THÉORIE
L'ÉCOULEMENT TOURBILLONNANT ET TUMULTUEUX DES LIQUIDES
DANS LES LITS RECTILIGNES A GRANDE SECTION,
Par m. j. boussinesq,
MEMBRE DK L INSTITUT.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,
Quai des Grands-Auguslins, 55.
1897
THÉORIE
L'ÉCOULEMENT TOURBILLONNANT ET TUMULTUEUX DES LIQUIDES
DANS LES LITS RECTILIGNES A GRANDE SECTION.
2374c
PARIS. — 1MI>RI.MF,RIK liE (.Ali IIIER-VII.LARS KT HLS, QIAI DES GRASDS-AL(.l STINS, JJ.
THÉORIE
LhXiOllilMI'^T TOIRHILLONNANT ET TUMLLTUEUX DES LIQUIDES
DANS LKS I.ITS RKCTIIJGNES A GRANDE SECTION,
Par m. J. BOUSSIAESQ,
MEMBRE DE L INSTITUT.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DES COMPTES RENDUS DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES,
Quai des Grands-Augustins, 55.
1897
B
V
k
AVERTISSEMENT.
On sait c[iie les grands écoulements fluides, tels qu'ils se pro-
luisent dans les tuyaux de couduite et les canaux découverts, n'ont
longtemps offert aux géomètres, môme quand im lit régulier y
assure l'uniformité du régime, qu'une énigme désespérante, suivant
le mot de l'un de ceux qui s'étaient le plus longtemps et le plus
obstinément appliqués à les comprendre, l'illustre Barré de Saint-
Venant, célèbre par sa belle solution des problèmes de la torsion
et de la flexion des prismes. Même en i865, alors que les études
expérimentales si nettes et si étendues de Darcy et de M. Bazin,
d'ailleurs précédées de bien d'autres non moins judicieuses et pro-
fondes, celles de du Buat notamment, faisaient connaître les lois
générales de ces écoulements, si importantes dans la pratique de
l'art de l'ingénieur, M. Bazin pouvait dire, vers la fui de l'Intro-
duction à ses Recherches hydrauliques : « La question se complique
et s'obscurcit davantage, à mesure que de nouvelles expériences,
plus nombreuses et plus précises, paraîtraient devoir y jeter luie
plus grande lumière... Nous ne possédons pas encore de notions
saines sur les mouvements intérieurs des fluides et sur les actions
mutuelles de leurs molécules... ».
La lumière se fit en 1870 seulement, par une mise en compte
très simple de l'influence que V agitation tourbillonnaireinsépi\rah\e
des écoulements considérés exerce sur le mouvement moyen local,
c'est-à-dire sur la translation des particules fluides, seule intéres-
sante pour l'hydraulicien. C'est dans la première Partie d'un Vo-
lume intitulé Essai sur la théorie des eaux courantes, que fut expo-
730490
( V. )
sée la théorie dont il s'agit. Maisce Voliiiiieest épuisé; et, d ailleurs,
r Auteur, appelé de temps à autre à porter son attention sur ees
(piestions, par son ensei«;neinent de la Sorhonne, a pu \ intioduii-e
un certain nondjre d'aj)erens nouveaux, sans eoin|)ter, dans les
démonstrations, (piehpies simplifications importantes : ee (pii lui
faisait un devoir de lajeunir toute la théorie, en la réduisant au
maximum de simplicité.
Tel est le but de la présente publication, née à l'occasion i\v
récentes expériences de M. I^azin s//r /a (listrihiition des vitesses
dans les tuyaux de eonduite, rpii achèvent d'éclaircir un point dou-
teux (au sujet des deux modes comparés de l'écoulement soit dans
une conduite forcée, soit à ciel ouvert) et qui permettent de pré-
ciser encore d'autres particularités délicates.
THÉORIE
L'ÉCOULEMENT TOURBILLONNAINT ET TUMULTUEUX DES LIQUIDES
DANS LES LITS RECTILIGNES A GKANDE SECTION.
§ I. — Objet de ce Mémoire.
« 1. Depuis les années 1870 et i8'72, où ont été ramenées à des for-
mules simples et vraisemblables du frottement tant intérieur qu'exté-
rieur (') les lois du régime uniforme des grands courants liquides, telles
que Darcy, en 1 8^ ^j, mais surtout M. Bazin, en 1 863, les avaient dégagées de
leurs nombreuses et précises observations (^), aucune donnée expéri-
mentale ou théorique de quelque intérêt, concernant les vitesses relatives
ou les actions mutuelles des filets fluides, n'était venue s'ajouter aux notions
déjà acquises dans ce problème capital de l'Hydraulique. Il restait cepen-
dant à y éclaircir un important détail, au sujet de l'écoulement dans un
tuyau de conduite, soit plein de liquide, soit rempli seulement jusqu'à mi-
hauteur des sections, ou plutôt remplacé alors par un canal demi-circulaire
découvert, coulant à pleins bords. Darcy ayant mesuré, dans le premier
cas, la vitesse m au centre des sections (où elle acquiert son maximum w,„),
(') Voir les Comptes rendus du 29 août 1870 et du 3 juillet 1871, t. LXXI, p. 889,
et t. LXXIII, p. 34i ainsi que V Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 24 à 87,
au Recueil des Savants étrangers, t. XXIII.
(') Recherches expérimentales relatives au mouvement de l'eau dans les tuyaux,
par M. H. Darcy (Savants étrangers, t. XV; i858) et Recherches expérimentales
sur l'écoulement de l'eau dans les canaux découverts, par M. Bazin (Savants étran-
gers, t. XIX; i865).
B. I
( 2 )
;i(i licrs (les ravons \\ cl à leurs deux liers, avait cru pouvoir conclure que
sa diminution //,„ — u aux dislances croissantes /de l'axe était comme la
m'ii'ssànce ^de ces distances. Or, dans le second cas, M. Bazin, après avoir
niiilliplié, sur des canaux demi-circulaires, le mesurage des vitesses surtout
•atM i^rrrudes dislances de l'axe, là où s'accuse le plus le décroissemeut con-
sidéré et où d'ailleurs ne se font plus guère sentir (à des profondeurs suffi-
santes) les inévitables troubles de la surface libre, avait constalé au
contraire des diminutions u,„ — u de vitesse, à partir du filet superficiel
moven ou central, proportionnelles au cube r^ de la distance à ce filet.
» Il est vrai que le désaccord des deux formules ne devenait bien sen-
sible, vu leurs coefficients numériques obtenus, que dans la région des
tuyîïux non observée, c'est-à-dire aux distances r supérieures à '- R. Mais il
n'en était pas moins désirable decontrôler directement et de com[)léter les
résultats de Darcv par des observations assez nombi'euses sur une conduite
de grand diamètre. C'est ce que vient de faire ('), avec toute la précision
possible, M. Bazin, siu' un luvau circulaire en ciment de o™,4o de rayon
et 80™ de longueur, où le régime uniforme se trouvait parfaitement établi
dès le milieu de la longueur; et ses observations, tout en confirmant comme
loi approchée la proj)ortionnalilé de la différence w,„ — u au cube r^ , ont
rendu possible un degré de plus d'approximation dans le calcul de cette
différence.
» I.e présent travail a pour jirincipal objet de formuler cette deuxième
approximation et d'en déduire quelques conséquences au sujet tant du
débit que des frottements intérieurs. Toutefois, je reprendrai, à cette occa-
sion, la théorie même du régime uniforme dans les écoulements tumul-
tueux, afin d'y introduire ({uelques simplifications et aperçus faisant partie
depuis plusieurs années de mon enseignement à la Sorbonne, mais non
j)ubliés encore.
^ II. — Des vitesses, accélérations et déformations moyennes locales.
» 2. Je rappelle d'abord que, dans une masse fluide suffisamment large
et profonde qui commence à couler entre des parois quelconques, les
(') Comptes rendus, l. CXXII, p. i25o; i" juin 1896. Voir au même tome des
Comptes rendus (p. i525; séance du 29 juin 1896) le Rapport approbalif de ce
Mémoire, qui paraîtra in extenso dans le Recueil des Savants étrangers.
(3)
moindres déviations causées par leurs rugosités, même imperceptibles, ou
par les plus légères irrégularités du mouvement à l'entrée, etc., entraînent
des ciîocs, des tourbillonnements, qui se communiquent d'une particule à
l'autre, se multiplient dès que la vitesse est sensible, et sillonnent bientôt
en tous sens la masse. Ils y produisent ainsi une agiiaLion irrégulièrement
périodique (pouls du courant), dont l'amplitude et la fréquence définissent
en queUjue sorte son intensité, comme la température d'un corps mesure
le degré de son imperceptible agitation calorifique.
» Il en résulte la nécessité de distinguer deux parties, à propriétés très
différentes, dans les vitesses et les accélérations, soit suivant chaque axe,
soit totales, tant d'une même particule fluide, considérée aux divers en-
droits où elle passe durant un court instant, que des particules observées
dans un même petit espace (x,y,z) à la fois ou successivement pendant
un temps assez bref. La ])remière de ces parties, seule importante pour
l'iiydraulicien (car c'est elle qu'enregistrent principalement les appareils
liydrométriques et elle seule qui correspond à V écoulement) , est la movenne
des valeurs de la vitesse ou de l'accélération en question, moyenne locale
constituant une vitesse ou une accélération graduellement variables d'une
particule {oc, y, z) à ses voisines et d'un instantà l'autre, c'est-à-dire suscep-
tibles d'être exprimées par des fonctions régulières et relativement simples
de .r,j', :;, /. La seconde, au contraire, bien que généralement plus jîelite
que la première (du moins quand c'est une vitesse), change très vite avec
x,y,Zyt, mais dans des sens contraires pour des valeurs peu différentes
des variables, de manière à être nulle en moyenne, suivant chaque axe,
dans tout intervalle de grandeur médiocre et à avoir cependant de très
fortes dérivées, mais nulles aussi en moyenne; c'est une vitesse ou accélé-
ration non d'écoulement, mais de pure agitation sur place.
» 5. Donc, en désignant par u, v, w les composantes, suivant les axes,
de la vitesse moyenne locale en (x, y, s), et par u^ , ç^, , w^ les petites com-
posantes de la vitesse irrégulière ou d'agitation, les six vitesses élémentaires
(par rapport aux a:-, V, :;) de dilatation et de glissement dune particule à
l'époque t, savoir
dx dy dz dz dy
G^.u'H-tï', d.u-\~u^ d.u-+-ai d.v-hi'i
dx dz dy dx
( 4 )
pourront s écrire
'dJ' "^ "'•^' d^ ' ''^' dz ' ^^^' dz
(0
•^' /-/v ^ dz (iz dv
./• )
dj: dz -^ r/y <r/.r
r>x =
«■/// ,. rA' ,^ d\v „ c/r fAv
r/.r ^ r/»' - dz -^ dz dv
„ (/i\' du ,, f/// ''/r
■^ d.v dz " dv du-
si l'on appelle D.^, 1)^, D^,, G^., G„ G. leurs parties graducllemenl va-
riables
(2)
parties beaucoup plus petites que celles d'agitation, mais seules (iilïérentcs
(le zéro en moyenne.
)) Or c'est justement de ces vitesses actuelles (i) de dilatation et de
glissement, en môme tempsquede la température et de la densité actuelles
T, p t\c la particule (supposée sans viscosité appréciable), que dépendent
les écarts existant entre la contexture interne cireclive de la particule et sa
contcxture eiasfir/uc ou isolroj)e à la même température et à la même den-
sité, ccarts en rapport mec la rapidilé actuelle des dèforinalions, (jui ne laisse
pas le temj)s à la particule de rctairc son isotropic sans cesse troublée par
la continuation du mouvement relatif de sa matière ( ' ).
^5 III. — Pressions moyennes locales.
» i. Par suite, les six pressions élémentaires (relatives aux axes) N^^.,
N_,, N^, T,., T,, T. exercées à l'intérieur de la |)artictde comprennent, outre
leur jiarlie élastique fonction de p, t seulement, égale dans N^., \\, X. et
nulle dans T^., T,., T^, une partie non élasti({uc, déj)en(lant encore de :, t,
mais aussi des six variables (i), et s'annulant avec elles. Dans les mouve-
ments bien continus, c'est-à-dire sans agitation, et dans ceux à faible agi-
tation (écoulement le long des tubes fins, petites oscillations, etc.) où les
variables (i) sont seulement de l'ordre de leurs parties bien continues D,
(') Noir, à ce sujet, la fin duii arlicle Sur Verplicaiion physique de la Jluidité,
dans le Compte rendu du 19 mai 1891 {Comptes rendus^ t. CXII, p. 1099), ou mieux
encore la t\ote complémentaire insérée à la fin du présent Travail.
(5)
G, ces six fonctions N, T peuvent se développer suivant les puissances des
variables (i) par la formule de Mac-Laurin bornée aux; termes du premier
degré; et lorsfpi'on j^rend ensuite les moyennes de leurs valeurs sur de
petites étendues, ou durant de petits tcm|)s eu un même endroit (^, J', :■),
pour avoir \os pressions moyennes locales, les déformations d'agitation, nulles
en movenne, s'en éliminent, n'y laissant subsister aucune autre vitesse de
déformation que celles d'écoulement D, G, avec des coefficients fonctions
seulement de p, t ou même plutôt des valeurs moyennes locales de p, t,
parties de p, - indépendantes de l'agitation. Car s'il y avait (ce qui n'est
pas impossible), dans la température et la densité, de petites parties d'agita-
tion, p,, ';,, en sus de leurs moyennes locales p, t, la pression élastique et
les coefficients en question, développés suivant p,, t,, donneraient en p,, -^
des termes linéaires, nuls en moyenne, ou dont les produits par les vitesses
de déformation pourraient alors être négligés comme non linéaires.
)) ]Mais ici où les six: vitesses de déformation (i) ont leurs premières par-
ties en u^, v^, «r, considérables, c'est seulement suivant leurs autres parties
D, G, très petites en comparaison, qu'on peut développer linéairement les
six fonctions N, T, et lorsqu'on prend.ensuite leurs moyennes, sur de faibles
étendues et durant de courts instants où les D, G ne varient pas, les coeffi-
cients de ces vitesses graduelles de déformation D, G, toujours dépen-
dants, dans les pressions moyennes locales obtenues N, T, des densité et
température moyennes locnles p, t, ne sont fonctions, pour un même élé-
ment plan, des vitesses d'agitation autour de {x,y,z-) et des variations
concomitantes p,, -r, de la densité et de la température, que par certains
de leurs caractères généraux où n'entrent pas plus leurs valeurs indivi-
duellcsàun instantet en un j)oint qu'aux autres voisins dans tout un inter-
valle où leurs moyennes sont nulles. Quoi qu'il en soit, ces coefficients ne
sont fonctions cjue tles deux variables p, t définissant l'état élastique nioven
local et, en outre, de Vagilation, telle qu'elle est durant un court instant
dans une petite étendue entourant le point {-t, y, z).
» o. D'ailleurs, si l'on considère les relations usuelles, déduites des
formules de transformation des coordonnées, qui existent entre les vitesses
de déformation (dilatations et glissements) relatives aux divers systèmes
possibles d'axes, et les formules analogues qui relient les pressions N, T
subies par les éléments plans correspondants suivant leurs intersections
mutuelles, ou encore les relations plus simples (dont celles-là se déduisent)
existant entre N^, X^, N^, T^, T^,, T^ et les trois composantes />,., p^., p- de
(6)
la pression exercée sur un élément plan de direclion quelconque, toutes ces
formules sont linéaires et homogènes par rapport aux vitesses de déforma-
tion ou aux composantes de pressiou, avec des coefficients fonctions seule-
ment des directions des divers axes et éléments plans considérés; de sorte
qu'on en prend immédiatement les moyennes, pour des espaces ou des
instants voisins, sans avoir à modifier ces coefficients, mais par la simple
substitution, à chaque vitesse de déformation ou composante de pression,
de sa valeur moyenne locale. Toutes ces formules s'appliquent donc aux
déformations et pressions moyennes locales, puis même, par soustraction
de celles-ci d'avec les déformations ou pressions individuelles, aux défor-
mations et pressions d'agitation, qu'on n'aura pas, il est vrai, à consi-
dérer.
M Et leurs conséquences s'étendent à chacune de ces sortes de pres-
sions ou vitesses de déformations, notamment celles qui concernent l'exis-
tence, en chaque point et à chaque instant, de trois éléments plans maté-
liels principaux, rectangulaires entre eux, de part et d'autre desquels les
déformations se font svmétriquement durant l'instant dt, et de trois élé-
ments [)lans analogues (ort/iostatiques) sur lesquels les pressions sont nor-
males.
» G. Cela posé, comme on peut concevoir quelconques, à chaque in-
stant, les six déformations élémentaires imj)rimées soit à une particule de
matière, soit aux particules venant passer en un même endroit {x, y, z), et
qu'il en est par suite de même tant de leurs moyennes que de leurs excé-
dents à chaque instant sur leurs moyennes (sous la seule condition que
ceux-ci aient dès lors leurs propres moyennes nulles), les déformations
d'agitation sont complètement indépendantes des déformations moyennes
locales D, G, dans les formules des pressions.
» Cette indépendance subsiste même quand, supposant le fluide incom-
pressible (ce qui n'est nullement obligé, même pour un liquide), on s'im-
pose de ne choisir que des déformations compatibles avec la conservation
parfaite des volumes aux divers instants. En effet, celle-ci revient, comme
on sait, à établir, entre les vitesses effectives de dilatation dans les sens des
axes, la relation linéaire
/o\ r/.u-H-M, d.v-[-i\ d.w-Jf-w^
dx dy dz
» Prenons, pour l'en retrancher ensuite, la valeur moyenne locale des
( 7 )
termes,
qui
donne
évidemment
(4)
du di> div
dx dy dz
il vient
(5)
du y d\\ dw
dx dy dz
o;
» Or ces formules expriment que les vitesses moyennes locales (m, v, w),
prises séparément, et les vitesses d'agitation (m,, v^, w^,), prises aussi sépa-
rément, vérifient, tant les nnes fjue les autres, celte condition de conserva-
lion des volumes, si on les suppose se produisant aux divers points {oo,y, z)
de l'espace, comme elles s'v produisent ensemble dans le mouvement effec-
tif. Donc la relation (3) se dédouble en deux autres (4), (5), où les défor-
mations d'agitation ne sont pas mêlées à celles du mouvement moyen local ;
en sorte que l'indépendance mutuelle de ces deux catégories de déforma-
tions subsiste.
» Nous pourrons ainsi, dans un petit espace entourant le point (pc, y^ z),
faire correspondre successivement toutes sortes de déformations moyennes
locales D, G à un même système de déformations d'agitation, entraînant
par suite les mêmes petites parties accidentelles p,, t,, nulles en moyenne,
de la densité et de la température.
§ IV. — Formules des pressions moyennes locales et équations indéfinies
du mouvement.
