Tables portatives de logarithmes

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“TABLES PORTATIVES

DE LOGARITHMES;
Publiées à Londres

AL LL Or

4:
PAR GARDINER,

| Augmentées, et perfecrionnées dans leur disposition

PAR M. CALLET,

Et corrigées avec La plus scrupuleyse exactitude :

CON T ENAN T
LES LOGARITHMES DES NOMBRES$,
‘ Depuis 1 jusqu'à 102960,
LES LOGARITHMES DES SINUS ET TANGENTES,
De seconde en seconde pour les deux premiers degrés,

Et de 10 en 10 serondes pour tous les degrés du quart de cercle ;
PRÉCÉDÉES

D'un Précis Élémentaire sur l'explication et l'usage des Logarithmes,

et sur leur application aux Carcurs D'intérêrs, à la GéomeTrité
PRATIQUE , à l’AsTRoNoMIE , et à la NAVIGATION 5

SUIVIES -
Pe plusieurs Tables intéressantes, & d’un Discours qui en fagilite l'usage

A PARIS,
DE L'IMPRIMERIE DE FR, AMB, DIDOT L’AÎNÉ,

Aux dépens d'ALExANDRE JOMBER‘T jeune» Libraire
pour l’Artillerie et le Génie, rue Dauphine,

M DGC, LXXXIIE

Hiat. J Sairvu |

l-L2G-I9 CIM.

no TE ro ne er “nn ER SAS MIRE name

AVERTISSEMENT DU LIÉRAIRE.

Les grandes Tables de Gardiner sont trop “cohnues pour
qu'il soit pessible d'ajouter à leur célébrité, par l'éloge qu’on
voudroit en faire aujourd'hui : on sait combien elles sont
préférables à toutés les autres , soit par leur disposition ingé-
nieuse, soit par leur étendue , soit par leur correction. Mais
le prix de ces Tables en privoit le plus grand nombre de ceux à
qui elles peuvent être le plus utiles ; et leur format grand in-
quafto , équivalent à un petit in-folio , en resserroit considéra-
blement l'usage : en effet, depuis qu'elles existent , elles n’ont
été consacrées qu'aux seuls travaux du cabinet, ou destinées
à meubler les Bibliotheques.

Faire de ces Tables une édition portative, d’un prix modique,
sans cependant rien retrancher de leur étendue ; obvier, par la
netteté et par le soin de l'impression , à la petitesse des caracteres
obligée par la réduction du format; le disputer d'exactitude et

| de correction aux meilleures éditions de ce genre , les surpasser

même s’il étoit possible, tel a été mon dessein. Persuadé qu'il
pourroit être d’une utilité essentielle aux Géometres, aux Astro-
nomes, et particulièrement aux Marins , je m'y suis livré et
je l'ai suivi jusqu’à la fin , sans épargne de peines, de soins ni
de dépense. Je me garderai bien toutefois de prévenir le Public
d'une parfaite réussite : je ne proposerai pas non plus une ré-
compense par faute qui pourroit être relevée ; les personnes

capables d’en découvrir sont au-dessus d’une offre semblable :

d’ailleurs , solliciter la confiance publique par une proposition

| présomptueusé ne me paraît pas un moyen de l'obtenir. Mais

ce qui peut et ce qui doit, ce semble, la concilier, c’est le zele
et les soins infinis qu’ont apportés à la révision des épreuves les
Mathématiciens coopérateurs de cette édition. MM. Callet,
Léveque et Prud’homme ont bien voulu se charger de ce travail
ingrat et difhcile, et s'y sont appliqués avec une émulation que
le goûtetl’amour des sciences peuvent seuls inspirer. Convaincu
par expérience de la difficulté d'obtenir une exactitude rigou-
reuse dans un travail d'une aussi longue haleine, j’ai réuni mes
efforts à ceux de ces Messieurs : une premiere vérification de
la copie , avant de la livrer à l'impression, m’a fait reconnoître
un nombre de fautes assez considérable , autres que celles de
l'errata. J'ai lu de plus deux épreuves de chaque feuille avec des
yeux déja exercés à ce genre d'attention , et sur-tout avec le

SE

ail

À

AVERTISSEMENT

désir de mériter quelqu'estime en contribuant de, toutes mes

facultés à la perfection d'un Ouvrage utile.

Si l'on compare cette édition avec l'original Anglois grand
in-quarto, on verra que nous avons rempli et au-delà le projet de
ne rien retrancher de l'étendue de ces Tabless on y remarquera
de plus quelqués changèments qui les rendent plus précieuses , et
que ñaus devons au zele actif de M. Callet pour tout ce qui

pouvoit ajouter au mérite de cette édition. Je vaïs rendré compte:

de ces changements, ainsi que des motif qui les ont occa-
sionnés.

Le discours qui ptécede les Tables de l'édition in-quarto hous
a paru trop abstrait et trop serré. Nbtre dessein étant de tra-
vailler pour le grand nombre, et le grand nombre n'étant
point des Mathématiciens profonds ,. il falloit donc parler aux
Praticiens un langage. qu’ils pussent entendre, et Jeur indiquer
d'une maniere claire et’ aisée l’usage et l'application de ces Ta-
bles : c'est sur ce plan que M. Callet a travaillé. Il eut été plus
intéressant pour lui de faire connoître dans un traité plus relevé
la place qu’il pouvoit occuper parmi les Savyans : tenons-lui
compte de ce sacrifice qu'il a fait au plen de cette édition ef à
une utilité plus générale. «

Dans les Tables des logarithmes des nombres, la quantité des
parties proportionnelles se trouve très mulüpliée dans les pre-
miers nombres. Les Editeurs des Tables grand in-quarto malgré
l'étendue dela page de ce format n‘avoienttrouvé d'autres méyèns
de les placer: qu’en les accumulant sur de petits papiers volants,
souvent faciles à égarer, et toujours d’un usage tellement in-
commode qu’il étoit plus expédient de les calculer que de les y
chercher. M. Callet , par une distribution aussi simple qu'ingé-
nieuse, a placé sur trois colonnes, ces parties proportionnelles
de maniere qu’elles tiennent toujours immédiatement aux nom-
bres auxquels elles correspondent.

Nous devons encore à cet habile Mathématicien une autre
amélioration dans l'ordonnance de ces mêmes Tables , qui
donne à notré édition un avantage bien précieux : C’est d’avoir
disposé les logarithmes des nombres de maniere que les trois
chiffres communs, que l’on voit isolés dans la seconde co-

lonne à gauche de ces Tables, se trouvent toujours exacte-:

ment vis-à-vis des quatre derniers chiffres des logarithmes où

;i faut commencer à les rapporter. Scherwin, Gardiner dans ||

leurs éditions de Londres , et les Editeurs d'Avignon qui ont
suivi fidelement ce dernier , induisent toujours en erreur, dans

.
»

DU LIBRAIRE.

cette circonstance, le calculateur qui n’y fait pas une attentio;
particuliere. Ge défaut étoit d'autant plus important à corriger
qu’il se répete presque toutes les fois que les chiffres commun
changent ,.et que Perreur qui en peut résulter tombe sur Î
chiffre du troisieme ordre. .

. Après avoir calculé le nombre des pages que devoient con
tenir ces mêmes Tables. des Nombres, j'ai trouvé qu’il devoi
me rester une page et demie de papier blanc ; j'ai fait part de
ce résultat à M. Callet, qui pour remplir ce vuide a calcul
900 logarithmes qui complettent la cent-troisieme chiliade
Nous aurions desiré de les y faire entrer tous; mais l’étendu
de notre page ne nous a pas permis d’y insérer les quatre der
nieres lignes, de maniere que nos Tables qui s'étendent jusqu'i
102960 , ne contiennent que 860 nombres de plus que l'éditior
de Londres.

” Nous avons pris dans la Table de M. Mouton les logarihtme:
des sinus et des tangentes de seconde en seconde, pour les deus
premiers degrés seulement ; parcequ'au-dessus de 2 degrés , les
différences des tables, que donnent les logarithmes des sinus ei
tangentes de dix en dix secondes , sont assez constantes pour ne
pas exposer même à une unité d'erreur dans la derniere figure.

| Mais nous n’avons pas cru pour cela devoir retrancher des Ta-
bles Angloises les logarithmes des sinus et tangentes des deux pre-
| miers degrés qui par-là se trouvent répétés. Il falloit ou défigurer
| notre original, ou faire un double emploi, et nous avons pré-
1! féré ce dernier parti. .
Dans la premiere des trois tables qui servent à calculer les
logarithmes avec vingt figures , il ous restoit un quart de page
en blanc : M. Callet a observé que pour ajouter à la Table de
Gardiner les logarithmes d'autant de nombres impairs qu’il en
falloit pour remplir le reste de la page, il n’avoit besoin que des
logarithmes de ces trois nombres premiers 1129, 1151 et 1153.
Ï 11 les a calculés, ainsi que les logarithmes des nombres impairs,
depuis 1143 jusqu’à 1161 : il a calculé de même ceux qui ont
été omis dans l'édition Angloise. Mais les Tables suivantes l’ont
engagé dans un travail beaucoup plus long : ila été obligé, pour
remplir deux tierg de pages qui restoient à chacune, d'augmenter
leur étendue de près d’un tiers. Il est vrai que ces additions n’é-
À] toient point indispensables; mais puisqu'on pouvoit les fairesans
augmenter le volume, elles ne peuvent que contribuer à rendre
ces Tables d’un usage plus commode. |
Je vais dire un mot de la partie Typographique de cette édi-
gi _ | |
à ii
A

AVERTISSEMENT DU LIBRAIRE.

apparent : c’est la justesse et la précision rigoureuse avec la-

quelle chaque piece a été fondue. Pour savoir combien cette

précision est essentielle dans un ouvrage de ce genre , il ne
s'agit que de corriger, comme nous l'avons fait, plusieurs exem-
plaires des éditions in-quarto d’après l'errata ; om verra que
quelques-unes de ces fautes se trouvent dans certains exem-
plaires, et ne se trouvent point dans d’autres. Il est aisé d’en con-
clure qu’elles ont été commises par louvrier, qui tantôt a
remplacé le chiffre enlevé au tirage, par un chiffre d’une autre
valeur , tantôt ne l’a pas remis à sa véritable place, et a établi
deux fautes à la fois par cette transposition. Or, je crois pou-
voir affirmer qu'il ne s’est enlevé aucun chiffre pendant tout le
courant de l'impression de notre édition : avantage précieux que
l'on doit à la justesse des principes que M. Didoi l'aîné a établis
dans sa Fonderie,

ion. La netteté de l'impression, et la forme agréable des chiffres À
que M. Didot l'aîné a gravés et fondus exprès pour cet ou-f
vrage, sont des objets sensibles : je ne m'y arrêterai pas. Mais|
il est un autre mérite que je ferai connoître, parcequ'il est moins |

2 2 À À CO | QU
PRÉCIS ÉLÉMENTAIRE
| SUR
L'EXPLICATION DES LOGARITHMES,.
ET SUR
LEUR APPLICATION

Aux différents usages des calculs d'intérêts, de la Géométrie-
pratique, de l’Astronomie et de la Navigation.

EXPLICATION ET USAGE DES LOGARITHMES:

Définition des Logarithmes, maniere de les exprimer.

I. Le logarithme vulgaire d'un nombre est l’exposant de la
puissance à laquelle il faut élever 10 pour avoir ce nombre.
Si, par exemple, 1000 est le cube ou la troisieme puissance
de 10, le logarithme de 1000 sera 3. De même si 937 —

( 10)°77:75999 , nous aurons L. 037 —2,97173959 *. En géné

. + x
ral, si a —(10)— onaura L. a —#x.
Il suit de là que les termes de la suite décimale des nombres

. (0) : Go) : (Go) : (Go) : (Go) : (io) : (10) 7? ou
1000 : 190 : 10: 1: O,1: O,01: 0,081 . ..

ont respectivement pour logarithmes
1. ©. 1. —2 —3 à...

II. Le logarithme d’un nombre compris entre deux termes
quelconques de la premiere série est composé de l’exposant du
second de ces deux termes, et d’une fraction décimale. Par

exemple : 937 étant compris entre 1000 ou Go) et r00 , ou
(0) ; son logarithme est 2 + 0,97173959—2,97173959. De
même 0,0937 étant compris entre o,1 ou (10) et 0,01 ou
( 10) ; son logarithme est — 2 0,97173959. En général ,

silenombre a est compris entre Go)" * et (10) n on
aura L.a —==#n—+ A. (A exprimant une fraction décimale)
l'exposant n est ce qu’on appelle la caräctéristique du loga-
rithme de a. Cet exposant est toujours un nombyé entier
positif, ou négatif, ou zéro ; ilindique la place qu’occupe la
premiere figure significative du nombre a en dessus ou en des-
sous de celle des unités. (Les caractéristiques des logarithmes
ne sont point exprimées dans ces Tables, parcequ’on les trouve |
sur-le-champ et à la seule inspection du nombre dont on cherche
° le logarithme. ) Quant à la fraction qui fait partie du logarith-
me } elle est toujours positive, |

III. Lorsque la caractéristique d’un logarithme est négative ,
la fraction décimale qui l’accompagne étant telle que les Tables

‘ * # La lettre L. suivie d'un nombre indique le logarithme de çe nombre.

TT
; 4

ExpPitcarton Des LocAntrairs, :

la donnent, c'est-à-dire positive, en ajoutant une unité à Ja ca-
ractéristique, et en substituant a la fraction décimale son com-
plément arithmétique , on changera ce logarithme en ui autre
qui sera entiérement A |

Par exemple le nombre 0,0937 a pour logarithme — 2 +
0,97173959 qu'on.peut mettre sous cette forme — 2 1 —]
+ 0,97173959, ou sous celle-ci — 2+ 1 —(1 — 0,97173959);
qui se réduit à — 1,02826041. Où aura donc L. 0,0957 = —
1,02826041. Expression toute négative par où l’on voit que
— 1 où —2-+ 1 est ce que devient — 2 lorsqu’on lui a ajouté
1, et que 0,02826041 ou bien 1 —0,97173959 est le com-
plément arithmétique de 0,97:73950. Pr lement si L. a
—=— n + À, en observant que—n+A=—n—+#1>1#A
=—(n—1) —(1—ÀA), nous aurons La——(n— 71)
— (1 — A). Logarithme entiérement négatif dont la nouvelle
caractéristique — (n—1})Ou — n+ 1 est égale à la premiere
— n augmentée de l'unité, et dont la partie décimale 1 — A est
le complément arithmétique de A.

1V. Il est néanmoins beaucoup plus commode de mettre ces
sortes de logarithmes sous la forme de quantités positives, il ne
faut pour cela que substituer à leur caractéristique son complé-
ment arithmétique ; ainsi au lieu de —2+0,97173959, nous
pouvons écrire +-8,97173959. Mais ce logarithme étant-celui
de 937000000 qui est bien différent de 0,0937, ne doit-on pas
craindre de se tromper >? Nous observerons qu’une telle erreur
seroit trop grossiere pour que le Calculateur , dans le cas où il
se seroit mépris , ce qui est bien rare, né s’appérçut pas d’où
elle seroit venue. Il connoît-les nombres sur lesquels il opere,
et sait à très peu près de quel ordre seront ceux qui résulteront
de ses opérations”, ïl n’est donc pas possible qu’il se trompe de
dix ordres. Cependant pour éviter tout soupçon d'erreur , dans |
les logarithmes qui appartiennent à des nombres plus grands que
l'unité, nous séparerons par une virgule la caractéristique de la
fraction décimale , et dans ceux qui appartiennent à des nom-
bres moindres que l'unité, nous mettrons un point au lieu de la
virgule, ainsi qu’on le voit dans la Table suivante.

Nombres. Logarithmes. Nombres. Logarithmes.
5432100000 | 9,739678 À 0,54321 | 9.7349678
5452 10000 | 8,7249678 || 0,054321 8.7340678
‘54321000 | 7,7349678 || 0,0054321 7.73409070
5432100 ! 6,7:49678 || 0,00054321 6.73549678
543210 | 5,7349678 || 0,000054521 | 5.7549678

54321 | 4,7549678 | o,0000054321 | 4.7349678
5432 | 3,7349598 | 0,a000005432 | 35.7349598
543 | 2,7547998 | 0o,000000043 | 2.7347998
54 | 1,7323938 || o,0000000054 | 1.7323938

8 1 c,6989700 À 0,0000000005 | 0.6989700

Propriétés des Logarithmes.

V. Représentons par a, b, c, &c. des nombres quel-
conques , ‘dont les logarithmes seront respectivement L.a, L.b,
L.c, &c., et désignons par L.'a, L.'b, L.'c, &c. respec-
tivement les compléments à zéro de ces logarithmes, en obser-

a ———_—__————" 2 .

“LEUR DÉFINITION
vant que L./a =+— La, que L'b——Lb, &c., ce qui est
clair, puisque L./a+-L, a=L.1z0 ; nous aurons
er La+Lb=LaxXb=Lab;
L.3 + L. 5 = L.3 X 5 = L. 15.;
La+L.b+L,. c+L.d— LaxbXcx d =Labod:
L3+L.5+L7+LueL3ixX5xX7x11=L 1156,

#Li=La-LbæeLaätL'b;

b
L ; =L3-LS=LIH+L" 55
L. =æLi-Lamo-LaæL'a:
L'imliLisos LL".

3°. La=nLa La =!La; L.a =" La;

1 4

s 3 291.3 3 L. 3° = 3; L.3 = è L. 3;
. piste . |
L. Carre 7
. a- / n

1
L(3)=fLs
35/=32"3

Le mm...
14. L. ) = L. (5) =" La=Lb)=T (L.a-L. "b):

4 |
8\9 _4, F3 _4 _4 .
L. (5) =; L 5)=5 Œ3—L5)=S (13H15).

p' qd r'
L. p—xL q—zL r =mlabpbnLb+tLc+v
L.'p+xL.'q+2L.fr.

L. (RE X 5 X 7 D) saone té
12 x13° X 14

L. 12.—8L. 13. —10L. 14—4 L. 3+9L. 5+2L.7+6

L.'"12+8L."13.+i10oL.'14.

l m 1" t
5°. L. (: £ J=mbannbtele—s

ko ExfricÂTidx Dbes LocArirTHMÈs*

RS ans one nee eee 7 ee

_

VI. Nous entendons par complément à zéro ou complément |

d'un nombre ce qu'il faut ajouter à ce nombre pour que la |

| somme du nombre et de son complément se réduise à zéro.

] Quoique le complément d'un nombre et ce qu’on appelle le

| complément arithmétique de ce nombre reviennent au même |

] quant à l'usage, on ne doit pas confondre l’un avec l’autre: Le |

| complément arithmétique ‘un nombre est ce qu’il faut ajouter |

à ce nombre pour que la somme devienne, non pas zéro , mais

j une unité d’un certain ordre. Ordinairement cet ordre est plus

F élevé d’un rang que la prémiere figure significative du nombre, |

] lorsqu'il est entier ou fractionnaire ; mais lorsque c’est une frac-
jtion, on a coutume de prendre son complément à l'unité.

| Exemples.

1 Le comp. arithm. de 769 est 1006 — 769 ou 231;
À Son complém. à zéro.. est o— 769 ou 231 — 1000

À Le comp: arithm. de 76,943 est 100 — 76,943 ou 23,057; |
{ Son comp. à zéro . . . . . est 0 — 76,943 ou 23,057—100. |

| Le comp. arithm. de 0,76943 est 1 —0,769430u0,23057; À
À Son comp. à zéro . . . . . est o — 0,76943 ou 0,23057—1.
VIL Lorsque deux logarithmes sont compléments l’un de |
1 l'autre, leurs nombres sont réciproques (c’est-à-dire qu’ils sont
tels que Je rapport qu’exprime le second est l'inverse ou le réci-
À proque de eelui qu'exprime le premier. 7 ou + et + sont deux
à nombres réciproques , parceque + exprime le rapport de 7 à 1,
let+ celui de1à7). En effet, siL.a+L.b—o—L.1, on

laura 8b mt 1,etb — — D'où l’on voit que le logarithme

{d'un nombre est égal à celui de son réciproque, mais avec un
à signe contraire ; et que le logarithme du réci roque d’un nombre
l'est le complérsent du logarithme de ce nombre. On peut donc
1 souvent au lieu du logcrithme employer son complément : on
] le trouvera promptement de cette maniere :

| VIIL Ajoutez une unité positive à la caractéristique du loga-
rithme, (c'est-à-dire augmentez-la d’une unité positive , si elle
est positive , ou diminuez-la d’une unité négative, si elle est né-
gative) , puis changez son signe ; retranchez ensuite de 9 chaque |
gure de la fraction décimale du logarithme, excepté la derniere |
figure significative que vous soustrairez de 10 ; mais si cette frac-
tion est zéro, il faut seulement changer le signe de la caractéris-
{tique. En voici quelques exemples.

iL. 8 == 0,9030900. L. + ou L.'8 = «— 1 + 0,0969100
Ü —9.0969100 — — 0,9030900.
IL. 8o0co — 3,9030900. L.' 8000 = — 4 + 0,0969100
1 — 6.0969100 = — 3,9030900.
IL. 1000 — 3,0000000. L.’ 1000 = + 3 + 0,0000000|
À == 7.0000000 — -—— 3,0000000.
L. 5éar — 4,7349678. L.' 54321 me — 5 + 0,2650322
= 5.2650322 — — 4,7349678. . À
Pour avoir le complément arithmétique d’un nombre quel-|
conque , il sufht de retrancher de 9 chacun des chiffres de ce

nombre, excepté le dernier vers la droite , qu’on retranchera
de 10.

mm)

LEURS PROPRIÉTÉS. 4:

Ce CU oran 7e un ee ln On 7 ee OR: EP Re CR DER nee A bn SU

tn tre necperee Pal Ve Au ni

Le complément d’un nombre étant égal à ce même nombre,
mais avec un signe contraire, nous en conclurons que le com-
| plément du logarithme d’une fraction décimale étant affecté du
signe négatif, devient le ogarithmne négatif de cette fraction, ou
d’une fraction vulgaire quelconque qui lui est égale.

Souvent il est on e mettre les logarithmes des fractions
sous une forme entièrement positive ou tout-à-fait négative ;
il est même avantageux de les avoir tels, sur-tout dans la forma-
tion des puissances , quels que soient leurs exposants.

Disposition des Tables de Logarithmes,

IX. La premiere Table est toute simple ; elle contient les nom-
bres naturels depuis 1 jusqu’à 1200, disposés suivant leur ordre
en plusieurs colonnes , au haut desquelles on voit la lettre N
initiale du mot nombre ; à côté et à droite de ces colonnes , on
en remarque d’autres, au haut desquelles est écrit Log. initiales
du mot logarithmes ; de maniere que chaque colonne de nom-
bres est immédiatement suivie d'une colonne de logarithmes , et
ue chaque logarithme est placé à droite et dans l'alignement
u nombre auquel il äppartient. On n’a pas mis de caractéris-
tique aux logarithmes , parcequ'on la connoît aisément à la seule
inspection du nombre, et que d’ailleurs il vaut mieux n’en pas
mettre ; car s'il y en avoit une, il pourroit se faire que le calcula
teur se trompât, et copiât celle qu’il auroit sous lès yeux, au
| lieu de celle qui conviendroit à son logarithme. |
Cette Table est nommée Chiliade I, parcequ’en effet elle
contient les logarithmes du premier mille. Chiliade est un mot
grec francisé, qui signifie assemblage de mille unités ; de méme
que centaine signifie assemblage de cent. :

ntm tre DS EREE ECS RARE ANA DT En GP RD Re MEME À

X. Les Tables suivantes sont un peu plus composées ; elle:
s'étendent depuis 1000 jusqu'à 102960. La premiere colonne
qu’on y remarque vers la gauche est intitulée N, et contient le:
nombres naturels depuis 1000 jusqu’à 10296. La colonne sui
vante, marquée o, offre les logarit mes qui appartiennent à ce
nombres ; en sorte que l'assemblage de ces deux colonnes form:
la suite de la Table premiere, et donne sur-le-champ les loga
rithmes des nombres depuis 1000 jusqu’à 10296. oo

Si l'on observe la colonne marquée o, on verra verslagauch
de cette colonne certains nombres isolés de trois chiffres cha
| cun , qui vont taujours en augmentant d'une unité , etquin
Nsont pas à des distances tout-à-fait égales les uns des autres
{ Vers la droite de la même colonne sont des nombres de quatr

1 chiffres chacun, qui ne laissent point d'intervalle entre eux; e
] sorte qu’on pourrait croire que certains logarithmes n’ont qu
quatre chiffres, tandis que d’autres en ont sept.

Mais qu'on ne s’y trompe pas, chaque nombre isolé est cens
écrit au-dessqus de lui-même ,'et vis-à-vis chacun des nombre
de quatre chiffres qui sont dans la'même colonne, autant d
fois qu’il est nécessaire pour que chaque ligne soit remplie: loi

donc qu’on ne trouve vis-à-vis un certain nombre que quatr
chiffçes dans la colonne marquée o, if faüt écrire vers la gauch
de ces quatre chiffres le gambre isolé de trois chiffres < plu
prochain en montant, Au-delà de 30000 les nombres isolés ar
quatre figures,

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HZ ExpricaAriox D9rs Loczanairamems;

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| | XI. Lorsque deux nombres sont décuples l’un de l’autre, la |
artie décimale de leur logarithme est la même ; ainsi l’assem. |
| Plage des deux premieres colonnes dont nous venons deparler,
| donne aussi de Ex en dix, les logarithmes des nombres compris
{ entre 10009 et 102 60. Pour trouverles logarithmes des nombres
intérmédiaires , il faut avoir recours aux colonnes marquées 1,2,
3, 4, &c. Ces colonnes contiennent les quatredernieres décimales
des logarithmes des nombres terminés par les chiffres quigont en
tête de ces colonnes. Ainsi la colonne marquée o contient les
| quatre dernieres décimales des logarithmes des nombres compris
entre 10000 et 102960 qui sont terminés par un zéro, et en |
outre les nombres isolés dont nous avons parlé, et qui sont}
aussi censés placés à la gauche des chiffres que contiennent les |
autres colonnes. La colonne marquée 1 contient les quatre der-
niers chiffres des logarithmes de tous les nombres terminés par 1 ;
la colonne marquée 2 ceux de tous les nombres terminés par 2; |
la colonne marquée 3 ceux de tous les nombres terminés par3, |
| et ainsi de suite jusqu'à neuf. On a par ce moyen une Table à |
| double entrée, dans laquelle on consulte d'abord la premiere
{ colonne marquée N, et lorsqu'on y a trouvé les quatre pre-
| mieres figures du nombre dont on veut avoir le logarithme, on
i suit de l'œil la ligne sur laquelle ils sont , jusqu'à ce qu’on soit
l arrivé à la colonne au haut de laquelle se trouvele dernier chiffre
| du nombre donné ; alors on a sous les yeux les quatre derniers
À chiffres du logarithme cherché. Quant aux trois premiers , ils
{ sont exprimés par le nombre isolé qui se trouve dans la seconde
colonne le plus prochain en montant,

mes et les parties de ces différences , c'est-à-dire les produits de }
! ces mêmes différences multipliées par +, &, à, &c., jusqu’à £. l
À Ces produits forment autant de petites tables qu’il y a de diffé-
les se trouve lacde immédia- |

|
XII, La dernierre colonne contient les différences des logarüh- |
|

{ rences. Chacune de ces petites ta
\ ment au-dessous de la différence dont elle indique les parties.
Mais, comme vers le commencement des tables, ces différences
se trouvent trop nombreuses, et par conséquent trop près les
unes des autres , elles n'auraient pas permis , si elles n'eussent |
occupé qu'une colonne, de placer les petites tables des parties
dans l'inrervalle qui se seroit trouvé entre elles. C'est pourquoi |
on les a disposées d’abord en trois colonnes ; la premiere de ces
différences occupe la premiere colonne : la suivante, sans sortir |
{ de la ligne où elle doit être placée , se trouve repoussée vers la |
droite de cette ligne, et occupe la seconde colonne ; celle qui |
vient après est reculée pareillement Je long de la ligne qui lui
convient, et occupe la troisieme colonne. Les trois différences
qui suivent sont disposées de la même maniere, c’est-à-dire que
la premiere occupe Ja premiere colonne , la seconde la seconde
colonne , et la troisieme la troisieme colonne ; ainsi des autres de
| trois en trois. Par ce moyen ces différences sont à leur place, et
Ï laissent au-dessous d'elles l’espace qu’il faut pour loger les petites ;
1 tables en question, Dès que ces différences se sont trouvées assez |
distantes l'une de Pautre pour n’occuper plus que deux ou même
| qu’une colonne , on les a disposées en deux, ensuite en une co-
| lonne , aingi qu'il est aisé de le voir,

|

ES

Usacze Des TABLES Dr LOGARITHMES

+ mets : On SEEN CEE PU D'UN

| | Usage des Tables de Logarithmes.
PROBLÈME PREMIER.

XIII. Un nombre quelconque étant donné , trouver son lo-
|| garitbme par le moyen des tables,
Ÿ Quelle que soit la place qu’occupe dans la suite décimale la
J|premiere figure significative d’un nombre, on le considérera
d'abord comme s’il'étoit entier, sauf à donner ensuite à son lo-
garithme ‘une caractéristique convenable.

1. Cas. Sile nombre donné est moindre que 1200, on le
trouvera dans la premiere chiliade parmi les nombres naturels
qui sont dans quelques unes des colonnes marquées N. Le nombre
qu’on trouvera à sa droite , sur la même ligne et dans la co-
lonne suivante, intitulée Log. , serason logarithme, après qu’on
y aura joint la caractéristique qui convient à ce logarithme, la-
quelle est toujours égale à +1 T2#3%+ 4, &c., selon que
le premier chiffre significatif du nombre occupe la premiere, la
seconde, la troisieme , la quatrieme place, &cc., au dessus ou

| au. dessous de celle des unités. Le signe +- a lieu quand le nombre
est plus grand , et le signe —1lorsqu’il est-moindre que l'unité.
| | Observons encore qu'au lieu des caractéristiques — 1, — 2,
H—3, &c., il vaut mieux mettre leur complément arithmétique
19,8, 7, &c., afin d’avoir des logarithmes entièrement positifs.

2. CAs. Si le nombre donné est entre 1000 et 10000 , ou,
ce qui revient au même, s’il a quatre chiffres significatifs , ( les
zéros, lorsqu'ils sont précédés et suivis d’une ou de plusieurs f-

_gures significatives , sont regardés comme chiffres significatifs),
on le cherchera dans la table qui vient après la ciliade I, et
l'ayant trouvé dans la colohne intitulée N, on consultera la co-
lonne suivante marquée o. Si l’on y voit sept chiffres de front
dans l'alignement du nombre naturel, on aura tout d’un coup la
partie décimale du logarithme cherché ; mais si l’on n’y trouve
que quatre figures , elles donneront les quatre derniers chiffres de
la même partie décimale ; ensuite on remarquera qu’il regne à
leur gauche une marge ou espace blanc ; on suivra cette marge
en montant, et le premier nombre de trois chiffres qu’on y ren-
contrera, exprimera les trois premieres figures dela fraction dé-
cimale du logarithme cherché. Ecrivant donc ce nombre vers la
gauche des quatre chiffres qu'on a déja trouvés, on aura un
nombre de sept chiffres comme ci-dessus : enfin on ÿ joindra une
caractéristique convenable. Par exemple, à côté de 5998, je
| trouve 7780065 sur la mème ligne etdans la colonne marquée o ;
j'ai donc tout d’un coup la partie décimale du logarithme que
je cherche, il ne me reste plus qu’à y joindre la caractéristique 3.
Si le nombre étoit 5,998, la caractéristique seroit zéro ; elle se-
À roit 1 , si le nombre étoit 59, 08 ; 2, s’il étoit 599,8. A côté de
| 6739, dans la colonne marquée o, je ne trouve que 5955 ;
S mais en suivant la marge, le premier nombre que je rencontre
en montant est 828; mon logarithme est donc 3,8285955. Le
nombre ayant cinq figures , s’il étoit moindre que 10296, on
trouveroit de même son logarithme. oo |
3. Cas. Si le nombre est entre 10000 et 100000, c’est-à-
dire s’il a cinq chiffres significatifs, on fera pour un instant
abstraction du dernier , et l’on cherchera comme ci-dessus le
nombre qu'expriment les quatre premiers. On suivra de l'œil la

os. D

h4 ExPLICATION Des LOGARITHMES;

nn RS nn + CS meme

ne ee

ligne sur laquelle on laura trouvé, en la parcourant de gauche
à droite jusqu’à ce qu’on soit dans la colonne au haut de laquelle
{ est écrit le cinquieme chiffre dont on a faitabstraction. Les quatre
figures qui sont tout-à-la-fois dans l'alignement des quatre pre-
miers chiffres du nombre donné, et dans la colonne qui répond
au cinquieme , exprimeront les quatre dernieres décimales du
logarithme de ce nombre. Quant au trois premieres , on les
{ trouvera comme ci-dessus en remontant le long de la marge de
la colonne intitulée o. Soit, par exemple, 510,87 dont on veut
le logarithme, je cherche 5108 dans a colonne N, je ne vois
rien dans son alignement à la marge de la colonne ; mais un
per plus haut, je rencontre 708 dans cette marge : je parcours
a ligne du nombre 5108 , et je m’arrête à la colonne marquée }

2 RS ; mar

7, Sur laquelle et dans l'alignement. de 5108 je trouve 3104. |
La partie décimale de mon logarithme est donc 0,7083104, |
et ce logarithme est 2,7083104. Si le nombre étoitentre 100000
et 102960, on trouveroit de même son logarithme.

