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Full text of "Théorie der binären algebraischen Formen"

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THEORIE 


DER  BINAREN 


ALGEBRAISCHEN  FORMEN 


VON 


A.  CLEBSCH, 


ORDENTL.  PROFESSOR  AN  DER  I'XIVERSITAT  UND  MITGLIED  DER  KOL.  GES.  DER 

WISSENSCH.   ZU   GÖTTIXGEX,    CORRESP.  MITGLIED  DER  ACADEMIEN  Zu  BERLIN 

UND  MÜNCHEN,    DES    ISTXTUTO    LOMBARDO    UND  DER  ACADEMIE    ZU  BOLOGNA, 

HONORARY  MEMBER  OF  THE  CAMBRIDGE  PHILOSOPHICAL  SOCIETY. 


LEIPZIG, 

VERLAG  VON  B.  G.  TEUBNER. 

1872. 


Cj 


V  0  r  w  0  r  t. 


XJie  Gruudzüge  der  iieuereu  Algebra,  wie  diese  Discij)lin  aus 
deu  Häuden  von  Cayley  imd  Sylvester  hervorging,  sind  durch 
das  Salm 011 'sehe  Lehrbuch  in  Jedes  Händen.  Einige  in  diesem 
Werke  nicht  behandelte  Capitel  findet  man  in  Cayley 's  „Mcmoirs 
lipon  QHantics^'  {Phil.  Tr.),  in  Brioschi's  „Tcoria  del  covariauti" 
{ÄnnaU)y  in  Fiedler's  „Elementen  der  neueren  Geometrie  etc."  im 
Zusammenhange  entwickelt.  Das  vorliegende  Werk  entsprang  dem 
Bedürfnisse,  auch  andere,  zum  Theil  neuere,  Methoden  und  Gesichts- 
punkte einem  grösseren  Kreise  zugänglich  zu  machen.  Ich  rechne 
dahin  vor  Allem  die  grundsätzliche  Anwendung  der  zuerst  von 
Aronhold  gebrauchten  symbolischen  Bezeichnung,  welche,  wie  ich 
schon  im  59.  Bande  von  Borchardt's  Journal  ausgeführt  habe,  die 
principielle  Grundlage  für  alle  Gebilde  der  neueren  Algebra  liefert; 
sodann  die  fundamentalen  Untersuchungen  von  Gordan  über  die 
Endlichkeit  der  Formensysteme,  welche,  auf  jene  Bezeichnuugsweise 
gegründet,  eine  Perspective  in  eine  neue  Classe  tiefer  und  wichtiger 
Forschungen  eröffnet;  endlich  die  weiteren  Ausführungen,  welche  die 
von  Her  mite  begründete  Theorie  der  typischen  Darstellungen  seit- 
her erfahren  hat.  Diese  und  einige  andere  Momente,  welche  ich  in 
meinen  Vorlesungen  seit  läugerer  Zeit  hervorzuheben  pflegte,  gaben 
denselben  allmälig  eine  Gestalt,  welche  die  Grundzüge  des  gegen- 
wärtigen Werkes  lieferte.  Indem  ich  mich  aber  zu  dieser  Veröffent- 
lichung entschloss,  erwies  sich  die  Beschränkung  auf  binäre  Formen 
als  nothwendig;  nicht  so  sehr  wegen  der  Fülle  des  Stoffs,  als  weil 
diese  Formen  allein  bis  jetzt  eine  wenn  auch  nur  annähernd  abge- 
rundete Fassung  der  Theorie  zulassen. 

Göttingen,  den  29.  September  1871. 

A.  Clebsch. 


Ivi777500 


Inhalt. 


Erster  Abschnitt. 
Grimdeigeiihchaften  der  Invarianten  nnd  Covftrfanten  binärer  Formen. 

Seite 

§    1.     Definition  binärer  Formen.     Lineare  Substitutionen 1 

§    2.     Definition  der  Invarianten  und  Covariauten  binärer  Fomien   ....  3 

§    3.     Operationen,  welche  die  Invarianteneigenschaft  nicht  aufheben  ...  6 

§    4.    Tiineare  Formen.     Transformation  ihrer  Coefficient€n 7 

§    5.     Invarianten,   welche  aus   den  Coefficienteu  einer   oder  zweier  linearer 

Formen  gebildet  sind 9 

§    6.     Functionen    von    zwei    Reihen    gleichartiger    Grössen.       Operationen , 

welche  im  Folgenden  benutzt  werden ....  12 

§    7.     Darstellung  einer  Function   zweier  Reihen   von  Veränderlichen  durch 

die  Polaren  von  Functionen,  welche  nur  eine  Reihe  enthalt^en  .     .  15 

§    8.     Bestimmung  der  Coefficienteu  cc         . 20 

§    9.     Die  Invarianten  und  Covarianten  eines  Systems  linearer  Formen    .     .  24 

§  10.     Covarianten  mit  mehreren  Reihen  von  Veränderlichen 26 

§  11.     Symbolische  Darstellung  algebraischer  Formen 28 

§  12.     Die  symbolische  Darstellung  der  Invarianten  und  Covarianten    ...  31 

§  13.     Symbolische  Coefficienteu  von  Covarianten          .     .          36 

§  14,     Grundformen  mit  mehreren  Reihen  von  Veränderlichen 38 

§  15.     Hilfsmittel  symbolischer  Operationen      .     .          39 

§  16.    Formen  von  "^geradem  und  ungeradem  Charakter    . 42 

Zweiter    Abschnitt. 

Die    geometrische  Interpretation  algebraischer  Formen. 

§  17.     Mittel  der    geometrischen  Darstellung    binärer    Formen.     Punktreihe 

und  Strahlbüschel 44 

§  18.     Gleichungen,    welche    durch  das   Verschwinden   von  Invarianten   und 

Covarianten  ausgedrückt  werden •  47 

§  19.     Invarianten   und  Covarianten   von  Functionen,   welche    durch  ihre  li- 
nearen Factoren  gegeben  sind 50 

§  20.     Methode ,   invariante  symmetrische  Functionen   der  linearen  Factoren 

einer  Form  durch  die  Coefficienteu  derselben  auszudrücken  ...  54 

§  21.     Die  Doppelverhältnisse  von  vier  Elementen  ..........  58 

§  22.     Projectivische  Gebilde 60 

§  23.     Zusammenhang  der  Projectivität  mit  den  linearen  Substitutionen    .     .  64 

§  24.     Vereinigt  gelegene  Punktreihen  und  Strahlbüschel .  65 

§  25.    Andere  Darstellung  vereinigter  projectivischer  Gebilde 74 


VI  Inhalt. 

üritterAbsclmitt. 

Resultanten  und  Discriminanten.  g^j^^ 

§  26.     Resultanten  und  Discriniinanten 78 

§  27.     Bildung  der  Resultante  für  den  Fall,  wo  eine  der  gegebenen  Formen 

von  der  zweiten  Ordnung  ist 83 

§  28.     Resultante  zweier  cubisclien  Formen 94 

^29.    Discriminanten  von  Formen  der  niedrigsten  Ordnungen 97 

Vierter  Abschnitt. 

Theorie  der  Formen  zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung. 

§  30.     Ueberscliiebungen 99 

§  31.     Zurückluhruiig    aller    Co  Varianten    und    Invarianten    aid'   Ueberschie- 

bungen 102 

§  32.     Covarianten  und  Invarianten  einer  binären  Form 106 

§  33.     Die  binären  Formen  zweiter  Ordnun,^ 111 

§  34.     Covarianten  und  Invarianten  der  cubisclien  Formen 114 

§  35,     Die  Covariante  Q  .     .     ■ 116 

§36.     Die  zusammengesetzte  Function  ■af\-}-lQ 119 

§37.     Beweis,  dass   das  Formensystem  mit  den  Formen  /',  A,  <^,  R  abge 

schlössen  ist 125 

§  38.     Auflösung  der  cubisclien  Gleichungen 127 

§  39.     Geometrische  Interpretation  der  cubischen  Formen 131 

§  40.     Formen  vierter  Ordnung 134 

§41.     Die  zusammengesetzte  Function  v.f+lll 137 

§  42.     Die  Form  T :     •     •  1^'^ 

§  43.     Beweis,  duss  ausser  /",  J/,  1\  ^,  j  keine  Invarianten  und  Covarianten 

existiren 145 

§44.     Die  Auflösung  der  cubischen  Gkncliung  Sl~^ 148 

§  45.     Die  quadratischen  Factoren  von  T 151 

§  46.     Auflösung  der  biquadratischen  Gleichungen 154 

§  47.     Die  quadratischen  Factoren  von  /" 158 

§  48.     Ausnahmefälle 161 

§  49.     Kanonische  Darstellung  der  biquadratischen  Form 166 

§  50.     Die  absolute  Invariante  und  das  Doppelverhältniss 169 

§  51.    Geometrische  Interpretation • 175 

Fünfter   Absclinitt. 
Simultane  Grundformen. 

§  52.     Covarianten  und  Invarianten  simultaner  Systeme 179 

§  53.     Ueberscliiebungen  symbolischer  Producte  und  Theile  derselben  ,     .     .  181 
§  54.     Simultane  Systeme  besitzen  ein  endliches  vollständiges  Formensystem, 

wenn  die  einzelnen  Formen  ein  solches  besitzen Iv6 

§55.     Simultane  Systeme,   in   denen  ausser  anderen   auch  lineare  Grund- 
formen auftreten .     .  191 

§  56.     Simultane  Systeme,  in  denen  ausser  anderen  Grundformen  eine  qua- 
dratische vorkommt        193 

§  57.     Simultanes  System  zweier  quadratischen  Formen 197 

§  58.     Simultane  Invarianten  und  Covarianten  einer  beliebigen  Anzahl  qua- 
dratischer Formen 203 

§  59.     Simultane  Covarianten  und  Invarianten  einer  quadratischen  und  einer 

cubischen  Form      ,    • 208 

§  60,     Formensystem  einer  quadratischen  und  einer  biquadratischen  Form    .  212 

§  61.     Vollständiges  System  zweier  cubischen  Formen 221 

§  62.     Die    Reduction    des    elliptischen    Integrals     erster    Gattung    auf    die 

Normalform ....  228 

§63.     Ein  Problem,   welches   dem   Problem  der  Wendepunkte   einer  Curve 
dritter  Ordnung  entspricht     Aufstellung   einer  Gleichung  neunten 

Grades,  von  welcher  dasselbe  abhängt 234 


Inhalt  Vii 

Seite 

§  64.     Gruppirung  der  Wurzeln  der  Gleichung  neunten  Grades  gegen  eine 

derselben 238 

§  65.    Die  Systeme  conjugirter  Lösungen 243 

§  66.     Lösung  der  Gleichung  neunten  Grades 248 

Sechster  Abschnitt. 

Endlichkeit    der   Formensysteme. 

§  67.     Satz  über  die  Zerlegung  jeder  Co  Variante  einer  Form  in  zwei  Theile 

von  bestimmtem  Charakter -.     .     .     .       255 

§  68.     Beweis  der  Zerlegbarkeit 258 

§  69.    Folgerungen  aus  dem  Zerlegungssatze 260 

§  70.  Wenn  alle  Formen  f  bis  zur  {n  —  l)teu  Ordnung  endliche  vollständige 
Systeme  von  Invarianten  und  Co  Varianten  besitzen,  so  haben  auch 
die  Formen  wter  Ordnung  solche.     Beweis   für   die  Fälle,    wo  n 

nicht  durch  4  theilbar  ist 262 

§71.    Der  Fall,  wo  n  durch  4  theilbar  ist.     Eigenschaften  der  Covariante 

wter  Ordnung  und  zweiten  Grades 267 

§  72.    Beweis  der  Existenz  eines  endlichen  vollständigen  Systems  für  den 

Fall,  wo  n  durch  4  theilbar  ist 269 

§  73.     Formensystem  der  Formen  fünfter  Ordnung 274 

§  74.     Ersetzung  der  Formen,  welche  die  Tafel  enthält,   durch  andere     .     .       277 

§  75.     Invariantenrelationen 279 

§  76.     Formensystem  der  Formen  sechster  Ordnimg 283 

§  77.  Reduction  des  Systems  der  aus  einer  Form  sechsten  Grades  entsprin- 
genden Bildungen 291 

§  78.    Die  Invarianten  und  quadratischen  Covarianten  der  Formen  gechster 

Ordnung 296 

Siebenter   Absebnitt. 

Typische  Darstellungen. 

§  79.     Ueber  die  Anzahl   der  Parameter,   von  welchen  die   Invarianten   und 

Covarianten  eines  Systems  abhängen 300 

§  80.     Partielle  Differentialgleichungen,  denen  die  Covarianten  und  Invarianten 

eines  simultanen  Systems  genügen     .  ' 305 

§  81.     Typische  Darstellung  und  associirte  Formen 317 

§  82.     Einfachstes  System  associirter  Formen 321 

§  83.     Recursionsformel  für  die  Coefficienten  gewisser  typischer  Darstellungen  324 

§  84.     Die  independente  Darstellung  der  Functionen  cp 326 

§  85.    Das  einfachste  System  associirter  Formen 330 

§  86.  Methode  zur  Berechnung  der  Coefficienten  op.  Die  typischen  Darstel- 
lungen bis  zur  sechsten  Ordnung 334 

§  87.    Anwendung  der  typischen  Darstellung  auf  die  Lösung  von  Gleichungen  338 
§  88.     Andere  typische  Darstellung  des  Formensystems   der   Formen   dritter 

und  vierter  Ordnung    .     .   , 343 

§  89.     Ueber  die  Aufgabe ,  zu  gegebenen  Elementen  ein  letztes  zu  finden ,  so 

dass  eine  bestimmte  Invariante  des  ganzen  Systems  verschwindet  349 

Achter   Abschnitt. 

Typische  Darstellnng  von  Formen  ungerader  Ordnung  mittelst  linearer 

Covarianten. 

§  90.  Typische  Darstellung  von  Formen,  deren  eine  wenigstens  von  unge- 
rader Ordnung  ist,  mittelst  linearer  Covarianten 357 

§  91.     Zurückführung  der  Coefficienten  solcher  typischen  Darstellungen  auf 

niedrigere  Invarianten 360 

§  92.  Ueber  die  Bedingungen,  unter  welchen  Formen  durch  lineare  Sub- 
stitution in  einander  übergeführt  werden  können 362 


VI  II  Inhalt. 

Seite 

§  93.  Anwendung  auf  Formen  fünfter  Ordnung.  Besondere  Fälle  derselben  369 
§    94.     Typische  Darstellung  der  Formen  fünfter  Ordnung  mittelst  linearer 

Covarianten  ^ . 374 

§    95.     Darstellung  einer  Form  fünfter  Ordnung  durch  die  Summe   von  drei 

fünften  Potenzen 379 

§    96.     Behandlung  des' Falles,  wo  C  =  0.     lieber  die  Lösung  der  Gleichung 

fünften  Grades  für  diesen  Fall       .............       384 

§    97.     Typische  Darstellung  zweier  simultanen  Formen  zweiter  und  dritter 

Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten  .     .     .     .  387 

§  98.  Typische  Darstellung  zweier  simultanen  cubischen  Formen  ....  392 
§    99.     Darstellung  der  Coefficienten  von  F  durch  die  einfachsten  simultanen 

Invarianten  von  /'  und  qo 396 

§  100.  Die  aus  F  entstehenden  Formen.  Ausnahmefall  Sl  =  0  .  .  .  .  .  400 
§101.     Die  Transformation  dritter  Ordnung  der  elliptischen  Integrale      .     .       405 

NeunterAbsclmitt. 

Typisclie  Darstellung  der  Formen  gerader  Ordnung  mittelst 
quadratischer  Covarianten. 

§  102.  Beweis,  dass  im  Allgemeinen  jede  Form  gerader  Ordnung  zwei  qua- 
dratische Covarianten  besitzt"^  welche  keinen  linearen  Factor 
gemein  haben 410 

§  103.     Typische    Darstellung    eines    Systems    simultaner    Formen    gerader 

Ordnung  mit  Hilfe  quadratischer  Covarianten 413 

§  104.     Ueber  den  besondern  Fall,   in   welchem   eine  der  Functionen  L ,  M, 

N  die  Functionaldeterminante  der  beiden  anderen  ist 419 

§  105.  Ueber  die  Möglichkeit,  Systeme  von  Formen  gerader  Ordnung  mit 
gleichen  absoluten  Invarianten  durch  lineare  Transformation  in 
einander  überzuführen  .  421 

§  106,     Drei  simultane  quadratische  Formen 428 

§  107.     Simultanes   System    einer  quadratischen    und    einer    biquadratischen 

Form:    Fälle,  wo  keine  typische  Darstellung  möglich  ist       ...       431 

§  108.     Typische  Darstellungen  der  übrigen  Fälle 433 

§  109.     Die  Formen   sechster  Ordnung.     Fälle,   in  denen  die   typische   Dar 

Stellung  nicht  möglich  ist 437 

§  110.     Ausnahmefälle,  in  welchen  eine  der  Covarianten  w,  Z,  i  verschwindet       445 

§111.     Untersuchung  einer  Form  sechsten  Grades,  welche  Co  Variante  sechsten 

Grades  einer  biquadratischen  Form  ist 447 

§  112.     Typische  Darstellung    der  Form    sechster  Ordnung,    wenn    B  nicht 

verschwindet 451 

§  llo.     Fall,  wo  Jl  verschwindet     , .       455 

§  114.     Die  Modulargleichung  für  die    Transformation  fünfter  Ordnung  der 

elliptischen  Functionen 458 

§  115.  Die  Gleichung  für  den  Multiplicator  der  Transformation  fünfter  Ord- 
nung der  elliptischen  Functionen 462 


Erster  Absclmitt. 

Grundeigenscliaften   der   Invarianten   und  Covarianten 
binärer  Formen. 


§  1.    Definition  binärer  Formen.    Lineare  Snbstitntionen. 

Im  Folgenden  wird  von  den  ganzen  homogenen  Functionen  zweier 
Veränderliclien  gehandelt.  Diese  Functionen  heissen  binär,  weil  eben 
nur  zwei  Veränderliclie  vorkommen;  sie  werden,  insofern  es  sich  we- 
sentlich um  ihren  Charakter  als  ganzer  Functionen  handelt,  binäre 
Formen  genannt,  eine  Bezeichnung,  welche  der  Zahlentheorie  ent- 
lehnt ist.  Man  theilt  sie  in  Ordnungen  nach  der  Dimension,  in  welcher 
die  Veränderlichen  vorkommen. 

Setzt  mau  eine  binäre  Form  oi^^^  Ordnung  gleich  Null  und  divi- 
dirt  durch  die  n'^^  Potenz  einer  Veränderlichen,  so  kommt  in  der  Glei- 
chung nur  der  Quotient  beider  Veränderlichen  vor,  und  man  hat  also 
eine  Gleichung  n^^^  Grades  zur  Bestimmung  dieses  Quotienten  vor  sich. 
Man  kann  daher  auch  die  gleich  Null  gesetzte  Form  selbst  als  Glei- 
chung ii*^"  Grades  für  das  Verhältniss  der  Venlnderlichen  betrachten. 

Die  Coefficienten  einer  Form  betrachtet  man  zunächst  als  Qon- 
stante,  und  zwar  als  willkürlich  gegebene  Constante,  so  dass  zwischen 
denselben  von  vorn  herein  Relationen  nicht  angenommen  werden.  In- 
sofern unterscheiden  sie  sich  von  veränderlichen  Grössen  nur  durch 
den  zufällig  gewählten  Gesichtspunkt,  unter  Avelchem  sie  betrachtet 
werden. 

Eine  Form  w*"  Ordnung  hat  n  +  1  Coefficienten.  Geht  man,  in- 
dem man  die  Form  gleich  Null  setzt,  zu  der  entsprechenden  Gleichung 
über,  so  kann  ein  Coefficient  durch  Division  zu  1  gemacht  werden. 
Es  ist  aber  wegen  des  Zusammenhanges  der  Theorie  der  Gleichungen 
mit  der  allgemeinen  Formentheorie  besser,  auch  in  diesem  Falle  alle 
Coefficienten  beizubehalten. 

In  der  Invariantentheorie  werden  die  Formen  insbesondere  rück- 
sichtlich der  Veränderungen  untersucht,  welche  sie  erleiden,  wenn 
man   statt   der   ursprünglichen    Veränderlichen    lineare    Verbindungen 

Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  1 


2  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Jii Varianten 

derselben  als  neue  Veränderliche  einführt.  Seien  x^,  x^  die  ursprüng- 
lichen Veränderlichen  und  f{x^,  x.^  eine  homogene  Function  w*^'"  Ord- 
nung derselben.  Führen  wir  nun  neue  Veränderliche  ^^^  |^,  ein  mit 
Hilfe  der  Gleichungen: 

gx  x,  =  a^^l,-\-a^,l., 

X2  =  f^21  "31     I     ^22  ^2  ? 

WO  die  vier  Grössen  a  constante  Coefficienten  bedeuten.  Alsdann  geht 
die  Function  f  der  x  in  eine  andere  Function  f  der  J  über,  indem 

f{x,,X.^)  =  f{cC^,l  -f  fi:i2?2?    ^21^1  +  ^22y 

gesetzt  wird.  Die  neue  oder,  wie  wir  sagen  wollen,  die  transfor- 
mirte  Form  ist  von  derselben  Ordnung  in  den  ?,  wie  die  ursprüng- 
liche in  den  x  war.  Die  neuen  Coefficienten  enthalten  linear  die  ur- 
sprünglichen Coefficienten;  aber  sie  enthalten  ausserdem  die  Coefficien- 
ten «,  und  zwar,  der  Ordnung  der  Form  f  entsprechend,  homogen 
in  der  ?^*®°  Dimension.* 

Die  Operation,  vermöge  deren  die  neuen  Veränderlichen  J  ein- 
geführt werden ,  nennt  man,  weil  dabei  die  linearen  Gleichungen  (1) 
zu  Grunde  gelegt  werden,  eine  lineare  Substitution,  und  versteht 
unter  dieser  Bezeichnung  auch  wohl  die  Formeln  (l)  selbst,  deren 
Coefficienten  a  dann  Substitutionscoefficienten  genannt  werden. 

Damit  aber  die  Gleichungen  (1)  nicht  etwa  eine  Relation  zwischen 
den  als  unabhängig  vorausgesetzten  Grössen^  enthalten,  ist  es  noth- 
wendig,  dass  diese  Gleichungen  nach  ^j,  J^  aullösbar  seien  und  dass 
der  dabei  auftretende  Nenner  nicht  verschwinde.     Wäre  der  Ausdruck 

T  :=-^  Cf^j  «22         ^12  %1  7 

die  Determinante  der  Substitution,  gleich  Null,  so  würde  nach 
(1)  \lie  Beziehung 

oder 

stattfinden  müssen,  was  mit  dem  Begrifi\3  der  x  als  unabhängiger  Ver- 
änderlichen  unverträglich   ist.     Wir  nehmen   also  r  jederzeit   als  von 


*  Beispiel  einer  quadratischen  Form: 

f=  üqXi^  +  2  «1  Xi  Xi  +  «2  ^2~ 

=  «0  («1 1  ii  -1-  «12  ^2)^  +  2 «1  (or,  1  ^1  -f-  a,2 12)  («21  f  1  +  «22  h)  +  «2  («21  h  -^  «22  ^2)' 
=  a'o|i2  +  2a'ia,l2  +  «'2^2S 

a'o  =  «0  «1 1  '^  +  2  «1  «1 ,  oTa  I  -f  riTg  «j,  2, 

a'x  =  «0  ofi,  or,2  -f  a,  (of,,  cf22  -f  «12  «21)  +  «2  «2t  «22 , 


und  Covarianten  binärer  FoiTnen.  —  §§  1,  2.  3 

Null   verschieden   an   und    erbalten   demnach  aus  (1)  durch   Auflösung 
dieser  Gleichungen  nach  den  ^: 


(2)  l'I 

die  aufgelösten  Substitutionsformeln. 


§  2.    Deflnitiou  der  IiiTariaiiten  und  CoTarianten  binärer  Formen. 

In  der  Formentheorie  untersucht  man  nun  solche  ganze 
rationale  Verbindungen  der  Coefficienten  und  der  Ver- 
änderlichen, welche  bis  auf  eine  Potenz  von  r  denselben 
Werth  annehmen,  gleichviel,  ob  man  sie  für  die  ursprüng- 
liche oder  für  die  transformirte  Function  bildet.  Enthält 
eine  solche  Verbindung  nur  die  Coefficienten,  so  nennt  man  sie  In- 
variante: enthält  sie  auch  noch  die  Veränderlichen,  so  wird  sie  Co- 
variante  genannt.* 

Sei  TT  eine  solche  ganze  rationale  Function  der  Veränderlichen 
a;,,  ^2  und  der  Coefficienten  a^,  öj,  a^,...,  welche  die  oben  festgestellte 
Eigenschaft  besitzt,  eine  Eigenschaft,  welche  kurz  als  Invarianten- 
eigenschaft bezeichnet  werden  soll.  Sind  dann,  wie  oben,  J^,  J., 
die  neuen  Veränderlichen  und  a^,  a\,  a^...  die  Coefficienten  der 
transformirten  Function  /",  so  muss  man  die  Gleichung  haben: 

(1)       n  (a\,  a\,  a^ . . .;  ?,,  y  =  r^  TJ  (a^,  a,,  «,. .  .5  x^,  x.^, 
durch  welche  die  Invarianteneigenschaft  ausgesagt  wird. 

Durch  die  lineare  Substitution  treten  an  Stelle  der  x  lineare  Ver- 
bindungen I  derselben,  an  Stelle  der  a^y  a^,  a^...  ebenso  lineare  Ver- 
bindungen dieser  Coefficienten.  Daher  bleibt  jede  für  die  x  einerseits 
und  für  die  a^,  a^y  ^2  •  •  •  andererseits  ganze  und  homogene  Function 
auch  nach  der  Transformation  eine  solche.  Man  schliesst  daraus,  dass 
die  Gleichung  (1)  für  die  verschiedenen,  nach  den  x  einerseits  und  nach 
den  Coefficienten  andererseits  homogenen  Theile  bestehen  muss,  in 
welche  TT  etwa  zerfallt  und  welche  unter  sich  verschiedene  Dimen- 
sionen der  Grössen  zeigen,  in  Bezug  auf  welche  jeder  einzelne  Theil 
homogen  ist,  oder,  was  dasselbe  ist,  man  schliesst,  dass  diese  Theile 
einzeln  die  Invarianteneigenschaft  besitzen  müssen.  Wir  setzen  daher 
im  Folgenden  immer  voraus,  dass  jede  zu  betrachtende  Invarianie 
oder  Covariante  schon  in  solche  Theile  zerlegt  sei,  und  sprechen  also 


Beigpiel  einer  Invariante  bei  einer  quadratischen  Form  (vergl.  oben) : 

(ö'o  a'2  -  «'1  ^)  =  (rt„  «2  ~  « I  -)  («1 1  «22  -  «12  «21 )' 

=  {aoai-ai^)r\ 

1* 


4  Erster  Abschnitt.     Grundeigenscliaften  der  Invarianten 

nur  noch  von  solchen,   welche   für  die  x  einerseits   und  für  die  Coef- 
ficienten  andererseits  homogen  sind. 

Es  ist  aber  nicht  nöthig,  die  Untersuchung  der  Wirkung  einer 
linearen  Substitution  auf  eine  zu  transformirende  Function  f  zu  be- 
schränken. Es  sei  eine  ßeihe  von  Functionen  f,  (p,  ij;...  gegeben, 
deren  Ordnungen  beziehungsweise  durch  m,  n,  p...  bezeichnet  sein 
mögen.  Dann  kann  man  alle  diese  Functionen  gleichzeitig  mit  Hilfe 
derselben  linearen  Substitution  transformiren,  und  insofern  sie  hier- 
durch unter  einem  gemeinsamen  Gesichtspunkt  betrachtet  werden,  be- 
zeichnet man  sie  zusammen  als  ein  simultanes  System  von  For- 
men. Man  bezeichnet  nun  als  simultane  Invarianten  und 
simultane  Covarianten  solche  ganze  rationale  Functionen 
der  Coefficienten  von  /",  cpj  ip...,  beziehungsweise  auch 
von  x^j  X2,  welche  die  Invarianteneigenschaft  besitzen,* 
'  Bezeichnen  wir  die  Coefficienten  der  Functionen  /",  cp  ^  jp  . . .  in 
folgender  Weise: 

Coefficienten  von  f:  a^,  a^y  a.^ .  .  . 
»  «   ^'  K  h>  h--- 

n  »    ^'  ^0?    ^17    ^2  •  •  • 


und  bezeichnen  wir  die  entsprechenden  Coefficienten  der  transformir- 
ten  Functionen  immer  durch  beigesetzte  obere  Striche,  so  ist  die  all- 
gemeinste simultane  Covariante  bez.  Invariante  dieser  Formen  eine 
ganze  Function  TT  der  a,  &,  c,  ...  x,   welche   der  Gleichung  genügt: 

Und  aus  denselben  Gründen,  wie  dies  oben  bei  einer  Grundfunc- 
tion  geschah,  muss  diese  Gleichung  erfüllt  sein  für  die  verschiedenen 
Theile,  in  welche  TT  etwa  zerfallen  kann  und  deren  jeder  für  jede 
der  Reihen 


*  Beispiel  zweier  quadratischen  Formen: 

f~  üoXi^  -I-  2 eil  ^1  ^2  +  «2^2^ 
Cp=:boXi^  +2hiXiCÜ2  +1)2X2^. 

Transformirte  Coefficienten : 

a'o=«o«ii^  +  2aiaiior2i  -fa2a2i^ 

a'i  =  «0  0^11  «12  +  (^i  («11 0^22  +  «12  '^21 )  +  ^h  «21  0^22 

a'2  =  «0  «12^  +  2  «1  «12  «22  +  <^2  «22^ 

h'o  =  &o  «11^  +  2  hl  cci  i  0^2,  -f  1)2  cfai  ^ 

^'i  =  ^0«11  «12  +  h  («11  «22  +  «12  «21)  +  ?>2«21  «22 
b'2  =  &o  «1 2^  +  2  &i  «1 2  «22  -]-  &2  «22^- 

Simultane  Covariante  : 


j«'oli+«'il2     ^'o^i  +  h\^2\_ 

Simultane  Invariante : 

{a'oh'z  -  2a'i  h\  +  a^h'o)  ~  r^  {ciobi  -  2«,  ?>,  ^-  a2ho)- 


üqXi  +  «1 X2    1)q Xi  -f  hl  X2 
«1  £C,  -^  «2  X2     hl  Xi  -]-  &2  ^2 


uud  Covarianteii  binilrer  Formen.  —  §  2. 


homogen  ist,  während  die  eiuzehien  Theile  durch  verschiedene  Dimen- 
sionen in  Bezug  auf  irgend  welche  dieser  Reihen  sich  unterscheiden. 
Man  kann  also  auch  hier  immer  voraussetzen,  dass  jede  zu  betrach- 
tende Invariante  oder  Covariante  bereits  so  zerlegt  sei,  und  sich  daher 
auf  die  Untersuchung  solcher  Gebilde  beschränken,  welche  bereits  für 
jede  einzelne  der  obigen  Reihen  homogen  sind. 

Endlich  kann  man  das  Gebiet  der  zu  untersuchenden  Bildungen 
auch  dadurch  erweitern,  dass  man  neben  einer  Reihe  von  Veränder- 
lichen x^y  i\^  deren  mehrere  andere 

2/i;  2/2;  ^1;  ^2;  ••• 
einführt,   doch   so,   dass  sie  sämmtlich  derselben  linearen  Transfor- 
mation unterworfen  werden    und   durch   sie   gleichzeitig   auf  die   den 
^^,  ^.,  entsprechenden  Reihen  von  neuen  Veränderlichen  führen: 

Vi>    V21    Si;    ?25    ••• 

Dabei  sind  also  y^J  y,,  mit  rj^,  rj.^  und  <^^,  0.^  mit  ^j,  J^  u.  s.  w. 
durch  dieselben  Gleichungen  verbunden,  welche  zwischen  Xj^y  x^  einer- 
seits und  ^^,  1^  andererseits  bestehen,  also  durch  die  Gleichungen: 

2/1  =  «11^1 +  «12% 
2/2  =  «21^1 +  «22  ^2 
^i  =  «nSi  +  «i2?2 

^2  =  «21^1  +  «22^2 

u.  s.  w. 
Erweitert  man   den   Begriff  der   Covarianten   nun  auch  in  Bezug 
auf  die  Anzahl  der  in  denselben  vorkommenden  Reihen  von  Veränder- 
lichen,  so   ist  jetzt   eine   solche   definirt  als  ganze  rationale  Function 
ihrer  Argumente,  welche  der  Gleichung  genügt: 

(2)  ''   V^07^1"*5    ^0>^l'"'-l    <^'o>^l--*5    '•'^l>^2'l    '^i;^2  5    bl7fc25"V 

=  r^Tl{a^,a,,..',  h^,h,...]  c^,^,...-,  ...x^.x.^-,  y^,  y,-,  z^,z^',..,). 

Und  man  kann  auch  hier  w^ieder,  ohne  der  Allgemeinheit  Ein- 
trag zu  thun,  voraussetzen,  dass  TT  homogen  sei  für  jede  einzelne 
der  Reihen: 

^1;  ^2»       y^y  2/27       ^1;  ^27 
u.  s.  w. 

Dieser  allgemeinste  Begriff  der  hier  zu  betrachtenden  Formen  soll 
weiter  unten  an  einem  System  linearer  Formen  erläutert  und  damit 
zugleich  die  Grundlage  für  die  Untersuchung  eines  beliebigen  For- 
mensystems gewonnen  werden. 


6  Erster  Abschnitt.    Grundeigenschaften  der  Invarianten 

§  B.    Operationen,  welche  die  Inyarianteneigenscliaft  nicht  auflieben. 

Ehe  ich  mich  zu  der  Betrachtung  der  Systeme  von  linearen  For- 
men wende,  werde  ich  zwei  Sätze  beweisen,  die  bei  derselben  sofort 
angewendet  werden.     Der  erste  dieser  Sätze  ist  folgender: 

Wenn  TT  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  jeder 
der  Formen  f,  (p ,  -tp  . . .  und  jedes  der  Paare  von  Ver- 
änderlichen X,  y,  z...  homogen  ist  und  die  Inva- 
rianteneigenschaft-besitzt,  wenn  ferner  jPeine  Form 
von  gleichem  Grade  wie  /'  ist,  und  den  Coefficienten 

von  /'einzeln  die  Coefficienten 

von  F  entsprechen,  so  besitzt  auch  die  Function 

an        an       d\\_ 
"""a^o      'a^^'^^'^aa/'- 
die    Invarianteneigenschaft,    sobald    nur   die   Func- 
tion  F  dem   simultanen   System  /",  qp,  i\) .  . .   hinzuge- 
fügt wird.* 
Dieser  Satz  ist  leicht  zu  beweisen.     Denn  da  über  die  Coefficien- 
ten  von  /",  ^)  ...  gar  nichts  vorausgesetzt  wurde,  so  ist  bei   der  Fest- 
stellung der  Eigenschaften  von  TT  die  Function  /'  eine  beliebige  Form 
,^^ter  Ordnung,  und  diese  Eigenschaften  ändern  sich  nicht,  wenn  man  / 
durch  irgend  eine  andere  Form  n*®*^  Ordnung,   etwa  durch  f-\-lcF  er- 
setzt, wo  Tv  eine  beliebige  Grösse  ist.     Bildet  man  nun  für  die  so  mo- 
dificirte  Function  TT  die  Gleichung  (2)  §  2.  und  ordnet  auf  beiden  Seiten 
nach  Potenzen  von  Ä;,   so   muss   die   Gleichung  noch  für  jeden  Werth 
von  li  bestehen;   die   Coefficienten   der   verschiedenen  Potenzen   von  ^ 
müssen  auf  beiden  Seiten  einander  gleich  sein,  d.  h.  die  Coefficienten 
der  verschiedenen  Potenzen  von  h  in  der  Entwickelung  von  TT  müssen 
einzeln  die  Invarianteneigenschaft  besitzen.     Ist  nun  die  Entwickelung 
der  Function  TT,  nachdem  in  derselben  a^^-\-haQ,  a^-\-lha^  u.  s.  w.  für 
«Q,  a^...  gesetzt  ist,  der  Ausdruck 

so  hat  also  auch  TTj  die  Invarianteneigenschaft  5  aber  diese  Function 
ist  das  erste  Glied  der  Entwickelung,  welche  eintritt,  wenn  man  die 
Function  TT,  für  die  Argumente  a^  +  ^^o?  g^i  +  >^'^i---  gebildet,  nach 
den  Grössen  a^j  a^  u.  s.  w.  entwickelt,   also 


*   Cayley,  fourth  Memoir  upon  Quantics,  Phil.  Tr.  Bd.  148. 


und  Co  Varianten  binärer  Formen.  —  §§3,4.  7 

wodurch  der  obige  Satz  bewiesen  ist. 

Der  zweite  Satz,  welcher  im  Folgenden  angewendet  werden  soll, 
bezieht  sich  ebenso  auf  die  Vermehrung  der  Reihen  von  Veränder- 
lichen, wie  der  vorige  auf  die  Vermehrung  der  Functionen. 

Kommt  in  TT  irgend  eine  Reihe  x^^j  x^  von  Ver- 
änderlichen vor  und  sind  t^y  t^  zwei  denselben  Trans- 
formationsformeln unterworfene  Veränderliche,  so 
besitzt  auch  die  Function 

^'cx,^''dx., 
die  Invarianteneigenschaft. 
Der  Beweis  dieses  Satzes  wird  dem  des  vorigen  ganz  analog  ge- 
führt. In  TT  stellen  die  Grössen  x^,  x^  irgend  zwei  Veränderliche  vor, 
welche  den  Substitutionsformeln  (1)  §  1.  unterworfen  werden.  Den- 
selben Formeln  unterliegen  die  Grössen  x^-\-'kt^,  x,^-\-]ct,  in  welchen 
k  eine  ganz  beliebige  Grösse  ist.  Die  Function  TT  behält  also  die  In- 
varianteneigenschaft, wenn  man  in  derselben  x^^,  x<^  durch  x^-\-)it^j 
x^-\-'kt.,  ersetzt,  und  zwar  hat  sie  dieselbe  dann  unabhängig  von  dem 
Werthe  von  A\  Entwickelt  man  nun  die  aus  TT  entstandene  Function 
nach  Potenzen  von  }i\ 

so  haben  alle  Coefficienten  dieser  Reihe,  also  auch  TTj,  dieselbe  Eigen- 
schaft. Aber  ATT^  ist  das  zweite  Glied  der  Reihe,  welche  man  erhält, 
indem  man  die  modificirte  Function  TT  nach  den  Potenzen  von  lit^, 
lit.,  dem  Taylor'schen  Lehrsatze  gemäss  entwickelt.     Es  ist  also 

und  diese  Function  hat  die  Invarianteneigenschaft,  was  zu  bewei- 
sen war. 

Bei  der  Anwendung  dieser  Sätze  auf  ein  System  linearer  For- 
men zeigt  sich  nun  sofort,  dass  der  letzte  Satz  als  besonderer  Fall 
des  ersten  aufgefasst  werden  kann,  ja,  dass  man  die  Veränderlichen 
^'i;  ^2  5  y  1)1/2'"  §"^112  entbehren  kann,  indem  man  nur  das  betrachtete 
System  simultaner  Formen  um  die  entsprechende  Anzahl  linearer 
Formen  vermehrt. 


§  4.    Lineare  Formeu.    Trausformation  ihrer  Coefflcieuteu, 

Es  sei 

/*=  a^^x^  -f-  tf.^X-i 


8 


Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 


irgend   eine   lineare   Form.      Setzt   man    in   dieser   für   die  x  die  Aus- 
drücke §  1.  (l)  ein,  so  erhält  man: 

Während  also   für  den  Zusammenhang  der  x  mit  den  ^  die  Sub- 
stitutionsformeln  ö'elten : 


■  (1) 

oder 

(2) 


^bi  —  ^22*^1  ^12^2 

^  §2  ^^^         ^21  -^l  ~r  ^1 1  «^2  ? 

so  erhält  man   zwischen    den  Coefficienten  einef  linearen  Function  in 
der  ursprünglichen  und  in  der  transformirten  Form  die  Beziehungen: 


(3) 
oder  aufgelöst: 

(4) 


Zwischen  den  verschiedenen  Systemen  von  Gleichungen  (1),  (2), 
(3),  (4)  besteht  eine  merkwürdige  Analogie.  Die  Gleichungen  (1),  (3) 
einerseits,  sowie  {2),  (4)  andererseits  zeigen  rechts  dieselben  Coef- 
ficienten aj  nur  sind  die  Coefficienten,  welche  in  dem  einen  System 
eine  Horizontalreihe  bilden,  in  dem  andern  in  einer  Verticalreihe 
enthalten  und  umgekehrt,  was  man  dadurch  ausdrückt,  dass  man  die 
Determinante 


«,<, 


a. 


des  einen  Systems  der  Determinante 


•^11      ^2i 


des  andern  gegenüber  transponirt  nennt.  Man  hat  also  den  Satz: 
Die  transformirten  Coefficienten  drücken  sich 
durch  die  ursprünglichen  mittelst  Gleichu^igen  der- 
selben Form  aus,  wie  die  ursprünglichen  Veränder- 
lichen durch  die  transformirten,  und  zwar  ist  nur 
die  Determinante  des  einen  Systems  von  Gleichun- 
gen transponirt  gegenü-ber  der  des  andern. 
Dieser  Satz  bleibt  noch  richtig,    wenn  man  beidemal  die  Worte: 

ursprünglich  und  transformirt  vertauscht;  er  giebt  dann  die  aus 

der  Betrachtung  von  (2),  (4)  fliessende  Eigenschaft. 


lind  Covarianten  binärer  Foiinen.  —  §§  4,  5.  9 

Aber  die  Betrachtung  der  Systeme  (2),  (3)  [oder  (1),  (4)J  lehrt  wei- 
ter, dass  man  den  folgenden  Satz  aussprechen  kann: 

Die  Grössen  x^,  x.^  gehen   (abgesehen   von   einem 
Factor  r)  bei   der  Transformation  in  |^,  ^^   ^^^^  Hilfe 
derselben  Formeln  über,    mit  deren  Hilfe  die  Grös- 
sen a.,  und  —  a^  in  a^.  und  —  a\  übergehen. 
Da  nun  das  Auftreten  eines  weitern  Factors  r  bei   der  Transfor- 
mation  an   der  Invariant eneigenschaft   nichts   ändert,   so   geht   daraus 
der  Satz  hervor: 

Eine  Function  TT,  welche  die  Veränderlichen  x^jX.^ 
enthält  und  die  Invarianteneigenschaft  besitzt,  be- 
hält dieselbe  noch,  sobald   man  x^  und  x.^   durch   die 
Grössen  a.,,  —a^  ersetzt,  wobei  d^j  a.^  die  Coefficien- 
ten  einer  linearen  Function  sind. 
Man  sieht  hieraus,   dass,   wenn   man   den  Begrifi'  des  simultanen 
Formensystems  einfährt,   die  Covarianten  überhauj)t  aus  der  Betrach- 
tung ausgeschlossen  werden  können.   Denn  an  Stelle  jeder  Covariante 
kann  man  eine  Invariante  einführen,  bei  deren  Bildung  nur  das  simul- 
tane System  um   so   viel  lineare  Formen  vermehrt  ist,  als  Reihen  von 
Veränderlichen   in   der  Covariante   existiren.     Und    von   einer   solchen 
Invariante   ist   es   immer   sofort   möglich,    zu   der   Covariante  zurück- 
zukehren, indem  man  die  Coeffici enteil 

ö„  -a^;     \,  -h,]  ... 
der  eingeführten  linearen  Formen   wieder  durch   die  Reihen  von  Ver- 
änderlichen 

^1 ;  ^2  5     2/i  >  2/2  *5  •  •  • 
ersetzt. 


§  5.    Iiiyariaiiten,  welche  aus  den  €oefflcieiiten  einer  oder  zweier 
linearen  Formen  gebildet  sind. 

Ein  eigentlicher  Gewinn  von  dieser  Anschauungsweise  tritt  nur 
bei  Systemen  von  linearen  Formen  hervor,  zu  deren  näherer  Betrach- 
tung ich  mich  jetzt  Avende.  Denn  man  sieht,  dass  jede  Covariante 
eines  solchen  Systems  vermöge  der  obigen  Bemerkung  durch  eine  In- 
variante eines  Systems  ersetzt  werden  kann,  welches  einige  lineare 
Formen  mehr  enthält.  Wenn  wir  daher  alle  möglichen  Invarianten 
solcher  Formensysteme,  unabhängig  von  der  Zahl  der  zu  Grunde  ge- 
legten Formen,  bilden  können,  so  können  wir  alle  Covarianten  der- 
selben sofort  ableiten. 

Nehmen  wir  also  ein  beliebig  grosses  System  von  linearen  Formen 
als  gegeben  an: 


10 


Erster  Abschnitt.     G  rundeisj enschaften  der  Invarianten 


Ä 
B 


11  ~>        2     2 

h^  x^  +  62  x.^ 


und  suchen  alle  aus  diesem  zu  bildenden  Invarianten.  Zunächst  kann 
man  leicht  eine  Zahl  von  Bildungen  angeben,  welche  die  Invarianten- 
eigenschaft besitzen.  Es  sind  dieses  die  aus  den  Coefficienten  je  zweier 
der  gegebenen  Formen  gebildeten  Determinanten.  In  der  That  hat 
man  analog  den  Gleichungen  §  4.  (3)  für  die  Coefficienten  der  trans- 
formirten  Formen  die  Ausdrücke: 


(1) 


h\  =  «11  h^  +  «5>,  h,j, ,     h^  =  «j2  &i  -|-  «22  ^2 


daher 

a\    h\  I  ^    r^n  ^1  +  «21  ^2     ^n  ^i  +  ^21  \ 
'  a.^    h\^  I         0^12 ^'i  -f  ^22 «2     ^12 ^r -f  ß^22 ^2 
wo  nach   dem  Multiplicationssatz   der  Determinanten   die    rechte  Seite 
sofort  in  die  Factoren 


zerfallt.    Man  hat  also 


d.  h.  die  Determinante  zweier  linearen  Functionen  hat  die 
I  n  V  a  r  i  a  n  t  e  n  e  i  g  e  n  s  c  h  a  f  t . 

Da  im  Folgenden  solche  Determinanten,   wie  die  obige  ist,   sehr 
häufig  vorkommen,  so  empfiehlt  es  sich,  für  Ausdrücke  der  Form 


1    M  =  a,  &..  —  6,  a. 


eine  einfachere  Bezeichnung  einzuführen.    Ich  werde  sie  immer  durch 
(ah)  bezeichnen,  so  dass  also 

{al))=^aj)^-—'b^a.^=^  —  {ha). 
Man  kann  nun  folgenden  Satz  beweisen : 

Jede  Invariante  von  einer  Anzahl  linearer  For- 
men  ist  eine   ganze  rationale  Combination  der  De- 
terminanten  vom   Typus  (cth),    welche   sich    aus   den 
Coefficienten  der  Formen  zusammensetzen  lassen. 
Ehe  ich  zu  deui  Beweise  dieses  Satzes  für  eine  beliebige  Anzahl 
linearer    Formen    übergehe,    werde    ich    ihii    für    Systeme    beweisen, 
welche  aus  einer  oder  zwei  linearen  Formen  bestehen. 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  5.  11 

Ist  eine  einzige  Form 

Ä  =  a^x^^~\-  a.^x.2 
gegeben,  TT  eine  Invariante  derselben,  so  muss  man  als  Definition  von 
TT  die  Gleichung  haben: 

wo  a\,  a'jj  durch  die  Gleichungen  (1)  mit  a\j  d^  verbunden  sind.  Nun 
muss  diese  Gleichung  für  jede  lineare  Substitution  bestehen,  z.  B.  auch 
für  die  folgende: 

•^2  =  — «iii"^S2; 
wo  die  h  beliebige  Grössen  sind,  deren  Verhältniss  nur  von  dem  der  a 
verschieden  ist,  so  dass 

nicht  verschwindet.     In  diesem  Falle  ist 

«i  x^  +  a^ ^^  =  (a^  h.,  —  h^  a.,)  t^j 
\     also 

a\  =  0,     a\,  =  r, 

und  die  Gleichung  für  TT  geht  in  die  folgende,  über: 

Da  TT  als  eine  homogene  Function  seiner  Argumente  vorausgesetzt 
wurde,  so  folgt  liieraus 

wo  C  eine  reine  Constante  ist.  Aber  zugleich  muss  ft  verschwinden, 
da  r  die  ganz  fremdartigen  Grössen  h^,  h.^  enthält. 

Es   giebt    also    keine    Invariante   einer    linearen 

Function,  die  evidente  abgerechnet,  welche  aus  einer 

reinen  Constante  besteht. 

Wenn  dagegen  zw^ei  Formen 

A  =  a^^x^^-\-  a.^x.^ 
B  =  h^x^  +  h.^x.^ 
gegeben  sind,  so  ist  die  Definitionsgleichung  für  TT: 

n  {a\,  ci,,  h\,  h\,)  =  rKTi  K,  a,,  h„  b.^. 

Benutzen  wir   nun   wieder   die  Gleichungen  (2)  als   Su'bstitutions- 
formeln,  so  haben  wir 

«1  Xj^  +  «2 ^2=      {aih.^  —  h^a.,)  .^2 
h,  x^  +  &2  x^  =  -  {a,  \  -  h,  a,) .  J^ , 
also 


12  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 


Die  Definitionsgleichung  für  TT  verwandelt  sich  dadurcli  in 
n  (0,  r,  -  r,  0)  ^r^.T\{a„  a^,  h,,  K^. 
Die  linke  Seite   geht   nun  in   eine  reine  Constante  über,   nmltiplicirt 
mit  einer  Potenz  von  r,  und  man  hat  also  den  Satz: 

Jede  Invariante  zweier  simultanen  linearen  For- 
men ist  eine  Potenz  der  Determinante  ihrer  Coeffi- 
cienten. 
Es   ist   dabei  vorausgesetzt,   dass  a^h^  —  h^^a.^  nicht   verschwinde; 
eine  Voraussetzung,  welche  erlaubt  ist,  da  alle  zu  betrachtenden  For- 
men   stets    allgemein,    also    auch    von    einander   unabhängig   gedacht 
werden. 

§  6.    Functionen  von  zwei  Reihen  gleichartiger  Grössen.    Operationen, 
welche  im  Folgenden  benutzt  werden. 

Der  Beweis  des  allgemeinen,  im  vorigen  Paragraphen  angegebenen 
Satzes ,  sowie  eine  grosse  Anzahl  anderer  Folgerungen  dieser  Theorie 
stützt  sicli  auf  eine  Formel,  welche  im  Folgenden  entwickelt  werden 
soll.  Dieselbe  bezieht  sich  auf  eine  ganze  rationale  Function  /',  welche 
zwei  Reihen  von  Veränderlichen  in  homogener  Weise  enthält.  Sie 
zeigt,  wie  jede  solche  Function  aus  einer  gewissen  Anzahl  von  For- 
men, welche  nur  eine  Keihe  von  Veränderlichen  enthalten,  vermöge 
gewisser  einfacher  Operationen  zusammengesetzt  werden  kann.* 

Diese  Operationen  sind,  nur  wiederholt  angewendet,  dieselben, 
welche  schon  im  zweiten  Satze  des  §  3.  benutzt  wurden.  Ich  will  sie 
hier  mit  solchen  Zeichen  hinschreiben,  wie  sie  sich  auf  Grössen  beziehen, 
die  oben  Veränderliche  im  eigentlichen  Sinne  genannt  wurden;  sie 
bleiben  wegen  der  in  §  4.  gezeigten  Vertauschbarkeit  von  Veränder- 
lichen mit  Coefficienten  linearer  Formen  auch  für  solche  in  allen  ihren 
Eigenschaften  bestehen,  und  sind  dann  besondere  Fälle  der  im  ersten 
Satze  des  §  3.  erwähnten  Operation. 

Es  sei  (p  =  (p  {x^j  x^\  2/i;  2/2)  ®i^6  Form,  welche  homogen  vom 
Grade  m  in  x^,  x.^,  homogen  vom  Grade ^  in  y^j  y.^  ist.  Die  beiden 
Ausdrücke 

(p{x^  +  Xy,,  x.,-\-'ly^',  y,,  y,),     cp  (x,,  x.,-,  y^^-lx^,  2/2 +  '^-^2); 
in  welcher;  die  neuen  Argumente  für  die  lineare  Transformation  genau 
die  Eigenschaften   der   ursprünglichen   haben,   sollen,   nach   Potenzen 
von  l  geordnet,  die  Entwickelungen  geben: 


*  Untersuchungen,  welche  den  hier  und  in  den  folgenden  Paragraphen  geführten 
ganz  ähnhch  sind  und  zu  denselben  Resultaten  führen ,  sind  seitdem  veröffentlicht 
von  Herrn  Gordan  in  Band  111  der  mathematischen  Annalen.  Die  einzuführen- 
den Operationen  finden  sich  schon  bei  Cayley,  Mem.  sur  les  hyperdeterininants, 
Cr  eile's  Journal  Bd.  47. 


(1) 


und  Covarianten  binärer  Tonnen.  —  §§  5,  C.  18 


Die  Bildungen 

9),     ^9^7     z/- qp ... 

sind  von  absteigenden  Ordnungen  für  die  x,  von  der  m^^^  anfangend, 
von  aufsteigenden  für  die  y^  von  der  n*^°  beginnend ;  ebenso  sind  die 
Ausdrücke 

9 ,    D  9 ,     Z)- 9  . . . 

von  absteigenden  Ordnungen  für  die  ?/,  von  aufsteigenden  für  die  x. 
Jedesmal  hängt  die  letzte  Bildung  nur  noch  von  einer  Reihe  von  Ver- 
änderlichen ab  und  ist  in  Bezug  auf  diese  von  der  (w^-f  ^?.)*^°  Ordnung. 
Die  Bildungen  D^^;  z/^'^)  sollen,  einem  Ausdrucke  der  analytischen 
Geometrie  entsprechend,  als  Polaren  von  9  bezeichnet  werden. 

Bezeichnet  man   die  linken   Seiten  der  Gleichungen  (1)  durch  (f 
und  9)",  so  hat  man  oflPenbar 

d  cp"  ^      d  cp"  d  ^)" 

Führt  man  aber  in  diese  Gleichungen  die  rechten  Theile  der  Gleichun- 
gen (1)  ein  und  vergleicht  dann  auf  beiden  Seiten  die  Coefficienten  gleich 
hoher  Potenzen  von  A,  so  erhält  man  die  Beziehungen: 


^•^=¥    (^'If    +^^3^ 


(2) 


gDy  ,      dB<f 


f) 


Man  sieht  hieraus,  dass  z/(jd,  z/^qp  .  . .  und  D(pj  D^cp  . , .  nur  wie- 
derholte Anwendungen  der  beiden  Operationen  ^  (p  und  I)(p  sind, 
wobei  denn  die  Operation  z/(jp  dadurch  definirt  wird,  dass  man  nach 
den  X  diiferenzirt ,  mit  den  y  multiplicirt  und  die  Summe  beider  Pro- 
ducte  durch  die  Ordnung  der  diiferenzirten  Function  in  den  x  divi- 
dirt-,  bei  der  Definition  von  Dcp  vertauschen  nur  die  y  und  die  x  ihre 
Rollen. 


14  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 

Indem  man  die  Operationen  ^''(p,  D'^cp  als  Wiederholungen  der- 
selben Operationen  z/qp,  Dcp  auffasst^  sieht  man  sofort,  dass 

Eine  andere  Eigenschaft  dieser  Operationen  ergiebt  sich  aus  den 
Gleichungen  (1).  Setzt  man  in  diesen  2/i  =  ^i>  2/2  =  ^2;  ^^  verwandeln 
sich  dieselben  in  folgende : 

{1  +  ly  .  ,p-^-,p  +  ^XDcp  +  '^^^:^  K^D^g,  +  .  .  . . 

Die  Vergleichung  der  Coefficienten  von  A  giebt  nun 
cp  ~  zi cp  =  z/^  cp  . ,  .  =  D (p  —  D^  (p  .  . . , 
und  somit  den  Satz: 

Für  y^  =  x^y  y.,^  —  X2  werden   die   Werthe   der  Aas- 
drücke der  ^^'g),  JD^cp   sämmtlich  gleich  dem  Werthe 
von  q). 
Ausser  den  Operationen  ^''cp,  D'^(p  werden  wir  im  Folgenden  noch 
eine  Operation  anwenden,  welche  durch  Slcp^  in  wiederholter  Anwen- 
dung durch  iV'cpj  Sl^cp  ...  bezeichnet  werden   soll.     Diese   Operation 
wird  durch  die  Gleichung  deiinirt: 


(3)  ^    ^  1  /  a^y         a>  \ 

mn\dx^dy^     öy^d  xj  ^ 


so  dass  also  weiter: 

^      m  —  l.n—l\dx^dy.2     dy^dx.^J 
_  1  /d^^^(p     d^9.^(p\ 

^~  m—2.n'~2\dx^dy.^     dy^drj' 

Diese  Functionen  sind  sowohl  in  den  x,  als  in  den  y  von  abstei- 
gender Ordnung.  Die  Operation  52  hängt  mit  den  Operationen  z/,  D 
genau  zusammen,  wie  aus  folgendem  Satze  hervorgeht: 

Bei  successiver  An  Wendung  der  Op  er  ationen  z/,  ß 
oder  der  Operationen  D,  £1  ändert  die  Reihenfolge 
der  Anwendung  das  Resultat  nur  um  einen  numeri- 
schen Factor;  es  ist  nämlich 

(4)  »  +  1 

SlDcp=      }-  BSlcp, 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §§6,7.  15 

Von  diesen  Formeln  braucht  man  nur  eine  zu  beweisen;  denn 
durch  Vertauschung  der  x  mit  den  y  geht  eine  in  die  andere  über. 
Nun  ist  aber  nach  (2)^  (3): 

ox,oy.,\'cyJ  -dijj     dx^cy,\'dy,       'dyj 


dy.cy.,        '  dx^dy^dy.,        '-cx,dy% 
o-cp  d^cp  .  ^^fp 

^dy^Kdx^dij^     dy.dxj        '"  dy.,\dXj^dy.^      cy^dxj 
ni  ,n  .n—\  .BSlcpj 

w.  z.  b.  w. 


§  7.    Darstellung  einer  Function  zweier  Reihen  Ton  Teränderliclien  durch 
die  Polaren  von  Functionen,  welche  nur  eine  Reihe  enthalten. 

Man  überzeugt  sich  nun  zunächst  leicht  von  der  Richtigkeit  der 
Identität 

(1)  f^JBf^:£~{xy)Slf: 

Es  ist  nämlich 

für  die  x  von  der  (w+l)*^"  Ordnung;  daher 

=  Vi  ^—  (Xi^  -{- X.,  ^  )  -{-  y,  :^—  (Xj^^  +  X,—!-  ) 
^^dx^K^dyj^        -dyj      ''-dx.^\'dy^        'öyj 

=  nf+nmf-(y,x,-x,y,)  (-0--^) 
also 

was  die  zu  beweisende  Gleichung  ist. 

Vermöge  der  Gleichung  (1)  leitet  sich  die  Form  f  aus  den  beiden 
Formen  Df  und  ^f  ab,  welche  beide  die  y  zu  niederer  Ordnung  als  f 
enthalten.  Wendet  man  nun  die  Gleichung  (1)  in  gleicher  Weise  auf 
Df  und  ß/' an,  so  erhält  man  diese  ausgedrückt  durch  Functionen, 
welche  die  y  abermals  zu  niederer  Ordnung  enthalten,  und  es  wird, 
indem  man  so  fortfährt,   schliesslich   alles  auf  Functionen   von  x^,  x^ 


\ß  Erster  Abgchiiitt.    Gnindeigeiischaften  der  Invarianten 

allein  zurückgeführt.  Die  hieraus  für  /"folgende  Darstellung  wollen  wir 
nun  genauer  untersuchen. 

Ich  behaupte,  dass  unter  Anderm  sich  für  f  folgender  Ausdruck 
ergiebt,  in  welchem  h'^n  und  in  welchem  die  a  numerische  Coeffi- 
cienten  bedeuten: 

ein  Ausdruck,  welcher,  wenn  m<^n,  und  h'^m^  schon  abbricht  mit 
dem  Gliede 

indem  ^'"+^ /' identisch  verschwindet. 

Der  Ausdruck  (2)  geht  für  Zj=1  in  den  Ausdruck  (1)  über;  um 
die  allgemeine  Giltigkeit  dieser  Darstellungsart  nachzuweisen,  ist  also 
nur  nöthig,  zu  zeigen,  dass  sie  für  y^+l  richtig  ist,  wenn  man  für 
Ix,  sie  als  richtig  annimmt.  Indem  wir  diesen  Beweis  führen,  ergiebt 
sich  zugleich  eine  recurrente  Formel  zur  Berechnung  der  Coefficienten  a. 

Die  Functionen 

sind  von  den  Ordnungen  m  +  h,  m-\-Jc  —  2j  m-\-'k  —  A,..  in  den  Xy 
überhaupt  D^^~^  S>Jf  von  der  Ordnung  m  +  Ä;  —  2  A.  Wendet  man  daher 
auf  die  Function  Sl^I)^^~^f  die  Gleichung  (1)  an,  indem  man  diese 
Function  an  Stelle  von  f  treten  lässt ,  so  erhält  man : 

m-\-lv  —  2l  +  1 
Das  zweite  Glied  dieses  Ausdrucks  kann  man  mit  Hilfe  der  Glei- 
chungen (4)   umgestalten,   indem  man   die  äusserste  Operation  Sl  mit 
den  h  —  l  Operationen  D  successive  vertauscht.     Man  erhält  nach  der 
zweiten  Formel  (4)  des  §  6. : 

^  m  +  k  —  2l 

m-\-  h  —  2k 


und  es  wird  also 

Führt  man  die  hieraus  entspringenden  Ausdrücke  der  Functionen 
in  die  Gleichung  (1)  ein,  so  erhält  man  zunächst: 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  7.  17 

+ ;;h^  "^"  ^(^^)  ^*  •^^1  +  »5ä  (^^)  ^''^ '  K^^)  '^'•■~'  ^-'^) 

Der  erste  Theil  dieses  Ausdrucks  hat  sclion  eine  Gestalt,  wie  sie 
aus  (2)  hervorgeht,  wenn  man  k  in  7t -f  1  verwandelt.  Um  dem  zweiten 
Theile  dieselbe  Gestalt  zu  geben,  bemerke  man,  dass,  wenn  cp  eine 
Function  ^^^"^  Ordnung  in  den  x  ist: 

oder  da  zl  {xy)  =  (yy)  identisch  verschwindet: 

^[(•^^)9]=  -^-y(^^^)^9^• 
Durch  wiederholte  Anwendung  dieser  Formel  hat  man: 

^^  [(^\V)  9J  =  j;^  ^^~^  [(^ y)^^]=  ^,  ^^-^  [{xy)  z/^  9)] . .  . 


^  +  1 


{xy)zJ^(p. 


Setzt  man  nun  l' —  l  für  l  und  D^  ^  S}}+^  f  für  qp,  so  muss  man 
li^m  -\-h  —  2k  —  1  setzen,  und  es  wird  also : 

z/^"-^  [{xy)  D^-^  i^^+l  /"l  =-      '^\7\.  {xy)  J'-'^  D^-^  5^^'+ V. 

Führt  man  dies  in  (3)  ein,  so  nimmt  f  in  der  That  die  uiit  (2)  analoge 
Form  an: 

und  zwar   sind    dabei    die  Grössen  c/'''  +  '^   aus  den  Grössen  cd''^  zusam- 
mengesetzt mit  Hilfe  folgender  Formeln: 


«^(■''■+"  =.  «^"'■^4- 


W^  +  ^"  •  "^  +  ^'  +   1^ 


l      (5)  «.(M-n  ^  ,^,.)  _^.  -^^Ö«_Z^)^^-,  ..'^) 


Clebsch,  Theorie  der  biuären  algebr.  Formen. 


;13  Erster  Absclinitt.     Grundeigenscliaften  der  Invarianten 

« 
Setzt  man  in  (2)  nun  Jc^^n,  so  gehen  die  Functionen 

I)"f,      B^-'flf,      Z)"-2i^Y,  ... 
in  Functionen  von  x^,  x.,   allein   über.     Indem  wir  nun  den  oben  de- 
finirten  Begriff  der  Polaren   einer  Function   benutzen,   haben   vs^ir  fol- 
genden Satz  bewiesen: 

Jede  Form  f,  welche  von  der  m*®^  Ordnung  in 
den  X,  von  der  n*®"  in  den  y  ist,  lässt  sich  aus  den 
Polaren  der  Formen 

welche  sämmtlich   nur  die  x  enthalten,   und  aus  Po- 
tenzen von  {xy)  zusammensetzen,   so   dass   identisch 

^^■^  +  «2(")  [xyY  z/"-2  J)"-2ßY+  •  ••  ? 

wo  die  a  numei;ische  Coefficienten  bedeuten.* 
Es  knüpfen  sich  hieran  noch  folgende  Sätze: 

1.  Wenn  eine  nach  Potenzen  von  (xy)  fortschrei- 
tende Reihe,  deren  Coefficienten  Polaren  sind,  ver- 
schwindet, so  verschwindet  jedes  einzelne  Glied. 

Sei  die  Reihe 

A  +  {xy)B-\-{xyYC+..., 

und  nehmen  wir  an,  dieselbe  verschwinde  identisch.    Setzt  mana:  =  ?/, 
so   verwandelt   sich   A  in   die   Function,    deren   Polare   Ä   war.      Die 


*  Als  Beispiel  will  ich  die  beiden  Fälle  m  =  2_,  w  =  2  und  m=:S,  n  =  2  her- 
setzen, welche  insofern  etwas  verschiedenen  Charakter  zeigen,  als  die  Summe  m  +  n 
einmal  gerade,  einmal  imgerade' ist. 

1.  m  =  2,  n  =  2. 
f=:y^^{ax^'^-\-2hx^X2-i-cx/)-\-'2y^y2{ax^^-i-2b'XlX2  +  cx2'^) 

+yz^{a"  Xi^-{-2b"  XiX^  +  c"  X2^) 
=  J^D^f+  (xy)  JDSlf+  l  {xyfSl'-f 
1)2/'=  aXi^+2{b+a)Xi^X2  +  (c  +  4fc'  +  a")  x^^Xz^  +  2 (c'  +  &")  Xi  x^^  -\-  c" x^ 
Slf-y^  {{a  -b)  Xi  +  {b'-c)  x^]  +  2/2  [{a"-b')Xi  +  (b"-c)  x^] 
DSlf={a-b)Xi^  +  {a"-c)Xi  x^  +  {b"-c)  xJ^ 
ßY=c  +  a"-2fc'. 

2.  m  =  3,  n  =  2. 

f  =  y^{aXi^+?>bXi^X2-\-^cx^X2^+dx2^)  +  2y^y2{ax^^-^^b'x\^X2  +  '^cXiX2^-\-d'x2^) 
^  +  y2^{(^"  Xi^-{-nb"  Xi'^Xi  +  3  c"  Xi  X'^  -f  d"  xi^) 

DY  =  «^i^  +  (3&  +  2«/)  x^^X2  +  (3c  +  6&'  +  a')  x^^x^^ +  {d  +  ^c  +'ib")  x^^x^^ 

+  (2  <^'  -f  3  c")  x^  x<^  +  d"  x^-" 
Slf  =  y^  [{a-b)  x^^ -\-2{b' -c)XiX2  +  {c  - d)x2^]  -f  2/2  [(«"-&') X(^  +  2  (l:>"-c)x^X2 

^{c"-d')X2^] 

Daf=  {a-b)x^^  +  Q)' -f  a"  -  2c)Xi^X2  +  {2b"  -d- c) x^ Xi^  +  ic"  - d') x^^ 
Sl'^f  =  {c  +  a"  -  2 b)  x^  +  {d-\^  b"  -  2  c)  x^. 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  7,  19 

übrigen  Glieder  der  Reihe  werden  Null,  und  es  folgt  also,  dass  diese 
Function  Null  ist.  Aber  dann  ist  aucb  ihre  Polare  Ä  gleich  Null, 
d.  h.  der  erste  Term  verschwindet  für  sich.  Nunmehr  kann  man  die 
Reihe  durch  {xy)  dividiren  und  erhält  die  ebenfalls  verschwindende 
Reihe 

B+(xy)C+...,, 

Man  beweist  nun  wie  oben,  dass  auch  B  für  sich  verschwindet, 
alsdann  nach  abermaliger  Division  mit  {xy)j  dass  C  für  sich  ver- 
schwindet u.  s.  w. 

2.  Eine  gegebene  Function  zweier  Reihen  von 
Veränderlichen  ist  nur  auf  eine  Weise  so  nach  Po- 
tenzen von  (ici/)  entwickelbar,  dass  die  Coefficienten 
Polaren  sind. 

Wären  zwei  Entwickelungen 

A-^ixy)B-}-{xyYC.., 
und 

^+(x^J)B-\-fxyy^ ... 

denkbar,  so  hätte  man 

(^  _  A)  +  (xy)  iB-B)  +  (xyf  (C-  f) . . .  =  0, 
also  nach  dem  vorigen  Satze 

A  =  k,       B  =  B,       C=T,... 
d.  h.   die   Entwickelungen   wären    identisch,    was    der    Voraussetzung 
widerspricht. 

3.  Bei  einer  Function  zweier  Reihen,  welche  durch 
Vertauschung   derselben   sich   nicht    ändert,    treten 
nur  Glieder   auf,   welche   die   geraden  Potenzen   von 
ixy)  enthalten. 
In   diesem   Falle    müssen    die  Ordnungen   m   und  n    gleich    sein; 
daher  haben  auch  die  einzelnen  in  (B)  auftretenden  Polaren  die  Eigen- 
schaft, durch  Vertauschung  der  x  und  y  sich  nicht  zu  ändern.   Ist  also 

f^A  +  {xy)  B  +  {xyf  C+  (xyfB  . . ., 
so  ist  auch,  nach  Vertauschung  der  x  mit  den  y: 

f^A-  (xy)  B  -f  (xyfC-  (xy)^  D  .  . ., 
also  wenn   man   diese  Gleichung   von   der  vorigen   abzieht   und   durch 

2  {xy)  dividirt: 

0=^B+(xyyB-\-...., 

daher  identisch 

B  =  0,      Z)  =  0..., 

und  also 

f=A+{xy)'C+..., 
was  zu  beweisen  war. 


^0  Erster  Absclinitt.    Grundeigenscliafton  der  Invarianten 

§  8.    Bestimmung  der  Coefiicienteii  cc. 

Es  ist  niclit  ganz  leicht,  von  den  Formeln  (5)  zu  einer  indepen- 
denten  Darstellung  der  Coefficienten  a  überzugehen.  Eine  solche  findet 
sich  aber  durch  folgende  Betrachtung. 

Zunächst  bemerkt  man,  dass  nach  jenen  Formeln  die  «(^^  von  n 
unabhängig  sind.  Mithin  erhält  man  die  «^^"^  aus  den  a^"\  indem  man 
in  diesen  k  statt  w  setzt.  Es  ist  also  nur  nöthig,  die  «^"^  zu  be- 
stimmen. 

Man  kann  aber  den  im  vorigen  Paragraphen  unter  2.  ausgespro- 
chenen Satz  auch  in  folgender  Weise  ausdrücken: 

Sind  (fj  (p^,  (p2  .  .  .  ganze  homogene  Functionen 
von  X-^,  x^y  deren  Ordnungen  beziehungsweise  m-\-n, 
m-{-n  —  2j  m -f  n  —  4  .  .  .  sind,  und  bildet  man  eine 
Function  mittelst  der  Gleichung 

(1)  f=zi"(p-\-  a^i"^  {xy)  z/"-'  9i  +  «g^")  {xyf  z/"-^  cp^-^  . .., 
so  ist  immer 

(p    :^D''f 

(2)  cp,  =  D"-^Slf 


oder,    was  dasselbe  ist,  die  q)   sind    diejenigen   Aus- 
drücke, in  welche/',  Slf,  iVf ...  übergehen,  wenn  darin 
die  y  durch  die  x  ersetzt  werden. 
Bilden  wir  nun  aus  (1)  die  Ausdrücke 

(ß^a=,.  (A  =  0,  1,  ...«). 

Ist  cp  eine  Form  ^^^^  Ordnung  in  den  x,  v^^^  Ordnung  in  den  y,  so 
hat  man 

(3)  ■    {^-\-li).{y^~li).Sl[(xy)Kcp] 

_        /'  a^y        gy  \       vd^{xijY    d^{xyf-\ 

'^^^'^^'^dx^dy.^     dx./dyj'^~^idx^dy^      dy^dx^] 
_._d(p  d {xijf     dg)  d  {xyY'      d(p  d  {xyY     d cp  djxyY' 

dx^    dy^        dx^    dy^        dy^     dx^        dy^    dx^ 
=  UV  {xyY ^  (p  -^  h  {^ -^  V  -{- h -\- 1)  {xy)''—^  cp. 

Bei  der  Anwendung  der  Operation  Sl  auf  das  Product  (xyYq)  kommt 
also  nur  ein  Term  vor,  welcher  eine  niedrigere,  und  zwar  die  um  1 
niedrigere  Potenz  von  {xy)  enthält.  Wenden  wir  die  Operation  ^ 
Amal  hintereinander  an,  so  besteht  das  Resultat  aus  den  Formen 

.  {xyf  Sl^(p,       {xyf-'^  i^^-l  (p ,       {xyf-^  Sl^-^  cp  .  . , 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  8.  21 

Ist  hier  h>X,  so  kann  kein  Term  vorkommen,  welcher  von  (xy) 
frei  wäre.  In  diesem  Falle  verschwindet  also  das  Resultat  für  y^^^x^y 
y2  =  x,.  ^ 

Ist  dagegen  h<l,  so  bleibt  für  y^  =  x^y  y,^  =  x2  das  letzte  Glied 
der  Entwickelimg  stehen,  welches  dann,  bis  auf  einen  numerischen 
Factor,  gleich  ^^—^cp  ist. 

Bilden  wir  also  aus  (1)  den  Ausdruck  {Sl^f)a:=yf  wo  A<m,  so 
falleu  alle  Terme  fort,  welche  mit  einer  höheren  als  der  A*®°  Potenz 
von  (xy)  multiplicirt  sind.     Von  der  anderen  bleiben  Glieder  der  Form 

übrig.  Da  aber  die  Operationen  ii,  z/  bis  auf  hinzutretende  constante 
Factoren  vertauschbar  sind,  so  haben  diese  Glieder  auch  die  Form 

was  offenbar  identisch  Null  ist,  da  cp/,  keine  y  enthält,  also  auch  der 
Operation  Sl  nicht  unterworfen  werden  kann.  Es  bleibt  nur  das  eine 
Glied  übrig,  für  welches  h  =  kj  und  man  hat  also: 

Der  eingeklammerte  Ausdruck  rechts  entsteht  nun,  indem  man 
die  Formel  (3)  X  mal  hinter  einander  anwendet,  und  z/"— ^9)^  für  9, 
also  m  —  X  für  ft,  n  —  X  für  v  setzt;  indem  man  endlich  bei  jeder 
Operation  nur  das  zweite  Glied  beibehält.     Es  wird  also: 

also  schliesslich,  wenn  man  sich  der  Bezeichnung 

r(ii)==\,2..,a   [r(0)  =  i] 

bedient : 

Die  rechts  noch  übrig  gebliebene  eckige  Klammer  ist  aber  nach  dem 
ersten  Satze  des  §  6.  nichts  Anderes  als  (px  selbst;  es  ist  also  endlich 

(4)     (ß^n       -r.,(">    r^Wr,m+n-X  +  imn-X)r{n-X) 

W     l'J^  /)«/=x-rV    .  r{m+n-2X  +  l)r{m)r{ii)  '^^' 

Ebenso  ist  auch  die  linke  Seite  q)i  selbst,  und  so  erhält  man 
denn  für  a^J^"^  die  Bestimmung: 

r{m+n-2X-^\)rim)r{ii) 


(5) 


r(A)  r{m  -^7i-X  +  \)  Firn  -  X)  r{n  -  X) 


22  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 

Dem  in  §  7.  Gesagten  entsprechend,  ist  dieser  für  m  und  n  völlig 
symmetrische  Ausdruck  für  Werthe  von  A  zu  benutzen,  die  bis  zu 
der  kleineren  der  beiden  Zahlen  m  und  n  gehen;  er  hat  dann  immer 
eine  völlig  bestimmte  Bedeutung. 

Wegen  des  symmetrischen  Auftretens  von  m  und  n  werde  ich 
daher  jetzt  für  die  Coefficienten  a  d^e  Bezeichnung 

^^  ^^ r{m+n-2X+\)  r{m)  rjn) 

(b)  ''l"'"-r^x)r{m+n-l  +  l)r{m-?.)r{n-X) 

wählen  und  demnach  der  Gleichung  (6)  §  7.  die  Form  geben: 

Der  Ausdruck  (6)  für  ai"'^^  ist  in  der  That  mit  den  Gleichungen 
§  7.  (5)  in  völliger  üebereinstimmung.     Aus  (5)  folgt  nämlich 

o;;t"'>^+i _    (n-{.\){m-\-n-2X+2) 
ccf^     ~  {n—?L-\-l){m  +  n—X-{-l) 

~^^^  "" (m+?^-A  +  2)(w-A  +  l)(w-A+l)' 
Führt  man  diese  Ausdrücke  in   die  allgemeine  Gleichung  §  7.  (5) 

"^  ^^      ^(^,^-|_^_2A+2)(m+w-2/l  +  3)^^-» 

ein,  so  erhält  man 

(n+l)(m  +  ^-2;i+2)    _^  A(m-A  +  1) 


was  identisch  erfüllt  ist. 

Man  kann  noch  bemerken,  dass  der  Ausdruck  (5)  eine  einfache 
Combination  von  Binomialcoefficienten  ist.  Bezeichnet  man  durch  ( ^  ) 
den  Coefficienten 

U\  _  ^.^—\,.  .\i— A  +  1  _         r(^) 

•    \^)~^'      i,2...A       ~~T{X)r{^-iy 

so  kann  man  der  Formel  (5)  die  Gestalt  geben: 

(T)-© 


(8) 


'X  '  ^ 


l     ^      J 


Aber  an  den  im  Anfange  dieses  Paragraphen  aufgestellten  Satz 
knüpft  sich  noch  eine  andere  wichtige  Bemerkung.  Es  sind  nämlich, 
wie  auch  die  g)  vorausgesetzt  wurden,  wenn  nur  f  durch  die  Glei- 
chung (1)  gegeben  war,  immer  die  g)  mit  f  durch  die  Gleichungen  (2) 
verbunden.  Da  also  zwischen  den  9)  kein  Zusammenhang  stattzufinden 
braucht,  so  wird  auch  zwischen  den  Functionen 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  8.  23 

im  Allgemeinen  ein  solcher  nicht  stattfinden.    Man  hat  also  den  Satz : 

Ist  f  eine  beliebige  Form  w*«'  Ordnung  in  den  Xy 
,^ter  Ordnung  in  den  y,  mit  willkürlichen  Coefficien- 
ten,  so  sind  auch  die  Functionen 

welche  nur  noch  die  x  enthalten,  Formen  mit  will- 
kürlichen, d.  h.  von  einander  unabhängigen  Coef- 
ficienten. 

Dieser  Satz  wird  bestätigt  durch  «den  Umstand ,  dass  die  Anzahl 
der  Coefficienten  der  letztgenannten  Functionen,  wenn  m>:^^,  gleich 

(m+n+1)  +  (m+n-1)  +  {7n  +  n-3) ...+  {m-n+1)  =(m  +  l)  {n+1), 

wenn  aber  n  ^  m,  gleich 

(w  +  m-f  1)  + (w  +  m— 1)  +  ('/24-m  — 3)  ...+  (w— m  +  l)  =  (m+1)  (w+1), 

also   in   beiden   Fällen   gleich  der  Anzahl   der  Coefficienten  von  f  ist. 

Ich  füge  die  folgende  Tafel  von  Entwickelungen  hinzu,  in  wel- 
cher immer  m-^n  angenommen  ist  und  in  welcher  w=l,2,  3,  4, 
w  =  1 ,  2,  3,  4,  5,  6  gesetzt  ist: 

n=\. 

m=i)f=ziDf+^{xy)Slf 
m  =  2)  f=ziDf-{-i{xy)Slf 
m  =  3)  f=^Df+i{xy)Slf 
m  =  4)f=^Df+i{xtj)P4- 
m=ö)  f=zJDf+^{xy)£lf 
m  =  6)  f=zlDf-\-^{xij)Sl/: 


m  =  2)  f=^''B'^f-{-     ixy)  d  DSlf^  \{xyf  Sl^f 
m  =  3)  f=  A'D-^i-\-  f  ixy)  ziDSlf+  ^  {xyf  Sl^ 

m  =  4)  f=^^^I)^~f+i{xy)zlDSlf+U^yy^'f 
m=^ö)  f=zJ^I)'f+%p{xy)JDSlf-{-i{xyf^^f 

m  =  6)  f=  ^Wf+ 1  {xy)  ^DSlf+  f  {xijf  PJf. 


n'=3. 

m-3)  f=ZI^D'f+  I  {xy)  ^^'D'^P.f+  ^  {xyfJDPJf-^-  \  {xyfP.'f 
m  =  4)  f=^^D^f-\-^-^{xy)A^B^P4+  ^  {xyf^DP^f-\-l{xyfa^f 
m  =  b)  f=J^D^f+\^{xy)zi'B'Pf+  V  {xyf  ^ BP^f-^  ^  {xyf  a^f 
m  =  Q)  f=zJ^D^f+2  {xy)J'"D'Pf+i^{xyyzlDP^^f+{(xyfP^f. 


24  Erster  Abschnitt.     Griindeigenschaften  der  Invarianten 

n  =  4. 
m  -:  4)  f=  ^'D'f+  2  {xy)  ^^B'Uf+  V  i^Vf  ^'J^^^'f 

+  iixyf  zfDSl^^f  +  i  {xyY  Sl'f, 
m  -  5)  /■=  A^  D'f  +  V>  {xy)  z/^  I)'Slf+  V  (;^;7/)2  z/^  D^  ß^' 
+  f  {xyf^D^'f^\{xyfPJt\ 

+  V'  {xyf^JD.QJf  +  ^^{xyYSl'f: 

§  9.    Die  luYarianten  uud  Covariaiiten  eines  Systems 
linearer  Formen. 

Ich  werde  die  Formel  (7)  des  §  8.  nun  dazu  anwenden,  die  all- 
gemeine Form  für  Invarianten  und  Covarianten  einer  beliebigen  Reihe 
simultaner  linearer  Formen  zu  finden. 

Die  gegebenen  Formen  seien  Äj  B,  C...  mit  den  Coefficienten 
a^ö^g;  6j?>2  7  ^i^2  •  • -5  ^  ^^^  ®i^®  simultane  Invariante  dieser  Formen, 
homogen  für  die  Coefficienten  einer  jeden,  und  zwar  sei  sie  für  die- 
selben beziehungsweise  von  den  Ordnungen  a,  ß,  y....  Setzen  wir 
in  der  Formel  §  8,  (7),  welche  ihrer  Ableitung  nach  für  ganz  be- 
liebige Grössenreihen  gilt,  für  /*  die  Function  TT,  für  die  x  und  y 
zwei  Coefficientenreihen  a^  &,  endlich  a,  ß  für  m,  n. 

Die  Formel  (7)  zeigt  dann,  wie  /  sich  aus  Potenzen  von  (ah)  und 
aus  Gliedern  zusammensetzt,  welche  durch  die  Operation  z/  aus  den 
von  den  h  freien  Functionen 

entstehen.     Dass  die  Operationen  z/,  D,  welche  hier  durch  die  Formeln 
^^  =  1(6//  +5,1^) 

dargestellt  sind,  die  Invariauteneigenschaft  nicht  aufheben,  ist  schon 
in  dem  ersten  Satze  des  §  ,3.  enthalten.  Aber  auch  die  Opera- 
tion Sl  lässt  die  Invarianteneigenschaft  bestehen.  Dies 
folgt  sofort  aus  der  Gleichung  §  7.  (1),  welche  hier  die  Form  annimmt: 

«+  1  ^     / 
Hier   haben    alle    übrigen   Terme     die    Invarianteneigenschaft,    daher 
auch  ßTT. 

Die  Functionen,  aus  denen  TT  sich  nach  der  Formel  §  8.  (7)  dar- 
stellt: 

sind  also  selbst  Invarianten,  sie  enthalten  aber  eine  Reihe  von  Coef- 
ficienten (nämlich  die  h)  weniger  als  TT. 


und  Co  Varianten  binärer  Formen.  —  §§8,9.  25 

Man  kann  in  Folge  dessen  nun  folgenden  für  diese  ganze  Theorie 
fundamentalen  Satz  beweisen: 

Jede  Invariante  TT   von   linearen  Formen  ist  ein 
Aggregat  aus  Producten   der  aus  je  zweien  der  For- 
men gebildeten  Invarianten. 
Nehmen    wir   diesen  Satz  als  richtig  an  für  r  lineare  Functionen 
und   zeigen ,    dass   er   dann   auch  für  r  -\-  1   gilt.      Da  er  nach  §  5.  für 
zwei  Formen  richtig  ist,  so  gilt  er  dann  allgemein. 

Aber  zu  diesem  Zwecke  ist  nur  zu  zeigen,  dass  jeder  aus  Deter- 
minanten vom  Typus  {a  c)  zusammengesetzte  Ausdruck  nach  Anwen- 
dung der  Operation  I)  wieder  ein  Aggregat  analoger  Producte  ist. 
Beweisen  wir  dies  und  nehmen  wir  der  Voraussetzung  nach  an,  dass 
die  Invarianten 

welche    eine   Reihe   von   Coefficienten    weniger    enthalten,    Aggregate 
solcher  Determinantenproducte  seien,  so  ist  nach  der  Formel  §  8.  (7) 
auch  TT  ein  solches,  was  zu  beweisen  war. 
Denken  wir  uns  also  ein  Product 

(ac)  (ad) . . . 

gegeben  und  wenden  die  Operation   h^- 1-  h.,  - —    an.      Sie    ergiebt 

eine  Summe  von  Gliedern,  welche  dadurch  entstehen,  dass  man  diese 
Operation  auf  die  einzelnen  Factoren  des  Products  anwendet.  Dabei 
ändert  sich  jedesmal  nur  ein  Factor,  und  zwar  geht  {ac)  in  (bc)  über, 
{acT)  in  (hd)  u.  s.  w.  Das  Resultat  ist  also  wieder  aus  Determinanten 
zusammengesetzt 5  womit  der  Satz  bewiesen  ist. 

Die  Gleichung  §  8.  (7)  liefert  zugleich  das  Mittel,  jede  gegebene 
Invariante  linearer  Formen  durch  suceessive  Anwendung  der  Formel  als 
Aggregat  von  Determinantenproducten  wirklich  darzustellen.  Man 
bildet  zuerst  aus  der  gegebenen  Invariante  die  Reihe  der  Formen: 

sodann  für  jede  dieser  Formen  wieder  eine  ähnliche  Reihe,  und  so 
fort,  bis  man  zu  Invarianten  von  zwei  Reihen  kommt,  welche  dann 
von  selbst  in  Potenzen  von  Determinanten  der  Form  iah)  übergehen 
müssen.  Hat  man  dies  erreicht,  so  verfolgt  man  den  eingeschlagenen 
Weg  rückwärts  und  gelangt  endlich  zu  der  gesuchten  Darstellung 
von  TT. 

Was  nun  die  Covarianten  betrifft,  so  werden  sie  nach  §  4.  aus 
Invarianten  abgeleitet,  indem  man  irgend  welche  Reihen 

«i;  «2  5       ^;  ^25  ••• 
beziehungsweise  durch 

ersetzt.     Hierbei  können  nun  folgende  Fälle  eintreten. 


2()  Erster  Abschnitt,     rxrandeigenschaften  der  Invarianten 

1.  In  einer  Determinante  {ca)  der  Invariante  ist  nur  eine  Reihe, 
etwa  die  der  a,  durch  x  zu  ersetzen.  Alsdann  geht  (ca)  in  c^x^  -\- c^x^ 
über,  also  in  eine  der  gegebenen  Formen  selbst. 

2.  In  einer  Determinante  (ah)  der  Invariante  sind  beide  Reihen 
zu  ersetzen,  etwa  durch  die  x  und  die  y.  Die  Determinante  geht 
dann  in  (xy),  also  in  die  Determinante  zweier  Reihen  von  Veränder- 
lichen über. 

Man  hat  also  den  Satz: 

Jede  Covariante  von  einer  Reihe  linearer  For- 
men ist  ein  Aggregat  von  Producten,  deren  Facto- 
ren  einen  der  folgenden  drei  Typen  haben: 

1.  (a&),  Invariante   aus  zweien  der  linearen  For- 
men, 

2.  a^x^-\-  a.^x^,  eine  der  linearen  Formen  selbst, 

3.  (xy),   Determinante   aus  zwei  Reihen  von  Ver- 
änderlichen. 

Die  letzte  Art  von  Factoren  enthält  nicht  mehr  die  Coefficienten 
der  zu  Grunde  gelegten  Formen.  Man  kann  sie  als  identische  Co- 
varianten  bezeichnen;  sie  sind  allen  Systemen  von  Functionen  ge- 
mein, mögen  dieselben  linear  sein  oder  nicht.  Abgesehen  von  diesen 
kann  man  also  sagen,  dass  lineare  Formen  überhaupt  zu  weiteren  Co- 
varianten  nicht  Veranlassung  geben  und  dass  sie  keine  Invarianten 
besitzen,  ausser  den  Determinanten,  welche  aus  den  Coefficienten  je 
zweier  gebildet  werden. 


§  10.    Covarianten  mit  melireren  Reihen  von  Veränderlichen. 

Bei   der   Untersuchung   der  Covarianten   allgemeiner  binärer  For- 
men liefert  nun  die  Gleichung  (7)  des  §  8.  sofort  folgenden  Satz: 

Alle  Covarianten  binärer  Formen,  welche  meh- 
rere Reihen  von  Veränderlichen  enthalten,  setzen 
sich  aus  identischen  Covarianten  und  aus  Polaren 
solcher  zusammen,  welche  nur  eine  Reihe  von  Ver- 
änderlichen enthalten. 

Der  Ausdruck  Polare  ist  hier  in   etwas   weiterem  Sinne  zu  ver- 
stehen  als   früher.     Im  Vorigen   entstanden   die  Polaren,   indem  man 

dieselbe  Operation  y^^ h  2/2  ^     wiederholt   anwandte   und  jedesmal 

O  X-i  0  X.2 

durch  die  Ordnung  der  differenzirten  Function  in  Bezug  auf  die  x 
dividirte.  Es  soll  in  dem  oben  ausgesprochenen  Satze  nun  auch  der 
Fall  unter  dieser  Benennung  enthalten  sein,  in  welchem  nach  einander 
verschiedene  Operationen 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §§9,  10.  27 

_a_        _a_        _a_         _a_ 

angewandt  werden. 

Nehmen  wir  an,  der  Satz  wäre  für  Covarianten  mit  r  Reihen  von 
Veränderlichen  bewiesen,  und  zeigen,  dass  er  dann  auch  für  r+1 
Reihen  gilt;  da  er  für  eine  Reihe  selbstverständlich  ist,  so  gilt  er 
dann  allgemein.  Zu  jenem  Beweise  aber  führt  wiederum  die  Glei- 
chung §  8.  (7).  Setzen  wir  darin  für  /'  irgend  eine  Covariante  TT, 
welche  r-f-1  Reihen  von  Veränderlichen  enthält,  und  zwar  die  Reihe 
y^,  2/2  zur  n^^^  Ordnung.  Nach  §  8.  (7)  setzt  sich  dann  TT  aus  iden- 
tischen Covarianten  und  aus  Polaren  der  Formen 

zusammen,  welche  eine  Reihe  von  Veränderlichen  weniger  enthalten 
und  für  welche  also  der  Voraussetzung  nach  der  zu  beweisende  Satz 
bereits  gilt.  Damit  also  der  Satz  allgemein  richtig  sei,  ist  nur  noch 
zu  zeigen,  dass  Polaren  von  Ausdrücken,  welche  Producte 
von  Polaren  mit  identischen  Covarianten  sind,  sich  wie- 
der als  Aggregate  solcher  Producte  darstellen.  Unterwerfen 
wir  also  ein  Product 

(xz)  {xt)...PQ..., 

welches  aus  identischen  Covarianten  und  Polaren  besteht,  der  Operation 

_d_  _d_ 

y^dx^'^y^dx.; 

Es  genügt,  diese  Operation  einmal  auszuführen ;  bleiben  dabei  die 
Eigenschaften  des  Resultats  die  verlangten ,  so  tritt  dies  auch  bei 
Wiederholungen  ein.  Die  Anwendung  jener  Operation  liefert  aber  die 
Summe  der  Resultate,  welche  die  Anwendung  auf  die  einzelnen  Fac- 
toreu  giebt.  Nun  liefert  die  Anwendung  der  Operation  auf  eine  iden- 
tische Covariante  wieder  eine  solche,  die  Anwendung  auf  eine  Polare 
aber  der  erweiterten  Definition  nach  gleichfalls  eine  Polare,  womit 
alles  bewiesen  ist. 

Der  Begriff  der  Polaren,  wie  er  hier  auftritt,  ist  ebenso  wie  der 
ursprüngliche  in  §  6.  auf  Entwickelungscoefficienten  zurückzuführen. 
Wendet  man  die  Operation 

d     ,         d 

wiederholt  auf  eine  Function  (p{x^,x.^  an  und  dividirt  jedesmal  durch 
die  Ordnung  der  differenzirten  Function,  so  entstehen  die  von  den 
Binomialcoefficienten  befreiten  Coefficienten  der  Entwickelung  nach  l 
des  Ausdrucks: 


28  Erster  Abschnitt.     Grimdeigenschaften  der  Invarianten 

Wendet  man  auf  diese  Polaren  nun  wiederholt  die  Operation 

d     ,         d 

an,  so  entstehen  ebenso  die  Coefficienten  der  Entwickelungen,  welche 
man  erhält,  wenn  man  in  den  soeben  gebildeten  Formen 

,     x^-\r^z^,    x^+^0., 

an  Stelle  von  x^,  x.,  setzt  und  nach  ^  entwickelt;  d.  h.  man  erhält  die 
durch  die  beiden  Operationen 

y'dx.'^y-'dx./      ^'dx,'^^''~dx., 

entstehenden  Polaren,   wenn   man   die  Entwickelungscoefficienten  von 

q){x,-\-Xy,-\-  iiz^ ,  x,  +  Xij.^  +  ^z^) 
bildet. 

Indem  man  diese  Schlussweise  fortsetzt,  erhält  man  den  Satz: 

Die  Polaren,  welche  aus  cp  durch  die  Operationen 


Vi 

d 
dx, 

+  2/2 

d 
dx., 

2\ 

d 

dx^ 

+  ^, 

d 

dx^^ 

h 

d 
dx, 

+  ^2 

d 
dx^ 

entstehen,  sind  die  von  den  Polynomialcoefficien- 
ten  befreiten  Entwickelungscoefficienten  des  Aus- 
drucks 

(fi^i  +  ^yi+^^i  +  Qh---,  x^^  +  Xy^  +  ^z^+Qt^.  .  .). 

Aus  dem  Vorhergehenden  sieht  man,  dass  es  in  der  That  nur 
nöthig  ist,  Co  Varianten  mit  einer  Reihe  von  Veränderlichen  auf- 
zusuchen. Es  soll  daher  im  Folgenden,  wenn  das  Gegentheil  nicht 
besonders  erwähnt  ist,  unter  Co  Variante  immer  eine  solche  verstanden 
werden,  welche  nur  eine  Reihe  von  Veränderlichen  enthält. 

§  11.    Symbolische  Darstellung  algebraischer  Formen. 

Zur  Darstellung  und  Charakterisirung  der  Invarianten  und  Co- 
varianten  beliebiger  Formen  führt  nun  die  sogenannte  symbolische 
Bezeichnung  der  Formen,  zu  deren  Erläuterung  ich  mich  jetzt  wende.  * 


*  Die  Methode  der  symbolischen  Bezeichnung  steht  in  genauem  Zusammen- 
hange mit  Cayley's  Methode  der  operativen  Symbole  und  seinen  „Hyperdeter- 
yninants"  (vergl.  Cayley's  Memoirs  upon  Quantics  in  den  Phüosophical  Trans- 


und  Coviirianten  binärer  Porinon.  —  §§  10,  11.  29 

Eine  beliebige  binäre  Form  w*®""  Ordnung  kann  man  sich  aus  der 
g^ten  Potenz  eines  linearen  Ausdrucks 

dadurch  entstanden  denken,  dass  an  Stelle  der  Coefficienten 

welche  sich  bei  der  Ausrechnung  ergeben,  die  entsprechenden  Coef- 
ficienten 

«Q ,     a^ ,     «2  •  •  • 

der  Form  gesetzt  werden.  Als  Coefficienten  der  Form  sind  dabei  nicht 
die  Zahlen  selbst  gedacht,  welche  in  die  verschiedenen  Potenzen  der 
X  multiplicirt  erscheinen,  sondern  diese  Zahlen  dividirt  durch  ent- 
sprechende Binomialfactoren,  so  dass  f  die  Gestalt  hat: 

Der  Ausdruck  „Coefficienten  einer  Form"  soll  auch  künftig  immer 
so  gebraucht  werden,  dass  er  die  Grössen  a^,  ßj,  «^  •  •  •  ^^^  dieser 
Darstellung  von  f  bezeichnet. 

Ersetzt  man  also  in  {h^x^  +  h.^x.^}"  die  Grössen 
&j"  durch    ÜQj 

^1  ^2  V)  ^2? 


h^"  durch    a„ , 

so  geht  dasselbe  in  f  über.  Bei  einer  grossen  Anzahl  von  Operatio- 
nen ist  es  nun  gleichgiltig ,  ob  man  von  vorn  herein  f  einführt  oder 
ob  man  die  betreffenden  Operationen  an  dem  Ausdruck  (b^x^-{-l).^x^'' 
ausführt  und  dann  erst  für  die  Potenzen  und  Producte  der  h  die  be- 
treffenden Werthe  setzt.  Insbesondere  trifft  dieses  bei  der  linearen 
Transformation  von  /"  zu.  Die  Coefficienten  der  transformirten  Func- 
tion hängen  mit  den  Coefficienten  der  ursprünglichen  durch  genau 
dieselben  linearen  Gleichungen  zusammen,  wie  die  Coefficienten  der 
transformirten  w*®^  Potenz  mit  denen  der  ursprünglichen  Potenz.     Der 


actions  und  Cayley  in  Grelle  Bd.  34,  sowie  Salmon  Lessotis  2.  ed.  Lesson 
13,  14).  Doch  ist  sie  in  der  hier  gebrauchten  Vorstelluligs-  und  Bezeichnungsweise 
von  A ronhold  eingeführt  worden  in  seiner  classischen  Arbeit  über  die  cubischen 
temären  Formen,  Borchardt's  Joui-nal  Bd.  55.  Den  für  das  Folgende  fundamen- 
talen Beweis,  dass  jede  Invariante  und  Co  Variante  in  Aggregate  von  Producten 
symbolischer  Determinanten  und  symbolischer  linearer  Factoren  aufgelöst  werden 
könne ,  habe  ich  zuerst ,  und  zwar  mit  Ausdehnung  auf  beliebig  viele  Veränderliche, 
jedoch  auf  etwas  anderem  als  dem  hier  dargelegten  Wege,  im  59.  Bande  von  Bor- 
chardt's  Journal  gegeben. 


30  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 

letztere  sehr  einfache  Zusammenhang  dient  daher  dazu,  den  ersten.^ 
sehr  verwickelten  übersichtlich  darzustellen. 

Insofern  bei  solchen  Untersuchungen  der  Ausdruck  {h^Xj^-\-h.^x.^Y 
die  Form  /"vertritt^  nennt  man  denselben  die  symbolische  Form 
von  f.  Die  Anwendung  der  symbolischen  Form  statt  der  wirklichen 
ist  überall,  wo  sie  gestattet  ist,  von  fundamentaler  Wichtigkeit,  in- 
dem sie  die  wesentlichen  Eigenschaften  der  Coefficienten  von  /  durch 
die  sehr  vereinfachte  Darstellungsweise  deutlich  hervortreten  lässt, 
und  so  einen  unmittelbaren  Einblick  in  Verhältnisse  gestattet,  welche, 
wenn  man  jene  Coefficienten  selbst  einführen  wollte,  höchst  verw^ickelt 
und  undurchsichtig  erscheinen  würden.  Aber  die  Anwendung  der 
hierdurch  begründeten  Rechnungs weise  ist  nur  erlaubt,  so  lange  es 
unzweifelhaft  bleibt,  welches  Resultat  man  durch  nachträgliche  Ein- 
führung der  wirklichen  Coefficienten  von  /'  erhält. 

Diese  unerlässliche  Bedingung  für  die  Rechnung  mit  Symbolen 
lässt  sich  darauf  zurückführen,  dass  man  bei  allen  Rechnungen  stets 
eine  homogene  Function  n^^^  Ordnung  der  Symbole  \,  hc,  vor  sich 
haben  muss.  Denn  nur  die  n*®"  Dimensionen  dieser  Symbole  stellen 
wirkliche  Grössen,  die  entsprechenden  Coefficienten  von  /",  dar.  Ge- 
ringere oder  grössere  Dimensionen  haben  gar  keine  Bedeutung-,  auch 
z.  B.  2w*^  Dimensionen  sind  nicht  zulässig,  weil  Grössen  wie  h^"  +  'h/-' 
zwar  durch  Multiplication  zweier  der  Grössen 

h  n       h "  —  ^h 

^1  ;      ^1         ^2  •  '  ' 

entstehen  können,  aber  auf  mehr  als  eine  Art,  und  weil  es  also  nicht 
eindeutig  feststeht,  welches  Product  zweier  Grössen  a  man  im  End- 
resultat für  diese  2n*®  Dimension  der  h  einzuführen  hat. 

Man  muss  also  die  Zulässigkeit  der  symbolischen  Rechnung  zu- 
nächst auf  die  Fälle  beschränken,  in  denen  alles  fortwährend  in  Bezug 
auf  die  Coefficienten  von  f  linear  bleibt.  Hierher  gehören  die  Bil- 
dungen der  Polaren.  Bezeichnet  man ,  wie  fortan  immer  geschehen  soll. 
Ausdrücke  \Xj^-\-h2X^  durch  ha;* so  dass 

der  symbolische  Ausdruck  von  f  ist,  so  erhält  man  durch  wiederholte 
Anwendung  der  Operation 

der  Reihe  nach  die  symbolischen  Ausdrücke: 

n  .  ?>.^" -^hy,       n  .n—1 .  kx^'-'^hj/^ 

Diese  behalten  eine  ganz  zweifellose  Bedeutung,  wenn  man  für 
die  w*®^  Dimensionen  der  h  die  Coefficienten  von  /"  einführt,  und  sie 
repräsentiren  daher  vollständig  und  in  einfachster  Form  die  Bildun- 
gen, um  welche  es  sich  handelt. 


und  Covarianten  binärer  Fomien.  —  §§  11,  12.  31 

Der  Gebrauch  der  symbolischen  Bezeichnung  wäre  indess  ein  sehr 
beschränkter^  wenn  es  nicht  gelänge,  ihn  über  diese  Anwendungen 
hinaus  auszudehnen.  Eine  solche  Ausdehnung  gelingt  nun  dadurch, 
dass  man  dieselbe  Function  f  durch  verschiedene  Symbole 

/  —  ^jc     —  ^x-     —  •  •  • 

ausdrückt.  Die  verschiedenen  Symbole  sind  gleichwerthig ,  insofern 
sie  dieselben  realen  Coefficienten  bedeuten;  aber  sie  dienen  dazu,  auch 
Functionen,  welche  von  höherer  Dimension  in  den  Coefficienten  von  f 
sind,  durch  Coefficienten  symbolischer  linearer  Ausdrücke  darzustellen. 
In  der  That,  wenn  z.  B.  fe/'+'&^,"— '  keine  bestimmte  reale  Deutung 
mehr  zulässt,  so  ist  diese  Schwierigkeit  bei  dem  Product 

Ij  M — k     7j  t     p  n  —  h     p  h 

gänzlich  verschwunden;  dieser  Ausdruck  bedeutet  immer  ak-dh'-,  denn 
nur  Producte  der  5  unter  sich  stellen  die  a  vor,  ebenso  nur  Producte 
der  c  unter  sich,  während  Producte  mehrerer  c  und  h  an  und  für  sich 
gar  keine  Bedeutung  haben.    * 


§  12.    Die  symbolische  Darstelliiiig  der  Invarianten  und  Covarianten. 

Die  Anwendung  der  symbolischen  Bezeichnung  führt  nun  zu  der 
wichtigsten  und  fundamentalsten  Eigenschaft  der  Invarianten  und  Co- 
varianten einer  oder  mehrerer  Formen. 

Sei  TT  irgend  eine  Covariante  oder  Invariante  einer  einzigen  Form 
oder  eines  Systems  simultaner  Formen.  Diese  einzige  Form  oder  eine 
Form  des  Systems  sei  eine  Form  f  von  der  n^^'^  Ordnung;  a^,  a^ .  .  .an 
einer  ihrer  Coefficienten.  Wir  wissen,  dass,  wenn  «q,  «^ .  .  .  a„  die 
Coefficienten  einer  anderen  Form  gleich  hoher  Ordnung  sind,  auch  der 
Ausdruck 

die   Invarianteneigenschaft  besitzt;    ebenso,   wenn  ß^,  /3^,.../3„  Coef- 
ficienten einer  weiteren  Form  n^^^  Ordnung  sind,  der  Ausdruck 

.  u.  s.  w. 
War  TT  von  der  r^^^  Dimension  in  den  Coefficienten  von  /,  so  er- 
hält man  durch  Fortsetzung  dieses  Verfahrens  schliesslich  eine  Func- 
tion TTr,  welche  die  Coefficienten  von  f  nicht  mehr  enthält,  aber  statt 
deren  die  Coefficienten  von  r  verschiedenen  Formen  n^^"^  Ordnung, 
und  zwar  die  Coefficienten  jeder  Form  linear.  Und  man  kann  von 
der  Form  TTr  in  jedem  Augenblicke  zu  TT  zurückkehren;  denn  setzt 
man  statt  der  Coefficienten  der   letzten   Form   die   der   vorletzten,   so 


32  Erster  Abschnitt.     Grundeigenscliaften  der, Invarianten 

verwandelt  sich  TT,,  in  TTr_i;  setzt  man  dann  statt  beider  die  der  dritt- 
letzten, so  gellt  TTr— 1  in  1  .2TT;-_-2  über  u.  s.  w.  Setzt  man,  so  fort- 
fahrend, schliesslich  für  alle  diese  Coefficienten  wieder  die  von  f,  so 
erhält  man 

1.2...r.n, 

also  die  ursprüngliche  Function  bis  auf  einen  einfachen  numerischen 
Factor. 

An  Stelle  der  Coefficienten  a,  ß  u.  s.  w.  führe  ich  nun 
die  Coefficienten  w*®^  Potenzen  von  linearen  Ausdrücken 
cixf  ^x  u.  s.  w.  ein.  Die  Form  TT,,  enthält  dann  nicht  mehr  die 
Coefficienten  der  Function  f,  sondern  statt  dessen  die 
Coefficienten  von  r  linearen  Functionen.  Man  kehrt  aber 
von  TTr  in  jedem  Augenblicke  zu  TT  dadurch  zurück,  dass 
man  a^-",  hj*  u.  s.  w.  als  symbolische  Darstellungen  von  f 
betrachtet,  was  erlaubt  ist,  da  jede  dieser  linearen  Func- 
tionen  gerade  zur  n*®^  Dimension   vorkommt. 

Wie  man  hier  die  Coefficienten  von  f  ganz  aus  TT  herausgeschafft 
hat,  ohne  doch  gehindert  zu  sein,  in  jeclem  Augenblicke  zu  der  ur- 
sprünglichen Bildung  zurückzukehren,  so  kann  man  nun  auch  mit  den 
Coefficienten  der  anderen  Functionen  verfahren,  die  in  TT  etwa  auf- 
treten. Dann  hat  man  zuletzt  TT  in  einer  Form  dargestellt,  welche 
sofort  folgenden  Satz  liefert: 

Jede  simultane  Invariante  oder  Covariante  einer 
Reihe  von  Functionen  lässt  sich  als  Invariante  oder 
Covariante    einer    Reihe    von    linearen    Functionen 
ausdrücken,  deren  Potenzen  die  symbolischen  Dar- 
stellungen der  gegebenen  Formen  sind. 
Und   da  die   allgemeine    Form   von   Invarianten   und  Covarianten 
linearer  Functionen   bereits   oben   gefunden   war,    so   kann  man  ohne 
Weiteres  die   allgemeine   Form   ausdrücken,    in   welcher    mittelst    der 
Symbole   eine    allgemeine  Invariante    oder   Covariante    beliebig   vieler 
Formen   sich   darstellt.     Eine   solche   Darstellung  will   ich   die    sym- 
bolische Darstellung  der  Invariante  oder  Covariante  selbst 
nennen.      Man   hat   dann   sofort   den  folgenden   Fundamentalsatz: 
Jede   Invariante   stellt  sich   symbolisch   als   das 
Aggregat  vonProducten  symbolischer  Determinan- 
ten  von   dem   Typus    iah)    dar;   jede    Covariante    als 
Aggregat  von  Producten  symbolischer  Determinan- 
ten  iah)    mit  linearen    symbolischen    Factoren    von 
dem  Typus  c^.* 

*  Beispiel  (§  1.):  die  Invariante  einer  quadratischen  Form: 
führt  zunächst  durch  die  Operation 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  12.  ^5 

Dieser  Satz  enthält  alle  Eigenschaften  der  Invarianten  und  Co- 
varianten. Denn  es  ist  leicht  zu  sehen,  dass  er  umkehrbar  ist  und 
demnach  als  Definition  dieser  Gebilde  dienen  kann.  Hierzu  führt  fol- 
gende Erwägung. 

Damit  durch  eine  Invariante  oder  Covariante  linearer  Functionen 
eine  Invariante  oder  Covariante  irgendwelcher  höherer  Formen  sym- 
bolisch dargestellt  werde,  ist  zweierlei  erforderlich.  Erstens  müssen 
die  Coefficienten  der  verschiedenen  linearen  Functionen  gerade  in  sol- 
chen Dimensionen  vorkommen,  wie  sie  die  Ordnungen  der  entspre- 
chenden höheren  Functionen  angeben,  damit  überhaupt  letztere  durch 
die  ersteren  symbolisch  dargestellt  werden  können.  Dies  vorausgesetzt, 
ist  noch  nöthig,  dass  der  ganze  Ausdruck,  welcher  in  Bezug  auf  die 
Symbole  die  Invarianteneigenschaft  besitzt,  auch  in  Bezug  auf  die  ein- 
zuführenden höheren  Formen  sie  besitze.  Aber  man  überzeugt  sich,  wie 
folgt,  dass  dies  immer  der  Fall  ist. 

Denken  wir  uns  irgend  eine  Function  f  durch  lineare  Substitutio- 
nen transformirt.     In  der  ursprünglichen  Form  sei  symbolisch 

in  der  transformirten : 

Man  erhält   das   eine  Symbol  aus  dem   andern   durch  Ausführung   der 
Transformation.     Die  Gleichung 

«Y'  =  a^"  =  [a^  {a^^l,  +  «,  J,)  -f  a^  («21 1,  +  «22 ?2)]" 
drückt  in  symbolischer  Form  den  Zusammenhang  zwischen  den  Coef- 
ficienten  der   ursprünglichen   und   denen  der  transformirten  Function 
vollständig  aus.     Die   aus  der  Vergleichung   der   obigen   For- 


^TT  ,       67TT  ,       ^n 
cao         dtti  c  ciz 

auf 

rfottg  —  2«!  or,  -{-  a2CCo, 

was  die  simultane  Invariante  zweier  quadratischen  Formen  ist.  Setzt  man  die  a 
den  a  gleich,  so  erhält  man  2 TT;  setzt  man  aber  an  Stelle  der  a  wie  der  a  Sym- 
bole, so  hat  man: 

hi^C2^-2hi  &2  c,  Ci  +  h^Ci^={hc)\ 
also 

was  die  symbolische  Darstellung  ist. 

Beispiel  der  simultanen  Covariante  zweier  quadratischen  Formen  (§  2.) : 

I  «0^1  +  «1  ^2     ^0^1  +  5l^2  I 

\  üiXi  +  02^2    hi .Tj  -f-  bzXi  I 
verwandelt  sich,  wenn  man  die  beiden  Formen  symbolisch  durch  Ca;^,  y.v^  bezeich- 
net, in: 

I  Ca  Cr    727^17  I 

o 

C leb  seh,  Theorie  der  biuäreu  algebr.  Formeu.  O 


34  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 

men  fliessendeu  Gleichungen  sind  aber  befriedigt^  wenn 
man  zwischen  den  alten  und  neuen  Symbolen  die  Rela- 
tionen annimmt: 

Diese  Gleichungen  zwischen  den  Symbolen^  welche  keine  an- 
deren als  diejenigen  sind,  die  zur  Transformation  linearer 
Ausdrücke  überhaupt  dienen,  ersetzen  also  vollständig  die  Be- 
ziehungen zwischen  den  Coefficienten  der  Function  f  in  ihrer  Ursprung 
liehen  und  in  ihrer  transformirten  Gestalt. 

Fasst  man  daher  eine  Invariante  oder  Covariante  linearer  Func- 
tionen als  symbolische  Darstellung  einer  Combination  der  Coefficienten 
höherer  Formen  auf,  so  verwandelt  sie  sich  durch  lineare  Transfor- 
mation in  dieselbe  Function  der  transformirten  Symbole,  also  auch  in 
dieselbe  Function  der  transformirten  Coefficienten,  immer  abgesehen 
von  einem  Factor  r^.  Jeder  solcher  Ausdruck  besitzt  also  die  In- 
varianteneigenschaft auch  noch,  wenn  man  ihn  als  symbolisch  ansieht, 
und  man  kann  demnach  den  folgenden  Satz  aussprechen,  welcher  den 
obigen  Fundamentalsatz  ergänzt: 

Jede  Invariante  oder  Covariante  linearer  For- 
men, in  welcher  die  Coefficienten  dieser  Formen  in 
geeigneten  Dimensionen  vorkommen,  kann  als  sym- 
bolische Darstellung  einer  Invariante  oder  Cova- 
riante höherer  Formen  auf ge fasst  werden. 

Durch  diesen  Satz  ist  man  zugleich  befähigt,  alle  nur  denkbaren 
Invarianten  und  Covarianten  binärer  Formen  aufzustellen  5  man  hat 
nur  alle  möglichen  Producte  symbolischer  Determinanten  vom  Typus  {ah) 
und  symbolischer  linearer  Factoren  vom  Typus  a^  zu  bilden,  welche 
in  den  einzelnen  Coefficientenreihen  die  jedesmal  erforderlichen  Di- 
mensionen besitzen. 

Es  ist  in  Folge  des  obigen  Satzes  leicht  a  posteriori  einzusehen, 
warum  die  Operationen  (S.  13,   14) 

.  1    (     d(p    ^        dcp 

ii^^±(.i^ ^^ 

in  denen  ft  und  v  die  Ordnung  von  cp  in  Bezug  auf  die  x  und  die  y 
bedeuten  {D(p  hat  ganz  denselben  Charakter  wie  /1  cp  und  braucht  des- 
halb nicht  besonders  betrachtet  zu  werden),  die  Invarianteneigenschaft 
nicht  aufheben,  und  es  wird  dabei  zugleich  von  Interesse,  zu  sehen, 
in  welcher  Weise  diese  Operationen  auf  symbolische  Producte  wirken. 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  12.  35 

Sei  erstlich  cp  ein  symbolisches  Product  von  der  Form 
(p  =  M .  üj-hx  . .  .  m,ry 
wo  M  die   Veränderlichen   x  nicht   mehr  enthält  und   wo  also  /i  die 
Zahl  der   linearen   symbolischen   Factoren   a^,  h^:  . .  .  nijr  angiebt.     Es 
wird  dann 

Die  Anwendung  der  Operation  z/  auf  ein  symbolisches 
Producta  welches  von  der  fi*^"  Ordnung  in  den  x  ist,  giebt 
also  die  Summe  von  ^  Termen,  dividirt  durch  ft.  Die  einzel- 
nen Terme  entstehen,  wenn  man  in  einem  der  diea;enthal 
tenden  symbolischen  Factoren  die  x  durch  die  y  ersetzt. 
Es  ändert  sich  daran  nichts,  wenn  auch  für  einzelne  symbolische 
Factoren  Ojc  etc.  wirkliche  Factoren  (xz)  etc.  eintreten;  nur  ver- 
schwindet der  entsprechende  Term  jedesmal  identisch,  wenn  (xy)  selbst 
ein  solcher  Factor  wird,  der  dann  in  {yy)  übergeht. 

Um   die  Wirkung    von   ^  zu   erkennen,    denken    wir   uns   q)   als 
symbolisches  Product  der  Form 

(p  =  M .aa:'ba:'  '-mjc.pyqy.  .,ryy 
wo  das  symbolische  Product  M  nun  weder  die  x  noch  die  y  mehr  ent- 
hält.    Man  hat  dann 

^(p  =  —  i  {ap)  hjc...  mx  ciy  ...Ty-i-  (hp)  a^  . . .  w^  qy  . .  .  Vy 

+  {aq)ha:.  . .  m:cPy  .  .  .  ^y  +  .  .  . !. 
Die  Anwendung  der  Operation  Sl  auf  ein  symbolisches 
Product,  welches  von  der  fA*^°  Ordnung  in  den  Xj  von  der 
j,ten  jjj  (|gj^  y  jg^^  giebt  also  die  Summe  von  {lv  Termen,  di- 
vidirt durch  ftv.  Jeder  einzelne  Term  entsteht  aus  9?,  in- 
dem man  irgend  ^wei  symbolische  Factoren,  von  denen 
einer  die  ?/,  der  andere  die  x  enthält,  durch  ihre  Deter- 
minante [etwa  üxPy  durch  (ap)]  ersetzt.  Wenn  einer  der  sym- 
bolischen Factoren,  etwa  pyy  durch  einen  wirklichen  Factor  ersetzt 
wird,  etwa  {yz),  so  tritt  nur  z,2  an  Stelle  von^;^,  —  z^  an  Stelle  von  j?^? 
und  daher  im  Resultat  an  Stelle  der  Determinante  {ap)  der  lineare 
Factor  —  a^.  Tritt  {xz)  an  Stelle  von  «^,  so  wird  a^  durch  z.^j  a^ 
durch  —  Äj  zu  ersetzen  sein,  und  für  {ap)  tritt  der  lineare  Factor  pz 
ein.  Tritt  zugleich  {yz)  für  py,  {xt)  für  «^  ein,  so  sind  Pu  p^,  «1,  «2 
durch  Z.2,  —z^,  t^y  —t^  zu  ersetzen,  und  an  Stelle  der  Determinante 
{ap)  muss  man  die  Determinante  —  {zt)  setzen.  Endlich  kann  es  ge- 
schehen, dass  9?  den  wirklichen  Factor  {xy)  hat.  Was  in  diesem  Falle 
geschieht,  erkennt  man  am  Besten,  indem  man 

cp^il^Jxy) 

3* 


^Q  Erster  Absclinitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 

setzt,  und  die  Wirkung  von  ^  auf  cp  mittelst  der  Wirkungen  der- 
selben Operation  auf  t  darstellt.  Wir  nehmen  noch  an,  dass  cp  von 
den  Ordnungen  ^,  v  in  ;2^  und  y  sei,  ^  also  von  den  Ordnungen  ^— l 
und  v  —  1.     Es  ist  dann 

dcp       ,     .dil) 


also 


daher 


1  (,    ,/  a^^         ^2^  \     /    a^  ,     az/^\ 


+ 


(^^e;+^4-|)+^4 


oder  mit  Rücksicht  auf  die  Definition  von  Sl   und   auf  die  bekannten 
Eigenschaften  der  homogenen  Functionen: 

Slq)=:—\{^-l){v-\){xy)Slt+{^  +  v)ij\. 

Man  sieht  also,  wie  die  Wirkung  der  Operation  ^ß  auf  das  Pro- 
duct  ^ .  {xy)  theils  auf  die  Function  ^  selbst  führt,  theils  auf  das 
Product  von  {xy)  mit  dem  Resultate'  der  Anwendung  von  Sl  auf  ip . 


§  13.    Symbolische  Coefflclenteu  von  Covarianteii. 

In  §  10.  ist  gezeigt  worden,  dass  alle  Covarianten  auf  Polaren 
solcher  zurückgeführt  werden  können,  welche  nur  eine  Reihe  von 
Veränderlichen  enthalten.  Solche  Covarianten  sind  nun  selbst  alge- 
braische Formen,  d.  h.  ganze  homogene  Functionen  zweier  Veränder- 
lichen x^,  x^.  Eine  solche  Co  Variante  (p  kann  man  dann  wieder  sym- 
bolisch durch  die  Potenz  einer  linearen  Function 

9^  =  95/"=  (9^1^! +  9^2  ^2)'" 
ersetzen;  mit  dem  Vorbehalt,  nach  Bedarf  andere  Symbole  9',  cp"  u.  s.  w. 
einzuführen,   wenn   die  Deutlichkeit  und   Bestimmtheit   der   auszufüh- 
renden Operationen  es  erfordert. 

Untersuchen  wir,  wie  die  symbolischen  Coefficienten  einer  Cova- 
riante  sich  bei  einer  linearen  Substitution  ändern ,  welche  auf  die  con- 
stituirenden  Functionen  angewendet  wird.  An  Stelle  von  (p  tritt  dabei 
eine  Function    0;    welche    aus    den   Coefficienten    der  transformirten 


und  Covarlanten  binärer  Formen.  —  §  13.  37 

Functionen  und  den  neuen  Veränderlichen  gebildet  ist,  wie  (p  aus  den 
Coefficieuteu  der  ursprünglichen  Functionen  und  aus  den  ursprünglichen 
Veränderlichen,  und  nach  der  Definition  der  Covarianten  ist 

d.  h.  als  Function  der  neuen  Veränderlichen  |  nur  um  den  Factor  r^ 
verschieden  von  derjenigen  Function,  in  welche  (p  unmittelbar  durch 
blosse  Einführung  der  neuen  Veränderlichen  sich  verwandelt.  Setzt 
man  für  die  Co  Variante  der  transformirten  Functionen,  O,  den  sym- 
bolischen Ausdruck 

so  ist 

(^1  ?1  +  ^2 12)"'  --=  r^  [9l  (f^l  ll  +  «12  l>)  +  <P2  («21  Sl  +  «22  12)]""' 

Und  man  kann  diese  Identität  durch  die  folgenden  Trans formations- 
formeln  der  symbolischen  Coefficienten  von  (p  ersetzen: 

1 

^l=*""'(«ll9^1+«2l9P2) 
1 

Man  kann  daher  folgenden  Satz  aussprechen: 

Die  symbolischen  Coefficienten  einer  Covariante 
ändern  sich,    von  einer  Potenz  der  Transformations- 
determinante abgesehen,  genau  so,  wie  die  symboli- 
schen Coefficienten  der  constituirenden Functionen. 
Da  eine  Potenz   der  Transformationsdeterminante  hier   überhaupt 
unerheblich  ist,   so   sieht  man   sofort,   dass  ein  Product   symbolischer 
Determinanten  [a  h)  und  symbolischer  linearer  Factoren  Cj-  auch  dann 
noch  die  Invarianteneigenschaft  behält,  wenn  unter  den  Symbolen  auch 
symbolische  Coefficienten  von  beliebigen  Covarianten  der  constituiren- 
den Functionen  vorkommen.     Dies  giebt  also  den  Satz: 

Wenn    man    ein   System    simultaner   Formen    um 
irgend  welche  Covarianten    des   Systems   erweitert, 
so  sind  die  simultanen  Covarianten  und  Invarianten 
des   erweiterten    Systems   zugleich  Invarianten  und 
Covarianten  des  ursprünglichen. 
Dieser  Satz  führt  darauf,  wie  in  den  meisten  Fällen  der  Anwen- 
dung  Covarianten   und   Invarianten  gebildet  werden;   darauf  nämlich, 
dass  man  einfache  Combinationen  der  gegebenen  Functionen  unter  sich 
bildet,  die  einfachsten  Covarianten  des  Systems;  dass  man  diese  wieder 
mit  den  ursprünglichen  Formen  und  unter  sich  combinirt  u.  s.  w.    Der 
Bildungsprocess  kann  nur   dann   als  abgeschlossen  angesehen  werden, 
wenn  keine  neuen  Bildungen  mehr  erscheinen,  wovon  weiter  unten  aus- 
führlicher zu  handeln  sein  wird, 


38  Erster  Abschnitt.    Grundeigenscliaften  der  Invarianten 


§  14.    Grundformen  mit  mehreren  Reihen  von  Veränderlichen. 

Die  vorstehenden  Betrachtungen  in  Verbindung  mit  denen  des  §  7. 
lassen  eine  Frage  erledigen,  welche  eine  scheinbar  der  Verallgemeine- 
rung bedürftige  Seite  unserer  Theorie  heraushebt.  Man  könnte  glau- 
ben, es  sei  der  Allgemeinheit  wegen  nothwendig ,  auch  den  Fall  zu 
behandeln,  in  welchem  Grundfunctionen  gegeben  sind,  welche  selbst 
bereits  mehr  als  eine  Reihe  von  Veränderlichen  enthalten.  Ich  werde 
zeigen,  dass  dies  überflüssig  ist;  dass  vielmehr  die  Invarianten  und 
Covarianten  eines  solchen  Systems  nur  die  Invarianten  und  Covarianten 
eines  gewissen  Systems  simultaner  Formen  mit  einer  Reihe  von  Ver- 
änderlichen sind. 

Ist  /  irgend  eine  Form  mit  mehr  als  einer  Reihe  von  Veränder- 
lichen und  nehmen  wir  an,  dass  es,  unter  anderen,  die  Reihen  x^j  x^ 
und  ^1 ,  y^  beziehungsweise  in  der  m*®°  und  w*®°  Ordnung  enthalte. 
Da  die  Operationen  z/,  D,  ß  (§6.)  die  Invarianteneigenschaft  nicht 
aufheben,  so  sind  die  Ausdrücke: 

(1)  DY,       -£)"-'  ^fj       i)"-2  ^^f,  . . . 

Covarianten,  beziehungsweise  Invarianten  von  f,  aber  wegen  der  For- 
mel (6)  des  §  7.  kann /'wieder  durch  diese  ausgedrückt  werden.  Die  Aus- 
drücke (1)  enthalten  eine  Reihe  von  Veränderlichen  weniger  als  f  und 
sind  übrigens,  wie  in  §  8.  gezeigt  wurde,  völlig  von  einander  unab- 
hängige Functionen,  welche  die  x  zu  den  Ordnungen 

m-\-n^    m-i-n  —  2^    m-fn  — 4, ... 

enthalten,  die  übrigen  Veränderlichen  aber,  welche  in  f  etwa  ausser 
den  Xj  y  noch  vorkommen  können,  zu  ebenso  hohen  Ordnungen  wie  /, 
wie  denn  auch  die  Coefficienten  von  f  in  die  Formen  (1)  linear  ein- 
gehen. 

Da  nun  nach  dem  Vorigen  ebensowohl  die  Formen  (I)  als  Cova- 
rianten von  /",  wie  /  als  Covariante  dieser  Formen  angesehen  werden 
kann,  so  kann  man  überhaupt  alle  Covarianten  von  f  nach  §  13,  auch 
als  Covarianten  der  Formen  (1)  ansehen,  welche  in  ihrer  Art  ein  ganz 
allgemeines  System  bilden  und  eine  Reihe  von  Veränderlichen  weniger 
enthalten. 

Wendet  man  auf  jede  der  Formen  (1)  wieder  dasselbe  Verfahren 
an,  so  kann  man  jede  derselben  abermals  durch  ein  System  von  Formen 
ersetzen,  welche  eine  Reihe  von  Veränderlichen  weniger  enthalten  u.  s.  w. 
Man  gelangt  also  durch  fortgesetzte  Anwendung  desselben  Verfahrens 
zu  dem  Satze: 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §§14,  15.  39 

Die  Covarianten  und  Invarianten  eines  Systems 
von  Formen  mit  mehreren  Reihen  von  Veränder- 
lichen sind  immer  identisch  mit  denen  eines  gewis- 
sen Systems  von  Formen  mit  nur  einer  Reihe  von 
Veränderlichen  und  von  einander  unabhängigen 
Coefficienten.* 

Es  ist  hiernach  nicht  nöthig,  solche  Systeme  von  Grundformen 
mit  mehreren  Reihen  von  Veränderlichen  zu  untersuchen.  Bemerkt 
mag  nur  werden^  dass  die  oben  erwähnten  Operationen  auf  ein  System 
simultaner  Formen  mit  einer  Reihe  von  Veränderlichen  führen,  uuter 
denen  sich  auch  Formen  nullter  Ordnung,  also  Grössen  befinden  kön- 
nen, welche,  ohne  mit  den  übrigen  Formen  des  Systems  in  Beziehung 
zu  stehen,  als  accessorische  Invarianten  zu  betrachten  sind.  Ein  Bei- 
spiel dazu  wird  weiter  unten  (§  24.)  auftreten. 

§  15.    Hilfsmittel  symbolischer  Operationen. 

Die  symbolische  Gestalt  einer  Invariante  oder  Covariante  ist  kei- 
neswegs eine  feste  und  unveränderliche,  vielmehr  kann  man  einem  und 
demselben  Ausdrucke  im  Allgemeinen  eine  grosse  Reihe  von  Gestalten 
geben.  Unter  diesen  kann  es  bisweilen  eine  geben,  welche  sich  durch 
besondere  Einfachheit  auszeichnet  und  dann  ausschliesslich  benutzt 
wird.  Es  kann  aber  auch  geschehen,  dass  durch  Vergleichung  der 
verschiedenen  Gestalten,  welche  ein  und  derselbe  Ausdruck  annimmt, 
sich  zeigt,  dass  er  identisch  verschwindet  oder  sich  durch  einfachere 
Bildungen  ausdrückt,  während  an  einem  seiner  Ausdrücke  dies  nicht 
ganz  einfach  nachzuweisen  ist. 

Die  Hilfsmittel,  welche  man  anwenden  kann,  um  verschiedene  For- 
men eines  symbolischen  Ausdrucks  herzustellen,  bestehen  zunächst  in 
der  Vertauschung  gleichwerthiger  Symbole.  Kommen  in  einer  Bil- 
dung TT  zwei  Symbole  a  und  h  vor,  welche  durch  die  Gleichung 

als  Repräsentanten   derselben   wirklichen   Grössen   charakterisirt  sind, 
so  bleibt  offenbar  der  wahre  Werth  von  TT  ungeändert,  wenn  man  die 


*  Beispiel  einer  Form,  welche  x^x^,  quadratisch,  yiy^  Unear  enthält: 
f=z  {ttQXi^  -f  2  «1  Xi  Xi  +  «2 ^'2^)  Vi  +  (&0 ^1^  +  2  bi  Xi Xi  +  h^Xi^)  y«. 
Man  bildet  die  Formen 

I>(f)  —  OoÄJi^  -f  (2  tti  +  Ü>o)  Xi^Xi  4-  («2  +  2  6,)  x^  x.^  4-  62  ^'^2' 
ß(/0  =  {&0  -  «l)  a?!  -f-  (&1  -  «2)  aJo. 

Die  Invarianten  und  Covarianten  von  f  sind  identisch  mit  den  simultanen 
Invarianten  und  Covarianten  dieser  linearen  und  dieser  cubischen  Form.  Ausser- 
dem vergl.  die  Beispiele  in  der  Anmerkung  auf  S.  18. 


I 


40  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 

Symbole  a  und  h  mit  einander  vertauscht.     Wenn    dabei  TT   sein 
Zeichen  wechselt,  so  verschwindet  es  identisch.* 

Ein  wichtigeres  Hilfsmittel  für  die  Umgestaltung  symbolischer 
Ausdrücke  besteht  in  der  identischen  Gleichung,  welche  in  Bezug  auf 
irgend  drei  lineare  Ausdrücke  gebildet  werden  kann.  Elirainirt  man 
aus  den  Identitäten 

ttj-  — '  (ai-i  Jü<  "y"  Clin  Jj'-2 

Cx    C/H   Jbi     ""J~   Co    iX'o 

die  rechts  stehenden  Grössen  x^,  Xc>,  so  erhält  man  die  Gleichung 


0  = 


ax    dl     ^2 ! 
hx     ?>i     h-, 

Cx  Ci  Ca 


'2   I 

oder,  wenn  man  nach  der  ersten  Verticalreihe  ordnet: 

(I)  (b  c)  üx  +  (c  a)  bx  4-  («  b)  Cx  =  0. 

Von  dieser  Gleichung  werden  wir  weiterhin  die  mannigfaltigsten 
Anwendungen  kennen  lernen.  Ich  hebe  nur  sogleich  einige  Formen 
hervor,  welche  man  dieser  Identität  geben  kann  und  welche  ebenfalls 
oft  angewendet  werden.  Schafft  man  ein  Glied  auf  die  andere  Seite 
und  quadrirt,  so  drückt  sich  das  Product  zweier  Glieder  der  Identität 
durch  die  Quadrate  aller  aus: 

(II)  (a b)  {a c)bxCx  =  i\ {a bf  cl,  +  (a cf  ¥x  -  {b cf  aW. 
Quadrirt  man  nochmals,  so  erhält  man  die  Formel: 

(III)  {a  bf  {a cf  b\  &x  +  (b  af  (b cf  a\,  c'x  +  {c a^  {c bf  a\ b\ 
=  4  1«'-  (^  ^)'  +  b'x  {c  ay  +  Cx'  {a  bf  \ , 

welche  in  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen  benutzt  wird. 

Aus  den  Identitäten  (I),  (II),  (III)  leitet  man  andere  dadurch  ab, 
dass  man  x^,  x'^  durch  die  Coefficienten  cLj,  und  ~  d^  einer  wirklichen 
oder  symbolischen  linearen  Form  ersetzt.     Man  erhält  dann: 

(IV)  (6c)(a^)H-(ca)(6^  +  (a&)(c^  =  0 

(V)   {ab)  {ac)  [db)  {de)  =  ^  \{abf  {cdf  +  {acf{bd)^  -  {ad)'  {bc)'\, 

(VI)    {abf{acf{dbf{dcf  +  {bcf  {b af  {dcf  {daf  +  {caf{cbf{daY{dbf 
=  i  \{abY{cd)'  +  {acY{bd)'  +  {ad)'{bcY\ . 


*  Beispiel.  Die  Covariante  einer  quadratischen  Form:  (ab)  axh.r  geht  durch 
Vertauschung  von  a  mit  6  in  —  (ab)  axbx  über,  verschwindet  also  identisch.  Ebenso 
jede  Bildung  {ab)n-k  ax^bx^  (bei  der  sich  a  und  b  auf  dieselbe  Form  nter  Ordnung 
beziehen),  wenn  n—k  ungerade. 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  15.  41 

Andererseits  folgen  aus  (T)  und  {IT),  indem  man  c.,=^y^j  ^i  =  ~J?/2 
setzt,*  die  Identitäten: 

(VII)  a,hy-  kr  a,j  =  (a  b)  (xy)  *  * 

(VlII)  a^^üy  h:,hy  =  i  \a\rh%  +  a\jh\r  -  {ahY{xyY\ . 

Als  Anwendung  allgemeinerer  Art  will  ich  hier  den  folgenden  Satz 
beweisen : 

Ein  symbolischer  Ausdruck,  welcher  eine  unge- 
rade Potenz  der  Determinante  gleichwerthiger  Sym- 
bole  als  Factor  enthält,   lässt  sich  immer   in   einen 
solchen  überführen,   welcher   die   nächsthöhere  ge- 
rade Potenz  derselben  enthält. 
Sei  {ahy"'-'^  der  Factor  eines  symbolischen  Ausdrucks,  und  «,  b 
vertauschbar,  Symbole  einer  Form  n^'^''  Ordnung.    Da  keine  höhere  Po- 
tenz von  (ab)  vorkommt,   so   müssen   die   übrigen  (w  — 2m-f  1)  Sym- 
bole a  und  b  getrennt  vorkommen.    Die  zu  betrachtende  Bildung  geht 
also  aus  dem  Ausdruck 

(1)  (a6)2—ia.a,...  ?>,&,... 

hervor,  indem  man  für  einige  der  Reihen  x,  y  .  ,  .,  z,  t .  . .  symbolische 
Coefficienten  einsetzt  und  das  Resultat  mit  einem  ergänzenden  sym- 
bolischen Producte  multiplicirt.  Der  Ausdruck  (1)  aber  geht  durch  den 
Prozess  der  Polarenbildung  aus 

(2)  (6lZ>)2'"-laa:"-2m  +  >Z>^n-2m  +  l 

hervor.  Es  ist  also  nur  nöthig,  für  diesen  Ausdruck  den  Satz  zu  be- 
weisen; denn  besteht  er  für  diesen,  so  besteht  er  auch  für  (1)  und 
demnach  auch  für  den  gegebenen  symbolischen  Ausdruck.  Der  Aus- 
druck (2)  aber  wird,  indem  man  a  mit  b  vertauscht  und  die  halbe 
Summe  beider  Darstellungen  einführt,  durch  die  symbolische  Gestalt 
ersetzbar  : 

Dieser  Ausdruck  hat  den  Factor 

a.v  hy  —  kr  ay  =  {a  b)  {xy) ; 
es  tritt  also  {ab)-""  vor,   was   zu   beweisen  war.     Zugleich  sieht   man, 
wie   die   betreffende   Darstellung   des   gegebenen  Ausdrucks   auszufüh- 
ren ist. 


*  In  II.  ist  vorher  a  mit  c  fü  vertauschen. 
**  Hiernach  zerfällt  z.  B.  die  bei  einer  quadratischen  Form  auftretende  Co  Va- 
riante (ah)  üxhy;  denn  indem  man  a  und  b  vertauscht  und  die  halbe  Summe  beider 
Ausdrücke  nimmt,  hat  man 

{ah)  axhy  =  ^  {ab)  {axby  —  hxüy)  =  \  {ahy  {xy); 
sie  verwandelt  sich  in  das  Product  einer  identischen  Covariante  mit  einer  Invariante. 


42  Erster  Abschnitt.     Grundeigenschaften  der  Invarianten 


§  16.    Formen  tou  geradem  und  ungeradem  Charakter. 

Ich  will  bei  dieser  Gelegenheit  noch  eines  andern  Resultats  ge- 
denken, welches  die  symbolische  Darstellung  sofort  ergiebt.  Jede  Co- 
variante  oder  Invariante  TT,  für  die  transformirte  Form  gebildet,  ist 
der  für  die  ursprüngliche  Form  gebildeten  gleich  bis  auf  einen  Fac- 
tor r^.  Die  Transformationsformeln  der  Symbole,  welche  Seite  34 
gegeben  sind,  lehren  aber,  dass  bei  der  Transformation  der  symbo- 
lischen Form  von  TT  jeder  lineare  Factor  ungeändert  bleibt,  während 
jede  symbolische  Determinante  den  Factor  r  erhält.  Das  Ganze  erhält 
also  den  Factor  r  so  oft  als  Determinantenfactoren  vorhanden  sind, 
d.h.  die  Zahl  X  giebt  die  Zahl  der  symbolischen  Deter- 
minantenfactoren an,  welche  in  der  symbolischen  Form 
von  TT  auftreten. 

Sei  nun  TT  von  der  Ordnung  m  in^den  Veränderlichen,  vom  Grade 
h,  ¥ . .  .  beziehungsweise  für  die  Coefficienten  der  in  TT  eingehenden 
Formen,  n,  n'  ...  die  Ordnungen  der  letzteren.  Die  Anzahl  aller  in  TT 
vorkommenden  Symbolreihen  (jede  so  oft  gerechnet,  wie  es  die  Ord- 
nung der  betreffenden  Form  erfordert)  ist  dann 

nie -\- n  Je'  -\- .... 

Diese  vertheilen  sich  nun  zum  Theil  paarweise  auf  die  X  Deter- 
minantenfactoren, zum  Theil  einzeln  auf  die  m  symbolischen  linearen 
Factoren.     Man  hat  also  die  Gleichung 

Sind  n,  n' .  .  .  gerade,  so  muss  auch  m  gerade  sein,  und  man  hat 
also  den  Satz: 

Formensysteme,  in  welchen  alle  Formen  von  ge- 
rader Ordnung  sind,  haben  auch  nur  Covarianten 
von  gerader  Ordnung. 

Von  wesentlicher  Bedeutung  ist  eine  Unterscheidung  der  Cova- 
rianten und  Invarianten  von  geradem  und  ungeradem  {gauche) 
Charakter,  je  nachdem  die  Zahl  A  gerade  oder  ungerade  ist.  Für  die 
lineare  Substitution 

^j  ==  §2  ;         ^2^^  5i 

ist  r  =  —  1 ;  die  Formen  geraden  Charakters  ändern  sich  also  durch 
eine  solche  Substitution  nicht,  die  Formen  ungeraden  Charakters  ändern 
das  Vorzeichen.  Diese  Substitution  ist  nichts  anderes,  als  eine  Ver- 
tauschung der  Bedeutung  der  beiden  Veränderlichen  x^,  x^.  .Dieses 
kann  auch  so  aufgefasst  werden,  dass  die  Coefficienten 


und  Covarianten  binärer  Formen.  —  §  16.  43 

einer  Function  in  der  transformirten  Function  wieder  auftreten,   nur 
in  der  umgekehrten  Reihenfolge: 

a„,  (In-Xy  ein  — 2    •  •  •    <^o  ' 

Man  kann  also  den  Satz  aussprechen: 

Wenn  man  aus  einer  Invariante  oder  Covariante 
eine  andere  ableitet,  indem  man  die  Veränderlichen 
vertauscht  und  zugleich  die  Coefficienten  sämmt- 
Hcher  zu  Grunde  gelegter  Formen  in  umgekehrter 
Folge  benutzt,  so  entsteht  eine  Bildung,  welche  der 
ursprünglichen  gleich  oder  entgegengesetzt  ist,  je 
nachdem  die  ursprüngliche  Covariante  oder  Inva- 
riante von  geradem  oder  ungeradem  Charakterwar. 

Andere  Eigenschaften   der  Formen  ungeraden  Charakters  werden 
in  der  Folge  sich  wiederholt  geltend  machen.* 


*  Die  simultane  Covariante  zweier  quadratischen  Formen  (S.  33.) 

{ab)axba: 
ist  in  diesem  Sinne  eine  Form  ungeraden  Charakters,  die  simultane  Invariante 

{aby 
eine  Form  geraden  Charakters. 


f 


Zweiter  Abschiiitt. 

Die  geometrische  Interpretation  algebraischer  Formen. 


§  17.    Mittel  der  geometrischen  Darstellung  binärer  Formen.   Piinktreihe 

und  Strahlbüscliel.  * 

Ich  werde  jetzt  eine  geometrische  Interpretation  darlegen ,  deren 
die  binären  Formen,  sowie  die  dabei  auftretenden  Invarianten  und 
Covarianten  fähig  sind,  und  welche  sowohl  wegen  ihres  Zusani.men- 
hanges  mit  der  analytischen  Geometrie  von  Wichtigkeit  ist,  als  wegen 
der  übersichtlichen  Ausdrucksweise,  welche  eine  grosse  Anzahl  von 
Sätzen  durch  sie  zulassen. 

Eine  binäre  Form  n*^^  Ordnung,  gleich  Null  gesetzt,  stellt,  wie 
schon   im  Eingange   bemerkt  ist,   eine  Gleichung  n*®"  Grades  vor,    in 

welcher  -i  die  Unbekannte  ist  und  welche  also  n  Werthe  dieses  Ver- 

hältnisses  liefert.  Denken  wir  uns  nun  eine  Gerade,  deren  jeder  Punkt 
einen  Werth  dieses  Verhältnisses  repräsentirt,  so  ist  eine  binäre  Form 
gewissermassen  als  der  analytische  Ausdruck  des  Complexes  der 
n  Punkte  zu  betrachten,  welche  durch  die  entsprechende  Gleichung 
gegeben  sind. 

Nehmen^  wir  daher  in  der  Geraden  irgend  zwei  Punkte,  A^  B 
(Grundpunkte)  an.  Die  Abstände  eines  beweglichen  Punktes  C  der 
Geraden  von  A  und  B  seien  p  und  g,  und  zwar  sollen  dieselben  posi- 
tiv gezählt  werden,  wenn  C  zwischen  A  und  B  liegt;  wenn  aber  C 
ausserhalb  des  Intervalles  AB  sich  befindet,  so  soll  der  Abstand  des 
Punktes  C  von  dem  näheren  der  beiden  Punkte  Aj  B  als  negativ  an- 
gesehen sein.     Man  hat  dann  immer 

wo  c  der  gegenseitige  Abstand  der  Punkte  J.,  B  ist. 


*  Ueber  den  Zusammenhang  der  linearen  Substitution  mit  dem  Doppelver- 
hältniss  siehe  Cayley,  Memoir  lipon  Quantics ,  Phil.  Tr.  vol.  148,  sowie  Fiedler, 
Die  Elemente  der  neuern  Geometrie  und  der  Algebra  der  binären  Formen,  Leipzig, 
Teubneu  1862. 


Die  geometrische  Interpretation  algebraisclier  Formen.  —  §  17.  45 

Es  ist  nun  zweckmässig,  die  Veränderliclien  x^j  x.,  durch  folgende 
Definition  mit  den  Punkten  der  Geraden  AB  in  Beziehung  zu  setzen: 
Ich  verstehe  unter  x^^,  x.y  zwei  Zahlen,  ^eren  ab- 
solute   Werthe   gleichgiltig   sind,   welche   sich   aber 
zu  einander  verhalten   wie   die  Abstände   des  ihnen 
zugehörigen  Punktes  C  der  Geraden  ^5  von  diesen 
beiden    Punkten,    jeder    Abstand    multiplicirt    mit 
einer  beliebig  aber  fest  gewählten  Constante. 
Man  definirt  also  x^y  x\  durch  die  beiden  Gleichungen 

,x,  =  ap 
QX,  =  hq, 

in  welchen  q   eine  willkürliche  Grösse,   a  und  h   aber   zwei  constante 
Zahlen  sind. 

Jedem  Werthe 

x^_a     p 

x~  h  '  q 

entspricht  nur  ein  Wertli  von  — ,  und  demnach  auch  nur  ein  Punkt  C 

der  Geraden.     In  der  That,   ist  A  der  Werth  von  — ,   so   hat  man  die 

2 


beiden  Gleichungen 

p-  Xq=:0 

P'+  Q     =  C: 

daher 

Ic 

V=  A    .    :, 

(2) 


c 


wodurch  ^  und  q  völlig  und  eindeutig  bestimmt  sind.  Wie  also  jedem 
Punkte  C  ein  W^erth  von  -^  entspricht,  so  findet  auch  das  Umge- 
kehrte statt,  und  man  kann  also  sagen,  dass  die  Punktreihe  G  die 
gesammte  W^erthreihe  der  '7;^  eindeutig  repräsentire. 

Insbesondere  entspricht  der  Werth  x^  =  0  (vorausgesetzt,  dass 
nicht  auch  x.y  verschwinde;  aber  es  hat  keinen  Sinn,  beide  Zahlen 
Null  zu  setzen,  da  es  sich  immer  nur  um  ihre  Verhältnisse  handelt) 
dem   Punkte  Ä  Q)  =  0),   ^,  =  0   dem  Punkte  B  (g  =  0).     Der  Werth 

X  (1 

^  =  —  entspricht,  da  p  =  q,  dem  Mittelpunkte  der  Strecke  AB.  End- 
x,^      0  , 

lieh  der  Werth  -i  =  — —  giebt  p  =  —  q^  daher  A  =^  —  1 ,  und  also 
t  x.)  0 


46  iiweiter  Abschnitt.     Die  geometrische  Interpretation 

X 

p  und  q  unendlich  gross.     Dieser  Werth  von  —  giebt   also  einen  un- 

endlich  fernen  Punkt  der  Geraden;  und  man  erhält  keinen  andern 
unendlich   fernen  Punkt,   da  nach   (2)  p  und  q  nur  unendlich   gross 

sein  können,  wenn  A  — —  1,  also  -^  =  — — .     Man  ist   daher   bei   den 
'  '  x^         h 

hier  zu  Grunde  gelegten  Vorstellungen  berechtigt,  von  einem  ein- 
zigen unendlich  fernen  Punkte  der  Geraden  zu  sprechen, 
welcher,  so  gut  wie  alle  anderen  Punkte,  durch  einen  einzigen  Werth 

X 

des  Verhältnisses  -~  repräsentirt  ist. 

Allerdings  sind  es,  wenn  man  a,!)  als  reell  voraussetzt,  nur  reelle 

X 

Werthe   des  Verhältnisses  — ,   welche   durch   reelle  Punkte  C  der  Ge- 

raden  AB  dargestellt  sind.  Aber  der  Unterschied  von  Reellem  und 
Imaginärem  ist  im  Folgenden  immer  durchaus  unwesentlich.  Wir 
werden  keinen  Anstand  nehmen,  uns  a  und  h  auch  als  complex  zu 
denken,  ebenso  p  und  g,   und  imaginäre  Punkte   der  Geraden   einzu- 

führen,    um    das    ganze    dem    Verhältnisse   —   zukommende  Werthge- 

x^ 

biet  zu  beherrschen.  Ja,  wir  werden  selbst  die  Grundpunkte  A,  B  der 
Allgemeinheit  wegen  uns  als  imaginär  vorstellen  dürfen. 

X 

Dieser  Darstellung  des  Werthes  — ^  geht   eine    zweite  genau    pa- 

X2 

rallel,  bei  welcher  man  sich  nicht  der  Punkte  einer  Geraden  bedient, 
sondern  der  Geraden  (Strahlen),  welche  durch  einen  beliebigen  Punkt 
in  der  Ebene  gezogen  werden  können  (Strahlbüschel).  Legen  wir, 
um  diese  Darstellung  mit  der  vorigen  in  Zusammenhang  zu  bringen, 
zwei  Grundstrahlen  A,  B  des  Strahlbüschels  durch  die  Punkte  A,  B 

X 

der  im  Vorigen  betrachteten  Geraden.     Ein  Werth  — ,  welcher  einem 

X2 

Punkte  G  der  Geraden  zugeordnet  ist,  kann  auch  dem  durch  C  gehen- 
den Strahle  des  Büschels  zugeordnet  werden,  und  zwar  auf  folgende 
Weise. 

Jeder  Strahl  des  Büschels  ist  charakterisirt  durch  sein  Abstands- 
verhältniss  von  den  beiden  festen  Strahlen  AB,  d.  h.  durch  das  Ver- 
hältniss  der  von  einem  Punkte  des  beweglichen  Strahls  auf  die  festen 
Strahlen  gefällten  Lothe,  ein  Verhältniss,  welches  für  jeden  Punkt 
des  beweglichen  Strahls  denselben  Werth  hat.  Unter  den  4  Winkeln, 
welche  die  Strahlen  A,  B  bilden,  wählen  wir  einen  heraus  (im  Zu- 
sammenhange mit  der  Geraden  AB  etwa  denjenigen,  in  welchem  die 
Strecke  AB  liegt).  Das  Abstandsverhältniss  des  beweglichen  Strahls 
nennen  wir  positiv,  wenn  der  Strahl  innerhalb  dieses  Winkels,  negativ, 


algebraischer  Formen   —  §§17,  18. 


47 


(3) 


(4) 


wenn  er  ausserhalb  desselben  liegt.    Bezeichnen  wir  die  vom  Punkte  C 
des   Strahls  C   auf  die   Strahlen  A,   B  gefällten  Lothe   durch  7t  ^   a, 
durch  9,  z^  die  Winkel,  welche  die  Strah- 
len A   und  B  gegen    die   Gerade  A,   B 
bilden,  so  ist 

jt  =  p  sin  (p 

x  =  q  sinipy 

also  überhaupt  das  Abstandsverhältniss  der 

Geraden  C  von  den  beiden  Geraden  A^  B: 

7t  __p    sin  (p 

K      q  '  sin  ip ' 

Es  unterscheidet  sich  daher  das  Abstandsverhältniss  des  Punktes  C 
auf  der  Geraden  von  dem  des  Strahls  C  im  Büschel  nur  um  einen 
Constanten  Factor,   und  also  sind  auch  beide  nur  um  constante  Factoren 

X 

von  der  Grösse  —  verschieden. 

X.y 

X 

Sowie  also  ~   durch   einen  Punkt   der  Geraden  AB  repräsentirt 

ward,  wird  es  auch  dargestellt  durch  einen  Strahl  des  Büschels  AB, 
und  weil  sich  die  Punkte  der  Geraden  und  die  Strahlen  des  Büschels 
eindeutig  entsprechen,  so  gehört  auch  zu  jedem  Strahle,  ganz  wie 
dies    bei   den  Punkten    der   Geraden    der  Fall   war,    nur   ein   Werth 

X  X 

von  — ,  zu  jedem  Werthe  von  -^  nur   ein  Strahl   des   Büschels.     Die 

Formeln  für  diesen  Zusammenhang  sind  der  Formeln  (3)  wegen  ganz 
analog  den  Formeln  (1),  indem  sich  nur  die  constanten  Factoren  än- 
dern, nämlich:  ^^ 

'  Ü7t 

QX,= 


QX.,— 


Sin  (p 

H 

sin  ip 


Und  man  kann  demnach  die  Grössen  a;^,  ^^  auch  durch  folgende  zweite 

Definition  interpretiren : 

Es  sind  rr^,  a?^  zwei  Zahlen,  welche  sich  zu  ein- 
ander verhalten  wie  die  Lothe  von  einem  beweg- 
lichen Strahle  eines  Strahlbüschels  auf  seine  festen 
Grund  strahlen,  dieLänge  jedes  Lot  hes  multiplicirt 
mit  einer  beliebig  aber  fest  gewählten  Constanten. 


§18.   Gleichuugen ,  welche  durch  das  Yerschwinden  von  Invarianten 
oder  Co  Varianten  ausgedrückt  werden. 

Der  Zusammenhang    dieser  Interpretationen  mit  der  Theorie  der 
Invarianten  und  Co  Varianten  ergiebt  sich  nun  sogleich  durch  folgende 


I 


48  Zweiter  Abschnitt.     Die  geometrische  Interpretation 

Betrachtung,  bei  welcher  es  gleichgiltig  ist,  von  welcher  der  beiden 
oben  entwickelten  Anschauungen  man  ausgeht. 

Untersuchen  wir,    welche    analytischen  Veränderungen   der   Aus- 

druck  —  erfährt,   wenn   wir  den  ihn  repräsentirenden  Punkt   der   Ge- 

raden  AB  ungeändert  lassen,  die  übrigen  Momente  aber,  welche  den 
Zusammenhang  definiren,  sich  ändern  lassen;  wenn  wir  also  sowohl 
andere  Grundpunkte   einführen,   als   auch   die  Constanten  a,   h    durch 

andere  Constanten  a  ,  h'   ersetzen.     An  Stelle  von  —  tritt    dann    ein 

neuer  Werth 

in  welchem  p',  ^  die  Abstände  des  Punktes  C  von  den  neuen  Grund- 
punkten sind.  Nun  unterscheiden  sich  offenbar  diese  von  p,  q  nur  um 
Constante;  jede  Constante  aber  kann  mit 

P  +  'l      , 


multiplicirt,   also   als  lineare  Function   von  p  und  q  dargestellt  wer- 

den.     Demnach  erscheint  ~  als  Quotient  zweier  homogener 

linearer  Functionen  von  p  und  g,  also  auch  von  x^^  und  ^r^, 
denen  p  und  q  bis  auf  constante  Factoren  proportional  sind. 

Nachdem    dieser   Charakter    festgestellt    ist,    kann   man   nun   die 
Formel  für  |^  direct  in    eleganter   Weise   darstellen.      Denn   es   kann 

X 

sowohl  Zähler  als  Nenner  nur  für  je  einen  Werth  von  —  verschwin- 
den. Aber  es  muss  der  Zähler,  d.  h.  ^j,  für  den  einen  neuen  Grund- 
punkt J.',  der  Nenner,   d.  h.  t^,   für   den  andern,   I?',   verschwinden. 

x'  X  ''  X 

Sind  also  —r  und  -V,  die  Werthe  von  --,  welche  diesen  beiden  Punkten 

X  2  ^^2  2 

entsprechen,  so  hat  man 

(1) 


j  4  tA/  *  Jly  i^  lA/o  «^  1  \^  ^  ) 


Die  Constanteu  a',  V  kann  man  in  dieser  Formel  ganz  unberück- 
sichtigt lassen;  denn  sie  werden  durch  den  Umstand  ersetzt,  dass  die 
absoluten  Werthe  sowohl  von  x\,  x\  als  von  rr/',  x.^'  beliebig  sind, 
und  also  Zähler  und  Nenner  an  und  für  sich  schon  mit  beliebigen 
Constanten  Factoren  behaftet  sind. 


algebraischer  Formen.  —  §  18,  49 

Die    Gleichung    (1)    stellt    nun     offenbar    eine  beliebige    lineare 

Substitution   vor.      Wir   können   sie   in   die   beiden  Gleichungen  zer- 
legen : 


t  


U/,   JÜa       —^  Ji'a  U/1 


i 


Die  vier  Substitutionscoefficienten  sind  ganz  willkürlich ;  die  ein- 
zige Bedingung,  dass  die  Determinante  derselben  nicht  verschwinde, 
dass  also  nicht 

1         1 

fällt  mit  der  evidenten  geometrischen  Bedingung  zusammen,  dass 
man  jederzeit  zwei  wirklich  verschiedene  Punkte  Aj  B'  als  neue 
Grnndpunkte  einführen  muss. 

Man  kann  also  den  Satz  aussprechen: 

Jede     lineare    Substitution    ist    identisch    mit 

einer  Veränderung   der  Grundpunkte   und  der  mul- 

tiplicirenden    Constanten     in     der     geometrischen 

Interpretation,    bei    welcher    das   Verhältniss     der 

Veränderlichen    durch    einen   Punkt   einer   Geraden 

(bez.  einen  Strahl  eines  Büschels)  dargestellt  wird. 

Eine  Invariante  von  Functionen  /,  qp, .  .  .  gleich  Null  gesetzt ,  giebt 

eine   Eigenschaft    dieser   Functionen    an,    welche    sich    durch   lineare 

Substitutionen  nicht  ändert,  d.  h.  welche  immer  auch  noch  den  trans- 

formirten  zukommt.   Denn  ist  J  die  Invariante,  gebildet  in  Bezug  auf 

die  ursprünglichen,   J'  in  Bezug  auf  die  transformirten  Functionen,  so 

hat  man 

J'  ^J  .rl, 

und  also  J'^O,  sobald  J'=0  ist. 

Ebenso  sagt  eine  gleich  Null  gesetzte  Covariante  (7=0  eine  Be- 
ziehung zwischen  den  Functionen  f,(pj..,  und  verschiedenen  Systemen 
X\jX)'i  Vx,  ll>'t  11-  s.  w.  von  Veränderlichen  aus,  welche  durch  lineare 
Substitution  nicht  geändert  wird. 

Da  wir  immer  alle  Bildungen  als  homogen  für  die  Coefficienten 
jeder  Function  angenommen  haben,  so  sind  in  den  Gleichungen 
J=0,  0=0  die  absoluten  Werthe  der  Coefficienten  der  constituirenden 
Functionen  gleichgültig,  und  es  kommt  nur  auf  deren  Verhältnisse 
an;  diese  aber  sind  durch  die  den  Functionen  zugeordneten  Punkt- 
:^)ez.  Strahlen-)  Systeme  völlig  gegeben.     Man  hat  also  den  Satz: 

Das  Verschwinden  einer  Invariante  sagt  eine 
Beziehung  aus,  welche  zwischen  den  Punkt-  (bez. 
Strahlen-)  Systemen  stattfindet,  die  den  consti- 
tuirenden Functionen  zugeordnet  sind,  und  welche 

C  leb  seh,  Theorie  der  Toiuären  algebr.  Formen.  4 


50  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrische  Interpretation 

von  den  übrigens  die  Zuordnung  definirenden  Mo- 
menten unabliiingig  sind;  welche  also  nur  noch 
von  der  gegenseitigen  Lage  der  Punkte  (bez.  Strah- 
len) abhängen. 

Ebenso  sägt  das  Verschwinden  einer  Co'variante 
eine    derartige    Beziehung    aus,     bei    welcher    aber 
ausser  jenen  Punkt-  (bez.  Strahlen-)  Systemen  nocli 
irgend    welche   andere  Punkte   (bez.  Strahlen)   nach 
ihrer  Lage  in  Betracht  kommen. 
Aber    es    drückt   sich   nicht   umgekehrt  jede  derartige  Beziehung 
durch  das  Verschwinden  einer  Livariante  oder  Covariante  aus.    Unter- 
suchen  wir  nun,  welchen  besondern  Charakter  eine  Beziehung  haben 
muss,  damit  dies  geschehe. 


§19.    IiiYarianteii  und  Covariantea  von  Functioiieii ,  welche  durcli  ihre 
linearen  Factoren  gegelben  sind. 

Ersetzen  wir  jede  in  einer  Covariante  oder  Invariante  TT  vorkom- 
mende Form  durch  das  Product  ihrer  linearen  Factoren,  also  etwa/  durch 

111  j  • — ■  ( <^i  1^2  5i      1   J    VI      2  2      1    )   '  '  '    vi  *^->  "^2  "^1        J ) 

T  T 

so  sind  -^ ,  — St  .  . .  die  Punkte,  bez.   Strahlen,   welche  zusammen  die 

Form  f  repräsentiren  •,  ähnlich  bei  den  übrigen  auftretenden  Formen. 
Dass  die  Function  TT  von  den  Coefficienten  einer  Form,  etwa  /)  ratio- 
nal abhänge,  erfordert  nur,  dass  diese  Punkte,  bez.  Strahlen,  in  der- 
selben symmetrisch  benutzt  seien,  d.  h.  dass  die  Function  sich  nicht 
ändere,  wenn  man  irgend  zwei  der  Punkte,  bez.  Strahlen,  mit  einander 
vertauscht,  während  zugleich  für  jedes  einzelne  der  zugehörigen  Werthe- 
paare  die  Function  homogen  sein  muss. 