)) 7. Imaginons, de la sorte, qu'un élément plan quelconque, par
exemple celui qui est normal aux x et sur lequel les composantes de la
pression moyenne locale sont N^^T^,'!^, dcxienuQ principal ix\i point de vue
des déformations moyennes locales, c'est-à-dire tel, que l'on y ait
G. = o, G_^ = o. Cela signifiera que les couches fluides de la particule nor-
males aux X n'éprouvent aucun glissement moyen local les unes devant les
autres, les files de molécules parallèles aux x ne s'inclinant pas plus
souvent ni en plus d'endroits sur ces couches dans certains sens que dans
les sens contraires. Autrement dit, les déformations actuelles se feront, en
moyenne, symétriquement de part et d'autre de ces couches; et les écarts
moléculaires auxquels elles donneront lieu, entre la contexture idéale ou
( s )
rlasli<|iie (lo la particulo pour los deiisilr ci tcinpéraliiro p, t el sa coii-
tcxliiit' («ricclivc, m- poiin-oiit (lu'rlrc aussi, on inoyeniio, syiiiétriciucs j)ar
lapnoi t aii\ iiUMiios couches, si le fluide esL pareillement eonslilué en Ions
sens ilans l'étal élasti(pie. D'où il suit (pie les pressions ni()\(Min(\s locales,
claies et conli-aires, exercées sur les deiix laces A' une couche, ne i)ouiTont
aii>M (pi'élre s\niélri(pies l'une de l'autre et normales à la couch(\
.. Mais |)la<M)ns-nous dans le cas exceptionnel où il s'agirait d'un (hn'ile
doue du pouvoir rolatoii'c, dont l'eLat élasticpic serait seulement isotrope et
non sMuelri(pie, c'esl-à-tlire serait pareil relali\ enient à tous les s\ sternes
d'ax«s des .i\ y, z (pu' se déduisent de l'un d'eux par une rotation (juel-
concpie du triédre des coordonnées j)Ositives (sans éciiange de nom entre
(l(Mix (i'enlie elles\ ou j),u'eil relativement à toutes les orientations pos-
sibles iVwn ol)ser\atein', aucpiel il olIVirait cependant un asj)ect non
s\ uielriipie à sa droite et à sa i^auelie. Alors on peut toujours l'emarquer
(pie les déformations movennes locales seioiit vues se faire de même, sur
un cùlé (pielcon(pi(^ d'une couche normale aux .r, |)ar (feux ol)sej-\ ateurs
a\aiit les pieds sur celle couche et tournés dos à dos, c'est-à-dire ayant
{\vy\\ orienlalious, autour de la normale, dil'f'érentes de 180 degrés; en
sorte (pie les écarts moléculaires entre l'état élasti(|ue et l'élal effectif
doi\enl leui- parailre aussi moNennement pareils et, j)ar suite, la pr(^ssion
moxeune locale exercée, à leurs j)ieds, sur l'élément plan normal aux .r,
i)areillenienl située r(dati\ cuKMit à eux, c'(\st-;i-dire normale à l'élément.
» l:u résumé, (pie le fluide soil ou non s\ métri(pie. comnie il est toujours
isotrope dans l'état elasticpie, l'on est conduit \\ admettre (pie loiil clcincnl
pldfi principal, au point de rue des dèfornuitiona moyennes locales, est aussi
piincipcd au point de rue des pressions moyennes locales, c est-à-dtre perpendi-
culaire à la pression exercée sur lui.
» S. Mais revenons à notre élément noinial aux .r. Nous \()vons (jiie
les composantes tangenlielles T-, \\ de sa pression movenne locale s'an-
milent de.- (jue les \ile>ses de glissement (i-, (», s'annnlenl elles-mêmes.
Donc, si l'on considère, par exemple, J-, son dé\ elo])pement linéair(^
suivant les six (piantités indépendantes J), () comprend tout au plus les
deux termes en (i-, (i^. Mais, en considérant également T- comme com-
posante tangenliidle de la pression movenne locale sur l'élément plan
noi mal aux y, on \ errait de même (|ue ce développement (h; T. c()mi)rend
tout au plus les deux termes eu (i-, (1^. Il se réduil, j)ar c()nsé(|uenl, au
terme iillcclé de G^ : et l'on a, en désignant par K un coefficient fonction.
(9)
(l'une part, des densité et température moyennes locales p, t, d'autre part,
(le l'agitation telle qu'elle se produit autour de {^,y, ^),
)) 9. L'agitation étant toujours supposée, autour de (x, y, z), la
môme que précédemment, faisons varier les six vitesses moyennes locales
de déformation D^, D^, D^, G^, G^., G^, de manière que les trois vitesses
principales correspondantes de dilatation ou d'extension, auxquelles je
donnerai les noms D,, Dg, D-j, aient dans l'espace trois directions rectan-
gulaires quelconques et prennent d'ailleurs, suivant ces directions, toutes
les grandeurs relatives. Les pressions moyennes locales correspondantes
P,, Po, Pj, également principales comme on a vu, pourront être exprimées
dans un système de coordonnées ayant leur direction et puis être dévelop-
j)écs linéairement suivant les vitesses moyennes locales correspondantes
de déformation, qui se réduisent aux trois dilatations D,, Dg, D.j. Formons
ensuite, pour tenir lieu de P,, P2, P3, d'une part, leur moyenne arithmé-
tique changée de signe (pression moyenne^, que nous appellerons jj,
d'autre part, leurs demi-différences respectives t,-(P2 — P3), ^(Ps — P, ),
^(P, — P^). Ce seront, avec des coefficients dépendant de p, t et de l'agi-
tation, quatre fonctions linéaires des trois variables D,, Do» D.), ou,
encore, de leur somme D, + D^H- D., (vitesse de dilatation cubique) et de
deux quelconques de leurs différences Do — D.j, D3— D,, D, — f3o, à
somme algébrique nulle.
Or, quand une de ces différences, celle de Do et D., par exemple,
s'annule, on sait que toutes les directions comprises dans le plan des
dilatations correspondantes Do, D3 sont principales au point de vue des
déformations; ce qui entraîne qu'elles le soient aussi pour les pressions
et que l'ellipsoïde d'élasticité, devenu de révolution autour de D, ou
de P,, donne ^(Po — P3)= o. Donc la demi-différence ^(Po— P3), que
l'on peut concevoir exprimée en fonction linéaire de D, -+- Do 4- D3 et de
D2— D3, D3 — D,, se réduit au terme affecté de D2 — D3 ; et, en considérant
aussi les deux autres demi-différences analogues, l'on a des formules comme
. . ( Kl^-P.) = <t)2-D3), ^,(^,-V,) = s'(D,-\\),
^'^ t Kl^ - 1^) = ^"(1^. - B2) = - i"(D, -D,)- a"(D3 - DO,
où c, s', i" sont trois coefficients indépendants de D,, Dg, D3.
B. 2
( -o )
» La somme des formules (7) donne
o = (s' - s')(D3 - D,) - (s" - 0(D. - D:,).
» Comme celte relation a lieu (|uels que soient les rapports mutuels des
deux dillérences arbitraires D^ — D,, Do — 1),, il eu résulte
e' — i" = O, t" — £ = o ;
et les trois formules (7) reviennent à poser l'égalité continue
i) i> p p i> p
(8)
2(D,-D,) -..(D.-D,) ■>.(\>,-\>,)
(,o)
» 10. Si l'on appelle a, a', a" les cosinus directeurs de D,, ù, b' , h"
ceux de D^, c, c\ c" ceux de D3, les formules connues, pour exprimer soit
les six déformations D, G, soit les six pressions N^, T, relatives aux axes
des X, y y z, en fonction des déformations ou pressions analogues, relatives
aux directions principales correspondantes et réduites à 1),, D^, D3 ou à
P,, Po, P3, donnent, d'une part, comme on sait,
j J)^-hD,-f-l), = ]),-f-J),-i-D,,
^^^ ( ^(N,+ N,+ N,) = ^(P, -h P,4- P.) = -/^
d'autre part, avec presque autant de facilité,
N, - N, = (C-- - c-)(P3 - PO - {l>'' - ^>"^)(I^ - 1^). N.- N, = . . .,
^G,== c'a" (D3-D,)- ////' (U,-DO. i<^^>=---'
T,= c'c" (P3-P,)- ////' (P, -P.), T,=:=....
)) Il en résulte immédiatement, vu l'égalité des rapports (8),
^''^ o.i.iyy-M,) - 2(1),- D,) -^D^\)~) - G, - g; - g: -'•
» 11. I^a valeur commune s des six premiers rapports (11), étant en par-
ticulier celle du sixième d'entre eux, se confond avec le coefficient R de
la formule (G), et elle se trouve dès lors complètement indépendante de
la manière dont sont orientées les trois vitesses principales de dilatation
1),, Da, D3 dans le mouvement moyen local. Mais on voit, par les formules
(8) et (10), appliquées (avec d'autres valeurs des cosinus «, a , ..., c" )
( ■■ )
au passage du système des directions principales à un système quelconque
d'axes rectangulaires, que ce coefficient serait encore le môme si l'on rap-
portait le mouvement à des coordonnées rectangles arbitraires, de sorte
qu'il constitue un coefficient de frottement intérieur dépendant des déforma-
tions d'agitation au point considéré (^x,y,z^ sans dépendre ni de leurs
valeurs à un instante^/ plus qu'aux instants voisins, ni des angles de leurs
directions ou de leurs plans avec aucuns autres. Et il resterait encore le
même, par suite de l'isotropie du fluide à l'état élastique, si le système de
déformations constituant l'agitation était autrement orienté dans l'espace.
» Il exprime d'ailleurs le rapport de quantités graduellement variables en
x,y, z, t, comme T^ et G^, etc., et il est, par suite, graduellement variable
lui-même, très différent en cela des déformations d'agitation qui cependant
le constituent. Il n'est donc fonction de celles-ci qu'à la manière d'une
moyenne locale, où se confondent leurs détails tant de direction que de
grandeur; et l'on peut dire qu'il dépend uniquement (à part les variables
p, T de l'état élastique moyen local) du degré actuel moyeji d'intensité de
l'agitation au point considéré, comme les coefficients évaluant les pro-
priétés physiques d'un corps dépendent en général du degré de son imper-
cejiliblc agitation calorifique appelé température. Le degré de l'agitation
sera comme une sorte de température de l'écoulement, plus grossière que
la température proprement dite, et englobant peut-être les deux princi-
paux attributs du pouls d'un cours d'eau, amplitude et fréquence, comme
la température implique à la fois, par son élévation, l'amplitude du
mouvement calorifique et la période de ses vibrations, du moins les plus
multipliées.
» L'agitation paraît donc devoir à son extrême irrégularité la propriété
d'influer sur les qualités mécaniques d'une particule fluide sans altérer en
moyenne son isotropie, et elle se comporte comme si, en un court moment,
elle présentait les mêmes circonstances générales par rapport à tous les
systèmes d'axes qu'une rotation quelconque déduit d'un premier système
rectangulaire des x,y, z.
» 12. Cela étant admis, le développement linéaire de la pression
moyenne /;, suivant D, -t- D. 4- D3, D. — D., et D3 — D,, ne peut contenir
les termes en D^ — D., et D., — 1),, qui changent de signe, tandis que />
reste invariable, quand on permutcD^ etDs, ou D3 etD,, c'est-à-dire quand
on fait tourner de 90", autour de la dilatation principale D, ou de la dila-
tation principale Do, le système d'axes rectangulaires constitué par les
( 'O
directions de 1),, 1)., D.,. Donc In pression moyenne p, c'est-à-dire
_ (N^-^ N_^ -h N-), ne dépendra des vitesses moyennes locales de défor-
mation que par un terme proportionnel au trinôme D^-h 1), -+- D-, c'est-
à-dire à la vitesse actuelle D, 4- Do H- D, avec laquelle se dilate, dans le
mouvement moyen local, le volume des particules fluides considérées. Et
le coclficient de ce terme sera d'ailleurs, tout comme la partie de p indé-
pendante tlu mouvement moyen local, l'onction des deux variables p, t et
du dci^ré d'agitation.
» Mais, vu l'ordinaire petitesse (du moins dans les fluides sans viscosité
appréciable) des parties non élastiques des pressions, comparativement
à la j)ression élastique ou normale de repos, la pression moyenne/^ ne dif-
férera que peu de la pression élastique pour mêmes densité et température
moyennes locales p, t ; et l'on n'aura à peu près jamais besoin de l'en dis-
tinguer.
» 15. Si l'agitation s'afi'aiblissait au point que les déformations effec-
tives ou totales devinssent seulement de l'ordre des D, G, le coefficient s
du frottement intérieur, et celui qui affecte D^-h D^ -f- D^ dansyo, ne dé-
pendraient plus que de p,T. En eflet, nos raisonnements s'applicjuent évi-
demment à ce cas limite, où V agitation s'élimine, comme nous avons vu,
ties formules des pressions moyennes locales. Le coefficient s, en j)articu-
lier, se réduirait donc alors à sa valeur déduite des expériences de Poi-
seuille sur l'écoulement dans les tubes fins et qui est, pour l'eau à lo" C,
a =z o.oooooo i3'36 p^ = o*^''',i33G , les unités de temps et de longueur
étant la seconde et le mètre.
» 1-i. La comparaison des six premiers membres de (i i) au septième i
fait connaître les formules définitives de N^ — N^, N^ — N^, . . . , T. ; et si
l'on observe d'ailleurs que les trois composantes normales de pression N,.,
Nj, Nj; s'expriment immédialement en fonction linéaire de leur moyenne
arithmétique — p et du tiers de leurs dilférences respectives N, — N^, ...,
il vient, pour rej)résenter les pressions moyennes locales N, T, au moyen
de /;, du coefficient £ de frottement intérieur et des vitesses moyennes lo-
cales D, G de déformation, les triples formules
,^^^^ j (\,,N,,N,)=-/;-;;e(D,-hD,+ D,)4-2s(D,,D„n,),
I (T,,T,,T,) =c(G,,G,.,G,).
( '3 )
» I.e second terme de N^., N^, N^, en £(D^-+- D^ -h D^), s'y trouvera évi-
demment négligeable, à coté des autres termes en t, dans les mouvements
où les changements de forme des particules seront incomparablement plus
grands que ceux de leur volume, notamment dans tous les écoulements de
li(juides, et même dans les écoulements de gaz sous des différences de
pression assez petites par rapport à la pression elle-même.
» Après avoir substitué, dans (12), les valeurs (2) des vitesses de défor-
mation, on portera ces expressions des forces N, T dans les équations in-
définies du mouvement moven local,
(i3)
(
c/X^ dT. dTy ^r ' dT. r/iNV dT^ ,,
-— ^ -h -^ 4- -^^ + pX = pw , ^1 4- _^ + -^ + pY =
dx dy dz ' * dx dy dz '
= pr',
dTy dT^ d^.
dx^ dy + ^; + ?^ = ?^^'
oîi X,Y, Z sont les composantes de la pesanteur g et u' ,v' , w' celles de
l'accélération moyenne locale, exprimables en u, r, w et leurs dérivées à
la manière ordinaire. L'on aura ainsi, sous forme explicite en u,v,w,p,
les trois équations indéfinies du mouvement, si l'on parvient à connaître le
mode de variation de £ en fonction des données du problème.
§ V. — Expression du frottement extérieur et conditions relatives
aux surfaces limites.
)) Id. A la surface limite du fluide, les trois composantes, suivant les
axes, de la pression moyenne locale de celui-ci sur sa couche superficielle,
exprimées par les formules habituelles en fonction linéaire des N, T, éga-
leront les composantes contraires de l'action du milieu extérieur sur la
même couche.
)) Quand le milieu extérieur est une paroi fixe, l'ignorance où l'on est
de la composante normale de sa pression se trouve suppléée par la connais-
sance de la composante analogue de vitesse, alors nulle. Mais on ne peut
se dispenser d'avoir une formule de ses composantes tangentielles, c'est-
à-dire du frottement extérieur F^, opposé en direction au glissement, sur
la paroi, des couches fluides presque contiguës, plus intérieures toutefois
que la couche extrêmement mince immobilisée par adhésion à la paroi. Si
l'on prend celles d'entre elles qui sont à une distance de la paroi à peine
perceptible, et néanmoins suffisante pour que leur vitesse moyenne locale
( ■'. )
V n'éprouve plus de l'une à l'autre le très rapide accroissement local dû à
leur voisinage même de la couche immobilisée, la vitesse V, à très peu près
la même sur une épaisseur sensible, y sera ce que les hydraulicicns ajipellent
la vitesse à la paroi.
» C'est surtout d'elle et du degré de rugosité de la paroi, que dépendra
dans les mouvements tumultueux le frottement extérieur F^ par unité d'aire.
En effet, à travers la mince couche fluide tapissant la paroi et immobilisée
sur une épaisseur imperceptible, les rugosités subissent, par leur coté exposé
au courant, l'impulsion vive ou le choc des particules intérieures qu'elles
dévient, dont chacune les presse d'autant plus, suivant le sens de la vitesse
movenne locale V, qu'elles sont phis grosses et qu'elle est elle-même, èi
volume égal, plus massive ou d'iui poids proportionnel p^' plus fort, et, en
outre, animée d'une vitesse V plus grande, l'impulsion ou pression totale
produite ainsi sur l'unité d'aire de la paroi étant, d'ailleurs, d'autant j)lus
forte encore que les rugosités sont plus multij)liées et qu'il y passe devant
chacune j)lus de particules fluides p ir unité de temps, ou que la vitesse \
est plus grande.
» Le frottement F,.diià ces impulsions ou, encore, à l'aspiration corréla-
tive (dite non-pression) qu'elles provoquent sur la face aval et protégée des
aspéiités, sera donc, d'une part, proportionnel aux i\G\\\ facteurs consti-
tuant en quelque sorte, par leur produit, le degré de rugosité, savoir fré-
quence et ampleur des inégalités de la paroi; d'autre part, proj)orliouuel
d^wK fois à la vitesse à la |)aroi V et une fois au poids zg de l'unilé de
volume du fluide, en admettant, ce (\n\ est l'Inpollièse la |)lus naturelle et
la plus simple, que chaque circonstance quantitative distincte dont l'annu-
lation entraînerait celle de rim|)ulsion soit en raison directe de celle-ci (').
(') Il ne faudrait cepeiulaiil pas, en ce qui concerne la proporlionnalilé du frolle-
rnenl à la grosseur et à la frt'(|uenee des aspérités, que le nombre de celles-ci, surtout
si elles sont à peu prés de même hauteur et très a|daties ou arasées à leur sommet,
se multipliât au point de réduire leurs intervalles creu\ à d'étroits sillons, d'une
étendue relative insignilianle dans le sens du courant, et où ne pourraient pas |)énétrer
les particides afiluenles animées de vitesses notables, ou à li-apîctoires dès lors /('//c/z/cv.
(,ar de telles rugosités s'annihileraient |ire^que, mutuellement, étant comme eflacée-
par la couche de (luide inoil qui occuperait ou, mieux, ("omblerail leurs inleislices.
On peut voir, à ce sujet, dans les liecherches hydiditU^jucs. de M. lia/.in (p. Kj), les
séries d expériences 12 à 17, où des aspérités transversales à sections rectangulaiies,
<le o'",oi de hauteui- et o"",o?.7 de largeur (dans le sens des ,r ou du courant), conti-
nues tout le long des contours n)ouillés qu'elles occupaient, laissaient entre elles des
( i5 )
» 16. Si donc B flésigne un coefficient très notablement croissant avec le
de^ré de rugosité, l'on aura une formule comme BpgY- pour exprimer la
partie du frottement extérieur duc à l'impulsion des particules contre la
paroi et liée aux petites sinuosités de leurs trajectoires, c'est-à-dire, en défi-
nitive, à l'agitation du fluide. Or, dans les écoulements tumultueux où la
vitesse à la paroi sera un peu grande, cette partie principale p^BV^ du
frottement extérieur mast[uera complètement l'autre partie qui seule le
constituerait dans des mouvements bien continus, c'est-à-dire celle que
donnerait la composante, suivant le sens général de l'écoulement tout
autour, du frottement de la couche immobilisée, sur le fluide intérieur, si
celui-ci prenait des mouvements réguliers tout en conservant la même
vitesse movenne locale V à la distance de la paroi où cette vitesse se pro-
duit effectivement. En effet, dans un tube capillaire où pareille vitesse
s'observerait à pareille distance de la paroi, mais avec mouvements bien
continus, le frottement extérieur ne serait certainement presque rien à
côté de ce qu'il est dans le lit à grande section considéré ici.
» Nous aurons donc, pour l'expression approchée du frottement d'une
paroi,
(i4) i\=pg\)V\
» J7. A une surface libre, où le milieu extérieur sera une atmosphère
trèsmobile et très peu dense, presque sans inertie, l'extrême facilité qu'aura
le liquide sous-jacent à l'entraîner empêchera le frottement Y^ d'acquérir
des valeurs sensibles; et l'on aura F^= o, ou B = o dans la formule (i4\
encore applicable ainsi.