4. Cas. Si le nombre est composé de six chiffres significa-
tifs, ou plutôt s’il est compris entre 102960 et 1000000 ; sépa-
rez par une virgule sa derniere figure, que vous considérerez
pour un instant comme exprimant des dixiemes ; cherchez
comme ci-dessus le logarithme du nombre représenté par Îles
cinq premieres figures du nombre donné ; jettez un coup-d'œil
sur les différences des logarithmes qui viennent immédiatement
] après la colonne marquée 9 , et qui sont disposées en une ou
| plusieurs colonnes ; choisissez dans l’une quelconque de ces co-

ones, s’il y en a plusieurs, celle des différences qui est la plus
prochaine du prolongement de la ligne qu'occupent les quatre

remieres figures du nombre donné: vous trouverez au-dessous |
de cette différence une petite table qui en contient les parties dé-
cimales depuis un jusqu’à neuf dixiemes : prenez celle de ces |
parties qui répond à la figure que vous avez séparée par une vir-
gule ; vous l'ajouterez au logarithme déja trouvé, et la somme
sera celle du nombre cherché lorsque vous y aurez joint une
caractéristique.

Exemple : soit le nombre 5108,73 dont on veut avoir le lo-
garithme ; je cherche celui de 51087, et je trouve, comme ci-
dessus, qu'il est o, 7083104 (sans y comprendre la caractéristi-

ue) : je vois que la différence la plus prochaine de la ligne de
4108 est 85 ; je consulte la petite table qui est au-dessous de 85,
et je trouve qu'à trois dixiemes répond 26, qui, étant ajouté à

083104, donne pour somme 7083130. La partie décimale du

ogarithme cherché est donc 0,7083130, et ce logarithme est
3,7083130.

Observons qu'il n’y a aucun inconvénient à séparer par une
virgule un ou plusieurs chiffres vers la droite du nombre , et à
leur supposer pour un instant une valeur moindre que l'unité,
parceque la caractéristique que l'on joint ensuite au logarithme,
remet tout dans l’ordre. |

Si le nambre donné étoit plus grand que 1000000, et moindre
que 1029600 , on trouveroit de même son logarithme.

"5. Cas. Si le nombre est composé de sept'ou même de huit
chiffres significatifs, séparez-en cinq vers la gauche ; cherchez,
comme vous avez fait au troisieme cas, le logarithme du nombre
i ex rimé par ces cinq chiffres ; multipliez la différence des log
1 rithmes que vous trouverez comme ci-dessus par les deux ou les

QE AP RR RENNES PERD RL ERNRS PANNES RENNES. NN

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UsaAcz Des Tazzes DE LocAririmrne 1

oo 00 mms

| trois derniers chiffres du nombre donné, selon que vous en au-

| réz séparé deux ou trois par la virgule; supprimez, vers la droite
du produit, autant de chiffres que votre multiplicateur en con-
“tient ; ajoutez les autres au logarithme déja trouvé : la somme
sera la partie décimale du logarithme cherché. On peut se servir
des petites tables qui sont au-dessous de chaque différence pour
avoir le produit de celle dont on fait usage par chacun des deux
derniers chiffres du nombre donné. Éclaircissons cela par des
exemples. Veut-on le logarithme de 3456789, je sépare par une
virgule les cinq premieres figures vers la gauche de ce nombre,
et j'ai 34567,89; je cherche le logarithme de 34567, je trouve
0, 23866: 7 ; la différence la plus prochaine est 126 ; je la multi-
plie par 0,89, ce qui produit 112,14; je supprime les deux der-
niers chiffres 0,14, et j'ajoute 112 au logarithme o0,5386617;
la somme 0,5386729 ést la artie décimale du logarithme cher-
ché, et ce logarithme est 6,5386729. J'aurois pu me dispenser
de multiplier 126 par 0,89 ; en FER. 0,89 — 0,8 + 0,09 ; je
trouve dans la petite table qui est au-dessous de 126, que 101
répond à 0,8, et que 113 répond à 0,9, c’est-à-dire que 126
X 0,8 — 101, etque 126 X 0,9 = 113: donc 126 X 0,09 —11:
donc 126 X (0,8 +0,09), ou 126 X 0,89—101+11—112
comme ci-dessus. L'opération se réduit donc à supprimer le der-
rier chiffre de la partie de la différence qui répond aux centiemes
du nombre donné , et à l'ajouter à celle qui répond aux dixie-
mes. S’il y avoit des milliemes , on sépareroit les deux derniers
chiffres de la partie qui leur correspondroit.

6. Cas. Siles six premieres figures significatives du nombre
donné étoient comprises entre 100000 et 102960 , on trouveroit

| comme ci-dessus le logarithme cherché, dans le cas même où le
! nombre donné seroit composé de neuf chiffres significatifs ; mais
| alors il faudroit en séparer par une virgule les six premieres f-
gures vers la gauche. Veut-on, par exemple, le logarithme du
nombre 10030627,9, je le mets sous cette forme 100306,279 ;
| je cherche le logarithme de 100306 : je trouve 0,00132691 ; la
différence la plus prochaine est 433 : je la multiplie par 0,279,
Je produit est 120,807 : je supprime la partie décimale 0,807;
mais parceque 0,807 est beaucoup plus près de 1 que de‘o, je
fais refluer une unité sur 120 : ce qui donne 121, que j'ajoute à
0,00132691. La somme 0,00132812 est la partie décimale du
logarithme cherché, et ce logarithme est 7,00132812.

J'aurois pu faire usage de Ë petite table qui est au-dessous de
433 ; j'aurois trouvé dans cette table que 87 répond à 2; 303
à 7; 390 à 9; j'aurois supprimé ou plutôt séparé par une vir-
gule le dernier chiffre de 303 et les deux derniers de 390 : j'au-
rois ajouté ensemble les trois nombres 87, 30,3 et 3,90; la
somme auroit été 121,2, ou simplement 121 comme ci-dessus.

7. Cas. Si le nombre donné est composé de neuf figures

{signihcatives , dont les six premieres expriment un nombre plus

| grand que 102960, on choisira un nombre de deux ou de trois
chiffres, par lequel divisant ou multipliant le nombre donné,
on obtienne un quotient ou un produit qui rentre dans le cas

lprécédent; alors la somme ou la différence du logarithme du
nombre choisi et de celui du quotient ou du produit obtenu,
sera le logarithme du nombre éherché. LE

| Le choix du diviseur ou du multiplicateur dont nous venons

| deparler, n’a point de difficulté. Le diviseur esttoujours exprimé

#6 ExPLICATION DES LOGARITHMES,

——— PE “RSS RÉ. ep —

ar les deux ou les trois premiers chiffres du nombre donné, et
ja multiplicateur, par les deux ou les trois premiers chiffres
qu’on trouve en divisant 101000 par les trois premiers chiffres
du nombre donné. Rendons cela sensible par des exemples.
Veut-on le logarithme de 290888209, je choisis 29 pour divi-
seur; je divise 290888209 par 29; j'ai au quotient 10030627,9;
je cherche le logarithme de 100306279 , je trouve comme ci-
dessus 7,00132812 : je prends dans la premiere chiliade le loga-
rithme de 29, qui est 1 146239800 , auquel ajoutant 7,00132812,
la somme 8,46372612 est le logarithme cherché.
Veut-on , pour second exemple, le logarithme de 3,14159265
qui exprime le rapport approché du diametre à la circonfé-|

multiplie 3,141 59265 par 3,21 ; j'ai au produit 10,084512406

je cherche comme ci-dessus le logarithme de 10,0845124, en né-
gligeantles trois derniers chiffres 065 qui ne peuvent pas produire
une unité d'erreur dans la neuvieme figure du logarithme ; je |

garithme de 3,21, qui est 0,50650503 ; j° le retranche de
1,00365490 ; la différence 0,49714987 est le logarithme cher-
ché.

8. Cas. Si le nombre donné est une fraction, retranchez
le logarithme de son dénominateur du logarithme de son numés
rateur ; mais pour que cette soustraction ait lieu, il faut ajouter
une ou plusieurs unités à la caractéristique du logarithme du nu-
mérateur de la fraction: ordinairement on ajoute dix unités à
cette caractéristique. Ou, si vous aimez mieux, au logarithme du
numérateur de la fraction ajoutez le complément arithmétique
du logarithme de son dénominateur. Vous aurez , en suivant
l'une ou l’autre de ces deux méthodes, le logarithme de la frac-
tion sous une forme positive. |

Veut-on , par exemple, le logarithe de +, je prends le loga-
rithme de 7, qui est 0,54509804, que j'écris ainsi 10,84509804 ;
j'en retranche le logarithme de 11 qui est1,04139269; la diffé f

rence 9,80370535 est le logarithme cherché. Ou bien au loga-
lithme 0,84509804 j'ajoute le complément arithmétique de|
1,04139269 qui est 8,95860751 , et j'ai 9,80370535 , même lo- |
garithme que ci-dessus.

On peut aussi soustraire le logarithme du numérateur de la
fraction , de celui de son dénominateur , et l’on aura le loga-
rithme cherché, mais sous une forme entièrement négative.

Si le nombre donné est l'assemblage d’un entier et d’une frac-
tion, on mettra l'entier sous la forme d’une fraction qui ait pour
dénominateur celui de la fraction qui accompagne cet entier ;
puis ajoutant Jes numérateurs, on aura un nombre fractionnaire
dont on preñdra, comme ci-dessus, le logarithme, sans rien
changer à la caractéristique de son numérateur. |

Veut-on, par-exemple, le logarithme de 3 +, je réduis 3 en
{ une fraction qui ait 115 pour dénominateur ; j'ai #%, à laquelle
j'ajoute F3 ; j obtiens#. Du logarithme de 355 quiest 2,55022835,
je retranche celui de 113 qui est 2,05307844; la différence
0,49714991 est le logarithme cherché.

g. Cas. Si le nombre donné est une fraction décimale,
cherchez son logarithme comme si c’étoit un nombre entier, et
donnez à ce logarithme une caractéristique convenable ; mais
si cette fraction contient une partie finie et une suite infinie com-

rentre

CR EE TS

Da tete mp AR» ere et A msn 2.

24 PRESSE CORNE ASREER CE ASE nee QU POSER One VE

rence , je divise 10,3000 par 3,14 ; le quotient est 3,21 à

trouve 1,00365490 : je prends dans la premiere chiliade le lo-|f

Q

Usace Des Tasres ne LoeAnttn#rs
posée de périodes d’un ou de plusieurs chiffres qui reviennen
toujours dans le même ordre, considérez pour un instant la partie
finie comme un entier , et la suite infinie comme une fraction
décimale à laquelle vous substituerez une fraction vulgaire qui ail
pour numérateur l’une des périodes de la partie décimale , e!
| pour dénominateur un nombre exprimé par autant de 9 qu'il;
a de chiffres dans cette période ; vous aurez l'assemblage d’un
entier et d’une fraction finie , dont vous chercherez, comme ci:
dessus, le logarithme , auquel vous donnerez ensuite la caracté-
ristique qui lui convient.

Veut-on, par exemple, le logarithme de 32,067676767, je
transpose la virgule d’un rang vers la droite, et j'ai 3a0 CÉgEg6r,
que je mets sous cette forme 320 $, qui devient #7, dont le
logarithme est 2,5060675 : celui du nombre donné est donc

| 1,5060675. |
De même, si l’on me demande le logarithme de la fraction
0,008953495349534, je l'écrirai ainsi 8,953495349534 ; puis
de cette maniere 8 %$; ensuite je la réduirai à celle-ci $$, dont
| le logarithme est 0,9518856 : celui de la fraction donnée est
{ donc 7.9518856.

Proscrfme Il.

XIV. Un logarithme étant donné, trouver par le moyen des
tables le nombre auquel il appartient.

‘1. Cas. Si le logarithme se trouve parmi quelqu'un de ceux
de la premiere chiliade, on aura sur-le-champ le nombre qui lui
correspond ; ce nombre sera dans la colonne marquée N qui
précede immédiatement celle qui contient le logarithme donné,
et dans l’alignement de ce logarithme.

2. CAs. Si le logarithme ne se trouve pas dans la premiere
À table, on cherchera les trois premieres décimales de ce loga-
4 rithme parmi les nombres isolés que l’on voit dans la colonne
marquée o de la seconde table, et les ayant trouvées, on cher-
chera les quatre dernieres figures du logarithme parmi les nom-
bres de quatre chiffres qui sont dans cette même colonne en des-
1 cendant. Si l’on y trouve ces quatre dernieres figures, on verra
! le nombre cherché dans la colonne marquée N et sur leur ali-
| gnement.
| 3. Cas. Si l’on ne trouve pas dans la colonne marquée o
| les quatre dernieres figures du logarithme donné , on s'arrêtera
à celles qui en approchent le plus en moins ; on suivra la ligne
sur laquelle on se sera arrêté , en la parcourant de gauche à
droite ; et si l’on trouve dans cette ligne les quatre dernieres figu-
res du logarithme donné, on suivra en montant ou en descen-
dant la colonne dans laquelle on les aura trouvées ; le chiffre
qu’on verra à la tête ou au pied de cette colonne, sera la cin-
quieme figure du nombre cherché, dont les quatre premieres

se trouveront, comme ci-dessus, dans la colonne marquée N.
| Veut-on savoir, par exemple, à quel nombre appartient
lle logarithme 4,5 1450 , je cherche 517 parmi les nombres
l'isolés de la colonne marquée o ; je parcours en descendant la
même colonne, et je trouve que 23b approche le plus en moins
| de 8159 ; je suis la ligne qui commence par 7256 , et je trouve
| 8159 ‘sur cette ligne; d° monte dans la colonne qui contient

8159, je trouve le chiffre 7 à la tête de cette colonne ; je reviens

«

+ RER Po CAT TS mn TS eue 2-00me mÂearere = 2 momies

—

b üj

-n$ ÉxPLICATION Des LocARITHMES;

Rem 0e ei me mm mm Lun mn a net een _ i
Le = - Ne net Len es 2e

1 à 8159, et je vois quelaligne où il se trouve, répond au nombre
1 3294 ; j'écris ce nombre, et à sa droite le chiffre 7 que j'ai déja
ttrouvé : ce qui me donne 32947. C'est le nombre qu'il falloit
| trouver.
4. Cas. Le loparithme donné ne se trouvant dans aucun
l des cas précédents , si l’on veut avoir le nombre auquel il ap-
| partient, on cherchera comme ci-dessus le logarithme qui en
{approche le plus en moins , on le retranchera du logarithme
i donné, et l’on aura un reste que l’on cherchera parmi les parties
ï des différences de la petite table la plus prochaine ; si parmi ces |
parties on trouve le reste en question, ou du moins un nombre
ue qu n’en differe que d’une unité, le chiffre qui sera à la gauche
” D de ce nombre exprimera la sixieme figure du nombre cherché.
Ü Veut-on, pär exemple, le nombre dont le logarithme est
À 2,5386717, je cherche comme ci-dessus le logarithme qui en
approche le plus en moins; ce logarithme est 2,5386617, qui
appartient au nombre 345,67. Je soustrais 6617 de 6717, le
reste est 100. La différence la plus prochaine étant 125, je
cherche 100 dans la petite table qui est au-dessous de 125, je
trouve 100 dans cetté table, et à sa gauche le chiffre 8 que
j'écris à la droite de 345,67 ; le nombre cherché est donc
b45,678.
5. Cas. Le reste dont on vient de parler ne se trouvant pas
parmi les parties de la différence des tables , si l’on veut avoir
sept ou huit figures au nombre: cherché, ons’arrêtera à la partie

|
qui approchera lé plus en moins du reste en question ; on la
soustraira de ce reste, ce qui donnera un second reste, à la
droite duquel on mettra un zéro; on cherchera de même le dé-
cuple du second reste dans la table des parties, en s'arrêtant à
celle qui en approche le plus en moins; Fe chiffre qu’on verra à
| la gauche de cette partie sera la septieme figure du nombre cher-

ché. On pourroit de même chercher un troisieme reste, et pro- |

céder de la même maniere pour avoir la huitieme figure

|

t

l

1

|

j

, nombre cherché ; mais, dans le cas où l’on a besoin de huit f-
gures, il vaut mieux écrire trois zéros à la droite du premier
reste, et diviser ce reste ainsi préparé par la différence elle-même ;
le quotient aura trois chiffres qu’on écrira à la droite des cinq
| premieres higures déja trouvées.
{ Veut-on, par exemple, le nombre dont le logarithme est
0,4971499, le logarithme qui enapprochele plus est 0,4971371,
qu appartient au nombre 3,1415; le premier reste est 128, la
ifférence la plus prochaine est 138. La partie de cette différence
qui approche le dus de 128 est r24, qui répond au chiffre 9 ;
le second reste est 4, qui devient 40 en mettant un zéro à sa
droite. Je ne trouve pas 40 dans les parties de 138, mais 41,
qui ne differe de 40 que d’une unité : je puis donc prendre le
chiffre qui répond à 41, ce chiffre est 3 ; les deux dernieres f-
gures du nambre cherché sont donc 93, et ce nombre lui-même
est 3,141593. |
Si l’on eût voulu huit figures au nombre cherché, j’aurois
l écrit trois zéros à la droite de mon premier reste 128 ; 1] me se-
roit venu 128000, que j'aurois divisé par la différence 138 ; j’au-
rois eu au quotient 927 , et le nombre cherché seroiït devenu
11415927. |
6. Cas Le logarithme donné ayant huit figures , sans
| compter sa caractéristique, s’il est moindre que 01266452, on

DER. 1 RE DR A er nt nn A oenRE, e- Ao RAEe Qe e— p R-e

D. RO COX DV OUR MU : OO US UD M Mer eue Ve eq en OP De ee TOME DUR A me A EM 0 AR re ee

= — sm

Usrez prt'TAïLEs DE LOGARTTHMES.

ourra, en suivant le procédé indiqué ci-dessus, trouver le non
Pre auquel il appartient, avec huit ou neuf figures; il faut obse
ver seulement qu'au-dessus de 100000 les nombres isolés qu
sont dans la colonne marquée o , ont quatre chiffres. L
Veut-on , par exemple, le nombre dont le logarithme e:
5,00132812, je cherche le logarithme qui approche le plus d
5,00132812; c’est 5,00132691 qui repond à 100306; je retrar
che 2691 -de 2812, le reste est 121, à la droite duquel j'écri
trois zéros ; j'ai 121000, qui, divisé par 433, différence la plu
prochaine , donne au quotient 279. J'écris 279 à la droite d
100306 , et j'ai le nombre cherché 100306279.

7. Cas.’ Si le logarithme donné n'est pas dans le cas pré
cédent, c’est-à-dire, si sa partie décimale est plus grande qu
01266432, on choisira dans fa premiere chiliade un Pogarithm
qui soit tel qu’étant retranché du logarithme donné, ou ajout
à ce logarithme, la différence ou la somme rentre dans le ca
précédent. On cherchera le nombre auquel appartient la diffé
rence ou la somme trouvée; alors on multipliera ou l’on diviser:
ce nombre par celui qui, dans la premiere table, répond ai
logarithme choisi : le produit ou le quotient sera le nombr
cherché. | | |

Le choix du logarithme à soustraire du logarithme donné ot
à ajouter à ce logarithme, n’a pas de difhculté.

Le logarithme à soustraire est celyi qui, dans la premiere ta
ble’, approche le plus en moins du logarithme donné. Quant ar
logarithme à ajouter , on le choisit ainsi : on retranche le loga
rithme donné du logarithme de 101, et l’on prend le logarithmi
qui approche le plus en moins du résultat de cette soustraction.
Rendons cela plus clair par des exemples.

Veut-on le nombre dont le logarithme est 6,463726:2, je
cherche dans la premiere table le logarithme qui approche D

plus en moins de 6,46372612, c’est 2,46239800 , logarithme de
290 ; je soustrais le dernier logarithme du premier , le reste es
4,00132812; je cherchelenombreauquelappartient4,00132812,
| je trouve, comme ci-dessus, que ce nombre est 10030,6279, le
| quel étant multiplié par 290 , donne au produit le nombre cher-
ché 2908882, 09.

Veut-on, pour second exemple, le nombre dont lelogarithme
| est 0,49714987 , je prends dans la premiere table le logarithme

e 101, ou plutôt de 10,1; ce logarithme est 1,004321 47 , don
| je soustrais 0,49714987; j'ai pour reste 0,50717150; je cherche
le logarithme qui approche le plus de ce reste, c'est 0,$0650503,
logarithme de 3,21 : j'ajoute ce logarithme au logarithme donné
Ë 0,49714987, la somme est.1,00365490 ; je cherche le nombre
j auquel appartient 1,00365490 : je trouve, en suivant le procédé
l'indiqué ci-dessus, que ce nombre est 10,0845124, qui, étant
divisé par 3,21 , donne au quotient 3,14159265. C'est le nom-
bre qu'on demande.

nd honte ne mette 0 enr ré aie RS

8. CaAs. Si le logarithme donné est entièrement négatif,
on le cherchera dans les tables comme s’il étoit positif; et ayant
trouvé le nombre auquel il appaïtient , on fera de ce nombre le
dénominateur d'une Faction , à laquelle on donnera lunité pour
numérateur. &

Veut-on ; par exemple, savoir quelle est la fraction dont le
logarithme est —0,20411999 , je cherche dans les tables ce lo-

A te en tn png

É

CR

OR Re CS D 90 Re ee

2e ExPsitario# Des LoGAntrHMns

mme mm Ce me a ee © M

garithme comme s’il étoit positif ; je trouve qu'il répond au
| | . 1 10 :
nombre ! ,6 : la fraction cherchée est donc Ha °U:g» qui se
réduit à FE
On trouvera de même que — 0,04830468 appartient à la frac-
___1,11764706 111764706 ” |
Si pourtant on soupçonnoit que la fraction trouvée put être
simplifiée, on la convertiroitd'abord en fraction continue; alors,
si parmi les fractions intégrantes il s’en trouvoit une qui fut assez
petite pour être négligée, on s’arrêteroit à cette fraction, et l’on
réduiroit les précédentes en fraction vulgaire.

pi
. . . 1000000000 . 1 |
Ainsi la fraction 11764706 devient 17:

841
24
2941176 -
dans laquelle on peut sans erreur sensible négliger la derniere
1
2941176
se réduit à 2 ; c'est la frac-

fraction intégrante : négligeant donc , nous trouverons
1
141

Fr

que la fraction continue

b

tion cherchée.

9. Cas. Si le logarithme donné a une caractéristique néga-}
tive, sa partie décimale étant positive ; ou si ce logarithme ayant
une forme entièrement positive , la caractéristique est séparée
par un point de la partie décimale : ce logarithme appartiendra à
une fraction décimale qu’on trouvera, comme il a été enseigné }
plus haut, en cherchant le nombre auquel appartient le loga- |
rithme donné, comme si ce nombre étoit un entier. Ilnerestera À
plus qu'à mettre à la tête de ce nombre autant de zéros qu’il est k
nécessaire pour donner à la virgule la place qui lui convient. |
Si l’on remarquoit dans la fraction un retour de certains chif- |
fres formant une suite de périodes égales, on pourroit substituer |
à cette suite une fraction vulgaire, qui:auroit pour numérateur
l’une des périodes , et pour dénominateur un nombre composé |
d'autant de 9 qu’il y a de chiffres dans la période. Ainsi je pour- À
rois substituer & à la place de 0,23232323. Mais si la période ne |
commençoit pas immédiatement après la virgule, on mettroit à
la droite du dénominateur autant de zéros qu’il y a de places |
entre la virgule et la premiere période. Ainsi à la place def
0,0023232333, je substituerois ès; à la place de o,31578787878, |
j'écrirois 0,315+ 4, où 25 + gs = 328, que je réduirois à |
5 à peu près. |

XV. Après les tables des logarithmes des nombres ; vient une
table qui contient les logarithmes des sinus et des tangentes, de |
seconde en seconde pour les deux premiers degrés ; nrais le sinus À
ou la tangente d’un angle étant le co-sinus ou la co-tangente du À
complément de cet angle, cette table donne aussi Les co-sinus et |
les co-tangentes des arcs au-dessus de 88°.

Les degrés sont marqués hors du cadre en haut et en bas de }
chaque page , les minutes occupent la premiere et la dernierc |

Disposition des Tables des Sinus, Tangentes, &e.
|

re =

Disrosrrion Des TABLES Des Sinus, T'ANGENTES, &c. 2
ligne, etles secondes la premiere et la derniere colonne. Chaque
page à gauche ne contient que des sinus et des co-sinus, et cha-
que page à droite que des tangentes et des co-tangentes, ainsi
qu’on le voit par les titres de ces pages:

Les tables suivantes contiennent les logarithmes des sinus, co-
sinus, tangentes et co-tangentes , de dix en dix secondes pour
tous les degrés du quart de cercle. On yremarqueles degrés écrits
hors du cadre en haut et en bas de chaque page. Les minutes et
secondes qu'on Î voit à la premiere et à la seconde colonne se
rapportent aux degrés qui sont écrits en haut; les minutes et se-
condes qu’on y trouve à la derniereet à l’avant-derniere colonne
se rapportent aux degrés qui sont marqués au bas de la page.

La troisieme colonne contient les logarithmes des sinus des
arcs dont les degrés sont indiqués au haut de la page , et dont
les minutes et les secondes sont marquées dans IA premiere et
Î{ dans la seconde colonne. La troisieme colonne est intitulée si-
nus, mais il faut lire sinus artificiels, ou logarithmes des sinus. Il
en est de même des autres. La quatrieme colonne contient les
difféfences des sinus artiñiciels , ainsi que son titre l’annonce :
chaque nombre de cette colonne n’est pas dans l'alignement de
ceux de la colonne précédente ; ils se trouvent tous descendus
d’une demi-ligne, et chacun d’eux exprime la différence qu'on
auroit si l’on soustrayoit l’un de l’autre les deux sinus entre les-
quels il se trouve. Les colonnes cinquieme et sixieme contien-
nent les co-sinus des mêmes arcs et leurs différences ; les colon-
nes septieme et huitieme contiennent les tangentes et leurs diffé-
rences ; enfin la neuvieme colonne contient les .co-tangentes des
mêmes arcs ; leurs différences sont les mêmes que celles des
tangentes : c’est pour cela qu’on a intitulé la colonne qui con-
tient ces dernieres, différences communes.

Si l’on ne considere que les degrés qui sont à la tête de chaque
page , On croira que les tables ne s'étendent que jusqu’à 45°; mais
si l'on observe que chaque colonne a deux titres, que la colonne
marquée par en haut sinus , est marquée par en bas co-sinus ;
que cellé qui est intitulée par en haut co-sinus estintitulée paren
bas sinus ; qu’il en est de même des tangentes et des co-tangentes :
on verra qu’en consultant les degrés ainsi que les titres des co-
onnes qui sont en bas. de chaque page, etles deux dernieres co-
lonnes vers la droite des mêmes pages , on aura les sinus, co-
sinus, tangentes et co-tangentes des degrés, minutes et secondes
depuis 45° jusqu’à 90°.

Usage des Tables des Sinus.

PROBLÊME PREMIER.

XVI: Connoissant le nombre de degrés, minutes et secondes
d’un-arc quelconque, trouver le logarithme du sinus, du co-
sinus, dela tangente ou de la co-tangente de cet arc. |

1. Cas. Si le nombre donné est composé dé degrés, de mi-
nutes et de dixaines de secondes , cherchez d’abord le nombre
des degrés parmi ceux qui sont écrits en haut ou en bas des pages;
en haut, s’ilest moindre que 45° ; au bas, s’il est plus grand.
Parcourez la premiere colonne qui va en croissant de haut en
bas, si le nombre des degrés se trouve au haut de la page ; ou
la derniere qui va en croissant de bas en haut, si le nombre des
degrés se trouve en bas; parcourez, dis-je , l’une ou l'autre de

a? Usaczx Das TaAsLr£s DES SiINUS.

ces colonnes dans le sens suivant lequel elle croît, jusqu’à ce que
vous Î ayez trouvé le nombre des minutes données ; passez dans

la colonne des secondes , sans quitter la ligne des minutes trou-
vées ; suivez dans le même sens cette colonne, vous y trouverez
bientôt vos dixaines de secondes, et sur la même ligne le loga-
rithme du sinus, du co-sinus, de la tängente ou de la co-tangente

ue vous cherchez. Pour ne pas vous tromper de colonne, il
fut avoir soin de consulter les titres supérieurs de ces colonnes,
si le nombre des degrés donné est écrit en haut de la page; mais
s'il est écrit en bas, ce sont les titres inférieurs qui faut con-
sulter.

Veut-on , par exemple, le logarithme du sinus de 2°, 24’,
50"; 2° se trouvant en haut de la page, je descends le long de la
premiere colonne qui va en croissant de haut en bas; je trouve
24' dans cette colonne : je passe à la colonne suivante , qui est
celle des dixaines de secondes ; je descends le long de cette co-
lonne ; jy rencontre 50" ; sur la même ligne et dans la colonne
intitutée par eh haut sinus , je trouve 8.6244662. C’est le loga-
rithme cherché.

Veut-on pour second exemple le loparithme de la tangente de
79" 51", 40"; 79° se trouvant au bas de la page, je monte le
ong de la derniere colonne qui va en croissant de bas en haut ;
je trouve 51° dans cette colonne ; je passe à la colonne précé-
dente , qui ést celle des dixaines de secondes ; je monte le long
de cette colonne, j'y rencontre 40" ; sur la même ligne et dans
la colonne marquée par en bas tangente, je trouve 10.7475657.
C'est le logarithme cherché.

2. Cas. Si le nombre de degrés donnés contient en outre

des unités de secondes, cherchez, comme s’il n’y avoit point
d'unités de secondes, le logarithme du sinus ou de la tangente
de l'arc donné ; prenez la Éférence qui est entre le logarithme
trouvé et celui qui vient immédiatement après lui, en allant de
haut en bas, ou de bas en haut , selon la marche que vous sui-
vez; multipliez cette différence par les unités de secondes dont
vous avez fait abstraction ; supprimez une figure vers la droite
du produit, et ajoutez le résultat au logarithme trouvé, la somme
sera le logarithme demandé.

Veut-on, par exemple , le logarithme de la tangente de 39°,
23", 57", je cherche celui de 39° , 23, 50"; je trouve
2-9 145167: la différence de ce logarithme à celui qui vient aprés
ui en descendant, est 429, qui, multiplié par 7, donne 3003;
supprimant le dernier chiffre 3, il me vient 300 que j'ajoute à
9.9145167 : la sômme 9.9145467 est le logarithme cherché.

Le nombre donné exprimant des degrés, minutes et secondes,
on trouvera de même le logarithme de son co-sinus , ou celui

| de sa co-tangente ; mais après avoir multiplié la différence par
les unités de secondes , et avoir supprimé la derniere figure du
produit, on retranchera le résultat du logarithme déja trouvé.

Veut-on, par éxemple, le logarithme du co-sinus de 50°,
35", 23" ; je cherche celui de 50°, 35’, 20" : ce logarithme est
p-B02691 9 : la différence de ce logarithme à celuiqui vient après
ui en montant est 256, qui, multiplié par 3, donne 768. Sup

| primant le dernier chiffre 8 , et faisant refluer une unité sur 6,

j'ai 7 que je retranche de 9.8026ç19 ; la différence 9.8026842
est le logarithme cherché.

Si le nombre donné est au-dessous de 2°, on trouvera sur-le-

{

Usace Des Taies Des Sints i

qq
champ le logarithme de son sinus ou de sa tangente en faisant
usage de la premiere table ; et si ce nombre est au-dessus de
88°, la même table donnera immédiatement le logarithme de son
co-sinus ou de sa co-tangente.

Si le nombre donné de degrés , minutes et secondes est entre
go° et 180°, il faudra lui substituer son supplément à 18°; s'il
est entre 180° et 270°, on en retranchera 180°, et l’on prendra
à sa place le reste de cette soustraction ; enfin s’il est entre 270*
et 360°, on lui substituera son supplément à 360°. :

3, Cas. Si le nombre donné contient, outre les secondes;
des subdivisions de secondes, telles que des tierces, des quartes,
&c. , on réduira ces subdivisions en parties décimales de la se-
conde ; on cherchera comme ci-dessus le logarithme du sinus ,
co-sinus, &c., du nombre de degrés, minutes et dixaines de se-
condes que contient l'arc donné; on prendra la différence qui
répond au logarithme trouvé ; on la multipliera par les unités;
dixiemes, centiemes, &c. de seconde du nombre donné; on
avancera la virgule d’un rang vers la gauche du produit, et l’on
ajoutera au logarithme déja trouvé les figures de ce produit qui
seront vers la gauche de la virgule, s’il s’agit d’un siuus ou d'une
tangente; mais on les retranchera du même logarithme, s’il s’a-
git d'un co-sinus ou d'une co-tangente : la somme ou la diffé-
rence sera le logarithme cherché.

Observez que pour réduire une fraction sexagésimale du premier
ordre en fraction décimale, il faut la diviser par 6, et avancer la
virgule d’un rang vers la gauche du quotient. Si la fraction sexa-

| gésimale est du second ordre, on la divisera par 6, et le quotient

{encore par 6, puis on avancera la virgule de deux rangs vers la

| gauche du second quotient. Si elle est du troisieme ordre, on la

1 divisera trois fois de suite par 6, et l’on avancera [a virgule du

| troisieme quotient de trois rangs vers la gauche : ainsi de suite.

{ Veut-on, par exemple, le logarithme de la tangente de 43°41’
51" 43!!! 4oiv 28, je commence par réduire 43! !" 4oiv
28v en fraction décimale de la seconde. Je trouve que 43!!!

1— 0", 716666 ; que 4oiv = 0", o11111 , et que à =0",

{000129 ; ces trois fractions étant additionnées donnent 0”,
727906 ou o",728 en négligeant les parties plus petites que les
milliemes ; le nombre donné se change en celui-ci 43° 41/51",

| 728. Je cherche le logarithme de la tangente de 43° 41! 50",
je trouve 9.9802434 ; la différence est 422 ; je la multiplie par
1,728 , le pradu est 729,216 ; je recule la virgule d’un rang

vers la gauche, ja 72:9216; j'ajoute 73 à 9,9802434, lasomme

1 9.9802507 est le lagarithme de la tangente cherché.

