Full text of "Tables"
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WILUAM H. BUTTS, PkD,
A.B. 1878 A.M. 1879
leacner of iTlatneiiiatics
1898 to 1922
Assistant Uean, (jollege of Ln^neermtf
1906 to 1922
Frofessor Cmeritns
1922
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TABLES :
V DES CARRÉH ET DES CUBES
DES NOMBRES ENTIERS SUCCESSIFS DE i A iOOOO
(Cette TaMe eit exmMe du Htatmel d'arefeffoMMre de M. Sàutm
l'alBC, entrepreneur <e bàttanent») ;
2** DES LONGUEURS DES CIRCONFÉRENCES
doni les «I
ET DES SfJREAGES DES CERCLES
êtres sont exiirimés inÎT les nombres entters
de i à lOèOi ;
DEH ElPREHmS TRIGOmÉTRIQllËS
NATURELLES
DES ANGLES SUCCESSIFS DE BUNUTE Elf MINUTE.
IMTBODVCTIOUS A CBS TABEBS
Par J. CLAUDEL,
AMcna ÂLàvB bb l*bcoe.b ckvomlk mê abt« i
PKoraawm os MÉcAïaQi» a l'asaocultioh
PARIS
CARILIAN-GŒURY et V«* DALMONT, ÉDITEURS.
I^IBRAIRES DES CORPS DES PONTS ET CHAUSSÉES ET DES MINES
Quai (les Augustins, n** 49.
1850
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^(^/z
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CARILUN-GŒURY ET V"" DALMONT,
LIBRAIRES DES CORPS DES PONfS ET CHAUSSÉES ET DES MINES,
Qaat des Angastlns, 49, li Paris.
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^tm^fkr^^^mm^imt^
GÉOMÉTRIE
ÉLiHENTJURE
DU COMPAS,
EXPOSANT
r ^ LES BIYEBS STSTiHES DE TBAGÉ QVZ COMPOSTE l'EIPIOI EXCLUSIF PU COIPAS,
TAHT LES BIGOUREUX QUE LES APPROXIMATIFS ,
Par B.-E. COUSINERY,
logéntettr en chef des Ponta et Chaaasées , en retxaite.
i vol. In-IA, avec ploncliM gravées. — Paris, iStii, Prix : S4r.
K»^
EXTRAIT DE l' INTRODUCTION.
Il y a déjà longtemps que le compas a été signalé comme TiDstru-
mentde précision par excellence, et que, pour montrer tout le
P3.rti qu'on» pouvait ^ectivement en tirer, Mascheroni, lui consa-
crant une Géométrie spéciale, a rassemblé en ma corps de doctrine
lès solutions graphiques , soit rigoureuses , soit approximatives, qui
se trouvent exclusivement de son ressort ; solutions qui offraient ,
par cela même, le plus de garantie possible sous Le rapport de Fexac-
tîtude matérielle , et devaient être employées ûe préférence , par-
tout où cette exactitude se trouvait impérieusement réclamée.
Or, il est arrivé , et c'est ce qu'on observe presque toujours en
pareille circonstance, que la nouvelle mine à exploiter renfermait
infiniment plus de richesses qu'on ne s'y était d'abord attendu ;
mais il est arrivé, par la même raison , que Jes diverses propositions
de cette Géométrie ont été conçues et disposées dans un ordre qui
se re Jîsentait un peu trop de l'imprévu, et, surtout, du procédé
analytique primitivement employé à leur découverte; peut-être,
aussi, ne s'est-on pas assez occupé du système qu'il convenait d'à-
II PUISSÀlfCBS Et RACINES.
le nombre 7 est élevé à la 4® puissance, on écrit 7^, au lieu de
7x7x7x7.
Remarque. La première puissance d'un nombre est ce nombre
lui-même , que l'on considère comme affecté d'un exposant égal
à l'unité, quoiqu'il il'} ait pas alors de puissance ni d'exposant pro-
prement dits.
8. Tout nombre qui a pour puissance un nombre donné est une
racine de ce nombre.
9. Le degré de la racine d'un nombre est le degré de la puissance
à laquelle il faut élever cette racine pour reproduire le nombre pro-
posé. Ainsi, 3 ayant respectivement 3,9, 27, 81... pour 1'% 2«,
3*, 4*... puissances, ces nombres respectif^ ont 3 pour racines
!'•, S», 3% 4«...
10. Pour indiquer une racine à extraire , on emploie le signe
1/ , qu'on nomme radical , en plaçant le nombre dont la racine
est à extraire sous le trait horizontal , et le clegré de la racine entre
les deux branches du radical. Ce degré , ainsi placé , prend le nonî
tind%e'e , et on se.dispense dé l'écrire lorsqu'il est égal à 2.
D'aptes ces conventions , on a :
»/9'=3, J>^Î2=8; ïVgr=2.
Ce que l'on énonce respectivement : racine carrée dé 9 égale 3 ,
racine cubique de 512 égale 8 ^ et racine sixième de 64 égale 2. >
CARRÉS ET CUBES.
li. Powr former le carré ou le euhe^ et en général une pumakce
quelconque d'une quantité, on n'éprouve d'autres difficultés (|ué cel-
les inhérentes à la multiplication de cette quantité. En effet , pour
obtenir , par exemple , le carré de la fraction 3/4 , il suffit d'e£Pec-
tuer le produit
3 3 3X3 ^3V 9
4^4 4x4"" 4* "^ 16'
12. Pour former te carré où le cube^ et en général une puiesance
quelconque d^un nombre entier terminé par un ou plusieurs zéros ,
il suffit d'élever le nombre , abstraction faite des zéros qui le ter-
minent , à U puissance indiquée , et d'écrire à la droite du résultat
TABLES.
lY PCIS8AKGJB8 ET RACOISS.
produit du carré du dizaines par les unités , 3* du Irtpfo produit
des dizaines par le carré des unités, 4* du cubfi des unités. Ainsi :
145»= 140» +140»X 5X 3 +140 X S» X 3+5»
= 2 744 000+ 294 000 + 10 500 + 125=3 048 625.
On a aussi :
38»=(37+l)»=37»+ 37»Xl X 3+37xl*X 3+1»
=37»+37*x3+37x3+l;.
d'où:
38»— 37»=37»X 3+37x3+1.
Ce qui fait voir que la différence des cubes de deux nombres entiers
consécutifs est égale à trois fois le carré du plus petit de ces nombres^
plus trois fois ce plus petit nombre , plus une u/nité.
RAaNB CARHBS &T KkClM' CUBIQUE.
16. La racine carrée d'un nombre, à moins d'un autre nombre j est
le plus grand multiple du second nombre, c^est^-dire le plus grand
produit de ce second nombre par un nombre entier, dont le carré soit
contenu dans le premier. Ainsi la racine carrée de 12 ^ à moins
d'une unité , est égale à 3, parce que le carré 9 de 1 x 3 est contenu
danslâ, tandis que le carré 16 de 1x4 excède 12. La racine carrée
de 2 , à moins d'un dixième , est 1,4 , parce que le carré 1,96 de
0,1x14 = 1,4 est contenu dans 2, tandis que le carré 2,25
de 0,1x15 = 1,5 excède 2.
En général , la racine carrée d^un nombre, à moins d'une unité ,
racine qui n'est autre chose que la partie entière de la racine carrée
exacte du nombre proposé , est égale d la racine carrée du plus
grand carré entier contenu dans ce nombre. Ainsi la racine carrée,
à moins d'une unité, du nombre 47,3, est égale à la racine carrée 6
du plus grand carré entier 36 contenu dans 47,3.
On voit aussi que la racine carrée, à moins d'une unité, d'un
nombre quelconque, est toujours égale à la racine carrée, à moins
d'une unité, de la partie entière de ce nombre.
Ce qui précède peut se généraliser pour une racine quelconque.
Ainsi , la racine m'*"" d'un nombre , d moûts d'uh autre nombre ,
est le plus grand multiple du second nombre, dont la mf^^* puissance
BÀCllfE CAIIIIÉB BT BACINB CCBtQUÊ. T
soit contenue deuu le premier. Il en résulte que la racine m**"* d'un
nombre , d moins d*une unités ou la partie entière de la racine m'*"*
exacte du nombre^ est égale à la racine m'*"* de la plus grande m**™
puissance entière contenue dans ce nombre. Il en résulte aussi que
la racine m'*^, à moins d'une unité , d*un nombre quelconque, est
égale à lia racine m'^"^, à moins d'une unité, de la partie entière de
ce nombre.
17. La racine nV^^ d'un nombre , approchée par excès âmoins
d'un autre noifabre^ est le plus petit multiple du secotid nombre y
dont la m*^^ puissance excède le premier. Ainsi la racine carrée
de 12 , approchée par excès à moins d'une unité , est égale à 4^ et
la racine carrée de 2 > approchée par excès à moins d'un dixième*
est 1,5.
18. Nombre des chiffres de la racine carrée à moins d'une unités
d'un nombre entier , décimal ou fractionnaire j e'est-à-dire , nombre
des chiffres de la partie entière de la racine épeacte. Séparant la partie
entière du nombre proposé en tranches de deux chiffres, sauf à ne
laisser qu'un seul chiffré à la dernière tranche , le nombre des
tranches ainsi obtenues est égal aunombre des chifires de la racine
à moins d'une unité. Ainsi, par exemple, la racine carrée, à
moins d'une unité , du nombre 35627,873, se compose de 3 chif-
fres.
En effet , les carrés des nombres
I 10 100 1000 ....
étant respectivement
1 100 lOOOO 1000000....
on reconnaît imniédiatement que la règle énoncée est applicable
à ces carrés; il suffit donc de fair^ voir qu'elle s'applique aussi
aux nombres intermédiaires.
Tout nombre compris entre 1 et 100 , c'es^à-dfre dont la partie
entière contient un ou deux chiffres , ou une seule tranche , a sa
racine comprise entre 1 et 10, et par conséquent sa racine , à moins
d'une unité, est fondée d'un seul chiffre; tout nortibre compris
entre 1 00 et 1 0000> c'est-à-dire dont la partie entière contient 3 ou
4 chiffres, ou deux tranches, â sa racine comprise entre 10 et
100 , et par conséquent sa racine, à moins d'une unité, est formée
de deux chifires. On prouverait de même que tout nombre dont la
n ruisaiHCKs bt bacihbs.
partie entière contint 5 ou 6 chiffrer , ou 3 tranches , a sa racine
carrée, à moins d'une unité , formée de 3 chiffres, et aûim de
suite.
49. Nombre des chiffres de la racine cubique à minna d^un/eunitéj
d'un nombre entier ^ décimal ou fractionnaire. Séparant la partie
entière du nombre proposé en tranches de 3 chiffres , sauf è nf
laisser qu'un ou deux chiffres à la dernière tranche , le nomlnre des
tranches ainsi obtenues est égal au nombre des chiffres de la racine
à lùoips d'une unité. Ainsi la racine cubique, à moins d'une unité,
du nombre 35627^873 se compose de deux chiffî*es^
Remarquant que les cubes des nombres
4 10 100 lÔOÔ ...
sont respectivement
1 1000 1000000 1000000000...
on prouverait l'exactitude dç la règle énoncée par un raisonne-
ment semblable à celui du numéro précédent
En général , poin» déterminer le nombre des chiffres de la ra-
cine m**"** il. moins d'une unité, d'un nombre entier, décimal ou
fractionnaire, il suffit de séparer la partie entière, de ce nombre en
tranches de m chiffres , sauf à laisser moins de m chiffres à la der-
nière tranche ; le nombre des tranches ainsi obtenues est égal au
nombre des chiffres de la racine m**^"^ à moins d'une unité.
20. La racine carrée 25, du plus grand carré entier 625 contenu
dans le nombre total 657 des centaines d'un nombre 68736,8, est
égale au nombre total des dizaines d^ ia racine carrée é moins
d'une unité du nombre proposé.
Le nombre ^5 étant la racine carrée du plus grand carré entier
cont^u dans 657, le carré de 250 est contenu dans 6570Q., et , à
plus forte raison , dans 65736,8 , tandis qq^ le carré de 260 excède
6ë7QQ au moins d'une centaine , et par suite est plus grand que
65736,8 ; dOnc 25^ est le nombre des dizaines de la rapine carrée i^
moins d'une unité de 65736,^.
31 . On prouverait de la m^me manière qu^ la racine cubique &,
du plus grand cube entier 216 contenu dan$ le noml^re tot^ 23^
des mille d'un nombi^ 235976, est ég^ au nom|)re tçtal des di-
zaines de la racine cubique k moins d'un^ ui^té du non^bre pro-
posé.
