zu  erleichtern,  und  deren  Ansehen  ehrwürdig  zu 
machen  gnädigst  entschlossen  sind,  so  nehmen  wir  die  Aka- 
demie  in    unseren    ch urfürstlichen    Schutz    und    wollen    aus 

1892.  Math.-pbys.  Cl.  2.  13 


190  Oeff entliche  Sitzung  vom  28.  März  1892. 

besondern  Gnaden  derselben  Protektor  sein  und  heisscn  der- 
gestalt, dass  wir  Niemanden  über  selbe  eine  Jurisdiktion  ge- 
statten,  noch  geschehen  lassen  wollen,  dass  von  der  akade- 
mischen Versammlung  für  genehm  gehaltene  Aufsatze  einer 
anderweitigen  Censur  unterworfen  werden.* 

Auch  seine  Nachfolger  haben  dieses  Protectorat  mit 
Weisheit  und  Wohlwollen  aufrecht  erhalten,  und  so  schaueD 
wir  auch  gegenwärtig  vertrauensvoll  und  dankbar  auf  zn 
unserm  Protektor  Prinz-Regent  Luitpold,  des  Konigreicb« 
Bayern  allergnädigstem  Verweser. 

Es  ist  üblich,  bei  der  jährlichen  Wiederkehr  des  Stif- 
tungsfestes der  im  vergangenen  Jahre  dahingeschiedenen  Mit- 
glieder zu  gedenken  und  mit  einer  Festrede  eines  activeii 
Mitgliedes,  abwechselnd  aus  den  drei  Classen  der  Akademie, 
zu  schliessen.  Zuvor  noch  sei  mir  gestattet,  mitzutheilen, 
was  zwei  mit  der  Akademie  verbundene  Stiftungen,  den 
Zographosfonds  und  die  Liebig-Stiftung  betrifft. 


Die  kgl.  Akademie  der  Wissenschaften  hatte  im  Jahn- 
1889  zur  Bewerbung  um  den  von  Hrn.  Christakis  Zof^raphos 
ge.stift<jten  Preis  zur  Förderung  des  Studiums  der  griechisthen 
Spruche  und  Literatur  auf  Vorsclilag  der  phil()soj)hiscli-|>hi- 
lologisclien  ("lasse  als  Aiifj^al)e  «gestellt:  „Herausgabe  df> 
hyzantiuischeii  Mehxlen  Uoinanos,  mit  einer  die  handsclirift- 
liehe  rel)f»rliefening,  die  literarhistorische  Stellung  uml  dit* 
metrische  Kunst  des  Dichters  darlegenden  Einleitung."  - 
iiechtzeitig  ist  eine  Bearbeitung  derselben  eingeliefert  Avurilen 
mit  dem  Motto  aus  Bynms  Manfred : 

„By  the  power  whieh  hath   broken 
The  grave  which  enthrallM  tlun», 

Speak  t4)  him  who  has  spoken 
Or  tliose  who  have  callM  theo!^ 

Der  Verf}ts<«*r  derselben    hat   für  eine  Ausgabe  di^  TiomiiiiM- 


192  (Mfentlidke  Sitzung  rem  28.  Man  1892, 

fsksser*  enthaltenden  vereiegeltcn  CooTerts  wiederkehrt.  Der 
Pn»'>  für  liie  eelü?te  Aufgabe  beträgt  2000  M.,  wovon  die 
•»ine  Illlfte  sK}f*^n  nach  der  Znerkennimg,  die  andere  Hälfte 
aber  erst  dann  lahlbar  ist.  wenn  der  Verfasser  für  die 
DruokTeröfientlichunff  ?einer  Arbdt  genügende  Sicherheit 
i^rb*:>ten  bat. 

[>a;^  Cmutorium  der  Liebig-Stifhing  hat  aof  Antrag  des 
sZ^heini»^!:  Kaste*  und  Professor?  Dr.  Julias  Kfihn,  Director 
>:«»>  lan^iwirthfohaitlichen  Instituts  an  der  üniTersitat  Balle 
::ui  M::);lii>d  des  Curatoriums  einstimmig  beaschloesen,  nnsenn 
O  tleoen  "lind  S^^retir  der  mathemati^ch-phTsikali^hen  CUsse 
Dr.  «"arl  t.  V.>:t  in  Anerkennung  für  seine  bahnbrechenden 
F  :vr-.:ri^z  -iw^r  S:*  ffwechsel  und  Emährnng  von  Menschen 
:-. :  r.'.rrr-  iie  herbste  Au^^eicbnuni;.  die  goldene  Liebig- 
>£t*-1^;!t  1"  Terlrihec  weiche  ihm  in  der  Sitzung  de»  Cura- 
V.- :t.>  t  c    -^,  F*»br:ar  1^V2  übtrrreicht  wurde. 


^  « . 


*   -m.- 


Ivr     :^i?::-r:     :*:     i  ir     /.inÄeb^t    Pines    verstorl)enen 

1*    r.     :■•:•      ü.    i 'A'.:  iCTarA,    Kai^r    von    Brasilien. 

.'     N     -      r-     :T^^    tt-t.  tNser.'^n    Jahres    wählte    unser»* 

^v-  '.«•    .    ?-:-    '.I.  Kai-^r  t.t.  BrAsilien.  zum  Eliren- 

:^    •  r'r  •---    v  >:vr   zatI-^t  r.^r  kurz:  einige  Wwh^^n 

.'^■--"    -r   >>I    --liine    der   Tml    das  Leben 
-  -C:'-  -'r^c  kz*rT  ikzct  vielgeliebten  Fürsten, 
■*  ^.  ;•:  :    -  -tlt  >-ir  :.  sj-roern  auch  die  wissenscbaft- 

*•  ', .   -    "■  i^  '    ^*^*   -«^«A-— tlx-   P:<e^ taten  nicht  schraei- 
,    .  \:    - :       r    t.  :  N  ^r,  ^i^  A -:>tl:-2s,  dem  besten  Kaiser 

!•  -     :  T-i"  V  L«-*«?c:>lauf  bietet  des  Iiite- 
*  v\>    ,'  %.  *    iit'T    '.' :.   r/T-r  t^-::  m-inem  akademischen 

>  ^  *       \  ^        -    *---:j:    -■•Tffiri-rT..     IW   Ganze   bleibt 

VW        -  >^     ».    .>s    -:   .r-n    ..ri    :'.'-. ukrm   ülteriassen. 


194  Oeff entliche  Sitzung  vom  28,  März  1892. 

er  noch  einige  Tage  vor  seinem  Tode  zu  Paris  einer  Sitzuug 
in  Mitte  der  40  Unsterblichen  beiwohnte.  Femer  war  er 
Mitglied  der  Royal  Society  in  London,  der  Akademien  der 
Wissenschaften  in  St.  Petersburg,  Moskau,  Florenz,  Berlin  und 
München. 

In  gleichem  Maasse  interessirte  sich  der  Kaiser  für  Fort^ 
schritte  in  Künsten  und  Gewerben.  Es  ist  bezeichnend  für 
seine  Natur,  dass  er  schon  im  Jahre  1857  dem  damals  in 
der  alten  Welt  noch  viel  verkannten  Richard  Wagner  den 
Vorschlag  machte,  für  das  lyrische  Theater  in  Rio  de  Ja- 
neiro eine  Oper  zu  componiren. 

Eisenbahnen  und  Telegraphen,  Schiffahrt,  Handel  und 
Ackerbau  suchte  er  in  jeder  Beziehung  zu  fordern. 

Für  seine  Person  ein  gläubiger  katholischer  Christ, 
achtete  und  förderte  er  auch  Andersgläubige  und  verkehrte 
freundschaftlich  mit  Protestanten,  Juden  und  Mohammedanern. 
In  Avignon  erscheint  eine  unter  den  Israeliten  Frankreichs 
verbreitete  Monatsschrift  „La  famille  de  Jacob*,  in  welcher 
im  Docemberheft  1891  in  einem  Artikel  über  den  Tod  Dom 
Pedro  IL  wörtlich  steht:  „Er  liei)te  nicht  bloss  unsere  lieih'ge 
Spraclie,  er  liebte  uns  selbst ;  er  achtete  die  Tugenden  unserer 
Race,  welche  er  gegen  die  gehässigen  Angriffe  des  modernen 
Antisemitismus  vertheidigte,  der  ihn  empörte." 

Seine  Regierung  war  eine  durchaus  liberale,  auf  consti- 
tutionell-monarchischer  Grundlage.  Für  jeden  seiner  Unter- 
thanen  war  er  zugänglich  und   wohlwollend. 

Da  muss  man  sich  fragen,  wie  ein  solcher  Monarch 
plötzlich  entthront  und  des  Landes  verwiesen  werden  konnte! 

Am  IT).  N()veni])er  1(S81)  brach  in  der  Hauptstadt  Kio 
de  Janeiro  unter  Führung  des  Marschalls  Fonseca  eine  Mi- 
liiärrevoliition  aus.  Anstatt  des  Kaisers  ]>egann  ein  I)ictat4»r 
zu  herrsch(?n.  Dom  Pedro  (M'klärte,  dass  er  mit  keinem 
Tropf«*n  Blut  seiner  geliebten  Intertlianen  die  Herrschaft  dem 
Usurpator    entreissen    wolle.     Widerstandslos    begab    er    sich 


196  Oeff entliehe  Sitzung  vom  28.  März  1892. 

Auch  unsre  Akademie  der  Wissenschaften  wird  Dom 
Pedro  d'Aleantara  stets  bewundem  und  ihm  ein  dankbares 
Angedenken  bewahren. 


Der  Classensecretär  Herr  C.  v.  Voit  gedachte  sodann 
der  seit  dem  vorigen  Stiftungsbige  gestorbenen  Mitglieder 
der  mathematisch-physikalischen  Classe. 

Die  Classe  hat  in  dem  verflossenen  Jahre  die  unge- 
wöhnlich grosse  Anzahl  von  elf  Mitgliedern  durch  den  Tod 
verloren,  darunter  solche,  welche  die  Wissenschaft  in  neue, 
vorher  nicht  betretene  Bahnen  gelenkt  haben  und  zu  den 
ersten  Meistern  in  ihrem  Fache  zählten. 

Zu  diesen  gehörte  das  am  10.  Mai  1891  im  74.  Lebens- 
jahre dahier  gestorbene  ordentliche  Mitglied  der  Classe,  Carl 
Wilhelm  vonNägeli,  welcher  allgemein  als  der  vielseitigste 
und  geistreichste  unter  den  Botanikern  der  neueren  Zeit  galt. 
Er  war  ausgerüstet  mit  den  umfassendsten  Kenntnissen  in 
der  Morphologie  und  Physiologie  der  Pflanzen,  aber  auch  in 
der  Physik  und  Chemie;  zugleich  war  er  ein  ungemein 
scharfer  Beobachter  und  folgerichtiger  Denker.  Namentlich 
in  den  letzten  Jahren  seines  Lebens  hat  er  .sich  noch  den 
schwierigsten  Problemen  seiner  Wissenschaft  zugewandt  und 
mit  philosophischem  Geiste  das  Beobachtete  bis  in  die  letzten 
Consequenzen  durchzudenken  geliebt. 

Ich  hebe  nur  einige  seiner  liau[)isiichlichsten  Arbeiten 
hervor,  um  dem  Nichtfiichniann  ein  annäherndes  Bild  seiner 
Thätigkt'it  zu  ge))en. 

Zunächst  erwähne  ich  seine  ausgedehnten  Beobachtung«»n 
üImt  die  ZelltMibildung  und  djis  ZelhMiwachsthuin  in  den 
pflanzlichen  Organismen;  dann  die  grosse  Monographie  üIht 
die  Stärkekörner,  in  welclier  er  die  Lehre  von  dem  Wach>- 
thum  durch  Intussuscei>tion  entwickelte  und  bi>  zu  <leni 
molekularen     Aufl)au    dieser    (.iebilde    vorzudringen    wagte; 


198  OeffentlicJie  Sitzung  vom  28.  März  1892. 

mitwirkenden  Ursachen  zu  überblicken,  so  haben  seine  Ideeo 
doch  in  hohem  Grade  anregend  und  befruchtend  gewirkt. 

Ich  habe  heute  an  dieser  Stelle  nur  dem  gerechten 
Stolze  Ausdruck  zu  verleihen,  dass  ein  so  bedeutender  Forscher 
so  lange  Zeit  unserem  Kreise  angehörte,  und  zu  beklagen, 
dass  er  uns  entrissen  wurde;  von  sachkundiger  Seite  werden 
Nägeli's  Verdienste  um  die  Wissenschaft  in  einer  besonderen 
Denkrede  eingehende  Würdigung  erfahren. 

Von  auswärtigen  und  correspondirenden  Mitgliedern  der 
Classe  sind  folgende  gestorben : 

Das  auf  den  Vorschlag  von  J.  Liebig  gewählte  corre- 
spondirende  Mitglied  Don  Ramon  Torres  Munoz  de  Luna, 
Professor  der  Chemie  an  der  Universität  zu  Madrid,  ist  am 
10.  November  1890  in  Malaga  aus  dem  Leben  geschieden. 
Luna  war  längere  Zeit  einer  der  thätigsten  und  wirksamsten 
Chemiker  Spaniens ;  er  hat  namentlich  durch  die  Entdeckung 
ausgedehnter  Phosphoritlager  bei  Cocier^  in  Estramadura, 
dann  durch  seine  Arbeit  über  den  Einfluss  der  phosphorsauren 
Erden  auf  die  Vegetation  und  deren  Anwendung  zur  Erhöh- 
ung der  Getreideproduktion,  sowie  durch  seine  Schrift  über 
die  Zukunft  der  Agrikultur  in  Spanien  einen  sehr  nützlichen 
Einfluss  auf  den  Feldbau  der  pyrenäischen  Halbinsel  aus- 
geübt. 

Dr.  med.  Joseph  Leidy,  Professor  der  Anatomie  an 
der  Pensylvania- Universität  und  am  Swarthmore-CoUege  in 
Philadelphia,  ist  am  30.  April  1891  im  (38.  Lebensjahre  ge- 
storben. Er  war  ein  sehr  verdienter  Forscher  auf  dem  Ge- 
biete der  Zoologie  und  Paläontologie ,  von  umfassenden 
Kenntnissen.  Seine  wissenschaftlichen  Untersuchungen  er- 
strecken sieh  über  weit  aus  einander  liegende  Gebiete  der 
Zoologie.  In  zahlreichen  Publikationen  beschäftigte  er  sich 
mit  der  amerikanischen  Süsswasserfauna,  worüber  er  nament- 
lich eine  umfangreiche,  von  prächtigen  Abbildungen  begleitete 


202  Oeffentliche  Sitzung  vom  28,  März  1892. 

Wmer&loff  eine  höclist  anrep^ende  Lehrthäiigkeit  aus.  Seine 
geologischen  Hauptarbeiten  bescliäftigen  sich  mit  dem  rhei- 
nischen Schiefergebirge,  dem  Teutoburger  Wald,  der  Weser- 
kette, dem  schlesischen  Lande  und  dem  norddeutschen  Di- 
luvium; sie  sind  Muster  sorgfaltiger  Beobachtung  und  licht- 
voller Darstellung.  Als  Paläontologe  war  er  in  fast  allen 
Theilen  des  Thierreichs  erfolgreich  thätig  und  galt  in  Deutsch- 
land unbestritten  als  erste  Autorität  für  paläozoische  Orga- 
nismen. Während  einer  P/a  jährigen  Reise  nach  Nord- 
amerika hatte  Römer  überdies  die  erste  Grundlage  für  die 
Geologie  von  Texas  geschaffen.  Der  Verlust  des  verdienst- 
vollen und  hervorragenden  Gelehrten  wird  in  der  Wissen- 
schaft schmerzlichst  beklagt. 

Der  am  29.  December  1891  verstorbene  Berliner  Mathe- 
matiker Leopold  Kronecker  war  am  7.  December  1823  zu 
Lieguitz  in  Schlesien  geboren  worden.  Ein  Schüler  von 
Kummer,  Dirichlet  und  Jacobi  hat  er  gleich  mit  dem  Be- 
ginne seines  mathematischen  Schaffens  sich  einen  Platz  in 
der  ersten  Reihe  der  Miithematiker  der  Gegenwart  erworben. 
Er  ist  der  Schöpfer  von  fundamentalen  zahlentheoretischeu 
Arbeiten,  von  welciien  aus<;ehend  er  weiterhin  insbesondere 
die  arithmetische  Seit(»  der  Al^^ebra,  der  FunktionentluH)rie 
und  der  (leonietrie  in  wicliti<(en  und  weittragenden  Unter- 
suchungen getV)r(lert  hat.  Einen  Zeitranni  von  40  Jahren  hin- 
durch war  er  bis  zu  seinem  Ende  in  erstaunlicher  Vielj^eiti;^- 
keit  und  Kru(!htl)arkeit  thätig,  durch  seine  Arbeiten  in  all»' 
Zweige  mathematischen  Wissens  eingreifend,  und  so  hinter- 
lilsst  sein  vorzeitiger  Tod  eine  nicht  zu  ersetzende  Lücke  in 
der  mathematischen   Welt. 

Sir  (ieorge  Bidell  Airy  (geljoren  am  27.  Juli  1801  in 
Alnwick  in  Northuml)erhin(l,  gestorben  am  2.  .lanuar  1S*.**J 
in  Greenwicli)  gehört  zu  den  bedeutendsten  engli.s(*hen  Astro- 
nomen dieses  Jahrhunderts,    er  hat    in  nahezu   70  Jahre  an- 


208  Oeffentlidie  SiUung  wm  28.  Mäm  1892. 

und  ihre  physischen  und  psychischen  unterschiede  Uar  sa 
legen«  besonders  in  seinem  e&mnitliche  Völker  der  Erde  um- 
fassenden Werke,  Crania  ethnica,  in  welchem  allerdings  die 
heut*  SU  Tage  als  nothwendig  erachteten  Schadelmeasungen 
noch  nicht  berücksichtigt  sind.  Mit  Darwin^s  Lehre  Ton  der 
Entstehung  der  Arten  durch  natürliche  Zuchtwahl  konnte  er 
sich  nicht  befreunden ;  er  bekämpfte  die  Lehre  Ton  der  Ab- 
stammung des  Menschen  vom  Affen,  vertheidigte  die  Auf- 
fassung von  der  Einheit  des  Menschengeschlechts«  dessen 
Wiege  er  im  nordlichen  Asien  suchte,  und  er  lebte  der  Ueber- 
xeugung,  doss  der  Mensch  sich  vom  Thier  strenge  durch  das 
Geistige,  durch  das  Vorhandensein  moralischer  und  reiigiSser 
Ideen  unterscheide.  Die  von  dem  sonst  nüchternen  Forscher 
in  patriotischer  Erregung  geschriebene  unglückliche  Abhand- 
lung; La  race  prussienne,  welche  er  spater  wohl  selbst  be- 
klagt hat,  wollen  wir  Deutsche,  in  Anbetracht  seiner  sonstigcD 
grossen  Verdienste  um  die  Wissenschaft,  rergessen.  Quatre- 
fages  stand  in  seinem  Vaterlande  in  höchstem  Ansehen  ak 
Vortreter  der  biologischen  Fächer,  namentUch  bei  wissen- 
8i*haflHcheu  Versamuiluiigen  im  In-  und  Auslände,  wobei 
er  durch  seine  ungewöhnliche  Beredsamkeit  und  persönliche 
Liebeuswurdigkeit  unterstützt  wurde. 

Mit  dem  am  20.  Februar  d.  J.  im  Alter  von  T-j  Jahn-x: 
in  Heidolbenr  vor^-torbenen  hervorragendeu  Chemiker  Hernj&rn 
Kopp  ist  ein  mit  unserem  unvenresslichen  Präsidenten  J;>t-> 
V.  Liebiif  !k^wie  mit  den  Erfolgen  des  Giessener  Lab':»rat».»n -r.- 
enjrc  vorlnniiiener  Forsohor  aus  dem  Leben  geschie^i-er..  Er 
war  ein  anspriiciisKx'ser  Gelehrter,  von  dem  ersta'^üIi.j'.Krr 
bis  in  die  ersten  Anlunire  seiner  Wi>'ien?chaft  sich  er-trr-.k-::- 
tien  Wissen,  viui  schärfster  Beobachtunjrsffal>e.  durok  ir^n^-z- 
dem  VerstAnde  und  unsrewohnlicher  Schaffenslust.  Er  -i: 
Vom  Anfansr  seiner  Tiiäti::keit  ün  als  einer  der  erster.  W.z  -^- 
da»  tur  die  theoretische  Chemie  ä>  wichtige  Greoiirrbi-r?    irr 


▼^ 


i. 


210 


Slteung  vom  7.  Miü  1892* 

1.  Herr  Waltbkr  Dtck  legt  eine  Abhandlni^  dm  Hem 
Professor  Alfred  Pbinqshbijc:  .zur  Theorie  der  Taylor- 
schen  Reihe  und  der  analytischen  Funktionen  mii 
beschränktem  Gonyergenzbereich*  Tor« 

2.  Herr  Gustav  Bauer  fiberreicht  eine  Ycm  dem  so»- 
wärtigen  Mitgliede,  Herrn  Professor  Aurbl  Yoss  in  WitaB» 
burgf  eingesandte  Abhandlung:  «fiber  die  Fundamenkml» 
gleichungen  der  Fiächentheorie/ 

3.  Herr  Nikolaus  Rüdinger  fibergiebt  den  ?on  ihm  n- 
sammengestellten  Katalog  der  anthropologischen  Sammlang 
der  hiesigen  anatomischen  Anstalt,  welcher  einen  Theil  der 
auf  Anregung  der  deutschen  anthropologischen  Gesellschaft 
herausgegebenen  Verzeichnisse  des  in  Deutschland  yorhan- 
denen  anthropologischen  Materials  darstellt. 


212  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  vom  7.  Mai  1892. 

uiaassen  tiberschätzt  zu  werden.  Denn  abgesehen  davon, 
dass  wohl  Niemand,  der  sich  mit  der  Theorie  der  Taylor'- 
schen  Reihe  etwas  näher  beschäftigt  hat,  an  der  Existenz 
derartiger  Functionen  den  geringsten  Zweifel  haben  konnte, 
so  möchte  ich  Herrn  Mittag-Leffler  nicht  einmal  darin 
beistimmen,  dass  solche  Functionen  bisher  überhaupt  noch 
nicht  studirt  worden  seien. ^) 

Die  principielle  Frage,  um  die  es  sich  hierbei  einzig 
und  allein  bandelt,  ist  doch  lediglich  die:  Giebt  es  Func- 
tionen, die  auch  nur  an  irgend  einer  einzigen  Stelle 
endliche  DiflFerentialquotienten*)  jeder  endlichen  Ordnung 
besitzen  und  dennoch  nicht  nach  der  Taylor'schen  Reihe 
entwickelbar  sind?  Denn  aus  einer  Function,  die  eine  der- 
artige Singularität  an  einer  Stelle  besitzt,  lassen  sich  ja 
dann  nach  bekannten  Methoden  —  etwa  mit  Hilfe  des  von 
Herrn  Cantor  angegebenen  Condensations-Principes')  — 
leicht  solche  bilden,  bei  denen  die  nämliche  Singularität  in 
allen  Punkten  einer  beliebigen  abzählbaren  unendlichen  Menge 
auftritt. 

Nun  hat  aber  im  Gegensatz  zu  Lag  ränge,  welcher 
geradezu    die  Ansicht    aussprach,'*)  dass    die  Endlichkeit    von 

Z*^''^  [x)  für  jedes  endliche  v  die  Gültigkeit  der  Entwicklung: 

1)  Ks  licisst  a.  a.  O. :  Autant  que  je  sacbe,  toutOvS  les  fMOction^ 
«pii  n'cxi-^ti'iit  ^\\\v  (lan^  iin  ('««rtain  doniaino  du  ])lan  et  qui  ont  t't«' 
»•tud  it'j's  .ju.stju'ii' i ,  cessent  (.roxist»'r,  ]»ar(e  qiie  les  fonoiion- 
('Urs  iin-iijcs  uu  Icvirs  dcriv«'0>  clcvienneiit  discontinues  sur  lu 
iVontitT«'. 

2)  ^♦'llj^tvcrständliih  liandelt  »'s  sich  hi»'rlM'i  im  Falle  einer  eoni- 
|d«'\i'n  Viiriabi'ln  nicht  iiiu  l>iH'erciitialqnnii<'nten  iia«"h  iillrn  mötj- 
liclH'ii  KichtiiDL,'«*n.  shikUmii  nur  nach  einem  'Pheil  dieser  Iiiclituni^en. 

:n  Matli.   Ann.   I5d.   XIX.  ]>.  588. 

l)  'rh«'i>rie  (h'>  l'nnetions.     Chap.  \.  Art.  30  (Oeuvres  c<)n)i»li  tf-. 
T.    IX     )i.  ()5).    —    Lerons    >ur    \v.    Ciakiil    ^Ik's    rum'tion>.      he^     ^^^ 
(Oeuvres  ii)nq)l.     T.   X.   p.  11.) 


214         aiUMff  dm-  moArflit».  CBmm  «mk  7.  JW  law 

Immerhin  bia  sncb  ich  der  Änncht,  dm  Jen«  Oaaehy'- 
sche  Beispiel  nicht  atureicht,  um  die  EkMeia  emer  indft 
entfriekelbuen    Fonction    mit 
Quotienten  schlechthin  evidern 
aber  tbRtsBchlich   rollatändig 
Bois  Beymond  im  Jahre  IE 
Function/)  welche  ab  einer 
stetige  DifibreDtialquotienteu  je 
während  die  mit  diesen  Differe 

lor'sche  Reibe  ^'^^V  fOt  jedes  noch  m  Uanw  h  ii- 

Tergirt,  woraus  dann  mit  Leichtigkeit  folgt,  dsn  f(x-{-k} 
in  der  Umgebang  dieser  Stelle  x  Oberhaupt  nicht  nadi  Pi»- 
tencen  von  h  entwickelt  werden  kann.  Und  d»  Da  Bois 
Beymond  es  aach  unternommen  hat,  aus  dieser  FnnetioB 
durch  .Condensation*  eine  andere  abzuleiten,  wekbe  die  fng- 
Ucbe  Eügenschaft  in  unendlich  vielen,  Oberall  dicht  liegodsK 
Punkten  einer  Linie  hat,  so  scheint  mir  eben  die  oben  cühte 
Bemerkung  des  Herrn  Uittag-Leffler  nicht  recht  zatreffend. 
Auf  der  anderen  Seite  hätte  ich  gegtiu  die  von  ihm 
mitgetheilte  Reibe  des  Herrn  Fredholm,  deren  el^ante 
Einfachheit  ich  nochmals  ausdrücklich  anerkenne,  vom  di- 
daktischen Standpunkte  mancherlei  einzuwenden.  Zunächst 
scheint  mir  schon  der  Beweis  dafür,  dass  jene  Reibe  die 
fragliche  Eigenschaft  besitzt,  nicht  elementar  genug;  er  be- 
ruht auf  einem,  keineswegs  mehr  den  Elementen  der  Fnnc- 
tionen-Tbeorie  angehörigen  Kowalewski'schen  Satze  (iber 
die  Int^rale  partieller  DiSerential-Gleichungen.  Zweitens 
aber  bietet  diese  Methode  der  Herleitung  den  grossen  Nacb- 
theil,  dass  wir  von  der  Art  und  Weise  des  Zustandekommens 
einer  solchen ,  doch  immerhin  merkwürdigen  Singularit&t 
auch  nicht  die  geringste  Anschauung  erhalten. 

1)  In  deo  Abb.  der  b.  Akad.    Ue«);l.  Ud.  XXI  dJeKr  Zeitschrift 
p.  lOUff. 


216  Sitzung  der  math.'phys,  Glosse  vom  7.  Mai  1893. 

§  1. 

Für  das  Innere  eines  gewissen  Bereichs  der  complexen 
Variablen  x  sei  f{x)  mit  sämmtliehen  Ableitungen  /^"^(x) 
(n  =  1,  2,  3, . . .)  durch  irgendwelche  analytische  Ausdrücke 
als  eindeutige  reguläre  analytische  Function  deünirt  —  z.  B. 
durch  gleichmässig  convergirende  Reihen  von  der  Form 
2fy{x)  bezw.  2f^^^{x)^  wo  die  fy{x)  in  dem  gedachten  Be- 
reiche reguläre  algebraische  oder  transscendente  Functionen 
bedeuten. 