] 4. Cas. Si les différences qu’on trouve dans la table va-

{ rient trop, ce qui arrive lorsque le nombre donné est trés petit.

d on pourra prendre les différences secondes , troisiemes, &c..

jet l'on aura le logarithme du sinus ou de la tangente cherché.

| par le moyen de là formule suivante, ‘

X—] X—

-2
Te vu DEL E ge.
2 3

—

BA + D'+ 2 D'+x

| dans laquelle B exprime le logarithme cherché; À , le logarithm
| du sinus oy de [a tangente du nombre de degrés, minutes et se
1 condes compris dans l'arc donné; x, le

s parties décimales dese
] conde de l'arc donné; D’, D",.D’''!, &c. , les différences pre

|miere, seconde, troisieme, &c. Cette formula est l'expression d

24 UsAGz Des TABLES DES SiNus.

terme général B d’une suite dont le premier terme est À , et les |
différences premiere, seconde, troisieme, &c., sont D', D", |
| D''', &c. Voyez le Calcul Différentiel de M. Euler, ou les Le- |
| cons de Calcul Intégral de M. Cousin. Mais il vaut beaucoup (
\ mieux prendre dans les tables le logarithme du sinus ou de la }
tangente des degrés , minutes et secondes que contient l'arc
donné ; réduire le nombre donné en secondes et parties déci-
A males de seconde ; prendre le logarithme de ce nombre ainsi
| réduit ; réduire pareillement en secondes les degrés, minutes et
1 secondes que contient le nombre donné; prendre le complément
] arithmétique du logarithme de ce nombre ainsi réduit , et l’a-|
jouter aux deux logarithmes déja trouvés : la somme, après
qu’on aura supprimé la dixaine qui se trouvera à sa gauche, |
1 sera le logarithme du sinus ou de la tangente cherché. |
Veut-on, par exemple, le logarithme du sinus de o° 3’ 27" |
21!!! 181v 27v, je cherche le logarithme du sinus de o°3' |
27"; je trouve 7.0015451 : je réduis le nombre donné en se- |
À condes et parties décimales de seconde ; j'ai 207" ,355125 ; je À
trouve que son logarithme est 2,31671476. Je réduis pareille-
ment 0° 3’ 27" en secondes ; j'ai 207", dont le logarithme est
2,31597035 : son complément arithmétique est 7,68402965 , |
que j'ajoute aux deux premiers logarithmes déja trouvés ; la À
somme est 17.0022895 ; supprimant la dixaine de cette somme, |
le résultat 7.0022895 est le logarithme du sinus cherché.

Sil'on m’avoit demandé le logarithme de la tangente du même |
arc, j'aurois fait la même opération ; mais au lieu du logarithme
dusinus de 0° 3/ 27”, j'aurois pris celui desa tangente, et j'aurois
trouvé 7.0022898 pour le logarithme de la tangente demandée.

Si l’on veut avoir le logarithme du co-sinus ou de la co-tan-
gente d’un très petit arc, on calculera comme ci-dessus le loga-
rithme de son sinus et de sa tangente; on prendra le complément
arithmétique du logarithme de la tangente; ce complément,
ajouté au logarithme du sinus trouvé, donnera le logarithme du
co-sinus cherché. Ce même complément, ajouté à 10,0000000,
donnera le logarithme de la co-tangente demandée.

Quoiqu'on ne trouve dans ces tables que les logarithmes des
sinus, co-sinus , tangentes et co-tangentes, on peut par leur
moyen avoir les logarithmes des sécantes , co-sécantes, sinus
verse el co-sinus verse,

Voiei comment :

Au complément arithmétique du logarithme du co -sinus
ajoutez 10.0000000 , et vous aurez le logarithme de la sécante.

Au complément arithmétique du logarithme du sinus ajoutez
4 10.0000000 , et vous aurez le logarithme de la co-sécante.

Au double du logarithme du sinus de la moitié de l'arc donné
ajoutez 0,3010300; retranchez 10.0000000 de la somme, et

vous aurez le logarithme du sinus verse.
| Au double du logarithme du sinus de la moitié du complé-

ment de l'arc donné ajoutez 0,3010300; retranchez 10.0000000
de la somme, et vous aurez le logarithme du co-sinus verse.

ÿ

4 e ee
EE 1 dt mt cmt tm à

DER. MEN PRO LR OR RE RP EAST - (RENE CESR RENENER SRRAATRE ©

Veut-on, par exemple, le logarithme de la sécante de 23° 13'
# 20", je prends le complément arithmétique du co-sinus de cet
À arc ; j'ai 0.0366928, auquel j'ajoute 10.0000000 : (ajouter:
10.0000000 à un nombre, c’est écrire 1 au rang des dixaines de,
ce nombre, s’il y a o à ce rang} ce qui donne 10,0366928, C'est
le logarithme de la sécante demandée,

ee + mr eme DR ten e “OS ONCE D à OR “ar D à rm Au Re 3)

Csxdx Des Tanres Des Sinvs. a$

Veut-on le logarithme de la co-sécante du même arc; le com-
plément arithmétique de son sinus est 0.4041750 : j'écris 1 au
rang desdixaines de ce nombre, et j'ai le logarithme 10.4041750
de la co-sécante cherchée. |

Veut-on le logarithme du sinus verse du même arc ; la moitié
de cet arc est de 11° 36’ 40" ; le logarithme du sinus de cette
moitié est 9.3037745, dont le double est 18.6075490 ; j'y ajoute
0,3010300, j'ai 18.908579 ; j'en retranche 10,0000000, (ôter
10,0000000 d'un nombre , c’est en retrancher une dixaine, ou
supprimer la dixaine s’il n’y en a qu'une) ce qui me donne
8.9085790. C’est le logarithme du sinus verse cherché.

Veut - on le logarithme du co - sinus verse du même arc ; le
complément de cet arc est 66° 46’ 40”, dont la moitié est 33°
23! 20"; le logarithme du sinus de cette moitié est 9.7406144,
dont le double est 19.4812288 , auquel j'ajoute 0,3010300 ; la
somme est 19.7822588 , dont je supprime la dislléne , et j'ai
9.7822588. C'est le logarithme du co-sinus verse cherché.

PRostr£mz II,

XVII Le logarithme d'un sinus, d'un co-sints, d'une tan-
gente ou d’une co-tangenñte étant donné , trouver le nombre de
degrés, minutes et secondes de l’arc auquel il appartient.

4. Cas. Cherchez le logarithme donné dans l’une quelcon-
que des deux colonnes qui ont pour titre la ligne à l'expression
numérique de laquelle votre logarithme appartient ; si vous le
trouvez parmi ceux qu’elle contient , observez dans quel bout
de la colonne est le titre que vous avez consulté : si ce titre est
en haut, jettez les yeux sur la seconde colonne à votre gauche
et dans l'alignement de votre logarithme, vous y trouverez un
nombre de dixaines quiexprimera les secondes de l'arc cherché ;

assez à la premiere colonne ; si vous y voyez un nombre dans
a même alignement, il sera celui des minutes cherchées ; sinon
montez le long de cette colonne , le premier nombre que vous
rencontrerez vous les donnera : enfin regardez en haut de la
page, vous y trouverez hors du cadre le nombre de degrés de-
mandé. Mais si le titre en question est au bas, il faut recourir à
l’avant-derniere colonne vers la droite, qui donnera de même les
secondes; passer ensuite à la derniere colonne, sur laquelle vous
trouverez Les minutes cherchées, soit dans la même ligne , soit
en descendant le long de cette colonne : enfin regardez au bas
de la page, et vous y verrez hors du cadre le nombre de degrés
demandé. |

Veut-on, par exemple, le nombre de degrés , minutes et se-
condes de l'arc dont le logarithme du sinus est 9.3541803 ; je le
cherche dans l’une des deux colonnes qui sont intitulées sinus, |
sans m'embarrasser si ce titre est en haut ou au bas de la co-
lonne ; l'ayant trouvé, j'observe que le titre sinus est en haut de
la colonne : je consulte la secondé colonne à gauche, j'y trouve
50 dans l'alignement de 9.3541803 : je passe à la premiere co-
lonne , je n'y vois rien dans le même alignement ; mais, en
montant, je rencontre 3 dans cette colonne : je jette les yeux en
haut de la page, et je trouve hors du cadre 14 deg. Le nombre
demandé est donc 13° 3/ 50".

Si le logarithme donné eût été celui d'un co-sinus, alors
le fitre co-sinus étant au bas de la colonne, j'aurois consulté

af UsaAce nes TAsLus Des SInuse

l

D un Rue AU ne O7 -S CORRE SE de EE "2e M

avant-derniere colonne, dans laquelle j'aurois trouvé 10; j'aurois |
passé à la derniere , que j'aurois descendue , et dans faquelle
{ J'aurois rencontré 56 ; enfin j'aurois regardé au bas de la page , |
j'y aurois trouvé hors du cadre 76 deg. , et le nombre cherché
eût été 76° 56’ 10”, complément de 13° 3’ 50". On trouvera|
de même que le logarithme 10.2157103 étant celui de la tan-
| nte d’un arc, cet arc sera de 58° 40’ 40"; que s’il exprime le
}

———

Î
ogarithme d’une co-tangente, il appartiendra à 31° 19° 20°.
© 2, Cas. Si le logarithme donné ne se trouve point dans les
ables , cherchez les deux logarithmes entre lesquels il est com-
À pris ; prenez celui de ces deux logarithmes qui est du côté du |
| titre de la colonne dont vous avez besoin ; soustrayez-le du lo-
] garithme dopné, ou retranchez-en le logarithme donné , selon
lque l'un sera plus grand ou plus petit que l'autre ; mettez un k
| zéro à la droite du reste, divisez-le par la différence des deux lo-
| parithmes engge lesquels se trouve le vôtre, et ne prenez qu’un
\ chiffre au quôtient. Si vous avez un très petit reste, ou si ce reste À
! est zéro, le quotient trouvé exprimera les unités de secondes;
| mais si ce reste ne differe du diviseur que d’une très petite quan- À.
{tité, il faudra ajouter 1 au quotient trouvé, pour qu'il exprime |
les unités desecondes. Le nombre des degrés, minutes et dixaines |
de secondes sera celui de l'arc auquel appartient le logarithme |
! des tables dont vous aurez fait usage. |
{ Veut-on, par exemple, le nombre de degrés de l’arc dont le |
| logarithme de la tangente est 9.9145467; je le cherche parmiles
Fangentess]e trouve que ce logarithme est conpris entre 9.9145167
et 9.9145996 ; je prends 9.9145167 qui est
| gente; je le retranche de 9.9145467, Le reste est 300, à la draite
] duquel écrivant o, j'ai 3000 , que je divise par la différence des |
tables, 429; le quotient est 6, et le reste 426, qui ne differe de |
429 que de 3 : je puis donc prendre 7 pour les unités de se-f
!condes cherchées , et l'ajouter à 39° 23" 50", auquel appar-
l'tient 9-9145167; ce qui me donne Ze 23! 57".
Si le logarithme donné 9-2145467 eût été celui d'une co-tan-
| gente, j'aurois pris 9.9145596, (logarithme de la co-tangente de
50° 36! 0"); j'en aurois Ôté 9.9145467; le résultat eût êté 129:
À j'aurojs divisé 1290 par 429 ; j aurois eu 3 pour quotient, et 3
our reste ; j'aurois négligé ce reste ; j'aurois ajouté 3" à 5o°
bé’ o", et j'aurois eu le nombre cherché 50° 36/ 3".
1 4. Cas. Si le reste de la division qui donne les unités de se- |
| candes ne peut pas être négligé, ajoutez à sa droite autant de
zéros que vous voulez avoir de figures décimales ; mettez une vir-
| gule à la droite des unités déja trouvées , continuez la division
commencée ; ajoutez le quotient que vous aurez aux degrés, mi- |
nutes et dixaines de secondes déja trouvées, et vous aurez le nom- À
à bre cherché exprimé en degrés, minutes, secondes et parties dé- |
| cimales de seconde : vous pourrez ensuite, si vous le voulez, }
l convertir la fraction décimale en fraction sexagésimale,
Cette conversion se fait en multipliant par 6 la fractian déci, |
male, puis en reculant la virgule d'un rang vers la droite. Les À
chiffres qui seront à gauche de cette virgule exprimeront les k
tierces, et ceux qui seront à sa droite, les parties décimales de
tierce, Qu'on les multiplie de même par ê , et qu’on recule la
à virgule d’un rang vers la droite, on aura desquartes, et des par-
[| ties décimales de quarte, sur lesquelles gn ppérera de 13 même
mgniere, |

ss mm.

2e

ee

an.

-…

= du me

|
u côté du titre tan- À

2

que +

mn

mn

er -

Usace Des Taszres Êes Srnus. j

Veut-on, par exemple, le nombre de degrés, minutes, &c.
de l'arc dont le logarithme de la tangente est 9.9802507 ; je
trouve en opérant comme ci-dessus que celui qui en approche
le plus dans les tables est 9.9802434 , qui appartient à 43° 41°
50"; je le soustrais de 9.9802507 ; j'ai pour reste 73 : j'écris
730, que je divise par la différence des tables 422 ; j'ai 1 pour
quotient , et pour reste 308 , qui n'est ni très petit par rapport
à 422 , ni très approchant de ce nombre. Je continue la divi-
sion , et j'ai 1,729. Le nombre de degrés, &c. cherché est donc
3° 41! 51", 729, ou, en réduisant la fractiôn décimale en
action sexagdsimale, 43° 41" 51" 43"?! 44.

Ce nombre n’est pas tout-à-fait le même que celui de l’exem-
ple du troisieme cas du problème précédent ; cela vient de ce
que les logarithmes des sinus , tangentes, &cc. ne sont calcu-
lés qu'avec sept décimales. | |

4. Cas. Si les différences des tables varient trop, 6n pourra
prendre les différences de ces différences, et chercher la fraction
décimale qui accompagne le nombre des secondestrouvées, par
le moyen de la formule suivante,

2D'— D” 2D/—D#3 2B—2A
ae — + Vo + 5),

dans laquelle A, B, D', D" et x expriment les mêmes quan-
tités qu’au quatrieme Cas du Problême précédent.
© Mais il vaut beaucoup mieux prendre le complément arithmé-
tique du logarithme qui, dans les tables, approche le plus du
logarithme donné; réduire en secondes le nombre de degrés qui
lui correspond ; prendre le logarithme de ce nombre de degrés
ainsi réduit, et ajouter ensemble ce dernier logarithme, le com-
plément arithmétique trouvé et le logarithme donné : la somme
de ces trois quantités, diminuée de A dixaine qui est à sa gau-
che , sera le logarithme du nombre de degrés et parties de de-
ré exprimés en secondes et fraction décimale de seconde qu’on
emande. | |

Veut-on, par exemple, le nombre des degrés et parties de de-
gré de l'arc dontie logarithme du sinus est 7.0022895; je trouve
que celui qui en approche le plus est 7.0015451 , qui répond à
0° 3” 27" ; le complément arithmétique de 7.0015451 est
2. 2984549 ; le logarithme de o° 3! 27" ou de 207" est
2,31597035 ; ejontant ensemble les trois nombres 7.00228095,
2.9984549 , 2,31597035, j'ai pour somme 12,3:671475 , qui
devient , en supprimant la dixaine , 3.31671475. Ce logarithme
appartient à 207,355124, lequel étant converti en fraction sexa-
gésimale se change en celui-ci o° 3! 27" 21//! 181v av.

On trouvera de même que 7.0022898 étant le logarithme de
la tangente d’un arc, cet arc sera de 0° 3/ 27" 21/7 181v 297.

Le logarithme du co-sinus d’un très petit arc étant exprimé
avec sept décimales seulement , on ne peut pas avoir les parties
de cet arc ges petites que les secondes ; il y a même beaucoup
d'incertitude dans ces dernieres. On fera donc bien d'éviter les
co-sinus des petits arcs : nous en donnerons une méthode pour
un cas qui arrive assez fréquemment,

Le logarithme de la co-tangente d’un très petit arc étant
donné, on le retranchera de 20,0000000 : le reste sera le loga-
rithme de la tangente du même arc, et d'on cherchera comme
ci-dessus le nombre de degrés de l'arc auquel il appartient:

+

e8 UsaAce pes TaAgLes Des SiINus. .

TT TS
A Si le logarithme donné est celui d’une sécante, d’une co-sé-}
\ cante, d'un sinus verse, ou d’un co-sinus verse, on pourra trou- |
ver par le moyen de ces tables le nombre de degrés » minutes À
| et secondes auquel il appartient. |
j Voici comment:

Supprimez la dixaine qui est à la gauche du logarithme de la
sécante, le complément arithmétique du reste sera le logarithme
du co-sinus de l'arc cherché. |

Supprimez la dixaine qui est à la gauche du logarithme de la |

À] co-sécante , le complément arithmétique du reste sera le loga- À
L! rithme du sinus de l'arc cherché.

Ajoutez 9.6989700 au logarithme du sinus verse , la moitié
de la somme sera le sinus de la moitié de l'arc cherché.

Ajoutez 9.6989700 au logarithme du co-sinus verse, la moi-
é de la somme sera le sinus de la moitié du complément de l'arc
cherché.

Exemples.

Si 10.0366928 est le logarithme d'une sécante, supprimant
a dixaine, j'ai 0,0366928 , dont le complément arithmétique |
9.9633072 est le logarithme du co-sinus de 23° 13' 20".

Si 10.4041750 est celui d’une co-sécante , je supprime la di
xaine, et j'ai 0,4041750 .. dont le, complément arithmétique
9-.5958250 est le logarithme du sinus de 23° 13" 20°,

8 8.9085790 est celui d'un sinus verse , je lui ajoute
9.698970 ; la somme est 18.6075490, dont la moitié 9.3037745
est le logarithme du sinus de 11° 3 ! 40", moitié de 23° 13’!
20". .
Si 9.7822588 ést celui d’un co-sinus verse, je lui ajoute

9.6989700 ; la sommeest 19. 4812288, dontla moitié 9.7406144
est le logarithme du sinus de 33° 23/ 20", moitié du complé-

ment de T'arc cherché : ce complément est de 66° 46! 40”,

et l'arc cherché est de 23° 13’ 20".

Nous n'avons pas mis dans ces tables les sinus ni les co-sinus
naturels , non plus que les tangentès, ce-tangentes , sécantes , Îk
&c. , parceque, depuis l'invention des logarithmes, ces sortes de
nombres sont d’un usage peu fréquent : cependant s’il arrivoit
qu’on en eût besoin, on les obtiendroit très aisément par le
moyen de leur expression logarithmique. |

Veut-on , par exemple, le sinus naturel de 37° 13! 50"; je
prends le logarithme de son sinus qui est 9.7817725 ; je cherche [
e nombre naturel auquel appartient ce logarithme ; je trouve
que 9.7817697, qui en approche le plus en moins , répond à
0,60502 : c’est le sinus que je cherche , exprimé avec cinq figu-
res décimales. Pour l'avoir avec sept figures, je soustrais 7697
de 7725 ; le reste est 28 ; la différence la plus prochaine est 72 :
je consulte la petite table des parties de 72 ; je trouve que 22 ré-
pondent à 3 ; 22 ôtés de 28 donnent 6 pour reste ; je mets un
zéro à la droite de 6, ce qui fait 60; je trouve dans la mêmetable
que 58 répondent à 8 : les deux dernieres figures du sinus cher-
ché sont donc 38, et ce sinus est 0,6050238 (le rayon étant 1).

1! Je trouverai par une opération semblable que le co - sinus du
même arc est 0,7962074, que sa tangente est 0,7598823 , sa
co-tangente 1,3159933, sa sécante 1,2559541 , sa co-sécante

1,05282735 , son sinus verse 0,2037926, et son co-sinus verse

0,3949762.

eee 2 RAR ie de

D SR TU been © 0. AA dm

En Üsaës Des Tasieë bré S14 08: {

Nota. Les sinus, co-sinus, tangentes, &c. de tous-les degrés
du quart de cercle sont évalués en parties décimales du rayon,
qui en est la mesure commune, ou l'unité à laquelle on les com-
pare. Toutes ces lignes, si l’on en excepte les sécantes , les co-
sécantes , et les tangentes des arcs plus grands que 45°, soni
moindres que le rayon. Leurs expressions numériques sont donc
des fractions proprement dites , et les caractéristiques de leurs
logarithmes devroient être négatives. Pour donner à ces logarith-
mes une forme entièrement positive, on a augmenté de 10 unités
| toutes les caractéristiques , mais on les a séparées par un poini
| des fractions décimales qui les accompagnent, et cepoint indique
| que toutes ces caractéristiques sont trop grandes de 10 unités.

!
h

Addition et Soustraction des Logarithmes.

XVIII. Si les logarithmes qu’on veut ajouter ensemble ont
tous le même signe, c'est-à-dire s’ils sont tous positifs ou tous
| négatifs, on suivra les regles de l’addition des décimales, et l’on
1 donnera à la somme le signe qui est commun aux logarithmes
sur lesquels on ‘opere. Ainsi les logarithmes # 2,4771213, +
1,7781513 et T 4,0791812 ont pour somme + 8,3344538.
Lorsque les logarithmes sont les uns positifs, les autres négatifs,
substituez à chaque logarithme négatif son complément arithmé-
À tique ; donnez-lui le signe +- ; faites l'addition comme ci-dessus,
] et retranchez dela caractéristique de la sommeautantdedixaines
| que vous avez pris de compléments arithmétiques.
| Siles caractéristiques seulement de quelques-uns des logarith-
mes à additionner sont négatives ; mettez à la place de chacune
d'elles son complément arithmétique, et opérez de la même ma-
niere.

Nota. Ilpeutse faire que le nombre des dixaines de la somme
| trouvée soit plus petit que celui qu’on doit en soustraire ; alors
À de ce nombre à soustraire on retranche la caractéristique de la
somme trouvée, ce qui donne pour reste une caractéristique
positive , que l’on sépare par un point de la partie décimale de

même somme.

Si, par exemple, on demande la somme des logarithmes +
3,6989700 + 2,4771213 — 7,6532125 — 4,5686362 , je
substituerai aux deux derniers leurs compléments arithmétiques,
et les ayant ajoutés aux deux logarithmes positifs, j'aurai pour
somme 13,9542426. Je dois retraucher deux dixaines ou 20 de
113, cela ne se pouvant pas, j’ôte 13 de 20, j'ai pour reste7,
| et la somme demandée est 7.9542426. |

La soustraction des logarithmes n’a pas plus dé difficulté ; on
change d’abord le signe du logarithme à soustraire , puis on l’a-
joute à l’autre logarithme, en suivant les regles prescrites pour
| l'addition.

Multiplication et Division des Logarithmes.

XIX. Si les logarithmes à multiplier ou à diviser sont entiè-
rement positifs ou entièrement négatifs , faites l'opération comme
À à l’ordinaire, et donnez le signe + au produit ou au quotient,
| si les facteurs de la multiplication ou de la division ont dessignes
| semblables ; donnez-lui au contraire le signe — , si ces mêmes
| facteurs ont des signes différents.

Sile multiplicateur ou le diviseur étoit exprimé par beaucoup

ee me ne ee

qq EU QU

€ ii)

36 MULTYSLICATION EY DIVISION DES LOGARITHMES.'

L
|

= ac — — — 7" n TT ” : TT TT D :
: +

——

de chiffres, ou bien si ce facteur étoit un logarithme ( ce qui |
eut très bien arriver), alors on regarderoit les deux termes de }
ja multiplication ou de la division comme des nombres naturels |
dont on prendroit les logarithmes , sur lesquels on opéreroit
comme il vient d’être dit pour l'addition et la soustraction : on
prendroit dans les tables le nombre naturel correspondant à la
somme ou au reste trouvé ; on considéreroit ce nombre comme
un logarithme, et l’on auroit le produit ou le quotient cherché. k
Si la caractéristique du logarithme à multiplier est négative , |
sa partie décimale étant positive ; après avoir multiplié comme
à l'ordinaire la partie décimale du multiplicande par le multi-
plicateur, on retiendra les unités qui résulteront du produit,
pour les retrancher de celui de la caractéristique par le même }
multiplicateur.
Et pour diviser un logarithme dans le cas où sa caractéristique
seulement est négative , on cherchera combien de fois cette ca-
ractéristique contient le diviseur ; si elle le contient un certain”
nombre de fois sans reste, on fera la division comme à l’ordi-
naire; mais s’il y a un reste, on ajoutera à la caractéristique
autant d'unités négatives qu’ily en a de plus dans le diviseur que
dans le reste; on divisera cette caractéristique ainsi préparée par
le diviseur, l’on retiendra autant d'unités positives qu’on a ajouté
d'unités négatives à la caractéristique ; on les ajoutera à la partie
décimale a logarithme à diviser, et l’on continuera la di-
vision.

Exemple pour la Multiplication. | Là
Veut-on le produit — 2 + 0,6989700 par 5 ; je multiplief
0,6989700 par 5 : j'ai3,4948500 ; mais je n’écris pas les trois |
unités ; je multiplie — 2 par 5: j'ai — 10, dont je soustrais

+-3, le reste est —7, et le produit cherchéest — 7-+0,4948500, |
ou 3.4948500.

Exemples pour la Division.

Si j'ai à diviser — 10 + 0,3186305 par 5, je trouverai sur-}
le-champ que le quotient est — 2+ 0,0637261 , ou 8.063726: ; |
mais si le dividende étoit — 13+ 0,3186305, j'observerois que }
13 divisé par 5 donne 2 pour quotient et 3 pour reste ; |
que le diviseur 5 étant plus grand que le reste 3 de deux uni-
tés , ces deux unités doivent être ajoutées négativement à la
caractéristique y et être écrites positivement à la place du zéro
qui précede la virgule de la partie décimale 0,3186305. Je chan-
gerois donc mon logarithme en celui-ci — 15+-2,3186305 , et
j'aurois pour quotient — 3 + 0,4637261 ou 7.4637261.

APPLICATION DES LOGARITHMES.
Regle de Proportion.

XX. Chofsissez parmi les quantités qui entrent dans l'énoncé
de la question celle qui est de même espece que l’inconnue , et}
que j'appelle terme homologue ; prenez son logarithine : exami-|
nez parmi les quantités qui ont une relation avec l'inconnue , |

et que jsppelle correspondantes de l'inconnue,, celles qui ont
avec elle un rapport direct, c’est-à-dire qui font croître ou dé-}

ep mme due ae mme me =

Asruicar. Des Loëan. Recze De PrordrrIow. 'S

croître l’inconnue à mesure qu’elles augmentent ou diminuent;
prenez le logarithme de chacüne d'elles : observez parmi les mé-
mes correspondantes , celles qui ont avec la même inconnue un
rapport inverse, c’est-à-dire qui la font diminuer ou augmenter
à mesure qu’elles croissent ou décroissent ; prenez le complé-
ment arithmétique du logarithme de chacune d'elles ; parmi les
correspondantes du terme homologue, distinguez celles qui ont
avec lui un rapport direct de celles qui ont un rapport inverse,
et faites sur ces dernieres le contraire de ce que vous avez fait
sur les premieres, c’est-à-dire, prenez le complément arithméti-
que du logarithme de chacune de celles qui sont en raison di-
recte, et le logarithme de chacune de celles qui sont en raison
inverse ; enfin ajoutez ensemble tous ces logarithmes et tous
ces compléments : la somme, après que vous en aurez ôté autant
de dixaines que yous aurez de compléménts , sera le logarithme
de l'inconnue. Éclaircissons cela par des exemples.

Exemple premier.

Si 5600 liv. suffisent pour la nourriture de 120 hommes pen-
dant 32 semaines , combien faudra-t-il de liv. pour nourrir 360
hommes pendant 48 semaines ?

L'inconnue est un nombre.de livres ; le terme homologue
Fest 5600 Liv. dont le logärithmé ét 3,7481880 ; les correspon-
dantes de’ l’inconnue sont 560: hommes et 48 semaines qui
ont toutes deux avec elle un rapport direct ; car il faudra
d'autant plus de livres qu’on aura plus d'hommes à nourrir,
et qu’on les nourrira plus long-temps. Je prends donc le loga-
rithme de 360 qui est 2.5563025 , et celui de 48 qui est
1.6812412. Les correspondantes de 5600 liv. sont 120 hom-
mes et 32 semaines, qui ont toutes deux un rapport direct avec
5600 livres ; je prends donc le complément arithmétique du lo-
garithme de 120 qui est 3.9208188 , et celui du logarithme de

2 qui est 8.494850 ; j'ajoute ces deux compléments aux trois
logarithmes trouvés : la somme est 24.4014005 , de laquelle je
supprime deux dixaines, à cause des deux compléments, et j'ai
4,4014005 qui répond à 25200. C'est ke nombre de livres
cherché.

Exemple second.

Si 248 ouvriers, travaillant 12 heures par jour, ont creusé
en 5 +jours un fossé long de 232 + toises, large de 3 + toises , et
rofond de 2 +toises ; en combien de jours 24 hommes, travail-
Lara heures par jour, creuseront-ils un fossé ons de 337 à toi-
ses , large de 5 À toises, et profond de 3 +toises
L’inconnue est un nombre de jours ; le terme homologue est
donc 5 + jours ou 5,5 jours, dont le logarithme est 0,7403627.
Les correspondantes de inconnue sont 24 hommes, 9 heures,
337,5 toises, 5,6 toises, et 3,5 toises, parmi les uelles les di-
mensions du fossé ont avec l’inconnue un rapport direct, parce-
que la durée de la fouille sera d'autant peus ou d'autant moins
longue que le fossé aira plus ou moins de longueur, de largeur
et de profondeur : je prends donc le logarithme de 337,5 qui est
2.5282738 ; celui de 5,6 qui est 0.7481880, et celui de 3,5 qui
est ©.5440680 : d’un autre côté , les hommes et les heures ont
avec la même inconnue un rapport inverse , parceque la même
durée sera d'autant moins ou d'autant plus longue qu’il y aura

Si ArfitcAtron pes LocAntrnmné

lus ou moins d'hommes employés à lexcavation , et que ces
ommes travailleront plus ou moins d’heures par jour ; je prends
donc le complément arithmétique du logarithme de 24, qui est
8.6197888 , et celui du logarithme de 9 , qui est 9.0457575.
Les correspondantes de 5,5 jours sont 248 ouvriers, 11 heu-
res, 232,5 toises, 3,66666 toises, et 2,33333 toises, parmi les-
quelles le nombre des ouvriers (248), et la longueur de leur
journée (11 heures) , ont , avec la durée de la fouille faite par
ces ouvriers , un rapport inverse , tandis que les dimensions du
fossé qu’ils ont creusé, savoir 232,5 toises , 3.66666 toises, et
2.33333 toises, ont avec cette même durée un rapport direct ;
je prends donc ici le logarithme de 248 qui est 2,3944517; celui
de 11 qui est 1.0413927 ; le complément arithmétique du loga-
rithme de 232,5 qui est 7.6335770, celui du logarithme de
3.66666 qui est 9.435286 , et celui du logarithme de 2.33333
qui est 0-6320232 ! j'ajoute ensemble tous ces logarithmes et
ces compléments, j'ai pour somme 52.3636120, dont je sup-
prime cinq dixaines à cause des cinq compléments : j'ai|]
2.36361 20, qui répond à 231. C'est le nombre de jours cherché.

Exemple troisieme.

Quel est l'intérêt de 27500 liv. pour 292 jours à 4 + pour
cent par an? C'est-à-dire, |

Si 100 liv. produisent en 365 jours un intérêt exprimé par
4,5 livres , quel est l'intérêt que produiront 27500 liv. en 292
ours }

L'inconnue est un intérêt , le terme homologue est donc |
4,5 livres, dont le logarithme est 0,65321251.

Les correspondantes de l’inconnue sont 27500 liv. et 292
jours, qui ont toutes deux un rapport direct avec l'inconnue,
parceque l'intérêt sera d'autant plus ou d’autant moins grand
que la somme prêtée sera plus ou moins grande , et qu’elle res-
tera plus ou moins de temps entre les mains du débiteur ; je
prends donc le logarithme de 27500 qui est 4,43933269, et ce-E
ui de 292 qui est 2,46538285. |

Les correspondantes de 4, 5 liv. sont 100 liv. et 365 jours, qui À
ont avec 4, 5 liv. un rapport direct, par la même raison que ci-
dessus ; je prends donc le complément arithmétique du logarith-
me de 100 qui est 8.00000000 , et celui du logarithme de 365!
quiest7.43770714 ; j'ajoute le tout ensemble, etj'aipour somme À
22.99563519 ; jesu primele premier chiffre 2, etj'aï2,99563519, |
qui répond à 990. intérêt cherché est donc 990 livres. Voyez
l'Arithmétique de M. Mauduit.

De la Regle conjointe.

Connoissant le rapport de deux mannoies , ou le change de |
deux places de commerce, celui d’une de ces monnoies avec |
une troisieme monnoie , celui de cette troisieme avec une qua- Ë
trieme, &c. ; la regle qui enseigne à trouver le rapport de l’une
quelconque de ces monnoies à une autre quelconque de ces mé-
mes monnoies, est ce qu’on appelle Regle conjointe.

Tout l’art de cette regle consiste à ordonner plusieurs propor-
tions de maniere qu’étant multipliées par ordre elles Lnrent
une proportion composée, dont l’un des deux rapports se ré-
duise à celui de 1 à 1 , et dont l’autre soit le produit de plusieurs

EEE

Dre LAREGLE CONJOINTE. 2

À rapports simples parmi lesquels se trouve l'inconnue. Ce second

rapport devant être aussi un rapport d'égalité, on parvient à dé-
couvrir linconnue en divisant le terme de ce rapport qui nela
contient pas, par le nombre qui la multiplie dans l'autre terme.
L'opération, en employant les logarithmes , se réduit à ce qui
suit.