Da  bei  der  linearen  Transformation  jeder  der  linearen  Factoren 
einer  Function  f  sich  für  sich  linear  transformirt,  so  hat  jede  Func- 
tion TT,  welche  in  Bezug  auf  f  die  Invarianteneigenschaft  hat,  dieselbe 
auch  in  Bezug  auf  seine  linearen  Factoren.  Man  kann  also  den  Satz 
aussprechen : 

Jede  Invariante  oder  Covariante  eines  simul- 
tanen Systems  ist  auch  eine  solche  für  die  linearen 
Factoren  der  simultanen  Formen. 

Denkt  man  sich  nun  in  irgend  einer  Function  TT  alle  Formen  f\ 
q)  ...  durch  die  Producte  ihrer  linearen  Factoren  ersetzt,  so  erhält  man 
einen  Ausdruck,  welcher  nur  noch  eine  Anzahl  von  lieihen  ^^,  x.^'^  y^, 
y^  u.  s.  w.  enthält,  und  in  Bezug  auf  diese  die  Invarianteneigenschaft 
besitzt.    Da  andrerseits  nach  §  4.  solche  Reihen  immer  durch  Coefficien- 


algebraischer  Fomien.  —  §  10.  51 

teu  linearer  Formen  ersetzbar  sind,  so  siebt  man,  dass  die  resultirende 
Gestalt  von  TT  ein  Aggregat  von  Producten  aus  Determinanten  vom 
Typus  (xy)  ist  (§  9.),  und  man  bat  also  den  Satz: 

Ersetzt  man  in  einer  Invariante  oder  Cova- 
riante  TT  die  darin  auftretenden  Formen  durcb  ibre 
linearen  Factoren,  oder  führt  man,  was  dasselbe  ist, 
die  diesen  entsprechenden  Punkte,  bez.  Strahlen 
ein,  so  geht  TT  in  ein  Aggregat  von  Producten  aus 
Determinanten  vom  Typus  (xy)  über,  wo  ^^,  x.^\  y^,  y.^ 
Punkte,  bez.  Strahlen  der  geometrischen  Darstel- 
lung bedeuten. 
Ich  werde  nun  Ausdrücke,  welche  sich  wie  der  Ausdruck 

^  ^  ixt)  {0y) 

aus  vier  Reihen  zusammensetzen,  als  ein  aus  diesen  Reihen  gebildetes 
Doppelverhältniss  bezeichnen.  Die  Theorie  der  verschiedenen  aus 
denselben  Reihen  zu  bildenden  Doppelverhältnisse,  sowie  die  geome- 
trische Bedeutung  dieser  Bildungen  wdrd  w^eiter  unten  entwickelt 
werden.  Hier  mag  es  genügen  zu  sagen,  dass  Zähler  und  Nenner 
eines  solchen  Doppelverhältnisses  Producte  je  zweier  Determinanten 
sind,  welche  zusammen  alle  vier  Reihen  enthalten,  und  dass,  wenn  /l 

ein  Doppelverhältniss  ist,   auch  — -  ein  solches  ist,  indem  etwa  in  dem 

obigen  Ausdruck  nur   die  Vertauschung   der   Reihen   t,  y  erforderlich 

ist,  um  A  in  —  überzuführen,  was  den  Charakter  der  Bildung  an  und 

A 

für  sich  nicht  ändert. 

Ich  werde  nun  zeigen,  dass  man  den  Quotienten  von  TT 
durch  eines  seiner  Glieder  als  ganze  rationale  Function 
von  Doppelverhältnissen  darstellen  kann. 

Die  Function  TT  besteht  nämlich,  wenn  wir  durch  a^^j  ^13  •  •  • 
Null  oder  positive  ganze  Zahlen  bezeichnen,  und  die  Indices  1 ,  2,  3  . .  . 
den  Reihen  x,  y,  ^...entsprechen  lassen,  aus  Tennen  der  Form 

{xy)''i^  (:r^)"i3  (a:f)«'^. . .    (2//j"23  (^t)"^i . . . 

welche  mit  numerischen  Coefficienten  multi^^licirt  sind.  Und  zwar 
muss,  da  TT  in  Bezug  auf  jede  der  Redien  homogen  ist,  die  Summe 
derjenigen  a,  welche  einen  Index  gemein  haben,  für  alle  Terme  von 
TT  denselben  Werth  besitzen.  Dividiren  wir  also  TT  durch  eines  seiner 
Glieder,  so  besteht  der  Quotient  aus  einer  Coustanten,  und  aus  Ter- 
men  der  Form 

P=   U:^/'2     ^i-sfn     (.,;//il.   .   .       U/^/^3  .(^//.4  .   .   .  ^ 

4* 


52  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrische  Interpretation 

WO  die  ß  nun  Null  oder  positive  oder  negative  ganze  Zahlen  bedeuten, 
doch  so,  dass  die  Summe  aller  ß  mit  einem  gemeinsamen  Index  immer 
verschwindet. 

Zeichnen  wir  nun  unter  den  Reihen,  welche  in  P  auftreten  etwa 
die  drei  ersten,  x,  y,  z,  aus,  und  verbinden  diese  mit  jeder  der  fol- 
genden Reihen  (t,  w,  v  .  .  .)  zu  den  Doppel  Verhältnissen 

^_  {xt){sy) 

{xu){zy) 
{0u)  {xy) 


so  können  wir  setzen: 


(xt)  =  X 
(xu)  —  ^1 


i^y) 

{^u){xy) 

i^y) 


und  erhalten,  indem  wir  diese  einführen: 
wo  Q  die  x  nicht  mehr  enthält.  Da  aber 
SO  kann  man  dafür  setzen 

oder  wenn  wir  noch  das  Doppelverhältniss 

^  {X2)  jty) 

^    i^y)  m 

einführen : 

P==:/l^i4     fA^15...         Qß^3,P'^ 

WO  P'  nun  die  x  nicht  mehr  enthält,  zugleich  aber,  wie  P,  A,  ^...  q, 
für  alle  übrigen  Reihen  homogen  von  der  nullten  Ordnung  ist. 

Man  hat  also  P  auf  ein  Product  von  Doppelverhältnissen  und 
auf  ein  Product  P'  zurückgeführt,  welche  ganz  die  Eigenschaften  von 
P  besitzt,  aber  eine  Reihe  weniger  enthält.  Man  kann  nun  mit  P' 
verfahren  wie  oben  mit  P,  und  kann  daher  P  immer  auf  Producte 
von  Doppelverhältnissen  and  auf  Producte  zurückführen,  welche  immer 
die  Eigenschaften  von  P  besitzen,  aber  weniger  und  weniger  Reihen 
enthalten.  Man  kann  dies  so  lange  fortsetzen,  als  in  einem  übrig- 
bleibenden Factor  P<^)  noch  mehr  als  drei  Reihen  vorhanden  sind; 
denn    vier  Reihen    wurden   oben   zur  Bildung   der  Doppelverhältnisse 


algebraischer  Fonneu.  —  §  19.  53 

gefordert.     Gelangt  man  aber  endlich  zu  einem  Producte  P'*\  welches 
nur  noch  drei  Reihen  enthält,  so  hat  dasselbe  die  Form 

und  es  ist 

r  +  d  =  o,  r  +  e^o,  ^  +  £  =  0, 

also 

^'  =  0,    ö  =  0,    £  =  (), 

'  und  dieses  Product  muss  also  der  Einheit  gleich  werden.* 

Indem  man  die  Umformung  von  P  so  weit  verfolgt,  erhält  man 
also  P  als  Product  von  Doppelverhältnissen.  Diese  kommen  zwar 
theils  zu  positiven,  theils  zu  negativen  Potenzen  erhoben  vor;  aber 
da,  wie  oben  bemerkt,  der  reciproke  Werth  eines  Doppelverhältnisses 
abermals  ein  solches  ist,  so  kann  man  sagen,  es  sei  P  ein  Product 
positiver  Potenzen  von  Doppelverhältnissen. 

Hiermit  ist  denn  der  obige  Satz  bewiesen.  Man  kann  denselben 
in  folgender  Form  ausdrücken : 

Eine    Invariante    oder    Covariante    von    binären 
Formen     ist     der    Zähler     einer    ganzen    rationalen 
Function  von  Doppelverhältnissen,  welche  aus  den 
Verschwindungselementen  der  Formen  und  aus  an- 
deren    (veränderlichen)     Elementen    zusammenge- 
setzt sind. 
Dieser   Satz   lässt  sich  umkehren.     Man  kann  zeigen,    dass   der 
Zähler    einer    ganzen  Function    von  Doppelverhältnissen, 
welcher   die  Verschv/indungselemente   verschiedener  For- 
men,  und  zwar  die  einer  jeden  symmetrisch,   enthält,  eine 
simultane  Invariante    oder   Covariante  dieser  Formen  sei. 
Dass  ein  solcher  Zähler  die  Invarianteneigenschaft  besitzt,  ist  aus 
seiner  Bildung    unmittelbar    klar;    um    diesen    umgekehrten    Satz    zu 
beweisen,   ist  also  nur  nöthig  zu  zeigen,  dass  eine  die  Invarian- 
teneigenschaft besitzende  Bildung,  welche  die  Verschwin- 
dungselemente  einer  Form  /"rational  und  symmetrisch  ent- 
hält, sich  als  ganze  homogene  Function  der  Coefficienten 
von  f  ausdrücken   lässt.      Dieser  Beweis   soll  im  folgenden  Para- 
graphen  geliefert  werden,   indem  eine  Methode  angegeben  wird,   die 
fragliche  Bildung  als  solche  ganze  homogene  Function  der  Coefficien- 
ten wirklich  darzustellen. 


*  Enthielt  TT  von  vornherein  nur  zwei  oder  drei  Reihen,  so  besteht  es  über- 
haupt nur  aus  einem  Gliede,  und  die  vorliegenden  Betrachtungen  werden  gegen- 
standslos, da  zur  Bildung  eines  Doppelverhältnisses  überhaupt  keine  Möglichkeit 
mehr  vorlieoft. 


54  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrische  Interpretation 


§  20.    Methode,  inYariante  symmetrische  Functionen  der  linearen  Factoren 
einer  Form  durch  die  Coefflcienten  derselben  auszudrücken. 

Es  ist  die  Frage,  wie  eine  durch  einen  solchen  Zilhler  definirte 
Function  TT,  welche  die  einer  Form  /'  zugeordneten  Elemente  (Punkte 
oder  Strahlen)  symmetrisch  enthält,  durch  die  Coefficienten  dieser  Form 
ausgedrückt  werden  könne.  Ich  werde  eine  Methode  angeben,  vermöge 
deren  man  allm'alig  statt  der  jenen  Elementen  entsprechenden  Werthe-. 
paare  die  symbolischen  Coefficienten  von  /'einführen  kann.  Dadurch 
ist  in  der  That  der  Forderung  schon  völlig  Genüge  geleistet,  um  so 
mehr,  als,  wie  man  sehen  wird,  in  allen  allgemeinen  Untersuchungen 
gerade  die  symbolische  und  nicht  die  wirkliche  Form  von  Covarianten 
und  Invarianten  es  ist,  welche  man  gebraucht. 

Es  war  oben  (§  3.)  gezeigt,  dass,  Avenn  a^^,  a^  .  .  .  die  Coefficien- 
ten von  /  und  a^,  a^  .  .  .  die  Coefficienten  einer  Function  von  ebenso 
hoher  Ordnung  sind,  auch  der  Ausdruck: 

die  Invarianteneigenschaft  besitzt.  Setzt  man  an  Stelle  der  a  die 
Coefficienten  der  n^^^  Potenz  eines  linearen  Ausdrucks,  so  wird  die 
Bildung  von  TT^  der  erste  Schritt  zur  Darstellung  der  symbolischen 
Form  von  TT,  und  die  vollständige  Darstellung  derselben  geschah  in 
§  12.  mittelst  mehrmaliger  Wiederholung  derselben  Operation,  zu- 
nächst in  Bezug  auf  die  Coefficienten  von  f,  dann  in  analoger  Weise 
in  Bezug  auf  die  Coefficienten  der  übrigen  Formen,  welche  bei  der 
Bildung  von  TT  benutzt  sind. 

Ich  werde  nun  zeigen,  wie  die  Bildung  von  TT^  vorzunehmen  ist, 
wenn  nicht  die  Coefficienten  von  /',  sondern  die  den  Verschwindungs- 
elementen  von  /  zugeordneten  Werthepaare  in  TT  auftreten.  Es  wird 
sich  herausstellen,  dass,  wenn  TT^  auf  die  anzugebende  Weise  gebildet 
wird,  es  eine  ganz  ähnliche  Form  wie  TT  hat,  und  also  der  Wieder- 
holung derselben  Operation  ui.terworfen  werden  kann.  Nur  wird  der 
Endwerth  von  TT^  die  Verschwindungswerthe  von  f  sämmtlich  in  einer 
um  1  niedrigeren  Ordnung  enthalten,  und  dafür  ein  neues  Werthepaar, 
das  der  eingeführten  Symbole  von  f.  Daraus  folgt,  dass  eine  Wieder- 
holung der  Operation  in  der  That  die  Verschwindungswerthe  allmälig 
entfernt,  und  dafür  Symbole  einführt,  so  dass  man  nach  einer  hin- 
reichenden Anzahl  von  Wiederholungen  nur  noch  Symbole,  aber  nicht 
mehr  Verschwindungswerthe  in  dem  Endausdruck  hat,  wie  es  verlangt 
wurde. 

Bezeichnen  wir  durch  dT\  das,  was  aus  einer  Covariante  oder  In- 
variante TT  entsteht,  wenn  mau  diese  Function  nach  den  Coefficienten 


algebniiöcher  Formen.  —  §  20.  55 

a^,  rt,  . .  .  von  /'  differeiizirt,  die  Differeiitialquotienten  mit  den  eut- 
spreclieiuk'u  ;^*°"  Dimensionen  der  Symbole  h^,  h.,  multijjlicirt  und 
dann  die  Summe  nimmt,  also  den  Ausdruck 

(1)  dn  =  V'|?  +  V-'«'.>|^+.-.- 

Es  ist  dann,  mit  Anwendung  derselben  Bezeicbnuug, 

und  diese  Gleichung  kann  zur  Definition  des  Differentialprocesses  ö 
dienen.     Nehmen   wir  nun  an,    es  sei  /"als  Product  linearer  Factoren 

(3)  '  f  =  Px  .qa^'V:,... 

gegeben.  Man  kann  dann  die  Gleichung  (2)  dadurch  erfüllen,  dass 
man  die  Operation  d  auf  die  linearen  Functionen  j)^.,  q,,  u.  s.  w.  der 
Reihe  nach  anwendet,  und  die  linearen  Functionen 

so  bestimmt,  dass  die  Gleichung  (2)  eine  identische  wird.  Es  muss 
dann  also  sein: 

/^^'  -  ^M..^,r.  ... 


Setzt  man  in  dieser  Identität  etwa 

•^'1  ^^P-if  ^2  —  ~  Pij 
so  erhält  man,  indem  alle  anderen  Glieder  fortfallen: 

{bpy-  =  (qp)  {)'p)  .  . .  (p.^  dp,  -p,  dp,) , 

eine  Gleichung,  welche  durch  die  Annahme  erfüllt  wird: 

(53  ^'~{qp){rp)... 


^P-z^ 


(fipY-'h 


{qp){rp)... 

Aehnliehe  Ausdrücke  erhält  man  für  d^^,  dq,^. . .]  und  es  ist  leicht 
zu  zeigen,  dass  durch  Einführung  dieser  Ausdrücke  die  Gleichung 
(4)  in  der  That  identisch  erfüllt  wird.  Denn  sie  verwandelt  sich  in 
folgende: 

7  „  ^  Q)pY-'lrq.rr...      {bq)"-n.rPrr,r 

{qp){rp)...       "^    (i>5)(>-^)...     '^"" 

Dividiren    wir    diese    Gleichung    durch    h,rj    so   ist   die  Differenz   bei- 
der Seiten  eine  Form  (11-  1)*^^  Ordnung,   welche,   ohne  identisch  zu 


56  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrische  Interpretation 

verschwinden^  nur  n  —  1  Verschwindungswerthe   zulassen  kann;    aber 
man  sieht   leicht,   dass   sie   deren  n  zuUisst,   nämlich  --    bleich    einer 

der  n  Grössen  —  ,    —  .  .  .  .     Die  obige  Gleichun.ff  muss  also  eine  Iden- 

tität  sein. 

Die  Form  (3)^  in  welcher  die  Function  f  hier  gegeben  erscheint, 
weicht  nur  leicht  von  derjenigen  ab,  welche  im  vorigen  Paragraphen 
angenommen  wurde.  Nämlich  es  sind  hier  nur  statt  der  Ver- 
schwindungswerthe die  Coefficienten  der  für  dieselben  verschwinden- 
den linearen  Ausdrücke  eingeführt;  was  nur  deswegen  hier  zweck- 
mässiger ist,  weil  alsdann  die  Analogie  der  einzuführenden  symbolischen 
Coefficienten  mit  denen  der  gegebenen  linearen  Functionen  j)x>  ^Ix  ... 
deutlicher  hervortritt. 

Denken  wir  uns  also  auch  in  einer  Form  TT,  welche  statt  der  Coef- 
ficienten von  /'  die  Verschwindungswerthe  von  f  enthält,  statt  deren 
diese  Coefficienten  p^  q  ...  gesetzt,  also  pj  statt  x'^j  — i>2  statt  rr\  u.  s.  w. 
Aus  der  so  gegebenen  Form  entsteht  die  Function  ^TT,  wenn  man 
nicht,  wie  in  (1),  nach  den  Coefficienten  von  /"  differenzirt  und  mit 
denen  von  d/' multiplicirt,  sondern  wenn  man  jetzt  nach  den  2:),  q... 
differenzirt  und  mit  den  Grössen  dp,  dq  . . .  multiplicirt.  Es  ist 
also  jetzt 

(qp)  (rp)  . .  .  \dp^    '      dp.,    ''. 


(pq)  {rq) 


Die  Function  TT  enthält  nun  der  Voraussetzung  nach  jedes  der 
Coefficientenpaare  p^,  p^'i  0.1,  Q2  •  •  -  homogen  und  in  gleich  hoher  Ord- 
nung, etwa  der  i^*®";  ferner  so,  dass  durch  Vertauschuug  zweier  dieser 
Werthepaare  sich  nichts  ändert.  In  dTT  kommen  die  p,  q,  r  auch  in 
Nennern  vor,  und  zwar  so,  dass  das  Determinantenproduct  D  der 
p,  q  . .  .  den  gemeinschaftlichen  Nenner  bildet.     Der  Zähler 


(  (hpy-'  /an  an  \ 
ito)M...W/^^ai),^V 
,     (fe^)"-i    (dT[ .   ,  an 


+  ^&.H- 


(pq){rq)...\dq^  d  q^ 

hat  aber  die  Eigenschaft  zu  verschwinden,  wenn  ein  Paar  von  Werthe- 
paaren,  etwa  p,  q,  zusammenfällt,  und  also  etwa 

Ql=QPi,        Q2=QP2- 

Denn  es  verschwinden   hierdurch   zunächst   alle   Glieder  des   Aus- 
drucks bis  auf  die  beiden  ersten.     Die  Glieder 


algebraischer  Formen.  —  §  20.  57 

aber  haben  von  vornherein  die  Eigenschaft,  mit  entgegengesetztem 
Zeichen  in  einander  überzugehen,  wenn  man  p  und  q  vertauscht,  so 
dass  ihre  Summe  durch  ipq)  theilbar  sein  muss;  daher  verschwindet 
auch  die  Summe  dieser  Glieder,  wenn  man  mit  D  multiplicirt,  und 
dann  die  p  den  q  proportional  setzt. 

Der  neue  Ausdruck  von  dW  enthält  also  in  seinem  Zähler  alle 
Factoren  von  D,  und  der  Nenner  hebt  sich  somit  vollständig  auf, 
so  dass  dn  als  eine  ganze  Function  der  j),  5  .  .  .  zurückbleibt.  Diese 
Function  hat  nun  alle  Eigenschaften  von  TT.  Sie  besitzt  die  Inva- 
rianteneigenschaft wegen  ihrer  Zusammensetzung  aus  Tennen  von  der 

Form  7^- — h^-\- - — h,  und  aus  Determinanten  ijbp)  oder  {qp).    Sie  ent- 

^  Pi  ^  P-> 

hält  jede  der  Reihen  p,  q  symmetrisch  und  homogen,  aber  nur  noch 
zur  {n—\y^^  Ordnung.  Endlich  enthält  sie  noch  eine  Reihe  symbo- 
lischer Coefficienten  a^,  c/^,  was  an  der  Natur  der  Bildung  durchaus 
nichts  ändert. 

Man  gelangt  also  auf  dem  angegebenen  Wege  in  der  That  von 
einer  Function  TT  zu  einer  Function  TTi  =  (5TT,  welche  eine  Dimension 
weniger  in  jeder  der  Reihen  2' 7  q-..  enthält,  und  in  welcher  eine 
Reihe  von  Symbolen  von  f  eingeführt  ist.  Die  Fortsetzung  der  Opera- 
tion liefert  also  die  symbolische  Form  von  TT,  wie  es  verlangt  wurde. 

Die  Ausführnng  dieser  Darstellung  ist  bei  gegebenen  Formen  im 
Allgemeinen  sehr  weitläufig.  Indessen  lehrt  das  Vorhergehende 
theoretisch  diesen  Zusammenhang  vollständig  erkennen,  und  zwar 
ohne  dass  es  nöthig  wäre,  auf  die  Theorie  der  Gleichungen  und  der 
symmetrischen  Functionen  ihrer  Wurzeln  einzugehen,  eine  Theorie, 
welche  auf  ebenso  verwickelte  Rechnungen  führt,  und  ihrem  ganzen 
Charakter  nach  den  hier  angewandten  Betrachtungen  und  Vorstellungs- 
weisen fremd  ist.* 


*  Beispiel  der  Invariante  einer  quadratischen  Form:  Betrachten  wir  die 
Function  TT  =  (p9)2,  welche  alle  geforderten  Eigenschaften  besitzt.  Die  erste 
Transformation  ist : 

Sodann  zweitens,  indem  man  neue  Symbole  q ,  c\  benutzt,  und  die  Formel 
§  15.  (IV)  anwendet: 

was  die  symbolische  Form  ist. 


5S  Zweiter  Abschnitt.    Die  geomctrisclie  Interpretiition 


§  21.    Die  Doppelyerhältnissc  von  vier  Elementen. 

Die  Grössen  —  wurden  oben  nicht  rein  <2jeometriscli  deiinirt,  son- 

dern  als  ALstandsverliältniss  des  beweglichen  Elements  von  den  beiden 

fest  angenommenen,  multiplicirt  mit  einer  Constanten.  Diese  Constante 

liebt   sieb   auf,    und   es   entstellt    also   eine   rein  geometrisch  definirte 

Grösse,  wenn  wir  zAvei  solcher  Verliältnisse  durcli  einander  dividiren. 

Verlegen   wir   die   Grundelemente,    so   dass  die  neuen  Grundelemente 

z       t     . 
durcli   die  Wertliepaare  —  ,  -j-   in  Bezug  auf  die  ursprünglichen  Grund- 

eleniente   deiinirt   sind,    so  ist   eine   solche   rein  geometrisch  definirte 
Grösse  nach  §  18.  der  Quotient  zweier  Verhältnisse 


l,      {xt) 

'     >h     (2/0' 

d. 

h. 

das 

D  0  p  p  e  ] 

Ivel 

•hältniss 

.       {xz) 
ixt) 

{xz)  (yt) 

dis) 

(xt)  iijB)  ■ 

(2/0 

Diese  in  §  19.  bereits  eingeführte  Combination  hat  also  einerein 
geometrische  Bedeutuug;  sie  ist  der  Quotient  der  Ab  Stands  Ver- 
hältnisse zweier  Elemente  x^  y  gegen  zwei  andere  Ele- 
mente ^,  ^. 

Diese  Grösse  hat  die  Eigenschaft,  sich  durch  lineare  Substitution 
nicht  mehr  zu  ändern;  sie  ist,  wie  man  sich  ausdrückt,  eine  abso- 
lute Invariante,  insofern  auch  keine  Potenz  der  Substitutioiisdetermi- 
nante  bei  linearer  Substitution  vor  dieselbe  tritt. 

Aus  vier  Elementen  lässt  sich  noch  auf  mannigfache  Weise  ein 
Doppelverhältniss  bilden.  Zunächst  muss  man  sie  in  zwei  Paare  thei- 
len,  wie  oben  x,  y,  z,  t  in  die  Paare  xy ,  zt.  Dies  kann  auf  drei  ver- 
schiedene Arten  geschehen,  und  indem  man  das  eine  oder  das  andere 
dieser  Paare  vorübergehend  als  das  feste  betrachtet,  in  Bezug  auf 
welches  die  Abstandsverhältnisse  gebildet  werden,  erhält  man  zwei 
verschiedene  Möglichkeiten.  Endlich  kann  man  bei  der  Benutzung 
jedes  Paares  noch  mit  dem  einen  oder  dem  andern  dieser  Elemente 
beginnen,  was  abermals  zweimal  zwei  Möglichkeiten  liefert.  Die  Ge- 
sammtzahl  aller  verschiedenen  Arten,  das  Doppelverhältniss  aus  vier 
Elementen  zu  bilden,  ist  also  gleich  3  .  2  .  2  .  2  =  24,  d.  h.  gleich  der 
Anzahl  von  Permutationen ,  welche  aus  den  vier  Elementen  sich  her- 
stellen lassen. 


algebraischer  Formen.  —  §§  21.  59 

Aber  die  Werthe  der  24  so  erhaltenen  Doppelverliältnisse  sind 
nicht   sämmtlich   verschieden.     In  der  That  ändert  sich  der  Ausdruck 

{xt)  {yz) 
offenbar  nicht  bei  folgenden  Vertauschungen  der  Elemente: 

1.  Wenn  man  x  mit  s  und  zugleich  ij  mit  t  vertauscht. 

2.  Wenn  man  x  mit  y  und  zugleich  z  mit  t  vertauscht. 

3.  Wenn  man  x  mit  t  und  zugleich  y  mit  z  vertauscht. 

Man  sieht  hieraus,  dass  man  eines  der  vier  Elemente,  etwa  Xj 
ganz  an  seiner  Stelle  lassen  kann;  denn  jeder  Vertauschung  von  x 
mit  einem  andern  Buchstaben  kann  man  eine  Vertauschuug  der  übri- 
gen Buchstaben  unter  sich  zuordnen,  in  Folge  deren  der  ursjDrüng- 
liche  Werth  des  Doppel  Verhältnisses  wiederkehrt. 

Die  von  einander  verschiedenen  AV^erthe  des  Doppelverhältnisses 
erhält  man  also,  indem  man  in  X  die  Buchstaben  y,z,t  permutirt; 
deren  giebt  es  also  höchstens  sechs,  und  wirklich  zeigt  sich  es,  dass 
alle  diese  sechs  Werthe  von  einander  im  Allgemeinen  verschieden  sind. 

Vertauscht  man  t  mit  z,  so  geht  A  in 

(xz)  (ijt)      A 

über.     Vertauscht  man  dagegen  y.  mit  z ,   und  beachtet  die  Identität, 
(IV)  §  15.,  statt  deren  man  schreiben  kann: 

{xy){st)  +  {xt)ii)g)  =  (xz)(iit), 

SO  zeigt  sich,  dass  l  in 

{xy){zt)     {xt){yz)-{xz){yt\ 


(xt)  {yz)  {xf)  (]jz) 


1-A 


übergeht.  Jedem  Werthe  A  des  Doppelverhältnisses  entsprechen  also 
zwei  andere  Werthe  -j  und  1  — A,  daher  auch,  indem  man  eine  dieser 
Grössen  an  Stelle  von  A  setzt: 

1 i-  =  — , —  und 


A  A  1-A' 

endlich   indem  man  wieder  eine  dieser  Grössen  an  Stelle  von  A  setzt, 

der   Werth  ^j j .       Die     sechs     zusammengehörigen     Werthe     eines 

Doppel  Verhältnisses  sind  also,   wenn  einer  derselben  A  genannt  wird: 


60  Zweiter  Abschnitt.    Die  geonietrisclie  Interpretation 

Diese  Werthe  sind  im  Allgemeinen  sämmtlicli  von  einander  ver- 
schieden. Nur  in  folgenden  Fällen  können  zwei  einander  gleich  wer- 
den, und  demnach  besonders  ausgezeichnete  Werthe  erhalten: 

1.  yl  =  -y,   A  =  l.     In   diesem   Falle   müssen   zwei   Elemente   den 

anderen  beiden  gegenüber  das  nämliche  Abstandsverhältniss  haben, 
also  zusammenfallen.  Die  übrigen  Werthe  des  Doppelverhältnisses 
sind  0  und  oc . 

2.  A  =  y ,  A  =  —  1 .     In  diesem  Falle  müssen  zwei  Elemente  den 

anderen  beiden  gegenüber  gleiche  aber  entgegengesetzte  Abstandsver- 
hältnisse haben.  Man  nennt  die  vier  Elemente  dann  harmonisch; 
bei  ihnen  ist  eine  Zerlegung  in  zwei  Paare  (zugeordnete  Elemente) 
ausgezeichnet,  welche  eben  das  Doppelverhältniss  —  1  liefert.  Die 
anderen   Werthe  des  Doppelverhältnisses  sind  2  und  -^. 

l_ 
A-1 


Die  Vergleichung   von   l   mit  \  —  l   und  mit  - — -  giebt    nichts 


Neues.     Dagegen  hat  man  als  dritten  ausgezeichneten  Fall: 

3.    A  =  - —     oder  A  =  — - — ,    A'^  —  A  +  1  =  0.      In    diesem    Falle 
L  —  A  /i 

ist  A  eine  imaginäre  dritte  Wurzel  aus  —  1,  und  die  drei  anderen 
Werthe  des  Doppelverhältnisses  sind  gleich  der  conjugirten  imaginären 
dritten  Wurzel  aus  —  1.  Dieser  Fall  ist  von  den  vorigen  charakte- 
ristisch unterschieden,  indem  dort  dreimal  zwei,  hier  zweimal  drei 
Doppelverhältnisse  gleich  werden.  Man  nennt  in  diesem  Fall  die  vier 
Elemente  ä  q  u  i  a n  h  a  r  m  o  n  i  s  c  h. 

In  allen  anderen  Fällen  sind  sämmtliche  sechs  Werthe  des  Doppel- 
verhältnisses von  einander  verschieden. 


§  22.  Projectivische  Gebilde. 

Wir  können  nun  mit  Hilfe  des  Begriffs  eines  Doppelverhältnisses 
der  linearen  Substitution  eine  von  der  vorigen  abweichende  geo- 
metrische Deutung  geben,  welche  einerseits  mit  den  Grundlagen  der 
synthetischen  und  analytischen  Geometrie  zusammenhängt,  andererseits 
von  der  in  §  19.  gegebenen  Definition  einer  Invariante  oder  Cova- 
riante  ausgeht,  dass  sie,  gleich  Null  gesetzt,  eine  Relation  zwischen 
Doppelverhältnissen  bedeutet. 

Wenn  man  durch  die  Punkte  einer  Geraden  die  Strahlen  eines 
Strahlbüschels  legt,  und  jeden  Strahl  dem  auf  ihm  liegenden  Punkte 
der   Geraden  zuordnet,    so   nennt   man  Büschel  und  Punktreihe 


algebraischer  Fornion.  —  §§21,  22.  Q\ 

perspectiviscli  gelegen^  und  abgesehen  von  dieser  Lage,  nur 
rücksichtlich  der  Zuordnung  und  der  Fähigkeit,  bei  solcher  Zuordnung 
in  perspectivische  Lage  gebracht  werden  zu  können,  projeetivisch. 

Nach  §  17.  sind  die  Abstaudsverhältnisse  entsprechender  Elemente 
dabei  nur  um  einen  constanten  Factor  verschieden.  Bei  Doppelver- 
hältnissen fällt  dieser  auch  noch  fort,  und  man  hat  also  den  Satz: 

Doppelverhältnisse  entsprechender  Elemente 
in  einem  Büschel  und  einer  Punktreihe,  welche  pro- 
jeetivisch sind,  haben  denselben  Werth. 

Man  nennt  nun  auch  zwei  Punktreihen  projeetivisch  und 
perspectiviscli  gelegen,  welche  dadurch  entstehen,  dass  zwei  ver- 
schiedene Gerade  mit  demselben  Strahlbüschel  geschnitten,  und 
die  auf  demselben  Strahle  liegenden  Punkte  einander  zugeordnet 
werden.  Da  nun  das  Doppelverhältniss  von  vier  Punkten  der  einen 
Reihe,  sowie  das  der  entsprechenden  der  audern  dem  Doppelverhält- 
nisse der  durch  sie  gehenden  Geraden  des  Büschels  gleich  sind ,  so  hat 
man  den  Satz: 

Doppel  Verhältnisse  entsprechender  Punkte  zweier 
projectivischen  Punktreiheii   sind    einander   gleich. 

Ebenso  nennt  man  zwei  Büschel  projeetivisch  und  per- 
spectiviscli gelegen,  wenn  ihre  zugeordneten  Strahlen  sich  auf 
einer  Geraden,  also  in  den  einzelnen  Punkten  einer  Punktreihe  schnei- 
den. Auch  hier  ist  demnach  das  Doppelverhältniss  von  vier  Strahlen 
des  einen  Büschels  und  das  der  entsprechenden  vier  Strahlen  des  an- 
dern Büschels  gleich  dem  Doppelverhältnisse  der  zugehörigen  vier 
Punkte  der  Punktreihe.  Und  demnach  hat  man  endlich  auch  den  Satz : 
Doppelverhältnisse  entsprechender  Strahlen 
zweier  projectivischen  Büschel  sind  einander  gleich. 

Man  kann  aber  umgekehrt  die  gegenseitige  Beziehung  zweier  Ge- 
bilde, seien  es  Punktreiheii,  oder  Strahlbüschel,  oder  eines  und  das 
andere,  dadurch  definiren,  dass  man  als  projeetivisch  zwei 
Gebilde  bezeichnet,  deren  Elemente  einander  eindeutig 
so  zugeordnet  sind,  dass  die  Doppelverhältnisse  ent- 
sprechender Quadrupel  einander  gleich  sind.  Es  ist  zu  zei- 
gen, dass  diese  Definition  überhaupt  möglich  ist,  also  auf  keine 
Widersprüche  führt,  und  zweitens,  dass  sie  mit  der  vorigen  überein- 
stimmt, und  dass  also  zwei  so  definirte  projectivische  Ge- 
bilde stets  in  perspectivische  Lage  gebracht  werden  kön- 
nen.    Hierzu  führen  die  folgenden  beiden  Hilfssätze: 

1.  Sind  X,  ?/,  2,  t,  II  fünf  Elemente  eines  Gebildes,  so 
ist  ein  Doppelverhältniss  zw^ischen  Xj  y,  t,  u  gleich  dem 
Producte  zw^eier  Doppelverhältnisse,  deren  eines  aus  x,  y^ 
Zj  tj  eines  aus  x,  ?/,  ^,  ii  gebildet  ist. 


()2  Zweiter  Absclmitt,     Die  geometrische  Interpretation 

Es  ist  nämlich  offenbar: 

(xt)      {xt)     (xz) 

(xn)      {xz)  '  {xu) ' 
(yu)     (yz)     ijjiüj 

2.  Sind  drei  Elemente  eines  Gebildes  und  die  Art^  wie 
sie  bei  der  Bildung  eines  Doppelverliältnisses  benutzt 
werden  sollen,  gegeben,  so  entspricht  jedem  Werth  des 
DoppelverhLlltnisses  nur  noch  ein  Element  des  Gebildes. 

In  der  That  ist  die  Gleichung 

{xt) 

{yt)     _; 

{xzf-  ^ 

wenn   darin   X   und    die  Elemente   x,  y,  0  gegeben  sind,  eine  lineare 

Gleichung  zur  Bestimmung  von  ^  ,    sie  giebt  also  nur  einen  Werth 

dieses  Verhältnisses,  und  deainach  nur  ein  Element  des  Gebildes. 

Wenden  wir  diese  Sätze  jetzt  an.  In  zwei  Gebilden,  welche 
einander  eindeutig  zugeordnet  werden  sollen,  mögen 

X,  y,  z 

beliebig  gewählte  entsprechende  Elemente  bedeuten;  wobei  noch  die 
Art  und  Weise  der  Interpretation  der  Werthepaare  in  beiden  Gebil- 
den beliebig  angenommen  werden  kann.  Zwei  andere  Elemente  t, 
%  sind  dann  durch  die  Gleichheit  der  Doppelverhältnisse 

/ix  [yz)^{^]x) 

^^  [ooz)      iU) 

einander   eindeutig   zugeordnet,    indem    nach   Satz   2.  jedem   Werthe- 

T  t 

paare   —  nur  ein  Werthepaar  -^  entspricht  und  umgekehrt. 

.Aber  ordnen  wir  vermöge  der  Gleichung  (1)  jedem  Element  t 
des  einen  Gebildes  ein  Element  t  des  andern  durch  die  Bedingung 
zu,  dass  das  Doppelverhältniss  des  einen  mit  x,  y,  0  dem  'des  andern 
mit  §,  rj,  ^  gleich  sein  solle,  so  ist  auch  das  Doppelverhältniss  von 
irgend  vier  Elementen  des  einen  Gebildes  dem  der  entsprechenden 
vier  Elemente  des  andern  Gebildes  gleich.    Denn  nach  Satz  1.  besteht 


algebraischer  Formen.  —  §  22.  63 

die  Gleichheit  der  Doppelverliältnisse  noch,  wenn  man  eines  der  ur- 
sprünglichen Elementenpaare  Xj  I;  ijy  Ti]\  z,  5  durch  irgend  ein  neues, 
der  Gleichung  (l)  genügendes  Elementenpaar  ersetzt;  demnach  auch 
weiter,  wenn  man  ein  zweites  Paar  ersetzt  u.  s.  w.;  sie  besteht  also 
auch  für  irgend  vier  Paare  entsprechender  Elemente. 

Hierdurch  ist  nachgewiesen,  dass  ein  Widerspruch  nicht  eintritt, 
wenn  man  die  Forderung  stellt,  dass  die  Elemente  eines  Gebildes 
denen  des  andern  eindeutig  so  entsprechen  sollen,  dass  die  Doppel- 
verhältnisse  entsprechender  Elemente  einander  gleich  sind. 

Zweitens  war  zu  zeigen,  dass  diese  Definition  mit  der  frühern 
Definition  projectivischer  Gebilde  übereinstimme,  dass  man  also  so 
auf  einander  bezogene  Gebilde  stets  in  perspectivische  Lage  bringen 
könne. 

Um  dies  nachzuweisen,  nehmen  wir  an,  es  sei  möglich,  drei  Ele- 
mentenpaare Xj  ^'^  y,  r]'^  Zj  t,  der  Gebilde  in  perspectivische  Lage  zu 
bringen.  Alsdann  kann  man  leicht  zeigen,  dass  auch  alle  anderen 
Paare  entsprechender  Elemente  sich  in  perspectivischer  Lage  befinden. 
Denn  betrachten  wir  ein  viertes  Element  x  des  eiuen  Gebildes;  die- 
sem entspricht  in  dem  andern  ein  Element  t,  welches  der  Voraus- 
setzung nach  der  Gleichung  (1)  genügt.  Zugleich  aber  giebt  es  ein 
bestimmtes,  Xjy,0  enthaltendes  Gebilde,  welches  mit  dem  |,  rj,  t,,x 
enthaltenden  perspectivisch  liegt,  und  in  welchem  die  Paare  x,  |;  ?/,  ^;; 
Zy  t,  der  vorausgesetzten  Construction  nach  einander  entsprechen.  In 
diesem  neuen  Gebilde  mag  dem  Element  r  ein  Element  t'  entsprechen; 
dann  hat  man  nach  dem  Frühern  auch  die  Gleichheit  der  Doppel- 
verhältnisse 

(xf)      (|r) 

(^)    (Ü)' 

und  daher,  wenn  man  (1)  vergleicht,  nach  Satz  2.  -/:=z:-^,  so  dass  das 

neue  Gebilde  mit  dem  einen  der  gegebenen  zusammenfällt.  Man  hat 
also  den  Satz: 

Zwei     projectivische     Gebilde     haben     perspec- 
tivische Lage,  sobald    drei   entsprechende  Elemen- 
tenpaare sich  in  perspectivischer  Lage  befinden. 
Es  bleibt  also  nur  noch  übrig  zu  zeigen,   wie  man  jedesmal  drei 
Elementenpaare  in  perspectivische  Lage  bringen  kann.     Hierbei  sind 
drei  Fälle  zu  unterscheiden. 

1.  Sind  beide  Gebilde  Punktreihen,  so  lege  man  die  Geraden  so 
auf  einander,  dass  zwei  entsprechende  Punkte,  etwa  x,  ?,  auf  ein- 
ander fallen.     Dann  treffen  sich  die  Verbindungslinien  yj],  zt,  in  einem 


64  Zweiter  Abschnitt.     Die  geometrische  Interpretation. 

Punkte  0,  von  welchem  drei  entsprechende  Punkte  enthaltende  Strah- 
len oxiyy  oyTj,  ozt,  ausgehen.  Diese  drei  Paare  liegen  also  in  der 
That  perspectivisch. 

2.  Sind  beide  Gebilde  Strahlbüschel  ^  so  lege  man  dieselben  so^ 
dass  zwei  entsprechende  Geraden,  etwa  x,  ^,  zusammenfallen.  Dann 
schneiden  sich  y^  rj  einerseits  und  ^,  g  andererseits  in  zwei  Punkten, 
deren  Verbindungslinie  eine  Gerade  o  sei.  Auf  dieser  Geraden  treffen 
sich  die  Elementenpaare  x,  ^;  ^,  ^;  0,  t,  und  diese  drei  Paare  haben 
also  perspectivische  Lage. 

3.  Ist  eine  Punktreihe  auf  einen  Strahlbüschel  perspectivisch  be- 
zogen, so  muss  in  der  perspectivischen  Lage  jeder  Strahl  durch  den 
entsprechenden  Punkt  gehen.  Sind  nun  x,  y,  s  drei  Punkte,  ^,  i^,  ^ 
die  entsprechenden  Strahlen,  so  beschreibt  man  etwa  über  der  Strecke 
x,  y  als  Sehne  einen  Bogen,  welcher  den  Winkel  von  |  gegen  rj  als 
Peripheriewinkel  enthält,  und  ebenso  über  y,  0  als  Sehne  einen  Bo- 
gen, welcher  den  Winkel  von  tj  gegen  t,  als  Peripheriewinkel  enthält. 
Der  Schnittpunkt  beider  Bogen,  o,  mit  x,  y,  z  verbunden,  liefert 
dann  Strahlen,  welche  dieselben  Winkel  wie  §,  i^,  ^  gegen  einander 
bilden,  und  also  nur  eine  congruente  Verschiebung  dieser  Strahlen 
sind.     Li  dieser  Lage  sind  %^  n]^  t,  tä\.  x,  y^  z  perspectivisch. 


§  23.    Zusammenhang  der  Projectivität  mit  den  linearen 
Substitutionen. 

Diese  geometrischen  Beziehungen,  welche  zunächst  nur  für  reelle 
Elemente  stattfinden ,  kann  man  fortbestehen  lassen  für  beliebige  ima- 
ginäre Elemente,  indem  man  die  algebraische  Beziehung  dabei  auf- 
recht erhält. 

Die  algebraische  Relation  zwischen  den  entsprechenden  Elementen- 
paaren projectivischer  Gebilde  ist  durch  die  Gleichung  (1)  des  vorigen 
Paragraphen  ausgedrückt,  in  welcher  ^^,  t.^  einerseits,  r^,  %,,  andererseits 
die  Veränderlichen  darstellen.  Diese  Beziehung  ist  linear  für  beide 
Arten  von  Veränderlichen.  Ich  werde  zeigen,  dass  sie  die  aligemeinste 
lineare  Beziehung  ist,  und  demnach  die  allgemeine  lineare  Substitu- 
tion vertritt.  Zu  diesem  Zwecke  brauchen  wir  nur  die  Formel  (1) 
in  geeigneter  Weise  zu  specialisiren ;  stellt  sie  dann  schon  die  all- 
gemeinste lineare  Substitution  dar,  so  ist  dieses  mit  der  Formel  (1) 
selbst  um  so  mehr  der  Fall. 

Nehmen   wir   an,    es    entsprechen   den   Werthen    von  j  folgende 

Werthe  der  t: 


algebraischer  Formen.  —  §§  23,  24.  65 


t,      z, 

t,     z. 

T,=0, 

T,  =  0    , 

r,  =  T2. 

Dies  lieisst  nichts  anderes,  als  dass  li  =  0,  ??2  =  ^;  ii^ti-  ^^' 
durch  aber  verwandelt  die  Formel  (1)  sich  in  folgende: 

T,     {xz)' (yt) 

Diese  Formel  stellt  die  allgemeinste  lineare  Transformation  dar,  da 

üie  Xj  y  beliebige  Grössen  sind  (deren  Determinante  nur  nicht  verschwin- 

(ii  z\ 
den   darf ) ,    während  7^  weo^en  der  darin  enthaltenen  Grössen  z  eben- 

^ '  {xz)       ^ 

falls  noch  einen  beliebigen  Coefficienten  bedeutet. 

Man  kann  daher  jetzt  die  lineare  Substitution  als  die 
algebraische  Beziehung  projectivischer  Gebilde  auffassen; 
und  die  Bedingung  der  Projectivität  ist  in  der  That,  wie  man  aus 
dem  Obigen  sieht,  mit  dem  linearen  Zusammenhange  entsprechender 
Elemente  völlig  identisch. 

Endlich  drückt  also  eine  Invariante  oder  Covariante,  gleich  Null 
gesetzt,  stets  eine  projectivische  Eigenschaft  der  dabei  auftretenden 
Elemente,  d.  h.  eine  solche  aus,  welche,  wenn  man  ein  mit  dem 
ursprünglich  benutzten  Gebilde  projectivisches  construirt,  den  ent- 
sprechenden Elementen  des  neuen  Gebildes,  die  algebraisch  mit  den 
ersten  linear  zusammenhängen,  erhalten  bleibt.  Andererseits  muss 
jede  solche  projectivische  Eigenschaft  sich  durch  eine  gleich  Null  ge- 
setzte Invariante  oder  Covariante  ausdrücken,  da  sie  für  lineare  Sub- 
stitutionen ungeändert  bleibt.  Und  so  kann  man  endlich  den  Satz 
aussprechen : 

Invarianten  und  Covarianten,  gleich  Null  ge- 
setzt, liefern  ausschliesslich  und  vollständig  alle 
diejenigen  Gleichungen,  Avelche  projectivische  Be- 
ziehungen zwischen  Elemeiiten  von  Punktreiheu, 
bez.  Strahlbüscheln  darstellen. 


§  24.    Tcreinigrt  gelegene  projectivische  Punktreiheu  und 
Strahlbüschel, 

Wenn  in  §  18.  die  allgemeinen  Formeln  der  linearen  Substitution 
aufgefasst  werden  konnten  als  Darstellung  desselben  Punktes  bez. 
Strahles  mit  Hilfe  verschiedener  Grundelemente,  so  lässt  uns  das  Vor- 
hergehende eine  gewissermassen  entgegengesetzte  Interpretation  jener 

Clebsch,  Theorie  der  biuären  algebr.  Formen,  O, 


ßß  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrische  tnterpretation 

Formeln  aufstellen,  in  welcher,  bezogen  auf  dieselben  Grundelemente, 

^   und  —    zwei   verschiedene,    einander   entsprechende  Elemente    des 

betrachteten  Gebildes  bedeuten.  Zu  dieser  Vorstellung  gelangen  wir, 
wenn  wir  zwei  gleichartige  Gebilde,  also  zwei  Punktreihen  oder 
zwei  Strahlbüschel,  welche  projectivisch  auf  einander  bezogen  sind 
und  welche  wir  früher  immer  als  getrennte  Gebilde  auffassten,  jetzt 
gewissermassen  vereinigen,  d.  h.  die  beiden  Punktreihen  uns  auf  der- 
selben Linie,  bez.  die  beiden  Strahlbüschel  mit  gemeinsamem  Scheitel 
vorstellen.  In  einem  solchen  Gebilde  hat  dann  jedes  Element  eine  dop- 
pelte Bedeutung,  indem  es  als  dem  einen  oder  als  dem  andern  der  ver- 
einigt liegenden  Gebilde  zugehörig  aufgefasst  werden  kann.  Bezeichnen 
wir  ein  Element,  sofern  es  dem  einen  Gebilde  zugezählt  wird,  durch 
x^,  X2,  sofern  es  dem  andern  angehört,  durch  ^^,  ^3.  Ein  Element 
Jjlg  ist  einem  anderen  Element  x^^x^  zugeordnet  vermöge  einer 
linearen  Substitution,  d.  h.  vermöge  einer  Formel,  welche  linear  für 
die  t,  und  linear  für  die  x  ist,  vermöge  einer  Formel  also,  welche 
durch  die  Gleichung 

(1)  f=  %i  x^  Si  +  ajta^i  l^  +  a,^  x,^  l^  -f  ^^22^2  ?2  =  0 

dargestellt  wird.  Als  Substitution  muss  diese  Gleichung  noch  der 
Bedingung  genügen,  dass,  wenn  man  etwa  die  |  linearen  Functionen 
der  X  dieser  Gleichung  gemäss  gleich  oder  proportional  setzt,  die  De- 
terminante 

der  linearen  Functionen  nicht  verschwindet.  Dies  hätte  auch  aus 
folgender  Erwägung  keinen  Sinn.  Es  würde  nämlich,  wenn  r  —  O 
wäre,  möglich  sein,  solche  Zahlen  cc^^a.^ß^ß.^  zu  bestimmen,  dass 

«^11  =  «1/^1         «12  =  ^1/^2 

wäre,  Gleichungen,  von  denen  wegen  r  =  0  die  letzte  eine  Folge 
der  drei  ersten  ist,  während  die  ersten  an  und  für  sich  noch  keine 
Bedingung  zwischen  den  a  nach  sich  ziehen,  sondern  durch  pas- 
sende Wahl  der  a,  ß  immer  erfüllt  werden  können.  Die  Gleichung 
/'=0  aber  würde  dann  in 

(«1  ^^  -f  a.,  x.^)  (ß,  i,  +  ß,  go)  =  0 

übergehen,  d.  h.  sie  würde  keinen  Zusammenhang  zwischen  den  x 
und  den  ^  mehr  aussagen. 

In  der  Gleicbung  1)    hat  man  einen  jener  Fälle   vor   sich,   deren 
in   §  14.   Erwähnung  geschah,    wo   nämlich   schon   die   ursprüngliche 


algebraischer  Formen.  —  §  24.  67 

Form  mehrere  Reihen  von  YerHnderlichen ,  jede  in  homogener  Weise, 
enthalt. 

Die  zunächst  liegende  Aufgabe  besteht  für  die  gegenwärtige  Un- 
tersuchung darin,  diejenigen  Elementenpaare  J?  ^  aufzusuchen,  welche 
sich  zu  einem  Elemente  vereinigen,  und  in  welchen  also  ein  Element, 
als  einem  der  vereinigten  Gebilde  angehörig,  sich  selbst,  als  dem 
andern  angehörig,  entspricht.  Man  nennt  diese  Elemente  Doppel- 
punkte, bez.  Doppelstrahlen  der  vereinigt  gelegenen  projectivi- 
sehen  Reihen,  bez.  Büschel. 

Man  findet  diese  Doppelelemente,   indem  man  diejenigen  Werthe 

X  H  .        .  . 

—  sucht,   welche  den  entsprechenden  ^    gleich  sind,  also  indem  man 

in  f=  0  g^  und  l^  ^^^  ^i  ^^^^  ^'-2  proportional  setzt.  Es  entsteht  dann 
eine  quadratische  Gleichung 

(2)  (p  =  a,^x,^  +  («12  +  «21)  ^1^2  +  %2^2"  =  ^; 

es  giebt  also  im  Allgemeinen  bei  zwei  vereinigten  Gebilden  zwei 
Doppelelemente,  welche  gefunden  werden,  indem  man  die  qua- 
dratische Gleichung  q)  =  0  auflöst. 

Die  Function  cp  ist  eine  Bildung,  wie  sie  in  den  Betrachtungen 
des  §  7.  durch  Df)  bezeichnet  wurde: 

(p  =  X^-;^   +X.^~ 

Mit  Hilfe  derselben  nimmt  nach  §  7.  (6)  f  die  Gestalt  an: 

wo 

(4)  1  =  ''-^-''- 


2 

eine  Invariante  von  /"  sein  muss,  da  alle  anderen  Theile  der  Gleichung 
(3)  die  Invarianteneigenschaft  besitzen  (vergl.  §  14.  am  Ende). 

Nach  §  4.  sind  die  Covarianten  und  Invarianten  von  f  mit  denen 
der  quadratischen  Function  cp  identisch,  nur  dass  die  Invariante  h  noch 
dazutritt.  Die  w^eiterhin  auseinanderzusetzende  Theorie  der  quadra- 
tischen Formen  wird  lehren,  dass  sie  nur  eine  Invariante  besitzen, 
welche  schon  in  §  2.  in  den  Beispielen  entwickelt  ist  und  welche 
hier  den  Ausdruck  hat: 


(5,  j^a„a,,-C^J- 


Denken  wir  uns  nun  cp  in  seine  beiden  linearen  Factoren  zerlegt. 
Es  sind  dabei  drei  Fälle  zu  unterscheiden. 

5* 


QS  Zweiter  Abschnitt.     Die  geometrische  Interpretation 

1.  Die  beiden  linearen  Factoren  von  (p  sind  verschieden;  es  giebt 
also  wirklich  zwei  Doppelelemente  der  vereinigten  Gebilde,  mögen  sie 
nun  reell  oder  imaginär  sein.     Setzt  man  in  diesem  Falle 

so  findet  man  durch  Vergleichung  der  Coefficienten : 

F2  '12  —  "^22 
Hierzu  tritt  noch  die  Gleichung,  welche  man  aus  diesen  bildet: 

i>i  ^2 -^iJÖ2  =  ?^K2+^2i)'-4fl^ii  0^22^2/^; 
und  man  kann  also  die  vier  Gleichungen  ansetzen: 


Pl 


q2=^^^^-^'   +V-1      P2q-2=<^22, 


aus   denen   man,   wenn  etwa  einer  der  Coefficienten  Pj  q  beliebig  an- 
genommen wird,  die  übrigen  sofort  berechnet. 
Da  (p=p-^q^y  so  hat  man 

ferner 

p^  qi-p^  qx  =  ipq)  {x^)  =  2  {xi)  y^i, 

und  es  nimmt  daher  f  die  Form  an: 

k 


f=  i    I  (iV  q^  +P^  q.r)  +  y^^  {P.r  q^  -  P^  q.)  | 


Führt  man  also  die  Doppelelemente  j>  =  0,  q=^{)  als  neue  Grund- 
elemente ein  mit  Hilfe  der  linearen  Substitution: 

^1  =Px 

so  dass  dann  zugleich  auch 

^j=PM 

^2  —  q^y 

so  hat  man  die  tran>sformirte  Form  von  /: 


algebr.iischer  Fonnen.  —  §  24.  69 

Auf  diese  Form  kaun  man  also,  indem  man  die  Doppel- 
elemente als  Grundelemente  einführt,  die  Function  f 
immer  bringen,  sobald  die  beiden  linearen  Factoren  von 
cp  verschieden  sind. 

Die  Form  (6)  gestattet  es  nun  in  sehr  einfacher  Weise  zu  jedem 
gegebeneu  Elemente,  als  dem  einen  Gebilde  angehörig,  das  ent- 
sprechende des  andern  zu  finden.  Betrachtet  man  ein  Element,  für 
welches 

(7)  J  =  A, 

so  hat  man  aus  /"=0  für  das  entsprechende  Element  den  Ausdruck 

^^  ^2        k-y-i 

Bemerken  wir  nun,  dass  nach  §  21.  der  Ausdruck 


X. 


das  Doppelverhältniss  zwischen  den  beiden  Doppelelementen  einerseits 
und  zwei  entsprechenden  Elementen  andererseits  ist,  so  können  wir 
den  Satz  aussprechen: 

Das  Doppelverhältniss  zwischen  den  Doppel- 
elementen und  zwei  entsprechenden  Elementen  der 
beiden  Gebilde  ist  eine  Constante,  und  zwar  drückt 
sich  dieselbe  durch  die  Invarianten  Ä;,  l  in  der 
Form  aus 

Man  kann  nun  aus  zwei  vereinigten  projectivischen  Gebilden  eine 
im  Allgemeinen  unendlich  grosse  Reihe  weiterer  mit  ihnen  vereinigter 
und  projectivischer  Gebilde  durch  die  folgende  Bemerkung  ableiten. 

Zu  einem  Elemente 

X,- 

der  einen  Reihe  gehört  ein  Element 


^1    ,  i'-^y-i 


M-^ 


jc-y-i 


70  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrisclie  Interpretation 

der   andern.     Aber   dieses   letztere   ist  wieder  ein  Element  des   ersten 
Gebildes,  und  wird  als  solches  durch  die  Formel 

x,-  'h-y-v 

darzustellen    sein.      Demselben    gehört    ein   Element    des   zweiten   zu, 
welches  durch  die  Formel  gegeben  ist: 

und  man  kann  dieses  Element  auch  wieder  als  dem  Elemente 

zugeordnet  auffassen.  Bezeichnet  man  die  ursprüngliche  Art  der 
Zuordnung  als  erste,  die  neue  als  zweite  Zuordnung,  so  erhält  man 
durch  Fortsetzung  des  Processes  eine  3*^,  4*®  .  .  .  w*°  Zuordnung;  und 
das  erste  Gebilde  ist  mit  dem  entsprechenden  Gebilde  der  ^^*®"  Zu- 
ordnung durch  die  Gleichungen  verbunden: 
X,_ 

^2  '\]c-j/-lJ' 

Auch  die  hierdurch  gegebenen  Gebilde  sind  projectivisch ;  sie 
besitzen  dieselben  Doppelelemente  wie  die  ursprünglichen,  und  sind 
dadurch  charakterisirt,  dass  das  Doppelverhältniss  zwischen  den  Doppel- 
elementen und  irgend  zwei  entsprechenden  durch  die  Grösse 

gegeben  ist. 

Man  kann  aber  auch  rückwärts  die  Frage  stellen,  welches  Element 
des  ersten  Gebildes  auf  ein  Element  des  zweiten  führt,  welches  mit 
einem  gegebenen  Element  des  ersten  Gebildes 

zusammenfällt.     Bezeichnet  man   dieses  Element  als  dem  zweiten  Ge- 
bilde angehörig  durch 

Ml   __    3 
TT  —  ^  j 
'-^2 

so  ist  es  aus  dem  Gebilde  der  ersten  Reihe 

X,      'k  +  y-i  ' 


algebraischer  Formen.  —  §  24.  71 

entsprungen.  Bezeichnen  wir  dieses  wieder  als  Element  des  zweiten 
Gebildes 

1^2  'Jc+j/-l' 

so  ist  dasselbe  einem  Elemente  des  ersten  Gebildes 

.x,-^-\h+y-i) 

zugeordnet  u.  s.  w.  Es  entsteht  hier  eine  weitere  Reihe  projectivischer, 
mit  den  vorigen  vereinigt  liegender  Gebilde  ^  welche  als  Gebilde  der 
( — 1)*^°,  (—2)*^"  etc.  Zuordnung  aufgefasst  und  durch  die  Formeln 

S,__     (l  +  V-i 


'\]c-i/-lJ 


V- 

repräsentirt  werden  können.  Um  die  Reihe  zu  vervollständigen ,  kann 
man  als  Zuordnung  0*^^  Ordnung  den  Fall  auffassen,  in  welchem  jedes 
Element  sich  selbst  entspricht.  Die  Gesammtheit  aller  dieser 
projectivischen  Gebilde  mit  gemeinsamen  Doppelelemen- 
ten ist  also  durch  die  Formeln  (9)  dargestellt,  wenn  man  in 
denselben  der  Zahl  n  alle  Wert  he  von  —  co   bis  +oo  zut  heilt. 

Im  Allgemeinen  sind  diese  Gebilde,  wiewohl  unendlich  an  Zahl, 
doch  sämmtlich  verschieden.  Aber  es  kann  unendlich  oft  der  Fall 
eintreten,  dass  die  ganze  Reihe  der  Gebilde  in  eine  unendlich  grosse 
Anzahl  identischer  Cyclen  zerfällt,  deren  jeder  aus  einer  endlichen 
Zahl  von  Gebilden  besteht.  Dies  tritt  immer  und  nur  dann  ein,  wenn  der 
Werth  der  cbarakteristischen  Constante  eines  der  Gebilde  gleich  1  wird. 

Ist  z.  B.  

V- 

so  geht  die  n^^  Zuordnung  in  die  nullte  über,  das  System  der  pro- 
jectivischen Gebilde  umfasst  deren  nur  n,  und  die  ferneren  Zuord- 
nungen geben  nur  die  Wiederholung  früherer. 

Man  gelangt  also  zu  einer  Invariantenbeziehung,  sobald  man 
die  Forderung  stellt,  dass  der  Kreis  der  Gebilde  mit  n  derselben 
geschlossen   sein   soll.      Ist   s   eine  n^^  Wurzel   der    Einheit,    so    hat 


fk+y-i\"  . 


man  in  diesem  Falle 


also 


ic  +  y-i^^ 


1;  -  /- ; 


J.  ,  ,1+- 


72  Zweiter  Absclinitt.    Die  geometrische  Interpretation 

Der  Fall  £=1  ist  auszuschliessen,  denn  er  würde  auf  1  =  0  füh- 
ren, was  hier  überhaupt  ausgeschlossen  ist,  da  bei  1  =  0  die  Gleichung 
^  =  0  zwei   gleiche   lineare  Factoren    haben  würde.     Ferner   geben   s 

und   —  nichts   wesentlich  Verschiedenes,    nämlich    eine   Vertauschunff 

von  y—  l  mit  —  j/—  l,  was  nur  eine  Vertauschung  der  beiden  ursprüng- 
lichen Gebilde   bezeichnet.     Man   hat   also    bei   ungeradem   n  nur  auf 

/yi 1      

— 9—  Werthe    von    s    Rücksicht    zu   nehmen.     Aber   auch  von  diesen 

sind  eigentlich  nur  diejenigen  Fälle  zu  berücksichtigen,  in  denen  es 
nicht  eine  Potenz  m  von  s  giebt,  welche  niederer  als  die  ^^*®  ist,  und  für 
welche  £"*  schon  gleich  1.  Denn  in  solchen  Fällen  besteht  der  Cyclus 
der  Gebilde  nicht  aus  w,  sondern  nur  aus  m  verschiedenen  Gebilden, 
wo  dann  m  ein  Factor  von  n  ist. 

Aus  demselben  Grande  ist   bei   geradem  n  der  Fall  £  =  —  1  aus- 

fi 2 

zulassen,  sobald  ^^>2;  man  behält  also  — tt —  Werthe   von    e   übrig 


2 


'ö? 


unter  denen  wieder  diejenigen  auszuschliessen  sind,  für  welche  schon 
eine  niedrigere  Potenz  von  s  als  die  n*®  gleich  1  ist. 

Der  einfachste  Fall  ist  derjenige,  in  welchem  n=2,  und  also 
schon  die  zweite  Zuordnung  auf  das  erste  ursprüngliche  Gebilde  zurück- 
führt. In  diesem  Falle  entsprechen  immer  zwei  Elemente 
einander  wechselseitig,  so  dass  es  gleichgiltig  wird,  welches 
man  dem  einen,  welches  man  dem  anderen  Gebilde  zuzählt.  Diesen 
Fall  bezeichnet  man  als  den  Fall  der  Involution.  Da  £^=1,  aber 
£=1  ausgeschlossen  ist,  so  muss  £  =  —1  sein,  d.  h.  das  charakte- 
ristische Doppelverhältniss  geht  in  das  harmonische  über.  Die  In- 
volution ist  also  derjenige  Fall,  in  welchem  je  zwei  zu- 
sammengehörige Elemente  mit  den  Doppelelementen  ein 
harmonisches  System  bilden. 

Die  Invariantenbedingung  für  die  Involution  ist 

^  =  0, 
oder 

Bei  der  Involution  ist  also  die  gegebene  Form  f  die  Polare  einer 
quadratischen  Form. 

2.  Wir  kommen  jetzt  zu  dem  Falle  1  =  0,  wo  die  quadratische 
Gleichung  (p  =  0  zwei  gleiche  Factoren  hat,  also 

Pi'  =  (^ii,     PiP2=-~9  y     Pf  =  ^-22' 


algebraischer  Formen.  —  §  24.  73 

Die  Doppelelemente  fallen  hier  in  ein  einziges  Doppelelement 
zusammen.  Deswegen  bestimmen  sich  hier  nicht  mehr  zwei  natur- 
gemäss  bevorzugte  Graudelemente;  wir  nehmen  zum  Zweck  einer  ver- 
einfachenden linearen  Substitution  die  Formeln  an 

Xi  =  p^  x^  -^p.^  x.^  Si  =-lh  Si  +Ä>  ?2 

^2  =  Ö'l  ^1  +  ^2  ^2  A>  =  ^1  ?i  +  qo  ^2  y 

wo  die  q  beliebige  Grössen  sind;  es  wird  dadurch  der  Ort  der  ver- 
einigten Doppelelemente  als  das  eine  Grundelement  eingeführt,  wäh- 
rend das  andere  beliebig  bleibt.     Man  hat  sonach 

und  f  nimmt  die  Gestalt  an : 

Von   einer   charakteristischen   Constante  ist  hier  nicht   mehr  die 

Rede;    denn   da   die   q   beliebig   sind,    so  kann  die  Grösse  7 — r  jeden 

Werth  annehmen,  vorausgesetzt,  dass  h  nicht  verschwindet.  Aber 
zu  dieser  Voraussetzung  sind  wir  berechtigt;  denn  bei  Z;  =  0  würde 
sich  hier  /*  in  zwei  Factoren  auflösen,  was  von  vornherein  aus- 
geschlossen werden  musste.     Wir  können  also  immer 

{PQ) 
annehmen,  so  dass  man  erhält: 

f=X,3,  +  {X,S,-X,S,). 


Einem  Elemente 


entspricht  also  das  Element 


^2_ 


^1 


=  k 


Man  kann  hier  ebenso,  wie  oben,  Zuordnungen  positiver  und 
negativer  Ordnungen  bilden.  Aber  man  sieht  sogleich,  dass  dieselben 
aus  den  vorstehenden  Formeln  hervorgehen,  indem  man  statt  A  —  1  in 
der  zweiten  Formel  irgend  ein  Glied  der  Reihe 

...1+2,     A4-I,     A,     X-l,     k-2,    .. 

einführt.   So  erhält  man  eine  unendliche  Zahl  projectivischer  vereinigter 
Gebilde,    welche    sich  niemals   auf  eine   endliche,   periodisch   wieder- 


74  Zweiter  Abschnitt.    Die  geometrisclie  Interpretation 

kehrende  Zahl   reduciren  können.     Alle  haben  die  zusammenfallenden 
Doppelelemente  gemeinsam. 

3.  Endlich  kann  q)  überhaupt  identisch  verschwinden.    In  diesem 
Falle  reducirt  sich  /  auf 

d.  h.   die  beiden  gegebenen  Gebilde   fallen  Element   für  Element  zu- 
sammen. 


§  25.    Andere  Darstellung  vereinigter  projectivischer  Gebilde. 

Ein  anderer  Ausgangspunkt  für  die  Behandlung  der  projec- 
tivischen  Gebilde  wird  durch  die  Gleichungen  (7),  (8)  des  vorigen 
Paragraphen  gegeben.  Diese  Gleichungen  kann  man  als  besondere 
Fälle  der  beiden  Gleichungen 

ansehen,  die,  wenn  X  einen  veränderlichen  Parameter  darstellt,  Elemente- 
reihen bedeuten,  und  bei  welchen  Elemente  x',  |  einander  zugeordnet 
sind,  sobald  in  den  beiden  Gleichungen  (1)  A  denselben  Werth  hat. 
Man  kann  die  Gleichungen  (1)  leicht  auf  das  im  Vorigen  behan- 
delte Problem  zurückführen ,  indem  man  nur  A  aus  ihnen  eliminirt. 
Man  erhält  dann  zwischen  a-,  ^  die  Beziehung 

tta;  ft  —  kr  at  =  0, 

welche  von  der  Form  der  Gleichung  §  24.  (1)  ist.  An  Stelle  der 
Function  cp  tritt  der  Ausdruck 

(p  =  cix  ßx  —  ^x  O^X) 

und  die  Invariante  h  wird 

^  =  i[(«ft-(i«)]; 

ihr  Verschwinden  ist  die  Bedingung  der  Involution.  Bei  directer 
Behandlung  der  Gleichungen  (1)  würde  man  zunächst  die  Doppel- 
elemente bestimmen,  indem  man  die  §  den  x  gleich  setzte;  die  Eli- 
mination derselben  aus  (1)  giebt  dann  zur  Bestimmung  der  Doppel- 
elemente die  in  A  quadratische  Gleichung: 


0  = 


a^  +  A  ?>t     ^2  +  A  &2 1 
a^  +  lß^     «^  -h  A  ^2 1 

(aa)  +  l\{aß)^g)a)\-{-X^{hß\ 


Nehmen  wir  an,  die  beiden  Wurzeln  derselben  seien  verschieden, 
und  bezeichnen  wir  sie  durch  ^,  v. 


algebraischer  Fonnen.  —  §§  24,  25.  75 

Setzen  wir  dann: 

so  muss  man  auch  identisch 

^^  (^t  +  vß^^=c'qt 

haben,     wo    c,    c     Constante    sind.       Drückt     man     mittelst    dieser 
Gleichungen  a^,  hx,  ci^,  ßt  durch  ^^,  q,.,  p^j  qz  aus,  so  hat  man  die 
projectivischen  Gebilde  auf  die  Doppelelemente  bezogen ,  welche  durch 
_p^  =  0,  g'x  =  0  gegeben  sind. 
Aus  (2),  (3)  findet  sich 


_VP:c-iiqa. 

V  —  [L 

^'           v  —  ii' 

vcp^  —  ^cqz 
V  —  ^ 

und  indem  man   dies    in   die   Gleichungen   (1)   einführt,    hat  man  als 
neue  Gleichungen  der  Gebilde: 

li  —  X 

c     ii  —  X  ,. 

oder,  wenn  man  den  neuen  Parameter 


einführt : 

Px—         Qqx  =  0 

Gleichungen,  welche  von  den  Gleichungen  §  24.  (7),  (8)  nur  noch 
durch  die  Bezeichnung  verschieden  sind. 

Die  Darstellung  eines  Gebildes  in  der  Form 
(5)  «o:  +  A  b^r  =  0 

kann  auch  dadurch  mit  dem  Vorigen  in  Verbindung  gebracht  werden, 

P 
dass  man   an  Stelle  von  X  einen  Quotienten  -^  setzt;    die  Gleichung 

verbindet  dann  jeden  Punkt  x  mit  einem  entsprechenden  |,  und  die 
dadurch  entstehenden  Gebilde  sind  projectivisch.  Ich  bemerke  dies 
hier,  weil  damus   sofort  erhellt,  wie  man  das  Doppelverhältniss  von 


76  Zweiter  Abschnitt.     Die  geometrische  Interpretation 

vier  Elementen  eines  in  der  Form  (5)  gegebenen  Gebildes  auszudrücken 
hat.  Man  hat  nämlich  nur  das  Doppel verhältniss  aus  den  h,  und  den 
bei  den  drei  anderen  Elementen  auftretenden  Grössen  tj,  J,  t  zu 
bilden,  also  den  Ausdruck: 


int) 

Aber  diesem  Ausdruck  kann  man  die  Form  geben: 


«. 

^l 

s. 

■^2 

V- 

Si 

% 

U 

Sind  also  X,  ^,  v,  q  die  vier  Werthe  des  Parameters,  welche  in 
der  Darstellung  (4)  den  betrachteten  vier  Elementen  entsprechen, 
so  ist  auch 

^^-A        ^'-11        ^'-v        ^-o 

und    der  Ausdruck   für   das  Doppelverhältniss ,   in  Werthen   des   Para- 
meters ausgedrückt,  ist  also: 

A-v 

k  —  Q 


(6) 


a—  V 


a  —  Q 

ein   Ausdruck,   von   welchem   in  der  Folge  gelegentlich  Gebrauch  ge- 
macht werden  soll. 

In    den     Gleichungen    (4)    sind     q    und     Q  .  —    die   Parameter, 

0 

welche    zu    zwei    entsprechenden    Elementen    der    vereinigten    Reihen 

gehören;   den  Doppelelementen  entsprechen  die  Parameter   0   und    co. 

Bilden    wir    aus    diesen    vier    Grössen    das    Doppelverhältniss  (6),    so 

erhalten  wir 


^-0 

c 

c' 

CO 

c 

0 

1  -0 

c 

00 


algebraischer  Formen.  —  §  25.  77 


als  die  charakteristische  Constante  der  Beziehuuo-.    Sollen  die  Gebilde 
eine  Involution  ausmachen,  s 
also  durch  die  Gleichungen 


eine  Involution  ausmachen ,  so  muss  —  =  —  1  sein :  die  Involution  wird 

c  ' 


m  +  p  ^.-  =  0 

gegeben;    oder  je   zwei   Elementepaare   der  Involution  sind  durch  die 
quadratische  Gleichung 

(7)  Px'-^^^a--  =  0 

dargestellt. 


Dritter  Abschnitt. 

Resultanten    und    Discriminanten. 


§  26.    Resultanten  und  Discriminanten. 

Ein  sehr  allgemeines  Beispiel  von  Invarianten  liefern  die  Resul- 
tanten und  Discriminanten. 

Die  Resultante  zweier  Formen  f  und  9)  ist  diejenige  ganze 
Function  ihrer  Coefficienten ,  welche  verschwinden  muss,  damit  die 
Gleichungen  f=0,  q)  =  0  eine  gemeinsame  Wurzel  haben;  oder  geo- 
metrisch, damit  ein  Punkt  der  zu  /'  gehörigen  Punktgruppe  mit  einem 
der  zu  9  gehörigen  zusammenfalle.  Man  bildet  diese  Bedingung  be- 
kanntlich auf  folgende  Weise  (vergl.  Baltzer,  Determ.  2.  Ajaü. 
§  11.):  Wenn  /"von  der  Ordnung  m,  cp  von  der  Ordnung  n  ist,  so 
bildet  man  auf  7^=  0,  g)  =  0  die  m  +  n  Gleichungen: 

^  ^    (p.x/^-^  =  0,  99.ri;/"-2^2  =  0,  (f  .Xj"'-^X2^  =  0,...(p.x^"'-^=0-, 
in  ihnen  betrachtet  man  die  m  +  n  Grössen 

/y.  ni-\-n — 1  /y  m  +  n — 2  /y^  ^  m-\-n — 3  /y>  2  ^  tfi4-n—l 

•A/-I        '  •        t/^i  2f  1  2    ?   *  *  *  2 

als  Unbekannte  linearer  Gleichungen,  und  eliminirt  dieselben,  indem 
man  die  Determinante  der  Gleichungen  (1)  verschwinden  lässt.  Diese 
Determinante  also  ist  die  Resultante  der  Gleichungen  f=0,  cp=^0 
oder  der  Formen  /und  9;  man  kann  dieselbe,  ohne  ihre  Bedeutung 
zu  modificireu,  höchstens  noch  am  einen  numerischen  Factor  ändern. 
Die  soeben  entwickelte  (Sylv  est  ersehe)  Methode  lehrt  sofort, 
dass  die  Resultante  vom  w*®"  Grade  in  den  Coefficienten  der  Form  m^^^ 
Ordnung  /,  vom  m^^^  Grade  in  den  Coefficienten  der  Form  n^^^  Ord- 
nung q)  ist.  Aber  übrigens  entspricht  die  gefundene  Form  der  Resul- 
tante keineswegs  den  Forderungen,  welche  die  Invariantentheorie  zu 
stellen  hat.  Diese  fordert  eine  möglichst  grosse  Leichtigkeit,  eine  In- 
variante als  solche  zu  erkennen,  sei  es  nun  durch  eine  symbolische 
Darstellung  oder  auf  andere  Weise;  und  das  einfachste  Mittel,  welches 


I)ritter  Abschnitt.    Resultanten  und  üiscriminanten.  ^  §  26,  79 

man  besitzt,  um  diese  Leichtigkeit  zu  erhöhen,  besteht  darin,  dass 
man  eine  solche  relativ  complicirte  Bildung,  wie  die  angegebene,  nicht 
an  und  für  sich,  bereits  fertig,  betrachtet,  sondern  dass  man  sie  aus 
niederen  Bildungen  allmälig  entstehen  lässt,  wobei  dann  die  Einführung 
von  Symbolen  niederer  Covarianten  das  Endresultat  in  einfacher  und 
übersichtlicher  Form  erscheinen  lässt. 

Für  den  Fall,  wo  beide  Formen  von  gleich  hohem  Grade  sind, 
besitzt  man  in  der  von  Cayley  gegebenen  Form  der  Bez out' sehen 
Eliminationsmethode  (a.  a.  0.  p.  108)  ein  Verfahren,  welches  dem  von 
der  Invariantentheorie  gesteckten  Ziele  schon  um  vieles  näher  kommt. 
Man  bemerkt  bei  diesem  Verfahren,  dass  der  Ausdruck 

/'  (^1 .  ^2)  ■  y  (i/i .  !/.>)  -  /"  (i/n  ?/2)  ■  y  (^'1  >  ^2) 
^1  y^  -  Vi  ^2  ' 

oder  kürzer 

(2)  Fi.,y)^fM^yznyh^,      ■ 

welcher  die  Division  verstattet,  immer  verschwindet,  sobald  /'(rr)  und 
q)  (x)  verschwinden,  welches  auch  die  Werthe  der  y  seien.  Ordnet 
man  daher  den  obigen,  für  die  x  und  die  y  symmetrischen  Ausdruck 
nach  den  y  und  x: 

(^)        ^^ca-  ^v^2"'  '"^  ^1^" yo''^'-'      {Cik=cki), 

so  müssen  die  Ausdrücke,  welche  die  Coefficienten  der  einzelnen  Po- 
tenzen der  y  bilden,  einzeln  verschwinden;  sobald  also  f{x)  =  0  und 
(p  [x)  =  0 ,  hat  man  die  n  Gleichungen 

2Ji  CioX,'x.^-^-^r=0 


ZiCi,n-XX^'X.^-'-'=0, 

und  daher,  indem  man  die  n  Grössen 

„n  —  1  „n  —  2/r.  ^  n  —  3,v.2  r,^  n  —  1 

aus  diesen  n  Gleichungen  wie  lineare  Unbekannte  eliminirt: 

(4)  2:  +  Coo  Cji   C22    ...   C„_  I  =  0. 

Die  Resultante   ist   also   hier   die  symmetrische  Determinante  von  nur 
?^-j- 1  Reihen,  welche  auf  der  linken  Seite  steht. 

Dass  die  Form  (3)  der  von  der  Invariantentheorie  geforderten  Ge- 
stalt   der  Resultante    näher  kommt  als  die  nach  der  erst  angeführten 


§0  Dritter  Absclinitt.    Resultanten 

Regel  gebildete,  liegt  nicht  sowohl  in  der  verminderten  Anzahl  von 
Reihen,  welche  die  Determinante  enthält,  als  in  dem  Umstände,  dass 
man  sich  einer  intermediären  Bildung  F  bedient,  um  aus  ihr  sodann 
die  Resultante  zu  bilden.  Die  Form  F  ist  eine  Covariante  mit  zwei 
Reihen  von  Veränderlichen  5  setzt  man  symbolisch 

so  ist 

oder,  wenn  man  bemerkt,  dass 

Cix  OCy  —  CCxCiy—  (^  «)  ipCy) 

ist  und  die  Division  ausführt: 

(5)  F  {X,  y)  =  [aa]  \  a^«-i  «/-  ^  +  a^«-^  «^«-2 .  a,  a,, 

An  diese  Form  knüpfen  sich  einige  Sätze,  welche  oft  von  Wich- 
tigkeit werden.  Die  Function  F  (x,  y)  verschwindet  immer,  sobald 
f  (x)  und  cp  {x)  verschwinden,  also  für  beliebige  Werthe  der  y.  Setzt 
man  nun  «/i=^i;  2/2  —  ^27  ^^  erhält  man 

F  {x,  x)  =  0  =  n  ,  {aa)  üjc'"-^  cca/"-^ . 

Aber  der  Ausdruck  rechts  ist  bis  auf  einen  numerischen  Factor 
die  Functionaldeterminante  von  f  und  (p]  diese  verschwindet  daher 
immer  für  dasselbe  Werthsystem,  für  welches  /"und  q)  verschwinden. 
Aber  noch  mehr :  Differenzirt  man  die  Gleichung  (5)  zuerst  nach  einem 
der  y  und  setzt  dann  y^  =  Xj^,  2/2  =  ^2;  ^^  muss  man  auch  noch  Null 
erhalten.     Nun  ergiebt  sich  dann  aber: 

{d.F{x,y)\  n.n—1,      .      „    ^      „    „, 

\  G  yi  J  y=x  A  •  ^ 

es  steht  rechts  der  DifiPerentialquotient  der  Functionaldeterminante 
nach  Xi,  multiplicirt  mit  einer  numerischen  Constante.  Daher  hat  man 
den  Satz  (vergl.  Salmon,  Lessons,  2^^  ed.,  p.  69.): 

Verschwinden  für  ein  Werthsystem  x^j  x.^  zwei 
Formen  /',  cp  von  gleicher  Ordnung,  so  verschwin- 
det für  dasselbe  auch  die  Functionaldeterminante 
von  f  und  (p  nebst  ihren  ersten  Differentialquo- 
tienten. 


und  Discriminanten.  —  §  26.  gl 

Man  kann  diesen  Satz  auch  aus  der  Entwickelung  ableiten,  welche 
die  Function  Fix^y)  nach  der  Formel  (6)  des  §  7.  annimmt.  Nach 
dieser  hat  man,  wenn  der  Kürze  wegen 

1^^  *  "-- =  (a  «)  a^"-i  of^"-i 
gesetzt  wird: 

Sind  z^y  s^  ^^^  ganz  beliebige  Grössen,  und  unterwirft  man  die 
Function  jP  dem  Prozesse 

€     .        d 

und  setzt  sodann  y^  =  x^y  y2~^2)  ^^  ergiebt  sich 

ein  Ausdruck,  der,  da  F  für  jeden  Werth  der  y  verschwindet,  für 
alle  Werthe  der  z  gleich  Null  sein  muss.  Dies  aber  ist  wieder  der 
obige  Satz. 

Der  erste  Theil  dieses  Satzes,  dass  nämlich  die  Functionaldeter- 
minante  selbst  verschwindet,  gilt  auch  noch,  wenn  die  Ordnungen 
von  /"und  cp  verschieden  sind.  In  diesem  Falle  wird,  abgesehen  von 
einem  numerischen  Factor,  die  Functionaldeterminante : 

daher,  wenn  ii^,  ti.^  beliebige  Grössen  sind,  also  Ux  als  von  Null  ver- 
schieden angenommen  werden  kann: 

D  .  n^  =  (a  ß)  Ua:  aj"  -  ^  ß^"  - ' 

=  [  (a  U)  ß^  —  (ß  U)  Gfor]  üa:"^  ~  '  ßx"  ~  ^ 

=  (p  .  {au)  ajc""-^  —  f.  (au)  ß.r"~* . 

Mit  (p  und Y  verschwindet  also  Z),  und  man  hat  den  Satz: 

Wenn  für  ein  bestimmtes  Werthepaar  a;^,  ^^  ^wei 
Formen  verschwinden,  so  verschwindet  für  dasselbe 
auch  ihre  Functionaldeterminante. 

Auch  diesen  Satz  kann  man  daraus  ableiten,  dass  ähnlich  wie  in 
dem  Falle,  wo  m  =  n,  eine  gewisse  Covariante  mit  zwei  Reihen  für 
alle  Werthe  der  Veränderlichen  der  einen  Reihe  verschwindet.  Man 
knüpft  dies  an  die  Ausdehnung  der  abgekürzten  Methode  der  Resul- 
tantenbildung auf  den  Fall,  in  welchem  die  Ordnungen  ungleich  sind. 
So  wie  für  m  =  n  die  Form 


F= 


aj"  ßy"  —   ßor"   «</" 


betrachtet  wurde,  so  kann  man  hier,  wenn  m  >  n,  die  Form 


Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen. 


82  Dritter  Abschnitt.     Resultanten 


(5) 


Clx     ^y  f^x  f^y    f^. 


{xy) 

einführen,*  welche,  sobald  das  Werthepaar  x^y  x^  den  Gleichungen 
/=0,  ^)~^  zugleich  genügt,  für  alle  Werthe  der  y  verschwinden 
muss.     Ist,  analog  wie  oben: 

f  —  wi  -—  1  li  =  n  —  \. 

F==  ^     ^   CikX,'x.,^-'-Uj^<y^^-^-\ 

so  zerfallt  die  Gleichung  jP=  0  in  die  folgenden  n  Gleichungen ,  welche 
die  X  zur  (w  —  1)*^"  Dimension  enthalten: 

,g.  EiCnX^^x^'''-i~^        =0 

^iCi^n-iX^^X^'^-i-^^O. 

Dieses  sind  n  Gleichungen  mit  den  m  linear  auftretenden  Grossen 

(n\  /v.  m  —  1  /v'  m  —  2/y>  rf  m  —  S/v^  2  rv>  m  —  \ 

\\ )  .X/j^  ,  t^j^  u/g  ^  .^i  .X/2  ;  •  •  •  ?    "^2 

Fügt  man  den  Gleichungen  (6)  die  m  —  n  Gleichungen 

(8)        rr^"*-"-!  9)  =  0,    x^-'^-'^x^  (p=^0, .  ..a;^™-«-'  cp  =  0 

hinzu,  so  kann  man  die  Grössen  (7)  aus  (6),  (8)  wie  lineare  Unbekannte 
eliminiren,  und  erhält  die  Resultante  von  /'=0,  (p  =  0  als  Determi- 
nante von  m  Reihen,  also  in  einer  der  früher  gegebenen  gegeuüber 
verkürzten  Form. 

Entwickelt  man  -F  nach  Potenzen  Yon  (xy)  nach  der  Formel  (6) 
des  §  7.,  und  bezeichnet  durch  ^  wieder  die  Form 

SO  erhält  man: 

F=  n .  ipj^-'^  ^y"-^  +  {xy) .  M. 

Da  diesmal  i^  nicht  mehr  symmetrisch  für  die  y  und  für  die  x 
ist,  so  fällt  das  mit  der  ersten  Potenz  von  {xy)  multiplicirte  Glied 
nicht  mehr  aus,  und  man  erhält  daher  nur,  indem  man  berücksichtigt, 
dass  F  für  alle  Werthe  der  y,  also  auch  für  y^x  verschwinden  muss: 

^^"'+«-2  =  0, 
was  der  oben  angegebene  Satz  ist.  — 

Der  Fall  der  Elimination  aus  zwei  Gleichungen  gleich  hoher  Ord- 
nung tritt  bei  der  Dis  er  im  in  ante  ein.  Die  Discriminante  ist  die- 
jenige ganze  Function  der  Coefficienten  einer  Form  /,  welche  ver- 
schwindet,  sobald  unter  den  linearen  Factoren  von  f  zwei   einander 


*   Vergl.  Gordan  im  3.  Bande  der  mathematischen  Annalen. 


und  Discriminanten.  —  §  26.  S3 

gleich  werden,  oder  geometrisch,  sobald  zwei  Elemente  der  zu  /  gehö- 
rigen Gruppe  zusammenfallen.  Wenn  aber  einer  der  in  f  auftretenden 
linearen  Factoren  doppelt  vorkommt,  so  ist  dieser  noch  Factor  der 
ersten  DiflPerentialquotienten  von  /";  mit  ihm  verschwinden  also  auch 
diese,  und  man  erhält  die  Bedingung  für  das  Auftreten  eines  Doppel- 
factors  in  f,  indem  man  aus  den  Gleichungen 

die  X  eliminirt  (vergl.  Baltzer,  Determ.  2.  Aufl.  p.  116.).  Es  sind  zwei 
Gleichungen  (w  —  1)*^^  Ordnung,  welche  man  vor  sich  hat;  die  linke 
Seite  der  Eliminationsgleichung,  die  Discriminante,  ist  also  vom 
(w  — 1)*"'  Grade  in  den  Coefficienten  der  ersten,  von  ebenso  hohem  in 
den  Coefficienten  der  zweiten  Gleichung  (9),  daher  im  Ganzen  vom 
Grade  2  (w  —  1)  in  den  Coefficienten  von  f. 

Will  man  für  diesen  Fall,  der  Cayley* sehen  Methode  ent- 
sprechend, die  Function  F  bilden,  so  muss  man  an  Stelle  der 
Functionen  f,  cp  des  Vorigen  die  Formen 

1     cf 


=  a,  .  a 


1       ^f^l.        7.    „-1 


setzen,  wo  symbolisch 
Es  ist  also  dann 

Aber  die  Symbole  a,  h  haben  hier  völlig  dieselbe  Bedeutung;  man 
kann  also  a  mit  h  vertauschen  und  endlich  für  F  die  halbe  Summe 
des  ersten  und  zweiten  Ausdrucks  setzen.     Dann  erhält  man 

(10)  F={{ah)^a/^-'%--'^a:--ny--\ayh,^aJ^~'hy"-^My^^^^^ 

was  eine  Covariante  von  f  mit  zwei  Reihen  von  Veränderlichen  ist. 

Wie  man  aus  der  Function  F  zu  symbolischen,  freilich  compli- 
cirten  Darstellungen  der  Resultante  und  Discriminante  gelangen  könne, 
habe  ich  im  59.  Bande  von  Borchardt's  Journal  dargelegt;  eine 
Reihe  weiterer  Untersuchungen  über  die  Frage,  so  wie  eine  grosse 
Zahl  von  Bildungen  in  definitiver  Form  gab  Hr.  Gordan  im  3.  Band 
der  math.  Annalen.  Ich  werde  mich  hier  begnügen,  von  einigen 
besonderen  Fällen  zu  sprechen,  in  denen  es  gelingt,  dem  Resultate 
der  Elimination  eine  übersichtliche  Gestalt  zu  geben. 


Ö4  Dritter  Abschnitt.    Resultanten 

§  27.    Bildung  der  Resultante  für  den  Fall,  wo  eine  der  gegebenen 
Formen  yon  der  zweiten  Ordnung  ist. 

Wenn  von  zwei  Formen  die  eine  von  der  ersten  Ordnung  ist,  so 
ist  es  sehr  leicht,  die  Eliminationsgleichung  zu  bilden.  Denn  aus  der 
linearen  Gleichung 

folgt  sofort 

lA/-*     •    tX/ff)  CJUn    •    *"■""  vv«   • 

und  indem  man  dies  in  die  symbolische  Form  von  f: 

einsetzt,  erhält  man  für  die  Resultante  die  Form 

R  =  {a  «)". 

Aber  auch  noch,  wenn  eine  der  Gleichungen  von  der  zweiten 
Ordnung  ist,  kann  man  die  Form  der  Resultante  ganz  allgemein 
bilden.* 

Sei  nämlich,  in  lineare  Factoren  zerlegt: 

Dann  sagt  die  Resultante  von  (p  und  f,  dass  entweder  f  und  p  oder 
f  und  q  gleichzeitig  verschwinden.  Die  Resultante  von  f  und  cp  ist 
also  das  Product  der  Resultante  von  f  und  ;p  mit  der  Resultante  von  • 
f  und  q.  Nun  ist  nach  dem  Vorigen  die  eine  Resultante  in  symbo- 
lischer Form  {apY,  die  andere,  indem  man  nur  ein  anderes  Symbol 
einführt,  (&  g)".     Daher  wird 

B  =  {apY  .  (b  qY      —  {a  qY  .  {hpY 

Es  kommt  nun  darauf  an,  in  diesem  Ausdruck  an  Stelle  der 
linearen  Factoren  von  qp  symbolische  Coefficienten  einzuführen.  Man 
erreicht  dieses  am  zweckmässigsten  auf  folgende  Art.  Setzt  man  der 
Kürze  wegen 

{ap){hq)  =  ii,     {aq)(hp)  =  v, 
so  ist 

(1)  i?=^-^. 

Ist  n  gerade,  so  ist,  wie  gezeigt  werden  soll,  dieser  Ausdruck 
als  ganze  Function  von  q^  und  ö  darstellbar,  wo 


*    Vergl.  die   Abhandlung  des  Verfassers:    „Ueber  eine  Classe  von  Elimina- 
tionsproblemen", Borchardt's  Jom*nal  Bd.  58. 


und  Discriminanten.  —  §  27.  85 

Q=^  a  —  V 
ö  =  n  V. 

Ist  n  ungerade,  so  muss  man  zuvor  einen  Factor  ^  +  v  abson- 
dern,  um  alles  Uebrige  durch  q-  und  6  ausdrücken  zu  können.  Dass 
man  gerade  q^  und  a  einführt,  motivirt  sich  durch  die  einfache  Form, 
welche  diese  Ausdrücke  bei  Anwendung  der  symbolischen  Coefficien- 
ten  von  q)  annehmen.     Ist  nämlich  s5^mbolisch 

(p=Pa:qa:  =  CCx-='ßJ    etC. , 

so  hat  man  die  symbolischen  Gleichungen 

Pi  Q.I  =  <'y    Pi  ^2  +Pi  ^1  =  2  «1  «2 ;    Pi  ^2  =  <  etc. , 
und  daher 

a-\-v  =  (ap)  (h  q)  -\-  {a  q)  (bp)  =  2{aa)  (6  «) 
ii.v  =  (S  =  (ap)  {aq) .  (bp)  {hq)  =  {aaY  {hßY 
(^-vY=Q^-^\{ap){bq)-{aq)(hp)\''  =  {ahy(pqy 

=  («  W I  (i>i  q-i  +Pz  ^if  -  4i>i  qi  •  i>2  ^'2 ! 

=  2{a  hf  \  (2  a,  a, .  ß,  ß,  -  a,'  ß.^  -  «/  ß,'  j 

=  -2(a hf  (aßf  =  -  2  {a  If  D, 

wo  D  die  Invariante  von  cp  ist  (vergl.  §  2.). 

Ich   werde   nun  zunächst  zeigen,   wie   B,    bez.    — ; —    sich    durch 

(li  —  v)-  und  ^v  ausdrückt,  und  sodann,  wie  mit  Hülfe  der  Gleichungen 

u  -\-  p    =2  (aa)  {h  a) 
(2)  a=     ^iv     ={aaY(pßY 

Q^=(a-vY  =  -2{ahYD 

B    durch     Invarianten    von     übersichtlicher    Entstehungsart     darge- 
stellt wird. 

Bezeichnen  wir  durch  Su  den  Ausdruck 

so  dass 

Es  bestehen  dann,  wie  man  ohne  Weiteres  sieht,  die  folgenden 
Gleichungen : 

S„         ={}l  —  v)Sn-l-\-^V  Sn-2 
r^\  S„-1  =  (U  —  V)  Sn-2-\-  ^V  Sn--3 

^2         =(f*-^)'5'i         ^ilvS^. 


36  Dritter  Abschnitt.    Resultanten 

Was  S^  und  Sq  angeht,  so  werden  diese  verschieden,  je  nachdem 
n  gerade  oder  ungerade  ist,  Fälle,  welche  schon  oben  unterschieden 
wurden.     Für  ein  gerades  n  hat  man: 

(4)  S,  =  i^-v,     S„=2, 
für  ein  ungerades 

(5)  S,  =  ii  +  v,    5o  =  0. 

Um  nun  Sn  aus  den  Gleichungen  (3)  durch  5^,  Sq  auszudrücken, 
denke  ich  mir  jenes  System  nach  oben  zu  unendlich  fortgesetzt,  mul- 
tiplicire  die  Gleichungen,  von  unten  anfangend,  mit  den  Potenzen 
1,  0,  0^  . . .  einer  beliebigen  Grösse  ^,  und  addire.  Ist  sodann  Sl  die 
linke  Seite  des  Resultats: 

(6)  Sl=^S,  +  ^S,  +  0^S,  +  ..., 
so  hat  man  aus  (3) 

Sl^Q  {S,  +  0  Sl)  +  a  {S,  +  0 S,  +  z' P.), 
und  daher 

Der  gesuchte  Ausdruck  S»  ist  nach  (6)  der  Coefficient  von  ^"-^ 
in  der  Potenzentwickelung  von  Sl.     Nun  hat  man 


1_ ^      1  ö0^  a^0^ 

=    1    -\-  Q0+  q'^0^  -^  Q^  2^  ,  .  . 

+  (1   +  2  ^  ^  +  3  ^2  ^2  _|_  4  ^3  ^3     _)  (y  ^2 


==K,+  K,z+K,0'  +  K,z^ 


wo 


K,=  \ 


(9)  K,=:Q'  +  6 


überhaupt 

(10)         g/.==p^  +  (A-l)gp^-'+^'~^-g~"'^g>^-* 

+ nT:3 «'p*-'  +  -, 

eine  Formel,    deren   Gesetz   sofort  einleuchtet.     Setzt  man  die  Reihe 
(8)  nun  in  (7)  ein,  so  hat  man 


und  Discriminanten.  —  §  27.  87 

und    daher,    indem   man   den  Coefficienten  von  0^~^  nimmt,    welcher 
gleich  Sn  oder  gleich  2  B  ist: 

(11)  R^i\{QS,-{-aS,)Kn-2  +  aS,.Kn-,\, 

oder,  wenn  man  bemerkt,  dass 

(12)  Q  Kn-2  +  O-  ir„_3  =  Kn-l 

ist: 

(13)  _  B  =  i\S,K„^,  +  aS,K„_,\. 

Je    nachdem    also    n    gerade   oder  ungerade  ist,    hat  man   nach 
(4),  (5): 

\)  n  gerade: 

(14)  2E  =  Q"  -\-na  q"--  +  '*^'!'~^  a-  (>"-^ 

,  n .n  —  4  .n  —  b    ., 
^         1.2.3  ^        ^ 

2)  n  ungerade: 

(15)  2  Pt--=  (fi  +  v)  \q"-'  +  Oi-2)  ^  ^"-3+^-i^l|^^i::^(j2^"-5 

^  17273  ^  ^        •••(' 

Bezeichnen  wir  nun  je  nach  Bedürfniss  die  Symbole  von  cp  durch 

f  ff  nf        ntf 

a  ,  a    ...,     /3,  /3    ...,     7, 
so  haben  wir  aus  (2): 

1)  Für  ein  gerades  n:     - 

.  (a6)«-2^  (aa)^  {hß'fiaa'J  [h ßy . . .  (a aC^^f  {hß^'^y 
oder 

/ITN  --k         --k 

WO  ^^.  die  Invariante  bedeutet: 

(18)    Äi,  =  (a&)"-2^-  (a« )'  («O'  •  •  •  (««^'0'  (^^')'  (^n'  •  •  •  (hß^^y. 
Von  dieser  Bezeichnung  nehmen  wir  nur  denjenigen»  Coefficienten 
aus,   für  welchen  7t  =-^,   den  letzten.     Dieser  nämlich  zerfällt  in  die 
beiden  einander  gleichen  Factoren 


88  Dritter  Abschnitt.    Resultanten 

und  man  hat  also 

(20)  ^T=jg.. 

2)  Für  ein  ungerades  n: 
^n~2k-i  ^fr  (^  +  ^)  _  2  {ay)  (hy) .  (-  2)  "^  "^  .  D^  ~' 

oder 

(21)  ^"-2^-i(?Mf*  +  ^)  =  2.(-2)^"~'i)V-\^^^ 

wo  Äk  die  Invariante  bedeutet: 

(22)  Äk  =  (a  &)"  -  1  -  2/c  (^  ^)  (ß  y)  .  («,  «')2  (^  c^-)2  ^  ^  _  (^  ^(Är))2 

.(hßy{hßy...{hß^^))\ 

Und  die  Ausdrücke  für  die  Resultante  sind  also: 

1)  für  ein  gerades  n: 

(23)  B  =  {-I))^ .2~^ .Ä,+7i.(-I)f^ .2^~ .Ä, 

2)  für  ein  ungerades  n: 

(24)  j^^^_  2B)^A,  +  (n  -  2)  (-  2D)""?-'^^ 


1^2^  (-^^)  '    A  +  ...-^— DA_-_3+^„_-i 


Insbesondere    ergeben    sich   für  die  kleinsten  Werthe   von  n  die 
Bildungen: 

n  =  \:E  =  A,  A,^{aaf 

n^2:  R  =  -I)Ä^  +  B'  A==(ßW,  B={aaY 

{2b)     ^-^''  Ii  =  ~2BÄ,  +  Ä,  Ä,=  {ahy{ay)iby), 

A,=={ay)(by){aaY{hßf 
n  =  4:  B  =  2B''A,-4BA,  +  B'      A^  =  {ah)\ 

A,^{ahY{aaYQ)ßf, 
B  =  {aaY{aay. 

An  die  Gleicliung2(23)^knüpft  sich  der  bemerkens werthe  Satz: 


und  Discriminanten.  —  §  27.  89 

Die  Resultante  einer  Form  2^^^  Ordnung  mit  einer 
andern  Form  gerader  Ordnung  setzt  sich  immer  aus 
niederen  Invarianten  zusammen. 
Denn  in  (23)  ist  kein  Glied  vorhanden,  welches  nicht  in  Factoren 
zerfällt,  während  in  (24)  allerdings  ein  solches  existirt. 

Es  bleibt  übrig,  die  Eutstehungsweise  der  Invarianten  Ä^  B  aus 
niederen  Bildungen  darzulegen.  Hierzu  führt  die  Aufstellung  der  fol- 
genden Reihe  von  Co  Varianten: 

^  =  p^n  -  2  =  (a  a)2  ci^n  -  2 

(26)  q  =  q^r:"-*  =  iacif  {aa'f  a^"-^  =  (i?«  )^i^^"~^ 

r  =  r^«-6  =  (aaf  {auj  {aa'J aj'-^^iqa'f  q^"-^ 


Im  Falle  eines  «'eraden  n  schliesst  diese  Reihe  mit  einer  Inva- 
riante, welche  nichts  Anderes  ist  als  B-^  die  übrigen  Bildungen  aber 
liefern  die  Ä  mit  Hülfe  folgender  Ausdrücke,  in  denen  die  verschie- 
denartigen derselben  Covariante  zugehörigen  Symbole  durch  obere 
Striche  unterschieden  sind: 


Dieselben  entstehen  aus  ^,  q . . .  ebenso,  wie  Ä^  aus  f. 

Im  Falle  eines  ungeraden  n  enthält  die  Reihe  (26)  lauter  Cova- 
rianten  ungerader  Ordnung.  Bildet  man  aus  ihnen  zunächst  die  qua- 
dratischen Covarianten: 

P=  PJ  =  {ppy-'p.p.  =  (aay  {hßy  (a&)"-3  a,  h^ 
Q^QJ=  {qqy-'  q.  q.  =  {aa^  (a aj  (b ßY  {bßj  {ah^ ~^  a. h. 

=  {aaf  {n af  {aa'y  {hßf  (bßj  [hßy  (ah)"-'  «..  6.. 


so  hat  man: 


Diese  Invarianten  entstehen  aus  p,  qj  r  .  .  .  genau  so,  wie 

A=(«6)"-"(«j')(&y) 

aus  f.  — 

Unter  den  bei  (25)  angeführten  einfachsten  Fällen  führt  die  Eli- 
mination aus  zwei  Gleichungen  2*®'  Ordnung  nur  auf  die  Invarianten 
der  beiden  Formen  (Z),  Äq)  und  auf  ihre  simultane  Invariante  J5; 
B  =  B^-BÄ^. 


90  Dritter  Abschnitt-.     Resultanten 

Aber  diese  Resultante  kann  in  einer  noch  einfachem  Form  dar- 
gestellt werden.  Setzt  man  für  D,  By  ^^  ihre  symbolischen  Aus- 
drücke, so  hat  man 

^  \{aa)  Qjß)  +  {ah)  {aß)]  [{aa)  {hß)  -  {ah)  {aß)], 
oder  mit  Anwendung  der  Identität  (IV)  des  §  15.: 

(27)  B=^[{aa)  {hß)  +  {ah)  {aß)]  {aß)  {ha). 

Betrachtet  man  nun  die  von  der  Functionaldeterminaute  nur  um 
einen  Zahlenfactor  verschiedene  Covariante 

(28)  ^  =  ^J  =  ^'.'...={aß)a^ß^, 

so  ist 

^^^y  =  i{aß){a:,ßy-{-a,ß^r) 

[indem  man  (28)  nach  den  x  differenzirt  und  die  Resultate  mit  ^  ^i ; 
^y.2  multiplicirt  addirt];  aus  dieser  Form  aber  entsteht  der  Ausdruck 
(27),  wenn  man  für  x^^  X2,  y^)  y.^  bezüglich  a.^,  —  ßj,  ?>2,  —h^  setzt 
und  mit  —  2  (ha)  multiplicirt.     Daher  ist  auch 

B^-2{%'a){^h){ha). 

Aber  dieser  Ausdruck  wiederum  entsteht  aus 

^'^x  =  (b(^)h:^a^y 

wenn  man  x^y  x^  durch  -9^2?  ~ '^1  ersetzt  und  mit  —2  multiplicirt. 
Daher  ist  endlich  auch 

(29)  B  =  -2{^^')\ 

d.  h,  die  Resultante  zweier  quadratischen  Formen  kann 
durch  die  Invariante  ihrer  Functionaldeterminaute  ersetzt 
werden.*  — 

Bei  der  Elimination  aus  einer  Gleichung  ^  =  0  2^^^  und  einer 
Gleichung  f=0  ?>^^^  Ordnung   ist  eine  quadratische  Covariante  von  f 

A  ■=.  AJ'  =  {a  hy-  aa:  hx 
und  eine  simultane  lineare  Covariante 

p^iaafa^c 
zu  bilden;  man  hat  dann 

A,  =  {Ayy,     A,  =  {pyf 
und 

B  =  Ä,-2I)Ä,.  - 


*  Im  Allgemeinen  muss  die  Resultante  zweier  Formen  gleicher  Ordnung  ein 
Factor  der  Discriminante  ihrer  Functionaldeterminaute  sein,  wie  dies  aus  dem 
Satze  am  Ende  von  p.  80  hervorgeht. 


»  und  Discriminanten.  —  §  27.  91 

Endlich  bei  der  Elimination  aus  einer  Gleichung  (jp  =  0  2*®'  und 
einer  Gleichung  /'=0  4*^'"  Ordnung  ist  ausser  der  zu  /'  gehörigen 
Invariante 

zunächst  die  simultane  quadratische  Covariante 

zu  bilden;  aus  derselben  hat  man 
und  endlich 

Man  kann  sich  die  Frage  stellen,  unter  welchen  Bedingungen 
die  Form  ti*®"^  Ordnung  zwei  Factoren  mit  der  Form  2*®'  Ordnung 
gemein  hat,  diese  also  ganz  als  Factor  enthält*.  Dies  erfordert 
offenbar  zwei  Bedingungen.  Aber  man  würde  sehr  irren,  wenn  man 
erwarten  wollte,  das  gleichzeitige  Eintreten  zweier  Bedingungen  durch 
das  Verschwinden  zweier  Invarianten  charakterisirt  zu  sehen  5  vielmehr 
tritt  dieses  nur  in  wenigen  vereinzelten  Fällen  ein.  Es  ist  wichtig 
festzuhalten,  dass  das  gleichzeitige  Eintreten  mehrerer 
Bedingungen  im  Allgemeinen  sich  durch  das  Verschwin- 
den sämmtlicher  Coefficienten  einer  Coyariante  auszu- 
drücken pflegt.  Dabei  hat  man  dann  freilich  scheinbar  zwischen 
den  Coefficienten  der  zu  untersuchenden  Functionen  mehr  als  zwei 
Gleichungen.  Aber  in  der  That  sind  diese  dann  doch  immer  in  der 
Weise  mit  einander  verträglich,  dass  man  allen  zusammen  durch  pas- 
sende Bestimmung  zweier  unbestimmter  Grössen  (etwa  unbestimmt 
gelassener  Coefficienten)  zu  genügen  im  Stande  ist,  ohne  dass  es  doch 
möglich  wäre,  zwei  einem  solchen  Systeme  vollkommen  äquivalente 
Bedingungsgleichungen  aufzufinden. 

So  kann  man  denn  auch  in  dem  vorliegenden  Falle  leicht  eine 
Covariante  angeben,  welche  die  Eigenschaft  hat,  dass  das  gleichzeitige 
Verschwinden  ihrer  sämmtlichen  Coefficienten  nothwendig  und  hin- 
reichend sei  für  die  Erfüllung  der  Forderung,  dass  eine  quadratische 
Form  in  einer  Form  n^^^  Ordnung  als  Theiler  enthalten  sei.  Sind  wie- 
der wie  im  Vorigen  _29^  und  q^^  die  linearen  Factoren  der  quadratischen 
Form  (p,  so  ist  diese  Covariante 

{pcL) 
eine  Covariante,  welche  in  der  That  für  alle  Werthe  der  x  verschwin- 
det, sobald,  der  Forderung  gemäss,  die  Grössen  {apY  und  {aq)^  gleich- 


*  Vgl,  Gordan  im  3.  Bd.  der  math.  Annalen. 


92  Dritter  Abschnitt.     Resultantei\, 

zeitig  verschwinden.  Aber  auch  umgekehrt:  Verschwinden  alle  Coef- 
ficienten  von  ^,  verschwindet  also  0  für  alle  Werthe  der  x,  so  folgt 
nothwendig 

d.  h.  die  quadratische  Form  ist  Theiler  der  Form  n^^^  Ordnung. 
Die  Co  Variante  O  entsteht  aus  der  Form 

(M)        "  ' 
indem   man  ?/j  durch  -— a^,  y^  durch  a^  ersetzt;   und  es  kommt  daher 
zur   Darstellung    von   ^   nur   darauf  an,    die   Form    W  in  geeigneter 
Weise    zu    bilden.      Dies    geschieht    ganz    ähnlich^  wie    die    Bildung 
von  R  im  Vorigen.     Setzt  man 

so  kann  man  sowohl  ^~v  ah  ^  .  v  auf  einfache  Weise  ausdrücken; 
denn  es  ist 

Q==li-v=:(pq){yx),     {ii-vy  =  -2D(yx)%     [vgl.  (2).] 
ö  =    ^v    =  a/  .  a'y^  =  (p  {x)  .(p  (y). 

Wir   suchen   also   den  Zähler  von   'i^  durch  ^  —  v  und  ^  v  auszu- 
drücken.    Sei 

dann  ist 

(Pq)' 
Für  die  Sk  aber  hat  man  die  Recursionsformel 

Sk  =  {^  —  V)  Sk—l  +  ^V  Sk-.2j 

und  die  Sk  bestimmen  sich  also  genau  durch  das  Gleichungssystem  (3), 
welches  oben  behandelt  wurde.     Es  fand  sich  dort 

Sn  =(qSj^  +  Ö  Sq)  Kn-2  +  ^S^  K„-3  , 
WO 

z-,  =  e* + {h  -1)6  p*-2  +  ^^2—  ß'  p'-" 

+ 17273 <^'Q'-'  +  ---- 

Unterscheidet  man  wieder  die  beiden  Fälle,  wo  n  gerade  und  wo 
n  ungerade  ist,  so  ist  in  ersterem 

im  zweiten 


und  Discriminanten,  —  §  27.  93 

Für  ein  gerades  n  hat  man  also 

.  7i—4:.n—6.n  —  6    „        ,        ) 
-t  1.2.3  ^        •    ■)  ' 

für  ein  ungerades  n  dagegen: 

In  beiden  Fällen  tritt  q  als  Factor  auf^  und  da 
so  wird  der  Ausdruck  für 

1)  bei  geradem  w: 

=  (2/a;)  (^  +  T')  |p"-'  +  («  -  2)  ö  e-^  +  ''~i;2~^  «'^  e"-"  •  •  •}  , 

2)  bei  ungeradem  w: 


=  (2/^)  |( 


Führt  man  jetzt  für  ii-\-v  den  symbolischen  Ausdruck  in  den 
Coefficienten  von  cp  ein,  2  a-^  ay^  und  ersetzt  q^  durch  —  2D  («/a;)^, 
a  durch  ^  (ic)  9  (y) ,  so  hat  man : 

für  ein  gerades  n: 

für  ein  ungerades  n: 

y^={yx)[(-2Df^  .(yxy-'-\-n(p{x)cp{y)  {-2D)~^  (yx)--^ 
n  .n  —  S    .-, 


^  ^'-(x)  <f>Hy) .  (- 2 Dp  ' {yx)—^  +  ..j. 


Wenn  nun  die  Covariante  O  gebildet  werden  soll,  so  führt  man 
wieder  —a.^  für  y^,  a^  für  y^  ein,  wodurch  (yx)  in  —üjc,  ay  in  —  {aa) 
übergeht.  Wenn  man  also  die  folgenden  Bezeichnungen  von  Cova- 
rianten  einführt: 


94  Dritter  Absclinitt.  —  Resultanten 

bei  geradem  n: 

K^  =  {a  a)  ajc  a/'~^ 

K^  =  {a a)  {a a^  ^^-  Cix^ ~ ^ 

K^  —  {a  a)  {a  a'f  {a  a  y  a^^  a^"  -  ^ 


bei  ungeradem  n: 


so     sind    die    unter    den    fraglichen   Verhältnissen    verschwindenden 
Covarianten : 

1)  bei  geradem  n: 

n—2  n— 4 

0  =  {~2I))  2   K,  +  (n-2)cp.{-2D)  ''   K, 

2)  bei  ungeradem  n: 

n— 1  n— 3 

-  a>  =  (-  2i))~2~  x^  4_  ^^  ^  .  (_  2D)^~  Zg 

Insbesondere  wird  also  für  w  =  2  die  Bedingung  dafür^  dass 
zwei  quadratische  Formen  nur  um  einen  constanten  Fac- 
tor verschieden  seien,  durch  das  Verschwinden  der  Covariante  K^ 
d.  h.  ihrer  Functionaldeterminante  dargestellt. 

Die  Bedingung,  dass  eine  quadratische  Form  Factor 
einer  cubischen  sei,  führt  auf  das  Verschwinden  der  cubischen 
Covariante  (J^==3): 

-  2D  Zj  +  3  9)  ^2  =  -  22)  .  a/  4-  3  9  .  (a«)2  a^. 

Die  Bedingung,  dass  eine  quadratische  Form  Factor 
einer  biquadratischen  sei,  führt  auf  das  Verschwinden  der 
biquadratischen  Covariante 

—  2DK^  -\-  2  q) K^  =  —  2 D  {a a)  a^:  a/  +  2  cp  .  (aa)  {aa'f  a^:  Ox- 

§  28.    Resultante  zweier  cubischen  Formen. 

Ich  will  noch  die  Resultante  zweier  Formen  dritter  Ord- 
nung ableiten.     Seien  die  gegebenen  Formen 

\^)  ^  _  ^   3  _  /^   3 

tp  —  VCx    —  px    •  •  •    • 


«,3 

«/«, 

«1  0.-1 

ai 

«,3 

«,2  «„ 

ß, «./ 

«./ 

■»/ 

*.^*. 

*,*/ 

*/ 

*7 

^?^'. 

^'x^V 

fl-V 

und  Discriminanten.  —  §§  27,  28.  05 

Alsdann  ist  nach  dem  Satze  am  Ende  von  p.  80  für  /'=0,  qp  =  0 
nicht  nur 

(2)  ^  =  ^..^  =  [a. «)  a.,2  2^^2  _  0 , 

sondern  auch  die  Differentialquotienten  von  -O-  verschwinden,  so  dass 
man  hat: 

Diese  Gleichungen  zusammen  mit  (1)  sind  vier  Gleichungen  drit- 
ter Ordnung;  man  kann  also  aus  ihnen  die  Grössen 

wie  lineare  Unbekannte  eliminiren,  und  erhält  dann  die  Eliminations. 
gleichung,  indem  man  die  von  den  beiden  Gleichungen  (3)  her- 
rührenden Symbole  unterscheidet: 


(4)  0  =  ^,^V 


eine  Gleichung,  welche  in  der  That  sowohl  für  die  Coefficienten  von 
f  als  für  die  von  9)  vom  dritten  Grade  ist. 

Nun  verschwindet  aber  die  Determinante,  sobald  die  in  zwei  Reihen 
vorkommenden  Symbole  proportional  werden,  etwa  a^  :  a^  =,«1  :  a.-^, 
oder  sobald  die  aus  den  Symbolen  zweier  Reihen  zusammengesetzte 
Determinante  [etwa  (««)]  verschwindet.  Daher  enthält  jene  Deter- 
minante die  Factoren 

{ad),     {a%),     {a^'),     {a%),     {a%'),     (^^0, 

und  kann,  da  die  Dimensionen  übereinstimmen,  durch  ihr  Product 
ersetzt  werden.  Man  hat  also  die  Eliminationsgleichung  in  der  sym- 
bolischen Form 

0  =  -O-i  %\^  {a  a)  {a&)  {a&')  (ad-)  {ad-')  {d-d-'). 

Setzt  man  nun  an  Stelle  der  rechten  Seite  die  Summe  dieses 
Ausdrucks  und  desjenigen,  welcher  durch  Yertauschung  von  d-  mit  d' 
erhalten  wird,  so  hat  man 

0={aa)  {ad-)  (ad')  {ad)  {ad')  {ddy, 

und  die  Resultante  wird  also: 

(5)  B={aa)  {ad)  {ad')  {ad)  {ad')  {dd')^. 

Aber  auch  diese  Form  kann  noch  eleganter  gemacht  werden,  in- 
dem man  sich  der  Identität  (Y)  des  §  15.  bedient,  nach  welcher 

{ad)  {ad')  {ad)  {ad')  =  ^  {(aO-)^  {ady  +  {ady  {ad'f  -  {aa)^  {^d')^. 


Ö6  Dritter  Abschnitt.    Resultanteii 

Führt  man  dies  in  (5)  ein,  so  liefern  die  ersten  beiden  Glieder 
zwei  Terme,  welche  sich  nur  durch  die  Bezeichnung,  nämlich  durch 
Vertauschung  von  -^  mit  d'',  von  einander  unterscheiden.  Zieht  man 
beide  zusammen,  so  bleibt  demnach: 

(6)  E={aa)  {ad-/  {a^y  (d^y --^  {aaf  .{dd-y. 

Der  zweite  Theil  rechts  ist  das  Product  einer  sehr  einfachen 
simultanen  Invariante  von  f  und  <p  mit  einer  Invariante  von  d". 
Der  erste  Theil  lässt  sich  auf  diesen  zweiten  und  auf  eine  Invariante 
von  d  in  folgender  Weise  zurückführen.  Gehen  wir  von  der  For- 
mel aus: 

dj'^  =  {a  a)  aj  «/. 

Indem  wir  dieselbe  wiederholt  nach  den  x  diflferenziren  und  die  DifPe- 
rentialquotienten  mit  Grössen  y  multiplicirt  addiren ,  erhalten  wir  zuerst 

dJ'^  dy'  —  -^{aa)  { aJ  a^  ay  +  aJ  a^  ay  | , 
sodann  aber 

dJ"^  d y'^  =  i{acz)  i (aJ  ay^-{-  aJ tty^  +  4 a^  «^  a^  a^  | . 
Man  kann  nun,  nach  der  Identität  (YIII)  des  §  15. 
ax  «o:  ciy  «y  =  I  i  a/  ay^  +  a/  ciy^  —  {a a/  {xyY\ 
setzen,  und  erhält  dann: 

^/2  ^p  =  -1-  (a  a)  (  3  aJ  a/  +  3  aJ  a/  -  2  {a  af  {xyf  \ . 

In  dieser  Gleichung  setze  ich  zunächst  Q-^,  —  0'^  für  y-^y  y^  und 
multiplicire  mit  d-J]  dann  kommt: 

^/ ^/'  (^" ^y  =  h  (aa)  dj  13  a/  {a^Y  +  3  aJ  {ad-f  -  2  {aa/ dj] ; 

und  ferner  setze  ich  -O-'g,  ^  d\  für  x^,  x^.  Es  ergiebt  sich  dann,  in- 
dem man  rechts  die  beiden  ersten  Glieder,  welche  sich  nur  durch  die 
Bezeichnung  unterscheiden,  zusammenzieht: 

{d^y  (dd^'y  {p'd'y  =  iaa)  {a^y  {a^y  {^^'f  -  -J-  {aaf  {d^y. 

Man  drückt  daher  den  ersten  Theil  der  rechten  Seite  von  i^  mittelst 
der  Gleichung  aus: 

{aa)  (a^Y  {aWf  [d-Wf  =  {d^y  {d-d'y  {d' d'y  +  \  (aaf  {d-^y. 

Setzt  man  also,  einer  in  der  Theorie  der  Formen  4*«'^  Ordnung 
zu  benutzenden  Bezeichnung  gemäss: 

i&=i^^y 

so  ist  die  gesuchte  Resultante: 

(7)  B=j»-iiaaY.i^. 


und  Discriminanten.  —  §§  28,  29.  97 

§  29.    Discriniinanten  von  Formen  der  niedrigsten  Ordnungen. 

Die  im  Vorigen  entwickelten  Resultate  erlauben  es,  die  Discri- 
minanten der  Formen  2*^',  3*^'  und  4*^'  Ordnung  aufzustellen. 

Die  Discriminante  einer  Form  2*"  Ordnung  ergiebt  sich  aus  der 
Gleichung  (10)  des  §  26.  ohne  Weiteres.  Denn  die  Gleichung  F'~0 
geht  in 

über,  so  dass  also  die  Invariante  {ah)-  zugleich  die  Discriminante  der 
Form  ist. 

Die  Discriminante  einer  cubischen  Form  erhält  man  aus  der  Form 
(29),  welche  in  §  27.  der  Resultante  zweier  quadratischen  Formen 
gegeben  wurde.  Man  braucht  nur  zu  untersuchen,  was  aus  der  Form 
d'  wird.     Es  war 

d-  =  {a  a)  ax  (ix  • 

Aber  jetzt  muss  an  Stelle  von  aj  der  erste  Differentialquotient 
von  /'  nach  a\,  also  (abgesehen  von  einem  numerischen  Factor)  ö/f/i, 
an  Stelle  von  aj-  ebenso  hj'  h^  gesetzt  werden.  Hierdurch  verwandelt 
sich  ^  in 

oder  wenn  man  a  mit  h  vertauscht,  in 

—  a2b^{ah)  cfjchjcy 
oder  endlich,  indem  man  die  halbe  Summe  beider  Ausdrücke  einführt: 

wenn  z/  die  Covariante 

z/  =  {a  hy  ttjc  hx 

bedeutet.     An  Stelle  der  Discriminante  kann  also  die  Invariante  (z/z/')^ 
gesetzt  werden. 

Bei  den  Formen  4**^"^  Ordnung  ist  die  Resultante  zweier  cubischen 
Formen  zu  benutzen,  wie  sie  in  (7)  §  2S.  gefunden  wurde.  An  Stelle 
von  f,  (p  treten  hier  die  Formen 

also  an  Stelle  von 

^  z=  {a,  a)  üjc"  ccJ 
die  Covariante 

ia  h)  a^  62  aj  bj  =  —  {ab)  «^  b^  a/  bj  =  ^{a bf  aj-  bj  =  15", 

wo  H  die  Covariante 

S[={ahYa/bJ 

C leb 8 cht,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  7 


98  Dritter  Abschnitt.     Resultanten  nnd  Discriminanten.  —  §  29. 

bedeutet.     Sodann  wird,  indem  man  die  Bezeichnungen  des  §  28.  bei- 
behält : 

Endlich  geht  die  Invariante  {aaY  über  in 

(wenn    wir    die   Invarianten    ohne  Index    auf   f  beziehen),    und     die 
Discriminante  wird,  mit  üebergehung  des  Nenners  8: 

JH  —  i  i  in  . 

Nun    wird    in   der   Theorie   der   biquadratischen  Formen   gezeigt 
werden,  dass 

die  Discriminante  kann  also  mit  üebergehung  eines  Nenners  3  durch 
ersetzt  werden. 


Vierter  Absclmitt. 

Theorie  der  Formen  zweiter,   dritter  und  vierter  Ordnung. 


§  30.    Ueberschiebiingen. 

Schon  im  Vorigen  wurden  gewisse  Arten  von  Bildungen  für  Co- 
varianten  und  Invarianten  wiederholt  benutzt.  Wir  wollen  diese  nun 
genauer  studiren;  zunächst  insoweit  die  Kenntniss  ihrer  Eigenschaften 
für  die  Untersuchung  der  Formen  zweiter^  dritter  und  vierter  Ord- 
nung nothwendig  wird. 

Die  einfachste  Art,  aus  zwei  Formen 

(p  =  cp^rn 

durch  Anwendung  dieser  Symbole  Covarianten  zu  erzeugen,  besteht 
darin,  dass  man  den  Ausdruck  bildet 

(1)  T\={(p  ipy  gj/"  -  ^-  ^t^"  -  ^• 

und  zwar  entstehen  so  offenbar  die  einzigen  Formen,  deren  symboli- 
scher Ausdruck  die  Symbole  von  cp  sowie  von  jp  nur  einmal  ent- 
hält. * 

Der  Ausdruck  (1)  besitzt  die  Invarianteneigenschaft;  er  ist  für  die 
Coefficienten  von  cp  und  i^  linear.  Die  Zahl  k  kann  von  0  (wo  man 
das  Product  von  q)  und  ip  erhalten  würde)  bis  zu  derjenigen  der  Zah- 
len m  und  n  gehen,  welche  die  kleinere  ist,  beziehungsweise,  wenn 
m  und  n  gleich  sind,  bis  zu  diesem  Werthe,  wo  dann  die  Invariante 

{(p  ipY" 

entsteht. 

Die  Bildung  (1)  soll  als  A'*^  lieber  Schiebung  von  cp  über  ;/; 
bezeichnet  werden.     Man  kann  sie  auf  eine  Combination  der  Differen- 


*  Diese  Bildungen  sind  von  Cayley,  fourth  memoir  upon  quantics,  angege- 
ben und  behandelt  worden;  sie  sind  zugleich  der  einfachste  Fall  der  von  A ron- 
hold (Borchardt's  Journal  Bd.  62)  betrachteten  „Fundamentalinvarianten". 


100  •  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

tialquotienten  von  (p  und  ^  zurückführen  5   denn   da   aus  der  symboli- 
schen Form  von  (p  und  ^  folgt,  dass 

so   ergiebt   sich   aus    der  Auflösung   der   Potenz   von  (<5P^)  in  (1)    die 
Gleichung : 

^2)  ff  = - . 

d''(p     d^i;       h        d^(p  d^tl^         ,        ^     1^t^^9^     ^''t) 


Idx 


...{-ly 


Bei  Ä;=l  erhält  man  die  Functionaldeterminante  der  beiden  Formen: 

bei  1^  =  2  einen   der  Invariante  zweier   quadratischen   Formen  analog 
gebildeten  Ausdruck 


m.m—-l.n.n—l\dx^dx^^         dx^dx.^dx^dx^     dx^dx^^S 

u.  s.  w. 

Diese  Bildungen  stehen  in  einem  genauen  Zusammenhange  mit 
der  Operation  J ,  welche  in  §  6.  die  Polaren  ergab.  Wendet  man 
diese  Operation  auf  (p  in  seiner  symbolischen  E'orm  an,  so  erhält  man 
sofort : 

^  (p  ==  (pj"~'^  (py 

zJ^(p=q)^^-'^(p,/ 


Man  erhält  also  die  Ueberschiebungen  von  f  über  g), 
wenn  man  in  den  Polaren  von  q)  die  Veränderlichen  y^,  y^ 
durch  die  Symbole  ^2;  ~^i  ^^^  ^  ersetzt  und  die  ent- 
sprechende Potenz  von  1/;^  als  symbolischen  Factor  hinzu- 
fügt.    Man  hat  nämlich  so 

aus  ziep:  {(pilj)  cpj:'"^—'^\l)J'—^ 


Statt  zweier  Formen  cp^  ijj  kann  man  auch  zweimal  dieselbe  Form  f 
benutzen,  also  diese  über  sich  selbst  schieben.  Aber  alsdann  reducirt 
sich  die  Anzahl  der  Ueberschiebungen;  es  verschwinden  alle  diejeni- 
gen,  für  welche  Ic  eine  ungerade  Zahl  ist,   weil   diese  Formen   durch 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  30.  101 

Vertauschung   der   beiden  jetzt   gleichbedeutenden   Symbole   das   Vor- 
zeichen ändern.     Aus  einer  Form 

ergeben   sich   also    folgende   Ueberschiebungen    der    Form    über    sich 
selbst : 

{al)^  «,"-2  &.,''-2,     [ahy  fl.,"-^  6.,'-S     {ahYa^^-^  6^«-6. . . . 

Es  sind  dies  die  Covarianten  bez.  Invarianten  zweiten 
Grades  in  den  Coefficienten,  welche  die  Form  f  zulässt. 
Denn  eine  Covariante,  welche  in  den  Coefficienten  von  f  nur  vom 
zweiten  Grade  ist^  kann  nur  zwei  Arten  von  Symbolen,  etwa  a,  h, 
enthalten,  und  also  keine  anderen  symbolischen  Determinantenfacto- 
ren,  als  eine  Potenz  von  {al}). 

Unter  diesen  Covarianten  hat  die  ei^te  ein  besonderes  Interesse. 
Sie  ist  nach  (2)  gleich 

n^.  {n-lf  Idx^^  dx^       \dx^  cxj  y 

unterscheidet  sich   also   nur   durch  einen  numerischen  Factor  von  der 
Determinante  der  zweiten  Differentialquotienten  von  /": 

C  X-t  ß  X-t    C  Xg 

c'-f  c^f 


CXy  CX2      dx. 


welche  nach  ihrem  Entdecker  die  Hesse' sehe  Form   genannt  wird. 

Indem  man  von  einem  gegebenen  Functionensystem  ausgeht,  kann 
man  zunächst  die  Formen  des  Systems  über  sich  selbst  und  über  ein- 
ander schieben.  Man  gewinnt  hierdurch  ein  einfaches  System  von 
Invarianten  und  Covarianten,  und  indem  man  die  letzteren  dem  Sy- 
steme der  gegebenen  Formen  hinzufügt  und  auch  sie  bei  den  Ueber- 
schiebungen benutzt,  erhält  man  weitere  Bildungen,  welche  immer 
in  gleicher  Weise  zur  Erzeugung  neuer  Gebilde  verwerthet  werden 
können. 

Man  sieht,  dass  auf  diese  Art  eine  Reihe  von  Bildungen  entsteht, 
die  ein  gemeinsames  Bildungsgesetz  haben;  ein  Gesetz,  welches  sowohl 
durch  die  symbolische  Formel  (1)  ausgedrückt  werden  kann,  als  durch 
die  von  der  symbolischen  Bezeichnung  ganz  unabhängige  Formel  (2). 

Diese  Bildungen  erhalten  eine  hohe  Wichtigkeit  dadurch,  dass, 
wie  man  nachweisen  kann,  alle  Invarianten  und  Covarianten 
einer  Function  oder  eines  simultanen  Systems  sich  aus 
Ueberschiebungen  zusammensetzen  lassen.  Die  Operation 
des  Ueberschiebens  liefert  also  sämmtliche  Invarianten  und  Covarian- 
ten ebenso,  wie  die  symbolischen  Bildungen,  welche  in  §  12.  geschil- 


102  Vierter  Absclmitt.     Theorie  der  Formen 

dert  wurden,  aber  sie  liefert  dieselben  in  einer  einfacheren  und  über- 
sichtlicheren Gruppirung. 

Ich  werde  jetzt  eine  Reihe  von  Sätzen  geben,  welche  den  Zu- 
sammenhang des  Ueberschiebungsprocesses  mit  den  allgemeinen  sym- 
bolischen Bildungen  zum  Gegenstande  haben. 


§  31.    Ziirückfiihrung  aller  Covarianten  nnd  InYarianten  auf 
Uelberschiebungeii. 

1.   Jede  Covariante  oder  Invariante  TT  einer  Form 
oder    eines    simultanen    Systems,    welche    in    Bezug 
auf  die  Coefficienten  einer  Grundform  n^^"^  Ordnunor 
f  Yom  m*®°  Grade  ist,  entsteht  durch  Ueberschiebun- 
gen    von  /'  mit   Covarianten,    welche    in    Bezug    auf 
die    Coefficienten    von    /'   nur    vom    (m  —  1)*®"    Grade 
sind.* 
Um  diesen  Satz  zu  beweisen,   nehme  ich  an,   es   sei   irgend   eine 
Covariante    oder  Invariante  TT  in   symbolischer   Darstellung   gegeben. 
Irgend  eine  der   symbolischen  Coefficientenreihen,    die   von  /  in   der- 
selben  herrühren,   sei  a^,  a^.     Schreiben  wir  überall  statt  a^,  a.^  zwei 
neue  V^eränderliche,  y,^  und  —  ^i,  und  lassen  die  Potenz  von  {xy)  aus, 
welche  dabei  etwa  von  einer  Potenz  eines  symbolischen  Factors  a,x  in 
TT  herrührt,  so  entsteht  eine  Function  '9',  welche  zwei  Reihen  von  Ver- 
änderlichen enthält,  die  ursprünglichen  x^^  x.^^  und  die  jetzt  eingeführ- 
ten y^^  ^2  5  welche  ferner  die  Coefficienten  von  /'nur  noch  zur  (^n— 1)*®" 
Dimension  enthält. 

Aber  es  wurde  in  den  §§  7.  8.  gezeigt,  dass  eine  solche  Form  0- 
sich  aus  der  identischen  Covariante  {x%j)  und  aus  den  Polaren  gewisser 
Functionen  mit  nur  einer  Reihe  von  Veränderlichen  zusammensetzt. 
Denn  nach  Formel  (7)  des  §  8.  hat  man,  wenn  /Lt  und  v  die  Ord- 
nungen von  %"  in  Bezug  auf  die  x  und  die  y  bezeichnen: 

Stellen  wir  nun  die  Formen 
durch  die  Symbole 


*  Die  in  diesem  und  dem  folgenden  Paragraphen  gegebenen  Sätze  und  Me- 
thoden gab  zuerst  Herr  Gordan  in  Borchardt's  Journal  Bd.  69  und  im  2.  Bande 
der  Mathematischen  Annalen.  Die  letztere  Abhandlung  insbesondere  ist  auch  in 
den  folgenden  beiden  Abschnitten  vielfach  benutzt. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§30,  31.  103 


dar,  so  ist  nach  dem  vorigen  Paragraphen 


und  der  Ausdruck  für  0-  wird  also: 

^  =  ^/  (f/  +  <' "  i^y)  t.f'-HV- '  +  «2^'  ^  (^yY  tr^~-Xy"--  +  •  •  •  • 

Will  mau  nun  von  dieser  Darstellung  der  Function  O-  zu  der 
Function  TT  zurückgehen,  so  hat  man»  nur  wieder  y^  und  y^  durch 
—  a.2  und  a^  zu  ersetzen,  und  mit  a.r"""*'  zu  multipliciren.  Man  erhält 
sodann  für  die  gegebene  Function  TT  den  Ausdruck: 

welcher  in  der  That  eine  Summe  von  Ueberschiebungen  ist,   wie  der 
Satz  es  verlangt. 

Die  Bildung  von  TT  ist  also  auf  die  Ueberschiebungen  von  f  mit 
den  Covarianten 

^y  t,  X" 
zurückgeführt,   welche   für   die  Coefficienten   von  f  nur  vom  (wi— 1)*^" 
Grade   sind.     Zur  Charakterisirung  der  dabei  auftretenden  Ueberschie- 
bungen dient  die  folgende  Bemerkung: 

2.    Die   Ordnung   der   höchsten  Ueberschiebung, 
welche   zur   Bildung   von   TT  hier    nöthig    ist    (y),    ist 
die   Zahl,   welche  angiebt,   wie   oft   das  herausgeho- 
bene   Symbol    (a)    in    symbolischen   Determinanten- 
factoren  auftritt. 
Eine  Ableitung  einer  Form  TT  aus  Formen,  welche  die  Coefficien- 
ten von  f  in   einer  um   die  Einheit  niedrigeren  Dimension  enthalten, 
ist  auf  so  viel  verschiedene  Arten  möglich,  als  verschiedene  Symbole 
von  /"  in  TT  auftreten. 

Der  vorstehende  Gedankengang  wird  übrigens  in  keiner  Weise 
geändert,  wenn  man  nicht  ein  Symbol  a  einer  der  Grundfunctionen, 
sondern  ein  Symbol  0  irgend  einer  Covariante  6  =  0^"'  heraushebt, 
welche  in  der  symbolischen  Darstellung  von  TT  etwa  vorkommt.  Man 
hat  dann  die  Formel 

und  kann  daher  auch  den  Satz  aussprechen: 


104  "  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

3.  Jede  Covariante  TT,  welche  in  ihrer  symboli- 
schen Darstellung  etwa  ein  Symbol  einer  Covariante 
6  enthält,  entsteht  durch  üeberschiebungen  von  6 
mit  anderen  Covarianten. 

Stellen  wir  uns  nun  vor,  eine  gegebene  Covariante  oder  Invariante 
TT  werde  zunächst  vermittelst  der  Formel  (1)  aus  einer  Reihe  von  Co- 
varianten abgeleitet,  welche  die  Coefficienten  von  f  in  einer  um  1 
niedrigeren  Dimension  enthalten;  auf  diese  wendet  man  dasselbe  Ver- 
fahren an  und  fährt  so  fort,  bis  keine  Coefficienten  von  /'  mehr  vor- 
kommen.    Man  hat  so  den  Satz: 

4.  Jede  Function  TT  entsteht  durch  wiederholtes 
U  eberschieben  von  /  über  Covarianten,  welche  die 
Coefficienten  von  /'  nicht  mehr,  sondern  nur  noch 
die  der  übrigen  Filnctionen  des  gegebenen  Systems 
enthalten. 

Diese  Covarianten,  welche  die  Coefficienten  der  einen  Form  f 
nicht  mehr  enthalten,  seien  P,  Q^  R...  .  Die  gegebene  Function  TT 
ist  also  zurückgeführt  auf  wiederholte  üeberschiebungen  von  /'  mit  P, 
Qy  R  ...  .  Es  ist  also  TT  in  eine  Reihe  von  Covarianten  zerlegt,  deren 
jede  ausser  den  Symbolen  von  f  ein  Symbol  je  einer  der  Formen  P, 
Qj  R...  enthält.  Betrachten  wir  eine,  etwa  die  erste,  dieser  Co- 
varianten. Sie  entsteht  nach  dem  dritten  Satze  dieses  Paragraphen 
durch  Ueberschiebung  von  P  über  eine  Form,  Avelche  nun  nur  noch 
die  Symbole  von  f  enthält,  also  eine  Covariante  von  /"  allein.  Man 
darf  demnach  sagen: 

5.  Jede  Covariante  oder  Invariante  eines  simul- 
tanen Systems  entsteht  durch  üeberschiebungen 
von  Covarianten  einer  Form  des  Systems  mit  Co- 
varianten, welche  nur  die  Coefficienten  der  übri- 
gen  enthalten. 

Man  erhält  hieraus  sofort  einen  Ueberblick  über  die  Art  and 
Weise,  in  welcher  die  Bildung  der  Covarianten  und  Invarian- 
ten eines  simultanen  Systems  geschieht.  Man  bildet  zuerst  die 
Covarianten  und  Invarianten  aller  einzelnen  Formen ;  schiebt  dann  die 
Covarianten  der  ersten  Form  über  die  der  zweiten,  sodann  die  resul- 
tirenden  Covarianten  über  die  Covarianten  der  dritten,  die  so  erhal- 
tenen Resultate  über  die  Covarianten  der  vierten  u.  s.  w.  Nur  ist 
dabei  zu  beachten,  dass  als  Covarianten  dabei  nicht  nur  die  einfachen 
und  unzerfällbaren  Covarianten  einer  Form,  sondern  auch  ihre  Potenzen 
und  deren  Producte  sowohl  unter  einander,  als  mit  ihrer  Grundform 
und  "deren  Potenzen  verstanden  werden. 

Gelangte  man  zu  diesen  Sätzen,  indem  man  einer  gegebenen  Co- 
variante oder  Invariante  TT   die   Symbole   einer  bei   ihrer  Bildung  be- 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  31.  105 

nutzten  Grundfunction  entzog^  so  kann  man  nun  überhaupt  fragen, 
was  übrig  bleibt,  wenn  man  einer  Function  TT  eine  Anzahl  von  Sym- 
bolen entzieht,  mögen  dieselben  von  einer  oder  von  verschiedenen 
Grundfunctionen  oder  endlich  von  Covarianten  derselben  herrühren. 
Die  Formel  (1)  führte  nach  Entziehung  eines  Symbols  auf  die^  For- 
men (pj  tl^,  X'"  •  Die  symbolischen  Darstellungen  dieser  Formen  haben 
offenbar  alles  das  gemein,  welches  bei  dem  üebergange  von  TT  zu  0" 
und  bei  der  Anwendung  der  Operationen  D  und  ^  nicht  verändert 
w^urde.  Dieses  Gemeinsame  ist  nichts  anderes,  als  das  Product  der- 
jenigen in  TT  auftretenden  symbolischen  Determinanten,  welche  das 
entzogene  Symbol  a  nicht  enthalten. 

In  ähnlicher  Weise  werden  w^ir,  wenn  wir  den  Formen  <jp,  i^,  %... 
ein  weiteres  Symbol  h  entziehen,  auf  eine  Reihe  von  Formen  geführt, 
welche  nur  noch  diejenigen  in  TT  auftretenden  symbolischen  Determi- 
nanten als  gemeinsamen  Factor  enthalten,  in  denen  auch  das  Symbol 
h  nicht  vorkommt. 

Fahren  wir  so  fort,  so  erhalten  wir  folgenden  Satz: 

6.  Eine  Covariante  oder  Invariante  TT,  welche  ein 
gewisses  Product  P  symbolischer  Determinanten- 
factoren  enthält,  kann  immer  durch  Üeberschiebung 
mit  Covarianten  erzeugt  werden,  welche  das  Pro- 
duct P  und  ausser  den  in  ihm  vorkommenden  keine 
weiteren  Symbole  enthalten;  TT  ist  also  in  eine  An- 
zahl von  Theilen  zerlegbar,  deren  jeder  die  Coef- 
ficienten  wenigstens  einer  dieser  Covarianten  in 
homogener  Weise  enthält. 
Wir  wollen  nun  annehmen,  es  sei  eine  Invariante  oder  Covariante 
TT  gegeben,  welche  die  Coefficienten  der  simultanen  Formen 

f,  f,  t-..,       F,  0,   W... 

enthält,  und  denken  wir  uns  der  Einfachheit  wegen  dieselbe  als  ein 
symbolisches  Product;  wäre  sie  es  nicht,  so  könnten  wir  sie  doch  in 
solche  Theile  zerlegen  und  diese  einzeln  behandeln.  Entziehen  wir 
dem  symbolischen  Producte  allmälig  alle  von  f,  cp,  xl),..  herrührenden 
Symbole,  so  erkennen  w^ir,  dass  TT  durch  successive  Ueberschiebungen 
dieser  Formen  /",  ^,  ^...  über  Formen  erhalten  wird,  welche  nur  von 
F,  Q,  W ...  abhängen,  also  über  simultane  Covarianten  von  F,  Q,  W — 
Diese  seien  P,  (?,  P...  '.  Man  kann  also  TT  als  Aggregat  von  Formen 
darstellen,  welche  nur  die  Symbole  von  f,  cp,  ip ...  und  je  einer  der 
Formen  P,  Q,  R...  enthalten.  Demnach  entstehen  diese  Theile  von 
TT  durch  Ueberschiebungen  je  einer  der  Formen  P,  ^,  R  ...  über  For- 
men, welche  nur  von  /*,  cp,  xIj...  abhängen,  d.  h.  über  simultane  Co- 
varianten von  /*,  (pj  f ... .     Und  man  kann  also  den  Satz  aussprechen; 


106  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

7.    Jede  simultane  Covariante  von 

entsteht  als  Aggregat  von  Ueberschiebungen  simul- 
taner Covarianten  von  f,  (p,  ip...  über  simultane  Co- 
varianten  von  F,  0,    W.... 
Dieser   Satz   wird   später   als  die  Grundlage  der  Untersuchung  si- 
multaner Formen  benutzt  werden. 


§  32.    Covarianten  und  Inyarianten  einer  binären  Form. 

Man  ist  durch  das  Vorhergehende  in  den  Stand  gesetzt,  auch  für 
die  Bildung  der  Covarianten  und  Invarianten  einer  Form  /'  ein  ge- 
wisses Schema  sich  zu  entwerfen.  Man  bildet  zunächst  aus  f,  indem 
man  es  über  sich  selbst  schiebt,  die  Formen  zweiten  Grades  in  den 
Coefficienten,  welehe  schon  oben  (pag.  101.)  angegeben  wurden  und 
zu  denen  nur  noch  die  nullte  Ueberschiebung  von  /'  über  sich  selbst, 
nämlich  sein  Quadrat,  hinzuzufügen  ist.  Sodann  schiebt  man  f  über 
alle  diese  Formen  0  mal,  l  mal,  2  mal  u.  s.  w.,  was  dann  die  Gesammt- 
heit  aller  Invarianten  und  Covarianten  ergiebt,  welche  vom  dritten 
Grade  in  den  Coefficienten  sind,  und  in  gleicher  Weise  geht  man  zu 
Bildungen  vierten  etc.  Grades  über. 

Die  Bildungen,  welche  man  erhält,  sind  freilich  noch  unendlich 
an  Zahl;  es  sind  noch  verschwindende  und  zerfallende  unter  ihnen, 
sowie  solche,  welche  sich  durch  andere  ausdrücken  lassen.  Von  die- 
sen Gesichtspunkten  wird  später  ausführlicher  zu  reden  sein.  Hier 
mögen  nur  zwei  Momente  hervorgehoben  werden.  Einmal,  dass  hier 
als  die  natürliche  Anordnung  aller  Bildungen  die  nach  ihrem  Grade 
in  den  Coefficienten  erscheint,  nicht  die  nach  ihrer  Ordnung  in  den  x. 
Zweitens,  dass  die  Invarianten  eine  eigenthümliche  Stellung  einneh- 
men, insofern  sie  üeberschiebungen  nicht  zulassen.  Eine  Invariante 
bildet  daher  immer  den  Schluss  einer  Reihe  von  Bildungen ;  sie  giebt 
zu  weiteren  Bildungen  von  höherem  Grade  in  den  Coefficienten  nicht 
mehr  Veranlassung. 

Um  die  Anordnung  aller  auf  dem  Wege  des  Ueberschiebens  er- 
haltenen Bildungen  in  vollständig  bestimmte  Reihenfolge  zu  bringen 
und  auf  diese  Art  ein  deutliches  Bild  des  ganzen  Systems  zu  gewin- 
nen, wollen  wir  Folgendes  festsetzen: 

1.  Die  Formen  werden  zunächst  nach  ihrem  Grade  in  den  Coef- 
ficienten geordnet,  wie  oben  gesagt  wurde. 

2.  Innerhalb  der  Formen  von  gleichem  Grade  m  kommen  zuerst 
alle  diejenigen,  welche  aus  den  Formen  (m— 1)*®^  Grades  durch  die 
nullte  Ueberschiebung  (Multiplication)  mit  f  entstanden  sind,  dann 
diejenigen,   welche   durch  die  erste  Ueberschiebung  entstehen  u.  s.  w. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§31,  32.  107 

3,  Innerhalb  einer  dieser  kleineren  Gruppen  folgen  die  Bildungen 
einander,  wie  die  Formen  (m— 1)*®°  Grades,  aus  denen  sie  entstan- 
den sind. 

Bezeichnet  man  also  die  Formen  (m— 1)*®^  Grades  in  den  Coef- 
ficienten,  auf  welche  dieser  Process  bei  einer  Form  /  von  der  w**"^ 
Ordnung  führt,  etwa  durch: 

so  ist  die  Reihenfolge  der  Formen  m*®^  Ordnung: 

(1)       (a9)aa:"-i9)«-S     {a^)aj,"-'il^J-\     {a%)  aJ^-'^xJ-K.., 
ia  (pY  a^«-2  9)^«--^,     (a  ^f  a,«-^  i^J-^^ ,     (a  xf  a,«-^  xJ-'' . . . , 
u.  s.  w. 

Das  ganze  auf  diese  Weise  aus  f  entwickelte  Formensystem  soll 
das  System  A  genannt  werden. 

Wenn  aber  oben  bewiesen  wurde,  dass  man  alle  Formen  über- 
haupt aus  den  Formen  dieses  Systems  zusammensetzen  kann,  so  wird 
auch  offenbar  keine  Form  übergangen,  wenn  man  an  Stelle  jeder 
Form  dieses  Systems  eine  Combination  derselben  mit  denjenigen  For- 
men setzt,  welche  in  dem  System  ihr  vorangehen.  Dies  führt  zu  fol- 
gender wichtigen  Betrachtung. 

Eine  Ueberschiebung  von  f  über  eine  gegebene  Form  TT  führt 
im  Allgemeinen,  wenn  TT  durch  andere  Symbole  gegeben  ist,  auf  eine 
Summe  symbolischer  Producte,  wobei  es  ganz  gleichgiltig  ist,  ob 
diese  anderen  Symbole  solche  von  f  selbst  oder  von  irgend  welchen 
Covarianten  sind.  In  der  That  folgt  dies  schon  daraus,  dass  von  TT 
zunächst  eine  Polare  gebildet  werden  muss,  wobei  dann  immer  der 
Differeuziationsprocess  eine  Anzahl  von  Gliedern  hervorruft,  wenn  nicht 
etwa  die  Ordnung  der  Polare  in  den  y  die  möglichst  höchste  ist, 
nämlich  gleich  der  Ordnung  von  TT  in  den  x. 

^  Jedes  Glied^  der  hierbei  aus  TT  gebildeten  Polare  ist  eine  Form 
-9-,  wie  sie  in  §  30.  gebraucht  wurde 5  welches  Glied  man  aber  auch 
wähle,  immer  geht  es  in  TT  selbst  über  (bis  auf  einen  nicht,  ver- 
schwindenden numerischen  Factor),  wenn  man  die  y  wieder  durch  die 
X  ersetzt.  Wendet  man  also  auf  ein  Glied  der  i>*®°  Polare  von  TT  die 
Formel  (1)  §  30.  an,  so  ist  immer  D'^O-  wieder  TT,  bis  auf  einen  nicht 
verschwindenden  Factor. 

Geht  man  dann  zu  der  Formel  (2)  jenes  Paragraphen  über,  so  steht 
links  eine  Form,  welche  entsteht,  wenn  man  in  einem  Gliede  der  Polare 
2/1,  ^2  durch  «^,  —«1  ersetzt  und  mit  der  betreffenden  Potenz  von  a^ 
multiplicirt ;  rechts  steht  die  entsprechende  Ueberschiebung,  und  so- 
dann niedere  Ueberschiebungen  über  Formen  von  gleichem  Grade  wie 
TT,  also  Formen,  welche  in  der  oben  festgestellten  Reihenfolge  der 
Formen  der  an  erster  Stelle  stehenden  Ueberschiebung  vorangehen. 


108  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Man  kann  also  statt  dieser  üeberschiebung  den  links  befindlichen 
Ausdruck  setzen.  Ein  solcher  Ausdruck  soll  als  Theil  einer  Üeber- 
schiebung bezeichnet  werden;  eine  Bezeichnung,  welche  später  in 
grösserer  Ausdehnung  eingeführt  und  erläutert  werden  wird.  Die  obigen 
Betrachtungen  lassen  sich  dann  in  folgenden  Satz  zusammenfassen: 

Das  System  A  hört  nicht  auf,  alle  Formen  zu  ent- 
halten, oder  vielmehr  alle  nur  denkbaren  Covarian- 
ten  und  Invarianten  mittelst  numerischer  Factoren 
linear   aus   seinen  Formen    zusammensetzen    zu   las- 
sen,  wenn  man  die  v^^  üeberschiebung  ii   von  /"mit 
einer  Form  TT  durch  einen  ihrer  Theile,  ^^,  ersetzt. 
Aber   andererseits   kann  man  zu  weiteren  Ueberschiebungen  jetzt 
sich  dieser  Form  ß^^  bedienen,   statt   der   aus  TT   zu   bildenden  üeber- 
schiebung P^.     Denn   da   Sl^   sich   von  Sl   nur   durch   frühere  Formen 
des  Systems  A  unterscheidet,    so   kann   auch  die  üeberschiebung  von 
5^0  mit  f  von  der  üeberschiebung  von  Sl  mit  /  nur  um  frühere  For- 
men des  Systems  A  verschieden  sein. 

Man  erhält  also  alle  Invarianten  und  Covarianten  von/" 
(worunter  ich  die  Formen  verstehe,  aus  denen  alle  möglichen  sich 
mittelst  numerischer  Factoren  linear  zusammensetzen  lassen),  wenn 
man  bei  der  Aufstellung  der  Tafel  J.  die  Operation  des  v*®" 
üeberschiebens  von  /'mit  TT  überall  ersetzt  durch  die  Ope- 
ration, dass  aus  der  i^*«"  Polare  von  TT  irgend  ein  Glied  ge- 
nommen wird,  in  diesem  y^,  y.^  durch  a^,  —a^  ersetzt  wer- 
den und  mit  «./'—"  multiplicirt  wird.* 

*   Beispiel :  Es  soll  f=.  aj*  über  die  Covariante  zweiten  Grades 

zweimal  geschoben  werden.     Man  bildet  die  Polare: 
'"  ~2    ,       2  ..  w  — 3 


(alYaJ-'hJ'-'{ah+ha). 


2  n  —  4  '       '       ^  ^  \'x    y   '      X    y 

Da  die  Symbole  a,  h  vertauschbar  sind,  so  kann  man  hierfür  setzen: 

Bildet  man  nun  wieder  die  Polare  hiervon,   also  die   zweite  Polare  der  Co- 
variante, so  hat  man: 

^^(«6f  |(«-2)a/-ä6,;--^flj,6j  +  (»-3)a/-H;-''6/|. 

Man  erhält  die  gesuchte  Bildung,  wenn  man  hierin  ^/i,  y%   durch  Cg,  —c^   ersetzt 
und  mit  cj'""^  multiplicirt,  also: 

eine  Form,  welche  aus  den  beiden  Formen 

ia  hf  («  c)  {b  c)  a  ;'  ^  '^  &/  "  ^  c/  "  ^ 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  Sä.  109 

Man  erkennt  hieraus,  wie  wandelbar  das  Formensystem  Ä  ist, 
und  wie  mannigfache  Veränderungen  in  demselben  vorgenommen  wer- 
den können,  ohne  dass  weder  die  Vollständigkeit  Abbruch,  noch 
eigentlich  die  Reihenfolge  der  Formen  eine  Veränderung  erleidet. 

Die  Vortheile,  welche  die  Ersetzung  des  Ueberschiebens  durch 
die  eben  geschilderte  Operation  hat,  sind  mannigfaltig.  Zunächst 
sieht  man,  dass  es  bei  der  neuen  Form  der  Operation  möglich  ist, 
die  ganze  Tafel  aus  Formen  zusammenzusetzen,  welche  in  den  Sym- 
bolen von  f  einfache  symbolische  Producte,  nicht  aber  Summen  von 
solchen  sind.  In  der  That  hat  man,  um  von  den  Formen  {m  —  iy^^ 
Grades  za  denen  des  -m^^"^  Grades  überzugehen,  nur  in  jeder  Form 
(m  —  l)*^°  Grades  beziehungsweise  in  1,  2...  der  linearen  symbolischen 
Factoren  x^,  x,^  durch  «o;  —a^  zu  ersetzen  und  mit  6r.r"~S  a.r"~'*... 
zu  multipliciren. 

Stellt  es  sich  hierbei  heraus,  dass  man  auf  irgend  ein  symboli- 
sches Product  kommt,  welches  entweder  identisch  Null  oder  aus  frü- 
heren Formen  der  Tafel  linear  zusammensetzbar  ist,  so  kann  man  das- 
selbe ganz  übergehen;  denn  Alles,  was  aus  ihm  entstehen  könnte, 
wäre  immer  aus  Formen  zusammensetzbar,  welche  der  jedesmal  behan- 
delten Bildung  in  dem  ursprünglichen  oder  dem  modificirten  Systeme 
A  vorangehen. 

Man  kann  sich  von  diesem  Standpunkte  aus  eine  Vorstellung 
bilden  über  die  Lösung  des  wichtigsten  Problems,  welches  diese  Theorie 
zu  lösen  hat,  nämlich  der  Aufstellung  eines  vollständigen  Sy- 
stems von  Invarianten  und  Covarianten  einer  Form;  d.  h. 
eines  Systems  solcher  Covarianten  und  Invarianten,   als   deren   ganze 


zusammengesetzt  ist.  Die  letzte  Form  fällt  fort,  wenn  m<<4,  und  die  Untersuchung 
der  Bildung  mag  für  diesen  Fall  damit  abgeschlossen  sein.  Ist  dagegen  w^4,  so 
kann  man  der  ersten  mit  Anwendung  der  Identität  §  15.  IL  auch  die  Gestalt  geben : 

\  {ahf  a;-'  5/-*  C/-2  {{acf  bj  +  (bcf  «/-  (ahf  cj\ , 
oder,  da  die  ersten  beiden  Theile  identisch  sind: 

so  dass  die  gesuchte  Ueberschiebung  auch  die  Form  annimmt: 

(ahf  ibof  «;■-'  6/-*  o/-^  -  j^  (ah)*  a^-*  b^'-  f- 
Diese  Bildung  besteht  aus  dem  Producte  der  früheren  Formen 
f,      {ab)*af-Hj'-\ 

{ab)\bcfa:-H,"-*c:-\ 


und  aus  dem  Theile 
welcher  aus  dem  Gliede 


(«0)    «X  ^x  ^ 


y 
der  zweiten  Polare  entsteht,   indem  man  3/1,  3/2    durch  Cg,  —  Ci   ersetzt  und  mit 

cj*""^  multiplicirt. 


110  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

rationale  Function  mit  numerischen  Coefficienten  eine  jede  Invariante 
oder  Covariante  von  /'  sich  darstellt.  Es  giebt,  wie  sich  zeigen  wird, 
immer  ein  endliches  System,  welches  dieser  Bedingung  genügt;  dasselbe 
ist  nicht  völlig  fest,  insofern  Formen  gleichen  Grades  und  gleicher  Ord- 
nung dabei  verschiedenartig  combinirt  werden,  und  höhere  Formen 
durch  Hinzufügung  von  Potenzen  und  Producten  niederer  modificirt  wer- 
den können.  Doch  genügt  es  offenbar  in  jedem  Falle,  wenn  man  ein 
vollständiges  System  aufgestellt  hat.  Solche  Systeme  sind  ganz  ver- 
schiedenen Charakters  für  Formen  verschiedener  Ordnungen,  und  die 
Bildung  derselben  erfordert  jedesmal  besondere  Betrachtungen.  Aber 
um  den  Beweis  zu  liefern,  dass  ein  solches  System,  wenn  es  gegeben 
vorliegt,  wirklich  alle  Bildungen  umfasst,  welche  zu  berücksichtigen 
sind,  bedürfen  wir  jedesmal  nur  der  oben  entwickelten  allgemeinen 
Sätze.     Sei 

^1 ;  ^2 ?  •  •  •  -^vj  ^1,  B^,  .  .  .  B(J 
das  fragliche  System  von  Covarianten  und  Invarianten,  wobei  die  Ä 
Covarianten,  die  B  Invarianten  bedeuten  sollen.  Jedenfalls  enthalten 
diese  Formen  die  Form  f  selbst,  und  da  dieses  die  einzige  Form 
ersten  Grades  in  den  Coefficienten  ist,  welche  man  überhaupt  bilden 
kann,  so  enthält  das  System  der  Äi  und  Bi  in  der  That  alle  Formen 
ersten  Grades.  Nehmen  wir  nun  an,  dass  für  alle  Formen  bis  zum 
(m  — 1)*®"  Grade  inclusive  die  Formen  J.«,  Bi  das  vollständige  System 
in  der  That  bilden,  und  beweisen  wir,  dass  dieses  dann  auch  noch 
für  die  Formen  m*®^  Grades  in  den  Coefficienten  gilt,  so  ist  die  Voll- 
ständigkeit des  Systems  der  Ai,  Bi  allgemein  nachgewiesen. 

Man   hat   also   nur   zu  zeigen,    dass   die   Ueberschiebungen  von  f 
über  Producte  (m  — l)*^'^  Grades  von  der  Form 

(denn  so  nur  entstehen  nach  dem  Obigen  Formen  m*®^  Grades)  wie- 
der ausschliesslich  auf  Formen  führen,  welche  durch  Aggregate  von 
Producten  der  Äi  und  Bi  ausdrückbar  sind.  Dabei  kann  man  aber 
wieder  die  Operation  des  üeberschiebens  durch  die  oben  entwickelte 
Modification  ersetzen,  nach  welcher  man  nur  in  X  <  n  symbolischen 
linearen  Factoren  von  TT  die  x  durch  ao,  —a^  ersetzt  und  mit  a^"~"^ 
multiplicirt.  Indem  man  die  hierzu  auszuwählenden  symbolischen  Fac- 
toren auf  einige  der  in  TT  auftretenden  Covarianten  zusammendrängt, 
sieht  man,  dass  es  sich  nur  noch  um  eine  beschränkte  Anzahl  von 
Bildungen  handelt,  av eiche  zu  untersuchen  sind  und  welche  als  aus 
Producten  der  Ä,  B  zusammensetzbar  nachgewiesen  werden  müssen; 
eine  endliche  Anzahl,  welche  durch  geschickte  Anordnung  möglichst 
zu  verkleinern  ist. 