Auf  der  Begrenzung  dieses  Bereiches  befinde  sich 
eine  Stelle  a,  für  welche  f{x)  mit  sämmtliehen  Ableitungen 
/*(")  (x)  für  jedes  endliche  n  noch  eindeutig  bestimmt,  endlich 
und  stetig  sei.  Wenn  dann  t»ine  für  irgendwelche  Umgebung 
von  X  =^  a  convergirende  Potenzreihe  ^  (x — a)  existirt,  der- 
gestalt dass  die  Beziehung: 

(1)  f(x)  =  ^(x-a) 

besteht  für  denjenigen  Theil  des  Convergenz- Bezirktes  von 
'^  (x  —  «),  weleher  in  ihm  ursprüngliclien  Deünitions-Bercich 
von  fix)  liineinfüllt,  so  hat  dieselbe  sicher  die   Form: 

(2)  ^(,;_a)  =  V].^-^|\x'-«r'. 

Daraus  folgt  aber,  dass  unter  den  bezüglich  der  lieschalleii- 
heit  von  fix)  im  Punkte  «  gemachten  Voraussetzungen  zwei 
und  nur  zwei  Möglichkeiten  denkbar  sind,  unter  denen 
keine  l*otenzreihe  '}3  (x*  —  a)  von  der  gedachten  Uescliutfen- 
lieit  existiren  kann,  nämlich: 

1 .  Wenn  die  Ueihe  V]  ^  '  J''^  {x  —  aY  für     x       a    <i 

divergirt,    wie  klein  man  aiich   die  positive  (jrüs.-e  i 
amiehuH'n  m(*)ire. 


218         aUgwng  der  nuah.-phya.  dtme  m»  7.  Mai  1802. 

Und  es  lassen  sich  auch  mit  Leichtigkeit  hinreichende 
Bedingungen  ffir  die  Art  des  Unendlichwerdens  Ton  /^^  («) 
fQr  «Bsoo  au&tellen,  welche  die  ConTergens  der  obigeD 
Beihe  fQr  jede  noch  so  kleine  Umgebung  der  Stelle  a  de» 
finitiy  ausschliessen. 

So  folgt  z.  B.  aus  dem  Gauchy'schen  Fnüdamental- 
Kriterium  zweiter  Art,  dass  die  Reihe  f&r  kein  noeh  so 
kleines  \x  —  a  |  convergiren  kann,  wenn  f&r  i^  sb  oo 

vrird,  oder  anders  geschrieben: 


&'^  («)  I V 

/("-')  (a)  ^ 


eine  Bedingung,   die  sicher  erfQUt  ist,  wenn  ron  einer  be- 
liebigen Stelle  y^n  ab: 

fr)  (a) 


(3) 


«y-V'W 


r-"  («) 

ist,   wo   iff(v)   eine   positive   Grösse   bedeutet,   die   mit  v  — 
wenn  auch  beliebig  langsam  in^s  Unendliche  wächst. 
Geht  man,  statt  von  dem  Gaue hy 'sehen  Kriterium,  von 

S/W  (a) 
y-^(x — ay  sicher 

beständig  divergirt,  wenn  fQr  jedes  noch  so  kleine  positive  c 
und  für  >'>«  die  Beziehung  besteht: 

I  &^  (a) ' 
^-f- — f-^.fc»'>l 
vi 

80  gelangt  man   statt  der  Bedingung  (3)  zu  der  folgenden: 

(4)  •'^''S'^^i  >(./'(.'))•• 

welche,  wegen  v\  <  i'*',  a  fortiori  erfüllt  ist,  falls  für  v>n: 


220  Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  7.  Mai  1892. 

Bereich,  welcher  den  Punkt  ic=0  auf  der  Begrenzung  ent- 
hält   einschliesslich    dieser    Begrenzung,    sofern    nnr 

keine  weitere  Stelle  der  Strecke  0  ( — 1)  im  Innern  oder  auf 
der  Begrenzung  jenes  Bereiches  liegt.  Denn  in  der  That 
wird  für  alle  solchen   Werthe   x   der   absolute  Betrag  von 

— ;r— ; —  eine  Grösse  von  der  Form  X-a"  (wo  X  endlich) 
a~*^  +  rc 

nicht  übersteigen,  woraus  dann  ohne  Weiteres  die  gleich- 
massige  Convergenz  der  llcihe  in  dem  behaupteten  Umfange 
rosultirt. 

Das  gleiche  gilt  von  jeder  Reihe,  die  sich  durch  nraa- 
lige  Diiferentiati(m  aus  der  obigen  ergiebt,  sodass  also  auch: 

gesetzt  werden  kann.     Daraus  folgt  aber  für  x  =  0: 

/■  W  =  S- :^  «"  =  e" 


(8) 


/'(«)(0)  =  (_l)".n!]2-\«''^'*+'^  =  (— l)''-"^^'*"*"' 


VI 

also  für  hinlänglich  grosse  Werthe  von  n  sicher: 

I  /'^"^  (0) 


n\ 


{e-y 


woraus  auf  Grund  der  oben  aufgestellten  Bedingung  (4)  so- 

xr-s  &^  (0) 

fort  erkannt  wird,  dass  die  Reihe    y] r~  ^^     ^"^    J^^ 

noch  so  kleine  x  divergirt,  obschon  f(x)  für  x  =  0  mit 
siimmtlichen  Ableitungen  von  jeder  endlichen  Ordnung  end- 
lich und  ausser  in  der  Richtung  der  negativen  reellen  Axe 
auch  durchweg  stetig  ist. 

Man  bemerkt,  dass  bei  der  eben  betrachteten  Ileihe  die 
auf  der  negativen  reellen  Axe  gelegenen  Punkte  — a^,  —a^\ 


nach  meinem  Dafürhalten  auch  deshalb,  weil  das  so  definirte 
/■{O)  mit  allen  Ableitungen  den  besonderen  Werth  Null  hat, 
sodass  von  einer  convergirendeu  Mac  Laurin'schen 
Ueihe  auch  wiederum  nur  cum  grano  aalis  die  Rede  sein 
kann,  da  dieselbe  formal  eigentlich  gar  nicht  existirt 
—  ein  Mangel,   der   durch   Einführung   einer  Function   Ton 

der  Form  fix)  =  g'(x)  -\-  e    ''  fwo  ^{x)   entwickelbar)   zwar 

verdeckt,  aber  in  seinem  Wesen  doch  nicht  gehoben  wirf. 

Man  erhält  nun  aber  völlig  einwandfreie  Beispiele  dieser 

Art,    wenn    man   in    den   oben   betrachteten  Reihen  (0)  nnd 

(9)   den   Coefficienten    - 

Weise  entsteht  aus  (l>) : 

1)  Diewr  Einwand  wird  anch  dorch  diu  It.ii.'ionnenent  dr*  Herrn 
Hermite  (Court  d'Anal^M.',  T.  I.  p.  203)  nicht  entkräftet. 


Die  Mi 

ständis 
Bezdck 

(16) 

BO  Mm 
flberan 
(17) 


80  liefei 
erite  b 
endliclit 

eigent 
nicht 
besitzt, 

achwindeD,  obschon  sie  fdr  x  =  Q  mit  sämmtlicheD  Ab- 
leituDf^en  verschwindet.  Damit  erscheint  aber  die  von 
Lagrange  im  5.  Capitel  seiner  Theorie  des  Fonctiona*) 
geäusserte  Ansicht,  daas  eine  stetige  Function,  welche  für 
irgend  einen  Wertb  der  Variablen  mit  sSmmtlichen  Ablei- 
tungen verschwindet,  identisch  verechwinden  müsse, 
nunmehr  endgtlltig  widerlegt. 


Der  allgemeine  Typus  der  im  vorigen  Paragraphen  be- 
trachteten Reihen  lautet  offenbar: 


1)  Oeuvre«  compl^te«,  T.  IX.  p.  68. 


7. 


& 

Mcr  Cnre  C  ^^^ _  ^,-„^,,-«, 

Imm  Pnkt  der  ^hrifclhiwa  MengB  (m^  in  inwni  ofa 

mf  jkr  B($rauBiMr  cnttiÜ,  vifarairi  aoff  der  Icfaiem  fa 
<ui^  GifmijpMtt  «  ^alier  kfn  mdlwei,  frlb  nid»  fw- 
)i«iMktt>  «k  lieiBiaB  »IL  Ist  iaam  S^cJ  cpemiwid.  m 
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1V9)X   da  yim4i  V^masvtniBff  x*  veder  der  Mcage  {n^  oh 

>1iOrt  5Äf^    fW*  iSA*lÄÄ 

Vir.   i»4ix   Bits  VfctuüuK  tol  j^xi  f&r  £e  Stelle  x  =  c 

;'*i:-  V.  ,'  *  ^    A,      -   v.xicr:.    c»t*Ä*r  sirLer  «irre  *i 

>.\» ';     "  :      ><•  .     1,  isc-     jr»fj:-.jj::i-!ric-    :•?•  c^  «r  ttreni- 

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228  aUiUhg  der  moik^-phyB.  aa$se  tarn  7.  Mai  189$, 

gewiBBen  um  a  m  beschreibenden  KreiseB  der  Fall  sem. 
Dies  ist  aber  in  Folge  der  Qber  die  Vertheiltuig  der  a,  ge- 
machten Voraussetsang  unmöglich,  da  nach  dem  angefilhrten 
Satze  innerhalb  jenes  Kreises  stets  singulare  Punkte  oder 
Linien  von  f{x)  liegen  müssen. 

Die  Möglichkeit  dieser  Schlussweise  bleibt  aber  unTer^ 
Ändert  bestehen,  wenn  an  die  Stelle  des  einen  Grenspmiktes 
a  eine  beliebige  Anzahl  solcher  Punkte  tritt,  die  auch  anf  C 
oder  irgend  einem  Bc^n  von  0  fiberall  dicht  liegen  dfirfen, 
sofern  nur  die  Punkte  a,  in  der  Umgebung  jedes  solchen 
Punktes  a  der  oben  angegebenen  Bedingung  genfigen,  und 
es  gilt  somit  der  folgende  Satz: 

Befinden  sich  auf  der  geschlossenen  Curve  C 
beliebig  viele  Qrenzpunkte  a  der  durchweg  avaaer- 
halb  des  Bereiches  (C)  gelegenen  Punktmenge  (a,), 
so  ist  für  die  innerhalb  (0)  reguläre  analytische 
Function: 

f  (^)  =  2*'  ;r~^       (^^  S"  I  ^y    convergent) 

jeder  Punkt  a  ein  singulärer  Punkt  und  jeder 
Curvenbogen  von  C,  auf  dem  Punkte  a  fiberall 
dicht  liegen,  eine  singulare  Linie,  sofern  in  be- 
liebiger Nähe  jedes  Punktes  a  stets  Punkte  a, 
vorhanden  sind,  welche  höchstens  in  Linien  (nicht 
in  Flächentheilen)  überall  dicht  liegen. 

Beispiele  solcher  Punktuieugen  sind: 

""y       Py  Vv       Pfi^       V/'=  1.2,8...^ 

• 

wo  jPy   positiv    und    für  jedes   endliche   v    >  1 ,    dagegen 

1  1  ' 

limj?^=l  (z.B.  Pr=l  +  -    ,  p^=l  +  ~^'-y,  p^=:c>etc.\ 

während  e  eine  complexe  Zahl  mit  dem  absoluten  Betrage  1, 


Setzt  man  zur  ÄbkOrzung: 


I»kI-i" 

WO  also  q^  wesentiicli  positiv  und  fUr  v  =  <x> :  lim  g^atx 
oder  die  obere  Unbestiniiutheitsgrenze  von  g^  uoendlicb  wird, 
eo  hat  man  identisch : 

,^,  \^y\  11«,  I   «" 

und  wenn  daher  r,  positiv  und  so  gewählt  wird,  dass  fUr 
jedes  noch  so  grosse: 

(Ö)  lim-?^  =  lim*— —  =0 


234  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  7.  Mai  1892, 

Einbeitskreise  beliebig  viele  Grenzpunkte,  so 
lassen  sich  auf  mannigfache  Weise  unendliche 
Reihen  von  Grössen  c^  stets  so  bestimmen,  dass 
die  Reihen: 

nicht  nur  im  Innern,  sondern  auch  auf  der  Fori* 
pherie  unbedingt  und  gleichmässig  convergiren 
und  in  die  eben  daselbst  unbedingt  und  gleich- 
massig  convergirenden  Potenzreihen: 


l  I    wo:  ^^=S''"S^« 


umgeformt  werden  können. 

Bedeutet  dann  a  einen  auf  der  Peripherie 
befindlichen  Grenzpunkt  der  a^  von  solcher  Be- 
schaffenheit, dass  in  jeder  Nähe  von  a  stets 
Punkte  a^  vorhanden  sind,  welche  höchstens  in 
Linien,  nicht  aber  in  Flüchentheilen,  überall 
dicht  liegen,  so  existirt  keine  Potenzreihe  ^5(2'— a) 
derart  dass  die  Gleichung  f(x)=^(x — a)  besteht 
für  Punkte  in  beliebiger  Nähe  von  a,  die  im 
Innern  oder  auf  der  Peripherie  des  Einheit>- 
kreises  liegen. 

Wenn  also  solche  Punkte  a  auf  der  Peri- 
pherie überall  dicht  liegen  (sodass  schliesslich  jeder 
Punkt  der  Peri])herie  als  ein  Grenzpunkt  der  Menge  (a^) 
anzusehen  ist),  so  existirt  für  f(x)  keine  analyti- 
sche Fortsetzung  über  die  Peripherie  des  Ein- 
heitskreises   hinaus,     obschon    f(x)    mit    säiumt- 


»MB  f(xj  md  f'""  wi    auf  -ier  Pwipi» 


238  Sitsung  der  math.-pkyii.  Oane  vom  7.  Mai  1898. 

§4. 

Ich  gehe  nan  dazu  üher,  einen  weiteren  Typus  tob 
Reihen  anzugeben,  welche  auf  der  -Creme  eines  gewissen 
Bereiches  noch  mit  allen  Ableitungen  endlich  und  stet^ 
dennoch  nicht  analytisch  fortsetzbar  sind.  Obschon  diesdben 
mit  den  Untersuchungen  der  beiden  letzten  Pkngraphen 
nicht  in  unmittelbarem  Zusammenhange  stehen,  so  Uefieni 
sie  doch  eine  sehr  brauchbare  Illustraticm  zu  den  im  §  1 
entwickelten  Principien,  indem  sie  bei  ausserordentlicher 
formaler  Einfachheit  auf  dem  W^e  ganz  elementarer  Rech- 
nung  deutlich  erkennen  lassen,  warum  die  Entwickdbarkeit 
auf  jener  Grenzlinie  vollständig  aufhört :  nämlich,  weil  die 
Ableitungen  n^  Ordnung  f&r  unendlich  viele,  fibendl  dicht 
li^ende  Stellen  mit  n  so  stark  zunehmen,  dass  die  Taylor*- 
sehe  Reihe  nicht  mehr  convergirt. 

Es  werde  gesetzt: 

(1)        ^{o=jy^y=jyu, 

wo  a  eine  positive  ganze  Zahl  >  2,  ^  =  ^1  +  ^^!  eine  cora- 
plexe  Variable  bedeutet.  Um  den  Convergenzbereich  dieser 
Reihe  zu  erkennen,  hat  man : 

?',.         r  +  1 

.-+1 

und  daher  für  >'  =:  oo : 


lim    -    --  =  hm 


?/,  V  +  1 


=  0,  wenn  r,  >  0 
=  00 ,  wenn  r,  <  0 


il.  h.  ilio  Reihe  converj^irt  ahsohit  für  alle  i  mit  nicht-nepi- 
tivom    iniajrinärem    Hostundtbeil,    also   innerhalb    der   oberen 


Ä.  Pringsheim:  Zur  Theorie  der  Taylor' sehen  Reihe.       239 

Halbebene  einschliesslich  der  reellen  Axe.  Das  Gleiche 
gilt  auch  für  sämmtliche  Ableitungen  von  iff  (i).  Man  hat 
nämlich : 

(2)  iff^»^  (t)  =  i-  yy  \ «- "  •  ^^ '  • 

und  daher  insbesondere  für  reelle  t: 


U 


sodass  also  die  lleihe  für  iff^^^  {()  auch  auf  der  ganzen  reellen 
Axe  absosut  convergirt.  Es  stellt  hiernach  i//  (/)  für  die 
obere  Halbebene  eine  analytische  Function  von  t  dar,  welche 
noch  auf  der  Grenze  dieses  Bereiches,  nämlich  der  reellen 
Axe,  mit  allen  Ableitungen  jeder  endlichen  Ordnung  endlich 
und  stetig  ist. 

Nichtsdestoweniger    lässt   sich    leicht   zeigen,   dass  ift{t) 
über  diesen  Bereich  nicht  analytisch  fortgesetzt  werden  kann. 

Setzt  man  zunächst  in  (2)  /  =  2x7r  (x  =  0, -j^l,  •;^2--), 
so  folgt: 


i." 


I  i//»*>  (2  X  TT)  I  =  e 

und  ebenso  für  /  =  (2  x  +  1 )  ^'^ : 

r/;(")  ((2  X  +  1)  /r)  I  =  /»'»••     bezw.  =&*"*— 2  (ersteres,  wenn 
a  ungenule,  letzteres,  wenn  a  gerade). 

Daraus  erkennt  man  aber  zunächst,  dass  die  Taylor'sche 
lleihe  für  sämmtliche  Stellen  t  =  ^i  rr  (jii  =  0,  ^  1 ,  4:  2  •  •  •) 
divergirt  (cf.  §  1,  Gl.  (5)). 

Das    Gleiche     findet    nun    aber    statt    für    alle    Stellen 
i  =         ,  wenn  p  eine  beliebige  pasitive  ganze  Zahl  lK?dent^t. 

Setzt  man  nämlich  i//<"H'»  i"  die  Form: 

16* 


4*  (p+'l 


^>  (0  =  *••  &  vr'*^"4- *'.2>^e'- 

ao  ergiebt  sich  znnachst  fttr  /  =  — ~-  (»  =  +  1,-^-2- «■): 

(3)         V  a'  /  -TT    "J 

wo: 

Non  ist  aber: 
(^)     !C,..!<2Z|'«-'<2-^yi<2-ai'- 

folglich  wird,  wie  groe»  man  auch  j>  annehmen  mag,  n  stet< 
so  gross  genommen  werden  können,  dass  der  in  (3)  vor- 
kommende Term  c""  beliebig  viel  grosser  ist  als  :  CV.«.:  dies 
gilt  8ell)st  dann  noch,  wenn  man  p  über  alle  Grenzen  wach'vn 
liUst,  sobald  man  nur  n  2> ;)  nimmt.  Somit  folgt  aus  { :\) 
und  (4),  das8  für  unendlich  wachsende  n 

2X  71 


0^)  ^""'(af)^"^ 


wird,  und  das  Nämliche  ergiebt  sich  auf  analoge  Weise  auch 

((2  X  +  1 )  7r\ 
—     -    -      I.    In  Folge  dessen  muss  aber  die  Tay- 

lor'sche  Keihe  für  tff(t)  an  allon  Stellen  /=  — -  divergimi. 


242  Sitzung  der  mathrphys,  Classe  com  7.  Mai  1S92. 

Man  findet  nun  aber  ganz  analog  wie  oben  61.  (3),  das6 

(7)  j«/'""(^-J-'^)'<^p.-  +  «- 


.— fl" 


wo: 

(8)  Cp,„<aP- 

und  da,  wie  gross  man  auch  p  nehmen  möge,  die  Reihe  mit 


-a" 


r*  für  jedes  noch 


dem  allgemeinen  Glieder  — :<aP"  +  e 

n!  I 

so  grosse  r  convergirt,  so  folgt,  dass  die  Taylor'sche  Reihe 
y;  i^^'lfjo)  (<  _  <„)v  fßr  alle  stellen  <,=  i^?Jli>/^    d.  h. 

schliesslich  für  unendlich  viele,  überall  dicht  liegende  Punkte 
der  reellen  Axe  convergirt  und  zwar  sogar  beständig 
convergirt.  Da  aber  in  beliebiger  Nähe  jeder  solchen 
»Stelle  andere  liegen,  für  welche  nach  dem  zuvor  gesagten 
die  Taylor'sche  Reihe  divergirt,  so  kann  sie  nicht  die 
Summe  ip  (0  haben. 

Hieran  knüpft  sich  naturgemäss  die  Frage,  ob  es  denkbar 
würe,  dass  die  Taylor'sche  Reihe  für  alle  Stellen  eine^ 
«j^ewisseii  Intervalles  convergirte  oder  «genauer  gesagt,  ein  Con- 
vergenz-Intervall  besitzt,  dessen  Ausdehnung  unter  eine  Im?- 
stiinnite  angebbare  (Grösse  nicht  herabsinkt,  und  dass  ihre 
Sumuie  nichtsdestoweniger  mit  der  erzeugenden  Function  nicht 
übereinstimmte  V 

Diese  Frage  ist  aber  zu  verneinen.  Angenommen  niini- 
licli,  es  convergire  die   Reihe: 

tiir  /,,</</,  und  r<r^,  so  hat  man  sIcIhm- für  alle  Werth»- 
puare  (r,  r)  aus  dem  angegebenen  Hereiche: 

lini  ,      r"  =  0 


244  SüMung  der  mtdh.-fh^.  Clane  vom  7.  Med  18931. 

Der  Saias  gOt  offenbar  auch  für  den  Fall  emer  oon- 
plexen  Variablen  t  Denn  man  kann  die  GeaammUieit  der 
Stellen,  welche  anf  irgend  einer  im  Punkte  t^  bannenden 
geradlinigen  Strecke  liegen,  durch  eine  ganxe  lineare  Sub- 
stitution auf  ein  Stück  der  reellen  Axe  congruent  abbilden 
und  Rodann  wieder  die  oben  benützte  Schlussweiae  anwenden. 

Bei  dem  oben  betrachteten  Beispiel: 

(1)  tp(0  =  y]^-^e«''*' 

tritt  also  —  wenn  a  =  4  Jk  -f~  3  —  that^hlich  der  Fkll  an, 
dass  in  jedem  noch  so  kleinen  Intervalle  Stellen  liegen,  f&r 
welche  der  Convergenz-Radius  der  Taylor'schen  Beihe  un- 
endlich gross  ist  (nämlich  für  ^  = ~ — ),  and  eben- 

falls  solche,  f&r  welche  dieselbe  gleich  Null  ist  (nämlich 
vXt  t  =  — -  ). 

Ersetzt  man  in  (1)  t  durch  ( — 0,  so  wird  die  Reihe: 


ri2)  xp{—r)  =  ]£]v  A  e-a''<. 


eine  analytische  Function  darstellen,  welche  nur  f&r  die 
untere  Halbebene  einschliesslich  der  reellen  Axe  mit  sammt- 
lichen  Ableitungen  existirt,  und  es  ergeben  sich  durch  Ad- 
dition und  Subtraction  von  \p{t)  und  \pi — /)  (wobei,  wie 
man  leicht  erkennt,  die  fraglichen  Singularitäten  sich  nicht 
etwa  herausheben  können),  die  Reihen: 

(13)     ip,  ir)=2J—v^-     ^'«  CO  -2j"-;."- 

den  Fülle  offenbar  eine  unHtetige  Function  von  t  iKt,  so  lirtimhk 
in  der  Tbat  keine  bc8timuite  Stelle  V  zu  oxiHtircn,  wo  derselbe 
wirklich  --  0  wird. 


A,  Pringsheim:  Zur  Theorie  der  Taylor^schen  Reihe,       245 

als  Beispiele  von  Functionen,  welche  für  alle  reellen  t  mit 
säramtlichen  Ableitungen  jeder  noch  so  grossen  endlichen 
Ordnung  endlich  und  stetig  sind,  und  dennoch  nicht  in  das 
complexe  Gebiet  der  Variablen  t  fortgesetzt  werden  können. 
Setzt  man  schliesslich  in  (1)  noch  ef'  =  x^  so  folgt,  dass 
die  Function: 

(14)  /'U)=1]*'7T^' 

nicht  über  den  Einheitskreis  hinaus  analytisch  fortgesetzt 
werden  kann,  obschon  sie  noch  auf  der  Peripherie  derselben 
mit  allen  Anleitungen  jeder  endlichen  Ordnung  endlich  und 
stetig  ist. 

Der  allgemeine  Typus  derartiger  Reihen  lautet  offenbar: 


(15)  f(x)=^yc^'x'^y 

0 

wo  die  m^  positive  ganze  Zahlen  von  der  Beschaffenheit 
bezeichnen,  dass  der  grösste  gemeinsame  Theiler  von  m^, 
w*v .  p  w*v  I.01  •  •  •  •  mit  V  selbst  in's  Unendliche  wächst,  während 
die  Goefficienten  Cy  so  beschaffen  sein  müssen,  dass  die  Reihe: 

^v  Cy  ml  =  Sn 

für  jedes  endliche  n  zwar  convergirt,  aber  ihre  Summe  mit 
n  so  stark  zunimmt,  dass: 

für  jeden  noch  so  kteinen  Werth  q  divergirt. 


248  Sittung  der  math.-phys.  Glosse  vom  7.  Mai  1892» 

Die  Form,  welche  die  allgemeinen  Gleichnngen  der  FlSchen- 
theorie  in  Folge  dessen  annehmen,  steht  zwar  in  naher  Be- 
ziehung KU  den  Yon  Aoust  und  Codazzi^)  emgef&hrten 
Gleichungen,  durch  welche  eine  gerade  fttr  die  Anwimdangen 
sehr  wichtige  geometrische  Interpretation  dereelben  erreicht 
wird,  unterscheidet  sich  aber  eben  durch  den  Yorhiii  ange- 
führten principiellen  Gesichtspunkt  von  denselben. 

In  Beziehung  auf  orthogonale  CurvensyBteme  suf  einer 
Oberfläche  hat  übrigens  neuerdings  Herr  Knoblauch*)  in 
einer  Arbeit,  deren  Tendenz  sich,  soweit  sie  das  ErOmmungB- 
maass  betrifft,  mit  der  vorliegenden  berührt,  an  die  Bonnef- 
sche  Formel  erinnert,  welche  das  Krümmungsmaasa  durch 
die  geodätischen  Krümmungen  der  Goordinatenlinien  auedrOekt. 

Nr.  1.  Bezeichnet  man  mit  e,  /*,  g  die  GoefBcienten 
des  Längenelementes  auf  einer  Fläche,  so  ist  nach  Gauss 
das  Krümmungsmaass  K  nur  abhängig  von  den  GhrBesen  e, 
/,  ^,  den  ersten  Differentialquotienten  derselben  nach  den 
unabhängigen  Parametern  u,  v  und  den  zweiten  DiSeraitial- 
quotienten  6^^,  Z"^^,  g^^^.     Aus  dieser  analytischen  Thatsache 

folgt  für  zwei  isometrisch^)  auf  einander  bezogene  Flachen 
die  ünveränderlichkeit  des  Krümraungsmaasses. 

1)  Diese  Formeln  geben  bekanntlich  die  Fundamentalgleichungen 
in  einer  für  die  Anwendungen  ausserordentlich  wichtigen  Grestalt 
(vgl.  namentlich  das  grundlegende  Memoire  von  Bonnet,  Journal 
de  rficole  Polyt.  Bd.  25  und  26,  sowie  die  Theorie  g^n^rale  des  «ur- 
faces  von  Kibaucour,  .Tourn.  v.  Liouville  Ser.  IV,  tom.  7),  insofern 
nur  gcometrinche  Grössen,  nämlich  die  normale  und  geodätiüche 
Krümmung,  sowie  die  geodätische  Torsion  der  Goordinatenlinien  in 
denselben  auftreten,  entfernen  sich  aber  cl>en  durch  die  Einf&hronj; 
dieser  grOsstentheils  nicht  invarianten  Elemente  von  der  Beziehung 
auf  das  Längenelement. 

2)  Ueber  die  geometrische  Bedeutung  der  flachentheoreti sehen 
Fundamentalgleichungen,  Acta  Mathematica  Bd.  16  S.  249. 

3)  Der  Kflrzo  wegen  nenne  ich  zwei  auf  einander  abwickelbare 
Flächen  isometrisch  auf  einander  bezogen  oder  isometrisch. 