Disposez vos proportions commesivous vouliez les multiplier
par ordre ; prenez les compléments arithmétiques des logarith-
mes de chacun des termes des rapports simples qui sont dans la
colonne qu'occupe l’inconnue ; prenez les logarithmes des ter-
mes des mêmes rapports qui forment l'autre colonné ; ajoutez le
tout.ensemble, et Étrandhez autant de dixaines de la caractéris-
tique de la somme que vous avez de compléments ; le reste sera
le logarithme de l’inconnue. |

Supposons, pour appliquer cette regle à ur exemple , qu’un
Négociant de Saint-Pétersbourg ait à envoyer par la Hollande à
Berlin une somme de 1000 ducats de Berlin , somme qu'il
veut payer en roubles de Russie ; le change de la Russie avec la
Hollande étant à 47 +, et celui de la Hollande avec Berlin étant
à 142; c'est-à-dire que pour un rouble de Russie on donne en
Hollande 47 + stuvers, et que pour 100 rixdales hollandoises
on paie à Berlin 142 rixdales prussiennes ; sachant de plus qu’en
Hollande 20 stuvers font un Àorin , et que 2 + Rorins font une
rixdale hôllandoiïse ; qu’enfin le ducat dé Berlin équivaut à 3
rixdales prussiennes : on demande combien le Négociant doit en-
voyer de roubles pour payer les 1000 ducats. Je dispose mes
proportions comme il suit:

1 ducat. B. + 1 roub. 1% 4% : toc
1 roub. f 1 stuy. : 2 47,5 : 1
» stuv, z à flor. ÿ $. 1 Ÿ 20
1 flor. + à rixd Ho. :: 5 + 2,5
1 rixd. Hol. : 1 rixd. Prus. :°: 142 : 160
a rixd. Prus. : 1 duc. B. 55 1 : 3

lesquelles étant multipliées par ordre, donnent une proportion

dont le premier rapport est celui de 1 à » ; le second rapport

doit donc être aussi un rapport d'égalité : j'aurai donc

x — 2200:20:29-10ç.3 ; ou, en opérant par logarithmes,
479.142 ,

L. x=—L. 1006+ L. 20+4-L, 2,5 +L. 100 + L. 3 + L.' 47,5

+ L." 142 — 20 : (par L.'’ nous exprimons le complément

arithmétique d’un logarithme) d’où À tirerai x = 2225,77. Le
Négo ciant doit donc faire passer 2223 % roubles. :

De l'Intérét composé.

XXI On norme intérêt composé celui qui provient tant du
principal que des intérêts qui en résultent , lesquels sont suppo-
sés rester entre les mains du débiteur , pouf y être joïnts au ca-
pital à l’époque de leur échéance,

1. Si nous représentons par p le principal ou un fonds de
plusieurs sommes égales , Payables à certains termes égaux ;
par a, l’une de ces sommes exigibles à l’époque de leur
échéance (l'annuité); par n, le nombre de ces termes; par r,
l’intérêt que produit 1 (une livre par exemple) au bout d’un

0e RE + EE EE SE Lau a

À arms ed pe CN ONE
1m(itr) —ije=—;f=(— jp—i;g=f(— \+

‘84 APrLicATtOonN bes LocArtrames

temps donné ; et par m, le montant du capital et des intérêts
sur intérêts; nous aurons (en observant que le montant m est
égal à la somme des termes de la progression géométrique

= a {i+r) : 4 (ir) : a (1 Hr). .. a (ir)
et le principal p à la somme des termes de cette autre,
a a

… a a
ve Gæ+r Q<+r) Q+r} CT any):
nous aurons, dis-je, les deux formules suivantes,
a(ikrhhi— a a(1i-r)s — a
= , Ep= —— . .-.- —
r r(i1—+r)n
par le moyen desquelles, de ces cinq quantitésp,a,n,r,m,
! trois étant données comme on voudra , nous parviendrons à la
connoissance des deux autres. La table suivante donne la réso-
.tution de ces équations : on y a représenté par A, B, C, &c.,
les logarithmes des quantités a, b, c, &c., et l’on a fait pour

Li

abréger b = Qa+r} ==; c= (i+r) =b; d=b—
P 2
m an P ‘

6 6
h=a—pr;xa=atmrs=—;t=
n+ 1 D — 1

H2a(f—i)+s,ety=t—2(8g—1).

Cas.|Donn. Cherchées. | Cherchées.

_ m
OV Ex) +i—sp

Les deux derniers cas ne présentent pour r, m et p que des va-
leurs approchées , parcequ’alors les équations montent à un de-
gré exprimé par n. Comme on ne voit pas sur-le-champ la
qoute qui a conduit.à la valeur de l’inconnue , nous allons l'in-

iquer.

A me
te

1la,pr, M=A<+P—H nSLa+r
K—A
| ._2lam,r,P=A+M—K ns AT
| 3la,n,r,,M=D+A—R IP=D+A—R—R
. \ M—P
4in,p;r,|\A=M+R—D ns ATU
À 5ln,p,r,\A—B+P-+R—D [M—B+P
6im,n,r,A=M+R—D P— MB
M—P
| 7lampiR=D+A-—M . BP Latr
M—P
8imn P A=L (c—1)+M—D L (1 +r) = 1
| ga n pr=t— V'(ty) m=pX (t+1i—yty}
10ja mnir= (5x) —s P

«

de L'INTÉRÊT comrosé. 3

, . a (1+-r)n—a an nr(i+-nn .
L'équation p— Troin nne p— Gr” U bien
_— 1). (n—
1nr-pn @— y r—-n EE ) rs + &c. ‘
2 .

D — _— n-1).(n-2 (n-1).(n-2).(n-3
Ê 1+ Œ ) 1 4, 0-2) GS ee ) 8 &ec.

| Hi).(n-1) - (n+1).(n-
DE por GED ve (EDR

2, 2, 3 X + 2. 3, 4 . A r°—8cc. (A).
Observons que ..
ni n+-1 (n+1).(n-1) (n+#1)-(n-1)-(n-3)
QE) 2 Et Ke —© KE ——— —
2 . 2.2 2 2. 2. 2. 2. 3
K + ec, |

dont les deux premfèrs termes sont les mêmes que ceux de la
suite À. |
n-+#1
. an ———
Supposons donc (Gi+4+47) 2 ; nous aurons

+1

—_— n+1 n—+1 (n+1). (n—:1)
Q+142) 2 its Xr+ 2 KXER p
XK 12 + Ec.

qui, comparée à la suite À, donne
Hi). (Nn—) (ni). (n—1

222 2. 2. 3 F*+
D'où nous tirons :
(n—1) n—1) r nt

an .
z=— Xe. Donc{ir— © ) 3 ee, où bien
L2 p

12

2
(n—1) an SET 12.7 12 |
EP epourE xt

. . 6 6 6 \
d'où npus tironsr = 2: —V (—.) X (2-1),

{= te (ty).
| n— 1 ni
Les quatre premiers termes"de Gi Xr) 2 déye-

loppés sont identiquement égaux à ceux de la suite À,
Le dernier cas se résout de là même maniere. |

2. Silannuité, après ayoir été payée pendantuntempst, con
tinue sans être payée pendant un temps n , alors le principal ser
égal à la somme des termes de cette progression

. a à 8 +

pont Op! Goes tt Gp
a(i+r)1—a
rG+n +

nous aurons donc p = par le moyen de la

s6 APPLICATION Des LocARITHMES

on trouvera la cinquieme, Faisons pour abréger (ir) =b;
| pqr 2t+-n-+1 . 120
| QaHr)t=q;d=b—:; vs S; =) na, =

an . .
| T) =v;etu—2(v—1) = 2: nos aurons les cingfer-

1 mules suivantes ;

|
| . À
À pt ppm memes |

Cas. | Données. Cherchées.
| 1 la,n,r,t P—A+D—B—R— |
2 |p,n,r,t A=B+Q+P+R—D |
_D+A—D—R—P |
shoper ER |

L(i—

henrs fete |

5 |a,p,n,t rsu—y(zu)

|
|
précédent. -

3. Si par p l'on représente ce que vaut maintenant un bien
fonds dont le revenu annuel est exprimé par a ; l'intérêt que pro-
duit une livre à la fn de chaque année étant désigné par r,
p sera épal à la somme des termes de cette progression décrois-

|

Le cinquieme Cas se résout comme le onzieme de l’article
sante à l'infini, |

a a 2

. A " « ;
ns en TT À open ° . , . ° e
Fe G+n 64 Gr G +1);

on aura doncp==eta—pr,ouP—A—R.
1 4. Sipar n on entend un nombre d’années au bout desquelles

| la somme des intérêts simples devient égale au capital p ou au

prix total d’un bien, r étant toujours l'intérêt d’une livre, on
a

E 1
aura an —=p:mais p —;; doncn =-—,ouN——R.

©. Représentons par p le prix (argent comptant) d'un bien

fonds , dont la rente annuelle a couru sans avoir été payée pen-
dant un nombre d'années exprimé par n, à rajson de r pour
Ï 1 par au ; il est clair qu’au bout du nombre d'annéesn, p de-
l vient p (1<+r)r, Nous aurons donc , en faisant (1 +r}=b,
| p(i+nn= F , où bpr = a: d’où nous tirons P—A—B—R;
A—P—R

L. G+r)
en approche par la méthode de Newton , ainsi que nous allons
voir. | |

Si l'intérêt r étoit très petit, nous aurions sensiblement

HA—=B+P+R;n = . Quant à la valeur de r, on

r= £ ;s maisona ordinairement K < L » Soit doncs =r'et
; r=r'+472. Substituons ces valeurs dans l'équation r (1 + r}2
| = T ! nous aurons , en négligeant les termes affectés de z°, 7°,
i î . . . . | . . - . ‘ {
{

ne En ne — 0 RQ 2 CS À ee éme ed

D "à + ñ

CES

De L'Inréaôr comrosé.

r'Qirt)—r! (igr')ni
Q+r')et1 nr
? LU r'
= et Nommons r” cetteseconde valeur de r;
(1
faisonsr—r"—+7z!, et substituons de nouveau, nous trouve-
r" (a +r"+ r°n)

etr,our’ +z

&c, z=

rons r = Cette troisieme valeur , étant dé-

| rt (apr!!! pr'!!n)

le tt? = tn pe tn ntnenne
signée par r''", nous donnera r TE part

Ainsi de suite.

6. Un principal que l’on ne connoît pas est monté à la somme
M dans un temps N ; ce même principal étoit monté à la somme
m dans le temps n; quel est ce principal?

= Nommons-le p, nous aurons M=p(i+r)Netm—p

| L.M—L.p L.m—L.p

nt re À ;

N. n.

(1-r}2, qui donnent'L. (1+r) =

NL.m—n L.M
sep ,
N—n

7. On sait qu'un ‘certain principal p, intérêts sur intérêts,
monte à la somme m dans un temps n; on voudroit savoir à
quelle somme montera un autre principal P dansun temps N,
J'intérêt étant le même de part et d'autre. Soit M le montant
cherché; les deux équationsm=p(i+rmetM= P (1+r)N
N (L.m—L.p)+nL.P
memes,

n

d’où lon tire L.p =

donnent L. M—

Si le principal étoit le même de part et d'autre, on auroil
N (L.m—L.p)+nL.p.

n

L.M=—

8. Au bout d’un temps n, unprincipal p (intérêtssurintérêts)
devient m ; au bout de quel temps le même, ou un autre prin-
cipal, deviendra-t-il M?

Soit N ce temps, les deux formules précédentes nous don-

N n (L. M—L. p) n (L.M-—L. P)
Rene L.m—L.p FT Em. p.

9. Un débiteur doit payer les sommes B, C, D, E, &r.,
respectivement aux termes b, c, d, e, &c. ; ilvoudroit acquitter
sa dette en un seul paiement p=B+C+D+E + &c. ; en
quel temps peut-il faire ce paiement ( eu égard aux intérêts sur
intérêts ) sans faire tort ni à son créantier ni à lui-même ?

Représentons par p'; f11, pw, &c., les sommes aux-

P " ,
quelles se réduiraient B,C, b, E, &c. , si elles étoient payées
au commencement du premier terme ; nommons f l'intérêt que
produit une livre au bout d’une mesure donnée de temps ; t, le
temps cherché, et faisons : + r æ q; nous aurons. |

ee ——— —
————— ——_———_—___———

__a(G+r)n—a
|
|

38 APPLICATION DES LOGARITHMES.

let (p'+p'+p'' "+ pi" + &c.) Xq=p. D'où nous tirons |

l_Lp—L php + pr + &e) |

| — L. q ° s |
|
j

Le päiement p peut être plus grand ou plus petit que B+ C
+D+E+&c., mais toujours plus grand que p'+p"+p'!!
+ piv + &c. Quant à la solution, elle sera la même, et don-
nera la même formule. Le temps étant supposé connu, et le K
4 débiteur ayant fixé au bout de ce temps l'époque de son paie.
| ment, les autres conditions restant les mêmes , si l’on demande À
la somme p que le débiteur doit payer à cette époque, on aura |
Lp=tLq+L(p'+p"+p'''+ pi + &c) :
10. Une rente annuelle a devant être payée pendant un nom- |
bre d’années n, au bout de quel temps t doit-on payer en une Ë
| seule fois la totalité n.a, pour que les intérêts composés pro-
venant des arrérages soient compensés par le bénéfice des
avancgs ? : no

Nommons p la somme à laquelle se réduiroit na, si l’on
payoit cetfe totalité n a au commencement de la premiere an-

née , et faisons (1 r)n —b; nous aurons

t— : d'ai i
Gi etp(i+r) na : d'où nous tirons R
Ln+lirnL. G+r)—L. (b—:1) . « |

t = =

2

L'G<+r)
. Si le débiteur eût voulu payer une somme m plus grande ou
plus petite que na, mais plus grande que p; on auroit trouvé |
Lm+lrbnL. G<Hr)—La-L. b—:1
L. G+r) |
Le débiteur ayant fxé l’époque de spn paiement au bout du

temps t supposé connu , la question restant d'ailleurs la même,

si l’on demande la somme m qu'il doit payer à cette é oque |
| on aura L.m=tL. (1+r)4 La (b—1)—n EL. G+r)—Lr.
À 11. Soit p un principal rapportant annuellement pre à ral-

son de r pourunelivre paran; a, une somme plus grande

ou plus petite que pr que l'on suppose payée au créancier par

le débiteur à la fin de chaque année ; m”’ la somme à laquelle
| onterôient, si le débiteur ne payoït rien, le principal et tes inté-
|

t —

rêts sur intérêts, au bout d’un nombre d'années exprimé par n; |
m"”, le montant de la somme a payée annuellement ; au bout
du même nombre d’années; et m, la somme dont le débiteur, |
au bout du temps n, se trouve redeväble envers le créancier.
Il est clair que nous aurons m=m'—m": | :

| a(i+rm—a

mais m'=p (1 +rr;etm"= .
* ‘ ?, , .

{
|
| |
Lane mp Gr NES),

Tr

| par le moyen de laquelle on côpnoîtra celle de ces cinq quan-
titésa,p,n,m,r, que J'on voudra, les quatre aùtres étant
supposées connues. |

a table suivante donne l'expreséion algébrique des quan-
I tés m,p,a,n. Quant à la valeur de r,on peut la trouver |

— +

SAUNA 7 1 40 Long 7e CALE Se PRET rad PEN Per un NOTE TS
° ,

LA

Ds t'InrTénér comrosé

GG

comme : ci-dessus (5), mais.les calculs deviennent très longs

et il vaut mieux opérer sur des exemples particuliers. Voye

l’'Algebre de M. l'Abbé Bossut, Chapitre 18. : .
Nous:avons fait, pour abréger k' == (1<+r}n.

Cas. [| Données. Cherchées.
1 a. p.ni.r. m=,pr' — à. ( — .)
r
‘2 a. m.n.r. p= mha(r 1)
è . Kk'/r
‘3 'emn.p.r.. a — (pr m) …
K'— 1}
- __ L. (mr—a) —L. (pr — a)
.Mm,D.r. TRE RÉ RE RENE
4 apr . R LE. (1+r) ,

Si la somme a , au lieu d’être payée annuellement par le dé-
biteur ,.étoit au contraire prêtée au même débiteur à la fn de
chaque année; il n’y auroit qu’à faire a négatif, ou, ce qui
revient au même, changer + en — et — en + dans chacun des
termes où entre cette quantité , et la table précédente ainsi pré-
parée donneroit la valeur des inconnues. .

Nous choisirons, pour appliquer quelques-unes de ces for-
mules à un exemple , une question que propose M. Euler dans
son Introduction à l'Analyse Infinitésimale. a voici :

Un particulier doit 40000 florins, et s'engage à en payer
l'intérêt à cinq pour cent par an; mais dans la vue d'éteindre un
jour le principal, il paie la fn de chaque année 25000 florins :
on demände l’époque de l'amortissement ;: c'est-à-dire le nom-
bre d'années au bout desquelles le principal sera entièrement
éteint.

Nous avons ici pz= 400000; a—25000; r=—0,05; m—o;
n est l’inconnue. Nous trouvons (4. Cas du tableau ci-dessus.)

… L. (mr—a) — L. (pr—a)

n — TT LT) ou, puisque m = 0,
L. (—a)—L. {pr—a) |
n = Lan Observons que—a=—+#+a X (—1),

| L. (a)-L. (a-pr)

et que pr—a—(a—pr) X (— 1):doncn= Lu
__ L.(25000)—L. (500) _ 6989760 : 3 207
| L. (1,05) 211893 "212
à Ainsi le principal, au bout de 33 ans, sera non seulement éteint,
mais encore le créancier sera redevable envers le débiteur d’une
certaine somme. '
” Pour connoître cette somme, cherthons ce que devient m au
bout de 33 ans : nous trouvons ci-dessus (1. Cas) m=—p«
a(k'-1 ‘ . 5ooo ('1:05% -—
— < : 2 = 40p000 X (1,05) — 29000 (2199 7 1)

° 0,05
æ4000000 X (1,05)% -— 500000 X (1,05) 500000 = 500000

RU ee A ee — me me

di

40 APPLICATION Des LocAnirames.

ee 2 gro Co pe ce De A cœurs

— 100000 X (1,05): mais L. (1,05) = 0,0211893; L. (1,05)%,Ih
1=33 L (1,05) = 0,6992469 , qui répond à 5.003188 :
donc m = 5,00000 — 100000 X 5,003188 = 500000
— 500318,8 — — 318,8. Ce résultat négatif indique que le dé-
biteur a payé 318,8 forins de trop. |

La même question peut se résoudre par le moyen de la pre-
miere Table , page 34 : en effet, la question se réduit à trouver |
le temps pendant lequel doit courir une annuité connue prove-
nant d'un capital et d’un intérêt donnés ; aussi trouve<-on au
premier Cas de cette table

…. A —H __La—L. (a— pr)
Fe La) LaHr
dessus.

, même formule que ci-

=

Formules de Trigonométrie.

XXII. Dans un triangle rectiligne dont les côtés sont À, B, C,
eta,b,c;, les angles opposés à ces côtés, connoissant trois de
ces six termes, parmi lesquels il doit toujours entrer un côté,
trouver les trois autres.

|

|

Nommons s, lesinus; t, latangente; s', le co-sinus ; |
1lt', la co-tangente d’un angle ou d’un arc dont lerayon.est r:
désignons par L. un logarithme, et par L.' le com lément arith-
| métique d'un logarithme. Ainsi cette expression L. s. a. signi-}
fera logarithme du sinus de l'arc a; cette autre L.’ L! b. ex-}
| primera le complément arithmétique du logarithme de la co-|

L |

4 tangente de l'arc
1. Cas. Connoissant les trois côtés A,B,C;

Trouver l’un des angles, l'angle c par exemple.
Soient À et B les côtés qui comprennent l'angle cher-
ché c, et C, le côté opposé à cet angle. Nommons 2P, le}
érimetre du triangle , ou. (ce qui revient au même ) faisons.
= +(A<+B<+C); nous aurons

P—A P—B |
Hs rc LE xm)aæs ze

PX (P—C rr
= y CR), ou, en employant les logarithmes,
Les. 2c—3(L. (P—A)+L. (P—B)+L'A+L."'B),
et Ls'ic—21(LP+L (P—C)+L'A+L"'B).
On ne doit rien changer à la caractéristique de ces sommes ,
| parceque le double du logarithme du rayen qui devrait y en-
EE

me

| :

. Fonuvias de Triconwouérais.

me ee ee ie ge men ee
= +

se —

trer , n'y étant point, les deux dixaines se trouÿent supprimé

° Trouver l'angle a : |

L. s. ra=+(L. (P— B) + L. (P—C)+L. 'B+L.'C)

L. s’ a —+i(L P+L. (P—A)+L. !B + L./C):
Trouver l'angle b : :

L.s. +b=:(L. (P—A) + L. (P—C) 4 L. AH L. C.).

L.s' +b —2(L.P+L. (P—B) + L.'À + L.'C).

Si A=B, on auras. +c= ZA Xr.

2. Cas. Gonnoissant deux côtés A,B, et l'angle compris C

Trouver les deux autres angles.

Soit À le plus grand côté, et B le plus petit ; a, l'angle © ©
posé à À, et b, l'angle opposé à B.
180°

Faisons M —

et nous aurons a = M + N; etb — M—N.
Trouver le troisieme côté C. Nous aurons

A B +c)
C=— V (- X 2 X Gi E2R +8» ). Pour employ:

les lo arithmes, faisons L.P —L.2A-+ L. 2B + 2L.s.+c—2L.
et L.Q = 2L. (A—B) ; ; nous aurons LC =;L (P+Q).

3c+ y (A.B)
STAGE s. P ; ensuite

Ou bien faisons
A+B ."P
C= CEE ou en employant Les logarithmes ,

faisons d'abord

L.s./+c++2+L.2A ++L, 2B + L. ! (A+B)=L. s.P. Not
chercherons dans les tables, parmi les sinus, la valeur de L.s.f
et quand nous l’aurons trouvée, nous verrons sur la mêm
ligne, parmi les co-sinus, la valeur de L.s. P; enfin nous auronr

L.C=L,. (AB) + Les. !P — 10.

Si l'angle c est droit, alors t.a =$ Xr;tb =, r

tC= — X AXE VEN V (ED XB)
ou bien, en faisant 2L. À — L. B = L.D , nous auron
L.C=iL. (D +-B) + L.B.

Si A=B, nous aurons a=b=go—{ic;.

&C= = X 2À.
;

d ii

.
| Ga Arrtrearrex ? DÉS “HocanrTeuns

| H|3. Cas. Connoissant deux côtés A, B, et l'angle opposé à l'un À

[ | deces côtés, l'angle a, par exemple, apposé à A, trouver |

l'angle b opposé à B.

, | A B C B
Les rapports égaux = == = donneront s.b — ZX

| 4 x s. À. Mais pour déterminer b, il But connoître sa nature ;

il fauf savoir d'avance si cet angle est aigu ou obtus.

Ayant déterminé b, nous aurons € = 180°— a —b,

et C= — = x À.
Quand lang donné est o oppou au plus petit côté , Îles deux

autres angles et le troisieme côté ont chacun deux valeurs ; mais
Î| lorsque cet angle est opposé au plus grand, alors les deux au-
‘fltres angles et le troisieme côté n’en ont plus qu’une.

_ Pi le donné à est droit, on a C= Y( A — — B?)
+B) X (A —B): |

; an LE 2 =+% (L. (A+B)+L (A —B) ).

—

| 4. Cas. Connoissant deux angles a,b,et un côté C, trouver
l'autre angle c et les deux autres côtés À, B.

Nous aurons - Leæi80—a—b ; ÂÀA= x C,

s. b
tB=æ “— X Q
s. c

En Cutnis debut que t monte D @ lan

| | XXUIT. Dansun triangle sphérique dontles côtéssont À, B, C, |
et les angles opposés à ces côtés, a, b, c, trois de cessix termes!
à étant donnés comme an voudra, trouver les trois autres.

= RS Re Cent nee 2 de Re 7 -o—glR RES

Û
l} L
! #

l'angle c, par exemple.

Soient À et B les côtés qui comprennent Pangle cherché, et C
le côté qui lui est : opposé; nommons 2P le périmetre du wiangle,
ou faisons P = + (À + B + C) : nous aurens

pr

1!

|
| 1, Cas. Connoissant les trois côtés À, B, C, trouver un angle, |
s. À X s.R

+sFonuutvzes DE Farconwomérate

nm ét 42

À sPXs. (P—C)Xr\
es.'"+icz= VE)
ou en prenant les logarithmes ..
L.s. +c—+(L.s. (P—A) + Lis. (P—B) +L.'s.A+L.'’s.B.
L.s./+c—2(Ls.P.+ Les. (P—C)et L/s.A + L.'s.8.)

Il n°y a rien à changer à la caractéristique de ces sommes di
logarithmes. On aura de même

L.s. +a=+(Ls. (P—B) +Ls. (P—C)+L.'sB+L.'sC
L.si’ +a—+(Ls.P+L.s. (P—A)+L.'s.B+4L'.s.C)
L. s. +b —+(L.s. (P—A) + L.s. (P—C)+L.’'s.A+L.'s.C
L.s.’ib—;(LsP+L.s (P—B)+L.'s. A + L.'s.C)

>

2. Cas. Connoissant les trois angles a,b,c, trouver l’unde:
-côtés, le côté C, par exemple.

Soient.a.et b les_angles adjacents au côté cherché, et c l’an-
gle quiluiestopposé; faisons p = + (a + b + c) , nous auroni

, s!'pxXs.'"(p—c)Xrr
0e VE).

s'(p—a)Xs/(p—b)Xr

et s/+C—=.1 (RE)
| ou bien en employant. les logarithmes
Ls. +3C=+(L.s.'p+l.s." (p—c)+L'.s. a+ L.'sb)

L.s.!'+2C—=3(,Ls.! (p—2) + L.s."(p=—b) + L.'s.a+L.'s.b):
aous aurons fe même

«8 + =+(Ls/p+Ls." (p—a)4L's.b+4L's.c)
A=+(L.s"(p—b)+42L.s.!(p—c)+L.'s.b+4L.'s.c)
…+B—=+(Ls'p+ls./p—b)+L'sat+L.!sc) ;
B—+(L.s. "(p—a)+ Les. F(p—c)+L.'s.a+L./s.c).

Nota. Les signes > et < signifient, comme on sait, plus
grand que , et moindre que; le signe > signifie plus grand ou
moindre que ;; le signe < signife plus petit ou plus grand que.
L'un de ces-deux signes >et< , mis après le symbole d’un an
gle ou d'un côté de triangle sphériqué, indique (s’il n’y a pas
d'autres expressions analytiques après lui} que.cet angle ou ce
côté est plus grand ou moindre que 90°. Pour désigner-que dé
deux quantités on doit soustraire la plus petite de la plus grande,
‘] nous les mettrons en parenthèse, et nous ferons précéder la pré-
SE miere du signe #, et la-seconde du signe =; ainsi (tab)
‘ || désigne a—b, sia >b;etb—a,sib >a. Le signe w veut
dire semblable à , qu de même espece que. Le signe & signifie
| dissemblable, ou d’espece diflérente ; et le signe & signifie sem-

blable au dissemblable à. |

4 ArfricArion #Es LocAntrmufe

nn
a

13. Cas. Connoissant deux côtés À, B, et l'angle compris c, |
trouver l’un des deux autres angles a ou b, l'angle a, par
exemple.

mp Aug ttes an

À étant le côté opposé à l'angle a,
faites la proportion r:s.'c::tA:t.M. # A,sic<;
uis celle-ci, 8. (+TBZM):5sM:itc:ta 8 c,siM $ B.
étant le côté opposé à l'angle b, on aura de même b, en fai-
sant la proportionr:s."c::tB:tM6B,sics; |
puis celle-cis. (TAZM):sM::tc:tb5 c,siM $ A.
Ou bien dites s.+(A<+B):s.+(HAZB)::t+c:t1N<;
puiss.”+(A+B) :s.' L(HAZB)::t.'<c:tMu +(A+B):
vous aure=MN,etb—M=ZN.
Pour trouver le côté C opposé à l'angle donné c,
faites r:s./c::t.A:tM 8 A, sic;
puis s.'M:5.' (TBZM)::s'A:s CS (+BTM),sic<:
s A Xs.BXSs.?1c
X = X +2 CHAR) ).

Re

r

Pour appliquer les logarithmes à cette formule, faites |
L.s. A+ L.s.B4-214s.5c—20—L.M;et2L.s. (+AZB)=L.N: |
vous aurez L.s. 1C—:L. (M+N). |

|

s.5c X V(s. A X s.B)

Ou bien encore, faites = pm + $, P
- ?. s.' + (+A=B) ?
s'2(+TATB s.!'P
et vous aurez s./7C — = X .

DEEE ERREUR

| Ou en employant {es logarithmes, faites
L.s.5c+3L.s À +iLsBÆHLL'.s. + (+AZB)—10=L.S.P.
* Ayant trouvé dans les tables parmi les sinus, L.s. P, vous
\ verrez sur la même ligne, parmi les co-sinus, L.s.’P ; et vous
aurez L.s.’ +C=L.s'3+(+LAZB)+ L.s.'P. —10.
De ces deux dernieres formules , la seconde est plus com-
mode ; mais lorsque l’amgle c est très petit, la premiere est plus
| exacte, parcequ’il n’y entre pas de co-sinus de petits arcs. C'est
| celle que nous avons promise. +

pe OA

| 4. Cas.‘ Connoïssant un côté C, et les angles a et b adjacents
l à ce côté, trouver l’un des autres côtés.À ou B, le côté À
| par exemple
] P pe.

er

a étant l'angle opposé au côté A,
faitesr:s./C::ta:t'mBa,siC*; |
puiss.! (Æb=m):s.’m::t.C:t.A 6 (EbÆEm),sia $.

b étaüt l'angle opposé au côté B, pour avoir B,
ditesr:s./C::tb:t'mSb,saCs; *
{puiss.! (HaZm):s'ms:t.C:tB 6 (Fam), sb:
| ou bien faites s.(a+b):s.+(+Hazb::t+C:tN<;
puis s./+(a+b):s./+(Hazb) :: & +C:tMo+(a<+b):
vous aurez AMEN, « B—M=ÆN.

Pour trouver le troisieme angJe c,
faitesr:s./C::ta:t./m$a,siC $;
| puis s.m :s. (EbÆEm)::s.'a:s'c6a,simsb.

= +

,
EEE nn hr Get 0 À me OU A Ge of ed

FoRMULES DE TRIGONOMÉETRIE.

se 0e 0 ee den, PA EURE Put Dar

H Ou bien en faisant usage du triangle supplémentaire , et nom
Ù mant A’ le supplément de A, B' celui de B, &c. on aura

| a!"xs.b'x s.°+0C!
is +c'=— VC +5 av);
; s+C'X V(sa"X s.b’) |
ou en faisant TS E(Ea ED) = s.Q, On aura
- L … ,
arte IŒIEUXER
L

On appliquera comme ci-dessus les logarithmes à ces foi
mules.

5. Cas. Connoissant deux côtés À, B, et l'angle opposé à l’u

d'eux, l'angle a, par exemple, opposé à À, trouver l'ar
gle b opposé au côté B.

admissibles, et parconséquent le cas est douteux.
Trouver l'angle c compris entre les côtés À et B.

Faitesr:s.'B::ta:t'mG6B,siaÿ;

puist.A:t.B::56."m : s'n9 A,sia S:

| enfnc=mÆ#n. Toutes deux admissibles.

| -Trouver le troisieme côté C.

\ Faites r:s./a::tB:t.M 5 B,sia;

| puiss.{B:s./A::s1M:s'NBA,sias:

lenfin C=— MN. Toutes deux admissibles.

| Mais si À est égal à B ou à son supplément , ou s'il est com

[pris entre B et son su plément , alors on a toujours b B
ic=mitne C=MEN, sil 6 a.
: | -

| Faites s.A : s.a :: s.B:56.,b X. Ces deux valeurs de b sen

6. Cas. Connpissant deux angles a, b, et un côté apppsé
\ l’un de ces angles, le côté A ,.par exemple, opposé à l'an
CS mi
Ÿ glea, trouver.le côté B opposé à l'autre angle b.

Faites s,a : s.À :: sb :8,B $ ; toutes deux admissibles,
A Trouver le côté C adjacent aux deux apgles à et b.
À Faites r:5.'b::tA:tMS8b,si A LÉ; .
uista:t.b::s.M:s.N % ; toutes déux admissibles :

'enin C= MEN, sia 8 b.

Î

.

Trouver le troisieme angle c.
ÎFaitsr:s'A::tb:L'mBb,siA#;

puis s'bes./a ::s.m:s.n <Ÿ ; toutes deux admissibles :
jenfnc=æmEn,sia 8 b.

1 Mais si À est égal à B ou à son Niort » Ou bien s'il es
à compris entre Bet son supplément , alors. B © b, et les valeur
IN < etn < sont seules admissibles.
|
!

46 ArptrèATION bés LocAxtrHmes.

mamie res omeemtnanneanen rss Rares

Remarque. Connoissant deux côtés À, B, et les angles a, b
| opposés à ces côtés, on peut avoir tout d'un coûp l'angle c et le
l côté C opposé à cet angle ; et cela, pär le moyen des deux ana-
| logies suivantes,

ss(Harb)ist(àtb)iiLL(+AZTB):LIC, +
s + (HAZHB)is S(A+B)::t (Habit! ic.

P

P pp 9°

Dans un triangle sphérique rectangle dont H est l'hypothé-
nuse ; B, P, les côtés adjacents à l'angle droit; b, p,. les an-E
gles opposés à ces côtés ; deux de ces cinq termes étant donrés,

u on trouvera les trois autres par le moyen de la table suivante,
qui contient la solution de tous les cas du problême.

