Table des logarithmes des sinus et tangentes, de seconde en seconde pour les cinq premiers degrés, de dix en dix secondes pour tous les degrés du quarte de cercle

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"be

TABLES PORTATIVES

LOGARITHMES,.

LES LOGARITHMES DES NOMBRES,

Depuis 1 jusqu'à 108,000;

LES LOGARITHMES DES SINUS ET TANGENTES,

DE SECONDE EN SECONDE POUR LES CINQ PRFMIERS DEGRÉS,
DE DIX EN DIX SECONDES POUR TOUS LES DECRÉS DU QUART DE CERCLF;
Et, suivant la nouvelle Division centésiunale, de dix-millième en dix-millieme,

PRÉCÉDÉES

D'un Discours préliminaire sur l’Explication , l’'Usage et la Sommation des
Logarithmes, et sur leur Appli‘ation à l’Astronomie, à la Navisation,
à la Géométrie - Pratique, et aux Calculs d’Intéréts ;

SUIVIRS

De nouvelles Tables plus approchées, et de plusieurs autres utiles à la recherche
de Longitudes en mer, 'etc.

Par François CALLET.
| \

Édition Stéréotype,
GRAVÉE, FONDUE ET IMPRIMÉE PAR FIRMIN DIDOT.
ot Lip.
« D'uues. A, 2 :

TL PARIS.
FIRMIN DIDOT, IMPRIMEUR DU ROI, DE L'INSTITUT,
ET DE LA MARINE, LIBRAIRE POUR LES MATHÉMATIQUES, ETC.)

Rue Jacob, N° 24.
PS

1799. (Tirage 1825.)
| .

.

_—_— EE RÉ 2m + 7 ———

AVERTISS EMENT |

DE FIRMIN DIDOT. |

svExU acquéreur , en 1789 , du fonds d'Alex, Jombert jeune , mon beau |}
| frere , je var: écouler rapidement l'édition des tables de Gardiner , revues
par le C. Les soins multipliés et pénibles qu'Alex. Jombert avoit em- |}
| ployés a la correction des épreuves étoient encore présens à ma Mode: à |
Alsreitporté le scrupule jusqu'à vérifier par ses yeux Shane faute indiquée sur
reuves, à l'instant même où l'ouvrier compositeur la corrigeoit : et, mal-
|grétant de précautions , il s'étoit encore glissé une vingtaine de fautes duns
| iest sans contredit la plus correcte de toutes celles qui ont paru. |
| 1, imprimée en 1783 par Fr. Awbr. Didot, mon pere, au nombre |}
de six mille exemplaires , étoit épuisée aux trois quarts ; et pour la pe ;

je me s contraint , ou ré rires rh re che me r une
ET S Éfdese , édition qu'il eût fallu renouveller encore dix ans après | |
Qiet toujours avec la même incertitude de correction,
| Ma premiere idée fut de faire une fonte de chiffres assez ample pour con-
| server toutes les pages , et les imprimer au besoin ; mais , en examinant plus |
[sérieusement ce moyen ; spécieux au premier coup d'oeil , je ne pus me dis- |
| simuler tous ses inconvénients : l'impossibilité de mouvoir sept à buit cents |}
l Le er hp sans qu'il en résulte jamais aucun accident, est démon-
[1 D er RAS STE Rp eE 4
fl Enfin j'ai cru trouver le moyen de parer à tous les inconvénients ; c'étoit
| de conserver toutes les pages après avoir rendu les caracteres immobiles ;
Det j'entrevis sur-le-champ ce procédé son avantage le plus précieux : |
|

et
fl car , en supposant ma nouvelle édition inférieure pour la correction à toutes |#
celles qui ont paru , je Ja voyois déjà exempte de fuutes , puisque je me ré-
servois continuellement la faculté de les corriger à l'instant où elles seroïent |
découvertes, etsans craindre d'en commettre jamais de nouvelles. Je fis d'abord |

|
LT . , à |
un. essai qui réussit passa it; et je me mis À graver et à fondre les ||
[nes 222-204 LE de la ed mie 15
| e je voulus entreprendre la derniere et la plus import |

Mais F : l
ration, de souder ensemble tant de lettres à-la-fois, pour n'en Fa |
qu ul corps, j'éprouvai des difficultés , des contrariétés renaissantes et |}
|si bisarres ; que j'en fus ois découragé : cependant la lionte de re- |}
| 1oncer à MOL se e chagri _ priver le pee mt es, 4 qu'un |}
autre plus tpu lui procurer, l'amour propre enfin, firent que je m'opi- |
SEE
‘apperqu . ruire le vice principal , ilaurait fallu presque tout |
| recommer (04 rl ni les facultés ni . A rer ds, 24 A je fus donc
Lobligé d'employer toute mon industrie à combattre des défauts que j'aurois dû |
| évier, au moi 2 à tn ere ame en onrquEer singuliere, et je fus heureux |&
: ere aucune des personnes qui font usage de ces tables ne
Ls'en appercevra : d'ailleurs ces défauts sont compensés par d'autres petits |}
avantages , que lu justesse des cadres , filets , etc. |
| _ Les es que j'ai grayés pour cette édition sont plis forts que ceux de
[1 édirion d'Alex. Jombert ; j'ai cru que cet avantage étc it préférable à celui
pouvoi onde ndeur dans le format ; mais la su- |
que mes éditions doivent obtenir sur toutes celles qui ont été |
es , c'est que, dans peu d'années, elles seront absolument exemptes de fau- |
: intérêt général engo a tous les mathématiciens , d> quelque pays qu'ils |
ient , à m'indi les fautes qui auront sans doute échappé , quoique les | |
lépreuves , avant de souder et de fixer les pages , aient été lues plusieurs Fois |
Îlavec attention , et que depuis elles aient encore été relues deux fois. Je ferai
publier dans les journaux les fautes qui auront éré reconnues , et je s'engage | |

| 4

|:
11

#
r l
4
c]

sh an Fournir les feuillets, corrigés onnes qui auroïent eù
exemplaires incorrects. ones sn DE

= -à

iv é AVERTISSEMENT.
1l Je nomme ces twbles , stérdorypes, des mots réœo:, Lype, ereuèç, solide ,
APRES A en TEE
immobile ; je ne les ai pas appelées polytypes ,; mon procédé n'étant pus le
| mème que celui du polyty que je connois peu, mais dont l'idée, tres an-
| cienne, est ingénieuse ; cependant je ne croi: pus qu'on soit parvenu à faire pur
| ce procédé aucun ouvrage important , du moins je n'en connois aucun , et ce |
\ La j'en ai vu m'a paru trés peu satisfaisant , les caracteres n'uyant pas conser- |
{| éentreeux le niveau, et sur-tout n'étant que rarement bien formés ; d'ailleurs, |
{| ie doute qu'on puisse parvenir à corriger les fautes, comme j'y réussis par mou
procédé : peut-être n a-t-on pas encore trouvé le moyen de le perfectionner ;
mais, en hccordant au procédé du polytypuge toute la perfection dont il peut |
être susceptible , il sera toujours très inférieur au mien, puisque j'employe |
|le Curacteré au moment où il sort des mains du fondeur , Lou Le polyty-
| page n'en peut avoir que la contre-épreuve. |
1 La commission des travaux publics m'a confé l'exécution des tables cen- |
{| tésimales, in-folio, calculées par le bureau du cadastre ; j'espere que les ama- |
teurs de la T'ypographie s'appercevront que , pour lu premiere fois , elle aura |
répandu sur un ouvrage de mathématiques une élégance qui portera avec elle
son utilité ; et peut-être qu'entrainé par les avantages que mon procédé peut
piSeures au public, je pourrai, ne avoir été utile aux mathématiciens ,
être un jour aux littérateurs, en stéréotypant Virgile, Horace, et les bons
auteurs de l'antiquité, pret AE
|. NV, B. ( An 8. ) Quoique, depuis quelques années, j'aie imaginé un autre |
procédé Stéréotype assez connu par les éditions Françaises , Latines et Anglaises |
| publiées depuis deux ans, néanmoins j'ai cru devoir me servir de mon pre-
[| mier procédé pour l'édition des petites tables de Logarithmes que le citoyen
[| Lalande va publier, et que j'imprime actuellement. “esden ut , sovi |
{ prints ||
| à

AVERTISSEMENT DEF, CALLET.

C'est à Jean Néper , baron écossais , re nous sommes redevubles de |

| invention admirable des logurithmes. 11 publia cette heureuse découverte au |
1| commencement du dernier siecle ; dans un ouvrage lutin , qui a pour titre :
De mirifici logarithmorum canonis constructione (a } ; le système qu'il adopta |
d'abord fut celui des logarithmes naturels ou hyperboliques , qui ont l'unité
Al pour module. Henri Briggs , contemporain de Néper , composa un autre sys- |
| tème de logarithmes , auquel il donnu pour base le nombre 10, qui ést celle
de notre numération. Ce système ayant eu l'aveu de l'auteur des logarithmes ,
Briggs calcula avec quatorze décimales trente chiliades de logarithmes , savoir |
| ceux des nombres depuis 1 jusqu'à 20000 et depuis 90000 jusqu'à 100000 ; |
Jlcer ouvrage (4) : ‘un discours unglois sur la nature, les proprié-
Altés et les usages des logarithmes, parut à Londres en 1624 sous le titre |
1! d'Arithmétique logarithmique, Adrien Vlacq remplit la lueune qu'avoit luis- |
Al sée Henri Briggs ; il calcula en outre les logarithmes des sinus , tungentes et
{| sécantes de minute en minute , et uvec dix décimales pour tous les degrés du
art de cercle ; il publia ses grandes tubles, qui parurent à Gounde en 1628 %
les contiennent , avec dix décimales , les logarithmes des nombres depuis à
| jusqu'à 100000 ; les logarithmes-sinus , tangentes et sécantes des 5400 minutes
{| du quart de cercleet une arithmétique logarithmique écrite en kitin, et qui dans
quelques exemplaires se trouve traduite en français et en anglais.
| Adrien Vlacq calcuka ensuite avec dix décimales les logurithmes-sinus, co-
flsiuus, tangentes et co-tangentes de dix en dix secondes par le moyen des sinus |
flruiturels , etc. de l'Opus palatinum. Cette table précédée d’une trigonométrie |
[revtiligne et sphérique écrite en lutin et terminée par les 3 À > er chi-|
J\lindes des logarithmes de Briggs , parut à Goude en 1633 sous le titre 7rg0-
lnometria artificialis. La même année on imprima à Goude des tables centési-
| males que Briggs avoit calculées et dont il avoit prié Vlacq de soigner l'édition,

(a) Cet ouvrage est extrèmement rare. KW |
(5) 1 estanssi rare que le Canon mirificus de Néper je n'en ai vu qu'un}
Jiseul exemplaire qui m'a été communiqué par le C. Lalande,

AVERTISSEMENT

| À Eur H'ungenes sont calculés de seconde en seconde] |

| pour les premiers degrés.
|" 8°, Depuis années On a repris la division centésimale adoptée pae
Il Briggs ; on a fuit p s, on a subordonné à la même loi la graduation du g Ha-
| drant , c'est-à dire , qu'on a considéré l'angle qu comme une unité à lqusliel
| on a rapporté tous les autres ungles ; uinsi ; les angles sont mesurés par des
| Fractions qui ont pour dénominateur commun le quadrant ou quart de circon ||
Il férence, et pour numérateur l'urc que chacun d'eux comprend entre ses côtés, | |
Ce nouveau système exigeoït de nouvelles tables trigonométriques ; le C. Bord
| s'est occupé le premier de ce travail ; il y a plus de deux ans que le manuscrit ||
| est terminé, Je me suis livré à un travail moins étendu , et de tubles que je
{| donne ici peuvent être considérées comme l'abrégé de celles du C. Bord ;
on ÿ trouve les logurithmes-sinus, co-sinus et tangentes, por tous les dix-mil-
1! liemes du guadrant ; celles du C. 3orda offrent en outre les sp
|| tangentes 3 sécantes et co-sécantes , les | mt red rer différences |
trois premiers centiemes, inus, tangentes, etc. |
| sine calcelés de cent-milliemes en cent-mi mifiemes. J'ai trouvé le moyen del |
| suppléer aux à rage que j'ai faites pour me renfermer duns un n cadre donné. |}
| Fe Aie ris <e l'on trouve les sinus naturels et leurs logarithmes avec
ur chaque millieme du quart de cercle.
To. A Al autre de cette table , il en vient deux petites qui servent à trans-
imales dé quadrant en degrés unciens d et les degrés
anciens en parties décimales du quadrant. Une table destinée à r : remplir ce
second objet se trouve dans l'instruction sur les poids et mesures , » mais l'ap-|}
imation y est limitée , la mienne n'y met aucunes bornes
11°. J'aurois bien voulu y joindre les Len proportionnelles des des diffé. | |
rences ; n'uyant pas trouvé le moyen de les mettre à leur vraie ] place , A
| construit à part une table des parties proportionnelles qui sert aussi faut tables |
| Re | |
‘ai Este toutes les augmentations que j'ai jugées utiles : et dont la
pur nd ‘ont été demandées pur plusieurs savans qui se sont rt a me ||
donner des avis sur cette nouvelle édition ; 4) A ti À des conférences que
| is à ce sujet avec les C. C. ES: nde, Prony, Cousin, |
} Manduit , et des notes que m'ont détaoé CE: Delumbre , De |
L etc, Je dois faire une mention particuliere du C. Borda ; il a bien voulu me |
confier sès tables manuscrites , qui ont servi à la revision des Mae es des
| miennes. Le C. Theveneau, plein de sagacité pour Sr Los bed > ‘
d rela routes les épreuves, et collationné les tables cen les sur celles
| calculées au bureau du Cadastre, 2
Ons duns ce bureau , sous lu direction du C. se ' d'un un travail
| considérable, dont les résultats seront bien précieux ; tant par l'exa actitude
que qu par La correction. Voici la nomenclature des différentes parti
| , extraite d'une note qui m'a été communi uée p |
| Garnier. du bureau du Cadustre. 1°, Une table de sinus naturels ou en|
Lens du qua rayon ; calculés avec 22 décimales exactes, pour ( chaque dix-mil- |
| quart de cercle, et 5 ordres de différences : 2°, un tubleau offrant}
1] les tungentes naturelles , avec pareil nombre de dééimales , de centieme en |
Î| centieme , et tous ne de différences nécessaires, | pour i interpoler cent
| résultuts : 3°, une tu de logarithmes sinus et tangentes chaque cent-?
millieme du quurt de cercle, avec 12 décimales 4 et tr ee diffé
| rences : 4°, les logarithmes-rapport des ates aux sinus , et des tangentes ar
| arcs, pour les 5 premiers centiemes du quart de cercle, avec le même nom
| de et deux ordres de différences ; 5°. une table de logarithnt
| des nombres, depuis 1 jusqu'à 200000 , avec 13 décimales , et 3 ordres
‘différences : 6°, un recueil de tables sstronomiques , où les résultats de 1"
servation et du calcul sont ramenés à lu graduation "centésimale,
Tout ce que l'on peut desirer de SFA soit d’ex 2 FPT soit de Table
se trouve dans l'Astronomie de Lalande, en 3 v l'auteur : a ri
| ne avec autant de clarté que d'étendue, tout ce qui est nécessaire à
ét à la pratique de l'Astronomie tant sur terre que su rm mer.

Loge EE Casse or das lÈR, de l'Astro. po (170) pus Laz

EUR = + = RE a —— ——

—— — A —— a ——

PRÉCIS ÉLÉMENTAIRE
SUR
L'EXPLICATION DES LOGARITHMES, |
ET SUR |
LEUR APPLIGATION
Aux différens usages des calculs de la Géométrie-pratique ,
de l'Astronomie , de la Navigation , etc,

| EXPLICATION st USAGE DES LOGARITAMES. |
Définition dés Logaritkmes , maniere de les sæprimer.

1. Lisioritine raie d'un notre r kla |
| faut élever 10 pour avor ce ombre. À 3 oot ls logurithune de
1000, parce qu'il faut élever 10 au cube, ou à la troisieme puissance , |
]| pour avoir 1000. Dé même ! , ü dB ét Li Togaétéhése de 5,16137766 parce
1] qu'il faut élever 10 à la puissance ? pour avoir %,:6227766.
A fénéral, soit n = (10€ , on aura + z= ln.
DURE Le mie ds nombre itique Le brins de x none.) | |
ssances ont rithimés les éxposans de |
ne eng ire a Henri ris |
si ce nombre paree ge c'est la base dela numération Me
é écossois, à qui nous sommes redevables de ‘invention des |
rithr (LOTUS LE Ron ba ni ducfe sou de de "Mous en |
roas plus à t, nous nous boruons à dire que & |
Tan name de logurimes.
LITE 3 nous aurons + #2 L. n. Revenons aux logarithmes |]
À] vulgaires 1 il suit de leur définition que les termes de la suite décimale des |

at P à c io) : (ra): (10° Le Lio) 4: tie)” |

LIU * 0,008

Î ont repcsement pour ariime .

pr 5 ‘ 3 “ s —1 s —1 à TD,

|

ne, où ccmpes de lessounme du mio Dee dx |

| set d'une DRE Re Par exemple : 937 étènt compris entre ||
1090 où (10) et 100 ou (10° i son logarithme est à + 0:97175959 |
= 2,97175969. Le me ce étant compris entre o,1 où (10) " et
Rte ER cmd ALES Lu à: Le +

A

|
|
|
|

NX DES LOGANITMMES,

LU

pris entre ( 0) =" + - et ( 109 * » ON aura : |

. a + A. (A rimant une fraction décimale ) l'exposant x est
| ce qu'on appelle la câractéristique du logarithme de 4. Cet exposant est
| toujours un nombre entier positif, ou négatif , où zéro ; il indique la place
‘occupe la premicre figure significative du nombre a ; en dessus ou en {|}
x cas de celle des unités. (Les caractéristiques des logarithmes ne sont |
vint: éxprimées dans ces Tables, parcequ'on les trouve sur-le-champ et |}
Al à la seule inspection du nombre dont on cherche le logarithme.) Quant

| à la fraction qui fait partie du logarithme , elle est toujours positive.

| III. Lorsque la caractéristique d'un logarithme est négative , la fraction |
fl décimale qui l'acéémpagne étant telle qué les Tables la donnent , c'est-à- }f
| dire positive , en ajoutant une unité à La caractéristique et en substituant
à la fraction décimale. son complément arithmétique , on changera ce lo-
1] garithme en un autre qui sera entierement négatif. N
Par exemple, lé nombre 0,0937 a pour logarithme — 2 + 0,97173959 |
| qu'on peut mettre sous cette forme — 2 + 1 — 1 + 0,97173959, ou sous |
celle-ci — 2 + 1 — (1 — 0,97173959), qui se réduit à — 1,02826041. On |
| aura donc L, 0,0937 = — 1,02826041 ; expression tonte négative. Par où |
Plon voit que — 1 où — 2 + 1 est ce que devient — 2 , lorsqu'on lui a |
[| ajouté + 1 , et que 0,02826041 ou bien 1 — 0071735959 est le complé- |}
| ment arithmétique de 0,97173959. Pareillement si L, à = — 7 + À ,en ob-
servant que 7 + À =—n+Hi—iAZ=—-(n—1)—(1—A), ||
| nous aurons ; L, a = —(n—1)—(1—A). Logarithme entièrement
tif dont la nouvelle caractéristique — (# — 1 ) où — # + 1 est égale
| à la: premiere — # aügmentée de l'unité, et dont la partic décimale 1— A ||
est-le complément arithmétique de A. pans nt 10 |

I est néanmoins beaucoup plus commode de mettre ces sortes de

l Ne sous la forme de quantités positives , il ne faut pour cela que

+ à leur caractéristique son complément arithmétique ; ainsi au |

| lieu de — 2 + 0,97 175959 k nous pouvons écrire + 8,97173959. Mais ce |
0e g

?

logarithme étant celui 7000000 gi est bien différent de 0,0957, ne
| doit-on pas craindre de sé tromper ? Nous observerons qu'une telle erreur |
[| seroit trop grossiere pour que le calculateur, dans le cas où il se seroit mé-
pris ce qui est bien rare,,.ne s'apperçüt pas d'où elle seroit venue. Il
connoît les nombres sur lesquels il opere, et sait à très peu près de quel |
| re seront ceux qui résulteront de ses opérations ; iln’est donc pas possible |
qu'il se trompe de dix ordres, Si pourtant on,vouloit éviter tout soupçon
on. dans les logarithmes qui appartiennent à des nombres plus grands |
que l'unité, on pourroit séparer par une rene la caractéristique de.la
partie décimale ; et mettre un point au lieu de la virgule, dans ceux qui |f
fl appartiennent à des nombres moindres que l'unité , ainsi qu'on le voit |
lans la table suivante. , nr
1] Logarithimes. . |
0,54321 1 « | 9.549678" ||
0,064321 , 8:7549678
0,0054321;, | 7:7549678.
0,00054321 67549678 |
0,000054321 + 6.7349678
0,0000054321 « 47349078
0,000000$432 3,5549598
0,00000009435 |; 2.7547998
6,0006600d54 "1 "|. 1.732%938
H0060000008 » __e.6989700

LEURS PROPRIETES.

PROPAIÉTÉS D£s LocaniTHMEs.

V." Représentons para,8,c, d, etc. des nombres quelconques dont
les logarithmes soient respectivement L. a, L. 4 » L. c, L. d, etc. ;
MOous aurons évidemment ces équations | |
L.a. B=(10)"?, cæ (io); d=(10}." 42, etc.

lesquelles multipliées par ordre , ou divisées de même , donneront
a X bB=(10)2 x (103$ 2 (10) a+L.é, |
donc :L.(a X h)=L. a+ L. 4. Pareillement
aXbKc x d=(10)L* 2 x (1918 X (101 © x (10)L- 4
L.a+L.B+L.c+L.d, |

= (10) ;.
donc L.(aXBXcxd)=L.a+L.b+4+L.c+IL d: de même
.& L.a—L.b
a _(1o)
BP LS (10) ;
(10)
donc L.5=L.a—L. b. Pareillement . —
axe Go)" 5x Gone Letle—Lé-r.a

(20) +. b X (10) L-
donc L (Ts) =Le+Le L.b—L.d. |
Ce qui nous apprend 1°. que la somme des logarithmes des fa:teurs d'un
roduit est é Ê au lo anithme de ce produit ; 2°. que la différence des
ogarithmes des termes d'une division est égale au. logarithme da quotient
de cette division. Notez bien que c'est le logarithme du diviseur qui a le
signe —, et que par conséquent , c'est lui qui doit être retranché. Ainsi

L:5%4 _L. 504 — L. 21, et non pas L.21 — L. 5o4. Cette difference
21 |

+. 9
donneroit le logarithme de 2 = 2 , et non pas celui de +4 = 24.

Telles sont les propriétés fondamentales des logarithmes , d'où dérivent
toutes les autres. | .

Il suit de la premiere que
* L.a? =Li(a x a) = L.a+ L.a=—n.L.a. Pareillement

L. a = 3, L.a; L. af — 4.L. a; et en général

ef nn
+ mo wo © ro
en —— x

Le = n.L. a; c'est-à-dire, que pour avoir le logarithme d'une
antité a élevée à une puissance dont l'exposant est n, il faut multiplier

Le logarithme de a par l'exposant #; d'où il suit que pour avoir le loga-
rithme de la racine quarrée , cubique etc. d'une quantité quelconque , il
faut diviser le logarithme de cette quantité par l'indice de la racine ; ainsi
1:

1
La" = }yL.a. En effet,

+

Jr n
L.(a®) =nX1.L.a,;ouL.anñ=;L.a; ou , enfin
n

£

n
L.a'=:1 X L.a, équation identique. Donc L. a" = =L.a.

°

LL … (ROPAIÉTÉS DES LOGARITMMES,

=

JANTES,
On a de même L. a "} L, a ; ainsi la régle que nous venons de 4é-
| duire dé l'équation L. = n L. à est générale ; elle s'étend aux cas où
{| # est une fraction quelconque.
Il suit dela seconde propriété des logarithimes que L. == —L. aj car
| L=L. 1—L,a = 0—L. a. Pareillepent L. — = — #L,a,ce qui |

Î| à lieu, soit que » désigne un entier , soit qu'elle exprime une fraction. |
Pareillement

L.(2) = n L. (5)=" X(L.a—L.5); de même

a . Le. P |
|” Sr) =m.La+n.Lb+p.Le—g.L./f
her,
] —7.L.s—sL.h. Ainsi des äutres.

| VI. Pour ramenèr, autant qu il est possible, toutes les opérations numéri-
(Il | vx à des additions, on a coutume de substituer aux logarithmes affectés
Il signe — , ce qu'on nomme les complémens sé vécag meer male apnée
1] plément du logarithme d'un nombre est le logarithme du réciproque de ce
| nombre, Deux nombres sont dits réciproques l'an de l'autre quand leur
produit équivaut à 3. |

| ainsi 3 ou À ec + sont réciproques l'un de l'autre ; parce que 5 fois fone |]
[| À où 1 ; de même 2 ét% sont réciproques l'un de l'autre , parcs que |
[ÉxT= 221 En général 2 et} sont réciproques l'un de l'autre, |]

Puisque a X= = 1j 6 X 3 == 1j 0104
nous aurons L, & + L. == L. 1 = 0; co qui est évident, puisque |}

| L.==— La Si nous désignons par L'. le complément d'un loga- À

| rithme , nous aurons L', à — —L. a; L', b —=—L,b, etc; ; et nous.

| pourrons substituer L', &, L'. 6, partout où nous aurons — L. a—L,4, |
ete. ce qui nous donnera des formules où il n'entrera que des logarithmes |}

| positifs. On aura ; pat exemple : À

| L.(5) = L.a+L'.b. Ainsi des autres.

J| Souvent au lieu du complément d'un logarithme on lui substitue ce qu'on

nomme son complément arithmétique , c'est-à-dire ,un nombre qui . ajouté

h ce logarithme, donne une somme égale au logarithme d'une puissance

| entiere de. 10 telle que (10) , dont le logarithme est 10 ; mais dans ce cas
Î| on commet volontairement une erreur par ces &ortés de substitutions ; il :
| faut la corriger, ce qui se fait en supprimant du résultat, autant de di- |
xäines qu'on à torroduié de complémens arithmétiques. |

{| Pour trouvér le complément d'un logarithme , ajoutez une unité positive
| à sa caractéristique , puis changez son signe; retranchez ensuite de neu/

LLEOR INVENTION.

ch que figure ré de la

ristique ; aînsi le comple |

L. 8 — 0,9030900 est L'. 8 —— : + 0,0969 100 qu'on a coutume d'écrire |
flans: 7, 0969100. Le signe — placé au-dessus de là caractéristiqué i , |
|! n'affecre que cette caractéristique. De même L. 54521 = 4,7549678 a pour

| éomiplément L', 54321 =5, 2650312. Paréillement L. t660 = 3,0000660 à |
| pour complément L’. 1000 — 3, 0000000. Pour avoir le complément arith-
] métique d'un logarithme , il suffit de retrancher de 9 tous les chiffres de |
[| cé logarithme, excépté le dernier chiffre significatif à droite qu'on retranche |
de 16. Quant aux 2éros qui viennent après ce dernier , on les écrit tels qu'ils |}
J} sont. Aïnsi le complément arithmétique |
Jl dé est 9,0969100 ; celui |
ll de 4, 8 est 5,2650322 ; celui
Îl de )o est 7,0000000 ; ainsi des autres.

Inxvexrion pes LocaniTrumess,

VIT: La détermination des logarithmes des nombres qui sont des puissances |
le 10, n'a présenté aucune difficulté à l'inventeur des logarithmes., |
re À été de même de la récherche des logarithmes des autres nom-
A Woïci , à peu de chose près, de quelle maniere on a procédé à cette |]

E ” a formé r des extractions de racines quarrées, une table des pui |
D 5 nt Lee apps dicroislent vai M Loi dos termes delle À
fl progression sous-double ; et à cûté de ces puissances , on a écrit leurs ex- ||
posans , comme on le voit dans la table suivante , où

| E à 3 2 L |
| A= (10) ; B = À° = (10Ÿ ; C=B mé Caof e r 2 rat
Ainsi des autres , jusqu'au soixantieme M" qui est égal à une puissance de
:

to dont l'exposant est a

Il suit de la construction de cette table que si, dans l’une quelconque des
nces de 10 qu'elle offre, on ne prend que deux fois autant de dé-
ci Aya dé Séros à la voies de Fasieé : 1 partis décirasie de toits
sera la moitié de la partie décimale de la puissance précédente , |
ne prenant pa# plus de décimales dans cette précédente que dans celle |
dont il s'agit.
A Es ee cb, ayant seize zéros à la suite de l'unité, en
me bornant à trente- deux figures , j'aurai, 1" — 1 —2:(H"— 1); j'aurai ||
de même , en me bornant à trente-quatre décimales , À trente-cinq, à trente-
six, etc, L'—3={(K"— 1); M"—1=5(L"— 1); etc. : or dans
Al la suite des logarithmes ou exposans de ces puissances on ai" —1A";,,.,
| F=; K";m"=21l" , exe, Nous aurons donc la suite de rapports égaux.
AI Hu ist sn 2 As KM: ML" — 1, etc.
C'est-à-dire quand un nombre ne surpasse l'unité que d'une très pe- ||
tite quantité , RE éiers du logarithme de ce nombre É' Elné nombre,
de l'unité , est un rapport constant. En divisant m" par M"— 1,
fl on trouve que ce rapport est
M oo, 45429 44819 03251 8276. Pour l'obtenir avec un plus grand nom-
Al bre de décimales , il faut prolonger la table suivante jusqu'à ce qu'on
NE. dus du lanké antte à Sv6 qu'on ‘tens de mien dits cé

Er — ss |

NH Hem mOZEH mutOon How |

=

es

HARmIO maDNOEm >

y ss

C
1,

15478

1.074060 :

03663
o115

Cr NC

= CROIRE

00000
CouUVO

« CHAN

Oo00oo

«OL

CHLORE

« CLNLI ONC)
. O0

Lelpihinle]

« CHMIOU
«OC
« DOCUNT
00000

- 49413 0098709 87588 5{a64 341283

00000 00016

TABLE
des Puissances fractionnaires de 10.

3 16227 76607 6839 331 35 L2 LS Satis rés le F
7er ce 3 79 ee. 29 us 44 Le premier nombre de cette table , ut
335a 14321 63324 02667 59316 38

désigné par la lettre À, est la racine
Ra03 89458 17966 61828 538 quarrée ou la puissance À de 10, Le

83 21357 dg7ar 59415 260 |
7 49 941 second nombre dési gné par D, est la
29284 37697 Q 16517 222 Â

17a17 18181 84147 42268 8723 racine quarrée du premier nombre
5044 4

41447 43775 92544 2324 À : et par co Loos D
73642 54462 51 bé 4 gi toi RÉ PA aa ge |
11482 g2912 91546 56736 38702 T'atrieme où la puissance - de 10.
Pareillement , le troisieme |

23196 02208 63661 #5113 67769 nombre Cest la racine quarrée

\ 11167 87780 1259 g2373 6 z49 2 du précédent B , et par consé- |

09485 16947 25810 27711 878. u A
02717 Bo 17 43553 88236 386; 5 Quent , la racine buitieme ou

£ 1 :
51352 77461 85660 85823 35850 tr la puissance = de 10, Il en

25674 Bddaa 67383 3%472 65272 48 est de mime du quatrieme ;

7 09634 Girard 65743 15618 70 : | "Rèr -
43918 49173 16723 62820 01488 É84 2 est la racine quarrée du
21959 18675 55420 33171 37517 839 troisieme, ou la puissance

I = =

10979 58735 on0d0 97547 50577 go2 = de 10; du cinquieme qui |
05489 709816 arr 46266 17596 8447 est la racine quarrée du |
02744 89570 73 5og1a 62045 7162 x | ; |
or$7a 44775 5108 32816 09408 7655 quatrie ne ou la puissance |}
00686 22385 ünion 57371 893bg 45757 x; de 10; ‘et ainsi de |l

00343 11192 2a188 39127 51151 17205 suite.
00171 55595 96378 d7r9g 3ya62 209912 ,
00083 77797 od$1o Joñir 70124 08588 2

“00042 48698 96335 d1y84 29131 68398 o

00021 444ig 47937 77074 29764 05310 2

00010 72224 73g1r 40507 Gorg7 920943 40
ra J6od1 331717 h tr 420 2
00002 68056 18467 07315 13004 7244 1
00001 34028 og23a 63839 ga78r 11130 503
00000 67014 04616 09465 55199 12494 465

onooo CE 02307 OO11 1720 72359 73
00000 HE AE goss 185 4044 1135
o00no 0370 755: 7a7 A4 10 7
00000 of 188 D7788 ous 90880 1.{cÜo 8530
00000 020y4 18894 24616 02626 4oüy{ 00{20

oN000 O104 47 12302 53109 78762 Q5393
CON 00523 pe 5614g 89504 03985 70
COUVO 002Û r 77361 7ho74i 60489 30h13 med 9
UdON0 ouro tel) 80037 a1678 gr484 Giz8g 7
00000 00065 44340 44518 58698 0678a ogb47 ©

on000 00032 72170 22259 28813 Grgo1 Grorr 74
$6085 11129 64273 00078 37802 5
00000 00008 180{2 55564 82103 ojo71 07475 75
00000 00004 ogorr 27782 41043 15543 50884 r dia
OUGIO DOUOR 04510 638ur 20510 486048 74726 G13

00000 00001 02255 31945 60259 22043 Gar84 750

ovono von0o Srra7 G5y7a 80129 47951 62297 7981
00000 00000 25563 82986 40064 2 26450 2211
00000 00000 12781 914ÿ3 20032 34537 24550 44fr
00000 O0UO0 oû U5746 60016 17064 40106 556gr

00000 00100 03195 47873 30008 08481 r4511 re
00000 00000 ©1597 73046 Good o{227 80670 01433

00000 00000 00798 86964 1502 o2110 71338 62179 7 |
00000 00000 00309 43184 16251 01054 55895 21452 7
oouuO 00000 O001ÿÿ 71742 06125 50527 08004 08317 5

Logarithmes ou Exposants des puissances fractionnaires de 10.
a 5 Soient 1+-p, 14-917, 1+8,e1c. des termes consécutifs
0.25 de la suite des puissances fractionnaires de 10, on aura,
0. 0625 63 6514 915 Et 6515 63.r _ __4
003125 © "64 2048 + 32708 262144 BETETE 2097172
Zim 195€ . 1558 37

0.01562 5 ne me me he me ne me l
000781 25 V— 3 512 406 16384 + 55768
000390 625 15 35.8 19r q 21p° _ c

tCe
— etc.

0.001095 3125 nu —

0-.00097 65625 716 128 + 512 1024 + 2608435450

4 $
000 —7:_7,9 7P 205 p
£ — —— — D nn — etc.
cod paire DUT 3164 134288 + 3358608 |
0.00012 20703 129 4 3 P
0. 00006 10357: 5625 5—5"_9 P_ _#Pp IT — etc.
0. 00003 05175 78125 4 8 1024 31768 26214

* Sp 3ypt 119p°
0-00001 52587 89062 5 r—1._P_. °P___27P TTIP. — etc.
0.000000 6208 9453r 25 2 32 128 2048 8:ya

O- 00000 146 97265 625 3 3 6 5
000000 19073 14632 8125 g=P_? +P Sp + TL — etc.
0.00000 09536 74316 40625 2 8 16 128 256

0.00000 04768 37158 20312 5 Pour les dix ou douze premiers termes de
84 15579 10156 25, Ja suite en question , l' der
0.00000 01192 09289 23078 125 question , | usage de ! extrac-
0-00000 00596 04644 g 9 0625 tion dé la racine quarrée est préférable
20000 00298 02322 38769 53125 à celui de ces formules , mais on peut

0.00000 00149 01161 19384 76562 5 ] l
O 00G00 00074 50580 59508 76562 25 es app quer au calcul des termes
7

0.00000 00037 25290 20846 19140 625 #UiVans , et plus on avance dans la

0-00000 00018 62645 14923 09570 3125 suite, plus] 1
0: 00000 00009 31322 57461 54785 15625 nes de sorte que or
, .

0.00000 00004 65661 28730 2 57812 5 3

0.00000 00002 32830 64365 74598 2 25 mule s = —? suffit
0-00000 00001 16415 32182 6y348 14453 125 4

0.0000 00000 58207 66091 31674 07226 5625 pour calculer les dix
000000 00000 29103 83045 67337 03613 28125 derniers.

0.00000 .,..,.

00000 14551 91522 83668 51806 64062 5 La mèmetable setrouvedans

00000 07275 95761 41834 25903 3203r 2 ,
637 97880 7091 Ta951 66015 625 Celles de Wlacq ; l'applica-

UAN4A Frone MOBH= Hem em env:
|

.2" [.. 00000 a
P'|..00000 01818 989140 35458 56475 8 8125 tion de c table m'a
q’|..00000 oogog 49470 17729 28237 91503 90625 . gite .
o' fait soupconner qu'il
«00000 00454 74735 08864 64118 95751 95312 5 . :

s, ..00000 00227 3367 54432 32059 47875 97656 25 pouvoit s y être glissé
L,|..oo000 00113 66683 77216 16029 73937 98826 125 une. ou plusieurs
4 ,|.-00000 00056 84341 88608 o8o14 86968 99414 0625 : f: ‘ai
Y”|..o0000 00028 42170 94304 o4007 43484 49707 03125 lautes que ]

, reconnues et
x/1..00000 00014 21085 47152 02003 71742 24853 51562 5 :
Y'|..o0000 voo07 10542 73576 o10o1 85871 12426 75781 25 corrigées.

..00000 00003 55271 36788 00500 92935 56213 37890 625
-.00000 00001 77635 683y4 00250 4646 5106 68945 3125
-.00000 00000 88817 84197 00125 23233 69053 34472 65625

0.000000 00000 , « …e

00000 44408 92098 50062 61616 94526 67236 32812 5
..00000 22204 46049 25031 30808 47263 33618 16406 25
..N0000 11102 23024 62515 6504 23631 66309 08203 125
..00000 05551 11512 31257 82702 11815 83404 54101 5625
..00000 02775 55756 15628 Yr135t 05907 91702 27050 78125

..00000 0138 77978 07814 45675 52953 95851 13525 39062 5

. 00000 00693 893Y o3yn7 22837 76176 97925 56762 69531 25
00000 00346 94169 51953 61418 88338 48962 7838: 34765 625
..00000 00173 47234 75976 $o7n9 44119 24481 39190 67382 8125
.. 00000 00086 73617 83-088 40354 72059 62240 69595 33691 40623

L

14 ENVENTION DES LOGARITHMES.

] rapport. Voulons-nous trente-six décimales ; en désignant par Z” le cent-
j vingtieme terme de la table précédente ; et par s° son logarithme, nous
1 trouvons que |

Z" = 1, 00000 o0000 00000 00000 o0000 00000 00000

17522 724923 22535 18356 63804 51477 54413 30

#” = O0, 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000

07523 16384 52626 40050 99991 3838a 22372 55

Par conséquent |
77 = 0 "4429 44819 03251 82765 11289 18916 60308 2

Ce rapport est ce qu'on nomme le module des tables ; nons le désigne-
rons par À.

Cette propriété reconnue, voyons la methode de Néper ; et pour fixer
les idées, appliquons-la à la recherche du logarithme pe 3.

Faisons une table des rissances sous-doubles de 3, comme nous en
avons fait une de celles de 10; en désignant par Z le soixantieme terme
de cette table, mous trouvons

= 1, 00000 00000 00000 00095 28942 64074 58932 141

Ce nombre ne surpassant l'unité que d'une trés petite quantité, nous
aurons sensiblement
1L.Z:Z2—1:::k:1; d'où nous tirons L.Z—(Z2—1)X A; ou
L.Z = 0, 00000 o0000 00000 ooa41 38367 20724 85420 05

or L.Z=L(5)(:) donc L.(5)= L.Z x (27°

eu L.(5)=—0o, 47713 12547 19662 4573.
On trouvera de même le logarithme de tout autre nombre.

La base & et le module # d'un système de logarithmessont deux nom-
| bres qui dépendent tellement l’un de l'autre, que le choix de l'un d'eux
| étant fait, l'autre se trouve fxé par ce choix. Si l'on choïsit pour base
| un autre nombre que 10, le nombre 5, par exemple, c'est-à-dire , sil'on.
| fait L.(5)=:1, on auraL.Z —m""; et, en nommant K' le module, on
m° _ 8673617%79884035
MUR Z—:1 95218042640745893
Y Le choix d'une autre base détermineroit un autre module.

| Réciproquement , le choix du module, détermine la grandeur de la

ls per

| base. , nous faisons avec Néper , À = 1 ; en nommant à
| la base qui conyient à ce module, neus aurons

© CO Ce ee Ce ne

—— = D um ————

= K = 0, g10239226625935

J
IL b=1; () xX Lb=m';1 tuer L
| a
dencé = (1 +m) 2). Faisant le calcul on trouve
b=— 2, 71828 18284 59045 23556.
Pour l'avoir avec trente - six figures , il feut eraployer la valeur de z°
trouvée ci-dessus ; elle donnera,
b:=2, 71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 8
On peut ppliquer la table précédente à la recherche des logarithmes,
é dex

sans être obhg traire des racines , ainsi qu'on va le voir.

Un nombre étent donné , trouver son logarithme.
Solution.

VIT. Transposez la virgule de maniere qu'il n'yait plus à sa gauche qu'une
| seule figure significative. Le nombre donné étant ainsi préparé , cherchez-

—

= = ——— — = a

VAN TION de LOGARITHMES.

enfin à ce logarithme une ca- |
Fnités positives ou négatives qu'il y aura eu

| franchies la vi y ren es a TE 19 < h |
TRE TU
Qu'ilsoit question , par exemple , d'avoir le logarithme de 11 , avec vingt |
“Je le ainsi 4,4 |
3,1 t compris entre D et E, je le divise par E; et j'ai
M = Q= 1, 02562 gu5o, ete
Ce premier quotient étant compris entre Fet G, je le divise par G4 il |
m'en vient un second, puis un troisieme , puis un quatrieme, etc. que je
divise respectivement par 1, M,N,R,T,U,X,Y,F'et H'; cette
D bien ne done ta potes
| Q — 1, 06000 00000 25841 22491 48.
J'en ête l'unité , PONS APE SE
©, 00000 00000 11222 70138 61 =" (|
is tne somme des logarithmes e,g,i,m,n,r,t,u,æ,y, f", h et q |

fie 12 us somme parce que la virgule a été rransposée d'une place |

| Tu, 5805 04076. |
On trouvera de la même marÿere le logarithme de tout autre nombre.

DRE lager eurre 1 6 10 un soir pare phone | ||

prenne Ps imaginé des mayo |
expéditi logarithmes r
Das De pra pas DD dupaices 23 lines de Utd D

Disrosrrron pas Tasres px Locantrumus, |

table est toute simple ; elle contient les nombres ma- |
"à 1200 , disposés suivant leur ordre en plusieurs co- |

|
}

> s 4 | à ht ».
16 DISPUSITION DES TABLES DE LoGanritumes,
|

_ —_ = —

du nombre auquel il appartient. On n'a pas mis de caractéristique aux |
2 mm dE id be a connoît aflment À la seule inspection du nom- |
bre, etque d'ailleurs il vaut mieux n'en pas mettre; car s'il y en avoit |

| une, il pourroïvse Faire que le calculateur se trompät , et copiät celle qu'il
Il FR 0 les Yeux, au lieu de celle qui conviendroit à son logarithme. ‘|
| . . Certe Table est nommée Chiliade I, parce qu'en effet elle contient les
| logarithmes du premier mille. Chiliade est un mot grec francisé , qui si-
grie ras aq de mille unités ; de même que centaine signifie assem- |
ge de cent. nl

point
x Des =. : 000 A 4 |
Mais qu'on ne s'y trompe pas ; chaque nombre isolé est censé écrit {f
{| au-dessous de lui-même , et vis-à-vis chacun des nombres de quatre chif- |
Al fre ‘qui sont daris là même colonne, autant de fois qu'il est nécessaire |
que chaque ligne soir pm ge dône qu'on ne troûve vis-à-vis
un certain nombre que quatre chiffres dans la colonne marquée o , il Faut |
écrire vers la gauche de ces quatre chiffres le nombre isolé de trois chif |
fres le, plus prochain en montant. Au-delà de 10000 les nombres isolés
ontquatie figures, RL, - |
l'autre , la partie dé- {

17 "AT. Lorsque deux nombres sont décuples l'un de |

| cimale de leur ithme est la: mêrne ; ainsi l'assemblage des: deux pre:

| mieres colonnes nous venons de parler ; donne aussi de dix'en‘dix |

| des logarithmes des nombres compris entre 10200 et 108000. Pour trouver |

| les logarithmes des nombres intermédiaires , il fut avoir recours aux &o-

| lonnes marquées 1,12, 3, 4, etc. Ces colonnes contiennent les quatre

_ dernieres decimales des logarithmes des nombres terminés par les chiffres

| qui sont en tête de ces colonnes, Ainsi la colonne marquée o contient gs

Îl quatre dernieres décimales des logarithmes des nombres compris entre 10206 |}

| et 108000 qui sont terminés par un zéro ; et en outre lés nombres isolés [à
dont nous avons parlé, et qui sont aussi censés placés à la gauche des
chiffres que contiennent les autres colonnes, La colonne marquée 1 con- |

| ‘tient les qüatre derniers chiffres des logarithmes de tous les nombres ter- |
rñinés par 1 ; la colonne marquée 2, ceux de tous les nombres terminés par |

| "2 ; la colonne marquée 3 , ceux de tous les nombres terminés par 3; et
ainsi de suite jusqu'a neuf. On a par ce moyen une Table à double en- |

| trée, dans laquelle on consulte d'abord la premiere colonne marquée N ; |

| et lorsqu'on y a trouvé les quatre premieres figures du nombre dont on

| veut avoir le logarithme , on suit de l'œil la ligne sux Jagpele ils songe ju

| qu'à ce qu'on soit arrivé à la colonne au haut de laquelle se trouve le der- |

Al nier chiffre du nombre donné ; alors on a sous les yeux les quatre derniers |k

e
ii

1 que celles du nombre de secondes donné. Enfin si le nombre donné surpasse ||

+

0]
USAGE DCS TABLES DE LOGARITHMES.

mm ER, ES A ESS —— _—_

| re on ecpndiel 83° 39", je er s X 30° de 83", et ayant trom-|
| 4

|
|

7" 59" —85659", j'y ajoute 2 X 108000!" ou ||

= 85° 47! 59" ; ainsi des autres.

| minutes qu'il contient; s'il est moindre la

[| colonne troisieme , on verra au haut

miere, les

| 10800 et

| let en ayant trouvé les autres chiffres dans la colonne troisieme, on verra au ||
haut de la page, et dans la colonne seconde , les dégrés , minutes et dixaines de ||

| secondes qu'il renferme. Quant aux unités de secondes, elles sont les mèmes

| 108000" , on en ôtera 108000” autant de fois qu'à y sera contenu ; et ayant

transformé le reste en degrés, minutes et secondes , au nombre de degrés trau-

| vé on ajoutera autant de fois 30° qu'on aura ôté du nombre donné 108000".
| Tout ceci est trop simple pour avoir besoin d'être éclairci par des exemples.