250  »Sitzung  der  viathrphys,  Classe  tom  7.  Mm  1892. 

ruht,  bei  dessen  Deformation  der  Excess  der  Kantenwinkel 
an  den  Eckpunkten  ungeändert  bleibt,  liefert  eine  mit  dem 
geometrischen  Character  der  Fläche  im  engsten  Zusammen- 
hang stehende  Deutung  für  den  2ähler  des  Krümmangis- 
maasses.  Aehnliche  Ueberlegungen  finden  sich  indessen  aach 
in  Herrn  Sturm 's  Note,  in  der  auf  Orund  Steiner'scher 
Betrachtungen  die  Fläche  als  Grenze  eines  Polyeders  aaf- 
gefasst  und  der  Begriff  der  Ecken  und  Eantenkrümmung 
desselben  eingeführt  wird. 

Nr.  2.  Während  bei  diesen  Untersuchungen  allerdings 
dio  gehäufte  Betrachtung  infinitesimaler  Beziehungen  nicht 
wohl  zu  vermeiden  ist,  so  namentlich  in  der  Natani^schen 
Darstellung,  der  mau  wohl  in  mehrfacher  Beziehung  eine 
strengere  Form  wünschen  möchte,*)  bringen  andere  Formeln 
in  analytischer  Darstellung,  aber  in  directer  Beziehung  auf 
geometrisch  invariante  Elemente,  die  Unveränderlichkeit  des 
Krümmungsmaasses  zum  Ausdruck. 

So  besteht  nach  Bertrand  und  Puiseux  für  den  Ex- 
cess  E  der  Länge  einer  hinreichend  kleinen  geodätischen  den 
Fliiclienpunkt  umgebenden  Kreislinie  mit  dem  Radius  s  über 
die  Peripherie  einer  ebenen  Kreislinie  mit  demselben  Radius 
rlividirt  durch  die  ^  Potenz  des  Inhaltes  J  jenes  geodätischen 
Kreises  dio  Formel 

welche  K  direct    durch    den    Grenzwerth    des    Verhältnisses 
zweier  bei  der  Biegung  invarianter  Grössen  ausdrückt. 

Nach  Beltrami^)  gilt  für  den  Bogen  q  einer  von  einem 

1)  Eine  aolche  wurde  mir  übrigens  unlängst  durch  Herrn  Finster- 
walder  mitgetheilt. 

2)  Vgl.  Monge,    Applications,   Ausg.  v.  Liouville,  S.  583 ü. f. 
Der  Satz  selbst  ist  dort  freilich  auf  andere  Art  ausgedruckt. 

3)  Bcltrami,   Zur  Theorie   des   KrOmmungsmaassea,   Math.  An- 
nalen    Bd.  I,  S.  580.     Die    Bei trami'Mche  Darstellung   von  Ä'  dorch 


252  SUsung  der  math,'fhy8.  GUuse  wm  7.  Mai  1892. 

DarboQxO  ausf&hrUch  in  seiner  Theorie  g^nAnle  des  mr* 
faces  dargelegt  hat,  eine  sehr  bemerkenswertbe  Interpretatioii 
erfahren. 

Herr  Darbonx  denkt  sich  in  Verbindung  mit  der 
Fläche  ein  rechtwinkeh'ges  Ranmcoordinatensystem  —  triddre 
trirectangle  —  dessen  jr-Axe  die  Normale  des  Flftohenponktes 
ist,  und  dessen  d;-Axe  in  der  Tangentenebene  der  FBche 
einen  Winkel  m  mit  der  Conre  u  bildet  Schreitefc  man  aof 
der  letzteren  fort,  so  geht  dasselbe  in  eine  benachbarte  Lage 
über.  Ist  nun  rdu  die  Rotationscomponente  um  die  #-Axe, 
welche,  abgesehen  Ton  einer  geeigneten  Translation,  in  Ver- 
bindung mit  zwei  anderen  analogen  partiellen  Etotationen 
pdu^  qdu  um  die  Axen  x  und  y  jenes  System  aus  der  or- 
sprfinglichen  Lage  in  die  zweite  überfährt,  und  beseichnet 
man  mit  r'  dv  die  dem  Fortschreiten  auf  der  Cnire  v  ait> 
sprechende  Rotationscomponente,  so  ergiebt  sich  f&r  den 
Ausdruck 

IT  sin  aYeg 

—  xmUiT  a  den  Winkel  der  Coordinatenlinien  m,  v  verstanden 
die  elej:jante  Fornn»]*) 

dv      du 

Nun  hfingcn  freilich  die  liotiitionen  r  und  r',  sowie  auch 
die  von  Ilerni  üarboux  eingeführten  Translationseonipo- 
nonten  des  Trieders  nur  vom  Längeneiemente  ab.  Sie  sind 
aber  nur  analytische  Invarianten,  wie  auch  schon  aus  dem 
Anblick  der  für  K  angeführten  Formel  hervorgeht,  welche 
neben  den  Dilferentialquotienten  nach  u,  v  auch  noch  die 
CoefKeienten  c,  g  enthält,  während  die  übrigen  in  Darboux* 

1)  Levons  sur  hx  thÄ>rie  gencnile  des  surfaces,  Tom.  I,  Tom.  II 
S.  361— 3«7. 

1)  a.  II.  0.  S.  361. 


7. 


=  «.. 


3C^ 


TPl**.-^ 


\va. 


-i. 


256  Süeufig  der  matK-phys,  Cldsse  vom  7.  Mai  1892, 

KrQmmung  der  Flachen,  allerdings  in  anderer  Richtung, 
betrachtet  hatte.*) 

Nr.  5.  Bezeichnet  man  das  Längenelement  der  Fläche, 
welche  auf  zwei  willkürliche  Curvensysteme  u,  v  bezogen 
ist,  durch 

1)  d^  =  e  du^  +  2fdudv  +  g  dv" 

und  die  Dififerentialquotienten  der  e,  f^g  sowie  der  Coordi- 
naten  x^  y,  ^,  wie  in  Nr.  4,  durch  angehängte  Indices,  so 
hat  man  bekanntlich  die  Gleichungen 

2)  x^^  =  Bx^  +  B^x^-]-Fp; 

^,,=Cx^  +  G,x^+Gp 

nebst  den  analogen  für  y,  e  und  g,  r,  wobei  E^  jP,  0,  die 
Fundamentalgrössen  zweiter  Ordnung,  jp,  ;,  r  die  Richtangs- 
Cosinus  der  Normale  bedeuten,  und  die  characteristischos 
Coefficienten  A;  A^;   B^  JB,;  C,  Oj    durch   die  Gleichungen 

2A   H=qe^-2ff„  +  re, 
2A,H=2ef„-ee^-fe^ 

2B  H  =  ge^-fg, 

2B,H=eg^-fe, 

2C  H=2gt\-g9„-fg, 
2G,H  =  2g^-2ff,  +  fg^ 

in  denen 

cg-r  =  H 

gesetzt  ist,  definirt  sind.  Dabei  finden  zwischen  den  charac- 
teristischen  Coefficienten  die  Gleichungen 


1)  Zur  Theorie  der  Ki-ümmung  der  Flachen,  Klein,  AnnalenW 
S.  200. 


A.  Voss:  Die  FundamentalgleiehungeH  der  Fläehentheorie.    257 


B-\-C,= 


B,+A 


dv 

bjYh 

d  U 


4) 


-.4--.-"]/? 


du 


0-^  =  3-91]/^ 
9  V    9 


dv 


statt,   und   zugleich   hat   man   für  die  Differentialquotienten 
der  i>,  9,  r  die  Gleichungen 


5) 
in  denen 


6) 


j),  =  Mx^  -\-  M^x  . 

L  H=Ff-gE 
Z,  H=Ef  —  Fe 
M  H=Gf—Fg 
M,H=Ff—Ge 


ist.  Die  geodätischen  Krümmnngen  y,  y^  der  Gurren 
u,  V  sind  alsdann 

7)  y  =  ^-J^^y^=9yS 

eVe    '     *        gVg 

ihre  reciproken  Werthe  sind  die  Radien  der  geodäti- 
schen Krümmung  der  Parameterlinien.  Ich  denke 
mir  ferner  im  Punkte  P  (x,  y,  z)  der  Fläche  die  Tangente 
ao  die  Curve  u  gezogen.  Die  Goordinaten  eines  um  r^  von 
P  entfernten  Punktes  auf  derselben  sind 


258 


SiUung  der  maUt.-phjfs,  Cla$se  vom  7.  Mai  1892. 


»•i*« 


^='+W 


8) 


Y=y-\. 


Z  =  0-^ 


und  diejenige  Normalebene  der  Flache,  welche  jene  Tang^te 
in  sich  enthält,  hat  die  Gleichung 

X-x Y—y Z—z 

p  q  r 


N=- 


oder 


X 


n 


P. 


Z^ 


=  0 


N 


(X  —X,  p,  xj  =  0. 

Hieraus  ergibt  sich  für  die  unendlich  benachbarte  Normal- 
ebene  N  -{-  dN^^  welche  dem  Fortschreiten  auf  der  Corre  v 
entspricht,  die  Oleichung 

N+  [(X—x,p,x^^)  +  (X-  x,p^,xj—{x^,p,xj]  dv=0. 

Trägt  man  in  die  letztere  die  Ausdrücke  8)  an  Stelle  tod 
X — Xy  •  •  ein,  so  ergibt  sich  für  die  Entfernung,  in  welcher 
die  Tangente  der  Curve  u  von  der  benachbarten  Normalebene 
längs  der  Curve  v  geschnitten  wird,  die  Formel 

Ve 
-  B\ 

und  ebenso  erhält  man  für  den  analogen  Werth  r  die 
Gleichung 

B' 

Allerdings  sind  diese  , Radien*,  welche  für  isome- 
trische Flächen  ungeändert  bleiben,  bisher  wie  es 
scheint   in  der  Flächentheorie   nicht  beachtet   worden.     Die 


9) 


»•1  = 


2id2         ßkmm^ier  wu^-fkjft.  €Ui9$  ^omr.  Mai  JfiM. 

oder,  wenn  man  die  Bogaieiemeiiie  da^^YeäUt  dtjiBmYgih 
einaetEt 

a«  ■ 

— 3-  =  y  — e  sba 

Die  Tier  OrSsaen  q^  g^,  f^  /,  sind  indessen  noch  doreli 
eine  weitere  Gleichung  mit  einander  yerbunden«  Man 
erh&lt  dieselbe  durch  Bildung  der  Integrabilititsbediiig- 
ung  der  Gleichungen  10).    Aus  den  Gleichungen  9)  oder 

B  B. 

folgt  nämlich  mit  Hülfe  der  in  8)  gegebenen  Auadrflcke  für 
B  und  B, 

1   9V7         , 

—  -=——  =  Q  +PiCOsa 

1   ai^         , 

yeg  du 

also,  wenn  man  die  Gleichungen  10)  nach  u  und  v  diffe- 
rentiirt  und  die  Ausdrücke  11)  auf  der  rechten  Seite  sub- 
stitnirt, 


3*a       9y,       9^^ 


dudvVeg       ^ «        ^ « 


8ina+(p,y-ßyj)co8a-fjyj+^8ina 


=  3^^  — 3y«no-teiy-?yi)cosa-ey+^BUia»), 


1)  Sind  zwei  Flftchen  so  auf  einander  bezogen,  daat  der  Goofdi- 
natenwinkel  a  und  die  vier  GrOssen  q^  ^i,  7,  yt  in  correspondirndei 


264  Sitzung  der  mathrphys,  Gasse  vom  7.  Mai  1892. 

Ä^y^= --—--  —  ■    au a»   I 

V.         yesma        J 


a» 


•a  i/e  a  yg 

-i--  —  cos  ~      ^ 

a« 


'3h 

\  a         / 


den  man  yermöge  der  Gleichungen  3)  in  die  Form 

II)     KV-n^-^-W^^)-l(iyM) 

oudv      ou  \      e      /       dv  \     g    / 
oder  auch,  wenn  man  die  Formeln  10)  einfährt  in  die  Gestalt 

II')       KVH  =  f^  +  ^(^^)-^^(^^-^) 

bringen  kann.  Durch  Addition  ergiebt  sich  der  von  dem 
zweiten  partiellen  Differentialquotienten  von  a  nach  u  und 
V  befreite  Ausdruck 

du\g        e  /  dv\  e         g ) 

Nun  findet  man  leicht  nach  7)  und  9) 

g         e        Vsiii  a         v  y      e 

e         g        Vsin  a       ^  V     g 

1)  Die  Formeln  II,  ir  lassen  unmittelbar  die  bekannten  Eigen- 
schaften der  Curvatura  integra  von  Flächenstücken,  die  von  geodä- 
tischen oder  von  äquidistanten  Linien  begrenzt  sind,  erkennen. 
Formel  II"  ist  nichts  anderes  als  der  von  Herrn  Weingarten  für 
das  Krümmungsmaass  bemerkte  Ausdruck.  (Festschrift  der  Tech- 
nischen Hochschule,  Berlin  1884;  K  n  o  b  1  a  u  c  h ,  Theorie  der  krummen 
Flächen,  S.  177). 


266  SÜMung  der  mathrfhys,  Glosse  wm  7.  Mai  1892. 

und  die  Gleichungen  10*),  I,  III  stellen  nichts  anderes  Tor, 
als  ganz  allgemeine  Theoreme,  die  Yon  jedem  beliebigen 
Coordinatensysteme  auf  einer  Oberflache  gelten. 

Ist  insbesondere  der  Winkel  a  constant,  so  wird  nach  10*] 

sin  a      *       sm  a 
mithin 

A,  =  2  ß, ,  Ä  =  2  e 

^  =  ?  +  Pi  cos  a,  l^  =  Q^  +  Qcoea 
also  in  diesem  Falle 

welche  Formel  für  ol=^—  in  die  bekannte  Bonnet^sche 
Übergeht.^) 

Nr.  8.  Ich  schliesse  hieran  noch  einige  Bemerkungen, 
die   sich  aus  der  Form  der  Gleichungen  I  und  III  ergeben. 

Sind  die  Curven  m,  v  geodätisch,  so  folgt  durch  Com- 
bination  von  I  und  III 

Bei  constanter  negativer  Krümmung   K=  —  c*  wird  daher 

1)  Will  man  das  Krümmangsmaass  nur  durch  die  geodätischen 
Krümmungen  und  den  Winkel  a  darstellen,  so  findet  man  aus  IT' 

3*a           1  9<7i      dg 

K= ■—  H-  —  +  —  —  (gi^  +  9'^  +  2  cos  aggt) 

dudv  sinaK^^'      ds        ds^ 

__    g\    d  a  ^     g     da 
sinadj^i       sin  ad  s 

falls  y  =  sin  ag^  yi  =  sin  a  g^  gesetzt  wird.  Wie  man  siebt,  ist  dies 
aber  keine  Darstellung  durch  geometrische  Invarianten,  da  die  Dif- 
ferentiation nach  u  und  v  sich  nicht  beseitigen  lässt. 


268         attumf  (far  Mctik^jAfi.  Omm  mm  7« 

Eine  reelle  Fliehe,  auf  der  ein  Syst««  toü  Co- 
ordinatenlinien  conBtanter  geoditieck^r  Krl^^vag^ 
existirt,  die  sieh  fiberall  nnter  coiistaate^  Wiskel  a 
ftchneidea,  ist  eine  Fliehe  eo&etmmter  BegaÜYer 
Krfimmnng,  deai  man  als  Vi 
LiouTille^Khen  Theoram^s  lieü echtf 

Sollen  s.  &  die  geodittrhwi 
m  nnd  r  eines  OrthogOBalsyeteme  mmätoA  wmä  gieieh  r 
und  fj  mn,  so  hat  man  nach  Kr.  5),  7)  fia 


flf  sl* 


fr  —  — 

*"tih^  + 

.<r,r  • ' 

»(a 

',»  +  X(».) 

«iimL  im«&  rr=^r^^€. 

■=■» « 

MM 

«äi. 

Dm  I'hw 

f4MMHI  VIHl 

iliwiil 

itf^ 

4          "^^ 

r 

«"TUtl       4       ~      1* 

•.  .  r=^ 

:  ^   1» 

_^^__^       «^ 

ICt  Helfe  der 

ttiuttiiHta 

.  r 


»M^    «««v    J^iuo^k^^tuum^»« 


t       4 


• 


"**»*     *^*    '**    .Vv.  b?   I*».*  .«^    «•^i^'^lar? 

VXfc*^  ^■*\       <M»«h      -»».C      .*H 


270 


Süsung  der  math.-pkys.  doste  vom  7.  Mai  1893. 


1 


+  /». 


in  denen  a,  a^  /?,  /^^  Gonstanten  bedeuten,  die  man  gleich 
Null  oder  Eins  setzen  kann,  je  nachdem  die  linken  Seiten 
constant  oder  variabel  sein  sollen.  Die  Differentialgleich- 
ungen, auf  deren  Lösung  die  Bestimmung  der  Coordinaten- 
Systeme  beruht,  für  welche  die  angegebene  Eigenschaft  be- 
steht, sind  allerdings  nicht  ganz  einfach,  und  ich  werde  sie 
hier  nicht  weiter  untersuchen.  Eine  einfache  Losung  eipebi 
sich  aber  in  dem  Falle,  wo  man  sammtliche  Constanten 
gleich  Null  setzt,  der  freilich  nur  bei  einer  developpabeleo 
Fläche  auftreten  kann.  Alsdann  kommt  die  bezeichnete 
Aufgabe  auf  die  folgende  hinaus: 

Alle  Curvensysteme  in  der  Ebene  zu  bestimmen, 
för  die  die  beiden  Ausdrücke 

verschwinden. 

Setzt  man  demgemäss 

so  erhält  man  durch  einfache  Uraformimgen  an  Stelle  dieser 
beiden  Bedingungen  die  Gleichungen 


13) 


0 


9  V 


'9--l/-  +  y.'3^l/^=o. 
«»r    .9       "    y*V  9 


V  — 


du 


du 


A,  VoB9:  Die  Fundamentalgleichungen  der  Flächentheorie,    271 
Setzt  man  nun 


-::y:==K'+©'- 


1 


+ m 


m-iv^-id'- 


'■  1 


X 


+(!)• 


und 


y^      '     y» 


X  X 

u  t 


SO  folgt  aus  dem  nach  13)  erforderlichen  Verschwinden  der 
Functionaldeterminante 

d pd  q      d pd q 
dass  ;>  nur  von  q  abhängig  ist,  oder 


oder  auch 

e'  =  F{z) 

sein   muss,   wo   F  eine   noch  zu  bestimmende  Function  be- 
deutet.    Die  äleichung 

a 

3 


'  i\/  ^+"' )  I  r-  ^  n/  ^+^'  )-0 


auf  welche  sich  die  beiden  13)  reduciren,  verwandelt  sich 
durch  Ausfährung  der  Differentiation  und  nach  einigen  Ver- 
einfachungen in 


18 


♦ 


^.^ 


am 


1+^  •  1 


%'+ 


•+#  = 

Mmm  criküt  all»  mll«  SjBtes«  der  Ter^ 
Imsi^tea  Art,  wcmm  sas  <i«  «se  Sckaar  ^mm  Cmrrmm 
Veliebig^  mnimst  nd  x«  denelVes  eime  zweite  so 
bestimmt,  das^  die  WiKkelk^Ibirende  des  Ton  dea 
CarTen  beider  Scit&areB  i&  jedem  PiiKkte  gebildeten 
Winkels  eine  eonstmKte  Riebtumg  kaL 

AOodiiigi   kl  in  der  Yorbergekenden  BetradiiiiBg  toc^ 
dasB  x^  und  y^  nkkt  NnQ  smd.     Ist  aber  x.  R 


X,  gfeieb  NnIL,  so  kann  niebt  zn^eidi  f^  gki^  Null  aoiiv 

da  softst  eine  Gleidtimg  zwiseben  m  und  f  bestände.     Der 
Fall  x^  =s  0  kaim  aber  stete  dnrcb  eine  CooffdinateBtiaasfer- 

mation  besntigt  weiden  und  ist  dabcr  in  der  Tcmgen  Unter- 
soebnng  aebon  enthaltefi 

Nr.  10.  Dnreb  das  rorstebende  baben  «»gVii^h  die  C&* 
effidenten  Ä^^  C,  B^  B^  in  den  F<vmdn  1)  der  Nr.  5  ibie 
geometrisebe  Bedentong  erbahen.  Die  Coefficienten  A  imd 
C^  baben  dagegen  überiianpt  keine  geometrisebe  Bedeabmg, 


274  SiUttMg  der 

f  3  cos  A 
14)        • 


«1)+1>S 


nebst  dm  aodlogfla  Gleioliuiigen  für  cos ^  and  cos*',  wo 
gleicheeitig  rechterlisnd  p  darch  q  and  r  xa  anetno  M. 
Die   beidmi  letzten  Gleidiungen  in  14)  treten    abrigem  in 
Stelle  der  einen  Qleichung  fflr  x^^ 
Die  QrÖBsen 

coe X 003 g  —  coe it'    coa ^ coa  a  —  cos /«'    cosr  coaa  —  cos>^ 
sina  '  sinn  *  mna 

und  die  ans  ihnen  durch  Vertauschung  der  gestrichenen  nnd 
erToi^benden,   welche  rechteihuid 
kommen,   haben  eine  sehr  önfaeb« 
Sie  sind  nämlich  die  Riehtnn^ 
ErOmmnngsradien   der  Corren  a 
dieselben  darch 
cos  2 ,     cos  ffl  ,     cos  ft 
cos  l',     cos  m',     coB  n' 
so  erhält  man  an  Stelle  von  14) 

-^—  =  —  j-  cos  i  -{-p'i 
^coaA' 

'5)  (9co,i  ,    .         ,       „ 

I     .   ,    =giCosf  8ino-t-/>S 

I  Scosi'  ,       o 

I  — X- —  ^  g  cos  i  sm  a  +  p  S. 

Die  Gleichung  fdr  das  KrUmmungsmaaRs  wird  nun 
16)  RR'-3*  =  KB\B'a 


der  Seitenkrtlinmang  Tontellen.     Hienos  folgt 

und  zugleich 

,  /     3  cos  i    ,        3  cos  II   ,       9  008  »^  ,  „       ., 

oder  nach  15) 

ö'S  =  cos{«',  N) 

a  S  =*  coB  (a,  N) 
Ans  diesen  letzteren  Gleichungen  folgt  der  Satz  tod  Aoast, 
I)  E«  irt  abo  anch 

bei  der  laometiie  inTMiuit. 


flingefafarteu  Krfimmnngsradien  and  ihre  Rühtangm   kann 
man  fOr  die  linke  Seite  aaeh  setEen 

cot  (ly.)  — —7  eo«  (ffff  )- 

An  Stelle   der  Oleichungen  5)  Nr,   5.    baten   «idHeh  die 


mau  fa^t  immer  die  Differentiationen  nach  den  Bc^ene1e> 
menten  ds,  äs'  durch  solche  nach  ifti,  äv  wird  ersetzen 
mtlssen,  so  geben  sie  doch,  wie  aus  den  vorigen  Betrach- 
tungen ersiclitlich  sein  wird,  zu  mehrfachen  neuen  Anschau- 
ungen und  Fr^en  Veranlassung ,  auf  die  ich  bei  einer 
anderen  Gelegenheit  zurückzukommen  hoffe. 


282 


Sittung  der  nuUh.'pkjfs.  Claaae  vom  11,  Jmtd  1899. 


F==f9 


dt 


0 


0=-fxdt 

0 

H=yit>di 


3) 


Die  Drehung,  welche  das  im  Punkt  x  y  m  befindliche 
Yolumelement  d%  während  der  Zeit  d<  um  die  x-Axe  er- 
fahrt, wäre  dann  gleich: 

dt  /djp  _  d%\ 
2    \dy       dB) 

und  a  wäre  die  doppelte  Summe  der  Drehung^,  welche  alle 
durch  den  Punkt  x  y  0  von  der  Zeit  Null  bis  t  hindurch- 
gegangenen Yolumelemente  im  Momente  des  Durchganges 
um  die  x^Atq  erfuhren.  Analoge  Bedeutung  hätten  b  und 
c  bezüglich  der  y-  und  jr-Axe. 

Beide  Auffassungen  führen  weder  bei  der  stationären 
Aetherbewegung  (Elektrostatik,  Elektrodynamik  und  Induction 
stationärer  und  angenähert  stationärer  elektrischer  Strome, 
Magnetismus),  noch  bei  sehr  kleinen  Schwingungen  (Licht) 
zu  verschiedenen  Gleichungen.  Audere  Phänomene  wurden 
aber  bisher  kaum  quantitativ  mit  den  Gleichungen  verglichen. 

k 
Bezeichnen  wir  ferner  die  Dichte  des  Aethers  mit  t— » 

so  ist  die  kinetische  Energie  des  im  Volumelemente  (fr  be- 
findlichen Aethers: 


87c 


(q>^  +  x'  +  tp')dt 


4) 


Wir  denken  uns,  bloss  um  die  Bewegungsgleichungen  dei 
Aethers  zu  erhalten,  auf  jedes  Volumelement  dt  des  Aethen 
beliebige  Kräfte  mit  den  Componenten: 


284         Sitzung  der  mathrphya.  Glosse  vom  11.  Juni  1893. 

jF,  G  und  H  verschwinden,  sodass  also  alle  Oberflächeninte- 
grale verschwinden.  Substituirt  man  femer  fÖr  y,  %,  ip  deren 
Werte  aus  den  Gleichungen  1),  so  geht  die  Oleichung  7) 
über  in: 


Da  die  Kräfte  und  Beschleunigungen  mit  Ausnahme  natürlich 
der  von  den  Bewegungshindernissen  herrührenden  von  den 
augenblicklich   herrschenden    Geschwindigkeiten    unabhängig 

sind,  so  sind   in   dieser  Gleichung  -^—,    —rr  und  -tt  ^ 

°    dt       dt  dt 

unabhängig  zu  betrachten  und  es  müssen  deren  Coefficienten 
separat  verschwinden.  Man  kann  übrigens  die  Verände- 
rungen von  -F,  G  und  H  in  ächte  Variationen  verwjindeln, 
dadurch,  dass  man  den  Grössen  X,  F,  Z  während  eines  sehr 
kurzen  Zeitintervalles  sehr  grosse  Werte  erteilt.  (Vergl. 
Maxwell  on  physical  lines  of  force,  Scient.  Pap.  I.  p.  475 
Gleichung  53.  Phil.  Mag.  (4)  vol.  21.) 

Setzen  wir  daher  lediglich  zur  Abkürzung: 

'  47i'dt'     ^~       4:71  dt''  irtdt       ^^ 

^,dF  ^dG  ^dH        ,M 

,    df  ,    dg  dh  ,,x 

SO  erhalten  wir: 


s  genau  mit  a-ri  'j-t:.!'-!^-!  :  -'-.s^=z:i^i:     "...       — • 
11  für  die  ekk:rl?-.iri  -^i.:  iLan-ti-*-L-i  I-'-..  —  :-^--   : 
iienden    KGrpeir;    fa^i.      T-^'t.     r--L-        t.--_:^-.- 
ixwells  TheC'He  1.  i.  7.  Biirii..  Ir".  :-j    r-^    — ^.    '" 

Direet  körnten  die?e  Gle::"L::Lm  :.l  :  :•:  :  -:•-  - 
enfalls  schon  von  Thomson  1.  ■:.  iz  L:-_..it:  ^t:-  4^- 
wandten  Methode  gewonnen  weriri.  1»^?  "*"  .. z t _-_-:■ 
r  sei  ein  Parallelepiped,  dessen  eine  Ecke  ::r  •_  •..":.■-■-: 
//  r  hat,  während  die  anderen  um  5  re^p.  ».  •  jr'!T'>TrT 
»ordinaten  haben.  Daher  wirkt  darauf  um  die  »/-Axe  di.< 
"ehmoment : 

2/r  ju 

SIS  Volumelenient  ist  aber  mit  den  umgel>enden  so  ver- 
inden,  da.ss  es  sich  nicht  davon  loslosen,  und  ohn<;  die^e 
litzudrehen,  diese  Drehung  ausführen  kann.  K-  werden 
aber  von  den  umgebenden  Aetherteil:r:*:n  ^rA  i:^  4  .S-?!r*:r-- 
lachen,  welche  der  y-Axe  parüliel  sir.i.  T*r.::rL".iÄ.i::;:'^ 
lusgeübt  werden  müssen,  welche  zi-irr-r.ri  :.«  i'--  .-.r 
Drehungsmoment  liefern.  Nehniti  ^!r  ii.  :.«--  ..-.-.  -r^v.- 
satze  zum  Verhalten  gewuhLlicL^r  r-L-T.y. :  -  •  jl"'>-  -.  -- 
Winkeländerungen    des   Parallei-r;i:»^dct    i.-  i-r    —  ■.-    ...  ... 

elastischen   Kräfte    wachrufen,   i.-:    i-   r^T".:.-.  ..  . ..,    7... 

gentialkräfte   der  ElasticitatÄleL-*:   ll'^t   /,..    •;; 

sich  das  Drehmoment  unt^r  beid«:  ?"-L  i-^: :%«;'-   r^  -  -..^    . 

verteilen.    Auf  die  eine  Flätii^  fl*  -.11  ii.::*.:^  f  •.    --.-. 