La même table résout aussi tous les cas d’un triangle sphé-
rique dont un côté est de,90° ; H étant l'angle opposé à ce côté ;.
B,P, les autres angles ; b, p, les côtés opposés à ces angles.
Mais alors à la place de H “É faut prendre son supplément, et
lire OU au lieu de w dans toutes les analogies où se trouve son
pression. |

{

a

étant | trou-
donnés | ver

Solutions.

l Cas

! TD s. H:r::s.B:s.bu B
1 | H B b r:t/H::tB:s/p*#,siH8B
_s'/B:r::5'H:s5s'P£,sH6B
| 21H b]P
| _— +
H
| 3 | B. b P
med _P_ Go
H r:1/B::s'p:t'H$,saB6éP
4|B. p b r:s./B::s.p:s/bu B |
| P r:8B::tp:tPup
| . H | r:s./B::s./P:s'H£,siB 8 P
5 B. P. b r:s8P::t.'B:t'be B
P r:8.B::t'P:t'pupP
H r:t'b::t'p:s'H£,sib op
6 | b. p. B s. ris /bis'Bu b
| P s b:r::8.'p:s.'Puwp
DEEE RSR

PROBLÈMES D'ÂSTRONOMIE SPHÉRIQUE. 4

= ET ae coast

——… . mt ner
ee

Application des Formüles précédentes à quelques Problème $
d’ Astronomie sphérique. ce

L]
LT

ascension droite et sa déclinaison. | |
Soit H, la longitude du soleil; b, l'obliquité de l'écliptique ;
P, l'ascension droite du soleil, et B sa déclinaison. Nous au-
rons ‘(XXIII, 2. Cäs de la table des triangles rectangles)

ris! b::tH:tP£S,sHSb,etr:sH::s.b:s.B « b.
Exemple. Soit la longitude H = 2 sig. 7° 19" 20" — 67°
19’ 20", et supposons l'obliquité de l'écliptique (b} = 23°
! 28’ 30". Nous aurons 2°. L.s.! b — 9,9624801 ; L.'t. H
N10,3789760, L. t. PL. s.b + L.t. H — 10 — 19,3414561,
qui répond à 65° 30’ 28" ,7 — P (ascension droite du soleil ).
1 P est ici moindre que 90°, parceque H et b sont de même es-
| pece; mais si nous avions H = 3 sig. 22° 40/ 40" — 112° 40!
40", nous aurions P = 114° 29" 31",3; parcequ’alors betH

À serotent de ‘différente espece. _

Si le lieu du soleil étoit 8 sig. 7° 19° 20", ou 9 sig. 22° 40!
40", nous ferions H = 2 sig. 7° 19/ 20", ou H = 3.sig. 22°
40! 40" : nous trouverions comme ci - dessus P == 65° 30!
28",7, ou P —114° 29" 31",3, auxquels ajoutänt 180°,
nous aurions pour l'ascension droite du soleil 245° 30! 28", 7,
qu 294° 29! 31,3. ù
2. Nous aurons L.s.H 9.9650547 ; L.s.b — 9,6002636 ,

L.s.B = L.s.H 4 L.sb 10 = 9,5653188, quixépond à 21'
33'52",9,=—B. Cette déclinaison est toujours moindre que 90°,
arceque B doit être de mêrne espece'que b, qui, suivant notre
Éypot ese, est constamment égal à 23° 28!30". Elle est boréale
tänt que le soleil est dans les six premiers signes ; mais lorsqu'i
passe’ dans les six derniers , elle devient australe. cÉ

À . .
| 1. Connoissant le lieu du soleil dans l’écliptique, trouver son
i

| 2: Connoïssant l'ascension droite du soleil, trouver le lie
1 de cet astre dans l’écliptique, et sa déclinaison, |

Soit B-l'ascension droite du soleil, H le lieu de cet astre at
Âfsa longitude , P sa déclinaison, et p l’obliduité de l'écliptique
| Nous aurons (4. Cas) ‘ | ;
Mr:t'B::s'pit'H$,siB 8p,etr:s.B::tp:t.Pw p.
Îl. Exemple. Soit B = 65° 30’ 28,7, p — 23° 28! 30".

1 1°. Nous aurons L.t.'B= 9,6585439 ; L.s./ p —'9,9624801
Lt'H=L.t/B+ L.s.'p— 10 — 9,6210240; qui répond
67° 19! 20 = 2 sig. 7° 19’ 20", longitude du soleil. Élle es
moindre que 90°, parteque B et p sont de ntême espece.

2°. Nous aurons L.s.B — 9,9590504 , L.t.p — 9,6377835
LEP = L.s.B + L.t.p — 10 — 9,5968339, ui répond à 21

33! 52" ,9 — P, déclinaison du soleil. Elle est boréale , parce
| que Pascension droite du soleil est moindre que 180° : elle de
viendroit austrâle si le soleil avoit une ascension droite plu
grande que 180°. D'ailleurs:elle est toujours de même espec

af

,

que p , ét par conséquent moindre que 90°, :

3. Connoissant la'déclinaison du soleil, trouver le lieu d
même astre dans l'écliptique , et son ascension droite.

43 ArPpritArTion Des LocAnrrne»s:

Émis murqque 0 men = EE md

Soit H le lieu du soleil dans l'éclipti son ascension |
droite, B sa déclinaison, et b l'obliquité de l'échptique. Nous
aurons (3. Cas)

sb:r::5sB:sH$<,er:t.B::t./b:s.P 5%.

Exemple. Soit la déclinaison du soleil (B)—21° 23/52", 9 N.
1. Nous aurons L.”s.b = 0,3997364 , L.s.B=—9,5653183,
L.s.H = L.'s.b-+ I,s.B —9,965054} , qui appartient à 67°
19! 20" = 2 sig. 9°19' 20 ”,ouà112° 40! 40" = 3 sig. 22°
40' 40". Ces deux valeurs étant admissibles , la déclinaison du }
soleil ne suffit pas pour déterminer le lieu du même astre. Il
faut connoître quelque chose de plus; il faut savoir, par exemple, À
dans quelle saison de l’année on est.

Si la déclinaison eût été australe, on auroit ajouté six signes k
aux lieux du soleil. D

2°. Nousaurons L.t.B = 9,5968339, L.t.'b = 10,3622165, }
L.s.P = L.t.B + L.t.'b — 10 = 9,9590504 , qui appartient à
65° 30! 28",7, ou à 114° 29’ 31",3. La premiere a lieu au
printemps , la seconde en ét,

Si la déclinaison étoit australe , il faudroit ajouter 180° aux
deux ascensions droites.

ES

Re nee mme me mn eng

4. Connoissant l'ascension droite et la déclinaison d'une
étoile , trouver sa distance à l’un des points où l’écliprique coupe

, ' + e. Q i
l'équateur, et l'angle que fait cette distance, ou un arc de grand |

cercle passant par le point équinoxial et par l'étoile, avec la
partie de l'équateur qui va suivant l’ordre des degrés d’ascen- |
sion droite. |

Soit B l'ascension droite de l'étoile , P sa déclinaison, H l'arc |
d’un grand cercle passant par le point équinoxial et par l'étoile,
ou la distance de l'étoile à ce point, p angle que fait cet arc
1] de distance avec l'équateur. Nous aurons, (5. Cas) |

r:s./B::s.'P:s'H£$,siBSP,etr:s.B::t/P:t"peP.
Prenons pour exémple l'étoile la plus voisine du pole austral,
1 c’est la 1275 du Catalague de M. de la Caille ; elle est près de
Il l'alidade de l'octant , immédiatement au-dessous de la lunette : |
son ascension droite est 225° 20’ o", et sa déclinaison 89° 9"

15" =P.

4 Faisons B = 225° 20! 0" — 360° = — 134° 40! 4e". € |”
1°. Nous aurons L.s.'B=—09,8469436, L.s.'P = 8,1691464, |}
L.s.'H=L.s."B + L.s."P — 10 = 8,0160900, qui appartient
à 90° 35’ 40",5 — H. C'est la distance de l'étoile au point o du |
À bclier ; elle est plus grande que 90 degrés, parceque l'ascension
droite de l'étoile, 225° 20! 0", ou — 134° 40' 0", et sa décli-
naison 89° 9’ 15", sont de différente espece.
2° Nous aurons L.s.B = 9,8519970, L.t.'P = 8,1691937, |
L.t. L = L.s.B + L.t./P — 10 — 8,0211907, qui répond à
89° 23" 54",3 = p. Cet angle est moindre que 90°, parcequ'il
doit être de même espece que P : mais puisque nous àvons pris
le supplément de l'ascension droite de l'étoile, il faut prendre
celui de l'angle P, si nous voulons avoir l'angle que fait l'arc qui
mesure la distance de l'étoile au point o du belier , avec la partie
de l'équateur qui va suivant l’ordre des degrés d’ascension droite.
Ainsi l'angle cherché est de 90° 36’ 5", 7.

|
|
Î
|
|
|
|
|

nv + .

ms a en ne
re

CP ES ". #3 À è € ‘ ‘ “ , PROC

ProsLÊmes D'ASTRONOMIE SPRÉRIQUE* 34

5. Connoissant la distance d’une étoile à l'un des points où
équateur coupe l’écliptique , et l'angle que fait avec l'équateur
Îun arc de grand cercle passant par l'étoile et par le point o du

| belier , trouver la longitude et la latitude de cette étoile.

Imaginons un arc de grand cercle , abaissé de l'étoile perpen-
à diculairement sur lécliptique (nous le nommerons arc de lati-
Ï tude), nous aurons un triangle sphérique rectangle , dans lequel
nous connoîtrons l’hypothénuse (c’est la distance de l'étoile au
| point o du belier), et celuides deux angles obliques qui est com-
1 pris entre l'hypothénuse, ou Ja distance donnée, et l’écliptique.
4 Cet angle se conclut en prenant la somme ou la différence de
| l'angle donné et de l’obliquité de l'écliptique, selon que l'arc de
À latitude coupe ou ne coupe pas l'équateur.
i Soit donc H l'hypothénuse ou la distance donnée, b l'angle
f compris entre la distance donnée et l'écliptique, P la longitude
{ de l'étoile, et B sa latitude : nous aurons , deuxieme Cas,
Ar:s.'b::LH:tP£,sHGb,er:s.b::s.H:s.B b.
Prenons pour exemple la même étoile qu’au probléme précé-
{ dent ; sa distance au point o du belier — 90° 35’ 40,"5, sa dis-|
| tance au point o de la balance sera 89° 24" 19,5" ; l'angle que
À fait l'arc qui mesure sa distance au point o du belier , avec la
À partie de l'équateur qui va suivant l’ordre desdegrés d'ascension
H droite — 90° 36’ 5,7"; l'angle que fera la distance de la même
étoile au point o de la balance, avec l’autre partie de l'équateur, |
sera de 89° 23' 54,3"; l'arc de latitude abaissé de l’étoile À
| perpendiculairement sur l’écliptique ne coupera point l’équa- |
teur, parceque ce-dernier passe au-delà du premier par rapport
| à l'étoile ; par conséquent H = 89° 24’ 19,5", et b = 65° 55!
24; , ,. ‘
4 1°. Nous auronsL.s.'b=9.6106154, L.t.H=— 11.9838943, À.
L.t.P = L.s./b + L.t.H — 10 = 1i.5945107, qui répond à ||.
88° 32' 34,"a1 — P. P est moindre que 90°, parceque H est de
même espece que b ; cet arc est la partie de l'écliptique com-
prise entre le point o de la balance et l’arc de latitude de l'étoile ;
il faut donc y ajouter six signes, ou 180°, pour avoir la longi-
tude cherchée : nous trouverons qu'elle est 268° 32' 34,"1,
ou 8 sig 28° 32! 34," 1. | |
. 2°. Nous aurons L.s,b == 9.9604691, L.s.H — 9.9099766,
1 L.s.B = L.s.b + L.s.H— 10—9.9604457 , qui répond à 65°
«M 54! 57" =—B, latitude méridionale de l'étoile ; elle est moindre À
que 90°, parceque B doit être de même espece que b.

6. Connoissant l'ascension droite et la déclinaison d’une
étoile , trouver sa longitude et sa latitude.
La solution de ce problême est une conséquence des deux
4 problèmes précédents. |
Conapissant la longitude et la latitude de deux astres, trouver |
leur distance, |
Retranchez la pes petite longitude de la plus grande, le reste
vous donnera la différence des longitudes ou l'angle au pôle de
l'écliptique. Prenez les compléments des latitudes de ces mêmes

d astres , vous aurez leur distance au pôle de l'écliptique. Vous
4 connoîtrez donc, dans un triangle sphérique, deux côtés et l'an-

A te RE ee ee US Sie ne © te et Re RE een

L
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2

nm

£a APPLICATION Das LocAnRTTRMES

—
t

gle compris. Calculez le troisieme côté de ce triangle, à expri-
mera la distance cherchée. :

Si l'on connoissoit l'ascension droite et la déclinaison de deux
astres, la difKrence des ascensions droites donneroit l'angle au
pôle du monde ; les compléments des déclinaisons seroient les

côtés qui comprennent cet angle, et l’on auroit de même les
deux côtés et l'angle compris d’un triangle sphérique dont on
calculeroit le troisieme côté.

‘Exemple. Soit la longitude de suius 3 sig. 11°21/ 13", sa
[latitude 39° 32’ 1 ”S : la longitude de la lune 3 sig. 10° 33” E
117", sa latitude 5° 13! 19" S5.
À La différence des longitudes ou l'angle au pôle = 0° 47’ 56" ;
Îla distance du pôle de l’écliptique à la lune = 84° 46 41° ;
la distance du même pôle à sirius = 50° 27! 59". Nous au-

Re

:99
2L.s + c== 15.6866604, L.M = 15.4886685 , qui répond à
| 308098 , en négligeant les dix dernieres figures de M ; 2L.s. +
J(A—B)=LN—= 18.9895604 , qui répond à 870082449,

d en négligeant les dix dernieres figures de N ; + L. (M+ N)

]
Un
e
[S]
a
©
vf”
>
|
(es)
LL 4

= 9.46 8571 = Les. 1C; + C — 17° 9" 32,"3, et C = 34°
mar.

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s=
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A]
4

L.s. + c == 7.8433302, + L.s, À = 4.9990969

{= 9,9802272, qui répond à 17° 9’ 32,"15=—+C, C = 34°
le 4," 3. C'est [a distance des deux astres : elle differe de da

1. De ces deux valeurs de C, la derniere-_est la moins exacte :
! l'erreur est à la vérité très petite , mais elle sufbt pour faire voir
{ qu'il est ban d'éviter les co-sinus des petits arcs. : |
2 L'Astronomie et la Géographie offrent un champ vaste de | |
1 problèmes dans lequel nous n'irons pas plus avant ; ceux qui ||
| voudraient aller plus loin peuvent consulter l'Astronomie sphé- }
À rique de M. Mauduit : il nous sufht d’avoir indiqué l'usage des
À formules de Triganorñétrie; d’ailleurs nous aurons encore occa-
; sion d'y revenir, |

A meer 0. PRE A me AR eee D nn

n

Problémes relatifs à la Navigation.

-

ne nn ne = 8 en

XXIV. Trouver une équation qui exprime la relation entre |

les longitudes, les latitudes et [a situation respective de deux :
\ lieux placés sur le globe, i
Représentons par 8 et b les latitudes de ces deux lieux, par D
Ra’ et b''leurs distances (exprimées en degrés) à un même pôle Ï

au les compléments des latitudes a et b, par c l’angle que fait |
un méridièn avec le rumb de vent qui va d'un de ces lieux à Æ

l'autre , et par 1 l'angle que font entre eux leurs méridiens , |

ou la différence des longitudes; Désignons de plus par A et B}
À respectivement les logarithmes des Co - tangentes de + a’ et de
ls b!, par m la diflérence entre A etB ; par M le logarithme |

me mn

ns
FR x, #4. ms. D: , . « AS Qu

LE 2) | NS SA ST LE ls TXT
‘1

ProBsLÈMEs neLAYIrS À LA NAVtcATioN. f

{de m, par T le logarithme de la tanpente de c, par L le
logarithme de 1, etparr celui du rayon (R—10,0000000).
Soit — le module des tables (x — 2,302585093) , F la va-
leur d'une rminüte de degré exprimée en parties du rayon
(£ = 0.0002908882), et F n; nous aufons , en nom-
mant N le logarithme de n, N — 3,8984806, et notre équa-
ftion seraR+L—M EN ET. ,
La démonstration de cette formule se trouve dans le Cours de

M. Bezout, tome 3, page 174. Cet ouvrage étant très répandu,
nous ne pouvons mieux faire que d’y rénvoyer les Lecteurs.

Trouver une équation qui exprime la relation ‘entre la dis-
tance e de deux lieux situés sur le globe, La différence d de
| leurs latitudes, et l'angle © que fait un méridien avec le rumb

| de vent qui les joint.

Nous aurons r: s./c :: e: d, ourXd—eXs./c; ou,
en nommant D le logarithme de d, E celui de e, R cehtide r,
et C célui du co-sinus de c, C+E=R+D.

Appliquens ces formules à des exemples.

{

{
Î

1, Cas. Connoissant a, b, 1, trouver c, é.
On aura T=R+HÉ—-M=—N, et E=D—C+HR.

Exemple. Sacltant que l’isle Madére est par les 32° 17' de
! latitude N., et 19° 48/ de longitude O., on démande sà distance
et sa situation par rapport au cap Lézard dont la latitude est
1 49° 55’ N. , et la longitude 7° 40’ ©. ; |
1 Nous avons a — 32° 17!, a! — 47° 43! , La! — 28° 51!
| 30", b — 49° 55!, b' — 40° 5", 2%»! — 20° 2' 30"! d = b.
Q—a— 17 38 — 1058",1— 12° 8! — 728!. (C'est la diffé.
1 rence des longitudes), À = 10,2587844, B— 10,437 523,
FB—Aoôum--d,17916079,M=9,2532602, —M=—0,7467398,
ÜN — 3,8084896 , RN= 6,1015104, L = 2,8621314 ,
NT —— M+ (R—N) + L=—9,7103816. Cherchant T parmi
les log. tang. nous trouvons c — 27° 10’. Le rumb de vent
qui joint le cap Lézard et l’islé Maderé, fait avec le méridien un
angle de 27° 10! vers l'ouest, parceque l’isie Madere, dont la
| | latitude est moindre que celle du cap Lézard, est plus occiden-
| tale que lui : ainsi lisle Madere est au S.S.O. 4° 40’ O. du cap
Lézard. Reste à connoître leur distance.

Nous avons D = 3,0244857, C = 9,9492349 , R — C
—0,0507651, E = D +R — C = 3,0752508. Celogarithme
répond à 1189,2. C'est la distance du cap Lézard à l'isle Ma-
dere, exprimée en milles marins. Le mille marin est le tiers de
la lieue marine à 20 au degré.

le

2. Cas. Connoisçant a, b, c, trouver 1, e:
OnauraL=M+NET—R, etE= DR C

Exemple. Un nâvire est parti d’un lieu dont la latitude étoit
49 55° N., et la longitude de 7° 40 O. ; ila cinglé au S.S.O
4° 40" O. , jusqu’à ‘ce qu’on ait pu observer la laütude, laquelle

| ei

S2 ÀPPsICA TION DES LocArtrames

s'est trouvée de 32° 17’ N. ; on demande la longitude de l'arri- |
vée , et la longueur de la route, ou la distance.

Soit a = 32° 17°, etb = 49° 55'; aetb étant les mêmes que |
ci-dessus , on trouvera comme ci-dessus M = 9,2532602. La
route étant dirigée vers le S.S.O. 4° 40’ O., fait avec le méri-
dien un angle de 27° 10’ vers l’ouest : donc c — 27° 10' , et
T = 9,7103816. D'ailleurs on a toujours N — 3,8984896 :
donc L=—M+N-+T-—R= 2,8621314. Cherchant L dans les
tables , nous verrons qu’il répond à 728 : donc 1 = 728/, ou
12° 8". Cette différence de longitude doit être ajoutée à la longi-
tude du départ 7° 40! O., parcequ'on a cinglé vers l’ouest. La
longitude du navire est donc 19° 48’ ©. Reste à trouver la lon-
gueur de la route.

Nous avons d=—=b—a—17°38"— 1058", D —3,0244857, |
C = 9:0492849 > R—C—0,0507651, E=D+R—C}
= 3,0752508 , qui répond à 1189,2. La distance est donc
1189,2 milles.

ï
h

ï
Î

:

L

3. CAs. Connoissant a, b, e, trouver 1 et c.
OnauraL=M+N<ET—R, et C—D HR —E.

Exemple. La relation d'un voyageur porte qu'une certaine £
isle est par les 32° 17” de latitude N., que sa distance au capk
Lézard est de 1189,2 milles, et que cette isle est voisine des ca-
naries. On sait d’ailleurs que la latitude du cap Lézard.est 49°
55! N., et sa longitude 7° 40! O. On demande la longitude de,
l'isle, et sa situation par rapport au cap Lézard.

Soit a = 32° 17',b— 49° 55!,e — 1189,2; par conséquent |
d — b — a — 17° 38 — 1058, D — 3,0244857 , El
—3,0752508 , R—E=—6,0247492, C=D+R—E=9,9492349,
qui étant cherché parmi les co-sinus donne c = 27° 10° : donc À
T=9,7103816. Nousaurons comme ci-dessus M = 9,2532602 :
donc L=M<+N+T—R—2,8621314, et 1 — 728", ou
12°8", La longitude de l’'isle est donc 19° 48' ©. , ou 4 16’ E. ;f
et sa situation par rapport au cap Lézard est 5,5.0, 4° 4o' ©.,
ou S S.E. 4 40’ E.

Pour savoir laquelle de ces longitudes on doit rejetter, il faut
observer que l’isle étant voisine des Canaries, sa longitude et sa À
A situation doivent être occidentales.

4. Cas. Connoïssant b, c, e, trouver a, L
OnauraL=M+4+N<+T—R, et D=C+E—R.
H Exemple. Un navire est parti d’un lieu dont la latitude est

49° 55’ N., et la longitude 7° 40’ O. ; il a fait route au S.S.0.
4° 40" ©. , et a parcouru 1189,2 milles. On demande la longi-
tude et la latitude de l’arrivée. |

Soit b= 49° 55', c— 27° 10, 6 — 1189,2 ; nous aurons
C = 9,9492349 , E — 3,0752508, D = C+E —R
— 3,0244857 : donc d = 1058! — 17° 38’, qui doit être re-
tranché de 49° 55", parcequ’on a couru. au 5.S.0. : donc
a— 32° 17, , oo

Puisque nous connoïssons a-et b, nous trouverons comme
ci-dessus M = 9,2532602. D'ailleurs T — 9,7103816 : douc
L=M+N+4T—R — 2,8621314, et 1 — 728, ou 12° 8".
La longitude de l’arrivée est donc 19° 48’ O., et sa latitude 32°
7 N
RS ee SO TT

\

_ProvrËMEes RELATIFS À LA NAVIGATION À

5. Cas. Connoissant b, c, l, trouver a, e.
On auraM=L+R—N—T, et E=D+R—C.

Exemple. On lit dans l’histoire d'un voyage qu’une certaine
isle est au S.S.O. 4° 40’ O. du cap Lézard ; on y trouve la lon-
gitude de cette isle (19° 48' ©.) déterminée par l'observation
d'un phénomene céleste ; mais l’ouvrage ne fait pas mention de
sa latitude : on voudroit connoître cette latitude, et la distance
de l’isle au cap Lézard, dont la longitude est 7° 40' ©. , et la
latitude 49° 55° N. |

-En conservant les mêmes dénominations que ci-dessus , nous
aurons b= 49°55’, d’où nous tirons B —9,5620477, 1 = 12°
8'=— 728" ,c=—27" 10": donc L=2,8621314 , T=—9,7103816,
N = 3,8984896, M=L-+R—N—T = 9,2532602 , qui
répond à 0,1791679 = m : mais la latitude de l’isle doit être
moindre que celle du cap Lézard, puisqu'elle est au $.S.O. : de
ce cap : doncb > a ; ce qui donne B > A : par conséquent
A=B—m—10,2587844, qui étant cherché parmi les co-
tangentes, donne + a!==28° 51° 30", a!=— 57° 43!, et a — 32°

17", latitude cherchée. Cette latitude est septentrionale , puis-
| ue la distance a’ de l'isle au pôle boréal est moindre que 90°.
| La latitude-a étant connue, nous aurons d=—b—a—17°38!
— 1058", D —3,0244857, R — C = 0,0507651 ; E =D
+ R—C=— 3,0752508 : donc e = 1189,2 milles. C'est la

distance cherchée,

6. C'As. Connoissant b, è, 1, trouver a, c.
Les formules D=C+HE—R,L=M4+4<N+4T—R,
l ne donnent pas directement la valeur des inconnues ; mais on
-peut y parvenir , ou du moins en approcher, ainsi que nous
‘allons le voir. - |
Exemple. On sait qu'une certaine isle , dont la longitude es
19° 48! O.,.est.à 1189,2 milles au S.S.O. environ du cap Lé-
zard, dont la latitude est 49° 55’ N. , et la longitude 7° 40’ O.;
on voudroit connoître la latitude de l’isle, et sa situation plus
exacte par rapport au Cap Lézard. . ol
: Soit b— 49° 55", e — 1189,2, 1 — 12° 8 ou7aë. Sup-
posons une valeur à l'angle c ; mais pour ne pas faire une hy-
potkese trop éloignée de la vérité, feignons que la loxodromie
(route oblique qui va du cap à l’isle) soit un: arc de grand
{ cercle, nous. aurons un triangle sphérique ,. dont l'angle au
pôle sera de 12° 8/, le côté opposé à cet angle 1189’, 2, ou
19° 49’, et l’un des côtés adjacents. au même angle 40° 5’.
Cherchons l'angle que fait cette feinte loxodromie avec chacun
des deux méridiens , nous trouverons que l’un de ces angjles est
de 23° 32’ , et l’autre de 31° 38’. Nous pouvons attribuer à c
une valeur moyenne entre 23° 32° et 31° 38! ,. et suppose:
c = 27° 35!, nous aurons C = 9,9475995 ,. E = 3,0752508,
D=C+H+E-R—=3,0228503, qui répond à 1054! — 17
34! ; ce qui donne a = 32° 21°, a'=— 57° 39', +a' — 28°
49' 30", À = 10,2593823 : de même B — 10,4379523 : donc
M = 9,2518085.. D'ailleurs T = 9,7180173 :. donc L—M
M+N+T—R — 28683154 , qui répond à 738,44 = 12
18! 44". Mais 1= 12° 8’ : l'erreur est donc 10°, 44 en plus.
Supposons en second lieu c = 27° degrés, nous trouverons,
en suivant le même procédé, L — 2,8596394 , qui répond à

|

€

‘Ù de la quantité de déviation du point de

[24 . ArpiicaArion bss Locanirwunè
| 723,83 — 12° 3,83 : l'erreur est donc ici 4',17 en moiss. |
À Maintenant multiplions la premiere hypothese (27° 35!) par!
{l'erreur (4’,17) qui résulte de Ja éeconde ; ét la seconde sup- |
| position (27°) par l'erreur (10/,44) qui prôvient de la pre-|
A miere, les produits sont 115,0225 et 281,88 : ajoutons ensem-
| ble ces deux produits, et divisons leur somme (396,9025) par |
1 celle des erreurs ;, quiest 14,61 , nous aurons au quotient 27° |
19’ 59",4. — c. Ce résultat ne differe pas d’une seconde de la |
] vraie valeur de c. Si les deux erreurs avoient été toutes deux en
plus , ou toutes deux en moins , nous aurions retranché le plus |
petit produit du plus grand, et divisé le reste par la différence
des erreurs. |
Puisque c — 27° 9' 59",4, nous aurons C = 9,9492356, I
E = 3,0752508 , D—C+H+E—NR=3,0244864, qui répond à
1058,002 : donc d == 17° 38,002 = 17° 38" 0" ,1, et a — 32°
16" 59, "9, quine difere pas d’un dixieme de seconde de la
vraie valeur de à. |
On peut se dispenser d’avoir égard aux parties plus petites |
que les dixaines de seconde, nous ne l'avons fait que pour
nouë assurer du degré de précision de la méthode que nous
avons employée : elle paroîtra peut-être un per longue, mais |
ce défaut est compensé par l'exactitude des résultats. D'ailleurs |
ce dergier cas n’est pas d’un fréquent usage. , |

Recherches Jur les longitudes en mer. |

Parmi les questions qui se résolvent par le moyen des loga-}

me es nn np eann nn nn RE na Rnb

lrithmes , celle qui a pour objet de déterminer la longitude en }

mer est trop intéressante pour né pas trouver ici sa place. |
Nous ne connoiïssons que deux méthodes généralement bon- |
nes pour résoudre le probléme des longitudes. Dans l’une on k
l'fait usage d’une pendule marine, et dans l'autre de la distance }
de là lune au soleil, ou à une étoile. C’est de la méthode des À
distances que nous allons nous occuper. Nous adopterons celle |
de M. le Chevalier de Borda : elle se trouve développée dans un |
ouvrage qui a pour titre : Vovape fait par ordre du Roi, &xt.,
par MM. le Chev. de Verdun, le Chev. de Borda, et Pingré.
| Nous n’entrérons pas avec eux dans bieri des détails qui n'ont
{ rien de commun avec l’usage des logarithmes ; mais, d’après leur |
l marche, nous prescrirons aux Navipateurs les regles qu’ils doi- }
vent suivre. } |
Le problème des lonpitudes se résout par le moyen de l’obser- |
vation et-du calcul.
Les observations se feront ainsi :
Un Observateur prendra cinq ou six distances du bord éclairé À
de la lune à celui du soleil qui en est le plus voisin ; deux autres |
Observateurs mesureront aux mêmes instants, l’un kà hauteur }
du soleil , l’autre celle de la lune sur l'horizon. |
On tiendra compte de l'élévation (au-dessus du niveau de la }
mer) de l’œil des Observateurs qui prendront les hauteurs, et }
£ contact que l’Observateur |
des distances aura eu soin d'estimer.
On se conduira de la même maniere s'il s’agit de la distance |
du soleil à une étoile. . EL:
On doit ser-tout connoître la latitude du navire, et saveir
quel jour , à quelle heure environ , et par quelle longitude esti-
mée à-peu-près toutes ces mesures auront été prises.

rte + ete

= - em — mm en me ee =
: = rs

ProBsLÂwEs neLATIisS À LA NAvIGATIOS.

Cela étant fait, voici le procédé qu’il faut suivre.
1°. Préparez vos observations, c’est-à-dire, réduisez celle
des distances à une seule distance moyenne , et celles des hau
teurs à deux hauteurs moyennes correspondantes.

2°. De la distance et des lrauteurs moyennes, Concluez |:
distance et les hauteurs apparentes des centres des deux astres.

3°. Corrigez les hauteurs apparentes des effets de la réfractio:
et de la parallaxe , pour avoir les hauteurs vraies.

‘4°. Au moyen des hauteurs apparentes; des hauteurs vraies
et de la distance apparente , déterminez la distance vraie.

. 5°, A l’aide des Tables qui se trouvent dans la Connoissanc
des temps, cherchez l'heure qu’on devoit compter à Paris at
moment où les deux astres étoient l’un à l'égard de l’autre à L

distance que vous avez déterminée.

1 6°. Enñn calculez par la hauteur vraie du soleil quelle heur:
on devoit compter à bord au même moment .

La différence entre l'heure de Paris et celle du vaisseau, étan
réduite en degrés, vous donnera la différence entre la longitudt
de Paris et celle du lieu où étoit le navire au moment de l’ob.
servation. |

La préparation des observations par laquelle on obtient un:
distance et des hauteurs moyennes, la conclusion de la distanci
et des hauteurs apparentes des centres des deux astres , et L:
correction de ces hauteurs , qui donne les hauteurs vraies, n’on
point de difhculté : d’ailleurs les ossrithmes n'y entrent pou
rien, si ce n'est que, lorsqu'il s’agit d’avoir la haateur vraie d
la lune, après avoir retranché de sa hauteur apparente la ré
fraction qui dui convient, et trouvé dans la Cognoissance de
| temns ia parallaxe horizontale de la lune pour le temps de l’ob
éervation, il faut prendre le logarithme de cette parallaxe réduit
en secondes, et l'ajouter à celui du co-sinus de G hauteur appa
rente de la lune ; la somme sera le logarithme de la parallaxe d
la lune pour cette hauteur : cette parallaxe étant ajoutée à la hau
teur de la lune, déja corrigée des effets de la réfraction , don
nera sa hauteur vrâie.

La détermination de la distance vraie du centre des deux as
tres se réduit à la solution du probléme suivant.

Connoissantla distance apparente des centres des deux astres
de celui du soleil, par exemple , à celui de la lune, ainsi que le
hauteurs vraies et apparentes du centre de ces mêmes astres
trouver leur distance vraie. | |

Soient HN l'horizon, ZN le vertical du soleil , ZH cêluid
k lune, Z le zénith, S le lieu apparent du soleil, S’ le lieu vra

CR = Re à Du à EU PT

$6 APPLICATION DES LOCARITHMES.

1 du même astre, L le lieu apparent de la lune , L' le lieu vrai
du même astre, SN la hauteur apparente du soleil, S'N sa
hauteur vraie, LH la hauteur apparente de la lune, L'H sa
hauteur vraie, LS la distance Apparente des deux astres, L'S’
leur distance vraie.

| Nommons SN, a; S’N, a’ ; LH, b; L'H,b'; LS, d;
IL'S',x:et faisons a+b=b: a Ipb'=h". Cela posé, dans
| le triangle ZSL nous aurons (XXII, 1. Cas),

s. + (ZS--ZL + SL) X s. SGS+TAL—SDxr
| s. ZS X s.ZL
À ou bien (en observant que s. # (ZS+ZL +H'SL)—s.+

(ge—a+a—b+ds (go° — L(a+b—d))=s.'2
(a+b — d)=s.'+(h—d), ques. L(ZS+ZL— SL)
= $. ÉCES 2S—s a,ets. ZL=—s.'b),

LHLDXS. FR+DXr
s.'a Xs.'b
Nous aurons de même dans le triangle ZS'L'
| SET XS" sŒ+x Xe |
|
|

dors a Z =

NAT

ss." 2iZ =

s.'a'xX s.'b!

1} s.'2ch—d)xs.'+(h+d) s.'+(h'-x) xXs.”+(h/+x)

Donc s.'a Xs./b TT sla xs. <br

s./+(b—d) Xs./+(h4d)xs./a"xs."b'
s.'a X s.'b.

Faisons pour abréger
= BP,

et nous aurons B° —s.' +(h—x) X s.!+(hpx);
j qui devient (en observant que s.!2(h'—+x)

|
Î
t
8.'"+h'xXs.'"+xZs. rh X#ix,

r
mB—t(s"+hxs"12x+s. +h' Xs. rx)
X (s'!'+h'Xs.'"2x—s. 5h" Xs. ix):
ou bien , en effectuant la multiplication et réduisant ,
lrB—s./2-h! x sx sh Xs°+x:
ou bien (en faisant attention que s.'?=r—s),
le B—(r—s1hl) x (P>5°2 RTS
4 qui se réduit à Br —s. 2ih'—s. Lx zh'—5.°>x.

