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Full text of "Théorie der binären algebraischen Formen"

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THEORIE 



DER BINAREN 



ALGEBRAISCHEN FORMEN 



VON 



A. CLEBSCH, 



ORDENTL. PROFESSOR AN DER I'XIVERSITAT UND MITGLIED DER KOL. GES. DER 

WISSENSCH. ZU GÖTTIXGEX, CORRESP. MITGLIED DER ACADEMIEN Zu BERLIN 

UND MÜNCHEN, DES ISTXTUTO LOMBARDO UND DER ACADEMIE ZU BOLOGNA, 

HONORARY MEMBER OF THE CAMBRIDGE PHILOSOPHICAL SOCIETY. 




LEIPZIG, 

VERLAG VON B. G. TEUBNER. 

1872. 



Cj 



V r w r t. 



XJie Gruudzüge der iieuereu Algebra, wie diese Discij)lin aus 
deu Häuden von Cayley imd Sylvester hervorging, sind durch 
das Salm 011 'sehe Lehrbuch in Jedes Händen. Einige in diesem 
Werke nicht behandelte Capitel findet man in Cayley 's „Mcmoirs 
lipon QHantics^' {Phil. Tr.), in Brioschi's „Tcoria del covariauti" 
{ÄnnaU)y in Fiedler's „Elementen der neueren Geometrie etc." im 
Zusammenhange entwickelt. Das vorliegende Werk entsprang dem 
Bedürfnisse, auch andere, zum Theil neuere, Methoden und Gesichts- 
punkte einem grösseren Kreise zugänglich zu machen. Ich rechne 
dahin vor Allem die grundsätzliche Anwendung der zuerst von 
Aronhold gebrauchten symbolischen Bezeichnung, welche, wie ich 
schon im 59. Bande von Borchardt's Journal ausgeführt habe, die 
principielle Grundlage für alle Gebilde der neueren Algebra liefert; 
sodann die fundamentalen Untersuchungen von Gordan über die 
Endlichkeit der Formensysteme, welche, auf jene Bezeichnuugsweise 
gegründet, eine Perspective in eine neue Classe tiefer und wichtiger 
Forschungen eröffnet; endlich die weiteren Ausführungen, welche die 
von Her mite begründete Theorie der typischen Darstellungen seit- 
her erfahren hat. Diese und einige andere Momente, welche ich in 
meinen Vorlesungen seit läugerer Zeit hervorzuheben pflegte, gaben 
denselben allmälig eine Gestalt, welche die Grundzüge des gegen- 
wärtigen Werkes lieferte. Indem ich mich aber zu dieser Veröffent- 
lichung entschloss, erwies sich die Beschränkung auf binäre Formen 
als nothwendig; nicht so sehr wegen der Fülle des Stoffs, als weil 
diese Formen allein bis jetzt eine wenn auch nur annähernd abge- 
rundete Fassung der Theorie zulassen. 

Göttingen, den 29. September 1871. 

A. Clebsch. 



Ivi777500 



Inhalt. 



Erster Abschnitt. 
Grimdeigeiihchaften der Invarianten nnd Covftrfanten binärer Formen. 

Seite 

§ 1. Definition binärer Formen. Lineare Substitutionen 1 

§ 2. Definition der Invarianten und Covariauten binärer Fomien .... 3 

§ 3. Operationen, welche die Invarianteneigenschaft nicht aufheben ... 6 

§ 4. Tiineare Formen. Transformation ihrer Coefficient€n 7 

§ 5. Invarianten, welche aus den Coefficienteu einer oder zweier linearer 

Formen gebildet sind 9 

§ 6. Functionen von zwei Reihen gleichartiger Grössen. Operationen , 

welche im Folgenden benutzt werden .... 12 

§ 7. Darstellung einer Function zweier Reihen von Veränderlichen durch 

die Polaren von Functionen, welche nur eine Reihe enthalt^en . . 15 

§ 8. Bestimmung der Coefficienteu cc . 20 

§ 9. Die Invarianten und Covarianten eines Systems linearer Formen . . 24 

§ 10. Covarianten mit mehreren Reihen von Veränderlichen 26 

§ 11. Symbolische Darstellung algebraischer Formen 28 

§ 12. Die symbolische Darstellung der Invarianten und Covarianten ... 31 

§ 13. Symbolische Coefficienteu von Covarianten . . 36 

§ 14, Grundformen mit mehreren Reihen von Veränderlichen 38 

§ 15. Hilfsmittel symbolischer Operationen . . 39 

§ 16. Formen von "^geradem und ungeradem Charakter . 42 

Zweiter Abschnitt. 

Die geometrische Interpretation algebraischer Formen. 

§ 17. Mittel der geometrischen Darstellung binärer Formen. Punktreihe 

und Strahlbüschel 44 

§ 18. Gleichungen, welche durch das Verschwinden von Invarianten und 

Covarianten ausgedrückt werden • 47 

§ 19. Invarianten und Covarianten von Functionen, welche durch ihre li- 
nearen Factoren gegeben sind 50 

§ 20. Methode , invariante symmetrische Functionen der linearen Factoren 

einer Form durch die Coefficienteu derselben auszudrücken ... 54 

§ 21. Die Doppelverhältnisse von vier Elementen .......... 58 

§ 22. Projectivische Gebilde 60 

§ 23. Zusammenhang der Projectivität mit den linearen Substitutionen . . 64 

§ 24. Vereinigt gelegene Punktreihen und Strahlbüschel . 65 

§ 25. Andere Darstellung vereinigter projectivischer Gebilde 74 



VI Inhalt. 

üritterAbsclmitt. 

Resultanten und Discriminanten. g^j^^ 

§ 26. Resultanten und Discriniinanten 78 

§ 27. Bildung der Resultante für den Fall, wo eine der gegebenen Formen 

von der zweiten Ordnung ist 83 

§ 28. Resultante zweier cubisclien Formen 94 

^29. Discriminanten von Formen der niedrigsten Ordnungen 97 

Vierter Abschnitt. 

Theorie der Formen zweiter, dritter und vierter Ordnung. 

§ 30. Ueberscliiebungen 99 

§ 31. Zurückluhruiig aller Co Varianten und Invarianten aid' Ueberschie- 

bungen 102 

§ 32. Covarianten und Invarianten einer binären Form 106 

§ 33. Die binären Formen zweiter Ordnun,^ 111 

§ 34. Covarianten und Invarianten der cubisclien Formen 114 

§ 35, Die Covariante Q . . ■ 116 

§36. Die zusammengesetzte Function ■af\-}-lQ 119 

§37. Beweis, dass das Formensystem mit den Formen /', A, <^, R abge 

schlössen ist 125 

§ 38. Auflösung der cubisclien Gleichungen 127 

§ 39. Geometrische Interpretation der cubischen Formen 131 

§ 40. Formen vierter Ordnung 134 

§41. Die zusammengesetzte Function v.f+lll 137 

§ 42. Die Form T : • • 1^'^ 

§ 43. Beweis, duss ausser /", J/, 1\ ^, j keine Invarianten und Covarianten 

existiren 145 

§44. Die Auflösung der cubischen Gkncliung Sl~^ 148 

§ 45. Die quadratischen Factoren von T 151 

§ 46. Auflösung der biquadratischen Gleichungen 154 

§ 47. Die quadratischen Factoren von /" 158 

§ 48. Ausnahmefälle 161 

§ 49. Kanonische Darstellung der biquadratischen Form 166 

§ 50. Die absolute Invariante und das Doppelverhältniss 169 

§ 51. Geometrische Interpretation • 175 

Fünfter Absclinitt. 
Simultane Grundformen. 

§ 52. Covarianten und Invarianten simultaner Systeme 179 

§ 53. Ueberscliiebungen symbolischer Producte und Theile derselben , . . 181 
§ 54. Simultane Systeme besitzen ein endliches vollständiges Formensystem, 

wenn die einzelnen Formen ein solches besitzen Iv6 

§55. Simultane Systeme, in denen ausser anderen auch lineare Grund- 
formen auftreten . . 191 

§ 56. Simultane Systeme, in denen ausser anderen Grundformen eine qua- 
dratische vorkommt 193 

§ 57. Simultanes System zweier quadratischen Formen 197 

§ 58. Simultane Invarianten und Covarianten einer beliebigen Anzahl qua- 
dratischer Formen 203 

§ 59. Simultane Covarianten und Invarianten einer quadratischen und einer 

cubischen Form , • 208 

§ 60, Formensystem einer quadratischen und einer biquadratischen Form . 212 

§ 61. Vollständiges System zweier cubischen Formen 221 

§ 62. Die Reduction des elliptischen Integrals erster Gattung auf die 

Normalform .... 228 

§63. Ein Problem, welches dem Problem der Wendepunkte einer Curve 
dritter Ordnung entspricht Aufstellung einer Gleichung neunten 

Grades, von welcher dasselbe abhängt 234 



Inhalt Vii 

Seite 

§ 64. Gruppirung der Wurzeln der Gleichung neunten Grades gegen eine 

derselben 238 

§ 65. Die Systeme conjugirter Lösungen 243 

§ 66. Lösung der Gleichung neunten Grades 248 

Sechster Abschnitt. 

Endlichkeit der Formensysteme. 

§ 67. Satz über die Zerlegung jeder Co Variante einer Form in zwei Theile 

von bestimmtem Charakter -. . . . 255 

§ 68. Beweis der Zerlegbarkeit 258 

§ 69. Folgerungen aus dem Zerlegungssatze 260 

§ 70. Wenn alle Formen f bis zur {n — l)teu Ordnung endliche vollständige 
Systeme von Invarianten und Co Varianten besitzen, so haben auch 
die Formen wter Ordnung solche. Beweis für die Fälle, wo n 

nicht durch 4 theilbar ist 262 

§71. Der Fall, wo n durch 4 theilbar ist. Eigenschaften der Covariante 

wter Ordnung und zweiten Grades 267 

§ 72. Beweis der Existenz eines endlichen vollständigen Systems für den 

Fall, wo n durch 4 theilbar ist 269 

§ 73. Formensystem der Formen fünfter Ordnung 274 

§ 74. Ersetzung der Formen, welche die Tafel enthält, durch andere . . 277 

§ 75. Invariantenrelationen 279 

§ 76. Formensystem der Formen sechster Ordnimg 283 

§ 77. Reduction des Systems der aus einer Form sechsten Grades entsprin- 
genden Bildungen 291 

§ 78. Die Invarianten und quadratischen Covarianten der Formen gechster 

Ordnung 296 

Siebenter Absebnitt. 

Typische Darstellungen. 

§ 79. Ueber die Anzahl der Parameter, von welchen die Invarianten und 

Covarianten eines Systems abhängen 300 

§ 80. Partielle Differentialgleichungen, denen die Covarianten und Invarianten 

eines simultanen Systems genügen . ' 305 

§ 81. Typische Darstellung und associirte Formen 317 

§ 82. Einfachstes System associirter Formen 321 

§ 83. Recursionsformel für die Coefficienten gewisser typischer Darstellungen 324 

§ 84. Die independente Darstellung der Functionen cp 326 

§ 85. Das einfachste System associirter Formen 330 

§ 86. Methode zur Berechnung der Coefficienten op. Die typischen Darstel- 
lungen bis zur sechsten Ordnung 334 

§ 87. Anwendung der typischen Darstellung auf die Lösung von Gleichungen 338 
§ 88. Andere typische Darstellung des Formensystems der Formen dritter 

und vierter Ordnung . . , 343 

§ 89. Ueber die Aufgabe , zu gegebenen Elementen ein letztes zu finden , so 

dass eine bestimmte Invariante des ganzen Systems verschwindet 349 

Achter Abschnitt. 

Typische Darstellnng von Formen ungerader Ordnung mittelst linearer 

Covarianten. 

§ 90. Typische Darstellung von Formen, deren eine wenigstens von unge- 
rader Ordnung ist, mittelst linearer Covarianten 357 

§ 91. Zurückführung der Coefficienten solcher typischen Darstellungen auf 

niedrigere Invarianten 360 

§ 92. Ueber die Bedingungen, unter welchen Formen durch lineare Sub- 
stitution in einander übergeführt werden können 362 



VI II Inhalt. 

Seite 

§ 93. Anwendung auf Formen fünfter Ordnung. Besondere Fälle derselben 369 
§ 94. Typische Darstellung der Formen fünfter Ordnung mittelst linearer 

Covarianten ^ . 374 

§ 95. Darstellung einer Form fünfter Ordnung durch die Summe von drei 

fünften Potenzen 379 

§ 96. Behandlung des' Falles, wo C = 0. lieber die Lösung der Gleichung 

fünften Grades für diesen Fall ............. 384 

§ 97. Typische Darstellung zweier simultanen Formen zweiter und dritter 

Ordnung mittelst linearer Covarianten . . . . 387 

§ 98. Typische Darstellung zweier simultanen cubischen Formen .... 392 
§ 99. Darstellung der Coefficienten von F durch die einfachsten simultanen 

Invarianten von /' und qo 396 

§ 100. Die aus F entstehenden Formen. Ausnahmefall Sl = . . . . . 400 
§101. Die Transformation dritter Ordnung der elliptischen Integrale . . 405 

NeunterAbsclmitt. 

Typisclie Darstellung der Formen gerader Ordnung mittelst 
quadratischer Covarianten. 

§ 102. Beweis, dass im Allgemeinen jede Form gerader Ordnung zwei qua- 
dratische Covarianten besitzt"^ welche keinen linearen Factor 
gemein haben 410 

§ 103. Typische Darstellung eines Systems simultaner Formen gerader 

Ordnung mit Hilfe quadratischer Covarianten 413 

§ 104. Ueber den besondern Fall, in welchem eine der Functionen L , M, 

N die Functionaldeterminante der beiden anderen ist 419 

§ 105. Ueber die Möglichkeit, Systeme von Formen gerader Ordnung mit 
gleichen absoluten Invarianten durch lineare Transformation in 
einander überzuführen . 421 

§ 106, Drei simultane quadratische Formen 428 

§ 107. Simultanes System einer quadratischen und einer biquadratischen 

Form: Fälle, wo keine typische Darstellung möglich ist ... 431 

§ 108. Typische Darstellungen der übrigen Fälle 433 

§ 109. Die Formen sechster Ordnung. Fälle, in denen die typische Dar 

Stellung nicht möglich ist 437 

§ 110. Ausnahmefälle, in welchen eine der Covarianten w, Z, i verschwindet 445 

§111. Untersuchung einer Form sechsten Grades, welche Co Variante sechsten 

Grades einer biquadratischen Form ist 447 

§ 112. Typische Darstellung der Form sechster Ordnung, wenn B nicht 

verschwindet 451 

§ llo. Fall, wo Jl verschwindet , . 455 

§ 114. Die Modulargleichung für die Transformation fünfter Ordnung der 

elliptischen Functionen 458 

§ 115. Die Gleichung für den Multiplicator der Transformation fünfter Ord- 
nung der elliptischen Functionen 462 



Erster Absclmitt. 

Grundeigenscliaften der Invarianten und Covarianten 
binärer Formen. 



§ 1. Definition binärer Formen. Lineare Snbstitntionen. 

Im Folgenden wird von den ganzen homogenen Functionen zweier 
Veränderliclien gehandelt. Diese Functionen heissen binär, weil eben 
nur zwei Veränderliclie vorkommen; sie werden, insofern es sich we- 
sentlich um ihren Charakter als ganzer Functionen handelt, binäre 
Formen genannt, eine Bezeichnung, welche der Zahlentheorie ent- 
lehnt ist. Man theilt sie in Ordnungen nach der Dimension, in welcher 
die Veränderlichen vorkommen. 

Setzt mau eine binäre Form oi^^^ Ordnung gleich Null und divi- 
dirt durch die n'^^ Potenz einer Veränderlichen, so kommt in der Glei- 
chung nur der Quotient beider Veränderlichen vor, und man hat also 
eine Gleichung n^^^ Grades zur Bestimmung dieses Quotienten vor sich. 
Man kann daher auch die gleich Null gesetzte Form selbst als Glei- 
chung ii*^" Grades für das Verhältniss der Venlnderlichen betrachten. 

Die Coefficienten einer Form betrachtet man zunächst als Qon- 
stante, und zwar als willkürlich gegebene Constante, so dass zwischen 
denselben von vorn herein Relationen nicht angenommen werden. In- 
sofern unterscheiden sie sich von veränderlichen Grössen nur durch 
den zufällig gewählten Gesichtspunkt, unter Avelchem sie betrachtet 
werden. 

Eine Form w*" Ordnung hat n + 1 Coefficienten. Geht man, in- 
dem man die Form gleich Null setzt, zu der entsprechenden Gleichung 
über, so kann ein Coefficient durch Division zu 1 gemacht werden. 
Es ist aber wegen des Zusammenhanges der Theorie der Gleichungen 
mit der allgemeinen Formentheorie besser, auch in diesem Falle alle 
Coefficienten beizubehalten. 

In der Invariantentheorie werden die Formen insbesondere rück- 
sichtlich der Veränderungen untersucht, welche sie erleiden, wenn 
man statt der ursprünglichen Veränderlichen lineare Verbindungen 

Clebsch, Theorie der binären algebr. Formen. 1 



2 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Jii Varianten 

derselben als neue Veränderliche einführt. Seien x^, x^ die ursprüng- 
lichen Veränderlichen und f{x^, x.^ eine homogene Function w*^'" Ord- 
nung derselben. Führen wir nun neue Veränderliche ^^^ |^, ein mit 
Hilfe der Gleichungen: 

gx x, = a^^l,-\-a^,l., 

X2 = f^21 "31 I ^22 ^2 ? 

WO die vier Grössen a constante Coefficienten bedeuten. Alsdann geht 
die Function f der x in eine andere Function f der J über, indem 

f{x,,X.^) = f{cC^,l -f fi:i2?2? ^21^1 + ^22y 

gesetzt wird. Die neue oder, wie wir sagen wollen, die transfor- 
mirte Form ist von derselben Ordnung in den ?, wie die ursprüng- 
liche in den x war. Die neuen Coefficienten enthalten linear die ur- 
sprünglichen Coefficienten; aber sie enthalten ausserdem die Coefficien- 
ten «, und zwar, der Ordnung der Form f entsprechend, homogen 
in der ?^*®° Dimension.* 

Die Operation, vermöge deren die neuen Veränderlichen J ein- 
geführt werden , nennt man, weil dabei die linearen Gleichungen (1) 
zu Grunde gelegt werden, eine lineare Substitution, und versteht 
unter dieser Bezeichnung auch wohl die Formeln (l) selbst, deren 
Coefficienten a dann Substitutionscoefficienten genannt werden. 

Damit aber die Gleichungen (1) nicht etwa eine Relation zwischen 
den als unabhängig vorausgesetzten Grössen^ enthalten, ist es noth- 
wendig, dass diese Gleichungen nach ^j, J^ aullösbar seien und dass 
der dabei auftretende Nenner nicht verschwinde. Wäre der Ausdruck 

T :=-^ Cf^j «22 ^12 %1 7 

die Determinante der Substitution, gleich Null, so würde nach 
(1) \lie Beziehung 

oder 

stattfinden müssen, was mit dem Begrifi\3 der x als unabhängiger Ver- 
änderlichen unverträglich ist. Wir nehmen also r jederzeit als von 



* Beispiel einer quadratischen Form: 

f= üqXi^ + 2 «1 Xi Xi + «2 ^2~ 

= «0 («1 1 ii -1- «12 ^2)^ + 2 «1 (or, 1 ^1 -f- a,2 12) («21 f 1 + «22 h) + «2 («21 h -^ «22 ^2)' 
= a'o|i2 + 2a'ia,l2 + «'2^2S 

a'o = «0 «1 1 '^ + 2 «1 «1 , oTa I -f riTg «j, 2, 

a'x = «0 ofi, or,2 -f a, (of,, cf22 -f «12 «21) + «2 «2t «22 , 



und Covarianten binärer FoiTnen. — §§ 1, 2. 3 

Null verschieden an und erbalten demnach aus (1) durch Auflösung 
dieser Gleichungen nach den ^: 



(2) l'I 

die aufgelösten Substitutionsformeln. 



§ 2. Deflnitiou der IiiTariaiiten und CoTarianten binärer Formen. 

In der Formentheorie untersucht man nun solche ganze 
rationale Verbindungen der Coefficienten und der Ver- 
änderlichen, welche bis auf eine Potenz von r denselben 
Werth annehmen, gleichviel, ob man sie für die ursprüng- 
liche oder für die transformirte Function bildet. Enthält 
eine solche Verbindung nur die Coefficienten, so nennt man sie In- 
variante: enthält sie auch noch die Veränderlichen, so wird sie Co- 
variante genannt.* 

Sei TT eine solche ganze rationale Function der Veränderlichen 
a;,, ^2 und der Coefficienten a^, öj, a^,..., welche die oben festgestellte 
Eigenschaft besitzt, eine Eigenschaft, welche kurz als Invarianten- 
eigenschaft bezeichnet werden soll. Sind dann, wie oben, J^, J., 
die neuen Veränderlichen und a^, a\, a^... die Coefficienten der 
transformirten Function /", so muss man die Gleichung haben: 

(1) n (a\, a\, a^ . . .; ?,, y = r^ TJ (a^, a,, «,. . .5 x^, x.^, 
durch welche die Invarianteneigenschaft ausgesagt wird. 

Durch die lineare Substitution treten an Stelle der x lineare Ver- 
bindungen I derselben, an Stelle der a^y a^, a^... ebenso lineare Ver- 
bindungen dieser Coefficienten. Daher bleibt jede für die x einerseits 
und für die a^, a^y ^2 • • • andererseits ganze und homogene Function 
auch nach der Transformation eine solche. Man schliesst daraus, dass 
die Gleichung (1) für die verschiedenen, nach den x einerseits und nach 
den Coefficienten andererseits homogenen Theile bestehen muss, in 
welche TT etwa zerfallt und welche unter sich verschiedene Dimen- 
sionen der Grössen zeigen, in Bezug auf welche jeder einzelne Theil 
homogen ist, oder, was dasselbe ist, man schliesst, dass diese Theile 
einzeln die Invarianteneigenschaft besitzen müssen. Wir setzen daher 
im Folgenden immer voraus, dass jede zu betrachtende Invarianie 
oder Covariante schon in solche Theile zerlegt sei, und sprechen also 



Beigpiel einer Invariante bei einer quadratischen Form (vergl. oben) : 

(ö'o a'2 - «'1 ^) = (rt„ «2 ~ « I -) («1 1 «22 - «12 «21 )' 

= {aoai-ai^)r\ 

1* 



4 Erster Abschnitt. Grundeigenscliaften der Invarianten 

nur noch von solchen, welche für die x einerseits und für die Coef- 
ficienten andererseits homogen sind. 

Es ist aber nicht nöthig, die Untersuchung der Wirkung einer 
linearen Substitution auf eine zu transformirende Function f zu be- 
schränken. Es sei eine ßeihe von Functionen f, (p, ij;... gegeben, 
deren Ordnungen beziehungsweise durch m, n, p... bezeichnet sein 
mögen. Dann kann man alle diese Functionen gleichzeitig mit Hilfe 
derselben linearen Substitution transformiren, und insofern sie hier- 
durch unter einem gemeinsamen Gesichtspunkt betrachtet werden, be- 
zeichnet man sie zusammen als ein simultanes System von For- 
men. Man bezeichnet nun als simultane Invarianten und 
simultane Covarianten solche ganze rationale Functionen 
der Coefficienten von /", cpj ip..., beziehungsweise auch 
von x^j X2, welche die Invarianteneigenschaft besitzen,* 
' Bezeichnen wir die Coefficienten der Functionen /", cp ^ jp . . . in 
folgender Weise: 

Coefficienten von f: a^, a^y a.^ . . . 
» « ^' K h> h--- 

n » ^' ^0? ^17 ^2 • • • 



und bezeichnen wir die entsprechenden Coefficienten der transformir- 
ten Functionen immer durch beigesetzte obere Striche, so ist die all- 
gemeinste simultane Covariante bez. Invariante dieser Formen eine 
ganze Function TT der a, &, c, ... x, welche der Gleichung genügt: 

Und aus denselben Gründen, wie dies oben bei einer Grundfunc- 
tion geschah, muss diese Gleichung erfüllt sein für die verschiedenen 
Theile, in welche TT etwa zerfallen kann und deren jeder für jede 
der Reihen 



* Beispiel zweier quadratischen Formen: 

f~ üoXi^ -I- 2 eil ^1 ^2 + «2^2^ 
Cp=:boXi^ +2hiXiCÜ2 +1)2X2^. 

Transformirte Coefficienten : 

a'o=«o«ii^ + 2aiaiior2i -fa2a2i^ 

a'i = «0 0^11 «12 + (^i («11 0^22 + «12 '^21 ) + ^h «21 0^22 

a'2 = «0 «12^ + 2 «1 «12 «22 + <^2 «22^ 

h'o = &o «11^ + 2 hl cci i 0^2, -f 1)2 cfai ^ 

^'i = ^0«11 «12 + h («11 «22 + «12 «21) + ?>2«21 «22 
b'2 = &o «1 2^ + 2 &i «1 2 «22 -]- &2 «22^- 

Simultane Covariante : 



j«'oli+«'il2 ^'o^i + h\^2\_ 

Simultane Invariante : 

{a'oh'z - 2a'i h\ + a^h'o) ~ r^ {ciobi - 2«, ?>, ^- a2ho)- 



üqXi + «1 X2 1)q Xi -f hl X2 
«1 £C, -^ «2 X2 hl Xi -]- &2 ^2 



uud Covarianteii binilrer Formen. — § 2. 



homogen ist, während die eiuzehien Theile durch verschiedene Dimen- 
sionen in Bezug auf irgend welche dieser Reihen sich unterscheiden. 
Man kann also auch hier immer voraussetzen, dass jede zu betrach- 
tende Invariante oder Covariante bereits so zerlegt sei, und sich daher 
auf die Untersuchung solcher Gebilde beschränken, welche bereits für 
jede einzelne der obigen Reihen homogen sind. 

Endlich kann man das Gebiet der zu untersuchenden Bildungen 
auch dadurch erweitern, dass man neben einer Reihe von Veränder- 
lichen x^y i\^ deren mehrere andere 

2/i; 2/2; ^1; ^2; ••• 
einführt, doch so, dass sie sämmtlich derselben linearen Transfor- 
mation unterworfen werden und durch sie gleichzeitig auf die den 
^^, ^., entsprechenden Reihen von neuen Veränderlichen führen: 

Vi> V21 Si; ?25 ••• 

Dabei sind also y^J y,, mit rj^, rj.^ und <^^, 0.^ mit ^j, J^ u. s. w. 
durch dieselben Gleichungen verbunden, welche zwischen Xj^y x^ einer- 
seits und ^^, 1^ andererseits bestehen, also durch die Gleichungen: 

2/1 = «11^1 + «12% 
2/2 = «21^1 + «22 ^2 
^i = «nSi + «i2?2 

^2 = «21^1 + «22^2 

u. s. w. 
Erweitert man den Begriff der Covarianten nun auch in Bezug 
auf die Anzahl der in denselben vorkommenden Reihen von Veränder- 
lichen, so ist jetzt eine solche definirt als ganze rationale Function 
ihrer Argumente, welche der Gleichung genügt: 

(2) '' V^07^1"*5 ^0>^l'"'-l <^'o>^l--*5 '•'^l>^2'l '^i;^2 5 bl7fc25"V 

= r^Tl{a^,a,,..', h^,h,...] c^,^,...-, ...x^.x.^-, y^, y,-, z^,z^',..,). 

Und man kann auch hier w^ieder, ohne der Allgemeinheit Ein- 
trag zu thun, voraussetzen, dass TT homogen sei für jede einzelne 
der Reihen: 

^1; ^2» y^y 2/27 ^1; ^27 
u. s. w. 

Dieser allgemeinste Begriff der hier zu betrachtenden Formen soll 
weiter unten an einem System linearer Formen erläutert und damit 
zugleich die Grundlage für die Untersuchung eines beliebigen For- 
mensystems gewonnen werden. 



6 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

§ B. Operationen, welche die Inyarianteneigenscliaft nicht auflieben. 

Ehe ich mich zu der Betrachtung der Systeme von linearen For- 
men wende, werde ich zwei Sätze beweisen, die bei derselben sofort 
angewendet werden. Der erste dieser Sätze ist folgender: 

Wenn TT in Bezug auf die Coefficienten jeder 
der Formen f, (p , -tp . . . und jedes der Paare von Ver- 
änderlichen X, y, z... homogen ist und die Inva- 
rianteneigenschaft-besitzt, wenn ferner jPeine Form 
von gleichem Grade wie /' ist, und den Coefficienten 

von /'einzeln die Coefficienten 

von F entsprechen, so besitzt auch die Function 

an an d\\_ 
"""a^o 'a^^'^^'^aa/'- 
die Invarianteneigenschaft, sobald nur die Func- 
tion F dem simultanen System /", qp, i\) . . . hinzuge- 
fügt wird.* 
Dieser Satz ist leicht zu beweisen. Denn da über die Coefficien- 
ten von /", ^) ... gar nichts vorausgesetzt wurde, so ist bei der Fest- 
stellung der Eigenschaften von TT die Function /' eine beliebige Form 
,^^ter Ordnung, und diese Eigenschaften ändern sich nicht, wenn man / 
durch irgend eine andere Form n*®*^ Ordnung, etwa durch f-\-lcF er- 
setzt, wo Tv eine beliebige Grösse ist. Bildet man nun für die so mo- 
dificirte Function TT die Gleichung (2) § 2. und ordnet auf beiden Seiten 
nach Potenzen von Ä;, so muss die Gleichung noch für jeden Werth 
von li bestehen; die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von ^ 
müssen auf beiden Seiten einander gleich sein, d. h. die Coefficienten 
der verschiedenen Potenzen von h in der Entwickelung von TT müssen 
einzeln die Invarianteneigenschaft besitzen. Ist nun die Entwickelung 
der Function TT, nachdem in derselben a^^-\-haQ, a^-\-lha^ u. s. w. für 
«Q, a^... gesetzt ist, der Ausdruck 

so hat also auch TTj die Invarianteneigenschaft 5 aber diese Function 
ist das erste Glied der Entwickelung, welche eintritt, wenn man die 
Function TT, für die Argumente a^ + ^^o? g^i + >^'^i--- gebildet, nach 
den Grössen a^j a^ u. s. w. entwickelt, also 



* Cayley, fourth Memoir upon Quantics, Phil. Tr. Bd. 148. 



und Co Varianten binärer Formen. — §§3,4. 7 

wodurch der obige Satz bewiesen ist. 

Der zweite Satz, welcher im Folgenden angewendet werden soll, 
bezieht sich ebenso auf die Vermehrung der Reihen von Veränder- 
lichen, wie der vorige auf die Vermehrung der Functionen. 

Kommt in TT irgend eine Reihe x^^j x^ von Ver- 
änderlichen vor und sind t^y t^ zwei denselben Trans- 
formationsformeln unterworfene Veränderliche, so 
besitzt auch die Function 

^'cx,^''dx., 
die Invarianteneigenschaft. 
Der Beweis dieses Satzes wird dem des vorigen ganz analog ge- 
führt. In TT stellen die Grössen x^, x^ irgend zwei Veränderliche vor, 
welche den Substitutionsformeln (1) § 1. unterworfen werden. Den- 
selben Formeln unterliegen die Grössen x^-\-'kt^, x,^-\-]ct, in welchen 
k eine ganz beliebige Grösse ist. Die Function TT behält also die In- 
varianteneigenschaft, wenn man in derselben x^^, x<^ durch x^-\-)it^j 
x^-\-'kt., ersetzt, und zwar hat sie dieselbe dann unabhängig von dem 
Werthe von A\ Entwickelt man nun die aus TT entstandene Function 
nach Potenzen von }i\ 

so haben alle Coefficienten dieser Reihe, also auch TTj, dieselbe Eigen- 
schaft. Aber ATT^ ist das zweite Glied der Reihe, welche man erhält, 
indem man die modificirte Function TT nach den Potenzen von lit^, 
lit., dem Taylor'schen Lehrsatze gemäss entwickelt. Es ist also 

und diese Function hat die Invarianteneigenschaft, was zu bewei- 
sen war. 

Bei der Anwendung dieser Sätze auf ein System linearer For- 
men zeigt sich nun sofort, dass der letzte Satz als besonderer Fall 
des ersten aufgefasst werden kann, ja, dass man die Veränderlichen 
^'i; ^2 5 y 1)1/2'" §"^112 entbehren kann, indem man nur das betrachtete 
System simultaner Formen um die entsprechende Anzahl linearer 
Formen vermehrt. 



§ 4. Lineare Formeu. Trausformation ihrer Coefflcieuteu, 

Es sei 

/*= a^^x^ -f- tf.^X-i 



8 



Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 



irgend eine lineare Form. Setzt man in dieser für die x die Aus- 
drücke § 1. (l) ein, so erhält man: 

Während also für den Zusammenhang der x mit den ^ die Sub- 
stitutionsformeln ö'elten : 



■ (1) 

oder 

(2) 






^bi — ^22*^1 ^12^2 

^ §2 ^^^ ^21 -^l ~r ^1 1 «^2 ? 

so erhält man zwischen den Coefficienten einef linearen Function in 
der ursprünglichen und in der transformirten Form die Beziehungen: 



(3) 
oder aufgelöst: 

(4) 






Zwischen den verschiedenen Systemen von Gleichungen (1), (2), 
(3), (4) besteht eine merkwürdige Analogie. Die Gleichungen (1), (3) 
einerseits, sowie {2), (4) andererseits zeigen rechts dieselben Coef- 
ficienten aj nur sind die Coefficienten, welche in dem einen System 
eine Horizontalreihe bilden, in dem andern in einer Verticalreihe 
enthalten und umgekehrt, was man dadurch ausdrückt, dass man die 
Determinante 



«,<, 



a. 



des einen Systems der Determinante 



•^11 ^2i 



des andern gegenüber transponirt nennt. Man hat also den Satz: 
Die transformirten Coefficienten drücken sich 
durch die ursprünglichen mittelst Gleichu^igen der- 
selben Form aus, wie die ursprünglichen Veränder- 
lichen durch die transformirten, und zwar ist nur 
die Determinante des einen Systems von Gleichun- 
gen transponirt gegenü-ber der des andern. 
Dieser Satz bleibt noch richtig, wenn man beidemal die Worte: 

ursprünglich und transformirt vertauscht; er giebt dann die aus 

der Betrachtung von (2), (4) fliessende Eigenschaft. 



lind Covarianten binärer Foiinen. — §§ 4, 5. 9 

Aber die Betrachtung der Systeme (2), (3) [oder (1), (4)J lehrt wei- 
ter, dass man den folgenden Satz aussprechen kann: 

Die Grössen x^, x.^ gehen (abgesehen von einem 
Factor r) bei der Transformation in |^, ^^ ^^^^ Hilfe 
derselben Formeln über, mit deren Hilfe die Grös- 
sen a., und — a^ in a^. und — a\ übergehen. 
Da nun das Auftreten eines weitern Factors r bei der Transfor- 
mation an der Invariant eneigenschaft nichts ändert, so geht daraus 
der Satz hervor: 

Eine Function TT, welche die Veränderlichen x^jX.^ 
enthält und die Invarianteneigenschaft besitzt, be- 
hält dieselbe noch, sobald man x^ und x.^ durch die 
Grössen a.,, —a^ ersetzt, wobei d^j a.^ die Coefficien- 
ten einer linearen Function sind. 
Man sieht hieraus, dass, wenn man den Begrifi' des simultanen 
Formensystems einfährt, die Covarianten überhauj)t aus der Betrach- 
tung ausgeschlossen werden können. Denn an Stelle jeder Covariante 
kann man eine Invariante einführen, bei deren Bildung nur das simul- 
tane System um so viel lineare Formen vermehrt ist, als Reihen von 
Veränderlichen in der Covariante existiren. Und von einer solchen 
Invariante ist es immer sofort möglich, zu der Covariante zurück- 
zukehren, indem man die Coeffici enteil 

ö„ -a^; \, -h,] ... 
der eingeführten linearen Formen wieder durch die Reihen von Ver- 
änderlichen 

^1 ; ^2 5 2/i > 2/2 *5 • • • 
ersetzt. 



§ 5. Iiiyariaiiten, welche aus den €oefflcieiiten einer oder zweier 
linearen Formen gebildet sind. 

Ein eigentlicher Gewinn von dieser Anschauungsweise tritt nur 
bei Systemen von linearen Formen hervor, zu deren näherer Betrach- 
tung ich mich jetzt Avende. Denn man sieht, dass jede Covariante 
eines solchen Systems vermöge der obigen Bemerkung durch eine In- 
variante eines Systems ersetzt werden kann, welches einige lineare 
Formen mehr enthält. Wenn wir daher alle möglichen Invarianten 
solcher Formensysteme, unabhängig von der Zahl der zu Grunde ge- 
legten Formen, bilden können, so können wir alle Covarianten der- 
selben sofort ableiten. 

Nehmen wir also ein beliebig grosses System von linearen Formen 
als gegeben an: 



10 



Erster Abschnitt. G rundeisj enschaften der Invarianten 



Ä 
B 



11 ~> 2 2 

h^ x^ + 62 x.^ 



und suchen alle aus diesem zu bildenden Invarianten. Zunächst kann 
man leicht eine Zahl von Bildungen angeben, welche die Invarianten- 
eigenschaft besitzen. Es sind dieses die aus den Coefficienten je zweier 
der gegebenen Formen gebildeten Determinanten. In der That hat 
man analog den Gleichungen § 4. (3) für die Coefficienten der trans- 
formirten Formen die Ausdrücke: 



(1) 



h\ = «11 h^ + «5>, h,j, , h^ = «j2 &i -|- «22 ^2 



daher 

a\ h\ I ^ r^n ^1 + «21 ^2 ^n ^i + ^21 \ 
' a.^ h\^ I 0^12 ^'i -f ^22 «2 ^12 ^r -f ß^22 ^2 
wo nach dem Multiplicationssatz der Determinanten die rechte Seite 
sofort in die Factoren 



zerfallt. Man hat also 












d. h. die Determinante zweier linearen Functionen hat die 
I n V a r i a n t e n e i g e n s c h a f t . 

Da im Folgenden solche Determinanten, wie die obige ist, sehr 
häufig vorkommen, so empfiehlt es sich, für Ausdrücke der Form 



1 M = a, &.. — 6, a. 



eine einfachere Bezeichnung einzuführen. Ich werde sie immer durch 
(ah) bezeichnen, so dass also 

{al))=^aj)^-—'b^a.^=^ — {ha). 
Man kann nun folgenden Satz beweisen : 

Jede Invariante von einer Anzahl linearer For- 
men ist eine ganze rationale Combination der De- 
terminanten vom Typus (cth), welche sich aus den 
Coefficienten der Formen zusammensetzen lassen. 
Ehe ich zu deui Beweise dieses Satzes für eine beliebige Anzahl 
linearer Formen übergehe, werde ich ihii für Systeme beweisen, 
welche aus einer oder zwei linearen Formen bestehen. 



und Covarianten binärer Formen. — § 5. 11 

Ist eine einzige Form 

Ä = a^x^^~\- a.^x.2 
gegeben, TT eine Invariante derselben, so muss man als Definition von 
TT die Gleichung haben: 

wo a\, a'jj durch die Gleichungen (1) mit a\j d^ verbunden sind. Nun 
muss diese Gleichung für jede lineare Substitution bestehen, z. B. auch 
für die folgende: 

•^2 = — «iii"^S2; 
wo die h beliebige Grössen sind, deren Verhältniss nur von dem der a 
verschieden ist, so dass 

nicht verschwindet. In diesem Falle ist 

«i x^ + a^ ^^ = (a^ h., — h^ a.,) t^j 
\ also 

a\ = 0, a\, = r, 

und die Gleichung für TT geht in die folgende, über: 

Da TT als eine homogene Function seiner Argumente vorausgesetzt 
wurde, so folgt liieraus 

wo C eine reine Constante ist. Aber zugleich muss ft verschwinden, 
da r die ganz fremdartigen Grössen h^, h.^ enthält. 

Es giebt also keine Invariante einer linearen 

Function, die evidente abgerechnet, welche aus einer 

reinen Constante besteht. 

Wenn dagegen zw^ei Formen 

A = a^^x^^-\- a.^x.^ 
B = h^x^ + h.^x.^ 
gegeben sind, so ist die Definitionsgleichung für TT: 

n {a\, ci,, h\, h\,) = rKTi K, a,, h„ b.^. 

Benutzen wir nun wieder die Gleichungen (2) als Su'bstitutions- 
formeln, so haben wir 

«1 Xj^ + «2 ^2= {aih.^ — h^a.,) .^2 
h, x^ + &2 x^ = - {a, \ - h, a,) . J^ , 
also 



12 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 



Die Definitionsgleichung für TT verwandelt sich dadurcli in 
n (0, r, - r, 0) ^r^.T\{a„ a^, h,, K^. 
Die linke Seite geht nun in eine reine Constante über, nmltiplicirt 
mit einer Potenz von r, und man hat also den Satz: 

Jede Invariante zweier simultanen linearen For- 
men ist eine Potenz der Determinante ihrer Coeffi- 
cienten. 
Es ist dabei vorausgesetzt, dass a^h^ — h^^a.^ nicht verschwinde; 
eine Voraussetzung, welche erlaubt ist, da alle zu betrachtenden For- 
men stets allgemein, also auch von einander unabhängig gedacht 
werden. 

§ 6. Functionen von zwei Reihen gleichartiger Grössen. Operationen, 
welche im Folgenden benutzt werden. 

Der Beweis des allgemeinen, im vorigen Paragraphen angegebenen 
Satzes , sowie eine grosse Anzahl anderer Folgerungen dieser Theorie 
stützt sicli auf eine Formel, welche im Folgenden entwickelt werden 
soll. Dieselbe bezieht sich auf eine ganze rationale Function /', welche 
zwei Reihen von Veränderlichen in homogener Weise enthält. Sie 
zeigt, wie jede solche Function aus einer gewissen Anzahl von For- 
men, welche nur eine Keihe von Veränderlichen enthalten, vermöge 
gewisser einfacher Operationen zusammengesetzt werden kann.* 

Diese Operationen sind, nur wiederholt angewendet, dieselben, 
welche schon im zweiten Satze des § 3. benutzt wurden. Ich will sie 
hier mit solchen Zeichen hinschreiben, wie sie sich auf Grössen beziehen, 
die oben Veränderliche im eigentlichen Sinne genannt wurden; sie 
bleiben wegen der in § 4. gezeigten Vertauschbarkeit von Veränder- 
lichen mit Coefficienten linearer Formen auch für solche in allen ihren 
Eigenschaften bestehen, und sind dann besondere Fälle der im ersten 
Satze des § 3. erwähnten Operation. 

Es sei (p = (p {x^j x^\ 2/i; 2/2) ®i^6 Form, welche homogen vom 
Grade m in x^, x.^, homogen vom Grade ^ in y^j y.^ ist. Die beiden 
Ausdrücke 

(p{x^ + Xy,, x.,-\-'ly^', y,, y,), cp (x,, x.,-, y^^-lx^, 2/2 + '^-^2); 
in welcher; die neuen Argumente für die lineare Transformation genau 
die Eigenschaften der ursprünglichen haben, sollen, nach Potenzen 
von l geordnet, die Entwickelungen geben: 



* Untersuchungen, welche den hier und in den folgenden Paragraphen geführten 
ganz ähnhch sind und zu denselben Resultaten führen , sind seitdem veröffentlicht 
von Herrn Gordan in Band 111 der mathematischen Annalen. Die einzuführen- 
den Operationen finden sich schon bei Cayley, Mem. sur les hyperdeterininants, 
Cr eile's Journal Bd. 47. 



(1) 



und Covarianten binärer Tonnen. — §§ 5, C. 18 



Die Bildungen 

9), ^9^7 z/- qp ... 

sind von absteigenden Ordnungen für die x, von der m^^^ anfangend, 
von aufsteigenden für die y^ von der n*^° beginnend ; ebenso sind die 
Ausdrücke 

9 , D 9 , Z)- 9 . . . 

von absteigenden Ordnungen für die ?/, von aufsteigenden für die x. 
Jedesmal hängt die letzte Bildung nur noch von einer Reihe von Ver- 
änderlichen ab und ist in Bezug auf diese von der (w^-f ^?.)*^° Ordnung. 
Die Bildungen D^^; z/^'^) sollen, einem Ausdrucke der analytischen 
Geometrie entsprechend, als Polaren von 9 bezeichnet werden. 

Bezeichnet man die linken Seiten der Gleichungen (1) durch (f 
und 9)", so hat man oflPenbar 

d cp" ^ d cp" d ^)" 

Führt man aber in diese Gleichungen die rechten Theile der Gleichun- 
gen (1) ein und vergleicht dann auf beiden Seiten die Coefficienten gleich 
hoher Potenzen von A, so erhält man die Beziehungen: 



^•^=¥ (^'If +^^3^ 



(2) 



gDy , dB<f 




f) 



Man sieht hieraus, dass z/(jd, z/^qp . . . und D(pj D^cp . , . nur wie- 
derholte Anwendungen der beiden Operationen ^ (p und I)(p sind, 
wobei denn die Operation z/(jp dadurch definirt wird, dass man nach 
den X diiferenzirt , mit den y multiplicirt und die Summe beider Pro- 
ducte durch die Ordnung der diiferenzirten Function in den x divi- 
dirt-, bei der Definition von Dcp vertauschen nur die y und die x ihre 
Rollen. 



14 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

Indem man die Operationen ^''(p, D'^cp als Wiederholungen der- 
selben Operationen z/qp, Dcp auffasst^ sieht man sofort, dass 

Eine andere Eigenschaft dieser Operationen ergiebt sich aus den 
Gleichungen (1). Setzt man in diesen 2/i = ^i> 2/2 = ^2; ^^ verwandeln 
sich dieselben in folgende : 

{1 + ly . ,p-^-,p + ^XDcp + '^^^:^ K^D^g, + . . . . 

Die Vergleichung der Coefficienten von A giebt nun 
cp ~ zi cp = z/^ cp . , . = D (p — D^ (p . . . , 
und somit den Satz: 

Für y^ = x^y y.,^ — X2 werden die Werthe der Aas- 
drücke der ^^'g), JD^cp sämmtlich gleich dem Werthe 
von q). 
Ausser den Operationen ^''cp, D'^(p werden wir im Folgenden noch 
eine Operation anwenden, welche durch Slcp^ in wiederholter Anwen- 
dung durch iV'cpj Sl^cp ... bezeichnet werden soll. Diese Operation 
wird durch die Gleichung deiinirt: 



(3) ^ ^ 1 / a^y a> \ 

mn\dx^dy^ öy^d xj ^ 



so dass also weiter: 

^ m — l.n—l\dx^dy.2 dy^dx.^J 
_ 1 / d^^^(p d^9.^(p\ 

^~ m—2.n'~2\dx^dy.^ dy^drj' 

Diese Functionen sind sowohl in den x, als in den y von abstei- 
gender Ordnung. Die Operation 52 hängt mit den Operationen z/, D 
genau zusammen, wie aus folgendem Satze hervorgeht: 

Bei successiver An Wendung der Op er ationen z/, ß 
oder der Operationen D, £1 ändert die Reihenfolge 
der Anwendung das Resultat nur um einen numeri- 
schen Factor; es ist nämlich 

(4) » + 1 

SlDcp= }- BSlcp, 



und Covarianten binärer Formen. — §§6,7. 15 

Von diesen Formeln braucht man nur eine zu beweisen; denn 
durch Vertauschung der x mit den y geht eine in die andere über. 
Nun ist aber nach (2)^ (3): 

ox,oy.,\'cyJ -dijj dx^cy,\'dy, 'dyj 



dy.cy., ' dx^dy^dy., '-cx,dy% 
o-cp d^cp . ^^fp 

^dy^Kdx^dij^ dy.dxj '" dy.,\dXj^dy.^ cy^dxj 
ni ,n .n—\ .BSlcpj 

w. z. b. w. 



§ 7. Darstellung einer Function zweier Reihen Ton Teränderliclien durch 
die Polaren von Functionen, welche nur eine Reihe enthalten. 

Man überzeugt sich nun zunächst leicht von der Richtigkeit der 
Identität 

(1) f^JBf^:£~{xy)Slf: 

Es ist nämlich 

für die x von der (w+l)*^" Ordnung; daher 

= Vi ^— (Xi^ -{- X., ^ ) -{- y, :^— (Xj^^ + X,—!- ) 
^^dx^K^dyj^ -dyj ''-dx.^\'dy^ 'öyj 

= nf+nmf-(y,x,-x,y,) (-0--^) 
also 

was die zu beweisende Gleichung ist. 

Vermöge der Gleichung (1) leitet sich die Form f aus den beiden 
Formen Df und ^f ab, welche beide die y zu niederer Ordnung als f 
enthalten. Wendet man nun die Gleichung (1) in gleicher Weise auf 
Df und ß/' an, so erhält man diese ausgedrückt durch Functionen, 
welche die y abermals zu niederer Ordnung enthalten, und es wird, 
indem man so fortfährt, schliesslich alles auf Functionen von x^, x^ 



\ß Erster Abgchiiitt. Gnindeigeiischaften der Invarianten 

allein zurückgeführt. Die hieraus für /"folgende Darstellung wollen wir 
nun genauer untersuchen. 

Ich behaupte, dass unter Anderm sich für f folgender Ausdruck 
ergiebt, in welchem h'^n und in welchem die a numerische Coeffi- 
cienten bedeuten: 

ein Ausdruck, welcher, wenn m<^n, und h'^m^ schon abbricht mit 
dem Gliede 

indem ^'"+^ /' identisch verschwindet. 

Der Ausdruck (2) geht für Zj=1 in den Ausdruck (1) über; um 
die allgemeine Giltigkeit dieser Darstellungsart nachzuweisen, ist also 
nur nöthig, zu zeigen, dass sie für y^+l richtig ist, wenn man für 
Ix, sie als richtig annimmt. Indem wir diesen Beweis führen, ergiebt 
sich zugleich eine recurrente Formel zur Berechnung der Coefficienten a. 

Die Functionen 

sind von den Ordnungen m + h, m-\-Jc — 2j m-\-'k — A,.. in den Xy 
überhaupt D^^~^ S>Jf von der Ordnung m + Ä; — 2 A. Wendet man daher 
auf die Function Sl^I)^^~^f die Gleichung (1) an, indem man diese 
Function an Stelle von f treten lässt , so erhält man : 

m-\-lv — 2l + 1 
Das zweite Glied dieses Ausdrucks kann man mit Hilfe der Glei- 
chungen (4) umgestalten, indem man die äusserste Operation Sl mit 
den h — l Operationen D successive vertauscht. Man erhält nach der 
zweiten Formel (4) des § 6. : 

^ m + k — 2l 

m-\- h — 2k 






und es wird also 

Führt man die hieraus entspringenden Ausdrücke der Functionen 
in die Gleichung (1) ein, so erhält man zunächst: 



und Covarianten binärer Formen. — § 7. 17 

+ ;;h^ "^" ^(^^) ^* •^^1 + »5ä (^^) ^''^ ' K^^) '^'•■~' ^-'^) 

Der erste Theil dieses Ausdrucks hat sclion eine Gestalt, wie sie 
aus (2) hervorgeht, wenn man k in 7t -f 1 verwandelt. Um dem zweiten 
Theile dieselbe Gestalt zu geben, bemerke man, dass, wenn cp eine 
Function ^^^"^ Ordnung in den x ist: 

oder da zl {xy) = (yy) identisch verschwindet: 

^[(•^^)9]= -^-y(^^^)^9^• 
Durch wiederholte Anwendung dieser Formel hat man: 

^^ [(^\V) 9J = j;^ ^^~^ [(^ y)^^]= ^, ^^-^ [{xy) z/^ 9)] . . . 



^ + 1 



{xy)zJ^(p. 



Setzt man nun l' — l für l und D^ ^ S}}+^ f für qp, so muss man 
li^m -\-h — 2k — 1 setzen, und es wird also : 

z/^"-^ [{xy) D^-^ i^^+l /"l =- '^\7\. {xy) J'-'^ D^-^ 5^^'+ V. 

Führt man dies in (3) ein, so nimmt f in der That die uiit (2) analoge 
Form an: 

und zwar sind dabei die Grössen c/''' + '^ aus den Grössen cd''^ zusam- 
mengesetzt mit Hilfe folgender Formeln: 



«^(■''■+" =. «^"'■^4- 



W^ + ^" • "^ + ^' + 1^ 



l (5) «.(M-n ^ ,^,.) _^. -^^Ö«_Z^)^^-, ..'^) 






Clebsch, Theorie der biuären algebr. Formen. 



;13 Erster Absclinitt. Grundeigenscliaften der Invarianten 

« 
Setzt man in (2) nun Jc^^n, so gehen die Functionen 

I)"f, B^-'flf, Z)"-2i^Y, ... 
in Functionen von x^, x., allein über. Indem wir nun den oben de- 
finirten Begriff der Polaren einer Function benutzen, haben vs^ir fol- 
genden Satz bewiesen: 

Jede Form f, welche von der m*®^ Ordnung in 
den X, von der n*®" in den y ist, lässt sich aus den 
Polaren der Formen 

welche sämmtlich nur die x enthalten, und aus Po- 
tenzen von {xy) zusammensetzen, so dass identisch 

^^■^ + «2(") [xyY z/"-2 J)"-2ßY+ • •• ? 

wo die a numei;ische Coefficienten bedeuten.* 
Es knüpfen sich hieran noch folgende Sätze: 

1. Wenn eine nach Potenzen von (xy) fortschrei- 
tende Reihe, deren Coefficienten Polaren sind, ver- 
schwindet, so verschwindet jedes einzelne Glied. 

Sei die Reihe 

A + {xy)B-\-{xyYC+..., 

und nehmen wir an, dieselbe verschwinde identisch. Setzt mana: = ?/, 
so verwandelt sich A in die Function, deren Polare Ä war. Die 



* Als Beispiel will ich die beiden Fälle m = 2_, w = 2 und m=:S, n = 2 her- 
setzen, welche insofern etwas verschiedenen Charakter zeigen, als die Summe m + n 
einmal gerade, einmal imgerade' ist. 

1. m = 2, n = 2. 
f=:y^^{ax^'^-\-2hx^X2-i-cx/)-\-'2y^y2{ax^^-i-2b'XlX2 + cx2'^) 

+yz^{a" Xi^-{-2b" XiX^ + c" X2^) 
= J^D^f+ (xy) JDSlf+ l {xyfSl'-f 
1)2/'= aXi^+2{b+a)Xi^X2 + (c + 4fc' + a") x^^Xz^ + 2 (c' + &") Xi x^^ -\- c" x^ 
Slf-y^ {{a -b) Xi + {b'-c) x^] + 2/2 [{a"-b')Xi + (b"-c) x^] 
DSlf={a-b)Xi^ + {a"-c)Xi x^ + {b"-c) xJ^ 
ßY=c + a"-2fc'. 

2. m = 3, n = 2. 

f = y^{aXi^+?>bXi^X2-\-^cx^X2^+dx2^) + 2y^y2{ax^^-^^b'x\^X2 + '^cXiX2^-\-d'x2^) 
^ + y2^{(^" Xi^-{-nb" Xi'^Xi + 3 c" Xi X'^ -f d" xi^) 

DY = «^i^ + (3& + 2«/) x^^X2 + (3c + 6&' + a') x^^x^^ + {d + ^c +'ib") x^^x^^ 

+ (2 <^' -f 3 c") x^ x<^ + d" x^-" 
Slf = y^ [{a-b) x^^ -\-2{b' -c)XiX2 + {c - d)x2^] -f 2/2 [(«"-&') X(^ + 2 (l:>"-c)x^X2 

^{c"-d')X2^] 

Daf= {a-b)x^^ + Q)' -f a" - 2c)Xi^X2 + {2b" -d- c) x^ Xi^ + ic" - d') x^^ 
Sl'^f = {c + a" - 2 b) x^ + {d-\^ b" - 2 c) x^. 



und Covarianten binärer Formen. — § 7, 19 

übrigen Glieder der Reihe werden Null, und es folgt also, dass diese 
Function Null ist. Aber dann ist aucb ihre Polare Ä gleich Null, 
d. h. der erste Term verschwindet für sich. Nunmehr kann man die 
Reihe durch {xy) dividiren und erhält die ebenfalls verschwindende 
Reihe 

B+(xy)C+...,, 

Man beweist nun wie oben, dass auch B für sich verschwindet, 
alsdann nach abermaliger Division mit {xy)j dass C für sich ver- 
schwindet u. s. w. 

2. Eine gegebene Function zweier Reihen von 
Veränderlichen ist nur auf eine Weise so nach Po- 
tenzen von (ici/) entwickelbar, dass die Coefficienten 
Polaren sind. 

Wären zwei Entwickelungen 

A-^ixy)B-}-{xyYC.., 
und 

^+(x^J)B-\-fxyy^ ... 

denkbar, so hätte man 

(^ _ A) + (xy) iB-B) + (xyf (C- f) . . . = 0, 
also nach dem vorigen Satze 

A = k, B = B, C=T,... 
d. h. die Entwickelungen wären identisch, was der Voraussetzung 
widerspricht. 

3. Bei einer Function zweier Reihen, welche durch 
Vertauschung derselben sich nicht ändert, treten 
nur Glieder auf, welche die geraden Potenzen von 
ixy) enthalten. 
In diesem Falle müssen die Ordnungen m und n gleich sein; 
daher haben auch die einzelnen in (B) auftretenden Polaren die Eigen- 
schaft, durch Vertauschung der x und y sich nicht zu ändern. Ist also 

f^A + {xy) B + {xyf C+ (xyfB . . ., 
so ist auch, nach Vertauschung der x mit den y: 

f^A- (xy) B -f (xyfC- (xy)^ D . . ., 
also wenn man diese Gleichung von der vorigen abzieht und durch 

2 {xy) dividirt: 

0=^B+(xyyB-\-...., 

daher identisch 

B = 0, Z) = 0..., 

und also 

f=A+{xy)'C+..., 
was zu beweisen war. 



^0 Erster Absclinitt. Grundeigenscliafton der Invarianten 

§ 8. Bestimmung der Coefiicienteii cc. 

Es ist niclit ganz leicht, von den Formeln (5) zu einer indepen- 
denten Darstellung der Coefficienten a überzugehen. Eine solche findet 
sich aber durch folgende Betrachtung. 

Zunächst bemerkt man, dass nach jenen Formeln die «(^^ von n 
unabhängig sind. Mithin erhält man die «^^"^ aus den a^"\ indem man 
in diesen k statt w setzt. Es ist also nur nöthig, die «^"^ zu be- 
stimmen. 

Man kann aber den im vorigen Paragraphen unter 2. ausgespro- 
chenen Satz auch in folgender Weise ausdrücken: 

Sind (fj (p^, (p2 . . . ganze homogene Functionen 
von X-^, x^y deren Ordnungen beziehungsweise m-\-n, 
m-{-n — 2j m -f n — 4 . . . sind, und bildet man eine 
Function mittelst der Gleichung 

(1) f=zi"(p-\- a^i"^ {xy) z/"-' 9i + «g^") {xyf z/"-^ cp^-^ . .., 
so ist immer 

(p :^D''f 

(2) cp, = D"-^Slf 



oder, was dasselbe ist, die q) sind diejenigen Aus- 
drücke, in welche/', Slf, iVf ... übergehen, wenn darin 
die y durch die x ersetzt werden. 
Bilden wir nun aus (1) die Ausdrücke 

(ß^a=,. (A = 0, 1, ...«). 

Ist cp eine Form ^^^^ Ordnung in den x, v^^^ Ordnung in den y, so 
hat man 

(3) ■ {^-\-li).{y^~li).Sl[(xy)Kcp] 

_ /' a^y gy \ v d^{xijY d^{xyf -\ 

'^^^'^^'^dx^dy.^ dx./dyj'^~^idx^dy^ dy^dx^] 
_._ d(p d {xijf dg) d {xyY' d(p d {xyY d cp djxyY' 

dx^ dy^ dx^ dy^ dy^ dx^ dy^ dx^ 
= UV {xyY ^ (p -^ h {^ -^ V -{- h -\- 1) {xy)''—^ cp. 

Bei der Anwendung der Operation Sl auf das Product (xyYq) kommt 
also nur ein Term vor, welcher eine niedrigere, und zwar die um 1 
niedrigere Potenz von {xy) enthält. Wenden wir die Operation ^ 
Amal hintereinander an, so besteht das Resultat aus den Formen 

. {xyf Sl^(p, {xyf-'^ i^^-l (p , {xyf-^ Sl^-^ cp . . , 



und Covarianten binärer Formen. — § 8. 21 

Ist hier h>X, so kann kein Term vorkommen, welcher von (xy) 
frei wäre. In diesem Falle verschwindet also das Resultat für y^^^x^y 
y2 = x,. ^ 

Ist dagegen h<l, so bleibt für y^ = x^y y,^ = x2 das letzte Glied 
der Entwickelimg stehen, welches dann, bis auf einen numerischen 
Factor, gleich ^^—^cp ist. 

Bilden wir also aus (1) den Ausdruck {Sl^f)a:=yf wo A<m, so 
falleu alle Terme fort, welche mit einer höheren als der A*®° Potenz 
von (xy) multiplicirt sind. Von der anderen bleiben Glieder der Form 

übrig. Da aber die Operationen ii, z/ bis auf hinzutretende constante 
Factoren vertauschbar sind, so haben diese Glieder auch die Form 

was offenbar identisch Null ist, da cp/, keine y enthält, also auch der 
Operation Sl nicht unterworfen werden kann. Es bleibt nur das eine 
Glied übrig, für welches h = kj und man hat also: 

Der eingeklammerte Ausdruck rechts entsteht nun, indem man 
die Formel (3) X mal hinter einander anwendet, und z/"— ^9)^ für 9, 
also m — X für ft, n — X für v setzt; indem man endlich bei jeder 
Operation nur das zweite Glied beibehält. Es wird also: 

also schliesslich, wenn man sich der Bezeichnung 

r(ii)==\,2..,a [r(0) = i] 

bedient : 

Die rechts noch übrig gebliebene eckige Klammer ist aber nach dem 
ersten Satze des § 6. nichts Anderes als (px selbst; es ist also endlich 

(4) (ß^n -r.,("> r^Wr,m+n-X + imn-X)r{n-X) 

W l'J^ /)«/=x-rV . r{m+n-2X + l)r{m)r{ii) '^^' 

Ebenso ist auch die linke Seite q)i selbst, und so erhält man 
denn für a^J^"^ die Bestimmung: 

r{m+n-2X-^\)rim)r{ii) 



(5) 



r(A) r{m -^7i-X + \) Firn - X) r{n - X) 



22 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

Dem in § 7. Gesagten entsprechend, ist dieser für m und n völlig 
symmetrische Ausdruck für Werthe von A zu benutzen, die bis zu 
der kleineren der beiden Zahlen m und n gehen; er hat dann immer 
eine völlig bestimmte Bedeutung. 

Wegen des symmetrischen Auftretens von m und n werde ich 
daher jetzt für die Coefficienten a d^e Bezeichnung 

^^ ^^ r{m+n-2X+\) r{m) rjn) 

(b) ''l"'"-r^x)r{m+n-l + l)r{m-?.)r{n-X) 

wählen und demnach der Gleichung (6) § 7. die Form geben: 

Der Ausdruck (6) für ai"'^^ ist in der That mit den Gleichungen 
§ 7. (5) in völliger üebereinstimmung. Aus (5) folgt nämlich 

o;;t"'>^+i _ (n-{.\){m-\-n-2X+2) 
ccf^ ~ {n—?L-\-l){m + n—X-{-l) 

~^^^ "" (m+?^-A + 2)(w-A + l)(w-A+l)' 
Führt man diese Ausdrücke in die allgemeine Gleichung § 7. (5) 

"^ ^^ ^(^,^-|_^_2A+2)(m+w-2/l + 3)^^-» 

ein, so erhält man 

(n+l)(m + ^-2;i+2) _^ A(m-A + 1) 



was identisch erfüllt ist. 

Man kann noch bemerken, dass der Ausdruck (5) eine einfache 
Combination von Binomialcoefficienten ist. Bezeichnet man durch ( ^ ) 
den Coefficienten 

U\ _ ^.^—\,. . \i— A + 1 _ r(^) 

• \^)~^' i,2...A ~~T{X)r{^-iy 

so kann man der Formel (5) die Gestalt geben: 

(T)-© 



(8) 



'X ' ^ 



l ^ J 



Aber an den im Anfange dieses Paragraphen aufgestellten Satz 
knüpft sich noch eine andere wichtige Bemerkung. Es sind nämlich, 
wie auch die g) vorausgesetzt wurden, wenn nur f durch die Glei- 
chung (1) gegeben war, immer die g) mit f durch die Gleichungen (2) 
verbunden. Da also zwischen den 9) kein Zusammenhang stattzufinden 
braucht, so wird auch zwischen den Functionen 



und Covarianten binärer Formen. — § 8. 23 

im Allgemeinen ein solcher nicht stattfinden. Man hat also den Satz : 

Ist f eine beliebige Form w*«' Ordnung in den Xy 
,^ter Ordnung in den y, mit willkürlichen Coefficien- 
ten, so sind auch die Functionen 

welche nur noch die x enthalten, Formen mit will- 
kürlichen, d. h. von einander unabhängigen Coef- 
ficienten. 

Dieser Satz wird bestätigt durch «den Umstand , dass die Anzahl 
der Coefficienten der letztgenannten Functionen, wenn m>:^^, gleich 

(m+n+1) + (m+n-1) + {7n + n-3) ...+ {m-n+1) =(m + l) {n+1), 

wenn aber n ^ m, gleich 

(w + m-f 1) + (w + m— 1) + ('/24-m — 3) ...+ (w— m + l) = (m+1) (w+1), 

also in beiden Fällen gleich der Anzahl der Coefficienten von f ist. 

Ich füge die folgende Tafel von Entwickelungen hinzu, in wel- 
cher immer m-^n angenommen ist und in welcher w=l,2, 3, 4, 
w = 1 , 2, 3, 4, 5, 6 gesetzt ist: 

n=\. 

m=i)f=ziDf+^{xy)Slf 
m = 2) f=ziDf-{-i{xy)Slf 
m = 3) f=^Df+i{xy)Slf 
m = 4)f=^Df+i{xtj)P4- 
m=ö) f=zJDf+^{xy)£lf 
m = 6) f=zlDf-\-^{xij)Sl/: 



m = 2) f=^''B'^f-{- ixy) d DSlf^ \{xyf Sl^f 
m = 3) f= A'D-^i-\- f ixy) ziDSlf+ ^ {xyf Sl^ 

m = 4) f=^^^I)^~f+i{xy)zlDSlf+U^yy^'f 
m=^ö) f=zJ^I)'f+%p{xy)JDSlf-{-i{xyf^^f 

m = 6) f= ^Wf+ 1 {xy) ^DSlf+ f {xijf PJf. 



n'=3. 

m-3) f=ZI^D'f+ I {xy) ^^'D'^P.f+ ^ {xyfJDPJf-^- \ {xyfP.'f 
m = 4) f=^^D^f-\-^-^{xy)A^B^P4+ ^ {xyf^DP^f-\-l{xyfa^f 
m = b) f=J^D^f+\^{xy)zi'B'Pf+ V {xyf ^ BP^f-^ ^ {xyf a^f 
m = Q) f=zJ^D^f+2 {xy)J'"D'Pf+i^{xyyzlDP^^f+{(xyfP^f. 



24 Erster Abschnitt. Griindeigenschaften der Invarianten 

n = 4. 
m -: 4) f= ^'D'f+ 2 {xy) ^^B'Uf+ V i^Vf ^'J^^^'f 

+ iixyf zfDSl^^f + i {xyY Sl'f, 
m - 5) /■= A^ D'f + V> {xy) z/^ I)'Slf+ V (;^;7/)2 z/^ D^ ß^' 
+ f {xyf^D^'f^\{xyfPJt\ 

+ V' {xyf^JD.QJf + ^^{xyYSl'f: 

§ 9. Die luYarianten uud Covariaiiten eines Systems 
linearer Formen. 

Ich werde die Formel (7) des § 8. nun dazu anwenden, die all- 
gemeine Form für Invarianten und Covarianten einer beliebigen Reihe 
simultaner linearer Formen zu finden. 

Die gegebenen Formen seien Äj B, C... mit den Coefficienten 
a^ö^g; 6j?>2 7 ^i^2 • • -5 ^ ^^^ ®i^® simultane Invariante dieser Formen, 
homogen für die Coefficienten einer jeden, und zwar sei sie für die- 
selben beziehungsweise von den Ordnungen a, ß, y.... Setzen wir 
in der Formel § 8, (7), welche ihrer Ableitung nach für ganz be- 
liebige Grössenreihen gilt, für /* die Function TT, für die x und y 
zwei Coefficientenreihen a^ &, endlich a, ß für m, n. 

Die Formel (7) zeigt dann, wie / sich aus Potenzen von (ah) und 
aus Gliedern zusammensetzt, welche durch die Operation z/ aus den 
von den h freien Functionen 

entstehen. Dass die Operationen z/, D, welche hier durch die Formeln 
^^ = 1(6// +5,1^) 

dargestellt sind, die Invariauteneigenschaft nicht aufheben, ist schon 
in dem ersten Satze des § ,3. enthalten. Aber auch die Opera- 
tion Sl lässt die Invarianteneigenschaft bestehen. Dies 
folgt sofort aus der Gleichung § 7. (1), welche hier die Form annimmt: 

«+ 1 ^ / 
Hier haben alle übrigen Terme die Invarianteneigenschaft, daher 
auch ßTT. 

Die Functionen, aus denen TT sich nach der Formel § 8. (7) dar- 
stellt: 

sind also selbst Invarianten, sie enthalten aber eine Reihe von Coef- 
ficienten (nämlich die h) weniger als TT. 



und Co Varianten binärer Formen. — §§8,9. 25 

Man kann in Folge dessen nun folgenden für diese ganze Theorie 
fundamentalen Satz beweisen: 

Jede Invariante TT von linearen Formen ist ein 
Aggregat aus Producten der aus je zweien der For- 
men gebildeten Invarianten. 
Nehmen wir diesen Satz als richtig an für r lineare Functionen 
und zeigen , dass er dann auch für r -\- 1 gilt. Da er nach § 5. für 
zwei Formen richtig ist, so gilt er dann allgemein. 

Aber zu diesem Zwecke ist nur zu zeigen, dass jeder aus Deter- 
minanten vom Typus {a c) zusammengesetzte Ausdruck nach Anwen- 
dung der Operation I) wieder ein Aggregat analoger Producte ist. 
Beweisen wir dies und nehmen wir der Voraussetzung nach an, dass 
die Invarianten 

welche eine Reihe von Coefficienten weniger enthalten, Aggregate 
solcher Determinantenproducte seien, so ist nach der Formel § 8. (7) 
auch TT ein solches, was zu beweisen war. 
Denken wir uns also ein Product 

(ac) (ad) . . . 

gegeben und wenden die Operation h^- 1- h., - — an. Sie ergiebt 

eine Summe von Gliedern, welche dadurch entstehen, dass man diese 
Operation auf die einzelnen Factoren des Products anwendet. Dabei 
ändert sich jedesmal nur ein Factor, und zwar geht {ac) in (bc) über, 
{acT) in (hd) u. s. w. Das Resultat ist also wieder aus Determinanten 
zusammengesetzt 5 womit der Satz bewiesen ist. 

Die Gleichung § 8. (7) liefert zugleich das Mittel, jede gegebene 
Invariante linearer Formen durch suceessive Anwendung der Formel als 
Aggregat von Determinantenproducten wirklich darzustellen. Man 
bildet zuerst aus der gegebenen Invariante die Reihe der Formen: 

sodann für jede dieser Formen wieder eine ähnliche Reihe, und so 
fort, bis man zu Invarianten von zwei Reihen kommt, welche dann 
von selbst in Potenzen von Determinanten der Form iah) übergehen 
müssen. Hat man dies erreicht, so verfolgt man den eingeschlagenen 
Weg rückwärts und gelangt endlich zu der gesuchten Darstellung 
von TT. 

Was nun die Covarianten betrifft, so werden sie nach § 4. aus 
Invarianten abgeleitet, indem man irgend welche Reihen 

«i; «2 5 ^; ^25 ••• 
beziehungsweise durch 

ersetzt. Hierbei können nun folgende Fälle eintreten. 



2() Erster Abschnitt, rxrandeigenschaften der Invarianten 

1. In einer Determinante {ca) der Invariante ist nur eine Reihe, 
etwa die der a, durch x zu ersetzen. Alsdann geht (ca) in c^x^ -\- c^x^ 
über, also in eine der gegebenen Formen selbst. 

2. In einer Determinante (ah) der Invariante sind beide Reihen 
zu ersetzen, etwa durch die x und die y. Die Determinante geht 
dann in (xy), also in die Determinante zweier Reihen von Veränder- 
lichen über. 

Man hat also den Satz: 

Jede Covariante von einer Reihe linearer For- 
men ist ein Aggregat von Producten, deren Facto- 
ren einen der folgenden drei Typen haben: 

1. (a&), Invariante aus zweien der linearen For- 
men, 

2. a^x^-\- a.^x^, eine der linearen Formen selbst, 

3. (xy), Determinante aus zwei Reihen von Ver- 
änderlichen. 

Die letzte Art von Factoren enthält nicht mehr die Coefficienten 
der zu Grunde gelegten Formen. Man kann sie als identische Co- 
varianten bezeichnen; sie sind allen Systemen von Functionen ge- 
mein, mögen dieselben linear sein oder nicht. Abgesehen von diesen 
kann man also sagen, dass lineare Formen überhaupt zu weiteren Co- 
varianten nicht Veranlassung geben und dass sie keine Invarianten 
besitzen, ausser den Determinanten, welche aus den Coefficienten je 
zweier gebildet werden. 



§ 10. Covarianten mit melireren Reihen von Veränderlichen. 

Bei der Untersuchung der Covarianten allgemeiner binärer For- 
men liefert nun die Gleichung (7) des § 8. sofort folgenden Satz: 

Alle Covarianten binärer Formen, welche meh- 
rere Reihen von Veränderlichen enthalten, setzen 
sich aus identischen Covarianten und aus Polaren 
solcher zusammen, welche nur eine Reihe von Ver- 
änderlichen enthalten. 

Der Ausdruck Polare ist hier in etwas weiterem Sinne zu ver- 
stehen als früher. Im Vorigen entstanden die Polaren, indem man 

dieselbe Operation y^^ h 2/2 ^ wiederholt anwandte und jedesmal 

O X-i X.2 

durch die Ordnung der differenzirten Function in Bezug auf die x 
dividirte. Es soll in dem oben ausgesprochenen Satze nun auch der 
Fall unter dieser Benennung enthalten sein, in welchem nach einander 
verschiedene Operationen 



und Covarianten binärer Formen. — §§9, 10. 27 

_a_ _a_ _a_ _a_ 

angewandt werden. 

Nehmen wir an, der Satz wäre für Covarianten mit r Reihen von 
Veränderlichen bewiesen, und zeigen, dass er dann auch für r+1 
Reihen gilt; da er für eine Reihe selbstverständlich ist, so gilt er 
dann allgemein. Zu jenem Beweise aber führt wiederum die Glei- 
chung § 8. (7). Setzen wir darin für /' irgend eine Covariante TT, 
welche r-f-1 Reihen von Veränderlichen enthält, und zwar die Reihe 
y^, 2/2 zur n^^^ Ordnung. Nach § 8. (7) setzt sich dann TT aus iden- 
tischen Covarianten und aus Polaren der Formen 

zusammen, welche eine Reihe von Veränderlichen weniger enthalten 
und für welche also der Voraussetzung nach der zu beweisende Satz 
bereits gilt. Damit also der Satz allgemein richtig sei, ist nur noch 
zu zeigen, dass Polaren von Ausdrücken, welche Producte 
von Polaren mit identischen Covarianten sind, sich wie- 
der als Aggregate solcher Producte darstellen. Unterwerfen 
wir also ein Product 

(xz) {xt)...PQ..., 

welches aus identischen Covarianten und Polaren besteht, der Operation 

_d_ _d_ 

y^dx^'^y^dx.; 

Es genügt, diese Operation einmal auszuführen ; bleiben dabei die 
Eigenschaften des Resultats die verlangten , so tritt dies auch bei 
Wiederholungen ein. Die Anwendung jener Operation liefert aber die 
Summe der Resultate, welche die Anwendung auf die einzelnen Fac- 
toreu giebt. Nun liefert die Anwendung der Operation auf eine iden- 
tische Covariante wieder eine solche, die Anwendung auf eine Polare 
aber der erweiterten Definition nach gleichfalls eine Polare, womit 
alles bewiesen ist. 

Der Begriff der Polaren, wie er hier auftritt, ist ebenso wie der 
ursprüngliche in § 6. auf Entwickelungscoefficienten zurückzuführen. 
Wendet man die Operation 

d , d 

wiederholt auf eine Function (p{x^,x.^ an und dividirt jedesmal durch 
die Ordnung der differenzirten Function, so entstehen die von den 
Binomialcoefficienten befreiten Coefficienten der Entwickelung nach l 
des Ausdrucks: 



28 Erster Abschnitt. Grimdeigenschaften der Invarianten 

Wendet man auf diese Polaren nun wiederholt die Operation 

d , d 

an, so entstehen ebenso die Coefficienten der Entwickelungen, welche 
man erhält, wenn man in den soeben gebildeten Formen 

, x^-\r^z^, x^+^0., 

an Stelle von x^, x., setzt und nach ^ entwickelt; d. h. man erhält die 
durch die beiden Operationen 

y'dx.'^y-'dx./ ^'dx,'^^''~dx., 

entstehenden Polaren, wenn man die Entwickelungscoefficienten von 

q){x,-\-Xy,-\- iiz^ , x, + Xij.^ + ^z^) 
bildet. 

Indem man diese Schlussweise fortsetzt, erhält man den Satz: 

Die Polaren, welche aus cp durch die Operationen 



Vi 


d 
dx, 


+ 2/2 


d 
dx., 


2\ 


d 

dx^ 


+ ^, 


d 

dx^^ 


h 


d 
dx, 


+ ^2 


d 
dx^ 



entstehen, sind die von den Polynomialcoefficien- 
ten befreiten Entwickelungscoefficienten des Aus- 
drucks 

(fi^i + ^yi+^^i + Qh---, x^^ + Xy^ + ^z^+Qt^. . .). 

Aus dem Vorhergehenden sieht man, dass es in der That nur 
nöthig ist, Co Varianten mit einer Reihe von Veränderlichen auf- 
zusuchen. Es soll daher im Folgenden, wenn das Gegentheil nicht 
besonders erwähnt ist, unter Co Variante immer eine solche verstanden 
werden, welche nur eine Reihe von Veränderlichen enthält. 

§ 11. Symbolische Darstellung algebraischer Formen. 

Zur Darstellung und Charakterisirung der Invarianten und Co- 
varianten beliebiger Formen führt nun die sogenannte symbolische 
Bezeichnung der Formen, zu deren Erläuterung ich mich jetzt wende. * 



* Die Methode der symbolischen Bezeichnung steht in genauem Zusammen- 
hange mit Cayley's Methode der operativen Symbole und seinen „Hyperdeter- 
yninants" (vergl. Cayley's Memoirs upon Quantics in den Phüosophical Trans- 



und Coviirianten binärer Porinon. — §§ 10, 11. 29 

Eine beliebige binäre Form w*®"" Ordnung kann man sich aus der 
g^ten Potenz eines linearen Ausdrucks 

dadurch entstanden denken, dass an Stelle der Coefficienten 

welche sich bei der Ausrechnung ergeben, die entsprechenden Coef- 
ficienten 

«Q , a^ , «2 • • • 

der Form gesetzt werden. Als Coefficienten der Form sind dabei nicht 
die Zahlen selbst gedacht, welche in die verschiedenen Potenzen der 
X multiplicirt erscheinen, sondern diese Zahlen dividirt durch ent- 
sprechende Binomialfactoren, so dass f die Gestalt hat: 

Der Ausdruck „Coefficienten einer Form" soll auch künftig immer 
so gebraucht werden, dass er die Grössen a^, ßj, «^ • • • ^^^ dieser 
Darstellung von f bezeichnet. 

Ersetzt man also in {h^x^ + h.^x.^}" die Grössen 
&j" durch ÜQj 

^1 ^2 V) ^2? 



h^" durch a„ , 

so geht dasselbe in f über. Bei einer grossen Anzahl von Operatio- 
nen ist es nun gleichgiltig , ob man von vorn herein f einführt oder 
ob man die betreffenden Operationen an dem Ausdruck (b^x^-{-l).^x^'' 
ausführt und dann erst für die Potenzen und Producte der h die be- 
treffenden Werthe setzt. Insbesondere trifft dieses bei der linearen 
Transformation von /" zu. Die Coefficienten der transformirten Func- 
tion hängen mit den Coefficienten der ursprünglichen durch genau 
dieselben linearen Gleichungen zusammen, wie die Coefficienten der 
transformirten w*®^ Potenz mit denen der ursprünglichen Potenz. Der 



actions und Cayley in Grelle Bd. 34, sowie Salmon Lessotis 2. ed. Lesson 
13, 14). Doch ist sie in der hier gebrauchten Vorstelluligs- und Bezeichnungsweise 
von A ronhold eingeführt worden in seiner classischen Arbeit über die cubischen 
temären Formen, Borchardt's Joui-nal Bd. 55. Den für das Folgende fundamen- 
talen Beweis, dass jede Invariante und Co Variante in Aggregate von Producten 
symbolischer Determinanten und symbolischer linearer Factoren aufgelöst werden 
könne , habe ich zuerst , und zwar mit Ausdehnung auf beliebig viele Veränderliche, 
jedoch auf etwas anderem als dem hier dargelegten Wege, im 59. Bande von Bor- 
chardt's Journal gegeben. 



30 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

letztere sehr einfache Zusammenhang dient daher dazu, den ersten.^ 
sehr verwickelten übersichtlich darzustellen. 

Insofern bei solchen Untersuchungen der Ausdruck {h^Xj^-\-h.^x.^Y 
die Form /"vertritt^ nennt man denselben die symbolische Form 
von f. Die Anwendung der symbolischen Form statt der wirklichen 
ist überall, wo sie gestattet ist, von fundamentaler Wichtigkeit, in- 
dem sie die wesentlichen Eigenschaften der Coefficienten von / durch 
die sehr vereinfachte Darstellungsweise deutlich hervortreten lässt, 
und so einen unmittelbaren Einblick in Verhältnisse gestattet, welche, 
wenn man jene Coefficienten selbst einführen wollte, höchst verw^ickelt 
und undurchsichtig erscheinen würden. Aber die Anwendung der 
hierdurch begründeten Rechnungs weise ist nur erlaubt, so lange es 
unzweifelhaft bleibt, welches Resultat man durch nachträgliche Ein- 
führung der wirklichen Coefficienten von /' erhält. 

Diese unerlässliche Bedingung für die Rechnung mit Symbolen 
lässt sich darauf zurückführen, dass man bei allen Rechnungen stets 
eine homogene Function n^^^ Ordnung der Symbole \, hc, vor sich 
haben muss. Denn nur die n*®" Dimensionen dieser Symbole stellen 
wirkliche Grössen, die entsprechenden Coefficienten von /", dar. Ge- 
ringere oder grössere Dimensionen haben gar keine Bedeutung-, auch 
z. B. 2w*^ Dimensionen sind nicht zulässig, weil Grössen wie h^" + 'h/-' 
zwar durch Multiplication zweier der Grössen 

h n h " — ^h 

^1 ; ^1 ^2 • ' ' 

entstehen können, aber auf mehr als eine Art, und weil es also nicht 
eindeutig feststeht, welches Product zweier Grössen a man im End- 
resultat für diese 2n*® Dimension der h einzuführen hat. 

Man muss also die Zulässigkeit der symbolischen Rechnung zu- 
nächst auf die Fälle beschränken, in denen alles fortwährend in Bezug 
auf die Coefficienten von f linear bleibt. Hierher gehören die Bil- 
dungen der Polaren. Bezeichnet man , wie fortan immer geschehen soll. 
Ausdrücke \Xj^-\-h2X^ durch ha;* so dass 

der symbolische Ausdruck von f ist, so erhält man durch wiederholte 
Anwendung der Operation 

der Reihe nach die symbolischen Ausdrücke: 

n . ?>.^" -^hy, n .n—1 . kx^'-'^hj/^ 

Diese behalten eine ganz zweifellose Bedeutung, wenn man für 
die w*®^ Dimensionen der h die Coefficienten von /" einführt, und sie 
repräsentiren daher vollständig und in einfachster Form die Bildun- 
gen, um welche es sich handelt. 



und Covarianten binärer Fomien. — §§ 11, 12. 31 

Der Gebrauch der symbolischen Bezeichnung wäre indess ein sehr 
beschränkter^ wenn es nicht gelänge, ihn über diese Anwendungen 
hinaus auszudehnen. Eine solche Ausdehnung gelingt nun dadurch, 
dass man dieselbe Function f durch verschiedene Symbole 

/ — ^jc — ^x- — • • • 

ausdrückt. Die verschiedenen Symbole sind gleichwerthig , insofern 
sie dieselben realen Coefficienten bedeuten; aber sie dienen dazu, auch 
Functionen, welche von höherer Dimension in den Coefficienten von f 
sind, durch Coefficienten symbolischer linearer Ausdrücke darzustellen. 
In der That, wenn z. B. fe/'+'&^,"— ' keine bestimmte reale Deutung 
mehr zulässt, so ist diese Schwierigkeit bei dem Product 

Ij M — k 7j t p n — h p h 

gänzlich verschwunden; dieser Ausdruck bedeutet immer ak-dh'-, denn 
nur Producte der 5 unter sich stellen die a vor, ebenso nur Producte 
der c unter sich, während Producte mehrerer c und h an und für sich 
gar keine Bedeutung haben. * 



§ 12. Die symbolische Darstelliiiig der Invarianten und Covarianten. 

Die Anwendung der symbolischen Bezeichnung führt nun zu der 
wichtigsten und fundamentalsten Eigenschaft der Invarianten und Co- 
varianten einer oder mehrerer Formen. 

Sei TT irgend eine Covariante oder Invariante einer einzigen Form 
oder eines Systems simultaner Formen. Diese einzige Form oder eine 
Form des Systems sei eine Form f von der n^^'^ Ordnung; a^, a^ . . .an 
einer ihrer Coefficienten. Wir wissen, dass, wenn «q, «^ . . . a„ die 
Coefficienten einer anderen Form gleich hoher Ordnung sind, auch der 
Ausdruck 

die Invarianteneigenschaft besitzt; ebenso, wenn ß^, /3^,.../3„ Coef- 
ficienten einer weiteren Form n^^^ Ordnung sind, der Ausdruck 

. u. s. w. 
War TT von der r^^^ Dimension in den Coefficienten von /, so er- 
hält man durch Fortsetzung dieses Verfahrens schliesslich eine Func- 
tion TTr, welche die Coefficienten von f nicht mehr enthält, aber statt 
deren die Coefficienten von r verschiedenen Formen n^^"^ Ordnung, 
und zwar die Coefficienten jeder Form linear. Und man kann von 
der Form TTr in jedem Augenblicke zu TT zurückkehren; denn setzt 
man statt der Coefficienten der letzten Form die der vorletzten, so 



32 Erster Abschnitt. Grundeigenscliaften der, Invarianten 

verwandelt sich TT,, in TTr_i; setzt man dann statt beider die der dritt- 
letzten, so gellt TTr— 1 in 1 .2TT;-_-2 über u. s. w. Setzt man, so fort- 
fahrend, schliesslich für alle diese Coefficienten wieder die von f, so 
erhält man 

1.2...r.n, 

also die ursprüngliche Function bis auf einen einfachen numerischen 
Factor. 

An Stelle der Coefficienten a, ß u. s. w. führe ich nun 
die Coefficienten w*®^ Potenzen von linearen Ausdrücken 
cixf ^x u. s. w. ein. Die Form TT,, enthält dann nicht mehr die 
Coefficienten der Function f, sondern statt dessen die 
Coefficienten von r linearen Functionen. Man kehrt aber 
von TTr in jedem Augenblicke zu TT dadurch zurück, dass 
man a^-", hj* u. s. w. als symbolische Darstellungen von f 
betrachtet, was erlaubt ist, da jede dieser linearen Func- 
tionen gerade zur n*®^ Dimension vorkommt. 

Wie man hier die Coefficienten von f ganz aus TT herausgeschafft 
hat, ohne doch gehindert zu sein, in jeclem Augenblicke zu der ur- 
sprünglichen Bildung zurückzukehren, so kann man nun auch mit den 
Coefficienten der anderen Functionen verfahren, die in TT etwa auf- 
treten. Dann hat man zuletzt TT in einer Form dargestellt, welche 
sofort folgenden Satz liefert: 

Jede simultane Invariante oder Covariante einer 
Reihe von Functionen lässt sich als Invariante oder 
Covariante einer Reihe von linearen Functionen 
ausdrücken, deren Potenzen die symbolischen Dar- 
stellungen der gegebenen Formen sind. 
Und da die allgemeine Form von Invarianten und Covarianten 
linearer Functionen bereits oben gefunden war, so kann man ohne 
Weiteres die allgemeine Form ausdrücken, in welcher mittelst der 
Symbole eine allgemeine Invariante oder Covariante beliebig vieler 
Formen sich darstellt. Eine solche Darstellung will ich die sym- 
bolische Darstellung der Invariante oder Covariante selbst 
nennen. Man hat dann sofort den folgenden Fundamentalsatz: 
Jede Invariante stellt sich symbolisch als das 
Aggregat vonProducten symbolischer Determinan- 
ten von dem Typus iah) dar; jede Covariante als 
Aggregat von Producten symbolischer Determinan- 
ten iah) mit linearen symbolischen Factoren von 
dem Typus c^.* 

* Beispiel (§ 1.): die Invariante einer quadratischen Form: 
führt zunächst durch die Operation 



und Covarianten binärer Formen. — § 12. ^5 

Dieser Satz enthält alle Eigenschaften der Invarianten und Co- 
varianten. Denn es ist leicht zu sehen, dass er umkehrbar ist und 
demnach als Definition dieser Gebilde dienen kann. Hierzu führt fol- 
gende Erwägung. 

Damit durch eine Invariante oder Covariante linearer Functionen 
eine Invariante oder Covariante irgendwelcher höherer Formen sym- 
bolisch dargestellt werde, ist zweierlei erforderlich. Erstens müssen 
die Coefficienten der verschiedenen linearen Functionen gerade in sol- 
chen Dimensionen vorkommen, wie sie die Ordnungen der entspre- 
chenden höheren Functionen angeben, damit überhaupt letztere durch 
die ersteren symbolisch dargestellt werden können. Dies vorausgesetzt, 
ist noch nöthig, dass der ganze Ausdruck, welcher in Bezug auf die 
Symbole die Invarianteneigenschaft besitzt, auch in Bezug auf die ein- 
zuführenden höheren Formen sie besitze. Aber man überzeugt sich, wie 
folgt, dass dies immer der Fall ist. 

Denken wir uns irgend eine Function f durch lineare Substitutio- 
nen transformirt. In der ursprünglichen Form sei symbolisch 

in der transformirten : 

Man erhält das eine Symbol aus dem andern durch Ausführung der 
Transformation. Die Gleichung 

«Y' = a^" = [a^ {a^^l, + «, J,) -f a^ («21 1, + «22 ?2)]" 
drückt in symbolischer Form den Zusammenhang zwischen den Coef- 
ficienten der ursprünglichen und denen der transformirten Function 
vollständig aus. Die aus der Vergleichung der obigen For- 



^TT , 67TT , ^n 
cao dtti c ciz 

auf 

rfottg — 2«! or, -{- a2CCo, 

was die simultane Invariante zweier quadratischen Formen ist. Setzt man die a 
den a gleich, so erhält man 2 TT; setzt man aber an Stelle der a wie der a Sym- 
bole, so hat man: 

hi^C2^-2hi &2 c, Ci + h^Ci^={hc)\ 
also 

was die symbolische Darstellung ist. 

Beispiel der simultanen Covariante zweier quadratischen Formen (§ 2.) : 

I «0^1 + «1 ^2 ^0^1 + 5l^2 I 

\ üiXi + 02^2 hi .Tj -f- bzXi I 
verwandelt sich, wenn man die beiden Formen symbolisch durch Ca;^, y.v^ bezeich- 
net, in: 

I Ca Cr 727^17 I 

o 

C leb seh, Theorie der biuäreu algebr. Formeu. O 



34 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

men fliessendeu Gleichungen sind aber befriedigt^ wenn 
man zwischen den alten und neuen Symbolen die Rela- 
tionen annimmt: 

Diese Gleichungen zwischen den Symbolen^ welche keine an- 
deren als diejenigen sind, die zur Transformation linearer 
Ausdrücke überhaupt dienen, ersetzen also vollständig die Be- 
ziehungen zwischen den Coefficienten der Function f in ihrer Ursprung 
liehen und in ihrer transformirten Gestalt. 

Fasst man daher eine Invariante oder Covariante linearer Func- 
tionen als symbolische Darstellung einer Combination der Coefficienten 
höherer Formen auf, so verwandelt sie sich durch lineare Transfor- 
mation in dieselbe Function der transformirten Symbole, also auch in 
dieselbe Function der transformirten Coefficienten, immer abgesehen 
von einem Factor r^. Jeder solcher Ausdruck besitzt also die In- 
varianteneigenschaft auch noch, wenn man ihn als symbolisch ansieht, 
und man kann demnach den folgenden Satz aussprechen, welcher den 
obigen Fundamentalsatz ergänzt: 

Jede Invariante oder Covariante linearer For- 
men, in welcher die Coefficienten dieser Formen in 
geeigneten Dimensionen vorkommen, kann als sym- 
bolische Darstellung einer Invariante oder Cova- 
riante höherer Formen auf ge fasst werden. 

Durch diesen Satz ist man zugleich befähigt, alle nur denkbaren 
Invarianten und Covarianten binärer Formen aufzustellen 5 man hat 
nur alle möglichen Producte symbolischer Determinanten vom Typus {ah) 
und symbolischer linearer Factoren vom Typus a^ zu bilden, welche 
in den einzelnen Coefficientenreihen die jedesmal erforderlichen Di- 
mensionen besitzen. 

Es ist in Folge des obigen Satzes leicht a posteriori einzusehen, 
warum die Operationen (S. 13, 14) 

. 1 ( d(p ^ dcp 

ii^^±(.i^ ^^ 

in denen ft und v die Ordnung von cp in Bezug auf die x und die y 
bedeuten {D(p hat ganz denselben Charakter wie /1 cp und braucht des- 
halb nicht besonders betrachtet zu werden), die Invarianteneigenschaft 
nicht aufheben, und es wird dabei zugleich von Interesse, zu sehen, 
in welcher Weise diese Operationen auf symbolische Producte wirken. 



und Covarianten binärer Formen. — § 12. 35 

Sei erstlich cp ein symbolisches Product von der Form 
(p = M . üj-hx . . . m,ry 
wo M die Veränderlichen x nicht mehr enthält und wo also /i die 
Zahl der linearen symbolischen Factoren a^, h^: . . . nijr angiebt. Es 
wird dann 

Die Anwendung der Operation z/ auf ein symbolisches 
Producta welches von der fi*^" Ordnung in den x ist, giebt 
also die Summe von ^ Termen, dividirt durch ft. Die einzel- 
nen Terme entstehen, wenn man in einem der diea;enthal 
tenden symbolischen Factoren die x durch die y ersetzt. 
Es ändert sich daran nichts, wenn auch für einzelne symbolische 
Factoren Ojc etc. wirkliche Factoren (xz) etc. eintreten; nur ver- 
schwindet der entsprechende Term jedesmal identisch, wenn (xy) selbst 
ein solcher Factor wird, der dann in {yy) übergeht. 

Um die Wirkung von ^ zu erkennen, denken wir uns q) als 
symbolisches Product der Form 

(p = M .aa:'ba:' '-mjc.pyqy. .,ryy 
wo das symbolische Product M nun weder die x noch die y mehr ent- 
hält. Man hat dann 

^(p = — i {ap) hjc... mx ciy ...Ty-i- (hp) a^ . . . w^ qy . . . Vy 

+ {aq)ha:. . . m:cPy . . . ^y + . . . !. 
Die Anwendung der Operation Sl auf ein symbolisches 
Product, welches von der fA*^° Ordnung in den Xj von der 
j,ten jjj (|gj^ y jg^^ giebt also die Summe von {lv Termen, di- 
vidirt durch ftv. Jeder einzelne Term entsteht aus 9?, in- 
dem man irgend ^wei symbolische Factoren, von denen 
einer die ?/, der andere die x enthält, durch ihre Deter- 
minante [etwa üxPy durch (ap)] ersetzt. Wenn einer der sym- 
bolischen Factoren, etwa pyy durch einen wirklichen Factor ersetzt 
wird, etwa {yz), so tritt nur z,2 an Stelle von^;^, — z^ an Stelle von j?^? 
und daher im Resultat an Stelle der Determinante {ap) der lineare 
Factor — a^. Tritt {xz) an Stelle von «^, so wird a^ durch z.^j a^ 
durch — Äj zu ersetzen sein, und für {ap) tritt der lineare Factor pz 
ein. Tritt zugleich {yz) für py, {xt) für «^ ein, so sind Pu p^, «1, «2 
durch Z.2, —z^, t^y —t^ zu ersetzen, und an Stelle der Determinante 
{ap) muss man die Determinante — {zt) setzen. Endlich kann es ge- 
schehen, dass 9? den wirklichen Factor {xy) hat. Was in diesem Falle 
geschieht, erkennt man am Besten, indem man 

cp^il^Jxy) 

3* 



^Q Erster Absclinitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

setzt, und die Wirkung von ^ auf cp mittelst der Wirkungen der- 
selben Operation auf t darstellt. Wir nehmen noch an, dass cp von 
den Ordnungen ^, v in ;2^ und y sei, ^ also von den Ordnungen ^— l 
und v — 1. Es ist dann 

dcp , .dil) 



also 






daher 



1 (, ,/ a^^ ^2^ \ / a^ , az/^\ 



+ 



(^^e;+^4-|)+^4 



oder mit Rücksicht auf die Definition von Sl und auf die bekannten 
Eigenschaften der homogenen Functionen: 

Slq)=:—\{^-l){v-\){xy)Slt+{^ + v)ij\. 

Man sieht also, wie die Wirkung der Operation ^ß auf das Pro- 
duct ^ . {xy) theils auf die Function ^ selbst führt, theils auf das 
Product von {xy) mit dem Resultate' der Anwendung von Sl auf ip . 



§ 13. Symbolische Coefflclenteu von Covarianteii. 

In § 10. ist gezeigt worden, dass alle Covarianten auf Polaren 
solcher zurückgeführt werden können, welche nur eine Reihe von 
Veränderlichen enthalten. Solche Covarianten sind nun selbst alge- 
braische Formen, d. h. ganze homogene Functionen zweier Veränder- 
lichen x^, x^. Eine solche Co Variante (p kann man dann wieder sym- 
bolisch durch die Potenz einer linearen Function 

9^ = 95/"= (9^1^! + 9^2 ^2)'" 
ersetzen; mit dem Vorbehalt, nach Bedarf andere Symbole 9', cp" u. s. w. 
einzuführen, wenn die Deutlichkeit und Bestimmtheit der auszufüh- 
renden Operationen es erfordert. 

Untersuchen wir, wie die symbolischen Coefficienten einer Cova- 
riante sich bei einer linearen Substitution ändern , welche auf die con- 
stituirenden Functionen angewendet wird. An Stelle von (p tritt dabei 
eine Function 0; welche aus den Coefficienten der transformirten 



und Covarlanten binärer Formen. — § 13. 37 

Functionen und den neuen Veränderlichen gebildet ist, wie (p aus den 
Coefficieuteu der ursprünglichen Functionen und aus den ursprünglichen 
Veränderlichen, und nach der Definition der Covarianten ist 

d. h. als Function der neuen Veränderlichen | nur um den Factor r^ 
verschieden von derjenigen Function, in welche (p unmittelbar durch 
blosse Einführung der neuen Veränderlichen sich verwandelt. Setzt 
man für die Co Variante der transformirten Functionen, O, den sym- 
bolischen Ausdruck 

so ist 

(^1 ?1 + ^2 12)"' --= r^ [9l (f^l ll + «12 l>) + <P2 («21 Sl + «22 12)]""' 

Und man kann diese Identität durch die folgenden Trans formations- 
formeln der symbolischen Coefficienten von (p ersetzen: 

1 

^l=*""'(«ll9^1+«2l9P2) 
1 

Man kann daher folgenden Satz aussprechen: 

Die symbolischen Coefficienten einer Covariante 
ändern sich, von einer Potenz der Transformations- 
determinante abgesehen, genau so, wie die symboli- 
schen Coefficienten der constituirenden Functionen. 
Da eine Potenz der Transformationsdeterminante hier überhaupt 
unerheblich ist, so sieht man sofort, dass ein Product symbolischer 
Determinanten [a h) und symbolischer linearer Factoren Cj- auch dann 
noch die Invarianteneigenschaft behält, wenn unter den Symbolen auch 
symbolische Coefficienten von beliebigen Covarianten der constituiren- 
den Functionen vorkommen. Dies giebt also den Satz: 

Wenn man ein System simultaner Formen um 
irgend welche Covarianten des Systems erweitert, 
so sind die simultanen Covarianten und Invarianten 
des erweiterten Systems zugleich Invarianten und 
Covarianten des ursprünglichen. 
Dieser Satz führt darauf, wie in den meisten Fällen der Anwen- 
dung Covarianten und Invarianten gebildet werden; darauf nämlich, 
dass man einfache Combinationen der gegebenen Functionen unter sich 
bildet, die einfachsten Covarianten des Systems; dass man diese wieder 
mit den ursprünglichen Formen und unter sich combinirt u. s. w. Der 
Bildungsprocess kann nur dann als abgeschlossen angesehen werden, 
wenn keine neuen Bildungen mehr erscheinen, wovon weiter unten aus- 
führlicher zu handeln sein wird, 



38 Erster Abschnitt. Grundeigenscliaften der Invarianten 



§ 14. Grundformen mit mehreren Reihen von Veränderlichen. 

Die vorstehenden Betrachtungen in Verbindung mit denen des § 7. 
lassen eine Frage erledigen, welche eine scheinbar der Verallgemeine- 
rung bedürftige Seite unserer Theorie heraushebt. Man könnte glau- 
ben, es sei der Allgemeinheit wegen nothwendig , auch den Fall zu 
behandeln, in welchem Grundfunctionen gegeben sind, welche selbst 
bereits mehr als eine Reihe von Veränderlichen enthalten. Ich werde 
zeigen, dass dies überflüssig ist; dass vielmehr die Invarianten und 
Covarianten eines solchen Systems nur die Invarianten und Covarianten 
eines gewissen Systems simultaner Formen mit einer Reihe von Ver- 
änderlichen sind. 

Ist / irgend eine Form mit mehr als einer Reihe von Veränder- 
lichen und nehmen wir an, dass es, unter anderen, die Reihen x^j x^ 
und ^1 , y^ beziehungsweise in der m*®° und w*®° Ordnung enthalte. 
Da die Operationen z/, D, ß (§6.) die Invarianteneigenschaft nicht 
aufheben, so sind die Ausdrücke: 

(1) DY, -£)"-' ^fj i)"-2 ^^f, . . . 

Covarianten, beziehungsweise Invarianten von f, aber wegen der For- 
mel (6) des § 7. kann /'wieder durch diese ausgedrückt werden. Die Aus- 
drücke (1) enthalten eine Reihe von Veränderlichen weniger als f und 
sind übrigens, wie in § 8. gezeigt wurde, völlig von einander unab- 
hängige Functionen, welche die x zu den Ordnungen 

m-\-n^ m-i-n — 2^ m-fn — 4, ... 

enthalten, die übrigen Veränderlichen aber, welche in f etwa ausser 
den Xj y noch vorkommen können, zu ebenso hohen Ordnungen wie /, 
wie denn auch die Coefficienten von f in die Formen (1) linear ein- 
gehen. 

Da nun nach dem Vorigen ebensowohl die Formen (I) als Cova- 
rianten von /", wie / als Covariante dieser Formen angesehen werden 
kann, so kann man überhaupt alle Covarianten von f nach § 13, auch 
als Covarianten der Formen (1) ansehen, welche in ihrer Art ein ganz 
allgemeines System bilden und eine Reihe von Veränderlichen weniger 
enthalten. 

Wendet man auf jede der Formen (1) wieder dasselbe Verfahren 
an, so kann man jede derselben abermals durch ein System von Formen 
ersetzen, welche eine Reihe von Veränderlichen weniger enthalten u. s. w. 
Man gelangt also durch fortgesetzte Anwendung desselben Verfahrens 
zu dem Satze: 



und Covarianten binärer Formen. — §§14, 15. 39 

Die Covarianten und Invarianten eines Systems 
von Formen mit mehreren Reihen von Veränder- 
lichen sind immer identisch mit denen eines gewis- 
sen Systems von Formen mit nur einer Reihe von 
Veränderlichen und von einander unabhängigen 
Coefficienten.* 

Es ist hiernach nicht nöthig, solche Systeme von Grundformen 
mit mehreren Reihen von Veränderlichen zu untersuchen. Bemerkt 
mag nur werden^ dass die oben erwähnten Operationen auf ein System 
simultaner Formen mit einer Reihe von Veränderlichen führen, uuter 
denen sich auch Formen nullter Ordnung, also Grössen befinden kön- 
nen, welche, ohne mit den übrigen Formen des Systems in Beziehung 
zu stehen, als accessorische Invarianten zu betrachten sind. Ein Bei- 
spiel dazu wird weiter unten (§ 24.) auftreten. 

§ 15. Hilfsmittel symbolischer Operationen. 

Die symbolische Gestalt einer Invariante oder Covariante ist kei- 
neswegs eine feste und unveränderliche, vielmehr kann man einem und 
demselben Ausdrucke im Allgemeinen eine grosse Reihe von Gestalten 
geben. Unter diesen kann es bisweilen eine geben, welche sich durch 
besondere Einfachheit auszeichnet und dann ausschliesslich benutzt 
wird. Es kann aber auch geschehen, dass durch Vergleichung der 
verschiedenen Gestalten, welche ein und derselbe Ausdruck annimmt, 
sich zeigt, dass er identisch verschwindet oder sich durch einfachere 
Bildungen ausdrückt, während an einem seiner Ausdrücke dies nicht 
ganz einfach nachzuweisen ist. 

Die Hilfsmittel, welche man anwenden kann, um verschiedene For- 
men eines symbolischen Ausdrucks herzustellen, bestehen zunächst in 
der Vertauschung gleichwerthiger Symbole. Kommen in einer Bil- 
dung TT zwei Symbole a und h vor, welche durch die Gleichung 

als Repräsentanten derselben wirklichen Grössen charakterisirt sind, 
so bleibt offenbar der wahre Werth von TT ungeändert, wenn man die 



* Beispiel einer Form, welche x^x^, quadratisch, yiy^ Unear enthält: 
f=z {ttQXi^ -f 2 «1 Xi Xi + «2 ^'2^) Vi + (&0 ^1^ + 2 bi Xi Xi + h^Xi^) y«. 
Man bildet die Formen 

I>(f) — OoÄJi^ -f (2 tti + Ü>o) Xi^Xi 4- («2 + 2 6,) x^ x.^ 4- 62 ^'^2' 
ß(/0 = {&0 - «l) a?! -f- (&1 - «2) aJo. 

Die Invarianten und Covarianten von f sind identisch mit den simultanen 
Invarianten und Covarianten dieser linearen und dieser cubischen Form. Ausser- 
dem vergl. die Beispiele in der Anmerkung auf S. 18. 



I 



40 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 

Symbole a und h mit einander vertauscht. Wenn dabei TT sein 
Zeichen wechselt, so verschwindet es identisch.* 

Ein wichtigeres Hilfsmittel für die Umgestaltung symbolischer 
Ausdrücke besteht in der identischen Gleichung, welche in Bezug auf 
irgend drei lineare Ausdrücke gebildet werden kann. Elirainirt man 
aus den Identitäten 

ttj- — ' (ai-i Jü< "y" Clin Jj'-2 

Cx C/H Jbi ""J~ Co iX'o 

die rechts stehenden Grössen x^, Xc>, so erhält man die Gleichung 



= 



ax dl ^2 ! 
hx ?>i h-, 

Cx Ci Ca 



'2 I 

oder, wenn man nach der ersten Verticalreihe ordnet: 

(I) (b c) üx + (c a) bx 4- (« b) Cx = 0. 

Von dieser Gleichung werden wir weiterhin die mannigfaltigsten 
Anwendungen kennen lernen. Ich hebe nur sogleich einige Formen 
hervor, welche man dieser Identität geben kann und welche ebenfalls 
oft angewendet werden. Schafft man ein Glied auf die andere Seite 
und quadrirt, so drückt sich das Product zweier Glieder der Identität 
durch die Quadrate aller aus: 

(II) (a b) {a c)bxCx = i\ {a bf cl, + (a cf ¥x - {b cf aW. 
Quadrirt man nochmals, so erhält man die Formel: 

(III) {a bf {a cf b\ &x + (b af (b cf a\, c'x + {c a^ {c bf a\ b\ 
= 4 1«'- (^ ^)' + b'x {c ay + Cx' {a bf \ , 

welche in der Theorie der biquadratischen Formen benutzt wird. 

Aus den Identitäten (I), (II), (III) leitet man andere dadurch ab, 
dass man x^, x'^ durch die Coefficienten cLj, und ~ d^ einer wirklichen 
oder symbolischen linearen Form ersetzt. Man erhält dann: 

(IV) (6c)(a^)H-(ca)(6^ + (a&)(c^ = 

(V) {ab) {ac) [db) {de) = ^ \{abf {cdf + {acf{bd)^ - {ad)' {bc)'\, 

(VI) {abf{acf{dbf{dcf + {bcf {b af {dcf {daf + {caf{cbf{daY{dbf 
= i \{abY{cd)' + {acY{bd)' + {ad)'{bcY\ . 



* Beispiel. Die Covariante einer quadratischen Form: (ab) axh.r geht durch 
Vertauschung von a mit 6 in — (ab) axbx über, verschwindet also identisch. Ebenso 
jede Bildung {ab)n-k ax^bx^ (bei der sich a und b auf dieselbe Form nter Ordnung 
beziehen), wenn n—k ungerade. 



und Covarianten binärer Formen. — § 15. 41 

Andererseits folgen aus (T) und {IT), indem man c.,=^y^j ^i = ~J?/2 
setzt,* die Identitäten: 

(VII) a,hy- kr a,j = (a b) (xy) * * 

(VlII) a^^üy h:,hy = i \a\rh% + a\jh\r - {ahY{xyY\ . 

Als Anwendung allgemeinerer Art will ich hier den folgenden Satz 
beweisen : 

Ein symbolischer Ausdruck, welcher eine unge- 
rade Potenz der Determinante gleichwerthiger Sym- 
bole als Factor enthält, lässt sich immer in einen 
solchen überführen, welcher die nächsthöhere ge- 
rade Potenz derselben enthält. 
Sei {ahy"'-'^ der Factor eines symbolischen Ausdrucks, und «, b 
vertauschbar, Symbole einer Form n^'^'' Ordnung. Da keine höhere Po- 
tenz von (ab) vorkommt, so müssen die übrigen (w — 2m-f 1) Sym- 
bole a und b getrennt vorkommen. Die zu betrachtende Bildung geht 
also aus dem Ausdruck 

(1) (a6)2—ia.a,... ?>,&,... 

hervor, indem man für einige der Reihen x, y . , ., z, t . . . symbolische 
Coefficienten einsetzt und das Resultat mit einem ergänzenden sym- 
bolischen Producte multiplicirt. Der Ausdruck (1) aber geht durch den 
Prozess der Polarenbildung aus 

(2) (6lZ>)2'"-laa:"-2m + >Z>^n-2m + l 

hervor. Es ist also nur nöthig, für diesen Ausdruck den Satz zu be- 
weisen; denn besteht er für diesen, so besteht er auch für (1) und 
demnach auch für den gegebenen symbolischen Ausdruck. Der Aus- 
druck (2) aber wird, indem man a mit b vertauscht und die halbe 
Summe beider Darstellungen einführt, durch die symbolische Gestalt 
ersetzbar : 

Dieser Ausdruck hat den Factor 

a.v hy — kr ay = {a b) {xy) ; 
es tritt also {ab)-"" vor, was zu beweisen war. Zugleich sieht man, 
wie die betreffende Darstellung des gegebenen Ausdrucks auszufüh- 
ren ist. 



* In II. ist vorher a mit c fü vertauschen. 
** Hiernach zerfällt z. B. die bei einer quadratischen Form auftretende Co Va- 
riante (ah) üxhy; denn indem man a und b vertauscht und die halbe Summe beider 
Ausdrücke nimmt, hat man 

{ah) axhy = ^ {ab) {axby — hxüy) = \ {ahy {xy); 
sie verwandelt sich in das Product einer identischen Covariante mit einer Invariante. 



42 Erster Abschnitt. Grundeigenschaften der Invarianten 



§ 16. Formen tou geradem und ungeradem Charakter. 

Ich will bei dieser Gelegenheit noch eines andern Resultats ge- 
denken, welches die symbolische Darstellung sofort ergiebt. Jede Co- 
variante oder Invariante TT, für die transformirte Form gebildet, ist 
der für die ursprüngliche Form gebildeten gleich bis auf einen Fac- 
tor r^. Die Transformationsformeln der Symbole, welche Seite 34 
gegeben sind, lehren aber, dass bei der Transformation der symbo- 
lischen Form von TT jeder lineare Factor ungeändert bleibt, während 
jede symbolische Determinante den Factor r erhält. Das Ganze erhält 
also den Factor r so oft als Determinantenfactoren vorhanden sind, 
d.h. die Zahl X giebt die Zahl der symbolischen Deter- 
minantenfactoren an, welche in der symbolischen Form 
von TT auftreten. 

Sei nun TT von der Ordnung m in^den Veränderlichen, vom Grade 
h, ¥ . . . beziehungsweise für die Coefficienten der in TT eingehenden 
Formen, n, n' ... die Ordnungen der letzteren. Die Anzahl aller in TT 
vorkommenden Symbolreihen (jede so oft gerechnet, wie es die Ord- 
nung der betreffenden Form erfordert) ist dann 

nie -\- n Je' -\- .... 

Diese vertheilen sich nun zum Theil paarweise auf die X Deter- 
minantenfactoren, zum Theil einzeln auf die m symbolischen linearen 
Factoren. Man hat also die Gleichung 

Sind n, n' . . . gerade, so muss auch m gerade sein, und man hat 
also den Satz: 

Formensysteme, in welchen alle Formen von ge- 
rader Ordnung sind, haben auch nur Covarianten 
von gerader Ordnung. 

Von wesentlicher Bedeutung ist eine Unterscheidung der Cova- 
rianten und Invarianten von geradem und ungeradem {gauche) 
Charakter, je nachdem die Zahl A gerade oder ungerade ist. Für die 
lineare Substitution 

^j == §2 ; ^2^^ 5i 

ist r = — 1 ; die Formen geraden Charakters ändern sich also durch 
eine solche Substitution nicht, die Formen ungeraden Charakters ändern 
das Vorzeichen. Diese Substitution ist nichts anderes, als eine Ver- 
tauschung der Bedeutung der beiden Veränderlichen x^, x^. .Dieses 
kann auch so aufgefasst werden, dass die Coefficienten 



und Covarianten binärer Formen. — § 16. 43 

einer Function in der transformirten Function wieder auftreten, nur 
in der umgekehrten Reihenfolge: 

a„, (In-Xy ein — 2 • • • <^o ' 

Man kann also den Satz aussprechen: 

Wenn man aus einer Invariante oder Covariante 
eine andere ableitet, indem man die Veränderlichen 
vertauscht und zugleich die Coefficienten sämmt- 
Hcher zu Grunde gelegter Formen in umgekehrter 
Folge benutzt, so entsteht eine Bildung, welche der 
ursprünglichen gleich oder entgegengesetzt ist, je 
nachdem die ursprüngliche Covariante oder Inva- 
riante von geradem oder ungeradem Charakterwar. 

Andere Eigenschaften der Formen ungeraden Charakters werden 
in der Folge sich wiederholt geltend machen.* 



* Die simultane Covariante zweier quadratischen Formen (S. 33.) 

{ab)axba: 
ist in diesem Sinne eine Form ungeraden Charakters, die simultane Invariante 

{aby 
eine Form geraden Charakters. 



f 



Zweiter Abschiiitt. 

Die geometrische Interpretation algebraischer Formen. 



§ 17. Mittel der geometrischen Darstellung binärer Formen. Piinktreihe 

und Strahlbüscliel. * 

Ich werde jetzt eine geometrische Interpretation darlegen , deren 
die binären Formen, sowie die dabei auftretenden Invarianten und 
Covarianten fähig sind, und welche sowohl wegen ihres Zusani.men- 
hanges mit der analytischen Geometrie von Wichtigkeit ist, als wegen 
der übersichtlichen Ausdrucksweise, welche eine grosse Anzahl von 
Sätzen durch sie zulassen. 

Eine binäre Form n*^^ Ordnung, gleich Null gesetzt, stellt, wie 
schon im Eingange bemerkt ist, eine Gleichung n*®" Grades vor, in 

welcher -i die Unbekannte ist und welche also n Werthe dieses Ver- 

hältnisses liefert. Denken wir uns nun eine Gerade, deren jeder Punkt 
einen Werth dieses Verhältnisses repräsentirt, so ist eine binäre Form 
gewissermassen als der analytische Ausdruck des Complexes der 
n Punkte zu betrachten, welche durch die entsprechende Gleichung 
gegeben sind. 

Nehmen^ wir daher in der Geraden irgend zwei Punkte, A^ B 
(Grundpunkte) an. Die Abstände eines beweglichen Punktes C der 
Geraden von A und B seien p und g, und zwar sollen dieselben posi- 
tiv gezählt werden, wenn C zwischen A und B liegt; wenn aber C 
ausserhalb des Intervalles AB sich befindet, so soll der Abstand des 
Punktes C von dem näheren der beiden Punkte Aj B als negativ an- 
gesehen sein. Man hat dann immer 

wo c der gegenseitige Abstand der Punkte J., B ist. 



* Ueber den Zusammenhang der linearen Substitution mit dem Doppelver- 
hältniss siehe Cayley, Memoir lipon Quantics , Phil. Tr. vol. 148, sowie Fiedler, 
Die Elemente der neuern Geometrie und der Algebra der binären Formen, Leipzig, 
Teubneu 1862. 



Die geometrische Interpretation algebraisclier Formen. — § 17. 45 

Es ist nun zweckmässig, die Veränderliclien x^j x., durch folgende 
Definition mit den Punkten der Geraden AB in Beziehung zu setzen: 
Ich verstehe unter x^^, x.y zwei Zahlen, ^eren ab- 
solute Werthe gleichgiltig sind, welche sich aber 
zu einander verhalten wie die Abstände des ihnen 
zugehörigen Punktes C der Geraden ^5 von diesen 
beiden Punkten, jeder Abstand multiplicirt mit 
einer beliebig aber fest gewählten Constante. 
Man definirt also x^y x\ durch die beiden Gleichungen 

,x, = ap 
QX, = hq, 

in welchen q eine willkürliche Grösse, a und h aber zwei constante 
Zahlen sind. 

Jedem Werthe 

x^_a p 

x~ h ' q 

entspricht nur ein Wertli von — , und demnach auch nur ein Punkt C 

der Geraden. In der That, ist A der Werth von — , so hat man die 

2 



beiden Gleichungen 






p- Xq=:0 




P'+ Q = C: 


daher 






Ic 




V= A . :, 



(2) 



c 



wodurch ^ und q völlig und eindeutig bestimmt sind. Wie also jedem 
Punkte C ein W^erth von -^ entspricht, so findet auch das Umge- 
kehrte statt, und man kann also sagen, dass die Punktreihe G die 
gesammte W^erthreihe der '7;^ eindeutig repräsentire. 

Insbesondere entspricht der Werth x^ = (vorausgesetzt, dass 
nicht auch x.y verschwinde; aber es hat keinen Sinn, beide Zahlen 
Null zu setzen, da es sich immer nur um ihre Verhältnisse handelt) 
dem Punkte Ä Q) = 0), ^, = dem Punkte B (g = 0). Der Werth 

X (1 

^ = — entspricht, da p = q, dem Mittelpunkte der Strecke AB. End- 
x,^ , 

lieh der Werth -i = — — giebt p = — q^ daher A =^ — 1 , und also 
t x.) 



46 iiweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

X 

p und q unendlich gross. Dieser Werth von — giebt also einen un- 

endlich fernen Punkt der Geraden; und man erhält keinen andern 
unendlich fernen Punkt, da nach (2) p und q nur unendlich gross 

sein können, wenn A — — 1, also -^ = — — . Man ist daher bei den 
' ' x^ h 

hier zu Grunde gelegten Vorstellungen berechtigt, von einem ein- 
zigen unendlich fernen Punkte der Geraden zu sprechen, 
welcher, so gut wie alle anderen Punkte, durch einen einzigen Werth 

X 

des Verhältnisses -~ repräsentirt ist. 

Allerdings sind es, wenn man a,!) als reell voraussetzt, nur reelle 

X 

Werthe des Verhältnisses — , welche durch reelle Punkte C der Ge- 

raden AB dargestellt sind. Aber der Unterschied von Reellem und 
Imaginärem ist im Folgenden immer durchaus unwesentlich. Wir 
werden keinen Anstand nehmen, uns a und h auch als complex zu 
denken, ebenso p und g, und imaginäre Punkte der Geraden einzu- 

führen, um das ganze dem Verhältnisse — zukommende Werthge- 

x^ 

biet zu beherrschen. Ja, wir werden selbst die Grundpunkte A, B der 
Allgemeinheit wegen uns als imaginär vorstellen dürfen. 

X 

Dieser Darstellung des Werthes — ^ geht eine zweite genau pa- 

X2 

rallel, bei welcher man sich nicht der Punkte einer Geraden bedient, 
sondern der Geraden (Strahlen), welche durch einen beliebigen Punkt 
in der Ebene gezogen werden können (Strahlbüschel). Legen wir, 
um diese Darstellung mit der vorigen in Zusammenhang zu bringen, 
zwei Grundstrahlen A, B des Strahlbüschels durch die Punkte A, B 

X 

der im Vorigen betrachteten Geraden. Ein Werth — , welcher einem 

X2 

Punkte G der Geraden zugeordnet ist, kann auch dem durch C gehen- 
den Strahle des Büschels zugeordnet werden, und zwar auf folgende 
Weise. 

Jeder Strahl des Büschels ist charakterisirt durch sein Abstands- 
verhältniss von den beiden festen Strahlen AB, d. h. durch das Ver- 
hältniss der von einem Punkte des beweglichen Strahls auf die festen 
Strahlen gefällten Lothe, ein Verhältniss, welches für jeden Punkt 
des beweglichen Strahls denselben Werth hat. Unter den 4 Winkeln, 
welche die Strahlen A, B bilden, wählen wir einen heraus (im Zu- 
sammenhange mit der Geraden AB etwa denjenigen, in welchem die 
Strecke AB liegt). Das Abstandsverhältniss des beweglichen Strahls 
nennen wir positiv, wenn der Strahl innerhalb dieses Winkels, negativ, 



algebraischer Formen — §§17, 18. 



47 



(3) 



(4) 




wenn er ausserhalb desselben liegt. Bezeichnen wir die vom Punkte C 
des Strahls C auf die Strahlen A, B gefällten Lothe durch 7t ^ a, 
durch 9, z^ die Winkel, welche die Strah- 
len A und B gegen die Gerade A, B 
bilden, so ist 

jt = p sin (p 

x = q sinipy 

also überhaupt das Abstandsverhältniss der 

Geraden C von den beiden Geraden A^ B: 

7t __p sin (p 

K q ' sin ip ' 

Es unterscheidet sich daher das Abstandsverhältniss des Punktes C 
auf der Geraden von dem des Strahls C im Büschel nur um einen 
Constanten Factor, und also sind auch beide nur um constante Factoren 

X 

von der Grösse — verschieden. 