1^  M*tli.-phyj».  ci.  2. 


286         Sitzung  der  math.-phys.  Glasae  vom  11.  Juni  1892. 

zur  jsf'Axe  senkrecht  steht,  wirkt  daher  die  Kraft  ^  in  der 

positiven,  auf  die  Gegenfläche  O"  die  gleiche  Kraft  in  der 
negativen  :i;-Richtung.  Diese  Kräfte  werden  an  den  Tren- 
nungsflächen je  zweier  Vohimelemente  wirken  und  natürlich 
an  Intensität  sich  continuirlich  von  Punkt  zn  Punkt  im 
R^ini  ändern.  Da  aber  0'  und  <Z>  sich  dadurch  unterscheidet, 
dass  £r  um  C  grösser  ist,  so  wirkt  mit  Beachtung  des  Kleinen 
2.  Ordnung  auf  letztere  Fläche  die  Kraft: 

dm  ^\ 
'd^'J 

Beide  Kräfte  zusammen  liefern  daher: 


ij(».+ 


S  ,  i  <}) 


1  dm 

2  de        i7t       de 

in  der  a?-Itichtuug.     Ganz  analog  ist  die  Resultircnde: 


A',:) 


4  71     dy 
Zi(»ht  man  von  diesen  Molekularkräften  den  Reibungswider- 

/7  TP 

stand    C  -^  -  ab,   setzt  die  so  erhaltene  Gesammtkraft  gleich 

der   mit   der   Masse  —r-  multiplicirten  Beschleunigung  in 

der   a;-Uichtung,    und    multiplicirt   schliesslich   mit  ^ — ^,  so 
folgt  sofort  die  obige  Gleichung: 

ar  dt  dz  dy 

Die  Grundgleichungen    des  Elektromagnetismus  für  l)e- 
wegte  Körper   findet   man  hieraus,   indem  man  unter  x  p  £ 


290         Sitzung  der  math-pkya.  Glaste  vom  11.  Juni  1893. 
Der  Druck  an  irgend  einer  Stelle  ist  dann: 

Die  gesammte  Kraft  X,  welche  auf  einen  im  Aether  befind- 
lichen Körper  in  der  Richtung  der  rc-Axe  wirkt,  ist: 

X=  \'pdsco^{n,x)=  I  \pdydg^=:  i  — ?  d t 

wobei  df  ein  Volumelement,  ds  ein  Oberfläcbenelement  de^ 
Körpers,  n  die  zu  letzterem  gezogene  Normale  ist.  Die  Sub- 
stitution des  Wertes  für  p  liefert: 

_  r^^  h  \dW  d'W     dW   d^W      dW    d'JFl 
J       A:7i\,dx    dx^        dy    dxdy        dz    dxdz\ 

und  die  partielle  Integration  liefert: 

Jdr  dW 
in  dx 

Setzt  man  JW=  —  ine  und  betrachtet  bloss  die  Coordi- 
naten  ?  ry  f  der  elektrischen  Masse  edr  als  varia1)el,  .s<»  er- 
hält man : 

X=  —  kS.  r«  WdT 


=-^-i/ 


(Vergl.  Maxwell  scient.  pap.    vol.  I    pag.  497.) 

Wir  wollen  hier  aber  nur  ein  ganz  specielles  Beispiel 
in  einer  ganz  directen  Weise  behandeln.  In  dem  o}>en  be- 
schriebenen Medium  sollen  sich  zwei  gleichnamig  geladene 
Kör[)er  befinden.  Der  erste  derselben  soll  nur  unendlich 
wenig  von  einer  Kugel  mit  dem  Mittelpunkte  Ä  und  dem 
Radius  ^,  der  zweite  nur  unendlich  wenig  von  einer  Kujjel 
mit  dem  Mittel])unkt  B  und  dem  Radius  q  abweichen.  Wir 
wählen  A  zum  Coordinutenaufangspunkt  und  ziehen  die 
negative  A])scissenaxe  gegen  ii  hin.  Die  Länge  A  B  =  y 
soll  sehr  gross  sein  gegenüber  den  beiden  Radien  q  und  (>'. 
Setzen  wir  >vieder: 


292         Sitzung  der  mathrpkys,  Glosse  vom  11,  Jum  1892. 

dem  ersten  Körper  entströmt,  womit  dieser  also  geladen  war, 
bat  nach  dem  Ausströmen  das  Volumen: 


^  =  47r.  CM*dt  =  h^  15) 


0 

k 
da  z —    die   Dichte   des  Aethers   nach   dem  Ausströmen  ist. 
4/r 

(Die  Körper  selbst  können  aus  beliebiger  ponderabler  Masse 

bestehen,   worin   wir   uns  den  Aether  durch   irgend  welche 

Kräfte  (chemische)  beliebig  verdichtet  denken.) 

Die  Masse  des  Aethers,  womit  der  erste  Körper  geladen 

war,  ist  also: 

Dieselbe  Grösse  hat  für  den  zweiten  Körper  den  Wert: 

inC 

Wir  wollen  nun  die  gesammte  Kraft  X  suchen,  welche  auf 

den  ersten  Körper  infolge  des  Aetherdruckes  ausgeübt  wird. 
Derselbe  sendet  beständig  durch  innere  Kräfte  Aether  normal 
zu  seiner  Oberfläche  aus.  Wäre  er  absolut  kugelförmig,  so 
müsste  die  durch  obige  Formeln  angegebene  Aetherbewegung 
ein  wenig  modificiert  werden,  damit  die  Aetherausstrahlung 
überall  normal  zur  Körperoberfläche  geschieht.  Es  verein- 
facht die  Rechnung,  wenn  man  umgekehrt  die  Qestalt  des 
Körpers  so  von  der  Kugelform  abweichen  lässt,  dass  dessen 
Oberfläche  überall  senkrecht  auf  der  durch  die  obigen  Gleich- 
ungen definierten  Aetherströmung  steht;  d.h.  der  Gleichung: 

a         8 

— +  — =  c 
r        s 

genügt,  wobei  c  eine  Constante  ist. 

Seien  x  y  z  die  Coordinaten  eines  Punktes  der  Körper- 
oberfläche und  setzen  wir: 


294  SiUmmg  der  muOk^fkfg.  CUme  «dm  IL  Jmmi  189S. 


X  = 


Skaß      fxijilf;. 


ö  kap     rxr^€ 


Hier  kann  der  Korper  wieder  als  Kngel  betrachtet  und 

f]  =  r  sin  ^ 
gesetzt  werden,  wodurch  man,  da  r  oonstant  ist,  erhält: 

0 

Es  soll  nun  das  Dielectricum  so  schlecht  leiten ,  dass  die 
Ladung  in  T  Tagen  von  1  auf  —  sinkt  (c  =  2,718  ••  •). 
Dann  ist: 

4nC  1  C=—  * 


k  24-6060  Tsec'  10«  Tsec" 

Ferner  soll  jede  der  geladenen  Kugeln  Rem  Radius  haben 

und  zu  Anfang  mit  30000  KVolt  geladen  worden  sein.     Ein 
Volt  ist  in  elektroniHtrnetischem  Maasse  das  Potential : 


10^  l^gr  cui^ 


sec' 


in  elektrostatischem  Maasse : 


Vgr  cm 

Ua  das  I*otential  einer  Kugel  gleich  der  ElektricituUmeuge 
dividiert  durch  den  Kugelradius  ist,  so  ist  die  auf  jeder  der 
Kugeln  vorhandene  Elektricitätsmenge  in  st^itischem  Maasse 
gemessen  : 

_  h)i)  nVifrciu^ 
See 


296         Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  11.  Juni  1892. 

Maxweirs  fraglich  wird.  Wenn  daher  diese  S^ahl  auch 
jedenfalls  an  der  Grenze  des  möglichen  liegt,  so  kann  doch 
meiner  Ansicht  nach  gerade  nicht  behauptet  werden,  daas 
die  vorliegende  mechanische  Analogie  in  quantitativer  Hin- 
sicht heute  auf  einen  völligen  Widerspruch  stosse. 

Behufs  weiterer  Yersinnlichung  unserer  mechanischoi 
Analogie  betrachten  wir  dasselbe  Dielectricum  (Luft)  wie  im 
vorigen.  Es  sollen  jedoch  darinnen  sich  verschiedene  Körper 
befinden,  in  welchen  h  und  0  andere  Werte  haben.  In  der 
Lufl  und  in  aUen  Korpern,  worin  C  klein  von  derselben 
Grössenordnung  ist,  werden  g>,  %,  xp  sehr  lange  endlich  bleiben, 
dagegen  werden,  weil  alles  fast  stationär  wird,  deren  Diffe- 
rentialquotienten nach  der  Zeit,  sowie  jp,  9,  r  und  «i,  t?,  m 
bald  sehr  klein  werden.  Daher  wird  gemäss  der  Gleich- 
ung 12): 

—  dxA dy  A dß 

ein  vollständiges   Differential  äTT,   d.   h.   die  magnetischen 

Kräfte  haben  ein  Potential.     Aus  Gleichung  2)  folgt  femer: 

d  /    dW\   ^    d  /    dW\   ^    d  /    dW\       ^ 

Du  W  und  (.1  überall  stetig  und  die  erstere  Grosse  im  Un- 
endlichen gleich  Null  ist,  so  folgt  hieraus: 

Obige  Gleichung  ist  nämlich  die  Bedingimg  dafür,  dass: 

ein  Minimum  ist,  was  nur  für   W=^0  zutrifft. 

Man  sieht  daher  durch  diese  Darstellung  den  Gruud 
ein,  weshalb  die  Magnetisierung  so  geschieht,  dass  die  mag- 
Tietische  Energie,  d.  h.  die  Summe  der  mit  /u  mulüplicierten 


300         Sütung  der  maih.-phys,  Classe  wm,  11,  Jwn  1892, 

sein,  wobei  l  den  natürlichen  Logarithmns  bezeichnet  Da 
ferner  a,  &,  c  nicht  ins  Unendliche  wachsen  dfirfen,  weil 
dadurch  unendliche  Kräfte  geweckt  würden,  so  mnss  im  Di- 
elektricum  der  t  enthaltende  Teil  von: 

Fdx-^  Gdy  \' Hde 

ein  Yollstandiges  Differential  sein,  woraus  folgt: 


G 


Atxy' 


rj.  Atxe 

ü  =  — 


^^ 


Die  Grösse: 


gy-\'he_ k    /    dQ         dH\ JcAx 

ist  das,   was  man    die  Flächendichte  der  freien  Elektricitat 
auf  der  Oberfläche  des  massiven  Cylinders, 

das,  was  man  deren  Potentiaifunction  nennt. 

Für  elektrostatisches  Maass  ist  im  Standardmedium  jt  =  l. 
Von  R  würde  man  unabhängig,  wenn  zwei  gleichbeschaffene, 
in  entgegengesetzter  Richtung  durchströmte  Cylinder,  für 
deren  Axen  y  =  0,  jg=p  und  jg  =  — p  ist,  vorhanden  wären, 
welche  für  x  =  0  das  elektrostatische  Potential  Null  haben. 
Sind  dann: 

r  =  Vy^  +  {^-pY  und  s  =  Vy'  +  {z  +  py 

die  Entfernungen  eines  Punktes  von  der  ersten  resp.  zweiten 
Axe,  und  ist  der  Radius  q  beider  Cylinder  klein  gegen  p,  so 
ist  im  ersten  Cylinder: 

F='-At'-7t^ACr';     G  =  fl  =  0; 
a  =  0;     b  =  —27r^AC{j2:—p);  c  =  2rtfiACy; 


Boltzmann:   lieber  ein  Medium  etc.  301 

im  zweiten  Cylinder: 

F=  At  +  n^iÄ  Cs';     G  =  //=  0; 
rt  =  0;     h='-27r  ^i  AC(£-{-p);     c=27t  ^iACy 

und  im  umgebenden  Dielektricum : 
f._Atx\fi\ 1\  _  Atx/z,  —  p      g+p\ 


1892.  Matk.-phys.  Cl.  2.  20 


304  Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  11.  Juni  1S92. 

fläche  aufgelöst  wurde.  Um  ganz  einwurfsfreie  Resultate  zu 
erhalteu,  wurden  sehr  Tollkommene,  polirte  Kugeln  aus  ganz 
homogenem  Steinsalz  Ton  Herrn  Steeg  und  Reuter  ange- 
fertigt, und  zwar  solche  von  6.  12  und  18  mm  Durchmesser, 
in  eine  nicht  ganz  gesattigte  Chlomatriumlosung  eingehängt 
und  15  Minuten  darin  gelassen,  während  die  Losung,  nm 
Sattigungsdifferenzen  und  den  Einfluss  der  Diffusion  möglichst 
zu  be!S«eitig^n.  ununterbrc*chen  umgerührt  wurde.  £s  ergaben 
sich  folvrende  Werthe: 


!•»  »•  d«a  Ji,   p  ij^ 


Ar.fMi^^        Kuvi-  Milt*i-     6evici:  k*-  t-    i    -•  nr.*  -      . 

ueWiCxl     iT^wictt     iiewicl:!     _jwiii^w»  c  «»-     , 


^<v-:?         tiJ^^TS         f!K«+S5       l'J.^:e^        0  2^1         29.53         29.44 

:^4:       :.>:5T      liss??        4,s?7      taf-L»4      ^4^21       Si^ 

V   L»f*         v-ÄY  :  ijri'.f'  l«i>4        0Xi43ß        41-32         42.?1 


VXVrr    Äir    T»r:*    *  »Serfiäf i«:  -  Eüät    gelriste    Menge    eic* 
Viv^'r-NT.   /?**?  «.^rTW^-    >:jf-T  n-pr  Kr^TmLiiac  der  Kngel  ist,  <-• 


i'       •  > 


.«.'1 


307 


Sitzung  vom  2.  Juli  1892. 

1.  Herr  G.  v.  Eupffer  macht  MittheiluDgen  aus  einer 
mit  Unterstützung  der  Akademie  ausgeführten  umfassenden 
Untersuchung  ,über  die  Entwicklung  des  Störs*. 

2.  Herr  Ad.  y.  Baeyeb  bespricht  im  Anschluss  an  die 
in  der  Sitzung  vom  11.  Juni  gemachte  Mittbeilung  seine 
weiteren  Versuche  ȟber  die  Synthese  des  Dihydro- 
parazylols'^. 


Deutaehe  dtemüdte  GadhdM^  m  BeHm: 
Bmiobte.  24.  J^hrg.  1891.  Nr.  19,  20.   »>.  Jihtg.  1881  Kr.  I— II.  8*. 

DetitatAe  gt(A>gitehe  Guäitdtaft  in  Settirn 
Zeitwhrift.    Bd.  48.  Heft  3,  4.    Bd.  44.  Heft  1.     1891/BS.    S>. 

,  Xedtänische  ßiulUdmft  m  Beriin: 
TerbnndliiiigeD.    XXII.  Band.    1892.    0>. 

Pftyniaii'jcfte  Oa^Udtaft  üt  Beiiim: 
Die  Pori«cbritte  der  Pbjiik  im  J&hre  1866.    Jmhrg.  41.   Attth.  1—3. 

1891.    8». 
VerhandlungeD.     10.  Jahrg.     1892.    8°. 

Pht/giologinche  Oesellschaß  in  Berlin: 
CentralbUtt  für  Pbjsiolodie  1891.  Bd.  V.  Nr.  18-26.  1892.  Nr.  1-6. 

1891/92.    8". 
Verhandlungen.     1890-1891.    Nr.  17.    8". 

Kgl.  FreuM.  MeUoroloffigchet  Institut  in  Beriin: 
Abbandlnngen.     Bd.  1.  Nr.  4.  5.     1892.    4°. 
Ergebnigae  der  tueteorol.  Beobachtungen  im  Jahre  1691.     1892.    4*. 

JcArbuth  übtT  die  Fortsthritte  der  Mathtmatik  in  Beriin  : 
Jahrbuch.     Bd.  XXI.    Jahrg.  1889,  Heft  1,  2.    1892.    ßfi. 
Natuneissenschaftliehe  Woehensdtrift  in  Berlin: 
WochenBchrift.     1892.    Nr.  2-26.    4«. 

Zeiltchrift  für  Inttrumenlenkunde  in  Beriin: 
Zeitschrift.    XII.  Jahrg.    1893.   Heft  1-6.    gr.  8°. 


312  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Society  of  natural  Sciences  in  Buffalo : 
Bulletin.     Vol.  V.  Nr.  3.     1891.    S^. 

Institut  mitSorologique  de  Boumanie  in  Bukarest: 
Annales.     Tom.  V.  1889.     1892.    49. 

Instituto  y  Ohservatorio  de  marina  de  San  Fernando  in  Cadix: 
Almanaque  ndutico  para  1893.     Madrid  1891.     8^. 

Societi  Linneenne  in  Caen: 

Bulletin.    Vol.  5.  fasc.  3.  4.   1891.     1892.    8^, 

Bulletin  mensuol  de  la  commission  mätdorologique  du  Calvados.   1891 
Juillet— Dec.    8^. 

Meteorological  Departvient  of  the  Government   of  India  in  Calcutia: 

Report  on  the  Administration  in  1889—90.     1891.     Fol. 
Report  on  the  Metcorology  of  India.     XV.  year.     1891.     Fol. 
Monthly  Weather  Review.     May  —  July  1891.    Fol. 
Meteorological  Observations.    Mai  —  July  1891.     Fol. 

Indian  Museum  in  Calcutta: 
W.  L.  Sclater,  List  of  Snukes  in  the  Indian  Museum.     1891.    8^. 

The  Oeologicdl  Survey  of  India  in  Calcutta: 

Records.     Vol.  XXIV.  part  4.  XXV.  part  1.     1891/92,     4». 

Memoire.     Vol.  XXIIl.     1891.     4«. 

Palaeontolo^ia  Indica.     Ser.  XIII.  Vol.  IV.  part  2.     1801.     Fol. 

Vhüosophical  Society  in  Cambridge: 

Proceedings.     Vol.  VII.  part  5.     1892.     S'^. 
Tran^action«.     Vol.  XV.  part  2.     1891.     4». 

Museum  of  comparative  zoölogy  at  Ilarward  College  in  Cambridge^  Ma^*. 

Annual  Report  for  1890—91.     8^. 

Bulletin.     Vol.  XXII.  Nr.  1—4.  XXIII.  Nr.  1,  2.     1891/92.     8^. 

Memoire.     Vol.  XVII.  Nr.  2.     1892.     4». 

Ästronomiccü  Observatory  at  Harward  College  in  Cambridge^  Mass: 

Annais.     Vol.  XXVI.  part  1.     1891.     4». 

W^  annual  Report  for  the  year  cnding  Oetober  31,  1891.     8^ 

Accademia  Gioenia  di  scienze  naiurali  in  Catania: 

Bullettino  mensile.     Faso.  23—25.     1892.     8«. 
Atti.     Serie  IV.     Vol.  3.     1891.     4». 


M«^ic«i:reii.     V.r..  «:x^tH3D«iitfczrf..      Centomirt   df-   ik  fcmii&ciaa 


K    ^irArri^mäiKTk    Jt'mr^vMr  m  Same 

A   .      v.^.i:^iiu«nv    Ju:   "'^ssBcmittZ.'V  TOT  ^iv«&.  ▲!■&.  HL  Ifl 


«c 


.    nLüatuM 


MNe.  Brfl  Cir.  Jdlq^  IUI  1.  fiM/idt  8^. 


JavML    H.  F.  Bd.  4&  HeA  1— IL    IMt    flP. 

5^  ansiml  Report  of  tise  Ai^rieiiltnrml  ExpeiiineBt  Statk».    1891.   8^. 
Balletin   of   tbe    Agricultaral   Experiment  StatiOD.     Vol.  T.    Nr.  21. 
1892.    8®. 

Ztütdkrifl  j^La  Ceümie"*  im  LuK-tm: 
La  Cellnle.     Tom.  VII.  Fase.  2.     1891.     4*». 

J7(fr  Majesiy^s  Gottmment  in  London: 

Report  of  the  scientific  ReaulU  of  the  Vojage  of  H.  M.  S.  Challeager. 
Deep  Sea  Deposits.     1891.    4^. 

Boyal  Institution  of  Great  Britain  in  London: 

Proceedings.  Vol.  XIII.  part  2.     1892.    8^. 
List  of  the  Members  1891.    ^. 

Eoydl  Society  in  Jjondon: 

Proceedings.    Vol.  50.  Nr.  303—306.  Vol  51.  308.  309.     1891/92.    8». 
Catalogne  of  scientific  Paper»  (1874—1883).    Vol.  IX.     1891.     4®. 

Royal  Astronomical  Society  in  London: 
Monthly  Notice«.     Vol.  62.  Nr.  2-7.     1891/92.    8». 


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318  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Sociedad  Mexicana  de  historia  natural  in  Mexk 
La  Naturaleza.    II.  Serie.    Tomo  2.  Nr.  1.     1891.     Fol. 

Deutscher  wissenschaftlicher  Verein  in  Mexico 
MittheiluDgen.    Bd.  I.  Heft  4.     1892.    Fol. 

Minnesota  Äcademy  of  natural  sciences  in  Minna^ 
Bulletin.    Vol.  III.  Nr.  2.     1891.    8^ 

Socieiä  dei  Naturaiisti  in  Modena: 
Atti.     Ser.  III.  Vol.  X.  Fase.  2.     1892.    S«. 

ZoologicaJ  Surcey  of  Canada  in  Montreal: 
Annual  Report.     (New  Series).  Vol.  IV.  1888—89.     1690. 

Sociiti  Imperiale  des  Naturalistes  in  Moskau 
Bulletin.     Ann^e  1891.  Nr.  2-4.  1892.  Nr.  1.    8^. 

Lick  Ohservatory  in  Mount  Hamilton,  Cal.i 

Reports  on  the  Obflervations  of  the  total  eclipse  of  the 
21—22,  1889.     Sacramento  1891.    8^. 

Deutsche  Gesellschaft  für  Anthropologie  in  Berlin  und 
Correspondenzblatt.  1891.  Nr.  10—12.  1892.  Nr.  1-4.     4 

K,  Staatsministerium  des  Innern  in  München 

C.  W.  V.  Gümbel,  geognostische  Beschreibung  der  frilnl 
Kassel  1891.    4». 

K.  Staatsminisierium  des  Innern  für  Kirchen-  und  Sehn 

heiten  in  Alünchen: 

Veröffentlichung  der  K.  Württembergischen  Commission  f 
nationale  Erdmessung.  Heft  111.     1892.     4^. 

Ergebnisse  der  Untersuchung  der  Hochwasserverhältnisse  ii 
Rheingebiet.  Heft  I,  II.     Berlin  1891.     Fol. 

AerztUcher  Verein  in  München: 
Sitzungsberichte.  I.  1891.    1892.    8». 

Äccademia  delle  scienze  fisiche  e  matematiche  in  A' 
Rendiconto.  Ser.ll.  Vol. V.  Fase.  1-12.  Vol.VI.  Fasc.1-5. 

Zoologische  Station  in  Neapel: 
Mittheilungen.  Bd.  X.  Heft  2.     1891.    8». 


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S20  VemkkmiB  dmr  eim§dmufmi€n  ZhmdBmäknfiem, 

Aeadimie  de  müeeine  im  Btm$: 
Balletio.  1892.  Nr.  1—26.    9fi. 

Aeadiwne  des  ^ieneei  im  Fieatie: 
Comptes  lendiu.  Tom.  114.  Nr.  1—25.    1892.    4*. 

ManHeur  eeientifique  im  Pane: 
Moniiear.    Litt.  601-606.    JanTier-Jimi  1892.    4^ 

SoeiHi  de  giograpkie  a  Parie: 

Comptea  rradus.    1891.  Nr.  19.  20.  1892.  Nr.  1—11.    8*. 

BoUetin.  lY.  Sär.  Tom.  XU.  8«  et  4*  trimettro  1891.    1891/92.    8^. 

SocUU  mathfyMHqme  de  Franee  im  Pariei 
Balleiiii.  Tom.  XIX.  Nr.  7.  8.  XX.  Nr.  1.  2.    1891/92.    8^. 

Soeiiti  Moologi^me  de  JVoiice  ti»  Pont: 

Bulletin.  Tom.  XVL  Nr.  9,  10.  XVII.  Nr.  1—6.    1891/^     8P. 
Mämoiret.  Tom.  IV.  parfc.  5.  Tom.  V.  part  1—8.    1891/rä.    8*. 

Zeitschrift  rjßleetrieiem  im  Paris: 
L*£lectricien.  IL  8^.  Tom.  IIL  Nr.  68.  66—78.    1892.    gr.  8P. 

Äcad^mie  ImpiriaJe  des  Sciences  in  St.  Petersburg: 

M^moires.    VII.   Sdrie.    Tom.   XXXVIII.    Nr.    4—8.     Tom.    XXXIX. 

1891.    4®. 
Bulletio.  Nou7.  S^rie.  Tom.  2.  Nr.  3.  4.     1892.    4^. 

Botanischer  Garten  in  St.  Petersburg: 
Acta  horti  Petropolitani.  Tom.  XI.  Fase.  2,     1892.     8^. 

Chemisch.'physikal.  Geselhchaft  an  der  Universität  tm  St,  Petersburg: 
Schumal.  Tom.  XXIII.  Heft  9.  XXIV.  1—4.     1891/92.     8<>. 

Institut  Imperial  de  nUdecine  experimentale  in  St,  Petersburg: 
Archive».  Tom.  I.  Nr.  1,  2.    1892.    4P. 

Physikalisches  Central-Observatorium  in  St.  Peterrimrg: 

Repertorium  für  Meteorologie.  Bd.  XIV.     1891.    4®. 
Annalen.    Jahrg.  1890.  Theil.  II.     1891.     4». 

Sociiti  des  Naturdlistes  in  St.  Petersburg: 
Tnidy.  Vol.  XXI.  Livr.  2.  Vol.  XXII.     1890/91.    8^. 


322  Verzeicimiss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Naturwisse fischaftlidie  Gesellschaft  in  St.  Gallen: 
Bericht  über  die  Thätigkeit  1889/90.     1891.    8^ 

California  Academy  of  Sciences  in  San  Francisco: 
Proceedings.  If.  Series.  Vol.  Ifl,  part  1.     1891.     8«. 

R.  Accademia  dei  Fisiocritici  in  Siena: 
Atti.  Ser.  IV.  Vol.  III.  Fase.  10.  e  ßupplemento.     1891/92.    gr.  8«. 

Nordisches  Museum  in  Stockholm: 

FQhrer  durch  die  Sammlungen  des  nordischen  Museums  in  Stockholm, 

herausg.  von  Arthur  Hazelius.     1888.    8". 
Program  för  en  byggnad  ht  Nordiska  Museet  i  Stockholm.    1883.  8^. 
Förslag  tili  byggnad  för  Nordiska  Museet.     1891.     Fol. 
Le  Musäe  d^^thnographie  Scandinave  k  Stockholm,    notice  historiqn« 

par  J.  H.  Kramer.  2.  t?d.  1879.    8®. 
Samfundet  för  Nordisca  Museets  främjande  1889.  Meddelanden.  1891. 8^- 
Das  Nordische  Museum    in   Stockholm.     Stimmen   aus  der  Fremde* 

1888.     8®. 
Afbildningar  af  förem&l  i  Nordiska  Museet.  SmMand.     1888.    4P, 
Afbildningar  af  föremlll  i  Nordiska  Museet.  Island.     1890.    4*. 
Runa.  Minnesblad  fr&n  Noreiska  Museet.     1888.    Fol. 
Samfundet.    1881—1888.     8^. 
Minnen  fr&n  Nordiska  Museet.  Bd.  II.     s.  a.    4®. 
Gabriel  Djurklou,  Lifvet  i  Västergötland.     1885.     8^. 