Usage des Tables de Logarithines.
Proszème Pasmien.

XIV. Un nombre quelconque étant donné , trouver son logarithme par
le moyen des tables.

Quelle que soit la place qu'occupe dans la suite décimale la premiere f-

| gure signilicative d'un nombre, on le considérera d'abord comme s'il étoit

| nable

entier , sauf à donner ensuite à son logarithme une caractéristique conve-
dE. * ft. en \éet _

1. Cas. Sile nombre donné est moindre que 1200, on le trouvera dans

| la premiere chiliade, parmi les nombres naturels qui sont dans quelques
| unes des colonnes marquées IN. Le nombre qu'on trouvera à sa droite,

sur la même ligne et dans la colonne suivante, intitulée Log., sera son lo-

rithme , aprés qu'on y aura joint la caractéristique qui convient à ce loga- |
D où Et à 1, +2, +5, 74, étc., selon que le |

rithme , elle est toujours
premier chiffre significatif du nombre occnpe la premiere , la seconde, la
troisieme , la quatrieme place, etc., au dessus ou au dessous de celle des
unités. Le signe +- a lieu quand le nombre est plus grand, et le signe —

lorsqu'il est moindre que l'unité. Observons encore qu'au lieu des caracté- |

ristiques — 1,—2,#—53, etc., il vaut mieux mettre leur complément

| arithmétique 9, 8, 7,etc., afin d'avoir des logarithmes entièrement positifs.

—

» L d = s
2. Cas. Si le nombre donné est entre 1020 et 10800, ou ce qui revient

au même, s'ila quatre chiffres significatifs , (les zéros , lorsqu'ils sont pré-

| cédés er suivis d'une ou de plusieurs figures significatives , sont regardés |

| comme chiffres significatifs), on le cherchera dans la table qui vient après |
1! la chiliade 1 , et l'ayant trouvée dans la colonne intitulée N , on cousultera |

la colonne suivante marquée 6. Si l'on y voit sept chiffres de front dans

| l'alignement du nombre naturel, on aura tout-d'un-coup la partie déci-
}| male du logarithme cherché ; maïs si l'on n'y trouve que quatre figures, elles

fl 5- Si le nombre étoit 5,998, la caractéristiqne serait zéro ; elle seroit 1,

nn

donneront les quatre derniers chiffres de la même partie décimale; ensuite

L
et |

|

on remarquera qu'il regne à leur gauche une marge ou espace blanc; on |

suivra cette marge en montant , et le premier nombre de trois chiffres qu'on

y rencontrera, exprimera les trois premieres figures de la fraction déci- |

male du ithme cherché. Ecrivant donc ce nombre vers la gauche des
quatre chi qu'on a déjà trouvés, on aura un nombre de sept chiffres

780065 sur la mème ligne et dans la
% | M

exemple, à côté de 5998, je trouve
colonne marquée o ; j'ai donc tout-

e je cherche ; il ne me reste plus qu'à y joindre la caractéristique

©”

e

| comme ci-dessus : enfin on y joindra une caractéristique convenable. Par |

un-coup la partie décimale du loga- |

= — = — — om
.

| chacun dés des dires che dx nombre donnd. Eclircimons co pas
j| des piles. a lo une vir À
[| Les cing premieres figures vers la gauc DÉUT
j Essen Br 2 de 54567 ie tronve er Ar di *
| plus prochaine est 126 ; je la multiplie par 0,89 , ce qui produit 112,14; ]
supprime les deux Los chiffres ra Fa et Mass 1 “2 au logarithme À à
| 5586617 ; la somme 0,5386729 est la partie décimale du logarithme cherché,
et ce logarithme est 6,5386729. J'aurois pu me dispenser de multiplier 126
par 0,89; en effet, Mesa Bale je trouve dans la petite table qui
Îles au-dessous de 126, que 101 répond à 0,8, et que 113 répond à 0,9,
Îl c'est-à-dire que 126. X 0,8 — 101 , et que 126 X 0,9 — 115: donc 126 X
1 0,09= 11 : donc 126 X (0,8<+0,09), on 126 X 0,8q9= 101 +11 = ta
| comme ci-dessus. L'opération se réduit donc à supprimer le dernier chiffre
11 de la partie de la différence qui répond aux centiemes du nombre donné , et
[| à l'ajouter à celle qui répond aux dixiemes. S'il y avoit des milliemes, on sé-
|| pareroit les deux derniers chiffres de la partie qui leur correspondroit.
| 6. Cas. Silessix premieres figures significatives du nombre donné étoient
| comprises entre 102000 600 , On tronveroit comme ci-dessus le loga- |
rithme cherché, dans le c4$ même où le nombre donné seroit composé de
neuf chiffres significatifs ; mais alors il faudroit en séparer par une virgule |
[| les six premieres figures vers la gauche. Veut-on, par exemple, le logarithn |
_ du nombre1003%0627, 9, je le mets sous cette forme 100306, 279; je cherche |
| Le logarithme de 100306 : je trouve 0,001 32691 ; la différence la plus pro- |
chaine est 453 : je la multiplie par 0, 279, le produit est 120,807 : je sup- |
|| prime lu partie décimale 0,807 ; mais parce que 0,807 est beaucoup plus}
| près de 1 que de o, je fais r une unité sur 120, ce qui donne 121, |
| que j'ajoute à 0,001326g1. La somme 0,00132812 est la partie décimale
| du logarithme cherché, et ce logarithme est 7,00132812. J
J'aurois pu faire usage de la petite table qui est au-dessous de 433 ; jan |
| roïs trouvé dans cette table que 87 répond à 2; 305 à 7; 390 à 9; j'aurois
supprimé où plutôt séparé par une virgule le dernier chiffre de 305 et les
deux derniers de 390 : j'aurois ajouté ensemble les trois nombres 87 ; 30,3
et 3, go ; la somme auroit été 121,2, ou simplement 121 comme ci-dessus,

7. Cas. Si le nombre donné est composé de neuf figures significatives ,
| dont les six premieres expriment an nombre plus grand que 108000, on
choïsira un nombre de deux ou de trois chi , par lequel divisant où
multipliant le nombre donné, on obtienne un quotient ou un ie qui
rentre dans le cas précédent ; alors la somme ou la différence du logarithme
_ du nombre choïsi et de celui du quotient ou du produit obtenu, sera le
ithme du nombre cherché. |
e choïx du diviseur où du multiplicateur dont nous venons de parler,
n'a point de difficulté. Le diviseur est toujours exprimé par les deux ou les |
| trois premiers chiffres du nombre donné , et le multiplicateur, par les deux ||
| où les trois iers chiffres qu'on trouve en divisant 101000 par les troïs |
premiers chiffres du nombre donné. Rendons cela sensible par des exemples. ||
| 1! Veut-on le logarithme de 2908882090, je choïsis 29 pour diviseur ; je di- |
vise 290B88209 par 29; j ai au quotient 10050627, 9 ; je cherche le loga- |}
rithme de 1003062 9, je trouve , comme ci-dessus, 7,00132812 : je prends ||
| dans la premiere chi iade le logarithme de 29, qui est 1,46239800, auquel ||
ajoutant 7,00132812 ; la somme 8,46372612 est le logarithme cherché. |}
Veut-on , pour second exemple , le logarithme de 3,14159265 qui exprime
le rapport approché du diametre à la circonférence , je divise 10,1000 par |]
11 5,14; le quotient est 3,21 : je multiplie 3,14159265 par 3,21 ; j'ai au pro-
duit 10 0845124065 : je cherche , comme ci-dessns , le logarithme d2 |
11 10,0845124, en are les trois derniers chiffres 065 qui ne peuvent pas ||
| produire une unité d'erreur dans la neuvieme figure du logarithme je trouve /[]
1,003654go : je ds dans la iexe chiliade le logarithme de 5,21, qui {|

ER

Em =

Æ—

USAGE DES TABLES DE LOGARITHMES.
EERR

EE 1 1
_- hs ox æœ À nat CP | fig À À me .,

[| nombre sera dans la colonne marquée N qui précède immédiatement celle
}! qui contient le logarithme donné , et dans l'alignement de ce logarithme,
| 2. Cas. Si le logarithme ne se trouve pas dans la premiere table, on.
Î! cherchera les trois premieres décimales de ce logarithme parmi les nombres
|| isolés que l'on voit dans la colonne marquée o de la seconde table , et les
| ayant trouvées, on cherchera les quatre dernieres figures du logarithme |
| parmi les nombres de quatre chiffres qui sont dans cette même colonne en |
| es dant. Si l’on y tronve ces quatre dernieres figures, on verra le |
{| nombre cherché dans la colonne marquée N et sur leur alignement.

3, Cas. Si l'on ne trouve pas dans la colonne marquée o les quatre
dernieres figures du logarithme donné, on s'arrétera à celles qui en eppro-.
chent le en moins ; on suivra la ligne sur laquelle on se sera té, |

en la parcourant de gauche à droite ; et si l'on trouve dans cette ligne les
à ou. dernieres figures du logarithme donné, on suivra en montant ou en |
descendant l4-colonne dans laquelle on les aura trouvées; le chiffre qu'on
| verra à la vête ou au pied de cette colonne , sera la cinquieme figure du |
| nombre cherché, dont les quatre premieres se trouveront, comme ci-des-
sus, dans la colonne marquée N. |
| - Veut-on savoir, par exemple, à quel nombre appartient le logarithme |
1l 45278159, je cherche 517 pdrmi les nombres isolés de la colonne marquée |
0; je parcours en descendant la même colonne , et je trouve que 7236 n
proche le plus ex moins de 8159; je suis la ligne qui commence par 7256, |
Let je trouve 8159 sur cette ligne ; je monte dans la colonne qui contient À
| 8159, je trouve le chiffre 7 à a tête de cette colonne ; je reviens à 8159, |
et je vois que la ligne où il se trouve répond au nombre 3294 ; j'écris ce
nombre, et à sa droite le chiffre 7 que j'ai déjà trouvé : ce qui me donne
32947. C'est le nombre qu'il falloit trouver. Il
4. Cas. Le logarithme donné ne se trouvant dans aucun des cas précé-
fl dents, si l'on veut avoir le nombre auquel il appartient , on cherchera {|
| comme ci-dessus le logarithme qui en approche le plus ex moins , on le re- |!
| tranchera du logarithme donné, et l’on aura un reste que l'on cherchera |}
parmi les parties des différences de la petite table la plus prochaine ; si ||
Î| parmi ces parties on trouve le reste en question, ou du moins un nombre }
quin'en dire que d'une-unité , le chiffre qui-sera à la gauche de ce nombre |
| exprimera la sixieme fi du nombre cherché. qi |
Veut-on, par exemple, le nombre dont le logarithme est 2,5386717, je
cherche, comme ci-dessus , le logarithme qui en approche le plus ex moëns ;
ce logârithmeest 2, 5386617, qui appartient au nombre 345,67. Jesoustrais
Gbrz de 6717, le reste est 100. La différence la plus prochaine étant 126,
je ere 100 dans la petite table qui est au-dessous de 126 ; je trouve 101
{| dans cette table, et à sa gauche le chiffre 8 que j'écris à la droite de 345,67; |
le nombre cherché est donc 345,678. ‘.
Îl 5. Cas. Le reste dont on vient de parler ne se trouvant pas parmi les |
{| parties de la différence des tables, si l'on veut avoir sept ou huit figuresan |
| nombre cherché, on s'arrêtera à la partie qui approchera le plus cx moins }
du reste en question ; on la soustraira de ce reste, ce qui donneraun second |
| reste à la droite duquel on mettra un zéro ; on éherchera de même le dé |}
| cuple du second reste dans la table des parties, en s'arrêtant à celle qui en |}
approche le plus en moins ; le chiffre qu'on verra à la gauche de cette par |
| tie sera la septieme figure du nombre cherché, On pourroit de e |
| chercher un troisieme reste, et procéder de la mème maniere pour avoir
fl la huitieme figure du nombre cherché; mais, dans le cas où l’on a besoin |
| de huit figures, il vaut mieux écrire trois zéros à la droite du premier
Al reste, et td ce reste ainsi préparé par la différence elle-même ; le quo- |
Al tient aura trois chiffres qu'on écrira à la droite des cinq premieres figures |E

| dejà trouvées.
| x res par exemple, le nombre dont le logarithme est 0,4971499 ; le |
Îl logarithme TE FRET AS le plus est RASE. qui ippar tee on
3,1415; le premier reste est 128, la différencel a plus prochaine est 138. |}

24 DÉFINITION DES SINUS, FANGENTES, elc,

fl étoit positif; je trouve qu'il répoud au nombre 1,6 : la fraction cherchée | |
| ést donc 2 ou % , qui se réduit à . |
On trouvera de même que — 6,04830468 appartient à la fraction |}

. 1 100000000 |

{| 2:1170470û - 11764706" | |

| Si pourtant on mnoit que la fraction trouvée püt être simplifiée, |

{| onla convertiroit d'abord en fraction continue; alors, si parmi les frac- |

“ions intégrähtes il s'eh tfouvoit une qui füt assez petite pour être négligée,
| on s'arréteroit à cette fraction, et l'on réduiroît les précédentes eg fraction

_ 0 |

ne. «.. 100000000 , , 1 |
Ainsi la fraction 11784700 devient IS |
8 +1 |
LD” 2941178
| dans laquelle on peut sans erreur sensible négliger la derniere. fraction |
| 2e, SG négligeant son snnts » nous Trouveérons que la fraction
se réduit à - : c'est la fraction cherchée.

ee

B+

2 | u
9. Cas. Si le logar ithme donné a une caractéristique négative, sa partie |
| décimale étant positive; ou si ce logarithme ayant a: Frtue entièrement
| positive, la caractéristique est séparée par un point de la partie décimale, |
1 -ce logarithme bérieitne ractron décimale qu'on trouvera , comme |}
il a été enseigné plus haut, en cherchant le nombre auquel appartient le
logarithme donné, comme si ce nombre étoit un entier. Il ne restera plus
CR mettre à la tête de ce nombre autant de zéros qu'il est nécessaire pour }
| donner à la vir Done ne 4 abs. |
Si l'on remarquoit la fraction un retour de certams chiffres for. |
mant une suite de périodes égales, on pourroït substituer à cette suite une |
fraction vulgaire, qui auroït pour numérateur l'une des périodes , et pour
dénominateur un nombre composé d'autant de g qu'il ya de chiffres dans |
la période, Ainsi je pourrois substituer © à la place de 0,25252523. Muis !|
si la période ne commençoit pas immédiatement après la res on met- |}
troit à la droite du dénominateur autant de zéros qu'il y a À rie entre ||
[| la virgule er la premiere période, Ainsi à la place de 0,0025232525, je ||

1 substiuerois = ; à la place de 0,31578787878 ; j'écrirois 0,315 4 + |
= » que je réduirois à _ k-peu-près,

Dérinirion pes Sinus, TANGENTES, etc.
MaANIBRE DE LES CALCULER.

| £ CE

XVI. Lesinus d'un arc, est la perpendiculaire abaissée du point oh cet arc

Îlse termine ; sur le-rayon qui passe par le point où cet arc prend naissance.
| Le sinus d'un angle, est le rapport du sinus de l'arc qui mesure cet angle |
| au rayon du mème arc, | | rc, OR

!) Le co-sinus d'un arc ou d'un angle, est le sinus du complément de cet
fl arc ou de cet angle. | |
fl La tangente d'un arc, est une droite qui prend naïssance à l'origine de |

[| cer arc qu'elle touche à cé point ; et qui se termine au proldngement du

rayon qui passe par l'extrémité du même arc. signe € +

| La tangenté d'uxangle est le rapport de la tangente de l'arc qui mesure |
cet angle, au rayon du même arc. nn Ji | … 1

SE ES

CALCUL DESs SINUS, TANGENTES, etc.

=

ee rm men de | mn mn te ms ce +

. La co-tangente d'un arc ou d'un angle , est la tangente du complément & |

cet arc ou de cet angle. | | | D meer

La sècante d'un arc, est la distance du centre de cet arc à l'extrémité de
la tangente du même arc.

La sécante d'un angle, est le rapport de la sécante de l'arc qui mesure
cet angle, au rayon du même arc.

La co-sécante d'un grc ou d'un angle, est la sécante du romvolément de cet
arc ou de cet angle. Te

Le sinus verse d'un arc, est la partie du rayon comprise entre le pied du
sinus et l'origine de la tangente de cet arc.

Le sinus verse d'un angle, est le rapport du sinus verss de l'arc qui me-
ture cet angle, au rayon du même arc. .

Le co-sinus verse d'un arc ou d'un angle, est le sinus verse du complément
de cet arc ou de cet angle. |

Soit A l'origine des arcs AM, À M m, AmM' etc. ; l'arc À M aura
M P pour sinus; MQ, pour co-siaus; AT, pour tangente ; B'T", pour co-
rangente CT, pour sécante ; C'T’, pour ca-sécante ; AP, sinus verse
et BQ; pour co-sinus verse : l'angle A CM mesuré par l'arc À M, aura
MP MQ . AT .BT"
AC Pour sinus ; A Pur co-ainus ; pour rangonte TTC Pour co-tan-
gente; us pour sécante ; TE pour co-sécante ; 2 pour sinus verse ;..et

TG pour co-sinus verse. Pareillement l'arc À Be a #p pour sinus; m9;
pour Co-situs ; À t pour tangente ; Bc' pour co-tangente, etc.

U suit des définitions précédentes que le triangle CP M est rectangle
en P, parfaitement égal au triangle CQM «et semblable aux triangles
CAT et CBT'; que partant on «

MQ=CP; MP=CQ; MP + CP =CM; …

AT MP BC CT MC, CT' __M |

AC 7 PC BT'' AC CP? CB MP

AP=AC—MQe BQ—=BC—MP;
équations à l'aide desquelles , connoissant le sinus d'un are ou d'un angle,

on nc tarde pas à connoître le co-sinus , la tangente , la co-tangente , la
sécante , la co-sécante , le sinus verse et le co-sinus verse de cet aré ou de

cet angle. , |

Voyons donc comment on peut calculer les sinus des arcs. Soient deux
arcs ÂMeæMN;APet NR leur sinus; CP et CR leur co-sinus ; leur
somme AM N aura NQ pour sinus; et CQ pour co-sinus. Les triangles

semblables CAP, CSQ et NSR donneront
CP:AC::CQ:CS; CP:AP::RN:RS
CP: AC.:RN:NS; CP:AP::CQ:QS
d'où l'on tire
CPXCR=ACXCQ+APXRN. (A)
CPXNQ—=APxXCQ+ACXRN. (B)
multipliant l'équation À par A P; l'équation B par À C; êtant le premier

produit du second ; mettant pour AC — AP sa valeur CP ; puis ||

divisant par CP, nous aurons |
ACXNQ—APXCR=CP XRN (C)

multipliant l'équation À par AC ; l'équation B per AP; étant le second

produit du premier ; opérant d’ailleurs comme ci-dessus, nous aurons
ACXCR—APXNQ=CP x CQ (D)

ai CALCUL DES SINUS, TANGENTRS, etc.

Soient l'arc AM = a ; l'arc MN = ; l'arc AMN vaudra a+ 6; A
équations C et À donneront , en faisant AC—:1, :
sin. (a+ b) = sin. a X cos. b + cos. a X sin.b, (E) %
cos. (a+ b}) = cos. a X cos. b — sin. a X sin. b, (F) |
Soient au contraire AMN —aet AM=—b, alors M N vaudra a — b ; «
les équations B et D donneront
sin. (a— b) = sin. a X cos. b — cos. a X sin. b, (G)
cos. (a—b) = cos. a X cos. b + sin. a X sin. b, (H)
® Désignons par X% , la demi- circonférence d'un cercle dont le rayon
est l'unité.
HT —= 3; 14159 26535 89703 23846 26453 83279 5 etc. ,
il suit des définitions entre LE on a 79

sin. o X Æ —0; cos.o X Æ —=1; sin. = M—1; cos. M—0s
sin. A —=0; cos. Æ = — 1; sin. > = —1; cos 2H =,
sin. 2% —0; cos. 2 TX — 1; in. Lei; cos. TN —0,
an. 3X=0; cos. 3H ——1; sin 2H ——1;c0.72%—0,
etc. de manieré que si l'on désigne par & un nombre entier quelconque,
on aura
sin. 24% = 0; cos 2% X = 1;

sin. (4E+?) A = 1; cos. (É ) TH =;
sin. (2443) KN =0; cos. (2k+HI1)KH = —:;
sin. (4) N = —1; cos. (+) ZA =0o

Le

Substituons 2 & Æ, f,etc. aulieu de a, dans les formule:

E,F; Get H; nous aurons
sin. (AN HE) =—+ in. b; cos. (2ATHEb)= cos.b;

sin. KES +6 |= cos. B; cos.[ (ÈE?) )x +6 |=sin. &
sin. [(24H1)HX+b0]=%sin.b; cos [(24+1) TX +Hb] ——0cos.8
sin.| + Sr +6 |=- cos. b; cos. KES + |=+sin. ô

Ces formules font voir comment croissent ou décroissent les sinus et co
sinus des arcs ou des angles.
Soit a = b les formules E et F deviennent

sin.2a—24in.a X COS.4; COS. 2a —( cos. a) — (sin. a)”
multiplions la premiere par V7 1 et ajoutons le produit à la seconde
ou retranchons ce produit de la seconde, nous aurons
cos. 24 Hsin.2a X V1 = (008. a) Æ 2 sin. a . cos. «à V1

—(sin.a)
qui est le quarré de cos. a + sin. a 1. Nous aurons donc

(cos. a + sin. a. V1) = cos. 2aH sin. 28V 1;

multiplions chaçjue membre par cos. a sin. a V1; nous aurons

(cos. a Æ sin a VV Z 1) =
cos. 418. cos. a — sin. 24 sin. a+ (ee: 24 + 608.4 008.24 . ein. a
XV a = cos. 3aLHasin.3a/

CALCUL DES SINUS, TANOENTES, elc. 29

Nous trouverons de même

(cos. a € sin. a VE: L = cos. 4a Æ sin. 4 a W D);
et en général

(cos. a+ sin.a. WT: } = cos.na+ sin na 1 ,

| (cos. a — sin. 8 WT 1)" = cos.na—sin. na — 2;
d'où nous tirons cos. n a =

(cos. a+ sin.a V1)" + (cos. a— sin. a. WT 3)" CE)
———__—_—__———]_

( cos. a + sin. a. V1)" —(cos.a—sin.e. y 1)" (K)
2VY7':

développant ces puissances en séries , nous aurons

T—2 sin a? +

n.(n—1)
2

cos. na=— (cos. a} — .« (cos. a)

= — 7 — X (cos. a)7—4 , (sin. a)4 — = — 23 x
.(sin.a)$ + etc. (L)

in.na=n.(cos. a)": ina 2: (NC) x

2 :

5

(cos. a}* 5 , (sin. a)” +2 8) . (cos. a) — X

(sin. # )° mor. (n—6) , (cos. #) 7 (sin. a)7 + etc. (M)
2...

Soit a, un aro infiniment petit ; et #7, un nombre infni: # & sera un
arc fini ; désignons-le par s; alors cos. a = 1; sin. a —a;

6 2
5 + — 5 — etc. (N)

2...0 ..

9
— etc. (O0)
9

5 nous aurons

Æ 1, 00000 00000 09000 00000

2n
a

— 7 ,1,2337005501361698273543 || — 7: 0,20002520204257306060 55
n

n
® 12
+ — .0,2536695079010480156366 || + 2 «0100000047 108747788181 72
n n
6 14
— …. .0,0208634807633529608731 || — 7—.0,00000000658660508379 19
7 Te

+ — :0,0009192602748394265802 || + is -2-00000000006865963: 1498

B $ e

u ne 8

ii :

| | #

A , DIN |
+

ST d

” re >

+

m m”* | i
— — . 0,0000000000005294400201 + —— + 0,000000000000000000082 1

6 ° .
+ 7 -0,0000000000000034377392 — 3 «°:0000000000000000600008

n .
22

_— 2. 0,000000000000000018359y +
L, 3

mA _
an —

Sin.
= .0,6459640975062462536558
+ «0107962626 a45 1670451205
_— 01004681 754186518688 1007
+ = .0,0001604411847873598219

41
_— —n-010000086/88432852120853

13
+ —-0,0000000569a 172923196793
n

CALCUL DES SsINUS, TANGENTES, elc.

— X 1, 57079 63267 94896 61925 15

15

me

.

— TT. 0,00000000066880%51093 1:

n°

17 |
+ —— 0,000000000006066935731 1
n

39 ..
_— — 0,0000000000000457706547
RTE

N .
+ — 0,000000000000000257 1423
n°

_s
_— Le 0,00000000000000000 14539
n° | ° : «

+ — 0,60000000000000000000523
n
RC... (Q)

Au moyen de ces formules, on aura facilement les sinus et co:siaus des

angles.
Euler,
ces formules,

formules calculées avec vin
elle

dont j'ai suivi à peu de chose près l'analyse, donne, à la suite de
ux autres formules re
ficients constans n’y sont calculés qu'avec treize déci
t décimales : quant à la démonstration, comme }
de la sommation de certaines suites , il ne la donne

latives aux tangentes : mafs les coef-
Voici les mêmes

qu'à la

fin du chapitre onzieme de son Jrwroduc. in anal: infinit. Je me peruettrai |

d'y renvoyer le lecteur.
Tang. mn EL IS X 0:
2n nm
—.0,297556782059783933080
s
= -0:01868865027752982117
a
.0:0018247520351003578&

-0,00019758007152047731

63661 97723 67681 34507 55 |

+ M .0R000000295864Ë768258
n

+ 2 000000000828678887940

+ 2 01000000000865 17490274

+- M” ,0,00000000004075405828
nr

mi
+ —;" 0:00000000000450828887
n

a5 .
+ = .0,0000000000005009083 1
7e

27 à.
+ 2 .0,00000000000005565642
n 4

——.

ee ee ee te 6 cé em PS =

CALOUL DES SINUS, TANGENTEÆS, etc. 29

© , 0,63661 97725 67681 34507 55358 53490 05744 80126

m
— X 0, 31830 98861 83790 67153 8

. 19

— “<.0,205288889414608201689 | — .0,00000000600 1 15835398
3 ai

_ —; -0,00655107478821849925 _ 2 .0,00000000000007238498

.0,00000000000000.152372

5
— T3 :0:00034502925539677702
L

[See NL

+0700000000000000028272

7
. M
rc 0,00002027910605 155806

de

.0,0000000000000000 1 7067

9
7 +C,00000123665271 772267

+0:00000000000000000 1 10

#,|%s *|

it
“5 0/00000007649588 161606

5
—53-0:0000000047597 580 1257

15
—2r-0100000000029690616679 — etc. . .

-0,09000000000000000007

en’? + .
—"0,0000000000185 4068275
n°.

Le calcul des sécantes et des co-sécantes ne présente aucune difficulté.
On les obtient aisément par voie de sousrraction ; en effet , si l'angle
M CB complément de ACM est coupé en Jeux parties égales par Ct,
on aura CT'=Tt; c'est-à-dire, soc. AM = cot. : compl. À M — tang.
AM; et coséc. BM — cot.:BM — cot. BM.

On obtient de même les sinus verses et les co-sinus verses. En effet, il
suit de leur définition qu'on a l

sin. vers. 4 = 1— Cos. 4; et COS. vers. & == 1 — Sin. 4.

Avant Néper on avoit dressé des tables trigonométriques contenant les
sinus naturels , les co-sinus , les tangentes , etc. ; à l'aide de ces tables et
par voie de multiplication ou de division, on obtenoit laborieusement la
solution des questions relatives à la géographie , à l'astronomie , etc. : mais
depuis la découverte de Néper , aux sinus naturels ,aux co-sinus , Etc. on
a substitué leurs logarithmes. Nous donnerons plus bas la maniere de cal-
culer directement ces logarithmes ; quant à présent , nous nous bornerons

© DISPOSITION DEAS TABLES DES SINUS.

à dire que les sinus , tangentes , etc. étant des rapports des nombres, on
a pris, dans les tables de logarithmes , les logarithmes de ces nombres , de
ces rapports , et qu'on a substitué les rapports artificiels aux rapports
naturels.

Nous donnerons plus bas l'application des formules précédentes ; pas-
sons à la disposition des tables de sinus.

DrsProsiTion pzs TABL=Ss Das Sinus,

TANGENTES, etc.

XVI. La premiere de ces tables contient les logarithmes des sinus et
des tangentes de seconde en seconde , pour les cinq premiers degrés de
l'ancienne division du quart ds cercle ; mais le sinus ou la tangente d'un
angle étant le co-sinus ou la co-tangente de son complément , cette table
donne aussi les co-sinus et les co-tangentes des angles au-dessus de 85°.

Les degrés sont marqués hors du cadre en haut et en bas de chaque
pee , les minutes occupent la premiere et la derniere ligne et les secon

premiere et la derniere colonne. Chaque page à gauche ne contient que
des sinus et des co-sinus, et chaque page à droite que des tangentes et des
co-tangentes, ainsi qu'on le voit par les titres de ces pages.

Les tables suivantes contiennent leslogarithmes des sinus, co-sinus, tan-
gentes et co-tangentes, de dix en dix secondes pour tous les degrés du quart

e cercle. On y remarque les degrés écrits hors du cadre en haut et en bas
de chaque pags Les minutes et secondes qu'on y voit à la premiere et à la
seconde colonne se rapportent aux degrés qui sunt écrits en haut; les mi-
nutes et secondes qu'on y trouve à la derniere et à l'avant-derniere colonne
se rapportent aux dégrés qui sont marqués au bas de la page.

La troisieme colcnne contientles logarithmes des sinus des arcs dont les

degrés sont indiqués au haut de la page, et dont les minutes et les secondes
sont marquées dus la premiere et dans la seconde colonne. La troisieme
colonne est intitulée sinus, mais il faut lire sinus artificiels, ou logarithmes
des sinus. Il en est de même des autres. La quatrieme colonne contient les
différences des sinus artificiels, ainsi que son titre l'annonce : chaque nom-

bre de cette colonne n’est pas dans l'alignement de ceux de la colonne pré-
cédente ; ils se trouvent tous descendus d'une demi-ligne, et chacun d'eux
exprime la différence qu'on auroit, si l’on soustrayoit l'un de l'autre les
deux sinus entre lesquels il se trouve. Les colonnes cinquieme et sixieme
contiennent les co-sinus des mêmes arcs et leurs différences ; les colonnes
septieme et huitieme contiennent les tangentes et leurs différences ; enfin
la neuvieme colonne contient les co-tangentes des mêmes arcs ; leurs diffé-
rences sont les mêmes que celles des tangentes : c'est pour cela qu'on a
intitulé la colonne qui contient ces dernieres , différences communes.

Si l’on ne considere que les degrés qui sont à la tête de chaque page, on
croira que les tables ne s'étendent que jusqu'à 45° ; mais, si l'on observe
que chaque colonne a deux titres, que la colonne marquée par en haut si-.
|| nus, est marquée par en bas co-sinus ; que celle qui est intitulée par en-
haut co-sinns est intitulée par en bas sinus ; qu'il en est de mème des tan-
pentes et des co-tangentes : on verra qu'en consultant les degrés ainsi que
es titres des colonnes qui sont en bas de chaque page, etles deux dernieres
colonnes vers la droite des mêmes pages, on aura les sinus, co-sinus,
tangentes et co-tangentes des degrés, minutes et secondes depuis 45° jus-
qu à 90°.

—— —

\o# D 15 TABLES “1: s Des sinus.
ProsLème ParemMisn,.

1! XVIL. Connoissant le nombre de degrés , minutes et secondes d'un arc |
quelconque ; trouver le logarithme du sinus , du co-sinus, de la tangente
< ou de la co-tangente de cer arc. |

1. Cas. Si le nombre donné est composé de degrés, de minutes et de |]

| Î dixaines de secondes, cherchez d'abord le moe 50 degrés parmi ceux |
qui sont écrits en haut ou en bas des pages ; en haut, s'il est moindre que ||
45°; au bas, s'il est ee grand. Parcourez la premiere colcmné qui va en |}
]} croissant de haut en bas, si le nombre degrés se trouve au haut de la |f

age; ou la derniere qui va en croissant de bus en haut, si le nombre des |
»grés $e trouve ra mehr rpm dis-je, l'une ou l'autre de ces colonnes ||}
dans : | elle croît, jusqu'à ce que vous y ayez trouvé le |}

mbr ; passez dans la colonne des secondes, sans |
quitter la ligne des minutes trouvées ; suivez dans le même sens cette cos
e, vous y trouverez bientôt vos dixaines de secondes , et sur la même |
le logarithme du sinus, du co-sinus, de la tangente ou de la co-tan- |
te que vous cherchez. Pour ne pas vous tromper de colonne, il faut |
voir soin de consulter les titres supérieurs de ces colonnes, si le nombre ||
des degrés donné est écrit en haut de la page; mais s'il est écrit en bas, |
sont les titres inférieurs qu'il faut consulter. |
t-on, par exemple, le logarithme du sinus 2° 24! 50! ; 2° se trou-. ||
ir da da Le , je de le long de la premiere colonne qui va ||
Î| en croissant ut en bas; je trouve 24' dans cette colonne : je passe à.
[Ma colonne suivante, qui est celle des dixaines de secondes ; je descends le
long de cette colonne; j'y rencontre 50! ; sur la même ligne et dans la co-.

».
0.

| 1
: Fr
| LR
vVHrIL
” n 5 L4
d 1

+

lonne intitulée par en haut sinus, je trouve 8,6244662. C'est le logarithme

| —
A

€ i
hr
ne |

. Si le nombre de degrés donnés contient en outre des unités de
s, cherchez, comme s'il n'y avoit point d'unités de secondes, le |}

logarithme du sinus ou de la tangente de l'arc donné ; prenez la différence

| qui est entre le patine trouvé et celui qui vient immédiatement après

üt, en allant de haut en bas, ou de bas en haut, selon la marche que

foussuivez ; multipliez cette différence par les unités de secondes dont vous
avez fait abstraction ; supprimez une figure vers la droite du produit , et ||
outez le résultat au logarithme trouvé, la somme sera le logarithme de- |}

Meut-on , par exemple , le logarithme de la tangente de 39°, 23!, 57/7
je cherche celui de 59°, 23, 50! ; je trouve 9,9146167 : la différence de
e lo zarithme à celui qui vient après fui en descendant, est 429, qui, mul- |}
pliè par 7, donne 3003 ; supprimant le dermier chiffre 3 , il me vient 300 |]
de j'ajoute à 9,9145167 : la somme 99145467 est le logarithine cherche, |
Le nombre donné exprimant des degrés, minutes et secondes, on trou- 4
era de même le LL ru de son co-sinus ou celui de sa co-tangente ;
mais après avoir m F0 la différence par les unités de secondes , et avoir
| e figure du produit, on retranchera le résultat du loga-

| NT Là
\ |
À cé. - rares
: Le
3
J =

â
+. 7,
17
È

r lÉ j
he u PT
e

, -

( ed RIT ILES :

|

|
:
[2 ?

e je retranche de g.8o ; la différence W|
À pars y ds 9 26919 FES

logarithme de son sinus ou de sa tangen |
le; et si ce nombre est au-dessus de 85°, la mère table donnera immé- |

| le logarithme de son co-sinus ou de sa co-tangenté. + * + |

| … Si le nombre donné de degrés, minutes et secondes est eptre ga* et 180%,»

À il faudra bai substituer son supplément à 18°; s'il est entre 180* et T3

|
|
=

| on en retranchera 180°, et l'on prendra à sa place le reste de cette sous
Il HN enfin s'il est entre 270" et 560° , on lui substituera son supplément.
3. Cas, Si le nombre donné contient, outre les secondes, des subdiwi-
Î| sions de secondes , telles que des tierces , des quartes, etc. on réduirs.
| ces subdivisions en parties décimales de la et on cherchera comme }f
ci-dessus le logarithme du sinus, co-sinus, etc. du nombre de La are mie
[| nutes et dixaines de secondes que contient l'arc donné ; on prendra la dif |
férence qui répond au logarithme trouvé ; on la multipliera par les unités, |
| dixiemes, centiemes, etc. de seconde du nombre donné; on avancera la | |
virgule d'un rang vers la gauche du produit, et l'on ajoutera au logarithme |}
jà trouvé les es de ce produit qui seront vers la gauche de la vir-. |
ule, s'il s'agit d'un sinus ou d'une tangente ; mais on les retranchera du.
|| mème en , S'il s'agit d'un co-sinus ou d'une co-tangente : la somme |}!
| 52 tee érence sera le logarithme re mo F a CA
‘4 rvez, que pour re une fraction sexagési u premier ordre ||}
J| en fraction Hd il faut la diviser par 6, et avancer la virgule d'un |}
| rang vers la gauche du quotient. Si la fraction sexagésimule est du second
| ordre, on la divisera par 6, et le quotient encore par 6, puis on avanceræ |}
| la virgule de deux rangs vers La gauche du second quotient, Si elle est du |}
troisieme ordre, on la divisera trois fois de suite par 6, et l'on avancera |}
la virgule du troisieme quotient de trois rangs vers la gauche: ainsi de pe
la seconde

|
|
|
|
|
|
[|

[| des nombres le (1

ts prod à qui n'est qu'une extension de celle SYNC pr | |
roduits par 2, ‘ 4, etc, 9, tous les nmombrés |}
| compris nette: et <br e ou des Are sn ‘on y trouve , on sup- [|
[| prime le dernier chiffre à droite print ph kr À. proporti ||
| 2 rh php poor dl les deux dixiemes , les trois dixiemes , etc. des | |
| mêmes nom . [
fl Certe table a dix pages semblablement disposées. Chacune d'elles con- |}
| tient deux tables ; savoir, une petite de cinq lignes qui est en tête de |E
| pre page ; et une grande de cinquante lignes , qui remplit le reste de |K
J Les Pattes tekl3e sont relatives aux unités et aux dixaines des nombres |}
} dont on cherche les produits ; elles donnent l'excédent des centaines de |}

_— ="

USAGE DES TABLRKS DES SINUS. 33

ces produits ; et dans certains cas qui sont assez rares , elles offrent une

centaine de plus que cet excédent : quant aux centaines de ces produits,

ou dans certains cas, aux centaines, moins une, elles sont retenues et

ajoutées comme des unités à tous les nombres des colonnes correspon-
ntes de la grande table qui remplit la même page.

Les grandes tables donneht les produits des centaines et des mille des
nombres proposés ; et en outre les centaines qui sont omises ou retenues
dans les petites tables qui leur correspondent. Il suit de cette disposition
que pour avoir le produit d'un nombre moindre que 10000 , par un
nombre moindre que 10, il faut d’abord chercher dans les petites tables
qui sont en tête des pages; et à l’une des deux colonnes numérotées 1,
le nombre représenté par les dixaines et les unités du multiplicande ;
ayant trouvé ce nombre , on suivra du doigt ou de l'œil la ligne qu'il
occupe , jusqu'à ce qu'on soit arrivé à la colonne au haut de laquelle se
trouve le multiplicateur en question. Si le nombre qu'on aura sous le doigt
n'a que deux chiffres , on l'écrira à part, tel qu'il est: mais, s'il a en
outre une centaine, on n'écrira point cette centaine et l'on retiendra 1 ;
passant à la grande table de la mème page , on y cherchera le nombre
exprimé par les mille et les centaines du multiplicande, et l'on y trouvera,
comme ci-dessus, le produit de ce nombre par le multiplicateur. Ce pro-
duit étant trouvé, on le posera à gauche du nombre déjà écrit à part ; on
l'écrira, dis-je , tel qu'il est, si l'on n'a rien retenu: mais on y ajoutera
1, si l'on a retenu une unité.

—————— © me _

Exemple. Je veux le produit de 5927 par 6.

Je cherche 27 dans l'une des petites tables supérieures , et à l’une des
deux colonnes marquées 1 ; je trouve ce nombre dans la petite table qui
est en tête de la page troisieme ; je suis de l'œil la Hgne 27 ; j'y vois 62
dans la colonne 6 ; j'écris à part 62, et je ne retiens rien. Passant à la

{ grande table de la même page, j'y cherche 59 à l'une des deux colonnes
marquées 1: l'ayant trouvé, je vois sur la ligne 59 et dans la colonne
6, le nombre 355 que j'écris tel qu’il est à gauche de 62 ; j'ai 35562.
C'est le produit de 5927 par 6.

Nota. Le chiffre des dixaines du multiplicande, augmenté der , donne
le numéro de la page où se trouvent les tables dont on a besoin. Si les
unités du multiplicande sont moindres que 5, c’est dans la premiere co-
lonne marquée 1 , qu'il faut chercher le nombre exprimé par les dixaines
et unités du multi cande : mais si ces unités sont 5 , ou plus grandes

{ que 5 , il faut avoir recours à la seconde colonne marquée 1. Si le chiffre
| es mille du multiplicande est zéro, ou moindre que Cinq , le nombre ex-

| primé par les mille et les centaines du multiplicande , se trouve dans la

| partie de la grande table située vers la gauche, et il se trouve dans la
| partie située vers la droite, si le chiffre des mille est 5 ou plus grand que 5.

| | Autre cremple. Je veux le produit de 7ÿ88 par 7.

|
| Je cherche 88 dans la seconde colonne marquée 1 de la petite table qi est
en tête de la page neuvieme ; j'y trouve 116, sur la ligne 88 , et dans la co-
lonne 7 ; j'écris 16 à part et je retiens 1 : passant à la grande table de la mème
page, je trouve 558 dans la partie à droite, sur la ligne 79 et dans la colonne
7. J'écris donc 558 + 1 ou 559 à gauche de 16 ; et j'ai 55916. C'est le
produit de 7988 par 7. On trouvera de mème le produit de tout autre
nombre moindre que 10000 par tout autre nombre moindre que 10; et à
l'aide de plusieurs produits partiels, on trouvera le produit d'un nombre
moindre que 10000 par un nombre quelconque. |
La grande table & la page premiere suffit pour obtenir les mêmes pro-
duits ; mais alors on est obligé de retenir plusieurs centaines pour les
ajouter comme unités au produit suivant : or il est trés-possible qu on oublie
le nombre retenu où que par méprise on en retienne un autre , Ce qui pro-

'
54 USAGES DEs TASLES DE S1NUS.

duiroit une erreur assez sensible. Au moyen des dix grandes tables combinées
avec les petites tables qui sont à leur tête, on n'a dans aucun cas plus d'une
centaine à retenir ; il suffit donc qu’on se ressouvienne qu'on n'a rien reteun
ou qu'on a retenu quelque chose : dans le premier cas, on écrit le nombre
donné par la grande table, tel qu'il est ; et e second cas , on y ajoute 1.
D'ailleurs en écrivant le nombre donné par la petite table, on peut y joindre
dans le cas ou l’on retient 1, un signe qui dbigne qu'on a retenu quelque
chose. Par exemple, l'objet principal de ces tables étant de donner les par-
ties proportionnelles des différenres des log. sin., des log. tang. etc. on doit
aprés avoir trouvé le produit cher@hé , en séparer par une virgule le dernier
chiffre à droite. On peut donc convenir que quand on n'aura rien à retenir ,
on écrira le nombre donné par la petite table, sans y placer la virgule quine
sera posée que quand on aura le produit total ; mais que, quandonaura re-
tenu une centaine , en écrivant à part les dixaines et unités du nombre
donné par la petite table, on en séparera incontinent le dernier chiffre à
droite, par une virgule , laquelle indiquera par sa présence ou par son ab-
sence qu'on doit ajouter une unité ou qu'on ne doit ajouter rien au nombre
donné par la grande table.

Veut-on , par exemple , les ©-de 9587? Je trouve 87 dans la petite table
de la page neuvieme et dans la seconde colonne marquée 1. Puis sur la ligne 8
colorne 9; je trouve 83 que j'écris à part sans y placer la virgule. Passant à Là |
grande table, j'y trouve (ligne 95, colonne 9) le nombre 862 que j'écris
tel qu'il est , parce qu'il n’y a pas de virgule 83 entre le 8 et # J'ai
86283. Ayant ce produit, j'en sépare le dernier chiffre par une virgule, ce
qui me donne 8628,5 pour les + de 9587.

Autre exemple. Veut-on les — de 8567.

j écris à part 3,6. Passant à la grande tab trouve 684 ( dans la partie
à droite , ligne 85 , colonne 8 ) je pose donc 685 à gauche de 3,6, parce
que la virgule déjà placée entre Le a le 6, m'avertit que j'ai retenu une |
centaine qui doit être ajoutée, comme unité, au nombre ds : j'ai donc |
6853,6 pour les de 8567.

. Passons aux applications de cette table à la recherche des logarithmes-

sinus , logarithmes-tangentes, etc. |
On veutle log. sin. de 6° 32° 57/, 8.
Type du calcul.

Dans la petite table (page 7, à droite, hgne 67, colonne 8) je trouve 156,
»)Y

Log. sin. 6° 32’ 30/. . . . . . . . 9,0566318
1836 X 0,7 ; pour. . ee « + 7° . ee > + + es . 1285 2
1836X 0,08 pour. . . +. . . . . . 0,8. « . . . . . . + 1469

Somme Log. sin. 6° 32’ 377,8... . . . . . . . 9,0567650 1

Nota. 1836 est la différence des tables, c'est-à-dire, des log. sin. entre
lesquels se trouve celui qu'on cherche.

ExsmPze SrCono.
On veut la log. co-sin. de 83° 27/ 22//,2.
Type du calcul.
Log. co-sin. . . . 83° 27° 30! . . 9,0566218 |
1836X 0,7 pour — 9" +2 =., — 7, ..... 12853!
1836 X 0,08 pour — 1!/,0 + 0/,2 = . . — 0,8. . . , . . 1469
Somme Log. co-sin. 83° 27° 22/,2 = . . . . 9,0567650 1 |

VSARE DEs TABLES DES SINUS. 39

: Exsupze Taotsisaue.
On veut le log. tang. de 8° 13! 5a/, 6. |
Type du calcul,
Log. tang. 8° 13’ 50/ 91603085

. ° + 2972
148,6 X 0,7 pour ss... 100
1 148,6 X 0,06 pour 006: ..89

Somme Log.tang. 8° 13° 521,76 — . . .. ,. . . .9,1603493 1

cms |

ExxMPLE QUATAIEME.
On veut le log. co-tang. de 81° 46’ 7!/,24
Type du calcul.

Log. co-tang. 81° 46’ 10/. . . . .
148,6 X 2 pour — 9” + T7 =...
14,86 X 0,7 pour — 0/”,9 + 0,2 = . . .
1,486 X 0,06pour — 0//,10 + 0,04 —
Somine Log. co-tang. 81° 46’ 9//,24

Nota. Dans tous ces logarithmes la huitieme décimale doit être supprimée
et faire refluer une unité sur la septieme , quand elle est plus grandegue 5.