X.y 

X 

Sowie also ~ durch einen Punkt der Geraden AB repräsentirt 

ward, wird es auch dargestellt durch einen Strahl des Büschels AB, 
und weil sich die Punkte der Geraden und die Strahlen des Büschels 
eindeutig entsprechen, so gehört auch zu jedem Strahle, ganz wie 
dies bei den Punkten der Geraden der Fall war, nur ein Werth 

X X 

von — , zu jedem Werthe von -^ nur ein Strahl des Büschels. Die 

Formeln für diesen Zusammenhang sind der Formeln (3) wegen ganz 
analog den Formeln (1), indem sich nur die constanten Factoren än- 
dern, nämlich: ^^ 

' Ü7t 

QX,= 



QX.,— 



Sin (p 

H 

sin ip 



Und man kann demnach die Grössen a;^, ^^ auch durch folgende zweite 

Definition interpretiren : 

Es sind rr^, a?^ zwei Zahlen, welche sich zu ein- 
ander verhalten wie die Lothe von einem beweg- 
lichen Strahle eines Strahlbüschels auf seine festen 
Grund strahlen, dieLänge jedes Lot hes multiplicirt 
mit einer beliebig aber fest gewählten Constanten. 



§18. Gleichuugen , welche durch das Yerschwinden von Invarianten 
oder Co Varianten ausgedrückt werden. 

Der Zusammenhang dieser Interpretationen mit der Theorie der 
Invarianten und Co Varianten ergiebt sich nun sogleich durch folgende 



I 



48 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

Betrachtung, bei welcher es gleichgiltig ist, von welcher der beiden 
oben entwickelten Anschauungen man ausgeht. 

Untersuchen wir, welche analytischen Veränderungen der Aus- 

druck — erfährt, wenn wir den ihn repräsentirenden Punkt der Ge- 

raden AB ungeändert lassen, die übrigen Momente aber, welche den 
Zusammenhang definiren, sich ändern lassen; wenn wir also sowohl 
andere Grundpunkte einführen, als auch die Constanten a, h durch 

andere Constanten a , h' ersetzen. An Stelle von — tritt dann ein 

neuer Werth 

in welchem p', ^ die Abstände des Punktes C von den neuen Grund- 
punkten sind. Nun unterscheiden sich offenbar diese von p, q nur um 
Constante; jede Constante aber kann mit 

P + 'l , 



multiplicirt, also als lineare Function von p und q dargestellt wer- 

den. Demnach erscheint ~ als Quotient zweier homogener 

linearer Functionen von p und g, also auch von x^^ und ^r^, 
denen p und q bis auf constante Factoren proportional sind. 

Nachdem dieser Charakter festgestellt ist, kann man nun die 
Formel für |^ direct in eleganter Weise darstellen. Denn es kann 

X 

sowohl Zähler als Nenner nur für je einen Werth von — verschwin- 
den. Aber es muss der Zähler, d. h. ^j, für den einen neuen Grund- 
punkt J.', der Nenner, d. h. t^, für den andern, I?', verschwinden. 

x' X '' X 

Sind also —r und -V, die Werthe von --, welche diesen beiden Punkten 

X 2 ^^2 2 

entsprechen, so hat man 

(1) 



j 4 tA/ * Jly i^ lA/o «^ 1 \^ ^ ) 



Die Constanteu a', V kann man in dieser Formel ganz unberück- 
sichtigt lassen; denn sie werden durch den Umstand ersetzt, dass die 
absoluten Werthe sowohl von x\, x\ als von rr/', x.^' beliebig sind, 
und also Zähler und Nenner an und für sich schon mit beliebigen 
Constanten Factoren behaftet sind. 



algebraischer Formen. — § 18, 49 

Die Gleichung (1) stellt nun offenbar eine beliebige lineare 

Substitution vor. Wir können sie in die beiden Gleichungen zer- 
legen : 



t 



U/, JÜa —^ Ji'a U/1 



i 



Die vier Substitutionscoefficienten sind ganz willkürlich ; die ein- 
zige Bedingung, dass die Determinante derselben nicht verschwinde, 
dass also nicht 

1 1 

fällt mit der evidenten geometrischen Bedingung zusammen, dass 
man jederzeit zwei wirklich verschiedene Punkte Aj B' als neue 
Grnndpunkte einführen muss. 

Man kann also den Satz aussprechen: 

Jede lineare Substitution ist identisch mit 

einer Veränderung der Grundpunkte und der mul- 

tiplicirenden Constanten in der geometrischen 

Interpretation, bei welcher das Verhältniss der 

Veränderlichen durch einen Punkt einer Geraden 

(bez. einen Strahl eines Büschels) dargestellt wird. 

Eine Invariante von Functionen /, qp, . . . gleich Null gesetzt , giebt 

eine Eigenschaft dieser Functionen an, welche sich durch lineare 

Substitutionen nicht ändert, d. h. welche immer auch noch den trans- 

formirten zukommt. Denn ist J die Invariante, gebildet in Bezug auf 

die ursprünglichen, J' in Bezug auf die transformirten Functionen, so 

hat man 

J' ^J .rl, 

und also J'^O, sobald J'=0 ist. 

Ebenso sagt eine gleich Null gesetzte Covariante (7=0 eine Be- 
ziehung zwischen den Functionen f,(pj.., und verschiedenen Systemen 
X\jX)'i Vx, ll>'t 11- s. w. von Veränderlichen aus, welche durch lineare 
Substitution nicht geändert wird. 

Da wir immer alle Bildungen als homogen für die Coefficienten 
jeder Function angenommen haben, so sind in den Gleichungen 
J=0, 0=0 die absoluten Werthe der Coefficienten der constituirenden 
Functionen gleichgültig, und es kommt nur auf deren Verhältnisse 
an; diese aber sind durch die den Functionen zugeordneten Punkt- 
:^)ez. Strahlen-) Systeme völlig gegeben. Man hat also den Satz: 

Das Verschwinden einer Invariante sagt eine 
Beziehung aus, welche zwischen den Punkt- (bez. 
Strahlen-) Systemen stattfindet, die den consti- 
tuirenden Functionen zugeordnet sind, und welche 

C leb seh, Theorie der Toiuären algebr. Formen. 4 



50 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

von den übrigens die Zuordnung definirenden Mo- 
menten unabliiingig sind; welche also nur noch 
von der gegenseitigen Lage der Punkte (bez. Strah- 
len) abhängen. 

Ebenso sägt das Verschwinden einer Co'variante 
eine derartige Beziehung aus, bei welcher aber 
ausser jenen Punkt- (bez. Strahlen-) Systemen nocli 
irgend welche andere Punkte (bez. Strahlen) nach 
ihrer Lage in Betracht kommen. 
Aber es drückt sich nicht umgekehrt jede derartige Beziehung 
durch das Verschwinden einer Livariante oder Covariante aus. Unter- 
suchen wir nun, welchen besondern Charakter eine Beziehung haben 
muss, damit dies geschehe. 



§19. IiiYarianteii und Covariantea von Functioiieii , welche durcli ihre 
linearen Factoren gegelben sind. 

Ersetzen wir jede in einer Covariante oder Invariante TT vorkom- 
mende Form durch das Product ihrer linearen Factoren, also etwa/ durch 

111 j • — ■ ( <^i 1^2 5i 1 J VI 2 2 1 ) ' ' ' vi *^-> "^2 "^1 J ) 

T T 

so sind -^ , — St . . . die Punkte, bez. Strahlen, welche zusammen die 

Form f repräsentiren •, ähnlich bei den übrigen auftretenden Formen. 
Dass die Function TT von den Coefficienten einer Form, etwa /) ratio- 
nal abhänge, erfordert nur, dass diese Punkte, bez. Strahlen, in der- 
selben symmetrisch benutzt seien, d. h. dass die Function sich nicht 
ändere, wenn man irgend zwei der Punkte, bez. Strahlen, mit einander 
vertauscht, während zugleich für jedes einzelne der zugehörigen Werthe- 
paare die Function homogen sein muss. 

Da bei der linearen Transformation jeder der linearen Factoren 
einer Function f sich für sich linear transformirt, so hat jede Func- 
tion TT, welche in Bezug auf f die Invarianteneigenschaft hat, dieselbe 
auch in Bezug auf seine linearen Factoren. Man kann also den Satz 
aussprechen : 

Jede Invariante oder Covariante eines simul- 
tanen Systems ist auch eine solche für die linearen 
Factoren der simultanen Formen. 

Denkt man sich nun in irgend einer Function TT alle Formen f\ 
q) ... durch die Producte ihrer linearen Factoren ersetzt, so erhält man 
einen Ausdruck, welcher nur noch eine Anzahl von lieihen ^^, x.^'^ y^, 
y^ u. s. w. enthält, und in Bezug auf diese die Invarianteneigenschaft 
besitzt. Da andrerseits nach § 4. solche Reihen immer durch Coefficien- 



algebraischer Fomien. — § 10. 51 

teu linearer Formen ersetzbar sind, so siebt man, dass die resultirende 
Gestalt von TT ein Aggregat von Producten aus Determinanten vom 
Typus (xy) ist (§ 9.), und man bat also den Satz: 

Ersetzt man in einer Invariante oder Cova- 
riante TT die darin auftretenden Formen durcb ibre 
linearen Factoren, oder führt man, was dasselbe ist, 
die diesen entsprechenden Punkte, bez. Strahlen 
ein, so geht TT in ein Aggregat von Producten aus 
Determinanten vom Typus (xy) über, wo ^^, x.^\ y^, y.^ 
Punkte, bez. Strahlen der geometrischen Darstel- 
lung bedeuten. 
Ich werde nun Ausdrücke, welche sich wie der Ausdruck 

^ ^ ixt) {0y) 

aus vier Reihen zusammensetzen, als ein aus diesen Reihen gebildetes 
Doppelverhältniss bezeichnen. Die Theorie der verschiedenen aus 
denselben Reihen zu bildenden Doppelverhältnisse, sowie die geome- 
trische Bedeutung dieser Bildungen wdrd w^eiter unten entwickelt 
werden. Hier mag es genügen zu sagen, dass Zähler und Nenner 
eines solchen Doppelverhältnisses Producte je zweier Determinanten 
sind, welche zusammen alle vier Reihen enthalten, und dass, wenn /l 

ein Doppelverhältniss ist, auch — - ein solches ist, indem etwa in dem 

obigen Ausdruck nur die Vertauschung der Reihen t, y erforderlich 

ist, um A in — überzuführen, was den Charakter der Bildung an und 

A 

für sich nicht ändert. 

Ich werde nun zeigen, dass man den Quotienten von TT 
durch eines seiner Glieder als ganze rationale Function 
von Doppelverhältnissen darstellen kann. 

Die Function TT besteht nämlich, wenn wir durch a^^j ^13 • • • 
Null oder positive ganze Zahlen bezeichnen, und die Indices 1 , 2, 3 . . . 
den Reihen x, y, ^...entsprechen lassen, aus Tennen der Form 

{xy)''i^ (:r^)"i3 (a:f)«'^. . . (2//j"23 (^t)"^i . . . 

welche mit numerischen Coefficienten multi^^licirt sind. Und zwar 
muss, da TT in Bezug auf jede der Redien homogen ist, die Summe 
derjenigen a, welche einen Index gemein haben, für alle Terme von 
TT denselben Werth besitzen. Dividiren wir also TT durch eines seiner 
Glieder, so besteht der Quotient aus einer Coustanten, und aus Ter- 
men der Form 

P= U:^/'2 ^i-sfn (.,;//il. . . U/^/^3 .(^//.4 . . . ^ 

4* 



52 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

WO die ß nun Null oder positive oder negative ganze Zahlen bedeuten, 
doch so, dass die Summe aller ß mit einem gemeinsamen Index immer 
verschwindet. 

Zeichnen wir nun unter den Reihen, welche in P auftreten etwa 
die drei ersten, x, y, z, aus, und verbinden diese mit jeder der fol- 
genden Reihen (t, w, v . . .) zu den Doppel Verhältnissen 

^_ { xt){sy) 

{xu){zy) 
{0u) {xy) 



so können wir setzen: 



(xt) = X 
(xu) — ^1 



i^y) 

{^u){xy) 

i^y) 



und erhalten, indem wir diese einführen: 
wo Q die x nicht mehr enthält. Da aber 
SO kann man dafür setzen 

oder wenn wir noch das Doppelverhältniss 

^ {X2) jty) 

^ i^y) m 

einführen : 

P==:/l^i4 fA^15... Qß^3,P'^ 

WO P' nun die x nicht mehr enthält, zugleich aber, wie P, A, ^... q, 
für alle übrigen Reihen homogen von der nullten Ordnung ist. 

Man hat also P auf ein Product von Doppelverhältnissen und 
auf ein Product P' zurückgeführt, welche ganz die Eigenschaften von 
P besitzt, aber eine Reihe weniger enthält. Man kann nun mit P' 
verfahren wie oben mit P, und kann daher P immer auf Producte 
von Doppelverhältnissen and auf Producte zurückführen, welche immer 
die Eigenschaften von P besitzen, aber weniger und weniger Reihen 
enthalten. Man kann dies so lange fortsetzen, als in einem übrig- 
bleibenden Factor P<^) noch mehr als drei Reihen vorhanden sind; 
denn vier Reihen wurden oben zur Bildung der Doppelverhältnisse 



algebraischer Fonneu. — § 19. 53 

gefordert. Gelangt man aber endlich zu einem Producte P'*\ welches 
nur noch drei Reihen enthält, so hat dasselbe die Form 

und es ist 

r + d = o, r + e^o, ^ + £ = 0, 

also 

^' = 0, ö = 0, £ = (), 

' und dieses Product muss also der Einheit gleich werden.* 

Indem man die Umformung von P so weit verfolgt, erhält man 
also P als Product von Doppelverhältnissen. Diese kommen zwar 
theils zu positiven, theils zu negativen Potenzen erhoben vor; aber 
da, wie oben bemerkt, der reciproke Werth eines Doppelverhältnisses 
abermals ein solches ist, so kann man sagen, es sei P ein Product 
positiver Potenzen von Doppelverhältnissen. 

Hiermit ist denn der obige Satz bewiesen. Man kann denselben 
in folgender Form ausdrücken : 

Eine Invariante oder Covariante von binären 
Formen ist der Zähler einer ganzen rationalen 
Function von Doppelverhältnissen, welche aus den 
Verschwindungselementen der Formen und aus an- 
deren (veränderlichen) Elementen zusammenge- 
setzt sind. 
Dieser Satz lässt sich umkehren. Man kann zeigen, dass der 
Zähler einer ganzen Function von Doppelverhältnissen, 
welcher die Verschv/indungselemente verschiedener For- 
men, und zwar die einer jeden symmetrisch, enthält, eine 
simultane Invariante oder Covariante dieser Formen sei. 
Dass ein solcher Zähler die Invarianteneigenschaft besitzt, ist aus 
seiner Bildung unmittelbar klar; um diesen umgekehrten Satz zu 
beweisen, ist also nur nöthig zu zeigen, dass eine die Invarian- 
teneigenschaft besitzende Bildung, welche die Verschwin- 
dungselemente einer Form /"rational und symmetrisch ent- 
hält, sich als ganze homogene Function der Coefficienten 
von f ausdrücken lässt. Dieser Beweis soll im folgenden Para- 
graphen geliefert werden, indem eine Methode angegeben wird, die 
fragliche Bildung als solche ganze homogene Function der Coefficien- 
ten wirklich darzustellen. 



* Enthielt TT von vornherein nur zwei oder drei Reihen, so besteht es über- 
haupt nur aus einem Gliede, und die vorliegenden Betrachtungen werden gegen- 
standslos, da zur Bildung eines Doppelverhältnisses überhaupt keine Möglichkeit 
mehr vorlieoft. 



54 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 



§ 20. Methode, inYariante symmetrische Functionen der linearen Factoren 
einer Form durch die Coefflcienten derselben auszudrücken. 

Es ist die Frage, wie eine durch einen solchen Zilhler definirte 
Function TT, welche die einer Form /' zugeordneten Elemente (Punkte 
oder Strahlen) symmetrisch enthält, durch die Coefficienten dieser Form 
ausgedrückt werden könne. Ich werde eine Methode angeben, vermöge 
deren man allm'alig statt der jenen Elementen entsprechenden Werthe-. 
paare die symbolischen Coefficienten von /'einführen kann. Dadurch 
ist in der That der Forderung schon völlig Genüge geleistet, um so 
mehr, als, wie man sehen wird, in allen allgemeinen Untersuchungen 
gerade die symbolische und nicht die wirkliche Form von Covarianten 
und Invarianten es ist, welche man gebraucht. 

Es war oben (§ 3.) gezeigt, dass, Avenn a^^, a^ . . . die Coefficien- 
ten von / und a^, a^ . . . die Coefficienten einer Function von ebenso 
hoher Ordnung sind, auch der Ausdruck: 

die Invarianteneigenschaft besitzt. Setzt man an Stelle der a die 
Coefficienten der n^^^ Potenz eines linearen Ausdrucks, so wird die 
Bildung von TT^ der erste Schritt zur Darstellung der symbolischen 
Form von TT, und die vollständige Darstellung derselben geschah in 
§ 12. mittelst mehrmaliger Wiederholung derselben Operation, zu- 
nächst in Bezug auf die Coefficienten von f, dann in analoger Weise 
in Bezug auf die Coefficienten der übrigen Formen, welche bei der 
Bildung von TT benutzt sind. 

Ich werde nun zeigen, wie die Bildung von TT^ vorzunehmen ist, 
wenn nicht die Coefficienten von /', sondern die den Verschwindungs- 
elementen von / zugeordneten Werthepaare in TT auftreten. Es wird 
sich herausstellen, dass, wenn TT^ auf die anzugebende Weise gebildet 
wird, es eine ganz ähnliche Form wie TT hat, und also der Wieder- 
holung derselben Operation ui.terworfen werden kann. Nur wird der 
Endwerth von TT^ die Verschwindungswerthe von f sämmtlich in einer 
um 1 niedrigeren Ordnung enthalten, und dafür ein neues Werthepaar, 
das der eingeführten Symbole von f. Daraus folgt, dass eine Wieder- 
holung der Operation in der That die Verschwindungswerthe allmälig 
entfernt, und dafür Symbole einführt, so dass man nach einer hin- 
reichenden Anzahl von Wiederholungen nur noch Symbole, aber nicht 
mehr Verschwindungswerthe in dem Endausdruck hat, wie es verlangt 
wurde. 

Bezeichnen wir durch dT\ das, was aus einer Covariante oder In- 
variante TT entsteht, wenn mau diese Function nach den Coefficienten 



algebniiöcher Formen. — § 20. 55 

a^, rt, . . . von /' differeiizirt, die Differeiitialquotienten mit den eut- 
spreclieiuk'u ;^*°" Dimensionen der Symbole h^, h., multijjlicirt und 
dann die Summe nimmt, also den Ausdruck 

(1) dn = V'|? + V-'«'.>|^+.-.- 

Es ist dann, mit Anwendung derselben Bezeicbnuug, 

und diese Gleichung kann zur Definition des Differentialprocesses ö 
dienen. Nehmen wir nun an, es sei /"als Product linearer Factoren 

(3) ' f = Px .qa^'V:,... 

gegeben. Man kann dann die Gleichung (2) dadurch erfüllen, dass 
man die Operation d auf die linearen Functionen j)^., q,, u. s. w. der 
Reihe nach anwendet, und die linearen Functionen 

so bestimmt, dass die Gleichung (2) eine identische wird. Es muss 
dann also sein: 

/^^' - ^M..^,r. ... 



Setzt man in dieser Identität etwa 

•^'1 ^^P-if ^2 — ~ Pij 
so erhält man, indem alle anderen Glieder fortfallen: 

{bpy- = (qp) {)'p) . . . (p.^ dp, -p, dp,) , 

eine Gleichung, welche durch die Annahme erfüllt wird: 

(53 ^'~{qp){rp)... 



^P-z^ 



(fipY-'h 



{qp){rp)... 

Aehnliehe Ausdrücke erhält man für d^^, dq,^. . .] und es ist leicht 
zu zeigen, dass durch Einführung dieser Ausdrücke die Gleichung 
(4) in der That identisch erfüllt wird. Denn sie verwandelt sich in 
folgende: 

7 „ ^ Q)pY-'lrq.rr... {bq)"-n.rPrr,r 

{qp){rp)... "^ (i>5)(>-^)... '^"" 

Dividiren wir diese Gleichung durch h,rj so ist die Differenz bei- 
der Seiten eine Form (11- 1)*^^ Ordnung, welche, ohne identisch zu 



56 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

verschwinden^ nur n — 1 Verschwindungswerthe zulassen kann; aber 
man sieht leicht, dass sie deren n zuUisst, nämlich -- bleich einer 

der n Grössen — , — . . . . Die obige Gleichun.ff muss also eine Iden- 

tität sein. 

Die Form (3)^ in welcher die Function f hier gegeben erscheint, 
weicht nur leicht von derjenigen ab, welche im vorigen Paragraphen 
angenommen wurde. Nämlich es sind hier nur statt der Ver- 
schwindungswerthe die Coefficienten der für dieselben verschwinden- 
den linearen Ausdrücke eingeführt; was nur deswegen hier zweck- 
mässiger ist, weil alsdann die Analogie der einzuführenden symbolischen 
Coefficienten mit denen der gegebenen linearen Functionen j)x> ^Ix ... 
deutlicher hervortritt. 

Denken wir uns also auch in einer Form TT, welche statt der Coef- 
ficienten von /' die Verschwindungswerthe von f enthält, statt deren 
diese Coefficienten p^ q ... gesetzt, also pj statt x'^j — i>2 statt rr\ u. s. w. 
Aus der so gegebenen Form entsteht die Function ^TT, wenn man 
nicht, wie in (1), nach den Coefficienten von /" differenzirt und mit 
denen von d/' multiplicirt, sondern wenn man jetzt nach den 2:), q... 
differenzirt und mit den Grössen dp, dq . . . multiplicirt. Es ist 
also jetzt 

(qp) (rp) . . . \dp^ ' dp., ''. 



(pq) {rq) 






Die Function TT enthält nun der Voraussetzung nach jedes der 
Coefficientenpaare p^, p^'i 0.1, Q2 • • - homogen und in gleich hoher Ord- 
nung, etwa der i^*®"; ferner so, dass durch Vertauschuug zweier dieser 
Werthepaare sich nichts ändert. In dTT kommen die p, q, r auch in 
Nennern vor, und zwar so, dass das Determinantenproduct D der 
p, q . . . den gemeinschaftlichen Nenner bildet. Der Zähler 



( (hpy-' /an an \ 
ito)M...W/^^ai),^V 
, (fe^)"-i (dT[ . , an 






+ ^&.H- 



(pq){rq)...\dq^ d q^ 

hat aber die Eigenschaft zu verschwinden, wenn ein Paar von Werthe- 
paaren, etwa p, q, zusammenfällt, und also etwa 

Ql=QPi, Q2=QP2- 

Denn es verschwinden hierdurch zunächst alle Glieder des Aus- 
drucks bis auf die beiden ersten. Die Glieder 



algebraischer Formen. — § 20. 57 

aber haben von vornherein die Eigenschaft, mit entgegengesetztem 
Zeichen in einander überzugehen, wenn man p und q vertauscht, so 
dass ihre Summe durch ipq) theilbar sein muss; daher verschwindet 
auch die Summe dieser Glieder, wenn man mit D multiplicirt, und 
dann die p den q proportional setzt. 

Der neue Ausdruck von dW enthält also in seinem Zähler alle 
Factoren von D, und der Nenner hebt sich somit vollständig auf, 
so dass dn als eine ganze Function der j), 5 . . . zurückbleibt. Diese 
Function hat nun alle Eigenschaften von TT. Sie besitzt die Inva- 
rianteneigenschaft wegen ihrer Zusammensetzung aus Tennen von der 

Form 7^- — h^-\- - — h, und aus Determinanten ijbp) oder {qp). Sie ent- 

^ Pi ^ P-> 

hält jede der Reihen p, q symmetrisch und homogen, aber nur noch 
zur {n—\y^^ Ordnung. Endlich enthält sie noch eine Reihe symbo- 
lischer Coefficienten a^, c/^, was an der Natur der Bildung durchaus 
nichts ändert. 

Man gelangt also auf dem angegebenen Wege in der That von 
einer Function TT zu einer Function TTi = (5TT, welche eine Dimension 
weniger in jeder der Reihen 2' 7 q-.. enthält, und in welcher eine 
Reihe von Symbolen von f eingeführt ist. Die Fortsetzung der Opera- 
tion liefert also die symbolische Form von TT, wie es verlangt wurde. 

Die Ausführnng dieser Darstellung ist bei gegebenen Formen im 
Allgemeinen sehr weitläufig. Indessen lehrt das Vorhergehende 
theoretisch diesen Zusammenhang vollständig erkennen, und zwar 
ohne dass es nöthig wäre, auf die Theorie der Gleichungen und der 
symmetrischen Functionen ihrer Wurzeln einzugehen, eine Theorie, 
welche auf ebenso verwickelte Rechnungen führt, und ihrem ganzen 
Charakter nach den hier angewandten Betrachtungen und Vorstellungs- 
weisen fremd ist.* 



* Beispiel der Invariante einer quadratischen Form: Betrachten wir die 
Function TT = (p9)2, welche alle geforderten Eigenschaften besitzt. Die erste 
Transformation ist : 

Sodann zweitens, indem man neue Symbole q , c\ benutzt, und die Formel 
§ 15. (IV) anwendet: 

was die symbolische Form ist. 



5S Zweiter Abschnitt. Die geomctrisclie Interpretiition 



§ 21. Die Doppelyerhältnissc von vier Elementen. 

Die Grössen — wurden oben nicht rein <2jeometriscli deiinirt, son- 

dern als ALstandsverliältniss des beweglichen Elements von den beiden 

fest angenommenen, multiplicirt mit einer Constanten. Diese Constante 

liebt sieb auf, und es entstellt also eine rein geometrisch definirte 

Grösse, wenn wir zAvei solcher Verliältnisse durcli einander dividiren. 

Verlegen wir die Grundelemente, so dass die neuen Grundelemente 

z t . 
durcli die Wertliepaare — , -j- in Bezug auf die ursprünglichen Grund- 

eleniente deiinirt sind, so ist eine solche rein geometrisch definirte 
Grösse nach § 18. der Quotient zweier Verhältnisse 















l, {xt) 


' >h (2/0' 


d. 


h. 


das 


D p p e ] 


Ivel 


•hältniss 
















. {xz) 
ixt) 


{xz) (yt) 














dis) 


(xt) iijB) ■ 














(2/0 





Diese in § 19. bereits eingeführte Combination hat also einerein 
geometrische Bedeutuug; sie ist der Quotient der Ab Stands Ver- 
hältnisse zweier Elemente x^ y gegen zwei andere Ele- 
mente ^, ^. 

Diese Grösse hat die Eigenschaft, sich durch lineare Substitution 
nicht mehr zu ändern; sie ist, wie man sich ausdrückt, eine abso- 
lute Invariante, insofern auch keine Potenz der Substitutioiisdetermi- 
nante bei linearer Substitution vor dieselbe tritt. 

Aus vier Elementen lässt sich noch auf mannigfache Weise ein 
Doppelverhältniss bilden. Zunächst muss man sie in zwei Paare thei- 
len, wie oben x, y, z, t in die Paare xy , zt. Dies kann auf drei ver- 
schiedene Arten geschehen, und indem man das eine oder das andere 
dieser Paare vorübergehend als das feste betrachtet, in Bezug auf 
welches die Abstandsverhältnisse gebildet werden, erhält man zwei 
verschiedene Möglichkeiten. Endlich kann man bei der Benutzung 
jedes Paares noch mit dem einen oder dem andern dieser Elemente 
beginnen, was abermals zweimal zwei Möglichkeiten liefert. Die Ge- 
sammtzahl aller verschiedenen Arten, das Doppelverhältniss aus vier 
Elementen zu bilden, ist also gleich 3 . 2 . 2 . 2 = 24, d. h. gleich der 
Anzahl von Permutationen , welche aus den vier Elementen sich her- 
stellen lassen. 



algebraischer Formen. — §§ 21. 59 

Aber die Werthe der 24 so erhaltenen Doppelverliältnisse sind 
nicht sämmtlich verschieden. In der That ändert sich der Ausdruck 

{xt) {yz) 
offenbar nicht bei folgenden Vertauschungen der Elemente: 

1. Wenn man x mit s und zugleich ij mit t vertauscht. 

2. Wenn man x mit y und zugleich z mit t vertauscht. 

3. Wenn man x mit t und zugleich y mit z vertauscht. 

Man sieht hieraus, dass man eines der vier Elemente, etwa Xj 
ganz an seiner Stelle lassen kann; denn jeder Vertauschung von x 
mit einem andern Buchstaben kann man eine Vertauschuug der übri- 
gen Buchstaben unter sich zuordnen, in Folge deren der ursjDrüng- 
liche Werth des Doppel Verhältnisses wiederkehrt. 

Die von einander verschiedenen AV^erthe des Doppelverhältnisses 
erhält man also, indem man in X die Buchstaben y,z,t permutirt; 
deren giebt es also höchstens sechs, und wirklich zeigt sich es, dass 
alle diese sechs Werthe von einander im Allgemeinen verschieden sind. 

Vertauscht man t mit z, so geht A in 

(xz) (ijt) A 

über. Vertauscht man dagegen y. mit z , und beachtet die Identität, 
(IV) § 15., statt deren man schreiben kann: 

{xy){st) + {xt)ii)g) = (xz)(iit), 

SO zeigt sich, dass l in 

{xy){zt) {xt){yz)-{xz){yt\ 



(xt) {yz) {xf) (]jz) 



1-A 



übergeht. Jedem Werthe A des Doppelverhältnisses entsprechen also 
zwei andere Werthe -j und 1 — A, daher auch, indem man eine dieser 
Grössen an Stelle von A setzt: 

1 i- = — , — und 



A A 1-A' 

endlich indem man wieder eine dieser Grössen an Stelle von A setzt, 

der Werth ^j j . Die sechs zusammengehörigen Werthe eines 

Doppel Verhältnisses sind also, wenn einer derselben A genannt wird: 



60 Zweiter Abschnitt. Die geonietrisclie Interpretation 

Diese Werthe sind im Allgemeinen sämmtlicli von einander ver- 
schieden. Nur in folgenden Fällen können zwei einander gleich wer- 
den, und demnach besonders ausgezeichnete Werthe erhalten: 

1. yl = -y, A = l. In diesem Falle müssen zwei Elemente den 

anderen beiden gegenüber das nämliche Abstandsverhältniss haben, 
also zusammenfallen. Die übrigen Werthe des Doppelverhältnisses 
sind und oc . 

2. A = y , A = — 1 . In diesem Falle müssen zwei Elemente den 

anderen beiden gegenüber gleiche aber entgegengesetzte Abstandsver- 
hältnisse haben. Man nennt die vier Elemente dann harmonisch; 
bei ihnen ist eine Zerlegung in zwei Paare (zugeordnete Elemente) 
ausgezeichnet, welche eben das Doppelverhältniss — 1 liefert. Die 
anderen Werthe des Doppelverhältnisses sind 2 und -^. 

l_ 
A-1 



Die Vergleichung von l mit \ — l und mit - — - giebt nichts 



Neues. Dagegen hat man als dritten ausgezeichneten Fall: 

3. A = - — oder A = — - — , A'^ — A + 1 = 0. In diesem Falle 
L — A /i 

ist A eine imaginäre dritte Wurzel aus — 1, und die drei anderen 
Werthe des Doppelverhältnisses sind gleich der conjugirten imaginären 
dritten Wurzel aus — 1. Dieser Fall ist von den vorigen charakte- 
ristisch unterschieden, indem dort dreimal zwei, hier zweimal drei 
Doppelverhältnisse gleich werden. Man nennt in diesem Fall die vier 
Elemente ä q u i a n h a r m o n i s c h. 

In allen anderen Fällen sind sämmtliche sechs Werthe des Doppel- 
verhältnisses von einander verschieden. 



§ 22. Projectivische Gebilde. 

Wir können nun mit Hilfe des Begriffs eines Doppelverhältnisses 
der linearen Substitution eine von der vorigen abweichende geo- 
metrische Deutung geben, welche einerseits mit den Grundlagen der 
synthetischen und analytischen Geometrie zusammenhängt, andererseits 
von der in § 19. gegebenen Definition einer Invariante oder Cova- 
riante ausgeht, dass sie, gleich Null gesetzt, eine Relation zwischen 
Doppelverhältnissen bedeutet. 

Wenn man durch die Punkte einer Geraden die Strahlen eines 
Strahlbüschels legt, und jeden Strahl dem auf ihm liegenden Punkte 
der Geraden zuordnet, so nennt man Büschel und Punktreihe 



algebraischer Fornion. — §§21, 22. Q\ 

perspectiviscli gelegen^ und abgesehen von dieser Lage, nur 
rücksichtlich der Zuordnung und der Fähigkeit, bei solcher Zuordnung 
in perspectivische Lage gebracht werden zu können, projeetivisch. 

Nach § 17. sind die Abstaudsverhältnisse entsprechender Elemente 
dabei nur um einen constanten Factor verschieden. Bei Doppelver- 
hältnissen fällt dieser auch noch fort, und man hat also den Satz: 

Doppelverhältnisse entsprechender Elemente 
in einem Büschel und einer Punktreihe, welche pro- 
jeetivisch sind, haben denselben Werth. 

Man nennt nun auch zwei Punktreihen projeetivisch und 
perspectiviscli gelegen, welche dadurch entstehen, dass zwei ver- 
schiedene Gerade mit demselben Strahlbüschel geschnitten, und 
die auf demselben Strahle liegenden Punkte einander zugeordnet 
werden. Da nun das Doppelverhältniss von vier Punkten der einen 
Reihe, sowie das der entsprechenden der audern dem Doppelverhält- 
nisse der durch sie gehenden Geraden des Büschels gleich sind , so hat 
man den Satz: 

Doppel Verhältnisse entsprechender Punkte zweier 
projectivischen Punktreiheii sind einander gleich. 

Ebenso nennt man zwei Büschel projeetivisch und per- 
spectiviscli gelegen, wenn ihre zugeordneten Strahlen sich auf 
einer Geraden, also in den einzelnen Punkten einer Punktreihe schnei- 
den. Auch hier ist demnach das Doppelverhältniss von vier Strahlen 
des einen Büschels und das der entsprechenden vier Strahlen des an- 
dern Büschels gleich dem Doppelverhältnisse der zugehörigen vier 
Punkte der Punktreihe. Und demnach hat man endlich auch den Satz : 
Doppelverhältnisse entsprechender Strahlen 
zweier projectivischen Büschel sind einander gleich. 

Man kann aber umgekehrt die gegenseitige Beziehung zweier Ge- 
bilde, seien es Punktreiheii, oder Strahlbüschel, oder eines und das 
andere, dadurch definiren, dass man als projeetivisch zwei 
Gebilde bezeichnet, deren Elemente einander eindeutig 
so zugeordnet sind, dass die Doppelverhältnisse ent- 
sprechender Quadrupel einander gleich sind. Es ist zu zei- 
gen, dass diese Definition überhaupt möglich ist, also auf keine 
Widersprüche führt, und zweitens, dass sie mit der vorigen überein- 
stimmt, und dass also zwei so definirte projectivische Ge- 
bilde stets in perspectivische Lage gebracht werden kön- 
nen. Hierzu führen die folgenden beiden Hilfssätze: 

1. Sind X, ?/, 2, t, II fünf Elemente eines Gebildes, so 
ist ein Doppelverhältniss zw^ischen Xj y, t, u gleich dem 
Producte zw^eier Doppelverhältnisse, deren eines aus x, y^ 
Zj tj eines aus x, ?/, ^, ii gebildet ist. 



()2 Zweiter Absclmitt, Die geometrische Interpretation 

Es ist nämlich offenbar: 

(xt) {xt) (xz) 

(xn) {xz) ' {xu) ' 
(yu) (yz) ijjiüj 

2. Sind drei Elemente eines Gebildes und die Art^ wie 
sie bei der Bildung eines Doppelverliältnisses benutzt 
werden sollen, gegeben, so entspricht jedem Werth des 
DoppelverhLlltnisses nur noch ein Element des Gebildes. 

In der That ist die Gleichung 

{xt) 

{yt) _; 

{xzf- ^ 

wenn darin X und die Elemente x, y, gegeben sind, eine lineare 

Gleichung zur Bestimmung von ^ , sie giebt also nur einen Werth 

dieses Verhältnisses, und deainach nur ein Element des Gebildes. 

Wenden wir diese Sätze jetzt an. In zwei Gebilden, welche 
einander eindeutig zugeordnet werden sollen, mögen 

X, y, z 

beliebig gewählte entsprechende Elemente bedeuten; wobei noch die 
Art und Weise der Interpretation der Werthepaare in beiden Gebil- 
den beliebig angenommen werden kann. Zwei andere Elemente t, 
% sind dann durch die Gleichheit der Doppelverhältnisse 

/ix [yz)^{^]x) 

^^ [ooz) iU) 

einander eindeutig zugeordnet, indem nach Satz 2. jedem Werthe- 

T t 

paare — nur ein Werthepaar -^ entspricht und umgekehrt. 

.Aber ordnen wir vermöge der Gleichung (1) jedem Element t 
des einen Gebildes ein Element t des andern durch die Bedingung 
zu, dass das Doppelverhältniss des einen mit x, y, dem 'des andern 
mit §, rj, ^ gleich sein solle, so ist auch das Doppelverhältniss von 
irgend vier Elementen des einen Gebildes dem der entsprechenden 
vier Elemente des andern Gebildes gleich. Denn nach Satz 1. besteht 



algebraischer Formen. — § 22. 63 

die Gleichheit der Doppelverliältnisse noch, wenn man eines der ur- 
sprünglichen Elementenpaare Xj I; ijy Ti]\ z, 5 durch irgend ein neues, 
der Gleichung (l) genügendes Elementenpaar ersetzt; demnach auch 
weiter, wenn man ein zweites Paar ersetzt u. s. w.; sie besteht also 
auch für irgend vier Paare entsprechender Elemente. 

Hierdurch ist nachgewiesen, dass ein Widerspruch nicht eintritt, 
wenn man die Forderung stellt, dass die Elemente eines Gebildes 
denen des andern eindeutig so entsprechen sollen, dass die Doppel- 
verhältnisse entsprechender Elemente einander gleich sind. 

Zweitens war zu zeigen, dass diese Definition mit der frühern 
Definition projectivischer Gebilde übereinstimme, dass man also so 
auf einander bezogene Gebilde stets in perspectivische Lage bringen 
könne. 

Um dies nachzuweisen, nehmen wir an, es sei möglich, drei Ele- 
mentenpaare Xj ^'^ y, r]'^ Zj t, der Gebilde in perspectivische Lage zu 
bringen. Alsdann kann man leicht zeigen, dass auch alle anderen 
Paare entsprechender Elemente sich in perspectivischer Lage befinden. 
Denn betrachten wir ein viertes Element x des eiuen Gebildes; die- 
sem entspricht in dem andern ein Element t, welches der Voraus- 
setzung nach der Gleichung (1) genügt. Zugleich aber giebt es ein 
bestimmtes, Xjy,0 enthaltendes Gebilde, welches mit dem |, rj, t,,x 
enthaltenden perspectivisch liegt, und in welchem die Paare x, |; ?/, ^;; 
Zy t, der vorausgesetzten Construction nach einander entsprechen. In 
diesem neuen Gebilde mag dem Element r ein Element t' entsprechen; 
dann hat man nach dem Frühern auch die Gleichheit der Doppel- 
verhältnisse 

(xf) (|r) 

(^) (Ü)' 

und daher, wenn man (1) vergleicht, nach Satz 2. -/:=z:-^, so dass das 

neue Gebilde mit dem einen der gegebenen zusammenfällt. Man hat 
also den Satz: 

Zwei projectivische Gebilde haben perspec- 
tivische Lage, sobald drei entsprechende Elemen- 
tenpaare sich in perspectivischer Lage befinden. 
Es bleibt also nur noch übrig zu zeigen, wie man jedesmal drei 
Elementenpaare in perspectivische Lage bringen kann. Hierbei sind 
drei Fälle zu unterscheiden. 

1. Sind beide Gebilde Punktreihen, so lege man die Geraden so 
auf einander, dass zwei entsprechende Punkte, etwa x, ?, auf ein- 
ander fallen. Dann treffen sich die Verbindungslinien yj], zt, in einem 



64 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation. 

Punkte 0, von welchem drei entsprechende Punkte enthaltende Strah- 
len oxiyy oyTj, ozt, ausgehen. Diese drei Paare liegen also in der 
That perspectivisch. 

2. Sind beide Gebilde Strahlbüschel ^ so lege man dieselben so^ 
dass zwei entsprechende Geraden, etwa x, ^, zusammenfallen. Dann 
schneiden sich y^ rj einerseits und ^, g andererseits in zwei Punkten, 
deren Verbindungslinie eine Gerade o sei. Auf dieser Geraden treffen 
sich die Elementenpaare x, ^; ^, ^; 0, t, und diese drei Paare haben 
also perspectivische Lage. 

3. Ist eine Punktreihe auf einen Strahlbüschel perspectivisch be- 
zogen, so muss in der perspectivischen Lage jeder Strahl durch den 
entsprechenden Punkt gehen. Sind nun x, y, s drei Punkte, ^, i^, ^ 
die entsprechenden Strahlen, so beschreibt man etwa über der Strecke 
x, y als Sehne einen Bogen, welcher den Winkel von | gegen rj als 
Peripheriewinkel enthält, und ebenso über y, als Sehne einen Bo- 
gen, welcher den Winkel von tj gegen t, als Peripheriewinkel enthält. 
Der Schnittpunkt beider Bogen, o, mit x, y, z verbunden, liefert 
dann Strahlen, welche dieselben Winkel wie §, i^, ^ gegen einander 
bilden, und also nur eine congruente Verschiebung dieser Strahlen 
sind. Li dieser Lage sind %^ n]^ t, tä\. x, y^ z perspectivisch. 



§ 23. Zusammenhang der Projectivität mit den linearen 
Substitutionen. 

Diese geometrischen Beziehungen, welche zunächst nur für reelle 
Elemente stattfinden , kann man fortbestehen lassen für beliebige ima- 
ginäre Elemente, indem man die algebraische Beziehung dabei auf- 
recht erhält. 

Die algebraische Relation zwischen den entsprechenden Elementen- 
paaren projectivischer Gebilde ist durch die Gleichung (1) des vorigen 
Paragraphen ausgedrückt, in welcher ^^, t.^ einerseits, r^, %,, andererseits 
die Veränderlichen darstellen. Diese Beziehung ist linear für beide 
Arten von Veränderlichen. Ich werde zeigen, dass sie die aligemeinste 
lineare Beziehung ist, und demnach die allgemeine lineare Substitu- 
tion vertritt. Zu diesem Zwecke brauchen wir nur die Formel (1) 
in geeigneter Weise zu specialisiren ; stellt sie dann schon die all- 
gemeinste lineare Substitution dar, so ist dieses mit der Formel (1) 
selbst um so mehr der Fall. 

Nehmen wir an, es entsprechen den Werthen von j folgende 

Werthe der t: 



algebraischer Formen. — §§ 23, 24. 65 







t, z, 

t, z. 


T,=0, 


T, = , 


r, = T2. 



Dies lieisst nichts anderes, als dass li = 0, ??2 = ^; ii^ti- ^^' 
durch aber verwandelt die Formel (1) sich in folgende: 

T, {xz)' (yt) 

Diese Formel stellt die allgemeinste lineare Transformation dar, da 

üie Xj y beliebige Grössen sind (deren Determinante nur nicht verschwin- 

(ii z\ 
den darf ) , während 7^ weo^en der darin enthaltenen Grössen z eben- 

^ ' {xz) ^ 

falls noch einen beliebigen Coefficienten bedeutet. 

Man kann daher jetzt die lineare Substitution als die 
algebraische Beziehung projectivischer Gebilde auffassen; 
und die Bedingung der Projectivität ist in der That, wie man aus 
dem Obigen sieht, mit dem linearen Zusammenhange entsprechender 
Elemente völlig identisch. 

Endlich drückt also eine Invariante oder Covariante, gleich Null 
gesetzt, stets eine projectivische Eigenschaft der dabei auftretenden 
Elemente, d. h. eine solche aus, welche, wenn man ein mit dem 
ursprünglich benutzten Gebilde projectivisches construirt, den ent- 
sprechenden Elementen des neuen Gebildes, die algebraisch mit den 
ersten linear zusammenhängen, erhalten bleibt. Andererseits muss 
jede solche projectivische Eigenschaft sich durch eine gleich Null ge- 
setzte Invariante oder Covariante ausdrücken, da sie für lineare Sub- 
stitutionen ungeändert bleibt. Und so kann man endlich den Satz 
aussprechen : 

Invarianten und Covarianten, gleich Null ge- 
setzt, liefern ausschliesslich und vollständig alle 
diejenigen Gleichungen, Avelche projectivische Be- 
ziehungen zwischen Elemeiiten von Punktreiheu, 
bez. Strahlbüscheln darstellen. 



§ 24. Tcreinigrt gelegene projectivische Punktreiheu und 
Strahlbüschel, 

Wenn in § 18. die allgemeinen Formeln der linearen Substitution 
aufgefasst werden konnten als Darstellung desselben Punktes bez. 
Strahles mit Hilfe verschiedener Grundelemente, so lässt uns das Vor- 
hergehende eine gewissermassen entgegengesetzte Interpretation jener 

Clebsch, Theorie der biuären algebr. Formen, O, 



ßß Zweiter Abschnitt. Die geometrische tnterpretation 

Formeln aufstellen, in welcher, bezogen auf dieselben Grundelemente, 

^ und — zwei verschiedene, einander entsprechende Elemente des 

betrachteten Gebildes bedeuten. Zu dieser Vorstellung gelangen wir, 
wenn wir zwei gleichartige Gebilde, also zwei Punktreihen oder 
zwei Strahlbüschel, welche projectivisch auf einander bezogen sind 
und welche wir früher immer als getrennte Gebilde auffassten, jetzt 
gewissermassen vereinigen, d. h. die beiden Punktreihen uns auf der- 
selben Linie, bez. die beiden Strahlbüschel mit gemeinsamem Scheitel 
vorstellen. In einem solchen Gebilde hat dann jedes Element eine dop- 
pelte Bedeutung, indem es als dem einen oder als dem andern der ver- 
einigt liegenden Gebilde zugehörig aufgefasst werden kann. Bezeichnen 
wir ein Element, sofern es dem einen Gebilde zugezählt wird, durch 
x^, X2, sofern es dem andern angehört, durch ^^, ^3. Ein Element 
Jjlg ist einem anderen Element x^^x^ zugeordnet vermöge einer 
linearen Substitution, d. h. vermöge einer Formel, welche linear für 
die t, und linear für die x ist, vermöge einer Formel also, welche 
durch die Gleichung 

(1) f= %i x^ Si + ajta^i l^ + a,^ x,^ l^ -f ^^22^2 ?2 = 

dargestellt wird. Als Substitution muss diese Gleichung noch der 
Bedingung genügen, dass, wenn man etwa die | linearen Functionen 
der X dieser Gleichung gemäss gleich oder proportional setzt, die De- 
terminante 

der linearen Functionen nicht verschwindet. Dies hätte auch aus 
folgender Erwägung keinen Sinn. Es würde nämlich, wenn r — O 
wäre, möglich sein, solche Zahlen cc^^a.^ß^ß.^ zu bestimmen, dass 

«^11 = «1/^1 «12 = ^1/^2 

wäre, Gleichungen, von denen wegen r = die letzte eine Folge 
der drei ersten ist, während die ersten an und für sich noch keine 
Bedingung zwischen den a nach sich ziehen, sondern durch pas- 
sende Wahl der a, ß immer erfüllt werden können. Die Gleichung 
/'=0 aber würde dann in 

(«1 ^^ -f a., x.^) (ß, i, + ß, go) = 

übergehen, d. h. sie würde keinen Zusammenhang zwischen den x 
und den ^ mehr aussagen. 

In der Gleicbung 1) hat man einen jener Fälle vor sich, deren 
in § 14. Erwähnung geschah, wo nämlich schon die ursprüngliche 



algebraischer Formen. — § 24. 67 

Form mehrere Reihen von YerHnderlichen , jede in homogener Weise, 
enthalt. 

Die zunächst liegende Aufgabe besteht für die gegenwärtige Un- 
tersuchung darin, diejenigen Elementenpaare J? ^ aufzusuchen, welche 
sich zu einem Elemente vereinigen, und in welchen also ein Element, 
als einem der vereinigten Gebilde angehörig, sich selbst, als dem 
andern angehörig, entspricht. Man nennt diese Elemente Doppel- 
punkte, bez. Doppelstrahlen der vereinigt gelegenen projectivi- 
sehen Reihen, bez. Büschel. 

Man findet diese Doppelelemente, indem man diejenigen Werthe 

X H . . . 

— sucht, welche den entsprechenden ^ gleich sind, also indem man 

in f= g^ und l^ ^^^ ^i ^^^^ ^'-2 proportional setzt. Es entsteht dann 
eine quadratische Gleichung 

(2) (p = a,^x,^ + («12 + «21) ^1^2 + %2^2" = ^; 

es giebt also im Allgemeinen bei zwei vereinigten Gebilden zwei 
Doppelelemente, welche gefunden werden, indem man die qua- 
dratische Gleichung q) = auflöst. 

Die Function cp ist eine Bildung, wie sie in den Betrachtungen 
des § 7. durch Df) bezeichnet wurde: 

(p = X^-;^ +X.^~ 

Mit Hilfe derselben nimmt nach § 7. (6) f die Gestalt an: 

wo 

(4) 1 = ''-^-''- 



2 

eine Invariante von /" sein muss, da alle anderen Theile der Gleichung 
(3) die Invarianteneigenschaft besitzen (vergl. § 14. am Ende). 

Nach § 4. sind die Covarianten und Invarianten von f mit denen 
der quadratischen Function cp identisch, nur dass die Invariante h noch 
dazutritt. Die w^eiterhin auseinanderzusetzende Theorie der quadra- 
tischen Formen wird lehren, dass sie nur eine Invariante besitzen, 
welche schon in § 2. in den Beispielen entwickelt ist und welche 
hier den Ausdruck hat: 



(5, j^a„a,,-C^J- 



Denken wir uns nun cp in seine beiden linearen Factoren zerlegt. 
Es sind dabei drei Fälle zu unterscheiden. 

5* 



QS Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

1. Die beiden linearen Factoren von (p sind verschieden; es giebt 
also wirklich zwei Doppelelemente der vereinigten Gebilde, mögen sie 
nun reell oder imaginär sein. Setzt man in diesem Falle 

so findet man durch Vergleichung der Coefficienten : 

F2 '12 — "^22 
Hierzu tritt noch die Gleichung, welche man aus diesen bildet: 

i>i ^2 -^iJÖ2 = ?^K2+^2i)'-4fl^ii 0^22^2/^; 
und man kann also die vier Gleichungen ansetzen: 



Pl 



q2=^^^^-^' +V-1 P2q-2=<^22, 



aus denen man, wenn etwa einer der Coefficienten Pj q beliebig an- 
genommen wird, die übrigen sofort berechnet. 
Da (p=p-^q^y so hat man 

ferner 

p^ qi-p^ qx = ipq) {x^) = 2 {xi) y^i, 

und es nimmt daher f die Form an: 

k 



f= i I (iV q^ +P^ q.r) + y^^ {P.r q^ - P^ q.) | 



Führt man also die Doppelelemente j> = 0, q=^{) als neue Grund- 
elemente ein mit Hilfe der linearen Substitution: 

^1 =Px 

so dass dann zugleich auch 

^j=PM 

^2 — q^y 

so hat man die tran>sformirte Form von /: 



algebr.iischer Fonnen. — § 24. 69 

Auf diese Form kaun man also, indem man die Doppel- 
elemente als Grundelemente einführt, die Function f 
immer bringen, sobald die beiden linearen Factoren von 
cp verschieden sind. 

Die Form (6) gestattet es nun in sehr einfacher Weise zu jedem 
gegebeneu Elemente, als dem einen Gebilde angehörig, das ent- 
sprechende des andern zu finden. Betrachtet man ein Element, für 
welches 

(7) J = A, 

so hat man aus /"=0 für das entsprechende Element den Ausdruck 

^^ ^2 k-y-i 

Bemerken wir nun, dass nach § 21. der Ausdruck 



X. 



das Doppelverhältniss zwischen den beiden Doppelelementen einerseits 
und zwei entsprechenden Elementen andererseits ist, so können wir 
den Satz aussprechen: 

Das Doppelverhältniss zwischen den Doppel- 
elementen und zwei entsprechenden Elementen der 
beiden Gebilde ist eine Constante, und zwar drückt 
sich dieselbe durch die Invarianten Ä;, l in der 
Form aus 

Man kann nun aus zwei vereinigten projectivischen Gebilden eine 
im Allgemeinen unendlich grosse Reihe weiterer mit ihnen vereinigter 
und projectivischer Gebilde durch die folgende Bemerkung ableiten. 

Zu einem Elemente 

X,- 

der einen Reihe gehört ein Element 



^1 , i'-^y-i 



M-^ 



jc-y-i 



70 Zweiter Abschnitt. Die geometrisclie Interpretation 

der andern. Aber dieses letztere ist wieder ein Element des ersten 
Gebildes, und wird als solches durch die Formel 

x,- 'h-y-v 

darzustellen sein. Demselben gehört ein Element des zweiten zu, 
welches durch die Formel gegeben ist: 

und man kann dieses Element auch wieder als dem Elemente 

zugeordnet auffassen. Bezeichnet man die ursprüngliche Art der 
Zuordnung als erste, die neue als zweite Zuordnung, so erhält man 
durch Fortsetzung des Processes eine 3*^, 4*® . . . w*° Zuordnung; und 
das erste Gebilde ist mit dem entsprechenden Gebilde der ^^*®" Zu- 
ordnung durch die Gleichungen verbunden: 
X,_ 

^2 '\]c-j/-lJ' 

Auch die hierdurch gegebenen Gebilde sind projectivisch ; sie 
besitzen dieselben Doppelelemente wie die ursprünglichen, und sind 
dadurch charakterisirt, dass das Doppelverhältniss zwischen den Doppel- 
elementen und irgend zwei entsprechenden durch die Grösse 

gegeben ist. 

Man kann aber auch rückwärts die Frage stellen, welches Element 
des ersten Gebildes auf ein Element des zweiten führt, welches mit 
einem gegebenen Element des ersten Gebildes 

zusammenfällt. Bezeichnet man dieses Element als dem zweiten Ge- 
bilde angehörig durch 

Ml __ 3 
TT — ^ j 
'-^2 

so ist es aus dem Gebilde der ersten Reihe 

X, 'k + y-i ' 



algebraischer Formen. — § 24. 71 

entsprungen. Bezeichnen wir dieses wieder als Element des zweiten 
Gebildes 

1^2 'Jc+j/-l' 

so ist dasselbe einem Elemente des ersten Gebildes 

.x,-^-\h+y-i) 

zugeordnet u. s. w. Es entsteht hier eine weitere Reihe projectivischer, 
mit den vorigen vereinigt liegender Gebilde ^ welche als Gebilde der 
( — 1)*^°, (—2)*^" etc. Zuordnung aufgefasst und durch die Formeln 

S,__ (l + V-i 



'\]c-i/-lJ 



V- 

repräsentirt werden können. Um die Reihe zu vervollständigen , kann 
man als Zuordnung 0*^^ Ordnung den Fall auffassen, in welchem jedes 
Element sich selbst entspricht. Die Gesammtheit aller dieser 
projectivischen Gebilde mit gemeinsamen Doppelelemen- 
ten ist also durch die Formeln (9) dargestellt, wenn man in 
denselben der Zahl n alle Wert he von — co bis +oo zut heilt. 

Im Allgemeinen sind diese Gebilde, wiewohl unendlich an Zahl, 
doch sämmtlich verschieden. Aber es kann unendlich oft der Fall 
eintreten, dass die ganze Reihe der Gebilde in eine unendlich grosse 
Anzahl identischer Cyclen zerfällt, deren jeder aus einer endlichen 
Zahl von Gebilden besteht. Dies tritt immer und nur dann ein, wenn der 
Werth der cbarakteristischen Constante eines der Gebilde gleich 1 wird. 

Ist z. B. 

V- 

so geht die n^^ Zuordnung in die nullte über, das System der pro- 
jectivischen Gebilde umfasst deren nur n, und die ferneren Zuord- 
nungen geben nur die Wiederholung früherer. 

Man gelangt also zu einer Invariantenbeziehung, sobald man 
die Forderung stellt, dass der Kreis der Gebilde mit n derselben 
geschlossen sein soll. Ist s eine n^^ Wurzel der Einheit, so hat 



fk+y-i\" . 



man in diesem Falle 



also 



ic + y-i^^ 



1; - /- ; 



J. , ,1+- 



72 Zweiter Absclinitt. Die geometrische Interpretation 

Der Fall £=1 ist auszuschliessen, denn er würde auf 1 = füh- 
ren, was hier überhaupt ausgeschlossen ist, da bei 1 = die Gleichung 
^ = zwei gleiche lineare Factoren haben würde. Ferner geben s 

und — nichts wesentlich Verschiedenes, nämlich eine Vertauschunff 

von y— l mit — j/— l, was nur eine Vertauschung der beiden ursprüng- 
lichen Gebilde bezeichnet. Man hat also bei ungeradem n nur auf 

/yi 1 

— 9— Werthe von s Rücksicht zu nehmen. Aber auch von diesen 

sind eigentlich nur diejenigen Fälle zu berücksichtigen, in denen es 
nicht eine Potenz m von s giebt, welche niederer als die ^^*® ist, und für 
welche £"* schon gleich 1. Denn in solchen Fällen besteht der Cyclus 
der Gebilde nicht aus w, sondern nur aus m verschiedenen Gebilden, 
wo dann m ein Factor von n ist. 

Aus demselben Grande ist bei geradem n der Fall £ = — 1 aus- 

fi 2 

zulassen, sobald ^^>2; man behält also — tt — Werthe von e übrig 



2 



'ö? 



unter denen wieder diejenigen auszuschliessen sind, für welche schon 
eine niedrigere Potenz von s als die n*® gleich 1 ist. 

Der einfachste Fall ist derjenige, in welchem n=2, und also 
schon die zweite Zuordnung auf das erste ursprüngliche Gebilde zurück- 
führt. In diesem Falle entsprechen immer zwei Elemente 
einander wechselseitig, so dass es gleichgiltig wird, welches 
man dem einen, welches man dem anderen Gebilde zuzählt. Diesen 
Fall bezeichnet man als den Fall der Involution. Da £^=1, aber 
£=1 ausgeschlossen ist, so muss £ = —1 sein, d. h. das charakte- 
ristische Doppelverhältniss geht in das harmonische über. Die In- 
volution ist also derjenige Fall, in welchem je zwei zu- 
sammengehörige Elemente mit den Doppelelementen ein 
harmonisches System bilden. 

Die Invariantenbedingung für die Involution ist 

^ = 0, 
oder 

Bei der Involution ist also die gegebene Form f die Polare einer 
quadratischen Form. 

2. Wir kommen jetzt zu dem Falle 1 = 0, wo die quadratische 
Gleichung (p = zwei gleiche Factoren hat, also 

Pi' = (^ii, PiP2=-~9 y Pf = ^-22' 



algebraischer Formen. — § 24. 73 

Die Doppelelemente fallen hier in ein einziges Doppelelement 
zusammen. Deswegen bestimmen sich hier nicht mehr zwei natur- 
gemäss bevorzugte Graudelemente; wir nehmen zum Zweck einer ver- 
einfachenden linearen Substitution die Formeln an 

Xi = p^ x^ -^p.^ x.^ Si =-lh Si +Ä> ?2 

^2 = Ö'l ^1 + ^2 ^2 A> = ^1 ?i + qo ^2 y 

wo die q beliebige Grössen sind; es wird dadurch der Ort der ver- 
einigten Doppelelemente als das eine Grundelement eingeführt, wäh- 
rend das andere beliebig bleibt. Man hat sonach 

und f nimmt die Gestalt an : 

Von einer charakteristischen Constante ist hier nicht mehr die 

Rede; denn da die q beliebig sind, so kann die Grösse 7 — r jeden 

Werth annehmen, vorausgesetzt, dass h nicht verschwindet. Aber 
zu dieser Voraussetzung sind wir berechtigt; denn bei Z; = würde 
sich hier /* in zwei Factoren auflösen, was von vornherein aus- 
geschlossen werden musste. Wir können also immer 

{PQ) 
annehmen, so dass man erhält: 

f=X,3, + {X,S,-X,S,). 



Einem Elemente 



entspricht also das Element 



^2_ 



^1 



= k 



Man kann hier ebenso, wie oben, Zuordnungen positiver und 
negativer Ordnungen bilden. Aber man sieht sogleich, dass dieselben 
aus den vorstehenden Formeln hervorgehen, indem man statt A — 1 in 
der zweiten Formel irgend ein Glied der Reihe 

...1+2, A4-I, A, X-l, k-2, .. 

einführt. So erhält man eine unendliche Zahl projectivischer vereinigter 
Gebilde, welche sich niemals auf eine endliche, periodisch wieder- 



74 Zweiter Abschnitt. Die geometrisclie Interpretation 

kehrende Zahl reduciren können. Alle haben die zusammenfallenden 
Doppelelemente gemeinsam. 

3. Endlich kann q) überhaupt identisch verschwinden. In diesem 
Falle reducirt sich / auf 

d. h. die beiden gegebenen Gebilde fallen Element für Element zu- 
sammen. 



§ 25. Andere Darstellung vereinigter projectivischer Gebilde. 

Ein anderer Ausgangspunkt für die Behandlung der projec- 
tivischen Gebilde wird durch die Gleichungen (7), (8) des vorigen 
Paragraphen gegeben. Diese Gleichungen kann man als besondere 
Fälle der beiden Gleichungen 

ansehen, die, wenn X einen veränderlichen Parameter darstellt, Elemente- 
reihen bedeuten, und bei welchen Elemente x', | einander zugeordnet 
sind, sobald in den beiden Gleichungen (1) A denselben Werth hat. 
Man kann die Gleichungen (1) leicht auf das im Vorigen behan- 
delte Problem zurückführen , indem man nur A aus ihnen eliminirt. 
Man erhält dann zwischen a-, ^ die Beziehung 

tta; ft — kr at = 0, 

welche von der Form der Gleichung § 24. (1) ist. An Stelle der 
Function cp tritt der Ausdruck 

(p = cix ßx — ^x O^X) 

und die Invariante h wird 

^ = i[(«ft-(i«)]; 

ihr Verschwinden ist die Bedingung der Involution. Bei directer 
Behandlung der Gleichungen (1) würde man zunächst die Doppel- 
elemente bestimmen, indem man die § den x gleich setzte; die Eli- 
mination derselben aus (1) giebt dann zur Bestimmung der Doppel- 
elemente die in A quadratische Gleichung: 



= 



a^ + A ?>t ^2 + A &2 1 
a^ + lß^ «^ -h A ^2 1 

(aa) + l\{aß)^g)a)\-{-X^{hß\ 



Nehmen wir an, die beiden Wurzeln derselben seien verschieden, 
und bezeichnen wir sie durch ^, v. 



algebraischer Fonnen. — §§ 24, 25. 75 

Setzen wir dann: 

so muss man auch identisch 

^^ (^t + vß^^=c'qt 

haben, wo c, c Constante sind. Drückt man mittelst dieser 
Gleichungen a^, hx, ci^, ßt durch ^^, q,., p^j qz aus, so hat man die 
projectivischen Gebilde auf die Doppelelemente bezogen , welche durch 
_p^ = 0, g'x = gegeben sind. 
Aus (2), (3) findet sich 



_VP:c-iiqa. 


V — [L 

^' v — ii' 


vcp^ — ^cqz 
V — ^ 



und indem man dies in die Gleichungen (1) einführt, hat man als 
neue Gleichungen der Gebilde: 

li — X 

c ii — X ,. 

oder, wenn man den neuen Parameter 



einführt : 

Px— Qqx = 

Gleichungen, welche von den Gleichungen § 24. (7), (8) nur noch 
durch die Bezeichnung verschieden sind. 

Die Darstellung eines Gebildes in der Form 
(5) «o: + A b^r = 

kann auch dadurch mit dem Vorigen in Verbindung gebracht werden, 

P 
dass man an Stelle von X einen Quotienten -^ setzt; die Gleichung 

verbindet dann jeden Punkt x mit einem entsprechenden |, und die 
dadurch entstehenden Gebilde sind projectivisch. Ich bemerke dies 
hier, weil damus sofort erhellt, wie man das Doppelverhältniss von 



76 Zweiter Abschnitt. Die geometrische Interpretation 

vier Elementen eines in der Form (5) gegebenen Gebildes auszudrücken 
hat. Man hat nämlich nur das Doppel verhältniss aus den h, und den 
bei den drei anderen Elementen auftretenden Grössen tj, J, t zu 
bilden, also den Ausdruck: 



int) 

Aber diesem Ausdruck kann man die Form geben: 



«. 


^l 


s. 


■^2 


V- 


Si 


% 


U 



Sind also X, ^, v, q die vier Werthe des Parameters, welche in 
der Darstellung (4) den betrachteten vier Elementen entsprechen, 
so ist auch 

^^-A ^'-11 ^'-v ^-o 

und der Ausdruck für das Doppelverhältniss , in Werthen des Para- 
meters ausgedrückt, ist also: 

A-v 

k — Q 



(6) 



a— V 



a — Q 

ein Ausdruck, von welchem in der Folge gelegentlich Gebrauch ge- 
macht werden soll. 

In den Gleichungen (4) sind q und Q . — die Parameter, 



welche zu zwei entsprechenden Elementen der vereinigten Reihen 

gehören; den Doppelelementen entsprechen die Parameter und co. 

Bilden wir aus diesen vier Grössen das Doppelverhältniss (6), so 

erhalten wir 



^-0 

c 




c' 

CO 

c 





1 -0 


c 



00 



algebraischer Formen. — § 25. 77 



als die charakteristische Constante der Beziehuuo-. Sollen die Gebilde 
eine Involution ausmachen, s 
also durch die Gleichungen 



eine Involution ausmachen , so muss — = — 1 sein : die Involution wird 

c ' 



m + p ^.- = 

gegeben; oder je zwei Elementepaare der Involution sind durch die 
quadratische Gleichung 

(7) Px'-^^^a-- = 

dargestellt. 



Dritter Abschnitt. 

Resultanten und Discriminanten. 



§ 26. Resultanten und Discriminanten. 

Ein sehr allgemeines Beispiel von Invarianten liefern die Resul- 
tanten und Discriminanten. 

Die Resultante zweier Formen f und 9) ist diejenige ganze 
Function ihrer Coefficienten , welche verschwinden muss, damit die 
Gleichungen f=0, q) = eine gemeinsame Wurzel haben; oder geo- 
metrisch, damit ein Punkt der zu /' gehörigen Punktgruppe mit einem 
der zu 9 gehörigen zusammenfalle. Man bildet diese Bedingung be- 
kanntlich auf folgende Weise (vergl. Baltzer, Determ. 2. Ajaü. 
§ 11.): Wenn /"von der Ordnung m, cp von der Ordnung n ist, so 
bildet man auf 7^= 0, g) = die m + n Gleichungen: 

^ ^ (p.x/^-^ = 0, 99.ri;/"-2^2 = 0, (f .Xj"'-^X2^ = 0,...(p.x^"'-^=0-, 
in ihnen betrachtet man die m + n Grössen 

/y. ni-\-n — 1 /y m + n — 2 /y^ ^ m-\-n — 3 /y> 2 ^ tfi4-n—l 

•A/-I ' • t/^i 2f 1 2 ? * * * 2 

als Unbekannte linearer Gleichungen, und eliminirt dieselben, indem 
man die Determinante der Gleichungen (1) verschwinden lässt. Diese 
Determinante also ist die Resultante der Gleichungen f=0, cp=^0 
oder der Formen /und 9; man kann dieselbe, ohne ihre Bedeutung 
zu modificireu, höchstens noch am einen numerischen Factor ändern. 
Die soeben entwickelte (Sylv est ersehe) Methode lehrt sofort, 
dass die Resultante vom w*®" Grade in den Coefficienten der Form m^^^ 
Ordnung /, vom m^^^ Grade in den Coefficienten der Form n^^^ Ord- 
nung q) ist. Aber übrigens entspricht die gefundene Form der Resul- 
tante keineswegs den Forderungen, welche die Invariantentheorie zu 
stellen hat. Diese fordert eine möglichst grosse Leichtigkeit, eine In- 
variante als solche zu erkennen, sei es nun durch eine symbolische 
Darstellung oder auf andere Weise; und das einfachste Mittel, welches 



I)ritter Abschnitt. Resultanten und üiscriminanten. ^ § 26, 79 

man besitzt, um diese Leichtigkeit zu erhöhen, besteht darin, dass 
man eine solche relativ complicirte Bildung, wie die angegebene, nicht 
an und für sich, bereits fertig, betrachtet, sondern dass man sie aus 
niederen Bildungen allmälig entstehen lässt, wobei dann die Einführung 
von Symbolen niederer Covarianten das Endresultat in einfacher und 
übersichtlicher Form erscheinen lässt. 

Für den Fall, wo beide Formen von gleich hohem Grade sind, 
besitzt man in der von Cayley gegebenen Form der Bez out' sehen 
Eliminationsmethode (a. a. 0. p. 108) ein Verfahren, welches dem von 
der Invariantentheorie gesteckten Ziele schon um vieles näher kommt. 
Man bemerkt bei diesem Verfahren, dass der Ausdruck 

/' (^1 . ^2) ■ y (i/i . !/.>) - /" (i/n ?/2) ■ y (^'1 > ^2) 
^1 y^ - Vi ^2 ' 

oder kürzer 

(2) Fi.,y)^fM^yznyh^, ■ 

welcher die Division verstattet, immer verschwindet, sobald /'(rr) und 
q) (x) verschwinden, welches auch die Werthe der y seien. Ordnet 
man daher den obigen, für die x und die y symmetrischen Ausdruck 
nach den y und x: 

(^) ^^ca- ^v^2"' '"^ ^1^" yo''^'-' {Cik=cki), 

so müssen die Ausdrücke, welche die Coefficienten der einzelnen Po- 
tenzen der y bilden, einzeln verschwinden; sobald also f{x) = und 
(p [x) = , hat man die n Gleichungen 

2Ji CioX,'x.^-^-^r=0 



ZiCi,n-XX^'X.^-'-'=0, 

und daher, indem man die n Grössen 

„n — 1 „n — 2/r. ^ n — 3,v.2 r,^ n — 1 

aus diesen n Gleichungen wie lineare Unbekannte eliminirt: 

(4) 2: + Coo Cji C22 ... C„_ I = 0. 

Die Resultante ist also hier die symmetrische Determinante von nur 
?^-j- 1 Reihen, welche auf der linken Seite steht. 

Dass die Form (3) der von der Invariantentheorie geforderten Ge- 
stalt der Resultante näher kommt als die nach der erst angeführten 



§0 Dritter Absclinitt. Resultanten 

Regel gebildete, liegt nicht sowohl in der verminderten Anzahl von 
Reihen, welche die Determinante enthält, als in dem Umstände, dass 
man sich einer intermediären Bildung F bedient, um aus ihr sodann 
die Resultante zu bilden. Die Form F ist eine Covariante mit zwei 
Reihen von Veränderlichen 5 setzt man symbolisch 

so ist 

oder, wenn man bemerkt, dass 

Cix OCy — CCxCiy— (^ «) ipCy) 

ist und die Division ausführt: 

(5) F {X, y) = [aa] \ a^«-i «/- ^ + a^«-^ «^«-2 . a, a,, 

An diese Form knüpfen sich einige Sätze, welche oft von Wich- 
tigkeit werden. Die Function F (x, y) verschwindet immer, sobald 
f (x) und cp {x) verschwinden, also für beliebige Werthe der y. Setzt 
man nun «/i=^i; 2/2 — ^27 ^^ erhält man 

F {x, x) = = n , {aa) üjc'"-^ cca/"-^ . 

Aber der Ausdruck rechts ist bis auf einen numerischen Factor 
die Functionaldeterminante von f und (p] diese verschwindet daher 
immer für dasselbe Werthsystem, für welches /"und q) verschwinden. 
Aber noch mehr : Differenzirt man die Gleichung (5) zuerst nach einem 
der y und setzt dann y^ = Xj^, 2/2 = ^2; ^^ muss man auch noch Null 
erhalten. Nun ergiebt sich dann aber: 

{d.F{x,y)\ n.n—1, . „ ^ „ „, 

\ G yi J y=x A • ^ 

es steht rechts der DifiPerentialquotient der Functionaldeterminante 
nach Xi, multiplicirt mit einer numerischen Constante. Daher hat man 
den Satz (vergl. Salmon, Lessons, 2^^ ed., p. 69.): 

Verschwinden für ein Werthsystem x^j x.^ zwei 
Formen /', cp von gleicher Ordnung, so verschwin- 
det für dasselbe auch die Functionaldeterminante 
von f und (p nebst ihren ersten Differentialquo- 
tienten. 



und Discriminanten. — § 26. gl 

Man kann diesen Satz auch aus der Entwickelung ableiten, welche 
die Function Fix^y) nach der Formel (6) des § 7. annimmt. Nach 
dieser hat man, wenn der Kürze wegen 

1^^ * "-- = (a «) a^"-i of^"-i 
gesetzt wird: 

Sind z^y s^ ^^^ ganz beliebige Grössen, und unterwirft man die 
Function jP dem Prozesse 

€ . d 

und setzt sodann y^ = x^y y2~^2) ^^ ergiebt sich 

ein Ausdruck, der, da F für jeden Werth der y verschwindet, für 
alle Werthe der z gleich Null sein muss. Dies aber ist wieder der 
obige Satz. 

Der erste Theil dieses Satzes, dass nämlich die Functionaldeter- 
minante selbst verschwindet, gilt auch noch, wenn die Ordnungen 
von /"und cp verschieden sind. In diesem Falle wird, abgesehen von 
einem numerischen Factor, die Functionaldeterminante : 

daher, wenn ii^, ti.^ beliebige Grössen sind, also Ux als von Null ver- 
schieden angenommen werden kann: 

D . n^ = (a ß) Ua: aj" - ^ ß^" - ' 

= [ (a U) ß^ — (ß U) Gfor] üa:"^ ~ ' ßx" ~ ^ 

= (p . {au) ajc""-^ — f. (au) ß.r"~* . 

Mit (p und Y verschwindet also Z), und man hat den Satz: 

Wenn für ein bestimmtes Werthepaar a;^, ^^ ^wei 
Formen verschwinden, so verschwindet für dasselbe 
auch ihre Functionaldeterminante. 

Auch diesen Satz kann man daraus ableiten, dass ähnlich wie in 
dem Falle, wo m = n, eine gewisse Covariante mit zwei Reihen für 
alle Werthe der Veränderlichen der einen Reihe verschwindet. Man 
knüpft dies an die Ausdehnung der abgekürzten Methode der Resul- 
tantenbildung auf den Fall, in welchem die Ordnungen ungleich sind. 
So wie für m = n die Form 



F= 



aj" ßy" — ßor" «</" 



betrachtet wurde, so kann man hier, wenn m > n, die Form 



Clebsch, Theorie der binären algebr. Formen. 



82 Dritter Abschnitt. Resultanten 



(5) 



Clx ^y f^x f^y f^. 



{xy) 

einführen,* welche, sobald das Werthepaar x^y x^ den Gleichungen 
/=0, ^)~^ zugleich genügt, für alle Werthe der y verschwinden 
muss. Ist, analog wie oben: 

f — wi -— 1 li = n — \. 

F== ^ ^ CikX,'x.,^-'-Uj^<y^^-^-\ 

so zerfallt die Gleichung jP= in die folgenden n Gleichungen , welche 
die X zur (w — 1)*^" Dimension enthalten: 

,g. EiCnX^^x^'''-i~^ =0 

^iCi^n-iX^^X^'^-i-^^O. 

Dieses sind n Gleichungen mit den m linear auftretenden Grossen 

(n\ /v. m — 1 /v' m — 2/y> rf m — S/v^ 2 rv> m — \ 

\\ ) .X/j^ , t^j^ u/g ^ .^i .X/2 ; • • • ? "^2 

Fügt man den Gleichungen (6) die m — n Gleichungen 

(8) rr^"*-"-! 9) = 0, x^-'^-'^x^ (p=^0, . ..a;^™-«-' cp = 

hinzu, so kann man die Grössen (7) aus (6), (8) wie lineare Unbekannte 
eliminiren, und erhält die Resultante von /'=0, (p = als Determi- 
nante von m Reihen, also in einer der früher gegebenen gegeuüber 
verkürzten Form. 

Entwickelt man -F nach Potenzen Yon (xy) nach der Formel (6) 
des § 7., und bezeichnet durch ^ wieder die Form 

SO erhält man: 

F= n . ipj^-'^ ^y"-^ + {xy) . M. 

Da diesmal i^ nicht mehr symmetrisch für die y und für die x 
ist, so fällt das mit der ersten Potenz von {xy) multiplicirte Glied 
nicht mehr aus, und man erhält daher nur, indem man berücksichtigt, 
dass F für alle Werthe der y, also auch für y^x verschwinden muss: 

^^"'+«-2 = 0, 
was der oben angegebene Satz ist. — 

Der Fall der Elimination aus zwei Gleichungen gleich hoher Ord- 
nung tritt bei der Dis er im in ante ein. Die Discriminante ist die- 
jenige ganze Function der Coefficienten einer Form /, welche ver- 
schwindet, sobald unter den linearen Factoren von f zwei einander 



* Vergl. Gordan im 3. Bande der mathematischen Annalen. 



und Discriminanten. — § 26. S3 

gleich werden, oder geometrisch, sobald zwei Elemente der zu / gehö- 
rigen Gruppe zusammenfallen. Wenn aber einer der in f auftretenden 
linearen Factoren doppelt vorkommt, so ist dieser noch Factor der 
ersten DiflPerentialquotienten von /"; mit ihm verschwinden also auch 
diese, und man erhält die Bedingung für das Auftreten eines Doppel- 
factors in f, indem man aus den Gleichungen 

die X eliminirt (vergl. Baltzer, Determ. 2. Aufl. p. 116.). Es sind zwei 
Gleichungen (w — 1)*^^ Ordnung, welche man vor sich hat; die linke 
Seite der Eliminationsgleichung, die Discriminante, ist also vom 
(w — 1)*"' Grade in den Coefficienten der ersten, von ebenso hohem in 
den Coefficienten der zweiten Gleichung (9), daher im Ganzen vom 
Grade 2 (w — 1) in den Coefficienten von f. 

Will man für diesen Fall, der Cayley* sehen Methode ent- 
sprechend, die Function F bilden, so muss man an Stelle der 
Functionen f, cp des Vorigen die Formen 

1 cf 



= a, . a 






1 ^f^l. 7. „-1 



setzen, wo symbolisch 
Es ist also dann 

Aber die Symbole a, h haben hier völlig dieselbe Bedeutung; man 
kann also a mit h vertauschen und endlich für F die halbe Summe 
des ersten und zweiten Ausdrucks setzen. Dann erhält man 

(10) F={{ah)^a/^-'%--'^a:--ny--\ayh,^aJ^~'hy"-^My^^^^^ 

was eine Covariante von f mit zwei Reihen von Veränderlichen ist. 

Wie man aus der Function F zu symbolischen, freilich compli- 
cirten Darstellungen der Resultante und Discriminante gelangen könne, 
habe ich im 59. Bande von Borchardt's Journal dargelegt; eine 
Reihe weiterer Untersuchungen über die Frage, so wie eine grosse 
Zahl von Bildungen in definitiver Form gab Hr. Gordan im 3. Band 
der math. Annalen. Ich werde mich hier begnügen, von einigen 
besonderen Fällen zu sprechen, in denen es gelingt, dem Resultate 
der Elimination eine übersichtliche Gestalt zu geben. 



Ö4 Dritter Abschnitt. Resultanten 

§ 27. Bildung der Resultante für den Fall, wo eine der gegebenen 
Formen yon der zweiten Ordnung ist. 

Wenn von zwei Formen die eine von der ersten Ordnung ist, so 
ist es sehr leicht, die Eliminationsgleichung zu bilden. Denn aus der 
linearen Gleichung 

folgt sofort 

lA/-* • tX/ff) CJUn • *"■"" vv« • 

und indem man dies in die symbolische Form von f: 

einsetzt, erhält man für die Resultante die Form 

R = {a «)". 

Aber auch noch, wenn eine der Gleichungen von der zweiten 
Ordnung ist, kann man die Form der Resultante ganz allgemein 
bilden.* 

Sei nämlich, in lineare Factoren zerlegt: 

Dann sagt die Resultante von (p und f, dass entweder f und p oder 
f und q gleichzeitig verschwinden. Die Resultante von f und cp ist 
also das Product der Resultante von f und ;p mit der Resultante von • 
f und q. Nun ist nach dem Vorigen die eine Resultante in symbo- 
lischer Form {apY, die andere, indem man nur ein anderes Symbol 
einführt, (& g)". Daher wird 

B = {apY . (b qY — {a qY . {hpY 

Es kommt nun darauf an, in diesem Ausdruck an Stelle der 
linearen Factoren von qp symbolische Coefficienten einzuführen. Man 
erreicht dieses am zweckmässigsten auf folgende Art. Setzt man der 
Kürze wegen 

{ap){hq) = ii, {aq)(hp) = v, 
so ist 

(1) i?=^-^. 

Ist n gerade, so ist, wie gezeigt werden soll, dieser Ausdruck 
als ganze Function von q^ und ö darstellbar, wo 



* Vergl. die Abhandlung des Verfassers: „Ueber eine Classe von Elimina- 
tionsproblemen", Borchardt's Jom*nal Bd. 58. 



und Discriminanten. — § 27. 85 

Q=^ a — V 
ö = n V. 

Ist n ungerade, so muss man zuvor einen Factor ^ + v abson- 
dern , um alles Uebrige durch q- und 6 ausdrücken zu können. Dass 
man gerade q^ und a einführt, motivirt sich durch die einfache Form, 
welche diese Ausdrücke bei Anwendung der symbolischen Coefficien- 
ten von q) annehmen. Ist nämlich s5^mbolisch 

(p=Pa:qa: = CCx-='ßJ etC. , 

so hat man die symbolischen Gleichungen 

Pi Q.I = <'y Pi ^2 +Pi ^1 = 2 «1 «2 ; Pi ^2 = < etc. , 
und daher 

a-\-v = (ap) (h q) -\- {a q) (bp) = 2{aa) (6 «) 
ii.v = (S = (ap) {aq) . (bp) {hq) = {aaY {hßY 
(^-vY=Q^-^\{ap){bq)-{aq)(hp)\'' = {ahy(pqy 

= (« W I (i>i q-i +Pz ^if - 4i>i qi • i>2 ^'2 ! 

= 2{a hf \ (2 a, a, . ß, ß, - a,' ß.^ - «/ ß,' j 

= -2(a hf (aßf = - 2 {a If D, 

wo D die Invariante von cp ist (vergl. § 2.). 

Ich werde nun zunächst zeigen, wie B, bez. — ; — sich durch 

(li — v)- und ^v ausdrückt, und sodann, wie mit Hülfe der Gleichungen 

u -\- p =2 (aa) {h a) 
(2) a= ^iv ={aaY(pßY 

Q^=(a-vY = -2{ahYD 

B durch Invarianten von übersichtlicher Entstehungsart darge- 
stellt wird. 

Bezeichnen wir durch Su den Ausdruck 

so dass 

Es bestehen dann, wie man ohne Weiteres sieht, die folgenden 
Gleichungen : 

S„ ={}l — v)Sn-l-\-^V Sn-2 
r^\ S„-1 = (U — V) Sn-2-\- ^V Sn--3 

^2 =(f*-^)'5'i ^ilvS^. 



36 Dritter Abschnitt. Resultanten 

Was S^ und Sq angeht, so werden diese verschieden, je nachdem 
n gerade oder ungerade ist, Fälle, welche schon oben unterschieden 
wurden. Für ein gerades n hat man: 

(4) S, = i^-v, S„=2, 
für ein ungerades 

(5) S, = ii + v, 5o = 0. 

Um nun Sn aus den Gleichungen (3) durch 5^, Sq auszudrücken, 
denke ich mir jenes System nach oben zu unendlich fortgesetzt, mul- 
tiplicire die Gleichungen, von unten anfangend, mit den Potenzen 
1, 0, 0^ . . . einer beliebigen Grösse ^, und addire. Ist sodann Sl die 
linke Seite des Resultats: 

(6) Sl=^S, + ^S, + 0^S, + ..., 
so hat man aus (3) 

Sl^Q {S, + Sl) + a {S, + S, + z' P.), 
und daher 

Der gesuchte Ausdruck S» ist nach (6) der Coefficient von ^"-^ 
in der Potenzentwickelung von Sl. Nun hat man 



1_ ^ 1 ö0^ a^0^ 

= 1 -\- Q0+ q'^0^ -^ Q^ 2^ , . . 

+ (1 + 2 ^ ^ + 3 ^2 ^2 _|_ 4 ^3 ^3 _) (y ^2 



==K,+ K,z+K,0' + K,z^ 



wo 



K,= \ 



(9) K,=:Q' + 6 



überhaupt 

(10) g/.==p^ + (A-l)gp^-'+ ^'~^-g~"'^ g>^-* 

+ nT:3 «'p*-' + -, 

eine Formel, deren Gesetz sofort einleuchtet. Setzt man die Reihe 
(8) nun in (7) ein, so hat man 



und Discriminanten. — § 27. 87 

und daher, indem man den Coefficienten von 0^~^ nimmt, welcher 
gleich Sn oder gleich 2 B ist: 

(11) R^i\{QS,-{-aS,)Kn-2 + aS,.Kn-,\, 

oder, wenn man bemerkt, dass 

(12) Q Kn-2 + O- ir„_3 = Kn-l 

ist: 

(13) _ B = i\S,K„^, + aS,K„_,\. 

Je nachdem also n gerade oder ungerade ist, hat man nach 
(4), (5): 

\) n gerade: 

(14) 2E = Q" -\-na q"-- + '*^'!'~^ a- (>"-^ 

, n .n — 4 .n — b ., 
^ 1.2.3 ^ ^ 

2) n ungerade: 

(15) 2 Pt--= (fi + v) \q"-' + Oi-2) ^ ^"-3+^-i^l|^^i::^(j2^"-5 

^ 17273 ^ ^ •••(' 

Bezeichnen wir nun je nach Bedürfniss die Symbole von cp durch 

f ff nf ntf 

a , a ..., /3, /3 ..., 7, 
so haben wir aus (2): 

1) Für ein gerades n: - 

. (a6)«-2^ (aa)^ {hß'fiaa'J [h ßy . . . (a aC^^f {hß^'^y 
oder 

/ITN --k --k 

WO ^^. die Invariante bedeutet: 

(18) Äi, = (a&)"-2^- (a« )' («O' • • • (««^'0' (^^')' (^n' • • • (hß^^y. 
Von dieser Bezeichnung nehmen wir nur denjenigen» Coefficienten 
aus, für welchen 7t =-^, den letzten. Dieser nämlich zerfällt in die 
beiden einander gleichen Factoren 



88 Dritter Abschnitt. Resultanten 

und man hat also 

(20) ^T=jg.. 

2) Für ein ungerades n: 
^n~2k-i ^fr (^ + ^) _ 2 {ay) (hy) . (- 2) "^ "^ . D^ ~' 

oder 

(21) ^"-2^-i(?Mf* + ^) = 2.(-2)^"~'i)V-\^^^ 

wo Äk die Invariante bedeutet: 

(22) Äk = (a &)" - 1 - 2/c (^ ^) (ß y) . («, «')2 (^ c^-)2 ^ ^ _ (^ ^(Är))2 

.(hßy{hßy...{hß^^))\ 

Und die Ausdrücke für die Resultante sind also: 

1) für ein gerades n: 

(23) B = {-I))^ .2~^ .Ä,+7i.(-I)f^ .2^~ .Ä, 

2) für ein ungerades n: 

(24) j^^^_ 2B)^A, + (n - 2) (- 2D)""?-'^^ 



1^2^ (-^^) ' A + ...-^— DA_-_3+^„_-i 



Insbesondere ergeben sich für die kleinsten Werthe von n die 
Bildungen: 

n = \:E = A, A,^{aaf 

n^2: R = -I)Ä^ + B' A==(ßW, B={aaY 

{2b) ^-^'' Ii = ~2BÄ, + Ä, Ä,= {ahy{ay)iby), 

A,=={ay)(by){aaY{hßf 
n = 4: B = 2B''A,-4BA, + B' A^ = {ah)\ 

A,^{ahY{aaYQ)ßf, 
B = {aaY{aay. 

An die Gleicliung2(23)^knüpft sich der bemerkens werthe Satz: 



und Discriminanten. — § 27. 89 

Die Resultante einer Form 2^^^ Ordnung mit einer 
andern Form gerader Ordnung setzt sich immer aus 
niederen Invarianten zusammen. 
Denn in (23) ist kein Glied vorhanden, welches nicht in Factoren 
zerfällt, während in (24) allerdings ein solches existirt. 

Es bleibt übrig, die Eutstehungsweise der Invarianten Ä^ B aus 
niederen Bildungen darzulegen. Hierzu führt die Aufstellung der fol- 
genden Reihe von Co Varianten: 

^ = p^n - 2 = (a a)2 ci^n - 2 

(26) q = q^r:"-* = iacif {aa'f a^"-^ = (i?« )^i^^"~^ 

r = r^«-6 = (aaf {auj {aa'J aj'-^^iqa'f q^"-^ 



Im Falle eines «'eraden n schliesst diese Reihe mit einer Inva- 
riante, welche nichts Anderes ist als B-^ die übrigen Bildungen aber 
liefern die Ä mit Hülfe folgender Ausdrücke, in denen die verschie- 
denartigen derselben Covariante zugehörigen Symbole durch obere 
Striche unterschieden sind: 



Dieselben entstehen aus ^, q . . . ebenso, wie Ä^ aus f. 

Im Falle eines ungeraden n enthält die Reihe (26) lauter Cova- 
rianten ungerader Ordnung. Bildet man aus ihnen zunächst die qua- 
dratischen Covarianten: 

P= PJ = {ppy-'p.p. = (aay {hßy (a&)"-3 a, h^ 
Q^QJ= {qqy-' q. q. = {aa^ (a aj (b ßY {bßj {ah^ ~^ a. h. 

= {aaf {n af {aa'y {hßf (bßj [hßy (ah)"-' «.. 6.. 



so hat man: 



Diese Invarianten entstehen aus p, qj r . . . genau so, wie 

A=(«6)"-"(«j')(&y) 

aus f. — 

Unter den bei (25) angeführten einfachsten Fällen führt die Eli- 
mination aus zwei Gleichungen 2*®' Ordnung nur auf die Invarianten 
der beiden Formen (Z), Äq) und auf ihre simultane Invariante J5; 
B = B^-BÄ^. 



90 Dritter Abschnitt-. Resultanten 

Aber diese Resultante kann in einer noch einfachem Form dar- 
gestellt werden. Setzt man für D, By ^^ ihre symbolischen Aus- 
drücke, so hat man 

^ \{aa) Qjß) + {ah) {aß)] [{aa) {hß) - {ah) {aß)], 
oder mit Anwendung der Identität (IV) des § 15.: 

(27) B=^[{aa) {hß) + {ah) {aß)] {aß) {ha). 

Betrachtet man nun die von der Functionaldeterminaute nur um 
einen Zahlenfactor verschiedene Covariante 

(28) ^ = ^J = ^'.'...={aß)a^ß^, 

so ist 

^^^y = i{aß){a:,ßy-{-a,ß^r) 

[indem man (28) nach den x differenzirt und die Resultate mit ^ ^i ; 
^y.2 multiplicirt addirt]; aus dieser Form aber entsteht der Ausdruck 
(27), wenn man für x^^ X2, y^) y.^ bezüglich a.^, — ßj, ?>2, —h^ setzt 
und mit — 2 (ha) multiplicirt. Daher ist auch 

B^-2{%'a){^h){ha). 

Aber dieser Ausdruck wiederum entsteht aus 

^'^x = (b(^)h:^a^y 

wenn man x^y x^ durch -9^2? ~ '^1 ersetzt und mit —2 multiplicirt. 
Daher ist endlich auch 

(29) B = -2{^^')\ 

d. h, die Resultante zweier quadratischen Formen kann 
durch die Invariante ihrer Functionaldeterminaute ersetzt 
werden.* — 

Bei der Elimination aus einer Gleichung ^ = 2^^^ und einer 
Gleichung f=0 ?>^^^ Ordnung ist eine quadratische Covariante von f 

A ■=. AJ' = {a hy- aa: hx 
und eine simultane lineare Covariante 

p^iaafa^c 
zu bilden; man hat dann 

A, = {Ayy, A, = {pyf 
und 

B = Ä,-2I)Ä,. - 



* Im Allgemeinen muss die Resultante zweier Formen gleicher Ordnung ein 
Factor der Discriminante ihrer Functionaldeterminaute sein, wie dies aus dem 
Satze am Ende von p. 80 hervorgeht. 



» und Discriminanten. — § 27. 91 

Endlich bei der Elimination aus einer Gleichung (jp = 2*®' und 
einer Gleichung /'=0 4*^'" Ordnung ist ausser der zu /' gehörigen 
Invariante 

zunächst die simultane quadratische Covariante 

zu bilden; aus derselben hat man 
und endlich 

Man kann sich die Frage stellen, unter welchen Bedingungen 
die Form ti*®"^ Ordnung zwei Factoren mit der Form 2*®' Ordnung 
gemein hat, diese also ganz als Factor enthält*. Dies erfordert 
offenbar zwei Bedingungen. Aber man würde sehr irren, wenn man 
erwarten wollte, das gleichzeitige Eintreten zweier Bedingungen durch 
das Verschwinden zweier Invarianten charakterisirt zu sehen 5 vielmehr 
tritt dieses nur in wenigen vereinzelten Fällen ein. Es ist wichtig 
festzuhalten, dass das gleichzeitige Eintreten mehrerer 
Bedingungen im Allgemeinen sich durch das Verschwin- 
den sämmtlicher Coefficienten einer Coyariante auszu- 
drücken pflegt. Dabei hat man dann freilich scheinbar zwischen 
den Coefficienten der zu untersuchenden Functionen mehr als zwei 
Gleichungen. Aber in der That sind diese dann doch immer in der 
Weise mit einander verträglich, dass man allen zusammen durch pas- 
sende Bestimmung zweier unbestimmter Grössen (etwa unbestimmt 
gelassener Coefficienten) zu genügen im Stande ist, ohne dass es doch 
möglich wäre, zwei einem solchen Systeme vollkommen äquivalente 
Bedingungsgleichungen aufzufinden. 

So kann man denn auch in dem vorliegenden Falle leicht eine 
Covariante angeben, welche die Eigenschaft hat, dass das gleichzeitige 
Verschwinden ihrer sämmtlichen Coefficienten nothwendig und hin- 
reichend sei für die Erfüllung der Forderung, dass eine quadratische 
Form in einer Form n^^^ Ordnung als Theiler enthalten sei. Sind wie- 
der wie im Vorigen _29^ und q^^ die linearen Factoren der quadratischen 
Form (p, so ist diese Covariante 

{pcL) 
eine Covariante, welche in der That für alle Werthe der x verschwin- 
det, sobald, der Forderung gemäss, die Grössen {apY und {aq)^ gleich- 



* Vgl, Gordan im 3. Bd. der math. Annalen. 



92 Dritter Abschnitt. Resultantei\, 

zeitig verschwinden. Aber auch umgekehrt: Verschwinden alle Coef- 
ficienten von ^, verschwindet also für alle Werthe der x, so folgt 
nothwendig 

d. h. die quadratische Form ist Theiler der Form n^^^ Ordnung. 
Die Co Variante O entsteht aus der Form 

(M) " ' 
indem man ?/j durch -— a^, y^ durch a^ ersetzt; und es kommt daher 
zur Darstellung von ^ nur darauf an, die Form W in geeigneter 
Weise zu bilden. Dies geschieht ganz ähnlich^ wie die Bildung 
von R im Vorigen. Setzt man 

so kann man sowohl ^~v ah ^ . v auf einfache Weise ausdrücken; 
denn es ist 

Q==li-v=:(pq){yx), {ii-vy = -2D(yx)% [vgl. (2).] 
ö = ^v = a/ . a'y^ = (p {x) .(p (y). 

Wir suchen also den Zähler von 'i^ durch ^ — v und ^ v auszu- 
drücken. Sei 

dann ist 

(Pq)' 
Für die Sk aber hat man die Recursionsformel 

Sk = {^ — V) Sk—l + ^V Sk-.2j 

und die Sk bestimmen sich also genau durch das Gleichungssystem (3), 
welches oben behandelt wurde. Es fand sich dort 

Sn =(qSj^ + Ö Sq) Kn-2 + ^S^ K„-3 , 
WO 

z-, = e* + {h -1)6 p*-2 + ^^2— ß' p'-" 

+ 17273 <^'Q'-' + ---- 

Unterscheidet man wieder die beiden Fälle, wo n gerade und wo 
n ungerade ist, so ist in ersterem 

im zweiten 



und Discriminanten, — § 27. 93 

Für ein gerades n hat man also 

. 7i—4:.n—6.n — 6 „ , ) 
-t 1.2.3 ^ • ■) ' 

für ein ungerades n dagegen: 

In beiden Fällen tritt q als Factor auf^ und da 
so wird der Ausdruck für 

1) bei geradem w: 

= (2/a;) (^ + T') |p"-' + (« - 2) ö e-^ + ' '~i;2~^ «'^ e"-" • • •} , 

2) bei ungeradem w: 



= (2/^) |( 



Führt man jetzt für ii-\-v den symbolischen Ausdruck in den 
Coefficienten von cp ein, 2 a-^ ay^ und ersetzt q^ durch — 2D («/a;)^, 
a durch ^ (ic) 9 (y) , so hat man : 

für ein gerades n: 

für ein ungerades n: 

y^={yx)[(-2Df^ .(yxy-'-\-n(p{x)cp{y) {-2D)~^ (yx)--^ 
n .n — S .-, 



^ ^'-(x) <f>Hy) . (- 2 Dp ' {yx)—^ + ..j. 



Wenn nun die Covariante O gebildet werden soll, so führt man 
wieder —a.^ für y^, a^ für y^ ein, wodurch (yx) in —üjc, ay in — {aa) 
übergeht. Wenn man also die folgenden Bezeichnungen von Cova- 
rianten einführt: 



94 Dritter Absclinitt. — Resultanten 

bei geradem n: 

K^ = {a a) ajc a/'~^ 

K^ = {a a) {a a^ ^^- Cix^ ~ ^ 

K^ — {a a) {a a'f {a a y a^^ a^" - ^ 



bei ungeradem n: 



so sind die unter den fraglichen Verhältnissen verschwindenden 
Covarianten : 

1) bei geradem n: 

n—2 n— 4 

= {~2I)) 2 K, + (n-2)cp.{-2D) '' K, 

2) bei ungeradem n: 

n— 1 n— 3 

- a> = (- 2i))~2~ x^ 4_ ^^ ^ . (_ 2D)^~ Zg 

Insbesondere wird also für w = 2 die Bedingung dafür^ dass 
zwei quadratische Formen nur um einen constanten Fac- 
tor verschieden seien, durch das Verschwinden der Covariante K^ 
d. h. ihrer Functionaldeterminante dargestellt. 

Die Bedingung, dass eine quadratische Form Factor 
einer cubischen sei, führt auf das Verschwinden der cubischen 
Covariante (J^==3): 

- 2D Zj + 3 9) ^2 = - 22) . a/ 4- 3 9 . (a«)2 a^. 

Die Bedingung, dass eine quadratische Form Factor 
einer biquadratischen sei, führt auf das Verschwinden der 
biquadratischen Covariante 

— 2DK^ -\- 2 q) K^ = — 2 D {a a) a^: a/ + 2 cp . (aa) {aa'f a^: Ox- 

§ 28. Resultante zweier cubischen Formen. 

Ich will noch die Resultante zweier Formen dritter Ord- 
nung ableiten. Seien die gegebenen Formen 

\^) ^ _ ^ 3 _ /^ 3 

tp — VCx — px • • • • 



«,3 


«/«, 


«1 0.-1 


ai 


«,3 


«,2 «„ 


ß, «./ 


«./ 


■»/ 


*.^*. 


*,*/ 


*/ 


*7 


^?^'. 


^'x^V 


fl-V 



und Discriminanten. — §§ 27, 28. 05 

Alsdann ist nach dem Satze am Ende von p. 80 für /'=0, qp = 
nicht nur 

(2) ^ = ^..^ = [a. «) a.,2 2^^2 _ , 

sondern auch die Differentialquotienten von -O- verschwinden, so dass 
man hat: 

Diese Gleichungen zusammen mit (1) sind vier Gleichungen drit- 
ter Ordnung; man kann also aus ihnen die Grössen 

wie lineare Unbekannte eliminiren, und erhält dann die Eliminations. 
gleichung, indem man die von den beiden Gleichungen (3) her- 
rührenden Symbole unterscheidet: 



(4) = ^,^V 



eine Gleichung, welche in der That sowohl für die Coefficienten von 
f als für die von 9) vom dritten Grade ist. 

Nun verschwindet aber die Determinante, sobald die in zwei Reihen 
vorkommenden Symbole proportional werden, etwa a^ : a^ =,«1 : a.-^, 
oder sobald die aus den Symbolen zweier Reihen zusammengesetzte 
Determinante [etwa (««)] verschwindet. Daher enthält jene Deter- 
minante die Factoren 

{ad), {a%), {a^'), {a%), {a%'), (^^0, 

und kann, da die Dimensionen übereinstimmen, durch ihr Product 
ersetzt werden. Man hat also die Eliminationsgleichung in der sym- 
bolischen Form 

= -O-i %\^ {a a) {a&) {a&') (ad-) {ad-') {d-d-'). 

Setzt man nun an Stelle der rechten Seite die Summe dieses 
Ausdrucks und desjenigen, welcher durch Yertauschung von d- mit d' 
erhalten wird, so hat man 

0={aa) {ad-) (ad') {ad) {ad') {ddy, 

und die Resultante wird also: 

(5) B={aa) {ad) {ad') {ad) {ad') {dd')^. 

Aber auch diese Form kann noch eleganter gemacht werden, in- 
dem man sich der Identität (Y) des § 15. bedient, nach welcher 

{ad) {ad') {ad) {ad') = ^ {(aO-)^ {ady + {ady {ad'f - {aa)^ {^d')^. 



Ö6 Dritter Abschnitt. Resultanteii 

Führt man dies in (5) ein, so liefern die ersten beiden Glieder 
zwei Terme, welche sich nur durch die Bezeichnung, nämlich durch 
Vertauschung von -^ mit d'', von einander unterscheiden. Zieht man 
beide zusammen, so bleibt demnach: 

(6) E={aa) {ad-/ {a^y (d^y --^ {aaf .{dd-y. 

Der zweite Theil rechts ist das Product einer sehr einfachen 
simultanen Invariante von f und <p mit einer Invariante von d". 
Der erste Theil lässt sich auf diesen zweiten und auf eine Invariante 
von d in folgender Weise zurückführen. Gehen wir von der For- 
mel aus: 

dj'^ = {a a) aj «/. 

Indem wir dieselbe wiederholt nach den x diflferenziren und die DifPe- 
rentialquotienten mit Grössen y multiplicirt addiren , erhalten wir zuerst 

dJ'^ dy' — -^{aa) { aJ a^ ay + aJ a^ ay | , 
sodann aber 

dJ"^ d y'^ = i{acz) i (aJ ay^-{- aJ tty^ + 4 a^ «^ a^ a^ | . 
Man kann nun, nach der Identität (YIII) des § 15. 
ax «o: ciy «y = I i a/ ay^ + a/ ciy^ — {a a/ {xyY\ 
setzen, und erhält dann: 

^/2 ^p = -1- (a a) ( 3 aJ a/ + 3 aJ a/ - 2 {a af {xyf \ . 

In dieser Gleichung setze ich zunächst Q-^, — 0'^ für y-^y y^ und 
multiplicire mit d-J] dann kommt: 

^/ ^/' (^" ^y = h (aa) dj 13 a/ {a^Y + 3 aJ {ad-f - 2 {aa/ dj] ; 

und ferner setze ich -O-'g, ^ d\ für x^, x^. Es ergiebt sich dann, in- 
dem man rechts die beiden ersten Glieder, welche sich nur durch die 
Bezeichnung unterscheiden, zusammenzieht: 

{d^y (dd^'y {p'd'y = iaa) {a^y {a^y {^^'f - -J- {aaf {d^y. 

Man drückt daher den ersten Theil der rechten Seite von i^ mittelst 
der Gleichung aus: 

{aa) (a^Y {aWf [d-Wf = {d^y {d-d'y {d' d'y + \ (aaf {d-^y. 

Setzt man also, einer in der Theorie der Formen 4*«'^ Ordnung 
zu benutzenden Bezeichnung gemäss: 

i&=i^^y 

so ist die gesuchte Resultante: 

(7) B=j»-iiaaY.i^. 



und Discriminanten. — §§ 28, 29. 97 

§ 29. Discriniinanten von Formen der niedrigsten Ordnungen. 

Die im Vorigen entwickelten Resultate erlauben es, die Discri- 
minanten der Formen 2*^', 3*^' und 4*^' Ordnung aufzustellen. 

Die Discriminante einer Form 2*" Ordnung ergiebt sich aus der 
Gleichung (10) des § 26. ohne Weiteres. Denn die Gleichung F'~0 
geht in 

über, so dass also die Invariante {ah)- zugleich die Discriminante der 
Form ist. 

Die Discriminante einer cubischen Form erhält man aus der Form 
(29), welche in § 27. der Resultante zweier quadratischen Formen 
gegeben wurde. Man braucht nur zu untersuchen, was aus der Form 
d' wird. Es war 

d- = {a a) ax (ix • 

Aber jetzt muss an Stelle von aj der erste Differentialquotient 
von /' nach a\, also (abgesehen von einem numerischen Factor) ö/f/i, 
an Stelle von aj- ebenso hj' h^ gesetzt werden. Hierdurch verwandelt 
sich ^ in 

oder wenn man a mit h vertauscht, in 

— a2b^{ah) cfjchjcy 
oder endlich, indem man die halbe Summe beider Ausdrücke einführt: 

wenn z/ die Covariante 

z/ = {a hy ttjc hx 

bedeutet. An Stelle der Discriminante kann also die Invariante (z/z/')^ 
gesetzt werden. 

Bei den Formen 4**^"^ Ordnung ist die Resultante zweier cubischen 
Formen zu benutzen, wie sie in (7) § 2S. gefunden wurde. An Stelle 
von f, (p treten hier die Formen 

also an Stelle von 

^ z= {a, a) üjc" ccJ 
die Covariante 

ia h) a^ 62 aj bj = — {ab) «^ b^ a/ bj = ^{a bf aj- bj = 15", 

wo H die Covariante 

S[={ahYa/bJ 

C leb 8 cht, Theorie der binären algebr. Formen. 7 



98 Dritter Abschnitt. Resultanten nnd Discriminanten. — § 29. 

bedeutet. Sodann wird, indem man die Bezeichnungen des § 28. bei- 
behält : 

Endlich geht die Invariante {aaY über in 

(wenn wir die Invarianten ohne Index auf f beziehen), und die 
Discriminante wird, mit üebergehung des Nenners 8: 

JH — i i in . 

Nun wird in der Theorie der biquadratischen Formen gezeigt 
werden, dass 

die Discriminante kann also mit üebergehung eines Nenners 3 durch 
ersetzt werden. 



Vierter Absclmitt. 

Theorie der Formen zweiter, dritter und vierter Ordnung. 



§ 30. Ueberschiebiingen. 

Schon im Vorigen wurden gewisse Arten von Bildungen für Co- 
varianten und Invarianten wiederholt benutzt. Wir wollen diese nun 
genauer studiren; zunächst insoweit die Kenntniss ihrer Eigenschaften 
für die Untersuchung der Formen zweiter^ dritter und vierter Ord- 
nung nothwendig wird. 

Die einfachste Art, aus zwei Formen 

(p = cp^rn 

durch Anwendung dieser Symbole Covarianten zu erzeugen, besteht 
darin, dass man den Ausdruck bildet 

(1) T\={(p ipy gj/" - ^- ^t^" - ^• 

und zwar entstehen so offenbar die einzigen Formen, deren symboli- 
scher Ausdruck die Symbole von cp sowie von jp nur einmal ent- 
hält. * 

Der Ausdruck (1) besitzt die Invarianteneigenschaft; er ist für die 
Coefficienten von cp und i^ linear. Die Zahl k kann von (wo man 
das Product von q) und ip erhalten würde) bis zu derjenigen der Zah- 
len m und n gehen, welche die kleinere ist, beziehungsweise, wenn 
m und n gleich sind, bis zu diesem Werthe, wo dann die Invariante 

{(p ipY" 

entsteht. 

Die Bildung (1) soll als A'*^ lieber Schiebung von cp über ;/; 
bezeichnet werden. Man kann sie auf eine Combination der Differen- 



* Diese Bildungen sind von Cayley, fourth memoir upon quantics, angege- 
ben und behandelt worden; sie sind zugleich der einfachste Fall der von A ron- 
hold (Borchardt's Journal Bd. 62) betrachteten „Fundamentalinvarianten". 



100 • Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

tialquotienten von (p und ^ zurückführen 5 denn da aus der symboli- 
schen Form von (p und ^ folgt, dass 

so ergiebt sich aus der Auflösung der Potenz von (<5P^) in (1) die 
Gleichung : 

^2) ff = - . 

d''(p d^i; h d^(p d^tl^ , ^ 1^t^^9^ ^''t) 



Idx 



...{-ly 



Bei Ä;=l erhält man die Functionaldeterminante der beiden Formen: 

bei 1^ = 2 einen der Invariante zweier quadratischen Formen analog 
gebildeten Ausdruck 



m.m—-l.n.n—l\dx^dx^^ dx^dx.^dx^dx^ dx^dx^^S 

u. s. w. 

Diese Bildungen stehen in einem genauen Zusammenhange mit 
der Operation J , welche in § 6. die Polaren ergab. Wendet man 
diese Operation auf (p in seiner symbolischen E'orm an, so erhält man 
sofort : 

^ (p == (pj"~'^ (py 

zJ^(p=q)^^-'^(p,/ 



Man erhält also die Ueberschiebungen von f über g), 
wenn man in den Polaren von q) die Veränderlichen y^, y^ 
durch die Symbole ^2; ~^i ^^^ ^ ersetzt und die ent- 
sprechende Potenz von 1/;^ als symbolischen Factor hinzu- 
fügt. Man hat nämlich so 

aus ziep: {(pilj) cpj:'"^—'^\l)J'—^ 



Statt zweier Formen cp^ ijj kann man auch zweimal dieselbe Form f 
benutzen, also diese über sich selbst schieben. Aber alsdann reducirt 
sich die Anzahl der Ueberschiebungen; es verschwinden alle diejeni- 
gen, für welche Ic eine ungerade Zahl ist, weil diese Formen durch 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 30. 101 

Vertauschung der beiden jetzt gleichbedeutenden Symbole das Vor- 
zeichen ändern. Aus einer Form 

ergeben sich also folgende Ueberschiebungen der Form über sich 
selbst : 

{al)^ «,"-2 &.,''-2, [ahy fl.,"-^ 6.,'-S {ahYa^^-^ 6^«-6. . . . 

Es sind dies die Covarianten bez. Invarianten zweiten 
Grades in den Coefficienten, welche die Form f zulässt. 
Denn eine Covariante, welche in den Coefficienten von f nur vom 
zweiten Grade ist^ kann nur zwei Arten von Symbolen, etwa a, h, 
enthalten, und also keine anderen symbolischen Determinantenfacto- 
ren, als eine Potenz von {al}). 

Unter diesen Covarianten hat die ei^te ein besonderes Interesse. 
Sie ist nach (2) gleich 

n^. {n-lf Idx^^ dx^ \dx^ cxj y 

unterscheidet sich also nur durch einen numerischen Factor von der 
Determinante der zweiten Differentialquotienten von /": 

C X-t ß X-t C Xg 

c'-f c^f 



CXy CX2 dx. 



welche nach ihrem Entdecker die Hesse' sehe Form genannt wird. 

Indem man von einem gegebenen Functionensystem ausgeht, kann 
man zunächst die Formen des Systems über sich selbst und über ein- 
ander schieben. Man gewinnt hierdurch ein einfaches System von 
Invarianten und Covarianten, und indem man die letzteren dem Sy- 
steme der gegebenen Formen hinzufügt und auch sie bei den Ueber- 
schiebungen benutzt, erhält man weitere Bildungen, welche immer 
in gleicher Weise zur Erzeugung neuer Gebilde verwerthet werden 
können. 

Man sieht, dass auf diese Art eine Reihe von Bildungen entsteht, 
die ein gemeinsames Bildungsgesetz haben; ein Gesetz, welches sowohl 
durch die symbolische Formel (1) ausgedrückt werden kann, als durch 
die von der symbolischen Bezeichnung ganz unabhängige Formel (2). 

Diese Bildungen erhalten eine hohe Wichtigkeit dadurch, dass, 
wie man nachweisen kann, alle Invarianten und Covarianten 
einer Function oder eines simultanen Systems sich aus 
Ueberschiebungen zusammensetzen lassen. Die Operation 
des Ueberschiebens liefert also sämmtliche Invarianten und Covarian- 
ten ebenso, wie die symbolischen Bildungen, welche in § 12. geschil- 



102 Vierter Absclmitt. Theorie der Formen 

dert wurden, aber sie liefert dieselben in einer einfacheren und über- 
sichtlicheren Gruppirung. 

Ich werde jetzt eine Reihe von Sätzen geben, welche den Zu- 
sammenhang des Ueberschiebungsprocesses mit den allgemeinen sym- 
bolischen Bildungen zum Gegenstande haben. 



§ 31. Ziirückfiihrung aller Covarianten nnd InYarianten auf 
Uelberschiebungeii. 

1. Jede Covariante oder Invariante TT einer Form 
oder eines simultanen Systems, welche in Bezug 
auf die Coefficienten einer Grundform n^^"^ Ordnunor 
f Yom m*®° Grade ist, entsteht durch Ueberschiebun- 
gen von /' mit Covarianten, welche in Bezug auf 
die Coefficienten von /' nur vom (m — 1)*®" Grade 
sind.* 
Um diesen Satz zu beweisen, nehme ich an, es sei irgend eine 
Covariante oder Invariante TT in symbolischer Darstellung gegeben. 
Irgend eine der symbolischen Coefficientenreihen, die von / in der- 
selben herrühren, sei a^, a^. Schreiben wir überall statt a^, a.^ zwei 
neue V^eränderliche, y,^ und — ^i, und lassen die Potenz von {xy) aus, 
welche dabei etwa von einer Potenz eines symbolischen Factors a,x in 
TT herrührt, so entsteht eine Function '9', welche zwei Reihen von Ver- 
änderlichen enthält, die ursprünglichen x^^ x.^^ und die jetzt eingeführ- 
ten y^^ ^2 5 welche ferner die Coefficienten von /'nur noch zur (^n— 1)*®" 
Dimension enthält. 

Aber es wurde in den §§ 7. 8. gezeigt, dass eine solche Form 0- 
sich aus der identischen Covariante {x%j) und aus den Polaren gewisser 
Functionen mit nur einer Reihe von Veränderlichen zusammensetzt. 
Denn nach Formel (7) des § 8. hat man, wenn /Lt und v die Ord- 
nungen von %" in Bezug auf die x und die y bezeichnen: 

Stellen wir nun die Formen 
durch die Symbole 



* Die in diesem und dem folgenden Paragraphen gegebenen Sätze und Me- 
thoden gab zuerst Herr Gordan in Borchardt's Journal Bd. 69 und im 2. Bande 
der Mathematischen Annalen. Die letztere Abhandlung insbesondere ist auch in 
den folgenden beiden Abschnitten vielfach benutzt. 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§30, 31. 103 



dar, so ist nach dem vorigen Paragraphen 



und der Ausdruck für 0- wird also: 

^ = ^/ (f/ + <' " i^y) t.f'-HV- ' + «2^' ^ (^yY tr^~-Xy"-- + • • • • 

Will mau nun von dieser Darstellung der Function O- zu der 
Function TT zurückgehen, so hat man» nur wieder y^ und y^ durch 
— a.2 und a^ zu ersetzen, und mit a.r"""*' zu multipliciren. Man erhält 
sodann für die gegebene Function TT den Ausdruck: 

welcher in der That eine Summe von Ueberschiebungen ist, wie der 
Satz es verlangt. 

Die Bildung von TT ist also auf die Ueberschiebungen von f mit 
den Covarianten 

^y t, X" 
zurückgeführt, welche für die Coefficienten von f nur vom (wi— 1)*^" 
Grade sind. Zur Charakterisirung der dabei auftretenden Ueberschie- 
bungen dient die folgende Bemerkung: 

2. Die Ordnung der höchsten Ueberschiebung, 
welche zur Bildung von TT hier nöthig ist (y), ist 
die Zahl, welche angiebt, wie oft das herausgeho- 
bene Symbol (a) in symbolischen Determinanten- 
factoren auftritt. 
Eine Ableitung einer Form TT aus Formen, welche die Coefficien- 
ten von f in einer um die Einheit niedrigeren Dimension enthalten, 
ist auf so viel verschiedene Arten möglich, als verschiedene Symbole 
von /" in TT auftreten. 

Der vorstehende Gedankengang wird übrigens in keiner Weise 
geändert, wenn man nicht ein Symbol a einer der Grundfunctionen, 
sondern ein Symbol irgend einer Covariante 6 = 0^"' heraushebt, 
welche in der symbolischen Darstellung von TT etwa vorkommt. Man 
hat dann die Formel 

und kann daher auch den Satz aussprechen: 



104 " Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

3. Jede Covariante TT, welche in ihrer symboli- 
schen Darstellung etwa ein Symbol einer Covariante 
6 enthält, entsteht durch üeberschiebungen von 6 
mit anderen Covarianten. 

Stellen wir uns nun vor, eine gegebene Covariante oder Invariante 
TT werde zunächst vermittelst der Formel (1) aus einer Reihe von Co- 
varianten abgeleitet, welche die Coefficienten von f in einer um 1 
niedrigeren Dimension enthalten; auf diese wendet man dasselbe Ver- 
fahren an und fährt so fort, bis keine Coefficienten von /' mehr vor- 
kommen. Man hat so den Satz: 

4. Jede Function TT entsteht durch wiederholtes 
U eberschieben von / über Covarianten, welche die 
Coefficienten von /' nicht mehr, sondern nur noch 
die der übrigen Filnctionen des gegebenen Systems 
enthalten. 

Diese Covarianten, welche die Coefficienten der einen Form f 
nicht mehr enthalten, seien P, Q^ R... . Die gegebene Function TT 
ist also zurückgeführt auf wiederholte üeberschiebungen von /' mit P, 
Qy R ... . Es ist also TT in eine Reihe von Covarianten zerlegt, deren 
jede ausser den Symbolen von f ein Symbol je einer der Formen P, 
Qj R... enthält. Betrachten wir eine, etwa die erste, dieser Co- 
varianten. Sie entsteht nach dem dritten Satze dieses Paragraphen 
durch Ueberschiebung von P über eine Form, Avelche nun nur noch 
die Symbole von f enthält, also eine Covariante von /" allein. Man 
darf demnach sagen: 

5. Jede Covariante oder Invariante eines simul- 
tanen Systems entsteht durch üeberschiebungen 
von Covarianten einer Form des Systems mit Co- 
varianten, welche nur die Coefficienten der übri- 
gen enthalten. 

Man erhält hieraus sofort einen Ueberblick über die Art and 
Weise, in welcher die Bildung der Covarianten und Invarian- 
ten eines simultanen Systems geschieht. Man bildet zuerst die 
Covarianten und Invarianten aller einzelnen Formen ; schiebt dann die 
Covarianten der ersten Form über die der zweiten, sodann die resul- 
tirenden Covarianten über die Covarianten der dritten, die so erhal- 
tenen Resultate über die Covarianten der vierten u. s. w. Nur ist 
dabei zu beachten, dass als Covarianten dabei nicht nur die einfachen 
und unzerfällbaren Covarianten einer Form, sondern auch ihre Potenzen 
und deren Producte sowohl unter einander, als mit ihrer Grundform 
und "deren Potenzen verstanden werden. 

Gelangte man zu diesen Sätzen, indem man einer gegebenen Co- 
variante oder Invariante TT die Symbole einer bei ihrer Bildung be- 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 31. 105 

nutzten Grundfunction entzog^ so kann man nun überhaupt fragen, 
was übrig bleibt, wenn man einer Function TT eine Anzahl von Sym- 
bolen entzieht, mögen dieselben von einer oder von verschiedenen 
Grundfunctionen oder endlich von Covarianten derselben herrühren. 
Die Formel (1) führte nach Entziehung eines Symbols auf die^ For- 
men (pj tl^, X'" • Die symbolischen Darstellungen dieser Formen haben 
offenbar alles das gemein, welches bei dem üebergange von TT zu 0" 
und bei der Anwendung der Operationen D und ^ nicht verändert 
w^urde. Dieses Gemeinsame ist nichts anderes, als das Product der- 
jenigen in TT auftretenden symbolischen Determinanten, welche das 
entzogene Symbol a nicht enthalten. 

In ähnlicher Weise werden w^ir, wenn wir den Formen <jp, i^, %... 
ein weiteres Symbol h entziehen, auf eine Reihe von Formen geführt, 
welche nur noch diejenigen in TT auftretenden symbolischen Determi- 
nanten als gemeinsamen Factor enthalten, in denen auch das Symbol 
h nicht vorkommt. 

Fahren wir so fort, so erhalten wir folgenden Satz: 

6. Eine Covariante oder Invariante TT, welche ein 
gewisses Product P symbolischer Determinanten- 
factoren enthält, kann immer durch Üeberschiebung 
mit Covarianten erzeugt werden, welche das Pro- 
duct P und ausser den in ihm vorkommenden keine 
weiteren Symbole enthalten; TT ist also in eine An- 
zahl von Theilen zerlegbar, deren jeder die Coef- 
ficienten wenigstens einer dieser Covarianten in 
homogener Weise enthält. 
Wir wollen nun annehmen, es sei eine Invariante oder Covariante 
TT gegeben, welche die Coefficienten der simultanen Formen 

f, f, t-.., F, 0, W... 

enthält, und denken wir uns der Einfachheit wegen dieselbe als ein 
symbolisches Product; wäre sie es nicht, so könnten wir sie doch in 
solche Theile zerlegen und diese einzeln behandeln. Entziehen wir 
dem symbolischen Producte allmälig alle von f, cp, xl),.. herrührenden 
Symbole, so erkennen w^ir, dass TT durch successive Ueberschiebungen 
dieser Formen /", ^, ^... über Formen erhalten wird, welche nur von 
F, Q, W ... abhängen, also über simultane Covarianten von F, Q, W — 
Diese seien P, (?, P... '. Man kann also TT als Aggregat von Formen 
darstellen, welche nur die Symbole von f, cp, ip ... und je einer der 
Formen P, Q, R... enthalten. Demnach entstehen diese Theile von 
TT durch Ueberschiebungen je einer der Formen P, ^, R ... über For- 
men, welche nur von /*, cp, xIj... abhängen, d. h. über simultane Co- 
varianten von /*, (pj f ... . Und man kann also den Satz aussprechen; 



106 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

7. Jede simultane Covariante von 

entsteht als Aggregat von Ueberschiebungen simul- 
taner Covarianten von f, (p, ip... über simultane Co- 
varianten von F, 0, W.... 
Dieser Satz wird später als die Grundlage der Untersuchung si- 
multaner Formen benutzt werden. 



§ 32. Covarianten und Inyarianten einer binären Form. 