Auf  diese  Weise  wird  der  betreffende  Beweis  unten  bei  den  For- 
men dritter  und  vierter  Ordnung  geführt  werden. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §33.  111 

§  33.    Die  binären  Formen  zweiter  Ordnung.  * 

Die  vorstehend  entwickelten  Gesiclitspunkte  genügen,  um  voll- 
ständig die  Formen  zweiten,  dritten  und  vierten  Grades  zu  behan- 
deln, welche  durch  ihren  Zusammenhang  mit  der  Auflösung  der  Gleich- 
ungen zweiten,  dritten  und  vierten  Grades  ein  besonderes  Interesse 
haben.  Indem  ich  zu  der  Behandlung  dieser  Formen  jetzt  übergehe, 
wird  sich  zugleich  die  i\.uflösung  dieser  Gleichung  ihrer  wahren  Natur 
nach  herausstellen  5  zugleich  aber  werden  die  für  die  Begrenzung  der 
entstehenden  endlichen  Anzahl  von  Covarianten  und  Invarianten  zu 
führenden  Beweise  die  oben  entwickelten  Principien  erläutern. 

Was  die  quadratischen  Formen  betrifft,  welche  durch  die  sym- 
bolischen Ausdrücke 

f=aj  =  -bj'... 

definirt  sind,  so  ist  schon  wiederholt  von  der  Invariante 

die  Rede  gewesen,  welche  durch  die  zweite  Ueberschiebung  von  f 
über  sich  selbst  entsteht.  Der  pag.  41.  gegebene  Satz,  dass  jedes  einen 
Factor  {ah)-'"~'^  enthaltende  symbolische  Product  auch  so  dargestellt 
werden  kann,  dass  es  (aft)-"*  enthält,  lehrt  nun  sofort,  dass  jede  Co- 
variante  oder  Invariante  TT  von  f,  welche  überhaupt  symbolische  De- 
terminantenfactoren  ergiebt,  immer  D  als  Factor  enthält.  Jede  solche 
Form  TT  zerfällt  also  in  das  Product  von  D  mit  einer  in  den  Coef- 
ficienten  niederen  Form,  und  man  sieht  also,  dass  jede  Form  TT  aus 
einer  Potenz  von  D  bestehen  muss,  multiplicirt  mit  einer  Form,  welche 
keine  symbolischen  Determinantenfactoren  mehr  enthält,  also  eine  Po- 
tenz von  f  ist. 

Und  so  hat  man  den  Satz: 

Eine    Cj[uadratische    Form     besitzt    keine    Cova- 
riante   und   nur   eine  Invariante,   nämlich   D. 

Diese  Invariante  ist  selbstverständlich  zugleich  die  Discriminante, 
was  auch  mit  ihrem  Grade  in  den  Coefficienten  übereinstimmt  und 
ausserdem  in  §  29.  bereits  gefunden  wurde. 

Die  allgemeinste  Form  der  J^uflösung  einer  c[uadratischen  Gleich- 
ung /*=  0,  d.  h.  die  Aufsuchung  ihrer  linearen  Factoren  in  symmetri- 


*  Die  hier  folgenden  Auflösungen  der  Gleichungen  zweiten,  dritten  und  vier- 
ten Grades  gab  Herr  Cayley  im  Wesentlichen  schon  im  fifth  memoir  upon  Quan- 
tics,  Phü.  Trans,  vol.  148.  Die  Untersuchung  des  Formenzusammenhangs,  ins- 
besondere die  Amv^endung  des  Processes  8  bei  den  cubischen  und  biquadratischen 
Formen,  entstand  aus  Uebertragung  einer  von  Herrn  Aronhold  im  55.  Bande  des 
Borchardt'schen  Journals  bezüglich  der  ternären  cubischen  Formen  gegebenen  Me- 
thode. 


112  '  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Foraiien 

scher  Gestalt,  knüpft  an  die  symbolische  Darstellung  von  JD  unmittel- 
bar an.     Quadriren  wir  die  Identität 

a.r'by  —  hjcay  =  (ah)  (xy), 

^  und  lassen  wir  a  und  h  dann  Symbole  von  f  bedeuten ,  so  erhalten  wir : 

(1)  D  .  (xyY  =  aj  .  h,/  —  2aa:ay.h^l)y  +  a/  .  hj. 

Rechts  ist  der  erste  Term  mit  dem  dritten  identisch;  a/  oder  hjc^ 
ist  die  Form  f  selbst^  ay^  oder  &/  dieselbe  Form  mit  willkürlichen, 
etwa  constant  zu  denkenden  Argumenten  y  geschrieben,  was  durch 
f^  bezeichnet  werden  mag;  endlich  ist 

acctty^hjchy 

das  Quadrat  des  in  den  x  linearen  i^usdrucks  (p  —  axCiy-     Man   erhält 
daher  aus  (1): 

f= — f — 

Die  rechte  Seite  ist  hier   ohne   Weiteres  in  Factoren   zerfallbar,    und 
man  hat  also: 

\fp  +  {^y)y  -^\^  'yp-i.xy)]/ -'2] 

Die  Auflösung  der  Gleichung  {=^0  besteht  darin,  dass  man  einen 
ihrer  linearen  Factoren  gleich  Null  setzt,  also  entweder 

<P  +  (^y)]/-2'  =  ^     oder 

9^-(^y)J/  --2=^7 

und  das  Yerhältniss  der  x  daraus  bestimmt. 

Ist 

J     — —    (t,\X-t         "p"    iJ    CIa    JÜi    JÜ;.)    ~Y~     (A/2Xii      , 

so  ist 

^  =  («0  yi  +  (^1  ^2)  ^1  +  (^1  ^1  +  «2  y2)  ^2  7 

I)  =  2  {a^a.2  — a^). 

Die  Auflösung  der  Gleichung  f=  0  findet  man  also  aus  der  linea- 
ren Gleichung: 

K2/1  +  ^1  ^2)  ^1  +  (ö^i^i  +  0^2  ?/2)  ^2  ±  C^i  y-i  —  2/1^2)  V(^i-  «0^2  ==  <^; 

aus  welcher  folgt: 


^'1  ^    ^1  yi  +  a,  y^ '-]-  yi  V(^i'-  %  ^2. 

^2  %y^  +  ö^i2/2  ±  2/2  V(^i-  «0^2 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  33.  113 

Die  Grössen  y  haben  nur  scheinbar  Einfluss  auf  den  Werth  dieses 
Ausdrucks  und  dienen  nur  dazu,  gewissermassen  alle  Formen  gleich- 
zeitig darzustellen,  welche  die  Auflösung  anzunehmen  vermag;  jede 
besondere  Form  derselben  erhält  man,  indem  man  den  y  specielle 
Werthe  beilegt.  Aber  unter  diesen  Formen  ist  keine,  welche  vor  der 
andern  besondere  Vorzüge  hat. 

Die  geometrische  Betrachtung,  durch  welche  diese  Auflösung  der 
quadratischen  Gleichungen  interpretirt  werden  kann,  ist  folgende.  Die 
vier  Elemente 

{xy)=0  (der  Punkt?/), 
(jp  =  0. 


von  denen  die  beiden  letzten  die  Factoren  von  f  geben,  bilden  ein 
harmonisches  System.  Indem  man  also  ein  beliebiges  Element  y  an- 
nimmt und  zu  ihm  und  denen,  für  welche  f  verschwindet,  das  vierte 
harmonische  sucht,  erhält  man  das  Element  ^  =  0.  Legt  man  diese 
beiden  zu  Grunde,  indem  man  etwa 

ixy)  =  ^,      (p  =  7] 
setzt,  so  gehören  die  Elemente,  für  welche  f  verschwindet,    einer  In- 
volution an,   welche  ^  =  0  und  7^  =  0  zu  Doppelelementen  hat  (§25.). 
Diesem  Umstand  entsprichj;  es,  dass  die  Gleichung  qp  =  0  in  die  reine 
quadratische 

übergeht,  und  indem  man 

daraus  findet,  erhält  man  das  besondere  Elementenpaar  der  Involution, 
für  welche  das  Verschwinden  von  f  eintritt. 

Bei  positivem  Werthe  der  Discriminante  sind  die  Wurzeln  einer 
quadratischen  Gleichung  mit  reellen  Coefficienten  conjugirt  imaginär, 
bei  negativem  reell. 

Die  binären  Formen  zweiter  Ordnung  enthalten  nur  einen  spe- 
ciellen  Fall,  den  nämlich,  in  welchem  die  Discriminante  verschwindet 
und  f  ein  volles  Quadrat  wird.  Für  die  Auflösung  tritt  dann  an  Stelle 
von  f=  0  die  lineare  Gleichung  (p  =  0,  deren  linke  Seite  mit  f  in 
diesem  Falle  durch  die  Gleichung 

/o 
verbunden  ist. 

Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Forraeu.  O 


114  Vierter  Absclinitt.     Theorie  der  Formen 

§  34.    Covarianten  und  InTarianten  der  cubischcn  Formen. 

Eine  cubisclie  Form  f  besitzt  nacli  §  30.  zunächst  eine  Form 
zweiten  Grades  in  den  Coefficienten,  welche  zugleich  von  der  zweiten 
Ordnung  ist,  die  Form 

(1)  A  =  {ahYa^h:,. 

Bedenkt  man,  dass  aus  jeder  einer  Form  (n— 1)*®^  Ordnung  zu- 
gehörigen Covariante  oder  Invariante  offenbar  eine  einer  Form  w*" 
Ordnung  zugehörige  Covariante  entsteht,  indem  man  jedem  Symbol 
entsprechend  einen  linearen  Factor  hinzufügt,  so  erkennt  man,  dass 
A  sich  aus  der  Invariante  JD  der  quadratischen  Formen  unmittelbar 
ableitet,  indem  man  nur  die  Factoren  a^r,  K  derselben  hinzusetzt.* 

Bezeichnen  wir  symbolisch  die  quadratische  Form  A  durch  A^^ 
oder  A'^.^,  so  hat  die  dieser  zugehörige  Invariante,  welche  zugleich 
Invariante  yon  /  ist,   zunächst  in  den  Symbolen  A  die  Form 

(2)  E=(AA7.** 

Es  ist  nach  §29.  die  Discriminante  von  f. 

Wollen  wir  in  dieselbe  die  Symbole  von  f  einführen,  so  können 
wir  zunächst  A'  herausschaffen,  indem  wir  davon  ausgehen,  dass  R 
aus  AV  entsteht,  indem  man  x^  durch  Ag,  x^  durch  —  A^  ersetzt. 
Nimmt  man  nämlich  für  A'^^  seinen  Ausdruck  in  den  Symbolen  von  f: 

so  findet  man 

(3)  E  =  {a})f{al\){ljh). 

Will  man  auch  die  Symbole  A  beseitigen,  so  kann  man  sich  die 
letzte  Form  von  U  entstanden  denken,  indem  man  in  A.^  A^  für 
x^y  x^  die  Symbole  «2>  ~f^i>  ^^^  Vu  Vz  ^i®  Symbole  h^j  —l\  setzt 
nnd  dann  mit  {alSf  multiplicirt.  Schreibt  man  nun  mit  Anwendung 
neuer  Symbole: 

so  ist,  indem  man  nach  den  x  differenzirt,    mit  den  y  entsprechend 
multiplicirt  und  die  halbe  Summe  der  Producte  nimmt: 

A.rA,j  =  ^{cd)^{Ca:dy  +  d:cCy)f 


*   Ist  f=aoXi^-\-SaiXi^X2  +  Sa2XiOC2^-{-a3X2^, 
so  hat  man 


A 


«0^1  +  Cli  ^2      Cl\  ^1  -f"  «^2^2 
«1  Xi  +  «2  ^2       Öt2  X^  +  «3  X2 


ao 

«1 

X2' 

=  2 

«j 

«2 

-  X^  X2 

«2 

«3 

X,^ 

■=  2  («0  «2  —  0^1  ^)  ^1  ^  +  2  («0  %  —  «1  «2)  x^X2  +  '2L  (a^  %  —  «2')  ^a" 
**    i^  =  2  1 4  («0  «2  —  «1  ^)  (%  <*3  —  «2^)  —  iflo  dz  —  «1  ttif  \  • 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  34.  115 

was  übrigens,  da  die  beiden  Theile  der  rechten  Seite  durch  die  un- 
wesentliche Vertauschung  von  c  mit  d  in  einander  übergehen,  und 
also  in  Wirklichkeit  gleich  sind,  durch 

(4)  t,,rt^y  =  {cdfc^dy 

ersetzt  werden  kann.  Man  hat  also,  wenn  man  nun  die  oben  an- 
gedeuteten Operationen  ausführt,  endlich  ü  in  den  ursprünglichen 
Symbolen  ausgedrückt  mittelst  der  Formel: 

(5)  2?  =  {ahy-  {cd)^  {ac)  (bd). 

Für  die  Berechnung  von  li  hat  die  Formel  (2)  den  Vorzug,  dass 
man  R  aus  den  schon  berechneten  Coefficienten  von  A  einfach  zu- 
sammensetzt; aber  auch  für  die  theoretische  Betrachtung  ist  der  Aus- 
druck (2),  welcher  sich  aus  Symbolen  einfacher  zusammensetzt,  wich- 
tiger als  (3)  und  (5).  Nicht  auf  die  Endausdrücke  durch  die  Coef- 
ficienten der  ursprünglichen  Form  kommt  es  wesentlich  an,  sondern 
auf  die  einfachen  und  charakteristischen  Zusammenhänge  der  verschie- 
deneu Bildungen  unter  einander. 

Da  A  nur  eine  Invariante  liefert,  so  können  neue  Formen  zu- 
nächst nur  durch  Ueberschiebung  von  A  und  f  hervorgehen.  Es  giebt 
solcher  Ueberschiebungen  zwei.     Die  erste  ist  die  neue  Form 

(6)  ()  =  (cA)c.2A.,.* 

Man  drückt  sie  durch  Symbole  von  f  allein  aus,  indem  man  wie- 
der von  der  Formel  (4),  jetzt  in  der  Gestalt  A,cAy  =  {ahYaa:hy,  aus- 
geht. Setzt  man  in  dieser  y^=i  —  c.^,  Vi  —  ^i  ^^^  multiplicirt  mit  (cA), 
so  geht  Aa:Ay  in  Q  über;   man  hat  also 

(7)  Q=={ahY{cb)cJa^. 

Die  zweite  Ueberschiebung  von  /"  mit  A  verschwindet  identisch 
und  giebt  dadurch  eine  charakteristische  Eigenschaft  von  A  an.  Man 
hat  nämlich  nach  (1) 

(c  AY  Ca,  =  (a  hy  {a  c)  (b  c)  c.r ; 
nun   ändert   aber   das   Product   {al))  (ac)  {hc)  nur  sein  Zeichen,    wenn 
man  c  mit  a  oder  h  vertauscht;  es  ist  daher  auch: 

{cAY  Cr  =  iiah)  {ac)  (hc)  \{ah)  c^  -  {ch)  a^  -  (ac)  K\. 
Da  nun  nach  §  15.  I.  der  eingeklammerte  Ausdruck  identisch  ver- 
schwindet, so  hat  man  den  zu  beweisenden  Satz: 

Die    zweite    Ueberschiebung    von    A    mit   f   ver- 
schwindet identisch. 


*    Ausgeführt : 

Q  =  (ao^aa  -  3ao«i  «a  +  2a,3)  ic,^  +  3  (,ao«i  «3  -  Saoaa*  -f  üi^az)  Xi^x^ 

-  3  («0  «2  «3  -  "2  «,  ^  «3  +  «1  «2^;  "^l  ^2-  -  («0  ff 3^  "  3  rt ,  «2  «3  +  2  «2^)  .-^2^ 


llß  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Da  ferner  jeder  symbolische  Ausdruck,  welcher  den  symbolischen 
Factor  (c A)-  enthält,  durch  Ueberschiebung  der  linearen  Covariante 
(cA)^Cr  niit  anderen  Formen  entsteht,  so  verschwindet  auch  ein  solcher 
Ausdruck  immer,  und  es  gilt  der  Satz: 

Jeder  den  symbolischen  Factor  (cAy^  enthaltende 
Ausdruck  verschwindet  identisch. 
Es  wird  sich  zeigen,  dass  mit  A,  II ^  Q  der  Kreis  von  Bildungen 
überhaupt  abgeschlossen  ist. 

§  35.    Die  Covariante  Q, 

Eine  wichtige  Eigenschaft  der  Form  Q  tritt  hervor,  wenn  man 
ihre  erste  Polare  bildet.  Es  ist  das  Symbol  Qjr  durch  die  Formel 
definirt : 

e/-(cA)c/A,, 
daher  hat  man 

3  Q/  Qy^  (cA)  \  c/Ay  +  2  c.  c,  A,  \ 

-  {cA)\  3  c/  A,,  +  2  c^  {Cy  A,  -  c^  Ay)  j. 

Da  nun  CyA^^  — Ca,  Ay— {cA)  (xy)  [§  15.  (VII)],  so  enthält  der 
zweite  Theil  rechts  {c  AJ^  als  symbolischen  Factor  und  verschwindet 
demnach  identisch.  Es  ist  also  die  erste  Polare  von  Q  in  der  ein- 
fachen symbolischen  Form  darstellbar: 

(1)  QJQy  =  {cA)cJA,. 

Aus  dieser  Formel  fliessen  die  Ausdrücke  der  Ueberschiebungen 
von  Q  mit  f.     Die  erste  ist 

{a  Q)  aj  QJ  =  [^c  A)  (a  A)  cj  a/ ,         oder  nach  §  15.  (II) : 
=  i  c,  a.,  S  {c  Af  aj  +  (a  Af  cJ  -  {a  cf  AJ  \ 

oder    endlich,    da    die    ersten    beiden    Theile    rechts    identisch    ver- 
schwinden : 

(2)  {aQ)aJQJ=:-iA\ 

Ferner  ist,  indem  man  in  (1)  x  mit  y  vertauscht,  und  a^,  —  ^i 
I'ii'  ?/i  5  1/2  «titzt,  die  zweite  Ueberschiebung: 

{a  QY  CK.  Q.r  =  {c  A)  (a  cf  a.  A., . 

Aber  nach  §  34.  (4)  wird  {acYa^^eA)  aus  A'.^.  A'y  erhalten, 
wenn  man  y^  durch  A^,  2/2  durch  —  A^  ersetzt.     Daher  ist: 

(3)  {a  QY  a^  &  =  ( A'  A)  A,  A',  -  0 , 

identisch   gleich  Null,   weil   es   durch  die  nichtssagende  Vertauschung 
von  A  mit  A'  das  Zeichen  ändert. 

Endlich  wird  die  dritte  Ueberschiebung: 

(4)  (a  QY  =  {c  A)  {a  cY  [a  A)  =  B.  [§  34.  (3)  ] 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  34,  35.  117 

Diese  Gleichung,  zusammen  mit  (3)  giebt  den  Satz: 

Jede    Form,    welche     den    symbolischen    Factor 

{aQf  hat,  besitzt  den  wirklichen  Factor  R. 

Denn  nach   §  31.   Satz  6.   entsteht  jeder  solcher  Ausdruck  durch 

üeberschiebung  anderer  Formen  über  solche,  welche  den  symbolischen 

Factor  {a  Qf  und  kein  anderes  Symbol  enthalten,  also  übei*  (aQf  üx  Qx 

und  {aQf\  von  diesen  aber  verschwindet  die  erste,  die  zweite  giebt  R. 

Ich    bemerke,    dass   die   Formel   (2)   als  Folge   eines  allgemeinen 

Princips  erscheint,  wenn  man  den  Satz  beweist: 

Die  Functionaldeterminante  (erste  Üeberschie- 
bung) einer  Function  mit  der  Functionaldeter- 
minante zweier  anderen  ist,  wenn  alle  Formen  von 
höherer  als  der  ersten  Ordnung  sind,  immer  eine 
Summe  von  Producten  niederer  Formen. 
Seien,  um  dies  zu  beweisen,  drei  Formen  von  höherer  als  der 
ersten  Ordnung  gegeben: 

Die  erste  üeberschiebung  der  beiden  ersten  ist 

Daher  die  erste  Polare  von  Q 
m-\-n  —  2 

und  also  die  erste  üeberschiebung  von  Q  mit  %,  welches  die  gesuchte 
Form  ist: 

=  n,  +  n-2  ä  ^'^'-^^  ^"^^^  ^-'""'  ^'-""'  ^^'~' 

+  (n-1)  ixl^x)  (f.v"'-^  tx""-^  Xr^-^  \ . 

Nun  ist  nach  §  15.  (II) 

(9>  ^)  (9>  l)  t.r  X^r  =  i\  {(f  tf  %.r'  +  {(f  XY  ^'--^  "  (t  XY  9^-r^! 

(^  9^)  (i^  x)^-x^  =  i\  it  ^Y  %--  +  (4^  xY  ^^'  -  (9  xY  t/ ! ; 

daher,  wenn  man  dies  einführt: 

wo  0,  y,  X  die  folgenden  zweiten  üeberschiebungen  bedeuten: 

^=:{txYt."-''  xs^-'' 

(6)  'VI='(X^YX^'-'   9P.r'"-2 


Q^m^n-3  Q^  _  ;^f-^^  \  (m  -  1)  9^.-'"- >,  t. 


118  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Dies  ist  die  im  Satze  erwähnte  Darstellung.  In  unserem  Falle 
ist  /'  für  9),  A  für  1/;,  also  Q  für  Q,  endlich  wieder  f  für  %  zu  setzen, 
und  m  =  3,  n  =  2,  p  =  3.  Es  ergiebt  sich  ferner  0  =  0,  X  =  0, 
¥-:A,  und  damit  die  Formel  (2). 

Eine  zweite  Eigenschaft  der  Form  Q  besteht  darin,  dass  ihr 
Quadrat  sich  durch  A,  /*,  R  ausdrücken  lässt.     Da 

so  ist 

Q' ^{aA)  (hA')  ajbj  A.  A'^.. 

Setzen  wir  hier  zunächst  für  (hA')  a^  den  Ausdruck  [§  15.  (I)|: 

(aA')&x-(«6)A\., 

so  zerfällt  Q^  schon  in  das  Aggregat  zweier  Producte: 

§2  ==  {a  A)  {a  AO  A,  A',  a:,.f-{ah)  {a  A)  a^  hj  A^  .  A. 

Es  ist  ferner  nach  §  15.  (II): 

{a  A)  {a  A')  A,  A',  =  ^  j  {a  Af  A'J  +  (a  AJ  A/  -  ( A  A^  aj  \ , 

wo  das  von  den  ersten  beiden  Gliedern  rechts  herrührende  wieder 
identisch  verschwindet,  und  daher 

(aA)  {aA')  A^  A'^a^==  -  i  R  .  f. 
Endlich,  wenn  man  in 

{ah)  {a  A)  aa:hj  Ajc 

a  mit  h  vertauscht  und  die  halbe  Summe  beider  Ausdrücke  setzt, 
hat  man: 

{a h)  (aA)  a.r  &/  A^;  =  i  {ab)  a^;  &x  A^  i {a  A)  ha,  —  (h  A)  aj:\ 
=  ^{ahya^h^.  AJ  =  \A\ 

Die  Formel  für  Q^  wird  also 
(7)  Q^  =  -^\6?  +  It.p\ 

eine  Formel,  auf  welcher,  wie  man  sehen  wird,  die  Auflösung  der 
cubischen  Gleichungen  beruht,  und  welche  das  Quadrat  der  einzigen 
Form  ungeraden  Charakters  (§  16.)  durch  die  Formen  geraden 
Charakters  ausdrückt. 

Auch  diese  Eigenschaft  von  §  kann  auf  eine  allgemeine 
Eigenschaft  des  Quadrats  einer  Fiinctionaldeterminante 
zurückgeführt  werden.  Behalten  wir  die  oben  gebrauchten  Be- 
zeichnungen bei,  so  ist  das  Quadrat  der  Functionaldeterminante  Q  von 
(p  und  ip: 

Q^  =  {g)t)  (pa^-^tx''-^  .  (9?>0  W"'^  i/'^'""^  • 

Ersetzt  man  (cp'  tp')  ip^  durch  seinen  Wertli  nach  §  15.  (I): 
(9?'  ^')  ipjc  =  {(p'  t)  t'cv  +  it  ^0  9^  X  ?  so  zerfällt  Q^  in  die  Summe 
zweier  Producte: 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  35,  36.  119 

wo 

Man  transformirt  ferner  Ä  durch  die  Identität  §  15.  (II),  nach 
welcher : 

(9^  1^0  ((p'  ^)  9),  9)':.  -  i  I  (9  iPY  (pj-^  +  (9)'  ^)2  tpj  -  (9)  9)7  ^,2 }  ^ 

und   erhält,    indem   zwei  Glieder   als   gleichbedeutend  sich  zusammen- 
ziehen [vgl.  (6)]: 

^  =  X.9P-iM¥,  wo 

(8)  M  =  (9^9>')-9).,— 29).;— 2. 

Dagegen  vertauscht  man  in  B  tfj  mit  ?/.''  und  ersetzt  dann  B  durch 
die  halbe  Summe  des  ursprünglichen  Ausdrucks  und  des  neuen;  es 
ist  dann: 

=  -  i  {n^ty  tx^-'  ^ar'"-' .  9>  =-  -  i  N  9), 

wenn 

(9)  '  N  =  (t/;t^')-^^"--^x'"-2 
gesetzt  wird. 

Man  hat  also  endlich 

(10)  Q'  =  -^{tAt^-2\(p^^H  <p') , 

eine  Formel,    durch    welche   das  Quadrat   der  Functionaldeterminante 
auf  die  zweiten  Ueberschiebungen  M,  X,  N  zurückgeführt  wird. 

Ganz  ebenso  erhält  man  für  das  Froduct  zweier  Functionaldeter- 
minanten  die  Formel 

(11)  QQ'  =  -i{Mt^-Pjl^X-I-(p^  +  ^(px\, 

wo 

..^.  Q  =  (9^^)9^/"-W'x"-' 

^"^  Q'  =  (;t^)XxP-'^.'-S 

und  wo    M,   P,   Z,   N   die    folgenden    zweiten  Ueberschiebungen    be- 
deuten : 

M=-(9>;c)-9x"'--  x^^-' 
^^^  ^={txyt."-'  Xr^-'    ■ 

§  36.    Die  zusammengesetzte  Function  k  f-^  X  Q. 

Aus  der  Form  f  können  wir,  da  die  Covariante  Q  ebenfalls  von 
der  dritten  Ordnung  ist,  eine  Schaar  von  Formen  dritter  Ordnung, 
^  f+  ^  Q  bilden.   Die  gemeinschaftlichen  Eigenschaften  dieser  Schaar, 


120  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

welche  mit  der  Auflösung  der  cubischen  Gleichungen  in  genauem 
Zusammenhange  stehen,  sollen  jetzt  untersucht  werden.  Es  handelt 
sich  darum,  A,  Q,  B  für  diese  zusammengesetzte  Function  zu  bilden, 
Ausdrücke,  welche  durch 

AxA,     Q^Xj    B^i 

bezeichnet  werden  sollen.  Es  wird  sich  zeigen,  dass  diese  Formen 
sich  aus  den  uns  bereits  bekannten  zusammensetzen. 

Bezeichnen  wir  durch  a^,  a^j  «2,  «3  die  Coefficienten  von/*,  durch 
^0?  ^i?  ^2?  ^3?  ^^®  ^^^  Q'  ^^^  Formen  Ah;i,  Q-aX,  R^l  entstehen  aus 
A,  Q,  Bj  indem  man  darin  die  Grössen  ai  durch  die  Grössen 
K((i-\-^cCi  ersetzt.  Daher  ist  A-^  von  der  zweiten,  Q^^j^  von  der  drit- 
ten, Byii  von  der  vierten  Ordnung  in  ;c,  A.     Setzt  man 

Ax  i  =  Jc-^  A  +  z  A  Ai  +  A2  A^ 

Q^x  =  ^'Q  +  k'^Q,  +  ^  ^'  Q,  +  A^  Q, 

B^^j^  =  %^  B^Tv'XB,^  %"•  X'  B.^^  %  )?  B,^-\-  A4 B^, 

wo  die  ersten  Coefficienten  (für  z  =  1 ,  A  =  0)  offenbar  wieder  die 
ursprünglichen  Bildungen  sind,  so  werden  insbesondere  die  zweiten 
Coefficienten  durch  die  Formeln  (vgl.  §  3.) 


Aj  =  I  a, 
B^  =  I.  ai 


dA 
dat 
dQ_ 
d  üi 
dB 
Bat 


gegeben.     Bezeichnen   wir  nun  durch  ö  (p  die  Anwendung  der  Opera- 

d  .  . 

tion    Hat- — auf  irgend  eine  Form  9,   so  dass  die  obigen  Ausdrücke 

c  dl 

ÖA,  öQj  öB  sind,  und  dass  allgemein 

^  dcp  .         dcp  .         d(p  ^         dcp 

Es  sollen  zuerst  die  Ausdrücke  öA,  dQ,  dB  untersucht  werden. 
Bemerken  wir  zu  diesem  Zwecke  Folgendes.  Wenn  wir  auf  einen 
in  symbolischer  Form  gegebenen  Ausdruck  die  Operation  d  anwen- 
den, so  müssen  wir  den  Ausdruck  uns  in  seine  wirkliche  Form 
gebracht  denken  und  dann  die  Operation  ausführen.  Die  Differen- 
tiation nach  den  a  aber  können  wir  uns  zusammengesetzt  denken 
aus  der  Differentiation  nach  den  verschiedenen  Reihen  von  a,  die  aus 
den  verschiedenen  Symbolreihen  entspringen.  Das  Gesammtresultat 
ist  die  Summe  der  Ausdrücke,   welche  die  Anwendung  der  Operation 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  36,  121 

auf  die  einzelnen  Reihen  liefert.  Da  nun  jede  Reihe  linear  auftritt, 
so  haben  wir,  um  die  einzelnen  Ausdrücke  zu  erhalten,  nur  eine 
solche  Reihe  durch  die  a,  d.  h,  die  entsprechenden  Symbole  durch 
die  Symbole  von  Q  zu  ersetzen.     Es  gilt  also  folgende  Regel: 

Das  Resultat  der  Anwendung  der  Operation  d 
auf  einen  symbolisch  gegebenen  Ausdruck  cp  ist  die 
Summe  der  Ausdrücke,  welche  man  erhält,  wenn 
man  immer  für  eines  der  ursprünglichen  Symbole 
ein  Symbol  von  Q  setzt. 

Symmetrisch  auftretende  Sj^mbole  liefern  dabei  genau  dasselbe, 
die  Summe  der  von  ihnen  herrührenden  Terme  kann  daher  sofort 
durch  ein  Vielfaches  eines  derselben  ersetzt  werden. 

Der  Ausdruck  öf  ist  Q  selbst.  Dagegen  findet  man  nach  der 
obigen  Regel 

(1)  8A  =  2{aQya.Q,  =  0 

[siehe  §  35.  (3)].  Die  Coefficienten  von  A  also  geben,  der  Operation  d 
unterworfen,  stets  Null;  daher  kann  man  auch  die  Symbole  von  A, 
wo  sie  in  einer  der  Operation  d  unterworfenen  Form  auftreten,  un- 
berücksichtigt lassen.     So  ist  denn  ohne  Weiteres 

(2)  dR  =  d{AA')=0. 

Ferner  wird 

dQ  =  ö[{aA)aJA^r] 
=  (eA)$/A.. 

Dies  ist  die  erste  Ueberschiebung  von  Q  mit  A.  Setzt  man  also 
in  den  Formeln  (5),  (6)    des  vorigen  Paragraphen 

(p  =  f,     t==A,     x  =  A,     ;«  =  3,     n  =  2, 

so  ist  nach  den  beiden  vorigen  Paragraphen 

Q  =  Ö,     0  =  i^,     Y  =  0,     X  =  0, 

daher : 

(3)  dQ  =  -^Bf, 

Die  Functionen  f  und  Q  treten  also  vermöge  der  Operation  8  in 
die  Wechselbeziehung,  dass  8f  oxxiQ,  öQ  wieder  auf /"  führt. 

Nachdem  wir  nun  die  Wirkung  der  Operation  ö  auf  alle  Formen 
bestimmt  haben,  finden  wir  die  Formen  der  zusammengesetzten 
Function  k  f-\-  X  Q  durch  ein  einfaches  Verfahren.  Sei  (p  irgend  eine 
Covariante  oder  Invariante,  ^  sein  Grad  in  den  Coefficienten  von  f, 
endlich  d(p  eine  bekannte  Form,  wie  wir  es  nach  dem  Vorhergehenden 
für  jede  ganze  Function  von  /J  A,  Q,  B  annehmen  dürfen.  Schrei- 
ben wir: 


122  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

(4)  9)^;i  ^  ^  .  ^^  +  ^^  .  yß-\  X^(p^^^u-2  12_     ^ 

SO  sind  die  ersten  beiden  Coefficienten  rechts,  cp  und  (p^  =  d(p,  be- 
kannt, die  übriojen  findet  man  durch  ein  recurrentes  Verfahren. 

Unterwerfen  wir  nämlich  die  identische  Gleichung  (4)  der  Opera- 
tion d,  so  erhalten  wir; 

Aber  cp^X  ist  eine  Function  der  Grössen  xai-j-lai]  daher  hat  man 

Da  nun  durch   die  Operation   d  die   Formen  fj  Q  in    Q,   —  —  f 
übergehen,  so  hat  man 

und  die  obige  Formel  geht  also  in  folgende  über: 

oder  es  wird: 

(6)  Sg^.x  =  ^-^-jl-j^' 

An  Stelle  der  Formel  (5)   kann  man  daher  jetzt  folgende  setzen: 

=  d(p  .Kf'  +  dcpj^.  Kf^-^  l  H-  8(p^%^-'^  ^^  +. . ., 

welche  sich  in  das  nachstehende  System  von  Formeln  auflöst,  indem 
man  die  Coefficienten  gleich  hoher  Potenzen  von  %  und  l  auf  beiden 
Seiten  vergleicht: 

(7)  .  .      ^(^-^1)E 

.           .       ,   {ii-2)B 
49^4  =  ^993+^^—^ 9^2 


Aus  diesen  Formeln  kann  man  9)^  ?  9^3  ••  •  successive  berechnen. 
Wenden  wir   die  Formeln  (7)   auf  die  Berechnung   von  A^a  an. 
Das  System  geht  hier,  da  ft  =  2,  über  in 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.        §36.  123 

A,=0 
2A,  =  dA,  +  EA, 

so  dass  man    A,  =  0,    A.  =  ^A,  und  daher  die  Formel  hat: 

(8)  A,i  =  e.A, 

WO 

(9)  Q  =  x'  +  ~XK 

Da  die  Coefficienten  von  A^x  sicli  von  denen  von  A  nur  ,uin  den 
Factor  0  unterscheiden,  so  tritt  bei  R^Xj  welches  eine  Function  zwei- 
ten Grades  in  jenen  Coefficienten  ist,  das  Quadrat  von  0  vor,  und 
man  hat  also: 

(10)  B^x  =  Q\R. 

Es  bleibt  übrig  Q^i  zu  bestimmen.  Man  kann  dies  wieder  durch 
die  Formeln  (7)  erreichen;  aber  es  ist  kürzer,  sich  folgender  Methode 
zu  bedienen.  Da  Q  die  Coefficienten  von  A  enthält,  so  muss  auch 
^x>L  den  bei  Ay.X  auftretenden  Factor  0  haben,  es  muss  daher 

sein,  und  da  nach  (3) 
so  hat  man 


oder 


Die  oben  erwähnte  Wechselbeziehung  zwischen  Q  und  f  tritt  hier 
noch  deutlicher  hervor,  indem  es  sich  zeigt,  dass  Q,  für  Q  als  Grund- 
form gebildet,  wieder  /  giebt;   denn  setzt  man  x==0,  A  =  l,  so  wird 

Man  kann  in  der  Formel  für  Q^i  auch  den  zweiten  Factor  rechts 
in  einen  Zusammenhang  mit  der  Form  0  bringen,  indem  man  der 
Formel  die  Gestalt  giebt: 

0       .r0 


(11)  «'.^=i«-(^^~-/^> 


124 


Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 


Indem  wir  alle  hier  gefundenen  Formeln  vereinigen, 


(12) 


Q 


Q.A,     By,,=:QKB 


iO 


0 


r  K 


tritt  die  Wichtigkeit  der  binllren  Form  zweiter  Ordnung  Q{z,X)  her- 
vor, von  welcher  hier  alles  abhängt.  Wir  werden  dieser  Form  bei 
der  Auflösung  der  cubischen  Gleichungen  wieder  begegnen.  Bemerken 
wir  nur,  dass  die  Discriminante  von  0  gleich  B,  der  Discriminante  der 
cubischen  Form  ist,  sowie  ferner,  dass  die  Gleichung  §35.  (7),  die 
Relation  zwischen  Q,  /',  A,  B,  nun  auch  unter  der  Form  dargestellt 
werden  kann 

(13)  A'  =  -20((>,f). 

Zur   algebraischen    Definition    der    hier    betrachteten    zusammen- 
gesetzten Functionen  %f-\-lQ  füge  ich  noch  den  Satz  hinzu: 

Die  Form  7(f-\-XQ  umfasst  alle   diejenigen  For- 
men, und  nur  diese,  für  welche  A  bis  auf  einen  con- 
stanten  Factor  eine  gegebene  quadratische  Form  ist. 
Dass  alle  Formen  ^f-\-XQ  bis   auf  einen   constanten  Factor  die- 
selbe Covariante  A  haben,  zeigt  die  Formel  (8).     Dass  umgekehrt  nur 
Formen  %f-\-lQ   eine   solche   Covariante   A   ergeben,   lehrt   folgende 
Sei 


Betrachtung. 


A=p^x^^-\-2p^x^x.,  -\-p.^x^^ 


^rJ  —  CCr^  X-i     —y-  tJ  CC-i  Xi "  X.)  -j~  O  Ccq  Xt  Xn    ~|    (io  Xi\  . 

Da  die  zweite  üeberschiebung  von  A  sowohl  mit  /  (§  34.)  als 
mit  Q  verschwindet,  wie  aus  der  x4nwendung  der  Operation  d  auf  die 
Gleichung  (cA)^c,r  =  0  hervorgeht,  so  hat  man  die  Relationen: 

a^p^  —  2  a.^p^  +  »3^0  =  0 

cc^p.,-2a.,p^  +  a^p^  =  0. 

Jede  Form  dritter  Ordnung  cp  aber,  welche  bis  auf  eine  Constante 
dasselbe  A  liefern  soll,  muss,  wenn  m*,  m^,  m.^,  m.^  ihre  Coefficienten 
sind,  die  Gleichungen  befriedigen: 

^oi^2  —  2mj  jöi  +  m.j)o  =  0 

m^p^  —  2  m.^p^  +  m.^p^  =  0. 

Aus  diesen  Gleichungen  im  Vergleiche  mit  den  vorigen  folgt: 


«o 


a,,     a 


m. 


ni 


0. 


'2 


«2 


m^'  nk^\  m.^ 


=  0. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —   §§  3C,  Hl.  125 

Nimmt  man  also,  was,  wenn  die  Coefficienten  von  A  nicht  sämrat- 
lich  verschwinden,  immer  eriaubt  ist,  zwei  der  Gleichungen 

an,  so  folgen  die  beiden  anderen,  und  es  ist  also 

was  zu  beweisen  war.     Der  Fall,   wo  A   identisch   verschwindet,   ent- 
zieht sich  selbstverständlich  der  Fassung  des  obigen  Satzes. 


§  37.     Beweis,  dass  das  Formensystem  mit  den  Fonnen  /",  A,  Q,  R 
abgeschlossen  ist. 

Aus  den  im  Vorigen  entwickelten  Formeln  zeigt  sich,  dass  alle 
Ueberschiebungen  von  f^  Aj  Q  über  sich  selbst  und  über  einander 
durch  /*,  A,  Qj  R  ausdrückbar  sind;  denn  sie  alle  sind  Glieder  von 
Ak;i,  QhIj  RkX-  Hieraufgestützt,  werde  ich  jetzt  beweisen,  dass  ausser 
B  überhaupt  keine  Invariante,  ausser  A,  Q  keine  neuen  Covarianten 
von  f  existiren ;  dass  also  jede  nur  denkbare  Covariante  oder  Invariante 
TT  von  f  eine  ganze  Function  van  fj  A,  Qj  JR  ist. 

Dieser  Satz  ist  richtig  für  die  Formen  TT,  welche  in  den  Coef- 
ficienten von  f  vom  ersten  Grade  sind.  Denn  diese  enthalten  in  sym- 
bolischer Darstellung  nur  ein  Symbol,  können  also  von  a^;^  nicht  ver- 
schieden sein,  so  dass  /  die  einzige  Form  ersten  Grades  ist. 

Nehmen  wir  also  an,  der  Satz  sei  für  alle  Formen  17  bis  zum 
{m — 1)*®"  Grade  einschliesslich  bewiesen  und  zeigen  wir,  dass  er  dann 
auch  für  den  m^^^  Grad  gilt,  so  ist  er  überhaupt  bewiesen. 

Sei  also  die  allgemeinste  Form  TT,  welche  in  den  Coefficienten 
von  f  vom  (??i  — 1)*^"  Grade  ist,  aus  Termen  von  der  Form 

(1)  /«  Aß  qy  R^ 

zusammengesetzt,  wo 

(2)  a  +  2ß  +  3y  +  4t8  =  m-l. 

Die  Formen  m*®°  Grades  entstehen,  indem  wir  /  ein-,  zwei-  oder 
dreimal  über  die  Formen  (wi— 1)*^°  Grades  schieben.  Da  hierbei  R 
unverändert  bleibt,  so  geben  diejenigen  Producte  (1),  für  welche  ^  ^0, 
wieder  Formen  niederen  Grades,   für  welche   der  Satz  schon  besteht 


126  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Es  genügt  also  ö  =  0  zu  setzen.  Auch  kann  man  y  =  0  oder  y^l 
machen,  da  Q^  durch  fyR,A  ausdrückbar  ist. 

Schieben  wir  /  einmal  über  das  Product  (1),  so  erhalten  wir  ganze 
Functionen  von  /'  multiplicirt  mit  ersten  Ueberschiebungen  von  f  über 
fj  A,   Qj  also  nichts  Neues. 

Schieben  wir  /"  zweimal  über  (1),  indem  wir  den  Process  der  Ueber- 
schiebung  immer,  wie  in  §30.,  durch  eine  Differentiations  -  Operation 
ersetzen,  so  erhalten  wir  theils  Glieder,  in  denen  Producte  der  /*,  A,  Q 
mit  zweiten  Ueberschiebungen  von  f  über  f,  A,  Q  multiplicirt  sind, 
theils  Terme  der  Form 


■/*-, 


(3)  {(f  a)  {^ a)  9^" - 1  tl^J-"^ a, 

in  denen  9,  ip  irgend  welche  der  Formen  f,  A,  Q  bedeuten.  Die 
Terme  erster  Art  führen  auf  niedere,  also  bekannte.  Formen,  die 
Terme  letzter  Art  aber  würden  auf  Neues  führen  können,  wenn  das 
Product  (1)  nur  aus  den  Factoren  9),  i/>  bestanden  hätte,  sind  also 
in  diesem  Fall  zu  untersuchen;  in  allen  anderen  Fällen  würde  (3) 
von  niedererm  Grade  als  (1)  sein,  mithin  als  durch  /*,  A,  §,  R  aus- 
drückbar angesehen  werden. 

Wenden  wir  aber  auf  (3)  die  Formel 

(4)  (9 a)  {f  a)  cp^r t.  =  i\{(p a)'  tJ  +  (^ «)'  9^^'  -{(pi^Y  aj j 
an,  so  geht  (3)  in  das  Product  von 

mit  Formen  niederen  Grades  über,  zerlegt  sich  also  in  lauter  Theile, 
welche  als  bekannt  angesehen  werden. 

Schieben  wir  f  dreimal  über  (1),  so  erhalten  wir  zum  Theil  Terme, 
welche  aus  Factoren  f,  A,  Q  und  aus  dritten  Ueberschiebungen  von 
f  mit  Z',  A,  Qy  also  aus  Bekanntem,  bestehen;  theils  Terme,  die  ausser 
f,  Aj  Q  noch  Ausdrücke  der  Form 

(5)  {(paY{ta)(p^''-'^^a,v-\ 

(6)  *         {(p  a)  {ip  a)  {%  a)  9^"  - '  z/^^^-  ^  x.r'^  -  ^ , 

enthalten,  wo  wieder  cp,  i^,  %  irgend  welche  der  Formen  /",  A,  §  sind. 
In  dem  Falle,  wo  g).i^  das  ganze  Product  (m— 1)*^"  Grades  bildete,  ist  (5) 
zu  untersuchen;  in  dem  Falle,  wo  cp.^j.x  das  Product  (m  —  1)*®"^  Gra- 
des war,  wird  die  Betrachtung  von  (6)  nöthig.  Aber  (6)  reducirt  sich 
sofort  mit  Hilfe  der  Gleichung  (4)  auf  ein  Aggregat  von  Producten 
niederer  Formen,  kann  also  nichts  Neues  geben. 

Der  Ausdruck  (5)  bleibt  übrig.  Er  verschwindet,  wenn  (p~A, 
wegen  des  symbolischen  Factors  {ci  A)^  (§  34.) ;  wenn  (p  =  /,  geht  er  in 

{(ihf  ita)  h^^r-'=^  (i^'A)  ijj,r^-'  A^, 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§37,  38.  \2i 

also  in  Bekanntes  über;  wenn  endlich  (p=Qj  so  ist  der  Ausdruck  nach 
§  35.  das  Product  von  R  mit  einer  niederen,  also  bekannten  Form. 

Hiermit  ist  der  geforderte  Beweis  vollständig  geliefert,    und  wir 
können  den  Satz  aussprechen: 

Die  Form   dritter   Ordnung  ergiebt  keine   Cova- 
rianten  ausser  A,  Qj  and  keine  Invarianten  ausser  R. 


§  38.    Auflösung  der  eubischen  Gleichungcu. 

Schreiben  wir  die  Gleichung  §  35.  (7)  in  der  Form 

so  haben  wir  links  den  Cubus  einer  Form  zweiten  Grades,  rechts  das 
Product  zweier  eubischen  Formen.  Im  Allgemeinen  haben  nun  die 
letzteren  keinen  Factor  gemein,  wie  jedes  Zahlenbeispiel  lehrt.  Daher 
muss  jeder  der  eubischen  Ausdrücke  rechts  an  und  für  sich  ein  voll- 
ständiger Cubus  sein,  d.  h.  man  muss  zwei  lineare  Functionen  |,  rj 
so  bestimmen  können,  dass 


(2) 


Die  Functionen  ^,  tj  sind  hierdurch  bis  auf  dritte  Wurzeln  der 
Einheit  völlig  bestimmt.  Wenn  eine  cubische  Form  gegeben  ist.  von 
welcher  man  weiss,  dass  sie  der  Cubus  einer  linearen  Function  ist: 

so   findet  man   die   Coefficienten   der   linearen   Function,    indem   man 
beiderseits  die  Coefficienten  einander  gleich  setzt: 


«1  af  =  a^ 
«./      =  «3. 

Man  erhält  a^  durch  die  Cubikwurzel  aus  «q,  dann  a.,  rational 
durch  diese  und  a^  ausgedrückt ;  die  übrigen  Gleichungen  müssen  dann 
von  selbst  erfüllt  sein. 

Hat  man  die  beiden  linearen  Functionen  J,  ^}  aus  (2)  bestimmt, 
so  folgt,  indem  man  alles  durch  diese  ausdrückt: 


l^S  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Bei  der  Darstellung  von  A  ist  eine  Cubikwurzel  zu  ziehen,  und 
daher  könnte  eine  dritte  Wurzel  der  Einheit  rechts  als  Factor  hinzu- 
gefügt werden;  indessen  kann  man  sie  ersparen,  indem  man  die  bei 
der  Bestimmung  von  iq  auftretende  Cubikwurzel  gehörig  bestimmt 
denkt;  die  bei  J  auftretende  ist  dann  immer  noch  beliebig,  aber  auf 
diese  Darstellungen  ohne  Einfluss. 

Die  Gleichungen  (3)  geben  sofort  die  Lösung  der  cubischen  Gleich- 
ung f=Oy  sobald  nur  B  von  Null  verschieden  ist.  Denn  diese  Gleich- 
ung kann  dann  ersetzt  werden  durch  die  Gleichung 

wo  £  eine  imaginäre  Cubikwurzel  der  Einheit  bedeutet: 

1  +  ^33  .,_-l-/^ 
^"          2          '  2 

Die  drei  Wurzeln  der  cubischen  Gleichung  f=0  findet  man  aus 
den  drei  linearen  Gleichungen 

?-£^i?  =  0; 
und  /'  ist  durch  die  folgende  Identität  in  seine  drei  Factoren  zerlegt: 


y—i   V 


2 


/'' 

nfY- 

li 
"2 

r 

2 

B 
2 

2 

r 


jyQ+f/-§  ^f/^-fy-i  j. 


Man  sieht,  dass  die  Auflösung  der  cubischen  Gleichung  sich  we- 
sentlich auf  die  Aufsuchung  der  linearen  Factoren  der  quadratischen 
Form  A  stützt  oder  auf  die  Zerlegung  von  A^  in  seine  cubischen 
Factoren,  d.  h.  auf  die  Auflösung  der  Gleichung 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  -Jg.  129 

welche  keine  andere  ist  als 

Die  Form  0  giebt  also,  gleich  Null  gesetzt,  die  quadratische  Re- 
solvente der  cubischen  Gleichung. 

Sind  die  Coefficienten  von  f  reell  und  E  negativ,  so  sind  g,  7] 
reell,  also  von  den  drei  linearen  Factoren  von  /"einer  reell,  die  an- 
deren, wegen  s  und  f^,  conjugirt  und  imaginär.  Wenn  dagegen  R 
positiv  ist,  so  werden  §  und  7]  selbst  conjugirt  imaginär,  etwa 


b 


und  die  linearen  Factoren   von  fl/—^  werden  also  die  Factoren 


von 


(jyj^  dY-lf  -  {11  -  cflZ-lf  =.2]/-l  \3p'q-q 


3i 


«; 


also  (abgesehen  von  dem  Factor  j/—l)  gleich  q,  pj/S  +  q^  pY^—q, 
mithin  reell.  Bei  r  eellen  Coefficienten  hat  also  die  cubische 
Gleichung  drei  reelle  Wurzeln  bei  positivem,  nur  eine  bei 
negativem  R.  — 

Die  Gleichungen  (3)  liefern  zugleich  die   Lösung  des  ganzen    Sy- 
stems von  cubischen  Gleichungen,  welches  in  der  Form 

enthalten  ist.     Denn  aus  (3)  hat  man 

SO  dass  die  Wurzeln  dieser  allgemeineren  Gleichung  aus  den  drei 
linearen  Gleichungen  gefunden  werden: 


i^.+a/I|-»,/^-a//I|=o 

o      -  o      —————— 

Ist  R  von  Null  verschieden,  so  sind  auch  die  Factoren  von  A, 
also  I,  7}  verschieden;  mithin  auch  die  Factoren  von  f. 

Ist  dagegen  i^  =  0,  so  hat  man  §  =  -»?,  und  A  wird  ein  volles 
Quadrat,  während  nach  (3)  Q  dem  Cubus  desselben  linearen  Ausdrucks 

proportional  wird,  so  dass  -^  diesen   Ausdruck  selbst,   bis   auf  einen 

Constanten  Factor,  darstellt. 

Setzen  wir  in  diesem  Falle: 

C  leb  seh,  Theorie  der  biuären  algebr.  Formen,  y 


i30  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formet! 

so  dass  A  für  x^  =  ^^j  ^2  =  ^2  doppelt  verschwindet.     Nun  liefert  das 
identische  Verschwinden  der  zweiten  Ueberschiebung  von  f  mit  A: 

Po  (»2^1  +  «3 ^'2)  —  2pi  K^i  +  ^^2^2)  +jP3  K^+«i^i)  =  0 
die  beiden  Relationen: 

oder,  indem  man  für  die  p  ihre  Werthe  aus  (5) 

p,=-2i;\    p,=2i,i,,    p,=-2y 

einsetzt : 

0  =  {a„l,'  +  2«, I,  I,  +  a^^)  ?,  =  i  (i^) 

0  =  (a,|,ä  +  2a,|. I,  +  «3?/)  1,  =  i  (^)_/ 

Folglich  hat  in  diesem  Falle  die  Gleichung  f=0  einen  Doppel- 
factor,  was  mit  der  Natur  von  II  als  Discriminante  übereinstimmt, 
und  zwar  ist  dieser  Doppelfactor 

Dieser  Factor,   den  man  durch  die  Gleichung   -^=0  dir ect  findet, 

ist  zugleich  Doppelfactor  von  f  und  A,   dreifacher  Factor  von  Q. 

Den  ungleichen  Factor  von  f  findet  man,  indem  man  f  durch  A 
dividirt,  also  die  ungleiche  Wurzel  der  cubischen  Gleichung  f=0  aus 
der  linearen  Gleichung 

Man  bemerkt,  dass  die  Wurzeln  von  f  hier  durch  blose  Division, 
ohne  Wurzelziehen,  gefunden  werden. 

Diese  Betrachtung  erleidet  nur  dann  eine  Ausnahme,  wenn  A 
identisch,  d.  h.  mit  allen  seinen  Coefficienten  verschwindet.    Dann  ist: 

«o«2  — «1^    =0 

a,a^-a^^    =0. 
Diese  Gleichungen  kann  man  durch  die  folgenden  ersetzen: 
a^  :  a^  =  a^  :  a^  =  a.^ :  r/3. 
Es  giebt  also  zwei  solche  Grössen  ^j,  J^,,  dass 

«1  =  ^1^62  ^ 

«2  =  ^1^ 

«3  =  l2^. 


nr«WT,  orni«'  Tnad  xwner  *ßrdimus   —  USB.,  39.  I31 

Man  hat  dsmi 

die  g«gel»«iie  Form  ist  also  in  diesem  Falle  ein  ToIlsÜaidiger  C^bos, 
und  das  Yerscliwinden  der  CoefileieBieB  Ton  A«  ^  ^  Bedii^inigy 
anter  w^dbor  dies  emiqAL  Denn  da  in  dieseai  FaDe  die 
Ca^Bdentai  von  /'zo^ddi  ab  uirklidbe  Gioeaen 
so  ist  in  dem  TodiegeadeB  Falle  andi  iai 


I  39.    Ce»aiftri^lif  lBt('r|treiati<»B  der  f«k»is<']i<'H  Formern. 
Doreh  die  GUaehmig 

Eidi  drei  Elemente,  wekhe  kh  ein  Tripel  nennen  wilL 
DexL  Tersdnedenen  WaÜien  ron  z,  A  enis^i^t  one  pin^a^  anend- 
liehe  Reihe  ynm  Tripdny  deigesüdt,  dass  jedes  Element  Hberimapl 
nnr  einem  Tripel  angclioreB  kann;   denn   waiü  Mf-^IQ  ^  ein  gie- 

wisses  Element  verseitwindeii,   so  bestimmt  sdi  da  Werth  Ton  -r-, 

also  das  belr^Snde  Tr^,   ▼oll%  ans  der  Glddmng  jr/'+l^^O^ 
weidies  für  die  jeman  Elonente  mgASonge  x  beliehen  nnna. 
Sodit  man  diejenigen  Tr^d,  bei  AeDSsa.  zw«  ihrer 


sammen&Uoiy  so  mnss  man  y  aus  der  deidinng 

Nehmoi  wir  an,  es  Teraehwinde  Jß  nicht;   dann  -tritt  dieser  FaD 
nur  an,  sobald  O  Terachwindet,  d.  \.  bei 

Steüen  wir  die  Trip<:'l5c]iaar  nacli  §  3^^.  (^4;  m  ^  und  9  dar: 

(.+i/i|)i»-(«-;./^::|)^=o. 


soz^sidi,  daasin  diesen  Fällen  die  Ghadmi«  des  TnpA  in  S'^O 
oder  j^  =  0  nbeigdit,  d.  h.  dass  alle  drei  Elemente  des  Trqida  zn- 
sammenfaHen.    Man  hat  also  den  Satz: 

In  der  Tripelsehaar  kommen  nur  zwei  Tripel 
Tor,  bei  welchen  Elemente  zusammenfallen;  es  fal- 
len dann  jedesmal  alle  drei  zusammen,  und  zwar 
geschieht  dieses  bei  den  Verschwind nngselementen 
von  A. 

9* 


132  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Die    Verscliwmdungselemente    von   A    sind     durch    |  =  0,    7^  =  0 
gegeben,  die  eines  Tripels  durch 


^  =  arjf       ^=sariy       ^  =  s^a7],       a  = 


B 
2 


K-Xj/. 


.^x-j/-'^ 


2 

Diese  fünf  Elemente  bilden  ein  eigenthümliches  System,  welches 
ich  als  cyclisch-projectivisch  bezeichnen  will."-'  Unter  diesem 
Namen  verstehe  ich  ein  System,  welches,  indem  man  gewisse  zwei 
Elemente  festhält;  die  übrigen  aber  cyclisch  permutirt,  stets  Sy- 
steme erzeugt,  welche  dem  ursprünglichen  projectivisch  sind.  Halten 
wir  die  Elemente  5  =  0  und  »^  =  0  fest,  so  bilden  die  Elementepaare, 
welche  durch  cyclische  Vertauschung  der  Tripelelemente  aus  einander 
hervorgehen, 

1.  ^  —  ar]     =0       §  — «£7^  =:() 

2.  ^  —  asri  =0       5  — «£^-»^  =  0 

3.  5  —  «£^»^  =  0       ^  —  ar]     =0 

in   der   That   mit  den  beiden  festen  Elementen  zusammen  immer  das- 
selbe Doppelverhältniss  e.     Die  drei  Punktreihen 

1.  §  =  0       i-ari     =0       l-asri  =0       l-as^ri^Q       rj^O 

2.  1  =  0       ^-a6ri=:0       ^-aa^r]  =  0       ^-arj     =0       ri  =  0 
3.^  =  0       l-ae^ri^O       l-ari     =0       l-asri=0       9^  =  0 


*  Allgemein  verstehe  ich  unter  cyclisch  rprojecti vischen  Elementen  n  Elemente 
E\_^  Ez'.'Em  welche  zu  zwei  anderen,  A,  B,  so  liegen,  dass  die  Reihen 

A. ,  El ,  E2 . . .  En ,  B 
A,  Ezi  E3 . . .  El,  B 
A,  E3,  E4. .  .E2,  B 

projectivisch  sind.    Es  müssen  dann  die  Doppelverhältnisse 

A,  El,  E^,  B 

-^j    -E'Zj    ^3,   B 

sämmtlich  einander  gleich  werden.  Bezeichnet  man  den  gemeinsamen  Werth  die- 
ser Doppelverhältnisse  durch  a,  durch  pi,  pz-.-Pn  die  Abstandsverhältnisse  der 
Elemente  Ei,  E^.-.En  von  A,  B,  so  hat  man  die  Gleichungen 

Pz  =  CiPl 
Ps  =  apz 

Pi=C)Cpn, 

daher,  wenn  man  alle  Gleichungen  multiplicirt  und  durch  pi  .pz-  ..Pn  dividirt: 

a»  =:  1. 

Es  muss  daher  u  eine  imaginäre  nte  Wurzel  aus  1   sein,   und  man  hat  dann 

Pi  :i52...:i9«  =  l:cf...  a«-'. 
Die  Gruppe  der  cyclisch -projecti vischen  Elemente  entspricht  also  genau  den 
n  Werthen,  welche  die  n^^  Wurzel  einer  Zahl  zulässt. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  39.  133 

siud  also  eiuauder  projectiviscli,  und  die  Elemente  einander  zugeord- 
net, wie  sie  hier  unter  einander  stehen.  Ich  drücke  dies  durch  den 
Satz  aus: 

Die  Elemente  eines  Tripels  bilden  mit  den  Ver- 
schwindungselementen  von   A   ein   cyclisch-pr ojec- 
tivisches  System. 
Betrachten  wir  nun  ein  zweites  Tripel,  für  welches  an  Stelle  der 
oben  durch  a  bezeichneten  Grösse  der  Ausdruck 

tritt.     Die  Elemente 

welche   zwei  verschiedenen   Tripeln  angehören,    haben  mit  den  Ver- 

schwindungspunkten  von  A  zusammen  ein  Doppelverhältniss  -.    Die- 

ses  Doppelverhältniss  ändert  sich  nur  um  eine  dritte  AVur- 
zel  der  Einheit,  wenn  man  zu  anderen  Elementen  dersel- 
ben Tripel  übergeht;  und  zwar  kann  man  sich  bei  beliebi- 
ger Anordnung  des  ersten  Tripels  die  Elemente  des  zwei- 
ten so  geordnet  denken,  dass  das  Doppelverhältniss  un- 
geändert  bleibt,  wenn  man  die  Elemente  beider  Tripel 
um  gleichviel  Stellen  cyclisch  versetzt. 

Man  kann  demnach  sich  die  Tripelschaar  in  drei  projecti- 
vische  Reihen  aufgelöst  denken,  welche  durch  die  Gleichungen 

l-ari     =0 
^  —  earj  =0 

repräsentirt  werden  und  bei  welchen  entsprechende  Elemente  durch 
denselben  Werth  von  a  repräsentirt  sind  (vergl.  §  25.).  Diese  projec- 
tivischen  Reihen  haben  paarweise  Doppelelemente  gemein,  und  alle 
diese  fallen  in  die  Yerschwindungselemente  von  A. 

Je  zwei  Tripel  sind  durch  die  charakteristische  Constante  -^  ver- 
bunden, welche  immer  dieselbe  bleibt,  welche  Elemente  der  Tripel 
man  auch  mit  1  =  0,  >^  =  0  zur  Herstellung  des  Doppel  Verhältnisses 
verbinde.  Ein  besonders  bemerkenswerther  Werth  dieser  Constante 
ist  —1,  wo  dann  das  Doppelverhältniss  selbst  —  1,  —  £  oder  —  s-  ist, 
so  dass  in  solchem  Falle  zwei  Elemente  der  Tripel  mit  den  Verschwin- 
dungspunkten  von  A  theils  harmonisch,   theils  äquianharmonisch  lie- 


X34  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

gen  (§  21.).  Ich  will  diesen  Fall  kurz  dadurch  bezeichnen,  dass  ich 
sage,  die  Tripel  liegen  harmonisch.     Um  dies  auszudrücken,  setzt  man 

-3-  =  —  1 ,  also 

oder 

'    r         ^i 
Ist  also  das  ursprüngliche  Tripel 

so  ist  das  zugehörige  harmonische: 

Die  linke  Seite  dieser  Gleichung  ist  nichts  anderes  als  Q^t^.  Daher 
wird  die  Beziehung  zwischen  den  beiden  Tripeln  eine  wechselsei- 
tige und  man  kann  den  Satz  aussprechen: 

Die  Paare  7if+  X  Q  =  0,   Qxl~0  liegen  harmonisch 
und  sind  die  einzigen  Systeme  harmonischer  Tripel. 

Wenn  i^  =  0,  so  fallen  die  Verschwindungselemente  von  A  zusam- 
men ;  mit  ihnen  vereinigen  sich  auch  sämmtliche  Elemente  des  Tripels 
Q  =  0'^  die  Reihe  Kf-\-XQ  =  0  besteht  nicht  mehr  aus  einer  Schaar 
von  Tripeln,  sondern  aus  einem  festen  Doppelelement  und  einer  ein- 
fachen Punktreihe.  Ist  endlich  A  mit  allen  seinen  Coefficienten  iden- 
tisch Null,  so  entsteht  überhaupt  keine  Reihe  mehr;  Q  verschwindet 
identisch,  und  f=0  giebt  ein  dreifaches  Element. 


§  40.    Formen  vierter  Ordnung. 

Die  Form  vierter  Ordnung  werde  symbolisch  durch 

dargestellt.      Sie  giebt  durch  Ueberschiebung  über  sich  selbst  zu  den 
beiden  Formen 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  39,  40.  13.5 

Veranlassung,  von  denen  die  erstere,  ^,  wieder  von  der  vierten 
Ordnung,  die  zweite,  ^,  eine  Invariante  ist.* 

Um  die  üeberschiebungen  von  f  über  H  zu  untersuchen,  bilden 
wir  zunächst  die  Polaren  von  H.     Die  erste  ist 

HJ  H,  =  \  (a  &)2  (a/ 1^  \  +  «-.•  «,  2>x^) , 
oder    da    die    beiden   Theile    der    rechten  Seite    sich   nur   durch  Ver- 
tausclmng  von  a  mit  h  unterscheiden  und  demnach  identisch  sind: 

(1)  H/Hy={a-bYaJKr-by. 

Die  zweite  Polare  w^ird:    - 

i//  Hy^  =  \{a hy  I aj  h/+2  a,  a,  h,  b,  ] 

=  {ab)-  aj  by'^—^  {ab)-  a^  by  {a^  by  —  bj,  ciy). 

Nun  ist  nach  §  15.  (VII): 

(ix  by  —  bj;  (ly  =  {ab)  {xij}'^ 

also 

(a  by  (Lv  by  {a,r  by  —  b^,.  ccy)  =  {a  bf  a^^  by  .  {x  ij). 

Vertauscht  man  aber  in  {aby  a^by  die  Symbole  a  und  6,  und 
setzt  für  den  ursprünglichen  Ausdruck  die  Hälfte  seiner  Summe  mit 
dem  neugebildeten,  so  wird 

(ri  bf  iijc  by.{xy)  =  ^  {a  b)'^  («.r  by  —  k^  (hj)  (xy) 
^^{aby(xyy=^(a;yy', 

und    der  symbolische  Ausdruck  für  die  zAveite  Polare  von  H  ist  also : 

(2)  HJ  Hy'  =  {a  by  aJ  K' -  ~  {xyy, 

eine  Formel,  welche  auch  aus  den  allgemeinen  Formeln  am  Ende  des 
§  8.  folgt,   wenn  man  darin  /'durch  {aby  ttx'by'  ersetzt. 

Die  dritte  und  vierte  Polare  entsteht  aus  der  ersten  und  aus  H 
selbst,  indem  man  die  y  mit  den  x  vertauscht. 

Ersetzen  wir  nun  in  den  Polaren  y^,  y^  durch  —c^,  c^,  und  mul- 
tipliciren  jedesmal  mit  der  betreffenden  Potenz  von  Cxy  so  erhalten 
wir  die  folgenden  üeberschiebungen  von  H  mit  f: 


*  Ist 

f=:  ÜQ  rcj^  +  4  üy  Xy^  Xi  +  ^a^xy  X-i^  -r  4  «3  X^  X^^  -r  «4  X2^} 
so  hat  man 

„_     I  ao  a^i^  -4-  2  «j  .rj  x^  +  «2  ^z^    a^Xi'^  +  2  a^  Xi  x^  -f  a^  x^^  | 
""     \aiXy^  +  'ia2X^X2  +  a3Xz^    a^x^^  +  '^a^x^Xi  +  a^Xi^] 
=  2  { (ao  «2  —  a^^)  Xy*  +  2  {üq  «3  —  a,  a^)  Xy^  x%  +  («o  «4  +  2  %  «3  —  3  ag')  x^^  x^ 
+  2  («1  «4  —  «2  as)  Xy  X'^  +  («2  «4  —  «3^)  x^  I 
i  =  2  («0  W4  —  4  «j  «3  -r  3  «2*^)- 


136  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

(3)  T=:  {cH)  cj  HJ  =  \a  hf  {ch]  aj  b,  cj>  =  TJ 

(4)  {cHY  c/  HJ  =  (a If  {acy  h/  c/-^f 

(5)  {c  Hf  c.  H,  =  {a  hf  {c  af  {c  l)  &.,  c, 

(6)  j  =  icHf  =  {a  hf  {et  cf  {h  c)\ 

Von  diesen  Bildungen  geben  nur  die  Formeln  (3)  und  (6)  neue 
Formen,  eine  Form  6*®'^  Ordnung,  Functioualdeterminante  von  /'  und 
Hj  und  eine  Invariante  j;  beide  dritten  Grades  in  den  Coefficienten.* 

Die  dritte  üeber Schiebung  von  c  mit  JQ"  verschwindet 
identisch,  wie  man  aus  (5)  sofort  sieht-,  denn  die  rechte  Seite  von 
(5)  ändert  ihr  Zeichen  durch  die  unwesentliche  Vertauschung  von 
1)  mit  c. 

Dagegen  drückt  sich  die  zweite  üeberschiebung  (4) 
durch  die  andern  Formen  aus.  Lässt  man  nämlich  in  die 
Formel  (III)  §  15.  a,  h,  c  Symbole  einer  biquadratischen  Form  /'  be- 
deuten, und  zieht  gleichbedeutende  Terme  zusammen,  so  erhält  man: 

(7)  {a})Y{acYhJcJ  =  ^aJ(bc)^  =  ^if. 

Die  Formel  (4)  geht  daher  sofort  in  die  folgende  über: 

(8)  {cHfcJH,'  =  \f, 

eine  Formel,  von  welcher  weiterhin  Gebrauch  zu  machen  sein  wird. 

Man  kann  aus  den  obigen  Formeln  folgeude  Sätze  ableiten,  deren 
wir  uns  später  bedienen  werden: 

1.  Eine  Form,  welche  den  symbolischen  Factor 
{ahf  hat,  besteht  theils  aus  Ueberschie  bupgen  von 
^  mit  Formen  niedern  Grades,  theils  aus  Gliedern, 
welche  den  wirklichen  Factor  i  besitzen. 

2.  Eine  Form,  welche  den  symbolischen  Factor 
{ciby  hat,  besitzt  immer  den  wirklichen  Factor  i. 

3.  Eine  Form,  welche  den  symbolischen  Factor 
(aif)^  hat,  zerfällt  in  Th eile,  die  entweder  den  wirk- 
lichen Factor  ij  oder  den  wirklichen  Factor  J  haben. 


*  Ausgeführt: 
T=  {üQ^  «3  —  3  «0  «1  0^2  -f  2  «1^)  Xy^  -f-  («0*  «4  4-  2  ao  «,  «3  —  9  a^  a<^  -f  6  a^^  a^)  Xi^  x^ 
-f-  5  (ao  «1  «4  —  3  «0  «2  <^3  +  2  «1^  0^3)  ^/  ^2^  +  10  («i^  «4  —  «0  <^3^)  -^'i^  ^V^ 
-f  5  (—  «0 0^3 «4  -r 3 a^  «2 «4  —  2 «1  «3^)  x^^x^^  +  (9 «4 a^^  —  a^ Uq  —  2  «( «3 «4 — 6 «3^  Wg) Xi  Xz^ 
-f  (3  «2  cts  ^4  —  «1  «4^  —  2  «3^)  x^^. 


«0  (^i  CI2 
»1  «2  % 

«2  ^3  Ct4 


6  I  «0  «2  «4  -^  2  dj  «2  «3  —  «2^  ~  ^^0  «3    —  «1     «4 }  • 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  40,  41.  137 

4,  Eine   Form,   welche   den   symbolischen  Factor 
(aHy  hat,  besitzt  den  wirklichen  Factor  J. 
Diese   Sätze    folgen    sofort   mit  Hülfe  des  Satzes   6.  §  30.     Denn 
von    nichtverschwindenden   Formen    enthalten    kein    anderes    Symbol 
und  den  symbolischen  Factor 

(al))'^     nur  H  und  i, 
{ahf     nur  /, 

{aHy  nur  -(  und  j , 

{aHY  nur  j. 

Die  hier  entwickelten  Formen  /',  H,  T,  l,  j  sind  die  einzigen, 
welche  in  der  Theorie  der  biquadratischen  »Formen  auftreten,  wie 
weiter  unten  bewiesen  werden  soll. 


§  41.    Die  zusammeiigesetzte  Function  /.  /-f-  A  //. 

In  ähnlicher  Weise  wie  bei  den  Formen  dritter  Ordnung  die 
cubische  Covariante  Q  zur  Bildung  der  zusammengesetzten  Function 
^f-^^Q  führte,  ist  es  hier  die  biquadratische  Covariante  H,  "welche 
mit  f  zusammen  eine  zusammengesetzte  Form  xf-\-kH  begründet, 
deren  Covarianten  und  Invarianten 

jetzt  untersucht  werden  sollen. 

Bezeichnen  wir  durch  cIq  bis  a^  die  Coefficienten  von  f,  durch  a^ 
bis  «4  die  von  H.  Durch  dq)  bezeichnen  wir  hier  die  auf  eine  Co- 
variante oder  Invariante  anzuwendende  Operation 

C  üi 

Es  sollen  zunächst,  ganz  analog  der  in  §  36.  angewandten  Me- 
thode, die  Ausdrücke  dH,  dl,  dj  gebildet  werden.  Nach  den  a.  a.  0. 
entwickelten  Regeln  erhält  man: 

^^j  dH=2{cHfcJHJ  =  ^f  |§40.(8).] 

Si^2icHY  =  2j.  [§iO.  (6).] 

Ferner  ist,  indem  man  die  Formel  für  8H  benutzt: 

öj  =  S  {cHY  =  {H'  Ey  +  ^  {caf 


138  Vierter  Abschnitt.    Theorie  der  Formen 

Den  Werth   von    {H'  HY=^in   erhält    man,    wenn    man    in    der 
Formel 

für  x^y  x.^  die  Symbole  H^,  —  H^  setzt.     Daher  wird 
in  =  {H'  HY  =  {ahY  {aHf  {IHf. 
Aber  diese  Bildung  entsteht  wieder  aus  §  40.  (8): 

{aHfaJHJ  =  ^f, 
wenn  man  x^,  x.^  durch  h.^,  —  h^  ersetzt.     Es  ist  also 

und  somit  endlich 
(2)  öi  =  4- 


Die  Form  H  steht,  wie  früher  Q,  mit  der  Grundform  in 
einer  Art  von  Reciprocitätsverhältniss,  indem  dfauiH,  d' ^T  wieder 
auf  /'  führt.  Man  kann  nun  die  in  §  36.  zur  Berechnung  von  g)^x 
angegebene  Formel  hier  ohne  Weiteres  anwenden,  nur  dass  an  Stelle 

des   dort  auftretenden  Factors  —  -^  ,    welcher   d  Q   von  f  unterschied, 

hier  der  Factor  -^  auftritt,  um  welchen  nach  (1)  ^JJvon  /" verschieden 
o 

ist.     Wenn  also  cp  eine  Covariante  oder  Invariante  ^*^"  Grades  in  den 

Coefficienten  bedeutet,  so  ist 

und  zugleich: 


Führt  man  also  die  Diiferentialquotienten  von  cp^ii  ein,  so  erhält 
man,  wie  a.  a.  0.,  durch  Vergleichung  der  Coefficienten  die  Formeln, 
welche  zur  successiven  Berechnung  von  gp^ ,  (p^  -  -  -  dienen : 

49)4  =  ^9)3-1-9)2 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  41. 


139 


Wenden  wir  diese  Formeln  auf  i?  an,  wo  ^  =  2.     Das  obige  For- 
melsystem giebt: 


H. 


21 


2H,  =  dH,-~H, 

und  da 

SO  bat  man 
(3)  H,=^i(2jf-iH). 

Der  Ausdruck  von  H.^i  wird  also: 

Dieser  Ausdruck    stellt    sich    übersichtlicher   dar,    wenn  man  die 
cubische  Form  Q  {x  j  X)  durch  die  Gleichung 

(4)  Q==;,3_^^^2__^;i3 

einführt;  mit  Hülfe  derselben  verwandelt  die  Darstellung  von  Hy,x  sich 
in  folgende: 


(5) 


B,i=^\H 


cü 


ex 


Nachdem  diese  Formel  einmal  gewonnen  ist,  braucht  man  für 
die  anderen  Bildungen  nun  nicht  mehr  denselben  Weg  einzuschlagen, 
sondern  kann  sie  direct  aus  der  Formel  (5)  entwickeln.  Was  zu- 
nächst Txk  angeht,  so  ist  seiner  Entstehung  nach 


Tyl  —  ^j 


cx. 


ex. 


c{Kf^XR\     ch[x 


C   X.y 


cx. 


l 


7C^  -\-  X 


dx 


C  X, 


1 


3.16;  Cf-, 

1  C  O/o  C  Xi 


dO. 

cX 

ex 


cX     CXi  CK     CXy 

cX   cXo       CK  ex. 


3.16 


11  df 

e  Xt    e  Xa 


=  Qr. 


dH   c_H 

C  X^      C  X.2 

Die  Form  T,  für  die  zusammengesetzte  Function  gebildet,  ist 
also  der  für  die  einfache  Function  gebildeten  bis  auf  den  Factor 
Q  gleich: 


140 


Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 


(6)  T,i  =  QT. 

Zur  Ableitung  der  Formeln  für  l^i  und 


Jy.X 


kann  man  sich  eines 


allgemeineren  Verfahrens  bedienen^  welches  auf  folgender  Betrachtung 
beruht. 

Sei  (p  irgend  eine  Covariante  oder  Invariante,  cp^x  und  (d(p)xX  das- 
jenige, was  aus  9  und  öq)  entsteht,  wenn,  man  diese  Formen  für  die 
zusammengesetzte  Function  k  f -\- X  H  hildet  Es  ist  dann,  um  {dq))xi 
zu  bilden,  nöthig,  die  Differentialquotienten  von  cp^x  nach  den  Coef- 
iicienten  der  zusammengesetzten  Function  mit  den  entsprechenden 
Coefficieuten  von  H^^  zu  multipliciren  und  die  Summe  aller  solcher 
Producte  zu  bilden.  Aber  die  Coefficieuten  von  HyX  sind  die  Aus- 
drücke 


daher  hat  man 

(7)               {öq^).X-- 

_,>rf      ^^-^      {^^^ 

^^  d(Ka,  +  Xai)\cK  ^^' 

^\   CK       C  X                C  X        CK 

Q 


.) 


Man  erhält  also  den  Ausdruck  von  d  (p  für  die  zusammen- 
gesetzte Function,  wenn  man  die  Functionaldeterminante 
von  Q  und  cp  durch  3  dividirt. 

Setzen  wir  (p  =  H,  so  wird  nach  (1)  d(p=-^f.  Daher  ist  aus  (7) : 

cQ    dHyX 

i.iiKf^XH) 


CK 

cQ 

dX 


C  K 

dJiA 

dX 


Führt  man  hier  im  H^x  seinen  Werth  ein,  und  drückt  die  ersten 
Differentialquotienten  von  Q  durch  die  zweiten  aus,  so  hat  man: 


i,^{Kf+XH)  =  \ 


Q 


dK' 


Q 


—  1 

—  IT 


dKdX 


+  A 


+  A 


c^Q 

CK  dX 
c'Q 

H 


)^Q 


dX^ 


H 


CK^ 


CK  C . 


c'Q 

CK  C  X 

c^Q 


dX^ 


CK 
dK  cX 

H 


f 


c^Q 


~-f- 

1      I    ' 


CK  C  X 


dX^ 


X  -f 


also  indem  mau  den  Factor  ;«/'+ A  JT  beiderseits  auslässt: 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung,  —  §  41.  141 


(8)  '  M  =  -i 


^2Q 


c^Q 

CY,  dl 

c^9. 

dX' 

Betrachten  wir  nun  Q  als  binäre  Form  dritter  Ordnung  in  v.^  A^ 
und  bezeichnen  durch  A^  die  ihr  zugehörige  Form  A,  so  kann  man 
dieser  Gleichung  auch  die  Form  geben: 

(9)  4;i  =  -3Aß. 

Endlich  haben  wir,  um  /^^x  zu  bilden,  nur  die  Formel  (7)  wieder 
anzuwenden,   indem   wir  cp—iy   also  dq)  —  2j  setzen.     Es   ist  daraus: 

•^"^^         '^KcTt       dl  dl        CxJ         ' 

oder  nach  (9): 

^_^/^^A^_rQ^A^^ 

'"Kca     dl'       dl     dx  )  ' 
und  wenn  wir  nun  auch  Q^  ähnlich  wie  oben  A^  einführen: 

(10)  >i  =  -3<?a. 
Aus  der  Gleichung  (7)  §  35. 

folgt  noch,  dass  eine  gewisse  Verbindung  von  i  und  ;/  besonders  ein- 
fache Eigenschaften  besitzt;  es  ist  die,  welche  B^  wird.  Man  hat 
nämlich  aus  (10) 

(11)  Aß=-iji«^  +  2j;.A  +  |A^'j, 

daher 

(12)  .■Bfl  =  ^T(*'-6/-). 

Dieser  Ausdruck,  welcher  bis  auf  einen  Zahlenfactor  mit  dem  in 
§29.  gefundenen  übereinstimmt,  kann  als  die  Dis  er  im  in  ante  von/" 
betrachtet  werden. 


*  Ausgerechnet:  • 
**  Ausgerechnet: 
daher  insbesondere  für  x  =  0 ,  X  =  l: 


14Ö  Vierter  Abschnitt,     Theorie  der  Formen 

Setzt  man  die  Werthe  von  Q^  (10),  Aß  (9),  R^  (12)  durch 
jxl,  '^y.l  ausgedrückt  i^i  die  Relation  zwischen  Q^^  B^,  A^^  Q,  so 
ergiebt  sich 

(13)  ^\A  -  6fy.X=  Q'  {i'  -  6f). 

Die  Verbindung  i^  —  6f  theilt  also  mit  T  die  Eigenschaft,  sich 
bis  auf  einen  Factor  zu  reproduciren,  wenn  man  sie  für  die  zusam- 
mengesetzte Function  bildet. 

Die  Formeln 

(U)  4x  =  -3Aß 

umfassen  die  ganze  Theorie  der  zusammengesetzten  Function  ocf-\-  XH. 


§  42.    Die  Form  T. 

Wie  bei  den  cubischen  Formen  das  Quadrat  von  Q,  so  drückt 
sich  hier  das  Quadrat  von  T  durch  die  übrigen  Formen  aus,  also 
wieder  das  Quadrat  der  einzigen  Form  ungeraden  Charakters  (§  16.) 
durch  die  Formen  geraden  Charakters. 

Man  bedient  sich,  um  diese  Formel  herzustellen,  der  Formel 
§  35.  (10) ,  durch  welche  das  Quadrat  der  Functionaldeterminante  zweier 
Formen  auf  die  zweiten  Ueberschiebungen  derselben  über  sich  selbst 
und  über  einander  zurückgeführt  ist.  Nach  jener  Formel  hat  man  für 
unsern  Fall: 

T'^-ilHKia  hf  aj  hj  -  2  Hf,  {HafHJa/  +  P  .  {HHJH.HJ^. 

Von  den  drei  hier  auftretenden  Bildungen  ist  die  erste  H  selbst; 

die  zweite  ist  nach  §  40.  (8)  gleich  -r  /".      Die    letzte    endlieh    ist   die 

Form   H  für  H   selbst   gebildet-,    sie   entsteht   aus   HyX,    wenn   man 
X  =  0,  /l  =  1  setzt.     Da  nun 

"^    071  b 


so  hat  man 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnimg.  —  §§J41,  42.  l43 

und  indem  man  dies  in  die  Formel  für  T-  einführt,  findet  man: 
Der  eingeklammerte  Theil  rechts  geht  aus  der  Formel  für  Q: 

hervor,  indem  man  x  =  II,  X  =  —f  setzt.    Man  kann  also  das  Quadrat 
von  T  durch  die  Function  Q  ausdrücken  mittelst  der  Formel: 

(1)  P  =  -iQ{R,-f). 

Ich  knüpfe  hieran  die  Bestimmung  der  üeberschiehungen  von  T 
mit  f  und  H.  Man  braucht  übrigens  nur  erstere  zu  berechnen,  und 
erhält  dann  die  letztern  durch  die  Operation  d,  indem  man  beachtet, 
dass  dT=Oj  dass  also  die  Coefficienten  von  T  dieser  Operation 
nicht  unterworfen  zu  werden  brauchen. 

Die  erste  Ueberschiebung  von  T  über  f  und  H  lässt  sich  auf 
mannigfache  Weise  ermitteln.  Um  den  Zusammenhang  des  Resultats 
mit  anderen  Bildungen  zu  übersehen,  geht  man  am  Besten  von  der 
Gleichung  (1)  aus,  welche  T-  durch  /  und  //  ausdrückt: 

Indem  man  f  oder  H  einmal  über  diese  Gleichung  schiebt,  hat  man: 

T.{HT)HJT/=     i '  ^  ^^^.  ~^{aH)  a/H/, 
also  indem  man  den  Factor  T  beiderseits  auslässt: 

Die  Darstellung  der  übrigen  Üeberschiehungen  von  f  und  H  mit 
T  knüpft  man  am  Besten  an  die  Entwickelung  der  Covariante  mit 
zwei  Reihen  von  Veränderlichen 


144  Vierter  Abschnitt.  —  Theorie  der  Formen 

an.     Nach   der   Tafel   des   §  8.   hat   man   für  diese- die  nach  Potenzen 
von  {xy)  fortschreitende  Reihe: 

(3)  a^^  H/  -  üy'  H/  =  A'cp-\-2  {xy)  A^  t  +  V  i^vY  ^'  X 

Die  Formen  cp,  il) ,  i,  Q',  o  entstehen  aus  der  links  befindlichen 
Form,  indem  man  dieselbe  0,  1,  2,  3,  4  mal  der  Operation  Sl  (§  6.) 
unterwirft,  und  dann  die  y  gleich  den  x  setzt.  Durch  Anwendung 
der  Operation  52  ergeben  sich  die  Bildungen 

aj'  Hy'  -  ay^  H^' ;     {a H)  {a/  H,^  +  a/  iJ/) ; 

{aHf{aJHy^-ay^H/)',     {aHf  {a^Hy  +  ayHr)',     0. 

Man  erhält  also,  indem  man  die  y  den  x  gleichsetzt: 
9-0,     il^  =  2T,     1^0,    ^--=0,     Q  =  0, 
und  es  entsteht  somit  aus  (3)  die  bemerkenswerthe  Gleichung: 

(4)  a.^  Hy^  -  ay^  i?/  =  4  {xy) .  T^^  Ty\ 

Differenzirt  man  diese  Gleichung  nach  den  y  und  multiplicirt  mit 
den  X,  so  ergeben  sich  daraus  weiter  die  Gleichungen: 

(5)  Hy^ H,  aj - H/ a,/  «..  ^^{xy)  T^^  T/ 

(6)  Hy^  HJ^  aj  -  ^/  ay^  a,'  =  2{xij)  TJ>  Ty. 

Setzt  man  nun  in  (6)  y^^^h^^  y^  =  —  'b^^  so  erhält  man  nochmals 
die  erste  Gleichung  (2);  ebenso  aber  erhält  man  aus  (5)  und  (4)  die 
Gleichungen : 

{hT)HJTJ  =  0 

und  indem  man  diese  Gleichungen  der  Operation  d  unterwirft: 

{HTYIIJTJ  =  0 
(ß) 


{HTfH,  TJ  =  -i(^jH-'^fy 


Endlich  hat  man,  da  T=^{aJI)  aj  HJ  ist,  für  die  vierte  Ueber- 
schiebung  von  f  mit  T  einen  Ausdruck,  welcher  aus  den  folgenden 
Theilen  besteht: 

{aH){hH)  {ah)'H/ 
{aH){hHf{al))  aj 
{aH){l)Hf{a'bfaa:Hr. 

Alle  diese  Theile  verschwinden ;  der  erste,  weil  er  durch  Ver- 
tauschung von  a  mit  h  das  Zeichen  ändert;  der  zweite  als  die  zweite 
Ueberschiebung  von  f  über  die  verschwindende  Covariante 

{IHfKH,', 


zweiter,  dritter  und  ^^ert€r  Ordnung.  —  §§  42,  43.  145 

der  dritte  als  dritte  Ueberschiebung  von  H  über  (ah)-  aj^hx^j  also 
über  sich  selbst.     Sonach  hat  man: 

.Q  {ciTf    TJ  =  0,  und  also  auch     - 

An  diese  Ueberschiebungen  knüpfen  sich  folgende  Sätze: 

1.  Jede  Form,  welche  den  symbolischen  Factor 
(aTY  hat,  zerfällt  in  Glieder,  welche  theils  i,  theils 
j  zum  wirklichen  Factor  haben. 

2.  Jede  Form,  welche  den  symbolischen  Factor 
{HTf  hat,  zerfällt  in  Glieder,  welche  theils  j,  theils 
f^  zum  wirklichen  Factor  haben. 

3.  Jede  Form,  welche  den  symbolischen  Factor 
{aTy  oder  {HTy  hat,  verschwindet  identisch. 

Der  Beweis  dieser  Sätze  folgt  aus  dem  Satze  6.  des  §  30.;  denn 
die  einzigen  Formen,  welche  den  symbolischen  Factor  {aTf  haben 
und  kein  anderes  Symbol  enthalten,  sind: 

(üTyaJTJ,     {aTfa^TJ,     {aTfTJ, 

Formen,  die  entweder  verschwinden,  oder  theils  den  Factor  i,  theils 
den  Factor  j  enthalten.     Ebenso  sind 

die  einzigen  Formen,  welche  den  symbolischen  Factor  {HT)~  und 
kein  anderes  Symbol  enthalten;  diese  Formen  aber  verschwinden  ent- 
weder oder  sie  enthalten  theils  J,  theils  i^  als  Factor. 


§43.    Beweis,  dass  ausser  f,  H,  T,  i,j  keine  luvariauteii  und  Covariauteu 

von  f  existiren. 

Die  im  Vorhergehenden  entwickelten  Resultate  genügen,  um  den 
Beweis  zu  liefern,  dass  ?",  j  die  einzigen  Invarianten,  /*,  H,  T  die  ein- 
zigen Co  Varianten  von  /  sind.  Dieser  Satz  wird  wie  der  entsprechende 
über  die  cubischen  Formen  (§  37.)  bewiesen.  Er  ist  richtig  für  die 
Formen  ersten  Grades  Wir  nehmen  ihn  bis  zu  den  Formen  (m  — 1)*^" 
Grades  einschliesslich  als  bewiesen  an,  und  zeigen,  dass  er  dann  auch 
für  die  Formen  m^^"^  Grades  richtig  ist.  Wir  benutzen  dabei  das  im 
Vorhergehenden  gewonnene  Resultat,  dass  die  Ueberschiebungen  von 
/"und  H  über  sich  selbst,  über  einander  und  über  T  auf  keine  neuen 
Bildungen  führen. 

Man  hat  also  zu  zeigen,  dass  die  Formen  ?>i*"  Ordnung  sich  aus 
Producten    von   /",   JT,    T,   iy  j    zusammensetzen,    wenn    die   Formen 

C  leb  seh,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  10 


146  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

{m  —  iy^^  Ordnung  diese  Eigenschaft  haben.  Erstere  entstehen  ans 
diesen  durch  Ueberschieben  von  f.  Man  hat  also  die  vier  üeber- 
schiebungen  von  f  über  die  Formen 

(1)  /•«  H^  TY 

{a-\-2ß  -\-3y  =  m—l)  zu  untersuchen;  doch  kann  man,  da  T^  durch 
f,  H,  i,  j  ausdrückbar  ist,  y  immer  gleich  Null  oder  1  annehmen. 

Die  erste  Ueberschiebung  von  f  über  das  Product  (1)  führt  nur  auf 
Producte  der  f,  H,  T,  multiplicirt  mit  den  ersten  Ueberschiebungen 
von  f  über  die  einzelnen  Formen  f,  H,  T,  also  auf  nichts  Neues. 

Die  zweite  Ueberschiebung  führt  auf  Terme,  die  ausser  f,  H,  T 
noch  zweite  Ueberschiebungen  von  f  über  /'  oder  H  oder  T  enthalten 
und  also  bekannt  sind,  und  auf  Terme  der  Form 

(2)  (9?  d)  {t  a)  9^^"-^  i^x^  -  ^  cij , 

multiplicirt  mit  Producten  der  f,  Hj  T,  wobei  (p,  ^  irgend  welche 
der  Formen  f,  JT,  T  bedeuten.  Der  Ausdruck  (2)  ist  zu  untersuchen, 
sobald  er  selbst  vom  Grade  m  ist;  sobald  also  (1)  nur  aus  den  Factoren 
9,1^  bestand.     Aber  nach  der  Formel 

(3)  isp  a)  {jp  a)  gp^  ^^  =  ^  I  {(p  af  jp/  +  {ip  af  qp^^  _  ^^^  ^y  ^^2  j 

löst  sich  (2)  in  zerfallende  Terme  auf,  also  in  Producte  von  Aus- 
drücken, welche  bekannt  sind. 

Die  dritte  Ueberschiebung  führt  auf  Terme,  die  ausser  f,  H,  T 
noch  folgende  drei  Arfen  von  Bildungen  enthalten  können: 

1.  dritte  Ueberschiebungen  von  f  über  /",  H,  T; 

2.  Ausdrücke  der  Form  {(paY  {ipa)  q)jc''~'^  'tpx^'~^  cix'-, 

3.  Ausdrücke  der  Form  {cpa)  {^a)  {la)  (p^"-'^  ip^''^-'^  %Ji-~'^  a^y 

wo  wieder  (p,  ip,  %  irgend  welche  der  Formen  /*,  H^  T  sind.  Die 
Ausdrücke  1.  sind  bekannt,  die  Ausdrücke  3.  reduciren  sich  mit  Hülfe 
der  Gleichung  (3).  Die  Ausdrücke  2.  könnten  Neues  geben,  sobald 
das  Product  (m— 1)*®'' Grades  nur  (p.ip  wäre,  und  müssen  also  unter- 
sucht werden.  Nach  §§  40.  und  42.  tritt  aber  in  diesen  Ausdrücken 
Folgendes  ein: 

Ist  (p  =  f,  so  besteht  der  Ausdruck  aus  einer  Ueberschiebung  von 
H  mit  ipj  also  aus  einer  bekannten  Covariante,  und  aus  Theilen  mit 
dem  Factor  i,  die  somit  in  ihren  anderen  Factoren  von  niederem 
Grade,  also  bekannt  sind.  Ist  aber  cp  =  H  oder  cp  =  Tj  so  enthält  der 
Ausdruck  theils  den  Factor  i,  theils  den  Factor  j ,  und  besteht  also 
gleichfalls  aus  Producten  niederer  Formen. 

Die  dritten  Ueberschiebungen  können  also  nichts  Neues  geben. 

Endlich  führen  die  vierten  Ueberschiebungen ,  ausser  auf  Producte 
von  /",  If,  T,  auf  Ausdrücke  folgender  Art: 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  43.  147 

1.  Vierte  Ueberschiebiing  von  f  mit  f,  H,  T; 

2.  Ausdrücke  der  Form  {(pa)'^  (ipa)  (p,r;"~^  il^J*~^ ; 

3.  Ausdrücke  der  Form  (qp<^)'^  (i/^a)'^  9):r"~^  ^.r''"^ ; 

4.  Ausdrücke  der  Form  {(pa^  (il^a)  (xa)  cpa:"''^  tx^~-^  Xx'^~'^'-, 

5.  Ausdrücke  der  Form  {cpa){i)a)  (ja)  ipd)  (px^~^  '4^x^'~^  X-r'^~^^^c''~'^ , 

wo  wieder  9,  ^l) ,  %,  ^  irgend  welche  der  Formen  /*,  jff,  T  sind.  Die 
Formen  unter  1.  sind  bekannt;  die  anderen  könnten  möglicherweise 
Neues  geben,  sobald  das  ganze  Product  nur  aus  den  Factoren  g? .  i^, 
bez.  (p  .  tl^ .  X  oder  cp  .-(i)  .x  -  ^  bestünde.  Nun  aber  reducirt  man  die 
Ausdrücke  5.  sofort  mittelst  der  Gleichung  (3),  die  Ausdrücke  4.  mit- 
telst derselben,  wenn  man  darin  nur  i/>,  ;^  an  Stelle  von  cp,  ^  setzt. 
Es  bleiben  also  noch  die  Ausdrücke  2.,  3.  zu  betrachten. 

Die  Ausdrücke  2.  enthalten  immer,  wegen  der  in  §§  40.  42.  bewie 
senen  Sätze,  theils  iy  theils  j  als  Factor  Von  den  Ausdrücken  3. 
gilt  dasselbe,  ausser  wenn  cp~f]  dann  können  sie  zum  Theil 
durch  Ueberschiebungen  von  H  über  7^,  also  über  f,  H  oder  T, 
entstanden  sein.  Da  auch  diese  nur  auf  Bekanntes  führen,  so  ist  der 
Beweis  des  Satzes  hiermit  geliefert. 

Man  erhält  also  in  der  That  keine  anderen  Invarianten 
als  ifjy  keine  anderen  Covarianten  als  f,  H,  T. — 

Ich  werde  diesen  Satz  bei  den  Ueberschiebungen  von  T  über  sich 
selbst,  welche  noch  nicht  gebildet  wurden,  benutzen.  ♦ 

Bezeichnen    wir,    um  die  zweite  Ueberschiebung  von  T  über  sich 
selbst  zu  bilden,  durch  (py^  die  Form 

(4)  tp/  =  ä,/HJ-a/H,/  =  -A{xy)T/Ty^         [§42.(4)]. 
Setzt  man  darin  y.,  =  (pn  ?/i=  — 9>-.?  so  kommt: 

(5)  ic,  =  (cp  cpy  =  -  4  (9;  Tf  T/  cp,. . 
Aber  zugleich  hat  man  aus  (4): 

und  daher,  wenn  man  y^  =  TJy  V2  —  ~'^i  setzt  und  mit  TJ^  mul- 
tiplicirt : 

isp  TJ  TJ'  (p^  =  3  T/  TJ'  {TTy. 

Die   zweite  Ueberschiebung   von  T  über  sich  selbst  hat 
also  den  Ausdruck : 

(6)  \TTfT/TJ'=.--^^icp, 

oder,  wenn  man,  um  i  zu  bilden,  in  ixfJrlH=iy,x,  (§41.)  H  für  %, 
—  f  für  A  setzt : 

(7)  {TTf  TJ  T-^  =  -  Vj  {i H-^-2j Hf+  ~  t) . 

10* 


148  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

Die  vierte  Ueberscliiebung  von  T  über  sicli  selbst  nmss 
nothwendig  verschwinden.  Dieselbe  ist  nämlich  eine  Form  vierter 
Ordnung  und  sechsten  Grades,  muss  also  nach,  dem  Vorigen  die  Ge- 
stalt haben: 

p.ijf-^q.PH, 

wo  p,  q  Zalilencoefficienten  sind.  Da  aber  diese  Form  sieh,  aus  den 
Coefficienten  von  T  zusammensetzt,  so  muss  sie  die  Eigenschaft  haben, 
zu  verschwinden,  wenn  man  sie  der  Operation  d  unterwirft.  Daher 
muss  man  haben : 

0--=p.d{ijf)  +  q.d{i'H) 


p[ij 


H+'^ff+jf)  +  qUijff-^'^n, 


daher  p  =  0,  ^^=0,  was  zu  beweisen.    Man  hat  sonach  die  Gleichung 

(8)  {TTyTJT/'==0. 

Endlich  ist  noch  die  sechste  üeberschiebung  von  T  über 
sich  selbst  zu  bilden.     Da 

TJ'  =  (aH)aJHJ, 
so  hat  man: 

{T ry  =  {aH)  {aTf  {HT f. 

Dies  kann  als  die  vierte  üeberschiebung  von  H  über  die  Form 
-  («  Tf  a.r  TJ  =:  \  ii  H-jf)  (6) 

angesehen  werden.     Da  nun 


(HHy==^,    {aHy^j, 


so  ist 


(9)  (2'r)«  =  i.(*.-/)  =  |J?^; 


die  sechste  üeberschiebung  von  T  über  sich  selbst  unterscheidet  sich 
von  der  Discriminante  nur  um  einen  numerischen  Factor.  Eine  Con- 
trole  liefert  wieder  der  umstand,  dass  der  Ausdruck  durch  Anwendung 
der  Operation  d  verschwinden  muss. 

§  44.    Die  Auflösung  der  cubischen  Oleichuug  Sl  =  0. 

Die     Auflösung     der     biquadratischen    Gleichungen     f~0    und 
%f-\-kII=0  knüpft   sich  an  die  Auflösung  der  cubischen  Gleichung 

Die  Wurzeln  dieser  Gleichung  seien 

—  ==.m,      y  =  W;      y  =  W  , 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  43,  44.  149 

so  dass 

Q  =  {'A  —  mX)  (x  —  m  X)  [y,  —  m"  k) 

gesetzt  werden   kann.      Setzt   man   in   diesem   Ausdrucke   H,  —  f  für 
K,  ly  SO  erhält  man  nach  §42.  (1)  —  2T-,  und  es  ist  also: 

(1)  T'  =  -{  (iy+  mf)  {H+  mf)  (H+  m"f). 

Was  die  Bestimmung  der  Grössen  m^  7)i,  m"  angeht,  so  kann 
man,  da  in  Q  der  erste  Coefficient  1,  der  zweite  0  ist,  'sich  der 
C ar d an o' sehen  Formel  bedienen.  Ich  werde  zeigen j  wie  dieselbe 
Auflösung  auch  aus  derjenigen  hervorgeht,  welche  für  die  allgemeine 
Form  der  cubischen  Gleichung  in  §  38.  gegeben  ist. 

Man  hat 

Nach  der  in  §  38.  gegebenen  Methode  bildet  man  nun  die  linearen 
Ausdrücke 


,y"l!Lii.,f^zr-^^.^^ 


n  = 


R 
2 


R  36 


/^i-./-r 


wo    nur   der   Einfachheit   wegen   der  Index  Q  überall  ausgelassen  ist. 
Bestimmt  man  nun  den  Sinn  der  Cubikwurzeln 


SO,  dass 


SO  kann  man  in  den  Formeln  für  |  und  rj 


150  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 


1 

86  B'         1       36  A^ 

A'^ 

i'     '     B'^     l' 

setzen,  und  erhält  also: 

l=^xA-lB' 

7i=^y.B  -XA\ 

Die  linearen  Factoren  von  Q  (^;  A)  sind  nun 

1-7],     l-er],     l-e'ri, 

wo  £  eine  imaginäre  dritte  Wurzel  der  Einheit.  Also  hat  man,  wenn 
g  —  £«  1^  ==  0  gesetzt  wird : 

%(^A-B'B)  =  l{B^-e'Ä^ 
oder 

%      B'-s'A^  ,  .  . 

T=A^:^7B—^''''  +  '-'''^' 

Die  drei  Wurzeln  der  cubischen  Gleichung  Q  =  ()  sind  also: 

m  =^-{    A+     B) 

(3)  m'  ^-{e  A^e'B) 
m"==-{t^A^E  B), 

wie  die  Cardano'sche  Formel  es  angiebt. 

Die  Gleichung  (1)  lehrt  nun,  dass  das  Product 

{H  +  mf)  {H  +  m  f)  (H  +  m"f) 

das  vollständige  Quadrat  eines  Ausdrucks  von  der  sechsten  Ordnung 
ist.  Aber  keiner  der  drei  biquadratischen  Factoren  hat  im  Allgemeinen 
[und  die  Formel  §  42.  (1)  gilt  immer]  mit  den  anderen  einen 
linearen  Factor  gemein,  da  sonst  auch  /'  und  H  denselben  gemein 
haben  müssten.  Daher  muss  jeder  der  biquadratischen  Factoren  an  und 
für  sich  das  vollständige  Quadrat  eines  Ausdrucks  von  der  zweiten 
Ordnung  sein,  und  man  kann  also  drei  quadratische  Formen  g),  i/;,  % 
finden,  so  dass 

H+mf  =:-2(p^ 

(4)  H+mf==-2r^ 

(5)  T=2<ptX- 

Um  in  jedem  besonderen  Falle  die  Coefficienten  der  Functionen 
(p  zu  bestimmen,  kann  man  ähnlich  verfahren,  wie  in  §  38.  bei  der 
Bestimmung  der  Coefficienten  von  §  und  rj.  Ist  K  eine  Form  vierter 
Ordnung,  von  welcher  wir  wissen,  dass  sie  das  Quadrat  einer  qua- 
dratischen Form  q)  ist,  und  hat  man 

K=a^^  x^^  +  4  «^  x^^  x.j  +  6  0^2  ^/^  ^-Z  +  ^  ^3  ^1  ^-Z  +  ^4 ^2^ 
tp  ^=a^jX^  -{-2  a^  x^  x.^  -\-  a.^  x./, 


zweiter ,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  44 ,  45.  151 


SO  finden  die  Gleichungen  statt: 


%  =  «i 


a,  =  a^  cCj 

«2  =  i  («0  «2  +  2  «1^) 


a.  =  « 


2    7 


man  kann  also  etwa  aus  der  ersten  o:,^  durch  Wurzelziehen  berechnen, 
und  findet  dann  aus  der  zweiten  «j,  aus  der  dritten  cc.,  rational  durch 
«^  und  die  Coefficienten  von  K  ausgedrückt. 

Wir  dürfen  also  die  Formen 


9^  =  /- 


2 

(6)  ^^=.y-^fL 


2 

als  bekannte  quadratische  Formen  ansehen.  Die  Vorzeichen  sind  bei 
zweien  derselben  beliebig,  bei  der  dritten  dann  durch  die  Gleichung 
(5)  bestimmt.  Es  giebt  also  nur  vier  Arten,  die  Functionen  (f,  t^  X 
ihrem  Vorzeichen  nach  zu  bestimmen.  Und  es  giebt  keine  zwei  dieser 
Bestimmungsarten,  welche  durch  Aenderung  der  Vorzeichen  aller 
drei  Functionen  in  einander  übergehen,  da  die  Gleichung  (5)  das  Vor- 
zeichen des  Products  aller  q)  unveränderlich  giebt;  vielmehr  sind  je 
zwei  Systeme  der  (p,  ipj  i  durch  die  Vorzeichen  zweier  Functionen 
von  einander  verschieden. 


§  45.    Die  quadratischen  Factoren  von  T. 

Durch  die  Gleichungen  (4),  (5)  des  vorigen  Paragraphen  ist  die 
Form  T  als  eine  sehr  specielle  Form  sechster  Ordnung  charakterisirt. 
Denn  die  Form  T  hat  die  Eigenschaft,  durch  Lösung  einer 
cubischen  Gleichung  (Q  =  0)  in  drei  quadratische  Factoren 
aufgelöst  zu  werden.  Die  Gleichung  T=0  ist  also  eine  durch 
Wurzelziehen  lösbare  Gleichung  sechsten  Grades. 

Zwischen  den  quadratischen  Functionen  g),  ipj  %  bestehen  aber 
noch  in  Folge  der  Gleichungen  §§  42.  44.  sehr  bemerkenswerthe  Rela- 
tionen. Bilden  wir  die  Functionaldeterminante  irgend  zweier,  z.  B.  der 
ersten  beiden  Gleichungen  §  44.  (4),  dividirt  durch  16,  d.  h.  die  erste 
Ueberschiebung  der  Formen  rechts  und  links  in  diesen  Gleichungen, 
so  erhalten  wir: 


152 


Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  For: 


tV 


dH 

ex.) 


-\-m 


dx^ 


h^^^  -Tr- 
ox^ CXy 

—  4-  m  ^ 

C  Xo  C  Xl) 


=  4  9.  ii).{(pt')cp^,:  4)^^, 


=  (m'-m)yV 


dH 

dx^ 
dH 

dx., 


IL 

cx^ 

K 

dx.. 


=  {m  -  m)  T. 


Setzen  wir  hier  für  T  seinen  Werth  aus  §  44.  (5)^  so  kann  man 
den  Factor  2  cp .  xp  auf  beiden  Seiten  auslassen,  und  erhält  also  die 
Functionaldeter min  ante  zweier  der  Formen  g),  ip ^  %  durch 
die  dritte  au s<]^e drückt.     So  hat  man  die  drei  Gleichungen: 


(0 


2(9^)gP.ri/'.r=  {ni- 


ni).(p 

-  m)  .  ip 
m)  .  %. 

Bilden  wir  jetzt  die  erste  Ueberscliiebung  dieser  Gleichungen  mit 
(p,  ip,  X  selbst.  Rechts  entsteht  Null^  wenn  die  beiden  Functionen 
bei  der  Ueberscliiebung  dieselben  sind-,  sind  beide  Functionen  ver- 
schieden, so  kann  man  die  entstehende  Form  durch  die  Gleichungen  (l) 
wieder  auf  (p,  ip,  x  selbst  zurückführen.  Links  benutzen  wir  die 
Gleichung  §  35.  (5),  welche  für  die  erste  Ueberscliiebung  einer  Form 
X  über  die  erste  Ueberscliiebung  von  cp  und  ip  gebildet  ist,  und  welche 
hier  in  die  folgende  Gleichung  übergeht  [Q  ==  {cp  ip)  cp^  ipj]  : 

{Qx)^xXx  =  -i\cp{iPxf-t{cpxy\. 

Bezeichnen  wir  durch  An,  die  6  Invarianten  von  cp,  tp,  x' 

Ä,,  =  {ip2py.  .  -4,o  =  (z9^)' 
A2  =  ixxy       Ai  =  (9'^)^ 

so  erhalten  wir  iiuimielir  aus  (1)  folgende  Gleichungen: 

0  =A^,tp-Ä,,x, 

{m  —  m)  {m  —  m") 


{m- 

2 

-  in)  (m ~ 

m'O 

{m- 

2 

-  m")  {fn  - 

-  m) 

(m'- 

2 
0 

-m) 

p 


AoX-Ao'P 


A.o^-Ai^' 


^A^x-A-^p 

(p=A,,(p-Ä,^ip 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  45.  153 

(m" -- m)  im' -  m)  .  . 

-  —2  ^  ^    '-  ^  ~    '^  ^ 

Da  mm  im  Allgemeinen  nicht  zwei  der  Formen  q),  t,  %  einen 
Factor  gemein  haben,  den  sonst  auch  f  und  H  gemein  haben  müsste, 
so  folgt  hieraus: 

A^^  =  —  J-  {ni  —  m)  {rn  —  m")      A^^  =  0 

(2)  Ai^  =  —  .J-  {ni  —  m")  (m  —  m)     A.-,^^  —  0 
A^^  =  —  i  (/>i"—  m)  {in"—  m)     A^^^  =  0. 

Endlich  erliält  man  noch,  indem  man  eine  der  Formen  cp ,  ^',  % 
zweimal  über  die  entsprechende  Gleichung  (1)  schiebt,  den  Werth 
der  aus  allen  drei  Formen  qp,  i^,  %    zusammengesetzten  Invariante: 

_  ni'  —  m"    .    m"  —  m.     _  m  —  m' 

'  2        ^^  ^^        9  11  ^^       2  - 

=  ^  {m  —  m')  (ni  —  rn")  {in"  —  m). 

Ferner  findet  sich  aus  §  44.  (3)  mit  Berücksichtigung  der 
Gleichung  \ -\- s-\- e- =  0: 

m  -7n={£-V){A-B£^) 
ni  -7n"={s-l)£{A-B) 
m"-m  ={1-£''){A-B£), 

und  daher  hat  man  die  Werthe: 

Ä^  =  -i     {Ä'+  AB  +    B') 

(3)  -  A,,  =  -%s\A^  +  fAB  +  B^B^ 

A^  =  -l£  {A^+c^AB+e  B') 
K=iiil-s){A^-B% 
oder  mit  Benutzung  der  Werthe  von  A,  B: 


(4)  ^=|.(1-£)^_|. 


Die  vorigen  Betrachtungen  stützen  sich  wesentlich  darauf,  dass 
die  cubische  Gleichung  im  allgemeinen  Falle  keine  gleichen  Wurzeln 
hat,  dass  also  R  im  Allgemeinen  nicht  verschwindet.  Es  ist  leicht 
zu  zeigen,  dass  die  andere  Voraussetzung,  dass  nämlich  H  und  /' 
keinen  gemeinschaftlichen  Factor  besitzen,  hiermit  zusammenfallt. 
Fragen  wir,  welche  Bedingung  eintreten  muss,  damit  H.  und  f  einen 
gemeinsamen  Factor  besitzen.  Alsdann  müssen  auch  gp,  j/',  x  f^^"" 
selben  Factor  haben;  sobald  er  verschwindet,  muss  also  auch  (pj=0^ 


154  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

i/;/  =  0  sein,  die  Resultante  von  jjj  und  i^  muss  verschwinden.  Die 
Resultante  zweier  Formen  cp ,  ip  von  der  zweiten  Ordnung  ist  aber 
nach  p.  89  gleich 

oder  hier 


4      4     4 


mussi 


Da  nun  im  vorliegenden  Falle  A^^^  identisch  verschwindet,  so 
iste  J-^,(j  oder  Ä^^  verschwinden,  d.  h.  es  müssten  zwei  der  m 
gleich  werden  und  daher  li^O.  Die  Resultante  von  /"=(),  H={)  ist 
also  eine  Potenz  von  i?;  und  zwar,  da  sie  die  Coefficienten  beider 
Formen  biquadratisch,  also  im  Ganzen  die  Coefficienten  von  /'  zur 
zwölften  Ordnung  enthalten  muss,  ist  sie  B\ 


§  46.    Auflösung-  der  biquadratischeu  Gfleichun^en. 

Unter  der  Voraussetzung,  dass  R  von  Null  verschieden  sei,  führen 
nun  die  Gleichungen  §  44.  (6;  zur  Lösung  der  Gleichung  vierter  Ordnung 

(1)  Kf  +  IH^O. 

In  Folge  dieser  Gleichung  hat  man 

und  daher,  wenn  ^  eine  unbestimmte  Grösse  bezeichnet,  aus  §44.  (6): 


g)  =  Q  ]/  7C  —  niX 

(2)  ^  Ipr^Qj/^  —  ni    l 

Z  =  Qj/  ^  —  ni'l . 

In  diesen  Gleichungen  stehen  links  quadratische  Functionen  der 
x^j  x.^]  diese  Gleichungen  geben  daher,  indem  sie  nacli  ^/,  x^x^,  x.^ 
aufgelöst  werden,  die  Verhältnisse  dieser  Grössen  und  daher  auch  ein 

X 

Verhältniss    —  >  für  welches    die    Gleichung    (1)    besteht.     Auch    sieht 

X., 

man  sofort,  dass  es  vier  Bestimnmngsarten  dieses  Verhältnisses  giebt. 
Denn  die  Vorzeichen  von  j/x—m^,  y-a  —  mX,  Y yi  —  m" l  gestatten 
im  Ganzen  acht  Combinationen.    Von  diesen  führen  aber  immer  solche 

T 

zwei  auf  denselben  Werth  — ,    bei  welchen    alle    Wurzeln    entgegen- 

X,) 

gesetzte  Vorzeichen  haben,  ein  Unterschied,  der  sich  durch  Aenderung 
der  ganz  willkürlichen  Grösse  q  sofort  aufheben  lässt. 

X 

Bezeichnen    wir    den    Werth    des    Verhältnisses    — ,   für  welchen 

11 

3J /" 4- AJJ  verschwindet,  durch  — ,    und    bezeichnen    wir   ferner   durch 

2/2 


zweiter,  dritter  iiiid  vierter  Orduung.  —  §§  45,  46. 


155 


^0?  ^17  ^^2^  ßoyßii  ß-2:  y^y  Tu  y>  ^^^  Coefficieuteii  ^,  ip,  x?  so  werden  die 
drei  Gleichungen  (2)  folgende: 

^02//  +  2  y,ij,y,  +  y,y.r  =  Qj/  x-  m' l , 

Setzen  wir    die  hieraus   berechneten  Werthe   von  ?/j'-,  ViVn  ])■?  in 
die  linke  Seite  der  Identität: 


(4) 


x^y^ 


{xyy 


2x,x,y,y,^x^hj.^ 

ein,  so  erhalten  wir  rechts  das  Quadrat  eines  linearen  Factors  von 
Kf-\-  kH.  Indem  wir  aber  aus  (3),  (4)  die  Grössen  y^^,  ^ysy^y  Vi  elimi- 
niren,  erhalten  wir  die  Gleichung 


0  = 


oder  geordnet: 

,..        {xxty- 

(o)  \-Al^ 


ßo 

n 

x.^ 


ß. 


ß] 

r-1 


Q    j/  X  —7)1  X 


Xt  X,f      "^i' 


Q   y  K  —  ttl  X 

Q  j/y,  —  Hl"  l 
ixyf 


-\-j/  K  —  m  l 


%      «1       «:: 

^0      ^I      Ä 

= 

ro  7i  y-> 

«0          «1 

«> 

x,^-x,x.. 

x,^ 

7o      Ti 

n 

]/  X  —  mk 


x.^ 

-x,x. 

X,- 

ß. 

ß. 

ß2 

n 

7i 

r-i 

+  j/7c-m'l 


^•0 


ß,       ß. 


Die  drei  Determinanten  rechts  entstehen  aus  der  Determinante 
links,  indem  man  immer  eine  Reihe  von  Coet'ficienten  durch  x./j 
—  x^x^j  x\  ersetzt.  Die  Determinante  links  ist,  wenn  man  die  Sym- 
bole von  (p,  ^p,  i  einführt: 

Xi        Xi  X2       X2 
ein  Ausdruck,  welcher  offenbar  mit  jedem  der  Ausdrücke 

verschwindet,  und  also  von  dem  Producte  dieser  Grössen  nur  nume- 
risch verschieden  sein  kann;  in  der  That  lehrt  die  Bestimmung  und 
Vergleichung  irgend  eines  Gliedes,  dass  jene  Determinante  gleich 

-  (9  ^)  (^  Z)  (Z  <3P)  =  ^ 
ist. 

Ersetzt  man  je  eine  Coefficientenreihe  durch  x.^^  —  x^x^^x^^,  oder 

je   eine  Art  von  Symbolen  durch  x.^,—x^,  so  erhält  man  die  Werthe 

der  drei  anderen  Determinanten; 


^ 


156  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 


itX)tsX^r=^ 2 '(P 

,      .                m'  —  m 
(X9^)X^^a;-=^ 2 — -^ 

m  —  m 


2       '^' 

Man  sieht  also,  dass  in  der  That  die  Bestimmung  des  linearen 
Factors  (xy)  durch  die  Gleichung  (5)  immer  möglich  ist,  wenn  nur 
Kj  d.  h.  R  von  Null  verschieden;  und  dass  dann  (indem  wir  von 
einem  gleichgültigen  Factor  ahstrahiren) 


(6)         (^xyy  =  {}}%  —  m")  (p  ]/%  —  m  l  -f  {m"  —  m)  ijß  //  Tt—  m  X 

-jr  (m  —  m')  X  Vy- — ni"  l 

gesetzt  werden   kann,  ein  Ausdruck,    dessen  rechte  Seite  nothwendig 
das  Quadrat  einer  linearen  Function  ist. 

Für  die  Auflösung  der  Gleichung  xf-\-  XII=0  ist  es  hinreichend, 
das  Quadrat  dieses  linearen  Factors  der  Gleichung  zu  kennen,  in- 
dem   die   Verhältnisse     von    ^/,    y^y^,    yi    und    also    auch    -    dann 

Vi 

bekannt  sind. 

Man   braucht  also  nur,  indem  man  die  linke  Seite  von  (6)  durch 

bezeichnet,  aus  (6)  die  Gleichungen 

y2=-'(^ny     ^1  2/2  =  - «12?     2/2' =«22 
abzuleiten;  der  Quotient 

^  ^  _  «11  ^  _  C^2 
!/2  «12  «12 

ist  dann  eine  Wurzel  von  f=0. 

Aber  es  ist  von  Interesse,  die  Auflösung  der  biquadratischen 
Gleichung  zf-\-X  11=^0  auf  eine  Identität  zurückzuführen,  welche  die 
linke  Seite  der  Gleichung  in  ihre  vier  linearen  Factoren  zerlegt  zeigt. 
Diese  Identität  ist  nach  dem  Vorigen  von  der  Form 


(7) 

M{nf+IH) 

=  /(m'- 

-m')  (p  j/y.- 

-mX-\-  {ni" - 

-m)  Jl^j/ü- 

-  m'  X  +  {yn  - 

-m')xj/y- 

-m" 

X 

./k- 

-m")  cp  j/x- 

—  ml  —  {t)i'  - 

-m)  -pj/x- 

-)yi  X-\-  {m- 

-m')xj/^- 

-m" 

iL 

'  Vim  —  m")  cp  j/^—m  X  +  (ni'-m)  i^j/y.  —  m'X  —  (;m  —  m')  x]/  x  —  m"  X 
•  y{m'—m")  opj/x-mX  —  (m"  —  m)  ^j/k  —  niX  —  {m—m)  xV  ^~  *^^"  ^; 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  4ß.  157 

wobei  noch  für  cp ,  if,'j  x  ^i^  Werthe  aus  §44.  (6)  einzusetzen  sind. 
Es  handelt  sich  nur  noch  um  die  Bestimmung  der  Constante  M.  Die- 
selbe erfolgt  sehr  leicht,  wenn  man  in  der  obigen  Gleichung  ein 
Werthsystem  x^^j  x.^  einführt,  für  welches  eine  der  Formen  9),  i^,  Xi 
etwa  g),  verschwindet.  Für  dieselbe  reducirt  sich  die  obige  Gleichung  auf 

(8)     M{Kf-\-kH)  =  iin'-m)-  il}^{%-m' X)-{i)i-~mf  x'{x-m'X)', 

zugleich  wird  nach  §  44.  (6) 


daher,  wenn  man  dies  in  (8)  einführt  und  durch  f  dividirt: 

M{x—mX)=^  (m — m)  {m — m")  \  (m — m')  {x — m  X)  -J-  {m  —  m)  {x — m"  A)  j 

=  -5  (^^^  —  ^''^0  (^^* — ^^'0  (^>^' — 1^")  {'^ — *'^  ^) ; 
oder 

(9)  M=^  {m - m)  {m - m') {m  - m")  =-2  K=  -  f  £  ( l - f )7/^-  ^ . 

Aus   dem  Vorhergehenden   sieht  man,   dass,    sobald  R  nicht  ver- 
schwindet, die  vier  Lösungen  der  biquadratischen  Gleichung 

aus  den  vier  Gleichungen 

( 10)  {m  —  m")  (p  y'x  —  m  l  4^  {m"  —  m)  ifj  j/x  —  m  X 

+  {m  —  m)  %  ]/x  —m"  A  =  0 

gefunden  werden,  deren  linke  Theile  Quadrate  linearer  Ausdrücke  in 
den  X  sind. 

In   diesem  Falle   sind,   ausgenommen  wenn  —  einen  der  Werthe 

A 

m,  m\  m'  annimmt,  die  vier  Wurzeln  der  Gleichung  immer  verschie- 
den. Denn  sollten  zwei  gleich  werden,  etwa  die  in  (10)  durch  die 
Zeichenfolgen 

+  +  + 

+ 

repräsentirten,  so  müssten  zugleich  die  Gleichungen  bestehen: 

g)  =  0 
{^n  —nijil^yx  —  m  A  +  {m — m)  %  }/x — m"  A  =  0 , 

oder  die  Resultante  dieser  beiden  Formen  zweiten  Grades  müsste  ver- 
schwinden. Nun  ist  die  simultane  Invariante  dieser  beiden  Formen 
aus  Aq^  und  A^.^  zusammengesetzt  und  daher  identisch  Null ;  die  Resul- 
tante reducirt  sich   daher  auf  das  Product   der  Invariante  von  (p  mit 


158  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formell 

der  Invariante  der  zweiten  quadratischen  Form.  Erstere  verschwindet 
nicht,  da  sonst  zwei  m  einander  gleich  sein  müssten,  also  B  =  0. 
Die  zweite  ist  die  zweite  Ueberschiebung  der  zweiten  quadratischen 
Form  über  sich  selbst;  aber  die  Form 

aifj  +  ßx 
zweimal  über  sich  selbst  geschoben,  giebt 

also  hier 

{m''—mY  {%  —  mX)  A^^  -j-  {m  —  nif  {%  —  nfX)  Ä.^^ 

(m—m)  im'—m'')  im"  —  m),,    „        ,  ,  ,,,       ,  ,    ,  „,,  , 

=  ^ — ^ — ^— ^  j  {m''—m)  {%  —  mX)  +  {m-m')  {yc-m'l)  \ 

im—m')  ( m"  —  m)  im'  —  m"  f  , 
=  -^ ^^ ^    '  ^ '-  (x  —  mX). 

Auch   dieser  Ausdruck   also   kann   nicht  verschwinden,    da  weder 
zwei  m  einander  gleich  sind,   noch  —=:m  sein  sollte. 


§  47.    Die  quadratischen  Factoren  von  /. 

Auf  die  cubische.  Resolvente 

m-^  —  -zron  —  ^  =  {) 

wird    man    noch    auf   eine   andere  Art   geführt,    nämlich   indem  man 
direct  die  Aufgabe  zu  lösen  versucht,  eine  biquadratische  Form /' 
in   zwei  quadratische  Factoren  aufzulösen. 
Setzt  man  nämlich 

f=  («0  ^1^  +  -^  ^1  ^1  %>  +  ^^2  ^'^/)  ißo  ^1^  -\-2ß^x^x.^  +  ft  x./) , 
so  erhält  man  durch  Vergleichung  der  beiderseitigen  Coefficienten : 

2a,  =  a^ß,-\-  ß^  a, 
(1)  Qa,  =  a,ß,  +  ß,a,  +  ^a,ß, 

2  «3  =  a,  /3^  +  ß,  a., 
a^  =  cc.,ß.,. 
Führt   man   nun    eine  Grösse   m   ein,   so    dass  die  mittlere  dieser 
Gleichungen  in  die  beiden: 

^ü  1^2  +  i^o  ^2  ^  ^  ^'2  —  2  ^n 
c(,ß,  =  a,  +  ^ 

zerlegt   wird,    so   findet  man  m  aus  der  Bemerkung,    dass  die  Deter- 
minante 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung. 


46,  47. 


159 


C^oßo  +  ß 

%ß.-^ß 

«0^2  +  /^ 

0  «0           ^^1  ^U  +  ßl   «0           ('■>  ßo  H-  ß2  «(. 
0«1           ^^l/^.  +/5.   «1           «2/5.   +^2«! 
0«2          ^^/52  +  /^.   «2          «2ft  +  ft«2 

= 

«ü        ^0        0 

a,     ß,     0 

A,    «0   0 

.     /3^     «,     0 
^/    «,     0 

identisch   verschwindet.      Setzt  man   hier  für   die  Elemente  derselben 
ihre  Werthe  aus  (1)    und  dividirt  überall  durch  2,   so  erhält  man  die 


Gleichung  für  o)r. 


m 


,  m 

«2+2 


tto 


m    üc 


=  -^(m^ 


2 


in 


-i)- 


was  wieder  unsere  cubische  Resolvente  ist. 

Die  Zerlegung   von  /'  aber  finden  wir  sodann  ohne  Weiteres  aus 
den  Gleichungen  §  44.  (4) :  , 

H+m    f=-2(p^ 
(2)  Hj^ni  f=-2t"- 

H+m'f=-2f, 

aus  welchen  sich  die  drei  Zerlegungen  ergeben: 

2       ,  „      „,  2 


f 


(3) 


tu 

— 

m" 

2 

m' 

m 

2 

m  —  m 


s\  


r) 


r')  = 


<p') 


m  —  m 
2 

m"  —  m 

9. 


m 


m 


,{4^-cp){t  +  (p). 


(4) 


Indem  man  diese  Darstellung  zu  Grunde  legt,  kann  man  die  Auf- 
lösung der  Gleichung  vierten  Grades  f=^0  so  ausdrücken,  dass  die 
vier  linearen  Facto ren  von  f  die  gemeinsamen  linearen 
Factoren  der  folgenden  vier  Tripel  von  Gleichungen  sind: 

1.  1/;  — 9  =  0,       (p-j(^  =  0,       x-i'  =  ^ 

2.  ^_9,  =  0,       (p  +  j^  =  0,       x  +  t  =  0 

4.     ilj-\-cp=0,       (pJf-x  =  0,       x  —  ip  =  0. 

Man  benutzt  diese  Gleichungen  bequem  zur  Discussion  der  Rea- 
lität der  Wurzeln  bei  einer  Gleichung  mit  reellen  Coefficienten. 

Hat  in  diesem  Falle  die  cubische  Resolvente  eine  reelle  Wurzel  m 
und  zwei  conjugirt  imaginäre  m\  m"  (was  nach  §  38.  für  negative 
Werthe  von  i^^,  also  nach  §  41.  (12)  für  negative  Werthe  von  i^—Qf 


Ißö  vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

eintritt),   so  sind  i/;  und  i  ihrer  Entstehung  nach  conjugirt  imaginär, 
also,   wegen  der  Gleichung 

(5)  T=2cptx 

(p  reell.     Demnach  kann  man 

iif=u-\-v  y.—  1 ,   j(^=u—v  j/—  1 

setzen,  und  die  Gleichungen  (4)» verwandeln  sich  in: 

1.  u  —^  =  0,       v  =  0 

2.  vj/^  -(p  =  0,       ti  =  0 

3.  v}/^  +  (p  =  0,      u  =  0 

4.  M  +^  =  0,       v  =  0. 

Da  nun  il^  und  %  keinen  Factor  gemein  haben,  so  können  u,  v 
nicht  zugleich  verschwinden.  Daher  ist  die  gemeinsame  Lösung  der 
Systeme  2.  oder  3.  nothwendig  imaginär;  die  von  1.  oder  4.  sind  reell. 

Bei  negativem  Werthe  von  i^  —  Qj^  hat  die  biquadra- 
tische Gleichung  also  zwei  reellfe  und  zwei  imaginäre 
Wurzeln. 

Ist  dagegen  i^^—^f  positiv,  so  hat  die  cubische  Resolvente  drei 
reelle  Wurzeln  m,  m  ,  m'\  Daher  sind  cp'^ ,  ^'^,  %^  reell,  und  es 
werden  nun  zwei  Fälle  möglich.  Entweder  sind  qp,  ^,  ;^  selbst  reell, 
und  in  diesem  Falle  also  auch  alle  gemeinsamen  Lösungen  der  Systeme 
4.  und  damit  die  Wurzeln  der  biquadratischen  Gleichung.  Oder  zwei 
der  Ausdrücke  (p,  tp,  %  erhalten  den  Factor  j/—l,  so  dass  etwa 

In  diesem  Falle  verwandeln  die  Systeme  (4)  sich  in  folgende: 
2.     ^'y-[-cp  =  0^       ^_|.j^y^  =  0,      %+^'  =  0 

4.    ^y3i  +  g,  =  o^     ^_}.^YZ1=.0,     ;t'-^'  =  o. 

Daher  sind  in  diesem  Falle  sämmtliche  gemeinsame  Lösungen  der 
Systeme  4.  imaginär,  und  also  auch  alle  Wurzeln  von  /"=0  imaginär. 

Ist  also  i^  —  ßf  positiv,  so  hat  die  Gleichung  ^  =  0  ent- 
weder vier  reelle,  oder  vier  imaginäre  Wurzeln. 

Die  Unterscheidung  der  beiden  fetzten  Fälle  ergiebt  sich  sofort, 
wenn  man  eine  cubische  Gleichung  aufstellt,  deren  Wurzeln  (p^,  t/^'-^, 
'f  sind.     Diese  Gleichung  ist  wegen  der  Gleichungen  (2) : 


zwpitpv,  dnttov  und  vievtpv  Orclnnnor.  — §§47,48.  \Q\ 

In  dem  Falle,  mit  welchem  wir  es  hier  zu  thuii  haben,  hat  diese 

Gleichung   stets   reelle  Wurzeln;    und  zw^ar  drei  positive,    wenn  f=0 

lauter    reelle,    zwei    negative    und    eine    positive,    wenn   f=0    lauter 

imaginäre   Wurzeln    hat.      Im    ersten   Falle    muss    also   |  H  negativ, 

i 
^H'—^p  positiv   sein,    im   zweiten  Falle   müssen   beide  Ausdrücke 

gleiches  Zeichen  haben.     Und  so  haben  wir  folgenden  Satz: 

^  Wenn  ?'^  — 6/->0,   so  haben  die  Werthe  der  For- 

men  H  und  H-  —  jrp  hei  beliebigen  reellen  Werthen 

der  X  entweder  stets  verschiedene  Vorzeichen,  und 
dann  hat  die  Gleichung  /*=0  lauter  reelle  Wurzeln, 
oder  dieselben  haben  stets  gleiche  Vorzeichen,  und 
dann  hat  die  Gleichung  /=0  lauter  imaginäre 
Wurzeln. 


§  48.    Ausnahmefalle. 

Gehen  wir  nun  zur  Betrachtung  des  Falles  über,  in  welchem 
i2  =  0,  und  zwar  möge  m'=m'  werden.  Es  ist  also  m'  eine  Doppel- 
wurzel ,  m  eine  einfache  Wurzel  von  Q  =  0 ;  7)1  und  m'  seien  noch 
verschieden.     Wegen    der    Gleichung  R  —  C),  d.  h.    r^  — 6y-  =  0,   wird 


'-(-H')'('-y'). 


also 


(1)  "''  =  -{'      '«  =  2j. 

Nach  §  44.  (G)  ist  in  diesem  Falle  %  =  ip'^  zugleich  aber  A^^  =  A^c,~^ 
[§45.  (2)],  also  der  gemeinschaftliche  Ausdruck  von  i^  und  %  ent- 
weder das  Quadrat  eines  linearen  Ausdrucks  5?  oder  identisch  Null. 
Beide  Fälle  sind  getrennt  zu  behandeln. 

Ist  z^  —  ;k  =  b"   von  Null   verschieden ,   so  hat  man  nach  §  44.  (4) 

es    ist    also    eine  Verbindung    von   H  und   f  die   vierte  Potenz   eines 
linearen  Ausdrucks.     Aber  ferner  ist  A^.^=i),  was  hier  in 

(SP  1)^  =  0 

übergeht.    Es  verschwindet  also  (p,  wenn  manrrj^  =  ^2,  x.,  =  —  l^  setzt; 
q)  muss  daher  den  Factor  5  besitzen,  und  man  hat  daher 

wo  ri  ein  von  ^  verschiedener  linearer  Ausdruck  ist.    Die  zweite  Ueber- 
schiebung  nämlich  von  cp  über  sich  selbst  ist  jetzt 

Clebsch,  Theorie  der  binäreu  algcbr.  Forinea,  11 


%. 


\Q2  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

(9?)  (<pri)  =  i  I  (II)  (nv)  -  i^nf  I  =  -  i  iiv'^ 

und  daher 

(U)^  =  -2Ao=(™-»OS 
also  von  Null  verschieden. 

Die  Gleichungen  §  44.  (4),  (5)  verwandeln  sich  sonach  in  die 
folgenden : 

Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man: 

Durch  d  as  Verschwinden  von  li  =  ^^  {i^  —  ßf)  erhält 
also  f  eine  Doppelwurzel  (?  =  0);  R  ist  also  die  Discrimi- 
nante,  was  auch  in  §  2P.  gefunden  wurde.  Der  Doppelfactor 
von  f  ist  auch  ein  solcher  von  H^  und  ein  fünffacher  von  T. 

Die  Lösung  der  biquadratischen  Gleichung  xf+XH=0  erfolgt 
in  diesem  Falle  dadurch,  dass  man  zunächst  aus  der  Gleichung 

deren    linker   Theil   ein   Biquadrat   ist,    die    Doppelwurzel    |  =  0    be- 
stimmt.    Ist 

so  ist 
also 

und   die  Doppel  Wurzel   ist   daher— 7^.      Die    übrigbleibende    quadra- 
tische  Gleichung  ist  dann 

''f^'^^^A{Ki-2kj)l^-{Ki^lj)f^^ 


Bestimmt  man  also  —  aus  der  Gleichung 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  48.  163 

r       iH-jf 


r,'     iH+2jf' 
SO  geben  die  linearen  Gleichungen 


^±/,S%-''=« 


2  JA 
die  beiden  ungleichen  Wurzeln  von  xf-\-XH  =  0.  — 

Ist  zweitens  il>  =  x  identisch  Null,  so  sind  H  und  f  nur  noch 
durch  einen  Factor  verschieden,  und  zwar  ist  aus  §  44.  (4),  (5): 

Das  ganze  System  x  f-]-  XII=  0  ist  also,  abgesehen  von  dem  Falle 

3C  ') 

—  —  —  —  ,  in  welchem  der  Ausdruck  identisch  verschwindet,  auf/'=0 
reducirt.     Zugleich  liefert  die  erste  Gleichung  §  44.  (4) 

Demnach  wird  f  das  Quadrat  eines  quadratischen  Ausdrucks; 
f=^  0  hat  zwei  verschiedene  Doppelwurzeln.  Und  zwar  ist  die  Be- 
dingung, dass  H  von  f  nur  durch  einen  Factor  verschieden  sei, 
dafür  in  der  That  ausreichend,  da  die  Gleichungen  §44.  (4)  dann 
immer  dieses  Resultat  geben,  und  da  dann  auch  immer  R  von  selbst 
verschwindet,  dessen  Quadrat,  wie  oben  gezeigt,  die  Resultante  von 
f  und  H  ist.     Man  kann  also  den  Satz  aussprechen: 

Wenn  H  von  f  nur  um  einen  constanten  Factor 
verschieden  ist,  dann,  und  nur  dann  ist  f  das 
Quadrat  eines  Ausdrucks  zweiter  Ordnung. 

Die  Bedingungen  dafür,  dass  f  zwei  Doppelwurzeln  besitze, 
werden  also  dadurch  ausgedrückt,  dass  man  die  Coefficienten  von  H 
denen  von  /'  proportional  setzt.  Es  involvirt  dies  zwei  Beziehungen 
zwischen  den  Coefficienten;  aber,  wie  in  den  meisten  ähnlichen  Fällen,, 
wird  dies  nicht  etwa  durch  das  Verschwinden  zw^eier  Invarianten, 
sondern  durch  Beziehungen  zwischen  den  Coefficienten  von  Covarianten 
ausgedrückt,  und  zwar  durch  eine  zu  grosse  Anzahl  von  Gleichungen, 
welche  neben  einander  bestehen  können,  aber  von  denen  keine  über- 
flüssig ist.  Auf  solche  Erscheinungen  wurde  auf  p.  91  bereits  hin- 
gewiesen; hier  liegt  ein  weiteres  Beispiel  vor.  — 

Wir  kommen  endlich  zu  dem  Falle,  wo  alle  drei  Wurzeln  })i,  in\ 
m"   der   cubischen  Gleichung  Q  =  0   einander  gleich  w^erden.     Da  der 

11* 


164  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

zweite  Coefficient  der  Gleichung^  die  Summe  der  Wurzeln  also^  ver- 
schwindet, so  ist  nothwendig  in  diesem  Falle 

und  die  Gleichung  Q  =  0  muss  sich  auf  %^  =  0  reduciren ;  man  hat 
daher  auch 

• 

Aus  den  Gleichungen  §  45.  (2)  sehen  wir,  dass  A^^^,  A^^^  A.^^  ver- 
schwinden. Die  quadratische  Form  g?  ==  i^»  =  ;^  ist  also  entweder  das 
Quadrat  eines  linearen  Ausdrucks,  oder  identisch  Null.  Hiernach 
haben  wir  zwei  Fälle  zu  unterscheiden,  die  wir  nach  den  Gleichungen 
§  44.  (4)  aucli  so  ausdrücken  können:  Entweder  ist  H  das  Biquadrat 
eines  linearen  Ausdrucks: 

oder  es  ist  H  identisch  Null. 

Die  Gleichungen  i  =  0,  j  =  0  folgen  umgekehrt  wieder  aus  der 
Bedingung,  dass  H  ein  Biquadrat  sei,  und  um  so  mehr,  wenn  es 
identisch  verschwindet.  Denn  erstlich  ist,  wenn  H ~  |^,  die  Invariante 
i,  für  H  gebildet,  gleich  (§|)^,  also  identisch  Null;  dieselbe  ist  aber 
der  Coefficient  von  A^  in  i^x  [§  41.  (8)],  welcher  bis  auf  einen  Zahlen- 
factor  gleich  i^  ist.  Es  verschwindet  sonach  ^;  und  in  Folge  der 
Gleichung  R  =  0  oder  i^  —  6f  =  0  auch  j. 

Es  verschwindet  aber  nach  §  40.  (8)  mit  i  auch  die  zweite  Ueber- 
schiebung  von  f  mit  H,  welche,  wenn  i?"=  |*,  den  Ausdruck  an- 
nimmt : 

Setzen  wir  also  den  ersten  Fall  voraus,  in  welchem  5  nicht  iden- 
tisch verschwindet,  so  muss  identisch 

sein,  also  auch  (cg)*  =  05  es  muss  f  den  Factor  5  zu  irgend  einer 
Potenz  enthalten.     Setzen  wir 

wo  u  eine  Form  dritter  Ordnung  ist.  Schieben  wir  dies  zweimal 
über  I,  so  bleibt  der  Factor  J  immer  ungeändert;  es  muss  also  die 
zweite  Ueberschiebung  von  u  mit  5  verschwinden,  d.  h.  u  muss  wie- 
der den  Factor  |  enthalten, 

wo  1^  von  der  zweiten  Ordnung  ist.  Endlich,  wenn  wir  J  wiederum 
zweimal  über  dieses  Product  schieben  und  das  Resultat  gleich  Null 
setzen,   bleibt,   dass  die  zweite  Ueberschiebung  von  v  mit  |,   welche 


zweiter,  dritter  imd  vierter  Ordnung.  —  §  48. 


165 


eine  Constante  ist,  verschwindet.    Man  hat  also  v  =  ^.  rj,  und  endlich 

Diese  Form  hat  in  der  That  eine  Covariante  H,  welche  ein 
Biquadrat  ist.  Denn  denken  wir  uns  ?  und  rj  als  neue  Veränderliche 
eingeführt,  so  ist  die  Form  H  gleich  der  in  Bezug  auf  die  neuen 
Veränderlichen  gebildeten  Form,  multiplicirt  mit  dem  Quadrate  der 
Substitutionsdeterminante ,  also 


d^f 


21* 


elf 


Wenn  also  H  ein  Biquadrat  ist,  ohne  identisch 
zu  verschwinden,  so  hat  man  /  =  0,  j  =  0,  und  /  hat 
einen  dreifachen  Factor;  so  wie  umgekehrt  im  letz- 
teren Falle  immer  H  ein  Biquadrat,  und  i  =  0, 
i  =  Oist. 

Ist   endlich  H  identisch  gleich  Null,    so  verschwinden  alle  seine 
Coefficienten ;  es  ist  also  (vgl.  §  40.) : 

«y  a^  —  a^=^Q 

^0  ^3  —  ^1  0^2  =  0 


a^j  «4  +  2  «1  «3  —  3  «2 
a^  a^  —  «2  «3  =  0 

«2«4  — «3^  =  0- 


0 


Ist  hier  «^^  =  0,  so  verschwindet  auch  «^,   a^y   a^  nnd  /wird  x^*- 


Ist^öfQ  von  Null  verschieden,  so  ist 


«9  = 


a,= 


2? 


Ct.= 


^Zl_ 


also 


f=a,{,^  +  'hx^' 


Wenn  2^=0,  so  ist  also  f  immer  das  Biquadrat  eines 
linearen  Ausdrucks.  Dass  umgekehrt  in  diesem  Falle  IT  und  alle 
anderen  Bildungen  verschwinden,  lehrt  die  symbolische  Darstellung, 
welche  für  diesen  Fall  in  die  wirkliche  übergeht,  und  bei  welcher 
daher  alle  symbolischen  Determinanten  verschwinden. 

Hiermit  ist  der  Kreis  der  möglichen  besonderen  Fälle  einer 
biquadratischen  Form  erschöpft. 

Kehren  wir  zu  dem  allgemeinen  Falle  zurück. 


1(36  Vierter  Abschnitt.    'Theorie  der  Formen 


§  49.    Kanonische  Darstellung  der  biciiiadratischen  Form. 

Unter  einer  kanonischen  Darstellung  einer  binären  Form  ver- 
stehen wir  eine  Darstellung  derselben  durch  Einführung  neuer  Ver- 
änderlichen, bei  welcher  die  Zahl  der  nicht  numerischen  Coefficienten 
auf  ein  Minimum  reducirt  wird.  Da  die  Anzahl  der  Constanten  einer 
linearen  Transformation  nur  4  beträgt,  so  ist  es  klar,  dass  die  ka- 
nonische Darstellung  höchstens  4  nichtnumerjsche  Coefficienten  weniger 
enthalten  kann,  als  die  allgemeine  Darstellung  der  Form.  Die  kano- 
nische Darstellung  ist  daher  auch  hauptsächlich  bei  niederen  Formen 
von  Interesse,  wo  diese  Verminderung  schon  eine  erwähnenswerthe 
ist.  So  ist  die  Darstellung  der  cubischen  Formen  durch  den  Ausdruck 
g^  —  Yj-^  als  eine  kanonische  zu  bezeichnen.  Eine  solche  kanonische 
Darstellung  soll  nun  für  die  Formen  vierter  Ordnung  geliefert 
werden. 

Als  neue  Veränderliche  der  kanonischen  Darstellung  empfiehlt  es 
sich  hier,  die  linearen  Factoren  einer  der  quadratischen  Formen  (p, 
\pj  l  einzuführen,  so  dass  eine  kanonische  Darstellung  dieser  Art  auf 
drei  verschiedene  Arten  möglich  ist. 

V\^enn  wir  etwa  die  Factoren  von  cp,  durch  |,  -q  bezeichnet,  als  neue 
Veränderliche  einführen,  so  nehmen  die  Formen  ij),  %  Gestalten  an, 
welche  dadurch  charakterisirt  werden,  dass  die  simultanen  Invarianten 
^4.^1  und  A^y,  verschwinden.  Eine  solche  Invariante  hat,  wenn  %,  a^,  cl^ 
die  Coefficienten  der  einen,  a^,  a^,  a.,  die  der  anderen  in  ihr  auftretenden 
Form  bedeuten,  den  Ausdruck  a^  a.^  —  2a^a^  -f  a.y^a^  (vgl.  p.  4.).  Bilden 
wir  daher  A^^  und  A^.^  für  die  neuen  Veränderlichen,  in  denen  bei  cp 
nur  das  mittlere  Glied  existirt,  so  reducirt  der  Ausdruck  des  Ver- 
Schwindens  von  A^^  und  A^^  sich  darauf,  dass  in  der  neuen  Form  die 
mittleren  Coefficienten  von  i)  und  %  verschwinden.  Die  Formen  ^, 
y^  drücken  sich  also  durch  die  Quadrate  von  \  und  t^  aus.  Benutzen 
wir  nun  die  Gleichungen  §  44.  (4) ,  um  i/,  /'  durch  ? ,  ri  auszudrücken, 
so  folgt,  dass  auch  diese  Formen  nur  gerade  Potenzen  von  %  und  i^ 
enthalten  können. 

In  der  kanonischen  Form,  deren  Möglichkeit  hierdurch  bewiesen 
ist,  können  also  nur  noch  die  Biquadrate  und  das  Froduct  der  Qua- 
drate von  %  und  y]  vorkommen.  Indem  wir  %  und  y\  um  passend  ge- 
wählte Factoren  ändern,  können  wir  noch  die  Coefficienten  von  |* 
und  yf  (die,  wenn  keine  Doppelwurzel  von  /'=()  existiren  soll,  nie- 
mals verschwinden  können)  gleich  1  machen;  indessen  ist  es  zweck- 
mässiger, sie  nur  gleich  zu  machen,  und  also  die  folgende  kanonische 
Darstellung  von  /*  anzunehmen: 

(1)  /"=i'(r+)j*)+6är^ij^ 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  49.  167 

Man  kann  nun  sich  die  Aufgabe  stellen,  direct  diese  kanonische 
Darstellung  für  eine  gegebene  Form  f  zu  finden.  Es  muss  dieses 
nach  dem  Vorigen  mit  der  Aufsuchung  der  Formen  9,  i^-,  %  genau 
zusammenhängen;  dass  es  andererseits  mit  der  Auflösung  der  biqua- 
dratischen Gleichung  f=0  zusammenhängt,  sieht  man  schon  daraus, 
dass,  wenn  die  kanonische  Darstellung  einmal  gelungen  ist,  zur  Auf- 
lösung der  Gleichung  /"=  0  nur  noch  Quadratwurzeln  erfordert 
werden.  In  der  That,  ist  /'  in  der  Form  (1)  gegeben,  so  hat  man 
sofort  aus  f=0: 


oder  auch,  indem  man  addirt  oder  abzieht  und  mit  |  oder  yi  dividirt: 


2iVp=ri  {y-Qq  +  2p  +  y-6q-2p) 
2rjj/^  =  i  (j/-6q  +  2p-y-6q-2p). 

Diese  Gleichungen  geben  in  verschiedener  Form  dieselbe  Lösung 
der  biquadratischen  Gleichung  /"=0;  man  erhält  daraus  die  übrigen, 
indem  man  die  Vorzeicheu  der  Quadratwurzeln  ändert. 

Gehen  wir  von  der  kanonischen  Form  aus,  so  ist  es  sehr  leicht, 
alle  Covarianten  und  Invarianten  in  Bezug  auf  die  neuen  Veränder- 
lichen ^j  7]  zu  bilden;  wir  wollen  sie  durch  beigesetzte  obere  Striche 
bezeichnen;  sie  unterscheiden  sich  von  den  ursprünglichen  Bildungen 
nur  durch  entsprechende  Potenzen  der  Transformationsdeterminante  (§  rf). 

Zunächst  hat  man 

(3)  H^(^irifH'^i^rif,2  ^^'  +  ^^'         il^\\ 

=  {^riJ  \2pq{l^+ri^)  +  2  {f  -^q^)l^rf\. 

Man  sieht  hier,  dass  die  kanonische  Form  von  H  derjenigen  von 
/"ganz  analog  ist.  Denken  wir  uns  Py  q  und  den  Werth  von  {jE,rif 
gefunden,  so  kann  man  aus  (1)  und  (3)  die  Ausdrücke  {i^^ -\- yf)'\ 
(!'—  '^^Y  ^nd  2l~rf  bestimmen,  und  erhält  dann  die  folgenden  Glei- 
chungen, welche  mit  den  oben  §  44.  (4)  gegebenen  Bestimmungen 
von  (p^j  ^^,  y^  wesentlich  identisch  sind: 

(4)  H+  (q+p)  (|^)Y=  iUr-iSpq  +p^  a'  +  v'Y 
H+  {q  -p)  (inff=-{W  (3i>ä  -i»')  (r  -  rff, 

und  aus  welchen  man  ^=^  und  rf  sofort  ausdrücken  kann.  Die  erhaltenen 
Ausdrücke  für  5",  *?"^  sind  bestimmt,  abgesehen  von  einer  möglichen 
Vertauschung   und    von   einer  gleichzeitigen  Zeichenänderung   beider, 


1(J8  Vierter  Absclmitt.     Theorie  der  Formen 

was  auf  die  Darstellung  (1)  keinen  Einlluss  hat  und  daher  g'leieli- 
gültig  bleibt. 

Von  den  Grössen  q^  jp  ist  eine,    wie  schon  oben  bemerkt,    will- 
kürlich.   Das  Verhältniss  -  aber,  sowie  i^riY,  lindet  man,  indem  man 

die  Wertlie  der  Invarianten  i  und  j  in  der  kanonischen  Darstelking 
bildet.  Benutzt  man  die  in  §  40.  gegebenen  Ausrechnungen  von  i 
und  jj  so  erhält  man: 

Aus  diesen  Gleicliiuigen  folgt: 

p'  +  'iq'       j 


(5)  avr=i 

(6) 


3  q  {p^  —  q^)  '  i  ' 
2(p2_^3g2)3 


j2  9^2(^p2_^2)2- 

Die   eine   dieser   Gleichungen  liefert  den   V\^erth  von   (|r?)^,    die 

andere  eine  cubische  Gleichung  zur  Bestimmung  von  ^ .      Dass    nur 

das  Quadrat  dieser  Grösse  bestimmt  wird,  erklärt  sich  dadurch, 
dass  die  Gleichung  (1)  ungeandert  bleibt,  wenn  q  in  —q  verwan- 
delt wird,  sobald  nur  gleichzeitig  ri  ]/—l  an  Stelle  von  7}  ge- 
setzt wird. 

Die  cubische  Gleichung  (6)  lässt  sich  durch  eine  einfache  Sub- 
stitution in  die  cubische  Gleichung  Q  =  0  überführen.  Setzt  man 
nämlich 

so  geht  die  Gleichung  (6)  in 

<»       ^  j       n 

m^  —  -^  m  —  —-  =  0 

über.  Die  Gleichung  (7)  verbindet  daher  die  drei  Werthe  von  ^  mit 
den  Wurzeln  m,  w,  m"  von  Q  =  0. 

Benutzt  man  die  Gleichung  (7),  so  verwandelt  (5)  sich  in 

(8)  (|.^)^2=-|. 

Durch  die  Gleichungen  (7),  (8)  und  (4)  ist  die  kanonische  Dar- 
stellung von  /'  vollständig  geliefert. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§  49,  50.  169 


§  50.    Die  absolute  IiiTariante  und  das  Doppelverhältniss. 

Die    in   der   Gleichung   §  49.   (6)    auftretende   Grösse    —   hat   die 

Eigenschaft,  sich  bei  linearer  Transformation  gar  nicht  zu  ändern, 
und  sie  ist  die  einzige  Invariantenverbindung,  welche  diese  Eigen- 
schaft haben  kann.  Sie  ist  daher  eine  absolute  Invariante  im 
Sinne  des  §  21.,  und  theilt  diese  Eigenschaft  mit  dem  Doppelverhält- 
niss,  welches  aus  den  vier  der  biquadratischen  Form  zugeordneten 
Elementen  gebildet  werden  kann.  Ich  werde  jetzt  die  algebraische 
Beziehung  entwickeln ,  welche  zwischen  diesen  beiden  Grössen  besteht. 
Setzt  man  in  den  Formeln  (2)  des  vorigen  Paragraphen  für  den 
Augenblick  der  Kürze  wegen 


2yp     '  2yp     ' 

so  sind  die  vier  linearen  Factoren  von  f  durch  die  Gleichungen  dar- 
gestellt : 

|  +  («  +  /3)7?  =  0 

l  +  {a-ß)ri  =  Q. 

Eines  der  Doppelverhältnisse,  welche  aus  den  entsprechenden 
vier  Elementen  einer  Punktreihe  oder  eines  Strahlbüschels  gebildet 
werden  können,  hat 'dann  nach  §  25.  den  Werth: 

(a  +  ß)  +  {a-ß) 
(«  + /3)  -  («  - /?)  «^ 

-(«  +  |3)  +  (c-^)  ß-^' 

und  es  ist,  wenn  wir  diesen  Werth  durch  a  bezeichnen. 

Das  Verhältniss  —  steht  also  mit  dem  Doppelverhältniss  <5  in 
einem  linearen  Zusammenhange.     Drückt  man  —  durch  6  aus: 

p      3(1-^)' 

und  führt  dies  in  die  Gleichuug  §  49.  (6)  ein,  so  erhält  man  die 
Beziehung  zwischen  der  absoluten  Invariante  und  dem 
D  0  p  p  e  1 V  e  r  h  ä  1 1 11  i  s  s  e : 


170  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

(1)  4:=24        n-'^+'^'y 


Dieses  ist  für  a  eine  Gleichung  sechsten  Grades;  ein  Umstand^ 
welcher  der  Thatsache  entspricht,  dass  aus  vier  Elementen  sich  sechs 
Doppel  Verhältnisse  bilden  lassen.  Die  sechs  Wurzeln  dieser  Gleichung 
müssen  daher  so  mit  einander  verbunden  sein,  dass,  wenn  ö  irgend 
eine  derselben  ist,  die  übrigen  die  Werthe  annehmen: 

1      _       JL     "^jn^     _?_ 
ö'        ^'   i-ö'      ö   '    ö-i' 

Man  findet  dies  in  der  That  bestätigt;  denn  die  Gleichung  (1) 
ändert  sich  nicht ^  wenn  man  an  Stelle  von  ö  eine  dieser  fünf  Grössen 
einführt. 

Die  Auflösung  der  Gleichung  (1)  erfolgt  dadurch,  dass  man 
dieselbe  auf  die  cubische  Gleichung  Q  =  0  und  auf  quadratische 
Gleichungen   zurückführt.     Indem   man   nämlich   den   oben   erhaltenen 

Werth  von  —  in   die  Gleichung  §  49.  (7)   einführt,   kann   man   dieser 

die  Form  geben: 

^   ^  l      2  —  <3  .1  —  2  (5 

Die  rechte  Seite  ändert  sich  nicht,  wenn  man  a  durch  —  ersetzt; 

man  hat  also,  indem  man  für  m  die  Wurzeln  der  cubischen  Gleichung 
Q  =  0  einführt,  drei  quadratische  Gleichungen  in  a  vor  sich,  welche 
drei  Werthepaare  dieses  Doppelverhältnisses  ergeben ;  und  zwar  stehen 
immer  zwei  Werthe  eines  Paares  in  der  Beziehung  zu  einander,   dass 

wenn  (5  der  eine  ist,  —  der  andere  wird. 

Umgekehrt   erhält  man,   wenn   man   in    (2)    a    durch    1  — (?    oder 

durch  ^^^^^—  ersetzt,  die  drei  Wurzeln  der  cubischen  Kesolvente  durch 

ein  Doppelverhältniss  ö  ausgedrückt: 

m  — ^ 

^ 

(3)  _     m!  =  +  4 

2,/ 
m  = - 

i 


1 

—  (?  +  Ö-' 

2- 
1 

(7.1-2(? 

1  + 
1 

6  ,  l-2ö 

lJ^Ö.2-6 


Die  Gleichung  (1)  erlaubt  die  Beantwortung  der  Frage,  unter 
welchen  Umständen  einer  der  ausgezeichneten  Werthe  des  Doppel- 
verhältnisses eintrete,  welche  in  §  21.  erwähnt  sind. 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §  50.  171 

Der  Werth  <J=1,  bei  welchem  zwei  Factoren  von  f  zusammen- 
fallen müssen,  führt  selbstverständlich  auf  das  Verschwinden  der 
Discriminante.     In  der  That,  setzt  man  (5  =  \y  so  erhält  man  aus  (1) 

Sollen  die  vier  der  Gleichung  f—  0  entsprechenden  Elemente  da- 
gegen harmonisch  liegen ,  so  hat  man  ö  =  —  1 ,  2  oder  \.  h\  allen 
diesen  Fällen  verschwindet  in  (1)  der  Nenner.  Die  Bedingung  der 
harmonischen  Lage  ist  also 

Soll  endlich  das  Do})pelverhältiiiss  äquianharmonisch  werden,  so 
muss  ö  eine  imaginäre  dritte  Wurzel  aus  (1),  also  &^  —  a -\-  1  =  0  sein; 
der  Zähler  in  (1)  muss  versehwinden.  Die  Bedingung  der  äqui- 
anharmonischen  Lage  ist  also 

Diese  beiden  Fälle  geben  nicht  zu  so  grossen  Modificationen  in 
der  Auf lösung  von  ;(/-h  AÄ^—0  Veranlassung,  wie  das  Verschwinden 
der  Discriminante.  Doch  ist  die  dabei  auftretende  Vereinfachung 
immerhin  erheblich.  Die  Gleichung  ß  — 0  verwandelt  sich  bei  der 
harmonischen  Lage  in 


m^  —  -^m  =  Oj 


so  dass 


bei  der  äquianharmonischen  dagegen  in 

3 


m^  -4  =  0, 


so  dass 

m  —  1/  ^,       m  =  s 


/i'    '"'-^'fi 


Im   ersten  Falle   wird   also   die  cubische  Gleichung  reducibel,    im 
zweiten  geht  sie  in  eine  reine  über.     Im  ersten. Falle  ist 


172  Vierter  Abschnitt.     Theorie  der  Formen 

es    ist   also   H  selbst   ein   Quadrat;    und    das   Quadrat   eines   linearen 
Factors  von  ti  /*-|-  l  H  ist : 


Im  zweiten  Falle  hat  man 

7/  ^+^  fi      - 


und  das  Quadrat  eines  linearen  Factors  von  xf-\-lH  ist: 

Indem  wir  das  Vorhergehende  auf  die  zusammengesetzte  Form 
xf+kH  anwenden,  gelangen  wir  zu  folgenden  Resultaten. 

Unter  den  Formen  xf-{-lH  giebt  es  6,  bei  denen  ein 
Doppelverhiiltniss  von  gegebener  Grösse  eintritt.  Die- 
selben bestimmen  sich  durch  die  Gleichung 

(4)  i^^i=.c.j^^x, 

wo  nach  (1) 

.  =  24  (l-^  +  ^T 


wenn  6  das  gegebene  Doppelverhältniss  ist.  Nach  §41.  (9),  (10)  kann 
man  der  Gleichung  (4)  auch  die  Form  geben: 

(5)  SA^^  +  cÖ^ß-O, 

oder  wenn  man  die  Relation  zwischen  den  Covarianten  cubischer  For- 
men berücksichtigt  [§  35.  (7)] : 

Diese  Gleichung  sechsten  Grades  zerlegt  sich  also  sofort  in  die  beiden 
cubischen  Factoren: 


(6)  e^=±«/-,^ 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung,  —  §50.  173 

Die  sechs  Lösungen  der  Gleichung  (4)  zerfallen  also 
in  zwei  Gruppen  zu  drei.  Insbesondere  aber  sind  folgende  Fälle 
hervorzuheben: 

1.  Für  c  =  ß,  wo  das  Doppelverhältniss  1  wird,  geht  (6)  in  Q  =  0 
über.  Die  sechs  Lösungen  von  (4)  fallen  in  drei  Doppellösungen  zu- 
sammen; und  zwar  sind  dies  keine  anderen,  als 

oder 

9)2  =  0,        11^^  =  0,        f=:0. 

In  der  Gleichung  xf-{-  XH  =  0  können  also  im  Allgemei- 
nen nicht  zwei  Lösungen  zusammenfallen,  ohne  dass  auch 
die  beiden  anderen  zusammenfallen. 

2.  Für  c  =  oo  erhalten  wir  ^^  =  0;  wird  also  das  gegebene 
Doppelverhältniss  —1,  so  fallen  abermals  die  sechs  Lösungen  in  drei 
Doppellösungen  zusammen.  Die  Gleichung  xf-\-  XII=0  giebtin 
drei  Fällen  ein  harmonisches  System. 

3.  Für  c  =  0  giebt  (5)  A^  =  0.  Wird  also  das  gegebene  Doppel- 
verhältniss äquianharmonisch ,  so  giebt  (5)  zwei  dreifache  Lösungen. 
Die  Gleichung  xf-\-  IH=0  giebt  also  nur  in  zwei  Fällen 
ein  äquianharmonisches  System. 