RACIIfB CÀEBtB ST lUaXB CUBIQUB.
n
f^« j^tr^m la racine carrée, i tmins JPune uniié^ <f un nombre
^tkry de 74673, par exemple:
74 6.7 3
A 00
3 4.6
3 89
i7 7;3
1 629
444
Ge nombre contenant p{us 4^ deu^L chiffres, il ^ au moins une
(]izaine k sa raqjne {i9); ^\, pour en déterminer le nombre total ,
Il su^t d'extraire )a racine carrée du plus grand carré entier con-
tenu dans 746 (%0) } ce qui conduit à réparer 73 siu* la droite du
nombre proposé, et à ne considérer., pouf un instant , que la par-
tie à gauche 74§. de nouveau nombre contenant encore plus de deux
chiffres , il ft ai} {{ipjps une dizaine à sa racine , et , ^ pour en dé*
terminer le npipbre total, on est conduit, comme précédemment, à
séparer -^6, sur la droite, et à extraire la racine carrée du plus
grand c^vé enf ipf coptenu dans 7, (Je plus grand carré étant égal
au nombre 4 . dont I4 racine carrée est 2 , ce chiffre 2 est celui des
dizaines de la racine carrée à moins d'une unité du nombre 746 ,
et on peut considérer 346 commie composé de 4 parties : i" le carré
des deux dizaines de sa racine; S"* le double produit de ces^ di--
zaines par le chiffre inconnu d^s unités de cette racine ; 3"" le carré
de ce cjiifrre^ l"" ^Q re^t^ égal à l-exc^s de 746 sur le plus grand
castré entier contf^ni) 49P§I <^ nombre (14); doue, si du nombre 746
on ret^^ancbe le car|:é ^PP des deux dizaines de sa racine, le reste
«^4^ ne contiendra plus que les 3 dernières des 4 parties énoncées
çl-^^ssiis i or le doul>l^ produit des deux dizaines par le ejiiffi^ des
unités doiqne qp nombre exf^ de dizaine^ , qui sont toutes coste^
nu^s dans les 34 djzaiijes de 346 ' ^ 4^^ conduit k séparel* le cbif
fre 6 4^^ unité§ ^ d!§i|leurs 34 contient, en outre, te nomlnred^
dizaines qi)i peuvent pi^pyenir ^\\ carré des unités et du reste ;
^o^c la partie eq^ière 4m quotient de la division de 34 par le double
14^^? ^F^ Ig <^^^%é des unités ou vm nombre trop grand. Pour
le yérifier, on pou^^rait l'écrire à la droite du chiffre 2 des diisaines,
former le carré du noQ^l)re 38 qvii en reisulte , et yoir si ce camé
p^e^^çède pa§ 746 , niais , coimne on a d^l^ retc^cbé de 746 le
çfiçç^ des 4ei)X dizaji^e; , il est plus siipple de s'fissuser si la somme
?in PUISSANCBS BT KÀGIHBS.
des deux sntreà parties du carré de 28 n'excède pas le reste 34f6.
Pour former cette somme , on écrit 8 à la droite du double 4 du
chiffre des dizaines , et multipliant par 8 le nombre 48 qui en ré-
sulte , le produit 384 est la somme cherchée, laquelle excédant 346,
c'est que le chiffre 8 est trop fort. Essayant le chiffre? comme on
vient de le faire pour 8, comme on arrive à la somme 3S9 <;346, le
diiffre 7 est celui des unités de la racine carrée du plus grand csuré
entier contenu dans 746, et, par suite, 27 exprime le nombre total des
dizaines delà racinecarrée de 7 46 73. Le nombre74673 peut, comme
précédemment celui 746, étreconsidéré cbnmie composé de 4 parties :
1** le carré des 37 dizaines de sa racine, etc. ; de là, si du reste 346 on
retranche 329, le reste 17 sera Pexeès de 746 sur le carré de 27, et
écrivant à la droite de ce reste la tranche suivante 73, le nombre
1773 qui en résulte est Texcès du nombre 7 46 73 sur le carré des
27 dizaines de sa racine. Considjéraiit 1773 comme étant la somme
des 3 dernières des 4 parties qui composent te nombre 74673, et
opérant comme ci-dessus, on déterminé le chiffre 3 des unités de
la racine demandée 273, et retranchaiit 16^9 de 1773, la différence
144 est le reste, c'est-à-dire l'excès de 74673 sur le carré de 273.
n en résulte la règle générale : Pour extraire la racine carrée, à
moins d'une unité, d'un nombre entier 74673, par exemple, op
sépare 'ce iiombre en tranches de deux chiffres \ partir de ladroitei
sauf à ne laisser qu'un chiffre à la première tranche à gauche ; on
extrait la racine carrée 2 du plus grand carré entier 4 contenu dans
cette tranche , ce qui détermine le premier chiffre à gauche de la ra-
cine demandée; on soustrait le cïirré de ce chifl^ de la première
tranche , et à la droite du resté 3 on écrit la deuxième tranche 46 ; on
sépare un chiffre sur la drmte du nombre qui en résulte , et on di-
vise la partie à gauche 34 par le double 4 du chiffre obtenu à la ra^
cine ; la partie entière 8 de ce quotient détermine le second chiffre de
racine demandée ou un nombre trop grand. Pour le vérifier, on
l'écrit à la droite du nombre 4 employé conmie diviseur, on multi-
plie le nombre 48, qui en résulte , par ce même chif&e, et on voit si
le produit 384 n'etcède pas le nombre 346 formé en écrivant la
deuxième tranche 46 à la droite du reste 3 précédemment obtenu;
dans le cas où le produit est plus grand que ce nombre, comme
dans l'exemple choisi, on diminue le chiffre essayé 8 d'une unité,
puis on vérifie le chiffre 7 comme le précédent , et ainsi de suite ,
jusqu'à ce qu'on aif obtenu un produit qui n'excède pas le nombre
auquel on le compare; le chifiire 7 fournissant ce produit , il est le
BACWB CÂRBÉB BT RÀCIRB GUBIQUB.
IX
secoad chifire de la racine; alors on soustrait le produit 329 du
nombre 346, ce qui donne un reste H, à la droite duquel on écrit la
3* tranche 73 du nombre proposé ; on sépare un chifire sur la droite
du nombre 1773 qui en résulte, et oii divise la partie à gauche 177
par le dçuble 54 du nonibre 27 formé par les deut premiers chiffres
de* la racine; la partie entière 3 de ce quotient donne le troisième
ehifire de la racine ou un nombre trop grand; on le vérifie comme le
second chiffre , et on continue ainsi de suite , quel que soit le nombre
des trandies qui composent le nombre proposé , jusqu'à ce qu'on ait
employé la dernière tranche.
23« Quand, par erreur, en extrayant la racine carrée, le reste qui
correspond à une partiede racine obtenue n'est pas moindre que le
double de cette partie, plus une unité, cette partie de racine obtenue
est trop petite au moins d'une unité; et lorsque le reste est moinidre
que le double dé la partie obtenue de la racine , plus une unité y cette
partie ne peut être augmentée (14).
Chaque reste, ajouté au carré de la partie obtenue de la racine ,
doit fournir le nombre formé par les tranches sur lesquelles on it
opéré ; ainsi , C(Hmhe cas particuliers , le dernier reste 144 obtenu
dans Texémple du numéro précédent , ajouté au carré de la ra-
cine ,273, doit reproduire le nombre proposé 74673. De là résulte un
moyen de faire la preuve de Vextraetiwn de la racine carrée à nunnt
d^tme unité d'un nombre entier.
24. Extraire la racine cubique, à moins d'une unité, d'un nombre
enti^, de 1 5 928 974, par exeniple :
15.9 28.974
8000
79.28 ,
76.25
3 039.74
1 882 51
1 157 23
251
1596X6
I
9576
1525x5
7625
187500x1
750x1
IXl
188251x1
1188251
Ce nombre contenant plus de trois chiflres , il a au moins une
dizaine à sa racine (19), et, pour en déterminer le nombre total , il
sufiit d'extraire la racine cubique du plus grand cube entier contenu
dans 1 5 928 (21), ce qui conduit à séparer 974 sur la droite du nombre
proposé, et à ne considérer, poiu* un instant, que la partie à gau-
che 15928. Ce nouveau nombre contenant Picore plus de trois
chiffres , il a au moins une dizaine à sa racine , et , pour en déter*
X PUI8SAKCBS BT 1ACIIIE3.
miner le nombre^ on est conduit, comme précédemment , à sépaser
928 sur sa droite, et à extraire la racine cubique du plus grand cube
entier contenu dans 15. Ce plus grand cube étant égal au nom-
bre 6, dont la racine cubique est % le chiffre 2 est celui des dizaines
de la racine cubique à moins d'une unité du nombre 15 d!28, et
9n peut considérer 15 928 comme composé de cinq parties, qui
sont : 1^ le cube des 2 dizaines de sa racine; 2'' le triple produit du
carré de ces 2 dizaines par le chiffre inconnu des unités de cette
racine; 3° le triple produit des 2 dizaines par le carré des unités ;
Âfi le cube des unités ; 5** un reste égal à l'excès de 1 5 928 sur le plus
grand cube entier contenu dans ce nombre (15) ; donc, si du nombre
i 5 928 on retranche le cube 8 000 des 2 dizaines de sa racine, le reste
7 928 ne contiendra plus que les 4 dernières des 5 parties énoncées
ci-dessus; or le triple prodiiit du carré des 2 dizaines par le chif-
^ des unités donne un nombre exact de centaines , qui sont toutes
contenues dans les 79 centaines de 7 928, ce qui conduit à les sé-
parer des deux autres chiffres; d'ailleurs ces 79 centaines contien-
nent^ en outre, le nombre des centaines qui peuvent provenir du
|rip)e produit des dizaines par le carré des unités , du cube des unités
et du reste; donc la partie entière 6 du quotient de la division de 79
par le triple carré 42 de 2 sera le chiffre des unités ou un nombre trop
gçanid. Four le vérifier, on pourrait récrire à la droite cfu chi^ 2
des dizaines , former le cube du nombre 2p qui en résulte, et voir
fi ce cube ^'exc||de pas 15928; mais, comme on a déjà retranché
de 15928 le cube de 2 dizaines, i\ est plus simple de s'assurec si
la somme des 3 autres parties du cube de 26 n'excède pas le
reste 7 928. Pour obtenir cette somme , on observe que 12 étant le
triple carré de 2 , le nombre 1200 x 6 est le triple produit du
carré de 2 dizaines par 6 unités;^ pareillement , 36 étant le triple
produit de 2 par 6 , le nombre 360 x 6 est le triple produit de
2 dizaines par le carré de 6 unités ; enfin 3f X 6 est égal au cube de
6 unités; donc, en faisant la somme 1596 des trois multipli-
candes, et multipliant cette somme par le multiplicateur 6 , le pro-
duit 9570 est la somme cherchée , laquelle excéç|ant 7928, c'est
que lé chiffre 6 est trop fort. Essayant le chiffre 5 ainsi qu'on vi^t
de ^e faire pour 6, comme on arrive à la somme 7625 < 7928, le
chiffre 5 eçt celui des unités de la racine cubique du plus gran^
cube entier contenu dans 15 928, et, par suite, 25 exprime je nom-
bre total des dizaines de la racine cubique de 15 928 974 Ce der-
nier nQmt)re pei^t, cx)mm^ précédemipçnt celui 15 928 , être consi-
BACINE CABBtl BT lAGIRB GIJBIQIJE. Xl
^éré comme composé de 5 parties , qai sont : i^ le cube des S5
4izaines 4e $a racine, etc. ; de là ^ si du reste 79^ on retranche le
produit ou la somme 7625, le reste 303 sera Texcès de i 5928 sur le
cube de 25, et écrivant à la droite de ce reste la tranche suivante
974, le nombre 303 974 qui en résulte est l'cKcès du nombre
15 928 974 sur le cube des 25 dizaines de sa racine. Considérant
3Q3974 comme étant la somme des 4 dernières des 5 parties qui
composent le nombre 15928 974, et opérant comme pour le
chiffre 5, on déterminé le chiffre 1 des unités de la racine deman*
dée 25i; et retranchant le produit ou la somme 188 251 de 303 974,
1^ différence 115723 est le reste, c'est-à-dire l'excès de 15928974
sur le cube de 251.
Il en résulte la règle générale : Pour extraire la racine cubique ,
à moins d'une unité , d'un nombre entier, de 15 928 974, par exem-
ple, on sépare ce nombre en tranches de trois chiffres à partir de
la droite, sauf à ne laisser qu'un ou deux chiffres à la première
tranche à gauche ;. on extrait la raçinecubique 2 du plus grand cube
entier 8 coptanu dans cette tranche , jce qui détermine le chiffre à
gauche de la- racine demandée; on soustrait le cube de ce chiffre
de la première tranche , et à la droite du reste 7 on écrit la
deuxième tranche 928; on sépare deux chiffres sur la droite du
nombre qui en résujte , et. on divise la partie à gàucjie 78| paç le
triple carré 12 du chiffre obtenu à la racine; la partie entière 6 de
ce quotient détermine le second chiffre de la racine ou un nombre
tçpj) grand. Pour Je vérifier, en disposant (es calculs çoijime il est
indiqué précédemment, on forme |es trois dernières des 4 partieç
qiii composent le cube du nombre dont la partie 2 de racine ob-
tenue indique les c^izaines et le chiffre p les unités, et on voit si
leur somme 97 56 n'excède pas le nombre 7 928 formé en écrivais!
la deuxième tranche à la droite du reste 7 précédemment obtenu;
dans le cas où ^e est plus grande que ce nombre , comme dans
l'exemple. choisi , on diminue le chiffre essayé 6 d'une uQité, puis
on vérifie le nouveau chiffre 5 comme le précédent, et ainsi de suite,
jusqu'à ce qu'on ait obtenu une somme qui n*excède pas le nombre
auquel on la compare; le chiffre 5 fournissant (Sette sommet il est
le second chiffre de la racine; alors on soustrait la somme 7 625 du
nombre 7 928, ce qui donne un reste 303, à la droite duquel on écrit
la troisième tranche 974 du nombre proposé ; on sépare deux chiF-
fi^ sur la droite du nombre 303 974 qui en résulte, et oh divise \sl
partie à ^aucKe 3039 par le triple carré 18lf5 du nombr^ 25 formé
XII PUISSARGBS SI 1ACIR£S.
par les deux premiers chiffres de la racine; la piurtie entière 1 dû
quotient donne le chiffre suivant de la racine ou un nombre trop
grand ; on le vérifie comme le second chiffre , et on continue ainsi
de suite, quel que soit le nombre des tranches qui composent le
nombre proposé y jusqu'à ce qu'on ait employé toutes les tran-^
ches.