» L'action du liquide sur sa couche superficielle se réduira donc à sa
composante normale, que l'on égalera à la pression donnée de l'atmo-
sphère ; et, inversement à ce qui arrivait auprès d'une paroi fixe, la
connaissance de cette pression suppléera à celle de la vitesse de déplace-
rainures parallèles, de o'",oi de largeur( suivant les x) dans les séries 12, i3, i4, et de
o'",o5 dans les séries i5, 16, 17. La résistance à l'écoulement atteignait, dans le second
cas, le double environ de sa valeur dans le premier.
Une Note du n" 36 montrera, d'ailleurs, que la pénétration des filets fluides entre les
intervalles des aspérités paraît croître aussi, à égalité de vitesse V, quand la largeur
et la profondeur du courant se réduisent au point de n'être plus comme infinies par
rapport à la hauteur des rugosités de son lit; et, par suite, le frottement devient alors
plus grand.
( I(> )
mcnl (le la siirfiice, c'est-à-dire à la connaissance (1(> la composante de la
vilessf» niovenne locale, suivant le sens normal.
» 18. D'ailleurs, l'expérience montre que la liberté même de la surface,
ou le peu de résistance du gaz extérieur aux déplacements bruscpies,
entraîne, surtout dans les couches liquides supérieures, des perturbations
incessantes, cause d'extrêmes complications dans le mode de variation de-,
vitesses.
» Toutefois, ces perturbations et complications paraissent n'altérer
les vitesses moyennes locales que de quantités peu appréciables, et en
quelque sorte de second ordre de petitesse. C'est ce qu'ont prouvé des
observations comparatives très précises du débit, faites par M. Bazin, dans
des canaux et des tuyaux à sections rectangulaires de mêmes contours
mouillés par unité d'aire et de même largeur, où il a été impossible de
constater aucune influence, sur la vitesse movennc, des perturbations
signalées (*). Mais, comme des variations locales du second ordre de
j)elitesse, chez une fonction de point, suffisent j)our v changer de cpianlités
du premier ordre la situation d'un maximum ou minimum, ces pertur-
bations déplacent d'une manière très sensible le filet le plus rapide. Elles
l'abaissent au-dessous de la surlact', et d'autant plus que la section est
moins large comparativemefit à sa jjrofondeur, comme si le voisinage de
cette surface libre déterminait un léger accioissetnent de l'agitation et du
coefficient B sur le haut des parois latérales.
» INIais la suite prouvera que nous pourrons, sans grand inconvénient,
négliger ces perturbations compliquées.
^^ VI. — Formules du coefiBcient t des frottements intérieurs dans un régime
graduellement varié.
» lî). Il ne nous reste plus, pour avoir mis complètement le problème
en équation, qu'à savoir comment variera le coefficient £ des frollements
intérieurs. Et d'abord les écoulements étudiés se feront à temj)érature t
constante, ce qui dispensera d'y considérer la variable t. Quant à la
densité p, (jui n'y changera que très peu, ces légers changements le feront-
(') /h'c/icrc/ies /lydraidir/iu'S, etc. (au l. XIX du /ieciicil des Soianls étrangers),
|)|). ijGcl 177.
( 17 )
ils varier autant qu'ils modifient la pression élastique ou moyenne/?? Des
expériences de du Buat, Darcy, etc., ont prouvé, comme on sait, qu'il
n'en est rien et que les frottements provoqués par les mêmes mouvements
relatifs de couches fluides voisines ne sont pas plus grands sous forte
pression que sous une pression presque nulle. Et on le conçoit. Car, si le
fluide donné se ddate, chacun de ses groupes moléculaires s'étale dans un
plus grand espace, où les écarts absolus entre la contexlure interne
élastique et la contexture interne effective ont plus de champ pour se
produire, donc aussi plus d'amplitude, à égales rapidités de déformation;
d'oi^i suivent, entre molécules prises en même nombre, des frottements
intérieurs plus forts. Mais, par contre, il y a, aux distances où les frotte-
ments se produisent, moins de molécules de part et d'autre d'un élément
plan d'étendue donnée, et, par conséquent, un nombre moindre d'actions
élémentaires à travers son unité de surface. L'on s'explique que ces deux
causes contraires se compensent sensiblement, surtout dans les si étroites
limites où varie la densité des liquides.
» Le degré d'agitation, voilà la vraie variable dont £ dépend. î/observa-
tion, même la plus superficielle, des grands écoulements, comparés à ceux
qu'offrent les tubes capillaires et dont les lois ont été données par Poi-
seuille, montre que la valeur de ce coefficient pour des mouvements bien
continus n'est presque rien par rapport à celles qu'il prend dès que l'agi-
tation devient notable. Nous pourrons donc le supposer nul avec elle et
proportionnel à chacune des circonstances quantitatives indispensables
pour la produire, conformément au principe de bon sens déjà émis à pro-
pos du frottement extérieur, qui consiste à adopter dans chaque cas l'hypo-
thèse la plus naturelle et la plus simple, sous la réserve du contrôle ulté-
rieur de l'observation.
» 20. Cela admis, supposons le lit de notre courant fluide assez voisin
de la forme cylindrique ou prismatique pour que les vitesses moyennes
locales aient pu devenir, sur une grande longueur, presque parallèles à
une même direction, suivant laquelle on prendra les a? positifs. Les vitesses
latérales ou transversales ç, w seront donc, comparativement à la vitesse
longitudinale u, des quantités du premier ordre de petitesse, ayant leurs
carrés et produits négligeables; et, comme toutes ces vitesses ne change-
ront dans un rapport sensible qu'au bout de temps assez longs ou sur de
grands parcours, l'on pourra négliger aussi les accélérations /, w' et les
H. 3
( '8 )
dérivées (le i', tr en .r, tandis que l'accéléralion longitudinale //' et la déri-
vée de u en x seront du premier ordre de petitesse.
» Un tel régime est dit '^radiiellcmcnl varié. Nous y appellerons t la
section du fluide, sensiblement normale, faite parallèlement aux yz par le
plan d'abscisse .r, et y le contour mouillé Aq cette section, c'est-à-dire la por-
tion de son contour total occuj)ée par les parois.
» 21 . L'agitation se formant surtout près de celles-ci, voyons quels élé-
ments essentiels concourent à faire naître celle qui se produit, en un point
quelconque (y, -) de /, sur un rectangle élémentaire d/ dx de paroi, l'^t
d'abord, une certaine vitesse moyenne locale à la paroi, que nous pourrons
confondre avec sa composante u, y sera nécessaire; car sans cette vitesse,
sans quelque énergie translatoire, aux dépens de laquelle puisse s'engendrer
la demi-force vive d'agitation, celle-ci ne naîtrait pas. En effet, des expé-
riences de Darcv, Osborne Revnolds, M. Couette, ont montré ([ue les
mouvements sont bien continus, même dans des tubes de plus d'un centi-
mètre carré de section (mais polis), jusqu'à une limite supérieure de
vitesse qui est inverse du diamètre.
)) De plus, comme le prouve cette dernière loi, une certaine ampleur de
la section, une certaine aire occuj)ée par le fluide au devant ou en face de
l'élément d/ du contour, et par unité de sa longueur d/ , n'est pas moins
indispensable; car elle seule donne du jeu au ballottement du fluide, aux
mouvements oscillatoires normaux à la paroi, qui provoquent et puis en-
tretiennent l'agitation en écartant ou rapprochant de la paroi les particules
affluentes dans le voisinage et en les faisant, dès lors, par leur engrène-
ment avec les inégalités de celle-ci tour à tour diminué et accru, tournoyer
en sens divers.
)) 22. Il y a quatre cas simples où, par raison de symétrie, la vitesse à
la paroi, que nous appellerons alors u^, est la môme sur tout le contour
mouillé / et où, de plus, l'aire t de la section se répartit pareillement entre
tous les éléments égaux de ce contour ou en face de chacun d'eux d/, dans
l'espace qu'interceptent les normales issues de ses extrémités; de manière
qu'il en corresponde à tous d'égales portions </': et que l'ampleur -j^ soit
constante, égale par conséquent au rayon moyen -• Ce sont, d'une part,
les deux cas, où l'influence des bords est négligeable, d'un canal rectangu-
( '9 )
laire très Inrge, d'une profondeur donnée h, et d'un tuyau à section rec-
tangulaire aussi très large, de hauteur double ih\ d'autre part, les cas
d'un tuyau circulaire, de rayon R, et d'un canal demi-circulaire de lar-
geur 2R coulant à pleins bords.
» li'agitation créée à la paroi, ou plutôt son influence sur la valeur de 3,
y sera donc proportionnelle à w^ et au rayon moyen h ou ^^R.
» 23. Les inégalités de la paroi, qui provoquent les ballottement et en-
grènement dont il vient d'être parlé, y interviendront aussi. Mais leur effet
sur la niasse fluide intérieure considérée ici ne sera pas localisé à une couche
mince, comme il arrivait pour l'influence des mêmes inégalités sur le frot-
tement extérieur, et il se trouvera d'autant plus amorti relativement, qu'il
sera plus grand et se fera sentir plus loin à l'intérieur. Donc le degré de
rugosité entrera comme facteur, dans a, avec un exposant notablement
moindre que dans le coefficient B de la formule (i/j)- Autrement dit,
£ devra être proportionnel à une puissance fractionnaire de B, et l'hypo-
thèse la plus simple que nous puissions faire à cet égard, est de le supposer
en raison directe de y/l3.
» A partir des parois, l'agitation se propage à l'intérieur des sections, sur
des plans parallèles au fond ou aux deux bases dans les canaux et tuyaux
larges de hauteur h ou ih, et sur des cylindres ou demi-cvlindres con-
axiques de rayons décroissants r dans le tuyau circulaire ou le canal demi-
circulaire. Il est naturel de supposer que son degré se conserve sensi-
blement de couche en couche dans les deux premiers cas, où elle ne se
concentre ni ne se disperse, et qu'il croît dans les deux derniers cas, où,
abstraction faite de la différence de vitesse des couches, elle se concentre
suivant le rapport — inverse de celui de leurs aires. Enfin, l'on peut ad-
mettre à une première approximation que, dans un canal découvert, l'agi-
tation partie du fond ou des bords se réfléchit, en arrivant à la surface
libre, de manière à produire, au-dessous de celle-ci, sensiblement les
mêmes effets qu'y produirait l'agitation partie de la moitié supérieure des
parois, dans un tuyau plein, de même rayon moyen, dont la section com-
prendrait, outre la proposée <;, sa symétrique par rapport au plan de la
surface libre donnée.
» Si donc nous appelons ^ un coefficient indépendant du degré de ru-
gosité des parois, mais pouvant varier avec la nature dujluide, et où, pour
( 20)
simplifier j)liis loin cerlaincs formules, nous avons mis eu facteur le poids
pgdo l'unité de volume, sensiblement constant, les expressions appro-
chées de £, dans les quatre cas simples dont il s'agit, seront
l (section rectangulaire large) t = '^ \i^/lu^^,
[ (section circulaire ou demi-circulaire) t = '-^ \J\5 - Uq —-
» 2i. Dans les cas de la section circulaire et demi-circulaire, la loi
simple d'accroissement de e vers Taxe, ex.primée par le dernier facteur -,
ne peut plus s'appliquer aux petites distances r de l'axe, où elle conduirait
à supposer une agitation presque infiuie, physiquement inadmissible. Mais
elle n'y donne aucun frottement très grand par unité d'aire, vu que la vi-
tesse relative du glissement moyen local des couches y décroît jusqu'à zéro,
par raison de continuité et de symétrie. Aussi n'en résulte-t-il, dans le mode
de distribution des vitesses, qu'une altération locale à peine perceptible.
Il est toutefois désirable, en vue de l'approximation plus grande que
rendent possibles les récentes observations, de corriger cette loi trop
simple de la proportionnalité inverse de s au rapport yv; nous le ferons par
la substitution, à ce rapport, d'une fonction un peu difTérente tt ■+- v( ■, )'
où la petite partie inconnue ^j/( k ) restera finie et distincte de zéro sur
l'axe. Mais nous serons réduits à la déterminer par les données seules de
l'expérience, dans la mesure très imparfaite que permettra leur précision
(difficile cependant à surpasser). Nous remplacerons donc, aune deuxième
approximation, la seconde formule (i5) par celle-ci.
(i6) (section circulaire)
» *2ii. Passons au cas plus général de tuyaux ayant leur contour y d'une
même forme quelconque, définie par une relation donnée entre les rap-
ports -^y — des coordonnées y, z de leurs divers points au rayon moyen
-; et comprenons-y d'ailleurs celui d'un canal découvert, en imaginant
( ^I )
alors, comme il a été indiqué ci-dessus, un tuyau de section double où le
contour mouillé, double également, se composerait du proposé et de son
symétrique par rapport à la surface libre. Pour donner à ces cas toute la
généralité possible, supposons même le degré de rugosité ou, par suite,
le coefficient B du frottement extérieur, variables avec la génératrice
considérée de la paroi, c'est-à-dire en fonction arbitraire de — et — •
» Ici la vitesse à la paroi, encore réductible à sa composante a, ne sera
plus constante le long du contour mouillé / ; mais nous pourrons admettre
avec quelque approximation qu'elle y varie d'une certaine manière ou,
autrement dit, en appelant u^ sa valeur en un endroit déterminé, par
exemple au point le plus bas de a, qu'elle est partout ailleurs le produit
de Ua par une fonction toujours la même de — > — • L'ampleur -r- au de-
vant de chaque élément d/^ du contour, entre les deux normales menées
à ses extrémités et prolongées jusqu'à la rencontre de la surface libre ou
du plus grand diamètre (dans une section elliptique), n'égalera plus -,
mais bien le produit de - par une autre fonction de ^, ^- Le rayon
moyen - sera cependant comme sa valeur moyenne, puisqu'il exprimera le
l'olume fluide existant, dans le courant, par unité de surface des parois, ou
l'aire de section normale par unité de longueur du contour mouillé.
» Les trois facteurs distincts u, -j- » ^y'B, caractérisant l'agitation en-
gendrée près de dy, auront donc pour produit l'expression ^\/Bo - Wo»
multipliée encore par une fonction analogue. Et comme enfin l'agitation,
à partir des parois, se transmettra dans la masse en se concentrant ou se
disséminant suivant les mêmes proportions aux points homologues de l'in-
térieur, ou en se réfléchissant de même aux points homologues des sur-
faces-limites, il est naturel qu'on puisse exprimer le rapport de sa valeur
en chaque point ( j, ^) de a à ce qu'elle est au point du fond où B et m
sont B(, et Uq, par une certaine fonction positive de la forme F ( ^> ^ U la
même pour toutes les sections dont il s'agit. Il viendra donc, comme géné-
ralisation des formules (i5)et (ï6),
(,7) ,^lf^„lu„v{lL,'i).
( --^ )
M Nous aurons plus loin à considérer le produit des deux fonctions,
censées connues, ït-' (~~ ) ' P'''ses aux divers points du contour mouillé /.
En appelant/ ce produit positif, qui se réduit à l'unité dans les cas des
formules (i 5) et (i(3), nous poserons ainsi
(i8) (sur le contour mouillé /) ïT ( ~ ) =^/( ' ) "
§ VII. — Équations d'un tel régime indispensables pour traiter le cas particulier
du régime uniforme.
» 2G. Portons l'expression (17) du coefficient de flottement intérieur
dans les formules (12) des forces N, T, où les I), G ont d'ailleurs les va-
leurs (2). La petitesse du coefficient z rendra négligeables les termes où il
multipliera des dérivées de 11, c, w, autres que celles de u an y, z, les seules
de grandeur notable. Il viendra donc
N,= N,= N,= -^, T,,-o,
avec e = ~\ Bo 7 m,, 1'
T, =
IZ, ïl]
dit
df
)) On en déduit d'abord aisément, à raison de la petitesse des angles
faits par les normales à la surface-limite avec les plans des yz ou des sec-
tions (7, que la j)ression exercée sur la masse fluide par un élément quel-
conque de sa couche superficielle ne comprend de sensible, à part une
partie principale valant —p et perpendiculaire à la surface, qu'un /ro//t'-
,..,,, , . I . • r . • ' du
ment, dirige a très peu près suivant les x negatits, et exprime par — ^7^'
où -7- est la dérivée de u suivant une petite normale du tirée, dans le plan
de la section 1, sur son contour, à partir du point intérieur voisin que l'on
considère. Si p désigne l'angle de cette normale, menée ainsi vers le
dehors, avec les y positifs, on a
. s du du ^ du . „
» Prés d'une surface libre, le frottement étant nul, la fonction u vé-
du
du
rifiera donc la condition -7- = o et /? égalera la pression constante donnée
( 2.3 )
(le l'atmosphère contiguë. Près d'une paroi, où le frottement est régi par
la formule ([4)» il viendra pour ii, vu finalement (i8), la condition
dn
» 27. Voyons maintenant ce que deviennent les équations indéfinies (i3)
et, d'abord, les deux dernières. Les dérivées en x de T-, T^, qui y figurent,
auront, d'après (19), à l'un de leurs deux termes, le facteur s en même
temps que la dérivée très petite de u en x (différentiée en y ou s), et, à
l'autre, la dérivée même de z en x, d'un ordre de petitesse plus élevé que
celui de s à raison de la graduelle variation supposée du régime. Ces dé-
rivées de T-, T^ seront donc négligeables, et, comme les accélérations
transversales v' , \v' le sont aussi, les deux dernières équations (i3), dé-
barrassées de tout terme rappelant le mouvement, signifieront que la
j)ression moyenne p varie hydrostatiquement sur toute l'étendue de la
section normale n. S'il y a une surface Uhre^ où p devra égaler la pression
constante de l'atmosphère, son profil en travers, limite supérieure de c, sera
donc horizontal.
» 28. Dans tous les cas, la dérivée en^ de/?, ou de — N^, indépendante
de j et z, se réduit à celle de la ])ression moyenne /?o, mesurée le long de
l'axe des x, entre les deux sections normales d'abscisses x, x -\- dx. Nous
supposerons qu'on prenne cet axe, tangent, dans le cas d'un tuyau, à
l'élément même ds, compris entre ces deux sections, de l'axe du tuyau, et,
dans le cas d'un canal découvert, à l'élément analogue ds d'une coupe
longitudinale de la surface libre, telle qu'elle est à l'époque t. Alors, si,
par analogie avec p^,, l'on appelle 1^0 l'altitude des divers points de l'axe du
tuyau ou de la coupe longitudinale de la surface libre, la dérivée ^
sera la pente de l'élément ds, sinus de son angle avec le plan horizontal ('), et
l'on auni, dans la première équation (i3), X = — S^' ^'^^ suite, dans
cetle première équation (i3), la somme des deux termes en N^ et en X,
divisés par ^g\ pourra s'écrire simplement — ^^ Uo ~^" / ô^ )^ ^^> *^^^"^ ^^
(1) En Hydraulique c'est ce sinus, non la tangente correspondante, qu'il y a lieu de
considérer, et auquel il convient de réserver le nom de pente : il reste le mot i/icti-
liaison pour désigner la tangente.
( 24 )
cas d'un canal découvert (où po= const.), elle ne sera autre chose que la
pcnle de superficie, cause unique de l'écoulement lorsqu'il devient uniforme.
Donnons, en général, à cette expression, indépendante de y et de z, le nom
de pente motrice, et désignons-la, suivant l'usage, par I, en posant ainsi
» La première équation (i3), divisée elle-même par p^', sera l'équation
indéfinie en //,
(-23) ±.(I-±L\-^ ± (±.±L\-^i = '!L.