Man ist durch das Vorhergehende in den Stand gesetzt, auch für 
die Bildung der Covarianten und Invarianten einer Form /' ein ge- 
wisses Schema sich zu entwerfen. Man bildet zunächst aus f, indem 
man es über sich selbst schiebt, die Formen zweiten Grades in den 
Coefficienten, welehe schon oben (pag. 101.) angegeben wurden und 
zu denen nur noch die nullte Ueberschiebung von /' über sich selbst, 
nämlich sein Quadrat, hinzuzufügen ist. Sodann schiebt man f über 
alle diese Formen mal, l mal, 2 mal u. s. w., was dann die Gesammt- 
heit aller Invarianten und Covarianten ergiebt, welche vom dritten 
Grade in den Coefficienten sind, und in gleicher Weise geht man zu 
Bildungen vierten etc. Grades über. 

Die Bildungen, welche man erhält, sind freilich noch unendlich 
an Zahl; es sind noch verschwindende und zerfallende unter ihnen, 
sowie solche, welche sich durch andere ausdrücken lassen. Von die- 
sen Gesichtspunkten wird später ausführlicher zu reden sein. Hier 
mögen nur zwei Momente hervorgehoben werden. Einmal, dass hier 
als die natürliche Anordnung aller Bildungen die nach ihrem Grade 
in den Coefficienten erscheint, nicht die nach ihrer Ordnung in den x. 
Zweitens, dass die Invarianten eine eigenthümliche Stellung einneh- 
men, insofern sie üeberschiebungen nicht zulassen. Eine Invariante 
bildet daher immer den Schluss einer Reihe von Bildungen ; sie giebt 
zu weiteren Bildungen von höherem Grade in den Coefficienten nicht 
mehr Veranlassung. 

Um die Anordnung aller auf dem Wege des Ueberschiebens er- 
haltenen Bildungen in vollständig bestimmte Reihenfolge zu bringen 
und auf diese Art ein deutliches Bild des ganzen Systems zu gewin- 
nen, wollen wir Folgendes festsetzen: 

1. Die Formen werden zunächst nach ihrem Grade in den Coef- 
ficienten geordnet, wie oben gesagt wurde. 

2. Innerhalb der Formen von gleichem Grade m kommen zuerst 
alle diejenigen, welche aus den Formen (m— 1)*®^ Grades durch die 
nullte Ueberschiebung (Multiplication) mit f entstanden sind, dann 
diejenigen, welche durch die erste Ueberschiebung entstehen u. s. w. 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§31, 32. 107 

3, Innerhalb einer dieser kleineren Gruppen folgen die Bildungen 
einander, wie die Formen (m— 1)*®° Grades, aus denen sie entstan- 
den sind. 

Bezeichnet man also die Formen (m— 1)*®^ Grades in den Coef- 
ficienten, auf welche dieser Process bei einer Form / von der w**"^ 
Ordnung führt, etwa durch: 

so ist die Reihenfolge der Formen m*®^ Ordnung: 

(1) (a9)aa:"-i9)«-S {a^)aj,"-'il^J-\ {a%) aJ^-'^xJ-K.., 
ia (pY a^«-2 9)^«--^, (a ^f a,«-^ i^J-^^ , (a xf a,«-^ xJ-'' . . . , 
u. s. w. 

Das ganze auf diese Weise aus f entwickelte Formensystem soll 
das System A genannt werden. 

Wenn aber oben bewiesen wurde, dass man alle Formen über- 
haupt aus den Formen dieses Systems zusammensetzen kann, so wird 
auch offenbar keine Form übergangen, wenn man an Stelle jeder 
Form dieses Systems eine Combination derselben mit denjenigen For- 
men setzt, welche in dem System ihr vorangehen. Dies führt zu fol- 
gender wichtigen Betrachtung. 

Eine Ueberschiebung von f über eine gegebene Form TT führt 
im Allgemeinen, wenn TT durch andere Symbole gegeben ist, auf eine 
Summe symbolischer Producte, wobei es ganz gleichgiltig ist, ob 
diese anderen Symbole solche von f selbst oder von irgend welchen 
Covarianten sind. In der That folgt dies schon daraus, dass von TT 
zunächst eine Polare gebildet werden muss, wobei dann immer der 
Differeuziationsprocess eine Anzahl von Gliedern hervorruft, wenn nicht 
etwa die Ordnung der Polare in den y die möglichst höchste ist, 
nämlich gleich der Ordnung von TT in den x. 

^ Jedes Glied^ der hierbei aus TT gebildeten Polare ist eine Form 
-9-, wie sie in § 30. gebraucht wurde 5 welches Glied man aber auch 
wähle, immer geht es in TT selbst über (bis auf einen nicht, ver- 
schwindenden numerischen Factor), wenn man die y wieder durch die 
X ersetzt. Wendet man also auf ein Glied der i>*®° Polare von TT die 
Formel (1) § 30. an, so ist immer D'^O- wieder TT, bis auf einen nicht 
verschwindenden Factor. 

Geht man dann zu der Formel (2) jenes Paragraphen über, so steht 
links eine Form, welche entsteht, wenn man in einem Gliede der Polare 
2/1, ^2 durch «^, —«1 ersetzt und mit der betreffenden Potenz von a^ 
multiplicirt ; rechts steht die entsprechende Ueberschiebung, und so- 
dann niedere Ueberschiebungen über Formen von gleichem Grade wie 
TT, also Formen, welche in der oben festgestellten Reihenfolge der 
Formen der an erster Stelle stehenden Ueberschiebung vorangehen. 



108 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Man kann also statt dieser üeberschiebung den links befindlichen 
Ausdruck setzen. Ein solcher Ausdruck soll als Theil einer Üeber- 
schiebung bezeichnet werden; eine Bezeichnung, welche später in 
grösserer Ausdehnung eingeführt und erläutert werden wird. Die obigen 
Betrachtungen lassen sich dann in folgenden Satz zusammenfassen: 

Das System A hört nicht auf, alle Formen zu ent- 
halten, oder vielmehr alle nur denkbaren Covarian- 
ten und Invarianten mittelst numerischer Factoren 
linear aus seinen Formen zusammensetzen zu las- 
sen, wenn man die v^^ üeberschiebung ii von /"mit 
einer Form TT durch einen ihrer Theile, ^^, ersetzt. 
Aber andererseits kann man zu weiteren Ueberschiebungen jetzt 
sich dieser Form ß^^ bedienen, statt der aus TT zu bildenden üeber- 
schiebung P^. Denn da Sl^ sich von Sl nur durch frühere Formen 
des Systems A unterscheidet, so kann auch die üeberschiebung von 
5^0 mit f von der üeberschiebung von Sl mit / nur um frühere For- 
men des Systems A verschieden sein. 

Man erhält also alle Invarianten und Covarianten von/" 
(worunter ich die Formen verstehe, aus denen alle möglichen sich 
mittelst numerischer Factoren linear zusammensetzen lassen), wenn 
man bei der Aufstellung der Tafel J. die Operation des v*®" 
üeberschiebens von /'mit TT überall ersetzt durch die Ope- 
ration, dass aus der i^*«" Polare von TT irgend ein Glied ge- 
nommen wird, in diesem y^, y.^ durch a^, —a^ ersetzt wer- 
den und mit «./'—" multiplicirt wird.* 

* Beispiel : Es soll f=. aj* über die Covariante zweiten Grades 

zweimal geschoben werden. Man bildet die Polare: 
'" ~2 , 2 .. w — 3 



(alYaJ-'hJ'-'{ah+ha). 



2 n — 4 ' ' ^ ^ \'x y ' X y 

Da die Symbole a, h vertauschbar sind, so kann man hierfür setzen: 

Bildet man nun wieder die Polare hiervon, also die zweite Polare der Co- 
variante, so hat man: 

^^(«6f |(«-2)a/-ä6,;--^flj,6j + (»-3)a/-H;-''6/|. 

Man erhält die gesuchte Bildung, wenn man hierin ^/i, y% durch Cg, —c^ ersetzt 
und mit cj'""^ multiplicirt, also: 

eine Form, welche aus den beiden Formen 

ia hf (« c) {b c) a ;' ^ '^ &/ " ^ c/ " ^ 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § Sä. 109 

Man erkennt hieraus, wie wandelbar das Formensystem Ä ist, 
und wie mannigfache Veränderungen in demselben vorgenommen wer- 
den können, ohne dass weder die Vollständigkeit Abbruch, noch 
eigentlich die Reihenfolge der Formen eine Veränderung erleidet. 

Die Vortheile, welche die Ersetzung des Ueberschiebens durch 
die eben geschilderte Operation hat, sind mannigfaltig. Zunächst 
sieht man, dass es bei der neuen Form der Operation möglich ist, 
die ganze Tafel aus Formen zusammenzusetzen, welche in den Sym- 
bolen von f einfache symbolische Producte, nicht aber Summen von 
solchen sind. In der That hat man, um von den Formen {m — iy^^ 
Grades za denen des -m^^"^ Grades überzugehen, nur in jeder Form 
(m — l)*^° Grades beziehungsweise in 1, 2... der linearen symbolischen 
Factoren x^, x,^ durch «o; —a^ zu ersetzen und mit 6r.r"~S a.r"~'*... 
zu multipliciren. 

Stellt es sich hierbei heraus, dass man auf irgend ein symboli- 
sches Product kommt, welches entweder identisch Null oder aus frü- 
heren Formen der Tafel linear zusammensetzbar ist, so kann man das- 
selbe ganz übergehen; denn Alles, was aus ihm entstehen könnte, 
wäre immer aus Formen zusammensetzbar, welche der jedesmal behan- 
delten Bildung in dem ursprünglichen oder dem modificirten Systeme 
A vorangehen. 

Man kann sich von diesem Standpunkte aus eine Vorstellung 
bilden über die Lösung des wichtigsten Problems, welches diese Theorie 
zu lösen hat, nämlich der Aufstellung eines vollständigen Sy- 
stems von Invarianten und Covarianten einer Form; d. h. 
eines Systems solcher Covarianten und Invarianten, als deren ganze 



zusammengesetzt ist. Die letzte Form fällt fort, wenn m<<4, und die Untersuchung 
der Bildung mag für diesen Fall damit abgeschlossen sein. Ist dagegen w^4, so 
kann man der ersten mit Anwendung der Identität § 15. IL auch die Gestalt geben : 

\ {ahf a;-' 5/-* C/-2 {{acf bj + (bcf «/- (ahf cj\ , 
oder, da die ersten beiden Theile identisch sind: 

so dass die gesuchte Ueberschiebung auch die Form annimmt: 

(ahf ibof «;■-' 6/-* o/-^ - j^ (ah)* a^-* b^'- f- 
Diese Bildung besteht aus dem Producte der früheren Formen 
f, {ab)*af-Hj'-\ 

{ab)\bcfa:-H,"-*c:-\ 



und aus dem Theile 
welcher aus dem Gliede 



(«0) «X ^x ^ 



y 
der zweiten Polare entsteht, indem man 3/1, 3/2 durch Cg, — Ci ersetzt und mit 

cj*""^ multiplicirt. 



110 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

rationale Function mit numerischen Coefficienten eine jede Invariante 
oder Covariante von /' sich darstellt. Es giebt, wie sich zeigen wird, 
immer ein endliches System, welches dieser Bedingung genügt; dasselbe 
ist nicht völlig fest, insofern Formen gleichen Grades und gleicher Ord- 
nung dabei verschiedenartig combinirt werden, und höhere Formen 
durch Hinzufügung von Potenzen und Producten niederer modificirt wer- 
den können. Doch genügt es offenbar in jedem Falle, wenn man ein 
vollständiges System aufgestellt hat. Solche Systeme sind ganz ver- 
schiedenen Charakters für Formen verschiedener Ordnungen, und die 
Bildung derselben erfordert jedesmal besondere Betrachtungen. Aber 
um den Beweis zu liefern, dass ein solches System, wenn es gegeben 
vorliegt, wirklich alle Bildungen umfasst, welche zu berücksichtigen 
sind, bedürfen wir jedesmal nur der oben entwickelten allgemeinen 
Sätze. Sei 

^1 ; ^2 ? • • • -^vj ^1, B^, . . . B(J 
das fragliche System von Covarianten und Invarianten, wobei die Ä 
Covarianten, die B Invarianten bedeuten sollen. Jedenfalls enthalten 
diese Formen die Form f selbst, und da dieses die einzige Form 
ersten Grades in den Coefficienten ist, welche man überhaupt bilden 
kann, so enthält das System der Äi und Bi in der That alle Formen 
ersten Grades. Nehmen wir nun an, dass für alle Formen bis zum 
(m — 1)*®" Grade inclusive die Formen J.«, Bi das vollständige System 
in der That bilden, und beweisen wir, dass dieses dann auch noch 
für die Formen m*®^ Grades in den Coefficienten gilt, so ist die Voll- 
ständigkeit des Systems der Ai, Bi allgemein nachgewiesen. 

Man hat also nur zu zeigen, dass die Ueberschiebungen von f 
über Producte (m — l)*^'^ Grades von der Form 

(denn so nur entstehen nach dem Obigen Formen m*®^ Grades) wie- 
der ausschliesslich auf Formen führen, welche durch Aggregate von 
Producten der Äi und Bi ausdrückbar sind. Dabei kann man aber 
wieder die Operation des üeberschiebens durch die oben entwickelte 
Modification ersetzen, nach welcher man nur in X < n symbolischen 
linearen Factoren von TT die x durch ao, —a^ ersetzt und mit a^"~"^ 
multiplicirt. Indem man die hierzu auszuwählenden symbolischen Fac- 
toren auf einige der in TT auftretenden Covarianten zusammendrängt, 
sieht man, dass es sich nur noch um eine beschränkte Anzahl von 
Bildungen handelt, av eiche zu untersuchen sind und welche als aus 
Producten der Ä, B zusammensetzbar nachgewiesen werden müssen; 
eine endliche Anzahl, welche durch geschickte Anordnung möglichst 
zu verkleinern ist. 

Auf diese Weise wird der betreffende Beweis unten bei den For- 
men dritter und vierter Ordnung geführt werden. 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §33. 111 

§ 33. Die binären Formen zweiter Ordnung. * 

Die vorstehend entwickelten Gesiclitspunkte genügen, um voll- 
ständig die Formen zweiten, dritten und vierten Grades zu behan- 
deln, welche durch ihren Zusammenhang mit der Auflösung der Gleich- 
ungen zweiten, dritten und vierten Grades ein besonderes Interesse 
haben. Indem ich zu der Behandlung dieser Formen jetzt übergehe, 
wird sich zugleich die i\.uflösung dieser Gleichung ihrer wahren Natur 
nach herausstellen 5 zugleich aber werden die für die Begrenzung der 
entstehenden endlichen Anzahl von Covarianten und Invarianten zu 
führenden Beweise die oben entwickelten Principien erläutern. 

Was die quadratischen Formen betrifft, welche durch die sym- 
bolischen Ausdrücke 

f=aj = -bj'... 

definirt sind, so ist schon wiederholt von der Invariante 

die Rede gewesen, welche durch die zweite Ueberschiebung von f 
über sich selbst entsteht. Der pag. 41. gegebene Satz, dass jedes einen 
Factor {ah)-'"~'^ enthaltende symbolische Product auch so dargestellt 
werden kann, dass es (aft)-"* enthält, lehrt nun sofort, dass jede Co- 
variante oder Invariante TT von f, welche überhaupt symbolische De- 
terminantenfactoren ergiebt, immer D als Factor enthält. Jede solche 
Form TT zerfällt also in das Product von D mit einer in den Coef- 
ficienten niederen Form, und man sieht also, dass jede Form TT aus 
einer Potenz von D bestehen muss, multiplicirt mit einer Form, welche 
keine symbolischen Determinantenfactoren mehr enthält, also eine Po- 
tenz von f ist. 

Und so hat man den Satz: 

Eine Cj[uadratische Form besitzt keine Cova- 
riante und nur eine Invariante, nämlich D. 

Diese Invariante ist selbstverständlich zugleich die Discriminante, 
was auch mit ihrem Grade in den Coefficienten übereinstimmt und 
ausserdem in § 29. bereits gefunden wurde. 

Die allgemeinste Form der J^uflösung einer c[uadratischen Gleich- 
ung /*= 0, d. h. die Aufsuchung ihrer linearen Factoren in symmetri- 



* Die hier folgenden Auflösungen der Gleichungen zweiten, dritten und vier- 
ten Grades gab Herr Cayley im Wesentlichen schon im fifth memoir upon Quan- 
tics, Phü. Trans, vol. 148. Die Untersuchung des Formenzusammenhangs, ins- 
besondere die Amv^endung des Processes 8 bei den cubischen und biquadratischen 
Formen, entstand aus Uebertragung einer von Herrn Aronhold im 55. Bande des 
Borchardt'schen Journals bezüglich der ternären cubischen Formen gegebenen Me- 
thode. 



112 ' Vierter Abschnitt. Theorie der Foraiien 

scher Gestalt, knüpft an die symbolische Darstellung von JD unmittel- 
bar an. Quadriren wir die Identität 

a.r'by — hjcay = (ah) (xy), 

^ und lassen wir a und h dann Symbole von f bedeuten , so erhalten wir : 

(1) D . (xyY = aj . h,/ — 2aa:ay.h^l)y + a/ . hj. 

Rechts ist der erste Term mit dem dritten identisch; a/ oder hjc^ 
ist die Form f selbst^ ay^ oder &/ dieselbe Form mit willkürlichen, 
etwa constant zu denkenden Argumenten y geschrieben, was durch 
f^ bezeichnet werden mag; endlich ist 

acctty^hjchy 

das Quadrat des in den x linearen i^usdrucks (p — axCiy- Man erhält 
daher aus (1): 

f= — f — 

Die rechte Seite ist hier ohne Weiteres in Factoren zerfallbar, und 
man hat also: 

\fp + {^y)y -^\^ 'yp-i.xy)]/ -'2] 

Die Auflösung der Gleichung {=^0 besteht darin, dass man einen 
ihrer linearen Factoren gleich Null setzt, also entweder 

<P + (^y)]/-2' = ^ oder 

9^-(^y)J/ --2=^7 

und das Yerhältniss der x daraus bestimmt. 

Ist 

J — — (t,\X-t "p" iJ CIa JÜi JÜ;.) ~Y~ (A/2Xii , 

so ist 

^ = («0 yi + (^1 ^2) ^1 + (^1 ^1 + «2 y2) ^2 7 

I) = 2 {a^a.2 — a^). 

Die Auflösung der Gleichung f= findet man also aus der linea- 
ren Gleichung: 

K2/1 + ^1 ^2) ^1 + (ö^i^i + 0^2 ?/2) ^2 ± C^i y-i — 2/1^2) V(^i- «0^2 == <^; 

aus welcher folgt: 



^'1 ^ ^1 yi + a, y^ '-]- yi V(^i'- % ^2 . 

^2 %y^ + ö^i2/2 ± 2/2 V(^i- «0^2 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 33. 113 

Die Grössen y haben nur scheinbar Einfluss auf den Werth dieses 
Ausdrucks und dienen nur dazu, gewissermassen alle Formen gleich- 
zeitig darzustellen, welche die Auflösung anzunehmen vermag; jede 
besondere Form derselben erhält man, indem man den y specielle 
Werthe beilegt. Aber unter diesen Formen ist keine, welche vor der 
andern besondere Vorzüge hat. 

Die geometrische Betrachtung, durch welche diese Auflösung der 
quadratischen Gleichungen interpretirt werden kann, ist folgende. Die 
vier Elemente 

{xy)=0 (der Punkt?/), 
(jp = 0. 






von denen die beiden letzten die Factoren von f geben, bilden ein 
harmonisches System. Indem man also ein beliebiges Element y an- 
nimmt und zu ihm und denen, für welche f verschwindet, das vierte 
harmonische sucht, erhält man das Element ^ = 0. Legt man diese 
beiden zu Grunde, indem man etwa 

ixy) = ^, (p = 7] 
setzt, so gehören die Elemente, für welche f verschwindet, einer In- 
volution an, welche ^ = und 7^ = zu Doppelelementen hat (§25.). 
Diesem Umstand entsprichj; es, dass die Gleichung qp = in die reine 
quadratische 

übergeht, und indem man 

daraus findet, erhält man das besondere Elementenpaar der Involution, 
für welche das Verschwinden von f eintritt. 

Bei positivem Werthe der Discriminante sind die Wurzeln einer 
quadratischen Gleichung mit reellen Coefficienten conjugirt imaginär, 
bei negativem reell. 

Die binären Formen zweiter Ordnung enthalten nur einen spe- 
ciellen Fall, den nämlich, in welchem die Discriminante verschwindet 
und f ein volles Quadrat wird. Für die Auflösung tritt dann an Stelle 
von f= die lineare Gleichung (p = 0, deren linke Seite mit f in 
diesem Falle durch die Gleichung 

/o 
verbunden ist. 

Clebsch, Theorie der binären algebr. Forraeu. O 



114 Vierter Absclinitt. Theorie der Formen 

§ 34. Covarianten und InTarianten der cubischcn Formen. 

Eine cubisclie Form f besitzt nacli § 30. zunächst eine Form 
zweiten Grades in den Coefficienten, welche zugleich von der zweiten 
Ordnung ist, die Form 

(1) A = {ahYa^h:,. 

Bedenkt man, dass aus jeder einer Form (n— 1)*®^ Ordnung zu- 
gehörigen Covariante oder Invariante offenbar eine einer Form w*" 
Ordnung zugehörige Covariante entsteht, indem man jedem Symbol 
entsprechend einen linearen Factor hinzufügt, so erkennt man, dass 
A sich aus der Invariante JD der quadratischen Formen unmittelbar 
ableitet, indem man nur die Factoren a^r, K derselben hinzusetzt.* 

Bezeichnen wir symbolisch die quadratische Form A durch A^^ 
oder A'^.^, so hat die dieser zugehörige Invariante, welche zugleich 
Invariante yon / ist, zunächst in den Symbolen A die Form 

(2) E=(AA7.** 

Es ist nach §29. die Discriminante von f. 

Wollen wir in dieselbe die Symbole von f einführen, so können 
wir zunächst A' herausschaffen, indem wir davon ausgehen, dass R 
aus AV entsteht, indem man x^ durch Ag, x^ durch — A^ ersetzt. 
Nimmt man nämlich für A'^^ seinen Ausdruck in den Symbolen von f: 

so findet man 

(3) E = {a})f{al\){ljh). 

Will man auch die Symbole A beseitigen, so kann man sich die 
letzte Form von U entstanden denken, indem man in A.^ A^ für 
x^y x^ die Symbole «2> ~f^i> ^^^ Vu Vz ^i® Symbole h^j —l\ setzt 
nnd dann mit {alSf multiplicirt. Schreibt man nun mit Anwendung 
neuer Symbole: 

so ist, indem man nach den x differenzirt, mit den y entsprechend 
multiplicirt und die halbe Summe der Producte nimmt: 

A.rA,j = ^{cd)^{Ca:dy + d:cCy)f 



* Ist f=aoXi^-\-SaiXi^X2 + Sa2XiOC2^-{-a3X2^, 
so hat man 



A 



«0^1 + Cli ^2 Cl\ ^1 -f" «^2^2 
«1 Xi + «2 ^2 Öt2 X^ + «3 X2 





ao 


«1 


X2' 


= 2 


«j 


«2 


- X^ X2 




«2 


«3 


X,^ 



■= 2 («0 «2 — 0^1 ^) ^1 ^ + 2 («0 % — «1 «2) x^X2 + '2L (a^ % — «2') ^a" 
** i^ = 2 1 4 («0 «2 — «1 ^) (% <*3 — «2^) — iflo dz — «1 ttif \ • 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 34. 115 

was übrigens, da die beiden Theile der rechten Seite durch die un- 
wesentliche Vertauschung von c mit d in einander übergehen, und 
also in Wirklichkeit gleich sind, durch 

(4) t,,rt^y = {cdfc^dy 

ersetzt werden kann. Man hat also, wenn man nun die oben an- 
gedeuteten Operationen ausführt, endlich ü in den ursprünglichen 
Symbolen ausgedrückt mittelst der Formel: 

(5) 2? = {ahy- {cd)^ {ac) (bd). 

Für die Berechnung von li hat die Formel (2) den Vorzug, dass 
man R aus den schon berechneten Coefficienten von A einfach zu- 
sammensetzt; aber auch für die theoretische Betrachtung ist der Aus- 
druck (2), welcher sich aus Symbolen einfacher zusammensetzt, wich- 
tiger als (3) und (5). Nicht auf die Endausdrücke durch die Coef- 
ficienten der ursprünglichen Form kommt es wesentlich an, sondern 
auf die einfachen und charakteristischen Zusammenhänge der verschie- 
deneu Bildungen unter einander. 

Da A nur eine Invariante liefert, so können neue Formen zu- 
nächst nur durch Ueberschiebung von A und f hervorgehen. Es giebt 
solcher Ueberschiebungen zwei. Die erste ist die neue Form 

(6) () = (cA)c.2A.,.* 

Man drückt sie durch Symbole von f allein aus, indem man wie- 
der von der Formel (4), jetzt in der Gestalt A,cAy = {ahYaa:hy, aus- 
geht. Setzt man in dieser y^=i — c.^, Vi — ^i ^^^ multiplicirt mit (cA), 
so geht Aa:Ay in Q über; man hat also 

(7) Q=={ahY{cb)cJa^. 

Die zweite Ueberschiebung von /" mit A verschwindet identisch 
und giebt dadurch eine charakteristische Eigenschaft von A an. Man 
hat nämlich nach (1) 

(c AY Ca, = (a hy {a c) (b c) c.r ; 
nun ändert aber das Product {al)) (ac) {hc) nur sein Zeichen, wenn 
man c mit a oder h vertauscht; es ist daher auch: 

{cAY Cr = iiah) {ac) (hc) \{ah) c^ - {ch) a^ - (ac) K\. 
Da nun nach § 15. I. der eingeklammerte Ausdruck identisch ver- 
schwindet, so hat man den zu beweisenden Satz: 

Die zweite Ueberschiebung von A mit f ver- 
schwindet identisch. 



* Ausgeführt : 

Q = (ao^aa - 3ao«i «a + 2a,3) ic,^ + 3 (,ao«i «3 - Saoaa* -f üi^az) Xi^x^ 

- 3 («0 «2 «3 - "2 «, ^ «3 + «1 «2^; "^l ^2- - («0 ff 3^ " 3 rt , «2 «3 + 2 «2^) .-^2^ 



llß Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Da ferner jeder symbolische Ausdruck, welcher den symbolischen 
Factor (c A)- enthält, durch Ueberschiebung der linearen Covariante 
(cA)^Cr niit anderen Formen entsteht, so verschwindet auch ein solcher 
Ausdruck immer, und es gilt der Satz: 

Jeder den symbolischen Factor (cAy^ enthaltende 
Ausdruck verschwindet identisch. 
Es wird sich zeigen, dass mit A, II ^ Q der Kreis von Bildungen 
überhaupt abgeschlossen ist. 

§ 35. Die Covariante Q, 

Eine wichtige Eigenschaft der Form Q tritt hervor, wenn man 
ihre erste Polare bildet. Es ist das Symbol Qjr durch die Formel 
definirt : 

e/-(cA)c/A,, 
daher hat man 

3 Q/ Qy^ (cA) \ c/Ay + 2 c. c, A, \ 

- {cA)\ 3 c/ A,, + 2 c^ {Cy A, - c^ Ay) j. 

Da nun CyA^^ — Ca, Ay— {cA) (xy) [§ 15. (VII)], so enthält der 
zweite Theil rechts {c AJ^ als symbolischen Factor und verschwindet 
demnach identisch. Es ist also die erste Polare von Q in der ein- 
fachen symbolischen Form darstellbar: 

(1) QJQy = {cA)cJA,. 

Aus dieser Formel fliessen die Ausdrücke der Ueberschiebungen 
von Q mit f. Die erste ist 

{a Q) aj QJ = [^c A) (a A) cj a/ , oder nach § 15. (II) : 
= i c, a., S {c Af aj + (a Af cJ - {a cf AJ \ 

oder endlich, da die ersten beiden Theile rechts identisch ver- 
schwinden : 

(2) {aQ)aJQJ=:-iA\ 

Ferner ist, indem man in (1) x mit y vertauscht, und a^, — ^i 
I'ii' ?/i 5 1/2 «titzt, die zweite Ueberschiebung: 

{a QY CK. Q.r = {c A) (a cf a. A., . 

Aber nach § 34. (4) wird {acYa^^eA) aus A'.^. A'y erhalten, 
wenn man y^ durch A^, 2/2 durch — A^ ersetzt. Daher ist: 

(3) {a QY a^ & = ( A' A) A, A', - , 

identisch gleich Null, weil es durch die nichtssagende Vertauschung 
von A mit A' das Zeichen ändert. 

Endlich wird die dritte Ueberschiebung: 

(4) (a QY = {c A) {a cY [a A) = B. [§ 34. (3) ] 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 34, 35. 117 

Diese Gleichung, zusammen mit (3) giebt den Satz: 

Jede Form, welche den symbolischen Factor 

{aQf hat, besitzt den wirklichen Factor R. 

Denn nach § 31. Satz 6. entsteht jeder solcher Ausdruck durch 

üeberschiebung anderer Formen über solche, welche den symbolischen 

Factor {a Qf und kein anderes Symbol enthalten, also übei* (aQf üx Qx 

und {aQf\ von diesen aber verschwindet die erste, die zweite giebt R. 

Ich bemerke, dass die Formel (2) als Folge eines allgemeinen 

Princips erscheint, wenn man den Satz beweist: 

Die Functionaldeterminante (erste Üeberschie- 
bung) einer Function mit der Functionaldeter- 
minante zweier anderen ist, wenn alle Formen von 
höherer als der ersten Ordnung sind, immer eine 
Summe von Producten niederer Formen. 
Seien, um dies zu beweisen, drei Formen von höherer als der 
ersten Ordnung gegeben: 

Die erste üeberschiebung der beiden ersten ist 

Daher die erste Polare von Q 
m-\-n — 2 

und also die erste üeberschiebung von Q mit %, welches die gesuchte 
Form ist: 

= n, + n-2 ä ^'^'-^^ ^"^^^ ^-'""' ^'-""' ^^'~' 

+ (n-1) ixl^x) (f.v"'-^ tx""-^ Xr^-^ \ . 

Nun ist nach § 15. (II) 

(9> ^) (9> l) t.r X^r = i\ {(f tf %.r' + {(f XY ^'--^ " (t XY 9^-r^! 

(^ 9^) (i^ x)^-x^ = i\ it ^Y %-- + (4^ xY ^^' - (9 xY t/ ! ; 

daher, wenn man dies einführt: 

wo 0, y, X die folgenden zweiten üeberschiebungen bedeuten: 

^=:{txYt."-'' xs^-'' 

(6) 'VI='(X^YX^'-' 9P.r'"-2 



Q^m^n-3 Q^ _ ;^f-^^ \ (m - 1) 9^.-'"- >, t. 



118 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Dies ist die im Satze erwähnte Darstellung. In unserem Falle 
ist /' für 9), A für 1/;, also Q für Q, endlich wieder f für % zu setzen, 
und m = 3, n = 2, p = 3. Es ergiebt sich ferner = 0, X = 0, 
¥-:A, und damit die Formel (2). 

Eine zweite Eigenschaft der Form Q besteht darin, dass ihr 
Quadrat sich durch A, /*, R ausdrücken lässt. Da 

so ist 

Q' ^{aA) (hA') ajbj A. A'^.. 

Setzen wir hier zunächst für (hA') a^ den Ausdruck [§ 15. (I)|: 

(aA')&x-(«6)A\., 

so zerfällt Q^ schon in das Aggregat zweier Producte: 

§2 == {a A) {a AO A, A', a:,.f-{ah) {a A) a^ hj A^ . A. 

Es ist ferner nach § 15. (II): 

{a A) {a A') A, A', = ^ j {a Af A'J + (a AJ A/ - ( A A^ aj \ , 

wo das von den ersten beiden Gliedern rechts herrührende wieder 
identisch verschwindet, und daher 

(aA) {aA') A^ A'^a^== - i R . f. 
Endlich, wenn man in 

{ah) {a A) aa:hj Ajc 

a mit h vertauscht und die halbe Summe beider Ausdrücke setzt, 
hat man: 

{a h) (aA) a.r &/ A^; = i {ab) a^; &x A^ i {a A) ha, — (h A) aj:\ 
= ^{ahya^h^. AJ = \A\ 

Die Formel für Q^ wird also 
(7) Q^ = -^\6? + It.p\ 

eine Formel, auf welcher, wie man sehen wird, die Auflösung der 
cubischen Gleichungen beruht, und welche das Quadrat der einzigen 
Form ungeraden Charakters (§ 16.) durch die Formen geraden 
Charakters ausdrückt. 

Auch diese Eigenschaft von § kann auf eine allgemeine 
Eigenschaft des Quadrats einer Fiinctionaldeterminante 
zurückgeführt werden. Behalten wir die oben gebrauchten Be- 
zeichnungen bei, so ist das Quadrat der Functionaldeterminante Q von 
(p und ip: 

Q^ = {g)t) (pa^-^tx''-^ . (9?>0 W"'^ i/'^'""^ • 

Ersetzt man (cp' tp') ip^ durch seinen Wertli nach § 15. (I): 
(9?' ^') ipjc = {(p' t) t'cv + it ^0 9^ X ? so zerfällt Q^ in die Summe 
zweier Producte: 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 35, 36. 119 

wo 

Man transformirt ferner Ä durch die Identität § 15. (II), nach 
welcher : 

(9^ 1^0 ((p' ^) 9), 9)':. - i I (9 iPY (pj-^ + (9)' ^)2 tpj - (9) 9)7 ^,2 } ^ 

und erhält, indem zwei Glieder als gleichbedeutend sich zusammen- 
ziehen [vgl. (6)]: 

^ = X.9P-iM¥, wo 

(8) M = (9^9>')-9).,— 29).;— 2. 

Dagegen vertauscht man in B tfj mit ?/.'' und ersetzt dann B durch 
die halbe Summe des ursprünglichen Ausdrucks und des neuen; es 
ist dann: 

= - i {n^ty tx^-' ^ar'"-' . 9> =- - i N 9), 

wenn 

(9) ' N = (t/;t^')-^^"--^x'"-2 
gesetzt wird. 

Man hat also endlich 

(10) Q' = -^{tAt^-2\(p^^H <p') , 

eine Formel, durch welche das Quadrat der Functionaldeterminante 
auf die zweiten Ueberschiebungen M, X, N zurückgeführt wird. 

Ganz ebenso erhält man für das Froduct zweier Functionaldeter- 
minanten die Formel 

(11) QQ' = -i{Mt^-Pjl^X-I-(p^ + ^(px\, 

wo 

..^. Q = (9^^)9^/"-W'x"-' 

^"^ Q' = (;t^)XxP-'^.'-S 

und wo M, P, Z, N die folgenden zweiten Ueberschiebungen be- 
deuten : 

M=-(9>;c)-9x"'-- x^^-' 
^^^ ^={txyt."-' Xr^-' ■ 

§ 36. Die zusammengesetzte Function k f-^ X Q. 

Aus der Form f können wir, da die Covariante Q ebenfalls von 
der dritten Ordnung ist, eine Schaar von Formen dritter Ordnung, 
^ f+ ^ Q bilden. Die gemeinschaftlichen Eigenschaften dieser Schaar, 



120 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

welche mit der Auflösung der cubischen Gleichungen in genauem 
Zusammenhange stehen, sollen jetzt untersucht werden. Es handelt 
sich darum, A, Q, B für diese zusammengesetzte Function zu bilden, 
Ausdrücke, welche durch 

AxA, Q^Xj B^i 

bezeichnet werden sollen. Es wird sich zeigen, dass diese Formen 
sich aus den uns bereits bekannten zusammensetzen. 

Bezeichnen wir durch a^, a^j «2, «3 die Coefficienten von/*, durch 
^0? ^i? ^2? ^3? ^^® ^^^ Q' ^^^ Formen Ah;i, Q-aX, R^l entstehen aus 
A, Q, Bj indem man darin die Grössen ai durch die Grössen 
K((i-\-^cCi ersetzt. Daher ist A-^ von der zweiten, Q^^j^ von der drit- 
ten, Byii von der vierten Ordnung in ;c, A. Setzt man 

Ax i = Jc-^ A + z A Ai + A2 A^ 

Q^x = ^'Q + k'^Q, + ^ ^' Q, + A^ Q, 

B^^j^ = %^ B^Tv'XB,^ %"• X' B.^^ % )? B,^-\- A4 B^, 

wo die ersten Coefficienten (für z = 1 , A = 0) offenbar wieder die 
ursprünglichen Bildungen sind, so werden insbesondere die zweiten 
Coefficienten durch die Formeln (vgl. § 3.) 



Aj = I a, 
B^ = I. ai 



dA 
dat 
dQ_ 
d üi 
dB 
Bat 



gegeben. Bezeichnen wir nun durch ö (p die Anwendung der Opera- 

d . . 

tion Hat- — auf irgend eine Form 9, so dass die obigen Ausdrücke 

c dl 

ÖA, öQj öB sind, und dass allgemein 

^ dcp . dcp . d(p ^ dcp 

Es sollen zuerst die Ausdrücke öA, dQ, dB untersucht werden. 
Bemerken wir zu diesem Zwecke Folgendes. Wenn wir auf einen 
in symbolischer Form gegebenen Ausdruck die Operation d anwen- 
den, so müssen wir den Ausdruck uns in seine wirkliche Form 
gebracht denken und dann die Operation ausführen. Die Differen- 
tiation nach den a aber können wir uns zusammengesetzt denken 
aus der Differentiation nach den verschiedenen Reihen von a, die aus 
den verschiedenen Symbolreihen entspringen. Das Gesammtresultat 
ist die Summe der Ausdrücke, welche die Anwendung der Operation 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 36, 121 

auf die einzelnen Reihen liefert. Da nun jede Reihe linear auftritt, 
so haben wir, um die einzelnen Ausdrücke zu erhalten, nur eine 
solche Reihe durch die a, d. h, die entsprechenden Symbole durch 
die Symbole von Q zu ersetzen. Es gilt also folgende Regel: 

Das Resultat der Anwendung der Operation d 
auf einen symbolisch gegebenen Ausdruck cp ist die 
Summe der Ausdrücke, welche man erhält, wenn 
man immer für eines der ursprünglichen Symbole 
ein Symbol von Q setzt. 

Symmetrisch auftretende Sj^mbole liefern dabei genau dasselbe, 
die Summe der von ihnen herrührenden Terme kann daher sofort 
durch ein Vielfaches eines derselben ersetzt werden. 

Der Ausdruck öf ist Q selbst. Dagegen findet man nach der 
obigen Regel 

(1) 8A = 2{aQya.Q, = 

[siehe § 35. (3)]. Die Coefficienten von A also geben, der Operation d 
unterworfen, stets Null; daher kann man auch die Symbole von A, 
wo sie in einer der Operation d unterworfenen Form auftreten, un- 
berücksichtigt lassen. So ist denn ohne Weiteres 

(2) dR = d{AA')=0. 

Ferner wird 

dQ = ö[{aA)aJA^r] 
= (eA)$/A.. 

Dies ist die erste Ueberschiebung von Q mit A. Setzt man also 
in den Formeln (5), (6) des vorigen Paragraphen 

(p = f, t==A, x = A, ;« = 3, n = 2, 

so ist nach den beiden vorigen Paragraphen 

Q = Ö, = i^, Y = 0, X = 0, 

daher : 

(3) dQ = -^Bf, 

Die Functionen f und Q treten also vermöge der Operation 8 in 
die Wechselbeziehung, dass 8f oxxiQ, öQ wieder auf /" führt. 

Nachdem wir nun die Wirkung der Operation ö auf alle Formen 
bestimmt haben, finden wir die Formen der zusammengesetzten 
Function k f-\- X Q durch ein einfaches Verfahren. Sei (p irgend eine 
Covariante oder Invariante, ^ sein Grad in den Coefficienten von f, 
endlich d(p eine bekannte Form, wie wir es nach dem Vorhergehenden 
für jede ganze Function von /J A, Q, B annehmen dürfen. Schrei- 
ben wir: 



122 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

(4) 9)^;i ^ ^ . ^^ + ^^ . yß-\ X^(p^^^u-2 12_ ^ 

SO sind die ersten beiden Coefficienten rechts, cp und (p^ = d(p, be- 
kannt, die übriojen findet man durch ein recurrentes Verfahren. 

Unterwerfen wir nämlich die identische Gleichung (4) der Opera- 
tion d, so erhalten wir; 

Aber cp^X ist eine Function der Grössen xai-j-lai] daher hat man 

Da nun durch die Operation d die Formen fj Q in Q, — — f 
übergehen, so hat man 

und die obige Formel geht also in folgende über: 

oder es wird: 

(6) Sg^.x = ^-^-jl-j^' 

An Stelle der Formel (5) kann man daher jetzt folgende setzen: 

= d(p .Kf' + dcpj^. Kf^-^ l H- 8(p^%^-'^ ^^ +. . ., 

welche sich in das nachstehende System von Formeln auflöst, indem 
man die Coefficienten gleich hoher Potenzen von % und l auf beiden 
Seiten vergleicht: 

(7) . . ^(^-^1)E 

. . , {ii-2)B 
49^4 = ^993+^^—^ 9^2 



Aus diesen Formeln kann man 9)^ ? 9^3 •• • successive berechnen. 
Wenden wir die Formeln (7) auf die Berechnung von A^a an. 
Das System geht hier, da ft = 2, über in 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. §36. 123 

A,=0 
2A, = dA, + EA, 

so dass man A, = 0, A. = ^A, und daher die Formel hat: 

(8) A,i = e.A, 

WO 

(9) Q = x' + ~XK 

Da die Coefficienten von A^x sicli von denen von A nur ,uin den 
Factor unterscheiden, so tritt bei R^Xj welches eine Function zwei- 
ten Grades in jenen Coefficienten ist, das Quadrat von vor, und 
man hat also: 

(10) B^x = Q\R. 

Es bleibt übrig Q^i zu bestimmen. Man kann dies wieder durch 
die Formeln (7) erreichen; aber es ist kürzer, sich folgender Methode 
zu bedienen. Da Q die Coefficienten von A enthält, so muss auch 
^x>L den bei Ay.X auftretenden Factor haben, es muss daher 

sein, und da nach (3) 
so hat man 






oder 



Die oben erwähnte Wechselbeziehung zwischen Q und f tritt hier 
noch deutlicher hervor, indem es sich zeigt, dass Q, für Q als Grund- 
form gebildet, wieder / giebt; denn setzt man x==0, A = l, so wird 

Man kann in der Formel für Q^i auch den zweiten Factor rechts 
in einen Zusammenhang mit der Form bringen, indem man der 
Formel die Gestalt giebt: 

.r0 



(11) «'.^=i«-(^^~-/^> 



124 



Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 



Indem wir alle hier gefundenen Formeln vereinigen, 



(12) 



Q 



Q.A, By,,=:QKB 



iO 







r K 









tritt die Wichtigkeit der binllren Form zweiter Ordnung Q{z,X) her- 
vor, von welcher hier alles abhängt. Wir werden dieser Form bei 
der Auflösung der cubischen Gleichungen wieder begegnen. Bemerken 
wir nur, dass die Discriminante von gleich B, der Discriminante der 
cubischen Form ist, sowie ferner, dass die Gleichung §35. (7), die 
Relation zwischen Q, /', A, B, nun auch unter der Form dargestellt 
werden kann 

(13) A' = -20((>,f). 

Zur algebraischen Definition der hier betrachteten zusammen- 
gesetzten Functionen %f-\-lQ füge ich noch den Satz hinzu: 

Die Form 7(f-\-XQ umfasst alle diejenigen For- 
men, und nur diese, für welche A bis auf einen con- 
stanten Factor eine gegebene quadratische Form ist. 
Dass alle Formen ^f-\-XQ bis auf einen constanten Factor die- 
selbe Covariante A haben, zeigt die Formel (8). Dass umgekehrt nur 
Formen %f-\-lQ eine solche Covariante A ergeben, lehrt folgende 
Sei 



Betrachtung. 



A=p^x^^-\-2p^x^x., -\-p.^x^^ 



^rJ — CCr^ X-i —y- tJ CC-i Xi " X.) -j~ O Ccq Xt Xn ~| (io Xi\ . 

Da die zweite üeberschiebung von A sowohl mit / (§ 34.) als 
mit Q verschwindet, wie aus der x4nwendung der Operation d auf die 
Gleichung (cA)^c,r = hervorgeht, so hat man die Relationen: 

a^p^ — 2 a.^p^ + »3^0 = 

cc^p.,-2a.,p^ + a^p^ = 0. 

Jede Form dritter Ordnung cp aber, welche bis auf eine Constante 
dasselbe A liefern soll, muss, wenn m*, m^, m.^, m.^ ihre Coefficienten 
sind, die Gleichungen befriedigen: 

^oi^2 — 2mj jöi + m.j)o = 

m^p^ — 2 m.^p^ + m.^p^ = 0. 

Aus diesen Gleichungen im Vergleiche mit den vorigen folgt: 



«o 



a,, a 



m. 



ni 



0. 



'2 



«2 



m^' nk^\ m.^ 



= 0. 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 3C, Hl. 125 

Nimmt man also, was, wenn die Coefficienten von A nicht sämrat- 
lich verschwinden, immer eriaubt ist, zwei der Gleichungen 

an, so folgen die beiden anderen, und es ist also 

was zu beweisen war. Der Fall, wo A identisch verschwindet, ent- 
zieht sich selbstverständlich der Fassung des obigen Satzes. 



§ 37. Beweis, dass das Formensystem mit den Fonnen /", A, Q, R 
abgeschlossen ist. 

Aus den im Vorigen entwickelten Formeln zeigt sich, dass alle 
Ueberschiebungen von f^ Aj Q über sich selbst und über einander 
durch /*, A, Qj R ausdrückbar sind; denn sie alle sind Glieder von 
Ak;i, QhIj RkX- Hieraufgestützt, werde ich jetzt beweisen, dass ausser 
B überhaupt keine Invariante, ausser A, Q keine neuen Covarianten 
von f existiren ; dass also jede nur denkbare Covariante oder Invariante 
TT von f eine ganze Function van fj A, Qj JR ist. 

Dieser Satz ist richtig für die Formen TT, welche in den Coef- 
ficienten von f vom ersten Grade sind. Denn diese enthalten in sym- 
bolischer Darstellung nur ein Symbol, können also von a^;^ nicht ver- 
schieden sein, so dass / die einzige Form ersten Grades ist. 

Nehmen wir also an, der Satz sei für alle Formen 17 bis zum 
{m — 1)*®" Grade einschliesslich bewiesen und zeigen wir, dass er dann 
auch für den m^^^ Grad gilt, so ist er überhaupt bewiesen. 

Sei also die allgemeinste Form TT, welche in den Coefficienten 
von f vom (??i — 1)*^" Grade ist, aus Termen von der Form 

(1) /« Aß qy R^ 

zusammengesetzt, wo 

(2) a + 2ß + 3y + 4t8 = m-l. 

Die Formen m*®° Grades entstehen, indem wir / ein-, zwei- oder 
dreimal über die Formen (wi— 1)*^° Grades schieben. Da hierbei R 
unverändert bleibt, so geben diejenigen Producte (1), für welche ^ ^0, 
wieder Formen niederen Grades, für welche der Satz schon besteht 



126 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Es genügt also ö = zu setzen. Auch kann man y = oder y^l 
machen, da Q^ durch fyR,A ausdrückbar ist. 

Schieben wir / einmal über das Product (1), so erhalten wir ganze 
Functionen von /' multiplicirt mit ersten Ueberschiebungen von f über 
fj A, Qj also nichts Neues. 

Schieben wir /" zweimal über (1), indem wir den Process der Ueber- 
schiebung immer, wie in §30., durch eine Differentiations - Operation 
ersetzen, so erhalten wir theils Glieder, in denen Producte der /*, A, Q 
mit zweiten Ueberschiebungen von f über f, A, Q multiplicirt sind, 
theils Terme der Form 



■/*-, 



(3) {(f a) {^ a) 9^" - 1 tl^J-"^ a, 

in denen 9, ip irgend welche der Formen f, A, Q bedeuten. Die 
Terme erster Art führen auf niedere, also bekannte. Formen, die 
Terme letzter Art aber würden auf Neues führen können, wenn das 
Product (1) nur aus den Factoren 9), i/> bestanden hätte, sind also 
in diesem Fall zu untersuchen; in allen anderen Fällen würde (3) 
von niedererm Grade als (1) sein, mithin als durch /*, A, §, R aus- 
drückbar angesehen werden. 

Wenden wir aber auf (3) die Formel 

(4) (9 a) {f a) cp^r t. = i\{(p a)' tJ + (^ «)' 9^^' -{(pi^Y aj j 
an, so geht (3) in das Product von 

mit Formen niederen Grades über, zerlegt sich also in lauter Theile, 
welche als bekannt angesehen werden. 

Schieben wir f dreimal über (1), so erhalten wir zum Theil Terme, 
welche aus Factoren f, A, Q und aus dritten Ueberschiebungen von 
f mit Z', A, Qy also aus Bekanntem, bestehen; theils Terme, die ausser 
f, Aj Q noch Ausdrücke der Form 

(5) {(paY{ta)(p^''-'^^a,v-\ 

(6) * {(p a) {ip a) {% a) 9^" - ' z/^^^- ^ x.r'^ - ^ , 

enthalten, wo wieder cp, i^, % irgend welche der Formen /", A, § sind. 
In dem Falle, wo g).i^ das ganze Product (m— 1)*^" Grades bildete, ist (5) 
zu untersuchen; in dem Falle, wo cp.^j.x das Product (m — 1)*®"^ Gra- 
des war, wird die Betrachtung von (6) nöthig. Aber (6) reducirt sich 
sofort mit Hilfe der Gleichung (4) auf ein Aggregat von Producten 
niederer Formen, kann also nichts Neues geben. 

Der Ausdruck (5) bleibt übrig. Er verschwindet, wenn (p~A, 
wegen des symbolischen Factors {ci A)^ (§ 34.) ; wenn (p = /, geht er in 

{(ihf ita) h^^r-'=^ (i^'A) ijj,r^-' A^, 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§37, 38. \2i 

also in Bekanntes über; wenn endlich (p=Qj so ist der Ausdruck nach 
§ 35. das Product von R mit einer niederen, also bekannten Form. 

Hiermit ist der geforderte Beweis vollständig geliefert, und wir 
können den Satz aussprechen: 

Die Form dritter Ordnung ergiebt keine Cova- 
rianten ausser A, Qj and keine Invarianten ausser R. 



§ 38. Auflösung der eubischen Gleichungcu. 

Schreiben wir die Gleichung § 35. (7) in der Form 

so haben wir links den Cubus einer Form zweiten Grades, rechts das 
Product zweier eubischen Formen. Im Allgemeinen haben nun die 
letzteren keinen Factor gemein, wie jedes Zahlenbeispiel lehrt. Daher 
muss jeder der eubischen Ausdrücke rechts an und für sich ein voll- 
ständiger Cubus sein, d. h. man muss zwei lineare Functionen |, rj 
so bestimmen können, dass 



(2) 






Die Functionen ^, tj sind hierdurch bis auf dritte Wurzeln der 
Einheit völlig bestimmt. Wenn eine cubische Form gegeben ist. von 
welcher man weiss, dass sie der Cubus einer linearen Function ist: 

so findet man die Coefficienten der linearen Function, indem man 
beiderseits die Coefficienten einander gleich setzt: 



«1 af = a^ 
«./ = «3. 

Man erhält a^ durch die Cubikwurzel aus «q, dann a., rational 
durch diese und a^ ausgedrückt ; die übrigen Gleichungen müssen dann 
von selbst erfüllt sein. 

Hat man die beiden linearen Functionen J, ^} aus (2) bestimmt, 
so folgt, indem man alles durch diese ausdrückt: 



l^S Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Bei der Darstellung von A ist eine Cubikwurzel zu ziehen, und 
daher könnte eine dritte Wurzel der Einheit rechts als Factor hinzu- 
gefügt werden; indessen kann man sie ersparen, indem man die bei 
der Bestimmung von iq auftretende Cubikwurzel gehörig bestimmt 
denkt; die bei J auftretende ist dann immer noch beliebig, aber auf 
diese Darstellungen ohne Einfluss. 

Die Gleichungen (3) geben sofort die Lösung der cubischen Gleich- 
ung f=Oy sobald nur B von Null verschieden ist. Denn diese Gleich- 
ung kann dann ersetzt werden durch die Gleichung 

wo £ eine imaginäre Cubikwurzel der Einheit bedeutet: 

1 + ^33 .,_ -l-/^ 
^" 2 ' 2 

Die drei Wurzeln der cubischen Gleichung f=0 findet man aus 
den drei linearen Gleichungen 

?-£^i? = 0; 
und /' ist durch die folgende Identität in seine drei Factoren zerlegt: 



y—i V 



2 



/'' 


nfY- 


li 
"2 


r 


2 


B 
2 




2 





r 



jy Q+f/ -§ ^f/ ^-fy -i j. 



Man sieht, dass die Auflösung der cubischen Gleichung sich we- 
sentlich auf die Aufsuchung der linearen Factoren der quadratischen 
Form A stützt oder auf die Zerlegung von A^ in seine cubischen 
Factoren, d. h. auf die Auflösung der Gleichung 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § -Jg. 129 

welche keine andere ist als 

Die Form giebt also, gleich Null gesetzt, die quadratische Re- 
solvente der cubischen Gleichung. 

Sind die Coefficienten von f reell und E negativ, so sind g, 7] 
reell, also von den drei linearen Factoren von /"einer reell, die an- 
deren, wegen s und f^, conjugirt und imaginär. Wenn dagegen R 
positiv ist, so werden § und 7] selbst conjugirt imaginär, etwa 



b 



und die linearen Factoren von fl/—^ werden also die Factoren 



von 



(jyj^ dY-lf - {11 - cflZ-lf =.2]/-l \3p'q-q 



3i 



«; 



also (abgesehen von dem Factor j/—l) gleich q, pj/S + q^ pY^—q, 
mithin reell. Bei r eellen Coefficienten hat also die cubische 
Gleichung drei reelle Wurzeln bei positivem, nur eine bei 
negativem R. — 

Die Gleichungen (3) liefern zugleich die Lösung des ganzen Sy- 
stems von cubischen Gleichungen, welches in der Form 

enthalten ist. Denn aus (3) hat man 

SO dass die Wurzeln dieser allgemeineren Gleichung aus den drei 
linearen Gleichungen gefunden werden: 



i^.+a/I|-»,/^-a//I|=o 

o - o —————— 

Ist R von Null verschieden, so sind auch die Factoren von A, 
also I, 7} verschieden; mithin auch die Factoren von f. 

Ist dagegen i^ = 0, so hat man § = -»?, und A wird ein volles 
Quadrat, während nach (3) Q dem Cubus desselben linearen Ausdrucks 

proportional wird, so dass -^ diesen Ausdruck selbst, bis auf einen 

Constanten Factor, darstellt. 

Setzen wir in diesem Falle: 

C leb seh, Theorie der biuären algebr. Formen, y 



i30 Vierter Abschnitt. Theorie der Formet! 

so dass A für x^ = ^^j ^2 = ^2 doppelt verschwindet. Nun liefert das 
identische Verschwinden der zweiten Ueberschiebung von f mit A: 

Po (»2^1 + «3 ^'2) — 2pi K^i + ^^2^2) +jP3 K^+«i^i) = 
die beiden Relationen: 

oder, indem man für die p ihre Werthe aus (5) 

p,=-2i;\ p,=2i,i,, p,=-2y 

einsetzt : 

= {a„l,' + 2«, I, I, + a^^) ?, = i (i^) 

= (a,|,ä + 2a,|. I, + «3?/) 1, = i (^)_/ 

Folglich hat in diesem Falle die Gleichung f=0 einen Doppel- 
factor, was mit der Natur von II als Discriminante übereinstimmt, 
und zwar ist dieser Doppelfactor 

Dieser Factor, den man durch die Gleichung -^=0 dir ect findet, 

ist zugleich Doppelfactor von f und A, dreifacher Factor von Q. 

Den ungleichen Factor von f findet man, indem man f durch A 
dividirt, also die ungleiche Wurzel der cubischen Gleichung f=0 aus 
der linearen Gleichung 

Man bemerkt, dass die Wurzeln von f hier durch blose Division, 
ohne Wurzelziehen, gefunden werden. 

Diese Betrachtung erleidet nur dann eine Ausnahme, wenn A 
identisch, d. h. mit allen seinen Coefficienten verschwindet. Dann ist: 

«o«2 — «1^ =0 

a,a^-a^^ =0. 
Diese Gleichungen kann man durch die folgenden ersetzen: 
a^ : a^ = a^ : a^ = a.^ : r/3. 
Es giebt also zwei solche Grössen ^j, J^,, dass 

«1 = ^1^62 ^ 

«2 = ^1^ 

«3 = l2^. 



nr«WT, orni«' Tnad xwner *ßrdimus — USB., 39. I31 

Man hat dsmi 

die g«gel»«iie Form ist also in diesem Falle ein ToIlsÜaidiger C^bos, 
und das Yerscliwinden der CoefileieBieB Ton A« ^ ^ Bedii^inigy 
anter w^dbor dies emiqAL Denn da in dieseai FaDe die 
Ca^Bdentai von /'zo^ddi ab uirklidbe Gioeaen 
so ist in dem TodiegeadeB Falle andi iai 



I 39. Ce»aif tri^lif lBt('r|treiati<»B der f«k»is<']i<'H Formern. 
Doreh die GUaehmig 

Eidi drei Elemente, wekhe kh ein Tripel nennen wilL 
DexL Tersdnedenen WaÜien ron z, A enis^i^t one pin^a^ anend- 
liehe Reihe ynm Tripdny deigesüdt, dass jedes Element Hberimapl 
nnr einem Tripel angclioreB kann; denn waiü Mf-^IQ ^ ein gie- 

wisses Element verseitwindeii, so bestimmt sdi da Werth Ton -r-, 

also das belr^Snde Tr^, ▼oll% ans der Glddmng jr/'+l^^O^ 
weidies für die jeman Elonente mgASonge x b e liehen nnna. 
Sodit man diejenigen Tr^d, bei AeDSsa. zw« ihrer 



sammen&Uoiy so mnss man y aus der deidinng 

Nehmoi wir an, es Teraehwinde Jß nicht; dann -tritt dieser FaD 
nur an, sobald O Terachwindet, d. \. bei 

Steüen wir die Trip<:'l5c]iaar nacli § 3^^. (^4; m ^ und 9 dar: 

(.+i/i|)i»-(«-;./^::|)^=o. 



soz^sidi, daasin diesen Fällen die Ghadmi« des TnpA in S'^O 
oder j^ = nbeigdit, d. h. dass alle drei Elemente des Trqida zn- 
sammenfaHen. Man hat also den Satz: 

In der Tripelsehaar kommen nur zwei Tripel 
Tor, bei welchen Elemente zusammenfallen; es fal- 
len dann jedesmal alle drei zusammen, und zwar 
geschieht dieses bei den Verschwind nngselementen 
von A. 

9* 



132 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Die Verscliwmdungselemente von A sind durch | = 0, 7^ = 
gegeben, die eines Tripels durch 



^ = arjf ^=sariy ^ = s^a7], a = 



B 
2 



K-Xj/. 



.^x-j/-'^ 



2 

Diese fünf Elemente bilden ein eigenthümliches System, welches 
ich als cyclisch-projectivisch bezeichnen will."-' Unter diesem 
Namen verstehe ich ein System, welches, indem man gewisse zwei 
Elemente festhält; die übrigen aber cyclisch permutirt, stets Sy- 
steme erzeugt, welche dem ursprünglichen projectivisch sind. Halten 
wir die Elemente 5 = und »^ = fest, so bilden die Elementepaare, 
welche durch cyclische Vertauschung der Tripelelemente aus einander 
hervorgehen, 

1. ^ — ar] =0 § — «£7^ =:() 

2. ^ — asri =0 5 — «£^-»^ = 

3. 5 — «£^»^ = ^ — ar] =0 

in der That mit den beiden festen Elementen zusammen immer das- 
selbe Doppelverhältniss e. Die drei Punktreihen 

1. § = i-ari =0 l-asri =0 l-as^ri^Q rj^O 

2. 1 = ^-a6ri=:0 ^-aa^r] = ^-arj =0 ri = 
3.^ = l-ae^ri^O l-ari =0 l-asri=0 9^ = 



* Allgemein verstehe ich unter cyclisch rprojecti vischen Elementen n Elemente 
E\_^ Ez'.'Em welche zu zwei anderen, A, B, so liegen, dass die Reihen 

A. , El , E2 . . . En , B 
A, Ezi E3 . . . El, B 
A, E3, E4. . .E2, B 

projectivisch sind. Es müssen dann die Doppelverhältnisse 

A, El, E^, B 

-^j -E'Zj ^3, B 

sämmtlich einander gleich werden. Bezeichnet man den gemeinsamen Werth die- 
ser Doppelverhältnisse durch a, durch pi, pz-.-Pn die Abstandsverhältnisse der 
Elemente Ei, E^.-.En von A, B, so hat man die Gleichungen 

Pz = CiPl 
Ps = apz 

Pi=C)Cpn, 

daher, wenn man alle Gleichungen multiplicirt und durch pi .pz- ..Pn dividirt: 

a» =: 1. 

Es muss daher u eine imaginäre nte Wurzel aus 1 sein, und man hat dann 

Pi :i52...:i9« = l:cf... a«-'. 
Die Gruppe der cyclisch -projecti vischen Elemente entspricht also genau den 
n Werthen, welche die n^^ Wurzel einer Zahl zulässt. 




zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 39. 133 

siud also eiuauder projectiviscli, und die Elemente einander zugeord- 
net, wie sie hier unter einander stehen. Ich drücke dies durch den 
Satz aus: 

Die Elemente eines Tripels bilden mit den Ver- 
schwindungselementen von A ein cyclisch-pr ojec- 
tivisches System. 
Betrachten wir nun ein zweites Tripel, für welches an Stelle der 
oben durch a bezeichneten Grösse der Ausdruck 

tritt. Die Elemente 

welche zwei verschiedenen Tripeln angehören, haben mit den Ver- 

schwindungspunkten von A zusammen ein Doppelverhältniss -. Die- 

ses Doppelverhältniss ändert sich nur um eine dritte AVur- 
zel der Einheit, wenn man zu anderen Elementen dersel- 
ben Tripel übergeht; und zwar kann man sich bei beliebi- 
ger Anordnung des ersten Tripels die Elemente des zwei- 
ten so geordnet denken, dass das Doppelverhältniss un- 
geändert bleibt, wenn man die Elemente beider Tripel 
um gleichviel Stellen cyclisch versetzt. 

Man kann demnach sich die Tripelschaar in drei projecti- 
vische Reihen aufgelöst denken, welche durch die Gleichungen 

l-ari =0 
^ — earj =0 

repräsentirt werden und bei welchen entsprechende Elemente durch 
denselben Werth von a repräsentirt sind (vergl. § 25.). Diese projec- 
tivischen Reihen haben paarweise Doppelelemente gemein, und alle 
diese fallen in die Yerschwindungselemente von A. 

Je zwei Tripel sind durch die charakteristische Constante -^ ver- 
bunden, welche immer dieselbe bleibt, welche Elemente der Tripel 
man auch mit 1 = 0, >^ = zur Herstellung des Doppel Verhältnisses 
verbinde. Ein besonders bemerkenswerther Werth dieser Constante 
ist —1, wo dann das Doppelverhältniss selbst — 1, — £ oder — s- ist, 
so dass in solchem Falle zwei Elemente der Tripel mit den Verschwin- 
dungspunkten von A theils harmonisch, theils äquianharmonisch lie- 



X34 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

gen (§ 21.). Ich will diesen Fall kurz dadurch bezeichnen, dass ich 
sage, die Tripel liegen harmonisch. Um dies auszudrücken, setzt man 

-3- = — 1 , also 

oder 

' r ^i 
Ist also das ursprüngliche Tripel 

so ist das zugehörige harmonische: 

Die linke Seite dieser Gleichung ist nichts anderes als Q^t^. Daher 
wird die Beziehung zwischen den beiden Tripeln eine wechselsei- 
tige und man kann den Satz aussprechen: 

Die Paare 7if+ X Q = 0, Qxl~0 liegen harmonisch 
und sind die einzigen Systeme harmonischer Tripel. 

Wenn i^ = 0, so fallen die Verschwindungselemente von A zusam- 
men ; mit ihnen vereinigen sich auch sämmtliche Elemente des Tripels 
Q = 0'^ die Reihe Kf-\-XQ = besteht nicht mehr aus einer Schaar 
von Tripeln, sondern aus einem festen Doppelelement und einer ein- 
fachen Punktreihe. Ist endlich A mit allen seinen Coefficienten iden- 
tisch Null, so entsteht überhaupt keine Reihe mehr; Q verschwindet 
identisch, und f=0 giebt ein dreifaches Element. 



§ 40. Formen vierter Ordnung. 

Die Form vierter Ordnung werde symbolisch durch 

dargestellt. Sie giebt durch Ueberschiebung über sich selbst zu den 
beiden Formen 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 39, 40. 13.5 

Veranlassung, von denen die erstere, ^, wieder von der vierten 
Ordnung, die zweite, ^, eine Invariante ist.* 

Um die üeberschiebungen von f über H zu untersuchen, bilden 
wir zunächst die Polaren von H. Die erste ist 

HJ H, = \ (a &)2 (a/ 1^ \ + «-.• «, 2>x^) , 
oder da die beiden Theile der rechten Seite sich nur durch Ver- 
tausclmng von a mit h unterscheiden und demnach identisch sind: 

(1) H/Hy={a-bYaJKr-by. 

Die zweite Polare w^ird: - 

i// Hy^ = \{a hy I aj h/+2 a, a, h, b, ] 

= {ab)- aj by'^—^ {ab)- a^ by {a^ by — bj, ciy). 

Nun ist nach § 15. (VII): 

(ix by — bj; (ly = {ab) {xij}'^ 

also 

(a by (Lv by {a,r by — b^,. ccy) = {a bf a^^ by . {x ij). 

Vertauscht man aber in {aby a^by die Symbole a und 6, und 
setzt für den ursprünglichen Ausdruck die Hälfte seiner Summe mit 
dem neugebildeten, so wird 

(ri bf iijc by.{xy) = ^ {a b)'^ («.r by — k^ (hj) (xy) 
^^{aby(xyy=^(a;yy', 

und der symbolische Ausdruck für die zAveite Polare von H ist also : 

(2) HJ Hy' = {a by aJ K' - ~ {xyy, 

eine Formel, welche auch aus den allgemeinen Formeln am Ende des 
§ 8. folgt, wenn man darin /'durch {aby ttx'by' ersetzt. 

Die dritte und vierte Polare entsteht aus der ersten und aus H 
selbst, indem man die y mit den x vertauscht. 

Ersetzen wir nun in den Polaren y^, y^ durch —c^, c^, und mul- 
tipliciren jedesmal mit der betreffenden Potenz von Cxy so erhalten 
wir die folgenden üeberschiebungen von H mit f: 



* Ist 

f=: ÜQ rcj^ + 4 üy Xy^ Xi + ^a^xy X-i^ -r 4 «3 X^ X^^ -r «4 X2^} 
so hat man 

„_ I ao a^i^ -4- 2 «j .rj x^ + «2 ^z^ a^Xi'^ + 2 a^ Xi x^ -f a^ x^^ | 
"" \aiXy^ + 'ia2X^X2 + a3Xz^ a^x^^ + '^a^x^Xi + a^Xi^] 
= 2 { (ao «2 — a^^) Xy* + 2 {üq «3 — a, a^) Xy^ x% + («o «4 + 2 % «3 — 3 ag') x^^ x^ 
+ 2 («1 «4 — «2 as) Xy X'^ + («2 «4 — «3^) x^ I 
i = 2 («0 W4 — 4 «j «3 -r 3 «2*^)- 



136 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

(3) T=: {cH) cj HJ = \a hf {ch] aj b, cj> = TJ 

(4) {cHY c/ HJ = (a If {acy h/ c/-^f 

(5) {c Hf c. H, = {a hf {c af {c l) &., c, 

(6) j = icHf = {a hf {et cf {h c)\ 

Von diesen Bildungen geben nur die Formeln (3) und (6) neue 
Formen, eine Form 6*®'^ Ordnung, Functioualdeterminante von /' und 
Hj und eine Invariante j; beide dritten Grades in den Coefficienten.* 

Die dritte üeber Schiebung von c mit JQ" verschwindet 
identisch, wie man aus (5) sofort sieht-, denn die rechte Seite von 
(5) ändert ihr Zeichen durch die unwesentliche Vertauschung von 
1) mit c. 

Dagegen drückt sich die zweite üeberschiebung (4) 
durch die andern Formen aus. Lässt man nämlich in die 
Formel (III) § 15. a, h, c Symbole einer biquadratischen Form /' be- 
deuten, und zieht gleichbedeutende Terme zusammen, so erhält man: 

(7) {a})Y{acYhJcJ = ^aJ(bc)^ = ^if. 

Die Formel (4) geht daher sofort in die folgende über: 

(8) {cHfcJH,' = \f, 

eine Formel, von welcher weiterhin Gebrauch zu machen sein wird. 

Man kann aus den obigen Formeln folgeude Sätze ableiten, deren 
wir uns später bedienen werden: 

1. Eine Form, welche den symbolischen Factor 
{ahf hat, besteht theils aus Ueberschie bupgen von 
^ mit Formen niedern Grades, theils aus Gliedern, 
welche den wirklichen Factor i besitzen. 

2. Eine Form, welche den symbolischen Factor 
{ciby hat, besitzt immer den wirklichen Factor i. 

3. Eine Form, welche den symbolischen Factor 
(aif)^ hat, zerfällt in Th eile, die entweder den wirk- 
lichen Factor ij oder den wirklichen Factor J haben. 



* Ausgeführt: 
T= {üQ^ «3 — 3 «0 «1 0^2 -f 2 «1^) Xy^ -f- («0* «4 4- 2 ao «, «3 — 9 a^ a<^ -f 6 a^^ a^) Xi^ x^ 
-f- 5 (ao «1 «4 — 3 «0 «2 <^3 + 2 «1^ 0^3) ^/ ^2^ + 10 («i^ «4 — «0 <^3^) -^'i^ ^V^ 
-f 5 (— «0 0^3 «4 -r 3 a^ «2 «4 — 2 «1 «3^) x^^x^^ + (9 «4 a^^ — a^ Uq — 2 «( «3 «4 — 6 «3^ Wg) Xi Xz^ 
-f (3 «2 cts ^4 — «1 «4^ — 2 «3^) x^^. 



«0 (^i CI2 
»1 «2 % 

«2 ^3 Ct4 



6 I «0 «2 «4 -^ 2 dj «2 «3 — «2^ ~ ^^0 «3 — «1 «4 } • 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 40, 41. 137 

4, Eine Form, welche den symbolischen Factor 
(aHy hat, besitzt den wirklichen Factor J. 
Diese Sätze folgen sofort mit Hülfe des Satzes 6. § 30. Denn 
von nichtverschwindenden Formen enthalten kein anderes Symbol 
und den symbolischen Factor 

(al))'^ nur H und i, 
{ahf nur /, 

{aHy nur -( und j , 

{aHY nur j. 

Die hier entwickelten Formen /', H, T, l, j sind die einzigen, 
welche in der Theorie der biquadratischen »Formen auftreten, wie 
weiter unten bewiesen werden soll. 



§ 41. Die zusammeiigesetzte Function /. /-f- A //. 

In ähnlicher Weise wie bei den Formen dritter Ordnung die 
cubische Covariante Q zur Bildung der zusammengesetzten Function 
^f-^^Q führte, ist es hier die biquadratische Covariante H, "welche 
mit f zusammen eine zusammengesetzte Form xf-\-kH begründet, 
deren Covarianten und Invarianten 

jetzt untersucht werden sollen. 

Bezeichnen wir durch cIq bis a^ die Coefficienten von f, durch a^ 
bis «4 die von H. Durch dq) bezeichnen wir hier die auf eine Co- 
variante oder Invariante anzuwendende Operation 

C üi 

Es sollen zunächst, ganz analog der in § 36. angewandten Me- 
thode, die Ausdrücke dH, dl, dj gebildet werden. Nach den a. a. 0. 
entwickelten Regeln erhält man: 

^^j dH=2{cHfcJHJ = ^f |§40.(8).] 

Si^2icHY = 2j. [§iO. (6).] 

Ferner ist, indem man die Formel für 8H benutzt: 

öj = S {cHY = {H' Ey + ^ {caf 



138 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Den Werth von {H' HY=^in erhält man, wenn man in der 
Formel 

für x^y x.^ die Symbole H^, — H^ setzt. Daher wird 
in = {H' HY = {ahY {aHf {IHf. 
Aber diese Bildung entsteht wieder aus § 40. (8): 

{aHfaJHJ = ^f, 
wenn man x^, x.^ durch h.^, — h^ ersetzt. Es ist also 

und somit endlich 
(2) öi = 4- 



Die Form H steht, wie früher Q, mit der Grundform in 
einer Art von Reciprocitätsverhältniss, indem dfauiH, d' ^T wieder 
auf /' führt. Man kann nun die in § 36. zur Berechnung von g)^x 
angegebene Formel hier ohne Weiteres anwenden, nur dass an Stelle 

des dort auftretenden Factors — -^ , welcher d Q von f unterschied, 

hier der Factor -^ auftritt, um welchen nach (1) ^JJvon /" verschieden 
o 

ist. Wenn also cp eine Covariante oder Invariante ^*^" Grades in den 

Coefficienten bedeutet, so ist 

und zugleich: 






Führt man also die Diiferentialquotienten von cp^ii ein, so erhält 
man, wie a. a. 0., durch Vergleichung der Coefficienten die Formeln, 
welche zur successiven Berechnung von gp^ , (p^ - - - dienen : 

49)4 = ^9)3-1-9)2 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 41. 



139 



Wenden wir diese Formeln auf i? an, wo ^ = 2. Das obige For- 
melsystem giebt: 



H. 



21 



2H, = dH,-~H, 

und da 

SO bat man 
(3) H,=^i(2jf-iH). 

Der Ausdruck von H.^i wird also: 

Dieser Ausdruck stellt sich übersichtlicher dar, wenn man die 
cubische Form Q {x j X) durch die Gleichung 

(4) Q==;,3_^^^2__^;i3 

einführt; mit Hülfe derselben verwandelt die Darstellung von Hy,x sich 
in folgende: 



(5) 



B,i=^\H 



cü 



ex 






Nachdem diese Formel einmal gewonnen ist, braucht man für 
die anderen Bildungen nun nicht mehr denselben Weg einzuschlagen, 
sondern kann sie direct aus der Formel (5) entwickeln. Was zu- 
nächst Txk angeht, so ist seiner Entstehung nach 



Tyl — ^j 



cx. 



ex. 



c{Kf^XR\ ch[x 



C X.y 



cx. 



l 



7C^ -\- X 



dx 



C X, 



1 



3.16; Cf-, 

1 C O/o C Xi 



dO. 

cX 

ex 



cX CXi CK CXy 

cX cXo CK ex. 



3.16 



11 df 

e Xt e Xa 



= Qr. 



dH c_H 

C X^ C X.2 

Die Form T, für die zusammengesetzte Function gebildet, ist 
also der für die einfache Function gebildeten bis auf den Factor 
Q gleich: 



140 



Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 



(6) T,i = QT. 

Zur Ableitung der Formeln für l^i und 



Jy.X 



kann man sich eines 



allgemeineren Verfahrens bedienen^ welches auf folgender Betrachtung 
beruht. 

Sei (p irgend eine Covariante oder Invariante, cp^x und (d(p)xX das- 
jenige, was aus 9 und öq) entsteht, wenn, man diese Formen für die 
zusammengesetzte Function k f -\- X H hildet Es ist dann, um {dq))xi 
zu bilden, nöthig, die Differentialquotienten von cp^x nach den Coef- 
iicienten der zusammengesetzten Function mit den entsprechenden 
Coefficieuten von H^^ zu multipliciren und die Summe aller solcher 
Producte zu bilden. Aber die Coefficieuten von HyX sind die Aus- 
drücke 







daher hat man 




(7) {öq^).X-- 


_,>rf ^^-^ {^^^ 


^^ d(Ka, + Xai)\cK ^^' 




^\ CK C X C X CK 



Q 



.) 



Man erhält also den Ausdruck von d (p für die zusammen- 
gesetzte Function, wenn man die Functionaldeterminante 
von Q und cp durch 3 dividirt. 

Setzen wir (p = H, so wird nach (1) d(p=-^f. Daher ist aus (7) : 

cQ dHyX 

i.iiKf^XH) 



CK 

cQ 

dX 



C K 

dJiA 

dX 



Führt man hier im H^x seinen Werth ein, und drückt die ersten 
Differentialquotienten von Q durch die zweiten aus, so hat man: 



i,^{Kf+XH) = \ 



Q 



dK' 



Q 



— 1 

— IT 



dKdX 



+ A 



+ A 



c^Q 


CK dX 
c'Q 



H 



)^Q 



dX^ 



H 



CK^ 



CK C . 



c'Q 

CK C X 

c^Q 



dX^ 



CK 
dK cX 

H 



f 



c^Q 



~-f- 

1 I ' 



CK C X 



dX^ 



X -f 



also indem mau den Factor ;«/'+ A JT beiderseits auslässt: 



zweiter, dritter und vierter Ordnung, — § 41. 141 



(8) ' M = -i 



^2Q 



c^Q 


CY, dl 


c^9. 


dX' 



Betrachten wir nun Q als binäre Form dritter Ordnung in v.^ A^ 
und bezeichnen durch A^ die ihr zugehörige Form A, so kann man 
dieser Gleichung auch die Form geben: 

(9) 4;i = -3Aß. 

Endlich haben wir, um /^^x zu bilden, nur die Formel (7) wieder 
anzuwenden, indem wir cp—iy also dq) — 2j setzen. Es ist daraus: 

•^"^^ '^KcTt dl dl CxJ ' 

oder nach (9): 

^_^/^^A^_rQ^A^^ 

'"Kca dl' dl dx ) ' 
und wenn wir nun auch Q^ ähnlich wie oben A^ einführen: 

(10) >i = -3<?a. 
Aus der Gleichung (7) § 35. 

folgt noch, dass eine gewisse Verbindung von i und ;/ besonders ein- 
fache Eigenschaften besitzt; es ist die, welche B^ wird. Man hat 
nämlich aus (10) 

(11) Aß=-iji«^ + 2j;.A + |A^'j, 

daher 

(12) .■Bfl = ^T(*'-6/-). 

Dieser Ausdruck, welcher bis auf einen Zahlenfactor mit dem in 
§29. gefundenen übereinstimmt, kann als die Dis er im in ante von/" 
betrachtet werden. 



* Ausgerechnet: • 
** Ausgerechnet: 
daher insbesondere für x = , X = l: 



14Ö Vierter Abschnitt, Theorie der Formen 

Setzt man die Werthe von Q^ (10), Aß (9), R^ (12) durch 
jxl, '^y.l ausgedrückt i^i die Relation zwischen Q^^ B^, A^^ Q, so 
ergiebt sich 

(13) ^\A - 6fy.X= Q' {i' - 6f). 

Die Verbindung i^ — 6f theilt also mit T die Eigenschaft, sich 
bis auf einen Factor zu reproduciren, wenn man sie für die zusam- 
mengesetzte Function bildet. 

Die Formeln 

(U) 4x = -3Aß 

umfassen die ganze Theorie der zusammengesetzten Function ocf-\- XH. 



§ 42. Die Form T. 

Wie bei den cubischen Formen das Quadrat von Q, so drückt 
sich hier das Quadrat von T durch die übrigen Formen aus, also 
wieder das Quadrat der einzigen Form ungeraden Charakters (§ 16.) 
durch die Formen geraden Charakters. 

Man bedient sich, um diese Formel herzustellen, der Formel 
§ 35. (10) , durch welche das Quadrat der Functionaldeterminante zweier 
Formen auf die zweiten Ueberschiebungen derselben über sich selbst 
und über einander zurückgeführt ist. Nach jener Formel hat man für 
unsern Fall: 

T'^-ilHKia hf aj hj - 2 Hf, {HafHJa/ + P . {HHJH.HJ^. 

Von den drei hier auftretenden Bildungen ist die erste H selbst; 

die zweite ist nach § 40. (8) gleich -r /". Die letzte endlieh ist die 

Form H für H selbst gebildet-, sie entsteht aus HyX, wenn man 
X = 0, /l = 1 setzt. Da nun 

"^ 071 b 






so hat man 



zweiter, dritter und vierter Ordnimg. — §§J41, 42. l43 

und indem man dies in die Formel für T- einführt, findet man: 
Der eingeklammerte Theil rechts geht aus der Formel für Q: 

hervor, indem man x = II, X = —f setzt. Man kann also das Quadrat 
von T durch die Function Q ausdrücken mittelst der Formel: 

(1) P = -iQ{R,-f). 

Ich knüpfe hieran die Bestimmung der üeberschiehungen von T 
mit f und H. Man braucht übrigens nur erstere zu berechnen, und 
erhält dann die letztern durch die Operation d, indem man beachtet, 
dass dT=Oj dass also die Coefficienten von T dieser Operation 
nicht unterworfen zu werden brauchen. 

Die erste Ueberschiebung von T über f und H lässt sich auf 
mannigfache Weise ermitteln. Um den Zusammenhang des Resultats 
mit anderen Bildungen zu übersehen, geht man am Besten von der 
Gleichung (1) aus, welche T- durch / und // ausdrückt: 

Indem man f oder H einmal über diese Gleichung schiebt, hat man: 

T.{HT)HJT/= i ' ^ ^^^. ~^ {aH) a/H/, 
also indem man den Factor T beiderseits auslässt: 

Die Darstellung der übrigen Üeberschiehungen von f und H mit 
T knüpft man am Besten an die Entwickelung der Covariante mit 
zwei Reihen von Veränderlichen 



144 Vierter Abschnitt. — Theorie der Formen 

an. Nach der Tafel des § 8. hat man für diese- die nach Potenzen 
von {xy) fortschreitende Reihe: 

(3) a^^ H/ - üy' H/ = A'cp-\-2 {xy) A^ t + V i^vY ^' X 

Die Formen cp, il) , i, Q', o entstehen aus der links befindlichen 
Form, indem man dieselbe 0, 1, 2, 3, 4 mal der Operation Sl (§ 6.) 
unterwirft, und dann die y gleich den x setzt. Durch Anwendung 
der Operation 52 ergeben sich die Bildungen 

aj' Hy' - ay^ H^' ; {a H) {a/ H,^ + a/ iJ/) ; 

{aHf{aJHy^-ay^H/)', {aHf {a^Hy + ayHr)', 0. 

Man erhält also, indem man die y den x gleichsetzt: 
9-0, il^ = 2T, 1^0, ^--=0, Q = 0, 
und es entsteht somit aus (3) die bemerkenswerthe Gleichung: 

(4) a.^ Hy^ - ay^ i?/ = 4 {xy) . T^^ Ty\ 

Differenzirt man diese Gleichung nach den y und multiplicirt mit 
den X, so ergeben sich daraus weiter die Gleichungen: 

(5) Hy^ H, aj - H/ a,/ «.. ^^{xy) T^^ T/ 

(6) Hy^ HJ^ aj - ^/ ay^ a,' = 2{xij) TJ> Ty. 

Setzt man nun in (6) y^^^h^^ y^ = — 'b^^ so erhält man nochmals 
die erste Gleichung (2); ebenso aber erhält man aus (5) und (4) die 
Gleichungen : 

{hT)HJTJ = 

und indem man diese Gleichungen der Operation d unterwirft: 

{HTYIIJTJ = 
(ß) 



{HTfH, TJ = -i(^jH-'^fy 



Endlich hat man, da T=^{aJI) aj HJ ist, für die vierte Ueber- 
schiebung von f mit T einen Ausdruck, welcher aus den folgenden 
Theilen besteht: 

{aH){hH) {ah)'H/ 
{aH){hHf{al)) aj 
{aH){l)Hf{a'bfaa:Hr. 

Alle diese Theile verschwinden ; der erste, weil er durch Ver- 
tauschung von a mit h das Zeichen ändert; der zweite als die zweite 
Ueberschiebung von f über die verschwindende Covariante 

{IHfKH,', 



zweiter, dritter und ^^ert€r Ordnung. — §§ 42, 43. 145 

der dritte als dritte Ueberschiebung von H über (ah)- aj^hx^j also 
über sich selbst. Sonach hat man: 

.Q {ciTf TJ = 0, und also auch - 

An diese Ueberschiebungen knüpfen sich folgende Sätze: 

1. Jede Form, welche den symbolischen Factor 
(aTY hat, zerfällt in Glieder, welche theils i, theils 
j zum wirklichen Factor haben. 

2. Jede Form, welche den symbolischen Factor 
{HTf hat, zerfällt in Glieder, welche theils j, theils 
f^ zum wirklichen Factor haben. 

3. Jede Form, welche den symbolischen Factor 
{aTy oder {HTy hat, verschwindet identisch. 

Der Beweis dieser Sätze folgt aus dem Satze 6. des § 30.; denn 
die einzigen Formen, welche den symbolischen Factor {aTf haben 
und kein anderes Symbol enthalten, sind: 

(üTyaJTJ, {aTfa^TJ, {aTfTJ, 

Formen, die entweder verschwinden, oder theils den Factor i, theils 
den Factor j enthalten. Ebenso sind 

die einzigen Formen, welche den symbolischen Factor {HT)~ und 
kein anderes Symbol enthalten; diese Formen aber verschwinden ent- 
weder oder sie enthalten theils J, theils i^ als Factor. 



§43. Beweis, dass ausser f, H, T, i,j keine luvariauteii und Covariauteu 

von f existiren. 

Die im Vorhergehenden entwickelten Resultate genügen, um den 
Beweis zu liefern, dass ?", j die einzigen Invarianten, /*, H, T die ein- 
zigen Co Varianten von / sind. Dieser Satz wird wie der entsprechende 
über die cubischen Formen (§ 37.) bewiesen. Er ist richtig für die 
Formen ersten Grades Wir nehmen ihn bis zu den Formen (m — 1)*^" 
Grades einschliesslich als bewiesen an, und zeigen, dass er dann auch 
für die Formen m^^"^ Grades richtig ist. Wir benutzen dabei das im 
Vorhergehenden gewonnene Resultat, dass die Ueberschiebungen von 
/"und H über sich selbst, über einander und über T auf keine neuen 
Bildungen führen. 

Man hat also zu zeigen, dass die Formen ?>i*" Ordnung sich aus 
Producten von /", JT, T, iy j zusammensetzen, wenn die Formen 

C leb seh, Theorie der binären algebr. Formen. 10 



146 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

{m — iy^^ Ordnung diese Eigenschaft haben. Erstere entstehen ans 
diesen durch Ueberschieben von f. Man hat also die vier üeber- 
schiebungen von f über die Formen 

(1) /•« H^ TY 

{a-\-2ß -\-3y = m—l) zu untersuchen; doch kann man, da T^ durch 
f, H, i, j ausdrückbar ist, y immer gleich Null oder 1 annehmen. 

Die erste Ueberschiebung von f über das Product (1) führt nur auf 
Producte der f, H, T, multiplicirt mit den ersten Ueberschiebungen 
von f über die einzelnen Formen f, H, T, also auf nichts Neues. 

Die zweite Ueberschiebung führt auf Terme, die ausser f, H, T 
noch zweite Ueberschiebungen von f über /' oder H oder T enthalten 
und also bekannt sind, und auf Terme der Form 

(2) (9? d) {t a) 9^^"-^ i^x^ - ^ cij , 

multiplicirt mit Producten der f, Hj T, wobei (p, ^ irgend welche 
der Formen f, JT, T bedeuten. Der Ausdruck (2) ist zu untersuchen, 
sobald er selbst vom Grade m ist; sobald also (1) nur aus den Factoren 
9,1^ bestand. Aber nach der Formel 

(3) isp a) {jp a) gp^ ^^ = ^ I {(p af jp/ + {ip af qp^^ _ ^^^ ^y ^^2 j 

löst sich (2) in zerfallende Terme auf, also in Producte von Aus- 
drücken, welche bekannt sind. 

Die dritte Ueberschiebung führt auf Terme, die ausser f, H, T 
noch folgende drei Arfen von Bildungen enthalten können: 

1. dritte Ueberschiebungen von f über /", H, T; 

2. Ausdrücke der Form {(paY {ipa) q)jc''~'^ 'tpx^'~^ cix'-, 

3. Ausdrücke der Form {cpa) {^a) {la) (p^"-'^ ip^''^-'^ %Ji-~'^ a^y 

wo wieder (p, ip, % irgend welche der Formen /*, H^ T sind. Die 
Ausdrücke 1. sind bekannt, die Ausdrücke 3. reduciren sich mit Hülfe 
der Gleichung (3). Die Ausdrücke 2. könnten Neues geben, sobald 
das Product (m— 1)*®'' Grades nur (p.ip wäre, und müssen also unter- 
sucht werden. Nach §§ 40. und 42. tritt aber in diesen Ausdrücken 
Folgendes ein: 

Ist (p = f, so besteht der Ausdruck aus einer Ueberschiebung von 
H mit ipj also aus einer bekannten Covariante, und aus Theilen mit 
dem Factor i, die somit in ihren anderen Factoren von niederem 
Grade, also bekannt sind. Ist aber cp = H oder cp = Tj so enthält der 
Ausdruck theils den Factor i, theils den Factor j , und besteht also 
gleichfalls aus Producten niederer Formen. 

Die dritten Ueberschiebungen können also nichts Neues geben. 

Endlich führen die vierten Ueberschiebungen , ausser auf Producte 
von /", If, T, auf Ausdrücke folgender Art: 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 43. 147 

1. Vierte Ueberschiebiing von f mit f, H, T; 

2. Ausdrücke der Form {(pa)'^ (ipa) (p,r;"~^ il^J*~^ ; 

3. Ausdrücke der Form (qp<^)'^ (i/^a)'^ 9):r"~^ ^.r''"^ ; 

4. Ausdrücke der Form {(pa^ (il^a) (xa) cpa:"''^ tx^~-^ Xx'^~'^'-, 

5. Ausdrücke der Form {cpa){i)a) (ja) ipd) (px^~^ '4^x^'~^ X-r'^~^^^c''~'^ , 

wo wieder 9, ^l) , %, ^ irgend welche der Formen /*, jff, T sind. Die 
Formen unter 1. sind bekannt; die anderen könnten möglicherweise 
Neues geben, sobald das ganze Product nur aus den Factoren g? . i^, 
bez. (p . tl^ . X oder cp .-(i) .x - ^ bestünde. Nun aber reducirt man die 
Ausdrücke 5. sofort mittelst der Gleichung (3), die Ausdrücke 4. mit- 
telst derselben, wenn man darin nur i/>, ;^ an Stelle von cp, ^ setzt. 
Es bleiben also noch die Ausdrücke 2., 3. zu betrachten. 

Die Ausdrücke 2. enthalten immer, wegen der in §§ 40. 42. bewie 
senen Sätze, theils iy theils j als Factor Von den Ausdrücken 3. 
gilt dasselbe, ausser wenn cp~f] dann können sie zum Theil 
durch Ueberschiebungen von H über 7^, also über f, H oder T, 
entstanden sein. Da auch diese nur auf Bekanntes führen, so ist der 
Beweis des Satzes hiermit geliefert. 

Man erhält also in der That keine anderen Invarianten 
als ifjy keine anderen Covarianten als f, H, T. — 

Ich werde diesen Satz bei den Ueberschiebungen von T über sich 
selbst, welche noch nicht gebildet wurden, benutzen. ♦ 

Bezeichnen wir, um die zweite Ueberschiebung von T über sich 
selbst zu bilden, durch (py^ die Form 

(4) tp/ = ä,/HJ-a/H,/ = -A{xy)T/Ty^ [§42.(4)]. 
Setzt man darin y., = (pn ?/i= — 9>-.? so kommt: 

(5) ic, = (cp cpy = - 4 (9; Tf T/ cp,. . 
Aber zugleich hat man aus (4): 

und daher, wenn man y^ = TJy V2 — ~'^i setzt und mit TJ^ mul- 
tiplicirt : 

isp TJ TJ' (p^ = 3 T/ TJ' {TTy. 

Die zweite Ueberschiebung von T über sich selbst hat 
also den Ausdruck : 

(6) \TTfT/TJ'=.--^^icp, 

oder, wenn man, um i zu bilden, in ixfJrlH=iy,x, (§41.) H für %, 
— f für A setzt : 

(7) {TTf TJ T-^ = - Vj {i H-^-2j Hf+ ~ t) . 

10* 



148 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

Die vierte Ueberscliiebung von T über sicli selbst nmss 
nothwendig verschwinden. Dieselbe ist nämlich eine Form vierter 
Ordnung und sechsten Grades, muss also nach, dem Vorigen die Ge- 
stalt haben: 

p.ijf-^q.PH, 

wo p, q Zalilencoefficienten sind. Da aber diese Form sieh, aus den 
Coefficienten von T zusammensetzt, so muss sie die Eigenschaft haben, 
zu verschwinden, wenn man sie der Operation d unterwirft. Daher 
muss man haben : 

0--=p.d{ijf) + q.d{i'H) 



p[ij 



H+'^ff+jf) + qUijff-^'^n, 



daher p = 0, ^^=0, was zu beweisen. Man hat sonach die Gleichung 

(8) {TTyTJT/'==0. 

Endlich ist noch die sechste üeberschiebung von T über 
sich selbst zu bilden. Da 

TJ' = (aH)aJHJ, 
so hat man: 

{T ry = {aH) {aTf {HT f. 

Dies kann als die vierte üeberschiebung von H über die Form 
- (« Tf a.r TJ =: \ ii H-jf) (6) 

angesehen werden. Da nun 



(HHy==^, {aHy^j, 



so ist 



(9) (2'r)« = i.(*.-/) = |J?^; 



die sechste üeberschiebung von T über sich selbst unterscheidet sich 
von der Discriminante nur um einen numerischen Factor. Eine Con- 
trole liefert wieder der umstand, dass der Ausdruck durch Anwendung 
der Operation d verschwinden muss. 

§ 44. Die Auflösung der cubischen Oleichuug Sl = 0. 

Die Auflösung der biquadratischen Gleichungen f~0 und 
%f-\-kII=0 knüpft sich an die Auflösung der cubischen Gleichung 

Die Wurzeln dieser Gleichung seien 

— ==.m, y = W; y = W , 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 43, 44. 149 

so dass 

Q = {'A — mX) (x — m X) [y, — m" k) 

gesetzt werden kann. Setzt man in diesem Ausdrucke H, — f für 
K, ly SO erhält man nach §42. (1) — 2T-, und es ist also: 

(1) T' = -{ (iy+ mf) {H+ mf) (H+ m"f). 

Was die Bestimmung der Grössen m^ 7)i, m" angeht, so kann 
man, da in Q der erste Coefficient 1, der zweite ist, 'sich der 
C ar d an o' sehen Formel bedienen. Ich werde zeigen j wie dieselbe 
Auflösung auch aus derjenigen hervorgeht, welche für die allgemeine 
Form der cubischen Gleichung in § 38. gegeben ist. 

Man hat 

Nach der in § 38. gegebenen Methode bildet man nun die linearen 
Ausdrücke 



,y"l!Lii.,f^zr-^^.^^ 



n = 






R 
2 



R 36 



/^i-./-r 



wo nur der Einfachheit wegen der Index Q überall ausgelassen ist. 
Bestimmt man nun den Sinn der Cubikwurzeln 



SO, dass 



SO kann man in den Formeln für | und rj 



150 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 



1 


86 B' 1 36 A^ 


A'^ 


i' ' B'^ l' 


setzen, und erhält also: 






l=^xA-lB' 




7i=^y.B -XA\ 



Die linearen Factoren von Q (^; A) sind nun 

1-7], l-er], l-e'ri, 

wo £ eine imaginäre dritte Wurzel der Einheit. Also hat man, wenn 
g — £« 1^ == gesetzt wird : 

%(^A-B'B) = l{B^-e'Ä^ 
oder 

% B'-s'A^ , . . 

T=A^:^7B—^'''' + '-'''^' 

Die drei Wurzeln der cubischen Gleichung Q = () sind also: 

m =^-{ A+ B) 

(3) m' ^-{e A^e'B) 
m"==-{t^A^E B), 

wie die Cardano'sche Formel es angiebt. 

Die Gleichung (1) lehrt nun, dass das Product 

{H + mf) {H + m f) (H + m"f) 

das vollständige Quadrat eines Ausdrucks von der sechsten Ordnung 
ist. Aber keiner der drei biquadratischen Factoren hat im Allgemeinen 
[und die Formel § 42. (1) gilt immer] mit den anderen einen 
linearen Factor gemein, da sonst auch /' und H denselben gemein 
haben müssten. Daher muss jeder der biquadratischen Factoren an und 
für sich das vollständige Quadrat eines Ausdrucks von der zweiten 
Ordnung sein, und man kann also drei quadratische Formen g), i/;, % 
finden, so dass 

H+mf =:-2(p^ 

(4) H+mf==-2r^ 

(5) T=2<ptX- 

Um in jedem besonderen Falle die Coefficienten der Functionen 
(p zu bestimmen, kann man ähnlich verfahren, wie in § 38. bei der 
Bestimmung der Coefficienten von § und rj. Ist K eine Form vierter 
Ordnung, von welcher wir wissen, dass sie das Quadrat einer qua- 
dratischen Form q) ist, und hat man 

K=a^^ x^^ + 4 «^ x^^ x.j + 6 0^2 ^/^ ^-Z + ^ ^3 ^1 ^-Z + ^4 ^2^ 
tp ^=a^jX^ -{-2 a^ x^ x.^ -\- a.^ x./, 



zweiter , dritter und vierter Ordnung. — §§ 44 , 45. 151 



SO finden die Gleichungen statt: 



% = «i 



a, = a^ cCj 

«2 = i («0 «2 + 2 «1^) 



a. = « 



2 7 



man kann also etwa aus der ersten o:,^ durch Wurzelziehen berechnen, 
und findet dann aus der zweiten «j, aus der dritten cc., rational durch 
«^ und die Coefficienten von K ausgedrückt. 

Wir dürfen also die Formen 



9^ = /- 



2 

(6) ^^=.y-^fL 



2 

als bekannte quadratische Formen ansehen. Die Vorzeichen sind bei 
zweien derselben beliebig, bei der dritten dann durch die Gleichung 
(5) bestimmt. Es giebt also nur vier Arten, die Functionen (f, t^ X 
ihrem Vorzeichen nach zu bestimmen. Und es giebt keine zwei dieser 
Bestimmungsarten, welche durch Aenderung der Vorzeichen aller 
drei Functionen in einander übergehen, da die Gleichung (5) das Vor- 
zeichen des Products aller q) unveränderlich giebt; vielmehr sind je 
zwei Systeme der (p, ipj i durch die Vorzeichen zweier Functionen 
von einander verschieden. 



§ 45. Die quadratischen Factoren von T. 

Durch die Gleichungen (4), (5) des vorigen Paragraphen ist die 
Form T als eine sehr specielle Form sechster Ordnung charakterisirt. 
Denn die Form T hat die Eigenschaft, durch Lösung einer 
cubischen Gleichung (Q = 0) in drei quadratische Factoren 
aufgelöst zu werden. Die Gleichung T=0 ist also eine durch 
Wurzelziehen lösbare Gleichung sechsten Grades. 

Zwischen den quadratischen Functionen g), ipj % bestehen aber 
noch in Folge der Gleichungen §§ 42. 44. sehr bemerkenswerthe Rela- 
tionen. Bilden wir die Functionaldeterminante irgend zweier, z. B. der 
ersten beiden Gleichungen § 44. (4), dividirt durch 16, d. h. die erste 
Ueberschiebung der Formen rechts und links in diesen Gleichungen, 
so erhalten wir: 



152 



Vierter Abschnitt. Theorie der For: 



tV 



dH 

ex.) 



-\-m 






dx^ 



h^^^ -Tr- 
ox^ CXy 

— 4- m ^ 

C Xo C Xl) 



= 4 9. ii).{(pt')cp^,: 4)^^, 



= (m'-m)yV 



dH 

dx^ 
dH 

dx., 



IL 

cx^ 

K 

dx.. 



= {m - m) T. 



Setzen wir hier für T seinen Werth aus § 44. (5)^ so kann man 
den Factor 2 cp . xp auf beiden Seiten auslassen, und erhält also die 
Functionaldeter min ante zweier der Formen g), ip ^ % durch 
die dritte au s<]^e drückt. So hat man die drei Gleichungen: 



(0 



2(9^)gP.ri/'.r= {ni- 



ni).(p 

- m) . ip 
m) . %. 

Bilden wir jetzt die erste Ueberscliiebung dieser Gleichungen mit 
(p, ip, X selbst. Rechts entsteht Null^ wenn die beiden Functionen 
bei der Ueberscliiebung dieselben sind-, sind beide Functionen ver- 
schieden, so kann man die entstehende Form durch die Gleichungen (l) 
wieder auf (p, ip, x selbst zurückführen. Links benutzen wir die 
Gleichung § 35. (5), welche für die erste Ueberscliiebung einer Form 
X über die erste Ueberscliiebung von cp und ip gebildet ist, und welche 
hier in die folgende Gleichung übergeht [Q == {cp ip) cp^ ipj] : 

{Qx)^xXx = -i\cp{iPxf-t{cpxy\. 

Bezeichnen wir durch An, die 6 Invarianten von cp, tp, x' 

Ä,, = {ip2py. . -4,o = (z9^)' 
A2 = ixxy Ai = (9'^)^ 

so erhalten wir iiuimielir aus (1) folgende Gleichungen: 

=A^,tp-Ä,,x, 

{m — m) {m — m") 



{m- 


2 

- in) (m ~ 


m'O 


{m- 


2 

- m") {fn - 


- m) 


(m'- 


2 



-m) 



p 



AoX-Ao'P 



A.o^-Ai^' 



^A^x-A-^p 

(p=A,,(p-Ä,^ip 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 45. 153 

(m" -- m) im' - m) . . 

- —2 ^ ^ '- ^ ~ '^ ^ 

Da mm im Allgemeinen nicht zwei der Formen q), t, % einen 
Factor gemein haben, den sonst auch f und H gemein haben müsste, 
so folgt hieraus: 

A^^ = — J- {ni — m) {rn — m") A^^ = 

(2) Ai^ = — .J- {ni — m") (m — m) A.-,^^ — 
A^^ = — i (/>i"— m) {in"— m) A^^^ = 0. 

Endlich erliält man noch, indem man eine der Formen cp , ^', % 
zweimal über die entsprechende Gleichung (1) schiebt, den Werth 
der aus allen drei Formen qp, i^, % zusammengesetzten Invariante: 

_ ni' — m" . m" — m. _ m — m' 

' 2 ^^ ^^ 9 11 ^^ 2 - 

= ^ {m — m') (ni — rn") {in" — m). 

Ferner findet sich aus § 44. (3) mit Berücksichtigung der 
Gleichung \ -\- s-\- e- = 0: 

m -7n={£-V){A-B£^) 
ni -7n"={s-l)£{A-B) 
m"-m ={1-£''){A-B£), 

und daher hat man die Werthe: 

Ä^ = -i {Ä'+ AB + B') 

(3) - A,, = -%s\A^ + fAB + B^B^ 

A^ = -l£ {A^+c^AB+e B') 
K=iiil-s){A^-B% 
oder mit Benutzung der Werthe von A, B: 



(4) ^=|.(1-£)^_|. 



Die vorigen Betrachtungen stützen sich wesentlich darauf, dass 
die cubische Gleichung im allgemeinen Falle keine gleichen Wurzeln 
hat, dass also R im Allgemeinen nicht verschwindet. Es ist leicht 
zu zeigen, dass die andere Voraussetzung, dass nämlich H und /' 
keinen gemeinschaftlichen Factor besitzen, hiermit zusammenfallt. 
Fragen wir, welche Bedingung eintreten muss, damit H. und f einen 
gemeinsamen Factor besitzen. Alsdann müssen auch gp, j/', x f^^"" 
selben Factor haben; sobald er verschwindet, muss also auch (pj=0^ 



154 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

i/;/ = sein, die Resultante von jjj und i^ muss verschwinden. Die 
Resultante zweier Formen cp , ip von der zweiten Ordnung ist aber 
nach p. 89 gleich 

oder hier 



4 4 4 



mussi 



Da nun im vorliegenden Falle A^^^ identisch verschwindet, so 
iste J-^,(j oder Ä^^ verschwinden, d. h. es müssten zwei der m 
gleich werden und daher li^O. Die Resultante von /"=(), H={) ist 
also eine Potenz von i?; und zwar, da sie die Coefficienten beider 
Formen biquadratisch, also im Ganzen die Coefficienten von /' zur 
zwölften Ordnung enthalten muss, ist sie B\ 



§ 46. Auflösung- der biquadratischeu Gfleichun^en. 

Unter der Voraussetzung, dass R von Null verschieden sei, führen 
nun die Gleichungen § 44. (6; zur Lösung der Gleichung vierter Ordnung 

(1) Kf + IH^O. 

In Folge dieser Gleichung hat man 

und daher, wenn ^ eine unbestimmte Grösse bezeichnet, aus §44. (6): 



g) = Q ]/ 7C — niX 

(2) ^ Ipr^Qj/^ — ni l 

Z = Qj/ ^ — ni'l . 

In diesen Gleichungen stehen links quadratische Functionen der 
x^j x.^] diese Gleichungen geben daher, indem sie nacli ^/, x^x^, x.^ 
aufgelöst werden, die Verhältnisse dieser Grössen und daher auch ein 

X 

Verhältniss — > für welches die Gleichung (1) besteht. Auch sieht 

X., 

man sofort, dass es vier Bestimnmngsarten dieses Verhältnisses giebt. 
Denn die Vorzeichen von j/x—m^, y-a — mX, Y yi — m" l gestatten 
im Ganzen acht Combinationen. Von diesen führen aber immer solche 

T 

zwei auf denselben Werth — , bei welchen alle Wurzeln entgegen- 

X,) 

gesetzte Vorzeichen haben, ein Unterschied, der sich durch Aenderung 
der ganz willkürlichen Grösse q sofort aufheben lässt. 

X 

Bezeichnen wir den Werth des Verhältnisses — , für welchen 

11 

3J /" 4- AJJ verschwindet, durch — , und bezeichnen wir ferner durch 

2/2 



zweiter, dritter iiiid vierter Orduung. — §§ 45, 46. 



155 



^0? ^17 ^^2^ ßoyßii ß-2: y^y Tu y> ^^^ Coefficieuteii ^, ip, x? so werden die 
drei Gleichungen (2) folgende: 

^02// + 2 y,ij,y, + y,y.r = Qj/ x- m' l , 

Setzen wir die hieraus berechneten Werthe von ?/j'-, ViVn ])■? in 
die linke Seite der Identität: 



(4) 



x^y^ 



{xyy 



2x,x,y,y,^x^hj.^ 

ein, so erhalten wir rechts das Quadrat eines linearen Factors von 
Kf-\- kH. Indem wir aber aus (3), (4) die Grössen y^^, ^ysy^y Vi elimi- 
niren, erhalten wir die Gleichung 



= 



oder geordnet: 

,.. {xxty- 

(o) \-Al^ 



ßo 

n 

x.^ 



ß. 



ß] 

r-1 



Q j/ X —7)1 X 



Xt X,f "^i' 



Q y K — ttl X 

Q j/y, — Hl" l 
ixyf 



-\-j/ K — m l 



% «1 «:: 




^0 ^I Ä 


= 


ro 7i y-> 




«0 «1 


«> 


x,^-x,x.. 


x,^ 


7o Ti 


n 



]/ X — mk 



x.^ 


-x,x. 


X,- 


ß. 


ß. 


ß2 


n 


7i 


r-i 



+ j/7c-m'l 



^•0 



ß, ß. 



Die drei Determinanten rechts entstehen aus der Determinante 
links, indem man immer eine Reihe von Coet'ficienten durch x./j 
— x^x^j x\ ersetzt. Die Determinante links ist, wenn man die Sym- 
bole von (p, ^p, i einführt: 

Xi Xi X2 X2 
ein Ausdruck, welcher offenbar mit jedem der Ausdrücke 

verschwindet, und also von dem Producte dieser Grössen nur nume- 
risch verschieden sein kann; in der That lehrt die Bestimmung und 
Vergleichung irgend eines Gliedes, dass jene Determinante gleich 

- (9 ^) (^ Z) (Z <3P) = ^ 
ist. 

Ersetzt man je eine Coefficientenreihe durch x.^^ — x^x^^x^^, oder 

je eine Art von Symbolen durch x.^,—x^, so erhält man die Werthe 

der drei anderen Determinanten; 



^ 



156 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 



itX)tsX^r=^ 2 '(P 

, . m' — m 
(X9^)X^^a;-=^ 2 — -^ 

m — m 



2 '^' 

Man sieht also, dass in der That die Bestimmung des linearen 
Factors (xy) durch die Gleichung (5) immer möglich ist, wenn nur 
Kj d. h. R von Null verschieden; und dass dann (indem wir von 
einem gleichgültigen Factor ahstrahiren) 



(6) (^xyy = {}}% — m") (p ]/% — m l -f {m" — m) ijß // Tt— m X 

-jr (m — m') X Vy- — ni" l 

gesetzt werden kann, ein Ausdruck, dessen rechte Seite nothwendig 
das Quadrat einer linearen Function ist. 

Für die Auflösung der Gleichung xf-\- XII=0 ist es hinreichend, 
das Quadrat dieses linearen Factors der Gleichung zu kennen, in- 
dem die Verhältnisse von ^/, y^y^, yi und also auch - dann 

Vi 

bekannt sind. 

Man braucht also nur, indem man die linke Seite von (6) durch 

bezeichnet, aus (6) die Gleichungen 

y2=-'(^ny ^1 2/2 = - «12? 2/2' =«22 
abzuleiten; der Quotient 

^ ^ _ «11 ^ _ C^2 
!/2 «12 «12 

ist dann eine Wurzel von f=0. 

Aber es ist von Interesse, die Auflösung der biquadratischen 
Gleichung zf-\-X 11=^0 auf eine Identität zurückzuführen, welche die 
linke Seite der Gleichung in ihre vier linearen Factoren zerlegt zeigt. 
Diese Identität ist nach dem Vorigen von der Form 



(7) 




M{nf+IH) 










= /(m'- 


-m') (p j/y.- 


-mX-\- {ni" - 


-m) Jl^j/ü- 


- m' X + {yn - 


-m')xj/y- 


-m" 


X 


./k- 


-m") cp j/x- 


— ml — {t)i' - 


-m) -pj/x- 


-)yi X-\- {m- 


-m')xj/^- 


-m" 


iL 



' Vim — m") cp j/^—m X + (ni'-m) i^j/y. — m'X — (;m — m') x]/ x — m" X 
• y{m'—m") opj/x-mX — (m" — m) ^j/k — niX — {m—m) xV ^~ *^^" ^; 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 4ß. 157 

wobei noch für cp , if,'j x ^i^ Werthe aus §44. (6) einzusetzen sind. 
Es handelt sich nur noch um die Bestimmung der Constante M. Die- 
selbe erfolgt sehr leicht, wenn man in der obigen Gleichung ein 
Werthsystem x^^j x.^ einführt, für welches eine der Formen 9), i^, Xi 
etwa g), verschwindet. Für dieselbe reducirt sich die obige Gleichung auf 

(8) M{Kf-\-kH) = iin'-m)- il}^{%-m' X)-{i)i-~mf x'{x-m'X)', 

zugleich wird nach § 44. (6) 



daher, wenn man dies in (8) einführt und durch f dividirt: 

M{x—mX)=^ (m — m) {m — m") \ (m — m') {x — m X) -J- {m — m) {x — m" A) j 

= -5 (^^^ — ^''^0 (^^* — ^^'0 (^>^' — 1^") {'^ — *'^ ^) ; 
oder 

(9) M=^ {m - m) {m - m') {m - m") =-2 K= - f £ ( l - f )7/^- ^ . 

Aus dem Vorhergehenden sieht man, dass, sobald R nicht ver- 
schwindet, die vier Lösungen der biquadratischen Gleichung 

aus den vier Gleichungen 

( 10) {m — m") (p y'x — m l 4^ {m" — m) ifj j/x — m X 

+ {m — m) % ]/x —m" A = 

gefunden werden, deren linke Theile Quadrate linearer Ausdrücke in 
den X sind. 

In diesem Falle sind, ausgenommen wenn — einen der Werthe 

A 

m, m\ m' annimmt, die vier Wurzeln der Gleichung immer verschie- 
den. Denn sollten zwei gleich werden, etwa die in (10) durch die 
Zeichenfolgen 

+ + + 

+ 

repräsentirten, so müssten zugleich die Gleichungen bestehen: 

g) = 
{^n —nijil^yx — m A + {m — m) % }/x — m" A = , 

oder die Resultante dieser beiden Formen zweiten Grades müsste ver- 
schwinden. Nun ist die simultane Invariante dieser beiden Formen 
aus Aq^ und A^.^ zusammengesetzt und daher identisch Null ; die Resul- 
tante reducirt sich daher auf das Product der Invariante von (p mit 



158 Vierter Abschnitt. Theorie der Formell 

der Invariante der zweiten quadratischen Form. Erstere verschwindet 
nicht, da sonst zwei m einander gleich sein müssten, also B = 0. 
Die zweite ist die zweite Ueberschiebung der zweiten quadratischen 
Form über sich selbst; aber die Form 

aifj + ßx 
zweimal über sich selbst geschoben, giebt 

also hier 

{m''—mY {% — mX) A^^ -j- {m — nif {% — nfX) Ä.^^ 

(m—m) im'—m'') im" — m),, „ , , ,,, , , , „,, , 

= ^ — ^ — ^— ^ j {m''—m) {% — mX) + {m-m') {yc-m'l) \ 

im—m') ( m" — m) im' — m" f , 
= -^ ^^ ^ ' ^ '- (x — mX). 

Auch dieser Ausdruck also kann nicht verschwinden, da weder 
zwei m einander gleich sind, noch —=:m sein sollte. 



§ 47. Die quadratischen Factoren von /. 

Auf die cubische. Resolvente 

m-^ — -zron — ^ = {) 

wird man noch auf eine andere Art geführt, nämlich indem man 
direct die Aufgabe zu lösen versucht, eine biquadratische Form /' 
in zwei quadratische Factoren aufzulösen. 
Setzt man nämlich 

f= («0 ^1^ + -^ ^1 ^1 %> + ^^2 ^'^/) ißo ^1^ -\-2ß^x^x.^ + ft x./) , 
so erhält man durch Vergleichung der beiderseitigen Coefficienten : 

2a, = a^ß,-\- ß^ a, 
(1) Qa, = a,ß, + ß,a, + ^a,ß, 

2 «3 = a, /3^ + ß, a., 
a^ = cc.,ß.,. 
Führt man nun eine Grösse m ein, so dass die mittlere dieser 
Gleichungen in die beiden: 

^ü 1^2 + i^o ^2 ^ ^ ^'2 — 2 ^n 
c(,ß, = a, + ^ 

zerlegt wird, so findet man m aus der Bemerkung, dass die Deter- 
minante 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. 



46, 47. 



159 



C^oßo + ß 

%ß.-^ß 

«0^2 + /^ 


«0 ^^1 ^U + ßl «0 ('■> ßo H- ß2 «(. 
0«1 ^^l/^. +/5. «1 «2/5. +^2«! 
0«2 ^^/52 + /^. «2 «2ft + ft«2 


= 


«ü ^0 

a, ß, 


A, «0 

. /3^ «, 
^/ «, 





identisch verschwindet. Setzt man hier für die Elemente derselben 
ihre Werthe aus (1) und dividirt überall durch 2, so erhält man die 



Gleichung für o)r. 



m 



, m 

«2+2 



tto 



m üc 



= -^(m^ 



2 



in 



-i)- 



was wieder unsere cubische Resolvente ist. 

Die Zerlegung von /' aber finden wir sodann ohne Weiteres aus 
den Gleichungen § 44. (4) : , 

H+m f=-2(p^ 
(2) Hj^ni f=-2t"- 

H+m'f=-2f, 

aus welchen sich die drei Zerlegungen ergeben: 

2 , „ „, 2 



f 



(3) 





tu 


— 


m" 






2 






m' 




m 






2 





m — m 






s\ 



r) 



r') = 



<p') 



m — m 
2 

m" — m 

9. 






m 



m 



,{4^-cp){t + (p). 



(4) 



Indem man diese Darstellung zu Grunde legt, kann man die Auf- 
lösung der Gleichung vierten Grades f=^0 so ausdrücken, dass die 
vier linearen Facto ren von f die gemeinsamen linearen 
Factoren der folgenden vier Tripel von Gleichungen sind: 

1. 1/; — 9 = 0, (p-j(^ = 0, x-i' = ^ 

2. ^_9, = 0, (p + j^ = 0, x + t = 

4. ilj-\-cp=0, (pJf-x = 0, x — ip = 0. 

Man benutzt diese Gleichungen bequem zur Discussion der Rea- 
lität der Wurzeln bei einer Gleichung mit reellen Coefficienten. 

Hat in diesem Falle die cubische Resolvente eine reelle Wurzel m 
und zwei conjugirt imaginäre m\ m" (was nach § 38. für negative 
Werthe von i^^, also nach § 41. (12) für negative Werthe von i^—Qf 



Ißö vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

eintritt), so sind i/; und i ihrer Entstehung nach conjugirt imaginär, 
also, wegen der Gleichung 

(5) T=2cptx 

(p reell. Demnach kann man 

iif=u-\-v y.— 1 , j(^=u—v j/— 1 

setzen, und die Gleichungen (4)» verwandeln sich in: 

1. u —^ = 0, v = 

2. vj/^ -(p = 0, ti = 

3. v}/^ + (p = 0, u = 

4. M +^ = 0, v = 0. 

Da nun il^ und % keinen Factor gemein haben, so können u, v 
nicht zugleich verschwinden. Daher ist die gemeinsame Lösung der 
Systeme 2. oder 3. nothwendig imaginär; die von 1. oder 4. sind reell. 

Bei negativem Werthe von i^ — Qj^ hat die biquadra- 
tische Gleichung also zwei reellfe und zwei imaginäre 
Wurzeln. 

Ist dagegen i^^—^f positiv, so hat die cubische Resolvente drei 
reelle Wurzeln m, m , m'\ Daher sind cp'^ , ^'^, %^ reell, und es 
werden nun zwei Fälle möglich. Entweder sind qp, ^, ;^ selbst reell, 
und in diesem Falle also auch alle gemeinsamen Lösungen der Systeme 
4. und damit die Wurzeln der biquadratischen Gleichung. Oder zwei 
der Ausdrücke (p, tp, % erhalten den Factor j/—l, so dass etwa 

In diesem Falle verwandeln die Systeme (4) sich in folgende: 
2. ^'y-[-cp = 0^ ^_|.j^y^ = 0, %+^' = 

4. ^y3i + g, = o^ ^_}.^YZ1=.0, ;t'-^' = o. 

Daher sind in diesem Falle sämmtliche gemeinsame Lösungen der 
Systeme 4. imaginär, und also auch alle Wurzeln von /"=0 imaginär. 

Ist also i^ — ßf positiv, so hat die Gleichung ^ = ent- 
weder vier reelle, oder vier imaginäre Wurzeln. 

Die Unterscheidung der beiden fetzten Fälle ergiebt sich sofort, 
wenn man eine cubische Gleichung aufstellt, deren Wurzeln (p^, t/^'-^, 
'f sind. Diese Gleichung ist wegen der Gleichungen (2) : 



zwpitpv, dnttov und vievtpv Orclnnnor. — §§47,48. \Q\ 

In dem Falle, mit welchem wir es hier zu thuii haben, hat diese 

Gleichung stets reelle Wurzeln; und zw^ar drei positive, wenn f=0 

lauter reelle, zwei negative und eine positive, wenn f=0 lauter 

imaginäre Wurzeln hat. Im ersten Falle muss also | H negativ, 

i 
^H'—^p positiv sein, im zweiten Falle müssen beide Ausdrücke 

gleiches Zeichen haben. Und so haben wir folgenden Satz: 

^ Wenn ?'^ — 6/->0, so haben die Werthe der For- 

men H und H- — jrp hei beliebigen reellen Werthen 

der X entweder stets verschiedene Vorzeichen, und 
dann hat die Gleichung /*=0 lauter reelle Wurzeln, 
oder dieselben haben stets gleiche Vorzeichen, und 
dann hat die Gleichung /=0 lauter imaginäre 
Wurzeln. 



§ 48. Ausnahmefalle. 

Gehen wir nun zur Betrachtung des Falles über, in welchem 
i2 = 0, und zwar möge m'=m' werden. Es ist also m' eine Doppel- 
wurzel , m eine einfache Wurzel von Q = ; 7)1 und m' seien noch 
verschieden. Wegen der Gleichung R — C), d. h. r^ — 6y- = 0, wird 



'-(-H')'('-y'). 



also 



(1) "'' = -{' '« = 2j. 

Nach § 44. (G) ist in diesem Falle % = ip'^ zugleich aber A^^ = A^c,~^ 
[§45. (2)], also der gemeinschaftliche Ausdruck von i^ und % ent- 
weder das Quadrat eines linearen Ausdrucks 5? oder identisch Null. 
Beide Fälle sind getrennt zu behandeln. 

Ist z^ — ;k = b" von Null verschieden , so hat man nach § 44. (4) 

es ist also eine Verbindung von H und f die vierte Potenz eines 
linearen Ausdrucks. Aber ferner ist A^.^=i), was hier in 

(SP 1)^ = 

übergeht. Es verschwindet also (p, wenn manrrj^ = ^2, x., = — l^ setzt; 
q) muss daher den Factor 5 besitzen, und man hat daher 

wo ri ein von ^ verschiedener linearer Ausdruck ist. Die zweite Ueber- 
schiebung nämlich von cp über sich selbst ist jetzt 

Clebsch, Theorie der binäreu algcbr. Forinea, 11 



%. 



\Q2 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

(9?) (<pri) = i I (II) (nv) - i^nf I = - i iiv'^ 

und daher 

(U)^ = -2Ao=(™-»OS 
also von Null verschieden. 

Die Gleichungen § 44. (4), (5) verwandeln sich sonach in die 
folgenden : 

Aus diesen Gleichungen erhält man: 

Durch d as Verschwinden von li = ^^ {i^ — ßf) erhält 
also f eine Doppelwurzel (? = 0); R ist also die Discrimi- 
nante, was auch in § 2P. gefunden wurde. Der Doppelfactor 
von f ist auch ein solcher von H^ und ein fünffacher von T. 

Die Lösung der biquadratischen Gleichung xf+XH=0 erfolgt 
in diesem Falle dadurch, dass man zunächst aus der Gleichung 

deren linker Theil ein Biquadrat ist, die Doppelwurzel | = be- 
stimmt. Ist 

so ist 
also 

und die Doppel Wurzel ist daher— 7^. Die übrigbleibende quadra- 
tische Gleichung ist dann 

''f^'^^^A{Ki-2kj)l^-{Ki^lj)f^^ 



Bestimmt man also — aus der Gleichung 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 48. 163 

r iH-jf 



r,' iH+2jf' 
SO geben die linearen Gleichungen 



^±/,S%-''=« 



2 JA 
die beiden ungleichen Wurzeln von xf-\-XH = 0. — 

Ist zweitens il> = x identisch Null, so sind H und f nur noch 
durch einen Factor verschieden, und zwar ist aus § 44. (4), (5): 

Das ganze System x f-]- XII= ist also, abgesehen von dem Falle 

3C ') 

— — — — , in welchem der Ausdruck identisch verschwindet, auf/'=0 
reducirt. Zugleich liefert die erste Gleichung § 44. (4) 

Demnach wird f das Quadrat eines quadratischen Ausdrucks; 
f=^ hat zwei verschiedene Doppelwurzeln. Und zwar ist die Be- 
dingung, dass H von f nur durch einen Factor verschieden sei, 
dafür in der That ausreichend, da die Gleichungen §44. (4) dann 
immer dieses Resultat geben, und da dann auch immer R von selbst 
verschwindet, dessen Quadrat, wie oben gezeigt, die Resultante von 
f und H ist. Man kann also den Satz aussprechen: 

Wenn H von f nur um einen constanten Factor 
verschieden ist, dann, und nur dann ist f das 
Quadrat eines Ausdrucks zweiter Ordnung. 