4. Cas. Si les différences quon trouve dans la table varient trop, ce

i arrive lorsque le nombre donné est très petit, on pourra prendre les
différences secondes , troisiemes, etc. et l'on aura le logarithme du sinus
ou de la tangente cherché, par le moyen de la formule suivante,

B—A<+z.D'+3z. ——. D" + x. 2. 2 D" + etc.
dans laquelle B exprime le logarithme cherché ; A , le logarithme du sinus

ou de la tangente du nombre de degrés , minutes, et secondes compris dans
l'arc donné ; x les parties décimales de seconde de l’arc donné; D', D",
D”', etc. les différences premiere , seconde, troisieme ,etc. Cette formule
est l'expression du terme général B d'une suite dont le premier terme est
A ,et les différences premiere, seconde , troisieme , etc. sont D’, D‘,
D"', etc. Voyez le calcul différentiel d'Euler , ou les leçons dr cal-
cul intégral de Cousin : mais il vaut beaucoup mieux prendre dans les
tables le logarithme du sinus ou de la tangente des degrés, minutes et se-
condes que contient l'arc donné ; réduire le nombre donné en secondes et
parties décimales de seconde ; prendre le logarithme de ce nombre ainsi
réduit : réduire pareillement en secondes les degrés, minutes et secondes
Î que contient le nombre donné ; prendre le complément arithmétique du
{ logarithme de ce nombre ainsi réduit , et l'ajouter aux deux logarithmes
| déjà trouvés : la somme , après qu'on aura supprimé la dixaine qui se trou-
vera à sa gauche, sera le Logarthme cherché du sinus ou de la tangente.

|
|

Veut-on, par exemple , le logarithme du sinus de 0° 3! 27/ 21 18'°
are cherche le logarithme du sinus de 0° 3’ 27/ ; je trouve 7.0015451;
je réduis le nombre donné en secondes et parties décimales de seconde ;
j'ai 207” ,355125 ; je trouve que son logarithme est 2,31671476. Je réduis
pareillement 0° 3/ 27/ en secondes ; j'ai 207/ , dont le logarithme est
2,31597035 : son complément arithmétique est 7,68402965 , que jajone
aux deux premiers logarithmes déjà trouvés ; la somme est 17.0022 95 ;
supprimant la dixaine de cette somme , le résultat 7.0022895 est le loga-

| rithme du sinus cherché.

USAGE DES TABLES DES SINUS.

demandé.

Quoiqu'on ne trouve dans ces tables que les logarithmes des sinus, co-
sinus, tangentes et co-tangentes, on peut par leur moyen avoir les loga-
rühmes des sécantes, co-sécantes, sinus verse et cosinus verse.

Voici comment: |

Au complément arithmétique dulogarithme du co-sinus ajoutez 10.0000000
et vous aurez le logarithme de la sécante.

Au complément arithmétique du logarithme du sinus ajoutez 10.0000000,
et vous aurez le logarithme dela c te.

Au double du loarithme du sinus de la moitié de l'arc donné, ajoutez
0, 3010300 ; retranchez 10.0000000 de la somme, et vous aurez le loga-
rithme du sinus verse.

Au double du logarithme du sinus de la moitié du complément de l'arc
donné, ajoûtez 0, 3010300 ; retranchez 10.0000000 de la somme, et vous
aurez le‘logarithme du co-sinus verse.

Veut-on, par exemple, le logarithme de la sécante de 23° 13’ 20/,
prends le complément arithmétique du co-sinus de cet arc ;i aio.0566928,
auquelj'ajoute 10.00000c0 : (ajouter 10.0000000 à un nombre c'est écrire 1 au
rang des dixaines de ce ncmbre , s'il y a o à ce rang ) ce qui donne 10.0366928.
C'est le logarithme de la sécante demandé.

Veut-on le logarithme de la co-sécante du même arc ; le complément
arithmétique de son sinus est 0.4041760 : j'écris à au rang des dixaines de
ce nombre, et j'ai le logarithme 10.4041750 de la co-sécante cherché.

Veut-onle logarithme du sinus verse du même arc ; la moitié de cetarc est
de 11° 36’ 40/; le logarithme du sinus de cette moitié est 9.3037745, dont
le double est 18.6075490 ; j'y ajoute 0, 3010300, j'ai 18. 9085790 ; j'en
retranche 10.0000000, (ôter 10,0000000 d'un nombre, c'est en retran-
cher une dixaine, ou supprimer la dixaine , s'il n’y en a qu'une) ce qui
me donne 8.9085790. Cox le logarithme du sinus verse chercké. *

Veat-onle logarithme du co-sinus verse du même arc; le complément de
cet arc est 66° 46’ 40//, dont la moitié est 33° 23’ 20/ ; le logarithme du
sinus de cette moitié est 9.7406144, dont le double est 19.48:12288 , au-
ques j'ajoute 0,3010300 ; la somme est 19.7822588, dont je supprime la

ixaine , et j'ai 9.7822588. C'est le logarithme du co-sinus verse cherché.

ProsLâme SacConp

XVIII. Le logarithme d'un sinus, d'un co-sinus, d'une tangente ou d'une’
co-tangente étant donné , trouver le nombre de degrés, minutes et secondes
de l'arc auquel il appartient.

1. Cas. Cherchez le logarithme donné dans l'une quelconque des deux
colonnes qui ont pour titre la ligne à l'expression numérique de laquelle
votre logarithme a partient: si vous letrouvez parmi ceux qu’elle contient,
observez dans quel out de la colonne est le titre que vous avez consulté:
si ce titre est en haut, jettez les yeux surla seconde colonne à votre gauche
et dans l'alignement de votre logarithme, vous y trouverez un nombre de
dixaines qui exprimera les secondes de l'arc cherché ; passez à la premiere
colonne ; si vous y voyez un nombre dans le même alignement, il sera

ne à —— ne

0 ee ee ee mm

58 USAGE DES TABLES DRS SINUS. |

ST ————————.——…————————————— —_————— ———
continuez la division commencée ; ajoutez le quotient que vous aurez aux ||
| degrés, minutes et dixaînes de secondes déjà trouvées , et vous aurez le

| nombre cherché exprimé en degrés, minutes, secondes et parties déci- |}

[l males de secondes : vous pourrez ensuite, si vous le voulez, convertir la |

| fraction décimale en fraction sexagésimale. |

| Cette conversion se fait en multipliant par 6 la fraction décimale, puis |]
| en recalant la virgule d'un rang vers la Res Les chiffres qui seront à

ne de cette virgule exprimeront les tierces, et ceux qui seront à #4 | |
droite, les
+

| parties décimales de tierce. à me les multiplie de mème par6, |
| et qu'on recule la virgule d'un rang a droite, on aura des quartes, et |
des parties décimales de quarte, sur lesquelles on opérera de la même ma- |}

Î| - Veut-on, par exemple , le nombre de degrés, minutes, etc. de l'arc dont
| le logarithme de la tangente est 9.9802507, je trouve en opérant comme ci- |}
celui qui en approche le plus des les tables est 9.9802454 ,'qui |
partient à 43° 41! 50!, ere de 9.9802507, j'ai pour resté 7532 |}
j'écris 750 , que je divise par la différence des tables 422, j'ai 1 pour quotient |
D ét pour reste 308, qui n'est ni très petit par rapport à 422, ni trés appro- |}
fl] chant de ce nombre. Je continue la division , et j'ai 1,729. Le nombre de
Al degrésetc. cherché est donc 45° 41! 51", 729, ou , en réduisant la fraction
| décimale en fraction sexagésimale, 43° 41° 517 43 44".
| Ce nombre n'est pas tout-à-fait le même que celui de l'exemple du troi-
| sieme cas du problème précédent ; cela vient de ce que ES. des |
[| sinus, tangentes , etc. ne sont calculés qu'avec sept décimales. "|
Î| La table des parties proportionnelles ; dont nous avons fait usage au
problème précédent, sert aussi à diviser facilement un nombre quelconque
un nombre moindre que 10000 , par conséquent elle peut aussi donner
unités , dixiemes et mème les centiemes de secondes des arcs dont on
| connoît les expressions trigonométriques. )

Pour diviser un nombre quelconque par un nombre moindre que 10000
| ayant pris dans le dividende autant de chiffres à gauche, qu'il y en a dans
le diviseur, ou un de plus, s'il en est besoin, ce qui donnera le premier
| dividende partiel : on en supprimera par la pensée les deux derniers chiffres
et nl var même chose dans le EE On som ner dans la |f
ande table : âge qui a r numéro les dixaines du diviseur plus
un , et dans l'une A are colobnes marquées 1, le nombre situé à se
des dixaines du diviseur : on suivra la ligne qu'il occupe, jusqu'à ce qu'on |
soit arrivé au nombre de cette ligne, qui approche le plus, en dessous, du |}
nombre situé à gauche des dixaines du premier dividende partiel : alors on
sera dans une colonne, dont le numéro exprimera le chiffre qu'on doit
| mettre au quotient. Ce chiffre sera bou dans tous les cas, excepté celui
où le nombre trouvé dans la grande table, étant égal au nombre situé à
ganche des dixaines du dividende partiel, le nombre qui dans la petite
table, se trouve dans la même colonne et dans la ligne du nombre expri-
mé par les deux derniers chiffres du diviseur , aaroit plus de deux chiffres.
(Ce cas est extrèmement rare.) Le produit du diviseur pur le quotient, |
produit qui résultera de la juxta-position des nombres donnés par les deux
tables , étant ôté du premier dividende partiel, on aura un reste à droite |
du on abbaissera le chiffre suivant du dividende , ce qui donnera un ||
second dividende partiel sur lequel on opérera comme sur le premier , et
ainsi - suivans. | à # |
Qu'il soit question, par exemple, de diviser 16006 par 9789.
premier dividende mu est rire Je fais ce de LA der- |
mers chiffres, 25 , de ce nombre, ainsi que des deux derniers, 89, du
| diviseur. Je cherche 97, ( page neuvieme, grande table, colonne 1 , à |
| droite) je suis la ligne 97 et j'arrive à 684 qui approche le plus de 749 : |E
| le numéro de la colonne où est 684, étant 7, j'écris ce chiffre au quotient |
sans examen ultérieur, parce que 684 est moindre que 749, passant dans |}
| petite table, j'y vois 123 ( ligne 89, colonne 7 ) j'écris donc 68523 |f

a —

me — = -

——

=

> —— —

— —

= ==

.
qq —_———— , — — — — a ——_— ne —e— ce

re ee ee ee RS 2,

USAGE DRS TABLES DESSINUS.

jette

un coup d'œil sur te table, j'y vois(ligne 89, colonne 4 ) le nom-

pe donc 4 17 bon ; Eee da otient à droite

de 5, j'ôte 59156 de 39156, il ne reste rien ot je n'ai de chiffres à

abbaïser ; j'ai donc quotient exact 7654. Appliquons cette table à

la recherche des unités, dixiemes, centiemes de secondes des arcs dont
on connoit les logarithmes-sinus , logarithmes-tangentes, etc:

Exs=MPLE PREMIER
Quel est l'angle dont le logarithme-sinus est 9.0567650 ?
Type du calcui.

. esse, 90567650
Log. sin. ......... 6° 32’ So. ......... 90566218
… Dif. où premier reste... .........4........ ge. 1452
Produit de 183,6 par. .....g.7......s e. +. + ee se 1285
Deuxieme reste . ses + 147
Produit de 183,6 par ........0,8........,...: 147
Troisieme reste. ........pe…reees eee ve eee 000
Somme des deg. min. etc. 6° 32’ 37/,8 ang. cherché.

Nota. 1836 est la différence des log. sinus des tables, entre lesquels
se trouve le log. sin. donné. A@ lieu de mettre un zéro à droite du pre-
mier reste , et de prendre le produit de 1836 par 7, il est tout aussi
exact de laisser ce premier reste tel qu'il est, et d'en ôter le produit de
183,6 par 7. I en est de même des autres restes.

ExzuPLR6ECOND.

Quel est l'angle dont le log. co-sin. est 9.0567650 ?

Type du calcul.
Log. co-sin. ....... . 83° 27! 20#....... «+ 9-0568054
Log. co-sin. donné. . ... ‘ . . 9-0567650
Premier reste... eos 0404
Produit de 183,6 par ........2.. . ‘ 367
Deuxieme reste. , ....... ss . + + + 37
Produit de 183,6 par ...... .. 0,2% ss... 57

Troisieme reste ..,,.,...+s. eee see. 00
Somme des deg. min. etc. 83° 27! 22/,2 ang. cherché.

C

2"
2 oo ae CR en

4o USAGE DES TABLES DES SINUS.

ExaMPLE TAO1ÏSIEME.

Quel est l'angle dont le log. tang. st 9.1603493 ?
Type du calcul.

. = soso ssressssse 297

. + eo sers. +. 283 |

Produit de 148,6 par. ,. CL . 104 |
Troisieme reste. ...,.,,........... css. 9
Quatrieme reste. . ......... Dose , 0

Somme des deg. min. etc. 8° 15’ 52", 76. ang. cherché.

ExxmPLe QUATAIRNE.

Quel est l'angle dont le log. co-tang. est 9.1603493 ?

|
Produit de 148,6 par . ..,...0,06....,.....,.. |
t

- Type du calcul.
-Log. co-tang. . ....... 1°46/00/......,.,.. 9.1604569
. Log. co-tang. donné. EE 9.1603493 |
Premier reste. . . ............. és 176 |
Produit @ 148,6 par . . . ..... Joss. ++ « ….. 1040 |
. Peuxieme reste . . dersseee osseuses ss. «++ 36 |
Produit de 148,6 par .. EE EEE

| Ainsi des autres. "

49 Cas. Si les différences des tables varient trop, on pourra prendre
les différences de ces différences, et chercher la fraction décimale qui ac-
compagne le nombre des secondes trouvées, par le moyen de la formule
suivante, DD" ‘ DD : A

2D — — ? 2B— 2
en VC) +].
dans laquelle A, B, D’, D’ et x expriment les mêmes quantités qu'au
quatrieme cas du Problème précédent.

Mais il vaut beaucoup mieux prendre le complément arithmétique du
logarithme qui , dans les tables , approche le plus du logarithme donné; ré.
duire en secondes le nambre de degrés qui lui correspond, prendre le loga-
rithme de ce nombre de degrés ainsi réduit, et ajouter ensemble ce dernier
logarithme , le complément arithmétique trouvé et le logarithme donné : la
somme de ces trois quantités , diminuée de la dixaine qui est à sa gauche,
sera le logarithme du nombre de degrés et parties de degrés exprimés en
secondes et fraction décimale de seconde qu'ou demande.

Veut-on, par exemple , le nombre des degrés et parties de degré de
l'arc dont le logarithme du sinus est 7.002897 , je trouve que celui qui en
approche le plus est 7.001545, qui répond à o° 3’ 27/ , le complément
arithmétique de 7.001545: est 2.9984549 , le logarithme de o° 3/ 27! ou

ne

| Quatrieme reste. ..................,,.......... o
1 ‘Somme des deg. min, etc. 83° 46’ 07,24 ang. cherché.

ES TS,

oo +
a — aa

|
|

USAGE DES TABLES DES SINUS.

de 207! est 2.31597035 ; ajoutant ensemble les trois nombres 7.0022895,
2.9984549 , 2, 31597035, j'ai pour somme 12,31671475, qui devient,
en supprimant la dixuine, 2.31671475. Celogarithme appartient à 207,3551 24
lequel étant converti en fraction sexagésimale se change en celui-ci o° 3’
27" 21" 18°" 27°. |
7On trouvera de même que 7.0022898 étant le logarithme dela tangente
d'un arc, cet arc sera de o° 3’ 27/ 21! 18i" 27°.
Le logarithme du co-sinus d'un très petit arc étant exprimé avec sept déci-
males seulement, on ne peut pas avoir les parties de cet arc plus petites
e les secondes ; ily a même beaucoup d'incertitude dans ces dernieres.
fera donc bien d'éviter les co-sinus des petits arcs : nous en donnerons
une méthode pour un cas qui arrive assez fréquemment.
Le logarithme de la co-tangente d'un très petit arc étant donné , on le
retranchera de 20,0000000 : le reste sera le logarithme de la tangente du

même arc, et l'on cherchera comme ci-dessus le nombre de degrés de l'arc.

auquel il appartient.

& le logarithme donné est celui d'une sécante, d'une co-sécante , d'ün
sinus verse, ou d'un co-sinus verse, on pourra trouver par le moyen de ces
tables le nombre de degrés, minutes et secondes auquel il appartient.

Voïci comment :

Supprimez la dixaine qui est à la gauche du logarithme de la sécante ; le
complément arithmétique du reste sera le logarishme du co-sinus de l'arc

erché.

Supprimer la dixaïîne qui est à la gauche du logarithme de la co-sécante ;
le com Jément arithmétique du reste sera le logarithme du sinus de l'arc
cherché.

A joutez 9.698900 au logarithme du sinus verse ; la moitié de la somme
sera le sinus de la moitié de l'arc cherché.

Ajoutez 9-6589700 au jogarithme du co-sinus verse ; la moitié de la somme
ser le sinus de la moitié du complément de l'arc cherché.

EXEMPLES.

Si 10.03566928 est le logarithme d'une sécante, supprimant la dixaine, j'ai
0.0366928 , dont le comp ément arithmétique 9.9635072 est le logarithme du
co-sinus de 23° 13’ 20/.

Si 10.4041750 est celui d'une co-sécante , je supprime la dixaine , et j'ai
0,4041750, dont le complémentarithmétique 9.5958250 est le logarithme du
sinus de 23° 13’ 20//. |

Si 8.9085790 est celui d'un sinus verse, je lui ajoute 9.6989700 ; la somme
est 18.6075490, dont la moitié 9.3037745 est le logarithme du sinus de 11°
36' 40! , moitié de 23° 13! 20/.

Si 9.7822588 ect celui d'an co-sinus verse, je lui ajoute 9.6989700 ; la
somme est 19.4812288 , dont la moitié 9.7406144 est le logarithme du sinus
de 33° 23’ 20/, moitié du complément de l'arc cherché : ce complément
est de 66° 46’ 40/, et l'arc cherché est de 23° 13’ 20".

Nous n'avons pas mis dans ces tables les sinus ni les co-sinus naturels, non
plus que les tangentes, co-tangentes, sécantes, etc. parceque, depuis l'in.
vention deslogarithmes, ces sortes de nombres sont d'unusage peu Féquent :
cependant s'il arrivoit qu'on en eùt besoin , on les obtiendroit très aisément
par le mayÿen de leur expression logarithmique.

Veat-on, par exemple, le sinus naturel de 37° 13’ 50/, je prends le
logarithme de son sinus qui est 9.781775 ; je cherche le nombre naturel
auquel appartient ce logarithme , je trouve que 9.7817697, qui'en approche
le plus en moins, répond à 0,60502 : c'est le sinus que je cherche , exprimé
avec cinq figures décimales. Pour l'avoir avec sept figures, je soustrais
7697 de 7725 le reste est 28, la différence la plus prochaine est 72; je
consulte petite table des parties de 72, je trouve que 22 répondent à À ,
23 Ôtés de 28 donnent 6 pour reste, je mets un zéro à la droite de 6, ce
qui fait 60, je trouve dans la même table que 58 répondent à 8: les deux

42 FORMULES LOGARITHMIQUES.

pm É

m0 A

son sinus verse 0, 2037926, et son co-sinus verse 0, 3949762.

Fonmuzrs LOGARITHMIQUES.

XIX. Revenons à ces deux progressionsimmenses qui résultent dela com- E

binaison des puissances oubles de 10 et de leurs ex ; prenons-y
au hazard deux termes consécutifs tels que Y et Y Mr ÿ prenons aussi
leurs logarithmes y et y + m'; il est clair qu'on a

N
ET où LT M" — à; ot y + m°— y où AL ŸY=—m"

oum"—(M"—:1).K; donc A L.Y=KAT

Ici K n'offre qu'une valeur approchée du module. Cette approximation
n'ayant point & bornes, sik ne differe de la vraie valeur du module que

d'une quantité infiniment petite, on aura, dL. Y —k as
Les deux suites dont il est ici question pouvant ètre prolongées tant au
dessus de 10 et de son logarithme 1 , qu'au dessous de 1 et de son loga-

rithme o ; Y peut représenter toutes sortes de nombres au-dessus ou au-

dessous de l'unité ; soit donc Y —1<+zx, nous aurons

dL.(a +z) = =i(dæz—2dz+ z'dz — x dæ-+etc.)

+ 3 4
d'où l'on tire L.(14+z)=k(z— — + — — T + etc. );

. 2 9 «
ona de mômeL.(1—z)=—$% (+s+— + ++ etc. ).

. An
Soit x — — nous aurons ,

s 3 4
L.(n+ 4An)=Ln+x. [in -Ccar + Can) _— (An) &

: 2n° 3n° 4n!
(An |
5 n° — etc. |... . ee + + + ee + + + + ee . + + + ee (A).
‘ 2 3 n
L.(n—An)=L.n—a[ £2 + (an) 4+A4an + @® +
7 2n 3n 4n

Cam) 4e pes seeseesesee...e
5n° ‘

Ces deux formules , en ajoutant et en soustrayant , donnent

. 2 4
L(n+An)=aLn—L(n—Am)—R[ (Se + (An)
n

an
Can’ . +. +. .(C
+ +otc. ]............... co
3
L.(n+An)=L.(n—An)+2% [+2 + (An
ñ Sn 5 n

7
+ CAR) + etc. | L 1 e e e e e e e e e ] e e ] e e eo e ° ( D )
Li | |

dernieres figures du sinus cherché sont donc 38, et ce sinus est 0,6050238
(le rayon étant 1 ). Je trouverai par une opération semblable que le co-
sinus du même arc est 0, 7962074 , que sa tangente est 0,7598823, sa À
co-tangente 1, 3159933, sa sécante 1,2559541, sa co-sécante 1,6528273, |

|
|
L

|

PORMULES LOGANITAMIQUES. 43

Ù

| Substituons, dans la formule À, 2 Anh A7;
An;etc. mAnà An. il viendra des équations, A’; A”; A"; At;
À’ ;etc. qui, combinées comme il suit,

A'—2AÀ; A/—3A'+5A; A" —A4A" +6 A'— 4 A ; etc.
donneront une foule de formules qui sont les cas particuliers de la suivante.
|
|
|
|

m(m— 1)

L.(n+mAn)=mlL(n+(m—1)An)— 3

L.[n+(m—32) An]+ 247 1)(m—3)
4 3 :

. L{n+(m—3) An] — etc. ee ÆL.n.

1) .(m—3)%...+m)

4 Ansm+:1
ON COLE

nm +1 |
(mm (m — D (m—a) Tr.)

X
m+3 2e D

mTA rm)

(m— 2)

Æ etc... pe. ee + + + + (E)
Le signe superieur a lieu quand m est pair. En operart de mème sur
F qui no iffere de E , qu'en ce

1 la formule B, on arrive à une formule
]que À 7 y est négatif.
1) En opérant de même sur les formules Cet D, on arrive aux formules
| qu'on obtiendroit en combinant E et F par voie d’addition et de sous-
t traction.

L'application de ces formules àla recherche des logarithmes est très fa-
cile , ainsi qu'on va le voir par les exemples suivans.

Soient n + An—2; etn— An—:3,ce qui donne À = 3:
la formule D devient L. à 2 &( 3 + = + + + etc. )

ou L. 2 = À X o, 69314 71805 59945 3og41 72321 21458
donc L, 4 — 2L.2; L. 8 —5L.a2 ; etc. seront connus.

Soient n+ An—=3;:etn— An—=3a; la formule D devient

1 1 1

L.3=La+a4(3 + He +566 + etc. )
ou L.3 = k X 1, 09861 22886 68109 69139 52452 36923
| donc L.6—L.2+L.3;L.9=2L.3;L.12—2L.2—+4L.3; etc.
| seront connus.
| Soient n+ An—5etn— An—= 4; la formule D devient
ÎL.5=L.4+a4(! ! etc.
| a+a4(S + 3.9 5.9 c-)
lou L.5—4 X 1, 60943 79124 34100 37460 07593 33226

donc L.10—L.2<+L.5; L. 15 = L. 3 + L. 5 etc. seront connus.

| On calculera de mème les logarithmes des autres nombres premiers
l7s 11 13, 17, etc. :

ms.

44 FORMULES LOGARITAMEIQUES.

Au delà de 100, an pourra faire usage de la formule E qui devient,
lorsque mn — 2,

L.(n+aan)=al(n+an)—La—t. (ST s

nm e
. k han à , k A nt
X (2 —2)+3X(—) X (2 T3) —; X (+)
X (2° — 2) + etc.
Lorsque nm = 3, elle devient
L.(n+3An)=5SL.(n+aAn)—-SL(n+An)+La
k

m = 6, etc. par exemple , on a , lorsque = —5;
L.(n+5An)=5L(n+4An)—10L. (n+3An)
+ioL (n+2An)

—5L. (n + À n)+ L.n+$ (== ', (5°—5.4°+ 10
X 3° — 10.2 +5)

k A w\° |
—& X (57) (5 —5. 4 io. 5 — 10. 3° #5) + etc.
ou en faisant An —=1, et en réduitant, on a |
EL. (n+5) =5L.(nr+4) —102. (n+3) +ioL.(n+32)
—5L. (n+i)+L.n _ . |
+ 244 S00E 4 24008 __ 18750 8 + P BE etc. . |

n nr n nr n

Cette formule est trés commode en ce que les co-efficiens Set 10 ren-
dent les multiplications très faciles. Lorsque # approché de 1066, let |
quatre premiers termes de la série suffisent, si l'on se borne. k
fgures , on peut les calculer très facilement par le moyen des logarith-
mes. Si dans les formules précéctentes on fait À — », elles dortrent Îles
logarithmes de Néper ; si l’on veut ceux de Briggs, il faut effectuer
multiplication par À. Si 4 n'étoit pas déjà connu, voici comment on le
détermineroit
L.10—L.2+L.5—=%X X 2, 30258 50929 g4045 68401 79914 54684
or dans le système vulgaire ou de Briggs, on a L.10+:1

donc à —4 X 2, So2585 etc. ; k —

comme ci-dessus invent. des log.
On a souvent besoin de trouver le riombre correspondans à un loga-
rithme donné ; pour cela , de la formule
_ x°

z
L.(s5+z)=k(z— T'+T+ T4 + etc.)

1
2,302585 etc. — 0» 43429 etc.

on tire par la méthode inverse des séries
_ LES + [L.(1+zx)] + [L.{+x)P

2 k° 2.5.k
ou en faisant æ—n2—10na

4 3 .
r=i+ ts nt, Lai; nr
2% 2.3.4 2.3.4.k

z + etc.

comm —

+ etc.

SOMMATION DES LOGARITHMES. 45

Soit z —betL. b — 10ona

Do + 5 + — © + oc.
| . 8.k 2.3.4 2.3.4.8k

| qui donne la base correspondante au module 4.

Désignons par L.'(1<+zx) le logarithme d'un nombre 1: + x, dans
un système dont le module est #’ ; nous aurons |

L.(1+2zx) s x $

x
F rs Ts — 7 tee
l L'C1+2) z° x x
RE OT 7 + etc.
donc L(i+z) __L'/(1+=) ou L.(1+%) = k
k — x? L'O+zx) k'°

proportion qui sert à faire passer les logarithmes d'un systôme dans un
autre ; à convertir, par exemple, les logarithmes vulgaires en logarithmes
byperboliques ou ceux-ci en logarithmes vulgaires.

SommarTionm Dp2s LocarnirTuHmes.

XX. Soit une progression dont le dernier terme soit z — n et 2 n la diffé-
rence commune ; désignons par S L.(z—#) la somme des logarithmes
de tous les termes de cette pragression. Soit de plus

SL.(s—n)=(AL.s+B)z3+C: +DzT lLEz +Fs7
+ etc. À, B, C, etc. sont des co-efficiens- indéterminés.

Supposons que z devienne z—2n; SL.(z—3n)scra la somme de tous
les termes qui précedent le dernier ; nous aurons donc

SL.(s—n)—SL.(3—3n)—L.(3—-n)=0

ainsi substituons dans la série précédente z3—23nh3s, nous aurons une
seconde série qui , retranchée de la précédente, ainsi que L.(s:— 7) dé-
veloppé en séne, nous donnera une équation dont les termes ordonnés
et és à sero, se réduiront à ce qui suit

1 x kn
A—:,=0;B+::=0 5C—C=0;D+7 0

$

k
SF+Dnr + An no: 5H + 10 Fa'+Dn+ eo

3
5.8

7
7K+35Hn tai Fm+Dn° += 0
‘ 9
9M+S4Kn°+ 126Hnt+ 36Fn+ Dn°+ À = 0 etc.

La loi des derniers termes de ces équations s'apperçoit aisément; quant

à celle des co-fficiens des termes précédens , elle est la même que celle

des co-effciens des termes qui occupent des places de numéros pairs dans
les puissances impaires du Dinome. Outre ces équations , on a

E=0;G—0;1—=0;L.—0;N—o. ainsi de suite. Tous ces |!

1] cofficiens À, B, D, F, etc. à l'exception de C étant déterminés , on a

3 L. z kz kn 7kn 314 n
L. —n)=C+—— — — — + — —
SL. C3 2n 27 133 3602 1260 3°

+ 1274 n? : Siikn° 1414477 n° _ etc.
1680 s 1188 z° 360360 ='°

46 S0MMATION DES LOGARITEHMES.

mo — . _ a

Pour déterminer la constante C, concevons que a soit un nombre tel
que a—3n,a—n,a+n,a+3n, etc. soient des termes de la pro-
gression dont il s'agit, et qu'il faille trouver la somme des logarithmes de
tous les termes de cette suite, compris entre 4 et z ; il est clair que la
constante C doit être telle que SL.(s—n) s'évanouisse lorsque = —«;

qui donne |
2n an 12 3600 1260 a” iris

Soit donc Z la premiess suite et À la seconde, on a ;
SL.(s—n)=72Z— A

Supposons, pour appliquer cette formule , que la solution d'une question |
intéressante exige qu'on connoisse avec vingt décimales la somme des lo-

rithmes des nombres impairs compris entre 1000 et 10000 : À
ici & = 1000 ; # << 10000 et n — 1.

|
|
C= — [== k.a An 7h 31kn°

sL.s °
3x 20000, 00000 00000 00000 00000 d
360 =”

Somme. .... +... ‘20000, 00000 00000 00008 44461 5

2171, 47240 95162 59158 25564 5

0, 00000 36191 20682 52709 8

|

|

|

7h n°
Lu = O7 00000 00000 00008 44461 5 |
|

|

. 2171, 47241 31353 79820 78274 3 |

cette seconde somme , ôtée de la premiere , donne
Z = 17828, 52758 68646 20187 66187 2
on trouve de même
A — 1282, 85272 28571 75705 50769 o
donc Z — À — 16545, 67486 40074 44482 15418 2

S'il est question d'avoir la somme des logarithmes des nombres impairs
compris entre o et tel nombre qu'on voudra, la constante qu'il contient
d'ajouter à Z est celle-ci

— Aou C = o, 15051 49978 31990 5976:

Ainsi pour avoir la somme des logarithmes des nombres impairs com-
pris entre o et 10000, j'ajouterai cette constante à la valeur de Z trouvée
ci-dessus et j'aurai

Z + C = 17828, 67809 38624 5a178 25948
et si l'on ne veut cette somme que jusqu'à 1000 ; on fera la quantité À
trouvée ci-dessus — Z et l'on aura

Z + C = 1283, 00323 78550 07896: 10530

Dans les cas où l'on veut la somme des logarithmes des nombres pairs
compris entre o et un nombre quelconque, la constante qu'il convient de
joindre à Z est

C = 0, 24859 49363 47066 92718
et dans les cas où l'on veut la somme des logarithmes des nombres na-
turels depuis o jusqu'à un nombre quelconque, la constante est

C = 0, 59908 99341 79057 52478

SOMMATION DES LOGARITHMES. 47

Les grandes tables d'Adrien Vlacq contiennent avec dix décimales les |
logarithmes do ons os nombres maires compris dpais jusqu 100000
Proposons-nous de trouver la somme de tous ces logarithmes.

ici Z = 100000, et n=—0,5

L. Z 5,00000 21714 66980 85333

Z L.
= = = 500002, 71714 77838 18823
C —= 0, 59908 99341 79058

Somme. .... ....- 500005, 11623 77179 97887
D IPT

As
— 47 = — 45429, 66535 75661 54391

kn
— 533 = + 0, 00000 n180g 55129
Somme....,..... — 43429, 66533 77470 89520

Z+ C = 456573, 45089 99709 08361:
la somme demandée est donc 456573, 45089 99709

Les questions relatives aux combinaisons , aux probabilités , etc. exigent
efois qu'on connoisse le co-efficient de tel terme du binome. On
peut avoir besoin, par exemple, du co-efficient du deux-cent-cinquante

{ unieme terme de (a+ 8)”; ce co-efficient étant
5oo. 499. 498. ........ cs... 251.
1.3.3.4.5........ os... . 350.

la question sera réduite à trouver la somme des logarithmes des nombres
is 251 jusqu'à 500 inclusivement , et celle de tous les nombres qui
ent 251. En opérant, comme ci-dessus, on trouve

= 1193, 6873r 86009 55497 53447
À — 492, 11049 64612 82557 81413

= 641, 57682 21396 72939 72034
À + C —= 493, 50958 63954 61615 3389:
149, 06723 57442 11324 38143
C'est le logarithme demandé.

On voit par ces exemples que SL.(s-—7) est d'autant plus facile à
trouver , qu'elle renferme un plus grand nombre de logarithmes. Si elle
en contient et s'ils sont voisins de zéro, la série Z devient lente et le
calcul pénible ; mais alors on a la ressource des tables ot de l'addition. On

t même user de cette ressource pour avoir à peu de frais la constante
€ qu'il convient de joindre à Z ; les termes de la progression ayant pour
limites o et z; et la différence 2 n étant un nombre entier quelconque,
on prendra dans la table qui donne les logarithmes avec vingt figures,
ceux des vingt premiers termes de la suite donnée : l'addition effectuée
de ces logarithmes donnera un total T'; les sept premiers termes de la
série Z, suffisant alors pour donner Z avec vingt décimales , on calculera
Z ; et l'on aura C—T—"Z.

N
|
D
D
|
©
[

MANIBRE DE CALCULER LES LOGARITHMES

Mansnns DR CaALzCULEn Les Looantraxmes

Dss Sinmus, Dzss Co-si1nmus, etc.

XXI. Reprenons les équations

2 4 6
Z LE 3
Css + or 2. tte
23 2 9

. z
Sin £1—=3—— + 2345 — 2.7 + etc.

il est clair que le second membre de chacune de ces équations se rédaira
à zéro, dans tous les cas où le premier s'y réduira : or nous avons trouvé

plus haut ( définition des sinus) cos.( AE!) . fm = 0o;et
os. (4ÈHS) . A = 0; ou , ce qui revient au même,

cos. a (2) . A —= 0; donc la série

nu ge
a 2.3.4 2...6

que s aura quelqu'une des valeurs ‘qu'on peut tirer de l'équation
= (HZ: AK ZE 1

etc. se réduira à zéro toutes les Fois

+—— ) FT ; À étant un nombre entier positif ou négatif.

Nous avons vu plus haut ( définition des sinus.) qu'on a,
Cos, [() .REb]=ransie
Cos. [ (ÉEES) ra +b ] = + sin. b;ou,ce quirevient an même,
4k— 2 … .
Cos. LC) . m'+ 6 | = + sin. 0:
L , . 4 ka
donc les valeurs de z, données par l'équation z = + (— + —) .

sont les seules quantités qui ayent la propriété de réduire à zéro la série

? . 2 + etc. cette série a donc pour facteur
+ 2.3.4 2...6 ° se Po

2 5

(GARE). X |
Cons = (ae) x (042) x (12e) x (+R
x G—55) X (+3) X (5x) x etc. (T)

On démontrera de même que la série
rs … z
2 3 +
2.

2.3.4.5 2....7

général 1 par conséquent

+ etc., indépendamment du facteur

z, onena une infinité d'autres dont l'expression générale est 1 =

2.
kX

que par conséquent

DES SINUS, TANGENTES, etc 44

ssx(—z): G+g). GC): G+£ 5x)
L — 5x) ù (+35) : (7) . etc.

. m LA un
Ms. -, nous aurons, en multipliant ces facteurs deux-à-

{et prenant les logarithmes,
GEL (ri) +L(i-)+L( 2)
Care C- + etc. - « « + + + + (X)

Sn fer (RE) +2 (ie) +2 (É

m m
. C-2)+L ( 1 — RE

loppant tous ces Jogarithmes en séries à l'exception de L. (£

e + e ° 2° .(Y?) ‘

mblant tout ce qui multiplie les puissances semblables de Le et

mant par 4 le module des tables, on a

EL LEVEL ET (= ++ ++ ec. )
7

2n nr 1 2 g2 5?

m° k 1 1 1

_ # _—_ + — + — + etc
Tr XEX (tt = + etc.)
6
m k 1 1 1 1

EX 3 X ( start st + ete.)
m +4 1 1

— XX EX (+ mt t-rte.)

— ELC. « + + + + , . (AA )

in. mn 1. +Lm— L.n
2 7

x Lx (+ + + — + etc.)
2 7 2 ,? 6°
m k | 1 1

XX (tt + ee )
mi k 1 1 1

— ——— —_.— tc.
TX TX (— + c++ + etc. )
mn” k 1 1 1 1
X = tata t )

_ CC... cs (BB)

5o MANIERE DE CALCULER LES LOOARNITHMES

TT
{| sommant enfin toutes ces séries, nous aurons, en nous bornant à vingt
décimales, |
mA km
L. Cos. — "= — —— . 1, 25370 05501 36169 82735

° a
2n n

4 16
| — - 0,50733 90158 02091 02727] — x a -0,12500 00029 04644 67239

6 18
— Em. 0,33381 56922 13647 37397 2% on 11115 97957 50650 |
.n n

$
TT . 0:26005 87947 56324 02983] — À
nm

a *0,10000 00000 28680 76975 }
n

10 2»
— — *C,20000 34082 72608 96510] — x a -0,09090 90909 11987 88865
n n

_,
— LT. 0:16666 69809 74763 85826] — À
n

24
.0,08333 33333 33628 3y458
it

14
— 17 014285 71727 48645 60164 — etc. e + + «ee (CC)
rm

Loin, ET = Lim—L.n+ k . 0,45158 27052 89454 86472 619
"a 16
_ A 0,41133 35167 12056 60g12|| — Le -0,00000 19073 77781 40909 |

n n |

18
A7. 0,00000 04258 56869 71591
n

4
_ 1. 0103382 26010 53473 06848

LL 0,00529 86617 81169 00594|| — 2 -0,00000 00953 67522 61753
n re

2 000000 00216 744231 45024
nr

8
_ km . 000098 05442 93162 05502] —
n

#
tm -0,00000 00049 67054 02736
n

Am” 010001 55067 52954 64197 —
5 , 9 29 97

16

_— 27. 0:00000 87198 42077 07048
n

Si l'on fait dans ces formules 4 1, on aura Îles logarithmes hy-

m A
perboliques de cos. 5

LI m . e
et de sin. TE mais si

k—0o, 43429 44819 03251 82765 113 , elles donneront les logarithmes
| vulgaires. Il faudra en outre ajouter 10 à ces logarithmes, pour les avoir
sou$ une forme positive telle que les tables les donnent. Effectuant ces
produits , on aura

L, Cos. © mx
2

= 10

s ()
—_ = . 0,53578 93412 45144 63118] — 7 0,14497 43131 01101 35301
n

A |
1 — — . 022033 45350 17076 98616] — 0110859 04688 24411 26436 |
ñ n° |

,
j
!

|

DES SINUS, TANGENTES, etc. 51

: 0:08686 03765 74642 26106! — ". 0,04342 9448a 02781 08880
n

ja 23
— —. 0,07258 25501 52814 196921 — “—. 0,03948 215165 37917 39930
"
— —" 006204 20818 25056 427341 — >" 0,08619 12068 25399 12868

. 0505428 68114 99377 651671 —

+ 0,04825 49425 58261 76821

= L.m— L.n
n

16 .
+ 10, 19611 98770 30152 65913 752] — —. 0,00000 37869 79297 13949
nr

16

+ 0,17859 64470 81714 877061] — ue 0,00000 08283 63645 37083

. 0,01468 89690 01138 46596|]— 7, -0,00000 01840 78699 63440

XCRTCRA EEE

. 0,00230 11795 73033 354941 —
. 0,00042 58449 75782 00578] — —. 0,00000 00094 13081 83428
R

. 0,00c08 49075-03983 02763] —

S Les
v >
:

. 0,00001 76758 36423 15178— etc. . . . . . . . . (FF)

|
|
|
|
|
|
|
|
|

Ces formules ne sont commotdément applicables que quand est une

| fraction moindre que — . On les rendra plus rapides , si l'on conserve

| 1. Gi——) dans la formule X ; aL. (E)+1. (1-2)

dans la formule Y : développant d’ailleurs, comme ci-dessus , tous les
| auttes logarithmes de chaque série. Euler , après avoir donné une dé-
À monstration à priori des formules X et Y , sarrète à ce dernier parti,
Voici les formules qu'il obtient.

L. À cos. 2 = L.(n—m)+L.(n+m)—al,.n

2 10

— 7. 0,23370 05501 36169 82735] — — 0,00000 34082 72608 9f51e
n° n°
â 12

_ —. 0,00753 90158 02096 a2727| — ——. 0,00000 03143 08097 18659
n n°
6 14

_— 7. 0,00048 235388 8031, 04063|| — —. 0,00000 00298 91502 74450
ze n°
4 18

= - 6,00003 87947 56524 02u82|| — 7. 0,00000 00029 04644 67239
(4

14
n

4)2

Lo ——> D lt — 7 -

————

4 | n
+ 32
mm
7 000000 00000 28680 769741— =. 0,00000 00000 00000 03373
m°° 1 m*
— —57* 200000 00000 02896 97956] — — 0,00000 00000 00000 00352
2 n
24 Ù
— — 0,00000 00000 00295 06024]— _——. 0,00000 00000 00000 00037
4 |
— —7* 000000 00000 00030 26249!— —— 0,00000 00000 00000 00004
n | ñn
LL
— —: 0,00000 00000 00003 12232]— etc. . . . . . + + + (GG)
na

|
L. À. sin. 2H =Lm+L. (an—m)+L (antm)—3Ln
— 0, 93471 16558 30435 re,

— + 0 116123 35167 12056 60911] — — 0,00000 00000 01617 97979
n°

— m. 0,00257 26010 53473 06848|| — me. 0,00000 00000 00090 97690
n

— mo 0,00009 03284 47835 67260] — me, ©,00000 00000 00005 16827
n

— mo 00000 39817 93162 05501] — me. 0,00000 00000 00000 29607
n .

— Lu 0,00000 01942 52954 65196|| — me. 0,00000 00000 00000 01708
n°

— ee © 00000 00100 13287 48812] — Le 0,00000 00000 09009 00099

—_ 0 0,00000 00009 34041 35618||— me, 0,00000 00000 00000 000085
n°

— 0100000 00000 29148 59658] — etc. . . . . . . .< + (HH)

2 + ——— . _
———_—_— SC — —— —— — ——

Euler donne aussi les mêmes formules appliquées aux logarithmes vul-
gaires: mais avec quinze figures seulement.
Les voici avec vingt décimales.

J.. cos. Tr = L(2—-m)+L(n+tm)—a2lL.n

. 010149 48593 41892 80353] — me. 0,00000 14801 93986 89554
rn

12
0,00318 72940 65451 07231 — — 0,00000 01365 02272 22565
14

— . 0,00020 94858 00017 41893] — =. 0,00000 00129 81714 73773

_ — 0,00001 68483 48598 30743] — “—+ 0,00000 00012 61471 15311

nñn n

DES SINUS, TANOENTES, CtC.

ee

18
m
n° Je
m°° 32
30
n
m*
+ 000000 00000 01258 142241— —;7 * 0200000 00000 00000 00153
n
m*
+ 0,00000 00000 00128 143041] — —;%* 9:00000 00000 00000 00016
n
+ 0.00000 00000 00013 14283]— etc. . . . . . « . + (II)

+ 0,00000 00000 00001 3572

Lin Te L.m+L.(an—m)+L.(an+m)—3Ln

+ 9, 59405 98857 02190 26861
1

— _ . 0,07003 28266 05901 92014] — — 0300000 00000 00702 67969
n n
4 20
— — . 0,00111 72664 41661 84613) — 2 000000 00000 00039 51077
n n
6 | 23
_ ed + 0,00003 92291 46453 91831] — —— 0,00000 00000 00002 24455
n
E EF
— —3 * 900000 17292 70798 56059, — ——. 0,00000 00000 00000 12858
n n
10 26 | |
— “—. 000000 00843 62986 29875 =. 0300000 00000 00060 00758
ñn n
13 28 |
— 7_.0,00000 00043 48715 50180] — 0 0,00000 00000 00000 00045
rm

12

le m*° -

_— 53" 2100000 00003 31931 21410 — =" 000000 00000 00000 00003
n rm

16
— “—. 0,00000 00000 12659 07465 etc. - . . : +. + + (KK)
n

En conservant les deux premiers logarithmes de la formule X , les
trois premiers , les quatre premiers etc. en conservant de mème les trois
premiers logarithmes de la formule Y , les quatre premiers, les cinq

MT 4 de L. sin.
2n

premiers etc. on peut obtenir les valeurs de L. Cos.

27 exprimées chacune par une suite finie de logarithmes , et par une

. e. e. . . e. . m
suite infinie de termes qui marchent suivant les puissances paires de 5

dans chaque cas , la suite infinie sera d'autant plus rapide que la suite
finie contiendra un plus grand nombre de logarithmes , ainsi qu'on peut
le voir par les formules qui suivent, et où il n'est question que des lo-

garithmes vulgaires.
L. Cos. TL. (R—m)+L(n+m)+L(3n—m)+L.