25. Quand , par erreur, en extrayant la racine cubique , le reste
qui correspond à une partie obtenue de la racine n'est pas moindre
que le triple carré de cette partie , plus le triple de cette partie , plus
une unité, cette partie obtenue est trop petite au moins d'une unité;
et lorsque le reste çst moindre que le triple carré de la partie de
racine obtenue , plus le triple de cette partie,, plus une unité , cette
partie ne peut être augmentée (15).
Chaque reste, ajouté au cube de la partie de racine obtenue, doit
fournir le nombre formé par les tranches sur lesquelles on a opéré ;
ainsi , comme cas particulier, le dernier reste il5 723 obtenu dans
l'exemple du numéro précédent, ajouté au cube de 251, doit repro-
duire le nombre proposé 15 928 974. De là résulte un moyen de faire
la preuve de Vextraction de la racine cubique à moim d'une uniié
d*un nombre entier.
CARRés, CUBES , RACINES CARREES ET RACmES" CUBIQUES DES FRACTIOIIS
ET DES NOMBRES DECIMAUX.
26. JLe carré f le cube et en général une puiesanee quelconque m*^*
d^une fraction étant le produit de cette fraction prise respectivement
deux , trois , m fois comme facteur, on obtient une puissance quel-
conque !»•*"• d'une fraction en élevant chacun de ses termes à cette
puissance. Ainsi on a :
W~'7^""49* VBJ ""5«""125' V6/ "^ô^*
27. De la manière dont se forme une puissance quelconque d'une
fraction , il résulte que pour obtenir la racine m**""* d*une fraction
dont lee deux termes sont des m^^'°** puissances , il suffit d'extraire la
racine m^*^ de chacun de ses termes. Ainsi :
^i6_\/Î6^4 C/^».i^^* (/?^^=*
^ *^""ï/49 7' ^25~rVÏ25 »' «• P^6= ^'
PUI88À1ICB8 ET BAGIiaS lOS FIACTIOIIS BT M8 NOMBRES DÉCIMÀVX. Xifl
28. La puissance quekanque m^'^* (Sun nombre décimal étant
le produit de ce nombre pris m fois comme, facteur, on obtient le
carré , le cube et en général une puissance quelconque w*^'"* d'un
nombre décimal en TéleVànt respectivement, ab^action faite de
la virgule, au carré , au cube , à la m*^"** puissance , et en séparant
sur la droite du résultat deux , trois , m fois autant de chiffres déci-
maux qu'il y en a dans le nombre proposé. En efibt :
„ ., 74* 8476 ^.,„ , .„, 145» 3048 6Î8 „«.„„^„
29. De la règle du numéro précédant , il résulte que pour revenir
du carré , du cube et en général de la m'^^ puissance d'un nombre
décimal à ce nombre,, on extrait la racine carrée, la racine cubi-
que, la racine m»**^ du nombre donné, comme si c'était un nombre
entier (22 et 24) ,, abstraction faite delà virgule, et on sépare, sur la
droite de la racine trouvée , respectivement 2 , 3, m fois moins de
chifires décimaux qu'il y en a dans le nombre proposé. En effet :
1/100 ^^
K — K 3 048 625 145
t/3,048 625 = \ ==Tqô = ^>^^'
J/1 000000 ^^
30. Pour extraire la racine carrée ^ à moins d'une unité décimale
tun ordre déterminé , d'un nombre quelconque y entier^ décimal ou
fractionnaire (16) , on prépare ce nombre de manière qu'il con-
tienne deux fois autant de chiffres décimaux qu'on en demande à la
racine , soit en négligeant les chifires décimaux en excès , soit en
émvant des zéros à la droite du nombre proposé , soit en conver-
tissant celui-ci en un nombre décimal ; on extrait la. racine carrée ,
à moins d'une unité, du nombre qui en résulte, abstraction faite de
la virgule , et on sépare sur la» droite de cette racine assez de chiffres
pour que le premier à droite exprime des unités de l'ordre déter-
miné.
On trouve ainsi que la racine carrée , à moins d'une unité , de 247
est 15; '
Que celle de ce même nombre, à moins d'un centième, est fournie
par \/247,0000 , et qu'eHe est 15,71 ;
%Pf pmaêàswas n ftACtins.
Que celle de 2,5 , à moins d'un centième , est fournie par.
\/^ =k2,5000, ce qui donne i,58 ;
5
Que celle de 7-, à moins d'un millième, est donnée par
11
1/0,454545, et qu'elle est 0,674.
31 . Pour extraire la racine eubiqiie , à mcnn» JFune unité décimale
ffun ordre déterminé y d'un nombre quelconque , entier, décimal ou
fractionnaire^ on suit là même marche que pour la racine carrée (30) ;
seulement, au lieu de préparer le nombre proposé de manière qu'il
contienne deux fois plus de chiffres décimaux qu'on en demande
à la racine , on le |)répare de manière qu'il en contieiine trois fois
autant.
Ainsi la racine cubique de 12,5, à moins d'un centième, éét
donnée par 1^^12,500 000 , ce qui fournit 2,32 ;
Celle de 0,000012755 427, à moins d'un millième, eSt fournie
par K0,000012755, et on trouve 0,023;
71 8.
Celle de —, à moins d'un centième, est produite par y 3,227 272,
et elle est 1,47.
32. Remarque. Les racines carriées et cubiques que l'on obtient
par les règles des deux numéros précédents pèchent par dé&ut; en
augmentant d'une unité leur dernier chiffre à droite, on aurait en-
core, mais avec excès , les racines demandées, à moins d'une unité
décimale de l'ordre déterminé.
33. Pour obtenir la racine la plu§ approchée , carrée oti cubique,
d!un nombre quelconque, en ne conservant qu'un nombre déterminé
de chiffrée décimaux, on calcule, par les règles des n""" 30 et 31, là
racine avec un chiffre décimal de plus qu'on n'en veut conserver ^
on supprime ce chiffre en excès, et, selon qu'il est respectivement :
1» moindre que 5 , 2" 5 et le reste de la racine nul , 3» 5 sans que
le reste soit nul , ou plus grand que 5 : 1* on ne change pas le der-
nier chiffre conservé, 2* on augmente «ou non d'une unité ce chiffre ',
3* on augmente ce chiffre d'une unité.
34. Pour déterminer la racine cajrrée ou la racine cubique d'un
nombre quelconque , à moins d'une fraction dont lé numérateur
est l'unité , on le multiplie par le carré ou par le cube du déno-
minateur de la fraction d'approximation; on convertit, si cela est
nécessaire, ce produit en décimales; on extrait la racine carrée ou
PUISSAnCBS ET AÂeilVBS DB DBGRÉS SUPiUBUBS A 3. XT
eiibiqae , A moins d'une unité , du résultat , ou mieux de sa partie
entière , et donnant pour dénomitiateur à cette racine le dénomi-
nateiu* de la fraction d'approximation , la fraction qui en résulté
est la rapine cherchée.
En effet , pour obtenir, par exemjplë , la racine carrée de 8 ^ I
moins de •z y remarquant que
comme la racine carrée de 393 est comprise entre 19 et 30, il en
résulte que celle de 8 tombe entre ir c* ij-j et que par conséquent
chacune de ces fractions exprime la k 8 à moins de ;r ; ce qui dé-
montre la règle énoncée.
De même , la racine cubique de t^ , à moins de = , s'obtient en
observant que
^ ^"® ^^"779,5454... de même que |î^779, tombai» entre 9 et 10,
on peut prendre pour % V — , a moms de -, soit - , soit ^.
PUISSANCES ET RACINES DE DEGRES SUPlfRIEURS A 3.
35. Le prodtêit de plusieurs puissances d'un même nombre est une
puissance de ce nombre , d*un degré égal à la somme des degrés des
puissances des facteurs ( 3 et 7 ) :
3x3« = 3»=27, 3«X3« = 3*=81, 3«x3'x3*=3»=:19e83.
36. Toute puissance d'une puissance d'un nombre est une ptiii-
sance de ce nombr^y d^un degré égal au produit des degrés désignés:
(3«)*=3* = 81, (3V=»3«=729, [(2V]» = 2"=: 262444.
XYI FUIS6ÀNCS8 BT RACI1IB8.
37. Des deux numéros précédents , il résulte que pcwr extraira
d'un nombre une racine dont l'indice ne renferme que les facteurs 2
et 3 y il suffit d'extraire successivement, dans un ordre quelconque ,
autant de racines carrées et cubiques que les facteurs respectifs 3
et 3 entrent de fois dans l'indice de la racine. Ainsi :
l>^=\/\78Ï=V/9=3;
j>^ï596=V^i/4Ô96=l^64 = 4;
38. Pour élever au carré ou au cube , et en général d une puis-
sance quelconque , le produit de plusieurs facteurs y on élève chacun
de ses facteurs à la puissance indiquée :
(3x4)' = 3«x4» = 144, (2* X5)»=:4«x5»=:8000.
On a aussi :
/2\ •_ 2'_ 32
Isj "^ 3» ~ 243'
r
39. Pour extraire une racine d'un produit ^ on extrait cette racine
de chacun des facteurs de ce produit. Ainsi :
K4x9 = k'4xK9 = 2X3 = 6-,
On a aussi :
40. Pour élever la somme ou la différence de plusieurs nombres à
une puissance , on effectue cette somme ou cette différence , et on
rélève à la puissance indiquée :
(3 + 4 + 5)»=: i2*=:i44; (9+2— 5)« = 6»=36;
/l + l,4 + 3y=(0,5+l,4 + 3)»^(4,9)» = 4i7,e49.
USAGE DES TABLES DES CARRÉS ET DES Cl^BES. XTII
4i. De même f^ pour extraira tme racine de la somme ou de la
différence de plusieurs nombres , on effectue cette somme ou celles
« . • • *
différence ,, et on en extt^ait la racine indiquée. Ainsi :
V/87-+ 57 = \/T44'= 12; \/2S— 9 = V/Ï6 = 4;
|^23,i7 + 49,715 + 42.764= i^'H7,649 = ij9.
' • . » -
USAG^ DES* TABtES DES CARRES ET DES CUBES DES NOTRES ENTIERS. SUC*
CESSIFS DE 1 A 10000 FOUR I^'eXTRACTÎOK DES RACJIÏES CARREES. SI
CUBIQVES. ,
' ' ' • ■ .
42. Remarque^ Les règleâ. exposées dans lès diapitres précédents
montrent que rèxtraction de la racine carrée et de la racine cubique '
d'un nombre quelconque, entier, décimal ou fraclionnair^, se ra-
mène toujours à Textraction de la racine carrée ou do la racina cu-
bique , a mpins d'une uqité, d'an nombre entier (16, 22, 24, 30
et Si).- ^ " ; . .,,..'.■ •■- . ■
43. Usagé de la table dts carrés des nombres entiers successifs de
A4 i<i 000 pour abréger 'r extraction de la racine carrée^ â moins
d'urie unité entière o^ 4'u^^' unité déchiiale d'un ordre déterminé y
d^un nombre q^letcon^ûe, entier ^ décimal ou fractionnaire. .
V Extraire la racine carrée^ à moins d'une unité, d^un nombre
quelconque. * L'opération cbnsifstant à extraire la Tacine carrée ^ &
moins d'une unité , d'un nombre entier, ou de la partie entière d'un
nombre décimal , où' encore de la* partie entière d'un nombre frac-
tionnaire réduit en décirnal(J6), on n!a besoin, danscç 1», que de
considérer les nombres entiers , et on a deux cas à distinguer, se-
lon que le nombre entier dont on a à extraire la raciiie carrée , à
moins d-une.unité , n'est pas supérieur î^u carré JOOOOOOOÔKiu plus
grand nombre 10000 contenu dans la table, ou qu'il est supérieur
àce carré. \ ■ . / ■\ «
i^^cas. Extraire la racine carrée, à moins d'une unité, du nombre
entier 78 6r> 45 78.
Cherchant dans la colonne des carrés de la table le carré 78 64 14 24
qui approche le plufe du nombre proposé 78 65 45 78 sans le.sur-
pas&ery ee carré est le plus grand carré entier contenu dans co
nombre ; donc sa racine carrée 88 68 , qui se trouve en .regard dans
la première colonne verticale , est la racine <îarrée , à moins d'une
unité, du ik>mbre proposé. Cette racine* pèéhe par défaut; 8869 est
t
XtlII
PUISSAlfCES. ET HACINBS.
la racine earrée/par excès , à moins d'une unité, du liombre pro-
posé. Prenant l'excès i3154 du nombre proposé sur le plqs grand
carré entier 78641424 qu'il contient, il est le reste que fournirait
l'extraction de la radne carrée , a moins d'une unité , de ce nombre *
proposé (22).
On voit que , pour tous' les nombres qui rentrent dans ce premier
cas^les calculs fort longs de l'extraction de la racine carrée (22) sont
remplacés par une simple recherche dâos la table , et le reste s'ob-
tient par une seule soustraction.
Il est à remarquer que , pour tout nombre de ce premier cas qui
sera un carré entier, c'est-à-dire pour tout nombre porté dans la
côlonnedes carrés de la table , le nombre en regard dans la première
eoionne verticale sera la racine carrée exacte; le reste sera nul.