^ ^ dy\?g(ijj dzy^gdzj i--
» 29. Pour la rendre, ainsi que les conditions aux limites, indépendante
des dimensions absolues de la section, prenons comme variables, au lieu
de j, z, les coordonnées r;, ^ du point homologue de {y, z) dans une sec-
tion de ravon moyen i, et appelons r/v la petite normale homologue de dn
dans cette section. Autrement dit, posons
/ /\ '/y Y 7^ 1' ' ^^ 7 '^ ^ y d . d I d
^ '-^ !T (T dy a dt^ dz u dl. dn i (h
» En même temps, substituons à i sa valeur (19) et divisons chaque
équation par le facteur, indépendant de y et z, qui lui donne la forme la
plus simple. Nous aurons
(^^) ih-^"^)y^^d^"'('^
d^
di
k al k (7 (/'
d^
(2G) (sur le contour) F(-^, 'C) -^ = ~ f^^^J{-r>^ 0-
») Ces relations sont complètement indépendantes du choix des axes. En
effet, leurs deux seuls termes qui paraissent en dépendre, savoir, les deux
premiers de (^5), si l'on y effectue les différentiations en vi, C, puis qu'on
y introduise les paramètres différentiels A,, A2 des deux premiers ordres
des fonctions de point qui y figurent, reviennent ensemble à
F A2 h A, F A, — cosX,
où \ désigne l'angle des deux normales aux courbes F = const., — = const.
( •"' )
» Tl suffit de supposer y(r,, s) = o à la surface libre, pour que la condi-
tion (26) au contour comprenne celle qui régit u sur une telle surface.
L'on voit d'ailleurs que cette dernière condition sera satisfaite d'elle-même,
si l'on peut former la solution pour le cas d'un tuyau plein ayant sa section
composée de la proposée et de sa symétrique par rapport à son bord supé-
rieur (ou profil en travers horizontal de la surface libre), avec symétrie de
structure des parois de part et d'autre; car la fonction de point u y
prendra naturellement mêmes valeurs de part et d'autre de cette droite,
sur laquelle s'annulera dès lors sa dérivée suivant le sens normal, continue
dans tout l'intérieur du contour total 1/ .
» 50. La vitesse absolue u^, au point du contour où B = 3^, s'obtient
en appliquant le principe des quantités de mouvement, suivant les x, à la
tranche fluide comprise enti'e les deux sections d'abscisses x, x -+- dx, ou,
ce qui revient au même, en multipliant (sS) par dn ^ —^ dr\ dt, et puis inté-
grant dans toute l'étendue de la section a, sans négliger de convertir les
deux premiers termes, à la manière ordinaire, en intégrales sur le contour
de (7, que la relation (26) conduit à ne prendre que pour la partie mouillée /
de ce contour. L'introduction sous les signes / des rapports — ? — > indé-
pendants des dimensions absolues de t, donne enfin, après quelques trans-
formations évidentes,
)) J^e coefficient de ui, dans le premier terme, est tout connu, puisque
la fonction/^(rj, Z,) s'y trouve donnée en yj ou '( le long du contour mouillé y.
Cette formule fera donc connaître m„ dès que la pente motrice I et les accé-
lérations u' seront données. Puis le système (2.5), (26) déterminera com-
plètement le rapport —■, déjà égal à i au point du contour mouillé où
B = Bj,; et, par suite, il déterminera la vitesse u pour tous les points de la
section. En effet, s'il pouvait admettre deux solutions distinctes, leur dif-
férence, que j'appellerai fj,(r,,^), vérifierait évidemment les deux équa-
tions
(f^) + |(40 = ". (-lecontou,.) pf = o.
( 2C )
Or la j)remière, niulliplice par [j.drtd'C,, et intégrée par parties dans toute
l'étendue d'une section, en y détachant à la manière ordinaire des inté-
i^rales prises sur le contour, donne, vu la seconde, un premier membre
tout composé d'éléments non positifs, et dont l'annulation identique exige
que l'on pose p. =: const. dans tout l'intérieur de la section. Or cette dif-
férence u. s'annule au point où B = B^ et où elle se réduit à i — i. Doue
elle s'annule partout.
vj VIII. — Lois générales du régime uniforme dans des lits semblables
à grande section.
» 51. Mais bornons-nous au cas du régime uniforme, où sont nulles
les accélérations moyennes locales a . Alors Tcquation (27) se réduit à
(28) v.,,„iff(,,xA = u,
Servons-nous-en j)our éliminer la |)ente motrice 1 de (2j), et puis divi-
sons (23) et (26) par Â-y/B,,. Le système (25), (26) ne contiendra plus
comme fonction inconnue, au lieu de—» que l'expression ^ ( — —1 ),
"0 ' ' Av/HoV"o y'
tenue de s'annuler au point du contour mouillé où B = B„ ; et, d'ailleurs,
dans ces équations (23), (2()) qui la déterminent, il ne figurera plus ni
X\/B„, ni le rayon moyen. La nouvelle fonction inconnue dépendra donc
uniquement des deux coordonnées relatives /î, C- Désignons-la par F,(r,, C);
ce qui revient à poser, comme formule exprimant le mode de distribution
des vitesses,
et la fonction F, sera définie par le système
( (sur le contour) F -^ = — f, (au point de/ où B = B„) F, = o.
» 52. Prenons les moyennes des deux membres de (29) dans toute
l'étendue de la section c; et, en aj)pelant U la vitesse moyenne ou vitesse
( ^7 )
(le débit, OILF, la valeur moyenne de F,(t,,*Q dans toute cette étendue, il
viendra
(3i) - =i + /tv'BoOlLF,,
équation qui permet créliminer u^^ de (28) et de relier ainsi la vitesse
moyenne U au produit de la pente motrice I par le rayon moyen. Si nous
appelons Dïif, dans (28), la valeur moyenne de/(7i, "() le long du contour
mouillé / et que nous posions, pour abréger,
(32) f>=- , .^- ' ou — = -=-= -h -7=4,
nous aurons ainsi la formule usuelle des hydrauliciens,
(33) hW = -l, ou \]=~i/-\.
)) D'après la seconde relation (32), l'inverse de y'^^, c'est-à-dire le coef-
ficient indiquant combien de fois la vitesse \j contient la racine carrée du
produit de la pente ()ar le rayon moyen , se compose d'une première
partie réciproc[uement proportionnelle à \/Bo, ou variable en sens contraire
du degré de rugosité des j^arois, et d'une autre partie indépendante de ce
degré. L'étude des cas simples d'une section rectangulaire large et d'une
section circulaire ou demi-circulaire, entre lesquels se trouvent à peu près
compris tous ceux de la pratique, nous montrera que ce coefficient, ou
môme l'inverse b de son carré, est peu variable avec la forme de la
section.
» 55. Si iijn désigne la vitesse maxima, et y.o, *Co les coordonnées rela-
tives du point de n où elle se produit, la formule (29), retranchée de ce
qu'elle devient en ce point, puis divisée par y/BoOrL/", donnera, vu l'égalité
de u^ v'Bo^l^/à U v'6 d'après (28) et (33),
» Cette relation, où les deux derniers membres sont indépendants du
degré absolu de rugosité des parois, a précisément la forme de celle que
/3/|\ ; Uv^ sjowf
( ^« )
l'ensemble des observations a suggérée à Darcy et à i\I. Bazin pour repré-
senter le mode de variation des vitesses aux divers j>oints des sections (').
(') Ces lois ne s'clendent (fii exceptionnellement au cas de lits dissemblables.
Toutefois, M. Bazin a cru pouvoir l'étendre aux cas où l'on fait varier la forme
même de la section par l'agrandissenienl de >' et z dans deuv rapports dinérents; ce
qui, étant supposée riioniogénéilé des paroi-^, donnerait une seule formule j)our toutes
les sections elliptiques, une seule pour toutes les sections rectangulaires, etc. {lie-
cherches hydrauli(jues, p. 245). Or, quand il s'agit d'écoulements bien continus à
l'intérieur de tubes soit elliptiques, soit rectangulaires, une intégration exacte est pos-
sible, comme ou peut voir par les paragraphes V et \ I d'un Mémoire Sur l'influence
des frottements dans les mouvements réguliers des Jluides, au t. Xlll (année i86S)
du Journal de Mathématiques pures et appliquées, de J.iouville, El Ion reconnaît
qu alors le quotient — y^^ > ou, par suite, le (pio lient j- > ne dépendent bien, en ellel,
dans le tube ellipli(|ue, que des rajiporls de y, z aux demi-dimensions corrt.'spon-
dantes b, c de la section, mais qu'ils dépendent, en outre, dans le tube rectangulaire,
c
du raj)port même j de ces demi-dimensions entre elles. Or s'ils sont, de la sorte, pour
la section rectangulaire, fonctions de trois variables dans le cas le j)his sim})le, à plus
forte raison doivent-ils l'être dans les autres, c'est-à-dire quand le mouvement devient
tumultueux ou agité.
Voici, du reste, une démonstration jiresque intuitive de ce fait, (|iie, dans le cas de
1 • -1 "//( — " • , ,
mouvements bien continus, le rapport j-j ne comporte pas une expression de la
forme 'f (t,, Q, avec r^ =r: y , ^ =: - et les paramètres b, c arbitraires, sauf(juand la sec-
tion du tube considéré est eliipli(|ue. Comme ré<iuation indéfinie (^S) revient alors,
vu la constance de z et dans riiyjiotlièse u'=o,à poser l^u =: consl., ou, par suite,
A2cp = const., la substitution, à j' et à z, des variables supposées r,, t de la fonction .;
donne
I d-o I d-o
Or, difTérentions cette dernière relation, soit en r,, soit en !^ ; puis faisons alternati-
vement tendre vers zéro, dans les résultats, l'inverse de c^ et celui de b^. Il viendra
d'^
{dr^\dT,^dK,dr,dÇ-,dl^^)
Donc la fonction o a ses dérivées partielles troisièmes nulles, et elle est un polynôme
du second degré. Or elle ne peut vérifier la condition à la paroi, savoir u =: o dans le
cas considéré de mouvements bien continus, que si l'on a <e = const. sur tout le con-
tour de la section du tube. Par conséquent, ce contour, d'ailleurs fermé, a son équa-
tion, cf> =r const., du second degré en r,, l, et il se réduit à une ellipse.
( =^9)
Enfin, si l'on appelle K la valeur moyenne du second membre dans louLe
l'étendue de a-, il vient, pour relier la vitesse moyenne U à la vitesse
maxima //,„, la formule de M. Bazin,
U
(35) !i!^=K, ou u„,-V = Ks/bV^ = K^U.
» Nous verrons que K a des valeurs notablement différentes dans les
deux cas simples d'une section rectangulaire large et d'une section circu-
laire ou demi-circulaire; il est donc beaucoup plus variable que b avec la
forme de la section, comme l'a, du reste, indiqué l'expérience.
» o4. La formule (29) montre cjue les inégalités relatives de vitesse aux
divers points varient, avec le degré absolu de rugosité, proportionnelle-
ment à vBq. Donc, en toute rigueur, nous n'aurions pas dû admettre la
forme simpley'(r,, 'C) pour l'expression tt-( — ) le longdu contour mouillé/,
à moins de faire varier, sur chaque génératrice de la paroi, ^ en raison
inverse des valeurs qu'y prend (— j cjuand By change. Or alors une nou-
velle difficulté proviendrait de ce que, les degrés relatifs de rugosité aux
divers points ne restant plus les mêmes, l'agitation dans l'intérieur se distri-
buerait autrement etla fonction F(r,,Q changerait. Mais, pour des formes très
diversesde la section, le ra])[)ort — varie bien moins avec T;, (^ et par suite,
d'après (29), avec yB^, ie long du contour mouillé y., que dans l'intérieur,
puisque même il s'y réduit à i dans les cas élémentaires de tuyaux ou ca-
naux rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires, à parois ho-
mogènes. On peut donc, pour toutes les formes dont il s'agit, supposer ce
rapport à très peu prés indépendant r/e B^, sur le contour mouillé y , entre de
bien plus larges limites de variation de y'B„ qu'on ne le pourrait dans l'inté-
rieur; et cela suffit pour justifier en pratique les formules précédentes (').
(') D'après les dislribulions de vitesses, et la forme des courbes d'égale vitesse près
de la paroi, observées par M. Bazin dans des tuyaux et canaux à sections rectangu-
laires (peu larges), trapézoïdales, triangulaires, etc. (Allas des Recherches hydrauli-
ques, Planches XVIII, XXI et XXIII), le rapport — le long du contour mouillé y ne
s'éloigne pas beaucoup de l'unité, même pour des formes très difTérentes de celles
tl'un cercle, d'un demi-cercle ou d'un rectangle de largeur indéfinie; car la courbo
( 3o)
» Si l'on voulait plus de précision, il faudrait rcg^arder le rapport eu
question comme inconnu, et donner au second membre de (2()) la forme
— X-\ B„ /(r,, ^) ( - ) j OÙ _/(r,, Z) désignerait ,t-- Mais alors cette condi-
tion au contour ne serait plus linéaire, et le problème, même en attri-
buant à F(r,, ç) les expressions les plus simples, comme i, par exemple,
deviendrait inabordable, sauf par des procédés d'approximation ou d'in-
terpolation, dans les([uels on ne s'astreindrait qu'à peu près à vérifier la
condition au contour (' ). Et il y aurait même encore, comme ci-dessus, à
faire varier la fonction ¥(r,, 'C), sur laquelle se répercutent les changements
survenus dans le ra})port des vitesses aux divers points de la paroi, non
moins que ceux du rapport des rugosités.
sj IX. — Du régime uniforme, quand la largeur et la profondeur sont insufiBsantes
pour que l'agitation masque entièrement l'efifet des frottements réguliers.
» oij. Nous avonsadmis jusqu'ici, dans le fluide, une ampleur et une agi-
tation tourbillonnaire suffisantes pour que la partie tant du frottement
extérieur que du coefficient e des frottements intérieurs, due à cette agi-
tation, excède dans une forte proportion celle qui subsisterait seule avec
des mouvements bien continus, où les vitesses moyennes locales sciaient
du même ordre. C'est un cas extrême ou limite, relativement simple, op-
posé au cas plus simple encore de mouvements bien continus, accessible
théoriquement depuis Navier et expérimentalement résolu par l^oiseuille.
Il y a lieu de supposer que, dans le cas intermédiaire, moins abordable,
mais très usuel, de rayons moyens ou de vitesses moyennes assez faibles
pour que l'agitation masque en majeure partie les effets du frottement ré-
gulier sans les annihiler, les lois de l'écoulement s'écartent un peu des
précédentes, dans le sens indiqué par celles de IViiseuillc.
)) C'est surtout la vitesse moyenne U, dont se déduit le débit, qui offre
d'égale vitesse dont réquation est, suivant les cas, //r=o,8Uoii « = o,7U suit de
près le contour mouillé, d'un bout à l'autre, du moins quand le degré de rugosité n'est
pas énorme.
(') Voir, au sujet de ces procédés qui peuvent être parfois utiles, le n° 450* de mon
Cours d'Analyse infinilcsimale pour la Mccanùjue et la Physique {Calcul iiUr-
gra l, Co nip lé m ents, p , 4 ' 9 * ) •
( 3. )
(le l'intérêl. Or, d'après la formule (33) qui la donne, le produit ^ = 1 - |-^:,
de la pente motrice par le rayon moyen et par l'inverse du carré de la
vitesse est constant, tandis que les lois de Poiseuille font ce même produit,
lorsqu'on en élimine la pente I, réciproquement proportionnel (pour
chaque forme de section) au rayon moyen et à la vitesse U. Donc, dans le
cas intermédiaire considéré ici, b croîtra avec les inverses de ces deux
quantités; et, s'ils sont assez petits, son développement par la formule de
Mac-Laurin, réduit à la partie linéaire, sera, en appelant a ce qui reste
de b quand ils s'annulent, et p, P' deux coefficients positifs,
(3G) boul'-^,=y.(^ + '^l
S' -
y^ U2 --^- ' .-a ' *" U
» 56. Les hydrauliciens, jugeant sans doute le trinôme trop complexe dans
cette formule, ont supprimé l'un des deux derniers termes. C'est le dernier,
en ^', qu'ils avaient conservé d'abord ; mais Darcy et M. Bazin ont reconnu
que l'approximation était bien meilleure en gardant, au contraire, le pré-
cédent, et ils ont posé ^' = o, mais a, [3 croissants avec le degré de rugosité
des parois. Par exemple, la seconde et le mèlre étant les unités de temps
et de longueur, Darcy trouve x = o,ooo2535, P = o,oo638, dans le cas de
tuyaux circulaires en fer étiré ou en fonte lisse, et M. Bazin, oc = o,oooi5,
fî ^ o,o3 pour les canaux à parois très unies, mais a. = 0,00028, p ^ 1,23
pour les canaux en terre et les grands cours d'eau (').
(') liaison probable pour laquelle le coefficient b de la formule du régime uni-
forme dépend alors beaucoup plus du rayon moyen que de la vitesse moyenne, à
moins que le rayon moyen ne de^'ienne extrêmement petit.
11 est nalurel que cliaque degré de rugosité de la paroi exige une certaine ampleur
de section, une certaine giandeur mininia du rayon moyen -? en rapport avec ce degré,
pour que le coefficient B du frottement extérieur se réduise à la valeur constante figu-
lant dans notre formule (i4)- A.u-dessous du rayon moyen minimum dont il s'agit, si
l'écoulement reste néanmoins assez rapide par l'edet d'une pente motrice convenable,
le courant, manquant en quelque sorte de place pour son passage, doit laisser moins
(S.Q, fluide mort entre les aspérités de son lit, les contourner ainsi plus profondément
ou plus complètement, et y produire des chocs plus forts, à égalité de la vitesse de
translation. De là, sans doute, dans l'expression du coefficient de frottement extérieur li
et, par suite, d'après la première formule (32), dans le numérateur du coefficient
usuel b, l'augmentation qu'exprime proportionnellement le second terme du facteur
( 32)
§ X. — Retour au cas des grandes sections : lois spéciales aux sections
rectangulaires larges et circulaires ou demi-circulaires.
» ÔT. Passons mainlenanl aux cas particulièrement intéressants où la
\ itessc à la paroi peut être supposée constante.
l)inôine i-+-p— > aiigmentalion inverse (hi ravoii moveii el forlemenl croissonle avec le
<j
degré de rugosité.
L'introduction de ce facteur l)inùme s'explique donc aulremeiil et niieuv que j)ar
une tendance lointaine, dès lors vague, de l'écoulement vers les lois de Foiseuiiie. On
observe vraiment une tendance vers ces lois, bien accusée, c'est-à-dire une diminution
assez notable de l'agitation pour amener un régime intermédiaire entre celui des
grandes sections et celui des petits tubes, quand, diins l'Iiypotlièse de parois polies ou
modérément rugueuses, on a des rayons moyens de quelques centimètres seulement cl
des vitesses allant environ de o"',i à i'". Mais alors le |)ioduit I - ttï garde à |)eu près,
y L"
/y I \"'
comme dans les deux régimes extrêmes considérés, la forme Y ( TT ) ' «*^cc un coeffi-
cient constant y et un exposant m égal à \, c'est-à-dire justement moyen entre les deux
valeurs o et i qui correspondent à ces deux régimes. Les variables —■, -, au lieu de s'y
séparer comme dans la formule (36), continuent donc à n'y figurer que par leur pro-
duit, ou à peu près. Et l'on a
La vitesse moyenne est proportionnelle au rayon moyen et à la puissance l de In
pente motrice. Ce cas intermédiaire s'est présenté, dans les Rccherclies hydrauliques
de NL liazin, pour les quatre séries d'expériences 28, 29, 30 et 31 (p. io3 à io6), faites
sur un petit canal rectangulaire de o"", i de largeur, poli dans les deux premières séries,
rendu rugueux par un revêtement en forte toile dans les deux dernières. Le coefficient ■/
y était très sensiblement o,oooo4 dans le premier cas (où les expériences ont donné
en moyenne \ - j- :z:i 0,000198 pour I = 0,0047, ^ ~ Ti ^Ojooo^go pour I^io,oi5:? 1 ,
el environ, mais d'une manière moins précise, 0,0001 15 dans le second cas (où elles
ont donné 1 - -..- =:o, 000421 pour I=o,oo8f, et I - — =: o,ooo656 pour I := 0,01 52 j .