Es  ist  bemerk enswerth,  dass  die  Lösungen  aller  unter  (4)  oder 
(6)  enthaltenen  Fälle  wieder  im  Wesentlichen  nur  die  Lösungen  der 
Gleichung  Q  =  0  erfordern,  indem  sie  durch  die  Betiachtungen  des 
§  38.  unter  einander  verbunden  sind.  — 

Die  Gleichungen  (3)  geben  noch  bemerkenswerthe  Resultate,  wenn 
man  die  Wurzeln  der  Gleichung  f=0  einführt.     Es  seien  «,  ß,  y,  d 

IT 

die  drei  Werthe,   welche  —  für  f=0  annimmt.     Setzt  man  alsdann* 

(7)  ,i^^a-ß){y-d),     v^{a-r){d-ß),     tv  =  {a-d)  {ß-y), 

so  hat  man 

(8)  u  +  v  +  w  =  ö, 
und  wenn 

^^^  ""-a-d.y-ß-      IV 

gesetzt   wird,   so   verwandeln  sich  mit  Hilfe  von  (8)  die  Gleichungen 
(3)  in  folgende: 


*  Vgl.  Her  mite  in  Cr  eile's  Journal  Bd.  52. 


174  Vierter  Absclmitt.    Theorie  der  Formen 


(10)  ni^^- 


m 


während  (1 )  in 

(11) 

4  =  3 

überp^eht. 

J 

11^  +  V"-\-W- 

i 
j 

u—v  .  U  —  iV 
u-  -\-  v^  +  w^^ 

i 

j 

'  V—W  .  v  —  u 
u^J^v'^-w' 

i 

'  iv  —  u.iv  —  v^ 

(V  4-  ^2  _|_  ^2Y> 

{u  —  vy  {V  —  wf  {w  —  u)'^ 

Theilt  man  nun  die  letzte  Gleichung  in  die  beiden: 

^g.  i  =  37c'{u'  +  v'  +  w') 

j  =  3  ü^  (u—v)  (v  —  w)  (w—u), 

so  überzeugt  man  sich  leicht,  indem  man  in  der  Gleichung 

^  =  2  («()  «4  —  4  «1  «3  +  3  a^^) 

die  Coefficienten  durch  a^^  und  die  symmetrischen  Functionen  der  a, 
ßy  yj  d  ersetzt,  dass  eine  Gleichung  von  der  Form  der  ersten  Gleich- 
ung (12)  entsteht,  und  dass  daher  in  dieser  x  nur  um  eine  numerische 
Constante   von  a^   verschieden  ist.      Setzt   man,   um   diese   zu   finden, 

et  cc^ 
ß  =  a,  y  =  d  =  Oy  so  erhält  man  f=a^.^x^(x^-ax.^'^,  also  a.^  —  -^^  , 


ti^g  =  0,  «4  =  0,  daher 


Q     '      '  36    ^ 

aber  zugleich  t*  =  0,  v=^  —  a^y  w  =  a^y  also 

^  =  6  ;c^  «^,      j  =  —  Qx^  af'y 

daher  ^  =  7.-.     Die  Gleichungen  (12)  geben  nun: 

i=^(ii^  +  v^  +  w^) 

j  =  ^  (u—v)(v—w){w—u). 

Sodann  aber  erhält  man  aus  (10)  die  folgenden  einfachen  Be- 
ziehungen zwischen  den  Wurzeln  der  cubischen  Resolvente  und  denen 
der  Gleichung  f=0  selbst: 

m  =-^  {w  —  v) 
(14)  m'  —-y  {u  —  w) 

m:'=^{v-u). 


zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung.  —  §§50,  51.  "175 


§  51.    Geometrische  Interpretation, 

Die  Gleichung  f=0  bestimmt  vier  Elemente,  welche  ein  Quadru- 
pel heissen  mögen.  Auch  H=0  bestimmt  ein  Quadrupel,  und  die 
Gleichung  xf-\-  kll=0  bestimmt  eine  einfach  unendliche  Schaar  von 

X 

Quadrupeln,    wenn  man  dem  Quotienten   y   allmälig    alle    möglichen 

Werthe  beilegt.  Jedes  Element  des  geometrischen  Gebildes  (Punkt- 
reihe oder  Strahlbüschel)  gehört  nur  einem  Quadrupel  an,  sobald  R 
nicht  verschwindet,  was  wir  zunächst  voraussetzen  wollen.  Denn  sind 
^1?  ^2  gegeben  und  haben  f,  H  keinen  gemeinsamen  Factor,  so  ist 

y  durch  die  Gleichung 

x/'4-AJff=0 
immer  eindeutig  bestimmt. 

Die  Verschwindungselemente  von  T  stehen  zu  den  Elementen 
dieser  Quadrupelschaar  in  einer  festen  und  eigenthümlichen  Beziehung. 
In  §  49.  haben  wir  gesehen,  dass,  wenn  wir  die  Elemente  eines  der 
quadratischen  Factoren  von  T  als  Grundelemente  einführten,  sowohl 
die  andern  Factoren  von  T  als  7if-{-XH  selbst  nur  gerade  Potenzen 
der  Veränderlichen  enthielten.  Die  beiden  anderen  quadratischen 
Factoren  von  T  haben  also  dann  die  Form 

(1)  l^-rr^ 

und  in  zwei  eben  solche  Factoren  zerlegt  sich  Kf-\-lH.  Aber  nach 
§  25.'*(7)  stellt  diese  Gleichung  ein  Elementepaar  einer  Involution  dar, 
welche  |  =  0  und  7^  =  0  zu  Doppelementen  haben.  Daher  können  wir 
folgende  Sätze  aussprechen: 

Die  drei  quadratischen  Factoren  von  T  reprä- 
sentiren  drei  Elementepaare,  von  denen  je  zwei  zu 
einander  harmonisch  sind. 

In  Bezug  auf  die  Elemente  eines  jeden  dieser 
Factoren  zerlegt  sich  jedes  Quadrupel  der  Schaar 
iif-\-  kH=^0  in  zweiElementepaare,  welche  zu  jenen 
beiden  harmonisch  sind,  so  dass  den  drei  quadra- 
tischen Factoren  von  T  die  drei  Zerlegungen  der 
vier  Elemente  von  xf-\-  kll=^()  entsprechen. 

Betrachtet  man  also  dieElemente  eines  der  drei 
quadratischen  Factoren  von  T  als  Doppelelemente 
einer  Involution,  so  gehören  derselben  als  Ele- 
mentepaare sowohl  zweimal  zwei  Elemente  jedes 
Quadrupels  af-^-kH,  als  die  der  beiden  anderen  qua- 
dratischen Factoren  von  T  an. 


176  Vierter  Absclinitt.     Theorie  der,i^ormeii 

Durcli  die  Eigenschaft,  mit  zwei  Elementepaaren  eines  Qnadru- 
pels  harmonisch  zu  sein,  ist  ein  quadratischer  Factor  von  T  voll- 
kommen definirt.  In  der  That  giebt  es  immer  nur  ein  Elementepaar, 
welches  zu  zwei  gegebenen  Elementepaaren  harmonisch  ist.  Bind 
nämlich  die  gegebenen  Elementepaare  durch  die  Gleichungen 

bestimmt,  so  muss  ein  drittes,  zu  beiden  harmonisches  Paar 

(3)  y^,  x,^  ^2y,x,x,^  +  y.^  x^  =  0 

den  beiden  Bedingungen  genügen: 

welche  aussagen  (vgl.  §  49.),  dass,  wenn  man  die  Verschwindungs- 
elemente  von  (3)  als  Grundelemente  einführt,  die  Gleichungen  (2)  nur 
noch  die  Quadrate  der  neuen  Veränderlichen  enthalten.  Durch  die 
Gleichungen  (4)  aber  sind  die  Verhältnisse  der  y  eindeutig  bestimmt. 
In  Bezug  auf  jede  Combination  von  vier  Elementen  hat  man  also 
aus  dem  Vorigen  den  Satz: 

Theilt  man  auf  die  drei  möglichen  Arten  vier 
Elemente  in  zwei  Paare,  und  sucht  jedesmal  das  zu 
beiden  Paaren  harmonische  Paar,  so  sind  die  ent- 
stehenden drei  Paare  auch  unter  einander  har- 
monisch. 

Bemerken  wir  ferner,  dass  zur  Charakterisirung  von  T  die  Eigen- 
schaft völlig  ausreicht,  dass  je  zwei  seiner  quadratischen  Factoren  ein 
harmonisches  System  geben.     Für  T==  0  folgt  aus  §  49.  (4)  die  Form 

wobei  die  Factoren  eines  seiner  quadratischen  Factoren  zu  Grunde 
gelegt  sind.  Auf  die  Form  aber  kann  man  jedes  System  von  drei 
Elementepaaren  bringen,  von  denen  je  zwei  zusammen  ein  harmo- 
nisches System  bilden.  Nehmen  wir  nämlich  eines  als  ^rj  an,  so 
werden  die  anderen  durch 

dargestellt,  und  damit  diese  zusammen  ein  harmonisches  System  bilden, 
ist  die  Bedingung  zu  erfüllen: 

a ß  -\-h  «==0, 
also 


zweiter,  dritter  mid  vierter  Ordnung.  —  §  51.  177 

Das  Product  dieser  beiden  Factoren  ist  also,  von  einer  Constan- 
ten abgesehen, 

oder,   wenn  man  —=  j    -~  an  Stelle  von  ^  und  ri  treten  lässt,  l'^—n^j 
]/  a      y  h 

wie  es  sein  sollte. 

Ist  ein  System  von  drei  zu  einander  harmo- 
nischen Elementenpaaren  gegeben,  so  bilden  alle 
Quadrupel,  deren  verschiedene  Zerlegungen  jedes- 
mal z.wei  zu  einem  der  gegebenen  harmonischen 
Paare  liefern,  eine  Schaar  7if-\-XH=0,  für  welche 
die  zugehörige  Gleichung  T=Q  die  gegebenen  drei 
Paare  giebt. 

Dass  nämlich  das  Product  der  die  gegebenen  drei  Paare  dar- 
stellenden quadratischen  Formen  als  eine  Form  T  betrachtet  werden 
könne,  ist  schon  oben  gezeigt.  Um  nun  einzusehen,  dass  ausser  der 
Quadrupelschaar  xf+lH  keine  anderen  Quadrupel  existiren,  welche 
der  obigen  Bedingung  genügen,  braucht  man  nur  zu  zeigen,  dass 
jedes  Element  nur  in  einem  Quadrupel  vorkommen  kann;  da  sodann 
ein  Quadrupel  xf-\-XH  existirt,  welchem  dies  Element  angehört,  so 
kann  es  keine  anderen  Quadrupel  geben.  Nun  ist  aber  in  der  That 
ein  den  obigen  Bedingungen  genügendes  Quadrupel  durch  eines  seiner 
Elemente  völlig  bestimmt;  die  drei  anderen  findet  man,  wenn  man  zu 
ihm  und  einem  der  drei  gegebenen  Paare  das  vierte  harmonische  Ele- 
ment sucht.     Damit  ist  der  obige  Satz  bewiesen. 

Aus  den  Sätzen  des  vorigen  Paragraphen  folgt  nun  weiter: 

Unter  den  Quadrupeln,    welche  zu  drei  gegebe- 
nen gegenseitig  harmonischen  Elementenpaaren  in 
der  Beziehung  des  vorigen  Satzes  stehen,    giebt  es 
keines  als  die  doppelt  gerechneten  Paare  selbst,  für 
welches    zwei  Elemente    zusammenfallen,    zwei   die 
äquianharmonisch,    drei    welche    harmonisch    sind; 
endlich     sechs,     welche    ein    irgendwie    gegebenes 
anderes  Doppelverhältniss  besitzen. 
Hierbei    ist    immer    vorausgesetzt,     dass    R    nicht    verschwindet. 
Tritt   dieses   ein,    so   fallen  nach  §  48.  zwei  der  drei  Paare  von  T  in 
ein   Paar   zusammen,    und   die   dieses  Doppelpaar  bildenden  Elemente 
vereinigen    sich    zugleich.       Das    hierdurch    ausgezeichnete    Element 
(g  =  0)   ist  zugleich  Doppelelement  aller  Quadrupel  xf-^-XH^    so  dass 
von   jedem    Quadrupel    nur   zwei   Elemente   übrig  bleiben;    sie  bilden 
eine  Involution,    deren  Doppelelemente  durch  den  ungleichen  quadra- 
tischen Factor  von  T  gegeben  werden. 

C  leb  seh,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  liS 


178        Vierter  Absclinitt.  Theorie  der  Formen  zweiter  etc.  Ordnung.  —  §  51. 

Insbesondere  kann  aber  das  Doppelpaar  identisch  verschwinden, 
so  dass  nur  ein  Paar  von  T  übrig  bleibt.  In  diesem  Falle  werden 
alle  Quadrupel  Kf-\-  XII=0  identisch;  und  zwar  fallen  sie  mit  jenem 
Paar,   doppelt  gerechnet,  zusammen. 

Ist  nicht  blos  R  =  Oy  sondern  verschwinden  i  und  ^'  identisch,  so 
enthält  die  Schaar  xf-j-  ?.H=^0  ein  festes  dreifaches  Element  und 
ein  bewegliches  einfaches.  Ist  endlich  zugleich  H  identisch  Null,  so 
besteht  f  aus  einem  vierfach  zu  rechnenden  Elemente,  und  alle  Ele- 
mente der   Schaar  k  f-{-  XII=0  fallen  mit  demselben  zusammen.  — 

Ich  bemerke  noch,  dass  der  in  §  39.  eingeführte  Begriff  der 
cyclischen  Projectivität  hier  wiederum  auftritt.  Ist  nämlich  j  =  0,  so 
kann  man  dem  Doppelverhältniss  (>  in  §  50.  den  Werth  —  1  geben, 
und  es  wird  daher  für  die  kanonische  Form  ^'  =  0,  so  dass 

f^i'  +  n' 

gesetzt  werden  kann.  Da  die  hieraus  für  f=^0  folgenden  Werthe 
von  —  die  vierten  Wurzeln  aus  einer  Zahl  (hier— 1)  sind,  so  bilden 

n 

die  der  Form  f  zugeordneten  Elemente  ein  cyclisch-projectivisches 
System  in  Bezug  auf  die  festen  Elemente  |  =  0,  rj  —  O,  d.  h.  in  Bezug 
auf  eines  der  Elementepaare  von  T=0. 

Dagegen  zeigt  die  oben  gegebene  Form  von  T,  dass  immer  zwei 
Paare  von  T=0  ein  cyclisch-projectivisches  System  bilden  in  Bezug 
auf  die  Elemente  des  dritten  Paares. 


Fünfter  Absclmitt. 

Simultane   Grundformen. 


§  52.    CoTarianten  nnd  luyarianten  simultaner  Systeme. 

Schon  in  §  31.  wurde  bewiesen,  dass  die  Covarianten  und  Inva- 
rianten simultaner  Formen  durcli  Üeberschiebung  der  Covarianten 
der  einzelnen  Formen  entstehen,  denen  dann  nur  noch  die  Invarianten 
der  einzelnen  Formen  hinzuzufügen  sind.  Auch  bei  diesen  Bildungen 
tritt  der  Begriff  eines  vollständigen  Systems  von  Invarianten 
und  Covarianten  auf,  indem  wir  durch  diesen  Ausdruck  wieder  ein 
System  von  Formen  bezeichnen,  durch  welche  alle  nur  denkbaren 
simultanen  Bildungen  sich  als  ganze  Functionen  mit  numerischen 
Coefficienten  ausdrücken  lassen. 

In  dem  Vorigen  zeigte  sich  wenigstens  in  den  Beispielen  die 
Richtigkeit  des  früher  angedeuteten  Satzes,  dass  nämlich  bei  den 
Covarianten  und  Invarianten  einer  einzelnen  Form  ein  endliches  voll- 
ständiges System  existire.  So  führten  die  Formen  zweiter  Ordnung 
nur  auf  Combinationen  von  /  und  D,  die  Formen  dritter  Ordnung 
nur  auf  Combinationen  von  f,  A,  §,  B,,  die  Formen  vierter  Ordnung 
nur  auf  Combinationen  von  /',  H,  T,  i,  j. 

Wir  werden  nun  den  folgenden  Satz  beweisen: 

Wenn  zwei  simultane  Formensysteme,  f,  cp^  i^ ... 
und  Fj  0,  M'  ...  jedes  für  sich  auf  ein  endliches  voll- 
ständiges System  simultaner  Covarianten  und  In- 
varianten führen,  so  sind  auch  die  simultanen  Co- 
varianten und  Invarianten  aller  dieser  Formen  zu- 
sammen als  ganze  Functionen  eines  endlichen 
vollständisfen    Svstems   ausdrückbar.* 


*  Diesen  Satz ,  sowie  im  WesentHchen  den  Gang  der  folgenden  Untei-sucliungen 
gab  Hr.  Gordan  im  2.  Bd.  der  math.  Annalen  Dass  alle  Invarianten  einer 
Form  als  ganze  Functionen  einer  gewissen  Anzahl  ausgedrückt  werden  können, 
wurde  mit  Hülfe  ganz  anderer  Methoden  in  einzelnen  Fällen  schon  sonst  bewiesen; 
für  eine  biquadratische  Form,  vgl.  Salmon,  Lessons,  2^  ed.  p.  169;  für  die 
Form  fünfter  Ordnung,  vgl  Hermite,  sur  la  resolution  de  Uequation  du 
cinquieme  degre;  für  einige  simultane  Systeme,  vgl.  Bessel,  math.  Annalen, 
Bd.  L  p.  173. 

12* 


180  Fünfter  Abschnitt.     Simnltane 

Da  wir  im  Vorigen  die  Existenz  eines  endlichen  vollstilndigen 
Systems  bei  den  einzelnen  Formen  zweiter,  dritter  und  vierter  Ordnung 
nachgewiesen  haben,  da  sie  ferner  bei  Formen  erster  Ordnung  wegen 
des  in  §  5.  Bewiesenen  selbstverständlich  ist,  so  folgt  zunächst  aus 
dem  obigen  Satze ,  dass  auch  noch  Combinationen  irgend  zweier  For- 
men der  ersten  vier  Ordnungen  auf  endliche  vollständige  Systeme 
führen,  und  durch  fortgesetzte  Anwendung  des  Satzes  erkennt  man, 
dass  überhaupt  jedes  System  simultaner  Formen  ein  endliches  voll- 
ständiges System  von  Invarianten  und  Covarianten  besitzt,  sobald  in 
dem  Systeme  nur  Formen  der  ersten  vier  Ordnungen  vorkommen. 

Um  den  Satz  zu  beweisen,  schlage  ich  folgenden  Weg  ein.  Das 
vollständige  System,  welches  aus  den  Formen  /",  cp^  il)  .  . ,  hervorgeht, 
mag  durch  die  Formen 

^1?       ^2  •  •  •    ^tl'l       ^1?        ^2   •  •  •    ^V 

dargestellt  werden,  unter  denen  die  A  Covarianten,  die  B  Invarianten 
bedeuten.  Ebenso  sei  das  aus  F ,  O,  Y  . . .  hervorgehende  vollstän- 
dige »System: 

6\ ,    C,2 . . .  Cq\    Dl ,    Dg . . .  Dq , 

wo  wieder  die  C  Covarianten,  die  D  Invarianten  bedeuten.  Nach  §  31. 
erhält   man   nun  alle  ausser  diesen  aus  dem  simultanen  System 

/■,  <jP,  *  . . . ;     J-,  0,  Y  . . . 
hervorgehenden    Formen,     wenn     man     auf    alle    Arten    die    Ueber- 
schiebungen  von  Producten 

über  Producte 

C/' .  C/' . . .  c/* 

bildet.  Die  Anzahl  dieser  Bildungen  ist  unendlich  gross,  da  zunächst 
für  die  Grösse  der  Zahlen  a  und  y  keine  Grenze  vorliegt.  Nur 
bezüglich  der  Höhe  der  anzuwendenden  üeberschiebungen  stellt  sich 
eine  untere  Grenze  heraus,  welche  eingehalten  werden  muss,  wenn 
man  nicht  zerfallende  Formen  erhalten  will.  Ist  x  die  Höhe  der 
Ueberschiebung,  so  hat  man  von  beiden  Producten  die  ;<*^^  Polaren 
zu  bilden;  ist  also  in  einem  der  beiden  Producte  die  Anzahl  von 
Factoren  (<^i  +  «g '  •  •  +  ^/^  ^^cl  T^j  +  J'^  •  •  •  +  Vo)  grösser  als  ^,  so  zer- 
fällt die  betreifende  Polare  in  Theile,  welche  einige  C  oder  A  als 
Factoren  enthalten,  indem  durch  die  zur  Polarenbildung  nöthige 
Differentiation  immer  höchstens  k  Factoren  afficirt  werden  können.  Es 
zerfällt  also  dann  auch  die  Ueberschiebung  in  Theile,  welche  einzelne 
C  oder  A  zu  Factoren  haben,  und  das  Resultat  kann  daher  aus 
niedrigeren  Bildungen  zusammengesetzt  werden.  Man  braucht  also 
auf  die  obigen  Producte  nur  Üeberschiebungen  anzuwen- 
den,  welche  wenigstens  so  hoch  sind,  wie  die  höchste  der 


Grundfonuen.  —  §§  52,  53.  181 

Zahlen  «^  +  «^ .  .  .  +  «u  und  y^  +  7^  •  •  •  H~  )'?•  Andererseits  ist  eine 
obere  Grenze  für  x  immer  dadurch  gegeben,  dass  k  die  Ordnung  des 
niedrigsten  der  überzuschiebenden  Producte  nicht  überschreiten  kann. 

Dennoch  würde  das  aus  diesen  Ueberschiebungen  hervorgehende 
combinirte  System  unendlich  viele  Formen  enthalten.  Aber  es  wird 
gezeigt  werden,  dass  man  an  Stelle  der  Ueberschiebungen,  von  denen 
die  Rede  war,  gewisse  Theile  derselben  setzen  kann,  welche  man  noch 
in  mannigfach  verschiedener  Weise  wählen  darf.  Indem  man  eine 
Ueberschiebung  durch  einen  solchen  weiterhin  zu  definirenden  Theil 
ersetzt,  erhält  man  bei  geschickter  Wahl  derselben  in  der  grossen 
Mehrzahl  der  Fälle  an  Stelle  der  Ueberschiebung  eine  Bildung,  welche 
das  Product  niederer  Formen  ist,  daher  nichts  Neues  giebt  und  aus- 
gelassen werden  darf.  Die  übrigbleibenden  Bildungen  sind  dann  nur 
noch  in  endlicher  Zahl  vorhanden  und  sind  das  gesuchte  combinirte 
System,  dessen  Endlichkeit  damit  bewiesen  ist. 

Um  den  hier  augedeuteten  Y^e^  verfolgen  zu  können,  ist  es  zu- 
nächst erforderlich,  die  Operation  des  Ueberschiebens  für  den  Fall 
genauer  zu  betrachten,  in  welchem  beide  über  einander  zu  schiebende 
Formen  als  irgend  welche  wirkliche  oder  symbolische  Producte  gegeben 
sind,  und  die  oben  erwähnten  Theile  von  Ueberschiebungen  zu  de* 
finiren.     Dies  soll  im  folgenden  Paragraphen  geschehen. 


§  53.    Ueberschiebimgen  symbolischer  Producte  und  Theile  derselben. 

Es  seien  a.^.,  h^v  ...  die  symbolischen  linearen  Factoren  der  einen 
Form,  welche  theils  gleich,  theils  verschieden  und  theils  Symbole  von 
Grundformen,  theils  solche  von  Covarianten  sein  können.  Zum  Zwecke 
der  X*®"  Ueberschiebung  wird  zunächst  die  y}^  Polare  gebildet  (§  30.); 
es  wird  also  in  dem  gegebenen  Ausdruck  überall  statt  x^,  Xo  gesetzt 
x^-\-lyy^,  X2-\-^y^,,  und,  von  einem  gewissen  numerischen  Factor 
abgesehen,  der  Coefficient  von  l^-  genommen.  Derselbe  besteht  aus 
einer  Summe  von  Termen,  welche  mit  positiven  Zahlen  multiplicirt 
sind  und  welche  sämmtlich  aus  dem  ursprünglichen  symbolischen 
Producte  dadurch  hervorgehen,  dass  man  in  x  linearen  Factoren  des- 
selben x^y  x.^  durch  y^,  y.^  ersetzt. 

Ist  sodann  0/"  die  zweite  gegebene  Form,  mag  diese  ein  Pro- 
duct mehrerer  Formen  sein  oder  nicht,  so  hat  man  in  jedem  einzelnen 
Gliede  der  beschriebenen  Polare  y^,  y.,  durch  G^,  —  O^  zu  ersetzen 
und  mit  0x'"~'*  zu  multipliciren. 

Die  Ueberschiebung  ist  also  hierdurch  auf  eine  erste  Art  in  eine 
Reihe  von  Gliedern  zerlegt,  welche  alle,  abgesehen  von  positiven 
numerischen  Factoren,  aus  dem  ursprünglichen  Ausdrucke  der  ersten 
Form  entstehen,  indem  man  k  der  Grössen 


132  Fünfter  Abschnitt.    Simultane 

(^X)         f^x    •    •    • 

durch 

(«0),      (&0)... 
ersetzt,  und  mit  Qx^"^'  multiplicirt. 

Nach  den  Sätzen  des  §  31.  [Formel  (3)]  kann  man  ein  solches 
Glied  der  Ueberschiebung  durch  die  Ueberschiebung  selbst 
und  niedere  Ueberschiebungen  ausdrücken,  indem  die  dort 
durch  (p  bezeichnete  Form  von  selbst  immer  wieder  diejenige  erste 
Form  wird,  von  der  wir  ausgingen,  und  von  deren  Polare  ein  Glied 
zur  Bildung  des  fraglichen  Gliedes  der  Ueberschiebung  benutzt  wurde. 
Man  erhält  sie  nach  den  dort  angegebenen  Regeln,  wenn  man  in  dem 
fraglichen  Theil  der  Polare  die  y  durch  die  x  ersetzt,  wodurch  man 
in  der  That  zu  der  ursprünglichen  Function  zurückkehrt.  Sprechen 
wir  also  den  Satz  aus: 

1.  Wenn  man,  statt  eine  Ueberschiebung 

zu  bilden,  in  einem  Gliede  der  z*®"  Polare  von  cp  die 
?/j,  1/2   durch  02,  —01  ersetzt  und  mit  QjP'^''-  multipli- 
cirt,   so    unterscheidet    sich    die    entstehende  Form 
von    der    betreffenden    Ueberschiebung    nur    durch 
Glieder,    welche    niedrigere   Ueberschiebungen    (als 
die  %*®")  von0  mit  anderen  Formen  sind. 
Wenn   wir   nun  auf  diese  Weise  die  Ueberschiebung  in  eine  An- 
zahl  von    Gliedern    zerlegten,    indem    wir    an   Stelle   der   einen  von 
beiden   Functionen    ihren   Ausdruck    als    symbolisches  oder  wirkliches 
Product  setzten,  so  können  wir  zweitens  jedes  der  erhaltenen  Glieder 
weiter    zerlegen,    indem    wir    auch    die    zweite   Function   durch  ihren 
Ausdruck    als   wirkliches   oder   symbolisches   Product   ersetzen.     Eines 
der    oben    erhaltenen   Glieder    entsteht    aus   0^"'  auf  folgende  Weise. 
Bilden   wir  mit  Hilfe   von   k  Reihen   von  Veränderlichen  y ,  z  . . .  die 
jc*®  Polare 

0^--'^0j^0.  ... 

und  setzen  wir  nun  an  Stelle  von  y^,  2/25  -^i?  ^2  •  •  •  beziehungsweise 
«j,  —  %;  ^i;  —  ^a---?  multipliciren  wir  endlich  mit  demjenigen  sym- 
bolischen Ausdrucke,  welcher  in  dem  Gliede  der  Ueberschiebung  alle 
0  nicht  enthaltenden  Factoren  umfasst,  so  erhalten  wir  das  gegebene 
Glied  der  Ueberschiebung. 

Bilden  wir  nun  diese  Polare  Qx"^~''''  ^n  02  ...  .  Zu  diesem  Zwecke 
nehmen  wir  in 

^x  +  Xy  +  ßz... 

den  Ooefficienten  von  X .  ^  . .  .  .  Setzen  wir  an  Stelle  von  0  den 
Ausdruck  dieser  Form  durch  andere  Symbole,  und  seien 


Grundformen.  —  §  53.  '  183 

«X  ß.c  r^  "• 
die  dabei  auftretenden  linearen  Factoren,  welche  theils  gleich,  theils 
verschieden  und  theils  ursprüngliche  Symbole ,  theils  Symbole  von 
Covarianten  sein  können,  so  besteht  diese  Polare  wieder  aus  einer 
Anzahl  von  Gliedern,  welche  mit  positiven  Zahlen  multiplicirt  sind, 
und  deren  jedes  entsteht,  indem  wir  in  irgend  k  der  symbolischen 
Factoren  «^.,  /3^,  y^  , , .  von  0  die  x  beziehungsweise  durch  die 
y,z...  ersetzen. 

Wenn  man  also  irgend  zwei  als  symbolische  Producte  gegebene 
Formen  (p,  0  über  einander  schiebt,  so  erhält  man  eine  Summe 
symbolischer  Producte,  welche  einzeln  dadurch  entstehen,  dass  man 
7c  der  linearen  symbolischen  Factoren 

a^r,       hj:  .   .    . 

von  (p  gewissen  x  linearen  symbolischen  Factoren 

von  0  einzeln  zuordnet,  aus  entsprechenden  immer  die  Determinanten 

(««),    (H)  ■■■ 

bildet,  und  das  Product  derselben  mit  den  übrigen  symbolischen 
Factoren  von  cp  und  0  multiplicirt.  Die  ;c*®  Ueberschiebung  von  q) 
mit  0  ist  das  Aggregat  der  beschriebenen  einzelnen  Theile,  jeder  mit 
einer  positiven  Zahl  multiplicirt.  Solche  symbolische  Producte, 
wie  sie  eben  beschrieben  wurden,  sollen  schlechthin  Theile 
der  Ueberschiebung  heissen. 

Ein  solcher  Theil  einer  Ueberschiebung  besteht  aus  drei  Gruppen 
von  Factoren;  erstens  aus  einer  Reihe  von  Factoren,  welche  (p  ent- 
hielt, zweitens  aus  einer  Reihe  von  Factoren,  welche  0  enthielt,  drit- 
tens aus  den  x  Factoren 

(aa),     (bß),     {er)...    . 

Die  letzteren  sind  die  einzigen,  welche  die  in  9  und  die  in  0 
vorkommenden  Symbole  gleichzeitig  enthalten. 

Ist  umgekehrt  ein  symbolischer  Ausdruck 
M.N.{aa){hß){cy)  ... 

gegeben,  in  welchem  M  die  Symbole  a,  /3,  y  ..  .  nicht  enthält,  und 
N  die  Symbole  «,  h,  c  .  .  .  nicht  enthält,  so  kann  derselbe  immer  als 
Theil  der  ;c*^°  Ueberschiebung  der  beiden  Formen 

(p=^3I .  üj,  ha:  Cjc  ...  ,       Q  =  N.aa,ßa:yx"  ' 

angesehen  werden. 

2.  Die  Summe  der  positiven  Zahlen,  mit  denen 
die  Theile  der  Ueberschiebung  multiplicirt  werden 
müssen,  um  die  ganze  Ueberschiebung  zu  erhalten, 
ist  gleich  1. 


1.84  Fünfter  Abschnitt,     Simultane 

Dieser  Satz  ist  sehr  leicht  zu  beweisen.  Denn  diese  positiven 
Zahlen  sind  von  der  Natur  der  symbolischen  in  (p,  Q  auftretenden 
Symbole  unabhängig  und  hängen  allein  von  den  Ordnungen  der- 
selben und  der  Zahl  k  ab.  Nimmt  man  nun  (p  =  a/',  0  =  «^"»  an, 
so  v^erden  alle  Theile  der  üeberschiebung  einander  gleich  und  man 
erhält  also  die  ganze  üeberschiebung  gleich  einem  Theile  derselben, 
multiplicirt  mit  der  Summe  jener  positiven  Zahlen.  Aber  jeder  Theil 
der  üeberschiebung  ist  auch  ihr  selbst  gleich,  nämlich  gleich 

daher  muss  die  Summe  jener  positiven  Zahlen  gleich  1  sein. 

Hieran    knüpft    sich   sofort   der   folgende   wichtige  Satz,    der  ge- 

wissermassen  eine  Fortsetzung  des  Satzes  1.  ist. 

'3.  Die  Differenz  zwischen  der  ;t*ß°  üeberschieb- 
ung von  cp  und  0  und  einem  der  oben  beschriebenen 
Theile  derselben  setzt  sich  aus  niederen  üeber- 
schiebungen  verschiedener  Functionenpaare  (p\  0'; 
(p" ,  0"...  zusammen,  von  denen  die  einen  (9',  9"...) 
nur  die  in  cp  auftretenden,  die  anderen  (0',  0" .  . .) 
nur  die  in  0  auftretenden  Symbole  enthalten. 

Sind  nämlich  P,  P^,  Pg  . . .  die  Theile  der  üeberschiebung,  U 
diese  selbst,  so  hat  man 

und  c  +  Cj  +  ^2  •  •  •  =  ^  7  daher 

Die  Differenz,  von  welcher  in  dem  Satze  gesprochen  wird,  setzt 
sich  also  aus  Differenzen  je  zweier  Theile  der  üeberschiebungen  zu- 
sammen. Der  zu  beweisende  Satz  ist  daher  auf  den  folgenden  zurück- 
geführt : 

4.  Die  Differenz  zwischen  zwei  Theilen  der  z*®" 
üeberschiebung  von  (p  und  0  lässt  sich  immer  aus 
niederen  üeberschiebungen  von  Functionenpaaren 
(p' ,  0';  (p" y  0"...  zusammensetzen,  von  denen  die  9', 
(p"  nur  die  Symbole  enthalten,  welche  in  9),  dagegen 
0',  0"  nur  diejenigen,  welche  in  0  vorkommen. 

Die  verschiedenen  Theile  der  üeberschiebung  unterscheiden  sich 
nämlich  nur  durch  die  Art,  wie  unter  den  verschiedenen  linearen 
Factoren 

G/X)       f^xy       Cx   '    '   • 

einerseits  und 

ccx,   ßjc,   yx.  • , 


Grundformen.  —  §  53.  185 

andererseits  je  k  ausgewählt  und  einander  zugeordnet  sind.  Durch 
Einschaltung  anderer  Theile  der  Ueberschiebung  kann  man  also  die 
Differenz 

1\-  P=P,-  Px+  Px"  P,  ■  ■  ■  ■  +  P.-  P 
immer  in  solche  Differenzen  zerlegen,  die  sich  *nur  durch  verschie- 
dene Benutzung  eines  Buchstabenpaares  unterscheiden;  es  ist  also 
nur  nöthig,  für  solche  Differenzen  den  Satz  zu  beweisen.  Nun 
kann  dieser  Unterschied  bei  einer  Differenz  P^  —  Fq  auf  dreierlei  Art 
eintreten,  nämlich: 

1.  Bei  Fl  gehört  ein  Symbol  a  zu  den  herausgehobenen,  ein 
Symbol  h  nicht,  während  dies  bei  Fq  umgekehrt  ist.  Man  hat  also 
eine  Gleichung  folgender  Form ,  in  welcher  M  den  gemeinschaftlichen 
symbolischen  Factor  von  Fi  und  Fq  bedeutet: 

Fi-Fq=3I.  [k,  {a  a)  -  a,  (h  a)]. 

Dies  giebt  aber 

Fi~FQ  =  3I(ah)a^. 

Die  Differenz  P^  —  Fq  enthält  also  Symbole  a,  b  .  . .  mit  Symbolen 
a,  ß  .  .  .  nur  noch  in  k  —  1  symbolischen  Factoren  verbunden,  ist  also 
Theil  der  (>c  — 1)*®"  Ueberschiebung  einer  Function  cp'  über  eine 
Function  0'. 

2.  Derselbe  Unterschied  tritt  in  Bezug  auf  zwei  Factoren  «^,  ßa; 
ein;  dieser  Fall  wird  genau  wie  der  vorige  behandelt,  und  führt  zu 
demselben  Resultat. 

3.  Die  herausgehobenen  Factoren  sind  beidemal  dieselben,  es 
ist  aber  einmal  a  mit  «,  h  mit  /3,  das  andere  Mal  a  mit  ß,  h  mit 
a  verbunden.     Man  hat  also: 

Fi-Fq  =  M.  {{aa){hß)-{aß){ha)] 
=  31,  {ah)  {aß)', 

was  wieder  auf  denselben  Schluss  führt. 

Bewiesen  ist  hierdurch  ohne  Weiteres  folgender  Satz: 

5.  Die  Differenz  zwischen  zwei  Theilen  der  x*^" 
Ueberschiebung  von  g)  mit  0  setzt  sich  aus  Theilen 
der  (x  — l)*ß°  Ueberschiebungen  von  qp',  0;  cp",  0"  etc. 
zusammen  (d4e  Charakterisirung  der  letztern  Fun- 
ctionen wie  bei  Satz  3.  und  4.). 

Hieraus  folgt  aber  auch  endlich  die  Richtigkeit  von  Satz  3. 
Denn  in  Satz  5.  kann  man  die  Theile  der  (z  — 1)*®^  Ueberschiebung 
durch  diese  selbst  und  Differenzen  ihrer  Theile  ersetzen.  Nehmen 
wir  also  an,  der  Satz  3.,  dass  solche  Differenzen  durch  niedere 
Ueberschiebungen  ausdrückbar  sind,  sei  für  Theile  der  {x  —  iy^^ 
Ueberschiebungen    bewiesen;    der   Satz  5.  lehrt   dann,    dass    3.   auch 


186  Fünfter  Abschnitt.  —  Simultane 

für  Theile  der  x*«^  üeberschiebung  richtig  sei.  Für  Tlieile  der  ersten 
Ueberschiebung  aber  ist  der  Satz  3.  richtig;  denn  die  Theile  der 
nullten,  auf  welche  5  für  diesen  Fall  führen  würde,  sind  nullte 
Ueberschiebungen,  d.  h.  Producte  g?' ,  0';  9",  0"...  selbst.  Die 
Richtigkeit  des  Sat-zes  3.  ist  also  hierdurch  allgemein  dargethan. 


§  64.    Simultane  Systeme  besitzen  ein  endliches  vollständiges  Formensystem, 
wenn  die  einzelnen  Formen  ein  solches  besitzen. 

Die  vorstehenden  Untersuchungen  führen  nun  von  selbst  dazu, 
wie  die  Covarianten  und  Invarianten  simultaner  Systeme  anzuordnen 
sind.  Der  Allgemeinheit  wegen  nehme  ich  wie  oben  an,  dass  die 
Covarianten  bez.  Invarianten 

Ä,,  Ä,  ..,  ^u;     JB„  B^  .  .  .  Bv 

ein  vollständiges  Formensystem  für  die  simultanen  Grundformen 

f,  (p,  ijj..., 
und  ebenso 

C„  C,  ...  C,;    D„  D,  ...  D, 

ein  solches  für  die  simultanen  Grundformen 

i^,  O,  Y  ... 

bilden.     Die  Covarianten  und  Invarianten,  welche  bei  dem  vereinigten 
System 

f,cp,t...;    F,<i>,^>... 

ZU   den   vorigen  noch  hinzutreten,    erhält  man  nach  §  31.  durch  die 
Ueberschiebungen  der  Formen 

über  die  Formen: 

Diese  Ueberschiebungen,  deren  Zahl  unendlich  gross  ist,  und 
denen  ich  die  Formen  Ä^  B,  C,  D  selbst  zugeselle,  ordne  ich  zu- 
nächst nach  der  Gesammtdimension,  welche  dieselben  in  Bezug  auf 
die  Coefficienten  sämmtlicher  zu  Grunde  gelegten  Formen  besitzen. 

Formen  gleicher  Gesammtdimension  ordne  ich  weiter  unter  sich 
nach  der  Höhe  der  Ueberschiebung,  mittelst  deren  sie  aus  den  oben 
angeführten  Producten  entstanden  sind,  wobei  die  nullte  (Product) 
nicht  ausgeschlossen  ist. 

Wie  endlich  die  Anordnung  der  Bildungen  in  diesen  untergeord- 
neten Gruppen  stattfindet,  ist  gleichgiltig. 


Grundformen. 


53,  54. 


187 


Bezeiclinen     wir    der    Deutlichkeit    wegen    die    Ordnungen    der 
Formen 

-^1 )    -^2   •  •  •  j        ^17     ^2  •  •  • 

durch 

«i ,   «2  •  •  •  5      ^1 ;    ^2  •  •  • ; 

ihre  Gesammtdimension  in   den  Coefficienten   der  Grundformen  durch 


Dann  hängt  die  Stellung  der  v^^^  Ueberschiebung  der  Produete 

über  einander  von  den  beiden  Zahlen  v  und 

^  =  ^'i  ^h  -i-  ^'2  ^2  +  •  •  •  +  ^1  ^1  +  ^2  ^2  4-  •  •  • 
ab,    und    die   ganze   Anordnung   der  Ueberschiebungen  geschieht  der 
folgenden    Tafel    gemäss,    in    welcher    die  jeder  Gruppe   angehörigen 
Formen  durch 

^ßVf      9^\uvf      (p"(iv  .  . . 
bezeichnet  sind: 

fl     \     V     \  Fornion: 


1 

0 

<Pi,y 

9'iü; 

(p'\^  .  .  . 

2 

0 

9^20; 

9^20; 

9"20-.- 

1 

9'2U 

9>'20 

9^  21  •  •  • 

2 

^22? 

9''22; 

<JP    22   •  •  • 

3 

'  0 

<P-60> 

¥z)j 

(p'\^  .  .  . 

1 

^■61  J 

^M7 

9>"3l  •  .  . 

2 

9^32? 

^\-2, 

q)".,  .  .  . 

. . . 

,    ,    ,    , 

.  . 

Dass  in  der  ersten  Abtheilung  dieser  Tafel  neben  ^  =  1  nur  der 
einzige  Werth  v  =  0  steht,  begründet  sich  leicht;  denn  unter  ^1=1 
können  überhaupt  nur  die  Grundformen  selbst  enthalten  sein,  die 
dann  durch  Ueberschiebung  nicht  entstanden  sein  können;  doch 
können  sie  füglich  unter  die  nullten  Ueberschiebungen  gerechnet 
werden,  wie  im  Folgenden  geschehen  soll.  Ebenso  soll  jede  der 
Formen  J.,  J5,  C,  B  in  der  Tafel  bei  den  nullten  Ueberschiebungen 
mit  aufgezählt  werden.  Sie  haben  mit  diesen  insofern  gemeinsame 
Natur,  als  auch  diese  als  ganze  Functionen  der  Äj  B,  C,  B  unmittel- 
bar ausdrückbar  werden. 

Man  übersieht  nun  sofort,  dass  die  Vollständigkeit  dieses  Systems 
in   keiner  Weise    leidet,    wenn    man  jede   Form    der  Tafel   um  eine 


188  Fünfter  Abschnitt.    Simultane 

ganze  mit  numerischen  Coefficienten  versehene  Function  solcher  For- 
men vermehrt,  welche  in  früheren  Gruppen  vorkommen;  wenn  man 
also  an  Stelle  von  9)^7/^'  die  Form  setzt: 

WO  G  eine  ganze  Function  solcher  Formen  g>  bedeutet,  bei  denen 
entweder  der  erste  Index  kleiner  als  ^,  oder  der  erste  gleich  ^,  der 
zweite  aber  kleiner  als  v  ist.  Man  kann  nämlich,  wenn  die  ijj  so 
definirt  sind,  auch  umgekehrt  die  Formen  cp  successive  als  ganze 
Functionen  der  tJj  ausdrücken;  und  wenn  man  also  davon  ausging, 
dass  alle  nur  denkbaren  simultanen  Covarianten  und  Invarianten  der 
combinirten  Systeme  sich  als  ganze  Functionender  q)  ausdrücken  las- 
sen, so  folgt,  dass  sie  auch  als  ganze  Functionen  der  ^  ausdrück- 
bar sind. 

Nach  den  Sätzen  des  vorigen  Paragraphen  erhält  man  aber  ein 
System  der  ^,  wenn  man  jede  Ueberschiebung  q)  durch  einen  ihrer 
dort  bescliriebenen  Theile  ersetzt.  Es  ist  dabei  gleichgiltig,  ob  bei 
der  Bildung  dieser  Theile  die  Symbole  der  Ä,  bez.  C,  erhalten  bleiben, 
oder  ob  dieselben  theil weise  oder  ganz  in  Symbole  früherer  Ä,  bez. 
C,  aufgelöst  werden.  Immer  unterscheidet  sich  nach  dem  Frühern 
ein  solcher  Theil  von  der  Ueberschiebung  q)  nur  um  Glieder,  welche 
durch  niedere  üeberschiebungen  von  nur  Symbole  der  Ä  enthaltenden 
Formen  über  solche  entstehen,  welche  nur  Symbole  der  C  enthalten. 
Da  nun  die  A,  B  und  die  0,  -D  vollständige  Formensysteme  bilden, 
so  zerfallen  diese  niederen  üeberschiebungen  in  solche  von  Producten 
der  Ä,  B  über  Producte  der  C,  D.  Sind  hierbei  wirkliche  Factoren 
Bj  D  vorhanden,  so  zerfällt  eine  solche  niedere  Ueberschiebung  in 
Producte  von  B,  I)  mit  Formen  von  niederem  ^5  ist  kein  Factor 
J5,  D  vorhanden,  so  hat  doch  die  Ueberschiebung  ein  niederes  v, 
während  der  Werth  von  fi  derselbe  wie  bei  q)  geblieben  ist.  Ein 
Theil  der  Ueberschiebung  q)  unterscheidet  sich  also  von  q)  nur 
um  eine  ganze  Function  früherer  9,  und  hat  daher  den  Charakter 
einer  Form  ip. 

Somit  kann  man  den  Satz  aussprechen: 

1.  Alle  simultanen  Invarianten  und  Covarianten 
des  combinirten  Systems  lassen  sich  als  ganze  Fun- 
ctionen desjenigen  Formensystems  tp  darstellen, 
welches  man  erhält,  indem  man  von  jeder  Ueber- 
schiebung eines  Productes  von  Ä  über  ein  Product 
von  C  irgend  einen  Theil  wählt,-  und  die  so  erhal- 
tenen Formen  7p  den  Formen  J.,  B,  C,  B  hinzufügt. 
Auch  das  System  der  ?/;  ist  noch  unendlich  gross.  Aber  wenn 
es  sich  nur  darum  handelt,  ein  System  von  Formen  zu  finden,  durch 


Gnmdfonneii.  —  §  54.  199 

welches  alle  Invariauteu  und  Covarianten  des  combinirten  Systems 
sich  als  ganze  Functionen  ausdrücken  lassen,  so  kann  man  in  dem 
S3'steme  der  il;  jede  Form  übergehen,  welche  als  ganze  Function  von 
früher  in  diesem  System  auftretenden  Formen  ausdrückbar  ist. 

Existirt  nun  in  irgend  einer  Ueberschiebung  (p  ein  Theil,  welcher 
in  Factoren  zerfällt,  so  kann  dieser  als  das  betreffende  xp  gewählt 
werden.  Dasselbe  zerfällt  in  das  Product  zweier  Formen  von  niede- 
rem Gesammtgrade ;  jeder  dieser  Factoren  aber  ist  durch  Formen  il? 
darstellbar,  und  diese  Formen  i;  gehören  also  niederem  Zahlen  ft  an, 
kommen  daher  in  der  Tafel  früher  vor.  Sonach  ist  ein  solches  i; 
durch   frühere  ^  ausdrückbar,    und  darf  demnach  ausgelassen  werden. 

Durch  diesen  Umstand  wird  das  übrigbleibende  System  der  tp 
ausserordentlich  beschränkt;  es  lässt  sich  zeigen,  dass  es  immer  ein 
endliches  ist,  während  das  ursprüngliche  unendlich  gross  war;  womit 
denn  die  Existenz  endlicher  simultaner  Systeme  von  Invarianten  und 
Covarianten  für  ein  solches  combinirtes  Formensystem  nachgewiesen  ist. 

Sprechen  wir  zunächst  den  Satz  aus: 

2.  Alle  Covarianten  und  Invarianten  der  Systeme 
Aj^j  ^2  .  . .;  Si,  ^2  '  '  -1  ^if  ^2  • '  -5  A?  ^2  •  •  •  lassen  sich 
aus  Producten  der  Ä,  Bj  (7,  D  und  aus  solchen 
Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Pro- 
ducte  der  C(o  der  Theilen  der  selben)  zusammensetzen, 
in  denen  kein  zerfallender  Theil  vorkommt. 

Um  nun  hieraus  die  Endlichkeit  des  combinirten  Systems  abzu- 
leiten, kann  man  folgenden  Satz  aufstellen: 

3.  Wenn   in  einer  Ueberschiebung  der  Producta 

^1  •  ^2  "  y  ^1  •  ^^2  •  •  • 
kein  zerfallendes  Glied  vorkommen  soll,  so  darf 
keines  der  a  grösser  sein  als  die  Summe  der  Ord- 
nungen Oj,  Co...  aller  Functionen  C,  und  umgekehrt 
darf  keines  der  y  grösser  sein  als  die  Summe  der 
Ordnungen  a^,  cl^  . .  ,  aller  Functionen  A, 

Nehmen  wir,  um  diesen  Satz  zu  beweisen,  an,  es  sei  eines  der  «, 
etwa  «j,  grösser  als  die  Summe  der  c  (also,  da  jedes  c  wenigstens 
l  ist,  nothwendig  «^  >  1),  und  zeigen  wir,  dass  dann  noth wendig  ein 
zerfallendes  Glied  in  der  Ueberschiebung  vorkommt.  Ist  in  diesem 
Falle  die  Höhe  v  der  Ueberschiebung  nicht  grösser  als  a^  (a^  — 1), 
so  tritt  ohne  Weiteres  ein  zerfallendes  Glied  auf;  denn  man  kann 
alsdann  die  v^^  Ueberschiebung  schon  auf  den  Factor  A^'^^^—'^  des 
ersten  Productes  anwenden,  so  dass  auf  diese  Weise  ein  Theil  der 
Ueberschiebung  entsteht,   welcher  A^ .  ^/^  •  •  •  ^^^  Factor  enthält.    Es 


190  FiiTifter  AlDschnitt.     Simultane 

ist  also  nur  noch  'der  Fall  zu  betrachten,  wo  die  Höhe  v  der  Ueber- 
sebiebung  grösser  ist  als  a^  («,  —  !),  also  gleich  oder  grösser  als 
«1  (c^  +  Cg*--);  ^^  ^1  wenigstens  um  1  grösser  als  q  +  c^  .  .  .  ist. 
Andererseits  ist,  damit  die  Ueberschiebung  überhaupt  möglich  sei,  v 
gleich  oder  kleiner  als  die  Ordnung  des  zweiten  Products,  daher 
gleich  oder  kleiner  als  c^y^-\- c^y^  .  .  .  .  Man  hat  somit,  indem  man 
die  Grenzen  vergleicht,  in  welche  v  eingeschlossen  ist: 

oder 

Mindestens  eine  der  Zahlen  y^  —  a^,  72^^!  •••?  i^^uss  also  >0 
sein.     Sei  y^  —  a^  eine  solche ,  dann  ist 

und  zugleich  wegen  der  Voraussetzung 

«1  >Ci' 

Die  beiden  über  einander  zu  schiebenden  Producte  haben  also  die 
Form 

^/^ .  M  und  (7/^ .  K 

Die  Höhe  v  der  Ueberschiebung  ist  nach  dem  Vorigen  wenigstens 
gleich  «i  (Cj-i-Cg  ...),  also  auch  wenigstens  gleich  ö^^c^,  und  man  hat 
also  etwa 

wo  h  Null  oder  positiv  ist.  Nun  kann  man  ein  Glied  dieser  Ueber- 
schiebung dadurch  bilden,  dass  man  zunächst  A^^>^  und  C^^'  für  sich 
«j.Cj  mal  über  einander  schiebt,  wodurch  eine  Invariante  J  entsteht, 
und  ausserdem  31  und  N  noch  h  mal  über  einander  schiebt,  was 
immer  möglich  sein  muss,  wenn  eine  Ueberschiebung  von  der  gefor- 
derten Höhe  überhaupt  stattfinden  konnte.  Man  hat  also  ein  Glied 
der  Ueberschiebung  gebildet,  welches  eine  Invariante  J  als  Factor 
enthält. 

Hierdurch  ist  einmal  der  Satz  3.  bewiesen,  andererseits  aber 
auch  gezeigt,  dass,  um  alle  Invarianten  und  Covarianten  des  com- 
binirten  Systems  zu  erhalten,  es  nur  nöthig  ist,  eine  endliche 
Anzahl  von  Producten  über  einander  zu  schieben,  insofern  die  Zahlen 
«,  y  bestimmte  endlich  gegebene  obere  Grenzen  nicht  überschreiten 
dürfen.     Und  so  kann  man  folgende  Sätze  aussprechen: 

4.  Wenn  zwei  Formensysteme  f,  (p,  ip  ...  und  F,  0, 
Y...  jedes  für  sich  auf  ein  endliches  vollständiges 
System  simultaner  Covarianten  und  Invarianten 
führen,  so  sind  auch  die  simultanen  Covarianten 
und  Invarianten   aller  dieser  Formen  zusammen  als 


Grunclformen.  —  §§  54,  55.  191 

ganze    Functiouen     eines    endlichen    vollständigen 
Systems  ausdrückbar. 

5.  Sind  Ä^j  A.2  . .  .  die  Covarianten,  B^y  B^...  die 
Invarianten  des  ersten,  C^,  Cg  . .  .  die  Covarianten 
und  I)^,  I).2  . .  .  die  Invarianten  des  zweiten  Systems, 
so  erhält  man  alle  zurVervollständigung  des  gemein- 
samen vollständigen  Systems  erforderlichen  For- 
men, wenn  man  die  Ueberschiebungen  derProducte 

A"'-^/'---;   c/'.c/'... 

[bez.  die  oben  (S.  183)  definirten  Theile  von  solchen] 

bildet,    wobei   keines    der    a  grösser  als  die  Summe 

der    Ordnungen   aller    C,    keines    der    y    grösser   als 

die  Summe  der  Ordnungen  aller  Ä  sein  darf. 

Es    ist    hervorzuheben,     dass    das    auf   solche    Weise    construirte 

System  simultaner  Formen  noch  überflüssige  Formen  enthalten  kann, 

welche  sich  als  ganze  und  rationale  Functionen  der  übrigen  ausdrücken 

lassen.     Der    zweite    der    obigen   Sätze   giebt  also  für  die  Grösse  des 

entstehenden  Systems  von  Invarianten  und  Covarianten  nur  eine  obere 

Grenze. 

Wenn  man  die  Sätze  4.  5.  wiederholt  anwendet,  so  kann  man 
von  einzelnen  Grundformen  zu  demjenigen  System  fortschreiten, 
bei  welchem  alle  zugleich  zu  Grunde  gelegt  sind.  Man  hat  also 
den  Satz: 

6.  AVenn  die  Formen  /*,  cpj  ^  ,..  einzeln  endliche 
vollständige  Systeme  von  Invarianten  und  Cova- 
rianten besitzen,  so  führt  auch  die  Combination 
dieser  Formen  auf  ein  endliches  System. 

Insbesondere  ist  durch  die  Untersuchungen  des  vierten  Abschnitts 
schon  folgender  Satz  erwiesen: 

7.  Simultane  Formen,  deren  keine  die  vierte  Ord- 
nung überschreitet,  haben  ein  endliches  vollstän- 
diges System  von  Invarianten  und  Covarianten. 

Einige  solcher  Systeme  sollen  jetzt  etwas  genauer  betrachtet 
werden.       ♦ 

§  55.    Simultane  Systeme,  in  denen  ausser  andern  auch  lineare  Grund- 
formen auftreten. 

Denken  wir  uns  ein  System  von  Covarianten  und  Invarianten 

A^y  Ac,  . .  .'^     B^j  B^  ' ' ', 

welche   für    gewisse   Grundformen   (p,   ^...   ein  vollständiges  System 

bilden.    Nehmen  wir  an,  es  trete  zu  diesen  Grundformen  eine  weitere, 


192  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

lineare^  hinzu,  und  untersuchen  wir,  welche  Erweiterung  das  voll- 
ständige System  der  Covarianten  und  Invarianten  nunmehr  erfah- 
ren muss. 

Die  hinzutretende  lineare  Grundform  sei 

/    —   CTj  tJC^   ~\~   Cl'2  OCa  • 

Nach  dem  Vorigen  darf  hier  keine  der  Zahlen  a^  grösser  als  1 
angenommen  werden;  man  erhält  also  alle  Formen  des  neuen  simul- 
tanen Systems,  wenn  man  die  Ueberschiebungen,  oder  Theile. der  Ueber- 
schiebungen,  der  Producte  verschiedener  A  über  Potenzen  von  /"bildet. 
Hierbei  ist  erstlich  klar,  dass  die  Höhe  der  üeberschiebung  immer 
gleich  dem  Exponenten  der  Potenz  von  f  genommen  werden  muss, 
wenn  nicht  eine  Potenz  von  f  als  Factor  übrig  bleiben  soll.  Man 
hat  also  nur  f^  q  mal  über  Producte  von  A  zu  schieben.  Nun  erhält 
man  die  Glieder  dieser  üeberschiebung,  indem  man  in  q  symbolischen 
Factoren  des  Productes  x^  und  x^  durch  «g  und  —  a^  ersetzt.  Daher 
entsteht  aus  einem  Product  mehrerer  A  immer  wieder  ein  Product 
solcher  Formen,  die  aus  den  einzelnen  A  hervorgehen,  und  man  sieht 
also,  dass  man  nur  die  einzelnen  A  über  Potenzen  von  /, 
oder,  was  hier  dasselbe  sagen  will,  wiederholt  überfzu 
schieben  hat. 

Ist  also  A^Aa:""  irgend  eines  der  Aij  so  gehen  hieraus  durch 
üeberschiebung  mit  f  die  Formen  hervor: 

J.^— 1  {Aa),       A^rn-2  (^^,)2^       ^^m-3  ( J^  ^)3  __ 

Alle  diese  Formen  entstehen  aus  den  Polaren 

A    m-l    A  A    m  — 2    /|    2  A    m  —  3A    3 

indem  man  darin  y^,  y,^  durch  a^;  —  ^i  ersetzt.  Man  kann  also  fol- 
genden Satz  aussprechen: 

Bilden  die  Formen 

A^y  J.2 . ..;     -Bj,  B.2  . . . 

das  vollständige  System  der  Covarianten  und  In- 
varianten der  Grundformen  (p ,  i/' . .  .,  und  wird  das 
System  der  Grundformen  um  eine  lineare  Form 

/  =  Cl^  X^  -f-  6?2  ^2 

erweitert,    so   treten  zu  dem  vollständigen  Systeme 
ausser  f  nur  diejenigen  Formen  hinzu,  welche  ent- 
stehen,   wenn    man    in    den    Polaren   der  A  die  y^j  y.^ 
durch  0^2,  — %  ersetzt. 
Es  ist  hiernach  leicht,  auch  die  Vergrösserung  anzugeben,  welche 

durch  Hinzufügung    einer   beliebig  grossen  Zahl  linearer  Formen  bei 

dem  vollständigen  System  eintritt. 


Grundformen.  —  §§  55,  56.  193 

Waren  unter  den  Formen  q) ,  i^»  . . .  schon  lineare  enthalten,  so 
geben  diese  bei  Anwendung  des  obigen  Satzes  nur  immer  zu  einer 
Polare,  also  auch  nur  zu  einer  Bildung  Veranlassung,  nämlich  zu 
der  Determinante  der  frühern  und  der  neuen  linearen  Form.  Waren 
aber  ferner  unter  den  Ä  schon  Formen  enthalten,  welche  durch  Hin- 
zufügung einer  linearen  Form  zu  früheren  entstanden  waren,  also 
Formen,  welche  mittelst  des  obigen  Satzes  aus  Polaren  hervorgeheu, 
so  geben  diese  bei  Zufügung  einer  weitern  linearen  Form  zu  erneuer- 
ter Polarenbildung  Veranlassung,  d.  h.  sie  führen  auf  Bildungen, 
welche  aus  Polaren  mit  mehreren  Reihen  von  Veränderlichen  entstehen, 
indem  man  statt  derselben  die  Coefficienten  verschiedener  linearen 
Formen  einführt.  (Wegen  des  erweiterten  Begriffs  der  Polare  vgl.  §  10.) 
Setzt  man  also  cp,  ^...  als  nicht  linear  voraus,  und  bilden  die 
Formen 

A^,  A.2  . . .,    B^y  B.2 . , . 

das  vollständige  System  ihrer  Covarianten  und  Invarianten,  so  er- 
weitert nach  Zufügung  einer  Anzahl  linearer  Formen  sich  das  voll- 
ständige System  um  folgende  Bildungen: 

1.  Die  linearen  Formen  selbst. 

2.  Die  zwischen  je  zweien  gebildeten  Determinanten. 

3.  Die  Formen,  welche  aus  den  mit  mehreren  Reihen  von  Ver- 
änderlichen ?/^,  y.-^'^  z^,  2-2'"  gebildeten  Polaren  von  A^,  A^  .  . .  ent- 
stehen, indem  man  ?/j,  2/2  5  ^d  ^2  •  •  •  durch  die  Coefficienten  a^,  —  ö^n 
b.2f  —  &i  . . .  der  hinzugefügten  linearen  Formen  ersetzt. 

Nach  der  Entstehungsweise  der  Polaren  kann  man  die  letzteren 
Bildungen  auch  dadurch  ableiten,  dass  man  in  A^,  A^  . . .  statt  x^y  x^ 
die  Grössen 

^^  -j-  A  0^2  +  ft  &2  •  •  •  >     x^  —  ^a^  —  ^h^... 

setzt,  und  die  Coefficienten  der  verschiedenen  Potenzen  von  A,  ft  . . . 
■einzeln  bildet. 

Wenn  insbesondere  nur  lineare  Formen  gegeben  sind,  kommt 
man  auf  die  Sätze  des  §  9.  zurück. 


§  56.    Simultane  Systeme,  in  denen  ausser  anderen  Grundformen  eine 
quadratische  vorkommt. 

In  ganz  ähnlicher  Weise  kann  man  die  Erweiterung  angeben, 
welche  das  vollständige  System  der  simultanen  Covarianten  und  In- 
varianten cpy  i*  .  .  .  durch  den  Zutritt  einer  neuen  Grundform  zweiter 
Ordnung 

C  leb  seh,  Theorie  der  hiiiären  algebr.  Formen.  lo 


194  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

erftllirt.  Sind  wieder  Ä^^  ^2  •  •  •  ^^^  Co  Varianten  des  vollständigen 
Systems,  so  hat  man  nur  Ä^^^  Ä^"'^-  .  .  .  über  Potenzen  von  fzw  schieben, 
da  f  selbst  keine  weiteren  Covarianten  mit  sich  führt. 

Soll  die  Ueberschiebung  keinen  zerfallenden  Theil  enthalten,  so 
muss  ihre  Höhe  v  von  der  Gesammtordnung  jedes  der  überzuschieben- 
den Producte  um  weniger  unterschieden  sein,  als  die  Ordnung  des 
niedrigsten  Factors  desselben  beträgt.  Daher  kann  die  Höhe  der 
Ueberschiebung   von   Ä^"^  Ä^^-^  ..  .   über   nur  P  2q  oder  2^  —  1  sein. 

Sei  nun  A  irgend  eine  Covariante  gerader  Ordnung  2Ä-,  und 

J.i«i  A^^-  ...=A.M', 

betrachten  wir  die  (2^  —  1)*^  und  die  (2  9)*®  Ueberschiebung  dieses 
Ausdrucks  mit  f^.  Ist  q  kleiner  als  h,  so  existirt  immer  ein  Theil 
der  Ueberschiebung,  bei  welchem  f^  nur  über  den  Factor  A  geschoben 
ist;  wird  aber  q  gleich  oder  grösser  als  Ic^  etwa 

und  bilden  wir  nun  die  (2^  —  1)*®,  bez.  (2())*^  Ueberschiebung  von 
A.M  mit  ff<+fi^  so  muss  A.M  wenigstens  von  der  Ordnung 
2Q  —  l  —  2'k-{-2h—ly  hez.  2Q  =  2]c  +  2hy  also  i)[f  wenigstens  von  der 
Ordnung  2/^  —  1,  bez.  2h  sein.  Es  existirt  daher  immer  ein  Theil 
der  Ueberschiebung,  welcher  in  das  Product  der  (2Ä;)*®"  Ueberschiebung 
von  A  mit  f'%  und  der  {2h  —  1)*®",  bez.  (2A)*«°,  von  Jf  über  f^  zerfällt. 
Man  erhält  also  durch  Ueb  er  schieben  von  /'^  über  das  Product 
mehrerer  Formen,  deren  eine  wenigstens  von  gerader  Ordnung  ist, 
nie  etwas  neues;  Formen  gerader  Ordnung  also,  welche  in  dem 
System  der  A  enthalten  sind,  geben  nur  folgende  Bildungen,  welche 
aus   der  Ueberschiebung  von  f^  über  diese  Formen  selbst  entstehen: 

A  von  der  Ordnung  2k: 
erste  und  zweite  Ueberschiebung  von  /'    über  A 

dritte  und  vierte  Ueberschiebung  von  p  über  A 


(2^  —  1)*®  und  (2Ä;)*®   Ueberschiebung  von  /'''  über  A. 

Betrachten  wir  nun  statt  einer  Form  A  von  gerader  Ordnung 
eine  Form  ungerader  Ordnung,  und  schieben  wieder  p  über  ein  Pro- 
duct A .  M,  welches  aus  lauter  Factoren  von  ungerader  Ordnung 
besteht. 

Die  Ordnung  von  A  sei  2^—1.  Ist  nun  q  gleich  1,  2  .  . .  Z;— 1, 
oder  Q  =  Tc  und  die  Höhe  der  Ueberschiebung  2Ä:—  1,  so  existirt  wie- 
der immer  ein  Theil  der  Ueberschiebung,  in  welchem  nur  A  über  p 
geschoben  ist,  ein  Theil,  welcher  also  zerfällt,  sobald  M  von  1  ver- 
schieden ist. 


Grundformen.  —  §  56.  195 

Ist  dagegen  q  =  1:  und  die  Höhe  der  Ueberschiebung  2Ä',  oder 
ist  p  >  A',  so  müssen  wir  einen  zweiten  Factor  Ä'  des  Products  zu 
Hilfe  nehmen,  dessen  Ordnung  21'— 1  sein  muss.  Da  das  Product 
AÄ'  gerade  ist,  so  enthalten  nach  dem  Vorigen  alle  Ueberschiebun- 
gen  Theile,  welche  in  Factoren  zerfallen,  sobald  das  Product  AM 
aus  mehr  als  diesen  beiden  Factoren  besteht.  Wir  haben  also  nur 
noch  Ueberschiebungen  von  f^  über  Producte  zweier  ungerader  Formen 
zu  untersuchen. 

Ist  nun  Q  kleiner  also  Jv-\-h'  —1,  etwa  lc-\-h'  —1  —  h ,  als  auch  die 
Höhe  der  Ueberschiebung  21- -\- 2k' -2h  — 3  oder  21  + 2]/ -2h -2, 
so  kan^  man  immer  einen  Theil  der  Ueberschiebung  bilden,  dessen 
einer  Factor  die  (2 Z;  —  2)*«  Ueberschiebung  von  J.  über  /*^— '  ist,  wäh- 
rend der  andere  aus  der  (27/ —  2/i  —  l)*«'^,  bez.  {2k'  —  2hy^^  Ueber- 
schiebung von  A'  über  f^'—^  besteht.  Jede  solche  Ueberschiebung  giebt 
also  nichts  neues ;  es  bleibt  also  nur  die  {Jc-\-h'  —  1)*^  Potenz  von  f 
noch  2  A'-f-2A''— 3,  bez.  2ä:-|- 2Z:' —  2mal  über  A  .  A'  zu  schieben. 
Aber  auch  von  diesen  beiden  Ueberschiebungen  enthält  die  erstere 
einen  zerfallenden  Theil,  dessen  Factoren  die  {21c  — 2y^  Ueberschiebung 
von  f"-^  über  A  und  die  (2A-'— 1)*«  von  f^'  über  A'  ist.  Es  bleibt 
also  nur  die  eine  (2k-{-2Ji'  —  2y^  Ueberschiebung  übrig. 

Von  den  ungeraden  Formen  rühren  also  nunmehr  folgende  Bil- 
dungen her: 

1.     A  von  der  Ordnung  2A-  — 1: 

erste  und  zweite  Ueberschiebung  von  f    über  A 
dritte  und  vierte  Ueberschiebung  von  f'^  über  A 


(5A— 1)*®  Ueberschiebung  von  f^'  über  A. 

2.  A  von  der  Ordnung  2A-—  1,  A'  von  der  Ordnung  2Ä;'  — -1  (wo- 
bei A  und  A'  auch  identisch  sein  können): 

(2k  +  2k'  —  2y^  Ueberschiebung  von  /'^'+a'-i  über  AA'. 

Die  letzten  Bildungen  sind  ausschliesslich  Invarianten.  Von  die- 
sen abgesehen,  erhält  man  also  alles,  indem  man  Potenzen  von  f 
über  die  einzelnen  Formen  des  Systems  schiebt. 

Es  ist  nicht  bewiesen,  dass  unter  den  hier  aufgezählten  Formen 
nicht  einige  in  Folge  der  besonderen  Eigenschaften  des  Systems  der 
A  durch  die  anderen  ausdrückbar  und  daher  auszulassen  seien.  Dies 
tritt  vielmehr  oft  wirklich  ein.  Ein  solcher  Fall,  der  eine  weitgehende 
Bedeutung  hat,  ist  folgender: 

Wenn  eine  Form  A  die  erste  Ueberschiebung 
zweier  Formen  (p  =  (p/j  t  =  i':r''  ist,  und  f"  eine  Po- 
tenz   von  /*,    deren  Ordnung   die    von  A  nicht   über- 

13* 


196  Fünfter  Absclinitt.     Simultane 

trifft,  so  enthält  die  (2k— If^  Ueberschiebung  von 
P  mit  Ä  einen  zerfallenden  Theil,  und  ist  daher 
auszulassen.  Nur  wenn  r  und  s  gerade  sind,  muss 
die  Ordnung  von  f  kleiner  als  die  von  J.  sein,  damit 
dies  eintrete. 

Es  ist  nämlich 

Schiebt  man  hierüber  f^  —  aj  •  ?>.r^ .  c.^'^  .  .  . ,  wo  21c^r  -\-  s  —  2, 
und  zwar  2Jc—l  mal,  so  bleibt  erstlich  ein  symbolischer  Factor  a^^. 
zurück;  in  einem  Theile  der  Ueberschiebung  können  wir  dann  das 
andere  a^c  mit  einem  g?^  zu  (cpa)  vereinigen;  denn  wenigstens  eine  der 
Zahlen  r,  s  muss  grösser  als  1  sein,  wenn  nicht  k==0  sein  soll.  So- 
dann bleibt  noch  das  symbolische  Product  cp:v''~''^  tx''~^  übrig,  welches 
2h  — 2  mal  über  /'''—'  zu  schieben  ist.  Dabei  ist  nun  die  Ordnung 
r  +  s  — 3  des  Products  jedenfalls  grösser  als  2h  — 2,  die  Ordnung  von 
f'^~^y  und  zwar,  wenn  r  +  s  — 3  gerade,  wenigstens  um  2  grösser. 
In  Folge  dessen  kann  man  bei  einem  Theile  der  Ueberschiebung  die 
Factoren  6/,  cj...  so  auf  (px'~~  tx''~^  vertheilen,  dass  dasselbe  der 
Symbole  6,  c  auch  immer  mit  demselben  der  Symbole  (p,  ip  vereinigt 
wird.  Denn  ist  eine  der  Zahlen  r  — 2,  s— 1  gerade,  die  andere  un- 
gerade, so  ist  ihre  Summe  wenigstens  um  1  grösser  als  die  Zahl  der 
symbolischen  Factoren  h^j  c^c-y  und  man  kann  in  derjenigen 
der  Potenzen  q)J~'~j  ipj''^,  welche  von  ungerader  Ordnung  ist, 
einen  Factor  bei  Seite  setzen,  und  auf  die  eine  der  übrigbleiben- 
den jetzt  geraden  Potenzen  eine  gewisse  Zahl  der  quadratischen 
Factoren  6/,  c/...,  auf  die  andere  die  übrigen  vertheilen.  Sind 
beide  Potenzen  von  ungerader  Ordnung,  so  ist  ihre  Summe  um  2 
grösser  als  die  der  zu  vertheil enden  Factoren  h^y  cv^  .  .  .,  und  man 
kann  also  einen  Factor  cp^  so  wie  einen  Factor  ^.,;  absondern,  und 
dann  wie  oben  verfahren;  endlich,  wenn  beide  Potenzen  gerade  sind, 
kann  dasselbe  ohne  Weiteres  geschehen,  nachdem  noch  ein  Factor 
Tpa:^  abgesondert  ist. 

Der  auf  diese  Weise  entstandene  Theil  der  Ueberschiebung  hat 
also  die  Form 

(qpi/;)(^a)a^.ct).M^, 

wo  0  das  Symbol  i^  nicht  enthält,  Y  das  Symbol  q)  nicht  enthält, 
und  wo  O  und  M^  keines  der  Symbole  6,  c  .  .  .  gemein  haben.  Aber 
wenn  s  gerade,  s—1  ungerade  war,  so  wurde  noch  ein  symbolischer 
Factor  ^l^a:  abgesondert;  war  s  ungerade  und  r  gerade,  sogar  z//.r^.  Nur 
in  dem  Falle  war  dies  nicht  der  Fall,  wo  r  und  5  gleichzeitig  ungerade 
waren;  denn  in  diesem  Falle  musste  oben  (p^:  abgesondert  werden. 
Wollen  wir  also  den  Factor  ^^^  hervorrufen,  so  müssen  wir  uns,  wie 


Grundformen.  —  §§  56,  57.  197 

• 
in  dem  Satze  vorgesehen,  bei  gleichzeitig  ungeradem  r  und  s  auf  den 
Fall   beschränken ,    wo   2k<^r  -{-s  —  2^   also   2 /;  <  r  +  s  —  4 ,  wodurch 
denn   wieder    ein   Factor   V'or'^   frei  wird.      Unter  dieser  Beschränkung 
nimmt  also  der  betrachtete  Ausdruck  die  symbolische  Form 

an;  und  wegen  der  identischen  Gleichung 

{(pt)  ((pa)  t.o,  =  i  K9>^y  «x'  +  {(paY  il^J-itaY  (pj\ 
geht  dies  in  die  zerfallende  Form 

i  i  f.  {cptY  O  V  +  {q>ay  (t>.tpj^'~  {lim)'  V  .  ^,'  O  | 
über,  wodurch  der  Satz  bewiesen  ist. 

§  57.    Simultanes  System  zweier  quadratischer  Formen. 

Besteht  insbesondere  das  gegebene  System  aus  einer  quadratischen 
Form 

welche  nur  zu  der  einen  Invariante 

Veranlassung  giebt,   und  wird  nun  die  ebenfalls  quadratische  Form 

mit  ihrer  Invariante 

D"={aa'f 

hinzugefügt,  so  besteht  das  System  der  simultanen  Covarianten  beider 

Formen  nach  dem  Vorigen  noch  aus  den  folgenden  weiteren  Bildungen: 

Erste  und  zweite  Ueberschiebung  von  f  über  cp: 

Das  ganze  vollständige  System  enthält  also  nur  die  drei  Invarian- 
ten D,  D'j  D"  und  ausser  den  Grundformen  f,  cp  eine  weitere  quadra- 
tische Co  Variante,  ihre  Functionaldeterminante  ^.  Zwischen  diesen 
Formen  besteht  eine  Relation,  welche  aus  der  Gleichung  (10)  des  §  35. 
abzuschreiben  ist;  vermöge  derselben  kann  das  Quadrat  der  Functio- 
naldeterminante ausgedrückt  werden  durch  die  Gleichung: 

(1)  9^^-^^{Bp-2D'fq,  +  D"<f'), 

SO  dass  auch  hier,  wie  früher  schon,  das  Quadrat  der  einzigen  Form 
ungeraden  Charakters  (§  16.)  sich  als  ganze  Function  der  Formen 
geraden  Charakters  darstellt. 

Die  Bedeutungen  der  Invarianten  D,  D',  D"  sind  im  Vorhergehen- 
den schon  gelegentlich  festgestellt  worden.  Bedeuten /"=0,  g)  =  0 
zwei  Elementepaai'e  der  geometrischen  Interpretation,    so    ist  D  —  O 


198  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

• 
die  Bedingung  dafür,  dass  die  Elemente  von  (p  =  0  zusammenfallen, 
D"=0  dieselbe  Bedingung  für  die  Elemente  von  f=0.  D' =  0  sagt 
aus,  dass  die  Elemente  von  f=  0  zu  denen  von  ^^  =  0  harmo- 
nisch liegen  (vgl.  S.  166,  176).  Ein  Beweis  dafür,  welcher  aus  der 
Betrachtung  des  Doppelverhältnisses  der  Elemente  von  f=0  und 
^  =  0  fliesst,  wird  unten  gegeben  werden.  Man  übersieht  diese  Be- 
deutung von  J)'  aber  sofort,  wenn  man  sich  etwa  die  Verschwindungs- 
elemente  von  cp  als  Grundelemente  eingeführt  denkt.  Dann  hat  in  9 
nur  der  mittlere  Coefficient  einen  von  Null  verschiedenen  Werth  und 
Z)'  reducirt  sich  in  der  ausgerechneten  Form  bis  auf  einen  constanten 
Factor  auf  den  mittleren  Coefficienten  von  f.  Mit  D'  verschwindet 
also  dieser  (wenn  cp  nicht  identisch  Null  ist)  und  umgekehrt.  Dass 
aber  /'  bei  dieser  Wahl  der  Grundelemente  nur  die  Quadrate  enthält 
ist  die  Bedingung  der  harmonischen  Lage  [§  25.  (7)]. 

Die    Gleichung    d'  =  0    stellt,    wenn    d^   nicht    ein 
Quadrat  ist,    ein  Elemeiitepaar  dar,  welches  zu  den 
Yerschwindungselemeten    sowohl    von  /',    als   von   g) 
harmonisch  ist. 
Um  dies  zu  beweisen,  braucht  man  nur  zu  zeigen,  dass  die  simul- 
tane Invariante  von  d-  und  f,  sowie  die  von  O-  gegen  cp  verschwindet. 
Der   Symmetrie    wegen    ist    nur    das    eine   nöthig  zu  beweisen.      Die 
simultane  Invariante  von  -O"  und  f  entsteht,  wenn  man  in  -9"  =  (ah)  a^  hx 
die   Grössen  x^^  x^  durch  die   Symbole   d^,  —  a\   von  f  ersetzt;    sie 
ist  also 

{a  h)  (a  d)  {h  d) , 

was  durch  Vertauschung  von  a  mit  d  das  Zeichen  ändert  und  also  in 
der  That  identisch  verschwindet. 

In  §  27.  wurde  aber  gezeigt,  dass  die  Discriminante  von  ^  zu- 
gleich die  Resultante  von  f  und  (p  ist.  Die  oben  über  '9'  gemachte 
Voraussetzung  ist  also  mit  der  andern  identisch,  dass /" und  9  keinen 
gemeinsamen  linearen  Factor  besitzen. 

Wählt  man  die  Verschwindungselemente  von  %•  zu  Grundpunkten, 
so  enthalten  sowohl  f  als  (p  nur  noch  die  Quadrate  der  Veränderlichen, 
was  die  Lösung  der  bekannten  Aufgabe  ergiebt,  zwei  quadratische 
Formen  /*  und  (p  gleichzeitig  als  Aggregate  zweier  Quadrate  darzu- 
stellen. Dass  diese  Aufgabe  nur  eine  Lösung  zulässt,  folgt  hier  auch 
daraus,  dass  durch  die  Bedingung  der  harmonischen  Lage  zu  f  und  cp 
die  Verhältnisse  der  Coefficienten  von  %•  vollkommen  und  eindeutig 
bestimmt  sind. 

Bezeichnet  man  die  Verschwindungselemente  von  %'  durch  ^  =  0, 
7^  =  0,  und  setzt 


(2)  »=y-'^-in, 


Grundformen.  —  §  57.  199 

SO  kann  man  der  Gleichung  (1)  die  Form  geben: 

(3)  rr  =  (/'+/i^)(/"+A», 

wo  /l,  X  die  Wurzeln  der  quadratischen  Gleichung 

(4)  Z>  A-  +  2  D'  A  +  D"  =.  0 

sind.  Da  nun  in  diesem  Falle,  wie  gezeigt,  /"  und  qp  keinen  gemein- 
schaftlichen Factor  haben,  so  folgt  aus  (3),  dass  /'-f  Aqp  und  /'+A'g) 
jedes  für  sich  Quadrate  linearer  Ausdrücke  sein  müssen,  und  dass  man 
also  setzen  kann 

wodurch  denn  die  Coefficienten  von  |,  ?^  bis  auf  das  Vorzeichen  völlig 
bestimmt  sind.  Die  Bestimmung  der  Verschwindungselemente  von  0- 
geschieht  also  so,  dass  man  zunächst  die  quadratische  Gleichang  (4) 
löst,  und  dann  aus  den  Gleichungen 


die  Ausdrücke  5?  ^  selbst  findet. 
Aus  (5)  folgt  weiter 

'~~      x-r  ' 

was  die  Darstellung  der  Formen  /  und  (p  durch  Aggregate  von  Quadra- 
ten ist.  Diese  Darstellung  ist  immer  möglich,  sobald  X  —  l'  nicht 
verschwindet,  d.  h.  sobald  die  Discriminante 

der  Gleichung   (4)   nicht   gleich  Null  ist.     Diese  aber  ist  nach  §  27. 
(29)  zugleich   die  Resultante  von  f  und  (p,   deren  Verschwinden  oben 
schon  ausgeschlossen  wurde. 
Aus  (6)  folgt  auch 

Die  ganze  durch  f-\-^cp-=0  dargestellte  Reihe  von  Elemente- 
paaren ist  also  durch  die  Quadrate  von  J  und  ri  ausgedrückt,  d.  h.  diese 
Reihe  bildet  die  Involution,  deren  Doppelelemente  durch  -^-^O  be- 
stimmt werden-,  wie  denn  auch  umgekehrt  jedes  Paar  dieser  Reihe 

in  der  Form 


200  Fünfter  Abschnitt,     Simultane 

enthalten  ist,  wobei 

u  —  X  X  4-  K  X' 

Nimmt   man  f  und   cp   in   der  Form  (6),   so  sind  die  Verschwin- 
dungselemente  beider  Functionen  durch  die  Gleichungen  gegeben: 


x'' 


0. 


Ein  Doppelverhältniss  dieser  Paare  ist  (§  25.) : 
Ä_i 


"-y 


^  /  /A  -  yi' 


l_  \j/A  +  j/A' 

A'      ^ 


/ 


-;/|,+i 


sollen    die  Elemente    der  Paare  nicht  getrennt    werden,    so  giebt  es 

ausser  —  keinen  Werth  dieses  Doppelverhältnisses  mehr.   Die  Grösse  a 

muss    sich    also    direct    durch    eine    reciproke   quadratische  Gleichung 
darstellen  lassen.     Bemerkt  man,  dass  nach  (4) 

\:k-\-l':Xr=:I):~2D'  :I)\ 
so  erhält  man 

~^(_A  +  A7-4AA'        U'-BD"' 
a  und  —  sind  also  die  Wurzeln  der  quadratischen  Gleichung 

oder 

(7)  D'2  {a  -  \f  -  B  B"  {a  +  1)^  =  0. 

Diese  Gleichung  bestätigt  das  im  Eingange  über  die  Bedeutung 
von  Bj  B'y  B"  Gesagte;  denn  mit  a  =  l  wird  B  oder  B"  zu  Null, 
zwei  Elemente  eines  Paares  fallen  zusammen;  für  «  =  —  l  wird  B'=0, 
und    dadurch    wird    also    die   harmonische    Lage    der   Elementepaare 


Grundformen.  —  §§  57,  58.  201 

angezeigt.  Denkt  mau  sich  aber  unter  «  irgend  einen  beliebig  ge- 
gebenen constauten  Werth,  so  enthält  die  Formel  (7)  folgenden  8atz: 
Die    Bedingung    dafür,    dass    zwei    Punktepaare 

ein  Doppelverhältniss  a  bilden  sollen,  ist  durch  die 

Invariantenrelation  (7j  gegeben. 

Ich  ȧchliesse  dem  Obigen  noch  folgende  oft  zu  benutzende 
algebraische  Sätze  an: 

Die  erste  Ueberschiebung  der  Functionaldeter- 
minante 

0-  — ■  {a  h)  tta:  ha: 

über  eine  der  sie  constituirenden  Functionen  ist: 
{^a)^^a:,  =  \{B(p-D'f). 
Man  hat  nämlich: 

{x^a)  x^jc  a'x  =  ^  a\r  iah)  \  [ci a)  h-c  +  (h a)  «^  \ , 

oder  wenn  man  im  ersten  Gliede  aa   vertauscht,  im  zweiten  die  Iden- 
tität IL  anwendet: 

{&  a')  ^.  a'.  =  i  {a  a'f  hj  -  {  \  {a  hf  a'J  -^{a  aj  hj  j 

wie  oben. 

Die    zweite   Ueberschiebung   von  f  oder  cp  mit  0" 
verschwindet,  wie  oben  schon  bewiesen  wurde. 
Die  Invariante  von  %•  ist 

Die  hierzu  gehörige  Rechnung  ist  in  §  27.  gegeben  worden,  in- 
dem beide  Ausdrücke  der  negativen  durch  2  dividirten  Resultante  R 
der  beiden  Formen  gleich  gefunden  wurden. 


§  58.    Simultane  Invarianten  und  Covarianten  einer  beliebigen  Anzahl 
quadratischer  Formen. 

Im  Vorigen    wurde    gezeigt,    dass    das    vollständige   System   von 
Invarianten  und  Covarianten  zweier  simultanen  quadratischen  Formen 

f=^aj==  a'J  . . . 

ausser  den  Grundformen  selbst  nur  noch  die  Coyariante 

&  =  {ah)aa:h:c7 
und  ausserdem  die  Invarianten 

i««7,     {ahy,     {hhj 


202  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

enthält.     Fügt   man   nun  eine  weitere  quadratische  Grundform  hinzu: 

so  tritt  zunächst  die  Invariante 

auf,  sodann  aber  sind  nach  §  56.  die  ersten  und  zweiten  Ueber- 
schiebungen  von  f,  cp,  d'  mit  i/^  zu  bilden.  Was  die  ersten  Ueber- 
schiebungen  betrifft,  so  sind  die  von  /'  oder  cp  mit  t/;  der  Form  d' 
analog ;  die  erste  Ueberschiebung  von  i^»  mit  d-  aber  kann  übergangen 
werden,  da  sie  nach  §  35.  (5)  sich  durch  f,  cp,  ip  und  deren  zweite 
Ueberschiebungen  ausdrückt.  Von  den  zweiten  Ueberschiebungen 
sind  die  ersten  beiden  analog  zu  {ah)"^ ,  nämlich  {acY  und  (6c)^;  die 
zweite  Ueberschiebung  von  ip  mit  d-  aber  liefert  die  Invariante 

{a  h)  {a  c)  (h  c) , 

welche  linear  für  die  Coefficienten  aller  darin  auftretenden  Functionen 
ist,  und  durch  Vertauschung  der  Coefficienten  irgend  zweier  dieser 
Functionen  nur  das  Zeichen  ändert. 

Man  sieht,  dass  hierbei  Covarianten  von  neuem  Charakter  nicht 
entstanden  sind,  und  man  schliesst  daher,  dass  bei  der  Hinzufügung 
weiterer  quadratischer  Grundformen  solche  auch  nicht  mehr  auftreten 
können. 

Ein  beliebiges  System  quadratischer  Grundformen 

/2  —  t^.r      —  ^  X      .  •  • 


fn  =  mj^  =  mj  . . . 

führt  daher  ausser  diesen  Formen  selbst  auf  folgende  Bildungen,  mit 
denen  das  vollständige  System  ihrer  Invarianten  und  Covarianten  ab- 
geschlossen ist: 

1.    Die  — ^-^ —    Functionaldeterminanten  Dik,    deren   Typus  ist: 

—    Invari 
deren  Typus  ist: 


'H     V)    I    1 

2.    Die  Invarianten  x^u,   (wo   i  auch  gleich  li  sein  kann), 


B,,=  (aaf,    D,,^{ahf. 
3.   Die  — — ~ „ '  „  ~  "^  Invarianten  -R,t/,,  deren  Typus  ist: 

i  .  ^  .  «5 

•^123  =  -  (^^)(^^)  (^^)- 

Von    diesen  Formen  sind   die    unter   1.  und  3.   aufgeführten  un- 
geraden  Charakters,    die   anderen  geraden   Charakters.     Es  tritt  aber 


Grundformen.  —  8  58. 


203 


auch  hier,  ähnlich  wie  in  frühern  Fällen,  der  Umstand  hinzu,  dass 
ein  Product  zweier  ungeraden  Formen  immer  durch  gerade  Formen 
ausdrückbar  ist,  so  dass  in  dem  Ausdrucke  irgend  einer  Co  Variante 
oder  Invariante  durch  die  Formen  des  vollständigen  Systems  diese 
ungeraden  Formen  schliesslich  nur  linear  auftreten. 

Um  die  in  Frage  stehenden  Relationen  abzuleiten,  kann  man  sich 
der  Bemerkung  bedienen,  dass  sowohl  d-ik  als  Bn/,  in  Form  einer 
Determinante  darstellbar  ist.     Man  hat 


(1) 


< 

w 

*..  = 

a,a. 

hh 

«/ 

w 

< 

K- 

^123  = 

Ol  «2 

hh 

0-^ 

W 

c,  c. 


und    es    entsteht   also   i^^gs    ^^^  ^^.^^    wenn  man  iCj,  x^  durch  Cg,  —  c^ 


ersetzt.     Betrachten  wir  nun  das  Product 


2^i2(^i;^2)-^45(2/i;2/2)  = 


<- 

K- 

^.  2 

a^  a.. 

\\ 

—  X^X2 

< 

hi 

x-^ 

cl-2'  e,'         Vi" 


d- 


Vi 


Wenn  man  die  beiden  Determinanten  nach  der  gewöhnlichen 
Regel  mult^plicirt,  und  zwar,  indem  man  die  Vertikal  reihen  com- 
binirt,  so  erhält  man: 


I>, 


D 


15 


/l  (2/1;  2/2) 

2  %'^2  {x^ ,  x.^  .  Q'^  {y, ,  y.^  =       R,^  D,.        f^  (y, ,  2/2) 

Diese  Formel  giebt  ihrer  Ableitung  nach  ganz  allgemein : 

DyiQ  Dx6       /x  (2/1, 2/2) 

J^lQ  I>16  A  (2/1;  2/2) 

fQ{x,,x.;}    fa{x„x.;)       {xyf 


(2)    2^.,x{x,,x,^.^^a{y,,y,:) 


und  zwar  ist  es  dabei  offenbar  gleichgiltig ,  ob  unter  den  Indices 
Kj  A,  Q,  ö  sich  gleiche  befinden  oder  nicht.  Setzen  wir  2/i  =  ^i> 
y2  =  X2f  so  verwandelt  sich,  indem  wir  die  Argumente  jetzt  auslassen, 
die  Formel  (2)  in 

DxQ       Dy.a      fx 

(3)  2^y,x^9a=    I^lQ     I^U    A 

Mit  Hilfe  dieser  Formel  drückt  sich  das  Product  irgend  zweier 
O  durch  gerade  Formen  aus ;  die  im  vorigen  Paragraphen  benutzte 
Formel   für  O--  ist  ein  specieller  Fall  derselben.    Vgl.  auch  §  35.  (11). 


204 


Fünfter  Abschnitt.    Simultane 


Setzt  man  in  (2)  für  ?/j,  y.^  die  Symbole  p^,  —  p^  irgend  einer 
Form  ftj  so  verwandelt  sich  /it  <'«/i ,  2/^)  ^^  ^/.t  etc.,  und  ^Qa(yi,y^ 
geht  in  Uqoz  über;  man  hat  also: 


(4) 


2  d'xl .  -B^ffr  = 


Dxp      I).,n      D, 


Big    Du    Du  ■ 

u     u     u 

Setzt    man    endlich    hierin    auch    noch    für   x^,    x.j,    die    Symbole 
^2,  —(l^  einer  Form  /^,  so  ^ehen  f^,  fo,  f^,  ?tyA  in  D(ig,  Bf^a,  D^r, 


I^TiXß  über,  und  man  hat: 

(Ö)  2I{y,i,,BgCT 


Dir 


B'^Q     1),,, 

BflQ         I)flQ         ^fit 

Die  drei  Gleichungen  (3),  (4),  (5)  liefern  die  Relationen,  um 
welche  es  sich  handelt. 

Ausser  diesen  Relationen  kann  man  noch  eine  grosse  Anzahl 
anderer  aufstellen,  welche  zwar  als  Folgen  derselben  aufgefasst  "wer- 
den können,  aber  sich  durch  ihre  einfache  Form  auszeichnen  und 
leicht  direct  ableitbar  sind.     Die  Identität 


(6) 


0^ 


a^tta: 

a.^ax 

aj 

h,b^ 

h,K 

hj 

(\Cj: 

c,c^ 

cj 

liefert,  nach  der  letzten  Vertikalreihe  geordnet,  die  Relation: 

(7)  /x^i^+/id„x+/;*xi=o, 

welche  in  Bezug  auf  die  f  einerseits  und  die  entsprechenden  0-  anderer- 
seits linear  ist.     Die  Identität 


0  = 


liefert,  nach  der  letzten  Vertikalreihe  geordnet,  die  lineare  Relation, 
welche  zwischen  je  vier  Formen  f  besteht,  und  deren  Coefficienten 
die  R  sind: 

(8) 


0  = 


< 

«,«2 

a/ 

«/■ 

h' 

hh 

h' 

'^-'i 

c,' 

«1«2 

0/ 

cjl 

d,^ 

dj^ 

d./ 

dj\ 

fii  Rxuv—fl  Pßvy.  +ffi  Rvy.l  " 

-/;j?x;..«=o. 

giebt  die  Identität: 

a/       a^a.^       «/     0 

d.i 

-2d^d,    d^ 

0 

h;'       h,h,       h^'     0 

e} 

—  2e^e^     e^ 

0 

c;'       c,c,       c/     C 

9.' 

-^'Ji9i     'Jy 

0 

x./     —x^x^     x^^     0 

x;' 

^  X\  Xa             Xn 

0 

(jrniudfonnen.  —  §  58. 


205 


indem  man  die  beiden  Determinanten  durch  Combination  der  Horizon- 
talreihen multiplicirt,  Relationen  zwischen  den  geraden  For- 
men allein,  welche  quadratisch  in  den  f  sind  und  deren  Coefficien- 
ten  sich  aus  den  D  zusammensetzen.  Diese  Relationen  haben,  wie 
man  durch  die  Ausführung  der  Multiplication  sofort  sieht,  die  Gestalt: 

D,g       D,r,      D.r      A 


(9) 


0 


Big 

^io     I>lr 

fl 

-D^P 

-Dfto      Dur 

fß 

/? 

fa          fr 

0 

Die  Relation  (7)  kann  man  aber  auch  aus  (3)  ableiten,  (8)  aus 
(4),  (9)  aus  (3)  und  (4)  zusammen.  Wesentlich  neue  Beziehungen 
geben  also  diese  Gleichungen  nicht. 

Doch  ist  es  von  Interesse,  die  Gleichungen  (7),  (9)  in  folgender 
Weise  nochmals  abzuleiten. 

Betrachtet  man  an  Stelle  der  rechten  Seite  von  (6)  den  Ausdruck 


«1   «X 

C,     Ca: 


Co    Cx 


r^    2! 


so  kann  man  denselben  in  die  Factoren  zerlegen: 


a,  a. 


hc 


hb,    6/ 


c,  c. 


X, 

^2 

0 

0 

X, 

^2 

y.' 

^y^y. 

2/2^ 

=  B^Xf^.{xyfy 


und  es  besteht  also  die  Gleichung: 

(10)  f.(]/)^Xß  +  f^(y)^u^  +  fu(y)^.x  =  K:,^.{xyY. 

Setzt  man  in  dieser  x  =  y,  so  kommt  man  auf  (7)  zurück.  Setzt 
man  aber  der  Reihe  nach  für  2/2?  —  2/i  die  Symbole  von  /'p,  /ij,  fr  ein, 
so  findet  man  die  drei  Gleichungen: 

(11)  Ji^cXfi .  /ö  =  Dxo&lfj.  +  Bxo  d^fiy,  -f  Dfia  ^y.i 

Eliminirt  man  aus  diesen  Gleichungen  und  (7)  die  Grössen  Rxlfi, 
d-Xß,  '9'^x,  ^xlf  so  erhält  man  wieder  die  Gleichung  (9).  — 

Die  weiteren,  aus  den  gegebenen  Formen  entstehenden  Bildungen, 
müssen  sich  durch  die  Formen  des  vollständigen  Systems  ausdrücken. 
Es  sind  nun  von  Interesse  dabei  zunächst  diejenigen  Formen,  welche 
aus  den  durch  d^n,,  D,/,,  Ilikh  bezeichneten  Bildungen  entstehen, 
wenn  man  in  denselben  eine  oder  mehrere  der  constituirenden  Fun- 
ctionen durch  Functionaldeterminanten  ersetzt.  Wir  wollen  dies  da- 
durch ausdrücken,   dass  wir  an  Stelle   des  Index  der  zu  ersetzenden 


206  Fünfter  AlDsclinitt.  —  Simultane 

Function   die   Indices   setzen,   welche   den   constituir enden  Functionen    y 
der  Functionaldeterminante   entsprechen,   so   dass  z.  B.  D,a-,  ä   die  In- 
variante   bedeutet,    welche    aus    Combination    der    Functionaldetermi- 
nante d'ik^   mit   der  Function  //,  entsteht.     Es  sind  also  folgende  Bil- 
dungen zu  untersuchen: 

'^12,3;       '^12,34;       -ÖJ2,3;       -Dl2,34;       ^12,3,4;       ^12,34,5;       ^12,31,56- 

Die  Symbole  der  mit  den  Indices  1 ,  2  . .  .  bezeichneten  Functio- 
nen sollen  durh  «,  5  ...  in  alphabetischer  Ordnung  bezeichnet  wer- 
den.    Nach  der  Formel  (5)  des  §  35.  hat  man  zunächst: 

(12)  ^.2, 3= i(/;  As-/; -023); 

ferner  hat  man  nach  der  Definition  der  d'  und  B: 

(13)  ^12,3  =  («  ^)  (^  ^)  (P  ^)  =  -^123  • 

Ersetzt  man  nun  in  (12)  die  Function  f^  durch  die  Functional- 
determinante '^'34,  so  kommt: 

(14)    ^12 ,  34 = 4  (/;  -Dl ,  34  -  /;  -D2 ,  34) =i{f,  -B134  -  fi  •B234)- 

Der  Ausdruck  kann  nur  sein  Zeichen  ändern,  wenn  man  1,  2  mit 
3,  4  vertauscht;  die  Gleichsetzung  der  beiden  so  erhaltenen  Ausdrücke 
von  §-^2,  34  führt  auf  die  Gleichung  (8)  zurück. 

Den  Ausdruck  jR^g,  3,  4  können  wir  als  die  zweite  Ueberschiebung 
von  d'j^2,  3  ^^^  fi  betrachten.  In  Folge  der  Gleichung  (12)  hat 
man  also: 

(15)  B,,,,,,  =  iiD,,D,,-D,,D,,). 

Hieraus  findet  man  nun  auch  sofort  den  Werth  von  Djg,  34;  denn 
es  ist  nach  (13): 

(16)  A2,    34  =  -Bl,    2,    34  =  i  (-0X3  A4  -  A3  A4)- 

Setzt  man  nun  in  (15)  -0-34  für  f^,  f^  für  f^^  so  erhält  man  mit 
Hilfe  von  (13): 

(17)  Bu,    34,    5  =  i  (A5  A,   34  -  ^15  A,    34)  =  i  (^5  ^134  -  A5  ^234). 

Auch  dieser  Ausdruck  kann  nur  das  Zeichen  ändern,  wenn  man 
1,  2  mit  3,  4  vertauscht.  Indem  man  die  beiden  so  erhaltenen  Ausdrücke 
von  i?i2,  34,  5  einander  gleich  setzt,  erhält  man  die  zwischen  den  D 
und  II  stattfindende  Beziehung 

(18)  Di5  E234  —  A5  ^134  +  Aö  -^412  —  ^5  -^312  =  ^  ; 

welche   auch  aus  (8)   abgeleitet  werden  kann,   indem  man  ein  f  zwei- 
mal über  jene  Gleichung  schiebt. 

Endlich  erhält  man,  indem  man  in  (17)  f^  durch  O-gg  ersetzt  und 
(13)  benutzt: 


Grundformen.  —  §  58. 


207 


(19) 


B 


12,    34,   56 


T  (-^256  ^134  ~"  -^15(?  -^234)- 


Durch  Vertauschung   der  Paare  12,  34,  56,  wobei  B,^ 


34,    5ß 


nur 


das  Zeichen  ändert,  erhält  man  zwei  mit  der  obigen  gleichberech- 
tigte Darstellungen-,  die  Gleichsetzung  der  rechten  Seiten  führt  auf 
quadratische  Relationen  zwischen  den  B  von  der  Form: 


(20) 


^15'j  -^234         ^25«  -^134  "T  -^350  "^124 


^45G  -^^123  —  ^? 


welche  auch  abgeleitet  werden  können,  indem  man  ein  ^  zweimal 
über  (8)  schiebt,  und  welche  identisch  erfüllt  werden,  wenn  man  für 
die  Producte  der  B  ihre  Ausdrücke  in  den  D  (5)  setzt. 

Setzen  wir  für  den  Augenblick  voraus,  was  später  bewiesen  wer- 
den wird,  dass  die  Zahl  der  von  einander  unabhängigen  Invarianten 
des  Systems  um  3  kleiner  ist  als  die  Zahl  aller  Coefficienten,  so  sind 

von  den      '  ^ Formen    D    nur    3^^  — 3    völlig    unabhängig    von 

einander,  und  es  müssen  Relationen  zwischen  den  I)  bestehen,  von 
welchen 

w  .  w  +  1      ,^        „.      M  —  2  .  w  —  3 

g (3n~3)=— ^ 

von  einander  unabhängig  sind.  Es  ist  nun  leicht  zu  zeigen,  dass  diese 
wirklich  existiren,  und  dass  man  sogar  durch  die  3w  — 3  Invarianten 

A 


u      A.      K-22 

D,,     D 


33 


(21) 


41 


43 


^nl       -D„2       Dn3 

alle   übrigen   rational   ausdrücken   kann.      Aus   der  Multiplication   der 
beiden  verschwindenden  Determinanten: 


K^  K^  k.2        A^2 


I  ^2 
{"'2 


—  2c^c.2 


h' 


folgt  nämlich  identisch: 


(22) 


0  =  ! 


-^11 

A. 
A. 

-Dm 


As 


A2 


kl 


33 
A-3 


In  dieser  Gleichung  kommen  nur  Invarianten  des  Systems  (21) 
vor,  ausgenommen  Dk/i,  welches  linear  auftritt,  und  man  kann  also 
dieses  immer  durch  jene  Grössen  ausdrücken,  vorausgesetzt  natürlich, 
was  bei  der  allgemeinen  Betrachtung  gestattet  ist,  dass  der  Coefficient 


208  t^iinfter  Absclinitt.     Simultane 

von  JDkh  nicht  verschwindet.  Dieser  Coefficient  aber  ist  nach  (5) 
2  1^^123  5  ^^^^  solche  Art,  die  D  auszudrücken,  ist  also  immer  gestattet, 
sobald  nur  eine  einzige  der  Invarianten  U  von  Null  verschieden  ist, 
d.  h  sobald  sich  nur  nicht  das  ganze  System  der  Functionen  f  aus 
nur  zweien  derselben  linear  zusammensetzt. 

Da  die  geometrische  Bedeutung  der  übrigen  Formen  schon  oben 
entwickelt  ist,  so  bleibt  nur  noch  übrig,  von  der  geometrischen  Be- 
deutung der  Gleichung 

-^123  =  ^ 

zu  handeln,  welche,  wenn  sie  besteht,  eine  Beziehung  zwischen  drei 
quadratischen  Formen  aussagt.  Nun  ist  nach  dem  Vorigen  O-^g  eine 
Form,  deren  Verschwindungselemente  zu  denen  von  f^  und  /^  har- 
monisch sind;  ferner  entstand  R^^^  als  zweite  Ueberschiebung  von 
-O-^g  mit  fy  Verschwindet  also  dieser  Ausdruck,  so  sind  die  Ver- 
schwindungselemente von  d-^.2  auch  harmonisch  zu  denen  von  f^, 
d.  h.  die  Verschwindungselemente  von  f^,  /!,,  f^  sind  gleichzeitig  har- 
monisch zu  einem  Elementepaar,  sind  also  Paare  einer  Involution, 
deren  Doppelelemente  das  letztere  giebt.     Die  Gleichung 

•^123  =  0 

bedeutet  also,  dass  f^,  f^,  f^  Punktepaare  der  nämlichen 
Involution  geben. 

Dieser  Satz  lässt  sich  auch  umkehren.  Denn  sind  die  aus  fi=Oj 
/2  =  0,  f^  =  0  erhaltenen  Elementepaare  Glieder  einer  Involution,  so 
kann  man  den  drei  Functionen  f^^  f^,  f^  die  Form  geben: 

dass  aber  für  diese  Annahme  B^.^^  verschwindet,  lehrt  die  Determi- 
nantenform (1)  augenblicklich,  da  in  dieser  die  Coefficienten  einer 
Reihe  sämmtlich  gleich  Null  sind,  sobald  man  jR^gs  ^^  Bezug  auf  die 
neuen  Veränderlichen  |,  ri  bildet. 


§  59.    Simultane  Covarianten  und  Invarianten  einer  quadratischen  und 
einer  cubischen  Form. 

Wendet  man  die  Principien  des  §  56.  auf  die  Combination  einer 
quadratischen  und  einer  cubischen  Form  an,  so  erhält  man  Fol- 
gendes. 

Das  System  einer  cubischen  Form  (p  besteht  aus  den  Covarianten 
A  (quadratisch),  Q  (cubisch)  und  der  Invariante  li  (§  34.).  Man  hat 
also    nur    die    eine  Covariante   A,    welche  von  gerader  Ordnung  ist, 


(Ti-undfonneii.  —  §§  58,  59.  209 

und  Dach  dem  angeführten  Paragraphen  erhält  man  daraus  zunächst 
zwei  simultane  Bildungen,  die  beiden  Ueberschiebungen  von  f  mit  A. 
Ist  symbolisch 

f  ^a.'=hj   ... 

<P  =  «/  =ßJ  •  •  • 

SO  sind  diese  beiden  Bildungen  durch 

(1)  (aA)a^A,,     {üAf 
gegeben. 

Nächst  diesen  hat  man  die  erste  und  zweite  üeberschiebung  von 
/'  über  g)  und  Q,  sowie  die  dritte  von  p  über  (p  und  Q  zu  bilden; 
von  diesen  ist  nur  die  erste  üeberschiebung  von /"über  Q  auszulassen, 
da  Q  eine  Functioualdeterminante  ist  (§  35.).  Man  hat  also  zwei- 
tens die  Bildungen: 

(2)  {aa)a:,aj,  iaufa,,  {aQfQ:,,  {aaf(ba)K,  {aQf{lQ)K. 

Endlich  hat  man  noch  die  sechsten  Ueberschiebungen  von  (p-,  (p  Qj 
Q-  über  P  zu  bilden,  drei  Invarianten.  Aber  von  diesen  kann  die 
letzte  übergangen  werden;  denn  da  Q-  sich  durch  A,  jR,  cp  ausdrückt 
(§  ^^•)>  so  setzt  sich  diese  üeberschiebung  aus  den  sechsten  ueber- 
schiebungen von  p  über  (p-  und  A^  zusammen.  Von  diesen  ist  die 
erstere  schon  eine  der  noch  zu  behandelnden;  die  zweite  ist  auszu- 
lassen, da  sie  einen  zerfallenden  Theil  besitzt,  der  entsteht,  indem 
man  jeden  Factor  f  zw^eimal  über  einen  der  Factoren  A  schiebt.  Wählt 
man  statt  der  sechsten  ueberschiebungen  von  g)-,  cp  Q  über  P  noch 
passende  Theile  derselben,  so  hat  man  endlich  folgende  Bildungen 
vor  sich: 

(3)  {aaf{}>ßf{ca){cß),     {aaf  (bQf{ca){cQ). 

Hiernach  besteht  das  vollständige  System  der  Invarianten  und 
Covarianten  aus  15  Formen.  Einige  derselben  stellen  sich  einfacher 
dar,  wenn  man  die  Coefficienten  der  unter  (2)  entwickelten  linearen 
Covarianten 

r^r,  =  {aQYQ^ 
einführt.     Alsdann  werden  diese  15  Formen  folgende: 

Invarianten:  D  =  {ahy,  R  =  (AA'f,  JE=(aAy,  F={apY, 
M={cip)(ar)j    darunter   die  letzte  eine  Form  ungeraden  Charakters. 

Lineare  Covarianten:  p,  r,  q={ap)as,  s  =  {ar)a,c'  Darun- 
ter sind  r  und  q  Formen  ungeraden  Charakters,  die  letztere  als 
Functionaldeterminante  von  Formen  geraden  Charakters,  die  erste, 
weil  Q  eine  Form  ungeraden  Charakters  ist. 

Clebsch,  Theorie  der  hinäreu  algebr.  Formen,  14 


210  Fünfter  Abschnitt.     Simnitane 

Quadratische  Covarianteii:  f\  A,  Q=^{aA)  a,r  ^.r,  das  letzte 
eine  Form  ungeraden  Charakters. 

Cubische  Covarianten:  (p,  Q,  ^  =  (^ct a)  a-r  ci:r^ ,  die  letzten 
beiden  Formen  ungeraden  Charakters. 

Es  ist  sehr  leicht,  Relationen  anzugeben,  welche  zwischen  diesen 
15  Formen  eintreten,  z.  B.  indem  man  die  Quadrate  und  Producte 
der  Formen  ungeraden  Charakters  durch  Formen  geraden  Charakters 
ausdrückt.  Ich  werde  mich  späterer  Anwendung  wegen  hier  mit  den 
Beziehungen  beschäftigen,  welche  zwischen  den  Invarianten  und 
zwischen  den  linearen  Covarianten  eintreten.  Die  letzteren  Beziehungen 
erhält  man  dadurch,  dass  man  die  Determinanten  untersucht,  welche 
aus  den  Coefficienten  je  zweier  gebildet  werden.  Es  sind  die  fol- 
genden : 

{pq)=-  {apY  =  -F,  {p r)  =  L ; 

(A^  iPs)  =  -  (a r)  (ap)  =  -  If ;        (g r)  =  (a p)  {a r)  =  M; 

^^^  {q  s)  =  (ap)  ihr)  (ah)  =  ^  {ahf  (pr)  =  i  Di"; 

(r  s)  =  ~  {a-  ry  =  —  N. 

Es  bleibt  also  übrig,  die  hier  neu  eingeführten  Invarianten 

L  =  {pr)',     N={arY 

durch  Dy  H,  E^  F,  M  auszudrücken.  Wird  dann  schliesslich  noch 
M'^  durch  die  Invarianten  D,  Ry  Ey  F  dargestellt,  so*  hat  man  alle 
Invariantenrelationen  vor  sich. 

Die  Darstellung  von  Ly  N  knüpft  sich  an  eine  von  der  oben 
gegebenen  abweichende  Darstellung  der  Covariante  r  an.     Es  war 

r^iaQYQ.y     Q  =  {aA)aJA..  [§34.(6).] 

Aber  die  Form  Q  hat  nach  §  35.  die  Eigenschaft,  dass 

(5)  Q,/Q^^{aA)a/A^r. 

Setzt  man  also  a^,  —a^  an  Stelle  von  ^^,  2/2?  so  hat  man; 

(6)  r=^{aA){aayA.ry 
oder  wenn  man  p)  =  «^  {a  a)"^  einführt : 

(7)  r  =  {pA)A^r. 

Nimmt  man  nun  »'  in  der  Form.  (6),  so  hat  man 

L  =  (p  r)  =  {cc  A)  {a  af  {p  A) 

=={aA){ßA){aaY{hßf, 

oder  wenn  man  das  Product  {aa)(bß)  mittelst  der  Identität  §  15.  (IV) 
transf  ormirt : 

Z  =  («  A)  (/3  A)  {aa)  ihß)  \  {aß)  {ha)  +  {ab)  {aß)  \, 


(TiTindformeii.  —  §  59.  21\ 

Im  zweiten  Theile  dieses  Ausdrucks  vertauscht  man  a  mit  h  und 
nimmt  die  halbe  Summe  der  alten  und  neuen  Gestalt;  man  er- 
hält dann 

i  (aA)  (ßA)  (ab)  (aß)  \  (aa)  {hß)  -  (aß)  {ha)  \ 
=  \{a  A)  iß  A)  {abf  {aßf  =l^DR. 

Im  ersten  Theile  wendet  man  die  Identität  an  [§  15.  (V)] : 

und  beachtet,   dass  alles  mit  {ccA]^  oder  {ßAy  Multiplicirte  nach  der 
Theorie  der  cubischen  Formen  verschwindet  (§  34.) ;  es  bleibt  dann 

-i{aAy.{ba){bßj{aß,^  =  -iE^, 
also 

(8)  L^^^. 

Sodann  ist,  mit  Benutzung  der  Form  (7): 

N={ary={pA)  (pA')  (aA)  (aA^, 
oder  nach  der  Identität  (V): 

N=  i  l  (pAY  {aAy  +  {pAy  {aA)'^-{apY  (A  AT ! , 
das  heisst 

(9)  X=EL-iFB. 

Die  Determinanten  (4)  der  linearen  Co  Varianten  sind  also  nun 
durch  die  Invarianten  der  Tafel  ausgedrückt.  Aber  man  hat  auch, 
indem  mau  in  die  Identität 

-  Cps)  (qr)  =  (pq)  {rs)  -  {pr)  (qs) 

die  Ausdrücke  (4)  einsetzt: 

oder  mit  Hilfe  des  Ausdrucks  für  N: 

(10)  M'  =  -^\DL-'-2ELF+RF^\, 

Auf  anderem  Wege  gelangt  man  zu  dieser  Formel,  wenn  man 
von  dem  Ausdruck  der  Functionaldeterminante  Q  durch  f  und  A 
ausgeht : 

Q'  =  -i{I)A'-2FfA  +  Rr).  [§57.(1).] 

Setzt»  man  in  dieser  Gleichung  ^\=P2,  -^'2  =  — i^i>  so  geht  finF^ 
A  in  L  über,  und  Q  verwandelt  sich  in 

(a  A)  (ßp)  {Ap)  =  —  (ap)  {ar)  =  —  M, 

so  dass  sich  die  Gleichung  (10)  unmittelbar  ergiebt. 

Die  in  §  27.  gegebene  Resultante  der  cubischen  und  der  quadra- 
tischen Form  wird 

14* 


212  Fünfter  Absclinitt.     Simultane 

{paY-2D{AaY  =  F-2DE.  — 

Sehen  wir,  was  aus  den  Formen  des  oben  angegebenen  vollstän- 
digen Systems  wird ,  wenn  man  darin  die  cubische  Form  (p  durch  die 
in  §  36.  untersuchte  zusammengesetzte  Form  tc  q)  -\-  X  Q  ersetzt.*  Die. 
hierbei  entstehenden  Foraien  bezeichne  ich  durch  angehängte  Indices 
7C  X.  Nur  auf  /'  und  D  hat  diese  Veränderung  keinen  Einfluss;  dagegen 
ist  nach  §  36. 

wobei  0  die  in  ;c,  A  quadratische  Form 

0  =  ;,2  +  |a2 

bezeichnet.     Nach   den   Definitionen  von  p,   q,   r,  s  wird  nun  sofort 
in  Folge  dieser  Gleichungen: 

,3  0/^0        a0\ 

,  ,  0/^0        dQ\ 

Ebenso  erhält  man  für  die  höheren  simultanen  Covarianten  die  Ausdrücke: 


Q;,;i  =  0  .  Q,         ^y.l=%^^l{aq)Q, 


^X  y 


oder  wenn  man  die  erste  üeberschiebung  von  f  über  die  Functional- 
determinante  Q  nach  §  35.  (5)  behandelt: 

Endlich  werden  die  noch  fehlenden  Invarianten: 

UyX^e  .E,        FyA  =  ^^F+27cX  M+X'N 

^e\de  cFyi    dQdF,^\ 

^^     2  \d%    dl      dl  dx  y 

§  60.    Formensystem  einer  quadratischen  und  einer  biquadratischen  Form. 

Das  vollständige  System  einer  quadratischen  und  einer*biquadra- 
tischen  Form**  ist  verhältnissmässig  leicht  zu  bilden,  weil  nach 
§  56.   dabei  /  niemals   über  Producte  von  Covarianten  der  biquadra- 


*  Vgl.  die  Abh.  des  Verfassers,  Borchardt's  Journal  Bd.  08,  S.  102. 
**    lieber  die  Theorie  dieser  Formen  vgl.  die  Arbeiten  von  Bessel   und  von 
Harbordt  im  1.  Bd.  der  mathem.  Annalen,  sowie  von  Brioschi,  ebenda  Bd.  III, 


Grundformen,  —  §§  59,  60.  213 

tischen  Form  zu  schieben  ist,  da  letztere  sämmtlich  von  gerader  Ord- 
nung sind.    -Das  System  uaifasst  also  folgende  Bildungen: 

Die  quadratische  Form  /"mit  ihrer  Invariante  D] 

die  biquadratische  Form  cp  mit  ihren  Covarianten  H,  T  und  ihren 
Invarianten  i,  j] 

die  erste  und  zweite  Ueberschiebung  von  f,  die  dritte  und  vierte 
von  P  über  (p  und  H] 

die  zweite  Ueberschiebung  von  fj  die  dritte  und  vierte  von  P, 
die  fünfte  und  sechste  von  p  über  T. 

Dass  von  diesen  Formen  noch  einige  ausgelassen  werden  können, 
zeigt  sich  sofort,  wenn  wir,  wie  es  erlaubt  ist,  einige  der  Ueber- 
Schiebungen  durch  passend  gewählte  Theile  derselben  ersetzen.   Da 

T={aH)a/HJ, 

so   können   wir  an   Stelle   der   zweiten   Ueberschiebung   von    T  mit  f 
denjenigen  Tlieil  der  Ueberschiebung  setzen,  welcher  die  Form 

(a  H)  («  ay  a^  HJ 
hat;  oder,  wenn  die  zweiten  Ueberschiebungen  von  cp  und  jffmit  /durch 

bezeichnet  werden,  die  Form 

also  die  Functionaldeterminante  von  jp  mit  H.     An  Stelle  der  dritten 
und  vierten  Ueberschiebung  von  T  mit  f^  kann  man  die  Theile  setzen: 

{aH)  («a)^  {Hh)  h,  HJ  «,  =  (4,  H)  {Hb)  h.  t^,  H/ 
{aH)  (aaY  {Hlf  H^  a,      =  {t  %)  ^^  %.- 
Da  nach  der  Identität  (II)  des  §  15. 

{^H)  (Hh)  h.  t.  Hj  =--  - 1  Hj  I  [my  tJ + {SfY  bj  -  {^by  hji 

so  besteht  die    erste   dieser  beiden   Formen    aus    lauter   zerfallenden 
Theilen  und  kann  daher  übergangen  werden;  die  zweite 

ist  die  Functionaldeterminante  von  i/>  und  x-  —  ^^  Stelle  der  fünften 
und  sechsten  Ueberschiebung  von  Tüber  P  kann  man  die  Theile  setzen: 

(«  H)  {a  ay  {Hby  («  c)  c^  H^  =  {f  %)  {t  c)  c.  x^ 
{a  H)  {a  ay  {Hby  («  c)  {Hc)  =  {^p  x)  it  c)  {x  c). 
Von  dieser  Form  ist  wieder  wegen  der  Gleichung 

(^  X)  itc)  c,  X.  ==  i  |(^  xY  cj^  {t  c)2  x^'  -  ix  cy  tJ\ 
die  erstere  aus  lauter  zerfallenden  Theilen  zusammengesetzt  und  daher 
auszulassen.     Die  zweite  ist  die  simultane  Invariante  der  drei  quadra- 


214  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

tischen  Formen  /,  p,  %,   oder,   was    dasselbe   ist,   die   zweite   Ueber- 

schiebung  von  r  über  /. 

Und    so  umfasst  denn  das  Formensystem  folgende  18  Bildungen : 
6   Invarianten,   nämlich  ausser  i  und  j    die   4  Invarianten  der 

quadratischen  Formen  f,  i^,  %: 
D=(ahf 

C  =  (tx)ita)  ixa)  =  {raY. 

6  quadratische  Covarianten,  nämlich  f,  ip,  %  und  ihre  ersten 
Ueberschiebungen 

Y  =  (i/;a)  i)^  ajc,     X  =  iia)  %^  a^^,     t  =  {^i)  ^^  ^^. 
5  biquadratische  Covarianten,  nämlich  qp,  -ff  und  die  Fun- 
ctionaldeterminanten 

L=:{aa)  aj'  a^,,       iif=  {Ka)  HJ  a^,        K=={i^II)  t^^.  HJ. 

1  Covariante  sechster  Ordnung,  T. 

Von  diesen  sind  C,  V,  X,  r,  L,  31,  K,  Tungeraden  Charakters. 

An  Stelle  von  {il^  H )  ifj^;  HJ  hätte  auch  die  gleichberechtigte  Form 

{XCc)Xa:CCx^ 

eingeführt  werden  können;  denn  es  ist 

{t  H)  t.  HJ  +  {i  a)  i^  aj  =  {a  af  {a  H)  a^  HJ  -  (a  Hf  [a  H)  H,  aj 

=  —  {aHy  «^  H^  { (aa)  iZ"^  +  {aH)  aj  a^ 
gleich  der  ersten  Ueberschiebung  von  /  über  {aHy^  aj  HJ^  multiplicirt 
mit  2;  und  da  nach  §  40.  (8) 

{aHfa/HJ  =  ^(p, 
so  hat  man 

{il)  H)  ^.^  HJ  +  {%  a)  %:,  aj  =  ^{aa)  aj  a^  =  3"  ^ 

durch  andere  Formen  des  Systems  ausgedrückt.     Man  führt  daher  am 
passendsten  die  Differenz 

N=  {i^H)  t^r  HJ  -  ixa)  Xa;  czJ 

ein. 

Man  erhält  leicht  eine  grosse  Anzahl  von  Beziehungen  zwischen 
den  18  Formen  desSystems,  indem  man  die  Quadrate  und  Producte  der 
Formen  ungeraden  Charakters  durch  die  Formen  geraden  Charakters  aus- 
drückt. Ich  will  nur  die  Invariantenbeziehung  entwickeln,welche  C^  durch 
^,  j ,  D ,  Aj  B  ausdrückt,  und  werde  die  Invarianten  darstellen,  welche 
durch  zweite  Ueberschiebung  der  6  quadratischen  Covarianten  über 
sich  selbst  und  über  einander  entstehen.  Nach  Analogie  mit  Früherem 
würden  diese  durch  7)//,  Df-ip  ...  zu  bezeichnen  sein^  während  C  die 
Invariante 


Grundformen.  —  8  60. 


215 


wäre.     Aus  letzterem  Umstände  ergiebt  sich  sofort  nach  §  58.  (5): 

(1)  (■'  =  i   i)^/I>^..i>^zi. 

^xr  ^x^  ^xx\ 

Nun  ist  ferner 

(2)  l^rr  =  ^,    D/^-^,    I)^x  =  B. 

Die  anderen  drei  constituirenden  Elemente  der  Determinante  (1)  er- 
hält man  aus  D^^-tp  mit  Hilfe  der  hier  wiederum  anzuwendenden  Opera- 
tion 8  des  §  41.     In  Folge  derselben  ist  (vgl.  die  Formeln  des  §  41.) 

o  o 

Nun  ist 

I)ri,^  =  {xl^^y={aaf  (hßY  {aßY, 

und  da  nach  §  40.   (2) 

so  erhält  man,  indem  man  a;^  =  er,;  ^'2  — "~  ^i;  2/i  —  ^2 ;  2/2  ==  ""  ^1  setzt: 

oder 

(3)  1)^,1, 
Unterwirft  man  nun  diesen  Ausdruck  der  Operation  d,  so  hat  man 


^+¥- 


also 

(4) 
und  ferner: 


di)w^2D^,  =  ^  +  ^, 


J)M^x=Pxx+iI>n,rp=^^  +  '-^-^ 


jA  , iB     ^D 


also 

(5) 


D 


(6) 


jA     iE  ,  &I) 

Der  Ausdruck  von  C-  ist  also  durch  die  Formel  gegeben: 
B  A  B 


C^'  =  i 


D 


ß  ^   3 


e  ^  3      3     6"^  18 


216  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Was    die   zweiten  Ueberschiebungen   von  f,   xjj,   i   über   M^,  X,  r 
angeht,  so  hat  man  nach  §  58.: 

(7)  i>/-,.,=0,  -D/x=0,  -D*g.  =  0,  l)^x=0,  I)^,  =  (),  D^r^O, 
und  ferner  nach  der  Definition: 

(8)  C  =  D/z  ^-B^^  =  D^x. 
Endlich  hat  man  nach  §  58.  (16): 

D7ji-qt=  \  (I)^^  Dff  —  D^^tpf)  .    ' 

•     I^wx==ii^^x  D/r  -  D'^r  Dx  r) 

^Wt  =  i  (^V'  X  Dx/-  Dipx  Dr^) 

^xz  ^H^V^x^xr-^rH^  I^xx) 
I>rz  =h{D^^I)xx-D'^x)l 

die   mit  ^  multiplicirten  Klammern   sind    die  Unterdeterminanten   der 
in  (6)  gleich  2  C^  gefundenen  Determinante. 

Ich  bemerke  noch,  dass  die  in  §  27.  gebildete  Resultante  der 
biquadratischen  und  der  quadratischen  Form  hier  die  Gestalt  annimmt: 

Die  Invariante  (7,  welche  allein  unter  den  Invarianten  eine  Form 
ungeraden  Charakters  ist,  giebt,  wenn  sie  verschwindet,  eine  einfache 
Beziehung  zwischen  /und  (p  an;  eine  Eigenschaft,  welche  C  bis  auf 
einen  numerischen  Factor  definirt.  Man  kann  nämlich  folgenden  Satz 
aussprechen : 

Wenn  C  verschwindet,  so  existirt  (und  nur 
dann)  eine  solche  quadratische  Form  //,  dass  cp  als 
quadratische  Function  von  /'  und  g  ausgedrückt 
werden   kann.* 

Ist  nämlich  q)  eine  quadratische  Function  von  /'  und  g,  so  kann 
man  q)  in  zwei  quadratische  Factoren  zerlegen,  welche  lineare  Fun- 
ctionen von  f  und  g  sind.  Diese  Zerlegung  muss  mit  einer  derjeni- 
gen übereinstimmen,  welche  aus  den  Gleichungen  (3)  des  §  47.  hervor- 
gehen, und  bei  welcher  die  Form  vierter  Ordnung  auf  drei  verschie- 
dene Weisen  so  in  quadratische  Factoren  zerlegt  wird,  dass  diese  linear 
sich  aus  zweien  der  irrationalen  quadratischen  Covarianten  von  cp  zu- 
sammensetzen. Seien  diese  irrationalen  quadratischen  Covarianten 
^,  p',  i^'\  so  hat  man  demnach  entweder 

/"=  «  ^  -f  /3  ^',  oder  /'=  a  t' +  ß  t'' ,  oder  f=  a  t'' +  ß  p. 


Vöi.  eine  Note  des  Verfassers  im  3.  Band  der  mathematischen  Annalen. 


Grundformen.  —  §  60.  217 

Schiebt  man  über  jede  dieser  Gleichungen  zweimal  diejenige  der 
Formen  ifj,  welche  nicht  in  ihr  vorkommt,  so  verschwindet  nach  §  45. 
(2)  jedesmal  die  rechte  Seite;    man  hat  also  für  f  die  Bedingung 

Die  Form  links  ist  jetzt  rational;  sie  enthält  die  Coefficienten  von  /' 
cubisch,  die  von  g?,  da  die  f  von  der  Dimension  j/H  sind,  ebenfalls 
cubisch;  sie  ist  also  von  C  nur  durch  einen  numerischen  Factor  ver- 
schieden. Man  kann  nämlich  die  betrachtete  Form  als  Glied  der 
sechsten  üeberschiebung  von  P  über  die  Covariante  T  =  2  if^  jp' il"  von 
(p  auffassen.  Diese  üeberschiebung  besteht  ausser  einem  solchen 
Theile  dann  noch  aus  Theilen  der  Form 

(at)  («>')  (?>^)  (&^0  {cty 

=  1  { (a  tY  (&  ^y  +  {h  tY  (a  ipy  -  it  ty  {a  bY }  {c  ^Y, 
welche,   da  {tl^ip')^  =  0^  auf  den  ersten  Theil  zurückkommen;   und  aus 
Theilen  der  Form 

{a  1^0  {a  t')  {h  ^0  (h  t")  {c  V)  ic  t) 
=  {a  ip)  {a  ijj')  {h  ^0  {c  ^")  I  (&  n^)  {c tp")  +  {h  c)  {t  (/;")!. 
Hier  hat  rechts  das  erste  Glied  die  vorige  Form,  und  kommt  also  auch 
auf  den    ersten  Theil  zurück;  das  zweite  kann,   indem  man  die  Sym- 
bole h,  c  vertauscht,  durch 

=  i  (6  cY  \  (a  tY  (f  ipy + (« ty  (i^  i'y  -  {a  ty  it  ^J  \ 

ersetzt  werden,  was  verschwindet.  Man  sieht  also,  dass  unsere  In- 
variante sich  von  der  sechsten  üeberschiebung  der  Form  T  über  p 
nur  um  einen  numerischen  Factor  unterscheidet,  also  rational  ist.  Es 
stellt  sonach  in  der  That  (7  =  0  die  fragliche  Bedingung  dar.  — 

Ich  werde  nun  untersuchen,  was  aus  den  Bildungen  des  vollstän- 
digen Systems  wird,  wenn  man  in  denselben  statt  der  biquadratischen 
Form  (p  die  in  §  41.  untersuchte  zusammengesetzte  Form  x  (p  -}-  ?.  H 
einführt.  Von  den  18  Formen  des  Systems  werden  f  und  D  hierdurch 
nicht  geändert;   benutzt  man  wie  in  §  41.  den  Ausdruck 

so  wird  [vgl.  §  41.  (14)]: 

^-=*(«l-«-»S) 


218 


Fünfter  Abschnitt.     Simultane 


Von  den  übrigen  Functionen  haben  die  durch  Ueberschiebungen 
von  /'  über  (p  entstehenden  hier  offenbar  denselben  Charakter  wie  cp^x, 
die  durch  Ueberschiebungen  mit  H  entstehenden  denselben  wie  HnX. 
Es  ist  also 


Lyi^v.L-^XM 


oQ 


cQ 


Es  bleiben  also  nur  die  Formen  r^d^  Ny.x,  Cy.i  zu  untersuchen.    Nun 
ist  nach  der  Definition: 


Cty.l 

dx,. 


<^ly.l 

€X^ 

,        ! 

Hy.l 

=  T  2    1 

dx. 

K 

l 

dx^ 

ex, 

du 

dl 

c9. 

dx 

dx.^ 

cx^ 

""  dx^^     dx. 


'   =Q.r 


cQ.   dil)      dQ    dx 
dX  dx^       dx  dx. 


dQ 


ctp 


-^^  +  - 


dQ 


0% 


dl  dx.y       dx  dx., 


=  A 


so  dass  sich  x-A  wie  TyX  verhält.     Da  C^(ra)'^,  so  hat  man  auch 

Cy.x  =Q.a 

Endlich  hat  man  auf  dieselbe  Weise  wie  bei  r: 


N,>.  =  i 


dtl^y.l        cHyl 


CXy 

Hl 


dx, 

Cll}y.l 


dx., 


Cly.l 

^(py,l 

dx. 

dx. 

'^%y.l 

(^(pul 

dx^ 

dx^  1 

dx.^ 
=  Q.N. 
Auch  diese  Form  theilt  also  den  Charakter  von  T.  — 

Die  vorliegenden  Formen  bieten  noch  eine  interessante  Seite  dar, 
indem  man  die  Bildungen  verfolgt,  welche  durch  wiederholte  zweite 
Ueberschiebungen  von  cp  und  H  über  f  entstehen.  Diese  Formen 
bilden  ein  unendlich  grosses  System  von  quadratischen  Covarianten, 
welche  sich  sämmtlich  aus  f,  ip ,  %  durch  Multiplication  mit  Invarianten 
zusammensetzen  lassen.  Ist  F  irgend  eine  quadratische  Form,  sym- 
bolisch durch  i^^-  bezeichnet,  so  kann  man  die  Bildungen 

P  (F)  =  («  Fy  aj,     Q  (F)  =  (A  Ff  A/ 

als  durch  die  Differentialoperationen  P,  Q  aus  F  abgeleitet  betrachten ; 
und  die  in  Frage  stehende  Reihe  von  Covarianten  erhält  man  also 
durch  beliebig   oft  und    in  beliebiger  Folge   ausgeführte  Anwendung 


Grundformen.  —  §  60.  219 

dieser  Operationen  auf  f.     Nun  findet  zunächst   der  Satz   statt,   dass 
die  Operationen  P  und  Q  vertausch  bar  sind,  dass  also 

P.Q(F)=  QF{F), 
Es  ist  nämlich 

P  Q  (^0  -  y  P  (i^j  =  (A  Ff  ( A  af  cc.r'  -  {cc  Ff  (A  af  AJ 
=  (A«)2  [{AFy'  a/  -  {aFf  AJ] 
=  (A«)3  F,  .  |(A  J')  «..  +  (ßi^)  A,l . 

Dies  aber  ist  die  erste  Ueberschiebung  von  F  über  die  quadra- 
tische Covariante  (Aftj^A.cß^,  welche  nach  der  Theorie  der  biquadra- 
tischen Formen  identisch  verschwindet.  Daher  verschwindet  auch  die 
obige  Differenz,  wie  zu  beweisen  war. 

Wegen  dieser  Vertauschbarkeit  genügt  es  also,  die  Bildungen  zu 
betrachten,  in  welchen  zuerst  ausschliesslich  die  eine  Operation,  sodann 
ausschliesslich  die  andere  angewandt  wird,  also  die  Covarianten 

Aber  diese  wiederum  sind  die  Entwickelungscoefficienten  des  Ausdrucks, 
welcher  entsfeht,  wenn  man  auf  f  ausschliesslich  die  Operation 

anwendet.     Es  genügt  also  die  Reihe  der  Bildungen 

(1)  p(f),p-'if),p-^(f)... 

zu  betrachten  und   in  diesen  schliesslich  P  durch  F%x,   d.  h.  (p  durch 
xcp  -\-  IH  zu  ersetzen.     Nun  gilt  für  diese  Reihe  der  Satz : 

Jede   Form    der   Reihe    (1)    ist    dieselbe    lineare 

Combination    der     um    zwei    und    drei    Stellen    ihr 

vorangehenden   Formeru 

Es  ist  nämlich  nach  den  Formeln  am  Ende  von  §  8.: 

{aßY{aryß/r,/=J'n'  \{aßnayyßJyJ\+i{aßY  {ayf  {ßrf  {xyf 
oder  nach  §  40.  (7) : 

^  o 

Setzt  man  nun  y^  =  a,,,  i/.,  —  —  a^,  so  geht  diese  Gleichung  in 

über.      Unterwirft   man  aber   diese  Gleichung  ;cmal   der  Operation  P, 
so  erhält  man: 
(2)  ■  P»+3  (/•)  =  1.  Ph+i  (/^  +  ^  px  (^  ^ 

eine  Gleichung,  welche  den  angegebeneu  Satz  enthält. 


220  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Bezeichnen  wir  nun  durch  z  eine  beliebige  Grösse,  uiid  durch  Z 
den  Ausdruck: 

Z=F'{f)  +  zP^\f)  +  s^B>(f)..., 

so  ist  nach  (2),   indem  man  mit  s"  multiplicirt,   nach  x  summirt  und 
der  Kürze  wegen  P(f)=:P',  F' (f)  =  P"  setzt: 


also 


3 


|,(P'  +  ^P")+|^(/*+^P>^^P") 


(3)  Z-  .-3. 

2        3 

= [I  {F + ^p")+ 1  (r+  ^p'+^^n] 

Diese  Formel  liefert  durch  Vergleichung  der  Coefficienteu  von  1 ,  z, 
zK..  die  Covarianten  P^  {f) ,  P' {f) .  .  .  durch  /',  F=F  [f),  F"  =  P'  (/) 
ausgedrückt;  und  zwar  wird: 

(4)  ^''      2^^3 
F^(f)^j^F'  +  ^F  +  ^f 


Es  kommt  also   noch  darauf  an,   P'  und  P"  zu  bestimmen.     Nun  ist 
erstlich  unmittelbar  der  Definition  nach 

P'  =  i^. 
Dann  aber  hat  man  nach  §  40.  (2) 

(«  ßy  a/  ß,/  =  ü/  Hy'  + 1  (xyy, 

und  daher,  wenn  man  y^  =  a.2y  2/2  = '~  ^i  setzt : 

(5)  F'=Q{f)+y^%+^f. 

Setzt  man  nun  in  den  Gleichungen  (3)  oder  (4)  k  (p  -{■  IH  2iU  die 
Stelle  von  9?,  so  treten  zugleich  die  Ausdrücke  iy.x  und  jy,i  an  Stelle 
von  i  und  j\  an  Stelle  von  P'  tritt 


Grundformen.  —  §§  60,  61.  221 

Es  bleibt  also  nur  noch  F^a^'ü- P^f)  ^2  xlPQ  (f)^  X'^Q'- {f) 
zu  bestimmen.     Aber  nach  der  Gleichung  (5)  ist 

oder  nach  oben  gegebenen  Formeln: 


(6)  ^'--i(^S-'^ä>¥^- 


Hiermit  sind  alle  zur  Berechnung  von  P^  Q^  {f)  nöthigen  Be- 
stimmungen gegeben. 

§  61.    Vollständiges  System  zweier  cubisclier  Formen. 

Als  Beispiel  eines  simultanen  Formensystems,  bei  welchem  keine 
der  Grundformen  linear  oder  quadratisch  ist,  will  ich  noch  das  simul- 
tane System  zweier  cubischer  Formen  betrachten.* 

Bezeichnen  wir  durch  f  und  (p  die  beiden  cubischen  Grundformen, 
durch  A,  V  ihre  quadratischen,  durch  Q,  K  ihre  cubischen  Covarian- 
ten,  durch  jR,  P  ihre  Discriminanten. 

Die  simultanen  Covarianten  und  Invarianten  entstehen  aus  den- 
jenigen Ueberschiebungen  von  f"  A/*  Qy  und  (p"'  Vi*'  K>'',  welche  keine 
zerfallenden  Terme  erhalten.  Da  indessen  A^  durch  Q^  und  P^  V^ 
durch  K-  und  (p-  linear  ausdrückbar  ist,  so  genügt  es,  für  die  Zahlen 
ß  und  /3'  die  Werthe  0,   1,  2  zu  setzen. 

Da  ferner  fj  Q,  cp,  K  alle  dieselbe  Ordnung  haben,  so  darf  bei 
Ueberschiebungen  von  Pi*oducten  mehrerer  Factoren  niemals  beider- 
seits einer  dieser  Factoren  erscheinen,  da  sonst  ein  zerfallender  Term 
der  üeberschiebung  gebildet  werden  könnte,  in  dessen  einem  Factor 
nur  eine  üeberschiebung  dieser  Factoren  aufträte.  Ebenso  wenig  darf 
man  eine  einzelne  jener  vier  Formen  über  ein  Product  schieben, 
welches  eine  derselben  enthält. 

Es    sind    demnach    erstlich    die   Ueberschiebungen   der   einzelnen 
Formen  f,  Q  über  9),  K  zu  bilden,  und  zwar  immer  mit  Uebergehung 
solcher  erster  Ueberschiebungen,  bei  denen  eine  der  Functionaldeter- 
minanten  Q,  K  auftritt.    So  entstehen  die  folgenden  Ueberschiebungen  : 
f   über  cp,  ein-,  zwei-  und  dreimal; 
f   über  K,  zwei-  und  dreimal; 
^  ^  Q  über  (p,  zwei-  und  dreimal; 

Q  über  K,  zwei-  und  dreimal. 

Ausser  diesen  sind  dann  nur  noch  Ueberschiebungen  zu  bilden, 
in  denen  einerseits  eine  Potenz  von  A  oder  V,  andererseits  /)  Q  oder 
q),  K   steht;    und   Ueberschiebungen    von   A   über  V.     Potenzen    und 


*  Y»l.  auch  die  Abh.  des -Verfassers,  Borchardt's  Jounial  Bd.  67,  S.  360. 


22Ö  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Producte  der  f,  Q  oder  der  (p,  K  braucht  mfin  nicht  über  V  oder  V^ 
(bez.  A  oder  A^)  zu  schieben^  weil  dabei  immer  ein  Factor  V  (bez.  A) 
über  einen  der  anderen  Factoren  allein  geschoben  werden  könnte, 
also  immer  ein  zerfallender  Term  herauskäme.  Ebenso  wenig  hat 
man,  da  A  und  V  gleiche  Ordnung  haben,  Potenzen  von  A  über 
Potenzen  von  V  zu  schieben.  Den  Formen  (1)  sind  also  nur  noch 
folgende  beizufügen: 

A  über  V,  ein-  und  zweimal; 

/    über  V,  ein-  und  zweimal 

A  über  9,  ein-  und  zweimal 

Q  über  V,  zweimal; 

(2)  A  über  K,  zweimal; 
f    über  V^,   dreimal; 
Q  über  V^,  dreimal; 
A^über  ^,   dreimal; 
A^über  K,  dreimal. 

Nimmt  man  die  acht  Formen 

(3)  f,  A,  Q,  E;     cp,  V,  K,  P 

hinzu,  so  hat  man  im  Ganzen  29  Formen,  aus  denen  das  System 
besteht;  darunter  sind  sieben  Invarianten,  acht  lineare  Co  Varianten, 
sieben  quadratische,  sechs  cubische  und  eine  biquadratische.  Nur 
eine  dieser  Formen  wird  sich  als  überflüssig  erweisen;  es  ist  diejenige 
quadratische  Covariante,  w^elche  aus  der  zweiten  Ueberschiebung  von 
Q  mit  K  entsteht. 

Um  eine  bequemere  Uebersicht  und  Darstellung  der  aufgezählten 
Formen  zu  gewinnen,  gehen  wir  von  den  drei  quadratischen  Cova- 
rianten 

A ,      Q  =  {aaf  a^  «r ;     V 

aus,    wo,    wie   später   immer,    a    (bez.  h ,  c  . .  .)    ein  Symbol  von  /",  a 
(bez.  /3,  7...)    ein    Symbol    von    (p    bezeichnet.      Diese    Formen    ent 
stehen  als  Coefficienten  der  quadratischen  Covariante  des  combinirten 
Ausdrucks 

so  dass 

(4)  A/-+;i^=A  +  2A0  +  A^V. 

Wenn  man  diese  Form  zweimal  über  ihre  Grundform  f-\-lcp 
schiebt,  so  entsteht  nach  der  Theorie  der  cubischen  Formen  identisch 
Null ;  und  da  die  zweiten  Ueberschiebungen  von  f  mit  A  und  von 
(p  mit  V  aus  demselben  Grunde  schon  für  sich  verschwinden,  so  bleibt 
nur,  und  zwar  für  jeden  Werth  von  A,  die  Gleichung: 

0=^/1  S(A«)2«.+  2(0rO-a..! +/l-!(Vay^  «..  +  2(0«)^' c.,;. 


iTiiindfomien.  —  ij  61.  ^t^ 

Für  die  beiden  einfachsten  linearen  Covarianteu,  welche  durch 
die  zweite  Ueberschiebung  von  cp  mit  A  und  von  f  mit  V  entstehen, 
erhält  man  daher  die  doppelte  Definition: 

,P^.  p  =  (A «)2  «^  =  —  2  (0 af  a,r 

Die  vier  cubischen  Covarianten,  w^ eiche  oben  (ausser  f  und  cp) 
auftreten,  sind  nichts  anderes  als  die  Functionaldeterminanten  von  f 
und  cp  gegen  A  und  V.  Die  mit  0  gebildeten  lassen  sich  leicht 
durch  andere  Formen  ausdrücken. 

Es  ist  ferner  aus  der  Theorie  der  cubischen  Formen  bekannt, 
dass  die  Function 

die  besondere  Eigenschaft  hat,  dass 

(a  A)  aj  Ay  =  (a  A)  a^  ay  A^. 

Indem  man  sich  dieser  Eigenschaft  bedient,  kann  man  immer  die 
mit  Q  und  K  auszuführenden  Ueberschiebungen  sofort  durch  Theile 
derselben  ersetzen,  und  erhält  mit  Benutzung  von  (5)  die  folgenden 
quadratischen  Covarianten : 

{a  K)2  a^r  Kr  =  («V)  {aaY  V,.  a.^  =  ^  {aaf  V^  I  («  V)  a^-  +  (a  V)  aj 

+  i  {aaf  V^r  J  (ß  V)  a^-  (a  V)  «^  I 

(«  QJ  «r  Qx  =  (a  A)  {a  «)-  A^  «^  =  I  {a  af  A^,  l  {a  A)  a-,  +  («  A)  a^  1 

+  4-(a«)-A^^  {(aA)c<:.^.-  {ccA)aj:]. 

In  diesen  Formeln  sind  die  ersten  Theile  nichts  anderes,  als  die 
ersten  Ueberschiebungen  von  0  mit  V  und  A ;  die  letzten  führen  auf 
die  Invariante 

(6)  J={aaf, 

und  man  hat  die  Formeln: 

(a  KY  a,  K.  =  (0  V)  0..  V,  -  ^  J  V 
{aQYa,Q,  =  {QA)Q^rA,  +  \JA. 

An  Stelle  dieser  Ueberschiebungen  kann  man  also  die  ersten 
Ueberschiebungen  von  0  mit  A  und  V  zu  Grunde  legen;  zu  ihnen 
gruppirt  sich  die  oben  unter  (2)  erwähnte  erste  Ueberschiebung  von 
A  mit  V. 

Die  dritten  Ueberschiebungen  von  f  mit  K  und  von  cp  mit  Q 
werden  sofort: 

J.=  {aKf  =  (a  aY  {a  V)  {a  V)  =  (0  V)^' 
^'^  S  =  {a Qf  =  {aaf  («  A)  (a  A)  =  (0 A)^; 

sie   sind    die    zweiten   Ueberschiebungen   von   0   mit  V  und  A,    und 
ordnen  ^ich  daher  den  Invarianten 


224  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

(8)  E  =  (AA')S     P  =  (VV')S     T={A^Y 

zu.    Die  zweite  üeberschiebung  von  0  über  sich  selbst  setzt  sich  aus 
T  und  J'^  zusammen. 

Die  zweite  Ueberschiebung  von  Q  mit  K  ist,  wie  erwähnt,  eine 
überflüssige  Form.     Sie  hat  den  symbolischen  Ausdruck 

{Q  KY  Q,  K^  -  {a  A)  («  V)  {a af  A^  V, 

=  \{aaf  A,  V.  i  (a  A)  («V)  +  («  A)  (aV)  i 
+  ^{aaY  A^  V^  I  (a  A)  («V)  -  (aV)  (a  A) }. 

Der  zweite  Theil  der  rechten  Seite  wird  \  J,  multiplicirt  mit  der 
ersten  Ueberschiebung  von  A  und  V;  der  erste  ist 

(0  A)  (0  V)  A..  V,  -  i  { (0  A)2  V/  +  (0  V)'^  A,^  _  (^ v)^  0/  \ , 

so  dass  in  der  That  alles  aus  zerfallenden  Gliedern  besteht. 

Dagegen  hat  die  dritte  Ueberschiebung  von  Q  mit  K  den  Ausdruck 

{Q  Kf  =  (a  A)  («V)  {aaf  (AV) 

=  i  (a  af  ( A V)  I  {a  A)  («V)  +  {a  A)  {a  V)  \ 
+  i{aay  (A V)  I  (a  A)  («V)  -  (a  V)  («  A) }      . 
=  i(0A)(0V)(AV)  +  ie7T. 

Statt  dieser  Form  kann  man  also  die  simultane  InVariante 

(9)  Q=:(0A)(0V)(AV) 

der  quadratischen  Formen  0,  A,  V  zu  Grunde  legen. 

Es  bleiben  noch  die  linearen  Covarianten  zu  behandeln,  welche 
aus  der  zweiten  Ueberschiebung  von  Q  mit  V  und  K  mit  A,  sowie 
aus  der  dritten  Ueberschiebung  von  /"oder  Q  über  V^,  und  von  cp  oder 
K  über  A^  entstehen.     Diese  werden: 

(ö  V)2  &  =  (a  A)  {aVy  A.  =  (tt  A)  A.. 

(KA)2K.  =:(fi:V)(a'A)2V.=  09V)V. 

(riV)^(aVOV'.   =(7rV)V. 
^^^  {aAY{aA')A\r    ={pA)A^ 

[Q^y  (QV)  V'.  =  (;r  A)  (AV)  V. 
(KAy^(KAOA'^  =(j9V)(VA)A.. 

Das  ganze  Formensystem  umfasst  also  nachfolgende  Gebilde: 

1.  Die  Grundformen  f,  cpy  nebst  ihrer  ersten  und  zwei- 
ten Ueberschiebung  (4  Formen); 

2.  die  quadratischen  Covarianten  A,  0,  V,  die  ersten 
Ueberschiebungen  derselben  unter  einander,  ihre  zwei- 
ten Ueberschiebungen  mit  Ausnahme  von  (00')^  und  ihre 
simultane  Invariante  (12  Formen); 

3.  die  ersten  Ueberschiebungen  von  f  und  q)  über  A 
und  V  (4  Formen); 


Grundformen.  —  $  61. 


225 


Q'  =  i 


4.  acht  lineare  Co  Varianten,  nämlich  p  und  jt,  sowie 
die  Ueberschiebiingen  derselben  mit  A,  V  und  die  beiden 
Ueberschiebungen  von  einer  der  letzten  mit  A  und  einer 
anderen  mit  V. 

Unter  den  sieben  Invarianten  sind  zwei  von  ungeradem  Charak- 
ter, nämlich  J  und  Q.  Man  kann  die  sämmtlichen  zwischen  den 
sieben  Invarianten  stattfindenden  Beziehungen  dadurch  bilden,  dass 
mau  J .  Q  und  Q-  durch  die  Invarianten  geraden  Charakters  (zu  denen 
auch  noch  J^  zu  rechnen  ist)  ausdrückt. 

Nach  der  Formel  (5)  des  §  58.  ist 

(AA'f    (A0)2     (AV)2 

(A0y^   (0  0')-    (0V)2 

(AV)^'    (0V)^     (VV)' 

Da  alle  anderen  Elemente  dieser  Determinante  schon  bekannt 
sind,  so  bleibt  nur  noch  (0  0')-  zu  bilden.     Es  ist 

(9  0')-^  =  l  (a  uf  {bßY\{ab){aß)  +  {a  ß)  («  h)  j 

=  {aay  (bßf  (ab)  (aß)  -  i  {aay  {bßf  |  {ab)  {aß)  -  (aß)  (ab)  i 
^{aaf{bßy{ab){aß)-~iJ-^. 

Im  ersten  Theile  rechts  vertauscht  man  a  mit  b  und  erhält: 

i  [{a af  (& ß)^  -  {a  ßf  {b af]  la b)  {aß) 
=  i[{aa)  {bß)  +{aß){ba)-]{ab)'(aßy={A^y. 

Es  wird  also  endlich 

(11)  (00'/  =  (AV)^-iJ^=r-4J-^', 
und  damit  der  Ausdruck  für  Q-: 

BS  T 

(12)  ^"  =  ^  S     T-^J'    I 

T     I  P 

Den  Ausdruck  von  Q,  J  nebst  einer  Zahl  anderweitiger  später 
zu  benutzender  Bestimmungen  erhält  man  aus  der  Gleichung  (22) 
des  §  58.  Diese  Gleichung  sagt  aus,  dass  die  Determinante  aus  den 
zweiten  Ueberschiebungen  zweier  Systeme  von  je  vier  quadratischen 
Formen  immer  verschwindet, 
betrachte  ich  die  Ausdrücke 

A,     0,     V, 

als  das  andere  System: 

A,     0,     V,     Ti'bJ'h-^  +  X'ßJß^.. 

Die  Elemente  der  verschwindenden  Determinante  sind  erstlich  die 
der   Determinante   (12);   diese   Determinante  aber  wird  gerändert  mit 

Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  ii> 


Als    ein    System    dieser    Functionen 
3f  ciJ  ay-)r  l  aj'  a,j  , 


226 


Fünfter  Abschnitt.     Simultane 


den  zweiten  Ueberschiebungen  von  A,  0,  V  mit  n  aj'  üy  +  la/  ccy 
und  a'  hx^  hz  +  A'  ßj  ß^ ,  und  endlich  erscheint  die  zweite  üeber- 
schiebung  der  letztgenannten  beiden  Formen  in  der  Ecke.  Die  Ele- 
mente des  einen  Randes  werden  also 

K  (A  aY  ay-\-l{/S.  af  ccy  =  Xpy 

%  (0  ay  üy  +  A  (0  af  «y  =  —  |-  {x  py  -\~  2.7Cy) 

%  (V  af  Oy  +  A  (V  ay  Ky  =  }c7ty, 

während  die  des  anderen  aus  diesen  erhalten  werden,  indem  man  x,  V 
an  Stelle  von  ;c,  A  und  die  0  an  Stelle  der  y  setzt.  Das  Element  der 
Ecke  aber  wird 


XX  {ahf  üy  6^  +  jc  A'  {aßY  ay  ß^  +  >c'A  {ahf  ay  h.,->tXk'  (aßf  Uy  ß^ 


oder 


=  xz  {ahy  üy  h,  +  "^^L+J^  i^aßf  {üy  ß,  +  a,  ßy)  +  W  {aßf  ay  ß, 


yA'-xk 


{aßY{ayß.^-a.ßy) 


XV!  t^yt^Z 


+  (%r  +  z'A)0  ^0,4.AA' V, V.  +^^-^^V^^-  (^^)- 


Sondert  man  das  hiervon  herrührende  Glied  der  verschwindenden 
Determinante  ab,  so  erhält  man  die  gesuchte  Gleichung  nunmehr  in 
folgender  Form: 

(13)  2Q2  L;('A^A,-l-(;^r+;c'A)0^0,  +  AA'V,,V.  +  '^^^^^J.(2/^)} 


B,        S  T        Xpy 

S  T-\J^  T  -^(y,pyJ^XTty) 

TZ  ?  X%y 

^'Pz       —Ü^'Pz  +  X'tC:,)       X7l^       0 

Auf  beide  Seiten   dieser  Gleichung,    welche  für  alle  Werthe  von 
Xy  A,  x'y  l'  bestehen  muss,  wende  ich  jetzt  die  Operation  an: 

0^      _       c^ 
dx  dX'      dx  dX' 
Es  ergiebt  sich  dann: 

(14)  2Q^  J.(2/«)=j - (si- JH ^')  +  H^P-2'')j(Ä'^=-l'' «.)• 

Auf  der  rechten  Seite  wird 

Py  itz—pz  Tty  =  (p7t)  {ys) , 

so   dass    der  Factor   {yz)  beiderseits  ausgelassen  werden  kann;   ferner 
aber  ist  mit  Benutzung  der  Ausdrücke  (5) : 


Grundformen. 


61. 


22' 


=  -{aß)l{A  af  (0  ßf  -  (A  ßf  (0  a)'  \ 
=^-{aßY  (A0)  I  (A«)  (0^)  +  (A/3)  (0«)  \ 
=  -2(A0)(AV)(0V), 
also  nach  (9): 

(15)  {pn)=:2Q. 

In  Folge  dessen  geht  aus  (14)  sofort  die  gesuchte  Relation  hervor: 

(16)  -AJQ  =  ASY-?jT^-\-2TJ'-RP. 

Obwohl  nun  durch  die  Gleichungen  (12),  (16)  die  Invarianten- 
relationen gegeben  sind,  so  ist  es  doch  von  Wichtigkeit,  den  Inhalt 
der  Gleichung  (13)  weiter  zu  entwickeln.  Setzen  wir  in  derselben 
überall  x  an  Stelle  von  ^j  und  ^,  und  zugleich  k~x^  X  —  ).,  so  geht 
jene  Gleichung  in  folgende  über: 

VR    S  T    kp  j 

(l7)2Q^};c^A4-2x/l0  +  A^Vj=-:J    J~*^'  ^     -J  (^i^  +  A  tt)  |  ^ 

\^P  —i{y'P  +  ^^)  J«?r  0  ! 

Wenn  man  nun  der  Kürze  wegen  für  die  Unterdeterminanten  von 

BS  T 

S     T-^J-'    Ij 
T     I      "  P 


08) 
die  Bezeichnungen  einführt: 

(19) 


U,,=  PT-T'-^J'P,     U..,  =  ST-BT 

ü,,  =  RP-T',  ü,,  =  ST-r'  +  iJ-'T 


so  nimmt  (17)  geordnet  die  Form  an: 

2Q^x'A-\-2kXQ  +  1-''7)=:1'P-'L\,  +  i^^±^'^-  U,^  x'  it^  U,, 
—  ?.p  {zp  -f-  1 7t)  U^.,  —  TiTC  [Kp  +  A  Tt)  Uoo  -\-2  xXpn  f7j3 . 

Vergleicht  man  daher  beiderseits  die  Coefficieuten  von  x-,  y.k,  A^, 
so  erhält  man: 

2Q-^A 


U. 


P~  —  C^23  P^-\-  U...^  n- 


(20) 


4Q--'0=~jr,,i>-^-(2tr,3  +  ^jp;r+^',3;r^j 


2ü-'V=U,,p'-ü,,p7t+^^'  71-'. 


15= 


228  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Man  hat  liier  A,  0,  V  durch  p  und  7t  ausgedrückt;  aber  eben 
dies  kann  man  noch  auf  eine  andere  Weise  erreichen,  indem  man 
nämlieh  die  symbolischen  Ausdrücke  A^'^,  0/,  V.^^  mit  {pitf  multipli- 
cirt  und  dann  jedesmal  die  Identität  1.  des  §  15.  anwendet.  Es  wird 
dann,  mit  Rücksicht  auf  (15): 

4  Q2  A  =  (A  Tifp^  -  2  (A  :r)  (A_p)  7tp  +  (Ap)^  ti" 

(21)  4  Q^  0  -  (0  Tlfp^  -  2  (0  TT)  (0  p)  7t p  +  {ßpf  Tt"- 

4  Q2  V  =  (V  Ttfp^  -  2  (V  TT)  (Vi?)  7t p  +  {Vpf  71^, 

und  indem  man  diese  Gleichungen  mit  den  Gleichungen  (20)  vergleicht, 
erhält  man  die  Ausdrücke  für  die  neun  auf  der  rechten  Seite  von  (21) 
befindlichen  Invarianten ,  nämlich : 


(A;r7=     ^ 

(A^)(Ai))  = 

Un 

{22){ßny=.-U,, 

(e^)(0i,)=- 

-u,. 

{Vny=  2  ?7„ 

{Vn)(Vp)  =  - 

-u,. 

{ApY=  2  U, 


33 


4 


{Qpf  =  -U, 


23 


22       ^^  .jjj~  =  _ 


Die  Invarianten,  welche  hier  auf  die  fundamentalen  zurück- 
geführt sind,  enthalten  zugleich  die  einfacheren  unter  den  Determi- 
nanten, welche  man  aus  den  acht  linearen  Covarianten  (5),  (10)  bilden 
kann.  Wir  werden  auf  diese  später  zurückkommen.  Die  Gleichung  (16) 
aber  geht  mit  Hilfe  der  Bezeichnungen  (19)  in  die  einfachere  Ge- 
stalt über: 
(23)  AJQ=U,,-AU,,. 


§  C2.    Die  Reduction  des  elliptischen  Integrals  erster  Gattung  auf  die 

Normalform. 

Ich  gebe  hier  als  Anhang  die  Anwendung  der  Theorie  der  binären 
Formen  auf  die  Aufgabe,  ein  elliptisches  Integral  erster  Gattung  auf 
die  Normalform  zurückzuführen;  eine  Anwendung,  welche  theils  von 
der  Theorie  der  biquadratischen  Formen,  theils  von  der  Theorie  der 
simultanen  quadratischen  Formen  Gebrauch  macht. 

Die  Aufgabe  ist  folgende: 

Das  Integral 

dx 

in    welchem  X  eine  Function  vierten  Grades   von  x 
mit  reellen  Coefficienten  ist,  und  in  welchem  x  ein 


/^ 


Grundformen.  —  §§  61,  62.  229 

Intervall   reeller  Werthe   stetig   durchläuft,    inner- 
halb dessen  j/X  stets  reell  ist,    soll  in  das  Integral 

c  - 


■Jv,.i 


0  A—K^  0 


übergeführt  werden,  in  welchem  C  ei^ne  reelle  Con- 
stante,  x~  eine  positive  Constante,  welche  kleiner 
als  1,  bedeutet,  und  0  eine  reelle  positive  Ver- 
änderliche, welche  sich  in  dem  Intervalle  0  bis  1 
bewegt. 

Setzt  man  -^  im  x,  -^  für  s,   so   ist   die  zu  erzielende  Gleichung 

2  ^2 

f  1 )  rx^dx^  —  x^  dx^_  ^     r        z.^ds^  —  z^d 2.^ 

wo 

f{x^,  x2)  =  Xo-^.  X 

eine  Form  vierter  Ordnung  ist. 

1.  Sind   die  linearen  Factoren   von  /  reell*,   und  sind  der  Grösse 
nach  geordnet 

(2)  ^  =  «,  ß,  Y,  S 

die  Wurzeln   von  /*=0,   so  ist  die  Aufgabe  lösbar  durch  eine  lineare 

X  z 

Beziehung  zwischen  -^  und  — ,  also  durch  eine  lineare  Transformation. 