Ainsi là racine carrée d\x nombre 78 641434 est ^868,
2* cas. Extraire la raciile carrée, à moins d'une unité, du nombre
entier 78751274 3752.
Séparant sur la droite de ce nombre un nombre pair 4 de chiffres ,
tel que la partie à gauche 78751274 soit la plus grandç possible?
ibais inférieure au carré dé 10000, cette partie à gauche rentrant
dans les nombres du premier cas , la table donne 88 74 pourla racine
carrée à moins d'âne unité, c'^st-à-dire pour la racine carrée du
plusgrand carré entier qu'elle contient, et787?> 1274 — 78747876=
3398 est le reste; donc le nombre 88 74 est fonné^des 4 premiers
diiffres à gauche de la racine cherchée (22^. Pour obtenir les sui-
vants, on n'a qu'à contmuer Textrâètion conformément à la règle du
n»22. /• ■ ■" ■ - ^
■78.78.12.74.37.52
78 74 78 76
33 983.7
17 748 1
88 74 19
■
17 74 81
.1
177 48 29
.9
17 74 81
15 97 34 61
16 235 65.2.
15 Q7a 46 1
262 19 1
Ainsi ^ à la droite du reste. 3398 on écrit la tranche suivante 37,
on sépare le chiffre? sur la droite du nombrequi en résulte, orî divise
la partie à gauche parle double 17 748 de la partie 8874 déracine
obtenue y et la partie entière dti quotient est le chiffre suivant de la
rsacine ou un nombre trop fort. Pour le vérifier, comme au n*» 22,
on l'écrit à la droite de 1 7748, on multiplie le nombre qui en ré-
USAGE |>BS iJkBÎM DES €im«É9 BT DES CUBES. XHL
suite par ee même êhiffré , et le produit n7481 pouvant se re-
trancher de 33 98 37 ^ c'est que 1 est le ehifire suivant dé la racine.
A la droite du reste 1623 56 on écrit la tranche suivante 52, on
sépare le chiffre 2 sur la droite du. nombre qui en résulte, on divise
la partie à gauche parle double de la partie obtenue de la racine,
ce qui donné le chiffre suivant de la racine ou un nombre trop fort;
•on le vérifie comme le précédent , et on continue ainsi de suite jus-
qu'à ce qu'on ait opéré sur toutes les tranches. On trouve ainsi que
la racine carrée, à moins d'une upité, du nombre proposé est
88 74 19, et que le reste est 2621 9i.
On voit qu^ t'aide de la table on obtient' Immédiatement les
4 premiers chiffres à gauche de la racine cherchée; ce qui abrège
considérablement les calculsi relatifs à Pextrcfôtion de cette ra-
.cine (22) V • ■ ,. ,
2<* Extraire là racine carrée, à moins d^um iJ^niU décimale d'un
* .
ardre détertninéy d'un nombre quelconque. , *
L'opération consistant à préparer Je mmbre donné de manière
qu'il contienne deux fois autant dé chji&es décimaux qu'on eh de«
mande à la racine , à extraire la radine can!ée, à moins d'une unité,
dû nombre qui en résulte, abstraction faite de la virgule ^ et à sé-
parer sur la droite de cette racine assez de chiffres décimaux pour
que le premier à droite exprimé des unités de Tordre déterminé,
on voit que les calculs se.r^ènent à ceux du T , et que l'on
aura encorie ^ distinguer deux cas analogues- à ceux du. l^.
i*' cas. Extraire la racine carrçe, à moins d'un millième, du
nombre 96^ 283.
Préparant ce nombre de manière qu'il contienne 6 chiffres déci-
maux, il devient 96,28 30 00;. faisant abstraction de la virgule, et
exU'ayant la racine carrée, à moins d'uiie unité, comme au !«" cas
du 1% la tablé donne 98 12 pour racine et 96 28 30 00— -96 27 5344«
76 56 pour reste; donc la racine charchçe est 9,81 î,- et le reste
0,007666. . *
^ cas* Ëxtrûre la racine carrée de 7 87 5i 27 43,7/ à moins d'im
centième. .
' Préparant ce nombre, de manière qu'il contienne 4' chiffres déci-
maux, et négligeante virgule, on obtient le noijibre 7 87 51 27 43 7000,
dont la racine carrée , à moins d'une unité,, se calcule comme au
2^ cas du 1<^. Ainsi l'a table donne d'abord 2806 pour la racine car-
rée, à moins d^une unité, du nombre 7 87 51 27, c'est-à-dire pour les
:4 premiers chiffre^ à gauche dé la racine (dierchéerCt 7 87 51 27—
tx
pHisunces kt iiÀcmis.
7873636^1491 pour reste; puis les 3 autres chiffres se déter-
minent à Faide de ï-opération suivante;
7.87.91.27.43,70.00
2 80 62 6e
•
7 87 36 36
14 91 4.3
1125 4 4
5 61 22
2
S6 12 46
6
5 61 25 25
5
J Ml. Jàét Ht Ht
3 68 9 9 7.0
3 36 7 4 7 6
11 ^ 44
3 36 74 76
•
28 06 26^
32 2 4.9^40.0
28 6 2 62 S
•
4 1 8 6 77 §
/•
Le résultat ainsi obtenu montre que la racine cherchée est
2 80 62,65 , et que le reste est 4 1 8,67 75.
On voit que , comme au 1^, là table donne directement les ,4 pre-
miers chiffres à gauche de la racine.
44. (Isctge de ta table dett cubes des nombres entiers iue'cessifs de
i à ICOOO pour abrège}^ l extraction de la racine cubique ^ d moins
d'une unité entière pu d'une ùnitë d4cimale d'^un ordre .déterminé ,
d'un nombre quelçonùue^ entier, décimal ou fractionnaire. Ce qui
suit , relativement à la racine cubique, est identique à ce qui a été
çxpoàé dans le h»- précédent pour la racine carrée.
i^JExlraire la ratine cubique ^ à moins dune unité, dun nombre
quelconque.
L'opération consistant à extraire la i*acine cubique, à moins d'une
unité, d'un nombre entier, ou de la partie entière d'un nombre dé-
cimal , ou encore de la partie entière d'un nombre fractionnaire ré-
duit en décimal (16) *, on n'a besoin , dans ce 1°, que de considé-
rer les nombres etitiers , et on a deux cas à distinguq^, selon que le
nombre^ntier dont on a à extraire la racine cubique, à moins d'une
unité, n'est pas supérieur au cubé 1000000000000 du plus grand
nombre 10000 contenu .dans la table, ou qu'il est supérieur à ce
cube.
l*' cas. Extraire la racine cubique, à moins d'ime unités du nombre
entier 97 062 526 893.
Cherchant dans la colonne des* cubes de la table, le cube
97018944875 qui approche le plus du nombre prq)osé ^ans le
surpasser, ce cube est le plus grand cubé entier contenu dans ce
nombre; donc sa racine cubique 4595, qui se trouve en regard dans
USAGE DES TIBLBS WES CÀEBf S BT DBS CUBES. XXI
la première colonne verticale, est la racine cubique, à moins d'une
unité y du nombre proposé. Cette racine pèche par défiEHit; i596 est
la racine cubique, par excès, à moins dune unité, du nopbre
proposé. Prenant l'excès 43 582 01 B du nombre projposé sur le
plus grand cube entier* 97 048 944 875 qu'il contient , il est le reste
que fournirait l'extraction de la racine cubique, amK)insd uneunité,
de ce nombre <24),
On voit que ^ pour tous les nombres qui rentrent dans ce premier
cas, les calculs très-lon^s de l'extraction de la racine cubique, à
moins d'une unité (24), âoni remplacés par une simple recherche
dans la table, 'et le reste s'obtient par une seule soustraction.
Il est à remarquer que , pour tout nombre -de ce premier cas qui
sera un cube entier, c'est-à-dire, pour tout nombre porté dans la
colonne des cubes de la tablé, le nombre en regard dans la pre-
mière colonhe verticale sera sa racine cubique exacte ; le reste sera
nul. Ainsi la racine Cubique du nombre 97 018 944 875 est 4595.
T cas. Extraire la racine cubique, à moins d'une unité, du
noaibre entier 97 062 526 893 127 9^43;
Séparant sur la droite de. c& nombre un nombre 6, multiple de 3,
de chiffres, tel que la partie à. gauche 97 062 526 893 soit la plus
grande possible, vci^is inférieure au cube de iOOOO, cette partie à
gauche rentrant dans les nombres du 1*' cas, la table donne 4595
pour sa racine cubique , à moins d'une unité , c est-à-dire pour la
racine cubique du plus grand cube entier qu'elle contient, et
43 582 018 est le reste; donc le nombre 4595 est formé dès 4 pre-
miers chiffres à gauche de la racine cherchée (24).. Pour obtenir
les suivants, on n'a qu'à continuer l'extraction de la racine cu-
bique conformément à la règle du n*^ 24 , comme on l'a fait au
2* cas du 1* du n°- précédent pour la racine carrée'.
W 06î 526 893.4 27.9 43 ] 459 568
97 018 944 875 ' 1
43 582018 1.27
38 010 207 8 16
5 571810 3 119 43
5 06à 777 6 82 4 32
503 032 6 29 5 11
033iâ07 500x6,
827 100X6
36x6
6 335 034 636X6
38 010 207 816
•633 886180 800X8
^ 11029 440x8
64x8
633 597 210 304x8
5 068 777 682 432
On trouve ainsi que la racine cubique , à^ moins d'une Unité , du
nombre proposé , est 459 568 , et que le reste est 503 032 629 511 .
On voit qu'à l'aide dé la table on obtient immédiatement les
XXII PtlBSJ^CEB Bt BACinSS.
4 premiers chiffres à gauche dç la racine cherchée; ce qui abrège
ooûsidérablement le& calculs relatifs à rextractîon de cette ra-
cine ^24). ','-.'" ^
^ Extraire la racine cubique, à moins d'unes unité décimale d*un
ùrdre déterminé, d*un nombre quelconqu,e. " ■ _
L'opération consistant à préparer le non^bre do^né de manière
qu'il contienne trois fois, autant de chiffres décimaux qu'oii en de-
mande à la racine, à extraire ta racine cubique,* à n(ioins d'une
unité, dunon)lH*e qui en résulte^ abstraction faite de la virgule , et
à séparer sur la droite de cette racine assez* de chiffres décimaux
pour que le premier chiffre à droite exprinie des unités de Tordre
déterminé, on voit que ies calculs se ramènent à ceux du 1*, et
que l'on aura encore à distingue]^ deux cas analogues à ceux*
de ce 1*. ^
1*' cas. Extraire la racine cqbique, à moins d'unjfnillième, du
nombre 97,06. * ' . . •
Préparant ce nombre de manière qu'il contienne 9 chiffres dé-
cimaux, il devient 97,060 000.000; faisant abstr^^ction de la vir-!
gule, et extrayant la racine cubîquje,'à moins d*une unité , çonmie *
au 1" cas du 1°, la table donne 4595 pour racine, et 97 060 000 080 -r
97 018 944 875 =^41 055 125; donc la racine cterohée est 4,595
et le reste 0,041 055 125.
2* cfl*' extraire la racine cubiq\ié, à moins d'un ceiitiènie , du
nombre 97 062 526 893,12. *
Préparant ce nombre de manière., qu'il contienne 6 chiffres
décimaux,, et négligejant la virgule , on obtient le nombre
97 062 526 893 120000, dont la racine cubique, à moins d^une
unité , se calcule comme au 2^ cas du 1^ Ainsi la table donne
d'abord 4595 pour la racine cubique, à moins d'une unitéj- du nom-
bre 97 062 526 893, c'est-à-dire pour les 4 premiers chiffres à •
gauche de la racine cherchée, et 43 582 018 poui* reste; puis lès
deux autres chiffres se déterminent à l'aidé de l'opération suivante :
87 062 526 893.1 20.000 f 459 568
97 018 944 875 . '
43 582 018 1.20
38 010 207 8 16
5 571 810 3 04 0.00
5 068 777 6 82 4 32
503 032 6 215 68
6 334 207 500x6.
827 100X6
36X6
¥ »• " '
6 335 034 636x 6
38 010 207 816
^33 586 180 800x8
11029 440x8
64x8
■*^~^y » j i »
633 597 210 304x8
5 068 777 682 432
EXTRACTION DES RACINBS AL MOYEN d' ADDITIONS SUCCESSIVES. XXIU
Le résultat ainsi obtenu montre que la racine cherchéa est
4595,68 , et que le reste, est 503 032,621 598. .
Oq voit que; comme au V, la table donijie encore directement
les 4 premiers chiffres ^ gauche de la radne.
EXTRACTION DES RACINES CARREIS ET GUBIQTUÉS AU MOYEN d' ADDITIONS
SUCCESSIVES.
45. De quelques propriités des carrés des nombres entiers'. Posant,
de noanière que les termes se ccNrespondent ^ les trois suites : 1'* teliè
des nombres impairs successifs en commençant par l'unité, 2* celle
dés nooibres entiers successifs, 3' celle des carrés de ces nombres
entiers successifs:
i 3 5:7 9 a 13 i5 17 19 . 2i 23 25.,..
12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13....
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169....