(3n+m)—A4L.n

D 3

+ 0300000 00000 12455 go006|— —. 0,00000 00000 n0000 01468.
a
n

5%

30

m
+ 0,00000 00001 24567 12069||— —_…. 0,00000 00000 00000 14062
à

MANIKRR DE CALCUIRR LES LOGARITHMES

ee mme

—

+ 9, 04575 74905 pos 12541
0,05323 99169 08198 15389 — —: 0 00000 00000 00557 45815 |
n°

—_——

so
+ 0,00001 09057 90002 214611 — ——_. 0,00000 00000 00000 46196 1
n
22
« 0,00000 03000 14430 37374] — ——. 0,00000 00000 00000 01657 k
n°

24
— ——. 0,00000 00092 3094) 745881 — — 0,00000 00000 00000 00061
n°

n°
m*° m*

— —;+ 0:00000 00003 01991 00809] — ——. 0,00000 00000 00000 00003
m n
m"

— T° 0,00000 00000 10259 38368 — etc. e + + + ee ee ee (LL)
n

L. sin. PT 2 L.m+ L.(2n—m)+L.(sn+m)+L.

(4n—m)+L.(4{n+m)—5lL.n
+ 8, 38993 99030 ess 48776

+ 0,90000 00725 68825 768231 — —. 0,00000 00000 00000 01192
n°

29
nm
— —+ 0,00000 00015 27887 66915] — ——. 0,00000 00000 00000 00030
r

— —;" 0,00000 00000 34387 44817]— etc. . . . . . . . (MM)
ne v
L. cos. TI =L.(n—m)+L(n+m)+L.(5nr—Im)

+L.(Sn+tm)+L.(5n—m)+L(5Sn+tm)—6L.n

+ 7: 64781 74818 88637 51584 | — F. . 0,00000 00003 36598 75650
+ 0:03586 81376 32068 08078 — 7. 0,00000 00000 05512 6178
0,00015 90283 44723 21253] — -—. 0,00000 00000 00094 41112
+ 0,00000 16408 41054 94524|| —

. 0,00000 00000 0000 1 66.109

+ 0,00000 00320 65961 96566|| — 7. 0,00000 00000 00000 02998

18
- 0,00040 64639 30245 81399] — m_. 0,00000 00000 00012 67970 }
Lo

|

|
|

O7) SRNSLENLRSSQ UCIUe 29

Ts

>
_— — 0,00000 00000 00000 00058||— etc. . . . . . . . .
n
L. sin. TT =LemtL(an—m)+L.(antm)+ L.(4n—m)

+L.(4n+m)+L.(6m—m)+L.(6n+m)—7L.n
12

+ 6, 83363 74022 78978 22274 | — _. 0,00000 00000 01135 42639
ñn

14

0,03081 56858 78525 01848 || —. 000000 00000 00014 78214

16 .
0,00010 148321 48244 22877 | — Ta. 0,00000 00000 00000 19861
n

Lil
"26°

+ 0,00000 00079 26895 42474] — ——. 0,00000 00000 00000 00004

— + 0,00000 07835 58382 127071— ©, 5,00000 00000 00000 00272

+ 0,00000 00000 91400 32816f— etc. . . . . + .« « - (00 )

L. cos. TT EL. (n—m)+ L.(R+m)+L.(Bn—2)+L

(Sn+m)+L.(5n—m)+L.(5n+m)+L.(7n—m)+L.
(72+m)—8L.n
+ 5, 95762 14018 60123 85442

13 1
_— = + 0,02700 49849 40164 98226 E— —. 0,00000 00000 00283 18497
n n°

‘
= . 0,00006 85880 11132 36459

+ 000000 00000 00002 93374

. 0,00000 04103 60325 81806 ||— 7. 0,00000 00000 00000 03057

+ 0,00000 00032 32073 25453

—. 0,00000 dBo00 29106 69591 ss...

L. sin. TT 2 Len + L.(ar—m)+L. (an+m)+L.(4nr—m)

+L.(4n+m)+L(6n—m)+L.(6n+m)+L.(8n—m) +
L.(8n+m)—9L.n
+ 5, 02745 74282 peeg 5146

— —. 0,02402 98545 98786 70867|| — . 0,000n0 00014 25403 44450
n n°

1e

4
— ——. 0,00004 84686 85121 27122] — “—e
ñn n°

0,00000 00000 10506 67715

6 D

m m ==,

— —-. 0,00000 02311 24391 26295||— —+ 000000 00000 00082 1250;
n na ’

56

MANIRARE DE CALCULER LES LOGARITHMES

16 18
m
_— 7m, 0,00000 00000 00000 67541 f— — 0 ,00000 00000 000(10 00005
. ñn

— 7_ ,.0,00000 00000 00000 00600 — etc. . . . . . . . + (QQ)

L. cos. "7 = L. (n—m)+L. (n+m)<+L.(3n—m)+L

(3n+tm)+L.(5n—m)+L.(5n+m)+L.(7n—m)+L.
(7n+m)+L.(gn—m)+L. (gn+m)—0oL.n

1o
+ 4, 04913 63829 81474 10524 I — —. 0,00000 00000 04195 80771
nr
a 13
— —. 0,02164 33246 69754 365871 — — 0,00000 00000 00026 go011
n n

4 14
— 7. 0,00003 54913 42796 497211 — —_ 0,00000 00000 00000 22173
nr

16
— —. 0,00000 01379 59763 582941 — — 0,00000 00000 00000 00127

FRA

— —ÿ + 0300000 00007 09845 8245B81— etc. . . . . . . . . (RR)

n
L. sin. TL Lm+L (an—m)+L.(2n+m)<+L.(4n—m)

+L.(4n+m)+L.(6n—m+L.(6n+m)+L.(8n—m)+L.
(8n+m)+L.(ion—m)+L.(ion+m)—11l.n
lo
+ 3, 02745 74282 95091 05146 I — —. 0,00000 00000 01820 58751
n
13

. 0,01968 68907 79754 19039||— 7. 0,00000 00000 00009 74123

19

- 0,00002 67539 61026 10863] — .___. 0,00000 00000 00000 05499
. 0,00000 00863 59563 96187|— 7 . 0,00000 00000 00000 00057
n

. 0,00000 00003 69667 23954|— etc. . . . . . . . . (SS)

e
En conservant les expressions logarithmiques d'un plus grand nombre
de termes des formules X et Y ,on ne tarderoit pas à obtenir des séries
tellement rapides , qu’il suffiroit d'en calculer les deux ou trois premiers

termes, pour obtenir avec vingt figures les logarithmes de sin. TT et de

m
cos. a
2n

employer de tems à la recherche ou au calcul de ces logarithmes ; et ce
tems pourra bien compenser celui qu'on y gagneroit Ja rapidité des
séries ; ensorte que tout bien pésé , 1] me semble que les formules précé-
dentes sont préférables à celles qu'on pourroit obtenir en conservant un
plus grand nombre de logarithmes. Il est mème un choix à faire parmi
es formules précédentes ; et ce choix dépend de l'extension des tables de
logarihmes dont on peut faire usage. Les formules précédentes donnent

: mais plus il y aura de logarithmes conservés, plus il faudra

la solution de cette question ; une païtie quelconque (=) du quart de

—
Û

DES SINUS, TANOENTES, etc. 37

la circonférence (Æ) étant donnée , trouver le logarithme de son sinus

ou de son co-sinus. de 4 dé
Quant aux logarithmes de sa ta te ou de sa co-tangente, de sa
cante ou de sa o-sécante » On les sure par de simples soustractions ; en
effet , nous avons trouvé plus haut :
AT _MP BC CT MC. CT’ _MC
AC PC BT”’ AC CP’'BC MP
Soit l'arc AM — 2%; L.AC = L.BC= L.MC = 10; nous aurons
PT; L sc. TT

L. ang. © = 10+ L. sin. PT _L COS. —— ;

— L. cos. AA. L. cot. nn _ 10 + L. cos. BA _ L. sin. mx
an an 2n an

| L. coséc. TT — 20 — L. sin. nn,
2n an

S'il est question de trouver les sinus, co-sinus, etc. ou les log. sin. , log.
co-sin. , etc. d'une suite d'arcs en progression arithmétique ; D ses à
l'aide du calcul des différences finies , tirer des formules précédentes,
d'autres formules qui donnent les différences premieres , secondes , troi-
siemes , etc. de ces quantités ; pour cela, reprenons la formule P et don:
nons-lui la forme suivante :

mA m? m" m° M” m!°
an = SATSXB—-TXC+SXD—E-XE

etc.
Substituons , dans cette équation P , m—+ A m à m ; il viendra une
équation P’ de laquelle ôtant l'équation P , nous aurons

Ace. LT BAM, (am+ Am) + PAT x
2n n° n° |

(4m +6m" A m + etc.)

C
— — X (6m° + 15mAm, + etc.) + DA X
n

(8m? + 28m°A m + etc.)
__Eam

10
n

(10 m°+ 45 m AmHhetc.) + etc. |... . + (AP)

2
À COS. — = —
2n 2

mA 2A Am? + Bar

(12 m° + 24 m Am+144 m°)
CAm°
— :

n
DAm°

8
Le

(3om°—+ 120m° A m+-210 m° A m°+ 18om À m'+62 A m°)

. (56m° + 336m' Am—+98om" Am+168om° Am 3+ 1736 m°

Am etc.)
_Eam

10

(gom"+ 720m À m+ 2940m° À m°+7560m° À m°+-etc.)

Nous trouverons de même en faisant À m constant

FAm’

13
n

. (132m"° + 1320m° À m + 6930m° À m°+etc.)

58 MANIERE DE CALCULER LES LOGARITHMES

= __— = — ——-- — pes — —_——— — © ——

2
ee STE X (182 m°°+ 2184m'! A m + etc. ] À
n°

L
+ He doses Jet. . se. (AY

L X (24m + 86 À m)
— Cam

.(120 m° + 540 m° À m + goom À m° + 540 À m°)

Dam

+ . (336 m° + 2520 m° A m—+ 8400 m° A m° + etc. )

_— Eam ——— X (720m/ + 5560 m° Am + 37800 m° A m° + etc. )
n°

+ Fam

X (1320m°+ 17820 m° A m + etc.)
— Saw

. (2184m"+etc.) etc. . .... . . . . . . . (A°P

Afcos, ET — 24B Am __ CAm‘
2n n° n°

(360 m°—+ 1440 mn À m—+ 1560 À m°)
Dam

X

+

° (1680 m°_+ 13440m° A m + 43680 m° Am ?+ 67200 m As

+-40824 À m°)

_ Eans X (5040 m° + 60480 m° A m + 327600 m° Am’ + etc.)

dv (11880 m° + 190080 ms” À m7 etc.)

4
— JT 5 (24024 m°+etc.) Hetc eos... (A“P
Li 2

s
A° cos. nn = — Cam . (720 m + 1800 A m)
n

(6720 m°+ 50400 m° Am +- 134400 m A m°+ 126000 A n

_ Eam . (30240 m° + 378000 m A m + 2016000 m° À m° + etc. )
n°

+ Fam. (95040 m°+ 1663200 m° A m + etc.) — etc. (A°P)
n'?

con, MT = — 70CAm

6
À cos. + D Am

21 n° n°
(20160m"-+- 120960 m À m+191520 Am" )
— Em

X

. (151200 m° + 1814400 m° À m + etc. )

+ FA

% (665280 m° + etc.) — etc. .......... (A°P

— ne 2 Te 0 ee

DES SIWNUS, TANGENTES, elC. 29

_—_— —- es ——

rouvera de même les différences des ordres supérieurs. . |
ta, Ces expressions Am*, Am , etc. tiennent lieu de celles-ci : |

1), (A m) » CC.

reillement de la formule Q mise sous cette forme
n I m

27 nm n° n° =? n°?

-e les formules suivantes
in, 2T —chm _bam,
2n n

si |
= —.a——. b+ me d4 6 — otc. |
(5m +3mAm+Am')
2 X (5m+iom Am+iom Am'+5mAm+ Am).
QT x (7m +aim Am+35m° Am"-—+ 35m? À m° + etc. \
m 8 7 6 ,
— X (9m <+36m Am+84m Am°+ etc.)

Le x (11m°°+ 55 m° À m + etc.)

7 x (13m'° + etc.) — EC... | AW)
sin. mx = — B:am X (6m+6Am)

an n°
dre

X (20m°+60m° Am<+ 70m Am°+ 30 Am’)

x (43m + 210 m° A m + 490 m° Am’+ 630 m° Am

+ 434 m À m° + 126 Am) |
me X (72m? + 504 m° À m+- 1764 m° À m°+-378om* Am°—+ etc.) |

are 27 X (110 m°+ 990 m° Am + 4620 m°’ À m° + etc. )
Cu

LA X (156m'° + 17916m" Am <+ etc. )
a
A y (a10m' + etc.) + etc, . . ss... (A°Q).
sin, TX = _ S:bAm + 2 Am X
an ñ
(60 m°+ 180 m A m + 150 Am)
3
27 X (210m°+ 1260 m° À m+- 3150 m° Am°+ 380 m A m° +
&
1806 Am)

UE (504 m° + 4536 n° Am + 18900 m° Am’ + 45360 m° A m°

1°

+ etc. )
3
7 X ( 990 m° + 11880 m7 À m + 69300 m° À m° + etc. )

60 MANIERE DE CALCULER LES LOUCARITHEHES

8
gAm
a

X(C 1716 M + 25740 m° Am +-19305om" A m°- etc. )

s
_ ÀAm X (273om"° + 49140 mm" A m+ etc.) etc. . . . ( a°Q)
n

A‘ in. 2H = cAm” (120m+240 Am)
_ dAm“ x (840 m° + 5040 m° Am <+- 10920 m À m *+ 8400 À m° )
n?
+ Am. (3024 m° + 30240 m° À m + 131040 m° À m°—+etc. )
n?

- 2% X (7920 m° + 110880 m° A m + etc. )

+ ein X (17160 m°<+ 508880 m° A m + etc. )
n°
— law x ( 32760 m'! + etc. ) + etc. ….....
n°

nm _ 120 c A m°
an n°

( 2520 m° + 12600 m À m + 16800 À m°)

A° sin.

5
+ PE X (15120m°-+ 151200 m° Am 604800m° Am + etc.)
— far
X (55440 m° + 831600 m° Am + 5544000 m° A m° + etc. )
+ ga X (154440 m° + 5088800 m’ À m + etc. )
n°

_ ham v (360860 m°° + etc. ) + etc. . .
n°

6
27 X (5040 m + 15120 A m)

+4 SAM me (60480 m°+-544320m° À m4-172368om À m°+-1905120 A ms°) |

_ fm X (332640 m° + 4989600 m° A m +- 31600800 m° À m'-etc.) |
n

; |
+ A X ( 1235520 m” + 25945920 m° A m + etc. )
n°

— AM x (%o3600 m + etc. ) + etc
n°

Ainsi des autres.
La formule R étant mise sous cette forme,
e mY anm

3 5
Tang. = — LT X A+ a+ + oc + etc.
an nm n nm

- ll

DES SINUS, TANMGENTES, etc. @

ne differe de la formule Q qne par son premier terme = X À etpar
n°—m°

les coefficients constants de tous les autres. Soient donc, A@ ; À "©,

A°Q'etc. ce que deviennent respectivement AQ, etc.

quand on y substitue a’ au lieu da; b' au lieu de b ; c’ PR lieu a 0 c, etc.

on aura

AR Ana x (eee + AQ.

A’R=2nAX ( mt2am 2, "tam bé )
n{(m+24Am) n'—(m+Am) n'—m'
Horse ses ss ee ses. ….. A°Q
AR=anA[ _"+SAm 5 (2 )
| n°— Cr+54 am) n'—(m+24m)
m + Am — mm À ee 0 © + © . ee e 3 r,
(ram) nm = l+ s®
atB=anA[-"t+t4am — m+S Am )
n'—(m+4Am) n'— Crtiam)
_m+2AmMm m+Am 40
° n°—(m+24m) += (ream)) — Can) ) n—m It Fe
SR=anAf m+$am _5[_m+4Am etc.
A°R=2 D Écerer rest SC) + te. |
Hess... Sens ssssserrsserre.s A°Q!
—an +6Am m + 5 Am
a'R=2 ere, Ga) +]
Hocsosesses esse resses es A°Q!

Cot. MT ER A Anim D QE gum X cl!
2n m 4 n° —m° n 3 n°
— etc. ne differe de la formule Q que par ses deux premiers termes et

par les co-efficients constants de tous les autres ; on aura donc

à S=n. A( +4 B( Mt Am ——"—)

pr ay 4n — (m+ am) 4n°— m

On aura de mème A°?S, A°S, etc.

Les formules AA et BB, ou plutôt toutes celles qui en découlent, ne
different de la formule P que par leurs coefficients constants et par cer-
tains logarithmes qui les affectent ; ainsi en prenant les différences pre-
mieres, secondes , troisiemes , etc. de ces logarithmes , et substituant aux
coefficients constants dans les différences de P , ceux des formules CC,
DD , etc., on aura les différences premieres , secondes , troisiemes , etc.
de ces formules.

Si les logarithmes que renferment ces formules se trouvent dans les
tables , on aura les différences de ces logarithmes à l'aide des tables , et
de cette maniere, | |

LE) MANIERE DE CALCULER LES LOGARITTHMERS

AlLm=L(m+Am)—L.m

A'Lm=L.(m+2Am)—a2l.(m+Am)+L.m s

A’Lm=L.(m+3Am)—5L.(m+2Am)+5L.(m+Am)
— L.m

A‘L.m=L.(m+4Am)—4l.(m+53Am)+6L. (m+2a4m)
—4L.(m+Am)+L.m

A‘Lm=L.(m+5Am)— 5L.(m+4Am)+ioL.(m+54Am) |

—10L.(m+24m)+5L.(m+Am)—L.m
Ü A‘Lm—L.(m+6Am)—6L.(m + 5 A m)+ etc.
| on aura pareillement,
AL.(n—m)=L(n—-m—Am)—L.(n—m)
A L.(n+m)=L(n+t+m+Am)—L.(n+m)
Les différences secondes, troisiemes, suivent la même loi que ci-dessus

Si les logarithmes ne se trouvent pas dans les tables, alors on en cal-
culera les différences, comme il suit :

C] L
aLm=r(im — Am4 8m Am + ac.)
m 2m 3m 4m
A°L.m = —x(AT ram + Lam _ 6Am 31 Am°

3
m m am m° 3 m°

7° s
18 Am + 127 4m — etc. )-

m7 4 m°

5
A°L.m=A( 24" __ gAm {4 304m __goAm 4 258Am?
m° m* m° m mi

_ 1449 Am” + etc.

pes )

6 5 6 7

AiLm=——# (°27 — 84m + 04m __ 12004m +
m m m m

8
m

8
5103Am_ _ etc. )

D) 6 ” 8
A‘L.m=k( 244% … Joam + 2400 A rm … 15750 Am + etc.)
m m m' m
. 6 9 8
ALim=—# (2247 … 2160 Am + 239404m etc. )
m m m°

Ainsi des autres.

En mettant #7 + m au lieu de m dans les formules précédentes, on aura
les différences premieres , secondes , etc. de L.(n7 + m ); en y substituant
au lieu dom, 2n<+m,3n<+m,etc. on aura celles de L.(2n+ m),ds
L.(3n+m)etc. En y mettant au lieudem,n—m,2n—m, etc. et
— Am au lieu de À m, on aura les différences premieres , secondes , etc.

de L.(n—m) de L.(2#—m) etc.

Supposons , pour appliquer ces formules, qu'il soit question de calculer

avec quinze ou vingt figures une table de sinus de dix en dix secondes pour

les nouveaux degrés du quart de c:rcle.

—_—

DES SINUS, TANMGENTES, Etc. 63

2

On fera # = 100000 et m — 1 ; ce qui donnera 7% — _ Lo ot
| 27 100000 2
substituant ces valeurs dans la formule Q , et transposant la vi guledcyninse

places vers la droite, on aura

m
—Xa= 1 57079 62267 94896, 62

|
!
;

,
— Xb=— 64596, 41

sin. 10/ 1 67079 63267 30300, 21

faisant de plus dans les formules AQ, A°Q, etc. A m — 1, clles donnent

A sin. 10” = + 1 57079 63263 42721, 75100 °
A’sin.10=—, ,.,.,.,.7 75156, 91686 41
A’sin.10/——, ,,.,..3 87578, 45819 2947 |
A“sin. 10/=+, . ... , .. . 0, 00028 68934 54
A'sin10/=+,,....... 0, 00009 56311 51346 |
A‘sin.10/=—,,........0, 00000 00000 00094 384

A‘sin.10/——, , , . . . . , . 0, 00000 00000 00025 59604

Observons que la suite des différences septiemes est trés facile à cal-
culer en faisant dans la formule A’Q,m—2,m—3,m =—4, etc. en
ne conservant de cette formule que les termes qui peuvent influer sur Ja
quarantieme décimale, elle prend la forme suivante

A’ sin. RL x x = — 23, 596040 84 : .
100000 a (180008)

+ ( 29, 11044 86 .m° + 203, 7731400 . =)

( 100000 }°

_ (À 98560 . m° + 83, 1985.)
( 100000 )”
0, 49230. m° ___ 00217 m

+ _ — DT
(100000)? (100000 )"

Le deuxieme terme de cette formule commence à influer d'une unité À
sur la quarantieme décimale, dès qu'on a m — 58 ; le troisieme, dès qu'on a |
m = 491 ; le quatrieme, dès qu'on a m — 3595 ; le cinquieme, dès qu'on a |
m — 10518; le sixieme , dès qu'on a m — 22852 et le septieme, dè: qu'on a |

m — 58277.

Les termes de cette suite se calculent très promptement par le moyen

des logarithmes. Par exemple, pour avoir ce que devient 5, 98560 m°,
lorsque m équivaut à 3595, 3596, 3597 etc.

Au logarithme de 5, 9856 on ajoutera le quadruple de celui de 3595;
à la somme on ajoutera le quadruple de la différence du logarithme de
3595 à celui de 4506 : à cette nouvelle somme on ajoutera le quadruple
de la différence du logarithme de 3596 à celui de 3597 ; et ainsi de suite:
ce qui donnera les logarithmes des produits de 5,9856 par les nombres
(3595 }* (3596)* (3597). Cette opération est d'autant plus facile qu'on
trouve dans les tables les différences des logarithmes. Les autres termes
se calculeront de même.

>

MARLI£ENE DB CLALCULER LES LOUARITHME

La suite des A’ sin. —7 LL étant calculée ; à l’aide des termes |
100000

* a
de cette suite et de A sin. 10/,'on aura par voie d'addition la suite des

A‘sin. . ZX, à l'aide de celle-ci et de A°sin. 10/, on aura par
100000 2

voie de soustraction la suite des A° sin. ——— . Z; on aura de même }

100000
la suite des A“, des A”, etc. et enfin la suite des sinus des angles de dix
en dix secondes. .
Ces calculs n'étant qu'une affaire de patience, je ne m'y arrêterai point;
je dirai seulement , que pour s'assurer de leur exactitude , le moyen qui

me paroît le plus sûr, est de calculer de distance en distance (de cinq en.

cinq ou de dix en dix minutes ) les sinus des mêmes angles à l'aide de la
formule Q; par-%à on aura de distance en distance des termes de com-
paraison , des moyens de vérification et même de correction.

Nota. Si l'on ne veut pas calculer plus de trois termes; dès qu'on sera
arrivé à m — 10000 on fera usage des différences huitiemes qu'on obtien-

dra ainsi Asin. _7_ , % — +4 58,22090.m_ _ 23,9453 . m°
100000 2 ( 100000 )° ( 100000 }"*

Si l’on veut les sinus de minute en minute, on fera 7 — 10000 et les
formules Q, AQ, A°Q, etc. donneront

Sinus 1 —. . . 15 70796 32033 52556, 5

A sin. 1 = . . 15 70796 28157 74100, 408

A'sin.1"= — . . . . . 7751 56902, 66282

A sin. 1’ .

= — . . . .« + 3875 78427, 42362 40
Afsin.l = +... ..... . 28, 68934 4269
A‘sin.1=+.......... 9, 56311 36551 2
Ain... . + + + 9438 416
A’sinl=—.,......... 2359 60348
AfSinV=H. ss see 29 11

et l’on aura la suite des différences huitiemes au moyen de la formule

Afin. 7". À — 58, 22089 . m + 232, 8836
10000 3 ( 10000 )°
: ( 25, 9423843 . m° + 287, 30855 . m + 3 4091653 m°
(10000 ) ( 10000 )°
O 17353 m + © 005947 .m
(10000 }° ( 10000 )?

ès em = 17.

Quand on ca ile une suite quelconque à l'aide des différences appro-
chées des termes de cette suite , il faut prendre pour le moins , une déci-
male de plus dans les différences premieres que dans les termes dela suite ;
une de plus dans les différences secondes que dans les dif. premieres ;
une de plus dans les différences troisiemes que dans les dif. secondes ; et
ainsi de suite. Si l'on ne prend pas plus de Égures dans les différences quo
dans les termes de la suite, alors les erreurs occasionnées par les chi

u'on néglige dans les différences du dernier ordre , se font sentir sur les
ifférences des ordres précédents où elles croissent suivant la loi des nom-
bres figurés, c'est-à-dire , qu'une seule des différences de l'ordre # étant

}

DES SINUS, TANGENTRS, etc. 65

| fautive d'une unité, cette erreur se fait sentir sur toutes les différences de
l'ordre #— 1 qui en dérivent; elle y marche donc comme les nombres
constans 1,1, 1,etc. Chacune de ces erreurs se fait pareillement sentir Îf

| sur les différences de l'ordre x — 3 qui en dérivent ; elles y croissent donc

| comme les nombres naturels 1, 2, 5, etc. Chacune de ces erreurs se fait
sentir de mème sur les différences de l'ordre # — 3 ; elles y croissent comme
les nombres triangulaires 1, 3, 6, 10, etc. Elles croissent comme les |}
nombres pyramidaux daus la suite des différences de l'ordre # — 4, et

| ainsi de suite , selon la loi des nombres figurés.

| Il est donc essentiel d'arrêter les progres de ces erreurs; si l'on ne veut |}
pas. en prenant plus de décimales dans les différences que dans les termes |
de Ja suite, se priver de l'avantage d'avoir des différences dernieres faciles

| à calculer. Pour y réussir , on culculera directement et de distance en dis- |!
tance des nombres de la suite en question ; on prendra la différence de ces

| nombres à ceux qui leur correspondront dans la suite ; on décomposera |

| cette différence en nombres figurés de l'ordre suivant lequel croissent les
erreurs ; les côtés ou racines fe ces nombres indiqueront parmi les diffe-
rences du dernier ordre , celles qui doivent être augmentées ou diminuées
d'une unité, Eclaircissons ceci par des exemples.

| Calculons, à l'aide du sinus de 10" et des différences trouvées ci-dessus,
Dr uns des premiers termes de la suite des sinus et bornons-nous à

| dix-sept figures pour en conserver quinze ; nous trouverons ces sinus et |

h] leurs différences tels qu'on les voit dans la table suivante. |

| Différences I IL | III
10/| 0,00001 57079 63267 30 | <

20 | 0,00003 14159 26530 73 | ; 27079 es : "7$

3o | 0,00004 71258 B9786 4t | Hors 6%a £
40 | 0,00006 28318 55030 46 | sn) cs 55
50 | 0,00007 85398 16259 o1 se £a | 1038 38
Go | 0,00009 42477 79468 18 | PL. 63182 st 2325

Z° 0,00010 29027 42654 10 PLEE. 63158
o | 0,00012 56637 05812 89 se 631 79 | 3100 | 388
90 | 0,00014 13716 68940 GB SerS 63 27 7913488

leo | 0,00015 70796 32033 59 | 7079 °09? 9° |

Sinus.

Es = En bi ei ni pi

| Ce sinus surpasse de 6 celui que donne la formule Q savoir ;
|| 0, e 70796 32033 55. Le nombre 6 étant lui-même un nombre trian- |4
| gulaire dont la racine est 3; j'en conclus qu'en augmentant d'une unité la |
troisieme différence du troisieme ordre, en les comptant de bas en haut, |
je détruirai les progrès naissants de l'erreur , et j'arriverai au sinus que
donne la A à Q ; je corrige en effet cette différence comme on le voit |
| dans la table suivante que je prolonge jusqu'à 200/.
Suite de la table des Sinus.
| o,00007 55396 16259 o1
0,00009 42477 79468 18
0,00010 99557 42654 10 |
0,00012 50637 05812 588 |
0,00014 13716 68940 65
0,00015 70796 32033 53 |
ARE 27875 95087 65
0,00018 6955 58099 13
0,00020 42035 2104 lo
0,00021 9114 859-8 68
0,00023 5674 46839 oo
0,00021$ 1352174 og641 18
0,00016 70353 72381 35
0,00028 27433 55055 63
0,00029 84512 a7660 15
0,000%1 41592 6o1g1 03

57079 65209 17| »
57079 63185 92 lg
57079 63158 78 2714
57079 G3127 77%,
57079 63092 8 240
57079 63054 12 | 7, 4
54079 63011 48 | + 4
37079 62964 97 | 553
57079 62914 58 2052
57079 62860 32 | ?4

|_ 7079 62802 18
57079 Gba74o 17 | :-
Some GaG74 26 LE
57079 62604 52 7364
57070 62530 88 |

= ni dei dei ei ed ei ei (ei [ei en ui (ei ei (ni

MANIERE DE CALCULAR LES LOOdARITHMES.

2 — EE —— som nn — ———

Le sinus de 200// on 2! équivaut à L

Île 00031 41592 Goigt 27; ici la différence est — 24 = — a1 — 5 or
| (

Î conde en montant ; ou en diminuant d'autant la cinqnieme , la troisieme {}

es racines sont — 6 et — 2 ou bien — 24 — — 35 — 6 — 5.dontlef

racines sont — $ — 3 et — 2; je puis donc corriger les différences troi-}

siemes de deux manieres, ou en diminuant d'une unité la sixieme et la

| et la seconde comptées de même. De l'une et de l'autre maniere on arrivera

à n, 00031 41592 6oigr 27; mais les deux suites étant prolongées jus}

] qu'au sinus de 3’, elles ne donneront pas le même résulrat pour le sinus de !
1 5’ ; il faudra donc rejetter celle dont le résultat differera le plus du sinus
flde 3° calculé par la formule Q. Ces différences dans les résultats ne ron-
A] lant que sur les dernieres figures , on peut dans ces sortes d'épreuves faire
| abstraction des premieres, et n'opérer que sur les quatre on cinq dernieres,
Al comme on le verra ci-dessous, Si là différence se trouve plus ce que

A 110 ; on en concluera que l'erreur vient de plus haut , et l'on d

|

|
Û

:
{

| séra la différence précédente en nombres triangulaires plus grands que ceux |

‘on avait choisis. C'est ce qui a lieu dans notre exemple ; la premiere

& verts donne un sinus qui différe de celui de 3’, de we , et celui que
Î| donne la seconde en différe de 275. Je fais donc, — 24 —— 26 4040 460
[| dont les racines sont — 7 + 4ret — 3 ou bien — 24 — — 56 + 2 x 6 dont

les racines sont — 8 et 3. Je puis donc diminuer de 1 la septieme et la
[rsieme différence et augmenter de 1 la quatrieme , ou bien diminuer de 41

huitieme et augmenter de 2 la troisieme. La premiere maniere donne
|

seconde n'en différe que ar

, comme on le voit qi la rer Van
es sinus ; la colonne

lés quatre déririarstéhiffres: des différences premieres : la colonie DIE

quatre derniers des différences secondes ; et la colonne D'' les différences
troisièmes.

>

Le sinus de 300! ou 3’ calculé dcr est o, 00047 12588 80597 44

celui que donne la table suivante n'en différe que de — 1 ; il faut donc
minuer de 1 la derniere différence troisieme ou la premiere, en comptant
de bas en haut. L 7
trouve que le sinus de 400! se termine ainsi 7
ormule Q est, ——< —
0, 00062 83184 89376 ab: +
Îl la différence de ces deux sinus er, — … DE |
G8 = 55 + 10 + 35 = 45 + 21 + 3—4
Î = 96 + 28 + 54 1 = 28 + 21 + 15+3+1
| dont les racines sont , Tedfesr & : 0)
| | +io+4et+2; +9+6+ae— 1;
| DE PRE Mohbarbeg 5 SE 3 61 Je

ES = » CA

Cette correction étant faite et la table étant ar jusqu'à 400”, on |

”

| | la colonne À contient les quatre dernieres figures
| |

|

|

De ces quatre décompositions , la seconde doit être préférée. En l'em-

:

À

!
:

| plo ant, c'est-à-dire , en augmentant la neuviere , la sixieme et la second
| différence troisieme, d'une unité, et diminuant d'autant la premiere en monse

4. Ce même sinus donné

| le sinus de 3 un nombre gi différe de 125 du vrai; celui que donne ls}
1

| tant, on obtient le sinus de 400!’ la même valeur que par la formule}

let pour celui de 500! une valeur qu | À
décomposera, comme ci-dessus. En continuant ce procédé , on arrêter

ui ne diflére de la vraie que de 13 qu'or |

A sans cesse les progrès des erreurs: il ne subsistera que celles qui sont iné-4}
[1 vitables. Ces petites erreurs n'affecteront que la dix-septieme décimale M}
| les précédentes ne s'en ressentiront pas ; on aura donc le degré d'exacti-"

| question. Il suffit de

tude désiré. J'appellerai ce procédé Methode des contr'erreurs ; en effet,
parer à certaines fautes que fais-je? d'autredffautes en sens contraire.

On voit ce qu'il y auroit à faire si l'on devoit calculer les termes d'une}f

| suite par le moyen des différences quatriemes ; cinquiemes , sixiemes ,ete,
Ce qui précéde mere ère ait de dix en dix les termes de la suireer
és ©

culer directement de cent en cent, puis pi

Î! méthode précédente , on pourra les obtenir de dix en dix ; maïs il faux

_ EE —— EE = nn

LA L_1

DES SINUS, TANGRNTES, et. 6

même jusqu'à 10/ , parce qu'elle donnera
d'avance Îles logarithmes co-sinus dont on
___ aura besoin par la suite.

Les logarithmes sinus et co-sinus étant calculés, on aug ceux des tan-
ntes etc. , comme il suit.

L. tang. a = 10 + L. sin. «a — L. cos. a
L. cot. a — 10 + L. cos. a — L. sin..a
L. séc. a — 20 — L,. cos. a; L. co-sec. a — 20 — L. sin. a.

Pour construire de dix en dix secondes, une table de logarithmes co-
aus avec quinze ou vingt décimales, on commencera par en construire
1e de dix en dix minutes à l'aide de la formule II, en faisant dans cette
rmule, ñn = 1000 m—1,m—2,m—=3, etc.

Cette table auxiliaire étant construite, on aura recours à la formule
E dans laquelle faisant 7 — 100000 et m — 1, on aura en transposant
virgule de vingt places,

L. cos. 10/ — 9, 99999 99999 46421 06587, 3.

y
A D" |D#" pren deux figures de plus, afin d’être |
. [386 | bien certain de l'exactitude de l'anté-pé- |
9915 465a | nultieme. .:
| 6411 6038 388 Les co-sinus se calculeront de la même À
AR Gia5 387 | maniere et plus facilement encore, si l'an À
(7 eY gg | se borne à quinze décimales, parce que les |
5906 5813 |” "| différences troisielnes étant très peutes et |
4138 | Goon | ?97 | influant à peine sur la seizieme Aus, on |
3 --00 | 388 | pourra se dispenser d'y avoir égard. Les
8150 6588 |" a | Corrections faites aux différences secondes
5584 6977. | *”9 | pour arrêter les progrès des erreurs, pour- |
Gos1 365 388 | ront y suppléer.
ee. = Lab La construction d'une table de tangentes
ges 7792 | __/ [et co-tangentes exige des calçuls un peu
4473 8140 | 388 de longs que celle des sinuÿet co-sinus.
Le. . 38 | Heureusement, les cas où l'on peut avoir
107% 8527 | zgg | besoin de ces nombres , sont assez rares ;
0346 8015 | *”” | d'ailleurs dans ces cas, on peut faire usage
Sir 303 | 587 | des formules R et S.
| 91388] Avant d'appliquer les formules précé
7 rs vant d'appliquer les formules préc
LE Jef 38 dentes à la construction des tables de lo-
1326 0077 “7 | garithmes - sinus , co-sinus , tangentes , Co-
sais 0465 388 | tangentes, etc. Remarquons que la table
à |38- | des logarithmes- co-sinus des angles se
2299 0852|" 710 jusqu'à cinquante degrés ( nouvelle divi-
1611 1240 588 sion ) étant construite , on pourra conclure
avis 387 | par de simples additions les logarithmes -
374 | 1239 | 58 sinus , tangentes , co-tangentes , etc. en ef-
Lee l = 7 |fet, on a l'équation , sin. 2 a — 2 sin, a
0744 29 1588 |. cos. . ou en faisant , a == 50° — z, on
tr 2014 | 38, |a, sin. ( 100° — 2 z ) ou cos. 23 — 2 sin.
ER 2401 é s: ( 50° — z). cos. ( 50° — z ) d'où l’on tire
0744 & = L. sin. ( 50° —Z ) = L,. cos. 2 3 — L. cos.
7. 2700 | za,
2836 4 & 387 ( 50° te z) — L. a.
2159 | Eu 388 | En faisant dans cette formule , z — 10”,
8266 J3U4 387 | z — 20! , etc. on aura de dix, en dix se-
8 3951 | 188 condes les log. sin. des angles compris de-
EP ,35 cs uis 50° jusqu'à 25°. Ces logarithmes sin.
441 4779 | 387 | étant les logarithmes co-sinus des angles
3714 4720 | 388 compris depuis 50° jusqu à 75° à on pourra
561 5114 poursuivre depuis 25° jusqu'à 12° 50’ et

£Æ a

Les formules AP, A’P, A’P,etc.en donnant le signe — à tous leurs
. é f

. 2
.. m m 1. m
termes et prenant pour À, B,C, etc. les co-efliciens de — de — de — +

, n° On n
etc. dans la formule EE, deviendront AEE, A°EE, etc. en y faisant
ñn = 100000 ; m — 1 et À m — 1, elles donneront:

A° L. cos. 10/ — 1 60736 80240, 66

A°L. cos. 10// — 1 07157 86835, 920

A°L. cos. 10! + + + + 13, 2201
. AL. cos. 10/ — . ... + + + 5, 28803

———.

La formule A°EE , qui dans le cas présent devien’,
AL. cos.& 7 _ . a _ (= 1907 . m1 + 208, 763 =)

‘ 3
— ( 192 45200 m + 459 46.) — etc. donnera la suite des |

( 100000 YŸ

|
l
D :
1
1

|
|

|

AL. cos. — 7 . 4 jusqu'à ce qu'on ait m — 5200. Arrivé à ce |
à |

100000
terme, on fera usage des différences cinquiemes , qu'on trouvera par la
formule suivante :
ASL. cos. 7, % — __ 104, 5815. m
100000 2 ( 100000 >

… ( 729; 7280 . m° + 5472, 960 . m° ) ___ 2626, 658 . me. On cal. |

( 100000 )° (100000 }°

culera par cette formule les différences cinquiemes , depuis 5200 jusqu'à
14500. Arrivé à cette valeur de m, on aura recours aux différences si- À

xiemes qu'on obtiendra par cette formule :
| 2189, 1839 m° + 13135, 013 m )

100000 (
___ 13133, 2900 . m° ___ 48154, 663 m°

( 100000 )° (100000 )”

( 100000 )

— etc.

Les termes omis n'influent pas d'une unité sur la vingt-septieme déci-
male , tant que 77 est moindre que 50000.

Afin d'avoir facilement les différences du dernier ordre , on a pris une
décimale seulement de plus dans chaque ordre de différences que dans
l'ordre précédent, ce qui n'est pas suffisant, eu égard au grand nombre

de termes de la suite des logarithmes co-sinus ; il‘se glissera donc des er: #
reurs , dont il faudra arrêter les progrès, de la maniere que nous avons |
expliquée ci-dessus. C'est à cette correction qu'est destinée la table deslo- |

garithmes co-fffus de dix en dix minutes , que nous avons supposée cal-
culée d'avance.

L'application de la formule II au calcul des logarithmes co-sinus de dix |
en dix minutes , suppose qu'on ait avec vingt figures les logarithmes des !
nombres naturels depuis 1 jusqu'à 1500 ; nos tables ne les donnent que jus-
qu'à 1200 ; il faudra donc calculer les logarithmes d'une cinquantaine de |

nombres premiers ; on les aura facilement à l’aide de la formule suivante :

L(m+5)=5L.(m+4)—1o0L.(m+3)+1oL.(m+a2) |

— 5L.(m+ 1)+L.m +
L) mn 7

° m m m

___ 6840, 133

+ etc.

10, 42307 … 130, 288 + 1042, 307 |

DES SINUS, TANGENTRS, etc. 69

Si l'on ne veut les sinus, co-sinus, etc. et leurs logarithmes que de mi-
| nute en minute , il faudra faire dans les formules P, Q, etc. m — 10000.
Dans ce cas, les formules EE, AËE, A’ÉE, etc. donnent:

2 cos.1’ — 9 99999 99946 42106 56551, 51
A L.cos.1 = — . . . . 160 73680 56785, 6151
A°L.cos.1' = — . . . . 107 15787 92657, 56549 8
A° L.cos.1’ + + + + 1 32200, 75145 486

AfLcos1=—......... 52880, 33711 54858
A’L.cos1'=—........,.., 0, 03653 35613 81
AL.cos.1=—....…....... 0, 01043 81866 6485
A’L.cos1=—........... 0; 00000 00197 02716 6
AfL.cos1 =... + 43 78408 221

| AL.cos1=—......... + + + + 17 33605

+

La formule AŸEE en y faisant 53—32,m —53, etc. donneroit jusqu'à
une certaine valeur de m, la suite des différences neuviemes ; mais arrivé
à cette valeur , il faudroit avoir recours aux différences dixiemes , puis aux
onziemes , etc.

La formule AŸII n'a pas cet inconvénient ; dans le cas présent , elle se
réduit à ce qui suit:

A°L. cos. 7, M 17510 7585108 713520, 6447...
10000 2 (10000—m) (10000—m)"°
16547977: 92 __ 2990 53443 4458408128

L_ sd Li
RE sn mn RE e e L 3 [3 CL] e CL] L]

(10000—m)* (10000—m)"°
+ 17910, 75351 _ 713520, 645 + 16547977; 9 __ _299053443
(10000+m }” (100004) "° (10000+m=)" (100004+m)"°
… (Ë 37132794 . m + 24, 71) … (2 89746 . m°+ 147, 114. Æ)
( 10000 )” ( 10000 )?
__ 9, 431031.m° __ 5, 2367. m7 __ 2, 198.m° _ o, 76m

( 10000 }"* (10000 }"° ( 10000 }"° ( 10000 }”

Les termes omis n'influent pas sensiblement sur la quarantieme décimale.

en amet Mt eee de agen

Cette formule a beaucoup de termes, mais ils sont faciles à calculer à
l'aide des logarithmes. D'ailleurs , il n'est besoin de les employer tous que
vers la fin du travail , lorsque m approche de 5000. |

Nous avons pris deux décimales à chaque ordre de différences
de plus qui l'ordre précédent, ce qui n'est pas encore suffisant ; trois
auroient suffi, mais alors notre formule eut été beaucoup plus composée ;
ainsi les petites erreurs, en les supposant toutes de même sens { ce qui est
tres rare) pourront bien, avant le dixieme degré influer d'une unité sur
la vingtieme décimale ; c'est pourquoi il est indispensable de calculer avec
vingt figures une table de logarighmes co-sinus de degré en degré , qui donne
de cent en cent termes , des moyens de vérification et partant de correction.

En ne prenant par-tout que vingt-deux ou vingt-trois figures, pour en
conserver vingt , on pourroit considérer les différences sixiemes comme
constantes ; et la méthode des contr'erreurg pourroit être employée si elle
n'exigeoit pas alors beaucoup d'épreuves; mais si l'on se borne à quinze figures,
elle vient applicable , et si l'on n'a besoin que de dix décimales , elle de-
vient expédiuve et facile tout à la fois. | |

E 3

APPLICATION DES LOGAARITHEÆES

De LA Recze Consoi:nTs.

XX. Connoissant le rapport de deux monnoies, ou le change de deux placee

de commerce , celui d'une de ces monnoiïes avec une troisieme monnois , 2
celui de cette troisieme avec une quatrieme , etc. ; la regle qui enseiglie à. le
trouver le rapport de l'une quelconque de ces monnoies à une autre quel-

+4:

conque de ces mêmes monnoies , est ce qu'on appelle Regle conjointe.

Tout l’art de cette regle consiste À ordonner plusieurs proportions de ma«
niere quétent multipliées par ordre , elles donnent une proportion com
sée, dont l'un des deux rapports se réduise à celui de 1 à 1, et dont l'autre
soit le produit de plusieurs rapports simples parmi lesquels se trouve l’in-
connue. Ce second rapport devant être aussi un rapport d égalité, on parvient
à découvrir l'inconnue en divisant le terme de ce rapport qui ne la contient
pas , par le nombre qui la multiplie dans l'autre terme. L'opération ,; en
employant les logarithmes , se réduit à ce qui suit.

isposez vos proportions comme si vous vouliez les multiplier par ordre;
prenez les compléments arithmétiques des logarithanes de chacun des termes
des rapports simples qui sont dans la colonne qu'occupe l'inconnue ; prenez
les logarithmes des termes des mêmes rapports qui forment l'autre colonnè ;
ajoutez le tout ensemble , et retranchez autant de dixaines de la caractéris-
tique de la somme, que vous avez de compléments; le reste sera le logarithme
de l'inconnue. à
. Supposons , pour appliquer cette regle à un exemple , qu'un négociant de
Saint. éterebourg ait à lentoyer par la Hollande à Bin Une somrse de 1000
ducats de Berlin , somme qu'il veut payer en roubles de Russie ; le change
de la Russie avec la Hollande étant à 47 - , et celui de la Hollande avec Ber-
lin étant à 142 ; c'est-à-dire , que pour un rouble de Russie , on donne en
Hollande 47 < stuvers , et que, pour 100 rixdales hollandoises , on paye à
Berlin 142 rixdales prussiennes ; sachant de plus qu'en Hollande 20 stuvers
font un florin , et que à = florins font une rixdale hollandoise ; qu'enfin le

ducat de Berlin équivaut à 3 rixdales prussiennes : on demande combien le
négociant doit envoyer de roubles pour payer les 1000 ducats. Je dispose
mes proportions comme i] suit :

à ducatB. : 1 roub, «x : 1000
1 roub. ? 1 stuv. 5: 47,5 : 1

1 stuv. : 1 flor. .… 1 © 20
1 flor. : 1 rixd. Hol. :: 1 : 2,5
1 rixd. Hol. : 1 rixd.Prus. :: 142 : 100

1 rixd.Prus. ; 1 duc. B. °! 1 : , 3

lesquelles étant multipliées par ordre, donnent une proportion dont le pre-
rmaier rapport est celui de 1 à 1 ; le second rapport doit donc être aussi un
1000.20.2,5.100.3

: 55.142

logarithmes, L. x — L. 1000 + L. 20 + 4 TE L. 100 + L. 3 + L’.
47,5 + L'. 142 — 20: (par L’. nous exprimons le complément arithmétique
d'un logarithme) d'où je tirerai x — 223,87. Le négociant doit donc faire
passer 2223 =. roubles.

. ve CL .® . 8
rapport d'égalité : j'aurai donc, z — ,ou,en opérant par

Dx L'Intrérnèr CoMpPosié.

XXI. On nomme intérêt co@posé , celui qui provient tant du princi
ue des intérêts qui en résultent, Ésquels sont supposés rester entre les mains
u débiteur , pour y êtfe joints au capital à l’époque de leur échéance.