2 À
Soit B° — — X s.!2+h": nous aurons

À
Ne x —=Ss ALES h' x ah msn 3h'x (=)
|
|
|

s.'2Lh'xs.":A
F ;
s!1h' xs.' A ï:

et enfin 8. +x =

PROBLÉÊMES RELATIFS À LA NAVIGATION. 4

Pour appliquer les logarithmes à cette formule , nous obser-
A

verons que l'équation B° — — X s.’*+h donne

B x r

s'+h"

L.B=+(Ls."(k—d)+L.s.' (h<+ d)

+ L.s.'a! +L.s'b! +L.'s'a+L's.'b):

ensuite L.s. A—L.B<+L.'s.' +<h'. Ayant trouvé dans les

tables L.s. À, nous verrons sur la même ligne et dans la co-

onne dés co-sinus L. 5.’ À ; et nous aurons enfin

Ls.x=Ls."sh"+L.s. "A — 0.

Nous ferons donc d'abord

8 À =

Supposons, par exemple, qu'il résulte de trois suites d’ob-
servations faites le 10 février 1776 à 5 heures environ après
midi , et par une longitude de 150° estimée à peu-près, que
la hauteur apparente du soleil (a)

au-dessus de l'horizon soit . . . . . +. 6° 27! 30"
la hauteur apparente (b) de la lune . . . . . 54 12 . 0 :
la distance apparente (d) des deux astres. . . 108 41 49

Cherchons d’abord les hauteuts vraies a' et b’ du soleil et de
la lune. |
TU Nous trouverons dans les tables nautiques qui sont à la fin de
ce volume que 7’ 42" est la réfraction, et 9" la parallaxe de
hauteur du soleil. Nous retrancherons 9" de 7' 42", le reste
sera 7! 33", qui étant soustrait de 6° 27’ 30" donneïa, pour
la hauteur vraie du soleil, a’ — 6° 19° 57".
Nous trouverons dans les tables de Connoissance des temps
[pour le 10 février à 15 heures, que la parallaxe horizontale de
a lune est 55" 19". Il faut la multiplier par le co-sinus de la
hauteur apparente 54° 12”. -

Voici l'opération par logarithmes:

L.. 55" 19" ou L. 3319" =. . .. .. +... 3,5210073
iL. s.' 5127=.,.............. 9.7671244

L. 5519+L.Ss.'"5412=......... 3,2881317

: qui répond à 1941"= 32! 21": c'est la parallaxe de hauteur :
|qui répondà 1941" = 8a° 21": c'est L

ion en ôtera la réfraction 39" qui convient à la hauteur appar
« rente de la lune; le reste sera 31° 42”, qu’on ajoutera à la hau-
teur 54° 12°, et l'on aura pour la hauteur vraie de la lune
| b' — 54° 43! 42".

Pour avoir la distance vraie de ces deux astres, on fera le
calcul comme il est indiqué dans le tableau qui-suit.

Nota: Nous avons joint ici le type du calcul, pour indiquer
aux commençants l'ordre qu'ils doivent mettre dans leurs opé-
rations ; et si jusqu'à présent nous n'avons pas suivi cette mar-
che, c’est que nous sommes persuadés que le lecteur , forcé
d'opérer la plume à la main, acquerra plus surement et plus
promptement l'usage de ces tables.

|

mr —

_

[Haut appar, © (b) 54 11 57 L's'b 0.2328668

EL B .............. + Somme 19.4611732

ÉiDist. vraie #€ 54 13 46 (4x)
x

#8 APPLICATION DES LocaAntrames. |
| Nous avons fait pour abréger h+ d=S, et h—d= D À
| = +(h+d)—d. | LR
{ Réduction de la distance apparente à la distance vraie.
À Dist. app. # € (d) 108° 42! 3"

Haut. appar. # (a) 6 27 34 L.'s.'a o.0027658

Somme (S) 169 21 34... ..

+ Somme (+$S) 84 40 47 L.s.'=+5 8.671874
moins la dist. (+ D) 24 1 16 L.s.' + D 9.9606589
Haut. vraie #$ (a') 6 20 1 L,s.’a’ 9.9973412

| Haut. vraie € (b') 54 43 39 L.s.'b' 9.7615263
Somme . . . (h') 61 3 40 Somme 38.9223464

4 Somme (+h') “30 31 50 L.s.'+h 9.935183

L.s A............. Différ. . . 9.5259893
A. 19 37 .21 L.s'.A

|
|

9-9740317

| Dist. vraie #%€ 108 27 32 (x) |
| : rs À
La recherche de l'heure qu’on devoit compter à Paris au mo- |
| ment où les deux astres étoient l’un à l'égard de l’autre. à la dis- |
| tance déterminée par le calcul, est plus vétilleuse que dif&cile :
À voici en quoi elle consiste. | …. |
| Prenez dans la Connoissance des temps, au jour de l’observa- |
tion, deux distances consécutives du sobei à la lune, entre les- |]
| quelles soit comprise celle que vous venez de déterminer par le k
À calcul; écrivez-les au-dessous de cette derniere, suivant l’ordre
! du temps; et à leur droîte mettez le nombre d'heures, minutes
[et secondes qui leur répond ; prenez la différence de la premiere |
[à la seconde de ces distances, et celte de la seconde à la trci.
| sieme ; ensuite faites cette prorportion : la différence entre la |

: É seconde et la troisieme distance est à la différence entre la pre-}

| miere et la seconde, comme 3 heures sont à un quatrieme ter- |
]me, qui, étant ajouté au nombre d'heures, minutes et secondes |
à correspondant à la seconde distance, donnera pour somme}
| l'heure cherchée.
! Dans l'exemple ci-dessus , le jour de l'observation étant le 10
| février , je trouverai au 10 février que les deux distances de
[la lune au soleil, entre lesquelles est comprise la distance cal- |
| culée 108° 27'.32".. . .. re SO... .|
oœ 9’ 28” |

. 108° 37" 0"... ... qui avoit lieu à 15h 9' 16"
| - 1 24 48 '

Let.. 107 12 12. .,... qui avoit lieu à 18 9 16 |
: |

[
i

1 La différence entre la seconde et la troisieme distance est
11°24' 48" ou 5088"; la différence entre la premiere et la se- |
à conde distance est o° 9’ 28” ou 568". Je fais donc
; 5088": 568" :: 3h ou 10800": x, |
tou L.’ 5088 -+ L. 568 - L. 10800 — 10 = L. x.
| Voici le calcul :

|

| D eu mnmen nue
RE |

Re ce me

D.

PROBLÈMES RELATIFS À LA NAVIGATION: 4)

LL. 3h ou L. 10800". ...,......

+ 4,0334238
IL. 568". css 2,7543483
AL." 5088". ...,,.............. 6,2934529
{ Somme, ou log. de l'heure à ajouter , . . . . 3,0812250
1 Heure à ajouter . . .. ,.......... , oh 20! 6"

! Heure de la distance précédente . . . . , ... 15 9 16
j Heure de Paris au moment de l'observation . . . 15 29 22

Le caloul de l'heure qu’on devoit compter à bord au même,
] moment $6 réduit à trouver un angle d'un triangle sphérique :
i dont on connoît les trois côtés. En effet, nous connoissons la
à latitude du vaisseau ; le complément de cette latitude sera la dis- |
| tance du pôle au zénith : nous avons la hauteur vraie du soleil ;
| le complément de cette hauteur exprimera la distance du soleil |

au zénith. Nous trouverons , à l’aide de la Connoissance des

| temps, la déclinaison du soleil au moment de l'observation ;
À cette déclinaison ajoutée à 90°, ou retranchée de 90°, selon que
à le soleil et le pôle élevé seront de différents ou de même côté
| par rapport à l'équateur , nous donnera la distance du soleil au
] pôle. Figurons-nous donc un triangle PZS, dans lequel P soit
| le pôle, Z le zénith, et S le soleils nous connoîtrons dans ce
| triangle PZ, PS, Z$S, et nous aurons (XXII1)

8.3 (ZS+PZ—PS) x s. + (ZS + PS — PZ)
| | Nommons h la hauteur du soleil, 1 la latitude, et d la
| distance du soleil au pôle ; nous aurons ZS = 90° — h, PZ — 90°
—]l; +(ZS+PZ—PS) = go —+(h+l+d);+(ZS
+ PS — PZ) = + (l4+d—h) =+(l+d+h) —h.
\ Faisons de plus 1+ d+h=S, et substituons çes valeurs dans
| notre formule ; elle deviendra “
| [SES XS (ES —h)
Lire (ME),
qu, en employant les logarithmes, _
lL.s.+P=+(Ls."3S+Ls, (3S—h)H4L,'sd+L."s."1).
À Pour appliquer cette formule, cherchons la distance (d) du
À soleil au pôle ; nous trouyerôns dans la Connoissance des temps

}

{ que la déclinaison du saleil était

ag aa 37" Sud. , . ,.. . le 10 février à midi,
let..14 3! o" Sud. ..,., lear à midi: |
| la déclinaison diminuoit donc en 24 heures de 19’ 37":

| Pour savoir de combien elle diminuoit en 15h 29", je fais
s cette propartion:

24 : 15h29" :: 19° 37" : un quatrieme terme,
fL'24 ou L.' 440'...,.,...,.,.. 6,8416375

ls, + Pre V/

À
\

L. 15h29" ou L, 929 .,,...,.... . 2,9680157
ÉL. 19 37! ou L, 1177 esse. 8,0707765

| Somme , OU logarit. du quatrieme terme 9.9. 2,8804297
ou je le saustrais de 14° 22’ 37", j'ai

n
Dé

.[

éo APPLICATION Deus LoGArRtTHME=eS

{teur vraie (h) du soleil et la latitude (1) sont connues: nous
avons trouvé que h — 6° 20’ 1". Supposons. — 10° 20’ nord,
et nous aurons bientôt l'angle horaire ou l'angle au pôle P.

Voïci le tableau du calcul.

À Hauteur du soleil (h) ‘ 6°20' 1"
] Sa distance au pôle (d) 104 9 58 L.'s. d 0.0134118
E Latitude (f) 10 20 o L.'s.'1 0.0071016

| Somme (S) 120 49 59
1 Demi-somme (+S) 60 25 o L.s./+S . 0.6934534 f
] — Ja haut, (5 S —h) 54 4 59 Les. (3S—h) .

d Somme. . ous... … 2L.s.+PE 19.6223812
| + somme. ....... . +... L.s. fP 9.81 11906
1+ P ou demi-angle horaire 40° 20" 52,5",

4 Angle horaire en degrés 80 41 45,
1 Même angle eu heures, ou heure du vaisseau 5h 32! 47"

| ConczLustron.
Ÿ Ilétoit à bord au moment de l’observation S$h 22° 47"

{ mais en ce même moment il étoit à Paris 15 29 22
ôtant l'heure du vaisseau de l'heure de Paris, .

|
! la différence est . . «. .. . «+ se es 10 6 35
| réduisant cette différence en degrés, à raison |

de 15 degrés pas heure , nous aurons 151° 38" 45"

Ÿ C'estla longitude du vaisseau rapportée au méridien de Paris;
jet puisqu'au même instant on compte moins d'heures à bord
{ qu'à Paris, cette longitude est occidentale,

: Li

Ni On peut faire usage de la distance de la lune à une étoile ; et
la méthode est à-peu-près la même. Je dis a-peu-près , parce-
j qu'elle ne differe de celle-ci que par la maniere de calculer
l'heure du vaisseau. -

Pour y parvenir par le moyen d'une étoile, il faut avoir sa
hauteur avec beaucoup de précision ; et si celle dont on prend
] la distance à la lune n’est pas placée convenablement pour qu'on
\ puisse obtenir sa hauteur avec assez d'exactitude , on ne s'en
servira que pour réduire la distance apparente en distance vraie :
| mais pour avoir l'heure du vaisseau , on en chaisira une autre

‘© placée plus favorablement.

À Onprendra soit dans la Connoissance des temps, soit dans un

catalogue d'étoiles, l'ascension droite et la déclinaison de cette

derniere ; on calculera son passage au méridien ; on cherchera
Fi son angle horaire, comme nous avons fait pour trouver celui du
1 soleil : on le réduira en temps solaire moyen , à l'aide d'une
| table qui se trouve dans la Connoissance des mouvements cé- |
1 lestes ; on ajoutera ce temps à l'heure du passage de l'étoile |
au méridien, ou on le retranchera de cette feure , selon que
l'étoile sera à l’oùest où à l’est du méridien : la somme ou la dif
férence sera l'heure vraie du vaisseau. ——

Supposons, par exemple, que le 14 navembre 1771 au soir,
étant par 36° 33’ de latitude au nord, et environ par 10° 30!
de longitude à l'ouest, la hauteur vraie de « de la lyre ait été
i déterminée de 25° 4' o"; on demande l'heure vraie du

vaisseau,

Fe
» * -

+ eee 0 OR PO ee CAO Ver Se er DR CNE "
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= L2
.

e
+= » .
LA
CS

| Page 60
EE RSR Se
P RÉPALA DISTANCE VRAIE.

latitude,

heur. appr. qui

longit. estiméé

heur. appr. de:

diametre, |

diametre, :

parall. hor.

dist. observ. #*+

3 diametre, ù

diametre, |]

aug. .du+diam. | og sin. À

dist. appar. #4

hauteur obs. 4 log. 3h. : . : ; 4,0334238
dépress. del’h@ log. . .. 2,7543483
+diametre, complém. arith. 6. 2934529
haut. appar. jouter, ss. 3,0812250
réfract. et paral , ,,,..,., ….. ch 20 6
hauteurvraie, £e précédente, . . ... 15 9 16
Hauteur ob. | de l'observation, . . . . 15 29 22
dépress. de l’ho

+ diametre,

hauteur appar.

réfraction
et

parallaxe LIT IT 3
hauteur vraie, 6, L : : jp, + — 19 37
eures, 6. 84163 5
. 2,96801
.. 3,070776$

.. 2,8804297

69 APPLICATION DES LOGARITHMES.
TU À

Problêmes divers.

1. Soient A,B, C les trois côtés d’un triangle ;a,b,c les
angles opposés à cts côtés; r et R respectivement le rayon du |
cercle inscrit et celui du cercle circonscrit; p la perpendiculaire |
abaissée de l'angle c sur le côté C qi lui est opposé, ou la hau- |
teur du triangle sur la base C; m l'aire du triangle. Faisons H
= +(A+B+C); Q=:1,2041200; E = 9,6989700 — 20 ; |
N=L (H—A) +L (H—B)+L (H—C); K=#+
(N + © + L. H); et représentons par S, le logarithme du si-
nus d’un angle : nous aurons |

ÉLR=LA+LB+LC+K';Lr=+t(N+L'H);
L.p=+(N+LH)-+L.'4+C;Lm=+(N+LH)
=L+iC+Lp=LA+LB+<LC+HLR++Q'—
L.sA+LB+Sc—10= 2L. À + S.b + 5S.c+S.a+E.

=

. Exemple: Soit À = 143, Bc 165, et C — 154; nous au-
rons H = 231; L. (H — A) = 1,9444827; L. (H—B)
= 1,8195439 ; L, (H — C) = 1,8864907; N = 5,6505:73;
L.H = 3,4636,20; K = 4,6091246 ; K'= 5,3908754; L. A
= 2,1553360 ; L.B — 2,2174839 ; L.C — 2,1875507 ; L.R
Z1,9512160; R—89,375; L.'H=—7.6363880;L.r—1,6434527;
r— 44; L.+3C— 1,8573325 ; L.' +C = 8,1426675; L.p
==2,1205740; p = 132; Q'= 8,9958800 ; 5 Q'—4,3979400;
Lim <= 4,0070647; m—10164. ,

Les valeurs que nous ayons données à À, à B, et à C, sont des
mesures linéaires de même espece , comme des pieds, des pou-
ces, des lignes ; les valeurs de R, r et p, sont exprimées en
inesures linéaires de même espece que celles qu’on suppose aux
données AÀ,B, C; et la valeur de m, des mesures quarrées dont

Ja racine est aussi de même espece.
1) Les deux dernieres formules qui donnent la valeur de m,
süpposent qu'on connoisse les angles a, b, c. On peut les cal-
culer par les formules dé la trigoométrie rectiligne, art. XXI,
1. Cas. |

Cherchons l’angle à ; la formule qui donne cet angleest |
IS +a=+(L. (H—B)+L. (H—G)+L'EB+L."'C).
IL," B = 7.782%16i ; L.' C = 7.8124793 ; L. (H—B)
=) 8195439; L. (H—C)—'1,8864907 ; 2S.+a = 19.3010300;
S. + 0. ÉÉ0$i So : ra 26° 33° 54"; a = 53° 7° 48". |
: Nous trouverons de même b = 67° 22° 48"; c = 59° 29" |

h

—

| 24 ; et les deux dernieres formules donneront pour m la même
valeur que ci-dessus. . |
- $. Soit r le rayon d'un cercle, d'son diametre, c sa circon- |
férence , et m sa surface ; nommons p le périmetre ou la cir- |
conférence d’un cercle dont le diametre est 1; et faisons |
L.p#æP=0,4971499 ; L.2+4 L.p=F = 0,7981799 ; L."4

Î+ Lp= D =9.8950899 ; L."4+ L' p = C=8.9007q01 : :
nous gjUrons ‘ tt D

|

|

LcæLd+PæLr+E, |
Lmæ2Lld+D=2Lr+Pz2E.c+c.

5 pu æ « . aq CRE ST pe Ver
HA 2 ME 5 LUE RER ST ÉARSEZA EE ar UT tt a Arte Sa PS
\

PROBLÉMES DIVE2RRS. Î

Exemple. Soit r — 791 ou d — 1582, nous aurons L.d
1! = 3,1992065 ; L.r—2,8981765; L.c= 3,6963564 ; c= 4970;
Î 2L.d — 6,3984130 ; 2L.r — 5,7963530 ; 2L.c = 7,3927128;
Lim =16,2935029, & 'm— 1965635.

Archimede est l’auteur le plus ancien qui nous ait laissé un
Î| rapport du diametre à la circonférence ; il a trouvé que le dia-
metre étant exprimé par 1 , la circonférence est moindre que
3 rs ou 3,142, et plus grande que 3 # ou 3,141. M. de Lagni,
dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année
1719, a donné un rapport du diametre à la circonférence, dans
lequel.il a poussé l'approximätion jusqu'à la centvingt-huitieme
décimale. 1l a trouvé que le diametre d’un cercle étant 1, sa
circonférence doit être exprimée par le nombre suivant;

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693
37510 58209 74944 59230 78164 o62Lé 20899 86280 23823
34211 70679 82148 0865: 32723 06647 09384 46 -F &c.

M. Machin avoit déja trouvé les cent premieres figures du
rapport de M. de Lagni , et long- temps avant eux Ludolphe
Van-Ceulen en avoit calculé les trente-cinq premiers chiffres.
Adrien Métius, contemporain de Ludolphe, ayant exprimé
| le diametre d'un cercle par 113, avoit trouvé pour la circon-
férence un nombre beaucoup plus proche de 3hs que de 354 ;
ce nombre est 35499997. Le rapport de 113 à 355 est aussi
exact que celui de 1 à À 141596 ; et ce qui le rend précieux,
c’est la propriété qu’il a de se graver aisément dans la mémoire.
Si vous écrivez deux fois de suite, et suivant leur ordre, lestrois
premiers nombres impairs 1 , 3, 5; vous aurez un nombre de
six chiffres (113355), dont les trois premiers (113) seront le
diametre, et les trois derniers (355) expruneront la circonfé-
| rence.
Dans le calcul de la circonférence ou de l’aire d’un cercle,
il est très rare qu'on ait besoin d’avoir égard aux figures qui oc-
cupent des places au-dessous de la vingtieme ; c’est pourquoi
si nous faisons p—3,14159 26535 89793 23846 ; L.p ou P
= 0,49714 98726 94133 85435 (voyez à la fin de ce volume
l'usage des tables 1, II et III, prob. 1, 4 cas); C —8,90079
01359 77903 75522; D = 9,89508 98813 66171 46392;
= ©,79817 98683 58115 04957 ; nous aurons comme ci-
essus , ;

Lc=Ld+P=Lr+F,
L. m= 2L.d + D =2Lr+ P= le + cC.

Exemple.’ Soit r = 161 29032, 25806 45161 29; nous au-
rons, en faisant usage des tables I, {let 111 qui sont à lafin
ce volume, L.r— 7,20760 83105 01746 12512; L.r<+F,
ou L. c —=8,00578 41788 59861 : 468 ; 2L.r<+P,ou L.m
= 14,91236 64936 97626 10459: cherchant à l’aide des mêmes
tables les nombres auxquels appartiennent ces logarithmes ,
nous aurons € — 1013 41698, Boa89 649156 ; m = 81727
17621 20132, 99648.

3. Trouver la longueur (a) d'un arc de cercle dont le nom-
bre des degrés (A) et le rayon (r) sont donnés.

Soit n la longueur du degré d’un cercle dont le rayon est 1 :

fi

Gi APPLICATION DES D cantrnues.
| n— 0,01745 32925 19943 29576 9; L. n = 8,24187 73675
90827 78455 ; nous aurons L.a=L.A+Ln+Lr.
Exemple. Soit r = 60, et À = 106° 15’ 36! ; nous aurons |
L.r—1,77815 12503 83643 63251 ; L. À = 2,02636 98115 |
73718 38284 ; L. À + L. n + L.r, ou L.a — 2,04639 |
84295 48189 79990 ; d'où nous concluerons a = 111, 27521
17901 50476 506.

&. Connoissant le nombre des degrés (A) ou la longueur (a)
d’un arc de cercle dont le rayon est r, nous aurons aisément
l'aire (m) du secteur compris par cet arc et par les rayons qui
passent par ses extrémités, et nous trouverons

Lim =Lin+L+A+palr=L+atlLr=LabLr.

| Exemple. Soit r — 60, À — 106° 15’ 36"; nous aurons,
comme ci-dessus, L. a — 2,04639 84295 48189 79990 ;
LL. >r = 1,47712 12547 19662 43730 ; L.m = LATE
11 96842 67852 23720 : donc m— 3338,25635 37045 14295 18.

5. Voulons-nous avoir la surface (mr) du segment renfermé
& par l'arc (a) et par sa corde, faisons L.a!'— L.a — L.r —L.A
+ L.n, et nommons s le sinus naturel de l'arc a”; nous au-
rons L.m = L.+(a'=s) + 2L:r. Le signe — a lieu lorsque
À est moindre que 180°, et le signe +- lorsqu'il est plus grand.
Exemple. Soit toujours r = 60, À = 106° 15° 36": nous
aurons L.A== 2,0263698 ; L.n=—8,241 8774; L.a'—0,2682472;
a" — 1,8545869 ; 5 — 0,9600010 ; a'— 8 —= 0,8945859 ;
3(a’— s) = 0,4472930 ; L.+(a' — s) = 9.650592: ;
laL.r — 3,5563025; L. m— 3,2068946, qui répond à 1610,
2546 — m. C'est la surface cherchée.
j Nous n'avons pris la valeur de m qu'avec huit figures, parce- |
! qu’il entre dans son expression un sinus naturel que nos tables
i ne donnent qu'avec huit chiffres.
Si la corde et la fleche d'un arc sont données , on parviendra |
à connoître le rayon et le nombre des degrés de cet arc ; caren|
nommant 2y la corde, et v la eche de l'arc À dont le rayon
est r, On aura V:y :: Y:2r—V,etr:1::y:s + À.

+v 2VY

pe
mn ne eu ee me Se ue ut On ES ea

.

_ >,

D'où l'on tire r — Y

TABLE

+ +

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TABLE

| De:
LOGARITHMES
| | DES

NOMBRES

Depuis vis jusqu'à çent-deux mille neuf cents soixante.

RS ee ee ee —

RER RER +
lras LE de quelques nombres dont les Astronomes font un |

| usage fréquent.

| Logarithme de 24 heures ou 86400". . . . . . . 4,9365137
Logarithme de 360 degrés ou 1296000". . .... 6,1126050
Logarithme de l’arc égal au rayon 57° 17' 44"8 . . 5,3144251
Logarithme de la circonférence 3,14159265 . . . 0,4971499
Logarithme de la surface du cercle 0,7853982 . . 9.8950899
Logarithme de 23 heures 56! 4"1........ 4,9353264
Logarithme de la distance du soleil en lieues . . . 7,5360213
|
|

Longueur du pendule sous l'équateur 36» 71 21/.-. 2,6426722

ses. À Paris . . . . . 36 8,67 2,6441135
Rayon de la terresous l'équateur 3277123 toises . . 6,5154897
Rayon de la terre au pôle . . . 3266465. . . .. 6,5140781 |
Degré du méridien sous l'équateur 56753 toises.
sos À Paris . . . 57060.

Degré de l'équateur . . . . . .. 57264.

Année tropique 365° 5h 48 ! 48 "ou 31556928”.
Année sidérale 365° 6 9’ 11”,56 ou 365,2565838.

| | Précession des équinoxes en un siecle 1° 23" 45°,

Voyez l’Astronomie par M. dé la Lande.

k TA B LE de quelques nombres dont les Physiciens font un

| usage fréquent.

Aune de Paris, 3 pieds 7 pouces 104 e |

Boisseau de Paris , 661 pouces cubes et 7%

Poids du pied cube d’eau distillée , 69 iv. 15 onces 4 gros, à u}
température de 10 degrés.

Produit d’un pouce d'eau, 13% pintes par minute.

Pinte de Paris, 48 pouces cubes, ou la 36* partie d’un pied cube. |

Courbure de la terre pour 2000 toises , 3 pieds 8 pouces : elle |
augmente comme le quarré des lon gueurs.

mn

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un mn = ——…

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39 5 307 | 48713838
30445168 308 | 48855072
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40054018 315 | 49851055
408 316 | 49968708
40993512 317 | 50105924
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42324587 325 | 51188336
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46834733 354 | 54900326
46982202 355 | 55022835
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27873645 357 | 55266822
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4iii ET 28 13753
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4oga|3ui 1 13336
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aoû 3905|3730
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40131383413663

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4 67 3982 [3806 3635

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aie
42019279
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.35251336513210

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3516]3357|3203
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à

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270

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271212579
-9f2710/2577|2448

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re 2559|2431
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0]2618|2488|2362

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N

32 | 33 | 34

Logarithmes

36 |

Qi |

0 ED À uns | —_——

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2506 |2

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2283/2168 (4
2281 [3161 |
2270/2150 [26
22771219 É
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2:73 2
2271 |21:
2264) 4
2263

53 2153312016
31|2131 2014

19/2129 /2012

| 2010
1212125 | 2009

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2441 2121 |2005
2239 2119 200$

i 3
md À

2237/1117 2001

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221 }2111)1%95

222)|21109 | 1493
|

2227/2107 1991
2215/1100 |10909

5 | 2223/1103 1487

2220/2161 | 1986
2218/1210)" 1984

ER |

37 | 38 | 39 | 40

——…— À eme | me

2280|2340 |2400

Rage | mamereegs À cœur

1984 18712

1 1

19801867
1978 | 1865
1976 | 1863
1974 | 1862

ae | anse

1761

1759
1797
1759
1754
1792
1750
1748
1746
1745
1745

36 | 37 | 38 | 39 | 40
GS

41
2460

me

1654

1652
1650
1648
1647
1645
1643
1641
1640

41

42

43

2520/2580

1549

42

Lopistiques.

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04
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&

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.& 0151 [0077
0150/0075

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Pa 9765 ne
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9661

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Logistiques.

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Y9210|9150]9091
9209 914

G2c8 [91489080

mn mm | une

71172173

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9085 9027 |8y70

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9083 9025 | 8968
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9081 | 9023 |8966 | Byoy

9080: Y022 | 8965
9079] 9021 [8964
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9076! 901 7 | 8060
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9075 |901518957
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9055] 8997 | 8940
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903

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9032| 8474 18918
9031 8973 18917

amer | mme | cm”

059 | 8981 [8924
D038|&yB80|8023 | 886
9037 | 8979 [8922 | 8866

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88821882618771
88811882518771
8880|8825|8770
8387918824 18769

74175176 | 77 ! 78 F 79

\f

‘samy o7 enbjn{ ‘owuieSo] un,p 21quou 2j x ‘srquou un,p swguvedo] 2] 12Ano7 mod ssjqeL

TABLE TI

Logarithmes.

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gros. 12503.83643.63251
.83071

Ep .80400. 14 KE Un
cr me Bo 87459

son à .26851.58225.04075

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tte
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39794.00086.7203

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PGO. .25007.67287. 26502
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D797È 132066. 2: 2e
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60205.99913.27y62.39043

61278.38567.19735.49451
62524 ue 46 22
63540. En

be” RH Bis ga

66275.78316.81574. on
67299. Ta. -35717. 4
68124. 12373.75587.2

69019 060820. 285: Frs
69897.00043.36018.80479

70757. o1760. 7936.36
71600.33 7 ot
72427.58 04563
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74036.26894.94243. 8454
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EVE 48556.72491 3
2.79935.62937 28255

5,20114.421 6
DES 12503. 83643. 63251

2 nt

rogaibnes

78532.98350. Ro 1enég 25384 .033

79239. 16894

He oe En 70530
7-99739.83887.17128

81291 33566. per 57399

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82607. 7-00826.43415

68 RE Aora7. 06236.31897

7.37255.31616
BSon os go907 00.14256.83071

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85733. 24964. .31268.4
2

86332.28601.20355.90107
Bbé. 17197. .30976.19202
91700.04687

+ nr -Bo7gi-3 .35196

07251.72481.87146
Bon 4606. 90480.40172
89762. 7691 2.90441.42709

90308. .91943.58564

.50188.78649.74918
MEN 38523.83716 are

91907.80923.76073.90
92427. .61881 28
02941.89257. 14202.73333

3449.84512.43567.72162
PS. 92526.18618.52463
94448. 2672 .50168. 2639
94959 7ô7s
ANA “25094. 230 1324 .D 7459

595. 2%
294 ;. Bo55. 11696
97312. eos .65963
97772 47.766032
227.12330.30568.41336
ÉcreA 17542 .66244.85178
09122.60756.92494.85664
20563. 51945. 07540. 91534
00000.00000.00000 .00000

00432.13737.82642.57428
coBéo: 01717.61917.56105
01283.72247.05172.20517
01703.35392.087B0.35485
02118.,2990.69938.07279

02530.58652.64770.24085
NÉE rES .37776.85209.64083
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03742.6
04139.2

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e6069.78403.5361 1.683565

.70892.26918.
FN 1697 it ge
07188.20073.06125.3654

07554.69613.92530.75925
07918.12460.47624.82772

979.40625.63
1.598225. Pr

Logarithmes.

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1 28.63413.83086. 8141

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15836.24920. ann 658

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2174

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Logarithmes.

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5484

| 27415.78492.63679.

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30749-60679-1i212.91 8
30963.01674.15808.75626

1 51175.38610.55754.29930

ER ee M REC
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SA 8 Caron
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RS 43400 Paono
39705 4b 70.00453.78926

3 3.39887.99413
RHONE 19502. 87887

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38021. 12417.11606.02294

TABLE 1

Logarichmes.

8201 .70425.74 868.38408
18581.536 cn 27671
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8y16.60843.64532.46621

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7 0 gen 73974
K)44 Po. ue 265
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-0654.01804.35956.17

ns 3.11849.56171
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RE .97059. 63230.15

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1664.05073.38280.
nt ge ee
Hl 4 7
995.57 RE 7 so

3 60.
25 739. SÉBor ‘86043

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2975.2: do. 02407.
3136.37641.58987.31189

En 2908. 74405. 72952

40. 3410. *70940

3éué. 26470.40756.03 21
5.05628.20387.96

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Sans 2 ‘B9286
55. nn 235

Fr. 1e RSss age. Sr

9484. 4B600.c 510. NErA

-5636.60331. 00517

5788.18067.3 .32522

Fc PRE 77.59250.85066
42

7.56547.85708

A … u .08733
7.289008

CR SAC 2 250

16686. Fed. 4109.4562

6834. 73504.12157.2039
16982.20159.78162.99505

17129.17110.58938.58245
727 -64495- 17212.35264
7421. (2640. .76255.23347
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.7712.12547.19662.43730

Logarithmes.

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EN 00.69429.57150.65208
ad .26285.02305.01 197
7-35836.08753.74
48429. 98393.46785. Be

48573. 14264.81579.99834
es .83754.77186. nr
8855.07165.00444.26

5.84794.24854. ve
27%. 14986, 34272.67967
49276.03890.26837.55555
dans. 45940. -18442.7 214
9954. de 2 46448.

D 2.96480.75214.93:
498 NES 1099 À

49968 9968.70826. 184 03.81842
105.92622.17751.49495
50242.71 199- -84432.6781

50379.06830.57181. 12808
50514.99785.19905.97607

50650.50324.04872.0 Vs
50785. 5Byié, 99830. 7
90920.25223.31102
51054.50102.06612. Fa
51188.33609.78874.37878

51321.76000.67939. 00285
D1454. 177526. .60286.
51587.38437.110670.

51719 PEN
51851. DAS 77 ; 47805

| 51 .75718.73861
98279987. 7

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52374.64668. 11564. 47520
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52633.92773.89844.04886
52762.99008. 7135 209
52891. S7002: 77 654.733

53019. Zio83. 132
53147. gU70. 142258. 123

53275.43789.92497.72042
Rte % 13203134
53529.41200.42770. 49214
53655. 1495, 71530.1120
53782 00950. 73374-12095

53907.60987.92776. m
54032. 94747. So. 71

54157.92439.46580.
54082. 34 59179. ia

‘54406.80445.50275.

54530.71164.65824.081
54654. 26634. 8131. 01682
54777.47053.87822.56550
54900.32620.25787.8227
55022.83530.55094. ‘09088

55144. 2875.17515

55266. At no VE
do. 4 319.1 :

55630. 25007. 70 “ge

*!i

RER UD PRE AE à med ma

Logatithmes.

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55870. 5709.33163:70589
55ÿ90.66250.361 12.51880
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56702.63661 .59060.36910

56820.17240.66994.99681

56937.39096.15045.87635
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571 à:84328.0868 76085
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57403.12677.27718.85165

57518.78449.27661.05006
5234. 738

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52978 25906.168,0.18675

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582c6.3 .11708.73285
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58658. 73046.71754.95583
5B771.09650. 1891 1.40100
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59439.25503.75426.698: 1
9954).62218.25574.12259
5965y.70956.26460.23278

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ROSES 15.065

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600y7.28956.86748.22954
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Gao13. 60549 73707. 1779
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Ga; 40029605. 85
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02.05792.85654 |.
1 57749.17998.37225.33781

TABLE

I.