Le quotient y* fie l'expression I- p, que considère M. Bazin, par l'', était donc
0,00117 dans le canal poli et environ 0,00286, ou le double, dans le canal rugueux.
( 33 )
« r.e plus simple est celui d'une section rectangulaire large, suivant la
j)r()fon(leur ih ou h de laquelle nous dirigerons vers le bas l'axe des s, à
partir du centre s'il s'agit d'un tuyau de hauteur intérieure ih, et à partir
de la surface libre s'il s'agit d'un canal découvert de profondeur h. Le ])re-
inier cas, vu la svmétrie des vitesses de part et d'autre du diamètre ou de
la médiane parallèle aux y, se ramène au second, plus pratique, q>\x z ne
varie que de zéro à h, et où la dérivée de a en :; s'annule aussi pour s = o,
en vertu de la condition spéciale à la surface libre. Bornons-nous donc à
ce cas.
» La larc^eur est supposée assez grande pour que F, ne dépende pas,
dans (3o), de la première variable r, ; et l'autre variable, C, y représente le
raj)port de z au rayon moyen h, c'est-à-dire la distance des divers points à
la surface libre en prenant pour unilé la profondeur totale. D'ailleurs, la
première fornude (i5) de s donne F=i dans le système (3o), où l'on a
(]éià/= I, B„ = B et enfin, pour ^ = i, r/v = cVi, F, = o. Il vient donc im-
médiatement F, = ^(f — ^^), OIlF, = ^(i — ^) = \\ et les formules (32),
(34), (35) sont
» L'avant-dernière est précisément celle que M. Bazin a obtenue par l'ob-
servation des vitesses à diverses profondeurs, sur une verticale équidistante
des deux bords, dans un grand nombre de canaux dont la largeur, il est
vrai, contenant seulement de 5 à 8 fois la profondeur, était insuffisante
pour qu'on j)iit négliger l'action retardatrice du frottement des bords sur
la vitesse maxima u,^ au milieu de la surface. Le coefficient, 20 environ,
qui y affectait *C^, est donc moindre que ^k; de sorte que le nombre k de
nos formules doit excéder assez sensiblement 4o.
» 58. Suj)posons actuellement qu'il s'agisse d'un tuyau circulaire ou,
ce qu'on sait rcAcnir au même, d'un canal demi-circulaire coulant à pleins
bords, avec B = B,,, c'est-à-dire avec homogénéité des parois dans les deux
cas. Appelons t le rapport, au rayon R, de la distance r à l'axe, ou de
V jK" H- :;- : autrement dit, posons
(38) . = isVT-; clou | = A, ^ = ^.
» Les fonctions F, F, dépendront uniquement de t; et la première
B. 5
(34 )
(l'entre elles, F, sera, d'après (lO), l'inverse de t -i-y(ï). D'ailleurs, /se
réduisant à l'unité, tandis que f/v, ou d\r,^ -h C" (à la limite x = \), ne sera
autre chose qjie 2dt, le système (3o) deviendra aisément
(39)
jt (/i L»- + 'M*-) '^''-
./F,
+ I = o,
2 (pour t = i).
F, = o (pour
I).
\ I H- •!/ ( I ) (h
» La première, multipliée par !\xclx, s'intègre immédiatement, à une
constante arbitraire près que détermine la seconde. Après cjuoi, une nou-
velle intégration donne, vu la troisième relation (3f)),
(4o) V, = l{l -x')-h2 f ■l(x)x(h ou v^ = i(i-x')-^nXi)-^\\x),
en posant, pour abréger,
(/,i) 'F(t) = 2 f ■l(x)x (h.
*
)) Telle est la valeur qu'il faudra substituer à F,(y,,'C) dans les rela-
tions (32) à (35), et dont la moyenne oitlF, s'obtiendra, comme celle de
toute autre fonction de t aux divers points d'un cercle f- d.x^ de rayon
ï = I , en multipliant par d.x'-= 2x d^ et intégrant de zéro à i. Si l'on ob-
serve que la vitesse maxima u,„ se produit, par raison de symétrie, sur l'axe
ï = o, les formules (32), (34), (35) deviendront
(i2)
I
I
//,„— H
\ ^Sjb
= kVW-r
-T(i) — 2^ ^:{x)xdx
•-
^ 'F(ï)ï dx
h.
§ XI. — Confrontations expérimentales et réflexions diverses.
» 39. Mais bornons-nous d'abord à l'approximation, presque satis-
faisante déjà, où l'expression des est la seconde (i5); ce qui revient à
prendre '^{r) = o, ^F(r) = o. Alors ces formules (42), oi^i nous diviserons
toutefois la deuxième par y 2? se réduisent à
(43)
I
Vli
L I 5 '
(35 )
» La seconde de celles-ci sera précisément celle que M. Bazin a obtenue
par l'observation des canaux découverts demi-circulaires, si l'on pose(les
iinilés de temps et de longueur étant la seconde et le mètre)
( 4 I ) ^X- = 2T OU A = — -— = 4 l.-> > et - = 22, -1~.
» On obtient donc, pour le coefficient \;k de '(- dans la seconde for-
mule (37), la valeur 11,1'^, supérieure à 20, comme on l'avait prévu.
Toutefois, M. Bazin avait été conduit, par un ensemble d'inductions
paraissant assez motivées, à le prendre encore un peu plus fort, jusqu'à
24 environ (*); c'est bien la valeur que nous lui trouverons à la deuxième
approximation.
» 40, De plus, l'inverse de y/è, qui indique combien de fois la vitesse
moyenne contient la racine carrée du produit de la pente par le rayon
moyen, est, d'après les premières formules (43) et (37) comparées, plus
grand dans la section circulaire que dans la section rectangulaire large,
mais seulement de :^/î: = 2,97 ou environ 3 unités; ce qui est peu de
chose comparativement au plus petit de ces inverses, dont une assez bonne
moyenne, fournie par la valeur usuelle de h pour les grands cours d'eau,
0,0004, attribuée à Tadini, est 5o. Donc, pour deux formes de section
aussi différentes que la forme rectangulaire large et la forme circulaire ou
demi-circulaire, entre lesquelles se placent la plupart de celles de la pra-
tique, les valeurs de h différent à peine; et il est dés lors naturel que l'ob-
servation les donne presque les mêmes que celles-là, que celle de la
|)remière formule (37) en particulier, dans tous les cas de sections rec-
tangulaires, trapézoïdales, triangulaires, etc., affectées d'angles où se
fait sentir plus que dans le cercle l'influence retardatrice des parois.
» 41. Toutefois, d'après les anciennes observations de M. Bazin (-),
Técart entre les deux valeurs de l'inverse de yVv, pour des sections rectan-
gulaires larges et circulaires ou demi-circulaires, devrait être un peu supé-
rieur à 2,97, et probablement voisin de 5.
» En effet, malgré la difficulté qu'on éprouve à réaliser des tuyaux ou
(') Recherches expérimentales, etc., ou Recherches hydrauliques, p. 233.
(-) Mêmes Recherches expérimentales, etc., p. 98 à 102 et 4^4 à 435.
( -^<' )
canaux de ces deux formt^s, avec des jKirois «.çsr:; Jiomogcncs pour que les
inégalités accidentelles de leur dei;ré de rugosilé ne produisent pas, dans
l'inverse de \b, des variations coniparahles à celle qu'entraîne la dissem-
blance même des sections, cependant deux des séries d'expériences de
M. Bazin, faites sur des canaux à parois |)oiies (respectivement en cimeuL
et en planches), ses séries n"* 2i et 2G, permettent jusqu'à un certain point
la comparaison dont il s'agit ici, principalement la série 26 où le ravon K
atteignait o'°,^o, la plus complète, et signalée par M. Bazin comme de
Beaucoup la plus régulière. Servons-nous donc, j)Our déterminer l'écart
considéré, des six dernières observations de la série 26, savoir, de celles oii
la profondeur de l'eau excédait sous l'axe les '\ du ravon R et où, j)ar suite,
la forme demi-circulaire était le mieux admissible. T. es valeurs de h v varient
(p. 102) de 0,000200 à 0,00018^, tandis qu'elles auraient varié de 0,0002 >:')
à 0,000221 dans certaines sections rectangulaires j)assablement larges
expérimentées par M. Bazin. Leurs deux movennes respectives sont
0,000 if)3 et 0,00022^2, donnant, comme racines carrées de leurs inverses,
71,98 et ()G,34. Or la diKerence de ces deux nombres est ^,()\, presque
identique à la moyenne, 5,64 ..., des six dinérences analogues (com[)rises
entre 4.91 et 6,2")) fournies séparément j)ar les six observations.
» Et si, pour avoir plus de résultats à combiner en vue d'éliminer les
anomalies accidentelles, on prend, tant dans cette série 26 cpie dans la sé-
rie 21[, toutes les observations où la profondeur de l'eau sous l'axe atteignait
au moins les ■" du rayon B, observations au nombre de huit dans la série 26
et de sept dans la série 24, alors les valeurs de h varient respectivement de
0,00021 i à 0,00018) et de 0,000245 a 0,000221 dans la série 26,deo,oooi:")3
à 0,0001 37 et de 0,000169 à 0,0001 65 dans la série 2i, en ayant les deux
moyennes générales o,Of)Oi723, 0,0002009, auxquelles correspondent,
comme racines carrées de leurs inverses, 76,18 et 70, jj. Or la dilféreuce
de ceux-ci, 5,63, s'écarte bien peu des valeurs précédentes, 5,6 4; et elle se
confond presque aussi avec la moyenne, 5,66..., des quinze différences
analogues, calculées séparément d'après les résultats de chacune des
observations.
» La vraie grandeur de l'écart considéré serait donc environ 5,61, ^'
les valeurs de h, obtenues par ]\L Bazin pour ses canaux rectangulaires
de plus grande largeur (2'"), étaient rigoureusement ai)plicables à notre
cas théorique d'une largeur infinie. Mais on voit, par un tableau relatif
aux valeurs expérimentales comparées de h dans des lits rectangulaires
( 37 )
plus on moins larges en planches ('), que, du moins pour des rayons
moyens n'excédant pas o™,25, h décroît légèrement quand la largeur
grandit; et qu'il se rapproche ainsi de sa valeur dans le cercle, de manière
à diminuer alors l'écart entre les inverses de leurs racines carrées. Donc
cet écart doit, à la limite, être un peu au-dessous de 5,G/i, d'une fraction
assez sensible, pourtant, de sa valeur (-), et approcher environ de 5. Les
nouvelles expériences de M. Bazin nous permettront de reconnaître qu'il
en est bien ainsi (^).
(') Mêmes RechercJies expérinienlales, etc., p. 97 (séries 18, 19, 20).
(■-) C.r une augmentation relative d'un centième et demi seulement, sur l'inverse
de \b dans le rectangle, réduit l'écart d'une unité.
('^) Grande variabilité relative du coejjieient h avec la forme de la section, dans
les écoulements bien continus, et exemples divers de sections où ce coefficient y est
plus petit que dans le cercle.
Il semble qu'on aurait dû, contrairement à ce qu'a montré l'expérience, trouver
|)0ur b dans les sections rectangulaires peu larges des valeurs moindres que dans une
section rectangulaire infiniment large, afin que ces valeurs moindres fussent com-
prises entre celles qui concernent le rectangle infiniment large et le cercle ou le demi-
cercle; car toutes les sections usuelles de dimensions (longueur et largeur) compara-
bles, paraissent être en quelque manière, pour la forme, intermédiaires entre ces
dernières. Cependant un fait contraire à la même prévision se produit, mais en sens
inverse, dans le cas d'écoulements bien continus (régis par les lois de Poiseuille), la
valeur de b pouvant, quand une section rectangulaire se rétrécit, y décroître au-
dessous même de ce qu'elle est dans le cercle.
Alors, en elTet, l'intégration est efi'ectuable, comme Ton a dit plus haut (à la note
de la page 28), quand la section est soit elliptique, soit rectangulaire, donc, en parti-
culier, quand elle est ou circulaire, ou carrée, ou rectangulaire infiniment large; et
aussi dans une infinité d'autres cas, notamment pour un tube à section triangulaire
écjuilatérale. On peut voir, à ce sujet, la fin (p. 48) du Mémoire cité Sur l'influence
des frottements dans les mouvements réguliers des fluides y Mémoire où sont d'ail-
leurs évalués, aux §§ V et VI (p. 12 à 18), les débits pour les sections elliptiques et
rectangulaires; et Ion peut consulter aussi la XLV= de mes Leçons à' Analyse infini^
tésimale pour la Mécanique et la Physique, aux Compléments de Calcul inté-
gral (p. 402* à 426*).
Or si, dans les formules trouvées grâce à ces intégrations pour la vitesse moyenne U,
et où figure le plus naturellement l'aire 1 comme variable exprimant l'induence de la
grandeur des sections, l'on introduit au lieu de cette aire le rayon moyen -> en fonc-
tion duquel s'évaluent plus ou moins aisément t et le contour mouillé /, l'exjiression
( 38 )
» 42. Les dernières formules (^'j) et (43) montrent que le rapport de
la vitesse maxima //,„ à la vitesse niovenne U excède très inégalement
l'unité suivant la forme de la section, puisque cet excédent varie dans
le rapport de '. à ,\, ou de 5 à 8, quand la section devient, de rectangulaire
large, circulaire ou demi-circulaire. Aussi, les deux valeurs respectives
7,42 et 11,88 que prend alors, d'après les relations (Sy) et (/|3\ le
nombre R de la formule générale (35), sont-elles, surtout la première,
assez éloignées de la valeur, i4, attribuée à ce coefficient par M. Bazin
comme moyenne d'un grand nombre de valeurs, fort divergentes
en effet, observées dans des sections relativement peu larges de formes
variées.
• le /j, c'est-à-dire du produit I - ^ , en L et -> devient, avec un coefficient purement
/ ^- y.
numéri([ue y,
ce qui donne, comme formule de la vitesse moyenne,
Va la valeur de y est 3 pour la section rectangulaire infiniment large, 2 pour la sec-
tion circulaire, 1,778... pour la section carrée, | ou 1,667 po"'' J» section triangu-
laire équilatérale. I^nfin, ce coefficient varie de 2 à ^ = 2, 467 dans les sections ellip-
li(jues de plus en plus aplaties, et il croît de 1,778 à 3 dans les diverses sections
rectangidaires de plus en plus larges, la valeur 2 (relative au cercle) correspondant,
dans ce dernier cas, à un rectangle dont la base serait environ 2,28 fois la hauteur.
Ainsi, h est plus grand pour le rectangle infiniment large que pour le cercle, comme
dans un écoulement agité. Il est dailleurs plus petit pour le carré (jue pour le lec-
langle, et, dans chaque catégorie étudiée de sections, il croit avec la largeur relati\e.
contrairement à ce qui a lieu, d'après l'observation des canau\ rectangulaires, dans le
cas des grandes sections et d'un écoulement agité, mais conformén)ent à ce qui aurait
assez semblé devoir être, comme on a remarcjué plus haut. Seulement on est sur-
pris de voir que, j)our les sections triangulaires équilatérales, carrées et rectangu-
laires dune largeur inférieure à 2,28 fois la hauteur, ce coefficient b diminue même
jusqu'à sortir de l'intervalle compris entre ses deux valeurs 3 et 2 relatives au rec-
tangle infiniment large et au cercle. Il est surtout difficile de ne pas regarder comme
paradoxal que ces deux ou trois sortes de sections donnent de plus grandes vitesses
moyennes que le cercle, à égalité de pente motrice et de rayon moxen, tant on e^l
( h)
)) 45. Remarquons encore que la vitesse moyenne U doit, d'après les
deux dernières formules (43), se trouver réalisée (ou égaler u), pour
ï = y/o, 4 -= 0,7378, c'est-à-dire aux y^'j environ des rayons R. Or, les
récentes observations de M. Bazin montrent que c'est très sensiblement
aux - des rayons, c'est-à-dire pour t = 0,73. Nous verrons, en effet, que
la mise en compte de la petite fonction W(ï) accroît d'un peu plus cjue
0,01 la valeur théorique approchée vo,4-
habitué à voir la figure circulaire surpasser toutes les autres en efTels produits, à
raison même de sa génération uniforme. On arrive, il est vrai, à une conclusion diffé-
rente qrand on compare les sections à égalité d'aire et non plus à égalité de rayon
moyen; car alors le cercle, avec son rayon moyen maximum, reprend sa supériorité
sur les autres formes et donne le plus fort débit ou la plus forte vitesse moyenne U,
tandis que la section triangulaire équilatérale est, au contraire, du moins parmi les
formes polygonales régulières, celle qui, à raison de son moindre rayon moyen,
donne la plus faible vitesse moyenne ou le plus petit débit.
Les paradoxes apparents signalés ici, dans les lois des écoulements tant continus
qu'agités, sont dus à l'impossibilité, pour une variable unique, même aussi bien
choisie que l'est le rayon moyen, d'exprimer à elle seule les influences multiples
((u'ont sur la vitesse moyenne la grandeur de la section et sa figure. Pour certaines
formes de celle-ci, le rayon moyen évalue par excès la somme de ces influences,
et alors la quantité b reçoit ses moindres valeurs, tandis que, pour d'autres formes,
il l'évalue trop peu, ce qui oblige à prendre b plus élevé. Malheureusement, un
moyen général de discerner a priori ces formes diverses nous fait défauts
Comme on pouvait le prévoir pour le cas considéré des écoulements bien continus,
où les vitesses des filets fluides, nulles au contour mouillé /, sont extrêmement iné-
gales, le coefficient b varie entre d'assez larges limites avec la forme de la section,
savoir, tout au moins dans le rapport de | (valeur de y pour le triangle équilatéral)
à 3 (valeur de y pour le rectangle infiniment large), ou, par conséquent, dans le rapport
de 5 à 9. Et cependant toutes ces variations ne vont pas du simple au double, alors
que le rapport des deux dimensions dans les formes ainsi comparées varie de 1 à l'in-
fini, et que les vitesses moyennes U, à égalité soit des aires a, soit des contours y^, y
décroissent depuis certains maximums jusqu'à zéro. Cela prouve que le rayon moyen
constitue une excellente variable pour représenter tout à la fois, dans la mesure du
possible, l'influence complexe, sur la vitesse moyenne que prend un courant fluide,
tant de la forme que de la grandeur de son lit.
(40 )
dans un tuyau circulaire, telles qu'elles résultent des récentes observations
de M. Bazin.
» 44. Mais passons juslcmenl, i^ràce aux récentes expêriencos de ^I. Ba-
zin, à celte approximation plus élevée j)onr le cas de la section circulaire
on demi-circulaire. Les expériences dont il s'agit ont consisté dans* la me-
sure des vitesses, par le tube de Pitot-Darcy, au centre et aux » ♦ Jî ' « » « » x »
H' ï» tI ^'^^ ravons R, dans une conduite en ciment très lissé (donnant
Z> = o,oooiGG), de o™,8o de dianjèlre et 80'" de loni:;ueur, sur les .]o
derniers mètres où régnait l'uniformité du régime; car le raj)j)or[ de u„, à
U y était invariable, 1,16-5 à très peu près (').
M Comme nous déterminons noire coefficient A par la comparaison de
la deuxième formule (4-) '^l'x résultats d'observation, et que le terme
j)rincipal l At', seul connu de forme théoriquement, du second membre de
cette formule, doit exprimer le mieux j)ossible la fonction empirique de x
(voisine de 2t y -^') indiquée par les expériences pour représenter le
second membre tout entier, il sera naturel de réduire au minimum d'im-
portance le terme correctif A ^r(ï), en annulant sa valeur moyenne par u/i
ehoix convenable de k. Et les formules (4^) ac(juerront d'ailleurs ainsi leui-
plus haut degré de simj)licité; car l'intégrale définie qui y figure s'éva-
nouira.