1. Si nous représentons par p le principal ou un fonds de plusieurs sommes |
us) |

£

A L'INTÉRÊT CcomPeosé. * mt

payables à certains termes égaux ; par 4, l’une de ces sommes exi-
‘époque de leur échéance ( l’annuité ) ; par z, le nombre de ces
; par r, Nntérèt que produit 1 (une livre par exemple ) au bout d'un
nné ; et par =, le montant du capital et des intérêts sur intérêts ;
rons (en observant que le montant m est égal à la somme des termes
ogression géométrique

+r' ta(itr)ia(itr).. ... Le .a(ik+r}t—i
incipal p à la somme des termes de cette autre,

_ a . a : a )
) G+n G+r a +nr/i
rons , dis-je , les deux formules suivantes.
ml

(1+7) Ljetp= 20H) —a, |

7 r(1+7r)t on
noyen desquelles, de ces cinq quantitésp,a,n,r.m, trois étant
| comme on voudra , nous parviendrons à da connoissance des deux
La table suivante donne la résolution de ces équations :onyare-
3 par À , B, C, etc. les logarithmes des quantités &, 6, c, etc. et

ut pour abréger , ;

+r)" =: c=(ait+r) = bide bi (+;

2 2
PORC TEE

_ = æz=2(f—-1)+s,; ty—=t—2(8g—1).

nn —Gerchtes.

À — H
p,rIM=A+P—H Lai+n
K — A
mn |P—A+M—K "Lan
n,r1M=D+A—R P=D+A—R—B
M—P
PnlA=M+R—D 1 Logn
po n\A=B+P+R—-D M=—B+P
nn A=M<+R—D P—M—-B
M—P
n,p\R=D+AzM RS LG
M—P
n,plA=L(—1)+M—DIL(1+7r) = =
2 plr=t—V (ty) m=pxX(t+1i— Vty)"
m
nnlr= V(sz)—s PT voor

eux derniers cas ne présentent pour 7, m et p que des valeurs ap-
s, parce qu'alors les équations montent à un degré exprimé par #.
on ne voit pas sur-le-champ la route qui a conduit à la valeur de
ue ; nous allons l'indiquer.

ation p — 20H "—e donne 7 — nrQ+r) . oubien,
r(+n7 _ P G+ 771

APPLICATION.DES LoGARITHAMRS

72
(AR — 1) à (n—1).(7—2) » 4
LOUP mr +7 er mé +-etc.
P— (a — 1) Gi) n—2)n, 1). (na). @—3) 5 F
Er r+ 2.3 r+ 2. 3. A4. P + ec.
mt 4 CD, à — (Mn
=i+—Xr + Xr — a 44 r + etc. (A.
Observons que
ri "+" (2+-1).(2—1) (a+1).(n—1).(n—5)
(14) 2 =i+——Xx PH X 7 + 2.3.2.3

suite À.

n+1
Supposons donc = G+nt:) 72 ; nous aurons
n+-1 ot
(i+r+2) 2 a œi+ Ex AE x 4 DEV à +

etc. qui, comparée à la suite À ; donne

' X r° etc. dont les deux premiers termes sont les mêmes que ceux de L

2: (2+i).(2—13) à (24 1).(7—1)
KE XL Xe D'où nou tirans:
n+#-1
_ (n— 1) (a—1)r _ an
2=———— X7r . Donc (1+r— an 2 =" bien.
2
(an — 1 2 an 12.7 12
1+r— 2. r =(+ RH g our = X (1—$);
L) LI 6 _—.
d'où nous tirons = (x 20 )=:
— V (y).
n + 1

= Xr )7a développés ’

sont identiquement égaux à ceux de la suite A. Le dernier cas se résout de
la mème maniere,

Les quatre premiers termes de (1 + r——

2. Si l'annuité, après avoir été payée pendant un tems t, continue sans
être payée pendant un tems n# ; alors le principal sera égal à la somme des
termes de cette progression
.. a a a a

a+nt+i : a+nt+2: G+nt+5 tt G+nttri

nous aurons donc p — a(i+n"—a , par le moyen de laquelle , de ces cinq
r(i+r }+F7

quantités p,a,n,t,r, quatre étant données, on trouvera la cinquieme.

l'aisons pour abréger , (1+r)?=—4; (a += s d—b—);

pqr U+n+H 1 12 an
UT = 8 ç, 2 Cv; ctu—2(v—3)
. @ 2 PIE — 1

— 2; nous aurons les cinq formules suivantes +

A L'INTÉRÊT CoOMPosé. j 73

Cas. Données. Cherchées.

a,n,r,t, P—A+D—-B—-R—Q
Psfsrat, A=B+Q+P+R—D
__B+A—D—R—R

a,;P,n;r, = Loir)
L(1—3)
8yProit, = — —
5 GyPrn;t) r=n—V(zu)

D

Le cinquieme cas se résout comme le neuvième de l'article précédent.

3. Si par p l'on représente ce que vaut maintenant un bien fonds dont le
revenu annuel est exprimé par a ; l'intérêt que produit une livre à la fin de
chaque année étant désigné ar r, p sera égal à h somme des tèrmes de cette
progression décroissante à l'infini, |

vs x a a ; e . e e e e e e s e a Ê
| (i+n°

" (14) a+” ° Qa+r) |

on aura donc p=* eta—=pr;ouP—A—R.

4. Si par z on entend un nombre d'années au-bout desquelles la somme
des intérêts simples devient égale au capital p ou au prix total d'un bien, r

°. . Li] (2
étant toujours l'intérêt d'une livre, on aura @n = p: mais p = _ donc

n==;ouN=—R. .

5. Représentons par p le prix (argent comptant ) d’un bien fonds , dont
la rente annuelle a couru sans avoir été payée pendant un nombre d'années
exprimé par #, à raison de r pour 1 par an ; il est clair qu'au bout du nombre

d'années ñn , p devient p (1 + rÿ. Nous aurons donc, en faisant (1 +r)"
—6b,p(1+r} =", oubpr= a : d'où noustirons P—A—B—R;
r

A—P—R
A=B+P+HR:n— Lü+ .Quant à la valeur de r, on en approche
par la méthode de Newton, ainsi que nous allons voir.

CL] LE 2 L] LI LC] a .
Si l'intérêt r étoit très petit , nous aurions sensiblement r => : mais on

L1 L] 1 L] a L2 |
a ordinairement r < —, soit donc p = r'etr—=r#7 +3. Substituons ces
10 |

valeurs dans l'équation 7 (1 + r)r =" * nous aurons ; en négligeant los

"r—r'(it+r)

termes affectés de 2°, 2°, etc. PR — et 7, on

r'+nr'r (it) 1 X G+r'tur)

+ 2 — ni . nommons r” vette seconde valeur der ;
G4r) Le (i+r'+nr)

faisons r = 7"+sz, et substituons de nouveau , nous trouverons :

1 — ’
r Lntnr "re. cette 3°2°, valeur étant désignée parr me

G+r") TK rte tnr")
"1, J1 [D
nous donnerar— 7 +"" rar)

(a +rT}nsat-77-pnrr) Ainaidesnite.

13

——

À

APRBBICATION DES LOSARITHMES

D _—

6. Un principal que l'on ne connoit pas est monté à la somme M dans un
temps N ; ce même principal étoit monté à la somme m dans le temps x ; }
quel est ce principal

Nommons-le p , nous aurons M— p(1+7r)N em—=p(itkr)s qui |

donnent L. (14+r)= EE = EM ; dlontre |
L ,-NLm—nL.M * |
PER —

7. On sait qu'un certain principal p, (intérêts sur intérêts ), monte à la
somme m dans un temps # ; on voudroit savoir à quelle somme montera un
autre principal P dans un temps N, l'intérêt étant le même de part et d'autre.

Soit M le montant cherché ; les deux équations #3 — p ( 1 + r) etM—P |

(i+r)N donnent L.M = N eme )+nLP

Si le principal étoit le même de part et d'autre, on auroit

LM Ne Sp)telp |

8. Au bout d'un temps #7, un principal p (intérêts sur intérêts ) devient
m; au bout de quel temps le même ou un autre principal deviendPa-t-il M ?
Soit N ce temps , les deux formules précédentes nous donnent

= CMP) _n(L.M—L.P)
N= .m—L.p æN— Lm—L.p

9. Un débiteur doit payer les sommes B,C, D, E, etc. respectivement

[
|
|
|
aux termcsb,c,d,e,etc.; j voudroit acquitter sa dette en unseulpayement

p=B+C+D+E <+efc. ; en quel temps peut-il faire ce payement (eù
égard aux intérêts sur intérêts ), sans faire tort ni à son creancier ni à lui-
même °

Représentons par p’, pl’, p'l!, p'*,etc. les sommes auxquelles se réduiroïent
B, C, D, B, erc. si elles étoient payées au commencement du premier terme;
nommons r l'intérêt que produit une livre au bout d'une mesure donnée de
temps ; t, le temps cherdh

6, et faisons 1 + 7 = g; nous aurons

pæsip=Sipre D; pe = Ses et (p' + p"+p"+p"

p ET Pi ner
+ etc.) X gf = p. D'où nous tirons & = Lp—L.(p+p"+ ’ PE +-p'"+ etc.)

-9

Le payement p peut être plus grand ou plus petit queB+C+D+E
4 etc. mais toujours plus grand que p'+p° + p'" + p' + etc. Quant à la
solution , elle sera la même et donpera la même formule. Le tems étant sup-
posé connu , et le débiteur ayant fxé au bout de ce temps l'époque de son
paiement , les autres conditions restant les mêmes , si l'on demande la somme
p que le débiteur doit payer à cette époque , on aura, L.p=— 4 L.g + L.
Cp +p" +p"+p"+ etc. ).

10. Une rente annuelle a devant être payée pendant un nombre d'rnnées
n, au bout de quel temps £ doit-on payer en une seule fois la totalité n.4,
r que les intérêts composés provenant des arrérages soient compensés par

e bénéfice des avances ?

a —— em —

Nommons p la somme à laquelle se réduiroit #4 , si l'on payoit cette to-

talité r a au commencement de la premiere année , et faisons (1+7r = b; |

me

A L'INTÉRÈT COMPOSE. “à

a(i+r) —a

OP etp(i+r}f —=na : d'où noustirons

L.n+L.r+nl.(i+r)—L.(b—3)
.(1+7r) Re

i le débiteur eût voulu payer une somme " plus grande ou plus petite

ra, mais plus grande que p ; on auroit trouvé

L.m+Lr+tnl(ibr)—-La—L.(b—)3
| L.(1+7 °

2 débiteur ayant fixé l'époque de son payement au bout du temps & sup-
& connu, la question restant d'ailleurs la même , si l’on demande la somme
u'il doit payer à cette époque, on aura L.m—#L.(i+r)+L.a+L.
—1)—n2L.(1+r)—Lir.

1. Soit p un principal rapportant annuellement pr, à raison de r pour
livre par an ; 4, une somme plus grande ou plus petite que pr, que l'on
pose payée au créancier par le débiteur à la En de chaque année ; m° la
me à laquelle monteroïént , si le débiteur ne payoit rien , le principal et
ntérèêts sur intérêts, au bout d'un nombre d'années exprimé par #; m/!,
iontant de la somme a payée annuellement, au bout du même nombre
nées ; et =, la somme dont le débiteur , au bout du temps #, se trouve
evable envers le créancier. Il est clair que nous aurons m = m' —m" :

n
m=potr); em = ORNE , dons

n
2p(1 +r) — ( a+ —e) , par le moyen de laquelle on con-

ra celle de ces cinq quantités a, p, n ,m, r, que l’on voudra, Îles quatre
es étant supposées connucs.

a table suivante donne l'expression algébrique des quantités m,p,a,n.
nt à la valeur de r, on peut la trouver comme ci-dessus (5), mais les
uls deviennent très longs, et il vaut mieux opérer sur des exemples pa:-
liers. Voyez l'algebre de Bossut , chapitre 15 , page 268 , édit. de 179.

fous avons fait pour abréger 4! — (1 +- r)7.

as. | Données. | Cherchées

1 | epnr. m=ph— a. (=)

2 a.m.n.r. p= ten) |
3 mn. per. a = Cr m) |
4 a.m.p.r. nr

mn

la somme a au lieu d’être payée annuellement par le débiteur, étoit an

raire prêtée au même débiteur à la fin de chaque année ; il n’y auroit
faire a négatif, ou, ce qui revient au même, changer + en — et —

+ dans chacun des termes où entre cette quantité , et la table précédente

i préparée donneroit la valeur des inconnues

D AA

APPLICATION DES LOGARITHMES.

LN ouschoisirons, pour appliquer quelques-unes de ces formules à un exemple, |

une question que propose Euler dans son Jntroduction à l'Analyse Infinié-
voici :

Un particulier doit 400000 florins , et s'engage à en payer l'intérêt à cinq |
pour cent par an ; maïs dans la vue d' éteindre un jour le princi al, il paye
à la fin de chaque année 25000 florins : on demande l'ép e l'amortis-
sement , c'est-à-dire le nombre d'années au bout desquelles Îe o principal sera
entiérement éteint.

Nous avons ici p— 400000 ; 8 = 25000 ; r —0,05;m=—0; n est l'in.
connue. Nous trouvons (4. Cas du tableau ci-dessus)

n = (Re) tp), ou , puisque m—0,
L.(—a)—L.(pr—a)
L.(1+7r)

n =

. Observons que — a —+4 X (—1),et

L.(a)—L.(a—pr)
L.1i+r)

= 32 — . Ainsi le principal , au

quepr—a—(a—pr)xX (—1}): doncn=—

__ L. (25000) — L. (5000) _ 6989700 _
EH L.(1,05) 7 21 211895
bout de 33 ans, sera non seulement éteint , mais encore le créancier sera
redevable envers le débiteur d'une certaine somme.

Pour conuoître cette somme , cherchons ce que devient »# au bout de 33 |
a(k'—3 a (ki)
TT —

ans : nous trouvons ci-dessus (1. Cas) m = pk! —

25000 ( 1,05 )s —1)

X (1,05)? NS

— 400000 X (1,05)? — 500000
X (1,05)? + 500000 — 500000 — 100000 X (1,05 >” : mais L. (1,05)

— 0,0211893; L. (1,05 3? = 33L. (1:05) — 0:6992469 , qui répond à

5.003188 : doncm— 500000 — 100000 X 5,003188 — 500000 — 500318, 8
— — 318,8. Ce résultat négatif indique que le débiteur a payé 318,8 fo,

rins de trop.

La mème question peut se résoudre par le moyen de la premiere Table 5
page 71 : en effet , la question se réduit à trouver le temps pendant |
doit courir une annuité connue provenant d'un capital et d'un intérêt sde |
nés ; aussi trouve-t-on au premier cas de cette table,

A—H _La—L.(a—pr)

= Lan Loa+r) » même formule que ci-dessus.

Si l'on vouluit savoir ce que devroit payer annuellement le débiteur , pour

que sa dette fût entierement éteinte au bout d'un tems donné, de 5o ans, par
exemple , on auroit p — 400000 ; r — 0,05; n— 3o;et la question se ré-
duiroit à trouver a. Le cinquieme cas de la table premiere donne, À —
+P+R—D; d'oùl'ontire a = 26020,57 ; c'est-à-dire que le débiteur
doit payer annuellement 26020,57 flor. pour que sa dette soit éteinte au bout
de 30 ans.

FORMULRS DE TAIGONOMÉÈTRIE,

FORMULES DE TRIGONOMÉTATE.

XXII. Dans un triangle rectiligne , dont les côtés sont À, B, C; ta,
b,c, les an les oO posés à ces côtés ; connoissant trois de ces six termes,
parmi lesquels il doit toujours entrer nn côté , trouver les trois autres. Fi-
gure 1.

; Nommons ss le sinus; «, la tangente ; s’, le co-sinus; #’, la co-tangente
d un angle ou d un arc dont le rayon est r: désignons par L. un logarithme,
et par L.'le complément aribmétique d'un logarithme. Ainsi cette expres-
sion L. s. a. signifiera le logarithme du sinus de l'arc a ; cette autre L.”e." b.

exprimera le complément arithmétique du logarithme de la co-tangente de

l'arc 6.
1. Cas. Connoissant les trois côtés A, B,C,
Trouver l'un des angles, l'angle c, par exemple.

Soient À et B les côtés qui comprennent l'angle cherché c,et C, le côté
opposé à cet angle. Nommons 2 P , le périmetre du triangle, ou (ce qui

revient au même ) faisons P — =(A+B + C) nous aurons,
tezv (E=NXEED x he

s'c=V ( Ex (P—C) Xrr }: ou , en employant les logarithmes

À XB
L.s. c='{L.(P—A)+L.(P—B)+L'A+L'B]eæ
L.s#.c—2{[L.P+L.(P—C)+L'A+L.B].

On ne doit rien changer à la caractéristique de ces sommes , parce que
le double du logarithme du rayon qui devroit y entrer, n'y étant point,
les deux dixaines se trouvent supprimées.

Trouver l'angle a :
L.s.a—2{L(P—B)+L.(P—C)+L.B+L"C]
L.s'.‘a = : [L. P+L.(P—A)+L'B+L.C]

. Trouver l'angle b :
L. 8. b = : [L. (P—A)+L. (P—C)+L'A<+L.'C.]
L.s =b=:{[L.P+L. (P—B)+L'A+L. CI].

C
Si A—B, onauras.: c=nXr

2. Cas. Connoissant deux côtés À ,B, et l'angle compris c.
Trouver les deux autres angles.

Soient A le plus grand côté, et B le plus petit; a, l'angle opposé à A
et b, l'angle opposé à B.
180° — c . A—B
3 , puist. N — ALE
et nous auronsa = M+N;etb—M— N.
Trouver le troisieme coté C. Nous aurons

(22% 2B X (sc)
a ennneees

nn

Faisons M — Xt.M,

—B) er les 1
C = V 5 + (A—B) ). Pour employer es lo
garithmes , faisons LP—L2A<+L.2B<+2L. 8. : c—alr,et
L.Q—2aL.(A—B); nous aurons L. C =; L. (P + Q).

77

APPLICATION DRS LOGARITMMRKS.

28/=cX V(A.B) |

ou bien faisons
AE , A+B
C = (+S)xr, ou en employant les logarithmes , faisons d'abord

L. s!=c+iL.2A+:L.aB+L'(A+B)=—L.s.P.

Nous chercherons dans les tables , parmi les sinus, la valeur de L. #. P :
et quand nous l’aurons trouvée , nous verrons sur la mème ligne , parmi
les co-sinus , la valeur de L. s.’P; enfin nous aurons,

L.C=L.(A+B)+L.s. P— 10.

= s.P ; ensuite

Si l'angle c est droit, alors La=£ Xr; Lo=ÈX rs et

r r 2 2 A°
C=—XA=-XB=V(A+B )=VI(B+ E ) X BJ]:

ou bien, en faisant 2 L. À — L. B— L. D, nous aurons,
L.C= : L.(D+B)+L.B.
1 .
Si A—B, nous aurous «= b —go°—: c; tæC= 2 X 24.
r
3. Cas. Connoissant deux côtés À, B, es l'angle opposé à l'un de tes !
côtés, l'angle a par exemple, opposé à À ; trouver l'angle b opposé àB. |
Les rapports égaux À -B _© donneront s. b — _ X sa

8.& : sb s.c
Mais pour déterminer b, il faut connoître sa nature ; il faut savoir d'a- }
vance si cet angle est aigu ou obtus.

Ayant déterminé b, nous aurons c—180°—a—b, et C= X A

Quand l'angle donné est opposé au plus petit côté , les deux autres an-

gles et le troisieme côté ont chacun deux valeurs ; mais lorsque cet
est opposé au plus grand , alors ler deux autres angles et le troisieme côté
n'en ont plus qu'une.

Si l'angle donné a est droit, on a C=— \/ [ A — B°) — VI(A+B)}|
x (A—B)] :donc L.C—:[L.(A+B)+L.(A—B)]

4. Cas. Connoissant deux angles a, b, et un côté C; trouver l'autre
angle c et Les deux autres côtés À , B.
Nous aurons c = 180—4a—b; A= EX C,et B=" X C.

XXIII. Dans un triangle sphérique dont les côtés sont A,B,C, et
les angles opposés à ces côtés, a,b,c, trois de ces six termes étant don-
nés comme on voudra, trouver les trois autres. ( Figure 2)

1. Cas Connoissant les trois côtés À, B,C ; trouver un ang'e, l'angle c,
par exemple.
Soïent A et B les côtés qui comprennent l'angle cherché , et C le côté
qui lui est opposé ; nommons 2 P le périmètre du triangle , ou faisons,
P—:(A+ B+0C): nous aurons,

Ste y (Axe (PB) x 7 ):

s A Xs.B

,

11, sPXs(P—C)X7rr
t#.ierv ( ss. AXs.B )

YORMULES DE TRIOONOMÉTRIE.

ou, en prenant les logarithmes,

L.s.2c=2:[L.s (P—A)+L.s{P—B)+L'.s.A+L'.s.B.]

L.#.lc='[L.s.P.+ Le (P—C)+ Les A+L.eB.] |
11 n'y a rien à changer à la caractéristique de ces sommes de logarithmes.

On aure de même,

L.s.fæ—:[L.s (P—B)+L.s (P—C)+L'.s.B+L'.s.C]

L.s#.=a="[L.sP+4+L.s. (P—A)+L'.s.B+L.s.C]

L.s.!6=!([L.s (P—A)+L.s (P—C)+L'.s. A+ L'.s.C]

L.s.=b=:[L.s. P+L.s. (P—B)+L'.s. A+ L'.s.C]

a Cas. Connoissant les trois anglesa,b,c, trouver l'un des côtés, le
côté C, par exemple.

Soient a et b , les angles adjacents au côté cherché, et c l'angle qui lui
est opposé ; faisons p —=( a + & + c), nous aurons
1r— s.pXs.(p—c)Xrr
s.1C=V ( s.aXs.b )
1C — #.(p—a)Xs.(p—5)X7rr | ,
et#.1C=V ( s.aXs.b ):
ou bien en employant les logarithmes,

L.s. = C=:{L.s.p+L.s.(p—c)+L'.s.a+L'.s.b]

L. #.:C={{L.s.(p—a)+L.s#. (p—b)+L'.s.8+L'.s.b]:
nous aurons de même, .

L.s.= A —:[L. s.p+L.s.(p—a)+L'.s.b+L'.s.c]
L.#.!A=![L.s#. (p—6)+L.r.(p—c)+L.sb+lL's.c]
L.s.:B— 2 [L. s.p+L.s.(p—86)+L'.s.a+L'.s.c]
L.s.5B—=:[L.s#.(p—a)+L.s#.(p—c)+L.s.a+L'.s.c].

Nota. Les signes > et < signifient, comme on sait, plus grand que,
et moindre que ; le signe % signifie plus grand qu moindre que ; le signe
£ signifie plus petit ou plus grand que. L'un de ces deux signes > et <
mis apres le symbole d'un angle ou d'un côté de triangle sphérique , indi-
que( s'il n'ya pas d’autres expressions analytiques apres lui ) que cet angle
ou ce côté est plus grand ou moindre que go. Pour désigner que de deux
quantités on doit soustraire la plus petite de la plus grande , nous les met-
trons en parenthèse, et nous Érons précéder la premiere du signe +, et
Ja seconde du signe &; ainsi (+ & 6 ) désignea —b,sia > b;et
b—a,sib > a. Le signe veut dire semblable à , ou de même espéce

e. Le signe 5 signifie dissemblable , ou d'espéce différente ; et le signe
à signifie semblable ou dissemblable à.

3 Cas. Connoissant deux côtés À , B, et l'angle compris c, trouver l'un
des deux autres angles a ou b, l'angle a, par exemple.

A étant le côté opposé à l'angle a, faitcs la proportion,
r:s#.c::t. A:t.M. 5 A,sic Ÿ ; puis celle-ci,
s (+TBTEM):sM:tc:tasc,siM $ B.
B étant le côté opposé à l'angle 4, on aura de même b , en faisant la pro-

2 EEE

rm ee gen =

ee me me te ce “mn ne

80 APPLICATION DES LOGARITHMES,.
À
portion, r:#.c::t.B:: M SB,s c <£ ; puis celle-ci,
#“(ÆATFM):s.M :.tc:t.b56c,siM £ A. ou bien dites,
s.-(A + B): 8: (tTATB) :: P.2c: c. N < ; puis
#.:(A+B):#.1(+ATB)::e. =c:t Mu !(A+B);
vous aurez —MÆEN,etb—M=N.
Pour trouver le côté C opposé à l'angle donné c,
faites r: s.c::t. At. MS A,sic<;
puis s.M:s#.(+tB+M):':1#A:s#. CS (+DB
AXsBXs°-
ou bien s.=C— (== X# 5°
2 rr
Pour appliquer les logarithmes à cette formule, faites
L.s. A+L.s.B+2L.s.:c—10=1L.M;etal.s.:(+AZB)=L.
vous aurez L.s.—C=<L.(M+N).
ac X s. À .B
Ou bien encore , faites 2:0X VOA X #.B) = s.P,
s.:(+tATB)X s.P
—
Ou en employant les logarithmes , faites
L. 8.=c+:L.s. A+=L.sB+L'.s.:(+AZB)—10=L.s.P.
Ayant trouvé dans les tables parmi les sinus, L. s. P, vous verrez
la même ligne parmi les co-sinus , L. s’. P ; et vous aurez,
L.s.=C=L.s.:(+tATB)+L.s#.P— 10.
De ces deux dernieres formules, la seconde est plus commode; nm

Jorsque l'angle c est très petit, la premiere est plus exacte, parce qu'il
entre pas de co-sinus de petits arcs. C'est celle que nous avons promise

et vous aurez s'. : C —

4. Cas. Connoissant un côté C , et les angles a et b adjacents à ce
côté , trouver l'un des autres côtés À ou B, le coté À par exemple.

a étant l'angle opposé au côté À,
faites r:s#.C::ra:t.méa,sC;:;
puis s.(+tbEm:s.miitC'itAS(+tb=m),sias.
B étant l'angle opposé au côté B, pour avoir B,
dites r:#,C::4b:0.mSbsiCS;
pis s.(Hazm):s#.mi:teC'tBS(+tazm),sib:.
ou bien faites s.=(a+b):s-(Tatb).:t:C:eN<;
puis s.-(a+b):e.:(+azb):: Ci. Mu :(a+t);
vous aurez ÂA—M#N.etB—MTN
Pour trouver le troisieme angle c,
faites r:s.C::t.a:tmSa,sCS);
puis s.mis(+tbzEm)::s.a:s.c cé a;simsb
Ou bien , en faisant usage du triangle supplémentaire, et nommant A
supplément de À , D’ celui de B, etc. on aura |
1, sa 'Xs.b'xs.:C 1
sc = V ( — + 3(+e re) y; |

FORMULES DE TRIGONOMETAIF. fc

s.C'XV(s2 Xs.8)
(++)
(Ha Tr)xs.Q

ou en faisant = 5. Q , on aura

sc —
2 r
On appliquera , comme ci-dessus , les logarithmes à ces formules.

5.Cas. Connoissant deux côtés À, B, et l'angle opposé à l'un d'eux,
l'angle a, par exemple, opposé à À ; trouver l'angle b opposé au côté B:

Faites s. A : s.a :: 8. B:3.b £. Ces deux valeurs de b sont a:lmis-
sibles , et par conséquent le cas est douteux.

Trouver l'angle c compris entre les côtés À et B.
l'aites r:s.B..t.a't'.m5B,sa<;
puist A :t.B'::s.m:s.n 5 À,sia <:
enfin c—m + n. Toutes deux admissibles.

Trouver le troisieme côté C.

Faites r: s#.a ‘t.B:t.MSB;,sia =;
puis s.B:5s.A ::s.M:s.N 5 A,sia É:
enfin C—MÆ#+N. Toutes deux admissibles.

Mais si À est égal à B ou à son supplément ou s’il est compris entre B
et son supplément , alors on atoujours êu B;c=mtnreC—MXN,
1siB 5 a.

6. Cas. Connoissant deux angles a ,b, et un côté opposé à l'un de ces
] angles, le côté À , par exemple, opposé à l'angle a ; trouver le côté B op-
| posé à l'autre angle b.

Faites s.a : 58. À ..s.b:s3.B © ; toutes deux admissibles.
Trouver le côté C adjacent aux deux angles a et b.
| Faites r.s'.b.:4A:t.M SD,SäiASS;
puis ca:t.b::s. M :s.N < ; toutes deux admissibles :
enfin C=MEÆEN, sia 5 b.
Trouver le troisieme angle c.
Faites r:s. À: t.b:t4.mS56,siA <;
| puis s’.6 :s.a ‘ s.m :s.n * ; toutes deux admissibles
enfin cmtn,sia 5 b.
Mais si À est égal à B ou à son supplément, ou bien s'il est eompris
entre B et son supplément , alors B © 6 , et les valeurs N < et n < sont
seules admissibles.

Remanque. Connoissant deux côtés À , B , et les angles #, 4, oppo-
sés à ces côtés, on peut avoir tout d'un coup l'angle c et le côté C opposé
à cet angle ; et cela par le moyen des deux analogies suivantes,

s:(+tarb):sï(at+é): re (+ATRB):4ic,
s.<(TAZEB):s.i(A+B):::(+Harb):e.; c. (Fig.3)

Dans un triangle sphérique rectangle , dont H est l'hypothénuse ; B, P,
les côtés adjacents à l'angle droit ; b, p, les angles opposés à ces côtés ;
deux de ces cinq termes étant donnés, on trouvera les trois autres par le

L

Ra APPLICATION DES LOGARITHMES.
è

EE Re EE
Q

moyen de la table suivante, qui contient la solution de tous les cas du pro- | |
me. |
La même table résout aussi tous les cas d'un triangle sphérique dont un
côté est de go° ; H étant l'angle o posé à ce côté; B,P, les autres angles ;
b,p, les côtés o posés à ces angles. Mais alors , à la place de H, il faut
prendre son supplément , et dire tj au lieu de « dans toutes les analogies

où se trouve son expression.

étant {trou
Cas| donnés | ver SoLuTriIons.

:sB:s60B
Hi: teB spé, iHSB
:: 8H: sPS,sHSB

.: 8.86 : s.Bo b
‘ 2: tH: PS ,iHS8
s.H::48 : .p$£,aH66e
:84B:s.H$
86: 4P$
: 8.8. spi
: sp:tHË,siBoP
: sp : 6.baoB
:: ep : t Pop
:8#.B::s#.P:s.H£,iBSP
#B:71.b0B
“.P:v.paoP
“p:isHS$,ausEk
s.b : s'.Bo b
s.p : s'.Po p.

XXIV. APPLICATION DES FORMULES PRARCÉDENTES A

QUELQUES PROBLÈMES D'ASTRONOMIE SPHERIQUE.

1. Connoissant le lieu du soleil dans l'écliptique , trouver son ascension
droite et sa déclinaison.

Soit H , la longitude du soleil ; & , l'obliquité de F'écliptique ; P , l'ascezn-
sion droite du soil , et B , sa déclinaison. Nous aurons ( XXIII, 2. Cas
de la table des triangles rectangles )
ris.b::tH:tP£,aiH Sb;er:sH::s.8:5.Bo«o 6.
Exemple. Soit la longitude H = 2 sig. 7° 19! 20! — 67° 19/ 20°, et sup-
posons Î'obliquité de l’écliptique (5) — 25° 28/ 30/. Nous aurons 1°. L. #'.
b = 9,9624801 ; L. &. H = 10,3789760, L. £. P = L. s. b + L.t. H—10=
10,3414561, qui répond à 65° L 28/ , 7 — P (ascension droite du soleil }
P est ici moindre que go°, parce que H et sont de même espéce ; mais
si nous avions H = 3 sig. 22° 40’ 40! — 112° 40’ 40/, nous aurions, P —
114° 29° 31/,3 ; parcequ alors 8 et H seroient de différente espéce.

Si le lieu du soleil étoit 8 sig. 7° 19° 20/ , ou 9 sig. 22° 40’ 40" , nous fe-
rions H = 2 sig. 7° 19’ 20” , où H = 3 sig. 22° 40’ 40/ : nous trouverions,
comme ci-dessus , P — 65° 30’ 28”, 7, ou P — 114° 29! 31/,5, auxquels
ajoutant 180°, nous aurions pour l'ascension droite du soleil 245° 5e’ 28/,7,

ou 294° 29/ 31/, 3.

ee ———

PROBLÈMES D'ASTRONOMIE SPHÉBIQUE.

2°. Nous aurons L. s. H — 9.965547; L. 8. b — 9,6002636, L.s. B = L.
s. H+ L. 8. b — 10 — 9,5653183, qui répond à 21° 33 52/,9, = B.
Cette déclinaison est toujours moindre que go°, parceque B doit être de
même espéce que b , qui, suivant notre hypothèse , est constamment égal
à 23° 28’ 30”. Elle est boréale , tant que je soleil est dans les six premiers
signes ; mais lorsqu'il passe dans les six derniers , elle devient australe.

3. Connoissant l'ascension droite du soleil, trouver le lieu de cet astre
dans l'écliptique , et sa déclinaison.

Soit B, l'ascension droite du soleil, H le lieu de cet astre ou sa long!-
tude , P sa déclinaison, etp, l'obliquité de l'écliptique.
Nous aurons, ( 4. Cas
ri#.B:.s.p:tHÉ,iBSper:sB::tp:t.Pa p.

Exemple. Soit B — 65° 30’ 28/, 7, p — 23° 28! 30”. 1°. Nous aurons,
L. #’.B = 9,6585439 ; L. s'. p — 9,9624801 ; L. &’. H = L.#.B<+L.s'.
— 10 — 9,6210240 , qui répond à 67° 19! 20/ = 2 sig. 7° 19/ 20”, longitude
du soleil. Elle est moindre que go°, parceque B et p sont de mème e .

2°. Nous aurons , L. 8. B — 9,9590504, L. t. p — 9,6377835, L. t. P —
L.s. B+ L. t.p—10= 05068840 , qui répond à 21° 33’ Zn. 9 = P, décli-
naïison du soieil. Elle est boréale, parceque l'ascension droite du soleil est
moindre que 180° : elle deviendroit australe , si le soleil avoit une ascension
droite plus grande que 180°. D'ailleurs, elle est toujours de même espéce
que p, et par conséquent moindre que 90°.

3. Connoissant la déclinaison du soleil, trouver le lieu du méme astre

dans l'écliptique et son ascension droite.

Soit H Je lieu du soleil dans l'écliptique, P son ascension droite, B sa
déclinaison et b l'obliquité de l’écliptique. Nous aurons ( 3. Cas. )

sb.r::sB:sH$,etr:t.B::/.b:8s.P%.

83

Exemple. Soit la déclinaison du soleil (B) — 21° 33’ 52/,9 N. 1°. Nous ||

aurons , L'.s.4—0,5997564, L.s.B—9,5653183, L.s. H — L'.s.b

+- L. s. B — 9,9650547 i appartient à 67° 19! 20// — 2 sig. 7° 19/ 20/

ou à 112° 40/ 40! — 3 ñg. das 45) 407 . Ces deux valeurs étant admissibles,
la déclinaison du soleil ne suffit pas pour déterminer le lieu du même astre.
Il faut connoître quelque chose de plus ; il faut savoir , par exemple, dans

quelle saison de l'année on est.

Si la déclinaison eût été australe , on auroit ajouté six signes aux lieux

du soleil.

2. Nous aurons L.t.B — 9,5968339, L. t’.b — 10,3622165, L. s.P —

L.t.B+ L.t.46— 10 — 9,9590504, qui appartient à 65° 30’ 28/ , 7, ou à

114° 29" 31/3. La premiere a lieu au printemps , la seconde en été.
Si la déclinaison étoit australe , il faudroit ajouter 180° aux deux ascen-
sions droites.

A. Connoissant l'ascension droite et la déclinaison d'une étoile , trou-
ver sa distance à l'un des points où l'ecliptique coupe l'équateur, cet l'angle

nozxial et par l'étoile, avec la partie de l'équateur qui va suivant l'ordre
des degrés d'ascension droite.

Soit B l'ascension droite de l'étoile , P sa déclinaison , H l'arc d'un grand
cercle passant par le point équinoxial et par l'étoile , ou la distance de l'é«
toile à ce point, p l'angle que fait cet arc de distance avec l'équateur.
Nous aurons, (5. Cas

r:#.B:s.P:s.H£,siBSP,er:s.B.:#.P:#.pe P..
Prenons pour exemple, l'étoile la plus voisine du pôle austral, c'est la

1 1275 du catalogue de M. de la Caille ; elle est près de l'alidade de l'octant ,

Fa

que fait cette distance , ou un arc de grand cercle passant par le point équi-

84

APPLICATION DES LOGARITHMS .

immédiatement au-dessous de la lunette : son ascension droits est 225° 20’
o/’ , et sa déclinaison 89° 9’ 15” — P.

Faisons B — 225° 20! 0! — 360° — — 134° 40’ 0”. 1°. Nous aurons :.
L. s'.B— 9,869436 , L. s’. P — 8,1691464 , L. s’. H — L. s’. B+ L.e.P
— 10 = 8,0160900 , qui appartient à go° 35' 40//,5 — H. Cest la distance
de l'étoile au point o du belier ; elle est plus grande que go° , parceque l'as-
cension droite de l'étoile, 225° 20’ 0" , ou — 134° 40’ a!’ et sa déclinaison
89° 9’ 15/° , sont de différente espéce.

2°. Nous aurons, L. s.B — 9,8519970, L. #.P — 8,1691937, L.#.p
=L.s. B+4L.#.P—10—8,0211997, qui répond à 89° 23/ 54/, 3 = p.
Cet angle est moindre que go° , parcequ'il doit être de même espèce que b:
mais puisque nous avons pris le supplément de l'ascension droite de l'étoile ,
il faut prendre celui de l'angle p si nous voulons avoir l'angle que fait l'arc
qui mesure la distance de l'étoile au port o du belier , avec la partie de l'é-
quateur , qui va suivant l'ordre des degrés d'ascension droite. Ainsi l'angle
cherché est de 90° 36’ 5//,7.

5. Connoissant la distance d'une étoile à l'un des points où l'équateur.
coupe l'écliptique , et l'angle que fait avec léquateur un arc de grand
cercle passant par l'étoile et par le point o du belier, trouver la longitude

ct la latitude de cette étoitc.

Imaginons an arc de grand cercle, abaissé de l'étoile perpendiculaive-
ment sur l'écliptique ( nous le nommerons arc de latitude ), nous aurons
un triangle sphérique rectangle, dans lequel nous connoîtrons L'Rypothénuse
(c'est la distance de l'étoile au point o du belier }, et celui des deux angles
obliques qui est compris entre N hypoténuse , ou la distance donnée, et Lé-,
cliptique. Cet angle se conclut, en prenant la somme ou la différence de

l'angle donné , et de l'obliquité de l’écliptique , selon que l'arc de latitude

coupe ou ne coupe pas l'équateur.

Soit donc H l'hypothtnuse ou la distance donnée, b l'angle compris entre

la distance donnée et l'écliprique, P la longitude de l'étoile, et B sa lati-.

tude : nous aurons , deuxieme cas,
r:e.bi:tH.rP£,SHSb,er:s.b::sH:s.Be 8.

Prenons pour exemple la même étoile qu'au problème précédent ; sa dis-
tance au point o du belier — 90° 35’ 40", 5 ; sa distance au point.o de la
balance sera 89° 24’ 19, 5/ ; l'angle que fait l'arc qui mesure sa distance au

int o du belier , avec la partie de l'équateur qui va suivant l'ordre des

egrés d'ascensicn droite — go° 56’ 5,7/ ; l'ang e que fera la distance d«
la mème étoile au point o de la balance , avec l’autre partie de l'équateur,
sera de 89° 23’ 54,3/ ; l'arc de latitude abaissé de l'étoile perpendiculaire
ment sur l'écliptique, ne coupera point l'équateur , parceque ce dernier
passe au-delà du premier par rapport à l'étoile ; par conséquent H = 89°
24" 19,5" , et & — 65° 5h TR

1°. Nous aurons, L. s'. b — 9,6106147, L. r. H = 11.9838945 , L. &.
P=L.s.b+L.c H — 10 — 11.59450go , qui répond à 88° 32° 34,
1 — P. P est moindre que go° , parceque H est de même espéce que b ;
cet arc est la partie de l'écliptique comprise entre le point o de la balance
et l'arc de latitude de l'étoile ‘À faut donc y ajouter six signes , ou 180°,
pour avoir la longitude cherchée : nous trouverons qu'elle est 268° 32’ 34,71,
ou 8 sig. 28° 52° 3.,//1.

2°. Nous aurons, L. s. à — 9.9604712, L. s. H — 9.9999766, L. «.
B=L.s. b+L.s. H — 10 — 9.960457, qui répond à 65° 53° 59/,4=B,
latitude méridionale de l'étoile ; elle est moindre que 90°, parceque B doit
être de même espéce que 6.

PRORLÈÊMES HBELATIFS À LA NAVIQOATION.

8. Connoissant l'ascension droite et La déclina son d'une étoile trouver
sa longitude et sa latitua..

Ta solution de ce problême est une conséquence des deux problêmes pré-
| cédents,

7. Connoissant la longitude et la latitude de deux astres ; trouver leur
distance.

{| Retranchez la plus petite longitude de la plus grande, le reste vous don-
A! nera la différence des longitudes ou l'angle au pèle de l'écliptique, Prenez
il les compléments des latitudes de ces mêmes astres , vous aurez leur dis-
}, cance au pôle de l'écliptique. Vous connoîtrez donc, dans un triangle sphé-
| rique, deux côtéaer l'angle compris. Calculez le troisieme côté de ce triangle,
| il exprimera la distance cherchée.
Si ‘on connoissoit l'ascension droite et la déclinaison de deux astres , la
. différence des ascensions droites donneroit l'angle au pôle du monde ; les
[| compléments des déclinaisons seroient les côtés qui comprennent cet angle,
1l et l'on auroit de même les deux côtés et l'angle compris d’un triangle sphé-
|! rique dont on calculeroit le troisieme côté.

"Exemple, Soit la longitude de Sirius 3 “e: 11° 21/ 137 ; sa latitude 30°
32’ 1WS: la longitude de la lune 3 sig. 10° 33’ 17/ ; sa latitude 5° 15’ 19"S.

La différence des longitudes ou l'angle au pôle —: 0° 47" 56” ; la dis-
tance du pôle de l'écliprique à la lune — 84° 46’ 41” ; la distance du même
pôle à sirius — 50° 27’ 59°. Nous aurons donc ( 3. Cas des triangles sphé-

riques obliquangles ) c — 0° 47’ 56 , À — 84° 46! 41" , B— 50° 27 59/,
=(A—B)= 179 21, L.s. À = 9.9981938, L. s. B — 9.887196 :
a L.s. LL — 15.6866604 , L. M = 15.5720502 , qui répond à 373293,
en négligeant les dix dernieres figures de M; 2 L.s.=(A—B)=—L.N

= 18.9395604 , qui répond à 870082400 , en négligeant les dix dernieres
figures de N; : L.(M+N) = 9.4698733 = L. s. = C; : C = 17° 9!
34, 7, et C — 54° 19° 9:4/. C'est la distance de la June à sirius.

Cherchons la même distance par le moyen de la formule qui vient après :

nous aurons ,
L.s.c— 7.843330, . L. s. À — 4.9990969 , : L. s. B — 4.9435980,
L'.e". (A —B)— 0,0197665 , L. s, P — 7,8057917, qui répond à o°
21" 58/9 = P , L. s’. P — 9.999991 , L. s’.<(A—B) — 9.9802335,
L. s'.:C = 9,9802245 , qui répond à 17° 9! 34,/ 77 — 2C, C = 34° 19
1 9” 5. C’est la distance des deux astres ; elle differe de la précédenre de
un dixieme de seconde.

De ces deux valeurs de C, la derniere est la moins exacte : l'erreur est
à la vérité très petite , maïs elle suffit pour faire voir qu'il est bon d'éviter
les co-sinus des petits arcs.

L'Astronomie et la Géographie offrent un champ vaste de problèmes dans
lequel nous n'irons pas plus avant ; ceux qui voudroient aller plus loin peu-
vent consulter l'Astronomie sphérique de Mauduit : il nous suflit d'a-
voir indiqué l'usage des formules de Trigonométrie ; d’ailleurs nous aurons
encore occasion d y revenir.

L
A]
L
t
d'

CE

er

PROBLÈMES RELATIFS À LA NAVIGATION.

XXV. Trouver une équation qui exprime la relation entre les longi-
tudes , les latitudes et la situation respective de deux lieux placés sur Le
globe.

Représentons par 4 et b les latitudes de ces deux lieux ; par a’ et b' leurs
distances ( exprimées en degrés) à un même pôle , ou les compléments

A + D CO OU QU

[3

8

5

86 APPLICATION DES LOGARITHMES. ‘*

&
des latitudes a et b, par c, l'angle que fait un méridien avec le rumb de EÆ-
vent qui va d’un de ces lieux à l'autre, et par / l'angle que font entre eux
leurs méridiens , ou la différence des longitudes. Désignons de plus par A |}
et B respectivement les logarithmes des co-tangentes de 4’ et de: &’, par |
m la différence entre À et B, par M le logarithme de m, par T le loga-
rithme de la tangente de c , par L le logarithme de / , et par R celui du

rayon ( R — 10,0000000 ).

|
Soit = le module des tables (A — 2,302585093), fla valeur d'une mi-
|
|
|

nute de degré exprimée en parties du rayon (f = 0.0002908882) , et x

{| — 7 ; nous aurons , en nommant N le logarithme de n , N —3,8984896,
et notre équation sera R+L=M<+N+T.

La démonstration de cette formule se trouve dans le Cours de Bezout,
tome 4, page 184. Cet ouvrage étant trés répandu , nous ne pouvons mieux
[| faire que d y renvoyer les Lecteurs. |

Trouver une équation qui exprime la relation entre la distance e de deux
|| lieux situés sur le globe , La différence d de leurs latitudes, et l'angle c,
que fait un méridien avec le rumb de vent qui les joint.

| Nous aurons, r:s'.c:°e.d,ourX d=exXs'.c;ou, en nom-
mant D le logarithme de d, E celui dee, R celui de r, et C celui du co-
sinus dec, CHE =R+D.
Appliquons ces formules à des exemples.

1. Cas. Connoissant a ,b,1l,trouverc,e.

On aura, T=R+L—M—N,et E=D—C+H+R.