Socii'te  des  Sciences  in  Strassburg: 
Bulletin  mensuel.  Tom.  27.  Fase.  1—6.  Janv.—Juin  1892.    8®. 

Australasian  Association  for  ihe  advancement  of  Science  in  Sydney: 
Report.  Vol.  III.  New-Zealand  Meeting  1891.     1892.     8^. 

Department  of  Mtncs  in  Sydney: 

Records   of  the   Geological   Survey   of  New -South -Wales.     Vol.  I. 

part  1-4.     1889—92.     49. 
Memoirs.  Palaeontology.  Nr.  8.     1891.     4®. 

Royal  Society  of  New-South- Wales  in  Sydney: 
Journal  and  Proceedings.  Vol.  XXV.     1891.    8®. 

Observatorio  astronömico  nacional  in  Tacubaya,  Mexico: 
Boletin.  Tom.  I.  Nr.  7-9.     1891/92.    4». 


324  Verzeiehniss  der  eingelaufenen  Drucisckriften. 

K.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Wien: 

Denkschriften.  Mathematisch-natorwissensch.  Klaane.     1891/92.     4^. 
Sitzungsberichte.  Mathematisch-naturwissensch.  Klasse. 
AbtheilunK  I    1891.  Nr.  1—7 
II»     ,       Nr.  1-7 
II*>     ,       Nr.  1—7 
\         III       \      Nr!  1—7.     1891-91.     8°. 

K.  K.  geologische  Reichsanstalt  in  Wien: 

Verhandlungen.  1891.  Nr.  15-18.  1892.  Nr.  1—5.     4». 
Jahrbuch.  Bd.  41.  Heft  2.  3.     1892.    4». 

K.  K.  Oesterreichische  Gradmessungs-Commission  in   Wien: 
Astronomische  Arbeiten.     1891.    4*^. 

K,  K,  Gesellschaft  der  Äerzte  in  Wien: 
Wiener  klinische  Wochenschrift.  1892.  Nr.  1-22.     4^. 

Anthropologische  Gesellschaft  in  Wien: 
Mittheilungen.  Bd.  XXI.  Heft  4-6.  Bd.  XXII.  Heft  1.  2.    1891/92.  4«. 

Geograjihische  Gesellschaft  in  Wien: 
Mittheilungen.    Bd.  XXXIV.     1891.    8**. 

Zoologisch-botanische  Gesellschaft  iti  Wien: 
VerhandluDgen.  41.  Bd.  guartal  3  und  4.     1891.     t*'\ 

A'.  K.  naturhistorisches  Uoftnuscum  in    irt>/j: 
Annalen.  Hd.  VI.  Nr.  3.  4.  VII.  1.  2.     1891/92.     4^. 

Verein  zur   Verbreitung   naturwissenscJiaftticher  Kenntnisse    in  Wttn 
Schriften.  Bd.  31.  1890/91.     1891.     8«. 

Physikalisch-medicinische  Gesellschaft  in    Würzburg: 

Verhandlungen.  X.  F.  Bd.  XXV.  N.  G.  7.  XXVII.  1-3.    1891,92.    S'\ 
Sitzungsberichte.  1891.  Nr.  4-9.  1892.  1—3.     1891/92.     b^. 

Schire iberische  meteorologische  Centruhi)istaU  in  Zürich: 
Annalen.  2G.  Jahrg.     1892.     V\ 

Xatur  forsche  mir  GcseUschaft  in  Zürich: 
Vierteljahrschrift.  Jahrg.  30.  Heft  2-1.     1891.     ^. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  325 

Von  folgenden  Privatpersonen: 

Luden  Anspach  in  Brüssel: 
Le  röle  de  Teau  dans  les  cylindrea  ä  vapeur.    2891.    8^. 

Julius  Bergbohm  in  Wien: 
Neue  Integrationsmethoden.    Stuttgart  1892.    6^. 

0,  Chwolson  in  St.  Peterburg: 
Ueber  den  gegenwärtigen  Zustand  der  Actinometrie.     1892.    4®. 

Darget  in  Pauühac  (Gers): 
Theories  g^omätriques  diverses.    Auch  1892.    4®. 

Karl  Gegenbauer  in  Heidelberg: 
Die  Epiglottis.    Vergleichend-anatomische  Studie.     Leipzig  1892.   4^. 

Friedrich  Goppelsröder  in  Mühlhausen  i.  E.: 
Studien  über  die  Anwendung  der  Elektrolyse.     1891.    Fol. 

Irving  Hole  in  Denver^  Colorado: 
The  present  limitations  of  electric  power  in  Mining.     1892.    8®. 

Josef  Bemh,  Jack  in  Konstanz: 

Botanische  Wanderungen    am  Bodensee   und   im   Hegau.      Freiburg 
1892.    8«. 

Hepaticae  Wallisianae.     1892.    8^. 

Ä.  Kirchhoff  in  Berlin: 

Bericht   der   Central-Commission   für   wissenschaftliche  Landeskunde 
1889-1891.     1891.    8». 

A,  t?.  Kölliker  in  Würzburg: 
Ueber  den  feineren  Bau  des  Bulbus  olfactorius.     1892.    8^. 

A.  Kurz  in  Augsburg: 

Zur  Bildungs-  und  Oymnasialfrage.     1892.     8^. 
Ueber  Luft-Elektrizität.     1892.    8^. 

Ferdinand  v.  Müller  in  Melbourne: 
Iconography  of  Australiansalsolaceousplants.  VIII^  Decade.  1891.  4^. 

G.  Omboni  in  Padua: 
Frutto  tossile  di  pino.     Venezia  1892.     8^. 


326  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

L,Bütimeyer  in  Beisel: 
Die  eocäne  Säugethier-Welt  von  Egerkingen.    Zürich  1891.    A^. 

Paul  Schreiber  in  Chemnitz: 

Untersuchung  über  die  Periodiciiät  des  Niederschlages  im  Königreich 
Sachsen.    (Ausschnitt.)     1891.    4^. 

Adolf  Steinheü  in  München: 
Handbuch  der  angewandten  Optik.  I.  Band.    Leipzig  1891.     8^. 

Budolf  Wolf  in  Zürich: 
Astronomische  Mittheilungen  Nr.  79.     1892.    8®. 


Sitzungsberichte 

der 

königl.  bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 


Mathemathisch-physikalische  Classe. 

Sitzunjjf  vom  5.  November  1892. 

1.  Herr  L.  Boltzmann  überreicht  und  bespricht  eine 
Abhandhing:  ,111.  Theil  der  Studien  über  Gleich- 
gewicht der  lebendigen  Kraft." 

2.  Herr  E.  Lommel  legt  das  von  ihm  herausgegebene 
Werk:  ,G.  L.  Ohm's  gesammelte  Abhandlungen"  der 
Classe  vor. 

3.  Herr  L.  Sohncke  macht  Mittheilungen  über  wissen- 
schaftliche Luftfahrten  des  Münchener  Vereins  für 
Luftschifffahrt.  Im  Anschlüsse  an  diese  Mittheilung  des 
Herrn  Souncke  und  auf  Anregung  desselben  giebt  die  Classe 
folgende  Erklärung  ab: 

„Die  Ausführung  wissenschaftlicher  Luftfahrten,  wie 
sie  vom  Münchener  Verein  für  Luftschiftfahrt  in  grosse- 
rem Maasse  als  bisher  geplant  werden,  ist  von  Wichtigkeit 
für  die  Ergründung  der  physikalischen  Verhältnisse  der 
Atmosphäre.  Besonders  verspricht  die  Wiederholung  sol- 
cher von  München  aus  zu  unternehmenden  Fahrten,  mit 
Rücksicht  auf  die  Nachbarschaft  meteorologischer  Hoch- 
stationen,   eine  wesentliche  Förderung   der  Wissenschaft." 

1^92.  Mntli.-phyn.  Cl.  3.  22 


328      Sitzung  der  matK-phys.  Classe  tom  5.  Noremher  1892. 

4.  Herr  L.  Radlkofer  theilt  Einiges  über  den  Verlauf 
und  die  Ergebnisse  des  im  Herbste  dieses  Jahres  in  Genua 
stattgefundenen  internationalen  botanischen  Con- 
gresses  mit. 

5.  Herr  M.  Y.  Pettenkofer  zeigt  an,  dass  die  Liebig- 
Fleischextract-Compagnie  in  Fray-Bentos  in  den  Pampas 
ausgegrabene  wohlerfaaltene  Knochen  eines  grossen 
diluvialen  Säug ethi eres,  nach  den  Photographien  wahr- 
scheinlich eines  Mastodons,  der  Akademie  zum  Geschenk  ge- 
macht habe. 


329 


in.  Teil  der  Studien  über  Gleichgewicht 
der  lebendigen  Kraft. 

Von  Ludwig  Boltzmann. 

(R'ngihuftH  5,  Novtmbtr.) 

I  think,  tbat  a  problem  of  tueh  primary 
importance  in  molecalar  scienee  oagbt  to  be 
scrutinized  and  examined  on  every  aide,  so 
tbat  as  many  persona  as  possible  may  be  ena- 
bled  to  follow  tbe  demonstration. 

Maxwell,  scient.  pap.  II  pag.  713. 

§  1.  Ueber  die  Variabein,  welche  den  Ausdruck 
für  die  lebendige  Kraft  auf  eine  Summe  von  Qua- 
draten reducieren. 

Maxwell  hat  zuerst^)  die  Formel  für  die  Verteilung 
der  lebendigen  Kraft  unter  einatomigen  Gasmolekülen  auf- 
gestellt, welche  er  als  vollkommen  harte  Kugeln  von  gleicher 
oder  verschiedener  Beschaffenheit  (Masse  und  Radius)  voraus- 
setzte. Er  behandelte  daselbst  auch  den  Fall,  dass  die  Mole- 
küle harte  Körper  mit  drei  verschiedenen  Hauptträgheits- 
momenten sind,  und  fand,  dass  für  ein  solches  Gas  das  Ver- 
hältnis der  spezifischen  Wärmen  Vjz  sein  müsste.  Da  das- 
selbe jedoch  für  die  bekanntesten  einfachen  Gase  den  Wert 
1,4  hat,  so  schloss  er,  dass  in  diesem  Punkte  die  mechanische 
Analogie  mit  der  Erfahrung  im  Widerspruch  steht.*) 

1)  Illustrations  of  the  Dynamical  Tbeory  of  Gases.  Phil.  mag. 
Jan.  and  jane  1860.  scient.  pap.  I  pag.  877. 

2)  Maxwell,  scient.  pap.  pag.  409. 

22* 


332      Sitzung  der  math.-phya.  Classe  vom  5.  November  1692. 

Die  Winkelgeschwindigkeiten  um  die  drei  Hauptträg- 
heitsachsen bei  allseitiger  Drehung  eines  festen  Körpers  sind 
ein  Beispiel  hieför. 

i  f^^i  ^j  ^iU  ich  als  den  auf  das  Momentoid  a.  entfallen- 
den Teil  der  gesamten  lebendigen  Kraft  bezeichnen.  W^en 
0=1  erhalten  wir  zunächst  da.  da^  "da  =  da,  da^^da 

Führen  wir   links   statt  a^ ,    rechts   statt  a^  die  Variable  T 
ein,  so  folgt 

-j-jF  dTda^  da.  - '  da^  =  -j-^  d T  da^  da^  •  •  da 
d  T  X3  *^         d  T  15  M 

da^  dai 

dividieren  wir  durch  dT  weg  und  berücksichtigen,  dass 

dT       ,•      dT 


da^  da^ 

so  folgt 

—  da,  da«  .  .  da    ■=  da^  da^  •  •  da 

Aus  Maxwells  Gleichung  28  (I.  c.  pag.  721)  folgt  für  die 
Anzahl  der  Systeme,  für  welche  die  generalisierten  Coordi- 
naten  zwischen  den  Grenzen  b.  und  6,  +  d6,  •  •  •  6  und 
b^  -\-  db^^^  die  Momentoide  aber  zwischen  den  Grenzen  a, 
und  ttj  4"  da,  •  •  a^  und  a^  -j"  ^"„  liegen,  während  a^  durch 
die  Gleichung  der  lebendigen  Kraft  bestimmt  ist,  der  Wert 

db.  •  •  db    da^  •  •  da 

Führt  man  nun  die  Integrationen  genau  so  aus,  wie  es 
Maxwell  thut,  so  gelangt  man  zu  dessen  Gleichung  45, 
welche  somit  vollständig  richtig  ist. 

Bestimmt  man  die  Wahrscheinlichkeit,  dass  die  aufda.^ 

Momentoid    a^    entfallende    lebendige    Kraft    -  **  *?  zwischen 


334       Sitzuufj  der  math.-jthys.  Classe  vom  5.  November  1892. 

Ueber  die  von  Lord  Kelvin  als  Stichproben  (test-cases) 
vorgeschlagenen  speziellen  Fälle. 

§  2.  Bewegung  eines  materiellen  Punkte:»  in 
einer  Ebene. 

Ich  glaube,  dass  unter  diesen  Modifikationen  der  Beweis 
Maxwells  für  die  im  vorigen  Paragraphen  erwähnten  Lehr- 
sätze ein  befriedigender  ist;  ausserdem  habe  ich  schon  früherM 
einen  auf  ganz  anderer  Basis  beruhenden  Beweis  dieses  Satzes 
geliefert.  Ich  glaube  daher,  dass  seine  Richtigkeit  als  Lehr- 
satz der  analytischen  Mechanik  kaum  angezweifelt  werden 
kann.^)  Da  ich  selbst  nur  mühsam  durch  Betrachtung  vieler 
speziellen  Fälle')  zu  meinem  Satz  gelangte,  so  weiss  ich  det 
Wert  einer  steten  Erläuterung  allgemeiner  Sätze  durch  spe- 
zielle Beispiele  zu  schätzen  und  will  mich  daher  noch  mit 
einigen  der  von  Lord  Kelvin  a.  a.  0.  als  Stichproben  vor- 
geschlagenen speziellen  Beispielen  beschäftigen  und  zwar  zu- 
nächst mit  dem  letzten,  weil  es  das  einfachste?   i.st,   und  weil 

\)  L'j'brr  <las  Wiirnie/^'loichLTOwicht  zwischen  mchratoiiii;,'-.'!!  <i.i>- 
inolckiilt'ii,     1.   Ahs.-hnitt:    Bcwo^run;^'    <1<t  Atoiu».*    in  (.l»»n   Molt'kr.l»:-. 
Sitz.-lJcr.  (\.  WioiKT  Akad.  Hanl  3,    \).  Miirz  1871.    —    Kinij-.-  ü:!-. - 
mein«'  .Siitzc  iib«'r  Wiirnw^^h'ichrri'wicht,  t'hd.   1:5.   April    ls71  ;     in  -Irr 
l«*tzt«*n  Abhandliin':  liiilx'  irh  anch  schon  von  <j:«'ncrali.sifrtt'n   C<.»  »pv 
nal«'n  < J».-braufli  «:«'inacht. 

2)  Kinc  hi»'Von  vülliir  ^'♦•trcnnt»^  Frair«*  ist  die.  ol»  solch*-  ^vst*'i  • 
rinc  •^'rnü^'cnd  •]iir(h;:r<*itrn(.h*  Analo^^i,.  niit  warmen  Körpern  /»•iir-r: 
I)ii*s«'  Frai:<;  soll  hier  nicht  erörtert  wenlcn  ;  ver^^leiche  jedi.M-h  hi«  r- 
üImt  Wicdcinanns  ncihl;ilt<*r  IM.  5  ])a^'.  403.   1S81. 

3)  Stu«li»'n  über  das  (ileicli;,'ewicht  der  lehcndi^^en  Kraft.  Sit:- 
Hcr.  d.  Wien.  Akad.  IM.  r>S,  8.  Oktober  iSiS.  —  Lösunir  t'in.>  ir  - 
chanischen  I'robj.jnc^,  ebd.  17.  l)cz»'inb«'r  18r»S.  —  Kini«;f  allireijr:: 
S;it/e  iibcr  \V;irnicnr],.ichi,'ewicht.  >i'hlnss  d<*s  2.  Absclmitt»*>.  ■!.••.' 
Ilcincrkun^cn  über  eini;^'e  Probleme  der  mechanischen  \V;irnieth»M  r.'-» 
Wien.  Sitz. -Her.  Ild.  75.  11.  .länner  1^77.  Schluss  des  8.  Ab-.hii;:- 
tes  etc. 


33t)      Sitzung  der  math.-phys,  Cltufse  vom  o.  Xortmtfßer  1S92. 

Winkel  ß  bilde  und  in  den  Coordinatenrichtungen  die  Compo- 
nenten  ti,  v  habe.  Der  Zustandspunkt  befindet  sich  also  zur 
Zeit  t  an  der  Stelle  A  des  Raumes,  welche  die  Coordinaten 
x,  y,  6  hat. 

Nach  Verlauf  einer  sehr  kleinen  Zeit  dt  also  zur  Zeit 
t  +  dt  soll  das  Bewegliche  die  Coordinaten  x\  y  haben. 
Seine  Geschwindigkeit  soll  mit  der  positiTen  Abscissenachse 
den  Winkel  ß'  bilden  und  in  den  Coordinatenrichtungen  die 
Componenten  m',  v'  haben. 

Die  Lage  des  Zustandspunkt»  zur  Zeit  t  -{-  dt  soll  mit 
A'  bezeichnet  werden.  A'  soll  der  dem  Punkte  A  entspre- 
chende Punkt  heissen.  Betrachten  wir  dt  als  constant,  so 
wird  jedem  Punkte  innerhalb  des  Zustandscylinders  ein  an- 
derer Punkt  daselbst  entsprechen.  Jedesmal«  wenn  sich  zu 
irgend  einer  Zeit  der  Zustandspunkt  in  irgend  einem  Rauni- 
punkte  befunden  hat,  wird  er  sich  nach  Verlauf  der  Zeit  dt 
in  dem  diesem  Raumpnnkte  entsprechenden  betinden:  und 
umgekehrt  kann  er  niemals  nach  dem  entsprechenden  Punkte 
kommen,  ohne  genau  vor  der  Zeit  dt  in  demjenigen  Katuii- 
punkte  <rewesen  zu  sein,  «lein  der  vorher^enannte  Kuunipunkr 
entspricht. 

Bekanntlich   ist: 

x'  =  X  -7-  7  ^  <»>  ^  •  <i^  y'  ~  //  T  7  >iu  ^  '  dt  \\ 

u'  =  u   r-  ^'dt.  v'  ---  r-^-  1,  -dt 

wobei  f= —    ^     ,   y  = — r-     die  Counxmenten   der  auf  «la- 

dx  dy 

Bewc;/li(liL*  wirkenden   Kraft,  also  Funktionen   von   x  und   7 

>ind.      Kerner  ist 

i' 

wa-  nach  Sul)>titution  der  obigen   Werte  lit*fert 

dt 
ff  =  h  -^  (I  .  c(>>  ff  —  ::  sm  fi)       .  •>, 


Boltzmann:   Ueber  Gleichgewicht  der  lebendigen  Kraft.      337 


Wir  konstruieren  nun  ein  unendlich  kleines,  rechtwink- 
liges Parallelepiped  dxdydO^  dessen  eine  Ecke  im  Punktet 
liegt.  Derjenige  Bruchteil  der  gesammten  Zeit  T,  während 
dessen  der  Zustandspunkt  innerhalb  dieses  Parallelepiped  es  liegt, 
sei  dt.  Es  ist  dies  die  Zeit,  während  welcher  die  3  Varia- 
bein x,  y,  S  zwischen  den  Grenzen  x  und  X'\-  dx^  y  und 
y-\'dy^  B  und  ö -f- rfö  eingeschlossen  sind.  Wir  können 
dann  jedenfalls  setzen  : 


dt  =  f{x,  y,  B)  dxdydß 


3) 


Wir  konstruieren  nun  zu  jedem  Punkte  des  Parallelepipedes 
dxdydO  den  entsprechenden  Punkt,  wodurch  das  Parallel- 
epiped dx'  dy'  dB*  erhalten  werden  soll.  Derjenige  Bruchteil 
der  Zeit  T  nun,  während  dessen  der  Zustandspunkt  innerhalb 
dx'  dy'  dB'  liegt,  ist  nach  Formel  3) 

dV  =f{x\y\B')dx'dy*dB'. 

Da  aber  nach  unserer  Definition  der  Zustandspunkt,  so  oft 
er  in  das  Parallelepiped  dxdydB  eingetreten  ist,  jedesmal 
nach  der  Zeit  dt  in  das  Parallelepiped  dx*  dy*  dB*  eintritt, 
und  auch  die  Zeitdifferenz  zwischen  dem  Austritte  aus  dem 
1.  und  2.  Parallelepipede  wieder  genau  dt  ist,  so  folgt,  dass 
der  Zustandspunkt  in  beide  Parallelepipede  genau  gleich  oft 
eintritt  und  auch  jedesmal  in  beiden  gleich  lang  verweilt, 
dass  also  dt'  =  dt  oder 

f  {x\  y\  B')  dx'  dy'  dB'  =  f  ix,  y,  B)  dx  dy  dB 


ist.     Nun  ist  aber 


dx'  dy'  dB'  = 


^x^dx*_  dx* 
dx,  dy,    dB 

dy*  ay  dj,' 

dx,  dy,     dB 
dB'  dB*    dB* 

dx~  dy^  Tb 


dx  dy  dB, 


340      Sitzung  der  mcUh.'phy^.  Classe  com  5.  Notember  1892, 

fQr  so  leicht,  dass  ich  mich  nicht  damit  aufhalten  will.  Der 
zweite  Beweis  dagegen,  dass  die  durch  obige  Formel  aus- 
gedrückte Verteilung  der  lebendigen  Kraft  die  einzig  mög- 
liche ist,  lässt  sich  nur  indirekt  durch  den  Nachweis  erbringen, 
dass  eine  gewisse  eigentumliche  Funktion  durch  die  Zusam- 
menstösse  nur  vergrössert  werden  kann.  Da  diese  Funktion 
einerseits  mit  der  von  Clausius  als  Entropie  bezeichneten 
Grösse,  anderseits  mit  der  Wahrscheinlichkeit  des  betreflFen- 
den  Zustandes  aufs  innigste  zusammenhängt,  ')  so  erscheint 
dadurch  der  zweite  Hauptsatz  als  ein  reiner  Wahrscheinlich- 
keitssatz. 

Diesen  letzteren  Beweis  für  das  von  Lord  Kelvin  er- 
sonnene,  mit  elastischen  Federn  ausgestattete  Molekül,  welches 
wir  nach  seinem  Vorgange  Düblet  nennen  wollen,  durchzufüh- 
ren,scheint  mir  von  genügendem  Interesse  zu  sein  (siehe  Motto!). 
Unter  einem  Düblet  verstehen  wir  die  Vereinigung  zweier  ma- 
terieller Punkte  mit  den  Massen  m  und  m'',  welche  sich  mit 
einer  ihrer  Entfernung  proportionalen  Kraft  anziehen,  m"  (der 
Kern)  soll  sonst  niemals  von  einer  anderen  Kraft  afficiert  wer- 
den. Die  Ma.ssen  m  (Schalen)  je  zweier  Dublets  5^ollen,  wenn 
sie  bich  bis  zur  Distanz  D"  nähern,  wie  elastische  Kugeln  an 
einander  abprallen.  Ausserdem  sollen  noch  einfache  At<»nie 
njit  den  Massen  m'  vorhanden  sein,  welche  unter  einander 
in  der  Distanz  D\  an  den  Schalen  in  der  Distanz  D  eben^-» 
ahjirallen.  Wir  wollen  immer  kurz  .Schale*  st^tt  Centruni 
der  Schale  und  ,Kern*  statt  Centrum  des  Kerns  sagen.  K- 
seien  X,  ij.  ~  die  Cuordinaten  des  Kerns  eines  DubleU  bezüjir- 
lich  eines  rechtwinkligen  Cuordinatensystems,  «lessen  AnfanLr>- 
j»unkt  im  Mittelpunkt  der  Schale  lie^^t  und  dessen  Axen  tixe 
Hichtungen  hal>en ;  ii'\  r'\  tc"  die  absoluten,  u,  t».  XD  di^ 
( M-schwindi;^keitscompunenten  des  Kernes  relativ  »jeuen  di»- 
Schale,   7,  //.  /;  die  Geschwindif^keitscomponenten  des  Sohwer- 

l)  Wien.  8itz.-Her.  Bd.  76,   1^77,  Hd.  78,  1878. 


342      Sitzung  der  math.-phys,  Glosse  vom  5.  November  1892. 

Ä?  =  il  sin  (a^  4"  ^)i    u  =  ^a  cos  {at  +  B) 
und  zur  Zeit  0 

Xq  =  AsiiiB^     Uo  =  -4  a  cos  B, 

Betrachtet  man  alle  Dublets,  für  welche  A  und  B  zwischen 
gewissen,  unendlich  nahen  Grenzen  eingeschloasen  sind,  so  ist 

dx  du  =  dx^  rfuo  =  Aa  dA  dB  4) 

und  ebenso  für  die  y-  und  a;-Axe 

dy  dö  =  dy^  dü^  ,     de  dxo  =  ds^  dxo^.  5) 

Man  überzeugt  sich  leicht,  dass  die  Gleichung 

dxdyda  rfudö  dxo       dx^  dy^  dz^  du^  do^  dro^ 

auch  gilt,  wenn  Kern  und  Schale  eine  beliebige  andere  Cen- 
tralbewegung  machen.  (Vgl.  meine  schon  citierte  Abhand- 
lung über  das  Wärmegleichgewicht  unter  mehratomigen  Gas- 
molekülen.) Würden  nun  gar  keine  Zusammenstösse  erfolgen, 
so  würden  genau  für  dieselben  Dublets,  für  welche  zur  Zeit 
Null  die  Variabein  zwischen  den  Grenzen  Xq  und  x^  -|-  dx^ 
•  •  •  /c  und  k  '\-  dk  lagen,  dieselben  zur  Zeit  t  zwischen  den 
Grenzen  x  und  x  -{-  dx  ■  -k  und  k  -\-  dk  lie<^en.  Sehreiben 
wir  daher  für  einen  Augenblick  unter  dem  Funetionszeichen 
X  noch  die  V^ariable  t  explicit,  um  den  Fall  einer  Veränder- 
lichkeit von  X  ^^it  der  Zeit  nicht  von  vorne  herein  aus^zu- 
schlies^en,  so  ist  die  Zahl  der  ersten  Dublet< 

X  (-^0  •  •  ^^0  •  il^  ^'^  ^^  ^^^  ^^^o  •  •  ^^/»*      Xo  <^^o  •  ■  ^^^»' 
die  der  letzteren  iil)er 

x{x  "k,t)  dx  '  ■  dk      xdx  "  dk. 

Daher  hat  man 

und   we<^en  4)  und  5j 

Xo       X  1 
daher  mich 

Xo  ^Xo  ^^^0  •  ■  ^^/^"      /Jyjlx"dk. 


^wm 


344     Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5.  November  1892, 

V**  und  v**-\'dv*\  w"  und  w*'-\'du)*\  die  Goordinaten  des  Kerns 
relativ  gegen  die  Schale  zwischen  x  und  x-^-dx^  y  und  y+dy. 
z  und  Z'\-dz^  ferner  die  Geschwindigkeitsconiponenten  des  ge- 
meinsamen Schwerpunktes  der  Schale  und  des  Eina^Iatoms 
zwischen  den  Grenzen  p  und  p  -f-  d'p^  q  und  q  -f-  rfg,  r  und 
r  4~  ^^)  endlich  die  Richtung  der  Centrilinien  der  stossenden 
Atome  im  Momente  des  Stosses  innerhalb  eines  unendlich  schma- 
len Kegels  von  bestimmter  Richtung  im  Räume  und  unendlich 
kleiner  Oeffnung  dX  liegt.  Die  Geschwindigkeitsconiponenten 
des  Einzelatomes  im  Momente  des  Beginnes  des  Stosses  sind 
dann 

m  +  w'  m  m  +  m'  ni 

*  m  m  *  m  m 

m  +  m'  m 

*  m  m 

Für  die  Zahl  der  Zu8ammenst()sse,  welche  in  der  V<>- 
hinieneinheit  während  der  Zeit  dt  in  der  hervor^ehobontn 
Weise  geschehen ,  findet  man  leicht  den   Wert : 

dn      I)'^-  F  (x,  //,  z,  h",  v'\  w'\  u,  t\  w)  f  (?<, ,  i\  ,  w ^  ) 

X  Vtdx  -  •  div"  du  dv  dw  du^  dv^  du\  dk  t)/. 