1° Le carré c, porté dans la 3* série, d'un nombre entiei^ queïr
cooque n , qui se trouve en regslrd dans la seconde , est égal à )a
somme des n premiers termes de la pi'emièré série (3°). Ainsi , le.
carré c = 25 de n = 5 est égal à îa somme des cinq premiers termes
de la première série ; ce quHl est facile de vérifier.
2°. La première série formant une progression arithmétique
commençant par Tunité et dont là raison est 2 , le n* terme t donne:
i=i-f 2{n-r-l) = 2n— i.
Ainsi le carré entier 49 ayant 7 pour racine carrée, il est la
somme des 7 premiers termes de la première série, et le 7* terme
de cette série est:
3" Lasomme c, des npremiiers termes de ta première sérié cionsi-*
dérée comme une progression arithmétique , étant égale à la moitié
du produit de la somme du premier terme 1 et du n*^* t par le
nombre n des termes , on a:
2
XXIt FOrSSANCE» ET BACmÉS.
En remplaçant , dans cette expression , t par sa valeur dû 2*^ il
vient bien c=: n}^ comme on l*a annoncé an !•.
Lai somme s des n premiers teimes de la 2* série dofme , par la
même raison :
' (l+n)n _ _^ ._ (i-t-5)g _.,,
»= — ;pourn=5, 1=1 — - — = 15.
\
é *
La soname S des n premiers termes dé la 3* série, c'est-à-dire des
carré3 des n premiers nombres entiers consécutifs, est égale au
produit du double 3n de la racine n du plus ^and carré , plus
l'unité, par le tiers de la somme s ^es racines de cjetté suite. Ainsi ,
on a :
- S=5(2»+l)|.
Cu encore, en remplaçant s par sa valeur précédente:
S-|«(«+l)(ân+V).
Ô^oît à calculer la somme S des carrés des ns= 13 premiers nom-
bres entiéï*s consécutifs. Suîvantque l'on aur^ou non calculéla somme
(n+i)n (i3-flH3 ^,' . * . ' ,
s = — -—^ =3 -^"^"^ == 91 des p^cmes, on fera usage de la
1" o,u de la 2' expression de la valeur de S , et on aura :
S=<2X13+1)X^ = 8J9 ou S =:-x 13X14X27 = 819.
o o
4* Lorsqu'une suite de carrés entiers succ>esslfs lie commence
pas par l'unité , que, par exemple, son premier carré :est n'* = 0'
et son dernier ri' = c , la somme Si des racines correspondantes est
égale à la dilSérence c — c' entre le plus grand et le plus petit carré,
plus la somme n-^-n' de ces deux carrés, et le tout divisé par 2.
Ainsi , on a :
En efiet , la deuxième suite posée ci-dessus, considâ*ée comme
une progression arithmétique dont le !•' terme est n' et le dernier n ^
et dont^ par suite, le nombre des termes est n— n'-j-l donne,
comme au 3*:
r
EXTRACTIOTY PES RACINE» AC MOYEN D*ADDITI01(8 SUCCESSIVES. XXT
(n'-f n) (n— n'+4)
^
ce que fournit bien l'expression précédente , en effectuant les
calculs, sirnpiifiant et remplaçant n' parc et n'* par c'.
Si le premier carré de la suite este' =9 et lé dernière = 64,
d'où n' = 3 et n r= 8, la somme de la suite de racines est :
64-9+8+3 ._.
5j= ^ = 33.
Ce qu'il est facile de vérifier.
S" PiHir avoir la sommé des carrés des nombres entiers consécutifs
dont le plus petit est n' et le plus grand n/bn calculera, comme
au 3% la somme S des carrés des n premiers nombres entiers consé-
cuti&, à partir de i, et la sonune S' des carrés des n' — 1 premiers
nombres, entiers consécutifs, au^i à partir de i , et rétranchant S' de
S et on aura la somme cherchée.
46. De quelques propriétés des cubes des nambres entiers (45). Po^
sant , de manière que les termes se correspondent , les quatre suites :
!'• celle des nombres, successifs formant une progression arithmé-
tique doilt le preixiier terme est 3 et la raison 6 , 2» celle des nom-
bres entiers successifs , 3* celle xies cubes de ces riombrçs entiers
successifs , 4* celle des sommes des nombres entiers successifs:
3 .9 15 21 27 33 . 39 45 '81 87....
12 34 8 6 7 89 10....
1 8 27 64 128 216 343 812 729 1000....
13 6 10 18 21 28 36 45 88....
IvLe cube C , porté dans 4a 3* série, d'un nombre eptier quel-
conque n , qui se trouve en regard dans la seconde, est égal au tiers
de la somme des n premiers termes de la première série, multiplié
par le nombre n des termes (3**). Ainsi , le cube e = i25dén'=S
est égal au tiers 25, de la somme s' = 75 des 5 premiers ternies de la
première série, multiplié par S; c'est ce que Ton vérifie facilement.
2''La première série formant une progression arithmétique dont
le !•' terme est 3 et la raison 6, le n'*"»* terme t donne:
. r = 3 + 6(n— i) = 6n— 3.
Ainsi , le cube entier 343 ay^nt 7 pour riacine cubique , il est le
XXTI P1II88ÀNCBB BJ RACINES.
tiers de la somme des 7 premiers termes de la première série y
multiplié par 7 ; et le 7« terme de cette série est':
3* La somme «'. des n premiers te rmes de la 1" série considérée •
comme une progression arithmétique , é tant égale à la moitié du
produit.de la somme de son prenâier terme 3 et de son n*^**^ t par *
le nombre n des termes , on à :
(3+02
* - "71 • • .
En remplaçant ^ dans cette expression, t par sa valeur du S"", il
vient : .. X
s
f'sB.Sn*, d^où n* Ç3 -,
<s
et, par suite, en multipliant les deux terrtres par nr:
Résultat annoncé au 1*. *
A° Un cube quelconque C d'un nombre entiqr n est encore égal
à six fois la somme des (n — 1) premiers termes de la 4* série, plus
le nombre n des termes. Ainsi , on a :
n»=8»=6 (1-f 3+6 4-10+15 +21+28)-|..8=6x.84.+ 8::?= 512.
5** La somme S des cubes de .n nombres entiers consécutifs à
partir dePunité , ou des n pretnietrs termes de la 3* série çsi égale au
carré de la demi-sonamedu caîrré n* et de n. Ainsi, oo a :
-m-
Ce qui donne , pour n = 8 :
8=:=(?!±5V=.36* = 1296.
6"". Pour a?oir la somme des cubes de nombres «itiera coiisécu-
EXTBAGTIOK DBS RACniVS AU HOTBK S' ADDITIONS SCCCB8SITES. XITH
iits, dont le plus petit est n' et le plus grand n, on calculera, comme
au 5°, la somme $ des cubeâ des n premiers nombres entiers coçsé-
cutifs à partir de 1 , et la somme S' des cubes des n' — i premiers nom-
bres entiers consécutifs aussi à partir de 1, et retranchâmt S' de S ,
on aura la somme cherchée.
47. Extrcu^œi de la racine carrée par des additions successives.
Cette manière d'opérer repose sur ce que le carré d'un nombre en-
tier fty augmenté de ce nombre et d'un^ unité, donne le carré du
nombre, entier (n-\-i) imifiédiatementsupérienr (14).
Nous allons déterminer les 4 premiers chiffres à gauche de la
racincT en faisant usage de la table , comme au ïf 43, et nous
suivrons la méthode par additions successives pour obtenir les
chiffres suivants, ce qui suffira pour faire bien comprendre com-
ment on opérerait pour extraire la racine uniquement par cette mé-
thode.
Soit à extraire la racine carrée, à moins d'un centième, du ndmbre
787 512743,7. Comme au n° 43, 2« cas du 2o, l'opération se ra-
mène à extraire la racine carrée , à moins d'une unité , du nombre
7 87 51 27 4à 70 00 , çt à séparer 2 chiffres décimaux sur la gauche
du résultat . ' .„
La table donne , pour les 4 premiers chiffres à gauche de la ra-
dne , le nombre 2306 y dont le carré , qui est le plus grand carré
entier contenu dans le pombre 7 8751 27.foçraé par les 4 premières
trdnche^ à gauche du nombre proposé , est 7 87 36 36.
G^la établi , posant : .
Carré , de 5J806O j ..... . 787363600
Double de la. racine 28060 , plus !.•... 5 61 21
La somaie ou le carré de 23061 est. . . /; 7 87 ai 97 21 ;
Double de la racine de 28061 , plus 1. . . \ 5 61 23
"W"
• La somme ou la carré de 28062 est. .... 7 87 47 58 4/i
Double de la racine 28062 , plus 1. ; . . . • 5.61 25
' \ " ' - I ' ■
La somme ou la carré de 28063 est .... 787531969
* ^
Ce dernier carré étant supérieur .au nombre formé par les 5 prer
mièrés tranches à gauche du nombre proposé, c'est celui de 28 062
qui .est le plus grand carré entier contenu dans ce nombre; donc 2
est le 5® chiffre de la racine.
Pour calculer le 6^ chiffre , on opère commepour le précédent :
XXniI FUISSAKCBS ET RACniBS.
. Carré de 280626; . 7874758M00
Double de la racine 280620, plus 1 5612 41
La somme ou le carré de 280621 est. .... 7 87 hS iU b6ài
Double de la racine 280621, plus 1, .... ! . 56 12 /(3
La somitie ou le carré de 280622 est. • » • ^ 7 87 /i8 70 68 8&
Double de la racine 280622 , plus 1 56 12 45
la somme ou le carré de 280623 est ... . 78749268129
Double de là racine 280623 , plus 1. .... . -56 12 47
La somme ou le carré de '28i)624 est v . . . 7 87 49 82 9376
Double de la raciiie 280624, plus 1 56 1249
La somme ou le carré de ^80625 est 7 87 50 39, 06 25
Double de la racine 28062^ , plus JL. . ^ . . . \56 12.51
■ ■
^La somme ou le carré de 280626 est . . ; . ^ 87 50 95 18 76
Double de la racine 280626, plus 1. .... . '561253
7 87 51513129
Ce dernier carré étant supérieur au hombfè foniié par lés 6 pre-
mières tranches à gauche du noôibre proposé, c'est que 6 est le
6* chiffte de la racine.
En opérant pour le V chiffre de la racine comme pour les deux
précédents, on trouTC qu'il est 5, et que par conséquent la raciiie
demandée est 28062,65. Quant au reste,' on Tobtient en retranchant
du nombre formé par toutes les tranches le plus grand carré trouvé
qui y est contenu, et en séparant sur la gratte de la différence deux fois
plus de chiffres décimaux qu'il n'y en a à la racine ; on trouverait ainsi
que, dans ^exemple choisi, ce reste est, coii^me au h° 43, 418,6775.
Remarquant que les doubles de racines, plus i, que l'on ajoute
successivement, augmentent de 2 unités , on voit que l'extraction
delà racine se réduit ainsi uniquement à une série d'additions fort
simples; et comme, pour chaque chiffre de la racine, le nombre
de ces additions est 5 en nioyenne, sans jamais dépasser 9, il en tç-*
suite que Ton peut en mdns d'une heure calculer la racine d'un
nombre de plus de 60 chiffres , ce que Ton aurait de la peine à
faire en une demi-journée en suivant la règle ordinaire (22).
48. Étant donné te cubé d'un nombre entier n , trouver celui de
n-f 1. On a (15) ■ •
(n + l)»=n» + 3n* + 3n + 1.
EXTRACTION DES RACmBST AU VOlrBR D'A1>DITI0K3 SUGGBSjSITJtf. XXU
Comme 3n* est égal à la somme s' des n premiers tennes de la
première série (> n® 46); pour obtenir, parexemple, le cube de 21,
comiaissant celui de 20, oh posera
Cube de n«20 , . , • * • 8000
Su* 3 X 20'
Somme des termes s'«3n* ou — =* 3 X 20» ou ^^ . 1200
3 fois la racine n»20 60
L'unité. 1
. Faisant la somme , elle sera le cube de 21» (lui est bien 9261
f
49. Étant donnés les cubes de deux nombres entiers consécu-
tifs n et n 4- 19 trouver celui du noàibre entiec immédiatement su-
périeurn-4-2-
Ûn a d'abord (48) , en désignant par d la différence des cubes
(n + l)'etn»
d==3»* + 3n+l.
Posant ensuite (48)
{h + 2)»c=(n + l)'-f-3(n + l)«+3{n + <) + «;
d'ou., en effectuant les calculs ,
(n + 2)» =. (n + 1)» + 3ii» 4- 6» + 3 + 3tt.-h 3 -f 1 ,
et, par suite,
(•n + 2)» * (n + 1)» + (3n« 4- 3« -f 1) ou a + 6;n + 1)
D'après cela, ayant, par exemple, 20» = 8000 et 21 »=9281 , pour
déterminer le cube de 22, puis celui de 23^ etc., on posera :
t
Cube de 21 (48) 9261
Différence d== 21'— ^». '. . t • 1261
6(n4rl) ou 6 fois la racine 21. 126
"
Faisant la somme , elle donne le cube de 22, qui .est . i06iï3
Différence de ce cube au précédent .•....,... 1387
6 fois la racine 22 • . 132
Somme ou cube de 23. 12167
50. Extt action de la racine cubique^ par de$ additions piceep^
dves. En ^'aj^uyant sur ce qui a été. posé dans les deux numéros
précédents/ on peut, comme pour la racine carrée (47), extraire la
racine cubique au moyen d'additions successives.