Die Bedingungen dafür, dass f zwei Doppelwurzeln besitze, 
werden also dadurch ausgedrückt, dass man die Coefficienten von H 
denen von /' proportional setzt. Es involvirt dies zwei Beziehungen 
zwischen den Coefficienten; aber, wie in den meisten ähnlichen Fällen,, 
wird dies nicht etwa durch das Verschwinden zw^eier Invarianten, 
sondern durch Beziehungen zwischen den Coefficienten von Covarianten 
ausgedrückt, und zwar durch eine zu grosse Anzahl von Gleichungen, 
welche neben einander bestehen können, aber von denen keine über- 
flüssig ist. Auf solche Erscheinungen wurde auf p. 91 bereits hin- 
gewiesen; hier liegt ein weiteres Beispiel vor. — 

Wir kommen endlich zu dem Falle, wo alle drei Wurzeln })i, in\ 
m" der cubischen Gleichung Q = einander gleich w^erden. Da der 

11* 



164 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

zweite Coefficient der Gleichung^ die Summe der Wurzeln also^ ver- 
schwindet, so ist nothwendig in diesem Falle 

und die Gleichung Q = muss sich auf %^ = reduciren ; man hat 
daher auch 

• 

Aus den Gleichungen § 45. (2) sehen wir, dass A^^^, A^^^ A.^^ ver- 
schwinden. Die quadratische Form g? == i^» = ;^ ist also entweder das 
Quadrat eines linearen Ausdrucks, oder identisch Null. Hiernach 
haben wir zwei Fälle zu unterscheiden, die wir nach den Gleichungen 
§ 44. (4) aucli so ausdrücken können: Entweder ist H das Biquadrat 
eines linearen Ausdrucks: 

oder es ist H identisch Null. 

Die Gleichungen i = 0, j = folgen umgekehrt wieder aus der 
Bedingung, dass H ein Biquadrat sei, und um so mehr, wenn es 
identisch verschwindet. Denn erstlich ist, wenn H ~ |^, die Invariante 
i, für H gebildet, gleich (§|)^, also identisch Null; dieselbe ist aber 
der Coefficient von A^ in i^x [§ 41. (8)], welcher bis auf einen Zahlen- 
factor gleich i^ ist. Es verschwindet sonach ^; und in Folge der 
Gleichung R = oder i^ — 6f = auch j. 

Es verschwindet aber nach § 40. (8) mit i auch die zweite Ueber- 
schiebung von f mit H, welche, wenn i?"= |*, den Ausdruck an- 
nimmt : 

Setzen wir also den ersten Fall voraus, in welchem 5 nicht iden- 
tisch verschwindet, so muss identisch 

sein, also auch (cg)* = 05 es muss f den Factor 5 zu irgend einer 
Potenz enthalten. Setzen wir 

wo u eine Form dritter Ordnung ist. Schieben wir dies zweimal 
über I, so bleibt der Factor J immer ungeändert; es muss also die 
zweite Ueberschiebung von u mit 5 verschwinden, d. h. u muss wie- 
der den Factor | enthalten, 

wo 1^ von der zweiten Ordnung ist. Endlich, wenn wir J wiederum 
zweimal über dieses Product schieben und das Resultat gleich Null 
setzen, bleibt, dass die zweite Ueberschiebung von v mit |, welche 



zweiter, dritter imd vierter Ordnung. — § 48. 



165 



eine Constante ist, verschwindet. Man hat also v = ^. rj, und endlich 

Diese Form hat in der That eine Covariante H, welche ein 
Biquadrat ist. Denn denken wir uns ? und rj als neue Veränderliche 
eingeführt, so ist die Form H gleich der in Bezug auf die neuen 
Veränderlichen gebildeten Form, multiplicirt mit dem Quadrate der 
Substitutionsdeterminante , also 






d^f 



21* 



elf 



Wenn also H ein Biquadrat ist, ohne identisch 
zu verschwinden, so hat man / = 0, j = 0, und / hat 
einen dreifachen Factor; so wie umgekehrt im letz- 
teren Falle immer H ein Biquadrat, und i = 0, 
i = Oist. 

Ist endlich H identisch gleich Null, so verschwinden alle seine 
Coefficienten ; es ist also (vgl. § 40.) : 

«y a^ — a^=^Q 

^0 ^3 — ^1 0^2 = 



a^j «4 + 2 «1 «3 — 3 «2 
a^ a^ — «2 «3 = 

«2«4 — «3^ = 0- 







Ist hier «^^ = 0, so verschwindet auch «^, a^y a^ nnd /wird x^*- 



Ist^öfQ von Null verschieden, so ist 



«9 = 



a,= 



2? 



Ct.= 



^Zl_ 



also 



f=a,{,^ + 'hx^' 



Wenn 2^=0, so ist also f immer das Biquadrat eines 
linearen Ausdrucks. Dass umgekehrt in diesem Falle IT und alle 
anderen Bildungen verschwinden, lehrt die symbolische Darstellung, 
welche für diesen Fall in die wirkliche übergeht, und bei welcher 
daher alle symbolischen Determinanten verschwinden. 

Hiermit ist der Kreis der möglichen besonderen Fälle einer 
biquadratischen Form erschöpft. 

Kehren wir zu dem allgemeinen Falle zurück. 



1(36 Vierter Abschnitt. 'Theorie der Formen 



§ 49. Kanonische Darstellung der biciiiadratischen Form. 

Unter einer kanonischen Darstellung einer binären Form ver- 
stehen wir eine Darstellung derselben durch Einführung neuer Ver- 
änderlichen, bei welcher die Zahl der nicht numerischen Coefficienten 
auf ein Minimum reducirt wird. Da die Anzahl der Constanten einer 
linearen Transformation nur 4 beträgt, so ist es klar, dass die ka- 
nonische Darstellung höchstens 4 nichtnumerjsche Coefficienten weniger 
enthalten kann, als die allgemeine Darstellung der Form. Die kano- 
nische Darstellung ist daher auch hauptsächlich bei niederen Formen 
von Interesse, wo diese Verminderung schon eine erwähnenswerthe 
ist. So ist die Darstellung der cubischen Formen durch den Ausdruck 
g^ — Yj-^ als eine kanonische zu bezeichnen. Eine solche kanonische 
Darstellung soll nun für die Formen vierter Ordnung geliefert 
werden. 

Als neue Veränderliche der kanonischen Darstellung empfiehlt es 
sich hier, die linearen Factoren einer der quadratischen Formen (p, 
\pj l einzuführen, so dass eine kanonische Darstellung dieser Art auf 
drei verschiedene Arten möglich ist. 

V\^enn wir etwa die Factoren von cp, durch |, -q bezeichnet, als neue 
Veränderliche einführen, so nehmen die Formen ij), % Gestalten an, 
welche dadurch charakterisirt werden, dass die simultanen Invarianten 
^4.^1 und A^y, verschwinden. Eine solche Invariante hat, wenn %, a^, cl^ 
die Coefficienten der einen, a^, a^, a., die der anderen in ihr auftretenden 
Form bedeuten, den Ausdruck a^ a.^ — 2a^a^ -f a.y^a^ (vgl. p. 4.). Bilden 
wir daher A^^ und A^.^ für die neuen Veränderlichen, in denen bei cp 
nur das mittlere Glied existirt, so reducirt der Ausdruck des Ver- 
Schwindens von A^^ und A^^ sich darauf, dass in der neuen Form die 
mittleren Coefficienten von i) und % verschwinden. Die Formen ^, 
y^ drücken sich also durch die Quadrate von \ und t^ aus. Benutzen 
wir nun die Gleichungen § 44. (4) , um i/, /' durch ? , ri auszudrücken, 
so folgt, dass auch diese Formen nur gerade Potenzen von % und i^ 
enthalten können. 

In der kanonischen Form, deren Möglichkeit hierdurch bewiesen 
ist, können also nur noch die Biquadrate und das Froduct der Qua- 
drate von % und y] vorkommen. Indem wir % und y\ um passend ge- 
wählte Factoren ändern, können wir noch die Coefficienten von |* 
und yf (die, wenn keine Doppelwurzel von /'=() existiren soll, nie- 
mals verschwinden können) gleich 1 machen; indessen ist es zweck- 
mässiger, sie nur gleich zu machen, und also die folgende kanonische 
Darstellung von /* anzunehmen: 

(1) /"=i'(r+)j*)+6är^ij^ 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 49. 167 

Man kann nun sich die Aufgabe stellen, direct diese kanonische 
Darstellung für eine gegebene Form f zu finden. Es muss dieses 
nach dem Vorigen mit der Aufsuchung der Formen 9, i^-, % genau 
zusammenhängen; dass es andererseits mit der Auflösung der biqua- 
dratischen Gleichung f=0 zusammenhängt, sieht man schon daraus, 
dass, wenn die kanonische Darstellung einmal gelungen ist, zur Auf- 
lösung der Gleichung /"= nur noch Quadratwurzeln erfordert 
werden. In der That, ist /' in der Form (1) gegeben, so hat man 
sofort aus f=0: 



oder auch, indem man addirt oder abzieht und mit | oder yi dividirt: 



2iVp=ri {y -Qq + 2p + y -6q-2p ) 
2rjj/^ = i (j/-6q + 2p-y-6q-2p). 

Diese Gleichungen geben in verschiedener Form dieselbe Lösung 
der biquadratischen Gleichung /"=0; man erhält daraus die übrigen, 
indem man die Vorzeicheu der Quadratwurzeln ändert. 

Gehen wir von der kanonischen Form aus, so ist es sehr leicht, 
alle Covarianten und Invarianten in Bezug auf die neuen Veränder- 
lichen ^j 7] zu bilden; wir wollen sie durch beigesetzte obere Striche 
bezeichnen; sie unterscheiden sich von den ursprünglichen Bildungen 
nur durch entsprechende Potenzen der Transformationsdeterminante (§ rf). 

Zunächst hat man 

(3) H^(^irifH'^i^rif,2 ^^' + ^^' il^\\ 

= {^riJ \2pq{l^+ri^) + 2 {f -^q^)l^rf\. 

Man sieht hier, dass die kanonische Form von H derjenigen von 
/"ganz analog ist. Denken wir uns Py q und den Werth von {jE,rif 
gefunden, so kann man aus (1) und (3) die Ausdrücke {i^^ -\- yf)'\ 
(!'— '^^Y ^nd 2l~rf bestimmen, und erhält dann die folgenden Glei- 
chungen, welche mit den oben § 44. (4) gegebenen Bestimmungen 
von (p^j ^^, y^ wesentlich identisch sind: 

(4) H+ (q+p) (|^)Y= iUr-iSpq +p^ a' + v'Y 
H+ {q -p) (inff=-{W (3i>ä -i»') (r - rff, 

und aus welchen man ^=^ und rf sofort ausdrücken kann. Die erhaltenen 
Ausdrücke für 5", *?"^ sind bestimmt, abgesehen von einer möglichen 
Vertauschung und von einer gleichzeitigen Zeichenänderung beider, 



1(J8 Vierter Absclmitt. Theorie der Formen 

was auf die Darstellung (1) keinen Einlluss hat und daher g'leieli- 
gültig bleibt. 

Von den Grössen q^ jp ist eine, wie schon oben bemerkt, will- 
kürlich. Das Verhältniss - aber, sowie i^riY, lindet man, indem man 

die Wertlie der Invarianten i und j in der kanonischen Darstelking 
bildet. Benutzt man die in § 40. gegebenen Ausrechnungen von i 
und jj so erhält man: 

Aus diesen Gleicliiuigen folgt: 

p' + 'iq' j 



(5) avr=i 

(6) 



3 q {p^ — q^) ' i ' 
2(p2_^3g2)3 



j2 9^2(^p2_^2)2- 

Die eine dieser Gleichungen liefert den V\^erth von (|r?)^, die 

andere eine cubische Gleichung zur Bestimmung von ^ . Dass nur 

das Quadrat dieser Grösse bestimmt wird, erklärt sich dadurch, 
dass die Gleichung (1) ungeandert bleibt, wenn q in —q verwan- 
delt wird, sobald nur gleichzeitig ri ]/—l an Stelle von 7} ge- 
setzt wird. 

Die cubische Gleichung (6) lässt sich durch eine einfache Sub- 
stitution in die cubische Gleichung Q = überführen. Setzt man 
nämlich 

so geht die Gleichung (6) in 

<» ^ j n 

m^ — -^ m — —- = 

über. Die Gleichung (7) verbindet daher die drei Werthe von ^ mit 
den Wurzeln m, w, m" von Q = 0. 

Benutzt man die Gleichung (7), so verwandelt (5) sich in 

(8) (|.^)^2=-|. 

Durch die Gleichungen (7), (8) und (4) ist die kanonische Dar- 
stellung von /' vollständig geliefert. 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§ 49, 50. 169 



§ 50. Die absolute IiiTariante und das Doppelverhältniss. 

Die in der Gleichung § 49. (6) auftretende Grösse — hat die 

Eigenschaft, sich bei linearer Transformation gar nicht zu ändern, 
und sie ist die einzige Invariantenverbindung, welche diese Eigen- 
schaft haben kann. Sie ist daher eine absolute Invariante im 
Sinne des § 21., und theilt diese Eigenschaft mit dem Doppelverhält- 
niss, welches aus den vier der biquadratischen Form zugeordneten 
Elementen gebildet werden kann. Ich werde jetzt die algebraische 
Beziehung entwickeln , welche zwischen diesen beiden Grössen besteht. 
Setzt man in den Formeln (2) des vorigen Paragraphen für den 
Augenblick der Kürze wegen 



2yp ' 2yp ' 

so sind die vier linearen Factoren von f durch die Gleichungen dar- 
gestellt : 

| + (« + /3)7? = 

l + {a-ß)ri = Q. 

Eines der Doppelverhältnisse, welche aus den entsprechenden 
vier Elementen einer Punktreihe oder eines Strahlbüschels gebildet 
werden können, hat 'dann nach § 25. den Werth: 

(a + ß) + {a-ß) 
(« + /3) - (« - /?) «^ 

- (« + |3) + (c-^) ß-^' 

und es ist, wenn wir diesen Werth durch a bezeichnen. 

Das Verhältniss — steht also mit dem Doppelverhältniss <5 in 
einem linearen Zusammenhange. Drückt man — durch 6 aus: 

p 3(1-^)' 

und führt dies in die Gleichuug § 49. (6) ein, so erhält man die 
Beziehung zwischen der absoluten Invariante und dem 
D p p e 1 V e r h ä 1 1 11 i s s e : 



170 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

(1) 4:=24 n-'^+'^'y 



Dieses ist für a eine Gleichung sechsten Grades; ein Umstand^ 
welcher der Thatsache entspricht, dass aus vier Elementen sich sechs 
Doppel Verhältnisse bilden lassen. Die sechs Wurzeln dieser Gleichung 
müssen daher so mit einander verbunden sein, dass, wenn ö irgend 
eine derselben ist, die übrigen die Werthe annehmen: 

1 _ JL "^jn^ _?_ 
ö' ^' i-ö' ö ' ö-i' 

Man findet dies in der That bestätigt; denn die Gleichung (1) 
ändert sich nicht ^ wenn man an Stelle von ö eine dieser fünf Grössen 
einführt. 

Die Auflösung der Gleichung (1) erfolgt dadurch, dass man 
dieselbe auf die cubische Gleichung Q = und auf quadratische 
Gleichungen zurückführt. Indem man nämlich den oben erhaltenen 

Werth von — in die Gleichung § 49. (7) einführt, kann man dieser 

die Form geben: 

^ ^ l 2 — <3 .1 — 2 (5 

Die rechte Seite ändert sich nicht, wenn man a durch — ersetzt; 

man hat also, indem man für m die Wurzeln der cubischen Gleichung 
Q = einführt, drei quadratische Gleichungen in a vor sich, welche 
drei Werthepaare dieses Doppelverhältnisses ergeben ; und zwar stehen 
immer zwei Werthe eines Paares in der Beziehung zu einander, dass 

wenn (5 der eine ist, — der andere wird. 

Umgekehrt erhält man, wenn man in (2) a durch 1 — (? oder 

durch ^^^^^— ersetzt, die drei Wurzeln der cubischen Kesolvente durch 

ein Doppelverhältniss ö ausgedrückt: 

m — ^ 

^ 

(3) _ m! = + 4 

2,/ 
m = - 

i 



1 


— (? + Ö-' 


2- 
1 


(7.1-2(? 


1 + 
1 


6 , l-2ö 



lJ^Ö.2-6 



Die Gleichung (1) erlaubt die Beantwortung der Frage, unter 
welchen Umständen einer der ausgezeichneten Werthe des Doppel- 
verhältnisses eintrete, welche in § 21. erwähnt sind. 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — § 50. 171 

Der Werth <J=1, bei welchem zwei Factoren von f zusammen- 
fallen müssen, führt selbstverständlich auf das Verschwinden der 
Discriminante. In der That, setzt man (5 = \y so erhält man aus (1) 

Sollen die vier der Gleichung f— entsprechenden Elemente da- 
gegen harmonisch liegen , so hat man ö = — 1 , 2 oder \. h\ allen 
diesen Fällen verschwindet in (1) der Nenner. Die Bedingung der 
harmonischen Lage ist also 

Soll endlich das Do})pelverhältiiiss äquianharmonisch werden, so 
muss ö eine imaginäre dritte Wurzel aus (1), also &^ — a -\- 1 = sein; 
der Zähler in (1) muss versehwinden. Die Bedingung der äqui- 
anharmonischen Lage ist also 

Diese beiden Fälle geben nicht zu so grossen Modificationen in 
der Auf lösung von ;(/-h AÄ^—0 Veranlassung, wie das Verschwinden 
der Discriminante. Doch ist die dabei auftretende Vereinfachung 
immerhin erheblich. Die Gleichung ß — verwandelt sich bei der 
harmonischen Lage in 



m^ — -^m = Oj 



so dass 



bei der äquianharmonischen dagegen in 

3 



m^ -4 = 0, 



so dass 

m — 1/ ^, m = s 



/i' '"'-^'fi 



Im ersten Falle wird also die cubische Gleichung reducibel, im 
zweiten geht sie in eine reine über. Im ersten. Falle ist 






172 Vierter Abschnitt. Theorie der Formen 

es ist also H selbst ein Quadrat; und das Quadrat eines linearen 
Factors von ti /*-|- l H ist : 



Im zweiten Falle hat man 

7/ ^+^ fi - 



und das Quadrat eines linearen Factors von xf-\-lH ist: 

Indem wir das Vorhergehende auf die zusammengesetzte Form 
xf+kH anwenden, gelangen wir zu folgenden Resultaten. 

Unter den Formen xf-{-lH giebt es 6, bei denen ein 
Doppelverhiiltniss von gegebener Grösse eintritt. Die- 
selben bestimmen sich durch die Gleichung 

(4) i^^i=.c.j^^x, 

wo nach (1) 

. = 24 (l-^ + ^T 



wenn 6 das gegebene Doppelverhältniss ist. Nach §41. (9), (10) kann 
man der Gleichung (4) auch die Form geben: 

(5) SA^^ + cÖ^ß-O, 

oder wenn man die Relation zwischen den Covarianten cubischer For- 
men berücksichtigt [§ 35. (7)] : 

Diese Gleichung sechsten Grades zerlegt sich also sofort in die beiden 
cubischen Factoren: 



(6) e^=±«/-,^ 



zweiter, dritter und vierter Ordnung, — §50. 173 

Die sechs Lösungen der Gleichung (4) zerfallen also 
in zwei Gruppen zu drei. Insbesondere aber sind folgende Fälle 
hervorzuheben: 

1. Für c = ß, wo das Doppelverhältniss 1 wird, geht (6) in Q = 
über. Die sechs Lösungen von (4) fallen in drei Doppellösungen zu- 
sammen; und zwar sind dies keine anderen, als 

oder 

9)2 = 0, 11^^ = 0, f=:0. 

In der Gleichung xf-{- XH = können also im Allgemei- 
nen nicht zwei Lösungen zusammenfallen, ohne dass auch 
die beiden anderen zusammenfallen. 

2. Für c = oo erhalten wir ^^ = 0; wird also das gegebene 
Doppelverhältniss —1, so fallen abermals die sechs Lösungen in drei 
Doppellösungen zusammen. Die Gleichung xf-\- XII=0 giebtin 
drei Fällen ein harmonisches System. 

3. Für c = giebt (5) A^ = 0. Wird also das gegebene Doppel- 
verhältniss äquianharmonisch , so giebt (5) zwei dreifache Lösungen. 
Die Gleichung xf-\- IH=0 giebt also nur in zwei Fällen 
ein äquianharmonisches System. 

Es ist bemerk enswerth, dass die Lösungen aller unter (4) oder 
(6) enthaltenen Fälle wieder im Wesentlichen nur die Lösungen der 
Gleichung Q = erfordern, indem sie durch die Betiachtungen des 
§ 38. unter einander verbunden sind. — 

Die Gleichungen (3) geben noch bemerkenswerthe Resultate, wenn 
man die Wurzeln der Gleichung f=0 einführt. Es seien «, ß, y, d 

IT 

die drei Werthe, welche — für f=0 annimmt. Setzt man alsdann* 

(7) ,i^^a-ß){y-d), v^{a-r){d-ß), tv = {a-d) {ß-y), 

so hat man 

(8) u + v + w = ö, 
und wenn 

^^^ ""-a-d.y-ß- IV 

gesetzt wird, so verwandeln sich mit Hilfe von (8) die Gleichungen 
(3) in folgende: 



* Vgl. Her mite in Cr eile's Journal Bd. 52. 



174 Vierter Absclmitt. Theorie der Formen 



(10) ni^^- 



m 



während (1 ) in 




(11) 


4 = 3 


überp^eht. 



J 


11^ + V"-\-W- 


i 
j 


u—v . U — iV 
u- -\- v^ + w^^ 


i 

j 


' V—W . v — u 
u^J^v'^-w' 


i 


' iv — u.iv — v^ 

(V 4- ^2 _|_ ^2Y> 



{u — vy {V — wf {w — u)'^ 

Theilt man nun die letzte Gleichung in die beiden: 

^g. i = 37c'{u' + v' + w') 

j = 3 ü^ (u—v) (v — w) (w—u), 

so überzeugt man sich leicht, indem man in der Gleichung 

^ = 2 («() «4 — 4 «1 «3 + 3 a^^) 

die Coefficienten durch a^^ und die symmetrischen Functionen der a, 
ßy yj d ersetzt, dass eine Gleichung von der Form der ersten Gleich- 
ung (12) entsteht, und dass daher in dieser x nur um eine numerische 
Constante von a^ verschieden ist. Setzt man, um diese zu finden, 

et cc^ 
ß = a, y = d = Oy so erhält man f=a^.^x^(x^-ax.^'^, also a.^ — -^^ , 



ti^g = 0, «4 = 0, daher 






Q ' ' 36 ^ 

aber zugleich t* = 0, v=^ — a^y w = a^y also 

^ = 6 ;c^ «^, j = — Qx^ af'y 

daher ^ = 7.-. Die Gleichungen (12) geben nun: 

i=^(ii^ + v^ + w^) 

j = ^ (u—v)(v—w){w—u). 

Sodann aber erhält man aus (10) die folgenden einfachen Be- 
ziehungen zwischen den Wurzeln der cubischen Resolvente und denen 
der Gleichung f=0 selbst: 

m =-^ {w — v) 
(14) m' —-y {u — w) 

m:'=^{v-u). 



zweiter, dritter und vierter Ordnung. — §§50, 51. "175 



§ 51. Geometrische Interpretation, 

Die Gleichung f=0 bestimmt vier Elemente, welche ein Quadru- 
pel heissen mögen. Auch H=0 bestimmt ein Quadrupel, und die 
Gleichung xf-\- kll=0 bestimmt eine einfach unendliche Schaar von 

X 

Quadrupeln, wenn man dem Quotienten y allmälig alle möglichen 

Werthe beilegt. Jedes Element des geometrischen Gebildes (Punkt- 
reihe oder Strahlbüschel) gehört nur einem Quadrupel an, sobald R 
nicht verschwindet, was wir zunächst voraussetzen wollen. Denn sind 
^1? ^2 gegeben und haben f, H keinen gemeinsamen Factor, so ist 

y durch die Gleichung 

x/'4-AJff=0 
immer eindeutig bestimmt. 

Die Verschwindungselemente von T stehen zu den Elementen 
dieser Quadrupelschaar in einer festen und eigenthümlichen Beziehung. 
In § 49. haben wir gesehen, dass, wenn wir die Elemente eines der 
quadratischen Factoren von T als Grundelemente einführten, sowohl 
die andern Factoren von T als 7if-{-XH selbst nur gerade Potenzen 
der Veränderlichen enthielten. Die beiden anderen quadratischen 
Factoren von T haben also dann die Form 

(1) l^-rr^ 

und in zwei eben solche Factoren zerlegt sich Kf-\-lH. Aber nach 
§ 25.'*(7) stellt diese Gleichung ein Elementepaar einer Involution dar, 
welche | = und 7^ = zu Doppelementen haben. Daher können wir 
folgende Sätze aussprechen: 

Die drei quadratischen Factoren von T reprä- 
sentiren drei Elementepaare, von denen je zwei zu 
einander harmonisch sind. 

In Bezug auf die Elemente eines jeden dieser 
Factoren zerlegt sich jedes Quadrupel der Schaar 
iif-\- kH=^0 in zweiElementepaare, welche zu jenen 
beiden harmonisch sind, so dass den drei quadra- 
tischen Factoren von T die drei Zerlegungen der 
vier Elemente von xf-\- kll=^() entsprechen. 

Betrachtet man also dieElemente eines der drei 
quadratischen Factoren von T als Doppelelemente 
einer Involution, so gehören derselben als Ele- 
mentepaare sowohl zweimal zwei Elemente jedes 
Quadrupels af-^-kH, als die der beiden anderen qua- 
dratischen Factoren von T an. 



176 Vierter Absclinitt. Theorie der,i^ormeii 

Durcli die Eigenschaft, mit zwei Elementepaaren eines Qnadru- 
pels harmonisch zu sein, ist ein quadratischer Factor von T voll- 
kommen definirt. In der That giebt es immer nur ein Elementepaar, 
welches zu zwei gegebenen Elementepaaren harmonisch ist. Bind 
nämlich die gegebenen Elementepaare durch die Gleichungen 

bestimmt, so muss ein drittes, zu beiden harmonisches Paar 

(3) y^, x,^ ^2y,x,x,^ + y.^ x^ = 

den beiden Bedingungen genügen: 

welche aussagen (vgl. § 49.), dass, wenn man die Verschwindungs- 
elemente von (3) als Grundelemente einführt, die Gleichungen (2) nur 
noch die Quadrate der neuen Veränderlichen enthalten. Durch die 
Gleichungen (4) aber sind die Verhältnisse der y eindeutig bestimmt. 
In Bezug auf jede Combination von vier Elementen hat man also 
aus dem Vorigen den Satz: 

Theilt man auf die drei möglichen Arten vier 
Elemente in zwei Paare, und sucht jedesmal das zu 
beiden Paaren harmonische Paar, so sind die ent- 
stehenden drei Paare auch unter einander har- 
monisch. 

Bemerken wir ferner, dass zur Charakterisirung von T die Eigen- 
schaft völlig ausreicht, dass je zwei seiner quadratischen Factoren ein 
harmonisches System geben. Für T== folgt aus § 49. (4) die Form 

wobei die Factoren eines seiner quadratischen Factoren zu Grunde 
gelegt sind. Auf die Form aber kann man jedes System von drei 
Elementepaaren bringen, von denen je zwei zusammen ein harmo- 
nisches System bilden. Nehmen wir nämlich eines als ^rj an, so 
werden die anderen durch 

dargestellt, und damit diese zusammen ein harmonisches System bilden, 
ist die Bedingung zu erfüllen: 

a ß -\-h «==0, 
also 



zweiter, dritter mid vierter Ordnung. — § 51. 177 

Das Product dieser beiden Factoren ist also, von einer Constan- 
ten abgesehen, 

oder, wenn man —= j -~ an Stelle von ^ und ri treten lässt, l'^—n^j 
]/ a y h 

wie es sein sollte. 

Ist ein System von drei zu einander harmo- 
nischen Elementenpaaren gegeben, so bilden alle 
Quadrupel, deren verschiedene Zerlegungen jedes- 
mal z.wei zu einem der gegebenen harmonischen 
Paare liefern, eine Schaar 7if-\-XH=0, für welche 
die zugehörige Gleichung T=Q die gegebenen drei 
Paare giebt. 

Dass nämlich das Product der die gegebenen drei Paare dar- 
stellenden quadratischen Formen als eine Form T betrachtet werden 
könne, ist schon oben gezeigt. Um nun einzusehen, dass ausser der 
Quadrupelschaar xf+lH keine anderen Quadrupel existiren, welche 
der obigen Bedingung genügen, braucht man nur zu zeigen, dass 
jedes Element nur in einem Quadrupel vorkommen kann; da sodann 
ein Quadrupel xf-\-XH existirt, welchem dies Element angehört, so 
kann es keine anderen Quadrupel geben. Nun ist aber in der That 
ein den obigen Bedingungen genügendes Quadrupel durch eines seiner 
Elemente völlig bestimmt; die drei anderen findet man, wenn man zu 
ihm und einem der drei gegebenen Paare das vierte harmonische Ele- 
ment sucht. Damit ist der obige Satz bewiesen. 

Aus den Sätzen des vorigen Paragraphen folgt nun weiter: 

Unter den Quadrupeln, welche zu drei gegebe- 
nen gegenseitig harmonischen Elementenpaaren in 
der Beziehung des vorigen Satzes stehen, giebt es 
keines als die doppelt gerechneten Paare selbst, für 
welches zwei Elemente zusammenfallen, zwei die 
äquianharmonisch, drei welche harmonisch sind; 
endlich sechs, welche ein irgendwie gegebenes 
anderes Doppelverhältniss besitzen. 
Hierbei ist immer vorausgesetzt, dass R nicht verschwindet. 
Tritt dieses ein, so fallen nach § 48. zwei der drei Paare von T in 
ein Paar zusammen, und die dieses Doppelpaar bildenden Elemente 
vereinigen sich zugleich. Das hierdurch ausgezeichnete Element 
(g = 0) ist zugleich Doppelelement aller Quadrupel xf-^-XH^ so dass 
von jedem Quadrupel nur zwei Elemente übrig bleiben; sie bilden 
eine Involution, deren Doppelelemente durch den ungleichen quadra- 
tischen Factor von T gegeben werden. 

C leb seh, Theorie der binären algebr. Formen. liS 



178 Vierter Absclinitt. Theorie der Formen zweiter etc. Ordnung. — § 51. 

Insbesondere kann aber das Doppelpaar identisch verschwinden, 
so dass nur ein Paar von T übrig bleibt. In diesem Falle werden 
alle Quadrupel Kf-\- XII=0 identisch; und zwar fallen sie mit jenem 
Paar, doppelt gerechnet, zusammen. 

Ist nicht blos R = Oy sondern verschwinden i und ^' identisch, so 
enthält die Schaar xf-j- ?.H=^0 ein festes dreifaches Element und 
ein bewegliches einfaches. Ist endlich zugleich H identisch Null, so 
besteht f aus einem vierfach zu rechnenden Elemente, und alle Ele- 
mente der Schaar k f-{- XII=0 fallen mit demselben zusammen. — 

Ich bemerke noch, dass der in § 39. eingeführte Begriff der 
cyclischen Projectivität hier wiederum auftritt. Ist nämlich j = 0, so 
kann man dem Doppelverhältniss (> in § 50. den Werth — 1 geben, 
und es wird daher für die kanonische Form ^' = 0, so dass 

f^i' + n' 

gesetzt werden kann. Da die hieraus für f=^0 folgenden Werthe 
von — die vierten Wurzeln aus einer Zahl (hier— 1) sind, so bilden 

n 

die der Form f zugeordneten Elemente ein cyclisch-projectivisches 
System in Bezug auf die festen Elemente | = 0, rj — O, d. h. in Bezug 
auf eines der Elementepaare von T=0. 

Dagegen zeigt die oben gegebene Form von T, dass immer zwei 
Paare von T=0 ein cyclisch-projectivisches System bilden in Bezug 
auf die Elemente des dritten Paares. 



Fünfter Absclmitt. 

Simultane Grundformen. 



§ 52. CoTarianten nnd luyarianten simultaner Systeme. 

Schon in § 31. wurde bewiesen, dass die Covarianten und Inva- 
rianten simultaner Formen durcli Üeberschiebung der Covarianten 
der einzelnen Formen entstehen, denen dann nur noch die Invarianten 
der einzelnen Formen hinzuzufügen sind. Auch bei diesen Bildungen 
tritt der Begriff eines vollständigen Systems von Invarianten 
und Covarianten auf, indem wir durch diesen Ausdruck wieder ein 
System von Formen bezeichnen, durch welche alle nur denkbaren 
simultanen Bildungen sich als ganze Functionen mit numerischen 
Coefficienten ausdrücken lassen. 

In dem Vorigen zeigte sich wenigstens in den Beispielen die 
Richtigkeit des früher angedeuteten Satzes, dass nämlich bei den 
Covarianten und Invarianten einer einzelnen Form ein endliches voll- 
ständiges System existire. So führten die Formen zweiter Ordnung 
nur auf Combinationen von / und D, die Formen dritter Ordnung 
nur auf Combinationen von f, A, §, B,, die Formen vierter Ordnung 
nur auf Combinationen von /', H, T, i, j. 

Wir werden nun den folgenden Satz beweisen: 

Wenn zwei simultane Formensysteme, f, cp^ i^ ... 
und Fj 0, M' ... jedes für sich auf ein endliches voll- 
ständiges System simultaner Covarianten und In- 
varianten führen, so sind auch die simultanen Co- 
varianten und Invarianten aller dieser Formen zu- 
sammen als ganze Functionen eines endlichen 
vollständisfen Svstems ausdrückbar.* 



* Diesen Satz , sowie im WesentHchen den Gang der folgenden Untei-sucliungen 
gab Hr. Gordan im 2. Bd. der math. Annalen Dass alle Invarianten einer 
Form als ganze Functionen einer gewissen Anzahl ausgedrückt werden können, 
wurde mit Hülfe ganz anderer Methoden in einzelnen Fällen schon sonst bewiesen; 
für eine biquadratische Form, vgl. Salmon, Lessons, 2^ ed. p. 169; für die 
Form fünfter Ordnung, vgl Hermite, sur la resolution de Uequation du 
cinquieme degre; für einige simultane Systeme, vgl. Bessel, math. Annalen, 
Bd. L p. 173. 

12* 



180 Fünfter Abschnitt. Simnltane 

Da wir im Vorigen die Existenz eines endlichen vollstilndigen 
Systems bei den einzelnen Formen zweiter, dritter und vierter Ordnung 
nachgewiesen haben, da sie ferner bei Formen erster Ordnung wegen 
des in § 5. Bewiesenen selbstverständlich ist, so folgt zunächst aus 
dem obigen Satze , dass auch noch Combinationen irgend zweier For- 
men der ersten vier Ordnungen auf endliche vollständige Systeme 
führen, und durch fortgesetzte Anwendung des Satzes erkennt man, 
dass überhaupt jedes System simultaner Formen ein endliches voll- 
ständiges System von Invarianten und Covarianten besitzt, sobald in 
dem Systeme nur Formen der ersten vier Ordnungen vorkommen. 

Um den Satz zu beweisen, schlage ich folgenden Weg ein. Das 
vollständige System, welches aus den Formen /", cp^ il) . . , hervorgeht, 
mag durch die Formen 

^1? ^2 • • • ^tl'l ^1? ^2 • • • ^V 

dargestellt werden, unter denen die A Covarianten, die B Invarianten 
bedeuten. Ebenso sei das aus F , O, Y . . . hervorgehende vollstän- 
dige »System: 

6\ , C,2 . . . Cq\ Dl , Dg . . . Dq , 

wo wieder die C Covarianten, die D Invarianten bedeuten. Nach § 31. 
erhält man nun alle ausser diesen aus dem simultanen System 

/■, <jP, * . . . ; J-, 0, Y . . . 
hervorgehenden Formen, wenn man auf alle Arten die Ueber- 
schiebungen von Producten 

über Producte 

C/' . C/' . . . c/* 

bildet. Die Anzahl dieser Bildungen ist unendlich gross, da zunächst 
für die Grösse der Zahlen a und y keine Grenze vorliegt. Nur 
bezüglich der Höhe der anzuwendenden üeberschiebungen stellt sich 
eine untere Grenze heraus, welche eingehalten werden muss, wenn 
man nicht zerfallende Formen erhalten will. Ist x die Höhe der 
Ueberschiebung, so hat man von beiden Producten die ;<*^^ Polaren 
zu bilden; ist also in einem der beiden Producte die Anzahl von 
Factoren (<^i + «g ' • • + ^/^ ^^cl T^j + J'^ • • • + Vo) grösser als ^, so zer- 
fällt die betreifende Polare in Theile, welche einige C oder A als 
Factoren enthalten, indem durch die zur Polarenbildung nöthige 
Differentiation immer höchstens k Factoren afficirt werden können. Es 
zerfällt also dann auch die Ueberschiebung in Theile, welche einzelne 
C oder A zu Factoren haben, und das Resultat kann daher aus 
niedrigeren Bildungen zusammengesetzt werden. Man braucht also 
auf die obigen Producte nur Üeberschiebungen anzuwen- 
den, welche wenigstens so hoch sind, wie die höchste der 



Grundfonuen. — §§ 52, 53. 181 

Zahlen «^ + «^ . . . + «u und y^ + 7^ • • • H~ )'?• Andererseits ist eine 
obere Grenze für x immer dadurch gegeben, dass k die Ordnung des 
niedrigsten der überzuschiebenden Producte nicht überschreiten kann. 

Dennoch würde das aus diesen Ueberschiebungen hervorgehende 
combinirte System unendlich viele Formen enthalten. Aber es wird 
gezeigt werden, dass man an Stelle der Ueberschiebungen, von denen 
die Rede war, gewisse Theile derselben setzen kann, welche man noch 
in mannigfach verschiedener Weise wählen darf. Indem man eine 
Ueberschiebung durch einen solchen weiterhin zu definirenden Theil 
ersetzt, erhält man bei geschickter Wahl derselben in der grossen 
Mehrzahl der Fälle an Stelle der Ueberschiebung eine Bildung, welche 
das Product niederer Formen ist, daher nichts Neues giebt und aus- 
gelassen werden darf. Die übrigbleibenden Bildungen sind dann nur 
noch in endlicher Zahl vorhanden und sind das gesuchte combinirte 
System, dessen Endlichkeit damit bewiesen ist. 

Um den hier augedeuteten Y^e^ verfolgen zu können, ist es zu- 
nächst erforderlich, die Operation des Ueberschiebens für den Fall 
genauer zu betrachten, in welchem beide über einander zu schiebende 
Formen als irgend welche wirkliche oder symbolische Producte gegeben 
sind, und die oben erwähnten Theile von Ueberschiebungen zu de* 
finiren. Dies soll im folgenden Paragraphen geschehen. 



§ 53. Ueberschiebimgen symbolischer Producte und Theile derselben. 

Es seien a.^., h^v ... die symbolischen linearen Factoren der einen 
Form, welche theils gleich, theils verschieden und theils Symbole von 
Grundformen, theils solche von Covarianten sein können. Zum Zwecke 
der X*®" Ueberschiebung wird zunächst die y}^ Polare gebildet (§ 30.); 
es wird also in dem gegebenen Ausdruck überall statt x^, Xo gesetzt 
x^-\-lyy^, X2-\-^y^,, und, von einem gewissen numerischen Factor 
abgesehen, der Coefficient von l^- genommen. Derselbe besteht aus 
einer Summe von Termen, welche mit positiven Zahlen multiplicirt 
sind und welche sämmtlich aus dem ursprünglichen symbolischen 
Producte dadurch hervorgehen, dass man in x linearen Factoren des- 
selben x^y x.^ durch y^, y.^ ersetzt. 

Ist sodann 0/" die zweite gegebene Form, mag diese ein Pro- 
duct mehrerer Formen sein oder nicht, so hat man in jedem einzelnen 
Gliede der beschriebenen Polare y^, y., durch G^, — O^ zu ersetzen 
und mit 0x'"~'* zu multipliciren. 

Die Ueberschiebung ist also hierdurch auf eine erste Art in eine 
Reihe von Gliedern zerlegt, welche alle, abgesehen von positiven 
numerischen Factoren, aus dem ursprünglichen Ausdrucke der ersten 
Form entstehen, indem man k der Grössen 



132 Fünfter Abschnitt. Simultane 

(^X) f^x • • • 

durch 

(«0), (&0)... 
ersetzt, und mit Qx^"^' multiplicirt. 

Nach den Sätzen des § 31. [Formel (3)] kann man ein solches 
Glied der Ueberschiebung durch die Ueberschiebung selbst 
und niedere Ueberschiebungen ausdrücken, indem die dort 
durch (p bezeichnete Form von selbst immer wieder diejenige erste 
Form wird, von der wir ausgingen, und von deren Polare ein Glied 
zur Bildung des fraglichen Gliedes der Ueberschiebung benutzt wurde. 
Man erhält sie nach den dort angegebenen Regeln, wenn man in dem 
fraglichen Theil der Polare die y durch die x ersetzt, wodurch man 
in der That zu der ursprünglichen Function zurückkehrt. Sprechen 
wir also den Satz aus: 

1. Wenn man, statt eine Ueberschiebung 

zu bilden, in einem Gliede der z*®" Polare von cp die 
?/j, 1/2 durch 02, —01 ersetzt und mit QjP'^''- multipli- 
cirt, so unterscheidet sich die entstehende Form 
von der betreffenden Ueberschiebung nur durch 
Glieder, welche niedrigere Ueberschiebungen (als 
die %*®") von0 mit anderen Formen sind. 
Wenn wir nun auf diese Weise die Ueberschiebung in eine An- 
zahl von Gliedern zerlegten, indem wir an Stelle der einen von 
beiden Functionen ihren Ausdruck als symbolisches oder wirkliches 
Product setzten, so können wir zweitens jedes der erhaltenen Glieder 
weiter zerlegen, indem wir auch die zweite Function durch ihren 
Ausdruck als wirkliches oder symbolisches Product ersetzen. Eines 
der oben erhaltenen Glieder entsteht aus 0^"' auf folgende Weise. 
Bilden wir mit Hilfe von k Reihen von Veränderlichen y , z . . . die 
jc*® Polare 

0^--'^0j^0. ... 

und setzen wir nun an Stelle von y^, 2/25 -^i? ^2 • • • beziehungsweise 
«j, — %; ^i; — ^a---? multipliciren wir endlich mit demjenigen sym- 
bolischen Ausdrucke, welcher in dem Gliede der Ueberschiebung alle 
nicht enthaltenden Factoren umfasst, so erhalten wir das gegebene 
Glied der Ueberschiebung. 

Bilden wir nun diese Polare Qx"^~'''' ^n 02 ... . Zu diesem Zwecke 
nehmen wir in 

^x + Xy + ßz... 

den Ooefficienten von X . ^ . . . . Setzen wir an Stelle von den 
Ausdruck dieser Form durch andere Symbole, und seien 



Grundformen. — § 53. ' 183 

«X ß.c r^ "• 
die dabei auftretenden linearen Factoren, welche theils gleich, theils 
verschieden und theils ursprüngliche Symbole , theils Symbole von 
Covarianten sein können, so besteht diese Polare wieder aus einer 
Anzahl von Gliedern, welche mit positiven Zahlen multiplicirt sind, 
und deren jedes entsteht, indem wir in irgend k der symbolischen 
Factoren «^., /3^, y^ , , . von die x beziehungsweise durch die 
y,z... ersetzen. 

Wenn man also irgend zwei als symbolische Producte gegebene 
Formen (p, über einander schiebt, so erhält man eine Summe 
symbolischer Producte, welche einzeln dadurch entstehen, dass man 
7c der linearen symbolischen Factoren 

a^r, hj: . . . 

von (p gewissen x linearen symbolischen Factoren 

von einzeln zuordnet, aus entsprechenden immer die Determinanten 

(««), (H) ■■■ 

bildet, und das Product derselben mit den übrigen symbolischen 
Factoren von cp und multiplicirt. Die ;c*® Ueberschiebung von q) 
mit ist das Aggregat der beschriebenen einzelnen Theile, jeder mit 
einer positiven Zahl multiplicirt. Solche symbolische Producte, 
wie sie eben beschrieben wurden, sollen schlechthin Theile 
der Ueberschiebung heissen. 

Ein solcher Theil einer Ueberschiebung besteht aus drei Gruppen 
von Factoren; erstens aus einer Reihe von Factoren, welche (p ent- 
hielt, zweitens aus einer Reihe von Factoren, welche enthielt, drit- 
tens aus den x Factoren 

(aa), (bß), {er)... . 

Die letzteren sind die einzigen, welche die in 9 und die in 
vorkommenden Symbole gleichzeitig enthalten. 

Ist umgekehrt ein symbolischer Ausdruck 
M.N.{aa){hß){cy) ... 

gegeben, in welchem M die Symbole a, /3, y .. . nicht enthält, und 
N die Symbole «, h, c . . . nicht enthält, so kann derselbe immer als 
Theil der ;c*^° Ueberschiebung der beiden Formen 

(p=^3I . üj, ha: Cjc ... , Q = N.aa,ßa:yx" ' 

angesehen werden. 

2. Die Summe der positiven Zahlen, mit denen 
die Theile der Ueberschiebung multiplicirt werden 
müssen, um die ganze Ueberschiebung zu erhalten, 
ist gleich 1. 



1.84 Fünfter Abschnitt, Simultane 

Dieser Satz ist sehr leicht zu beweisen. Denn diese positiven 
Zahlen sind von der Natur der symbolischen in (p, Q auftretenden 
Symbole unabhängig und hängen allein von den Ordnungen der- 
selben und der Zahl k ab. Nimmt man nun (p = a/', = «^"» an, 
so v^erden alle Theile der üeberschiebung einander gleich und man 
erhält also die ganze üeberschiebung gleich einem Theile derselben, 
multiplicirt mit der Summe jener positiven Zahlen. Aber jeder Theil 
der üeberschiebung ist auch ihr selbst gleich, nämlich gleich 

daher muss die Summe jener positiven Zahlen gleich 1 sein. 

Hieran knüpft sich sofort der folgende wichtige Satz, der ge- 

wissermassen eine Fortsetzung des Satzes 1. ist. 

'3. Die Differenz zwischen der ;t*ß° üeberschieb- 
ung von cp und und einem der oben beschriebenen 
Theile derselben setzt sich aus niederen üeber- 
schiebungen verschiedener Functionenpaare (p\ 0'; 
(p" , 0"... zusammen, von denen die einen (9', 9"...) 
nur die in cp auftretenden, die anderen (0', 0" . . .) 
nur die in auftretenden Symbole enthalten. 

Sind nämlich P, P^, Pg . . . die Theile der üeberschiebung, U 
diese selbst, so hat man 

und c + Cj + ^2 • • • = ^ 7 daher 

Die Differenz, von welcher in dem Satze gesprochen wird, setzt 
sich also aus Differenzen je zweier Theile der üeberschiebungen zu- 
sammen. Der zu beweisende Satz ist daher auf den folgenden zurück- 
geführt : 

4. Die Differenz zwischen zwei Theilen der z*®" 
üeberschiebung von (p und lässt sich immer aus 
niederen üeberschiebungen von Functionenpaaren 
(p' , 0'; (p" y 0"... zusammensetzen, von denen die 9', 
(p" nur die Symbole enthalten, welche in 9), dagegen 
0', 0" nur diejenigen, welche in vorkommen. 

Die verschiedenen Theile der üeberschiebung unterscheiden sich 
nämlich nur durch die Art, wie unter den verschiedenen linearen 
Factoren 

G/X) f^xy Cx ' ' • 

einerseits und 

ccx, ßjc, yx. • , 



Grundformen. — § 53. 185 

andererseits je k ausgewählt und einander zugeordnet sind. Durch 
Einschaltung anderer Theile der Ueberschiebung kann man also die 
Differenz 

1\- P=P,- Px+ Px" P, ■ ■ ■ ■ + P.- P 
immer in solche Differenzen zerlegen, die sich *nur durch verschie- 
dene Benutzung eines Buchstabenpaares unterscheiden; es ist also 
nur nöthig, für solche Differenzen den Satz zu beweisen. Nun 
kann dieser Unterschied bei einer Differenz P^ — Fq auf dreierlei Art 
eintreten, nämlich: 

1. Bei Fl gehört ein Symbol a zu den herausgehobenen, ein 
Symbol h nicht, während dies bei Fq umgekehrt ist. Man hat also 
eine Gleichung folgender Form , in welcher M den gemeinschaftlichen 
symbolischen Factor von Fi und Fq bedeutet: 

Fi-Fq=3I. [k, {a a) - a, (h a)]. 

Dies giebt aber 

Fi~FQ = 3I(ah)a^. 

Die Differenz P^ — Fq enthält also Symbole a, b . . . mit Symbolen 
a, ß . . . nur noch in k — 1 symbolischen Factoren verbunden, ist also 
Theil der (>c — 1)*®" Ueberschiebung einer Function cp' über eine 
Function 0'. 

2. Derselbe Unterschied tritt in Bezug auf zwei Factoren «^, ßa; 
ein; dieser Fall wird genau wie der vorige behandelt, und führt zu 
demselben Resultat. 

3. Die herausgehobenen Factoren sind beidemal dieselben, es 
ist aber einmal a mit «, h mit /3, das andere Mal a mit ß, h mit 
a verbunden. Man hat also: 

Fi-Fq = M. {{aa){hß)-{aß){ha)] 
= 31, {ah) {aß)', 

was wieder auf denselben Schluss führt. 

Bewiesen ist hierdurch ohne Weiteres folgender Satz: 

5. Die Differenz zwischen zwei Theilen der x*^" 
Ueberschiebung von g) mit setzt sich aus Theilen 
der (x — l)*ß° Ueberschiebungen von qp', 0; cp", 0" etc. 
zusammen (d4e Charakterisirung der letztern Fun- 
ctionen wie bei Satz 3. und 4.). 

Hieraus folgt aber auch endlich die Richtigkeit von Satz 3. 
Denn in Satz 5. kann man die Theile der (z — 1)*®^ Ueberschiebung 
durch diese selbst und Differenzen ihrer Theile ersetzen. Nehmen 
wir also an, der Satz 3., dass solche Differenzen durch niedere 
Ueberschiebungen ausdrückbar sind, sei für Theile der {x — iy^^ 
Ueberschiebungen bewiesen; der Satz 5. lehrt dann, dass 3. auch 



186 Fünfter Abschnitt. — Simultane 

für Theile der x*«^ üeberschiebung richtig sei. Für Tlieile der ersten 
Ueberschiebung aber ist der Satz 3. richtig; denn die Theile der 
nullten, auf welche 5 für diesen Fall führen würde, sind nullte 
Ueberschiebungen, d. h. Producte g?' , 0'; 9", 0"... selbst. Die 
Richtigkeit des Sat-zes 3. ist also hierdurch allgemein dargethan. 



§ 64. Simultane Systeme besitzen ein endliches vollständiges Formensystem, 
wenn die einzelnen Formen ein solches besitzen. 

Die vorstehenden Untersuchungen führen nun von selbst dazu, 
wie die Covarianten und Invarianten simultaner Systeme anzuordnen 
sind. Der Allgemeinheit wegen nehme ich wie oben an, dass die 
Covarianten bez. Invarianten 

Ä,, Ä, .., ^u; JB„ B^ . . . Bv 

ein vollständiges Formensystem für die simultanen Grundformen 

f, (p, ijj..., 
und ebenso 

C„ C, ... C,; D„ D, ... D, 

ein solches für die simultanen Grundformen 

i^, O, Y ... 

bilden. Die Covarianten und Invarianten, welche bei dem vereinigten 
System 

f,cp,t...; F,<i>,^>... 

ZU den vorigen noch hinzutreten, erhält man nach § 31. durch die 
Ueberschiebungen der Formen 

über die Formen: 

Diese Ueberschiebungen, deren Zahl unendlich gross ist, und 
denen ich die Formen Ä^ B, C, D selbst zugeselle, ordne ich zu- 
nächst nach der Gesammtdimension, welche dieselben in Bezug auf 
die Coefficienten sämmtlicher zu Grunde gelegten Formen besitzen. 

Formen gleicher Gesammtdimension ordne ich weiter unter sich 
nach der Höhe der Ueberschiebung, mittelst deren sie aus den oben 
angeführten Producten entstanden sind, wobei die nullte (Product) 
nicht ausgeschlossen ist. 

Wie endlich die Anordnung der Bildungen in diesen untergeord- 
neten Gruppen stattfindet, ist gleichgiltig. 



Grundformen. 



53, 54. 



187 



Bezeiclinen wir der Deutlichkeit wegen die Ordnungen der 
Formen 

-^1 ) -^2 • • • j ^17 ^2 • • • 

durch 

«i , «2 • • • 5 ^1 ; ^2 • • • ; 

ihre Gesammtdimension in den Coefficienten der Grundformen durch 



Dann hängt die Stellung der v^^^ Ueberschiebung der Produete 

über einander von den beiden Zahlen v und 

^ = ^'i ^h -i- ^'2 ^2 + • • • + ^1 ^1 + ^2 ^2 4- • • • 
ab, und die ganze Anordnung der Ueberschiebungen geschieht der 
folgenden Tafel gemäss, in welcher die jeder Gruppe angehörigen 
Formen durch 

^ßVf 9^\uvf (p"(iv . . . 
bezeichnet sind: 

fl \ V \ Fornion: 



1 





<Pi,y 


9'iü; 


(p'\^ . . . 


2 





9^20; 


9^20; 


9"20-.- 




1 


9'2U 


9>'20 


9^ 21 • • • 




2 


^22? 


9''22; 


<JP 22 • • • 


3 


' 


<P-60> 


¥z)j 


(p'\^ . . . 




1 


^■61 J 


^M7 


9>"3l • . . 




2 


9^32? 


^\-2, 


q)"., . . . 


. . . 


, , , , 


. . 



Dass in der ersten Abtheilung dieser Tafel neben ^ = 1 nur der 
einzige Werth v = steht, begründet sich leicht; denn unter ^1=1 
können überhaupt nur die Grundformen selbst enthalten sein, die 
dann durch Ueberschiebung nicht entstanden sein können; doch 
können sie füglich unter die nullten Ueberschiebungen gerechnet 
werden, wie im Folgenden geschehen soll. Ebenso soll jede der 
Formen J., J5, C, B in der Tafel bei den nullten Ueberschiebungen 
mit aufgezählt werden. Sie haben mit diesen insofern gemeinsame 
Natur, als auch diese als ganze Functionen der Äj B, C, B unmittel- 
bar ausdrückbar werden. 

Man übersieht nun sofort, dass die Vollständigkeit dieses Systems 
in keiner Weise leidet, wenn man jede Form der Tafel um eine 



188 Fünfter Abschnitt. Simultane 

ganze mit numerischen Coefficienten versehene Function solcher For- 
men vermehrt, welche in früheren Gruppen vorkommen; wenn man 
also an Stelle von 9)^7/^' die Form setzt: 

WO G eine ganze Function solcher Formen g> bedeutet, bei denen 
entweder der erste Index kleiner als ^, oder der erste gleich ^, der 
zweite aber kleiner als v ist. Man kann nämlich, wenn die ijj so 
definirt sind, auch umgekehrt die Formen cp successive als ganze 
Functionen der tJj ausdrücken; und wenn man also davon ausging, 
dass alle nur denkbaren simultanen Covarianten und Invarianten der 
combinirten Systeme sich als ganze Functionender q) ausdrücken las- 
sen, so folgt, dass sie auch als ganze Functionen der ^ ausdrück- 
bar sind. 

Nach den Sätzen des vorigen Paragraphen erhält man aber ein 
System der ^, wenn man jede Ueberschiebung q) durch einen ihrer 
dort bescliriebenen Theile ersetzt. Es ist dabei gleichgiltig, ob bei 
der Bildung dieser Theile die Symbole der Ä, bez. C, erhalten bleiben, 
oder ob dieselben theil weise oder ganz in Symbole früherer Ä, bez. 
C, aufgelöst werden. Immer unterscheidet sich nach dem Frühern 
ein solcher Theil von der Ueberschiebung q) nur um Glieder, welche 
durch niedere üeberschiebungen von nur Symbole der Ä enthaltenden 
Formen über solche entstehen, welche nur Symbole der C enthalten. 
Da nun die A, B und die 0, -D vollständige Formensysteme bilden, 
so zerfallen diese niederen üeberschiebungen in solche von Producten 
der Ä, B über Producte der C, D. Sind hierbei wirkliche Factoren 
Bj D vorhanden, so zerfällt eine solche niedere Ueberschiebung in 
Producte von B, I) mit Formen von niederem ^5 ist kein Factor 
J5, D vorhanden, so hat doch die Ueberschiebung ein niederes v, 
während der Werth von fi derselbe wie bei q) geblieben ist. Ein 
Theil der Ueberschiebung q) unterscheidet sich also von q) nur 
um eine ganze Function früherer 9, und hat daher den Charakter 
einer Form ip. 

Somit kann man den Satz aussprechen: 

1. Alle simultanen Invarianten und Covarianten 
des combinirten Systems lassen sich als ganze Fun- 
ctionen desjenigen Formensystems tp darstellen, 
welches man erhält, indem man von jeder Ueber- 
schiebung eines Productes von Ä über ein Product 
von C irgend einen Theil wählt,- und die so erhal- 
tenen Formen 7p den Formen J., B, C, B hinzufügt. 
Auch das System der ?/; ist noch unendlich gross. Aber wenn 
es sich nur darum handelt, ein System von Formen zu finden, durch 



Gnmdfonneii. — § 54. 199 

welches alle Invariauteu und Covarianten des combinirten Systems 
sich als ganze Functionen ausdrücken lassen, so kann man in dem 
S3'steme der il; jede Form übergehen, welche als ganze Function von 
früher in diesem System auftretenden Formen ausdrückbar ist. 

Existirt nun in irgend einer Ueberschiebung (p ein Theil, welcher 
in Factoren zerfällt, so kann dieser als das betreffende xp gewählt 
werden. Dasselbe zerfällt in das Product zweier Formen von niede- 
rem Gesammtgrade ; jeder dieser Factoren aber ist durch Formen il? 
darstellbar, und diese Formen i; gehören also niederem Zahlen ft an, 
kommen daher in der Tafel früher vor. Sonach ist ein solches i; 
durch frühere ^ ausdrückbar, und darf demnach ausgelassen werden. 

Durch diesen Umstand wird das übrigbleibende System der tp 
ausserordentlich beschränkt; es lässt sich zeigen, dass es immer ein 
endliches ist, während das ursprüngliche unendlich gross war; womit 
denn die Existenz endlicher simultaner Systeme von Invarianten und 
Covarianten für ein solches combinirtes Formensystem nachgewiesen ist. 

Sprechen wir zunächst den Satz aus: 

2. Alle Covarianten und Invarianten der Systeme 
Aj^j ^2 . . .; Si, ^2 ' ' -1 ^if ^2 • ' -5 A? ^2 • • • lassen sich 
aus Producten der Ä, Bj (7, D und aus solchen 
Ueberschiebungen von Producten der A über Pro- 
ducte der C(o der Theilen der selben) zusammensetzen, 
in denen kein zerfallender Theil vorkommt. 

Um nun hieraus die Endlichkeit des combinirten Systems abzu- 
leiten, kann man folgenden Satz aufstellen: 

3. Wenn in einer Ueberschiebung der Producta 

^1 • ^2 " y ^1 • ^^2 • • • 
kein zerfallendes Glied vorkommen soll, so darf 
keines der a grösser sein als die Summe der Ord- 
nungen Oj, Co... aller Functionen C, und umgekehrt 
darf keines der y grösser sein als die Summe der 
Ordnungen a^, cl^ . . , aller Functionen A, 

Nehmen wir, um diesen Satz zu beweisen, an, es sei eines der «, 
etwa «j, grösser als die Summe der c (also, da jedes c wenigstens 
l ist, nothwendig «^ > 1), und zeigen wir, dass dann noth wendig ein 
zerfallendes Glied in der Ueberschiebung vorkommt. Ist in diesem 
Falle die Höhe v der Ueberschiebung nicht grösser als a^ (a^ — 1), 
so tritt ohne Weiteres ein zerfallendes Glied auf; denn man kann 
alsdann die v^^ Ueberschiebung schon auf den Factor A^'^^^—'^ des 
ersten Productes anwenden, so dass auf diese Weise ein Theil der 
Ueberschiebung entsteht, welcher A^ . ^/^ • • • ^^^ Factor enthält. Es 



190 FiiTifter AlDschnitt. Simultane 

ist also nur noch 'der Fall zu betrachten, wo die Höhe v der Ueber- 
sebiebung grösser ist als a^ («, — !), also gleich oder grösser als 
«1 (c^ + Cg*--); ^^ ^1 wenigstens um 1 grösser als q + c^ . . . ist. 
Andererseits ist, damit die Ueberschiebung überhaupt möglich sei, v 
gleich oder kleiner als die Ordnung des zweiten Products, daher 
gleich oder kleiner als c^y^-\- c^y^ . . . . Man hat somit, indem man 
die Grenzen vergleicht, in welche v eingeschlossen ist: 

oder 

Mindestens eine der Zahlen y^ — a^, 72^^! •••? i^^uss also >0 
sein. Sei y^ — a^ eine solche , dann ist 

und zugleich wegen der Voraussetzung 

«1 >Ci' 

Die beiden über einander zu schiebenden Producte haben also die 
Form 

^/^ . M und (7/^ . K 

Die Höhe v der Ueberschiebung ist nach dem Vorigen wenigstens 
gleich «i (Cj-i-Cg ...), also auch wenigstens gleich ö^^c^, und man hat 
also etwa 

wo h Null oder positiv ist. Nun kann man ein Glied dieser Ueber- 
schiebung dadurch bilden, dass man zunächst A^^>^ und C^^' für sich 
«j.Cj mal über einander schiebt, wodurch eine Invariante J entsteht, 
und ausserdem 31 und N noch h mal über einander schiebt, was 
immer möglich sein muss, wenn eine Ueberschiebung von der gefor- 
derten Höhe überhaupt stattfinden konnte. Man hat also ein Glied 
der Ueberschiebung gebildet, welches eine Invariante J als Factor 
enthält. 

Hierdurch ist einmal der Satz 3. bewiesen, andererseits aber 
auch gezeigt, dass, um alle Invarianten und Covarianten des com- 
binirten Systems zu erhalten, es nur nöthig ist, eine endliche 
Anzahl von Producten über einander zu schieben, insofern die Zahlen 
«, y bestimmte endlich gegebene obere Grenzen nicht überschreiten 
dürfen. Und so kann man folgende Sätze aussprechen: 

4. Wenn zwei Formensysteme f, (p, ip ... und F, 0, 
Y... jedes für sich auf ein endliches vollständiges 
System simultaner Covarianten und Invarianten 
führen, so sind auch die simultanen Covarianten 
und Invarianten aller dieser Formen zusammen als 



Grunclformen. — §§ 54, 55. 191 

ganze Functiouen eines endlichen vollständigen 
Systems ausdrückbar. 

5. Sind Ä^j A.2 . . . die Covarianten, B^y B^... die 
Invarianten des ersten, C^, Cg . . . die Covarianten 
und I)^, I).2 . . . die Invarianten des zweiten Systems, 
so erhält man alle zurVervollständigung des gemein- 
samen vollständigen Systems erforderlichen For- 
men, wenn man die Ueberschiebungen derProducte 

A"'-^/'---; c/'.c/'... 

[bez. die oben (S. 183) definirten Theile von solchen] 

bildet, wobei keines der a grösser als die Summe 

der Ordnungen aller C, keines der y grösser als 

die Summe der Ordnungen aller Ä sein darf. 

Es ist hervorzuheben, dass das auf solche Weise construirte 

System simultaner Formen noch überflüssige Formen enthalten kann, 

welche sich als ganze und rationale Functionen der übrigen ausdrücken 

lassen. Der zweite der obigen Sätze giebt also für die Grösse des 

entstehenden Systems von Invarianten und Covarianten nur eine obere 

Grenze. 

Wenn man die Sätze 4. 5. wiederholt anwendet, so kann man 
von einzelnen Grundformen zu demjenigen System fortschreiten, 
bei welchem alle zugleich zu Grunde gelegt sind. Man hat also 
den Satz: 

6. AVenn die Formen /*, cpj ^ ,.. einzeln endliche 
vollständige Systeme von Invarianten und Cova- 
rianten besitzen, so führt auch die Combination 
dieser Formen auf ein endliches System. 

Insbesondere ist durch die Untersuchungen des vierten Abschnitts 
schon folgender Satz erwiesen: 

7. Simultane Formen, deren keine die vierte Ord- 
nung überschreitet, haben ein endliches vollstän- 
diges System von Invarianten und Covarianten. 

Einige solcher Systeme sollen jetzt etwas genauer betrachtet 
werden. ♦ 

§ 55. Simultane Systeme, in denen ausser andern auch lineare Grund- 
formen auftreten. 

Denken wir uns ein System von Covarianten und Invarianten 

A^y Ac, . . .'^ B^j B^ ' ' ', 

welche für gewisse Grundformen (p, ^... ein vollständiges System 

bilden. Nehmen wir an, es trete zu diesen Grundformen eine weitere, 



192 Fünfter Abschnitt. Simultane 

lineare^ hinzu, und untersuchen wir, welche Erweiterung das voll- 
ständige System der Covarianten und Invarianten nunmehr erfah- 
ren muss. 

Die hinzutretende lineare Grundform sei 

/ — CTj tJC^ ~\~ Cl'2 OCa • 

Nach dem Vorigen darf hier keine der Zahlen a^ grösser als 1 
angenommen werden; man erhält also alle Formen des neuen simul- 
tanen Systems, wenn man die Ueberschiebungen, oder Theile. der Ueber- 
schiebungen, der Producte verschiedener A über Potenzen von /"bildet. 
Hierbei ist erstlich klar, dass die Höhe der üeberschiebung immer 
gleich dem Exponenten der Potenz von f genommen werden muss, 
wenn nicht eine Potenz von f als Factor übrig bleiben soll. Man 
hat also nur f^ q mal über Producte von A zu schieben. Nun erhält 
man die Glieder dieser üeberschiebung, indem man in q symbolischen 
Factoren des Productes x^ und x^ durch «g und — a^ ersetzt. Daher 
entsteht aus einem Product mehrerer A immer wieder ein Product 
solcher Formen, die aus den einzelnen A hervorgehen, und man sieht 
also, dass man nur die einzelnen A über Potenzen von /, 
oder, was hier dasselbe sagen will, wiederholt überfzu 
schieben hat. 

Ist also A^Aa:"" irgend eines der Aij so gehen hieraus durch 
üeberschiebung mit f die Formen hervor: 

J.^— 1 {Aa), A^rn-2 (^^,)2^ ^^m-3 ( J^ ^)3 __ 

Alle diese Formen entstehen aus den Polaren 

A m-l A A m — 2 /| 2 A m — 3A 3 

indem man darin y^, y,^ durch a^; — ^i ersetzt. Man kann also fol- 
genden Satz aussprechen: 

Bilden die Formen 

A^y J.2 . ..; -Bj, B.2 . . . 

das vollständige System der Covarianten und In- 
varianten der Grundformen (p , i/' . . ., und wird das 
System der Grundformen um eine lineare Form 

/ = Cl^ X^ -f- 6?2 ^2 

erweitert, so treten zu dem vollständigen Systeme 
ausser f nur diejenigen Formen hinzu, welche ent- 
stehen, wenn man in den Polaren der A die y^j y.^ 
durch 0^2, — % ersetzt. 
Es ist hiernach leicht, auch die Vergrösserung anzugeben, welche 

durch Hinzufügung einer beliebig grossen Zahl linearer Formen bei 

dem vollständigen System eintritt. 



Grundformen. — §§ 55, 56. 193 

Waren unter den Formen q) , i^» . . . schon lineare enthalten, so 
geben diese bei Anwendung des obigen Satzes nur immer zu einer 
Polare, also auch nur zu einer Bildung Veranlassung, nämlich zu 
der Determinante der frühern und der neuen linearen Form. Waren 
aber ferner unter den Ä schon Formen enthalten, welche durch Hin- 
zufügung einer linearen Form zu früheren entstanden waren, also 
Formen, welche mittelst des obigen Satzes aus Polaren hervorgeheu, 
so geben diese bei Zufügung einer weitern linearen Form zu erneuer- 
ter Polarenbildung Veranlassung, d. h. sie führen auf Bildungen, 
welche aus Polaren mit mehreren Reihen von Veränderlichen entstehen, 
indem man statt derselben die Coefficienten verschiedener linearen 
Formen einführt. (Wegen des erweiterten Begriffs der Polare vgl. § 10.) 
Setzt man also cp, ^... als nicht linear voraus, und bilden die 
Formen 

A^, A.2 . . ., B^y B.2 . , . 

das vollständige System ihrer Covarianten und Invarianten, so er- 
weitert nach Zufügung einer Anzahl linearer Formen sich das voll- 
ständige System um folgende Bildungen: 

1. Die linearen Formen selbst. 

2. Die zwischen je zweien gebildeten Determinanten. 

3. Die Formen, welche aus den mit mehreren Reihen von Ver- 
änderlichen ?/^, y.-^'^ z^, 2-2'" gebildeten Polaren von A^, A^ . . . ent- 
stehen, indem man ?/j, 2/2 5 ^d ^2 • • • durch die Coefficienten a^, — ö^n 
b.2f — &i . . . der hinzugefügten linearen Formen ersetzt. 

Nach der Entstehungsweise der Polaren kann man die letzteren 
Bildungen auch dadurch ableiten, dass man in A^, A^ . . . statt x^y x^ 
die Grössen 

^^ -j- A 0^2 + ft &2 • • • > x^ — ^a^ — ^h^... 

setzt, und die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von A, ft . . . 
■einzeln bildet. 

Wenn insbesondere nur lineare Formen gegeben sind, kommt 
man auf die Sätze des § 9. zurück. 



§ 56. Simultane Systeme, in denen ausser anderen Grundformen eine 
quadratische vorkommt. 

In ganz ähnlicher Weise kann man die Erweiterung angeben, 
welche das vollständige System der simultanen Covarianten und In- 
varianten cpy i* . . . durch den Zutritt einer neuen Grundform zweiter 
Ordnung 

C leb seh, Theorie der hiiiären algebr. Formen. lo 



194 Fünfter Abschnitt. Simultane 

erftllirt. Sind wieder Ä^^ ^2 • • • ^^^ Co Varianten des vollständigen 
Systems, so hat man nur Ä^^^ Ä^"'^- . . . über Potenzen von fzw schieben, 
da f selbst keine weiteren Covarianten mit sich führt. 

Soll die Ueberschiebung keinen zerfallenden Theil enthalten, so 
muss ihre Höhe v von der Gesammtordnung jedes der überzuschieben- 
den Producte um weniger unterschieden sein, als die Ordnung des 
niedrigsten Factors desselben beträgt. Daher kann die Höhe der 
Ueberschiebung von Ä^"^ Ä^^-^ .. . über nur P 2q oder 2^ — 1 sein. 

Sei nun A irgend eine Covariante gerader Ordnung 2Ä-, und 

J.i«i A^^- ...=A.M', 

betrachten wir die (2^ — 1)*^ und die (2 9)*® Ueberschiebung dieses 
Ausdrucks mit f^. Ist q kleiner als h, so existirt immer ein Theil 
der Ueberschiebung, bei welchem f^ nur über den Factor A geschoben 
ist; wird aber q gleich oder grösser als Ic^ etwa 

und bilden wir nun die (2^ — 1)*®, bez. (2())*^ Ueberschiebung von 
A.M mit ff<+fi^ so muss A.M wenigstens von der Ordnung 
2Q — l — 2'k-{-2h—ly hez. 2Q = 2]c + 2hy also i)[f wenigstens von der 
Ordnung 2/^ — 1, bez. 2h sein. Es existirt daher immer ein Theil 
der Ueberschiebung, welcher in das Product der (2Ä;)*®" Ueberschiebung 
von A mit f'% und der {2h — 1)*®", bez. (2A)*«°, von Jf über f^ zerfällt. 
Man erhält also durch Ueb er schieben von /'^ über das Product 
mehrerer Formen, deren eine wenigstens von gerader Ordnung ist, 
nie etwas neues; Formen gerader Ordnung also, welche in dem 
System der A enthalten sind, geben nur folgende Bildungen, welche 
aus der Ueberschiebung von f^ über diese Formen selbst entstehen: 

A von der Ordnung 2k: 
erste und zweite Ueberschiebung von /' über A 

dritte und vierte Ueberschiebung von p über A 



(2^ — 1)*® und (2Ä;)*® Ueberschiebung von /''' über A. 

Betrachten wir nun statt einer Form A von gerader Ordnung 
eine Form ungerader Ordnung, und schieben wieder p über ein Pro- 
duct A . M, welches aus lauter Factoren von ungerader Ordnung 
besteht. 

Die Ordnung von A sei 2^—1. Ist nun q gleich 1, 2 . . . Z;— 1, 
oder Q = Tc und die Höhe der Ueberschiebung 2Ä:— 1, so existirt wie- 
der immer ein Theil der Ueberschiebung, in welchem nur A über p 
geschoben ist, ein Theil, welcher also zerfällt, sobald M von 1 ver- 
schieden ist. 



Grundformen. — § 56. 195 

Ist dagegen q = 1: und die Höhe der Ueberschiebung 2Ä', oder 
ist p > A', so müssen wir einen zweiten Factor Ä' des Products zu 
Hilfe nehmen, dessen Ordnung 21'— 1 sein muss. Da das Product 
AÄ' gerade ist, so enthalten nach dem Vorigen alle Ueberschiebun- 
gen Theile, welche in Factoren zerfallen, sobald das Product AM 
aus mehr als diesen beiden Factoren besteht. Wir haben also nur 
noch Ueberschiebungen von f^ über Producte zweier ungerader Formen 
zu untersuchen. 

Ist nun Q kleiner also Jv-\-h' —1, etwa lc-\-h' —1 — h , als auch die 
Höhe der Ueberschiebung 21- -\- 2k' -2h — 3 oder 21 + 2]/ -2h -2, 
so kan^ man immer einen Theil der Ueberschiebung bilden, dessen 
einer Factor die (2 Z; — 2)*« Ueberschiebung von J. über /*^— ' ist, wäh- 
rend der andere aus der (27/ — 2/i — l)*«'^, bez. {2k' — 2hy^^ Ueber- 
schiebung von A' über f^'—^ besteht. Jede solche Ueberschiebung giebt 
also nichts neues ; es bleibt also nur die {Jc-\-h' — 1)*^ Potenz von f 
noch 2 A'-f-2A''— 3, bez. 2ä:-|- 2Z:' — 2mal über A . A' zu schieben. 
Aber auch von diesen beiden Ueberschiebungen enthält die erstere 
einen zerfallenden Theil, dessen Factoren die {21c — 2y^ Ueberschiebung 
von f"-^ über A und die (2A-'— 1)*« von f^' über A' ist. Es bleibt 
also nur die eine (2k-{-2Ji' — 2y^ Ueberschiebung übrig. 

Von den ungeraden Formen rühren also nunmehr folgende Bil- 
dungen her: 

1. A von der Ordnung 2A- — 1: 

erste und zweite Ueberschiebung von f über A 
dritte und vierte Ueberschiebung von f'^ über A 



(5A— 1)*® Ueberschiebung von f^' über A. 

2. A von der Ordnung 2A-— 1, A' von der Ordnung 2Ä;' — -1 (wo- 
bei A und A' auch identisch sein können): 

(2k + 2k' — 2y^ Ueberschiebung von /'^'+a'-i über AA'. 

Die letzten Bildungen sind ausschliesslich Invarianten. Von die- 
sen abgesehen, erhält man also alles, indem man Potenzen von f 
über die einzelnen Formen des Systems schiebt. 

Es ist nicht bewiesen, dass unter den hier aufgezählten Formen 
nicht einige in Folge der besonderen Eigenschaften des Systems der 
A durch die anderen ausdrückbar und daher auszulassen seien. Dies 
tritt vielmehr oft wirklich ein. Ein solcher Fall, der eine weitgehende 
Bedeutung hat, ist folgender: 

Wenn eine Form A die erste Ueberschiebung 
zweier Formen (p = (p/j t = i':r'' ist, und f" eine Po- 
tenz von /*, deren Ordnung die von A nicht über- 

13* 



196 Fünfter Absclinitt. Simultane 

trifft, so enthält die (2k— If^ Ueberschiebung von 
P mit Ä einen zerfallenden Theil, und ist daher 
auszulassen. Nur wenn r und s gerade sind, muss 
die Ordnung von f kleiner als die von J. sein, damit 
dies eintrete. 

Es ist nämlich 

Schiebt man hierüber f^ — aj • ?>.r^ . c.^'^ . . . , wo 21c^r -\- s — 2, 
und zwar 2Jc—l mal, so bleibt erstlich ein symbolischer Factor a^^. 
zurück; in einem Theile der Ueberschiebung können wir dann das 
andere a^c mit einem g?^ zu (cpa) vereinigen; denn wenigstens eine der 
Zahlen r, s muss grösser als 1 sein, wenn nicht k==0 sein soll. So- 
dann bleibt noch das symbolische Product cp:v''~''^ tx''~^ übrig, welches 
2h — 2 mal über /'''—' zu schieben ist. Dabei ist nun die Ordnung 
r + s — 3 des Products jedenfalls grösser als 2h — 2, die Ordnung von 
f'^~^y und zwar, wenn r + s — 3 gerade, wenigstens um 2 grösser. 
In Folge dessen kann man bei einem Theile der Ueberschiebung die 
Factoren 6/, cj... so auf (px'~~ tx''~^ vertheilen, dass dasselbe der 
Symbole 6, c auch immer mit demselben der Symbole (p, ip vereinigt 
wird. Denn ist eine der Zahlen r — 2, s— 1 gerade, die andere un- 
gerade, so ist ihre Summe wenigstens um 1 grösser als die Zahl der 
symbolischen Factoren h^j c^c-y und man kann in derjenigen 
der Potenzen q)J~'~j ipj''^, welche von ungerader Ordnung ist, 
einen Factor bei Seite setzen, und auf die eine der übrigbleiben- 
den jetzt geraden Potenzen eine gewisse Zahl der quadratischen 
Factoren 6/, c/..., auf die andere die übrigen vertheilen. Sind 
beide Potenzen von ungerader Ordnung, so ist ihre Summe um 2 
grösser als die der zu vertheil enden Factoren h^y cv^ . . ., und man 
kann also einen Factor cp^ so wie einen Factor ^.,; absondern, und 
dann wie oben verfahren; endlich, wenn beide Potenzen gerade sind, 
kann dasselbe ohne Weiteres geschehen, nachdem noch ein Factor 
Tpa:^ abgesondert ist. 

Der auf diese Weise entstandene Theil der Ueberschiebung hat 
also die Form 

(qpi/;)(^a)a^.ct).M^, 

wo das Symbol i^ nicht enthält, Y das Symbol q) nicht enthält, 
und wo O und M^ keines der Symbole 6, c . . . gemein haben. Aber 
wenn s gerade, s—1 ungerade war, so wurde noch ein symbolischer 
Factor ^l^a: abgesondert; war s ungerade und r gerade, sogar z//.r^. Nur 
in dem Falle war dies nicht der Fall, wo r und 5 gleichzeitig ungerade 
waren; denn in diesem Falle musste oben (p^: abgesondert werden. 
Wollen wir also den Factor ^^^ hervorrufen, so müssen wir uns, wie 



Grundformen. — §§ 56, 57. 197 

• 
in dem Satze vorgesehen, bei gleichzeitig ungeradem r und s auf den 
Fall beschränken , wo 2k<^r -{-s — 2^ also 2 /; < r + s — 4 , wodurch 
denn wieder ein Factor V'or'^ frei wird. Unter dieser Beschränkung 
nimmt also der betrachtete Ausdruck die symbolische Form 

an; und wegen der identischen Gleichung 

{(pt) ((pa) t.o, = i K9>^y «x' + {(paY il^J-itaY (pj\ 
geht dies in die zerfallende Form 

i i f. {cptY O V + {q>ay (t>.tpj^'~ {lim)' V . ^,' O | 
über, wodurch der Satz bewiesen ist. 

§ 57. Simultanes System zweier quadratischer Formen. 

Besteht insbesondere das gegebene System aus einer quadratischen 
Form 

welche nur zu der einen Invariante 

Veranlassung giebt, und wird nun die ebenfalls quadratische Form 

mit ihrer Invariante 

D"={aa'f 

hinzugefügt, so besteht das System der simultanen Covarianten beider 

Formen nach dem Vorigen noch aus den folgenden weiteren Bildungen: 

Erste und zweite Ueberschiebung von f über cp: 

Das ganze vollständige System enthält also nur die drei Invarian- 
ten D, D'j D" und ausser den Grundformen f, cp eine weitere quadra- 
tische Co Variante, ihre Functionaldeterminante ^. Zwischen diesen 
Formen besteht eine Relation, welche aus der Gleichung (10) des § 35. 
abzuschreiben ist; vermöge derselben kann das Quadrat der Functio- 
naldeterminante ausgedrückt werden durch die Gleichung: 

(1) 9^^-^^{Bp-2D'fq, + D"<f'), 

SO dass auch hier, wie früher schon, das Quadrat der einzigen Form 
ungeraden Charakters (§ 16.) sich als ganze Function der Formen 
geraden Charakters darstellt. 

Die Bedeutungen der Invarianten D, D', D" sind im Vorhergehen- 
den schon gelegentlich festgestellt worden. Bedeuten /"=0, g) = 
zwei Elementepaai'e der geometrischen Interpretation, so ist D — O 



198 Fünfter Abschnitt. Simultane 

• 
die Bedingung dafür, dass die Elemente von (p = zusammenfallen, 
D"=0 dieselbe Bedingung für die Elemente von f=0. D' = sagt 
aus, dass die Elemente von f= zu denen von ^^ = harmo- 
nisch liegen (vgl. S. 166, 176). Ein Beweis dafür, welcher aus der 
Betrachtung des Doppelverhältnisses der Elemente von f=0 und 
^ = fliesst, wird unten gegeben werden. Man übersieht diese Be- 
deutung von J)' aber sofort, wenn man sich etwa die Verschwindungs- 
elemente von cp als Grundelemente eingeführt denkt. Dann hat in 9 
nur der mittlere Coefficient einen von Null verschiedenen Werth und 
Z)' reducirt sich in der ausgerechneten Form bis auf einen constanten 
Factor auf den mittleren Coefficienten von f. Mit D' verschwindet 
also dieser (wenn cp nicht identisch Null ist) und umgekehrt. Dass 
aber /' bei dieser Wahl der Grundelemente nur die Quadrate enthält 
ist die Bedingung der harmonischen Lage [§ 25. (7)]. 

Die Gleichung d' = stellt, wenn d^ nicht ein 
Quadrat ist, ein Elemeiitepaar dar, welches zu den 
Yerschwindungselemeten sowohl von /', als von g) 
harmonisch ist. 
Um dies zu beweisen, braucht man nur zu zeigen, dass die simul- 
tane Invariante von d- und f, sowie die von O- gegen cp verschwindet. 
Der Symmetrie wegen ist nur das eine nöthig zu beweisen. Die 
simultane Invariante von -O" und f entsteht, wenn man in -9" = (ah) a^ hx 
die Grössen x^^ x^ durch die Symbole d^, — a\ von f ersetzt; sie 
ist also 

{a h) (a d) {h d) , 

was durch Vertauschung von a mit d das Zeichen ändert und also in 
der That identisch verschwindet. 

In § 27. wurde aber gezeigt, dass die Discriminante von ^ zu- 
gleich die Resultante von f und (p ist. Die oben über '9' gemachte 
Voraussetzung ist also mit der andern identisch, dass /" und 9 keinen 
gemeinsamen linearen Factor besitzen. 

Wählt man die Verschwindungselemente von %• zu Grundpunkten, 
so enthalten sowohl f als (p nur noch die Quadrate der Veränderlichen, 
was die Lösung der bekannten Aufgabe ergiebt, zwei quadratische 
Formen /* und (p gleichzeitig als Aggregate zweier Quadrate darzu- 
stellen. Dass diese Aufgabe nur eine Lösung zulässt, folgt hier auch 
daraus, dass durch die Bedingung der harmonischen Lage zu f und cp 
die Verhältnisse der Coefficienten von %• vollkommen und eindeutig 
bestimmt sind. 

Bezeichnet man die Verschwindungselemente von %' durch ^ = 0, 
7^ = 0, und setzt 



(2) »=y-'^-in, 



Grundformen. — § 57. 199 

SO kann man der Gleichung (1) die Form geben: 

(3) rr = (/'+/i^)(/"+A», 

wo /l, X die Wurzeln der quadratischen Gleichung 

(4) Z> A- + 2 D' A + D" =. 

sind. Da nun in diesem Falle, wie gezeigt, /" und qp keinen gemein- 
schaftlichen Factor haben, so folgt aus (3), dass /'-f Aqp und /'+A'g) 
jedes für sich Quadrate linearer Ausdrücke sein müssen, und dass man 
also setzen kann 

wodurch denn die Coefficienten von |, ?^ bis auf das Vorzeichen völlig 
bestimmt sind. Die Bestimmung der Verschwindungselemente von 0- 
geschieht also so, dass man zunächst die quadratische Gleichang (4) 
löst, und dann aus den Gleichungen 



die Ausdrücke 5? ^ selbst findet. 
Aus (5) folgt weiter 

'~~ x-r ' 

was die Darstellung der Formen / und (p durch Aggregate von Quadra- 
ten ist. Diese Darstellung ist immer möglich, sobald X — l' nicht 
verschwindet, d. h. sobald die Discriminante 

der Gleichung (4) nicht gleich Null ist. Diese aber ist nach § 27. 
(29) zugleich die Resultante von f und (p, deren Verschwinden oben 
schon ausgeschlossen wurde. 
Aus (6) folgt auch 

Die ganze durch f-\-^cp-=0 dargestellte Reihe von Elemente- 
paaren ist also durch die Quadrate von J und ri ausgedrückt, d. h. diese 
Reihe bildet die Involution, deren Doppelelemente durch -^-^O be- 
stimmt werden-, wie denn auch umgekehrt jedes Paar dieser Reihe 

in der Form 



200 Fünfter Abschnitt, Simultane 

enthalten ist, wobei 

u — X X 4- K X' 

Nimmt man f und cp in der Form (6), so sind die Verschwin- 
dungselemente beider Functionen durch die Gleichungen gegeben: 






x'' 



0. 



Ein Doppelverhältniss dieser Paare ist (§ 25.) : 
Ä_i 






"-y 



^ / /A - yi' 



l_ \j/A + j/A' 

A' ^ 



/ 



-;/|,+i 



sollen die Elemente der Paare nicht getrennt werden, so giebt es 

ausser — keinen Werth dieses Doppelverhältnisses mehr. Die Grösse a 

muss sich also direct durch eine reciproke quadratische Gleichung 
darstellen lassen. Bemerkt man, dass nach (4) 

\:k-\-l':Xr=:I):~2D' :I)\ 
so erhält man 

~^(_A + A7-4AA' U'-BD"' 
a und — sind also die Wurzeln der quadratischen Gleichung 

oder 

(7) D'2 {a - \f - B B" {a + 1)^ = 0. 

Diese Gleichung bestätigt das im Eingange über die Bedeutung 
von Bj B'y B" Gesagte; denn mit a = l wird B oder B" zu Null, 
zwei Elemente eines Paares fallen zusammen; für « = — l wird B'=0, 
und dadurch wird also die harmonische Lage der Elementepaare 



Grundformen. — §§ 57, 58. 201 

angezeigt. Denkt mau sich aber unter « irgend einen beliebig ge- 
gebenen constauten Werth, so enthält die Formel (7) folgenden 8atz: 
Die Bedingung dafür, dass zwei Punktepaare 

ein Doppelverhältniss a bilden sollen, ist durch die 

Invariantenrelation (7j gegeben. 

Ich ȧchliesse dem Obigen noch folgende oft zu benutzende 
algebraische Sätze an: 

Die erste Ueberschiebung der Functionaldeter- 
minante 

0- — ■ {a h) tta: ha: 

über eine der sie constituirenden Functionen ist: 
{^a)^^a:, = \{B(p-D'f). 
Man hat nämlich: 

{x^a) x^jc a'x = ^ a\r iah) \ [ci a) h-c + (h a) «^ \ , 

oder wenn man im ersten Gliede aa vertauscht, im zweiten die Iden- 
tität IL anwendet: 

{& a') ^. a'. = i {a a'f hj - { \ {a hf a'J -^{a aj hj j 

wie oben. 

Die zweite Ueberschiebung von f oder cp mit 0" 
verschwindet, wie oben schon bewiesen wurde. 
Die Invariante von %• ist 

Die hierzu gehörige Rechnung ist in § 27. gegeben worden, in- 
dem beide Ausdrücke der negativen durch 2 dividirten Resultante R 
der beiden Formen gleich gefunden wurden. 



§ 58. Simultane Invarianten und Covarianten einer beliebigen Anzahl 
quadratischer Formen. 

Im Vorigen wurde gezeigt, dass das vollständige System von 
Invarianten und Covarianten zweier simultanen quadratischen Formen 

f=^aj== a'J . . . 

ausser den Grundformen selbst nur noch die Coyariante 

& = {ah)aa:h:c7 
und ausserdem die Invarianten 

i««7, {ahy, {hhj 



202 Fünfter Abschnitt. Simultane 

enthält. Fügt man nun eine weitere quadratische Grundform hinzu: 

so tritt zunächst die Invariante 

auf, sodann aber sind nach § 56. die ersten und zweiten Ueber- 
schiebungen von f, cp, d' mit i/^ zu bilden. Was die ersten Ueber- 
schiebungen betrifft, so sind die von /' oder cp mit t/; der Form d' 
analog ; die erste Ueberschiebung von i^» mit d- aber kann übergangen 
werden, da sie nach § 35. (5) sich durch f, cp, ip und deren zweite 
Ueberschiebungen ausdrückt. Von den zweiten Ueberschiebungen 
sind die ersten beiden analog zu {ah)"^ , nämlich {acY und (6c)^; die 
zweite Ueberschiebung von ip mit d- aber liefert die Invariante 

{a h) {a c) (h c) , 

welche linear für die Coefficienten aller darin auftretenden Functionen 
ist, und durch Vertauschung der Coefficienten irgend zweier dieser 
Functionen nur das Zeichen ändert. 

Man sieht, dass hierbei Covarianten von neuem Charakter nicht 
entstanden sind, und man schliesst daher, dass bei der Hinzufügung 
weiterer quadratischer Grundformen solche auch nicht mehr auftreten 
können. 

Ein beliebiges System quadratischer Grundformen 

/2 — t^.r — ^ X . • • 



fn = mj^ = mj . . . 

führt daher ausser diesen Formen selbst auf folgende Bildungen, mit 
denen das vollständige System ihrer Invarianten und Covarianten ab- 
geschlossen ist: 

1. Die — ^-^ — Functionaldeterminanten Dik, deren Typus ist: 

— Invari 
deren Typus ist: 



'H V) I 1 

2. Die Invarianten x^u, (wo i auch gleich li sein kann), 



B,,= (aaf, D,,^{ahf. 
3. Die — — ~ „ ' „ ~ "^ Invarianten -R,t/,, deren Typus ist: 

i . ^ . «5 

•^123 = - (^^)(^^) (^^)- 

Von diesen Formen sind die unter 1. und 3. aufgeführten un- 
geraden Charakters, die anderen geraden Charakters. Es tritt aber 



Grundformen. — 8 58. 



203 



auch hier, ähnlich wie in frühern Fällen, der Umstand hinzu, dass 
ein Product zweier ungeraden Formen immer durch gerade Formen 
ausdrückbar ist, so dass in dem Ausdrucke irgend einer Co Variante 
oder Invariante durch die Formen des vollständigen Systems diese 
ungeraden Formen schliesslich nur linear auftreten. 

Um die in Frage stehenden Relationen abzuleiten, kann man sich 
der Bemerkung bedienen, dass sowohl d-ik als Bn/, in Form einer 
Determinante darstellbar ist. Man hat 



(1) 





< 


w 


*.. = 


a,a. 


hh 




«/ 


w 




< 


K- 


^123 = 


Ol «2 


hh 




0-^ 


W 






c, c. 



und es entsteht also i^^gs ^^^ ^^.^^ wenn man iCj, x^ durch Cg, — c^ 



ersetzt. Betrachten wir nun das Product 



2^i2(^i;^2)-^45(2/i;2/2) = 



<- 


K- 


^. 2 




a^ a.. 


\\ 


— X^X2 




< 


hi 


x-^ 





cl-2' e,' Vi" 



d- 



Vi 



Wenn man die beiden Determinanten nach der gewöhnlichen 
Regel mult^plicirt, und zwar, indem man die Vertikal reihen com- 
binirt, so erhält man: 



I>, 



D 



15 



/l (2/1; 2/2) 

2 %'^2 {x^ , x.^ . Q'^ {y, , y.^ = R,^ D,. f^ (y, , 2/2) 

Diese Formel giebt ihrer Ableitung nach ganz allgemein : 

DyiQ Dx6 /x (2/1, 2/2) 

J^lQ I>16 A (2/1; 2/2) 

fQ{x,,x.;} fa{x„x.;) {xyf 



(2) 2^.,x{x,,x,^.^^a{y,,y,:) 



und zwar ist es dabei offenbar gleichgiltig , ob unter den Indices 
Kj A, Q, ö sich gleiche befinden oder nicht. Setzen wir 2/i = ^i> 
y2 = X2f so verwandelt sich, indem wir die Argumente jetzt auslassen, 
die Formel (2) in 

DxQ Dy.a fx 

(3) 2^y,x^9a= I^lQ I^U A 

Mit Hilfe dieser Formel drückt sich das Product irgend zweier 
O durch gerade Formen aus ; die im vorigen Paragraphen benutzte 
Formel für O-- ist ein specieller Fall derselben. Vgl. auch § 35. (11). 



204 



Fünfter Abschnitt. Simultane 



Setzt man in (2) für ?/j, y.^ die Symbole p^, — p^ irgend einer 
Form ftj so verwandelt sich /it <'«/i , 2/^) ^^ ^/.t etc., und ^Qa(yi,y^ 
geht in Uqoz über; man hat also: 



(4) 



2 d'xl . -B^ffr = 



Dxp I).,n D, 



Big Du Du ■ 

u u u 

Setzt man endlich hierin auch noch für x^, x.j, die Symbole 
^2, —(l^ einer Form /^, so ^ehen f^, fo, f^, ?tyA in D(ig, Bf^a, D^r, 



I^TiXß über, und man hat: 

(Ö) 2I{y,i,,BgCT 



Dir 



B'^Q 1),,, 

BflQ I)flQ ^fit 

Die drei Gleichungen (3), (4), (5) liefern die Relationen, um 
welche es sich handelt. 

Ausser diesen Relationen kann man noch eine grosse Anzahl 
anderer aufstellen, welche zwar als Folgen derselben aufgefasst "wer- 
den können, aber sich durch ihre einfache Form auszeichnen und 
leicht direct ableitbar sind. Die Identität 



(6) 



0^ 



a^tta: 


a.^ax 


aj 


h,b^ 


h,K 


hj 


(\Cj: 


c,c^ 


cj 



liefert, nach der letzten Vertikalreihe geordnet, die Relation: 

(7) /x^i^+/id„x+/;*xi=o, 

welche in Bezug auf die f einerseits und die entsprechenden 0- anderer- 
seits linear ist. Die Identität 



= 



liefert, nach der letzten Vertikalreihe geordnet, die lineare Relation, 
welche zwischen je vier Formen f besteht, und deren Coefficienten 
die R sind: 

(8) 



= 



< 


«,«2 


a/ 


«/■ 


h' 


hh 


h' 


'^-'i 


c,' 


«1«2 


0/ 


cjl 


d,^ 


dj^ 


d./ 


dj\ 



fii Rxuv—fl Pßvy. +ffi Rvy.l " 


-/;j?x;..«=o. 




giebt die Identität: 






a/ a^a.^ «/ 




d.i 


-2d^d, d^ 





h;' h,h, h^' 




e} 


— 2e^e^ e^ 





c;' c,c, c/ C 




9.' 


-^'Ji9i 'Jy 





x./ —x^x^ x^^ 




x;' 


^ X\ Xa Xn 






(jrniudfonnen. — § 58. 



205 



indem man die beiden Determinanten durch Combination der Horizon- 
talreihen multiplicirt, Relationen zwischen den geraden For- 
men allein, welche quadratisch in den f sind und deren Coefficien- 
ten sich aus den D zusammensetzen. Diese Relationen haben, wie 
man durch die Ausführung der Multiplication sofort sieht, die Gestalt: 

D,g D,r, D.r A 



(9) 







Big 


^io I>lr 


fl 


-D^P 


-Dfto Dur 


fß 


/? 


fa fr 






Die Relation (7) kann man aber auch aus (3) ableiten, (8) aus 
(4), (9) aus (3) und (4) zusammen. Wesentlich neue Beziehungen 
geben also diese Gleichungen nicht. 

Doch ist es von Interesse, die Gleichungen (7), (9) in folgender 
Weise nochmals abzuleiten. 

Betrachtet man an Stelle der rechten Seite von (6) den Ausdruck 



«1 «X 

C, Ca: 



Co Cx 



r^ 2! 



so kann man denselben in die Factoren zerlegen: 



a, a. 



hc 



hb, 6/ 



c, c. 



X, 


^2 








X, 


^2 


y.' 


^y^y. 


2/2^ 



= B^Xf^.{xyfy 



und es besteht also die Gleichung: 

(10) f.(]/)^Xß + f^(y)^u^ + fu(y)^.x = K:,^.{xyY. 

Setzt man in dieser x = y, so kommt man auf (7) zurück. Setzt 
man aber der Reihe nach für 2/2? — 2/i die Symbole von /'p, /ij, fr ein, 
so findet man die drei Gleichungen: 

(11) Ji^cXfi . /ö = Dxo&lfj. + Bxo d^fiy, -f Dfia ^y.i 

Eliminirt man aus diesen Gleichungen und (7) die Grössen Rxlfi, 
d-Xß, '9'^x, ^xlf so erhält man wieder die Gleichung (9). — 

Die weiteren, aus den gegebenen Formen entstehenden Bildungen, 
müssen sich durch die Formen des vollständigen Systems ausdrücken. 
Es sind nun von Interesse dabei zunächst diejenigen Formen, welche 
aus den durch d^n,, D,/,, Ilikh bezeichneten Bildungen entstehen, 
wenn man in denselben eine oder mehrere der constituirenden Fun- 
ctionen durch Functionaldeterminanten ersetzt. Wir wollen dies da- 
durch ausdrücken, dass wir an Stelle des Index der zu ersetzenden 



206 Fünfter AlDsclinitt. — Simultane 

Function die Indices setzen, welche den constituir enden Functionen y 
der Functionaldeterminante entsprechen, so dass z. B. D,a-, ä die In- 
variante bedeutet, welche aus Combination der Functionaldetermi- 
nante d'ik^ mit der Function //, entsteht. Es sind also folgende Bil- 
dungen zu untersuchen: 

'^12,3; '^12,34; -ÖJ2,3; -Dl2,34; ^12,3,4; ^12,34,5; ^12,31,56- 

Die Symbole der mit den Indices 1 , 2 . . . bezeichneten Functio- 
nen sollen durh «, 5 ... in alphabetischer Ordnung bezeichnet wer- 
den. Nach der Formel (5) des § 35. hat man zunächst: 

(12) ^.2, 3= i(/; As-/; -023); 

ferner hat man nach der Definition der d' und B: 

(13) ^12,3 = (« ^) (^ ^) (P ^) = -^123 • 

Ersetzt man nun in (12) die Function f^ durch die Functional- 
determinante '^'34, so kommt: 

(14) ^12 , 34 = 4 (/; -Dl , 34 - /; -D2 , 34) =i{f, -B134 - fi •B234)- 

Der Ausdruck kann nur sein Zeichen ändern, wenn man 1, 2 mit 
3, 4 vertauscht; die Gleichsetzung der beiden so erhaltenen Ausdrücke 
von §-^2, 34 führt auf die Gleichung (8) zurück. 

Den Ausdruck jR^g, 3, 4 können wir als die zweite Ueberschiebung 
von d'j^2, 3 ^^^ fi betrachten. In Folge der Gleichung (12) hat 
man also: 

(15) B,,,,,, = iiD,,D,,-D,,D,,). 

Hieraus findet man nun auch sofort den Werth von Djg, 34; denn 
es ist nach (13): 

(16) A2, 34 = -Bl, 2, 34 = i (-0X3 A4 - A3 A4)- 

Setzt man nun in (15) -0-34 für f^, f^ für f^^ so erhält man mit 
Hilfe von (13): 

(17) Bu, 34, 5 = i (A5 A, 34 - ^15 A, 34) = i (^5 ^134 - A5 ^234). 

Auch dieser Ausdruck kann nur das Zeichen ändern, wenn man 
1, 2 mit 3, 4 vertauscht. Indem man die beiden so erhaltenen Ausdrücke 
von i?i2, 34, 5 einander gleich setzt, erhält man die zwischen den D 
und II stattfindende Beziehung 

(18) Di5 E234 — A5 ^134 + Aö -^412 — ^5 -^312 = ^ ; 

welche auch aus (8) abgeleitet werden kann, indem man ein f zwei- 
mal über jene Gleichung schiebt. 

Endlich erhält man, indem man in (17) f^ durch O-gg ersetzt und 
(13) benutzt: 



Grundformen. — § 58. 



207 



(19) 



B 



12, 34, 56 



T (-^256 ^134 ~" -^15(? -^234)- 



Durch Vertauschung der Paare 12, 34, 56, wobei B,^ 



34, 5ß 



nur 



das Zeichen ändert, erhält man zwei mit der obigen gleichberech- 
tigte Darstellungen-, die Gleichsetzung der rechten Seiten führt auf 
quadratische Relationen zwischen den B von der Form: 



(20) 



^15'j -^234 ^25« -^134 "T -^350 "^124 



^45G -^^123 — ^? 



welche auch abgeleitet werden können, indem man ein ^ zweimal 
über (8) schiebt, und welche identisch erfüllt werden, wenn man für 
die Producte der B ihre Ausdrücke in den D (5) setzt. 

Setzen wir für den Augenblick voraus, was später bewiesen wer- 
den wird, dass die Zahl der von einander unabhängigen Invarianten 
des Systems um 3 kleiner ist als die Zahl aller Coefficienten, so sind 

von den ' ^ Formen D nur 3^^ — 3 völlig unabhängig von 

einander, und es müssen Relationen zwischen den I) bestehen, von 
welchen 

w . w + 1 ,^ „. M — 2 . w — 3 

g (3n~3)=— ^ 

von einander unabhängig sind. Es ist nun leicht zu zeigen, dass diese 
wirklich existiren, und dass man sogar durch die 3w — 3 Invarianten 

A 



u A. K-22 

D,, D 



33 



(21) 



41 



43 



^nl -D„2 Dn3 

alle übrigen rational ausdrücken kann. Aus der Multiplication der 
beiden verschwindenden Determinanten: 



K^ K^ k.2 A^2 



I ^2 
{"'2 



— 2c^c.2 



h' 



folgt nämlich identisch: 



(22) 



= ! 



-^11 

A. 
A. 

-Dm 



As 



A2 



kl 



33 
A-3 






In dieser Gleichung kommen nur Invarianten des Systems (21) 
vor, ausgenommen Dk/i, welches linear auftritt, und man kann also 
dieses immer durch jene Grössen ausdrücken, vorausgesetzt natürlich, 
was bei der allgemeinen Betrachtung gestattet ist, dass der Coefficient 



208 t^iinfter Absclinitt. Simultane 

von JDkh nicht verschwindet. Dieser Coefficient aber ist nach (5) 
2 1^^123 5 ^^^^ solche Art, die D auszudrücken, ist also immer gestattet, 
sobald nur eine einzige der Invarianten U von Null verschieden ist, 
d. h sobald sich nur nicht das ganze System der Functionen f aus 
nur zweien derselben linear zusammensetzt. 

Da die geometrische Bedeutung der übrigen Formen schon oben 
entwickelt ist, so bleibt nur noch übrig, von der geometrischen Be- 
deutung der Gleichung 

-^123 = ^ 

zu handeln, welche, wenn sie besteht, eine Beziehung zwischen drei 
quadratischen Formen aussagt. Nun ist nach dem Vorigen O-^g eine 
Form, deren Verschwindungselemente zu denen von f^ und /^ har- 
monisch sind; ferner entstand R^^^ als zweite Ueberschiebung von 
-O-^g mit fy Verschwindet also dieser Ausdruck, so sind die Ver- 
schwindungselemente von d-^.2 auch harmonisch zu denen von f^, 
d. h. die Verschwindungselemente von f^, /!,, f^ sind gleichzeitig har- 
monisch zu einem Elementepaar, sind also Paare einer Involution, 
deren Doppelelemente das letztere giebt. Die Gleichung 

•^123 = 

bedeutet also, dass f^, f^, f^ Punktepaare der nämlichen 
Involution geben. 

Dieser Satz lässt sich auch umkehren. Denn sind die aus fi=Oj 
/2 = 0, f^ = erhaltenen Elementepaare Glieder einer Involution, so 
kann man den drei Functionen f^^ f^, f^ die Form geben: 

dass aber für diese Annahme B^.^^ verschwindet, lehrt die Determi- 
nantenform (1) augenblicklich, da in dieser die Coefficienten einer 
Reihe sämmtlich gleich Null sind, sobald man jR^gs ^^ Bezug auf die 
neuen Veränderlichen |, ri bildet. 



§ 59. Simultane Covarianten und Invarianten einer quadratischen und 
einer cubischen Form. 

Wendet man die Principien des § 56. auf die Combination einer 
quadratischen und einer cubischen Form an, so erhält man Fol- 
gendes. 

Das System einer cubischen Form (p besteht aus den Covarianten 
A (quadratisch), Q (cubisch) und der Invariante li (§ 34.). Man hat 
also nur die eine Covariante A, welche von gerader Ordnung ist, 



(Ti-undfonneii. — §§ 58, 59. 209 

und Dach dem angeführten Paragraphen erhält man daraus zunächst 
zwei simultane Bildungen, die beiden Ueberschiebungen von f mit A. 
Ist symbolisch 

f ^a.'=hj ... 

<P = «/ =ßJ • • • 

SO sind diese beiden Bildungen durch 

(1) (aA)a^A,, {üAf 
gegeben. 

Nächst diesen hat man die erste und zweite üeberschiebung von 
/' über g) und Q, sowie die dritte von p über (p und Q zu bilden; 
von diesen ist nur die erste üeberschiebung von /"über Q auszulassen, 
da Q eine Functioualdeterminante ist (§ 35.). Man hat also zwei- 
tens die Bildungen: 

(2) {aa)a:,aj, iaufa,, {aQfQ:,, {aaf(ba)K, {aQf{lQ)K. 

Endlich hat man noch die sechsten Ueberschiebungen von (p-, (p Qj 
Q- über P zu bilden, drei Invarianten. Aber von diesen kann die 
letzte übergangen werden; denn da Q- sich durch A, jR, cp ausdrückt 
(§ ^^•)> so setzt sich diese üeberschiebung aus den sechsten ueber- 
schiebungen von p über (p- und A^ zusammen. Von diesen ist die 
erstere schon eine der noch zu behandelnden; die zweite ist auszu- 
lassen, da sie einen zerfallenden Theil besitzt, der entsteht, indem 
man jeden Factor f zw^eimal über einen der Factoren A schiebt. Wählt 
man statt der sechsten ueberschiebungen von g)-, cp Q über P noch 
passende Theile derselben, so hat man endlich folgende Bildungen 
vor sich: 

(3) {aaf{}>ßf{ca){cß), {aaf (bQf{ca){cQ). 

Hiernach besteht das vollständige System der Invarianten und 
Covarianten aus 15 Formen. Einige derselben stellen sich einfacher 
dar, wenn man die Coefficienten der unter (2) entwickelten linearen 
Covarianten 

r^r, = {aQYQ^ 
einführt. Alsdann werden diese 15 Formen folgende: 

Invarianten: D = {ahy, R = (AA'f, JE=(aAy, F={apY, 
M={cip)(ar)j darunter die letzte eine Form ungeraden Charakters. 

Lineare Covarianten: p, r, q={ap)as, s = {ar)a,c' Darun- 
ter sind r und q Formen ungeraden Charakters, die letztere als 
Functionaldeterminante von Formen geraden Charakters, die erste, 
weil Q eine Form ungeraden Charakters ist. 

Clebsch, Theorie der hinäreu algebr. Formen, 14 



210 Fünfter Abschnitt. Simnitane 

Quadratische Covarianteii: f\ A, Q=^{aA) a,r ^.r, das letzte 
eine Form ungeraden Charakters. 

Cubische Covarianten: (p, Q, ^ = (^ct a) a-r ci:r^ , die letzten 
beiden Formen ungeraden Charakters. 

Es ist sehr leicht, Relationen anzugeben, welche zwischen diesen 
15 Formen eintreten, z. B. indem man die Quadrate und Producte 
der Formen ungeraden Charakters durch Formen geraden Charakters 
ausdrückt. Ich werde mich späterer Anwendung wegen hier mit den 
Beziehungen beschäftigen, welche zwischen den Invarianten und 
zwischen den linearen Covarianten eintreten. Die letzteren Beziehungen 
erhält man dadurch, dass man die Determinanten untersucht, welche 
aus den Coefficienten je zweier gebildet werden. Es sind die fol- 
genden : 

{pq)=- {apY = -F, {p r) = L ; 

(A^ iPs) = - (a r) (ap) = - If ; (g r) = (a p) {a r) = M; 

^^^ {q s) = (ap) ihr) (ah) = ^ {ahf (pr) = i Di"; 

(r s) = ~ {a- ry = — N. 

Es bleibt also übrig, die hier neu eingeführten Invarianten 

L = {pr)', N={arY 

durch Dy H, E^ F, M auszudrücken. Wird dann schliesslich noch 
M'^ durch die Invarianten D, Ry Ey F dargestellt, so* hat man alle 
Invariantenrelationen vor sich. 

Die Darstellung von Ly N knüpft sich an eine von der oben 
gegebenen abweichende Darstellung der Covariante r an. Es war 

r^iaQYQ.y Q = {aA)aJA.. [§34.(6).] 

Aber die Form Q hat nach § 35. die Eigenschaft, dass 

(5) Q,/Q^^{aA)a/A^r. 

Setzt man also a^, —a^ an Stelle von ^^, 2/2? so hat man; 

(6) r=^{aA){aayA.ry 
oder wenn man p) = «^ {a a)"^ einführt : 

(7) r = {pA)A^r. 

Nimmt man nun »' in der Form. (6), so hat man 

L = (p r) = {cc A) {a af {p A) 

=={aA){ßA){aaY{hßf, 

oder wenn man das Product {aa)(bß) mittelst der Identität § 15. (IV) 
transf ormirt : 

Z = (« A) (/3 A) {aa) ihß) \ {aß) {ha) + {ab) {aß) \, 



(TiTindformeii. — § 59. 21\ 

Im zweiten Theile dieses Ausdrucks vertauscht man a mit h und 
nimmt die halbe Summe der alten und neuen Gestalt; man er- 
hält dann 

i (aA) (ßA) (ab) (aß) \ (aa) {hß) - (aß) {ha) \ 
= \{a A) iß A) {abf {aßf =l^DR. 

Im ersten Theile wendet man die Identität an [§ 15. (V)] : 

und beachtet, dass alles mit {ccA]^ oder {ßAy Multiplicirte nach der 
Theorie der cubischen Formen verschwindet (§ 34.) ; es bleibt dann 

-i{aAy.{ba){bßj{aß,^ = -iE^, 
also 

(8) L^^^. 

Sodann ist, mit Benutzung der Form (7): 

N={ary={pA) (pA') (aA) (aA^, 
oder nach der Identität (V): 

N= i l (pAY {aAy + {pAy {aA)'^-{apY (A AT ! , 
das heisst 

(9) X=EL-iFB. 

Die Determinanten (4) der linearen Co Varianten sind also nun 
durch die Invarianten der Tafel ausgedrückt. Aber man hat auch, 
indem mau in die Identität 

- Cps) (qr) = (pq) {rs) - {pr) (qs) 

die Ausdrücke (4) einsetzt: 

oder mit Hilfe des Ausdrucks für N: 

(10) M' = -^\DL-'-2ELF+RF^\, 

Auf anderem Wege gelangt man zu dieser Formel, wenn man 
von dem Ausdruck der Functionaldeterminante Q durch f und A 
ausgeht : 

Q' = -i{I)A'-2FfA + Rr). [§57.(1).] 

Setzt» man in dieser Gleichung ^\=P2, -^'2 = — i^i> so geht finF^ 
A in L über, und Q verwandelt sich in 

(a A) (ßp) {Ap) = — (ap) {ar) = — M, 

so dass sich die Gleichung (10) unmittelbar ergiebt. 

Die in § 27. gegebene Resultante der cubischen und der quadra- 
tischen Form wird 

14* 



212 Fünfter Absclinitt. Simultane 

{paY-2D{AaY = F-2DE. — 

Sehen wir, was aus den Formen des oben angegebenen vollstän- 
digen Systems wird , wenn man darin die cubische Form (p durch die 
in § 36. untersuchte zusammengesetzte Form tc q) -\- X Q ersetzt.* Die. 
hierbei entstehenden Foraien bezeichne ich durch angehängte Indices 
7C X. Nur auf /' und D hat diese Veränderung keinen Einfluss; dagegen 
ist nach § 36. 

wobei die in ;c, A quadratische Form 

= ;,2 + |a2 

bezeichnet. Nach den Definitionen von p, q, r, s wird nun sofort 
in Folge dieser Gleichungen: 

,3 0/^0 a0\ 

, , 0/^0 dQ\ 

Ebenso erhält man für die höheren simultanen Covarianten die Ausdrücke: 



Q;,;i = . Q, ^y.l=%^^l{aq)Q, 



^X y 



oder wenn man die erste üeberschiebung von f über die Functional- 
determinante Q nach § 35. (5) behandelt: 

Endlich werden die noch fehlenden Invarianten: 

UyX^e .E, FyA = ^^F+27cX M+X'N 

^e\de cFyi dQdF,^\ 

^^ 2 \d% dl dl dx y 

§ 60. Formensystem einer quadratischen und einer biquadratischen Form. 

Das vollständige System einer quadratischen und einer*biquadra- 
tischen Form** ist verhältnissmässig leicht zu bilden, weil nach 
§ 56. dabei / niemals über Producte von Covarianten der biquadra- 



* Vgl. die Abh. des Verfassers, Borchardt's Journal Bd. 08, S. 102. 
** lieber die Theorie dieser Formen vgl. die Arbeiten von Bessel und von 
Harbordt im 1. Bd. der mathem. Annalen, sowie von Brioschi, ebenda Bd. III, 



Grundformen, — §§ 59, 60. 213 

tischen Form zu schieben ist, da letztere sämmtlich von gerader Ord- 
nung sind. -Das System uaifasst also folgende Bildungen: 

Die quadratische Form /"mit ihrer Invariante D] 

die biquadratische Form cp mit ihren Covarianten H, T und ihren 
Invarianten i, j] 

die erste und zweite Ueberschiebung von f, die dritte und vierte 
von P über (p und H] 

die zweite Ueberschiebung von fj die dritte und vierte von P, 
die fünfte und sechste von p über T. 

Dass von diesen Formen noch einige ausgelassen werden können, 
zeigt sich sofort, wenn wir, wie es erlaubt ist, einige der Ueber- 
Schiebungen durch passend gewählte Theile derselben ersetzen. Da 

T={aH)a/HJ, 

so können wir an Stelle der zweiten Ueberschiebung von T mit f 
denjenigen Tlieil der Ueberschiebung setzen, welcher die Form 

(a H) (« ay a^ HJ 
hat; oder, wenn die zweiten Ueberschiebungen von cp und jffmit /durch 

bezeichnet werden, die Form 

also die Functionaldeterminante von jp mit H. An Stelle der dritten 
und vierten Ueberschiebung von T mit f^ kann man die Theile setzen: 

{aH) («a)^ {Hh) h, HJ «, = (4, H) {Hb) h. t^, H/ 
{aH) (aaY {Hlf H^ a, = {t %) ^^ %.- 
Da nach der Identität (II) des § 15. 

{^H) (Hh) h. t. Hj =-- - 1 Hj I [my tJ + {SfY bj - {^by hji 

so besteht die erste dieser beiden Formen aus lauter zerfallenden 
Theilen und kann daher übergangen werden; die zweite 

ist die Functionaldeterminante von i/> und x- — ^^ Stelle der fünften 
und sechsten Ueberschiebung von Tüber P kann man die Theile setzen: 

(« H) {a ay {Hby (« c) c^ H^ = {f %) {t c) c. x^ 
{a H) {a ay {Hby (« c) {Hc) = {^p x) it c) {x c). 
Von dieser Form ist wieder wegen der Gleichung 

(^ X) itc) c, X. == i |(^ xY cj^ {t c)2 x^' - ix cy tJ\ 
die erstere aus lauter zerfallenden Theilen zusammengesetzt und daher 
auszulassen. Die zweite ist die simultane Invariante der drei quadra- 



214 Fünfter Abschnitt. Simultane 

tischen Formen /, p, %, oder, was dasselbe ist, die zweite Ueber- 

schiebung von r über /. 

Und so umfasst denn das Formensystem folgende 18 Bildungen : 
6 Invarianten, nämlich ausser i und j die 4 Invarianten der 

quadratischen Formen f, i^, %: 
D=(ahf 

C = (tx)ita) ixa) = {raY. 

6 quadratische Covarianten, nämlich f, ip, % und ihre ersten 
Ueberschiebungen 

Y = (i/;a) i)^ ajc, X = iia) %^ a^^, t = {^i) ^^ ^^. 
5 biquadratische Covarianten, nämlich qp, -ff und die Fun- 
ctionaldeterminanten 

L=:{aa) aj' a^,, iif= {Ka) HJ a^, K=={i^II) t^^. HJ. 

1 Covariante sechster Ordnung, T. 

Von diesen sind C, V, X, r, L, 31, K, Tungeraden Charakters. 

An Stelle von {il^ H ) ifj^; HJ hätte auch die gleichberechtigte Form 

{XCc)Xa:CCx^ 

eingeführt werden können; denn es ist 

{t H) t. HJ + {i a) i^ aj = {a af {a H) a^ HJ - (a Hf [a H) H, aj 

= — {aHy «^ H^ { (aa) iZ"^ + {aH) aj a^ 
gleich der ersten Ueberschiebung von / über {aHy^ aj HJ^ multiplicirt 
mit 2; und da nach § 40. (8) 

{aHfa/HJ = ^(p, 
so hat man 

{il) H) ^.^ HJ + {% a) %:, aj = ^{aa) aj a^ = 3" ^ 

durch andere Formen des Systems ausgedrückt. Man führt daher am 
passendsten die Differenz 

N= {i^H) t^r HJ - ixa) Xa; czJ 

ein. 

Man erhält leicht eine grosse Anzahl von Beziehungen zwischen 
den 18 Formen desSystems, indem man die Quadrate und Producte der 
Formen ungeraden Charakters durch die Formen geraden Charakters aus- 
drückt. Ich will nur die Invariantenbeziehung entwickeln,welche C^ durch 
^, j , D , Aj B ausdrückt, und werde die Invarianten darstellen, welche 
durch zweite Ueberschiebung der 6 quadratischen Covarianten über 
sich selbst und über einander entstehen. Nach Analogie mit Früherem 
würden diese durch 7)//, Df-ip ... zu bezeichnen sein^ während C die 
Invariante 



Grundformen. — 8 60. 



215 



wäre. Aus letzterem Umstände ergiebt sich sofort nach § 58. (5): 

(1) (■' = i i)^/I>^..i>^zi. 

^xr ^x^ ^xx\ 

Nun ist ferner 

(2) l^rr = ^, D/^-^, I)^x = B. 

Die anderen drei constituirenden Elemente der Determinante (1) er- 
hält man aus D^^-tp mit Hilfe der hier wiederum anzuwendenden Opera- 
tion 8 des § 41. In Folge derselben ist (vgl. die Formeln des § 41.) 

o o 

Nun ist 

I)ri,^ = {xl^^y={aaf (hßY {aßY, 

und da nach § 40. (2) 

so erhält man, indem man a;^ = er,; ^'2 — "~ ^i; 2/i — ^2 ; 2/2 == "" ^1 setzt: 

oder 

(3) 1)^,1, 
Unterwirft man nun diesen Ausdruck der Operation d, so hat man 



^+¥- 



also 

(4) 
und ferner: 



di)w^2D^, = ^ + ^, 



J)M^x=Pxx+iI>n,rp=^^ + '-^-^ 



jA , iB ^D 



also 

(5) 



D 



(6) 



jA iE , &I) 

Der Ausdruck von C- ist also durch die Formel gegeben: 
B A B 



C^' = i 



D 



ß ^ 3 



e ^ 3 3 6"^ 18 



216 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Was die zweiten Ueberschiebungen von f, xjj, i über M^, X, r 
angeht, so hat man nach § 58.: 

(7) i>/-,.,=0, -D/x=0, -D*g. = 0, l)^x=0, I)^, = (), D^r^O, 
und ferner nach der Definition: 

(8) C = D/z ^-B^^ = D^x. 
Endlich hat man nach § 58. (16): 

D7ji-qt= \ (I)^^ Dff — D^^tpf) . ' 

• I^wx==ii^^x D/r - D'^r Dx r) 

^Wt = i (^V' X Dx/- Dipx Dr^) 

^xz ^H^V^x^xr-^rH^ I^xx) 
I>rz =h{D^^I)xx-D'^x)l 

die mit ^ multiplicirten Klammern sind die Unterdeterminanten der 
in (6) gleich 2 C^ gefundenen Determinante. 

Ich bemerke noch, dass die in § 27. gebildete Resultante der 
biquadratischen und der quadratischen Form hier die Gestalt annimmt: 

Die Invariante (7, welche allein unter den Invarianten eine Form 
ungeraden Charakters ist, giebt, wenn sie verschwindet, eine einfache 
Beziehung zwischen /und (p an; eine Eigenschaft, welche C bis auf 
einen numerischen Factor definirt. Man kann nämlich folgenden Satz 
aussprechen : 

Wenn C verschwindet, so existirt (und nur 
dann) eine solche quadratische Form //, dass cp als 
quadratische Function von /' und g ausgedrückt 
werden kann.* 

Ist nämlich q) eine quadratische Function von /' und g, so kann 
man q) in zwei quadratische Factoren zerlegen, welche lineare Fun- 
ctionen von f und g sind. Diese Zerlegung muss mit einer derjeni- 
gen übereinstimmen, welche aus den Gleichungen (3) des § 47. hervor- 
gehen, und bei welcher die Form vierter Ordnung auf drei verschie- 
dene Weisen so in quadratische Factoren zerlegt wird, dass diese linear 
sich aus zweien der irrationalen quadratischen Covarianten von cp zu- 
sammensetzen. Seien diese irrationalen quadratischen Covarianten 
^, p', i^'\ so hat man demnach entweder 

/"= « ^ -f /3 ^', oder /'= a t' + ß t'' , oder f= a t'' + ß p. 



Vöi. eine Note des Verfassers im 3. Band der mathematischen Annalen. 