Exemple. Sachant que l'ile Madere est par les 32° 17’ de latitude N., |
et 19° 48’ de longitude O., on demande sa distance et sa situation par rap- |
[| port au cap Lézard dont la latitude est 49° 55’ N. , et la longitude 7° 40’ O. |

Nous avons a— 32° 17, a — 57° 43!) = a! = 28° 51° 30! , b — 49° 55°
b' = 40° 5’, = 20° 2! 30", d=—b—a— 17° 38" — 1058’, [== 12°8
| — 728’, (c'est la différence des longitudes ). À — 10,2587844 , B —
10,4379525 , B — A ou m — 0,1791679, M = 9,2532602, — M =.
1 0.7467598 , N — 3,8984896, R — N = 6,1015104, L — 2,8621314,
UT=—-M+(R—N)+L=9,7105816. Cherchant T parmi les loga-
| rithmes tangentes , nous trouvons c = 27° 10’. Le rumb de vent qui joint
le cap Lézard et l'isle Madere , fait avec le méridien un angle de 27° 10’
vers l'Ouest , parceque l'isle Madeie , dont la latitude est moindre que celle
{| du cap Lézard , est plus occidentale que lui : ainsi l’isle Madere est au S.S.O.
4° 40’ O. du cap Lézard. Reste à connoître leur distance :

Nous avons , D — 3,0244857, C — 9.9492349, R — C = 0,0507651 »
E=D+R—C=—3,0752508. Ce logarithme répond à 1189,2. Cest la
distance du cap Lézard à l'ile Madere , exprimée en milles marins. Le mille
marin est le tiers de la lieue marine à 20 au degré.

2. Cas. Connoissant a ,b,c,trouverl,e.
Onaura, L=M+N+T—-R,etE=D+R—C.

1! Exemple. Un navire est parti d'un lieu dont la latitude étoit 49° 55’ N. |
1 et la longitude de 7° 40’ O. ; il a cinglé au S.S. O. 4° 40’ O., jusqu'à ce
qu'on ait pu cbserver la latitude , laquelle s'est trouvée de 32° 17’ N.; on
emande la longitude de l'arrivée , et la longueur de la route, ou la dis-
tance.
Soit a — 32° 17’, et b — 4955" ; a et D étant les mêmes que ci-dessus,
on trouvera comme ci-dessus M —9,2532602. La route étant dirigée vers

——

PROSLÊMES RELATIM»S A LA NAVIGATION. 87
\

le S.S. O. 4° 40’ O. , fait avec le méridien un angle de 27° 10’ vers l'ouest :
donc c — 27° 10’, et T = 97103816. D'ailleurs , on a toujours; N —
3:8984806 : donc L=—M-+N+T—R=— 2,86213%14. Cherchant L dans
_ les tables , nous verrons qu'il répond à 728 : donc / = 728’ , ou 12°8/.
. Cette différence de longitude dait être ajoutée à la Jongitude du départ,
T 40’ O. , parcequ'on a cinglé vers l'Ouest. La longitude du navire est donc
19° 48’ O. Reste à trouver A longueur de la route.
Nous avons, d — b — a — 17° 58! — 1058! , D — 3,0244857, C —
9-9492349 ; R — C = 0.050765: , E = D + R — C =—3,0752508 , qui
répond à 1189,2. La distance est donc 1189,2 milles.

3. Cas. Connoïissanta,b,e, trouver let e.
Onaura, L=M+N+T—R,etC=D+R—E:

Exemple. La relation d'un voyageur porte qu'une certaine isle est par
les 32° 17! de latitude N. , que sa distance au cap Lézard est de 1189, 2
_milles , et que cette isle est voisine des Canaries. On sait d'ailleurs que la
latitude du cap Lézard est de 49° 55’ N. , et sa longitude 7° 40’ O. On de-
mande la longitude de l'isle , et sa situation par rapport au cap Lézard.

Soit a = 32° 17, b=— 49° 55’, e— 1189,2 ; par conséquent d=— 46 — a

= 1738’ = 1058’, D = 3,0244857,E — 3,0752508, R — E —6,9247492,
C=D+R—E— 99492349, qui étant cherché parmi les co-sinus donne
c = 27° 10’ : donc T — 9,7103816. Nous aurons, comme ci-dessus , M !;
‘= 9+2932602 : donc L=M+N+T—R=—2,8621514, et /= 728,
ou 12° 8’. La longitude de l'isle est donc 19° 48’ O. , ou 4° 28' E. ; et sa
situation par rapport au cap Lézard est S.S.O. 4° 40’ O., ou S.S.E. 4° 40
Est.

Peur savoir laquelle de ces longitudes on doit rejetter , il faut observer
que l'isle étant voisine des Canaries , sa longitude et sa situation doivent être

occidentales.

4. Cas. Connoïissant b,c,e, trouvera, 1.
On aura, L=M+N+T—-R,e&tD—=C+E-R.

Exemple. Un navire est parti d'un lieu dont la latitude est 49° 55’ N.,
et la longitude 7° 40’ O. ; il a fait route au S.S.O. 4° 40’ O. , et a parcouru
1189,2 milles. On demande la longitude et la latitude de l'arrivée.

Soit = 49°55", c = 2710", e — 1189,2 ; nous aurons C — 9,9492349,
E = 3,0752508, D C+E—R — 3,0244857 : donc d = 1058 = 17°
38! , qai doit être retranché de 49° 55’ , parce qu'on a couru au S.S. O.: |}
donc a = 32° 17.

: Pui nous connoissons a et b , nous trouverons, comme ci-dessus , M
= 92532602. D'ailleurs , T — 9,7103816 : donc L=M+N+T—R
= 2,8621314 , et 1— 728" , ou 12° 8’. La longitude de l'arrivée est donc
19° 48/ O. , et sa latitude 32° 17 N.

6. Cas. Connoissant b,c,1, erofver à , e.
On aura, M=L+R—N—-T, etE=D+R—C.

Exemple. On lit dans l'histoire d'un voyage , qu'une certaine isle est an
S.S.O. 4° 40’ O. du cap Lézard ; on y trouve la longitude de cette isle (19°
48’ O.) déterminée par l'observation d'un phénomène céleste ; mais l'ou-
vrage ne fait pas mention de sa latitude : on voudroit connoitre cette lati-
tude , et la distance de l'isle au cap Lézard, dont la longitude est 7° 40’ O.
et la latitude 49° 55’ N.

En conservant les mêmes dénominations que ci-dessus, nous aurons, b
= 49° 55’, d'où nous tirons B —10,4379523, 1= 12° 8° — 728" , c— 27°
10’ : donc L = 2,8621514, T — 10,4579523 N — 35 8984896, M = L
+R—N—T=—9,2532602, qui répond à 0,1791679 — m: mais la la-

F4

88

APPLICATION DES LOGARITAIMES.

titude de l'isle doit être moindre que celle du cap Lézard , puisqu'elle est À

au S.S.O. de ce cap : donc & > a ; ce qui donne, B > À : r consé-
quent À — B— m —10,2587844 , qui , étant cherché parmi les co-tan-
gentes , donne : a! — 28° 51" 30! , a! — 57° 43! , et a = 32° 17', latitude
cherche. Cette latitude est septentrionale , puisque la distance a’ de l'isle
du pôle boréal est moindre que 90°. La latitude & étant connue, nous au-
rons, d—b—a—17 38 — 1058", D — 3,0244857, R —C=—0,0507651
E—D+R—C=3,0752508 : donc e — 1189.2 milles. C'est la distance
cherchée.

6. Cas. Connoussant b,e,l, trouvera, c.

Les formules D—C+E—R,L=—M+N+T—R, ne donnent
pas directement la valeur des inconnues ; mais on peut y parvenir , ou du
moins en approcher , ainsi que nous allons le voir.

Exemple. On sait qu'une certaine isle , dont la longitude est 19° 48'O.,
est à 1169,2 milles au S.S.O. environ du cap Lézard , dont Îa latitude est
49° 55’ N. , et la longitude 7° 40’ O. ; on voudroit connoître la latitude de
l'isle , et sa situation plus exacte par rapport au cap Lézard.

Soit b — 49° 55’, e = 1189,2, 2 — 12° 8’ ou 728’. Supposons une valeur
à l'angle c; mais pour ne pas faire une hypothèse trop éloignée de la vé-
rité , feignons que la loxodromie ( route oblique qui va du cap à l'isle ) soit

{| un arc de grand cercle , nous aurons un triangle sphérique , dont l'angle

au pôle sera de 12° 8’, le côté opposé à cer angle 1189',2, ou 19° 49/ , et

[| l’un des côtés adjacents au même angle 40° 5’. Cherchons l'angle que fait

cette feinte loxodromie avec chacun des deux méridiens , nous frouverons
que l'un de ces angles est de 23° 32’ , et l'autre de 31° 38’. Nous pouvons
attribuer à c une valeur moyenne entre 23” 32’, et 31° 38’ , et suppose €
= 27° 35! , nous aurons, C = 9.9475995 , E = 3,0752508, D = C+E
— R = 3,0228503 , qui répand à 1054 — 17° 34'; ce qui donne a = 32°
21", a! — 57° 59), = a! = 28° 49! 30/, À — 10, 2593825 : de même, B—
10:4379523 : donc M = 9,2518085. D'ailleurs T — 9,71801753 : donc L
=M+N+T—R—2,8683:54, qui répond à 758,44 — 12° 18", 44

=

| M

Mais / — 12° 8’: l'erreur est donc 10’, 44 en plus. Supposons en second lieu ||

c—=27°, nous trouverons en suivant le même procédé , L — 2,8596394 |.

qui répond à 725,83 — 12° 3’, 83 : l'erreur est donc ici, 4!,17 en moins.

Maintenant multiplions la premiere hypothèse ( 27° 35’) par l'erreur (417) |!

qui résulte de la seconde ; et la seconde supposition ( 27° ), par l'erreur
( 10". 44 ) qui provient de la premiere , les produits sont 115,0225 et 281,88:
ajoutons ensemble ces deux produits , et divisons leur somme ( 396,9025 )
par celle des erreurs , qui est 14,61 , nous aurons au quotient 27° 9' 59/”, 4,
— c. Ce résultat ne diffère pas d'une seconde de la vraie valeur de c. Si
les deux er1eurs avoient été toutes deux en plus, ou toutes deux en moins,
nous aurions retranché le plus petit produit du plus grand , et divisé le reste
par la différence des erreurs.

Puisque c — 27° 9’ 59/,4 , nous aurons C — 9.9492356 , E — 5,0752508,
D=C+E—R = 3,0244864, qui répond à 1058,0 »2: donc d — va
58", 002 = 17° 38'0!//,1 , et a — 52° 16’ 49,/ 9, qui ne différe pas d'un di-
xieine de seconde de la vraie valeur de a.

On peut se dispenser d'avoir égard aux parties plus petites que les dixaines
de seconde , nous ne l'avons fait que pour nous assurer du dégré de préci-
sion de la méthode que nous avons employée : elle paraîtra peut-être un peu
longue , mais ce défaut est compensé par l'exactitude des résultats. D'ailleurs
ce dernier cas n'est pas d'un fréquent usage.

RRACHERCHES SUR LFS LONGITUDES EN MER.

XX VI. Parmi les questions qui se résolvent par le moyen des logarithmes
cellequi a pour objet de déterminer la longitude en mer , est trop intéres-
sante pour ne pas trouver ici sa place.

PROBLÈMES RELATIFS À LA NAVIGATION.

Nous ng connaissons que deux méthodes généralement bonnes pour ré-
soudre le problème des longitudes. Dans l'une on fait usage d'une pendule
"marine , et dans l'autre de la distance de la lune au soleil , ou à une étoile.
C'est de la méthode des distances que nous allons nous occuper. Nous adop-
terons celle de Borda : elle se trouve développée dans un ouvrage qui a pour

titre : Voyage fait par ordre du Roi, etc., par Verdun, Borda, et Pingré.

Nous n'entrerons pas avec eux dans bien des détails qui n'ont rien de
commun avec l'usage des logarithmes ; mais, d'après leur marche , nous
prescrirons aux navigateurs les regles qu'ils doivent suivre. ,

Le probléme des longitudes se résout par le meyen de l'observation et
du calcul.

‘+ Les observations se feront ainsi :

Un observateur prendra cinq ou six distances du bord éclairé de la lune
à celui du soleil qui en est le plus voisin ; deux autres Observateurs mesu-
reront aux mêmes instants , F un la hauteur du soleil , l'autre celle de la
lune sur l'horizon.

.

0

On tiendra compte de l'élévation ( au-dessus du niveau de la mer ) de l'œil |

des observateurs qui prendront les hauteurs , et de la quantité de déviation
du point de contact que l'observateur des distances aura eu soin d'estimer.

On se conduira de la même maniere s'il s'agit de la distance de la lune À
une étoile.

On doit sur-tout connoître la latitude du navire , et savoir quel jour , à
quelle heure environ, et par quelle longitude , estimée à-peu-près , toutes çes
mesuies auront été prises.

Cela étant fait, voici le procédé qu’il faut suivre.

1°. Préparez vos observations , c'est-à-dire , réduisez celles des distances
à une seule distance moyenne , et celles des hauteurs, à deux hauteurs
moyennes correspondantes.

2°. De la distance et des hauteurs moyennes, concluez la distance et les
bauteurs apparentes des centres des deux astres.

3°. Corrigez les hauteurs apparentes des effets de la refraction et de la
parallaxe , pour avoir les hauteurs vraies.

4. Au moyeu des hauteurs apparentes , des hauteurs vraies , et de la dis-
tance apparente , déterminez la distance vraie.

5°. À l'aide des Tables qui se trouvent dans la Connoissance des temps,
cherchez l'heure qu’on devoit compter à Paris, au moment, où les deux
astres étoient l'un à l'égard de l'autre à la distance que vous avez détermi-
née.

6. Enfin calculez par la hauteur vraie du soleil quelle heure on devoit
compter à bord au même moment.

La différence entre l'heure de Paris et celle du vaisseau , étant réduite
en degrés, vous donnera la différence entre la longitude de Paris et celle
du lieu où étoit le navire au moment de l'observation.

La préparation des observations par laquelle on obtient une distance et
des hauteurs moyennes, la conclusion de la distance et des hauteurs appa-
entes des centres des deux astres , et la correction de ces hauteurs qui donne
les hau‘eurs vraies, n'ont point de difficulté : d'ailleurs les logarithmes n'y
entrent pour rien, si ce n'est que , lorsqu'il s’agit d'avoir !a hauteur vraie
de la June , après avoir retranché de sa hauteur apparente la réfraction qui
lui convient , et trouvé dans la Connoissance des temps la parallaxe hori-
zontale de la lune pour le temps de l'observation ; il faut prendre le loga-
rithme de cette parallaxe réduite en secondes et l'ajouter à célui du co-sinus
de la hauteur apparente de la lune ; la somme sera le logarithme de la pa-
rallaxe de la lune , pour cette hauteur : cette parallaxe étant ajoutée à la
hauteur de la lune , déjà cortigée des effets de la refraction , donnera sa
hauteur vraie.

La détermination de la distance vraie du centre des deux astres se réduit

4 à la solution du problème suivant.

RIT 2 nn à

yo APPLICATION DES LOGARITHMES. \

Connoiuant La distance apparente des centres de deux astres, de celui
du soleil , par exemple , à celui de la lune , ainsi que les hauteurs vraies et
apparentes du centre de ces mdmes astres , trouver leur distince vrais.

Soient HN l'horizon , ZN le vertical du soleil, ZH celui de la lune , Z |
le zénith, S le lieu apparent du soleil , S’ le lieu vrai du même astre , L le |
lieu apparent de la lune, L' le lieu vrai du même astre ; SN la hauteur a
parenté du soleil, S’IN sa hauteur vraie , LH la hauteur apparente de

une, L'H sa hauteur vraie, LS la distance apparente des deux astres, L'S
leur distance vraie. (F10. 4 ). |

Nommons SN ,a;:S'N,a'; LH, 6; L'H, 8’; LS, d; L'S', æ:et fai
sonsa+b—=h; a +6 —h!. Cela posé, dans le triangle ZSL nous au-
rons (XXII, 1. Cas. ),

|
s.:(ZS+ZL+SL) x s.=(ZS+ZL—SL) x r |

1
s2. =Z=

s. ZS X s.'ZL
ou bien [en observant que s.=(ZS+ZL+SL)=s.2(90°—a + go —
b+d)=s.[go—"(a+b—d)]=s.!(a+b—-d)=#.:(h—d),

que s.=(ZS+ZL—SL)=5".!(h+d),ques.ZS—s.a, et 6. ZL = |]
s'.b]; :

#.:(4—d)xs.!1(h+d)xr
s'axs!. °

s", Z=

|
|
|
Nous aurons de même dans le triangle ZS'L', |
(H—s)xe. (h+z)xr

1 ——
s.,2= sa Xs.6b

si(h—d)xs.i(h+d) #.1(k#—z)xe.!(h+=)
DRE a KE KE
Fañons pour abrèger ,

di(h—d)X #1 (h+d)X à X vb

sax s.6. =E",

et nous aurons, B°—s.:(k"—x) x s'.=(k'+ zx); qui devient,

LI HXs is hr X 0.2
Len obeervant que #.1(4 +2) = © MX. xs SX =],
r

|

rB=(s A XS.=x+e ik xXs.x) |
XI A XI xs ik X sx):
|

|

ou bien, en effectuant la multiplication et réduisant,

r*B'=s".: h' x x —s.:"h X s°. Lx:

ou bien (en faisant attention que s”. —=7r"—s"), N
r°B=("—s.1h) X (r—s.læ)—5."h! X s”. 2x;

qui se réduit à B°= 7" — 6°. : h!— +. PTT TEE

Soit B° — °-4 X s/°. : h' : nous aurons

Pan x (Et )=ein x (ES)

PRAROBLÉËMFS RELATIFS A LA NAVIGATION.

91

s?, =: h! KX 5°. A , s'.lh! x '. A
; ; etenôn s.;x = —— °
r

L

Pour appliquer les logarithmes à cette formule , nous observerons que

‘équation B°— 2 X s°°.! h! donne s. À — B me . Nous ferons donc
| r 2 s'.-

d'abordL.B—"[L.s.(k—d)+L.s.(k+d)+L.s#.a+ Le.
+L'.s'.a+L'.s.b]; ensuite L.s. À =L.B+L'.s.:4#".
Ayant trouvé dans les tables L. s. À , nous verrons sur la même ligne et

dans la colonne des co-sinus L. s'. À , et nous aurons enfin
L.s.:z=L.s. hk'.+ L,.s!. À — 10.

Supposons, par exemple , qu’il résulte de trois suites d'observations faites
le 10 février 1776 à 5 heures environ après midi, et par une longitude de
150° estimée à-peu-près, que la hauteur apparente du soleil (a)

au-dessus de l'horizon soit . . . . . . . . . . . . . 6° 27’ 34"
la hauteur apparente (4) de la lune . . . . . . . . . 54 11 57
la distance apparente ( d') des deux astres . . . , . . . 108 42 3

Cherchons d'abord les hauteurs vraies a’ et b’ du soleil et de la lune.

. Nous trouvérons dans les tables nautiques qui sont à la fin de ce volum:
que 7’ 54/ est la réfraction , et 9/ la parallaxe de hauteur du soleil. Nous
retrancherons 9!” de 754! , le reste sera 7’ 45", qui étant soustrait de 6°
27’ 34" donnera pour la hauteur vraie du soleil , a” —6° 19! 4g/.

. Nous trouverons dans les tables de la Connoissance des tems pour le 10

février à 15 heures, que la parallaxe horizontale de la lune est 55’ 19" . Il

faut la multiplier par le co-sinus de la hauteur apparente 54° 1157,
Voici l'opération par logarithmes.

L. 55’ 19” ou L. 3319" = . . . . . . . . . . . . . 3,5210073

L-#.54 1159 =. 9-7671332
L. 5519+ L.s'. 5411 57=. . . . . . . . . + + «+ 5,2881405

i répond à 1942/ — 32° 22/ : c'est la parallaxe de hauteur : on en ôtera
À réfraction 41!” qui convient à la hauteur apparente de la lune; le reste
sera 3141”, qu'on ajoutera à la hauteur 54°11/57"et l'on aura pour la hau-
teur vraie de la lune b' — 54° 43’ 38/.

Pour avoir la distance vraie de cts deux astres, on fera le calcul comme
il est indiqué dans le tableau qui suit.

Nota. Nous avons joint ici le type du calcul, pour indiquer aux com-
mençants l'ordre qu'ils doivent mettre dans leurs opérations ; et si jusqu'à
présent nous n'avons pas suivi cette marche, c'est que nous sommes per-
suadés que le lecteur , forcé d'apérer la plume à la main , acquerra plus
sûrement et plus promptement l'usage de ces tables.

Nous avons fait pour abréger,
h+d=S,ethzd=D=+!(h+d)Trd.

2 APPLICATION DRS LOGARITHMES. \

Réduction de la distance apparente à la distance vraie.

Dist. app. #t € (4) 108° 42’ 3/
Haut. appar. ## {a 6 27 34 L'.s’.a 0.0027658
Haut. appar. ZT (6) 54 11 57 L'.s'.6 02328668

Somme (S) 169 21 34 5...
: Somme ( : S) 84 40 47 L.s!. : S 8.961874
moins la dist. (D) 24 1:16 L.s.:D 9.960658
Hauteur vraie #$ (a’) 6 19 49 L.s’.a! 9-99754

Hauteur vraie C Y 54 h: 38 L.s'.b RTS

Somme . . . . (k') 61 3 27 Somme 38.922352:

soso . + =Somme 19.4611760 :
30 31 43,5 L. s’.:k" 9.9351920

L.s. A. . . . . ss... Différ. 9.5259840 |
À. 19357 . L. s’. A 9-9740324

L. s’.=h! 9.9351920
L.s.:zx 9.9092244 |
? Dist. vraie & € 54 13 51,5 (x)
Dist. vraie & C 108 27 43 (x) |

La recherche de l'heure qu'on devoit compter à Paris au moment où les |
deux astres étoient l'un à l'égard de l'autre à la distance déterminée par le |
calcul , est plus vétilleuse que difficile : voici en quoi elle consiste.

Prenez dans la Connoissance des tems , au jour de l'observation, deux dis- |
tances consécutives du soleil à la lune, entre lesquelles soit comprise celle |

ue vous venez de déterminer par le calcul ; écrivez-les au-dessous de cette |
derniere, suivant l'ordre du tems ; et à leur droite mettez le nombre d'heures, |
minutes et secondes qui leur répond ; prenez la différence de la premiere |
à la seconde de ces distances , et celle Ë la seconde à Ja troisieme : ensuite
faites cette proportion : la différence entre la seconde et la troisieme dis-
tance est à mA différence entre la premiere et la seconde , comme 5 heures
sont à un quatrieme terme , qui, étant ajouté au nombre d'heures, minutes
et secondes correspondant à la seconde distance, donnera pour somme l'heure {
cherchce. |

Dans l'exemple ci-dessus , le jour de l'observation étant le 10 Février , je |
trouverai au 10 février , que les deux distances de la lune au soleil, entre |
lesquelles est comprise la distance calculée

CRT (au
d
S (eo)
3
®

108° 27! 45" + . + + + sont. ,. …. … . ee +. €
108° 37! 0. . , . . . . . qui avoit lieu à 15° 9’ 16”
1 24 48
t....107 12 12 0 0... … . qui avoit lieu à 18 9 16

La différence entre la seconde et la troisieme distance est 1° 24’ 48/ ou
5088’ ; la différence entre la premiere et la seconde distance est 0° g’ 19"
ou 557". Je fais donc 5088! : 557" .: 3} ou 10800! : æ, ou
L'. 4088 + L. 557 + L. 10800 — 10 = L. z.

Voici le calcul :

L. 3*ou L.10800/................ 4.0334238
L. 557"... es 2,745855a
L'. 5088”... .... .......... . .. 6,2934529
Somme ou log. de l'heure à ajouter . . . . . . . . + + 3,0727319
Heure à ajouter . . . . . . . . . . + + À 19 4W
Heure de la distance précedente. . . . . . + + 15 9 16

Heure de Paris au moment de l'observation .« . . . . . 15 28 58

PROBLÊMES RELATIFS À LA NAVIOATION. 97

Le calcul de l'heure qu’on devoit compter à bord au même moment, se
réduit à trouver un angle d'un triangle sphérique dont on connoît les trois
côtés. En effet , nous connoissons la latitude du vaisseau ; le complément
de cette latitude sera la distance du pôle au zénith : nous avons la hauteur
vraie du soleil ; le complément de cette hauteur imera Ja distance du
soleil au zénith. Nous trouverons , à l'aide de la Connoissance des tems,
la déclinaison du soleil au moment de l'observation ; cette déclinaison ajou
tée à 90°, ou retranchée de 90°, selon que le soleil et le pôle élevé seront
de différent ou de même côte par rapport à l'équateur , nous donnc:a la
distance du soleil au pôle. Figurons-nous donc un triangle PZS, dans le-
quel P soit Le pôle, 1) le zénith , et S le soleil ; nous connoîtrons dans ce
triangle PZ, PS, ZS, et nous aurons (XXII)

s.= (ZS+PZ—RPS)xs. (2ZS+PS—PZ
s.:P = (TETE NET PE),

2 s. PS x s. PZ.

Normmons # la hauteur du soleil, Z la latitude , et d la distance du sn-
leil au pôle ; nous aurons ZS = go° — h, PZ = go°—1;!(ZS+PZ—PS)
= go°—1(4+/4+d);1(ZS4+PS—PZ)= (14 d—h)=!(14+ 4
+ À) — h. Faisons de plus 1+ d+ k=S, et substituons ces valeurs danè
notre formule, elle deviendra

#.:3xs.(-S—k |
8. : P=y ( LEGS) ; ou en employant les lcgarithmes,

L.s.=P=:'{[L.#.-5+L.s.(:8—h)+L'.s.d+L'.#.1}
Pour appliquer cette formule, cherchons la distance (a) du soleil au
le; nous trouverons dans la Connoissance des temps que la déclinaison

soleil étoit
14° 22 37" Sud le 10 février à midi,
et...14° 3’ o! Sud le 11 à midi:
Ja déclinaison diminuoit donc en 24 heures de 19° 37”.
Pour savoir de combien elle diminuoit en 15° 29, je fais cette proportion
24 : 15* 29' :: 19 37/ : un quatrieme terme,
L’. 24! ou L'. 1440’ | 6.8416375 :
{ L.:15* 29/ ou L. 929 . 2,9680157
L. 19 37 ou L. 1177! + + + + 3,07077h5
Somme ou logarithme du quatrieme terme 2,88042y7 |
qui répond à 12’ 39/ ; je le soustrais de 14° 22! 37/ , j'ai pour reste 14° 9’ |
[74

; C’est la déclinaison pour le 10 février à 15h 29/.'Par conséquent , d

= 104° 9’ 58/. D'ailleurs, la hauteur vraie (2) du soleil et la latitude ( /)
f sont counues ; nous avons trouvé que 4 = 6° 19/49'". Supposons / = 10° 20'°
1 Nord , et nous aurons bientôt l'angle horaire ou l'angle au pôle P.

Voici le tableau du calcul.

Hauteur du soleil (4) 6° sy 49!
Sa distance au pôle (d) 104 9 58 L'.s.d4 0.0134117
Latitude (4) 10 20 o L'.s'.l 0.0071016

Somme (S) 120 49 47
Demi-somme (:S) 60 24 54 L.s'.:S 9.6934757
— la haut. (=S—h) 54 5 5 L.s.(=S—Ah) 9.9084235
+... 2L.s.°P 19.6224125
. + L. s.:P 9.8112062
: P ou demi-angle horaire 40° 20’ 58,5/,

Angle horaire en degrés 80 41 57,
Mèine angle en heures, ou heure du vaissrau 5° 22° 48/.

APPLICATION DES LOGARITHMES.

ConcCLusiox.

Il étoit à bord au moment de l'observation 5 22! 48
mais en ce même moment il étoit à Paris 15 28 58
ôtant l'heure du vaisseau de l’heure de Paris,
la différence est 6 10
réduisant cette différence en degrés , à raison

de 15 degrés par heure , nous aurons 151° 32!’ So/,

C'est la longitude du vaisseau rapportée au méridien de Paris ; et puis-
qu'au même instant , on compte moins d'heures à bord qu'à Paris, cette
longitude est occidentale.

On peut faire usage de la distance de la lune à une étoile , et la méthode
est à-peu-prés la même. Je dis à-peu-près, parce qu'elle ne différe de cel-
le-ci , que par la maniere de calculer l'heure du vaisseau.

Pour y parvenir par le moyen d'une étoile, il faut avoir sa hauteur avec
beaucoup de précision ; et si celle dont on prend la distance à la lune n'est
pas placée convenablement pour qu'on puisse obtenir sa hauteur avec assez

‘exactitude , on ne s'en servira que pour réduire la distance apparente en
distance vraie : maïs pour avoir l'heure du vaisseau , on en choisira une autre
placée plus favorablement.

On prendra soit dans la Connoissance des temps, soit dans un catalogue
d'étoiles , l'ascension droite et la déclinaison de cette derniere ; on calcu-
lera son passage au méridien ; on cherchera son angle horaire, comme nous
avons fait pour trouver celui du soleil : on le réduira en tems solaire moyen
à l'aide d'une table qui se trouve dans la Connoissance des mouvements cé-
lestes ; on ajoutera ce tems à l'heure du passage de l'étoile au méridien, ou
on le retranchera de cette heure , selon que l'étoile sera à l’ouest ou à l'est
du méridien : la somme ou la différence sera l'heure vraie du vaisseau.

Su posons , par exemple , que le 14 novembre 1771 au soir , étant par
3

36° 33! de latitude au nord , et environ par 10° 30’ de longitude à l'ouest,
la hauteur vraie de # de la lyre ait été déterminée de 25° 4’ 0! ; on demande

l'heure vraie du vaisseau.

Déclinaison de l'étoile 38° 35! 14" N.
Distance de l'étoile au pôle
Ascension droite de l'étoile

La même en temps

Distance de l'équinoxe au soleil. . .

Somme des deux dernieres quantités,
ou passage approché au méridien nu’ 5,79
ou plutôt (en ôtant 24") « 3 11 3,9.

Puisqu'on étoit par une longitude de 10° 30’ environ à l'ouest de Paris,
ou devoit compter à bord 42’ de tems moins qu'à Paris : lors donc qu'il étoit
à bord 3 11’ 3/’,9, il devoit être à Paris 3° 53’ 3//,9, ou 3* 53! 4. Du 14
novembre au 15, la distance de l'équinoxe au soleil a diminué de 4’ 9/ ; elle
aura donc diminué en 3° 53’ d'une quantité qu'on trouvera par cette pro-

OrtiOn ; ‘
e 24 : 353! :: 4! 9! : x — 0" 40/,3,
qui étant Ôté de 3* 11’ 3/,9 (passage approché de l'étoile au méridien ) don-
nera 3} 10’ 23//,6, (heure vraie du passage).

Pour calculer l'angle horaire de l'étoile, on se servira de la derniere for-
mule , dans laquelle h exprimera la hauteur de l'étoile et d sa distance au

Le)

| Voici le calcul :

PROBLÈMES DIVERS.

Hauteur de l'étoile (h) 25° 4! o!!

Distauce polaire (d) 51 24 46 L’.s.4d 0,1 23
Latitude (1) 36 33 o L'.s’.7 NE por
Somme (S) 113 1 46

Demi-somme (*S) 56 30 53 L.s'.-S 9:7417209
(2S—h) 31 26 55 L.s.(=S—}) 9,7174419
2 L.s.:P 19,661247:
L.s.:P 98306235
1 P — 42° 36’ 507
P = 85 1340 (angle horaire cherché)

L ne reste plus qu'à réduire cet angle en tems solaire moyen.
On trouve dans la table de la Connoissance des temps

que 85° donnent. . . . . se es + + 5 39! 4"

13! . ee + ee ee ee ee ee + . © ee e. e. e. ee. ee °. O 39 51,8
A ss 0 o 3,4
Donc 85° 13’ 41/ donnent. . . . . . . . ....

at 5 T9 pa
Ajoutant le passage au méridien. . . . . . . . . . . . 3 10 25,6
on a l'heure vraie du vaisseau. « . « « « + « + + « + «8 5o 22,8

L'heure du passage de l'étoile au méridien a été ajoutée à l'angle horaire
réduit en tems, parceque la hauteur de l'étoile a été prise à l'ouest du mé-
ridien ; si elle avoit été observée à l'est , on auroit pris la différence de l'heure
du passage à l'angle horaire.

PROBLÈMES DIVERS.

1. Soient À, B, C, les trois côtés d'un triangle ; a, b, c , les angles op-

à ces côtés ; r et R respectivement le rayon du cercle inscrit et celui
cercle circonscrit; p la perpendiculaire abaissée de l'angle c sur le cô-

| té C qui lui est opposé, ou la hauteur du triangle sur la base C; 23 l'aire
du triangle. °
Faisons H — = (A+B+C); Q = 1,2041200; E = 9,6989700 — 20 ;
N=L.(H—A)+L. (H —B) + L. (H—C); K=: (N+Q+ L.
H); et représentons par S le logarithme du sinus d'un angle: nous aurons

LR=LA+LB+L.C+K';Lr=!(N+L'.H);
L.p=!(N+L.H)+L'.!C;Lm=!(N+L.H)
=L.:C+L.p=L.A+LB+L.C+L.R+:Q
=L.!A+L.B+S.c—1o0=2L.A+S.b+5S.c+S.a+E.

Exemple. Soit A = 145, B— 165, et C = 154 ; nous aurons, H — 231
L. (H — A) = 1,9444827 ; L. (H — B) = 1,8195430 ; L. (H — C)
= 1,8864907 ; N = 5,6505173 ; L. H — 2,3636120 ; K = 4,6091246 ;
K'= 5,3908754 ; L.À =, 1553360 ; L.B — 2,2174839 ; L.C = 2, 1875207 ;.
L.R=— 1,9512160 ; R — 89,375 ; L'. H = 7,6563880 ; L. r = 1,6434527 ;
r= 44; L.!C—1,8864907 ; L'.:C—8,1135093; L. p— 2,1205740 ;
p = 132; Q' = 8,7958800 ; :Q' = 4,3979400 ; L. #3 — 4,0a7a647 ; m
= 10164.

Les valeurs que nous avons données à À , à B, et à C, sont des mesures
linéaires de même espece, comme des pieds, des pouces, des lignes ; les

96

APPLICATION DBRS LOGANRITHMERS.

valeurs de R , r et p sont exprimées en mesures linéarres de même espece 1

que celles qu'on suppose aux données A, B, C; et la valeur de m , des me-
sures quarrées dont la racine est aussi de même espece. |
Les deux dernieres formules qui donnent la valeur de m , supposent qu on
connoisse les angles a, b, c. On peut les calculer par les formules de la |
trigonométrie rectiligne , art. XXIT, 1. cas.
Cherchons l'angle a ; la formule qui donne cet angle est
S. a=:(L.(H—B)+L(H—C)+L'.B+L".C).
L'.B = 7,7824161 ; L’.C = 7,8124793 ; L. (H— B) — 18195439 ; I.
(H — C) = 1,8864907 ; 25. = a = 19,3010300 ; S. =a — 9.6505150 ; LL:
— 26° 33! 54! ; a — 55 7! 48. Nous trouverons de même & — 67° 22’ 48//;
c = 59° 29’ 24/ ; et les deux\lernieres formules donneront pour m3 la même
valeur que ci-dessus. ‘
|
|

2. Soit r le rayon d'un cercle, d son diametre, c sa circonférence , et
m sa surface ; nommons p le périmetre ou la circonférence d'un cercle dont
le diametre est 1 ; et faisons, L.p— P —0,4971499; L.2+L.p=}#F
= 07981799 ; L'. 4 + L. p — D — 9,8950899 ; L’. 4 + L'. p = C

= 8,9007go1 : nous aurons

L.c=L.d+P=Lr+rF,
L.m=a2Ll.d+D=al.r+P—aL.c+cC.

Exemple. Soit r— 791 ou d = 1582 , nous aurons, L. d = 5, 10 :
L.r = 2,8981765 ; L. c — 3,6963564 ; c — 4970 : 2L. d — 6, 3984150;
2L. r — 5,7963530 ; 2L. c — 7,3927128 ; L. m — 6,2935029 , et m
= 1965644. É

Archimede est l'auteur le plus ancien qui nous ait laissé un rap da
diametre à la circonférence ; il a trouvé que le diametre étant exprimé par
1, la circonférence est moindre que 3 = ou 3,142, et plus grande que 3
ou 3, 141. Lagni , dans les mémoires de l'Académie des Sciences ;:|

our l'année 1719, a donné un rapport du diametre à la circonférence;.

lequel il a poussé l'approximation jusqu'à la cent-vingt-huitieme déci...

male. 1la trouvé que le diametre d'un cercle étant 1 , sa circonférence doit.
être exprimée par le nombre suivant ;

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 c

37510 58209 do44 59230 78164 06286 2089c 86280 EE
34211 70079 82748 08651 22823 06647 093584 46095 5a$5Ba
23152 53594 08128 4802 <- etc.

Machin avoit déjà trouvé les cent premieres ligures du rapporf de
Lagni ; et long-temps avant eux , Ladolphe Van-Ceulen en avoit calculé
les trente-cin premiers chiffres. Pierre Métius contemporain de Ludolphe
ayant exprime le diametre d'un cercle par 113, avoit trouvé pour la cir-
conférence un nombre beaucoup plus proche de 355 que de 354 ; ce nom-
bre est 3549y997. Le rapport de 113 à 355 est aussi exact que celui de 1 à
3,1415y26 ; et ce qui le rend précieux, c’est la propriété qu'il a de se gra-
ver aisément dans la mémoire. Si vous écrivez deux fois de suite , et suivant |
leur ordro , les trois premiers nombres impairs 1 , 3, 5 ; vous aurez un nom- |
bre de six chiffres (113355), dont les trois premiers (113) seront le dia- |
metre , et les trois derniers (355) exprimeront la circonférence.

Dans le ralcu]l de la circonférence ou de l'aire d'un cercle, il est très |
raie qu'on ait besoin d’avoir égard aux figures qui occupent des places au- |
dessous de la vingtieme; c'est pourquoi , si nous faisons.
p = 3,14159 26535 89793 23846 ; L.p ou P — 0,49714 98726 94133 85453 |
(voyez ci-après , page 101 , l usage des tables I, 1L et 111, prob. 1,4 cas),À
C = 8,90079 01359 77903 75522 ; D — 9.89508 98813 66171 46592 ; F À
= 079817 98683 58115 04ÿ57 ; nous aurons , comme ci-dessus, »

{

PROBLÈMES DIVERS. 97

Lc=Ld+P=Lr+Er,
Lm=aold+D=2lLr+P—=aLc+cC.

Exemple. Soit r — 161 29032 , 25806 45161 29 ; nous aurons, en fai-
sant usage des tables I, II et ILL qui sont à la fin de ce volume,
L.r = 7,20760 83105 01746 12512 ; L.r + F ou L.c = 8,00578 81788
BG: 17468 ; 2L.r + P ou L.m = 14,91236 64936 97626 10459 : cher-
chant à l'aide des mèmes tables les nombres auxquels appartiennent ces lo-
garithmes , nous aurons c — 1013 41698 , 50289 649156 ; m — 81727 17621
20132, 99648.

3. Trouver la longueur (4) d'un arc de cercle dont le nombre des degrés
(A) et le rayon (r) sont donnés. .

Soit x la longueur du degré d’un cercle dont le rayon est 1 ; |
ñ —0,01745 32925 19943 29576 9; L. n — 8,24187 73675 90827 78455;
nous aurons L.a=L.A+L.n+L.r. ®

Exemple. Soit 7 — 60, et À = 106° 15’ 36/ ; nous aurons,
L.r = 1,77815 12503 83643 63251 ; L. À — 2,02636 98115 73718 38284;
L. A<+L.n-#+L.r, ou L.a=— 2,04639 84295 48189 79990 , d'où nous
concluerons a — 111, 27621 17901 50476 506.

4. Connoissant le nombre des degrés (A) ou la longueur (a) d'an are
de cercle dont le rayon est 7, nous aurons aisément l'aire (m) du secteur
Compris par cet arc , et par les rayons qui passent par ses extrémités , et
nous trouverons

Lm=Ln+LiAt+al.r=L;at+Lr=Lat+Ll.:r.

Exemple. Soit r —60, À = 106 15/36! ; nous aurons, comme ci-dessus
L.a — 2,04639 84295 48189 79990 ; L. =” = 1,47712 12547 19662 43730 ;
Les = 3,52351 96842 67852 23720 : donc m = 5338,25635 37045 14295
18.

.6. Voulons-nous avoir la surface (m) du segment renfermé par l'arc (a)
et par sa corde, faisons L.a'=L.a—L.r—L.A<+L.n, et nommons

s le sinus naturel de l'arc a’ ; nous aurons L.m = L-‘(a'+s)+2aL.r.
Le signe — a lieu lorsque À est moindre que 180”, et le signe + lorsqu'il
est plus grand. -

Exemple. Soit toujours r — 60, À == 106° 15’ 36/ : nous aurons, L. À
= 2,0203698 ; L. r — 8,2418774 ; L. a’ — 0,2682472 ; a’ = 1,8545869 ;
s = 0,9600010 ; a’ — s — 0,8945859 ; . (a! — s) = 04472930 ; L- : (a'—s)
= 9,6506g21; 2L.r — 3,5563025; L.m — 3,2068946, qui répond à
1610,2546 — m. C'est la surface cherchée. |

Nous n'avons pris la valeur de m qu'avec huit fgures, parcequ'il entre
dans son expression un sinus naturel que nos tables ne donnent qu avec huit
chiffres.

Si la corde et la fleche d'un arc sont données , on parviendra à connoître
le rayon et le nombre des. degrés de cet arc ; car en nommant 2 y la corde
et > fleche de l'arc A dont le rayon est r, on aura,

viyiiyiar—v,etr!1::7:s1A. D'où l'on tire
r+?”, ets. !A =) —

32 ‘ 7 j'+v
Exemple. Soit y — 51 et v — 8 : nous aurons y” + v° — 2665 ;

2Vÿ

r=

r = 166,5625 ; À = 0,5061914 ; L.y + L'.r= L. s.} A = 9,4859930 ;
LA = 17 49" 470,5 ; À = 355 39" 357.

«8 APPLICATION DES LOGARITHMESS.

Connoissant les longueurs de deux degrés d'un méridien terrestre ,
trouver les axes de ce méridien supposé de figure elliptique.

Soient 22 et 24, les deux axes ; g et g', les longueurs connues des deux

passant par les milieux de g et g’; X , le rapport de la demi- circonférence

au raÿon.

On sait aussi que dans l'ellipse de l'équation yy = (aa—xzx)ona,

n =? x [60 + (<=) x et 1p=, Enfn dans le triangle

formé par l'ordonnée y, la normale n et la sous-normale /(nn— yy)ona

Lx (sin. c)°

aa—(aa—bb).(sin.c)
1
= . [ 1 — (+). (sin. c) F°

Poun=e. L: — (= EE) (sin. ST : on a de même

mb (ETE) ane TS

d'où l'on tire y y = 5 par conséquent

’
ou parce que g — LE et g' — RTL. on a
… FX bb aa — bb . a 1— 23
ë8— 86e L'—( aa ): (sin. > |
FX bb —* 3
= e Ù d
180 à LC: ’ onc

(eÿ : (e'ÿ 5 1 Le (sin. c') . à — (AS). (sin. c)

d’où l'on tire sa bb = RC ICET I
Fe (sin. )—(g:g) X (sin. c)

Les quantités g, g’, c,et t' étant connues; 22 + ÿ est donnée par l'équation
précédente ; nommonts-la ee , nous en tirons,

1 1
==(i—ee} ou b—a(1i—ce)}; donc

ÆX.a.(1—ce)

g = <= X (: — 6 X (sin. y)"; d'où l'on tire

180 .£g _180g" 2.
a = Geo * ( 1e .(s. c) = rh —ce.(s.c') ]

rs

L -

degrés mesurés ; c et c’ , les angles que font avec le grand axe les normales |

On sait que dans toute section conique, le rayon de courbure R équivaut
| au cube 7° de la normale divisé par le quart du quarré du paramétre(-pp. )

évidemment y = 7 . sin. C, ou ÿy — _. (sin. [+ Sr] |

i ee

|

PROBLEMES DIVERS, 99

180 -& = X (Gi—e. (sin. ce) — 1808

X [1 —ee
T:(— ee} T(1i—ee)s

(sin. c'ÿ É
Pour rectifier un arc du méridien com is depuis l'équateur jusqu'à un
parallele quelconque ;, en mettant dans la formule des rectificarions ds = ||

V (dx°+ dy”) pour d y” sa valeur tirée de l'équation y y —P! 2 (a8— 25)

elle devient ds = — — x — set 2 ;
EE

mettant ee au lieu de a—bb

; et faisant © = cos. z, ce qui donne,
xx .

dæ——asin.zdz; V(i— =) = sin. 5 ; on a

ds—adz. v(: — +. (cos.s) ) , cu, en développant

ds — ad: (: e* (cos. z )” __æ.(cos.s) _ e*(cos.s)

8 6
5e (cos. : )° |
— "+ — etc. ): or (cos. z)" =: (cos. 2 + 1);

128
Ccos.z = à (cos. 42 + 4008. 22 +3);
(cos. 2) = (cos.6z + 6cos.4 z + 15cos.2: +10);

(cos. z )° = À (cos. 8z + 8 cos. 6 z + 28 cos. 4 z + 56 cos. 2 = + 35),
etc. ; ces valeurs substituées dans la formule précédente la changent en celle
que voici :

ae” 3ae* 6ae° 175ae° |
di dix (a D — 56 — 16585)

ae ac 15ae° 36 ae°

—24dz. C08.2zZ. + gt ion 2096 + etc. )
— 4da cos. 42 ( . 4e + Le + etc.)
—6d3 cos. 62 ( ss ; ES + ELLS + etc. )
—8dz cos. 82 ( ss. ++ etc. )

— etc. :
Désignant par À, B,C, D, etc. les suites des termes constants qui mul- |}

tiplient dz, 2 dz cos. 2, 4dz cos. 4 z, 6dz cos. 6z, etc. et-intégrant , |k

Rous aurons |
$— Àz— B sin. 23— Csin. 42 — Dsin. 6: —E sin. 8: — etc.

Il n'y a pas de constante à ajouter , parce que toùs les termes s'anéantissent

orsque z = 0.

Lorsque z = : Æ, S exprime le quart du méridien, et sa valeur se réduit
AT ,
à TR parce que sin. % —0,sin. 27% —=0c,sin. 3% — 0, etc. Dési-

gnant par S’’ le quart du méridien, on a

7 3e 5 e° 195 r°
= RE GE — . ).
= x (1 Gr 56 ie)

G a

100 APPLICATION DES LOGARITHMES.

Si l'on veut la longueur d'un arc du méridien compris entre deux paral-
leles donnés de position ; en désignant par S’ un arc du méridien compris
depuis l'équateur et un autre parallele, on aura |
S —Az'—B.sin.23 — Cain. 43’ — D sin. 63’ — E sin. 8 s’ — etc. ‘ |

r conséquent |

HS = A(st3)—B(sin.25Hain.2s')—C(sin.4staein. 4s'})}
—D(sin.6ztsin.6z ) — E(sin. 83H sin. 8 s’) — etc. |

Le signe supérieur a lieu quand les paralleles sont situés de différents cè-
tés de l'équateur et l'inférieur quand ils sont du même côté.

Pour appliquer ces formules , prenons quelques uns des degrés mesurés
en France, à l'équateur et au cercle polaire ; les voici tels qu'on les trouve
dans l'Astronomie de Lalande.