Soit, par exemple, à extraire la racine cubique, à moins d'un mil-
lième , du «ombre 3906000. L'opération se ramène (44 , 2° ¥ cas)
à extraire la racine cubique , à moins d'une unité ^ du pombre
3 906 000 000 000 000 , et à séparer 3 chiffres décimaux sur la
droite du résultat.
La table dcmne , pour les 4 premiers chiffres à gauche de la ra-
cine, le nombre 1574, dont le cube, qui est le plus grand cubeenr
tier contenu dans le nombre 3 906 000 000 formé par les 4 pre-
mières tranches a gauche du nombre dont on a été amené à extraire
la racine, est 3 899 547 224.
Gela établi, on pose, en remarqus^t que les tables donnant
2477476 pour le carré de 1574, trois fois le carré de 15.740,
c'est-à-dire la somme s' des tej'mes de la progression, est
2 47747600 X 3 = 7 43242800:
Cube de iô7/iO 3 899 5à7 122 A 000
Triple carré de la racine 15740 743243 800
Troi^ fois la racine 15740 47 220
L'unité. ..........' 1
Somme ou cube de 15741 (48). ....... 3 900 290 514 021
Différence entre ce cube et le précédent . 743 290 021
6 fois la racine 15741 94446
■.■
Somme ou cube de 15742 (49) 3 901 033 898 488
Différence entre ce cubç et le précédent, . 743 384 467
6 fois la racine 15742 < . 94 452
Cube de 16743. 3 901 777 377 407
Différence entre ce cube et le précédent . 743 478 91'9
6 fois là racine 15743. 94 458
Cubedeiblliti 3902620950784
Différence entre ce cube et le précédent . 743 673 377
6 fois la racine 15744 94 464
i^"
Cubede iblU^. .....;.....:... 3903264618625
Différence entre ce cube et le précédent . 743 667 841
6 fois la racine 15745 94 470
IXTRIGTIOIT DES RAGIMBS AU «OVBN D' ADDHIONS SUCCESSIVES. l%Jil
Cube de i57&&r 3 004 008 380 936
Différénce^ntreee. cube et le précédent. . 743 762 311
6 fois la racine 15746. . v 94 476
Cube de iblli?. . . . . : ....... .... 3904752237723
DiflTérence entre ce cube et le précédent . 743 856 787
6 fois la racine 15747. . . . 94482.
Cubedei^lUS. . . ... . , . . . ... . . 3905496188992
En eoniînu^nt, on trouverait que le cubé de 15 749 est plus grand
qu« le nombre 3906000000000 formé par les 5 premières tran-
ches; donc8 est le 5* chiffre -
Pour calculer le 6* chiflre, on opère comme pour le précédât ^
maïs on remarque d'abord .que^ pour obtenir le triple carré de
157480^ on pourra simplifier les calculs en décomposant ce ïiombre
en 157400 et 80, et en posant (14),: '
' Carré de^ 157400^ qui s'obtient en écrivant
4 zéros à la droite du carré de 1574^ que
donne directement la table. ....... . 24 774 760 000
167400X80X2. ........ . . . . . . . 25184000
Carré de 80... - . 6 400
Somme de cestroisparties ou carré de 157480. 24 799 950 400
Multipliant par 3, on a |)our le triple carré. 74 399 851 200
Cette n^anièré dç calculer le caisré ou 4e triple ëarré d'un nombre
formé en écrivant un et mé^e plusieurs chiffres à la^droite d'un autre
nombre, dont on connaît le carré, peut sîouveht permettre d'abréger
des calculs pàiibles; c'est ce qui arrive^ par exemple, dans l'ex-
traction de la racine cubique ; où on a besoin de calculer successif
vement le triple carré de la partie de racine obtenue (24 et 44).
Gela établi, on calculera le &® chiffre cherché en formant le tableau
suivant d'opérations: ,
UXII PUISSANCES fiT RACimS.
Cuhê de ibim 3 905 /i96 188 992 000
Triple carré de la racine 157480. ....•• 7/i 399 851 500
3 fois la racine 157480 ; 472 440
L'unité. , . 1
Cvhe de ib7UH.. 3905570589315641
Différence entre ce cube et le précédent . ' 74400 323 641-
6 fois la racine 157481. . . 944 886
■%
CubedeiblUSa 3905 644990 584168
Différence *. . 74401268527
6 fois la racine. . . . . ... ........; ^ 944892
Cti6ed« 157483... ' 3905719392797687
Différence. , 74402213419
6 fois la racine, ..'..........:.. 944898
Cube de ibUSU. 3905793795955904
Différence. ..;.... ^ ..... . . .,. .. 744031-8317
6 fois la-racine . 944904
■*
Cuhedeibim.. . 3 905 8(68 200 05? 125
Différence. ....... v .. 74404103221
6 fois la racine. . 944 910
CubedeA5im.. ........... ^ • • 3905942605107.256
En continuant , on tronverâît que lecube d^ .157 4^7 est plus
grand que le nonibre 3906 000000000000, formé par les 6 pre-
mières tranches; donc 6 est le 6* chiïfre cherché, et, par suite, la
racine demandée est 157,486. Quant au reste, on robtienteh re-
tranchant dû nombre formé par toutes les tranches le plus, grand cube
trouvé qui y eist contenu, et en séparant çur la droite de la différence
trois fois plus de chiffres décimaux qu'il y en a à la racine , oh
trouve ainsi que , dans l'exemple qui nous occupe , le ï-este est
57,394892 744. '
Quel que soit le nombre des jchiffres, on les calculerait comme
les chiffres 8 et 6 de l'exemple précédent.
Il est à remarquer que les opérations préœdentes se réduisent à
dès additions ; en effet , la différence de deux cubes consécutifs est
égale à la somme des deux nombres écrits entité ces cubes, et 6 fois
la racine s'obtient en ajoutant simplement 6 aii dernier de ees
nombres.
HOTSnS B^ÀBB^GEIl ],^EXTRACTI01f DBS RAGINBS. lUni
HOTBIf S D^^fl^GBE US CAtCUIS RELATIFS A l'eXTRACÎION pBS RAÇIlf BS CARRÉES
EX CUBIQUES.
(Volf, pftQt It9 démoDSiration», le Cùmptim9ni dn éUmenk
51. Pour extraire la racine m**^ d'un nombre entier A avec une
erreur moindre que l'unité , il suffit de connaître plus de la m**"^
partie du nombre des chifires de A à partir de la gauche.
Comme Terreur tend à diminuer la racine, puisqu'on a diminué
le nombre dont on l'extrait, il eu résulte qu^ pour extraire la racine
m'****, à moins d'une unité, d'unnombre entier composé de n chifiFres,
îl suffit de prendre sur la gaiicbe de ce nombre au moins ^ ■
idii^s en remplaçant tous les autres par des ^érosV ptfi^ fl'extraire
diincMnbre qui en résulte la racine in''^"'% approchée pa^i^fipès k
moins d'ui^e unité (17). Ainsi:
1** La racine carrée, approchée par excès à moins d'une upité , du
nombre 7-46 OOest la racine carrée, àmoins d'une unité, du pombre
74673, et en général de tous les nombres entiers de 5 chiffres
dont les 3 premiers à' gauche forment le nombre 746 (n° 22). De
même, la racine carrée, approchée par excès à moins d'une unité,
du nombre 787 51 27000000 est la racinp éairée, à moins d'une
unité , 4u nptnbre 7 87 51 27 43 70 00 (n» 43}. \
2o La racine cubique, approchée par excès à moins d'une
unité, du nombre ,15 ^50 000 3 est la racine cubique, à moins
d'une ùnit^, du poinbre 15928 974 (n<»24). Demêipe; la racine
çubîque, approchée par excès à moins d'uî^e unité, du nombre
97 062 500 000 000 O06 est la racine çu^ic^ue , k moins d'une unité,
4uijpfnbre:
* 97 «62 526 893 127 943.
52. Lorsqu'ei) e^tpayiapt la racine carrée, à moins d'une unité,
d'un nombre entier, on a obtenu plus delà moitié des chiffres de
cette racine, on peut obtenir tous les autres en divisant simplement
le nombre proposé moins le carré de la partie de racine obtenue,
ç'pstr^-djre le nombre formé par le dernier reste obtenu suivi des
tranches sur lesquelles on n'a pas encore opéré, par le double de
\^ partie de rapine obtenue.
Ainsi , dans l'exemple de la page XX; ayant calculé, soit par la règle
XlXlV PUISSANCES BT RACINES.
générale^ soit au moyen des tables ^ les 4 premiers chiffires de la
gauche de la racine ^ les trois chiffres suivants de la racine seront
donnés, comme le montre Topération suivante, parle quotient dé la
division du nombre 14 91 43 70 00, obtenu en écrivant à là droite du
dernier reste 1 491 les tranches sur lesquelles on n'a pas «ncoré opéré,
par le double 5 61 20 00 de la partie de racine obtenue 2 80 6000.
U9143 7000
3 69 03
32 317
4 25 7000
5 61 20 00
2 65
La racine carrée, à moins d'une unité, ainsi obtenue, est exacte ou
pèche par défaut ou par excès , selon que le darré du quotient 265
est respectivement égalau reste 4257000 de la division^ ou qu^il
est plus petit ou pliis; grand que ee reste. Ainsi , dans l'exemple
qui nous occupa, ayant 265 ou 7 02 25<; 425 70 00, là racine
2 80 62 65 pèche par défaut. ,
53. Lorsqu'en extrayant la racine cubique, à moins d'une unité,
d*un nombre entier, on a obtenu au mbins, là moitié plus un des
chiffres de, cette racine-, on peiit obtenir tous les autres en divisant
simplement le nombre proposé/moins le cube dp la partie de racine
obtenue , c'est-à-dire le nombre formé par le dernier reste obtenu
suivi deé tranches sur lesquelles on n'a pais' encore opéré, par le
triple carré de la partie de racine obtenue.
Ainsi , dans l'exemple de ia page XXII , ayant calculé , soit par la
règle générale, soit au moyen des tables, les 4' premiers chifires à
gauche de la racine , les deux chiffres suivant^ de cette racine seront
obtenus^ comme le* montre l'opération suivante, en divisant le
nombre 43582018120000 par le triple carré 6334â075000Q de
la partie de racine obtenue 459 ^ :
43 582 018 420 000
5 576 773 12
509 407 120 000
633 420 750 000
68
La racine cubique^ à moins d'une unité, ainsi obtenue, est exacte,
ou pèche par dé^faut ou par excès , selon que le produit dé la somme
de 3 fois la partie de racine obtenue 459 500, et du quotient 68,
par le carré de ce quotient, est respectivement égal au reste
VSAGS DS LA TABLE DES CIEGONFÉEENCES ET DES CB&CLES. SXXT
S09 407 120 000 de la division, ou qu'il est plus petit ou plus
grand que ce reste. Ainsi, dans l'exemple qui nous occupe, ayant
(3 X m 500 4- 68) X 68* == 6 374 498 432 < 509 407 120 OOa,
la racine 459^568 pèche par défaut.
UBAGB DB LA TABLE DES LONGUEURS DBS CIRC0!IF(RENCBS ET DBS SURFACES
DES CERCLES.
»
54. Ren^arques:
l'« Le mètee valant 10 décimètres, le décimètre 10 centimètres ,
etc., i) en résulte que, selon que l'on voudra convertir un nombre
de mètres en décimètres ou en centimètres, etc., il suffira de le
multiplier respectivement piff 10, 100 , etc., soit en écrivant un,
deux , etc., zéros à sa droite s'il est entier, soit en transportant la
virgule d'un, deux, etc. rangs vers la droite s'il est décimal. Ainsi
on a
, 2~,64=26*-»-,4= 264 centimètres.
«
Pour convertir au contraire un nombre exprimant des unités d'un
ordre déterminé en unités d'un ordre supérieur, on divise le
nombre proposé par le nombre qui indique combien une unité de
cet ordre supérieur vaut d^unités de Tordre déterminé. Ainsi on a
264*'^ = 26* ■■•,4 = 2",64 =i 0^*^,00264.
• ■ ^
S* Le mètre carré valant 100 décimètres carrés, c'est-à-dire 100
carrés d'un décimètre de côté , ou 10000 centimètres carrés, etc.,
il en résulte .que, selon que Ton voudra convertir un nombre de
mètres carrés en décimètres carrés, ou en centimètres carrés, etc.^
il suffira de le multiplier respectivement par 100, 10000, etc.) soit
en écrivant deux, quatre, etc. zéros à sa droite s'il est entier, soit en
transportant la virgule de deux , quatre, etc. rangs vers la droite s'il
est décimal. Ainsi on a
2'»«-,64 = 264****"-«*^ = 26400 centimètres carrés.
Pour convertir au contraire un nombre exprimant des unités de
surface d'un ordre déterminé en unités de sur&ce d'un ordre au-
périeur, on divise, comme pour les unités linéaires, le nombre pro«
XXXTI PUISSANCES BT RACINES.
posé par le nombre qui indique combien une unité de cet ordre su*
périeur vaut d'unités de l'ordre déterminé. Ainsi on a
55. Étant donné le rayon r ou le (feai»éf**c d==2r d'une dràonfé^
rence^ déterminer la longueur de cette circonférmce,
io 7c^ =; 3,14i^^6... étant le raport d'une circonférence quel-
conque c à son diamètre 9 on a .
Formule à Taide de laiquellô il est facile de caletiler . e. Ainsi pour
r:;=l",26, ou rf=2",52, par exemple, on a
c=:2 X 3,4415926 X l,?6 ou 3,1415926 X 2,52c=7"»,9168..,.