Grundformen. — § 60. 217 

Schiebt man über jede dieser Gleichungen zweimal diejenige der 
Formen ifj, welche nicht in ihr vorkommt, so verschwindet nach § 45. 
(2) jedesmal die rechte Seite; man hat also für f die Bedingung 

Die Form links ist jetzt rational; sie enthält die Coefficienten von /' 
cubisch, die von g?, da die f von der Dimension j/H sind, ebenfalls 
cubisch; sie ist also von C nur durch einen numerischen Factor ver- 
schieden. Man kann nämlich die betrachtete Form als Glied der 
sechsten üeberschiebung von P über die Covariante T = 2 if^ jp' il" von 
(p auffassen. Diese üeberschiebung besteht ausser einem solchen 
Theile dann noch aus Theilen der Form 

(at) («>') (?>^) (&^0 {cty 

= 1 { (a tY (& ^y + {h tY (a ipy - it ty {a bY } {c ^Y, 
welche, da {tl^ip')^ = 0^ auf den ersten Theil zurückkommen; und aus 
Theilen der Form 

{a 1^0 {a t') {h ^0 (h t") {c V) ic t) 
= {a ip) {a ijj') {h ^0 {c ^") I (& n^) {c tp") + {h c) {t (/;")!. 
Hier hat rechts das erste Glied die vorige Form, und kommt also auch 
auf den ersten Theil zurück; das zweite kann, indem man die Sym- 
bole h, c vertauscht, durch 

= i (6 cY \ (a tY (f ipy + (« ty (i^ i'y - {a ty it ^J \ 

ersetzt werden, was verschwindet. Man sieht also, dass unsere In- 
variante sich von der sechsten üeberschiebung der Form T über p 
nur um einen numerischen Factor unterscheidet, also rational ist. Es 
stellt sonach in der That (7 = die fragliche Bedingung dar. — 

Ich werde nun untersuchen, was aus den Bildungen des vollstän- 
digen Systems wird, wenn man in denselben statt der biquadratischen 
Form (p die in § 41. untersuchte zusammengesetzte Form x (p -}- ?. H 
einführt. Von den 18 Formen des Systems werden f und D hierdurch 
nicht geändert; benutzt man wie in § 41. den Ausdruck 

so wird [vgl. § 41. (14)]: 

^-=*(«l-«-»S) 






218 



Fünfter Abschnitt. Simultane 



Von den übrigen Functionen haben die durch Ueberschiebungen 
von /' über (p entstehenden hier offenbar denselben Charakter wie cp^x, 
die durch Ueberschiebungen mit H entstehenden denselben wie HnX. 
Es ist also 



Lyi^v.L-^XM 






oQ 



cQ 



Es bleiben also nur die Formen r^d^ Ny.x, Cy.i zu untersuchen. Nun 
ist nach der Definition: 



Cty.l 

dx,. 



<^ly.l 




€X^ 


, ! 


Hy.l 


= T 2 1 


dx. 





K 


l 




dx^ 


ex, 


du 

dl 


c9. 

dx 




dx.^ 


cx^ 



"" dx^^ dx. 



' =Q.r 



cQ. dil) dQ dx 
dX dx^ dx dx. 



dQ 



ctp 



-^^ + - 



dQ 



0% 



dl dx.y dx dx., 



= A 



so dass sich x-A wie TyX verhält. Da C^(ra)'^, so hat man auch 

Cy.x =Q.a 

Endlich hat man auf dieselbe Weise wie bei r: 



N,>. = i 



dtl^y.l cHyl 



CXy 

Hl 



dx, 

Cll}y.l 



dx., 



Cly.l 


^(py,l 


dx. 


dx. 


'^%y.l 


(^(pul 


dx^ 


dx^ 1 



dx.^ 
= Q.N. 
Auch diese Form theilt also den Charakter von T. — 

Die vorliegenden Formen bieten noch eine interessante Seite dar, 
indem man die Bildungen verfolgt, welche durch wiederholte zweite 
Ueberschiebungen von cp und H über f entstehen. Diese Formen 
bilden ein unendlich grosses System von quadratischen Covarianten, 
welche sich sämmtlich aus f, ip , % durch Multiplication mit Invarianten 
zusammensetzen lassen. Ist F irgend eine quadratische Form, sym- 
bolisch durch i^^- bezeichnet, so kann man die Bildungen 

P (F) = (« Fy aj, Q (F) = (A Ff A/ 

als durch die Differentialoperationen P, Q aus F abgeleitet betrachten ; 
und die in Frage stehende Reihe von Covarianten erhält man also 
durch beliebig oft und in beliebiger Folge ausgeführte Anwendung 



Grundformen. — § 60. 219 

dieser Operationen auf f. Nun findet zunächst der Satz statt, dass 
die Operationen P und Q vertausch bar sind, dass also 

P.Q(F)= QF{F), 
Es ist nämlich 

P Q (^0 - y P (i^j = (A Ff ( A af cc.r' - {cc Ff (A af AJ 
= (A«)2 [{AFy' a/ - {aFf AJ] 
= (A«)3 F, . |(A J') «.. + (ßi^) A,l . 

Dies aber ist die erste Ueberschiebung von F über die quadra- 
tische Covariante (Aftj^A.cß^, welche nach der Theorie der biquadra- 
tischen Formen identisch verschwindet. Daher verschwindet auch die 
obige Differenz, wie zu beweisen war. 

Wegen dieser Vertauschbarkeit genügt es also, die Bildungen zu 
betrachten, in welchen zuerst ausschliesslich die eine Operation, sodann 
ausschliesslich die andere angewandt wird, also die Covarianten 

Aber diese wiederum sind die Entwickelungscoefficienten des Ausdrucks, 
welcher entsfeht, wenn man auf f ausschliesslich die Operation 

anwendet. Es genügt also die Reihe der Bildungen 

(1) p(f),p-'if),p-^(f)... 

zu betrachten und in diesen schliesslich P durch F%x, d. h. (p durch 
xcp -\- IH zu ersetzen. Nun gilt für diese Reihe der Satz : 

Jede Form der Reihe (1) ist dieselbe lineare 

Combination der um zwei und drei Stellen ihr 

vorangehenden Formeru 

Es ist nämlich nach den Formeln am Ende von § 8.: 

{aßY{aryß/r,/=J'n' \{aßnayyßJyJ\+i{aßY {ayf {ßrf {xyf 
oder nach § 40. (7) : 

^ o 

Setzt man nun y^ = a,,, i/., — — a^, so geht diese Gleichung in 

über. Unterwirft man aber diese Gleichung ;cmal der Operation P, 
so erhält man: 
(2) ■ P»+3 (/•) = 1. Ph+i (/^ + ^ px (^ ^ 

eine Gleichung, welche den angegebeneu Satz enthält. 



220 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Bezeichnen wir nun durch z eine beliebige Grösse, uiid durch Z 
den Ausdruck: 

Z=F'{f) + zP^\f) + s^B>(f)..., 

so ist nach (2), indem man mit s" multiplicirt, nach x summirt und 
der Kürze wegen P(f)=:P', F' (f) = P" setzt: 



also 



3 



|,(P' + ^P")+|^(/*+^P>^^P") 



(3) Z- .-3. 

2 3 

= [I {F + ^p")+ 1 (r+ ^p'+^^n] 

Diese Formel liefert durch Vergleichung der Coefficienteu von 1 , z, 
zK.. die Covarianten P^ {f) , P' {f) . . . durch /', F=F [f), F" = P' (/) 
ausgedrückt; und zwar wird: 

(4) ^'' 2^^3 
F^(f)^j^F' + ^F + ^f 



Es kommt also noch darauf an, P' und P" zu bestimmen. Nun ist 
erstlich unmittelbar der Definition nach 

P' = i^. 
Dann aber hat man nach § 40. (2) 

(« ßy a/ ß,/ = ü/ Hy' + 1 (xyy, 

und daher, wenn man y^ = a.2y 2/2 = '~ ^i setzt : 

(5) F'=Q{f)+y^%+^f. 

Setzt man nun in den Gleichungen (3) oder (4) k (p -{■ IH 2iU die 
Stelle von 9?, so treten zugleich die Ausdrücke iy.x und jy,i an Stelle 
von i und j\ an Stelle von P' tritt 



Grundformen. — §§ 60, 61. 221 

Es bleibt also nur noch F^a^'ü- P^f) ^2 xlPQ (f)^ X'^Q'- {f) 
zu bestimmen. Aber nach der Gleichung (5) ist 

oder nach oben gegebenen Formeln: 



(6) ^'--i(^S-'^ä>¥^- 



Hiermit sind alle zur Berechnung von P^ Q^ {f) nöthigen Be- 
stimmungen gegeben. 

§ 61. Vollständiges System zweier cubisclier Formen. 

Als Beispiel eines simultanen Formensystems, bei welchem keine 
der Grundformen linear oder quadratisch ist, will ich noch das simul- 
tane System zweier cubischer Formen betrachten.* 

Bezeichnen wir durch f und (p die beiden cubischen Grundformen, 
durch A, V ihre quadratischen, durch Q, K ihre cubischen Covarian- 
ten, durch jR, P ihre Discriminanten. 

Die simultanen Covarianten und Invarianten entstehen aus den- 
jenigen Ueberschiebungen von f" A/* Qy und (p"' Vi*' K>'', welche keine 
zerfallenden Terme erhalten. Da indessen A^ durch Q^ und P^ V^ 
durch K- und (p- linear ausdrückbar ist, so genügt es, für die Zahlen 
ß und /3' die Werthe 0, 1, 2 zu setzen. 

Da ferner fj Q, cp, K alle dieselbe Ordnung haben, so darf bei 
Ueberschiebungen von Pi*oducten mehrerer Factoren niemals beider- 
seits einer dieser Factoren erscheinen, da sonst ein zerfallender Term 
der üeberschiebung gebildet werden könnte, in dessen einem Factor 
nur eine üeberschiebung dieser Factoren aufträte. Ebenso wenig darf 
man eine einzelne jener vier Formen über ein Product schieben, 
welches eine derselben enthält. 

Es sind demnach erstlich die Ueberschiebungen der einzelnen 
Formen f, Q über 9), K zu bilden, und zwar immer mit Uebergehung 
solcher erster Ueberschiebungen, bei denen eine der Functionaldeter- 
minanten Q, K auftritt. So entstehen die folgenden Ueberschiebungen : 
f über cp, ein-, zwei- und dreimal; 
f über K, zwei- und dreimal; 
^ ^ Q über (p, zwei- und dreimal; 

Q über K, zwei- und dreimal. 

Ausser diesen sind dann nur noch Ueberschiebungen zu bilden, 
in denen einerseits eine Potenz von A oder V, andererseits /) Q oder 
q), K steht; und Ueberschiebungen von A über V. Potenzen und 



* Y»l. auch die Abh. des -Verfassers, Borchardt's Jounial Bd. 67, S. 360. 



22Ö Fünfter Abschnitt. Simultane 

Producte der f, Q oder der (p, K braucht mfin nicht über V oder V^ 
(bez. A oder A^) zu schieben^ weil dabei immer ein Factor V (bez. A) 
über einen der anderen Factoren allein geschoben werden könnte, 
also immer ein zerfallender Term herauskäme. Ebenso wenig hat 
man, da A und V gleiche Ordnung haben, Potenzen von A über 
Potenzen von V zu schieben. Den Formen (1) sind also nur noch 
folgende beizufügen: 

A über V, ein- und zweimal; 

/ über V, ein- und zweimal 

A über 9, ein- und zweimal 

Q über V, zweimal; 

(2) A über K, zweimal; 
f über V^, dreimal; 
Q über V^, dreimal; 
A^über ^, dreimal; 
A^über K, dreimal. 

Nimmt man die acht Formen 

(3) f, A, Q, E; cp, V, K, P 

hinzu, so hat man im Ganzen 29 Formen, aus denen das System 
besteht; darunter sind sieben Invarianten, acht lineare Co Varianten, 
sieben quadratische, sechs cubische und eine biquadratische. Nur 
eine dieser Formen wird sich als überflüssig erweisen; es ist diejenige 
quadratische Covariante, w^elche aus der zweiten Ueberschiebung von 
Q mit K entsteht. 

Um eine bequemere Uebersicht und Darstellung der aufgezählten 
Formen zu gewinnen, gehen wir von den drei quadratischen Cova- 
rianten 

A , Q = {aaf a^ «r ; V 

aus, wo, wie später immer, a (bez. h , c . . .) ein Symbol von /", a 
(bez. /3, 7...) ein Symbol von (p bezeichnet. Diese Formen ent 
stehen als Coefficienten der quadratischen Covariante des combinirten 
Ausdrucks 

so dass 

(4) A/-+;i^=A + 2A0 + A^V. 

Wenn man diese Form zweimal über ihre Grundform f-\-lcp 
schiebt, so entsteht nach der Theorie der cubischen Formen identisch 
Null ; und da die zweiten Ueberschiebungen von f mit A und von 
(p mit V aus demselben Grunde schon für sich verschwinden, so bleibt 
nur, und zwar für jeden Werth von A, die Gleichung: 

0=^/1 S(A«)2«.+ 2(0rO-a..! +/l-!(Vay^ «.. + 2(0«)^' c.,;. 



iTiiindfomien. — ij 61. ^t^ 

Für die beiden einfachsten linearen Covarianteu, welche durch 
die zweite Ueberschiebung von cp mit A und von f mit V entstehen, 
erhält man daher die doppelte Definition: 

,P^. p = (A «)2 «^ = — 2 (0 af a,r 

Die vier cubischen Covarianten, w^ eiche oben (ausser f und cp) 
auftreten, sind nichts anderes als die Functionaldeterminanten von f 
und cp gegen A und V. Die mit gebildeten lassen sich leicht 
durch andere Formen ausdrücken. 

Es ist ferner aus der Theorie der cubischen Formen bekannt, 
dass die Function 

die besondere Eigenschaft hat, dass 

(a A) aj Ay = (a A) a^ ay A^. 

Indem man sich dieser Eigenschaft bedient, kann man immer die 
mit Q und K auszuführenden Ueberschiebungen sofort durch Theile 
derselben ersetzen, und erhält mit Benutzung von (5) die folgenden 
quadratischen Covarianten : 

{a K)2 a^r Kr = («V) {aaY V,. a.^ = ^ {aaf V^ I (« V) a^- + (a V) aj 

+ i {aaf V^r J (ß V) a^- (a V) «^ I 

(« QJ «r Qx = (a A) {a «)- A^ «^ = I {a af A^, l {a A) a-, + (« A) a^ 1 

+ 4-(a«)-A^^ {(aA)c<:.^.- {ccA)aj:]. 

In diesen Formeln sind die ersten Theile nichts anderes, als die 
ersten Ueberschiebungen von mit V und A ; die letzten führen auf 
die Invariante 

(6) J={aaf, 

und man hat die Formeln: 

(a KY a, K. = (0 V) 0.. V, - ^ J V 
{aQYa,Q, = {QA)Q^rA, + \JA. 

An Stelle dieser Ueberschiebungen kann man also die ersten 
Ueberschiebungen von mit A und V zu Grunde legen; zu ihnen 
gruppirt sich die oben unter (2) erwähnte erste Ueberschiebung von 
A mit V. 

Die dritten Ueberschiebungen von f mit K und von cp mit Q 
werden sofort: 

J.= {aKf = (a aY {a V) {a V) = (0 V)^' 
^'^ S = {a Qf = {aaf (« A) (a A) = (0 A)^; 

sie sind die zweiten Ueberschiebungen von mit V und A, und 
ordnen ^ich daher den Invarianten 



224 Fünfter Abschnitt. Simultane 

(8) E = (AA')S P = (VV')S T={A^Y 

zu. Die zweite üeberschiebung von über sich selbst setzt sich aus 
T und J'^ zusammen. 

Die zweite Ueberschiebung von Q mit K ist, wie erwähnt, eine 
überflüssige Form. Sie hat den symbolischen Ausdruck 

{Q KY Q, K^ - {a A) (« V) {a af A^ V, 

= \{aaf A, V. i (a A) («V) + (« A) (aV) i 
+ ^{aaY A^ V^ I (a A) («V) - (aV) (a A) }. 

Der zweite Theil der rechten Seite wird \ J, multiplicirt mit der 
ersten Ueberschiebung von A und V; der erste ist 

(0 A) (0 V) A.. V, - i { (0 A)2 V/ + (0 V)'^ A,^ _ (^ v)^ 0/ \ , 

so dass in der That alles aus zerfallenden Gliedern besteht. 

Dagegen hat die dritte Ueberschiebung von Q mit K den Ausdruck 

{Q Kf = (a A) («V) {aaf (AV) 

= i (a af ( A V) I {a A) («V) + {a A) {a V) \ 
+ i{aay (A V) I (a A) («V) - (a V) (« A) } . 
= i(0A)(0V)(AV) + ie7T. 

Statt dieser Form kann man also die simultane InVariante 

(9) Q=:(0A)(0V)(AV) 

der quadratischen Formen 0, A, V zu Grunde legen. 

Es bleiben noch die linearen Covarianten zu behandeln, welche 
aus der zweiten Ueberschiebung von Q mit V und K mit A, sowie 
aus der dritten Ueberschiebung von /"oder Q über V^, und von cp oder 
K über A^ entstehen. Diese werden: 

(ö V)2 & = (a A) {aVy A. = (tt A) A.. 

(KA)2K. =:(fi:V)(a'A)2V.= 09V)V. 

(riV)^(aVOV'. =(7rV)V. 
^^^ {aAY{aA')A\r ={pA)A^ 

[Q^y (QV) V'. = (;r A) (AV) V. 
(KAy^(KAOA'^ =(j9V)(VA)A.. 

Das ganze Formensystem umfasst also nachfolgende Gebilde: 

1. Die Grundformen f, cpy nebst ihrer ersten und zwei- 
ten Ueberschiebung (4 Formen); 

2. die quadratischen Covarianten A, 0, V, die ersten 
Ueberschiebungen derselben unter einander, ihre zwei- 
ten Ueberschiebungen mit Ausnahme von (00')^ und ihre 
simultane Invariante (12 Formen); 

3. die ersten Ueberschiebungen von f und q) über A 
und V (4 Formen); 



Grundformen. — $ 61. 



225 



Q' = i 



4. acht lineare Co Varianten, nämlich p und jt, sowie 
die Ueberschiebiingen derselben mit A, V und die beiden 
Ueberschiebungen von einer der letzten mit A und einer 
anderen mit V. 

Unter den sieben Invarianten sind zwei von ungeradem Charak- 
ter, nämlich J und Q. Man kann die sämmtlichen zwischen den 
sieben Invarianten stattfindenden Beziehungen dadurch bilden, dass 
mau J . Q und Q- durch die Invarianten geraden Charakters (zu denen 
auch noch J^ zu rechnen ist) ausdrückt. 

Nach der Formel (5) des § 58. ist 

(AA'f (A0)2 (AV)2 

(A0y^ (0 0')- (0V)2 

(AV)^' (0V)^ (VV)' 

Da alle anderen Elemente dieser Determinante schon bekannt 
sind, so bleibt nur noch (0 0')- zu bilden. Es ist 

(9 0')-^ = l (a uf {bßY\{ab){aß) + {a ß) (« h) j 

= {aay (bßf (ab) (aß) - i {aay {bßf | {ab) {aß) - (aß) (ab) i 
^{aaf{bßy{ab){aß)-~iJ-^. 

Im ersten Theile rechts vertauscht man a mit b und erhält: 

i [{a af (& ß)^ - {a ßf {b af] la b) {aß) 
= i[{aa) {bß) +{aß){ba)-]{ab)'(aßy={A^y. 

Es wird also endlich 

(11) (00'/ = (AV)^-iJ^=r-4J-^', 
und damit der Ausdruck für Q-: 

BS T 

(12) ^" = ^ S T-^J' I 

T I P 

Den Ausdruck von Q, J nebst einer Zahl anderweitiger später 
zu benutzender Bestimmungen erhält man aus der Gleichung (22) 
des § 58. Diese Gleichung sagt aus, dass die Determinante aus den 
zweiten Ueberschiebungen zweier Systeme von je vier quadratischen 
Formen immer verschwindet, 
betrachte ich die Ausdrücke 

A, 0, V, 

als das andere System: 

A, 0, V, Ti'bJ'h-^ + X'ßJß^.. 

Die Elemente der verschwindenden Determinante sind erstlich die 
der Determinante (12); diese Determinante aber wird gerändert mit 

Clebsch, Theorie der binären algebr. Formen. ii> 



Als ein System dieser Functionen 
3f ciJ ay-)r l aj' a,j , 



226 



Fünfter Abschnitt. Simultane 



den zweiten Ueberschiebungen von A, 0, V mit n aj' üy + la/ ccy 
und a' hx^ hz + A' ßj ß^ , und endlich erscheint die zweite üeber- 
schiebung der letztgenannten beiden Formen in der Ecke. Die Ele- 
mente des einen Randes werden also 

K (A aY ay-\-l{/S. af ccy = Xpy 

% (0 ay üy + A (0 af «y = — |- {x py -\~ 2.7Cy) 

% (V af Oy + A (V ay Ky = }c7ty, 

während die des anderen aus diesen erhalten werden, indem man x, V 
an Stelle von ;c, A und die an Stelle der y setzt. Das Element der 
Ecke aber wird 



XX {ahf üy 6^ + jc A' {aßY ay ß^ + >c'A {ahf ay h.,->tXk' (aßf Uy ß^ 



oder 



= xz {ahy üy h, + "^^L+J^ i^aßf {üy ß, + a, ßy) + W {aßf ay ß, 



yA'-xk 



{aßY{ayß.^-a.ßy) 



XV! t^yt^Z 



+ (%r + z'A)0 ^0,4.AA' V, V. +^^-^^V^^- (^^)- 



Sondert man das hiervon herrührende Glied der verschwindenden 
Determinante ab, so erhält man die gesuchte Gleichung nunmehr in 
folgender Form: 

(13) 2Q2 L;('A^A,-l-(;^r+;c'A)0^0, + AA'V,,V. + '^^^^^J.(2/^)} 



B, S T Xpy 

S T-\J^ T -^(y,pyJ^XTty) 

TZ ? X%y 

^'Pz —Ü^'Pz + X'tC:,) X7l^ 

Auf beide Seiten dieser Gleichung, welche für alle Werthe von 
Xy A, x'y l' bestehen muss, wende ich jetzt die Operation an: 

0^ _ c^ 
dx dX' dx dX' 
Es ergiebt sich dann: 

(14) 2Q^ J.(2/«)=j - (si- JH ^') + H^P-2'')j(Ä'^=-l'' «.)• 

Auf der rechten Seite wird 

Py itz—pz Tty = (p7t) {ys) , 

so dass der Factor {yz) beiderseits ausgelassen werden kann; ferner 
aber ist mit Benutzung der Ausdrücke (5) : 



Grundformen. 



61. 



22' 



= -{aß)l{A af (0 ßf - (A ßf (0 a)' \ 
=^-{aßY (A0) I (A«) (0^) + (A/3) (0«) \ 
= -2(A0)(AV)(0V), 
also nach (9): 

(15) {pn)=:2Q. 

In Folge dessen geht aus (14) sofort die gesuchte Relation hervor: 

(16) -AJQ = ASY-?jT^-\-2TJ'-RP. 

Obwohl nun durch die Gleichungen (12), (16) die Invarianten- 
relationen gegeben sind, so ist es doch von Wichtigkeit, den Inhalt 
der Gleichung (13) weiter zu entwickeln. Setzen wir in derselben 
überall x an Stelle von ^j und ^, und zugleich k~x^ X — )., so geht 
jene Gleichung in folgende über: 

VR S T kp j 

(l7)2Q^};c^A4-2x/l0 + A^Vj=-:J J~*^' ^ -J (^i^ + A tt) | ^ 

\^P —i{y'P + ^^) J«?r ! 

Wenn man nun der Kürze wegen für die Unterdeterminanten von 

BS T 

S T-^J-' Ij 
T I " P 



08) 
die Bezeichnungen einführt: 

(19) 



U,,= PT-T'-^J'P, U.., = ST-BT 

ü,, = RP-T', ü,, = ST-r' + iJ-'T 



so nimmt (17) geordnet die Form an: 

2Q^x'A-\-2kXQ + 1-''7)=:1'P-'L\, + i^^±^'^- U,^ x' it^ U,, 
— ?.p {zp -f- 1 7t) U^., — TiTC [Kp + A Tt) Uoo -\-2 xXpn f7j3 . 

Vergleicht man daher beiderseits die Coefficieuten von x-, y.k, A^, 
so erhält man: 

2Q-^A 



U. 



P~ — C^23 P^-\- U...^ n- 



(20) 



4Q--'0=~jr,,i>-^-(2tr,3 + ^jp;r+^',3;r^j 



2ü-'V=U,,p'-ü,,p7t+^^' 71-'. 



15= 



228 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Man hat liier A, 0, V durch p und 7t ausgedrückt; aber eben 
dies kann man noch auf eine andere Weise erreichen, indem man 
nämlieh die symbolischen Ausdrücke A^'^, 0/, V.^^ mit {pitf multipli- 
cirt und dann jedesmal die Identität 1. des § 15. anwendet. Es wird 
dann, mit Rücksicht auf (15): 

4 Q2 A = (A Tifp^ - 2 (A :r) (A_p) 7tp + (Ap)^ ti" 

(21) 4 Q^ - (0 Tlfp^ - 2 (0 TT) (0 p) 7t p + {ßpf Tt"- 

4 Q2 V = (V Ttfp^ - 2 (V TT) (Vi?) 7t p + {Vpf 71^, 

und indem man diese Gleichungen mit den Gleichungen (20) vergleicht, 
erhält man die Ausdrücke für die neun auf der rechten Seite von (21) 
befindlichen Invarianten , nämlich : 



(A;r7= ^ 


(A^)(Ai)) = 


Un 


{22){ßny=.-U,, 


(e^)(0i,)=- 


-u,. 


{Vny= 2 ?7„ 


{Vn)(Vp) = - 


-u,. 



{ApY= 2 U, 



33 



4 



{Qpf = -U, 



23 



22 ^^ .jjj~ = _ 



Die Invarianten, welche hier auf die fundamentalen zurück- 
geführt sind, enthalten zugleich die einfacheren unter den Determi- 
nanten, welche man aus den acht linearen Covarianten (5), (10) bilden 
kann. Wir werden auf diese später zurückkommen. Die Gleichung (16) 
aber geht mit Hilfe der Bezeichnungen (19) in die einfachere Ge- 
stalt über: 
(23) AJQ=U,,-AU,,. 



§ C2. Die Reduction des elliptischen Integrals erster Gattung auf die 

Normalform. 

Ich gebe hier als Anhang die Anwendung der Theorie der binären 
Formen auf die Aufgabe, ein elliptisches Integral erster Gattung auf 
die Normalform zurückzuführen; eine Anwendung, welche theils von 
der Theorie der biquadratischen Formen, theils von der Theorie der 
simultanen quadratischen Formen Gebrauch macht. 

Die Aufgabe ist folgende: 

Das Integral 

dx 

in welchem X eine Function vierten Grades von x 
mit reellen Coefficienten ist, und in welchem x ein 



/^ 



Grundformen. — §§ 61, 62. 229 

Intervall reeller Werthe stetig durchläuft, inner- 
halb dessen j/X stets reell ist, soll in das Integral 

c - 



■Jv,.i 



A—K^ 



übergeführt werden, in welchem C ei^ne reelle Con- 
stante, x~ eine positive Constante, welche kleiner 
als 1, bedeutet, und eine reelle positive Ver- 
änderliche, welche sich in dem Intervalle bis 1 
bewegt. 

Setzt man -^ im x, -^ für s, so ist die zu erzielende Gleichung 

2 ^2 

f 1 ) rx^dx^ — x^ dx^ _ ^ r z.^ds^ — z^d 2.^ 

wo 

f{x^, x2) = Xo-^. X 

eine Form vierter Ordnung ist. 

1. Sind die linearen Factoren von / reell*, und sind der Grösse 
nach geordnet 

(2) ^ = «, ß, Y, S 

die Wurzeln von /*=0, so ist die Aufgabe lösbar durch eine lineare 

X z 

Beziehung zwischen -^ und — , also durch eine lineare Transformation. 

X2 Z.2 

Es müssen dann die Elemente (2) den Elementen 

(3) 0, 1, i, 00 

in irgend einer cyklischen Vertauschung und ent\veder in directer 
oder umgekehrter Folge projectivisch entsprechen, und zwar den Ele- 
menten und 1 der Reihe (3) die Endpunkte des Intervalles, in 

X 

welchem x = — sich befindet. 

Da y f reell sein soll, so muss, wenn der Coefficient von x^^ 

X 

positiv ist, — zwischen ß und y oder in dem Intervall ^ . . . + 00 ...a 
X2 

liegen j wenn der Coefficient von x^^ negativ ist, zwischen a und /3, 

oder zwischen y und ö. 



* Vgl. Richelot in Crelle's Journal, Bd. 34, und Durege, Theorie der 
elliptischen Functionen. 



230 



Fünfter Abschnitt. — Simultane 



Es ergeben sich also folgende acht verschiedene Fälle des pro- 
jectivischen Entsprechens : 

0... z... l, -., GO. 



X wächst mit z 



X wächst, wäh- 
rend z abnimmt 



[1. y 

2. a 

3. ß 
4 8 

5. ß 

0. Ö 

7. a 

[8. y 



ß, a, 8\ der Coefficient von x^^ 

^; 7j ß\ positiv, 

^^ y ^ j ?\ ^^^ Coefficient von x^'^ 

y, ß, aj negativ, 



7. 
a, 

ß, 



d , a\ der Coefficient von x^^ 

ß, yj positiv, 

y, d} der Coefficient von x^^ 

a, ß] 



negativ. 



Indem man das Doppelverhältniss von 0, ^, 1, oo mit dem der 
jedesmal entsprechenden Elemente vergleicht, erhält man für z in 
den verschiedenen Fällen folgende Ausdrücke: 



1. 



(4) 



x — y ß~ö 

y 

■a 

ß' 



x — d 
x-ß 



a y- 



6. 



X — y 



a 8-ß 
ß ' 8-a' 
8 a — y 



D. 



7. 



x — y a — ß' 
X — a ß — 8 
x'^8' ß'^a' 



X— 8 



a 



x — a y — o' 
x — y 8 — ß 
x~ß 8—y 



Da ferner ^ = -^ für den jedesmal in dem Ausdrucke von z nicht 
auftretendeu der Werthe «, ß, y, 8 wird, so hat man 
a-8 .ß 

(5) 



Jf'= ^-^ — ^ in den Fällen 1., 2., 5., 6. 

a — y.ß — 8 ' ^ ^ 



ß.y-8 ^ 



y.ß~8 



in den Fällen 3., 4., 7., 8. 



Diese Werthe von z'^ werden, wenn man die positiven Differenzen 
fy- — ß, ß — y, y — 8 durch p, g, r bezeichnet: 

q(p + q + r) ^^^^ pr 

iP + q){r+q} ip + q){r + q)' 

also wirklich positiv und kleiner als 1 ; ihre Summe ist gleich 1 ; es 
sind zwei der aus den vier Elementen a, ß, y , 8 zu. bildenden Doppel- 
verhältnisse, also Wurzeln der Gleichung § 50. (1). 

Bezeichnen wir den absoluten Werth des Coefficienten von x^^ 
durch a, und betrachten wir die Quadratwurzeln in (1) sowie die 
Quadratwurzeln in den folgenden Formeln stets als positiv, so 
haben wir 



Grundformen. — § 62. 231 

C= -^. ^ J in den Fällen 1., 2., 3., 4. 

(63 Va j/a-y.ß-d 

C= L- ^ in den Fällen 5., 6., 7., 8. 

Ya j/a-y.ß-d ' ' 

Um diese Formeln abzuleiten, brauchen wir nur in (1) X2 = e zu 
setzen, durch s beiderseits zu dividiren und dann e verschwinden zu 
lassen. 

2. Auf diesen Fall können wir alle übrigen folgendermassen 
zurückführen. 

Wir haben in § 47. gesehen, wie eine biquadratische Form /* stets 
in reeller Weise in zwei quadratische Factoren zerlegt werden kann, 
was denn bei der Existenz von vier reellen Wurzeln auf drei Arten, 
in den übrigen Fällen nur auf eine Art geschehen kann. Sei also: 

(7) f=P.Q- 

Nun können wir nach § 57. P und Q durch eine gemeinsame 
lineare Substitution in Aggregate von Quadraten verwandeln. Da 
aber es sich hier darum handelt, dass alles reell werde, so setzen 
wir, etwas abweichend von den Gleichungen (5) des § 57. : 

(8) P+^Q = si' 

WO e und s' gleich i 1. Es sind dann A und A' die Wurzeln der 
quadratischen Gleichung, welche entsteht, indem man die Discrimi- 
nante von P-\-XQ verschwinden lässt, also, nach den Bezeichnungen 
des § 58.: 

(9j D,, + 2XD,, + X'D,, = 0. 

Sind die Wurzeln dieser Gleichung reell, so kann man s und s 
immer so wählen, dass auch h, und rj reell werden, und man hat dann 



P= 




(10) 



(11) ^=__^^^j,g2_,'^2jj,^'^_,'AT?2j 



Es entsteht also nur die Frage, ob man es immer so einrichten 
kann, dass die Wurzeln der Gleichung (9) reell werden oder dass 

(12) D\,-B,,B,,>0. 

Dieses unterliegt zunächst keinem Zweifel, wenn f—O zwei reelle 
und zwei imaginäre Wurzeln hat ; in diesem Falle hat eine der Formen 



232 Fünfter Abschnitt. — Simultane 

Fj Q reelle, die andere imaginäre Factoren, daher ist von den Grössen 
D^j, D22 eine positiv, die andere negativ, also die Ungleichung (12) 
erfüllt, weil links nur positive Glieder stehen. 

Hat / = lauter imaginäre Wurzeln, so kann man, abgesehen 
von einem constanten Factor, der links in (12) quadratisch auftritt 
und daher das Vorzeichen nicht ändert, immer annehmen, dass sowohl 
P als Q stets positiv seien;, man kann also die Coefficienten dieser 
Formen durch 

1, p^cosa^, _pi^ 

1, p.,cosa.^, p.^\ 
bezeichnen, und erhält: 
D^^ — D^^ D.22 = {p^^ + JPa^ ~ '^PiP2 ^^^ ^1 ^^^ ^iY ~ ^'Pi vi ^^'^^^ ^1 ^^'^^^ ^2 

also positiv, da beide Factoren dieses Ausdrucks positiv sind. 

Sind endlich alle Wurzeln von /'= reell, etwa cc, ß, y, d, so 
kann man, abgesehen von einem constanten Factor, der in (12) nur 
quadratisch auftritt und also an dem Vorzeichen der linken Seite 
nichts ändert, die Coefficienten von P und Q durch 

1, -"-^^ «^ 

bezeichnen, und hat also 

= (r-ß)(S-a){y-a){ö-ß}. 

Dies ist positiv, wenn y und d beide kleiner oder beide grösser 
als a, ß sind; der Ausdruck ist aber auch positiv, wenn die Elemente 
eines dieser Paare zwischen denen des anderen liegen. Negativ ist 
der Ausdruck nur, wenn die Paare a, ß und y, d verschränkt liegen. 
Für zwei der drei Zerlegungen von f in quadratische Factoren besteht 
also die Ungleichung (12) auch in diesem Falle. 

Wir haben also gezeigt, wie in reeller Weise f in die Form (11) 
gebracht werden kann. Da nun 

(x^dx^^ — x.^ dx^) (^Tj) = 7jdl — h, dfjy 
so wird 

rjd^— ^drj 



rdx _ 1 /^ 



(f !'■' — gS;^) I f l' ^' — s'i. n' 
oder wenn man 



Grunclfoi-men. — § 62. 233 



1: 



setzt : 




dy 



Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen reclits verschwindet nun 
für die reellen Werthe 

(), CO , SS f ^f T?? 

und die Aufgabe ist also auf den zuerst behandelten Fall zurück- 
geführt, wobei noch die wesentliche Einschränkung hinzutritt, dass 
y hier eine wesentlich positive Veränderliche ist, und dass daher einige 
der oben angeführten Fälle hier nicht eintreten können. 

3. Man kann aber auch zunächst das Integral so umformen*, dass 
nur noch die Invarianten / und j in den Coefficienten der VVurzel- 
grösse auftreten, und dass zugleich unter der Quadratwurzel ein Aus- 
druck nur dritten Grades auftritt, dessen erster Coefficient positiv ist. 
Multiplicirt man Zähler und Nenner unter dem Integralzeichen mit 

dJId£_d£dH 

dx^ dx.^ dx^ c x^ 
so geht das Integral in 



-16T, 



rfdH-Hdf^ , p fd H-Hdf 



über, oder, wenn man 

R 

setzt, iu 



I r '*i 



i) 



ein Integral, was man nun wieder nach den oben entwickelten Regelu 
behandeln kann. 

Die Grenzen der Intervalle, innerhalb deren sich s bewegt, sind 
durch die Wurzeln der Gleichung 

gegeben, die entsprechenden Werthe von x also durch die reellen 

Wurzeln der Gleichungen 

_______ g> = 0, i/; = 0, x = 0. 

* Vgl. Her mite in Crclies Journal, Bd. 52. 



234 Fünfter Abschnitt. Simultane 

§ 63. Ein Problem, welches dem Problem der Wendepunkte einer Curve 

dritter Ordnuög entspricht. Aufstellung: einer Grleichung neunten Grades, 

Yon welcher dasselbe abhängt. 

Als Anwendung der simultanen Theorie einer cubisclien und einer 
quadratischen Form will ich hier ein Problem behandeln, auf welches 
man das Problem der Wendepunkte einer Curve dritter Ordnung 
zurückfuhren kann. Dieses Problem lautet folgendermassen : 

Sind a, h, c drei gegebene Formen bez. erster, 
zweiter und dritter Ordnung, so soll eine lineare 
Form ^ gefunden werden, so dass 

^^ + 3 a r + 3 & g + c 
ein vollständiger Cubus wird.* 

Um die Aufgabe zu vereinfachen, kann man zunächst h,-{-a an 
Stelle von ^ als die unbekannte lineare Form betrachten, und bezeichnet 
man diese wieder durch §, so kann man dem Problem die Form geben: 

(1) i'>-Sfi + 2<p^-ri\ 

WO f jetzt eine gegebene Form zweiter Ordnung, q) eine solche dritter 
Ordnung ist, rj eine ebenfalls unbekannte lineare Form, welche aber, 
da nur ihr Cubus vorkommt, der Natur der Sache nach nur bis auf 
eine dritte Wurzel der Einheit bestimmt sein kann. 

Das in der Gleichung (1) enthaltene Problem führt auf eine 
Gleichung neunten Grades, die man in folgender Weise aufstellen 
kann. Multipliciren wir die Gleichung (1) rechts und links mit (| i^)^, 
und berücksichtigen wir, dass: 

so verwandelt sich die Gleichung (1) in: 
(2) S^St?)^- 3 1(^7?) j(a7?)|-(a?)7?P + 2 }(«>?) !-(«£) ^P = ^'(N)'- 
Diese Gleichung muss unabhängig von denWerthen der Veränder- 
lichen I, r^ bestehen, und kann daher in die folgenden vier zerlegt 
werden: 



* Aufstellung und Behandlung dieses Problems gab ich im vierzehnten Band 
der Abb. der kgl. Ges. zu Göttingen. Es mag hierbei zugleich erwähnt werden, 
dass ähnlich das Problem der Doppeltangenten einer Curve vierter Ordnung die 
Form annimmt: 

Sind a, b, c, d gegebene Formen bez. erster, zweiter, 
dritter und vierter Ordnung, so soll eine lineare Function 
I so bestimmt werden, dass der Ausdruck 

ein vollständiges Quadrat wird. 



Grundformen. — § 63. 235 

... 2{ccrjY{ai) = 2ari){arj){a^) 

2(«?)3 ^-arif. 

Nun kann man aus der dritten dieser Gleichungen, welche die rj 
linear enthält, die Verhältnisse der rj ausdrücken; man findet dann: 

WO ü ein unbestimmter Factor. Es folgt daraus 

(5) x{iri) = -2ialf = -2<p{i) 

und indem man dies in die letzte Gleichung (3) einführt: 

(6) j<' = 4 9,^'(|). 

Setzt man dagegen die Ausdrücke (4) in die ersten beiden Gleichungen 
(3) ein, so erhält man zwei Gleichungen für 5i, I2? welche für diese 
Grössen nicht homogen sind, und aus welchen sich eine für dieselben 
homogene Gleichung herstellen lässt, die gesuchte Gleichung neunten 
Grades. 

Multiplicirt man die genannten Gleichungen mit ^^ und — rjjc, 
so kann man sie beide durch die Summe derselben ersetzen, wenn 
man die neue Gleichung für alle Werthe von x^, x., bestehen lässt^ 
Diese Combination wird durch {^rj) theilbar, und es bleibt: 

(7) 2(,cc,,ya, = 3iariy l, - 2 («. ,,) (a ?) ^« - (| .j)^ 5.- 

Hier wollen wir nun die Werthe der ij aus (4) einführen. Es 
ergiebt sich 

«(a^)(a?) = 2 (ffl«) («D^ («5) -/■(?) . (air- 

«2 (a rjf = 4 (a a) (« ß) (« ^f {ß if - 4 f (?) . (« a) (a^Y (a S) 

(8) +P(?).(a|)^ 

x' («# «, = 4 (aß) {af) (ßiy (y^y Ur -Af{i) . (aß) (ß^Y («g) «. 

Bezeichnet man durch /', cp etc. die betreffenden Formen, wenn 
darin Xi = h,.2, x.2 = — ^i gesetzt wird, so werden die in diesen Formeln 
vorkommenden Ausdrücke (vgl. § 59.): 

(ag)2 = /-, icc^y^cpy (aa) (a^) {cc^y = ^ 

(aa) (aß) {a^Y (ß^Y =i{^& (ß^) l {accY [ß^Y + i^ßY {a^Y-ic^ßf («i)"! 
=p(p-^Af 

{aß) (^g)H«l) cc. =ii^ß) («S) ißi) \(ß^) ^^'.r- («D ßsl 
= -i{aßY{cci)ißi)ir = -iA^. 

{aß){ay){ß^Yiy^y^^==Uß^)ir^)f^:^'\{f^ßyiyif+i^rYiß^)'-ißy)'(<^m 



236 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Daher hat man aus (8): 

y^ {ayif a, = 4 9 (A ^) A^ - 2 A (c. If «. + 2 fA t, + P {^al^ ^. . 

Die Gleichung (7) verwandelt sich nun in folgende: 

8(p.(A§)A.-4A.(«|)^a.. + 4/'AL + 2/'-'(r4)^«. 

= 3(4i9 9.-2A^-4/'^+/'3)g,-2(2^-/'^)[2(«g)■^«^-/:y-4 9^?, 

oder in: 

(9) = 8g)(A|)A. + («|)2«,(8^-4A-2n 

+ t, (10 /'A + 8 /■'^ - 12^9 9^-^ + 4 9)2). 

Ich setze hierin erstlich x^^=%.^^ ^2~~^i5 ^i® giebt dann 

(10) 0=4^ + 2A-/-2. 

Benutzt man aber diese Gleichung, so werden die ersten beiden 
der drei Glieder von (9): 

8 9.!(Ag)A,-A.(«?)2a,j 
= 8(«?)'^(AS)i(«|)A.-(Aöa,! 
= 8(a?)2(A?)(o:A).i. = 8Ö.5.. 

Daher wird nunmehr (9) durch Jj; theilbar, und es bleibt: 

(11) 0-=8 g+10/'A + 8/''0'~12jp9)-/'3 + 4g)l 

Aus den Gleichungen (11), \\2) ist nun eine Gleichung zu bilden, 
welche für die % homogen ist. Um die Ordnung der verschiedenen 
Glieder kenntlich zu machen, führe ich eine Grösse X ein, deren 
Werth 1 ist, und mache in Bezug auf ^^, J^, X die Gleichungen (10), 
(11) homogen. Sie lauten dann: 

= 2A/l2 + 4^A-/'2 
^^^^ = 8 g A'> + (lO/^A - 12i) g)) ^2 + 8 /-^ A + (4 9)2 _ p) ; 

an Stelle der letzteren kann man mit Benutzung der ersten auch 
setzen : 

(13) = 8 ö A3 + 6 (/'A-2i99)) A^ + 4 ^y'-^p. 

Aus dieser und der ersten Gleichung (12) ist A zu eliminiren. 
Wir haben hier zwei Formen bez. zweiter und dritter Ordnung vor uns : 
^*=2AA2 + 40'A-/'2 
^^^^ V = 8 § A^ + 6 (/"A- 2^9^)) A2 + (49)2+y-3)^ 

in denen A die Veränderliche vertritt, und deren Resultante gebildet 
werden soll. Bilden wir diese nach § 59.: 

(15) F^^,-2I)uE,,,,^0, 



Grundtbi-men. — § 6^. 237 

SO erhalten wir eine Gleichung, welche, wie man leicht sieht, von der 
Ordnung 18 in den ^ ist. Aber man kann zeigen, dass sie den über- 
flüssigen Factor g)^ enthält, und also nach dessen Auslassung in die 
gesuchte Gleichung neunten Grades übergeht. 
Zunächst ist aus (14): 

aber nach § 35. (10): 

daher : 

(16) l),, = Acp{D(p-2pf). 

Ferner ist 

A,, = -8(fA-2pcpy-X' + 4{AQX+fA-2pcp){A(p'-^P), 

daher, wenn man X'^, A, 1 durch —P, — 2d', 2A ersetzt: 

K ,v = Sp {fA-2pq)f + 8 (4g)2+f ) {l^^f--2p(pA-4.Q?f). 

Bildet man nun das Product Q . ^ zweier Functioualdeterminanteu 
nach § 35. (11), so hat man: 

Q^ = l,{A^f-Apcp-^cp^E\ 
also 

(17) E„^,= \Qcp\2P(piß-2PpA-2cpfA^-4q)^E-PffE\. 
Endlich ist 

{l8)Pu,v = 2A{A(p^-^P)-%^{fA-2pcp)l-P[8QlJt2{fA-2p(p)\. 

Aber da ^, Q, Q. die aus f,(p,A gebildeten Functionaldetermi- 
nanten sind: 

d' = {aa)a,^^ajj Q={aA)aJ A^;, Q=(aA)«.^A^, 

so hat man 

^A + Qf-Qcp = 0, 

und indem man den hieraus folgenden Ausdruck von d^ A + Qf in (18) 
einführt : 

(19) p>^,. = 4.g){2k{2p^-fQ) + {2A(p+pP)\. 
Demnach wird 

(20) F,,, , = 32 cp'^\Ai2A(p-j-pPf -4.^(2 A(p-\-pP)[2p^-fQ) 

-2Pi2pd'-'fQy\. 

Die Ausdrücke (16), (17i, (20) zeigen, dass aus der Gleichung (15) 
der überflüssige Factor 32 q)^ ausgelassen werden kann ; sie bleibt dann 
von der zwölften Ordnung. 

Die so reducirte Gleichung 

(21) A {2A(p+pPf-4 ^ {2A(p+pP) (2p.^-fQ) -2p {2p^--fQy 
_ 4 ^D(p-2pf)[2p(pp^-2P'pA-2(pfA^-4rcp^E-P(pE) = 



238 Fünfter Abschnitt. Simultane 

erlaubt nun nochmals den Factor cp auszuscheiden, wodurch dann nur 
eine Gleichung neunten Grades übrig bleibt. Um dies einzusehen, 
übergehe ich in (21) alle mit cp multiplicirten Glieder ; es bleibt dann 

P \- 15 Ap' P-4 d^p {2p&-fQ) - 2 {2pd'-fQf\. 

Der Ausdruck, welcher hier in der Klammer steht, ist durch q) 
theilbar. Wenn wir die Glieder mit (p übergehen, so können wir O-^ 
durch — \AP ersetzen-, ebenso, da nach § 35. (11) 

d-Q^-i{D(pA-Efcp-pfA) 

gefunden wird, ersetzt man dann d'Q durch ^ \^ . Der obige Aus- 
druck verwandelt sich daher in 

-f^{Ap^+Q^). 

Dass dieser Ausdruck durch q) theilbar ist, beruht auf einer anderen 
Darstellungsweise der Form Q, indem 

Q = (a A) aj; A^r = {aßf {aa) a^^ ß^, = {aß) (aa) ß^ \{aß) a^ — {aa) ßa:\j 

oder, da der erste Theil rechts durch Vertauschung von a und ß sein 
Zeichen ändert und demnach identisch verschwindet: 

Q = (^p)/5/. 
Man hat daher 

Q^ — 9 . «^ [apY 

- - i I «/ . ^. {ßpf - 2 «/ {ap) ßj {ßp) + ßj . a, [apY I 

= -i(^.ßa: [«. ißp) - ß. {Ccp)f = - i (« ßf ar ß. • p' 

A p^ 
und es ist daher Q^ -\ — ~- durch cp theilbar, was zu beweisen war. 

Man kann also wirklich (21) durch Division mit cp auf eine 
Gleichung neunten Grades zurückführen, und zwar ist mit Hilfe der 
eben angegebenen Formeln die Ausführung ohne Schwierigkeit. 

Dass die Gleichung neunten Grades 



cp^ 







nicht weiter reducirt werden kann, wird das Folgende lehren, während 
zugleich der besondere Charakter der Gleichung neunten Grades her- 
vortritt. 



§ 64. Crruppirung der Wurzeln der Gleichungr neunten Grades gegen 

eine derselben. 

Ich nehme jetzt eine der Lösungen des Problems als bekannt an 
und untersuche, wie die übrigen Lösungen zu dieser sich verhalten. 
Die bekannte Lösung sei durch die linearen Formen 5; ^ gegeben; 



C^rundformen. — §§ 63, 64. 239 

^', Y] seien die entsprechenden für eine andere Lösung. Man hat 
dann gleichzeitig 

(die Formen werden jetzt wieder mit den Argumenten x^, x.^ geschrie- 
ben gedacht). Eliminiren wir (p, indem wir diese Form als durch die 
erste Gleichung (1) definirt ansehen, so haben wir: 

(2) o=3ns-r)-(r-n+tf->?^ 

Es folgt hieraus, dass der lineare Factor ^ — |' auch in i]^ — rj'^, 
also in einem der Factoren 

V - V, n - f n, n- ^' n 

enthalten sein muss, wo 8 eine imaginäre dritte Wurzel aus (1) be- 
deutet. In welchem dieser drei Factoren man | — J' enthalten an- 
nimmt, ist gleichgiltig, vielmehr wird erst, wenn man darüber ver- 
fügt, ?^' vollständig bestimmt, während sonst nur sein Cubus bestimmt 
ist. Sei also e eine der Grössen 1, £, £^, sei m eine Constante, und 

(3) ^_| = ,„(|_|'). 

Man kann dann eine lineare Form z einführen, so dass 

(4) ^;=^+^ 

r] =e{rj -\-m z). 

Setzt man diese Ausdrücke in (2) ein, so kann man durch z 
dividiren, und es bleibt die Gleichung: 

(5) 3 /" = 3 (^' - m rf) + 3 (? - m^ ri)z + i\- m^) z\ 

Es ist nun m so zu bestimmen, dass dieser Gleichung durch 
eine lineare Form z genügt wird. Dazu ist nöthig, dass, wenn man 
die in z quadratische Gleichung (5) nach z auflöst: 

^^^ "~ 2 1 - m^ 

wo 

1 — m^ 

(7) t' = -~^ (/"-?' + m. ri') + i (? - m' r]Y , 

^ eine lineare Form, also der rechte Theil der Gleichung (7) ein 
vollständiges Quadrat werde. Die Grösse m muss also so bestimmt 
werden, dass die Discriminante des Ausdrucks rechts , in (7) ver- 
schwinde. Da ^^ aus zwei Theilen besteht, deren zweiter ein Quadrat 
ist, so zerfällt diese Discriminante in zwei Glieder: 



240 Fünfter Abschnitt. Simultane 

wo D' die Invariante der Form f—^^-\-mrf, D" die simultane dieser 
Form und der Form {^ — m^rj)" ist. Bezeichnet man durch K, L, M 
die drei Ausdrücke 

(8) K=={alf, L = {al){ari), M={arif, 

so wird 

n' = D-2 (K-mM) - 2m {^rjY 
I)"=K-2 m^ L + m^ M+ m (1 - m^) {i,rif. 

Uebergeht man also den überflüssigen Factor 1 — m"^, so wird die 
Gleichung^ welche zur Bestimmung von 7n führt: 

1 /M7'^ 

(9) 0= — g^- [D -2K^2mM- ^ m {Irif] + \{K-2Lm^^Mm% 

Sie ist vom vierten Grade; aber jedem m entsprechen nach (6) 
zwei verschiedene ^, und also auch nach (4) zwei verschiedene ^. Man 
findet also wirklich zu jeder gegebenen Lösung acht andere, so dass 
im Ganzen neun Lösungen existiren müssen; sodann aber ergeben die 
obigen Betrachtungen den Satz: 

In Bezug auf jede Lösung der Gleichung neun- 
ten Grades gruppiren sich die übrigen in vier Paare, 
welche mi-ttelst einer biquadratischen Gleichung 
aus derselben gefunden werden. 
Aber auch diese biquadratische Gleichung hat noch eine specielle 
Eigenschaft. Ordnet man (9) nach Potenzen von m, so erhält man: 

+ 4[ilf-l(g7?)Tm + (2i)-Ä0 = 0; 
daher ist die erste Invariante der Gleichung: 

^=:2 j[(gi?)2-ilf](2Z)-^)-[4ilf-(?#j(^-:J) + 3L4 

= ^ D {irif - QiKM- U). 
Es ist aber 

2 {KM- L') = {a ^Y {h riY - 2 (a ?) {a if) . (?> l) (1> rj) + {h ^f {a nf 
= \{al){hyi)-{bl){ari)\:' 

= {abf{ivY = DanY', 

daher i = 0. 

Die erste Invariante der Gleichung (9) ver- 
schwindet. 
Wendet man nun auf eine Gleichung 

am^ + 4h m^ -f Gctn- + 4 dm -\-e = 
die lineare Substitution 



Grundformen. — § 64. 241 

(10) am = '- h — a 

an, so geht dieselbe in die Form 

( 11 J o^ + (jao--\-4ßa + y=^() 

über; da aber / = 0^ so wird 

(12) ,. = -3«% 

und die Werthe von a, ß sind: 

Im vorliegenden Falle wird die lineare Substitution (10): 

(14) _äl^~'' 

und die Coeffieienten der transformirten Gleichung sind: 

« = -i[(l#-j/]-(ü:-fY 

|5 = - 3 i [(I nY - M^ {k- ^ j -[M-\ (I nf] [(I nf - mj 



-2{k-§ 



Diese Coeffieienten lassen sich durch die simul- 
tanen Invarianten von /"und cp allein ausdrücken. 
Wenn man nämlich in dem Ausdrucke 

f. a riY- = aj (? .if = [(« i)ri-{a »;) |]^' 
die Ausdrücke (8) einführt, so hat man 

(16) f.a,]f=^K,i''-2L^^>i + iM^'-, 

daher auch 

Bildet man nun an diesen Darstellungen die Covarianten und 
Invarianten von f uud cp, so hat man zunächst wieder die schon oben 
abgeleitete Gleichung 

(18) D.{^nY = 2{KM-L^), 
sodann aber 

oder wenn man (18) benutzt und dann durch {^iiff dividirt: 

(19) 2p = {2D-K)l + Mn; 

Clcbsch, Theorie der binaren algobr. Formen. JU 



242 



Fünfter Abschnitt. Simultane 



daher aucli 
(20) AF=K{2B-Kf-^2LM{2D-K) + ]\D 

= K^ + M' -2 K LM -\- 4D {3IL - K') + 4.DnC 

Für A hat man die Formel: 

-,2 



2A(g^y 



-2L K ~ln 

§1^/5^ die Coefficienten von f.{i,7]f 



also, wenn man statt rf , 
einsetzt: 

2E{lrif= -2L K -L 

K ■ {ur K 

Man vereinfacht diesen Ausdruck, indem man die letzte Vertikal- 
reihe von der ersten abzieht; es wird dann mit Hilfe von (18) der 
Ausdruck durch {^rif theilbar, und man erhält: 

(21) 2E=-K' + LM+KD-L{lnf. 

Zur Darstellung von a genügt diese Gleichung und (18), denn 
es wird aus (15): 

(22) . 



„ = 2i?-?. 
4 



Um ß zu bilden, muss man auch noch den Ausdruck von R 
kennen. Diese Invariante entsteht, wenn man in A statt i^^, — 5^, S^ 
die Coefficienten von A selbst einführt, und man hat dann: 

3Jf-(|'# -2L 6KM-2K{lrjY-8L' 
8R.{^7if== -2L K 2KL + ?>M{lny-{lYif 

K {Inf -4L[^inf-2K-' 

Diese Gleichung wird durch {^rif theilbar, wenn man die erste 
Vertikalreihe mit 2 K, die zweite mit 2 L multiplicirt zur dritten 
addirt, und man findet dann 

^M-{UY -^L 6D-4:K 

(23) 8i^= -2i. K ?>M-{lnY 

K [Inf -^L 

^4K^ + SL^-12KL3I-6DK^ 

+ {^r}f'^^^^L-12I)L-9M''\+63f{^rjY-{^riy. 

Aus diesem und den früheren Ausdrücken setzt sich nun ß zu- 
sammen mittelst der Formel 

(24) ß = bDE-2R-AF+^, 



und die Gleichung vierten Grades (11) wird also: 



Grundformen. — §§64, 65. 243 

(20) 6^-\-6(2E-^)6'' + 4(bDE-2R- 4 F + ^^) a 

-3(2£-^) =0. 

§ 65. Die Systeme conjiigirter Lösungen. 

Die im Vorigen angestellten Betrachtungen zeigen^ dass zwischen 
den Lösungen der Gleichung neunten Grades gewisse Beziehungen 
bestehen, welche den Charakter der Gleichung als einen speciellen 
erkennen lassen. 

Zu jeder der neun Lösungen ordnen sich die übrigen paarweise. 
Ein solches Paar mit der ersten Lösung zusammen heisse ein System 
conjugirter Lösungen. Es lässt sich zeigen, dass die Zusammen- 
gehörigkeit dreier einem solchen System angehöriger Lösungen 
^, ^', 5" nicht aufgehoben wird, wenn man von einer zweiten unter 
ihnen ausgeht: in Bezug auf diese ordnen sich die acht anderen 
Wurzeln nun abermals in Paare, und wiederum besteht ein Paar aus 
den anderen dem conjagirten System angehörigen Lösungen. Gehört 
also zu % das Paar |', ^", so gehört auch zu ?' das Paar ^", % und 
zu ^" das Paar ^, |'. 

Die Lösungen eines zu ^, ?^ gehörigen Paares sind nämlich nach 
den Formeln (4) des vorigen Paragraphen bestimmt durch die Aa- 
nahme, dass sie mit ^, 7^ durch Formeln folgender Art zusammenhängen: 

,^. ■ r = ^+^ r=s+^i 



(2) 

oder : 

(3) 



Diesen Formeln aber kann man auch die Gestalt geben: 



71 = e^ (jl —mes) r[' = e- e^ [r^'-i-me {z^ — z)] 



i = i"-z, r = r+(^-^,) 

Alle diese Formeln haben ganz denselben Charakter. Man schliesst 
daraus also erstlich den Satz: 

Bilden die Lösungen ^', ^" ein zu | gehöriges 
Paar, so bilden auch |, ^" ein zu |' gehöriges, und 
' 4, J' ein zu t," gehöriges. 

Dabei geht, wenn man von g' oder ^" statt von | ausgeht, 

m über in me bez. me^^ 

z, z^ über in —z, z^—z bez. —z^, z — z^. 

16* 



244 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Die Grösse m^ ändert sich also gar nicht. — Durch den obigen 
Satz ist der Begriff eines Systems conjugirter Lösungen festgestellt 
Es ist nun weiter leicht zu zeigen, dass auch die zu ni, |, t] 
gehörige Wurzel (5 der biquadratischen Gleichung (25) für drei con- 
jugirte Lösungen denselben Werth hat. Nach der Formel (14) des 
vorigen Paragraphen müssen dann gleichzeitig, wenn K' ^ M\ K', M" 
aus K, M hervorgehen, indem man ^', ri oder ^'\ rl' an Stelle von 
5, r\ setzt, die Gleichungen stattfinden: 

f-x-. f-^'-. f-Ä'"-. 



Da die dritte Gleichung zu der ersten genau in derselben Be- 
ziehung steht wie die zweite, so genügt es, das gleichzeitige Bestehen 
der ersten und zweiten nachzuweisen. Nun war nach Formel (5) des 
vorigen Paragraphen: 

(5) 3 f = 3 (?2 _ mif) + 3 (? - m^ ??) ^ + (1 - m^) s\ 

Nun geht gleichzeitig J in ?'? '^ in V; t^^ in me^ ^ in — <£? über; daher 
wird auch 

(6) 3/"= 3 (P- em V') - 3 {^' - e'^ m^ rj') ^ + (1 - m^) z\ 

Setzt man in (5) für x^, ^g ^i® Grössen ^g? ~ ^i oder r]^, — Vn 
in (6) 1'^, — ?\, oder rj'^, — rj\ ein, so erhält man die vier Gleichungen: 

3 iif - 3 (^nf + 3 i^n) (^n) + (i-^^^^) (^vf 

3 K' -=-36771 (i' rjj + 3 e^ m' (§' ^') (^' ^) + ( 1 - ^^^') (5' ^f 

3M'= 3(r^o'- 3(r^o(^V3 + (i-^^^')(^V)'- 

Es folgt daraus: 
K-K' = - m li^nf - e a'ri'f] - «2 [(?»?) (|#) + e^CrV) C^«)] 

Nun ist abel- wegen (1): 

(^s r^y — e{3 ny = (^, ^ + ^^ ^') (^, ^ — e^ ^') = ^; 

und daher 

{K-K) - m (M-e M) = -2m [(^rjy - e (r^')'] 



Grundformen. — § 65. 245 

Setzt man mm ^'~ | für z, und bemerkt, dass 
eml' —71 = e (ml — 7]) j 
so nimmt diese Gleichung auch die Form an: 

{K-K) - m [31- e M) = -2m ((? >?)-^- e (l'ri'f] 

- m [ e' {i n) (r n) - {l ny - ^' {l n) (r n) + e^ iX ny\ 

oder man hat 

Dies ist aber die Gleichheit der Ausdrücke, welche in (4) gleich 
-^ — (> werden ; die beiden ersten Gleichungen (4) bestehen also zu- 
sammen, was zu beweisen war. 

Man kann hieran folgende Betrachtungen knüpfen. Da einer 
Lösung gegenüber die acht anderen sich h\ vier völlig bestimmte 
Paare sondern, so folgt, dass, wenn von einem solchen Paare eine 
Lösung gewählt ist, die andere eindeutig bestimmt ist. Mit andern 
Worten, um ein System conjugirter Lösungen zu bilden, kann man 
zwei Lösungen beliebig wählen, die dritte aber ist dann eindeutig 
bestimmt. Es können also niemals zwei Systeme conjugirter Lösun- 
gen mehr als eine Lösung gemein haben. 

Jede Lösung gehört vier Systemen an; aber umgekehrt umfasst 
jedes System drei Lösungen. Die Gesammtzahl aller Systeme erhält 
man also, wenn man die Zahl aller Combinationen der neun Lösungen 
zu zweien bildet, wobei denn aber jedes System dreimal vorkommt, 
so dass das Resultat durch 3 zu dividiren ist. 

9 . 8 
Es giebt also rp^ = 12 Systeme conjugirter Lö- 

sungen. 

Bezeichnet man nun die neun Lösungen durch die Zahlen 1 bis 
9, und sind etwa ], 2, 3 conjugirt, so gehört 1 noch drei anderen 
Systemen conjugirter Lösungen an, ebenso 2 und 3, und alle diese 
Systeme sind verschieden. Es giebt also im Ganzen zehn Systeme, 
in denen eine der Lösungen 1, 2, 3 vorkommt; daher giebt es noth- 
wendig noch zwei Systeme, in denen keine derselben auftritt. Sei 
ein solches 4, 5, 6. Jede der Lösungen 4, 5, 6 kommt schon in 
dreien der zehn ersten Systeme vor, nämlich mit 1, 2 oder 3 com- 
binirt. Daher giebt es nun auch kein weiteres System, welchem 4, 
5 oder 6 angehören könnte. Die Lösungen 1, 2, 3, 4, 5, 6 kommen 
also nur in 11 Systemen vor. Das zwölfte System muss daher aus 
den Lösungen 7, 8, 9 gebildet werden. Man sieht so, dass die 
neun Lösungen in drei Systeme von conjugirten zerlegt 



246 Fünfter Abschnitt. Simultane 

werden können; es entsteht die Frage, auf wie viele Arten dies 
möglich ist. 

Wenn wir das System 1, 2, 3 heraushoben, so bildeten die übrigen 
sechs Lösungen zwei vollkommen bestimmte Systeme; sie können 
nicht noch auf eine zweite Art in zwei Systeme zerlegbar sein, 
ohne dass eines der neuen Systeme zwei Lösungen mit einem der 
vorigen gemein hätte, was unmöglich ist. Gehen wir daher der 
Reihe nach von den vier Systemen aus, welche die Lösung 1 ent- 
halten, so ergänzen sich dieselben jedesmal auf eindeutige Weise 
durch zwei andere Systeme zu der vollen Zahl aller Lösungen. Hier- 
aus folgt: 

Die neun Lösungen sind auf vier verschiedene 
Arten in drei Systeme conjugirter Lösungen zer- 
legbar. 

Da oben die vier Systeme, in denen eine bestimmte Lösung auf- 
trat, von der biquadratischen Gleichung (25) § 64. abhängig waren, 
so folgt, dass von dieser Gleichung auch die vier Zerlegungen der 
neun Lösungen in Systeme abhängen müssen. Dies ist der innere 
Grund, weshalb die biquadratische Gleichung eine von der Ausgangs- 
lösung völlig unabhängige Form annehmen konnte. Zugleich aber 
zeigt sich, dass diese Gleichung die Grundlage für die Auflösung der 
Gleichung neunten Grades bilden muss. Und zwar sind ausser der- 
selben nur cubische Gleichungen erforderlich; denn wenn durch eine 
Wurzel der biquadratischen Gleichung eine Zerlegungsart gegeben ist, 
so muss man die drei in ihr auftretenden Systeme durch eine cubische 
Gleichung finden können, und ebenso die einzelnen Lösungen jedes 
Systems. Um die Gleichung neunten Grades zu lösen, braucht man 
also eine Wurzel der biquadratischen Gleichung, sodann die Lösung 
der cubischen Gleichung, von welcher die drei entsprechenden Systeme 
abhängen; endlich aber nur zwei der cubischen Gleichungen, von 
denen die Lösungen der drei Systeme abhängen; da jede dem ersten 
System angehörige Lösung mit jeder dem zweiten angehörigen ein 
System bestimmt, dem nur eine bestimmte Lösung des dritten 
angehört, so sind die Lösungen des dritten Systems durch die Lö- 
sungen der beiden ersten bereits von einander getrennt und auf lineare 
Bestimmungen zurückgeführt. 

Diese Gleichung neunten Grades ist eine Hesse 'sehe, indem sie 
diejenigen besonderen Eigenschaften besitzt, welche, wie Hr. Hesse 
gezeigt hat, einer Classe algebraisch auflösbarer Gleichungen neunten 
Grades zukommen.* 



* Hesse in Grelles Journal, Bd. 34. 



Grundformen. — § 65. 247 

Es wird jetzt, um die Lösungen der Gleichung neunten Grades 
in unserem Falle zu finden, nothwendig, auf die Bildung der Systeme 
conjugirter Lösungen einzugehen. 

Die Gleichung (3) des § 64. lässt sich auch erfüllen, indem man 
eine lineare Form t einführt, so dass 

(n. ' ' V ^ '^^ (? + 

Die Gleichungen (1) des gegenwärtigen Paragraphen liefern dann 
für die zu beiden conjugirte Lösung die Beziehung 

(8) ri"^e,ma"-\-f). 

Es bestehen also für drei conjugirte Lösungen die identischen 
Gleichungen [§ 64. (1)]: 

(9) 2g)=3/-r-r^ +m^(r +v 

Mit anderen Worten, die für § cubische Gleichung 

(10) 2^ = 3/?-g3 + w^'(S + 0' 

muss drei in den x rationale Lösungen §, §', |" haben. 

Durch diese Bedingung ist, wie sich zeigen wird, sowohl m als 
t bestimmt. 

Da aus (lOj für die Summe der conjugirten Formen ^, ^', J" die 
Formel 

(11) i + r + r=j^3^ 

hervorgeht, so kann man den Ausdrücken g, J', |" die Gestalt geben : 



(12) r 



1 — m^ 






WO y. eine imaginäre dritte Wurzel der Einheit, ft, v lineare Formen 
bedeuten. Die zugehörigen ^ werden dann nach (7), (8): 



n =^^^ -1 



1 — m^ 



(13) Yi =em ■ :r^ 5 

t 4- x- a4- X V 
' 1 — m^ 



248 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Führt man die Ausdrücke (12) aber in die Gleichungen (9) ein, 
so nehmen dieselben die Gestalt an: 

A + bIk^ ii-\-xv) = 0, 

und zerfallen also in die Gleichungen 

^ = 0, 7i = 0, 

oder, indem man die Ausdrücke für Ä und B einführt, in die beiden 
Gleichungen : 

. 2 (1 - 7n^y (p = 3 m^ (1 - m^) tf+ m' (1 + m^) f - i"-' - v^ 

Diese beiden Gleichungen, welche für alle Werthe der x bestehen 
müssen, liefern durch Vergleichung der beiderseitigen Coefficienten 
sieben Gleichungen, und genügen zur Bestimmung der sieben unbe- 
kannten Grössen, nämlich der Grosse m und der Coefficienten der 
linearen Formen t, ^, v. 

Die Grössen w, t, ^, v entsprechen nach (12), (13) einem Systeme 
conjugirter J? ^- Das in den Gleichungen (14) enthaltene Problem 
nimmt also in Bezug auf die Systeme dieselbe Stelle ein, wie das 
ursprüngliche Problem in Bezug auf die neun einzelnen Lö- 
sungen 5- 

§ 66. Lösung der Gleichung neunten Grades. 

Wenn man in der zweiten Gleichung (14) an Stelle von x^y x.^ 
die Grössenpaare ftg, — [i^t '^2? ~"^i7 ^i? ~^-i fi'eten lässt, so erhält 
man die folgenden drei Gleichungen, welche jene Gleichung völlig 

(1) ^3(^1/)^ +(l-m=^)(ai/)^=0 
{t^){tv')-{\-m^){aiy =0. 

Aus den ersten beiden ergiebt sich sofort die Gleichung, welche 
nur die Verhältnisse der t, der \i und der v enthält: 

oder, mit Auslassung des Factors {v^): 

(2) (at) (av) . (t^) + (at) (a^) . (tv) = 0. 

Wenn man die Gleichungen (14) nach /und cp auflöst: 

(1 — m^) f=^v — m' P 
^ ^ 2(1 — m^y g> = m^ ( l — 4 m^) f — ^^ — v^ -^3 m^ ^. v t, 



Grundformen. — §§ 65 , 66. 249 

SO kann man den Inhalt der zweiten Gleichung nun auf folgende vier 
Gleichungen zwischen Constanten zurückführen. Wir setzen erstlich 
an Stelle von i\, x.^ der Reihe nach die Grössenpaare ^2? ~ ^i? f*.>; ~f*i; 
^2) ~^i) ^'^^^ erhalten: 

2(1- ni^y (a t,^ =- (^ tf - {v ty 

(4) 2(1- m^y (« ^y-^ = m^ (1-4 ni') (f ^f - (v ^f 
2(1- m^f {av}'^ =r. tu' (1—4 m^) \tv/ - {^ivf. 

Sodann wenden wir auf tue zweite Gleichung (3) hintereinander 
die Processe 

an und ersetzen dann die x durch t.,, —t^, die y durch ^.^, — ^,, die 
^ durch 1^, — i\. Es ergiebt sich die vierte Gleichung: 

(5) {at){cc^){ccv) = 0. 



Diese Gleichung giebt den Gleichungen (4j gegenüber nichts 
Neues; denn wegen der Identität 

t (^iv) -{- ii (vt) + V (f a) =^ 

ist auch identisch 

t^ (^vy -\- ^^vt)^ + v^ (f^/ = 3 ^vt (^v) (vt) {tv), 

und man führt (5) auf (4) zurück, indem man diese Gleichung dreimal 
über cp schiebt. Daher ist es noth wendig, noch andere Combinationen 
zu bilden. Wenn man die linken und rechten Theile der Gleichungen (3) 
zweimal über einander schiebt, so hat man: 

2 (1 - m^/p = m^ (1-5 m^, t (tu) (tv) 

+ m' \ iL {tiiy + V (tvY - t iiivy \ , 

oder, wenn wir x^ = t.^, x., = — t^ setzen: 

2 (1 - m'f {pt) = m' \ (iity + (vty l , 

und endlich, mit Anwendung der ersten Gleichung (4): 

(6) ( 1 - m') (pt) = - m^ {a ty. 

Eine andere Combination, welche benutzt werden wird, entsteht, 
indem man in der ersten Gleichung (3) die x durch a.^, — ^?, ersetzt. 
Dann ergiebt sich: 

(7) ( 1 - m^) D = {aii) {a v) - uv^ {a ty. 

Nun nehmen die Gleichungen § 65. (4), welche den Zusammen- 
hang von m mit ö angeben, indem man darin statt der ^, r^ die 



250 Fünfter Abschnitt. Simultane 

Ausdrücke (12)^ (13) des vorigen Paragraphen einführt^ folgende Ge- 
stalt an: 

m^ \ % {t\C) + %-' itv) \' - m^ I {at)^v. {a^C) -j- v} {av') f 
^ (1 - m^/ (^- - öj _ j ^3 {c^) + % (a^.) + %2 (^,^) }2 

= (1 - m-^)-' (^— _ (jj _ I m^ (a ^ + ;(2 (a^) + 7c (a v) \ \ 

Diese Gleichungen kann man wegen der Eigenschaften der dritten 
Wurzeln der Einheit in die Form bringen: 

U+ V+ TF=0 



und es folfft dann 



u=^o, F-0, >r=o. 

Die beiden letzten dieser Gleichungen sind nichts anderes als die 
beiden ersten Gleichungen (1); die erste aber giebt: 

2 m^ {t^) {tv) - m^ (1 - m') (atf + 2(1- w^^) {a^) {av) 

oder, wenn man (7) und die letzte Gleichung (1) benutzt, und durch 
1 — m^ dividirt : 

(8) = 3 m^ (aty + (1 - m^) ß^ + a\ . 

Eliminirt man aber m aus dieser Gleichung und der Gleichung (6), 
so findet man: 



(9) 3 (a tf (p «) - (^ + ö) (« 0' = 0. 



Diese Gleichung enthält keine andere Unbe- 
kannte mehr, als das Verhältniss t^'.t^y und dient 
also zu dessen Bestimmung, sobald a gefunden ist. 

Den vier Wurzeln a der biquadratischen Gleich- 
ung § 64. (2ö) entsprechen also vier cubische Gleich- 
ungen (9), welche die drei einer solchen Wurzel zu- 
geordneten Systeme conjugirter Lösungen liefern. 

Die Auflösung der Gleichung neunten Grades ist hierdurch in 
ihren Grundzügen bereits gegeben. Aber die oben entwickelten 



Grundformen. — § 66. 251 

Formeln gestatten es, den weitem Verlauf der Auflösung zu ver- 
folgen. 

Wir können zunächst auch die Verhältnisse ft^ : ^a^ und v^ : v., auf 
eine einfache und merkwürdige Weise bestimmen. Sie erfolgt aus den 
Gleichungen (2) und (5). Die erstere kann man in die beiden 
Gleichungen auflösen: 

{at)lav)-(oltv)=0, 

in welchen a eine unbestimmte Grösse ist. Demnach kann man 
setzen : 

riO) li^=9\a,{at)-\-G)ti\ v^ = h \a^{at) — cot^\ 

H = 9\^i («0 + » ^2 ! ^2 = ^0 «2 {at) — Git.,\j 
wo auch g^ h unbestimmte Grössen sind, welche auf die Verhältnisse 
/"'i'f^2; '^1 • "^2 keinen Einfluss haben. Führt man aber diese Ausdrücke 
der ^, v in (5) ein, so erhält man: 

(U) = (aa) (cch) (at) (ht) [at)-co' (atf. 

Nach einer oft angewandten Identität ist aber 

(aa) (ah) (at) (bt) (at)=^^-^ | (ccaf (hty + (ahf {aty - (ahy (aty \ 

Li 



0>0-(«0-'-?(«0' 



und die Gleichung (1 1) geht daher in • 

über, oder mit Rücksicht auf (9j in: 
(12) • <»-^ = |-. 

Daher sind jetzt die Verhältnisse der tt, v durch folgende ein- 
fache Gleichungen bestimmt: 



(13) 



Man erhält demnach sämmtliche neun Lösungen 
\ des ursprünglichen Problems, wenn man von einer 
bestimmten Wurzel (5 der biquadratischen Gleich- 
ung ausgeht, und zunächst durch Lösung der 
cubischen Gleichung (9) die der Wurzel 6 ent- 
sprechende Zerlegung der neun Lösungen in drei 
Systeme conjugirter Lösungen ausführt. Sind r^, 
T^ irgend welche Werthe für ^^, t.^, welche der 



252 Fünfter Abschnitt. — Simultane 

Gleichung (9) genügen, also eines jener drei Systeme 
bestimmen, so kann man 

(14) ti = Qr„ t.,= QT., 

setzen, und die drei Lösungen des Systems werden 
d a n 11 : 

j m^ + (g- h) TZ-l r -h (^ + /^) a,r {a r) 



1 — m 



t; ----Q 1 3 _ 

1 — nv 

yu-' + (x'\(j - xA) 7/ |- 1 r + (%-> + nh) a^ (az) 

Es bleiben nur noch die Constanteii (>, ^, h zu bestimmen. Zu 
diesem Zwecke hat man zunächst die Gleichungen, welche aus (1) 
hervorgehen, wenn man darin die Werthe (15), (14) der ^, v , t 
eiu führt. 

Ich werde im Folgenden durch den oberen Index Null immer 
andeuten, dass in einer Form x^==t.^, x.^ = — r^ gesetzt werde. Es 
ist dann 

(« h) {ac){h t) (ct) ^\iahy [c xf = ^ D p. 

Daher 



(16) 






und die Gleichungen (1) verwandeln sich also in folgende: 
^17^ m' Q' . r + (1 - m^) (§ + J) = 

Diese Gleichungen drücken den Inhalt der ersten Gleichung (3) 
nunmehr vollständig aus. Um auch den Inhalt der zweiten Gleichung (o) 
vollständig auszudrücken, führe ich in diese Gleichung die Veränder- 
lichen t und 



Grundformen. — § 66. ^53 

ein. Alsdann wird (^t) = (atr = q-^ p, und also: 

Es handelt sich zunächst um die Bestimmung der Constanten der 
rechten Seite. Nun ist ohne Weiteres: 

Dagegen wird: 

(«^)- «X = (««) («?>) («0 (^0 «^ 

= i «X ! (« «)^' (^> 0' + (« ^)' (« 0' - (« &)' (« 0' } 

daher : 

(20) D 

= e^(-5»r+f*"'). 

Die Gleichung (3) 
2 (1 -«}3)- 9D = (»3 (1-4 »»^) fi-ii'^-v^ + Sm^fivt 

= ,»ä (1 _ 4 „j3) P-g^(^^ + f j/^J- Ifl (j - t j/^J 

zerfallt also mit Benutzung von (18), (19), (20) in die folgenden vier: 
2(1- m^y (pO = - p3 ^0 3 (-^ ^ 7^3 ■) 

6(1- m^y *» = 3 eY"^ [- (f - V) j/'l + m^gl^ 

(21) 6(l-»»T(l'T-f 9''') = -eY'='öCi/' + Ä^) 
2(l-w=')^'(^g»/^-^*»') = e3/-o3(i_4,„3j,„3 

-f 'p^[f</'-A^)|-^|- +»»^<r<7Ä] . 

Von diesen Gleichungen giebt die dritte nichts Neues; denn mit 
der ersten combinirt, liefert sie nur die Gleichung (9), welche als 
erfüllt gilt. Die übrigen Gleichungen (21) kann man als Gleichungen 
ersten Grades für g^^ li^, gh betrachten, und indem man nach diesen 



254 Fünfter Abschnitt. Simultane Grundformen. — § Gß. 

Grössen auflöst, erhält man g^j h^, gli ausgedrückt durch q und m^j 
und also, wenn man q und m^ als bekannt voraussetzt, g und h durch 
Cubikwurzeln, doch so, dass das Product beider gegeben, die Wahl 
der Cubikwurzeln also beschränkt ist. 

Schreibt man die so aufgelösten Gleichungen: 

g^^G, ¥ = H, gh = K, 

wo G, H, K Functionen von m^ und q sind, so folgt daraus mit 
Rücksicht auf (17): 

In diesen Gleichungen kann man nun vermöge der ersten 
Gleichung (17) m^ durch q^ ausdrücken, und hat dann zwei Gleich- 
ungen vor sich, welche nur die Unbekannte q enthalten, und welche 
hinreichen, um dieselbe eindeutig durch bekannte Grössen auszu- 
drücken; womit denn zugleich w^, sowie g^ , h^ und gh durch bekannte 
Grössen ausgedrückt gegeben sind.* 

Das Ausziehen der bei g oder h erforderlichen Cubikwurzel ent- 
spricht der Trennung der drei Lösungen (15), welche einem und dem- 
selben Systeme conjugirter Lösungen angehören. 



Man findet: 



wie ich a. a. 0. gezeigt habe. 



Sechster Abschnitt. 

Endlichkeit der Formensysteme. 



§ 67. Satz über die Zerlegung jeder CoTariante einer Form in zwei Theile 
Yon bestimmtem Charakter.* 

Schon im vierten Abschnitt wurde nachgewiesen, dass die Anzahl 
der Covarianteu und Invarianten eines vollständigen Systems bei einer 
Form f von zweiter, dritter oder vierter Ordnung eine endliche sei. 
Dasselbe soll im Folgenden für eine Form von beliebig hoher Ordnung 
bewiesen werden. 

Denken wir uns, wie immer, die Formen der verschiedenen 
Ordnungen successive behandelt, also die Theorie der Formen bis 
zur (w — 1)*^" Ordnung einschliesslich gegeben, ehe die Theorie der 
Formen w*" Ordnung begonnen wird, so zeichnen sich von vornherein 
unter den Covarianten einer Form n^^"^ Ordnung diejenigen aus, welche 
wir schon bei Formen von niedrigerem Grade kennen gelernt haben. 
Sei M irgend eine Covariante oder: Invariante einer Form [n — iy^^ 
Ordnung, und seien a, h , c . . . m die in ihrem symbolischen Ausdrucke 
auftretenden Symbole. Der Ausdruck 

31 . a:c &.r C^ . . . >Wx 

ist dann die allgemeine Gestalt «der oben erwähnten Covarianten, eine 
Covariante einer Form n^^^ Ordnung, welche schon bei niederen 
Formen aufgetreten ist. Für diese Covarianten ist es charakteristisch, 
dass jedes in ihnen auftretende Symbol durch wenigstens einen linearen 
symbolischen Factor vertreten ist. Umgekehrt kann offenbar jede 
Covariante, bei welcher jedes Symbol durch einen linearen Factor 



* Die hier folgenden Untersuchungen schliessen sich an die Abhandlung von 
Herrn Gordan im zweiten Baude der mathem, Annalen an. Der Satz, dass jede 
Form ein endliches vollständiges System von Invarianten und Covarianten besitze, 
wurde von demselben zuerst in Borchardt's Journal, Bd. 69. gegeben, nachdem 
Hr. Cayley im 146. Bande der Philosophical Transactions zum entgegengesetzten 
Resultate gekommen war. 



256 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

vertreten ist, auf eine schon bei niederer Ordnung auftretende Co Va- 
riante zurückgeführt werden. 

Wenn wir voraussetzen, dass man alle Covarianten und Invarianten 
einer Form (n— Ij*^' Ordnung durch ein endliches System von In- 
varianten und Covarianten ganz und rational ausdrücken kann, so 
folgt, dass die erwähnte Classe von Covarianten einer Form i^*" Ord- 
nung dieselbe Eigenschaft besitzt, dass also alle diese aus der nächst- 
vorhergehenden Ordnung herübergenommenen Formen sich durch eine 
endliche Anzahl von Covarianten und Invarianten der Form n^^^ Ord- 
nung ganz und rational ausdrücken lassen.* 

Der Beweis für die Endlichkeit des Formensystems für eine Form 
^^ter Ordnung wird nun so geführt, dass man der soeben besprochenen 



* Dabei ist nicht ausgeschlossen, dass nicht einige Covarianten der Form wter 
Ordnung, welche schon bei den Formen (n— l)ter Ordnung auftraten und dort dem voll- 
ständigen Systeme angehörten, bei den Formen nter Ordnung durch neue Formen 
ausdrückbar sein können und deswegen aus dem kleinsten vollständigen Systeme 
der Form wter Ordnung herausgehen. Ein bemerkenswerthes Beispiel bietet die 
bei den cubischen Formen auftretende Invariante 

Aus dieser entspringt bei den Formen vierter Ordnung die Bildung 

B ^ {a hy {cdf {ac) (b d) . ax hx Cx da:, 

welche mit Hilfe der neuen Formen i, j zerlegbar ist. Benutzt man nämlich die 
Identität: 

(b d) ax — {a d) bx — ia b) dx , 
so wird 

i? = (a&)2 (C6^)2 {ac) bx Cx dx \{ad) bx - {ab) dx\ 

=. {a Z>)2 (c 6^)2 {a c) {a d) bx"" Cx dx -{ab)^ (c d)'' {a c) bx Cx dx"". 

Vertauschen wir im zweiten Theile diesen Ausdruck a und b, so können wir 
für denselben setzen: 

1 {a 6)3 (crf)2 Cx dx^ { {a c) bx - [b c) ax^ =\ {a bf {c d)^ Cx^ dx"" = \iH; 

aus dem ersten Theile von R aber erhalten wir durch Anwendung der Identität III. 

§ 15.: 

(a Z>2 {cdf bx"" \ {a ef dx^ -\{c df ax"" ] = (a b)^ {a cf (c df bx"" dx"- -\iH, 

so dass 

B = {a bf {a c)^ (c d)^ bx'' dx"" - i H. 

Vertauscht man nun in der Identität (2) §40. x mit y, setzt Cg,— c, an Stelle 
von 2/i , 2/2 u'^cl multiplicirt mit {cd)'^dx^i so ergiebt sich 

{a b)^ {a c)2 (c d)^ bx"" dx^ = {Hcf {c d)^ Hx'' da^ + y (c d)"" Cx^ dx"", 

oder nach derselben Identität, indem man a, b durch rf, e, die y durch II^^ — Hi 
ersetzt und mit Hx^ multiplicirt; 

z=.{liRYJIx''B'x^-^\iIl 

^\jf^\ill [§41.(3).] 

und daher endlich; 



der Formensysteme. - § 67. 2ö7 

Classe von Covariaiitcn (sie mögen Ä^, A.^ . . . A^ sein) eine zweite 
ebenfalls endliche Gruppe von Covarianten (7^, C.^... Cq und Invarianten 
D^j D., . . . Da gegenüberstellt, und zeigt, dass alle aus /* entspringenden 
Bildungen auf Ueberschiebungen von Producten der A über Producte 
der C und auf die D zurückgeführt werden können; und man beweist 
ausserdem, ähnlich, wie es im vorigen Abschnitt bei der entsprechenden 
Gelegenheit geschah, dass die Anzahl der so entstehenden Neubildungen 
endlich sei. iils eine für den Gang des Beweises unwesentliche, aber 
für die Anwendung auf wirkliche Bildung von Formen um so wesent- 
lichere Modification tritt dabei die Bemerkung ein, dass man an Stelle 
der von den Formen (n—l)^^^ Ordnung herübergenommenen Bildungen 
Aj wenn (^2 — 1) nicht durch 4 theilbar ist, diejenigen setzen kann, 
die schon bei der nächstniedrigen durch 4 theilbaren Ordnung auftreten. 

Das System der C und D ist nichts anderes als das Formen- 
system derjenigen Bildungen zweiten Grades (a6)^a^"— ■^ ?>j"-^, deren 
Ordnung niedriger als n ist, und deren simultanes Formensystem 
daher der Voraussetzung nach ein endliches ist. Nur bei den Formen, 
deren Grad n durch 4 theilbar ist, existirt eine Form zweiten Grades, 
deren Ordnung gleich n ist, und dieser Fall erfordert noch beson- 
dere Betrachtungen. 

Da die genannten Formen zweiten Grades aber sämmtlich den 

* '}i 

symbolischen Factor (ah)^ haben, wo /.^ -^ , so wird die Einführung 

des Systems der C und D durch den folgenden Satz vorbereitet, dessen 
Beweis der Gegenstand des nächsten Paragraphen ist: 




Da der erste dieser Theile nothwendig eine Covariante ist, so 
kann er bei Invarianten nicht auftreten; und für Invarianten insbesondere 
lautet der Satz also so: 

Jede Invariante einer Form ??*" Ordnung kann 
so dargestellt werden, dass sie den symbolischen 

Factor (ah)^ hat, wo A ^ö"« 

Aber nicht nur für Invarianten ist jener erste Theil nothwendig 
Null, sondern auch für eine Classe von Covarianten. Derselbe lässt 
sich nämlich, wie wir sehen werden, immer so wählen, dass einer 

ClebBcb, Theorie der binären p.lgebr. Formen. 17 



258 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

der linearen symbolischen Factoren zu höherer als der —y^^"^ Potenz 
vorkommt. Die Ordnung dieses Terms ist also immer grösser als 
-^ + % — 1 , wo ;« den Grad desselben in den Coefficienten von / be- 
deutet, oder, was dasselbe ist, die Anzahl der in ihm auftretenden 
Symbole. Dieser Term muss also fortfallen, sowie dieser Ungleichung 
nicht mehr genügt wird, also wenn die Ordnung der betrachteten 

Form gleich oder kleiner als ^ -\-k — 1 ist. Und es ergiebt sich also 
der Satz: 

Jede Covariante von /*, deren Ordnung nicht 

um mehr als -^—1 grösser ist, als der Grad der- 
selben in den Coefficienten von f, kann aus Gliedern 
zusammengesetzt werden, deren jedes einen sym- 

bolischen Factor {ah)^ enthält, wo A >> ^ . 



§ 68. Beweis der Zerlegbarkeit. 

Um die vorstehenden Sätze zu beweisen, bezeichne ich durch TT 
irgend eine gegebene Covariante oder Invariante der Form f, welche vom 
(m+l)^®^ Grade in den Coefficienten sein mag. Nehmen wir an, der oben 
ausgesprochene Satz sei für Covarianten und Invarianten von w^*^" oder 
von niederem Grade bewiesen, wie er für den ersten Grad (/* selbst) 
evident ist. Ich werde zeigen, dass er dann auch für den (w+1)*®" 
Grad richtig ist, womit er denn allgemein bewiesen ist. 

Die Function TT entsteht nach § 31. als Aggregat von Ueber- 
schiebungen der Form / über Covarianten des w*^" Grades. Von diesen 
nehmen wir den Satz als bewiesen an, und wollen ihn für TT selbst 
beweisen. Die verschiedenen Theile von TT entstehen also aus üeber- 
schiebungen von / über Formen, welche theils bereits den Factor 

(a&)^(A>>-^| enthalten, theils Covarianten sind, welche schon bei 

niederen Ordnungen auftraten. Was nun die erste Art von Ueber- 
schiebungen betrifft, so verlieren sie den symbolischen Factor {ahY 
nicht, haben also schon die in dem Satze verlangte Form. Es handelt 
sich also nur noch um die zweite Art, also um Ueberschiebungen von 
f über Covarianten, welche schon bei früheren Ordnungen auftreten, 
und von diesen ist zu zeigen, dass sie immer die im Satze angegebene 
Form annehmen können. 



der Fornieusj^steme. — §§ 67, 68. 259 

Aber wie sclion oben angedeutet, kann man zeigen, dass der 
Charakter dieser Covarianten noch mehr beschränkt werden kann; 
dahin nämlich, dass man annimmt, dieselben enthalten nicht nur 
jedem ihrer Symbole entsprechend einen linearen Factor, sondern 
jedes Glied derselben enthalte auch mindestens einen derselben zu 

Ol 

einer höheren als der ^^^" Potenz. Covarianten, welche dieser Be- 
dingung Genüge leisten, und welche vom //>^° Grade in den Coefficienten 
von f sind, mögen durch 2J Wh bezeichnet werden, wo wir uns unter 
jedem einzelnen Wh ein der Bedingung genügendes symbolisches 
Product denken. Wir setzen also voraus, dass bis zum m^^^ Grade 
in den Coefficienten inclusive alle Covarianten (bez. Invarianten) die Form 

haben, und wollen zeigen, dass dann auch 

Nach dem oben Gesagten ist also nur zu beweisen, dass jede 
Ueberschiebung von f über eine Form Wm wieder durch 
Formen Wm+i und durch Glieder darstellbar ist, welche den 
symbolischen Factor {ah)^ enthalten. Ist dieser Beweis geführt, so 
ist auch der oben angegebene Satz erwiesen. 

Den Hilfssatz kann man nun folgendermassen einsehen. Dass er 
für die nullte Ueberschiebung richtig ist, sieht man sofort. Denn die 
* nullte Ueberschiebung von f mit einem Wm ist f. W„,, ein Ausdruck, 
welcher die Form TF„,-fi hat. Man kann also annehmen, der Satz 
sei für die z*® Ueberschiebung von f mit W„i bewiesen, und hat nur 
zu zeigen, dass er dann auch für die {x-\-iy^ richtig ist. 

Nun besteht die (jc + l)*® Ueberschiebung von fmit einem Wm aus 
mehreren Theilen, welche sich dadurch von einander unterscheiden, 
dass jedesmal (jc-j-l) andere lineare bx, Cjc . . . Factoren von Wm in (ha) 
{cd) . . . verwandelt sind (§ 53.). Die Differenz zweier solcher Theile ist 
immer durch niedere üeberschiebungen ausdrückbar (ebenda, Satz 4.), 
hat also der Voraussetzung nach bereits die verlangte Eigenschaft, 
sich aus Formen Wm + i und aus Gliedern mit dem symbolischen Factor 
{ah}^ zusammensetzen zu lassen. Man braucht also nur noch für einen 
Term der Ueberschiebung dasselbe zu zeigen. Ist symbolisch 

Wm=N,hJCxCh..., 

AI 

WO (>>>^, so ist der Term der Ueberschiebung, für welchen der 

Nachweis direct geliefert werden kann, derjenige, welcher bei mög- 
lichst ausschliesslicher Benutzung des symbolischen Factors 6^-^ entsteht. 

17* 



260 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

Ist die Höhe der Ueberschiebung kleiner als ^, also auch kleiner als 
Q, so ist dieser Term 

fi 
dabei ist n—;c^-^, also hat dieser Term die Form Wm+i- Ist da- 

= n - 

gegen Jc > ^ ; so erhält der Term den Factor Q)a)~ ^ was denn wieder 

die verlangte Form giebt, ohne dass Ausdrücke TI^«,4.i dabei auftreten. 

Hiermit sind sämmtliche oben gegebene Sätze bewiesen. 

üebrigens dienen die Formen W y welche hier eingeführt wurden, 
nur dem gegenwärtigen Beweise, sowie dem Nachweise des am Ende 
des vorigen Paragraphen gegebenen Satzes. Im Folgenden ist es nicht 
nöthig, sich der in der Einführung der W liegenden Beschränkung 
zu bedienen; es genügt vielmehr der weniger aussagende, aber leichter 
auszusprechende Satz, dass alle Bildungen in Theile zerfallen, die aus 
den schon bei n—1 vorkommenden Bildungen entnommen sind, und 

aus Gliedern mit dem symbolischen Factor {ah)^ j wo A>-^. In dieser 

Gestalt ist der Satz im vorigen Paragraphen ausgedrückt worden, und 
in dieser Gestalt wird er auch im Folgenden benutzt werden. 



§ 69. Folgerungen aus dem Zerlegungssatze. 

Nimmt man zu dem Obigen hinzu, dass eine Covariante oder 
Invariante, welche den Factor [ahy^—^ hat, immer in ein Aggregat 
solcher übergeführt werden kann, welche den Factor {ctlSf'^ haben, 
so zeigt sich, dass das Verhalten der Covarianten einer Form 
^*" Ordnung ein verschiedenes ist, je nach dem liebte, 
welchen n nach der Zahl 4 lässt. Der kleinste Werth der oben 
durch X bezeichneten Zahl ist, je nachdem n die Form 

7^=:4/i-3, 47^-2, 4Ä-1, 4/^ 
hat: 

l = 2h-l, 2h~l, 2h, 2h. 

Aber durch die eben gemachte Bemerkung erhöht sich der un- 
gerade Wertli von /l in den ersten beiden Fällen um 1 , so dass in 
allen vier Fällen als niedrigster Werth von A die Zahl 2 h angesehen 
werden kann. 

Bezeichnen wir durch TT^ eine Covariante oder Invariante, welche 
bei Formen %*«^ Ordnung auftritt, durch a, & . . . m die in TTx auftretenden 
Symbole, so hat man hiernach folgende Gleichungen (wobei die TT 
mit verschiedenem Index ganz verschiedene, in keiner Weise gleichartige 



der Formensysteme. — §§ 68, 60. 261 

Bildungen bezeichnen können, ein TT mit demselben Index in ver- 
schiedenen Ghjichungen aber Gleiches oder Verschiedenes bedeiiteu 
kann) : 

Hl/, = TT4Ä-1 . «X K' "frix-h {ah)'^' . 31 
TTi/,_i = TT4/,_2 .aj:hjr... m^r + {a hf^ . M' 

n4/i-3 = n4Ä_4 .aa:ha:... lUv + (« hf^ . M"\ 

d.h. es drückt sich eine Covariante einer Form 4/**", (4/t— l)**^'*, (4/i — 2)*% 
(4/i— 3)**^'" Ordnung immer aus durch eine Summe, deren erster Theil 
aus Bildungen besteht, welche bereits bei den Formen der um je 1 
niederen Ordnung auftreten, und deren zweiter Theil in allen seinen 
Gliedern den symbolischen Factor {ah)-'' hat. Aber man kann diese 
so analogen Resultate combiniren, indem man die ersten Tlieile der 
Summe in jeder der Gleichungen mit Hilfe der folgenden modificirt, 
wol)ei sich denn freilich immer auch der zweite Theil ändert, insofern 
neue, mit dem symbolischen Factor uib)'-^ behaftete Tenne hinzutreten. 
Demnach kann man den Gleichungen die Gestalt geben: 

TT4>i_3 = TT4/.^4.<^-r hjc . . . Mj, +{aby^''.N^ 
n4 k-2 = n, /,_4 . aj h/ . . . m/ + (a hf' . N' 
T\x /._, = T\x /,_4 . aj hj . . . m/ + {a hy ^ . iV^" 
n4/, =T]u-i-aJhJ...mJ+{ahyKN"\ 

und hat also den Satz: 

Die Covarianten uÄd Invarianten der Formen 

von den Ordnungen 4/i — 3, 4:h — 2j 4/i — 1, 4h setzen 

sich aus Bildungen zusammen, welche schon beiden 

Formen (4/i — 4)*" Ordnung aufgetreten sind, und aus 

solchen, welche den symbolischen Factor {ah)~^ 

habe n. 

Das letztere lässt sich nach § 31. noch anders ausdrücken. Denn 

wenn eine Bildung den symbolischen Factor {ah)'-^ hat, so entsteht 

sie durch Ueberschiebungen von Formen niederen Grades mit den 

Covarianten zweiten Grades, welche eben dieses Symbol enthalten, 

also mit den Formen: 

{ahf^^ aj,"-"-^ 6a.-"-2^ (fl 6)2^+2 ^.^n-2A-'2 h^r,-2h-2^ 

{aby^+^ «^"-'^^'-^ ?^.r"--''-S . . . 

Von diesen Formen ist nur bei n = 4h die erste von der Ordnung 
n selbst; die anderen und in den übrigen Fällen auch die erste sind 
von niederer Ordnung. Die erste hat für 

n = 4h-3, 4h-2, 4/^-1, 4A 
die Ordnungen 

4/^-6, 4/i-4, 4A-2, 4/^; 



262 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

und da die Ordnungen der Formen zweiten Grades von 4 zu 4 fort- 
schreiten, so giebt es keine unter den obigen nicht enthaltene, deren 
Ordnung gleich oder kleiner wäre als n. Man kann daher auch den 
folgenden Satz aussprechen : 

Alle Covarianten und Invarianten der Formen 
von der Ordnung ^ = 4/^ — 3, Ah — 2, Ah—l, *4 /^ zer- 
fallen in Covarianten, welche schon bei der Ordnung 
4/i — 4 aufgetreten sind, und in Ueberschiebungen 
von Bildungen niederen Grades mit denjenigen 
Formen zweiten Grades, deren Ordnungen kleiner 
als n, bez. im letzten Falle gleich n sind. 

§ 70. Wenn alle Formen f bis zur (w — l)ten Ordnung endliche voll- 
ständige Systeme von Invarianten und Covarianten besitzen, so haben 
auch die Formen nter Ordnung solche. Beweis für die Fälle , wo n nicht. 

durch 4 theilbar ist. 

Mit Hilfe des obigen Satzes lässt sich nun ein grosser Theil des 
Beweises für die Endlichkeit des vollständigen Formensystems von /* 
führen. 

Nehmen wir an, es sei die Endlichkeit des Formensystems bereits 
für alle Functionen bewiesen, welche von niederer als der w*«" Ordnung 
sind. Es kommt dann nur darauf an, zu zeigen, dass auch für die 
7^*® Ordnung das Formensystem gndlich ist; denn da die Endlichkeit 
für die niederen Ordnungen bereits festgestellt ist, so ist sie dann 
allgemein nachgewiesen. 

Der Beweis, dass wirklich aus der Endlichkeit für Formen bis 
zur Ordnung n — l inclusive auch die Endlichkeit für die n*® Ordnung 
folgt, lässt sich nun mittelst des Obigen immer führen, sobald n von 
der Form 4/^ — 3, 4/^ — 2, 4/^—1 ist, und erfordert nur eine Er- 
gänzung , wenn n= 4:h. 

Nehmen wir also an, es sei n nicht durch 4 theilbar (fi^Ah — o, 
Ah— 2, Ah—V). Diejenigen schon bei Ah — A auftretenden Formen, 
welche nicht den symbolischen Factor (ah)-^^ enthalten, seien 

Ihre Zahl ist der Voraussetzung nach endlich. Da sie erst durch 
Hinzufügung von symbolischen Factoren «^ b^v • . . auch den Formen 
^^tcr Ordnung zugehören, so sind sie sammtlich Covarianten. 

Die zu f gehörigen Formen zweiten Grades sind in diesem Falle 
sammtlich von niederer als der n^^^ Ordnung. Wenn man sie also 
als unabhängige Grundformen betrachtet, so gehören ihnen endliche 
vollständige Systeme von Covarianten und Invarianten zu; und auch 
die aus ihnen zusammengesetzten simultanen Bildungen besitzen also 



der Formensystünie. — §§ 69 , 70. 263 

ein .solches endliches vollständiges System (§ 54.). Dieses letztere 
bestehe aus den Covarianten 

6\, Co . " Cq 
und aus den Invarianten 

Der am Ende des vorigen Paragraphen gegebene Satz zeigt, dass 
alle Covarianten und Invarianten von f aus Producten der A und aus 
Formen sich zusammensetzen, welche durch üeberschieben der niederen 
Formen zweiten Grades über Covarianten von f, also über ebenso 
zusammengesetzte Formen entstehen.. Durch Fortsetzung dieses Pro- 
cesses folgt leicht der Satz: 

1. Jede Covariante von /"ist additiv zusammen- 
gesetzt aus Producten der Ä und aus Termen, welche 
ausser Facto ren Z) noch Ueberschiebungen von 
Producten der C über Producte der A enthalten. 
Dieser Satz ist nämlich jedenfalls richtig für die Bildungen ersten 
und zweiten Grades, welche theils den A. theils den C, D selbst 
zugehören. Nehmen wir daher den Satz für Bildungen bis zum (m — 2)*®" 
Grade einschliesslich als erwiesen an und zeigen wir, dass er dann 
auch für Formen vom m*^" Grade gilt, so ist er überhaupt bewiesen. 
Nun zerlegt sich jede Covariante wi*®" Grades nach dem Vorigen in 
eine ganze rationale Function der A und in Ueberschiebungen der 
niederen Formen zweiten Grades, also der einfachsten C (resp. D) über 
Formen (»i — 2)*®" Grades, während der Voraussetzung nach diese 
Formen {m — 2)*«" Grades in Producte der A und in Ueberschiebungen 
von Producten der C über Producte der A (nebst etwaigen Factoren I)) 
zerfallen. Jede Covariante wi*^" Grades wird also aus dreierlei ver- 
schiedenartigen Theilen gebildet: 

1. Producten der ^, 

2. Ueberschiebungen von Formen C über Producte der A, 

3. Ueberschiebungen von Formen C über Ueberschiebungen von 
Producten der C mit Producten der A^ wobei die letzteren auch 
Factoren D enthalten können. 

Die Theile der ersten und zweiten Art haben schon die verlangte 
Form, und auch der Voraussetzung nach jeder Theil dritter Art, 
welcher Factoren D enthält, da nach Weglassung dieser Factoren 
der Term von niederem Grade wird, also der Voraussetzung gemäss 
die im Satze angegebene Form hat. Aber auch für Theile der dritten 
Art, welche keinen solchen Factor enthalten, sieht man dasselbe 
sogleich ein. Bezeichnen wir nämlich das in ihm vorkommende Product 
der A durch (p^-^, so enthält die betrachtete Bildung ausser den C 
nur noch das Symbol qp, kann also nach § 31. durch Ueberschiebungen 



264 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

der Prodticte g)^f^ mit Formen gebildet werden, welche nur die Sym- 
bole der C enthalten, also selbst Aggregate aus Producten der 0, I) 
sind; womit denn wieder die verlangte Form hergestellt ist. 

Hiermit ist der obige Satz bewiesen. 

2. Man kann nun aber weiter zeigen, dass an Stelle der 
hier auftretenden Ueberschiebungen von Producten der 
Ä über Producte der C immer Theile derselben gesetzt 
werden können; wie dies ähnlich in § 54. geschehen konnte. 
Es ist nur nöthig, zuvor genau festzustellen, was hier unter 
einem Theile einer üeberschiebung zu verstehen ist. Bei der Unter- 
suchung der simultanen Systeme, welche aus zwei von einander 
unabhängigen vollständigen Systemen entstehen (§ 54.), wurden die 
Theile der Ueberschiebungen so gebildet, dass in einem Producte 
von Formen des einen Systems jede Form entweder durch ihre eigenen 
-Symbole ausgedrückt werden konnte, oder durch Symbole, welche 
niederen Formen desselben vollständigen Systems angehören, wie z. B. 
die Form T, welche bei den Formen vierter Ordnung auftritt, dabei 
ebensowohl durch das Symbol TJ, wie durch das Symbol {aH) aj hj 
dargestellt werden konnte. In ähnlicher Weise müssen wir hier 
verfahren. Denn obgleich die Systeme der A und der C hier aus 
derselben Grundform entsprungen, also keineswegs von einander unab- 
hängig sind, müssen wir sie hier doch als von einander unabhängig 
behandeln ; wir dürfen also bei Bildung der Ueberschiebungen Symbole 
der J. nur durch Symbole von niedrigeren Formen ausdrücken, welche 
selbst unter die A gehören, und Symbole der C nur durch solche, 
welche selbst unter die C gehören; so dass also stets ein aus- 
schliesslilich die Symbole der A enthaltender Ausdruck über einen 
ausschliesslich die Symbole der G enthaltenden geschoben wird. 

Bei dem Beweise tritt sodann dem Beweise des § 54. gegenüber 
der neue Umstand hinzu, dass die Formen C zwar, nicht aber die J. 
ein vollständiges System bilden, vielmehr letztere nur ein solches sind 
bis auf additive Terme, welche den symbolischen Factor (ah)'^^' ent- 
halten. 

Um den Inhalt des ausgesprochenen Satzes zu verdeutlichen und 
zugleich den Beweis zu ermöglichen, denken wir uns alle in Rede 
stehenden Ueberschiebungen zusammen mit den Producten und Po- 
tenzen der Formen A, C, D selbst (nullte Ueberschiebungen) in einer 
gewissen sogleich anzugebenden Weise geordnet. Wenn nun gezeigt 
wird, dass die Differenz zwischen einer Üeberschiebung und einem 
ihrer Glieder in dem oben definirten Sinne sich durch Formen aus- 
drücken lässt, welche nach dieser Anordnung früher vorkommen, so 
folgt, dass das ganze System der Ueberschiebungen in seiner Voll- 
ständigkeit nicht geändert wird, wenn man jede Üeberschiebung 



der Formensysteme. — § 70. 265 

durch einen solclien Theil derselben ersetzt. Denn ist das System 
der Ueberscliiebungen ursprünglich etwa durch die Formen 

U, V, W, T... 

gebildet, so führt man an deren vStelle jetzt die Theile der Ueber- 
schiebungen : 

U' = U, V = V- cc U, W - W- ß V- ß' u, 
T=^T-y W-yV-fU... 

ein, in welchen die a, ß^ Y--- nuuierische Coefficienten bedeuten; 
aus diesen aber lassen sich jene ersten wiederum zusammensetzen und 
die letzteren bilden daher ein ebenso vollständiges System wie die 
erstereu. Es bleibt also nur zu zeigen, dass bei einer gewissen An- 
ordnung aller Ueber.^chiebungen die Diä'erenz einer solchen und eines 
ihrer Glieder ein x4ggregat früherer Formen ist. Eine solche Anord- 
nung ^ist folgende. 

Wir ordnen (vgl. § 54.) die Producte der A, C, D, sowie die 
Ueberschiebungen der Producte der A und C zunächst nach der 
Gesammtordnung in den Coefiicienten von /' (aufsteigend). 

Wir ordnen sie zweitens innerhalb dieser Gruppen nach dem Grade 
in den Coefficienten von /*, so weit sie von den A herrühren (auf- 
steigend). 

Wir ordnen sie endlich in diesen Gruppen nach der Höhe der 
Ueberschiebungen (aufsteigend). 

Wie gleich hohe Ueberschiebungen innerhalb derselben Gruppe 
weiter geordnet werden, ist gleichgiltig. 

Nun ist nach § 53. die Differenz zwischen der Ueberschiebung 
eines Products der A über ein Product der C und einem der oben 
definirten Theile einer solchen Ueberschiebung ein Aggregat von 
niederen Ueberschiebungen. Bei jedem der in diesen niederen Ueber- 
schiebungen auftretenden Functionenpaare enthält die eine Function 
nur Symbole der J., und ihr Grad in den Coefficienten von f ist 
gleich dem Grade des in der ursprünglichen Ueberschiebung auftretenden 
Productes der A. Die zweite Function enthält nur Symbole der C, 
und sie ist in Bezug auf die Coefficienten von f von demselben Grade, 
wie das ursprünglich angewandte Product der C. Die letzte Function 
ist also selbst ein Aggregat von Producten der C, D; die erstere 
aber, eine aus den Symbolen der A zusammengesetzte Form, besteht 
aus zwei Theilen. Einer dieser Theile ist ein Aggregat von Producten 
der A'^ der andere besteht aus Ueberschiebuugen von Producten der 
C über Producte der J., wobei noch Factoren D hinzutreten können. 

Die erwähnten niederen Ueberschiebungen zerfallen daher in 
folgende Gruppen: 



26ß Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

1) Niedere Ueberschiebungen von Producten der Ä über Producte 
der Cj beide Producte sind in den Coefficienten von /* von gleicher 
Ordnung wie die ursprünglichen, und diese Ueberschiebungen sind also 
der obigen Anordnung nach frühere Formen. 

2) Theile, bei denen an Stelle der Producte der Ä Ueber- 
schiebungen von Producten der Ä über Producte der C getreten sind. 
Diese Theile sind von demselben Gesammtgrade in den Coefficienten 
von f, wie die ursprüngliche Ueberschiebung; aber aus dem früher 
von den Ä herrührenden Grade sind Dimensionen ausgeschieden und 
in C übergegangen. Diese Theile werden also erzeugt durch Ueber- 
schiebungen niederer Producte der Ä über höhere Producte der C, 
doch so , dass der Gesammtgrad erhalten bleibt. Auch diese also sind 
frühere Formen. 

3) Theile, bei denen Factoren D ausgeschieden sind, welche also 
frühere Formen sind, weil sich der Gesamratgrad der übrigbleibenden 
Factoren erniedrigt hat. 

Die fragliche Differenz ist also wirklich durch frühere Formen 
ausdrückbar, wie zu beweisen war. 

3. Nach dem Vorigen konnten die Ueberschiebungen von Producten 
der A über Producte der C durch Theile derselben ersetzt werden. 
So oft nun ein in Factoren zerfallender Theil existirt, wählen wir 
diesen. Jede solche Ueberschiebung aber kann dann, als ausdrückbar 
durch niedere Formen, ausgelassen werden. Und man hat den Satz: 

Alle Covarianten und Invarianten von f sind 
ganze Functionen der vi, (7, D und derjenigen Ueber- 
schiebungen der Producte der ^4 über die Producte 
der C, in denen kein zerfallender Term vorkommt. 

Da nun schon in § 54. bewiesen wurde, dass, wenn die Ä und 
die C endlich an Zahl sind, auch die Anzahl derjenigen Ueber- 
schiebungen von Producten der Ä mit Producten der C eine endliche 
ist, welche kein zerfallendes Glied enthalten, so hat man nunmehr 
den Satz: 

Wenn die Formen (4/^ — 4)*®^ Ordnung ein end- 
liches vollständiges System von Invarianten und 
Covarianten besitzen, so kommt auch den Formen 
(4/^ — 3)*^% (4/^ — 2)*^% (4/i — 1)*«'^ Ordnung ein solches zu. 

Um die Endlichkeit des vollständigen Systems für jedes f zu 
beweisen, ist also nur noch nöthig, den Fall zu behandeln, wo n 
durch 4 theilbar ist, n==4/^, und wobei vorausgesetzt wird, dass für 
niedere Ordnungen der Beweis geliefert sei. 



der Forment^ysteine. — §§ 70, 71. 267 

§ 71. Der Fall, wo n durch 4 theilbar ist. Eigenschaften der Co Variante 
>«ter Ordnung: und zweiten Grades. 

Auf den Fall n = 4:h konnte der oben geführte Beweis nicht 
ausgedehnt w^erden, weil in diesem Falle unter den niederen Formen 
zweiten Grades sich die Form 

befindet, welche selbst von der Ordnung n ist. 

Um diesen Fall zu behandeln, werden wir das System der im 
Vorigen angewandten Formen A um eine endliche Anzahl gewisser 
anderer Formen vermehren, welche aus ihnen und aus K gebildet 
sind. Alsdann schliesst man K von der weitereu Benutzung aus und 
stellt dem erweiterten System der Formen Ä das System der Formen 
C, I) gegenüber, welches aus den Formen 

(« hy^+-' a/'^-'^ h.^ '^-\ {a hy-''^' a,^^-' h,''-' . . . 

entsteht. Diese sind wiederum sämmtlich von niederer Ordnung als 
n, und das aus ihnen gebildete System der C, D ist daher der Voraus- 
setzung gemäss wiederum endlich. Man kann alsdann auf das erweiterte 
System der A und das System dieser C, D, zu denen noch eine unten 
zu definirende einzelne Invariante J tritt, dieselben Betrachtungen, 
wie im Vorigen anwenden, und erledigt so den Beweis mit Hilfe der 
nämlichen Principien. 

Um aber zu dem erweiterten Systeme der A zu gelangen, ist es 
nöthig, einige die Form K betreffende Sätze vorauszuschicken. 

1. Die Ueberschiebungen von K mit /*, deren 
Höhe wenigstens gleich 2h ist, lassen sich aus 
Gliedern zusammensetzen, welche den symbolischen 
Factor {ahy'^'+'^ enthalten, ausgenommen die 4h^^ 
Ueberschiebung, welche die Invariante 

liefert. 

Es sind nämlich die Glieder der (2/i + A)t«° Ueberschiebung von 
K mit f (A=0, l,2...2/i— 1) sämmtlich von der Form: 

((?=0,l,2...2/i-A). 

Daher hat die Differenz zweier Glieder, bei denen die Werthe 
von sich nur um 1 unterscheiden, den Factor 

eine .solche Differenz enthält also den Factor (a6)-^+', aus welchem 
nach § 15. sich auch immer der Factor («?>)-'''+-' ableiten lässt. Kann 



268 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

nuiii daher noch zeigen, chiss irgend eines der Glieder (1) ebenfalls 
so geschriel)en werden kann, dass («?>)-'' + - als symbolischer Factor 
auftritt, so lässt sich jedes so schreiben, indem es sich aus diesem 
und den obigen Differenzen zusammensetzt, und daher ist dann auch 
die ganze Ueberschiebung so darstellbar. Ein solches Glied ist nuu 
bei ungeradem l: 

G, = (ahy^^ (acy^^ (hcY hj'^^-^ cj"^- ' , 

welches durch Vertauschung von h mit c sein Zeichen ändert und also 
identisch verschwindet .Bei geradem A aber hat man aus 

durch Vertauschuug von a mit c und Addition beider Ausdrücke : 

<^i = •K«0''~' («?>)^^+' (^^')^+' W~^'' «.-^v 

. { {ahy^^^^-' cj''-^-' + (bcy^^~^ ' a.'^^'-^-' ^ 
= 1 (acf'-' (ah)^-^' (hcy+^ hj'^-^-^ a, c^ 

* oder, wenn man die Potenz von (^c) (:?j; — (<^0 ^.f entwickelt: 

wo- nun der Factor von - — ^ rechts durch Vertauschung von a mit 

c in G übergeht, während («6')-^+' M nach § 15. in {acy'^+'' W ver- 
w^andelt werden kann. 

Der Ausdruck (^^^L"^:^- l) G, = ^^'~j~^ G, nimmt also 

den symbolischen Factor (<%&)'- ^'+'^ an und daher, da für gerades A der 
Factor 2 Ä - A — 3 nicht verschwindet, auch G^ selbst. Diese Ableitung 
setzt nur voraus, dass die in den Formeln als Exponent a»uftretende 
Zahl 2 /i - A — 1 nicht negativ sei. Der Fall X = 2h ist dadurch aus- 
geschlossen, wie der Satz es auch aussagt. Der Satz ist also in allen 
Theilen bewiesen. 

An diesen Satz knüpft sich der folgende: 

2. Die Ueb er Schiebungen von ^ über sich selbst, 

deren Höhe wenigstens gleich 2h ist, zerfallen in 

Glieder, welche theils den symbolischen Factor 

(a?>)-''+2^ theils den Factor /enthalten. 

Die Glieder fß dieser üeberschiebungen entstehen aus Ga, indem 

man c durch % ersetzt 5 daher enthalten wie dort die Differenzen fo — Tc+i 

immer den symbolischen Factor {aby^'+K Es ist also nur noch zu 

zeigen, dass irgend ein V den Forderungen des Satzes genügt. Nun ist 

r = [aby^ (azy'' (bx)^ b/'^-^ y^.~''-^', 



• der Foraien Systeme. — §§ 71, 72. 269 

es enthält den Factor (axy^' und entstellt also durch Uel3erscliieljung 
anderer Formen mit denjenigen, welche den symbolischen Factor 
(ax}'^' und ausser a und x kein weiteres Symbol enthalten. Dies 
aber sind die Formen, von denen im vorigen Satze ausgesprochen 
wurde, dass sie bis auf «7 den symbolischen Factor (((1)'^'+'^ enthalten. 
Daher ist der obige Satz für f^ und somit aucli für die ganzen im 
Satze genannten Ueberschiebungen bewiesen. 

Da jede den symbolischen Factor (xz'y^ enthaltende Form durch 
Ueberschiebungen der hier behandelten Formen mit Formen niedern 
Grades entsteht, so kann man diesen Satz auch so aussprechen: 

Jede den symbolischenFactor (xx)'-^' enthaltende 
Form zerfällt in Glieder, welche theils den sym- 
bolischen Factor {cihy'+-, theils den wirklichen 
Factor J" enthalten. 



§ 72. Beweis der Existenz eines endlichen vollständigon Systems fiir 
den Fall, wo n durch 4 theilhar ist. 

Bezeichnen wir nun wieder durch 

diejenigen Covarianten von /', welche schon bei den Formen {Ah — 4)*®"^ 
Ordnung als Bildungen auftreten und w^elche nicht den symbolischen 
Factor {cihy^ enthalten. Ihre Zahl ist nach der Voraussetzung endlich. 
Bilden wir dieselben Formen für K als Grundform, und scheiden 
wir alle diejenigen aus, welche den symbolischenFactor {xxy* oder 
deren Glieder den symbolischen Factor (^ahy^'+'^j resp. J, haben, so 
erhalten wir Bildungen, welche durch 

■^1 ; ^2 ; • • • -^v 
bezeichnet werden mögen und zu welchen K selbst gehört. 

Galt für die A der Satz, dass jede Covariante von f sich aus 
Producten der A und aus Formen zusammensetzt, welche den sym- 
bolischen Factor {cihy'' haben, so entspricht diesem, dass alle Co- 
varianten von K sich aus Producten der A- und aus solchen Formen 
zusammensetzen, welche entweder den symbolischenFactor {xx'Y^ oder 
den symbolischen Factor (fl6)^^'+'* haben. Aber von den letzten Be- 
stimmungen kommt die erstere auf die letztere nach dem vorig^en 
Paragraphen zurück, abgesehen von Gliedern, die den w^irklichen 
Factor J haben. Man hat also den Satz: 

Alle Covarianten von K setzen sich aus Pro- 
ducten der A zusammen, und aus Gliedern, welche 
theils den symbolischen Factor (a6)^''*+-, theils den 
wirklichen Factor J" haben. 



270 Sechster Abschnitt.. Endlichkeit 

Aehnlicli wie in § 70. beweist man nun eine Reihe von Sätzen 
über die Art und Weise ^ in welcher alle Invarianten und Co Varianten 
von f sich ausdrücken lassen. 

1. Jede Covariante oder Invariante von /^setzt 

sich zusammen aus einer ganzen Function der A, 

der A und der Ueberschiebungen von Producten 

der A über Producte der A , und aus Gliedern, welche 

den symbolischen Factor (a?;)~''+2 oder den wirtlichen 

Factor J enthalten. 

Dieser Satz ist richtig für die Bildungen ersten und zweiten 

Grades, welche theils den A, theils den A' , C, D selbst angehören. 

Nehmen wir daher den Satz für Bildungen bis zum (m — 2)^^° Grade 

einschliesslich als erwiesen an und zeigen wir, dass er dann auch für 

Formen vom m*®° Grade gilt, so ist er überhaupt bewiesen. Nun 

zerlegt sich jede Covariante oder Invariante m*^" Grades nach dem 

Früheren in eine ganze rationale Function der A und in Terme, welche 

den symbolischen Factor {cthy^' haben, also aus Ueberschiebungen 

von Formen (m — 2)*^" Grades über K (welches den A angehört) und 

über die niedern Formen zweiten Grades (welche zu den C gehören) 

entstanden sind. 

Von den Formen (w— 2)*'^" Grades, über welche K und die 
niederen Formen zweiten Grades hierbei geschoben werden, gilt der 
Voraussetzung nach bereits der zu beweisende Satz. Demnach besteht, 
indem wir die im Satz enthaltene Form insbesondere für die über K zu 
schiebenden Ausdrücke einsetzen, jede Invariante und Covariante aus 
Theilen folgender Art: 

1. aus einer ganzen Function der J.; 

2. aus der Ueberschiebung von K (einem A) über eine ganze 
Function der A, A und der Ueberschiebungen von Producten der A 
über Producte der A -^ 

^ 3. aus Gliedern, welche den symbolischen Factor {ahf^'+' oder 
den wirklichen Factor J haben. 

Die erste und dritte Classe von Gliedern hat schon die verlangte 
Form; nur von der zweiten Classe ist noch zu reden. 

Die Glieder dieser Classe kann man nach einem oft angewandten 
Satze aus Ueberschiebungen entstehen lassen, bei welchen immer eine 
nur aus Symbolen der J. zusammengesetzte Form über eine nur aus 
Symbolen der A zusammengesetzte geschoben wird; also, wenn wir 
die A und die A wie zwei Systeme unabhängiger Formen behandeln, 
eine Covariante der A über eine Covariante der A. Die letztere ist 
nach dem Vorigen bis auf Glieder mit den Factoren {ahf^'-^- und J 
durch eine ganze Function der A ersetzbar; und da die Glieder mit 
den Factoren (a ?>)2^' + 2 und J in die dritte Classe gesetzt werden können^ 



der Formensy steine. — § 7'2. 271 

SO bleiben in der zweiten Classe nur Ueberschiebungen von Producten 
der A' über Covarianten der A. 