Hiebei  ist    V  die  relative  (jesch\viii{li<rkeit   beider    Atonio    J!, 
Momente  des  Stosses,  t  der  Cosinus  des  spitzen  Winkels   o.r- 
selben  mit  der  Centrilinie.     Führen    wir   statt  '/,./',,  tr     «i: 
Variabel!!  ]K  q^,  r  mittelst  der  (lleielinngeii   G)   ein,    >•>    tolLTt 

dn     IPFf\  ^'"+/'^'^     Ve  dx  •  •  du"  du  de  dw  dp  du  d r  <//.  /. ' 

wobei  der  uüteü  an^eliiinj^te  Index  1  jedesmal  ausilrCuk'. 
dass  unter  deni  Funktionszeiehen  die  drei  Werto  r>)  /^  s-j.- 
stiti!ien»n  sind. 

Diireli   jeden  der    liervorj^ehobenen  Zusaninieii-^ti^-sv,.   \ er- 
lieft   eine    Schale    die    Geseb\vindi^keit-coinjK>nrnT<»ii    ti^r.v 
durch    alle    dn    Znsaninienstösse    wii*d    also    — 7 /*'  u!ii    dn'l 
vermindert. 


346       Sitzung  der  mathrphys.  Glosse  vom  5.  November  1892. 

Diese  Integration  soll  nun  durch  einen  eigentQmlichen 
Kunstgriff  bewerkstelligt  werden.  Mit  dem  obigen  Gliede, 
welches  die  ^ hervorgehobenen **  Zusammenstösse  in  das  In- 
tegrale liefern ,  vereinigen  wir  das  Glied,  welches  die  »ent- 
gegengesetzten **  Zusammenstösse  liefern,  und  ebenso  mit  jedem 
andern  Gliede  des  Integrales  das  durch  die  » entgegengesetzten' 
Zusammenstösse  gelieferte  Glied. 

Wir  sagen  ein  Zusammenstoss  ist  einem  anderen  ent- 
gegengesetzt, wenn  beim  ersteren  jedes  der  stossenden  Atome 
im  Momente  des  Beginnes  genau  denselben  Zustand  hat,  wie 
beim  letzteren  im  Momente  des  Endes  und  umgekehrt; 
ausserdem  müssen  natürlich  die  Mittelpunkte  der  beiden 
Atome  vertauscht  sein,  damit  vor  dem  Stosse  Annäherung 
stattfindet.  Die  übrigen  Variabein  x-"W'*  sollen  für  beider- 
lei Zusammenstösse  genau  zwischen  denselben  Grenzen  ein- 
geschlossen sein.  In  der  nebenstehenden  Zeichnung  soll  der 
grösste  Kreis  eine  Schale,  der  kleinste  einen  Kern,  der  mitt^ 
lere  ein  Einzelatom  darstellen ;  die  vom  Centrum  aus  gezoge- 

Dabei  ist 

F^  =  F{.ri,yi,  Tj.  u^'\  r"„  w'\,  u^,  i'i,  ?r,) 

Fl'  ^^  F{.(i,!fi,  r„  ?/i",  ri",  u'i",  //j',  r,',  /r,'). 

^'i.  *'i»  "'i  und  «i',  i\\  n\\  die  Geschwindi^'keitscompon»*nton  di- 
zweiten  Schale  vor  und  nach  dem  Stosse  muss  man  sich  wifii-- 
durch  Gk'ichungen  aus^^'t'drückt  denken,  die  den  Gleichun^'t*ii  r»  im-i 
7  analo«,'  sind.  .i\  ,  »/, ,  z^,  ///',  }\'\  /r/'  sind  die  iibrij^^«n.  dm  /.•> 
stand  des  zweiten  Dublets  im  Momente  des  Stosses  bestinHiiendt.H 
Grössen.     Endlich  ist 

(/„  =  y>"2  FFi  Vt  (/./■  •  •  dir"  du  de  dir  di\  . .  diri"  dp  dq  dr  dk  A/. 

Kbenso  würde  sich  erii^eben 

woljci 

d  n  -^  7>'2  /•/•    IV  ,/ 1,  tJ  r  d  ir  dp  d'i  d  rdl^t. 

l)ie  angewandten  Zeichen    dürften    hier   ohne  weitors  verständ- 
lich sein. 


348      Sitzung  der  matK-phys.  Glosse  vom  5.  November  1892. 

Schale  die  Componenten  u,  t;,  t(;,  ein  Einzelatom  die  Com- 
ponenten  ti, ,  v^,  w^.  Ist  daher  dn*  während  der  Zeit  dt 
in  der  Volumeneinheit  die  Zahl  der  den  ursprünglich  hervor- 
gehobenen entgegengesetzten  Zusammenstösse,  so  wächst  durch 
diese  letzteren  ^IF-^-^lf  um 

dn'ilF+lf.—lF  —  lf,'). 

Daher  wächst  es  durch  die  ursprünglich  hervorgehobenen  und 
die  ihnen  entgegengesetzten  Stösse  zusammen  um 

{ir^lf^'-lF—lf^)    (dn  —  dfi'). 

Integriert  man  diesen  Ausdruck  über  alle  Werte  der  Varia- 
bein, deren  DiflFerenziale  in  dn  und  dn'  enthalten  sind,  so 
erhält  man  2  d^^  (^IF  -{-  ^tf)^  da  man  dann  jeden  Zusam- 
menstoss  doppelt  zählt;  einmal  als  ursprünglich  hervorgeho- 
benen, dann  als  entgegengesetzten.  Da  F,  e  und  dX  durch 
den  Stoss  nicht  geändert  werden,  so  ist 

dn'  =  D^F'  /•/  ^—'^-^^r€dX''dw''du'dv'dw'dpdgdrdldt. 

Man    findet    zudem    leicht  (am  leichtesten  auf  geometrischem 

Wege)  du'  dr'  dw'  =  du  dv  dw  und  erhält  daher 

(i-y. -F'{\')  —^3   -  VeD' du  (Iv  thv  dp  dq  dr  dx  ■  ■  du-- «//.. 

Man  sieht  sofort,  diiss  sich  in  derselben   Weise  ergibt : 

(),  IIF=  2  dfjilF-  +  IF,'—  1F  —  IF, )  {FF,  -  F'  //i  • 

•  Vs  7)"»  dx  ■  •  dtv-  dx,  ■  •  dtc,"  du  dv  dtc  dp  dq  drd). 

d,  ^11=  2  dt  (■  (//••  +  //,'  -  //•-  if\)  (/■/•.  -  /••/•/)  • 

•  Ve  D''^  du  dr  dw  dp  dq  dr  dl ,  I* : 

w()l)ei  dit'  Re/Miclin linken  dieselben  sind,  wie  in  der  Anmer- 
kung uut"  Suite  IJ4(). 


350      Sitzung  der  mathrphys.  Classe  vom  5.  November  1892, 

Wir  fassen  nun  einen  Siioss  ins  Äuge  und  bezeichnen  die 
Werte  dieser  Variabein  im  Momente  des  Stosses,  jedoch  noch 
vor  demselben,  ohne  obern  Index,  die  unmittelbar  nach  dem 
Stosse  dagegen  oben  mit  einem  Striche;  wir  können  offenbar 
die  Lage  der  Centrilinie  im  Momente  des  Stosses  und  die 
Richtung  von  Cj  so  wählen,  dass  c,  a  und  ß  nach  dem  Stosse 
ganz  beliebige  Werte  c\  a\  ß'  annehmen,  welche  für  den 
Wert  Cj'  der  Variabein  c,  nach  dem  Stosse  reelle  Werte 
liefern;  dieser  letztere  ist  durch  die  Gleichung  der  leben- 
digen Kraft  m'  c'J  +  w*^'*      m'  c^-]-mc^  bestimmt.  Die  Werte 

der  Variabein  c",  o  und  a"  dagegen  werden  durch  den  Stoss 
nicht  verändert.  Die  erste  der  Gleichungen  10)  kann  daher 
so  geschrieben  werden : 

F  {c'\  a'\  Q,  c, «,  ß)  .  /;  (c,)      F {&\  a'\  q,  c\  a\  ß')  - 


f^  iV''  +  n^'  ^''-''^) 


Diese  (ileiclnmg  muss  für  alle  möglichen  Werte  der  Varia- 
])(»lii  c'\  «",  (>,  (\  a,  /l  ('.  (t\  ß'  und  c^  erfüllt  sein,  woruii- 
man  mit  LiMclitigkeit  Hiidet: 

Hiebci  sind  A^  und  h  reine  Constanten  ;  A  dagegen  kam: 
noch   die  Varialndn  r'\  q  und  a"  enthalten. 

Man  sifdit  sofort,  dass  hieraus  die  Gleichheit  der  mitt- 
leren lei)endi^»Mi  Kraft  einer  Schale  und  eines  Einzelatoni- 
folgt,  und  da'^s  die  M  ax  wellMlKnieschwindigkeitsverteihinir 
unter  den  Schalen  und  Einzelatomen  erwiesen  ist,  cdine  da>- 
man  Zusamnienstö^se  der  Schalen  untereinander  und  der  Kir.- 
zelatonie  untereinander  anzniudimen  braucht.  Die  Annahme, 
da>^  auch  solche  Zn>annnenst()sse  vorkommen,  ändert  an  der 
Verteihmir  der  lehendij^en  Kraft  ijar  nichts,  da  «lurrh  di»- 
L^efundenen  Wrrtc  von  /,  un<l  /'  die  beiden  anderti'n  der 
(ilrichnngen     lOj    identisch    erfüllt    werden.      I)ag«»g»*n     wird 


352      Sitzung  der  math.-phf/s.  Classe  vom  5.  November  1893. 

K     qY c^ ii\v} a -\-  c"*sin*a"  —  2cr"sina8in  a'* cosßy 

die  mit  m  +  tn"  multiplicierte  Geschwindigkeit  des  Schwer- 
punkts des  Dublets  ist 


G    -  l/w*c«+w"»c"»+2ww'Vc"(cosacosa"+sinasina"co5i?) 
und  sie  hat  senkrecht  zur  Bahnebene  die  Gomponente 

cc^sinasin  a"sin  ß 


H 


yc*sin*a4"  c"*sin*a"  —  2cc"sina.sina"cos/J. 


Die  Zahl    der  Dublets   in    der  Volumeneinheit,    für    welche 
JT,  L,  (t,  H  zwischen  den  Grenzen 

JSCund  K-YdK,  LundL  +  dL,  G  undG+dG,  HuudH+dH 

liegen,  soll 

(D{K,L,G,H)dKdLdGdH 

heissen.    Die  Zahl  derjenigen  unter  allen  diesen  Dublets,  für 
welche  noch  q  zwischen  q  und  q  -\'  dq  liegt,  ist 

0'dKdLdGdH'^-^:    r'^^-   WdKdLdG'dH^^. 

o      ,^  ^    a  a 


Qi 


dp     r~^  do 
Hiebei  ist  cj  =   -    ,   I      —    ist  die  Zeit,    welche   von    einem 

Peri-  bis  zu  einem  Apocentrum  vergeht,  also  eine  gegebene 
Funktion  von  K,L,G,H;   'P=0:  J^'  -  -  ist  ebenfalls  eine 

Qo 
Funktion  dieser  4  Grössen.  Beschränken  wir  uns  auf  jene 
Dublets,  für  welche  1.  noch  die  letzte  Apsidenlinie  der  Bahn 
mit  einer  in  der  Bahnebene  einer  fixen  Ebene  parallel  gezoge- 
nen Geraden  einen  Winkel  bildet,  der  zwischen  e  und  e  -{-  dt 
liegt,  2.  die  beiden  durch  die  Geschwindigkeit  des  Schwer- 
punkts normal  zur  Bahnebene  und  parallel  einer  fixen  Ge- 
raden r  gelegten  Ebenen  einen  Winkel  bilden,  der  zwischen 


Boltzmann:  Ueher  Gleichgewicht  der  lebendigen  Kraft,      353 

10  und  iü'\-dio  liegt,  und  endlich  3.  noch  die  Geschwindigkeits- 
richtung des  Schwerpunkts  innerhalb  eines  Kegels  von  ge- 
gebener Richtung  und  unendlich  kleiner  Oef&ung  dX  fällt, 
so  haben  wir  noch  mit  de  dw  dX  :  Ißrc^  zu  multiplicieren. 
Die  Zahl  der  Dublets  in  der  Volum eneinheit,  welche  alle 
diese  Bedingungen  erfüllen,  ist  daher 

"^  •  T>--T-  dKdL  dGdHdQ  de  dio  dX,  11) 

Bezeichnen  wir  mit  g  und  g  +  dg^  h  und  h  -|-  dA,  k  und  k  -f  dk 
die  Grenzen,  zwischen  denen  für  die  Dublets  die  Geschwin- 
digkeitsconiponenten  des  Schwerpunktes  bezüglich  der  fixen 
rechtwinkligen  Coordinatenaxen  liegen,  so  ist 

G^dGdX  =  dgdhdk. 

Nun  lassen  wir  g,  h  und  k  constant,  legen  durch  die  Schale 
(deren  Centrum)  ein  rechtwinkliges  Coordinatensyst^m,  dessen 
i?-Axe  die  Richtung  von  G  hat,  bezeichnen  Coordinaten  und 
Geschwindigkeitscoraponenten  des  Kerns  bezüglich  dieses  Sy- 
stems mita:^,  y,»  -8^1,  tij,  Vp  M?,  und  transformieren  diese  6  Va- 
riabein in  JST,  i,  jff,  Q,  c,  CO.  Wir  führen  da  ein  zweites  Co- 
ordinatensystem  ein,  bezüglich  dessen  Coordinaten  und  Ge- 
schwindigkeitscomponenten  der  Schale  mit  oo^^y^.jgf^iU^.v^tW^ 
bezeichnet  werden  sollen.  Die  js-Axe  des  2.  Systems  soll 
senkrecht  zur  Bahnebene,  die  a;-Axe  in  deren  Durchschnitt- 
linie mit  der  alten  a;// -Ebene  liegen.     Es  ist  dann 

H=  Gsin  ^, 

wenn  90  —  ä-  der  Winkel  beider  ^-Axen  ist;  daher,  weil 
G  constant  ist, 

dH=  Gcos&d^. 

Endlich  bezeichnen  wir  den  Winkel  der  beiden  a;-Axen  mit 
fc>,  da  er  sich  von  dem  früher  so  bezeichneten  Winkel  jeden- 
falls nur  um  einen  Betrag  unterscheidet,  den  wir  jetzt  als 
constant  zu  betrachten  haben.     Wir  finden: 


354      Sitzung  der  math.'phys.  Glosse  vom  5.  November  1892, 

jßTj  =  a:,  cos  ^  sin  CO  -|-  y^  cos  d-  cos  to  -j-  -e^i  sin  d^ 
w^  =  ti^  cos  ^sin  w  -j"  ^i  cos  ^  cos  (o  -^  to^  sin  ^, 

welche  beide  Ausdrücke  verschwinden  müssen,  da  die  x,  y,- 
Ebene  Bahnebene  ist.  Mittelst  dieser  beiden  Gleichungen 
kann  man  bei  constantem  i«?,,  y^,  Wj,  v^  zunächst  ^,  fsi  statt 
*8^j,  w^   einführen  und  findet 

Nun  ist  weiter 

;Fg  =  x^  cos  w  —  yj  sin  w 
yg  sin  ^=  x^  sin  tt>  +  yj  co^  ^ 
und  analoge  Gleichungen  folgen  für  Wg,  v,,  ?/,  f.  Daraus  folgt 

yjWj  — Xj  Vj  —sin  ^  (y,  Wg  — x^  t;,)      jBTsin  ^ 
und  bei  constantem  ^  und  Cfi 

(Ix^  dy^  sin  ^  ^  dx^  dy^ ;      rfw,  rfr,  sin  ^       rfw^  </r, , 
daher 
dx^  dy^  dz^  du^  dv^  d  f(\       Ä'cos  x>  rfjr^  d y^  du^  dv^  d  if^  dvK 

Nun  bezeichnen  wir,  wie  früher,  mit  a  und  i  die  Gesclnviii- 
digkeitsconiponenten  der  lielativbewe<(ung  von  Schule  und 
Kern  in  der  l^ichtung  von  q  und  senkrecht  darauf;  dann  ist 
bei  constanteni  x^   uinl  y^ 

da  dl       du^  d r^ 

dKdIj  00  da  dl, 

wobei  //<7  (li<»  j<»tzt  constaiit  Ix'trachtete  Energie  d«^r  Schwer- 
punktsbeweguiig  ist.  Ist  endlich  »/'  der  Winkel  zwi.schen  o 
und  der  letzten   Apsidenlinie,  so  folgt 


BcHtzmann :  lieber  Gleichgewicht  der  lebendigen  Kraft,     355 

x^     ^cos(€+^/'),     yj  ~^ sin  («+!//), 

wobei  xp  Funktion  von  ^,  K  und  L  ist;  letztere  beide  sind 
jetzt  constant,  daraus  folgt 

qdqde^  dx^  dy^, 

Fasst  man  alles  zusammen,  so  ist: 

dx.  dy.  de.  du.  dv,  dw.    ^ :—       dK  dL  dH  dg  dio  de 

und  man  sieht  sofort,  dass,  wenn  sieh  Coordinaten  und  Ge- 
schwindigkeitseomponenten  ohne  Index  auf  ein  beliebig  ge- 
legenes fixes  Coordinatensystem  beziehen,  ebenfalls 

dxdy  df  dudv  dw dKdL  dHdg  dio  de 

mm       o 

sein  muss.  Föhren  wir  diess  in  den  Ausdruck  11)  ein  und 
bedenken  noch,  dass  bei  constantem  m,  v,  w 

1/3 


dg  dh  dk  =  tz:^-.-;^  ^m"  dv''  dw'\ 


m 

(m  +  w") 

so  findet  man 


1  mm"^       ^ 

Tn — \  1 — r    i..ä.  TT  r^    ^^  ^y  ^^  ^^  ^^  <^^  ^^w"  dv"  dw" 

als  die  Zahl  der  Dublets  in  der  Volumeneinheit,  für  welche 
die  Variabein  x-  -  w**  zwischen  x  und  x-\-  dx  -  -  w**  und 
to"-\'dw*'  liegen.  Da  wir  für  diese  Zahl  früher  den  Aus- 
druck 

F  '  dxdy  dz  d u  dv  dtc  du**  dv"  dw" 

fanden  und  sahen,  dass  jP  die  Form  haben  muss  Äe  » 
wobei  A  nur  Funktion  von  c",  Q  und  a"  sein  kann,  so 
folgt,  wenn  wir  jetzt  setzen 

dass  jB  einerseits  nur  Funktion  von  c'\  Q  und  a",  an- 
derseits  nur   Funktion    von    K^  L^    G  und   H  sein    kann. 


356      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  5.  November  1893, 

Es  muss  B  also  eine  solche  Funktion  dieser  letzteren  Varia- 
bein sein,  welche  von  den  Werten  von  c,  a  und  ß  ganz  un- 
abhängig und  bloss  Funktion  von  c*\  q  und  a"  ist.  Setzen 
wir  ß       0,  so  wird 

K-Q (c"  sin  a"  —  c sin  a) 
G*      fri^c^  +  m"^c"^  +  2  mm" cc"  cos  (a"—a) 
H-0, 
während 

ist.  Die  Elimination  von  c  und  a  aus  diesen  Gleichungen 
liefert : 

c"»sin»  a''  [(fn+  w")  (2  i  -  y)  —  G*]  — 
— Zsin  a"  [tw  (2  L  —  y)  +  m"  (m-f-m'^c"*  -  C?»]  +  nim'*E?-t 

^»jm''V'»-.m''(2L-y)+^-^^^^ 

=  0. 

Denken  wir  uns  aus  dieser  Gleichung  etwa  c"  bestimmt,  s<« 
sollen  wir  erhalten  c"  xi^'^Q^  L,  G,  K),  Wir  wissen  nun, 
driss  B  sich  sowohl  als  Funktion  von  c*\  a'\  q,  als  aucli  von 
//,   (r,   K    muss    ausdrücken  lassen,  also 

Diese  Gleichung  muss  auch  für  a"  0  gelten;  es  nuis<  al>u 
I'i'/^^^Q)  hloss  Funktion  von  L,  G,  Absein,  welche  wegen  der 
Willkürlichkeit  von  c  und  a  auch  für  a"  0  noch  indejvn- 
dent  sind.      Für  a       0  wird : 

4-  [J}  +  m(<f—2L)y       0. 


BdlUmann :  Ueher  Gleichgetcicht  der  lebendigen  Kraft.      357 
Setzen  wir 

{m-m")D-2m(m  +  m")L      |,  D  —  2tnL      »;, 

2tn*m"K*  C, 
SO  müsste  sich  F(&',  q)  auf  eine  Funktion  von  ?,  rj,  ^  redu- 
eieren,  wenn  darin  c"  durch  Gleichung  12)  als  Funktion  von 
Q,  L,  D,  K  ausgedrückt  wird.  Da  durch  Veränderung  von 
c  und  a  bewirkt  werden  kann,  dass  sich  f  und  rj  unabhängig 
von  r",  a"  und  q  verändern,  so  muss  auch 

dF   de"      ,  dF    de*' 

—  und 


de"     a$  de"'    dt] 

von  Q  unabhängig  sein.     Diess  kann  aber  wegen 

dc;^         ^  de" 

dC      ^    a|- 

de"  dF 

nur  stattlinden,  wenn  entweder      -^  oder  ^  ,;    verschwindet. 

d§  de" 

Erstere  Grösse  hat  den  Wert 

c;^ 

2 m"  (m  +  m")^  c"^  +2S-\-  '^^  +  2m  (m+m") (f 

kann  also  nicht  allgemein  verschwinden,  da  c",  ^,  $  und  ^ 
auch  für  a"  ß  i)  noch  unabhängig  von  einander  geändert 
werden  können.  Es  muss  also  F  von  e"  und  daher  auch 
von  Q  unabhängig  sein;  daraus  folgt  sofort,  dass  es  auch 
von  a"  unabhängig  ist,  da  ja  a"  nicht  als  Funktion  von 
L,  G  und  K  allein  ausdrück  bar  ist.  Es  muss  also  F  oder  B 
eine  Constante  sein,  womit  die  Verteilung  der  lebendigen 
Kraft  endlich  eindeutig  bestimmt  ist.  Vorausgesetzt  ist  dabei 
noch,  dass  y  so  beschaffen  ist,  dass  Kern  und  Schale  über- 
haupt beisammen  bleiben,  und  auch  nicht  in  einen  Punkt 
zusattimenschrumpfen,  da  sonst  die  obigen  Wahrscheinlich- 
keitsbetrachtungen unzulässig  werden. 


->i*T      >c7iM#r  iHT  9»azt.-jM.in:        «<«   ^tm  ;■.  3n»»f«#i»B^  J?fKi. 


360     Sitzung  der  mathrphys,  Glosse  vom  5,  November  1692. 

Obgleich  die  bisherigen  wissenschaftlichen  Arbeiten  des 
Vereins  naturgemäss  mehr  den  Charakter  von  Vorstadien 
auf  diesem  schwierigen  Gebiet  tragen,  so  enthalten  die  beiden 
Jahresberichte  des  Vereins  doch  schon  einige  Abhandlungen 
mit  nicht  unwichtigen  Ergebnissen,  von  denen  hier  einige 
angeführt  seien. 

Herr  Professor  Finster  walder  hat  ermittelt,  dass  bei 
der  wissenschaftlichen  Fahrt  am  Mittag  des  25.  Juni  1890 
in  den  verschiedenen  Höhen  mit  grosser  Annäherung  solche 
Temperaturen  beobachtet  wurden,  wie  sie  im  au&teigenden 
Luftstrom  bei  Condensation  theoretisch  gefordert  werden. 
Theoretiscli  sollte  unter  den  damaligen  Verhältnissen  die 
Condensation  etwas  oberhalb  1500  m  Meereshohe  beginnen. 
Und  thatsächlich  drang  der  Ballon  bei  circa  1400  m  Meeres- 
höhe in  Wolken  ein ,  deren  obere  Grenze  erst  nach  einer 
weiteren  Steigung  von  1000  m  überschritten  wurde. 

Herr  Dr.  Erk  hat  eine  Vereinsfahrt  bearbeitet,  die 
zwar  nicht  eine  eigentlich  wissenschaftliche  war,  bei  der  aber 
doch  sorgfaltige  Temperaturbeobachtungen  angestellt  wurden. 
Sie  wurde  in  der  Mittagszeit  des  11.  Dezember  1890  ausge- 
fülirt.  In  Gi)0  111  über  dem  Boden  drang  der  Baiion  in  eine 
sehr  weit  iius^edehiite ,  aber  nur  100  m  mächtige  Wolken- 
schiebt  ein,  die  er  wälirend  der  ganzen  weiteren  Fahrt  unter 
.sich  liess.  Während  unter  und  in  der  Wolkenschicht  Tempe- 
nituren  unterliail)  des  Eisj)unkts  beobachtet  wurden,  herrschte 
oben  viel  höhere  Temperatur,  und  zwar  über  0^.  Die  Wolken- 
bank ])ildete  die  Grenze  eines  unteren  kalten  0:stwinde^,  der 
eine  schwach  aufsteigende  Tendenz  hatte,  und  eines  oberen 
warmen  Nordostwindes,  dessen  Erwärmung  durch  sein  Herab- 
sinken, also  dynamisch,  bedin<^t  war. 

Herr  Dr.  Erk  und  Herr  Professor  Finsterwaldt»r 
haben  gemeinsam  diejenigen  Beobachtungen  bearbeitet. 
welche  Herr  Professor  P.  Vogel  in  dem  v.  Sigsfeldschen 
Ballon    am    lU.    .luli    1S89    Vormittags  angestellt  hat.     Die 


or.o 


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Eine  t»e5^>iJa*T?  wkLiiz*  A'^fgibie  i«   i^ris^    oi*   B^n* 
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364      Sitzung  der  math.-phys.  Glosse  vom  5.  November  1892. 

Verein  3000  Mark  zur  Beschaffung  wissenschaftlicher  Instru- 
mente und  stellte  dem  Verein  überdies  seinen  Privatballon 
M.  W.  zur  Verfügung  (ähnlich  wie  unser  Verein  den  Privat- 
ballon des  Herrn  v.  Sigsfeld  dauernd  benutzen  durfte,  so 
lange  er  noch  brauchbar  war).  Bekanntlich  hat  nun  Tor 
kurzem  S.  Majestät  der  Kaiser  Wilhelm  ein  von  mehreren 
Gelehrten,  namentlich  auch  von  v.  Helmholtz  unterzeich- 
netes Immediatgesuch  damit  beantwortet,  dass  er  für  die 
Zwecke  des  Berliner  Vereins  50000  Mark  anwies. 

Angesichts  aller  vorstehenden  Erwägungen  und  that- 
säehlichen  Mitteilungen  ist  die  hohe  Klasse  vielleicht  geneigt, 
meiner  Bitte  zu  willfahren  und  zu  Gunsten  des  Münchener 
Vereins  für  Luftschiffahrt  eine  Erklärung  abzugeben,  durch 
welche  die  wissenschaftlichen  Bestrebungen  des  Vereins  als 
für  die  Wissenschaft  forderlich  anerkannt  werden. 


365 


Oeflfentliche  Sitzung 

zu  Ehren   Seiner  Majestät   des   Königs   und  Seiner 
Königlichen  Hoheit  des  Prinz-Regenten 

am  16.  November  1892. 


Die  Festsitzung  wurde  mit  folgenden  Worten  des  Prä- 
sidenten der  Akademie,  Öeh.-Raths  Dr.  von  Pettenkofer, 
eröffnet : 

»Die  heutige  Festsitzung  der  k.  Akademie  der  Wissen- 
schaften findet  statt  zu  Ehren  ihres  Protectors,  Sr.  K.  Hoheit 
des  Prinz-Regenten  Luitpold  von  Bayern,  dessen  Namensfest 
hiemit  gefeiert  wird.  Die  Akademie  blickt  jedes  Jahr  an 
diesem  Tage  dankbar  auf  zu  ihrem  Protector,  dabei  ihrer 
Stiftung  und  Entwicklung  durch  allerhöchst  dessen  Vorfahren 
aus  dem  Hause  Witteisbach  gedenkend,  welche  gleich  unserm 
Protector  nicht  nur  Herren,  sondern  auch  Freunde  und  För- 
derer ihres  Landes  waren. 