+ 1 9 7 | Soient g— 56750 toises ; g — 57028 t.;
Latitudes Degrés co 0" d = 46 o': 7 |
les formules précédentes donnent
00° 00’. . . . . . 56750] aa—Bbb
33 18... ... 57027| aa
£ eu ct sn À = 0, 996735; b = 3262195 toises ;
49 23. . . . . . 57072] a — 3272886 toises ; S — 5152658 toises ;

66 _20...... 57422] Soient g — 56750 t. ; g’ = 57o7at.;

moyennes. en toises.

ou ee = 0, 0065048 ;

c—0; c— 45°; on trouve e = 0, 0065838 ; À = 0, 9967276 ;
b = 3262211 €. ; à — 3agagai t. ; S — 5152686 tv. ;
Soient g — 56750 ; g' —= 57422; c — 0 ; c' = 66°20’ ; on trouve
€ = 0, 0093189 ; = == 0» 9953295 ; b = 52667go €. ; a = 3282121 toises;
S = 5143523 toises.

. b
Soit a = 3277123 et == m2 5
rences de ces résultats pouvant provenir de l'imperfection des instruments
employés à la mesure des degrés du méridien , on a recommencé un travail
que des circonstances n'ont pas permis de finir; en attendant , on a dé-
terminé le quart du méridien , en multipliant par 90 le degré 57028 toises ,
dont la latitude moyenne est 45° , ce qui a donné : S = 5132520 toises ; le
metre , qui est la dix-millionieune partie du quart du méridien, vaut donc 3
pieds o pouces 11 fignes + &. Une toise de diminution sur le 45° degré di.
minue la longueur du métre de 0,01 lignes et le réduit à 5 pieds o pouces 11
lignes + # ; ce metre provisoire est un peu trop court.

On a cherché long-temps une mesure universelle ; on vouloit qu'elle Fût
donnée par la nature, et la nature en offroit une à laquelle on n'a point fait
attention ; il étoit cependant naturel de dire : nous voulons une mesure qui
serve à toute La terre ; eh bien ! prenons l'axe de la terre. Cest une li
droite ; c'est la distance d'un pôle à l’autre ; comparons donc à cette distan-e
toutes celles que nous voudrons connoître. Si l'on eùt pris ce parti, la gran-
deur de la dix-millionieme partie de l'axe de la terre étant appelée module,
on eùt trouvé pour la longueur moyenne de ce module 3 pieils 11 pouces , à
moins de = ligne ; alors, on auroit eu une ligne droite pour terme de com- }
paraison. Quant aux mesures itinéraires, géodésiques , géographiques , etc. *

L

elles servent à comparer des distances curvilignes ; qu'elles fassent partie du
méridien , rien de mieux.

alors S — 5139089 toises. Les diffé
|
|
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|
|
|

USAGEDES TABLES APPROCHÈRS. 104

USAGE DES TABLES I, 11, III.
I. Un nombre étant donné, trouver son logarithme.

I. Cas. Nommons b le nombre donné , et B son logarithme cherché. Si
‘on trouve b dans l'une de ces trois tables , son logarithme B sera à sa droite
t sur la même ligne. |

11. Cas. Si 8 est le produit, ou le quotient des nombres qu'on trouve
ans ces tables , B sera la somme ou la différence des log. de ces nombres.

HI. Cas. Si b est tel que les six premieres figures significatives , qui sont
sa gauche , se trouvent dans la table II ; en nommant a le nombre exprimé
er Ps six premieres figures de b ; À , le logarithme de a; r, les figures qui
estent de F après en avoir Ôté les six premieres ; 4, la différence de deux
‘ombres consdcutifs de la seconde table ( si l'on considere pour un instant a
omme un entier , alors d = 1 ); x le complément de rà d'ou à l'unité ; D’,
}”, D", les premiere , seconde et troisieme différences des logarithmes , qui
ont dans La ligne de À ; faisant de plus, f —;D"Y X (z+1) + D/, on

ura les trois formules suivantes.
d

B—=D'XrHA. see. th
B—(x D" +D')Xr+A . . + + + + 17 Sgre
B=(:zf+D')Xr+A.. . «ee ° 20 Peu-pres

ExrkmpPLxl. Soit le nombre donné & = o,o1010 26227 6351, on
lemande son logarithme B à fort peu-près à 12 fgures.

a = 101036 À = 00445 81579 747
r = 0,2276351 rD'=... +9785 618—
D’ — 429881746 B——2-+#+0,00443 41365 365—
‘ ou B — 8.00443 41365 365

ExempPLir Il. Soit le nombre donné b — o,o1010 26227 63509 626,
rouver B son logarithme à 17 figures à-peu-près. & = 101026; r = 0,22763
109626 ; x = 0,772365 ; D’ — 42988 174579 ; D! — 425510.

Jonc:zD" ..... ses se so + + + + + 16432 45
D’. . see se + + + + - 42988 17457 86

SD HD... eee es + + + + + 42988 33890 31

(:zD'+HD')xr ss... . + 9785 65466 42
Ac... +. + + + + 00443 31579 74695 33
tB=...—2+...... . + 0,00443 41565 40161 75
ouB=............. + + 8.004435 41365 40161 75

ExempLe III. Soit le nombre donné b — o,o1010 26227 63509 62575
17345, on demande son logarithme B à 20 figures à-peu-près. a — 101026.
-= 0,22763 50962 573193 ; x — 0,77236 490374 ; x + 1 — 1,772365;
D' = 42988 17457 86301 ; D — 42550 96343 ; D” — 84236 ; ce qui

donne

G 3

=

102 USAGERDKS TABLES APPRHOCHÉES.

SDW X(rHI) us 49766
D ss ss 42550 96343
fosse mms 42551 46109
=xf ss . 16432 62757
D.......... 42988 17457 86301
IE SE 42988 35890 49058
(izf+D')xr.. . + + . « «+ «+ + «+ 9785 65466 45604
Asso esse 00443 31579 74695 327g1
Donc B——2+...... 0,00443 41365 40161 78395

ou B—=......... 8.004435 41365 40161 78395

IV. Cas. Si le nombre donné b ne se trouve dans aucun des cas précé-
dents ; nommons c l'expression des cinq premieres figures de b ; représentons
parz le moindre nombre 101, ou quelqu'un de ceux de la table IT. Faisons

°C æ
7 U = a ; a étant un nombre de deux ou trois chiffres seulement ; nous

‘trouverons a dans la table I , avec son logarithme que nous nommerous À.

Désignons par L’, la fraction — = ou le produit b a , selon que nous sgrons fait

21

sidérant a’ comme un entier . nous le trouverons dans la table I I avec son

logarithme A’: nommons r, le reste des figures de b'; x le complément de

r à l'unité ; D’, D’, D’, les premiere, s conde et troisieme différences des

‘Jogarithmes, qui se trouvent sur la même ligne que A’; faisons enG6n f =

1 ; D X (z+ 1) + D”. Nous aurons les trois formules suivantes.

ŸB— DATANT. = RBR'+A...... à 12 figures

B—=(izL"+D) x r+AHAZDHA...à 17 (à très peu

B=(;zf+D')xr+A'+A—B+A. +. + à 20 \près.

C n ,,
—Oou——42;etpar a les six premieres figures significatives de b’ : en con
c

Le signe + a lieu si l'on fait b' — 2, et le signe — si l’on a L' — ba.
Exemeze. Soit donné b =: 3,14159 26535 89793 23846 26434 ; on de-

mande B jusqu'à vingt figures. Ici c — 31415. Soit a — == 311.

Donc == o01010 1584 0 95144 02970 57; a — 101015; r= |
a

0.8409$ 14402 97057 ; x — 0,15904 85597 ; x + 1 — 1,15905 ; D' =

42992 85574 06337 ; D” = 42560 25099 ; D — 84263.

Par conséquent

3 D X (z+ 1) ss 32555
Dr. nm 42560 23009
F ee. « + ee ee. ee ee + + + 42500 55624
Lx f on 3384 59761
D... ........ -. ... «+ + 42992 85574 06337
æxf+D'. 42992 88958 6Gog8
(= zfHD'Xr + 36154 93242 03919
A! se 00438 58681 74054 30961
Acer . + 49276 03890 26837 50555

et B. . ......... .. 049714 pr CAR EE SE AR 94153 85435

L

. USAGE DES TABLES APPROCHERS, 103

—_

Ou bien soit à — . = 3,216 — 0,536 X6. L'on aura

b'= ba — 10,10336 19739 44775 0549; a! == 101033 ; r — 0,61973 944
50549 ; x — 0,38026 055225 ; z + 1 — 1, 38026 ; D’ — 42985 Fo618
80760 ; D" = 42545 06747 D = 84219.

Ce qui donne
DU X(z+H1).... . . 38748
D uote se « + + + 42545 06747
fosses sus see en 0 + + + + + 42545 45495
af osss ess see es ee + + + + 8089 17910
D... . … « 42985 19618 80760
I Tf+HD' esse ee + + + «+ + 42985 27707 98670

Czf+D)Xr. . + + «+ 26639 67187 88811

A... _........ 00446 32488 03359 61854

BB... + + ++ + 1300446 59127 70547 50668

As. 0,50731 60400 76415 65230

DoncB—B'—A........ . 049714 98726 94133 85435
I I. Un logarithme étant donné , trouver le nombre correspondant.

Q
I. Cas. Si l’on trouve le logarithme B dans l’une de ces trois tables ,
on aura le nombre correspondant & dans la même ligne à côté.

II. Cas. Si les cinq premieres figures ( sans compter la caractéristique)
d’un logarithme do ’ , sont entre 00432 et 00509 , il faut les prendre
comme si c'étoit un nombre entier , et prendre À’ et C’ pour les logarithmes
de la table 11, immédiatement plus petits et plus que B’, a'etc’
ur leurs nombres. Soient D’ (= + C' — A! ) et D’ les premiere et seconde
ifférences dans la même ligne que A’; R—B'—A';d'—(c—u)=:1;

x=-—2; ET ce qui donne b’ = a’ +- r vrai, à très-peu-
près à 17 figures.
ExsmpPLs.

Soit le logarithme donné B' = 5,00446 59127 70547 507
On demande son nombre #. A' = 5,00446 52488 03359 619
a’ — 101033 = 0,26639 67187 888
r = . 0,61973 944776 D’ = 0,42985 19618 808
D! — 101033,61973 944776 D' — R = 0,16345 52430 920

X =: 0,38026
D" = 0,00000 42545

= XD — 0,00000 08089 1

D’+ = XD/ — 0,42y85 27707 9
Muis lorsqu'un autre logarithune B est donné , il faut soustraire 004321 des
six premieres figures de B ; nommez R' le reste , et soit A le logarithme dans
la table I, immédiatement plus petit que R’, ou immédiatement plus grand
que le complément de R’, et a son nombre ; donc B'— B — A ,ou B’—B

+- À , sera dans les limites de la table IL, et l’on trouvera D’, comme
dans l'exemple précédent : si B'=— B — A, on aura b — ab’ ,et si B'= B

+A . on aura b==.

= me 0 me =

4o4

III. Cas. Si A’ exprime les cinq premieres
la caractéristique ) d'un logarithme donné B', et qu'on les trouve
ITI, soit 2’ son nombre, et prenent A'p |
reste des figures de B' ; D’, la différence des logarithmes , et X le complé- |
ment de R à D’, ou à l'unité, d', 4”, d'!', lès premiere, seconde et troisieme
différences des nombres , qu’on trouve dans h ligne de a'; f = d” — : dv
X(X-+1). Le nombre # dont le logarithme est B’ sera exprimé par les for-

USAGE DRS TABLES APPRAOCHÉKS.

mules suivantes.

d'=(d—;Xd')XR+a..
P=(d— Xf})XR+a".

Exz=wpPLes. Le logarithme donné B' = 0,00006 93311 37711 69929,

ieres figures ( sans y

..... .-.àh12)$ à
à peu près

on demande son nombre #/ à 20 figures. Ici A’ = 00006, R = 093311 37711

69929 ; X — 0,06688 622883 ; X + 1 — 1,066886 ; d’ — 23029 29742

21393 ; d' = 58027 52746 ; d'!/ — 1,22100. Ce qui donne

1
‘3

dd X(X +1). .
d.

9. ee ee ee ee ee ee ee + + ee ee

fosse rsesssree ,

IXfo sc cssuss

d'. e e e e e ° e e e. LL e e e

—IXf see

A!
R
d'

prenez À
sous de
nombre

qui restent de

Donc #. . . . . . .. ...
IV. Cas. Si le logarithme B ne se trouve dans aucun des cas précédents,
ur le logurithme , dans la table 1, immédiatement au - des-
, ou immédiatement au-dessus du complément de B ,eta le
i correspond à À ; soit B' — B — A,ou B'=B<+A,
et À’ les cinq premieres figures de B’ qu’on trouvera dans la table II , avec le
nombre correspondent a’. Prenez A' pour un entier , et soit R , les
’; D’, la différence des logarithm
K à D'ou à l'unité ; d’, d!, d'/!, les premiere , seconde et troisieme différences
des nombres dans la même ligne que a’ ; f—d"—;d'!" X(X +1). Le
nombre Z dont le log. est B , sera exprimé par les formules suivantes,

b=(dXR+S)X a. . + +

On demande son nombre £.
Soit À — 1,46239 79978 98956 08733 a == 29

. —=ab. pour 11

. «+ + + + 53027 52746

+ + + + 53027 09524

+ + + .1975 Sg115
. 23029 29742 21295

+ 23029 27968 82178
. 21488 93801 72000

. 1,0001 58164 64943 57474

. 1,0001 59653 58745 29474

es ; X , le complément de

fi à très-
b=[(d—:Xd')XR+a]xXa—ab. pour 16 ge
— 1 , peu-près.
={[(d—:X/f) XR+a] x a—=ab'. pour 19
ExsmPpLes. Soit B — 6,46372 61172 07184 15204

= 00132; B’ — B — À — 5,00132 81193 08228 06471;

0,81193 08228 06471 ; X = 0,18806 91772; X + 1 = 1,18807 à

23096 20835 34589 ; d' = 53181 59733 ; d'! — 1,22457.

dan le table D

our un nombre entier , soit R le |

Ù
La
».
.4

USAGE DES TABLES APPBOCHÈES.

Ainsiid"X(X4+1) ..

IXS...... Lee

d.. . +. + + + ee + ee

d'—:X/$ . + + ee e . « e
i

do

b'. e ee + ee ee + ee ° ° s

b= ab". e e e ° ° e e Li] e e e

Ou bien étant donné , comme ci-devant ,

B — 6,4637a 61172 07184 15204, trouver b.
Soit À — 2,53655 84425 71530 11205 a == 344

À! = 00038; B' — B + À = 9,00028 45597 78714 26409
R = 0,45597 78714 26409 ; X — 0,54402 21286 ; X + 1 — 1,54402 ;
53054 39634 ; d'! = 1,22163.

2 = 23040 96629 g15a1 ; d”

Donc : d'' X(X+1)....
CO

IX...

Be

Xp...
(S—;XP)XR. . . ..

a... . + + oe ee. + e »e.

b. .. . ee + + + + + ee o

at ee...
a

——
——

ee... + + + 48496
. . + + + + 53181 59733

ee + + + + 53181 11237
+ + + «+ + . 5000 86402
+ + + 23096 20835 34589
«+ + + 23096 15834 48187

+ 18752 48284 85771
10030 44036 01963 96855
10030 62788 50248 82626

. 29 08882,08665 72159 6154

. +. © ee ee ee + ee . 62874
+ + + + 53054 39634

e e e ° L 3 e 53053 76760
+ + + - 24431 21179
.< + + 23040 96629 915a1
+ + + 23040 82198 70342

+ + + 10506 10496 55627
10006 44931 70511 67281

. 10006 55437 81008 22908

. -< + 29 08882, 08665 72159 616

Tout ce qui précède s'applique mot-à-mot au calcul des logarithmes hyper-

boliques ; il est plus court d'employer à la recherche de ces logarithmes la
formule D (Formules Logarithkmiques. )

L.(a+An)=L.(r — An) + (LT +

(An) (an)
>’ + + etc.
87° 5n°

)

: ExsmpPLes. Soit X — 3,14159 26535 89793 23846 26 le nombre
dont on demande le logarithme ; je divise 3,1415 par 1,01 , il vient 311 ; je
divise Æ par 3;11 , j'ai au quotient

1,01015 84095 14402 97057

je fais 1,01019 84095 14402 97057 = n— An
et 101016... . . + … . = n+ANn
donc 2,02031 84095 14402 97057 = 2n
et 0,00000 15904 85597 02943 = 2 A 7

par conséquent

sou USAGE DES TABLRS APPROCHERS.
An
—— = 0,00000 07872 45015 a1110 0
An)
( 0,00000 00000 00000 00016 3
3n

Somme . . . o,oov00 07872 45015 21126 3 |
double . , . 0,00000 15744 90030 42252 6 |
L. hyp. (7+ An) o,o1o10 87341 48287 83052 |
Dif.L.h.(n— An) o,oioto 71596 58257 40799 |
Log. hyper. 3.11 1,13462 27261 91142 76616 - 0.
Somme L.h. x 114472 98858 49400 17415 - |

|
S'il est question d’avoir le log. vulgaire de T , on multipliera le double de |

3
Ja somme si + (ar) + etc. par le raodule ; le produit étant ôté du log. |
3n

vulgaire (7+- A #), et le reste étant ajouté au log. vulgaire de 3,11, la somme |
sera le log. vulgaire de % ; ou bien ayant trouvé le log. hyperbolique de X , |
on le mu tipliera par le module et l'on aura le logarithme vulgaire de Æ. |

Pour faciliter ces sortes de conversions , j'ai joint une table du module et |
de ses produits par les nombres depuis 1 jusqu'à 100 ; elle sert à convertir les |
logarithme hyperboliques en logarithmes vulgaires. Une table semblable du |
réciproque du module et de ses multiples sertà passer des logarithmes vulgaires
aux Jlogarithmes hyperboliques. | |

Au-dessous de chacune de ces tables , on en voit une qui donne les.produits
des mêmes nombres avec 70 décimales , par les nombres depuis t jusqu'à 9. |
Les vingt premieres figures de ces produits y sont sous-entendues , il fuut les |
prendre duns lu table supérieure ; ainsi pour avoir le produit du module par |
7 , je trouve 3,04006 13733 22762 79355 dans la table supérieure , vis-à-
vis 7, et dans la table inférieure 79024 32416 etc. le produit du module

7 est donc 3,04006 13733 22762 79355 79024 32416 23557 etc. Ainsi
des autres.

ExsempLz. Qu'il soit question de convertir en logurithmes vulgaires
1,14472 98858 49400 17415 , j opére ainsi.

pour 1,1. « . « «+. + «+ « o 0,47772 39300 93577 01041 6
pour 0,044. « . . . . « «+ + « + 1910 89572 03743 08041 7
POUT 0,00072. « + à « « + + + » + + o 31 26920 26970 34131 6
pour 0,00000 g8. ............ 42560 85922 66186 8
paur 0,00000 0085 . . . . . . . . . . . + + 369 15050 96177 6
pour 0,00000 00008 4 . . . . . . . . + + … + 3 64807 36479 9
pour 0,00000 00000 0g4. . . « + + + + + + + + + o 4082 36813 o
pour 0,00000 00000 00000 17 « + « + « + « + + + + + 07383 o
pour 0,00000 00000 00000 0041 . « + + + + + + + + + + 178 1
pour 0.00000 00000 00000 00005. . . . + + « « + «+ « .. 29

S. I. h. 1,14472 38858 49400 17415; L.v. 0,49714 98726 94133 85435 5

On convertira de même un logarithme vulgaire en log. hyperbolique.

L. nŸ nŸ

| La formule n = 1 +2 + (L:7) + Ar)
| x 2 k 2.3.k

| ployée avec avantage pour trouver avec beaucoup de figures le nombre cor.
respondant à un logarithme donné.

+ etc., peut être em-

-USAGR DES TABLES APPROCRÉES. 107

Soit par exemple , 0,49714 98726 94133 85435 un logarithme vulguire |
dont on demande avec YA Égures Je Sombre correspondent, F

Des cinq premieres décimales du logarithme donné , j'ôte 0,00432 ( log. de
101 ) il reste 0,49282 ; je cherche dans la table I le logarithme dont-les cinq
premieres figures sont le plus prochainement moindres que 0,49282 ; ce lo-
garithme est 0,49276 03890 26837 50555 ( log. de 3,11 de j Ôte ce logarithme

u logarithme donné , il reste 0,00438 94836 67296 34880 , je cherche dans

Ja table II le logarithme le plus approchant de ce reste , |
C'est 0,004358 58681 74054 30961 ( logurithme de 1,01015); Je l'ète de
0,00438 94836 etc. Il vient pour second reste
0,00000 36154 93242 03919 — L. n. :

À l'aide de la table pour convertir les logarithmes vulgaires en logarithmes
hyperboliques , je multiplie L. # par = , enfin , j'opére comme il suit.

1,00000 83249 80842 94014 4

0,00000 00000 34652 653o1 5

« + + + 0,00000 00000 0Y000 09616 1

Somme . . . R— « + « + 1,00000 83250 15495 68932 (
Effectuant le produit 3,11 X 1,o1015 X n, il vient 3,14159 26535 89793

23846 3 , c'est le nombre correspondant au logarithme donné.

Si le logarithme donné est hyperbolique, l'opération sera plus simple, parce
( L.n )
1.2.0

qu'alors la formule précédente devient 7 = 1 + =0 + Enr

+ etc. |

Soit par exemple 1,14472 98858 49400 17415, un log. hyper. dont on
demande le nombre. Je le prépare ainsi : j y ajoute 46017 01859 88091
36804 ( Log. hyp. 100 ) j'ai pour somme 174990 oo718 37491 54219, je
diminue par la pensée la seconde décimale ( 4) de 1 , parceque L. h. 1,o1 =
0,00995 ou 0,01 à peu près , et je cherche dans Îa table premiere le log. hyp.
le plus prochainement moindre que 5,73990 etc. ; ce logarithme est

5,73979 29121 79234 13420 , je l'ôte du log. préparé , il reste

0,01010 71596 58257 40799 ; j'en Ôte

0,01009 88346 77414 46785 (log. hyper. de 1,01015 ) qui dans Ja table |}
II est le plus prochainement moindre que 0,0101071 etc. j'ai pour deuxieme
reste 0,00000 83249 80842 g4014 = L. n ; maintenant j'opére ainsi:

1i+Ln —=......... 1,00000 83249 80842 94014

(LaYÿ =... . 0,00000 00000 34652 65302

3 2
‘(L.n) — 0,00000 00000 00000 09616

Somme n —.... 1,00000 83250 15495 68932
Le nombre cherché est donc le produit suivant

LL X 311 X 1,01015 X 1,00000 83250 15495 68932 — 3,1415.. .

100

92653 58979 32384 63, comme ci-dessus.

Après les tables des log. vulgaires et hyperboliques avec vingt figures, il
en vient d'autres qui donnent , avec 61 figures , les logarithimes vulgaires de
tous les nombres naturels depuis : jusqu à 100 et de tous les nombres Fre-
miers depuis 100 jusqu'à 1100 ; elles sont tirées de celles de Sherwins. Les
dix premieres décimales n'y sont point exprimées , il faut les prendre dans
la ible premiere où les log. des mêmes nombres sont avec vingt figures. Un

108 USAGZ DES TABLES APPAOCHÉEZS.

n
table en regard de celle-ci donne avec 48 décimales les log. Eyp. des mêmes EX
nombres , elle est extraite des tables de Schulze. Après les tibles Schervwrins BA
l en vient une petite qui donne avec 61 figures les log. vulgaires des nom-
bres depuis 999980 jusqu'à 1000021 , elle est aussi dans Scherwins ; j'ai cal-
culé avec 48 figures une table des log. hyper. des mêmes nombres , elle est
en regard de celle-ci. À l'aide de ces tables et des deux formules précédentes

on peut résoudre ce probléme.

Un nombre quelconque &ant donné, trouver avec 61 figures son loga-
rithkme vulgaire ou avec 48 figures son logarithme hyperbolique et récipro-
quement.

1. Cas. Si le nombre donné est un entier moindre que 1100 , abstraction
faite de la virgule , s'il y en a ; ou il sera simple, ou il sera composé ; s'ilest £
simple ou premier , ou le trouvera dans la table premiere et à côté son lo-
garithme ; s’il est composé, on le décomposera en ses facteurs simples : la som-
me des logarithmes de ces facteurs seru le log. cherché. Si le nombre donné

1 est décomposable en facteurs moindres que 1100, quelque grand que soit ce
nombre , On aura son logarithme , en ajoutant ensemble ceux de chacun de }
ses facteurs.

2. Cas. Si les six ou sept prenmeres figures du nombre donné forment un
nombre compris entre les limites 999980 et 1000021 , on se conduira comme
dans l'exemple suivant.

On demande avec 61 figures le log. vulgaire d’un nombre de 61 chiffres ,
tel que celui-ci : 0,99999 76615 70471 49174 39022 73764 etc. , je fais
n + À ñ = 0,99999 8
et n— An — 0,99999 76615 7047 etc. . d'où je re
À # = 0,00000 01692 14764 2 etc.
n — 0,99999 78307 85235 7 etc.

An
—— = 0,00000 01692 15131 2 etc.

8
je prends aussi les valeurs des trois termes suivants, Car» , Land ,
n =

9 : :
; quant au cinquieme terme CA 2) , iln'influe pos sur la 61°=° dé-

An)"
3 3

(any
7m 97 |
cimale. Ayant fait une somme des quatre premiers termes de la série , je la
multiplie pur le module et j'ôte le produit de L. (æ- A7) pris dans le tmble
II ; le reste est le log. du nombre Han (n— An). S'il s'agit du log. hyp.,
Je ne prends que les trois premiers termes de la série , j'en fais une somme,
que j'ôte de L. h. (7+- An) ; le reste est le log. hyp. de #— An. |

3. Cas Siles six premiers chiffres à gauche du nombre donné forment un }
nombre décomposable en facteurs moindres que 1100 ; ayant divisé le nom- È
bre donné par ses six premiers chiffres , on cherchera le logarithme du quo-
tient comme au second cas ; on ajoutera à ce logarithme celui du diviseur et
l'on aura le logarithme du nombre donné. Si les six premiers chiffres du nom-
bre donné forment un nombre qui augmenté ou diminué de l'unité se trouve
décomposuble comme ci-dessus , on trouvera de même son logarithme.

ExrmpLzz,. Soit % — 3,14159 26535 89793 23846 26435 ES etc.
j'observe que 314159 + 1 = 314160 — X3X5X 7 X 187, ou parce”
que le dernier chiffre est un zéro , je prends 3,1416 = 1,68 X 187 pour

iviseur de 7 et j'ai pour quotient 099999 76615 70471 49174 etc. je
che , comme ci-dessus , le logarithme de ce quotient , je fais une somme de:
ce logarithme, de celui de 1,68, et de celui de 1,87 et j'ai le log. demandé. En .

USAGE DES TABLES APPROCMÉSS. 109

faisant ces calculs , me contente d'indiquer , on trouve que le log. d
rapport % de la circonférence au diamétre "i vo que le log du
0.49714 98726 94133 85435 12682 88290 80887 36516 78324 . . +
e + «+ + + 38044 24461 34053 6
et que le log. hyp. du même rapport X est
1.14472 98858 49400 17414 34273 51353 05871 16472 94812 916

ne — +

4. Cas, Si les quatre premieres figures du nombre donné forment un nom-
bre compris entre 1000 et 1019 . on prendra 1°. Les quatre premieres fi
1 du nombre donné. 2°. Une puissance de 10001 marquée par le 5e chiffre du
nombre donné. 3°. Une puissance de 100001 marquée par le 6e chiffre du
même nombre. On fera de ces trois nombres les facteurs d'un produit per le-
quel on divisera le nombre donné. Les six premieres figures Eu quotient de
cette division seront comprises entre 80 et 1000021 ; ainsi l'on cherchera
comme au second cas, le logarithme de ce quotient ; ajoutant à ce logarithme
celui du diviseur , on aura logarithme du dividende ( du nombre donné )

Nota. Le logarithme du diviseur équivalant à la somme des logarithmes de

ses facteurs , on les trouvera au moyen de la tuble suivante.

mm

ee ee ee me ee ee +

pm. e.

Nombres Facteurs Nombres

|
composés composés Facteurs
| 1001 | 11 X 91 1011 3 X 337
1002 6 X 167 1012 | 23 X 44
1003 | 17 X 59 1013 1 X 1015
1004 4 X 251 1014 | 15 X 78
ù 1005 | 15 X 67 1015 | 29 X 35
1006 2 X 503 1016 8 X 127
too7 19 X 53 1017 9 X 113
1008 12 X 84 1018 2 X 509
1009 1 X 1009 1019 1 X 1019
1010 | 10 X 101 10001 | 73 X 137

Quint à 100001 , on le trouve dans la mble I I avec son logarithme.

Exs=mp»1zLes. Soit le nombre 10173 21867 1 etc. J'effectue le produit
1017 X ( 10001 ÿ X (100001 }”. il vient 10173 25476 7 etc. Je divise le
nombre donné par ce produit . le quotient est 99999 64508 etc. À yant trou-
vé le log. de ce quotient comme au second cas , je fais une somme de ce lag:
de celui de 1017 , du triple de celui de ( 10001 ) , et du double de celui de
{ 10000: ) ; cette somme est le logarithme du nombre donné.

5. C1. Si le nombre donné n'est dans aucun des cas précédents , on le
samenera au quutrieme cas , en le divisant par ses deux ou ses trois premiers
chiffres.

Exsmp»Le. Soit le nombre donné 517,24879 38507 6 etc. Je le divise
| par 51, j'ai 10,14213 32127 6 etc. que je divise par 10,14 X ( 1,0001 )
| X ( 1,00001 ), il me vient 1,00000 03639 36 etc. Ayant trouvé , comme

» +
de ee UN

au second cas le log. de ce nombre , je fais une somme de ce logarithme , de
celui de 51 , de celui de 10,14 , de celui de 100001 et du double de celui de
10001. ; cette somme est Île logarithme du nombre donné.

Si l’on s’apperçoit que le nombre formé par les quatre premiers chiffres du
nombre donné soit décomposable en facteurs de deux ou trois chiffres , on le
divisera par ses quatre premiers chiffres à gauche. |

0 USAGE D£Æ£s TABLES APPAOCHÉRS.

Exr MPLe. Soit 2,71828 18284 5g045 265% etc. le nombre donné, E |
je vois que 2,718 est divisible par 2 et par 9, qu'il est le produit de 1,8 par

1,51, je divise donc le nombre donné par 2,718, il vient au quotient
1,00010 355 etc. , que je divise par 1.0001, j ai pour deuxieme quotient
1,00000 35583 59226 2688 etc. ; le nombre donné est donc le produit des
quatre facteurs 1,8X 1,51 X 1,0001 X1,00000 35583 59226 2688 etc. Ainsi,

cile de le décomposer en facteurs qui se trouvent dans la table premiere, ou
dont les six premiers chiffres se trouvent dans la table II. Passons au pro-
blème inverse.

Un logarithme étant donné, trouver avec 48 ou 61 figures le nombre
correspondant.
S'il est question d'un logarithme vulgaire , prenez ses sept premieres dé-

cimales et cherchez avec sept chiffres le nombre correspondant. À yant les
sept premieres figures du nombre cherché , fuites comme si ce nombre étoit

connu et qu'il falldt trouver son logarithme, c'est-à-dire, décomposez-le en |

facteurs , comme au problème précédent ; cette opération préparatoire vous
indiquera quels sont les logarithmes qui doivent être combinés avec le vôtre
et comment ils doivent l'être.

ExempLr. Soit 0,49714 98726 94133 85435 12682 8829 etc. le lo-
garithme donné. Je cherche le nombre correspondant à 0,4971499 ; ce nom-
re est 3,141593 , je divise ce nombre par 3,1 , j'ai pour quotient 1,01341
qui differe peu du produit suivant 1,013 X (10001 )* X ( 100001 ) ce gi
m'apprend que si de 0,49714 98726 94 etc. j'ôte la somme suivante L. 3,1
+ L. 1,013 + 4 L. 1,0001 + L. 1,00001 , j'aurai pour reste un logarithme
compris entre ceux de lu table seconde ; en effet , ce reste est
0,00000 06814 69025 61449 82928 64290 2340 etc. qui estcomprisentre
0,00000 04342 etc. et 0,00000 08085 etc. j'en dte le premier de ces deux
Jogarithmes , il reste o,00000 02471 74760 85834 26521 20347 5go4 etc.
Je cherche le nombre # correspondant à ce reste L. 7 , à l’aide de la formule
2 3
n=i+t de) L (Le)
k 2.k 2.3.K
| premiers termes pour avoir 7 avec 61 décimales ;

‘ ayant trouvé # — 1,00000 05691 53 etc. J'effectue le produit

3,1 X 1,013 X (1,0001 }* X 1,00001 X 1,000001 X z et j'ai pour résultat

les 61 premieres figures du rapport de M. Lagni ; ce rapport est .

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 . . . .
37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 . . . .
34211 50679 82148 08651 32823 06647 09384 46 + etc.

+ etc. , dont il faut calculer les nouf

J'aurojs pu me dispenser d'ôter du premier reste 0,00000 06814 etc. le lo-
garithme 0,00000 04342 etc. en faisant tout d'un coup L.nr — 0,00000 06814
etc. lu série n’en est pas beaucoup moins rapide et alors on a une soustraction
| et une multiplication de moins à fuire ; mais quand le reste en question ap-
proche beancoup de l’un des log. entre lesquels il est compris , il est avanta-
geux d'opérer comme ci-dessus. Reprenons le même exemple.

Ayant trouvé les sept premiers chiffres du nombre cherché 3,141592 etc.
je vois que 5141 — 9 X 349, je divise donc par 3,141 , il vient 1,o0019 ou
simplement 1,0002 ; ainsi du logarithme donné 0,49714 98726 94 etc. j'ôte

| L. 9 + L. 54 + 2 L. 10001 , il reste — 0,00000 49182 580 etc. Je fais
| — 0,00000 49182 580)6 25605 35865 5 etc. — L.n, et je cal :ule ainsi

le nombre ».

quelque soit le nombre dont on demande le logarithme , il sera toujours fa- À.

|

L

|
|

|
(l
l
|
| LI
|
|
[l
|

|

+

en.

USAGR DES TABLES APPARAOCHÉES. 111

1. « + « «+ + + — 1,00000 00000 00000 00000 00000 00 etc.
(L. ?
2 = 0,00000 00000 64124 50310 51778 98 etc.

2.
( L.n) ,

SAR == 0,00000 00000 00000 00000 06853 25 etc. .
2.3.4.
Somme 1,00000 00000 64124 50310 58632 23 etc.
L.n e
— = — 0,00001 13247 07775 93646 32366 13 etc.
(L.n ÿ
537 — 0,00000 00000 00000 24206 37529 81 etc.
2 .3.

LA SF Z ‘— 0,00000 00000 00000 00000 00000 02 etc.
2.3.4.

Somme 1 — o0,00001 13247 07776 17852 69895 96 etc.

prenant la différence de ces deux sommes, on a
n — 0,99998 86753 56348 32457 88736 27 etc.
multipliant ce nombre par 1000 20001 , on a
1,00018 86830 91306 34780 72726 47 etc.
multipliant ce dernier nombre par 3,141, ona
3,14159 26535 89793 23846 26433 83 etc. c’est le nombre cherché.
Si le logarithme donné est hyperbolique, on en prendra les sept ou huit
premiers chiffres , qu'on multipliera par le module ; l’uyant ainsi converti

en log. vulgaire, on cherchera le nombre correspondant à ce logarithme et
l'on achevera l'opération , comme ci-dessus.

ExemPLe. On demande le nombre dont le log. hyp. est

1,14472 98858 49400 17414 34273 51353 05871 16472 94812 916
Je prends les huit premieres figures de ce logarithme 1,14472 99, que je
multiplie ar 0.434329 448 ; le produitest 0,4971 499 qui répond au nom-
bre 3,141593 ; je le divise par 3,141, il vient 1,000188, ou simplement,
1,0002 qui differe peu de 1,00020001 : du logarithme donné augmenté de 17
fois celui de 10 , j'ôte L. 9 + L. 349 + 2 L. 73 + 2 L. 137 = L. 3141 +
L. ( 10001 }', il reste 13,81549 92332 56498 1676 etc. j'ôte de ce loga-
rithme celui qui dans la table 1 I en est le plus prochainement moindre,
j'ai pour reste 0,00000 06753 64224 63954 etc. — L.n. Je calcule # par la

formule r = 1 + L.nr + (La) + etc. Je trouve

mn — 1,00000 06753 64452 698 etc. Enfin, je multiplie 7 par 0,999988
X (10001 ) X 3,141 et j'ai 3,14159 26535 89793 23846 etc. C'est le
nombre correspondant au logarithme donné. J'ai ajouté 17 fois le log. de 10,
parce que :
5141 X100020001 X 999988 = 3,141 X1,00020001 X 0,999988 X (10)
Proposons-novs pour dernier exemple de uouver , avec 61 figures , la base

du système des logarithmes hyperboliques.

Le logarithme hyperbolique de la buse cherchée étant 1, je multiplie 1 par
le module ; il vient le module mème, et la question se réduit à trouver le
nombre dont le logarithme vulgaire est

0,43429 44819 03251 82765 11289 18916 60508 22943 97005 . . .
... 80566 65661 14453 78 : je procéde ainsi. Le nombre correspondant

. a DISPUSITION ET USAGE

CR Re ne Re ER —
_— = = =

| à 0,43429 45 est 2,71828 or 1,8 X 1,51 X sal *X 1,00000%

| 2,71827 99548 154 qui differe peu de 2,71828 ; ainsi du logarithme domié

1 0,4%429 44819 etc. j'ôte les logarithmes de 1,8, de 1,51 , de 1,0001€1

1! de 1,000003 , je cherche par la formule # = 1 + +- etc. le nombr |

| correspondant au reste , enfin j'effectue le produit )
1,8 X 1,51 X 1,0001 X 1,000003 X x et je trouve

2,71828 18284 59045 23536 02874 ‘71352 66249 77572 46928 . .

... 08355 51550 58417 2. C'est la bage des log. hyperboliques.
DisPOSITION ET USAGE DKS TABLES CENTÉSIMALES.

À ce qui a été dit relativement a la disposition et à l'usage des tables den
Po yes Fr a dix secondes , suivant la division séxagésimale , il reste peu {M
de chose à dire sur les tables des sinus de minute en minute, suivant la”
division centésimale. 1
HN Ces tables donnent de minute en minute, c'est-à-dire, de dix-milliem
J| en dix-millieme du quart de cercle , les logarithmes des sinus , des co-si”
| nus et des tangentes pour les cent nouveaux degrés du quart de cerclef
Î les logarithmes des tangentes des angles au-dessus de cinquante degrés ny
| sont point exprimés , parce qu'ils sont , à une dixaine près, | imenté
Îl arithmétiques des logarithmes co-tangentes de ces angles; je dis à une dis
| xaine près, parce qu'après avoir pris le complément arithmétique d'un logs
| co-tang, il faut ajouter 10 à ce complément pour avoir le logarithme de a ||
tangente dont laagiti ainsi pour avoir le logarithme tangente de 0,99204"
j'écris, 11,9007675 qui est le complément de 8,0992527 augmenté dero
On trouve F mice les logarithmes co-tangentes des angles dont la mesureest
| moindre qu'un demi-quart de cercle.

Dans les deux premiers degrés , les quatre prefieres figures à gauche des
| ithmes sinus et des logari Eh 5 I RE mg: ss «|!
[| colonne marquée Tan. , que les quatre dernieres décimales des log. tang.$ à
faut donc les faire précéder des quatre premieres figures du log. sin. corres
| t ; ainsi pour avoir le log. tang. de 0,0080 ; ayant trouvé 2527 vis-à-vis
| 8o dans la colonne Tang. , je prends vis-à-vis 80 , dans la colonne Sinus ,
| nombre P: 009 , je l'écris à gauche de 2327 et j'ai 8,0992327; c'est le log: tangl}
de 0,0080, Pareillement, pour avoir le log. tang. de 0,0057 ; ayant trouvé,
0065 vis-à-vis 57 et dans la colonme marquée Tan. , je devrois écrire 7 |
gauche de 0063, mais la tangente d'un angle étant toujours plus le que
{| son sinus, et le sinus artificiel] de 0,0057 étant 7,9519889, sa tangente doit
71952006, c'est-à-dire que dans ce cas, il faut augmenter d'une unité la qu&
trieme figure du nombre 7,951 et écrire 7,952 à gauche de 0063 ; dans cecas,
et dans tous les autres où cette attention est nécessaire, les quatre derniers
| fres du log. sin. sont séparés par deux points des quatre premiers,

1 1 [
L

Dans les cinq premiers degrés , les différences des log. sin. et des log. tax |
{| étaut trop inégules, à ces différences on a substitué certains logarithmes qui}
| remplissent le même objet ; chacun d'eux est le logarithme du rapport du sin
| ou de la tanjente d’un angle au nombre de minutes de cet angle. Ces logt
| rithmes étant ajoutes aux bulles des minutes er parties décimales de mi
nute des angles proposés donnent les logärithmes des sinus ou des tangentesde"
| ces angles. Ainsi, pour avoir le log, sin. de 0,009047, dans la colonne DS!}}
et vis-à-vis 90, je trouve 1054 , j'écris à sa gauche S198 ,)a16,1961054 ; je
| prends, dans la table des logarithmes des nombres , celui de 90,47, qui est,
| 1,9565046 ; je l'ajoute à 6,:961054 ; il vient 8,1526100. C'est le log, sin. de
| 0,009047 ; et pour avoir le log. tang. du même angle , ayant pris 1488 la
| colonne DT et écrit à sa gauche 6,196, j'ajoute 1,9565046 à 6,1961 et fai,
8,1526534 pour Je log. tang. demandé. en |

|

(|
{

LJ
à
:

— “— ——— = -

NES TABLES CANTESIMALES. LR!

Réciproquement , pour avoir en parties centésimales du quart de cercle, la
mesure d'un angle , quand on connoit le logarithme de son sinus ou de sa tan-
gente, il faut chercher ce logarithme dans la colonne Sin. ou Tan. ; sionle
trouve, on verra au haut de la page les centiemes et dans la rolonne M les dix-
milliemes du quart de cercle ; si l'on ne trouve pas le logarithme donné parmi
ceux de la colonne Sin. ou Tan. , on s'arrêtera à celui qui en approche le plus
en moins ; On Ôtera du logarithme donné celui qui dans la colonne DS ou DT
répond à celui où l'on se sera arrêté ; la différence sera le logarithme des mi-
nutes et parties de minutes demandées. Ainsi pour trouver l'angle dont le log.
sin. est8,1526100, je cherche dans la colonne Sin. le nombre qui en approche
le plus , c’est 8,150 479 ; le nombre de la colonne DS correspondant à ce der-
nier est 6,1961054, je l'ôte de 8,15261 00, j'ai pour reste 1,9565046 : lenombre
90:47, correspondant à ce logarithme, exprime les minutes et parties de mi-
nutes ; transposant la virgule de quatre places vers la gauche, on a 0,009047
pour la mesure du même angle en parties decimales du quart de cercle. Pa-
reillement, pour trouver l'angle dont le log. tang. est 8,1526534 ; j'en ôte
6,1961488 , j'ai pour reste 1,9565046 qui répond à 90,47 ; l'angle cherché
est donc 0,00g047 , comme ci-dessus.

La premiere ligne de chaque pese de la table des logarithmes des nombres
est destinée au même usage appliqué à l'ancienne division du cercle.

En considérant les nombres de la colonne N de chaque page , comme ex-
primant des secondes de l’ancienne division, le nombre S de chaque page est
e logarithme du rapport du sinus de l'angle, qui a pour mesure le premier
nombre de la colonne N , à ce même nombre. Par exemple, dans la page dont
le premier nombre est 2640 , on voit S. 4,6855630 , c'est le logarithme de
sin. 2640/ : 2640!/; ou , ce qui est la même chose , c'est le log. sin. de 2640!
diminué du log. de 2640// . On voit ensuite sur la premiere ligne V. — 0,91.
C'est la variation qu'éprouve $ pour 10/ d'augmentation ; cette variation est
négative, ce qui indique que pour chaque dixaine d'augmentation que reçoit
4 , la derniere figure de S diminue de 0,91 ou d'une unité , à-peu-près.
À droite de V.—0,91, on voit sur la premiere lig. T. 5986; V.+1,81. Les
quatre premiers chiffres de T sont sous-entendus, ils sont par-tout les mêmes
que les quatre premiers de S , savoir 4,685. Ce nombré,6855986 est le log.
tang. de 2640/ diminué du log. de 2640//. |

À l'aide des nombres S, V, etc. des premieres lignes de chaque page et des
logarithmes contenus dans les mêmes pages , on peut trouver facilement le
logarithme du sinus ou de la tangente d’un angle quelconque : il suffit d’a-
jouter à S ou à T le logarithme du nombre de secondes et parties de secondes
de cet angle ; la somme sera le log. sin. ou le log. tang. demandé.

ExsmpLe. On veut le log. sin. de o° 44 34/,7 ou de 2674/,7.
Type du calcul. |

S sos. . + + 46855630
L.2674,7.. ....... se... 3,4272751
Somme. L.sin. o° 44! 34/,7.......... + + 8,1128381

Il faut ôter trois unités du dernier chiffre, en vertu de la variation — 0,7
pour 10/ , qui donne pour 34/,— 3, à trés-peu-près ; ainsi le log. sin. de :
0° 44 34/,7 est 8,1128378.

Pour trouver le log. tang. du même angle , on opérera ainsi :
ss 4,6855986

l': Log. 2674,7.. . . . . . . ess. 3,4272751
Somme Log.tang. o° 44! 34/,7. . . . . . . + . 8,1128737

3]

Hi

14 . DISPOSITION ST USAGE k

© 2 f:

Il faut augmenter de six la derniere figure de ce logarithme , en vertu de la EK

variation + 1,81 pour 10”, qui donne 6 pour 54/,7 ; le log. demandé est BF
donc 8,1128743. ‘ \ :

Si le nombre de degrés donné contient en outre des centiemes de secondes,

on aura de même le log. de son sinus ou de sa tangente.