Die letztem, welche höchstens vom Grade m — 2 sein können, 
bestehen der Annahme nach aus einer ganzen Function der Aj der 
A' und der Ueberschiebungen von Producten der A über Producte 
der A'j und aus Gliedern, welche den symbolischen Factor (a2>)2^ + 2 
oder den wirklichen Factor J besitzen. Scheiden wir also wieder aus, 
was schon den Forderungen des Satzes genügt, so bleiben nur die- 
jenigen Glieder übrig, bei denen Producte der A' über Terme ge- 
schoben werden, w^ eiche nicht mehr ausschliesslich Producte der ^ 
sind, sondern nothAvendig ausser Factoren A auch Factoren A' oder 
Ueberschiebungen von Producten der A über Producte der A' ent- 
halten. Wenn war also diese Glieder zweiter Classe wieder durch 
Ueberschiebungen von Producten der A' über Covarianten der A er- 
setzen, so sind wir bei dieser Betrachtung, von Ueberschiebungen 
der Producte der A' über Covarianten der A ausgehend, wieder zu 
solchen gekommen. Aber während der Gesammtgrad in den Coef- 
ficienten von f beidemal derselbe war, ist der von den A herrührende 
Theil des Gesammtgrades geringer geworden. Fahren wir also auf 
dieselbe Weise fort, so können war die Glieder zweiter Classe, immer 
mit Ausscheidung von Termen, welche den Bedingungen des Satzes 
schon genügen, auf andere zurückführen, in denen immer höhere 
Producte der A' über immer niedrigere Covarianten der A geschoben 
werden. Man gelangt also endlich zu Gliedern, welche nur noch 
A'y die A aber gar nicht mehr enthalten, und daher durch Producte 
der A' und durch Glieder der dritten Classe ersetzbar sind. 

So sind also alle oben aufgeführten Glieder auf die im Satze an- 
gegebene Form zurückgeführt, und der Satz ist damit bewiesen. 



2. In dem obigen Satze kann man die Ueber- 
schiebungen von Producten der A über Producte 
der A' immer durch Tlieile derselben ersetzen. 



Theile der Ueberschiebungen werden dabei nur so zu bilden sein, 
dass man die A entweder durch ihre eigenen Symbole oder wieder 
durch Symbole anderer A, aber nicht durch andere Symbole aus- 
drücken darf; das Entsprechende gilt in Bezug auf die A'. 

Der Beweis wird ganz wie in § 70. geführt. Man zeigt, dass, 
wenn man eine bestimmte Anordnung der genannten Ueberschiebungen 
(die nullten eingeschlossen) voraussetzt, Tlieile der Ueberschiebungen 
sich von den ganzen nur durch Terme unterscheiden, welche theils 
sich aus früher auftretenden Ueberschiebungen zusammensetzen, 
theils den symbolischen Factor (a&)'-'* + ^ oder den wirklichen Factor 
J enthalten. Bis auf die letztgenannten Glieder, welche überhaupt 



272 iSechster Abschnitt. Endlichkeit 

gleichgiltig sind, Jvaiin man also die ganzen Ueberschiebungen aus 
den für sie eintretenden Theilen zusammensetzen, wodurch der Satz 
bewiesen ist. 

Die Anordnung ist, ganz entsprechend dem unter 2. § 70. Ge- 
sagten, folgende: Alle Ueberschiebungen von Producten der A über 
Produete der Ä'^ einschliesslich der Ä^ A und ihrer Producte selbst, 
ordnet man 

1. nach dem Gesammtgrad in den Coefficienten von f (auf- 
steigend) ; 

2. innerhalb dieser Gruppen nach dem Grade, soweit er von den 
A herrührt (aufsteigend); 

3. innerhalb dieser secundären Gruj)pen nach der Höhe der 
Ueberschiebung (aufsteigend). 

Nun ist nach § 53. die Differenz zwischen einer Ueberschiebung 
und einem ihrer Theile im oben definirten Sinne ein Aggregat aus 
niederen Ueberschiebungen von Covarianten der A über Covarianten 
der A. Statt der letztern kann man bis auf Terme mit dem sym- 
bolischen Factor (a ?>)-''' + - oder mit dem wirklichen Factor J" Producte 
der A setzen. Statt der erstem aber muss man entsprechend nicht 
nur Producte der Aj sondern auch noch Aggregate der J., A und 
der Ueberschiebungen von Producten der A über Producte der A 
setzen. Die von den Producten der A herrührenden Bestandtheile 
des Aggregates kommen in der obigen Anordnung früher vor, weil 
sie in niederen Ueberschiebungen auftreten. Die anderen lassen sich 
auf Ueberschiebungen von Covarianten der A über Covarianten der 
A zurückführen, bei denen der Grad, soweit er von den A herrührt, 
niedriger ist als in dem Aggregate selbst. Man ersetzt sie durch 
Ueberschiebungen von Producten der A über Covarianten der A, und 
die Covarianten der A durch ganze Functionen der A, A und der 
Ueberschiebungen von Producten der A über Producte der A. Schei- 
det man hier nun die Theile aus, welche nur von Producten der A 
herrühren, so sind dieses der obigen Anordnung nach frühere Ueber- 
schiebungen, weil der Grad, soweit er von den A herrührt, niedriger 
ist. Der ßest aber, welcher dann übrig bleibt, ist abermals, soweit 
die A noch darin vorkommen, von niederem Grade u. s. w. 

Man gelangt also auf diesem Wege für die Differenz zwischen 
einer Ueberschiebung eines Products der A über ein Product der A 
und zwischen einem Theile derselben zu einem Ausdruck, welcher 
zunächst aus einer niedern Ueberschiebung besteht, sodann aber aus 
einei" Reihe von Ueberschiebungen der Producte der A über Producte 
der Ay bei denen die letzteren Producte immer niedrigem Grades 
werden, und welche also mit Producten der A allein endigen 



der Formensysteme. — § 72. 273 

muss. Jene Differenz ist also in früher auftretende Formen aufgelöst^ 
wie es sein sollte. 

3. Da nun wieder statt der Ueberschiebungen von Producten der 
A über Producte der Ä' Theile derselben gesetzt werden können, so 
kann man, so oft zerfallende existiren, immer diese wählen; und 
wenn man also eine möglichst geringe Zahl von Formen sucht, aus 
denen alle sich zusammensetzen lassen, so kann man diese ganz über- 
gehen. Die Anzahl der übrigbleibenden Ueberschiebungen ist aber 
endlich, und man kann den Satz aussprechen: 

Bezeichnen wir durch Ä^'' , A^" . . . Ag' die Formen 
A, A' und diejenigen ihrer Ueberschiebungen, 
welche kein zerfallendes Glied enthalten, so ist 
jede Covariante oder Invariante von Z' zusammen- 
gesetzt aus einer ganzen Function der endlichen 
Formenreihe A" und aus Termen, welche den sym- 
bolischen Factor {ah)-^"^'^ oder den wirklichen Factor 
J enthalten. 

Hiermit ist der Unterschied aus dem Wege geräumt, welcher bis- 
her zwischen den Formen einer durch 4 theilbaren Ordnung und den 
andern bestand; nämlich der Unterschied, dass unter den Formen 
zweiten Grades mit dem symbolischen Factor {ahy^ sich eine {K) 
befand, deren Ordnung gleich der von f war, deren vollständiges 
System also nicht als endlich vorausgesetzt werden durfte. Wir können 
den Beweis des § 70. jetzt sofort wörtlich wiederholen, wenn wir 
nur an Stelle der A das erweiterte System der A' , an Stelle der C, 
D das simultane Formensystem der Formen 

{a l)f''+'' rt/^'-2 h^ 2/.-2^ C,/ lyh+X ^^2A-4 IJh-A ^ , ^ 

setzen, den D aber noch die Invariante J hinzufügen. 
Somit ist denn also überhaupt der Satz bewiesen: 

Jede binäre Form besitzt ein endliches voll- 
ständiges System von Invarianten und Covarianten. 

Und indem war die Sätze des § 54. hinzunehmen, haben wir 
ebenso für ein System von Formen den Satz: 

Jedes System simultane r binärer Formen besitzt 
ein endliches vollständiges System von Invarianten 
und Covarianten. 



C leb seh, Theorie der hinftren algebr. Formen. lö 



274 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 



§ 73. Formensystem der Formen fünfter Ordnung. 

Als Anwendung und Erläuterung der obigen Betrachtungen will 
ich die vollständigen Systeme der Formen fünfter und sechster Ord- 
nung entwickehi^ wobei denn zugleich einige Hauptpunkte aus der 
Theorie dieser Formen zu besprechen sein werden. Den allgemeinen 
Untersuchungen des Vorigen gegenüber handelt es sich nunmehr da- 
rum, aus den Systemen, wie sie allgemein entwickelt wurden, alle 
überflüssigen Formen auszuscheiden 5 und man wird sehen, wie schon 
bei den Formen sechster Ordnung die Zahl der auszuscheidenden 
Formen sehr gross ist und ihre Ausscheidung nicht unerhebliche 
Schwierigkeiten mit sich führt. Man sieht, wie auf diese Weise trotz 
der principiellen Erledigung der ganzen Frage für jede besondere 
Ordnung noch immerhin gewisse, dieser Ordnung eigenthümliche 
Aufgaben zu lösen bleiben, wenn man ein kleinstes vollständiges 
System angeben will. 

Die Form fünften Grades 

besitzt zwei Covarianten zweiten Grades: 

H = {a, hf a/ h/ , i = (a hy a^ h^ ^ ij . 

Nach § 70. entstehen alle zu f gehörige Formen, indem man 
Producte von solchen Formen, welche schon bei Formen vierten 
Grades auftreten und welche den symbolischen Factor (a hy nicht ent- 
halten, über Producte von Formen schiebt, welche zu denjenigen aus 
f entstehenden Formen zweiten Grades gehören, deren Ordnung nie- 
driger als n. Man sieht, dass diese niederen Formen zweiten Grades 
sich auf die Form i reduciren, und sie selbst liefert nur noch eine 
Invariante : 

Ä = {ii'f. 

Dagegen bestehen die aus der vierten Ordnung herübergenommenen 
Formen aus den folgenden 5: 

f, H, T={ahy(ca)ajhjc/, i, j = {ahf [a cf {h cf a^ hr c^, . 

Von diesen ist die vierte wegzulassen, da sie den symbolischen 
Factor (ahy enthält. Aber auch die fünfte lässt sich so umformen, 
dass dieser Factor erscheint. Denn da aus der Identität 

p-\-q-\-r = 
die Gleichung 

])^ + q^^ + r^ = i^p q r 

folgt, so hat man, wenn 



der Fomiensysteme. — § 73. 275 

p = {hc)ajry q={ca)hjcy r={ah)Ca^ 
gesetzt wird: 

{ah) {hc) {ca) a^ K c.r = ^ \ {hcf aj + {caf b/ + {ahy rj \ . 

Multiplicirt man dies mit (ah) (ftc) (c<7), so entsteht links /, rechts 
aber erhält man drei gleiche Terme, und also 

^ j=^(^rihy{ac){hc}cj. ■ 

Diese Form enthält, wie man sieht, den Factor (rt?>)^; sie entsteht 
übrigens als zweite Ueberschiebung von f über I und kann daher auch 
so geschrieben werden: 

j = -(iay aj. 

Es sind also nur die drei Formen /", H, T, deren Producte von 
der Form f" W T'y man über Potenzen von i zu schieben hat, um alle 
Formen des Systems von f zu finden ; und von solchen Ueberschiebun- 
gen sind nur solche beizubehalten, in denen kein zerfallender Term 
vorkommt. 

Nach dem, was in § 56. angegeben wurde, hat man zunächst 
üeberschiebungen von i und seinen Potenzen über die einzelnen For- 
men f, H, T zu bilden, sodann aber noch gewisse Invarianten, welche 
durch Ueberschiebung einer Potenz von i über Producte ungerader 
Formen, /./", f.T, T.T entstehen. Die sämmtlichen auszuführenden 
Uebex'schiebungen sind also folgende: 

i über bez. /", H, T , erste und zweite, 

^- über bez. f^ H. T, dritte und vierte, 

^^ über /*, fünfte, 

i^ über bez. Hj T, fünfte und sechste, 

i^ über T, siebente und achte, 

i^ über T, neunte, 

^^ über /"-, zehnte, 

^■' über f. T, vierzehnte, 

i^ über T-, achtzehnte. 

Von diesen üeberschiebungen sind folgende auszulassen, indem 
sie sich durch niedere Formen ausdrücken : 

1. Die erste Ueberschiebung von i über T, die dritte von i^ 
über T, die fünfte von i^ über T, und die siebente von i^ über Ty 
weil T Functionaldeterminante ist (§ 50.). 

2. Die letzte. In der Theorie der Formen vierter Ordnung lernten 
wir die Gleichung kennen: 

18* 



276 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

Nach der von uns eingeführten Bezeichnung besteht diese Gleichung 
fort, wenn wir unter T, H, /", i, j die in der Theorie der Formen 
fünfter Ordnung ebenso bezeichneten Formen verstehen. Die acht- 
zehnte Ueberschiebung von i^ über T^ kann also aus den achtzehn-- 
ten Ueberschiebungen von i^ über 

H^, iHp, jp 

zusammengesetzt werden. Diese drei aber sind sämmtlich aus- 
zulassen. 

Was die achtzehnte Ueberschiebung von i^ über H^ betrifft, so 
gehört sie unter die Bildungen, deren System wir hier untersuchen, 
und muss ausgelassen werden, weil sie ein zerfallendes Glied enthält, 
die dritte Potenz der sechsten Ueberschiebung von v^ über H. 

Anders verhält es sich mit den achtzehnten Ueberschiebungen 
von i^ über iHp und j p. Die Formen iHf- und jP sind hier 
nicht mehr in dem Schema f^H^T^ enthal^n; man kann also auch 
aus der Existenz zerfallender Glieder der Ueberschiebung nicht mehr 
ohne Weiteres folgern, dass die Bildung überflüssig sei, sondern man 
muss andere Schlüsse anwenden. 

Erwägt man, dass j — — (a i)^ a/ , so sieht man, dass die beiden 
fraglichen Ueberschiebungen sich so darstellen lassen, dass zehn ver- 
schiedene Symbole von i und daneben nur Symbole von H und f 
vorkommen. Man schliesst daraus, dass diese Ueberschiebungen 
ersetzt werden können durch Ueberschiebungen von Hp und p über 
Covarianten von i, welche in Bezug auf die Coefficienten von i vom 
zehnten Grade, in den x von den Ordnungen 16 und 20 sind. Da 
nun alle Covarianten von i die Form A^- i^ haben, so ist für den 
erstem Fall 

2 z + ^ = 10, 2A = 16, 
d. h. 

für den zweiten 
d. h. 



A=:8, K=\, 



2;c-fA==10, 2A = 20, 



A = 10, z = 0. 

Die erste dieser beiden Ueberschiebungen erhält also direct den 
Factor A und reducirt sich daher auf niedere Formen. Die andere 
führt auf die zwanzigste Ueberschiebung von i^^ über p. Diese Bildung 
gehört dem betrachteten System von Ueberschiebungen an, aber sie 
ist auszulassen, da sie ein zerfallendes Glied enthält, das Quadrat der 
zehnten Ueberschiebung von i^ über p. 



der Formensysteme. — §§ 73, 74. 



277 



Mit üebergehung der genannten Formen erhält man nun fol- 
ofendes 





Vollständige Formensystem der Formen fünfter Ordnnng. 




Grad 


i r (1 u 11 11 jj 







1 2 


3 


4 


5 


6 7 9 


1 


i 1 ' 


/ 






2 


! 

! ^ 




H 




3 


1 : ii,i\ 


■ {i,f\ 




T 


4 


^ -\ 1 ; 


ihH),. 


ihSh . 




5 




(^',f),\ \(P,f\ 






^ ifen 




6 




W,H\ 




i}\Ii\ 




• 




7 




ii',f\ 1 






^i^,T\ 


■ 


— 


8 


^(i\S\ 


W',s), 










9 




\ 


(«', T\ 






1 


— 


11 




^',T\ 


! 


; 


12 


('■^n.o 










13 




^,T),\ 










18 


(i\fT\, 


i 















In dieser Tafel sind jedesmal nur die beiden übereinanderzu- 
scbiebenden Formen angegeben und die Höhe der Ueberschiebung 
durch einen untern Index angezeigt. 



§ 74. Ersetzung: der rormeii, welche die Tafel enthält, durch andere. 

Die Formen der vorstehenden Tafel kann man zum Theil durch 
andere ersetzen , indem mau, den Sätzen des § 70. gemäss, die Ueber- 
schiebung durch Theile derselben (in dem dort definirten Sinne) ersetzt. 

Wir wollen nun diejenigen Formen angeben, welche an Stelle 
der Aves entlichsten Formen der Tafel im Folgenden benutzt werden 
sollen. Es ist, wie oben gezeigt wurde, 

(1) i=-(ai)^o/ = -(«,/•),; 

dies ist die niedrigste Covariante dritter Ordnung. An Stelle der 
zweiten quadratischen Covariante {i^^H)^ können wir nun das Glied 
setzen : 



278 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

oder, wenn wir für — {a'if ah akCim das Symbol jhjkjm setzen, und 
ähnlicli für — (hi)^ hu hk h^, 

Diese Form ist also zugleich die quadratische Covariante der 
cubischen Form j. 

Die dritte quadratische Covariante {i^,H\ kann man ersetzen durch 

d- = -{ahy (a if ih ij {a i") h^ i'\, . 
Dies ist die erste üeberschiebung von t mit i: 

(3) ^=z(ir)i^t^. 

Es folgt daraus nach der Formel (1) des § 57., dass 9-^ als qua- 
dratische Function von i, x darstellbar ist: 

(4) '9^ = -^L4r2-2iNT^-(7^2|, 
wo Ay Bj G die Invarianten bedeuten: 

(5) A = {ii'f, B^iixf, C={%%)\ 

Die Invariante A ist die in der Tafel ebenso bezeichnete. 7i kann 
an Stelle der zweiten, C an Stelle der dritten Invariante der Tafel 
eingeführt werden. Was B angeht, so ist ein Glied von i^i^^H)^'. 

{aVf (aif (hi'y {ai") {h i") = (jjy {ji") (JT) = (r ly = B. 

An Stelle der in der Tafel vorkommenden üeberschiebung (^'^/^Jk, 
betrachte ich zunächst das folgende Glied derselben: 

. M= (ai) {hi) {aiy {htj {ai'y {hi^^^ 

Diese Invariante, welche wir später mit C in Beziehung setzen 
werden, steht mit den linearen Co Varianten in genauem Zusammen- 
hang. Die einfachste lineare Covariante ist: 

(7) a=^{P,f),= (:iaf(i'aya. = -{jiyj,. 
Die zweite ist die erste üeberschiebung von a mit l: 

(8) ß = {P, f\ = ii' af {r af {i a) i^ = (i a) i, . 
Die Determinante dieser beiden aber ist 

(9) . M={ai)^=:{ßa). 

Die übrigen linearen Covarianten sind, aus (i^,T)s und (r,T),, : 

y = {ahy (ac) {aif {biy K • {cTf {ci^^^f 
= {aif iaa) {aij {hiy K = 07)'^ (i«)/.o 
oder endlich 

(10) y = {xa)x^'^ 



der Formensysteme. — § 74. 279 

und 

= {ahy {acc){aij {hiy {hi) L-^Ujy (ja) (/i) l, 

= {TCi){ri)u 

= 4- (jr) lT.^. {ia) — /^ (t«) } — ^ (/r) Ir^, {icc) + /^ (t«'^}. 

Der erste dieser beiden Theile ist ^ i?a; man kann daher an Stelle 
dieser linearen Covarianten den zweiten setzen, nur mit verändertem 
Vorzeichen : 

(11) ö = {&cc)&^. 

Die drei höheren linearen Covai'ianten sind also die ersten Ueber- 
schiebungen der niedrigsten (a) mit den quadratischen Covarianten. 

Ausser diesen Formen werden wir im Folgenden nur noch die 
letzte Invariante benutzen, welche in der Tafel durch {p ^fT)^^ be- 
zeichnet wurde. Sie ist vom achtzehnten Grade und nimmt daher, 
als von ungeradem Charakter, eine abgesonderte Stellung ein. Wir 
wählen, um diese Invariante auszudrücken, dasjenige Glied der Ueber- 
schiebung {P ,fT)^^j welches entsteht, wenn wir /- viermal über / 
schieben («), sodann ein Glied der achten Ueberschiebungen von i^ 
über T nehmen (y), und das Product cc y zweimal über i schieben. 
So erhalten wir die Hermite'sche Invariante*: 

oder kürzer: 

(12) B = {d'cc)\ 



§ 75. luvarianteiirelationen. 

Die im Vorstehenden betrachteten Formen führen auf eine Reihe 
von Invarianten, deren gegenseitige Beziehungen jetzt noch untersucht 
Averden sollen und welche uns zugleich Gelegenheit zur Entw^ckelung 
einiger Relationen geben w^erden, deren wir später bedürfen, womit 
dann die Betrachtung der Formen fünfter Ordnung hier vorläufig 
abgeschlossen werden mag. 

Wenn man in der Gleichung (4) «^ ^^^ ~ «i ^^ Stelle von x^ und 
X2 setzt, so erhält man das Quadrat der Invariante ungeraden Cha- 
rakters durch Invarianten geraden Charakters ausgedrückt^ es wird 
nämlich 

(1) B'' = -i {ÄN^-2B3IN+ GM% 

Dabei ist M—Ua)'^ die oben so bezeichnete Invariante; N ist 
analog gesetzt für 

(2) N=(Tay', 

* Hermite in Cambr. and Dublin Math. Journal, Bd. 9. 



280 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

Auch die Determinanten, welche die vier linearen Co Varianten 
unter einander bilden: 

dßa), (ya), {-yß), (Sa), (dß), (Sy) 

kann man leicht durch die sechs Invarianten Ä, B, C ,Mj N, R aus- 
drücken. Es war schon oben 

(3) {ßa) = M 

gefunden. Sodann ist aus den Formeln (8), (1(>), (11) des vorigen 
Paragraphen 

(4) {da) = {d^af =:jR 

{y ß) = (r a) (rß) = (t a) (r i) {i a)=^~B, 

Es bleiben also nur noch auszudrücken die beiden Invarianten 

{dß)=:{?^a){pi){ia) 

Sie entstehen aus den ersten Ueberschiebungen von -9- mit i und 
T, wenn man darin x^^a^, x^^—cc^ setzt. Nun sind jene Ueber- 
schiebungen, da xl- selbst die erste Ueberschiebung von i mit t ist, 
nach § 57. 

^ ^ (^r) ^,. r^ = 1 jr {itf - i {tzj] = \{rB-iC), 

und daher, wenn man nun x^ = a^^ x^ = — a^ setzt: 

- {dß)=^^{NA~~-MB) 

■^ {8y) = ^[NB-MC). 

Die einzigen Invariantenrelationen , welche noch 'abzuleiten bleiben, 
sind sonach diejenigen, welche M und N mit A, B, C verbinden. 
Es wird sich zeigen, dass 31 und N sich als ganze Functionen von 
A^ B, C auf einfache Weise darstellen. 

Was zunächst N betrifft, so ist, wenn wir für a den Ausdruck 
« = — (iO^i^ setzen: 

J^r=(r«)2 = (tri)(r/)(^i)H'0T 

Im ersten dieser beiden Glieder vertauschen wir i mit i' und 
setzen für das ursprüngliche Glied die halbe Summe desselben und 
des neu entstandenen. Dann haben wir für dieses Glied: 

i (^i) (t^/) ("') (i/) I («i) (»7) - m W) ! 
= i(^i)(T/)("')Mii? = i^c. 

In dem zweiten Gliede von N setzen wir nach der Identität V. 
des § 15. 



der Formensysteme. — .§ 75. 281 

Bemerken wir aber, dass nach der Theorie der cubischen Formen 
(tjy ja: identi.sch Null ist, weil t die quadratische Covariante von J, 
so können wir die mit (rj)"^, (^/)^ behafteten Glieder auslassen und 
erhalten nur: 

-^B.(/f).(:i'j').{ijr-^-iBK 
Es ist also 
(7) N=^i{ÄC-Iß). 

Man kann aber N auch durch die Determinante von # ausdrücken ; 
denn setzt man in der ersten Gleichung (5) x^ = t.^j x.^ = — r^j so 
erhält man 

I ^A c-B^) = (^i) (^t) (:1t) = {^^y, 

also auch: 

(8) N={^^y. ' 

Als eigentliche Quelle dieser Umformungen ist ein Satz über die 
Form '9" zu betrachten , nach welchem dieselbe zugleich durch die Form 
jj (/«), die erste Ueberschiebung von j mit a, dargestellt wird. Es ist 
nämlich, indem man — /rOO" ^^^ ^ einführt: 

jr'(jCC) = -jJ{jj')U'ir- 

= (r«) %!;*= — *• 
Die Ueberschiebung von a mit, 7 giebt die Form 
9, nur mit entgegengesetztem Zeichen. 
i)aher 

mr- = (jjy (ja) (/«) = {taf = N. 

Dass ausserdem 

folgt direct aus der Theorie der Formen zweiter Ordnung, welches 
auch i und t seien (§ 57. am Ende). 

Schwieriger ist die Aufgabe, auch il/ durch Ä, B, C auszudrücken. 
Man gelangt zu ihrer Lösung mittelst einiger Hilfssätze. Der erste 
derselben heisst: 

Die dritte Ueberschiebung von f über j ver- 
schwindet identisch. 
Es ist nämlich diese Ueberschiebung 

UafttJ, 
oder wenn man iür j den Ausdruck —{hifbj setzt: 
- Q) if {h af aj = I {a hf \ a/ (h if - hj" (a if \ 
= ^{a hf ijc j (7^ ih i) + hj: {a i) \ = {a hy «^ (b i) ix = (i' 'i) i'a: 4 , 

was identisch Null ist, wie zu beweisen war. 

Wegen dieses Satzes kann man jedes Glied, in welchem der sym- 
bolische Factor {jaf vorkommt, als identisch verschwindend übergehen. 



282 Sechstel Abschnitt. Endlichkeit 

Der zweite Hilfssatz bezieht sich auf die zweite Ueberschiebung 
von f über r. Diese Form 

kommt in der Tafel nicht vor. Da sie vom Grade 7 und der Ord- 
nung 3 ist, so kann sie sich nur aus den Formen jj (^^,/)3, i, t, 
a, ßj Ä zusammensetzen. Doch sieht man sogleich, dass zu (i^,/)^, 
t, ß keine Formen existiren, welche, mit ihnen multiplicirt, jenen 
Grad und jene Ordnung geben. Es bleiben also nur die Producte 
Äj , i Uj welclie diese Eigenschaft besitzen, mithin muss eine Gleichung 
der Form stattfinden : 

(9) {axya^^^^p.Aj^Ci.ia, 

wo p, q reine Zahlen sind. 

Schieben wir diese Gleichung dreimal über /", so verschwindet 
nach dem vorigen Hilfssatze das erste Glied rechts und man erhält: 

((f tf {ahf hj ^-^ q . (ibf {ah) hj, 
oder 

q . U «) JJ - i (^^ hy [{a rf hj -{hrf aj] 

= (a hf {a r) &^ r^ = {;l %) la: r^ = d-. 

Hier ist nur nach den früheren Sätzen der Coefficient von q links 
gleich —-0-; es bleibt also 

g = -l. 

Um sodann p zu finden, schiebe ich i zweimal über die Gleichung 
(9). Links kommt dann 

(atf (aiy Cla: = - [jrfjxy 

was nach der Theorie der cubischen Formen identisch verschwindet; 
rechts aber erhält man 

=p A (jiy i. + 1 { {ii'f «. + 2 C^/j {ai) 4 } . 

Nun ist {jiy^i^^ — a und 

2 (i i') {a t) i^ == (i i) [ (« i') i^ — (a i) i^^ ] =- (^ ly a^ = Äa. 

Daher geht die Gleichung über in 

= —-pÄcc-{-^ q Äcc^ 
oder man hat 

Die zweite Ueberschiebung von /" über r hat 
den Ausdruck: 

(10) {ary aJ ^-^Äj-i a. 

Um nun die gesuchte Invariantenrelation zu finden, schieben wir 
diese Gleichung zuerst zweimal über j und erhalten : 



der Formensysteme. — §§75, 76. - 283 

(aty (ajy a,rlr = - 1 ^r - i [{IjY' a^j, + 2 (ij) (aj) i^j^l 

Diese neue Gleichung schieben wir nun zweimal über i. Dann 
ergiebt sich 

(aTy{aj)'(crl)(jl) = -iÄB-i{-(aiy + 2iij)iaj)(ir){jnU 

Das dritte Glied rechts verschwindet, weil es durch Vertauschung 

31 

von / mit /' das Zeichen wechselt : das zweite ist V • Rechts aber 

o 

steht; 

(arf (ajy (ai) ijn = (ar) [ajf {a i) [(« /) {jx) + {aj) (r /)]. 

Das zweite Glied ist auszulassen, weil es den Factor [ajf besitzt; 
das erste wird, weil ./ = — (« i)- a^r^ : 

(«r) {ajf {flif ijr) = - (i'r) (Jr) (/jY = - (r'r)^ = - C. 
Und man hat daher die gesuchte Relation ausgedrückt durch die 
Gleichung : 

(11) ic+3I=2ÄJB. 

In Folge dieser Gleichung kann man, wie auf S. 278 erwähnt, 
auch C an Stelle von 31 als fundamentale Invariante benutzen. 

§ 76. Formeusystem der Formen sechster Ordnuii?^. 

Bei den Formen sechster Ordnung sind von der vierten Ordnung 
nur dieselben Formen herüberzunehmen, wie bei der fünften, nämlich 

(1) f'-=aj, H={ahyajh/, T={ahy (ch) ajhj c^r'] 

denn 

j = {a hf {acy (!) cy aJ hj cj 

geht wie dort in die Form (§ 73.) 

j = — {a hy (ac) [h c) ax h.v c^^ 
über, welche wie 

l = (^cihyajhj 

den symbolischen Factor {ahy enthält. 

Die Formen zweiten Grades, welche von niedrigerer Ordnung als 
/' sind, werden hier: 

(2) i = {ahyax^hj, A = {ahf. 

Die biquadratische Form / veranlasst sofort die Bildungen 
A = {ii'yi/i'/, B = {iiy, 

(3) T =(ii:y(i:'t)ixijrj, 

c = (ity(j:ry{i"iY. 

Die sämmt liehen Co Varianten und Invarianten von / 
bestehen also aus den Formen (Ij, (2), (3) und aus Ueber- 
schiebungen von Producten /"«Ü-^T'/ über Producte ipA'iT''. 



284 " Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

Aber das System von Formen, welches man auf diese Weise er- 
halten würde, wäre sehr gross, und enthielte eine Menge überflüssiger 
Formen. Die mühsamen und wenig interessanten Reductionen, welche 
nöthig sein würden, um alle diese überflüssigen Bildungen auszu- 
scheiden, kann man mittelst einer Betrachtung umgehen, welche 
gewissermassen eine fortgesetzte Anw^idung derjenigen Principien 
enthält, die zum Beweise der Endlichkeit des vollständigen Formen- 
systems führten. Der Vorzug der Einfachheit, welchen die ent- 
sprechende Untersuchung bei den Formen fünfter Ordnung besass, 
rührte wesentlich daher, dass dem System f" Hl^ Ty nur das Formen- 
system einer quadratischen Form /, also nur Potenzen einer Form 
gegenüber gestellt wurden, während hier auch das zweite System 
iPA'iT'' einen verwickeitern Charakter hat. Man kann nun folgenden 
Weg einschlagen, um hier ähnliche Vortheile zu erreichen, wie sie 
bei den Formen fünfter Ordnung eintraten. Man vermehrt das System 
/', Hj T um einige Formen; zeigt dann aber, dass alsdann alle Bil- 
dungen durch üeberschiebuugen von Producten dieses erweiterten 
Systems über Potenzen einer quadratischen Covariante ^ entstehen, 
welche in den Coefficienten von f von drittem Grade ist. Indem 
man also das zweite System nicht mehr aus den Covarianten zwei- 
ten Grades entwickelt, sondern auf solche vom dritten Grade ein- 
geht, muss man allerdings das erste System, welches sonst nur dife 
aus der vierten Ordnung herübergenommenen Formen enthielt, erwei- 
tern; aber dieser Umstand wird bei weitem durch den Vortheil über- 
wogen, dass das zweite System dann wieder nur aus einer einzigen 
quadratischen Form besteht. 

Um die in Frage stehende Betrachtung durchzuführen, ist es 
nöthig, einen ganz ähnlichen Gang zu verfolgen, wie in dem all- 
gemeinen Beweise. Zur Vorbereitung aber muss ich einige Sätze an- 
geben, welche sich auf gewisse Eigenschaften von i beziehen. Es 
sind folgende: * 

1. Die dritte Ueberschiebung von f mit i ver- 
schwindet identisch. 

Man hat nämlich 

(c if c^3 4. = {a by (c af (c b) cj ba; 

= (a bf {c ay {•b) cj ba: \ ia c) fe^ + {cb) ax\. 

Beide Theile dieses Ausdrucks verschwinden, der erste, weil er 
bei Vertauschung von b mit c, der zweite, weil er bei Vertauschung 
von a mit b das Zeichen ändert. 

2. Die biquadratische Covariante von i setzt 
sich aus dem Producte A.i und aus der zweiten 



der Foi-mensy steine. — § 76. 2Ö5 

üeberschiebung von /"mit der einfachsten quadra- 
tischen Covariante 

zusammen. 
Nach der Identität (III) des § 15. ist nämlich: 

= {a hf ! (a lY ij + {a i)' hj + {h if a/ - 2 (a hf {a if hj IJ 
-2{a hf (b iy a/ i/ - 2 {ai)^ (hif aj hj\ , 
oder 

(4) = Ä.i-\-2(aiyaJ-4io hy (a ry bj ij -2{a by {a tj (b iy aj bj. 

Die letzten beiden Glieder dieser Gleichung kann man nun anders 
ausdrücken. Schieben wir f dreimal über, die nach Satz 1, verschwin- 
dende Covariante (aiy aj^ ir, so erhalten wir 

- (aiy \ (« bf i, b/ + 3 {a by (i b) a,. &/ \ ; 

oder wenn im ersten Theile a rnit b vertauscht^ sodann aber "das 
Product {ai) (hi) a^ b^; mittelst der Identität (II) § 15. umgeformt wird: 

= H« W ^-' ! (« ^ ^.rT + (p iy aj -f {a i) {b i) a^ b^ ] 

-S{a{)^abyb/iai){bi)a:.b^ 
= i (a by ij \ 3 {a iy bJ - ^ (a by ij ! 

-iia iy {a by bj \ {a iy bj -i- (& iy «/ - («. by ij \ ^ 

oder: 

(5) 0=3 {a by {o iy by ij - ^ - 3 (/ ^,)2 5^4 

~i(aiy(biy{abyaJb:,K 

Führen wir hieraus den Werth des letzten Gliedes in die Gleich- 
ung (4) ein, so erhalten wir nach Divison mit 4: 

(6) = ^ -h (a ly aj -2{a by {a i^ b/ ij. 
Es ist endlich 

A = {ii'y ij rj = |(a by \ (a iy b/ -f 2 (« {b /) a^ &.} iJ, 

oder, wieder mit Anwendung von § 15. (11): 

A = i {abf i3 {aiy bJ - {aby ij\ iJ, 
also 

(7) iahy{aiybJi/=A + ^- 

Führt mau dies noch iu (6) ein, so hat man die gesuchte Be- 
ziehung : 

(8) {aiy a/ -2 A-^^i), 



286 Seclister Abschnitt. Endlichkeit 

vermöge deren A sich durch Ai und durch die zweite Ueber- 
schiebung von f über l ausdrückt. — 

Entwickeln wir nun die Anwendung, welche diese Formel auf 
die Theorie der Formen sechster Ordnung gestattet. 

1. Es war der Ausgangspunkt für die Aufstellung des vollstän- 
digen Systems, dass alle Formen desselben, abgesehen von Ä^ durch 
Ueberschiebungen der Covarianten von i über Ausdrücke der Form 
f" Hl^ Ty entstanden. Nun zeigt sich aus (8), dass bis auf Glieder, 
welche die Coefficienten von l enthalten, die erste Co Variante A von 
/' auf i zurückführt. Schieben wir (8) einmal über i, so zeigt sich, 
dass die zweite Covariante T von i geradezu nur aus Termen besteht, 
welche die Coefficienten von l enthalten. Lassen wir also Terme, 
welche die l enthalten, jedesmal aus, so bleiben nur Ueberschiebungen 
von Potenzen von i mit f^IK^Ty übrig, welche man zu bilden hat. 
Auch von den Invarianten von i braucht man die erste, JB , allein; 
denn nacb der Theorie der Formen vierter Ordnung drückt sich C 
durch (Aiy aus, und dieses wiederum kommt nach (8) auf AB und 
Glieder zurück, welche Coefficienten von l enthalten. Man kann daher 
sofort den Satz aussprechen: 

Jede Covariante oder Invariante von /' ist bis 
auf Glieder, welche die Coefficienten von / enthal- 
ten, eine ganze Function von 

(9) f, H, T, A, i, B 

und von den Ueberschiebungen von Potenzen der 
Covariante i über Ausdrücke der Form f" Hi^ Tv. 

Da im früher entwickelten vollständigen Systeme, aus welchem 
dieser Satz mit Hilfe von (8) sich ergiebt, nur solche Ueberschiebungen 
von Potenzen der Covariante / über /'« iZ"/^ T^ auftraten, welche kein 
zerfallendes Glied enthielten, die übrigen aber durch Theile (im Sinne 
des § 70.) ersetzt werden durften, so gilt dasselbe auch hier noch. 
Zugleich können wir hier alle Bildungen auslassen, welche etwa das 
Symbol l enthalten sollten. Dies tritt z. B. ein bei allen Ueber- 
schiebungen, welche den symbolischen Factor {aif enthalten; denn 
diese enthalten die Coefficienten der Form 

Während nun aus dem Verschwinden der Covariante (aif aj ijc iolgi: 

iaif aj* iy -f 3 {aif aj a^ix — O^ 
hat man andererseits: 

{aif aj' iy — {a'Cf a/ a^ 4 = {(li)^ aj- {xy) — l {xy)j 



der Foi-mensysteme. — § 76. 287 

also 

Die Coefficienten des Ausdrucks links setzen sich also aus den 
Coefficienten von l zusammen, und demnach kann jedes {(df enthal- 
tende Glied ausgelassen werden, sobald es sich nur darum handelt, 
die Formen bis auf Glieder zu bilden, welche die Coefficienten von 
/ enthalten. 

2. Entwickeln wir zunächst die übrig bleibenden Ueberschiebungen 
von i^ über f" Hi^ T^. Da H von der achten, T von der zwölften 
Ordnung ist, also die Ordnungen beider durch die von / theilbar sind, 
so braucht man nur über H und T einzeln Potenzen von i zu 
schieben, da sonst immer zerfallende Glieder erzeugt werden können. 
Dagegen muss man i^ ausserdem über / und P schieben, denn erst 
die Ordnung von f- ist durch 4 theilbar. 

Aber wenn man l oder eine Potenz von i mehr als zweimal über 
eine der Formen 

oder über eine Potenz von f schiebt, so entsteht immer ein Glied, 
welches den symbolischen Factor (a/)^ hat. Demnach sind überhaupt 
nur beizubehalten die Ueberschiebungen: 

i über /", ein- und zweimal; 

(10) i über H, ein- und zweimal; 
i über T, zweimal. 

Die erste Ueberschiebung von / über T fällt aus, weil T Functional- 
determinante ist. 

Aber auch von den Formen (10) kann man die beiden letzten 
noch als überflüssig nachweisen. Die zweite Ueberschiebung von H 
mit i kann ersetzt werden durch das Glied 

für w^elches man nach der Identität (III) § 15. die Gleichung hat: 

2 {a hy {aiy ij cfj hj = aj hj [ i {a ?>)^ ij -f {aiy Kr^ - {a if (h iy «/ hj]. 

Von den Termen rechts ist der erste ^ f-, der zweite I . f^ der 
dritte wird nach (5), (6) auf Ä.i und Terme, welche das Symbol / 
enthalten, zurückgeführt. Dieses Glied und damit die ganze Ueber- 
schiebung ist also auszulassen. 

Da, wie oben bemerkt, die dritte und vierte Ueberschiebung von 
i mit JS auszulassen ist, so folgt, dass die Formen 

(11) {HifHJi^^ {HifHJ^i:,, {SiyHJ, 



288 Seclister Abschnitt. Endlichkeit 

also überhaupt alle den symbolischen Factor {H'})- und kein weiteres 
Symbol enthaltenden Formen bis auf Glieder, welche das Symbol 
l enthalten, durch 

(12) H, A, i 

ausgedrückt werden können; Tj (Hi) H^'^ i/ und {Tiy T/^ i/ kommen 
dabei, als von zu hoher Ordnung, nicht in Betracht, /", B und die 
beiden üeberschiebungen {ai) aj" %x und {a%f aj^ ij' nicht, weil keine 
Combination der Formen (9), (10) existirt, welche, mit jenen multipli- 
cirt, Ordnung und Grad einer der Formen (11) haben könnte. Die 
Formen (11) aber haben nach § 31. Satz 6. die Eigenschaft, dass alle 
das Symbol {Hi)^ enthaltenden Bildungen sich durch üeberschiebungen 
mit ihnen darstellen lassen. Dies führt -zum Beweise dafür, dass die 
letzte der Formen (10) ebenfalls überflüssig ist. Sie kann, da 
T= (aJET) a/1?^^, ersetzt werden durch den Theil 

Es ist aber, wenn q) — (Hiy HJ ij- gesetzt wird : 

6 {Hif HJ> ij Hy + 2 (Hif HJ i^ iy - 8 cp,-^ (py 
{Hif HJ> ij^ Hy - {Hif HJ 4 iy = {Hif HJ> i^ {yx) , 



also 



{Hif HJ> iJ Hy = g)/ (py + i {Hif HJ i, . {yx). 



Setzt man nun y^ = — a^, y^=a^ und multiplicirt mit aj\ so ent- 
steht links der gesuchte Ausdruck ; rechts ist das zweite Glied nach dem 
Obigen bis auf Terme, welche das Symbol l enthalten, das Product von 
/"mit einer Combination der Formen (12), das erste aber die erste üeber- 
schiebung von f mit cp. Dieses Glied muss sich also aus den Grössen 
(12) und aus ihren ersten üeberschiebungen mit f zusammensetzen. 
Aber die letzteren führen auf T und {ai) aj" iJ' ^ also auf schon bekannte 
unter den Formen (9), (10). Das an Stelle von {aH)aJ'H^'^ gesetzte 
Glied ist also durch die anderen Formen bis auf Terme, die das Sym- 
bol l enthalten, darstellbar, und kann demnach ausgelassen werden. 

So kann man jetzt folgenden Satz aussprechen: 

Jede Covariante oder Invariante von /"ist bis 
auf Glieder, welche das Symbol / enthalten, eine 
ganze Function von 

(13) /-, H, T, A, i, B, {ai)aji/, {at^a^ij, {Hi)HJi/. 

3. Man knüpft nun leicht hieran den Beweis des Satzes : 

Jede Covariante und Invariante von f ist eine 
ganze Function der Functionen (13), der Form l, 
ihrer Discriminante ^// = (??')% und der üeber- 



der Formensysteme. — § 76. 289 

Schiebungen von Potenzen von / über Producte der 
Formen (13). 

Ein Glied, welches das Symbol / enthält, kann nur den Factor 
Ä/i haben oder durch Ueberschiebung von / über eine Form niedern 
Grades entstanden sein. Nehmen wir nun au, der fragliche Satz sei 
bis zu Covarianten und Invarianten (?m — 3)*^° Grades bewiesen. Er 
gilt dann auch für Formen ni^^^ Grades, wie jetzt gezeigt werden 
soll. Es besteht nach dem Gesagten jede Covariante oder Invariante 
?>i*^" Grades aus drei Theilen: 

1) aus einer ganzen Function der Formen (13); 

2) aus einer Form (??« — 6)*^" Grades, multiplicirt mit Ä/r-i diese 
Form hat die im Satze angegebene Form nach der Voraussetzung-, 

3) aus Ueberschiebungen von l über Formen (w? — 3)*^° Grades. 

Da letztere nach der Voraussetzung die im Satze angenommene 
Form haben, so zerfallen die unter 3. angegebenen Terme wieder in 
drei Classen: 

1) Ueberschiebungen von / über Producte der Formen (13); 

2) Terme mit dem Factor Än'^ diese beiden Classen haben, die 
erste der Definition, die zweite der Voraussetzung nach die iui Satze 
angegebene Form; 

3) Ueberschiebungen von l über Ueberschiebungen, bei denen 
Potenzen von / über Producte der Formen (13) geschoben sind. 
Aber diese kann man nach § 31. auf Ueberschiebungen derselben 
Producte über Covarianten von /, also auf Ausdrücke zurückführen, 
welche tlieils den Factor Äu haben, theils Ueberschiebungen von Po- 
tenzen von l über Producte der Formen (13) sind. Alle diese Aus- 
drücke aber haben die im Satze angegebene Form. 

Es ist also nur noch zu zeigen, dass für m — 1, 2, 3 der Satz 
richtig ist. Da aber jede Covariante oder Invariante von einer ganzen 
Function der Formen (13) sich nur durch Terme unterschied, welche 
das Symbol l enthalten, welches eine Form dritten Grades repräsen- 
tirt, so können solche Terme bei den Covarianten und Invarianten 
ersten und zweiten Grades überhaupt nicht, bei denen dritten Grades 
nur durch die Form l repräsentirt auftreten, womit denn der Satz 
bewiesen ist. 

4. Statt der im vorigen Satze angewandten Ueber- 
schiebungen kann man Theile derselben benutzen. Diese 
Theile müssen nur, analog der in § 70. gegebenen Definition, so 
gebildet werden, dass das Symbol l niemals in andere Symbole auf- 

Clebsch, Theorie der binüreu algebr. Formen. ly 



290 Sechster Absclinitt. Endlichkeit 

gelöst wird. Der Beweis wird wie der entsprechende in § 70. geführt. 
Es wird gezeigt^ dass, eine bestimmte Anordnung der Ueberschiebungen 
(die nullten eingeschlossen) vorausgesetzt^ die Differenz zwischen einer 
Ueberschiebung und einem ihrer Theile stets durch frühere Formen 
ausdrückbar ist. Die Anordnung geschieht 

1. nach dem Gesammtgrade «-, 

2. nach dem Grad ß, soweit er von den Formen (13) herrührt; 

3. nach der Höhe y der Ueberschiebung. 

Wir setzen den Satz als bewiesen voraus bis zu einem gewissen 
Werthe von cc exclusive^ bei diesem Werthe von a bis zu einem ge- 
wissen Werthe von ß exclusive, bei diesen Werthen von a und ß bis 
zu einem gewissen Werthe von y exclusive^ und beweisen, dass er 
dann auch für diesen Werth von y gilt. 

Die zu betrachtende Differenz zwischen der 7*^" Ueberschiebung 
und einem ihrer Theile drückt sich nach § 53. durch niedere Ueber- 
schiebungen von Formen, welche nur die Symbole der Formen (13) 
enthalten, über Formen aus, welche nur Sjmibole von I enthalten. 
Letztere sind An oder Potenzen von ?. Tritt An vor, so bleibt der 
andere Factor eine Co Variante niederen Grades, und für die in ihr 
auftretenden Ueberschiebungen gilt also der Satz der Annahme nach. 
Hat man es dagegen mit der Ueberschiebung einer Potenz von / 
über eine niedere Form zu thun, so ersetzt man diese, dem vorigen 
Satze nach, durch eine ganze Function der Formen (13) und durch 
Theile, welche das Symbol l erhalten. Die Theile der Ueberschiebung, 
welche von der ganzen Function herrühren, genügen also den For- 
derungen des Satzes der Annahme nach, weil die Ueberschiebung eine 
niedere ist; die anderen Theile, weil sie höhere Dimensionen in den 
Z, daher niedere in den Formen (13) haben. Alle Theile der Differenz 
genügen also den Forderungen des Satzes, wie zu beweisen war. 

Da der Satz für die ersten drei Grade offenbar richtig ist (denn 
für sie existiren noch keine Ueberschiebungen der behandelten Art), 
so ist er überhaupt richtig. 

5. Aus dem vorigen Satze folgt nun sofort, dass man nur die- 
jenigen Ueberschiebungen von Potenzen der Covariante l über Pro- 
ducte von Formen (13) beizubehalten hat, welche keine zerfallenden 
Glieder haben. Da / quadratisch ist, alle Formen (13) aber gerader 
Ordnung sind , so braucht man demnach nur Potenzen von l über die 
einzelnen Formen (13) zu schieben (vgL §56.). Es entstehen so 
folgende Ueberschiebungen, bei welchen nur die ungeraden Ueber- 
schiebungen über Functionaldeterminanten, dem am Ende des § 56. 
bewiesenen Satze entsprechend, schon ausgelassen sind: 



(2 ()-!)*« und 2q'^ 


von 


Z^ 


Über f, 


j) )7 n 


» 


» 


n 


s, 


2pt« 


>7 


j; 


rj 


T, 


(2 9 — 1)*« und 2()t« 


7? 


r, 


n 


'h 


2()*« 


)? 


» 


r 


{ai)aj'i/, 


(2^-1)*« und 29t« 


r 


?7 


rj 


{aifa/i/, 


2^*« 


r 


r 


r, 


{Hi)HJiJ 



der FormensYsteme. — §§76, 77. 291 

p-1,2,3, 4; 
9=1,2,3,4,5,6; 
(I) (2()-l)«<'und 2(>'« , „ „ i, P=l,2; 

p==l,2,3,4; 

9=1,2,3; 

(.=^1,2,3,4,5. 

An Stelle jeder dieser Ueberschiebungen kann man auch einen 
Theil derselben setzen; man siebt dann, dass sehr viele dieser Formen 
noch überflüssig sind. 



§ 77. Rednction des Systems der aus eiuer Form sechsten Grades 
entspringenden Bildnugen. 

Man kann zeigen , dass folgende Ueberschiebungen sich aus nie- 
deren Formen zusammensetzen: 

1. die zweite Ueberschiebung von H mit ?; 

2. die zweite Ueberschiebung \o\\ x^ ~ (aiy aj ij mit /; 

3. die vierte Ueberschiebung von / mit 1-. 

-Hieraus folgt dann, dass ausser diesen noch eine grosse Zahl der 
unter (I) aufgeführten Formen auszulassen sind. Man bew^eist zunächst 
leicht den Satz: 

Wenn eine Summe von Producten einer Anzahl 
von Formen, unter denen sich keine lineare befin- 
det, ein- oder zweimal über eine quadratische Form 
geschoben wird, so entsteht wieder eine Summe von 
Producten. 

Für erste Ueberschiebungen ist dies an und für sich klar. Bei 
den zweiten aber entstehen aus jedem Producte (p . ^' einerseits Terme, 
welche einen der Factoren cp , f und die zweite Ueberschiebung des 
anderen über l zu Factoren haben; andererseits Terme der Form 

was durch die identische Gleichung 
in: 

i \rl^ ■ (9O' 9^^""-' + gp . (^0' ^-r«-' - 1 . (9^)' ^'-"'-^ ^'x"-' !, 

also in ein Aggregat von Producten übergeht, wie zu beweisen war. 
Da in der vorliegenden Untersuchung immer nur Formen gerader 
Ordnung auftreten, so tritt die im Satze erwähnte Ausnahme hier 
niemals auf 

19* 



292 Sechster Abschnitt. Endlichkeit 

Aus diesem* Satze folgt, dass die höheren üeberschiebungen von 
I] mit Potenzen von l ausgelassen werden können. Denn dieselben 
haben die symbolische Form: 

{Hlf {Hl') HJ Ir , {Elf {HIJ H/ , 

{Elf {HV) {Hl") H/ l\, {Hl)' {Hiy {Hiy H/ 
etc. 

Von diesen entstehen die ersten aus Ueberschiebung von l über 
die Form {Hiy HJ, welche, wie weiterhin gezeigt werden soll, 
zerfallt, und sind demnach selbst Summen von Producten; die 
folgenden aus Ueberschiebung von l über die zerfallende Form 
{Hy {Hiy HJ u. s. w. 

Ganz ebenso ist es mit den üeberschiebungen der Potenzen 
von l über p = {a i)' a^;'^ ij ', auch diese können, indem {piy pj^ zer- 
fällt, bis auf die erste ausgelassen werden. 

Aber auch für die Üeberschiebungen von l mit 



[aH)aJHJ, S={Hi)HJi 



lässt sich dasselbe zeigen. Man kann nämlich die zweiten üeber- 
schiebungen von T und S mit l durch die Theile 

r = {aH) aj> {HiyjIJ>, S' = {Hi) ij {Hiy HJ> 

ersetzen •, und da dieses nichts anderes als die ersten üeberschiebungen 
von /'und i mit der zerfallenden Form {Hl)' HJ sind, so können sie 
ausgelassen werden. Nun darf man aber ferner die vierten üeber- 
schiebungen von T und S mit l' durch die zweiten von l mit T' und 
S' ersetzen, die sechsten von T und S mit F durch die vierten von l' 
mit jT' und S' etc., so dass man lauter zerfallende und auszulassende 
Formen erhält. Diese Ersetzbarkeit ist nicht ohne weiteres klar; 
denn man darf im Allgemeinen nicht üeberschiebungen durch Theile 
ersetzen, bei deren Bildung Symbole, -wie die von T\ S', benutzt 
werden, welche die Symbole der über einander zu schiebenden Systeme 
[hier l einerseits und die Formen (13) andererseits] gemischt enthalten. 
Dass es hier erlaubt ist, die Formen in der genannten Weise zu er- 
setzen, sieht man an einer derselben folgendermassen ein; bei den 
andern ist es genau ebenso. 

Die vierte Ueberschiebung von T mit l' kann durch die Theile 

r, = {a H) {Elf {Eiy aj> EJ , T^ - {a E) {Elf {EI) {a T) aj E/ etc. 

beliebig ersetzt werden. Diese Ausdrücke sind aber auch zugleich die 
Theile der zweiten Ueberschiebung von T' über ?, und zwar kommen 
unter den V sämmtliche Theile derselben vor, wenn T' in der sym- 
bolischen Form 



der Formensysteme. — § 77. 293 

gegeben wird. Daher ist 

wo 

«i + ß^, . . . = 1 , 
oder 

(T ly T'.' = r, + (r, - r j «, + (r, - rj «, .... 

Da nun die Differenzen der f durch frühere Formen (im Sinne 
der auf S. 290 getroffenen Anordnung) aii^drückhar sind, so ist 
auch fj oder die Ueberschiebung, welche f^ vertritt, durch die zweite 
Ueberschiebung von T' mit l ersetzbar, was zu beweisen war. Dass 
für die folgenden Üeberschiebungen dasselbe gilt, liegt auf der Hand ; 
ebenso ist es mit den aus S entstehenden Bildungen. 

Es kommt also nur noch darauf an, das Zerfallen der Formen 

imr-Bj, ipifpj, (iinuy 

nachzuweisen. 

1. Die Form (Hl)'-^ HJ. Entwickeln wir nun nach den For- 
meln am Ende des §8. den Ausdruck (aby ajhjhy'^, so erhalten wir 

(« ly aj hj h,/ = J'<p + i{x,j)Jt + ^ (.r yy % , 

WO 

9) = (a hf aj hJ = H, ^ = | (a hf aj hj = 0, 
X = iKCt^'ciJhJ = ii, 
also 

(ahy a/ hJ h,/ = HJ H,/ + 1 {xyf . /. 

Setzen wir nun y^ = l-,j y.^ = — l^j so wird aus dieser Gleichung: 

(1) HJ {Hlf = {a hy aJ hJ (h ly -li, l 

Aber der Term (ahyajbj{biy ist die zweite Ueberschiebung 
von /' über die Covariante (bjyhj, welche nach § 76. (8) den Aus- 
druck hat: 

(hiyhJ=^2A+^. 

Daher wird auch nach (1): 

(2) HJ (Hiy = 2 (A ay AJ aJ + ^Ap-^i l 
Es bleibt der Term (^AaJ^ AJ aJ zu untersuchen. 

Zu diesem Zwecke entwickeln wir zunächst nach der Tafel des 
§ 8. den Ausdruck (iijijit/ und erhalten 

(iO ij i'y^ = f (xy) z/^ ^ + i i^t/y CO, 
wo 

^ = i^ii'y ij ij =-. A, G3 ^ {li'y = B, 



294 Sechster Abschnitt. Endlichkeit. 

SO dass endlich: 

Setzt man hierin yi~a.^y y2~~^^i ^^^^ multiplicirt mit aj, so 
hat man: 

(3) {ii') (ß iy ij aj = -I (a Ay AJ aj + ^^ ' 

Aber der Ausdruck links entsteht aus 

{aif aj" iy, 

wenn man darin y^ — i'.>, y>~~'H setzt und mit ^V multiplicirt. 
Da nun, wie in § 76. bewiesen wurde, die Form {aiy aj ix identisch 
verschwindet, so erhält man mit Anwendung der Tafel des § 8. : 

(aif a/ iy = f (xy) . (a if a/ = ^l.(xtj). 
Man hat daher durch die angegebene Operation: 

(4) (aiy(:ii')aJiJ=^-il.L 

Aus (3) findet man also, indem man den Werth des Ausdrucks 
(4) einträgt: 

(5) {aAyAJa/--=^-^-^, 
und hat daher aus (2) die gesuchte Darstellung: 

(6) H^^ {Hiy - ^p-^f _ 9 1 1 

2. Die Form (pl^pj. Nach der Tafel des § 8. hat man: 

(aif aj ay' i/ = J' (p + i{xy) Jip + ^ {xyf % , 
wo 

fp = {aiy a,r^ ix^^p, ^^ — ^ (aif a/ 4 = 0, x = I (aif aJ = i l, 

also 

(aif aJ tty^ ij -=^Px^Py' ■+• Vö ^ • (^2/)^- 

Setzt man hierin y^ — l.^, y2~~h> ^^ wird: 

(7) {aif aJ (a If ij = (p Ifp/ + ^^ P. 

Die linke Seite ist die zweite Ueberschiebung von i mit 
(alfa.^ = 2A + ^, 

und indem man dies in (7) einträgt, findet man: 

A A 



der Formeusysteme. — § 77. 295 

Eudlicli weiss man nach der Theorie der biquadratischen Formen 
[§40. (8)], dass 

Daher wird endlich die gesuchte Formel: 

Bi + AÄ P 



(8) (pl)'Pa:' = 



10 



3. Die Invariante (_iiy^(jll'y. 

Aus der Tafel des § 8. erhält man die Formel : 

Setzt man darin y^ = l^, i/., — —l^^ y^ = /',, y.2 = — ^\ t so er- 
giebt sich 

(9) (a hy (a if {h ly = (i ly o ry + i .4 . a^ . 

Hier steht rechts die gesuchte Form, links die vierte lieber- 
Schiebung von 

über sich selbst, also: 

Nach der Theorie der biquadratischen Formen ist 

iAA'y' = ~, (/■Ay = c, 

so dass (9) in 

(10) {iiy[iry = iB'' + iAC+iA'jB-\ÄÄii 

übergeht. Hierdurch ist eine Zerlegung unserer Invariante in niedere 
Formen schon gegeben; um sie durch möglichst wenige Bildungen 
auszudrücken, muss man noch Cauf ^// zurückführen, was oben schon 
als möglich angedeutet wurde. Die Formel für diese Reduction, 
welche wir später brauchen, mag hier gleich gegeben werden. Schiebt 
man nämlich / viermal über die Gleichung 

Ai 
{alfaa:^ = 2A-\--j , 

so kommt 

links steht aber nichts anderes als Äu, und man hat also die Be- 
ziehung 
(11) Ät,^2C+iÄB. 



296 



Sechster Abschnitt. Endlichkeit 



Die Formel (10) nimmt hierdurch die einfachere Gestalt an: 

(12) iilfiiiy = iiB' + AC). 

Das ganze vollständige System der Form sechster Ordnung besteht 
nunmehr aus 26 Bildungen , welche man in der folgenden Tafel zu- 
sammenfassen kann, in welcher die Höhe der Ueberschiebungen immer 
durch den beigesetzten Index angezeigt wird: 



iirm\ 


Ordnung: 







2 


4 


6 


8 


10 


12 


1 








f 


"— 






2 


Ä 




i 




H 






3 




i 




P 


if,i) 




T 


4 


B 




if, i\ 


ifJ) 




{H, i) 




5 




(i, l\ 


ihi) 




{H,l) 






6 


An 






iP,l) 
iifi),l)2 






7 




if, l\ 


if, i\ 










8 




i.i, 1% 












9 






Hf,i},l% 










10 


(A ^^)6 


if, 1% 












12 




HfAi% 










15 


«/>•), ?^)8 















§ 78. Die Invarianten und die quadratischen Covarianten der Formen 

seclister Ordnung. 

Ich werde jetzt die sechs quadratischen Covarianten näher unter- 
suchen, wobei denn zugleich die Invarianten behandelt werden müssen. 

Wenn man, von l ausgehend, successive die quadratischen Cova- 
rianten bildet: 



(1) m = {i If ij, n = (i mf ij , q = (i nf ij . . . , 

so gelangt man zu einer Reihe von Ausdrücken, von denen der erste 
in der Tafel vorkommt, von denen der zweite an Stelle der vierten 
Ueberschiebung von l^ über f gesetzt werden kann, und von denen 
die übrigen die bemerkenswerthe Eigenschaft haben, aus ?, m, n auf 
sehr einfache Weise linear zusammensetzbar zu sein. . 



der Formensysteme. — §§77, 78. 297 

Was zunäclist die Ersetzung von {alf {al')- a/ durch m anbetrift't, 
so folgt aus der oft benutzten Gleichung 

indem man dieselbe zweimal über l schiebt: 

{alf {aJi' a/ = 2 (A /)- A.,^^ + j\ilf 'iJ 

= 2(A?,^A/ + ^. 

Mau kann also [alf {aJ)- aj^ in der Tafel durch (AI)- AJ er- 
setzen. Da sodann aber, nach einer schon oben benutzten Formel 
aus der Theorie der biquadratischen Formen [§ 40. (2)] 

SO folgt, indem man 7/^ = /^, y^^ = — l^ setzt: 

(itr iJ {tiy = (:imy ij = n = AJ ( A Ij' + ^ , 

d. h. Aar^(Ar)- ist durch n ersetzbar, was zu beweisen war. 

Führen wir also /, m, n als fundamentale quadratische Covarian- 
ten ein. Die übrigen in der Tafel enthaltenen sind dann durch deren 
Functionaldeterminanten ersetzbar. Es ist nämlich erstens: 

Sodann kann {f, l'-)-^ als erste Ueberschiebung von (f, /-)j mit l 
betrachtet werden. Da nun (/, l'-\, wie soeben gezeigt, bis auf Glie- 
der von der Form Bl und Ä7)i durch ?^ ersetzbar ist, so ist auch 
seine erste Ueberschiebung mit l bis auf ein Glied von der Form 
B ,{mT)mjcJxj also überhaupt, durch {nl)na:lx ersetzbar. 

Endlich ist nach den allgemeinen Regeln die Form i{f)i),l%, 
also die sechste Ueberschiebung von {a i) aJ^JJ mit /^, durch das Glied 

ersetzbar. Dieses aber ist die erste Ueberschiebung von {il)^i/ = m 
mit {al'y^ {al" f üjc^^ und da letzteres sich von n nur um Terme Bl^ 
Am unterscheidet, so ist auch der obige Ausdruck von {nm)na:nKr 
nur um einen Term der Form A . {ml) nix Ix verschieden und kann 
also durch (nm)nxmx ersetzt werden. 
Bilden wir nun die Covariante 

q = (Inf ix' = ^n' (imy ij = (nf (/'O^ {i'iy ij. 

Nach den Formeln der Tafel des § 8. ist 

. {iiy iii'Y ia- r,/ =^J-(p'\-i (xy)- 1, 



298 Sechster Ab«cliiiitt. Endliclikeit 

WO 

cp ^ {ii'f (urf rj i:? = ^ " l§ 40. (7).] 
^ = (a7(i'r)2(*r)ä =c, 

also 

{iiY ii'ij i/ i'\/ = I ^ . i,^ l,/ + 1 6\ {xyf. 

Setzt mau nun y^ = l^, y,^=z — l^^ so wird hieraus: 

(2) q = iBm + iCl 

Bemerken wir, dass wir bei Ableitung dieser Formel von den 
Eigenschaften der Form l gar keinen Gebrauch gemacht, sondern den 
Beweis lediglich auf das Gesetz der Bildungen (1) gestützt haben. 
Die Formel (2) gilt also nicht nur für die Formen l^ m, q, sondern 
für je drei Formen der Reihe (1), welche ähnliche Stellungen zu einan- 
der einnehmen. Und so darf man den Satz aussprechen: 

In der Reihe (1) drückt sich jede Oovariante durch 
die zweit- und drittvorhergehende mittelst der For- 
mel (2) aus. 

Wenn nun die quadratischen Covarianten der Form sechster 
Ordnung mit den aus den simultanen Formen l, m, n hervorgehen- 
den quadratischen Covarianten identificirt werden, so können ebenso 
die höheren Invarianten der Form sechster Ordnung aus den Inva- 
rianten dieses simultanen Systems hergestellt werden, zwischen denen 
dann freilich Beziehungen eintreten, welche in den Beziehungen von 
l, m, n zu der Grundform sechster Ordnung ihre Begründung finden. 

Bezeichnen wir die durch gegenseitige zweite Ueberschiebung von 
/, m, n erzeugten Invarianten durch 

All =(liy Anui=={mnf 

(3) A.nrn = inimJ Ani^inlf 
A,.n ={nny Aim-=={lmY, 

endlich die aus allen gebildete Invariante ungeraden Charakters durch 

(4) R = ~(lm)(:mn){nl). 

Die Form Au findet sich schon in der Tafel. Die Bildung (/; l\ 

hingegen, oder 

{alf{aiy{aiy 

geht durch zweite ueberschiebung von l mit {alf {al'Y ax^ hervor, 
also mit einer Form, welche von n nur um Glieder Am, Bl unter- 
schieden ist. Diese Form kann also bis auf Term A{mVfy B (ITfy 
also überhaupt, durch 

(5) I) = {:nlf = A„, 



der Formeiisysteme. — § 78. 



299 



ersetzt werden. Wenn wir jetzt Aj B^ C, D, E als die fundamen- 
talen Invarianten betrachten, so ist zunächst An durch § 77. (U), 
dann A,ii durch (5) gegeben. Es ist aber auch 

{nlf = {imf {iiy = {mmy = A„, „, , 
daher auch 

(6) A,,.„, = D. 

Ferner, indem man (2) zweimal über / oder m schiebt: 



(7) 



(qlf = i^inf {ilf = {mny = A,„„ = -i BA.m + | CAu 



{q m)'^ = ii nf (/ mf = in n)- =Aan =1 B A,n ,„ + i CAn, i 

Es ist also nur A„a noch auszudrücken; dies aber ist die schon 
in § 77. behandelte Invariante 

(8) A,,a = iilf {iiy = | {B'^ + AC). 

Führen wir also überall A, B, C, B ein, so erhalten wir für 
diese simultanen Invarianten von l, m, n folgende Tafel: 

An =2C+\AB A.„n-=-\B{B^^AC)^-\Ci2C^^AB) 

(9) A„,,n=B A„i =B 

Ar,n ==iBD+iC{B^'+AC) Ann =i(B'+AC). 

Durch diese drückt sich das Quadrat von R mittelst der Formel 

§ 58. (5) aus : 

' All Alm Ain j 



(10) 



R'^i 



Ami 






A, 



Und B ist zugleich an Stelle der letzten Invariante der Tafel 
{{fj i),l^)s zu setzen; denn es ist wie diese vom 15. Grade und un- 
geraden Charakters, und kann also da es eine andere Invariante un- 
geraden Charakters nicht giebt, von dieser nur durch einen Zahlen- 
factor verschieden sein. 

Die Gleichung (10) stellt so zugleich die einzige Beziehung dar, 
welche zwischen den Invarianten A, B, C, D, E eintritt. Zwischen 
den A, B, C, B und /, m^ n tritt eine Gleichung ein, welche ?, m, n 
quadratisch enthält und nach § 58. (9) die Gestalt hat: 

All Alm Ain l 

A 

= 



Ami 


Amm 


Amn 


m 


Anl 


A„m 


Ann 


n 


l 


m 


n 






Durch diese Untersuchungen sind die wesentlichsten derjenigen 
Beziehungen gegeben , von welchen ich später Gebrauch machen werde. 



Siebenter Absclinitt. 

Typische Darstellungen. 



§ 70. lieber die Anzahl der Parameter, yon welchen die luyarianten 
und Covarianten eines Systems abhängen. 

Die vier willkürlichen Grössen^ welche eine lineare Substitution 
mit sich führt, kann man im Allgemeinen so bestimmen, dass vier 
Coefficienten einer gegebenen Form w*^" Grades, f, nach der Trans- 
formation gegebene Werthe annehmen. Dabei müssen nur gewisse 
Werthsysteme ausgeschlossen werden, durch deren Auftreten eine 
specielle Invarianteneigenschaft herbeigeführt wird ; wie denn z. B. die 
beiden ersten Coefficienten niemals gleichzeitig verschwinden können, 
ohne dass die Discriminante verschwindet, was durch lineare Trans- 
formation nicht erreichbar ist. 

Nehmen wir etwa irgend zwei der Verschwindungselemente der 
Function zu Grundelementen § = 0, t^ = 0. Dann verschwinden in der 
transformirten Form das erste und das letzte Glied von /', so dass das 
Product der neuen Veränderlichen J . 7] ein Factor von /' wird. Indem 
wir noch diese Veränderlichen um constante Factoren passend ändern, 
können wir es ferner erreichen, dass in der übrig bleibenden Function 
(?^ — 2)*" Ordnung die äussersten Coefficienten gegebene Werthe an- 
nehmen, wofern nicht etwa einer von diesen, oder beide, verschwinden, 
was nur bei dem Verschwinden der Discriminante eintreten kann. Wir 
können also, wenn nur die Discriminante nicht verschwindet, mithin 
immer, so lange die Coefficienten als ganz beliebig gedacht werden, der 
Function /' die Form geben: 

Hier ist die Anzahl der Coefficienten von f nur noch gleich n — 'dj 
um die Anzahl der Substitutionscoefficienten kleiner als die ursprüng- 
liche Zahl der in /" enthaltenen Coefficienten. 

Wenn man sich f in der Form (1) gegeben denkt, so sind die 
Coefficienten Kj l . . . beliebig und von einander unabhängig. Zwischen 



Typische Darstellungen. — § 79. 301 

diesen Coefficienten kann dalier auch im allgemeinen Falle keine Be- 
ziehung stattfinden. 

Bildet man nun eine Invariante von f, einmal aus der ursprüng- 
lichen Form («7); einmal aus der trän sfor mir ten Form (1) {J'), und 
ist r die Substitutionsdeterminante, so hat man 

d. h. J ist eine ganze rationale Function von r, x, A . . . q. Man hat 
also den Satz: 

Alleinvarianten einer Form ^^^^'^ Grades /Massen 
sich als ganze rationale Functionen von n—2 will- 
kürlichen Grössen dar st eilen, von deren einer nur 
immer eine Potenz als Nenner auftritt. 
Führt man die Veränderlichen ^, rj in irgend eine andere Function 
q) der p*®" Ordnung ein, so behält diese p + 1 willkürliche Coefficienten. 
Daher gilt für simultane Invarianten der folgende Satz: 

Alle simultanen Invarianten eines Systems 

von Grundformen /', q), j}j . . . lassen sich als ganze 

Functionen von so viel willkürlichen Parametern 

ausdrücken, als die Zahl der Coefficienten in diesen 

Formen beträgt, weniger 3. 

Es könnte nun die Frage entstehen, ob diese Parameter nicht 

bei solchen Darstellungen nur immer in einer geringeren Anzahl fester 

Verbindungen auftreten, so dass die Invarianten in der That nur von 

einer kleineren Anzahl von Parametern abhingen. Dass dies nicht so 

ist, sieht man aus folgender Betrachtung. 

Die Aufgabe, eine Form f in die Form (1) zu bringen, ist völlig 
bestimmt und auf n.n — 1 verschiedene Arten lösbar, indem man je 
zwei der linearen Factoren von f zu Formen |, r] wählt; diese Arten 

gruppiren sich übrigens in ^ Paare, so dass die Lösungen eines 

Paares sich nur durch Vertauschung von ^ mit i] von einander unter- 
scheiden. Hat man die linearen Factoren, welche benutzt werden 
sollen, gewählt und bezeichnet sie durch qI, Cr], so nimmt /"zunächst 
die Form an: 

und man setzt noch 

(2) «'''"''' = 1' 9<?"-' = y- 

Man hat, um q und a zu finden, eine n{n — 2f^ Wurzel zu 
ziehen und demnach für jede der [^ Lösungen noch w . 7^ — 2 



302 Siebenter Abschnitt. 

Ünterfiille, welche aber in der That sich auf nur n — 2 reduciren. 
Irgend ein Coefficient nämlich der transformirten Function f besteht 
ausser einem bekannten Theile aus q"-' (j\ was nach (2) in 

g"-' __ 1 

übergeht und also rational von ^" abhängt; diese Grösse aber ist aus 
(2) durch die Gleichung (^^— 2)*®" Grades gegeben: 

(3) (9")"-^ = ;^,. 

Man könnte hiernach die Aufgabe, / in die Form (l) zu bringen, 
sich in der Weise behandelt denken, dass man die Grösse r= q" sucht. 
Diese Grösse, welche im Ganzen 7t.n—l.n — 2 Werthe annehmen 
kann, ist durch eine Gleichung von diesem Grade gegeben, deren 
Coefficienten ganze homogene rationale Functionen der gegebenen 
Coefficienten von f sind. Aber da immer n — 2 Werthe von r sich 
der Gleichung (3) wegen nur durch (w — 2}*^ Wurzeln der Einheit 
unterscheiden können, so darf diese Gleichung nur Potenzen vonr"-^ 
enthalten, d. h. sie muss die Form haben [p = n(n—\}\: 

(4) A (t"-''')p+ä, {r^-'^y-^ + Ä, (t«-2)?'-3 . . . + ^1^_ 0, 

in welcher die Ä ganze homogene Functionen der Coefficienten von 
f sind. 

Zu jedem Werthe von r gehört nur ein System der Grössen x, 
A..., der Coefficienten von /" in seiner transformirten Gestalt; und 
zwar sind diese Grössen his auf die oben durch a, . . . h bezeichneten 
Factoren, welche nur von der Wahl der J, rj^ also von t""^ abhängen, 
gleich den Grössen 





1 1 

1 1 


1 


oder gleich 

Man hat also 


1 



_1 jÖi(t«-2)/'-' + J5,(t"-2)p-2 _ 



WO die By C . . . wieder ganze homogene Functionen der Coefficienten 
von f sind, oder auch, indem man diese Gleichungen mit bezüglich 
mit der (w — 3)*^^, (w — 4)*®° etc. der ersten multiplicirt, und die Po- 
tenzen von r mittelst der Gleichung (4) reducirt: 



Typische Darstellungen. — § 79. 303 

(5) C" . 7i"-' . A = C\ (T"-2)p-i + C'2 (r"-^)/'-^ ^ , , 

7 

wo die i^', C ähnliche Bedeutiingeu haben. 

Denken wir uns nun auf /' eine lineare Transformation angewandt^ 
so bleiben die linearen Functionen ()|, (? ^; völlig uugeändert, also 
auch die Coefficienten a, h, aus denen q, 6 sich bestimmten, und 
endlich, wegen der Gleichung (3), auch r"- '. Durch eine lineare Trans- 
formation wird demnach keine der p Wurzeln der Gleichung (4) 
geändert, und die Quotienten 

A ' A'"' A ' 

welche rationale Functiouen der Coefficienten von f sind, müssen 
diese Eigenschaft theilen. 

Ferner haben die links in den Gleichungen (5) auftretenden 
Grössen 

%"'-■' . '/., >£"-'♦ . l . . . 

die Eigenschaft, sich durch a, ...h und die {n~2y^ Potenz von r 
auszudrücken, also durch eine lineare Transformation von f ebenfalls 
nicht geändert zu werden. Denken wir uns nun, durch eine lineare 
Transformation von f gingen B\ JB\ ... in B', B'^ . . . über, ebenso 
C , C\ . . . in r, r'i u. s. w. Man hätte dann beispielsweise aus der 
ersten Gleichung (5) 

Diese Gleichung muss für die|) Werthe von r"~- bestehen, welche 
der Gleichung (4) genügen, und da diese im Allgemeinen sämmtlich 
verschieden sind, so würde man die 2^ Gleichungen, welche so ent- 
stehen, als p von einander unabhängige homogene und lineare 
Gleichungen mit den Unbekannten 

?li_^ ^_^ ^/'_^ 

B' B'^ B' B" •■ B' B' 

ansehen können und daraus schli essen, dass diese Unbekannten sämmt- 
lich verschwinden müssen, weil die Determinante des Systems, das 
Differenzenpro duct der t"~-, nicht verschwindet. Man hat also 

I[,^B\ B^^B\, 
J?'"^ B'^ B'~ B'' '" 
und ebenso: 

(y i '1 (y 2 '2 

^- p7, ;^,--j=7,... U. S. W., 



304 Siebenter Abschnitt. 

d. li. auch die Quotienten 

ir ' B' '"' c" c" '" 

werden durch lineare Transformation nicht geändert. 

Nun wird im nächsten Paragraphen der folgende Satz nach- 
gewiesen werden^ welcher zugleich die Invarianten in einem neuen 
Lichte erscheinen lässt: 

Jeder Quotient zweier Functionen P, Q der 
Coefficienten simultaner Formen /, (p, ip..., wel- 
cher sich durch lineare Transformation der Formen 
nicht ändert und dessen Zähler und Nenner homogen 
für jede der Coefficientenreihen sind, ist der Quo- 
tient zweier Invarianten. 

Aus den Gleichungen (5) folgt, indem wir diesen Satz als bewiesen 
voraussetzen, dass oc, l... irrationale Functionen der Invarianten von 
/'sind. Da nun k, /L . . . dem Obigen zufolge ein System von n—'d 
ganz willkürlichen Grössen bilden, so können auch die Invarianten 

B\ B\ 0\ C\ 

B" B""' G" ^v-;^^-s.w. 

nicht von weniger als n — ?j Parametern abhängen. 

Was nun die Grössen B\ B^ ..., C, 6'/... selbst anbetrifft, so 
dürfen wir immer voraussetzen, dass wenigstens je einer der Quotienten 

B" C"" 

in Zähler und Nenner keinen gemeinschaftlichen Theiler besitzt. Da- 
her sind nach dem angeführten Hilfssatze B'j C\ . . Invarianten, und 
also auch alle B'i, C'i. . . Diese Grössen selbst hängen, ausser von den 
ersterwähnten n — ?) Parametern, noch von der Determinante der 
I, 7} ab, von welcher sie eine Potenz als Factor enthalten. Von dieser 

B' C- 
Determinante hängen die Quotienten-^', jj} " • nicht ab 5 denn durch 

lineare Transformation kann man der Determinante jeden beliebigen 
Werth geben, während jene Grössen sich nicht ändern. Diese Deter- 
minante ist also ein (^^— 2)*®^ Parameter and die Invarianten B'i, d . . . 
hängen also von n—2 Parametern ab, was zu beweisen war. 

Ich will an den obigen Satz, unter der Voraussetzung, dass auch 
der Hilfssatz nachgewiesen sei, einige Bemerkungen knüpfen. 

Da alle Invarianten eines simultanen Systems nur von /^ — 3 Para- 
metern abhängen, wenn li die Anzahl aller Coefficienten beträgt, so 
muss zwischen je Ti—2 Invarianten immer eine Relation 



typische Darstellungen. — §§ 79, 80. 305 

stattfinden. Man erhält also alle Beziehungen, welche zwischen 
den Invarianten eines Systems stattfinden, deren Zahl etwa i sein mag, 
wenn man / — Z; + 3 Beziehungen zwischen Ä; — 3 fest gewählten und 
Jfe einer der übrigen ableitet. Diese Beziehungen werden im Allge- 
meinen nicht so beschaffen sein, dass man etwa alle übrigen Invarianten 
durch 7j— 3 rational ausdrücken könnte; ja es wird im Allgemeinen 
kein System von 7.-— 3 Invarianten existiren, welches dieser Forderung 
Genüge leistet. 

Da nach § 4. Covarianten immer als Invarianten aufgefasst werden 
können, bei deren Bildung das System der Grundformen nur um eine 
lineare Form, das System der Coefficienten also um zwei vermehrt ist, 
so folgt daraus, dass alle Covarianten und Invarianten eines simultanen 
Systems immer als Ausdrücke mit Tz— 1 Parametern angesehen werden 
dürfen und dass also zwischen je h Covarianten, bez. In- 
varianten eine Relation existirt. Ist h die Gesammtzahl aller 
Covarianten und Invarianten des Systems, so giebt es also h — lc-\-l 
von einander unabhängige Relationen, welche etwa wieder zwischen 
/j— 1 fest gewählten und je einer anderen Form bestehen können. 

Wenn man die Veränderlichen |, r] einführt und nun die Co- 
varianten und Invarianten bildet, so kommt man in der That auf 
Functionen von k—1 Parametern; zu den A' — 3 bei Invarianten 
auftretenden kommen noch ^ und r] hinzu. 

Bezüglich des ganzen Systems der Invarianten und Covarianten 
wird nun weiterhin der Satz nachgewiesen werden: 

Man kann immer Ti;— 1 Covarianten und Invarian- 
ten so wählen, dass durch sie jede andere Covariante 
oder Invariante sich rational ausdrückt, wobei 
immer nur eine Potenz von einer jener Ä; — l Formen 
den Nenner bildet. 

Dieses System von /.' — 1 Formen iässt sich einfach angeben. 



§ 80. Partielle Diflfereutialgleicliimgeii, denen die Covarianten nnd 
Invarianten eines simnltanen Systems geniigen. 

Der Zweck, den wir bei dem Folgenden im Auge haben, besteht 
in dem Beweise des im vorigen Paragraphen angeführten Hilfssatzes. 
Aber bei der Führung dieses Beweises werden sich einige an und für 
sich interessante Momente ergeben. 

Bezeichnen wir durch P und Q zwei ganze rationale Functionen 
der Coefficienten simultaner Formen /", cp, ilf .,.y homogen für jede 
der Coefficientenreihen. Dieselben Functionen, aus den Coefficienten 

Clebsch, Theorie der binären algebr. Formen, }30 



30(1 Siebenter Abschnitt. 

der linear transformirten Functionen gebildet, seien P\ Q\ Nehmen 
wir an, es sei für jede lineare Transformation mit nicht verschwin- 
dender Determinante 

und zwar mögen P und Q keinen gemeinsamen Theiler besitzen. 
Es folgt dann 

und da die transformirten Coefficienten lineare Functionen der ursprüng- 
lichen sind, so stimmen die Dimensionen von P und P' oder von Q 
und Q' in Bezug auf die Coefficienten der gegebenen Formen f^tp^ip.,. 
überein; m kann daher nur noch eine ganze Functfon der Transfor- 
mationscoefficienten sein. 

Wir werden nun folgenden Satz beweisen: 

Wenn eine ganze rationale Function P der Coef- 
ficienten von fy 9, ^ . . .; welche für jede dieser' 
Coefficientenreihen homogen ist, die Eigenschaft 
hat, dass die für die linear transformirten Fun- 
ctionen gebildete Function P' sich von P nur durch 
einen von den Transformationscoefficienten ab- 
hängigen Factor unterscheidet, so ist dieser Factor 
eine Potenz der Transformationsdeterminante und 
P eine Invariante. 

Bezeichnen wir die Coefficienten der verschiedenen gegebenen 
Formen /", 99, -^ . . . beziehungsweise durch 



«0? 


%; 


a,. 




K 


hu 


h- 




Coy 


Ci> 


c^. 


" 



die Coefficienten der transformirten Formen durch beigesetzte obere 
Striche. Ist n die Ordnung von /", und sind 

^ ^ ^2 = <^2 S + /^a 7/ 

die Transformationsformeln, so ist 

(2) f==a,x,- + j a, x--'x, ...=.«;?" + - a\i—^7j + ,.., 

und die a'{ daher linear in den «,, von der #®° Ordnung in den «; 
ähnlich sind die doppelten Darstellungen von 9), ip . . . 



Typische Darstelhingen. — § 80. 307 

Als unabhängige Veränderliche können wir hierbei die folgenden 
Grössen auffassen: 

1. Die ursprünglichen Coefficienten der Formen f\ cp^ ip..., 
deren Gesammtzahl J: sein mag. 

2. Die neuen Veränderlichen h,, rj. 

3. Die Substitutionscoefficienten «, ß. 

Die neuen Coefficienten und die ursprünglichen Veränderlichen 
erscheinen als Functionen dieser Grössen. Aber es ist charakteristisch, 
dass die A-j-6 Grössen a,-, &,..., ^, rj^ ccj, /3, nur in Jc-\-2 Functionen 
a',-, J)\. . ., Xi auftreten. Ich werde nun ein System von Differentialen 
angeben, welches man den unabhängigen Veränderlichen beilegen 
kann und für welches die Differentiale von x^, rr., verschwinden, 
während die Differentiale der k Functionen a'i, Vi . . . sechs einfache 
Werthesj^steme annehmen. Setzen wir, indem wir durch dt irgend 
eine unendlich kleine Grösse bezeichnen: 

/Qx da^^{pa^ + qß,)dt d ß, = {ra,-\-sß,) dt 

^' ^ d «, - (P(^2 + Qß-^ d f' d ß-2 =- {ra, + sß,) d t, 

so wird aus (1): 

dx, = a,[d^^-\-{pl + rri)dt] + ß,[drj + {qt, + srj)dt^ 
dx, = a, [d^-\-(pi+rri) dt] + ß, [dri + {q^+sri) dt] . 

Daher hat man 

dx^^ = 0^ dx.2 = 0, 

wenn man d^, drj aus den Gleichungen bestimmt: 

di = -{2)^ + rri)dt 
^^ drj=-{q^+S7i)dt. 

In diesen Formeln sind ^;, q, r, s noch ganz willkürliche Grössen. 

Sehen wir »un, welche Werthe die Differentiale der a'i, ¥i . . . 
annehmen; wobei es hinreicht, eine der Formen, etwa f, zu betrachten. 

Wenn wir die Gleichung (2) differenziren und statt der Diffe- 
rentiale die oben angegebenen besonderen Werthe setzen, so erhal- 
ten wir: 

= l^dl +1^ rf ,i + 1" d a\ + j g"-' n d a\ . .. 

Setzen wir nun die Coefficienten der verschiedenen Potenzen von 
i, 1] einzeln gleich Null, so finden wir für die Differentiale der a 
folgende Ausdrücke: 

20* 



308 Siebenter Abschnitt. 

+ 7isa\ dt 
n.n — 1 , , r n—l.n — 2 , . n-1 , n—l.n — 2 






1.2 



qa 



-\-n.~Y-sa^ \dt 



oder auch: 

^ a\ = (>z - 1) (_?) r/\ H- q a\;) + (r r/, + s a\) 
(5) ö! a\, = {n-2) {p a\ + q a\) + 2 (i- a\ + .s r^',) 



^ a'n = n {r a„^\ -j- s a„). 

Differenziren wir nun die Relation 

in welcher P' dieselbe Function der a'i ist, wie P von den a,;, und m 
eine Function der a, ß allein; an Stelle der Differentiale setzen wir 
die einfachen Ausdrücke (3), (5). Dabei bleibt P constant; dm wird 

dm dm, ■ ^^^^ 7/j , ^^^^ 7/3 

+ (r ^, -h s ß,) ^ + (r «, + s ß,) ^^ dt. 
Man erhält also, mit Beseitigung des Factors dt die Gleichung: 

(6) +0-«i+«|5,)|^ + ('-«. + sft)|^] 

In der rechten Seite dieser Gleichung bezieht sich die Summe U 
auf die verschiedenen Coefficienten einer Function; die Summe S 
dagegen auf die verschiedenen Functionen f, cp , 21^ . . .^ so dass die 
verschiedenen Glieder dieser Summe sich ergeben, wenn man in dem 
ausgeschriebenen Gliede statt der a die Z), c . . ., und statt der Ord- 
nung n von f die Ordnungen von 9, 4^ . . . setzt. 



Typische Darstellungen. — § 80. 309 

Die Gleichung (6) reprUsentirt vier verschiedene Gleichungen^ 
welche man erhält, indem man die Coefficienten von_2), q, r, s einzeln 
gleich Null setzt; nämlich die Gleichungen: 

T>/ cm , cm\ c\( , cP' . ^ , cP' , , cP' \ 

Die Substitutionscoefficienten kommen hier explicite nur in den 

eingeklammerten Factoren der linken Seite vor. Geht man von der 

allgemeinen linearen Substitution zu derjenigen über, für welche 

iCj = ^, ^2 ~ ^; ^^^0 überhaupt ai = cii, h'i = bi . . .^ wird, so hat man nur 

a, = l, a, = 0, ß, = (), ß,= l 

zu setzen. Die eingeklammerten Factoren links gehen in gewisse 
numerische Werthe 

fcm\ (cm\ (cm\ (dm\ „. 

M="' M^''' wr'' w=* 

über, welche weiterhin bestimmt werden sollen; und indem noch P' 
sich auf P reducirt, erhält man das folgende System partieller 
Differentialgleichungen, welchem jede durch dieGleichung 
P' = m P definirte Function der Coefficienten von fyCp^f... 
genügen muss: 



(8) 



Es ist eine besondere Eigenschaft dieser vier Gleichungen, dass 
sie gemeinsame Lösungen gestatten, deren Existenz wir aus der 
Existenz der Invarianten kennen. Aber sie gestatten dieselben nur 
für besondere Werthe von «, /3, 7, d , wie wir jetzt zeigen werden. 

Bezeichnen wir durch O (P) und Y (P) irgend zwei lineare Com- 
binationen der Differentialoperationen, welche auf der rechten Seite 
dieser Gleichungen stehen; es sei also 



310 Siebenter Abschnitt. 



(9) 



WO 

Ah = {n~}i) {p üA + q n/,^^) + h {r ((a^\+ s ü/) 
A'h = (n—h) {p'aA + qcfA+i) + h (/üa-i + s'cia) , 

und ähnlich Ba, B'a, Ca, C'a . - -, den Functionen cp, il^ . , . entsprechend, 
während pj q, r, s, p, q, r, s ganz beliebige Grössen bezeichnen 
sollen. 

Die Operationen O und Y haben die Eigensch aft, 
dass 

(10) [Y (P) ] - N^ [0 (P)] - X (P) 

wieder ein Ausdruck der Form (P) oder Y (P) ist, 
dass also, wenn man beide Operationen nach einan- 
der anwendet, aber in entgegengesetzter Reihen- 
folge, die Differenz der entstehenden Ausdrücke 
sich aus den rechten Theilen der Gleichungen (8) 
wieder linear zusammensetzt. 

Man beweist diesen Satz bequem in folgender Weise. Bei der 
Bildung der Gleichung (10) entstehen zwei Arten von Termen; die 
einen enthalten erste, die andern zweite DiflPerentialquotienten. Die 
Glieder der letzten Art heben sich gegen einander auf, indem in der 
Differenz sich immer zwei Terme der Form 

ÄABk , — B,,Aj 



CGA (Ol; fOl- Cü/, 

zu Null vereinigen. Die linke Seite des Ausdrucks (10) hat also zu- 
nächst wirklich die Eigenschaft, nur erste Diff'erentialquotienten von 
P zu enthalten; es bleiben dabei diejenigen Glieder von O [M^ (P)] und 
Y [0(P)] stehen, welche von der Differentiation derCoefficienten A, A . .. 
herrühren, so dass 

^ (^^ = 8 |f£ t* (^'o) - ^ (A)] + ||lf (^'i) - "V {A,)] + . . . j . 

Da nun die Äa nur von den cia, nicht aber von den Coefficienten 
der übrigen Functionen abhängen, so ergeben bei der Bildung von 
<^(Ah) — ^{AA) auch nur diejenigen Theile der Operationen O, V 
etwas von Null Verschiedenes, bei welchen nach den üa differeuzirt 
wird. Es ist also 



Typische Darstellungen. — § SO. 311 

und demnach: 
(ll)X.i;-^^^„„^j^„.^^+A g^^+... ^og«^ '^'gaiC 

Um diesen Ausdruck nun in übersiclitlicher Form darzustellen, 
bemerke man Folgendes. 

Die unter dem Summenzeiclien der recliten Tlieile der Gleichungen 
(8) befindlichen Ausdrücke gehen, wenn man 

dP_ d_F d^ 



durch 






ersetzt, in die Ausdrücke 

a/- a/^ df df_ 

y^dv,^ y^ji: y-'dy,^ y^dy^ 

in welchen / immer mit den Argumenten y^ , y^ geschrieben gedacht wird. 
Betrachtet man also die Gleichungen 



n 



(12) da,-\y' y^ 



dP oi.n — l 

h 



da- 1.2 ^^" '^^' 



als symbolische Gleichungen, welche die w*«" Dimensionen der y sym- 
bolisch definiren, so nehmen die Gleichungen (8) die symbolische 
Form an: 



«p=8^. '' 



2 2/1 









Die unter den Summenzeichen der Gleichungen (9) enthaltenen 
Ausdrücke erhält man, wenn man die in (8) oder (13) enthaltenen 
Ausdrücke mit p, q, r, s, bez. /, q, r , s' multiplicirt und addirt; 
es ist also symbolisch: 



312 Siebenter Abschnitt. 

Da hierbei nur die Differentialquotienten von P, nicht aber die 
Coefficienten a^ symbolisch verändert sind, so kann man diese Aus- 
drücke in die Gleichung (11) einführen und daher symbolisch setzen: 

(15) X (P) 

kz=n 



k = n 









Die beiden hier vorkommenden Summen 

haben sehr einfach anzugebende Werthe. Denn die Gleichungen (12), 
welche symbolisch in Bezug auf irgend eine Function P sind, werden 
wirkliche, wenn man P durch f ersetzt; jene beiden Summen sind 
also wirklich gleich den Ausdrücken (14 j, und die Gleichung (15) 
verwandelt sich demnach in folgende: 

+ S i'i V. + 6-' 2/.) -^^ \ (p y, + r j,,) ^ + (g j,. + s y,) i| j 
-^{PVi + r 2/2) ^^ I ip' V, + r y.^ ^ + [q y^ + s' y,) ^ | 

, - 8 (2 2/. + *• y.) 4 j ^^'' ^' + '■' y-^ 4 + ^'^' ^' + '' '■''^ S ! ■ 

Bei der Ausrechnung dieser Ausdrücke sieht man sogleich, dass 
die mit zweiten Difterentialquotienten von f behafteten Glieder sich 
aufheben, und es bleibt daher übrig: 



Typische Darstellungen. — § 80. 313 



+ {qr-rq')^tj.,^ 



of 



Diese Formel beweist, dass wirklich, wie oben behauptet, der Aus- 
druck 

(1 7) X (P) = [y (P)] - y [0 (P)] 

sich aus den rechten Theilen der Gleichungen (8) zusammensetzt, da 
die Ausdrücke rechts in (13j, welche jene symbolisch vertreten, hier 
direct vorkommen. 

In Folge der Gleichungen (8) ist aber ferner: 

(^{P) = (ccp+ßq+yr+ds)P 
^f{P) = (ccp' + ßq+yr'+ds)P, 
daher ♦ 

[Y (P)] - Y [O (P)] 
= («y+ ßq + ?r+ ös) O {P)-{ap + ßq + yr + ös)^(P) - 0. 

Mit Hilfe der Gleichungen (8) verschwindet also der 
Ausdruck 

\y (P)] _ Y [0 (P)] 

identisch; es ist also auch für jede Function P 

X(P) = 0. 

oder wenn man in (16) für die Summen ihre Werthe aus (13) setzt, 
und den Factor P auslässt: 

(18) = {rq'- qr) (« - ^) + [{pr- rp) + {rs'-sr)] y 

+ WlP'-pq) + {sq- qs)] ß. 

Diese Gleichung muss für alle Werthe von p), q, r, s und y, g', 
/, 5' bestehen; daher ist nothwendig 

(19) a = d, ß = 0, y = (\ 

Die erste dieser Gleichungen findet man, wenn man ji;, j/ und 
s, s' gleich Null setzt, die zweite, wenn man r, /, und die dritte, 
wenn man q^ q verschwinden lässt. 

Mit Hilfe der Gleichungen (19) verwandeln sich nun die Gleich- 
ungen iß) in folgende: 



314 Siebenter AbBchnitt. 

^\ ''ca^ 'ca^ dan-\) 
A w^j^t: \'{n—\)a^- — ...+ an ^ =-0 



(20) 



f^ \ ^ a^ ^ c a^ dan J 



P^ ,, cP ^ dF \ ^ 

+ 2a.y- — ...-^nan — ^«P. 



Auch die Bedeutung der Grösse a ist aus diesen Gleichungen 
leicht zu erkennen. Addirt man die erste und die letzte, so findet 
man: 

f^ \ ^ da^ ^ da^ d aj 

Ist also P vom Grade g^, g., . . . beziehungsweise in den Coef- 
ficienten von /", (p, ^..., und sind n^^ ^^2 • • • ^^® Ordnungen dieser 
Functionen, so verwandelt sich dies in: 

2aF=.n,g,F-^n.,g.,F-^..., 
oder man hat: 

SO dass a mit der in § 15. mit l bezeichneten Zahl (für Invarianten) 
übereinstimmt. 

Mit Hilfe der Gleichungen (20) ist es nun leicht, zu zeigen, dass 
jede Function P eine Invariante ist, und dass in der Gleichung 
F' = m F immer m eine Potenz der Transformationsdeterminante 
bedeutet. 

Da die Gleichungen (20) eine bestimmte Wahl der Veränderlichen 
nicht voraussetzen, so bestehen sie auch nach jeder linearen Trans- 
formation, d. h. sie hören nicht auf zu bestehen, wenn man P, ai 
durch F'j a'i ersetzt. Gehen wir also auf die Gleichungen (7j zurück, 
so können wir für ihre rechten Theile die Ausdrücke 
aF'=.amF, 0, 0, aF'^amF 

setzen; und indem wir den Factor P auslassen, haben wir nunmehr 
folgende Differentialgleichungen für m: 

dm, dm 

dm , dm ,, 

rt c m . rt m 



Typische Darstellungen. — § 80. 315 

Bezeichnen wir, wie sonst, durch r die Substitutionsdeterminante 

so erhalten wir aus den obigen Gleichungen die Werthe der Differen- 
tialquotienten von logm: 

c log m _ a dr 
c c(.2 r c «2 

c log m a er ^ 




r cß, cß, r cß,' 



daher ist 



dlogm — ad log r , ni = c . r". 
Die Gleichung für P geht also in 

über. Aber für die identische Substitution a^=^\y a^ = 0, ß^^ = 0, 
/32=1, ist P = F\ r=l, also auch c=l, und demnach 

P' = r« . F, 

daher P eine Invariante, was zu beweisen war. 

Hiermit ist denn auch zugfeich der in § 79. ausgesprochene Hilfs- 
satz bewiesen. Denn demselben zufolge sollte eine rationale Function 

P 

der Coefficienten yr , welche durch lineare Transformation sich nicht 

ändert, der Quotient zweier Invarianten sein. Es wurde aber im 
Anfange dieses Paragraphen gezeigt, dass dann P, Q bei linearer 
Transformation sich nur um einen von den Coefficienten der Formen 
unabhäijgigen Factor ändern können, und soeben sah man, dass dieser 
Factor nur eine Potenz der Trans formationsdeterminante sein kann. 
Jener Hilfssatz ist also bewiesen. 

Den in § 79. ausgesprochenen Sätzen ist jetzt noch der folgende 
hinzuzufügen : 

Jede Invariante simultaner Formen fyCp,il^.,. 
genügt den vier partiellen Differentialgleich- 
ungen (20)*. — 

Es ist schon wiederholt erwähnt, dass die Co Varianten unter 
simultanen Invarianten mit einbegriffen sind. Will man indessen die 
Gleichungen (20) für Covarianten so aufstellen, dass die der Differen- 
tiation nach den Veränderlichen entsprechenden Glieder abgesondert 
erscheinen, so braucht man nur, wenn x^^ x.,) x\y x^ etc. die in der 



* Diese partiellen Differentialgleichungen gab Cayley in Grelle 's Journal 
Bd. 47. Sie bilden den Ausgangspunkt für Aronliold's Begründung der Inva- 
riantentheorie (Borchardt's Journal, Bd. 62). Siehe auch die Abhandlungen des 
Verf. in Borchardt's Journal, Bd. 59, S. 1 und Bd. 65, S. 257. 



316 Siebenter Abschnitt. 

Covariante auftretenden Reihen von Veränderlichen sind, aus den 
Summen links Glieder auszusondern, welche linearen Formen mit den 
Coefficienten x.^^ — ^i5 ^'2? — ^\ t^tc. entsprechen. Für solche Glieder 
ist ^=1, und a^^, ßj sind durch x.^y —x^ etc. zu ersetzen. Es treten 
also aus den vier Summen (20) folgende Glieder heraus, in denen die 
Summenzeichen sich auf die verschiedenen Reihen von Veränderlichen 
beziehen: 

yj'^'dx./ ^^'dx,' ^""^^^^ fo^iä^' 

oder auch, wenn m, nt . . . die Ordnungen der Covariante P in den 
Xf x\ . . bezeichnen: 

Zm.P—rsx^- — , —CSX.- — , — iS^2^r-, Zm. P — \x.,-^— . 

Setzt man ausserdem in (20) Tm-\-a an Stelle von a, so erhält 
man für eine Covariante P die folgenden Differentialgleichungen: 

iN (n a^^^ -\- (n—l) a^^ . . .) — X^ ^ = « P 
^-^ V ^ «0 ^ c a^ ) ^ ^ cx^ 

^(na,- \-{n — V)a.X — . • . ) — S^i^ — = 

af oP ^ ,, dP \ gaP^ 

^' V "^«1 ^ca., ) >^ ^ dx^ 

q/ dP^ ,, ap \ Q aP p 

Die Bedeutung der hier durch a bezeichneten Zahl ergiebt sich 
wieder, wenn man die erste und letzte Gleichung addirt, und es findet 
sich mit Beibehaltung der früheren Bezeichnungen: 

« = 1 (^1 ^1 +^2 % • • • - ^^^0; 

abermals übereinstimmend mit der Zahl A des § 16. 

Ich erwähne noch eines Satzes, welcher als eine Art veränderten 
Ausdrucks für die Differentialgleichungen (20) aufgefasst werden kann, 
sobald dieselbe sich nur auf eine Form beziehen. Bilden wir aus einer 
Invariante P einer Form f die Covariante 

Dass dies eine Covariante ist, folgt aus § 3., denn P ist nach 
den Coefficienten von f difierenzirt, und die Differentialquotienten 
sind mit den Coefficienten der Form gleich hoher Ordnung 

(die als die Veränderlichen angesehen) multiplicirt worden. Ver- 
möge der symbolischen Bezeichnung (12) geht Q in die Form 



Typische Darstellungen. — §§80, 81. Sl? 

über, und schiebt man dies (w— l)mal über f=ajc"j so erhält man 
R = {yx) . a,/-' a.= ^(if,x,-y,x,) (x, -^-^^ + ^2^^) 

-n] ' "V'cy, ^'-cyj - -" cy, ' ^"cy^S 

Inzwischen nehmen die Gleichungen (20) nach (13) die sym- 
bolische Form an: 

y^dyr ' ^'dy, ''^ '''dyr^ '^'dy,- ' 
so dass man identisch erhält: 

i^ = 0. 
Man kann also folgenden Satz aussprechen*: 

Bildet man aus einer Invariante P einer Form 
^ter Ordnung die Covariante 

a P a P d V 

so ist die (w— 1)*® Ueberschiebung dieser Covariante 
mit /"identisch Null. 

Die w*® Ueberschiebung würde 

dP dP . 

also P multiplicirt mit einer Zahl geben. 

§ 81. Typische Darstellung und associirte Formen. 

Nach dem Vorigen kann man alle Invarianten eines simultanen 
Systems mit h Coefficienten durch k — S Parameter ausdrücken. Man 
kann also auch alle Invarianten als Functionen von solchen /.• — 3 In- 
varianten auffassen, zwischen denen selbst keine Relation besteht. 
Aber diese Functionen sind im Allgemeinen irrational. 

Ebenso kann mau alle Covarianten durch A — 1 Parameter dar- 
stellen; mau kann sich also alle Covarianten als Functionen von zwei 
Covarianten und /t — 3 Invarianten, oder allgemeiner als Functionen 
von h—l Covarianten denken. Auch diese Functionen sind im All- 
gemeinen irrational. 

Setzen wir die Bedingung der Rationalität voran, so können wir 
die Aufgabe stellen: * 



* Ich verdanke denselben einer Mittlieilung des Hrn. Gordan. 



318 Siebenter Abschnitt. 

Alle Covarianten und Invarianten eines simul- 
tanen Systems sollen durch lc + l — 1 Covarianten 
bez. Invarianten rational ausgedrückt werden, wäh- 
rend zwischen den letztern A Relationen bestehen. 
Diese Aufgabe wird auf unendlich mannigfaltige Weise gelöst 
durch die Theorie der associirten Formen.* 

Betrachten wir irgend zwei Covarianten der simultanen Formen 
ff (py i^ . . ., welche zwei Reihen von Veränderlichen enthalten, und 
zwar 2/u 2/2 linear, x^j x^ zu beliebig hoher Ordnung. Diese Cova- 
rianten 5, f] sind nach § 8. immer zusammengesetzt aus der ersten 
Polare einer Covariante mit einer Reihe von Veränderlichen, und aus 
der identischen Covariante (xy), haben also die Form 



1 / auf , dM\ , „, , 



wo M und K Covarianten mit einer Reihe von Veränderlichen sind 
und ^ die Ordnung von iHf bedeutet. Die Ausdrücke 

/-l) S = li 2/1 + ^2 2/2 

^=^l2/l+'?22/2 

sind, wenn wir auf die Veränderlichkeit von x^, x^ für den Augen- 
blick keine Rücksicht nehmen, neue Veränderliche, welche wir mit 
Hilfe der Substitution (1) an Stelle von y^ und y^ einführen können. 
Wir erhalten dadurch die Formen /", 9), t^..., wenn dieselben mit 
den Veränderlichen y geschrieben werden, transformirt in Functionen 
der I, yIj deren Coefficienten von x^, x.^ abhängen. Betrachten wir 
irgend eine dieser Formen, etwa /', genauer, und führen die Trans- 
formation an derselben aus. Man hat 

ay.{lifi)=-{a,ri)l-{ctl)Yi. 
Ist also symbolisch 

/'(2/) = ^^/, 
so ist die transformirte Form von f durch die Gleichung gegeben : 

Wir nennen diese Darstellung von f eine ty- 
pische**, insofern darin die Veränderlichen sowohl 
als die Coefficienten Covarianten sind. 



* Diesen Begriff stellte (in etwas speciellerer Fassung) Hermite auf, 
Cambr. and Dublin, matli. Journal 1854 und Cr eile 's Journal Bd. 52. Vgl. 
auch Brioschi, Annali di matem. tom. L, S. 296. 

** Auch dieser Begriff' rührt von Hermite her (vgl. die in der vorigen An- 
merkung citirten Abhandlungen). Doch wandte derselbe ihn hauptsächlich in 
einer etwas andern Form an, indem er die linearen Factoren einer quadratischen 
Covariante, also irrationale Formen, als typische Veränderliche einführte. 



Typische Darstellungen. — § 81. 31Ö 

Das letztere ist leicht einzusehen. In dem Ausdrucke (2) kom- 
mea n-\-2 Coefticienten vor, die Grössen : 



Nun verhalten sich in Bezug auf lineare Transformationen die 
Coefficienten Si; ?2 5 Viy V2 ^^^ Coefficienten linearer Formen. Geht 
z. B. bei linearer Transformation | in h,' = r^,^ über, und sind 

2/i = «11 ^1 + «12 ^2 
2/2 = «21 ^1 + «22 ^2 
die Transformationsformeln, so hat man 

I' = l'i ^, + ^'2 ^2 = ^'^ 1 ?1 («11 ^1 + «12 ^2) + ?2 («21 ^1 + «22 ^2) ! y 

also 

?'i = ^'^ (Si «11 + ^2 «21) 

^2 = **^(Sl «12+^2 «22)- 

Dies sind dieselben Transformationsformeln, welche für lineare 
Formen mit constanten Coefficienten oder für die Symbole o gelten, 
nur dass noch der Factor r^ hinzutritt. Hierdurch übersieht man so- 
fort, dass die Ausdrücke (3) die Invarianteneigenschaft besitzen. 

Den Gleichungen (2), (3) entsjÄ'echend , erhalten wir andere, 
welche sich auf 9), 1/; . . . beziehen. Dabei bleibt D ungeändert; an 
Stelle der Ä aber treten andere Covarianten B^ C , . . . Die Anzahl 
aller A, B, C . . . ist gleich der Anzahl k sämmtlicher in f, 9?, 1^ . . . 
vorkommenden Coefficienten. 

Setzt man, wie oben als die allgemeine Annahme bezeichnet 
wurde : 

wo Ky i, ÜjT, N Covarianten mit einer Reihe von Veränderlichen, 
II y V die Ordnungen von Jl, N sind, so wird, wenn man die y durch 
die X ersetzt: 

ri,x^-^rj.,x^ = Ny 
und man kann folgenden Satz aussprechen: 
Die Jv-{-3 Formen 

Dy Ä,y A,,,.y B,y B,...yMy N 



3^0 Siebenter Abschnitt. 

sind associirte Formen, d. h. solche, durch welche 
alle Invarianten und Covarianten des simultanen 
Systems fy cp, ip . . . sich rational ausdrücken lassen. 

Bildet man nämlich irgend eine Invariante oder Covariante der 
Form f{y), so erhält man im Falle einer Invariante dieselbe direct 
ausgedrückt durch D und die Ä, B . . .] im Falle einer Covariante kom- 
men in der Bildung auch noch §, tj vor. Da ferner die Transforma- 
tionsdeterminante beim üebergange von den ursprünglichen Veränder- 
lichen zu ^, rj ebenfalls Z) ist, so wird, wenn man die ursprünglichen 
Coefficienten durch a, &... bezeichnet, die Invarianteneigenschaft 
ausgedrückt durch eine Gleichung der Form: 

JD^ . n («0, «i . . .; &o; ^1 • • •; • • • 5 2/i; 2/2} 

wo nur, wenn TT eine Invariante ist, links 2/1; ^2? i'echts 5? V feWen. 
Es wird also 

1. jede Invariante von f eine rationale Function der Ä, B . . . 
und von D, und zwar ist der Nenner eine Potenz von D 
allein ; 

2. jede Covariante, geschrieben mit den Veränderlichen y^, «/g, 
eine rationale Function der Ä^ B ... und von D, |, rj, und 
zwar ist der Nenner eine Potenz von D allein. 

Setzt man aber x^^^ x^ an Stelle von y^^ y^^ so verwandelt sich 
die obige Gleichung in folgende: 

B^ . n K, «1 . . . ; \, \...', ...', X,, x,) 

und man erhält also jede Covariante, geschrieben mit den ^, als 
rationale Function der Äj B . . . und von D, Jf, N, und zwar ist 
der Nenner wieder nur eine Potenz von B. 

Hiermit ist nicht nur der obige Satz bewiesen, sondern auch zu- 
gleich die Form gegeben, in welcher die Covariante TT durch die 
associirten Formen sich ausdrückt. Man erhält den Ausdruck 
einer Covariante (bez. Invariante) durch die associirten 
Formen, wenn man in denselben die Coefficienten durch 
die Äy B...J die Veränderlichen durch J/, iV^ ersetzt und 
durch die passende Potenz von B dividirt. 

Es handelt sich also zunächst nur noch um die Auffindung der 
vier Relationen, welche zwischen den h-\-3 associirten Formen be- 
stehen müssen. Man findet dieselben, indem man die Covarianten | 
und 7] für die transformirten Formen bildet, wo denn den Veränder- 
lichen x^j X2 die Ausdrücke M, iV, den Veränderlichen «/j, 2/2 ^ie 
Ausdrücke |, rj entsprechen. Vergleichen wir die ursprünglichen 



T'ypische Darstellungen. — §§81, 82. 321 

Bildungen von | , rj mit den aus der Form (2) von f gewonnenen, 
so erhalten wir Gleichungen von der Form: 

wo P, Qj Ry S ganze Functionen der A, B . . . sind. Aus Ver- 
gleichung der Coefficienten folgen hieraus die vier gesuchten Re- 
lationen : 

(4) F=B\ Q = {), R-O, S^Df'. 

Man kann sich leicht überzeugen, dass diese Gleichungen vier 
von einander unabhängige Bestimmungen enthalten. Denn in Folge 
derselben sind §, rj wirklich diejenigen Covarianten, als welche wir 
sie vorausgesetzt haben; wenn man also die D, Ä, B... zunächst 
als ganz beliebig voraussetzt, und nur die Gleichungen (4) zwischen 
ihnen annimmt, so müssen die Gleichungen (2) und die entsprechen- 
den wirklich die gesuchten typischen Darstellungen geben , weil 
mit denselben Covarianten J, ^ überhaupt nur eine Darstellung mög- 
lich ist. Es folgt daraus, dass auch die Ay B etc. nur in Folge der 
Relationen (4) schon die symbolischen Ausdrücke (3) annehmen 
müssen, und dass also weitere Relationen nicht vorhanden sein kön- 
nen. Die Gleichungen (4) bilden also die einzigen vorhandenen 
Relationen, und da es solcher vier geben muss, so müssen jene 
vier Gleichungen nothwendig von einander unabhängig sein. 

§ 82. Einfachstes System associirter Formen. 

Während die Gleichungen (4), welche zwischen den associir- 
ten Formen bestehen, im Allgemeinen verwickelter Natur sind, so 
kommt es doch vor, dass zwischen den associirten Formen einige in 
die Augen fallende Beziehungen von vornherein ersichtlich sind, und 
diese können dann die Relationen (4) des vorigen Paragraphen zum 
Theil oder gänzlich ersetzen. 

Eine besondere Beachtung verdient ein Fall — der einzige seiner 
Art — , in welchem eine Reduction der Bedingungsgleichungen (4) 
in sehr einfacher Weise eintritt, der Fall nämlich, wo eine der Co- 
varianten iy r], etwa t], von den Coefficienten gar nicht abhängt, son- 
dern sich auf die identische Co Variante (a?/) reducirt. Ist 

(1) n^{^y)y 

so wird 

(2) B = {U)=^i,x, + l,x, = 3I, 

und die Coefficienten A haben die Werthe (wie ähnlich auch die 
B u. s. w.): 

ClebBch, Theorie der binären algebr. Formen. 21 



322 Siebenter Abschnitt. 



(3) 



-^0 — ^^ — / 



Ferner ist iV identisch gleich Null. Die Gleichungen N=:0, 
D=: M ersetzen zwei der vier Gleichungen (4) des vorigen Para- 
graphen. In diesem Falle hängt also alles von den h -{- 1 Grössen 
A, B . . ., M ab, unter denen diesmal die gegebenen Formen selbst 
sich befinden. Bildet man 5 und t] für die transformirten Formen, 
so erhält man für ^ wieder eine Gleichung der Form 

und daher die Relationen 

(4) F^M\ Q = 0. 

Aus der Bildung von ij aber findet sich nur die Identität 

und in der That können zwischen den Je -\-l Co Varianten (2) , (3) auch 
nur zwei Relationen bestehen, welche durch (4) gegeben sind. 

Bildet man nun eine Covariante oder Invariante für die ursprüng- 
liche und für die typische Form, so ergiebt sich eine Relation der Form 

und wenn man 2/i = ^i? 2/2 — ^2 setzt, geht dieselbe über in: 

Man bildet also die Darstellung von TT durch die associirten For- 
men, indem man statt der Coefficienten a, h . . . die Ausdrücke 

/, — J_i, J.2 • ••; 9P7 — -^1? ^2 •••; •••> 

statt der Veränderlichen aber M und setzt. Dies lässt sich noch 
anders ausdrücken. Setzt man Null für die zweite Veränderliche, so 
reducirt sich TT auf seinen ersten Coefficienten, multiplicirt mit einer 
Potenz von M. Indem man durch diese dividirt, kann man die Regel 
so ausdrücken: 

Man bildet eine Covariante, indem man in ihrem 

ersten Coefficienten die a, h . . . durch /', —A^^A^...'^ 

cp, —B^y ^2 •••5 ••• ersetzt nnd durch die passende 

Potenz von M dividirt. 

Bei einer Invariante tritt an Stelle dieses ersten Coefficienten die 

Invariante selbst. 

Man erhält also alle Formen als ganze Functionen der 'k Bildungen 

f, -A> A>---; ^, -A; ^2---; ••• 



Typische Darstellungen. - § 82. 323 

mit Nenuern, welche Potenzen einer (Ä'-f-l)*®" Grösse M sind. 
Zwischen diesen /.• + 1 associirten Formen bestellen zwei Gleichungen 
(4), deren eine eine Potenz von M durch die übrigen Grössen aus- 
drückt, während die andere 31 nicht mehr enthält. 

Endlich kann man auch die Relationen (4) noch beseitigen, in- 
dem man die erste Polare einer der Formen f, (p, ^ . . . selbst als 
Veränderliche ^ einführt. Setzt man 



(^ ■ .^-^(Ä^'+K^O' 



n \d x^ . ^.^ 

so ist die Transformationsdeterminante 

D = M = f: 
die Ausdrücke der J5, C... erfahren keine wesentliche Abänderung: 
aber die ersten beiden A werden 

Man hat hier schon vier Relationen vor sich, nämlich 

welche die Stelle der vier Relationen (4) des vorigen Paragraphen 
einnehmen, und auf deren zwei man auch geführt wird, wenn man 
nach Analogie der Gleichungen (4) J für die transformirte Function 
bildet. Man hat also den Satz: 

Setzt man im Vorigen 

1 a/- ._! 8f 

^ n r ,7;^ - n d x., 

so lassen sich alle Covarianten und Invarianten des 
simultanen Systems durch die B, C... und durch 
fj A.2, A.. . . . An, im Ganzen durch A' — 1 Covarianten, 
zwischen denen Relationen nicht mehr bestehen, 
rational so ausdrücken, dass nur noch jedesmal 
eine Potenz von f im Nenner erscheint. 
Die oben gegebene Regel über die Bildung einer Covariante 
(bez. Invariante) drückt sich nun aber so aus: 

Man erhält eine Bildung TT, wenn man im ersten 
Coefficienten derselben die Coefficienten der ur- 
sprünglichen Formen durch 

f, 0,A,...; <p, -B„ B,...; ... 
ersetzt und durch eine entsprechende Potenz von 
f dividirt. 
Es ist bemerkenswerth, dass die hier benutzte Transformation 
Immer möglich bleibt, wie speciell die Functionen /*, cp, -ip . . , auch 

21* 



324 Sieijenter Abschnitt. 

gewählt sein mögen, da man immer voraussetzen darf, dass von den 
gegebenen Functionen keine identisch verschwindet. 

Die letzte im Vorigen auseinandergesetzte typische Darstellung 
beweist den am Ende des § 79. gegebenen Satz. Denn in der That 
sind hier nur lc — 1 associirte Formen vorhanden, durch welche alle, 
mit Nennern von der Form f^, rational sich ausdrücken, und Be- 
dinffunsren zwischen diesen Formen bestehen nicht mehr. 



§ 83. Recursionsformel für die Coefflcienteii gewisser typischer 
Darstelliiiigen. 

Wenn man von der Substitution ausgeht: 

welche den zweiten und dritten der im Vorigen behandelten Fälle 
umfasst, so kann man für die Bildung der dabei auftretenden typischen 
Coefficienten eine Kecursionsformel angeben. Es ist genügend, 
an einer der Grundformen, etwa an /", dies zu beweisen. Für den dritten 
und wichtigsten der oben behandelten Fälle ergiebt sich aus derselben 
das bemerkenswerthe Resultat, dass alle Coefficienten ^ durch /" theil- 
bar werden. 

Die typische Darstellung war für diesen Fall in der Formeh ent- 
halten : 

(2) M- . f(y) = ^„ I" - j Ä, !"-> r] + ''^^ A,%-~^ n'- + . .., 
wo 



Bilden wir nun den Ausdruck 

dAh _ dAk ^ 1 { dAndM dAhdM\ 
dx^^'^ dx.^^^'' ^\dx^ dx.^ d x.^ d xj ' 

Wenn man für A/, seinen symbolischen Ausdruck einführt, so 
geht dieser Ausdruck über in: 

w If ^^ - If ^' = ('*-'*) «-"■""' ('*^)'^' 



+ 



».."<»i.-.(«fi.-ifo. 



wo der erste Theil rechts gleich {n — h)A/t^i ist. 
Es sei nun symbolisch 



Typische Dai-stellungen. — §§ 82, 83. 325 

also • 

g, = cc, «,"- • , l, = cc, a^^ -1 , {a g) = (a «) «/-' . 

Demnach wird 

-^ 5, - -j^ Si = (ft - 1) [a a) aj'- {cc ?) 

Vertauscht mau aber rechts a mit /3 uud setzt daun für die rechte 
Seite die halbe Summe des ursprünglichen und des neuen Ausdrucks, 
so hat man : . 

= - ^ a. (ß/3)- «."--■ /3/-2 . 
Der Ausdruck 

ist eine aus M entspringende Co Variante. Führt man diese ein, so ist 






uud daher aus (4): 

was die gesuchte recurrente Formel giebt; denn man erhält daraus A/t^\ 
durch Afi-\j A^ und die Differentialc[uotienten des letzteren ausgedrückt: 



h-i 



^ ^ ^ n — h\dx^ - dx., V 2{n — h) 

Wenn, wie im dritten Falle des vorigen Paragraphen, 31 — f, so 
wird M nichts anderes als die zweite Ueberschiebuug von f über sich 
selbst, welche hier durch A bezeichnet sein mag: 

(7) A = (ahya^—n^—'^, 

und die recurrente Formel wird also: 

^ ^ ^ n—h\dx^ dx.2 dx.2 dx^J 2 {n—h) 

Es ist leicht ersichtlich, dass in Folge dieser Formel alle A durch 
/' theilbar werden. Die ersten sind es , da A^ = f, A^ = 0. Nehmen 
wir also an, es sei gezeigt, dass Ah und Ah—\ durch /'theilbar seien; 
die Formel (8) lehrt dann, dass AhJ^x ebenfalls den Factor /' enthalte, 
und demnach muss diese Eigenschaft allen A zukommen. Setzt man 
nämlich für jeden Werth von h 

A/,=^f.(fh, 
so ist 

9^0=1; 9^i = C)? 



326 Siebenter Abschnitt. 



sodann wird 
dÄ 

c 






oder, da der erste Theil wegen der Bedeutung der ^ identisch ver- 
scliwindet: 

dA, 



0, ^^ o^x, ^'~' '\dx, ^' dx,^')' 



Daher ist in (8) der Werth von Ai,j^\ wirklich durch /" theilbar, 
und zwar erhält man aus jener Formel jetzt für die cp die Recursions- 
formel : 



(9) 



1 \d<f,, dtp/, j. I h{n-\) 

9"'+' =,rirÄ \j^ ^^-^^'( + 21^^=^^ • ^'-' 



Durch Einführung der (p verwandelt sich nun die typische Dar- 
stellung von f {y) in folgende : 

/• 1 /-/ N y , n.n—1 y ., ,, n.n—\.n — 2 ^ ., ., , 
f—Kf{y) = g-+ ^ 2 ^2 5"-^' ^f72T3 ^3 §"-^r ••.±^« ^% 

und alle Covarianten und Invarianten von /"sind durch die 
71— 1 Covarianten 

rational und zwar so ausdrückbar, dass nur jedesmal eine 
Potenz von/' als Nenner erscheint. 

§ 84. Die iudependente Darstellung der Functionen g?. 