2° Convertissant le diamètre donné en unités de Tordre de celles
de son premier chiffre significatif, c'est-à-dire autre que zéro, à
droite (54), si le nombre qui en résulte n'est par supérieur à 1000^
la table- donne directement la longueur delà circonférence en unités
de l'ordre dé ce premier chiffre, à moins d!un centième d'une de ces
unités.
!•' Exemple. Pour d = 2"*,52, convertissant en centimètres, il
vient c{=:252 centimètres, et 252 étant moindre que 1000. la table
donne
e = 791««» ,68.. . = 7«,9168. • . (54)
V Exemple, PoUr «1=^2520 mètres, coi|va*tissaat en déeaiAèties,
il vient ^=252 décamètres, et la table donne
c = 791,68... décamètres, ou 7916".!8...
S* Exemple. Vont dx=o«*,0^52, la table donne de même
c= 791,88... dix fnillimètrts mi 0»,079168. ;.
56. Étant donné le rayon t ou le diamètre d=2r d'un cercle,
détermineir Stt iurféce C;
l"" Tc étant toujours le rapport de La cbconférence à son diamètre,
on à
^ . «*
Cs=7rrV=— .
4
USAGE SB LA TABLE DES CIBGONFÉBBITCBS ET DBS GEBCLES. XXXVa
Formule à l'aide de laquelle il est facile de calculer C. Aipsii
pour r = l",26 ou ci=2",52, parexepaple, on a
C=3,l«5926XI,26Xl,26ou?:iS!?^J?:^^^M!==4»%9876...
2® Convertissant le diamètre donné en unités de Tordre de son
premier chiffre significatif k droite (55) , si le nombre qui en ré-
sulte est moindre (|ue ^000, la table donne encore directement la
surface du cercle, à moins d'une unité dé sur&ce ayant pour côté
rtmité de longueur de Tordre de celles de ce preniier chifire à
droite»
i" Exemple. Pour d==4",52, convertissant en centimètres, il
vient d=z^hst centimètres, et 252 étant moindre que 1000, la table
• donne
C = 49876 centimètres carrés ou 4"-«-,9876. . . (54)
*
2* Exemple. Pour d=^ 2520 mètres , convertissant en décamètres,
on a d= 252 décatmètres , et par suite
C =i 49876 décamètres carrés,
3* Exemple. Pour d=0",0252, la table donne de aiéme
G = 49876 dix millimètres carrés ou 0»«-,00049876. .. •
57. Remarque relative aux deux numéros précédents. Les circon-
férences étant entre elles comme leurs diamètres,etIescerclescomme
les carrés de leurs diamètres, il eh résulte (|u'ayant calculé, soit avec
les formules ) soit avec la table, la circonférence ou le cercle d'un
diamètre donné, pour avoir la circonférence ou le cercle d'un dia-
mètre double, c'est-à-dire dont le rayon est égal au diamètre de la
circonf^ence ou du cercle calculé, il suffit de multiplier respective-
ment par 2 ou par 4 le premier résultat. Ainsi la circonférence ayant
2»,52 pour rayon est égale à 7»,9i68... >C 2=:15",8336... et le
cercle de ce même rayon est égal à 4,9876. . . x 4 = 19" ,9504. . . (55
et 56). On voit que Ton pourra ainsi calculer facilement, en faisant
usage de la table, les circonférences et les cercles dont les rayons ,
abstraction faite de la virgule, ne sont pas supérieurs à 1000.
•y ♦.
mug m amU n dh cobm
mi HOMBRSS ENTIERS GONSfiCirriFS DEPUIS i JUSQU^A iOOOO^
et en loagncwi «et cfrcenfércBcts et 4ci mtCmm
îet ecrde» «oint let diaoïèiref tent éxprlnèi par let BMDkrcs
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1444
1521
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
2500
BB
CnbM.
1531
1728
2197
2744
3373
4096
4913
5832
6859
8000
9261
10648
12167
13824
15625
17576
19683
21952
24389
27000
29791
32768
35 937
39304
42875
46656
50653
54872
59319
64000
68921
74088
79507
85184
91125
97536
103823
110592
117649
125000
Glreon-
C4reDCM.
3.14
6.28
9.42
12.57
15.71
18.85
21.99
25.15
28.27
31.41
34.55
57.69
40.84
43.98
47.12
50.26
53.40
56.54
59.69
62.83
65.97
69.11
72.25
75.59
78.54
81.68
84.82
87.96
91.10
94.24
97.58
100.53
103.67
106.81
109.95
113.09
116.23
119.38
122.52
125.66
128.80
131.94
135.08
138.23
141.37
144.51
147.65
150.79
153.93
157.08
CSfCMS.
m
0,78
3.14
7.07
1"2.57
19.63
28.27
38.48
50.26
63.61
78.54
95.05
113.09
132.73
153.93
176.71
201.06
226.98
254.4«
283.52
514.15
349.36
380.13
415.47
432.38
490.87
530.93
572.55
615.75
660.52
706.85
754.76
804.24
855.29'
907.92
962.11
1017.87
1075.21
1134.11
1194.5(^
1256.65
1320.25
1385.44
1452.20
1520.52
1590.45
1661.90
1734.94
1809.55
1885.74
1963.49
-S
9
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
n
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
50
Cairèt.
2601
2704
2809
2916
a#25
3136
3249
3364
5481
5600
5721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776.
5929
6084
6241
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
8100
8281
8464
8649
8856
9025
9216
9409
9604
9801
10000
Cubas.
152651
140608
148877
157464
166375
175616
185193
195112
205379
216000
226981
238328
250047
262144
274625
287496
300763
314432
328509
343000
357911
575248
389017
405224
421 875
438976
456533
474552
493039
512000
531441
551 368
571 787
592704
614125
636056
658503
681472
704969
729000
753571
778688
804357
830584
857375
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CAlftllfiS KT CUlliStf.
47
flB
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6404
^405
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99580441
99600400
99620561
996403 24
99660289
99680256
99700225
99720196
99740169
99760144
99 780121
99800100
99820081
99840064
99 86 0049
99880036
99900025
99920016
99940009
99960004
99980001
100000000
Cobef.
985371912351
985669009408
985966166177
986263582664
,986560658675
986857994816
987155390493
987452845912
987750361079
988047936000
988345570681
988643265128
988941019547
989 238833 344
989536707125
989834640696
990132634063
990430687232
990728800209
991026973000
991325205611
991623498048
991921850517
992220262424
992518734375
992817266176
993115857833
993414509352
993713220739
994011992000
994310823141
994609714168
.994908665087
995207675904
996506746625
995805877256
996105067 803
996404318272
996 703628669
997002999000
997302429271
997601 91 9 48S
997.901469657
998201079784
998500749875
998800479936
999100269973
999400119992
999700029999
1000000000000
10000
EXPRESSIONS TRIOONOIÉTRIQUES.
i. La direction d'une ligne droite A6, quelconque, est cette
ligne e]l&-méme prolongée indéfiniment au delà de ses deux ex-
trémités A et B.
pig, I. 2. Sens d*une ligne. Sur une même
j^ ], droite , et en général sur une ligne quel-
conque, il y a deux sens : ainsi il y a le
sens ABet le sens BA. Un mobile suivant la ligne finie ou indéfinie
AB, on dit qu'il va dans le sens AB, s'il avance du même côté que
le mobile qui part de A pour aller vers B en suivant AB ^ on dit
qu'il va dans le sens BA , s'il .avance du côté opposé. On voit que
p. 2 c'est l'un ou l'autre des sens de la ligne
y que l'on indique , par Tordre dans lequel
on désigne deux de ses points.
B| jM ^^ Comme , sur une ligne xaf^ fig. 2 , à
partir d'un même point de cette ligne ,
on peut prendre une même longueur dans
jes deux sens, il en résulte qu'il ne suffit
pas de connaître la distance d'un point A
au point déterminé pour connaître la
position de A, mais qu'il faut en outre connaître le sens dans
lequel on doit compter cette distance.
Pour simplifier les expressions et faciliter les calculs , on est
convenu de considérer comme positives les distances portées dans
un sens , et comme négatives celles portées dans l'autre sens. On a
l'habitude de considérer comme positives les distances portées dans
le sens de gauche à droite ou de bas en haut , et comme négatives
celles comptées de droite à gauche ou de haut en bas : ainsi les
B
<v
12
IXPRBSSI0N8 TEIGOROMÉTBIQUBS.
distances OA et OB s'aJETectent du signe +, et celles OA' et OB' du
signe — . g
4. Le point fixe d'une ligne , à partir duquel on compte les
distances prises sur cette ligne > prend le nom à^ origine.
Quand la ligne sur laquelle on compte lès. distances est droite ,
elle prend le nom d'axe.
5* Quand deux axes xx' et yy' se rencontrent :
io Leur point de rencontre est pris pour origine commune;
2° Ces axes prennent le nom àJaxes coordonnés;
30 L'axe xx' est appelé axe dés abscisses ou des x. Les lon-
gueurs comptées sur cet axe prennent lé nom d'abscisses ; on les
désigne par j;, et on les affecte du signe -j- ou du signe — , selon
qu'elles sont comptées dans le sens Ox ou dans celui Ox';
4^ L'axe yy' est appelé axe des ordonnées ou des y, c'est-à-dire
que les longueurs comptées sur cet axe, à partir de l'origine 0, sont
appelées ordonnées au lieu d'abscisses ;
50 D'un point quelconque M du plan des axes menant les pa-
rallèles MA et MB aux axes^ OA est l'abscisse du point M, OB est
son ordonnée , et OA et OB sont les coordonnées de ce point. La
position du point M est déterminée quand on connaît ses coor-
données.
Ordinairement on prend les axes coordonnés rectangulaires entre
eux.
6. Expressions trigonàn^ètriques
d'un angle ou d'un arc. Considérons
l'angle t«Oj? = a; prenons le côté
Ox pour l'axé de a? , et menons-lui
perpendiculairement l'axe des y,
en prenant le sommet pour ori-
gine ; du point comme centre ,
avec un rayon quelconque OM =r
décrivons l'arc MA , ou mieux la
circonférence ; menons les coordon--
nées Mg=Op=rr et Mp=09=y
du point M , ainsi que les tangentes AT et BS , en l^ prolongeant
jusqu'au côté Oti de l'angle a, ou jusqu^au prolongement <ie uO.
Un point de la droite Ou étant fixé , cette droite , et par
suite l'angle a^ sera déterminée quand on connaîtra le point M ou
les valeurs algébriques des coordonnées a: et y de ce point. Or les
rapports entre les quantités a;, y et r étant constants quelle que soit
•s*"'
</-
. 3.
B
s/"
N
N
fi
/
/
\
//
\
r
oî' X\
/
S\
p
N
l
A a:
N
^
y
y^
r
k.-
BXPRISSIOXS T&IG01f(»l1ÊTRIQlIE9. 75
la valeur de fy quantité toujours positive , puisqu'elle indique la
distance du point M à rod*igine et qu'elle est comptée sur le sens
positif de^ Ou ^ il en résulte que.raaglea sera déterminé quand on
connaîtra les Valeurs algébriques de deux des rapports constants
qui existent entre les quantités x , y et r*y car, attribuant à r une
valeur, ces rapports donneront les valeurs correspondantes de
X et y. , : «
Les quantités x^y^r fournissent entre elles six rapports ou «â^-
piresiions triganomélriques, qui prennent lès noms particuliers sui*^
vants: .
- .est le 9Întis de l'angle ok ou de l'arc correspondant AM; il a
■I*
le Tnême signe que l'ordonnée y;
~ est le cpsinuB de l'angle a^ou de Tare AM; son signe est celui
4e X y
fi AT
- ss — -, (ces rapports sont égaux à cause de la similitude dea .
X r .'^ .
triangles OpM et OAT ) est la tangente de l'angle a ou de
Tare AM ; elle est positive ou négative selon que x et y
sont de même signé ou de signes, contraires;
- S — (triangles semblables OpU et OBS) est la ooféccMU de,
Tangle a ou de l'arc AM ; elle est le rappbrt inverse du sinus^
, et ellç a le même signe;, '
r OT
=:-^- (trianglei^ semblables Op}ll et OAT) est la sécante de
X T
t'anglè a 6u de l'arc ÀM ; elle est le rapport inverse du co-
sjnùs, et elle a le même signe;
X W
-2== — (triangles semblables OpU et CBS) est la cotangenle de
y r .
Pangle a ou de l'arc AB; elle est le rapport mverse de la tan-
gente j et elle a le même signe.
On écrit en abrégé :
' • . . .
X 1/ * V AT
. r , . . r X .' r
r 08 r OT x B8 .
y r •• X r ' . y r :
74 CXrftlSaOllS TlIG01iailtTR|QI7«S.
r
7, Dans le cas où r = 1, on a : .
rinji == y , ' cos a = â? , lôHjr a = AT, ^
On voit que les valeurs des expressions trigonométriques sont re-
présentées par de sitnples lijgiies , q[ui prennent le Vfm de (tfaei
8. Siqnm des expressions ttigotiométriques. Gomme dans lâi va-
leurs des six expressions trigonométriques il n'entré que les coor-
données X eiff dont le9 signes sont variablei, et qu'il est de U plus
grande facilité de reconnaître quel;S.. sont les signes de ces quanti-
tés, quelle que soit la valeur de a, la détermination des signes de
ces expressions n'oflOire àticuiie difficulté.