PRG A CS + mr re em

Logarithmes.

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Gho4. 78730-23078 Bat

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Ga246 45202. q2121.3 063
64345.26764. 6187432118

us on os
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64640.37262.2 58033
G4738.20 701.14619.82493
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50 | 65321.25137.75343.679

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6 .48126.64434.0844
Ep atee ie
.54780.03869.1
ÉAB1 28858 37267 aol
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66370.09253.89648.145a
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67303. NE po M re

486.11407.37811.56716
67577.83416.74085.06050
6766Y.36096.24866.57111.

27760-69527-20493.14968
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67942.78966.12118.88022
63033.55134.: 458-2010
68124.12373.75587.21814

TABLE TL
SE

Logatichmes.

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68504.70382. 8649-5702
68394.71307.5:512.14

4.53616.44412.471
dns. 17386.02263. pe

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108. 14921.22968.47275
a .51027,67; 60.321223
69 PR MEN
69372.69489.23646.92596
69460.5198y.53568.72013

548.10764.90197.46052
Pret 1638853332. 11681
60722-93427-59717.53634
69810.05456.2 Sp 21417
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69983. 7258.67245.71728
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7 .57441.53739.0641

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rs à RON ET
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7200 AS GS ;
73078.22756.66389. 17530

73158.87651.86738.70217
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Logarithmes.

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73300 72863. 38388 2009
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79127.910 Fo 22704

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75663.61082.45848,05004
73759-60287-93024-20038 °
75819.46210.67389.97493

75891.18923. 97073 32034
75966.78446.8y630.48844

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76417.61323.90350.73454
Thon aoht6 Jo a

70566.8 547.50014.08038
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76715.58660.82180.44858

76789.76160.18090.65 146
PERS Dion 47614 47606
76937:73260.76138.48915
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77997 -43311.29369.08740
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77815.12503.83643.63251

609 7461 72926

Logarithm es.

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Ro dons D. 5523
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78247.26141 .66286.20678
PAS. 26910. 7525758006
761
BA 272026. 32878 35834
7 8552.98 50. 10767. 03389
Egog-12102. .42554.23362
7Re7 14221.45561.19356
Sue. -04745.18415.0 774
8816.83711.41167. 7:67997
78887. 51157.75416.73659

58.07121.64425.45710
TS. Ségo. a 68205
72098. 84750.88815. 83768
79169.06490.201 na 2758
79259. 16894.98253.57488

79809. 16001.76580.19075
TRS -03846. RES 79077
79 1
79918. Fo 3. 987
79588.00173. rer 21919
57.433321. 10429.68002
To. 75408.30716.43958
| 7 2 HA 7e ne

TS oSan. ME CRACR

80002.935 244134. .31803
80071.707 .01364
Bodo. 7100.17355.102358

80208-92578. .81732.68977
80277.37252.91975.66903

80345. 7 13.87336
Ce
7211
80550,08581.5
80617.99739.85 87. 188

80685. Ho2g5-18817.42225
80753.50280.68853.27334

80821.09729.24222.0
80868. 58673.50812. 10007
20055. 97146.35267.76849
81023.25179.95084.08529
81090. gs. 68700. su
g! 197 58.70593.33
24.46968.003 23101
81201. 133366. 42855.57399

81358.00886. .68191.94 4

81424.75957.31920.1

81491. Le 812. 75073. 143
81557.77483.24267.26771
81524. 12999.91 783.06560

8160. .38303.75660.27536
817

81822. Fos ds Rs ose
81888. 20 a

660 | 81954. 39 &. 21868. 67326

æ

Lire

ns

RE

ss

AS

85
3 | 85308. Es 51865.55853

Logarithmes.

82020. 14594-85640 23665

82085.
pu Fr So. 108

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TABLB II

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1.5137237 | | 4.32 | 1.4632554 ! | 4.92 | 1 15035083 5.52 | à 70BS77a
13164082 | | 4:33 | 1.4655675 | | 4.93 | 1.590533 5.53 | 1.710187
1,3190856 4-34 | 1.4678743 À | 4.94 1.5973683 5.54 | 1.7119945
1.3217558 | | 4.55 | 1.470158 | | 4.95 | 1,5903876 | | 5.55 | 2.713790
1.3244190 | | 4.36 | 1.4724721 | | 4.96 re 3.56 | 1.715598:
1,3270750 437 1.4747630 | | 4.97 | 1.603410! SA 1,7173951
1.3207240 | | 4.38 | 1.4770487 | | 4.98 | 1.6054509 | À 5.58 | 1.7101
1.3323660 4.59 1.4799292 | ! 4.99 | 1.6074359 5.59 | 1.7209793
1.3350011 | | 4.40 ! 1.4B16045 | | 5.00 | 1.60943 5,60 | 1.722
1.3376292 4:41 | 1.4858747 5.01 1623380 5.61 | 1,7245507
1:3402504 4.43 | 1,4861397 | 15.02 | 1.6134209 | 1 5.62 | 1.7263317
1.342864 4.43 | 1.4883096 | | 5.03 | 1.6154200 | | 5.63 | 1.7281094
15454724 | | 4441 14906544! | 5.04 | 1,6174061 | | 5.64 | 1.7298841
1. 80731 4.45 | 1,4929041 5.05 | 1.6193883 | | 5.65 | 1.7316555
1.3506672 4.46 | 1.4951 5.06 16233665 ” 15.66 | 1.7334
1.3532545 4-47 1.4973884 5.07 | 1.6233408 5.67 | 1.73518091
1.3558352 4-48 | 1.4996230 5. 1.6253113 5.68 1 1.7 12
1.3584092 | | 4:49 | 15018527 | 5.09 | 1.627278 | | 5.69 | 1.7387102
1.360 4.50 | 1.5040774 5.10 | 1.6292405 | | 5.70 | 1.7404662
MVL 4.51 | 1.5062971 5.21 1611904 5.71 | 1.74221
1.3660917 4.52 | 1.5085120 5.12 | 1.6331544 5.72 |1 73969
1.3686594 | 1 4.53 1 1.5107219! ! 5.13 | 1.6551057 5.73 | 1.745715
1.3711807 | {4.541 15129270 | 5.14 | 1.637053: 9.74 | 1.7474593
1,3737156 4.55 | 1,5151272 5.15 | 2.63 5.75 | 1.7491
1.3762440 4.96 | 1.5173226 | |5$,16 'étobée 5.26 170
12287062 4-5 1.5195132 517 1.6428727 5.77 | 1.7526721
1.3812818 | 14.58 | 1.5216990 ! | 5.218 | 1.644805 5.28 1.75440:
13837912 | 14.59 | 1.5238 5.19 | 1.646733 5.79 | 1. 5613

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1.776645
1.7783364
1.780022
1.7817091

1.7833912
1.785005

1.8131947
1.8148247

18223283
1.822035:

It

609
RUE

1.8309802

| 1,83258:5

Logarithmes hyperboliques.

1.8718021
1.8753395
1.8748744
1.876406
18779372

1.8794650
1 802906
1.8825158

1.8840347
1.8855533

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nn nananm

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5 D = 0

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1 2108295
1.9213247
1.922787

1.9297074
1.9271641
1.928618
1.9900711

1.9315214
1.932969
1.934418
1.9358598
1.9375018

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N. | Logar.

19159101
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1.9407 °52
1.9901857
1.9516082

1.993076
19544 ,51
1.955t605
7-08 | 1.572759
1.9906855

19600948
1.9615082
1:9629077
1.645112
1.9657128

1.971124
1.9685100
1.9699056
1.0712994
1.972612

1.97408B10

1.97560212

1.9810015
1.982578
1.9857565
7-28 | 1.085135
1.986503

1.9878743
| 19892455
1.90%103
1.%)19755
1.9935388

1.994700
7:36 | 1.990599
1.9)74377
1.987756

2.000177

7-40 | 2.00 14800
41 | 2,0028304

7-45 ; 2.00B2140
746 . 2.000555
7:47 t 2.01c8y50
7-48 : 2.0122528
7:49 | 2.0135688

7:30 , 2.01.:9030
7,51 2,0162355
7.52 2.01,5661
7.53" 2 0188950
794 | 2.0202222

7:55 : 2.0215476
7.56 i 2.0228712
7:57 ! 2.024193:
7:58 2.0255132

œ ŒmoOomMmOŒ CC 00 ®œ 0

N. Logar.

2.0281482
2.024632

2.t307764
2.0320878
20333976

2.037056
2.0360120
2.037366
20586195
2.039y208

2.0412203
2.0425182
2.0138144
2.045108
2.0464017

2.0476028
2.03 gs
2.0502702
2.0515263
2.052809

2-0541237
2.055.050
2 0566846
2.057625
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2.0605135
2.061 7866
2 0630581
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2.0731719

2.074290
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2.1053529

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2.11

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21210632

2. 12e
2.1

21 39
2.125847
2.127040

2.1435894
2.1447610

2.1459313
2.1471007
2 1482697
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2.1519622

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2.106676

2 1679190

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3.17247

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Logarithmes hyperboliques,

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Logar.

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1770219
2.1781550
2.17ÿ286y
2.1804175
2.1815468
2.1826748
2.1858016
2.1849270

21860513

re

2.1905356

2.1916535
21927702

21938857 À.

219108
1083381

2.1994443
2.2005524

32016592

2.2027648
2,2038691

2.2049725
2.2060742

22071749
2.208744
7

2
2:2104

| 2.2115657

2 2120604

2. 213729
2-2148462
22159573
2.2170272
22181199

2.192056
2.220
2.22137
2.222
22239419

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212280385

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2,231089)
2.2321626
2.233350

2194343062

2.3353763
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Logar.

2.2407097
2.2417
2.242855:

2-2710944

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2 273 1 7
3.274856
2,2752139
22762411

2.2 3

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2 3005832
2,3015846

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Logar.

2.302585:

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2. 1
2.3055806
2.306577:

2.3075726
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2.3095

2 3105533
2.3115448

2.3125354
2.3135250
2.3145167
23155013

2.5164880

2.317473
2h54 784
2.3194422
33204150

2.5214069

23223877
2. 3233676

23
ER EU

3.363016

23 327277
82528

2.329 3 292350

2.5501003

2.3311725

ER ne mé pate,

EE ES

LS

DES LOGARITHMES LOGISTIQUES.

L E logarithme b istique d'un nombre de secondes est l'excès
du logarithme de 3600! , sur le logarithme de ce nombre de
secondes.

Par exemple, pour former le logarithme logistique de 3’ 20"
ou 200", on ôte le logarithme 23010 de 35563, ct l'on a 12553
logarithme logistique de 3’ 20". Cette table fut donnée pour la
premiere fois dans l’Astronomie Caroline de Strut en 1661.

Le principal usage des logarithmes logistiques , consiste à cal-
culer plus promptement le quatrieme terme d’une proportion,
ou à trouver la partie proportionnelle en minutes -et.secondes ,
lorsque le premier terme est 60 minutes, ce qui arrive conti
nuellement dans l'Astronomie. — |

On n’a point de soustraction à faire puisque le logarithme de
60' est o dans cette table.

I. Trouver le logarithme logistique d'un nombre composi
de minutes & de secondes, & compris dans Les limites de
la table,

Au haut ou au bas de la table cherchez les minutes, et dan:
la même colonne, vis-à-vis les secondes marquées dans la pre
‘miere colonne à gauche, vous trouverez le logarithme logistique.

Nota. Si les heures sont un des termes de la proportion , 1
faut les prendre comme si c’étoient des minutes, et les minute
de temps comme si c'étoient des secondes.

II, Trouver le logarithme logistique d'un nombre qui r
: : surpasse pas 4800.

. Cherchez dans la seconde ligne de la tableen haut, le nombri
immédiatement plus petit que Je nombre donné , et le reste, ot
le complément au nombre donné dans la premiere colonne à
gauche ; ensuite dans la colonne de premier nombre et vis-à-vi:
e complément, vous trouverez le Pgarithme logistique de 1:
somme. Ainsi pour avoir le logarithme de 1531 , on cherchers
dans la colonne de 1500, et, vis-à-vis de 31, on trouvera 3713.

Lorsque les deux premiers termes de la proportion, ou le pre
mier et le troisieme sont des nombres ordinaires, tous deux, ot
l'un des deux plus grands que 4800, on prend leur moitié , leu:
tiers, etc. S'il n’y a qu’un seul des termes donnés qui soit un nom
bre ordinaire plus grand que 4800, on peut en prendre de même
la moitié, oulle tiers, etc. mais il faut multiplier ensuite le qua:
trieme terme par 2 ou 3, etc. si c’est le second ou le troisieme
terme qu'on a partagé par moitié , ou par tiers.

Les logarithmes logistiques dans cette table sont tous positifs,
tant au dessus qu’au Ressqus de 60’ ; maïs la caractéristique de
ceux qui sont au dessus de 60” est — 1 ; la caractéristique de
ceux qui sont au dessous de 60’ jusqu'à 6’ ést o ; et au dessous
de 6 les caractéristiques (1, 2 ou 3) sont marquées dans L:
table.

Au lieu de la caractéristique — 1, on peut écrire 9; mai
après l'addition , il faudra retrancher une dixaine de la somme.

CT COM

PE |

ExcupPzLress.

. 6o! ...... L. Log. 60! ....,. L. Log.
246 12" . . .. 0,1135 :78"27" . . . . 0.883536

:: 8 7..... 0,8688 ::13 53 ..,.. 0,6357
: 615..... 0,9823 :18 9..... o0,5193
4612" ... C.o.8865 78'a7" . . . C. 0,1164
60 0..... 0,0000 :60 0..... 0,0000

:: 615..... 0,9823 ::18 9 ..... 0,5193
:8 7..... 0,8688 :13'53" . 0,6357
60! ..... C. 0,0000 Go! ..... C. 0,0000
: «. 9.8823 :1531. . . . .. 0,3713

::37'28" 0,2045 ::46/12" . 0,1135
12948. . . . .. 0,0868 :1179. . . . . . 0,4848

4721... + C.0,1177 46'12" . . . C. 9.8865
260! 0" .... o,0000 ‘1179. . . . . à 0,4848
112948. . . . . . 0,c868 ::60° 0" .... 0,0000

:37"28" . . .. o0,2045 :1531. .. . .. 0,3713
24 ..... C. 9.6021 24h . ...

246111" .. .. 0,113 176134" . . . . 9.894:

:: 8h 7" .... o0,8688 . ::13h 53! . . . . 0,6357

| 225379" . ... o,5846 :44'17" . . . . 0,1319

46111" ... C.0.8863 7634" . . . C. 0,1059
h

- 24 : 24
:515"37" . . . . o0,5846 ::44'17" . . . . 0,1319
8h 7 ..., o,8688 :13/53" . ... o0,6357

On peut faire usage des logarithmes logistiques dans les cal-
culs trigonométriques, lorsque deux des termes sont des sinus
ou tangentes de petits arcs, parcequ’on prend les sinus pour
les arcs. Mais il est plus naturel et plus commode d'y employer
les sinus même ou Les tangentes de ces petits arcs , sur-tout au

| moyen de nos tables où l'on trouve les sinus et tangentes pour

! chaque seconde des deux premiers degrésen entier, au lieu que

| l'édition Angloise de Gardiner ne contenoit que les sinus pour
chaque seconde , et seulement jusqu'à 1° 12”.

USAGE DES TABLES ÏI,1I1,]IIl.
I. Un nombre étant donné , trouver son Logarithme.

L Cas. Nommons b le nombre donné, et B , son logarithme
cherché. Si l’on trouve b dans l’une de ces trois tables , son
logarithme B sera à sa droite et sur la même ligne.

I Cas. Si best le produit ou le quotient des nombres
qu'on trouve dans ces tables, B sera la somme ou la différence
es logarithmes de ces nombres.

- JE Cas Sib est tel que les six premieres figures significative
qui sont à sa gauche, se trouvent dans la table II, en nommant
le nombre exprimé par les six premieres figures de b; À, le I
garithme de a; r, les figures qui restent de b après en avoi
ôté lés six premieres; d, la différence de deux nombres cons
cutifs de la seconde table. ( si l'on considere pour un instant
comme un entier, alors d=—1); x le complément de r à
ou à l'unité; D', D", D''", la premiere, seconde et troisiem
différences des logarithmes, qui sont dans la ligne de A ; faisar
dé plus f—+D'!!" X (x+1)+ D" on aura les trois fo
mules suivantes.

_- —— ’ «
B—D'Xr+A........ ie

B—(i:xD"+D')X r+A.. à17
peu près.

B=(ixf+ D") x r+A. .. à 20

Exewrze I. Soit lg nombre donné b—0,01010 26227 6351
on demande son logarithme B à fort peu près x 12 figures.
a— 101026 A=—00443 31579 747

rD'=... +9785 618

r = 0.227635:

D'= 42988: 746 ——2-#0,00443 41365 365—
77 ou B=— 8.00443 41365 365

Exempce II. Soit le nombre donné b — 0,01010 2622
63509 626, trouver B son logarithme à 17 figures à peu pré:
a — 101026 ; r — 0,22763 509626 ; x = 0.772365 D
— 42988 174579 ; D" = 425510.

Donc<xD”..............:,.. 16432 45
D'............. 42988 17457 86
+xD"+D'.......... 42988 33890 31

(3x D'ÆED')x r....... 0785 65466 42
A... 00443 31579 74695 33
etB=..—2+#..... 0,00443 41365 40161 75
ouB=..,... . + + +. 8.00443 41365 40161 75

Exemrze. III. Soit le nombre donné b—0;,0101:0 2622
63509 62573 17345, on demande son logarithme B à 20 f
[ques à très pcu-près. à — 101026. r — 0.22763 5096

73193 ; x — 0.772136 490374 ; x + 1 — 1.772365 ; D
1 = 42988 17457 86301 ; D" — 42550 96343 ; D'!! — 84236

. Ce qui donne

+D'!'X(xHi).......... + . 49766

. D".......... nu... 42550 96343
A 42551 46109
+xf.......... + 16432 6275
D'............. 42988 17457 86301

| sxf+D"......... 42988 33890 49058
| (2xÉHD')X r...... 9785 65466 45604
À. ........ 00443 31579 74695 32791

DoncB=——2+0,00443 41365 40161 783

ou B=— . . . 8.00443 41365 40161 Etes
RES
Ff ti}

’

a
| IV. Cas. Silenombre donné b ne se trouve dans aucuns des-

ges précédents ; nommons © l'expression des cinq premieres
figures de b; representons par n le moindre nombre 102 ,
ou quelqu'un de ceux de la table II. Faisons — ou _ = a, a

étant un nombre de deux ou trois chiffres seulement ; nous.
trouverons a dans la table I, avec son logarithme que nous!

nommerons À. Désignons par b’, la fraction } ou le produit

ba, selon que nous aurons fait _ ou — =a; et par a’, les
six premieres figures significatives de b' : en considérant a’,
comme un entier, nous le trouverons dans la table II avec son :
logarithme A’, nommons r, le reste des figures de b'’'; x:
le complément de r à l'unité; D’, D", D''", les premiere,
seconde et troisieme différences des logarithmes, qui se trouvent ;
sur la même ligne que À ; faisons enfn f—+D''" X (x+1)
+ D'’. Nous aurons les trois formules suivantes.

B=D'X r+A'+HA...—B'ÆA...2à12;,fgures à
B=(+xD"+D')x r+A'+HA=B'ÆHA. à 17Vtrès peu |
B=(+xf+D') x r+A'ÆAZ=B'Æ+ÆA.. à 20 \près. |

Le signe + a lieu si l’on a fait b'’ => » et le signe —si l’on |

la b'—=b2.

Exewpze., Soit donné b = 3,14159 26535 89793 23846:

126434 ; on demande B jusqu'à 20 figures. Ici © — 31415.
| Soit a = © — 311. |

Donc b'—?—o,oio10 15840 95144 o2970 57; a'|

| — 101015 5 T — 0,84095 14402 97057 ; x — 0.1590

= et ee

L

Î
Î
|
\
|
|

|
|

904;
85597 ; x+1—=1,15905 ; D' — 42992 85574 06337 ; D" |
= 42560 23099; D'!''—84263.

Par conséquent |

+RD' XXI ss . 82555 |
Moses ssssssess . . 42560 23099 À
CE . . . 42560 55654 |
xt ..... ss 3384 59761 |
D'........... . . + 42992 85574 06337 |
+xf+D'...:....... 42992 88958 66098
GŒxf+D')X r....... 36154 93242 03919
Ans ss. 00438 58681 74054 30961
A... «+ + + 49276 03890 26837 50555

et B . . : ., . + . 0,49714 98726 94133 85435 |

Ou bien soit a — _ = 3,216 = 0,536 X6. |
L'on aura b'=—ba — 10,r0336 19739 44775 0549 ; a°|

Η 101033 ; r — 0,61973 94477 50549; x == 0.30%

055225 ; x +1 == 1.38026 ; D’ = 42985 19618 80760 ;]
D" = 42545 06747; D''! = 84219. |

{
4

ro * EU tt

Ce qui donne

+D'!UMX (x+:1) .... sm... 38748
D" ........ +... + + + + + 42545 06747
Loose... .. ss 42545 45495
CE 8089 17910
D'....:..... . . «+ 42985 19618 80760
+xf+D'......... 42985 27707 98670
(+xf+D')X r..... 26639 67187 88811
A! ....... . . 00446 32488 08359 61854
B'...... r + + 1,00446 59127 70547 50665
7 Ass... _0,50731 60400 76413 65230
DoncB=—B'— A. . .. 0,49714 98726 94133 85435

II. Un logarithme étant donné , trouver le nombre
correspondant.

I. Cas. Si l’on trouvele logarithme B dans l’une de ces tro:
tables, on aura le nombre correspondant b dans la mêm
| ligne à côté.

IL. Cas. Si les cinq premieres figures (sans compter la €:
ractéristique) d’un logarithme donné B', sont entre 00432 €
00509 ; il faut les prendre comme si c’étoit un nombre entier
et prendre A’ et C’ pour les logarithmes de la table II, imme

| diatement plus petits et plus grands que B’ ; a! et c' pou

leurs nombres. Soient D’ (—C' — A’) et D" les premier

et seconde différences dans la même ligne que A’; R— É — À!
D'-R R

d'=(c'—a")=1;X=-r ; = prpixpr) CE
donne b'=—a' + r, vrai à très peu près à 17 figures.
EXEMPLE.

Soit le logarithme donné B'=— 5,00446 59127 70547 50
À] On dem. son nomb. b'. A' = 5.00446 32488 03359 61.

fa!’ — 101033 R=0o,26639 67187 88;

r =... 0,61973 944776 D'=0,42985 19618 80

b' = 101033,61973 944776 D’'—R—o,16345 52430 92:
z= 0,38026

D"=0,00000 42545

+XD"—0,00000 08089 :

D'++XD"= 0,42985 27707 9
Mais lorsqu'un autre logarithme B est donné , il faut sous
traire .004321 des six premieres figures de B ; nommez R'’ I
Îlreste, et soit À le logarithme dans la table I, immédiatemen
L plus petit que R’', ou immédiatement plus grand que le complé
T ment deR/,et a son nombre : donc B —B—A, ou B
M = B+ A, sera dans les limites de la table II , et l'on trouver:
[|b” comme dans l'exemple précédent ; siB’—B—A, on aur.

b= ab’; et siB'=—B+A, on aura bb.
III Cas. Si A' exprime les cinq premieres figures (san:

y comprendre la caractéristique } d’un logarithme donné B’, €
qu'on les trouve dans ba table III ; soit a’ son-nombre ; et pre

nant À" pour un nombre entier, soit R le reste des figures de
B', D’, la différence des logarithmes , et X le complément de
R à D’, ou à l'unité, d’, d', d''", les premiere, seconde et
troisieme différences des nombres , qu'on trouve dans la ligne
de a’; f—d" —-<d''"X (X+1). Le nombre b', dont le
logarithme est B', sera exprimé par les formules suivantes.

b'= d'XR+a!........ à 12
b'—(d'—=:Xd")XR—+a'..à17
b'—(d' —1Xf)XR—+Ha'. . à20

Exemrzs. Le logarithme donné B' —0.00006 93311 37711
69929 ; on demande son nombre b' à 20 figures. Ici A'
—= 00006 ; R — 093311 37711 69929; X —0.06688 622883;
X + 3 — 1.066886 ; d' — 23029 29742 21293 ; d"
= 53027 52746 ; d'’'— 1,22100.

Ce qui donne

Fd'''KX(XHI1)—....... » + 43422 .
d"........ ++... + + 53027 52746
F........... ns. 53027 09324
FXf.....,.. ...... 1773 39115
d'..... sos. 23029 29742 21293
d'—+Xf........ 23029 27968 82178

(d'—1:XPXR.... 21488 93801 72000
a! ........ 10001 38164 64943 57474

Donc b!......,.. 1,00015 96535 87452 9474

IV. Cas. Si le logarithme B ne se trouve dans aucun des
cas précédents ; prenez À pour le logarithme, dans la table I,
immédiatement au dessous de B, ou immédiatement au dessus
du complément de B, et a le nombre qui correspond à À ;
soit B'—B—A, ou B' —B+A; et A’ les cinq premieres
figures de B’ qu’on trouvera dans la table I[1, avec le nombre
correspondant a’, Prenez A' pour un entier, et soit R, les
figures qui restent de B' ; D’, la différence des logarithmes , X
le complément de R à D’ ou à unité ; d’, d", d''", les.
premiere , Seconde et troisieme différences des nombres dans
a même ligne que a’ ; f—d"—+d''""X (X+1). Le nom-
bre b’ dont le logarithme est B', sera exprimé par les for.
mules suivantes.

b=(d'XR-Ha') Xa..... .æab'. pour 11 }figures à.
b= ((d'—+Xd")XR+a') Xa—ab'. pour 16»très peu.
b'=((d'—+Xf) XR+a') Xa—ab'. pour 19)près.
ExemPze Soit B—6,46372 61172 07184 15204
Ondem. son nomb. b.
: Soit À = :,46239 79978 98956 08733 a = 29
A'=00132.B'—B—A — 5,00132 8:193 08228 06471

— 0.8r193 08228 06471 ; X = 0.r8806 01772; X + 1
= 1.18807 ; d’ —23096 20835 34589 ; d'= 53e81 59733;
d'''—1:1,22457.
EN

Ainsi+d'!" XXI)... ss... 484
d'......... . ...… + 53181 59733
F............ .... 53181 11237
+XÉ........ ..... 5000 86402
d’'............. 23096 20835 34589
d'—1Xf..... .... 23096 15834 48187
(d'—+XFP) XR..... 18752 48284 8577:
a". .... «1. . 10030 44036 01963 96855
b'......... 10030 62788 50248 82626
b=ab" .. 29 08882,08665 72159 6154

Ou bien , étant donné comme ci-devant ,
B=6,46372 6117207184 15204 trouverb
Soit A=2,53655 84425 71530 11205 a = 344

A'=00028.B'—B-+A=—9,00028 45597 78714 26409

R = 0,45597 78714 26409 ; X=0,54402 21286; X +:

= 1,54402; d' = 23040 96629 91521; d"= 53054 39634

d''/—=—1,22163.

Donc+d''"X(X+i1)..,.......: . 62674
d"........... «+ « + 53054 39634
F............ «. » « «+ 53053 76760
NS 2h45 9669 12e
d'—+Xf......... 23040 82198 70342
(d'—+XxP XR:.... 10506 10496 55627
ds... .... 10006 44931 70511 67281
b'. ,........ 10006 55437 81008 22908
b=" + + 29 08882,08665 72159 616

DES LOGARITHMES HYPERBOLIQUES.

Les logarithmes hyperboliques sont ainsi appellés , parcequ'il

4 quarrent l'hyperbole. On les emploie dans lanalyse de l'infini

La table précédente comprend de suite ceux des nombres 1.00

Hi.oi, 1.02, &c. jusqu'à 10, 60. On trouvera ceux des autre

nombres qui n’excedent pas sept chiffres, par les deux regles sui
vantes de Simpson.
I. Lorsque le nombre donné est entre 1 et 10 : par exemple

1 3.45678, prenez dans la table le nombre prochainement moin

dre 3,45; joignez-lui la moitié 339 du reste 678 , vou
aurez 345339 pour diviseur. Divisez le reste 0.00678 par c
diviseur , le quotientest . . . . . . . 0.001963.
ajoutez le logarithme de 3.45 . . . . . . 31.238374:

logarithme hyperbolique de 3,45678 . . . . 1.240337:

1 IL Lorsque le nombre donné excede 10 : æar exemple,
1345.678, cherchez, par la regle précédente, le logarithme |
Éde 3,45678.. : . . . . . . . . . . 1.2403375 |
ajoutez Le legarithme de 100 . . . . . . . 4.6051702

| logarithme hyperbolique de 345,678 . . . . 5.8455077

] Si le nombre donné étoit 34.5678, ou 3456.78, &c. on

| ajouteroit au logarithme de 3.45678 celui de 10, de 1000, &c.

l et ainsi des autres. Bm &B

| Dans le systême des logarithmes vulgaires ou gs , le!

| logarithme de 10 est 1, 00000 , ©t dans les logarithéres hy- |

à perboliques celui de 10 est 2, 30258509 2994045684017901 4 ;

1 c'est là le rapport constant de ces deux sortes de logarithmes

À pour tout autre nombre. Ainsi pour convertir les logarithmes |

] vulgaires en hyperboliques , il n’y a qu’à multiplier les premiers !

{ par 2, 30258509, &c. et réciproquement pour transformer les

| ogarithmes hyperboliques en ceux de Briges » On divisera les
premiers par le même nombre constant 2, 30258509, &c. ou,
ce qui revient au même, on les multipliera par la fraction dé- |
cimale 0, 43429448190325182765: 1289

FIN,

APPROBATION.

J *A1 fu & examiné , par ordre de Monfeigneur le Garde des Sceaux un
Ouvrageinritulé: les Tables portatives des Logarishmes,pat GARDINER;
& nonfeulement je n’y ai rien trouvé qui doive en empêcher l’impres-
fion , mais il m’a paru que le Public aura beaucoup d’obligation à l'Edi-
teur de ces tables, vu les foins qu’il a pris pour leur donner une correc-
tion que n’ont point toures les éditions antérieures , & vu la difficulté
de fe les procurer. |

À Verfailles , ce 15 Décembre 3781. MONTUCLA , Cenfeur Royal.

PRIVILÉGE DU ROI,

Lours + par la Grace de Dicu , Roi de France & de Navarre: À nos
aimés & féaux Confeillers, les Gens tenants nos Cours de Parlement,
Maîtres des Requêres ordinaires de notre Hôtel, Grand Çonfeil, Pré-
vôt de Paiis, Baillis, Sénéchaux, leurs Lieutenants Civils, & autres
nos Jufticiers qu’il appartiendra, SALUT. Notre amé ALEXANDAG
JomserT, Libraire, à Paris, Nous a fait expofer qu’il defireroit faire
imprimer & donner au Public un Ouvrage intitulé : Les Tables porta-
tives des Logarithmes , par GARDINER , s’il nous plaifoit lui accorder
nos Lettres de Privilége pour ce nécçellaires : À CES CAUSES , voulant
favorablement traiter l’Expofant, Nous lui ayops permis & permettons
par ces Préfentes, de faire imprimer ledit Ouvrage autant de fois que
bon lui femblera, & dele vendre, faire vendre &c débiter par tout
notre Royaume , pendant l’efpace dedix années conféçcutives, à comp-
ter du jour de la date des Préfentes. Faifons défenfes à tous Impri-
meurs , Libraires & autres perfonnes , de quelque qualité & condi-
tion qu'elles foient , d’en introduire d'imprefion étrangere dans au-
cun lieu ce notre obéifflance i comme aufli d’imprimer ou faire impri-
mer, vendre, faire vendre, débier ni contrefaire ledit Ouvrage , fous
uclque prétexte que- ce puifle être, fans la permiflion exprefle &c par
écrit dudit Expofant, fes hoirs ou ayant caufe, à peine de faifie & de
confifcation des Exemplaires çontrefaits , de fix mille livres d'amende,
qui ne pourra êrre modérée , pour la premiere fois, de pareille amende
& de déchéance d'état en cas de récidive » & de tous dépens, dommages
& intérêts, conformément à l’Arrêt du Confeil du 30 Août 1777 , côn-
cernant les contrefaçons. A la charge que ces Préfentes feront enrégif-
trées cout au long fur le Regiftre de la Communauté des Imprimeurs
& Libraires de Paris, dans trois mois de la date d’icelles : que l'im-
preflion dudit Ouvrage fera faite dans notre Royaume & non ailleurs,
en beau papier & beaux caraéteres , conformément aux Réglements de
la Librairie, à peine de déchéance du préfent Privilege; qu'avant de
lexpofer en vente, le Manufcri qui aura fervi de copic à l'impreffion
dudir Ouyrage , fera remis dang le même état où l’Approbation y
aura été donnée, ès mains de notre très cher & f£al Chevalier , Garde
des Sccaux de France, le fieur Hus Da Minomexiz | Commandeur
de nos Qrdres ; qu'il en fera enfuite remis deux exemplaires dans notre
Bibliotheque publique, un dans celle de natre Château du Louvre,
un dans celle de notre très cher & féal Chevalier, Chancelier de
Fcance, le fienr De Maurrou, & un dans celle dudit fieur Hue
DE MiROMENIL ; le tout à peine de nullité des préfenres. Du contenu
defquelles vous mandons & enjaignons de faire jouir ledit Expofant
& fes ayant çaufe , fans fouffrir qu'il leur foit fair aucun trouble ou
empêchement. Voulons que la Copie des préfentes, qui fera imprimée
tout au long au commencement ou à la fin dudit Quvrage, foit renue
pour duyement fignifiée , & qu'aux copies collationnées par l’un de nos
amés & Féaux Confeillers Segrécaires, foi foit ajoutée cpmme à l'origi-
nal. Commandons au premier notre Huifier ou Sergent fur ce requis,

te gere Guard eemmpntm tnt uer-mvremdee-ratuntrem @u-qmmntone nes an mmpennigenem em Étremantenetime an tns net
û

D'OR Re I AR ee ne ee CS Re de Re ee ee ne ee à

de faire pour l'exécution d’icelles, tous A&tes requis & néceflaires , |
fans demander autre permifion, -& nonobfiant ciameur de Haro,
Charte Normande, & Lettre à ce contraire: Car tel eft Notre plaifir. |
Donxé à Paris, le vingt-fixieme jour du mois de Juin , l’an de grace
{ mil fept cenc quatre-vingr-deux , & de notre Kegne, ie neuvieme.