Bei der grossen Wichtigkeit der Formen cp ist es wünschenswerth, 
sie auch independent darzustellen. Hierzu gelangt man auf fol- 
gende Art. 

Es ist symbolisch 

A„ = f. (p, = a^-^'^ (a § j/^ (h>2). 

Ich werde nun in zweien der Factoren {a^} für die § ihre sym- 
bolischen Ausdrücke (2) setzen. Alsdann ist 

f- (Ph = «."-^ (a^)^-2 (^5) (,,^.3 i^n-i ,,^n-y^ 

oder wenn man die Identität IL § 15. anwendet: 

= /'. «x"-* (a iy~ Hahf &/'--^ - i A . ^a_2 
= /• . j ti.«-^ (a ly-'' {a hf 5.'-2 - i A . 9) n-i \ • 

Bezeichnet man also durch j/^/, die Covariante: 
(1) i^h = {.ahy {alf-'- a/'-" h."~-', 

welche von der Ordnung 

(^n- 1) (h-2) + n - h + n -2-=h (n-2) 



Typische Darötellungen. — §§ 83, 84. 327 

ist, so hat man für gp/, die Formel: 

(2) (fh = ^'A — 4- A . (ph-2 . 

Diese Recm*sionsforiiiel aber gestattet leicht die independente 
Darstellung der cp] denn indem man in (2) für cph^* seinen Werth 
in (fh-A und ^'a_2 einsetzt u. s. w., erhält man: 

(3) g)A = ^A - 4- A i^h-2 + i A- il^h-i - i A^ th-is • • . , 

eine Formel, welche die independente Darstellung der cp vollständig 
liefert, wenn man noch bemerkt, dass wegen der Gleichungen (p^= 1, 
(jp^ = die Gleichung (2) für cp.^ und qp. giebt : 

^3 = ^'3 

(f., = i\, — i A. 

Die Gleichung (3) endigt also für ungerade h mit ^'3; für gerade 
h kann man sie bis i^'^ fortsetzen, aber dann ^'^ = 1 annehmen; oder 
man kann überhaupt den Gleichungen (1) noch die beiden willkür- 
lichen Bestimmungen hinzufügen: 

und in der rechten Seite von (3) die Glieder so lange fortsetzen, als 
die Indices nicht negativ werden. 
Bemerken wir noch, dass 

1^2 = (fl hy a.,«-'-^ ft^"--^ = A , 
so können wir jetzt folgenden Satz aussprechen: 

Alle Covarianten und Invarianten von /' sind 
rationale Functionen der n Covarianten 

/; A , ^'3, ir, . . . , !/;„ [^A -= {ahy {a l)*-^ «^«-^ 6,,«-2] , 
wobei immer der Nenner nur eine Potenz von /"ist. 

Indem man das bei dieser Darstellung der q) angewandte Ver- 
fahren weiter benutzt, wird es nun möglich, allgemein ein einfachstes 
Formensystem anzugeben, durch welches man rational mit Potenzen 
von f im Nenner alle Invarianten und Covarianten ausdrücken kann. 
Die Untersuchung, welche wir zu diesem Zwecke ausführen, besteht 
aus zwei Theilen; in dem ersten werden allgemein Endformeln ge- 
geben, durch welche man die fp oder i^» auf ein einfacheres Formen- 
system zurückführt. Eine weitere Reduction, welche dann zweitens 
erfolgt, gestattet eine Angabe von Endformeln nicht mehr, liefert 
aber ein Formensystem, welches offenbar eine Reduction- nicht mehr 
zulässt. 

Wenn man die oben für den Zusammenhang der cp mit den 4? 
entwickelten Gleichungen in eine zusammenfassen will, so kann dies 
folgendermassen geschehen. Die • Gleichungen 



328 Siebenter Abschnitt. 

9)3 = ^3 

(5) 9)4 = ^^, - 1 A 9, 

9^5 = ^5- i^(P3 



kann man sich bis in's Unendliche fortgesetzt denken, wobei denn 
immer nur die n — 1 ersten Gleichungen für den vorliegenden Zweck 
eine Bedeutung haben. Multiplicirt man die Gleichungen (5) mit 1, 
0^ 0^ . . . und summirt, so erhält mati: 

9^2 + 9^3 ^' + 94 ^^ • • • = ^2 + ^3 ^ + ^4 ^^ • • • 
und daher: 

(6) ^. + .3^ + 9.^-^..=^i^±%±f£t^^-^. 

Die Formen cp sind also die ersten n — 1 Coef- 
ficientenbei derEntwickelung des Ausdrucks rechts 
nach aufsteigenden Potenzen von 0. 

Wenn wir nun die Formen ^2 ^^^^ ^3 ausnehmen, so können wir 
für die übrigen ifj Formeln aufstellen, welche den Reductionsfornieln 
(5) der cp ganz analog sind. Ist /i>4, so kann man in dem Aus- 
drucke : 

^h =-- (a hf (a g)'^-^ a^-f^ hj'-"- 

abermals für zwei Factoren (a^) ihre Werthe einführen und erhält, 
ganz wie bei der Reduction der q): 

^h - {ahf {alf-' {ac) {ad) a."-^ &^"-2 a^""' d^''~' 

- (a ly {a ly-^ a,"-^ h^—^ c^—'' d^-^ \ (a cf dj - i (c df «, 
= f. (ahy (a cy {a ly-' a:--h &.«-'-' c,«-^ _ 1 a ^u.. . 

Führt man also die Bezeichnung ein: 

(7) Xh = [a hy (a cy (a^-' a^"-^ &.«-^ c.—' 

so hat man die Gleichungen: 

^4 = /'-%4-4^^2 



2( 



und es sind daher, indem man ganz wie oben verfährt, jp^, ^5 
die ersten n — 3 Entwickelungscoefficienten der Reihe : 

(8) t4 + t5^ + te^ -" = X + J- A 0-' • 



Typische Darstellungen. - § 84, 329 

Gauz ebenso kann mau nun die Formen x^^ beliautleln, für welche 
h ]> 6. Setzt man 

(9) ^u = {ahf {acy {adf («?)*-« a.,«-^ 6/'-'^' c/'-'^ (h"~\ 
so hat man die Reductionsformeln : 



und Xg} Xi ' • ' si^i^^ ^^^^ ^^^^ n — o ersten Entwickelungscoefficienten 
des Ausdrucks: 

\^^) Z«T-Z7~ T-Zs^ • • •— 1 4- .1 A 2- 

Indem man so fortfährt, erhält man eine Reihe von Gleichungen 
(6), (8), (10): 



^4 + ^5^+'^6^'-- 

Xg + Xi^ + Xs ^' • • 



^ A {%+p.,z) J^f{x,-^X'.^^-X,^'---') 
1 + iA^^' 

1 + i A 0^' 



Multiplicirt man dieselben der Reihe nach mit 



f^ 



Pz' 



' 1 + iA^^'' (l + ^A^^')'' (1 + iA^--^)^'"* 
und addirt, so bleibt, mit Weglassung der sich aufhebenden Terme: 

(U) ^^, + ^^ ^ _|_ g)^ ^2 _ 

^ -jA i^,^ir,z fzHx,+X,^) , rz'{^, + ^,z) , 

l + iA^^^"^(l+^A^^r"^ (l + ^A^-^)^ "^ (1 + iA^^O' "^•••- 

Mit Hilfe dieser Formel drücken sich die Functionen (p durch 
die Formen 

(12) *A-z^,, ^3, x^, Xö, ^6; ^1'-' 

aus. Um die darin liegende Vereinfachung abzuschätzen , bemerke man, 
dass Grad (in den Coefficienten) und Ordnung (in den Veränderlichen) 
bei den (p die folgenden sind: 



"Pi 



9^3 



9^6 



9^7 



Grad 



2 


3 


4 


5 


6 



Ordnung: |2w-4| 3w-6 Uw-S |5w-lo!6/i- 12| 7n- 14 .. ., 



330 



Siebenter Abschnitt. 



dagegen bei der neu eingeführten Reihe von Formen 





t. 


ts 


U 


Z5 


■^6 1 ^7 ... 


Grad: 


2 


3 


3 


4 


4 5 ... 


Ordnung : 


2n-4 


3n-6 


3w-8 


4^-10 4^-12 5w-14... 



Entwickelt man die rechte Seite des Ausdrucks (7), so hat man 

+ (^•. + ^.^) (1 -I A^^H- I- A2^4- I A^^« ...) 

+ />' (z4+Z5^)(l-tA^^+4^AV-VA^^«...) 
+ P'^H'^6+'^7^)(l-f A^.^+V^A'^^'i-V'As^^..) 



und daher, mit Kücksicht darauf , dass A = i/^^: 
q), = -^11^2 

^3 = ^3 

9^7 = *^'2>3-f^2/'Z5+/'''^7. 



Avo das Bildungsgesetz minder übersichtlich ist. 

Sprechen wir den in Obigem enthaltenen Satz folgender- 
massen aus: 

Alle Invarianten und Covarianten von /' sind 
bis auf Nenner von der Form f^ ganze rationale 
Functionen der folgenden n Bildungen: 



-2 



f 

^^. = (ahy (acy [ady a./'-«^ 6x"-' 

^^ = (ahy (acy {adf (a^ aj'-' 6^"-^ c^^^-'^fZ," 






n — 2 



§ 85. Das einfachste System associirter Formen. 

Eine viel wesentlichere Grad- und Ordnungserniedrigung der 
Formen, durch welche sich alles ausdrücken lässt, erhält man aber 
durch folgende Betrachtung. 

Die Formen tp^, ^.^, Xi, Xö • - - y ^^^ welche oben alles zurück- 
geführt wurde, mit Ausnahme der letzten von allen, haben die 



Typische Darstellungen. — §§ 84, 85. 331 

Eigenschaft, dass jedes darin auftretende SJ^mbol auch durch einen 
linearen symbolischen Factor vertreten ist. Denken wir uns die For- 
men der Reihe nach für n = l, 2, 3 ... entwickelt, so tritt also bei 
jedem folgenden Werthe von n nur eine wesentlich neue Form auf, 
die letzte; die anderen aber sind aus den Formen des um 1 niedrigeren 
n dadurch ableitbar, dass man in jedem der symbolischen Ausdrücke 
das Product aller seinen Symbolen entsjirechenden linearen Factoren 
als Factor hinzufügt. So kommen bei n = 2 nur 

f=^aj und t,^=.B = {aiy 

vor; aus diesen werden bei y^ = 3 die Formen 

und es tritt die neue Form 

auf u. s. w. Jede Covariante einer Form ;/*" Ordnung, bei welcher 
alle Symbole auch durch lineare FaCtoren vertreten sind, kommt schon, 
mit je einem linearen Factor weniger für jedes Symbol, bei den 
Formen {ji—Vf^^ Ordnung vor, und ist dort durch f und die den 
Formen {ji — Vy^^ Ordnung entsprechende Reihe von Formen ^', ;f..., 
mit einem Nenner f^ rational ausdrückbar; daher ist eine solche bei 
den Formen «*" Ordnung durch die entsprechenden Formen ^, ;f . . . 
ausdrückbar, d. li. man bedarf bei einer solchen Covariante nicht der 
letzten, bei den Formen n^^"^ Ordnung neu auftretenden Bildung, 
welche zugleich nur in dem letzten Coefficienten ihrer typischen Form 
vorkommt. 

Man kann also sagen, dass jede Covariante, in welcher 
jedes Symbol durch einen linearen Factor vertreten ist, 
bereits durch die ersten n — \ der Formen /*, i^^, ^o, jr^, x-^ . . . 
als rationale Function mit einem Nenner f-^ ausgedrückt 
werden kann; ebenso jede Covariante, in welcher jedes 
Symbol durch das Quadrat des betreffenden linearen 
Factors vertreten ist, durch die ersten n—2 der Formen 
fj ^2? ^'3? X\y Xö ' ' ' ^- s- ^'- ^^ ^^^^ umgekehrt aus den letzten 
Formeln des vorigen Paragraphen il^^ durch f, (p'.,] t^ durch /', 9^, ^3; 
Xi durch /', (p2,^(p-^, (fi etc. als ganze Functionen dividirt durch Po- 
tenzen von /" ausgedrückt werden können, so kann man in dem soeben 
ausgesprochenen Satze auch statt der ersten )i — ly n—2 etc. der For- 
men fy iK^j jp.yj Xiy X5 • ' iiiimer sagen: die ersten 11 — 1, n—2 etc. 
Coefficienten der t}^ischen Darstellung. 

Man kann daher nun auch den letzten bei den Formen m*" Ord- 
nung auftretenden Coefficienten q)„ oder die ihn vertretende Form 
der Reihe /", f.,^ f.^, Xu X5 - - - i^^ dieser Reihe durch eine andere 



332 Siebenter Abschnitt. 

Form ersetzen, welche sich von der ursprün<^lichen durch ein Glied 
unterscheidet, in welchem jedes Symbol durch einen linearen Factor 
vertreten ist und welches also schon als rationale Function mit einem 
Nenner f^ durch die vorhergehenden Glieder der Reihe ausgedrückt 
werden kann. Dann aber überzeugt man sich leicht, dass durch Zu- 
fügung solcher Terme die betreffende Form wiederholt durch /* theilbar 
gemacht und alsa auf eine nach Grad und Ordnung wesentlich niedrigere 
Covariante zurückgeführt werden kann. 

Betrachten wir zunächst deu Fall, wo n gerade ist. In diesem 
Falle ist die neu hinzutretende Bildung von der Form 

{aiy {acy dady . . . (amf 5^"-^ c^"-^ ^L""' m/'--. 

Setzen wir dann für (0! c)-^ ?>a;'^ seinen Werth: 

(a c)- hj =\[ah)C:^+ (h c) a^ j-, 

so brauchen wir davon nur den Term 

zu berücksichtigen ; denn das von den übrigen Ternien Herrührende 
enthält den symbolischen Factor a,x ha: c^ . . . und kann also übergangen 
Averden. An Stelle der obigen Form kann man also eine setzen, 
welche den Factor c^,"=/' enthält, und mit Uebergehung desselben 
bleibt dann die Form übrig: 

(iahy (ady . . . (amf h.r:^^ r?,""'-^ . . . m^«-^. 

Verfährt man nun mit (adyhj ebenso wie oben mit (ahyhj, 
so kann man, mit Hinweglassung von Ternien, welche übergangen 
werden dürfen, und mit Auslassung eines Factors /", statt der obigen 
die Form einführen: 

So kann man, da die Zahl der Symbole hy c . . . m gleich —^ — 
ist, fortfahren, bis man zu der Form 

gelangt. Bei dieser kann man noch einen Factor {am^hjc durch 
{alj)mjc-\-{hni) cix ersetzen und den letzten Theil auslassen, weil er 
da: ha; ^^o: enthält. Es bleibt also 

(a&}"-' (am)ha:ma:''-'^. 

Da nun n—1 ungerade ist, so erhält man durch Vertauschung 
von a mit h, indem man für den obigen Ausdruck die halbe Summe 
zweier gleicher einführt: 

i (a hy-^ m/'-^ \ (a m) h^ — (h m) a^ j 
= ^{ahy . ma:'' = \f.{ahy. 



Typische Darstellnngen. — § 85. 333 

Es bleibt also endlich die einfachste Invariante (d h)" der Form ?z*" 
Ordnung übrig; und diese ist das einfachste Gebilde, welches als 
neue Form eingeführt werden kann. Bei den Formen höherer Ordnung 
treten für sie die Covarianten 

(« hy' üa; ha:, {Cl J))" rt/ hj . . . , 

ein. 

Alle geraden Formen geben, wie man sieht, bei dieser Unter- 
suchung nur zu Covarianten oder Invarianten Veranlassung, welche 
in den Coefficienten vom zweiten Grade sind. So trat bei den Formen 
zweiter Ordnung [a h)'- auf, bei den- Formen vierter Ordnung (a hy. 

Gehen wir nun zu dem Falle eines ungeraden n über. Hier ist 
die zu betrachtende neue Bildung: 

(ahy (acy ... {a my {a ^ h-,"-'^ c^"-^ . . . m.,-"-2. 

Wir können, indem wir ganz wie oben verfahren, an Stelle die- 
ser Form die Form 

(iahy'-'(a^)h,r 

einführen, die Functionaldeterminante von (ahy-^ aj-h_r mit f. Für 
Formen von höherer als der 7«*®° Ordnung tritt an Stelle derselben 

(ahr-'(a^)a/-n.r\ 

was nicht aufhört (bis auf einen numerischen Factor) die Functional- 
determinante von f mit der Form zweiten Grades in den Coefficienten 

{ahy-'ajh/ 
zu sein. 

Und so können wir denn endlich folgenden Satz aussprechen: 

Alle Covarianten und Invarianten einer Form / 
von der n^^^ Ordnung sind durch die folgenden ein- 
fachsten Formen als rationale Functionen mit Nen- 
nern f^ darstellbar: 

1. f selbst, 

2. die Formen zweiten Grades in den Coefficienten 

3. die Functionaldeterminanten der letzteren 
mit f. 

Von diesen Formen sind die unter (2) angeführten von den Ord- 
nungen 

2n-4:, 2n-8, 2n-12 ..,, 

die unter (3) angeführten von den Ordnungen 

3n-ß, 3w-10, 3n-U 

Die letzteren sind sämmtlich Formen ungeraden Charakters. 



3,^ Siebenter A])schnitt. 

§ 86. Methode zur Berechiiiing der Coefflcienten q>- Die typischen 
Darstellungen bis zur sechsten Ordnung. 

Um nun wirklich die Coefficienten cp und damit auch alle anderen 
Invarianten und Covarianten durch das vorhin angegebene einfachste 
System auszudrücken , kann man folgenden Weg einschlagen. * 

Der grösseren üebersichtlichkeit wegen, bezeichne ich die Formen 
des einfachsten Systems associirter Formen durch ö, t, so dass 



(S^=^{ahY a/'-2 2>^"-2 


T^ = {ahy {ac)aj'-'^ 


&."-2 c."-^ 


6., = (ahY a^«-4 ?>.^-"-4 


T,, = (ahY {acjcia:"-^ 


7j n — 4 ^ n — 1 



WO denn 6^ die früher durch A bezeichnete Form ist. Man bilde nun 
diese Ausdrücke für die typische Form. Nach einem in § 82. gegebenen 
Satze hat man, um eine Covariante für die typische Form zu bilden, 
nur in dem ersten Coefficienten derselben die Coefficienten von f 
durch die Coefficienten f\ 0, A.^^ — A^ . . . der typischen Form zu 
ersetzen und durch eine passende Potenz von / zu dividiren. Da in- 
zwischen gezeigt wurde, dass 

so kann man diesen Satz jetzt dahin aussprechen, dass in jenem 
Coefficienten die Coefficienten von / durch die Ausdrücke 

(1) 1, 0, cp,, (f., .,. 

zu ersetzen sind und sodann durch eine passende Potenz von f dividirt 
werden muss. 
Ist nun 

/ = 6Jq X^ -j T" ö^i ^1 ^2 I" 1 i\ f% '^i "^2 ~r • • • I ^f n •^■•> y 

und setzt man zugleich 

so erhält man durch Bildung der ersten Ueberschiebung von f mit (?»•: 



* Ich verdanke die hier folgende Methode einer schriftlichen Mittheilung von 
Herrn Brioschi. 



Typische Darstellungen. — § 86. 335 

Man erhält daher r,-, wenn man in dem Ausdrucke a^^s^^''l — a^^sj'^ 
statt der a die Grössen (1) einsetzt und durch eine passende Potenz 
von f dividirt. Dabei aber ist «^ durch 0, Qq durch l zu ersetzen; 
man braucht also^ statt im ersten Coefficienten von r,- diese Ersetzung 
vorzunehmen, dieselbe nur an —s^^'\ dem negativ genommenen zweiten 
Coefficienten von (?,, auszuführen. 

Nun ist, als (2^)*® Ueberschiebung von f über sich selbst: 

/ ^. , n — 2i „ . , \ 

, 2i.2i-lf „ ... , 7i-2i „ „ . , \ 

daher 

,, 2i , 2/.2i-l 

SqC) = ÜQ a'2i — Y ^1 «2/-1 H Y~^ fl'g «2i-2 . . . 4- ^2i ^0 

,, 2/ , 2^.2^-l 

oder, wenn man gleichartige Terme zusammenzieht: 

,.. ^\ 2i , 2i.2i-l 
Sy*') = 2<a^^a2i— Y % ^2 ,-1 H j— ^^ — «2 ^^2«-2 . . . 

i-iy 2i.2i-i..,i + i 

^ 2 ' 1.2...i ''' 

,, 2/-1 , 2^.2/ -3 
s^'^ = a^aiij^\ j — «iß2«-| -^ 2 «2 «2.-1 

2^.2^-1.2^-5 ., ,,.2^ . 2i- 1 ... ^4- 2 . 1 
1.2.3 ^^ ^^ '" ^ •••+(-!)' ^ 2...^ ^' ^*"^^ * 

Setzt man nun hierin die Grössen (1) an Stelle der a, so werden 
die Ausdrücke rechts von der Ordnung der Ausdrücke 92» ^^^ 9^2i+h 
also beziehungsweise von den Ordnungen 2i (n—2) und (2^-f-l) (w— 2) 



3S6 Siebenter Abschnitt. 

(vgl. S. 329), wLilirend (?/ und Tj- von den Ordnungen 2n~4i und 
^n — Ai — 2 sind. Die hinzuzufügenden Potenzen von /"sind also: 



bei ar. ^^ ^ — ^^ ^ =2^ 



2 



bei ., (2^ + l)(.-2)-(3n-4.-2_)^^._^ 



und die Ausdrücke der (>, t durch die (p werden durch die Gleich- 
ungen gegeben: 

... ., , 2'^-. 2^-1 2^.2^'- 1.2^-2 
i (^i . r ~ ^ = fP2i -\ ^ 2 ^^ 9^''-2 ~ ^23 ^'^ ^'-'-^ 

(- 1)^' 2^.2^-l...^ + l .^ 
■^••* 2 1.2...^' ^^" 

^. , , 2i.2i-3 2i.2i-l.2i-b 
Xi . T'-^ = 92«-i H r72 -~ ^2 9^2e-i r~2~3 ^^^ '^''-' 

^ , ... 2^.2i-l...i + 2.l 

Diese Formeln gestatten es, successive die verschiedenen cp durch 
die (7, r auszudrücken, und indem dieses möglich wird, geben sie zu- 
gleich einen unmittelbaren Beweis dafür, dass alle Covarianten und 
Invarianten von f als ganze rationale Functionen von / und den ö, r, 
nur jedesmal durch eine Potenz von / dividirt, ausgedrückt werden 
können. 

Da die 9 hier successive berechnet werden, so enthält 9)2/ iiur 
die 6 bis (?j, die t bis zu Tj_t einschliesslich; dagegen enthält qp2/ + i 
die 6 bis zu 6i und die % bis zu Xi einschliesslich. Inzwischen bemerkt 
man, dass die Differenz 

die früheren ^ nach den obigen Formeln nur bis zu q)2i—2, und dass 
die Differenz 

die cp nur bis zu 9)2?— 1 enthält. Daher kann die erste DifPerenz, wenn 
man alles durch die ö, % ausdrückt, diese Grössen nur bis zu (7i_i, 
T,_2, die zweite Differenz dieselbe nur bis zu (>2_i, t,_i enthalten. 
Und man hat also den Satz: 

Die Ausdrücke der typischen Coefficienten q) 
haben die Form: 

^2i =\0iP'-'^-\-T\2i (/", (?i, (?2..., (7e-i, r^, T2..., r,._2) 
WO die TT ganze Functionen bezeichnen. 



Typische Darstellungen. — § 86. 337 

Die Gleichungen 

i ^3 /"■* = 9Pfi + lö 7^2 ^i - 1^ fp/ 

i (?4 f^ = 9)8+28 (p.^ 9)ß - 56 9)3 gpj + 35 99/ 



^3/"' =9^7 + '^9^2 9^5 -59^39^4 

^1 /^' = 9^9 + 20 92 9)7 - 28 9)3 9)g + 14 9)4 9)5 

geben aufgelöst folgende Ausdrücke der ersten (p: 

9^2==i<^i 
9^3 = ^1 

9^4 = i^2P-*^l' 
9^5 = '^2 /"' - <^1 ^1 

9>6= ^^3/"'- ¥ ^1 ^2/'+ ¥ c?.' + io V 

9>7 = '^3/''+(|^l<?2- 1^1 ^2)^ + 1^1'^! 

Die fraglichen typischen Darstellungen werden daher für die 
ersten Ordnungen folgende: 

71 = 2. Hier wird a^ — D, also 

wie in § 33. 

n = ?t. Es wird (7j = A, t, = — ^, also 

Alle Invarianten und Covarianten von f drücken sich also durch 
f, A, Q aus. In der That bleibt nur noch E übrig; bildet man das- 
selbe für die rechte Seite nach der ausgerechneten Form (§ 34. Anm.), 
so hat man 

Die y ergleich ung der Ordnungen giebt X~2, also 
^_ A^ + 2g^ 

was nichts anderes als die Gleichung (7) des § 35. ist. 
n = 4. Man hat 

6, =- H, r, -^ - T, a.^ = i, 

Clebsch, Theorie der biuaren algebr. Fona«u. 22 



338 

also 



Siebenter Abschnitt. 



/■^/■(2/) = 5^ + 3-ffrf + 4T?f + (^-15-^),^*. 



Alle Covarianteu und Invarianten drücken sich also durch /*, H, 
T, i aus. Es ist nur j noch übrig, und indem man es für die rechte 



Seite bildet, findet man 



i./-l = 6. 



' f 
f T 

2 2 4 



also 1 = 3, und 



i = 3 



7^ 



was die Formel (1) des § 42. ist. 

^:=5. Man hat, indem nach Analogie des § 73. die übrigen 
Bezeichnungen beibehalten werden, nur noch die neue Form 

g = (a &)4 (c d) Kr hj c/ = {c i) cj" ^/ 
hinzuzufügen; dann ist r^^ — q^ 

und die typische Darstellung wird: 

r ■ f{y) = I' + 5-ff 5» ^' + 10 rr 1)' + 5 (^P - I H^) 1 1 

+ {qP-HI)i'. 
^ = 6. Hier tritt die Invariante A^^a^ (§76.) hinzu, und die 
typische Form wird: 
P ■ fiy) = r + '^ i?l* ^2^ + 20 Tl'rf+ 15 (|/^ - | m^ ^ ^^ 



§ 87. Anwendung der typischen Darstellung auf die Lösung von 

Gleichungen. 

Wenn man unter x^, x^ irgend welche constanten Werthe ver- 
steht, so hat die Substitution 

S = i [2/i f (^i) + 2/2 f fe)] ; ^ = ^1 2/2 - ^2 2/i 
die Eigenschaft, die Gleichung f=0 von ihrem zweiten Terme zu 
befreien. 



Typische Darstellungen. — §§ 86, 87. 339 

1. Bei quadratischen Gleichungen, wo nach §86. die neue Form 

wird, hat man an Stelle von f(y) = sofort die reine quadratische 
Gleichung 

A 



|2 + ^^2_0, 



also 



oder 



i bi r M + 2/2 /' (^2)] = // - 2" • f ^1 2/2 - 2/1 ^2} , 

und daher, was auch Xj^, x.^ sein mögen: 



r(x,)-x,j/-^ 



was mit der in § 33. gegebenen Lösung übereinstimmt. 

2. Bei cubischen Gleichungen wird nach § 86. die neue Gleichung: 

(1) ^' + iAiri'+Qri' = 0. 

Diese Gleichung kann, wie in § 44., durch entsprechende Modi 
fication der in § 38. gegebenen Lösung, oder direct durch die Car- 
danosche Formel gelöst werden. Man erhält dann 

(2) ^ = s^A + a^'B, 

WO 8 eine dritte Wurzel der Einheit ist, und, durch Einsetzen in (1), 
nach den gewöhnlichen Regeln: 

(3) AB =-t; 

daher sind Ä^ und B^ die Wurzeln der Gleichung 



A^ 



und es wird 



.. Q n/Q'^ A^ 



22- 



340 Siebenter Abschnitt. 

Aber nach der Theorie der cubischen Formen ist 

daher 

~^ 

2 * 



/l+f=*^/: 



Die Grössen A und B sind also durch die Gleichungen 



(4) 



5^ = i(<3-//^) 



nebst der Bedingung 

(5) ^^ = -t' 

welche die Wahl der Cubikwurzel von B^ an die von A^ knüpft, 

y 

gegeben; sodann aber findet man nach (2) — aus der Gleichung: 

(6) ^hn^l±yin^ ^ ,iA 4- e^iB. 

^12/2-2/1^2 

Die Lösung giebt, ganz analog der für die quadratischen Gleich- 
ungen aufgestellten, eine unendliche Anzahl gleichberechtigter Auf- 
lösungen, welche nur durch die Wahl des willkürlichen Parameters 

cc 

— von einander verschieden sind.* 

Eine andere Darstellung der Auflösung der cubischen Gleichungen 
(1) erhält man, indem man für die x eines der Werthepaare a, ß 
setzt, für welche A verschwindet. Die Gleichung (1) verwandelt sich 
dann in eine reine cubische Gleichung, und man hat daher 

wo die dritte Wurzel jeden ihrer drei Werthe annehmen kann. Die 
Lösung der cubischen Gleichung nimmt also dann die beiden For- 
men an: 

3. Bei biquadratischen Gleichungen ist die transformirte Gestalt 
nach § 86.: 

(7) O^l^j^^H^^yi^ + ATlrf + i^Y-i^i 
* Gundelfinger, Math. Ann. Bd. 3, S. 272. 



Typische Darstellungen. - § 87 341 

Setzt man uim, iiacli Euler's Methode: 

(8) 1 = A-^B + C, 

so kaun man die Gleichung (7) in folgende drei zerlegen, welche 
dann die Grössen A, B, C vollständig bestimmen: 

T 
ABC =-^ 

(9) A^^B' + C' =-^H 
^2^2 ^ j^iQi + C' A' = ^' - ^-^ . 

Daher sind A- , B^ , 0- die Wurzeln der cubischen Gleichung 

(10) .3 + I H,^ + (-1^ _ '_| ) , _ ^ = 0, 

während ausserdem zwischen A, B, C selbst die Zeichenbestimmung 

(11) ABC=-^ 
besteht. Setzt man aber in (10) 

(12) .=-^-'^^; 

und führt dadurch die neue Unbekannte m ein, so verwandelt sich, 
wenn man zugleich die Identität 



T'-^-{(H-^-^HP-lp) 



berücksichtigt, die Gleichung (10) in die cubische Resolvente des 
§ 44., nämlich 

(13) ni^-^m-^ = 0. 

Man hat also, wenn wieder m, m j m" die Wurzeln dieser 
Gleichung sind: 



(14) ■ B=y - 



H+m'f 



„ -,/ E+m"f 

^=y 2—' 

wo für die Vorzeichen der Quadratwurzeln noch die Bedingung (10) 
besteht. 

Man sieht, dass A, B, C nichts anderes sind, als die Werthe 
welche die irrationalen quadratischen Covarianten von /' für das 



342 Siebenter Abschnitt. 

beliebige Werthepaar x^, x^ annehmen. Daher kann man diese 
Lösung der biquadratischen Gleichung endlich in folgender Form 
schreiben * : 

(15) | ^irc^i)+^2rfe) ^ ^ (^) + ^(^) + x{x), 

WO 

(16) +'P{x).±.i'{x). + x{x) = -^- 

Für die wirkliche Darstellung der Lösung haben die hier er- 
wähnten Formen vor den im Frühern gegebenen wesentliche Vorzüge. 
Ich will die Formeln (15), (16) auf eine an und für sich interessante 
Gleichung anwenden, die Modulargleichung für die Transformation 
dritter Ordnung der elliptischen Functionen. Nach Fundam. S. 23 ist 
dieselbe 

(17) u^-.vi + 2uv{l-u^v^) = 0, 
4 4 

wo u = yjCf v = \/Xj und wo x den gegebenen, X den gesuchten 
Modul bedeutet. Führt man den reciproken Werth t des Multipli- 
cators M ein, so geschieht dies mittelst der linearen Transformation 
(Fundam. S. 25) 

und die Gleichung (17) verwandelt sich dadurch in 

(19) /•=^i-6^2^8(l-2x2)^-3=-0. 
Für dieselbe ist i — 0, 

l -1 

(20) j = 6 -1 2(1-2^2) =S)ßK^x'^, 

-1 2(l-2;c2) -3 

wenn ;c'^==l — ;c^; daher aus (13) 

(21) m = T/^^2\/I^^\ 

Zugleich ist 

(22) ir=-2^4 + 8(l-2;i2)^3__i2if2^8(l-2;c2)^-hl6z2x^ 

Setzt man also in (15) x^^=^\j x<^ = 0, so hat man: 



(23) t^^==^y\-p4.K'K'^^yi~8p4.7i^K'^+T/l-s^\/4.x'K'\ 



* Aronhold in Crelle's Journal, Bd. 52. 



Typische Darstellungen. — §§87, 88. 343 



Um die Zeicheubestimmung (16) zu finden, muss man noch den 
ersten Coefficienten von T (weil x^ = \ , x,^=^ 0) bilden , welcher gleich 

-2 2(1-2x^0 ==^(^-^''') 
ist. Die Vorzeichen der Wurzeln sind also so zu nehmen, dass 



t/i _,'/4 ;,2 ^'2 , t/i _ f 1^4 ^2^'-> ^ 7/l_£Y'4 ^2 yc"2=2K'--l. 



§ 88. Andere typische Darstellung des Formensystems der Formen dritter 

und vierter Ordnung. 

Wenn es sich darum handelt, nicht nur die Grundform, sondern 
auch ihre Co Varianten in typischen Veränderlichen darzustellen, so 
können andere Substitutionen, als die im Vorigen behandelten, den 
Vorzug einfachster Eigenschaften besitzen. Bei den Formen dritter 
Ordnung ist es die Substitution 

(1) ^^A,A„ v = {^y), 

bei den Formen vierter Ordnung die Substitution 

(2) i = T.'Ty, r, = {xy), 

welche am einfachsten zum Ziele führt. In beiden Fällen haben die 
neuen Veränderlichen die Eigenschaft, Null zu geben, wenn man sie 
dem Prozesse d unterwirft, so dass, um §, resp. H zu finden, es nur 
nöthig ist, die Coefficienten der typischen Darstellung von /"die- 
sem Prozesse zu unterwerfen, während andererseits A und T unmit- 
telbar aus den Formeln des § 86. gefunden werden. Doch ist 
es auch für die ersteren Formeln nicht erforderlich, auf den Prozess d 
zurückzugehen, wenn man sofort die Darstellung der zusammen- 
gesetzten Formen ycf-\-lQj bez. xf-{-lH unternimmt. Zur Be- 
stimmung der Coefficienten in deren Darstellungen führt die recurrente 
Formel des § 83. 

Es sei nämlich F=Fx"^ irgend eine Form, und 

eine aus Anwendung einer beliebigen andern, uur nicht linearen. 
Form (p entspringende Substitution. Es wird dann 

und daher 



344 Siebenter Abschnitt. 



wo 



B^^Fa 



(3) B,^F,"^-'{Fl^ 

B^ = F:-^-'{Fl)\ 



Die Methode, eine recurrente Formel für die B zu finden, kann 
nun aus § 83. ohne Weiteres entlehnt werden. Denn da a. a. 0. eine 
Beziehung zwischen den dort durch /", M bezeichneten Formen in 
keiner Weise benutzt wurde", so bleibt das Resultat auch für den vor- 
liegenden Fall bestehen, in welchem /", M nur durch F^ (p ersetzt 
werden. Man hat also die recurrente Formel: 



A-l 



(4) ^^'^^^^.T^ll^^^-ä^^O-^gTi^)^^ 
WO die Covariante 

(5) ^ = {(p(py<Ps^-^^'s^-'' 

bedeutet. Ich wende dieselbe jetzt auf die fragliche Darstelkmg der 
Formen dritter und vierter Ordnung an. 

1. Cubische Formen. Zunächst wird durch Anwendung der 
Substitution (1) nach § 86. : 

(6) A.A(2/) = r + |^^. 

Sodann ist 

(7) A^^ {xf+ XQ) = B, l^ -3B,^^r, + B B, | r,^ - B, rf , 
und zwar hat man nach (3) , (4) (0 = i^) : 

B, = 7if^-XQ 

^"^j dx^ dx^ dx^ d Xi\ 

= 7c {aA) aj A.. + A (QA) QJ A.. 

=-^Q-^^f [§36. (3).] 

B, = i[7c(QA)QJA,~^X {aA) a/ A.,] -^\li (x/'-h A Q) 

= -|(^/+Ar^) 
^3 = -^[^(^^)«-^'A.+A(t>A)^>/AJ + i^(xr,)-|A/ 



Typische Darstellungen — § 88. 345 

Die typische Darstellung von yif-^lQ wird also: 
A3 («f+ X Q) = {y.f+ A Q) (^ - ^^ S n') - (-" Q-^ ^f) (s ^ >/ - f 'f} 
Sie zerfällt in die beiden Gleichungen: - 

• 

2. Biquadratische Formen. Zur Darstellung von T mittelst 
der Substitution (2) benutzen wir die letzte Gleichung des § 86., in- 
dem wir T an Stelle der dort durch /' bezeichneten Form treten lassen. 
Es ist zunächst zu erörtern, was an Stelle der dort durch Hj T, i, 
q, A bezeichneten Formen zu setzen ist. Hierzu benutzt man die 
Formeln des § 43. Bezeichnen wir durch I und J die nach den xj 
genommenen Invarianten der Form 

H.f{y)-f.H{y), 

welche aus ixi, jxX dadurch hervorgehen, d;iss H für x, —/'für X 
gesetzt wird, so hat man nach § 43. (7) für die in § S6. durch H 
bezeichnete Form den Ausdruck: 

Die in § 86. durch T bezeichnete Form ist die erste üeberschiebung 
dieser Form mit T: 



12.6.8 



\dx^ dx.2 cx^ c xj 



12 .6,^\cf\cXj^ dx.y dx.^ cxj cR\dx^ c x.^ c x,^ cxjj 



Aber nach § 42. (2) hat man : 




cT cf cT cf 

dx^d X,, c X,, c x^ 


4 


cT cH cT cH 

cx^dx.y d X.y d X^ 


-4 



cH 

"cf 



und der besuchte Ausdruck wird also: 



_,[lI_^:^{H,-f)_ dl cQ{H, -n\ 
^^\ df cH cH cf' J 

j dul cQ{x, X) clyA f^{ii,k) i 
\cl dx dx dl jy.=H,X=~r 



= A^- (§41.) 



346 Siebenter Abschnitt. 

Die an Stelle von i (§ S6.) zu setzende vierte Ueberschiebung von 
T über sicli selbst verscliwindet nach § 43. identisch ; ebenso also auch 
die an Stelle von q (§ 86.) tretende erste Ueberschiebung dieser Form 
mit T. Dagegen wird die sechste Ueberschiebung Ä von T über sich 
selbst, nach § 43. : 

Da aber für k = H, X — — f\ T^ in —^Q übergeht, und nach 
§41.: 

V6 ^ J^^ ~ 6 -^^^^ 
so wird auch 

Wenden wir jetzt die letzte Formel des § 86. an, so erhalten wir für 
T die Darstellung: 

(9) T^ . T(i,) = ^<^-^ i^^T]^ + ^ j i^n' -t'i I' ^' t 

Um die Darstellung von Kf-\-kII zu finden, wendet man wieder 
die Formel (4) an. Es ist 

Dabei ist 

B, = Kf+XH, (^=r{TTyTJTJ^ = -~. 

Man vereinfacht die Aufsuchung der folgenden Coefficienten sehr 
durch folgende Vorbetrachtung. Setzen wir der Kürze wegen 

wo Q immer mit den Argumenten Hj —f geschrieben gedacht wird, 
so ist 

^ ?2 - 1^ ?i = 4 [h (« T) «/ T,' + ^ {HT) Ä.' T/] , 

oder nach § 42. : 

,.,,- du y du y „ 



Typische Darstellungen. 



347 



Ferner : 

dV y dV y (/ 



d''Q 



+ 



(■ 






dHdf 



d x.^ d X 
dHdTs 



HjKdx^'dx.^ 
df d_T 

dx.. 



dfd 
df- J \dx^ 

dfdHJ df~ 



x.^dxjj 



dHdf df 



OdHj' 



Der in der grossen Klammer befindliche Ausdruck kann aber 
auch ^ie Form erhalten: 



d'-Q 



dH' 
a-Q 



d''9. 

dfdH 

d'Q 



d'Q 



dH' 

d-Q 



H 



dfdH df 

= i{xf+XH) 



dHdf 
d'Q 



H 



dHdf 
d'-<^ 



so dass endlich 
(11) 



dH' 

d'9. 



dp 

dfdH 

d'Q. 



-M{Kf+XH) [§41.(8)J, 



dfdH, cp 

dv^ dVy ^j. 

~^T ^2 ~ ~ — ^1 = ~" 2/n. 

C Xi C Xa 



Hieraus folgt, dass man setzen kann: 
(12) Bn^ChU + Hnv, Co=l, Do=0, 

wo Ch und Dh ganze Functionen von f, H sind, welche ;c, A nicht 
mehr enthalten. 

In der That, es verwandelt sich die recurrente Formel (4) mit 
Anwendung der Gleichungen (10), (11) in: 

dÖH 



^\dx,^' 






bh 



d X.2 

dB, 

dx. 



I,{C,-iu + Dh-iv), 



24:{A-h) 

eine Gleichung, welche sofort in die beiden zerfällt 

dCh . ^^^\ bh 






1 /aq, 

-h\dx, ^- 
]_(d_Dj, 
-h\dx, ^' 



CX.2 

d_D, 

dx.. 



ii 



21D1.)- 



24(4-7«) 

öh 
24 (4 -A) 



I(7/,-i 



IDh-> 



Betrachtet man aber die C und D, wie oben angegeben, als 
Functionen von f und H, so ist weiter : 



348 



Siebenter Abschnitt. 



dCh . dCh 

fe2 



djh 



dx^ 



l,=4 



^ (aT)a.3T/+ 1% {HT) H/ TJ 



df 



dH 

dCh dÜ' 



df) 



dx 



~ '^\df dH dH df 



df 

( dPh dQ._d_ 

\ df dH c 



dH 
dDnd^. 



{HT)HJT, 



df dH dH df 

und die recurrenteii Formeln werden also: 



). 



Cji_i-i= — 



2 



6V dQ dCf, dQ 



(13) 



D 



3(4-/0/ df dH dH df 
dDhdQ dD/,dQ 



dID, 



i- 



6h 



h+V 



3(4-/0 df dH dH df 



f 0, 



24 {4: -h) 

bh 

24(4-/i) 



ICH-^ 



in 



A — 1« 



Führt man nun aus (12) die Wertlie (7^= 1, 1)^ = ein, so erhält 
man weiter: 



^2 — 24:' ^2 — ^} 



(14) 



^3- 






dH df 



1 f dl dQ 
12\dfdH' 

48 

18 \dfdH dHdf. 
Q dl dQ 



; 12 



(vgl. oben) 



C-L 



±dQ\ 

H df)' 



13/2 

8.24 

18 36* 



3.48 \ df dH 

Es bleibt mir noch der erste Theil von C^ umzuformen. Man hatte 
mit Bezug auf ^, A als Veränderliche in § 41. 

«xx = — 3 Aß 
jxA = — 3 Qsi. 

Setzt man also für den Augenblick symbolisch 

Q^co,^, 



so wird 



mithin 



iy,X — — 3(w iv'y Wy, w'yi = — S Ax^ 
JyiX = — 3 (w A) Wy^ Ay=- — 3 Q/ 



= -i*«i^. [§ 35. (2).] 



Typische Darstellungen. — § 88, 89. 349 

Setzt man also x = H, X = —f, so ergiebt sich 

cfdH cHdf ^ ' 
und somit: 

(15) C, = £. 

Fassen wir nunmehr alles zusammen, so haben wir: 






Die typische Darstellung von x f-\- X H wird also : 

oder man hat: 

^^•/■(2/)=/-(r+| 1^ t' - f ^'?'+£ »?*) 



äff V=" ' 12" ' 36 



Sf\J^ 1 12^''+3ö''J- 



§ 89. Ueber die Aufgabe , zu gegebenen Elementen ein letztes zu finden, 
so dass eine bestimmte Invariante des ganzen Systems versclnvindet. 

Im Folgenden werde ich eine Anwendung der typischen Dar- 
stellungen geben, welche für die Untersuchung der Natur von Invarianten 
von der grössten Wichtigkeit ist. Um nämlich die Bedeutung des 
Verschwindens einer Invariante J zu erkennen, welche einem Systeme 
von Formen f^ (p . . . simultan zugehört, kann man die Elemente, 
welche den Gleichungen f = 0, f = 0... zugehören, bis auf eines 
(etwa von f) als bekannt voraussetzen und nun die Frage stellen: 



350 Siebenter Absclimtt. 

Wie bestimmt man das letzte der Gleichung f=^0 
zugehörige Element so, dass eine gegebene simul- 
tane Invariante J von /*, ^ ... verschwindet? 

Man kann in Folge dieser Fragestellung / als das Product einer 
unbekannten linearen Form ti mit einer gegebenen Form F einer um 
1 niedrigeren Ordnung ansehen ; und indem man diesen Ausdruck t] . F 
in die Invariante, welche verschwinden soll, an Stelle von f einführt, 
erhält man aus J = eine Gleichung für das Verh'altniss der Coef- 
ficienten von rj, eine Gleichung von ebenso hohem Grade in Bezug 
auf diese Unbekannte, als J es in Bezug auf die Coefficienten von 
/ war. 

Diese Gleichung hat in vielen Fällen bemerkenswerthe Eigen- 
schaften und dient dazu, die Eigenschaften von J zu beleuchten. Ich 
will zunächst nur zweier Fälle gedenken, in denen das Resultat von 
vornherein klar und daher eine Untersuchung weiter nicht nöthig ist; 
ich meine die Fälle, in denen J eine Resultante oder Discrimi- 
nante ist. 

Wenn J die Resultante von f und i/; ist und wir voraussetzen, 
dass die Resultante von F und cp nicht verschwindet, so kann J nur 
dadurch verschwinden, dass rj ein Factor von 9? wird. Ist also symbolisch 
il} = iPy'nj so ist die gesuchte Gleichung 

Ist J die Discriminante von f und verschwindet nicht schon die 
Discriminante von F^ so kann J nur gleich Null werden, wenn ri 
Factor von JPist, und die gesuchte Gleichung ist also, wenn F=^Fy"-^ 
gesetzt wird: 

(Frjy-'^^O. 

Um nun in anderen Fällen die gesuchte Gleichung zu finden, 
werde ich durch x das Verschwindungselement von rj bezeichnen, so dass 

und werde in JP, 9? . . . als zweite Veränderliche 

i = F,—'Fy 
einführen. Man hat dann nach § 83. 

n-l.n-2.n-3 , 

(n 1.2.3 ^'^ ^ •■■' 



Typische Dai-stellimgen. — § Ö9. 351 

Die Form f aber käuu durch den Ausdruck gegeben angesehen 
werden : 



{49 _ 1 V)—9 
1"-'+ [;l <p,A-^n' 



-^ • / KU) — "^ V ^ b -1 1 9 r2 ^ '^^ 



1 



1.2.3 

und die Coefficienten der transformirten Form f sind also : 
0, 1, 0, Sg)^, -4^3, 5g?4 

Waren nun ursprünglich a^, ft^ ...; 6^, ö^ ...;... die Coefficienten 
von fj qp . . . ; und 

J=TT(ao,ai...; &o? ^1 •••; •••)> 
so erhält man nur eine Potenz von F als überflüssigen Factor, wenn 
man statt der Coefficienten a, h , . . die der Darstellungen (1), (2) setzt. 
Die gesuchte Gleichung ist daher: 

n(0,l,0,-3y,...;^,,-^,. ..;...) 
^~ Fl 

* Ich werde diese Art, die Endgleichung zu bilden, auf Fälle an- 
wenden, in welchen es sich nur um Invarianten einer einzigen Form 
f handelt. 



Zu drei gegebenen Elementen soll ein viertes 
gefunden werden, so dass für die Gruppe aller ent- 
weder i oderj verschwindet. 
Man hat für F eine Form dritter Ordnung in der typischen 
Darstellung (§ 86.) 

FKF{y) = l^ + i/^lrf + Qyf 
zu setzen. Soll nun i verschwinden, so hat man in der Gleichung 

i = 2 («0 «4 - 4 a^ «3 4- 3 a/) 
zu setzen: 

«0 = 0, «1 = 1, «2 = 0, «3 = 1 A, a^ = -4.Q, 

Man erhält also 

A = 0, 
und hat den Satz: 

Es giebt zu drei gegebenen Elementen immer 
zwei, deren jedes mit denselben ein cyclisch pro- 
jeetivisches System bilden kann; dies sind die Ver- 
schwindungselemente der zur Gruppe der drei ge- 
hörigen Covariante A. 



352 



Siebenter Abschnitt. 



Soll dagegen j verschwinden, so hat man in 



ao 



a., 



jene Werthe der a einzusetzen, und findet also 

Q = 0. 
Dies giebt den Satz: 

Zu drei gegebenen Elementen kann man auf 
drei Arten das vierte harmonische bilden. Diese 
drei vierten harmonischen Elemente entsprechen 
der zu der Gruppejener drei gehörigen Covari ante Q. 
Man kann hiernach die in § 39. gegebene geometrische Inter- 
pretation der cubischen Formen in folgender Weise ergänzen: Zu den 
Elementen der Gruppe construirt man die drei vierten 
harmonischen, welche Q bilden. Sie geben mit den ersten 
dreiPaare einer Involution, und indem man derenDoppel- 
elemente sucht, erhält man die Elemente von A. 

IL 

Zu vier gegebenen Elementen soll ein fünftes 

gesucht werden, so dass eine der Invarianten der 

Gruppe aller fünf verschwindet. 

Bemerken wir zunächst folgendes Allgemeine. Wenn wir eine 

der vier Invarianten Ä, B, Cj R verschwinden lassen, so erhalten 

wir Gleichungen der Ordnungen 4, 8, 12, 18. Nun können nach 

dem Vorigen sich diese Gleichungen nur durch rationale Functionen 

der zu der Form vierter Ordnung gehörigen Covarianten F, H, T 

ausdrücken, welche von den Ordnungen 4, 8, 6 sind. Da noch T^ 

durch jP, H ausdrückbar ist, so folgt, dass 

^ = auf eine lineare Gleichung zwischen F , H, 
B = auf eine quadratische Gleichung zwischen F, H, 
(7 = auf eine cubische Gleichung zwischen F, Hj 
R — () auf T, multiplicirt mit einer cubischen Gleichung zwischen 
F und H 
führen muss. Daher hat man den Satz: 

Die Aufgabe, zu vier gegebenen ein fünftes 
Element so zu bestimmen, dass A, B, C oder R* 
verschwindet, führt jederzeit auf algebraisch lös- 
bare Gleichunscen. 



Ebenso, wenn etwa M oder N verschwinden soll. 



Typische Darstellungen. — § 89. 353 

Und zwar kann man hinzufügen, dass die Lösungen sich immer 
gruppenweise aus den Quadrupeln der Reihe k F -\- k H zusammen- 
setzen, welche nur (bei T=0) gelegentlich, wenn ein solches Qua- 
drupel in ein doppelt zu rechnendes Paar ausartet, durch dieses selbst 
ersetzt w^erden kann. 

Da nach § "^^ hier: 

so hat man, um die Gleichungen A=^0 etc. nach der oben gegebenen 
Methode zu bilden, statt der Coefficienten von /"folgende Ausdrücke 
zu setzen: 

0, 1,0, 5^, -AT, bi^-^-\n'). 

Bezeichnen wir durch f, /, A etc. die Covarianten der Form 
fünften Grades, gebildet für die rechte Seite der typischen Darstellung 
und für 5? ^ als Veränderliche, so haben wir: 

^^ Ä'= - 24 IHifiiF' + 6H') -f 12 T'], 

oder, wenn wir für T'~ seinen Werth aus der Formel: 

setzen : 

(4) Ä' =- 48 F' (AiH-jF). 

Die vier Elemente, für welche J. = 0, werden 
also aus der Gleichung gefunden: 

0=:4:iH-jF. 

Man erhält sodann, indem man / nach § 73. bildet: 

(5) / = 0J4r?^= + (6-ff^ -^'jr-iJ-öÄ-Tlryä 



-C^-^-«-)'t 



und daraus 



(i^^ r' -9T^^) ^" mSF+ 48 iH^ - 2b PF^ 
[Ky)t -^^-| -Tgr^(96^^ff-16.24jF) 

+ ri' (12. 18 j FH' - 24 ijff^ -80 ij F^ + ^^i^HF'^ 

mithin durch zweite Ueberschiebung von z und i': 
il) B = 2F^ \ 18 (4iH-jFf - 125 F'^ (i'-ßf) |. 

Gl ob seh, Theorie der biuären algebr. Formen. 23 



354 Siebenter Absclmitt. 

Beiläufig ergiebt sich aus (4), (7), dass die Invariante achten 
Grades 

immer und nur dann verschwindet, wenn zwei der vier gegebenen 
Punkte zusammenfallen oder wenn der fünfte mit einem von jenen 
zusammenfällt. Daher ist Ä''^ — 64 jB' die D i s c r i m i n a n t e der Form 
fünfter Ordnung. 

Die Gleichung B' =^0 ist zwar quadratisch für Hy F, zerfällt 
aber, wie man sieht, sofort in zwei Factoren, so dass man den Satz 
aussprechen kann: 

Die 2.4Elemente, für welche^ — 0, werden aus 
den beiden durch verschiedene Wahl der Quadrat- 
wurzel entstehenden Gleichungen 



gefunden. 
Sodann ergiebt sich aus r seine Discriminante 
0' = 8 JPe j^3 (8. 48 ^H 24. 25. 48/) - H^F.4S . 81 . i'j 

Die 3.4 Elemente, für welche (7=0, werdenalso 
aus der cubischen Gleichung 

0=H^ (8ASi^+24:.2bASf) - H^ F AS . 81 i'j 
- HF' (lASAS. if + ^^^ A + F' (25 . 80 i^j-{- 8 . 24 . 32/) 

gefunden. 
Um schliesslich B zu erhalten, bilden wir aus ^' und x die erste 
Ueberschiebung : 

d^' =:^ 10 F^ [12 ^^ T {-AS jH+bi'F) 

-\-iri{-12A2A.jH^-3ßi'H'F+AS.3ijHF^+2bi^F^) 

+ 12rj'T{24.jH^ + ^i^HF-32ijF')], 

sowie, da a = ~ {iJYJ^c war, aus i und j die zweite Ueberschiebung 

a' =^bF'[-4:STil-\-{AS HjF- 24 i H^ -{-bi^F'\ri] , 

und haben dann aus B — ip'of die Bestimmung: 

B' = 250 A2.TF^[~HKA:S. 48 (48.f-|- Ui^j) 
+ 6 . 48 jy 2 2^ (24 ^2 j2 ^ 7 ^-5) _ 43 , 243 . HF^ . i^j 

+ F^ (625^-^32.48.8^3/)]. 



Typische üarstelhmgen. — § 89. 355 

Die 18 Elemente, für welche R verschwindet, 
bestehen also 

1. aus den 6 Elementen von T=0, 

2. aus drei Quadrupeln, welche durch die cubische 
Gleichung 

= - 1^3 . 482 (48/ -I- 14 i^j) + 6 . 48 5^2 jr^24 i^ + 7 i^) 
-48. 243. HF-'i^j+F^62bi^-\-32AS,S.i'f) 

gefunden werden. 

Wenn der fünfte Factor der Gleichung fünften Grades ein Factor 
von T— ist, so heisst dieses nach der Theorie der biquadratischen 
Formen, dass er einem Doppelelemente einer der Involutionen entspricht, 
welche durch die Zerlegungen der gegebenen vier Elemente in zwei 
Paare gegeben sind (vgl. § 51.). Man sieht also, dass R ver- 
schwindet, wenn ein Factor der Gleichung fünften Gra- 
des bei einer bestimmten Sonderung der anderen vier in 
zwei Paare eines der zu beiden Paaren gleichzeitig har- 
monischen Elemente ist. Wir werden auf diese Eigenschaft von 
R bei einer anderen Gelegenheit in Zusammenhang mit der Auflösung 
der Gleichung fünften Grades zurückkommen, welche für R—O 
in algebraischer Form möglich wird. Aber R verschwindet offen- 
bar nicht nur, wenn der hier bevorzugte fünfte Factor den vier 
gegebenen gegenüber die angeführte Eigenschaft hat, sondern auch 
noch, wenn dieselbe für einen der vier gegebenen Factoren ein- 
tritt, gegenüber der Combination der drei andern gegebenen und des 
gesuchten. Dieser Fall ist es, bei welchem in dem oben gegebenen 
Ausdruck von R' nicht der Factor T, sondern der in H und / cubische 
Factor verschwindet. 

Wir können nunmehr die Gleichung R = auch auf eine Be- 
ziehung zwischen Doppelverhältnissen zurückführen. Bezeichnen wir 
durch üj h zwei von fünf Punkten, durch c, d zwei andere, durch 
X den fünften. Es verschwindet R, wenn ein sechster Punkt y 
existirt, so dass Xy y sowohl zu a, h, als zu c, d harmonisch sind. 
Unter dieser Voraussetzung bestehen die Gleichungen 

iy ^) _ (^^) (2/^) _ C^^") 
W)~~Wy '{ydj'~~'W)' 

Aus diesen erhält man eine Beziehung zwischen Xy a, hj c, d, 
indem man y eliminirt. Multiplicirt man die zweite Gleichung links 
in Zähler und Nenner mit {ali) und wendet die Identität § 15. IV. an, 
so erhält man: 

{yd)(hc)-{yh){ac) ^ {xc)^ 
{ya){bd)-(^h){ad) {xd)' 

23* 



356 Siebenter Abschnitt. Typiscbe DarstelTuiigen, — § 89. 

daher, indem man das Verhältniss {yci)'.{yh) aus der ersten Gleichung 
einträgt : 

{x ä) (b c) -\- {xh) [a c) __ (xc) 
{xa) (hd) + {xh) {ad) ~ ~'{xdj' 
oder 

(8) {x a) {x d) {h c) + {x h) {x d) {a c) 

+ \xa) \xc) {hd) + {xh^ {x c) {ad) =^ 0. 

Diese Gleichung ist quadratisch in x und liefert die oben durch 
Xy y bezeichneten Punkte. Sie ist ferner symmetrisch für a, b einer- 
seits, für c, d andererseits, und endlich für die Paare a, h und c, d 
als solche. Die linke Seite der Gleichung nimmt also durch Yertauschung 
der ttf hj c, d, x im Ganzen nur 15 verschiedene Ausdrücke an; das 
Product aller ist vom Grade 18 in Bezug auf jede der Eeihen und 
stellt bis auf einen numerischen Factor die Invariante B der Form 
fünften Grades 

{ay)(hy{ctj){dy){xy) 

dar, welche durch ihre Verschwindungselemente gegeben ist. 

Uebrigens kann man mit Verletzung der erwähnten Symmetrie 
die linke Seite von (8) in mannigfacher Weise einfacher darstellen, 
z. B. in der Form 

2\{xh) {xd) (ac) -}- {xa) {xc) {hd)l.'^ 

Eine andere Frage, deren Lösung die vorliegenden Formeln ohne 
Weiteres ergeben, ist die nach dem projecti vischen Charakter 
desjenigen Systems von fünf Elementen, welches durch 
vier beliebige (i^=0) und ein fünftes gegeben ist, für 
welches die zu jenen vier gehörige biquadratische Co- 
variante (H) verschwindet. In diesem Falle niuss eine gewisse 
Invariantenbeziehung eintreten. Man erhält sie, wenn man in den 
obigen Ausdrücken von Ä' , jB', C überall H—O setzt und dann 
jP, ^, j eliminirt. Auf diese Weise erhält man leicht 

welches die gesuchte Beziehung ist. 



* Die Zerlegung von B in diese Factoren gab Hermite in Borchardt' 
Journal, Bd 59, S. 304. 



Achter Abschnitt. 

Typische Darstellung' von Formen ungerader Ordnung 
mittelst linearer Covarianten. 



§ 90. Tj-pische Darstellung von Formen, deren eine wenigstens von 
ungerader Ordnung -ist, mittelst linearer Covarianten. 

Im Vorigen (§ 81.) habeu wir typische Darstellungen gebildet, 
indem wir als Veränderliche zwei Covarianten ^, rj mit zwei Reihen 
von Veränderlichen x\, x., und y^, y.^ einführten, deren letztere nur 
linear auftraten. Die simultanen Functionen /", <p .••; geschrieben mit 
den y, Hessen sich dann als Functionen von ^, rj ausdrücken, deren 
Coefficienten Covarianten waren, mit einem gemeinschaftlichen Nenner, 
welcher gleichfalls Co Variante ist. 

Ist wenigstens eine Form des Systems von ungerader Ordnung, 
so kann man, so lange ihre Coefficienten nicht besonderen Be- 
dingungen genügen, an Stelle von §, tj lineare Covarianten setzen 
und erhält dann f, cp . . . ausgedrückt durch diese, während die Coef- 
ficienten der typischen Darstellung Constante, also Invarianten wer- 
den. Da man in §, r] hier stets nur eine Reihe von Veränderlichen 
hat, so wollen wir diese durch x^y x^ bezeichnen. Ist D die Deter- 
minante von I, ri, so hat man also 

WO Afi die Invariante 

bedeutet, und wo 2) = (!?;); analog bei den übrigen Formen des 
Systems. 

Ich werde zunächst beweisen, dass im Allgemeinen eine Form / 
von ungerader Ordnung w(>3) wenigstens zwei lineare Covarianten 
besitzt, deren Determinante nicht verschwindet. Es genügt, wenn 
für irgend eine besondere Form (2h +1)^^'" Ordnung dieses gezeigt wird. 



358 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Denn bildet mau mittelst allgemeiner Prozesse zwei lineare Covarianten 
einer solchen speciellen Form und findet, dass deren Determinante 
nicht verschwindet, so kann um so weniger die Determinante der- 
jenigen linearen Covarianten verschwinden, welche vermöge derselben 
allgemeinen Prozesse aus der allgemeinen Form (2h~\-iy^^ Ordnung 
entstehen. 

Man kann nun lineare Covarianten leicht wirklich bilden, wenn 
man in einer Form {2h-\-iy^^ Ordnung nur die beiden ersten, die 
beiden letzten und die beiden mittleren Coeificienten beibehält, alle 
übrigen aber gleich Null annimmt; ja man kann auch noch diese 
übriggebliebenen Coefficienten symmetrisch gleich annehmen; die 
weitere Bestimmung derselben bleibt vorbehalten. Ausgeschlossen ist 
nur der Fall der Formen dritter Ordnung, für welche die beibehal- 
tenen sechs Terme nicht mehr alle verschieden sind; dass aber für 
dies^e keine linearen Covarianten existiren, wissen wir bereits. Es sei 
also h^ly* 

wo A der Kürze wegen für den Binomialcoefficienten 

2h+l.2h... h+2 

^-^ rTWTTTh 

gesetzt ist. Bilden wir nun die quadratische Covariaiite ^, deren 
Symbol {altf' a^^hx ist. Wir erhalten sie nach § 30. aus den durch 
2h-\-1.2h.2h—1...2 dividirten 2/i**^" Differentialquotienten von f) 
welche folgende sind: 

ax-\-hy, hx, ..., cy, c{x-\-y), cXj ..., hy, ay-\-hx] 

und es wird also 

t^2 \ (ax+hy) (ay + hx) — 2 h . h'^ X y + {—lY'-^ gc^xy 

j^^-\fy^{x^yY\ 

=={;2ah^0c^) {x'-\-y'')^2 {ä'^¥-21i¥-{-{-\y^-^ Q c' 

j^{-\f0c^\xy, 
wo Qy die Binomialcoefficienten 

_ 2Ji^2Ji -1 . ..h+2 _ 2h.2h-l.,.h+\ 

^~ l72,.Th^l ' ^~ 1.2...h 

bedeuten. Nun kann man offenbar die Coefficienten a und h so be- 
stimmen, dass 



* Einer leichten Modification bedarf die folgende Rechnung auch noch für 
/* = 2 ; da sie indessen auf der Hand liegt , kann sie hier übergangen werden. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § 90. 359 

Dann ist 

und indem wir jp wiederholt zweimal über f schieben , brauchen wir 
(von einem nicht verschwindenden Zahlenfactor abgesehen) immer nur 
f zweimal nach x und y zu differenziren. Daher erhalten wir zuletzt 
die lineare Covai'iante 

^ = c{x+y), 

und indem wir diese noch einmal über i^ schieben , die zweite : 

rj = c{x-y). 

Man hat also zwei lineare Covarianten vor sich, deren Determi- 
nante nicht verschwindet. Es ist dabei nur auf die Leichtigkeit der 
Bildung, keineswegs darauf Rücksicht genommen, ob J und 7] in den 
Coefficienten von f möglichst niedrig seien, was keineswegs der 
Fall ist. 

Es hat also, wenn w^3, schon eine einzelne Form ungerader 
Ordnung im Allgemeinen zwei lineare Covarianten der verlangten Art, 
also auch jedes System, in welchem sie auftritt. 

Enthält ein System ausser geraden Formen nur eine lineare oder 
cubische Form, oder beides, so überzeugt man sich leicht, dass mau 
Ueberschiebungen von Potenzen derselben über einander oder über 
die Formen gerader Ordnung bilden kann, welche im Allgemeinen 
die erforderlichen linearen Covarianten liefern. 

So sehen wir denn, dass bei einzelnen Formen von n = ö an 
aufwärts typische Darstellungen dieser Art im Allgemeinen möglich 
sind, bei Systemen, sobald überhaupt wenigstens eine Form ungerader 
Ordnung auftritt. Und zwar geschieht dies auch bei specieller Wahl 
der Coefficienten immer so lange, als noch zwei lineare Covarianten 
existiren, deren Determinante nicht Null ist. 

Ist wieder h die Anzahl aller in der gegebenen Form ihrer Ord- 
nung nach vorkommenden Coefficienten, so treten in der typischen 
Form ]c-\-l Invarianten auf; zwischen diesen müssen vier Relationen 
bestehen. Man findet sie, wie in § 81. angegeben ist, indem 
man nämlich die Covarianten |, rj aus der typischen Form bildet 
und dann die Bedingungen dafür aufstellt, dass diese | und r] 
selbst seien. 

Es folgt daraus sofort folgender Satz , welcher für die Invarianten 
eine ähnliche Bedeutung hat, wie für Invarianten und Covarianten 
zusammen die oben aus der typischen Darstellung gezogenen Folgerungen: 

AI le Invarianten eines simultanen Systems /", 9... , 
welches wenigstens eine Form ungerader Ordnung 
enthält, lassen sich als Brüche darstellen, deren 



360 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Zähler ganze rationale Functionen von gewissen 
(bei einer einzigen Form 7i'^^^ Ordnung von n-\-l) In- 
varianten sind, während im Nenner jedesmal eine 
Potenz einer bestimmten (/c+l)*^" steht. 

Diese Z; + l Invarianten, durch welche hier alles ausgedrückt wird, 
haben verhältnissmässig hohe Grade in Bezug auf die Coefficienten 
der constituirenden Formen. Will man aber durch einfachere In- 
varianten alle anderen rational ausdrücken, so bedarf man dazu im 
Allgemeinen einer grösseren Zahl. 



§ 91. Zurückführung der Coefficienten solcher typischen Darstellun8:en 
auf niedrigere Invarianten. 

Schon im vorigen Paragraphen zeigte sich als nächstliegendes 
Beispiel der Fall, wo die zweite lineare Covariante als erste lieber- 
Schiebung der ersten linearen Covariante | mit einer quadratischen 
Covariante 4> entstand. In diesem Falle kann man gewisse Reductions- 
formeln aufstellen, welche dazu dienen, die grösste Zahl der typischen 
Coefficienten auf niedere Invarianten zurückzuführen. Es genügt hierbei 
eine Form des Systems zu betrachten. 

Möge die quadratische Covariante t^ jetzt eine ganz beliebige sein; 
immer wollen wir in Verbindung mit /' die folgenden, der Ordnung 
nach absteigenden Covarianten betrachten, welche durch wiederholte 
zweite üeberschiebung von ip über /' entstehen: 



I 



g'=9'/"--=(a'/')'«/"-'=^{-B,„-2l"'--2-'^-B,„-3S"'-'»;+--.j 

1 f 411 A \ 



Die Ä, B, C, D . . . sind dabei durch folgende Formeln gegeben 



Nun ist 



ungei-ader Ordnung mittelst lincai*er Co Varianten. — §§ 90, 91. 3(31 

daher 

oder nach der Identität IL des § 15.: 

Aber es ist 

setzen wir noch 

so haben wir die Relation 

Aus dieser Gleichung erhalten wir sofort Relationen zwischen 
den Äic, Bk ..., wenn wir in derselben x.> darcli üy, x^ durch — a^ 
ersetzen und sodann die Gleichung mit den Ausdrücken 



multipliciren. Es ergeben sich dann folgende Beziehungen, in deren 
jeder eine höhere Invariante in niedere zerlegt erscheint: 

= B,-{-D.a_2+iA.B,_2 



Mit Hilfe dieser Formeln drücken sich schliesslich die Coefficienten 
der typischen Darstellung von f durch folgende m + 3 Invarianten aus : 

A) D, Ä^^, Ayj B^^, By, C^ y Cy . . ., 

welche grösstentheils von wesentlich niederer Ordnung sind als die 
Coefficienten der typischen Form. 

Alle Invarianten von f allein sind daher gleichfalls rationale Fun- 
ctionen dieser m -\- 3 Grössen, deren Nenner nur Potenzen von D sind; 
und da die übrigen Formen cp . . . noch beliebig gewählt werden 
können, so sind die Invarianten von f auf unendlich viele Weisen 
so darstellbar. 

Betrachten wir insbesondere eine Form /' ungerader Ordnung 
m = 2n-{-l für sich, und sind |, rj lineare Covarianten dieser Form 
allein, so hat man nach den Betrachtungen des vorigen Paragraphen 
durch m + 1, nach den jetzigen durch ))!-{- 2, aber verhältnissmässig 
niedrige, Invarianten alle anderen rational so ausgedrückt, dass nur 
Potenzen von einer derselben in den Nennern auftreten. 



362 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Ich will ^s Beispiel die Formen fünfter Ordnung benutzen. Für 
diese hat man die Coefficientenreihe zu betrachten: 

^5? ^4? -^3; ^2; A; Aj -^3; ^2j ^i> -^ü5 ^i; ^uj 

und man hat die Relationen: 

A, + I)B,-j-iAÄ, = 

Ä,-^I)B, + iAÄ, = B, + J)C, + iAB,=.0. 
Ä, + J)B, + iAÄ,=^0 

Man drückt daher alles durch 





D, A, A„ Ä„ B„ B„ C„, C, 


olgeni 


der Formeln aus: 




-DB,~iAÄ, B, = -BC,-iA£, 
-BB,-\AA, B,^-DC,-iAB, 
A, = B^C, + nAB„ + iAK4, 
A^ = B'C,i-BAB^ + i A^A^. 



(1) 



§ 92. lieber die Bediiigungen, unter welchen Formen durch lineare 
Substitution in einander übergeführt werden können. 

Mit der soeben behandelten Classe typischer Darstellungen steht 
in genauem Zusammenhange die Frage, ob zwei gegebene binäre 
Formen oder Systeme von solchen durch lineare Transformation in 
einander übergeführt werden können, und wenn dies der Fall sein 
sollte, auf welche Weise die Ueberführung geleistet werden kann. 

Um zunächst die Wichtigkeit dieser Frage in das rechte Licht 
zu stellen, knüpfe ich an den Begriff der sogenannten canonisclien 
Formen an , welcher in specieller Fassung schon in § 49. benutzt 
wurde. Unter einer canonischen Form versteht man eine voraus- 
bestimmte Gestalt, welche einer oder mehreren Formen durch lineare 
Transformation gegeben werden soll, und bei welcher die Coefficien- 
ten vorherbestimmte rationale Functionen von so viel willkürlichen 
Parametern sind, als das Formensystem von einander unabhängige 
absolute Invarianten besitzt. In solcher Weise war |^ + rf eine cano- 
nische Form für eine cubische (§ 38.), war '^^ -\-Q %l^ rf -^-rf' (§ 49.) 
eine solche für eine biquadratische Form ; g^ + rf und llEf-\-iirf 
waren canonische Formen für zwei simultane quadratische Farmen 

(§ 57.). 

Das Problem , einem vorgelegten Functionensystem eine bestimmte 
canonische Form zu geben, zerfällt in zwei Theile, in die Bestimmung 



ungerader Orclinmg mittelst linearer Covarianten — §§91, 92. 363 

der in den Coefficieuten enthaltenen Parameter, und in die Bestimmung 
der linearen Substitution. Was erstere angeht, so hat man für sie 
die Gleichungen, welche aus der Gleichsetzung der absoluten In- 
varianten für die gegebene und die canonische Gestalt der Formen 
entspringen [vgl. die Gleichung (6) in § 49.]. Diese Gleichungen ent- 
halten der Voraussetzung nach eine ihrer Anzahl gleichkommende 
Zahl von Unbekannten, die Parameter der canonischen Form. Ist die 
canonische Form richtig gewählt, so müssen diese Gleichungen lösbar 
sein, und werden dann im Allgemeinen zur Bestimmung der Parameter 
hinreichen. Sollten diese Gleichungen aber einander widersprechen, 
so ist die angenommene canonische Form überhaupt im Allgemeinen 
nicht zulässig. 

Sind die Parameter der gedachten Gleichungen gemäss bestimmt, 
so handelt es sich um die Bestimmung der Substitutionscoefficienten. 
Man kann leicht hinreichend viele Gleichungen für die Substitutions- 
coefficienten in folgender Weise erhalten. Zunächst bildet man irgend 
eine Invariante für die gegebenen (J) und für die canonische Form 
{J'). Da eine Gleichung der Form 

zwischen beiden besteht, so findet man daraus die Transformations- 
determinante. Ist ferner (p {x^j x.^ eine Covariante der gegebenen, 
q/i^yTi) die entsprechende Covariante der £rausformirten Formen, so 
hat man auch 

Eine solche Gleichung besteht unabhängig von den Werthen der j;^, x^, 
und sie enthält keine Unbekannten mehr, als die in |, n] linear auf- 
tretenden Substitutionscoefficienten. Entwickelt man daher beiderseits 
nach Potenzen von x^, x., und vergleicht die Coefficieuten, so erhält 
man Gleichungen für die Substitutionscoefficienten. 

Aber es entsteht die Frage, ob diese Gleichungen immer ver- 
träglich sind. In der That hat man hier genau das Problem vor sich, 
welches im Eingange bezeichnet wurde. Die Coefficieuten der ge- 
gebenen und der canonischen Formen sind jetzt bekannt; die absoluten 
Invarianten beider sind einander gleich; es entsteht die Frage, ob 
oder wann unter solchen Verhältnissen eine lineare Substitution an- 
gegeben werden kann, welche die gegebenen Formen in die cano- 
nischen überführt. 

Betrachten wir, ganz abgesehen von der Anwendung auf cano- 
nische Formen, die im Eingange gestellte Frage, so bleibt immer 
Vorbedingung für die Möglichkeit einer solchen Ueberführung die 
Gleichheit der absoluten Invarianten, d. h. entsprechend gebilde- 
ter Quotienten von Potenzen von Invarianten, deren Zähler und 



364 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Nenner gleichen Grad in den Coefficienten besitzen. Sind z. B. i, j 
die Invarianten einer biquadratischen Form f, i' , f die einer andern 
f'y so ist die nothwendige Bedingung, welche erfüllt seinmuss, damit 
/' durch lineare Substitution in /"' übergeführt werden könne , 



oder besser, so muss eine solche von Null verschiedene Grösse 
gefunden werden können, dass 

i' = i.r^ 

wo dann r die Determinante dier Substitution ist. 

Aber diese Bedingung, wiewohl nothwendig, ist nicht immer hin- 
reichend. Sobald nicht i, j/, bez. i', f gleichzeitig verschwinden und so- 

bald — , , ^ von 6 verschieden sind, so haben nach § 50. (1) die vier 

durch /"— oder /" = dargestellten Elemente dieselben völlig be- 
stimmten Doppelverhältnisse, unter denen der Werth 1 nicht vor- 
kommt, so dass zusammenfallende Elemente in den Gruppen nicht 
existiren. Bei der Gleichheit der Doppelverhältnisse sind dann die 
Formen linear in einander überführbar; man braucht nur nach § 49. 
f und f auf die Form 

zu bringen, wo -^ = — , eine Wurzel der Gleichung [§49. (6)] 



ist, und 






4. — 



ist dann die lineare Substitution, mit deren Hilfe / in /" übergeht. 

Wenn aber — = ^ = 6 , oder wenn i = 0, i =- , i=^(), / = 0, 

so sagen die Invarianten nur aus, dass in einem Falle zwei, im 
andern drei Wurzeln jeder Elementengruppe zusammenfallen. Aber 
dabei ist nicht ausgeschlossen, dass nicht im ersten Falle noch ein 
zweites Paar von Wurzeln sich bei einer Gruppe vereinigen kann, 
ohne dass dies bei der andern zu geschehen braucht, und im zweiten 
Falle kann sich bei einer Gruppe noch die vierte Wurzel mit den 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § 92. 365 

drei ersten vereinigen, ohne dass dies bei der andern zu geschehen 
braucht. Man sieht also, dass in diesem Falle, obgleich die 
Invariantenbeziehung stattfindet, doch die Ueberführung der einen 
Form in die andere durch lineare Substitution unmöglich werden 
kann, so dass in diesen Fällen eine genauere Untersuchung der Eigen- 
schaften von f nothwendig wird. 

Aehnlich ist es schon bei den cubischen Formen , wo freilich, da 
keine absolute Invariante existirt, eine Vorbedingung wie die oben 
gedachte, nicht zu erfüllen ist. Damit zwei cubische Formen linear 
in einander transformirbar seien, genügt es schon, dass ihre Inva- 
rianten B, K von Null verschieden seien. Denn wie in § 38. gezeigt, 
kann man den Formen /, f dann immer die Form geben: 

/" (^1,^2) = ?' +^' 
und indem man nun die lineare Substitution 

anwendet, wird f in f übergeführt. Auch hier wieder hört diese 
Möglichkeit auf, nothwendig zu bestehen, sobald B (^und dann noth- 
wendig auch R') verschwindet. Denn dieses umfasst sowohl das 
Zusammenfallen von zwei wie das von drei Elementen einer Gruppe, 
und die Transformation wird unmöglich, sobald f und f sich nach 
dieser Richtung verschieden verhalten. 

Im Allgemeinen kann man nun hier folgenden Satz aussprechen: 
Wenn zwei Formen Systeme f, (p ...] f , (p' ... gleiche 
absolute Invarianten besitzen; wenn ferner das 
System /*, cp . . . zwei lineare Covarianten |, rj von 
nicht verschwindender Determinante besitzt und 
die entsprechenden -^y, rjy des Systems /", (p' . . . eben- 
falls eine nicht verschwindende Determinante 
haben, so lässt sich durch die lineare Substitution 

in welcher ^, v Constanten bedeuten, das System 
f'j cp' . . . in das System /", cp . . . überführen. 

In allen anderen Fällen ist eine besondere Untersuchung nöthig; 
doch betrifft sie immer nur sehr specieUe Formen, da das Nicht- 
vorhandensein zweier linearer Covarianten von nicht verschwindender 
Determinante immer schon eine grössere Anzahl von besonderen 
Werthen der Invarianten voraussetzt. 

Damit lineare Covarianten existiren, muss man voraussetzen, dass 
wenigstens eine der Formen jedes Systems von ungerader Ordnung 



366 



Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 



sei. Denn wir nehmen ausdrücklich an, dass die linearen Cova- 
rianten, von denen hier Gebrauch gemacht wird^ durch allgemein 
anwendbare Bildungsprozesse entstehen, und also bei allgemeiner 
Wahl der /*, 9 . . . immer vorhanden sind. Solche können aus lauter 
Formen gerader Ordnung niemals entstehen, während allerdings bei 
specieller Wahl der Coefficienten auch lineare Co Varianten (etwa 
indem eine sonst quadratische Covariante in rationale Factoren zerfällt) 
auftreten können, welche indessen hier ausgeschlossen bleiben. 

Ein entsprechender Satz für ein System von lauter geraden For- 
men wird weiter unten gegeben werben. 

Der Beweis des obigen Satzes wird folgendermassen geführt. Da 
^, 7j eine nicht verschwindende Determinante D haben, so kann man 
sie zur Herstellung einer typischen Form benutzen, und erhält: 



(1) 



D''.f{x,,X.,) = Än 



Ä„--il^''-^ri^ + ..., 



sowie entsprechend: 

(2) i)'".r(2/„2/,)=^'„i'/-f-i'»-ir»"-'Vs + --; 

analoge Gleichungen gelten für 9), cp' etc. 

Nun wird vorausgesetzt, dass die absoluten Invarianten beider 
Systeme einander gleich seien, oder, was dasselbe ist, dass zwischen 
den Invarianten des einen und den entsprechenden des andern Gleich- 
ungen bestehen, wie zwischen den Invarianten gegebener und linear 
transformirter Functionen. Sind also n, n' . . , die Ordnungen von 
fy cp'-., J eine Invariante, welche in Bezug auf die Coefficienten 
jener Functionen die Grade g , (J . . . besitzt, J' die entsprechende 
für /*' , 9' . . . , so muss eine allen Invarianten gemeinsame Grösse r 
existiren, so dass (vgl. § 16.) 

ng\n '( j' -\- ... 

(3) J'^J,r 2 

Seien ferner Ä^, Ä;' . . . die Grade von ^; Z, T . . . die von t^. Dann 
sind in Bezug auf die einzelnen Functionen /", 9; . . . die Grade von 
D, Any Än-i . . . folgende: 





f 


ff 




D 


k + l 


h' + r 




An 


nh + 1 


n¥ 




An-^ 


{n'-l)Jc + l + l 


{n-l)¥ + V 




An-2 


(n^2)k+2l+l 


{n-2)¥ + 2r 





ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § 92. 367 

Man hat also^ der Gleichung (3) ents23recheud : 

„(k + D + n 'jk^ + n.. . 

D' =1) .r 2 

A'„ =A„ ,r ^ 

(4) 7i((n-l)fr + /+1) + n^((n-1)^-^+/-)+ ... 

A'n~\ = An-\.r 2 

71 ((n-2)A- + 2/+1) + n^((n -2)^4-2/0+'. 
Än-2 = An^2-r 2 



Dividirt man also die Gleichung (2) durch 
so erhält man 

A» 2 ' 

wo 

Q = 2 ' ""^ 2 • 

Diese Zahlen q, a sind für die verschiedenen Functionen f, cp ... 
ganz symmetrisch gebildet; setzt man also 

2g-1 

(6) ^'y=^' ' ^- 

^ ^ 2g — 1 

ny=r 2 ^^, 
so geben (5)^ (1) und die analogen Gleichungen: 

Die Gleichungen (6) bilden also eine lineare Substitution, ver- 
möge deren das Function ensystem f\ q)' . . . in das Functionensystem 
fj (p . . . übergeführt wird. Die Gleichungen (6) haben ganz die 
Form, welche in dem oben ausgesprochenen Satze angegeben wurde, 
und zugleich sind die dort durch /i, v bezeichneten Zahlen hier völlig 
bestimmt. 

Es entsteht nur noch die Frage, ob r auch, wie in (3), (4) vor- 
ausgesetzt wurde, wirklich die Determinante der gefundenen Substi- 
tution ist, also die Determinante der Coefficienten, mittelst deren 
sich die x linear in den y ausdrücken. Nennen wir diese vorläufig 
s, und bilden wir von den beiden Seiten der Gleichungen (6), indem 
wir sie als Functionen der x betrachten, ihre Determinanten. Wir 
haben dann 



368 Acliter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Aber die erste der Gleichungen (4) können wir schreiben: 

Aus Vergleichung dieser Gleichung und der vorigen findet sich sofort 

s — r, 
was zu beweisen war. 

Endlich ist noch zu untersuchen, ob die Substitution (6) nur eine 
oder mehrere Ueberführungsarten ergiebt. Man sieht leicht, dass sie 
in der That eindeutig bestimmt ist, bis etwa auf einen allen Sub- 
stitutionscoefficienten gemeinsamen Factor. Ihrer Entstehung nach 
aus (5) kann man nämlich die Formeln (6) auch so schreiben: 

r^ 

j/r 

wo ]/r in beiden Gleichungen dieselbe Bedeutung hat. Nun kann 
man ferner mit Einführung der Zahlen q und a den Gleichungen (4) 
die Form geben: 

^Ln — \ — ^/» — 1 . ^ ^ 



Aus der zweiten und dritten dieser Gleichungen findet man 

^ n — 1 ^n — 1 

und dies in Verbindung mit der ersten Gleichung zeigt, dass r^ und 
r^ bis auf einen gemeinsamen Factor 4: 1 gegeben sind. Hieraus 
geht hervor, dass die rechten Seiten der Gleichungen (7) wirklich 
bis auf einen gemeinsamen Factor völlig gegeben sind, und zugleich, 
dass dieser Factor nur noch eine Einheitswurzel sein kann. 

Dass solche Einheitswurzeln in gewissen Fällen schliesslich beliebig 
hinzutreten können, sieht man an einem Beispiel sofort ein. Ist z.B. die 
Ordnung aller Functionen /*, cp . . . durch 3 theilbar, so wird jede 
lineare Substitution, welche ein solches Formensystem in ein anderes 
überführt, diese Eigenschaft noch behalten müssen, wenn man allen 
Substitutionscoefficienten dieselbe dritte Wurzel der Einheit zum 
Factor giebt 

Was die Anwendung auf die oben angezogene Theorie der cano- 
nischen Formen angeht, so sieht man, dass die Herstellung einer 
canonischen Form immer zulässig ist, sobald erstlich die aus der 
Gleichsetzung der absoluten Invarianten entspringenden Gleichungen 



ungerader Ordnung mittelst linearer Co Varianten. — §§92, 93. 369 

einander nicht widersprechen, und sobald zweitens für die gegebene 
und die canonische Gestalt der Formen Paare entsprechen der linearer 
Covarianten von nicht verschwindender Determinante existiren, und 
zugleich sind dann durch die Gleichungen (6) die Substitutionsformeln 
in einfachster Weise gegeben 

§ 93. Anwendung auf Formen fünfter Ordnung. Besondere Fälle derselben.* 

Wenn wir diese Betrachtungen auf die Formen fünfter Ordnung 
anwenden, so zeigt sich, dass aus der Gleichheit der absoluten In- 
varianten die Möglichkeit der Transformation immer folgt, sobald 
nicht je zwei der vier linearen Covarianten (§ 74.) «, /3, y, d eine 
verschwindende Determinante haben. Nach den Formeln § 75. (3), 
(4), (ß) sind die aus jenen Formen gebildeten Determinanten: 

NA- MB NB -MC 
31, N, M, — A, g , ^ . 

» Man sieht also, dass die Ausnahmefälle nur eintreten, wenn zu- 
gleich M=0 und N=0, wo dann wegen § 75. (1) auch R verschwin- 
det. Es sind dieses also die einzigen Fälle, in welchen keine der 
oben angedeuteten typischen Darstellungen mehr möglich ist. 

Wir wollen hier wie in den folgenden Anwendungen zunächst 
immer die Ausnahmefälle charakterisiren , sodann aber die typische 
Darstellung für diejenigen Fälle behandeln, in denen sie möglich ist. 
Sehen wir also zunächst, welchen Umfang und Charakter diese Aus- 
nahmefälle hier haben. 

Nehmen wir an, dass M und N verschwinden. Man kann dann 
folgende Sätze beweisen: 

1. Wenn 31 und ^^verschwinden, verschwindet 
'9' identisch. 
Betrachten wir nämlich die Gleichung 

31 T — Ni — {iaf tj' — ixaf ij = j (ia) r^- + {ra) ij.\ (ir) «r 

so sehen wir, dass mit 31 und N entweder a oder ö verschwindet. 
Ist a identisch Null, so folgt dasselbe für d-~—jJ (ja). Ist aber 

d = (ß'a)d'j.=-0, so verschwinden ^r— und - — für x^^ — «^,, .r^ = — «j, 

d. h. a muss ein Doppelfactor von & sein, daher O- — ^ «-. Inzwischen 
lehrt die Gleichung 

= —j.6 — T.ar, 

* Für diesen und den folgenden Paragraphen vgl. die Abh. von Hrn. Gordau 
und mir, Annali di Mat. , Ser. IT., Vol. 1. 

C leb seh, Theorie der binären algebr. Formen. 24 



370 Achter Abschnitt. Typische DarstoHung von rormen 

dass in diesem Falle, wo d — 0, 0---=^«^ war: 

|Lt2 «4 __ — X a^'^ 

also wenn a nicht Null ist, was schon vorhin x^^=0 gab, muss 
T = —-^^a^ sein. Aber auch i hat wegen M={iay^ = den Factor 
a, daher muss die erste Ueberschiebung %' von x mit i verschwin- 
den, was zu beweisen war. 

2. Wenn M und -0^ identisch verschwinden, so 
verschwindet auch a. 

Es ist nämlich 

«3 + Mj = {iafjj - {ijfl, aj 

was unter der gegebenen Voraussetzung sofort auf « = führt. 
Aus den beiden Sätzen 1. und 2. folgt nun sofort: 

3. Wenn M und N verschwinden, so verschwin- 
det auch a identisch. 

In den zu untersuchenden Ausnahmefällen existirt also überhaupt 
keine lineare Covariante mehr. 

Da d' identisch verschwindet, so können die Functionen r und i 
sich nur um einen constanten Factor unterscheiden, wenn nicht eine 
oder beide verschwinden. Der Fall, wo i identisch verschwindet, ist 
der zuletzt zu behandelnde, da in ihm auch die Covarianten j, r, a, 
verschwinden. Aber auch r wollen wir zunächst von Null verschieden 
annehmen, und wollen endlich auch annehmen, dass i kein Quadrat, 
also nicht ^ = sei. Wir behandeln also den Fall: 
I. o: = 0, T, iy A von Null verschieden. 

Denken wir uns die Factoren von i als Veränderliche eingeführt, 
so dass 

(1) i = 2lri 

(2) j -i) g-^ + 3 g |2 ^ + 3 r g 1^2 ^ .9 rf, 
so giebt die Bedingung ß: = — (j^)^=0: 

0= ^y i , also q = 0, r = 0. 

et, 07] 

(3) j=p^' + syf. 
Ferner, wenn 

(4) f=a^^ + bh ^-^ 7]+\i)r ^^ )f + 10 d ^' rf + T) p | if -\- g if 
gesetzt wird: 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten, — § 93. 371 

also im Vergleich mit dem vorigen Ausdruck; 

c = 0, d = 0. 
Bildet man nun i für den Ausdruck (4), so hat man: 

und daher, damit dies mit (1) übereinstimme: 

Es folgt hieraus nothwendig, wenn nicht j, also auch r, iden- 
tisch verschwinden soll: 

(6) f=5^^j{h^' + eri^. 

Man kann diese Form von f in der Weise auffassen, dass f als 
Product einer cubischen Form mit ihrer quadratischen 
Covariante erscheint.* Von diesem Gesichtspunkt aus will ich die 
Frage jetzt direct untersuchen und zeigen, dass dann wirklich immer 
/ die verlaugten Eigenschaften hat, ausgenommen wenn die Discri- 
minante der cubischen Form verschwindet, wo dann noch speciellere 
eintreten. Sei also cp eine cubische Form, A = {(p (p')~ q)^. (p\^. ihre 
quadratische, Q =^ {(p A) (pj Aj. ihre cubische Covariante, R = (AA')- 
ihre Discriminante. Haben wir 

/•=5A.9, 
oder symbolisch 

aJ = 6AJ(pJ, 
so ist 

i = {a hy a:r K = 2 {Ah) (g) hf A,h^ + 3 ( A hy (cp hy cp^ h, 

= 5 (A 6) {(p hf Ar: h^ - 3 {(p A) ( A l) {(p hf 6/. 

Der mit 5 multiplicirte Ausdruck ist die erste Ueberschiebung 
von A über {q)hYhJ= coj , der mit 3 multiplicirte die dritte Ueber- 
schiebung von Q mit f. Man kann also schreiben 

(7) i = 6{Aco)A^co^^-3{QhYh/, 
wo 

(8) (o = {tphfK\ 

Schieben wir nun cp = (p\^^ dreimal über f^=^dAr- (pj^ so er- 
halten wir 

« = i [3 {g^'Af {ip'cp) <pj + G (9)' A) (^»'^ cp^ A., + {cp'cpf AJ]. 

Das letzte Glied verschwindet, weil es durch Vertauschung von 
(p mit 9)' das Zeichen ändert, das zweite, weil es in 6(A'A)A'^A.r 



* Geometrisch: Unter den fünf Punkten, welche /"rep rasen tiren, 
liegen drei mit den beiden übrigen cyclisch-pro jectivisch. 

24* 



372 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Former! 

übergeht, das erste endlich , weil (qp'A)^^'^ nach der Theorie der 
cubischen Formen identisch Null ist. Daher hat man co ~0, und 

(9) ^ i^-3(QhfbJ. 
Nun ist ganz ebenso wie o gebildet wurde: 

Da {QAY Q:r identisch Null ist, so verschwindet das erste Glied. 
Der zweite Theil der Klammer ist 

6 {Qq>).{QA) iQcp)A^cp.,^3iQ,p) [(QAf cp/ + {Qcpf AJ-{cpAf QJ]. 

Mit Hinweglassung verschwindender Glieder wird er 3 {Q cp)'^ A^^ j 
was sich mit dem dritten% Terme der Klammer vereinigt, so dass 

{QhyhJ=:2 {Qcpf A/=---2 R . A, l§ 35. (4).l 

und also 

(10) i = ßB.A. 

Daher ist wirklich i ein Factor von /"; nur wenn i? = 0, verschwindet 
i identisch. 

Man erhält nun weiter: 

j = - (aif aJ = -6R. {a AJ aj 
- - 3 E . j (A AO^ (pj + 6 (A A') {cp A') A, cpj + 3 {cp A')^ A/ (p^,\. 

Das letzte Glied verschwindet, weil (9p A')^ 9)^ identisch Null ist* 
das mittlere wird 

(A AO {cp A') A. 9)/ = i (A A'Y .cpj, 
also 

(11) j = -12R. (A A7 (pJ = - V2R^ . cp. 

Es ist also auch (wenn nicht R = 0) j ein Factor von f) 

5 . . 
' ~ 72 R^ ^^ ' 

ferner i bis auf einen constanten Factor die quadratische Covariante 
von jy wie es sein sollte. 
IL Der Fall 

«==0, ^ = 0, T und i von Null verschieden, 
führt auf einen Widerspruch. Denn da in diesem Falle i ein Quadrat 
ist, kann man setzen 

(12) i = ?^ 
man hat also, wenn 

(13) j^pl^-\-3ql^n-\-3rril^-\-srf, 

aus a = — ( j i)2 = : 

= r'^'\-sriy ' 



ungerader Ordnimg mittelst linearer Covarianten. — § 93. 373 

also r~0, 5 = 0; und wenn 

(14) f== a ^^ + bhi' rj + 10 ci'y]' + 10 d^'ri^ + 6 e^ri' + gri'o, 
so hat man 

daher im Vergleich mit dem Vorigen 

e = 0, y = i). 
Bildet man nun /, so erhält man 

i^2\-4.{hl^-c7l^dl-^?,{cl + d nf j (? nf, 

also im Vergleich mit der angenommenen Form von i: 

l = (-8?>r?+3c-^)(???)S = cd, ()=--d\ 

Hieraus folgt d = Oj also j = — c|^; daher 

r=^0, f=^na^' + bbiri+10c7f): 

Man hat also den Satz: 

Wenn a und A verschwinden^ ohne dass i ver- 
schwindet, so verschwindet auch r, daher auch Bj 
C, und /'hat einen dreifachen linearen Factor. 

Dass auch umgekehrt bei einem dreifachen linearen Factor von / 
die Ausdrücke t, ä, B, C verschwinden, folgt sofort, da sich für 
a, h, c keine Bedingungen ergeben haben. Der dreifache Factor 
kann durch Bildung von i immer gefunden werden. 

Es entsteht nun die Frage, welche Eigenschaften /" besitzt, wenn 
wir zwar Ä von Null verschieden, dafür aber ausser a auch 
T identisch Null annehmen, während J noch als von Null ver- 
schieden gedacht werden soll. Aber nach der Formel § 75. (10) 
hat man für diesen Fall nothwendig Ä.j = 0. Die obigen Annahmen 
sind also unmöglich, entweder wird man auf A = 0, also auf den 
vorigen Fall zurückgeführt, oder auf J = 0, und man kann den Satz 
aussprechen : 

Wenn a und r verschwinden, so ist entweder i 
ein Quadrat, oder muss verschwinden. 

IIL Der Fall, wo j verschwindet, aljer i nicht, und auch 
i kein Quadrat ist, führt das Verschwinden von t, B, C, «selbst- 
verständlich mit sich. Setzt man 

f = al^ ^bhl' n + lOi:^^ rf ^10 dl^ rf -^b elri^ + g rf, 
so wird 

es rauss also & = 0, c = 0, d—Oj e = sein, oder man hat den Satz: 



374 Achter Abschnitt. Typische Darbtellimg von Formen 

Wenn j verschwindet, ohne dfiss i Null oder ein 
Quadrat ist, so ist f die Summe zweier fünfter Po- 
tenzen, deren Argumente die linearen Factoi'en von 
i sind. * 
Auch das Umgekehrte ist unmittelbar ersichtlich. 
IV. Ist j identisch Null, i ein Quadrat, aber von Null 
verschieden, so hat man ähnlich wie oben: 

i = §'% i = -- 2 {^rjf {c^^ + 3 d r^ 7? + 3 e ? yf^cji^l , 
also c = 0j d = 0, cj =^ 0, g = 0, 

Hieraus ergiebt sich aber ^' = und daher der Satz: 

Wenn j verschwindet und Ä = 0, so ist auch 
-^ = und /"hat einen vierfachen linearen Factor. 
Der Fall i = ist hierbei zugleich mit erledigt; denn mit i ver- 
schwindet auch J und Ä, und i = führt also immer auf einen vier- 
fachen linearen Factor von /", sowie umgekehrt die Existenz eines 
solchen immer ^ — macht. 

Hiermit ist die Anzahl der besonderen Fälle erschöpft, die bemi 
Verschwinden von a noch denkbar sind. 

§ 94. Typische Darstellung der Formen fünfter Ordnung mittelst 
linearer Covarianten. 

Es bleibt übrig für die Fälle , in denen 31 und N nicht zugleich 
verschwinden, die Coefficienten der typischen Darstellung durch unsere 
fundamentalen Invarianten auszudrücken. Um alle Fälle zu umfassen, 
muss man einmal 

(1) g-ß, 7i = {ia)'L = ß, n^-M, 
das zweite Mal 

(2) I--«, -/? = (r«)T.,-;^, D=--N 

setzen; denn eine dieser Substitutionen muss der Voraussetzung nach 
möglich sein. Beide Fälle sind unter denen enthalten, für welche in 
§ 91. die Coefficienten iTereits auf einfachere Formen zurückgeführt 
wurden. Setzt man 

(3) ^=-«, ri = {tci)ta:f D = — {^ay, 

wo ijj irgend eine quadratische Co Variante bedeutet, so ist 

(4) B--f==A,l^~-bA,l^ri^l()A.,^'rf--\\)A,^'Yf-\-bA,^^'--A,n, 



* C4eometriscli : Die f ünf /' repräsentirenden Punkte sind cyclisch- 
proj ectivisch. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covariauten. — §§ 93, 94. 375 

und zwar 

^ ' A, = D- C, + l)AB^ + iA^A, 

A, = D- C\ + D A B, + \ A^ A„ 

wo A, yl„, A^, iJ„, Bj, Cd, Cj die Formen werden: 

A^(i>4>y, A = (««)^ A,=:{aa)^(ari) 

(6) B„ = iai,f (««)', B, = {aty- (aay (an) 
C„ = (« 4>y (a ^')- (« «) , C, = (« *)^' {a tj (« >?)■ 

Die Bestimmung der letzten sieben Invarianten bleibt für i/; = i 
und ^ = r auszuführen. 

Es ist wesentlich nur die Bestimmung des in beiden Fällen 
gleichlautenden Coefficienten ^4,), welche einige Schwierigkeiten macht. 
Um diesen Ausdruck darzustellen, werde ich zunächst einige der 
Theorie der Formen fünfter Ordnung angehörige Sätze ableiten, 
welche sich den in § 75. gegebenen anschliessen. 

Die zweite U e b e r s c h i e b u n g von f mii %• ist 

(ci xf)^ aj = {at) {a i) {Iz) aj = (ax) {a i) aj \{ar) ia: — {a l) rx-|. 

Das erste dieser Glieder entsteht aus 

{arf aJ = - | Äj - i a [§ 75. (10).] 

durch Ueberschieben mit /, und es ist also 

{a tf (a i) aJ ij. = - i^- (j ^^ — i ^' • (« ^'^ 

Dagegen ist, ^veil j = — {aif aJ , das zAveite Glied: 
— {ar) {aif a/ t^ = Ut)jj^ Tr = Q 
die cubische Covariante von j. Man hat also schliesslich: 

(7) (aQ-yaJ' = -iA.{ji)jJL + '^+Q. 

Die dritte Ueberschiebung von f mit «^ bildet sich nun 
folgendermassen. Es ist, da a — — {jiy^jj;: 

aJ {aaf = — a/ {a af ( j if {aj) = - aJ {aj) j {aj\ (« i) + {a i) (j «) j -. 

Von den drei Termen, welche die Ausführung des Quadrats giebt, 
-verschwindet der erste identisch, weil er den symbolischen Factor 
(a;)3 enthält (§ 75.). Es bleibt also: 

a/ {a af = — aJ (aj) {a i)- {j af — 2 a/ {aj)- {a i) (« i) {j a) , 

oder, da j/ {ja) = — 0-, {ai)- aJ = —j, 4 {«i) ■= — ß: 

(8) aJ {aaf = -j/ (J^) {^a) - 2 aJ {a #)- {aß). 



376 Achter Abschnitt. Tyi)i«che Darstellung von Formen 

Betrachten wir zunächst das erste Glied rechts. Es ist 

j/ U^) (^«) =j, ij^) j (ja) ^, - 0>) a,\. 

Der erste Theil dieses Gliedes ist (ßd^') d^^d'^-c, also Null; der 
zweite wird, indem man — iV'^C/«) für '0' setzt: 

Man hat also 

Sodann hat man, um das zweite Glied in (8) zu erhalten, nur (7) 
über ß zu schieben und findet: 

aj ia»f (aß) = - ^ (ji) ^J (iß) + 2i,j, (jß) [ + ^ Uiß) + Q^\Qß)- 

Nun ist: 

jx' iiß) iji) ^jJ {ii') iji) (i'cc) = ijx^ {ü') \ {ji) (^'«) - U^') (icc) \ 
= -iA,jJ{ja) = iÄ.^ 
\jj (iß) - i.j. (jß) Hji) - -js (jiy .ß = aß, 
ix {iß) = iv {ii') {i' «) = — -^ ^ . «. 
Was endlich ^/ {Qß) betrifft, so ist in der Theorie der cubischen 
Formen bewiesen (§ 35.), dass für die Polare Q^^ Q,j der Ausdruck 

{j'^)j:^^'^y 
gesetzt werden kann. Daher ist 

QJ{.Qß) = iJr)jJ[rß) 

oder, da alles mit {jrf Multiplicirte nach der Theorie der cubischen 
Formen identisch verschwindet: 

fe' {Qß) = (i^)i^ Uß) T^- = U-^) {ji) {i^)j^ -fa- 

= U '^) {ji) ^^ [(i«) ia^ - {ji) (^A 

■=- (ß't) (xti) ir ta: + {CC t) Tx • «o; \ 

weil nun ferner 

(^r) {ßi) 4 r. = i [ {^tf ij + {^i)^ tx^ - {itf &J] , 

und nach der Theorie simultaner quadratischer Formen 

(^rf = 0, {»if^O (§ 57.), 

SO hat man 

daher endlich: 

aj (ad-y {aß) == {^B-^Ä^) ^-ay + {Äaß, 
und aus (8): 

(9) aj {acc)^ = {^Ä'-B) d' + ay-^Äaß. 

Man controlirt die Coefficienten dieser Gleichung, indem man die 
Ausdrücke {aif(aa)^, {atf{aaf auf doppelte Weise bildet. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § 94. 377 

Schieben wir (9) noch einmal über a^ so erhalten wir 

(10) a,{aaY=.[^A'-B).S + {^~^-^)u, 

WO b =^{\f a) 9-^ die in § 74. so bezeichnete lineare Covariante ist. 
Nach den Formeln § 75. (4) erhält man endlich hieraus für den Coef- 
licienten A^^iaay den Ausdruck: 

Es hat keine wesentliche Schwierigkeit^ nunmehr die Coefficienten 
der typischen Darstellungen zu berechnen, welche man erhält, indem 
man i oder x an Stelle von z/-' treten lässt. 

Erste typische Darstellung. 4^=1. 
Aus (10) folgt, d'A ri = ß wird: 

A, = {aß){aaf 

Ferner hat man: 

B^=={alf{aaf = {jaf=- {%'af = - B 

B, = (aif {a ay (aß) = (jcc)' (jß) = -(^ c<) {&ß) 

= -(öß)^- 1 {NA-3IB) [§ 75. (6).] 

Co = {aif {ai'f (aß) = (««) = 
O, = {a If {a ly [a ß) = {aß) = - 31. 

Zweite typische Darstellung. ip = r. 
Man hat r] = y, B = {ay)= — N, A = C. Ferner aus (10): 

..(i^._i.>)^^zj^_(j_4^)^:; 

^o = {ary(^aaY=.-iAUay = iAB. [§ 75. (10).] 

^i = {aTy\aay-{ar)=~iA{jaY{jy)-i{lay(ay) 

M 

= lA{^a)[^Y)+i^{ya) 

= I A [Sy) + ^ (ya) = | (NU- MC) + f N. [§ 75. (4), (6).] 

C„ = {atY (a T'f (a «) = - I ^ (Jrf (jcc) - | (ir) (ccr) (ia) = | B. 

C, = {ary {ary (ay) = - | Jl (,/r)^ 0» - 1 {Ir) (ßr).^» - i {irf («y) 

= — |(ir)(ßT)(«}'). 



378 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Nur der letzte Term bedarf einer Bemerkung. Trägt man für y 
den Werth (/«) t'^ ein, so wird 

— {Ir) {ax){ly) = {ix) (a r) {ix) {ax) 

= [ixy (« t7 - -i {iaf {xx'f = -BN- i. 1/C; 

so dass endlich: 

BN+MC 

Charakteristisch ist für diese Darstellungen vor allem, dass 
sämmtliche Coefficienten mit geradem Index den Factor 
B enthalten. Man hätte dieses von vornherein schliessen können, 
denn der Grad aller dieser Coefficienten ist von der Form 4/^ + 2, und 
da alle fundamentalen Invarianten ausser B einen durch 4 theilbaren 
(h'ad besitzen, so müssen jene Coefficienten nothwendig die Form 
B . F{Ä,B, C) haben. Dies ist von Wichtigkeit für die Erkennung des 
Charakters, welchen die Gleichung /"= hat, wenn die Invariante B 
verschwindet. In diesem Falle verschwinden A^y Ä.^, Ä^ und /"geht in 
die Form über: 

f=a{G a^ + K a^ß'^ + L ß% 

Es ist also « = eine Lösung von f=^0 und der übrigbleibende 

Factor vierter Ordnung enthält nur noch die Quadrate, so dass man 

folgenden Satz aussprechen kann: 

Wenn Jt verschwindet, ohne dassJfundiVgleich- 

zeitig beide verschwinden, so ist a ein Factor von / 

f 
und der Quotient -V wird durch die Substitution 

^=-hr oder s — -^ eine quadratische Function von s. 

Die Auflösung der Gleichung /=0 hängt dann also nur noch 
von einer quadratischen Gleichung ab. 

Der obige Satz lässt sich in folgender Weise umkehren: 

Ist die fünfte Wurzel einer Gleichung fünften 
Grades eine Wurzel der zu den übrigen vier Wur- 
zeln als Wurzeln einer biquadratischen Gleichung 
^ — O gehörigen Form T^p, so verschwindet B (vergl. 
§ 89.). 

Hierdurch ist in der That der obige Sachverhalt ausgedrückt; 
denn die Veränderlichen (oben «, ß, bez. «, y) , durch welche cp auf 
nur gerade Potenzen reducirt wird, sind die Factoren eines der drei 
quadratischen Factoren von Tcp, daher auch «, der fünfte lineare 
Factor von /", ein linearer Factor von Tcp. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — §§94, 95. 379 

Um die Umkelirimg zu beweisen, können wir davon ausgehen, 
dass im allgemeinen Falle, wenn Tg? den Factor | hat, cp die Form 

qp = a 1^ + 6 & §- 7}? + c 7}^ 
annehmen kann (§§ 48., 49.); abgesehen von Fällen, wo Ttp identisch 
verschwindet und welche hier nicht zu berücksichtigen sind, tritt eine 
Ausnahme nur ein, wenn q) die Form ^^ rj annimmt, wo dann alle 
linearen Factoren von Tg, gleich ^ werden. Man hat also f nur unter 
den beiden Formen 

f= a^^ x^^-{- 10 a., x^^ jc.^ + 5 «^ x^ x.^^ /*= 5 x^ x.^ 
zu untersuchen. Im letzten Falle aber (§ 93. IV.) verschwinden alle 
Invarianten, also auch J?; der erste bleibt zu untersuchen. In diesem 
Falle aber übersieht man sogleich Folgendes: Durch die Substitution 

/ / 

»A/ -i ■" ■ tX-< • %A/ ,J ~~^ t/'.) • 

deren Determinante — 1 , ändern die Formen ungeraden Charakters 
ihr Zeichen , geht also B in — B über. Aber die Coefficienten von /' 
bleiben unverändert, also auch B, mithin hat man B= — B oder B = 0, 
wie zu beweisen war. 

Geometrisch bedeutet dieser Fall, dass von den fünf Elementen, 
welche den Wurzeln von f^^O entsprechen, eines ein Doppelelement 
einer Involution sei, welche durch zwei aus den vier übrigen gebildete 
Elementepaare bestimmt ist. 

Ausser den beiden obigen Darstellungen kann man noch eine 
dritte typische Darstellung untersuchen, bei welcher a, ö die Ver- 
änderlichen sind und B der Nenner wird. Diese Darstellung hat den 
besonderen Charakter, dass alle Coefficienten durch B theilbar werden, 
so dass, indem man den ganzen Ausdruck durch B dividirt, rechts 
und links nur noch ganze Functionen von A, B, C erscheinen. Ein 
Theil der hierbei auftretenden Bildungen wird im folgenden Para- 
graphen zur Verwendung kommen. 

§ 05. Darstellung einer Form fünfter Ordnnug durch die Summe von 
drei fünften Potenzen. 

Ich werde im Folgenden die Aufgabe behandeln* : 

Eine gegebene Form /der fünften Ordnung soll 
in die Gestalt gebracht werden: 

w^o ^, 5', r' lineare Functionen sind. 
Diese Aufgabe ist, wie man sehen wird, im Allgemeinen, und 
zwar auf eine Art lösbar; nur ist erforderlich, dass die Invariante C 

* Sie ist in anderer Weise gelöst in Salmon, Lessons, 2^^ ed. S. 137. 



380 Achter Abschnitt, Typische Darstellung von Formen 

nicht verschwinde, was denn vorausgesetzt werden soll. Ich werde 
bei der Form, welche ich der Lösung gebe, auch noch voraussetzen, 
dass B nicht verschwinde. 

In diesem Falle nämlich kann man sich d und a als Veränder- 
liche eingeführt denken und kann daher die Gleichung des Problems 
in folgender Form schreiben: 

(2) /•= ^{d — m a)^-\-K(d-- m af + %" {8 - m" af. 

Dass es zweckmässig ist, gerade ö neben a einzuführen, wird 
das Folgende lehren. 

Wenn Avir auch links d und a einführen, also, da {da) = R und 
demnach 

B . a^; — {aa) d — (ad) cc 
wird, 

(3) BKf=[{aa)d-{ad)af 

setzen, so erhalten wir aus Vergleichung von (2) und (3) die folgenden 
Gleichungen, welche den Inhalt des Problems vollständig ausdrücken: 

(aay =B^(7c -\-x + jc" ) 

laay{ad) = B^ {ycm + % m' -\- yJ' m" ) 
{aaf {adf = B^ (xni' + xm'' + K'm"^) 
{aay {aöY = B^ \xm^ + % m"' + %" m"^) 
(a«) \a8y = B^ (xm^ + xm'^ + x"m"^) 
[a dy = B^ (x m^ + x m"'' + x" m"'') . 



(4) 



Es sind dies sechs Gleichungen mit ebensoviel Unbekannten 
Xj X j x\ in, m , m" , um deren Auflösung es sich nunmehr handelt. 

Wenn man aus je vier aufeinander folgenden dieser Gleichungen 
die Grössen x eliminirt, so erhält man die drei Gleichungen: 

(5) M.{aaf==0, M ,{aa) {a8)=^0, M.{ady=^0, 

wo M ^en symbolischen Ausdruck bedeutet: 



(6) M 



{aaf 1 ' 1 1 

{aay^ (ad) m m m" 

(aa) {ady m^ m'^ m" 

{ady m^ nP m" 



Die Gleichungen (5) kann man in eine einzige zusammenfassen; 
denn indem man dieselben der Reihe nach mit 

multiplicirt und dann addirt, erhält man 

= -3f . [(««) d..- (ad) a^Y^M. a/ . {ad)\ 



tingerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § 95. 38 1 

oder mit Hinweglassung des Factors («d)'- = i?-, welcher als nicht 
verschwindend vorausgesetzt wird : 

(7) 0=3I.aJ. 

* Diese Gleichung ersetzt die Gleichungen (5) vollständig, sobald 
man festsetzt, dass (7) für alle Werthe der x erfüllt sein solle. 

Wenn man in M aus der ersten Verticalreihe den Factor {aaY 
herauszieht, so geht der übrigbleibende Factor von 31 in eine Deter- 
minante über, welche nach bekannten Sätzen das Differenzenproduct 
der vier Ausdrücke 

(aö) 

7 , m, m , m 

(« cc)' ' ' 

ist. Das Differenzenproduct der 7)1 kann man auslassen, indem man 
diese als sämmtlich verschieden ansieht. Multiplicirt mau das Product 
der übrigen Differenzen mit (a«)^, so sieht man, dass man an Stelle 
von M den Ausdruck: 

(8) ■ M'=[ (« d) - m (a a) ] ] (a d) - m (a «) ] [ (a d) - m' (a a) ] , 
und an Stelle von (7j die Gleichung 

(9) = M\aJ 
setzen kann. 

Die rechte Seite von (9) ist die dritte Ueberschiebung von f mit 
der Form 

(10) (p=(d-ma) (d-ma) (d-m"«). 

Es muss also 9? eine solche cubische Covariante sein, dass seine 
dritte Ueberschiebung mit f identisch verschwindet. Durch diese 
Bedingung oder durch die drei in den Coefficienten von q) linearen 
Gleichungen 

(«90)^^^2 = 0, (^acpy a^a.2 = 0, (<7 qpj^ «g^ = , 

ist aber q) bis auf einen constanten Factor völlig bestimmt; und da 
andererseits, wie aus § 75. bekannt ist, die Covariante j diesen Be- 
dingungen genügt, so kann man 

setzen. 

Die Grössen m, w', m" sind also die drei Wur- 
zeln der cubischen Gleichung, welche entsteht, 
wenn man in J = die Veränderlichen d, a einführt 

und dann — als die Unbekannte betrachtet. 
a 

Da man die m als verschieden voraussetzt, so darf die Discrimi- 
nante C der Gleichung j = nicht verschwinden. 



382 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von l'ormen 

Die Argumente der drei in dem Probleme geforderten fünften 
Potenzen sind also die linearen Factoren von j] indem wir sie in 
der Form 

d—ma, d—nta, d—m"a * 

annehmen^ haben wir die absoluten Werthe ihrer Coefficienten fixirt; 
es bleibt dann übrig, die Coefficienten % zu bestimmen. Hierzu führen 
die drei ersten Gleichungen (4), nachdem durch Erfüllung von (5) 
die drei letzten Gleichungen (4) Folgen der drei ersten geworden sind. 
Dieselben geben die % linear und also eine eindeutige Lösung der 
Aufgabe. 

Um nun die cubische Gleichung aufzustellen, müssen wir in j 
die Veränderlichen d, a einführen. Es ist 

w^o 

^1 = u^y US) 

J. = Ci«) {jSf 
Js = USf. 

Da nun nach § 75. 
so ist 

J, = 0«)' US) = - (»«) (»e) = - idd) = 

oder da d = [%• a) -O-^r : 

J^ = - (J^d) (^^0 (^'a) = - -1- (^^0' (da)=-^NR. [§ 75. [8].] 

Es bleibt noch J^ zu bestimmen. Nun ist mit Benutzung des 
Ausdrucks von d: 

Js = ü^y ü>) (^«) = (i^) o>) [0>) (^^) + ü^) f^^)]' 

oder wenn man im ersten Theil wieder =-9' für jj(ja) einführt: 
J3 = - (^'d} [&d) (^'^) + R . (jd) (j^y. 

Der erste Theil verschwindet identisch, da er bei Vertauschung 
von d" und !>' das Zeichen wechselt; sodann aber ist, indem man für 
d' seinen Werth ^ — (ir^ia^Ta, einführt: 

= (iO(i^)!0>)G^)+0'0(<^^)!. 

Hier verschwindet nun rechts der erste Theil nach der Theorie 
der cubischen Formen, weil er den symbolischen Factor (jry enthält; 
der zweite enthält den Factor {jiy und wird also, da 



nngeradpr Orclnnng mittelst linearer Coviiriant^n. — § 06. 383 

ist: 

= (ar) (dt) = {öy)=^\ {NB -MC). [§ 75. (6).] 

So ist denn 

J, = ^{NB-MC), - 

und die Darstellung von j wird mit Uebergehung eines Factors B: 

nm T?2 ■ A3 '"^^^A " NB-MC\ 

(10) H'' j = — d-^ ^-oß- ^ «^. 

Die Grössen m, m\ m" sind also die Wurzeln der eubisclien Gleichung 

,,,. , , ^N , NB-3IC ^ 

(11) m^ +-2~ m^ ^ = 0. 

Die einfache Form dieser cubischen Gleichung ist es, welche es 
zweckmässig erscheinen lässt, gerade die Covariante d neben « in dem 
Ausdrucke des Problems einzuführen. 

Setzt man für die Wurzeln der Gleichung (11) die Ausdrücke: 

(£3=1) 



(12) 


m^''>=£^U + £'^^Vj 


SO wird 


NB -MC 


(13) 


U -j- V — - 

N 




uv==-^, 


daher 





oder wenn man bemerkt, dass nach § 75. (7) 

^j AC-B' 

ist: 

{n^-v'y2^:^[(NB-MCy + N^AC-B-')li . ' 

= ^{M''C-23INB + N'A) 

= -^ [§75.(1).] 

Es ist also 

3 



(14) 



NB -MC Bj/ C 

4 "^2^ 2 



V = j/ NB^^MC Bj/~~C 
^ 4 2^ 2^ 



wo die Cubikwurzeln durch die zweite Gleichung (13) an einander 
gebunden sind. 



384 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Da durch (12), (14) die Grössen m völlig gegeben sind, so bleibt 
es übrig, die linearen Gleichungen zur Bestimmung der ti, die drei 
ersten Gleichungen (4) noch genauer zu untersuchen. Mit Benutzung 
der Gleichungen § 94. (9), (10) und § 75. (3), (4), (6) erhält man 
sofort : 

(«r.)3(ad)^=^. 



R 



Daher werden endlich, nach Division mit R, die Gleichungen 
zur Bestimmung der %: 

' B'^iK -^K +x" ) = ^A'-B 

B^(Km +z m +% m ) = —^ 2 

B^{%m^+K'm''''-^K m'2) =^^ 
wodurch x, k, %" in einfachster Weise vollkommen gegeben sind. 



§ 96. Behandlung des Falles, wo C = 0. Ueber die Lösnng der Grleichnng 
fünften Grades für diesen Fall.* 

Ich werde jetzt untersuchen, wie die Betrachtungen des vorigen 
Paragraphen sich modificiren, wenn C verschwindet. Lässt man C 
gegen Null convergiren, so geht die Gleichung (11) des vorigen Para- 
graphen, mit Vernachlässigung von C^, in 



(1) 



= (m-J5)(m-f|j -}-^(m-B) 



über und die drei Wurzeln der Gleichung werden also 

m =^B 

(2) 2^ 

wo CO die gegen Null convergirende Grösse 



(3) -=J/-^ 



C 



bedeutet. Sodann verwandelt sich (immer vorausgesetzt, dass R nicht 
verschwindet) die Gleichung (2) des vorigen Paragraphen mit Ver- 
nachlässigung höherer Potenzen von co in: 



* Vgl. eine Mittheilung des Verf., Göttinger Nachrichten 1871, S. 103. 



itngeiMclcr Oulming mittelst linearer Covarianton. — §§ 95, 9G. 385 

/-= X (,y - Baf + (x'+ ■/■) (d + ^J 

-5(«'-0"-(ö+^/.«, 
oder wenn man 

(4) K + y:'=-^A^ (yc'-x")a = -^ 
setzt j in: 

(5) f:=.K(d-Bar-[-x(^d+^j+b^a.(^d+^y- 

Die Grössen x, ?., ^i aber werden aus den Gleichungen (15) des 
vorigen Paragrai^hen bestimmt, welche nun die Gestalt annehmen 

Inzwischen wird, da (7=0: 
^j AC-B' B' 

^=- 2 — =~Y 

^^ M = 2AB-3C=2ÄB 

Ii' = -^{Am-2BMN+CM^)=-lAB^', 

und indem man nur für den letzten Ausdruck der Kürze wegen Pi- 
beibehält, kann man die Gleichungen (G) durch folgende ersetzen: 



2A^B , 


B'~ 


" 3 ' 
2A^B 


4 



Da der Voraussetzung nach E niclit verschwindet, so können 
i\ach (7) auch yl und B nicht verschwinden, und die letzte Gleichung 
durfte daher durch B dividirt werden. Die Gleichungen geben auf- 
gelöst: 

R'x = i A^ 

B^l = -B 

IM ^' 

B^ii=^. 

Man hat also für /" in diesem Falle den folgenden einfachen 
Aus^Jruck : 

C leb sei), Theorie der hinäreii algebr. Fonuen, 25 



j(*+|«)-(<5-i?«)j; 



386 Achter Abschnitt. Typische Darstellung' von Formen 

Nun ist aber 

setzt man daher 

(9) d-Ba = ^, ö + ^a = 7j, 

so nimmt die Form fünften Grades die Gestalt an: 

(10) i?v=i^^l-^-f5N*-|'j'- 

Dieses ist die Form, auf welche mittelst einer höhern Substitu- 
tion Jerrard jede Gleichung fünften Grades zu bringen gelehrt hat, 
in welcher nämlicli die Terme §^7^, ?^^'^? 1^ '>?^ fehlen. Es geschieht 
dies also im vorliegenden Falle, wo (7=0, mit Hilfe einer linearen 
Substitution, und man kann den Satz aussprechen: 

Wenn die Invariante G verschwindet, so geht 
die Form fünfter Ordnung durch die Substitution 

Ba 



in die Form 



über, in welcher drei Glieder fehlen. 
Hermite hat die Gleichung fünften Grades 

(11) x^-x-a = 

mit Hilfe der Theorie der elliptischen Functionen in transcendenter 
Weise auflösen gelehrt* In dieser Weise ist also jede Gleichung 
fünften Grades auflösbar, für welche die Invariante C verschwindet, 
indem f=0 aus (10) durch die Substitution 

in die Gleichung (11) übergeht, während zugleich 
(13) « = i//5^-- 



* Mit Hilfe des Jerrard 'sehen Satzes, dass mittelst einer höhern (Tschirn- 
hausen'schen) Transformation und mit Auflösung von Gleichungen, deren Grad 
den dritten nicht übersteigt, jede Gleichung fünften Grades in die Form (11) 
gebracht werden kann, löst Hermite auch die allgemeine Gleichung »fünf- 
ten Grades. Doch ist für den algebraischen Theil der Untersuchung eine voll- 
ständige Darstellung für jetzt noch nicht möglich. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — §§96, 97. 387 

Die Gleichung (U) führt leicht auf den allgemeinen Ausdruck der 
Discriminante einer Gleichung fünften Grades. Denn da diese in den 
Coefficienten nur vom achten Grade ist, so kann sie C nicht ent- 
halten, wird also nicht geändert, wenn man C verschwinden lässt. 
Man kann diese Discriminante also, ohne die Allgemeinheit zu be- 
einträchtigen, aus der Form (H) bilden. Soll die Gleichung (11) 
aber zwei gleiche Wurzeln haben, so muss 

also 

a* = —^ 

sein; und indem man hier den Werth von a aus (13) einführt, 
hat man 

so dass Ä-—-ß4iB die Discriminante ist, wie oben S. 354 gefunden 
wurde. 