» Mais, d'abord, divisons la seconde équation (4-^.) P^^'' S 2, comme
nous'avons fait pour avoir la deuxième (43), et appelons 21 ï^ -h *l*(ï) l'ex-
pression empirique du second membre, ou <I'(ï) la petite correction indi-
(juée par les nouvelles expériences à l'expression approchée 21 ï' obtenue
antérieurement. Nous aurons
(45) 'lf=JL = y'kx'-^Xy\\x) = 'iix'+^\^{.).
» Les très nombreuses différences u,,^ — u de vitesse, obtenues par
(' ) C'est au milieu et aux trois quarts de la longueur qu'ont eu lieu les observa-
lions utilisées ici; au premier quart, après un parcours de viiigl-ciiKj fois le diauièlre,
le raj)j)0rt de //„, à U n'était encore que 1,12.
(4i )
jM. Bazin aux diverses dislances relatives v de Taxe ('), donnent (en
movennc), comme valeurs observées de ^I'(ï),
\ Pour t =: o o,i25 o,25o 0,3-5 o,5oo 0,625 0,750 0,875 0,9875,
( 'I»(t)zr:o 0,34 0,77 1,18 i,5o 1,47 o,3o — o,58 0,34.
» On remarquera leur petitesse, en fractions de la vitesse moyenne U,
c'est-à-dire quand on les multiplie par yj'Ab = 0,0182. La plus forte d'entre
elles, i,5o, ne correspond en effet, dans la différence w,„ — u, qu'à 0,02711,
ou à moins de ~~ de la vitesse moyenne. Une grande précision dans les
mesures était donc nécessaire, même simplement pour déceler l'existence
de la pehle fonction <ï>(t).
» 45. Attribuons à <I>(ï) une expression entière, la plus simple possible
qui jirenne sensiblement les valeurs (/i<3). On voit qu'elle devra s'annuler
non seulement pour t = o, mais aussi, environ, pour x = 0,78 et pour
i zzz 0,92, c'est-à-dire pour r = o,85 ±: 0,07, et admettre, par conséquent,
le facteur du second degré
(0,78 — ï )(o,92 — ï) = (o,85 — t)- — 0,0049.
)) En outre, d'après la valeur de6(ï) que donne la relation (ii) diffé-
rentiée, savoir
(47) W0=-^'
la fonction ^'(t) contiendra le facteur t^, pour que "^{t) reste fini et diffé-
rent de zéro au centre t = o, comme il le faut dans l'expression (16) du
coefficient z de frottement intérieur, qui ne doit y devenir ni nul, ni
infini. Donc aussi, d'après (4^)» ^'(^) aura le facteur ï^.
)) Essayons, par conséquent, si une fonction de la forme
(48) (î>(ï) = mt'^[(o,85 -ï)-- 0,0049],
où n vaudrait 2, pourra convenir. Toutefois, laissons-y l'exposant n encore
indéterminé : car, d'après les valeurs empiriques (46) de <!> (t), cette
(') Les vitesses au centre elles-mêmes étaient données par la moyenne de plusieurs
mesures, prises, lune, au centre, et, quatre autres, au seizième de la longueur de
quatre rayons en croix.
B. 6
( 42 )
fonction doit devenir maxima vers le milieu du cinquième iulervalle, pour
X voisin de o, :>6; et s'il fallait un exposant n plus élevé que 2 pour satis-
faire à cette condition, on devrait l'adopter de i)rérérence dan> ( '|8), afin
de reproduire le mieux possible l'ensemble des valeurs Ç]^), et sauf à com-
pléter (/|8) par une (expression analogue où n égalerait 2, afin de tenir
compte des circonstances spéciales à la région centrale, c'est-à-dire aux
petites valeurs de t.
» Or, c'est précisément ce qui a lieu, l'^n formant la dérivée de ( '|8 ), on
trouve qu'elle s'annule, abstraction faite des racines t = o, pour les deux
valeurs de ï qui donnent
[ (o,85 — ï)fo,85 — -^tlïj = 0,0049,
^'^^^ 1 2t(o,85-t)
f ou n = . — ^ -, -7- •
» Substituons à t la ^aleur approchée o,56 (pie nous devons obtenir
pour une des racines, et il viendra // = 4, loio. On aurait, en excluant les
valeurs de n fractionnaires, n = 4 pour ï == o, )j j(), /i == 3 pour x = o, jotG,
/i = 2. pour t = o, 'j H)3. etc. La situation du maximum se rapproche de
l'origine t = o à mesure que l'exposant /i décroît ; et il f ludra le prendre
égal à 4» pour que l'adjonction, à (4^)» d'une expression de même forme,
mais à faible coefficient positif et où /z= 2, place le maximum encore assez
près de ï=o,5(), un |)eu en deçà, toutefois, de la valem^ ï = o, kj5G.
Nous poserons donc, avec deux coefficients indéterminés, /, /n,
(5o) (I>(ï)= (/t- -+-mx')[(o,S5 —x)- — 0,0049].
» i(>. Si nous connaissions bien la situation du maximum, c'est-à-ilire
la valeur de ï qui annule la dérivée <I>'(ï), l'expression de cette dérivée,
formée en y séj)arant les termes en / des termes en //?, nous donnerait,
par son annulation,
(ji) ^ = ^^o (o.85 — t)(o,85 — |t) — o,oo49 ^
^ ^ m (o,85 — t)(2t — o, 85) 4- 0,0049'
et le calcul numérique du second membre nous permettrait d'éliminer /
de (5o), où il ne resterait dès lors d'arbitraire que le princij)al coeffi-
cient ni.
» Mais il est bien rare que la situation d'un maximum puisse être déter-
minée empiriquement d'une manière précise; en sorte que nous devrons
renoncer à déterminer ainsi aucun de nos deux coefficients /, m.
( 43)
» 47. Calculons, par (5o), les valeurs <î>(o,i25), <ï'(o,25o), ...,
(t'(o,87 )), <I>(o,9375), dont ravant-dernière seule, comme la valeur cor-
respondante observée (4^). sera négative; et prenons-les en grandeur
absolue, pour en former les excédents sur les valeurs absolues observées
0,34, o>77. •••» 0^58, 0,34. Dans les expressions de ces excédents, les
coefficients respectifs de /seront
0,00814 o,o'22i9 o,o3[04 0,02940 0,01786 0,00287 OjOo327 0,00242,
et, ceux de m,
0,000127 o,ooi38-7 0,004865 0,007860 0,006977 o,ooi6i4 0,002006 0,002129.
» Or,iln'yaaucuneraison pour que nous rendions les écarts ainsi formés
plutôt positifs que négatifs. Nous déterminerons donc notre principale
inconnue, w, en annulant leur somme algébrique
o, I I 719/ -1- 0,026455/72 — 6,49.
Il vient ainsi
(52) m = 2'p,28 — 4,43/;
et les ccaits considérés sont alors
(:)3)
— 0,81+0,00-57/, —0,43+0,01605/, — 0,11+0,01170/, 0,80 — 0,00816/,
0,24 — o,oi8o5/, 0,09 — 0,00428/, 0,04-0,00788/, 0,18 — 0,00701/.
» 48. Une valeur approchée de /s'obtiendra en annulant de môme la
somme algébrique des trois premiers, relatifs aux petites distances t, c'est-
à-dire à celles où doit dominer, dans<î> (t), l'influence du terme en t^ et, par
suite, des termes en /. D'ailleurs, en se bornant ainsi aux trois premiers
écarts (53), on prend justement tous ceux où le coefficient de /est affecté
du signe +; et l'on forme la môme équation en / que si l'on annulait la
somme de tous les autres (où les coefficients de / sont négatifs), puisque
les expressions (53) ont leur somme générale égale à zéro quel que soit /.
On trouve /= 24, i ; et les écarts (53) deviennent
— 0,12 — o,o4 0,17 0,22 — 0,08 — 0,01 — o,i5 0,02.
» Le plus fort est le quatrième, 0,22, qui varie, d'après (53), en sens
inverse de /. Pour le rendre moins sensible, il faut faire croître /, jusqu'à
ce que cet écart décroissant soit atteint en valeur absolue par un autre
qu'on reconnaît facilement être le troisième, o, 17 , croissant avec /d'après
(53). La valeur la plus avantageuse de / résultera donc de l'égalité des
( 44 )
troisième et quatrième expressions (53) : ce sera / = 27, 6. Alors les écarts
(53), ainsi réduits le plus possible, seront
(5^) — 0,10 0,01 o,.'. I o,?. I — 0,12 —0,02 — o,iS — 0,01.
» Les })lus i,M'an{ls d'entre eux, 0,21 , correspondent à un écart, sur les
dilTércnces correspondantes u,„ — a de vitesse, égal seulement à
(o,2i)(o,oi82)U = o,oo38 U,
ou moindre que \ millièmes de la vitesse moyenne et très inférieur aux
erreurs d'observation, vu surtout que celles-ci peuvent, sur la différence
//,„ — u obtenue au moven des deux mesures distinctes de u,„ et de u,
atteindre le double de leur grandeur possible dans u,„ ou dans n.
)) Les valeurs ainsi calculées de /et, par suite, d'ajirès (32), de m, savoir
(55) /=27,G, /?2=I23,OI,
font donc reproduire par l'expression (5o) de <I^(/') tous les résultats ob-
servés. On peut même v comprendre la valeur <I^(i) = 2,(35, comparée au
nombre 2,41, que M. Bazin a obtenu par extrapolation, en prolongeant au
sentiment, jusqu'à l'abscisse ï = t, la courbe graphique qui reliait le
mieux ces résultats (1(3).
» 49. Alors l'expression (5o), développée en polynôme et portée dans
le troisième membre de (45), donne
(do) < ^ \'l
^^■'"+-f=^I'(')
= 19,81 1- — 25,921'' H- I i5,88ï' — 209, i3ï' + 123, 01 ï'
» Prenons la valeur moyenne des deux membres, en intégrant de zéro
à I leur produit par 2ï (h ; et souvenons-nous que nous choisissons k de
manière à rendre la petite fonction ^X* ) "ulle en moyenne. Il viendra
(57) -VX- = 9,iG5; d'où >î: = 48,Go, -=24,3o.
» Et la formule (45) sera
(58) ^;^ = 22,91.^4- 34,37^(0,
( 45 )
avec
(59) ¥(ï) = o,576t-— i,42iï''-h 3,372-6'' — 6, o85t^ 4- 3,579ï.'' (').
(') On peut se demander ce qu'auraienl été, au lieu de (.46), les valeurs expérimen-
tales de *(t ), y compris même le résultat d'extrapolation '!> (i) = 2 ,4i indiqué tout
à riieure, si les anciennes expériences de M. Bazin avaient conduit à prendre du pre-
mier coup la nouvelle valeur 48)6 de A; ce qui aurait donné, dans le troisième
membre de (45), 22,91^^ au lieu de 2it^, comme terme de première approximation.
Il suffit, pour le voir, de retranclier 1,91 1^ des précédentes valeurs de 'l'(t), et l'on a
sensiblement, au lieu du Tableau (46),
I Pour t =: 0,125 o,25o 0,875 o,5oo 0,625 0,750 0,875 0,9875 I,
f » <t>{t)Tz:zo 0,34 0,74 1,08 i,'26 1,00 — o,5i — 1,86 — 1,28 o,5o.
L'écart 'I»(t) maximum de l'expérience d'avec le résultat théorique de première ap-
proximation, ne se produit plus à la paroi, pour t =: i, mais aux l environ des rayons,
et il correspond, dans le tujau expérimenté, à la fraction 0,0182 x i ,86 ::= o,o3885
de la vitesse moyenne, c'est-à-dire sensiblement au trentième. Avec l'ancienne
valeur 21 du coefficient, la fraction analogue était, à la paroi, 0,0182 x 2,4 1 := o,o4386,
ou 2V environ de la vitesse moyenne.
On pourrait déterminer k de manière, non pas à annuler, comme dans (58) et (46 bis),
la moyenne des valeurs de '^V{t) ou de ^(t), mais à réduire autant que possible leurs
fortes valeurs, en égalant le plus grand écart ^'(t) positif, celui qui a lieu pour
i zz:o, 5, au plus grand écart négatif (se présentant pour 1:^:0,875). 11 vient ainsi A'=47-
En admettant que cette valeur eût été justement celle de première approximation, l'on
aurait, comme troisième membre de (45), 22, 16 t' + * (t ), et les écarts 'ï'(t) consti-
tuant la seconde approximation seraient ceux du Tableau (46) diminués de i,i6t'*,
savoir les suivants :
( Pour x, =z o o,i25 o,25o 0,875 o,5oo 0,625 0,750 0,875 0,9875 T,
(46 ter) '
I » 'i>(t)=:o 0,34 0,75 1,12 1,36 ijig — 0)i9 — 1,36 — 0,61 1,20.
Ici, les plus fortes valeurs de 'l'(t) ne correspondent qu'à un écart, sur les vitesses
observées, égal à la fraction 0,0182 x i ,36 = 0,02475, ou inférieur au ^L de la vitesse
movenne U. D'ailleurs le coefficient ^ k ligurant dans la seconde formule (87) prend
la valeur 23,5, très voisine de celle, 28,7, à laquelle AI. Bazin avait été conduit (lie-
cherches hydrauliques, p. 288) et qu'il avait supposée pouvoir être portée jusqu'à 24.
Enfin, vu (56), les premières formules (87) et (4^) donnent alors 4>8i pour l'écart
entre les deux valeurs de l'inverse de \fb dans les sections rectangulaire large et circu-
laire.
Ces résultats paraissent à peu près aussi satisfaisants que ceux du texte. Mais l'iiy-
potlièse d'une valeur moyenne nulle pour V(t) semble être rationnellement préfé-
rable, comme propre à donner un coefficient k moins influencé par les erreurs
accidentelles d'observation.
( 40)
» Enfin, cette dernière, ou mieux (")6), donnant W(i) = o,o2i5, les
première et troisième formules ('12) deviendront
§ XIII. — Conséquences générales qui s'en déduisent, pour le régime uniforme
tant dans ces sections que dans les sections rectangulaires larges.
)) 50. La dernière de celles-ci (60) garde sa forme de première approxi-
mation; mais, comme k yagrandi de 48,60 — V'i, *) ) = /|,o^, le coefficient
de \jb, dans le rapport dez/,„— U à U, devient 12.96, an lieu de i i ,88. En
mettant d'ailleurs pour y^^ sa valeur 0,0129 ''elative au tuyau d'expé-
riences, il vient, |)our ce rapport, 0,1672, résultat pratiquement identique
à celui de l'observation o,i6'75. De j)lus, la substitution de U à u et de
i2,96\/Z>U à //,„— U, dans(/|5), donne l'équation 9,164 = 21 ï' H- (I>(ï ),
dont on trouve, après quelques tâtonnements, que la racine est r = o,'-")i().
En d'autres termes, cette formule indique bien, comme nous l'avions an-
noncé plus haut et conformément à rexpcriencc, que la vitesse moyeiuie
se réalise aux trois quarts des rayons R.
)) Quant à la première formule (60), comparée à la |)remière (37), elle
donne pour l'écart des i\eu\ inverses respectifs de yZ>, dans les sections
circulaire ou demi-circulaire et rectangulaire large, non j)lus -Tk, mais
(jV; -h o,02i5)^' = o,o^>82X% où k est maintenant plus grand de 4»oj. Aussi
cet écart devient-il 4*29 environ, au lieu de 2,97; et il est assez voisin de
5, ou d'accord avec ce que suggère l'observation, comme on l'a vu ( ' ).
» Enfin, le coefficient, ^^-, delà seconde formule (37) représentant la
distribution des vitesses dans la section rectangulaire large, a maintenant
la valeur 24, 3o, sensiblement égale à celle, i\, que diverses inductions
basées sur l'expérience avaient indiquée comme probable à M. Bazin.
(•) Il serait encore plus grand si, posant, dans (45), /v'r(t) =z ^*(i), on gardait
le coefficient /k de première approximation, c'est-à-dire Â' :rr 44)55 ; il aurait jusle-
ment alors sa valeur expérimentale, 5,64, obtenue plus haut, mais non pas précisé-
ment pour le cas limite où la section rectangulaire devient infiniment large.
(47 )
» 51. Quand on prend, avec Tadini, b = o,ooo4 dans la section rectan-
gulaire large, la première équation (S^), où ^k = 16,2, donne, pour l'in-
verse de \'5, 5o — iG, 2 = 33,8; et il vient B = 0,0008733. Alors le coeffi-
cient^5 dans les expressions (i5) à (17) de t, est o,oooGo88. Quant à b
dans la section circulaire, il a pour valeur o,ooo3393, ou o,ooo34 en
nombre rond. Enfin, d aj)rès la relation BM^=èU" et les dernières for-
mules (37), (60), les quotients de la vitesse moyenne U et de la vitesse à
la paroi u^ par la vitesse maxima w,„ sont alors, respectivement, 0,86 et
o,58 pour la section rectangulaire large, 0,81 et o,:*)0 pour la section cir-
culaire ou demi-circulaire.
§ XIV. — Expression la plus approchée possible du coefficient i de frottement
dans les tuyaux circulaires.
» o2. L'expression empirique (09) de ^"(ï), destinée à relier le mieux
possible de faibles résultais d'observation atteignant presque en petitesse
la limite des erreurs admissibles, ne peut guère être différeiitiée, vu le peu
de précision avec lequel s'y trouve déterminée en chaque point la direction
de la courbe qui la représente; et il est, surtout, presque illusoire d'extra-
poler sa dérivée jusqu'à la limite ï=i, où ^'(i) varie le plus vite. Faisons-
le cependant, pour obtenir tout au moins quelques indications sur la fonc-
tion '}(ï) que définit (47) et, par suite, sur le coefficient t de frottement
intérieur, dont la valeur égale, d'après (iG), le quotient, part + 'X^)» ^'®.
celle qui est relative à un canal rectangulaire large pour môme vitesse à
la paroi et même rayon moyen. Il viendra
(6i) 'y(^ ) = o,57G — 2,i3iï H- G, 744^' — i5,2i3t' -h 10,738^'.
» A la limite ï = i, le calcul donne Ç/(t) = o,7i, valeur bien grande
pour être facilement acceptable, puisqu'elle excède les | de celle, 1, que
fournit, dans le dénominateur de e, le terme principal t>. Quoi qu'il en soit,
l'expression de z sera, en appelant £0 sa valeur dans un canal rectangulaire
large pour même ravon moyen et même vitesse à la paroi,
(Q2) t = ^0 __ ^0 ,
^ ^ ' t-T-'i'(t) 0,576 — i,i3i i — 6,744'^'^ — i5,2i3t^-i- io,738t*
( •« )
» iî5. l^)nr les valeurs de r inscrites au Tableau (/iT)), mais disposées
tiaus l'ordre inverse el avec adjonction de t = i, t = 0,8, r = o, i , t = o,
savoir,
j)our i = I 0,9875 0,87.5 0,8 0,750 0,625 o,5oo 0,875 o,25o o,i.i5 0,1 o,
le dénominateur de (62) devient respectivement
-t- Ç/ (t) nr 1 ,7! 1,20 o,S5 0,60 o,5o 0,43 o,/î7 o,5i o,52 o,5i o,52 o,5S.
» On voit que ses variations sont assez complexes : supérieur à t, des
y- environ, pour t= i, c'est-à-dire sur la |)aroi, il décroît, d'abord même
très raj)idement, dès (jn'on se dirige vers l'axe, égale l'unité dans le voi-
sinage tle t =0,9 et devient inférieur à x. vers ï =0,8(8, puis minimum vers
( z= o,G, pour surpasser de nouveau x vers t = 0,48, ou un peu après le
milieu x = o,5 des ravons,ct ne plus beaucoup varier ensuite, tout en aug-
mentant cependant, surtout à l'approche de l'axe x = o, et abstraction
laite d'un maximum et (\\\n minimum à peine saisissables vers x = o,25o
et i = o, I 25 ('). On pourrait pres(pic le regarder comme constant et égal
à r, depuis x =0,75, ou même un peu avant, jusqu'à x = o, c'est-à-dire
dans toute une région centrale d'une aire équivalente aux y environ de la
section totale, tandis qu'il éj)rouverait un accroissement rapide, dans le
rapport de o,5 à 1,7, ou de 5 à 17, sur tout le pourtour de cette région
centrale, savoir dans l'espace occupé par le dernier quart des rayons à
partir de l'axe ou par leur premier quart à partir de la paroi.