X2  Z.2 

Es  müssen  dann  die  Elemente  (2)  den  Elementen 

(3)  0,  1,  i,  00 

in  irgend  einer  cyklischen  Vertauschung  und  ent\veder  in  directer 
oder  umgekehrter  Folge  projectivisch  entsprechen,  und  zwar  den  Ele- 
menten   0    und    1    der   Reihe   (3)   die  Endpunkte   des  Intervalles,   in 

X 

welchem  x  =  —  sich  befindet. 

Da  y  f  reell   sein   soll,    so   muss,    wenn   der  Coefficient  von  x^^ 

X 

positiv  ist,  —  zwischen  ß  und  y  oder  in  dem  Intervall  ^ . . .  +  00  ...a 
X2 

liegen j   wenn   der  Coefficient  von  x^^  negativ  ist,   zwischen  a  und  /3, 

oder  zwischen  y  und  ö. 


*  Vgl.  Richelot  in  Crelle's  Journal,  Bd.  34,  und  Durege,  Theorie  der 
elliptischen  Functionen. 


230 


Fünfter  Abschnitt.  —  Simultane 


Es   ergeben   sich   also   folgende   acht   verschiedene  Fälle   des  pro- 
jectivischen  Entsprechens : 

0...   z...    l,    -.,    GO. 


X  wächst  mit  z 


X    wächst,    wäh- 
rend  z  abnimmt 


[1.  y 

2.  a 

3.  ß 
4  8 

5.  ß 

0.  Ö 

7.  a 

[8.  y 


ß,  a,  8\  der  Coefficient  von  x^^ 

^;  7j  ß\      positiv, 

^^  y  ^ j  ?\  ^^^  Coefficient  von  x^'^ 

y,  ß,  aj      negativ, 


7. 
a, 

ß, 


d ,  a\  der  Coefficient  von  x^^ 

ß,  yj      positiv, 

y,  d}  der  Coefficient  von  x^^ 

a,  ß] 


negativ. 


Indem  man  das  Doppelverhältniss  von  0,  ^,  1,  oo  mit  dem  der 
jedesmal  entsprechenden  Elemente  vergleicht,  erhält  man  für  z  in 
den  verschiedenen  Fällen  folgende  Ausdrücke: 


1. 


(4) 


x  —  y    ß~ö 

y 

■a 

ß' 


x  —  d 
x-ß 


a    y- 


6. 


X  —  y 


a    8-ß 
ß  '  8-a' 
8    a  —  y 


D. 


7. 


x  —  y    a  —  ß' 
X — a    ß  —  8 
x'^8'  ß'^a' 


X—  8 


a 


x  —  a  y  —  o' 
x  —  y  8  —  ß 
x~ß    8—y 


Da  ferner  ^  =  -^  für  den  jedesmal  in  dem  Ausdrucke  von  z  nicht 
auftretendeu  der  Werthe  «,  ß,  y,  8  wird,  so  hat  man 
a-8  .ß 

(5) 


Jf'= ^-^ — ^  in  den  Fällen  1.,  2.,  5.,  6. 

a  —  y.ß  —  8  '       ^       ^ 


ß.y-8  ^ 


y.ß~8 


in  den  Fällen  3.,  4.,  7.,  8. 


Diese  Werthe  von  z'^  werden,  wenn  man  die  positiven  Differenzen 
fy-  —  ß,  ß  —  y,  y  —  8  durch  p,  g,  r  bezeichnet: 

q(p  +  q  +  r)  ^^^^  pr 

iP  +  q){r+q}  ip  +  q){r  +  q)' 

also  wirklich  positiv  und  kleiner  als  1 ;  ihre  Summe  ist  gleich  1 ;  es 
sind  zwei  der  aus  den  vier  Elementen  a,  ß,  y ,  8  zu.  bildenden  Doppel- 
verhältnisse, also  Wurzeln  der  Gleichung  §  50.  (1). 

Bezeichnen  wir  den  absoluten  Werth  des  Coefficienten  von  x^^ 
durch  a,  und  betrachten  wir  die  Quadratwurzeln  in  (1)  sowie  die 
Quadratwurzeln  in  den  folgenden  Formeln  stets  als  positiv,  so 
haben  wir 


Grundformen.  —  §  62.  231 

C=      -^.    ^ J in  den  Fällen  1.,  2.,  3.,  4. 

(63  Va     j/a-y.ß-d 

C= L-  ^ in  den  Fällen  5.,  6.,  7.,  8. 

Ya     j/a-y.ß-d  '      ' 

Um  diese  Formeln  abzuleiten,  brauchen  wir  nur  in  (1)  X2  =  e  zu 
setzen,  durch  s  beiderseits  zu  dividiren  und  dann  e  verschwinden  zu 
lassen. 

2.  Auf  diesen  Fall  können  wir  alle  übrigen  folgendermassen 
zurückführen. 

Wir  haben  in  §  47.  gesehen,  wie  eine  biquadratische  Form /* stets 
in  reeller  Weise  in  zwei  quadratische  Factoren  zerlegt  werden  kann, 
was  denn  bei  der  Existenz  von  vier  reellen  Wurzeln  auf  drei  Arten, 
in  den  übrigen  Fällen  nur  auf  eine  Art  geschehen  kann.     Sei  also: 

(7)  f=P.Q- 

Nun  können  wir  nach  §  57.  P  und  Q  durch  eine  gemeinsame 
lineare  Substitution  in  Aggregate  von  Quadraten  verwandeln.  Da 
aber  es  sich  hier  darum  handelt,  dass  alles  reell  werde,  so  setzen 
wir,  etwas  abweichend  von  den  Gleichungen  (5)  des  §  57. : 

(8)  P+^Q  =  si' 

WO  e  und  s'  gleich  i  1.  Es  sind  dann  A  und  A'  die  Wurzeln  der 
quadratischen  Gleichung,  welche  entsteht,  indem  man  die  Discrimi- 
nante  von  P-\-XQ  verschwinden  lässt,  also,  nach  den  Bezeichnungen 
des  §  58.: 

(9j  D,,  +  2XD,,  +  X'D,,  =  0. 

Sind  die  Wurzeln  dieser  Gleichung  reell,  so  kann  man  s  und  s 
immer  so  wählen,  dass  auch  h,  und  rj  reell  werden,  und  man  hat  dann 


P= 


(10) 


(11)  ^=__^^^j,g2_,'^2jj,^'^_,'AT?2j 


Es   entsteht   also  nur  die  Frage,    ob  man  es  immer  so  einrichten 
kann,  dass  die  Wurzeln  der  Gleichung  (9)  reell  werden  oder  dass 

(12)  D\,-B,,B,,>0. 

Dieses  unterliegt  zunächst  keinem  Zweifel,  wenn  f—O  zwei  reelle 
und  zwei  imaginäre  Wurzeln  hat ;  in  diesem  Falle  hat  eine  der  Formen 


232  Fünfter  Abschnitt.  —  Simultane 

Fj  Q  reelle,  die  andere  imaginäre  Factoren,  daher  ist  von  den  Grössen 
D^j,  D22  eine  positiv,  die  andere  negativ,  also  die  Ungleichung  (12) 
erfüllt,  weil  links  nur  positive  Glieder  stehen. 

Hat  /  =  0  lauter  imaginäre  Wurzeln,  so  kann  man,  abgesehen 
von  einem  constanten  Factor,  der  links  in  (12)  quadratisch  auftritt 
und  daher  das  Vorzeichen  nicht  ändert,  immer  annehmen,  dass  sowohl 
P  als  Q  stets  positiv  seien;,  man  kann  also  die  Coefficienten  dieser 
Formen  durch 

1,    p^cosa^,    _pi^ 

1,    p.,cosa.^,    p.^\ 
bezeichnen,  und  erhält: 
D^^  —  D^^  D.22  =  {p^^  +  JPa^  ~  '^PiP2  ^^^  ^1  ^^^  ^iY  ~  ^'Pi  vi  ^^'^^^  ^1  ^^'^^^  ^2 

also  positiv,  da  beide  Factoren  dieses  Ausdrucks  positiv  sind. 

Sind  endlich  alle  Wurzeln  von  /'=  0  reell,  etwa  cc,  ß,  y,  d,  so 
kann  man,  abgesehen  von  einem  constanten  Factor,  der  in  (12)  nur 
quadratisch  auftritt  und  also  an  dem  Vorzeichen  der  linken  Seite 
nichts  ändert,  die  Coefficienten  von  P  und  Q  durch 

1,  -"-^^  «^ 

bezeichnen,  und  hat  also 

=  (r-ß)(S-a){y-a){ö-ß}. 

Dies  ist  positiv,  wenn  y  und  d  beide  kleiner  oder  beide  grösser 
als  a,  ß  sind;  der  Ausdruck  ist  aber  auch  positiv,  wenn  die  Elemente 
eines  dieser  Paare  zwischen  denen  des  anderen  liegen.  Negativ  ist 
der  Ausdruck  nur,  wenn  die  Paare  a,  ß  und  y,  d  verschränkt  liegen. 
Für  zwei  der  drei  Zerlegungen  von  f  in  quadratische  Factoren  besteht 
also  die  Ungleichung  (12)  auch  in  diesem  Falle. 

Wir  haben  also  gezeigt,  wie  in  reeller  Weise  f  in  die  Form  (11) 
gebracht  werden  kann.     Da  nun 

(x^dx^^  —  x.^  dx^)  (^Tj)  =  7jdl  —  h,  dfjy 
so  wird 

rjd^—  ^drj 


rdx  _     1       /^ 


(f  !'■'  —  gS;^)  I  f  l'  ^'  —  s'i.  n' 
oder  wenn  man 


Grunclfoi-men.  —  §  62.  233 


1: 


setzt : 


dy 


Der  Ausdruck  unter  dem  Wurzelzeichen  reclits  verschwindet  nun 
für  die  reellen  Werthe 

(),     CO ,      SS  f     ^f  T?? 

und  die  Aufgabe  ist  also  auf  den  zuerst  behandelten  Fall  zurück- 
geführt, wobei  noch  die  wesentliche  Einschränkung  hinzutritt,  dass 
y  hier  eine  wesentlich  positive  Veränderliche  ist,  und  dass  daher  einige 
der  oben  angeführten  Fälle  hier  nicht  eintreten  können. 

3.  Man  kann  aber  auch  zunächst  das  Integral  so  umformen*,  dass 
nur  noch  die  Invarianten  /  und  j  in  den  Coefficienten  der  VVurzel- 
grösse  auftreten,  und  dass  zugleich  unter  der  Quadratwurzel  ein  Aus- 
druck nur  dritten  Grades  auftritt,  dessen  erster  Coefficient  positiv  ist. 
Multiplicirt  man  Zähler  und  Nenner  unter  dem  Integralzeichen  mit 

dJId£_d£dH 

dx^  dx.^     dx^  c  x^ 
so  geht  das  Integral  in 


-16T, 


rfdH-Hdf^      ,     p  fdH-Hdf 


über,  oder,  wenn  man 

R 

setzt,  iu 


I  r       '*i 


i) 


ein  Integral,  was  man  nun  wieder  nach  den  oben  entwickelten  Regelu 
behandeln  kann. 

Die  Grenzen  der  Intervalle,  innerhalb  deren  sich  s  bewegt,    sind 
durch  die  Wurzeln  der  Gleichung 

gegeben,    die    entsprechenden  Werthe   von   x   also   durch   die   reellen 

Wurzeln  der  Gleichungen 

_______  g>  =  0,     i/;  =  0,     x  =  0. 

*  Vgl.  Her  mite  in  Crclies  Journal,  Bd.  52. 


234  Fünfter  Abschnitt.    Simultane 

§  63.    Ein  Problem,  welches  dem  Problem  der  Wendepunkte  einer  Curve 

dritter  Ordnuög  entspricht.   Aufstellung:  einer  Grleichung  neunten  Grades, 

Yon  welcher  dasselbe  abhängt. 

Als  Anwendung  der  simultanen  Theorie  einer  cubisclien  und  einer 
quadratischen  Form  will  ich  hier  ein  Problem  behandeln,  auf  welches 
man  das  Problem  der  Wendepunkte  einer  Curve  dritter  Ordnung 
zurückfuhren  kann.     Dieses  Problem  lautet  folgendermassen : 

Sind  a,  h,  c  drei  gegebene  Formen  bez.  erster, 
zweiter  und  dritter  Ordnung,  so  soll  eine  lineare 
Form  ^  gefunden  werden,   so  dass 

^^  +  3  a  r  +  3  &  g  +  c 
ein  vollständiger  Cubus  wird.* 

Um  die  Aufgabe  zu  vereinfachen,  kann  man  zunächst  h,-{-a  an 
Stelle  von  ^  als  die  unbekannte  lineare  Form  betrachten,  und  bezeichnet 
man  diese  wieder  durch  §,  so  kann  man  dem  Problem  die  Form  geben: 

(1)  i'>-Sfi  +  2<p^-ri\ 

WO  f  jetzt  eine  gegebene  Form  zweiter  Ordnung,  q)  eine  solche  dritter 
Ordnung  ist,  rj  eine  ebenfalls  unbekannte  lineare  Form,  welche  aber, 
da  nur  ihr  Cubus  vorkommt,  der  Natur  der  Sache  nach  nur  bis  auf 
eine  dritte  Wurzel  der  Einheit  bestimmt  sein  kann. 

Das  in  der  Gleichung  (1)  enthaltene  Problem  führt  auf  eine 
Gleichung  neunten  Grades,  die  man  in  folgender  Weise  aufstellen 
kann.  Multipliciren  wir  die  Gleichung  (1)  rechts  und  links  mit  (|  i^)^, 
und  berücksichtigen  wir,  dass: 

so  verwandelt  sich  die  Gleichung  (1)  in: 
(2)  S^St?)^- 3  1(^7?)  j(a7?)|-(a?)7?P  + 2  }(«>?)  !-(«£)  ^P  =  ^'(N)'- 
Diese  Gleichung  muss  unabhängig  von  denWerthen  der  Veränder- 
lichen I,  r^  bestehen,   und  kann  daher   in   die   folgenden   vier   zerlegt 
werden: 


*  Aufstellung  und  Behandlung  dieses  Problems  gab  ich  im  vierzehnten  Band 
der  Abb.  der  kgl.  Ges.  zu  Göttingen.  Es  mag  hierbei  zugleich  erwähnt  werden, 
dass  ähnlich  das  Problem  der  Doppeltangenten  einer  Curve  vierter  Ordnung  die 
Form  annimmt: 

Sind  a,  b,  c,  d  gegebene  Formen  bez.  erster,  zweiter, 
dritter  und  vierter  Ordnung,  so  soll  eine  lineare  Function 
I  so  bestimmt  werden,  dass  der  Ausdruck 

ein  vollständiges  Quadrat  wird. 


Grundformen.  —  §  63.  235 

...  2{ccrjY{ai)  =  2ari){arj){a^) 

2(«?)3  ^-arif. 

Nun  kann  man  aus  der  dritten  dieser  Gleichungen,  welche  die  rj 
linear  enthält,   die  Verhältnisse  der  rj  ausdrücken;   man   findet  dann: 

WO  ü  ein  unbestimmter  Factor.     Es  folgt  daraus 

(5)  x{iri)  =  -2ialf  =  -2<p{i) 

und  indem  man  dies  in  die  letzte  Gleichung  (3)  einführt: 

(6)  j<'  =  4  9,^'(|). 

Setzt  man  dagegen  die  Ausdrücke  (4)  in  die  ersten  beiden  Gleichungen 
(3)  ein,  so  erhält  man  zwei  Gleichungen  für  5i,  I2?  welche  für  diese 
Grössen  nicht  homogen  sind,  und  aus  welchen  sich  eine  für  dieselben 
homogene  Gleichung  herstellen  lässt,  die  gesuchte  Gleichung  neunten 
Grades. 

Multiplicirt  man  die  genannten  Gleichungen  mit  ^^  und  —  rjjc, 
so  kann  man  sie  beide  durch  die  Summe  derselben  ersetzen,  wenn 
man  die  neue  Gleichung  für  alle  Werthe  von  x^,  x.,  bestehen  lässt^ 
Diese  Combination  wird  durch  {^rj)  theilbar,  und  es  bleibt: 

(7)  2(,cc,,ya,  =  3iariy  l,  -  2  («. ,,)  (a  ?)  ^«  -  (|  .j)^  5.- 

Hier  wollen  wir  nun  die  Werthe  der  ij  aus  (4)  einführen.  Es 
ergiebt  sich 

«(a^)(a?)  =  2  (ffl«)  («D^  («5)  -/■(?) .  (air- 

«2  (a  rjf      =  4  (a a)  (« ß)  (« ^f  {ß if  -  4 f  (?) .  («  a)  (a^Y  (a S) 

(8)  +P(?).(a|)^ 

x'  («#  «,  =  4  (aß)  {af)  (ßiy  (y^y  Ur  -Af{i)  .  (aß)  (ß^Y  («g)  «. 

Bezeichnet  man  durch  /',  cp  etc.  die  betreffenden  Formen,  wenn 
darin  Xi  =  h,.2,  x.2  =  —  ^i  gesetzt  wird,  so  werden  die  in  diesen  Formeln 
vorkommenden  Ausdrücke  (vgl.  §  59.): 

(ag)2  =  /-,  icc^y^cpy  (aa)  (a^)  {cc^y  =  ^ 

(aa)  (aß)  {a^Y  (ß^Y  =i{^&  (ß^)  l  {accY  [ß^Y  +  i^ßY  {a^Y-ic^ßf  («i)"! 
=p(p-^Af 

{aß)  (^g)H«l)  cc.        =ii^ß)  («S)  ißi)  \(ß^)  ^^'.r-  («D  ßsl 
=  -i{aßY{cci)ißi)ir  =  -iA^. 

{aß){ay){ß^Yiy^y^^==Uß^)ir^)f^:^'\{f^ßyiyif+i^rYiß^)'-ißy)'(<^m 


236  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Daher  hat  man  aus  (8): 

y^  {ayif  a,  =  4  9  (A  ^)  A^  -  2  A  (c.  If  «.  +  2  fA  t,  +  P  {^al^  ^. . 

Die  Gleichung  (7)  verwandelt  sich  nun  in  folgende: 

8(p.(A§)A.-4A.(«|)^a..  +  4/'AL  +  2/'-'(r4)^«. 

=  3(4i9  9.-2A^-4/'^+/'3)g,-2(2^-/'^)[2(«g)■^«^-/:y-4  9^?, 

oder  in: 

(9)  0  =  8g)(A|)A.  +  («|)2«,(8^-4A-2n 

+  t,  (10  /'A  +  8  /■'^  -  12^9  9^-^  +  4  9)2). 

Ich  setze  hierin  erstlich  x^^=%.^^  ^2~~^i5  ^i®  giebt  dann 

(10)  0=4^  +  2A-/-2. 

Benutzt  man  aber  diese  Gleichung,  so  werden  die  ersten  beiden 
der  drei  Glieder  von  (9): 

8  9.!(Ag)A,-A.(«?)2a,j 
=  8(«?)'^(AS)i(«|)A.-(Aöa,! 
=  8(a?)2(A?)(o:A).i.  =  8Ö.5.. 

Daher  wird  nunmehr  (9)  durch  Jj;  theilbar,  und  es  bleibt: 

(11)  0-=8  g+10/'A  +  8/''0'~12jp9)-/'3  +  4g)l 

Aus  den  Gleichungen  (11),  \\2)  ist  nun  eine  Gleichung  zu  bilden, 
welche  für  die  %  homogen  ist.  Um  die  Ordnung  der  verschiedenen 
Glieder  kenntlich  zu  machen,  führe  ich  eine  Grösse  X  ein,  deren 
Werth  1  ist,  und  mache  in  Bezug  auf  ^^,  J^,  X  die  Gleichungen  (10), 
(11)  homogen.    Sie  lauten  dann: 

0  =  2A/l2  +  4^A-/'2 
^^^^      0  =  8  g  A'>  +  (lO/^A  -  12i) g))  ^2  +  8  /-^  A  +  (4  9)2  _  p) ; 

an   Stelle   der   letzteren    kann   man    mit   Benutzung   der   ersten    auch 
setzen : 

(13)  0  =  8  ö  A3  +  6  (/'A-2i99))  A^  +  4  ^y'-^p. 

Aus    dieser    und    der  ersten  Gleichung  (12)    ist  A    zu  eliminiren. 
Wir  haben  hier  zwei  Formen  bez.  zweiter  und  dritter  Ordnung  vor  uns : 
^*=2AA2  +  40'A-/'2 
^^^^  V  =  8  §  A^  +  6  (/"A- 2^9^))  A2  +  (49)2+y-3)^ 

in  denen  A  die  Veränderliche   vertritt,  und  deren  Resultante  gebildet 
werden  soll.     Bilden  wir  diese  nach  §  59.: 

(15)  F^^,-2I)uE,,,,^0, 


Grundtbi-men.  —  §  6^.  237 

SO  erhalten  wir  eine  Gleichung,  welche,  wie  man  leicht  sieht,  von  der 
Ordnung  18  in  den  ^  ist.    Aber  man  kann  zeigen,  dass  sie  den  über- 
flüssigen Factor  g)^   enthält,   und  also  nach  dessen  Auslassung  in   die 
gesuchte  Gleichung  neunten  Grades  übergeht. 
Zunächst  ist  aus  (14): 

aber  nach  §  35.  (10): 

daher : 

(16)  l),,  =  Acp{D(p-2pf). 

Ferner  ist 

A,,  =  -8(fA-2pcpy-X'  +  4{AQX+fA-2pcp){A(p'-^P), 

daher,  wenn  man  X'^,  A,  1   durch  —P,  —  2d',  2A  ersetzt: 

K  ,v  =  Sp  {fA-2pq)f  +  8  (4g)2+f )  {l^^f--2p(pA-4.Q?f). 

Bildet  man  nun  das  Product  Q  .  ^  zweier  Functioualdeterminanteu 
nach  §  35.  (11),  so  hat  man: 

Q^  =  l,{A^f-Apcp-^cp^E\ 
also 

(17)  E„^,=  \Qcp\2P(piß-2PpA-2cpfA^-4q)^E-PffE\. 
Endlich  ist 

{l8)Pu,v  =  2A{A(p^-^P)-%^{fA-2pcp)l-P[8QlJt2{fA-2p(p)\. 

Aber  da  ^,  Q,  Q.  die  aus  f,(p,A  gebildeten  Functionaldetermi- 
nanten  sind: 

d'  =  {aa)a,^^ajj     Q={aA)aJ  A^;,     Q=(aA)«.^A^, 

so  hat  man 

^A  +  Qf-Qcp  =  0, 

und  indem  man  den  hieraus  folgenden  Ausdruck  von  d^  A  +  Qf  in  (18) 
einführt : 

(19)  p>^,.  =  4.g){2k{2p^-fQ)  +  {2A(p+pP)\. 
Demnach  wird 

(20)  F,,, ,  =  32  cp'^\Ai2A(p-j-pPf -4.^(2  A(p-\-pP)[2p^-fQ) 

-2Pi2pd'-'fQy\. 

Die  Ausdrücke  (16),  (17i,  (20)  zeigen,  dass  aus  der  Gleichung  (15) 
der  überflüssige  Factor  32  q)^  ausgelassen  werden  kann ;  sie  bleibt  dann 
von  der  zwölften  Ordnung. 

Die  so  reducirte  Gleichung 

(21)  A  {2A(p+pPf-4  ^  {2A(p+pP)  (2p.^-fQ)  -2p  {2p^--fQy 
_  4  ^D(p-2pf)[2p(pp^-2P'pA-2(pfA^-4rcp^E-P(pE)  =  0 


238  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

erlaubt  nun  nochmals  den  Factor  cp  auszuscheiden,  wodurch  dann  nur 
eine  Gleichung  neunten  Grades  übrig  bleibt.  Um  dies  einzusehen, 
übergehe  ich  in  (21)  alle  mit  cp  multiplicirten  Glieder ;  es  bleibt  dann 

P  \-  15  Ap' P-4  d^p  {2p&-fQ)  -  2  {2pd'-fQf\. 

Der  Ausdruck,  welcher  hier  in  der  Klammer  steht,  ist  durch  q) 
theilbar.  Wenn  wir  die  Glieder  mit  (p  übergehen,  so  können  wir  O-^ 
durch  —  \AP  ersetzen-,  ebenso,  da  nach  §  35.  (11) 

d-Q^-i{D(pA-Efcp-pfA) 

gefunden  wird,  ersetzt  man  dann  d'Q  durch  ^  \^  .  Der  obige  Aus- 
druck  verwandelt  sich  daher  in 

-f^{Ap^+Q^). 

Dass  dieser  Ausdruck  durch  q)  theilbar  ist,  beruht  auf  einer  anderen 
Darstellungsweise  der  Form  Q,  indem 

Q  =  (a A)  aj;  A^r  =  {aßf  {aa)  a^^  ß^,  =  {aß)  (aa)  ß^  \{aß)  a^  —  {aa)  ßa:\j 

oder,  da  der  erste  Theil  rechts  durch  Vertauschung  von  a  und  ß  sein 
Zeichen  ändert  und  demnach  identisch  verschwindet: 

Q  =  (^p)/5/. 
Man  hat  daher 

Q^  —  9  .  «^  [apY 

-  -  i  I «/  .  ^.  {ßpf  -  2  «/  {ap)  ßj  {ßp)  +  ßj  .  a,  [apY  I 

=  -i(^.ßa:  [«.  ißp)  -  ß.  {Ccp)f  =  -  i  («  ßf  ar  ß.  •  p' 

A  p^ 
und  es  ist  daher  Q^ -\ — ~-  durch  cp  theilbar,  was  zu  beweisen  war. 

Man  kann  also  wirklich  (21)  durch  Division  mit  cp  auf  eine 
Gleichung  neunten  Grades  zurückführen,  und  zwar  ist  mit  Hilfe  der 
eben  angegebenen  Formeln  die  Ausführung  ohne  Schwierigkeit. 

Dass  die  Gleichung  neunten  Grades 


cp^ 


0 


nicht  weiter  reducirt  werden  kann,  wird  das  Folgende  lehren,  während 
zugleich  der  besondere  Charakter  der  Gleichung  neunten  Grades  her- 
vortritt. 


§  64.    Crruppirung  der  Wurzeln  der  Gleichungr  neunten  Grades  gegen 

eine  derselben. 

Ich  nehme  jetzt  eine  der  Lösungen  des  Problems  als  bekannt  an 
und  untersuche,  wie  die  übrigen  Lösungen  zu  dieser  sich  verhalten. 
Die  bekannte  Lösung  sei   durch   die  linearen  Formen  5;  ^   gegeben; 


C^rundformen.  —  §§  63,  64.  239 

^',  Y]  seien  die  entsprechenden  für  eine  andere  Lösung.  Man  hat 
dann  gleichzeitig 

(die  Formen  werden  jetzt  wieder  mit  den  Argumenten  x^,  x.^  geschrie- 
ben gedacht).  Eliminiren  wir  (p,  indem  wir  diese  Form  als  durch  die 
erste  Gleichung  (1)  definirt  ansehen,  so  haben  wir: 

(2)  o=3ns-r)-(r-n+tf->?^ 

Es  folgt  hieraus,  dass  der  lineare  Factor  ^  —  |'  auch  in  i]^  —  rj'^, 
also  in  einem  der  Factoren 

V  -  V,    n  -  f  n,    n-  ^'  n 

enthalten  sein  muss,  wo  8  eine  imaginäre  dritte  Wurzel  aus  (1)  be- 
deutet. In  welchem  dieser  drei  Factoren  man  |  —  J'  enthalten  an- 
nimmt, ist  gleichgiltig,  vielmehr  wird  erst,  wenn  man  darüber  ver- 
fügt, ?^' vollständig  bestimmt,  während  sonst  nur  sein  Cubus  bestimmt 
ist.     Sei  also  e  eine  der  Grössen  1,  £,  £^,  sei  m  eine  Constante,   und 

(3)  ^_|  =  ,„(|_|'). 

Man  kann  dann  eine  lineare  Form  z  einführen,  so  dass 

(4)  ^;=^+^ 

r]  =e{rj  -\-m  z). 

Setzt  man  diese  Ausdrücke  in  (2)  ein,  so  kann  man  durch  z 
dividiren,  und  es  bleibt  die  Gleichung: 

(5)  3  /"  =  3  (^'  -  m rf)  +  3  (?  -  m^  ri)z  +  i\-  m^)  z\ 

Es  ist  nun  m  so  zu  bestimmen,  dass  dieser  Gleichung  durch 
eine  lineare  Form  z  genügt  wird.  Dazu  ist  nöthig,  dass,  wenn  man 
die  in  z  quadratische  Gleichung  (5)  nach  z  auflöst: 

^^^  "~  2  1  -  m^ 

wo 

1  —  m^ 

(7)  t'  =  -~^  (/"-?'  +  m.  ri')  +  i  (?  -  m'  r]Y , 

^  eine  lineare  Form,  also  der  rechte  Theil  der  Gleichung  (7)  ein 
vollständiges  Quadrat  werde.  Die  Grösse  m  muss  also  so  bestimmt 
werden,  dass  die  Discriminante  des  Ausdrucks  rechts ,  in  (7)  ver- 
schwinde. Da  ^^  aus  zwei  Theilen  besteht,  deren  zweiter  ein  Quadrat 
ist,  so  zerfällt  diese  Discriminante  in  zwei  Glieder: 


240  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

wo  D' die  Invariante  der  Form  f—^^-\-mrf,  D"  die  simultane  dieser 
Form  und  der  Form  {^  —  m^rj)"  ist.  Bezeichnet  man  durch  K,  L,  M 
die  drei  Ausdrücke 

(8)  K=={alf,     L  =  {al){ari),     M={arif, 

so  wird 

n'  =  D-2  (K-mM)  -  2m  {^rjY 
I)"=K-2  m^  L  +  m^  M+  m  (1  -  m^)  {i,rif. 

Uebergeht  man  also  den  überflüssigen  Factor  1  —  m"^,  so  wird  die 
Gleichung^  welche  zur  Bestimmung  von  7n  führt: 

1    /M7'^ 

(9)  0=  — g^-  [D  -2K^2mM-  ^  m  {Irif]  +  \{K-2Lm^^Mm% 

Sie  ist  vom  vierten  Grade;  aber  jedem  m  entsprechen  nach  (6) 
zwei  verschiedene  ^,  und  also  auch  nach  (4)  zwei  verschiedene  ^.  Man 
findet  also  wirklich  zu  jeder  gegebenen  Lösung  acht  andere,  so  dass 
im  Ganzen  neun  Lösungen  existiren  müssen;  sodann  aber  ergeben  die 
obigen  Betrachtungen  den  Satz: 

In  Bezug   auf  jede  Lösung   der  Gleichung  neun- 
ten Grades  gruppiren  sich  die  übrigen  in  vier  Paare, 
welche     mi-ttelst    einer    biquadratischen    Gleichung 
aus  derselben  gefunden  werden. 
Aber  auch  diese  biquadratische  Gleichung  hat  noch  eine  specielle 
Eigenschaft.     Ordnet   man   (9)  nach  Potenzen  von  m,   so  erhält  man: 

+  4[ilf-l(g7?)Tm  +  (2i)-Ä0  =  0; 
daher  ist  die  erste  Invariante  der  Gleichung: 

^=:2  j[(gi?)2-ilf](2Z)-^)-[4ilf-(?#j(^-:J)  +  3L4 

=  ^  D  {irif  -  QiKM-  U). 
Es  ist  aber 

2  {KM-  L')  =  {a ^Y  {h riY  -  2  (a ?)  {a if) .  (?> l)  (1>  rj)  +  {h ^f  {a nf 
=  \{al){hyi)-{bl){ari)\:' 

=  {abf{ivY  =  DanY', 

daher  i  =  0. 

Die     erste    Invariante     der    Gleichung    (9)    ver- 
schwindet. 
Wendet  man  nun  auf  eine  Gleichung 

am^  +  4h m^  -f  Gctn-  +  4 dm  -\-e  =  0 
die  lineare  Substitution 


Grundformen.  —  §  64.  241 

(10)  am  =  '-  h  —  a 

an,  so  geht  dieselbe  in  die  Form 

( 11 J  o^  +  (jao--\-4ßa  +  y=^() 

über;  da  aber  /  =  0^  so  wird 

(12)  ,.  =  -3«% 

und  die  Werthe  von  a,  ß  sind: 

Im  vorliegenden  Falle  wird  die  lineare  Substitution  (10): 

(14)  _äl^~'' 

und  die  Coeffieienten  der  transformirten  Gleichung  sind: 

«  =  -i[(l#-j/]-(ü:-fY 

|5 = -  3  i  [(I  nY  -  M^  {k-  ^  j  -[M-\  (I  nf]  [(I  nf  -  mj 


-2{k-§ 


Diese  Coeffieienten  lassen  sich  durch  die  simul- 
tanen Invarianten  von  /"und  cp  allein  ausdrücken. 
Wenn  man  nämlich  in  dem  Ausdrucke 

f.  a  riY-  =  aj  (?  .if  =  [(«  i)ri-{a  »;)  |]^' 
die  Ausdrücke  (8)  einführt,  so  hat  man 

(16)  f.a,]f=^K,i''-2L^^>i  +  iM^'-, 

daher  auch 

Bildet  man  nun  an  diesen  Darstellungen  die  Covarianten  und 
Invarianten  von  f  uud  cp,  so  hat  man  zunächst  wieder  die  schon  oben 
abgeleitete  Gleichung 

(18)  D.{^nY  =  2{KM-L^), 
sodann  aber 

oder  wenn  man  (18)  benutzt  und  dann  durch  {^iiff  dividirt: 

(19)  2p  =  {2D-K)l  +  Mn; 

Clcbsch,  Theorie  der  binaren  algobr.  Formen.  JU 


242 


Fünfter  Abschnitt.     Simultane 


daher  aucli 
(20)     AF=K{2B-Kf-^2LM{2D-K)  +  ]\D 

=  K^  +  M' -2 K LM -\-  4D  {3IL  - K')  +  4.DnC 

Für  A  hat  man  die  Formel: 

-,2 


2A(g^y 


-2L  K  ~ln 

§1^/5^    die    Coefficienten    von  f.{i,7]f 


also,    wenn    man   statt    rf , 
einsetzt: 

2E{lrif=  -2L  K  -L 

K  ■        {ur    K 

Man  vereinfacht  diesen  Ausdruck,  indem  man  die  letzte  Vertikal- 
reihe von  der  ersten  abzieht;  es  wird  dann  mit  Hilfe  von  (18)  der 
Ausdruck  durch  {^rif  theilbar,  und  man  erhält: 

(21)  2E=-K'  +  LM+KD-L{lnf. 

Zur  Darstellung  von  a  genügt  diese  Gleichung  und  (18),  denn 
es  wird  aus  (15): 

(22)  . 


„  =  2i?-?. 
4 


Um  ß  zu  bilden,  muss  man  auch  noch  den  Ausdruck  von  R 
kennen.  Diese  Invariante  entsteht,  wenn  man  in  A  statt  i^^,  —  5^,  S^ 
die  Coefficienten  von  A  selbst  einführt,  und  man  hat  dann: 

3Jf-(|'#    -2L    6KM-2K{lrjY-8L' 
8R.{^7if==  -2L  K  2KL  +  ?>M{lny-{lYif 

K  {Inf     -4L[^inf-2K-' 

Diese  Gleichung  wird  durch  {^rif  theilbar,  wenn  man  die  erste 
Vertikalreihe  mit  2  K,  die  zweite  mit  2  L  multiplicirt  zur  dritten 
addirt,  und  man  findet  dann 

^M-{UY    -^L    6D-4:K 

(23)  8i^=    -2i.  K         ?>M-{lnY 

K  [Inf     -^L 

^4K^  +  SL^-12KL3I-6DK^ 

+  {^r}f'^^^^L-12I)L-9M''\+63f{^rjY-{^riy. 

Aus  diesem  und  den  früheren  Ausdrücken  setzt  sich  nun  ß  zu- 
sammen mittelst  der  Formel 

(24)  ß  =  bDE-2R-AF+^, 


und  die  Gleichung  vierten  Grades  (11)  wird  also: 


Grundformen.  —  §§64,  65.  243 

(20)       6^-\-6(2E-^)6''  +  4(bDE-2R-  4  F  +  ^^)  a 

-3(2£-^)  =0. 

§  65.    Die  Systeme  conjiigirter  Lösungen. 

Die  im  Vorigen  angestellten  Betrachtungen  zeigen^  dass  zwischen 
den  Lösungen  der  Gleichung  neunten  Grades  gewisse  Beziehungen 
bestehen,  welche  den  Charakter  der  Gleichung  als  einen  speciellen 
erkennen  lassen. 

Zu  jeder  der  neun  Lösungen  ordnen  sich  die  übrigen  paarweise. 
Ein  solches  Paar  mit  der  ersten  Lösung  zusammen  heisse  ein  System 
conjugirter  Lösungen.  Es  lässt  sich  zeigen,  dass  die  Zusammen- 
gehörigkeit dreier  einem  solchen  System  angehöriger  Lösungen 
^,  ^',  5"  nicht  aufgehoben  wird,  wenn  man  von  einer  zweiten  unter 
ihnen  ausgeht:  in  Bezug  auf  diese  ordnen  sich  die  acht  anderen 
Wurzeln  nun  abermals  in  Paare,  und  wiederum  besteht  ein  Paar  aus 
den  anderen  dem  conjagirten  System  angehörigen  Lösungen.  Gehört 
also  zu  %  das  Paar  |',  ^",  so  gehört  auch  zu  ?'  das  Paar  ^",  %  und 
zu  ^"  das  Paar  ^,  |'. 

Die  Lösungen  eines  zu  ^,  ?^  gehörigen  Paares  sind  nämlich  nach 
den  Formeln  (4)  des  vorigen  Paragraphen  bestimmt  durch  die  Aa- 
nahme,  dass  sie  mit  ^,  7^  durch  Formeln  folgender  Art  zusammenhängen: 

,^.  ■  r  =  ^+^         r=s+^i 


(2) 

oder : 

(3) 


Diesen  Formeln  aber  kann  man  auch  die  Gestalt  geben: 


71  =  e^  (jl  —mes)  r['  =  e-  e^  [r^'-i-me {z^  —  z)] 


i  =  i"-z,  r  =  r+(^-^,) 

Alle  diese  Formeln  haben  ganz  denselben  Charakter.   Man  schliesst 
daraus  also  erstlich  den  Satz: 

Bilden    die    Lösungen    ^',   ^"  ein   zu   |   gehöriges 
Paar,    so   bilden  auch  |,  ^"   ein  zu  |'  gehöriges,   und 
'    4,  J'  ein  zu  t,"  gehöriges. 

Dabei  geht,  wenn  man  von  g'  oder  ^"  statt  von  |  ausgeht, 

m       über  in  me  bez.  me^^ 

z,  z^  über  in  —z,  z^—z  bez.  —z^,  z  —  z^. 

16* 


244  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Die  Grösse  m^  ändert  sich  also  gar  nicht.  —  Durch  den  obigen 
Satz  ist  der  Begriff  eines  Systems  conjugirter  Lösungen  festgestellt 
Es  ist  nun  weiter  leicht  zu  zeigen,  dass  auch  die  zu  ni,  |,  t] 
gehörige  Wurzel  (5  der  biquadratischen  Gleichung  (25)  für  drei  con- 
jugirte  Lösungen  denselben  Werth  hat.  Nach  der  Formel  (14)  des 
vorigen  Paragraphen  müssen  dann  gleichzeitig,  wenn  K' ^  M\  K',  M" 
aus  K,  M  hervorgehen,  indem  man  ^',  ri  oder  ^'\  rl'  an  Stelle  von 
5,  r\  setzt,  die  Gleichungen  stattfinden: 

f-x-.  f-^'-.  f-Ä'"-. 


Da  die  dritte  Gleichung  zu  der  ersten  genau  in  derselben  Be- 
ziehung steht  wie  die  zweite,  so  genügt  es,  das  gleichzeitige  Bestehen 
der  ersten  und  zweiten  nachzuweisen.  Nun  war  nach  Formel  (5)  des 
vorigen  Paragraphen: 

(5)  3  f  =  3  (?2 _  mif)  +  3  (?  -  m^  ??)  ^  +  (1  -  m^)  s\ 

Nun  geht  gleichzeitig  J  in  ?'?  '^  in  V;  t^^  in  me^  ^  in  —  <£?  über;  daher 
wird  auch 

(6)  3/"=  3  (P-  em  V')  -  3  {^' -  e'^ m^ rj')  ^  +  (1  -  m^)  z\ 

Setzt  man  in  (5)  für  x^,  ^g  ^i®  Grössen  ^g?  ~  ^i  oder  r]^,  —  Vn 
in  (6)  1'^,  —  ?\,  oder  rj'^,  —  rj\  ein,  so  erhält  man  die  vier  Gleichungen: 

3 iif  -        3  (^nf  +       3 i^n)  (^n)  +  (i-^^^^)  (^vf 

3  K'  -=-36771  (i' rjj  +  3 e^  m'  (§' ^')  (^' ^)  +  ( 1  - ^^^')  (5' ^f 

3M'=      3(r^o'-     3(r^o(^V3  +  (i-^^^')(^V)'- 

Es  folgt  daraus: 
K-K'     =  -  m  li^nf  -  e  a'ri'f]  -  «2  [(?»?)  (|#)  +  e^CrV)  C^«)] 

Nun  ist  abel-  wegen  (1): 

(^s  r^y  —  e{3  ny = (^,  ^  +  ^^  ^')  (^,  ^  —  e^  ^')  =  ^; 

und  daher 

{K-K)  -  m  (M-e  M)  =  -2m  [(^rjy - e  (r^')'] 


Grundformen.  —  §  65.  245 

Setzt  man  mm  ^'~  |  für  z,  und  bemerkt,  dass 
eml' —71  =  e  (ml  —  7]) j 
so  nimmt  diese  Gleichung  auch  die  Form  an: 

{K-K)  -  m  [31-  e  M)  =  -2m  ((?  >?)-^-  e  (l'ri'f] 

-  m  [  e'  {i  n)  (r  n)  -  {l  ny  -  ^'  {l  n)  (r  n)  +  e^  iX  ny\ 

oder  man  hat 

Dies  ist  aber  die  Gleichheit  der  Ausdrücke,  welche  in  (4)  gleich 
-^  —  (>  werden ;  die  beiden  ersten  Gleichungen  (4)  bestehen  also  zu- 
sammen, was  zu  beweisen  war. 

Man  kann  hieran  folgende  Betrachtungen  knüpfen.  Da  einer 
Lösung  gegenüber  die  acht  anderen  sich  h\  vier  völlig  bestimmte 
Paare  sondern,  so  folgt,  dass,  wenn  von  einem  solchen  Paare  eine 
Lösung  gewählt  ist,  die  andere  eindeutig  bestimmt  ist.  Mit  andern 
Worten,  um  ein  System  conjugirter  Lösungen  zu  bilden,  kann  man 
zwei  Lösungen  beliebig  wählen,  die  dritte  aber  ist  dann  eindeutig 
bestimmt.  Es  können  also  niemals  zwei  Systeme  conjugirter  Lösun- 
gen mehr  als  eine  Lösung  gemein  haben. 

Jede  Lösung  gehört  vier  Systemen  an;  aber  umgekehrt  umfasst 
jedes  System  drei  Lösungen.  Die  Gesammtzahl  aller  Systeme  erhält 
man  also,  wenn  man  die  Zahl  aller  Combinationen  der  neun  Lösungen 
zu  zweien  bildet,  wobei  denn  aber  jedes  System  dreimal  vorkommt, 
so  dass  das  Resultat  durch  3  zu  dividiren  ist. 

9 . 8 
Es   giebt  also  rp^  =  12  Systeme   conjugirter  Lö- 

sungen. 

Bezeichnet  man  nun  die  neun  Lösungen  durch  die  Zahlen  1  bis 
9,  und  sind  etwa  ],  2,  3  conjugirt,  so  gehört  1  noch  drei  anderen 
Systemen  conjugirter  Lösungen  an,  ebenso  2  und  3,  und  alle  diese 
Systeme  sind  verschieden.  Es  giebt  also  im  Ganzen  zehn  Systeme, 
in  denen  eine  der  Lösungen  1,  2,  3  vorkommt;  daher  giebt  es  noth- 
wendig  noch  zwei  Systeme,  in  denen  keine  derselben  auftritt.  Sei 
ein  solches  4,  5,  6.  Jede  der  Lösungen  4,  5,  6  kommt  schon  in 
dreien  der  zehn  ersten  Systeme  vor,  nämlich  mit  1,  2  oder  3  com- 
binirt.  Daher  giebt  es  nun  auch  kein  weiteres  System,  welchem  4, 
5  oder  6  angehören  könnte.  Die  Lösungen  1,  2,  3,  4,  5,  6  kommen 
also  nur  in  11  Systemen  vor.  Das  zwölfte  System  muss  daher  aus 
den  Lösungen  7,  8,  9  gebildet  werden.  Man  sieht  so,  dass  die 
neun    Lösungen   in  drei   Systeme  von    conjugirten  zerlegt 


246  Fünfter  Abschnitt.    Simultane 

werden    können;    es   entsteht   die  Frage,   auf  wie  viele  Arten  dies 
möglich  ist. 

Wenn  wir  das  System  1,  2,  3  heraushoben,  so  bildeten  die  übrigen 
sechs  Lösungen  zwei  vollkommen  bestimmte  Systeme;  sie  können 
nicht  noch  auf  eine  zweite  Art  in  zwei  Systeme  zerlegbar  sein, 
ohne  dass  eines  der  neuen  Systeme  zwei  Lösungen  mit  einem  der 
vorigen  gemein  hätte,  was  unmöglich  ist.  Gehen  wir  daher  der 
Reihe  nach  von  den  vier  Systemen  aus,  welche  die  Lösung  1  ent- 
halten, so  ergänzen  sich  dieselben  jedesmal  auf  eindeutige  Weise 
durch  zwei  andere  Systeme  zu  der  vollen  Zahl  aller  Lösungen.  Hier- 
aus folgt: 

Die  neun  Lösungen  sind  auf  vier  verschiedene 
Arten  in  drei  Systeme  conjugirter  Lösungen  zer- 
legbar. 

Da  oben  die  vier  Systeme,  in  denen  eine  bestimmte  Lösung  auf- 
trat, von  der  biquadratischen  Gleichung  (25)  §  64.  abhängig  waren, 
so  folgt,  dass  von  dieser  Gleichung  auch  die  vier  Zerlegungen  der 
neun  Lösungen  in  Systeme  abhängen  müssen.  Dies  ist  der  innere 
Grund,  weshalb  die  biquadratische  Gleichung  eine  von  der  Ausgangs- 
lösung völlig  unabhängige  Form  annehmen  konnte.  Zugleich  aber 
zeigt  sich,  dass  diese  Gleichung  die  Grundlage  für  die  Auflösung  der 
Gleichung  neunten  Grades  bilden  muss.  Und  zwar  sind  ausser  der- 
selben nur  cubische  Gleichungen  erforderlich;  denn  wenn  durch  eine 
Wurzel  der  biquadratischen  Gleichung  eine  Zerlegungsart  gegeben  ist, 
so  muss  man  die  drei  in  ihr  auftretenden  Systeme  durch  eine  cubische 
Gleichung  finden  können,  und  ebenso  die  einzelnen  Lösungen  jedes 
Systems.  Um  die  Gleichung  neunten  Grades  zu  lösen,  braucht  man 
also  eine  Wurzel  der  biquadratischen  Gleichung,  sodann  die  Lösung 
der  cubischen  Gleichung,  von  welcher  die  drei  entsprechenden  Systeme 
abhängen;  endlich  aber  nur  zwei  der  cubischen  Gleichungen,  von 
denen  die  Lösungen  der  drei  Systeme  abhängen;  da  jede  dem  ersten 
System  angehörige  Lösung  mit  jeder  dem  zweiten  angehörigen  ein 
System  bestimmt,  dem  nur  eine  bestimmte  Lösung  des  dritten 
angehört,  so  sind  die  Lösungen  des  dritten  Systems  durch  die  Lö- 
sungen der  beiden  ersten  bereits  von  einander  getrennt  und  auf  lineare 
Bestimmungen  zurückgeführt. 

Diese  Gleichung  neunten  Grades  ist  eine  Hesse 'sehe,  indem  sie 
diejenigen  besonderen  Eigenschaften  besitzt,  welche,  wie  Hr.  Hesse 
gezeigt  hat,  einer  Classe  algebraisch  auflösbarer  Gleichungen  neunten 
Grades  zukommen.* 


*  Hesse  in  Grelles  Journal,  Bd.  34. 


Grundformen.  —  §  65.  247 

Es  wird  jetzt,  um  die  Lösungen  der  Gleichung  neunten  Grades 
in  unserem  Falle  zu  finden,  nothwendig,  auf  die  Bildung  der  Systeme 
conjugirter  Lösungen  einzugehen. 

Die  Gleichung  (3)  des  §  64.  lässt  sich  auch  erfüllen,  indem  man 
eine  lineare  Form  t  einführt,  so  dass 

(n.  '  '  V  ^  '^^    (?  +  0 

Die  Gleichungen  (1)  des  gegenwärtigen  Paragraphen  liefern  dann 
für  die  zu  beiden  conjugirte  Lösung  die  Beziehung 

(8)  ri"^e,ma"-\-f). 

Es  bestehen  also  für  drei  conjugirte  Lösungen  die  identischen 
Gleichungen  [§  64.  (1)]: 

(9)  2g)=3/-r-r^  +m^(r +v 

Mit  anderen  Worten,  die  für  §  cubische  Gleichung 

(10)  2^  =  3/?-g3  +  w^'(S  +  0' 

muss  drei  in  den  x  rationale  Lösungen  §,  §',  |"  haben. 

Durch  diese  Bedingung  ist,  wie  sich  zeigen  wird,  sowohl  m  als 
t  bestimmt. 

Da  aus  (lOj  für  die  Summe  der  conjugirten  Formen  ^,  ^',  J"  die 
Formel 

(11)  i  +  r  +  r=j^3^ 

hervorgeht,  so  kann  man  den  Ausdrücken  g,  J',  |"  die  Gestalt  geben : 


(12)  r 


1  —  m^ 


WO  y.  eine  imaginäre  dritte  Wurzel  der  Einheit,  ft,  v  lineare  Formen 
bedeuten.     Die  zugehörigen  ^  werden  dann  nach  (7),  (8): 


n  =^^^    -1 


1  —  m^ 


(13)  Yi     =em     ■ :r^ 5 

t  4-  x-  a4-  X  V 
'  1  —  m^ 


248  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Führt  man  die  Ausdrücke  (12)  aber  in  die  Gleichungen  (9)  ein, 
so  nehmen  dieselben  die  Gestalt  an: 

A  +  bIk^  ii-\-xv)  =  0, 

und  zerfallen  also  in  die  Gleichungen 

^  =  0,     7i  =  0, 

oder,  indem  man  die  Ausdrücke  für  Ä  und  B  einführt,  in  die  beiden 
Gleichungen : 

.      2  (1  -  7n^y  (p  =  3  m^  (1  -  m^)  tf+  m'  (1  +  m^)  f  -  i"-'  -  v^ 

Diese  beiden  Gleichungen,  welche  für  alle  Werthe  der  x  bestehen 
müssen,  liefern  durch  Vergleichung  der  beiderseitigen  Coefficienten 
sieben  Gleichungen,  und  genügen  zur  Bestimmung  der  sieben  unbe- 
kannten Grössen,  nämlich  der  Grosse  m  und  der  Coefficienten  der 
linearen  Formen  t,  ^,  v. 

Die  Grössen  w,  t,  ^,  v  entsprechen  nach  (12),  (13)  einem  Systeme 
conjugirter  J?  ^-  Das  in  den  Gleichungen  (14)  enthaltene  Problem 
nimmt  also  in  Bezug  auf  die  Systeme  dieselbe  Stelle  ein,  wie  das 
ursprüngliche  Problem  in  Bezug  auf  die  neun  einzelnen  Lö- 
sungen 5- 

§  66.    Lösung  der  Gleichung  neunten  Grades. 

Wenn  man  in  der  zweiten  Gleichung  (14)  an  Stelle  von  x^y  x.^ 
die  Grössenpaare  ftg,  —  [i^t  '^2?  ~"^i7  ^i?  ~^-i  fi'eten  lässt,  so  erhält 
man    die   folgenden   drei   Gleichungen,    welche  jene  Gleichung  völlig 

(1)  ^3(^1/)^ +(l-m=^)(ai/)^=0 
{t^){tv')-{\-m^){aiy    =0. 

Aus  den  ersten  beiden  ergiebt  sich  sofort  die  Gleichung,  welche 
nur  die  Verhältnisse  der  t,  der  \i  und  der  v  enthält: 

oder,  mit  Auslassung  des  Factors  {v^): 

(2)  (at)  (av)  .  (t^)  +  (at)  (a^)  .  (tv)  =  0. 

Wenn  man  die  Gleichungen  (14)  nach  /und  cp  auflöst: 

(1  —  m^)  f=^v  —  m'  P 
^  ^       2(1  —  m^y  g>  =  m^  ( l  —  4  m^)  f  —  ^^  —  v^  -^3  m^  ^.  v  t, 


Grundformen.  —  §§  65 ,  66.  249 

SO  kann  man  den  Inhalt  der  zweiten  Gleichung  nun  auf  folgende  vier 
Gleichungen  zwischen  Constanten  zurückführen.  Wir  setzen  erstlich 
an  Stelle  von  i\,  x.^  der  Reihe  nach  die  Grössenpaare  ^2?  ~  ^i?  f*.>;  ~f*i; 
^2)  ~^i)  ^'^^^  erhalten: 

2(1-  ni^y  (a t,^  =-  (^ tf  -  {v ty 

(4)  2(1-  m^y  («  ^y-^  =  m^  (1-4  ni')  (f  ^f  -  (v  ^f 
2(1-  m^f  {av}'^  =r.  tu'  (1—4  m^)  \tv/  -  {^ivf. 

Sodann   wenden  wir  auf  tue   zweite  Gleichung  (3)  hintereinander 
die  Processe 

an  und  ersetzen  dann  die  x  durch  t.,,  —t^,  die  y  durch  ^.^,  — ^,,  die 
^  durch  1^,  —  i\.     Es  ergiebt  sich  die  vierte  Gleichung: 

(5)  {at){cc^){ccv)  =  0. 


Diese  Gleichung  giebt  den  Gleichungen  (4j  gegenüber  nichts 
Neues;  denn  wegen  der  Identität 

t  (^iv)  -{-  ii  (vt)  +  V  (f  a)  =^  0 

ist  auch  identisch 

t^  (^vy  -\-  ^^vt)^  +  v^  (f^/  =  3  ^vt  (^v)  (vt)  {tv), 

und  man  führt  (5)  auf  (4)  zurück,  indem  man  diese  Gleichung  dreimal 
über  cp  schiebt.  Daher  ist  es  noth wendig,  noch  andere  Combinationen 
zu  bilden.  Wenn  man  die  linken  und  rechten  Theile  der  Gleichungen  (3) 
zweimal  über  einander  schiebt,  so  hat  man: 

2  (1  -  m^/p  =  m^  (1-5  m^,  t  (tu)  (tv) 

+  m'  \  iL  {tiiy  +  V  (tvY  -  t  iiivy  \ , 

oder,  wenn  wir  x^  =  t.^,  x.,  =  —  t^  setzen: 

2  (1  -  m'f  {pt)  =  m'  \  (iity  +  (vty  l , 

und  endlich,  mit  Anwendung  der  ersten  Gleichung  (4): 

(6)  ( 1  -  m')  (pt)  =  -  m^  {a  ty. 

Eine  andere  Combination,  welche  benutzt  werden  wird,  entsteht, 
indem  man  in  der  ersten  Gleichung  (3)  die  x  durch  a.^,  —  ^?,  ersetzt. 
Dann  ergiebt  sich: 

(7)  ( 1  -  m^)  D  =  {aii)  {a  v)  -  uv^  {a  ty. 

Nun  nehmen  die  Gleichungen  §  65.  (4),  welche  den  Zusammen- 
hang   von    m  mit   ö  angeben,    indem  man    darin  statt   der  ^,    r^    die 


250  Fünfter  Abschnitt.     Simultane 

Ausdrücke  (12)^  (13)  des  vorigen  Paragraphen  einführt^   folgende  Ge- 
stalt an: 

m^  \  %  {t\C)  +  %-'  itv)  \'  -  m^  I  {at)^v.  {a^C)  -j-  v}  {av')  f 
^  (1  -  m^/  (^-  -  öj  _  j  ^3  {c^)  +  %  (a^.)  +  %2  (^,^)  }2 

=  (1  -  m-^)-'  (^—  _  (jj  _  I  m^  (a  ^   +  ;(2  (a^)  +  7c  (a  v)  \  \ 

Diese  Gleichungen  kann  man  wegen  der  Eigenschaften  der  dritten 
Wurzeln  der  Einheit  in  die  Form  bringen: 

U+      V+     TF=0 


und  es  folfft  dann 


u=^o,    F-0,    >r=o. 

Die  beiden  letzten  dieser  Gleichungen  sind  nichts  anderes  als  die 
beiden  ersten  Gleichungen  (1);  die  erste  aber  giebt: 

2  m^  {t^)  {tv)  -  m^  (1  -  m')  (atf  +  2(1-  w^^)  {a^)  {av) 

oder,  wenn  man  (7)  und  die  letzte  Gleichung  (1)  benutzt,  und  durch 
1  —  m^  dividirt : 

(8)  0  =  3  m^  (aty  +  (1  -  m^)  ß^  +  a\  . 

Eliminirt  man  aber  m  aus  dieser  Gleichung  und  der  Gleichung  (6), 
so  findet  man: 


(9)  3  (a  tf  (p «)  -  (^  +  ö)  («  0'  =  0. 


Diese  Gleichung  enthält  keine  andere  Unbe- 
kannte mehr,  als  das  Verhältniss  t^'.t^y  und  dient 
also   zu   dessen  Bestimmung,   sobald  a  gefunden  ist. 

Den  vier  Wurzeln  a  der  biquadratischen  Gleich- 
ung §  64.  (2ö)  entsprechen  also  vier  cubische  Gleich- 
ungen (9),  welche  die  drei  einer  solchen  Wurzel  zu- 
geordneten Systeme  conjugirter  Lösungen  liefern. 

Die  Auflösung    der  Gleichung    neunten   Grades   ist   hierdurch   in 
ihren    Grundzügen    bereits    gegeben.      Aber    die    oben    entwickelten 


Grundformen.  —  §  66.  251 

Formeln    gestatten    es,    den    weitem   Verlauf   der  Auflösung   zu  ver- 
folgen. 

Wir  können  zunächst  auch  die  Verhältnisse  ft^ :  ^a^  und  v^  :  v.,  auf 
eine  einfache  und  merkwürdige  Weise  bestimmen.  Sie  erfolgt  aus  den 
Gleichungen  (2)  und  (5).  Die  erstere  kann  man  in  die  beiden 
Gleichungen  auflösen: 

{at)lav)-(oltv)=0, 

in    welchen    a    eine    unbestimmte   Grösse    ist.      Demnach   kann   man 
setzen : 

riO)  li^=9\a,{at)-\-G)ti\       v^  =  h  \a^{at)  —  cot^\ 

H  =  9\^i  («0  +  »  ^2  !        ^2  =  ^0  «2 {at)  —  Git.,\j 
wo  auch  g^  h  unbestimmte  Grössen  sind,  welche  auf  die  Verhältnisse 
/"'i'f^2;  '^1  •  "^2  keinen  Einfluss  haben.    Führt  man  aber  diese  Ausdrücke 
der  ^,  v  in  (5)  ein,  so  erhält  man: 

(U)  0  =  (aa)  (cch)  (at)  (ht)  [at)-co'  (atf. 

Nach  einer  oft  angewandten  Identität  ist  aber 

(aa)  (ah)  (at)  (bt)  (at)=^^-^  |  (ccaf  (hty  +  (ahf  {aty  -  (ahy  (aty  \ 

Li 


0>0-(«0-'-?(«0' 


und  die  Gleichung  (1 1)  geht  daher  in    • 

über,  oder  mit  Rücksicht  auf  (9j  in: 
(12)        •  <»-^  =  |-. 

Daher   sind  jetzt   die  Verhältnisse   der   tt,   v  durch  folgende  ein- 
fache Gleichungen  bestimmt: 


(13) 


Man  erhält  demnach  sämmtliche  neun  Lösungen 
\  des  ursprünglichen  Problems,  wenn  man  von  einer 
bestimmten  Wurzel  (5  der  biquadratischen  Gleich- 
ung ausgeht,  und  zunächst  durch  Lösung  der 
cubischen  Gleichung  (9)  die  der  Wurzel  6  ent- 
sprechende Zerlegung  der  neun  Lösungen  in  drei 
Systeme  conjugirter  Lösungen  ausführt.  Sind  r^, 
T^     irgend     welche    Werthe     für     ^^,    t.^,     welche    der 


252  Fünfter  Abschnitt.  —  Simultane 

Gleichung  (9)  genügen,  also  eines  jener  drei  Systeme 
bestimmen,  so  kann  man 

(14)  ti  =  Qr„     t.,=  QT., 

setzen,   und   die  drei  Lösungen  des  Systems  werden 
d  a  n  11 : 

j  m^  +  (g-  h)  TZ-l    r  -h  (^  +  /^)  a,r  {a  r) 


1  —  m 


t;  ----Q 1 3 _ 

1  —  nv 

yu-'  +  (x'\(j  -  xA)  7/  |- 1  r  +  (%->  +  nh)  a^  (az) 

Es  bleiben  nur  noch  die  Constanteii  (>,  ^,  h  zu  bestimmen.  Zu 
diesem  Zwecke  hat  man  zunächst  die  Gleichungen,  welche  aus  (1) 
hervorgehen,  wenn  man  darin  die  Werthe  (15),  (14)  der  ^,  v ,  t 
eiu  führt. 

Ich  werde  im  Folgenden  durch  den  oberen  Index  Null  immer 
andeuten,  dass  in  einer  Form  x^==t.^,  x.^  =  —  r^  gesetzt  werde.  Es 
ist  dann 

(« h)  {ac){h t)  (ct)  ^\iahy  [c xf  =  ^  D  p. 

Daher 


(16) 


und  die  Gleichungen  (1)  verwandeln  sich  also  in  folgende: 
^17^  m' Q' .  r  +  (1  -  m^)  (§  +  J)  =  0 

Diese  Gleichungen  drücken  den  Inhalt  der  ersten  Gleichung  (3) 
nunmehr  vollständig  aus.  Um  auch  den  Inhalt  der  zweiten  Gleichung  (o) 
vollständig  auszudrücken,  führe  ich  in  diese  Gleichung  die  Veränder- 
lichen t  und 


Grundformen.  —  §  66.  ^53 

ein.     Alsdann  wird  (^t)  =  (atr  =  q-^ p,  und  also: 

Es  handelt  sich  zunächst  um  die  Bestimmung  der  Constanten  der 
rechten  Seite.     Nun  ist  ohne  Weiteres: 

Dagegen  wird: 

(«^)-  «X  =  (««)  («?>)  («0  (^0  «^ 

=  i  «X  !  («  «)^'  (^>  0'  +  («  ^)'  («  0'  -  («  &)'  («  0' } 

daher : 

(20)  D 

=  e^(-5»r+f*"'). 

Die  Gleichung  (3) 
2  (1  -«}3)-  9D  =  (»3  (1-4  »»^)  fi-ii'^-v^  +  Sm^fivt 

=  ,»ä  (1  _  4  „j3)  P-g^(^^  +  f  j/^J-  Ifl  (j  -  t  j/^J 

zerfallt  also  mit  Benutzung  von  (18),  (19),  (20)  in  die  folgenden  vier: 
2(1-  m^y  (pO  =  -  p3  ^0  3  (-^  ^  7^3  ■) 

6(1-  m^y  *»  =  3  eY"^  [-  (f  -  V)  j/'l  +  m^gl^ 

(21)  6(l-»»T(l'T-f  9''')  =  -eY'='öCi/'  +  Ä^) 
2(l-w=')^'(^g»/^-^*»')  =  e3/-o3(i_4,„3j,„3 

-f 'p^[f</'-A^)|-^|- +»»^<r<7Ä]  . 

Von  diesen  Gleichungen  giebt  die  dritte  nichts  Neues;  denn  mit 
der  ersten  combinirt,  liefert  sie  nur  die  Gleichung  (9),  welche  als 
erfüllt  gilt.  Die  übrigen  Gleichungen  (21)  kann  man  als  Gleichungen 
ersten  Grades  für  g^^  li^,  gh  betrachten,  und  indem  man  nach  diesen 


254  Fünfter  Abschnitt.     Simultane  Grundformen.  —  §  Gß. 

Grössen  auflöst,  erhält  man  g^j  h^,  gli  ausgedrückt  durch  q  und  m^j 
und  also,  wenn  man  q  und  m^  als  bekannt  voraussetzt,  g  und  h  durch 
Cubikwurzeln,  doch  so,  dass  das  Product  beider  gegeben,  die  Wahl 
der  Cubikwurzeln  also  beschränkt  ist. 

Schreibt  man  die  so  aufgelösten  Gleichungen: 

g^^G,    ¥  =  H,    gh  =  K, 

wo  G,  H,  K  Functionen  von  m^  und  q  sind,  so  folgt  daraus  mit 
Rücksicht  auf  (17): 

In  diesen  Gleichungen  kann  man  nun  vermöge  der  ersten 
Gleichung  (17)  m^  durch  q^  ausdrücken,  und  hat  dann  zwei  Gleich- 
ungen vor  sich,  welche  nur  die  Unbekannte  q  enthalten,  und  welche 
hinreichen,  um  dieselbe  eindeutig  durch  bekannte  Grössen  auszu- 
drücken; womit  denn  zugleich  w^,  sowie  g^ ,  h^  und  gh  durch  bekannte 
Grössen  ausgedrückt  gegeben  sind.* 

Das  Ausziehen  der  bei  g  oder  h  erforderlichen  Cubikwurzel  ent- 
spricht der  Trennung  der  drei  Lösungen  (15),  welche  einem  und  dem- 
selben Systeme  conjugirter  Lösungen  angehören. 


Man  findet: 


wie  ich  a.  a.  0.  gezeigt  habe. 


Sechster  Abschnitt. 

Endlichkeit  der  Formensysteme. 


§  67.    Satz  über  die  Zerlegung  jeder  CoTariante  einer  Form  in  zwei  Theile 
Yon  bestimmtem  Charakter.* 

Schon  im  vierten  Abschnitt  wurde  nachgewiesen,  dass  die  Anzahl 
der  Covarianteu  und  Invarianten  eines  vollständigen  Systems  bei  einer 
Form  f  von  zweiter,  dritter  oder  vierter  Ordnung  eine  endliche  sei. 
Dasselbe  soll  im  Folgenden  für  eine  Form  von  beliebig  hoher  Ordnung 
bewiesen  werden. 

Denken  wir  uns,  wie  immer,  die  Formen  der  verschiedenen 
Ordnungen  successive  behandelt,  also  die  Theorie  der  Formen  bis 
zur  (w  — 1)*^"  Ordnung  einschliesslich  gegeben,  ehe  die  Theorie  der 
Formen  w*"  Ordnung  begonnen  wird,  so  zeichnen  sich  von  vornherein 
unter  den  Covarianten  einer  Form  n^^"^  Ordnung  diejenigen  aus,  welche 
wir  schon  bei  Formen  von  niedrigerem  Grade  kennen  gelernt  haben. 
Sei  M  irgend  eine  Covariante  oder:  Invariante  einer  Form  [n  —  iy^^ 
Ordnung,  und  seien  a,  h ,  c  .  . .  m  die  in  ihrem  symbolischen  Ausdrucke 
auftretenden  Symbole.     Der  Ausdruck 

31 .  a:c  &.r  C^  .  .  .    >Wx 

ist  dann  die  allgemeine  Gestalt  «der  oben  erwähnten  Covarianten,  eine 
Covariante  einer  Form  n^^^  Ordnung,  welche  schon  bei  niederen 
Formen  aufgetreten  ist.  Für  diese  Covarianten  ist  es  charakteristisch, 
dass  jedes  in  ihnen  auftretende  Symbol  durch  wenigstens  einen  linearen 
symbolischen  Factor  vertreten  ist.  Umgekehrt  kann  offenbar  jede 
Covariante,    bei    welcher  jedes  Symbol    durch    einen    linearen  Factor 


*  Die  hier  folgenden  Untersuchungen  schliessen  sich  an  die  Abhandlung  von 
Herrn  Gordan  im  zweiten  Baude  der  mathem,  Annalen  an.  Der  Satz,  dass  jede 
Form  ein  endliches  vollständiges  System  von  Invarianten  und  Covarianten  besitze, 
wurde  von  demselben  zuerst  in  Borchardt's  Journal,  Bd.  69.  gegeben,  nachdem 
Hr.  Cayley  im  146.  Bande  der  Philosophical  Transactions  zum  entgegengesetzten 
Resultate  gekommen  war. 


256  Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 

vertreten  ist,  auf  eine  schon  bei  niederer  Ordnung  auftretende  Co  Va- 
riante zurückgeführt  werden. 

Wenn  wir  voraussetzen,  dass  man  alle  Covarianten  und  Invarianten 
einer  Form  (n— Ij*^'  Ordnung  durch  ein  endliches  System  von  In- 
varianten und  Covarianten  ganz  und  rational  ausdrücken  kann,  so 
folgt,  dass  die  erwähnte  Classe  von  Covarianten  einer  Form  i^*"  Ord- 
nung dieselbe  Eigenschaft  besitzt,  dass  also  alle  diese  aus  der  nächst- 
vorhergehenden Ordnung  herübergenommenen  Formen  sich  durch  eine 
endliche  Anzahl  von  Covarianten  und  Invarianten  der  Form  n^^^  Ord- 
nung ganz   und  rational  ausdrücken  lassen.* 

Der  Beweis  für  die  Endlichkeit  des  Formensystems  für  eine  Form 
^^ter  Ordnung  wird  nun  so  geführt,  dass  man  der  soeben  besprochenen 


*  Dabei  ist  nicht  ausgeschlossen,  dass  nicht  einige  Covarianten  der  Form  wter 
Ordnung,  welche  schon  bei  den  Formen  (n—  l)ter  Ordnung  auftraten  und  dort  dem  voll- 
ständigen Systeme  angehörten,  bei  den  Formen  nter  Ordnung  durch  neue  Formen 
ausdrückbar  sein  können  und  deswegen  aus  dem  kleinsten  vollständigen  Systeme 
der  Form  wter  Ordnung  herausgehen.  Ein  bemerkenswerthes  Beispiel  bietet  die 
bei  den  cubischen  Formen  auftretende  Invariante 

Aus  dieser  entspringt  bei  den  Formen  vierter  Ordnung  die  Bildung 

B  ^  {a  hy  {cdf  {ac)  (b  d) .  ax  hx  Cx  da:, 

welche  mit  Hilfe  der  neuen  Formen  i,  j  zerlegbar  ist.    Benutzt  man  nämlich  die 
Identität: 

(b  d)  ax  —  {a  d)  bx  —  ia  b)  dx , 
so  wird 

i?  =  (a&)2  (C6^)2  {ac)  bx  Cx  dx  \{ad)  bx  -  {ab)  dx\ 

=.  {a Z>)2  (c 6^)2  {a c)  {a  d)  bx""  Cx  dx  -{ab)^  (c d)''  {a c)  bx  Cx  dx"". 

Vertauschen  wir  im  zweiten  Theile  diesen  Ausdruck  a  und  b,  so  können  wir 
für  denselben  setzen: 

1  {a  6)3  (crf)2  Cx  dx^  { {a  c)  bx  -  [b  c)  ax^  =\  {a  bf  {c  d)^  Cx^  dx""  =  \iH; 

aus  dem  ersten  Theile  von  R  aber  erhalten  wir  durch  Anwendung  der  Identität  III. 

§  15.: 

(a Z>2  {cdf  bx""  \  {a ef  dx^  -\{c df  ax"" ]  =  (a b)^  {a cf  (c df  bx""  dx"-  -\iH, 

so  dass 

B  =  {a  bf  {a  c)^  (c  d)^  bx''  dx""  -  i  H. 

Vertauscht  man  nun  in  der  Identität  (2)  §40.  x  mit  y,  setzt  Cg,— c,  an  Stelle 
von  2/i ,  2/2  u'^cl  multiplicirt  mit  {cd)'^dx^i  so  ergiebt  sich 

{a  b)^  {a  c)2  (c  d)^  bx""  dx^  =  {Hcf  {c  d)^  Hx''  da^  +  y  (c  d)""  Cx^  dx"", 

oder  nach  derselben  Identität,  indem  man  a,  b  durch  rf,  e,  die  y  durch  II^^  —  Hi 
ersetzt  und  mit  Hx^  multiplicirt; 

z=.{liRYJIx''B'x^-^\iIl 

^\jf^\ill  [§41.(3).] 

und  daher  endlich; 


der  Formensysteme.    -  §  67.  2ö7 

Classe  von  Covariaiitcn  (sie  mögen  Ä^,  A.^ .  .  .  A^  sein)  eine  zweite 
ebenfalls  endliche  Gruppe  von  Covarianten  (7^,  C.^...  Cq  und  Invarianten 
D^j  D., . .  .  Da  gegenüberstellt,  und  zeigt,  dass  alle  aus  /* entspringenden 
Bildungen  auf  Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Producte 
der  C  und  auf  die  D  zurückgeführt  werden  können;  und  man  beweist 
ausserdem,  ähnlich,  wie  es  im  vorigen  Abschnitt  bei  der  entsprechenden 
Gelegenheit  geschah,  dass  die  Anzahl  der  so  entstehenden  Neubildungen 
endlich  sei.  iils  eine  für  den  Gang  des  Beweises  unwesentliche,  aber 
für  die  Anwendung  auf  wirkliche  Bildung  von  Formen  um  so  wesent- 
lichere Modification  tritt  dabei  die  Bemerkung  ein,  dass  man  an  Stelle 
der  von  den  Formen  (n—l)^^^  Ordnung  herübergenommenen  Bildungen 
Aj  wenn  (^2  —  1)  nicht  durch  4  theilbar  ist,  diejenigen  setzen  kann, 
die  schon  bei  der  nächstniedrigen  durch  4  theilbaren  Ordnung  auftreten. 

Das  System  der  C  und  D  ist  nichts  anderes  als  das  Formen- 
system derjenigen  Bildungen  zweiten  Grades  (a6)^a^"— ■^  ?>j"-^,  deren 
Ordnung  niedriger  als  n  ist,  und  deren  simultanes  Formensystem 
daher  der  Voraussetzung  nach  ein  endliches  ist.  Nur  bei  den  Formen, 
deren  Grad  n  durch  4  theilbar  ist,  existirt  eine  Form  zweiten  Grades, 
deren  Ordnung  gleich  n  ist,  und  dieser  Fall  erfordert  noch  beson- 
dere Betrachtungen. 

Da    die  genannten  Formen  zweiten  Grades    aber    sämmtlich    den 

*  '}i 

symbolischen  Factor  (ah)^  haben,  wo  /.^  -^ ,  so  wird  die  Einführung 

des  Systems  der  C  und  D  durch  den  folgenden  Satz  vorbereitet,  dessen 
Beweis  der  Gegenstand  des  nächsten  Paragraphen  ist: 


Da  der  erste  dieser  Theile  nothwendig  eine  Covariante  ist,  so 
kann  er  bei  Invarianten  nicht  auftreten;  und  für  Invarianten  insbesondere 
lautet  der  Satz  also  so: 

Jede  Invariante    einer  Form   ??*"  Ordnung   kann 
so  dargestellt  werden,    dass    sie   den  symbolischen 

Factor   (ah)^  hat,  wo  A   ^ö"« 

Aber  nicht  nur  für  Invarianten  ist  jener  erste  Theil  nothwendig 
Null,  sondern  auch  für  eine  Classe  von  Covarianten.  Derselbe  lässt 
sich  nämlich,  wie  wir  sehen  werden,    immer  so  wählen,    dass  einer 

ClebBcb,  Theorie  der  binären  p.lgebr.  Formen.  17 


258  Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 

der  linearen  symbolischen  Factoren  zu  höherer  als  der  —y^^"^  Potenz 
vorkommt.  Die  Ordnung  dieses  Terms  ist  also  immer  grösser  als 
-^  +  %  —  1 ,  wo  ;«  den  Grad  desselben  in  den  Coefficienten  von  /  be- 
deutet, oder,  was  dasselbe  ist,  die  Anzahl  der  in  ihm  auftretenden 
Symbole.  Dieser  Term  muss  also  fortfallen,  sowie  dieser  Ungleichung 
nicht  mehr  genügt  wird,    also    wenn   die  Ordnung    der    betrachteten 

Form  gleich  oder  kleiner  als  ^  -\-k  —  1  ist.  Und  es  ergiebt  sich  also 
der  Satz: 

Jede    Covariante    von  /*,    deren  Ordnung    nicht 

um  mehr  als  -^—1  grösser  ist,  als  der  Grad  der- 
selben in  den  Coefficienten  von  f,  kann  aus  Gliedern 
zusammengesetzt  werden,    deren  jedes    einen  sym- 

bolischen    Factor    {ah)^    enthält,    wo  A   >>  ^ . 


§  68.    Beweis  der  Zerlegbarkeit. 

Um  die  vorstehenden  Sätze  zu  beweisen,  bezeichne  ich  durch  TT 
irgend  eine  gegebene  Covariante  oder  Invariante  der  Form  f,  welche  vom 
(m+l)^®^  Grade  in  den  Coefficienten  sein  mag.  Nehmen  wir  an,  der  oben 
ausgesprochene  Satz  sei  für  Covarianten  und  Invarianten  von  w^*^"  oder 
von  niederem  Grade  bewiesen,  wie  er  für  den  ersten  Grad  (/*  selbst) 
evident  ist.  Ich  werde  zeigen,  dass  er  dann  auch  für  den  (w+1)*®" 
Grad  richtig  ist,   womit  er  denn  allgemein  bewiesen  ist. 

Die  Function  TT  entsteht  nach  §  31.  als  Aggregat  von  Ueber- 
schiebungen  der  Form  /  über  Covarianten  des  w*^"  Grades.  Von  diesen 
nehmen  wir  den  Satz  als  bewiesen  an,  und  wollen  ihn  für  TT  selbst 
beweisen.  Die  verschiedenen  Theile  von  TT  entstehen  also  aus  üeber- 
schiebungen   von   /  über  Formen,    welche    theils    bereits    den  Factor 

(a&)^(A>>-^|   enthalten,   theils  Covarianten  sind,   welche   schon   bei 

niederen  Ordnungen  auftraten.  Was  nun  die  erste  Art  von  Ueber- 
schiebungen  betrifft,  so  verlieren  sie  den  symbolischen  Factor  {ahY 
nicht,  haben  also  schon  die  in  dem  Satze  verlangte  Form.  Es  handelt 
sich  also  nur  noch  um  die  zweite  Art,  also  um  Ueberschiebungen  von 
f  über  Covarianten,  welche  schon  bei  früheren  Ordnungen  auftreten, 
und  von  diesen  ist  zu  zeigen,  dass  sie  immer  die  im  Satze  angegebene 
Form  annehmen  können. 


der  Fornieusj^steme.  —  §§  67,  68.  259 

Aber  wie  sclion  oben  angedeutet,  kann  man  zeigen,  dass  der 
Charakter  dieser  Covarianten  noch  mehr  beschränkt  werden  kann; 
dahin  nämlich,  dass  man  annimmt,  dieselben  enthalten  nicht  nur 
jedem  ihrer  Symbole  entsprechend  einen  linearen  Factor,  sondern 
jedes  Glied    derselben    enthalte    auch    mindestens  einen  derselben  zu 

Ol 

einer  höheren  als  der  ^^^"  Potenz.  Covarianten,  welche  dieser  Be- 
dingung Genüge  leisten,  und  welche  vom  //>^°  Grade  in  den  Coefficienten 
von  f  sind,  mögen  durch  2J  Wh  bezeichnet  werden,  wo  wir  uns  unter 
jedem  einzelnen  Wh  ein  der  Bedingung  genügendes  symbolisches 
Product  denken.  Wir  setzen  also  voraus,  dass  bis  zum  m^^^  Grade 
in  den  Coefficienten  inclusive  alle  Covarianten  (bez.  Invarianten)  die  Form 

haben,  und  wollen  zeigen,  dass  dann  auch 

Nach  dem  oben  Gesagten  ist  also  nur  zu  beweisen,  dass  jede 
Ueberschiebung  von  f  über  eine  Form  Wm  wieder  durch 
Formen  Wm+i  und  durch  Glieder  darstellbar  ist,  welche  den 
symbolischen  Factor  {ah)^  enthalten.  Ist  dieser  Beweis  geführt,  so 
ist  auch  der  oben  angegebene  Satz  erwiesen. 

Den  Hilfssatz  kann  man  nun  folgendermassen  einsehen.  Dass  er 
für  die  nullte  Ueberschiebung  richtig  ist,  sieht  man  sofort.  Denn  die 
*  nullte  Ueberschiebung  von  f  mit  einem  Wm  ist  f.  W„,,  ein  Ausdruck, 
welcher  die  Form  TF„,-fi  hat.  Man  kann  also  annehmen,  der  Satz 
sei  für  die  z*®  Ueberschiebung  von  f  mit  W„i  bewiesen,  und  hat  nur 
zu  zeigen,  dass  er  dann  auch  für  die  {x-\-iy^  richtig  ist. 

Nun  besteht  die  (jc  +  l)*®  Ueberschiebung  von  fmit  einem  Wm  aus 
mehreren  Theilen,  welche  sich  dadurch  von  einander  unterscheiden, 
dass  jedesmal  (jc-j-l)  andere  lineare  bx,  Cjc .  .  .  Factoren  von  Wm  in  (ha) 
{cd) .  . .  verwandelt  sind  (§  53.).  Die  Differenz  zweier  solcher  Theile  ist 
immer  durch  niedere  üeberschiebungen  ausdrückbar  (ebenda,  Satz  4.), 
hat  also  der  Voraussetzung  nach  bereits  die  verlangte  Eigenschaft, 
sich  aus  Formen  Wm  +  i  und  aus  Gliedern  mit  dem  symbolischen  Factor 
{ah}^  zusammensetzen  zu  lassen.  Man  braucht  also  nur  noch  für  einen 
Term  der  Ueberschiebung  dasselbe  zu  zeigen.     Ist  symbolisch 

Wm=N,hJCxCh..., 

AI 

WO  (>>>^,    so  ist    der  Term    der  Ueberschiebung,    für    welchen   der 

Nachweis  direct  geliefert  werden  kann,    derjenige,   welcher  bei   mög- 
lichst ausschliesslicher  Benutzung  des  symbolischen  Factors  6^-^  entsteht. 

17* 


260  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

Ist  die  Höhe  der  Ueberschiebung  kleiner  als  ^,  also  auch  kleiner  als 
Q,  so  ist  dieser  Term 

fi 
dabei  ist  n—;c^-^,   also   hat   dieser  Term   die  Form   Wm+i-     Ist  da- 

=  n  - 

gegen  Jc  >  ^  ;  so  erhält  der  Term  den  Factor  Q)a)~  ^  was  denn  wieder 

die  verlangte  Form  giebt,  ohne  dass  Ausdrücke  TI^«,4.i  dabei  auftreten. 

Hiermit  sind  sämmtliche  oben  gegebene  Sätze  bewiesen. 

üebrigens  dienen  die  Formen  W y  welche  hier  eingeführt  wurden, 
nur  dem  gegenwärtigen  Beweise,  sowie  dem  Nachweise  des  am  Ende 
des  vorigen  Paragraphen  gegebenen  Satzes.  Im  Folgenden  ist  es  nicht 
nöthig,  sich  der  in  der  Einführung  der  W  liegenden  Beschränkung 
zu  bedienen;  es  genügt  vielmehr  der  weniger  aussagende,  aber  leichter 
auszusprechende  Satz,  dass  alle  Bildungen  in  Theile  zerfallen,  die  aus 
den  schon   bei  n—1  vorkommenden  Bildungen  entnommen  sind,   und 

aus  Gliedern  mit  dem  symbolischen  Factor  {ah)^  j  wo  A>-^.    In  dieser 

Gestalt  ist  der  Satz  im  vorigen  Paragraphen  ausgedrückt  worden,  und 
in  dieser  Gestalt  wird  er  auch  im  Folgenden  benutzt  werden. 


§  69.    Folgerungen  aus  dem  Zerlegungssatze. 

Nimmt  man  zu  dem  Obigen  hinzu,  dass  eine  Covariante  oder 
Invariante,  welche  den  Factor  [ahy^—^  hat,  immer  in  ein  Aggregat 
solcher  übergeführt  werden  kann,  welche  den  Factor  {ctlSf'^  haben, 
so  zeigt  sich,  dass  das  Verhalten  der  Covarianten  einer  Form 
^*"  Ordnung  ein  verschiedenes  ist,  je  nach  dem  liebte, 
welchen  n  nach  der  Zahl  4  lässt.  Der  kleinste  Werth  der  oben 
durch  X  bezeichneten  Zahl  ist,  je  nachdem  n  die  Form 

7^=:4/i-3,     47^-2,    4Ä-1,    4/^ 
hat: 

l  =  2h-l,    2h~l,    2h,  2h. 

Aber  durch  die  eben  gemachte  Bemerkung  erhöht  sich  der  un- 
gerade Wertli  von  /l  in  den  ersten  beiden  Fällen  um  1 ,  so  dass  in 
allen  vier  Fällen  als  niedrigster  Werth  von  A  die  Zahl  2  h  angesehen 
werden  kann. 

Bezeichnen  wir  durch  TT^  eine  Covariante  oder  Invariante,  welche 
bei  Formen  %*«^ Ordnung  auftritt,  durch  a,  &  . . .  m  die  in  TTx  auftretenden 
Symbole,  so  hat  man  hiernach  folgende  Gleichungen  (wobei  die  TT 
mit  verschiedenem  Index  ganz  verschiedene,  in  keiner  Weise  gleichartige 


der  Formensysteme.  —  §§  68,  60.  261 

Bildungen  bezeichnen  können,  ein  TT  mit  demselben  Index  in  ver- 
schiedenen Ghjichungen  aber  Gleiches  oder  Verschiedenes  bedeiiteu 
kann)  : 

Hl/,     =  TT4Ä-1 .  «X  K'  "frix-h  {ah)'^' .  31 
TTi/,_i  =  TT4/,_2  .aj:hjr...  m^r  +  {a  hf^  .  M' 

n4/i-3  =  n4Ä_4  .aa:ha:...  lUv  +  («  hf^  .  M"\ 

d.h.  es  drückt  sich  eine  Covariante  einer  Form 4/**",  (4/t—  l)**^'*,  (4/i  — 2)*% 
(4/i— 3)**^'"  Ordnung  immer  aus  durch  eine  Summe,  deren  erster  Theil 
aus  Bildungen  besteht,  welche  bereits  bei  den  Formen  der  um  je  1 
niederen  Ordnung  auftreten,  und  deren  zweiter  Theil  in  allen  seinen 
Gliedern  den  symbolischen  Factor  {ah)-''  hat.  Aber  man  kann  diese 
so  analogen  Resultate  combiniren,  indem  man  die  ersten  Tlieile  der 
Summe  in  jeder  der  Gleichungen  mit  Hilfe  der  folgenden  modificirt, 
wol)ei  sich  denn  freilich  immer  auch  der  zweite  Theil  ändert,  insofern 
neue,  mit  dem  symbolischen  Factor  uib)'-^  behaftete  Tenne  hinzutreten. 
Demnach  kann  man  den  Gleichungen  die  Gestalt  geben: 

TT4>i_3  =  TT4/.^4.<^-r  hjc  . . .  Mj,  +{aby^''.N^ 
n4 k-2  =  n, /,_4 .  aj  h/  . . .  m/  +  (a  hf' .  N' 
T\x  /._,  =  T\x  /,_4 .  aj  hj . . .  m/  +  {a  hy  ^ .  iV^" 
n4/,     =T]u-i-aJhJ...mJ+{ahyKN"\ 

und  hat  also  den  Satz: 

Die   Covarianten    uÄd   Invarianten   der   Formen 

von    den   Ordnungen   4/i  — 3,  4:h  —  2j  4/i  — 1,  4h    setzen 

sich  aus  Bildungen  zusammen,  welche  schon  beiden 

Formen  (4/i  — 4)*"  Ordnung  aufgetreten  sind,  und  aus 

solchen,     welche     den    symbolischen    Factor     {ah)~^ 

habe  n. 

Das  letztere  lässt  sich  nach  §  31.  noch  anders  ausdrücken.   Denn 

wenn   eine  Bildung   den  symbolischen  Factor  {ah)'-^  hat,   so   entsteht 

sie    durch    Ueberschiebungen    von   Formen    niederen  Grades    mit  den 

Covarianten    zweiten  Grades,    welche    eben    dieses   Symbol   enthalten, 

also  mit  den  Formen: 

{ahf^^  aj,"-"-^  6a.-"-2^        (fl  6)2^+2  ^.^n-2A-'2  h^r,-2h-2^ 

{aby^+^  «^"-'^^'-^  ?^.r"--''-S . . . 

Von  diesen  Formen  ist  nur  bei  n  =  4h  die  erste  von  der  Ordnung 
n  selbst;  die  anderen  und  in  den  übrigen  Fällen  auch  die  erste  sind 
von  niederer  Ordnung.     Die  erste  hat  für 

n  =  4h-3,     4h-2,     4/^-1,     4A 
die  Ordnungen 

4/^-6,     4/i-4,     4A-2,     4/^; 


262  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

und  da  die  Ordnungen  der  Formen  zweiten  Grades  von  4  zu  4  fort- 
schreiten, so  giebt  es  keine  unter  den  obigen  nicht  enthaltene,  deren 
Ordnung  gleich  oder  kleiner  wäre  als  n.  Man  kann  daher  auch  den 
folgenden  Satz  aussprechen : 

Alle  Covarianten  und  Invarianten  der  Formen 
von  der  Ordnung  ^  =  4/^  — 3,  Ah  — 2,  Ah—l,  *4 /^  zer- 
fallen in  Covarianten,  welche  schon  bei  der  Ordnung 
4/i  — 4  aufgetreten  sind,  und  in  Ueberschiebungen 
von  Bildungen  niederen  Grades  mit  denjenigen 
Formen  zweiten  Grades,  deren  Ordnungen  kleiner 
als  n,  bez.  im  letzten  Falle  gleich  n  sind. 

§  70.  Wenn  alle  Formen  f  bis  zur  (w  — l)ten  Ordnung  endliche  voll- 
ständige Systeme  von  Invarianten  und  Covarianten  besitzen,  so  haben 
auch  die  Formen  nter  Ordnung  solche.  Beweis  für  die  Fälle ,  wo  n  nicht. 

durch  4  theilbar  ist. 

Mit  Hilfe  des  obigen  Satzes  lässt  sich  nun  ein  grosser  Theil  des 
Beweises  für  die  Endlichkeit  des  vollständigen  Formensystems  von  /* 
führen. 

Nehmen  wir  an,  es  sei  die  Endlichkeit  des  Formensystems  bereits 
für  alle  Functionen  bewiesen,  welche  von  niederer  als  der  w*«"  Ordnung 
sind.  Es  kommt  dann  nur  darauf  an,  zu  zeigen,  dass  auch  für  die 
7^*®  Ordnung  das  Formensystem  gndlich  ist;  denn  da  die  Endlichkeit 
für  die  niederen  Ordnungen  bereits  festgestellt  ist,  so  ist  sie  dann 
allgemein  nachgewiesen. 

Der  Beweis,  dass  wirklich  aus  der  Endlichkeit  für  Formen  bis 
zur  Ordnung  n  —  l  inclusive  auch  die  Endlichkeit  für  die  n*®  Ordnung 
folgt,  lässt  sich  nun  mittelst  des  Obigen  immer  führen,  sobald  n  von 
der  Form  4/^  —  3,  4/^  —  2,  4/^—1  ist,  und  erfordert  nur  eine  Er- 
gänzung ,  wenn  n=  4:h. 

Nehmen  wir  also  an,  es  sei  n  nicht  durch  4  theilbar  (fi^Ah  —  o, 
Ah— 2,  Ah—V).  Diejenigen  schon  bei  Ah  —  A  auftretenden  Formen, 
welche  nicht  den  symbolischen  Factor  (ah)-^^  enthalten,  seien 

Ihre  Zahl  ist  der  Voraussetzung  nach  endlich.  Da  sie  erst  durch 
Hinzufügung  von  symbolischen  Factoren  «^  b^v  • . .  auch  den  Formen 
^^tcr  Ordnung  zugehören,  so  sind  sie  sammtlich  Covarianten. 

Die  zu  f  gehörigen  Formen  zweiten  Grades  sind  in  diesem  Falle 
sammtlich  von  niederer  als  der  n^^^  Ordnung.  Wenn  man  sie  also 
als  unabhängige  Grundformen  betrachtet,  so  gehören  ihnen  endliche 
vollständige  Systeme  von  Covarianten  und  Invarianten  zu;  und  auch 
die  aus  ihnen  zusammengesetzten  simultanen  Bildungen  besitzen  also 


der  Formensystünie.  —  §§  69 ,  70.  263 

ein  .solches    endliches    vollständiges   System    (§  54.).      Dieses   letztere 
bestehe  aus  den  Covarianten 

6\,     Co .  "  Cq 
und  aus  den  Invarianten 

Der  am  Ende  des  vorigen  Paragraphen  gegebene  Satz  zeigt,  dass 
alle  Covarianten  und  Invarianten  von  f  aus  Producten  der  A  und  aus 
Formen  sich  zusammensetzen,  welche  durch  üeberschieben  der  niederen 
Formen  zweiten  Grades  über  Covarianten  von  f,  also  über  ebenso 
zusammengesetzte  Formen  entstehen..  Durch  Fortsetzung  dieses  Pro- 
cesses  folgt  leicht  der  Satz: 

1.    Jede  Covariante  von  /"ist  additiv  zusammen- 
gesetzt aus  Producten  der  Ä  und  aus  Termen,  welche 
ausser     Facto ren    Z)     noch     Ueberschiebungen     von 
Producten  der  C  über  Producte  der  A  enthalten. 
Dieser  Satz  ist  nämlich  jedenfalls  richtig  für  die  Bildungen  ersten 
und   zweiten  Grades,    welche    theils   den  A.    theils    den  C,  D  selbst 
zugehören.  Nehmen  wir  daher  den  Satz  für  Bildungen  bis  zum  (m  — 2)*®" 
Grade  einschliesslich  als  erwiesen  an    und  zeigen  wir,    dass    er    dann 
auch  für  Formen  vom  m*^"  Grade  gilt,   so  ist  er  überhaupt  bewiesen. 
Nun  zerlegt   sich  jede  Covariante  wi*®"  Grades    nach   dem  Vorigen   in 
eine    ganze   rationale  Function  der  A    und    in  Ueberschiebungen    der 
niederen  Formen  zweiten  Grades,  also  der  einfachsten  C  (resp.  D)  über 
Formen   (»i  — 2)*®"   Grades,    während    der  Voraussetzung    nach    diese 
Formen   {m  —  2)*«"  Grades  in  Producte  der  A  und  in  Ueberschiebungen 
von  Producten  der  C  über  Producte  der  A  (nebst  etwaigen  Factoren  I)) 
zerfallen.     Jede  Covariante   wi*^"   Grades   wird   also   aus   dreierlei  ver- 
schiedenartigen Theilen  gebildet: 

1.  Producten  der  ^, 

2.  Ueberschiebungen  von  Formen  C  über  Producte  der  A, 

3.  Ueberschiebungen  von  Formen  C  über  Ueberschiebungen  von 
Producten  der  C  mit  Producten  der  A^  wobei  die  letzteren  auch 
Factoren  D  enthalten  können. 

Die  Theile  der  ersten  und  zweiten  Art  haben  schon  die  verlangte 
Form,  und  auch  der  Voraussetzung  nach  jeder  Theil  dritter  Art, 
welcher  Factoren  D  enthält,  da  nach  Weglassung  dieser  Factoren 
der  Term  von  niederem  Grade  wird,  also  der  Voraussetzung  gemäss 
die  im  Satze  angegebene  Form  hat.  Aber  auch  für  Theile  der  dritten 
Art,  welche  keinen  solchen  Factor  enthalten,  sieht  man  dasselbe 
sogleich  ein.  Bezeichnen  wir  nämlich  das  in  ihm  vorkommende  Product 
der  A  durch  (p^-^,  so  enthält  die  betrachtete  Bildung  ausser  den  C 
nur  noch  das  Symbol  qp,  kann  also  nach  §  31.  durch  Ueberschiebungen 


264  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

der  Prodticte  g)^f^  mit  Formen  gebildet  werden,  welche  nur  die  Sym- 
bole der  C  enthalten,  also  selbst  Aggregate  aus  Producten  der  0,  I) 
sind;  womit  denn  wieder  die  verlangte  Form  hergestellt  ist. 

Hiermit  ist  der  obige  Satz  bewiesen. 

2.  Man  kann  nun  aber  weiter  zeigen,  dass  an  Stelle  der 
hier  auftretenden  Ueberschiebungen  von  Producten  der 
Ä  über  Producte  der  C  immer  Theile  derselben  gesetzt 
werden  können;  wie  dies  ähnlich  in  §  54.  geschehen  konnte. 
Es  ist  nur  nöthig,  zuvor  genau  festzustellen,  was  hier  unter 
einem  Theile  einer  üeberschiebung  zu  verstehen  ist.  Bei  der  Unter- 
suchung der  simultanen  Systeme,  welche  aus  zwei  von  einander 
unabhängigen  vollständigen  Systemen  entstehen  (§  54.),  wurden  die 
Theile  der  Ueberschiebungen  so  gebildet,  dass  in  einem  Producte 
von  Formen  des  einen  Systems  jede  Form  entweder  durch  ihre  eigenen 
-Symbole  ausgedrückt  werden  konnte,  oder  durch  Symbole,  welche 
niederen  Formen  desselben  vollständigen  Systems  angehören,  wie  z.  B. 
die  Form  T,  welche  bei  den  Formen  vierter  Ordnung  auftritt,  dabei 
ebensowohl  durch  das  Symbol  TJ,  wie  durch  das  Symbol  {aH)  aj  hj 
dargestellt  werden  konnte.  In  ähnlicher  Weise  müssen  wir  hier 
verfahren.  Denn  obgleich  die  Systeme  der  A  und  der  C  hier  aus 
derselben  Grundform  entsprungen,  also  keineswegs  von  einander  unab- 
hängig sind,  müssen  wir  sie  hier  doch  als  von  einander  unabhängig 
behandeln ;  wir  dürfen  also  bei  Bildung  der  Ueberschiebungen  Symbole 
der  J.  nur  durch  Symbole  von  niedrigeren  Formen  ausdrücken,  welche 
selbst  unter  die  A  gehören,  und  Symbole  der  C  nur  durch  solche, 
welche  selbst  unter  die  C  gehören;  so  dass  also  stets  ein  aus- 
schliesslilich  die  Symbole  der  A  enthaltender  Ausdruck  über  einen 
ausschliesslich  die  Symbole  der  G  enthaltenden  geschoben  wird. 

Bei  dem  Beweise  tritt  sodann  dem  Beweise  des  §  54.  gegenüber 
der  neue  Umstand  hinzu,  dass  die  Formen  C  zwar,  nicht  aber  die  J. 
ein  vollständiges  System  bilden,  vielmehr  letztere  nur  ein  solches  sind 
bis  auf  additive  Terme,  welche  den  symbolischen  Factor  (ah)'^^'  ent- 
halten. 

Um  den  Inhalt  des  ausgesprochenen  Satzes  zu  verdeutlichen  und 
zugleich  den  Beweis  zu  ermöglichen,  denken  wir  uns  alle  in  Rede 
stehenden  Ueberschiebungen  zusammen  mit  den  Producten  und  Po- 
tenzen der  Formen  A,  C,  D  selbst  (nullte  Ueberschiebungen)  in  einer 
gewissen  sogleich  anzugebenden  Weise  geordnet.  Wenn  nun  gezeigt 
wird,  dass  die  Differenz  zwischen  einer  Üeberschiebung  und  einem 
ihrer  Glieder  in  dem  oben  definirten  Sinne  sich  durch  Formen  aus- 
drücken lässt,  welche  nach  dieser  Anordnung  früher  vorkommen,  so 
folgt,  dass  das  ganze  System  der  Ueberschiebungen  in  seiner  Voll- 
ständigkeit   nicht    geändert  wird,    wenn    man    jede    Üeberschiebung 


der  Formensysteme.  —  §  70.  265 

durch  einen  solclien  Theil  derselben  ersetzt.  Denn  ist  das  System 
der  Ueberscliiebungen  ursprünglich  etwa  durch  die  Formen 

U,   V,   W,  T... 

gebildet,  so  führt  man  an  deren  vStelle  jetzt  die  Theile  der  Ueber- 
schiebungen  : 

U'  =  U,     V  =  V-  cc  U,     W  -  W-  ß  V-  ß'  u, 
T=^T-y  W-yV-fU... 

ein,  in  welchen  die  a,  ß^  Y---  nuuierische  Coefficienten  bedeuten; 
aus  diesen  aber  lassen  sich  jene  ersten  wiederum  zusammensetzen  und 
die  letzteren  bilden  daher  ein  ebenso  vollständiges  System  wie  die 
erstereu.  Es  bleibt  also  nur  zu  zeigen,  dass  bei  einer  gewissen  An- 
ordnung aller  Ueber.^chiebungen  die  Diä'erenz  einer  solchen  und  eines 
ihrer  Glieder  ein  x4ggregat  früherer  Formen  ist.  Eine  solche  Anord- 
nung ^ist  folgende. 

Wir  ordnen  (vgl.  §  54.)  die  Producte  der  A,  C,  D,  sowie  die 
Ueberschiebungen  der  Producte  der  A  und  C  zunächst  nach  der 
Gesammtordnung  in  den  Coefiicienten  von  /'  (aufsteigend). 

Wir  ordnen  sie  zweitens  innerhalb  dieser  Gruppen  nach  dem  Grade 
in  den  Coefficienten  von  /*,  so  weit  sie  von  den  A  herrühren  (auf- 
steigend). 

Wir  ordnen  sie  endlich  in  diesen  Gruppen  nach  der  Höhe  der 
Ueberschiebungen  (aufsteigend). 

Wie  gleich  hohe  Ueberschiebungen  innerhalb  derselben  Gruppe 
weiter  geordnet  werden,  ist  gleichgiltig. 

Nun  ist  nach  §  53.  die  Differenz  zwischen  der  Ueberschiebung 
eines  Products  der  A  über  ein  Product  der  C  und  einem  der  oben 
definirten  Theile  einer  solchen  Ueberschiebung  ein  Aggregat  von 
niederen  Ueberschiebungen.  Bei  jedem  der  in  diesen  niederen  Ueber- 
schiebungen auftretenden  Functionenpaare  enthält  die  eine  Function 
nur  Symbole  der  J.,  und  ihr  Grad  in  den  Coefficienten  von  f  ist 
gleich  dem  Grade  des  in  der  ursprünglichen  Ueberschiebung  auftretenden 
Productes  der  A.  Die  zweite  Function  enthält  nur  Symbole  der  C, 
und  sie  ist  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  von  f  von  demselben  Grade, 
wie  das  ursprünglich  angewandte  Product  der  C.  Die  letzte  Function 
ist  also  selbst  ein  Aggregat  von  Producten  der  C,  D;  die  erstere 
aber,  eine  aus  den  Symbolen  der  A  zusammengesetzte  Form,  besteht 
aus  zwei  Theilen.  Einer  dieser  Theile  ist  ein  Aggregat  von  Producten 
der  A'^  der  andere  besteht  aus  Ueberschiebuugen  von  Producten  der 
C  über  Producte  der  J.,  wobei  noch  Factoren  D  hinzutreten  können. 

Die  erwähnten  niederen  Ueberschiebungen  zerfallen  daher  in 
folgende  Gruppen: 


26ß  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

1)  Niedere  Ueberschiebungen  von  Producten  der  Ä  über  Producte 
der  Cj  beide  Producte  sind  in  den  Coefficienten  von  /*  von  gleicher 
Ordnung  wie  die  ursprünglichen,  und  diese  Ueberschiebungen  sind  also 
der  obigen  Anordnung  nach  frühere  Formen. 

2)  Theile,  bei  denen  an  Stelle  der  Producte  der  Ä  Ueber- 
schiebungen von  Producten  der  Ä  über  Producte  der  C  getreten  sind. 
Diese  Theile  sind  von  demselben  Gesammtgrade  in  den  Coefficienten 
von  f,  wie  die  ursprüngliche  Ueberschiebung;  aber  aus  dem  früher 
von  den  Ä  herrührenden  Grade  sind  Dimensionen  ausgeschieden  und 
in  C  übergegangen.  Diese  Theile  werden  also  erzeugt  durch  Ueber- 
schiebungen niederer  Producte  der  Ä  über  höhere  Producte  der  C, 
doch  so ,  dass  der  Gesammtgrad  erhalten  bleibt.  Auch  diese  also  sind 
frühere  Formen. 

3)  Theile,  bei  denen  Factoren  D  ausgeschieden  sind,  welche  also 
frühere  Formen  sind,  weil  sich  der  Gesamratgrad  der  übrigbleibenden 
Factoren  erniedrigt  hat. 

Die  fragliche  Differenz  ist  also  wirklich  durch  frühere  Formen 
ausdrückbar,  wie  zu  beweisen  war. 

3.  Nach  dem  Vorigen  konnten  die  Ueberschiebungen  von  Producten 
der  A  über  Producte  der  C  durch  Theile  derselben  ersetzt  werden. 
So  oft  nun  ein  in  Factoren  zerfallender  Theil  existirt,  wählen  wir 
diesen.  Jede  solche  Ueberschiebung  aber  kann  dann,  als  ausdrückbar 
durch  niedere  Formen,  ausgelassen  werden.     Und  man  hat  den  Satz: 

Alle  Covarianten  und  Invarianten  von  f  sind 
ganze  Functionen  der  vi,  (7,  D  und  derjenigen  Ueber- 
schiebungen der  Producte  der  ^4  über  die  Producte 
der  C,   in   denen   kein  zerfallender  Term  vorkommt. 

Da  nun  schon  in  §  54.  bewiesen  wurde,  dass,  wenn  die  Ä  und 
die  C  endlich  an  Zahl  sind,  auch  die  Anzahl  derjenigen  Ueber- 
schiebungen von  Producten  der  Ä  mit  Producten  der  C  eine  endliche 
ist,  welche  kein  zerfallendes  Glied  enthalten,  so  hat  man  nunmehr 
den  Satz: 

Wenn  die  Formen  (4/^  —  4)*®^  Ordnung  ein  end- 
liches vollständiges  System  von  Invarianten  und 
Covarianten  besitzen,  so  kommt  auch  den  Formen 
(4/^  —  3)*^%  (4/^  —  2)*^%  (4/i  — 1)*«'^  Ordnung  ein  solches  zu. 

Um  die  Endlichkeit  des  vollständigen  Systems  für  jedes  f  zu 
beweisen,  ist  also  nur  noch  nöthig,  den  Fall  zu  behandeln,  wo  n 
durch  4  theilbar  ist,  n==4/^,  und  wobei  vorausgesetzt  wird,  dass  für 
niedere  Ordnungen  der  Beweis  geliefert  sei. 


der  Forment^ysteine.  —  §§  70,  71.  267 

§  71.  Der  Fall,  wo  n  durch  4  theilbar  ist.  Eigenschaften  der  Co  Variante 
>«ter  Ordnung:  und  zweiten  Grades. 

Auf  den  Fall  n  =  4:h  konnte  der  oben  geführte  Beweis  nicht 
ausgedehnt  w^erden,  weil  in  diesem  Falle  unter  den  niederen  Formen 
zweiten  Grades  sich  die  Form 

befindet,  welche  selbst  von  der  Ordnung  n  ist. 

Um  diesen  Fall  zu  behandeln,  werden  wir  das  System  der  im 
Vorigen  angewandten  Formen  A  um  eine  endliche  Anzahl  gewisser 
anderer  Formen  vermehren,  welche  aus  ihnen  und  aus  K  gebildet 
sind.  Alsdann  schliesst  man  K  von  der  weitereu  Benutzung  aus  und 
stellt  dem  erweiterten  System  der  Formen  Ä  das  System  der  Formen 
C,  I)  gegenüber,  welches  aus  den  Formen 

(« hy^+-'  a/'^-'^  h.^  '^-\      {a  hy-''^'  a,^^-'  h,''-'  .  . . 

entsteht.  Diese  sind  wiederum  sämmtlich  von  niederer  Ordnung  als 
n,  und  das  aus  ihnen  gebildete  System  der  C,  D  ist  daher  der  Voraus- 
setzung gemäss  wiederum  endlich.  Man  kann  alsdann  auf  das  erweiterte 
System  der  A  und  das  System  dieser  C,  D,  zu  denen  noch  eine  unten 
zu  definirende  einzelne  Invariante  J  tritt,  dieselben  Betrachtungen, 
wie  im  Vorigen  anwenden,  und  erledigt  so  den  Beweis  mit  Hilfe  der 
nämlichen  Principien. 

Um  aber  zu  dem  erweiterten  Systeme  der  A  zu  gelangen,  ist  es 
nöthig,  einige  die  Form  K  betreffende  Sätze  vorauszuschicken. 

1.  Die  Ueberschiebungen  von  K  mit  /*,  deren 
Höhe  wenigstens  gleich  2h  ist,  lassen  sich  aus 
Gliedern  zusammensetzen,  welche  den  symbolischen 
Factor  {ahy'^'+'^  enthalten,  ausgenommen  die  4h^^ 
Ueberschiebung,   welche   die   Invariante 

liefert. 

Es  sind  nämlich  die  Glieder  der  (2/i  +  A)t«°  Ueberschiebung  von 
K  mit  f  (A=0,  l,2...2/i— 1)  sämmtlich  von  der  Form: 

((?=0,l,2...2/i-A). 

Daher  hat  die  Differenz  zweier  Glieder,  bei  denen  die  Werthe 
von  0  sich  nur  um  1  unterscheiden,  den  Factor 

eine  .solche  Differenz  enthält  also  den  Factor  (a6)-^+',  aus  welchem 
nach  §  15.  sich  auch  immer  der  Factor  («?>)-'''+-'  ableiten  lässt.  Kann 


268  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

nuiii  daher  noch  zeigen,  chiss  irgend  eines  der  Glieder  (1)  ebenfalls 
so  geschriel)en  werden  kann,  dass  («?>)-''  +  -  als  symbolischer  Factor 
auftritt,  so  lässt  sich  jedes  so  schreiben,  indem  es  sich  aus  diesem 
und  den  obigen  Differenzen  zusammensetzt,  und  daher  ist  dann  auch 
die  ganze  Ueberschiebung  so  darstellbar.  Ein  solches  Glied  ist  nuu 
bei  ungeradem  l: 

G,  =  (ahy^^  (acy^^  (hcY  hj'^^-^  cj"^-  ' , 

welches  durch  Vertauschung  von  h  mit  c  sein  Zeichen  ändert  und  also 
identisch  verschwindet    .Bei  geradem  A  aber  hat  man  aus 

durch  Vertauschuug  von  a  mit  c  und  Addition  beider  Ausdrücke : 

<^i  =  •K«0''~'  («?>)^^+'  (^^')^+'  W~^''  «.-^v 

.  {  {ahy^^^^-'  cj''-^-'  +  (bcy^^~^  '  a.'^^'-^-'  ^ 
=  1  (acf'-'  (ah)^-^'  (hcy+^  hj'^-^-^  a,  c^ 

*    oder,  wenn  man  die  Potenz  von  (^c)  (:?j;  —  (<^0  ^.f  entwickelt: 

wo-  nun  der  Factor  von  - — ^ rechts  durch  Vertauschung  von  a  mit 

c  in  G  übergeht,  während  («6')-^+'  M  nach  §  15.  in  {acy'^+'' W  ver- 
w^andelt  werden  kann. 

Der  Ausdruck  (^^^L"^:^-  l)  G,  =  ^^'~j~^  G,    nimmt    also 

den  symbolischen  Factor  (<%&)'- ^'+'^  an  und  daher,  da  für  gerades  A  der 
Factor  2  Ä  -  A  —  3  nicht  verschwindet,  auch  G^  selbst.  Diese  Ableitung 
setzt  nur  voraus,  dass  die  in  den  Formeln  als  Exponent  a»uftretende 
Zahl  2  /i  -  A  —  1  nicht  negativ  sei.  Der  Fall  X  =  2h  ist  dadurch  aus- 
geschlossen, wie  der  Satz  es  auch  aussagt.  Der  Satz  ist  also  in  allen 
Theilen  bewiesen. 

An  diesen  Satz  knüpft  sich  der  folgende: 

2.   Die  Ueb  er  Schiebungen  von  ^  über  sich  selbst, 

deren  Höhe  wenigstens   gleich   2h   ist,    zerfallen   in 

Glieder,     welche    theils    den    symbolischen    Factor 

(a?>)-''+2^  theils  den  Factor  /enthalten. 

Die  Glieder  fß  dieser  üeberschiebungen  entstehen  aus  Ga,  indem 

man  c  durch  %  ersetzt  5  daher  enthalten  wie  dort  die  Differenzen  fo  —  Tc+i 

immer  den  symbolischen  Factor  {aby^'+K     Es    ist  also    nur   noch  zu 

zeigen,  dass  irgend  ein  V  den  Forderungen  des  Satzes  genügt.   Nun  ist 

r  =  [aby^  (azy''  (bx)^  b/'^-^  y^.~''-^', 


•  der  Foraien Systeme.  —  §§  71,  72.  269 

es  enthält  den  Factor  (axy^'  und  entstellt  also  durch  Uel3erscliieljung 
anderer  Formen  mit  denjenigen,  welche  den  symbolischen  Factor 
(ax}'^'  und  ausser  a  und  x  kein  weiteres  Symbol  enthalten.  Dies 
aber  sind  die  Formen,  von  denen  im  vorigen  Satze  ausgesprochen 
wurde,  dass  sie  bis  auf  «7  den  symbolischen  Factor  (((1)'^'+'^  enthalten. 
Daher  ist  der  obige  Satz  für  f^  und  somit  aucli  für  die  ganzen  im 
Satze  genannten  Ueberschiebungen  bewiesen. 

Da  jede  den  symbolischen  Factor  (xz'y^  enthaltende  Form  durch 
Ueberschiebungen  der  hier  behandelten  Formen  mit  Formen  niedern 
Grades  entsteht,  so  kann  man  diesen  Satz  auch  so  aussprechen: 

Jede  den  symbolischenFactor  (xx)'-^'  enthaltende 
Form  zerfällt  in  Glieder,  welche  theils  den  sym- 
bolischen Factor  {cihy'+-,  theils  den  wirklichen 
Factor  J"  enthalten. 


§  72.    Beweis  der  Existenz  eines  endlichen  vollständigon  Systems  fiir 
den  Fall,  wo  n  durch  4  theilhar  ist. 

Bezeichnen  wir  nun  wieder  durch 

diejenigen  Covarianten  von  /',  welche  schon  bei  den  Formen  {Ah  —  4)*®"^ 
Ordnung  als  Bildungen  auftreten  und  w^elche  nicht  den  symbolischen 
Factor  {cihy^  enthalten.  Ihre  Zahl  ist  nach  der  Voraussetzung  endlich. 
Bilden  wir  dieselben  Formen  für  K  als  Grundform,  und  scheiden 
wir  alle  diejenigen  aus,  welche  den  symbolischenFactor  {xxy*  oder 
deren  Glieder  den  symbolischen  Factor  (^ahy^'+'^j  resp.  J,  haben,  so 
erhalten  wir  Bildungen,  welche  durch 

■^1  ;      ^2  ;  •  •  •   -^v 
bezeichnet  werden  mögen  und  zu  welchen  K  selbst  gehört. 

Galt  für  die  A  der  Satz,  dass  jede  Covariante  von  f  sich  aus 
Producten  der  A  und  aus  Formen  zusammensetzt,  welche  den  sym- 
bolischen Factor  {cihy''  haben,  so  entspricht  diesem,  dass  alle  Co- 
varianten von  K  sich  aus  Producten  der  A-  und  aus  solchen  Formen 
zusammensetzen,  welche  entweder  den  symbolischenFactor  {xx'Y^  oder 
den  symbolischen  Factor  (fl6)^^'+'*  haben.  Aber  von  den  letzten  Be- 
stimmungen kommt  die  erstere  auf  die  letztere  nach  dem  vorig^en 
Paragraphen  zurück,  abgesehen  von  Gliedern,  die  den  w^irklichen 
Factor  J  haben.     Man  hat  also  den  Satz: 

Alle  Covarianten  von  K  setzen  sich  aus  Pro- 
ducten der  A  zusammen,  und  aus  Gliedern,  welche 
theils  den  symbolischen  Factor  (a6)^''*+-,  theils  den 
wirklichen  Factor  J"  haben. 


270  Sechster  Abschnitt..    Endlichkeit 

Aehnlicli  wie  in  §  70.  beweist  man  nun  eine  Reihe  von  Sätzen 
über  die  Art  und  Weise  ^  in  welcher  alle  Invarianten  und  Co  Varianten 
von  f  sich  ausdrücken  lassen. 

1.     Jede  Covariante  oder  Invariante  von  /^setzt 

sich   zusammen    aus    einer   ganzen  Function    der  A, 

der  A    und    der    Ueberschiebungen    von  Producten 

der  A  über  Producte  der  A ,  und  aus  Gliedern,  welche 

den  symbolischen  Factor  (a?;)~''+2  oder  den  wirtlichen 

Factor   J  enthalten. 

Dieser   Satz   ist    richtig    für    die  Bildungen    ersten    und    zweiten 

Grades,  welche   theils  den  A,  theils  den  A' ,  C,  D   selbst  angehören. 

Nehmen  wir  daher    den  Satz  für  Bildungen    bis    zum   (m  — 2)^^°  Grade 

einschliesslich  als  erwiesen  an  und  zeigen  wir,  dass  er  dann  auch  für 

Formen    vom  m*®°  Grade  gilt,    so    ist    er    überhaupt    bewiesen.     Nun 

zerlegt    sich   jede  Covariante  oder  Invariante    m*^"  Grades    nach    dem 

Früheren  in  eine  ganze  rationale  Function  der  A  und  in  Terme,  welche 

den  symbolischen    Factor    {cthy^'  haben,    also    aus    Ueberschiebungen 

von  Formen  (m  — 2)*^"  Grades  über  K  (welches  den  A  angehört)  und 

über   die   niedern  Formen  zweiten  Grades   (welche  zu  den  C  gehören) 

entstanden  sind. 

Von  den  Formen  (w— 2)*'^"  Grades,  über  welche  K  und  die 
niederen  Formen  zweiten  Grades  hierbei  geschoben  werden,  gilt  der 
Voraussetzung  nach  bereits  der  zu  beweisende  Satz.  Demnach  besteht, 
indem  wir  die  im  Satz  enthaltene  Form  insbesondere  für  die  über  K  zu 
schiebenden  Ausdrücke  einsetzen,  jede  Invariante  und  Covariante  aus 
Theilen  folgender  Art: 

1.  aus  einer  ganzen  Function  der  J.; 

2.  aus  der  Ueberschiebung  von  K  (einem  A)  über  eine  ganze 
Function  der  A,  A  und  der  Ueberschiebungen  von  Producten  der  A 
über  Producte  der  A -^ 

^  3.     aus  Gliedern,    welche   den   symbolischen  Factor  {ahf^'+'  oder 
den  wirklichen  Factor  J  haben. 

Die  erste  und  dritte  Classe  von  Gliedern  hat  schon  die  verlangte 
Form;  nur  von  der  zweiten  Classe  ist  noch  zu  reden. 

Die  Glieder  dieser  Classe  kann  man  nach  einem  oft  angewandten 
Satze  aus  Ueberschiebungen  entstehen  lassen,  bei  welchen  immer  eine 
nur  aus  Symbolen  der  J.  zusammengesetzte  Form  über  eine  nur  aus 
Symbolen  der  A  zusammengesetzte  geschoben  wird;  also,  wenn  wir 
die  A  und  die  A  wie  zwei  Systeme  unabhängiger  Formen  behandeln, 
eine  Covariante  der  A  über  eine  Covariante  der  A.  Die  letztere  ist 
nach  dem  Vorigen  bis  auf  Glieder  mit  den  Factoren  {ahf^'-^-  und  J 
durch  eine  ganze  Function  der  A  ersetzbar;  und  da  die  Glieder  mit 
den  Factoren  (a  ?>)2^'  +  2  und  J  in  die  dritte  Classe  gesetzt  werden  können^ 


der  Formensy steine.  —  §  7'2.  271 

SO  bleiben  in  der  zweiten  Classe  nur  Ueberschiebungen  von  Producten 
der  A'  über  Covarianten  der  A. 

Die  letztem,  welche  höchstens  vom  Grade  m  —  2  sein  können, 
bestehen  der  Annahme  nach  aus  einer  ganzen  Function  der  Aj  der 
A'  und  der  Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Producte 
der  A'j  und  aus  Gliedern,  welche  den  symbolischen  Factor  (a2>)2^  +  2 
oder  den  wirklichen  Factor  J  besitzen.  Scheiden  wir  also  wieder  aus, 
was  schon  den  Forderungen  des  Satzes  genügt,  so  bleiben  nur  die- 
jenigen Glieder  übrig,  bei  denen  Producte  der  A'  über  Terme  ge- 
schoben werden,  w^ eiche  nicht  mehr  ausschliesslich  Producte  der  ^ 
sind,  sondern  nothAvendig  ausser  Factoren  A  auch  Factoren  A'  oder 
Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Producte  der  A'  ent- 
halten. Wenn  war  also  diese  Glieder  zweiter  Classe  wieder  durch 
Ueberschiebungen  von  Producten  der  A'  über  Covarianten  der  A  er- 
setzen, so  sind  wir  bei  dieser  Betrachtung,  von  Ueberschiebungen 
der  Producte  der  A'  über  Covarianten  der  A  ausgehend,  wieder  zu 
solchen  gekommen.  Aber  während  der  Gesammtgrad  in  den  Coef- 
ficienten  von  f  beidemal  derselbe  war,  ist  der  von  den  A  herrührende 
Theil  des  Gesammtgrades  geringer  geworden.  Fahren  wir  also  auf 
dieselbe  Weise  fort,  so  können  war  die  Glieder  zweiter  Classe,  immer 
mit  Ausscheidung  von  Termen,  welche  den  Bedingungen  des  Satzes 
schon  genügen,  auf  andere  zurückführen,  in  denen  immer  höhere 
Producte  der  A'  über  immer  niedrigere  Covarianten  der  A  geschoben 
werden.  Man  gelangt  also  endlich  zu  Gliedern,  welche  nur  noch 
A'y  die  A  aber  gar  nicht  mehr  enthalten,  und  daher  durch  Producte 
der  A'  und  durch  Glieder  der  dritten  Classe  ersetzbar  sind. 

So  sind  also  alle  oben  aufgeführten  Glieder  auf  die  im  Satze  an- 
gegebene Form  zurückgeführt,  und  der  Satz  ist  damit  bewiesen. 


2.  In  dem  obigen  Satze  kann  man  die  Ueber- 
schiebungen von  Producten  der  A  über  Producte 
der  A'  immer  durch  Tlieile  derselben  ersetzen. 


Theile  der  Ueberschiebungen  werden  dabei  nur  so  zu  bilden  sein, 
dass  man  die  A  entweder  durch  ihre  eigenen  Symbole  oder  wieder 
durch  Symbole  anderer  A,  aber  nicht  durch  andere  Symbole  aus- 
drücken darf;  das  Entsprechende  gilt  in  Bezug  auf  die  A'. 

Der  Beweis  wird  ganz  wie  in  §  70.  geführt.  Man  zeigt,  dass, 
wenn  man  eine  bestimmte  Anordnung  der  genannten  Ueberschiebungen 
(die  nullten  eingeschlossen)  voraussetzt,  Tlieile  der  Ueberschiebungen 
sich  von  den  ganzen  nur  durch  Terme  unterscheiden,  welche  theils 
sich  aus  früher  auftretenden  Ueberschiebungen  zusammensetzen, 
theils  den  symbolischen  Factor  (a&)'-'*  +  ^  oder  den  wirklichen  Factor 
J  enthalten.     Bis   auf  die   letztgenannten  Glieder,    welche  überhaupt 


272  iSechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

gleichgiltig  sind,  Jvaiin  man  also  die  ganzen  Ueberschiebungen  aus 
den  für  sie  eintretenden  Theilen  zusammensetzen,  wodurch  der  Satz 
bewiesen  ist. 

Die  Anordnung  ist,  ganz  entsprechend  dem  unter  2.  §  70.  Ge- 
sagten, folgende:  Alle  Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über 
Produete  der  Ä'^  einschliesslich  der  Ä^  A  und  ihrer  Producte  selbst, 
ordnet  man 

1.  nach    dem    Gesammtgrad    in    den    Coefficienten    von   f  (auf- 
steigend) ; 

2.  innerhalb  dieser  Gruppen  nach  dem  Grade,  soweit  er  von  den 
A  herrührt  (aufsteigend); 

3.  innerhalb    dieser    secundären    Gruj)pen    nach    der    Höhe    der 
Ueberschiebung  (aufsteigend). 

Nun  ist  nach  §  53.  die  Differenz  zwischen  einer  Ueberschiebung 
und  einem  ihrer  Theile  im  oben  definirten  Sinne  ein  Aggregat  aus 
niederen  Ueberschiebungen  von  Covarianten  der  A  über  Covarianten 
der  A.  Statt  der  letztern  kann  man  bis  auf  Terme  mit  dem  sym- 
bolischen Factor  (a ?>)-'''  +  -  oder  mit  dem  wirklichen  Factor  J"  Producte 
der  A  setzen.  Statt  der  erstem  aber  muss  man  entsprechend  nicht 
nur  Producte  der  Aj  sondern  auch  noch  Aggregate  der  J.,  A  und 
der  Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Producte  der  A 
setzen.  Die  von  den  Producten  der  A  herrührenden  Bestandtheile 
des  Aggregates  kommen  in  der  obigen  Anordnung  früher  vor,  weil 
sie  in  niederen  Ueberschiebungen  auftreten.  Die  anderen  lassen  sich 
auf  Ueberschiebungen  von  Covarianten  der  A  über  Covarianten  der 
A  zurückführen,  bei  denen  der  Grad,  soweit  er  von  den  A  herrührt, 
niedriger  ist  als  in  dem  Aggregate  selbst.  Man  ersetzt  sie  durch 
Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Covarianten  der  A,  und 
die  Covarianten  der  A  durch  ganze  Functionen  der  A,  A  und  der 
Ueberschiebungen  von  Producten  der  A  über  Producte  der  A.  Schei- 
det man  hier  nun  die  Theile  aus,  welche  nur  von  Producten  der  A 
herrühren,  so  sind  dieses  der  obigen  Anordnung  nach  frühere  Ueber- 
schiebungen, weil  der  Grad,  soweit  er  von  den  A  herrührt,  niedriger 
ist.  Der  ßest  aber,  welcher  dann  übrig  bleibt,  ist  abermals,  soweit 
die  A  noch  darin  vorkommen,  von  niederem  Grade  u.  s.  w. 

Man  gelangt  also  auf  diesem  Wege  für  die  Differenz  zwischen 
einer  Ueberschiebung  eines  Products  der  A  über  ein  Product  der  A 
und  zwischen  einem  Theile  derselben  zu  einem  Ausdruck,  welcher 
zunächst  aus  einer  niedern  Ueberschiebung  besteht,  sodann  aber  aus 
einei"  Reihe  von  Ueberschiebungen  der  Producte  der  A  über  Producte 
der  Ay  bei  denen  die  letzteren  Producte  immer  niedrigem  Grades 
werden,    und    welche    also    mit    Producten    der    A    allein    endigen 


der  Formensysteme.  —  §  72.  273 

muss.     Jene  Differenz  ist  also  in  früher  auftretende  Formen  aufgelöst^ 
wie  es  sein  sollte. 

3.  Da  nun  wieder  statt  der  Ueberschiebungen  von  Producten  der 
A  über  Producte  der  Ä'  Theile  derselben  gesetzt  werden  können,  so 
kann  man,  so  oft  zerfallende  existiren,  immer  diese  wählen;  und 
wenn  man  also  eine  möglichst  geringe  Zahl  von  Formen  sucht,  aus 
denen  alle  sich  zusammensetzen  lassen,  so  kann  man  diese  ganz  über- 
gehen. Die  Anzahl  der  übrigbleibenden  Ueberschiebungen  ist  aber 
endlich,  und  man  kann  den  Satz  aussprechen: 

Bezeichnen  wir  durch  Ä^'' ,  A^"  . . .  Ag'  die  Formen 
A,  A'  und  diejenigen  ihrer  Ueberschiebungen, 
welche  kein  zerfallendes  Glied  enthalten,  so  ist 
jede  Covariante  oder  Invariante  von  Z'  zusammen- 
gesetzt aus  einer  ganzen  Function  der  endlichen 
Formenreihe  A"  und  aus  Termen,  welche  den  sym- 
bolischen Factor  {ah)-^"^'^  oder  den  wirklichen  Factor 
J  enthalten. 

Hiermit  ist  der  Unterschied  aus  dem  Wege  geräumt,  welcher  bis- 
her zwischen  den  Formen  einer  durch  4  theilbaren  Ordnung  und  den 
andern  bestand;  nämlich  der  Unterschied,  dass  unter  den  Formen 
zweiten  Grades  mit  dem  symbolischen  Factor  {ahy^  sich  eine  {K) 
befand,  deren  Ordnung  gleich  der  von  f  war,  deren  vollständiges 
System  also  nicht  als  endlich  vorausgesetzt  werden  durfte.  Wir  können 
den  Beweis  des  §  70.  jetzt  sofort  wörtlich  wiederholen,  wenn  wir 
nur  an  Stelle  der  A  das  erweiterte  System  der  A' ,  an  Stelle  der  C, 
D  das  simultane  Formensystem  der  Formen 

{a  l)f''+''  rt/^'-2  h^  2/.-2^       C,/  lyh+X  ^^2A-4  IJh-A  ^  ,  ^ 

setzen,  den  D  aber  noch  die  Invariante  J  hinzufügen. 
Somit  ist  denn  also  überhaupt  der  Satz  bewiesen: 

Jede  binäre  Form  besitzt  ein  endliches  voll- 
ständiges System  von  Invarianten  und  Covarianten. 

Und  indem  war  die  Sätze  des  §  54.  hinzunehmen,  haben  wir 
ebenso  für  ein  System  von  Formen  den  Satz: 

Jedes  System  simultane  r  binärer  Formen  besitzt 
ein  endliches  vollständiges  System  von  Invarianten 
und  Covarianten. 


C  leb  seh,  Theorie  der  hinftren  algebr.  Formen.  lö 


274  Sechster  Abschnitt.  Endlichkeit 


§  73.    Formensystem  der  Formen  fünfter  Ordnung. 

Als  Anwendung  und  Erläuterung  der  obigen  Betrachtungen  will 
ich  die  vollständigen  Systeme  der  Formen  fünfter  und  sechster  Ord- 
nung entwickehi^  wobei  denn  zugleich  einige  Hauptpunkte  aus  der 
Theorie  dieser  Formen  zu  besprechen  sein  werden.  Den  allgemeinen 
Untersuchungen  des  Vorigen  gegenüber  handelt  es  sich  nunmehr  da- 
rum, aus  den  Systemen,  wie  sie  allgemein  entwickelt  wurden,  alle 
überflüssigen  Formen  auszuscheiden 5  und  man  wird  sehen,  wie  schon 
bei  den  Formen  sechster  Ordnung  die  Zahl  der  auszuscheidenden 
Formen  sehr  gross  ist  und  ihre  Ausscheidung  nicht  unerhebliche 
Schwierigkeiten  mit  sich  führt.  Man  sieht,  wie  auf  diese  Weise  trotz 
der  principiellen  Erledigung  der  ganzen  Frage  für  jede  besondere 
Ordnung  noch  immerhin  gewisse,  dieser  Ordnung  eigenthümliche 
Aufgaben  zu  lösen  bleiben,  wenn  man  ein  kleinstes  vollständiges 
System  angeben  will. 

Die  Form  fünften  Grades 

besitzt  zwei  Covarianten  zweiten  Grades: 

H  =  {a,  hf  a/  h/ ,     i  =  (a  hy  a^  h^  ^  ij . 

Nach  §  70.  entstehen  alle  zu  f  gehörige  Formen,  indem  man 
Producte  von  solchen  Formen,  welche  schon  bei  Formen  vierten 
Grades  auftreten  und  welche  den  symbolischen  Factor  (a  hy  nicht  ent- 
halten, über  Producte  von  Formen  schiebt,  welche  zu  denjenigen  aus 
f  entstehenden  Formen  zweiten  Grades  gehören,  deren  Ordnung  nie- 
driger als  n.  Man  sieht,  dass  diese  niederen  Formen  zweiten  Grades 
sich  auf  die  Form  i  reduciren,  und  sie  selbst  liefert  nur  noch  eine 
Invariante  : 

Ä  =  {ii'f. 

Dagegen  bestehen  die  aus  der  vierten  Ordnung  herübergenommenen 
Formen  aus  den  folgenden  5: 

f,    H,     T={ahy(ca)ajhjc/,    i,    j  =  {ahf  [a cf  {h cf  a^  hr  c^, . 

Von  diesen  ist  die  vierte  wegzulassen,  da  sie  den  symbolischen 
Factor  (ahy  enthält.  Aber  auch  die  fünfte  lässt  sich  so  umformen, 
dass  dieser  Factor  erscheint.     Denn  da  aus  der  Identität 

p-\-q-\-r  =  0 
die  Gleichung 

])^  +  q^^  +  r^  =  i^p  q  r 

folgt,  so  hat  man,  wenn 


der  Fomiensysteme.  —  §  73.  275 

p  =  {hc)ajry     q={ca)hjcy     r={ah)Ca^ 
gesetzt  wird: 

{ah)  {hc)  {ca)  a^  K  c.r  =  ^  \  {hcf  aj  +  {caf  b/  +  {ahy  rj  \ . 

Multiplicirt  man  dies  mit  (ah)  (ftc)  (c<7),  so  entsteht  links /,  rechts 
aber  erhält  man  drei  gleiche  Terme,  und  also 

^   j=^(^rihy{ac){hc}cj.   ■ 

Diese  Form  enthält,  wie  man  sieht,  den  Factor  (rt?>)^;  sie  entsteht 
übrigens  als  zweite  Ueberschiebung  von  f  über  I  und  kann  daher  auch 
so  geschrieben  werden: 

j  =  -(iay  aj. 

Es  sind  also  nur  die  drei  Formen  /",  H,  T,  deren  Producte  von 
der  Form  f"  W  T'y  man  über  Potenzen  von  i  zu  schieben  hat,  um  alle 
Formen  des  Systems  von  f  zu  finden ;  und  von  solchen  Ueberschiebun- 
gen  sind  nur  solche  beizubehalten,  in  denen  kein  zerfallender  Term 
vorkommt. 

Nach  dem,  was  in  §  56.  angegeben  wurde,  hat  man  zunächst 
üeberschiebungen  von  i  und  seinen  Potenzen  über  die  einzelnen  For- 
men f,  H,  T  zu  bilden,  sodann  aber  noch  gewisse  Invarianten,  welche 
durch  Ueberschiebung  einer  Potenz  von  i  über  Producte  ungerader 
Formen,  /./",  f.T,  T.T  entstehen.  Die  sämmtlichen  auszuführenden 
Uebex'schiebungen  sind  also  folgende: 

i   über  bez.  /",  H,  T ,  erste  und  zweite, 

^-  über  bez.  f^  H.  T,  dritte  und  vierte, 

^^  über  /*,  fünfte, 

i^  über  bez.  Hj  T,  fünfte  und  sechste, 

i^  über  T,  siebente  und  achte, 

i^  über  T,  neunte, 

^^  über  /"-,  zehnte, 

^■'  über  f.  T,  vierzehnte, 

i^  über  T-,  achtzehnte. 

Von  diesen  üeberschiebungen  sind  folgende  auszulassen,  indem 
sie  sich  durch  niedere  Formen  ausdrücken : 

1.  Die  erste  Ueberschiebung  von  i  über  T,  die  dritte  von  i^ 
über  T,  die  fünfte  von  i^  über  T,  und  die  siebente  von  i^  über  Ty 
weil  T  Functionaldeterminante  ist  (§  50.). 

2.  Die  letzte.  In  der  Theorie  der  Formen  vierter  Ordnung  lernten 
wir  die  Gleichung  kennen: 

18* 


276  Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 

Nach  der  von  uns  eingeführten  Bezeichnung  besteht  diese  Gleichung 
fort,  wenn  wir  unter  T,  H,  /",  i,  j  die  in  der  Theorie  der  Formen 
fünfter  Ordnung  ebenso  bezeichneten  Formen  verstehen.  Die  acht- 
zehnte Ueberschiebung  von  i^  über  T^  kann  also  aus  den  achtzehn-- 
ten  Ueberschiebungen  von  i^  über 

H^,    iHp,    jp 

zusammengesetzt  werden.  Diese  drei  aber  sind  sämmtlich  aus- 
zulassen. 

Was  die  achtzehnte  Ueberschiebung  von  i^  über  H^  betrifft,  so 
gehört  sie  unter  die  Bildungen,  deren  System  wir  hier  untersuchen, 
und  muss  ausgelassen  werden,  weil  sie  ein  zerfallendes  Glied  enthält, 
die  dritte  Potenz  der  sechsten  Ueberschiebung  von  v^  über  H. 

Anders  verhält  es  sich  mit  den  achtzehnten  Ueberschiebungen 
von  i^  über  iHp  und  j p.  Die  Formen  iHf-  und  jP  sind  hier 
nicht  mehr  in  dem  Schema  f^H^T^  enthal^n;  man  kann  also  auch 
aus  der  Existenz  zerfallender  Glieder  der  Ueberschiebung  nicht  mehr 
ohne  Weiteres  folgern,  dass  die  Bildung  überflüssig  sei,  sondern  man 
muss  andere  Schlüsse  anwenden. 

Erwägt  man,  dass  j  —  —  (a i)^  a/ ,  so  sieht  man,  dass  die  beiden 
fraglichen  Ueberschiebungen  sich  so  darstellen  lassen,  dass  zehn  ver- 
schiedene Symbole  von  i  und  daneben  nur  Symbole  von  H  und  f 
vorkommen.  Man  schliesst  daraus,  dass  diese  Ueberschiebungen 
ersetzt  werden  können  durch  Ueberschiebungen  von  Hp  und  p  über 
Covarianten  von  i,  welche  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  von  i  vom 
zehnten  Grade,  in  den  x  von  den  Ordnungen  16  und  20  sind.  Da 
nun  alle  Covarianten  von  i  die  Form  A^- i^  haben,  so  ist  für  den 
erstem  Fall 

2  z +  ^  =  10,     2A  =  16, 
d.  h. 

für  den  zweiten 
d.  h. 


A=:8,        K=\, 


2;c-fA==10,     2A  =  20, 


A  =  10,     z  =  0. 

Die  erste  dieser  beiden  Ueberschiebungen  erhält  also  direct  den 
Factor  A  und  reducirt  sich  daher  auf  niedere  Formen.  Die  andere 
führt  auf  die  zwanzigste  Ueberschiebung  von  i^^  über  p.  Diese  Bildung 
gehört  dem  betrachteten  System  von  Ueberschiebungen  an,  aber  sie 
ist  auszulassen,  da  sie  ein  zerfallendes  Glied  enthält,  das  Quadrat  der 
zehnten  Ueberschiebung  von  i^  über  p. 


der  Formensysteme.  —  §§  73,  74. 


277 


Mit   üebergehung   der  genannten   Formen    erhält   man    nun   fol- 
ofendes 


Vollständige  Formensystem  der  Formen  fünfter  Ordnnng. 

Grad 

i                                                                             0  r  (1  u  11 11  jj 

0 

1                2 

3 

4 

5 

6               7          9 

1 

i         1          ' 

/ 

2 

! 

!        ^ 

H 

3 

1       :  ii,i\ 

■  {i,f\ 

T 

4 

^  -\       1        ; 

ihH),. 

ihSh    . 

5 

(^',f),\                  \(P,f\ 

^  ifen 

6 

W,H\ 

i}\Ii\ 

• 

7 

ii',f\  1 

^i^,T\ 

■ 

— 

8 

^(i\S\ 

W',s), 

9 

\ 

(«',  T\ 

1 

— 

11 

^',T\ 

! 

; 

12 

('■^n.o 

13 

^,T),\ 

18 

(i\fT\, 

i 

In  dieser  Tafel  sind  jedesmal  nur  die  beiden  übereinanderzu- 
scbiebenden  Formen  angegeben  und  die  Höhe  der  Ueberschiebung 
durch  einen  untern  Index  angezeigt. 


§  74.    Ersetzung:  der  rormeii,  welche  die  Tafel  enthält,  durch  andere. 

Die  Formen  der  vorstehenden  Tafel  kann  man  zum  Theil  durch 
andere  ersetzen ,  indem  mau,  den  Sätzen  des  §  70.  gemäss,  die  Ueber- 
schiebung durch  Theile  derselben  (in  dem  dort  definirten  Sinne)  ersetzt. 

Wir  wollen  nun  diejenigen  Formen  angeben,  welche  an  Stelle 
der  Aves entlichsten  Formen  der  Tafel  im  Folgenden  benutzt  werden 
sollen.     Es  ist,  wie  oben  gezeigt  wurde, 

(1)  i=-(ai)^o/ =  -(«,/•),; 

dies  ist  die  niedrigste  Covariante  dritter  Ordnung.  An  Stelle  der 
zweiten  quadratischen  Covariante  {i^^H)^  können  wir  nun  das  Glied 
setzen : 


278  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit 

oder,    wenn   wir  für  —  {a'if  ah  akCim  das  Symbol  jhjkjm  setzen,  und 
ähnlicli  für  —  (hi)^  hu  hk  h^, 

Diese  Form  ist  also  zugleich  die  quadratische  Covariante  der 
cubischen  Form  j. 

Die  dritte  quadratische  Covariante  {i^,H\  kann  man  ersetzen  durch 

d-  =  -{ahy  (a if  ih ij  {a i")  h^  i'\, . 
Dies  ist  die  erste  üeberschiebung  von  t  mit  i: 

(3)  ^=z(ir)i^t^. 

Es  folgt  daraus  nach  der  Formel  (1)  des  §  57.,  dass  9-^  als  qua- 
dratische Function  von  i,  x  darstellbar  ist: 

(4)  '9^  =  -^L4r2-2iNT^-(7^2|, 
wo  Ay  Bj  G  die  Invarianten  bedeuten: 

(5)  A  =  {ii'f,    B^iixf,     C={%%)\ 

Die  Invariante  A  ist  die  in  der  Tafel  ebenso  bezeichnete.  7i  kann 
an  Stelle  der  zweiten,  C  an  Stelle  der  dritten  Invariante  der  Tafel 
eingeführt  werden.     Was  B  angeht,  so  ist  ein  Glied  von  i^i^^H)^'. 

{aVf  (aif  (hi'y  {ai")  {h i")  =  (jjy  {ji")  (JT)  =  (r ly  =  B. 

An  Stelle  der  in  der  Tafel  vorkommenden  üeberschiebung  (^'^/^Jk, 
betrachte  ich  zunächst  das  folgende  Glied  derselben: 

.  M=  (ai)  {hi)  {aiy  {htj  {ai'y  {hi^^^ 

Diese  Invariante,  welche  wir  später  mit  C  in  Beziehung  setzen 
werden,  steht  mit  den  linearen  Co  Varianten  in  genauem  Zusammen- 
hang.    Die  einfachste  lineare  Covariante  ist: 

(7)  a=^{P,f),=  (:iaf(i'aya.  =  -{jiyj,. 
Die  zweite  ist  die  erste  üeberschiebung  von  a  mit  l: 

(8)  ß  =  {P,  f\  =  ii'  af  {r  af  {i  a)  i^  =  (i  a)  i, . 
Die  Determinante  dieser  beiden  aber  ist 

(9)  .  M={ai)^=:{ßa). 

Die  übrigen  linearen  Covarianten  sind,   aus  (i^,T)s  und   (r,T),, : 

y  =  {ahy  (ac)  {aif  {biy  K  •  {cTf  {ci^^^f 
=  {aif  iaa)  {aij  {hiy  K  =  07)'^  (i«)/.o 
oder  endlich 

(10)  y  =  {xa)x^'^ 


der  Formensysteme.  —  §  74.  279 

und 

=  {ahy  {acc){aij  {hiy  {hi)  L-^Ujy  (ja)  (/i)  l, 

=  {TCi){ri)u 

=  4-  (jr)  lT.^.  {ia)  —  /^  (t«)  }  —  ^  (/r)  Ir^,  {icc)  +  /^  (t«'^}. 

Der  erste  dieser  beiden  Theile  ist  ^  i?a;  man  kann  daher  an  Stelle 
dieser  linearen  Covarianten  den  zweiten  setzen,  nur  mit  verändertem 
Vorzeichen : 

(11)  ö  =  {&cc)&^. 

Die  drei  höheren  linearen  Covai'ianten  sind  also  die  ersten  Ueber- 
schiebungen  der  niedrigsten  (a)  mit  den  quadratischen  Covarianten. 

Ausser  diesen  Formen  werden  wir  im  Folgenden  nur  noch  die 
letzte  Invariante  benutzen,  welche  in  der  Tafel  durch  {p ^fT)^^  be- 
zeichnet wurde.  Sie  ist  vom  achtzehnten  Grade  und  nimmt  daher, 
als  von  ungeradem  Charakter,  eine  abgesonderte  Stellung  ein.  Wir 
wählen,  um  diese  Invariante  auszudrücken,  dasjenige  Glied  der  Ueber- 
schiebung  {P ,fT)^^j  welches  entsteht,  wenn  wir  /-  viermal  über  / 
schieben  («),  sodann  ein  Glied  der  achten  Ueberschiebungen  von  i^ 
über  T  nehmen  (y),  und  das  Product  cc  y  zweimal  über  i  schieben. 
So  erhalten  wir  die  Hermite'sche  Invariante*: 

oder  kürzer: 

(12)  B  =  {d'cc)\ 


§  75.    luvarianteiirelationen. 

Die  im  Vorstehenden  betrachteten  Formen  führen  auf  eine  Reihe 
von  Invarianten,  deren  gegenseitige  Beziehungen  jetzt  noch  untersucht 
Averden  sollen  und  welche  uns  zugleich  Gelegenheit  zur  Entw^ckelung 
einiger  Relationen  geben  w^erden,  deren  wir  später  bedürfen,  womit 
dann  die  Betrachtung  der  Formen  fünfter  Ordnung  hier  vorläufig 
abgeschlossen  werden  mag. 

Wenn  man  in  der  Gleichung  (4)  «^  ^^^  ~  «i  ^^  Stelle  von  x^  und 
X2  setzt,  so  erhält  man  das  Quadrat  der  Invariante  ungeraden  Cha- 
rakters durch  Invarianten  geraden  Charakters  ausgedrückt^  es  wird 
nämlich 

(1)  B''  =  -i  {ÄN^-2B3IN+  GM% 

Dabei  ist  M—Ua)'^  die  oben  so  bezeichnete  Invariante;  N  ist 
analog  gesetzt  für 

(2)  N=(Tay', 

*  Hermite  in  Cambr.  and  Dublin  Math.  Journal,  Bd.  9. 


280  Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 

Auch  die  Determinanten,  welche  die  vier  linearen  Co  Varianten 
unter  einander  bilden: 

dßa),     (ya),     {-yß),     (Sa),     (dß),     (Sy) 

kann  man  leicht  durch  die  sechs  Invarianten  Ä,  B,  C ,Mj  N,  R  aus- 
drücken.    Es  war  schon  oben 

(3)  {ßa)  =  M 

gefunden.     Sodann   ist  aus   den  Formeln  (8),  (1(>),  (11)   des   vorigen 
Paragraphen 

(4)  {da)  =  {d^af        =:jR 

{y  ß)  =  (r  a)  (rß)  =  (t  a)  (r  i)  {i  a)=^~B, 

Es  bleiben  also  nur  noch  auszudrücken  die  beiden  Invarianten 

{dß)=:{?^a){pi){ia) 

Sie  entstehen  aus  den  ersten  Ueberschiebungen  von  -9-  mit  i  und 
T,  wenn  man  darin  x^^a^,  x^^—cc^  setzt.  Nun  sind  jene  Ueber- 
schiebungen, da  xl-  selbst  die  erste  Ueberschiebung  von  i  mit  t  ist, 
nach  §  57. 

^  ^  (^r)  ^,.  r^  =  1  jr  {itf  -  i  {tzj]  =  \{rB-iC), 

und  daher,  wenn  man  nun  x^  =  a^^  x^  =  —  a^  setzt: 

-  {dß)=^^{NA~~-MB) 

■^  {8y)  =  ^[NB-MC). 

Die  einzigen  Invariantenrelationen ,  welche  noch  'abzuleiten  bleiben, 
sind  sonach  diejenigen,  welche  M  und  N  mit  A,  B,  C  verbinden. 
Es  wird  sich  zeigen,  dass  31  und  N  sich  als  ganze  Functionen  von 
A^  B,  C  auf  einfache  Weise  darstellen. 

Was  zunächst  N  betrifft,  so  ist,  wenn  wir  für  a  den  Ausdruck 
«  =  — (iO^i^  setzen: 

J^r=(r«)2  =  (tri)(r/)(^i)H'0T 

Im  ersten  dieser  beiden  Glieder  vertauschen  wir  i  mit  i'  und 
setzen  für  das  ursprüngliche  Glied  die  halbe  Summe  desselben  und 
des  neu  entstandenen.     Dann  haben  wir  für  dieses  Glied: 

i  (^i)  (t^/)  ("')  (i/)  I  («i)  (»7)  -  m  W) ! 
=  i(^i)(T/)("')Mii?  =  i^c. 

In  dem  zweiten  Gliede  von  N  setzen  wir  nach  der  Identität  V. 
des  §  15. 


der  Formensysteme.  —  .§  75.  281 

Bemerken  wir  aber,  dass  nach  der  Theorie  der  cubischen  Formen 
(tjy  ja:  identi.sch  Null  ist,  weil  t  die  quadratische  Covariante  von  J, 
so  können  wir  die  mit  (rj)"^,  (^/)^  behafteten  Glieder  auslassen  und 
erhalten  nur: 

-^B.(/f).(:i'j').{ijr-^-iBK 
Es  ist  also 
(7)  N=^i{ÄC-Iß). 

Man  kann  aber  N  auch  durch  die  Determinante  von  #  ausdrücken ; 
denn  setzt  man  in  der  ersten  Gleichung  (5)  x^  =  t.^j  x.^  =  —  r^j  so 
erhält  man 

I  ^A c-B^)  =  (^i)  (^t)  (:1t)  =  {^^y, 

also  auch: 

(8)  N={^^y.    ' 

Als  eigentliche  Quelle  dieser  Umformungen  ist  ein  Satz  über  die 
Form  '9"  zu  betrachten ,  nach  welchem  dieselbe  zugleich  durch  die  Form 
jj  (/«),  die  erste  Ueberschiebung  von  j  mit  a,  dargestellt  wird.  Es  ist 
nämlich,  indem  man  — /rOO"  ^^^  ^  einführt: 

jr'(jCC)  =  -jJ{jj')U'ir- 

=  (r«)  %!;*=  —  *• 
Die  Ueberschiebung  von  a  mit, 7  giebt  die  Form 
9,   nur  mit   entgegengesetztem   Zeichen. 
i)aher 

mr-  =  (jjy  (ja)  (/«)  =  {taf  =  N. 

Dass  ausserdem 

folgt   direct   aus   der   Theorie   der  Formen   zweiter  Ordnung,   welches 
auch  i  und  t  seien  (§  57.  am  Ende). 

Schwieriger  ist  die  Aufgabe,  auch  il/ durch  Ä,  B,  C  auszudrücken. 
Man  gelangt  zu  ihrer  Lösung  mittelst  einiger  Hilfssätze.  Der  erste 
derselben  heisst: 

Die    dritte    Ueberschiebung    von    f  über  j    ver- 
schwindet identisch. 
Es  ist  nämlich  diese  Ueberschiebung 

UafttJ, 
oder  wenn  man  iür  j  den  Ausdruck  —{hifbj  setzt: 
-  Q)  if  {h  af  aj  =  I  {a  hf  \  a/  (h  if  -  hj"  (a  if  \ 
=  ^{a hf  ijc  j (7^  ih i)  +  hj:  {a i)  \  =  {a hy  «^  (b i)  ix  =  (i' 'i)  i'a:  4 , 

was  identisch  Null  ist,  wie  zu  beweisen  war. 

Wegen  dieses  Satzes  kann  man  jedes  Glied,  in  welchem  der  sym- 
bolische Factor  {jaf  vorkommt,  als  identisch  verschwindend  übergehen. 


282  Sechstel  Abschnitt.    Endlichkeit 

Der  zweite  Hilfssatz   bezieht   sich   auf  die   zweite  Ueberschiebung 
von  f  über  r.     Diese  Form 

kommt  in  der  Tafel  nicht  vor.  Da  sie  vom  Grade  7  und  der  Ord- 
nung 3  ist,  so  kann  sie  sich  nur  aus  den  Formen  jj  (^^,/)3,  i,  t, 
a,  ßj  Ä  zusammensetzen.  Doch  sieht  man  sogleich,  dass  zu  (i^,/)^, 
t,  ß  keine  Formen  existiren,  welche,  mit  ihnen  multiplicirt,  jenen 
Grad  und  jene  Ordnung  geben.  Es  bleiben  also  nur  die  Producte 
Äj ,  i  Uj  welclie  diese  Eigenschaft  besitzen,  mithin  muss  eine  Gleichung 
der  Form  stattfinden : 

(9)  {axya^^^^p.Aj^Ci.ia, 

wo  p,  q  reine  Zahlen  sind. 

Schieben    wir   diese   Gleichung    dreimal    über  /",    so  verschwindet 
nach   dem  vorigen  Hilfssatze   das  erste  Glied  rechts   und   man  erhält: 

((f  tf  {ahf  hj  ^-^  q  .  (ibf  {ah)  hj, 
oder 

q  .  U  «)  JJ  -  i  (^^  hy  [{a  rf  hj  -{hrf  aj] 

=  (a  hf  {a  r)  &^  r^  =  {;l  %)  la:  r^  =  d-. 

Hier  ist  nur  nach  den  früheren  Sätzen  der  Coefficient  von  q  links 
gleich  —-0-;  es  bleibt  also 

g  =  -l. 

Um  sodann  p  zu  finden,  schiebe  ich  i  zweimal  über  die  Gleichung 
(9).     Links  kommt  dann 

(atf  (aiy  Cla:  =  -  [jrfjxy 

was  nach  der  Theorie  der  cubischen  Formen  identisch  verschwindet; 
rechts  aber  erhält  man 

0  =p  A  (jiy  i.  + 1  { {ii'f  «.  +  2  C^/j  {ai)  4  } . 

Nun  ist  {jiy^i^^  —  a  und 

2  (i i')  {a t)  i^  ==  (i i)  [ (« i')  i^  —  (a i)  i^^ ]  =-  (^ ly  a^  =  Äa. 

Daher  geht  die  Gleichung  über  in 

0  =  —-pÄcc-{-^  q  Äcc^ 
oder  man  hat 

Die    zweite    Ueberschiebung    von    /"  über    r    hat 
den  Ausdruck: 

(10)  {ary  aJ  ^-^Äj-i  a. 

Um  nun  die  gesuchte  Invariantenrelation  zu  finden,  schieben  wir 
diese  Gleichung  zuerst  zweimal  über  j  und  erhalten : 


der  Formensysteme.  —  §§75,  76.  -  283 

(aty  (ajy  a,rlr  =  - 1  ^r  -  i  [{IjY'  a^j,  +  2  (ij)  (aj)  i^j^l 

Diese  neue  Gleichung  schieben  wir  nun  zweimal  über  i.  Dann 
ergiebt  sich 

(aTy{aj)'(crl)(jl)  =  -iÄB-i{-(aiy  +  2iij)iaj)(ir){jnU 

Das  dritte  Glied  rechts  verschwindet,  weil  es  durch  Vertauschung 

31 

von   /   mit   /'   das  Zeichen  wechselt :    das  zweite  ist  V  •     Rechts  aber 

o 

steht; 

(arf  (ajy  (ai)  ijn  =  (ar)  [ajf  {a i)  [(« /)  {jx)  +  {aj)  (r /)]. 

Das  zweite  Glied  ist  auszulassen,  weil  es  den  Factor  [ajf  besitzt; 
das  erste  wird,  weil  ./  =  —  («  i)- a^r^ : 

(«r)  {ajf  {flif  ijr)  =  -  (i'r)  (Jr)  (/jY  =  -  (r'r)^  =  -  C. 
Und  man  hat  daher  die  gesuchte  Relation  ausgedrückt  durch  die 
Gleichung : 

(11)  ic+3I=2ÄJB. 

In  Folge  dieser  Gleichung  kann  man,  wie  auf  S.  278  erwähnt, 
auch  C  an  Stelle  von  31  als  fundamentale  Invariante  benutzen. 

§  76.    Formeusystem  der  Formen  sechster  Ordnuii?^. 

Bei  den  Formen  sechster  Ordnung  sind  von  der  vierten  Ordnung 
nur  dieselben  Formen  herüberzunehmen,  wie  bei  der  fünften,  nämlich 

(1)  f'-=aj,     H={ahyajh/,     T={ahy  (ch)  ajhj  c^r'] 

denn 

j  =  {a  hf  {acy  (!)  cy  aJ  hj  cj 

geht  wie  dort  in  die  Form  (§  73.) 

j  =  —  {a  hy  (ac)  [h  c)  ax  h.v  c^^ 
über,  welche  wie 

l  =  (^cihyajhj 

den  symbolischen  Factor  {ahy  enthält. 

Die  Formen  zweiten  Grades,  welche  von  niedrigerer  Ordnung  als 
/'  sind,  werden  hier: 

(2)  i  =  {ahyax^hj,     A  =  {ahf. 

Die  biquadratische  Form  /  veranlasst  sofort  die  Bildungen 
A  =  {ii'yi/i'/,     B  =  {iiy, 

(3)  T  =(ii:y(i:'t)ixijrj, 

c  =  (ity(j:ry{i"iY. 

Die  sämmt  liehen  Co  Varianten  und  Invarianten  von  / 
bestehen  also  aus  den  Formen  (Ij,  (2),  (3)  und  aus  Ueber- 
schiebungen  von  Producten  /"«Ü-^T'/  über  Producte  ipA'iT''. 


284  "  Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 

Aber  das  System  von  Formen,  welches  man  auf  diese  Weise  er- 
halten würde,  wäre  sehr  gross,  und  enthielte  eine  Menge  überflüssiger 
Formen.  Die  mühsamen  und  wenig  interessanten  Reductionen,  welche 
nöthig  sein  würden,  um  alle  diese  überflüssigen  Bildungen  auszu- 
scheiden, kann  man  mittelst  einer  Betrachtung  umgehen,  welche 
gewissermassen  eine  fortgesetzte  Anw^idung  derjenigen  Principien 
enthält,  die  zum  Beweise  der  Endlichkeit  des  vollständigen  Formen- 
systems führten.  Der  Vorzug  der  Einfachheit,  welchen  die  ent- 
sprechende Untersuchung  bei  den  Formen  fünfter  Ordnung  besass, 
rührte  wesentlich  daher,  dass  dem  System  f"  Hl^  Ty  nur  das  Formen- 
system einer  quadratischen  Form  /,  also  nur  Potenzen  einer  Form 
gegenüber  gestellt  wurden,  während  hier  auch  das  zweite  System 
iPA'iT''  einen  verwickeitern  Charakter  hat.  Man  kann  nun  folgenden 
Weg  einschlagen,  um  hier  ähnliche  Vortheile  zu  erreichen,  wie  sie 
bei  den  Formen  fünfter  Ordnung  eintraten.  Man  vermehrt  das  System 
/',  Hj  T  um  einige  Formen;  zeigt  dann  aber,  dass  alsdann  alle  Bil- 
dungen durch  üeberschiebuugen  von  Producten  dieses  erweiterten 
Systems  über  Potenzen  einer  quadratischen  Covariante  ^  entstehen, 
welche  in  den  Coefficienten  von  f  von  drittem  Grade  ist.  Indem 
man  also  das  zweite  System  nicht  mehr  aus  den  Covarianten  zwei- 
ten Grades  entwickelt,  sondern  auf  solche  vom  dritten  Grade  ein- 
geht, muss  man  allerdings  das  erste  System,  welches  sonst  nur  dife 
aus  der  vierten  Ordnung  herübergenommenen  Formen  enthielt,  erwei- 
tern; aber  dieser  Umstand  wird  bei  weitem  durch  den  Vortheil  über- 
wogen, dass  das  zweite  System  dann  wieder  nur  aus  einer  einzigen 
quadratischen  Form  besteht. 

Um  die  in  Frage  stehende  Betrachtung  durchzuführen,  ist  es 
nöthig,  einen  ganz  ähnlichen  Gang  zu  verfolgen,  wie  in  dem  all- 
gemeinen Beweise.  Zur  Vorbereitung  aber  muss  ich  einige  Sätze  an- 
geben, welche  sich  auf  gewisse  Eigenschaften  von  i  beziehen.  Es 
sind  folgende:  * 

1.  Die    dritte  Ueberschiebung    von    f  mit  i  ver- 
schwindet identisch. 

Man  hat  nämlich 

(c if  c^3  4.  =  {a  by  (c af  (c  b)  cj  ba; 

=  (a bf  {c ay  {•b)  cj  ba:  \ ia c)  fe^  +  {cb)  ax\. 

Beide  Theile  dieses  Ausdrucks  verschwinden,  der  erste,  weil  er 
bei  Vertauschung  von  b  mit  c,  der  zweite,  weil  er  bei  Vertauschung 
von  a  mit  b  das  Zeichen  ändert. 