Dieser  Tag  ist  jährlich  auch  dazu  bestimmt,  die  Wahlen 
neuer  Mitglieder  zu  verkünden,  nachdem  die  allerhöchste 
Bestätigung  derselben  erfolgt  ist. 

Die  Mitglieder  der  Akademie  theilen  sich  in  ordentliche 
und  ausserordentliche ,  am  Sitze  der  Akademie  wohnende, 
und  in  auswärtige  und  correspondirende.  Sie  gehören  der 
philosophisch-philologischen,  der  mathematisch-physikalischen 
und  der  historischen  Classe  an.  Neben  diesen  drei  Fach- 
classen  hat  die  Akademie  auch  Ehrenmitglieder,   als  welche 


366  Oe ff  entliehe  Sitzung  tom  15.  Katemher  1892. 

Perfronen  gewählt  werden ,  welche  nicht  Faehleate  zu  sein 
brauchen,  aber  sich  durch  Liebe  zu  den  Wissenschaften  and 
durch  Unterstützung  derselben  verdient  gemacht  haben. 

Ich  habe  heute  zunächst  als  Präsident  die  Wahl  eines 
Ehrenmitgliedes  zu  verkQnden,  und  zwar  —  was  bisher  noch 
nicht  dagewesen  ist  —  eines  weiblichen. 

Nach  den  zur  Zeit  gfiltigen  Gesetzen  können  Frauen 
nicht  Mitglieder  einer  der  drei  Classen  der  Akademie  werden, 
auch  nicht,  wenn  sie  sich  in  einer  Fachwissen^^chaft  vor 
Männern  hervorgethan  haben.  Anders  liegt  es  bei  den  Ehren- 
mitgliedern. Die  Constitutionsurkunde  der  k.  Akademie  der 
Wissenschaften  vom  1.  Mai  1807  bestimmt,  dass  zu  Ehren- 
mitgliedern Persönlichkeiten  gewählt  werden  können,  «welche  * 
nach  ihren  Verhältnissen  die  Bedingungen  zu  ordentlichen 
Mitgliedern  nicht  erfüllen,  aber  sonst  durch  Rang  oder  andere 
äussere  Verhältnisse,  verbunden  mit  wissenschaftlichen  Kennt- 
nissen und  Liebe  zu  den  Wissenschaften ,  zur  Beförderung 
der  Zwecke  der  Akademie  beitragen  können.* 

Es  konnte  uns  nur  erfreulich  sein,  eine  Dame  von  hohem 
Kange ,  au>  d(Mii  llau>e  Wittel>bach  zu  wissen,  welche  alle 
diese  V(jri>eflin^un<r<^n  in  reichem  Maasse  erfüllt  hat.  Sir 
hat  durch  ans;^fcbreitete  gründliclie  Sprachstudien,  durch  An- 
lage werthvoller  naturwissenschaftlicher  Sainmlungen,  \\ovo:: 
sie  intert  s-;aiite  ^Stücke  auch  den  wissenschaftlichen  Samm- 
lungen des  Staates  einverleibte,  nicht  nur  gr<).s>e  Liebe  r: 
den  ^V'iss('n^chaften  mIior  gezeigt,  sondern  i>t  auch  literarinii 
unter  dem  Pseudonym  Tli.  von  Haver  durch  Beschreihunj 
ihrer  Keisen  nach  Norwegen,  in  den  Polarkreis  und  nach 
Ilus-land  hervorgetreten.  Gegenwärtig  arl)eitet  die  höh*.' 
Dame  wieder  an  einem  grossen   Keisewerk  über  Brasilien. 

Die  Gesaninit -Akademie  wählte  demnach  Ihre  KöiiiiT- 
liche  Hoheit  Prinzes.-in  Therese  von  Bayern  zum  Ehrt*r.- 
Miigliede.'' 


367 


Wahlen. 

Von  der  mathematisch  -  physikalischen  Classe  wurden 
gewählt  und  von  Seiner  Königlichen  Hoheit  dem  Prinz- 
Kegenten  bestätigt: 

zu  ordentlichen  Mitgliedern: 

Das  bisherige  ausserordentliche  Mitglied  Herr  Dr.  Walther 
Dyck,  o.  Professor  für  Mathematik  an  der  technischen 
Hochschule  dahier; 

Herr  Joh.  Bausc hinger,  o.  Professor  für  Mechanik  an 
der  technischen  Hochschule  dahier; 

Herr  Dr.  Karl  Goebel,  o.  Professor  für  Botanik  an  der 
Universität  München ; 

zu  correspondirenden  Mitgliedern: 

Geh.  Kegierungsrath  Dr.  Wilhelm  Foerster,  o.  Professor 
für  Astronomie  an  der  Universität  und  Director  der 
k.  Sternwarte  zu  Berlin ; 

Herr  Dr.  Alexander  Rollet,  o.  Professor  für  Physiologie 
an  der  l-iiiversität  Graz. 


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Oeffentliche  Sitzung  vom  15,  November  1892,  369 

Für  die  laufenden  Publicationen  der  Akademie,  Sitzungs- 
berichte, Denkschriften  u.  s.  w.  werden  regelmässig  im  Etat 
durch  das  Finanzgesetz  die  erforderlichen  Mittel  bewilligt. 
Daneben  unterstützt  die  Akademie  mit  den  bescheidenen 
Mitteln,  welche  ihr  der  Verkauf  ihrer  Schriften  gewährt, 
besondere  wissenschaftliche  Arbeiten  in  den  drei  Classen,  so 
früher  in  der  philosophisch-philologischen  Classe  die  Heraus- 
gabe von  W  öl  ff  lins  Archiv  für  lateinische  Lexikographie 
und  Grammatik,  und  neuerdings  Krumbachers  Byzan- 
tinische Zeitschrift ;  in  der  mathematisch  -  physikalischen 
Classe  den  Druck  des  schon  von  Lamont  begonnenen 
Stemkatalogs.  Ebenso  wurden  Fraunhofers  gesammelte 
Werke  herausgegeben  und  ist  die  Herausgabe  der  Schriften 
des  Mathematikers  Otto  Hesse  in  Vorbereitung.  Die  histo- 
rische Classe  gibt  die  Monumenta  Tridentina  heraus,  ein 
Quellenwerk  ersten  Ranges  für  die  Geschichte  des  Trienter 
Concils,  welches  Werk  leider  im  Augenblick  durch  den  Tod 
des  Verfassers,  unseres  Mitgliedes  August  v.  Druffel. 
unterbrochen  ist  und  eines  Vollenders  harrt.** 


370 


Sitzung  vom  3.  Dezember  1892. 

1.  Herr  E.  Lommel  maclit  eine  MittheiloDg:  , Sicht- 
bare Darstellung  der  aequipotentialen  Linien  in 
durchstrotntcn  Platten.     Erklärung    des    HalTschen 

Phänomens.* 

2.  Herr  W.  Dyck  legt  vor  und  bespricht  den  Katalog 
mathematischer  und  mathematisch -physikalischer 
Modelle,  Apparate  und  Instrumente,  welcher  au«  An- 
lass  der  beabsichtigten  mathematischen  AussteHung  bei  der 
unterbliebenen  Naturforscherversamralung  zu  NClmberg  mit 
Unterstützung  der  k.  b.  Akademie  und  des  Reiches  ton 
Herrn   Dyck  herausgegoben  wurde. 


372      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  3.  Dezember  1892. 

selbst,  und  das  Aufflammen  eines  Zündhölzchens  gentigt,  am 
das  Bild  dem  lichtempflndliehen  Papierblatt  einzuprägen.  Mit 
Beiseitelassunj?  der  einfacheren  und  bekannteren  Fälle  seien 
von  den  zahlreichen  Aufnahmen  hier  nur  zwei  minder  ge- 
wöhnliche Beispiele  wiedergegeben.  Fig.  1  zeigt  die  Aeqni- 
potentialen  einer  ringförmigen,  von  zwei  concentrischen 
Kreisen  begrenzten  Platte,  mit  Elektroden  an  den  End- 
punkten eines  Durchmessers  des  äusseren  Krei.ses.  Da  die 
Aequipotentiallinien  nur  auf  der  Platte  selbst,  nicht  aber 
auf  ihrer  nichtleitenden  Unterlage  entstehen,  so  geben  sie 
zugleich  ein  durch  jene  Linien  schraffirtes  Bild  der  Platte 
selbst ;  in  derselben  Weise  bilden  sich  auch  die  Zuleitangs- 
drähte  ab.  Die  Figur  2  wurde  erzeugt  über  einer  recht- 
eckigen Platte  mit  einem  kreisrunden  Loch  und  Elektroden 
an  zwei  gegenüberliegenden  Ecken;  auch  hier  ist  das  Bild 
der  Platte  sammt  ihren  Zuleitungsdrähten  deutlich  zu  er- 
kennen. 

Die  Erkenntniss,  dass  die  Aequipotentialen  Magnetkraft- 
linien sind,  legte  den  (ledanken  nahe,  da««  die  Lagenände- 
rung der  Ae(|uip()tentiallinien  in  einem  Magnetfelde,  wie  ?ie 
im  Hall 'seilen  Phiiuonien  l)eol>achtet  wird,  vielleicht  als  eine 
unmittelhure  Wirkung  der  Kraftlinie«  des  Magnetfeldes  auf 
die  Kraftlinien  der  Strömung  angesehen  werden  könne.  Sind 
jedocli  die  Ma^netkrat'tliuien  zur  Platte  parallel,  so  zeigt  sich 
das  11  jiir seile  Pliännuien  hek;inntlich  nicht.  Nähert  man 
der  durelistnunttMi  Platte  in  ihrer  Ebene  irgendwo  von  s«*it- 
wärts  einen  Magnet]»()l,  so  ordnen  sich  die  Feilspäne  in 
Linien,  welche  {lUL^enscheinlich  die  Kesultanten  sind  aus  den 
))i*iden  Systt'nien  von  Kraftlinien,  deren  jedes  unabhängi:: 
für  sirh  bestehen  bleibt.  Von  einer  unmittelbaren  Wirknm: 
der  Mahnet  kraft  linien  auf  die  Aequipotentialen  kann  alx» 
nicht  die   IJede  st»in. 

Das  Hall'sche  Phänomen  wird  vielmehr  nur  hervor- 
gerufen durch  Ma^^netkraftlinien,  welche  senkrecht  zur  IMatte 


376      Sitzung  der  math.-phys.  Classe  vom  3.  Dezember  1892. 

oder  genähert,  wenn  r  gegen  22  klein  ist  (eine  für  das  Ge- 
lingen des  HalTschen  Versuches    erforderliche  Bedingung): 

6  =  2c — . 
r 

Die  Grosse  2e  ist  offenbar  der  Starke  Jlf  des  Magnet- 
feldes proportional.  Da  sie  femer  mit  dem  Primärstrome 
verschwindet,  so  setzen  wir  sie  auch  dessen  Stromstarke  J 
proportional.  Wir  denken  uns  nämlich  die  Wirkung  jener 
Molekularstrome  als  eine  Art  Reibung,  welche  für  sich  keine 
Bewegung  herrorrufen,  sondern  nur  vorhandene  Bewegung 
ändern  kann.     Wir  setzen  demnach 

wo  X  eine  Art  Reibungscoeffient  vorstellt,  der  von  der  mole- 
kularen Beschaffenheit  des  Plattenraaterials  abhängt.  Der 
Widerstand  i2  der  Platte  ist  ihrem  Querschnitt,  also  auch 
ihrer  Dicke  d  umgekehrt  proportional.  Fasst  man  alle  beim 
Versuch  unverändert  bleibenden  Grossen  in  einen  constanten 
Factor  K  zusammen,  so  ergibt  sich  die  elektromotorische 
Kraft  des  Hall' sehen  Stromes: 

dieselbe  ist  also  direet  proportional  der  Stärke  des  Primär- 
stromes und  des  Magnetfeldes,  umgekehrt  proportional  der 
Dicke  der  Platte  und  dem  Widerstände  des  Galvanometer>, 
was  mit  den  Ergebnissen  der  Erfiihrung  in  vollkommenem 
Einklang  steht. 


377 


Terzeichniss  der  eingelaufenen  Drackschriften 

Juli  bis  December  1892. 


Di«  Torehrlichen  GesoUsehaften  nnd  Institato,  mit  welchen  unsore  Akademie  in 
TaojBch  verkehr  steht,  werden  gebeten,  nachstehendes  Verzeichniss  suglelch  als  Empfangs- 
bestitigung  an  betrachten.  —  Die  zunichst  fOr  die  philoa-philol.  n.  histor.  Glasae  be- 
stimmten Druckschriften  sind  in  deren  Sitxongsberichten  1892  Heft  IV  verzoichnot. 


Von  folgenden  Gesellscliaften  nnd  Instituten: 

Boyal  Society  of  South  Atistraiia  in  Adelaide: 
Transactions.    Vol.  XV,  part  1.     1892.    8^. 

Naturforschende  OeseUschaft  des  Osterlandes  in  Altenburg: 

Mittbeilangen  aas  dem  Osterlande.    N.  F.  Band  V.     1892.    8^. 
Verzeicbniss  der  Mitglieder.     1892.    8^. 

SociitS  d^itudes  scientifiques  in  Angers: 
Bulletin.    Nouv.  S^r.  Ann^  20,  1890.     1891.    Q\ 

Texas  Academy  of  Science  in  Austin: 
Transactions.    Vol.  I.  Nr.  1.     1892.    8^. 

Peabody  Institute  in  Baltimore: 
25^  annual  Report.    June  1,  1892.     SP. 

Natuurkundige  Vereeniging  in  Nederlandsch  Indie  in  Batavia: 
Natuurkundig  Tijdscbrift.    Deel  51.     1892.    8». 

K.  Pretiss.  geologische  Landesanstalt  in  Berlin: 

Abhandlungen.    N.  F.  Heft  11.     1892.     8^. 
Jabrbuch  für  das  Jahr  1890.     1892.    ^. 

Deutsche  ehemische  OeseÜsehaft  in  Berlin: 

Berichte.    25.  Jahrg.  Nr.  12—18.    1892.    80. 

25* 


378  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Deutsche  geologische  Gesellschaft  in  Berlin: 
Zeitschrift.     Band  44,  Heft  2.     1892.    8«. 

Physiologische  Gesellschaft  in  Berlin: 

Centralblatt  für  Physiolof^ie.    Bd.  V.     Register.    Bd.  VI.    Nr.  7-18. 
1892.     8°. 

K,  meteorologisches  Institut  in  Berlin: 
Deutsches  meteorologisches  Jahrbuch  für  1889  Heft  3.  1892  Heft  1.  4«. 

Jahrhudi  über  die  Fortschritte  der  Mathematik  in  Berlin: 
.Jahrbuch.    Bd.  XXI.     Heft  3.     1892.    8^. 

K,  Sternwarte  in  Berlin: 
Heobachtungs-Ergebniase.     Heft  6.     1892.     4<>. 

Verein  zur  Beförderung  des  Gartenbaues  in  Berlin: 
Gartenflora,  Zeitschrift.    41.  Jahrg.     1892.    8**. 

Naturwissenschaftliche  Wochenschrift  in  Berlin: 
Wochenschrift.     1892.     Nr.  27—62.     4®. 

Zeitschrift  für  Instrumentefikunde : 
Zeitschrift.     XII.  Jahrg.     1892.     Heft  7—12.     Berlin.     1892.    8'. 

Allgemeine  schweizerische  Gesellschaft  für  die  gesammten  Natur- 
wissenschaften in  Bern: 

Neue  Denkschrifton.     Bd.  32,  Abth.  2.     Basel  1891.    4®. 

Actes  de  la  Sociiile  Helvetique  des   sciences   naturelles   reunie  Ifc  Fri- 

bourg  les  19  a  21  aoüt  1891.     Fribourg  1892.     8<>. 
Comptes  rendus  des   travaux  presentt^s   a  Fribourg  lea   19  U  21  aoiit 

1891.     Geneve  1891.    8^ 

Natur  forschen  de  Gesellschaft  in  Bern: 
Mittheilungen  aus  dem  Jahre  1891.  Nr.  1265-1278.     1892.     8'. 

Philosophical  Socidij  in  Birmingham : 
Proceedings.    Vol.  VII,  part  2.     1891.     8<>. 

Xaturhistoriacher  Verein  der  preussischen  Eheinlande  in  Bonn. 
Verhandlungen.    49.  Jahrg.  1.  Hälfte.     1892.     8^. 

Societv  de  giographique  commerciale  in  Bordeaux: 
Bulletin.     1892.     Nr.  12-22.     8». 

Socii'te  Linneemie  in  Bordeaux: 

Actes.    Vol.  43.     1889.    8°. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  379 

American  Academy  of  Arts  a^xä,  Sciences  in  Boston: 

Memorial  of  Joseph  Lovering,  late  President  of  the  Academy.    Cam- 
bridge.    1892.     80. 
ProceedinKs.   Vol.  XXVI.     1891.    S^. 

Verein  für  Naturwissenschaften  in  Braunschireifj: 

Kloos,  Ueber  die  geolog.  Verhältnisse  des  Untergrundes  von  Braun- 
schweig.    1891.    8^. 

Academie  Royale  de  medecine  in  Brüssel: 

Bulletin.  IV.  Serie.  Tom.  6  Nr.  6-9.     1892.    8«. 
Memoires  couronn^}  in  8^.  Tora.  XI,  fasc.  5.     1892.     8^ 

K.  Ungarische  Akademie  der  Wissetischaften  in  Budapest: 

TermeHzettudomanyi  £)rtekez^sek  (Naturwissenschaft!.  Abhandlungen) 

Bd.  XXI.    4.     Bd.  XXII.  1-3:     1891-92.    &\ 
Mathematikai  Ertekez^sek.    Bd.  XIV.   6.    Bd.  XV.   1.     1891-92.    ^, 
Mathematikai    firtesitö.    (Mathematischer  Anzeiger)    Band   X,    1—7. 

1891—92.    80. 
Mathematikai  Közlemenyek.     (Mathem.  Mittheilungen).    Band  XXIV, 

8-10.     1891.    8«. 
Mathematische  und  naturwissenschaftliche  Berichte.    Band  IX,   1.  2. 

Bd.  X,  1.    Berlin  1892.    8«. 

K.   Ungarische  geologische  AnstaJt  in  Budapest: 

A  m.  kir.  Földtani  int^zet  ^vkönyve.     Bd.  X.  Nr.  2.  3.     1892.     8^. 
Mittheilungen  aus  dem  Jahrbuche.  Bd.  X.  Nr.  1.  2.     1892.    d^. 
Földtani  Közlöny.  Bd.  XXII.  Nr.  6-10.     1892.     8«. 
Supplement  Katalog.     1892.    8^. 

K.   Ungarische  naturwissenschaftliche  Gesellschaft  in  Budapest: 

Pungur,  Gryllodea  regni  Hungariae.     1891.     4®. 

Hermann,  Petenyi  der  Begründer  der  wissenschaftlichen  Ornitliologio 

in  Ungarn.     1891.     4". 
Daday,  Literatura  zoologica  Hungarica.     L^91.    8^. 

Instituto  de  marina  de  San  Fernando  in  CadiJ': 

Almanaque  naütico  para  1894.     Madrid  1892.     4^ 

Anales.  Seccion  2*.   Observaciones  metcorolögicas.    Aiio  1891.  1892  fol. 

Meteordogical  Department  of  India  in  Calcutta : 

Monthlv   Wcather  Review.     August— Dezember    1891.    Januar — Mai 

i892.     fol. 
Meteorological  Observation«.     August— Dezember  1801.    Januar— Mai 

1892.     fol. 
Indian  Meteorological  Memoirs.    Vol.  V.  part  1.     1892.     fol. 
Cvclone  Memoirs.    Part  III.     18iH).     8«. 

Bevenue  and  Agricultural  Department  of  the   Government  of  India 

in  Caicutta: 

Memorandum  on  the  snowfall  in  the  mountain  districts.     1892.    fol. 


Imüan  Ifn«««»  ist  Ctdevtta: 
Line  of  tihe  Baoadiia  by  W.  L.  Scimter.     Lundaii  IS93.     d^. 

G^nlagierü  Surrey  nf  ItuSa  in  Ctdeutta: 
R^ord«.    7ol.  Xiy.    part  2.  3.     L892.    -I«. 

PkUnmpkienl  Soeiety  m  Cambridge: 

PriKwlins?!!.    VoL  VTL  part  6.     ISOL     ä*". 
TranaactioiiH.    VoL  XV,  part  3.     1502.    -iP. 

Mfta^HM  of  etmiparatice  Zonlotfy  in  Ctumbridge: 
JCrrmoin.    Vol.  XrV.  Xr.  2.     1892.    4?*. 

AM:rorumiii:al  Oha^r.atory  nf  Harvard  Coäetje  m  Cambritigt  M<m»§: 
Annal-i.    VoL  XV.  part  2.    KarLmihe  18»2.    4«. 

AcctuUmia  Gioenia  di  icienze  maturali  in  Catamia: 

Afti.    S^ine  IV.    VoL  4.     ISOi     4*. 
Ballettino  meiwilc  1802.  Fmc.  26—29.    &^. 

Ohaertatory  in  Cincinnati: 
PaMicatioM.    Nr.  XII.     1802.    4^ 

/T.  Sächiiichf.i  m^Afornlngiiches  Iniftitut  in  Chemnitz: 

\)r^\U':\i(:-.  ^^rteoroloJ^'i^«;h»^3  JaiirWu'.'h  für  1S9I.    1.  Hiltl*?.      1S92.     i\ 

Sorit-h''  fjpii  imfnr^.'i  naturflU.i  in  Cher^^mrij : 
.MMuoin-,    T.^m.  27.     Parii   IS'.H.     -S*^. 

Unirer^itüt  in  Chri.itiania: 

.rahrl.iir  h   «If-  m.;tf-or(.L   In-tituts  1^9<).     1S92.     4'\ 
Arrhiv  für  .M.ith^rnatik.    Bd.   XV.  2.  3.     1802.     ^^. 
Nvt   \f.i;r,»zin  t'nr  .Vatiirvidennkahernf.    Bd.  32.  Ht»ft  4.     Ib^Jrl.     >*-. 
\x('.\  .Ioli.'inn»H-en,    Die  epidemi.-^che  Verbreitunjj^  des  6charLichHeb«.*r« 
in   Norwf.'gf'n.     168L     8®. 

\nfurf(irMrhrnf1e  GeAplhchaft  GrauhuniUns  in  Chur : 
.I.ihrfrih.-rirht.     N.  F.  35.  Jahr^'.  1890/91.     lb\)2,     8^ 

(lirmiker  Zntuvg  in  Cöthen: 
nnrnikor  ^•itMn^^      Nr.  49-62.  55—100.     Cöthen   1892.     fuL 

Xiiturliistorischc  (jeHellschnft  in  Colmar: 
Mitthi-ilun;,'«.'!!.    N.  F.  Band  1.  Jahr>f.  1889  u.  1890.     1891.     8^ 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften,  381 

Naturforschende  Gesellsdiaft  in  Danzig: 

Schriften.   N.  F.  Bd.  VIII.  Heft  1.     1892.    4®. 

Festschrift   zur   Feier   des    150jähngen   Bestehens    der   Gesellschaft. 
1893.    8^ 

^Jcole  poli/technique  in  Delft* 
Annales.   Tom.  VII,  2.  8.  4.     1892.    4«. 

Colorado  scientific  Society  in  Denver: 

Report  on  technical  determination  of  Zinc.     Pueblo  1892.    8®. 

The  Post-Lamarie  Beds  of  Middle  Park,  Colo.  by  Whitman  Gross. 

1892.    8^. 
F.  C.  Knight,  A  Volumetrie  method.     1892.    8°. 

Union  giographique  du  Nord  de  la  France  in  Douai: 
Bulletin.   Tom.  XII.  Janvier— Aoüt  1891.    8^ 

Meteorologisches  Observatorium  in  Dorpat: 
MeteorologischeBeobachtungenim  Jahre  1891.   Bd.  6.  Heft  1.   1892.  8^. 

Naturforscher-Gesellschaft  bei  der  Universität  Dorpat: 

Sitzungsberichte.   Bd.  IX.  Heft  8,  1891.     1892.     8». 
Schriften  Nr.  VI.     1891.    4». 

Kais,  livländische  gemeinnützige  u.  ökonomische  Sozietät  in  Dorpat: 

Bericht  über  die  Ergebnisse  der  Beobachtungen  an  den  Kegenstati- 
onen  für  die  Jahre  1889—1891.     1892.    4<>. 

Pollichia  in  Därkheim  a.  d.  H.: 
Festschrift  zur  50jährigen  Stiftungsfeier.     1892.    8«. 

Royal  College  of  Physicians  in  Edinburgh: 
Reports  from  the  Laboratory.    Vol.  IV.     1892.    8^. 

Natur  forschende  Gesellschaft  in  Emden: 
75.  Jahresbericht  für  die  Jahre  1890/91.     1892.    8^. 

K.  Accademia  dei  Georgofili  in  Florenz: 
Atti.    IV.  Serie.   Vol.  XV.  disp.  2.     1892.    8«. 

Senckenbergische  natur forschende  Gesellschaft  in  Frankfurt: 

Abhandlungen.    Bd.  XVII,  1.  2.     1884-91.     4». 
Bericht.     1892.    8*». 

O.  Boettger,  Katalog  der  Batrachier  Sammlung  im  Museum  der  Ue- 
sellschaft     1892.    8^ 

Physikalischer  Verein  in  Frankfurt  a/M,: 
Jahresbericht  für  das  Jahr  1890/91.    1892.    8^. 


382  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Drucksdiriften. 

Naturwissenschaftl,  Verein  in  Frankfurt  a/0.: 

Helios.    1).  .Tahr^.  Nr.  11.  12.    10.  Jahrg.  Nr.  1—8.     1892.    8». 
Societatum  Litterae.    6.  Jahrg.  Nr.  1—10.     1892.    8®. 

Sternwarte  in  Genf: 
Ucäunio  mcteorologique  de  Tannäe  1891  pour  Genbve.     1892.    8^. 

Kruidkundig  Genaotschap  Dodonaea  in  Gent: 
Botanisch  Jaarbock  4.  Jaarg.     1892.     8^. 

Museo  civico  di  storia  naturale  in  Genua: 
Annali.    Serie  II.  Vol.  10.  11.     1890-92.    &^, 

University  Obseroatory  in  Glasgoic: 
Second  Glasgow  Catalogue  of  2156  Stars,  by  Robert  Grant.    1892.  4**. 

The  Journal  of  comparative  Neurology  in  Granvüle: 
Journal.    Vol.  II.  p.  21-136.     1892.     8^. 

Verein  der  Aerzte  in  Steiermark  in  Grai: 
Mittheilungen.    XXVII.  Vereinsjahr  1891.     1892.     8^ 

K.  Niederländ.  Regierung  in  Haag: 

Nederlandsch  kruidkundig  archief.    II.  Ser.  Dell  VI.  Stak  1.  Nijmegen 

1892.     8«. 

Nova  Scotian  Institute  of  Science  in  HalifcLr^  Nova  Scotia: 
Procecdings  and  Transactions.    Vol.  I.  part.  1.    1891.    8^. 

Kais.  Leop.- Carolin ische  Akademie  der  Naturforscher  in  Halle  aß.: 
Leopoiain;i.    Heft  XXVllI.  Nr.  11-20.     1892.     4». 

Natunc.   Verein  für  Sachsen  und  Thüringen  in  Halle  a/S.: 

Zeitschrift   für   Naturwissenschaften.     Band   65.    Heft   1 — 3.    Leipzig 
1892.     8^>. 

Sociitc  Hollandaise  des  sciences  in  Hartem: 
Archivcs  Neorlandaises.    Tom.  XXV,  5.  XXVI,  2.  3.     1892.     8<*. 

SociHe  de  geographie  de  Finlande  in  Hehingfors: 
l'onnia.    Bd.  5.     1892.     8^ 

Commission  gcoJogique  de  la  Finlande  in  Hehingfors: 

Carte  gcologique  de  la  Finlande,  livr.  18—21  accomp.  de  renseigne- 
ments.     1890—92. 

• 

Mcdicinisch-naturwissensclMftliche  Gesellschaft  in  Jena: 
Jenaische  Zeitschiift  filr  Naturwissenschaft.   Bd.  XXVII,  1.  2.    1892.  S*. 