» Donc le coefficient £ de frottement intérieur, inverse de x -+- '^ (x), ne
serait guère, à la paroi, que les j| de sa valeur s,, relative à une section
rectangulaire large; mais il grandirait très vite à partir rie la paroi, au
j)oint d'atteindre £„ vers le |)remier dixième de la longueur des rayons, et
d'excéder 2 e„ sur un certain parcours, depuis leur premier quart jusque
après leur milieu (vers ï= 0,4), en se maintenant supérieur à sa valeur
approximative, exprimée par la seconde formule (t,')), depuis ï= 0,88
environ jusqu'à ï = 0,48 environ. Au delà, c'est-à-dire sur presque tout
le quart central de l'aire totale des sections, non seulement il serait au-
(') Il n'a pas d'ailleurs (l'aiilres maxiina cl ininiina que les Irois signalés ici : car
sa dérivée, du troisième degré eu t et par suite incapable de s'annuler j)lus de trois
fois, prend les valeurs respectives, à signes alternés, — 0,196, 0,010, —0,428, 1,4^3,
pour t rr: o, 10, t =z O, i5, t =: O, 5o, t =: 0,76 ; donc ces valeurs de t- séparent bien les
trois racines pour lesquelles se produisent les maxima el niinima de la fonction
t -I- 4* (t) trouvée.
( 49 )
dessous de ce que donne la seconde formule (f5), mais même il décroîtrait
légèrement jusque vers le centre, autour duquel il se maintiendrait, sur
le dernier tiers des rayons, assez voisin de 1,9 Sq-
§ XV. — Dernières réflexions touchant l'agitation tourbillonnaire
et les lois du frottement intérieur.
» 5i. Le rapide accroissement du coefficient £ de frottement intérieur
à partir de la paroi, sur le premier quart ou même environ le premier
tiers des rayons, c'est-à-dire à la traversée des couches fluides qui glissent
le plus vite les unes contre les autres, se conçoit en admettant que les
grands glissements relatifs, sur chacune d'elles, de la couche suivante
animée d'une vitesse supérieure, donnent naissance, dans celle-ci, à une
nouvelle agitation, distincte ou en sus de celle qui, produite soit à la paroi,
soit dans les couches précédentes plus excentriques, lui est transmise en
se concentrant vers l'axe. Et la majeure partie de l'agitation naîtrait
justement contre la paroi, parce que les glissements analogues y sont
énormes. Au contraire, la quasi-constance, malgré la concentration (vers
l'axe) qui persiste, du coefficient s sur les deux autres tiers des rayons,
c'est-à-dire presque dans la moitié centrale de l'aire des sections, s'expli-
querait par le fait que l'agitation, y étant transmise à la masse fluide ani-
mée des plus fortes vitesses par rapport à la paroi, s'y dissémine sur
une grande longueur. Peut-être aussi son extinction y est-elle plus rapide,
faute de glissements mutuels d'ensemble des couches traversées, [)our
l'entretenir.
)) En reportant fictivement à la paroi, comme le fait la seconde formule
approchée (i5), l'excédent d'agitation produit en réalité dans la masse
fluide périphérique, mais, par contre, en imaginant continuée jusque sur
l'axe la concentration d'agitation avec renforcement, qui paraît terminée
à l'approche de la région centrale, on tient approximativement compte
du considérable accroissement de l'agitation et de e dans la première région,
sans avoir besoin de l'y faire ni aussi fort qu'il l'est, ni aussi exclusif (de
la région centrale) quant à son siège. Bref, on sépare dans l'espace et, par
suite, dans les calculs ainsi simplifies, les deux phénomènes, en réalité mê-
lés, de la naissance et de la concentration de l'agitation, localisant le pre-
mier à la paroi pour le rendre aussi discontinu que possible, afinquil
laisse subsister plus complète la continuité partout ailleurs, et étendant au
B. 7
( 5o)
contraire le second à la section enùiire, pour lui donner partout une expres-
sion uniforme : double hypothèse simplificatrice qui conduit à des lois du
j)hénomène intelligibles et, quoique idéales, très voisines des lois obser-
vées. On a vu, en effet, que le plus grand écart sur les vitesses des filets
fluides, entre les résultats théoriques de première approximation et les
résuhals constatés, n'atteint pas 3 centièmes de la vitesse moyenne.
» ;>i>. Les deux principales causes perturbatrices aux règles simples de
variation de s qu'expriment les formules (i5), savoir, la naissance de
l'agitation ailleurs qu'aux parois, et la cessation de sa concentration dans
les couches les plus rapides, paraissent, comme on l'a vu, tenir lune et
l'autre, en définitive, à l'inégalité de vitesse des filets, mesurée aj)proxi-
mativement par l'excès, sur l'unité, du rapport de la vitesse maxima //,„ à
la vitesse à la paroi u^. Or, cet excès est bieu moindre dans une section
rectanijulaire large que dans une section circulaire ou demi-circulaire; car
si, pour fixer les idées, nous supposons la paroi d'un degré moven de
rugosité donnant /> = o,ooo4 dans la section rectangulaire, nous aurons
les deux valeurs respectives o,58, o, jo, obtenues plus haut, pour le rapport
de //o à u,„ dans les deux formes de section : ce qui donne, pour le rapport
inverse considéré ici, 1,72 et 2, c'est-à-dire deux valeurs dont la seconde
excède l'unité presque une fois et demie autant que la première. Les per-
turbations doivent donc être bien moins sensibles dans la section rectan-
gulaire large; et l'on s'explique que la deuxième approximation n'y ait pas
été nécessaire, comme elle l'était dans le cas de la section circulaire ou
demi-circulaire, pour faire à peu près disparaître les petits désaccords sur
la différence des deux valeurs correspondantes de -p? et sur le coefficient
-^dans le rectangle, que la première laissait subsister entre la théorie et
l'expérience (').
(') La plus grande partie de ce Mémoire a paru en juin et juillet 1896 dans les
Comptes rendus des séances de i' Académie des Sciences ( l. CXXII, p. 1289, 1369.
1445, loi-, et t. CXXIII, p. 7, 7-, i4i).
(5i )
NOTE COMPLÉVIEMAIRE.
Explication physique de la fluidité et raison d'être des frottements intérieurs
dans les fluides ( > ).
« i. De l'isotropie simple et de l'isolropie symétrique. — Quoique les fluides
soient les plus simples des corps, surtout au point de vue des propriétés
mécaniques ou des formules qui relient, dans toute particule matérielle,
les pressions à l'élat moyen local actuel (-), néanmoins, la définition de la
fluidité suppose la connaissance d'une notion, d'ailleurs capitale dans
toutes les branches de la Physique, qu'il convient d'exposer d'abord,
celle de Yisotropie.
» On conçoit qu'une particule de matière puisse d.ins son état présent,
supposé rendu fixe pour plus de commodité, être conformée intérieure-
ment de manière à offrir le même aspect moléculaire général, le même
agencement moyen de ses points matériels, à un observateur infiniment
petit, placé vers son milieu pour examiner les détails de sa structure, et
qui s'v orienterait successivement de tous les côtés. Quand cela a lieu, ou,
en d'autres termes, quand l'observateur idéal dont il s'agit a sans cesse
devant lui, vers quelque direction tju'il se tourne, la même figure générale
formée par les groupements des atomes qui l'environnent, figure pouvant
être prolongée ou complétée, tant à droite et à gauche qu'en dessus, au-
( ' ) On me saura peut-être gré de publier ici, à la fin d'une étude concernant, en défi-
nitive, le frottement intérieur des fluides, la première des leçons que je donne tous
les trois ans sur ces corps dans mon Cours de la Sorbonne, leçon où je m'efforce de
faire comprendre à mes auditeurs tout à la fois la possibilité ou même la réalisation
fréquente de la fluidité parfaite à l'état d'équilibre, et son impossibilité, ou la néces-
sité des frottements intérieurs, à l'élat de mouvement.
(^) \'oir, au sujet de cet état moyen local, la sixième de mes Leçons synthétiques
de Mécanique générale sentant d'Introduction au Cours de Mécanique physique de
la Faculté des Sciences de Paris (p. 72 à 77).
( 52 )
dessous et jusqu'en arrière de lui, sans cesser de lui apj)ar;iUre toujours
sensiblement identique, presque comme si elle le suivait dans sa rotation,
on dit que la particule est isotrope. Les propriétés physiques liées à sa
configuration interne s'exj)rimerout évidemment de même, dans tous les
systèmes de coordonnées x, y^ z fournis par trois axes rectangulaires par-
ticipant au mouvement de l'observateur, c'est-à-dire qui se déduisent d'un
premier svslème d'axes au moven d'une rotation quelconque, on qui j)ré-
scntent la même disposition mutuelle, ceux des x et des y positifs étant,
par exemple, devant l'observateur, respectivement à sa gauche et à sa
droite, cjuand l'axe des z va de ses pieds vers sa tête.
» Celte isotropie, offerte naturellement |)ar les solides amorphes ou à
cristallisation confuse soustraits à toute action extérieure, par les dissolu-
tions aqueuses, etc., implique, d'une certaine manière, la parité de consti-
tution en tous sens, vu que chaque côté ou direction de l'espace peut venir,
à son tour, occuper le centre du Tableau, toujours le même, perçu par
l'observateur idéal. Mais elle n'implique ])as, nécessairement, la symétrie à
droite et à gauche de celui-ci : car rien n'empêche les groupes atomiques
d'aiTecter, par exemj)le, la forme de fragments d'hélices ou de vis tous
égaux, bien qu'ayant leurs axes orientés indifféremment dans tous les sens,
ou encore celle de tétraèdres non isocèles égaux, épars çà et là, etc.; et
l'on sait que de pareils groupes se trouvent, par le fait même de leur éga-
lité superposable, incapables de former des fv^nres symétriques à droite et à
gauche de l'observateur. Autrement dit, les propriétés physiques d'une
particule isotrope sont bien exprimées d'une même manière, dans tous les
systèmes d'axes rectangles des a;, y, z présentant une certaine dis[)osition
mutuelle, et aussi d'une même manière dans tous ceux qui offrent la dispo-
tion inverse; mais ces deux manières peuvent, parfois, rester distinctes,
quand il n'y a pas, dans la contexture de la molécule, cpielque plan de
symétrie qui |)ermette, a priori, d'attribuer à un axe coordonné en éma-
nant normalement d'un coté, le même rôle qu'à son prolongement vers le
côté opposé, et de passer ainsi des j)remiers systèmes aux seconds. L'on
dit alors que Yisotropie est dissymétrique.
n II faudra donc, pour qu'il y ait isotropie symétrique, ou absolue parité
(au moins aj)parente) de la constitution dans tous les sens, c'est-à-dire par
rapport à /owj les systèmes d'axes rectangles se croisant dans la particule,
qu'on puisse renverser la direction d'un seul des axes, le remplacer par
son symétrique relativement au plan des deux autres axes, sans modifier
l'expression des propriétés physiques dont on veut s'occuper. Du reste.
( 53 )
l'isotropie entraînera la symétrie, si les réductions en résultant dans les
formules rendent celles-ci inaltérables par le simple retournement d'un
des axes. Or c'est ce qui arrive le plus souvent. Il n'y a guère, en Méca-
nique et en Physique, que le phénomène de la polarisation rotatoire des
dissolutions, où apparaisse la différence de l'isotropie dissymétrique d'avec
l'isotropie symétrique.
» Dans la suite de ces Leçons, relatives soit aux fluides, soit, plus loin,
aux solides élastiques, nos raisonnements, quand il sera question d'iso-
tropie, ne supposeront que l'isotropie dissymétrique ou simple ; mais les
formules auxquelles nous arriverons se trouveront, d'elles-mêmes, vérifier
les conditions de l'isotropie symétrique.
» Un corps formé de particules toutes isotropes sera dit isotrope lui-
même. Il pourra néanmoins être hétérogène, à cause de variations conti-
nues soit de nature, soit de densité, soit même seulement de structure
interne, qu'on y observera au passage d'une particule à ses voisines.
w 2. Des fluides ; leur propriété caractéristique, consistant dans la reconsti-
tution incessante de leur isotropie. — Cela posé, les fluides sont, par défi-
nition (pour le géomètre), des corps isotropes ayant, comme propriété
caractéristique, de recouvrer spontanément leur isotropie après toutes les
déformations possibles, et môme de la garder à fort peu près durant ces
déformations, pourvu qu'elles s'effectuent avec une lenteur suffisante. Il
se produit, dans leurs moindres particules, pendant les mouvements
moyens locaux ou observables que nous y constatons, d'imperceptibles
mais incessantes modifications des groupements moléculaires, tendant à y
égaliser les intervalles dans les diverses directions et, par suite, à y main-
tenir une constitution pareille en tous sens. Quand, par exemple, un de
leurs éléments de volume s'allonge dans certains sens et se contracte dans
d'autres, une légère évolution de la plupart de ses molécules, autour de
leurs voisines, les aligne en plus grand nombre suivant les premières direc-
tions et les écarte des secondes ; en sorte que l'observateur idéal dont il a
été \y<yr\é ci-dessus, placé vers le milieu de l'élément de volume et capable
dapprécier leur disposition, pût la juger pareille tout autour de lui (au
moins dans l'ensemble ou en moyenne), de quelque manière qu'il s'o-
rientât.
» Cet effet de régularisation a lieu très vite dans les fluides sans viscosité
appréciable, ou proprement dits, comme les gaz, l'eau, l'alcool, etc.; et
l'on peut alors presque toujours, à une assez grande approximation, y sup-
( 51 )
poser atteint à tout instant, môme pendant des mouvements rapides, l'état
de la matière cpie nous avons appelé élastique ('), où la configuration
interne propre de diaqne groupe moléculaire ne varie, à une température
donnée et pour une matière de constitution donnée, qu'avec les situations
relatives occuj)écs par les centres de ce groupe et des groupes environ-
nanls, c'est-à-dire avec l'état statique moyen local. Seulement, ici, les
changements de configuration interne des groupes sont liés aux déforma-
tions d'ensemble ou visibles, de la manière qu'il faut pour maintenir l'iso-
tropie de la particule aux dépens de la forme et même de la distinction des
groupes, au lieu de l'élre, comme dans un solide déformé entre ses limites
d'élasticité, de manière à conserverie mode primitif d'assemblage des mo-
lécules en grouj)es distincts (-).
» Au contraire, dans les fluides un peu ou fortement visqueux (l'huile,
les liquides pâteux, le goudron, etc.), l'évolution interne des groupes se
fait avec lenteur, et il faut un temps plus ou moins appréciable pour que
l'état élaslitjue se reconstitue.
» Mais, quel que soit le degré de viscosité, cet état élastique, une fois
produit, est, dans tous les fluides, éminemment simple, puisque, se trou-
vant isotrope, il ne varie, à température constante, qu'avec la place ou
l'étendue totale laissée à chaque petit volume matériel pour y répartir uni-
formément ses molécules, c'est-à-dire, en d'autres ternies, qu'avec la den-
sité actuelle p, et puisqu'il n'est astreint par suite à la conservation d'aucun
mode spécial de la contexture, en ce qui concerne la place de chaque mo-
lécule considérée individuellement ou suivie dans son identité aux divers
endroits qu'il lui arrive d'occuper.
» La persistance ou plutôt le rétablissement incessant de l'isotropie
sera donc la propriété caractéristique et comme la définition même du
fluide.
(') Voir la Vil" de mes Leçons synthétiques de Mécanique générale, etc., p. 83
el 84.
(^) Aussi les solides que l'on appelle isotropes le sonl-ils seulement dans leur état
choisi comme primitif, ou lorsque, à partir de cet état, ils changent de volume sans
changer de forme, grâce à une égale contraction ou dilatation en tous sens. Les plus
petites déformations suffisent pour les rendre, comme on dit, actuellement hétéro-
Iropes ou anisotropes, quoique fort peu ; et il importe d'observer que la qualification
de corps isotrope, quand on la leur applique, se rapporte uniquement à leur état na-
turel ou primitif : c'est une restriction convenue, bien qu'implicite, ([ue l'on apporte,
en traitant de ces corps, au sens du mot isotropie.
( ^5 )
» 5. Cette propriété est due à une intensité suffisante de l'agitation calori-
fique. — Mais il jesterait à expliquer l'existence, chez tant de cor[)s, d'une
aussi merveilleuse propriété. Tout ce que l'état actuel de nos conn;ùssunces
nous permet d'en savoir, c'est que la régularisation interne, le rétablisse-
ment incessant de l'isotropie, sont rendus possibles par l'amplitude des
vibrations calorifiques, assez étendues dans tous les fluides pour dégager
les molécules les unes des autres, et qui permettent à la matière d'y
prendre, dans chaque cas, la disposition la plus stable, laquelle est natu-
rellement la plus simple, c'est-à-dire la plus égale en tous sens, la plus
homogène. Le mouvement brownien, agitation lente mais perpétuelle de
l'eau et de l'air les plus calmes, rendue perceptible au microscope par
l'entraînement des poussières éparses à leur intérieur, n'est peut-être que
la partie visible de cette agitation, celle des particules qui, exceptionnelle-
ment, progressent dans une même direction sur une étendue et durant un
temps appréciables.
)) I.e tassement d'une masse de sable, contenue dans un vase, au moyen
de secousses multipliées imprimées au vase, phénomène où nous voyons
les grains de sable affecter de même successivement un grand nombre de
modes de groupement qui leur sont offerts et acquérir finalement le plus
homogène possible pour le conserver désormais, peut nous faire com-
prendre comment l'agitation calorifique produit sans cesse dans les fluides
un effet analogue, mais encore plus complet et plus rapide.
» 4. Propriétés dérivées : premièrement, normalité et constance de la
pression élastique; sa formule générale. — Si l'on conçoit tracé, dans une
particule fluide à l'état élastique, un élément plan quelconque, et que
l'observateur idéal juge de l'isotropie ait les pieds sur cet élément plan, en
son centre de gravité, la tête suivant sa norm de, la configuration molécu-
laire qu'il voit au-dessus et au-dessous de l'élément plan lui offre sans
cesse le même aspect, de quelque angle qu'il tourne vers sa droite ou vers
sa gauche. Donc la pression exercée sur cet élément plan, fonction de la
configuration observée, occupe aussi, par rapport à lui, une position inva-
riable, et ne peut qu'être dirigée suivant la normale. D'ailleurs, la configu-
ration observée restant encore la même quand l'élément plan change ensuite
de direction, la pression a, par unité d'aire, la même valeur sur tous les
éléments plans menés au même endroit. x\insi, l'isotropie entraîne la nor-
malité des pressions et leur égalité en tous sens, circonstances que nous
savons d'autre part être solidaires.
(5G)
» Les forces élasticjues se rédiiiront donc, en chaque point d'un fluide,
a ce que nous avons aj)pele la pression moyenne p (égale a — - — -— 1>
(jui est une pression normale, de même valeur sur tous les cléments plans
se croisant en sens divers. De plus, à une température - donnée, cette
force/; dépfMidra uniquement de la densité p, comme l'état élastique lui-
même; en sorte qu'elle sera une certaine fonction, bien déterminée, de
deux variables seulement, la densité p et la température t. Cette fonction
croîtra avec p, à cause des énormes répulsions exercées entre les molécules
les plus voisines, et qui grandissent très vite pour peu qu'augmente le
rapprochement mutuel de celles-ci (' ). Elle croîtra aussi généralement
avec la température t; car il se produira sans cesse des rapprochements
et, par suite, des augmentations de répulsion, entre un grand nombre de
molécules voisines, si les vibrations calorifiques s'amplifient, sans même
(jue les situations moyennes changent, c'est-à-dire sans que la densité
varie; et l'on conçoit (jue ces accroissements de répulsion excellent, en
général, les accroissements d'attraction provoqués par les écartements
non moins nombreux survenus entre molécules.