2.  Die    biquadratische   Covariante    von    i    setzt 
sich    aus    dem   Producte    A.i   und    aus    der    zweiten 


der  Foi-mensy steine.  —  §  76.  2Ö5 

üeberschiebung  von   /"mit  der  einfachsten  quadra- 
tischen Covariante 

zusammen. 
Nach  der  Identität  (III)  des  §  15.  ist  nämlich: 

0  =  {a  hf  !  (a  lY  ij  +  {a  i)'  hj  +  {h  if  a/  -  2  (a  hf  {a  if  hj  IJ 
-2{a hf  (b iy  a/  i/  -  2  {ai)^  (hif  aj  hj\ , 
oder 

(4)  0  =  Ä.i-\-2(aiyaJ-4io  hy  (a  ry  bj  ij  -2{a  by  {a  tj  (b  iy  aj  bj. 

Die  letzten  beiden  Glieder  dieser  Gleichung  kann  man  nun  anders 
ausdrücken.  Schieben  wir  f  dreimal  über,  die  nach  Satz  1,  verschwin- 
dende Covariante  (aiy  aj^  ir,  so  erhalten  wir 

0  -  (aiy  \  («  bf  i,  b/  +  3  {a by  (i b)  a,.  &/ \ ; 

oder    wenn    im    ersten   Theile    a  rnit   b   vertauscht^    sodann  aber  "das 
Product  {ai)  (hi)  a^  b^;  mittelst  der  Identität  (II)  §  15.  umgeformt  wird: 

0  =  H«  W  ^-' !  («  ^  ^.rT  +  (p  iy  aj  -f  {a  i)  {b  i)  a^  b^  ] 

-S{a{)^abyb/iai){bi)a:.b^ 
=  i  (a  by  ij  \  3  {a  iy  bJ  -  ^  (a  by  ij ! 

-iia  iy  {a  by  bj  \  {a  iy  bj  -i-  (&  iy  «/  -  («.  by  ij  \  ^ 

oder: 

(5)  0=3  {a  by  {o  iy  by  ij  -  ^  -  3  (/  ^,)2  5^4 

~i(aiy(biy{abyaJb:,K 

Führen  wir  hieraus  den  Werth  des  letzten  Gliedes  in  die  Gleich- 
ung (4)  ein,  so  erhalten  wir  nach  Divison  mit  4: 

(6)  0  =  ^  -h  (a  ly  aj  -2{a  by  {a  i^  b/  ij. 
Es  ist  endlich 

A  =  {ii'y  ij  rj  =  |(a  by  \  (a  iy  b/  -f  2  («  0  {b  /)  a^  &.}  iJ, 

oder,  wieder  mit  Anwendung  von  §  15.  (11): 

A  =  i  {abf  i3  {aiy  bJ  -  {aby  ij\  iJ, 
also 

(7)  iahy{aiybJi/=A  +  ^- 

Führt  mau  dies  noch  iu  (6)  ein,  so  hat  man  die  gesuchte  Be- 
ziehung : 

(8)  {aiy  a/ -2  A-^^i), 


286  Seclister  Abschnitt.    Endlichkeit 

vermöge    deren    A     sich    durch    Ai    und    durch    die    zweite    Ueber- 
schiebung  von  f  über  l  ausdrückt.  — 

Entwickeln  wir  nun  die  Anwendung,  welche  diese  Formel  auf 
die  Theorie  der  Formen  sechster  Ordnung  gestattet. 

1.  Es  war  der  Ausgangspunkt  für  die  Aufstellung  des  vollstän- 
digen Systems,  dass  alle  Formen  desselben,  abgesehen  von  Ä^  durch 
Ueberschiebungen  der  Covarianten  von  i  über  Ausdrücke  der  Form 
f"  Hl^  Ty  entstanden.  Nun  zeigt  sich  aus  (8),  dass  bis  auf  Glieder, 
welche  die  Coefficienten  von  l  enthalten,  die  erste  Co  Variante  A  von 
/'  auf  i  zurückführt.  Schieben  wir  (8)  einmal  über  i,  so  zeigt  sich, 
dass  die  zweite  Covariante  T  von  i  geradezu  nur  aus  Termen  besteht, 
welche  die  Coefficienten  von  l  enthalten.  Lassen  wir  also  Terme, 
welche  die  l  enthalten,  jedesmal  aus,  so  bleiben  nur  Ueberschiebungen 
von  Potenzen  von  i  mit  f^IK^Ty  übrig,  welche  man  zu  bilden  hat. 
Auch  von  den  Invarianten  von  i  braucht  man  die  erste,  JB ,  allein; 
denn  nacb  der  Theorie  der  Formen  vierter  Ordnung  drückt  sich  C 
durch  (Aiy  aus,  und  dieses  wiederum  kommt  nach  (8)  auf  AB  und 
Glieder  zurück,  welche  Coefficienten  von  l  enthalten.  Man  kann  daher 
sofort  den  Satz  aussprechen: 

Jede  Covariante  oder  Invariante  von  /'  ist  bis 
auf  Glieder,  welche  die  Coefficienten  von  /  enthal- 
ten, eine  ganze  Function  von 

(9)  f,    H,    T,    A,    i,    B 

und    von    den  Ueberschiebungen   von  Potenzen   der 
Covariante  i  über  Ausdrücke  der  Form  f"  Hi^  Tv. 

Da  im  früher  entwickelten  vollständigen  Systeme,  aus  welchem 
dieser  Satz  mit  Hilfe  von  (8)  sich  ergiebt,  nur  solche  Ueberschiebungen 
von  Potenzen  der  Covariante  /  über  /'«  iZ"/^  T^  auftraten,  welche  kein 
zerfallendes  Glied  enthielten,  die  übrigen  aber  durch  Theile  (im  Sinne 
des  §  70.)  ersetzt  werden  durften,  so  gilt  dasselbe  auch  hier  noch. 
Zugleich  können  wir  hier  alle  Bildungen  auslassen,  welche  etwa  das 
Symbol  l  enthalten  sollten.  Dies  tritt  z.  B.  ein  bei  allen  Ueber- 
schiebungen, welche  den  symbolischen  Factor  {aif  enthalten;  denn 
diese   enthalten  die  Coefficienten  der  Form 

Während  nun  aus   dem  Verschwinden  der  Covariante  (aif  aj  ijc  iolgi: 

iaif  aj*  iy -f  3  {aif  aj  a^ix  —  O^ 
hat  man  andererseits: 

{aif  aj'  iy  —  {a'Cf  a/  a^ 4  =  {(li)^  aj-  {xy)  —  l  {xy)j 


der  Foi-mensysteme.  —  §  76.  287 

also 

Die  Coefficienten  des  Ausdrucks  links  setzen  sich  also  aus  den 
Coefficienten  von  l  zusammen,  und  demnach  kann  jedes  {(df  enthal- 
tende Glied  ausgelassen  werden,  sobald  es  sich  nur  darum  handelt, 
die  Formen  bis  auf  Glieder  zu  bilden,  welche  die  Coefficienten  von 
/  enthalten. 

2.  Entwickeln  wir  zunächst  die  übrig  bleibenden  Ueberschiebungen 
von  i^  über  f" Hi^  T^.  Da  H  von  der  achten,  T  von  der  zwölften 
Ordnung  ist,  also  die  Ordnungen  beider  durch  die  von  /  theilbar  sind, 
so  braucht  man  nur  über  H  und  T  einzeln  Potenzen  von  i  zu 
schieben,  da  sonst  immer  zerfallende  Glieder  erzeugt  werden  können. 
Dagegen  muss  man  i^  ausserdem  über  /  und  P  schieben,  denn  erst 
die  Ordnung  von  f-  ist  durch  4  theilbar. 

Aber  wenn  man  l  oder  eine  Potenz  von  i  mehr  als  zweimal  über 
eine  der  Formen 

oder  über  eine  Potenz  von  f  schiebt,  so  entsteht  immer  ein  Glied, 
welches  den  symbolischen  Factor  (a/)^  hat.  Demnach  sind  überhaupt 
nur  beizubehalten  die  Ueberschiebungen: 

i  über  /",  ein-  und  zweimal; 

(10)  i  über  H,  ein-  und  zweimal; 
i  über  T,  zweimal. 

Die  erste  Ueberschiebung  von  /  über  T  fällt  aus,  weil  T  Functional- 
determinante  ist. 

Aber  auch  von  den  Formen  (10)  kann  man  die  beiden  letzten 
noch  als  überflüssig  nachweisen.  Die  zweite  Ueberschiebung  von  H 
mit  i  kann  ersetzt  werden  durch  das  Glied 

für  w^elches  man  nach  der  Identität  (III)  §  15.  die  Gleichung  hat: 

2  {a hy  {aiy  ij  cfj  hj  =  aj  hj  [ i  {a ?>)^  ij  -f  {aiy  Kr^  -  {a  if  (h iy  «/ hj]. 

Von  den  Termen  rechts  ist  der  erste  ^  f-,  der  zweite  I .  f^  der 
dritte  wird  nach  (5),  (6)  auf  Ä.i  und  Terme,  welche  das  Symbol  / 
enthalten,  zurückgeführt.  Dieses  Glied  und  damit  die  ganze  Ueber- 
schiebung ist  also  auszulassen. 

Da,  wie  oben  bemerkt,  die  dritte  und  vierte  Ueberschiebung  von 
i  mit  JS  auszulassen  ist,  so  folgt,  dass  die  Formen 

(11)  {HifHJi^^    {HifHJ^i:,,    {SiyHJ, 


288  Seclister  Abschnitt.    Endlichkeit 

also  überhaupt  alle  den  symbolischen  Factor  {H'})-  und  kein  weiteres 
Symbol  enthaltenden  Formen  bis  auf  Glieder,  welche  das  Symbol 
l  enthalten,  durch 

(12)  H,     A,     i 

ausgedrückt  werden  können;  Tj  (Hi)  H^'^  i/  und  {Tiy  T/^ i/  kommen 
dabei,  als  von  zu  hoher  Ordnung,  nicht  in  Betracht,  /",  B  und  die 
beiden  üeberschiebungen  {ai)  aj"  %x  und  {a%f  aj^  ij'  nicht,  weil  keine 
Combination  der  Formen  (9),  (10)  existirt,  welche,  mit  jenen  multipli- 
cirt,  Ordnung  und  Grad  einer  der  Formen  (11)  haben  könnte.  Die 
Formen  (11)  aber  haben  nach  §  31.  Satz  6.  die  Eigenschaft,  dass  alle 
das  Symbol  {Hi)^  enthaltenden  Bildungen  sich  durch  üeberschiebungen 
mit  ihnen  darstellen  lassen.  Dies  führt -zum  Beweise  dafür,  dass  die 
letzte  der  Formen  (10)  ebenfalls  überflüssig  ist.  Sie  kann,  da 
T=  (aJET)  a/1?^^,  ersetzt  werden  durch  den  Theil 

Es  ist  aber,  wenn  q)  —  (Hiy  HJ  ij-  gesetzt  wird : 

6  {Hif  HJ>  ij  Hy  +  2  (Hif  HJ  i^  iy  -  8  cp,-^  (py 
{Hif  HJ>  ij^  Hy  -    {Hif  HJ  4  iy  =  {Hif  HJ>  i^  {yx) , 


also 


{Hif  HJ>  iJ  Hy  =  g)/  (py  +  i  {Hif  HJ  i,  .  {yx). 


Setzt  man  nun  y^  =  —  a^,  y^=a^  und  multiplicirt  mit  aj\  so  ent- 
steht links  der  gesuchte  Ausdruck ;  rechts  ist  das  zweite  Glied  nach  dem 
Obigen  bis  auf  Terme,  welche  das  Symbol  l  enthalten,  das  Product  von 
/"mit  einer  Combination  der  Formen  (12),  das  erste  aber  die  erste  üeber- 
schiebung  von  f  mit  cp.  Dieses  Glied  muss  sich  also  aus  den  Grössen 
(12)  und  aus  ihren  ersten  üeberschiebungen  mit  f  zusammensetzen. 
Aber  die  letzteren  führen  auf  T  und  {ai)  aj"  iJ'  ^  also  auf  schon  bekannte 
unter  den  Formen  (9),  (10).  Das  an  Stelle  von  {aH)aJ'H^'^  gesetzte 
Glied  ist  also  durch  die  anderen  Formen  bis  auf  Terme,  die  das  Sym- 
bol  l   enthalten,    darstellbar,   und  kann  demnach  ausgelassen  werden. 

So  kann  man  jetzt  folgenden  Satz  aussprechen: 

Jede  Covariante  oder  Invariante  von  /"ist  bis 
auf  Glieder,  welche  das  Symbol  /  enthalten,  eine 
ganze  Function  von 

(13)    /-,  H,  T,  A,  i,  B,  {ai)aji/,  {at^a^ij,  {Hi)HJi/. 

3.  Man  knüpft  nun  leicht  hieran  den  Beweis  des  Satzes : 

Jede  Covariante  und  Invariante  von  f  ist  eine 
ganze  Function  der  Functionen  (13),  der  Form  l, 
ihrer    Discriminante  ^// =  (??')%     und     der    üeber- 


der  Formensysteme.  —  §  76.  289 

Schiebungen   von  Potenzen  von  /  über  Producte  der 
Formen  (13). 

Ein  Glied,  welches  das  Symbol  /  enthält,  kann  nur  den  Factor 
Ä/i  haben  oder  durch  Ueberschiebung  von  /  über  eine  Form  niedern 
Grades  entstanden  sein.  Nehmen  wir  nun  au,  der  fragliche  Satz  sei 
bis  zu  Covarianten  und  Invarianten  (?m  — 3)*^°  Grades  bewiesen.  Er 
gilt  dann  auch  für  Formen  ni^^^  Grades,  wie  jetzt  gezeigt  werden 
soll.  Es  besteht  nach  dem  Gesagten  jede  Covariante  oder  Invariante 
?>i*^"  Grades  aus  drei  Theilen: 

1)  aus  einer  ganzen  Function  der  Formen  (13); 

2)  aus  einer  Form  (??«  — 6)*^"  Grades,  multiplicirt  mit  Ä/r-i  diese 
Form   hat   die   im  Satze   angegebene    Form   nach   der  Voraussetzung-, 

3)  aus   Ueberschiebungen   von  l  über   Formen  (w?  — 3)*^°    Grades. 

Da  letztere  nach  der  Voraussetzung  die  im  Satze  angenommene 
Form  haben,  so  zerfallen  die  unter  3.  angegebenen  Terme  wieder  in 
drei  Classen: 

1)  Ueberschiebungen  von  /  über  Producte  der  Formen  (13); 

2)  Terme  mit  dem  Factor  Än'^  diese  beiden  Classen  haben,  die 
erste  der  Definition,  die  zweite  der  Voraussetzung  nach  die  iui  Satze 
angegebene  Form; 

3)  Ueberschiebungen  von  l  über  Ueberschiebungen,  bei  denen 
Potenzen  von  /  über  Producte  der  Formen  (13)  geschoben  sind. 
Aber  diese  kann  man  nach  §  31.  auf  Ueberschiebungen  derselben 
Producte  über  Covarianten  von  /,  also  auf  Ausdrücke  zurückführen, 
welche  tlieils  den  Factor  Äu  haben,  theils  Ueberschiebungen  von  Po- 
tenzen von  l  über  Producte  der  Formen  (13)  sind.  Alle  diese  Aus- 
drücke aber  haben  die  im  Satze  angegebene  Form. 

Es  ist  also  nur  noch  zu  zeigen,  dass  für  m  —  1,  2,  3  der  Satz 
richtig  ist.  Da  aber  jede  Covariante  oder  Invariante  von  einer  ganzen 
Function  der  Formen  (13)  sich  nur  durch  Terme  unterschied,  welche 
das  Symbol  l  enthalten,  welches  eine  Form  dritten  Grades  repräsen- 
tirt,  so  können  solche  Terme  bei  den  Covarianten  und  Invarianten 
ersten  und  zweiten  Grades  überhaupt  nicht,  bei  denen  dritten  Grades 
nur  durch  die  Form  l  repräsentirt  auftreten,  womit  denn  der  Satz 
bewiesen  ist. 

4.  Statt  der  im  vorigen  Satze  angewandten  Ueber- 
schiebungen kann  man  Theile  derselben  benutzen.  Diese 
Theile  müssen  nur,  analog  der  in  §  70.  gegebenen  Definition,  so 
gebildet  werden,    dass   das  Symbol  l  niemals  in  andere  Symbole  auf- 

Clebsch,  Theorie  der  binüreu  algebr.  Formen.  ly 


290  Sechster  Absclinitt.    Endlichkeit 

gelöst  wird.  Der  Beweis  wird  wie  der  entsprechende  in  §  70.  geführt. 
Es  wird  gezeigt^  dass,  eine  bestimmte  Anordnung  der  Ueberschiebungen 
(die  nullten  eingeschlossen)  vorausgesetzt^  die  Differenz  zwischen  einer 
Ueberschiebung  und  einem  ihrer  Theile  stets  durch  frühere  Formen 
ausdrückbar  ist.     Die  Anordnung  geschieht 

1.  nach  dem  Gesammtgrade  «-, 

2.  nach   dem  Grad  ß,    soweit  er  von  den  Formen  (13)  herrührt; 

3.  nach  der  Höhe  y  der  Ueberschiebung. 

Wir  setzen  den  Satz  als  bewiesen  voraus  bis  zu  einem  gewissen 
Werthe  von  cc  exclusive^  bei  diesem  Werthe  von  a  bis  zu  einem  ge- 
wissen Werthe  von  ß  exclusive,  bei  diesen  Werthen  von  a  und  ß  bis 
zu  einem  gewissen  Werthe  von  y  exclusive^  und  beweisen,  dass  er 
dann  auch  für  diesen  Werth  von  y  gilt. 

Die  zu  betrachtende  Differenz  zwischen  der  7*^"  Ueberschiebung 
und  einem  ihrer  Theile  drückt  sich  nach  §  53.  durch  niedere  Ueber- 
schiebungen von  Formen,  welche  nur  die  Symbole  der  Formen  (13) 
enthalten,  über  Formen  aus,  welche  nur  Sjmibole  von  I  enthalten. 
Letztere  sind  An  oder  Potenzen  von  ?.  Tritt  An  vor,  so  bleibt  der 
andere  Factor  eine  Co  Variante  niederen  Grades,  und  für  die  in  ihr 
auftretenden  Ueberschiebungen  gilt  also  der  Satz  der  Annahme  nach. 
Hat  man  es  dagegen  mit  der  Ueberschiebung  einer  Potenz  von  / 
über  eine  niedere  Form  zu  thun,  so  ersetzt  man  diese,  dem  vorigen 
Satze  nach,  durch  eine  ganze  Function  der  Formen  (13)  und  durch 
Theile,  welche  das  Symbol  l  erhalten.  Die  Theile  der  Ueberschiebung, 
welche  von  der  ganzen  Function  herrühren,  genügen  also  den  For- 
derungen des  Satzes  der  Annahme  nach,  weil  die  Ueberschiebung  eine 
niedere  ist;  die  anderen  Theile,  weil  sie  höhere  Dimensionen  in  den 
Z,  daher  niedere  in  den  Formen  (13)  haben.  Alle  Theile  der  Differenz 
genügen  also  den  Forderungen  des  Satzes,  wie  zu  beweisen  war. 

Da  der  Satz  für  die  ersten  drei  Grade  offenbar  richtig  ist  (denn 
für  sie  existiren  noch  keine  Ueberschiebungen  der  behandelten  Art), 
so  ist  er  überhaupt  richtig. 

5.  Aus  dem  vorigen  Satze  folgt  nun  sofort,  dass  man  nur  die- 
jenigen Ueberschiebungen  von  Potenzen  der  Covariante  l  über  Pro- 
ducte  von  Formen  (13)  beizubehalten  hat,  welche  keine  zerfallenden 
Glieder  haben.  Da  /  quadratisch  ist,  alle  Formen  (13)  aber  gerader 
Ordnung  sind ,  so  braucht  man  demnach  nur  Potenzen  von  l  über  die 
einzelnen  Formen  (13)  zu  schieben  (vgL  §56.).  Es  entstehen  so 
folgende  Ueberschiebungen,  bei  welchen  nur  die  ungeraden  Ueber- 
schiebungen über  Functionaldeterminanten,  dem  am  Ende  des  §  56. 
bewiesenen  Satze  entsprechend,  schon  ausgelassen  sind: 


(2  ()-!)*«  und  2q'^ 

von 

Z^ 

Über  f, 

j)              )7           n 

» 

» 

n 

s, 

2pt« 

>7 

j; 

rj 

T, 

(2  9  —  1)*«  und  2()t« 

7? 

r, 

n 

'h 

2()*« 

)? 

» 

r 

{ai)aj'i/, 

(2^-1)*«  und  29t« 

r 

?7 

rj 

{aifa/i/, 

2^*« 

r 

r 

r, 

{Hi)HJiJ 

der  FormensYsteme.  —  §§76,  77.  291 

p-1,2,3,  4; 
9=1,2,3,4,5,6; 
(I)      (2()-l)«<'und  2(>'«     ,      „      „     i,  P=l,2; 

p==l,2,3,4; 

9=1,2,3; 

(.=^1,2,3,4,5. 

An  Stelle  jeder  dieser  Ueberschiebungen  kann  man  auch  einen 
Theil  derselben  setzen;  man  siebt  dann,  dass  sehr  viele  dieser  Formen 
noch  überflüssig  sind. 


§  77.    Rednction  des  Systems  der  aus  eiuer  Form  sechsten  Grades 
entspringenden  Bildnugen. 

Man  kann  zeigen ,  dass  folgende  Ueberschiebungen  sich  aus  nie- 
deren Formen  zusammensetzen: 

1.  die  zweite  Ueberschiebung  von  H  mit  ?; 

2.  die  zweite  Ueberschiebung  \o\\  x^  ~  (aiy  aj  ij  mit  /; 

3.  die  vierte  Ueberschiebung  von  /  mit  1-. 

-Hieraus  folgt  dann,  dass  ausser  diesen  noch  eine  grosse  Zahl  der 
unter  (I)  aufgeführten  Formen  auszulassen  sind.  Man  bew^eist  zunächst 
leicht  den  Satz: 

Wenn  eine  Summe  von  Producten  einer  Anzahl 
von  Formen,  unter  denen  sich  keine  lineare  befin- 
det, ein-  oder  zweimal  über  eine  quadratische  Form 
geschoben  wird,  so  entsteht  wieder  eine  Summe  von 
Producten. 

Für  erste  Ueberschiebungen  ist  dies  an  und  für  sich  klar.  Bei 
den  zweiten  aber  entstehen  aus  jedem  Producte  (p .  ^'  einerseits  Terme, 
welche  einen  der  Factoren  cp ,  f  und  die  zweite  Ueberschiebung  des 
anderen  über  l  zu  Factoren  haben;  andererseits  Terme  der  Form 

was  durch  die  identische  Gleichung 
in: 

i  \rl^  ■  (9O'  9^^""-'  +  gp .  (^0'  ^-r«-'  - 1 .  (9^)'  ^'-"'-^  ^'x"-' !, 

also   in  ein  Aggregat  von  Producten  übergeht,   wie  zu  beweisen  war. 
Da  in  der  vorliegenden  Untersuchung  immer  nur  Formen  gerader 
Ordnung    auftreten,    so    tritt    die   im   Satze   erwähnte  Ausnahme  hier 
niemals  auf 

19* 


292  Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 

Aus  diesem*  Satze  folgt,  dass  die  höheren  üeberschiebungen  von 
I]  mit  Potenzen  von  l  ausgelassen  werden  können.  Denn  dieselben 
haben   die  symbolische  Form: 

{Hlf  {Hl')  HJ  Ir ,  {Elf  {HIJ  H/ , 

{Elf  {HV)  {Hl")  H/  l\,     {Hl)'  {Hiy  {Hiy  H/ 
etc. 

Von  diesen  entstehen  die  ersten  aus  Ueberschiebung  von  l  über 
die  Form  {Hiy  HJ,  welche,  wie  weiterhin  gezeigt  werden  soll, 
zerfallt,  und  sind  demnach  selbst  Summen  von  Producten;  die 
folgenden  aus  Ueberschiebung  von  l  über  die  zerfallende  Form 
{Hy  {Hiy  HJ  u.  s.  w. 

Ganz  ebenso  ist  es  mit  den  üeberschiebungen  der  Potenzen 
von  l  über  p  =  {a i)' a^;'^  ij ',  auch  diese  können,  indem  {piy pj^  zer- 
fällt, bis  auf  die  erste  ausgelassen  werden. 

Aber  auch  für  die  Üeberschiebungen  von  l  mit 


[aH)aJHJ,     S={Hi)HJi 


lässt  sich  dasselbe  zeigen.  Man  kann  nämlich  die  zweiten  üeber- 
schiebungen von  T  und  S  mit  l  durch  die  Theile 

r  =  {aH)  aj>  {HiyjIJ>,    S'  =  {Hi)  ij  {Hiy  HJ> 

ersetzen  •,  und  da  dieses  nichts  anderes  als  die  ersten  üeberschiebungen 
von  /'und  i  mit  der  zerfallenden  Form  {Hl)' HJ  sind,  so  können  sie 
ausgelassen  werden.  Nun  darf  man  aber  ferner  die  vierten  üeber- 
schiebungen von  T  und  S  mit  l'  durch  die  zweiten  von  l  mit  T'  und 
S'  ersetzen,  die  sechsten  von  T  und  S  mit  F  durch  die  vierten  von  l' 
mit  jT'  und  S'  etc.,  so  dass  man  lauter  zerfallende  und  auszulassende 
Formen  erhält.  Diese  Ersetzbarkeit  ist  nicht  ohne  weiteres  klar; 
denn  man  darf  im  Allgemeinen  nicht  üeberschiebungen  durch  Theile 
ersetzen,  bei  deren  Bildung  Symbole,  -wie  die  von  T\  S',  benutzt 
werden,  welche  die  Symbole  der  über  einander  zu  schiebenden  Systeme 
[hier  l  einerseits  und  die  Formen  (13)  andererseits]  gemischt  enthalten. 
Dass  es  hier  erlaubt  ist,  die  Formen  in  der  genannten  Weise  zu  er- 
setzen, sieht  man  an  einer  derselben  folgendermassen  ein;  bei  den 
andern  ist  es  genau  ebenso. 

Die  vierte  Ueberschiebung  von  T  mit  l'  kann  durch  die  Theile 

r,  =  {a H)  {Elf  {Eiy  aj>  EJ ,      T^  -  {a E)  {Elf  {EI)  {a  T)  aj  E/  etc. 

beliebig  ersetzt  werden.  Diese  Ausdrücke  sind  aber  auch  zugleich  die 
Theile  der  zweiten  Ueberschiebung  von  T'  über  ?,  und  zwar  kommen 
unter  den  V  sämmtliche  Theile  derselben  vor,  wenn  T'  in  der  sym- 
bolischen Form 


der  Formensysteme.  —  §  77.  293 

gegeben  wird.     Daher  ist 

wo 

«i  +  ß^, . . .  =  1 , 
oder 

(T  ly  T'.'  =  r,  +  (r,  -  r  j  «,  +  (r,  -  rj  «, .... 

Da  nun  die  Differenzen  der  f  durch  frühere  Formen  (im  Sinne 
der  auf  S.  290  getroffenen  Anordnung)  aii^drückhar  sind,  so  ist 
auch  fj  oder  die  Ueberschiebung,  welche  f^  vertritt,  durch  die  zweite 
Ueberschiebung  von  T'  mit  l  ersetzbar,  was  zu  beweisen  war.  Dass 
für  die  folgenden  Üeberschiebungen  dasselbe  gilt,  liegt  auf  der  Hand ; 
ebenso  ist  es  mit  den  aus  S  entstehenden  Bildungen. 

Es   kommt   also   nur  noch  darauf  an,    das   Zerfallen  der  Formen 

imr-Bj,  ipifpj,  (iinuy 

nachzuweisen. 

1.  Die  Form  (Hl)'-^  HJ.  Entwickeln  wir  nun  nach  den  For- 
meln am  Ende  des  §8.  den  Ausdruck  (aby  ajhjhy'^,  so  erhalten  wir 

(« ly  aj  hj  h,/  =  J'<p  +  i{x,j)Jt  +  ^  (.r  yy  % , 

WO 

9)  =  (a  hf  aj  hJ  =  H,     ^  =  |  (a hf  aj  hj  =  0, 
X  =  iKCt^'ciJhJ  =  ii, 
also 

(ahy  a/  hJ  h,/  =  HJ  H,/  + 1  {xyf .  /. 

Setzen  wir  nun  y^  =  l-,j  y.^  =  —  l^j    so  wird  aus  dieser  Gleichung: 

(1)  HJ {Hlf  =  {a hy  aJ  hJ  (h ly -li,  l 

Aber  der  Term  (ahyajbj{biy  ist  die  zweite  Ueberschiebung 
von  /'  über  die  Covariante  (bjyhj,  welche  nach  §  76.  (8)  den  Aus- 
druck hat: 

(hiyhJ=^2A+^. 

Daher  wird  auch  nach  (1): 

(2)  HJ  (Hiy  =  2  (A  ay  AJ  aJ  +  ^Ap-^i  l 
Es  bleibt  der  Term  (^AaJ^  AJ  aJ  zu  untersuchen. 

Zu  diesem  Zwecke  entwickeln  wir  zunächst  nach  der  Tafel  des 
§  8.  den  Ausdruck  (iijijit/  und  erhalten 

(iO  ij  i'y^  =  f  (xy)  z/^  ^  +  i  i^t/y  CO, 
wo 

^  =  i^ii'y ij  ij  =-.  A,    G3  ^  {li'y  =  B, 


294  Sechster  Abschnitt.     Endlichkeit. 

SO  dass  endlich: 

Setzt  man  hierin  yi~a.^y   y2~~^^i  ^^^^  multiplicirt  mit  aj,    so 
hat  man: 

(3)  {ii')  (ß  iy  ij  aj  =  -I  (a  Ay  AJ  aj  +  ^^ ' 

Aber  der  Ausdruck  links  entsteht  aus 

{aif  aj"  iy, 

wenn  man  darin  y^  —  i'.>,  y>~~'H  setzt  und  mit  ^V  multiplicirt. 
Da  nun,  wie  in  §  76.  bewiesen  wurde,  die  Form  {aiy  aj  ix  identisch 
verschwindet,  so  erhält  man  mit  Anwendung  der  Tafel  des  §  8. : 

(aif  a/  iy  =  f  (xy)  .  (a  if  a/  =  ^l.(xtj). 
Man  hat  daher  durch  die  angegebene  Operation: 

(4)  (aiy(:ii')aJiJ=^-il.L 

Aus  (3)   findet  man  also,    indem  man  den  Werth  des  Ausdrucks 
(4)  einträgt: 

(5)  {aAyAJa/--=^-^-^, 
und  hat  daher  aus  (2)  die  gesuchte  Darstellung: 

(6)  H^^  {Hiy -  ^p-^f  _  9 1 1 

2.  Die  Form  (pl^pj.     Nach  der  Tafel  des  §  8.  hat  man: 

(aif  aj  ay'  i/  =  J' (p  +  i{xy)  Jip  +  ^  {xyf  % , 
wo 

fp  =  {aiy  a,r^ ix^^p,      ^^  —  ^  (aif  a/  4  =  0,      x  =  I  (aif  aJ  =  i  l, 

also 

(aif  aJ  tty^  ij  -=^Px^Py'  ■+•  Vö  ^  •  (^2/)^- 

Setzt  man  hierin  y^  —  l.^,  y2~~h>  ^^  wird: 

(7)  {aif  aJ  (a  If  ij  =  (p  Ifp/  +  ^^  P. 

Die  linke  Seite  ist  die  zweite  Ueberschiebung  von  i  mit 
(alfa.^  =  2A  +  ^, 

und  indem  man  dies  in  (7)  einträgt,  findet  man: 

A  A 


der  Formeusysteme.  —  §  77.  295 

Eudlicli  weiss  man  nach  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen 
[§40.  (8)],  dass 

Daher  wird  endlich  die  gesuchte  Formel: 

Bi  +  AÄ      P 


(8)  (pl)'Pa:'  = 


10 


3.  Die  Invariante  (_iiy^(jll'y. 

Aus  der  Tafel  des  §  8.  erhält  man  die  Formel : 

Setzt    man    darin    y^  =  l^,    i/.,  —  —l^^    y^  =  /',,    y.2  =  —  ^\ t    so    er- 
giebt  sich 

(9)  (a  hy  (a  if  {h  ly  =  (i  ly  o  ry  +  i  .4 .  a^  . 

Hier    steht    rechts    die    gesuchte   Form,    links   die   vierte   lieber- 
Schiebung  von 

über  sich  selbst,  also: 

Nach  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen  ist 

iAA'y'  =  ~,     (/■Ay  =  c, 

so  dass  (9)  in 

(10)  {iiy[iry  =  iB''  +  iAC+iA'jB-\ÄÄii 

übergeht.  Hierdurch  ist  eine  Zerlegung  unserer  Invariante  in  niedere 
Formen  schon  gegeben;  um  sie  durch  möglichst  wenige  Bildungen 
auszudrücken,  muss  man  noch  Cauf  ^//  zurückführen,  was  oben  schon 
als  möglich  angedeutet  wurde.  Die  Formel  für  diese  Reduction, 
welche  wir  später  brauchen,  mag  hier  gleich  gegeben  werden.  Schiebt 
man  nämlich  /  viermal  über  die  Gleichung 

Ai 
{alfaa:^  =  2A-\--j  , 

so  kommt 

links  steht  aber  nichts  anderes  als  Äu,    und  man  hat  also  die  Be- 
ziehung 
(11)  Ät,^2C+iÄB. 


296 


Sechster  Abschnitt.    Endlichkeit 


Die  Formel  (10)  nimmt  hierdurch  die  einfachere  Gestalt  an: 

(12)  iilfiiiy  =  iiB'  +  AC). 

Das  ganze  vollständige  System  der  Form  sechster  Ordnung  besteht 
nunmehr  aus  26  Bildungen ,  welche  man  in  der  folgenden  Tafel  zu- 
sammenfassen kann,  in  welcher  die  Höhe  der  Ueberschiebungen  immer 
durch  den  beigesetzten  Index  angezeigt  wird: 


iirm\ 

Ordnung: 

0 

2 

4 

6 

8 

10 

12 

1 

f 

"— 

2 

Ä 

i 

H 

3 

i 

P 

if,i) 

T 

4 

B 

if,  i\ 

ifJ) 

{H,  i) 

5 

(i,  l\ 

ihi) 

{H,l) 

6 

An 

iP,l) 
iifi),l)2 

7 

if,  l\ 

if,  i\ 

8 

i.i,  1% 

9 

Hf,i},l% 

10 

(A  ^^)6 

if,  1% 

12 

HfAi% 

15 

«/>•),  ?^)8 

§  78.    Die  Invarianten  und  die  quadratischen  Covarianten  der  Formen 

seclister  Ordnung. 

Ich  werde  jetzt  die  sechs  quadratischen  Covarianten  näher  unter- 
suchen, wobei  denn  zugleich  die  Invarianten  behandelt  werden  müssen. 

Wenn  man,  von  l  ausgehend,  successive  die  quadratischen  Cova- 
rianten bildet: 


(1)  m  =  {i  If  ij,     n  =  (i  mf  ij ,     q  =  (i  nf  ij  .  . . , 

so  gelangt  man  zu  einer  Reihe  von  Ausdrücken,  von  denen  der  erste 
in  der  Tafel  vorkommt,  von  denen  der  zweite  an  Stelle  der  vierten 
Ueberschiebung  von  l^  über  f  gesetzt  werden  kann,  und  von  denen 
die  übrigen  die  bemerkenswerthe  Eigenschaft  haben,  aus  ?,  m,  n  auf 
sehr  einfache  Weise  linear  zusammensetzbar  zu  sein.    . 


der  Formensysteme.  —  §§77,  78.  297 

Was  zunäclist  die  Ersetzung  von  {alf  {al')- a/  durch  m  anbetrift't, 
so  folgt  aus  der  oft  benutzten  Gleichung 

indem  man  dieselbe  zweimal  über  l  schiebt: 

{alf  {aJi'  a/  =  2  (A  /)-  A.,^^  +  j\ilf  'iJ 

=  2(A?,^A/  +  ^. 

Mau  kann  also  [alf  {aJ)- aj^  in  der  Tafel  durch  (AI)- AJ  er- 
setzen. Da  sodann  aber,  nach  einer  schon  oben  benutzten  Formel 
aus  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen  [§  40.  (2)] 

SO  folgt,  indem  man  7/^  =  /^,  y^^  =  —  l^  setzt: 

(itr  iJ  {tiy  =  (:imy  ij  =  n  =  AJ  ( A  Ij'  +  ^ , 

d.  h.  Aar^(Ar)-  ist  durch  n  ersetzbar,  was  zu  beweisen  war. 

Führen  wir  also  /,  m,  n  als  fundamentale  quadratische  Covarian- 
ten  ein.  Die  übrigen  in  der  Tafel  enthaltenen  sind  dann  durch  deren 
Functionaldeterminanten  ersetzbar.     Es  ist  nämlich  erstens: 

Sodann  kann  {f,  l'-)-^  als  erste  Ueberschiebung  von  (f,  /-)j  mit  l 
betrachtet  werden.  Da  nun  (/,  l'-\,  wie  soeben  gezeigt,  bis  auf  Glie- 
der von  der  Form  Bl  und  Ä7)i  durch  ?^  ersetzbar  ist,  so  ist  auch 
seine  erste  Ueberschiebung  mit  l  bis  auf  ein  Glied  von  der  Form 
B  ,{mT)mjcJxj  also  überhaupt,  durch  {nl)na:lx  ersetzbar. 

Endlich  ist  nach  den  allgemeinen  Regeln  die  Form  i{f)i),l%, 
also  die  sechste  Ueberschiebung  von   {a  i)  aJ^JJ  mit  /^,  durch  das  Glied 

ersetzbar.  Dieses  aber  ist  die  erste  Ueberschiebung  von  {il)^i/  =  m 
mit  {al'y^  {al" f  üjc^^  und  da  letzteres  sich  von  n  nur  um  Terme  Bl^ 
Am  unterscheidet,  so  ist  auch  der  obige  Ausdruck  von  {nm)na:nKr 
nur  um  einen  Term  der  Form  A .  {ml)  nix  Ix  verschieden  und  kann 
also  durch  (nm)nxmx  ersetzt  werden. 
Bilden  wir  nun  die  Covariante 

q  =  (Inf  ix'  =  ^n'  (imy  ij  =  (nf  (/'O^  {i'iy  ij. 

Nach  den  Formeln  der  Tafel  des  §  8.  ist 

.  {iiy  iii'Y  ia-  r,/  =^J-(p'\-i  (xy)- 1, 


298  Sechster  Ab«cliiiitt.    Endliclikeit 

WO 

cp  ^  {ii'f  (urf  rj  i:?  =  ^    "       l§  40.  (7).] 
^  =  (a7(i'r)2(*r)ä  =c, 

also 

{iiY  ii'ij  i/ i'\/  =  I  ^ .  i,^  l,/  + 1  6\  {xyf. 

Setzt  mau  nun  y^  =  l^,  y,^=z  —  l^^  so  wird  hieraus: 

(2)  q  =  iBm  +  iCl 

Bemerken  wir,  dass  wir  bei  Ableitung  dieser  Formel  von  den 
Eigenschaften  der  Form  l  gar  keinen  Gebrauch  gemacht,  sondern  den 
Beweis  lediglich  auf  das  Gesetz  der  Bildungen  (1)  gestützt  haben. 
Die  Formel  (2)  gilt  also  nicht  nur  für  die  Formen  l^  m,  q,  sondern 
für  je  drei  Formen  der  Reihe  (1),  welche  ähnliche  Stellungen  zu  einan- 
der einnehmen.     Und  so  darf  man  den  Satz  aussprechen: 

In  der  Reihe  (1)  drückt  sich  jede  Oovariante  durch 
die  zweit-  und  drittvorhergehende  mittelst  der  For- 
mel (2)  aus. 

Wenn  nun  die  quadratischen  Covarianten  der  Form  sechster 
Ordnung  mit  den  aus  den  simultanen  Formen  l,  m,  n  hervorgehen- 
den quadratischen  Covarianten  identificirt  werden,  so  können  ebenso 
die  höheren  Invarianten  der  Form  sechster  Ordnung  aus  den  Inva- 
rianten dieses  simultanen  Systems  hergestellt  werden,  zwischen  denen 
dann  freilich  Beziehungen  eintreten,  welche  in  den  Beziehungen  von 
l,  m,  n  zu  der  Grundform  sechster  Ordnung  ihre  Begründung  finden. 

Bezeichnen  wir  die  durch  gegenseitige  zweite  Ueberschiebung  von 
/,  m,  n  erzeugten  Invarianten  durch 

All    =(liy  Anui=={mnf 

(3)  A.nrn  =  inimJ        Ani^inlf 
A,.n  ={nny         Aim-=={lmY, 

endlich  die  aus  allen  gebildete  Invariante  ungeraden  Charakters  durch 

(4)  R  =  ~(lm)(:mn){nl). 

Die  Form  Au  findet  sich  schon  in  der  Tafel.    Die  Bildung  (/;  l\ 

hingegen,  oder 

{alf{aiy{aiy 

geht  durch  zweite  ueberschiebung  von  l  mit  {alf  {al'Y  ax^  hervor, 
also  mit  einer  Form,  welche  von  n  nur  um  Glieder  Am,  Bl  unter- 
schieden ist.  Diese  Form  kann  also  bis  auf  Term  A{mVfy  B  (ITfy 
also  überhaupt,  durch 

(5)  I)  =  {:nlf  =  A„, 


der  Formeiisysteme.  —  §  78. 


299 


ersetzt  werden.  Wenn  wir  jetzt  Aj  B^  C,  D,  E  als  die  fundamen- 
talen Invarianten  betrachten,  so  ist  zunächst  An  durch  §  77.  (U), 
dann  A,ii  durch  (5)  gegeben.     Es  ist  aber  auch 

{nlf  =  {imf  {iiy  =  {mmy  =  A„, „, , 
daher  auch 

(6)  A,,.„,  =  D. 

Ferner,  indem  man  (2)  zweimal  über  /  oder  m  schiebt: 


(7) 


(qlf    =  i^inf  {ilf    =  {mny  =  A,„„  =  -i  BA.m  +  |  CAu 


{q  m)'^  =  ii nf  (/  mf  =  in  n)-  =Aan  =1  B  A,n  ,„  +  i  CAn, i 

Es   ist   also  nur  A„a  noch  auszudrücken;   dies  aber  ist  die  schon 
in  §  77.  behandelte  Invariante 

(8)  A,,a  =  iilf  {iiy  =  |  {B'^  +  AC). 

Führen    wir    also    überall   A,  B,  C,  B  ein,   so   erhalten  wir  für 
diese  simultanen  Invarianten  von  l,  m,  n  folgende  Tafel: 

An   =2C+\AB  A.„n-=-\B{B^^AC)^-\Ci2C^^AB) 

(9)  A„,,n=B  A„i  =B 

Ar,n  ==iBD+iC{B^'+AC)  Ann  =i(B'+AC). 

Durch    diese  drückt  sich  das  Quadrat  von  R  mittelst  der  Formel 

§  58.  (5)  aus : 

'  All        Alm         Ain    j 


(10) 


R'^i 


Ami 


A, 


Und  B  ist  zugleich  an  Stelle  der  letzten  Invariante  der  Tafel 
{{fj  i),l^)s  zu  setzen;  denn  es  ist  wie  diese  vom  15.  Grade  und  un- 
geraden Charakters,  und  kann  also  da  es  eine  andere  Invariante  un- 
geraden Charakters  nicht  giebt,  von  dieser  nur  durch  einen  Zahlen- 
factor  verschieden  sein. 

Die  Gleichung  (10)  stellt  so  zugleich  die  einzige  Beziehung  dar, 
welche  zwischen  den  Invarianten  A,  B,  C,  D,  E  eintritt.  Zwischen 
den  A,  B,  C,  B  und  /,  m^  n  tritt  eine  Gleichung  ein,  welche  ?,  m,  n 
quadratisch  enthält  und  nach  §  58.  (9)  die  Gestalt  hat: 

All       Alm       Ain        l 

A 

0  = 


Ami 

Amm 

Amn 

m 

Anl 

A„m 

Ann 

n 

l 

m 

n 

0 

Durch   diese   Untersuchungen   sind   die   wesentlichsten  derjenigen 
Beziehungen  gegeben ,  von  welchen  ich  später  Gebrauch  machen  werde. 


Siebenter  Absclinitt. 

Typische    Darstellungen. 


§  70.    lieber  die  Anzahl  der  Parameter,  yon  welchen  die  luyarianten 
und  Covarianten  eines  Systems  abhängen. 

Die  vier  willkürlichen  Grössen^  welche  eine  lineare  Substitution 
mit  sich  führt,  kann  man  im  Allgemeinen  so  bestimmen,  dass  vier 
Coefficienten  einer  gegebenen  Form  w*^"  Grades,  f,  nach  der  Trans- 
formation gegebene  Werthe  annehmen.  Dabei  müssen  nur  gewisse 
Werthsysteme  ausgeschlossen  werden,  durch  deren  Auftreten  eine 
specielle  Invarianteneigenschaft  herbeigeführt  wird ;  wie  denn  z.  B.  die 
beiden  ersten  Coefficienten  niemals  gleichzeitig  verschwinden  können, 
ohne  dass  die  Discriminante  verschwindet,  was  durch  lineare  Trans- 
formation nicht  erreichbar  ist. 

Nehmen  wir  etwa  irgend  zwei  der  Verschwindungselemente  der 
Function  zu  Grundelementen  §  =  0,  t^  =  0.  Dann  verschwinden  in  der 
transformirten  Form  das  erste  und  das  letzte  Glied  von  /',  so  dass  das 
Product  der  neuen  Veränderlichen  J  .  7]  ein  Factor  von  /'  wird.  Indem 
wir  noch  diese  Veränderlichen  um  constante  Factoren  passend  ändern, 
können  wir  es  ferner  erreichen,  dass  in  der  übrig  bleibenden  Function 
(?^  — 2)*"  Ordnung  die  äussersten  Coefficienten  gegebene  Werthe  an- 
nehmen, wofern  nicht  etwa  einer  von  diesen,  oder  beide,  verschwinden, 
was  nur  bei  dem  Verschwinden  der  Discriminante  eintreten  kann.  Wir 
können  also,  wenn  nur  die  Discriminante  nicht  verschwindet,  mithin 
immer,  so  lange  die  Coefficienten  als  ganz  beliebig  gedacht  werden,  der 
Function  /'  die  Form  geben: 

Hier  ist  die  Anzahl  der  Coefficienten  von  f  nur  noch  gleich  n  —  'dj 
um  die  Anzahl  der  Substitutionscoefficienten  kleiner  als  die  ursprüng- 
liche Zahl  der  in  /"  enthaltenen  Coefficienten. 

Wenn  man  sich  f  in  der  Form  (1)  gegeben  denkt,  so  sind  die 
Coefficienten  Kj  l  . . .  beliebig  und  von  einander  unabhängig.    Zwischen 


Typische  Darstellungen.  —  §  79.  301 

diesen  Coefficienten  kann  dalier  auch  im  allgemeinen  Falle  keine  Be- 
ziehung stattfinden. 

Bildet  man  nun  eine  Invariante  von  f,  einmal  aus  der  ursprüng- 
lichen Form  («7);  einmal  aus  der  trän sfor mir ten  Form  (1)  {J'),  und 
ist  r  die  Substitutionsdeterminante,   so  hat  man 

d.  h.  J  ist  eine  ganze  rationale  Function  von  r,  x,  A  .  . .  q.  Man  hat 
also  den  Satz: 

Alleinvarianten  einer  Form  ^^^^'^  Grades  /Massen 
sich   als  ganze  rationale  Functionen  von  n—2  will- 
kürlichen  Grössen   dar  st  eilen,   von  deren  einer  nur 
immer  eine  Potenz  als  Nenner  auftritt. 
Führt  man  die  Veränderlichen  ^,  rj  in  irgend  eine  andere  Function 
q)  der  p*®"  Ordnung  ein,  so  behält  diese  p  +  1  willkürliche  Coefficienten. 
Daher  gilt  für  simultane  Invarianten  der  folgende  Satz: 

Alle     simultanen     Invarianten     eines     Systems 

von  Grundformen  /',  q),  j}j  .  .  .    lassen    sich    als    ganze 

Functionen    von    so    viel  willkürlichen  Parametern 

ausdrücken,  als  die  Zahl  der  Coefficienten  in  diesen 

Formen  beträgt,  weniger  3. 

Es  könnte  nun    die  Frage    entstehen,    ob    diese  Parameter  nicht 

bei  solchen  Darstellungen  nur  immer  in  einer  geringeren  Anzahl  fester 

Verbindungen  auftreten,  so  dass  die  Invarianten  in  der  That  nur  von 

einer  kleineren  Anzahl  von  Parametern  abhingen.     Dass  dies  nicht  so 

ist,  sieht  man  aus  folgender  Betrachtung. 

Die  Aufgabe,  eine  Form  f  in  die  Form  (1)  zu  bringen,  ist  völlig 
bestimmt  und  auf  n.n  —  1  verschiedene  Arten  lösbar,  indem  man  je 
zwei  der  linearen  Factoren  von  f  zu  Formen  |,  r]  wählt;  diese  Arten 

gruppiren  sich  übrigens  in        ^ Paare,  so  dass  die  Lösungen  eines 

Paares  sich  nur  durch  Vertauschung  von  ^  mit  i]  von  einander  unter- 
scheiden. Hat  man  die  linearen  Factoren,  welche  benutzt  werden 
sollen,  gewählt  und  bezeichnet  sie  durch  qI,  Cr],  so  nimmt  /"zunächst 
die  Form  an: 

und  man  setzt  noch 

(2)  «'''"'''  =  1'   9<?"-'  =  y- 

Man  hat,  um  q  und  a  zu  finden,  eine  n{n  —  2f^  Wurzel  zu 
ziehen    und    demnach    für    jede    der  [^ Lösungen  noch  w  .  7^  — 2 


302  Siebenter  Abschnitt. 

Ünterfiille,  welche  aber  in  der  That  sich  auf  nur  n  —  2  reduciren. 
Irgend  ein  Coefficient  nämlich  der  transformirten  Function  f  besteht 
ausser  einem  bekannten  Theile  aus  q"-' (j\  was  nach  (2)  in 

g"-'    __         1 

übergeht  und  also  rational  von  ^"  abhängt;  diese  Grösse  aber  ist  aus 
(2)  durch  die  Gleichung  (^^— 2)*®"  Grades  gegeben: 

(3)  (9")"-^  =  ;^,. 

Man  könnte  hiernach  die  Aufgabe,  /  in  die  Form  (l)  zu  bringen, 
sich  in  der  Weise  behandelt  denken,  dass  man  die  Grösse  r=  q"  sucht. 
Diese  Grösse,  welche  im  Ganzen  7t.n—l.n  —  2  Werthe  annehmen 
kann,  ist  durch  eine  Gleichung  von  diesem  Grade  gegeben,  deren 
Coefficienten  ganze  homogene  rationale  Functionen  der  gegebenen 
Coefficienten  von  f  sind.  Aber  da  immer  n  —  2  Werthe  von  r  sich 
der  Gleichung  (3)  wegen  nur  durch  (w  — 2}*^  Wurzeln  der  Einheit 
unterscheiden  können,  so  darf  diese  Gleichung  nur  Potenzen  vonr"-^ 
enthalten,  d.  h.  sie  muss  die  Form  haben  [p  =  n(n—\}\: 

(4)  A  (t"-''')p+ä,  {r^-'^y-^  +  Ä,  (t«-2)?'-3  .  .  .  +  ^1^_ 0, 

in  welcher  die  Ä  ganze  homogene  Functionen  der  Coefficienten  von 
f  sind. 

Zu  jedem  Werthe  von  r  gehört  nur  ein  System  der  Grössen  x, 
A...,  der  Coefficienten  von  /"  in  seiner  transformirten  Gestalt;  und 
zwar  sind  diese  Grössen  his  auf  die  oben  durch  a,  .  . .  h  bezeichneten 
Factoren,  welche  nur  von  der  Wahl  der  J,  rj^  also  von  t""^  abhängen, 
gleich  den  Grössen 


1         1 

1           1 

1 

oder  gleich 

Man  hat  also 

1 

_1      jÖi(t«-2)/'-'  +  J5,(t"-2)p-2    _ 


WO  die  By  C  .  . .  wieder  ganze  homogene  Functionen  der  Coefficienten 
von  f  sind,  oder  auch,  indem  man  diese  Gleichungen  mit  bezüglich 
mit  der  (w  — 3)*^^,  (w  — 4)*®°  etc.  der  ersten  multiplicirt,  und  die  Po- 
tenzen von  r  mittelst  der  Gleichung  (4)  reducirt: 


Typische  Darstellungen.  —  §  79.  303 

(5)  C"  .  7i"-' .  A  =  C\  (T"-2)p-i  +  C'2  (r"-^)/'-^  ^ , , 

7 

wo  die  i^',  C  ähnliche  Bedeutiingeu  haben. 

Denken  wir  uns  nun  auf  /'  eine  lineare  Transformation  angewandt^ 
so  bleiben  die  linearen  Functionen  ()|,  (?  ^;  völlig  uugeändert,  also 
auch  die  Coefficienten  a,  h,  aus  denen  q,  6  sich  bestimmten,  und 
endlich,  wegen  der  Gleichung  (3),  auch  r"-  '.  Durch  eine  lineare  Trans- 
formation wird  demnach  keine  der  p  Wurzeln  der  Gleichung  (4) 
geändert,  und  die  Quotienten 

A  '    A'"'    A  ' 

welche  rationale  Functiouen  der  Coefficienten  von  f  sind,  müssen 
diese  Eigenschaft  theilen. 

Ferner  haben  die  links  in  den  Gleichungen  (5)  auftretenden 
Grössen 

%"'-■'  .  '/.,       >£"-'♦  .  l  .  .  . 

die  Eigenschaft,  sich  durch  a,  ...h  und  die  {n~2y^  Potenz  von  r 
auszudrücken,  also  durch  eine  lineare  Transformation  von  f  ebenfalls 
nicht  geändert  zu  werden.  Denken  wir  uns  nun,  durch  eine  lineare 
Transformation  von  f  gingen  B\  JB\  ...  in  B',  B'^  .  .  .  über,  ebenso 
C ,  C\  .  . .  in  r,  r'i  u.  s.  w.  Man  hätte  dann  beispielsweise  aus  der 
ersten  Gleichung  (5) 

Diese  Gleichung  muss  für  die|)  Werthe  von  r"~-  bestehen,  welche 
der  Gleichung  (4)  genügen,  und  da  diese  im  Allgemeinen  sämmtlich 
verschieden  sind,  so  würde  man  die  2^  Gleichungen,  welche  so  ent- 
stehen, als  p  von  einander  unabhängige  homogene  und  lineare 
Gleichungen  mit  den  Unbekannten 

?li_^       ^_^  ^/'_^ 

B'        B'^     B'       B"    •■    B'        B' 

ansehen  können  und  daraus  schli essen,  dass  diese  Unbekannten  sämmt- 
lich verschwinden  müssen,  weil  die  Determinante  des  Systems,  das 
Differenzenpro duct  der  t"~-,  nicht  verschwindet.     Man  hat  also 

I[,^B\     B^^B\, 
J?'"^  B'^     B'~  B''  '" 
und  ebenso: 

(y  i '1        (y  2 '2 

^-   p7,       ;^,--j=7,...    U.    S.    W., 


304  Siebenter  Abschnitt. 

d.  li.  auch  die  Quotienten 

ir '  B' '"'    c"   c"  '" 

werden  durch  lineare  Transformation  nicht  geändert. 

Nun  wird  im  nächsten  Paragraphen  der  folgende  Satz  nach- 
gewiesen werden^  welcher  zugleich  die  Invarianten  in  einem  neuen 
Lichte  erscheinen  lässt: 

Jeder  Quotient  zweier  Functionen  P,  Q  der 
Coefficienten  simultaner  Formen  /,  (p,  ip...,  wel- 
cher sich  durch  lineare  Transformation  der  Formen 
nicht  ändert  und  dessen  Zähler  und  Nenner  homogen 
für  jede  der  Coefficientenreihen  sind,  ist  der  Quo- 
tient zweier  Invarianten. 

Aus  den  Gleichungen  (5)  folgt,  indem  wir  diesen  Satz  als  bewiesen 
voraussetzen,  dass  oc,  l...  irrationale  Functionen  der  Invarianten  von 
/'sind.  Da  nun  k,  /L  . .  .  dem  Obigen  zufolge  ein  System  von  n—'d 
ganz  willkürlichen  Grössen  bilden,  so  können  auch  die  Invarianten 

B\     B\  0\     C\ 

B"    B""'    G"    ^v-;^^-s.w. 

nicht  von  weniger  als  n  —  ?j  Parametern   abhängen. 

Was  nun  die  Grössen  B\  B^ ...,  C,  6'/...  selbst  anbetrifft,  so 
dürfen  wir  immer  voraussetzen,  dass  wenigstens  je  einer  der  Quotienten 

B"    C"" 

in  Zähler  und  Nenner  keinen  gemeinschaftlichen  Theiler  besitzt.  Da- 
her sind  nach  dem  angeführten  Hilfssatze  B'j  C\  . .  Invarianten,  und 
also  auch  alle  B'i,  C'i.  .  .  Diese  Grössen  selbst  hängen,  ausser  von  den 
ersterwähnten  n  —  ?)  Parametern,  noch  von  der  Determinante  der 
I,  7}  ab,  von  welcher  sie  eine  Potenz  als  Factor  enthalten.  Von  dieser 

B'      C- 
Determinante  hängen  die  Quotienten-^',    jj}  "  •  nicht  ab  5  denn  durch 

lineare  Transformation  kann  man  der  Determinante  jeden  beliebigen 
Werth  geben,  während  jene  Grössen  sich  nicht  ändern.  Diese  Deter- 
minante ist  also  ein  (^^— 2)*®^  Parameter  and  die  Invarianten  B'i,  d  . . . 
hängen  also  von  n—2  Parametern  ab,  was  zu  beweisen  war. 

Ich  will  an  den  obigen  Satz,  unter  der  Voraussetzung,  dass  auch 
der  Hilfssatz  nachgewiesen  sei,  einige  Bemerkungen  knüpfen. 

Da  alle  Invarianten  eines  simultanen  Systems  nur  von  /^  —  3  Para- 
metern abhängen,  wenn  li  die  Anzahl  aller  Coefficienten  beträgt,  so 
muss    zwischen   je   Ti—2  Invarianten   immer   eine  Relation 


typische  Darstellungen.  —  §§  79,  80.  305 

stattfinden.  Man  erhält  also  alle  Beziehungen,  welche  zwischen 
den  Invarianten  eines  Systems  stattfinden,  deren  Zahl  etwa  i  sein  mag, 
wenn  man  /  —  Z;  +  3  Beziehungen  zwischen  Ä;  —  3  fest  gewählten  und 
Jfe  einer  der  übrigen  ableitet.  Diese  Beziehungen  werden  im  Allge- 
meinen nicht  so  beschaffen  sein,  dass  man  etwa  alle  übrigen  Invarianten 
durch  7j— 3  rational  ausdrücken  könnte;  ja  es  wird  im  Allgemeinen 
kein  System  von  7.-—  3  Invarianten  existiren,  welches  dieser  Forderung 
Genüge  leistet. 

Da  nach  §  4.  Covarianten  immer  als  Invarianten  aufgefasst  werden 
können,  bei  deren  Bildung  das  System  der  Grundformen  nur  um  eine 
lineare  Form,  das  System  der  Coefficienten  also  um  zwei  vermehrt  ist, 
so  folgt  daraus,  dass  alle  Covarianten  und  Invarianten  eines  simultanen 
Systems  immer  als  Ausdrücke  mit  Tz—  1  Parametern  angesehen  werden 
dürfen  und  dass  also  zwischen  je  h  Covarianten,  bez.  In- 
varianten eine  Relation  existirt.  Ist  h  die  Gesammtzahl  aller 
Covarianten  und  Invarianten  des  Systems,  so  giebt  es  also  h  —  lc-\-l 
von  einander  unabhängige  Relationen,  welche  etwa  wieder  zwischen 
/j— 1  fest  gewählten  und  je  einer  anderen  Form  bestehen  können. 

Wenn  man  die  Veränderlichen  |,  r]  einführt  und  nun  die  Co- 
varianten und  Invarianten  bildet,  so  kommt  man  in  der  That  auf 
Functionen  von  k—1  Parametern;  zu  den  A' —  3  bei  Invarianten 
auftretenden  kommen  noch  ^  und  r]  hinzu. 

Bezüglich  des  ganzen  Systems  der  Invarianten  und  Covarianten 
wird  nun  weiterhin  der  Satz  nachgewiesen  werden: 

Man  kann  immer  Ti;—  1  Covarianten  und  Invarian- 
ten so  wählen,  dass  durch  sie  jede  andere  Covariante 
oder  Invariante  sich  rational  ausdrückt,  wobei 
immer  nur  eine  Potenz  von  einer  jener  Ä;  —  l  Formen 
den  Nenner  bildet. 

Dieses  System  von  /.' —  1  Formen  iässt  sich  einfach  angeben. 


§   80.    Partielle   Diflfereutialgleicliimgeii,    denen   die   Covarianten  nnd 
Invarianten  eines  simnltanen  Systems  geniigen. 

Der  Zweck,  den  wir  bei  dem  Folgenden  im  Auge  haben,  besteht 
in  dem  Beweise  des  im  vorigen  Paragraphen  angeführten  Hilfssatzes. 
Aber  bei  der  Führung  dieses  Beweises  werden  sich  einige  an  und  für 
sich  interessante  Momente  ergeben. 

Bezeichnen  wir  durch  P  und  Q  zwei  ganze  rationale  Functionen 
der  Coefficienten  simultaner  Formen  /",  cp,  ilf  .,.y  homogen  für  jede 
der  Coefficientenreihen.     Dieselben  Functionen,  aus  den  Coefficienten 

Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen,  }30 


30(1  Siebenter  Abschnitt. 

der  linear  transformirten  Functionen  gebildet,  seien  P\  Q\  Nehmen 
wir  an,  es  sei  für  jede  lineare  Transformation  mit  nicht  verschwin- 
dender Determinante 

und  zwar  mögen  P  und  Q  keinen  gemeinsamen  Theiler  besitzen. 
Es  folgt  dann 

und  da  die  transformirten  Coefficienten  lineare  Functionen  der  ursprüng- 
lichen sind,  so  stimmen  die  Dimensionen  von  P  und  P'  oder  von  Q 
und  Q'  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  der  gegebenen  Formen  f^tp^ip.,. 
überein;  m  kann  daher  nur  noch  eine  ganze  Functfon  der  Transfor- 
mationscoefficienten  sein. 

Wir  werden  nun  folgenden  Satz  beweisen: 

Wenn  eine  ganze  rationale  Function  P  der  Coef- 
ficienten von  fy  9,  ^  .  . .;  welche  für  jede  dieser' 
Coefficientenreihen  homogen  ist,  die  Eigenschaft 
hat,  dass  die  für  die  linear  transformirten  Fun- 
ctionen gebildete  Function  P'  sich  von  P  nur  durch 
einen  von  den  Transformationscoefficienten  ab- 
hängigen Factor  unterscheidet,  so  ist  dieser  Factor 
eine  Potenz  der  Transformationsdeterminante  und 
P  eine  Invariante. 

Bezeichnen    wir    die   Coefficienten    der   verschiedenen   gegebenen 
Formen  /",  99,  -^  . . .  beziehungsweise  durch 


«0? 

%; 

a,. 

K 

hu 

h- 

Coy 

Ci> 

c^. 

" 

die  Coefficienten  der  transformirten  Formen    durch    beigesetzte  obere 
Striche.     Ist  n  die  Ordnung  von  /",  und  sind 

^  ^  ^2  =  <^2  S  +  /^a  7/ 

die  Transformationsformeln,  so  ist 

(2)       f==a,x,-  +  j  a,  x--'x,  ...=.«;?"  +  -  a\i—^7j  +  ,.., 

und   die  a'{  daher  linear    in  den  «,,   von  der  #®°  Ordnung  in  den  «; 
ähnlich  sind  die  doppelten  Darstellungen  von  9),  ip . . . 


Typische  Darstelhingen.  —  §  80.  307 

Als  unabhängige  Veränderliche  können  wir  hierbei  die  folgenden 
Grössen  auffassen: 

1.  Die  ursprünglichen  Coefficienten  der  Formen  f\  cp^  ip..., 
deren  Gesammtzahl  J:  sein  mag. 

2.  Die  neuen  Veränderlichen  h,,  rj. 

3.  Die  Substitutionscoefficienten  «,  ß. 

Die  neuen  Coefficienten  und  die  ursprünglichen  Veränderlichen 
erscheinen  als  Functionen  dieser  Grössen.  Aber  es  ist  charakteristisch, 
dass  die  A-j-6  Grössen  a,-,  &,...,  ^,  rj^  ccj,  /3,  nur  in  Jc-\-2  Functionen 
a',-,  J)\.  .  .,  Xi  auftreten.  Ich  werde  nun  ein  System  von  Differentialen 
angeben,  welches  man  den  unabhängigen  Veränderlichen  beilegen 
kann  und  für  welches  die  Differentiale  von  x^,  rr.,  verschwinden, 
während  die  Differentiale  der  k  Functionen  a'i,  Vi  .  .  .  sechs  einfache 
Werthesj^steme  annehmen.  Setzen  wir,  indem  wir  durch  dt  irgend 
eine  unendlich  kleine  Grösse  bezeichnen: 

/Qx  da^^{pa^  +  qß,)dt         d  ß,  =  {ra,-\-sß,)  dt 

^'  ^  d  «,  -  (P(^2  +  Qß-^  d  f'         d ß-2  =-  {ra,  +  sß,)  d  t, 

so  wird  aus  (1): 

dx,  =  a,[d^^-\-{pl  +  rri)dt]  +  ß,[drj  +  {qt,  +  srj)dt^ 
dx,  =  a,  [d^-\-(pi+rri)  dt]  +  ß,  [dri  +  {q^+sri)  dt]  . 

Daher  hat  man 

dx^^  =  0^     dx.2  =  0, 

wenn  man  d^,  drj  aus  den  Gleichungen  bestimmt: 

di  =  -{2)^  +  rri)dt 
^^  drj=-{q^+S7i)dt. 

In  diesen  Formeln  sind  ^;,  q,  r,  s  noch  ganz  willkürliche  Grössen. 

Sehen  wir  »un,  welche  Werthe  die  Differentiale  der  a'i,  ¥i .  .  . 
annehmen;  wobei  es  hinreicht,  eine  der  Formen,  etwa  f,  zu  betrachten. 

Wenn  wir  die  Gleichung  (2)  differenziren  und  statt  der  Diffe- 
rentiale die  oben  angegebenen  besonderen  Werthe  setzen,  so  erhal- 
ten wir: 

0  =  l^dl  +1^  rf  ,i  + 1"  d  a\  +  j  g"-'  n  d a\  . .. 

Setzen  wir  nun  die  Coefficienten  der  verschiedenen  Potenzen  von 
i,   1]   einzeln  gleich   Null,   so   finden  wir    für   die  Differentiale  der  a 
folgende  Ausdrücke: 

20* 


308  Siebenter  Abschnitt. 

+  7isa\     dt 
n.n  —  1  ,   ,      r     n—l.n  —  2       ,   .       n-1      ,  n—l.n  —  2 


1.2 


qa 


-\-n.~Y-sa^  \dt 


oder  auch: 

^  a\  =  (>z  - 1)  (_?)  r/\  H-  q  a\;)  +     (r  r/,     +  s  a\) 
(5)  ö!  a\,  =  {n-2)  {p  a\ + q  a\)  +  2  (i-  a\     +  .s  r^',) 


^  a'n  =  n  {r  a„^\  -j-  s  a„). 

Differenziren  wir  nun  die  Relation 

in  welcher  P'  dieselbe  Function  der  a'i  ist,  wie  P  von  den  a,;,  und  m 
eine  Function  der  a,  ß  allein;  an  Stelle  der  Differentiale  setzen  wir 
die  einfachen  Ausdrücke  (3),  (5).     Dabei  bleibt  P  constant;  dm  wird 

dm  dm,  ■  ^^^^  7/j    ,  ^^^^  7/3 

+  (r  ^,  -h  s  ß,)  ^  +  (r  «,  +  s  ß,)  ^^  dt. 
Man  erhält  also,   mit  Beseitigung   des  Factors  dt  die  Gleichung: 

(6)  +0-«i+«|5,)|^  +  ('-«.  +  sft)|^] 

In  der  rechten  Seite  dieser  Gleichung  bezieht  sich  die  Summe  U 
auf  die  verschiedenen  Coefficienten  einer  Function;  die  Summe  S 
dagegen  auf  die  verschiedenen  Functionen  f,  cp ,  21^  .  .  .^  so  dass  die 
verschiedenen  Glieder  dieser  Summe  sich  ergeben,  wenn  man  in  dem 
ausgeschriebenen  Gliede  statt  der  a  die  Z),  c  . . .,  und  statt  der  Ord- 
nung n  von  f  die  Ordnungen  von  9,  4^  . . .  setzt. 


Typische  Darstellungen.  —  §  80.  309 

Die  Gleichung  (6)  reprUsentirt  vier  verschiedene  Gleichungen^ 
welche  man  erhält,  indem  man  die  Coefficienten  von_2),  q,  r,  s  einzeln 
gleich  Null  setzt;  nämlich  die  Gleichungen: 

T>/      cm  ,        cm\      c\(     ,   cP'  .  ^    ,  cP'      ,       ,        cP'  \ 

Die  Substitutionscoefficienten  kommen   hier  explicite  nur   in    den 

eingeklammerten  Factoren    der   linken  Seite  vor.     Geht  man  von  der 

allgemeinen    linearen   Substitution    zu    derjenigen    über,    für    welche 

iCj  =  ^,  ^2 ~  ^;  ^^^0  überhaupt  ai  =  cii,  h'i  =  bi  . .  .^  wird,  so  hat  man  nur 

a,  =  l,     a,  =  0,     ß,  =  (),     ß,=  l 

zu  setzen.  Die  eingeklammerten  Factoren  links  gehen  in  gewisse 
numerische  Werthe 

fcm\  (cm\  (cm\  (dm\       „. 

M="'  M^'''  wr''  w=* 

über,  welche  weiterhin  bestimmt  werden  sollen;  und  indem  noch  P' 
sich  auf  P  reducirt,  erhält  man  das  folgende  System  partieller 
Differentialgleichungen,  welchem  jede  durch  dieGleichung 
P'  =  m  P  definirte  Function  der  Coefficienten  von  fyCp^f... 
genügen  muss: 


(8) 


Es  ist  eine  besondere  Eigenschaft  dieser  vier  Gleichungen,  dass 
sie  gemeinsame  Lösungen  gestatten,  deren  Existenz  wir  aus  der 
Existenz  der  Invarianten  kennen.  Aber  sie  gestatten  dieselben  nur 
für  besondere  Werthe   von  «,  /3,  7,  d ,   wie   wir  jetzt  zeigen  werden. 

Bezeichnen  wir  durch  O  (P)  und  Y  (P)  irgend  zwei  lineare  Com- 
binationen  der  Differentialoperationen,  welche  auf  der  rechten  Seite 
dieser  Gleichungen  stehen;  es  sei  also 


310  Siebenter  Abschnitt. 


(9) 


WO 

Ah  =  {n~}i)  {p  üA  +  q  n/,^^)  +  h  {r  ((a^\+  s  ü/) 
A'h  =  (n—h)  {p'aA  +  qcfA+i)  +  h  (/üa-i  +  s'cia)  , 

und  ähnlich  Ba,  B'a,  Ca,  C'a  .  -  -,  den  Functionen  cp,  il^ .  , .  entsprechend, 
während  pj  q,  r,  s,  p,  q,  r,  s  ganz  beliebige  Grössen  bezeichnen 
sollen. 

Die  Operationen  O  und  Y  haben  die  Eigensch  aft, 
dass 

(10)  0  [Y  (P) ]  -  N^  [0  (P)]  -  X  (P) 

wieder  ein  Ausdruck  der  Form  0  (P)  oder  Y  (P)  ist, 
dass  also,  wenn  man  beide  Operationen  nach  einan- 
der anwendet,  aber  in  entgegengesetzter  Reihen- 
folge, die  Differenz  der  entstehenden  Ausdrücke 
sich  aus  den  rechten  Theilen  der  Gleichungen  (8) 
wieder  linear  zusammensetzt. 

Man  beweist  diesen  Satz  bequem  in  folgender  Weise.  Bei  der 
Bildung  der  Gleichung  (10)  entstehen  zwei  Arten  von  Termen;  die 
einen  enthalten  erste,  die  andern  zweite  DiflPerentialquotienten.  Die 
Glieder  der  letzten  Art  heben  sich  gegen  einander  auf,  indem  in  der 
Differenz  sich  immer  zwei  Terme  der  Form 

ÄABk  , — B,,Aj 


CGA      (Ol;  fOl-     Cü/, 

zu  Null  vereinigen.  Die  linke  Seite  des  Ausdrucks  (10)  hat  also  zu- 
nächst wirklich  die  Eigenschaft,  nur  erste  Diff'erentialquotienten  von 
P  zu  enthalten;  es  bleiben  dabei  diejenigen  Glieder  von  O  [M^  (P)]  und 
Y  [0(P)]  stehen,  welche  von  der  Differentiation  derCoefficienten  A,  A . .. 
herrühren,  so  dass 

^  (^^  =  8  |f£  t*  (^'o)  -  ^  (A)]  +  ||lf  (^'i)  -  "V  {A,)]  + . . . j . 

Da  nun  die  Äa  nur  von  den  cia,  nicht  aber  von  den  Coefficienten 
der  übrigen  Functionen  abhängen,  so  ergeben  bei  der  Bildung  von 
<^(Ah)  —  ^{AA)  auch  nur  diejenigen  Theile  der  Operationen  O,  V 
etwas  von  Null  Verschiedenes,  bei  welchen  nach  den  üa  differeuzirt 
wird.     Es  ist  also 


Typische  Darstellungen.  —  §  SO.  311 

und  demnach: 
(ll)X.i;-^^^„„^j^„.^^+A  g^^+...     ^og«^     '^'gaiC 

Um  diesen  Ausdruck    nun    in   übersiclitlicher  Form    darzustellen, 
bemerke  man  Folgendes. 

Die  unter  dem  Summenzeiclien  der  recliten  Tlieile  der  Gleichungen 
(8)  befindlichen  Ausdrücke  gehen,  wenn  man 

dP_      d_F     d^ 


durch 


ersetzt,  in  die  Ausdrücke 

a/-         a/^         df        df_ 

y^dv,^  y^ji:  y-'dy,^  y^dy^ 

in  welchen  /  immer  mit  den  Argumenten  y^ ,  y^  geschrieben  gedacht  wird. 
Betrachtet  man  also  die  Gleichungen 


n 


(12)  da,-\y'      y^ 


dP      oi.n  —  l 

h 


da-      1.2     ^^"  '^^' 


als  symbolische  Gleichungen,  welche  die  w*«"  Dimensionen  der  y  sym- 
bolisch definiren,  so  nehmen  die  Gleichungen  (8)  die  symbolische 
Form  an: 


«p=8^. '' 


2  2/1 


Die  unter  den  Summenzeichen  der  Gleichungen  (9)  enthaltenen 
Ausdrücke  erhält  man,  wenn  man  die  in  (8)  oder  (13)  enthaltenen 
Ausdrücke  mit  p,  q,  r,  s,  bez.  /,  q,  r  ,  s'  multiplicirt  und  addirt; 
es  ist  also  symbolisch: 


312  Siebenter  Abschnitt. 

Da  hierbei  nur  die  Differentialquotienten  von  P,  nicht  aber  die 
Coefficienten  a^  symbolisch  verändert  sind,  so  kann  man  diese  Aus- 
drücke in  die  Gleichung  (11)  einführen  und  daher  symbolisch  setzen: 

(15)         X  (P) 

kz=n 


k  =  n 


Die  beiden  hier  vorkommenden  Summen 

haben  sehr  einfach  anzugebende  Werthe.  Denn  die  Gleichungen  (12), 
welche  symbolisch  in  Bezug  auf  irgend  eine  Function  P  sind,  werden 
wirkliche,  wenn  man  P  durch  f  ersetzt;  jene  beiden  Summen  sind 
also  wirklich  gleich  den  Ausdrücken  (14 j,  und  die  Gleichung  (15) 
verwandelt  sich  demnach  in  folgende: 

+  S  i'i  V.  +  6-'  2/.)  -^^  \  (p  y,  +  r  j,,)  ^  +  (g  j,.  +  s  y,)  i|  j 
-^{PVi  +  r  2/2)  ^^  I  ip'  V,  +  r  y.^  ^  +  [q  y^  +  s' y,)  ^  | 

,   -  8  (2  2/. + *•  y.)  4  j  ^^''  ^' + '■'  y-^  4 + ^'^'  ^' + ''  '■''^  S !  ■ 

Bei  der  Ausrechnung  dieser  Ausdrücke  sieht  man  sogleich,  dass 
die  mit  zweiten  Difterentialquotienten  von  f  behafteten  Glieder  sich 
aufheben,   und  es  bleibt  daher  übrig: 


Typische  Darstellungen.  —  §  80.  313 


+  {qr-rq')^tj.,^ 


of 


Diese  Formel  beweist,  dass  wirklich,  wie  oben  behauptet,  der  Aus- 
druck 

(1 7)  X  (P)  =  0  [y  (P)]  -  y  [0  (P)] 

sich  aus  den  rechten  Theilen  der  Gleichungen  (8)  zusammensetzt,  da 
die  Ausdrücke  rechts  in  (13j,  welche  jene  symbolisch  vertreten,  hier 
direct  vorkommen. 

In  Folge  der  Gleichungen  (8)  ist  aber  ferner: 

(^{P)  =  (ccp+ßq+yr+ds)P 
^f{P)  =  (ccp'  +  ßq+yr'+ds)P, 
daher  ♦ 

0  [Y  (P)]  -  Y  [O  (P)] 
=  («y+  ßq  +  ?r+  ös)  O  {P)-{ap  +  ßq  +  yr  +  ös)^(P)  -  0. 

Mit  Hilfe  der  Gleichungen  (8)  verschwindet  also  der 
Ausdruck 

0  \y  (P)]  _  Y  [0  (P)] 

identisch;  es  ist  also  auch  für  jede  Function  P 

X(P)  =  0. 

oder  wenn  man  in  (16)  für  die  Summen  ihre  Werthe  aus  (13)  setzt, 
und  den  Factor  P  auslässt: 

(18)  0  =  {rq'-  qr)  («  -  ^)  +  [{pr-  rp)  +  {rs'-sr)]  y 

+  WlP'-pq)  +  {sq-  qs)]  ß. 

Diese  Gleichung  muss  für  alle  Werthe  von  p),  q,  r,  s  und  y,  g', 
/,  5'  bestehen;   daher  ist  nothwendig 

(19)  a  =  d,     ß  =  0,     y  =  (\ 

Die  erste  dieser  Gleichungen  findet  man,  wenn  man  ji;,  j/  und 
s,  s'  gleich  Null  setzt,  die  zweite,  wenn  man  r,  /,  und  die  dritte, 
wenn  man  q^  q    verschwinden  lässt. 

Mit  Hilfe  der  Gleichungen  (19)  verwandeln  sich  nun  die  Gleich- 
ungen iß)  in  folgende: 


314  Siebenter  AbBchnitt. 

^\      ''ca^                   'ca^                       dan-\) 
A    w^j^t: \'{n—\)a^- — ...+    an      ^ =-0 


(20) 


f^  \      ^  0  a^  ^  c  a^  dan   J 


P^  ,,      cP       ^  dF  \        ^ 

+  2a.y- — ...-^nan      — ^«P. 


Auch  die  Bedeutung  der  Grösse  a  ist  aus  diesen  Gleichungen 
leicht  zu  erkennen.  Addirt  man  die  erste  und  die  letzte,  so  findet 
man: 

f^     \  ^ da^        ^  da^  d  aj 

Ist  also  P  vom  Grade  g^,  g.,  .  .  .  beziehungsweise  in  den  Coef- 
ficienten  von  /",  (p,  ^...,  und  sind  n^^  ^^2  •  •  •  ^^®  Ordnungen  dieser 
Functionen,  so  verwandelt  sich  dies  in: 

2aF=.n,g,F-^n.,g.,F-^..., 
oder  man  hat: 

SO  dass  a  mit  der  in  §  15.  mit  l  bezeichneten  Zahl  (für  Invarianten) 
übereinstimmt. 

Mit  Hilfe  der  Gleichungen  (20)  ist  es  nun  leicht,  zu  zeigen,  dass 
jede  Function  P  eine  Invariante  ist,  und  dass  in  der  Gleichung 
F'  =  m  F  immer  m  eine  Potenz  der  Transformationsdeterminante 
bedeutet. 

Da  die  Gleichungen  (20)  eine  bestimmte  Wahl  der  Veränderlichen 
nicht  voraussetzen,  so  bestehen  sie  auch  nach  jeder  linearen  Trans- 
formation, d.  h.  sie  hören  nicht  auf  zu  bestehen,  wenn  man  P,  ai 
durch  F'j  a'i  ersetzt.  Gehen  wir  also  auf  die  Gleichungen  (7j  zurück, 
so  können  wir  für  ihre  rechten  Theile  die  Ausdrücke 
aF'=.amF,     0,     0,     aF'^amF 

setzen;    und  indem  wir  den  Factor  P  auslassen,   haben  wir  nunmehr 
folgende  Differentialgleichungen  für  m: 

dm,       dm 

dm  ,       dm      ,, 

rt  c  m  .    rt  0  m 


Typische  Darstellungen.  —  §  80.  315 

Bezeichnen  wir,  wie  sonst,  durch  r  die  Substitutionsdeterminante 

so  erhalten  wir  aus  den  obigen  Gleichungen  die  Werthe  der  Differen- 
tialquotienten von  logm: 

c  log  m _  a    dr 
c  c(.2         r  c  «2 

c  log m      a    er  ^ 


r  cß,  cß,         r  cß,' 


daher  ist 


dlogm  —  ad  log  r ,     ni  =  c  .  r". 
Die  Gleichung  für  P  geht  also  in 

über.  Aber  für  die  identische  Substitution  a^=^\y  a^  =  0,  ß^^  =  0, 
/32=1,  ist  P  =  F\  r=l,  also  auch  c=l,  und  demnach 

P'  =  r«  .  F, 

daher  P  eine  Invariante,  was  zu  beweisen  war. 

Hiermit  ist  denn  auch  zugfeich  der  in  §  79.  ausgesprochene  Hilfs- 
satz bewiesen.    Denn  demselben  zufolge  sollte  eine  rationale  Function 

P 

der  Coefficienten  yr ,   welche  durch  lineare  Transformation  sich  nicht 

ändert,  der  Quotient  zweier  Invarianten  sein.  Es  wurde  aber  im 
Anfange  dieses  Paragraphen  gezeigt,  dass  dann  P,  Q  bei  linearer 
Transformation  sich  nur  um  einen  von  den  Coefficienten  der  Formen 
unabhäijgigen  Factor  ändern  können,  und  soeben  sah  man,  dass  dieser 
Factor  nur  eine  Potenz  der  Trans formationsdeterminante  sein  kann. 
Jener  Hilfssatz  ist  also  bewiesen. 

Den  in  §  79.  ausgesprochenen  Sätzen  ist  jetzt  noch  der  folgende 
hinzuzufügen : 

Jede  Invariante  simultaner  Formen  fyCp,il^.,. 
genügt  den  vier  partiellen  Differentialgleich- 
ungen (20)*.  — 

Es  ist  schon  wiederholt  erwähnt,  dass  die  Co  Varianten  unter 
simultanen  Invarianten  mit  einbegriffen  sind.  Will  man  indessen  die 
Gleichungen  (20)  für  Covarianten  so  aufstellen,  dass  die  der  Differen- 
tiation nach  den  Veränderlichen  entsprechenden  Glieder  abgesondert 
erscheinen,  so  braucht  man  nur,  wenn  x^^  x.,)  x\y  x^  etc.  die  in  der 


*  Diese  partiellen  Differentialgleichungen  gab  Cayley  in  Grelle 's  Journal 
Bd.  47.  Sie  bilden  den  Ausgangspunkt  für  Aronliold's  Begründung  der  Inva- 
riantentheorie (Borchardt's  Journal,  Bd.  62).  Siehe  auch  die  Abhandlungen  des 
Verf.  in  Borchardt's  Journal,  Bd.  59,  S.  1  und  Bd.  65,  S.  257. 


316  Siebenter  Abschnitt. 

Covariante  auftretenden  Reihen  von  Veränderlichen  sind,  aus  den 
Summen  links  Glieder  auszusondern,  welche  linearen  Formen  mit  den 
Coefficienten  x.^^  —  ^i5  ^'2?  —  ^\  t^tc.  entsprechen.  Für  solche  Glieder 
ist  ^=1,  und  a^^,  ßj  sind  durch  x.^y  —x^  etc.  zu  ersetzen.  Es  treten 
also  aus  den  vier  Summen  (20)  folgende  Glieder  heraus,  in  denen  die 
Summenzeichen  sich  auf  die  verschiedenen  Reihen  von  Veränderlichen 
beziehen: 

yj'^'dx./         ^^'dx,'         ^""^^^^     fo^iä^' 

oder  auch,  wenn  m,  nt  . .  .  die  Ordnungen  der  Covariante  P  in  den 
Xf  x\  . .  bezeichnen: 

Zm.P—rsx^- — ,     —CSX.- — ,     — iS^2^r-,     Zm.  P  —  \x.,-^—  . 

Setzt  man  ausserdem  in  (20)  Tm-\-a  an  Stelle  von  a,  so  erhält 
man  für  eine  Covariante  P  die  folgenden  Differentialgleichungen: 

iN  (n  a^^^  -\-  (n—l)  a^^  . . .)     —  X^  ^  =  « P 
^-^  V      ^  «0  ^  c  a^       )  ^   ^  cx^ 

^(na,- \-{n  —  V)a.X —  .  •  . )      —  S^i^ —  =  0 

af      oP  ^         ,,    dP     \       gaP^ 

^' V      "^«1  ^ca.,       )         >^   ^  dx^ 

q/      dP^        ,,    ap     \       Q    aP      p 

Die  Bedeutung  der  hier  durch  a  bezeichneten  Zahl  ergiebt  sich 
wieder,  wenn  man  die  erste  und  letzte  Gleichung  addirt,  und  es  findet 
sich  mit  Beibehaltung  der  früheren  Bezeichnungen: 

«  =  1  (^1  ^1  +^2  %  •  •  •    -  ^^^0; 

abermals  übereinstimmend  mit  der  Zahl  A  des  §  16. 

Ich  erwähne  noch  eines  Satzes,  welcher  als  eine  Art  veränderten 
Ausdrucks  für  die  Differentialgleichungen  (20)  aufgefasst  werden  kann, 
sobald  dieselbe  sich  nur  auf  eine  Form  beziehen.  Bilden  wir  aus  einer 
Invariante  P  einer  Form  f  die  Covariante 

Dass  dies  eine  Covariante  ist,  folgt  aus  §  3.,  denn  P  ist  nach 
den  Coefficienten  von  f  difierenzirt,  und  die  Differentialquotienten 
sind  mit  den  Coefficienten  der  Form  gleich  hoher  Ordnung 

(die  0  als  die  Veränderlichen  angesehen)  multiplicirt  worden.  Ver- 
möge der  symbolischen  Bezeichnung  (12)  geht  Q  in  die  Form 


Typische  Darstellungen.  —  §§80,  81.  Sl? 

über,  und  schiebt  man  dies  (w— l)mal  über  f=ajc"j  so  erhält  man 
R  =  {yx) .  a,/-'  a.=  ^(if,x,-y,x,)  (x,  -^-^^  +  ^2^^) 

-n]    '    "V'cy,      ^'-cyj       -    -"  cy,       '    ^"cy^S 

Inzwischen  nehmen  die  Gleichungen  (20)  nach  (13)  die  sym- 
bolische Form  an: 

y^dyr       '     ^'dy,     ''^    '''dyr^    '^'dy,-       ' 
so  dass  man  identisch  erhält: 

i^  =  0. 
Man  kann  also  folgenden  Satz  aussprechen*: 

Bildet    man   aus   einer  Invariante  P  einer  Form 
^ter  Ordnung  die  Covariante 

a  P        a  P  d  V 

so  ist  die  (w— 1)*®  Ueberschiebung  dieser  Covariante 
mit  /"identisch  Null. 

Die  w*®  Ueberschiebung  würde 

dP        dP     . 

also  P  multiplicirt  mit  einer  Zahl  geben. 

§  81.    Typische  Darstellung  und  associirte  Formen. 

Nach  dem  Vorigen  kann  man  alle  Invarianten  eines  simultanen 
Systems  mit  h  Coefficienten  durch  k  —  S  Parameter  ausdrücken.  Man 
kann  also  auch  alle  Invarianten  als  Functionen  von  solchen  /.•  — 3  In- 
varianten auffassen,  zwischen  denen  selbst  keine  Relation  besteht. 
Aber  diese  Functionen  sind  im  Allgemeinen  irrational. 

Ebenso  kann  mau  alle  Covarianten  durch  A  — 1  Parameter  dar- 
stellen; mau  kann  sich  also  alle  Covarianten  als  Functionen  von  zwei 
Covarianten  und  /t  — 3  Invarianten,  oder  allgemeiner  als  Functionen 
von  h—l  Covarianten  denken.  Auch  diese  Functionen  sind  im  All- 
gemeinen irrational. 

Setzen  wir  die  Bedingung  der  Rationalität  voran,  so  können  wir 
die  Aufgabe  stellen:  * 


*  Ich  verdanke  denselben  einer  Mittlieilung  des  Hrn.  Gordan. 


318  Siebenter  Abschnitt. 

Alle  Covarianten  und  Invarianten   eines   simul- 
tanen   Systems    sollen    durch    lc  +  l  —  1    Covarianten 
bez.  Invarianten  rational  ausgedrückt  werden,  wäh- 
rend zwischen  den  letztern  A  Relationen  bestehen. 
Diese   Aufgabe    wird   auf  unendlich   mannigfaltige  Weise    gelöst 
durch  die  Theorie  der  associirten  Formen.* 

Betrachten  wir  irgend  zwei  Covarianten  der  simultanen  Formen 
ff  (py  i^  .  .  .,  welche  zwei  Reihen  von  Veränderlichen  enthalten,  und 
zwar  2/u  2/2  linear,  x^j  x^  zu  beliebig  hoher  Ordnung.  Diese  Cova- 
rianten 5,  f]  sind  nach  §  8.  immer  zusammengesetzt  aus  der  ersten 
Polare  einer  Covariante  mit  einer  Reihe  von  Veränderlichen,  und  aus 
der  identischen  Covariante  (xy),  haben  also  die  Form 


1  /    auf  ,     dM\  ,  „,    , 


wo  M  und  K  Covarianten  mit  einer  Reihe  von  Veränderlichen  sind 
und  ^  die  Ordnung  von  iHf  bedeutet.     Die  Ausdrücke 

/-l)  S  =  li  2/1  +  ^2  2/2 

^=^l2/l+'?22/2 

sind,  wenn  wir  auf  die  Veränderlichkeit  von  x^,  x^  für  den  Augen- 
blick keine  Rücksicht  nehmen,  neue  Veränderliche,  welche  wir  mit 
Hilfe  der  Substitution  (1)  an  Stelle  von  y^  und  y^  einführen  können. 
Wir  erhalten  dadurch  die  Formen  /",  9),  t^...,  wenn  dieselben  mit 
den  Veränderlichen  y  geschrieben  werden,  transformirt  in  Functionen 
der  I,  yIj  deren  Coefficienten  von  x^,  x.^  abhängen.  Betrachten  wir 
irgend  eine  dieser  Formen,  etwa  /',  genauer,  und  führen  die  Trans- 
formation an  derselben  aus.     Man  hat 

ay.{lifi)=-{a,ri)l-{ctl)Yi. 
Ist  also  symbolisch 

/'(2/)  =  ^^/, 
so  ist  die  transformirte  Form  von  f  durch  die  Gleichung  gegeben : 

Wir  nennen  diese  Darstellung  von  f  eine  ty- 
pische**, insofern  darin  die  Veränderlichen  sowohl 
als  die  Coefficienten  Covarianten  sind. 


*  Diesen  Begriff  stellte  (in  etwas  speciellerer  Fassung)  Hermite  auf, 
Cambr.  and  Dublin,  matli.  Journal  1854  und  Cr  eile 's  Journal  Bd.  52.  Vgl. 
auch  Brioschi,  Annali  di  matem.  tom.  L,  S.  296. 

**  Auch  dieser  Begriff'  rührt  von  Hermite  her  (vgl.  die  in  der  vorigen  An- 
merkung citirten  Abhandlungen).  Doch  wandte  derselbe  ihn  hauptsächlich  in 
einer  etwas  andern  Form  an,  indem  er  die  linearen  Factoren  einer  quadratischen 
Covariante,  also  irrationale  Formen,  als  typische  Veränderliche  einführte. 


Typische  Darstellungen.  —  §  81.  31Ö 

Das   letztere   ist   leicht  einzusehen.     In  dem  Ausdrucke  (2)  kom- 
mea  n-\-2  Coefticienten  vor,  die  Grössen : 


Nun  verhalten  sich  in  Bezug  auf  lineare  Transformationen  die 
Coefficienten  Si;  ?2  5  Viy  V2  ^^^  Coefficienten  linearer  Formen.  Geht 
z.  B.  bei  linearer  Transformation  |  in  h,'  =  r^,^  über,  und  sind 

2/i  =  «11  ^1  +  «12  ^2 
2/2  =  «21  ^1  +  «22  ^2 
die  Transformationsformeln,  so  hat  man 

I'  =  l'i  ^,  +  ^'2  ^2  =  ^'^  1  ?1  («11  ^1  +  «12  ^2)  +  ?2  («21  ^1  +  «22  ^2)  !  y 

also 

?'i  =  ^'^  (Si  «11  +  ^2  «21) 

^2  =  **^(Sl  «12+^2  «22)- 

Dies  sind  dieselben  Transformationsformeln,  welche  für  lineare 
Formen  mit  constanten  Coefficienten  oder  für  die  Symbole  o  gelten, 
nur  dass  noch  der  Factor  r^  hinzutritt.  Hierdurch  übersieht  man  so- 
fort, dass  die  Ausdrücke  (3)  die  Invarianteneigenschaft  besitzen. 

Den  Gleichungen  (2),  (3)  entsjÄ'echend ,  erhalten  wir  andere, 
welche  sich  auf  9),  1/;  .  .  .  beziehen.  Dabei  bleibt  D  ungeändert;  an 
Stelle  der  Ä  aber  treten  andere  Covarianten  B^  C ,  .  .  .  Die  Anzahl 
aller  A,  B,  C  . .  .  ist  gleich  der  Anzahl  k  sämmtlicher  in  f,  9?,  1^  . .  . 
vorkommenden  Coefficienten. 

Setzt  man,  wie  oben  als  die  allgemeine  Annahme  bezeichnet 
wurde : 

wo  Ky  i,  ÜjT,  N  Covarianten  mit  einer  Reihe  von  Veränderlichen, 
II y  V  die  Ordnungen  von  Jl,  N  sind,  so  wird,  wenn  man  die  y  durch 
die  X  ersetzt: 

ri,x^-^rj.,x^  =  Ny 
und  man  kann  folgenden  Satz  aussprechen: 
Die  Jv-{-3  Formen 

Dy        Ä,y        A,,,.y        B,y        B,...yMy        N 


3^0  Siebenter  Abschnitt. 

sind  associirte  Formen,  d.  h.  solche,  durch  welche 
alle  Invarianten  und  Covarianten  des  simultanen 
Systems  fy  cp,  ip  . .  .  sich  rational  ausdrücken  lassen. 

Bildet  man  nämlich  irgend  eine  Invariante  oder  Covariante  der 
Form  f{y),  so  erhält  man  im  Falle  einer  Invariante  dieselbe  direct 
ausgedrückt  durch  D  und  die  Ä,  B  . . .]  im  Falle  einer  Covariante  kom- 
men in  der  Bildung  auch  noch  §,  tj  vor.  Da  ferner  die  Transforma- 
tionsdeterminante beim  üebergange  von  den  ursprünglichen  Veränder- 
lichen zu  ^,  rj  ebenfalls  Z)  ist,  so  wird,  wenn  man  die  ursprünglichen 
Coefficienten  durch  a,  &...  bezeichnet,  die  Invarianteneigenschaft 
ausgedrückt  durch  eine  Gleichung  der  Form: 

JD^ .  n  («0,  «i  . . .;    &o;  ^1  •  •  •;    •  •  •  5  2/i;  2/2} 

wo  nur,  wenn  TT  eine  Invariante  ist,  links  2/1;  ^2?  i'echts  5?  V  feWen. 
Es  wird  also 

1.  jede  Invariante  von  f  eine  rationale  Function  der  Ä,  B  . . . 
und  von  D,  und  zwar  ist  der  Nenner  eine  Potenz  von  D 
allein ; 

2.  jede  Covariante,  geschrieben  mit  den  Veränderlichen  y^,  «/g, 
eine  rationale  Function  der  Ä^  B  ...  und  von  D,  |,  rj,  und 
zwar  ist  der  Nenner  eine  Potenz  von  D  allein. 

Setzt  man  aber  x^^^  x^  an  Stelle  von  y^^  y^^  so  verwandelt  sich 
die  obige  Gleichung  in  folgende: 

B^  .  n  K,  «1  . . . ;     \,  \...',     ...',  X,,  x,) 

und  man  erhält  also  jede  Covariante,  geschrieben  mit  den  ^,  als 
rationale  Function  der  Äj  B  .  .  .  und  von  D,  Jf,  N,  und  zwar  ist 
der  Nenner  wieder  nur  eine  Potenz  von  B. 

Hiermit  ist  nicht  nur  der  obige  Satz  bewiesen,  sondern  auch  zu- 
gleich die  Form  gegeben,  in  welcher  die  Covariante  TT  durch  die 
associirten  Formen  sich  ausdrückt.  Man  erhält  den  Ausdruck 
einer  Covariante  (bez.  Invariante)  durch  die  associirten 
Formen,  wenn  man  in  denselben  die  Coefficienten  durch 
die  Äy  B...J  die  Veränderlichen  durch  J/,  iV^  ersetzt  und 
durch  die  passende  Potenz  von  B  dividirt. 

Es  handelt  sich  also  zunächst  nur  noch  um  die  Auffindung  der 
vier  Relationen,  welche  zwischen  den  h-\-3  associirten  Formen  be- 
stehen müssen.  Man  findet  dieselben,  indem  man  die  Covarianten  | 
und  7]  für  die  transformirten  Formen  bildet,  wo  denn  den  Veränder- 
lichen x^j  X2  die  Ausdrücke  M,  iV,  den  Veränderlichen  «/j,  2/2  ^ie 
Ausdrücke    |,    rj    entsprechen.      Vergleichen    wir    die    ursprünglichen 


T'ypische  Darstellungen.  —  §§81,  82.  321 

Bildungen  von  | ,  rj  mit  den  aus  der  Form  (2)  von  f  gewonnenen, 
so  erhalten  wir  Gleichungen  von  der  Form: 

wo  P,  Qj  Ry  S  ganze  Functionen  der  A,  B . .  .  sind.  Aus  Ver- 
gleichung  der  Coefficienten  folgen  hieraus  die  vier  gesuchten  Re- 
lationen : 

(4)  F=B\     Q  =  {),     R-O,    S^Df'. 

Man  kann  sich  leicht  überzeugen,  dass  diese  Gleichungen  vier 
von  einander  unabhängige  Bestimmungen  enthalten.  Denn  in  Folge 
derselben  sind  §,  rj  wirklich  diejenigen  Covarianten,  als  welche  wir 
sie  vorausgesetzt  haben;  wenn  man  also  die  D,  Ä,  B...  zunächst 
als  ganz  beliebig  voraussetzt,  und  nur  die  Gleichungen  (4)  zwischen 
ihnen  annimmt,  so  müssen  die  Gleichungen  (2)  und  die  entsprechen- 
den wirklich  die  gesuchten  typischen  Darstellungen  geben ,  weil 
mit  denselben  Covarianten  J,  ^  überhaupt  nur  eine  Darstellung  mög- 
lich ist.  Es  folgt  daraus,  dass  auch  die  Ay  B  etc.  nur  in  Folge  der 
Relationen  (4)  schon  die  symbolischen  Ausdrücke  (3)  annehmen 
müssen,  und  dass  also  weitere  Relationen  nicht  vorhanden  sein  kön- 
nen. Die  Gleichungen  (4)  bilden  also  die  einzigen  vorhandenen 
Relationen,  und  da  es  solcher  vier  geben  muss,  so  müssen  jene 
vier  Gleichungen  nothwendig  von  einander  unabhängig  sein. 

§  82.    Einfachstes  System  associirter  Formen. 

Während  die  Gleichungen  (4),  welche  zwischen  den  associir- 
ten  Formen  bestehen,  im  Allgemeinen  verwickelter  Natur  sind,  so 
kommt  es  doch  vor,  dass  zwischen  den  associirten  Formen  einige  in 
die  Augen  fallende  Beziehungen  von  vornherein  ersichtlich  sind,  und 
diese  können  dann  die  Relationen  (4)  des  vorigen  Paragraphen  zum 
Theil  oder  gänzlich  ersetzen. 

Eine  besondere  Beachtung  verdient  ein  Fall  —  der  einzige  seiner 
Art  — ,  in  welchem  eine  Reduction  der  Bedingungsgleichungen  (4) 
in  sehr  einfacher  Weise  eintritt,  der  Fall  nämlich,  wo  eine  der  Co- 
varianten iy  r],  etwa  t],  von  den  Coefficienten  gar  nicht  abhängt,  son- 
dern sich  auf  die  identische  Co  Variante  (a?/)  reducirt.     Ist 

(1)  n^{^y)y 

so  wird 

(2)  B  =  {U)=^i,x,  +  l,x,  =  3I, 

und  die  Coefficienten  A  haben  die  Werthe  (wie  ähnlich  auch  die 
B  u.  s.  w.): 

ClebBch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  21 


322  Siebenter  Abschnitt. 


(3) 


-^0  —  ^^  —  / 


Ferner  ist  iV  identisch  gleich  Null.  Die  Gleichungen  N=:0, 
D=:  M  ersetzen  zwei  der  vier  Gleichungen  (4)  des  vorigen  Para- 
graphen. In  diesem  Falle  hängt  also  alles  von  den  h  -{- 1  Grössen 
A,  B  .  .  .,  M  ab,  unter  denen  diesmal  die  gegebenen  Formen  selbst 
sich  befinden.  Bildet  man  5  und  t]  für  die  transformirten  Formen, 
so  erhält  man  für  ^  wieder  eine  Gleichung  der  Form 

und  daher  die  Relationen 

(4)  F^M\     Q  =  0. 

Aus  der  Bildung  von  ij  aber  findet  sich  nur  die  Identität 

und  in  der  That  können  zwischen  den  Je  -\-l  Co  Varianten  (2) ,  (3)  auch 
nur  zwei  Relationen  bestehen,  welche  durch  (4)  gegeben  sind. 

Bildet  man  nun  eine  Covariante  oder  Invariante  für  die  ursprüng- 
liche und  für  die  typische  Form,  so  ergiebt  sich  eine  Relation  der  Form 

und  wenn  man  2/i  =  ^i?  2/2  —  ^2  setzt,  geht  dieselbe  über  in: 

Man  bildet  also  die  Darstellung  von  TT  durch  die  associirten  For- 
men, indem  man  statt  der  Coefficienten  a,  h  . . .  die  Ausdrücke 

/,  —  J_i,  J.2  •  ••;    9P7  — -^1?  ^2  •••;    •••> 

statt  der  Veränderlichen  aber  M  und  0  setzt.  Dies  lässt  sich  noch 
anders  ausdrücken.  Setzt  man  Null  für  die  zweite  Veränderliche,  so 
reducirt  sich  TT  auf  seinen  ersten  Coefficienten,  multiplicirt  mit  einer 
Potenz  von  M.  Indem  man  durch  diese  dividirt,  kann  man  die  Regel 
so  ausdrücken: 

Man  bildet  eine  Covariante,  indem  man  in  ihrem 

ersten  Coefficienten  die  a,  h  . . .  durch  /',  —A^^A^...'^ 

cp,  —B^y  ^2  •••5   •••    ersetzt   nnd   durch   die  passende 

Potenz  von  M  dividirt. 

Bei  einer  Invariante  tritt  an  Stelle  dieses  ersten  Coefficienten  die 

Invariante  selbst. 

Man  erhält  also  alle  Formen  als  ganze  Functionen  der  'k  Bildungen 

f,  -A>  A>---;    ^,  -A;  ^2---;   ••• 


Typische  Darstellungen.    -  §  82.  323 

mit  Nenuern,  welche  Potenzen  einer  (Ä'-f-l)*®"  Grösse  M  sind. 
Zwischen  diesen  /.•  + 1  associirten  Formen  bestellen  zwei  Gleichungen 
(4),  deren  eine  eine  Potenz  von  M  durch  die  übrigen  Grössen  aus- 
drückt, während  die  andere  31  nicht  mehr  enthält. 

Endlich  kann  man  auch  die  Relationen  (4)  noch  beseitigen,  in- 
dem man  die  erste  Polare  einer  der  Formen  f,  (p,  ^  .  .  .  selbst  als 
Veränderliche  ^  einführt.     Setzt  man 


(^      ■  .^-^(Ä^'+K^O' 


n  \d  x^  .  ^.^ 

so  ist  die  Transformationsdeterminante 

D  =  M  =  f: 
die  Ausdrücke   der   J5,  C...   erfahren  keine  wesentliche  Abänderung: 
aber  die  ersten  beiden  A  werden 

Man  hat  hier  schon  vier  Relationen  vor  sich,  nämlich 

welche  die  Stelle  der  vier  Relationen  (4)  des  vorigen  Paragraphen 
einnehmen,  und  auf  deren  zwei  man  auch  geführt  wird,  wenn  man 
nach  Analogie  der  Gleichungen  (4)  J  für  die  transformirte  Function 
bildet.     Man  hat  also  den  Satz: 

Setzt  man  im  Vorigen 

1  a/-      ._!  8f 

^      n  r  ,7;^  -       n  d  x., 

so  lassen  sich  alle  Covarianten  und  Invarianten  des 
simultanen  Systems  durch  die  B,  C...  und  durch 
fj  A.2,  A..  .  .  .  An,  im  Ganzen  durch  A' —  1  Covarianten, 
zwischen  denen  Relationen  nicht  mehr  bestehen, 
rational  so  ausdrücken,  dass  nur  noch  jedesmal 
eine  Potenz  von  f  im  Nenner  erscheint. 
Die  oben  gegebene  Regel  über  die  Bildung  einer  Covariante 
(bez.  Invariante)  drückt  sich  nun  aber  so  aus: 

Man  erhält  eine  Bildung  TT,  wenn  man  im  ersten 
Coefficienten  derselben  die  Coefficienten  der  ur- 
sprünglichen Formen  durch 

f,  0,A,...;     <p,  -B„  B,...;     ... 
ersetzt    und    durch   eine    entsprechende  Potenz   von 
f  dividirt. 
Es   ist   bemerkenswerth,    dass   die   hier   benutzte   Transformation 
Immer   möglich   bleibt,    wie   speciell  die  Functionen  /*,  cp,  -ip  . . ,  auch 

21* 


324  Sieijenter  Abschnitt. 

gewählt  sein  mögen,  da  man  immer  voraussetzen  darf,   dass  von  den 
gegebenen  Functionen  keine  identisch  verschwindet. 

Die  letzte  im  Vorigen  auseinandergesetzte  typische  Darstellung 
beweist  den  am  Ende  des  §  79.  gegebenen  Satz.  Denn  in  der  That 
sind  hier  nur  lc  —  1  associirte  Formen  vorhanden,  durch  welche  alle, 
mit  Nennern  von  der  Form  f^,  rational  sich  ausdrücken,  und  Be- 
dinffunsren  zwischen  diesen  Formen  bestehen  nicht  mehr. 


§  83.    Recursionsformel  für  die  Coefflcienteii  gewisser  typischer 
Darstelliiiigen. 

Wenn  man  von  der  Substitution  ausgeht: 

welche  den  zweiten  und  dritten  der  im  Vorigen  behandelten  Fälle 
umfasst,  so  kann  man  für  die  Bildung  der  dabei  auftretenden  typischen 
Coefficienten  eine  Kecursionsformel  angeben.  Es  ist  genügend, 
an  einer  der  Grundformen,  etwa  an  /",  dies  zu  beweisen.  Für  den  dritten 
und  wichtigsten  der  oben  behandelten  Fälle  ergiebt  sich  aus  derselben 
das  bemerkenswerthe  Resultat,  dass  alle  Coefficienten  ^  durch  /"  theil- 
bar  werden. 

Die  typische  Darstellung  war  für  diesen  Fall   in  der  Formeh  ent- 
halten : 

(2)     M- .  f(y)  =  ^„ I"  -  j Ä,  !"->  r]  +  ''^^  A,%-~^  n'-  +  . .., 
wo 


Bilden  wir  nun  den  Ausdruck 

dAh      _  dAk      ^  1  {dAndM     dAhdM\ 
dx^^'^       dx.^^^''  ^\dx^  dx.^       d  x.^  d  xj  ' 

Wenn   man   für   A/,   seinen   symbolischen   Ausdruck   einführt,    so 
geht  dieser  Ausdruck  über  in: 

w      If  ^^  -  If  ^' = ('*-'*)  «-"■""'  ('*^)'^' 


+ 


».."<»i.-.(«fi.-ifo. 


wo  der  erste  Theil  rechts  gleich  {n  —  h)A/t^i  ist. 
Es  sei  nun  symbolisch 


Typische  Dai-stellungen.  —  §§  82,   83.  325 

also  • 

g,  =  cc,  «,"-  • ,     l,  =  cc,  a^^  -1 ,     {a  g)  =  (a  «)  «/-' . 

Demnach  wird 

-^  5,  -  -j^  Si  =  (ft  -  1)  [a  a)  aj'-  {cc  ?) 

Vertauscht  mau  aber  rechts  a  mit  /3  uud  setzt  daun  für  die  rechte 
Seite  die  halbe  Summe  des  ursprünglichen  und  des  neuen  Ausdrucks, 
so  hat  man : . 

=  -  ^  a.  (ß/3)-  «."--■  /3/-2 . 
Der  Ausdruck 

ist  eine  aus  M  entspringende  Co  Variante.   Führt  man  diese  ein,  so  ist 


uud  daher  aus  (4): 

was  die  gesuchte  recurrente  Formel  giebt;  denn  man  erhält  daraus  A/t^\ 
durch  Afi-\j  A^  und  die  Differentialc[uotienten  des  letzteren  ausgedrückt: 


h-i 


^  ^  ^        n  —  h\dx^    -       dx.,     V      2{n  —  h) 

Wenn,  wie  im  dritten  Falle  des  vorigen  Paragraphen,  31  —  f,  so 
wird  M  nichts  anderes  als  die  zweite  Ueberschiebuug  von  f  über  sich 
selbst,  welche  hier  durch  A  bezeichnet  sein  mag: 

(7)  A  =  (ahya^—n^—'^, 

und  die  recurrente  Formel  wird  also: 

^  ^  ^       n—h\dx^  dx.2       dx.2  dx^J      2  {n—h) 

Es  ist  leicht  ersichtlich,  dass  in  Folge  dieser  Formel  alle  A  durch 
/'  theilbar  werden.  Die  ersten  sind  es ,  da  A^  =  f,  A^  =  0.  Nehmen 
wir  also  an,  es  sei  gezeigt,  dass  Ah  und  Ah—\  durch  /'theilbar  seien; 
die  Formel  (8)  lehrt  dann,  dass  AhJ^x  ebenfalls  den  Factor  /'  enthalte, 
und  demnach  muss  diese  Eigenschaft  allen  A  zukommen.  Setzt  man 
nämlich  für  jeden  Werth  von  h 

A/,=^f.(fh, 
so  ist 

9^0=1;     9^i  =  C)? 


326  Siebenter  Abschnitt. 


sodann  wird 
dÄ 

c 


oder,   da   der   erste  Theil   wegen  der  Bedeutung   der  ^   identisch  ver- 
scliwindet: 

dA, 


0,  ^^      o^x,  ^'~'  '\dx,  ^'       dx,^')' 


Daher  ist  in  (8)  der  Werth  von  Ai,j^\  wirklich  durch  /"  theilbar, 
und  zwar  erhält  man  aus  jener  Formel  jetzt  für  die  cp  die  Recursions- 
formel : 


(9) 


1      \d<f,,  dtp/,  j.  I      h{n-\) 

9"'+'  =,rirÄ  \j^  ^^-^^'(  +  21^^=^^  •  ^'-' 


Durch  Einführung  der  (p  verwandelt  sich  nun  die  typische  Dar- 
stellung von  f  {y)  in  folgende  : 

/•     1   /-/  N      y     ,  n.n—1      y     .,   ,,     n.n—\.n  —  2      ^    .,  .,       , 
f—Kf{y)  =  g-+      ^   2     ^2  5"-^' ^f72T3 ^3  §"-^r  ••.±^«  ^% 

und  alle  Covarianten  und  Invarianten  von  /"sind  durch  die 
71—  1   Covarianten 

rational  und  zwar  so  ausdrückbar,    dass  nur  jedesmal  eine 
Potenz  von/'  als  Nenner  erscheint. 

§  84.    Die  iudependente  Darstellung  der  Functionen  g?. 

Bei  der  grossen  Wichtigkeit  der  Formen  cp  ist  es  wünschenswerth, 
sie  auch  independent  darzustellen.  Hierzu  gelangt  man  auf  fol- 
gende Art. 

Es  ist  symbolisch  

A„  =  f.  (p,  =  a^-^'^  (a  § j/^  (h>2). 

Ich  werde  nun  in  zweien  der  Factoren  {a^}  für  die  §  ihre  sym- 
bolischen Ausdrücke  (2)  setzen.     Alsdann  ist 

f-  (Ph  =  «."-^  (a^)^-2  (^5)  (,,^.3  i^n-i  ,,^n-y^ 

oder  wenn  man  die  Identität  IL  §  15.  anwendet: 

=  /'.    «x"-*  (a iy~  Hahf  &/'--^  -  i  A  .  ^a_2 
=  /• .  j ti.«-^  (a ly-''  {a  hf  5.'-2  -  i  A  .  9) n-i \ • 

Bezeichnet  man  also  durch  j/^/,  die  Covariante: 
(1)  i^h  =  {.ahy  {alf-'-  a/'-"  h."~-', 

welche  von  der  Ordnung 

(^n- 1)  (h-2)  +  n  -  h  +  n -2-=h  (n-2) 


Typische  Darötellungen.  —  §§  83,  84.  327 

ist,  so  hat  man  für  gp/,  die  Formel: 

(2)  (fh  =  ^'A  —  4-  A  .  (ph-2 . 

Diese  Recm*sionsforiiiel  aber  gestattet  leicht  die  independente 
Darstellung  der  cp]  denn  indem  man  in  (2)  für  cph^*  seinen  Werth 
in  (fh-A  und  ^'a_2  einsetzt  u.  s.   w.,  erhält  man: 

(3)  g)A  =  ^A  -  4-  A  i^h-2  +  i  A-  il^h-i  -  i  A^  th-is  •  • . , 

eine  Formel,  welche  die  independente  Darstellung  der  cp  vollständig 
liefert,  wenn  man  noch  bemerkt,  dass  wegen  der  Gleichungen  (p^=  1, 
(jp^  =  0  die  Gleichung  (2)  für  cp.^  und  qp.  giebt : 

^3  =  ^'3 

(f.,  =  i\,  —  i  A. 

Die  Gleichung  (3)  endigt  also  für  ungerade  h  mit  ^'3;  für  gerade 
h  kann  man  sie  bis  i^'^  fortsetzen,  aber  dann  ^'^  =  1  annehmen;  oder 
man  kann  überhaupt  den  Gleichungen  (1)  noch  die  beiden  willkür- 
lichen Bestimmungen  hinzufügen: 

und  in  der  rechten  Seite  von  (3)  die  Glieder  so  lange  fortsetzen,  als 
die  Indices  nicht  negativ  werden. 
Bemerken  wir  noch,  dass 

1^2  =  (fl  hy  a.,«-'-^  ft^"--^  =  A , 
so  können  wir  jetzt  folgenden  Satz  aussprechen: 

Alle   Covarianten    und    Invarianten    von   /'  sind 
rationale  Functionen  der  n  Covarianten 

/;  A ,  ^'3,  ir,  . . . ,  !/;„     [^A  -=  {ahy  {a l)*-^  «^«-^  6,,«-2] , 
wobei  immer  der  Nenner   nur  eine  Potenz  von  /"ist. 

Indem  man  das  bei  dieser  Darstellung  der  q)  angewandte  Ver- 
fahren weiter  benutzt,  wird  es  nun  möglich,  allgemein  ein  einfachstes 
Formensystem  anzugeben,  durch  welches  man  rational  mit  Potenzen 
von  f  im  Nenner  alle  Invarianten  und  Covarianten  ausdrücken  kann. 
Die  Untersuchung,  welche  wir  zu  diesem  Zwecke  ausführen,  besteht 
aus  zwei  Theilen;  in  dem  ersten  werden  allgemein  Endformeln  ge- 
geben, durch  welche  man  die  fp  oder  i^»  auf  ein  einfacheres  Formen- 
system zurückführt.  Eine  weitere  Reduction,  welche  dann  zweitens 
erfolgt,  gestattet  eine  Angabe  von  Endformeln  nicht  mehr,  liefert 
aber  ein  Formensystem,  welches  offenbar  eine  Reduction- nicht  mehr 
zulässt. 

Wenn  man  die  oben  für  den  Zusammenhang  der  cp  mit  den  4? 
entwickelten  Gleichungen  in  eine  zusammenfassen  will,  so  kann  dies 
folgendermassen  geschehen.     Die  •  Gleichungen 


328  Siebenter  Abschnitt. 

9)3  =  ^3 

(5)  9)4  =  ^^,  - 1  A  9, 

9^5  =  ^5- i^(P3 


kann  man  sich  bis  in's  Unendliche  fortgesetzt  denken,  wobei  denn 
immer  nur  die  n  —  1  ersten  Gleichungen  für  den  vorliegenden  Zweck 
eine  Bedeutung  haben.  Multiplicirt  man  die  Gleichungen  (5)  mit  1, 
0^  0^  .  .  .  und  summirt,  so  erhält  mati: 

9^2  +  9^3  ^'  +  94  ^^  •  •  •  =  ^2  +  ^3  ^  +  ^4  ^^  •  •  • 
und  daher: 

(6)  ^.  +  .3^  +  9.^-^..=^i^±%±f£t^^-^. 

Die  Formen  cp  sind  also  die  ersten  n  —  1  Coef- 
ficientenbei  derEntwickelung  des  Ausdrucks  rechts 
nach  aufsteigenden  Potenzen  von  0. 

Wenn  wir  nun  die  Formen  ^2  ^^^^  ^3  ausnehmen,  so  können  wir 
für  die  übrigen  ifj  Formeln  aufstellen,  welche  den  Reductionsfornieln 
(5)  der  cp  ganz  analog  sind.  Ist  /i>4,  so  kann  man  in  dem  Aus- 
drucke : 

^h  =--  (a  hf  (a  g)'^-^  a^-f^  hj'-"- 

abermals  für  zwei  Factoren  (a^)  ihre  Werthe  einführen  und  erhält, 
ganz  wie  bei  der  Reduction  der  q): 

^h  -  {ahf  {alf-'  {ac)  {ad)  a."-^  &^"-2  a^""'  d^''~' 

-  (a  ly  {a  ly-^  a,"-^  h^—^  c^—''  d^-^  \  (a  cf  dj  -  i  (c  df  «, 
=  f.  (ahy  (a cy  {a ly-'  a:--h  &.«-'-'  c,«-^  _  1  a  ^u.. . 

Führt  man  also  die  Bezeichnung  ein: 

(7)  Xh  =  [a  hy  (a cy  (a^-'  a^"-^  &.«-^  c.—' 

so  hat  man  die  Gleichungen: 

^4  =  /'-%4-4^^2 


2( 


und   es   sind   daher,   indem   man   ganz   wie   oben  verfährt,   jp^,  ^5 
die  ersten  n  —  3  Entwickelungscoefficienten  der  Reihe : 

(8)  t4  +  t5^  +  te^  -"  = X  +  J-  A  0-' • 


Typische  Darstellungen.  -    §  84,  329 

Gauz  ebenso  kann  mau  nun  die  Formen  x^^  beliautleln,  für  welche 
h  ]>  6.     Setzt  man 

(9)        ^u  =  {ahf  {acy  {adf  («?)*-«  a.,«-^  6/'-'^'  c/'-'^  (h"~\ 
so  hat  man  die  Reductionsformeln : 


und  Xg}  Xi  '  •  '    si^i^^   ^^^^   ^^^^  n  —  o   ersten  Entwickelungscoefficienten 
des  Ausdrucks: 

\^^)    Z«T-Z7~  T-Zs^  •  •  •—  1  4-  .1  A  2- 

Indem  man  so  fortfährt,  erhält  man  eine  Reihe  von  Gleichungen 
(6),  (8),  (10): 


^4  +  ^5^+'^6^'-- 

Xg  +  Xi^  +  Xs  ^'  •  • 


^  A  {%+p.,z)  J^f{x,-^X'.^^-X,^'---') 
1  +  iA^^' 

1  +  i  A  0^' 


Multiplicirt  man  dieselben  der  Reihe  nach  mit 


f^ 


Pz' 


'    1  +  iA^^''    (l  +  ^A^^')''    (1  +  iA^--^)^'"* 
und  addirt,  so  bleibt,  mit  Weglassung  der  sich  aufhebenden  Terme: 

(U)  ^^,  +  ^^  ^  _|_  g)^  ^2      _ 

^     -jA  i^,^ir,z        fzHx,+X,^)  ,  rz'{^,  +  ^,z)  , 

l  +  iA^^^"^(l+^A^^r"^  (l  +  ^A^-^)^  "^    (1  +  iA^^O'    "^•••- 

Mit   Hilfe   dieser  Formel   drücken   sich   die   Functionen  (p   durch 
die  Formen 

(12)  *A-z^,,  ^3,  x^,  Xö,  ^6;  ^1'-' 

aus.  Um  die  darin  liegende  Vereinfachung  abzuschätzen ,  bemerke  man, 
dass  Grad  (in  den  Coefficienten)  und  Ordnung  (in  den  Veränderlichen) 
bei  den  (p  die  folgenden  sind: 


"Pi 


9^3 


9^6 


9^7 


Grad 


2 

3 

4 

5 

6 

Ordnung:  |2w-4|  3w-6  Uw-S  |5w-lo!6/i- 12|  7n- 14  ..  ., 


330 


Siebenter  Abschnitt. 


dagegen  bei  der  neu  eingeführten  Reihe  von  Formen 


t. 

ts 

U 

Z5 

■^6          1          ^7           ... 

Grad: 

2 

3 

3 

4 

4             5       ... 

Ordnung : 

2n-4 

3n-6 

3w-8 

4^-10  4^-12  5w-14... 

Entwickelt  man  die  rechte  Seite  des  Ausdrucks  (7),   so  hat  man 

+  (^•.  +  ^.^)  (1  -I  A^^H-  I-  A2^4-  I  A^^« ...) 

+  />'    (z4+Z5^)(l-tA^^+4^AV-VA^^«...) 
+  P'^H'^6+'^7^)(l-f  A^.^+V^A'^^'i-V'As^^..) 


und  daher,  mit  Kücksicht  darauf ,  dass  A  =  i/^^: 
q),  =  -^11^2 

^3  =  ^3 

9^7  =  *^'2>3-f^2/'Z5+/'''^7. 


Avo  das  Bildungsgesetz  minder  übersichtlich  ist. 

Sprechen     wir     den     in     Obigem     enthaltenen     Satz     folgender- 
massen  aus: 

Alle  Invarianten  und  Covarianten  von  /'  sind 
bis  auf  Nenner  von  der  Form  f^  ganze  rationale 
Functionen  der  folgenden  n  Bildungen: 


-2 


f 

^^.  =  (ahy  (acy  [ady  a./'-«^  6x"-' 

^^  =  (ahy  (acy  {adf  (a^  aj'-'  6^"-^  c^^^-'^fZ," 


n  —  2 


§  85.    Das  einfachste  System  associirter  Formen. 

Eine  viel  wesentlichere  Grad-  und  Ordnungserniedrigung  der 
Formen,  durch  welche  sich  alles  ausdrücken  lässt,  erhält  man  aber 
durch  folgende  Betrachtung. 

Die  Formen  tp^,  ^.^,  Xi,  Xö  •  -  -  y  ^^^  welche  oben  alles  zurück- 
geführt   wurde,    mit    Ausnahme    der   letzten    von    allen,    haben    die 


Typische  Darstellungen.  —  §§  84,  85.  331 

Eigenschaft,  dass  jedes  darin  auftretende  SJ^mbol  auch  durch  einen 
linearen  symbolischen  Factor  vertreten  ist.  Denken  wir  uns  die  For- 
men der  Reihe  nach  für  n  =  l,  2,  3  ...  entwickelt,  so  tritt  also  bei 
jedem  folgenden  Werthe  von  n  nur  eine  wesentlich  neue  Form  auf, 
die  letzte;  die  anderen  aber  sind  aus  den  Formen  des  um  1  niedrigeren 
n  dadurch  ableitbar,  dass  man  in  jedem  der  symbolischen  Ausdrücke 
das  Product  aller  seinen  Symbolen  entsjirechenden  linearen  Factoren 
als  Factor  hinzufügt.     So  kommen  bei  n  =  2  nur 

f=^aj  und  t,^=.B  =  {aiy 

vor;  aus  diesen  werden  bei  y^  =  3  die  Formen 

und  es  tritt  die  neue  Form 

auf  u.  s.  w.  Jede  Covariante  einer  Form  ;/*"  Ordnung,  bei  welcher 
alle  Symbole  auch  durch  lineare  FaCtoren  vertreten  sind,  kommt  schon, 
mit  je  einem  linearen  Factor  weniger  für  jedes  Symbol,  bei  den 
Formen  {ji—Vf^^  Ordnung  vor,  und  ist  dort  durch  f  und  die  den 
Formen  {ji  —  Vy^^  Ordnung  entsprechende  Reihe  von  Formen  ^',  ;f..., 
mit  einem  Nenner  f^  rational  ausdrückbar;  daher  ist  eine  solche  bei 
den  Formen  «*"  Ordnung  durch  die  entsprechenden  Formen  ^,  ;f  .  . . 
ausdrückbar,  d.  li.  man  bedarf  bei  einer  solchen  Covariante  nicht  der 
letzten,  bei  den  Formen  n^^"^  Ordnung  neu  auftretenden  Bildung, 
welche  zugleich  nur  in  dem  letzten  Coefficienten  ihrer  typischen  Form 
vorkommt. 

Man  kann  also  sagen,  dass  jede  Covariante,  in  welcher 
jedes  Symbol  durch  einen  linearen  Factor  vertreten  ist, 
bereits  durch  die  ersten  n  —  \  der  Formen  /*,  i^^,  ^o,  jr^,  x-^  .  . . 
als  rationale  Function  mit  einem  Nenner  f-^  ausgedrückt 
werden  kann;  ebenso  jede  Covariante,  in  welcher  jedes 
Symbol  durch  das  Quadrat  des  betreffenden  linearen 
Factors  vertreten  ist,  durch  die  ersten  n—2  der  Formen 
fj  ^2?  ^'3?  X\y  Xö  ' ' '  ^-  s-  ^'-  ^^  ^^^^  umgekehrt  aus  den  letzten 
Formeln  des  vorigen  Paragraphen  il^^  durch  f,  (p'.,]  t^  durch  /',  9^,  ^3; 
Xi  durch  /',  (p2,^(p-^,  (fi  etc.  als  ganze  Functionen  dividirt  durch  Po- 
tenzen von  /"  ausgedrückt  werden  können,  so  kann  man  in  dem  soeben 
ausgesprochenen  Satze  auch  statt  der  ersten  )i  —  ly  n—2  etc.  der  For- 
men fy  iK^j  jp.yj  Xiy  X5  •  '  iiiimer  sagen:  die  ersten  11  — 1,  n—2  etc. 
Coefficienten  der  t}^ischen  Darstellung. 

Man  kann  daher  nun  auch  den  letzten  bei  den  Formen  m*"  Ord- 
nung auftretenden  Coefficienten  q)„  oder  die  ihn  vertretende  Form 
der   Reihe  /",  f.,^  f.^,  Xu   X5  -  -  -    i^^    dieser  Reihe    durch    eine    andere 


332  Siebenter  Abschnitt. 

Form  ersetzen,  welche  sich  von  der  ursprün<^lichen  durch  ein  Glied 
unterscheidet,  in  welchem  jedes  Symbol  durch  einen  linearen  Factor 
vertreten  ist  und  welches  also  schon  als  rationale  Function  mit  einem 
Nenner  f^  durch  die  vorhergehenden  Glieder  der  Reihe  ausgedrückt 
werden  kann.  Dann  aber  überzeugt  man  sich  leicht,  dass  durch  Zu- 
fügung  solcher  Terme  die  betreffende  Form  wiederholt  durch  /*  theilbar 
gemacht  und  alsa  auf  eine  nach  Grad  und  Ordnung  wesentlich  niedrigere 
Covariante  zurückgeführt  werden  kann. 

Betrachten  wir  zunächst  deu  Fall,  wo  n  gerade  ist.  In  diesem 
Falle  ist  die  neu  hinzutretende  Bildung  von  der  Form 

{aiy  {acy  dady  . . .  (amf  5^"-^  c^"-^  ^L""'  m/'--. 

Setzen  wir  dann  für  (0!  c)-^  ?>a;'^  seinen  Werth: 

(a c)-  hj  =\[ah)C:^+  (h c)  a^  j-, 

so  brauchen  wir  davon  nur  den  Term 

zu  berücksichtigen ;  denn  das  von  den  übrigen  Ternien  Herrührende 
enthält  den  symbolischen  Factor  a,x  ha:  c^  .  .  .  und  kann  also  übergangen 
Averden.  An  Stelle  der  obigen  Form  kann  man  also  eine  setzen, 
welche  den  Factor  c^,"=/'  enthält,  und  mit  Uebergehung  desselben 
bleibt  dann  die  Form  übrig: 

(iahy  (ady  .  . .  (amf  h.r:^^  r?,""'-^ . .  .  m^«-^. 

Verfährt  man  nun  mit  (adyhj  ebenso  wie  oben  mit  (ahyhj, 
so  kann  man,  mit  Hinweglassung  von  Ternien,  welche  übergangen 
werden  dürfen,  und  mit  Auslassung  eines  Factors  /",  statt  der  obigen 
die  Form  einführen: 

So  kann  man,  da  die  Zahl  der  Symbole  hy  c  .  .  .  m  gleich  —^ — 
ist,  fortfahren,  bis  man  zu  der  Form 

gelangt.  Bei  dieser  kann  man  noch  einen  Factor  {am^hjc  durch 
{alj)mjc-\-{hni)  cix  ersetzen  und  den  letzten  Theil  auslassen,  weil  er 
da:  ha;  ^^o:  enthält.     Es  bleibt  also 

(a&}"-'  (am)ha:ma:''-'^. 

Da  nun  n—1  ungerade  ist,  so  erhält  man  durch  Vertauschung 
von  a  mit  h,  indem  man  für  den  obigen  Ausdruck  die  halbe  Summe 
zweier  gleicher  einführt: 

i  (a hy-^  m/'-^  \  (a m)  h^  —  (h m)  a^  j 
=  ^{ahy  .    ma:''  =  \f.{ahy. 


Typische  Darstellnngen.  —  §  85.  333 

Es  bleibt  also  endlich  die  einfachste  Invariante  (d  h)"  der  Form  ?z*" 
Ordnung  übrig;  und  diese  ist  das  einfachste  Gebilde,  welches  als 
neue  Form  eingeführt  werden  kann.  Bei  den  Formen  höherer  Ordnung 
treten  für  sie  die  Covarianten 

(«  hy'  üa;  ha:,        {Cl  J))"  rt/  hj   .  .  .  , 

ein. 

Alle  geraden  Formen  geben,  wie  man  sieht,  bei  dieser  Unter- 
suchung nur  zu  Covarianten  oder  Invarianten  Veranlassung,  welche 
in  den  Coefficienten  vom  zweiten  Grade  sind.  So  trat  bei  den  Formen 
zweiter  Ordnung  [a  h)'-   auf,   bei   den-  Formen   vierter  Ordnung   (a  hy. 

Gehen  wir  nun  zu  dem  Falle  eines  ungeraden  n  über.  Hier  ist 
die  zu  betrachtende  neue  Bildung: 

(ahy  (acy  ...  {a  my  {a  ^  h-,"-'^  c^"-^  . . .  m.,-"-2. 

Wir  können,  indem  wir  ganz  wie  oben  verfahren,  an  Stelle  die- 
ser Form  die  Form 

(iahy'-'(a^)h,r 

einführen,   die  Functionaldeterminante   von  (ahy-^  aj-h_r  mit  f.     Für 
Formen  von  höherer  als  der  7«*®°  Ordnung  tritt  an  Stelle  derselben 

(ahr-'(a^)a/-n.r\ 

was  nicht  aufhört  (bis  auf  einen  numerischen  Factor)  die  Functional- 
determinante von  f  mit  der  Form  zweiten  Grades  in  den  Coefficienten 

{ahy-'ajh/ 
zu  sein. 

Und  so  können  wir  denn  endlich  folgenden  Satz  aussprechen: 

Alle  Covarianten  und  Invarianten  einer  Form  / 
von  der  n^^^  Ordnung  sind  durch  die  folgenden  ein- 
fachsten Formen  als  rationale  Functionen  mit  Nen- 
nern f^  darstellbar: 

1.  f  selbst, 

2.  die  Formen  zweiten  Grades  in  den  Coefficienten 

3.  die      Functionaldeterminanten      der      letzteren 
mit   f. 

Von  diesen  Formen  sind  die  unter  (2)  angeführten  von  den  Ord- 
nungen 

2n-4:,  2n-8,  2n-12  ..,, 

die  unter  (3)  angeführten  von  den  Ordnungen 

3n-ß,  3w-10,  3n-U 

Die  letzteren  sind  sämmtlich  Formen  ungeraden  Charakters. 


3,^  Siebenter  A])schnitt. 

§  86.    Methode  zur  Berechiiiing  der  Coefflcienten  q>-    Die  typischen 
Darstellungen  bis  zur  sechsten  Ordnung. 

Um  nun  wirklich  die  Coefficienten  cp  und  damit  auch  alle  anderen 
Invarianten  und  Covarianten  durch  das  vorhin  angegebene  einfachste 
System  auszudrücken ,  kann  man  folgenden  Weg  einschlagen.  * 

Der  grösseren  üebersichtlichkeit  wegen,  bezeichne  ich  die  Formen 
des  einfachsten  Systems  associirter  Formen  durch  ö,  t,  so  dass 


(S^=^{ahY  a/'-2  2>^"-2 

T^  =  {ahy  {ac)aj'-'^ 

&."-2  c."-^ 

6.,  =  (ahY  a^«-4  ?>.^-"-4 

T,,  =  (ahY  {acjcia:"-^ 

7j    n  —  4    ^   n  —  1 

WO  denn  6^  die  früher  durch  A  bezeichnete  Form  ist.  Man  bilde  nun 
diese  Ausdrücke  für  die  typische  Form.  Nach  einem  in  §  82.  gegebenen 
Satze  hat  man,  um  eine  Covariante  für  die  typische  Form  zu  bilden, 
nur  in  dem  ersten  Coefficienten  derselben  die  Coefficienten  von  f 
durch  die  Coefficienten  f\  0,  A.^^  —  A^  . . .  der  typischen  Form  zu 
ersetzen  und  durch  eine  passende  Potenz  von  /  zu  dividiren.  Da  in- 
zwischen gezeigt  wurde,  dass 

so  kann  man  diesen  Satz  jetzt  dahin  aussprechen,  dass  in  jenem 
Coefficienten  die  Coefficienten  von  /  durch  die  Ausdrücke 

(1)  1,  0,  cp,,  (f.,  .,. 

zu  ersetzen  sind  und  sodann  durch  eine  passende  Potenz  von  f  dividirt 
werden  muss. 
Ist  nun 

/  =  6Jq  X^     -j      T"  ö^i  ^1  ^2     I"  1       i\        f%  '^i  "^2    ~r   •  •  •      I     ^f n  •^■•>    y 

und  setzt  man  zugleich 

so  erhält  man  durch  Bildung  der  ersten  Ueberschiebung  von  f  mit  (?»•: 


*  Ich  verdanke  die  hier  folgende  Methode  einer  schriftlichen  Mittheilung  von 
Herrn  Brioschi. 


Typische  Darstellungen.  —  §  86.  335 

Man  erhält  daher  r,-,  wenn  man  in  dem  Ausdrucke  a^^s^^''l  —  a^^sj'^ 
statt  der  a  die  Grössen  (1)  einsetzt  und  durch  eine  passende  Potenz 
von  f  dividirt.  Dabei  aber  ist  «^  durch  0,  Qq  durch  l  zu  ersetzen; 
man  braucht  also^  statt  im  ersten  Coefficienten  von  r,-  diese  Ersetzung 
vorzunehmen,  dieselbe  nur  an  —s^^'\  dem  negativ  genommenen  zweiten 
Coefficienten  von  (?,,  auszuführen. 

Nun  ist,  als  (2^)*®  Ueberschiebung  von  f  über  sich  selbst: 

/  ^.  ,  n  —  2i  „ .   ,  \ 

,  2i.2i-lf        „    ...  ,  7i-2i         „    „ .    ,  \ 

daher 

,,  2i  ,  2/.2i-l 

SqC)  =  ÜQ  a'2i        —  Y  ^1  «2/-1  H Y~^ fl'g  «2i-2  .  .  .  4-  ^2i  ^0 

,,  2/  ,  2^.2^-l 

oder,  wenn  man  gleichartige  Terme  zusammenzieht: 

,..     ^\               2i                ,  2i.2i-l 
Sy*')  =  2<a^^a2i—  Y  %  ^2  ,-1  H j— ^^ —  «2  ^^2«-2 . . . 

i-iy  2i.2i-i..,i  +  i 

^      2     '  1.2...i  ''' 

,,                       2/-1            ,  2^.2/ -3 
s^'^  =  a^aiij^\ j — «iß2«-| -^    2      «2 «2.-1 

2^.2^-1.2^-5                     .,     ,,.2^ .  2i- 1 ...  ^4- 2  .  1 
1.2.3  ^^ ^^ '" ^  •••+(-!)' ^   2...^ ^' ^*"^^ * 

Setzt  man  nun  hierin  die  Grössen  (1)  an  Stelle  der  a,  so  werden 
die  Ausdrücke  rechts  von  der  Ordnung  der  Ausdrücke  92»  ^^^  9^2i+h 
also  beziehungsweise  von  den  Ordnungen  2i  (n—2)  und  (2^-f-l)  (w— 2) 


3S6  Siebenter  Abschnitt. 

(vgl.  S.  329),    wLilirend    (?/    und   Tj-  von   den  Ordnungen  2n~4i  und 
^n  —  Ai  —  2  sind.     Die  hinzuzufügenden  Potenzen  von  /"sind  also: 


bei  ar.  ^^ ^ — ^^ ^       =2^ 


2 


bei  .,    (2^  +  l)(.-2)-(3n-4.-2_)^^._^ 


und  die  Ausdrücke  der  (>,  t  durch  die  (p  werden  durch  die  Gleich- 
ungen gegeben: 

...    .,                 ,  2'^-.  2^-1                     2^.2^'- 1.2^-2 
i  (^i .  r  ~ ^  =  fP2i     -\ ^    2      ^^  9^''-2  ~ ^23 ^'^  ^'-'-^ 

(- 1)^'    2^.2^-l...^  +  l      .^ 
■^••*      2  1.2...^'  ^^" 

^.    ,                ,  2i.2i-3                   2i.2i-l.2i-b 
Xi .  T'-^  =  92«-i  H r72 -~  ^2  9^2e-i r~2~3 ^^^  '^''-' 

^        ,    ...    2^.2i-l...i  +  2.l 

Diese  Formeln  gestatten  es,  successive  die  verschiedenen  cp  durch 
die  (7,  r  auszudrücken,  und  indem  dieses  möglich  wird,  geben  sie  zu- 
gleich einen  unmittelbaren  Beweis  dafür,  dass  alle  Covarianten  und 
Invarianten  von  f  als  ganze  rationale  Functionen  von  /  und  den  ö,  r, 
nur  jedesmal  durch  eine  Potenz  von  /  dividirt,  ausgedrückt  werden 
können. 

Da  die  9  hier  successive  berechnet  werden,  so  enthält  9)2/  iiur 
die  6  bis  (?j,  die  t  bis  zu  Tj_t  einschliesslich;  dagegen  enthält  qp2/  +  i 
die  6  bis  zu  6i  und  die  %  bis  zu  Xi  einschliesslich.  Inzwischen  bemerkt 
man,  dass  die  Differenz 

die  früheren  ^  nach  den  obigen  Formeln  nur  bis  zu  q)2i—2,  und  dass 
die  Differenz 

die  cp  nur  bis  zu  9)2?— 1  enthält.  Daher  kann  die  erste  DifPerenz,  wenn 
man  alles  durch  die  ö,  %  ausdrückt,  diese  Grössen  nur  bis  zu  (7i_i, 
T,_2,  die  zweite  Differenz  dieselbe  nur  bis  zu  (>2_i,  t,_i  enthalten. 
Und  man  hat  also  den  Satz: 

Die    Ausdrücke    der    typischen   Coefficienten    q) 
haben  die  Form: 

^2i      =\0iP'-'^-\-T\2i      (/",  (?i,  (?2...,  (7e-i,  r^,  T2...,  r,._2) 
WO  die  TT  ganze  Functionen  bezeichnen. 


Typische  Darstellungen.  —  §  86.  337 

Die  Gleichungen 

i  ^3  /"■*  =  9Pfi  +  lö  7^2  ^i  -  1^  fp/ 

i  (?4  f^  =  9)8+28  (p.^  9)ß  -  56  9)3  gpj  +  35  99/ 


^3/"' =9^7 +  '^9^2  9^5    -59^39^4 

^1  /^'  =  9^9  +  20  92  9)7  -  28  9)3  9)g  +  14  9)4  9)5 

geben  aufgelöst  folgende  Ausdrücke  der  ersten  (p: 

9^2==i<^i 
9^3  =  ^1 

9^4  =  i^2P-*^l' 
9^5  =  '^2  /"'  -  <^1  ^1 

9>6=  ^^3/"'-  ¥  ^1  ^2/'+  ¥  c?.'  +  io  V 

9>7  =  '^3/''+(|^l<?2-  1^1  ^2)^  +  1^1'^! 

Die  fraglichen  typischen  Darstellungen  werden  daher  für  die 
ersten  Ordnungen  folgende: 

71  =  2.     Hier  wird  a^  —  D,  also 

wie  in  §  33. 

n  =  ?t.     Es  wird  (7j  =  A,  t,  =  —  ^,  also 

Alle  Invarianten  und  Covarianten  von  f  drücken  sich  also  durch 
f,  A,  Q  aus.  In  der  That  bleibt  nur  noch  E  übrig;  bildet  man  das- 
selbe für  die  rechte  Seite  nach  der  ausgerechneten  Form  (§  34.  Anm.), 
so  hat  man 

Die  y ergleich ung  der  Ordnungen  giebt  X~2,  also 
^_      A^  +  2g^ 

was  nichts  anderes  als  die  Gleichung  (7)  des  §  35.  ist. 
n  =  4.     Man  hat 

6,  =-  H,     r,  -^  -  T,     a.^  =  i, 

Clebsch,  Theorie  der  biuaren  algebr.  Fona«u.  22 


338 

also 


Siebenter  Abschnitt. 


/■^/■(2/)  =  5^  +  3-ffrf +  4T?f +  (^-15-^),^*. 


Alle  Covarianteu   und  Invarianten   drücken  sich  also  durch  /*,  H, 
T,  i  aus.   Es  ist  nur  j  noch  übrig,  und  indem  man  es  für  die  rechte 


Seite  bildet,  findet  man 


i./-l  =  6. 


'     0      f 
0     f    T 

2  2         4 


also  1  =  3,  und 


i  =  3 


7^ 


was  die  Formel  (1)  des  §  42.  ist. 

^:=5.     Man    hat,    indem    nach    Analogie   des   §  73.   die   übrigen 
Bezeichnungen  beibehalten  werden,  nur  noch  die  neue  Form 

g  =  (a  &)4  (c  d)  Kr  hj  c/  =  {c i)  cj"  ^/ 
hinzuzufügen;  dann  ist  r^^  —  q^ 

und  die  typische  Darstellung  wird: 

r  ■  f{y)  =  I'  +  5-ff  5»  ^'  +  10  rr  1)'  +  5  (^P  -  I H^)  1 1 

+  {qP-HI)i'. 
^  =  6.     Hier  tritt   die  Invariante  A^^a^  (§76.)  hinzu,   und  die 
typische  Form  wird: 
P  ■  fiy)  =  r  +  '^  i?l*  ^2^  +  20  Tl'rf+  15  (|/^  -  |  m^  ^  ^^ 


§  87.    Anwendung  der  typischen  Darstellung  auf  die  Lösung  von 

Gleichungen. 

Wenn  man  unter  x^,  x^  irgend   welche  constanten  Werthe  ver- 
steht, so  hat  die  Substitution 

S  =  i  [2/i  f  (^i)  +  2/2  f  fe)] ;     ^  =  ^1 2/2  -  ^2  2/i 
die   Eigenschaft,    die   Gleichung  f=0  von    ihrem  zweiten  Terme  zu 
befreien. 


Typische  Darstellungen.  —  §§  86,  87.  339 

1.  Bei  quadratischen  Gleichungen,  wo  nach  §86.  die  neue  Form 

wird,   hat   man  an  Stelle  von  f(y)  =  0  sofort  die  reine  quadratische 
Gleichung 

A 


|2  +  ^^2_0, 


also 


oder 


i  bi  r  M + 2/2  /'  (^2)] = //  -  2"  •  f  ^1 2/2  -  2/1  ^2} , 

und  daher,  was  auch  Xj^,  x.^  sein  mögen: 


r(x,)-x,j/-^ 


was  mit  der  in  §  33.  gegebenen  Lösung  übereinstimmt. 

2.  Bei  cubischen  Gleichungen  wird  nach  §  86.  die  neue  Gleichung: 

(1)  ^'  +  iAiri'+Qri'  =  0. 

Diese  Gleichung  kann,   wie  in  §  44.,    durch  entsprechende  Modi 
fication   der  in  §  38.  gegebenen  Lösung,   oder  direct  durch  die  Car- 
danosche  Formel  gelöst  werden.     Man  erhält  dann 

(2)  ^  =  s^A  +  a^'B, 

WO  8  eine  dritte  Wurzel  der  Einheit  ist,  und,  durch  Einsetzen  in  (1), 
nach  den  gewöhnlichen  Regeln: 

(3)  AB        =-t; 

daher  sind  Ä^  und  B^  die  Wurzeln  der  Gleichung 


A^ 


und  es  wird 


..        Q        n/Q'^       A^ 


22- 


340  Siebenter  Abschnitt. 

Aber  nach  der  Theorie  der  cubischen  Formen  ist 

daher 

~^ 

2  * 


/l+f=*^/: 


Die  Grössen  A  und  B  sind  also  durch  die  Gleichungen 


(4) 


5^  =  i(<3-//^) 


nebst  der  Bedingung 

(5)  ^^  =  -t' 

welche    die  Wahl    der  Cubikwurzel    von  B^    an   die   von  A^  knüpft, 

y 

gegeben;  sodann  aber  findet  man  nach  (2)  —  aus  der  Gleichung: 

(6)  ^hn^l±yin^  ^  ,iA  4-  e^iB. 

^12/2-2/1^2 

Die  Lösung  giebt,  ganz  analog  der  für  die  quadratischen  Gleich- 
ungen aufgestellten,  eine  unendliche  Anzahl  gleichberechtigter  Auf- 
lösungen,   welche   nur  durch   die  Wahl   des  willkürlichen  Parameters 

cc 

—  von  einander  verschieden  sind.* 

Eine  andere  Darstellung  der  Auflösung  der  cubischen  Gleichungen 
(1)  erhält  man,  indem  man  für  die  x  eines  der  Werthepaare  a,  ß 
setzt,  für  welche  A  verschwindet.  Die  Gleichung  (1)  verwandelt  sich 
dann  in  eine  reine  cubische  Gleichung,  und  man  hat  daher 

wo  die  dritte  Wurzel  jeden  ihrer  drei  Werthe  annehmen  kann.  Die 
Lösung  der  cubischen  Gleichung  nimmt  also  dann  die  beiden  For- 
men an: 

3.  Bei  biquadratischen  Gleichungen  ist  die  transformirte  Gestalt 
nach  §  86.: 

(7)  O^l^j^^H^^yi^  +  ATlrf  +  i^Y-i^i 
*  Gundelfinger,  Math.  Ann.  Bd.  3,  S.  272. 


Typische  Darstellungen.  -  §  87  341 

Setzt  man  uim,  iiacli  Euler's  Methode: 

(8)  1  =  A-^B  +  C, 

so    kaun   man   die   Gleichung  (7)   in   folgende   drei   zerlegen,    welche 
dann  die  Grössen  A,  B,  C  vollständig  bestimmen: 

T 
ABC  =-^ 

(9)  A^^B'  +  C'  =-^H 
^2^2  ^  j^iQi  +  C'  A'  =  ^'  -  ^-^ . 

Daher  sind  A- ,  B^ ,  0-  die  Wurzeln  der  cubischen  Gleichung 

(10)  .3  +  I H,^  +  (-1^  _  '_| )  ,  _  ^  =  0, 

während   ausserdem  zwischen  A,  B,  C  selbst  die  Zeichenbestimmung 

(11)  ABC=-^ 
besteht.     Setzt  man  aber  in  (10) 

(12)  .=-^-'^^; 

und   führt   dadurch   die  neue  Unbekannte  m  ein,    so  verwandelt  sich, 
wenn  man  zugleich  die  Identität 


T'-^-{(H-^-^HP-lp) 


berücksichtigt,    die   Gleichung   (10)    in    die    cubische  Resolvente    des 
§  44.,  nämlich 

(13)  ni^-^m-^  =  0. 

Man    hat    also,    wenn    wieder    m,    m  j    m"    die   Wurzeln    dieser 
Gleichung  sind: 


(14)    ■        B=y  - 


H+m'f 


„      -,/     E+m"f 

^=y 2—' 

wo   für  die  Vorzeichen  der  Quadratwurzeln  noch  die  Bedingung  (10) 
besteht. 

Man   sieht,   dass   A,   B,   C  nichts  anderes  sind,    als  die  Werthe 
welche    die    irrationalen    quadratischen    Covarianten    von   /'  für    das 


342  Siebenter  Abschnitt. 

beliebige  Werthepaar  x^,  x^  annehmen.  Daher  kann  man  diese 
Lösung  der  biquadratischen  Gleichung  endlich  in  folgender  Form 
schreiben  *  : 

(15)      |^irc^i)+^2rfe)^ ^  (^)  +  ^(^)  +  x{x), 

WO 

(16)  +'P{x).±.i'{x).  +  x{x)  =  -^- 

Für  die  wirkliche  Darstellung  der  Lösung  haben  die  hier  er- 
wähnten Formen  vor  den  im  Frühern  gegebenen  wesentliche  Vorzüge. 
Ich  will  die  Formeln  (15),  (16)  auf  eine  an  und  für  sich  interessante 
Gleichung  anwenden,  die  Modulargleichung  für  die  Transformation 
dritter  Ordnung  der  elliptischen  Functionen.  Nach  Fundam.  S.  23  ist 
dieselbe 

(17)  u^-.vi  +  2uv{l-u^v^)  =  0, 
4 4 

wo  u  =  yjCf  v  =  \/Xj  und  wo  x  den  gegebenen,  X  den  gesuchten 
Modul  bedeutet.  Führt  man  den  reciproken  Werth  t  des  Multipli- 
cators  M  ein,  so  geschieht  dies  mittelst  der  linearen  Transformation 
(Fundam.  S.  25) 

und  die  Gleichung  (17)  verwandelt  sich  dadurch  in 

(19)  /•=^i-6^2^8(l-2x2)^-3=-0. 
Für  dieselbe  ist  i  —  0, 

l        0  -1 

(20)  j  =  6  0       -1  2(1-2^2)  =S)ßK^x'^, 

-1    2(l-2;c2)    -3 

wenn  ;c'^==l  — ;c^;  daher  aus  (13) 

(21)  m  =  T/^^2\/I^^\ 

Zugleich  ist 

(22)  ir=-2^4  +  8(l-2;i2)^3__i2if2^8(l-2;c2)^-hl6z2x^ 

Setzt  man  also  in  (15)  x^^=^\j  x<^  =  0,  so  hat  man: 


(23)  t^^==^y\-p4.K'K'^^yi~8p4.7i^K'^+T/l-s^\/4.x'K'\ 


*  Aronhold  in  Crelle's  Journal,  Bd.  52. 


Typische  Darstellungen.  —  §§87,  88.  343 


Um   die  Zeicheubestimmung  (16)  zu  finden,   muss  man  noch  den 
ersten  Coefficienten  von  T  (weil  x^  =  \ ,  x,^=^ 0)  bilden ,  welcher  gleich 

-2    2(1-2x^0   ==^(^-^''') 
ist.     Die  Vorzeichen  der  Wurzeln  sind  also  so  zu  nehmen,  dass 


t/i  _,'/4  ;,2  ^'2  ,    t/i  _  f  1^4  ^2^'->  ^    7/l_£Y'4  ^2  yc"2=2K'--l. 


§  88.    Andere  typische  Darstellung  des  Formensystems  der  Formen  dritter 

und  vierter  Ordnung. 

Wenn  es  sich  darum  handelt,  nicht  nur  die  Grundform,  sondern 
auch  ihre  Co  Varianten  in  typischen  Veränderlichen  darzustellen,  so 
können  andere  Substitutionen,  als  die  im  Vorigen  behandelten,  den 
Vorzug  einfachster  Eigenschaften  besitzen.  Bei  den  Formen  dritter 
Ordnung  ist  es  die  Substitution 

(1)  ^^A,A„    v  =  {^y), 

bei  den  Formen  vierter  Ordnung  die  Substitution 

(2)  i  =  T.'Ty,    r,  =  {xy), 

welche  am  einfachsten  zum  Ziele  führt.  In  beiden  Fällen  haben  die 
neuen  Veränderlichen  die  Eigenschaft,  Null  zu  geben,  wenn  man  sie 
dem  Prozesse  d  unterwirft,  so  dass,  um  §,  resp.  H  zu  finden,  es  nur 
nöthig  ist,  die  Coefficienten  der  typischen  Darstellung  von  /"die- 
sem Prozesse  zu  unterwerfen,  während  andererseits  A  und  T  unmit- 
telbar aus  den  Formeln  des  §  86.  gefunden  werden.  Doch  ist 
es  auch  für  die  ersteren  Formeln  nicht  erforderlich,  auf  den  Prozess  d 
zurückzugehen,  wenn  man  sofort  die  Darstellung  der  zusammen- 
gesetzten Formen  ycf-\-lQj  bez.  xf-{-lH  unternimmt.  Zur  Be- 
stimmung der  Coefficienten  in  deren  Darstellungen  führt  die  recurrente 
Formel  des  §  83. 

Es  sei  nämlich  F=Fx"^  irgend  eine  Form,  und 

eine  aus  Anwendung  einer  beliebigen  andern,  uur  nicht  linearen. 
Form  (p  entspringende  Substitution.     Es  wird  dann 

und  daher 


344  Siebenter  Abschnitt. 


wo 


B^^Fa 


(3)  B,^F,"^-'{Fl^ 

B^  =  F:-^-'{Fl)\ 


Die  Methode,  eine  recurrente  Formel  für  die  B  zu  finden,  kann 
nun  aus  §  83.  ohne  Weiteres  entlehnt  werden.  Denn  da  a.  a.  0.  eine 
Beziehung  zwischen  den  dort  durch  /",  M  bezeichneten  Formen  in 
keiner  Weise  benutzt  wurde",  so  bleibt  das  Resultat  auch  für  den  vor- 
liegenden Fall  bestehen,  in  welchem  /",  M  nur  durch  F^  (p  ersetzt 
werden.     Man  hat  also  die  recurrente  Formel: 


A-l 


(4)  ^^'^^^^.T^ll^^^-ä^^O-^gTi^)^^ 
WO  0  die  Covariante 

(5)  ^  =  {(p(py<Ps^-^^'s^-'' 

bedeutet.     Ich  wende   dieselbe  jetzt  auf  die  fragliche  Darstelkmg  der 
Formen  dritter  und  vierter  Ordnung  an. 

1.   Cubische   Formen.     Zunächst   wird   durch   Anwendung   der 
Substitution  (1)  nach  §  86. : 

(6)  A.A(2/)  =  r  +  |^^. 

Sodann  ist 

(7)  A^^  {xf+  XQ)  =  B,  l^  -3B,^^r,  +  B  B,  |  r,^  -  B,  rf , 
und  zwar  hat  man  nach  (3) ,  (4)  (0  =  i^) : 

B,  =  7if^-XQ 

^"^j         dx^         dx^  dx^         d  Xi\ 

=  7c  {aA)  aj  A..  +  A  (QA)  QJ  A.. 

=-^Q-^^f  [§36.  (3).] 

B,  =  i[7c(QA)QJA,~^X  {aA)  a/  A.,]  -^\li  (x/'-h  A  Q) 

=  -|(^/+Ar^) 
^3  =  -^[^(^^)«-^'A.+A(t>A)^>/AJ  +  i^(xr,)-|A/ 


Typische  Darstellungen  —  §  88.  345 

Die  typische  Darstellung  von  yif-^lQ  wird  also: 
A3  («f+  X  Q)  =  {y.f+  A  Q)  (^  -  ^^  S  n')  -  (-"  Q-^  ^f)  (s  ^  >/  -  f  'f} 
Sie  zerfällt  in  die  beiden  Gleichungen:     - 

• 

2.  Biquadratische  Formen.  Zur  Darstellung  von  T  mittelst 
der  Substitution  (2)  benutzen  wir  die  letzte  Gleichung  des  §  86.,  in- 
dem wir  T  an  Stelle  der  dort  durch  /'  bezeichneten  Form  treten  lassen. 
Es  ist  zunächst  zu  erörtern,  was  an  Stelle  der  dort  durch  Hj  T,  i, 
q,  A  bezeichneten  Formen  zu  setzen  ist.  Hierzu  benutzt  man  die 
Formeln  des  §  43.  Bezeichnen  wir  durch  I  und  J  die  nach  den  xj 
genommenen  Invarianten  der  Form 

H.f{y)-f.H{y), 

welche  aus  ixi,  jxX  dadurch  hervorgehen,  d;iss  H  für  x,  —/'für  X 
gesetzt  wird,  so  hat  man  nach  §  43.  (7)  für  die  in  §  S6.  durch  H 
bezeichnete  Form  den  Ausdruck: 

Die  in  §  86.  durch  T  bezeichnete  Form  ist  die  erste  üeberschiebung 
dieser  Form  mit  T: 


12.6.8 


\dx^  dx.2     cx^  c  xj 


12  .6,^\cf\cXj^  dx.y     dx.^  cxj      cR\dx^  c  x.^     c  x,^  cxjj 


Aber  nach  §  42.  (2)  hat  man : 

cT    cf      cT    cf 

dx^d  X,,      c  X,,  c  x^ 

4 

cT  cH     cT  cH 

cx^dx.y       d  X.y  d  X^ 

-4 

cH 

"cf 


und  der  besuchte  Ausdruck  wird  also: 


_,[lI_^:^{H,-f)_  dl  cQ{H,-n\ 
^^\  df  cH  cH  cf'      J 

jdul     cQ{x,X)         clyA     f^{ii,k)    i 
\cl  dx  dx  dl  jy.=H,X=~r 


=      A^-     (§41.) 


346  Siebenter  Abschnitt. 

Die  an  Stelle  von  i  (§  S6.)  zu  setzende  vierte  Ueberschiebung  von 
T  über  sicli  selbst  verscliwindet  nach  §  43.  identisch ;  ebenso  also  auch 
die  an  Stelle  von  q  (§  86.)  tretende  erste  Ueberschiebung  dieser  Form 
mit  T.  Dagegen  wird  die  sechste  Ueberschiebung  Ä  von  T  über  sich 
selbst,  nach  §  43. : 

Da  aber  für  k  =  H,  X  —  —  f\  T^  in  —^Q  übergeht,  und  nach 
§41.: 

V6      ^  J^^  ~   6       -^^^^ 
so  wird  auch 

Wenden  wir  jetzt  die  letzte  Formel  des  §  86.  an,  so  erhalten  wir  für 
T  die  Darstellung: 

(9)         T^ .  T(i,)  =  ^<^-^  i^^T]^  +  ^  j  i^n'  -t'i  I'  ^'  t 

Um  die  Darstellung  von  Kf-\-kII  zu  finden,  wendet  man  wieder 
die  Formel  (4)  an.     Es  ist 

Dabei  ist 

B,  =  Kf+XH,    (^=r{TTyTJTJ^  =  -~. 

Man  vereinfacht  die  Aufsuchung  der  folgenden  Coefficienten  sehr 
durch  folgende  Vorbetrachtung.     Setzen  wir  der  Kürze  wegen 

wo  Q  immer  mit  den  Argumenten  Hj  —f  geschrieben  gedacht  wird, 
so  ist 

^  ?2  - 1^  ?i  =  4  [h  («  T)  «/  T,'  +  ^  {HT)  Ä.'  T/] , 

oder  nach  §  42. : 

,.,,-  du  y        du  y  „ 


Typische  Darstellungen. 


347 


Ferner : 

dV       y  dV       y  (/ 


d''Q 


+ 


(■ 


dHdf 


d  x.^  d  X 
dHdTs 


HjKdx^'dx.^ 
df  d_T 

dx.. 


dfd 
df-  J  \dx^ 

dfdHJ  df~ 


x.^dxjj 


dHdf        df 


OdHj' 


Der    in   der    grossen   Klammer   befindliche   Ausdruck    kann    aber 
auch  ^ie  Form  erhalten: 


d'-Q 


dH' 
a-Q 


d''9. 

dfdH 

d'Q 


d'Q 


dH' 

d-Q 


H 


dfdH        df 

=  i{xf+XH) 


dHdf 
d'Q 


H 


dHdf 
d'-<^ 


so  dass  endlich 
(11) 


dH' 

d'9. 


dp 

dfdH 

d'Q. 