Pour les valeurs de a composer entre (f et 9Q% td est l'ongle uOor,
fig. 3, X et^ restant positives, et â:; variant de r à , tandis que y
Yârie de à r :
«n a î= -f it et varie de à -f 4 ^
çp$ À =±> -f — et varie de -j- 4 *^ j
r ^
Umg a = -f — et varie de à -f- c»;
X . *
T
cosée àt = 4- — et varie de-f- »> 1 4" ^5
V :
srfç a = 4- — et varie de + * îi + ^^i
(9 .
X
eoiang a c= -| — et varie de -f» s» jt 0..
•r
Pour ies valeurs de a comprises entre 90** et 180°, tel est l'angle
u'Oir,.fig. 3, l'ordonnée j reste positive et varie de i à 0, au lieu
que l'abs<»sse x est négative et varie à — "f ,• donc' :
M •
$in « c=.+ ~ et varie de + i à 0;
, , • \* ' •
eo$ et = ==: et varié de .0 à — I ;
• • r r
= ii=:-,let
laitjT a = A-^ = •T' — et varie de — oo à ;
^■" a> OC ' \
cosè^ ^ =; -|- — et varie de + i à + oo\
T r
^Ofltra» -__^-s et vaî'ie de — do à — 1;
eotàna(t=2 ^ — - = " et varie de à — do,
^ n - y
Pour des valeurs de « 8U))érieurQS à 180% on déteroiii^eraît aussi
âtcilemenl les signes des expressions trigonométriqués que pour les
préoéd€Siles$ dans te pratique on n'a gùèr^ à considérer des angles
supârieurs à I80^
9. Il est à rçmaf^ner que les valeurs absolues des coordonnées
ap et y^ et par suite celles des expressionst trigononiétriques d'un
angle quelconque uOx, sont égales à celles de l'angle aigu que fiiit
la droite Ou avec Ox ou avec son prolongement Qx' (fig. S).
Il en résulte qu'en forn)anl une table des valeurs des expres-
sions trigoooinétrtques de leius les angles de 0? à W (taUe ,
pa^ 79) y eUe contiendra aussi les' valeurs absolues des expressions
trigonoa)i6trk}ues d'un angle quelconque phis grand que .90^; ayant
ces vateurs absolues > on leur donn^a les signes qui oonviena^nl à
Tangle d'après ce qui a été dit au numéro précédent*
Veut-^n avoir> pnr exemple, le cosinus d'un angle de 125*? On
remarque que Ou fait 'avec 0;r' un angle aigu de 180— Î25=55';
on chercbe dans ia table le cosinus 0,^7 3liâ de l'angle de ^j et
donnant à <»e oosimus le signe ~ qui convient à. Fangle de 13^*" <S^,
on obtient -^ O^SI âSjS |ioiir le cosinus de l'angle de i^"*
10. On «Bt oe«d«uit 4 se dieinatider jm^ élrât donnés la valeur abso-
lue et le signe d'unt^ 4»ôiile c);tpressi(m trigononftâriqiià) l'ai^ «s(
4étomiûié.
|o B'aprfej.ce qw préoède, Tajgle aîgu • ay»it la vtimt Asaaté
75 EXPRESSIONS TRIGONOMËIJUQVEjS.
■
-{- 8 poul* sinus , l'angle obtus supplémentaire 180^ — a a le même
sinus; donc le 3inus proposé ne détermine pas un angle , puisqu'il
$atisfait à deux. angles supplémentaires, formés avec Ox par deux
droites symétrique^ par rapport à Tafe Oy. De même, .à une va-
leur négative -^ «, du sinus , correspondent devix an^es 180' 4" *
et 360* — a, que font avec Oùc deux droites symétriques par rap-
port à Oy^ .
Comme à l'angle aigu a correspond un cosinus positif, tandis
qu'à son supplément i8Ô* -r- « correspond un cosinus, négatif, on
voit qu'étant donné un sinus positif, si enoutre on donne le signe
du cosinus, Tanglesera déterminé. De plus, comme à l'angle
iSO + « correspond* un cosinus négatif, tandis qu'à l'angle. dôO""
— a correspond un cosinus positif, on voit donc qu'étant doilnés
un sinus quelconque, positif ou négatif, ^tle signe du cosinus cor-
respondant , Tangle est déterminé.
T On ferait voir, de la m^e manière , qu'à une même val^r
positive du cosinus correspondent les deux angles a et 360"* — « ,
formés par deux droites symétriques par rapt)ort à Ox ; et qu'à une
même valeur négative correspondent les deux angles 180*— â
et 180" -f" «> foliés par deux droites symétriques par rapport à
Ox'; mais que si, outre la valeur algébrique du cosinus, on donne
le signe du sinus eorrespondant, l'angle est déterminé.
. 3* -|- ^ étant la tangente d'un, angle a ^ on aura à la fms I = -
et t = — —y équations qui sont satisfaites par deux droites Ou et
et Ou", en prolongemjent l'une de l'autre et formant avec Ox les
aïigles a et 180* -|- «. Ainsi uii aiigle n'est pas déterminé par sa tan-
gente; il le sera quand, en outre , on connaîtra le signe de l'une
dés ordonnées x et y, ou , ce qui revient au même, celui dii sinus
ou du cosinûSi ^
Si ïa tangente était — t, on aurait à la fois — i=^ ^^ et — 1 = ^—y.
' "^x . , -4-,ac?
valeurs qui sont satisfaites par deux droites Ou' et Ou'", en prolon-
gement rùn de l'autre et faisant .avec Ojî les angles 180* -.— .a et
300* — a. L'angle n'est donc pas déterminé par ces valeurs; mais,
comme dans le cas précédent , il le sera dès qu'en outre on con-
naîtra le signe de son sinus ou de son cosinus.
En général, à une même valeur algébrique d'une des expreçsions
trigonométriquës principales ,^ sinus, cosinus et tangente, corres-
EXPRESSIONS taiGOSOHàTftlQUES. 7^
pondciDt , pour ehacune des deux autres ^ deux valeurs égales, et de
signes contraires; d'au il résulte que, connaissant la valent algéi^
brique de Tune de ces. expressions, il suffira de connaître le signe
de Tune des deux autres pour que l'angle soit déterminé.
11.' Nous avons vu au nî 9 comment, ajant une table des va-
leurs des expressions trigdnométriques des angles de a 90*", cm;
jdétejrminait ces valeurs pour uà angle quelconque. Remarquant
que le.sinus, le cosinus, la tangente, la cotangente, la sécante et
la cosécante d'un angle aigu sont respectivement égales au cosinus,
au sinus , à la cotangente, à la tangente, à la ÇQséoani;e et à la sé^
cante de spn complément ( tig. Sf), il suffit donc de, connaître les
valeurs des expressions trigonon^étriqUes des angles de 0** à 4®'
pour pouvoir en conclure celle d'un angle quelconque. Veutron
avoir le sinus de l'angle <Je 70% par exemple? il suffit de chereher
dans la table le cosinus 0,939é9 de l'angle de 90 — 70 :== 2Ô^
12. Diftpoiition des tables trigonométriques. Dans les applications
on ne fait guère usage que, dés siniis, cosinus , tangentes et co-
tangentes ; aussi les tables dressées ne contiennent-elles que lés va-
leurs de ces expressions trigonométriques.
. En donnant deux entrées à ces tables , comme dans la suivante ^
qui QOtitient les valeurs de c<es expressions pour les angles successifs
de minute en minute, on obtient directanent les expressions trigo-
nométriques de ces' angles, jusqu'à 90*; au lieu qu'avec une seule
entrée on ne les aurait eues directement que jusqu'à 45*.
L'entrée par les preniières lignes (horizontale et verticale) four-
nit les. expressions trigonométriques pour les angles de à 45% et
Tenta'ée par les dernières ngnes,,( horizontale et verticale), les donne
pour les angles de 90" à 45*.
De cette- double entrée ^ il résulte que chacun des nombres de la
deuxième colonne verticale est à la fois le, sinus de l'angle indiqué
daiis la première colonne verticale; et le cosinus de l'angle indique
dans la dernière colonne verticale; ce qui devait Ôtre, ces deux
angles étant éomplé^iéiltaires (1 1). De même , uii nombre quelcon-^
que 0,8090S( de la troisième colonne verticale est à 1^ fois le cosi-
nus de l'angle de 36*, désigné dans la première colonne verticale,
et le Sinus de l'angle 'Complémentaire 54* déteigne dans la dernière
colonne verticî^e. Les colonnes verticales quatrième et cinquième
fournissent des résultats analojgues pour les tangentes et les cotan-
gèntes. '
Les tables ordinaires, au lieu de contenir les valeurs naturelies
78
SXrUMlÔHB TftHKnKMrtTftiQOIS.
des ëtf^fêBftions trigonbtnétriques , contiennent les logiariihttiei dt
ces grandeurs; de plus, afin d'éviter les logarithmes négàttft,
on les a augmentés de 40 unités y ce qui équivaut à multiplier le*
expressions tHgonométriques par Tunité suivie de tO feéros.
i3. OnVte qtie la table suivante donne directement les expMs-
tààm ti^gonométriques pour les angles d'un nombre entii^ de de»
grés et de minutes , elle permet encore de calculer rapldem^^l >
et aveic une approximation suffisante pour la pratique , ces ^prea^
stons pbu^ des angles qui l^nfi^rmeraieiit des secondes.
Pou!^ obtenir, par exemple y le i^us de l'angle de 10* S' 11^) m
opén^ra comme il suit :
"...
La table <tonnani sinus 19' 4' « 0,99667
et sinus ly y »«= 0,38630 .
Dont la difSfoence est • 0,00086
■
Puisque» pour une augmentation de 60^' dans les animes , las sinua
croissent de 0,00088» pour l'augmentation dé i^ 3' 88"— 19" 3^=2:^83",
ils croîtront d'une quantité Wy qui sera sensiblement donoé^ psf la
prc^IKttiion ...
60: 88 :: 0,00088 : a?; .
\^ . 81+000088 :,■ ,^
D'où # = — ~ = 0,00010*
. ' ou
On # ai^ sin 1 V 9' 88'' s= 0>d8639 + 0>OOOIO <» |0,d8<«».
consulter VlMM^^n iMoH^né H ptéH^ à te Mfteatsv «# 1^-
gMeur,)
N8 IXPMSSiOM TRIGONOHÉTfUOIlS llTIttlUltt
M» AMftBS BOOOBMm, BB MmOTB BN UNinK.
i4, KXPRB8U0NS TU«ONOIlfiTRIQinES NÀTUKSLLRS.
SI
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SlDOt.
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
U
12
13
14
15
16
17
18
10
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
SS
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
6.0000000
b.0002909
05818
08727
11636
14544
17453
20363
23271
26180
29089
0^^31998
84906
. 37815
40724
43633
46542
49451
52860
55268
5S177
0.^0061086
63995
66904
69813
72721
75630
78539
81448
« 84357
87265
Cosiniu.
TaDgenle.
1.0000000
0.9999999
99998
99996
99993
99989
99984
9997»
99973
99966
.99958
0.9999949
99939
99928
99917
99905
99892
99878
99863
9984r
99830
0.9999813
99795
99776
99756
99736
99714
99692
99668
99644
99619
Cotaagente.
6.0090174 0.9099593
930831 99566
95992
9890U
e.0101809
04718
07627
10535
13444
16353
0.0119261
22170
25079
27987
30896
83805
86713
39622
42530
45439
51 0.0148348
52
58
54
55
56
57
58
59
60
51256
54165
57073
59982
' 62890
. 65799
68707
71616
74524
CmIbiu
99539
99511
99482
99452
99421
99389
99356
' 99323
0.9^99289
99254
99218
' 9918,1,
99143
99104
9906&
99025
98984
98942
9998899
98855
98811
<. 98766
98720
98673
98625
98576
98.'»27
98477
Slovt.
0.0000000
0.0002909
05818
08727
11636
14544
17453
20362
23271
26180
29089
0.0031998
34907
37816
40725
43633
46542
49451
52360
55269
58178
0.0061087
63996
66905
69814
f2723
75632
78541
81450
84360^
87269.
Ô.0090178
93087
95996
98905
04)191814
04723
07633
10542
13451
16361
0.0119270
22179
25088
' 21^998
80907
83817
36726
31^635
42545
45454
0.0148364
51273
.54183
57003
60002
62912
65821
68731
71441
74551
Cotang.
ijiOaie.
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1.00000
1.00000
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Slnof.
CoUtDff.
Tu(,
45'
TABLE DES MATIÈRES.
PUISSANCES ET RAGIllBS.
I. Définitions.
II. Carrés et cnbes.
ly. Racine carrée et racine cubique*
XII. Carrés, cubes, racines carrées et racines cubiques des fractions et à»
nombres décimaux. *
XT. Puissances et racines de degrés supérieurs à S.
xYii. Usage des tables des carrés et des cubes des nombres entiers snceessifis de
1 à 10000 pour Textraction des racines carrées et cubiques.
XXIII. Extraction des racines carrées et cubiques au moyen d'additions successive».
XXXIII. Moyens d'abréger les calculs relatifs à l'extraction des racines carrées et
cubiques.
xxxy. Usage de la table des longueurs des circonférences et des surfoces des
cercles.
4. Tables des carrés et des cubes des nombres entiers coasécntifis de 1 à 10000^
et des longueurs des circonférences et des surfaces des cercles dont les
diamètres sont exprimés par les nombres successife de 1 à 1000.
71. Expressions trigonométriques.
79. Table des expressions trigonométriques naturelles des angles successifs de
minute en minute.
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