» r». Deuxièmement, quasi-ineompressihililé des liquides. — C'onsidérons,
en particulier, à température constante, le cas des liquides, soit fixes, soit
peu volatils, pour lesquels il existe un état où, la densité p étant notable,
la pression /? comprend une somme d'attractions (exercées aux distances
intermoléculaires les moins petites) égale à celle des répulsions et, par con-
séquent, s'annule. Alors quand, à partir de cet état, la densité p croît, la
pression due aux actions intermoléculaires exercées aux dislances roù il y
avait déjà de telles actions avant cet accroissement de p, varie, dans tous
ses termes correspondant aux diverses valeurs de r, proportionnellement à
une même fonction de la densité p (à raihon surtout du nombre des actioi\s
élémentaires exercées à travers chaque élément j)lan, nombre qui grandit
comme le carré de la densité) et elle reste nulle. Mais il s'y ajoute les fortes
répulsions s'exerçant entre les molécules venues à des distances moindres
fjue les j)récétlentes distances minima de l'état où /; s'annulait, et de là
résulte sans doute l'énergique pression que l'on observe alors, à laquelle
est due la quasi-incompressibilité i\es liquides.
( ' ) Leçons syntliétiques de Mécanique générale, p. 43 à 5o et p. io6.
(57 )
)) 6. Troisièmement, phénomène de V écoulement; condition de non-rupture
des fluides sans viscosité appréciable. — Les changements arbitraires de
forme d'un ûiiide, produits avec une lenteur suffisante , qui n'altéreront pas
la densité, ne feront donc naître dans le fluide aucune résistance appré-
ciable, susceptible de s'opposer à leur continuation ou de les maintenir
entre certaines limites. Aussi ces déformations pourront-elles, sans que leur
cause devienne sensible, atteindre des valeurs quelconques, et, en parti-
culier, le fluide se moulera parfaitement sur tout solide qui le touchera si
légèrement que ce soit. Ce phénomène de déformation illimitée s'appelle
écoulement, et la propriété qu'ont les corps dont il s'agit de le présenter,
c'est-à-dire de couler, sous des efforts tellement faibles qu'ils échappent à
nos mesures, est précisément celle qu'on appelle yZ^/iV/f/e et qui leur a fait
donner le nom Ag fluides. Elle est, en effet, plus apparente que leur iso-
tropie persistante ou continue dont, au fond, elle dérive.
» La viscosité consiste essentiellement en ce que la pression p puisse
recevoir des valeurs négatives ou le corps exercer des tractions. Donc,
dans les fluides non visqueux, comme l'eau, l'air, etc., la pression ne des-
cendra jamais au-dessous de zéro d'une manière appréciable, et une
condition nécessaire de non-rupture, ou de conservation de la continuité
apparente de la matière, y sera/?<^o. Cette inégalité tiendra lieu, pour
les fluides dont il s'agit, de celle qui, dans la théorie de la résistance
des solides, astreint les dilatations linéaires à ne dépasser nulle part une
certaine limite positive à' élasticité.
» 7. Quatrièmement, énergie interne d'un fluide à l'état élastique. — Tou-
jours cà l'état élastique, l'énergie interne d'une particule fluide par unité
de masse ne pourra également dépendre, à une température donnée t, que
de l'espace total occupé par sa matière et d'après l'étendue duquel se ran-
gent ses molécules : ce sera donc, comme la pression p, une certaine fonc-
tion des deux seules variables p, t, ....
(Je supprime le reste de ce numéro et le numéro suivant, à peu près
étrangers au sujet de la présente publication.)
» 9. Des fluides à l'état non élastique ou éprouvant des déformations
rapides; idée et nécessité physique de leurs frottements intérieurs. — Il est
clair que les lois simples d'état élastique, dont je viens de parler, ne
s'observeront généralement plus dans les fluides en mouvement doués de
B. 8
( 58)
viscosilé. Même dans ceux qui le seront le moins ou qui ne le seront pas
d'une manière appréciable, comme l'eau et les gaz, les groupes molécu-
laires n'auront pas le temps, si les déformations d'ensemble de la particule
considérée sont rapides, d'atteindre tout à fait, à chaque instant, leur dis-
position interne appropriée à la disposition actuelle des centres de ces
groupes, et qui constituerait leur forme permanente si cette disposition
persistait. Seulement, les écarts qu'il y aura entre la configuration molé-
culaire effective de la particule et sa configuration isotrope ou élastique,
seront assez faibles pour ne modifier d'ordinaire les pressions que de
petites fractions de leurs valeurs. Vu d'ailleurs l'extrême rapidité avec
laquelle ils s'évanouiraient si les déformations d'ensemble de la j)articulc
venaient à s'arrêter, ils ne dépendront, à fort peu près, que du nioiivcmeni
actuel, caractérisé par les vitesses, non des mouvements antérieurs, définis
jusqu'à un certain point par les dérivées de divers ordres des vitesses par
rapport au temps, et dont les effets sur l'état statique interne des groupes
moléculaires se seront déjà effacés.
» Donc, étant donnée en outre l'isotropie du fluide dans son élat élas-
tique, considéré comme étal primitif ou état type relativement à son état
vrai, les parties non élastiques des pressions, celles qu'ajoutent à la j)res-
sion élastique ou primitive, uniforme et normale, les écarts de configuration
interne dus au mouvement, se trouveront à fort peu ])rès pareilles dans
deux j)articules fluides de même nature, prises tant à une même densité
qu'à une même température, et subissant actuellement, durant un temj)s
très court, le môme ensemble de déformations rapportées à l'unité de
temps, quelle qu'en soit l'orientation.
» Les composantes tangentielles de ces parties non élastiques des pres-
sions sont, à proprement parler, les forces auxquelles on a donné le nom
i\c frottements intérieurs du fluide.
» Il nous sera facile, plus loin, du moins dans le cas de déformations
bien continues, de les évaluer, ainsi que les parties analogues des compo-
santes normales des pressions. Mais il importe, dès à présent, d'observei-
que rexistence de frottements intérieurs, de pressions obliques et inégales en
divers sens, dans les jluides qui se déforment avec une vitesse suffisante, ne
constitue |)as une j)ropriétéde ces corps purement «caV/e/i/^//e, ou suscep-
tible de disparaître en laissant subsister dans l'état de mouvement la flui-
dité parfaite (c'est-à-dire la normalité et l'égalité en tous sens des pressions)
dont lis jouissent dans l'état de repos. Car on voit que cette imperfection
delà fluidité (\\\n fluide qui se déforme est essentielle, comme inséparable
( 59)
de la cause môme qui produit la fluidité, savoir, du rétablissement inces-
sant, mais qui ne saurait être tout à fait instantané, de l'isotropie sans cesse
détruite par les déformations.
» Il est clair que, de même, l'énergie interne, également fonction
(comme les pressions) de la température et de l'état statique vrai des
groupes moléculaires, deviendra, elle aussi, fonction des vitesses de défor-
mation de la particule, auxquelles se trouvent liés les écarts de l'état
interne réel d'avec l'état élastique. »
( tio )
ADDITION A LA NOTE D1-: LA PAGE 28.
» J'ai démontré, à la page 28, l'impossibilité, pour une fonction ayant la forme
simple ç ( — ■) - )î dexpiimer dans le cas de mouvements bien continus le mode de
distribution des vitesses, c'est-à-dire le quotient —^^'j-^ — ? à l'intérieur de sectious
non t'itiptù/ues dont la (igure changerait avec le rapport — • Mais j'ai supposé ([ne
ce rapport dût j)ouvoir varier de zéro à l'infini. Or la démonstration subsiste, et éta-
blit la même impossibilité, dès (ju'on demande seulement que la formule 'f (r,, l) con-
vienne pour dei/.r formes distinctes de la section, ou pour deux valeurs du rapport . ., •
)i l'^n ell'et, les relations aux dérivées partielles troisièmes de ç-, que donne la dilTé-
rentiation de l'équation indélinie A,'^ = const., peuvent s'écrire
c- d'-:. d'^-i __ c' d'^ r/^'i
h' d^ ^ d^ih ~^' 1? cfrjdt ^ 7/^ '"~ ^'
Admettons (lue chacune d'elles doive être vérifiée pour deux valeurs distinctes de ,>
et soient, par exemple, À, \x celles-ci pour la première équation. Nous aurons
, d^ o (l' o d^ '^ d'o , , ^ d^ o
</t/ dr, d^- dr^* dr^ dV dr^^
Il \ ient, dès lors,
d^ 9 r/ ' " d^ o d'^ ■'
d^ = "' d-rj:^ =""' ^'' ^' '"•^'"'' .7^7^: = ^' dv = ^-
Les dérivées partielles troisièmes de o sont donc tenues de s'annuler identi({uement,
tout comme si les paramètres b, c étaient, tous les deux, arbitraires. »
( (3I )
ADDITION A LA .NOTE DES PAGES 37 A 39.
Si Ion n'avait à considérer que des écoulements bien continus, il v aurait une
\ariable meilleure encore que le rayon moven, pour exprimer tout à la fois l'influence,
sur la vitesse moyenne U, de la grandeur et de la forme de la section; ce serait le
quotient de la section j du tube par le rayon de gyration de celle-ci autour d'un axe
normal à son plan et issu de son centre de gravité, cest-à-dire par la longueur J que
définit la formule nVzzi j r-d^=i j {y- -\- z^)d^.
Des quadratures assez faciles donnent pour ce rajon de gyration J, dans les quatre
cas du triangle équilatéral, du carré, du cercle et du rectangle infiniment large, des
valeurs égales au contour y divisé respectivement par les quatre nombres
6v/3= 10,392, 4V^^93798> 2t:^/2 z= 8,886, 4v^3=:6,928.
est - ' "^ I , il vient :
En introduisant, d'après ces valeurs, J au lieu de y dans la formule de U, qui
avec les quatre valeurs respectives suivantes du nouveau paramètre v' :
y'=: 36.5 = 180, y' = (i vjS • • • ) (96) = 170)69,
t'= 16-' = 157,91, Y'=r 36.4 = i44-
On voit que l'inverse de 7', ou le coefficient auquel la nouvelle formule fait la vi-
tesse U proportionnelle, grandit seulement dans le rapport de 4 à 5, quand la
section devient rectangulaire large, de triangulaire équilatérale, en passant par les
formes carrée et circulaire. Et l'on trouve que ce coefficient serait même absolument
constant dans les sections elliptiques, qui, toutes, donnent y' = i67:^ comme le cercle.
Il est donc bien moins variable que l'inverse de v, et l'on pourrait, avec quelque
approximation, le prendre, pour toutes les formes usuelles de la section, égal à la
movenne arithmétique de ses deux valeurs extrêmes obtenues „, . , -;--, — y, movenne
^ 36. D 36.4 "^
qui est y|^, ou qui revient à poser y'= 160. M. de Saint-Venant avait déjà indiqué, dans
les Comptes rendus de l'Académie des Sciences (t. LXXXVIII, p. 142; 27 jan-
vier 1879), une formule approximative analogue pour le moment de torsion d'un
prisme élastique isotrope. Or, la détermination d'un tel moment de torsion constitue
un problème analvtique revenant justement à celui de l'écoulement uniforme bien
B. ' 9
(62) ■
continu dans un tube de même seclion que le |)ii>me dont il >"ii^il, comme je lai
établi aux pages 70 à 76 de mon premier Mémoire Sur icquilibre et le nwiivenu'ut
des li"es élastiques, inséré en iSji dans le Journal de Mat/té/natif/ues pures et
appliquées, de Lioi ville ( î* série, l. XVI).
Malheureusement, la nouvelle variable -^ perd en majeure partie ses avantages quand
l'écoulement devient lourbilloiinanl. Alors, en elTet, le rapport /> =: - j-r-; > sensible-
ment constant pour chaque forme de section, vaut, par exemple (n°ot, j). '\-),
0,00084 dans le cercle, quand il égale environ o,ooo.j dans le rectangle large et un
peu plus que 0,0004 dans le carré(*). Or si, éliminant y de ce rapport, on con-i-
dère, à la place, le nouveau rapport j îl^ ' ^''^ valeur, /> -r , devient supérieure à
(o,ooo4)(4v'^) — 0,00392 dans le carré, égale à (0,00034) (2-\ ■.? ) — o,oo3ot dans le
cercle et seulement à (0,0004) (4v/^) = o>oo277 dans le rectangle large. Elle cliange
sans doute très peu, quand on passe du rectangle large au cercle; mais, en revanche,
elle croît beaucoup, environ de moitié, quand on passe du rectangle large au carré,
et elle ne varierait peut-être pas moins si Ton passait du même rectangle large aux
formes tra|)é7.oïdale étroite et triangulaire, assez usuelles, qui laissent au contiaiie
le coefficient h sensiblement invariable.
Donc, le rayon moven - évalue mieux, <n Hvdrauli(|ue, riniluence combinée de la
grandeur et de la forme de la seclion sur la vitesse moyenne U, que ne le fait le rapport,
d'ailleurs plus compliqué, -•
(*) D"aprés la série 18, paraissant assez régulière, des anciennes expériences de M. li.iziii ( AV-
cherclies hydrauliques, p. 9.3, 97, !\<m)), où. dans un canal rectangulaire en |)hinilies. de i"',.> de
largeur, la profondeur de l'eau a varié de zéro aux ' environ de la denii-laigeur, et le rayon moyen
de zéro à o", 25,57, b croîtrait, du moins pour celle nature de parois el pour un rayon moyen conimi;
\ de nièlrc, d'environ 5 ou G pour 100 de sa valeur primitive, dans un tuyau prismatique dont la sec-
tion, d"abord rectangulaire très aplatie, finirait par acquérir une hauteur égale aux \ de sa hase et
approcherait ainsi de la forme carrée. Pour un rayon moyen moitié moindre, l'augmentation irait à
7 pour 100 environ, d'après la série "20. paraissant assez régulière aussi, où la profondeur .1 égalé et
même dépasst' la demi-largeur. o™.2'(.
TABLE DES MATIÈRES.
l'a CCS.
vi 1 . Objet de ce Mémoire i
si II. Des vitesses, accéléralions et déformations moyennes locales .... -i
% III. Pressions moyennes locales
1^ IV. Formules des pressions moyennes locales et équations indéfinies du mouvement. 7
§ V. Expression du frottement extérieur et conditions relatives aux surfaces limites. i3
J5 VI. Formules du coefficient s des frottements intérieurs dans un régime graduel-
lement varié iC)
<5 VII. Equations d'un tel régime indispensables pour traiter le cas particulier du
régime uniforme ... ri
\ VllI. Lois générales du régime uniforme dans des lits semblables à grande section.. ■>,(>
Ces lois ne s'étendent qu'exceptionnellement au cas de lits dissemblables (Note). 28
§ IX. Du régime uniforme, quand la largeur et la profondeur sont insuffisantes pour
que l'agitation masque entièrement l'effet des frottements réguliers 3o
Raison probable pour laquelle le coefficient 6 de la formule du régime uniforme
dépend alors beaucoup plus du rayon moyen que de la vitesse moyenne, à
moins que le rayon moyen ne devienne extrêmement petit (Note) 3i
§ X. Retour au cas des grandes sections : lois spéciales aux sections rectangulaires
larges et circulaires ou demi-circulaires 3'2
i^ XI. Confrontations expérimentales et réflexions diverses 3 j
Grande variabilité relative du coefficient b avec la forme de la section dans les
écoulements bien continus, et exemples divers de sections où ce coefficient y
est plus petit que dans le cercle (Note) 37
§ XII. Lois de deuxième approximation du régime uniforme dans un tuyau circulaire,
telles qu'elles résultent des récentes observations de M. Bazin \o
§ XIII. Conséquences générales qui s'en déduisent, pour le régime uniforme, tant dans
ces sections que dans les sections rectangulaires larges î'i
§ XIV. Expression la plus approchée possible du coefficient £ de frottement dans les
tuyaux circulaires 47
§ XV. Dernières réflexions touchant l'agitation tourbillonnaire et les lois du frottement
intérieur t9
(6'. )
Note complémentaire. — Explication physique de la fluidité et raison d'être
des frottements intérieurs dans les fluides.
PURC»
\. De l'isotropio simple et de l'isotropie symétrique "ii
2. Des fluides : leur propriété caractéristique, consistant dans la reconstitulii'ii in-
cessante de leur isotropie ")3
3. Cette propriété est due à une intensité suffisante de l'agitation calorifique 35
•l. Propriétés dérivées : premièrement, normalité et constance de la pression élas-
tique ; sa formule générale :)5
o. Deuxièmement, quasi-incompressibilité des liquides 'iG
<). Troisièmement, phénomène de l'écoulement ; condition de non-rupture des fluides
sans viscosité appréciable .07
7 et 8. Quatrièmement, énergie interne d'un fluide à l'état élastique 57
9. Des fluides à l'étal non élastique ou éprouvant des déformations rapides; idée et
nécessité physique de leurs frottements intérieur'' 37
Addition à la Note de la page 28 60
Addition à la Note des pages 37 .i 39 Gi
ERRATA.
A la page 21, ligne 16, après le point, intercaler la phrase suivante : « Il semble,
au reste, difficile, en l'étal actuel de nos connaissances, et sauf dans les sections rectangu-
laire large et circulaire ou demi-circulaire, de définir cette ampleur aux divers points du
contour mouillé y, vu l'incertitude portant sur les limites de l'aire qui doit constituer son
numérateur rfi » .
A la page 38, ligne { en remontant, lire ainsi : « jusqu'à sortir de rintcrvalle compris
entre ses deux valeurs (3 et 2 proportionnellement) relatives au rectangle etc. ».
A la page 39, ligne i4 en remontant, au lieu de plus élevé », lire « plus petit «. et ligne i5,
en remontant, au lieu de « moindres valeurs », lire « moins faibles valeurs ».
A la j)age 'jy, ligne 9.0, au lieu de « p <^ o », lire « /> > o ».
.\LTHIER-VILL,*RS KTFILS, I MPRIMECR8-LrBR.\ IRES DES COMPTES KEMDUS DES SÉANCES l)EI 'acaOEMIR DES SCIE^C^.S.
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En 6t)r<»it cet Otivraii;e à I Académie des Sciences, dans la séance du
a7 juin 1887, .M. Housjsinesq s'est exprimé ainsi :
<>i <i;i!i!> M'» |)i*i)ici|>aux n-sullats, ie vulcul lius iiiiiiiiiiii'i •' lit'i»
. i.'ItS l'iHllillIlfS.
JiSjuTf. en II li's voios qui ni'ont pnii les ]iiu8in-
luiiivfi. les tiiit riK'iil ntiturcl de la jjraduelle variation
■ !-■- t 1-- ws et les uifthoiles <|ui ont valu à ce
I, toujours eu voie tl'arrroissi'nu'nt ilcpui» le
, iTOlion aux proi'rès ties Sciencesde la nature el
lun: t>l.ict' jirnA.jiii; ;ui.-i--.i i;i,iiiii>' dans renscigueiKCiil des Ecoles leoliiiiqucs que
tl«ii» celui (le uns Facultés.
EOD' de Mécanique générale, .servant
(î i.hysiqui- de la Faculté des Sciences
pai W» boiiiS du MM. Legay el Vigneron, élèves de
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vérulents, comparé à celai de massifs solides, et sur la poussée des
terres sans cohésion, ln-4 de 180 paj^'es ; 187G 10 fr.
BCUSSINESQ < J. ). Addition à une Étude concernant divers points
de la Philosophie des Sciences, (iraml in-8; 1880 75 c.
BOUSSINESQ iJ). - Application des potentiels à l'étude de l'équi-
libre et du mouvement des solides élastiques, avec des IS'otes vienUncs
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