-M{Kf+XH)  [§41.(8)J, 


dfdH,    cp 

dv^        dVy  ^j. 

~^T  ^2  ~  ~ —  ^1  =  ~"  2/n. 

C  Xi  C  Xa 


Hieraus  folgt,  dass  man  setzen  kann: 
(12)  Bn^ChU  +  Hnv,     Co=l,     Do=0, 

wo  Ch  und  Dh   ganze  Functionen   von  f,  H  sind,   welche   ;c,  A  nicht 
mehr  enthalten. 

In   der  That,   es   verwandelt   sich   die   recurrente  Formel  (4)  mit 
Anwendung  der  Gleichungen  (10),  (11)  in: 

dÖH 


^\dx,^' 


bh 


d  X.2 

dB, 

dx. 


I,{C,-iu  +  Dh-iv), 


24:{A-h) 

eine  Gleichung,  welche  sofort  in  die  beiden  zerfällt 

dCh  .       ^^^\  bh 


1    /aq, 

-h\dx,  ^- 
]_(d_Dj, 
-h\dx,  ^' 


CX.2 

d_D, 

dx.. 


ii 


21D1.)- 


24(4-7«) 

öh 
24  (4 -A) 


I(7/,-i 


IDh-> 


Betrachtet  man  aber  die   C  und  D,    wie   oben    angegeben,    als 
Functionen  von  f  und  H,  so  ist  weiter : 


348 


Siebenter  Abschnitt. 


dCh  .        dCh 

fe2 


djh 


dx^ 


l,=4 


^  (aT)a.3T/+ 1%  {HT)  H/  TJ 


df 


dH 

dCh  dÜ' 


df) 


dx 


~      '^\df  dH     dH  df 


df 

(dPh  dQ._d_ 

\  df  dH      c 


dH 
dDnd^. 


{HT)HJT, 


df  dH    dH  df 

und  die  recurrenteii  Formeln  werden  also: 


). 


Cji_i-i= — 


2 


6V  dQ     dCf,  dQ 


(13) 


D 


3(4-/0/  df  dH     dH  df 
dDhdQ     dD/,dQ 


dID, 


i- 


6h 


h+V 


3(4-/0     df  dH     dH  df 


f  0, 


24  {4: -h) 

bh 

24(4-/i) 


ICH-^ 


in 


A  — 1« 


Führt  man  nun  aus  (12)  die  Wertlie  (7^=  1,  1)^  =  0  ein,  so  erhält 
man  weiter: 


^2  —  24:'    ^2  —  ^} 


(14) 


^3- 


dH  df 


1  fdl  dQ 
12\dfdH' 

48 

18    \dfdH     dHdf. 
Q      dl  dQ 


;   12 


(vgl.  oben) 


C-L 


±dQ\ 

H  df)' 


13/2 

8.24 

18      36* 


3.48  \  df  dH 

Es  bleibt  mir  noch  der  erste  Theil  von  C^  umzuformen.    Man  hatte 
mit  Bezug  auf  ^,  A  als  Veränderliche  in  §  41. 

«xx  =  — 3  Aß 
jxA  =  — 3  Qsi. 

Setzt  man  also  für  den  Augenblick  symbolisch 

Q^co,^, 


so  wird 


mithin 


iy,X  —  —  3(w iv'y  Wy,  w'yi  =  —  S  Ax^ 
JyiX  =  —  3  (w  A)  Wy^  Ay=-  —  3  Q/ 


=  -i*«i^.  [§  35.  (2).] 


Typische  Darstellungen.  —  §  88,  89.  349 

Setzt  man  also  x  =  H,  X  =  —f,  so  ergiebt  sich 

cfdH     cHdf     ^      ' 
und  somit: 

(15)  C,  =  £. 

Fassen  wir  nunmehr  alles  zusammen,  so  haben  wir: 


Die  typische  Darstellung  von  x  f-\-  X  H  wird  also : 

oder  man  hat: 

^^•/■(2/)=/-(r+|  1^  t'  -  f  ^'?'+£  »?*) 


äff  V="    '      12"    '  36 


Sf\J^  1      12^''+3ö''J- 


§  89.  Ueber  die  Aufgabe ,  zu  gegebenen  Elementen  ein  letztes  zu  finden, 
so  dass  eine  bestimmte  Invariante  des  ganzen  Systems  versclnvindet. 

Im  Folgenden  werde  ich  eine  Anwendung  der  typischen  Dar- 
stellungen geben,  welche  für  die  Untersuchung  der  Natur  von  Invarianten 
von  der  grössten  Wichtigkeit  ist.  Um  nämlich  die  Bedeutung  des 
Verschwindens  einer  Invariante  J  zu  erkennen,  welche  einem  Systeme 
von  Formen  f^  (p  . .  .  simultan  zugehört,  kann  man  die  Elemente, 
welche  den  Gleichungen  f  =  0,  f  =  0...  zugehören,  bis  auf  eines 
(etwa  von  f)  als  bekannt  voraussetzen  und  nun  die  Frage  stellen: 


350  Siebenter  Absclimtt. 

Wie  bestimmt  man  das  letzte  der  Gleichung  f=^0 
zugehörige  Element  so,  dass  eine  gegebene  simul- 
tane Invariante  J  von  /*,  ^  ...  verschwindet? 

Man  kann  in  Folge  dieser  Fragestellung  /  als  das  Product  einer 
unbekannten  linearen  Form  ti  mit  einer  gegebenen  Form  F  einer  um 
1  niedrigeren  Ordnung  ansehen ;  und  indem  man  diesen  Ausdruck  t]  .  F 
in  die  Invariante,  welche  verschwinden  soll,  an  Stelle  von  f  einführt, 
erhält  man  aus  J  =  0  eine  Gleichung  für  das  Verh'altniss  der  Coef- 
ficienten  von  rj,  eine  Gleichung  von  ebenso  hohem  Grade  in  Bezug 
auf  diese  Unbekannte,  als  J  es  in  Bezug  auf  die  Coefficienten  von 
/  war. 

Diese  Gleichung  hat  in  vielen  Fällen  bemerkenswerthe  Eigen- 
schaften und  dient  dazu,  die  Eigenschaften  von  J  zu  beleuchten.  Ich 
will  zunächst  nur  zweier  Fälle  gedenken,  in  denen  das  Resultat  von 
vornherein  klar  und  daher  eine  Untersuchung  weiter  nicht  nöthig  ist; 
ich  meine  die  Fälle,  in  denen  J  eine  Resultante  oder  Discrimi- 
nante  ist. 

Wenn  J  die  Resultante  von  f  und  i/;  ist  und  wir  voraussetzen, 
dass  die  Resultante  von  F  und  cp  nicht  verschwindet,  so  kann  J  nur 
dadurch  verschwinden,  dass  rj  ein  Factor  von  9?  wird.  Ist  also  symbolisch 
il}  =  iPy'nj  so  ist  die  gesuchte  Gleichung 

Ist  J  die  Discriminante  von  f  und  verschwindet  nicht  schon  die 
Discriminante  von  F^  so  kann  J  nur  gleich  Null  werden,  wenn  ri 
Factor  von  JPist,  und  die  gesuchte  Gleichung  ist  also,  wenn  F=^Fy"-^ 
gesetzt  wird: 

(Frjy-'^^O. 

Um  nun  in  anderen  Fällen  die  gesuchte  Gleichung  zu  finden, 
werde  ich  durch  x  das  Verschwindungselement  von  rj  bezeichnen,  so  dass 

und  werde  in  JP,  9?  . . .  als  zweite  Veränderliche 

i  =  F,—'Fy 
einführen.     Man  hat  dann  nach  §  83. 

n-l.n-2.n-3  , 

(n  1.2.3       ^'^     ^  •■■' 


Typische  Dai-stellimgen.  —  §  Ö9.  351 

Die  Form  f  aber  käuu   durch   den  Ausdruck   gegeben  angesehen 
werden : 


{49  _  1        V)—9 
1"-'+      [;l     <p,A-^n' 


-^  •  /  KU)  —  "^  V  ^  b         -1 1    9         r2  ^         '^^ 


1 


1.2.3 

und  die  Coefficienten  der  transformirten  Form  f  sind  also : 
0,     1,     0,     Sg)^,     -4^3,     5g?4 

Waren  nun  ursprünglich  a^,  ft^  ...;  6^,  ö^  ...;...  die  Coefficienten 
von  fj  qp  .  .  . ;  und 

J=TT(ao,ai...;  &o?  ^1  •••;  •••)> 
so  erhält  man  nur  eine  Potenz  von  F  als  überflüssigen  Factor,  wenn 
man  statt  der  Coefficienten  a,  h  ,  .  .  die  der  Darstellungen  (1),  (2)  setzt. 
Die  gesuchte  Gleichung  ist  daher: 

n(0,l,0,-3y,...;^,,-^,. ..;...) 
^~  Fl 

*  Ich  werde  diese  Art,  die  Endgleichung  zu  bilden,  auf  Fälle  an- 
wenden, in  welchen  es  sich  nur  um  Invarianten  einer  einzigen  Form 
f  handelt. 


Zu   drei   gegebenen   Elementen   soll   ein  viertes 
gefunden  werden,  so  dass   für  die  Gruppe  aller  ent- 
weder i  oderj  verschwindet. 
Man    hat    für    F  eine  Form    dritter  Ordnung    in    der  typischen 
Darstellung  (§  86.) 

FKF{y)  =  l^  +  i/^lrf  +  Qyf 
zu  setzen.     Soll  nun  i  verschwinden,  so  hat  man  in  der  Gleichung 

i  =  2  («0  «4  -  4  a^  «3  4-  3  a/) 
zu  setzen: 

«0  =  0,  «1  =  1,  «2  =  0,  «3  =  1  A,  a^  =  -4.Q, 

Man  erhält  also 

A  =  0, 
und  hat  den  Satz: 

Es  giebt  zu  drei  gegebenen  Elementen  immer 
zwei,  deren  jedes  mit  denselben  ein  cyclisch  pro- 
jeetivisches  System  bilden  kann;  dies  sind  die  Ver- 
schwindungselemente  der  zur  Gruppe  der  drei  ge- 
hörigen Covariante  A. 


352 


Siebenter  Abschnitt. 


Soll  dagegen  j  verschwinden,  so  hat  man  in 


ao 


a., 


jene  Werthe  der  a  einzusetzen,  und  findet  also 

Q  =  0. 
Dies  giebt  den  Satz: 

Zu    drei    gegebenen    Elementen    kann    man    auf 
drei   Arten    das    vierte    harmonische    bilden.     Diese 
drei    vierten    harmonischen  Elemente    entsprechen 
der  zu  der  Gruppejener  drei  gehörigen  Covari ante  Q. 
Man    kann  hiernach  die   in   §  39.   gegebene  geometrische  Inter- 
pretation der  cubischen  Formen  in  folgender  Weise  ergänzen:  Zu  den 
Elementen   der  Gruppe    construirt    man    die    drei   vierten 
harmonischen,  welche  Q  bilden.    Sie  geben  mit  den  ersten 
dreiPaare  einer  Involution,  und  indem  man  derenDoppel- 
elemente  sucht,  erhält  man  die  Elemente  von  A. 

IL 

Zu   vier   gegebenen  Elementen   soll  ein  fünftes 

gesucht    werden,  so   dass  eine    der  Invarianten   der 

Gruppe  aller  fünf  verschwindet. 

Bemerken   wir  zunächst  folgendes  Allgemeine.     Wenn  wir  eine 

der  vier    Invarianten  Ä,   B,  Cj  R  verschwinden  lassen,   so   erhalten 

wir  Gleichungen    der   Ordnungen  4,  8,    12,    18.     Nun  können  nach 

dem  Vorigen  sich   diese  Gleichungen   nur   durch  rationale  Functionen 

der  zu   der  Form   vierter  Ordnung  gehörigen  Covarianten   F,  H,   T 

ausdrücken,   welche   von   den  Ordnungen  4,   8,  6   sind.     Da  noch  T^ 

durch  jP,  H  ausdrückbar  ist,  so  folgt,  dass 

^  =  0  auf  eine  lineare  Gleichung  zwischen  F ,  H, 
B  =  0  auf  eine  quadratische  Gleichung  zwischen  F,  H, 
(7  =  0  auf  eine  cubische  Gleichung  zwischen  F,  Hj 
R  —  ()  auf  T,  multiplicirt  mit  einer  cubischen  Gleichung  zwischen 
F  und  H 
führen  muss.     Daher  hat  man  den  Satz: 

Die  Aufgabe,  zu  vier  gegebenen  ein  fünftes 
Element  so  zu  bestimmen,  dass  A,  B,  C  oder  R* 
verschwindet,  führt  jederzeit  auf  algebraisch  lös- 
bare Gleichunscen. 


Ebenso,  wenn  etwa  M  oder  N  verschwinden  soll. 


Typische  Darstellungen.  —  §  89.  353 

Und  zwar  kann  man  hinzufügen,  dass  die  Lösungen  sich  immer 
gruppenweise  aus  den  Quadrupeln  der  Reihe  k  F  -\-  k  H  zusammen- 
setzen, welche  nur  (bei  T=0)  gelegentlich,  wenn  ein  solches  Qua- 
drupel in  ein  doppelt  zu  rechnendes  Paar  ausartet,  durch  dieses  selbst 
ersetzt  w^erden  kann. 

Da  nach  §  "^^  hier: 

so  hat  man,  um  die  Gleichungen  A=^0  etc.  nach  der  oben  gegebenen 
Methode  zu  bilden,  statt  der  Coefficienten  von  /"folgende  Ausdrücke 
zu  setzen: 

0,  1,0,  5^,  -AT,  bi^-^-\n'). 

Bezeichnen  wir  durch  f,  /,  A  etc.  die  Covarianten  der  Form 
fünften  Grades,  gebildet  für  die  rechte  Seite  der  typischen  Darstellung 
und  für  5?  ^  als  Veränderliche,  so  haben  wir: 

^^  Ä'=  -  24  IHifiiF'  +  6H')  -f  12 T'], 

oder,  wenn  wir  für  T'~  seinen  Werth  aus  der  Formel: 

setzen : 

(4)  Ä'  =-  48  F'  (AiH-jF). 

Die    vier    Elemente,    für    welche    J.  =  0,    werden 
also   aus   der   Gleichung   gefunden: 

0=:4:iH-jF. 

Man  erhält  sodann,  indem  man  /  nach  §  73.  bildet: 

(5)  /  =  0J4r?^=  +  (6-ff^  -^'jr-iJ-öÄ-Tlryä 


-C^-^-«-)'t 


und  daraus 


(i^^  r'  -9T^^)      ^"  mSF+  48  iH^  -  2b  PF^ 
[Ky)t  -^^-|  -Tgr^(96^^ff-16.24jF) 

+  ri'  (12. 18 j  FH'  -  24  ijff^  -80  ij  F^  +  ^^i^HF'^ 

mithin  durch  zweite  Ueberschiebung  von  z    und  i': 
il)  B  =  2F^  \  18  (4iH-jFf  -  125  F'^  (i'-ßf)  |. 

Gl  ob  seh,  Theorie  der  biuären  algebr.  Formen.  23 


354  Siebenter  Absclmitt. 

Beiläufig  ergiebt  sich  aus  (4),  (7),  dass  die  Invariante  achten 
Grades 

immer  und  nur  dann  verschwindet,  wenn  zwei  der  vier  gegebenen 
Punkte  zusammenfallen  oder  wenn  der  fünfte  mit  einem  von  jenen 
zusammenfällt.  Daher  ist  Ä''^  —  64  jB'  die  D  i  s  c  r i  m  i  n  a  n  t  e  der  Form 
fünfter  Ordnung. 

Die  Gleichung  B' =^0  ist  zwar  quadratisch  für  Hy  F,  zerfällt 
aber,  wie  man  sieht,  sofort  in  zwei  Factoren,  so  dass  man  den  Satz 
aussprechen  kann: 

Die  2.4Elemente,  für  welche^  — 0,  werden  aus 
den  beiden  durch  verschiedene  Wahl  der  Quadrat- 
wurzel entstehenden  Gleichungen 


gefunden. 
Sodann  ergiebt  sich  aus  r   seine  Discriminante 
0'  =  8  JPe  j^3  (8. 48 ^H 24. 25. 48/)  -  H^F.4S  .  81 .  i'j 

Die  3.4  Elemente,  für  welche  (7=0,  werdenalso 
aus  der  cubischen  Gleichung 

0=H^    (8ASi^+24:.2bASf)  -  H^ F AS  .  81  i'j 
-  HF'  (lASAS.  if  +  ^^^  A  +  F'  (25 .  80  i^j-{-  8 .  24 .  32/) 

gefunden. 
Um  schliesslich  B  zu  erhalten,  bilden  wir  aus  ^'  und  x    die  erste 
Ueberschiebung : 

d^'  =:^  10 F^  [12  ^^  T {-AS jH+bi'F) 

-\-iri{-12A2A.jH^-3ßi'H'F+AS.3ijHF^+2bi^F^) 

+  12rj'T{24.jH^  +  ^i^HF-32ijF')], 

sowie,    da  a  =  ~  {iJYJ^c  war,   aus  i  und  j  die  zweite  Ueberschiebung 

a'  =^bF'[-4:STil-\-{AS  HjF-  24  i  H^  -{-bi^F'\ri] , 

und  haben  dann  aus  B  —  ip'of  die  Bestimmung: 

B'  =  250  A2.TF^[~HKA:S.  48  (48.f-|-  Ui^j) 
+  6 .  48  jy  2  2^  (24  ^2  j2  ^  7  ^-5)  _  43 ,  243 .  HF^ .  i^j 

+  F^  (625^-^32.48.8^3/)]. 


Typische  üarstelhmgen.  —  §  89.  355 

Die   18   Elemente,    für  welche  R    verschwindet, 
bestehen  also 

1.  aus  den  6  Elementen  von  T=0, 

2.  aus  drei  Quadrupeln,  welche  durch  die  cubische 
Gleichung 

0  =  -  1^3 .  482  (48/  -I- 14  i^j)  +  6 .  48  5^2  jr^24  i^ + 7  i^) 
-48. 243. HF-'i^j+F^62bi^-\-32AS,S.i'f) 

gefunden  werden. 

Wenn  der  fünfte  Factor  der  Gleichung  fünften  Grades  ein  Factor 
von  T— 0  ist,  so  heisst  dieses  nach  der  Theorie  der  biquadratischen 
Formen,  dass  er  einem  Doppelelemente  einer  der  Involutionen  entspricht, 
welche  durch  die  Zerlegungen  der  gegebenen  vier  Elemente  in  zwei 
Paare  gegeben  sind  (vgl.  §  51.).  Man  sieht  also,  dass  R  ver- 
schwindet, wenn  ein  Factor  der  Gleichung  fünften  Gra- 
des bei  einer  bestimmten  Sonderung  der  anderen  vier  in 
zwei  Paare  eines  der  zu  beiden  Paaren  gleichzeitig  har- 
monischen Elemente  ist.  Wir  werden  auf  diese  Eigenschaft  von 
R  bei  einer  anderen  Gelegenheit  in  Zusammenhang  mit  der  Auflösung 
der  Gleichung  fünften  Grades  zurückkommen,  welche  für  R—O 
in  algebraischer  Form  möglich  wird.  Aber  R  verschwindet  offen- 
bar nicht  nur,  wenn  der  hier  bevorzugte  fünfte  Factor  den  vier 
gegebenen  gegenüber  die  angeführte  Eigenschaft  hat,  sondern  auch 
noch,  wenn  dieselbe  für  einen  der  vier  gegebenen  Factoren  ein- 
tritt, gegenüber  der  Combination  der  drei  andern  gegebenen  und  des 
gesuchten.  Dieser  Fall  ist  es,  bei  welchem  in  dem  oben  gegebenen 
Ausdruck  von  R'  nicht  der  Factor  T,  sondern  der  in  H  und  /  cubische 
Factor  verschwindet. 

Wir  können  nunmehr  die  Gleichung  R  =  0  auch  auf  eine  Be- 
ziehung zwischen  Doppelverhältnissen  zurückführen.  Bezeichnen  wir 
durch  üj  h  zwei  von  fünf  Punkten,  durch  c,  d  zwei  andere,  durch 
X  den  fünften.  Es  verschwindet  R,  wenn  ein  sechster  Punkt  y 
existirt,  so  dass  Xy  y  sowohl  zu  a,  h,  als  zu  c,  d  harmonisch  sind. 
Unter  dieser  Voraussetzung  bestehen  die  Gleichungen 

iy  ^)  _    (^^)     (2/^)  _     C^^") 
W)~~Wy    '{ydj'~~'W)' 

Aus  diesen  erhält  man  eine  Beziehung  zwischen  Xy  a,  hj  c,  d, 
indem  man  y  eliminirt.  Multiplicirt  man  die  zweite  Gleichung  links 
in  Zähler  und  Nenner  mit  {ali)  und  wendet  die  Identität  §  15.  IV.  an, 
so  erhält  man: 

{yd)(hc)-{yh){ac)  ^      {xc)^ 
{ya){bd)-(^h){ad)  {xd)' 

23* 


356  Siebenter  Abschnitt.     Typiscbe  DarstelTuiigen,  —  §  89. 

daher,  indem  man  das  Verhältniss  {yci)'.{yh)  aus  der  ersten  Gleichung 
einträgt : 

{x ä)  (b  c) -\- {xh)  [a  c)  __      (xc) 
{xa)  (hd)  +  {xh)  {ad)  ~  ~'{xdj' 
oder 

(8)  {x  a)  {x  d)  {h  c)  +  {x  h)  {x  d)  {a  c) 

+  \xa)  \xc)  {hd)  +  {xh^  {x  c)  {ad)  =^  0. 

Diese  Gleichung  ist  quadratisch  in  x  und  liefert  die  oben  durch 
Xy  y  bezeichneten  Punkte.  Sie  ist  ferner  symmetrisch  für  a,  b  einer- 
seits, für  c,  d  andererseits,  und  endlich  für  die  Paare  a,  h  und  c,  d 
als  solche.  Die  linke  Seite  der  Gleichung  nimmt  also  durch  Yertauschung 
der  ttf  hj  c,  d,  x  im  Ganzen  nur  15  verschiedene  Ausdrücke  an;  das 
Product  aller  ist  vom  Grade  18  in  Bezug  auf  jede  der  Eeihen  und 
stellt  bis  auf  einen  numerischen  Factor  die  Invariante  B  der  Form 
fünften  Grades 

{ay)(hy{ctj){dy){xy) 

dar,  welche  durch  ihre  Verschwindungselemente  gegeben  ist. 

Uebrigens  kann  man  mit  Verletzung  der  erwähnten  Symmetrie 
die  linke  Seite  von  (8)  in  mannigfacher  Weise  einfacher  darstellen, 
z.  B.  in  der  Form 

2\{xh)  {xd)  (ac) -}-  {xa)  {xc)  {hd)l.'^ 

Eine  andere  Frage,  deren  Lösung  die  vorliegenden  Formeln  ohne 
Weiteres  ergeben,  ist  die  nach  dem  projecti vischen  Charakter 
desjenigen  Systems  von  fünf  Elementen,  welches  durch 
vier  beliebige  (i^=0)  und  ein  fünftes  gegeben  ist,  für 
welches  die  zu  jenen  vier  gehörige  biquadratische  Co- 
variante  (H)  verschwindet.  In  diesem  Falle  niuss  eine  gewisse 
Invariantenbeziehung  eintreten.  Man  erhält  sie,  wenn  man  in  den 
obigen  Ausdrücken  von  Ä' ,  jB',  C  überall  H—O  setzt  und  dann 
jP,  ^,  j  eliminirt.     Auf  diese  Weise  erhält  man  leicht 

welches  die  gesuchte  Beziehung  ist. 


*   Die  Zerlegung  von  B  in  diese  Factoren  gab  Hermite  in  Borchardt' 
Journal,  Bd  59,  S.  304. 


Achter  Abschnitt. 

Typische  Darstellung'  von  Formen  ungerader  Ordnung 
mittelst  linearer  Covarianten. 


§  90.    Tj-pische  Darstellung  von  Formen,  deren  eine  wenigstens  von 
ungerader  Ordnung -ist,  mittelst  linearer  Covarianten. 

Im  Vorigen  (§  81.)  habeu  wir  typische  Darstellungen  gebildet, 
indem  wir  als  Veränderliche  zwei  Covarianten  ^,  rj  mit  zwei  Reihen 
von  Veränderlichen  x\,  x.,  und  y^,  y.^  einführten,  deren  letztere  nur 
linear  auftraten.  Die  simultanen  Functionen  /",  <p  .••;  geschrieben  mit 
den  y,  Hessen  sich  dann  als  Functionen  von  ^,  rj  ausdrücken,  deren 
Coefficienten  Covarianten  waren,  mit  einem  gemeinschaftlichen  Nenner, 
welcher  gleichfalls  Co  Variante  ist. 

Ist  wenigstens  eine  Form  des  Systems  von  ungerader  Ordnung, 
so  kann  man,  so  lange  ihre  Coefficienten  nicht  besonderen  Be- 
dingungen genügen,  an  Stelle  von  §,  tj  lineare  Covarianten  setzen 
und  erhält  dann  f,  cp  . . .  ausgedrückt  durch  diese,  während  die  Coef- 
ficienten der  typischen  Darstellung  Constante,  also  Invarianten  wer- 
den. Da  man  in  §,  r]  hier  stets  nur  eine  Reihe  von  Veränderlichen 
hat,  so  wollen  wir  diese  durch  x^y  x^  bezeichnen.  Ist  D  die  Deter- 
minante von  I,  ri,  so  hat  man  also 

WO  Afi  die  Invariante 

bedeutet,    und    wo   2)  =  (!?;);    analog    bei    den    übrigen  Formen    des 
Systems. 

Ich  werde  zunächst  beweisen,  dass  im  Allgemeinen  eine  Form  / 
von  ungerader  Ordnung  w(>3)  wenigstens  zwei  lineare  Covarianten 
besitzt,  deren  Determinante  nicht  verschwindet.  Es  genügt,  wenn 
für  irgend  eine  besondere  Form  (2h  +1)^^'"  Ordnung  dieses  gezeigt  wird. 


358  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Denn  bildet  mau  mittelst  allgemeiner  Prozesse  zwei  lineare  Covarianten 
einer  solchen  speciellen  Form  und  findet,  dass  deren  Determinante 
nicht  verschwindet,  so  kann  um  so  weniger  die  Determinante  der- 
jenigen linearen  Covarianten  verschwinden,  welche  vermöge  derselben 
allgemeinen  Prozesse  aus  der  allgemeinen  Form  (2h~\-iy^^  Ordnung 
entstehen. 

Man  kann  nun  lineare  Covarianten  leicht  wirklich  bilden,  wenn 
man  in  einer  Form  {2h-\-iy^^  Ordnung  nur  die  beiden  ersten,  die 
beiden  letzten  und  die  beiden  mittleren  Coeificienten  beibehält,  alle 
übrigen  aber  gleich  Null  annimmt;  ja  man  kann  auch  noch  diese 
übriggebliebenen  Coefficienten  symmetrisch  gleich  annehmen;  die 
weitere  Bestimmung  derselben  bleibt  vorbehalten.  Ausgeschlossen  ist 
nur  der  Fall  der  Formen  dritter  Ordnung,  für  welche  die  beibehal- 
tenen sechs  Terme  nicht  mehr  alle  verschieden  sind;  dass  aber  für 
dies^e  keine  linearen  Covarianten  existiren,  wissen  wir  bereits.  Es  sei 
also  h^ly* 

wo  A  der  Kürze  wegen  für  den  Binomialcoefficienten 

2h+l.2h...  h+2 

^-^         rTWTTTh 

gesetzt  ist.  Bilden  wir  nun  die  quadratische  Covariaiite  ^,  deren 
Symbol  {altf' a^^hx  ist.  Wir  erhalten  sie  nach  §  30.  aus  den  durch 
2h-\-1.2h.2h—1...2  dividirten  2/i**^"  Differentialquotienten  von  f) 
welche  folgende  sind: 

ax-\-hy,    hx,    ...,     cy,    c{x-\-y),    cXj    ...,     hy,    ay-\-hx] 

und  es  wird  also 

t^2  \  (ax+hy)  (ay  +  hx)  —  2  h  .  h'^  X  y  +  {—lY'-^  gc^xy 

j^^-\fy^{x^yY\ 

=={;2ah^0c^)  {x'-\-y'')^2  {ä'^¥-21i¥-{-{-\y^-^  Q  c' 

j^{-\f0c^\xy, 
wo  Qy  0  die  Binomialcoefficienten 

_  2Ji^2Ji  -1  ...h+2  _  2h.2h-l.,.h+\ 

^~        l72,.Th^l      '      ^~  1.2...h 

bedeuten.  Nun  kann  man  offenbar  die  Coefficienten  a  und  h  so  be- 
stimmen, dass 


*    Einer  leichten  Modification  bedarf  die  folgende  Rechnung  auch  noch  für 
/*  =  2 ;  da  sie  indessen  auf  der  Hand  liegt ,  kann  sie  hier  übergangen  werden. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  90.  359 

Dann  ist 

und  indem  wir  jp  wiederholt  zweimal  über  f  schieben ,  brauchen  wir 
(von  einem  nicht  verschwindenden  Zahlenfactor  abgesehen)  immer  nur 
f  zweimal  nach  x  und  y  zu  differenziren.  Daher  erhalten  wir  zuletzt 
die  lineare  Covai'iante 

^  =  c{x+y), 

und  indem  wir  diese  noch  einmal  über  i^  schieben ,  die  zweite : 

rj  =  c{x-y). 

Man  hat  also  zwei  lineare  Covarianten  vor  sich,  deren  Determi- 
nante nicht  verschwindet.  Es  ist  dabei  nur  auf  die  Leichtigkeit  der 
Bildung,  keineswegs  darauf  Rücksicht  genommen,  ob  J  und  7]  in  den 
Coefficienten  von  f  möglichst  niedrig  seien,  was  keineswegs  der 
Fall  ist. 

Es  hat  also,  wenn  w^3,  schon  eine  einzelne  Form  ungerader 
Ordnung  im  Allgemeinen  zwei  lineare  Covarianten  der  verlangten  Art, 
also  auch  jedes  System,  in  welchem  sie  auftritt. 

Enthält  ein  System  ausser  geraden  Formen  nur  eine  lineare  oder 
cubische  Form,  oder  beides,  so  überzeugt  man  sich  leicht,  dass  mau 
Ueberschiebungen  von  Potenzen  derselben  über  einander  oder  über 
die  Formen  gerader  Ordnung  bilden  kann,  welche  im  Allgemeinen 
die  erforderlichen  linearen  Covarianten  liefern. 

So  sehen  wir  denn,  dass  bei  einzelnen  Formen  von  n  =  ö  an 
aufwärts  typische  Darstellungen  dieser  Art  im  Allgemeinen  möglich 
sind,  bei  Systemen,  sobald  überhaupt  wenigstens  eine  Form  ungerader 
Ordnung  auftritt.  Und  zwar  geschieht  dies  auch  bei  specieller  Wahl 
der  Coefficienten  immer  so  lange,  als  noch  zwei  lineare  Covarianten 
existiren,  deren  Determinante  nicht  Null  ist. 

Ist  wieder  h  die  Anzahl  aller  in  der  gegebenen  Form  ihrer  Ord- 
nung nach  vorkommenden  Coefficienten,  so  treten  in  der  typischen 
Form  ]c-\-l  Invarianten  auf;  zwischen  diesen  müssen  vier  Relationen 
bestehen.  Man  findet  sie,  wie  in  §  81.  angegeben  ist,  indem 
man  nämlich  die  Covarianten  |,  rj  aus  der  typischen  Form  bildet 
und  dann  die  Bedingungen  dafür  aufstellt,  dass  diese  |  und  r] 
selbst  seien. 

Es  folgt  daraus  sofort  folgender  Satz ,  welcher  für  die  Invarianten 
eine  ähnliche  Bedeutung  hat,  wie  für  Invarianten  und  Covarianten 
zusammen  die  oben  aus  der  typischen  Darstellung  gezogenen  Folgerungen: 

AI  le  Invarianten  eines  simultanen  Systems /",  9... , 
welches  wenigstens  eine  Form  ungerader  Ordnung 
enthält,    lassen    sich    als  Brüche   darstellen,   deren 


360  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Zähler  ganze  rationale  Functionen  von  gewissen 
(bei  einer  einzigen  Form  7i'^^^  Ordnung  von  n-\-l)  In- 
varianten sind,  während  im  Nenner  jedesmal  eine 
Potenz  einer  bestimmten  (/c+l)*^"  steht. 

Diese  Z;  +  l  Invarianten,  durch  welche  hier  alles  ausgedrückt  wird, 
haben  verhältnissmässig  hohe  Grade  in  Bezug  auf  die  Coefficienten 
der  constituirenden  Formen.  Will  man  aber  durch  einfachere  In- 
varianten alle  anderen  rational  ausdrücken,  so  bedarf  man  dazu  im 
Allgemeinen  einer  grösseren  Zahl. 


§  91.  Zurückführung  der  Coefficienten  solcher  typischen  Darstellun8:en 
auf  niedrigere  Invarianten. 

Schon  im  vorigen  Paragraphen  zeigte  sich  als  nächstliegendes 
Beispiel  der  Fall,  wo  die  zweite  lineare  Covariante  als  erste  lieber- 
Schiebung  der  ersten  linearen  Covariante  |  mit  einer  quadratischen 
Covariante  4>  entstand.  In  diesem  Falle  kann  man  gewisse  Reductions- 
formeln  aufstellen,  welche  dazu  dienen,  die  grösste  Zahl  der  typischen 
Coefficienten  auf  niedere  Invarianten  zurückzuführen.  Es  genügt  hierbei 
eine  Form  des  Systems  zu  betrachten. 

Möge  die  quadratische  Covariante  t^  jetzt  eine  ganz  beliebige  sein; 
immer  wollen  wir  in  Verbindung  mit  /'  die  folgenden,  der  Ordnung 
nach  absteigenden  Covarianten  betrachten,  welche  durch  wiederholte 
zweite  üeberschiebung  von  ip  über  /'  entstehen: 


I 


g'=9'/"--=(a'/')'«/"-'=^{-B,„-2l"'--2-'^-B,„-3S"'-'»;+--.j 

1      f  411 A  \ 


Die  Ä,  B,  C,  D  .  . .  sind  dabei  durch  folgende  Formeln  gegeben 


Nun  ist 


ungei-ader  Ordnung  mittelst  lincai*er  Co  Varianten.  —  §§  90,  91.  3(31 

daher 

oder  nach  der  Identität  IL  des  §  15.: 

Aber  es  ist 

setzen  wir  noch 

so  haben  wir  die  Relation 

Aus  dieser  Gleichung  erhalten  wir  sofort  Relationen  zwischen 
den  Äic,  Bk  ...,  wenn  wir  in  derselben  x.>  darcli  üy,  x^  durch  —  a^ 
ersetzen  und  sodann  die  Gleichung  mit  den  Ausdrücken 


multipliciren.     Es  ergeben  sich  dann  folgende  Beziehungen,  in  deren 
jeder  eine  höhere  Invariante   in  niedere  zerlegt   erscheint: 

0  =  B,-{-D.a_2+iA.B,_2 


Mit  Hilfe  dieser  Formeln  drücken  sich  schliesslich  die  Coefficienten 
der  typischen  Darstellung  von  f  durch  folgende  m  +  3  Invarianten  aus : 

A)  D,  Ä^^,  Ayj  B^^,  By,  C^ y  Cy  . . ., 

welche  grösstentheils  von  wesentlich  niederer  Ordnung  sind  als  die 
Coefficienten  der  typischen  Form. 

Alle  Invarianten  von  f  allein  sind  daher  gleichfalls  rationale  Fun- 
ctionen dieser  m  -\-  3  Grössen,  deren  Nenner  nur  Potenzen  von  D  sind; 
und  da  die  übrigen  Formen  cp  . . .  noch  beliebig  gewählt  werden 
können,  so  sind  die  Invarianten  von  f  auf  unendlich  viele  Weisen 
so  darstellbar. 

Betrachten  wir  insbesondere  eine  Form  /'  ungerader  Ordnung 
m  =  2n-{-l  für  sich,  und  sind  |,  rj  lineare  Covarianten  dieser  Form 
allein,  so  hat  man  nach  den  Betrachtungen  des  vorigen  Paragraphen 
durch  m  +  1,  nach  den  jetzigen  durch  ))!-{- 2,  aber  verhältnissmässig 
niedrige,  Invarianten  alle  anderen  rational  so  ausgedrückt,  dass  nur 
Potenzen  von  einer  derselben  in  den  Nennern  auftreten. 


362  Achter  Abschnitt.    Typische  Darstellung  von  Formen 

Ich  will  ^s  Beispiel  die  Formen  fünfter  Ordnung  benutzen.    Für 
diese  hat  man  die  Coefficientenreihe  zu  betrachten: 

^5?   ^4?   -^3;   ^2;   A;   Aj      -^3;   ^2j   ^i>    -^ü5      ^i;    ^uj 

und  man  hat  die  Relationen: 

A,  +  I)B,-j-iAÄ,  =  0 

Ä,-^I)B,  +  iAÄ,  =  0    B,  +  J)C,  +  iAB,=.0. 
Ä,  +  J)B,  +  iAÄ,=^0 

Man  drückt  daher  alles  durch 


D,  A,  A„  Ä„  B„  B„  C„,  C, 

olgeni 

der  Formeln  aus: 

-DB,~iAÄ,        B,  =  -BC,-iA£, 
-BB,-\AA,        B,^-DC,-iAB, 
A,  =  B^C,  +  nAB„  +  iAK4, 
A^  =  B'C,i-BAB^  +  i  A^A^. 

(1) 


§  92.    lieber  die  Bediiigungen,  unter  welchen  Formen  durch  lineare 
Substitution  in  einander  übergeführt  werden  können. 

Mit  der  soeben  behandelten  Classe  typischer  Darstellungen  steht 
in  genauem  Zusammenhange  die  Frage,  ob  zwei  gegebene  binäre 
Formen  oder  Systeme  von  solchen  durch  lineare  Transformation  in 
einander  übergeführt  werden  können,  und  wenn  dies  der  Fall  sein 
sollte,  auf  welche  Weise  die  Ueberführung  geleistet  werden  kann. 

Um  zunächst  die  Wichtigkeit  dieser  Frage  in  das  rechte  Licht 
zu  stellen,  knüpfe  ich  an  den  Begriff  der  sogenannten  canonisclien 
Formen  an ,  welcher  in  specieller  Fassung  schon  in  §  49.  benutzt 
wurde.  Unter  einer  canonischen  Form  versteht  man  eine  voraus- 
bestimmte Gestalt,  welche  einer  oder  mehreren  Formen  durch  lineare 
Transformation  gegeben  werden  soll,  und  bei  welcher  die  Coefficien- 
ten  vorherbestimmte  rationale  Functionen  von  so  viel  willkürlichen 
Parametern  sind,  als  das  Formensystem  von  einander  unabhängige 
absolute  Invarianten  besitzt.  In  solcher  Weise  war  |^  +  rf  eine  cano- 
nische Form  für  eine  cubische  (§  38.),  war  '^^ -\-Q  %l^  rf  -^-rf'  (§  49.) 
eine  solche  für  eine  biquadratische  Form ;  g^  +  rf  und  llEf-\-iirf 
waren    canonische   Formen    für    zwei   simultane   quadratische  Farmen 

(§  57.). 

Das  Problem ,  einem  vorgelegten  Functionensystem  eine  bestimmte 
canonische  Form  zu  geben,  zerfällt  in  zwei  Theile,  in  die  Bestimmung 


ungerader  Orclinmg  mittelst  linearer  Covarianten  —  §§91,  92.  363 

der  in  den  Coefficieuten  enthaltenen  Parameter,  und  in  die  Bestimmung 
der  linearen  Substitution.  Was  erstere  angeht,  so  hat  man  für  sie 
die  Gleichungen,  welche  aus  der  Gleichsetzung  der  absoluten  In- 
varianten für  die  gegebene  und  die  canonische  Gestalt  der  Formen 
entspringen  [vgl.  die  Gleichung  (6)  in  §  49.].  Diese  Gleichungen  ent- 
halten der  Voraussetzung  nach  eine  ihrer  Anzahl  gleichkommende 
Zahl  von  Unbekannten,  die  Parameter  der  canonischen  Form.  Ist  die 
canonische  Form  richtig  gewählt,  so  müssen  diese  Gleichungen  lösbar 
sein,  und  werden  dann  im  Allgemeinen  zur  Bestimmung  der  Parameter 
hinreichen.  Sollten  diese  Gleichungen  aber  einander  widersprechen, 
so  ist  die  angenommene  canonische  Form  überhaupt  im  Allgemeinen 
nicht  zulässig. 

Sind  die  Parameter  der  gedachten  Gleichungen  gemäss  bestimmt, 
so  handelt  es  sich  um  die  Bestimmung  der  Substitutionscoefficienten. 
Man  kann  leicht  hinreichend  viele  Gleichungen  für  die  Substitutions- 
coefficienten in  folgender  Weise  erhalten.  Zunächst  bildet  man  irgend 
eine  Invariante  für  die  gegebenen  (J)  und  für  die  canonische  Form 
{J').     Da  eine  Gleichung  der  Form 

zwischen  beiden  besteht,  so  findet  man  daraus  die  Transformations- 
determinante. Ist  ferner  (p  {x^j  x.^  eine  Covariante  der  gegebenen, 
q/i^yTi)  die  entsprechende  Covariante  der  £rausformirten  Formen,  so 
hat  man  auch 

Eine  solche  Gleichung  besteht  unabhängig  von  den  Werthen  der  j;^,  x^, 
und  sie  enthält  keine  Unbekannten  mehr,  als  die  in  |,  n]  linear  auf- 
tretenden Substitutionscoefficienten.  Entwickelt  man  daher  beiderseits 
nach  Potenzen  von  x^,  x.,  und  vergleicht  die  Coefficieuten,  so  erhält 
man  Gleichungen  für  die  Substitutionscoefficienten. 

Aber  es  entsteht  die  Frage,  ob  diese  Gleichungen  immer  ver- 
träglich sind.  In  der  That  hat  man  hier  genau  das  Problem  vor  sich, 
welches  im  Eingange  bezeichnet  wurde.  Die  Coefficieuten  der  ge- 
gebenen und  der  canonischen  Formen  sind  jetzt  bekannt;  die  absoluten 
Invarianten  beider  sind  einander  gleich;  es  entsteht  die  Frage,  ob 
oder  wann  unter  solchen  Verhältnissen  eine  lineare  Substitution  an- 
gegeben werden  kann,  welche  die  gegebenen  Formen  in  die  cano- 
nischen überführt. 

Betrachten  wir,  ganz  abgesehen  von  der  Anwendung  auf  cano- 
nische Formen,  die  im  Eingange  gestellte  Frage,  so  bleibt  immer 
Vorbedingung  für  die  Möglichkeit  einer  solchen  Ueberführung  die 
Gleichheit  der  absoluten  Invarianten,  d.  h.  entsprechend  gebilde- 
ter   Quotienten    von    Potenzen    von   Invarianten,     deren    Zähler    und 


364  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Nenner  gleichen  Grad  in  den  Coefficienten  besitzen.  Sind  z.  B.  i,  j 
die  Invarianten  einer  biquadratischen  Form  f,  i' ,  f  die  einer  andern 
f'y  so  ist  die  nothwendige  Bedingung,  welche  erfüllt  seinmuss,  damit 
/'  durch  lineare  Substitution  in  /"'  übergeführt  werden  könne , 


oder  besser,  so  muss  eine  solche  von  Null  verschiedene  Grösse 
gefunden  werden  können,  dass 

i'  =  i.r^ 

wo  dann  r  die  Determinante  dier  Substitution  ist. 

Aber  diese  Bedingung,  wiewohl  nothwendig,  ist  nicht  immer  hin- 
reichend.   Sobald  nicht  i,  j/,  bez.  i',  f  gleichzeitig  verschwinden  und  so- 

bald  — , ,  ^  von  6  verschieden  sind,    so  haben  nach  §  50.  (1)  die  vier 

durch  /"— 0  oder  /"  =  0  dargestellten  Elemente  dieselben  völlig  be- 
stimmten Doppelverhältnisse,  unter  denen  der  Werth  1  nicht  vor- 
kommt, so  dass  zusammenfallende  Elemente  in  den  Gruppen  nicht 
existiren.  Bei  der  Gleichheit  der  Doppelverhältnisse  sind  dann  die 
Formen  linear  in  einander  überführbar;  man  braucht  nur  nach  §  49. 
f  und  f  auf  die  Form 

zu  bringen,  wo  -^  =  — ,  eine  Wurzel  der  Gleichung  [§49.  (6)] 


ist,  und 


4. — 


ist   dann   die   lineare  Substitution,   mit   deren  Hilfe  /  in  /"  übergeht. 

Wenn  aber  —  =  ^  =  6 ,    oder    wenn    i  =  0,  i  =-  0 ,    i=^(),  /  =  0, 

so  sagen  die  Invarianten  nur  aus,  dass  in  einem  Falle  zwei,  im 
andern  drei  Wurzeln  jeder  Elementengruppe  zusammenfallen.  Aber 
dabei  ist  nicht  ausgeschlossen,  dass  nicht  im  ersten  Falle  noch  ein 
zweites  Paar  von  Wurzeln  sich  bei  einer  Gruppe  vereinigen  kann, 
ohne  dass  dies  bei  der  andern  zu  geschehen  braucht,  und  im  zweiten 
Falle    kann    sich    bei    einer   Gruppe   noch   die  vierte  Wurzel  mit  den 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  92.  365 

drei  ersten  vereinigen,  ohne  dass  dies  bei  der  andern  zu  geschehen 
braucht.  Man  sieht  also,  dass  in  diesem  Falle,  obgleich  die 
Invariantenbeziehung  stattfindet,  doch  die  Ueberführung  der  einen 
Form  in  die  andere  durch  lineare  Substitution  unmöglich  werden 
kann,  so  dass  in  diesen  Fällen  eine  genauere  Untersuchung  der  Eigen- 
schaften von  f  nothwendig  wird. 

Aehnlich  ist  es  schon  bei  den  cubischen  Formen ,  wo  freilich,  da 
keine  absolute  Invariante  existirt,  eine  Vorbedingung  wie  die  oben 
gedachte,  nicht  zu  erfüllen  ist.  Damit  zwei  cubische  Formen  linear 
in  einander  transformirbar  seien,  genügt  es  schon,  dass  ihre  Inva- 
rianten B,  K  von  Null  verschieden  seien.  Denn  wie  in  §  38.  gezeigt, 
kann  man  den  Formen  /,  f  dann  immer  die  Form  geben: 

/"  (^1,^2)  =  ?'  +^' 
und  indem  man  nun  die  lineare  Substitution 

anwendet,  wird  f  in  f  übergeführt.  Auch  hier  wieder  hört  diese 
Möglichkeit  auf,  nothwendig  zu  bestehen,  sobald  B  (^und  dann  noth- 
wendig auch  R')  verschwindet.  Denn  dieses  umfasst  sowohl  das 
Zusammenfallen  von  zwei  wie  das  von  drei  Elementen  einer  Gruppe, 
und  die  Transformation  wird  unmöglich,  sobald  f  und  f  sich  nach 
dieser  Richtung  verschieden  verhalten. 

Im  Allgemeinen  kann  man  nun  hier  folgenden  Satz  aussprechen: 
Wenn  zwei  Formen  Systeme  f,  (p  ...]  f ,  (p' ...  gleiche 
absolute  Invarianten  besitzen;  wenn  ferner  das 
System  /*,  cp  . . .  zwei  lineare  Covarianten  |,  rj  von 
nicht  verschwindender  Determinante  besitzt  und 
die  entsprechenden -^y,  rjy  des  Systems  /",  (p' .  . .  eben- 
falls eine  nicht  verschwindende  Determinante 
haben,    so   lässt  sich  durch  die  lineare  Substitution 

in  welcher   ^,   v   Constanten  bedeuten,    das    System 
f'j  cp'  . . .  in  das  System  /",  cp  .  . .  überführen. 

In  allen  anderen  Fällen  ist  eine  besondere  Untersuchung  nöthig; 
doch  betrifft  sie  immer  nur  sehr  specieUe  Formen,  da  das  Nicht- 
vorhandensein zweier  linearer  Covarianten  von  nicht  verschwindender 
Determinante  immer  schon  eine  grössere  Anzahl  von  besonderen 
Werthen  der  Invarianten  voraussetzt. 

Damit  lineare  Covarianten  existiren,  muss  man  voraussetzen,  dass 
wenigstens    eine    der  Formen  jedes  Systems  von  ungerader  Ordnung 


366 


Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 


sei.  Denn  wir  nehmen  ausdrücklich  an,  dass  die  linearen  Cova- 
rianten,  von  denen  hier  Gebrauch  gemacht  wird^  durch  allgemein 
anwendbare  Bildungsprozesse  entstehen,  und  also  bei  allgemeiner 
Wahl  der  /*,  9  . . .  immer  vorhanden  sind.  Solche  können  aus  lauter 
Formen  gerader  Ordnung  niemals  entstehen,  während  allerdings  bei 
specieller  Wahl  der  Coefficienten  auch  lineare  Co  Varianten  (etwa 
indem  eine  sonst  quadratische  Covariante  in  rationale  Factoren  zerfällt) 
auftreten  können,  welche  indessen  hier  ausgeschlossen  bleiben. 

Ein  entsprechender  Satz  für  ein  System  von  lauter  geraden  For- 
men wird  weiter  unten  gegeben  werben. 

Der  Beweis  des  obigen  Satzes  wird  folgendermassen  geführt.  Da 
^,  7j  eine  nicht  verschwindende  Determinante  D  haben,  so  kann  man 
sie  zur  Herstellung  einer  typischen  Form  benutzen,  und  erhält: 


(1) 


D''.f{x,,X.,)  =  Än 


Ä„--il^''-^ri^  +  ..., 


sowie  entsprechend: 

(2)      i)'".r(2/„2/,)=^'„i'/-f-i'»-ir»"-'Vs  +  --; 

analoge  Gleichungen  gelten  für  9),  cp'  etc. 

Nun  wird  vorausgesetzt,  dass  die  absoluten  Invarianten  beider 
Systeme  einander  gleich  seien,  oder,  was  dasselbe  ist,  dass  zwischen 
den  Invarianten  des  einen  und  den  entsprechenden  des  andern  Gleich- 
ungen bestehen,  wie  zwischen  den  Invarianten  gegebener  und  linear 
transformirter  Functionen.  Sind  also  n,  n'  . . ,  die  Ordnungen  von 
fy  cp'-.,  J  eine  Invariante,  welche  in  Bezug  auf  die  Coefficienten 
jener  Functionen  die  Grade  g ,  (J  . . .  besitzt,  J'  die  entsprechende 
für  /*' ,  9'  . . . ,  so  muss  eine  allen  Invarianten  gemeinsame  Grösse  r 
existiren,  so  dass  (vgl.  §  16.) 

ng\n'(j'  -\-  ... 

(3)  J'^J,r  2 

Seien  ferner  Ä^,  Ä;'  . . .  die  Grade  von  ^;  Z,  T  . . .  die  von  t^.  Dann 
sind  in  Bezug  auf  die  einzelnen  Functionen  /",  9;  . . .  die  Grade  von 
D,  Any  Än-i  . . .  folgende: 


f 

ff 

D 

k  +  l 

h'  +  r 

An 

nh  +  1 

n¥ 

An-^ 

{n'-l)Jc  +  l  +  l 

{n-l)¥  +  V 

An-2 

(n^2)k+2l+l 

{n-2)¥  +  2r 

ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  92.  367 

Man  hat  also^  der  Gleichung  (3)  ents23recheud : 

„(k  +  D  +  n'jk^  +  n... 

D'       =1)       .r  2 

A'„      =A„      ,r  ^ 

(4)  7i((n-l)fr  +  /+1)  +  n^((n-1)^-^+/-)+  ... 

A'n~\  =  An-\.r  2 

71  ((n-2)A-  +  2/+1)  +  n^((n -2)^4-2/0+'. 
Än-2  =  An^2-r  2 


Dividirt  man  also  die  Gleichung  (2)  durch 
so  erhält  man 

A»     2  ' 

wo 

Q  = 2 '      ""^ 2 • 

Diese  Zahlen  q,  a  sind  für  die  verschiedenen  Functionen  f,  cp  ... 
ganz  symmetrisch  gebildet;  setzt  man  also 

2g-1 

(6)  ^'y=^'     '    ^- 

^    ^  2g  — 1 

ny=r     2     ^^, 
so  geben  (5)^  (1)  und  die  analogen  Gleichungen: 

Die  Gleichungen  (6)  bilden  also  eine  lineare  Substitution,  ver- 
möge deren  das  Function ensystem  f\  q)'  .  . .  in  das  Functionensystem 
fj  (p  . .  .  übergeführt  wird.  Die  Gleichungen  (6)  haben  ganz  die 
Form,  welche  in  dem  oben  ausgesprochenen  Satze  angegeben  wurde, 
und  zugleich  sind  die  dort  durch  /i,  v  bezeichneten  Zahlen  hier  völlig 
bestimmt. 

Es  entsteht  nur  noch  die  Frage,  ob  r  auch,  wie  in  (3),  (4)  vor- 
ausgesetzt wurde,  wirklich  die  Determinante  der  gefundenen  Substi- 
tution ist,  also  die  Determinante  der  Coefficienten,  mittelst  deren 
sich  die  x  linear  in  den  y  ausdrücken.  Nennen  wir  diese  vorläufig 
s,  und  bilden  wir  von  den  beiden  Seiten  der  Gleichungen  (6),  indem 
wir  sie  als  Functionen  der  x  betrachten,  ihre  Determinanten.  Wir 
haben  dann 


368  Acliter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Aber  die  erste  der  Gleichungen  (4)  können  wir  schreiben: 

Aus  Vergleichung  dieser  Gleichung  und  der  vorigen  findet  sich  sofort 

s  —  r, 
was  zu  beweisen  war. 

Endlich  ist  noch  zu  untersuchen,  ob  die  Substitution  (6)  nur  eine 
oder  mehrere  Ueberführungsarten  ergiebt.  Man  sieht  leicht,  dass  sie 
in  der  That  eindeutig  bestimmt  ist,  bis  etwa  auf  einen  allen  Sub- 
stitutionscoefficienten  gemeinsamen  Factor.  Ihrer  Entstehung  nach 
aus  (5)  kann  man  nämlich  die  Formeln  (6)  auch  so  schreiben: 

r^ 

j/r 

wo  ]/r  in  beiden  Gleichungen  dieselbe  Bedeutung  hat.  Nun  kann 
man  ferner  mit  Einführung  der  Zahlen  q  und  a  den  Gleichungen  (4) 
die  Form  geben: 

^Ln  —  \  —  ^/»  — 1  .  ^  ^ 


Aus  der  zweiten  und  dritten  dieser  Gleichungen  findet  man 

^  n  —  1         ^n  —  1 

und  dies  in  Verbindung  mit  der  ersten  Gleichung  zeigt,  dass  r^  und 
r^  bis  auf  einen  gemeinsamen  Factor  4:  1  gegeben  sind.  Hieraus 
geht  hervor,  dass  die  rechten  Seiten  der  Gleichungen  (7)  wirklich 
bis  auf  einen  gemeinsamen  Factor  völlig  gegeben  sind,  und  zugleich, 
dass  dieser  Factor  nur  noch  eine  Einheitswurzel  sein  kann. 

Dass  solche  Einheitswurzeln  in  gewissen  Fällen  schliesslich  beliebig 
hinzutreten  können,  sieht  man  an  einem  Beispiel  sofort  ein.  Ist  z.B.  die 
Ordnung  aller  Functionen  /*,  cp  . . .  durch  3  theilbar,  so  wird  jede 
lineare  Substitution,  welche  ein  solches  Formensystem  in  ein  anderes 
überführt,  diese  Eigenschaft  noch  behalten  müssen,  wenn  man  allen 
Substitutionscoefficienten  dieselbe  dritte  Wurzel  der  Einheit  zum 
Factor  giebt 

Was  die  Anwendung  auf  die  oben  angezogene  Theorie  der  cano- 
nischen Formen  angeht,  so  sieht  man,  dass  die  Herstellung  einer 
canonischen  Form  immer  zulässig  ist,  sobald  erstlich  die  aus  der 
Gleichsetzung  der  absoluten  Invarianten  entspringenden  Gleichungen 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Co  Varianten.  —  §§92,  93.  369 

einander  nicht  widersprechen,  und  sobald  zweitens  für  die  gegebene 
und  die  canonische  Gestalt  der  Formen  Paare  entsprechen  der  linearer 
Covarianten  von  nicht  verschwindender  Determinante  existiren,  und 
zugleich  sind  dann  durch  die  Gleichungen  (6)  die  Substitutionsformeln 
in  einfachster  Weise  gegeben 

§  93.  Anwendung  auf  Formen  fünfter  Ordnung.  Besondere  Fälle  derselben.* 

Wenn  wir  diese  Betrachtungen  auf  die  Formen  fünfter  Ordnung 
anwenden,  so  zeigt  sich,  dass  aus  der  Gleichheit  der  absoluten  In- 
varianten die  Möglichkeit  der  Transformation  immer  folgt,  sobald 
nicht  je  zwei  der  vier  linearen  Covarianten  (§  74.)  «,  /3,  y,  d  eine 
verschwindende  Determinante  haben.  Nach  den  Formeln  §  75.  (3), 
(4),  (ß)  sind  die  aus  jenen  Formen  gebildeten  Determinanten: 

NA- MB      NB -MC 
31,     N,     M,     — A,     g ,      ^ . 

»  Man  sieht  also,  dass  die  Ausnahmefälle  nur  eintreten,  wenn  zu- 
gleich M=0  und  N=0,  wo  dann  wegen  §  75.  (1)  auch  R  verschwin- 
det. Es  sind  dieses  also  die  einzigen  Fälle,  in  welchen  keine  der 
oben  angedeuteten  typischen  Darstellungen  mehr  möglich  ist. 

Wir  wollen  hier  wie  in  den  folgenden  Anwendungen  zunächst 
immer  die  Ausnahmefälle  charakterisiren ,  sodann  aber  die  typische 
Darstellung  für  diejenigen  Fälle  behandeln,  in  denen  sie  möglich  ist. 
Sehen  wir  also  zunächst,  welchen  Umfang  und  Charakter  diese  Aus- 
nahmefälle hier  haben. 

Nehmen  wir  an,  dass  M  und  N  verschwinden.  Man  kann  dann 
folgende  Sätze  beweisen: 

1.    Wenn  31  und  ^^verschwinden,  verschwindet 
'9'  identisch. 
Betrachten  wir  nämlich  die  Gleichung 

31 T  —  Ni  —  {iaf  tj'  —  ixaf  ij  =  j  (ia)  r^-  +  {ra)  ij.\  (ir)  «r 

so  sehen  wir,  dass  mit  31  und  N  entweder  a  oder  ö  verschwindet. 
Ist    a    identisch  Null,    so   folgt  dasselbe  für  d-~—jJ  (ja).     Ist  aber 

d  =  (ß'a)d'j.=-0,   so  verschwinden  ^r—  und  - —  für  x^^  —  «^,,  .r^  =  —  «j, 

d.  h.  a  muss  ein  Doppelfactor  von  &  sein,  daher  O- —  ^ «-.  Inzwischen 
lehrt  die  Gleichung 

=  —j.6  —  T.ar, 

*  Für  diesen  und  den  folgenden  Paragraphen  vgl.  die  Abh.  von  Hrn.  Gordau 
und  mir,  Annali  di  Mat. ,  Ser.  IT.,  Vol.  1. 

C  leb  seh,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  24 


370  Achter  Abschnitt.     Typische  DarstoHung  von  rormen 

dass  in  diesem  Falle,  wo  d  — 0,  0---=^«^  war: 

|Lt2  «4  __  —  X  a^'^ 

also  wenn  a  nicht  Null  ist,  was  schon  vorhin  x^^=0  gab,  muss 
T  =  —-^^a^  sein.  Aber  auch  i  hat  wegen  M={iay^  =  0  den  Factor 
a,  daher  muss  die  erste  Ueberschiebung  %'  von  x  mit  i  verschwin- 
den, was  zu  beweisen  war. 

2.  Wenn    M  und    -0^  identisch    verschwinden,    so 
verschwindet  auch  a. 

Es  ist  nämlich 

«3  +  Mj  =  {iafjj  -  {ijfl,  aj 

was  unter  der  gegebenen  Voraussetzung  sofort  auf  « =  0  führt. 
Aus  den  beiden  Sätzen  1.  und  2.  folgt  nun  sofort: 

3.  Wenn  M  und  N  verschwinden,    so   verschwin- 
det auch  a  identisch. 

In  den  zu  untersuchenden  Ausnahmefällen  existirt  also  überhaupt 
keine  lineare  Covariante  mehr. 

Da  d'  identisch  verschwindet,  so  können  die  Functionen  r  und  i 
sich  nur  um  einen  constanten  Factor  unterscheiden,  wenn  nicht  eine 
oder  beide  verschwinden.  Der  Fall,  wo  i  identisch  verschwindet,  ist 
der  zuletzt  zu  behandelnde,  da  in  ihm  auch  die  Covarianten  j,  r,  a, 
verschwinden.  Aber  auch  r  wollen  wir  zunächst  von  Null  verschieden 
annehmen,  und  wollen  endlich  auch  annehmen,  dass  i  kein  Quadrat, 
also  nicht  ^  =  0  sei.  Wir  behandeln  also  den  Fall: 
I.     o:  =  0,  T,  iy  A  von  Null  verschieden. 

Denken  wir  uns  die  Factoren  von  i  als  Veränderliche  eingeführt, 
so  dass 

(1)  i  =  2lri 

(2)  j  -i)  g-^  +  3  g  |2  ^  +  3  r  g  1^2  ^  .9  rf, 
so  giebt  die  Bedingung  ß:  =  — (j^)^=0: 

0=  ^y  i    ,  also  q  =  0,  r  =  0. 

et,  07] 

(3)  j=p^'  +  syf. 
Ferner,  wenn 

(4)  f=a^^  +  bh  ^-^  7]+\i)r  ^^  )f  +  10  d  ^'  rf  +  T)  p  |  if  -\- g  if 
gesetzt  wird: 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten,  —  §  93.  371 

also  im  Vergleich  mit  dem  vorigen  Ausdruck; 

c  =  0,     d  =  0. 
Bildet  man  nun  i  für  den  Ausdruck  (4),  so  hat  man: 

und  daher,  damit  dies  mit  (1)  übereinstimme: 

Es  folgt  hieraus  nothwendig,  wenn  nicht  j,  also  auch  r,  iden- 
tisch verschwinden  soll: 

(6)  f=5^^j{h^'  +  eri^. 

Man  kann  diese  Form  von  f  in  der  Weise  auffassen,  dass  f  als 
Product  einer  cubischen  Form  mit  ihrer  quadratischen 
Covariante  erscheint.*  Von  diesem  Gesichtspunkt  aus  will  ich  die 
Frage  jetzt  direct  untersuchen  und  zeigen,  dass  dann  wirklich  immer 
/  die  verlaugten  Eigenschaften  hat,  ausgenommen  wenn  die  Discri- 
minante  der  cubischen  Form  verschwindet,  wo  dann  noch  speciellere 
eintreten.  Sei  also  cp  eine  cubische  Form,  A  =  {(p (p')~  q)^.  (p\^.  ihre 
quadratische,  Q  =^  {(p  A)  (pj  Aj.  ihre  cubische  Covariante,  R  =  (AA')- 
ihre  Discriminante.     Haben  wir 

/•=5A.9, 
oder  symbolisch 

aJ  =  6AJ(pJ, 
so  ist 

i  =  {a hy  a:r  K  =  2  {Ah)  (g) hf  A,h^  +  3  ( A hy  (cp hy  cp^  h, 

=  5  (A 6)  {(p  hf  Ar:  h^  -  3  {(p  A)  ( A  l)  {(p hf  6/. 

Der  mit  5  multiplicirte  Ausdruck  ist  die  erste  Ueberschiebung 
von  A  über  {q)hYhJ=  coj ,  der  mit  3  multiplicirte  die  dritte  Ueber- 
schiebung von  Q  mit  f.     Man  kann  also  schreiben 

(7)  i  =  6{Aco)A^co^^-3{QhYh/, 
wo 

(8)  (o  =  {tphfK\ 

Schieben  wir  nun  cp  =  (p\^^  dreimal  über  f^=^dAr-  (pj^  so  er- 
halten wir 

«  =  i  [3  {g^'Af  {ip'cp)  <pj  +  G  (9)' A)  (^»'^  cp^  A.,  +  {cp'cpf  AJ]. 

Das  letzte  Glied  verschwindet,  weil  es  durch  Vertauschung  von 
(p  mit  9)'  das  Zeichen  ändert,    das   zweite,    weil  es  in  6(A'A)A'^A.r 


*  Geometrisch:  Unter  den  fünf  Punkten,   welche  /"rep rasen tiren, 
liegen  drei  mit  den  beiden  übrigen  cyclisch-pro jectivisch. 

24* 


372  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Former! 

übergeht,    das    erste    endlich ,    weil    (qp'A)^^'^   nach   der  Theorie  der 
cubischen  Formen  identisch  Null  ist.     Daher  hat  man  co  ~0,  und 

(9)  ^  i^-3(QhfbJ. 
Nun  ist  ganz  ebenso  wie  o  gebildet  wurde: 

Da  {QAY  Q:r  identisch  Null  ist,    so  verschwindet  das  erste  Glied. 
Der  zweite  Theil  der  Klammer  ist 

6  {Qq>).{QA)  iQcp)A^cp.,^3iQ,p)  [(QAf  cp/  +  {Qcpf  AJ-{cpAf  QJ]. 

Mit  Hinweglassung  verschwindender  Glieder  wird  er  3  {Q cp)'^  A^^ j 
was  sich  mit  dem  dritten%  Terme  der  Klammer  vereinigt,  so  dass 

{QhyhJ=:2  {Qcpf  A/=---2  R  .  A,  l§  35.  (4).l 

und  also 

(10)  i  =  ßB.A. 

Daher  ist  wirklich  i  ein  Factor  von  /";  nur  wenn  i?  =  0,  verschwindet 
i  identisch. 

Man  erhält  nun  weiter: 

j  =  -  (aif  aJ  =  -6R.  {a  AJ  aj 
-  -  3 E  .  j (A  AO^  (pj  +  6  (A  A')  {cp  A')  A,  cpj  +  3  {cp  A')^  A/  (p^,\. 

Das  letzte  Glied  verschwindet,  weil  (9p  A')^  9)^  identisch  Null  ist* 
das  mittlere  wird 

(A  AO  {cp  A')  A.  9)/  =  i  (A  A'Y  .cpj, 
also 

(11)  j  =  -12R.  (A  A7  (pJ  =  -  V2R^ .  cp. 

Es  ist  also  auch  (wenn  nicht  R  =  0)  j  ein  Factor  von  f) 

5      . . 
'  ~      72  R^  ^^ ' 

ferner  i  bis   auf  einen  constanten  Factor  die  quadratische  Covariante 
von  jy  wie  es  sein  sollte. 
IL  Der  Fall 

«==0,  ^  =  0,  T  und  i  von  Null  verschieden, 
führt  auf  einen  Widerspruch.     Denn  da  in  diesem  Falle  i  ein  Quadrat 
ist,  kann  man  setzen 

(12)  i  =  ?^ 
man  hat  also,  wenn 

(13)  j^pl^-\-3ql^n-\-3rril^-\-srf, 

aus  a  =  —  ( j  i)2  =  0 : 

0  =  r'^'\-sriy      ' 


ungerader  Ordnimg  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  93.  373 

also  r~0,  5  =  0;  und  wenn 

(14)    f==  a  ^^ +  bhi' rj  +  10  ci'y]'  + 10  d^'ri^ +  6  e^ri'  +  gri'o, 
so  hat  man 

daher  im  Vergleich  mit  dem  Vorigen 

e  =  0,    y  =  i). 
Bildet  man  nun  /,  so  erhält  man 

i^2\-4.{hl^-c7l^dl-^?,{cl  +  d nf  j  (? nf, 

also  im  Vergleich  mit  der  angenommenen  Form  von  i: 

l  =  (-8?>r?+3c-^)(???)S    0  =  cd,    ()=--d\ 

Hieraus  folgt  d  =  Oj  also  j  =  — c|^;  daher 

r=^0,     f=^na^'  +  bbiri+10c7f): 

Man  hat  also  den  Satz: 

Wenn  a  und  A  verschwinden^  ohne  dass  i  ver- 
schwindet, so  verschwindet  auch  r,  daher  auch  Bj 
C,  und  /'hat  einen  dreifachen  linearen  Factor. 

Dass  auch  umgekehrt  bei  einem  dreifachen  linearen  Factor  von  / 
die  Ausdrücke  t,  ä,  B,  C  verschwinden,  folgt  sofort,  da  sich  für 
a,  h,  c  keine  Bedingungen  ergeben  haben.  Der  dreifache  Factor 
kann  durch  Bildung  von  i  immer  gefunden  werden. 

Es  entsteht  nun  die  Frage,  welche  Eigenschaften  /"  besitzt,  wenn 
wir  zwar  Ä  von  Null  verschieden,  dafür  aber  ausser  a  auch 
T  identisch  Null  annehmen,  während  J  noch  als  von  Null  ver- 
schieden gedacht  werden  soll.  Aber  nach  der  Formel  §  75.  (10) 
hat  man  für  diesen  Fall  nothwendig  Ä.j  =  0.  Die  obigen  Annahmen 
sind  also  unmöglich,  entweder  wird  man  auf  A  =  0,  also  auf  den 
vorigen  Fall  zurückgeführt,  oder  auf  J  =  0,  und  man  kann  den  Satz 
aussprechen : 

Wenn  a  und  r  verschwinden,  so  ist  entweder  i 
ein  Quadrat,  oder     muss  verschwinden. 

IIL  Der  Fall,  wo  j  verschwindet,  aljer  i  nicht,  und  auch 
i  kein  Quadrat  ist,  führt  das  Verschwinden  von  t,  B,  C,  «selbst- 
verständlich mit  sich.     Setzt  man 

f  =  al^  ^bhl'  n  +  lOi:^^  rf  ^10  dl^  rf  -^b  elri^  +  g  rf, 
so  wird 

es  rauss  also  &  =  0,  c  =  0,  d—Oj  e  =  0  sein,  oder  man  hat  den  Satz: 


374  Achter  Abschnitt.     Typische  Darbtellimg  von  Formen 

Wenn  j  verschwindet,  ohne  dfiss  i  Null  oder  ein 
Quadrat  ist,   so  ist  f  die  Summe  zweier  fünfter  Po- 
tenzen, deren  Argumente  die  linearen  Factoi'en  von 
i  sind.  * 
Auch  das  Umgekehrte  ist  unmittelbar  ersichtlich. 
IV.     Ist  j  identisch  Null,   i  ein  Quadrat,  aber  von  Null 
verschieden,  so  hat  man  ähnlich  wie  oben: 

i  =  §'%  i  =  --  2  {^rjf  {c^^  +  3  d  r^  7?  +  3  e  ?  yf^cji^l , 
also  c  =  0j  d  =  0,  cj  =^  0,  g  =  0, 

Hieraus  ergiebt  sich  aber  ^'  =  0  und  daher  der  Satz: 

Wenn   j    verschwindet    und   Ä  =  0,    so    ist    auch 
-^  =  0   und  /"hat  einen  vierfachen  linearen  Factor. 
Der  Fall  i  =  0  ist  hierbei  zugleich  mit  erledigt;   denn  mit  i  ver- 
schwindet auch  J  und  Ä,  und  i  =  0  führt  also  immer    auf  einen  vier- 
fachen  linearen   Factor  von  /",    sowie   umgekehrt    die  Existenz   eines 
solchen  immer  ^  —  0  macht. 

Hiermit  ist  die  Anzahl  der  besonderen  Fälle  erschöpft,  die  bemi 
Verschwinden  von  a  noch  denkbar  sind. 

§  94.    Typische  Darstellung  der  Formen  fünfter  Ordnung  mittelst 
linearer  Covarianten. 

Es  bleibt  übrig  für  die  Fälle ,  in  denen  31  und  N  nicht  zugleich 
verschwinden,  die  Coefficienten  der  typischen  Darstellung  durch  unsere 
fundamentalen  Invarianten  auszudrücken.  Um  alle  Fälle  zu  umfassen, 
muss  man  einmal 

(1)  g-ß,     7i  =  {ia)'L  =  ß,     n^-M, 
das  zweite  Mal 

(2)  I--«,     -/?  =  (r«)T.,-;^,     D=--N 

setzen;  denn  eine  dieser  Substitutionen  muss  der  Voraussetzung  nach 
möglich  sein.  Beide  Fälle  sind  unter  denen  enthalten,  für  welche  in 
§  91.  die  Coefficienten  iTereits  auf  einfachere  Formen  zurückgeführt 
wurden.     Setzt  man 

(3)  ^=-«,     ri  =  {tci)ta:f     D  =  —  {^ay, 

wo  ijj  irgend  eine  quadratische  Co  Variante  bedeutet,  so  ist 

(4)  B--f==A,l^~-bA,l^ri^l()A.,^'rf--\\)A,^'Yf-\-bA,^^'--A,n, 


*  C4eometriscli :  Die  f ünf /' repräsentirenden  Punkte  sind  cyclisch- 
proj  ectivisch. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covariauten.  —  §§  93,  94.  375 

und  zwar 

^  '  A,  =  D-  C,  +  l)AB^  +  iA^A, 

A,  =  D-  C\  +  D  A  B,  +  \  A^  A„ 

wo  A,  yl„,  A^,  iJ„,  Bj,  Cd,  Cj  die  Formen  werden: 

A^(i>4>y,    A  =  (««)^     A,=:{aa)^(ari) 

(6)  B„  =  iai,f  (««)',  B,  =  {aty- (aay  (an) 
C„  =  («  4>y  (a  ^')-  («  «) ,         C,  =  («  *)^'  {a  tj  (« >?)■ 

Die  Bestimmung  der  letzten  sieben  Invarianten  bleibt  für  i/;  =  i 
und  ^  =  r  auszuführen. 

Es  ist  wesentlich  nur  die  Bestimmung  des  in  beiden  Fällen 
gleichlautenden  Coefficienten  ^4,),  welche  einige  Schwierigkeiten  macht. 
Um  diesen  Ausdruck  darzustellen,  werde  ich  zunächst  einige  der 
Theorie  der  Formen  fünfter  Ordnung  angehörige  Sätze  ableiten, 
welche  sich  den  in  §  75.  gegebenen  anschliessen. 

Die  zweite  U e b e r s c h i e b u n g  von  f  mii  %•  ist 

(ci xf)^  aj  =  {at)  {a  i)  {Iz)  aj  =  (ax)  {a i)  aj  \{ar)  ia:  —  {a l)  rx-|. 

Das  erste  dieser  Glieder  entsteht  aus 

{arf  aJ  =  -  |  Äj  -  i  a  [§  75.  (10).] 

durch  Ueberschieben  mit  /,  und  es  ist  also 

{a  tf  (a  i)  aJ  ij.  =  -  i^-  (j  0  ^^  —  i  ^'  •  («  0  ^'^ 

Dagegen  ist,  ^veil  j  =  —  {aif  aJ ,  das  zAveite  Glied: 
—  {ar)  {aif  a/  t^  =  Ut)jj^  Tr  =  Q 
die  cubische  Covariante  von  j.     Man  hat  also  schliesslich: 

(7)  (aQ-yaJ'  =  -iA.{ji)jJL  +  '^+Q. 

Die  dritte  Ueberschiebung  von  f  mit  «^  bildet  sich  nun 
folgendermassen.     Es  ist,  da  a  —  —  {jiy^jj;: 

aJ  {aaf  =  —  a/  {a  af  ( j  if  {aj)  =  -  aJ  {aj)  j  {aj\  («  i)  +  {a  i)  (j  «)  j  -. 

Von  den  drei  Termen,  welche  die  Ausführung  des  Quadrats  giebt, 
-verschwindet  der  erste  identisch,  weil  er  den  symbolischen  Factor 
(a;)3  enthält  (§  75.).     Es  bleibt  also: 

a/  {a  af  =  —  aJ  (aj)  {a  i)-  {j  af  —  2  a/  {aj)-  {a  i)  («  i)  {j  a) , 

oder,  da  j/  {ja)  =  —  0-,  {ai)-  aJ  =  —j,  4  {«i)  ■=  —  ß: 

(8)  aJ  {aaf  =  -j/  (J^)  {^a)  -  2  aJ  {a  #)-  {aß). 


376  Achter  Abschnitt.     Tyi)i«che  Darstellung  von  Formen 

Betrachten  wir  zunächst  das  erste  Glied  rechts.     Es  ist 

j/  U^)  (^«)  =j,  ij^)  j  (ja)  ^,  -  0>)  a,\. 

Der   erste   Theil   dieses   Gliedes   ist   (ßd^')  d^^d'^-c,    also   Null;    der 
zweite  wird,  indem  man  —  iV'^C/«)  für  '0'  setzt: 

Man  hat  also 

Sodann  hat  man,  um  das  zweite  Glied  in  (8)  zu  erhalten,  nur  (7) 
über  ß  zu  schieben  und  findet: 

aj  ia»f  (aß)  =  -  ^  (ji)  ^J (iß)  +  2i,j,  (jß)  [  +  ^  Uiß)  +  Q^\Qß)- 

Nun  ist: 

jx'  iiß)  iji)  ^jJ  {ii')  iji)  (i'cc)  =  ijx^  {ü')  \  {ji)  (^'«)  -  U^')  (icc)  \ 
=  -iA,jJ{ja)  =  iÄ.^ 
\jj  (iß)  -  i.j.  (jß)  Hji)  -  -js  (jiy  .ß  =  aß, 
ix  {iß)  =  iv  {ii')  {i' «)  =  —  -^  ^  .  «. 
Was  endlich  ^/  {Qß)  betrifft,  so  ist  in  der  Theorie  der  cubischen 
Formen  bewiesen  (§  35.),  dass  für  die  Polare  Q^^  Q,j  der  Ausdruck 

{j'^)j:^^'^y 
gesetzt  werden  kann.    Daher  ist 

QJ{.Qß)  =  iJr)jJ[rß) 

oder,  da  alles  mit  {jrf  Multiplicirte   nach  der  Theorie  der  cubischen 
Formen  identisch  verschwindet: 

fe'  {Qß)  =  (i^)i^  Uß)  T^-  =  U-^)  {ji)  {i^)j^  -fa- 

=  U  '^)  {ji)  ^^  [(i«)  ia^  -  {ji)  (^A 

■=-   (ß't)  (xti)  ir  ta:  +  {CC  t)  Tx  •  «o;  \ 

weil  nun  ferner 

(^r)  {ßi)  4  r.  =  i  [ {^tf  ij  +  {^i)^  tx^  -  {itf  &J] , 

und  nach  der  Theorie  simultaner  quadratischer  Formen 

(^rf  =  0,    {»if^O  (§  57.), 

SO  hat  man 

daher  endlich: 

aj  (ad-y  {aß)  ==  {^B-^Ä^)  ^-ay  +  {Äaß, 
und  aus  (8): 

(9)  aj  {acc)^  =  {^Ä'-B)  d'  +  ay-^Äaß. 

Man  controlirt  die  Coefficienten  dieser  Gleichung,  indem  man  die 
Ausdrücke  {aif(aa)^,  {atf{aaf  auf  doppelte  Weise  bildet. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  94.  377 

Schieben  wir  (9)  noch  einmal  über  a^  so  erhalten  wir 

(10)  a,{aaY=.[^A'-B).S  +  {^~^-^)u, 

WO  b  =^{\f  a)  9-^  die  in  §  74.  so  bezeichnete  lineare  Covariante  ist. 
Nach  den  Formeln  §  75.  (4)  erhält  man  endlich  hieraus  für  den  Coef- 
licienten  A^^iaay  den  Ausdruck: 

Es  hat  keine  wesentliche  Schwierigkeit^  nunmehr  die  Coefficienten 
der  typischen  Darstellungen  zu  berechnen,  welche  man  erhält,  indem 
man  i  oder  x  an  Stelle  von  z/-'  treten  lässt. 

Erste   typische   Darstellung.     4^=1. 
Aus  (10)  folgt,  d'A  ri  =  ß  wird: 

A,  =  {aß){aaf 

Ferner  hat  man: 

B^=={alf{aaf  =  {jaf=-  {%'af  =  -  B 

B,  =  (aif  {a ay  (aß)  =  (jcc)'  (jß)  =  -(^  c<)  {&ß) 

=  -(öß)^-  1  {NA-3IB)  [§  75.  (6).] 

Co  =  {aif  {ai'f  (aß)  =  (««)  =  0 
O,  =  {a  If  {a  ly  [a  ß)  =  {aß)  =  -  31. 

Zweite  typische  Darstellung.     ip  =  r. 
Man  hat  r]  =  y,  B  =  {ay)=  —  N,  A  =  C.     Ferner  aus  (10): 

..(i^._i.>)^^zj^_(j_4^)^:; 

^o  =  {ary(^aaY=.-iAUay  =  iAB.  [§  75.  (10).] 

^i  =  {aTy\aay-{ar)=~iA{jaY{jy)-i{lay(ay) 

M 

=  lA{^a)[^Y)+i^{ya) 

=  I  A  [Sy)  +  ^  (ya)  =  |  (NU- MC)  +  f  N.      [§  75.  (4),  (6).] 

C„  =  {atY  (a  T'f  (a  «)  =  -  I  ^  (Jrf  (jcc)  -  |  (ir)  (ccr)  (ia)  =  |  B. 

C,  =  {ary  {ary  (ay)  =  -  |  Jl  (,/r)^  0»  - 1  {Ir)  (ßr).^»  -  i  {irf  («y) 

=  — |(ir)(ßT)(«}'). 


378  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Nur  der  letzte  Term  bedarf  einer  Bemerkung.  Trägt  man  für  y 
den  Werth  (/«)  t'^  ein,  so  wird 

—  {Ir)  {ax){ly)  =  {ix)  (a r)  {ix)  {ax) 

=  [ixy  (« t7 -  -i  {iaf  {xx'f  =  -BN-  i.  1/C; 

so  dass  endlich: 

BN+MC 

Charakteristisch  ist  für  diese  Darstellungen  vor  allem,  dass 
sämmtliche  Coefficienten  mit  geradem  Index  den  Factor 
B  enthalten.  Man  hätte  dieses  von  vornherein  schliessen  können, 
denn  der  Grad  aller  dieser  Coefficienten  ist  von  der  Form  4/^  +  2,  und 
da  alle  fundamentalen  Invarianten  ausser  B  einen  durch  4  theilbaren 
(h'ad  besitzen,  so  müssen  jene  Coefficienten  nothwendig  die  Form 
B  .  F{Ä,B,  C)  haben.  Dies  ist  von  Wichtigkeit  für  die  Erkennung  des 
Charakters,  welchen  die  Gleichung  /"=  0  hat,  wenn  die  Invariante  B 
verschwindet.  In  diesem  Falle  verschwinden  A^y  Ä.^,  Ä^  und  /"geht  in 
die  Form  über: 

f=a{G  a^  +  K  a^ß'^  +  L  ß% 

Es  ist  also  «  =  0  eine  Lösung  von  f=^0   und  der  übrigbleibende 

Factor  vierter  Ordnung  enthält  nur  noch    die  Quadrate,    so  dass  man 

folgenden  Satz  aussprechen  kann: 

Wenn  Jt  verschwindet,  ohne  dassJfundiVgleich- 

zeitig  beide  verschwinden,  so  ist  a  ein  Factor  von  / 

f 
und  der  Quotient  -V    wird    durch    die    Substitution 

^=-hr  oder  s  —  -^  eine  quadratische  Function  von  s. 

Die  Auflösung  der  Gleichung  /=0  hängt  dann  also  nur  noch 
von  einer  quadratischen  Gleichung  ab. 

Der  obige  Satz  lässt  sich  in  folgender  Weise  umkehren: 

Ist  die  fünfte  Wurzel  einer  Gleichung  fünften 
Grades  eine  Wurzel  der  zu  den  übrigen  vier  Wur- 
zeln als  Wurzeln  einer  biquadratischen  Gleichung 
^  —  O  gehörigen  Form  T^p,  so  verschwindet  B  (vergl. 
§  89.). 

Hierdurch  ist  in  der  That  der  obige  Sachverhalt  ausgedrückt; 
denn  die  Veränderlichen  (oben  «,  ß,  bez.  «,  y) ,  durch  welche  cp  auf 
nur  gerade  Potenzen  reducirt  wird,  sind  die  Factoren  eines  der  drei 
quadratischen  Factoren  von  Tcp,  daher  auch  «,  der  fünfte  lineare 
Factor  von  /",  ein  linearer  Factor  von  Tcp. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §§94,  95.  379 

Um  die  Umkelirimg  zu  beweisen,  können  wir  davon  ausgehen, 
dass  im  allgemeinen  Falle,   wenn  Tg?  den  Factor  |  hat,    cp   die  Form 

qp  =  a  1^  +  6  &  §-  7}?  +  c  7}^ 
annehmen  kann  (§§  48.,  49.);  abgesehen  von  Fällen,  wo  Ttp  identisch 
verschwindet  und  welche  hier  nicht  zu  berücksichtigen  sind,  tritt  eine 
Ausnahme  nur  ein,  wenn  q)  die  Form  ^^  rj  annimmt,  wo  dann  alle 
linearen  Factoren  von  Tg,  gleich  ^  werden.  Man  hat  also  f  nur  unter 
den  beiden  Formen 

f=  a^^  x^^-{-  10  a.,  x^^  jc.^  +  5  «^  x^  x.^^    /*=  5  x^  x.^ 
zu  untersuchen.     Im   letzten  Falle  aber  (§  93.  IV.)   verschwinden  alle 
Invarianten,  also  auch  J?;  der  erste  bleibt  zu  untersuchen.    In  diesem 
Falle  aber  übersieht  man  sogleich  Folgendes:  Durch  die  Substitution 

/  / 

»A/    -i     ■"       ■    tX-<     •  %A/    ,J     ~~^    t/'.)    • 

deren  Determinante  —  1 ,  ändern  die  Formen  ungeraden  Charakters 
ihr  Zeichen ,  geht  also  B  in  —  B  über.  Aber  die  Coefficienten  von  /' 
bleiben  unverändert,  also  auch  B,  mithin  hat  man  B=  —  B  oder  B  =  0, 
wie  zu  beweisen  war. 

Geometrisch  bedeutet  dieser  Fall,  dass  von  den  fünf  Elementen, 
welche  den  Wurzeln  von  f^^O  entsprechen,  eines  ein  Doppelelement 
einer  Involution  sei,  welche  durch  zwei  aus  den  vier  übrigen  gebildete 
Elementepaare  bestimmt  ist. 

Ausser  den  beiden  obigen  Darstellungen  kann  man  noch  eine 
dritte  typische  Darstellung  untersuchen,  bei  welcher  a,  ö  die  Ver- 
änderlichen sind  und  B  der  Nenner  wird.  Diese  Darstellung  hat  den 
besonderen  Charakter,  dass  alle  Coefficienten  durch  B  theilbar  werden, 
so  dass,  indem  man  den  ganzen  Ausdruck  durch  B  dividirt,  rechts 
und  links  nur  noch  ganze  Functionen  von  A,  B,  C  erscheinen.  Ein 
Theil  der  hierbei  auftretenden  Bildungen  wird  im  folgenden  Para- 
graphen zur  Verwendung  kommen. 

§  05.    Darstellung  einer  Form  fünfter  Ordnnug  durch  die  Summe  von 
drei  fünften  Potenzen. 

Ich  werde  im  Folgenden  die  Aufgabe  behandeln* : 

Eine  gegebene  Form  /der  fünften  Ordnung  soll 
in  die  Gestalt  gebracht  werden: 

w^o  ^,  5',  r'  lineare  Functionen  sind. 
Diese  Aufgabe  ist,    wie   man  sehen  wird,    im  Allgemeinen,   und 
zwar  auf  eine  Art  lösbar;  nur  ist  erforderlich,  dass  die  Invariante  C 

*  Sie  ist  in  anderer  Weise  gelöst  in  Salmon,  Lessons,  2^^  ed.  S.  137. 


380  Achter  Abschnitt,     Typische  Darstellung  von  Formen 

nicht  verschwinde,  was  denn  vorausgesetzt  werden  soll.  Ich  werde 
bei  der  Form,  welche  ich  der  Lösung  gebe,  auch  noch  voraussetzen, 
dass  B  nicht  verschwinde. 

In  diesem  Falle  nämlich  kann  man  sich  d  und  a  als  Veränder- 
liche eingeführt  denken  und  kann  daher  die  Gleichung  des  Problems 
in  folgender  Form  schreiben: 

(2)  /•=  ^{d  —  m  a)^-\-K(d-- m  af  +  %"  {8 -  m" af. 

Dass  es  zweckmässig  ist,  gerade  ö  neben  a  einzuführen,  wird 
das  Folgende  lehren. 

Wenn  Avir  auch  links  d  und  a  einführen,  also,  da  {da)  =  R  und 
demnach 

B  .  a^;  —  {aa)  d  —  (ad)  cc 
wird, 

(3)  BKf=[{aa)d-{ad)af 

setzen,  so  erhalten  wir  aus  Vergleichung  von  (2)  und  (3)  die  folgenden 
Gleichungen,  welche  den  Inhalt  des  Problems  vollständig  ausdrücken: 

(aay  =B^(7c       -\-x        +  jc"       ) 

laay{ad)  =  B^  {ycm  +  %  m'  -\- yJ' m"  ) 
{aaf  {adf  =  B^  (xni'  +  xm''  +  K'm"^) 
{aay  {aöY  =  B^  \xm^  +  %  m"'  +  %" m"^) 
(a«)  \a8y  =  B^  (xm^  +  xm'^  +  x"m"^) 
[a dy  =  B^  (x m^  +  x  m"''  +  x" m"'') . 


(4) 


Es  sind  dies  sechs  Gleichungen  mit  ebensoviel  Unbekannten 
Xj  X  j  x\  in,  m  ,  m" ,  um  deren  Auflösung  es  sich  nunmehr  handelt. 

Wenn  man  aus  je  vier  aufeinander  folgenden  dieser  Gleichungen 
die  Grössen  x  eliminirt,  so  erhält  man  die  drei  Gleichungen: 

(5)  M.{aaf==0,     M ,{aa)  {a8)=^0,     M.{ady=^0, 

wo  M  ^en  symbolischen  Ausdruck  bedeutet: 


(6)  M 


{aaf  1  '  1  1 

{aay^  (ad)  m  m  m" 

(aa)   {ady  m^  m'^  m" 

{ady  m^  nP  m" 


Die  Gleichungen  (5)  kann  man   in  eine  einzige  zusammenfassen; 
denn  indem  man  dieselben  der  Reihe  nach  mit 

multiplicirt  und  dann  addirt,  erhält  man 

0  =  -3f .  [(««)  d..-  (ad)  a^Y^M.  a/  .  {ad)\ 


tingerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  95.  38 1 

oder  mit  Hinweglassung  des  Factors  («d)'-  =  i?-,  welcher  als  nicht 
verschwindend  vorausgesetzt  wird : 

(7)  0=3I.aJ. 

*  Diese    Gleichung  ersetzt   die   Gleichungen   (5)  vollständig,  sobald 
man  festsetzt,   dass  (7)  für  alle  Werthe  der  x  erfüllt  sein  solle. 

Wenn  man  in  M  aus  der  ersten  Verticalreihe  den  Factor  {aaY 
herauszieht,  so  geht  der  übrigbleibende  Factor  von  31  in  eine  Deter- 
minante über,  welche  nach  bekannten  Sätzen  das  Differenzenproduct 
der  vier  Ausdrücke 

(aö) 

7 ,     m,     m ,    m 

(« cc)'        '         ' 

ist.  Das  Differenzenproduct  der  7)1  kann  man  auslassen,  indem  man 
diese  als  sämmtlich  verschieden  ansieht.  Multiplicirt  mau  das  Product 
der  übrigen  Differenzen  mit  (a«)^,  so  sieht  man,  dass  man  an  Stelle 
von  M  den  Ausdruck: 

(8)  ■  M'=[ (« d)  -  m  (a a) ]  ]  (a d)  -  m  (a «) ]  [ (a d)  -  m'  (a a) ] , 
und  an  Stelle  von  (7j  die  Gleichung 

(9)  0  =  M\aJ 
setzen  kann. 

Die  rechte  Seite  von  (9)  ist  die  dritte  Ueberschiebung  von  f  mit 
der  Form 

(10)  (p=(d-ma)  (d-ma)  (d-m"«). 

Es  muss  also  9?  eine  solche  cubische  Covariante  sein,  dass  seine 
dritte  Ueberschiebung  mit  f  identisch  verschwindet.  Durch  diese 
Bedingung  oder  durch  die  drei  in  den  Coefficienten  von  q)  linearen 
Gleichungen 

(«90)^^^2  =  0,     (^acpy  a^a.2  =  0,     (<7  qpj^  «g^  =  0 , 

ist  aber  q)  bis  auf  einen  constanten  Factor  völlig  bestimmt;  und  da 
andererseits,  wie  aus  §  75.  bekannt  ist,  die  Covariante  j  diesen  Be- 
dingungen genügt,  so  kann  man 

setzen. 

Die  Grössen  m,  w',  m"  sind  also  die  drei  Wur- 
zeln der  cubischen  Gleichung,  welche  entsteht, 
wenn  man  in  J  =  0  die  Veränderlichen  d,  a  einführt 

und  dann  —  als  die  Unbekannte  betrachtet. 
a 

Da  man  die  m  als  verschieden  voraussetzt,  so  darf  die  Discrimi- 
nante  C  der  Gleichung  j  =  0  nicht  verschwinden. 


382  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  l'ormen 

Die  Argumente  der  drei  in  dem  Probleme  geforderten  fünften 
Potenzen  sind  also  die  linearen  Factoren  von  j]  indem  wir  sie  in 
der  Form 

d—ma,     d—nta,     d—m"a  * 

annehmen^  haben  wir  die  absoluten  Werthe  ihrer  Coefficienten  fixirt; 
es  bleibt  dann  übrig,  die  Coefficienten  %  zu  bestimmen.  Hierzu  führen 
die  drei  ersten  Gleichungen  (4),  nachdem  durch  Erfüllung  von  (5) 
die  drei  letzten  Gleichungen  (4)  Folgen  der  drei  ersten  geworden  sind. 
Dieselben  geben  die  %  linear  und  also  eine  eindeutige  Lösung  der 
Aufgabe. 

Um  nun  die  cubische  Gleichung  aufzustellen,  müssen  wir  in  j 
die  Veränderlichen  d,  a  einführen.     Es  ist 

w^o 

^1  =  u^y  US) 

J.  =  Ci«)  {jSf 
Js  =         USf. 

Da  nun  nach  §  75. 
so  ist 

J,  =  0«)'  US)  =  -  (»«)  (»e)  =  -  idd)  =  0 

oder  da  d  =  [%•  a)  -O-^r : 

J^  =  -  (J^d)  (^^0  (^'a)  =  -  -1-  (^^0'  (da)=-^NR.     [§  75. [8].] 

Es  bleibt  noch  J^  zu  bestimmen.  Nun  ist  mit  Benutzung  des 
Ausdrucks  von  d: 

Js = ü^y  ü>)  (^«) = (i^)  o>)  [0>)  (^^)  +  ü^)  f^^)]' 

oder  wenn  man  im  ersten  Theil  wieder  =-9'  für  jj(ja)  einführt: 
J3  =  -  (^'d}  [&d)  (^'^)  +  R  .  (jd)  (j^y. 

Der  erste  Theil  verschwindet  identisch,  da  er  bei  Vertauschung 
von  d"  und  !>'  das  Zeichen  wechselt;  sodann  aber  ist,  indem  man  für 
d'  seinen  Werth  ^  —  (ir^ia^Ta,  einführt: 

=  (iO(i^)!0>)G^)+0'0(<^^)!. 

Hier  verschwindet  nun  rechts  der  erste  Theil  nach  der  Theorie 
der  cubischen  Formen,  weil  er  den  symbolischen  Factor  (jry  enthält; 
der  zweite  enthält  den  Factor  {jiy  und  wird  also,  da 


nngeradpr  Orclnnng  mittelst  linearer  Coviiriant^n.  —  §  06.  383 

ist: 

=  (ar)  (dt)  =  {öy)=^\  {NB -MC).         [§  75.  (6).] 

So  ist  denn 

J,  =  ^{NB-MC),      - 

und  die  Darstellung  von  j  wird  mit  Uebergehung  eines  Factors  B: 

nm  T?2  ■  A3      '"^^^A   "     NB-MC\ 

(10)  H'' j  =  —  d-^ ^-oß- ^ «^. 

Die  Grössen  m,  m\  m"  sind  also  die  Wurzeln  der  eubisclien  Gleichung 

,,,.  ,   ,  ^N       ,  NB-3IC      ^ 

(11)  m^  +-2~  m^ ^ =  0. 

Die  einfache  Form  dieser  cubischen  Gleichung  ist  es,  welche  es 
zweckmässig  erscheinen  lässt,  gerade  die  Covariante  d  neben  «  in  dem 
Ausdrucke  des  Problems  einzuführen. 

Setzt  man  für  die  Wurzeln  der  Gleichung  (11)  die  Ausdrücke: 

(£3=1) 


(12) 

m^''>=£^U  +  £'^^Vj 

SO  wird 

NB -MC 

(13) 

U     -j-  V    —                                  - 

N 

uv==-^, 

daher 

oder  wenn  man  bemerkt,  dass  nach  §  75.  (7) 

^j     AC-B' 

ist: 

{n^-v'y2^:^[(NB-MCy  +  N^AC-B-')li  .       ' 

=  ^{M''C-23INB  +  N'A) 

=  -^  [§75.(1).] 

Es  ist  also 

3 


(14) 


NB -MC     Bj/     C 

4  "^2^        2 


V  =  j/     NB^^MC     Bj/~~C 
^  4  2^        2^ 


wo   die  Cubikwurzeln  durch   die   zweite  Gleichung   (13)    an   einander 
gebunden  sind. 


384  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Da  durch  (12),  (14)  die  Grössen  m  völlig  gegeben  sind,  so  bleibt 
es  übrig,  die  linearen  Gleichungen  zur  Bestimmung  der  ti,  die  drei 
ersten  Gleichungen  (4)  noch  genauer  zu  untersuchen.  Mit  Benutzung 
der  Gleichungen  §  94.  (9),  (10)  und  §  75.  (3),  (4),  (6)  erhält  man 
sofort : 

(«r.)3(ad)^=^. 


R 


Daher  werden    endlich,    nach  Division    mit  R,    die  Gleichungen 
zur  Bestimmung  der  %: 

'      B'^iK      -^K        +x"       )  =  ^A'-B 

B^(Km  +z  m    +%  m   )  =  —^ 2 

B^{%m^+K'm''''-^K  m'2)  =^^ 
wodurch  x,  k,  %"  in  einfachster  Weise  vollkommen  gegeben  sind. 


§  96.  Behandlung  des  Falles,  wo  C  =  0.  Ueber  die  Lösnng  der  Grleichnng 
fünften  Grades  für  diesen  Fall.* 

Ich  werde  jetzt  untersuchen,  wie  die  Betrachtungen  des  vorigen 
Paragraphen  sich  modificiren,  wenn  C  verschwindet.  Lässt  man  C 
gegen  Null  convergiren,  so  geht  die  Gleichung  (11)  des  vorigen  Para- 
graphen, mit  Vernachlässigung  von  C^,  in 


(1) 


0  =  (m-J5)(m-f|j  -}-^(m-B) 


über  und  die  drei  Wurzeln  der  Gleichung  werden  also 

m  =^B 

(2)  2^ 

wo  CO  die  gegen  Null  convergirende  Grösse 


(3)  -=J/-^ 


C 


bedeutet.  Sodann  verwandelt  sich  (immer  vorausgesetzt,  dass  R  nicht 
verschwindet)  die  Gleichung  (2)  des  vorigen  Paragraphen  mit  Ver- 
nachlässigung höherer  Potenzen  von  co  in: 


*  Vgl.  eine  Mittheilung  des  Verf.,  Göttinger  Nachrichten  1871,  S.  103. 


itngeiMclcr  Oulming  mittelst  linearer  Covarianton.  —  §§  95,  9G.  385 

/-=  X  (,y  -  Baf  +  (x'+  ■/■)  (d  +  ^J 

-5(«'-0"-(ö+^/.«, 
oder  wenn  man 

(4)  K  +  y:'=-^A^     (yc'-x")a  =  -^ 
setzt j  in: 

(5)  f:=.K(d-Bar-[-x(^d+^j+b^a.(^d+^y- 

Die  Grössen   x,  ?.,  ^i  aber  werden  aus  den  Gleichungen  (15)  des 
vorigen  Paragrai^hen  bestimmt,  welche  nun  die  Gestalt  annehmen 

Inzwischen  wird,  da  (7=0: 
^j      AC-B'         B' 

^=- 2 — =~Y 

^^  M  =  2AB-3C=2ÄB 

Ii'  =  -^{Am-2BMN+CM^)=-lAB^', 

und    indem   man  nur   für   den   letzten  Ausdruck  der  Kürze  wegen  Pi- 
beibehält,  kann  man  die  Gleichungen  (G)  durch  folgende  ersetzen: 


2A^B  , 

B'~ 

"      3       ' 
2A^B 

4 

Da  der  Voraussetzung  nach  E  niclit  verschwindet,  so  können 
i\ach  (7)  auch  yl  und  B  nicht  verschwinden,  und  die  letzte  Gleichung 
durfte  daher  durch  B  dividirt  werden.  Die  Gleichungen  geben  auf- 
gelöst: 

R'x  =  i  A^ 

B^l  =  -B 

IM  ^' 

B^ii=^. 

Man  hat  also  für  /"  in  diesem  Falle  den  folgenden  einfachen 
Aus^Jruck : 

C  leb  sei),   Theorie  der  hinäreii  algebr.  Fonuen,  25 


j(*+|«)-(<5-i?«)j; 


386  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung'  von  Formen 

Nun  ist  aber 

setzt  man  daher 

(9)  d-Ba  =  ^,     ö  +  ^a  =  7j, 

so  nimmt  die  Form  fünften  Grades  die  Gestalt  an: 

(10)  i?v=i^^l-^-f5N*-|'j'- 

Dieses  ist  die  Form,  auf  welche  mittelst  einer  höhern  Substitu- 
tion Jerrard  jede  Gleichung  fünften  Grades  zu  bringen  gelehrt  hat, 
in  welcher  nämlicli  die  Terme  §^7^,  ?^^'^?  1^ '>?^  fehlen.  Es  geschieht 
dies  also  im  vorliegenden  Falle,  wo  (7=0,  mit  Hilfe  einer  linearen 
Substitution,  und  man  kann  den  Satz  aussprechen: 

Wenn    die   Invariante   G  verschwindet,    so   geht 
die   Form   fünfter   Ordnung  durch   die  Substitution 

Ba 


in  die  Form 


über,  in  welcher  drei  Glieder  fehlen. 
Hermite  hat  die  Gleichung  fünften  Grades 

(11)  x^-x-a  =  0 

mit  Hilfe  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  in  transcendenter 
Weise  auflösen  gelehrt*  In  dieser  Weise  ist  also  jede  Gleichung 
fünften  Grades  auflösbar,  für  welche  die  Invariante  C  verschwindet, 
indem  f=0  aus  (10)  durch  die  Substitution 

in  die  Gleichung  (11)  übergeht,  während  zugleich 
(13)  «  =  i//5^-- 


*  Mit  Hilfe  des  Jerrard 'sehen  Satzes,  dass  mittelst  einer  höhern  (Tschirn- 
hausen'schen)  Transformation  und  mit  Auflösung  von  Gleichungen,  deren  Grad 
den  dritten  nicht  übersteigt,  jede  Gleichung  fünften  Grades  in  die  Form  (11) 
gebracht  werden  kann,  löst  Hermite  auch  die  allgemeine  Gleichung  »fünf- 
ten Grades.  Doch  ist  für  den  algebraischen  Theil  der  Untersuchung  eine  voll- 
ständige Darstellung  für  jetzt  noch  nicht  möglich. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §§96,  97.  387 

Die  Gleichung  (U)  führt  leicht  auf  den  allgemeinen  Ausdruck  der 
Discriminante  einer  Gleichung  fünften  Grades.  Denn  da  diese  in  den 
Coefficienten  nur  vom  achten  Grade  ist,  so  kann  sie  C  nicht  ent- 
halten, wird  also  nicht  geändert,  wenn  man  C  verschwinden  lässt. 
Man  kann  diese  Discriminante  also,  ohne  die  Allgemeinheit  zu  be- 
einträchtigen, aus  der  Form  (H)  bilden.  Soll  die  Gleichung  (11) 
aber  zwei  gleiche  Wurzeln  haben,  so  muss 

also 

a*  =  —^ 

sein;    und    indem    man    hier    den   Werth    von    a    aus    (13)    einführt, 
hat  man 

so   dass  Ä-—-ß4iB  die  Discriminante  ist,    wie   oben  S.  354  gefunden 
wurde. 


§  97.    Typische  Darstollinig  zweier  simiiltaiieu  Foriiieii  zweiter  und  dritter 
Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten. 

Die  in  §§  90 — 92.  auseinandergesetzten  Principien  der  Einführung 
linearer  Covarianten  und  der  Untersuchung  über  die  Möglichkeit, 
gegebene  Formen  linear  in  einander  zu  transformiren,  mögen  nun 
noch  auf  einige  Beispiele  simultaner  Formen  angewandt  werden. 

Das  einfachste  Beispiel  bildet  die  simultane  Untersuchung  einer 
quadratischen  (/")  und  einer  cubischen  Form  (9).  Das  Formensystem 
ist  für  diesen  Fall  in  §  59.  entwickelt  worden;  ich  beziehe  mich  auf 
die  dort  gebrauchten  Bezeichnungen.  Es  wurde  dort  gezeigt,  dass 
die  vier  linearen  Covarianten 

(1)       p^-iaafa,.,     q^{hp)h,,     r  =  {aQYQ,,     s  =  {hr)K 

die  Determinanten  besitzen: 


(iJ2)  = 

^{apY^- 

'F, 

(pr)-- 

^L  = 

2 

(i'Ä)  =  . 

-iir)-- 

M, 

{qs)  = 

DL 

2    ' 

t 

(>•«)=■ 

-N=EL 

1 

2 

FB. 

(2) 


Zwischen   den    fünf- fundamentalen   Invarianten  Z),  E,  -F,  B,j  M 
besteht  die  einzige  Beziehung 

(3)  M'=^-^\DU-2ELF-^RF% 

Man    sieht    daraus,    dass    die    sechs,    aus    den    Coefficienten    der 
linearen    Covarianten    gebildeten    Invarianten    (2)    immer    sämmtlich, 

25* 


388  Achter  Abschnitt.'    Typischo  Dar^tolhin«^  von  i'orm^ri 

und  nur  dann  silmmtlicli  verschwinden,  wenn  F  und  L  verschwinden. 
Man  hat  daher  den  Satz: 

Typische  Darstellungen  der  simultanen  Formen 
fj    cp    mittelst    linearer    Covarianten   sind   nur   m()g- 
lich,  so  lange  die  Invarianten  i^,  L  nicht  beide  ver- 
schwinden. 
Und 

Eine    quadratische    Form    /   und    eine    cubische 
Form   cp   können   immer  mittelst   typischer    Formen 
"    gleichzeitig    in    zwei    andere    Formen    fj    cp'    linear 
übergeführt    werden,    so    lange    die    absoluten    In- 
varianten   beiderseits    gleich    sind,    und    die    Inva- 
riantenpaare   Fj    F'    und    L,    L'    nicht    gleichzeitig 
verschwinden. 
Untersuchen    wir    zunächst,    was   das   gleichzeitige  Verschwinden 
von  F  und  L  für  die  Formen  f,  cp  aussagt.    Es  ist  L  nichts  anderes, 
als  die  Resultante  von  /'  und  A ;  daher  müssen  f  und  A  einen  Factor 
gemein  haben,  vorausgesetzt,  dass  nicht  etwa  A  identiseli  verschwin- 
det,   also    cp    ein    vollständiger   Cubus    ist.       Unterscheiden    wir    also 
folgende  drei  Fälle: 

1)  f  ist  kein  Quadrat,  cp  kein  Cubus. 

2)  f  ist  ein  Quadrat,  cp  kein  Cubus. 

3)  q)  ist  ein  Cubus. 

1)  Im  ersten  Falle  sei  f=2x^x,^j 

cp  =  a  X{^  -\-^  ß  x^  x.^-\-'^y  x^  x.^.  +  ö  x.^. 
Man  hat  dann* 

l^  =  2\{ay-~ß')x;'-^{ad-ßy)x,x,  +  {ß8~f)x.^\ 
p  =:^-2{ßx,+yx.,). 

Daher  wird 

F=(apy  =  ~-Sßy  =  0, 

und  ausserdem,  da  A  mit  cp  einen  Factor  gemeiu  haben  soll, 

{ay-ß-^){ßd-f)  =  0. 

Hieraus  folgt,  dass  entweder  ß  und  a'y^,  oder  'y  und  d  ß^  ver- 
schwinden muss,  also  entweder /3  =  (),  'y  =  Oj  oder  /3  =  0,  «  =  0,  oder 
y  =  0,  d  =  0.     Dieses  führt  also  auf  folgende  Fälle: 

1.  /'stimmt  mit  der  quadratischen  Co  Variante  von  cp  bis  auf  einen 
numerischen  Factor  überein  (/3  =  0,  ;^  =  0). 

2.  q)   hat   einen  Doppelfactor,    welchen  f  zugleich  einfach  besitzt. 

2)  Ist  /  ein  Quadrat,  so  sei  f=x^, 

(p  -^.  a  x^  +  3  ß  x^  x.^  +  3  y  x^  .x'/  +  8  .^/. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  D7.  389 

Es  wird 

p  ■='y  X^-{-  Ö  X.^  j  m 

daher    geht    F  =^  {^pf  =  0   in   ö  =  0,    L  =  0  iu  ßd  —  y*  =  0^   also  in 
y  =  0  über.     Dies  führt  auf  den  zweiten  Fall  von  1.  zurück. 
3)  Ist  (p  ein  Cubus,  so  sei 

/'=  a  x^"  -\-2h  Xj^x.^-\-  c  x./f     (p~  x^^ ; 

man    hat   A  =  0,    so   dass   die  Gleichung  L  =  0  von  selbst  befriedigt 
ist,  und  •        , 

2)  =  cXij      F=c^j 

also  c  =  0.     Mithin   ist  der  dreifache  Factor  von  (p  zugleich  einfacher 
von  f\  und  auch  dies  ist  unter  dein  zweiten  Falle  von   I.  enthalten. 
Man  hat  also  den  Satz: 

Das  gleichzeitige  Verschwinden  von  F  und  L 
tritt   immer   und  nur  in  folgenden  zwei  Fällen  ein: 

1)  wenn  /'sich  von  der  quadratischen  Co  Variante 
von  (p  nur  um  einen  numerischen  Factor  unter- 
scheidet*; 

2)  wenn  cp  einen  Doppel factor  hat,  welcher  zu- 
gleich einfacher  Factor  von  /'ist. 

In  allen  andern  Fällen  ist  also  eine  typische  Darstellung  mittelst 
linearer  Covarianten  möglich;  in  allen  andern  Fällen  zieht  die  Gleich- 
►  heit  der  absoluten  Invarianten  zweier  analoger  Systeme  immer  auch 
die  Möglichkeit  der  linearen  Transformation  nach  sich. 

Wir  haben  daher  zwei  typische  Darstellungen  zu  untersuchen, 
von  denen  immer  eine  möglich  ist,  so  lange  überhaupt  von  einer 
typischen  Darstellung  gesprochen  werden  kann.  Bei  der  ersten  sind 
p  und  g,  bei  der  andern  p  und  r  die  neuen  Veränderlichen. 

Erste  typische  Darstellung. 
Man  hat 
(4)     F^^'f  =  {^ipf  '(i'-^2  {ap)  {aq).pq-^{a  qf  .  f 
^    '      F^.q}  =  {cc2^y .  q^—o  {apf  {aq)  .p(f  -\-^ (ap)  (« qY-P^q  —  (« qf  •  p^- 

Nun  ist 
{apf=F,     {ap){aq)  =  {q-q)==0, 
(aqY  =  iah){ac)  (hp)  (cp)  =  },\{abf{cpY+{acy{bpy—  {hcf  (ap)-\  =  ^- 


*  Geometrisch:   Die  Punktgruppe  von  qp  ist  zu  der  von  /  cyclisch- 
projeetivisch. 


390  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Die  erste  Gleichung  (4)  giebt  also  nach  Division  mit  F: 

(5)  F.f=cf-\--^p\ 

Auf  dieselbe  Weise,  wie  soeben  der  Coefficient  (ag)'-^  umgestaltet 
wurde  findet  sich  auch: 

{a qY  aj,  =  (a a)  {a h)  {ap)  (hp)  a^=^\{a a)-  {hpf  +  {a hf  {apf 

—  {ahYiapyi  ^x 
■■=F  .p-\B.{apfa^r 

und  daher 

-  {aqY{ap)  =  ^^B,{apf 

^^  (aqf  =-F'--^^D.{apf{aq), 

so    dass    die    beiden    letzten   Coefficienten   des  zweiten  Ausdrucks  (4) 
hierdurch  auf  die  beiden  ersten  zurückgeführt  sind. 

Was  nun  diese  beiden  Coefficienten  angeht,  so  erhält  man  sie 
leicht  durch  Betrachtung  des  Ausdrucks  {apy^  ajc.  Indem  man  für  ein 
p  seinen  symbolischen  Ausdruck  setzt,  hat  man 

{apf  «.,  =  {aß)  {ap)  {ßaf  a,  =  (aß)  (ßa)  \{aa)  (ßp)  +  {aß)  {pn)\  «,. 

Vertauscht  man  im  ersten  Theile  rechts  a  mit  ß,   so  kann  man  hier- 
für setzen: 

(7)  {ap)'  a,  =  {a  ßf  \  {ß  a)  {p  a)a,-^^  {ß  a)  {a  a)  p  j 

Den  ersten  Theil  dieses  Ausdrucks  kann  man  nun  auf  r  zurück- 
führen, indem  man  nach  §  59.  (7)  r  in  der  Form 

r  =  (pA)A^ 
benutzt.     Es  wird  dann 

(A  a)  {p a)  Ar  ==  (A ay^p  +  (A a)  {p  A)  a^ 
=  Ep  -f  {ra)  ax  =  Fp  —  s, 
und  also  aus  (7) 

(8)  {apf  «^  =  iEp-s. 

Schiebt  man  diese  Form  über  p  oder  g,  und  benutzt  die  Gleich- 
ungen (2),  so  erhält  man: 

{ap)'^  =  —  {sp)  =  —  M 

^  ^  {apy  {aq)  =  iE  {pq)  -  {sq) ^ 5 

daher  auch  aus  (6) : 

(aqY{ap)=^DM 
(10)  («g)3         -~=--F^-{B{DL-EF). 

Und  die  typische  Darstellung  von  cp  wird  also : 


ungei-ader  Ordnung  mittelst  linearer  Co  Varianten.  —  §  97.  391 

(11)  F^(p^-Mq^-l{PL-EF)pq^-\-^BMp^Ci 

+  (^F-^  +  ^[DL-EF])pK 

Setzt  mau  noch  der  Kürze  wegen 

(12)  P=DL-EF, 

so  sind  alle  Coefficienten  der  typischen  Ausdrücke  (5),  (11)  rationale 
Functionen  von 

(13)  F,  31,  P,  B, 

und  man  hat  also  den  Satz: 

Alle  simultanen  Invarianten  von  /'und  cp  lassen 

sich    durch    F,    31,    P,   D  rational   ausdrücken^    und 

zwar    so,    dass    nur    eine    Potenz    von   F  im   Nenner 

steht. 

Es   ist  leicht,   dies   durch  Angeben   der  wirklichen  Ausdrücke  zu 

bestätigen.     Denn  nach  (3)  ist 

-2M'D=^{DL-  EFf  +  {DB-  E')  F\ 

oder        "^ 

-2]\F~D  =  P'  +  2LF'. 

Daher  hat  man  zunächst 

(14)  X^-^^^i^. 

aus   den  Gleichungen 

P=DL-EF,    3r'  =  -i{I)r^-2FLF+RF^) 

aber  findet  man  weiter 

^.     DL-P       ^     2ELF-2]\r—BU 
(lo)  ^  =  —y      ,     ^  =-■ ^2 > 

so    dass,    wenn   man    den   Werth    von  L   aus  (14)   einsetzt,    wirklich 
alles  durch  die  Grössen  (13)  auf  die  angegebene  Weise  ausgedrückt  ist. 

Zweite  typische  Darstellung. 
Führt    man   die   linearen  Covarianten  p  und  r  ein,    so  hat  man, 
da  (j>r)  =  L  die  Determinante  der  Substitution  ist : 

LKf  ^  i^pf  r-  -  2  [ap)  {ar)p  r  +  {arfp' 


(16) 


—  Z3  .  g)  =  {apf  r^  -  3  {apf  {ar)  r^p  +  3  (ap)  {arY  r p^  -  {cc  rf  p\ 


Unter    den    Coefficienten    von    f  sind    iapf  —  F,    {ap){ar)  =  M 
schon  bekannt;  ferner  aber  ist  [vgl.  (2)J,  da  s  =  (a>*)«^: 

(^arY=:{sr)  =  N, 
Für  f  erhält  man  also  den  Ausdruck : 
(17)  U  f=Fr^-2  Mp  r  +  NpK  ' 


392  Achter  Abschnitt.     Typische  DarsteUnng  von  Formen 

Von  den  Coefficienteii  des  Ausdrucks  für  9?  erliiilt  man  die  beiden 
ersten  sofort,  indem  man  2>  oder  r  über  die  Gleichung  (8J  schiebt;  es 
wird  dann 

(18)  (apf^^-M,     (apy{ar')'-^^(pr)-(isr)=^^EL~N. 

Um  die  beiden  andern  Coefficienten  zu  finden,  entwickelt  man 
die  Form  (^urj'^  a^.     Nimmt  man  r  in  der  Form 

so  ist 

(arf  «^.=  (aA)  («  A')  (pA)  {pA'},a^r 

=  (a  Af  (p  AJ  a,  -  1  (A  A' j^  (apf  a, 

da  der  mit  dem  Symbol  («A)^  behaftete  Tlieil  nach  der  Theorie  der 
cubischen  Formen  identisch  verschwindet. 
Nun  wird  daher: 

(«  ry  {a  p)  -.  ^  (s2))  =  -^—  , 

Und  somit  wird  die  typische  Darstellung  von  cp: 

(19)  -L'\(p  =  -31  r^  -  3  (^  -  N\pr'  +  ^  11  Mp'r 

+l(¥--)-  ' 


§  08.    Typische  BarslcUung  zweier  siimiltaiien  culiischeii  Formen. 

Zwei  simultane  cubische  Formen  besitzen,  wie  in  §  61.  gezeigt 
wurde,  im  Gänzen  acht  lineare  Covarianten.  Wenn  alle  diese  "bis 
auf  constante  Factoren  identisch  sein  sollen,  so  dass  eine  typische 
Darstellung  mittelst  linearer  Covarianten  nicht  mehr  möglich  wird, 
so  müssen  die  sämmtlichen  Unterdeterminanten  des  Ausdrucks  2  Q^ 
[§  61.  (12)1  verschwinden;  denn  dieselben  geben  nach  den  Gleichungen 
(19),  (22)  desselben  Paragraphen  die  aus  den  Coefficienten  der  Aus- 
drücke p,  it  und  der  linearen  Formen 

(A;t)A.^,     (0:r}0^,     (V7r)V.r 

(Ai9)A,,     (0p)  0.,,     (ViOV. 

zusammengesetzten  Determinanten.  Es  ist  leicht  zu  zeigen,  dass  dann 
überhaupt  die  acht  linearen  Covarianten  sich  höchstens  noch  um  con- 
stante Factoren  unterscheiden  können. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Co  Varianten.    —  §§97,  98.  393 

Erstlicli  verschwindet  dann  auch  Q,  also  (p7c).  Verschwinden  beide 
Covarianten  j^;,  7t  identisch,  so  verschwinden  auch  alle  anderen  sechs 
linearen  Covarianten  [vgl  §  61.  (10)J.  Verschwindet  nur  eine,  etwa  2^, 
so  bleiben  die  Covarianten 

7C,     (7rA)A,,     (:rV)V.„     (:rA)(AV)Vx. 

Aber  weil  (7tAy-  =  0,  (7rV)-  =  0,  so  sind  die  Ausdrücke  (jrAjAj  und 
(;rV)Va-  entweder  Null,  und  also  auch  (:;r  A)  (A  V)  Vj- =  0,  oder  sie 
sind   von   it   nur-  um   einen   constanten  Factor  verschieden,    also  etwa 

(7t  A)  A.r  ^  iil'  Tt , 

daher  auch 

{7t  A)  ( A  V  j  V..  =  m  ( ;r  V)  Vx , 

also  auch  diese  Covariaute  nur  um  einen  constanten  Factor  von  7t 
unterschieden.  Verschwindet  auch  p  nicht  identisch,  so  reduciren 
sich  ebenso  die  Covarianten 

O.A)A,,     (2)V)V,.,     O.VJ(VA)A, 

auf  p.  In  allen  Fällen  giebt  es  also  nicht  zwei  lineare  Covarianten, 
welche  sich  um  mehr  als  einen  constanten  Factor  unterscheiden. 

Untersuchen  wir  nun  den  Inhalt  der  in  dem  Verschwinden  der 
Unterdeterminanten  von  2  Q-  enthaltenen  Bedingungen  genauer.  Wir 
unterscheiden  drei  Fälle. 

1.  Die  Discriminante  einer  der  beiden  Formen  /'  und  cp  sei  von 
Null  verschieden.     Man  kann  dann  setzen: 

f=  x^  +  ^i  ,     (p  =  a  x^  -{-^tl)  x^  .r^,  -}-  3  c  x^  x}  +  ä  x.^, 
also 

ä,  =  2x^x^,     Q—c x^-  +  {a  +  d)  x^x^-^h  x./, 

V  =  2  1  (ac  -  ¥)  Xj^  +  (ad -hc)x,x.,-\-  {hd -  c-)  x.^\''y 

p  =  —  2(bx^  +  c  x.^. 

Daher  verwandelt  sich  die  Gleichung  (A  2>)- =  0  in  hc  =  Oj  und 
wenn  also  etwa  ^  =  0  ist,  geht  Q  =  0  in  c  —  O  über.    Man  findet  also 

(p  =  a  Xj^  +  d  x/. 

Da  zugleich  Q  =  x^^  —  x./,  so  ist  (p  eine  lineare  Combination  von 
/'  und  Q.  Daher  kann  in  diesem  Falle  eine  lineare  Covariante,  welche 
zugleich  eine  solche  für  /'  allein  sein  müsste,  nicht  existiren. 

2.  Die  Discriminanten  beider  Formen  verschwinden,  aber  we- 
nigstens eine  der  Formen  ist  kein  Cubus.    Man  kann  setzen: 

f=  3  x^^  x.yy     cp  =  a  x^  +  3  Z)  X{-  x.,  +  3  c  ^^  x^-  +  d  x.^ , 


also 


A  =  —  2  x^~,     ^  =  —  21)  x^-  —  c  x^x.^-\-  dx.2^j 
=  {2  («c  -  h')  x^  +  {ad  -he)  x,  x.,  -\-  {hd-c')  a;/} 
p^ —2{cx^-\-dx.,), 


394  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellimg  von  Formen 

Die    Glöichimg    (Ajp)^  =  0    reducirt   sich   auf  ^==0,    und  sodann 
Q  =  0  auf  c  =  0.     Daher  ist  wieder  p  =  0,  und  q)  hat  die  Form 


(p  =  ax^^  +  31)  x^ 


'2' 


Da  diesmal  Q  =  2x^^^  so  ist  wieder  cp  eine  lineare  Combination  von 
/*  und  Q]  wie  oben. 

3.  Beide  Formen  sind  Guben.    Dann  verschwinden  A  und  V,  also 
auch  p  und  tc  und  alle  anderen  linearen  Co  Varianten. 
Man  kann  also  folgenden  Satz  aussprechen: 

Die  typische  Darstellung  zweier  cubischen  For- 
men fy  cp  mittelst  linearer  Covarianten  ist  nur  un- 
möglich, sobald  die  ersten  beiden  linearen  Co- 
varianten py  7t  identisch  verschwinden;  und  zwar 
geschieht  dies  in  folgenden  beiden  Fällen: 

1.  Wenn  eine  der  Formen  eine  lineare  Combi- 
nation der  andern  und  ihrer  cubischen  Covariante 
ist.* 

2.  Wenn  beide  Formen  Guben  sind. 
Abgesehen    von    diesen    Fällen    führt    also    bei 

z'wei  Paaren  von  cubischen  Formen  f,  (p  und  f\  cp' 
die  Gleichheit  der  absoluten  Invarianten  die  Mög- 
lichkeit mit  sich,  die  Formenpaare  linear  in  einan- 
der zu  transf ormiren. 

Von  besonderm  Interesse  ist  hier  offenbar  die  Darstellung  der 
typischen  Form  durch  p  und  jr;  diese  allein  werde  ich  untersuchen. 
Da  [p7t)  =  —2Q,  so  hat  man  die  Formeln: 

-SQKf={a7tY.p^-3{a itf  {ap) .f  7t  +  3{a7t) {apf  .p it' - {apf .  n^ 
^^   -d>QK(p==[a%)Kp^-?,la%f[ap).p^%  +  ?>{ait){ap)\p%^-\ap)\%^^ 

und  es  bleiben  also  zum  Zwecke  der  typischen  Darstellung  die  acht 
Coefficienten  rechts  zu  untersuchen.  Aber  es  ist  leicht  zu  zeigen, 
dass  die  acht  Coefficienten  dieser  Formen  sich  auf  eine  viel  geringere 
Zahl  reduciren.    Es  ist  nämlich  mit  Benutzung  der  Formeln  §  61.  (5): 

(a 7t)  a^2  +  ^ap)  a^^  =  2  (0  af  [aa)a>,^  +  2  (0 af  {a a)  a^^ 

=:2(a«)  j(0«)2a/-(0«)2ß^2j_2(a«)2  0^{(0«)a.,+(0a)^^j 
=  4(00O0.0'.  =  O. 

Aus  der  Gleichung 

(a  7t)  aj  +  (ap)  aj  --=-  0 
folgt  aber  sofort: 


*  Geometrisch:    Die  Punktgruppen    beider    Formen    sind    zu    deni' 
selben  Punktepaar  cyclisch-projectivisch. 


ungerader  Ordnung  mittels-t  linearer  Covarianten.  —  §  98.  395 

(a  Tty  (ap)  +  (a  %)  {apj  =  0 

Man  kann  also  setzen: 

(jcc7t)^  =  A,     —  (a7ty(ap)  =  (^a7ty  =  B, 
(2)  (a  7t)  (apf  =  -  (a  nf  (ap)  =  C, 

-(apy  =  ia7t)(apy-  =  D,     -(apf^E, 

und  die  Gleichungen  (])  verwandeln  sich  in  die  folgenden: 

-SQKf  =  Bp^  -\.^c  i)'7t  +  3  Dp  Tt^  +  Eit^ 
y^^  -^Q.K(p  =  Ap^  +  '^Bp^7i^?>C  p7t^-\-D%\ 

Man  kann  daher  den  Satz  aussprechen: 

Die  beidenAusdrücke— SQ^/'und— SQ^T?  stellen 
sich  dar  als  die  durch  4  dividirten  nach  p  und  n 
genommenen  Differentialquotienten  der  biquadra- 
tischen Form: 

(4)      F-^  -  8 Q3  (/-jr  +  (pp)  =  A p^-\-  4Bp>^7c +  6Cp^7t'^ 

+  4:Dp7i'  +  E7c\  — 

Man   kann   beweisen,    dass  hierin  die  einzige  Lösung  der  folgen- 
den Aufgabe  enthalten  ist: 

Man  soll,  wenn  zwei  cubische  Formen  f,  cp  ge- 
geben sind,  zwei  lineare  Functionen  |  und  r]  so 
finden,  dass,  wenn  man  sie  als  Variable  einführt, 
(p  und  f  die  Differentialquotienten  einer  Form  F 
nach  I  und  r]  werden. 

Ist  nämlich 

1=1^x^  +  1^  X.2 

so  hat  man  nach  den  Bedingungen  der  Aufgabe: 

dF    ,  dF^     ^J^    t      ,     / 

dF        dF         oF     ^      ^      . 

daher,   indem   man   die   erste   Gleichung   nach  a;^,   die   zweite  nach  x^ 
differenzirt  und  die  Differenz  bildet: 

d  (p     t^qp,       cf         ^f_(\ 
^'  d^,     ^'  ex,  ^  "^1  dx,  ~  '^'  dJ,' 

oder  wenn  man  die  Symbole  von  f  und  (p  einführt : 


396  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Schiebt  mau  diese  Gleichung  zweimal  über  A,  0,  V,  so  hat  man 
mit  Eücksicht  auf  §  Gl.  (5): 

0  =  (arj)(aVy  =  (7t7]). 
i^us  der  ersten  und  der  letzten  dieser  Gleichungen  folgt: 

i  =  Q'P,      rj  =  ö  .7t, 
wo  die  Q,   6  Constante  sind;   die  mittlere  Gleichung  aber  giebt  dann 

so  dass  in  der  That  ^  und  iq  sich  nur  durch  einen  gemeinsamen 
Factor  noch  von  p  und  %  unterscheiden  kihmen. 

Durch  den  vorliegenden  Satz  ist  eine  merkwürdige  Beziehung 
zwischen  der  Theorie  zweier  sinuiltanen  Formen  dritter  Ordnung, 
und  zwischen  der  Combination  einer  gewissen  Form  vierten  Grades 
(^F)  mit  zwei  linearen  Formen  {%,  p)  begründet.  Man  kann  nicht 
sagen,  dass  die  Tlieorie  der  simultanen  cubischen  Formen,  welche  nur 
acht  Coefticienten  enthalten,  mit  der  einer  biquadratischen  in  Ver- 
bindung mit  zwei  linearen  Formen  (sie  enthalten  zusammen  neun 
Coefhcienten)  identisch  sei;  aber  die  Verwandtschaft  beider  Theorien 
ist  so  gross,  wie  sie,  ohne  in  Identität  überzugehen,  werden  kann; 
es  ist  nämlich  in  der  That  zwischen  den  Coefficienten  von  F,  p,  it 
nur  eine  einzige  Relation  vorhanden,  welche  sich  dahin  ausdrückt, 
wie  man  sehen  wird,  dass  jp  bis  auf  einen  Zahlenfactor  einer  Potenz 
von  [pn)  gleich  wird;  was  denn  in  der  That  hinreicht,  um  die  Coef- 
ficienten von  Fj  Pj  7t  auf  acht  von  einander  unabhängige  zu  be- 
schränken. 

Ich  werde  im  folgenden  Paragraphen  zunächst  die  Aufgabe  lösen, 
die  Coefficienten  von  F  durcli  die  einfachsten  simultanen  Invarianten 
von  /'  und  cp  darzustellen;  dann  aber  in  dem  darauf  folgenden  Para- 
graphen auf  den  Zusammenhang  der  Theorie  von  f,  cp  mit  der  Theorie 
der  biquadratischen  Form  F  genauer  eingehen. 


§  99.  Darstellung  der  CoelTicienten  von  F  durch  die  einfachsten  simultanen 
Invarianten  von  f  und  q>» 

Um  die  Coefficienten  A,  B,  0,  D,  F  durch  die  einfachsten 
simultanen  Invarianten  von  f  und  (p  auszudrücken,  betrachte  ich  zu- 
nächst die  vier  x\usdrücke : 

(«jr)«/,     {a7t)ajj         {ccp)  a^^ ^     {ap)  aj ^ 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covariant^n.  —  §§98,  99.  39? 

von  deren  beiden  mittleren  schon  oben  gezeigt  wurde,  dass  sie  ent- 
gegengesetzt gleich  sind.  Setzt  man  für  die  it,  p  entsprechende 
Werthe  aus  §  61.  (5)  ein,  so  erhalten  wir 

(ajt)  aj  =  -  2  (aß)  (Oßf  aj  =.-(aß)\(Q  ßf  a/  -  (0  «)-  ß/~\ 

{a  7t)  aj  =  (ah)  (V  hy  aj  =  |  («  h)  \  (V  hf  «/  -  (V  «)-  hj  \ 
=  i(«?>)^'V.  {(V&)«.  +  (V«)  hj  =(VA)v.A.. 

(ccp)  «/  =  (aß)  {Aßf  aj  =  ^(aß)  {(Aßf  aJ  -  (Aaf  ßj\ 
=  i  (aßY  A..  [{Aß)  «..  +  (A«)  ßj  =  (A  V)  V.^  A^ 

(ap)  aJ  =  -2  (ah)  {Gay  6/  =  -  (ah)  |(0  hf  aJ  -  (Oa)^  hj] 
^-{ahy^  e.r  {(Qh)  «X  +  (ßa)  hJ  =  -2  (0  A)  0.,  A.,. 

War  also  oben 

*  r  TT  ^  -     ^       ^  c  p 

so  hat  man  nunmehr  auch  die  zweiten  Differentialquotienten  von  F 
durch  Covarianten  ausgedrückt;  es  ist  nämlich  nach  diesen  Gleich- 
ungen : 

4  Q^ .  (V  0)  V.-  0.  =  i  [(aitjp^  -  2  (aity  (ap)p7t  +  (ajc)  (apf  n^ 
_   .   d''F 

4  Q' .  (VA) V, A,-  =  [(a7t)^p'  -  2  (ajry  (ap)p7t  +  (a7t)  (apf  %^] 

=  -  [(ap)  (aityp^^  -  2  (apf  (a7t)p7t^-  (apf  it^\ 
^^  _  _^_    d'^F 

~^^dpdit 

4  Q-^ .  (0  A)  0.,V.r  =  -  i  \(ap)  (aitf  p^  -  2 (a^^y  (a7t)pn  +  (apf  n^ 

_  1  ?!Z 

Nun  waren  aber  in  §  61.  bereits  A,  0,  V  durch  p  und  tt,  also 
gerade  wie  es  hier  verlangt  wird,  ausgedrückt;  es  war  dort  [§  61.  (20)] 
gefunden  : 


ö 


2Q^A  =  ^lß^ü,,p7t+U,,7t^^ 
(2)  4Q^^0=-j?7,,ir^-(2f7,3  +  ^)p;r  4-^,3^^  j 

Es  kommt  also  nur  noch  darauf  an,  die  Functionaldeterminanten 
(1)  der  drei  quadratischen  Formeu  A,  0,  V  durch  diese  selbst  aus- 
zudrücken. Dies  geschieht  mit  Hilfe  der  Gleichung  (4)  des  §  58. 
Indem  wir  diese  Formel  auf  unsere  Formen  anwenden,   erhalten  wir: 


398  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

2  Q  .  (V0)  V.  0.-  ~  }  r/n  A  +  L\,  0  +  ü,bV\ 

(3)  2  Q  .  (VA)  V..  A,  -=        U,,  A  +  ü,,  Q  +  U,,V 
2  Q  .  {Q  A)  e^  A^=  -  \U,,  A  +  ü,,e  +  C/33  V|. 

Daher  ergiebt  sich  weiter,   indem  man  die  Ausdrücke  von  A,  0, 
V  aus  (2)  in  diese  Gleichungen  einführt: 

-  8  Q^V  e)  V,  0..  =  (-"2^  -UJ  +  2U,,  U,,^  p' 

-  8  Q3  (VA)  V..  A,  =  (^^1^  _  2  U,,  U.^p-' 

(4)  +{AU,,V,,-2U,,U^-'^yn 

-  8  Qä  (0  A)  0.  A.  =  (^^^  -  U,,  U,,  +  2  U,,  ü,,)  p"- 

Da  diese  Ausdrücke  gleich 

Q  d^F  Q    d^F  Q.  d'F 

""12  df  6  dpdTt'  12  dTt'' 

sein  sollen,  so  muss  der  mittlere  Coefficient  der  zweiten  Reihe,  durch 
4  dividirt,  dem  letzten  Coefficienten  der  ersten  und  dem  ersten  der 
letzten  gleich  sein.  Es  ist  leicht,  dies  zu  sehen.  Die  zu  beweisende 
Gleichung  ist 

TT    TT     ■    TT  ^      TT    TT 

TT    TT    —     1-^     22  ,   i^  _  ^22  ^13  i<2  TT    TT    —TT    TT 

•     *^12  *^23 9  T      g      ~~'  2  r^^n^SS         ^12*-^ 23? 

oder 

%-'  +  U,,  U,,  +  2ü,,U,,-2  U,,  U,,  =  0. 

Nun  finden,  da  die  ü  die  Unterdeterminanten  von  2Q^  sind,  die 
Gleichungen  statt: 

(5)  U,,  ü,,  -  U,,'  =  2Q^  (T-iJ^)     ü,,  U,,  -  U,,  U,,  =  2Q^^  T 
U,,U,,- ÜJ^2Q^P  U,JJ,,-Ü,,Ü,,~-=2Q^S. 


ungerader  Ordnung-  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  99  39^ 

Daher  folgt  aus  den  beiden  Gleichungen  der  zweiten  Reihe: 
E^33  t'u-  U,,'-  Jh,  V,,+  U,,  U,r---Q'^J-'=-  (6^.3-  ^y   [§  61.  (23)], 


also 


U    TT        TT  2 

TT    TT    —TT    TT    4-     -^     '^^  4-  ^i-  —  0 


was    durch    Multiplication    mit    2    in    die    zu    beweisende    Gleichung 
übergeht. 

Man  kann  die  fünf  Coefficienten,  welche  in  (4)  vorkommen,  nun 
mit  Hilfe  der  Gleichungen  (5)  und  der  Gleichung 

in  folgender  Weise  schreiben: 

==2Q'P -{-2QJÜ,, 

=  4Q^T-2QJÜ,, 
TT    TT    13     -^'-^         -^^"^     —CTT    TT    —TT    V  \  ^  TT    /^i3_  ^22\ 

^12  *-^23  2  8  ~  ^  *^^  12  ^^23  ^  22  *^  IsJ  +   *-^22  I  ~2 g     j 

-^'-^l\.TJ,,  =-2(L\,lT,,-U,,ü,,')-L\,(2U,,-^^ 

=  4:Q'S-2QJÜ,, 
ii2i±i33  19  TT    TT    —TT^  —  (TT    TT    —  TT  -^  -4-  TT   (^  TT   —  --^\ 

2  T^ -"  '-'IS  ^^33         *^  23    —  V*^22*^33  *-' 23  -^     '     ^^33  l  "^  *-' 13  2    / 

=  2Q^R  +  2QJU^^, 

Indem   man   also   die   Gleichungen  (4)   durch   2Q  dividirt,  stellen 
sich  dieselben  in  folgender  Form  dar: 

-4Q^(V0)V..0.=     Q\P  lß  +  2i:p7T  +  T7T^ 

-  4.Q' .  (VA)  V,.  A.,  =  2  Q\Tp'  +  2Tp7t-\-S  7t-'\ 

-4Q2.(0A)0^A.,=     Q\Tp^  +  2Sp:T^B7t^ 

+  ^    -4^'Z^'-  ^\zP^^  ^^33 ^'r 


400  Achter  Abschnitt.     Typische  J)arstorinnf?  von  J^'oniKMi 

Da  die  Ausdrücke  links  nach  (l)  gleich 

_i  ^IK    1  ^"^     1  ^ 

waren ^   so  erliillt  man,   indem  man   die  obigen  Gleichungen    mit  2|>'^, 
2j)^f  2^^  multiplicirt  und  addirt: 

(7)  F=--2Q  IP^)^  +  4Tp^  71  +  6  Tp^-  7t^  -{-  4S  2^7t''  +  n7t'\ 

-2J{U,,p'-2U,,p'7t  +  ^  U,,2f^7c'--2U,,p7t'>+  U,,y^.'^ 

Die  Gleichungen: 

^    €7t^  ^  ^    dp 

geben  also  folgende  typischen  Darstellungen  von  f  und  cp : 

8Q^f  =  2Q  \  I  j/  +  STp'^7t-\-  3Sp  %"  +  Ilii^\ 

-J\    ü,,p'~iU,,p^7t  +  3U,,p7t^-2U,,7t^'\ 

^^      SQ^(p=.2Q  \Pp^  +  3^2^^'  ^  +  ^'^P  ^'^  +  S ^'\ 

■i-J\2ü,,p'-3U,,p'7t  +  iU,,p7t'^-  ü,,7t% 

Die  Vergleichung  des  Ausdrucks  (7)  mit  den  Gleichungen  (2),  (4) 
des  vorigen  Paragraphen  führt  aber  zu  den  folgenden  Ausdrücken 
verwickelterer  Invarianten : 

A==      {anf  =-2QP-2JU,, 

B=^-{a7tf(ap)  =  {a%f         --2QZ+    J  U,, 

(9)  C  ^{a7r){apf^.-  iaitf  {aii)==-2QT  -    J^ 

B=-{apf     :=-{ait){apf     =-2QS-{-    J  lL,o 
E=  -{apf         ^-2QB-2Jü,l 


§  100.    Die  aus  F  entstellenden  Formen.    Ansnahmefall  ß  =  0. 

Ich  werde  nun  die  hauptsächlichsten  aus  der  biquadratischen  Form 
F  hervorgehenden  Bildungen  angeben,  indem  ich  dabei  p  und  7t  als 
die  Veränderlichen  behandle.  Die  Coefficienten  der  so  entstehenden 
Formen  sind  ganze  Functionen  der  Ä^  B,  C,  D,  E,  und  ihre  Kenntniss 
führt  zur  Lösung  der  Aufgabe,  alle  simultanen  Invarianten  von  /"und 


*  Bemerkt  man,  dass  die  Discriminante  der  Form  v.f+Xcp  nach  den  Bildungen 
des  §  61.  die  Gestalt  hat: 

so  kann  man  F  dadurch  definiren,   dass  es  aus  der  Form 

hervorgellt,  indem  man  darin  x  durch  tt,  X  durch  p  ersetzt. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Co  Varianten.  —  §§99,  100.        *'40l 

cp  durch  die  Coefficienten  der  typischen  Darstellung  so  auszudrücken, 
dass  nur  noch  Potenzen  von  Q  die  Nenner  bilden,  wie  die  allgemeine 
Theorie  es  vorschreibt. 

Wenn  man  die  linken  Theile  je  zweier  der  aus  den  Gleichungen 
(6)  des  vorigen  Paragraphen  folgenden  Gleichungen: 

8Q- (V0)V.,0.:=      Äp^  +  2Bp7t-{-C7i^ 
8  Q'  (V  A)  VxA^  =  2  {Bp'  +  2  Cp  Jt  +D7t-') 
8  Q'  (0  A)  0^  A^  =       C2y'  +  2Dp7i+E7c'- 

einmal  über  einander  schiebt,  so  entsteheu  nach  der  Gleichung  (14) 
des  §  58.  folgende  Formen: 

aus  (V  A)  V.r  Ao:  und  (0  A)  0^  A^.  ,  . .  -  ^  Q  A 
aus  (V  0)  Vx  0x  und  (0  A)  0,-  A^  .  .  .  -  i  Q  0 
aus  (V  0)  V.r  0^  und  (VA)  V,  A^  . .  .  -  ^  Q  V. 

Schiebt  man  auch  die  rechten  Theile  übereinander,  so  kann  man 
dabei  p))  ^  '^Is  ^^^  Veränderlichen  behandeln,  muss  aber  dann  mit 
[p7t)  =-  —  2Q  multipliciren.  Lllsst  man  diesen  Factor  beiderseits  aus, 
so  erhält  man  also: 

IG  Q*  A  =. 2  j  (Bp-\-C7i)  (Dp  +  E7t)  -  {Cp-^Bn  ^  \ 

1()  Q^  0  =       {Ap-\-B7t)  {Bp-\-E7c)  -  (Bp+Cji)  {Cp-\-Bit) 

16  Q^  V  =  2  j  {Ap  -\-B7t)  (Cp  +  DTt)  -  {Bp-^C  nf  j. 

Setzen  wir  nun  links  für  A,  0,  y  ^^^  §  ^^-  (20)  ihre  Ausdrücke 
in  j),  7t  ein,  so  kommt: 

A<^^(^f-Ü,,p7t+U,,7t^) 

={BB-C')p'-+{BE-CB)p7t^{CE-D^7t'- 

=  {AB-BC)p~  +  {AE-C')p  %  +  {BE-CB)  it" 
4Q-^  (^U,,p^-ü,,p:t  +  ^7t^ 

■   ={AC-B'')p'  +  {AB-BC)p7t+{BB-C')7t^, 
und  daher  durch  Vergleichung  der  Coefficienten: 

AC-B'  =  -4.QW,,    BE-CB  =  -4Q'Ü.., 
(1)      BB~-C'==-    Q'U.,.    AE-C    =     2Q'(4:U,,+  a.,) 
CE-B'=^-4Q'U,,    AB-BC  =  -4Q'Ü,,. 

Diese  Formen  gestatten  es  nun,  die  aus  F  gebildeten  Formen 
Hf^  und  if  darzustellen,  bei  deren  Bildung  wir  immer  p  und  tc  als 
die  Veränderlichen  betrachten  wollen.     Es  ist 

Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Forrneu.  20 


402-  Achter  Abschnitt.     Typische  Darstelhmg  von  Formen 

^~     \  Bp'-  +  2Cp7t  +  D7t^    Cp^  +  2Dp7t  +  E7t''    ' 
=  2  \(Ä  C-B^)p^  +  2  {AD-BC)p^  it  +  {AE-\-2BD-^C^)  p^  jr^ 
+  2{BE-CI))p  %^  +  {CE-D^)  71^ \ ; 

also  w(3nn  man  die  Formeln  (1)  benutzt: 

(2)  Hf^SQ^  {  ü,,p^-2  ü,,p'7r  +  (2  U,,+  U,,)p'  7t' -2  ü,,p  it^ 

+  ü,,7t% 

Ebenso  wird,  mit  Benutzung  der  Gleichungen  (1): 

^V-  2  (J.^-  4I?D  +  3 (72)  =-  4  Q^U.^^-A  U,,), 
also 

(3)  ijr=16Q'J. 

Endlich  hat  man  aus  der  vierten  Ueberschiebung  von  F  mit  Hfi 

oder   wenn   man  aus   den   Formeln  (9)   des   vorigen  Paragraphen   die 
Werthe  der  A,  B  etc.  einführt: 
i,.==-  ]6Q=     \U,,P^2  U,,Z  +  (2U,,+  U^-)  T+2U,,S+  f/,,  Bj 

-  IG«^  J-  j  2  U,,  U,,  -  2  U,,  U,,  +  i^  +  ^'j . 

Da  nun  zwischen  den   üik  die  oben  abgeleitete  Identität: 

TT     TT  TT  2 

TT     TT    —TT     TT    A-  ^^^  ^22   ,   i^22_  _  n 
*^ll   ^33         *^23  *^21     I  2  16     ~ 

besteht,  so  kann  man  an  Stelle  der  letzten  Klammer  setzen: 

2      "^    8    "  2      ' 

und  die  Gleichung  für  jf  geht  in  die  Form  über: 

+  (U,,T+  U,,Z+  F33  P) j  =  - 96 Ql 

Ich  komme  nun  auf  die  im  Eingange  dieses  Paragraphen  erwähnte 
Frage.  Die  typische  Form  §  98.  (3)  lehrt,  dass  alle  aus  fund  cp  gebil- 
deten Invarianten  rationale  Functionen  von  Ä,  B,  C,  B ,  E  sind,  welche 
Potenzen  von  Q  im  Nenner  enthalten.  Die  -Gleichungen  (1)  lassen 
zunächst  die  ünc  so  ausdrücken;  die  Gleichung  (3)  giebt  J  in  der- 
selben Form,  und  endlich  erhält  man  sodann  aus  den  Gleichungen 
(5)  des  vorigen  Paragraphen  zwölf  Ausdrücke  gleichen  Charakters 
für  By  S,  Tj  Ty  P.  Hiermit  sind  in  der  That  alle  fundamentalen 
Invarianten  in  der  verlangten  Weise  ausgedrückt.  Zwischen  den  sechs 
Invarianten  Ä,  By  C,  Z),  E,  Q  kann  nur  eine  Relation   bestehen; 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §  100. 


403 


diese  wird  durch  die  Gleicliung  (4)  gegeben.  Diese  Relation  ist 
es  zugleich,  welche  am  Ende  von  §  98.  erwähnt  wurde  und  welche 
die  einzige  zwischen  den  Coefficienten  von  Fj  p,  it  bestehende  Be- 
ziehung ist. 

Geben  so  die  Darstellung^  (3),  (4)  die  Resultate,  welche  erfor- 
derlich sind,  um  durch  die  typischen.  Coefficienten  sämmtlich  Invarian- 
ten ausdrücken  zu  können,  so  liefert  die  Darstellung  (2)  der  biqua- 
dratischen Covariante  von  F  in  anderer  Weise  bemerkenswerthe  Er- 
Da 


gebnisse. 


QY= 


cF 


C  7t' 


Q> 


"^  dp' 


so  findet  man  die  Functionaldeterminante  von  f  und  9 

-0"  =  (a  a)  tta;^  aj^ 
mit  Hilfe  der  Function  F  dargestellt  durch  die  Formel; 

cF      ^     d   dF 


64  Q'^^ 


_i 


t\ 


_d_d_F 
dx^  dp 


^^dx^  die 
'^^dx.^  dp 


{Ttp) 


also 
(5) 


^ 

c^F 

1 

d^F 

dpdii 


tV 


tV 


d^F 

ditdp 

^F_ 

dp^ 


-ß^F, 


64Q^^=lf/-, 

oder  auch,  wenn  man  für  Hf  den  Ausdruck  (2)  einführt: 

(6)  8Q3^=  U,y-2  ü,,  p^7t  +  {2  U,,+  U^^p'^7t'^-2  U,,p7t^-]-  U,,7c', 

Man  kann  nun  die  Resultante  von  f  und  cp  in  doppelter  Weise 
bilden.  Einmal  geht  sie,  da  f  und  cp  sich  von  den  Differentialquotienten 
von  F  nur  um  Potenzen  von  Q  unterscheiden,  in  die  Discriminaute 
von  f  über,  welche  nur  noch  eine  Potenz  von  Q  als  überflüssigen  Factor 
enthalten  kann.     Diese  Discriminaute  ist  nach  (3) ,  (4) : 


-ii'F 


96  .  90  .  Q' 


16.16J6 


6 


oder  bis  auf  einen  Zahlenfactor  und  eine  Potenz  von  Q: 

27Q-2J3. 

Eben  dieses  erhält  man  auf  andere  Weise  mit  Hilfe  des  in  §  28. 
(7)  entwickelten  Resultates.   Nach  diesem  war  diese  Resultante  gleich 

26* 


404  Achter  Absclinitt.     Typische  Darstellung  von  Formen 

Bezeichnen  wir  nun  durch  ju  und  ?//  die  Invarianten  von  Hf,  so 
gebildet,  dass  man  dabei  j)  und  7t  als  die  ursprünglichen  Veränderlichen 
ansieht,  so  hat  man  nach  (5): 

•  (2Q)^     .     ■ 

Aber  nach  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen  ist 

JH  =  iJF^  -  ij^  iF^     in  =  i  iF\ 
daher  nach  (3),  (4): 

64^ 

{2QY     (16)2Q«J 


^^~{(J4Q'-f\       3  36       )-t^^      ^ 


"^"(64^5)2-  G  -iJ'7 

und  die  gesuchte  Resultante: 

was   von  dem  vorigen  Resultate   nur  um  einen  Zahlenfactor  verschie- 
den ist.  — 

Nachdem  die  typische  Darstellung  für  den  Fall,  wo  Q  von  Null 
verschieden,  behandelt  worden,  bleibt  nun  noch  übrig,  den  Fall  zu 
untersuchen,  wo  Q=0.  Da  wir  aber  nur  solche  Fälle  untersuchen, 
in  denen  noch  zwei  wesentlich  verschiedene  lineare  Covarianten  existiren, 
so  können  wir  immer  annehmen,  dass  C/33  oder  (A^j)^  von  Null  ver- 
schieden sei;  denn  indem  wir  oben  zugleich  Q  =  0,  (A^:))^  =  0  sein 
Hessen,  erhielten  wir  das  Resultat,  dass  alle  linearen  Covarianten 
identisch  verschwanden.  Ist  Q  =  0  und  C/^g  von  Null  verschieden ,  so 
kann  man  in  Folge  der  Gleichungen  (5)  des  vorigen  Paragraphen  drei 
Grössen  Ä;,  ?,  m  so  finden,  dass 

C^ii==^S     TJ,^-=kl,     U,^=hm,     U22  =  l\     ü.^^  =  lm,     ü^^^m^-, 
wobei  wenigstens  m  von  Null  verschieden  ist.     Die  Gleichung 


-QJ^^-U,, 


—  y  j  = 

ffiebt  aber  dann 

und  man  kann  also  ferner  zwei  Grössen  ^  und  v  so  finden,  dass 

also  wenigstens  ^  von  Null  verschieden  ist.     Alsdann  wird 
Un==v\    ü,,  =  2^v^,   ü,,==4ii^v\   ü,,  =  ii'v\   U,,=  2^^v,   U,,=  ^\ 
In  Folge  dessen  erhält  man  aus  den  Formeln  (2),  (3)  der  vorigen 
Paragraphen : 

V  p  —  ^7t  =0 

i/^A  +  22//x0  +  fA2V  =  O. 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  —  §§  100,  101.  405 

Die  erste  dieser  Gleichungen  zeigt,  dass  ^;  und  7t  in  der  That 
bis  auf  Factoren  |u,  v  identisch  werden.  Die  zweite  lehrt,  dass  die 
quadratische  Covariante  der  Form  vf-\-a(p  verschwindet;  dass  also 
die  Combination  vf-\-^(p  ein  vollständiger  Cubus  sein  muss. 
Man  kann  umgekehrt  zeigen,  dass,  wenn  dieses  eintritt,  auch 
immer  Q  verschwindet,  und  hat  damit  den  folgenden  die  Invariante 
Q  charakterisirenden  Satz: 

Das  Verschwinden  derFunction  Q  ist  die  noth- 
wendige   und   hinreichende  Bedingung   dafür,    dass 
eine  Combination  der  Formen  /  und  cp  ein  vollstän- 
diger Cubus  werde. 
Existirt  nämlich  eine  solche  Combination  vf-{-  ^icp,  so  ist  die  für 
sie   gebildete  Form  A,   also   i^-A +  2^v0  +  ft- V,    gleich  Null;    setzt 
man  aber  die  drei  Coefficienten  dieses  Ausdrucks  gleich  Null,    so  hat 
man  drei  in  v- ,  2v^,  a^  lineare  Gleichungen,  deren  Coefficienten  die 
Coefficienten  von  A,  0,  V  sind;  da  nun  ^  und  v  nicht  zugleich  Null 
sein  können,   so  muss   die  Determinante  dieser  Coefficienten,   also  Q, 
verschwinden. 

§  101.    Die  Transformation  dritter  Ordnung  der  elliptischen  Integrale.* 

Im  vorigen  Paragraphen  wurde  bewiesen,  dass  wir  zwei  simultane 
cubische  Formen  immer  nach  passend  gewählter  linearer  Transformation 
der  Veränderlichen  durch  die  beiden  Differentialquotienten  einer  bi- 
quadratischeu  Form  darstellen  können.  Ich  werde  diesen  Satz  auf 
die  Aufgabe  anwenden,  welche  das  Problem  der  Transformation  dritter 
Ordnung  in  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  umfasst: 

Ein  elliptisches  Integral  erster  Gattung 


(1) 


rdx 

Jyx' 


wo   X   eine   biquadratische   Function    von  :z^  ist,  soll 
durch  eine  Substitution  der  Form 

_  a+bz  +  cz-  +  dz^ 
^'^^  a+ßz  +  yz^  +  dz^ 

in  die  Form 

m  . 

gebracht  werden,    wo   Z   eine   biquadratische   Fun- 
ction von  z. 


*  Vgl.   Cayley,   Phil.  Mag.  4.  Ser.  vol.  15  S.  363;    Her  mite,    Borchardt^s 
Journal,  Bd.  60,  S.  304. 


406  Achter  Abschnitt.     Typische  Darsttdlung  von  Formen 

Führt  man  homogene  Veränderliclie  ein : 

X-^  __  ^, 

so  kann  man  die  Substitutionsgleichung  (2)  dadurch  ersetzen,  dass 
man  Xj^  und  x.^  proportional  mit  zwei  ganzen  cubischen  Functionen 
von  ^^,  0.^  setzt;  und  nach  dem  oben  angeführten  Satze  kann  man 
diesen  Functionen,  indem  man  statt  0  lineare  Functionen  von  0 
(welche  wieder  ebenso  bezeichnet  werden  mögen)  einführt,  die  Gestalt 
geben,  dass  die  erste  der  Differentialquotient  einer  biquadratischen 
Form  (p  nach  ^^,  die  andere  der  negativ  genommene  von  q)  nach  0^ 
ist.     Man  kann  der  Substitutionsgleichung  also  die  Form  geben: 

(4)  x,>p'iz,)  +  x,<p'{z,)  =  0. 

Indem  wir  statt  der  0  lineare  Functionen  derselben  setzen ,  ändert 
die  Form  des  Integral  (3)  sich  nicht;  man  kann  also  noch  immer  die 
Gleichheit  der  Integrale  (1),  (3)  durch  die  Gleichheit  der  Differentiale 

dx       dz 

oder 

x.;^dx^  —  x^dx^     ^2  ds^  —  ^1  ds^ 

ausdrücken.  Setzen  wir  nun  nach  (4),  indem  wir  auch  die  absoluten 
Werthe  der  x  fixiren: 

so  haben  wir 


Xi)  CvXt    Xi  (XXa  ■  J"« 


aV  d0,ds.,     '      dz;' 

dz,-{-    ,   \    dr  -^     ^     .  f- 


'2       o„     o^     --l 


=  -I  jETqp.  {z.ßz^~z^dz^, 

und    die    Differentialgleichung    (5)    verwandelt    sich    in    die    folgende 
endliche  Gleichung : 

(6)  iH^KF{z,,  z,)  =  f[\q^'{z.;),-\cp'{z,)l 

Man  beweist  nun  zunächst  leicht,  dass  in  Folge  dieser  Glei- 
chung (p  eine  lineare  Combination  von  /  und  Hf  sein  niuss. 
Dann  sei  {xf)  irgend  ein  linearer  Factor  von  /';  ihm  entspricht  auf 
der  rechten  Seite  von  (6)  der  Factor 


ungerader  Ordnung  mittelst  linearer  Covarianten.  ^—    §  101.  407 

Die  linke  Seite  von  (6)  ist  aus  vier  solchen  cubisclien  Factoren 
zusammengesetzt,  welche  sich  durch  die  Werthe  der  t  unterscheiden. 
Aber  links  treten  vier  lineare  Doppelfactoren  auf,  die  von  Hcp.  Solche 
müssen  sich  also  auch  rechts  finden.  Aber  zwei  der  Factoren  (7) 
können  keinen  linearen  Factor  gemein  haben,  sonst  müssten  auch 
9)'(^i),  (p  [z.^  einen  solchen  gemein  haben,  und  die  Substitution  wäre 
nicht  mehr  von  der  dritten  Ordnung.  Also  muss  jeder  Factor  (7) 
selbst  einen  linearen  Doppelfactor  enthalten  oder  es  muss  die  Discri- 
minante  jedes  der  vier  Factoren  (7)  verschwinden.  Diese  ist  in  §  67., 
Anmerkung,  gebildet  und  nimmt  die  Form  an: 

ein  Ausdruck  vierter  Ordnung  in  den  t.  Da  derselbe  für  alle  Werthe- 
paare  der  t  verschwinden  soll,  für  welche  f  verschwindet,  so  kann 
er  von  /  nur  noch  um  eine  Constante  verschieden  sein, und  man  muss 
also  haben: 

Da  übrigens  die  absoluten  Werthe  der  Coefficienten  von  (p  offenbar 
gleichgiltig  sind,  so  kann  man  c  =  1  setzen,  und  hat  daher: 

(8)  f=}J^.(p  -  ^Icp.IIcp. 

Es  ist  also  /'  ei..e  lineare  Combination  von  cp  und  Htp,  daher 
auch  H/,  und  zwar  hat  man  mit  Benutzung  der  Gleichungen  des  §  41., 
indem  man  dort 

^='iJ'P,     X  =  —  iicp 
setzt : 

{9)  H;  =  -J^  icp^  jrv'(p  +  (i  jcp-  -  ^kiv^)  Hcp . 

Aus  beiden  Gleichungen  zusammen  findet  man  durch  Elimination 
von  H(p  die  Form  (p  als  lineare  Function  von  /'  und  Hf,  wie  oben 
angegeben  wurde. 

Sehen  wir  zunächst,  was  aus  der  Gleichung  (6)  wird.  Setzen  wir 
der  Kürze  wegen 

und  führen  wir  auf  der  rechten  Seite  von  (6)  für  f  den  Ausdruck  (8) 
ein;  setzen  wir  endlich  symbolisch 

(p  =  a^j     H(p  =  H^^, 

so  geht  (6)  in  die  Form  über: 

(10)  lH^'.F=\j^.  (a  lY  -  -1  /„  .  (ßlY. 

Es  ist  leicht,  sich  zu  überzeugen,  dass  diese  Gleichung  wirklich 
durch  JI(^-  theilbar  wird   und   also   unmittelbar   den  Ausdruck  von  F 


408  Achter  Abschnitt.     Typische  DarBtellung  von  Formen 

giebt.  Hierzu  ist  es  nur  nöthig,  die  Ausdrücke  (^ci^y^  (^§)^  ^^  bilden. 
Nun  ist  nach  §  86. : 

wo   ri  =  {ßy).      Setzt   man   in   dieser   Gleichung   y^  —  'E,.,,   y^  —  —  ^!,    so 
wird  ri~  —  (p  und  man  erhält  nach  Division  mit  cp^' : 

(12)  {aQ'  =  Hi,p.q,-'~iII^^).q,. 