384  VerzeidifM»  der  eingelaufenen  Dmcktduiften^ 

Verein  für  Erdkunde  in  Leipzig: 

MittheilnDgen  1891.     1892.    8*. 

K.  K.  Berg-Akademie  in  Lenben: 
Programm  für  das  Jahr  1892/93.    8^. 

Zeitschrift  ,.La  CeJlvUe"  in  Löicen: 

La  Cellule.   Tom.  VIII,  fasc.  1.    1892.    4». 

Bayal  Society  in  London: 

ProceedingH.    Vol.  50  Nr.  307.    Vol.  51.  Nr.  310—316.     1892.     8*>. 
PhiloBophical  Traoaaciions.    Vol.  182.  A.  a.  B.     1892.     •l^ 
List  of  the  Members.    30.  Novemb.  1891.    4^. 

B.  Astronom ical  Society  in  London: 

MoDthly  Notices.    Vol.  52.  Nr.  8.  9.   Vol.  53.  Nr.  1.     1892.     8<>. 
Memoirs.    Vol.  50.  1890-91.     1892.     49, 

Chemical  Society  in  London: 

Journal.    Nr.  356-361.    July— December  1892.    8®. 
Proceedings.    Nr.  114.  115.  116.     1892.    8». 

Geological  Society  in  London : 
The  Quarterlj  Journal.    Vol.  48,  part  1—4.     1892.    8«. 

Linnean  Society  in  London: 

TranHjictionB.    Botany.    Vol.  IH,  part  1—7.     1891/92.     4^ 
'i'hc  Journal.  /oolo«»'v.    Nr.  148—151. 

Hotany.    Xr.  170.  l'.)4-2()l.     181)1/92.     8^ 
Profcedings.    Nov.  1888- Jim»'  181K).     18*)1.     8*^. 
Li§t  of  the  Members  1891/92.     8^ 

li.  Microsropical  Society  in  Jj^tndon: 
Journal.    1802.    part   1  -6.     8^\ 

ZooUujical  Society  in  Ijondon: 
Pro(ce<lin;,'8.    1892.    part  2.  3.     8». 

Zeitschrift  ..Ndture"^  in  Ltndon: 
Vol.   U\.  Nr.  1180-120G.     1892.     4«. 

Institut  tle  physiqne  n  V  Unircraite  de  Licfjc  in  Litt  lieh: 

Siir  un  rtat  <!<•  la  mation»  carach'ris«'  p.ir  l'inilcprn'lanco  de  la  pre-;-:-»!! 
par  V.  de  lleon.     IJruxellrs  1892.     H'». 

Societe  ffiolorfiquc  de  Behjiquc  in  Lattich: 
.\nnales.    Tom.  19.  livr.  2.  3.     1891/92.     8^. 

Societe  Linneenne  in  Lyon: 
.Annales.    Annees  1888.  1889.  1890.     1889—91.     4«. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  385 

Wisconsin  Academy  of  Sciences  in  Madison: 
Transactions.    Vol.  VIII.  1888-91.     1892.    8». 

The  Govemor  in  Council  in  Madras: 

Results  of  observations  of  tbe  fixed  stars  at  the  Government  Obser- 
vatory  Madras  in  the  years  1874—1876.  By  C.  Michie  Smith. 
1892.    40. 

Societä  Italiana  di  scienze  naturali  in  Mailand: 
Alti.   Vol.  33,  fasc.  1.  2.     1890—91.    8^. 

Faculte  des  sciences  in  Marseille: 
Annales.    Tom.  I.     1891.    4^ 

Public  Library  of  Victoria  in  Melbourne: 

Fcrd.  y.  Müller,  Iconography  of  Australian  Saholaceous  Plants. 
IX.  Üecade.     1891.    49. 

Observatorio  Meteorologico-Magnctico  Central  in  Mexico: 
Boletin  mensual.   Tom.  III.  Nr.  4.     1892.    4». 

Sociedad  cientißca  Antonio  Alzate  in  Mexico: 

Memorias  y  revista.    Tom.  V.  cuad  9. 10.   Tom.  VI.  cuad  1. 2.    1892.   8^. 

Sociedad  de  geografia  in  Mexico: 
Boletin.    IV*  ^poca.    Tom.  II.  Nr.  3-5.     1891—92.    8®. 

Sociedad  de  historia  natural  in  Mexico: 
La  Naturaleza.    11.  Ser.  Tom.  IL  Nr.  2.     1892.    fol. 

Societä  dei  naturalisti  in  Modena: 
Atti.   Ser.  IIL  Vol.  XL  fasc.  1.  2.    1892.    8^. 

Academie  des  sciences  in  Montpellier: 

Memoire».  Sciences.    Tom.  XL  Nr.  2.     1891.    49. 
Memoires.  Medecine.   Tom.  VL  Nr.  2.     1891.    4«. 

EoycU  Society  of  Canada  in  Montreal: 
Proceedings  and  Transactions  for  the  year  1891.    Vol.  9.     1892.    4®. 

Geölogicdl  Survey  of  Canada  in  Montreal: 
Cataloj^e  of  Canadian  Plants.    Part  VI.     1892.    8». 

Sociiti  Imperiale  des  Naturcdistes  in  Moskau: 
Bulletin.    Ann^e  1892.  Nr.  2.    8<». 

Gesellschaft  für  Anthropologie  in  Berlin  und  München: 
Correspondeniblatt.    2S.  Jahrg.  Nr.  6—10.     1892.    4®. 


38()  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

K.  technische  Hochschule  in  München: 

Bericht  über  d.  J.  1891/92.    4». 
Prograram  für  die  Jahre  1892/93.     8<>. 

K.  StcMtsministerium  des  Innern  für  Kirclien-  m.  SchuUiHgeleijenheiUH 

in  München: 

Geognostische  Jahreshefte.    IV.  Jahrg.  1891.     Cassel  1892.     4^ 
Die  Neuenbargiächen  Marine-Chronometer  beobachtet  u.  pramiiri  auf 
der  Neaenburger  Sternwarte.     Neachatel  1892.     4". 

Socii'te  des  sciences  in  Xancy: 
Bulletin.    Serie  II.  Tom.  XI.  fasc.  26.     Paris  1892.     8«. 

Accademia  delle  scienze  fisiche  in  Neapel: 
Rendiconto.   Ser.  II.  Vol.  VI.  fesc.  6.     1892.    40. 

Zoologische  Station  in  Neapel: 
Mittheilungen.    10.  Bd.  3.  Heft.     Berlin  1892.    8'\ 

Institute  of  Kngineers  in  Netccastle  upon  Tyne: 

Transactiona.     Vol.  39.   part  3.  Vol.  40.  part  5.    Vol.  41.    part  3.  4  5. 
1892.    8». 

The  American  Journal  in  Nenr- Haren: 

Journal  of  Science.    3.  Seriea  Vol.  43  Nr.  257— 2G0.    Vol.  U  Nr.  2»;i. 
262.     May- October  1892.     8». 

Ohsprcatorf/  of  Y<Oe   ruiver.sifi/  in  Ntn-Havcn : 
Kepoit  for  tlic  yoar  lb91/!»2.     0". 

Acailf.Diij  (tf  SactiCf's  in   Xitr-  York: 

Annais.    V(»l.  VI.  Nr.   1-6.     1^91/92.     8^ 

Tran.wactlon.-.     Vol.  X.  Nr.  7.  s.    Vol.  XL  Nr.  1-5.     1^91 '92.     ^'. 

Ainounn   Musrnni  of  natural  Hi^torjf  in   Xiir'^'nrh  : 
Annual   IJeport  for  tho  ycar  1891.     1692.     ??'*. 

Aunri(-ni  (Imnicnl  Sncictj/  in  X(  n  -YorJ:: 
.Imnnal.    Vol.  XIV.  Nr.    l -7.     1892.     b«. 

Antfri'dn  ffforfi'iijihit'tf  Snriihi  in   St  (t-  Ynrk : 
Bulletin.    Vol.  XXIV.  Nr.  2.  3.     l.-^92.     6". 

A'//////7//>/o//>/ ///•   (rrsrlisrJintt   in   Xnrnlxrif: 
AKhan(llun;;.'n.    IX.  H.iwl.     1.-92.     b\ 

Xrnru^sisrhr    n-lt  ftrfn'^rhr  nh'    <rf>v //>^  ,V( /'     in    Oflcf^-'i: 

JS.ipiski.    Ban«l   XVII,    1.  und  Matheniati-rh».'  Abtiieilung.    Band   XIV. 
1892.     S^. 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften.  387 

Verein  für  Naturkunde  in  0/fenbach: 
29-32.  Bericht,  1887—1891.     1892.    8». 

JRaddiffe  Ohservatory  in  Oxford: 

HesulU  of  astrouomical  and  meteorological  Observations  made  in  tbe 
year  1887.     1891.    8°. 

i?.   Universita  in  Padua: 

Kelazione  letta  neir  Aula  Magna  il  26.  Noy.  1892  dal  R^ttore  Prof. 
Carlo  F.  Ferraris.     1892.     40. 

Onoranze  centenarie  a  Galileo  Galilei.  Discorso  del  Rettore  Magnifico. 
1892.    fol. 

Per  il  terzo  centenario  della  Inaugurazione  di  Galileo  Galilei   nello 
studio  di  Padova.     1892.     fol. 

Circolo  metematico  in  Palermo: 
Rendiconti.    Tom.  VI.  fasc.  3.  4.  5.     1892.     4». 

Collegio  degli  Ingegneri  in  Palermo: 
Atti.    Annata  15.  1892,  Gennaio-Agosto.    gr.  8^     1892. 

Acadcmie  de  medecine  in  Paris: 
Bulletin.    1892  Nr.  26—51.    8«. 

Academie  des  sciences  in  l^aris: 
Comptes  rendus.    Tom.  114  Nr.  26.    Tom.  115  Nr.  1-25.     1892.     4^ 

Comiie  international  des  poids  et  mesures  in  Paris: 
14.  Rapport.     1891.    4^ 

Moniteur  scientifique  in  Paris: 
Moniteur.   Livr.  607-612.     Juillet— Decembre  1892.     4». 

Museum  d'histoire  naturelle  in  Paris: 
Nouvelles  Archives.    III.  Sdr.  Tom.  3.     1891.     4'. 

Societe  d'anthropologie  in  Paris: 
Bulletin.s.   IV.  S^rie.  Tom.  I.  fasc.  4.    Tom.  II.  fasc.  1 -3.    1890/91.    8**. 

Societe  de  geographie  in  Paris: 

Bulletin.    VII.  Ser.  Tom.  13.  1«  2^  et  3«  S^mestre.     1892.     8^ 

Comptes  rendun.    1892  Nr.  12—16.     8<>. 

Bulletin.    VII.  Ser.  tom.  13.  trimestre  2.     1892.    8». 

SocietS  mathematique  de  France  in  Paris: 
Bulletin.    Tom.  XX.  Nr.  3-6.     1892.    8^. 

SociHe  zoologique  de  France  in  Paris: 

Bulletin.    Tom.  XVII,  Nr.  6.  7.     1892.    8». 
Memoires.    Tom.  V.  Nr.  4.     1892.     8^, 


388  Verzeidinisa  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Zeitschrift  IJElectricien  in  Paris: 
L'ßlectricien.   2.  Ser.  Tom.  IV.  Nr.  79-104.     1892.     4«. 

ComitS  geologique  in  St.  PHenhourg: 

M^moires.    Vol.  XI.  Nr.  2.    XIII.  Nr.  1.     1891  u.  1892.     4<>. 
Bulletins.   Vol.  IX.  Nr.  9.  10.    Vol.  X.  Nr.  1—9.    XL  1—4.  et  Soppl«^ 
inent  au  Tom.  X.     1891—92.    8°. 

KaiserL  hotaniscJier  Garten  in  St,  Petersburg: 
Trudy.    Tom.  XII.  Nr.  1.     1892.    8«. 

Bussisclie  astronomische  Gesellschaft  in  St,  Petersburg: 
Iswestija.   Heft  1.     1892.    gr.  8«. 

Chemiscli'physikalische  Gesellschaft  der  k.  Universität  in  St,  Petersburg: 
Schurnal.   Tom.  XXIV.  Nr.  5-8.     1892.    8«. 

Kais,  russische  mineralogische  Gesellschaft  in  St,  Peterdßurg: 
Verhandlungen.    IL  Serie.  Band  XXVIII.     1891.    8«. 

Institut  Imperial  de  medecine  experimentale  in  St,  Petersburg: 
Archives  des  sciences  biologiques.   Tom.  I.  Nr.  3.    1892.     4^. 

Äcademy  of  natural  Sciences  in  PMadelpliia: 
Proceedings.  1892.  part.  1.    8^. 

Alumni  Association  of  the  Philadelphia  College  of  Pharmacff  in 

Philadelphia  '■ 

Alumni  Report.    Vol.  29  Nr.  2.     1892.     ^. 

Pennsylvania  Geological  Survey  in  Philadelphia: 
Atlas:  Southern  Anthracite  Field.    Part  IV.  B.  V.  VL     1892.     S«. 

American  phylosophical  Society  in  Philadelphia: 

Proceedinj?s.    Vol.  XXX.  Nr.  137.  138.     1892.    8^. 
Transaction>!.    N.  S.  Vol.  XVII.    part  1.  2.     1892.     4^. 

Societa    Toticana  di  scienze  natural i  in  Pisa: 
Atti.  Processi  verbali.    Vol.  VIII.  piig.  85—150.     1892.     l". 

PortJand  Society  of  natund  history  in  Portland: 
The  Portland  Cataloj^ue  of  Maine  Plauts.  2«»  ed.     1892.     8^ 

Astri^J^hysikal^sches  Observatorium  in  Potsdam: 
PuMikationen.    Band  VII.  Theil  I.     1892.     4". 

Gesellschaft  :ur  Förderuny  deutscher   Wissenschaft^  Kunst  und 

hitteratur  in  Böhmen  und  Prag: 

Mittheihmgen  der  «leutsohen   mathematischen  iieselNchafl   in    Pnn? 
Wien  1692.     S'\ 


Verzeichniss  der  eingelaufenen  Druckschriften,  389 

K,  K,  Sternwarte  in  Prag: 

Magnetische  und  meteorolog.  Beobachtungen  im  J.  1891.     1892.    4^. 
Astronom iHche  Beobachtungen  in  den  Jahren  1888 — 1891.    Appendix 
zum  49—52.  Jahrg.     1898.    4^. 

Verein  böhmischer  Mathematiker  in  Prag: 
Casopis.    Tom.  XXL  Heft  6.  6.     1892.     8«. 

Naturwissenschaftlicher  Verein  in  Begensburg: 
Berichte.    Heft  3,  1890/91.     1892.    8^. 

Naturforscher  Verein  in  Biga: 
Kcrreapondenzbhitt.   XXXV.     1892.    8«. 

J?.  Accademia  dei  Lincci  in  Born: 

Atti.    Ser.  V.  Rendiconti.    Classe  di  scienze  fisiche.   Vol.  I.    1.  Sem. 

fasc.  11.  12.    2.  Sem.  fasc.  1—10.     4^. 
Atti.    Serie  IV.    Memorie   della   classe   di  scienze   fisiche.    Vol.  VI. 

1890.    40. 

Accademia  Pontificia  de*  Nuoci  Lincei  in  Born: 
Atti.   Anno  44  sessione  VI.  VH.   Anno  45  sessione  I.  II.     1891/92.    4^. 

B.  Comitato  gedlogico  d'Italia  in  Born: 
Bollettino.    1892.    Nr.  2.    8^. 

Specola  Vaticana  in  Born: 
Pubblicazioni.    Fasc.  II.     1891.    4«. 

Ufficio  centrale  meteorologico  Italiano  in  Born: 

Annali.   Vol.  X.  parte  I-IV.     1892.     4^ 
Annali.   Vol.  XL  parte  3.     1889.     1892.    fol. 

Academy  of  science  in  St.  Louis : 
Transactions.    Vol.  V.  Nr.  3.  4.  Vol.  VI.  Nr.  1.     1892.    8®. 

American  Association  for  the  Adcancement  of  Science  in  Salem: 
Proceedings.    40">  Meeting.     1892.    8<>. 

SociHe  Scientifique  du  Chili  in  Santiago: 
Actes.    Tom.  IL  li?r.  1.  2.     1892.     4P. 

Deutscher  wissenschaftlicher  Verein  in  Santiago  (Chüe): 
Verhandlungen.    Band  IL  Heft  4.     1892.    8^^. 

Department  of  Mines  aful  Agriculture  in  Sidney: 

Annual  Report  for  the  year  1891.     1892.    fol. 
Palaeontology.    Nr.  5.     1892.    fol. 


390  Verseid^mts  der  eingdamftmen  Drm^idkrifiem. 

Museum  in  Siaramger: 
Aarsberetning  for  1891.     1892.    8<>. 

SoeUU  de*  scitnceM  in  Sttttsahurg: 
Bulletin.    Tom.  XXVI.  fitv.  7.  8.  9.    1892.    SP. 

Geciogical  Surcey  of  Xeic  South  Wtde*  in  Swdnet^: 
Records.   Vol.  III.  pari.  1.     1892.    4'\ 

Obsermtorio  agtronömico  naeiomal  in  Taeuhai^a  t  MejricoK 

Boletin.   Tom.  I.  Nr.  10—12.     1892.    4*. 
AnDuario  XIII.    Ano  1893.     1892.    8^ 

Boyai  Society  in  Tiwmania: 
Papeni  and  Proceedings  for  1891.     1892.    8^ 

OAleije  of  Seience,  Imperial  Unicersity,   T*ykyo,  Japan : 

Journal.    Vol.  V.  part.  2.     1892.     A^. 

The  Calendar  for  the  jear  1890/91  and  1881/92.     1891  92.     S^. 

Jiedieinische  Fakuität  der  Unirersität   Tokio: 
Mittheilnngen.     Bd.  I.  Nr.  5.     1892.     4®. 

Canadian  Institute  in  Toronto: 
Transactions.    Vol.  II.  part.  2.     1892.    8*>. 

S'H'iet'i  adriatiL'a  di  Scienzf  H'itur'ili  in    Tn*?^t: 
Bollettino.    Vol.  XIII.  parte  1.  2.     1091  -92.     8". 

R.  AK'i:'id'imiti  ddU  ^cUtize  in   Turin: 
O-servazione  meteoroIo;?i'.Qe  dell'  anno  l^\H.     189-2.     S" 

Injititut  Royal  M ft^omlooiqui  de.'f  Pii*ji-B'is  in    l'tm'hT : 

NVderlandsoh    Meteore iOiriM:h    Jaarboek.    Jaarvrang  3J.    !»»*♦-'    ^    ;i.-;.. 
Jaarsr.  43.  1S9I.     1392.     4^ 

Phtjsiulihfische't  L'ffjoni^orium  d^r  IL^vj^^cht^^d  in    f^^r^r^f 
OnJerzoekin;;en.    IV.  Ke^^k:«.  Deel  II.  Stuk  1.     IS'^2.     S*. 

Smith.ioniiin  In.<titntion  in    W'uhinjton : 

Keport  1380-1S9«).     1S91.     8^ 

rontribution>  to  knowIeJj^e.    Vul.  XXXVIII.     l<9'2.      V\ 

r.  S.  XiiC'il  f »hiercfitory  in    Wdshintjdtn: 

Heport  "f  the  .Superintendent  for  the  jear  1S'.*<J  — ',«1.      <. 
<  »b^ervations  during  the  year  1668.     l!5*J2.     V\ 


Verzeidmiss  der  eitigelaufenen  Druckschriften.  »^»Ol 

Phihsophical  Society  in  Washington: 
Bulletin.   Vol.  XL     1892.    8^. 

U.  S.  Coast  and  geödet ic  Suroetf  Office  in  Washington: 

Report  during  the  year  ending  June  1890.     1892.     4". 
Bulletin.    Nr.  25.     1892.     49. 

U.  S.  Gcological  Survey  in   Washington: 
Mineral  Re^sources  of  the  United  States  for  1889-90.     1892.    8'\ 

K,  K.  geologische  Reidisansialt  in  Wien: 

Verhandlungen  1892  Nr.  G— 10.     4«. 
Jahrbuch.    Band  42  Heft  1.     1892.     l''. 
Abhandlungen.    Band  XVII,  Nr.  2.     1892.     fol. 

Ä^  K.  Centralanstnlt  für  Meteorologie  in  Wien: 
Jahrbücher.    Band  XXXV.  1890.     1892.     4^. 

iL.  K.  Gesellschaft  der  Arzte  in   Wien: 

Wiener  klinische    Wochenschrift.    1892   Nr.  26—38.   40—45.  47— *0. 
61.  52.     4^ 

Anthropologische  Gesellschaft  in  Wien: 
Mitteilungen.   Band  XXII.  Heft  3-5.     1892.    4«. 

Zoologisch-botanische  Gesellschaft  in  Wien: 
Verhandlungen.  Band  42.  I.  u.  IL  Quart4iL     1892.     8^. 

K.  K.  östcr,  GradmessungS' Kommission  in   Wien: 

Astonomische  Arbeiten.    Bd.  HL  Längcnbestimmungen.     1891.     4^. 
Verhandlungen  über  die  am  21.  April  u.  2.  September  abgehaltenen 
Sitzungen.     1892.     8". 

K.  K.  naturhistorisches  llofmnsenm  in   Wien: 
Annalen.  Band  VIl.  Nr.  3.     1892.     gr.  8». 

r.  Knff Herrsche  Sternwarte  in   Wien: 
Publikationen.  Band  II.     1802.     4". 

Xassauischer   Verein  für  Naturknn  le  in    Wiesbaden: 
Jahrbücher.   15.  Jahrgang.     1892.     8^. 

Physikalisch-medicinische  Gesellschaft  in  Würzhurg: 

Sitzungsberichte.  N.  F.  Band  XXVII.  Nr.  4.  5.     1892.    S^. 
Sitzungsberichte.  Jahrg.  1892.  Nr.  4—6.     6^. 

Deutsche  Gesellschaft  für  Natur-  und  Völkerkunde  Ostasientt 

in    Yokohama: 

Mittheilungen.  Heft  48-50.    1892.    4«.     Band  V.  Supplcm.-lleft  2.  3. 
1892.     fol. 

lw»2.  Matli.-pliyn.  Gl.  3.  20 


392  Verzeichniss  der  eingelaufenen  Drucktfchriften. 

Physikalische  Gesellschaft  in  Zürich: 
5.  Jahresbericht.  1891.     1892.    8<>. 

Naturforschende  Gesellschaft  in  Zürich: 

VierteljahMSchrift.  37.  Jahrg^.  Heft  1.  2.     1892.    8«. 
Generalrcgister  der  Publikationen.     1892.    8®. 


Von  folgenden  Privatpersonen: 

5.  ü.  Albert  I.  Fürst  von  Monaco: 
Resultats  des  Campagnes  seien tifiques.  Fase.  IL     1892.     4**. 

Luden  Anspach  in  Brüssel: 
Le  role  de  Teau  dans  les  cylindres  a  vapeur.    Lie^e  (1892).     8^. 

Julius  Bergbohm  in  Wien: 
Entwurf  einer  neuen  Integralrechnung.     Leipzig  1892.     8^. 

Giovanni  Capellini  in  Bologna: 

Hc8  Ligustiche  XX.  Qerolamo  Guidoni  di  Vernazza  e  le  sue  scoperte 
geologiche.     Genova  1892.    8®. 

I.  tronchi  di  Bennettitee  dei  Musei  Italiani.     1892.     4^. 

Kdouard  Jannctaz  in  Paris: 

Nouvelles  recherche.s  sur  la  propafration  de  la  chaleur  dan-:  le-<  cor|»5 

rri.stallise^.     Paris   1892.     8". 
Notice  aar  los  travaux  scientifiquerf  de  M.  Edouard  Jannetaz.   1692,   4'. 

A.  Kurz  i)t  Augsburg: 

Beiträge  zur  geometrischen  Dptik.     Berlin  1892.     4^. 
Prol»leiiie  der  elastischen  Biegung,  s.  I.     1892.     8®. 

Theorie    und    Versuche    über   hvdraulischen    Druck    (Sondorabdru<k 

1892.     8^\ 
l>ie  Central-  und  Momentan- Ach-e.     1892.     (Ausschnitt.) 

Kmilc  J.rmoine  in  Paris: 
5  Broschüren,  mathematischen  Inhalts  (Sep.-Abdr.).     1891/*»2      S^. 

Ale.rauder  Macfarlare  in  Austin,   Te.ras: 

Principles  ot'  tlie  Algebra  of  Physics.     Salem  1801.     s^ 
<>n  exact  Analysis  a«<  the  basis  of  language.     1892.     8^*. 

(r.  Omboni  iti  Padua: 
Achille  de  Zigno,  cenni  biogratici.     Padova  1892.     8^. 


Verzeichnisa  der  eingelaufenen  Druckschriften,  393 

Friedrich  Prym  in  Würehurg: 

Tcber  orthogonale  etc.  Sabtttitutionen.     Göttingen  1892.    4^. 
Neue  Grundlagen  einer  Theorie  der  allgemeinen  Thctafunctioncn  von 
A.  Krazer  und  F.  Pryni.     Leipzig  1892.     4**. 

M.  liajna  in  Madand: 
Suir  cscursione  diuma  della  declinazione  uiagnetica  a  Milano.  1892.  8^. 

Dr.  Saint-Lager  in  Lyon: 

La  prioritij  des  nom»  des  plantes.     Paris  1890.    8^. 
ConsidorationH  8ur  le  polymorphisme   de  quelques   especes  du  genre 
Bupleuruin.     Paris  1891.     8^. 

Michel e  Stossich  in  Triest: 

I  distomi  degli  uccelli.     1892.     8^. 

Nuova  Serie  di  elminti  veneti.     Zagreb  1891.    8®. 

I  distomi  dei  mammiferi.     1892.    8'. 

Hudolf  Wolf  in  Zürich: 
Astronomische  Mittheilungen.  Nr.  LXXX.     1892.    8®. 


396  Namen-IUgister, 

de  Quatrefages  de  Brtlan,  Jean  Louis  Armand  (Nekrolog)   207. 

Badlkofer  Ladwig  328. 

Hauff  Gustav  1. 

Römer  Ferdinand  (Nekrolog)  201. 

RoUett  Alexander  (Wahl)  367. 

Rüdinger  Nikolaus  210. 

Sohncke  Leonhard  359. 

Sias  Jean  ServaiH  (Nekrolog)   2U0. 

Tberese,  Königl.  Hoheit,  Prinzessin  von  Bayern  (Wahl)  365. 

V.  Voit  Karl  21.  196. 
Voss  Aurel  247. 

Weber  Wilhelm  (Nekrolog)   199. 

V.  Zittel  Karl  Alfred   1. 


307 


Sacli- Register. 


Benzolcarbonfläure.  Reduktion  derselben   21. 
J^rennerbad,  warme  Quelle  desselben   139. 

Curvensystem,  durch  eineDitterentialgleichunfj  erater  Onlnung  zwischen 
2  Variabein  definirt   101. 

Dihydrobenzol,  Synthese  desselben   279. 
Üihydroparaxylol,  Synthese  desselben  307. 
Üruckschriften,  eingelaufene   309.  377. 

Fläche,  Bestimmung  derselben  »lurch  geodätische  Messungen   27. 
Flächen theorie,  Fundamentalgleichungen  derselben   247. 
Formen  binäre,  Darstellung  derselben  als  Potenzsummen  3. 

Gleichgewicht  der  lebendigen  Kraft  329. 

Hämaglobingehalt  des  Blutes,  beeinflusst  durch  die  Nahrung  21. 

Katalog  der  anthropologischen  Sammlung  der  hiesigen  anatomischen 

Anstalt   210. 
Kry stalle,  Auflösung  und  Wachsthum  derselben  303. 

Linien  äquipotentiale  in  durchströmten  Platten   871. 
Luftfahrten  des  Mänchener  Vereins  für  Luftschi ftTahrt  259. 

Magnetismus  des  Eisens  unter  dem  Einfluss  elektrischer  Schwing- 
ungen  71. 

Medium,  dessen  mechanische  Eigenschaften  auf  die  von  Maxwell  fQr 
den  Elektromagnetismus  aufgestellten  Gleichungen  führen  279. 


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zBer  (lmlh.pto-sikCl.1892 


Taf.  D . 


Fig.  2. 


Fig.  3. 


Fig.  4-. 


Fig.  5 . 


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Silj.Bet  diralhphKikCI.  1892. 


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