ExsmpLe. Pour avoir le log. sin. deo° 5g'17''»6, j'opére ainsi: Æ'

S. ..... esse . . + 46865536
L.(o° 59 17",46) = L. ( 3547,46). . . . . . . + + 3,5511400
Somme . . ... jésseeeeresse …..... 8,2566936
Variation pour 17”. ............ .... —3
Dif. L. sin. o° 59° 17/,46. . . . . . . . . . . .« + 8,2566934
et pour avoir le log. tang. du même angle , je procéde ainsi:
nero 46856175
L. (3557,46). ................... . 5,5511400 |
Variation pour 17"............,.. .…. +4 |
Somme Log. tang. o° 59! 17//,46. . . . . . . . .. 8,2367579 k
Réciproquement, pour trouver les degrés , minutes et secondes d'un angle, |
lorsqu'on connoît le Pogarithme de son sinus ou de sa te, on en êters |

le nombre constant 4,685 , on cherchera parmi les logari de la colenne

o , celui qui approche le plus du reste ; le nombre eorresponclant à cologe- LE
rithme sera , à quelques secondes d'incertitude, la mesure de l'angle cherchà; E -
et peur avoir plus particulierement les unités et parties de secondes de cet E
angle, on Ôtera du reste déjà trouvé les quatre dernieres figures de S ,. s'il h
s'agit d'un log. sin. ou les quatre dernieres figures de T', s'il estquestion d'un
log. tang. ; le nombre correspondant au nouveau reste sera plus précisément À .
la mesure de l'angle cherché.

| ExrmMPLae.
Qu'elle est la mesure de l'angle dont le log. sin. est 8,2366934 ?

J'en Ôôte 4,685 , j'ai pour premier reste 3,5516934 ; le nombre qui répond à- }
peu-près à ce logarithme est o° 5g’ 20//; c'est À deux ou trois secondes près À .
a mesure de l'angle cherché. Pour l'avoir plus approchée , j'ôte de mori Le.
mier reste , les quatre dernieres figures ( 5536 ) de S , j'ai pour second resÿe | À
3,551 1 308 ; le nombre cortespondant à ce logarithme est o° 59” 17/,4 ; c'éet |
l'angle cherche , à moins d’un dixieme de seconde. Pour l'obtenir à moins
d'un centieme de seconde , il est bon d’avoir égard à li variation — 1,21 qui
donne — 2 pour 17/; il faut donc èter — 2 du-deuxieme reste ou lui ajouter |
+ 2, ce qui le change en celui-ci 3,55114p9a ; le nombre correspondant à ce
logarithme est o° 59/ 17//,46, c'est la mesure précise de l'angle .

our avoir l'angle dont le log. tang. est 8,2367579 , j'en Ôte d'abord 4,685;
le premier reste est 3,5517579 , je le cherche parmi les logarithmes ; arrivé
à lu page , où se trouve celui qui en est le plus prochainement moindre,
j'ôte de ses quatre dernieres figures les quatre dernieres de T (6175 ) le reste |
est 3,5511404 ; le nombre correspondant à ce reste est o° 59/ 17,4. Pour
avoir les centiemes de seconde , j'ôte du dernier reste la variation résultante |
de 17/ d'augmentation ; cette variation étant de + 2,43 pour 10”, donnes
à-peu-prés 4 pour 17/ ; emin le troisieme reste 3,5511400 répond à o°. &g/
17/,46. C'est la mesure-de l'angle cherché. On se conduira de même pour |
tous les angles moindres que 3° ; ainsi la table des logarithmes des nombres |
peut tenir lieu de la table des log. sinus et tungentes pour les trois premiers |

t 0
| À
|

=

degrés. Revenons aux tubles centésimales.

Î

DES TABLRS OLNTÈÊSIMALEY.

Afin que duns chaque page on pôt avoir sous les yeux un centieme du quart
de cercle , on a rétréci les colonnes autant qu'il a été possible , ce qui a obligé
de meitre en huut et au bas de chaque colonne les deux premieres figures des
logarithmes sinus et co-sinus , mais ces chiffres changent et ces changemens
sont indiqués par des filets ; il faut donc y faire attention : s’il n'y a point de
filet uu-dessus du logurithme en question , on écrira les deux chiffres supé-
rieurs ; muis si l'on y voit un filet, on écrira les deux chiffres inférieurs. Je
trouve , par exemple , que le log. sin. de 0,0209 est terminé par 161881 ,et
qu'il ÿ a dans la colonne sin. un filet au-dessus de 161881 , j écris donc à sa
gauche 8,5 et j'ai 8,5161881.

Au-delà de cinq degrés, les logarithmes des sinus et des tangentes sont ac-
compugnés de leurs différences premieres ; ces différences ne sont pas bien
constuntes surtout dans le sixieme degré , mais les différences secondes sont
ti petites que, si l’on se dispense d’y avoir égard, on ne commettra qu'une
erreur. d'une unité dans la septieme décimale.

Telle est la disposition des tables des sinus pour la division centésimale ;
leur usage étant absolument le même que celui des tables de sinus pour la di-
vision sexagésimule , ce quie été dit sur l'usage des anciennes s'applique mot-
à-mot aux nouvelles.

A la suite de ces tables, vient unetuble de réduction qui sert à convertir les
angles de la division sexagésimale à la centésimale ; et réc'proquement. La
premiere portie de cette tuble donne en degrés et minutes les centiemes parties

u quart de cercle depuis 1 jusqu'à q9 ; la seconde donne en minutes et secon-
des les dix-mill.emes du quart de cercle ; la troisieme donne en secondes et dé-

] cimales de secondes les millioniemes du quart de cercle ; ainsi, pour ramener

aux anciennes divisions une fraction décimale du quart devercle , on prendra
dans la table pour les centiemes, pour les dix tailliemes et pour les million-

| memes du quurt de cercle ; les degrés ; minutes et secondes correspondants ;

|

on ajoutera les trois nombres donnés par cerie table ; la somme exprimera en
, minutes , secondes , etc. ,. la valeur de la fraction donnée. Si l'on a

| des parties moindres queles millionniemes , on prendra la valeur de ces par-

[tes , comme si c'étoit des millionniemes, mais on transposera lu virgule d'au-

tant de places , à ganche , qu'il sera marqué par le rang qu'occupent dans la
site décimale les Parties A question. Ce rang doit êtes compté à partir des
millioniemes. |

Ex=mpPzs. Soit la fraction décimale 0,97638249789 : j opére ainsi :

Pour 0,97 . . « . . ss. 87° 18’

pour 0,0063 0 ee + e +: . ee. 34 3/7,
| pour 0,0000 82................ .. . «+ 26,568
] pour 0,0000 0049......,..:.. os 0,15876
| pour 0,0000 0000 798 .................. 0,00252 72
| pout 6,0000 0000 00g . . . . : . . . . cs... 0,00002 916
| 09 9
Somme 0,9763 8249 789 = ee de °° 87° -52" 2792931 636

Les trois derniereé parties de la même tuble servent à évaluer en décimales
du quart de cercle les Eegrés , minutes , secondes, etc., de l'ancienne division.
Les degrés réduits en décimales étant exprimés par des suites infinies de chif-
fres qui reviennent dans le même ordre et qui forment des périodes d’un scul
chiffre , la tuble n'offre que la premiere de ces périodes ; on y trouve , par
exemple , que 25° valent 0,27 , il faut lire 0,277777 etc. Les minutes formant
en décimal es des périodes de trois chiffres , et les secondes , des pério:les de
neuf chiffres qui reviennent constamment dans le même ordre , la tuble n'of-
fre que lu premiere de ces périodes ;:il faut donc-ÿ suppléer, comme ci-dessus.

ExsmPLs. Soitle nombre 87° 52! 27/,92931636 à évaluer en parties
dicimales du quart de cércie ; j opére , comme il suit :

_18

me ce

116 ° DISPOSITION BT USAGK, eîc.

—

Tr IN
Somme 87° 52’ 27/,92931 636 — o,97638 24978 go000 00000 000
ou 0.97658249789 en se bornant à 11 décimales. I] est rare qu'on ait besoin

| pour: 87° .............. 0,96666 66666 66666 66666 667
pour 527 ......... +. « - 0,00962 96296 29629 62963 963
pour 27" ........ .0,00008 33333 33333 53333 533
pour... 09e. + 050000 27777 77777 77777 778 ||:
pour «+ + 03029. + « «eo 0,00000 00895 06172 83950 617
pour « . + « + + 0,00031 . , . . . 0,00000 00009 56790 12345 679
HN pour...... 0,00000 6. . ... 0,00000 00000 18518 51851 852
pour ....... 0,00000 036 . . . . 0,00000 00000 o1115 11113 21
[Ü

d’un tel degré d'exactitude : le plus souvent il suffit d'opérer , comme dans
les exemples suivans. |

Soit 01374195 à convertir en degrés , etc. ; J'opére ainsi : |

pour 0,97... 33° 18’ |
pour 0,0041 . . . . « « « ss . 22 8,4 |
pour 0,000093 . . . . + + + + « « + + + + + + + + + + + .+ + 30,182
Somme 0,374193.................... 33 40° 38,532
Soit 33°40’ 38//,532 à évaluer en décimales du quart de cercle ; j'opére ainsi
pour3%® .............. es... a 866566 6667 |
pour 4 sos « 0,00740 7407 À
pour . .. ... 38 ................. 0,00011 7
pour... 0,93... + 0,00000 1
Somme 33° 40! 38/6532 — ......... « + + + 0,37419 3000

Cette table de réduction est précédée par un supplément à la table centési-
male, où l’on trouve avec quinze figures les sinus naturels et leurs logar. |
our chaque millieme du quart de cercle : (les cinq premieres spigures des |

A ar. sont sous-entendues ; il faut les prendre dans les tables tes).
Elle sert à trouver avec quinze figures les sinus naturels, ou Les log.-sinus
des angles quelconques, ainsi qu'on va le voir par les exemples suivans.

a”
©
=
es
9
8
D
2

” 2. C m
On demande le sinus nature] de 0,021 13 : je fais 0,021—- et 0,00013 4",
n n

Type du calcul.

Sinus 0,021 , pris dans la table . . . . . + + + 0,03298 07409 14681 |
aÂm |
esse. ‘ + + + + 20 42035 22483

cAÂm 6 3 - -

TX ($m +iom Amen)... 10200 |
CE
Somme..........,......... 0,05318 49444 47554 |
25 (5m +5mam+ Am). ss se ee ee» 1117 88543 |
EE
Différence. . . . Sins 0,02115. . . . . . . . 0,03518 48326 58

Proposons-uous pour second exemple, de trouver le cos. du même angle.

Type du calcul.

Cosinus 0,021, pris dans la table, . . . . . . . 99945 59873 89502
B _ (4m ec". ss sous nes. 12 32991

= = mm af

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«
— —mflmt… —. en — D. =

te D RSS RE = a S- . | LLES

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Rs = æ

Le ne

MGR Am) rc 9]
RE mn D RU ot Lo Dé

|
Æ Le |

Son Ds era rot es ser, à Gin il
dc due, ttes es +. + 09944 92317 67885]

| C'est le cosinus naturel de 0,02113, On trouvera de même le log, sin. et le)
log. cos. d'un angle quelconque.

Îl Pour faciliter les multiplications qu'exige l' tion des formules A P, |
1! AQ, etc. ; volei les aths cles des c0-efB RoBEe À à B , etc. a, b, las
| F2 pQ me. (Le oi ee vigule sont plc eur

m°

| 3
Sinus. ES TS. EE 0 à + etc.
| 2% nn d 5 a

99
o

F\o35988 43a35;a1
2 flo7:g76 or |
3 fl107965 2970564

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Vs» 1776. . Page 118

ARENTE A LA DISTANCE VRAIE.

diff. _ 9.5259893 log. sin. À
A 19° 2 4 1°

ue 8e LE Fr, .... os
diff. o° Q/ OO. «+ + - « 2,7545483

diff. à % 48 conplém. arith. 6 29

log. de l'heure à ajouter, . . . . . . 3,081a2

! heure. . ee. 0e 0 0 ee 0 0 4 ee ee 0e © «€ Oo 20! 6!’
beure de la distance précédemie, . . 15 9 16

beure de Paris lors de l'observation, 15 29 22

DECLINAISON DU SOLEIL. “+

10 Février à midi, . . . . . . . . 14°22’37/ Sud.
1 àmidi,........ 14 3 o
ér. en 24 heures, . .. . . . . «+ — 19 37
heures : 15" 29/ * 19° 37° .

hpl. arith. de 24", 6.8416375

arith. 15* 29. . . . 2,9680157

arith. 19’ 37°... . 3,0707765

hme, . +. + + + + + 2,8804297
Fér. en déclinaison, ... . . . .. 12 39 x"
*linaison cherchée, ........ 14 9 58 CE
jtance polaire, . . . . . « + + + + 104 9 58 a

4
TABLE
| DES
OGARITHMES
D KS. |

NOMBRES

Depuis un jusqu'à cent huit mille.

Tirage 1825.

ER 9 —— —————————

CHILIADE I.

S. 5748 ; T: 5750 s. 5748 ; T. ot

— 0.05; +009 || —007; + 0.13

Log. O' ||" FN. D ra

rar |o8a 181125767857

[a 61/7853984|| | 7So8s

re) | Sn] lobe |'Bcéde
4160205099 | | 12409 4169 184/ 26481782
5 |6y#y7000l 6 3 [81291336 | 125 y6groo1 185/26717173]
al | Cabst] |uhetal | las
8 lu0 308gu: 64 83250891 13 10720007 188 27415785
9 05 4242 r | 6y| 43

884 r20|14 1 89 27646180
10/00000000|!! [01 70 84509804 129 PELLE 190/27875360|

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16/1041 1908 6[88081359 136113353801

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1825527201 1387 909

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27 da 3268 La 18228834 |

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ET 31
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d25 |

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TABLE I.
Logarith. Hyp. N
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Logarith. H ÿP-

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5.41610.04022. 0.{faû. 13199

5, 42053. 49992. 72245.87800
5, re 3. STE S1402.679%01
5. dau. ptet à Sid io. 7707.{
5.4347. a00 9).

37.482

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| 5:44673. 74716. 60300. 95314

5,45103.44533.65700.
5 45532. 11153.57701. 42826

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2.093651. 37424. 7889

79
2.y3701.61074. 6481. 21935 |

2.937%1. 78920. 17346. 6379t

| 2.0380r.90974. 76210. 24438

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2 y4ior. 42437.05360. 72037
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| 2.944486. 26721. 50168. 62639

d-120.(7.9127 {
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TABLE I.

- 23196, 16429 |
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93 7164

2.y4094. 32706.y7825. 4323

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2.948.{1. 20637.786a1.o1y74 |

2.948400 17600. 7oa r 4 C9 16

2.94939. 00066. 44g12.78#472 |
2.94987. 77040. 36874.7909 |

2.495030. 48543. 76123. 06 ga

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22 Tire 02917 07077
| 2.951682.

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2.09379.090917. 33228. 76700

| 2.95$a4 23094. 3932 1.57499 |

| : DER. 28485. ar

Logarithmes.

2. 154 2. À oÛ2. 0741
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2.953568. 77503. 13505, 79441

2.956064. 65792.05203, 31508

ELA LS LA Lot 6938
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5. 11053

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Le Net

a. i) 1957. 1.419757
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| 2.96378.78273.45555.26930 |

| Eu RATER € VS 2205

2.096473, 09210. 533629. 34o2y

| ».95616,84304. 75363. 30644 |

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2.096567. 19712. 20106. 699 18
a. 466 14. 17527 39032. 60638

a. 96661, 09866, 81934. 330
2.06707.97341.44497-07 7È
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2.946801. se tre LE D
2.968458. 29485. 53935. 11696
2.968094. g680g. 8 1342. 6aaoqû
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2.970131. 68762. 30093. 35830

| 207081. 16108.72517.7740ù

2.y71a7. 59487. 38105. 229 4 {
2.97173.0990908. 87774. 20303
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2.075809. 11364.017092.76237
a.0701 i. Qu7Qn. oda271. 41879
a. jrÜ8n, 84373, 38066, 25572

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| 2.097954.0

| 2.08

| 2.092927. 12330. 3

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2.981 36. 53090. 785.ff. {1531
2.081281. 8Go7e. 70000. 5oquzs

—

50. 31456

| 6, 75460. dngg

| 6.77074. 42309-08979

Logarith , Hyp.

13450. 1650909.72948. 05437
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6.739393. 66273. 37173. 84671

6.74051.93596. 06223. 17903
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6.74288.06357.91903.07181 |
| 6. 74408. q1863

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6. 74758. 65268.29315.7315

| 6.74875.095474.9167g- 11795
6.749093. 11 88568, 86327

| 6.793.416. Gr 325.

7.
6.75110. 148 36760.a1740

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6.763848. 49085. 62495. 1 56 1 À
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6, 76619. 17146. 60350. 6987
6.767331 31259.65392.03823
6. 76844. 32 116.48629. 40260

6.760961 14768. 5250. 79572
7" Et 62863
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6.770072. 1y074. 72292 19633

6.781705. 7062509. 36:79. 50836

6. 7h y. CRU LE Jura fa
6.783432, 52006. 0 bo. or 352
6.748445. 70faû, 37043. 435 1.4
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11347.31604

860 | 6.75693.23802. 47553. 41691

6.798784. 49823. 009579. {yo4o

6. 78H97. 17420. Gar7o,

fon |

6. 70000. 72395. 139041. 57815 |
6. po a 14627-26185. 52234 |

6.709234. 44974. Hs te

| 6.70498. 65808. 76199. 0d6N

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6.707091. 04 rag. 74930. 47103
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6.Sora8. 303 14{ 7162027311
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6.705670. 57791.73514. 14140 |
| 6. 7ÿ680. 37182. 74855. 37078

————

TABLE I.

N | Logarith, Hyp. |

A.
| 6.

| 6.583625. 927

| 6.8: 4

| RQ CE ; FE |
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4.0573
6.805792. 25534. 16985. 4 1097
f. Lt Es à #3
9436. 909926. 121 44

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6.81 124. 43786. 01291.

6.811234. 50941.77478.8

A
6.81344. 45095. 10895. sd
6.R1454. 28972. 59958, 32094

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| 6.8x 3 3B0S. 94908 46754

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6.863087. 4a3.(6. 461709. 38350
6.831095. 35655.65855. 15356

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6.83410.87988, 1 3836. 51729

6.843518, 45861. 4730, Gai 34

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| 6.838440. 52008..173413. 82559

6.830.{7. 64382. 28442. 6209
6.84054.6529n. 88686. yyñyr

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6.81587.98752. 64049. 38oa6

6.846904. 31305. 8539709. 63 {81
6.84800. 527.15. 76362. 094.

44:92. 18780 |

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| 6.859û

6.85.(35. 45029. 55021. 80{{0

51363

6.85540.87986.00927. 46515 |
5.91388

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136%. 31 6x
1. 49036. bre 11224)
6. 86066. 307 à 4. 4#aRG. 5263
6.861712. 1 340.4. 807 %0. 21745

6. 86275. sr 28580
fi. 86380: 3 y14. 52934 2630 {
6.46484.77770. 70860 5 1153
6.865489. 10748. 83138. 220 (a

6.466y3.325.11.61881 or150 ||

TABLE L

A —— ———————— — __—— ……—……— ———…—…"…"…"…"—" —_—… … _— — —…_…_—_—_— ………-.… —_… _ - < —…—) = = -

Logarithmes. [N.| Logarithmes,
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968 | 2.098587. 53873. 08 3.66714 “ | 102 3. 01199. 31 31.46 397 Eure
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|
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ttdg. 6937. 11ar.{ 20095 | U8N56. 72207. 07509 | Y7725. 54878 | 193212

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1152. 35504. 34642. 8o{70 | 98853. 79030. 22597 | 97719. 75258

1y3r1q6

| 1253. 32358. 13673. 03 [98852.813 10. 47339 | 97727. Baoûa 193739

1154. RE Sr à AV. | U6%951.83592. 63277 | Y7715.88873 | 103186
1155. 30062. 78576. 15683 | Y#N5o. 85876, 76404 | Y7713.95687 | 193177
1156. 28913. 64452 g2097 | 98849. 8816. 80717 | 97712. 02510 | 194173

OR ROOT RTE Dir 7 2000 1 55 | 193152
1161.23153. 28160. 02271 | 988.14.9962r. 6 Lo 2 ro3r43 |
1162.21998. 27788. 02107 | y83.{4.01919. 63133 193139 |

1163. 20449. 29707. 65240 | 98843 ofa 19. 19573 | 97608, Saga | 193134
1164. 19685. 35gaû. 84813 | y8842. 06520. 61 Sa 97696 #7agn [193728
OR NAR ADM 205 | 98841.08824. 1 1N62 | Y7691. 64 1ba | 143120

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171.115 59. 9 re À Éer Égholrine pet de 1930N7
1172. 10394. 506096. 486a

| 98834. 250072. 1: 8069

IN a

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193081 |

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TABLE IIlL.

|
[|

-.2208

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17 | Ohuy1916.08823. 40384 | 53035. 1911217548 | 53040.96018 | 1.22134
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19 | 04.375686. 8808871498 | 33036. 19108. 31718 | 53043. 40288 | 1.22137
00020 0j. 60623.07284{. 03216 a3046.72238.7300û | 5I044.62{25 | 1.221242 |
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aa | 02.000y7. 041806. 09633 | 5454 783429. 18998 | 5dlo{47.oh711 | 1.221 46 |]
a3 | 09.2y731.83135. 28651 23038. 31 376. 25709 53048. 24857 | 1.221591
A4 | 0252773. 14511.54360 | :3039.64424.54566 | 5309. 51006 | 1.221454 |
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26 | V5-98851. 56 310. 14500 | 23030 0824 08783 53051. 9531 1.22158
27 | V6.210ÿ1.20954.93243 | 530. 13576. 74018 | 33093. 19473 | 1.221614
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a A —

23057. 41884. 38120 |

53092. 28015

TABLE Ill.

| L. H.

Nombres 1,0
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vor 00420. 9.063. 1280

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CH hd.

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on 00840, 61484. 01083

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| 004.4. 0oy68. r{ 198, 8951

| 0045.01012.65189. 20875

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EE

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G0A7. 01624. 8068

B4
lo58 01682. 32524 da4{a
[0059 01740.84234. 88283

N i

Différence I.

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| 100005. 50015. 16695
| Loménat ie dt ou
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rovoas, 50231. 18324 |

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100025. 50325. 19131
lrooovÛ. 5051. 19770

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10002$. 5040, 20526 |
| 100029. 50435. 209.7

r00010. 5016.21 3%4)7 |

100031. 50.06. 21N78
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TABL

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E L'II.

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= ——-—

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Alors,

6 | or 56.

TABLE IIL

Nombres.1,0

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lo1%7.
o15À.
| o1 Sy.

a16o, RE + B2074
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o16a. 13190 08875. 07 115

Lo163. y 1 2085. 39248
s 5, n

o164. 134 5158.846073

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108 LT 19.

-1605.{
-023{1

lor65. 1178) té
5588
3

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TABLE I. des logarithmes hyperboliques à 48 décimales.

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N. | TABLE. I. Logar. hyper. à 48 décim.

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TABLE II. des logarithmes hyperboliques à 48 décimales.
| Logarithmes. .

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13.81549 65578 66273 18943 16779 53873 46364 1a140 19122 509.
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54 deg. 46 deg.| 54 deg.
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73752 31573 58174 | 78485 5oug | y74ÿo 5107 | 0. 52

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72465 31301 87047 | 09523 4734 | 01725 0yÿy3 | 0.51:

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71043 107y8 4y813 07029 8744 | 19520 4670
70932 47295 72274 | 63304 38 Sort 5027
70821 66291 06476 | 17412 88.45 | 61198 8663

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46 deg.

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Pour convertir les parnes décimales du quart de cercle en deg. min. et sec.

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Pour convertir les de mi. et sec. en parties décimales du quart de cercle.

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-_— — = — où ——— ds

.#

h53/183/a14la44la7s
Lrdolaa x aa la
1ÿ A3

a GS lauss a35la68 | on

lidalr78lar3ladola84|3a0 ||

HA laivylasülagalg
21150184 es 263] 300! 334

161a54/193ladrfarol 308! LT
[158/1y8|a37/a77|316/356 |

a

1 1ÿ4/243 ag 340| 388 |43- |
[1981248 2971547] 396|446 |

3 /16y{aa6la

160/a141a6813211375|428|482 |
163|a18|27313a7|3821436|4gr

8/333/389/444/500
& 330! 396 |452 _e
172|a30/284| 345403 |4fo) 51

175/231/293/351|410/468 He
1781238 2941357 di7|476|5

1145 508 5
3871452/516| 581

5a4!590
33a 599

rdrlarrfasal359/4a3 401196116345 |

rd3l214/a861354 ay Sor [572644

15/27 /agol 3631435508 1580 653 |
147/220la041364/41115:51588/66a

idglaa3lag8|3731417|522/596/67 1

6041680 |

1571235)

159[ 238)

382 |4781573
#0[386 148315

“Tables des parties proportiomnelles,

— | — —— | ——— | —— | —

; 11051158 l210l26341316!368 | {ar 474
ro7laGilardla68l 3291375 429183
rog!164/218/273[328)382/437 |4ga

— "| | | = =— me —s | ———s“|——_— |

Galra3l185/946/3084/[370| 41 4931555
Gala25188/250!413 376438 501 1564
63lua7|rgu|a5al418 la 445509 | 57:
Gd|rau|r194/258/3231388 | 45al5r7

131/ro7l26a/34l3o41l 4 525 |59t
1332091266 333 RMS IEAEA {|

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1081130151] ;
go|113 1361154)
gd|118/142/165
98|123/146/17

102|1281154/179/205|731
106|133/160! 1 4Glas 3240 ||
110/134/166{1ÿ3lanr 249 |
Â114/143/172/500!120l253
118|r48/178/207 237 /a67

ra6l 154/rgofan1/a53/348
130/163/146/228/56 1 lou
134/168/202/235 aG6y!303 |
1538)173/208la4ala57) 310 ||

n7|lidalrzAfar4|249/a85!%91

146/183/220/2 M)31 3%:
A1150/184/226/263/%0 | 33)
11194 y a3al/a70| où! 31

311251606208 /250/2911333135 ||
l128/170l213/256lag8l34 1 1384 |
131/174|a18/262/305|349| 303
11934/178(223/269/312/357|40a |

137/18alan8 274 3193654 r1 |
1401186/233/240) 3a6/373] {a0 |

| osl1o7/auGl lu
g[197 334

| 99 1Yyg|agu lu

| : IDE 151 | Æ 8/9] AIS IALS LG UF. 8 9.

2 2 —

Re —

| x — Table des parties proportionnulles.

11104 92 |
|134/123/11a/10r |

3011355/406|457 |}

223/279|331|390|446| 507 |
43f0/397|45i{511 À

1a7|1g1 | | 510574
129|194| 518 383
4601526 | 59a
6ol53alar |
rs
| | Li |
558/6a8 |
0515661637 Îl
55 741646
5821655

664 |
081673

| 85{171/257/343/420/514/600l686|77a
434|520/607|6g94{

SE — a ee em mm — —

_Tables es des 9 parties_pre A saone

Solror}r52/a03 54 305 356|407 458 |
51l103/1 5520712590 3111363/415/467
52/105| 511 28) sunea 317/370|423/4

SSlrirliGr 133 229 3351391 |447/503
56/11 3}170/227/284)3{1|308|455/$ra
SrlaaSla7 ar 280 347) 05/463/5ar
58 taylar6la352y41353ld12/472 1530
Sy|r 19

179 239/|299|359| {19 479 539
aSalad3l30(13651126/487/548 1
4leN5lad7 | dou 3711133) 495; LH: |
188la5rl414l 1541440503 . À
[tyr{a55!agl389)/147 9e 14
hy| 49 LE

g5|111/127 143|
iü1|1rô|+35 152 |

ide ar2 43 354 {95 496

La ssl 1461167: 188 56 1638 |
231/653l17 31197 7ilii3far5)287 | 359! : 504 58 6417
TERME 1839 7 F2 a18/)ayr 936 5101583. 656
1434/1167 ligular5 fl 731 gl{43/557 S5yr 065
1idg|174l1uy|224 || 2.4 l' 524 1599 674

| 51531.60- 1643 |
153 130 EUrAR 538.615 oz

271155/93%/311 1715{5/613/-

781157236315 | 9.

559|639,719 |

1541185 au6| 247278
| 150! 191/223/255 28
164! 17/2 0/63 ag

[16ÿ| 03 a7> la: 5 |
lisa l'A a44| Larry d

149/170/215/951 laBT
[agrl rh flans las 2ÿ5| 332 ||

566 Girl728
| fog|491|573 655|73
i14l4y- [5806631746 À
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424/50ÿ| 5941679|764 |

4201515/601168-1/773 !
434[5%1/6an/695|74a |

171125713413
173 a60!3.j7

151! 1Aulra7/265|303/ 341 | 175263 151 Diy|527 65707
11155/1y4/2%4/272/311/350 177126616514 4153)farçzar/ñoc 1
_B9 17ÿla6y 359 y|339|Goyl7rg/ñog

1 50| 1)y| 234) 279 319

— ss [| —— |

CNT 4) 636 sas FA |
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03/1847 /a811375/469l563/657/751/845 |
dl 189284! 37y) 174 569|664 759 854 |

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ou 5 393 335 red
aa8l17al224/a57/300l 5431386 |
87/131l175/219/263/07|35: | 305 |
Bglr34li7ol 24/26) V4 35y 404 |

45] Qu137/183/a20/a76/301/36 {01575 67rl7G7 863 |
46} y3l140/187/[234/241|328|37° | | 1841581; 17 5 5122 e7>
| 47] 95/143/19r/230/28-1335/383 far | | 97 931301 |489|587168 8
UN 48! 971 146/195/a41/a03|342/391/440!] 9811071206 3054941593 + 7o1|8go |

2491299) 349 | 399 4 |199/ 209 y 499 +99 |699 1790800 |

——— | ———

6l7|s

ed à —— : on — = “ss; = ; = = Ed ml ss mi —

=
“

TABLE
D ES

LOGARITHMES

D ES

SINUSzer TANGENTES,
De seconde en seconde |
Pour les ciNQ premiers degrés.

De dix en dix secondes
Pour tous les degrés du quart de cercle.

. | ‘Tirage , 1825.
QT

7.164141 |
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7-167017

Le
7:16087

7.171296:
7.1727131
71741254
.175533a
-1760364 |
178330: |
1797293
-1811r00 | 4
‘1825043 | |
7.1838853 |
(7.185a618 | 4
7. 1866340 | À
7.188003 8
7.180365 4
7:1907247 | 4
7-19230797
| 7.1934306
7-1947772
7-1961197

4.6855749 | 6.4709047 | 6.768360 | 6. 534 |7.0675918
4.086649 6-4779605 | 6.7719347 | 6.y456462 | 7.0693901
5.162606: | 6.4849154 | 6. 6.9480259 | 7.0711810
15.2876340 | 6.4017548 | 6.7789065 | 6.Q 17.0720646
| 53845440 6.498488 | 6.784849 | 6.9527465 | 7.0747408
1 5.46%37a01 | 6.505118 | 6.7859454 | 6.9550878 | 7.076

5.530679 | 6.5116407 | 6.7 861 6.0574164 | 7.0782a717
5. 5886649 6.5180838 6.79a7848 | 6.9597 327 | 7.0ooa64
5.638174 | 6.5244239 | 6.79616451 6.960366 | 7.037741
5.6855740 | 6.53067a9 | 6.790518 | 6.0643a84 | 7.0435148
$-7260070 6.536833 6.802846: 6.966608a | 7.08 52485
5.764756: | 6.5429074 | 6.8061488 | 6.9688760 | 7.0669753
5.700518 | 6.5488977 | 6.8094a65 | 6.071 1 3ar | 7.086053
5. Ha 6,5548066 | 6.416796 | 6.9733765 | 7.0904085 |
5.861666 1 | 6.560636: | 6.8159086 | 6.97560094 | 7.0g21149
5.8896048 | 6.5663884 | 6.8191137 | 6.9778309 | 7.093147
5.9160238 | 6.5720656 | 6.8222054 | 6.9800410 7-0953079
5.940847 4 | 6,5776695 | 6.8254539 | 6.982400 | 7.097194
5.064385 | 6.583a010 | 6.885806
5.086604 6.5BS0644 6.831700 |
6.007742 | 6.5o405u9 | 6.834703y
6.027997 | 6.590388 | 6.837863a
6.047 3047 | 6.6046529 6,84n910q
6.065786: | 6.6098541 | 6.8139373

sJ

J1 QI “J

6.984427 | 7.098475
6. 0866048 71005481
6.9887700 | 7.1022153
6.900çgafa | 7.108760
6.9930708 | 7.1055305
6.9952050 | 7-1071787

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6.100544a | 6.6a00733 | 6.8490277 | 6.90994420 | 7.1104564 7.108702 3
6.1169386 | 6.625094 1 | 6.852gna | 7.001 5451 | 7.1r20860 | 7.2001224

7.003638 r
7.009721 1

70077941

7.009857
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7.034228
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1169385

1185440 |
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1217374
1233253
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1261838
180545
1240145
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72040886 |
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7.208018
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7.2170936 |
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| 6,1479729 | 6.60340649 | 6.85876rr
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| 6.1769366 | 6.646162 | 6.8645518
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6.400020 | 6.97574560 | 6.0359048 | 7.062: 5r7 | 7,2 597010 | 7.239457
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4731 + + + C.0:1177 46! 127 . , . . C.9.8866
5: 60’ 0! . . . . . 0,0000 : 1179 . . . . + + 04848
. 2948... .. 0,0868 2: Bo’ 0!” . . . . «+ 0,0000
. 37! 28" , ... 0,2045 2 193... 0:3715
24h . . . . . C. g-6oa1 24h . . + «+ + C.9-6021
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: 8h 7... .. o0,8688 :;: 15h53 , . . . . 0,6557
. 15/37 . . . . . 0,5846 : 4417" . . . . . 0,1319
46! 119 , . . . C. 9.8863 76’ 547 . . . . C.o,1059
+ 24h . . . +... 0,3979 : 24h. . . . . . . 0,5979
.: 1537" . . . . . 0,5846 :: 44! 29! , . . . . 0,1319
: 8h 7... ... 08688 : 13° 53 . , . . . 0,6557

On peut faire usage des logarithmes logistiques dans les calculs trigonomé-
‘triques, lorsque deux des termes sont des sinus ou tangentes de petits arcs;
parce qu’on prend les sinus pour les arcs. Mais il est plus naturel et plus
commode d'y employer les sinus mêmes ou lestangentes de ces petits arcs ,

sur-tout au moyen de nos tables, où l’on trouve les sinus et tangentes pour L

cha
An
seulement jusqu à 1° 12’.

23

e seconde des cinq premiers degrés en entier , au lieu que l'édition Æ
oise de Gardiner ne contenoit que les sinus pour chaque seconde, et

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14 7681|7276|6906|16565|6248 5954|
15|7674 7270 » 20 65591624 5940 | |
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LOCARITHMES LOGISTIQUES.

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5/2208| 2090! 1974
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7[2204 |2086
8/2202|2084|
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10/2198] 2080!

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16/2186/2068/1953
17/2184/2006! 1051
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19|ar80/2062
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2512169|2051|1936G
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1737
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LOGARITHMES LOOISTIQUES. °

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AE: 9073 |

RECUEIL

D E

QUELQUES TABLES"

PROPRES

A FACILITER LA METHODE

DE BORDA,

Ld
POUR DÉTERMINER LES LONGITUDES EN MER.

] (*) Ces tables sont dispersées dans divers volumes de la Connois-
| sance des temps : il étoit conséquemment incommode de les ÿ chercher
] au besoin. Elles sont ici d'autant mieux à leur plare , qu'elles concourent
| avec les tables de Logarith. à rendre très simple et trés expéditive la
| méthode de Bords , que nous avons exposée dans le discours qui se tronve

au commencement de ce volume.

| | Tirage 1825.

TABLES pour réduire les parties de l'équateur en tems , et le tems
en parties de l'équateur.

pp PEN pre pp

sp

o BSnoùs où Suo à

Exemr. Réduire en tems les parties de l'équateur 59° 59! 43/ 45".
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50! don. o 3 20"
9’ don. o o 36
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3!" don. o 0 oO 12
40” don. o o o 2 4oiv
5!" dou. o o Q o 20

—— lors 59" 59’ 43" 45"
donnent 3 b. 59! 58" 55 on. 59 59 4 45

ExeMP. Réduire en parties de l'équateur le tmps 3h. 59’ 58 55",

5h. don. 45°
55! don. 13 45’

4! don. : o \
55’ don. o 13 45”
3" don. o o 45
55!" don. o o 13 45!"

Alors 5h. 59' 58” 55",
donnent 5g” 5g' 43" : 45’.

Réfrac-
tion.

Haut.
appar.

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n du plan dans lequel on

Réfrac- Idif.
tion.

léviati

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2. 37 | o.
4 | 0.
2 14 | 0.

2 2

00000 00000 00000 2000
00000 ©0009 00009 00C0

du niveau de la mer, avec l'augmentation pour les lieux moins élevés de

cinq cens toises.

RérnACTIoxs pour Quito dans la zône torride, 1479 toises au-dessus

TABLE des

l

= —_—_—_— .

TABLE des réfractions pour les Zônes tempérées.

————

So |

Le
o ©

FoSe8 05080 800$ 08550 Fo$ot o

P PYPpYS WU WU BARRE MAMAN SI Ge
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P SHPPE RSS

DRPRS SIPSS SEPEU SHSE
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5 0 + 5 = +

DJ LRU QI CAD

lopropp ppprp PPPOP PPPPD POPPP PPPOP POPOP DOPOP POPPP Prnme mmmmn mmmm
|PPDPSO P00PDP PPPPP PRPPO PPPPP PPOEP PPPOD POPPO Panne mummm mem mn

[OPPPOSSP PPPOP PPIPE PPPOP 2099 POOPD DPOPD PPPPP PPPDD mmmm

|

tn ee mn - Rs -

TABLE des inclinaisons de l'horiion visuel avec l'horizon vrai.”

ELev. | Inclinaison dess Inclinaison Eur Inclinaison
au-dess. de au de lu de "|. de
de l'horizon. € l'horizon.
la mer. : la me
pi. po.| m s. |}; pieds. | m s. |; pieds me S |
, 6 | © 44 28 5. 26 94 gœ 58
ï o 1. 1 14 30 5. 37 : : 98 10 10 1à
1. 6 1. 15 3a 5. 48 10 102 1 22 |;
2 oO 1. 27 |? 3. 5. .58 |, 106 10 33 |,
2. 6 38 |"! 3 6 9 |! 110 10. 45 12
3 o 1. 47 9 38 6 19 19 114 IQ 57
16 6. 10 8 Il
4 o 2. 35 4a è M 10 If 11. 12
$. Oo 2. 18 13 42 | + 9 122 11. 20 |;;
6. o 2 31 |, 44 6. 4 126 11. 31 |,
7 0 2. 43 l'? 46 6 57 |9|| 130 11. 43 _.
8 o | 2 54 |''|| 48 7. 6 |°|| 134 1 54 |
g o 3 4 |0]| 50 7 15 “ 138 12 4 |
10° O0 3. 14 10 52 7. 24 9 14a 12. 14 |,
11. O 3. 24 5.4 7. 33 9 146 12 24 |
12 Oo 3. 33 ù 56 7. 42 4 150 12. 34 10
13 o 3 42 53 7. 50 154 12. 44
14. 0 4 50 8 60 7. 57 4 158 12. 53 D
15. oO 3. 58 62 8. 5 ‘ 162 13 3
16. 0 4. 6 8 64 8 r2 7 166 13. 12 9
17. 0 4 14 |$ 66 8 20 6 170 13. 22 |'°
18 o 4 ar 7 68 8. 27 7 174 13. 3x 5
19. oO 4. 28 |7 70 8 35 178 13. 41
20. 0 4 35 | 7 72 8. 42 7 18a 13. 50 o
21. O 4 42 | 7 74 8 4 || 186 13. 39 RS
22 o 4 49 | 7 76 8 5 71] r90 14. 9
23 o | 4 55 | 7 VA 105 | 14 10 |!
24. o 5 2 |7 4 à. 17 |'° 200 14. 30 11
° 6 85 a 10 ° tt
25. 0 3. 8 6 9 27 |, 205 14. At |,
26. o $ 14 6 83 9 33 10 210 14 52 |,,
27. O 5 20. ê g1 & 48 01 215 15 3 |,
2 o 5. 26 94 g 58 220 15. 14

Table des inclinaisons de l'horizon visuel avec l'horizon vrai.

Un observateur découvre d'autant plus d'étendue au ciel, qu'il est
lui-même plus élevé au-dessus du niveau des eaux ; de-là il suit quà
la mer , et avec les instrumens connus des navigateurs , la hauteur
d'un astre comptée, comme il se pratique ordinairement , du niveau
de la mer, est plus grande que celle qui seroïit rapportée à l'horizon
vrai: or c'est pour faciliter cette réduction que M. Jeaurat a calculé
la table précédente , en supposant que’ le logarithme du rayon de la

terre est 7,35187. Voici la Formule d'après laquelle il l'a construite.

Soit r le rayon de la terre ; e l'élévation de l'observateur au-dessus

du niveau de la mer ; ÿ l'inclinaison de l'horizon visuel avec l'horizon
vrai. |

. cos.i = ,
La solution demandée est ) r+e
e = rtang.itang. ii.

Ainsi la table précédente apprend qu'à 28 pieds au-dessus du niveau
de la mer, l'horizon visuel est incliné au-dessous de l'horizon vrai de
5’ 26 , ee que par conséquent la hauteur d'un astre, comptée du niveau
de la mer , est plus grande qu'il ne faut de cette quantité 5! 26".
Alors le reste est la hauteur apparente comptée, comme il convient,

de l'horizon vrai.

a à

ES
PARALLAXE DU SOL=IL à divers degrés de hauteur , et en différents
temps de l'année, en supposant la moyenne de 8”,5.

1 Juillet

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2.
I.
I.
I.
Oo.

209
Om «nn
OC ©œ

Des Tables de la parallaxe du soleil et de la lune à divers degrés de
hauteur sur l'horizon.

La parallaxe de hauteur se déduit de la parallaxe horizontale, et
son eftet se fait verticalement, ainsi que celui de la réfraction, mais
en sens contraire ; Car la parallaxe d'un astre le fait paroître plus
abaissé qu'il ne l'est effectivement, tandis qu'au contraire la réfrac.
tion le fait paroître plus élevé. Ces deux effets cessent tous deux
quand l'astre est au zénith , et ils sont les plus grands possible !
lorsqu'il est à l'horizon ; et comme l'effet de la parallaxe de la lune
est plus grand que celui de la réfraction, il arrive que la hauteur
apparente de la lune est égale à sa hauteur vraie diminuée de l'excès
de la parallaxe de hauteur sur la réfraction qui y correspond.

Pour trouver la parallaxe de hauteur |, on ajoute le logarithme
sinus de la parallaxe horizontale au logarithme co-sinus de la Pauteur
alors la somme de ces deux logarithmes est le logarithme-sinus de
la parallaxe de hanteur demandé. C'est donc d'après ce précepre que
M. Champia de Fonbru , ancien ingénieur de Pondichéry » à Con-
struit la table suivante.

| TABLE de la parallaxe de la lune

l'horizon.

à divers degrés de hauteur sur

Haut. | =
PARALLAXE HONIZONTALE DE LA LUNP.

= a _ RS

Î'SULTE de la Table

4 TEL | |

Le
| % | 87. D
| 5 57. 3
| + 57. 4:
| 15 54. 25 | | 55 56 4156 a:
18 53. 37 | té 5% ro | 55. ag
24 |51 Ds ETES
r 28 5a, |
25 51 315 Sr. | 52. He Sa. 52
26 50. 38 : | 5x, 52 8 | 52 26
27 | 50. 1 5o 4 | Se. dr | 51. 59
| 49 5. | Sr. 13 | 51. 3o
| 29 49. 1 49. 50. 44 | 5r.
| 30 4% d 4g. | Sa. 14 | So. 3r
Ù 3x | 48. 17 | 48. 49. 43 | 5a o
sa | 47.4 48. 49: 11 | 49. 28
34 46. 4a | 47. | 4& 5 | 48..2t
35 | 46. 8 r | 4. Ju | 47. 47
36 | 45. 34 | dé. 55 | 47. ra
| 4. 5g 46. 1ÿ , 35
| 3 44. 45. 42 | 45. 58
| 39 | 43. 46 45. 4 | 45. 20
4o 43. 9 44. 25 | 44. 4:
| dx d2. 31 43. 46 | 44 :
42 dr. 52 43 6 | 43. a:
43 dr, 12 42, 25 | 42 40 |
| 44 | 40 3 dr. 43 | 4r. |
45 39. 50 | &r. ©! 4r. 15 |
46 8 da 1 do. 3
47 | 3È 05 35 | 39 4 |
ä 4 4r 33, 48 39 c
49 57 38 313% 16 |!
30 |36 12 37. 17 | 37. 30 ||
51 | 35. 7 36. 30 | 36. 43
Ù 52 | 34 4r 35. 4a | 35. 55
D 55 155 54 34 54 | 35. 6
fi 54 |Sx J4. 5 | 34. 17
| 53 | 32 19 33 16 | 33. 27 |
56 31, 30 Ja. aûô 3 3 |
57 30, 47 3r. 35 3r. 6 |
| 53 | 29. 5x 20, 44 | 30. 55
‘9 2 1! 29. 30. 3 |
| Go aù 10 ag o!29 10 ||
| 6x 2 19 26. 7 | a5. 1 |
| 4 27: 2:
| 63 |a5. 3 2.30 | k: aù
| 64 |94 4a 25. 26 | 25. 34
65 23 49 24 31 | 24 3
| 66 22, 55 23 35 | a3. 44 |
o7 224 7 22. 39 | 22. 48 |
ar, 6 Ar, 43 | ar. 5r
6g 20 11 20. 47 | 20. 54
ro 19. 16 19. 50 | 19. 57 |
3 | 16. 28 16. 58 | 17. |
76 [ai voie EC |
79 10. 46 11 À 11 A |
üa 7 31 EL. “4 8 y À

| SUITE de la Table de la HS Os t: à divers degrés de |
| hauteur sur l'horison. |

aut. | | der
Es me FARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNE.

e un :
la lune. 58 40” |

degrés. Tu: LA ne M à 5. 1. 8.

o 58 4{o
3 58. 35%
6 58. ar
9 57. 5
12 57. 2
19 56. do
18 55. 48
21 54. 46
24 53. 36
25 53 10
26 | 52. 43
2 5a. 16
2 br. 48 |
aÙ Sr, 1
30 ä
s : | 50. J
2 | 4
3 | pr JT
48. 3
35 |48 3
36 47. 18
37 46. 57
38 A T4
39 45. 36
40 dd. 56
di 44. 16
4a 43. 35
43 da. 54
44 42 12
43 dr. 2g
46 do, 45
4 |
Q 1!
49 Et a9
50 37: 42
51 36. 55
32 36.
53 35 18
54 34. 29
55 33. 3g
5G +5
5 | 3.
38 ETES 4
59 30. 13
29. 20
Gr aû" 27
Ga a7. 33
63 26, 383
4 29. 43
65 24. 46
66 23. 5a
67 22. 55
68 | ar, 58
6) A7. Oo
70 20. 2
#3 17% 8
76 1. 11
79 11. 12.
#2 # 10

SUITE de la Table additive pour réduire la hauteur apparente de la
lune à la hauteur vraie, ou différence de la parallaxe de hauteur
à la réfraction.

PARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNE.

a
3
4
4
5
5
5
5
4
4
3
2
2
L
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