, DifFerenzirt  man  aber  (11)  nach  y^,  y.,,  multiplicirt  mit 

addirt  und  setzt  endlich  yi=^'i.,,  2/2  =  -"§i?  so  kommt 

(ßif  (ag)  =  -  2V .  m  -  (iV^.r'-|if,p^')  (vi) 

oder  wenn  man  den  Werth  von  Tcp*  aus  §  42.  einführt: 

(13)  {aiy{at)  =  -{H^^^-\i^.H^.q>-'  +  ^Jv.cfr: 

Inzwischen  hat  man,  indem  man  den  Process  d  auf  (12)  anwendet 
und  die  Formeln  des  §  41.  berücksichtigt: 

{Hlf  +  4  {alf  [ai)  =j,p .  (p'  +  i^  .  <p'  U^-i  H,f\ 
also  wenn  man  den  Werth  von  (a|)^(a^)  aus  (13)  eintrügt: 

(14)  {mY  =  \j^.<f^  +  \H^K 

Endlich  findet  man  durch  Eintragung  von  (12),  (14)  aus  (K)): 
t  ir„^ F=  ii,,  ^  .  (ii^. cp'-iHg,')  -ii^.  (^  j^.,pHi/V), 
oder  indem  man  die  Division  mit  Hcp^  ausführt: 

(15)  F^-iJcp.(p--^\icpHcp. 

Hierdurch  ist  alles  auf  die  Bestimmung  der  Function  cp  zurück- 
geführt. Man  kann  diese  so  vornehmen,  dass  man  aus  (8)  die  Aus- 
drücke für  i  und  j  bildet  und  so  zwei  Gleichungen  erhält,  um  iq),  jcp 
auszudrücken;  trägt  man  diese  Werthe  in  (8),  (9)  ein,  so  kann  man 
dann  cp  auf  lineare  Weise  durch  /*,  H  darstellen. 

Besser  ist  folgender  Weg.     Setzen  v\^ir 

(16)  (p^xf+lH; 

mit  Berücksichtigung  der  Formeln  des  §  41.    geht  dann  (8)  über  in: 

/^=  ii.i  C''^+ Aif)  - 1  %x  (fi  1^ -/•—) . 

Vergleicht  man  die  Coefficienten  von  f  und  H  beiderseits,  so 
ergiebt  sich: 

1       1    •  .  1  •       ^ß 

0  =  iM.^-ii,j^.  —  . 


ungerader  Ordnung  mittelst  liuearer  Co  Varianten.  —  §  10  i.  409 

Die  erste  dieser  Gleichungen  dient  nur  dazu ,  die  absoluten  Werthe 
von  Ti  und  X  zu  bestimmen,  die  zweite  aber  giebt  eine  biquadratische 
Gleichung  für  den  Quotienten  k  :  A.    Führt  man  für  i-^^^  j^x  ihre  Wgrthe 

ein,  so  wird  die  biquadratische  Gleichung  folgende: 

(18)    0  =  -  3  ^  x-t  -  4  J  X'  k  +  i'  K^  l^  +  2  ij  ;c  A^  +  (^  + 1\  i\ 


Die  erste  Invariante  dieser  Gleichung  verschwindet,  so  dass  die 
cubische  Resolvente  derselben  eine  reine  cubische  Gleichung  wird. 

Das  Resultat  der  Untersuchung  lässt  sich  in  folgendem  Satze 
aussprechen,    wobei  alles  so  eingerichtet  ist,    dass  nur  das  Verhält- 

n  i  s  s  j  auftritt,  dass  also  die  erste  Gleichung  (17)  nicht  gebraucht  wird : 

Setzt  man 

und  genügt  der  Quotient    y    der  Gleichung 

9  \i        .-3 


w^as  auf  vier  Arten  geschehen  kann,   so  ist 

/x^  dx^  —  x^  dx,       r       z,^  dz^  —  ^1  dz.2 

wo 

K= - — 


Neunter  Abschnitt. 

Typisclie  Darstellung  der  Formen  gerader  Ordnung 
mittelst  quadratischer  Covarianten, 


§  102.     Beweis,  dass  im  Allgemeinen  jede  Form  gerader  Ordnung  zwei 

([uadratisclie  Covarianten  besitzt,  welche  keinen  linearen  Factor 

gemein  haben. 

Formen  gerader  Ordnung  fülireu  nur  auf  Covarianten  gerader 
Ordnung;  es  kann  daher  bei  Formen  gerader  Ordnung  von  einer 
typischen  Darstellung  durch  lineare  Covarianten  keine  Rede  sein. 

Aber  man  kann  an  Stelle  derselben  eine  andere  Art  typischer 
Darstellung  entwickeln,  indem  man  auch  diesmal  auf  die  Covarianten 
niedrigster  Ordnung  zurückgeht,  welche  Formen  'gerader  Ordnung 
besitzen,  auf  quadratische. 

Es  ist  zunächst  zu  zeigen,  dass  solche  für  Formen  gerader  Ord- 
nung, deren  Ordnung  die  vierte  übersteigt,  wirklich  existiren,  und 
zwar  soll  zugleich  gezeigt  werden,  dass  im  Allgemeinen  immer 
zwei  quadratische  Covarianten  existiren,  welche  keinen 
linearen  Factor  gemein  haben,  deren  Resultante  also  von 
Null  verschieden  ist.  Ich  verfahre  dabei  ähnlich  wie  bei  dem 
Nachweise  der  Existenz  linearer  Covarianten  bei  den  Formen  ungerader 
Ordnung. 

Gehen  wir  von  der  speci eilen  Form 

aus,  in  welcher  l  den  Binomialcoefficienten 

._2A.2/i-l  ...Ä  +  1 
^-~'      1.2        ...    h 

bedeutet.  Es  sind  also  nur  die  beiden  ersten,  die  beiden  letzten  und 
der  mittlere  Term  beibehalten;  über  die  Constante  c  soll  noch  ihrer 
Zeit  in  geeigneter  Weise  verfügt  werden.  Wir  bilden  nun  die  Co- 
variante  vierter  Ordnung  K,  deren  Symbol 


Neunter  Abschnitt.   Typische  Darstellung  der  Formen  etc.  —  §  102.        4 1 1 

ist,  und  zwar  bilden  wir  sie  nach  §30.  aus  den  durch  2A  .  2/i  —  1  ...  3 
dividirten  (2/^  —  2)*«"  Differentialquotienten  von  /',  welche  folgende 
sind  (die  nicht  ausgeschriebenen  sind  Null)"^': 

x^^-\-2xy,  x\  ...,  cy-,  2cxy,  ex",  ...,  -y~,  -2xy-y\ 
Es  ist  daher 
K=^2[-{c^  +  2xy)i^-^2xy)  +  {2h-2)x^f  +  {-\y'Q<^x'f 

-\-{-\Y-'o.2c'xhj% 

_2h-2.2h-?>  ...h+\  _2h-2.2h-S  ...h 

^"  1.2...A-2  '      ^~        1.2.. .7^-1 

Da  hiernach 

2/i-2. 2/^-3. ../^4-l    h  +  l 
^^^  ^^-^  = 1.2...A-2 h^V 

so  kann  man  c  so  bestimmen,  dass  in  K  der  Coefficient  von  x^ y^ 
verschwindet : 

(2)       '  0  =  (-iy'K(2a-Q)c'  +  2h-l, 

und  es  bleibt  dann: 

K=-A(x'y  +  xy'). 

Gehen  wir  von  K  als  Grundform  aus  und  bilden  die  dazu  gehörige 
Hesse'sche  Form,  so  erhalten  wir 

Ich  unterscheide  jetzt  zwei  Fälle,  je  nachdem  h  =  2m  oder 
h  =  2m +  lj  also  je  nachdem  die  Ordnung  n  von  /"gleich  4m  oder 
gleich  4  m -{-2  ist. 

1)  n==4m.  In  diesem  Falle  ist,  wie  eine  Abzahlung  der  sym- 
bolischen Determinantenfactoren  sofort  lehrt,  jede  quadratische 
Covariante  nothwendig  eine  Form  ungeraden  Charakters 
(vgl.  §  16.). 

Wir  erhalten   nun   eine   nicht  verschwindende  quadratische  Cova- 

riante,  wenn  wir  fAni  —  l  mal  über  (  —  -9)  schieben.  Die  durch 
4m.4»i— 1...2  dividirten  (4;>i  — 1)*^°  Diöerentialquotienten  von  /* 
und  (—-9)     sind 


von/":  x  +  y,  x^       ...,      cy,cx,      ...,     -y,-(x  +  y), 

(    H.\^  —y  —  X 


*  Der  Fall  n  =  4 ,  ä  =  2  wird  von  vornherein  ausgeschlossen ;  für  ji  =  6 ,  /i  =  3 
bedarf  die  folgende  Rechnung  noch  einer  kleineu  leicht  erkennbaren  Modiücation. 


412  Neunter  Absclinitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

wo  in  der  obern  Reihe  die  nicht  ausgeschriebenen  Coefficienten 
sämmtlich  verschwinden  und  a  eine  Zahl  ist.  Die  gesuchte  Ueber- 
schiebung  ist  daher: 

L  =  {x-\-\j)  .tj-\-x^  +  y^-\-x  (x+tj)  =  2  (x^+xtj+tf) ; 
die  mit  ac  multiplicirten  Tenne  heben  sich  auf. 

Die  Form  L  ist  eine  nicht  verschwindende  quadratische  Covariante 
von  f.     Schiebt   man  L  zweimal  über  K,   so  erhält  man  eine  zweite: 

M=2  .-2xy  +  2  (x'^  +  y')  +  2  .  -  2xy  =  2  {x'-^-if  -  4xy). 

Diese  Form  verschwindet  also  ebenfalls  nicht;  auch  verschwindet 
nicht  die  Resultante  von  L  und  31,  denn  M=0,  L—0  führen  zu- 
sammen auf  die  unverträglichen  Gleichungen  ^^  +  2/^  =  0;  xy^=0.  Für 
n  =  4h  ist  also  die  Existenz  quadratischer  Covarianten  ohne  gemein- 
samen linearen  Factor  bewiesen. 

2)   n  =  4:m-\-  2.     Hier   bildet   man   eine   erste   quadratische   Cova- 

riante,  indem  man  \— -^  )     4m  mal  über  /"schiebt.     Die  durch 

Am  -f  2  .  4m  +  1  ...  3  resp.  4m  .  4m  —  1  ...  1 

dividirten  Diiferentialquotienten  von  f  und  [--.jj     sind  hier  (in  der 

ersten  Reihe  sind  wieder  die  fehlenden  Null): 

von/":  x^-\-2xy,x\  .,.,   ctf,  2  cxy,  cx^,  ...,   -y^,—2xy—y% 

von  (^-— j    :         1,0,-    ...,         0,  «,  0,         ...,  0,1, 

wo   a   den  mittelsten  Coefficienten  von  (x^—y'^y"'  dividirt  durch  den 
mittelsten  Coefficienten  des  Binoms  (p  +  qy'""  bedeutet: 
^    ,,      2m.2m-l  ...m  +  1  1.2...  2m 

//  —  C 1  V«     ! .  — . 

^^     ^    •  1.2...m  4m.4m-1...2m  +  l 

Die  gesuchte  üeberschiebung  ist  daher: 

^  „     „      .   .  ^           ^    -.s    2m .  2m  —  1  ...  m-fl      .f.       ,    „. 
L  =  [x'-\-2xij)  +  2cxy.  (-1^ i,2...m. —       " (2^2/+2/') 

=  x^-y^-{-2kxy, 

wenn  h  der  Kürze  wegen  für 

(3)  fc  =  ..(-l)-.^»'-^f7^-"^+^ 

^  ^  ^      ^  1 . 2 . . .  m 

gesetzt  ist. 

Eine  zweite  quadratische  Covariante  entsteht  durch  die  zweite 
üeberschiebung  von  K  mit  X;  es  ergiebt  sich  dann 

M=2]c(ix^  +  y'). 
Die  Covarianten  L,  M  haben  wiederum  keinen  linearen  Factor 
gemein.     Sollen  nämlich  gleichzeitig  die  Gleichungen  bestehen 
a;2  4-  2/2  =  0;    x^-y""  +  2}ixy  ==  0, 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  10'2,  103.        413 
so   folgt 
also 

während  sich  aus  (1),   (2),  (3)  ergiebt: 

'2m.2m-\  ...  w+lV         2  1  .2...2w-2 


"-(: 


1.2.,.m  )     2m -\- 2    4w  .  4?^  — 1  ...  2//* +3 

.  (4  m  —  5). 

Die  fragliche  Eigenschaft  ist  also  auch  für  Formen  von  der  Ord- 
nung 4m-j-2  bewiesen. 

Man  kann  daher,  sobald  nur  eine  Form  eines  Systems  gerader 
Ordnungen  von  höherer  als  der  vierten  Ordnung  ist,  im  Allgemeinen 
voraussetzen,  dass  das  System  zwei  quadratische  Covarianten  von 
nicht  verschwindender  Resultante  zulässt.  Dass  aber  eben  dieses 
auch  für  eine  Combination  von  quadratischen  und  biquadratischen 
Formen  gilt,  ist  leicht  ersichtlich,  sobald  man  nur  den  Versuch,  der- 
artige quadratische  Covarianten  zu  bilden,  anstellt. 

§  103.    Typische  Darstellniig  eines  Systems  simultaner  Formen  gerader 
Ordnung  mit  Hilfe  quadratisclier  Covarianten.         , 

Auf  die  Existenz  quadratischer  Covarianten  kann  man  nun  in 
folgender  Weise  eine  typische  Darstellung  von  Formen  gerader  Ord- 
nung gründen.* 

Es  seien  Z  =  Z^^,  3I=m-r^j  N=nx^  irgend  drei  quadratische  Co- 
varianten von  Formen  gerader  Ordnung  f,  <5P  ...;  wir  setzen  nur  vor- 
aus, dass  zwischen  L,  M,  N  keine  identische  lineare  Relation  besteht. 

Dann  ist  immer  die  simultane  Invariante: 


La 

Ln 

L,, 

l,' 

h   k 

V 

Mu 

J/,, 

M,, 

= 

m,^ 

m^  m.^ 

m.^ 

Nn 

N,, 

N^ 

n,^ 

Wj    «2 

V 

(1)     ^= 

=—  {lm)(jnn)(jil) 
von  Null  verschieden.     Indem  wir  nun  die  Gleichungen 

L  = -Lii  x^--\-2Li2  x^x.^-\-L22  x./ 
(2)  31  =  31,,  X,'  +  2  31,,  X,  xl  + 14,  x.^ 

N  =  N„  X,'  +  2  A' 1 ,"  X,  X,  +  K^  x/ 
als  lineare  Gleichungen  nach  x,',  2XyX,y  Xf  auflösen,  erhalten  wir 
diese  Grössen  als  lineare  Functionen  von  L,  31  j  N,  deren  gemein- 
samer Nenner  D  nicht  verschwindet.  Ein  beliebiger  quadratischer 
Ausdruck  a/  drückt  sich  ebenfalls  durch  L,  J/,  N  linear  aus,  indem 
man   nur   die   gefundenen  Ausdrücke   von  x,^j   2x,x.^j  x./  in  a/  ein- 


*    Clebsch  und  Gordan,  Annali  di  Mat. ,  Ser.  IL,  t.  1. 


414  Kemitor  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

trägt;   und    man    findet  den  Ausdruck  für  r//  am  bequemsten ^   indem 
man  den  Gleichungen  (2)  die  Gleichung 

(3)  aj-  =  «1^  ^j2  +  2  a^  a^  x^  x^  +  a.^^  x/ 

hinzufügt,    und   aus    den   Gleichungen  (2),   (3)  x^^J  2x^x.j,,  x.^  elimi- 
nirt.     Alsdann  hat  man: 


L 

V 

k    k 

V 

31 

m/ 

w^^  m^ 

mi 

N 

»/ 

^1    ^2 

n.^ 

«/ 

a,^ 

a,  a. 

ai 

(4)  0  = 

=  a/  (?m)  (mn)  (nl)  —  L  (am)  (mn)  (na)  —  M(la,)  (rn?)  (nl) 
—  N (Im)  (ma)  (al). 
Der  Coefficient   von  aj  ist  —  D;   die   andern  Coefficienten  erhält 
man,  indem  man  in  den  Functionaldeterminanten 

l  =  (mn)m^na: 

(5)  ^  =  (nl)   Uj:  ?^ 

V  =(lm)  L  "in^ 

^1  —  ^2}  ^2  ~  ~~  ^1  setzt.     Die  Gleichung  (4)  verwandelt  sich  dann  in 
folgende: 

(6)  a/.I)  =  L.(aiy  +  M.(a^y  +  N.(av)K 
Bezeichnet  man  nun   eine   Form  f  des   gegebenen  Systems  sym- 
bolisch durch  a^:"^   so   erhält  man  die  Form  f  selbst  als  Function  der 

n  .  71  *®^ 

Ordnung  -^y  von  L,  M,  N,  indem  man  diese  Gleichung  zur  -^c-       Po- 
tenz erhebt: 

n 

(6)  f.D^':=l  (a  iyL  +  (a  ^J  M  +  (a  v'f  K] 

.  {(ar)U.  +  (a^")'M+  (avyN) 


.{OAr"0  L  +  ia^^'O^M  +  iav^"-'^)  n\. 
Die  Coefficienten  der  verschiedenen  Producte 

welche  hier  auftreten,  sind,  wie  man  sieht,  Invarianten,  und  die 
Darstellung  von  /  also  eine  typische. 

Verfährt  man  ebenso  mit  den  übrigen  Grundformen,  so  hat  man  die 
binären  Formen  /',  (p  . .  .  hier  durch  drei  Veränderliche  jL,  M,  N  als 

Functionen  der  Ordnungen  -^  etc.  ausgedrückt.  Zwischen  den  drei  Ver- 
änderlichen aber  besteht  eine  Gleichung  zweiten  Grades.  Man  kann 
dieselbe  aus  §  58.  unmittelbar  entnehmen;  wenn  A/i,  Ai,n...,  A„n 
die  simultanen  Invarianten 

All   =  {l l'f ;        A,„ rn  =-  {ni mfY,     A„n^  (nny 
A,nn={inn)-,     A„i    =(nl),  Ai,n=-{lmf 


0  = 

(7) 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Co  Varianten.  —  §  103.  415 

der   quadratischen  Formen  L,  31,  N  bedeuten,   so  ist  nach  §  58.  (9) 
Äu       Alm       Ain       L 

■^m  l        -^m  m       -^m  n       -"J~ 
■^n  l         -^n  m        -^n  n        -^ 

L        M        N        0 
=  -{BiiL'  +  2BimLM+2BtnLN+B^mM' 

+  2B„^nMN+B„n:^^'\. 

Durch  diese  Bedingungsgleichung  ist  wieder  die.  Zahl  der  un- 
abhängigen Veränderlichen  auf  2  zurückgeführt,  und  man  kann  also 
/"auch  in  der  Darstellung  (6)  als  binäre  Form  betrachten. 

Die  Zahl  der  Invarianten,  welche  als  Coefficienten  in  (6),  (7) 
und  den  mit  (6)  analogen  Darstellungen  auftreten,  ist  noch  viel 
grösser,  als  die  Anzahl  von  einander  unabhängiger  Invarianten,  welche 
das  Formensystem  besitzt.  Indessen  kann  man  die  Zahl  jener  Coef- 
ficienten in  folgender  Weise  sofort  reduciren. 

Wir  dürfen  nach  dem  vorigen  Paragraphen  immer  voraussetzen, 
dass  unter  den  drei  Covariauten  L,  M,  N  zwei  seien,  die  keinen 
Factor  gemein  haben.  Es  seien  dieses  L  und  M\  dann  ist  auch  die 
Kesultante  von  L  und  M  (§  27.) 

(8)  Bnn=-  ÄllÄ,nm  -  AlJ 

von  Null  verschieden.  In  der  Gleichung  (7)  verschwindet  also  jeden- 
falls das  Glied  mit  N-  nicht.  Benutzen  wir  dies  um  den  Ausdruck 
(6)  dadurch  zu  vereinfachen,  dass  man  den  Werth  von  jV-  so  länge 
in  (6)  einträgt,  dass  rechts  in  (6)  nur  noch  die  erste  Potenz  von  N 
auftritt.     Die  Gleichung  (6)  nimmt  dann  die  folgende  ^orm  an: 

(9)     f.  D^Bnn^  =  P,Z^4-  P,Z^~'  M-\- ...  +P^  M^ 

fi  fi '2 

wo  m^=  -r   oder  =  — -. —  ,    ie    nachdem    n    nach    4   den   Rest  0   oder 
4  4     '   "^ 

2  lässt. 

Betrachtet  man  nun  im  Zusammenhange  die  Gleichung  (9)  nebst 
den  übrigen  ihr  analogen  und  die  Relation  (7),  so  sieht  man,  dass 
die  Gesammtzahl  aller  vorkommenden  Coefficienten  um  7  grösser  ist, 
als  die  der  ursprünglich  in  Z',  (p  ...  vorkommenden;  denn  die  rechte 
Seite  von  (9)  enthält  genau  so  viel  Coefficienten  P,  Q,  wie  /  in  der 
ursprünglichen  Form;  zu  diesen  tritt  D  und  die  sechs  Coefficienten 
B.  Bezeichnet  man  also  durch  Je  wie  sonst  die  Gesammtzahl  der 
Coefficienten  von  /",  9^  •  •  •  ?  so  ist  die  Gesammtzahl  der  Coefficienten 
P,  Q,  D,  B  gleich  l'  +  l. 


416 


Neunter  Abschnitt.      Typisclie  Darstellung  der  Formell 


Jede  Covariante  von  f,  cp  ...  drückt  sich  durch  diese  Z"+7  Grössen 
und  durch  die  simultanen  Invarianten  und  Co  Varianten  von  L,  M,  N 
aus;  alle  Invarianten  von  fy  cp  ...  durch  jene  h-^l  Grössen  und  durch 
die  simultanen  Invarianten  von  Lj  31,  N.  Nun  enthält  das  aus  L, 
Mj  N  entspringende  System  keine  andern  Covarianten  ausser  L,  M, 


N,   als   die  Functionaldeterminanten   A, 


^;    ^ 


und   keine   andern  In- 


Varianten    als   D   und   die  Grössen 

A.     Mit  le 

Gleichung 

Äu 

■^Im         -^In 

(10)                              21)2  = 

Ärnl 

■^m  m       -^m  n 

Anl 

■^nm        -^nn 

Mit  letztern  ist  D  durch  die 


/  k 


verbunden ;  und  hier,  v^o  es  nur  auf  rationale  Darstellungen  ankommt, 
kann  man  daher  statt  der  A  auch  die  Ji  zu  Grunde  legen.  Denn  die 
B  sind  die  aus  den  A  gebildeten  Unterdeterminanten,  also  auch  die 
A  gleich  den  aus  den  B  gebildeten,  dividirt  durch  2D^.  Sowie  nach 
(10)  sich  D  durch  die  A  ausdrückt,  ist  dann  zugleich  D  durch  die 
B  auso^edrückt  mittelst  der  Formel 


(11) 


47)4 


B„a 

Br,l 


Bi, 
B„ 
B„ 


B,n 

-t>nn 


Endlich  drücken  sich  A,  ft,  2/  nach 
der  Gleichungen  aus: 


58.  (4)  durch  L,  M,  N  mittelst 


(12) 


2Bl^Bii  L  +  Bim  M+Bin  N 
2D^  =  Bn,iL  +  B„,„,3I+B^nN 

2Bv^B„l   Li-  Bn.n  Mi-  Bnn  N. 


Denkt  man  sich  also  eine  Covariante  von  /*,  cp  .  . .  aus  den 
typischen  Darstellungen  gebildet,  so  wird  dieselbe  eine  rationale 
Function  der  P,  Q,  D,  B  und,  wenn  man  die  l,  ^,  v  durch  (12) 
ausdrückt,  der  L,  M,  N.  Bei  der  Bildung  von  Invarianten  fehlen 
nur  die  letztern  Grössen.  Als  Nenner  erscheinen  Potenzen  von  D 
und  B„n. 

Bezüglich  der  Invarianten  kann  man  also  folgenden  Satz  aus- 
sprechen : 

Jede  simultane  Invariante  der  Formen  gerader 
Ordnung  f,  cp  . . .  lässt  sich  rational  durch  die  k  +  l 
Grössen  P,  Q,  B,  B  so  ausdrücken,  dass  nur  Poten- 
zen von  zweien  derselben  (D,  Bnn)  die  Nenner  bilden. 

Da  inzwischen  alle  Invarianten  nach  §  79.  nur  von  Ä;  —  3  Grössen 
abhängen,  so  müssen  zwischen  den  h-{-l  Grössen  P,  Q,  B,  B  zehn 
Beziehungen  bestehen.  Eine  derselben  ist  die  Gleichung  (11).  Die 
neun    übrigen    erhält    man,    indem    man,    von    den    typischen    Dar- 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  103.  417 

Stellungen   ausgehend,   die   Covarianten   L,  M,  N  bildet.     Nach  dem 
oben  Entwickelten  erhält  man  für  dieselben  Ausdrücke  der  Form: 

L  =S  L-^-T  3f+ü  N 
(13)  31=  S'  L  +  T'  M+  ü'  N 

In  diesen  Gleichungen  sind  die  S,  Tj  U  ganze  Functionen  der 
P,  Qj  B,  D  dividirt  durch  Potenzen  von  D,  Bnn-  Sollen  nun  Lj 
M,  N  wirklich  diejenigen  quadratischen  Covariauten  sein,  als  welche 
wir  dieselben  vorausgesetzt  haben,  so  müssen  diese  Gleichungen  iden- 
tisch werden,  d.  h.  es  müssen  die  Gleichungen  bestehen: 

(14)  s'=o,     r^-1,     ü'=o  \ 

Diese  neun  Gleichungen  geben  die  Beziehungen  zwischen  den  F, 
Qj  Bj  JD  an,  w^ eiche  bestehen  müssen,  damit- Z,  M,  N  die  voraus- 
gesetzte Bedeutung  haben.  Dann  aber  sieht  man  sofort,  dass  es  die 
einzigen  zwischen  denselben  bestehenden  Gleichungen  sind;  denn  da 
f  in  der  Form  (13)  nur  auf  eine  Weise  durch  L,  31,  N  ausdrückbar 
ist,  so  folgt  aus  dem  Bestehen  der  Gleichungen  (13)  sofort,  dass  die 
P,  Q  . . .  den  im  Vorigen  entwickelten  symbolischen  Ausdrücken 
gleich  sein  müssen.  Zwischen  diesen  treten  also  im  Allgemeinen 
weitere  Beziehungen  nicht  ein.  Da  andererseits  neun  Beziehungen 
erforderlich  sind,  so  folgt,  dass  die  Gleichungen  (14)  wirklich  neun 
von  einander  unabhängige  Bestimmungen  enthalten,  und  dass  keine 
jener  Gleichungen  eine  Folge  der  übrigen  sein  kann.  — 

Die  Invarianten  P,  Q^  welche  bei  diesem  allgemeinen  üeber- 
blicke  eintreten,  sind  von  verhältnissmässig  hohen  Graden,  um  so  mehr, 
als  schon  die  Coefficienten  der  Gleichung  (6)  es  sind.  Aus  letzteren 
setzen  sich  die  P,  Q  einfach  zusammen;  aber  es  entsteht  in  jedem 
besondern  Falle  die  Frage,  wie  die  Coefficienten  der  Gleichung  (6) 
sich  aus  den  jedesmaligen  einfachsten  Invarianten  von  /,  deren  Zahl 
im  Allgemeinen  viel  grösser  sein  wird,  zusammensetzen. 

Eine  Zurückführuug  auf  einfachere  Bildungen  ist  nun  zunächst 
in  folgender  Weise  möglich.  Die  symbolischen  Factoren  der  rechten 
Seite  von  [ß)  sind  von  der  Form 

oder  nach  (12): 

=-  9^  !  I(^'  h'  Bii  +  {a  mf  Bi,„  +  {anf  Bi,  \  IJ 
+  liaT)'  Bi^  -i-  {amy  B,n„.  +  {auf  P«„]  mj 
+  [{alf  Bin  +  {amf  B.nn  +  {an)^  P«n]  n,^\ ; 

C  leb  seh,  Theorie  der  hinären  algebr.  Formen.  ^7 


418  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  j^ormen 

ordnet  man   nun  nach   {äff,   {anif^ ,    {anf   und  wendet  auf  die  Coef- 
ficienten  wieder  die  Gleichungen  (12)  an,  so  hat  man 

und  also 

n 

(15)        f,  D^=:[(aiy  X  +  fam')'  ,a  +  ian^  i/] 


•  LUr2^)  A  +  Cm^"^)|[i  +  G^(2))  J. 


Die  /l,  ft,  V  sind  linear  durch  l^  m^  n  mit  einem  Nenner  D 
ausdrückbar-,  aber  ihre  Producte  zu  zweien  sind  nach  §  58.  (3)  sogar 

ohne   diesen  Nenner  ausdrückbar.     Wenn  also  7i  durch  4  theilbar,  — 

u 

gerade  ist,  so  kann  man  die  Factoren  rechts  in  (15)  paarweise  com- 
biniren,  und  von  (15)  ohne  Einführung  eines  Nenners  zu  Ausdrücken 
in  L,  Jf,  'N  übergehen.  Ist  n  von  der  Form  4/^  +  2,  so  bleibt  ein 
einzelner  Factor  übrig,  der  also  entweder  einen  weitern  Factor  I) 
herbeiführt,  oder  der  in  der  ursprünglichen  Gestalt  (6)  angewendet 
werden  kann.  Wie  dies  nun  auch  ausgeführt  werden  möge,  man 
sieht,    dass   an    Stelle  der   n^^^  Ueberschiebungen  von  /"über   X"  (.U'^  vy 

( c*:  + /3  +  y  =  -j- j,    welche   die    Coefficienten    in    (6)   bilden,    hier    die 

^*®"  Ueberschiebungen  von  f  über  Z« Ml^  Ny  lcc-{-ß-\-y  =  ~\  getre- 
ten sind,  durch  welche  alles  sich  ausdrückt;  im  Falle^  =  4/^  +  2  wird 
es  nöthig,  wenn  man  eine  weitere  Potenz  von  D  im  Nenner  vermei- 
den will,  und  also  einen  der  symbolischen  Factoren  von  /  in  seiner 
ursprünglichen  Gestalt  benutzt,  die  n*®°  Ueberschiebungen  von  f  über 

L^MßNrl,     L^MI^Ny^,     L"  Mß  Ny  v 

zu  bestimmen.  In  allen  Fällen  hat  man  Invarianten  von  sehr  viel 
niedrigerer  Ordnung,  als  ursprünglich. 

Man  kann  indessen  dieser  Sache  noch  eine  andere  Seite  abgewin- 
nen, von  welcher  aus  sie  wesentlich  einfacher  erscheint.  Man  kann 
nämlich  geradezu  A,  fi,  v,  nicht  L,  M,  N  als  diejenigen  Functionen 
ansehen,  durch  welche  alles  auszudrücken  ist.  Die  Formel  (15)  ist 
dann  der  Formel  (6)  durchaus  analog  gegenüberzustellen.  Zwischen 
den  l,  [i,  V  aber  besteht  die  mit  (7)  analoge  Gleichung,  welche  aus 
(7),  (12)  leicht  abgeleitet  wird: 

(16)  All  ^-  +  2  J./„,  A  ^  -f  Arnm  ^i'  +  2^/„  Xv 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  103,  104.         419 

Es  ist  also  nicht  nur  der  Ausdruck  für  /  und  die  übrigen  con- 
stituirenden  Formen ,  welcher  mit  viel  einfacheren  Coefficienten  behaftet 
erscheint,  sondern  ebendies  tritt  bei  der  Bedingungsgleichung  (16)  ein, 
welche  nunmehr  die  Aj  nicht  die  aus  ihnen  zusammengesetzten  ünter- 
determinanten  B  zu  Coefficienten  hat. 

In  diesem  Sinne  werden  wir  künftig  die  Formeln  (lö),  (16)  den 
Anwendungen  zu  Grunde  legen,  und  es  mag  hier  nur  noch  auf  den 
eigen thümlichen  Dualismus  hingewiesen  werden,  welcher  zwischen 
den  L,  31,  N  einerseits  und  den  A,  ^,  v  andererseits  genau  so  ein- 
tritt, wie  der  Dualismus  zwischen  Punkt-  und  Liniencoordinaten  in 
der  Ebene,  auf  welchen  derselbe  auch  sofort  zurückgeführt  werden 
kann,  wenn  man  die  Relation  (7)  oder  (16)  in  der  Form 

kl -\-  ^  ni -\-  vn  ^=  0 
zu  Grunde  legt.  « 

§  104.    üeber    den  besonderu  Fall,   in    welchem  eine  der  Functionen 
L,  M,  N  die  Fuuctioualdetermiuaute  der  beiden  anderen  ist. 

Die  im  Vorigen  betrachteten  typischen  Darstellungen  beruhten 
auf  der  Voraussetzung,  dass  es  drei  cjuadratische  Covarianten  L,  M,  N 
gebe,  zwischen  welchen  eine  lineare  Beziehung  nicht  stattfindet.  Dass 
solche  drei  im  Allgemeinen  existiren  müssen,  ist  noch  nicht  bewiesen; 
aber  man  kann  den  Nachweis  davon  auf  den  oben  bewiesenen  Satz 
zurückführen,  dass  im  Allgemeinen  immer  zwei  c|uadratische  Covarian- 
ten vorhanden  sind,  deren  Resultante  nicht  Null  wird  Hat  man 
nämlich  zwei  solche,  so  kann  man  immer  eine  dritte  angeben,  welche 
mit  beiden  nicht  durch  eine  lineare  Relation  verbunden  ist,  also  ein 
System  L,  M,  N ,  wie  das  oben  betrachtete,  mit  ihnen  bildet.  Es  ist 
dieses  die  Functionaldeterminante  beider  Formen.  Dieser  Fall,  wo  N 
die  erste  Ueberschiebung  von  L  und  M,  also  mit  v  identisch  ist*, 
kommt  in  den  Anwendungen  vor,  und  es  treten  ausserdem  gewisse 
Vereinfachungen  bei  demselben  ein,  die  es  wünschenswerth  machen, 
diesen  Fall  genauer  zu  verfolgen. 

Es  ist  der  Voraussetzung  nach 

I\—v  —  (Im)  Ij-  nix. 

Nach  den  Sätzen  des  §  58.  zeigt  sich  also,  dass 

Ai„  =  Aiv  =  0,      A„,„  =  Ar„^  =  0,       [§  58.  (13).] 
sodann  wird 

A,,n  =  Arv=i  (All  A,n  „.  -  Alm") ,         [§  58.  ( 1 6).] 
und  endlich  ist 


*  Geometrisch:    Das    Paar  N=^i}  ist   zu  den  Paaren  i  =  0  und  M=(y  har- 
monisch. 

27* 


420  Neunter  Abschnitt,     Typische  Darstellung  der  Formen 

D  =  —  (Im)  (mn)  (nl)  =  (vny  =  (vv'y  =  Ann 

=  "2"   (AllA.„t  m —  Alm  )  =  Y  -^nn  • 

Was  die  übrigen  JB  angeht ,  so  wird  Bi  „  und  Bm  n  gleich  Null  und 

Jjll  =  Jim  m  -^n  n  y       -til  m  =^         -^/  m  -^nny       -t>m  m  =^  -A-ll  -^n  n  • 

Ausserdem  hat  man  nach  §  58.  (12) 

2.=:i[ÄmrnL^ÄirnM),       ^  ==  ^  (Aa  M- Äim  L). 

Die  Relation  zwischen  Z,  31,  N  schreibt  sich  hier  am  einfachsten 
in  Gestalt  der  bekannten  Gleichung,  mittelst  deren  sich  das  Quadrat 
der  Functionaldeterminante  durch  die  constituirenden  Functionen 
ausdrückt : 

(1)  N''  =  -i\AaM'-2AimML  +  A^mL'l 

Da  hier  das  Quadrat  von  N  sich  durch  M,  N  ohne  Nenner  aus- 
drückt, so  kann  man  der  typischen  Darstellung  die  Form 

(2)  f.n^=P,L^  +F,1^'''  M...-{-PnM^ 

2 

2 

hier   geben,    ohne   dass    eine  Potenz   von  B„„   als  neuer  Nenner  hin- 
zutritt. 

n 

Die  Gleichung  (15)  endlich  kann  man  nun,  indem  man  mit  2'^ 
multiplicirt,  in  folgender  Weise  darstellen: 

n 

(3)  f.\AiiA„,m-AiJ\'^ 

^[(ary{LAmm-MAim)  +  iiamy(iMAa~LAr„i)  +  2(iany.N] 

.  [[aiy  (LAmm-MAi„r)+  (amy  (MAu-LAmi) +2  [any.N] 


Führt  man  die  rechte  Seite  aus  und  setzt  immer  für  N^  seinen 
Werth  aus  (1),  so  erhält  man  die  typischen  Darstellungen,  wie  sie 
oben  gebraucht  wurden.  Es  sind  hier  ausser  den  k  Coefficienten  P,  Q 
nur  noch  die  drei  Invarianten  Au,  A/„,,  Amm,  welche  in  die  Darstellung 
einer  Invariante  aus  der  typischen  Form  eingehen  können.  Alle  In- 
varianten stellen  sich  also  hier  als  rationale  Functionen  von  nurÄ;-j-3 
Grössen  dar,  und  die  Nenner  derselben  sind  Potenzen  der  Verbindung 
AiiAmm  —  Aim^.  Zwischcn  den  drei  übriggebliebenen  A  und  den 
P,  Q  bestehen  nun  nicht  mehr  neun,  sondern  nur  noch  sechs  Gleich- 
ungen. Man  erhält  dieselben,  indem  man,  von  der  typischen  Dar- 
stellung   ausgehend,    L  und  M  bildet.     Diese  nehmen  die   Form  an: 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  104,  105.      421 

die  5,  Tj   Uf  S'y  T',   V  sind  ganze  Functionen  der  angeführten  Ä:  +  3 
Grössen  und  die  zwischen  denselben  stattfindenden  Gleichungen  sind: 

S^l,     T=0,     U  =  0 
S'=0,     T'=\,     ü'=0. 

Sind  diese  erfüllt,  so  erhält  man  L  und  M  wirklich  durch  die 
betrefi'enden  Operationen ;  die  Bildung  von  N,  welche  nur  auf  die  von 
L  und  31  sich  stützt,  muss  von  selbst  auf  die  richtige  Function  führen 
und  kann  daher  zu  neuen  Relationen  keine  Veranlassung  mehr  geben. 


§  105.    Ueber  die  Möglichkeit,  Systeme  von  Formen  gerader  Ordnang 

mit  gleichen  absoluten  Invarianten    durch  lineare  Transformation  in 

einander  überzuführen. 

An  diese  Untersuchungen  knüpfen  sich  nun  Betrachtungen,  welche 
für  Formen  gerader  Ordnung  genau  dasselbe  leisten,  was  die  Betrach- 
tungen des  §  92.  in  Bezug  auf  Formen  ungerader  Ordnung  ergaben, 
oder  in  Bezug  auf  Formensysteme,  welche  mindestens  eine  Form  un- 
gerader Ordnung  enthielten. 

Wenn  zwei  Systeme  von  Formen  gerader  Ordnung  mittelst  linearer 
Substitutionen  in  einander  überführbar  sein  sollen,  so  ist  die  Gleich- 
heit der  absoluten  Invarianten  die  unumgängliche  Vorbedingung.  Aber 
aus  dieser  folgt  die  Möglichkeit  der  Transformation  noch  ebenso  w.enig, 
wie  das  Entsprechende  bei  den  Systemen,  welche  Formen  ungerader 
Ordnung  enthielten,  eine  Folge  jener  Gleichheit  der  absoluten  Inva- 
rianten war.     Es  tritt  nun  aber  folgender  Satz  ein: 

Zwei  Systeme  von  Formen  gerader  Ordnung  sind 
immer    durch  lineare   Transformation    in    einander 
überführbar,    sobald    erstlich    alle    entsprechenden 
absoluten  Invarianten  einander  gleich  sind,  und  so- 
bald  zweitens   zwei   Paare    entsprechender  quadra- 
tischer Covarianten,  L,  M  bei  dem  einen,  Z',  31'  bei 
dem    andern    Systeme   existiren,   so   dass   weder   die 
Resultante   von  L  mit  Jf,    noch   die    von    L'    mit  M' 
verschwindet. 
In  allen  anderen  Fällen  sind  besondere  Untersuchungen  über  die 
Möglichkeit  der  Transformation  anzustellen,   doch  betreffen  dieselben 
immer  nur  noch  sehr  specielle  Formen. 

Man  beweist  den  obigen  Satz  folgendermassen : 
J)q,  L,  M  eine  nicht  verschwindende  Resultante  D  haben,  so  kann 
man  diese  Formen  und  ihre  erste  Ueberschiebung  N  zur  typischen  Dar- 


422  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

Stellung  von  /'  benutzen  und  der  dabei  auftretende  Nenner  JD  ist  von 
Null  verschieden.  Man  erhält  für  eine  Form  f  des  einen  Systems 
eine  Gleichung  der  Form: 

(1)  B^.fix.x,)  -  P,  L^  {X)  +  P,  Z^~'  {x)3I{x) 

+  P,  Z"^"'  C^)  i¥^  (x)...-{-Pj,  M~^  ix) 

2 

+  N{x)  IQ„L^~  (X)  +  Q, L^  ' ''  [x) M(x) 
+  Q,  L^~'  {X)  M^  (X) . . .  +  g„_M^  ''(«)!> 

2 

WO  die  P,  Q  Invarianten  sind.  Ebenso  hat  man  für  die  entsprechende 
Form  des  zweiten  Systems: 

(2)  D'^r  (y,y,)^r,L'^(y)+F,L'~^~\y)M'{y) 

+  P',  L'^^  "'(y)  JP^  (2/) . . .  +  P'n  M'  ^  {y) 


+  W{y)\q,L'^'    \y)+Q\L"'    \y)M'[y) 
+  Q',L'^'~\y)M'Hy)...-\-Q'nJ\r^~'  {y)\,  ' 

Nun  setzen  wir  voraus,  dass  entsprechende  absolute  Invarianten 
gleich  seien,  oder  dass,  wenn  J ,  J'  zwei  entsprechende  Invarianten 
des  Systems  sind,  g,  g  ...  ihre  Grade  in  Bezug  auf  die  Coefficienten 
von  /',  cp  . .  .  bez.  /',  cp'  .  .  .,  und  n,  n' .  .  .  die  Ordnungen  der  zuge- 
hörigen Functionen ,  immer  eine  allen  Invariantenpaaren  J,  J'  gemein- 
same Grösse  r  gefunden  werden  könne,  so  dass 

ng  +  n'  g'  +  ... 

(3)  J'^J.r  2-       . 

Ist  es  möglich,  das  eine  Formensystem  durch  lineare  Transfor- 
mation in  das  andere  überzuführen,  so  muss  dann  r  die  Determinante 
der  Transformation  sein. 

Bezeichnen  wir  die  Grade  von  L  und  M  in  Bezug  auf  die  ver- 
schiedenen Functionen  des  Systems  durch 

IjJ  A/,         A/   ,         tv       ... 

M)  i,    T,    r ..., 

so  werden  die  Grade  von  N: 

N)   j(-\-i,   k'  +  r,   k"  +  r 

daher  die  von  D: 

D)  2k  +  2l,  2k'  +  2l\  2k"  +  2r, 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  105.  423 

die  Gesammtgrade  der  Gleichung  (1)  oder  (2): 

daher  die  Grade  der  Coefficieiiten  F,   Q: 
P„)  n  [k+l)  + 1  -  *^,  n  (k'  +1')-"^, 


«r+n-^f ..., 


P,)  n  (h  +  1)  +  1  -  '-\^-  +  k-I,         «  (;t'  +r )  -  ^  +  k-  -  r, 

nik"+r)~'^+  r-  r..., 

P,)  n{k+l)  +  \-~Jr2k--2l,    n(k' +1') -~ +  2k' -21' , 
n  (k"+l")  -  '-^  +  2k"  -21"  ..., 


„(r+n-^'-r..., 

q,)  nik+T)+i-'^-k-2l,       n(k'+l')-'^+k'-2l', 

n  h" 

n[k"+r)-^-  +  k"-2l"..., 


Endlich  entsprechen  also  der  Gleichung  (3)  bei  diesen  Invarianten 
folgende : 

n9  ,  n 

(4)  P',^P,.r"'^  +  '^)-"^-*-''~''-^^ 


wo  der  Kürze  wegen 
gesetzt  ist. 


// k  +  n'k'  +  . .  .  nl  +  nV  +  . . . 

Q  ^ ö y        ^  == 1^ 


424  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

Tragen  wir  diese  Werthe  der  D' ,  F\,  F\...,  Q'^  . . .  in  die 
Gleichung  (2)  ein,  so  verwandelt  sich  dieselbe  nach  Division  mit 
r'i{Q  +  o)  in  folgende: 

+^{«.(&*-r'+«,(P)?-^u...|. 

Vergleicht  man  dieses  mit  der  Gleichung  (1)  und  bemerkt,  dass 
bei  der  Bildung  der  Zahlen  q,  ö  alle  Functionen  des  Systems  sym- 
metrisch benutzt  sind,  dass  also  diese  Zahlen  in  allen  mit  (1),  (5) 
analog  gebildeten  Gleichungen  dieselben  Werthe  besitzen,  so  sieht 
man,  dass  die  lineare  Ueberführung  des  Functionensystems 
r,  9  . . .  in  /",  (p  .  . .  geleistet  ist,  sobald  es  gelingt,  durch 
lineare  Substitution  gle-ichzeitig  die  Gleichungen: 

L'  {y)  =  r^-'      L  {X) 
(6)  3r{y)  =  r^-i      M  {x) 

so  zu  befriedigen,  dass  r  die  Determinante  der  Substi- 
tution ist.  Denn  indem  man  diese  Gleichungen  annimmt,  ergeben 
die  Gleichungen  (1),  (5)  und  die  analog  zu  bildenden  Gleichungspaare 
sofort 

r  (2/i ; 2/2)  =f(^i, ^2) y      ¥  {Vi ,y-^  =  ^  (^1  y ^2)    ^tc. 

Was  nun  das  reducirte  Problem  (6)  angeht,   so    bemerke  ich  zu- 
nächst, dass  die  Forderung,  r  solle  die  Determinante  der  Substitution 
sein,   von   der   durch   das  Hinzutreten   der   dritten  Gleichung  (6)  aus 
gedrückten  Bedingung  nicht  verschieden  ist.     Geht  man  nämlich  von 
den  Gleichungen 

m  L'  {y)  =  r^-^L  {X) 

^^  M\y)  =  r  ~'M{x) 

aus,  indem  man  die  x  als  lineare  Functionen  der  y  mit  der  Determinante 
s  voraussetzt,  und  bildet  nun  beiderseits  die  erste  Ueberschiebung, 
so  erhält  man 

N'{y)=:.rQ+o-'^s.N(ix), 

nnd  daher  wegen  der  dritten  Gleichung  (6)  s  =  r,  oder  umgekehrt 
die  Gleichung  (6)  selbst,   wenn   man  s  —r  voraussetzt. 

Wenn  es  nun  also  nach  (7)  darauf  ankommt,  zwei  Paare  quadra- 
tischer Formen  gleichzeitig  mittelst  derselben  Substitution  in  einander 
überzuführen ,  so  kann  man  diese  Aufgabe  geometrisch  folgendermassen 
interpretiren.  Es  sind  zwei  Punktepaare  Z'(?/)  =  0,  31'  (y)  =0  auf 
einer  Geraden,    zwei  andere,  L(^x)  =  0,  M(x)=0  auf  einer  andern 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  105.  425 

gegeben,  jenen  einzeln  zugeordnet.  Man  soll  die  beiden  Geraden  so 
in  Perspective  setzen,  dass  das  erste  Paar  der  zweiten  Geraden  mit 
dem  ersten  der  ersten,  das  zweite  Paar  der  zweiten  Geraden  mit  dem 
zweiten  der  ersten  projectivisch  wird.  Betrachten  wir  aber  L'  [\j)  =  0 
und  3r  (jy)  =  0  als  Punktepaare  einer  Involution,  L  (x)  =  0,  M^x)  =  0 
als  die  einer  andern,  so  müssen  diese  ganzen  Involutionen  dabei  projec- 
tivisch werden,  vor  allem  auch  ihre  beiderseitigen  Doppelpunkte.  Diese 
sind  durch  die  Factoren  jV (^)  =  0  einerseits,  durch  die  von  N[x)  =  0 
andererseits  gegeben;  die  Quadrate  der  Gleichungen  der  letzteren 
aber  erhält  man  nach  §  57.,  indem  man  in  der  Gleichung 

(8)  L^  +  X2I^  =  0 

X  so  bestimmt,  dass  der  Ausdruck  links  ein  Quadrat  wird,  d.  h.  indem 
man  A  durch  die  quadratische  Gleichung 

(9)  Än  +  2XÄi^^PA^n,  =  0 
bestimmt. 

Die  Gleichung  (8)  stellt  an  und  für  sich  ein  beliebiges  Paar  der 
zweiten  Involution  dar,  und  je  einen  ihrer  Doppelpunkte,  wenn  man 
für  X  die  beiden  Wurzeln  von  (9)  einführt.  Einem  Paare  (8)  entspricht 
in  der  andern  Reihe  das  Paar  [nach  (7)]: 

(10)  ^  +  ^^-0, 

in  welches  (8)  durch  die  gesuchte  lineare  Transformation  übergehen 
soll.  Sucht  man  nun  die  Doppelpunkte  der  Reihe  (10),  so  erhält  man 
sie  aus  der  quadratischen  Gleichung 

Soll  also  die  vorliegende  Aufgabe  lösbar  sein,  so  muss  diese  qua- 
dratische Gleichung  mit  der  Gleichung  (9)  identisch  werden,  wodurch 
denn  in  der  That  auch  die  Doppelpunkte  der  beiden  Involutionen 
und  damit  diese  ganz  einander  entsprechen. 

Diese  Forderung  ist  nicht  befriedigt,  wenn  L,  L' ,  My  31'  be- 
liebige Formen  sind;  denn  in  der  That  erfordert  die  Möglichkeit,  L' 
in  L  und  zugleich  31'  in  31  zu  projiciren,  dass  die  aus  L\  31'  zu 
bildende  absolute  Invariante  mit  der  aus  L,  31  zw  bildenden  überein- 
stimme (vgl.  §  57.).* 

Aber  in  dem  vorliegenden  Falle  tritt  dies  allerdings  ein.  Denn 
da  Aiij  Aimt  Amm  simultane  Invarianten  des  Formensystems  /",  (p  . . . 
sind,  und  zwar  von  den  folgenden  Graden  in  Bezug  auf  die  Coef- 
ficienten  der  verschiedenen  Formen: 


*  Geometrisch:    Das    Doppelverhältniss    der   Paare   X,    M    muss    dem    ent- 
sprechenden der  Paare  X',  31'  gleich  sein. 


426  Neunter  Abschnitt.  Typische  Darstellung  der  Formen 


An    ) 

2h, 

2h', 

2h"  . . 

Ai,„  ) 

Ic  +  l, 

h'  +  r, 

h"  + 1' 

■^m  m  ) 

21, 

21', 

21"  . . 

SO  bestehen  nach  (3)  die  Gleichungen: 
(12)  Arm'  :=Ann  .r^+cT 

■^-*-m  m    ' —  ■^-'-m  m  '  '        j 

und   vermittelst    derselben    prehen  wirklich    die    beiden    quadratischen 
Gleichungen  (9)  und  (11)  in  einander  über. 

Da  der  Voraussetzung  nach  die  Resultante  von  L,  M  einerseits 
und  von  L' ,  M'  andererseits  nicht  verschwindet,  so  hat  die  Gleichung 
(9)  oder  (11)  zwei  verschied  ene  Wurzeln;  denn  die  Discriminanten 
dieser  Gleichungen  sind  mit  jenen  Resultanten  identisch  (§  27 ).  Be- 
zeichnen wir  die  Wurzeln  von  (9)  durch  X^  und  X^,  so  können  wir  nun 

L  (x)  +  X,M  (x)  -^  X,^ 

L  {x)  +  X.,  M  {x)  -=  X.^ 


(13) 
und 


(14) 


VJ^j)  M'{y) 


setzen,  wo  X^,  X.,  lineare  Functionen  der  x  von  nicht  verschwinden- 
der Determinante  und  Y^,  Yg  solche  der  y  sind.  Es  sind  X^=0, 
X^  — 0  die  Doppelpunkte  der  einen,  F^  =  0,  Fg  =  0  die  der  andern 
Involution;  die  ganzen  Involutionen  nehmen  die  Form  an: 

0  -  X  (x)  (l-/i)  +  (A,-ft  X,)  M  (x)  =  Xi^  -  ^ Z/ 

und  das  gegenseitige  Entsprechen  der  Involutionspaare  ist  durch  gleiche 
Werthe  von  ^  angezeigt;  für  ^  =  1  und  ^  —  y  ßi'lialten  wir  die  Paare, 

von  denen  wir  ausgingen. 

Man    sieht,    dass    diese    Involutionspaare   sämmtlich   projectivisch 
sind,  indem  ihre  Gleichungen  durch  die  Substitutionen 

(16)  Y,  =  hX„     Y,^s,X, 

{s^  und  fg  gleich  4:1)  in  einander  übergeführt  werden  können.  Diese 
Gleichungen  enthalten  also  zugleich  die  gesuchten  Substitutionen,  ver- 
möge deren  die  Formensysteme  f,  (p  .  .  .  und  /",  9)'  .  .  .  in  einander 
übergehen. 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  105.  427 

Es  ist  zunächst  zu  untersuchen,  ob  die  Substitutionsdeterminante 
wirklich  gleich  r  ist.  Die  Einsetzung  der  Werthe  ^  =  yi,  fi  =  1  in 
(15)  giebt: 


i'  (y)    ^r/^-A,iv 

A,  —  Aj 

Bilden  wir  nun  irgend  eine  Invariante  von  L,  M  einerseits,  von 

X',  31'   andererseits,   etwa  An,  An',   und  bezeichnen  wir  mit  a   die 

Functionaldeterminante  der  X  nach  den  x,  mit  b  die  der  Y  nach  den 
y,  so  haben  wir  offenbar: 

WO  A  nur  von  A^,  A^  abhängt;   und  also  wegen  (12): 

b'^  =  a^  r\ 

Aber  aus  (16)  folgt,  wenn  s  die  Functionaldeterminante  der  X 
nach  den  Y  bedeutet : 

6=  +  aSy 
also 

Da  nun  s  das  Zeichen  ändert,  indem  man  s^  oder  f^  in  das  ent- 
gegengesetzte  übergehen  lässt,  so   kann    man  immer,   und  zwar    nur 

auf  eine  Weise,  das  Yerhältniss  —  so  bestimmen,  dass  die  Determi- 
nante der  Substitution  (16  einem  den  Gleichungen  (4)  gemäss  bestimm- 
ten Werthe  von  r  gleich  wird. 

Jedem  Werthe  von  r,  welche  den  Gleichungen  (4)  genügt,  ent- 
spricht also  eine  Substitution  (16),  welche  bis  auf  ein  allen  Coefficien- 
ten  gemeinsames  Vorzeichen  völlig  und  eindeutig  bestimmt  ist.  Die 
Bestimmung  des  letztern  kann  auf  mehrfache  Art  möglich  werden,  doch 
so,  dass  der  Gleichungen  (4)  wegen  die  Grössen  r^,  r^  vollkommen 
bestimmt  sind,  wie  man  erkennt,  wenn  man  die  Combinationeu  bildet: 
P'       V  P'        P 

Daher  können  auch  Y^,  Y^  ^^^  noch  um  einen  gemeinsamen 
Factor  geändert  werden ,  welcher  eine  Einheitswurzel  ist,  und  es  folgt 
also,  dass  die  Substitution  (14),  welche  den  U ebergang  von 
einem  Formensystem  zum  andern  vermittelt,  überhaupt 
bis  auf  einen  allen  Substitutionscoef ficienten  gemein- 
samen, einer  Einheitswurzel  gleichen  Factor  völlig  und 
eindeutig  bestimmt  ist. 


428  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

Für  zwei  biquadratische  Formen  f,  f  ergiebt  die  vorliegende  Unter- 
suchung nichts,  da  bei  ihnen  quadratische  Covarianten  nicht  existiren. 
Indessen  übersieht  man  bei  diesen  die  Verhältnisse  leicht  unmittelbar. 
Damit  zwei  solche  Formen  oder  die  durch  sie  repräsentirten  Gruppen 
von  je  vier  Elementen  durch  lineare  Transformation,  geometrisch 
durch  Projection,  in  einander  übergehen  können,  müssen  die  Doppel- 
verh'ältnisse,  also  die  absoluten  Invarianten  gleich  sein.  Wenn  die 
Punkte  jeder  Gruppe  getrennt  sind,  so  ist  dies  auch  hinreichend. 
Und  zwar  ist  dann  die  Ueberführung  auf  vier  verschiedene  Arten 
möglich.  Denn  sind  a,  h,  c,  d  die  Punkte  der  einen  Gruppe,  a,  ß, 
y,  d  die  der  andern,  und  haben  die  letzteren  bei  dieser  Anordnung 
dasselbe  Doppelverhältniss  und  sind  also  in  die  ersteren  projicirbar, 
so  findet  dies  auch  noch  für  die  Anordnungen  ß ,  cc,  d ,  y]  y ,  d,  a,  ß] 
dy  y,  ß,  a  statt,  welche  nach  §  21.  denselben  Werth  des  Doppelver- 
hältnisses ergeben. 

Fallen  aber  zwei  Punkte  einer  Gruppe  zusammen ,  so  müssen 
auch  in  der  andern  zwei  und  nicht  mehr  zusammenfallen;  fallen  drei, 
zweimal  zwei  oder  vier  zusammen,  so  muss  immer  das  Entsprechende 
auch  bei  der  andern  Gruppe  eintreten,  damit  die  Transformation 
möglich  sei;  was  dann  nach  §  48.  nicht  mehr  durch  Eigenschaften 
von  Invarianten,  sondern  durch  Eigenschaften  von  Covarianten  an- 
gezeigt wird. 


§  106.    Drei  simultane  quadratisclie  Formen. 

Wollen  wir  die  Betrachtungen  des  vorigen  Paragraphen  auf  ein- 
zelne Formen  oder  auf  Systeme  anwenden,  so  tritt  uns  immer  die 
folgende  Frage  entgegen,  welche  zugleich  die  Anwendung  des  Vorigen 
auf  ein  System  dreier  quadratischer  Formen  enthält: 

Welches  sind  die  Bedingungen  dafür,  dass  ein 
System  dreier  quadratischer  Formen  keine  zwei 
quadratische  Covarianten  enthält,  deren  Resultante 
von  Null  verschieden  ist? 

Man  kann  diese  Frage  zunächst  vermöge  einer  geometrischen 
Ueberlegang  entscheiden.  Denkt  man  sich  drei  Gruppen  von  je  zwei 
Punkten,  welche  den  drei  Formen  entsprechen,  so  müssen  je  zwei 
der  drei  Punktepaare  einen  gemeinschaftlichen  Punkt  besitzen.  Ent- 
weder also  besitzen  alle  drei  einen  gemeinschaftlichen;  dieser  kommt 
dann  auch  ihren Functionaldeterminanten  zu,  und  es  giebt  also  keine 
Form  des  Systems,  welche  für  diesen  Punkt  nicht  verschwindet,  also 
auch  nicht  zwei  Covarianten,  deren  Resultante  nicht  Null  ist.  Oder 
zweitens,  wenn  a,  &,  c  drei  Punkte  sind,  werden  die  drei  Paare  durch 


gerader  Ordnung  mittelst  quadi-atischer  Covarianten.  —  §§  105,  106.     42Ö 

ah,  hCy  ca  dargestellt.  In  diesem  Falle  giebt  es  quadratische  Co- 
varianten von  nicht  verschwindender  Resultante,  z.  B.  eine  lineare 
Combination  der  ersten  beiden  Formen,  und  die  dritte.  Dieser  Fall 
ist  also  auszuschliessen,  und  man  kann~also  den  Satz  aussprechen: 

Drei  quadratische  Formen  ergeben  nur  dann 
keine  zwei  quadratischen  Covarianten  von  nicht  ver- 
schwindender Resultante,  wenn  sie  einen  allen 
dreien  gemeinsamen  linearen  Factor  besitzen. 

Untersuchen  wir  dasselbe  jetzt  analytisch. 

Führen  wir  die  Bezeichnungen  des  §  58.  ein,  so  haben  wir  drei 
quadratische  Grundformen  f^,  f^,  f^  und  ihre  gegenseitigen  ersten 
Ueberschiebungen  O-og,  ^^i,  -O-j^.  Andere  quadratische  Covarianten 
existiren  nicht. 

Die  simultanen  Invarianten  der  Formen  werden  durch  -D,/t,  i^^gs 
bezeichnet.  Sollen  die  Resultanten  der /^  verschwinden,  die  wir  durch 
Pik  bezeichnen  wollen,    so  müssen   die   drei  Gleichungen   stattfinden: 

P,,  =  D„A2- -0,2^  =  0. 
Die  Resultante  von  /i  mit  ^kh  wird: 

^  Pi,  kh  =  Da,  I>kk,kh  —  D^u,  khy 
wo  nach  §  58. 

während  D^,  a-a  gleich  i^^^s  ^^^^  gleich  Null  ist,  je  nachdem  i,  h,  h 
sämmtlich  verschieden  sind  oder  nicht.  Das  Verschwinden  aller  Re- 
sultanten Pj,  kh  reducirt  sich  also  auf  die  eine  Gleichung: 

Endlich  wird  die  Resultante  von  -O-ja-  mit  d^mn' 

■^ik,  mn^^=^  J-^ik  ,  ik  J-^m  n,mn         -^"j  k,  mn- 

Die  ersten  beiden  Grössen  D  sind  ^  Pik  und  ^Pmaj  also  schon 
nach  dem  Vorigen  verschwindend;  die  letzte  wird 

P^ik  ,mn='  Dim  Dk  n  —  Pin  Dkm  ♦ 

Auch  diese  und  also  alle  Unterdeterminanten  von 

A.    D,,    D,3 
Du    D,,    D,3 

-^31       -^32       -^33 

müssen  verschwinden,  und  man  hat  den  Satz: 


(1)  2  B^ 


123 


430 


Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  i'ormen 


Unter  den  quadratisclien  Covarianten  dreier 
quadratischen  Formen  befinden  sich  nicht  zwei 
ohne  gemeinschaftlichen  Factor,  sobald  und  nur 
wenn  alle  Unterdeterminanten  der  Determinante  (1) 
verschwinden. 

Man  kann  aus  diesem  Resultate  den  oben  angegebenen  Satz  ab- 
leiten. Da  i^^23  =  0,  so  ist  eine  der  Formen,  etwa  f^,  eine  lineare 
Function  der  andern: 

Nimmt    man    dies    aber  an,    so   giebt   das  Verschwinden  aller  Unter- 
determinanten von 


2B'=^ 


12 


A2 
A2 


nur  noch  die  eine  Gleichung 


7}      7)     _  7)    2 

-^11  •*^22  "^12 


X  Z)^2  +  A  D22 


=  0. 


Es  müssen  f^^  f^  einen  gemeinsamen  Factor  haben,  und  dieser 
kommt  dann  auch  der  Form  /g  =  ;c /j  +  A /'^  =  0  zu;  dies  ist  nöthig  aber 
auch  hinreichend,  wie  oben  geometrisch  gezeigt  wurde. 

Dies  ist  zugleich  der  einzige  Fall,  in  welchem  die  Gleichheit  der 
absoluten  Invarianten  zweier  Systeme  von  je  drei  quadratischen  For- 
men die  Möglichkeit,  durch  lineare  Transformation  ein  System  in  das 
andere  überzuführen,  nicht  sofort  nach  sich  zieht. 

Wenn  der  erwähnte  Ausnahmefall  nicht  eintritt,  so  kann  man  /^ 
durch  f^,  (2  und  d'^^  ausdrücken.  Man  erhält  dann  aus  der  Gleichung 
(4)  des  §58.: 


(2) 


2 '^12  ^123  = 


Ai    A2    A 

B,,     D,,     B, 

n     u    u 


wodurch  f^  als  lineare  Function  von  f^^  f^,  -O'j^  gegeben  ist,  so  lange, 
wie  hierbei  vorausgesetzt  werden  muss,  B^^B.^.2~  ^n  y  ^i^  Resul- 
tante von  f^,  /!,,  von  Null  verschieden  ist.  Wenn  insbesondere 
i?i23  =  ö;  so  muss  /g  die  Form  xf^-^Xf^  haben;  die  Werthbestimmung 
von  X,  A  ist  durch  die  Gleichung  gegeben,  in  welche  (2)  dann 
übergeht : 


D, 


A. 


As 


=0. 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  106,  107.        431 

§  107.    Simultanes  System  einer  quadralisclieii  und  einer   biquadratischen 
Form:  FällC)  in  welchen  keiue  typische  Darstellung  möglich  ist. 

Ein  System  dreier  simultanen  quadratischen  Formen  bildet  die 
Grundlage  für  das  simultane  Formensystem  einer  quadratisclien  Form 
f  und  einer  biquadratischen  cp.  Jene  drei  Covarianten,  deren  eine  f 
selbst  ist,  wurden  in  §  60,  durch 

ihre  ersten  üeberschiebungen  durch 

bezeichnet;  ihre  simultanen  Invarianten  waren: 


iE     i^ 

6  "^  18  ' 


Untersuchen  wir  zunächst,  unter  welchen  Umständen  eine  typische 
Darstellung  durch  quadratische  Covarianten,  wie  sie  in  §  103.  au- 
gegeben wurde,  nicht  möglich  ist.  Es  gehört  dazu,  dass  C  und  alle 
Unterdeterminanten  von 


*.■ 

Brr=  B, 
=  B  +  '-^,    B^r 

Br^  =  A, 
iA    jB 

Bn=B, 

^XX        3 

^/r     ^fiD     ^fx 

l^f-ip         -^\l)\l)         ^TpX 


^X  '^X  XX 

verschwinden,  oder  dass  f,il^fX  einen  gemeinsamen  Factor  haben. 
Unterscheiden  wir  zwei  Fälle: 

1)  f  kein  Quadrat.     Es  sei  f=2x^x^,  und 

(p^ax^^-\-4:ß  x^^x.^  +  Qy  x^x^  +  4  d  a^i  x,}  +  b  V 
R=^  dx^^  -f  4  ^'x^  xl  +  6  yx^^  x.^  +  4  ö'xj  x}  +  s  x.^\ 

Man  hat  dann: 

rl^=-2  {ß  x,^ -^2y  x,x.,-^  8  x.,^) 
%  =  -2{ß'x,'-\2y'x,x,^d'x,'). 

Soll  ein  Factor  von  f,  etwa  x^,  auch  Factor  von  ^  und  %  sein,  so 
muss  man  haben  (vgl.  die  ausgerechnete  Form  von  H  in  %  40.) : 

d  =  0,     d'=^2{ße~yd)  =  0, 

also  entweder  ^  =  0,  f  =  0,  d.  h.  ein  Factor  von  x  ist  Doppelfactor 
von  9);  oder  /3  =  0,  d  =  0.  In  diesem  zweiten  Falle  enthalten  also 
(p,  H  nur  gerade  Potenzen;  und  zwar  wird  (vgl.  §  40.) 

cp  =ax^^-\-Qy  x^  x.^  -\-  a  x.^ 

H=  2  «  y  o;/  +  2  («  £  -  3  y^)  x^  x^-\-2yh  x^\ 


432  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  t'ormen 

Ferner  wird: 

Es  ist  also  nur  einer  der  folgenden  Fälle  denkbar: 
a)  T  ist  von  Null  verschieden; 

also  f  bis  auf  eine  Constante  eine  der  irrationalen  quadratischen  Co- 
varianten,  in  welche  T  zerfallt. 

h)  T  verschwindet  identisch,  indem  «£  — 9;^2  =  0,  ohnedassy  =  0. 
In   diesem   Falle   wird   9)   das  Quadrat   eines   in  x^,  x.^  linearen  Aus 
drucks.     Es  ist  also  9)  das  Quadrat  einer  Form,    deren  zweite  üeber- 
schiebung  mit  f  verschwindet. 

c)  T  verschwindet,  indem  y  und  a  oder  e  verschwinden.  Dann 
ist  (p  ein  Biquadrat,  dessen  Wurzel  Factor  von  /"ist.  Dieser  Fall  ist 
unter  dem  zuerst  erwähnten  als  Besonderheit  enthalten. 

2)  f  ein  Quadrat,  =;r/.  Indem  man  die  obigen  Bezeichnungen 
beibehält,  wird 

'^  =  —  2{yx^^+2dx^x^-\-£X.^^) 
X^-2{y'x,'  +  2d'x,x,  +  ax,'y, 

also,  damit  x  auch  Factor  von  i^  und  %  sei: 

£  =  0,     s=2{y£~d^)  =  0,       d.h.  £^-0,     ^  =  0. 

Es  muss  also  x^  Doppelfactor  von  (p  sein.  Dies  kann  in  der 
ersten  Abtheilung  des  vorigen  Falles  enthalten  gedacht  werden,  wenn 
man  dort  nur  die  Forderung,  dass  f  kein  Quadrat  sei,  aufhebt. 

Die  typische  Darstellung  durch  quadratische 
Covarianten  ist  also  nicht  möglich,  und  aus  der 
Gleichheit  der  absoluten  Invarianten  zweier  For- 
menpaare /*,  9?  und  /■',  g)'  folgt  die  Möglichkeit 
linearer  üeberführung  nicht  sofort, 

1)  wenn  ein  Factor  von  /^Doppelfactor  von  cp  ist; 

2)  wenn  f  bis  auf  eine  Constante  eine  der  drei 
irrationalen  Covarianten  ist,  in  welche  T  zerfällt*; 

3)  wenn  cp  Quadrat  einer  Form  zweiter  Ord- 
nung ist,  deren  zweite  Ueberschiebung  mit  /*  ver- 
schwindet.** 

Ich  habe  hier  die  für  die  Fälle  2),  3)  oben  festgehaltene  Vor- 
stellung, dass  f  kein  Quadrat  sei,   fallen  gelassen.     Dass  dies  erlaubt 


*  Geometrisch:  Das  Punktepaar  von  f  ist  bei  einer  gewissen  Zer- 
legung der  vier  zu  cp  gehörigen  Punkte  in  -zwei  Paare  zu  beiden 
harmonisch. 

**  Geometrisch:  Die  vier  zu  qp  gehörigen  Punkte  bilden  ein  Doppel- 
paar von  Punkten,   welche  mit  den  zu  /  gehörigen  harmonisch  sind. 


gerader  Ordnimg  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  107,  108.        433 

ist,  sieht  mau  leicht  ein,  ebenso  wie,  dass  umgekehrt,  wenn  eiuer 
der  Fülle  1),  2),  3)  eintritt,  auch  wirklich  immer  ff  i^,  %  einen 
gemeinsamen  Factor  haben  und  daher  die  typische  Darstellung  unmög- 
lich wird. 

Was  3)  anbetrifft,  ^o  ^e\  f=x^-,  (p —  {ax^- -\-2hx^x.,-{- cx,,^)-.  Soll 
die  zweite  üeberschiebung  von  f  mit  ^<p  verschwinden,  so  luuss 
e  =  0  sein,  (p  hat  den  Doppelfactor  x  und  man  hat  einen  besondern 
Fall  von  1)  vor  sich.  Dass  im  Falle  1)  und  3)  wirklich  f^  i^,  %  einen 
gemeinsamen  Factor  haben,  lehrt  die  Bildung  von  ^,  x,  welche  oben 
ausgeführt  wurde. 

Nur  für  den  Fall  2)  ist  zu  beweisen,  dass,  wenn  f  einer  der  aus 
T  entstehenden  drei  irrationalen  Covarianten  bis  auf  einen  constanten 
Factor  gleich  ist,  il)  und  %  mit  /  einen  Factor  gemein  haben.  Es 
muss  hier  T  von  Null  verschieden  sein.  Daher  sind  nur  drei  Fälle 
zu  betrachten,  je  nachdem  in  q)=^0  alle  Wurzeln  verschieden,  oder 
zwei  gleich,  oder  endlich  drei  gleich  sind,  die  übrigen  aber  jedesmal 
verschieden.  Im  ersten  dieser  Fälle  kann  man  immer  f—2x^x.,^ 
(p  =  a  x^^  '\-  Q  y  x^x.^  +  f  a^/  setzen;  dass  in  diesem  Falle  f,  jp,  %  einen 
gemeinsamen  Factor  besitzen,  lehrt  die  oben  angestellte  Rechnung; 
es  sind  sogar  (bei /3  =  0,  (^  =  0)  /',  i^'  und  %  nur  um  constante  Factoren 
verschieden.  Hat  zweitens  qp  =  ()  zwei  gleiche  Wurzeln,  so  kann  man 
dieser  Function  die  Form  geben 

(p  =  a  x^;^  +  0  ß  x^-  Xff 
daher 

H-=2ayx,^-6y'x,^x./,     T==-9f-ax,^x,. 

Die  quadratischen  Covarianten,  in  welche  T  zerfällt,  sind  also 
X{^ ,  x^ ^  ^1^^2*7  welcher  von  ihnen  aber  auch  /'bis  auf  eine  Constante 
gleichgesetzt  wird,  immer  hat  (p  einen  Doppelfactor,  der  zugleich 
Factor  von  f  ist,  und  man  hat  einen  besondern  Fall  von  1)  vor  sich, 
in  welchem  Falle,  wie  wir  wissen,  /",  ^,  ;t  einen  gemeinsamen  Factor 
haben.  —  Hat  endlich  (p  einen  dreifachen  Factor,  so  können  wir 
setzen : 

^>=^^x,''x,,     H=-2x^'',     T=:2x,^', 

es  muss  also  f=c.x^^  gesetzt  werden,  was  wieder  auf  den  Fall  1) 
führt.  Damit  ist  der  obige  Satz  und  seine  Umkehrbarkeit  vollständig 
erwiesen. 


§  108.    Typische  Darstellung  der  übrigen  Fälle. 

Wenn   C  nicht  verschwindet,   können  wir  an  Stelle  der  drei  Co- 
varianten Lj  31,  N  des  §  103.  die  folgenden  einführen: 

L=r,    M=^i;    N^x, 

ClebBch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  28 


434  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formeil 

und    erhalten    demnach    für    ihre    ersten   Ueberschiebungen    die    Aus- 
drücke: 

l  =  (iA  i)  ta:  l.x  =  T 

(1)  ^  =  {XCf)  Xxa^  =  y^ 

V  =  {ajlj)ilj,-raa:=  —  ^, 

während  die  simultane  Invarfante  I),  welche  den  Nenner  des  typischen 
Ausdrucks  bildet,  gleich  C  wird. 

Und  so  wird  nach  §  103.  (15)  die  typische  Darstellung  von  f: 

(2)  C^/-=  F„  r^  +  2  F„  r  X  -  2  r,,tV+  V,,  K'-2r,,  X  V 
wo  die   V  die  Invarianten  bedeuten: 

■         ^13==(««)'(«%)^  "^33=  («%)'(« /)'• 

Die  Ausdrücke  (1)  sind  mit  f,  tj  %  durch  die  Gleichungen  ver- 
bunden, welche  den  Gleichungen  (11)  §58.  entsprechen: 

C.f  =Drf  x-\-Df^  ^-^rx  "^ 

(4)  C.ilj=^Bf^t-\-Ii^^X-D^x'^ 

während  zugleich 

(5)  O^fx  +  tX-x'V. 

Die  Gleichungen  (2) ,  (4) ,  (5)  geben  die  typische  Darstellung  nach' 
den  in  §  103.  entwickelten  Grundsätzen;  man  kann  entweder  r,  X,  Y 
oder  /",  ^,  X  eliminiren  und  die  Darstellung  durch  die  drei  übrigen 
Formen  leisten.  Die  Untersuchung  der  Coefficienten  zeigt,  dass  es 
eine  bemerkenswerth  einfache  Darstellung  von  cp  giebt,  bei  welcher  alle 
sechs  quadratischen  Formen  beibehalten  werden. 

Nach  den  Formeln  des  §  60.  ist  zunächst: 

V,,  =  {a  ay  {a  hf  -  (^  If  =1)^^  =A 

Die  Formen  aber 

F22  =  {ail,y  ia^'f  =  {ai>Y  (aßf  (ßaf 

F,3  =  («  n'f  («  %)■'  =  (« tY  (cHf  {Ha)'  =  (ß  xf  («  ßf  (ß  af 


F33  =  («  Xf  («  XT  =  («  XY  («  Sy  {Sa) 


33 

bildet   man  leicht  .mit  Hilfe  der  aus  der  Theorie  der  biquadratischen 
Formen  oder  der  Tafel  des  §  8.  folgenden  Gleichungen: 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  108.  435 

{ocßY  aj  ßy'  =  HJ  Hy'  +  j  {xyf 


1  ..  -2  ..  2   ,    3 

6 


{aHf  a^Hy^  =  -i  aJ  a,^  +  ^  (xy)\ 


indem  man  darin  x^,  x.^  und  ij^^  y.-,  durch  i^^?  ~"  ^i  ^^^^'  X2)  ~  Xi 
ersetzt : 

r,,=  {Haf  (Hxy  +  4  {«xf  =  D,,  +  '-^ 

(7)  '^  ^ 

Aus  diesen  Gleichungen  erhält  man  die  Combinationen : 

Multiplicirt  man  diese  Gleichungen  mit  r,  X,  —W  und  addirt,  so 
kommt  nach  (2  links  C'-q),  und  daher  nach  Division  mit  C  die  ein- 
fache Darstellung: 

(8)  C<p  =  Ti,+  x(^x+Y)-'v{^*  +  '^f)> 

vermöge  deren  cp  als  bilineare  Function  der  f,  i^,  %  einerseits  und 
der  T,  ¥,  X  andererseits  ausgedrückt  ist,  während  die  Coefficienten 
nur  i  und  j  enthalten.  — 

^  Wenn   C  verschwindet,   so  besteht  zwischen  f,  'tp,  %  ^i^®  lineare 
Relation,  welche  entweder  die  Form 

(9)  x^y.f+i^i', 

oder  die  Form 

haben  muss.  Aber  die  Rechnung  des  §  107.  zeigt,  dass,  mag  f  ein 
Quadrat  sein  oder  nicht,  sobald  f  mit  t^  bis  auf  einen  Factor  iden- 
tisch wird,  mit  %  dasselbe  geschieht.  Der  zweite  Fall  ist  also  aus- 
zuschliessen,  indem  er  überhaupt  keine  solche  typische  Darstellung 
zulässt.  In  der  Formel  (9)  aber  muss  man  voraussetzen,  dass  f  und 
1I;  keinen  gemeinsamen  Factor  haben,  da  sonst  auch  %  denselben 
haben    würde.      Man    kann    also    die   Formen  f  und   ^   bei   der  Auf- 

28* 


436  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstelhmg  der  Formen 

Stellung  der  typisclien  Form  zu  Grunde  legen,  nebst  ihrer  ersten 
Ueberschiebung  M^.  Der  Nenner  der  Darstellung  wird  die  zweite  Po- 
tenz der  aus  /",  ^,  Y  gebildeten  simultanen  Invariante,  welche  nach 
§  58.  (15),  wenn  man  f^  durch  f,  f^  durch  i/;,  Q'^^  durch  —  Y  ersetzt, 
den  Werth  hat: 

(10)  ?^-\  {DrrB^p^  -  DV^)  =  ^  |D  J5  + 1 D^  -  ^^ j. 

Die    an   Stelle    von    A,    ft,   ^'   tretenden  ersten  üeberschiebungen 
von  f,  ^;,  y  werden 

v  =  {aii>)  a^^xfix  =  — V, 
und  die  typische  Darstellung  wird  dalier: 

(11)  4  P  (p  =  W,,  [wBr^-fB^^y  +  W,,  {^Brr-fBr^f 

+  4  W,,  ^'-2W,,  {^Df^-fD^^)  (^Bff-fBf^) 
+  4.W,,^{^Br^-fB^^)-4:W,,'¥{n^Brf-fBr^), 
während 

(12)  "V'^-ilB^^r-^DfV^fn^  +  B^^Pl 
Von  den  Coefficienten  sind 

W,,  =  iaay{ahy=Bf^  =Ä 


w. 


22 


\a^y{a7l^y  =  B^p^  +-3-  =  -2-+-3- 


den  entsprechenden  Grössen   V  gleich;  die  andern  aber  werden: 

(^A^  TF,3  =  (aa)2(«Y)2  =  (^iK)2_0,  "  (§57.) 

^'^^  TF^e  =  («1^)2  («y)2,      1^33  -  («Y)2  {aYf. 

Um   TF23  ^^  bilden,  geht  man  von  der  Gleichung  aus 

und  hat  also 

W^  =  {x^Y  +  ^iaW  =  -C  [§60.(8)]. 

Dagegen  erhält  man  TFs3  aus  (12) ,  indem  man  x-^^^a^,  x^—  —  a^  setzt : 

(15)  Tr33  =  -iJD//(D^,  +  ':^)-D/^i)^^j 


6      '     3 

Lässt  man   also   G  verschwinden,   so   kann   man  den  Werth  von 
Y^  eintragen  und  erhält: 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  108,  109.       437 

(16)     ip-^  ,p=  W,,(t  Df^-fD^y,y-+  W,,{tDff-fI)f,py 

-  2  W^  {B„  r--2B,^fi,  +  D^^  P). 

Diese  Gleichung  enthält  die  Lösung  einer  Aufgabe,  welche  sich 
bei  den  Betrachtungen  des  §  60.  darbietet.  Es  war  dort  gezeigt,  dass, 
wenn  C=0,  (p  als  quadratische  Function  von  /  und  einer  andern 
quadratischen  Form  darstellbar  sei.  Es  entsteht  die  Frage,  welches 
diese  andere  quadratische  Form,  und  welches  diese  Dar- 
stellung sei.  Bis  auf  die  Ausnahmefälle  des  vorigen  Paragraphen, 
in  denen  die  Lösung  sich  indessen  von  selbst  darbietet,  ist  diese  Auf- 
gabe durch  die  Gleichung  (16)  gelöst.  Die  Aufgabe  ist  ihrer  Natur 
nach  nicht  völlig  bestimmt,  da  man  statt  jener  Form  g,  welche  ihr 
genügt,  auch  g  —xg  -\-  If  einführen  kann.  Aber  die  Gleichung  (16) 
zeigt,  dass  i)  eine  solche  Form  g  ist,  und  giebt  die  Darstellung  von 
cp  als  quadratische  Function  von  /'  und  i^. 


§  109.    Die  Formen  sechster  Ordnung,    Fälle,  in  denen  die  typische 
Darstellung  nicht  möglich  ist. 

Bei  den  Formen  sechster  Ordnung  bilden  die  Covarianten  l,  Dt,  n 
(§  78.)  die  Grundlage  des  Systems  quadratischer  Covarianten.  Damit 
die  typische  Darstellung  unmöglich  werde,  müssen  ?,  m,  n  einen 
Factor  gemein  haben;  aber  wegen  des  besondern  Zusammenhanges, 
in  welchem  diese  Formen  stehen,  können  die  beiden  hierin  liegenden 
Bedingungen  auf  zwei  ganz  verschiedene  Arten  erfüllt  werden.  Erst- 
lich nämlich  kann  l  mit  m  nur  einen  linearen  Factor  gemein  haben 
und  n  denselben  enthalten,  was  zwei  Bedingungen  sind.  Zweitens 
aber  kann  m  von  l  nur  um  einen  constanten  Factor  verschieden  sein, 

was    auch    zwei   Bedingungen    involvirt;    es    wird   dann  n  von  selbst 
auch  nur  um  einen  constanten  Factor  verschieden,  denn  es  ist 

n  =  (i  niY  ij  =  l  {i  ly  ij  =  lc7n==  ¥  l 

1)  Untersuchen  wir  zunächst  den  ersten  Fall.  Der  gemeinsame 
Factor  von  ?,  m^  n  sei  q  und 

lz=zqry     m^=^qs,    n  =  qt. 

Der  Voraussetzung  nach  ist  (rs)  von  Null  verschieden,  denn  sonst 
träte  der  zweite  Fall  ein.     Bildet  man  nun  die  Gleichungen 

(1)  ni  =  ij  (i  q)  (i r) ,     7i  =  ij  (i  q)  (is) , 


*  Vgl.  Clebsch  und  Gordan,  Annali  di  mat.,  ser.  IL,  vol.  I. 


438  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstelhing  der  Formen 

SO  folgt 

ms  —  nr  =  ij(iq)  \{ir)  s~  (i s)  r^ }  =  (s r) .  i/  {i q). 

Da  nun  (sr)  nicht  Null,  so  muss  ij'iig)  durch  g^  theilbar  sein 

(2)  iJ(iq)  =  q.h, 

wo  h  eine  Form  zweiter  Ordnung.  Führt  man  dies  in  (1)  ein,  indem  man 
über  (2)  die  linearen  Formen  r-^,  s.v  je  einmal  schiebt,  so  kommt: 

3m  =  (qr)  k-\-2  qJca:  ßr) ,     3n  =  {qs)  Je +  2  qka:{hs). 

Es  sind  also  auch  (gr)Ä;  und  (qs)h  durch  q  theilbar,  und  da  jeden- 
falls einer  der  Factoren  {qr) ,  (qs)  von  Null  verschieden  ist,  so  muss 
k  durch  q  theilbar  sein,  mithin 

(3)  iJ(iq)  =  qKh. 

Es    folgt    hieraus    (iqY  =  0   und   i^{iqy  —  0'j    ^^  muss  also  auch 
Doppelfactor  von  i  sein: 

(4)  i=q^'9' 

In    dem    vorliegenden   Falle   muss   daher  die  In 
Variantenrelation 


C^-^B'  =  0 


stattfinden. 


Man  kann  nun  in  ähnlicher  Weise  zeigen,  dass  f  selbst  den 
Factor  q  dreifach  enthält.  Zu  diesem  Zwecke  betrachte  ich  die  Co- 
varianten 

(aiy  aj  =  {aq)  (ar)  aj 
^^^  \any  a/  =  {aq)  {as)  aj. 

Von  der  ersten  wurde  in  §  76.  (8)  gezeigt,  dass 

(6)  (a?)2a.^  =  2A+4^'. 

Um  die  zweite  zu  bilden,  führen  wir  in  ihr  den  Ausdruck  von 
m  durch  l  ein  und  erhalten: 

[a  my  aj  =  {a  if  {i  l)'^  aj ; 
dagegen  ist  die  zweite  Ueberschiebung  von  {alf  üx^  mit  i: 

{a  If  {a  if  a/  ij  =  2  (A  if  ij  A/  +  ^  {UJ  i/  i'A 

oder  nach  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen: 

Bi  +  ÄA 

~         3         • 

Daher  hat  man: 

{amy  aj  -  ^iti^=  («i)2  aj  {{;iiy  aj  -  {aiy  i/\ 

=  —  (a  ly  L  aa;^  i  (^  l)  a^  +  (« l)  ix  I . 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Co  Varianten.  —  §  109.  439 

Nach  §  76.  ist 

also  auch 

(aif  aj  {il)  +  3  (« if  aj  {al)  i^. 

Statt  der  rechten  Seite  des  obigen  Ausdrucks  kann  man  daher  setzen: 

i  {aif  h  aJ  { (al)  i^  -  {IT)  aj=-  J  (a iy  «/ 1/^  =  -  ^  P, 

und  der  gesuchte  Ausdruck  für  (atiif  aj^  ist  also: 

(7)  iainf  aJ  =  ^^JA  +  ,  p_ 

Aus  (5),  (6),  (7)  ergiebt  sich  nun  für  unsern  Fall: 
{aq){ar)aJ  =  2A+^ 

Hat  nun  i  den  Doppelfactor  g'-^,  so  besitzt  nach  der  Theorie 
der  biquadratischen  Formen  A  ihn  ebenfalls^  und  also  die  ganzen 
rechteii  Theile  der  Gleichungen  (8).  Man  beweist  also,  wie  oben, 
indem  man  die  Combination 

(rt  q)  (ar)  a/  .s  —  (aq)(as)  aJ  .  r  =  (a  q)  aJ  .  (sr) 

bildet,  dass  (aq)aj*  den  Factor  q-  hat: 

{aq)aj'  =  q^  .U] 

führt  man  aber  dies  in  (8)  ein,  so  sieht  man,  dass  auch 

{qr)q.u,     (qs)q.u 

noch   den   Factor   r/-,    also   u  nochmals  den  Factor  q  enthalten  muss, 
dass  also 

(aq)  a/  =  q^  .V. 

Es  folgt  hieraus,  dass  (ßg)'^a/  =  0;  es  ist  also  (?  ein  dreifacher  Factor 
von  /*, 

f=qKw, 
und  man  hat  den  Satz: 

Wenn  Z,  ni,  n  einen  gemeinsamen  linearen  Factor 
haben,  während  die  andern  linearen  Factoren  von 
l  und  m  weder  Null  noch  bis  auf  eine  Constante 
gleich  sind,  so  hat  i  denselben  Factor  doppelt  und 
f  dreifach. 

Dieser  Satz  lässt  sieb  umkehren: 

Hat  f  einen  dreifachen  Factor,  so  hat  i  den- 
selben dopjjelt,  ly  m,  n  haben  ihn  einfach. 


440  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

Sei  nämlich  x  dieser  Factor,  y  die  zweite  Veränderliche ;  dann  ist 

_2_(av^_4JY_  ^i__   ,  o/  ay  yi 
seo^la^ai/^      dx^dydxdif  '^   Kdx'dyvy 

wo   jedes    der    drei  Glieder,    also  auch  ^,    den  Factor  x^  enthält;    so- 
dann wird 

1     (gyan'     .   gy     an"  aY       ^'^ 

I2.60|aitri  a^*      arr^a?/  a^r  dtf~^   dx'  ?%f  dx'dy^' 
ay      oH      d'fd'ij 

dxdf  dx^dy'^di/  dx'^\  ' 
wo  wieder  jeder  Term  den  Factor  x  liat;  endlich 

1  )  a^  ^  aM     ,,  dH     dH      'dUd'U  ( 

24:\dx^dy^         dxdy  dxdtydy^  dx'  \ 

**  ~24(ä^y7^~"ä^^  dxdy'^df  d  x' 
wo  jeder  Term  den  Factor  x  hat. 

2)  Ich  komme  jetzt  zweitens  zur  Charakterisirung  des  Falles,  wo 
m  von  l  nur  um  eine  Constante  verscliieden  ist, 

(9)  m=^ia,     n=^lcH. 

Doch  setze  ich  m,  also  auch  h,  als  von  Null  verschieden  voraus; 
auch  das  Verschwinden  von  l  würde  wegen  der  Gleichung  m  =  {aTj^ aj' 
das  von  m  sofort  zur  Folge  haben,  und  ich«  nehme  also  auch  l  als 
von  Null  verschieden  an. 

Ich  werde  zunächst  zeigen,  dass  l  dann  kein  Quadrat  sein  kann. 
Es  sei 

(10)  /'=  a^x^^  +  Qa^x^^x.^  + 15  «^^i^^  ^2^  +  20a.^x^x^ 

+  15  «4  Xl^  X.^  +  6  0^5  X^  X.^  +  <^(;  ^-i    j 

(11)  i  —  «y^'/  +  4«^^/^?^  -{-^a.^x^x.^  H-  ^a.^x^x.l  +  a^x.^ 


4 

'2    ; 


wo 

«y  ==  2  {a^^  a^  —  4  a^  «3  +  3  «.j^) 
^1  =     (^0  ^b  —  3  «i  (^4  +  2  (^2  «3) 

(12)  «2  ==  i  (^ü  0^6-9  <^^2  «^4  +  8  «/) 

«3  =       (%  (X(;  —  3  «2  «5  +  2  <X3  «4) 
«4  =  2  («2  «ß  —  4  «3  «5  +  3  «4^^). 

Soll  nun  Z  ein  Quadrat,  also  etwa 

sein,  so  wird 

( 13)  m  =  {i  l)^  ij  =  II  («2  x^^  +  2  «3  x^  x.^  +  a^  x.^), 

und  da  dieser  nur  um   einen  Factor  von  l  verschieden  sein  soll,    so 
muss  man  haben: 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Co  Varianten.  —  §  109.  441 

04)  «3  =  0,     a,  =  0, 

wenn  nicht  ft,  also  auch  m  und  l  verschwinden  sollen. 

Es  hat  also  auch  i  den  Factor  ^/-;  denselben  besitzt  dann  auch 
A,  und  der  Ausdruck 

Bildet  man  nun  den  Ausdruck  links,  so  erhält  man 

soll  dieses  den  Factor  x^^  haben,  so  müssen  die  Coefficienten  ^  a-^,  ^  a^ 
verschwinden,  oder,  wenn  l  von  Null  verschieden  sein  soll: 

(15)  «5  =  0,     «e  =  0; 
daher  aus  (12),  (14): 

(16)  a,  =  0. 

Bildet  man  nun  l  durch  die  vierte  Ueberschiebung  von  i  mit  f^ 
so  kommt 

(17)  ?  =  —  4  «^  «3  x^^  +  6  «2  {(^fo  ^/  +  2  a-i  x^  x.^ , 

und  damit  l^=^x^  werde,  müssen  die  Bedingungen  stattfinden: 

(18)  —  4ß^  c?3 -f  6  c^.^  6f.,  =  w,     —12«^,  «3  =  0. 

Aus  der  letzten  dieser  Gleichungen  folgt  entweder  «3  =  0  oder 
«2  =  0;  aber  aus  dem  Ausdruck  von  «^  i^  (^2)  ^^Igt,  dass  eins  das 
andere  nach  sich  zieht,  dass  also  zugleich 

Cf^,  =  0,       «3  =  0, 

was  mit  der  ersten  Gleichung  (18)  wiederum  fA  =  0,  also  ?  =  0, 
m  —  0  giebt. 

Die  Annahme,  dass  l  ein  Quadrat,  ist  also  unmöglich,  und  man 
hat  den  Satz: 

Soll  m  von  l  nur  um  einen  Factor  verschieden 
sein,  ohne  zu  verschwinden,  so  kann  ?  kein  Quadrat 
sein. 

Wir  können  also  jetzt 

(19)  •  2  =  2^1^2 

annehmen.  Behalten  wir  Bezeichnung  und  Gang  der  obigen  Unter- 
suchung bei,  so  findet  sich  erstlich  durch  zweite  Ueberschiebung  von 
l  mit  /: 

(20)  m  =  —  2  («1  x^  +  2  «2  ^1  ^t  +  %  ^'2^) ; 

also ,  damit  m  von  l  nur  um  einen  constanten  Factor  verschieden  sei : 

(21)  «^  =  0,     «,  =  0. 


442  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

Es  enthält  also  i  nur  gerade  Potenzen,  daher  ebenso  A,  und 
deswegen  auch  die  Covariante  {alf  aj.   Bilden  wir  diese,  so  findet  sich 

(a l) 2  a/  =  —  2{a^ x^  +  4 «^ ^i  x.^-\-^a.^ x^x.^ -\-^a^x^ x.^  +  a^ x.^) , 

und  man  muss  also  haben: 

(22)  «2  =  0,     «,  =  0. 

Bildet  man  endlich  l  durch  vierte  Ueberschiebung  von  i  und  fy 
so  findet  man 

Z=  oTy  {^ a^x^x..^-\- a^x^)  -f  12  «^  %  ^i  ^2  +  ^4  (ö^o^i^"I~^^i^i^2)? 
also  indem  man  dies    mit  der  angenommenen  Form   von  l  vergleicht: 

ß:.,  «5  +  6  «2  ^;5  "i~  ^4  ^h  =  ^  • 
Hieraus  ergeben  sich  folgende  zu  unterscheidende  Fälle: 

a)     «y=:0,         «^^  —  0,         6   «^>  «3  =1. 

^)  a^  =  0,     «y  —  0,     6  «2  «3  +      «4  «I  =  1. 

c)   «^  =  0,     a^  =  0,        «^  «5  -h  6  «2  a.3  =  1. 

^)  a^,  =  0,     «jj  =  0,        a^  %  +  ß  «2  0^3  +  «4  a^  =  1. 

ci)  In  diesem  Falle  verschwinden  alle  Coefficienten  von  i  bis  auf 
den  mittleren,  und  da  ausserdem  nach  (22)  a^  und  a^  verschwinden, 
so  wird  dies  nach  (12)  ausgedrückt  durch  die  Gleichungen: 

während  ß^g  ~  I  ^'3^  ^'^^^  Null  verschieden  ist.     Es  kann  daher  a^  nicht 
Null  sein,  folglich  verschwinden  a^  und  a^,  und  man  hat: 

jr  ■ —  61',)  ^j    ~|~  ^U  tüg  ^1     ^2      1"  «6  *^2  • 

(24)  i  =  16  ai  x^  x.^ 

l  =  32  a.^  x^  x^. 

h)  Die  Gleichungen  «^  —  0,  0:^  =  0,^3  =  0,  «^  =  0,  a2=0,  a^  =  0 
geben  nach  (12): 

^j  «3  =  0 ,     a^a^^-=0,     «2  =  -|  «3^ ^     ^^  _,  _  g  ^^  ^^^ 

Wäre  nun  nicht  «^  =  0,  so  müsste  a.^  verschwinden,  also  auch 
«2;  «4,  und  i  würde  identisch  Null.  Es  muss  also  a^  =  0  sein,  daher 
f  einen  dreifachen  linearen  Factor  besitzen,  was  auf  den  Fall  1)  zu- 
rückführt, indem  nur  der  besondere  (in  der  ümkehrung  des  Satzes 
dort  bereits  vorgesehene)  Fall  eintritt,  dass  l  und  m  mehr  als  einen 
linearen  Factor  gemein  haben. 

c)     Dieser  Fall  entsteht  aus  dem  vorigen  durch  blose  Vertauschung 


gerader  Ordnung  mitteltit  quadratischer  Covarianten.  —  §    09.  443 

d)  lu  diesem  Falle  verschwinden  alle  Coefficienten  von  /",  welche 
einen  geraden  Index  haben,  und  die  Gleichungen  «^  =  0,  «3  =  0  sind 
von  selbst  erfüllt.     Man  hat: 


f=  2  x^  x.^  \ 3  a^  x^  +  10  «3  x^ x^  +  3  «5  x^\ 

-.,.4, 


(25)  j  ==  —  8  «3  ( a,  x^  —  2  «3  x^  X,}  +  rt-  x.^ 

?  =  32  «3  («3-  —  a^  «5)  x^  X.,.  — 

Man  kann  die  Resultate  dieser  Untersuchung*  in  folgendem  Satze 
aussprechen : 

Ist  m  von  l  nur  um  einen  constanten  Factor 
verschieden,  und  besitzt  /*=  0  keine  dreifache  Wur- 
zel, so  ist 

entweder  i  von  dem  Quadrate  von  l  nur  um  einen 
constanten  Factor  verschieden,  und  /wird  durch 
Einführung  der  Factoren  von?  in  eine  quadrati  sehe 
Function  ihrer  Guben  verwandelt*; 

oder  i  ist  eine  bi quadratische  Form,  für  welche 
l  eine  der  aus  Spaltung  ihrer  Govariante  T  hervor- 
gehenden irrationalen  Govarianten,  und  f  ist  das 
Product  von  l  mit  einer  linearen  Gombination  der 
Form  i  und  ihrer  biquadratischen  Govariante; 

Untersuchen  wir  die  Umkehrungen  dieser  Sätze.  Die  Umkehrung 
des  ersten  lehren  die  Gleichungen  (24): 

Ist  f  durch  lineare  Substitution  als  quadra- 
tische Form  zweier  Guben  darstellbar,  so  ist  i  Null 
oder  das  Quadrat  der  Producte  der  Wurzeln  beider 
Guben,  und  /  Null  oder  bis  auf  eine  Gonstante  die- 
sem Producte  selbst  gleich. 

Was  den  zweiten  angeht,  so  sind  nur  noch  die  Fälle  zu  unter- 
suchen, in  denen  eine  Form  vierten  Grades  nicht  auf  die  Form 
!PqX^^-\-^P^x^  x.2^ -\-p.,x.^^  gebracht  werden  kann,  während  eine  ihrer 
irrationalen  quadratischen  Govarianten  2  x^  x.^  wird.  Im  Allgemeinen 
ist  dies  immer  möglich,  und  man  kann,  wenn  man  durch  t  eine  solche 


*  Geometrisch:  Die  sechs  f  repräsentiren  den  Punkte  zerfallen 
in  zwei  Gruppen  zu  drei,  und  die  Punkte  jeder  Gruppe  sind  in 
Bezug  auf  dasselbe  feste  Punktepaar  (Z=:0)  cjclisch-projectivisch. 

**  Geometrisch:  Die  sechs  f  repräsentirenden  Punkte  zerfallen 
in  dreiPaare,  deren  eines  (Z— 0)  zu  jedem  der  beiden  anderen  harmo- 
nisch ist. 


444  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

irrationale  Covariante  einer  quadratischen  Form  cp  bezeichnet,  den 
Gleichungen  (25)  die  Deutung  geben,  es  sei/=r^,  und  zugleich 
i  =  'K(p-\- 1 Hcp  j  1=  ^.t. 

Hat  nun  zunächst  cp  —  O  zwei  gleiche  Wurzeln ,  so  kann  man  nach 
§  48.  dem  Ausdrucke  (p  die  Form  geben: 

(p  =^  x^^-\-Q  q  x^  xf, 

und  die  quadratischen  Factoren  von  T  werden  x^  ^^  und  x^.  Der  erste 
Fall  ist  im  Obigen  enthalten;  im  andern  hat  /'  die  Form 

f  =  X  .  cp  —  a^  x^  -\-  Ib  a.2  x^^  x.^ , 
daher 

i  =  Qa.^x^y     1  =  0, 

wo  i  wieder  unter  die  Form  %q)-{-  k  Hcp  fallt. 

Hat  q)  zwei  Paar  gleicher  Wurzeln,  qpii^T^,  so  sind  die  irrationalen 
Co  Varianten  theils  Null,  theils  bis  auf  einen  Zahlenfactor  gleich  r, 
also  kann  man  setzen: 

f=r^  =  6  a^Xj^  x.2^j 
und  hat: 

i  =  16  «3^  x^^  x./j     1  =  const.  x^  x.^. 

Hat  cp  eine  dreifache  Wurzel,  9  =4^/^^,  so  führt  H  auf  x^^, 
und  die  quadratischen  irrationalen  Covariauten  sind  sämmtlich  bis  auf 
numerische  Factoren  gleich  x^^.     Man  muss  also  setzen : 

f=z  t ,  cp  =  6  üi  x^  X.2J 
und  findet 

^•  =  0,      1  =  6. 

Ist  cp  endlich  ein  Biquadrat,  so  sind  alle  Formen  t  gleich  Null; 
dieser  Fall  ist  also  nicht  zu  betrachten. 

Man  kann  daher  die  Umkehrung  für  den  zweiten  Theil  des  Satzes 
folgendermassen  aussprechen : 

Ist  /"das  Product  einer  biquadratischen  Fo-rm  cp 
mit  einer  der  irrationalen  quadratischen  Covarian- 
ten  r,  die  sich  aus  der  Zerlegung  von  T(p  ergeben, 
so  hat  i  dieForm  oicp  -\-  XHcp ,  l  dieForm  ^r,  wo;c,  A,  /Lt 
auch  Null  sein  können. 

Die  Auflösung  der  Gleichung  /*—  0  führt  in  diesem  Falle  auf  die 
Lösung  der  biquadratischen  Gleichung  cp  =  0  zurück.  Aber  die  zu 
ihrer  Lösung  erforderliche  cubische  Gleichung  reducirt  sich  hier  auf 
eine  quadratische  und  eine  lineare,  da  von  den  drei  Factoren  von  Tcp 
einer  bereits  bekannt  ist,  und  die  Lösung  von  f=0  erfordert  daher 
überhaupt  nicht  die  Lösung  von  höheren  als  quadratischen  Gleichungen. 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  109,  110.      445 


§  110.    Ausnalimefälle ,  in  welchen  eine  der  Coyarianten  m,  l,  i 
yerschwindet. 

Die  Untersuchungen  des  vorigen  Paragraphen  umfassen  alle 
diejenigen  Fälle  ^  in  welchen  die  typische  Darstellung  durch  quadra- 
tische Covarianten  unmöglich  wird,  ohne  dass  eine  der  Covarianten  nij 
Ij  i  verschwindet.  Untersuchen  wir  nun  den  Charakter  der  Fälle,  in 
denen  dies  eintritt.  Beginnen  wir  mit  der  Untersuchung  des  Falles, 
wo  m  identisch  verschwindet,  wobei  wir  zunächst  voraussetzen,  dass 
/  nicht  Null  sei.  Wegen  der  Gleichung  §  78.  (2),  in  welcher  m,  q 
jetzt  verschwinden,  hat  man  nothwendig  (7=0,  daher,  wenn  man  in 
der  letzten  Gleichung  §  78.  (9)  Aim  =  ^  setzt,  auch  B  =  0.  Damit 
aber  verschwindet  Au  [§  78.  (9).],  und  l  ist  also  ein  Quadrat,  i  ent- 
hält einen  dreifachen  linearen  Factor,  In  der  Untersuchung  des 
vorigen  Paragraphen  für  den  Fall,  dass  l  ein  Quadrat,  wurde  aber 
geschlossen,  dass  dann  1  =  0  sei,  und  man  hat  also  den  Satz: 

Wenn  m  identisch  verschwindet,   so  verschwin- 
det auch  l. 
Gehen  wir    also   zu   dem  Falle  /  =  0    über    und  nehmen  zunächst 
an,  dass  i  nicht  verschwinde.     Nach  der  Gleichung 

ist  dann 

also  entweder  i  von  A  nur  um  einen  Factor  verschieden,  daher  i  ein 
Quadrat,  oder  A  =  0,  A  =0,  also  i  ein  Biquadrat,  was  nur  ein  beson- 
derer Fall  des  ersten  ist. 

Unterscheiden  wir  also  die  Fälle: 

1)  i^Qa^x^^x.^ 

2)  i  =  a^x^\ 

1)  Da  l  =  {aiY  aj'  hier  verschwinden  soll,  so  hat  man 

«2  \a.^x^^  -f  2  a^x^  x.^  +  a^x.f\  =  0, 

also,  da  a.^  nicht  verschwinden  darf: 

a^  =  Oj     «3  =  0,     «4  =  0.     . 

Hierdurch  reduciren  sich  die  der  Form  von  i  wegen  eintretenden 
Gleichungen 

«^  =  0,     0:^  =  0,    «3  =  0,     «4  =  0 
auf: 


446  Neunter  Absclinitt,     Typische  Darstellung  der  Formell 

während 

nicht  verschwinden  darf.     Es  bleibt  also  nur  übrig: 

«1-0,     «5  =  0, 

/  =  ÜqX^    +  «ß  ^2  • 

Wenn  1  =  0  und  i  kein  Biquadrat,  so  muss  fsich 
aus  zwei  sechsten  Potenzen  linear  zusammensetzen, 
und   umgekehrt   führt   diese   Form   immer   auf  /=.0.* 

2)  In  diesem  Falle  führt  die  Gleichung  l=:[aiy  aj  =  0  auf 

also  auf 

«4  =  0,     «5  =  0,     a^^  =  0. 

Zugleich  müssen  a^j  cc^,  «3,  a^  verschwinden,  was  die  Bedingung 
giebt : 

%  =  ö. 
Es  wird  also 

f=  ÜQ  Xj^  +  6  «1  x^^  X2  +  15  «2  ^1^  ^2^- 

Wenn  ?  verschwindet  und  i  ein  Biquadrat  ist, 
so  hat  f  einen  vierfachen  linearen  Factor  und  um- 
gekehrt. 

Es  bleibt  nur  noch  der  Fall  zu  behandeln,  wo  i  identisch  ver- 
schwindet. Dies  tritt  erstlich  ein,  wenn  f  eine  sechste  Potenz  ist. 
Soll  dieser  Fall  nicht  eintreten ,  so  hat  es  jedenfalls  zwei  verschiedene 
lineare  Factoren ,  und  indem  man  solche  zwei  durch  x^ ,  x.^  bezeichnet, 
kann  man  aQ  =  0,  a^.  =  0  annehmen.  Die  Gleichungen,  welche  das 
Verschwinden  der  a  ausdrücken,  werden  dann 

0  =  3  «2^     —  4  «1  «3     0  =  3  «4^     —  4  «3  « 

(1)  0  =  2  «2  «3  —  3  «1  «4     0  =  2  «3  «4  —  3  «2  ^5 

0  =  8  «3^  —  9  «2  «4  • 
Man   sieht   aus   denselben,    dass,    wenn    «3  =  0,   auch   a.^   und  a^ 
verschwinden  und  /  die  Form  hat: 

(2)  f=6xyia,x,^+a,x,% 

Ist  «3  nicht  Null,  so  findet  man  aus  (1),  dass  dann  alle  anderen 
Coefficienten  auch  nicht  verschwinden  können;  man  kann  sie  also 
aus  (1)  bestimmen  durch  die  Formeln: 


*  Geometrisch:  Die  sechs  /  repräsentirenden  Punkte  sind  cyclisch- 
projectivisch. 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  110,  111.      447 


^5  «5 


und  es  wird  daher 


3 

was,  wenn  man  eine  lineare  Transformation  anwendet,  wieder  auf  die 
Form  (2)  zurückkommt. 

Die  Gleichung  (2)  und  die  Form  einer  sechsten  Potenz  umfassen 

aber  genau  alle  Formen  ,  welche  die  Covariante  T  einer  biquadratischen 

Grundform  annehmen   kann.     Man  kann    also    den  Satz   aussprechen: 

Die  Bedingung,  dass  i  verschwinde,  ist  identisch 

mit  der  Bedingung,    dass  f  die  Covariante  sechster 

Ordnung  einer  biquadratischen  Form  sei. 

Die  Eigenschaften,    welche   die  Form  f  in    diesem  Falle   besitzt, 

werde  ich  im  folgenden  Paragraphen  entwickeln. 


§  111.    Untersuchung  einer  Form  sechsten  Grades,   welche  Covariante 
sechsten  Grades  einer  biquadratischen  Form  ist. 

Es  entsteht  hier  die  Aufgabe^  wenn  eine  Form  f  gegeben  ist, 
welche  Covariante  sechsten  Grades  einer  biquadratischen  Form  werden 
kann,  die  biquadratische  Form  cp  zu  finden,  deren  Covariante  T  die 
gegebene  Form  ist.  Diese  Aufgabe  ist  nicht  völlig  bestimmt;  denn 
genügt  eine  Form  (p  derselben,  so  genügt  ihr  auch  noch  die  Form 

c{occp-\-  X  S(p)j 

wenn  k^  X  beliebige  Parameter  bezeichnen  und  die  Constante  c  nur 
passend  als  Function  dieser  Parameter  bestimmt  wird. 

Ist  zunächst  f  eine  sechste  Potenz,  etwa  2)/,  so  muss  (p  einen 
dreifachen  Factor  p^c  haben,  und  es  wird 

eine  Lösung,  wo  g  eine  beliebige  lineare  Form  und  c  nur  so  zu 
bestimmen  ist,  dass  die  Covariante  Tcp  der  gegebenen  Form  auch 
absolut  gleich  wird,  nicht  blos  bis  auf  einen  constanten  Factor. 

Ganz  allgemein  aber  wird  die  Aufgabe  gelöst  durch  die  Formel, 
welche  in  §  42.  zwischen  der  biquadratischen  Form  und  ihrer  Covarian- 
ten aufgestellt  wurde,  und  w^ eiche,  w^enn  (p  die  biquadratische  Form 
ist,  die  Gestalt  annimmt: 

^  {x).H^  {y)-ip{y) .  Hcp  {x)-=4{xy)  TJT/. 

Setzt  man  in  dieser  Formel  für  T  die  gegebene  Form  /  ein  und 
betrachtet  y^,  y^  als  constante  Parameter,  so  giebt  die  Form 


448  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

4  (^xy)  c  .  a/  a,/ 

die  allgemeinste  lineare  Combination  von  qp  und  Hy  und  demnach  die 
allgemeinste  Lösung  unserer  Aufgabe,  wenn  man  nur  noch  die  Con- 
staiite  c  gehörig  bestimmt.     Nach  §  41.  ist  die  Co  Variante  T  der  Form 

4  c  .  {xy)  TJ>  T,/  =  c,  \\p  {x)  H^  (y)  -  cp  {y)  Hcp  (x)] 

gleich 

c'.T{x).Q[H^{y),     -<p{y)\=-2c^T{x)T'{y), 

und  also  gleich  T{x)j  wenn 

-2cKT^y)==-2e'P  {y)  =  1 

gesetzt  wird.  Die  zu  f  gehörige  allgemeinste  biquadratische  Form 
ist  also 

4  {xy)  .  aj  ay^ 

Der  hier  vorliegende  Fall  ist  unter  den  in  diesem  und  dem  vori- 
gen Paragraphen  behandelten  auch  dadurch  ausgezeichnet,  dass  in 
ihm  nicht  sofort  die  Auflösung  der  Gleichung  f—-0  sich  darbietet, 
wie  dies  in  allen  anderen  Fällen  geschieht.  Man  kann  nun  die  Lösung 
der  Gleichung  /"=  0  an  die  Darstellung  der  zugehörigen  Form  vierter 
Ordnung  anknüpfen,  indem  man  die  Lösung  derselben  verfolgt,  also 
die  zugehörige  Form  H^  bildet,  und  aus  z/;  und  H^  die  drei  irratio- 
nalen quadratischen  Covarianten  von  ip  zusammensetzt,  welche  denn 
nach  der  Theorie  der  biquadratischen  Formen  zugleich  die  Factoren 
von  f  sind. 

Aber  man  kann  zur  Auflösung  der  Gleichung  f=  0  in  diesem 
Falle  noch  einen  zweiten  eleganteren  Weg  einschlagen,  welcher  auch 
zugleich  auf  eine  zweite  Darstellung  der  zu  /"gehörigen  biquadratischen 
Form  ip  führt,  und  welcher  zugleich  tiefer  aus  der  Natur  der  Formen 
sechster  Ordnung  geschöpft  ist. 

Dieser  zweite  Weg,  die  Gleichung /"=  0  in  diesem  Falle  zu  lösen, 
beruht  auf  folgenden  Betrachtungen.  Ich  entwickle  zuerst  den  Ausdruck 
für  das  Quadrat  der  zu  f  gehörigen  Covariante  zwölfter  Ordnung  T, 
welche  aus  der  ersten  Ueberschiebung  von  f  mit  H  entsteht.  Nach 
der  Formel  (10)  des  §  35.  ist  demnach: 

(2)    T2  =  -^  ^  \p  {HHJ  H/  H'J  -  2  fH.  {aHf  aj  HJ  +  H'i. 

Die  Darstellung  der  beiden  Formen 

{aHf  aj  H/,     {HH'f  H/  H'J 

erfordert  etwas  Rechnung.     Nach  den  Formeln  des  §  8.  hat  man 

. ox  (a hy  aj  hj  h/    =  IT/  H/  +  f  ^  .  {xyY 

^  ^  {c  df  cj'  dj>  c,d  ^  HJ  Hy'  -  j\  i .  {xyf. 


gerader  Ordiuing  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  111.  449 

Setzt  man  in  der  zweiten  dieser  Formeln  y^  =  a.2,  ?/2  =  — ^'i>  so 
hat  man : 

(«  Hf  aj  H/  =  VV  ^  /  +  (^  ^0-  («  c)  {a  d) .  cj  cU  «/. 

Der  zweite  Theil  der  rechten  Seite  verschwindet;  denn  wenn  man 
darin  r/,  c,  d  cyclisch  vertauscht  und  die  Summe  aller  entstandenen 
Ausdrücke  bildet,  erhält  man 

{cd)  (ax)  {ad)  c/  dj  a/  \ycd)  a.^.  +  (da)  c^  +  (ac)  d^\  =  0. 

Es  ist  also  erstlich: 

(4)  (aHfaJHJ^^if: 

Schiebt  man  zweitens  die  beiden  Ausdrücke  (3)  zweimal  über 
einander,  indem  mau  sie  als  Functionen  der  y  betrachtet,  so  ergiebt  sich : 

(5)  {HHJ  H/  WJ  =  (a  hf  {c  df  (h  c)  {h  d)  «^^  h/  cj  dj  -  j\  i  H. 
Im  ersten  Theile  der  rechten  Seite  wendet  mau  nun  die  Identität 
3  (hc)  (cd)  (db)  h,  c^  d,  =  {hc)^  dj  +  {cdf  hj  +  (dby  cJ 
an,  welche  aus 

(bc)  ds  +  {cd)  bj,  +  (db)  c^  =  0 

durch  Cobiren  hervorgeht,    und  hat  dann,  indem  man  gleichwerthige 
Terme  zusammenzieht: 

(6)      (HHJ  HJ  H'J  -  -  i  1 2  (a by  (cd)  (b cf  «/  b,  c/  dj> 

+  (a  bf  (cd)^  a/  bj  cJ  ^-'!  -  if 

31=  {abf  (cd)  (bcf  aj  b^  c/  f//. 

In  M  vertauscht  man  b  mit  c,  addirt  den  neuen  Ausdruck  zum 
vorigen  und  dividirt  durch  2.     Dann  wird: 

M-=^(b  cf  a/  b,  c,  dj>  \  a  bf  (c  d)  c,  -  (a  cf  (b  d)  b.  \ , 

oder  wenn  man  im  ersten  Theile  rechts 

(a  b)  Cj:  —  (a  c)  bjc  —  (b  c)  0^ 
setzt : 

=-     ^{bcf  a/  b^r  c^  d/  \  {a  c)  b,,  {{a  b)  {c d)  -  {a  c)  {b d)\  -  (a b)  {c d) (b c)  a^ \ 
^-^{bcfa/ba-CjrdJ'  \{ac){ad  b^-\-(ab)(cd)ajc\ 

wo 

F=={b  cY  (a  c)  {a  d)  a/  bj  c^  d/ 
Q  =  lb  c)"-  (a  b)  {cd)  oj^  bjr  c^  dj>. 

Clebsch,  Theorie  der  binären  algebr.  Formen.  Zi) 


450  Neunter  Absclinitt.     Typische  Barstellung  der  Formen 

In  P  kann  man  das  Symbol  von 

einführen  und  erhält 

F=aJ  dj"  (ai)  (ad)  ij 
=  -i  aj^  dj  (ad)  [(ai)  da:  —  {di)  a^]  iJ  =  ^Hi. 

Um  Q  zu  bilden,  geht  man  von  der  aus  den  Gleichungen  des 
§  8.  folgenden  Formel  aus : 

{Jb  cY  ha:  by  Ca:  Cy  =  1/  ^/  —  \A.  {xyf  ^ 
verwandelt  sie  zunächst  in 

Q)  c)^  Ijc  Cx  hy  Ca  =  ^.r^  iy  i^,  ~  \  A  {xy)  (xs) , 
und  setzt  dann  y,=a^^  y.^^  — a^,  z^  =  d.^,  ^2  =  —  ^h-  ^^^n  erhält  dann : 
Q  =  -  iJ  (ja)  iid)  a/  dj*  +  i^ P 
=  i  ^  P  -  Y  ^^'  «-*  ^-'  ^  (^"  cif  ^-  +  {i  d)^  aj  -  {a  df  iJ } 

Demnach  hat  man  nun: 

12  ^  2     2 ' 

und  also  aus  (6)  den  gesuchten  Ausdruck: 

(7)  {HHy  HJ  H'J  =  ^i^ÄP-ipf-^\  iE. 

Die  Gleichung  (4)  aber  verwandelt  sich  mit  Hilfe  von  (4)  und  (7) 
in  die  Relation: 

(8)  T^  =  -\[i,Af'-:^pP-\iHp  +  H^\ 

In  dem  vorliegenden  Falle  nun,  wo  i  identisch  verschwindet, 
wird  damit  auch  p^{aif  i^^  aj^  identisch  Null,  und  es  bleibt  also 
die  Gleichung: 

(9)  T2  +  :^'=-^m 

Da  nun,  wie  leicht  zu  sehen,  hier  f,  H  und  T  keinen  Factor 
gemein  haben,  so  folgt,  dass  die  beiden  Factoren  der  linken  Seite 


^■^       6       '  6 

vollständige   Guben   biquadratischer  Formen   sein   müssen;   man   kann 
also  solche  biquadratische  Ausdrücke  u,  v  bestimmen,  dass 


ci^)  T-\py^^^=2v^ 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§111,  112.      451 

Auch  u  und  v  können  keinen  Factor  gemein  haben,  da  T  und  /"kei- 
nen gemeinschaftlichen  Factor  besitzen;  bildet  man  also  die  Gleichung 

=  (ll  —  V)  ill  —£V)  {U  —  S^  V), 

so  folgt,  dass  die  biquadratischen  Formen 

u  —  v,      U  —  EVy      U  —  S-V 

die  Quadrate    von   quadratischen  Formen,    den  Factoren    von  f  sind. 

Man    kann  daher   die  Lösung  der  Gleichung  f=0  in   folgenden  Satz 

zusammenfassen ,  indem  man  die  Werthe  von  ti  und  v  aus  (10)  einführt : 

Die   Form  f  zerfällt   (abgesehen  von  einem  con- 

stanten  Factor)  in  die  drei  quadratischen  Factoren, 

welche  man  aus  dem  Ausdrucke 

erhält,  wenn  man  darin  für  s  die  drei  dritten  Wur- 
zeln der  Einheit  setzt. 


§  112,    Typische  Darstellung  der  Form  sechster  Ordnung,   wenn  B  nicht 

yerschwindet. 

Ich  gehe  jetzt  dazu  über,  die  typische  Darstellung  für  diejenigen 
Fälle  zu  entwickeln,  in  denen  sie  möglich  ist.  Dabei  sind  zwei  Fälle 
zu  unterscheiden,  je  nachdem  R  von  Null  verschieden  ist  oder  nicht. 
Beginnen  wir  mit  ersterem. 

Wenn  B  nicht  verschwindet,  so  kann  man  in  den  Formeln  des 
§  103.  X,  31,  X  durch  l,  m,  n  ersetzen-,  der  dort  durch  D  bezeichnete 
Nenner  wird  gleich  jR,  und  indem  man  die  Bezeichnungen 

(1)  ll  =  (nl)  Ha:  h 

beibehält,  wird  nach  §  103.  (15): 

(2)  E^  f=  a,,,  A3  -f  3  a,,,  P  ^  +  3  a,,.^  X^v  +  3  a,,,  X^i'^  +  ß  a,,^  X^iv 

+  3  <7j33  XV^  +  a.o,  ft^  +  3  a^23  ^2y  +  3  «233  ft  1/2  _|_  ^^^  ^3^ 

wo  die  Coefficienten  durch  die  symbolischen  Gleichungen 

a^^^  =  (a  ly^  (a  ly  (a  VJ     a,,.,  =  {a  m)'  (a  mj  {a  mj 

«112  =  («  W  («  ^Y  (6^  »>^')      «223  =  («  ^0'  (« '^Y  («  **)^ 

«113  =  («?)'  («  0'  («  »^)'         «221  =  («  ^^0'  («  ^'^0'  («  ^f 

(3)  «333  =  {a  nf  (a  ny  {a  n'y 

a,,,  =  {anY{any{aiy 
a     =  {a  nf  {a  ny  (a  nif 


«123  =  («Q^  (« ^^0'  («^)^ 


123 

29* 


452  Neunter  Abschnitt,     Typisclie  Parstellimg  der  Formen 

definirt   sind,    und  l,  m,  n  mit  A,   ft,   v   durch    die   Gleichungen   zu- 
sammenhängen [vgl.  §  58.  (7),  (11)]: 

Rl    =Aii   k-^-Aim  n  +  Ain  V 

^    ^  Bn    =  Änl   ?^+  Änrn  ^  +  Ann  V 

Um  die  Coefficienten  anii  zu  berechnen,  gehe  ich  von  den  Aus- 
drücken der  drei  Covarianten 

{a  If  a/ y     (a  mf  aj- ,     {a  nf  «/ 
aus.     Nach  §  109.  iß),  (7)  hat  man 

(am)^a.4  =  ^i±^  +  i?^. 

Um  den  Ausdruck  der  dritten  Covariante  zu  finden,  schiebe  ich 
zunächst  i  zweimal  über  die  zweite  Gleichung  (5)  und  erhalte  links 
die  Form   {anif  {aif  ij  aj-^    rechts   wird   aus  i  jetzt  A,    aus  A  wird 

Bi 

[vgl.  §  40.  (8)]  -^  ;  endlich  ist,  wenn  P  =  9/  gesetzt  wird,  nach  §  8.: 

und  daher  die  zweite  Ueberschiebung  von  i  über  P: 

((f  if  iJ  (p/  =-  (i  ly  i/  J-iÄii.i^ml-^Äui. 
Daher  ist  endlich 

r       ^2r     •^2  •   2  •  2      ^^  1   ^^^  1  ^^^  ^       1    A     .' 
(amf  {aifß/ 1/  =  -^ "^     18    "^  "2"  ~  ^        ^ 

oder  wenn  man  für  Au  seinen  Werth  aus  §  78.  einführt: 
(6)  (amf{aiyaJi,-=.?^^  +  '^. 

Der  gesuchte  Ausdruck  ist 

(any  a/=  {aif  (imf  a/; 
also  wenn  man  hiervon  die  Gleichung  (6)  abzieht: 

Der  letzte  Theil  rechts  ist  gleich: 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Co  Varianten.  —  §  112.  453 

Aber  wegen  der  identischen  Gleichung  (§  76.,  8atz  1.) 

ist  auch,  indem  man  dies  einmal  über  i  schiebt: 

(a  if  [aj  {m  i)  +  3  aj  {m  a)  ijc\  ms  =  0 , 
und  man  kann  daher  für  obigen  Ausdruck  setzen: 

7)1 1/ 

i  (a  if  nKv  cij  \  (m  i)  a.r  —  (jn  a)  u- j  =  ^  {aiy  a^^  m/  =  ~^. 
Daher  wird  nun: 

(a  ny  aj  =        ., \-7nlj 

und  man  hat  also  die  drei  analogen  Darstellungen: 

(7)  ^  (amya/=^^^^^-^iV^ 

.     ..,      ^      BA-Ci  ,      , 
o 

Um  diese  Formeln  anwenden  zu  können,  bildet  man  ihre  zweiten 
Polaren.     Es  ist  nach  einer  oft  angewandten  Formel: 

(8)  A.,-^  A,^' = (n:^  ij  r/  - 1  i> .  (xyy, 

ferner  nach  dem  Obigen,  wenn  (p/-—l': 

(9)  <p:.^<p,'  =  Ul',f-^\An{xijy, 

endlich  wenn  man  diese  für  jede  quadratische  Form  /  giltige  Formel 
nach  den  Coefficienten  von  l  difierenzirt  und  mit  denen  von  m  mul- 
tiplicirt  und  ifj^zml  setzt: 

( 10)  tJ  t,/  -  i  (7)1  J 1/  +  mj^  IJ)  -  \A„a  {xyf. 

Die  Gleichungen   (7)    führen   daher    mit  Hilfe    von  (8),  (9),  (10) 
auf  die  Gleichungen: 

(« If    aj a/  =  2  (Uy  ^/  i',/- 1  B  {xijf  ^-\A.  ij  // 

B  Ä  AB 

{a7nf  a/  a,/  =  -^  ij^  i,f  +  -^  (Itf  i/  i'^ g-  (xijf 

(11)  +  i//?V-i^/K^2/)' 

{auf  ajay^  =  -^{ii'fij,?i'y^—  -g- {xyf  — -^  i/ iy^ 

+  i  (m/lZ  +  myHJ)  -  i  Ami  {xijf. 


454  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

Setzt  man  hierin  statt  x^  und  —x^,  statt  y^  und  —  y.^  in  allen 
Combinationen  die  Werthepaare  l^^,  k'^  m^,  m.^\  n^,  n.^,  so  findet  man 
die  gesuchten  zehn  Coefficienten.  Doch  ist  es  zweckmässiger,  zunächst 
nur  für  die  y  jene  Werthe  zu  setzen,  und  auf  diese  Weise  zunächst 
die  Forrüeln  abzuleiten,  welche  die  sechs  quadratischen  Covarianten 

{alf{aiy^ajj  ialf  {anif  aj  etc. 

(und  zwar  ohne  Nenner)  linear  durch    l,  m,  n  ausdrücken.     Man  hat 
dann  nur  zu  beachten,  dass 

(iiy  ij  =m, 

(i  ly  {i  iy  i/   =  ix^  (i  my  =  n , 

limy  (^  iy  i'J  =  ij  [iny  =  q==^B  m  +  ^Cl      [§  78.  (2)J 

(i ny  (i i'y  i'J  =  iJ  (iqy  =  \  Bn +  -^Cm, 

sowie  dass 

4     _^'^C^,iABG 

Auf  diese  Weise  erhält  man: 
(aiy  {aiy  aj  =  -^l  +  ~m  +  2n 

AC  .  ,  (2C  ,  AB\      .  B 

3 

(12)  [a  my  (am )  a^^=^[-^-\ p—  )  ^  —  o  ^^  +  ir  ^^ 


18  '''' 


(amy{anyaj^  ("TT  +  y)  ^  ^  KQ'^T')  ^'^  ~  3" 
f      .2r     '^2     2      (2C'B^      2ABC\.^(B 

Es  ist  sehr  leicht,  hieraus  die  Coefficienten  aikh  abzuleiten.  In 
der  That  aber  genügen  die  Ausdrücke  (12)  selbst  bereits  vollkommen 
für  die  typische  Darstellung.  Denn  multiplicirt  man  dieselben  der 
Reihe  nach  mit 

P,     2kii,    2lv,    ii\    2^v,     v^ 

und  addirt,  so  erhält  man  rechts 

a/  [(^aiy  A  +  iamy  ^  +  {anf  v]  [{al'y  l  +  (am')  ^'  +  {jxv^y  v\ , 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratisclier  Covarianten.  —  §§  112,  113.       455 

was  nach  §  58.  (10)  gleich  R^ .  aj  =  R^ .  f  ist  Bezeichnet  man  also 
die  sechs  in  I,  w,  n  linearen  Ausdrücke  (12)  durch 

^U,        (flm,       (flu,        (Pmm)       (frnn ,        ^nn, 

SO  ist 

und  es  tritt  auch  ein  weiterer  Nenner  nicht  auf,  wenn  man  l,  ^i,  v 
durch  Ij  nij  n  ausdrückt,  da  die  Quadrate  und  Producte  von  A,  ^,  v 
durch  l,  7)1,  n  ohne  Nenner  darstellbar  sind,  wie  die  Formel  (3)  des 
§  58.  lehrt.  Mit  Bezug  auf  diese  Formel  kann  man  die  Gleichung  (13) 
durch  den  folgenden  Satz  ersetzen: 

Man  erhält  Br  .  f  durch  l,  m,  n  ausgedrückt,  wenn 
man  in  dem  Ausdrucke 


Ai, 

Alm 

Ain 

l 

u 

A,nl 

■^inm 

■^mn 

m 

V 

Änl 

-^nm 

Ann 

n 

IV 

l 

m 

n 

0 

0 

U 

V 

w 

0 

0 

die   Quadrate    und   Producte    der  u,   v,  iv    durch   die 
sechs  Ausdrücke  (12)  ersetzt. 


§  113.    Fall,  wo  B  yersch windet. 

Wenn  i^  =  0,  so  kann  man  AuAmm  —  A^mi  als  von  Null  ver- 
schieden voraussetzen;  denn  wenn  jener  Ausdruck,  die  Resultante  von 
m  und  l,  zugleich  mit  R  verschwindet,  so  haben  nach  §  109.  die 
Formen  Z,  m,  n  einen  gemeinsamen  Factor,  wenn  nicht  selbst  eine 
oder  mehrere  von  ihnen  identisch  verschwinden,  Fälle,  in  welchen 
eine  solche  typische  Darstellung  nicht  mehr  möglich  wird. 

Setzen  wir  also  R  =  0,  aber  AuAmm  —  A^mi  als  von  Null  ver- 
schieden voraus,  und  führen  daher  als  Grundlage  der  typischen  Dar- 
stellung die  Covarianten  ?,  m  und 

ein.     Nach  §  104.  (3)  wird  der  typische  Ausdruck  von  f  dann : 
(iAiiAm„,-A^my.f= 


(1)  '=' 


n^  I {aV^>y  (lA^m-m  Ai„,)+(am^i)y  {mAu  -  lA^i)  +  2 (avioy  v\, 


während 

(2)  v'  =  -i\AmmP-2Amiml  +  Aum^\. 

Bemerken  wir  nun,  dass  die  beiden  Seiten  der  Gleichung  (1)  von 
ungeradem   Grade    sind,    ebenso   wie  ?,  m,   während   v   von  geradem 


456  Neunter  Abschnitt.      Typische  Darstellung  der  Formen 

• 

Grade  ist.  Daher  müssen  die  Coefficienten  von  Pvy  ImVj  m^v,  v^ 
nothwendig  Invarianten  ungeraden  Grades  sein.  Aber  unter  den  Fun- 
damentalinvarianten ist  nur  eine  von  ungeradem  Gerade,  nämlich  B. 
Jene  Coefficienten  müssen  also  R  als  Factor  besitzen,  mithin  in  dem 
vorliegenden  Falle  verschwinden.  Und  so  kann  man  an  Stelle  der 
Gleichung  (1)  die  folgende  setzen,  in  welcher  der  Werth  von  v'^,  sowie 
der  entsprechende  aus  (2)  folgende  Werth  von  {avY  (avf  bereits 
eingetragen  ist: 

=  n    \{aV^^y  {lArr,m-  m  Ain,)  +  {am^'yf  {^mAii  -  lA,ni)\ 

2=1 

^-?>{Am,ni:'-2A„aml+Aiim'\ 

.  \A,„„,  {aT)  {aiy  -  2A,ni  {aiy  {amy  +  Au  {amf  {am'f] 
.  {{ary  {lAmm—niAin?)  +  {anfy  {mAii—lA,„i)u 

Diese  Gleichung  zeigt  erstlich,  dass  in  diesem  Falle  /"eine  cubische 
Form  von  l  und  m  allein  ist;  zweitens,  dass  in  den  Coefficienten  nur 
noch  die  vier  Ausdrücke  zu  bestimmen  bleiben,  welche  aus  symbo- 
lischen Factoren  (a?""))'^,  (am^'^  zusammengesetzt  sind,  und  welche 
im  vorigen  Paragraphen  durch 

^1117        ^112  7        ^122}       ^222 

bezeichnet  wurden.  Man  erhält  dieselben  aus  den  Gleichungen  (12) 
des  vorigen  Paragraphen: 

0^111= TV-  Aii+-^  Ain,-{-2Ai„ 

'^B  A 

<^112  —  ö~  -^inl    1    TT  -^in  m  "T  ^  -^^in  n 

2C  ,      ,  i^    .  A    . 


26'  B 


^122  —  "ö"  A,n  l-^  -^  A, 


B'  .  AAG 


40'\ 


Anil 


—  Ti  Ai  ,„ 

+  §A,„ 

c  , 

3 

Der  zuerst  erwähnte  Umstand  giebt  die  Lösung  der  Gleichung 
sechster  Ordnung  f=0,  wenn  ihre  Invariante  E  verschwindet.  Be- 
zeichnen wir  den  rechten  Theil  der  Gleichung  (3)  durch  (p{l,m',  so 
können  wir  folgenden  Satz  aussprechen: 

Die  Gleichung  /  =  0  ist  algebraisch  lösbar,  so- 
bald ihre  Invariante  R  verschwindet,  und  zwar 
geht  sie  dann   durch   die  Substitution 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Co  Varianten.  —  §  113.  457 

(4)  ,  =  j 

in   die  cu bische  Gleichung 

9,(1, ^)=.0 
über. 

Hat  man  diese  Gleichung  gelöst,  so  bestimmt  jeder  Werth  von  0 
zwei  Werthsysteme  x^,  x.,.     Man  findet  diese,  indem  man  die  Gleich- 
ung (2)  zu  Hilfe  nimmt.     Indem  man  in  dieser  l^=mz  setzt,  hat  man 
nun  die  beiden  Gleichungen 
m  —  lz  =  0 


aus  welchen  die  Verhältnisse  x^  :x^x.,:x.^  sich  linear  bestimmen.  Die 
beiden  verschiedene)!  Werthsysteme,  welche  demselben  z  zugehören, 
sind  durch  das   Vorzeichen  der  Quadratwurzel  unterschieden. 

Die  geoQietrische  Bedeutung  dieses  Falles  ist  sehr  einfach.  Da 
l  und  Di  der  Voraussetzung  nach  keinen  gemeinschaftlichen  Factor 
haben,  so  kann  man  nach  §  57.  zwei  lineare  Ausdrücke  finden,  aus 
deren  Quadraten  sich  l  und  t)i  linear  zusammensetzen;  es  sind  dies 
keine  andern,  als  die  Factoren  von  v.  Aber  dann  gehen  auch  die 
drei  linearen  Factoren  von  (p  (J ,  m)  in  Aggregate  derselben  Quadrate 
über,  und  man  kann  sie  durch 

Q m^  —  6¥,     Q  nf  —  a' l' ,     q" m-  —  0" l'^ 

darstellen.  Mit  andern  Worten:  die  drei  linearen  Factoren  von  (pQ,m) 
liefern  Elementepaare  einer  Involution,  und  man  hat  den  Satz: 

Wenn  i^  =  0,  ohne  dass  m,  l  einen  linearen  Factor 
gemein   haben,   so   entsprechen   der  Gleichung  /  =  0 
drei  Elementepaare  einer  Involution.* 
Dieser  Satz  lässt   sich  umkehren.     W^enn   die  Wurzeln   von  /  =  0 
drei  Elementepaaren   einer    Involution   entsprechen,    so   braucht    man 
nur   die   Doppelelemente    der  letzteren   zu  Grunde  zu   legen,   um   der 
Function  f  eine  Form  zu  geben,    in   welcher   alle  Coefficienteu   unge- 
rader Potenzen   verschwinden.     Dann   enthält  aber  auch  i  nur  gerade 
Potenzen,   daher  auch  l,  m,  n.     Es  müssen  also  Ij  m^  n  die  Formen 
annehmen : 

l     —  (/j     X-^    ~\~  li-2     «^-j 

m  =  m^  X{-  -f  m^  x.^ 

n  =.  n^  X{  +  n.^  x.^^ 

und  die  Determinante  U  ihrer  Coefficienteu  verschwindet  also,  wie 
zu  beweisen  war. 


*  Siehe  Salmon,  Lessons  etc. 


458  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

§  114.    Die  Modulargleichung  für  die  Transformation  fünfter  Ordnung  der 

elliptischen  Functionen. 

In  einem  ganz  andern  Sinn,  als  bei  dem  Verschwinden  von  B, 
kann  man  diejenigen  Gleichungen  sechsten  Grades  als  auflösbar  be- 
zeichnen, in  welchen  gleichzeitig  die  Invarianten  A  und  G  verschwin- 
den. Diese  lassen  sich  nämlich  durch  eine  lineare  Substitution  in  die 
Modulargleichung  für  die  Transformation  fünfter  Ordnung  der  ellip- 
tischen Functionen  überführen,  und  der  zugehörige  Modul  der  ellip- 
tischen Functionen  wird  durch  eine  reciproke  biquadratische  Gleichung 
bestimmt.  Da  andererseits  in  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen 
die  Lösung  der  Modulargleichung  durch  einfache  transcendente  Mittel 
gelehrt  wird,  so  ist  die  Lösung  der  angegebenen  Classe  von  Gleich- 
ungen sechsten  Grades,  wenn  auch  nicht  mehr  durch  ausschliesslich 
algebraische  Mittel,  dadurch  gegeben. 

Die  betreffende  Modulargleichung  ist  nach  Jacobi,  Fund.  S.  27: 

(1)  v^^4.u^v^-\-bu^v^  —  bu^v^  —  ^uv  —  u^==0, 

wenn  %  —  u^  der  ursprüngliche,  k  =  v'^  der  transformirte  Modul  ist. 
Diese  Gleichung  aber  geht  durch  die  lineare  Substitution 

wie  eine  kleine  Rechnung  lehrt,  in  die  Form  über: 

(3)  ^«  +  5^'^+15  5'^-4^fi-5  =  0, 
wo 

(4)  ^^    <l-^0 

der  einzige  nicht  numerische  Coefficient  der  Gleichung  ist. 
Setzen  wir 

(5)  .  -  =  !' 

WO  5,  7^  lineare  Functionen  von  x^j  x^  sein  sollen,  deren  Determi- 
nante durch  r  bezeichnet  werden  mag,  so  nimmt  die  Gleichung  (3) 
auch  die  Gestalt  an: 

(6)  9)(|,7i)  =  0, 

und  (p  ist  dabei  die  homogene  Function  sechster  Ordnung: 

(7)  9)  =  |6  _^  5  g*  i^2  _|.  15  g2  ^4  _  4  ^  g  ^5  _  5  ^6^ 

Bildet  man  nun  die  Co  Varianten  und  Invarianten  von  /"*,  so  erhält 
man  sogleich: 


*  Vgl.  Gordan,  Annali,  Ser.  IL  t.  IL;  Joubert,  Comptes  Rendus,  1867. 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Co  Varianten.  —  §  114.  459 

^  =  0 

daher,  als  Invarianten  von  i: 

(9)  ^     9  ^^''^^^•'^       y  xHl->cT 

c  =  o. 

Durch   die   vierte  Ueberschiebung   von   i  mit  f  findet  man  weiter 

(10)  ;  =  _|,2.^-4^ 

sodann^  indem  man  diese  Form  und  die  folgende  mit  i  combinirt: 

2 


7)1 


(11)  5. 


52 


und  hieraus  ergeben  sich  weiter  die  Invarianten: 


■ö 


U-J  ^-      lö        '  48  '     ' 

sowie  die  Covariante 

(13)  ^  =  (nl)7i:.h^-'^^ri.9'-\ 

Es  erhellt  hieraus  die  charakteristische  Eigenschaft  der  Modular- 
gleichung,  dass  ihre  Invarianten  Ä  und  ^verschwinden.  Man 
ist  daher  im  Stande,  gemäss  den  Principien  des  §  103.  (deren  Anwen- 
dung sich  indess  hier  sehr  vereinfacht)  jede  Gleichung  sechsten  Gra- 
des, bei  welcher  die  Invarianten  Ä  und  C  verschwinden,  in  die  Form 
(3)  oder  (6)  zu  bringen.  In  der  That,  ist  /"irgend  eine  Form,  welche 
diese  Eigenschaft  hat,  und  bezeichnet  man  durch  obere  Striche  die 
aus  ihr  abgeleiteten  Formen,  so  hat  man,  unter  der  Voraussetzung, 
dass  dieselbe  durch  eine  lineare  Substitution  mit  der  Determinante  r 
in  (p{^,  Tj)  übergehe,  nach  dem  Vorigen  die  Gleichungen: 

(14)  f 


460  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 


oder  man  hat 

~      WD 

(15) 

n             BH 

Die  letzte  Formel  giebt  eine  lineare  Substitution,  da  l  und  d-, 
sobald  ^  =  0,  (7=^0,  stets  einen  Factor  gemein  haben.  Es  ist  näm- 
lich die  Resultante  von  %'  und  l  nach  der  Bezeichnung  des  §  58.: 

Nun  ist  D^/  gleich  Null,  weil  %"  eine  Functionaldeterminante  und  l 
eine  ihrer  constituirenden  Functionen  ist  (vgl.  §  58.);  und  nach 
§  78.  (9)  wird 

also  Null,  weil  Ä  und  C  verschwinden.  So  ist  also  die  Resultante 
von  d"  und  l  gleich  Null,  und  diese  Formen  haben  einen  gemein- 
samen Factor,  nach  dessen  Entfernung  die  letzte  Formel  (15)  rechts 
in  Zähler  und  Nenner  linear  ist. 

Die   Formel   für  -^  hängt  von  r^  ab,    während  nur  r^  völlig,    r^ 

nur  bis  auf  das  Vorzeichen  bestimmt  ist.  Geht  man  von  einem 
Vorzeichen  von  r^  zum  entgegengesetzten  über,  so  ändert  sich  nach 
der  zweiten  Formel  (15)  auch  das  Zeichen  von  ^.  Das  Quadrat  dieser 
letztern  Grösse  ist  wiederum  völlig  bestimmt,  und  zwar  auf  doppelte 
Weise.     Aus  (15)  erhält  man 


dagegen  aus  (9): 


^^  _ß8  -  X>J55    ' 


,       9  5       _      121)^      _ 


Die  Vergleichung  beider  Ausdrücke  giebt        .  * 

■^'"92' 
dies   ist  nichts  anderes  als  die  Form,  welche  die  Identität  §  78.  (10) 
annimmt,  wenn  A  und  C  verschwinden. 

I 
Durch   die   Gleichungen  (15^   sind   also  —  und  ^  bis  auf  ein  ge- 
meinsames Vorzeichen  bestimmt.     Dass  es  auf  dieses  nicht  ankommt, 
sieht  man  aus  der  Gleichung  (7),  welche  sich  nicht  ändert,  wenn  man 
ri  und  ft  zugleich  das  Zeichen  wechseln  lässt.     Setzen  wir  also 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §  114.  461 

(16)  ,^  =  — ä=^, 

4.Y-BB' 

wo    das  Vorzeichen    der   Wurzel    irgendwie   bestimmt  sein  mag.      Es 
wird  dann  \ 

_       12  E 

(17)  "^  -B^-y-^BB 

1]  _lj/-BB 

^~       2d-       ' 

Diese  Substitution  führt  zu  der  Form  (7).    Will  man  zu  der  Mo- 
dulargleichung  selbst  übergehen,  so  muss  man  daher  die  Substitution 


..^.  l]/-BB     vii^^  +  ti 

anwenden.  Die   Grösse  it  bestimmt  sich^   da  u^=x,   aus  der  Gleich- 
ung (4): 

(19)  i^i^^  =  .       '2^ 


und    man  erhält  16  verschiedene  Substitutionen  (18),  indem  man  die 
vier  Wurzeln  %  der  Gleichung  (19),  und  die  vier  aas  jeder  derselben 

fliessenden  Werthe  der  Grösse  ti  =  ]/  x  anwendet. 

Nachdem  auf  diese  Weise  die  Form  f  in  die  Form  der  Modular- 
gleichung  gebracht  ist,  kommt  auch  ihre  Auflösung  auf  die  der  Mo- 
dulargleichung  zurück.  Denkt  man  sich  v  der  Theorie  der  ellip- 
tischen Functionen  gemäss  bestimmt,  so  giebt  die  Gleichung  (18)  die 
Wurzeln  der  Gleichung  f=  0  auf  lineare  Weise.  Die  Grösse  u  war 
dabei  nur  bis  auf  eine  vierte  Wurzel  der  Einheit  bestimmt;  aber 
wenn  man  ii  um  eine  solche,  £,  ändert,  so  muss  in  Folge  der  Gleich- 
ung (1)  auch  V  um  s  geändert  werden,  und  die  rechte  Seite  der 
Gleichung  (19)  erfährt  keine  Modification. 

Ebenso  wenig  wird  die  Auflösung  geändert,  wenn  man  an  Stelle 
einer  W^urzel  x  der  Gleichung  (18)  eine  der  drei  anderen  treten  lässt. 
Ist  nämlich  x  eine  Wurzel  jener  Gleichung,  so  sind  die  drei  anderen: 

Es  treten  also,  wenn  man  eine  dieser  Wurzeln  statt  x  einführt, 
an  Stelle  von  ti  die  Grössen 

"^=f-l'  "^-f-r^'  "3=/^T^«- 

Zugleich  aber  sind  dann  an  Stelle  der  Wurzeln  v  der  Modular- 
gleichung  in  (19)  die  Ausdrücke  zu  setzen: 


462  Neunter  Absclanitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

'  "     '{i  +  XK,)u+  (X  -y.,)  V'  '  ^  (1  +  XK,)  II  +  (X  -  Z,)  V  ' 

wodurch  die  Modulargleicliung  befriedigt  wird,  indem  nicht  blos  ^, 
sondern  auch  0  seinen  Werth  beibehält,  und  also  auch  die  Lösung 
(18)  unserer  Gleichung  sechsten  Grades  ungeändert  bleibt. 


§  115.    Die  Grleichung  für  den  Multiplicator  der  Transformation  fünfter 
Ordnung  der  elliptischen  Function. 

Eine  andere  Classe  von  Gleichungen  sechsten  Grades,  welche  mit 
Hilfe  der  Theorie  der  elliptischen  Functionen  lösbar  sind,  erhält  man 
durch  Betrachtung  des  dem  Modul  A  entsprechenden  Multiplicators. 
Ist  in  Folge  einer  der  im  Vorigen  benutzten  Transformationen  fünfter 
Ordnung 

dy  _  1  dx 

so    hat   man   M=  — ^  .     Dieser  Zusammenhang   von  M  mit  v 

ist  kein  linearer  mehr,  und  daher  genügt  M  einer  Gleichung  sechsten 
Grades  mit  Invarianteneigenschaften,  welche  von  denen  der  Gleichung 
für  V  verschieden  sind. 

Wie  Hr.  Brioschi  gezeigt  hat,  wird  die  Gleichung  für 

die  folgende**: 

(1)  ^6  _  4  ^5  _j_  256  ^2  3C'2  (^  _}_  1)  ^  0^       (;t'2  ^  1  _  ^2y 

Das  Charakteristische  dieser  Gleichung  ist  zunächst,  dass  die  drei 
mittleren  Glieder  fehlen.     Setzt  man  aber 

(2)  '  =  ^\' 

multiplicirt  noch  mit  einer  beliebigen  Constante,  und  setzt  die  Gleich- 
ung in  der  Form  an: 

(3)  «oi'  +  6«i^'^  +  6«5S^'  +  ^r.^'  =  0, 

so  bleibt  zwischen  a^,  a^,  a^,  üq  die  eine  Relation  bestehen: 

(4)  a^a^  +  dttj^ar^^O, 


*  Jacobi,  Fund.  S.  28. 
**  Annali  di  matematica ,  Bd.  1 ,  S.  177. 


gera<ler  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.  —  §§  114,  115.       463 
und  um  (3)  in  (1)  überzuführen,  hat  mau  die  Gleichungen 

128         ,   ,, 

a^^  =  256  Q  K^  x'-. 
Man  findet  daraus,  die  Gleichung  (4)  vorausgesetzt, 

^^^  ^--3^'      ""  ""   -     324  a,^' 

aus  welcher  letztern  Gleichung  sich  mit  Hilfe  einer  quadratischen 
Gleichung  k^  ergiebt. 

Um  nun  aber  weiter  den  allgemeinen  Charakter  der  Gleichungen 
zu  untersuchen,  welche  die  Form  (3)  annehmen  können,  bilde  ich  die 
Invarianten  derselben,  indem  ich  |,  r]  als  lineare  Functionen  von  x^y  x,^ 
betrachte,  deren  Determinante  gleich  1  sein  mag.  Die  letztere  An- 
nahme ist  gestattet,  da  die  Veränderung  von  |  und  r]  um  constante 
Factoren  nur  durch  eine  Veränderung  der  Constanten  a  bedingt  wird. 
Ja,  von  diesen  letzteren  ist  noch  eine  willkürlich;  man  kann,  wie  weiter- 
hin geschehen  soll,  zwischen  den  a  eine  beliebige  Relation  fest- 
setzen, wenn  dieselbe  nur  nicht  ausschliesslich  von  den  Producten 
«Q  öfg  und  «1  «5  abhängt,  deren  Werthverhältniss  allerdings  durch  die 
vorige  Annahme  festgelegt  wird. 

Man  hat  nun  zunächst,  wenn 

aQaQ  =  öa,     a^a-^  =  —  ^ 
gesetzt  wird : 

(6)  A  =  2{aQaQ-Ga,a^)  =  l0a,     «  =  yq; 
sodann 

(7)  2  =  I  >^  (4  «0  «5 1^+2  a^  a^  ^  r;  -f  4  a,  a^  if)y 
also 

(8)  B=Ua\     C  =  -18a^ 
Hieraus  folgen  sofort  die  Invariantenrelationen 

(9)  B  =  l^A^     C  =  -A^a, 

welche  den  Charakter  der  Gleichung  bezeichnen. 
Weiter  wird 

wo  ß  den  Ausdruck 


464  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

(11)  ß  =  a,'a,'  +  a,'a,' 

bedeutet. 

Hieraus  folgt,  dass  man  eine  Form,  welche  den 
Invariantenbeziehungen 

7  9 

genügt,  in  die  Form 

bringt,    indem    man   als   neue   Veränderliche   die   li- 
nearen Factoren  des  Ausdrucks 

(12)  -8ßiir,^m-~l 

einführt. 

Aus  dem  Ausdrucke  von  m  findet  man  noch 


(13)  i)  =  32(J-^^). 


Dies    führt    auf   keine   Invariantenrelation,    da   a   und   ß   durch  keine 
Beziehung  verbunden  sind.     Aber  es  giebt  sofort  die  Bestimmung 


('4)  ^=y^-i2 


Dieser  Ausdruck  darf,  damit  die  vorliegende  Umformung  möglich 
sei,  nicht  verschwinden.     Der  Ausdruck  unter  dem  Wurzelzeichen  ist 

A 

zugleich  die  Discriminante  des  Ausdrucks  m  —  —T^l'^  es  hat  dieser  Aus- 
druck also  wirklich,  wenn  ß  von  Null  verschieden  ist,  zwei  verschie- 
dene lineare  Factoren,  welche  denn  zur  Transformation  benutzt  wer- 
den können. 

Endlich  ergiebt  sich  noch 

*■ 

(15)  n=^  a  m  -]-  IQ  a  ß  Iri  +  S  ß  {a^a^l^  -\-  a^ÜQ  rf). 

Combiniren  wir  dies  mit  den  Gleichungen  (10),  so  finden  wir 

«6  «/  5'  +  %  «5^  ^'  ==  -  ^ 

%  ^h  l  +  «1  ^h  n  ^    p- ; 

und  indem  wir  diese  Gleichungen  nach  5^,  '»^^  auflösen,  wobei  die 
Determinante  der  Ausdruck 

(16)  y  =  a^^a,.^-'a^^a^^ 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covariant^n.  —  §  115.  465 

ist  : 

^ ,  /  ,    n-\-  a  m—  2  a^  l 

(17)  ^  ^^ 

yn=    ^0 «ö-j  +  «ß ^h  • gß • 

Nehmen  wir  die  Gleichung  (12)  hinzu,  so  sehen  wir,  dass  wir 
den  Quotienten  — ,  also  die  Unbekannte  der  transformirten  Gleichung, 
ohne  Wurzelausziehen  tindeii,  wenn  nur  die  Grössen 

6fo,  «1,  rt-,  öfi,  y 
noch  bekannt  sind. 

Was  zunächst  y  IjetriÖt,  so  bestimmt  man  dasselbe  durch  Bit- 
dung der  letzten  Invariante  Bj  welche  der  aus  den  Coefficienten  von 
l,  m  y  n  gebildeten  Determinante  gleich  ist: 

B  =  128  f^'  y. 

Es  ist  also 


(Ä-^ 


Zur  Bestimmung  von  a^^  a^,  a-^j  cIq  haben  wir  die  Gleichungen: 
(19) 


ß  -\-y 


«  i    9     ß—y 

«1  '^*5  =  - -3  ?  (l'o    (^a^=  -Y^'  ^ 

Diese  Gleichungen  sind  nicht  von  einander  unabhängig;   denn  es 
folgt  daraus  die  Beziehung 

(20)  •  ^=-t 

welche   dem   Umstände   entspricht,    dass   sich   B^  durch  A,  B ^  C ,  D 
ausdrücken  lässt.     ^^ber  aus  (19)  erhält  man  ferner 

a^a^'^     ß-y       ci^a,'^     ß  +  y 
«1  a^  2  cc-  '      Gq  a-  2  «^  ' 

so   dass   die   Ausdrücke    (17)   für   |-,    rj-   bis    auf  Factoren  ci^ttej  S% 
vollständig  bestimmt  sind. 

Dass   eine  der   Grössen  a  unbestimmt  bleibt,   liegt  in  der  Natur 
der  Aufgabe.     Um  sie  willkürlich  zu  bestimmen,  setze  ich 

«0  0^5  =  « » 
so  dass  dann  nach  (19): 

a^  CIq  =  —  a. 
Dann  ist  endlich: 

C  leb  seh,  Theorie  der  hinären  algebr.  Formen.  30 


466  Neunter  Abschnitt.     Typische  Darstellung  der  Formen 

^,,  1    ,  y  —  ß    n-\-  a  m  —  2  a"^  l 


4  '    2«    •  Sß 

(21)  ,_        /       y-\-ß    t'i  +  a  m  -2a'l 

^4        2a    '      ^    Sß 
ß^7]=^m  —  a  ( , 


yri'  =  a.-r- 


wo 


A  ^ i^ 


(22)         «  =  j(j,      )'  =  ^ ^,      ß  =  yf-i2A.aK 


Hier  ist  nunmehr  alles  bestimmt.     In  der  Gleichung 

aber  werden  die  Coefficienten : 

%  -       6  ^2 ;     ^1-18  «2^     ^^^^  -  18  a^'     ^«  ~  6  ß^^  ' 

so    dass    sich    dieselbe   mit   Auslassung  des  Nenners  6 «-  in  folgende 
verwandelt : 

Die   Gleichungen   (5)    geben    sodann    für  den  üebergang   zu  der 
Multiplicatorgleichung : 


^  =  2,    ^.= 

n 

,     »c^'x'^  =  i 

v-ß 
'y+ß 

man 

kann 

daher  setzen: 

-     x^=i 

:('■■ 

y  r+ß> 

%■■' = ^ 

^0-/^)- 

— 

Diese  Transformation  der  gegebenen  Gleichung  ist,  wie  man  aus 
den  vorstehenden  Formeln  sieht,  immer  möglich,  sobald  a,  ß,  y  von 
Null  verschieden  sind;  denn  auch  der  Nenner  y  +  ß,  welcher  hi  den 
Formeln  für  die  x  vorkommt,  führt,  wenn  er  verschwindet,  wegen 
der  Gleichung  (20)  auf  a  =  0.  In  zweien  dieser  Ausnahmefälle  aber 
verschwindet  jR;  nämlich  beim  Verschwinden  von  ß  oder  y,  da 
B  — 128  /3^  y.  Da  in  diesem  Falle  die  Gleichungen  sechsten  Gra- 
des, wie  oben  gezeigt,  in  anderer  Weise  lösbar  sind,  so  kann  derselbe 
hier  übergangen  werden.  Es  bleibt  also  nur  der  Fall  zu  betrachten, 
wo  «  =  0,  also  A  =  {),  B  —  O,  C  =  0,  während  D  und  B  als  von  Null 
verschieden  angenommen  werden  (i^^=-  — ^D^). 

Diesen  Fall  kann  man  bequem  mit  Hilfe  der  typischen  Darstellung 
behandeln,  welche  in  §  112.  gegeben  wurde.  Da -4,  B,  C  verschwin- 
den, so  verschwinden  auch  An,  Aim,  A„,„,  A„„.  Daher  sind  die 
Gleichungen  zwischen  /,  m,  n  und  A,  ft,  i»  hier  [vgl.  §  78.  (9)] 


gerader  Ordnung  mittelst  quadratischer  Covarianten.    —  §  115.  467 

EI   =^Dv 

(23)  Bm  =  D^ 

Rn  =DX. 

Sonach  geht  die  identische  Gleichung 

I  ?,-\-m  ^-\-  n  v  =  0 
in 

(24)  0^21  n  +  m~, 

und  die  typische  Darstellung  in 

R'f=2nl'-\-2Dnvl  +  ^  v' m , 
oder,  indem  man  die  VVerthe  der  ?.,  ^,  v  einführt,  in 

(25)  j)'f^2n'-i-^-^Pm 

über.     Aber  da   ohnehin   /,   n  wegen  Äu  —  O,  Ä„n~0  Quadrate  sein 
müssen  j  so  ergiebt  sich  aus  (24) ,  dass  man  setzen  darf: 

und  indem   man  nun  diese  Veränderlichen  ^,  rj  in  (25)  einführt,  wird 

Man  hat  daher  folgenden  Satz: 

Wenn  ^  =  0,  5  =  0,  C  =  i),  aber  D  von  Null  ver- 
schieden ist,  so  ist  n  ein  Quadrat  und  die  Wurzel 
von  n  ist  Factor  von  /.  Der  übrigbleibende  Factor 
fünften  Grades  lässt  sich  als  Aggregat  zweier  fünf- 
ter  Potenzen  darstellen,   indem   man  ]/ n   und  — ^  als 

j/n 
Veränderliche  einführt. 

Die  Gleichung  sechsten  Grades  hat  also  einen  rationalen  linearen 
Factor  und  die  Auflösung  der  übrigbleibenden  Gleichung  fünften 
Grades  erfordert  nur  das  Ausziehen  einer  fünften  Wurzel. 


Verbesserungen. 


S.     31,  Z.  15  V.  u.  statt  „einen  ihrer"  lies:  „seien  ihre". 

S.  161,  Z.    4.  Von  hier  bis  zum  Ende  des  Paragraphen  lese  man: 

i 
Im  ersten  Falle  muss  also  |  H  negativ,  }  H^  —  -x  p  positiv 

sein,  im  zweiten  Falle  tritt  eine  der  andern  Zeichencombinationen 

dieser  Grössen  ein.     Und  so  haben  wir  folgenden  Satz: 

Wenn  *"'  — 6j^I>0,  so  ist  entweder  H  bei  beliebigen 

reellen  Werthen    der   x  negativ,    und    zugleich  immer 

i 
H^—-^P  positiv;    dann    hat   f  lauter    reelle   Wurzeln; 

oder  die  Wurzeln  der  Gleichung  /"=  0    sind  sämmtlich 
imaginär. 
S.  227,  Z.  ö  und  Z.  8  v.  o.  und  S.  228,  Z.  13  v.  u.  sind  die  Sl  enthaltenden  Terme 
immer  mit  dem  entgegengesetzten  Zeichen  zu  versehen. 


Piuck  von  B.  G.  Teubner  in  Dresden. 


GENERAL  LIBRARY 
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■KfllB  1977 


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