Par le Roi en fon Confcil. Signé, LE BEGUE.

}
|

Regifiré [ur le Regifre X XI de la Chambre Royale €* Syndicale
| des AE œ Pi lee de Paris, N° 26793; fl 719 , conformé.
dent aux difpofirions énoncées dans Je préfent Privilege ; & à le

| charge de reme:tre à ladite Chambre les huit exemplaires prefcrits par
t'arsicte CV IL L. du Réglement de 1723. A Paris ce 1 Juiller 17832.
Î

Signé, LE CLERC, Syndic.

A. te

PROPRES
A FACILITER LA MÉTHODE
DE
M, LE CHEVALIER DE BORDA,

POUR PÉTERMINER LES LONGITUDES EN MER.

* Ces tables sont dispersées dans divers volumes de 13 Con-
noissance des temps : il étoit conséquemment incommode de
les y chercher au besoin. Elles sont ici d'autant mieux à Jeur
place, qu'elles concourent avec les tables de GAnDINeR à rendre
très simple et très expéditive la méthode de M. le Chevalier pr
Bora, que nous avons exposée dans le discours qui se trouve
au commencement de ce volume.

G& |

=
#

ke

—

TABLES pour réduire les parties de l'équateur en temps ,
et le temps en parties de l'équateur.
ER

deg.| b. m. heures. degrés.
EXEMPLE.

1. ©. 4 1. 35. |
2- oc. 8 3 30: Réduire en temps |
3. 9. 13 ° 4: les parties de l’équa-
4 o. 16 4. 6o. teur 59d 59° 43 d
5. o. 20 5. 75. 45111.
6. ©. 24 6. 90.
7 o. 28 ré 105. 5od don.3h20?
8 o. 32 . 120. gd don. 0h36’
9° o. 56 9- 135. 50!’ don. 3'20"
10. o. 4 1e. 150. 9° don. o'36"
15. 1. © 11. 165. 40* don.2"40'"° |
79 1 2 12 180. 3" don.o",2'"” |
30. 4 0 216. 240. 40" l'don.2'‘’ 4oïvI
40. 2. 40 20. 300. 5!''don.o'‘’201v|
50, 3. 20
nn Alors
e . f (7 CA 1
vo. 4 4 minutes. [degr. minut. 594 9 43 4 /
° ° 2 | —_——— onnen
: 5. 20 secondesiIminut. sec. 3u59'58 M56l!ttoiv
90: 6. 0 tierces. |sec. tierces.
100. 6. 4 RÉ .
125. 8. 2 1. oO. 15
2. o. 30
150 10. O 3 0. 45
179. 11, 40 ——_—— lee |
200. 13. 2 4 1 o
1. 15 ExEMPLE,
225. 25. o 6. 1. 30 .
250. 16. 40 ,
275. 18. 30 7. l 45 Réduire en par-
: 8. 2. 2 ties de l'équateur le
OC. 20. 0O 9° e A 1 h ! [LA
325. | 21. 40 temps 3h 59° 58
350. 23, 20 10. 2 30 55 .
11. 2. 45
mgraRepEsretEnt
| + 3 oo 3h don.45d o’
min. |min. sec. 13. 3 15 55! don.13445'
14. 3, 30 4!" don. 14 o’
.sec. Isec. tier.
—— 15. 3. 45 55“ don.13!45"
Uerc. fier. pri. 16 4. ° 3" don. 0! 45 (1)
1. | © 4 17. 4. 15 55!!! don. 13"45""|
3 | o 312 Alors |
19° 4 45 3h 59° 58" 55!!!
4 | 0 16 De. 2 2 donnent
5 © 20 25. 6. 15 S) Ë nr À
6. | o. 24 594 59! 43" 45''".I
30. Ze 30 A °
3 0. 28 35. 8 45
° 0: + 40 10. 9 : pomme te
9 9e Nota. La place ne nous
45 11. 15 Ep
oo 0 % [or 30 | 2, pemi dou
15. Le .° 55. 13. 45 exemples ; on pourra ai-
20: le 20 éo. 5 sément suppléer à ce petit
30. | 2 o . " © défqut, la plume à Ja main,
Ô. 40
. 20

TABLE des corrections pour la déviation du plan dans leque
on observe le contact.

Angles Quantité de la déviation.
obser- RS à —_—_—_— mm,
r || vés. 10! 20! 30" 40! 5o' 60!.
degrés. | m. s. | m.s | m.s m. s. | m.s m. $
© 0 ol o ol © o o o o o 0 oo
10 0 oo! o 1 oO 1 o 3 O 4 o é
20 O0 oo! o 1 © 3 o 5 oO 7 Oo 11
30 Oo 1 oO 2 oO 4 O0 7 O 12 © 17
40 Oo 1 o 3 o 6 O 10 oO 16 Oo 25
50 o -1| 0 31 o 8| o 13 oO 20 o 29
60 o 3 0 4 0 9 o 16 o 25 o 36
4° oO : o 9 oO 11 o 20 o 31 O 44
o 2 o 6! o 13 oO 23 oO 37 Oo 55
go 0 21 © 7] o 16| o 18 O 44 1 3
100 0 2}! o 8 oO 19 o 33 o 52 1 15
110 oO 3 © 10 oO 22 oO 40 1 2 1 3c
120 o 3 o 12 O 27 o 48 1 16 1 4
130 oO 41! o 15 o 34 1 oO 1 34 2 1
140 o 51! o 19] o 43 1 17 2 o 2 93
° Lo

150 o 6! o 26! o 59 1 44 2 43 3 54
160 o 10 | © 40 1 29 2 58 5 5%
170 oO 20! 2 20 | 2 59 5 18 8 216 | 11 51
180 20 o!4 o 1° oo! 1° 20/1 1° 4o!! 2° o

RÉrRACTIONS pour Quito dans la zone torride, 1479 toise
au-dessus du niveau de la mer, avec l’augmentation pour le
lieux moins élevés de 5oo toises.

Haut. [Réfrac-|dif. po.| Haut. [Réfrac-Idif. po.{ Haut. [Réfrac

Jlappar. | tion |5oo t. |appar. | tion |500 t. |appar. | tion.

degrés.| m. s. | m. s. | deg. | m. s. | m. s. | d. m.}| sec.

o. 22. 50 | 1. 42 19. 1. 45 lo. 1 46. o 34..

1. 16. 48 | 1. 34 20. 1. $ 1 48. o 32.

2. 12, 40 | 1. 20 21. 1. 34 | 0. 13 | 50. o 30.

3. 9. 53 |1. 7 22. 1. 29 | o. 135 | 52. 11 28.

4. 8. 11 | 0. .56 23. 1. 25 | ©. 212 | 54. 14 26.

5. .6. 52 | 0. 48 24. 1. 21 | © 12 | 56. 23 24

6. 5. 50 | o. 41 2 1.17 | o. 11 | 58. 38 22

. 4. 59 | o. 36 26. 1. 14 | ©. 11 | 61. 1 20

ê. 4" 3 o.' 52 27. 1. 11 | ©. 10 | 63. 30 18

9- . 54 | © 29 28. 1 810 9166. 5 16

10. 3. 28 | o. 26 29. 1. 5|o. 2 68. 48 14

11. 3. 8 | o. 24 30. 1. 3 |‘o. 71. 356 12,

12. 2. 50 | o. 22 32. | o. 58 | 0. 8 | 74. 31 10.

13. 2. 37 | 0 20 34. 0. 54 | ©. 7 | 77. 30 8

14. 2. 24 | o. 1 36. ‘|’.0. 50 | o 6 | 80. 33 6.

19. 2. 14 | ©. 1 38. 0. 46 | ©. 6 | 85. 40 4.

16. 2. 6 10. 17 40. 1.0. 43 | o 6 | 86. 49" 2.

17. : | 1. 58 | Oo. 16 | "42. | ©. 40 | o. 5190 o | o.
18. 2. 51 ‘ ©. 15 44. 0. 37 0. 5 l

3 « G # 13]

TABLE des réfractions pour les Zonés témpérées.'
É +

Haut.

prroo

Janum 22 wWUEb

po mas

[e) 80808 08 080 80808 08 080

ts
9

10. 30

22. 30

p
es

BEPES SRRBB EEE
80808 08080 8080

F_.

Suivant Messieurs Suivant Messieurs
Haut.
EE RS
Cassini | Bradley |la Caille Cassini | Bradley [la Caille
m. s. [m. s.|m. s.| degr. | m.s.| m.s. | m.s.
32. 20 | 33. o | 33. 30 30 1. & 1. 38 1. 54
30. 8 | 28. 22 3 33 2 1. " 1. 35 1. 50
27. 56 | 24. . 2 1. 34 1, 31 1. 46
4. 30 | 21. 1 25. 23 33 1. 30 | 1. 28 1. 42
21, 4 | 18. 35 | 21. 50 34 1. 2? 1. 24 1. 38
18. 35 | 16. 24 | 19. 15 35 1. 23 | 1. 21 1. 35
16. 6 | 14. 36 | 16. 41 34 1. 20 | 1. 18 1. 31 :
14. 27 | 15. 6 | 14. 58 22 1. 18 | 1.16 | 1. 28
12. 48 | 11. 51 | 13. 16 1.19 | 1. 13 1. 25
11. 40 | 10. 48 | 12. : 39 1. 12 | 3.10 | 21. 22
10. 32 | ©. 54 10. 46 40 1.10) 1. 8 1. 19
2: & 2 g 44 4i 1. 7 1. 5 1. 16
. 55 . 28 . 42 42 v 5 | 1. 3 | 2. r4
8. 20 | 7. 51 | 8. 11 43 « 3) 1 2} 2.721
7. 44 | 7.20 | 7. 41 44 1. 1 O0. 59 1. 9
.15 | 6. 53 | 7. 16 45 o. 0. 57 | 2. 6
ar Gao! 6.511 46 | o. #8 0. 55 | 1. 4
6. 5 6. 6. 30 4 o. 56 | o. 53 1, 2
6 4 | 5.48 | 6. 10 4 o. 54 | o. 51 1. Oo
5. @6 | 5.31 | 5.53 | * 49 0. 52 | 0.49 | o. 58
5. 28 | 5.15 | 5. 37 50 0. 50 | o. 48 | o. 56
5. 13 | 5. o | 5. 51 0. 49 | o. 46 | o. 54
4. 58 | 4. 47 | 5. 9 52 0. 47 | 0. 44 | o. 52
4. 45 | 4. #4 | + 57 | 53 0. 45 | o. 43 | o. 50
4. 32 | 4. 4 45 54 0. 43 | o. 41 | o, 48
4. 22 | 4.13 | 4. 34 55 0. 41 | o. 40 | o. 47
4. 12 4- 3 | 4. 24 56 o. 4 o 48 ©. 4
4 . 5 d. 14 5 0. 38 | o. 37 | o. 43
. 5 3. 4 4 5 5 o. 37 | o. 36 | o. 41
8. 4 3. 88 . 57 59 0. 35 | o. 34 | o. 40
3. 38 | 3. 30 | 3. 49 | o. 3 o. 33 | o. 38
5, 31 | 3. 24 | 3. a 61 o. 3 0. 32 | o. 37
3, 24 | 5.17 | 3. 62 0. 31 | o. 30 | o. 35
3. 17 | 3.10 | 3.2 63 o. 30 | o. 2 o. 34
3. 11 | 3 4 | 3.2 64 ©. 28 | o. 2 o. 52
3. 5! 2. 59 | 3. 18 65 0. 27 | 0. 26 | o. 31
3. o 1 2. 54 | 3. 12 66 0. 26 | ©. 25 | o. 30
2. 54 | 2. 49 | 3. 7 “ru 0. 25 | o. 24 o. 28
2. 49 | 2. 44 | 3. 0. 34 | o. o. 2
2. 44 2. 39 2. 59 69 ©. 22 0. 22 | oc. 2
2. 3 2. 35 | 2. 55 70 ©. 21 Oo. 21 0,
2. 3 2. 31 | 2. 51 71 0. 20 | o. 1 o. a:
2. 31 2. 27 | 2.4 72 Oo. 1 O. 1 0. 22
2. 28 2. 24 2. 4 73 ©. 1 ©. 17 | o. 20
2. 25 2. 20 2. 40 74 ©. 17 ©. 16 0. 19
2. 21 2. 17 | 2. 36 75 ©. 16 | ©. 15 | o. 18
2. 18 | 2.14 | 2. 33 76 0. 14 | 0. 14 | o. :
2. 15 2. 10 2. 30 7 ©. 13 ©. 13 | o. 1
2.12 | 2 7 | 2. 27 7 0. 12 | ©. 12 | o. 14
2 9 2. 5 2, 79 ©. 11 ©. 11 | o. 13
2. s 2. 5 2. 20 Bo ©. 10 | o. 10 { o. 12
2. 1. 2. 17 1 ©. o. o.
2 Oo 1. 56 2. 15 82 ©. 8 ©. ê ©. n
1. 57 1. 53 2. 12 83 © 7 0. 7 | o. 8
1. 55 1. 51 2 9 84 œ 61 0. 6| o. 7
1. 53 1. 49.| 2. 6 85 0. 51 oo. 5]! 0. 6
1. 51 1. 47 2. 4 86 °. 4 o. 0.
1. 49 1. 45 2. 1 ë o. o. 4 co. 3
1. 46 | 1. 43 | 1. 5% 0. 2| o 2/{| 0. 2
1. 44 | 3. 41 1. 56 89 ©. 1 | © 31 | o. 1
go 0. 01 0 ol oc. o

Li

TABLE des Inclinaisons de l'horizon visuel avec l'horizon vr
a

e | . L l ÉLÉv. ° Q .
Inclinaison Inclinaisc
. au-dess.
de de de
l'horizon. l'horizo:

. m.
o. 6 Ce)
_ 1,0 1
1. 6 l .
. 2. 0 1
2. 6 1
3. o 1. .
_ 4. 0 2.
5. o 2
6. o 2
7. © 2 .
._.8& 0 2
9: Q
oO. o .

go maGUIN NAIIII ANNMN QUEUE EN

3

3
11. O
12.,0 3 9 5
13. Le] 3. 8 58
14. (e) 3. 8 6o
15. Oo 3. 8 62 ,
16. o 4. 8 64
17. O d. 7 66 :
18. o 4. 7 68
19. ° 4. ue 70
1. o h 42 | 7 74 8.

7

22. © 4. 49 é 76 8.
23. o 4. 55 9 9.
24. © 5. 2 Z & 9.
25, 0 5. 8 6 85 9.
26. o 5, 14 6 88 9.
27. O0 5. 20 6 91 9.
28. o 5. 26 94 9.

De la Table des Inclinaisons de l'horizon visuel av
| l'horizon vrai.

Un observateur découvre d'autant plus détendue au ciel
u'il est lui-même plus élevé au-dessus du niveau des eaux ; de-
il suit qu’à la mer , et avec les instruments connus des navig
teurs, la hauteur d’un astre comptée, comme il se pratique o
dinairement, du niveau de la mer , est plus grande que celle q
seroit rapportée à l'horizon vrai : or c’est pour faciliter cet
réduction que M. Jeaurat a calculé la table précédente , en su]
posant que le logarithme du rayon de la terre est 7,35187. Voi
a formule d’après laquelle il la construite.

Soit r le rayon de la terre; e l'élévation de l'observateur a
dessus du niveau de la mer ; i l’inclinaison de l'horizon visu
avec l'horizon vrai.

n . T
La solution demandée est }°% 55e?

. e = rtang. i tang. +i.

Ainsi la table précédente apprend qu’à 28 pieds au-dessus «
niveau de la mer, l'horizon visuel est inclinéu-dessous de l'h
rizon vrai de 5! 26", et que par conséquent la hauteur d'
àstre, comptée du niveau de la mer, est plus grande qu’il ne fa
de cette quantité 5’ 26". Alors le reste est ka hauteur apparen
comptée , comme il convient , de l'horizon vrai.

G g ü}

{PARALLAXE DU SOLEIL à divers degrés de hauteur, et en
différents temps del’année, en supposant la moyenne de 8" ,5.

Haut. l* Janv.! 1 Fév. 11 Marsta Avoilii Mai li Juin |i1Jjuillet
° Déc. | Nov. |Octob. | Sept. | Août.

mms À mms | met À mm À manne À mme

o 8,65 8,62 8,5 8,50 8,43 8,58 8,35
4 8,62 8,60 8,5 8,48 Bqu 8,36 8,33
8,56 8,54 »49 8,42 8,35 8,50 8,27
12 46 8, 8,39 8, 8,24 8,21 20
16 8,50 ; 524 8,17 8,09 06 8,05
20 8,12 8,16 8,05 7:99 7:93 7,88 7:87
24 790 7, 7:83 7:77 7:71 7 7
7:77 737 770 764 7 7593 7
32 7 729 7 721 71 7531 7:10
36 6,97 6,9% 6, 6,83 6,82 6,78 77
40 6,60 6,59 6,56 6,51 6,46 6,42 6,41
4 6,20 6,19 6,16 6,11 , 6,02 6,0:
# 5,78 5:77 5,74 5, 5,64 5,60 :

2 5,28 26 5,24 5, 5,20 5,17 5,16
56 480 478 | 4:79 475 472 | 4 #68
58 4,53 4:57 45 4,50 d4 444 443
Go 4,30 42% pes 425 15 gi 420
62 4,0 4° on ; 197 95 4
64 3,7 577 76 3,7 3,71 ; 3,
66 3,51 3,50 3,49 3, 3,44 42 3,41
68 3,24 3,23 3,21 3,18 3,16 3,1 3,13
70 2; 295 ‘| 2,92 2,91 2 2, 2
72 2,68 2,6 2,64 2,63 2,61 2,60 2,60
7 2,39 2,3 2,35 2,3 2,32 2,31 2,3:
7 2,11 2,10 2,07 2, 2,04 2,03 2,03

8 1,80 1,79 1,78 1 1,79 1,74 1,7
& 1,50 à, 1,49 1,48 1,46 1,49 1,4
Ba 1,20 1,20 1,19 1,18 1,17 1,16 1,16
84 0,90 0:90 0,90 0,89 ©, ©, o,B7

©, ©, 0,60 © ©, 0,58 o,
88 ©, 0,30 0,30 c, 0,29 0,29 0,28
90 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 | 0,00 0,00

| Des tables de la parallaxe du soleil et de la lune , à divers
degrés de hauteur sur l'horizon.

La parallaxe de hauteur se déduit de la parallaxe horizontale,
et son effet se fait verticalement, ainsi que celui de la réfraction,
mais en sens contraire ; car la parallaxe d'un astre le fait pa-
roître plus abaissé qu’il ne l’est efectivement , tandis qu'au con-
traire la réfraction le fait paroître plus élevé. Ces deux effets
cessent tous deux quand l’astre est au zénith , et ils sont les plus
grands possible lorsqu'il est à l'horizon ; et comme l'effet
de la parallaxe de la lune est plus grand que celui de la réfrac-

d'après ce précepie que M. Champia de Fonbru , ancien ingé-
nieur de Pondichéry, a construit la table suivante.

PS ES tire À mme sente

Tasse de la parallaxe de la lune, à divers degrés de hauteu
sur l'horizon.

!
PARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNE.

de nn NN nn
lalune.|54 0"154'20"154"40"155" 0" 155" 20155" 40"156! 00

mue | memes

deg. | m. s. | m. s. | m. s. | m. s. | m. s.} m. s. | m. s.

o 54. o | 54. 20 | 54. 40 | 55. o | 55. 20 | 55. 40 | 56. o
3 53. 56 | 54. 15 | 54. 36 | 54. 55 | 55. 15 | 55. 35 | 55, 55
6 53. 42 | 54. 2 | 54. 22 | 54. 42 | 55, 2 | 55. 22 | 55. 41
9 !.53. 20 | 55. 40 4 o | 54. 19 | 54. 39 | 54. 59 | 55. 19

53. 28 | 535. 50 | 54. 7 | 54. 27 | 54. 46
15 52. 52. 29 | 52. 48 | 53. 8 | 53. 27 | 53. 54 6
18 51. 2 51. 40 | 52. O | 52. 18 | 52. 37 | 52. # 53, 16
21 | $0. 25 | 50. 43 | 51. à | 51. a1 | 51. 30 | 51. 56

29 14 | 47. 31 | 47. 49 | 48. 48. 23 | 48. 41 | 48. 59
30 46. 46 | 47. 3 | 47. 21 | 47. 58 | 47. 54 . 13 3c
32 46. 17 | 46. 34 | 46. 52 | 47. 9: 47. 25 | 47. 43 | 48. c
32 | 45. 47 | 46 4 46. 22 | 46. 3% 46. 55 | 47. 12 | 47. 2c
33 45. 17 | 45. 35 | 45. 51 | 46. 6. 24 |! 46. 41 | 46

3 44 46 | 45. 2 + 19 . 36 | 45. 52 | 46. y | 46. 26
3 44. 14 | 44. 30 | 44. 47 | 45. 3 19 | 45. 36 | 45. 52

. 32. 54 33. 6 | 33. 1 33. 30 | 33. 42

5 31. 45 | 31. 32. 32. 20 | 32. 31 | 32. 43 | 32. 55
S 30. 59 31. 31. 21 32. 33 3a. 48 32. 56 e 7
56 30. 12 | 30. 30. 3 30. 45 | 30. 56 | 31. 8 | 31 16
3 29. 25 22 29. 4 29e 57 | 30. 8 | 30. 19 | 50. 3c
28. 37 28. 58 28° 9 | 29: 19 2 30 2 41

59 | 27: 49 | 27 28. 9 | 28. 20 | 28. 50 | 28. 40 51
60 27. O | 27. 27. 20 | 27. 30 | 27. 40 | 27 28. c
61 26. 11 | 26. 26. 30 | 26. 40 | 26. 50 | 26. 5 27. SG
62 25. 22 | 25. 30 | 25. 40 | 25. 49 | 25. 59 | 26 26. 17
63 24. 31 24 40 | 24. 4 24. 58 | 25. 7 | 25. 16 | 25. 25
64 23. 40 9 | 23. 58 | 24 15 | 24. 24 24- 33
65 22. 4) | 22. 57 | 23. 6 | 23. 15 | 25. 23 | 25. 31 . 40
66 21. 58 | 22. 6 | 22. 14 | 22. 22 | 22. 31 | 22. 38 | 22 4
a 21. 6 | 21. 14 | 22. 22 | 21. 29 | 21. 58 | 21. 45 | 21 L
20. 14 | 20. 21 | 20. 29 | 20. 56 | 20. 44 | 20. 51 | 20. 59

69 19. 21 | 19. 28 | 19. 36 | 19. 42 | 19. 50 | 19. 57 F 20. 4

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Suite de la Table de la parallaxe de la lune , à divers degrés de

hauteur sur l'horizon.

PARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNE.

lune. |56' 20"156/ 40”|57' 0" 157'20" |57' 40"158' 0" 158! 20”

deg. m. S. n1. S. m. S. m. S. m. S. m. 8. m. S.

mm” À Om“ | emmuummenmeuns À mmmmmqenmumm— À memes

1 . . .

9 55. 38 | 55. 58 | 56. 18 | 56. 38 57 | 57. 17 | 57. 37
2 |55. 6 | 55. 26 | 55. 45 | 56. 5 | 56. 24 | 56. 44 | 53. 41
15 | 54. à5 | 54. 44 | 55. 3 | 55. 23 | 55. 42 | 56. 2 | 56. 21
18 53. 57 | 55. 54 | 54. 13 | 54. 32 À 54. 51 | 55. 10 | 55. 29
21 52. 37 | 52. 54 | 55. 13 À 53. 31 | 53. 50 | 54. 9 | 54. 27
24 51. 28 51. 46 | 52. 52. 23 | 52. 41 | 52. 59 | 53. 17
25 51. 3 | 51. 22 | 521. 39 | 51. 58 | 52. 26 | 52. 34 | 52. 52
26 50. 38 | 5c. 56 | 51. 13 } 51. 32 | 51. 5o | 52. 8 | 52 26
27 50. 12 | 50. 29 | 50. 47 | 51. 5 | 51. 23 | 51. 41 | 51. 59

49. 45 | 50. 2 | 50. 20 | 50. 37 | 50. 55 | 51. 15 | 51. 30
29 49. 17 | 49. 34 | 49. 51 | 50. 8 | 50. 26 | 50. 44 | 51. 1
30 48. 48 | 49. 6 | 49. 22 | 49. 39 | 49. 57 | 50. 14 | 50. 31
ET 48. 17 | 48. 35 | 48. 52 . 9 | 49. 26 | 49. 43 | 50. o
32 47. 47 | 48. 3 | 48. 21 dE. 58 | 48. 54 # 11 | 49. 28
33 47: 1 47. 31 | 47. 48 | 48. 5 | 48. 51 . 38 | 48. 55
34 46. 42 | 46. 59 47. 15 | 47. 32 | 48. 48 | 48. 5 | 48. 21
35 | 46. 8 | 46. 25 | 46. 41 | 46. 58 | 47. 14 | 47. 31 | 47. 47
36 45. 34 | 45. 51 | 46. 6 | 46. 23 | 46 46. 55 | 47. 12
37 44. 59 | 45. 15 | 45. 31 | 45. 47 | 46 É 46. 19 | 46. 35
38 | 44. 25 | 44. 39 | 44. 55 | 45. 10 | 45. 27 | 45. 42 | 45. 58
39 43. 46 | 44. 2 | 44. 18 33 | 44. 49 | 45 45. 20
40- | 43. 9 | 45. 24 | 43. 40 - 55 | 44. 10 | 44. 25 | 44. 41

qi 42. 31 | 42. 46 | 43. 1 | 43. 16 | 43. 31 | 43. 46 | 44. 1
42 41. 52 À 42. 7 | 42. 21 | 42. 36 | 42. 51 | 43. 6 | 43. 1
45 41. 12 | 41. 27 | 41. 41 | 41. 55 À 42. 11 | 42. 25 | 42. 40

46 39. 8 À 39. 22 | 39. 55 | 39. 49 | 40. 3 | 40. 17 | 40. 31
4 38. 25 | 38 39 38. 52 39° 6 + 20 | 39. 53 | 39. 47
4 7. 41 | 37. 5 38. 8 | 38. 22 | 38. 35 | 35. 48 | 39. 2
9 36. 57 | 37. 10 | 37. 23 | 37. 37 | 37. 5 | 38. 3 | 38. 16
© 36. 12 | 36. 25 | 36. 58 | 36. 51 | 37. 4 | 37. 17 | 37. 30
5a 35. 27 | 35. 39 | 35. 52 | 36. 5 | 36. 17 | 36. 30 | 36. 43
52 34. 41 | 54. 53 | 35. 5 | 35. 18 | 35. 30 | 35. 42 | 35. 55
53 33. 54 | 34. 6 | 34. 18 | 34. 30 | 34. 42 | 34. 54 | 35.
54 33. 7 | 33. »8 | 33. 30 | 53. 42 | 33. 54 | 34. 5 | 34. 17
55 32. 39 | 32. 50 | 32. 41 | 32. 53 | 33. 33. 16 | 33. 27
56 31. 30 | 31. 4 31. 52 | 32. 4 | 32. 15 | 32. 26 | 32. 37
57 30. 41 | 3o. 31. 2 | 31. 14 | 31. 25 | 31. 35 | 31. 46
58: | 29. 51 | 50. 2 | 30. 32 | 30. 23 | 30 34 | 30. 44 | 30. 55
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60 28. 10 | 28. 20 | 28. 30 | 28. 40 . 29. O | 29 10
61 27. 1 27. 28 | 27. 38 | 27. 48 | 27. 57 | 28. 7 | 28. 1
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63 25. 35 | 25. 43 | 25. 53 | 26. 2 | 26. 11 | 26. 20 | 26. 29
64 24. 42 | 24. 50 | 24. 7? 25. 8 | 25. 17 | 25. 26 | 25. 34
65 25. 49 | 25. 56 | 4. 24. 314 | 24. 22 | 24. 31 | 24. 39
66 22. 55 | 23. 3 | 23. 21 | 23. 19 | 23. 27 | 23. 35 | 23. 4
67 22. 1 | 22. 8 | 22. 16 | 22. 34 | 22. 32 | 22. 39 | 22. 4
68 21. 6 | 21. 24 | 21. 21 | 21. 21. 36 | 221. 45 | 23. 51
69 20. 31 | 20. 19 20. 26 | 2o. 3 20. 40 | 20. 47 | 20. 54
70 19. 16 | 19. 19. 30 | 19. 37 | 19. 43 | 39. 50 | 19. 57
3 16. 28 | 26. 34 | 16. 40 | 26. 46 | 26. 52 | 26. 58 | 15. 3
76 15. 38 | 13. 42 | 23. 47 | 13. 52 | 13. 57 | 14. 2 14.

9 10. 46 10. 49 | 20. 55 10. 56 | 21. 21 | 21. 4 | 11. ê
2 7. 51 7 55 | 7. 55 À 7. 59 1 8. 21 8 41] 8. >

Suite de la Table de la parallaxe de la lune, à divers degrés de
hauteur sur l'horizon.

PARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNÉ.

lalune.| 58’ 40”|59' 0" 159'20"|59' 40”160! 0" |60'20"[60" 40
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3 58. 35 | 58. 55 | 59. 15 | 59. 35 | 59. 55 | 60. 15 go. 5
. 35 | 59

12 7e 41 | 59. 1 | 59. 20
15 56. 40 | 56. 59 | 57. 19 | 57. 38 | 57. 57 | 58. 17 | 58. 36
18 55. 48 | 56. 7 26 56. 47 | 57. 4 | 57. «: 57. 42
21 54. 46 | 55. 5 | 55. 24 | 55. 42 | 56. 2 20 | 56. 58

63 | 26. 38 | 26. 47 | 26. 56 27. 5 | 27. 14 | a7. 25 | 27. 32

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ABLE additive pour réduire la hauteur apparente de la lune

a la hauteur vraié, ou différence de la paraltaxe de hauteur

à la réfraction.

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PARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNE.

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Suite de Ia Table additive pour réduire la hauteur apparente ds
la lune à la hauteur vraie, ou différence de Ja parallaxe de

* hauteur à la réfraction,

Haut.

PARALLAXE HORIZONTALE DE LA LUNE.
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4 34. 37 | 35. 17 | 35. 57 | 36. 37 | 37. 17 37. 57 | 38. 37
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6 20. 18 | 20. 42 | 21 21. 29 | 21. 92 | 22. 16 | 22. 3
6 19. 28 | 19. 51 | 20. 133 | 20. 36 | 20. 58 | 21. 21 | 21 5
69 18. 38 | 18. 59 | 19. 91 À 10. 42 | 20. 4 20. 25 | 20. 47
7Q 17. 47 | 18. 7 | 18. 28 | 18. 49 | 19. 9 | 29. 30 | 29. 50
1 16. 56 | 17. 15 | 17. 35 | 17. 54 | 18, 14 | 18. 33 | 18.°53
7 16. 4 | 16. 25 | 16. 41 | 27. © | 17: 18 | 27. 37 | 17. 55
73 15. 12 | 15. 30 | 15. 47 | 16. 5 | 16. 23 | 16. 40 | 16. 58
7 14. 20 | 14. 3 14. 53 | 15. 19 | 15. 26 | 15. 43 | 16. ‘o
7 13. 28 | 15. 43 | 13. 59 | 14. 14 | 14. 30 | 14. 46 | 15. 2
76 12. 35 | 12. 50 | 13. 4 | 13, 10 | 213. 33 | 13. 48 | 14. à
7 t1. 42 | 11. 56 | 12. 9 | 12. 2 12. 36 | 12. 50 | 13. 3
28 10. 4 11. 23 | 11.14 | 11. 27 | 21. 39 | 11. 51 | 12. 4
2 9. 55 | 10. 7 10. 19 10. 30 | 10. 42 | 10. 53 | 11 4
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8: 8. 8 | 8.18 | 8.27 | 8.37 | 8. 46 | 8.55 5
82 7. 15 | 7. 23 7. 31 | 7. 40 | 7. 48 | 7. 56 8. 5
83 |‘ 6.21 | 6.28 | 6. 35 | 6. 42 | 6. 50 | 6.5 7 5
8 9. 26 | 5.33 | 5 3 5 Ë 5. 51 5. 58 6. 4
8 4 5%! 437 | 4 4. 48 | 4. 53 4. 98 | 5. 4
86 3. 38 | 3. 42 3. 46 | 3.50! 3.55 | 3. + 3
87 . 2 43 | 2. 47 | 2. 50 | 2. 55 | 2, 56 | 2. 5 4 2
88 |. 2. 49 | 1. 51 1. 53 | 2. 55 | 1. 57 | 21. 59 | 2 2
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10 33. 45 | 34. 20 | 34. 54
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12 32. 4 | 32. 36 | 35.
13 31. 12 | 321. 44 18
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15 29. 27 | 29. 57 | 30. 27
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3 27. 40 8. 8 | 28. 36
1 26. 4 27. 12 | 27. 40
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2 20. 11 | 20. 31 | 20. 52
26 19. 12 | 19. 32 | 19. 52
27 18. 14 | 18° 33 | 16. 51
28 17. 1 17. 33 | 17. 50
29 16. 16 | 16. 33 | 16. 4
30 15. 17 | 15, 32 | 15. 4
31 14. 1 14. 33 | 14 46
32 1 12 13. 30 13. 4
33 12. 16 | 32. 29 | 12, 41
3 11. 16 | 11, 27 | 11. 59
3 10. 35 | 10. 25 [ 10.
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37 8. 1 8. 2) + 30
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