§ 97. Typische Darstollinig zweier simiiltaiieu Foriiieii zweiter und dritter 
Ordnung mittelst linearer Covarianten. 

Die in §§ 90 — 92. auseinandergesetzten Principien der Einführung 
linearer Covarianten und der Untersuchung über die Möglichkeit, 
gegebene Formen linear in einander zu transformiren, mögen nun 
noch auf einige Beispiele simultaner Formen angewandt werden. 

Das einfachste Beispiel bildet die simultane Untersuchung einer 
quadratischen (/") und einer cubischen Form (9). Das Formensystem 
ist für diesen Fall in § 59. entwickelt worden; ich beziehe mich auf 
die dort gebrauchten Bezeichnungen. Es wurde dort gezeigt, dass 
die vier linearen Covarianten 

(1) p^-iaafa,., q^{hp)h,, r = {aQYQ,, s = {hr)K 

die Determinanten besitzen: 



(iJ2) = 


^{apY^- 


'F, 


(pr)-- 


^L = 


2 




(i'Ä) = . 


-iir)-- 


M, 


{qs) = 


DL 

2 ' 


t 




(>•«)=■ 


-N=EL 


1 

2 


FB. 









(2) 



Zwischen den fünf- fundamentalen Invarianten Z), E, -F, B,j M 
besteht die einzige Beziehung 

(3) M'=^-^\DU-2ELF-^RF% 

Man sieht daraus, dass die sechs, aus den Coefficienten der 
linearen Covarianten gebildeten Invarianten (2) immer sämmtlich, 

25* 



388 Achter Abschnitt.' Typischo Dar^tolhin«^ von i'orm^ri 

und nur dann silmmtlicli verschwinden, wenn F und L verschwinden. 
Man hat daher den Satz: 

Typische Darstellungen der simultanen Formen 
fj cp mittelst linearer Covarianten sind nur m()g- 
lich, so lange die Invarianten i^, L nicht beide ver- 
schwinden. 
Und 

Eine quadratische Form / und eine cubische 
Form cp können immer mittelst typischer Formen 
" gleichzeitig in zwei andere Formen fj cp' linear 
übergeführt werden, so lange die absoluten In- 
varianten beiderseits gleich sind, und die Inva- 
riantenpaare Fj F' und L, L' nicht gleichzeitig 
verschwinden. 
Untersuchen wir zunächst, was das gleichzeitige Verschwinden 
von F und L für die Formen f, cp aussagt. Es ist L nichts anderes, 
als die Resultante von /' und A ; daher müssen f und A einen Factor 
gemein haben, vorausgesetzt, dass nicht etwa A identiseli verschwin- 
det, also cp ein vollständiger Cubus ist. Unterscheiden wir also 
folgende drei Fälle: 

1) f ist kein Quadrat, cp kein Cubus. 

2) f ist ein Quadrat, cp kein Cubus. 

3) q) ist ein Cubus. 

1) Im ersten Falle sei f=2x^x,^j 

cp = a X{^ -\-^ ß x^ x.^-\-'^y x^ x.^. + ö x.^. 
Man hat dann* 

l^ = 2\{ay-~ß')x;'-^{ad-ßy)x,x, + {ß8~f)x.^\ 
p =:^-2{ßx,+yx.,). 

Daher wird 

F=(apy = ~-Sßy = 0, 

und ausserdem, da A mit cp einen Factor gemeiu haben soll, 

{ay-ß-^){ßd-f) = 0. 

Hieraus folgt, dass entweder ß und a'y^, oder 'y und d ß^ ver- 
schwinden muss, also entweder /3 = (), 'y = Oj oder /3 = 0, « = 0, oder 
y = 0, d = 0. Dieses führt also auf folgende Fälle: 

1. /'stimmt mit der quadratischen Co Variante von cp bis auf einen 
numerischen Factor überein (/3 = 0, ;^ = 0). 

2. q) hat einen Doppelfactor, welchen f zugleich einfach besitzt. 

2) Ist / ein Quadrat, so sei f=x^, 

(p -^. a x^ + 3 ß x^ x.^ + 3 y x^ .x'/ + 8 .^/. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § D7. 389 

Es wird 

p ■='y X^-{- Ö X.^ j m 

daher geht F =^ {^pf = in ö = 0, L = iu ßd — y* = 0^ also in 
y = über. Dies führt auf den zweiten Fall von 1. zurück. 
3) Ist (p ein Cubus, so sei 

/'= a x^" -\-2h Xj^x.^-\- c x./f (p~ x^^ ; 

man hat A = 0, so dass die Gleichung L = von selbst befriedigt 
ist, und • , 

2) = cXij F=c^j 

also c = 0. Mithin ist der dreifache Factor von (p zugleich einfacher 
von f\ und auch dies ist unter dein zweiten Falle von I. enthalten. 
Man hat also den Satz: 

Das gleichzeitige Verschwinden von F und L 
tritt immer und nur in folgenden zwei Fällen ein: 

1) wenn /'sich von der quadratischen Co Variante 
von (p nur um einen numerischen Factor unter- 
scheidet*; 

2) wenn cp einen Doppel factor hat, welcher zu- 
gleich einfacher Factor von /'ist. 

In allen andern Fällen ist also eine typische Darstellung mittelst 
linearer Covarianten möglich; in allen andern Fällen zieht die Gleich- 
► heit der absoluten Invarianten zweier analoger Systeme immer auch 
die Möglichkeit der linearen Transformation nach sich. 

Wir haben daher zwei typische Darstellungen zu untersuchen, 
von denen immer eine möglich ist, so lange überhaupt von einer 
typischen Darstellung gesprochen werden kann. Bei der ersten sind 
p und g, bei der andern p und r die neuen Veränderlichen. 

Erste typische Darstellung. 
Man hat 
(4) F^^'f = {^ipf '(i'-^2 {ap) {aq).pq-^{a qf . f 
^ ' F^.q} = {cc2^y . q^—o {apf {aq) .p(f -\-^ (ap) (« qY-P^q — (« qf • p^- 

Nun ist 
{apf=F, {ap){aq) = {q-q)==0, 
(aqY = iah){ac) (hp) (cp) = },\{abf{cpY+{acy{bpy— {hcf (ap)-\ = ^- 



* Geometrisch: Die Punktgruppe von qp ist zu der von / cyclisch- 
projeetivisch. 



390 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Die erste Gleichung (4) giebt also nach Division mit F: 

(5) F.f=cf-\--^p\ 

Auf dieselbe Weise, wie soeben der Coefficient (ag)'-^ umgestaltet 
wurde findet sich auch: 

{a qY aj, = (a a) {a h) {ap) (hp) a^=^\{a a)- {hpf + {a hf {apf 

— {ahYiapyi ^x 
■■=F .p-\B.{apfa^r 

und daher 

- {aqY{ap) = ^^B,{apf 

^^ (aqf =-F'--^^D.{apf{aq), 

so dass die beiden letzten Coefficienten des zweiten Ausdrucks (4) 
hierdurch auf die beiden ersten zurückgeführt sind. 

Was nun diese beiden Coefficienten angeht, so erhält man sie 
leicht durch Betrachtung des Ausdrucks {apy^ ajc. Indem man für ein 
p seinen symbolischen Ausdruck setzt, hat man 

{apf «., = {aß) {ap) {ßaf a, = (aß) (ßa) \{aa) (ßp) + {aß) {pn)\ «,. 

Vertauscht man im ersten Theile rechts a mit ß, so kann man hier- 
für setzen: 

(7) {ap)' a, = {a ßf \ {ß a) {p a)a,-^^ {ß a) {a a) p j 

Den ersten Theil dieses Ausdrucks kann man nun auf r zurück- 
führen, indem man nach § 59. (7) r in der Form 

r = (pA)A^ 
benutzt. Es wird dann 

(A a) {p a) Ar == (A ay^p + (A a) {p A) a^ 
= Ep -f {ra) ax = Fp — s, 
und also aus (7) 

(8) {apf «^ = iEp-s. 

Schiebt man diese Form über p oder g, und benutzt die Gleich- 
ungen (2), so erhält man: 

{ap)'^ = — {sp) = — M 

^ ^ {apy {aq) = iE {pq) - {sq) ^ 5 

daher auch aus (6) : 

(aqY{ap)=^DM 
(10) («g)3 -~=--F^-{B{DL-EF). 

Und die typische Darstellung von cp wird also : 



ungei-ader Ordnung mittelst linearer Co Varianten. — § 97. 391 

(11) F^(p^-Mq^-l{PL-EF)pq^-\-^BMp^Ci 

+ (^F-^ + ^[DL-EF])pK 

Setzt mau noch der Kürze wegen 

(12) P=DL-EF, 

so sind alle Coefficienten der typischen Ausdrücke (5), (11) rationale 
Functionen von 

(13) F, 31, P, B, 

und man hat also den Satz: 

Alle simultanen Invarianten von /'und cp lassen 

sich durch F, 31, P, D rational ausdrücken^ und 

zwar so, dass nur eine Potenz von F im Nenner 

steht. 

Es ist leicht, dies durch Angeben der wirklichen Ausdrücke zu 

bestätigen. Denn nach (3) ist 

-2M'D=^{DL- EFf + {DB- E') F\ 

oder "^ 

-2]\F~D = P' + 2LF'. 

Daher hat man zunächst 

(14) X^-^^^i^. 

aus den Gleichungen 

P=DL-EF, 3r' = -i{I)r^-2FLF+RF^) 

aber findet man weiter 

^. DL-P ^ 2ELF-2]\r—BU 
(lo) ^ = —y , ^ =-■ ^2 > 

so dass, wenn man den Werth von L aus (14) einsetzt, wirklich 
alles durch die Grössen (13) auf die angegebene Weise ausgedrückt ist. 

Zweite typische Darstellung. 
Führt man die linearen Covarianten p und r ein, so hat man, 
da (j>r) = L die Determinante der Substitution ist : 

LKf ^ i^pf r- - 2 [ap) {ar)p r + {arfp' 



(16) 



— Z3 . g) = {apf r^ - 3 {apf {ar) r^p + 3 (ap) {arY r p^ - {cc rf p\ 



Unter den Coefficienten von f sind iapf — F, {ap){ar) = M 
schon bekannt; ferner aber ist [vgl. (2)J, da s = (a>*)«^: 

(^arY=:{sr) = N, 
Für f erhält man also den Ausdruck : 
(17) U f=Fr^-2 Mp r + NpK ' 



392 Achter Abschnitt. Typische DarsteUnng von Formen 

Von den Coefficienteii des Ausdrucks für 9? erliiilt man die beiden 
ersten sofort, indem man 2> oder r über die Gleichung (8J schiebt; es 
wird dann 

(18) (apf^^-M, (apy{ar')'-^^(pr)-(isr)=^^EL~N. 

Um die beiden andern Coefficienten zu finden, entwickelt man 
die Form (^urj'^ a^. Nimmt man r in der Form 

so ist 

(arf «^.= (aA) (« A') (pA) {pA'},a^r 

= (a Af (p AJ a, - 1 (A A' j^ (apf a, 

da der mit dem Symbol («A)^ behaftete Tlieil nach der Theorie der 
cubischen Formen identisch verschwindet. 
Nun wird daher: 

(« ry {a p) -. ^ (s2)) = -^— , 

Und somit wird die typische Darstellung von cp: 

(19) -L'\(p = -31 r^ - 3 (^ - N\pr' + ^ 11 Mp'r 

+l(¥--)- ' 



§ 08. Typische BarslcUung zweier siimiltaiien culiischeii Formen. 

Zwei simultane cubische Formen besitzen, wie in § 61. gezeigt 
wurde, im Gänzen acht lineare Covarianten. Wenn alle diese "bis 
auf constante Factoren identisch sein sollen, so dass eine typische 
Darstellung mittelst linearer Covarianten nicht mehr möglich wird, 
so müssen die sämmtlichen Unterdeterminanten des Ausdrucks 2 Q^ 
[§ 61. (12)1 verschwinden; denn dieselben geben nach den Gleichungen 
(19), (22) desselben Paragraphen die aus den Coefficienten der Aus- 
drücke p, it und der linearen Formen 

(A;t)A.^, (0:r}0^, (V7r)V.r 

(Ai9)A,, (0p) 0.,, (ViOV. 

zusammengesetzten Determinanten. Es ist leicht zu zeigen, dass dann 
überhaupt die acht linearen Covarianten sich höchstens noch um con- 
stante Factoren unterscheiden können. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Co Varianten. — §§97, 98. 393 

Erstlicli verschwindet dann auch Q, also (p7c). Verschwinden beide 
Covarianten j^;, 7t identisch, so verschwinden auch alle anderen sechs 
linearen Covarianten [vgl § 61. (10)J. Verschwindet nur eine, etwa 2^, 
so bleiben die Covarianten 

7C, (7rA)A,, (:rV)V.„ (:rA)(AV)Vx. 

Aber weil (7tAy- = 0, (7rV)- = 0, so sind die Ausdrücke (jrAjAj und 
(;rV)Va- entweder Null, und also auch (:;r A) (A V) Vj- = 0, oder sie 
sind von it nur- um einen constanten Factor verschieden, also etwa 

(7t A) A.r ^ iil' Tt , 

daher auch 

{7t A) ( A V j V.. = m ( ;r V) Vx , 

also auch diese Covariaute nur um einen constanten Factor von 7t 
unterschieden. Verschwindet auch p nicht identisch, so reduciren 
sich ebenso die Covarianten 

O.A)A,, (2)V)V,., O.VJ(VA)A, 

auf p. In allen Fällen giebt es also nicht zwei lineare Covarianten, 
welche sich um mehr als einen constanten Factor unterscheiden. 

Untersuchen wir nun den Inhalt der in dem Verschwinden der 
Unterdeterminanten von 2 Q- enthaltenen Bedingungen genauer. Wir 
unterscheiden drei Fälle. 

1. Die Discriminante einer der beiden Formen /' und cp sei von 
Null verschieden. Man kann dann setzen: 

f= x^ + ^i , (p = a x^ -{-^tl) x^ .r^, -}- 3 c x^ x} + ä x.^, 
also 

ä, = 2x^x^, Q—c x^- + {a + d) x^x^-^h x./, 

V = 2 1 (ac - ¥) Xj^ + (ad -hc)x,x.,-\- {hd - c-) x.^\''y 

p = — 2(bx^ + c x.^. 

Daher verwandelt sich die Gleichung (A 2>)- = in hc = Oj und 
wenn also etwa ^ = ist, geht Q = in c — O über. Man findet also 

(p = a Xj^ + d x/. 

Da zugleich Q = x^^ — x./, so ist (p eine lineare Combination von 
/' und Q. Daher kann in diesem Falle eine lineare Covariante, welche 
zugleich eine solche für /' allein sein müsste, nicht existiren. 

2. Die Discriminanten beider Formen verschwinden, aber we- 
nigstens eine der Formen ist kein Cubus. Man kann setzen: 

f= 3 x^^ x.yy cp = a x^ + 3 Z) X{- x., + 3 c ^^ x^- + d x.^ , 



also 



A = — 2 x^~, ^ = — 21) x^- — c x^x.^-\- dx.2^j 
= {2 («c - h') x^ + {ad -he) x, x., -\- {hd-c') a;/} 
p^ —2{cx^-\-dx.,), 



394 Achter Abschnitt. Typische Darstellimg von Formen 

Die Glöichimg (Ajp)^ = reducirt sich auf ^==0, und sodann 
Q = auf c = 0. Daher ist wieder p = 0, und q) hat die Form 



(p = ax^^ + 31) x^ 



'2' 



Da diesmal Q = 2x^^^ so ist wieder cp eine lineare Combination von 
/* und Q] wie oben. 

3. Beide Formen sind Guben. Dann verschwinden A und V, also 
auch p und tc und alle anderen linearen Co Varianten. 
Man kann also folgenden Satz aussprechen: 

Die typische Darstellung zweier cubischen For- 
men fy cp mittelst linearer Covarianten ist nur un- 
möglich, sobald die ersten beiden linearen Co- 
varianten py 7t identisch verschwinden; und zwar 
geschieht dies in folgenden beiden Fällen: 

1. Wenn eine der Formen eine lineare Combi- 
nation der andern und ihrer cubischen Covariante 
ist.* 

2. Wenn beide Formen Guben sind. 
Abgesehen von diesen Fällen führt also bei 

z'wei Paaren von cubischen Formen f, (p und f\ cp' 
die Gleichheit der absoluten Invarianten die Mög- 
lichkeit mit sich, die Formenpaare linear in einan- 
der zu transf ormiren. 

Von besonderm Interesse ist hier offenbar die Darstellung der 
typischen Form durch p und jr; diese allein werde ich untersuchen. 
Da [p7t) = —2Q, so hat man die Formeln: 

-SQKf={a7tY.p^-3{a itf {ap) .f 7t + 3{a7t) {apf .p it' - {apf . n^ 
^^ -d>QK(p==[a%)Kp^-?,la%f[ap).p^% + ?>{ait){ap)\p%^-\ap)\%^^ 

und es bleiben also zum Zwecke der typischen Darstellung die acht 
Coefficienten rechts zu untersuchen. Aber es ist leicht zu zeigen, 
dass die acht Coefficienten dieser Formen sich auf eine viel geringere 
Zahl reduciren. Es ist nämlich mit Benutzung der Formeln § 61. (5): 

(a 7t) a^2 + ^ap) a^^ = 2 (0 af [aa)a>,^ + 2 (0 af {a a) a^^ 

=:2(a«) j(0«)2a/-(0«)2ß^2j_2(a«)2 0^{(0«)a.,+(0a)^^j 
= 4(00O0.0'. = O. 

Aus der Gleichung 

(a 7t) aj + (ap) aj --=- 
folgt aber sofort: 



* Geometrisch: Die Punktgruppen beider Formen sind zu deni' 
selben Punktepaar cyclisch-projectivisch. 



ungerader Ordnung mittels-t linearer Covarianten. — § 98. 395 

(a Tty (ap) + (a %) {apj = 

Man kann also setzen: 

(jcc7t)^ = A, — (a7ty(ap) = (^a7ty = B, 
(2) (a 7t) (apf = - (a nf (ap) = C, 

-(apy = ia7t)(apy- = D, -(apf^E, 

und die Gleichungen (]) verwandeln sich in die folgenden: 

-SQKf = Bp^ -\.^c i)'7t + 3 Dp Tt^ + Eit^ 
y^^ -^Q.K(p = Ap^ + '^Bp^7i^?>C p7t^-\-D%\ 

Man kann daher den Satz aussprechen: 

Die beidenAusdrücke— SQ^/'und— SQ^T? stellen 
sich dar als die durch 4 dividirten nach p und n 
genommenen Differentialquotienten der biquadra- 
tischen Form: 

(4) F-^ - 8 Q3 (/-jr + (pp) = A p^-\- 4Bp>^7c + 6Cp^7t'^ 

+ 4:Dp7i' + E7c\ — 

Man kann beweisen, dass hierin die einzige Lösung der folgen- 
den Aufgabe enthalten ist: 

Man soll, wenn zwei cubische Formen f, cp ge- 
geben sind, zwei lineare Functionen | und r] so 
finden, dass, wenn man sie als Variable einführt, 
(p und f die Differentialquotienten einer Form F 
nach I und r] werden. 

Ist nämlich 

1=1^x^ + 1^ X.2 

so hat man nach den Bedingungen der Aufgabe: 

dF , dF^ ^J^ t , / 

dF dF oF ^ ^ . 

daher, indem man die erste Gleichung nach a;^, die zweite nach x^ 
differenzirt und die Differenz bildet: 

d (p t^qp, cf ^f_(\ 
^' d^, ^' ex, ^ "^1 dx, ~ '^' dJ,' 

oder wenn man die Symbole von f und (p einführt : 



396 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

Schiebt mau diese Gleichung zweimal über A, 0, V, so hat man 
mit Eücksicht auf § Gl. (5): 

= (arj)(aVy = (7t7]). 
i^us der ersten und der letzten dieser Gleichungen folgt: 

i = Q'P, rj = ö .7t, 
wo die Q, 6 Constante sind; die mittlere Gleichung aber giebt dann 

so dass in der That ^ und iq sich nur durch einen gemeinsamen 
Factor noch von p und % unterscheiden kihmen. 

Durch den vorliegenden Satz ist eine merkwürdige Beziehung 
zwischen der Theorie zweier sinuiltanen Formen dritter Ordnung, 
und zwischen der Combination einer gewissen Form vierten Grades 
(^F) mit zwei linearen Formen {%, p) begründet. Man kann nicht 
sagen, dass die Tlieorie der simultanen cubischen Formen, welche nur 
acht Coefticienten enthalten, mit der einer biquadratischen in Ver- 
bindung mit zwei linearen Formen (sie enthalten zusammen neun 
Coefhcienten) identisch sei; aber die Verwandtschaft beider Theorien 
ist so gross, wie sie, ohne in Identität überzugehen, werden kann; 
es ist nämlich in der That zwischen den Coefficienten von F, p, it 
nur eine einzige Relation vorhanden, welche sich dahin ausdrückt, 
wie man sehen wird, dass jp bis auf einen Zahlenfactor einer Potenz 
von [pn) gleich wird; was denn in der That hinreicht, um die Coef- 
ficienten von Fj Pj 7t auf acht von einander unabhängige zu be- 
schränken. 

Ich werde im folgenden Paragraphen zunächst die Aufgabe lösen, 
die Coefficienten von F durcli die einfachsten simultanen Invarianten 
von /' und cp darzustellen; dann aber in dem darauf folgenden Para- 
graphen auf den Zusammenhang der Theorie von f, cp mit der Theorie 
der biquadratischen Form F genauer eingehen. 



§ 99. Darstellung der CoelTicienten von F durch die einfachsten simultanen 
Invarianten von f und q>» 

Um die Coefficienten A, B, 0, D, F durch die einfachsten 
simultanen Invarianten von f und (p auszudrücken, betrachte ich zu- 
nächst die vier x\usdrücke : 

(«jr)«/, {a7t)ajj {ccp) a^^ ^ {ap) aj ^ 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covariant^n. — §§98, 99. 39? 

von deren beiden mittleren schon oben gezeigt wurde, dass sie ent- 
gegengesetzt gleich sind. Setzt man für die it, p entsprechende 
Werthe aus § 61. (5) ein, so erhalten wir 

(ajt) aj = - 2 (aß) (Oßf aj =.-(aß)\(Q ßf a/ - (0 «)- ß/~\ 

{a 7t) aj = (ah) (V hy aj = | (« h) \ (V hf «/ - (V «)- hj \ 
= i(«?>)^'V. {(V&)«. + (V«) hj =(VA)v.A.. 

(ccp) «/ = (aß) {Aßf aj = ^(aß) {(Aßf aJ - (Aaf ßj\ 
= i (aßY A.. [{Aß) «.. + (A«) ßj = (A V) V.^ A^ 

(ap) aJ = -2 (ah) {Gay 6/ = - (ah) |(0 hf aJ - (Oa)^ hj] 
^-{ahy^ e.r {(Qh) «X + (ßa) hJ = -2 (0 A) 0., A.,. 

War also oben 

* r TT ^ - ^ ^ c p 

so hat man nunmehr auch die zweiten Differentialquotienten von F 
durch Covarianten ausgedrückt; es ist nämlich nach diesen Gleich- 
ungen : 

4 Q^ . (V 0) V.- 0. = i [(aitjp^ - 2 (aity (ap)p7t + (ajc) (apf n^ 
_ . d''F 

4 Q' . (VA) V, A,- = [(a7t)^p' - 2 (ajry (ap)p7t + (a7t) (apf %^] 

= - [(ap) (aityp^^ - 2 (apf (a7t)p7t^- (apf it^\ 
^^ _ _^_ d'^F 

~^^dpdit 

4 Q-^ . (0 A) 0.,V.r = - i \(ap) (aitf p^ - 2 (a^^y (a7t)pn + (apf n^ 

_ 1 ?!Z 

Nun waren aber in § 61. bereits A, 0, V durch p und tt, also 
gerade wie es hier verlangt wird, ausgedrückt; es war dort [§ 61. (20)] 
gefunden : 



ö 



2Q^A = ^lß^ü,,p7t+U,,7t^^ 
(2) 4Q^^0=-j?7,,ir^-(2f7,3 + ^)p;r 4-^,3^^ j 

Es kommt also nur noch darauf an, die Functionaldeterminanten 
(1) der drei quadratischen Formeu A, 0, V durch diese selbst aus- 
zudrücken. Dies geschieht mit Hilfe der Gleichung (4) des § 58. 
Indem wir diese Formel auf unsere Formen anwenden, erhalten wir: 



398 Achter Abschnitt. Typische Darstellung von Formen 

2 Q . (V0) V. 0.- ~ } r/n A + L\, + ü,bV\ 

(3) 2 Q . (VA) V.. A, -= U,, A + ü,, Q + U,,V 
2 Q . {Q A) e^ A^= - \U,, A + ü,,e + C/33 V|. 

Daher ergiebt sich weiter, indem man die Ausdrücke von A, 0, 
V aus (2) in diese Gleichungen einführt: 

- 8 Q^V e) V, 0.. = (-"2^ -UJ + 2U,, U,,^ p' 

- 8 Q3 (VA) V.. A, = (^^1^ _ 2 U,, U.^p-' 

(4) +{AU,,V,,-2U,,U^-'^yn 

- 8 Qä (0 A) 0. A. = (^^^ - U,, U,, + 2 U,, ü,,) p"- 

Da diese Ausdrücke gleich 

Q d^F Q d^F Q. d'F 

""12 df 6 dpdTt' 12 dTt'' 

sein sollen, so muss der mittlere Coefficient der zweiten Reihe, durch 
4 dividirt, dem letzten Coefficienten der ersten und dem ersten der 
letzten gleich sein. Es ist leicht, dies zu sehen. Die zu beweisende 
Gleichung ist 

TT TT ■ TT ^ TT TT 

TT TT — 1-^ 22 , i^ _ ^22 ^13 i<2 TT TT —TT TT 

• *^12 *^23 9 T g ~~' 2 r^^n^SS ^12*-^ 23? 

oder 

%-' + U,, U,, + 2ü,,U,,-2 U,, U,, = 0. 

Nun finden, da die ü die Unterdeterminanten von 2Q^ sind, die 
Gleichungen statt: 

(5) U,, ü,, - U,,' = 2Q^ (T-iJ^) ü,, U,, - U,, U,, = 2Q^^ T 
U,,U,,- ÜJ^2Q^P U,JJ,,-Ü,,Ü,,~-=2Q^S. 



ungerader Ordnung- mittelst linearer Covarianten. — § 99 39^ 

Daher folgt aus den beiden Gleichungen der zweiten Reihe: 
E^33 t'u- U,,'- Jh, V,,+ U,, U,r---Q'^J-'=- (6^.3- ^y [§ 61. (23)], 



also 



U TT TT 2 

TT TT —TT TT 4- -^ '^^ 4- ^i- — 



was durch Multiplication mit 2 in die zu beweisende Gleichung 
übergeht. 

Man kann die fünf Coefficienten, welche in (4) vorkommen, nun 
mit Hilfe der Gleichungen (5) und der Gleichung 

in folgender Weise schreiben: 

==2Q'P -{-2QJÜ,, 

= 4Q^T-2QJÜ,, 
TT TT 13 -^'-^ -^^"^ —CTT TT —TT V \ ^ TT /^i3_ ^22\ 

^12 *-^23 2 8 ~ ^ *^^ 12 ^^23 ^ 22 *^ IsJ + *-^22 I ~2 g j 

-^'-^l\.TJ,, =-2(L\,lT,,-U,,ü,,')-L\,(2U,,-^^ 

= 4:Q'S-2QJÜ,, 
ii2i±i33 19 TT TT —TT^ — (TT TT — TT -^ -4- TT (^ TT — --^\ 

2 T^ -" '-'IS ^^33 *^ 23 — V*^22*^33 *-' 23 -^ ' ^^33 l "^ *-' 13 2 / 

= 2Q^R + 2QJU^^, 

Indem man also die Gleichungen (4) durch 2Q dividirt, stellen 
sich dieselben in folgender Form dar: 

-4Q^(V0)V..0.= Q\P lß + 2i:p7T + T7T^ 

- 4.Q' . (VA) V,. A., = 2 Q\Tp' + 2Tp7t-\-S 7t-'\ 

-4Q2.(0A)0^A.,= Q\Tp^ + 2Sp:T^B7t^ 

+ ^ -4^'Z^'- ^\zP^^ ^^33 ^'r 



400 Achter Abschnitt. Typische J)arstorinnf? von J^'oniKMi 

Da die Ausdrücke links nach (l) gleich 

_i ^IK 1 ^"^ 1 ^ 

waren ^ so erliillt man, indem man die obigen Gleichungen mit 2|>'^, 
2j)^f 2^^ multiplicirt und addirt: 

(7) F=--2Q IP^)^ + 4Tp^ 71 + 6 Tp^- 7t^ -{- 4S 2^7t'' + n7t'\ 

-2J{U,,p'-2U,,p'7t + ^ U,,2f^7c'--2U,,p7t'>+ U,,y^.'^ 

Die Gleichungen: 

^ €7t^ ^ ^ dp 

geben also folgende typischen Darstellungen von f und cp : 

8Q^f = 2Q \ I j/ + STp'^7t-\- 3Sp %" + Ilii^\ 

-J\ ü,,p'~iU,,p^7t + 3U,,p7t^-2U,,7t^'\ 

^^ SQ^(p=.2Q \Pp^ + 3^2^^' ^ + ^'^P ^'^ + S ^'\ 

■i-J\2ü,,p'-3U,,p'7t + iU,,p7t'^- ü,,7t% 

Die Vergleichung des Ausdrucks (7) mit den Gleichungen (2), (4) 
des vorigen Paragraphen führt aber zu den folgenden Ausdrücken 
verwickelterer Invarianten : 

A== {anf =-2QP-2JU,, 

B=^-{a7tf(ap) = {a%f --2QZ+ J U,, 

(9) C ^{a7r){apf^.- iaitf {aii)==-2QT - J^ 

B=-{apf :=-{ait){apf =-2QS-{- J lL,o 
E= -{apf ^-2QB-2Jü,l 



§ 100. Die aus F entstellenden Formen. Ansnahmefall ß = 0. 

Ich werde nun die hauptsächlichsten aus der biquadratischen Form 
F hervorgehenden Bildungen angeben, indem ich dabei p und 7t als 
die Veränderlichen behandle. Die Coefficienten der so entstehenden 
Formen sind ganze Functionen der Ä^ B, C, D, E, und ihre Kenntniss 
führt zur Lösung der Aufgabe, alle simultanen Invarianten von /"und 



* Bemerkt man, dass die Discriminante der Form v.f+Xcp nach den Bildungen 
des § 61. die Gestalt hat: 

so kann man F dadurch definiren, dass es aus der Form 

hervorgellt, indem man darin x durch tt, X durch p ersetzt. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Co Varianten. — §§99, 100. *'40l 

cp durch die Coefficienten der typischen Darstellung so auszudrücken, 
dass nur noch Potenzen von Q die Nenner bilden, wie die allgemeine 
Theorie es vorschreibt. 

Wenn man die linken Theile je zweier der aus den Gleichungen 
(6) des vorigen Paragraphen folgenden Gleichungen: 

8Q- (V0)V.,0.:= Äp^ + 2Bp7t-{-C7i^ 
8 Q' (V A) VxA^ = 2 {Bp' + 2 Cp Jt +D7t-') 
8 Q' (0 A) 0^ A^ = C2y' + 2Dp7i+E7c'- 

einmal über einander schiebt, so entsteheu nach der Gleichung (14) 
des § 58. folgende Formen: 

aus (V A) V.r Ao: und (0 A) 0^ A^. , . . - ^ Q A 
aus (V 0) Vx 0x und (0 A) 0,- A^ . . . - i Q 
aus (V 0) V.r 0^ und (VA) V, A^ . . . - ^ Q V. 

Schiebt man auch die rechten Theile übereinander, so kann man 
dabei p)) ^ '^Is ^^^ Veränderlichen behandeln, muss aber dann mit 
[p7t) =- — 2Q multipliciren. Lllsst man diesen Factor beiderseits aus, 
so erhält man also: 

IG Q* A =. 2 j (Bp-\-C7i) (Dp + E7t) - {Cp-^Bn ^ \ 

1() Q^ = {Ap-\-B7t) {Bp-\-E7c) - (Bp+Cji) {Cp-\-Bit) 

16 Q^ V = 2 j {Ap -\-B7t) (Cp + DTt) - {Bp-^C nf j. 

Setzen wir nun links für A, 0, y ^^^ § ^^- (20) ihre Ausdrücke 
in j), 7t ein, so kommt: 

A<^^(^f-Ü,,p7t+U,,7t^) 

={BB-C')p'-+{BE-CB)p7t^{CE-D^7t'- 

= {AB-BC)p~ + {AE-C')p % + {BE-CB) it" 
4Q-^ (^U,,p^-ü,,p:t + ^7t^ 

■ ={AC-B'')p' + {AB-BC)p7t+{BB-C')7t^, 
und daher durch Vergleichung der Coefficienten: 

AC-B' = -4.QW,, BE-CB = -4Q'Ü.., 
(1) BB~-C'==- Q'U.,. AE-C = 2Q'(4:U,,+ a.,) 
CE-B'=^-4Q'U,, AB-BC = -4Q'Ü,,. 

Diese Formen gestatten es nun, die aus F gebildeten Formen 
Hf^ und if darzustellen, bei deren Bildung wir immer p und tc als 
die Veränderlichen betrachten wollen. Es ist 

Clebsch, Theorie der binären algebr. Forrneu. 20 



402- Achter Abschnitt. Typische Darstelhmg von Formen 

^~ \ Bp'- + 2Cp7t + D7t^ Cp^ + 2Dp7t + E7t'' ' 
= 2 \(Ä C-B^)p^ + 2 {AD-BC)p^ it + {AE-\-2BD-^C^) p^ jr^ 
+ 2{BE-CI))p %^ + {CE-D^) 71^ \ ; 

also w(3nn man die Formeln (1) benutzt: 

(2) Hf^SQ^ { ü,,p^-2 ü,,p'7r + (2 U,,+ U,,)p' 7t' -2 ü,,p it^ 

+ ü,,7t% 

Ebenso wird, mit Benutzung der Gleichungen (1): 

^V- 2 (J.^- 4I?D + 3 (72) =- 4 Q^U.^^-A U,,), 
also 

(3) ijr=16Q'J. 

Endlich hat man aus der vierten Ueberschiebung von F mit Hfi 

oder wenn man aus den Formeln (9) des vorigen Paragraphen die 
Werthe der A, B etc. einführt: 
i,.==- ]6Q= \U,,P^2 U,,Z + (2U,,+ U^-) T+2U,,S+ f/,, Bj 

- IG«^ J- j 2 U,, U,, - 2 U,, U,, + i^ + ^'j . 

Da nun zwischen den üik die oben abgeleitete Identität: 

TT TT TT 2 

TT TT —TT TT A- ^^^ ^22 , i^22_ _ n 
*^ll ^33 *^23 *^21 I 2 16 ~ 

besteht, so kann man an Stelle der letzten Klammer setzen: 

2 "^ 8 " 2 ' 

und die Gleichung für jf geht in die Form über: 

+ (U,,T+ U,,Z+ F33 P) j = - 96 Ql 

Ich komme nun auf die im Eingange dieses Paragraphen erwähnte 
Frage. Die typische Form § 98. (3) lehrt, dass alle aus fund cp gebil- 
deten Invarianten rationale Functionen von Ä, B, C, B , E sind, welche 
Potenzen von Q im Nenner enthalten. Die -Gleichungen (1) lassen 
zunächst die ünc so ausdrücken; die Gleichung (3) giebt J in der- 
selben Form, und endlich erhält man sodann aus den Gleichungen 
(5) des vorigen Paragraphen zwölf Ausdrücke gleichen Charakters 
für By S, Tj Ty P. Hiermit sind in der That alle fundamentalen 
Invarianten in der verlangten Weise ausgedrückt. Zwischen den sechs 
Invarianten Ä, By C, Z), E, Q kann nur eine Relation bestehen; 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — § 100. 



403 



diese wird durch die Gleicliung (4) gegeben. Diese Relation ist 
es zugleich, welche am Ende von § 98. erwähnt wurde und welche 
die einzige zwischen den Coefficienten von Fj p, it bestehende Be- 
ziehung ist. 

Geben so die Darstellung^ (3), (4) die Resultate, welche erfor- 
derlich sind, um durch die typischen. Coefficienten sämmtlich Invarian- 
ten ausdrücken zu können, so liefert die Darstellung (2) der biqua- 
dratischen Covariante von F in anderer Weise bemerkenswerthe Er- 
Da 



gebnisse. 



QY= 



cF 



C 7t' 



Q> 



"^ dp' 



so findet man die Functionaldeterminante von f und 9 

-0" = (a a) tta;^ aj^ 
mit Hilfe der Function F dargestellt durch die Formel; 

cF ^ d dF 



64 Q'^^ 



_i 



t\ 



_d_d_F 
dx^ dp 



^^dx^ die 
'^^dx.^ dp 



{Ttp) 



also 
(5) 



^ 


c^F 


1 


d^F 



dpdii 



tV 



tV 



d^F 

ditdp 

^F_ 

dp^ 



-ß^F, 



64Q^^=lf/-, 

oder auch, wenn man für Hf den Ausdruck (2) einführt: 

(6) 8Q3^= U,y-2 ü,, p^7t + {2 U,,+ U^^p'^7t'^-2 U,,p7t^-]- U,,7c', 

Man kann nun die Resultante von f und cp in doppelter Weise 
bilden. Einmal geht sie, da f und cp sich von den Differentialquotienten 
von F nur um Potenzen von Q unterscheiden, in die Discriminaute 
von f über, welche nur noch eine Potenz von Q als überflüssigen Factor 
enthalten kann. Diese Discriminaute ist nach (3) , (4) : 



-ii'F 



96 . 90 . Q' 



16.16J6 



6 



oder bis auf einen Zahlenfactor und eine Potenz von Q: 

27Q-2J3. 

Eben dieses erhält man auf andere Weise mit Hilfe des in § 28. 
(7) entwickelten Resultates. Nach diesem war diese Resultante gleich 

26* 



404 Achter Absclinitt. Typische Darstellung von Formen 

Bezeichnen wir nun durch ju und ?// die Invarianten von Hf, so 
gebildet, dass man dabei j) und 7t als die ursprünglichen Veränderlichen 
ansieht, so hat man nach (5): 

• (2Q)^ . ■ 

Aber nach der Theorie der biquadratischen Formen ist 

JH = iJF^ - ij^ iF^ in = i iF\ 
daher nach (3), (4): 

64^ 

{2QY (16)2Q«J 



^^~{(J4Q'-f\ 3 36 )-t^^ ^ 



"^"(64^5)2- G -iJ'7 

und die gesuchte Resultante: 

was von dem vorigen Resultate nur um einen Zahlenfactor verschie- 
den ist. — 

Nachdem die typische Darstellung für den Fall, wo Q von Null 
verschieden, behandelt worden, bleibt nun noch übrig, den Fall zu 
untersuchen, wo Q=0. Da wir aber nur solche Fälle untersuchen, 
in denen noch zwei wesentlich verschiedene lineare Covarianten existiren, 
so können wir immer annehmen, dass C/33 oder (A^j)^ von Null ver- 
schieden sei; denn indem wir oben zugleich Q = 0, (A^:))^ = sein 
Hessen, erhielten wir das Resultat, dass alle linearen Covarianten 
identisch verschwanden. Ist Q = und C/^g von Null verschieden , so 
kann man in Folge der Gleichungen (5) des vorigen Paragraphen drei 
Grössen Ä;, ?, m so finden, dass 

C^ii==^S TJ,^-=kl, U,^=hm, U22 = l\ ü.^^ = lm, ü^^^m^-, 
wobei wenigstens m von Null verschieden ist. Die Gleichung 



-QJ^^-U,, 



— y j = 

ffiebt aber dann 

und man kann also ferner zwei Grössen ^ und v so finden, dass 

also wenigstens ^ von Null verschieden ist. Alsdann wird 
Un==v\ ü,, = 2^v^, ü,,==4ii^v\ ü,, = ii'v\ U,,= 2^^v, U,,= ^\ 
In Folge dessen erhält man aus den Formeln (2), (3) der vorigen 
Paragraphen : 

V p — ^7t =0 

i/^A + 22//x0 + fA2V = O. 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. — §§ 100, 101. 405 

Die erste dieser Gleichungen zeigt, dass ^; und 7t in der That 
bis auf Factoren |u, v identisch werden. Die zweite lehrt, dass die 
quadratische Covariante der Form vf-\-a(p verschwindet; dass also 
die Combination vf-\-^(p ein vollständiger Cubus sein muss. 
Man kann umgekehrt zeigen, dass, wenn dieses eintritt, auch 
immer Q verschwindet, und hat damit den folgenden die Invariante 
Q charakterisirenden Satz: 

Das Verschwinden derFunction Q ist die noth- 
wendige und hinreichende Bedingung dafür, dass 
eine Combination der Formen / und cp ein vollstän- 
diger Cubus werde. 
Existirt nämlich eine solche Combination vf-{- ^icp, so ist die für 
sie gebildete Form A, also i^-A + 2^v0 + ft- V, gleich Null; setzt 
man aber die drei Coefficienten dieses Ausdrucks gleich Null, so hat 
man drei in v- , 2v^, a^ lineare Gleichungen, deren Coefficienten die 
Coefficienten von A, 0, V sind; da nun ^ und v nicht zugleich Null 
sein können, so muss die Determinante dieser Coefficienten, also Q, 
verschwinden. 

§ 101. Die Transformation dritter Ordnung der elliptischen Integrale.* 

Im vorigen Paragraphen wurde bewiesen, dass wir zwei simultane 
cubische Formen immer nach passend gewählter linearer Transformation 
der Veränderlichen durch die beiden Differentialquotienten einer bi- 
quadratischeu Form darstellen können. Ich werde diesen Satz auf 
die Aufgabe anwenden, welche das Problem der Transformation dritter 
Ordnung in der Theorie der elliptischen Functionen umfasst: 

Ein elliptisches Integral erster Gattung 



(1) 



rdx 

Jyx' 



wo X eine biquadratische Function von :z^ ist, soll 
durch eine Substitution der Form 

_ a+bz + cz- + dz^ 
^'^^ a+ßz + yz^ + dz^ 

in die Form 

m . 

gebracht werden, wo Z eine biquadratische Fun- 
ction von z. 



* Vgl. Cayley, Phil. Mag. 4. Ser. vol. 15 S. 363; Her mite, Borchardt^s 
Journal, Bd. 60, S. 304. 



406 Achter Abschnitt. Typische Darsttdlung von Formen 

Führt man homogene Veränderliclie ein : 

X-^ __ ^, 

so kann man die Substitutionsgleichung (2) dadurch ersetzen, dass 
man Xj^ und x.^ proportional mit zwei ganzen cubischen Functionen 
von ^^, 0.^ setzt; und nach dem oben angeführten Satze kann man 
diesen Functionen, indem man statt lineare Functionen von 
(welche wieder ebenso bezeichnet werden mögen) einführt, die Gestalt 
geben, dass die erste der Differentialquotient einer biquadratischen 
Form (p nach ^^, die andere der negativ genommene von q) nach 0^ 
ist. Man kann der Substitutionsgleichung also die Form geben: 

(4) x,>p'iz,) + x,<p'{z,) = 0. 

Indem wir statt der lineare Functionen derselben setzen , ändert 
die Form des Integral (3) sich nicht; man kann also noch immer die 
Gleichheit der Integrale (1), (3) durch die Gleichheit der Differentiale 

dx dz 

oder 

x.;^dx^ — x^dx^ ^2 ds^ — ^1 ds^ 

ausdrücken. Setzen wir nun nach (4), indem wir auch die absoluten 
Werthe der x fixiren: 

so haben wir 



Xi) CvXt Xi (XXa ■ J"« 






aV d0,ds., ' dz;' 

dz,-{- , \ dr -^ ^ . f- 



'2 o„ o^ --l 



= -I jETqp. {z.ßz^~z^dz^, 

und die Differentialgleichung (5) verwandelt sich in die folgende 
endliche Gleichung : 

(6) iH^KF{z,, z,) = f[\q^'{z.;),-\cp'{z,)l 

Man beweist nun zunächst leicht, dass in Folge dieser Glei- 
chung (p eine lineare Combination von / und Hf sein niuss. 
Dann sei {xf) irgend ein linearer Factor von /'; ihm entspricht auf 
der rechten Seite von (6) der Factor 



ungerader Ordnung mittelst linearer Covarianten. ^— § 101. 407 

Die linke Seite von (6) ist aus vier solchen cubisclien Factoren 
zusammengesetzt, welche sich durch die Werthe der t unterscheiden. 
Aber links treten vier lineare Doppelfactoren auf, die von Hcp. Solche 
müssen sich also auch rechts finden. Aber zwei der Factoren (7) 
können keinen linearen Factor gemein haben, sonst müssten auch 
9)'(^i), (p [z.^ einen solchen gemein haben, und die Substitution wäre 
nicht mehr von der dritten Ordnung. Also muss jeder Factor (7) 
selbst einen linearen Doppelfactor enthalten oder es muss die Discri- 
minante jedes der vier Factoren (7) verschwinden. Diese ist in § 67., 
Anmerkung, gebildet und nimmt die Form an: 

ein Ausdruck vierter Ordnung in den t. Da derselbe für alle Werthe- 
paare der t verschwinden soll, für welche f verschwindet, so kann 
er von / nur noch um eine Constante verschieden sein, und man muss 
also haben: 

Da übrigens die absoluten Werthe der Coefficienten von (p offenbar 
gleichgiltig sind, so kann man c = 1 setzen, und hat daher: 

(8) f=}J^.(p - ^Icp.IIcp. 

Es ist also /' ei..e lineare Combination von cp und Htp, daher 
auch H/, und zwar hat man mit Benutzung der Gleichungen des § 41., 
indem man dort 

^='iJ'P, X = — iicp 
setzt : 

{9) H; = -J^ icp^ jrv'(p + (i jcp- - ^kiv^) Hcp . 

Aus beiden Gleichungen zusammen findet man durch Elimination 
von H(p die Form (p als lineare Function von /' und Hf, wie oben 
angegeben wurde. 

Sehen wir zunächst, was aus der Gleichung (6) wird. Setzen wir 
der Kürze wegen 

und führen wir auf der rechten Seite von (6) für f den Ausdruck (8) 
ein; setzen wir endlich symbolisch 

(p = a^j H(p = H^^, 

so geht (6) in die Form über: 

(10) lH^'.F=\j^. (a lY - -1 /„ . (ßlY. 

Es ist leicht, sich zu überzeugen, dass diese Gleichung wirklich 
durch JI(^- theilbar wird und also unmittelbar den Ausdruck von F 



408 Achter Abschnitt. Typische DarBtellung von Formen 

giebt. Hierzu ist es nur nöthig, die Ausdrücke (^ci^y^ (^§)^ ^^ bilden. 
Nun ist nach § 86. : 

wo ri = {ßy). Setzt man in dieser Gleichung y^ — 'E,.,, y^ — — ^!, so 
wird ri~ — (p und man erhält nach Division mit cp^' : 

(12) {aQ' = Hi,p.q,-'~iII^^).q,. 

, DifFerenzirt man aber (11) nach y^, y.,, multiplicirt mit 

addirt und setzt endlich yi=^'i.,, 2/2 = -"§i? so kommt 

(ßif (ag) = - 2V . m - (iV^.r'-|if,p^') (vi) 

oder wenn man den Werth von Tcp* aus § 42. einführt: 

(13) {aiy{at) = -{H^^^-\i^.H^.q>-' + ^Jv.cfr: 

Inzwischen hat man, indem man den Process d auf (12) anwendet 
und die Formeln des § 41. berücksichtigt: 

{Hlf + 4 {alf [ai) =j,p . (p' + i^ . <p' U^-i H,f\ 
also wenn man den Werth von (a|)^(a^) aus (13) eintrügt: 

(14) {mY = \j^.<f^ + \H^K 

Endlich findet man durch Eintragung von (12), (14) aus (K)): 
t ir„^ F= ii,, ^ . (ii^. cp'-iHg,') -ii^. (^ j^.,pHi/V), 
oder indem man die Division mit Hcp^ ausführt: 

(15) F^-iJcp.(p--^\icpHcp. 

Hierdurch ist alles auf die Bestimmung der Function cp zurück- 
geführt. Man kann diese so vornehmen, dass man aus (8) die Aus- 
drücke für i und j bildet und so zwei Gleichungen erhält, um iq), jcp 
auszudrücken; trägt man diese Werthe in (8), (9) ein, so kann man 
dann cp auf lineare Weise durch /*, H darstellen. 

Besser ist folgender Weg. Setzen v\^ir 

(16) (p^xf+lH; 

mit Berücksichtigung der Formeln des § 41. geht dann (8) über in: 

/^= ii.i C''^+ Aif) - 1 %x (fi 1^ -/•—) . 

Vergleicht man die Coefficienten von f und H beiderseits, so 
ergiebt sich: 

1 1 • . 1 • ^ß 

= iM.^-ii,j^. — . 



ungerader Ordnung mittelst liuearer Co Varianten. — § 10 i. 409 

Die erste dieser Gleichungen dient nur dazu , die absoluten Werthe 
von Ti und X zu bestimmen, die zweite aber giebt eine biquadratische 
Gleichung für den Quotienten k : A. Führt man für i-^^^ j^x ihre Wgrthe 

ein, so wird die biquadratische Gleichung folgende: 

(18) = - 3 ^ x-t - 4 J X' k + i' K^ l^ + 2 ij ;c A^ + (^ + 1\ i\ 



Die erste Invariante dieser Gleichung verschwindet, so dass die 
cubische Resolvente derselben eine reine cubische Gleichung wird. 

Das Resultat der Untersuchung lässt sich in folgendem Satze 
aussprechen, wobei alles so eingerichtet ist, dass nur das Verhält- 

n i s s j auftritt, dass also die erste Gleichung (17) nicht gebraucht wird : 

Setzt man 

und genügt der Quotient y der Gleichung 

9 \i .-3 



w^as auf vier Arten geschehen kann, so ist 

/x^ dx^ — x^ dx, r z,^ dz^ — ^1 dz.2 

wo 

K= - — 



Neunter Abschnitt. 

Typisclie Darstellung der Formen gerader Ordnung 
mittelst quadratischer Covarianten, 



§ 102. Beweis, dass im Allgemeinen jede Form gerader Ordnung zwei 

([uadratisclie Covarianten besitzt, welche keinen linearen Factor 

gemein haben. 

Formen gerader Ordnung fülireu nur auf Covarianten gerader 
Ordnung; es kann daher bei Formen gerader Ordnung von einer 
typischen Darstellung durch lineare Covarianten keine Rede sein. 

Aber man kann an Stelle derselben eine andere Art typischer 
Darstellung entwickeln, indem man auch diesmal auf die Covarianten 
niedrigster Ordnung zurückgeht, welche Formen 'gerader Ordnung 
besitzen, auf quadratische. 

Es ist zunächst zu zeigen, dass solche für Formen gerader Ord- 
nung, deren Ordnung die vierte übersteigt, wirklich existiren, und 
zwar soll zugleich gezeigt werden, dass im Allgemeinen immer 
zwei quadratische Covarianten existiren, welche keinen 
linearen Factor gemein haben, deren Resultante also von 
Null verschieden ist. Ich verfahre dabei ähnlich wie bei dem 
Nachweise der Existenz linearer Covarianten bei den Formen ungerader 
Ordnung. 

Gehen wir von der speci eilen Form 

aus, in welcher l den Binomialcoefficienten 

._2A.2/i-l ...Ä + 1 
^-~' 1.2 ... h 

bedeutet. Es sind also nur die beiden ersten, die beiden letzten und 
der mittlere Term beibehalten; über die Constante c soll noch ihrer 
Zeit in geeigneter Weise verfügt werden. Wir bilden nun die Co- 
variante vierter Ordnung K, deren Symbol 



Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen etc. — § 102. 4 1 1 

ist, und zwar bilden wir sie nach §30. aus den durch 2A . 2/i — 1 ... 3 
dividirten (2/^ — 2)*«" Differentialquotienten von /', welche folgende 
sind (die nicht ausgeschriebenen sind Null)"^': 

x^^-\-2xy, x\ ..., cy-, 2cxy, ex", ..., -y~, -2xy-y\ 
Es ist daher 
K=^2[-{c^ + 2xy)i^-^2xy) + {2h-2)x^f + {-\y'Q<^x'f 

-\-{-\Y-'o.2c'xhj% 

_ 2h-2.2h-?> ...h+\ _2h-2. 2h-S ...h 

^" 1.2...A-2 ' ^~ 1.2.. .7^-1 

Da hiernach 

2/i-2. 2/^-3. ../^4-l h + l 
^^^ ^^-^ = 1.2...A-2 h^V 

so kann man c so bestimmen, dass in K der Coefficient von x^ y^ 
verschwindet : 

(2) ' = (-iy'K(2a-Q)c' + 2h-l, 

und es bleibt dann: 

K=-A(x'y + xy'). 

Gehen wir von K als Grundform aus und bilden die dazu gehörige 
Hesse'sche Form, so erhalten wir 

Ich unterscheide jetzt zwei Fälle, je nachdem h = 2m oder 
h = 2m + lj also je nachdem die Ordnung n von /"gleich 4m oder 
gleich 4 m -{-2 ist. 

1) n==4m. In diesem Falle ist, wie eine Abzahlung der sym- 
bolischen Determinantenfactoren sofort lehrt, jede quadratische 
Covariante nothwendig eine Form ungeraden Charakters 
(vgl. § 16.). 

Wir erhalten nun eine nicht verschwindende quadratische Cova- 

riante, wenn wir fAni — l mal über ( — -9) schieben. Die durch 
4m.4»i— 1...2 dividirten (4;>i — 1)*^° Diöerentialquotienten von /* 
und (—-9) sind 



von/": x + y, x^ ..., cy,cx, ..., -y,-(x + y), 

( H.\^ —y — X 



* Der Fall n = 4 , ä = 2 wird von vornherein ausgeschlossen ; für ji = 6 , /i = 3 
bedarf die folgende Rechnung noch einer kleineu leicht erkennbaren Modiücation. 



412 Neunter Absclinitt. Typische Darstellung der Formen 

wo in der obern Reihe die nicht ausgeschriebenen Coefficienten 
sämmtlich verschwinden und a eine Zahl ist. Die gesuchte Ueber- 
schiebung ist daher: 

L = {x-\-\j) .tj-\-x^ + y^-\-x (x+tj) = 2 (x^+xtj+tf) ; 
die mit ac multiplicirten Tenne heben sich auf. 

Die Form L ist eine nicht verschwindende quadratische Covariante 
von f. Schiebt man L zweimal über K, so erhält man eine zweite: 

M=2 .-2xy + 2 (x'^ + y') + 2 . - 2xy = 2 {x'-^-if - 4xy). 

Diese Form verschwindet also ebenfalls nicht; auch verschwindet 
nicht die Resultante von L und 31, denn M=0, L—0 führen zu- 
sammen auf die unverträglichen Gleichungen ^^ + 2/^ = 0; xy^=0. Für 
n = 4h ist also die Existenz quadratischer Covarianten ohne gemein- 
samen linearen Factor bewiesen. 

2) n = 4:m-\- 2. Hier bildet man eine erste quadratische Cova- 

riante, indem man \— -^ ) 4m mal über /"schiebt. Die durch 

Am -f 2 . 4m + 1 ... 3 resp. 4m . 4m — 1 ... 1 

dividirten Diiferentialquotienten von f und [--.jj sind hier (in der 

ersten Reihe sind wieder die fehlenden Null): 

von/": x^-\-2xy,x\ .,., ctf, 2 cxy, cx^, ..., -y^,—2xy—y% 

von (^-— j : 1,0,- ..., 0, «, 0, ..., 0,1, 

wo a den mittelsten Coefficienten von (x^—y'^y"' dividirt durch den 
mittelsten Coefficienten des Binoms (p + qy'"" bedeutet: 
^ ,, 2m.2m-l ...m + 1 1.2... 2m 

// — C 1 V« ! . — . 

^^ ^ • 1.2...m 4m.4m-1...2m + l 

Die gesuchte üeberschiebung ist daher: 

^ „ „ . . ^ ^ -.s 2m . 2m — 1 ... m-fl .f. , „. 
L = [x'-\-2xij) + 2cxy. (-1^ i,2...m. — " (2^2/+2/') 

= x^-y^-{-2kxy, 

wenn h der Kürze wegen für 

(3) fc = ..(-l)-. ^»'-^f7^-"^+^ 

^ ^ ^ ^ 1 . 2 . . . m 

gesetzt ist. 

Eine zweite quadratische Covariante entsteht durch die zweite 
üeberschiebung von K mit X; es ergiebt sich dann 

M=2]c(ix^ + y'). 
Die Covarianten L, M haben wiederum keinen linearen Factor 
gemein. Sollen nämlich gleichzeitig die Gleichungen bestehen 
a;2 4- 2/2 = 0; x^-y"" + 2}ixy == 0, 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 10'2, 103. 413 
so folgt 
also 

während sich aus (1), (2), (3) ergiebt: 

'2m.2m-\ ... w+lV 2 1 .2...2w-2 



"-(: 



1.2.,.m ) 2m -\- 2 4w . 4?^ — 1 ... 2//* +3 

. (4 m — 5). 

Die fragliche Eigenschaft ist also auch für Formen von der Ord- 
nung 4m-j-2 bewiesen. 

Man kann daher, sobald nur eine Form eines Systems gerader 
Ordnungen von höherer als der vierten Ordnung ist, im Allgemeinen 
voraussetzen, dass das System zwei quadratische Covarianten von 
nicht verschwindender Resultante zulässt. Dass aber eben dieses 
auch für eine Combination von quadratischen und biquadratischen 
Formen gilt, ist leicht ersichtlich, sobald man nur den Versuch, der- 
artige quadratische Covarianten zu bilden, anstellt. 

§ 103. Typische Darstellniig eines Systems simultaner Formen gerader 
Ordnung mit Hilfe quadratisclier Covarianten. , 

Auf die Existenz quadratischer Covarianten kann man nun in 
folgender Weise eine typische Darstellung von Formen gerader Ord- 
nung gründen.* 

Es seien Z = Z^^, 3I=m-r^j N=nx^ irgend drei quadratische Co- 
varianten von Formen gerader Ordnung f, <5P ...; wir setzen nur vor- 
aus, dass zwischen L, M, N keine identische lineare Relation besteht. 

Dann ist immer die simultane Invariante: 



La 


Ln 


L,, 




l,' 


h k 


V 


Mu 


J/,, 


M,, 


= 


m,^ 


m^ m.^ 


m.^ 


Nn 


N,, 


N^ 




n,^ 


Wj «2 


V 



(1) ^= 

=— {lm)(jnn)(jil) 
von Null verschieden. Indem wir nun die Gleichungen 

L = -Lii x^--\-2Li2 x^x.^-\-L22 x./ 
(2) 31 = 31,, X,' + 2 31,, X, xl + 14, x.^ 

N = N„ X,' + 2 A' 1 ," X, X, + K^ x/ 
als lineare Gleichungen nach x,', 2XyX,y Xf auflösen, erhalten wir 
diese Grössen als lineare Functionen von L, 31 j N, deren gemein- 
samer Nenner D nicht verschwindet. Ein beliebiger quadratischer 
Ausdruck a/ drückt sich ebenfalls durch L, J/, N linear aus, indem 
man nur die gefundenen Ausdrücke von x,^j 2x,x.^j x./ in a/ ein- 



* Clebsch und Gordan, Annali di Mat. , Ser. IL, t. 1. 



414 Kemitor Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

trägt; und man findet den Ausdruck für r// am bequemsten ^ indem 
man den Gleichungen (2) die Gleichung 

(3) aj- = «1^ ^j2 + 2 a^ a^ x^ x^ + a.^^ x/ 

hinzufügt, und aus den Gleichungen (2), (3) x^^J 2x^x.j,, x.^ elimi- 
nirt. Alsdann hat man: 



L 


V 


k k 


V 


31 


m/ 


w^^ m^ 


mi 


N 


»/ 


^1 ^2 


n.^ 


«/ 


a,^ 


a, a. 


ai 



(4) = 

= a/ (?m) (mn) (nl) — L (am) (mn) (na) — M(la,) (rn?) (nl) 
— N (Im) (ma) (al). 
Der Coefficient von aj ist — D; die andern Coefficienten erhält 
man, indem man in den Functionaldeterminanten 

l = (mn)m^na: 

(5) ^ = (nl) Uj: ?^ 

V =(lm) L "in^ 

^1 — ^2} ^2 ~ ~~ ^1 setzt. Die Gleichung (4) verwandelt sich dann in 
folgende: 

(6) a/.I) = L.(aiy + M.(a^y + N.(av)K 
Bezeichnet man nun eine Form f des gegebenen Systems sym- 
bolisch durch a^:"^ so erhält man die Form f selbst als Function der 

n . 71 *®^ 

Ordnung -^y von L, M, N, indem man diese Gleichung zur -^c- Po- 
tenz erhebt: 

n 

(6) f.D^':=l (a iyL + (a ^J M + (a v'f K] 

. {(ar)U. + (a^")'M+ (avyN) 



.{OAr"0 L + ia^^'O^M + iav^"-'^) n\. 
Die Coefficienten der verschiedenen Producte 

welche hier auftreten, sind, wie man sieht, Invarianten, und die 
Darstellung von / also eine typische. 

Verfährt man ebenso mit den übrigen Grundformen, so hat man die 
binären Formen /', (p . . . hier durch drei Veränderliche jL, M, N als 

Functionen der Ordnungen -^ etc. ausgedrückt. Zwischen den drei Ver- 
änderlichen aber besteht eine Gleichung zweiten Grades. Man kann 
dieselbe aus § 58. unmittelbar entnehmen; wenn A/i, Ai,n..., A„n 
die simultanen Invarianten 

All = {l l'f ; A,„ rn =- {ni mfY, A„n^ (nny 
A,nn={inn)-, A„i =(nl), Ai,n=-{lmf 



= 

(7) 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Co Varianten. — § 103. 415 

der quadratischen Formen L, 31, N bedeuten, so ist nach § 58. (9) 
Äu Alm Ain L 

■^m l -^m m -^m n -"J~ 
■^n l -^n m -^n n -^ 

L M N 
= -{BiiL' + 2BimLM+2BtnLN+B^mM' 

+ 2B„^nMN+B„n:^^'\. 

Durch diese Bedingungsgleichung ist wieder die. Zahl der un- 
abhängigen Veränderlichen auf 2 zurückgeführt, und man kann also 
/"auch in der Darstellung (6) als binäre Form betrachten. 

Die Zahl der Invarianten, welche als Coefficienten in (6), (7) 
und den mit (6) analogen Darstellungen auftreten, ist noch viel 
grösser, als die Anzahl von einander unabhängiger Invarianten, welche 
das Formensystem besitzt. Indessen kann man die Zahl jener Coef- 
ficienten in folgender Weise sofort reduciren. 

Wir dürfen nach dem vorigen Paragraphen immer voraussetzen, 
dass unter den drei Covariauten L, M, N zwei seien, die keinen 
Factor gemein haben. Es seien dieses L und M\ dann ist auch die 
Kesultante von L und M (§ 27.) 

(8) Bnn=- ÄllÄ,nm - AlJ 

von Null verschieden. In der Gleichung (7) verschwindet also jeden- 
falls das Glied mit N- nicht. Benutzen wir dies um den Ausdruck 
(6) dadurch zu vereinfachen, dass man den Werth von jV- so länge 
in (6) einträgt, dass rechts in (6) nur noch die erste Potenz von N 
auftritt. Die Gleichung (6) nimmt dann die folgende ^orm an: 

(9) f. D^Bnn^ = P,Z^4- P,Z^~' M-\- ... +P^ M^ 

fi fi '2 

wo m^= -r oder = — -. — , ie nachdem n nach 4 den Rest oder 
4 4 ' "^ 

2 lässt. 

Betrachtet man nun im Zusammenhange die Gleichung (9) nebst 
den übrigen ihr analogen und die Relation (7), so sieht man, dass 
die Gesammtzahl aller vorkommenden Coefficienten um 7 grösser ist, 
als die der ursprünglich in Z', (p ... vorkommenden; denn die rechte 
Seite von (9) enthält genau so viel Coefficienten P, Q, wie / in der 
ursprünglichen Form; zu diesen tritt D und die sechs Coefficienten 
B. Bezeichnet man also durch Je wie sonst die Gesammtzahl der 
Coefficienten von /", 9^ • • • ? so ist die Gesammtzahl der Coefficienten 
P, Q, D, B gleich l' + l. 



416 



Neunter Abschnitt. Typisclie Darstellung der Formell 



Jede Covariante von f, cp ... drückt sich durch diese Z"+7 Grössen 
und durch die simultanen Invarianten und Co Varianten von L, M, N 
aus; alle Invarianten von fy cp ... durch jene h-^l Grössen und durch 
die simultanen Invarianten von Lj 31, N. Nun enthält das aus L, 
Mj N entspringende System keine andern Covarianten ausser L, M, 



N, als die Functionaldeterminanten A, 



^; ^ 



und keine andern In- 



Varianten als D und die Grössen 


A. Mit le 


Gleichung 


Äu 


■^Im -^In 


(10) 21)2 = 


Ärnl 


■^m m -^m n 




Anl 


■^nm -^nn 



Mit letztern ist D durch die 



/ k 



verbunden ; und hier, v^o es nur auf rationale Darstellungen ankommt, 
kann man daher statt der A auch die Ji zu Grunde legen. Denn die 
B sind die aus den A gebildeten Unterdeterminanten, also auch die 
A gleich den aus den B gebildeten, dividirt durch 2D^. Sowie nach 
(10) sich D durch die A ausdrückt, ist dann zugleich D durch die 
B auso^edrückt mittelst der Formel 



(11) 



47)4 



B„a 

Br,l 



Bi, 
B„ 
B„ 



B,n 

-t>nn 



Endlich drücken sich A, ft, 2/ nach 
der Gleichungen aus: 



58. (4) durch L, M, N mittelst 



(12) 



2Bl^Bii L + Bim M+Bin N 
2D^ = Bn,iL + B„,„,3I+B^nN 

2Bv^B„l Li- Bn.n Mi- Bnn N. 



Denkt man sich also eine Covariante von /*, cp . . . aus den 
typischen Darstellungen gebildet, so wird dieselbe eine rationale 
Function der P, Q, D, B und, wenn man die l, ^, v durch (12) 
ausdrückt, der L, M, N. Bei der Bildung von Invarianten fehlen 
nur die letztern Grössen. Als Nenner erscheinen Potenzen von D 
und B„n. 

Bezüglich der Invarianten kann man also folgenden Satz aus- 
sprechen : 

Jede simultane Invariante der Formen gerader 
Ordnung f, cp . . . lässt sich rational durch die k + l 
Grössen P, Q, B, B so ausdrücken, dass nur Poten- 
zen von zweien derselben (D, Bnn) die Nenner bilden. 

Da inzwischen alle Invarianten nach § 79. nur von Ä; — 3 Grössen 
abhängen, so müssen zwischen den h-{-l Grössen P, Q, B, B zehn 
Beziehungen bestehen. Eine derselben ist die Gleichung (11). Die 
neun übrigen erhält man, indem man, von den typischen Dar- 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 103. 417 

Stellungen ausgehend, die Covarianten L, M, N bildet. Nach dem 
oben Entwickelten erhält man für dieselben Ausdrücke der Form: 

L =S L-^-T 3f+ü N 
(13) 31= S' L + T' M+ ü' N 

In diesen Gleichungen sind die S, Tj U ganze Functionen der 
P, Qj B, D dividirt durch Potenzen von D, Bnn- Sollen nun Lj 
M, N wirklich diejenigen quadratischen Covariauten sein, als welche 
wir dieselben vorausgesetzt haben, so müssen diese Gleichungen iden- 
tisch werden, d. h. es müssen die Gleichungen bestehen: 

(14) s'=o, r^-1, ü'=o \ 

Diese neun Gleichungen geben die Beziehungen zwischen den F, 
Qj Bj JD an, w^ eiche bestehen müssen, damit- Z, M, N die voraus- 
gesetzte Bedeutung haben. Dann aber sieht man sofort, dass es die 
einzigen zwischen denselben bestehenden Gleichungen sind; denn da 
f in der Form (13) nur auf eine Weise durch L, 31, N ausdrückbar 
ist, so folgt aus dem Bestehen der Gleichungen (13) sofort, dass die 
P, Q . . . den im Vorigen entwickelten symbolischen Ausdrücken 
gleich sein müssen. Zwischen diesen treten also im Allgemeinen 
weitere Beziehungen nicht ein. Da andererseits neun Beziehungen 
erforderlich sind, so folgt, dass die Gleichungen (14) wirklich neun 
von einander unabhängige Bestimmungen enthalten, und dass keine 
jener Gleichungen eine Folge der übrigen sein kann. — 

Die Invarianten P, Q^ welche bei diesem allgemeinen üeber- 
blicke eintreten, sind von verhältnissmässig hohen Graden, um so mehr, 
als schon die Coefficienten der Gleichung (6) es sind. Aus letzteren 
setzen sich die P, Q einfach zusammen; aber es entsteht in jedem 
besondern Falle die Frage, wie die Coefficienten der Gleichung (6) 
sich aus den jedesmaligen einfachsten Invarianten von /, deren Zahl 
im Allgemeinen viel grösser sein wird, zusammensetzen. 

Eine Zurückführuug auf einfachere Bildungen ist nun zunächst 
in folgender Weise möglich. Die symbolischen Factoren der rechten 
Seite von [ß) sind von der Form 

oder nach (12): 

=- 9^ ! I(^' h' Bii + {a mf Bi,„ + {anf Bi, \ IJ 
+ liaT)' Bi^ -i- {amy B,n„. + {auf P«„] mj 
+ [{alf Bin + {amf B.nn + {an)^ P«n] n,^\ ; 

C leb seh, Theorie der hinären algebr. Formen. ^7 



418 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der j^ormen 

ordnet man nun nach {äff, {anif^ , {anf und wendet auf die Coef- 
ficienten wieder die Gleichungen (12) an, so hat man 

und also 

n 

(15) f, D^=:[(aiy X + fam')' ,a + ian^ i/] 



• LUr2^) A + Cm^"^)|[i + G^(2)) J. 



Die /l, ft, V sind linear durch l^ m^ n mit einem Nenner D 
ausdrückbar-, aber ihre Producte zu zweien sind nach § 58. (3) sogar 

ohne diesen Nenner ausdrückbar. Wenn also 7i durch 4 theilbar, — 

u 

gerade ist, so kann man die Factoren rechts in (15) paarweise com- 
biniren, und von (15) ohne Einführung eines Nenners zu Ausdrücken 
in L, Jf, 'N übergehen. Ist n von der Form 4/^ + 2, so bleibt ein 
einzelner Factor übrig, der also entweder einen weitern Factor I) 
herbeiführt, oder der in der ursprünglichen Gestalt (6) angewendet 
werden kann. Wie dies nun auch ausgeführt werden möge, man 
sieht, dass an Stelle der n^^^ Ueberschiebungen von /"über X" (.U'^ vy 

( c*: + /3 + y = -j- j, welche die Coefficienten in (6) bilden, hier die 

^*®" Ueberschiebungen von f über Z« Ml^ Ny lcc-{-ß-\-y = ~\ getre- 
ten sind, durch welche alles sich ausdrückt; im Falle^ = 4/^ + 2 wird 
es nöthig, wenn man eine weitere Potenz von D im Nenner vermei- 
den will, und also einen der symbolischen Factoren von / in seiner 
ursprünglichen Gestalt benutzt, die n*®° Ueberschiebungen von f über 

L^MßNrl, L^MI^Ny^, L" Mß Ny v 

zu bestimmen. In allen Fällen hat man Invarianten von sehr viel 
niedrigerer Ordnung, als ursprünglich. 

Man kann indessen dieser Sache noch eine andere Seite abgewin- 
nen, von welcher aus sie wesentlich einfacher erscheint. Man kann 
nämlich geradezu A, fi, v, nicht L, M, N als diejenigen Functionen 
ansehen, durch welche alles auszudrücken ist. Die Formel (15) ist 
dann der Formel (6) durchaus analog gegenüberzustellen. Zwischen 
den l, [i, V aber besteht die mit (7) analoge Gleichung, welche aus 
(7), (12) leicht abgeleitet wird: 

(16) All ^- + 2 J./„, A ^ -f Arnm ^i' + 2^/„ Xv 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 103, 104. 419 

Es ist also nicht nur der Ausdruck für / und die übrigen con- 
stituirenden Formen , welcher mit viel einfacheren Coefficienten behaftet 
erscheint, sondern ebendies tritt bei der Bedingungsgleichung (16) ein, 
welche nunmehr die Aj nicht die aus ihnen zusammengesetzten ünter- 
determinanten B zu Coefficienten hat. 

In diesem Sinne werden wir künftig die Formeln (lö), (16) den 
Anwendungen zu Grunde legen, und es mag hier nur noch auf den 
eigen thümlichen Dualismus hingewiesen werden, welcher zwischen 
den L, 31, N einerseits und den A, ^, v andererseits genau so ein- 
tritt, wie der Dualismus zwischen Punkt- und Liniencoordinaten in 
der Ebene, auf welchen derselbe auch sofort zurückgeführt werden 
kann, wenn man die Relation (7) oder (16) in der Form 

kl -\- ^ ni -\- vn ^= 
zu Grunde legt. « 

§ 104. üeber den besonderu Fall, in welchem eine der Functionen 
L, M, N die Fuuctioualdetermiuaute der beiden anderen ist. 

Die im Vorigen betrachteten typischen Darstellungen beruhten 
auf der Voraussetzung, dass es drei cjuadratische Covarianten L, M, N 
gebe, zwischen welchen eine lineare Beziehung nicht stattfindet. Dass 
solche drei im Allgemeinen existiren müssen, ist noch nicht bewiesen; 
aber man kann den Nachweis davon auf den oben bewiesenen Satz 
zurückführen, dass im Allgemeinen immer zwei c|uadratische Covarian- 
ten vorhanden sind, deren Resultante nicht Null wird Hat man 
nämlich zwei solche, so kann man immer eine dritte angeben, welche 
mit beiden nicht durch eine lineare Relation verbunden ist, also ein 
System L, M, N , wie das oben betrachtete, mit ihnen bildet. Es ist 
dieses die Functionaldeterminante beider Formen. Dieser Fall, wo N 
die erste Ueberschiebung von L und M, also mit v identisch ist*, 
kommt in den Anwendungen vor, und es treten ausserdem gewisse 
Vereinfachungen bei demselben ein, die es wünschenswerth machen, 
diesen Fall genauer zu verfolgen. 

Es ist der Voraussetzung nach 

I\—v — (Im) Ij- nix. 

Nach den Sätzen des § 58. zeigt sich also, dass 

Ai„ = Aiv = 0, A„,„ = Ar„^ = 0, [§ 58. (13).] 
sodann wird 

A,,n = Arv=i (All A,n „. - Alm") , [§ 58. ( 1 6).] 
und endlich ist 



* Geometrisch: Das Paar N=^i} ist zu den Paaren i = und M=(y har- 
monisch. 

27* 



420 Neunter Abschnitt, Typische Darstellung der Formen 

D = — (Im) (mn) (nl) = (vny = (vv'y = Ann 

= "2" (AllA.„t m — Alm ) = Y -^nn • 

Was die übrigen JB angeht , so wird Bi „ und Bm n gleich Null und 

Jjll = Jim m -^n n y -til m =^ -^/ m -^nny -t>m m =^ -A-ll -^n n • 

Ausserdem hat man nach § 58. (12) 

2.=:i[ÄmrnL^ÄirnM), ^ == ^ (Aa M- Äim L). 

Die Relation zwischen Z, 31, N schreibt sich hier am einfachsten 
in Gestalt der bekannten Gleichung, mittelst deren sich das Quadrat 
der Functionaldeterminante durch die constituirenden Functionen 
ausdrückt : 

(1) N'' = -i\AaM'-2AimML + A^mL'l 

Da hier das Quadrat von N sich durch M, N ohne Nenner aus- 
drückt, so kann man der typischen Darstellung die Form 

(2) f.n^=P,L^ +F,1^''' M...-{-PnM^ 

2 

2 

hier geben, ohne dass eine Potenz von B„„ als neuer Nenner hin- 
zutritt. 

n 

Die Gleichung (15) endlich kann man nun, indem man mit 2'^ 
multiplicirt, in folgender Weise darstellen: 

n 

(3) f.\AiiA„,m-AiJ\'^ 

^[(ary{LAmm-MAim) + iiamy(iMAa~LAr„i) + 2(iany.N] 

. [[aiy (LAmm-MAi„r)+ (amy (MAu-LAmi) +2 [any.N] 



Führt man die rechte Seite aus und setzt immer für N^ seinen 
Werth aus (1), so erhält man die typischen Darstellungen, wie sie 
oben gebraucht wurden. Es sind hier ausser den k Coefficienten P, Q 
nur noch die drei Invarianten Au, A/„,, Amm, welche in die Darstellung 
einer Invariante aus der typischen Form eingehen können. Alle In- 
varianten stellen sich also hier als rationale Functionen von nurÄ;-j-3 
Grössen dar, und die Nenner derselben sind Potenzen der Verbindung 
AiiAmm — Aim^. Zwischcn den drei übriggebliebenen A und den 
P, Q bestehen nun nicht mehr neun, sondern nur noch sechs Gleich- 
ungen. Man erhält dieselben, indem man, von der typischen Dar- 
stellung ausgehend, L und M bildet. Diese nehmen die Form an: 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 104, 105. 421 

die 5, Tj Uf S'y T', V sind ganze Functionen der angeführten Ä: + 3 
Grössen und die zwischen denselben stattfindenden Gleichungen sind: 

S^l, T=0, U = 
S'=0, T'=\, ü'=0. 

Sind diese erfüllt, so erhält man L und M wirklich durch die 
betrefi'enden Operationen ; die Bildung von N, welche nur auf die von 
L und 31 sich stützt, muss von selbst auf die richtige Function führen 
und kann daher zu neuen Relationen keine Veranlassung mehr geben. 



§ 105. Ueber die Möglichkeit, Systeme von Formen gerader Ordnang 

mit gleichen absoluten Invarianten durch lineare Transformation in 

einander überzuführen. 

An diese Untersuchungen knüpfen sich nun Betrachtungen, welche 
für Formen gerader Ordnung genau dasselbe leisten, was die Betrach- 
tungen des § 92. in Bezug auf Formen ungerader Ordnung ergaben, 
oder in Bezug auf Formensysteme, welche mindestens eine Form un- 
gerader Ordnung enthielten. 

Wenn zwei Systeme von Formen gerader Ordnung mittelst linearer 
Substitutionen in einander überführbar sein sollen, so ist die Gleich- 
heit der absoluten Invarianten die unumgängliche Vorbedingung. Aber 
aus dieser folgt die Möglichkeit der Transformation noch ebenso w.enig, 
wie das Entsprechende bei den Systemen, welche Formen ungerader 
Ordnung enthielten, eine Folge jener Gleichheit der absoluten Inva- 
rianten war. Es tritt nun aber folgender Satz ein: 

Zwei Systeme von Formen gerader Ordnung sind 
immer durch lineare Transformation in einander 
überführbar, sobald erstlich alle entsprechenden 
absoluten Invarianten einander gleich sind, und so- 
bald zweitens zwei Paare entsprechender quadra- 
tischer Covarianten, L, M bei dem einen, Z', 31' bei 
dem andern Systeme existiren, so dass weder die 
Resultante von L mit Jf, noch die von L' mit M' 
verschwindet. 
In allen anderen Fällen sind besondere Untersuchungen über die 
Möglichkeit der Transformation anzustellen, doch betreffen dieselben 
immer nur noch sehr specielle Formen. 

Man beweist den obigen Satz folgendermassen : 
J)q, L, M eine nicht verschwindende Resultante D haben, so kann 
man diese Formen und ihre erste Ueberschiebung N zur typischen Dar- 



422 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

Stellung von /' benutzen und der dabei auftretende Nenner JD ist von 
Null verschieden. Man erhält für eine Form f des einen Systems 
eine Gleichung der Form: 

(1) B^.fix.x,) - P, L^ {X) + P, Z^~' {x)3I{x) 

+ P, Z"^"' C^) i¥^ (x)...-{-Pj, M~^ ix) 

2 

+ N{x) IQ„L^~ (X) + Q, L^ ' '' [x) M(x) 
+ Q, L^~' {X) M^ (X) . . . + g„_M^ ''(«)!> 

2 

WO die P, Q Invarianten sind. Ebenso hat man für die entsprechende 
Form des zweiten Systems: 

(2) D'^r (y,y,)^r,L'^(y)+F,L'~^~\y)M'{y) 

+ P', L'^^ "'(y) JP^ (2/) . . . + P'n M' ^ {y) 



+ W{y)\q,L'^' \y)+Q\L"' \y)M'[y) 
+ Q',L'^'~\y)M'Hy)...-\-Q'nJ\r^~' {y)\, ' 

Nun setzen wir voraus, dass entsprechende absolute Invarianten 
gleich seien, oder dass, wenn J , J' zwei entsprechende Invarianten 
des Systems sind, g, g ... ihre Grade in Bezug auf die Coefficienten 
von /', cp . . . bez. /', cp' . . ., und n, n' . . . die Ordnungen der zuge- 
hörigen Functionen , immer eine allen Invariantenpaaren J, J' gemein- 
same Grösse r gefunden werden könne, so dass 

ng + n' g' + ... 

(3) J'^J.r 2- . 

Ist es möglich, das eine Formensystem durch lineare Transfor- 
mation in das andere überzuführen, so muss dann r die Determinante 
der Transformation sein. 

Bezeichnen wir die Grade von L und M in Bezug auf die ver- 
schiedenen Functionen des Systems durch 

IjJ A/, A/ , tv ... 

M) i, T, r ..., 

so werden die Grade von N: 

N) j(-\-i, k' + r, k" + r 

daher die von D: 

D) 2k + 2l, 2k' + 2l\ 2k" + 2r, 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 105. 423 

die Gesammtgrade der Gleichung (1) oder (2): 

daher die Grade der Coefficieiiten F, Q: 
P„) n [k+l) + 1 - *^, n (k' +1')-"^, 



«r+n-^f ..., 



P,) n (h + 1) + 1 - '-\^- + k-I, « (;t' +r ) - ^ + k- - r, 

nik"+r)~'^+ r- r..., 

P,) n{k+l) + \-~Jr2k--2l, n(k' +1') -~ + 2k' -21' , 
n (k"+l") - '-^ + 2k" -21" ..., 



„(r+n-^'-r..., 

q,) nik+T)+i-'^-k-2l, n(k'+l')-'^+k'-2l', 

n h" 

n[k"+r)-^- + k"-2l"..., 



Endlich entsprechen also der Gleichung (3) bei diesen Invarianten 
folgende : 

n9 , n 

(4) P',^P,.r"'^ + '^)-"^-*-''~''-^^ 






wo der Kürze wegen 
gesetzt ist. 



// k + n'k' + . . . nl + nV + . . . 

Q ^ ö y ^ == 1^ 



424 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

Tragen wir diese Werthe der D' , F\, F\..., Q'^ . . . in die 
Gleichung (2) ein, so verwandelt sich dieselbe nach Division mit 
r'i{Q + o) in folgende: 

+^{«.(&*-r'+«,(P)?-^u...|. 

Vergleicht man dieses mit der Gleichung (1) und bemerkt, dass 
bei der Bildung der Zahlen q, ö alle Functionen des Systems sym- 
metrisch benutzt sind, dass also diese Zahlen in allen mit (1), (5) 
analog gebildeten Gleichungen dieselben Werthe besitzen, so sieht 
man, dass die lineare Ueberführung des Functionensystems 
r, 9 . . . in /", (p . . . geleistet ist, sobald es gelingt, durch 
lineare Substitution gle-ichzeitig die Gleichungen: 

L' {y) = r^-' L {X) 
(6) 3r{y) = r^-i M {x) 

so zu befriedigen, dass r die Determinante der Substi- 
tution ist. Denn indem man diese Gleichungen annimmt, ergeben 
die Gleichungen (1), (5) und die analog zu bildenden Gleichungspaare 
sofort 

r (2/i ; 2/2) =f(^i, ^2) y ¥ {Vi ,y-^ = ^ (^1 y ^2) ^tc. 

Was nun das reducirte Problem (6) angeht, so bemerke ich zu- 
nächst, dass die Forderung, r solle die Determinante der Substitution 
sein, von der durch das Hinzutreten der dritten Gleichung (6) aus 
gedrückten Bedingung nicht verschieden ist. Geht man nämlich von 
den Gleichungen 

m L' {y) = r^-^L {X) 

^^ M\y) = r ~'M{x) 

aus, indem man die x als lineare Functionen der y mit der Determinante 
s voraussetzt, und bildet nun beiderseits die erste Ueberschiebung, 
so erhält man 

N'{y)=:.rQ+o-'^s.N(ix), 

nnd daher wegen der dritten Gleichung (6) s = r, oder umgekehrt 
die Gleichung (6) selbst, wenn man s —r voraussetzt. 

Wenn es nun also nach (7) darauf ankommt, zwei Paare quadra- 
tischer Formen gleichzeitig mittelst derselben Substitution in einander 
überzuführen , so kann man diese Aufgabe geometrisch folgendermassen 
interpretiren. Es sind zwei Punktepaare Z'(?/) = 0, 31' (y) =0 auf 
einer Geraden, zwei andere, L(^x) = 0, M(x)=0 auf einer andern 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 105. 425 

gegeben, jenen einzeln zugeordnet. Man soll die beiden Geraden so 
in Perspective setzen, dass das erste Paar der zweiten Geraden mit 
dem ersten der ersten, das zweite Paar der zweiten Geraden mit dem 
zweiten der ersten projectivisch wird. Betrachten wir aber L' [\j) = 
und 3r (jy) = als Punktepaare einer Involution, L (x) = 0, M^x) = 
als die einer andern, so müssen diese ganzen Involutionen dabei projec- 
tivisch werden, vor allem auch ihre beiderseitigen Doppelpunkte. Diese 
sind durch die Factoren jV (^) = einerseits, durch die von N[x) = 
andererseits gegeben; die Quadrate der Gleichungen der letzteren 
aber erhält man nach § 57., indem man in der Gleichung 

(8) L^ + X2I^ = 

X so bestimmt, dass der Ausdruck links ein Quadrat wird, d. h. indem 
man A durch die quadratische Gleichung 

(9) Än + 2XÄi^^PA^n, = 
bestimmt. 

Die Gleichung (8) stellt an und für sich ein beliebiges Paar der 
zweiten Involution dar, und je einen ihrer Doppelpunkte, wenn man 
für X die beiden Wurzeln von (9) einführt. Einem Paare (8) entspricht 
in der andern Reihe das Paar [nach (7)]: 

(10) ^ + ^^-0, 

in welches (8) durch die gesuchte lineare Transformation übergehen 
soll. Sucht man nun die Doppelpunkte der Reihe (10), so erhält man 
sie aus der quadratischen Gleichung 

Soll also die vorliegende Aufgabe lösbar sein, so muss diese qua- 
dratische Gleichung mit der Gleichung (9) identisch werden, wodurch 
denn in der That auch die Doppelpunkte der beiden Involutionen 
und damit diese ganz einander entsprechen. 

Diese Forderung ist nicht befriedigt, wenn L, L' , My 31' be- 
liebige Formen sind; denn in der That erfordert die Möglichkeit, L' 
in L und zugleich 31' in 31 zu projiciren, dass die aus L\ 31' zu 
bildende absolute Invariante mit der aus L, 31 zw bildenden überein- 
stimme (vgl. § 57.).* 

Aber in dem vorliegenden Falle tritt dies allerdings ein. Denn 
da Aiij Aimt Amm simultane Invarianten des Formensystems /", (p . . . 
sind, und zwar von den folgenden Graden in Bezug auf die Coef- 
ficienten der verschiedenen Formen: 



* Geometrisch: Das Doppelverhältniss der Paare X, M muss dem ent- 
sprechenden der Paare X', 31' gleich sein. 



426 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 



An ) 


2h, 


2h', 


2h" . . 


Ai,„ ) 


Ic + l, 


h' + r, 


h" + 1' 


■^m m ) 


21, 


21', 


21" . . 



SO bestehen nach (3) die Gleichungen: 
(12) Arm' :=Ann .r^+cT 

■^-*-m m ' — ■^-'-m m ' ' j 

und vermittelst derselben prehen wirklich die beiden quadratischen 
Gleichungen (9) und (11) in einander über. 

Da der Voraussetzung nach die Resultante von L, M einerseits 
und von L' , M' andererseits nicht verschwindet, so hat die Gleichung 
(9) oder (11) zwei verschied ene Wurzeln; denn die Discriminanten 
dieser Gleichungen sind mit jenen Resultanten identisch (§ 27 ). Be- 
zeichnen wir die Wurzeln von (9) durch X^ und X^, so können wir nun 

L (x) + X,M (x) -^ X,^ 

L {x) + X., M {x) -= X.^ 



(13) 
und 



(14) 



VJ^j) M'{y) 



setzen, wo X^, X., lineare Functionen der x von nicht verschwinden- 
der Determinante und Y^, Yg solche der y sind. Es sind X^=0, 
X^ — die Doppelpunkte der einen, F^ = 0, Fg = die der andern 
Involution; die ganzen Involutionen nehmen die Form an: 

- X (x) (l-/i) + (A,-ft X,) M (x) = Xi^ - ^ Z/ 

und das gegenseitige Entsprechen der Involutionspaare ist durch gleiche 
Werthe von ^ angezeigt; für ^ = 1 und ^ — y ßi'lialten wir die Paare, 

von denen wir ausgingen. 

Man sieht, dass diese Involutionspaare sämmtlich projectivisch 
sind, indem ihre Gleichungen durch die Substitutionen 

(16) Y, = hX„ Y,^s,X, 

{s^ und fg gleich 4:1) in einander übergeführt werden können. Diese 
Gleichungen enthalten also zugleich die gesuchten Substitutionen, ver- 
möge deren die Formensysteme f, (p . . . und /", 9)' . . . in einander 
übergehen. 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 105. 427 

Es ist zunächst zu untersuchen, ob die Substitutionsdeterminante 
wirklich gleich r ist. Die Einsetzung der Werthe ^ = yi, fi = 1 in 
(15) giebt: 





i' (y) ^r/^-A,iv 


A, — Aj 





Bilden wir nun irgend eine Invariante von L, M einerseits, von 

X', 31' andererseits, etwa An, An', und bezeichnen wir mit a die 

Functionaldeterminante der X nach den x, mit b die der Y nach den 
y, so haben wir offenbar: 

WO A nur von A^, A^ abhängt; und also wegen (12): 

b'^ = a^ r\ 

Aber aus (16) folgt, wenn s die Functionaldeterminante der X 
nach den Y bedeutet : 

6= + aSy 
also 

Da nun s das Zeichen ändert, indem man s^ oder f^ in das ent- 
gegengesetzte übergehen lässt, so kann man immer, und zwar nur 

auf eine Weise, das Yerhältniss — so bestimmen, dass die Determi- 
nante der Substitution (16 einem den Gleichungen (4) gemäss bestimm- 
ten Werthe von r gleich wird. 

Jedem Werthe von r, welche den Gleichungen (4) genügt, ent- 
spricht also eine Substitution (16), welche bis auf ein allen Coefficien- 
ten gemeinsames Vorzeichen völlig und eindeutig bestimmt ist. Die 
Bestimmung des letztern kann auf mehrfache Art möglich werden, doch 
so, dass der Gleichungen (4) wegen die Grössen r^, r^ vollkommen 
bestimmt sind, wie man erkennt, wenn man die Combinationeu bildet: 
P' V P' P 

Daher können auch Y^, Y^ ^^^ noch um einen gemeinsamen 
Factor geändert werden , welcher eine Einheitswurzel ist, und es folgt 
also, dass die Substitution (14), welche den U ebergang von 
einem Formensystem zum andern vermittelt, überhaupt 
bis auf einen allen Substitutionscoef ficienten gemein- 
samen, einer Einheitswurzel gleichen Factor völlig und 
eindeutig bestimmt ist. 



428 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

Für zwei biquadratische Formen f, f ergiebt die vorliegende Unter- 
suchung nichts, da bei ihnen quadratische Covarianten nicht existiren. 
Indessen übersieht man bei diesen die Verhältnisse leicht unmittelbar. 
Damit zwei solche Formen oder die durch sie repräsentirten Gruppen 
von je vier Elementen durch lineare Transformation, geometrisch 
durch Projection, in einander übergehen können, müssen die Doppel- 
verh'ältnisse, also die absoluten Invarianten gleich sein. Wenn die 
Punkte jeder Gruppe getrennt sind, so ist dies auch hinreichend. 
Und zwar ist dann die Ueberführung auf vier verschiedene Arten 
möglich. Denn sind a, h, c, d die Punkte der einen Gruppe, a, ß, 
y, d die der andern, und haben die letzteren bei dieser Anordnung 
dasselbe Doppelverhältniss und sind also in die ersteren projicirbar, 
so findet dies auch noch für die Anordnungen ß , cc, d , y] y , d, a, ß] 
dy y, ß, a statt, welche nach § 21. denselben Werth des Doppelver- 
hältnisses ergeben. 

Fallen aber zwei Punkte einer Gruppe zusammen , so müssen 
auch in der andern zwei und nicht mehr zusammenfallen; fallen drei, 
zweimal zwei oder vier zusammen, so muss immer das Entsprechende 
auch bei der andern Gruppe eintreten, damit die Transformation 
möglich sei; was dann nach § 48. nicht mehr durch Eigenschaften 
von Invarianten, sondern durch Eigenschaften von Covarianten an- 
gezeigt wird. 



§ 106. Drei simultane quadratisclie Formen. 

Wollen wir die Betrachtungen des vorigen Paragraphen auf ein- 
zelne Formen oder auf Systeme anwenden, so tritt uns immer die 
folgende Frage entgegen, welche zugleich die Anwendung des Vorigen 
auf ein System dreier quadratischer Formen enthält: 

Welches sind die Bedingungen dafür, dass ein 
System dreier quadratischer Formen keine zwei 
quadratische Covarianten enthält, deren Resultante 
von Null verschieden ist? 

Man kann diese Frage zunächst vermöge einer geometrischen 
Ueberlegang entscheiden. Denkt man sich drei Gruppen von je zwei 
Punkten, welche den drei Formen entsprechen, so müssen je zwei 
der drei Punktepaare einen gemeinschaftlichen Punkt besitzen. Ent- 
weder also besitzen alle drei einen gemeinschaftlichen; dieser kommt 
dann auch ihren Functionaldeterminanten zu, und es giebt also keine 
Form des Systems, welche für diesen Punkt nicht verschwindet, also 
auch nicht zwei Covarianten, deren Resultante nicht Null ist. Oder 
zweitens, wenn a, &, c drei Punkte sind, werden die drei Paare durch 



gerader Ordnung mittelst quadi-atischer Covarianten. — §§ 105, 106. 42Ö 

ah, hCy ca dargestellt. In diesem Falle giebt es quadratische Co- 
varianten von nicht verschwindender Resultante, z. B. eine lineare 
Combination der ersten beiden Formen, und die dritte. Dieser Fall 
ist also auszuschliessen, und man kann~also den Satz aussprechen: 

Drei quadratische Formen ergeben nur dann 
keine zwei quadratischen Covarianten von nicht ver- 
schwindender Resultante, wenn sie einen allen 
dreien gemeinsamen linearen Factor besitzen. 

Untersuchen wir dasselbe jetzt analytisch. 

Führen wir die Bezeichnungen des § 58. ein, so haben wir drei 
quadratische Grundformen f^, f^, f^ und ihre gegenseitigen ersten 
Ueberschiebungen O-og, ^^i, -O-j^. Andere quadratische Covarianten 
existiren nicht. 

Die simultanen Invarianten der Formen werden durch -D,/t, i^^gs 
bezeichnet. Sollen die Resultanten der /^ verschwinden, die wir durch 
Pik bezeichnen wollen, so müssen die drei Gleichungen stattfinden: 

P,, = D„A2- -0,2^ = 0. 
Die Resultante von /i mit ^kh wird: 

^ Pi, kh = Da, I>kk,kh — D^u, khy 
wo nach § 58. 

während D^, a-a gleich i^^^s ^^^^ gleich Null ist, je nachdem i, h, h 
sämmtlich verschieden sind oder nicht. Das Verschwinden aller Re- 
sultanten Pj, kh reducirt sich also auf die eine Gleichung: 

Endlich wird die Resultante von -O-ja- mit d^mn' 

■^ik, mn^^=^ J-^ik , ik J-^m n,mn -^"j k, mn- 

Die ersten beiden Grössen D sind ^ Pik und ^Pmaj also schon 
nach dem Vorigen verschwindend; die letzte wird 

P^ik ,mn=' Dim Dk n — Pin Dkm ♦ 

Auch diese und also alle Unterdeterminanten von 

A. D,, D,3 
Du D,, D,3 

-^31 -^32 -^33 

müssen verschwinden, und man hat den Satz: 



(1) 2 B^ 



123 



430 



Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der i'ormen 



Unter den quadratisclien Covarianten dreier 
quadratischen Formen befinden sich nicht zwei 
ohne gemeinschaftlichen Factor, sobald und nur 
wenn alle Unterdeterminanten der Determinante (1) 
verschwinden. 

Man kann aus diesem Resultate den oben angegebenen Satz ab- 
leiten. Da i^^23 = 0, so ist eine der Formen, etwa f^, eine lineare 
Function der andern: 

Nimmt man dies aber an, so giebt das Verschwinden aller Unter- 
determinanten von 



2B'=^ 






12 



A2 
A2 



nur noch die eine Gleichung 



7} 7) _ 7) 2 

-^11 •*^22 "^12 



X Z)^2 + A D22 



= 0. 



Es müssen f^^ f^ einen gemeinsamen Factor haben, und dieser 
kommt dann auch der Form /g = ;c /j + A /'^ = zu; dies ist nöthig aber 
auch hinreichend, wie oben geometrisch gezeigt wurde. 

Dies ist zugleich der einzige Fall, in welchem die Gleichheit der 
absoluten Invarianten zweier Systeme von je drei quadratischen For- 
men die Möglichkeit, durch lineare Transformation ein System in das 
andere überzuführen, nicht sofort nach sich zieht. 

Wenn der erwähnte Ausnahmefall nicht eintritt, so kann man /^ 
durch f^, (2 und d'^^ ausdrücken. Man erhält dann aus der Gleichung 
(4) des §58.: 



(2) 



2 '^12 ^123 = 



Ai A2 A 

B,, D,, B, 

n u u 



wodurch f^ als lineare Function von f^^ f^, -O'j^ gegeben ist, so lange, 
wie hierbei vorausgesetzt werden muss, B^^B.^.2~ ^n y ^i^ Resul- 
tante von f^, /!,, von Null verschieden ist. Wenn insbesondere 
i?i23 = ö; so muss /g die Form xf^-^Xf^ haben; die Werthbestimmung 
von X, A ist durch die Gleichung gegeben, in welche (2) dann 
übergeht : 



D, 



A. 



As 



=0. 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 106, 107. 431 

§ 107. Simultanes System einer quadralisclieii und einer biquadratischen 
Form: FällC) in welchen keiue typische Darstellung möglich ist. 

Ein System dreier simultanen quadratischen Formen bildet die 
Grundlage für das simultane Formensystem einer quadratisclien Form 
f und einer biquadratischen cp. Jene drei Covarianten, deren eine f 
selbst ist, wurden in § 60, durch 

ihre ersten üeberschiebungen durch 

bezeichnet; ihre simultanen Invarianten waren: 



iE i^ 

6 "^ 18 ' 



Untersuchen wir zunächst, unter welchen Umständen eine typische 
Darstellung durch quadratische Covarianten, wie sie in § 103. au- 
gegeben wurde, nicht möglich ist. Es gehört dazu, dass C und alle 
Unterdeterminanten von 



*.■ 


Brr= B, 
= B + '-^, B^r 


Br^ = A, 
iA jB 


Bn=B, 

^XX 3 



^/r ^fiD ^fx 

l^f-ip -^\l)\l) ^TpX 



^X '^X XX 

verschwinden, oder dass f,il^fX einen gemeinsamen Factor haben. 
Unterscheiden wir zwei Fälle: 

1) f kein Quadrat. Es sei f=2x^x^, und 

(p^ax^^-\-4:ß x^^x.^ + Qy x^x^ + 4 d a^i x,} + b V 
R=^ dx^^ -f 4 ^'x^ xl + 6 yx^^ x.^ + 4 ö'xj x} + s x.^\ 

Man hat dann: 

rl^=-2 {ß x,^ -^2y x,x.,-^ 8 x.,^) 
% = -2{ß'x,'-\2y'x,x,^d'x,'). 

Soll ein Factor von f, etwa x^, auch Factor von ^ und % sein, so 
muss man haben (vgl. die ausgerechnete Form von H in % 40.) : 

d = 0, d'=^2{ße~yd) = 0, 

also entweder ^ = 0, f = 0, d. h. ein Factor von x ist Doppelfactor 
von 9); oder /3 = 0, d = 0. In diesem zweiten Falle enthalten also 
(p, H nur gerade Potenzen; und zwar wird (vgl. § 40.) 

cp =ax^^-\-Qy x^ x.^ -\- a x.^ 

H= 2 « y o;/ + 2 (« £ - 3 y^) x^ x^-\-2yh x^\ 



432 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der t'ormen 

Ferner wird: 

Es ist also nur einer der folgenden Fälle denkbar: 
a) T ist von Null verschieden; 

also f bis auf eine Constante eine der irrationalen quadratischen Co- 
varianten, in welche T zerfallt. 

h) T verschwindet identisch, indem «£ — 9;^2 = 0, ohnedassy = 0. 
In diesem Falle wird 9) das Quadrat eines in x^, x.^ linearen Aus 
drucks. Es ist also 9) das Quadrat einer Form, deren zweite üeber- 
schiebung mit f verschwindet. 

c) T verschwindet, indem y und a oder e verschwinden. Dann 
ist (p ein Biquadrat, dessen Wurzel Factor von /"ist. Dieser Fall ist 
unter dem zuerst erwähnten als Besonderheit enthalten. 

2) f ein Quadrat, =;r/. Indem man die obigen Bezeichnungen 
beibehält, wird 

'^ = — 2{yx^^+2dx^x^-\-£X.^^) 
X^-2{y'x,' + 2d'x,x, + ax,'y, 

also, damit x auch Factor von i^ und % sei: 

£ = 0, s=2{y£~d^) = 0, d.h. £^-0, ^ = 0. 

Es muss also x^ Doppelfactor von (p sein. Dies kann in der 
ersten Abtheilung des vorigen Falles enthalten gedacht werden, wenn 
man dort nur die Forderung, dass f kein Quadrat sei, aufhebt. 

Die typische Darstellung durch quadratische 
Covarianten ist also nicht möglich, und aus der 
Gleichheit der absoluten Invarianten zweier For- 
menpaare /*, 9? und /■', g)' folgt die Möglichkeit 
linearer üeberführung nicht sofort, 

1) wenn ein Factor von /^Doppelfactor von cp ist; 

2) wenn f bis auf eine Constante eine der drei 
irrationalen Covarianten ist, in welche T zerfällt*; 

3) wenn cp Quadrat einer Form zweiter Ord- 
nung ist, deren zweite Ueberschiebung mit /* ver- 
schwindet.** 

Ich habe hier die für die Fälle 2), 3) oben festgehaltene Vor- 
stellung, dass f kein Quadrat sei, fallen gelassen. Dass dies erlaubt 



* Geometrisch: Das Punktepaar von f ist bei einer gewissen Zer- 
legung der vier zu cp gehörigen Punkte in -zwei Paare zu beiden 
harmonisch. 

** Geometrisch: Die vier zu qp gehörigen Punkte bilden ein Doppel- 
paar von Punkten, welche mit den zu / gehörigen harmonisch sind. 



gerader Ordnimg mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 107, 108. 433 

ist, sieht mau leicht ein, ebenso wie, dass umgekehrt, wenn eiuer 
der Fülle 1), 2), 3) eintritt, auch wirklich immer ff i^, % einen 
gemeinsamen Factor haben und daher die typische Darstellung unmög- 
lich wird. 

Was 3) anbetrifft, ^o ^e\ f=x^-, (p — {ax^- -\-2hx^x.,-{- cx,,^)-. Soll 
die zweite üeberschiebung von f mit ^<p verschwinden, so luuss 
e = sein, (p hat den Doppelfactor x und man hat einen besondern 
Fall von 1) vor sich. Dass im Falle 1) und 3) wirklich f^ i^, % einen 
gemeinsamen Factor haben, lehrt die Bildung von ^, x, welche oben 
ausgeführt wurde. 

Nur für den Fall 2) ist zu beweisen, dass, wenn f einer der aus 
T entstehenden drei irrationalen Covarianten bis auf einen constanten 
Factor gleich ist, il) und % mit / einen Factor gemein haben. Es 
muss hier T von Null verschieden sein. Daher sind nur drei Fälle 
zu betrachten, je nachdem in q)=^0 alle Wurzeln verschieden, oder 
zwei gleich, oder endlich drei gleich sind, die übrigen aber jedesmal 
verschieden. Im ersten dieser Fälle kann man immer f—2x^x.,^ 
(p = a x^^ '\- Q y x^x.^ + f a^/ setzen; dass in diesem Falle f, jp, % einen 
gemeinsamen Factor besitzen, lehrt die oben angestellte Rechnung; 
es sind sogar (bei /3 = 0, (^ = 0) /', i^' und % nur um constante Factoren 
verschieden. Hat zweitens qp = () zwei gleiche Wurzeln, so kann man 
dieser Function die Form geben 

(p = a x^;^ + ß x^- Xff 
daher 

H-=2ayx,^-6y'x,^x./, T==-9f-ax,^x,. 

Die quadratischen Covarianten, in welche T zerfällt, sind also 
X{^ , x^ ^ ^1^^2*7 welcher von ihnen aber auch /'bis auf eine Constante 
gleichgesetzt wird, immer hat (p einen Doppelfactor, der zugleich 
Factor von f ist, und man hat einen besondern Fall von 1) vor sich, 
in welchem Falle, wie wir wissen, /", ^, ;t einen gemeinsamen Factor 
haben. — Hat endlich (p einen dreifachen Factor, so können wir 
setzen : 

^>=^^x,''x,, H=-2x^'', T=:2x,^', 

es muss also f=c.x^^ gesetzt werden, was wieder auf den Fall 1) 
führt. Damit ist der obige Satz und seine Umkehrbarkeit vollständig 
erwiesen. 



§ 108. Typische Darstellung der übrigen Fälle. 

Wenn C nicht verschwindet, können wir an Stelle der drei Co- 
varianten Lj 31, N des § 103. die folgenden einführen: 

L=r, M=^i; N^x, 

ClebBch, Theorie der binären algebr. Formen. 28 



434 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formeil 

und erhalten demnach für ihre ersten Ueberschiebungen die Aus- 
drücke: 

l = (iA i) ta: l.x = T 

(1) ^ = {XCf) Xxa^ = y^ 

V = {ajlj)ilj,-raa:= — ^, 

während die simultane Invarfante I), welche den Nenner des typischen 
Ausdrucks bildet, gleich C wird. 

Und so wird nach § 103. (15) die typische Darstellung von f: 

(2) C^/-= F„ r^ + 2 F„ r X - 2 r,,tV+ V,, K'-2r,, X V 
wo die V die Invarianten bedeuten: 

■ ^13==(««)'(«%)^ "^33= («%)'(« /)'• 

Die Ausdrücke (1) sind mit f, tj % durch die Gleichungen ver- 
bunden, welche den Gleichungen (11) §58. entsprechen: 

C.f =Drf x-\-Df^ ^-^rx "^ 

(4) C.ilj=^Bf^t-\-Ii^^X-D^x'^ 

während zugleich 

(5) O^fx + tX-x'V. 

Die Gleichungen (2) , (4) , (5) geben die typische Darstellung nach' 
den in § 103. entwickelten Grundsätzen; man kann entweder r, X, Y 
oder /", ^, X eliminiren und die Darstellung durch die drei übrigen 
Formen leisten. Die Untersuchung der Coefficienten zeigt, dass es 
eine bemerkenswerth einfache Darstellung von cp giebt, bei welcher alle 
sechs quadratischen Formen beibehalten werden. 

Nach den Formeln des § 60. ist zunächst: 

V,, = {a ay {a hf - (^ If =1)^^ =A 

Die Formen aber 

F22 = {ail,y ia^'f = {ai>Y (aßf (ßaf 

F,3 = (« n'f (« %)■' = (« tY (cHf {Ha)' = (ß xf (« ßf (ß af 



F33 = (« Xf (« XT = (« XY (« Sy {Sa) 



33 

bildet man leicht .mit Hilfe der aus der Theorie der biquadratischen 
Formen oder der Tafel des § 8. folgenden Gleichungen: 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 108. 435 

{ocßY aj ßy' = HJ Hy' + j {xyf 



1 .. -2 .. 2 , 3 

6 



{aHf a^Hy^ = -i aJ a,^ + ^ (xy)\ 



indem man darin x^, x.^ und ij^^ y.-, durch i^^? ~" ^i ^^^^' X2) ~ Xi 
ersetzt : 

r,,= {Haf (Hxy + 4 {«xf = D,, + '-^ 

(7) '^ ^ 

Aus diesen Gleichungen erhält man die Combinationen : 

Multiplicirt man diese Gleichungen mit r, X, —W und addirt, so 
kommt nach (2 links C'-q), und daher nach Division mit C die ein- 
fache Darstellung: 

(8) C<p = Ti,+ x(^x+Y)-'v{^* + '^f)> 

vermöge deren cp als bilineare Function der f, i^, % einerseits und 
der T, ¥, X andererseits ausgedrückt ist, während die Coefficienten 
nur i und j enthalten. — 

^ Wenn C verschwindet, so besteht zwischen f, 'tp, % ^i^® lineare 
Relation, welche entweder die Form 

(9) x^y.f+i^i', 

oder die Form 

haben muss. Aber die Rechnung des § 107. zeigt, dass, mag f ein 
Quadrat sein oder nicht, sobald f mit t^ bis auf einen Factor iden- 
tisch wird, mit % dasselbe geschieht. Der zweite Fall ist also aus- 
zuschliessen, indem er überhaupt keine solche typische Darstellung 
zulässt. In der Formel (9) aber muss man voraussetzen, dass f und 
1I; keinen gemeinsamen Factor haben, da sonst auch % denselben 
haben würde. Man kann also die Formen f und ^ bei der Auf- 

28* 



436 Neunter Abschnitt. Typische Darstelhmg der Formen 

Stellung der typisclien Form zu Grunde legen, nebst ihrer ersten 
Ueberschiebung M^. Der Nenner der Darstellung wird die zweite Po- 
tenz der aus /", ^, Y gebildeten simultanen Invariante, welche nach 
§ 58. (15), wenn man f^ durch f, f^ durch i/;, Q'^^ durch — Y ersetzt, 
den Werth hat: 

(10) ?^-\ {DrrB^p^ - DV^) = ^ |D J5 + 1 D^ - ^^ j. 

Die an Stelle von A, ft, ^' tretenden ersten üeberschiebungen 
von f, ^;, y werden 

v = {aii>) a^^xfix = — V, 
und die typische Darstellung wird dalier: 

(11) 4 P (p = W,, [wBr^-fB^^y + W,, {^Brr-fBr^f 

+ 4 W,, ^'-2W,, {^Df^-fD^^) (^Bff-fBf^) 
+ 4.W,,^{^Br^-fB^^)-4:W,,'¥{n^Brf-fBr^), 
während 

(12) "V'^-ilB^^r-^DfV^fn^ + B^^Pl 
Von den Coefficienten sind 

W,, = iaay{ahy=Bf^ =Ä 



w. 



22 



\a^y{a7l^y = B^p^ +-3- = -2-+-3- 



den entsprechenden Grössen V gleich; die andern aber werden: 

(^A^ TF,3 = (aa)2(«Y)2 = (^iK)2_0, " (§57.) 

^'^^ TF^e = («1^)2 («y)2, 1^33 - («Y)2 {aYf. 

Um TF23 ^^ bilden, geht man von der Gleichung aus 

und hat also 

W^ = {x^Y + ^iaW = -C [§60.(8)]. 

Dagegen erhält man TFs3 aus (12) , indem man x-^^^a^, x^— — a^ setzt : 

(15) Tr33 = -iJD//(D^, + ':^)-D/^i)^^j 



6 ' 3 

Lässt man also G verschwinden, so kann man den Werth von 
Y^ eintragen und erhält: 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 108, 109. 437 

(16) ip-^ ,p= W,,(t Df^-fD^y,y-+ W,,{tDff-fI)f,py 

- 2 W^ {B„ r--2B,^fi, + D^^ P). 

Diese Gleichung enthält die Lösung einer Aufgabe, welche sich 
bei den Betrachtungen des § 60. darbietet. Es war dort gezeigt, dass, 
wenn C=0, (p als quadratische Function von / und einer andern 
quadratischen Form darstellbar sei. Es entsteht die Frage, welches 
diese andere quadratische Form, und welches diese Dar- 
stellung sei. Bis auf die Ausnahmefälle des vorigen Paragraphen, 
in denen die Lösung sich indessen von selbst darbietet, ist diese Auf- 
gabe durch die Gleichung (16) gelöst. Die Aufgabe ist ihrer Natur 
nach nicht völlig bestimmt, da man statt jener Form g, welche ihr 
genügt, auch g —xg -\- If einführen kann. Aber die Gleichung (16) 
zeigt, dass i) eine solche Form g ist, und giebt die Darstellung von 
cp als quadratische Function von /' und i^. 



§ 109. Die Formen sechster Ordnung, Fälle, in denen die typische 
Darstellung nicht möglich ist. 

Bei den Formen sechster Ordnung bilden die Covarianten l, Dt, n 
(§ 78.) die Grundlage des Systems quadratischer Covarianten. Damit 
die typische Darstellung unmöglich werde, müssen ?, m, n einen 
Factor gemein haben; aber wegen des besondern Zusammenhanges, 
in welchem diese Formen stehen, können die beiden hierin liegenden 
Bedingungen auf zwei ganz verschiedene Arten erfüllt werden. Erst- 
lich nämlich kann l mit m nur einen linearen Factor gemein haben 
und n denselben enthalten, was zwei Bedingungen sind. Zweitens 
aber kann m von l nur um einen constanten Factor verschieden sein, 

was auch zwei Bedingungen involvirt; es wird dann n von selbst 
auch nur um einen constanten Factor verschieden, denn es ist 

n = (i niY ij = l {i ly ij = lc7n== ¥ l 

1) Untersuchen wir zunächst den ersten Fall. Der gemeinsame 
Factor von ?, m^ n sei q und 

lz=zqry m^=^qs, n = qt. 

Der Voraussetzung nach ist (rs) von Null verschieden, denn sonst 
träte der zweite Fall ein. Bildet man nun die Gleichungen 

(1) ni = ij (i q) (i r) , 7i = ij (i q) (is) , 



* Vgl. Clebsch und Gordan, Annali di mat., ser. IL, vol. I. 



438 Neunter Abschnitt. Typische Darstelhing der Formen 

SO folgt 

ms — nr = ij(iq) \{ir) s~ (i s) r^ } = (s r) . i/ {i q). 

Da nun (sr) nicht Null, so muss ij'iig) durch g^ theilbar sein 

(2) iJ(iq) = q.h, 

wo h eine Form zweiter Ordnung. Führt man dies in (1) ein, indem man 
über (2) die linearen Formen r-^, s.v je einmal schiebt, so kommt: 

3m = (qr) k-\-2 qJca: ßr) , 3n = {qs) Je + 2 qka:{hs). 

Es sind also auch (gr)Ä; und (qs)h durch q theilbar, und da jeden- 
falls einer der Factoren {qr) , (qs) von Null verschieden ist, so muss 
k durch q theilbar sein, mithin 

(3) iJ(iq) = qKh. 

Es folgt hieraus (iqY = und i^{iqy — 0'j ^^ muss also auch 
Doppelfactor von i sein: 

(4) i=q^'9' 

In dem vorliegenden Falle muss daher die In 
Variantenrelation 



C^-^B' = 



stattfinden. 



Man kann nun in ähnlicher Weise zeigen, dass f selbst den 
Factor q dreifach enthält. Zu diesem Zwecke betrachte ich die Co- 
varianten 

(aiy aj = {aq) (ar) aj 
^^^ \any a/ = {aq) {as) aj. 

Von der ersten wurde in § 76. (8) gezeigt, dass 

(6) (a?)2a.^ = 2A+4^'. 

Um die zweite zu bilden, führen wir in ihr den Ausdruck von 
m durch l ein und erhalten: 

[a my aj = {a if {i l)'^ aj ; 
dagegen ist die zweite Ueberschiebung von {alf üx^ mit i: 

{a If {a if a/ ij = 2 (A if ij A/ + ^ {UJ i/ i'A 

oder nach der Theorie der biquadratischen Formen: 

Bi + ÄA 

~ 3 • 

Daher hat man: 

{amy aj - ^iti^= («i)2 aj {{;iiy aj - {aiy i/\ 

= — (a ly L aa;^ i (^ l) a^ + (« l) ix I . 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Co Varianten. — § 109. 439 

Nach § 76. ist 

also auch 

(aif aj {il) + 3 (« if aj {al) i^. 

Statt der rechten Seite des obigen Ausdrucks kann man daher setzen: 

i {aif h aJ { (al) i^ - {IT) aj=- J (a iy «/ 1/^ = - ^ P, 

und der gesuchte Ausdruck für (atiif aj^ ist also: 

(7) iainf aJ = ^^JA + , p_ 

Aus (5), (6), (7) ergiebt sich nun für unsern Fall: 
{aq){ar)aJ = 2A+^ 

Hat nun i den Doppelfactor g'-^, so besitzt nach der Theorie 
der biquadratischen Formen A ihn ebenfalls^ und also die ganzen 
rechteii Theile der Gleichungen (8). Man beweist also, wie oben, 
indem man die Combination 

(rt q) (ar) a/ .s — (aq)(as) aJ . r = (a q) aJ . (sr) 

bildet, dass (aq)aj* den Factor q- hat: 

{aq)aj' = q^ .U] 

führt man aber dies in (8) ein, so sieht man, dass auch 

{qr)q.u, (qs)q.u 

noch den Factor r/-, also u nochmals den Factor q enthalten muss, 
dass also 

(aq) a/ = q^ .V. 

Es folgt hieraus, dass (ßg)'^a/ = 0; es ist also (? ein dreifacher Factor 
von /*, 

f=qKw, 
und man hat den Satz: 

Wenn Z, ni, n einen gemeinsamen linearen Factor 
haben, während die andern linearen Factoren von 
l und m weder Null noch bis auf eine Constante 
gleich sind, so hat i denselben Factor doppelt und 
f dreifach. 

Dieser Satz lässt sieb umkehren: 

Hat f einen dreifachen Factor, so hat i den- 
selben dopjjelt, ly m, n haben ihn einfach. 



440 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

Sei nämlich x dieser Factor, y die zweite Veränderliche ; dann ist 

_2_(av^_4JY_ ^i__ , o/ ay yi 
seo^la^ai/^ dx^dydxdif '^ Kdx'dyvy 

wo jedes der drei Glieder, also auch ^, den Factor x^ enthält; so- 
dann wird 

1 (gyan' . gy an" aY ^'^ 

I2.60|aitri a^* arr^a?/ a^r dtf~^ dx' ?%f dx'dy^' 
ay oH d'fd'ij 

dxdf dx^dy'^di/ dx'^\ ' 
wo wieder jeder Term den Factor x liat; endlich 

1 ) a^ ^ aM ,, dH dH 'dUd'U ( 

24:\dx^dy^ dxdy dxdtydy^ dx' \ 

** ~24(ä^y7^~"ä^^ dxdy'^df d x' 
wo jeder Term den Factor x hat. 

2) Ich komme jetzt zweitens zur Charakterisirung des Falles, wo 
m von l nur um eine Constante verscliieden ist, 

(9) m=^ia, n=^lcH. 

Doch setze ich m, also auch h, als von Null verschieden voraus; 
auch das Verschwinden von l würde wegen der Gleichung m = {aTj^ aj' 
das von m sofort zur Folge haben, und ich« nehme also auch l als 
von Null verschieden an. 

Ich werde zunächst zeigen, dass l dann kein Quadrat sein kann. 
Es sei 

(10) /'= a^x^^ + Qa^x^^x.^ + 15 «^^i^^ ^2^ + 20a.^x^x^ 

+ 15 «4 Xl^ X.^ + 6 0^5 X^ X.^ + <^(; ^-i j 

(11) i — «y^'/ + 4«^^/^?^ -{-^a.^x^x.^ H- ^a.^x^x.l + a^x.^ 



4 

'2 ; 



wo 

«y == 2 {a^^ a^ — 4 a^ «3 + 3 «.j^) 
^1 = (^0 ^b — 3 «i (^4 + 2 (^2 «3) 

(12) «2 == i (^ü 0^6-9 <^^2 «^4 + 8 «/) 

«3 = (% (X(; — 3 «2 «5 + 2 <X3 «4) 
«4 = 2 («2 «ß — 4 «3 «5 + 3 «4^^). 

Soll nun Z ein Quadrat, also etwa 

sein, so wird 

( 13) m = {i l)^ ij = II («2 x^^ + 2 «3 x^ x.^ + a^ x.^), 

und da dieser nur um einen Factor von l verschieden sein soll, so 
muss man haben: 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Co Varianten. — § 109. 441 

04) «3 = 0, a, = 0, 

wenn nicht ft, also auch m und l verschwinden sollen. 

Es hat also auch i den Factor ^/-; denselben besitzt dann auch 
A, und der Ausdruck 

Bildet man nun den Ausdruck links, so erhält man 

soll dieses den Factor x^^ haben, so müssen die Coefficienten ^ a-^, ^ a^ 
verschwinden, oder, wenn l von Null verschieden sein soll: 

(15) «5 = 0, «e = 0; 
daher aus (12), (14): 

(16) a, = 0. 

Bildet man nun l durch die vierte Ueberschiebung von i mit f^ 
so kommt 

(17) ? = — 4 «^ «3 x^^ + 6 «2 {(^fo ^/ + 2 a-i x^ x.^ , 

und damit l^=^x^ werde, müssen die Bedingungen stattfinden: 

(18) — 4ß^ c?3 -f 6 c^.^ 6f., = w, —12«^, «3 = 0. 

Aus der letzten dieser Gleichungen folgt entweder «3 = oder 
«2 = 0; aber aus dem Ausdruck von «^ i^ (^2) ^^Igt, dass eins das 
andere nach sich zieht, dass also zugleich 

Cf^, = 0, «3 = 0, 

was mit der ersten Gleichung (18) wiederum fA = 0, also ? = 0, 
m — giebt. 

Die Annahme, dass l ein Quadrat, ist also unmöglich, und man 
hat den Satz: 

Soll m von l nur um einen Factor verschieden 
sein, ohne zu verschwinden, so kann ? kein Quadrat 
sein. 

Wir können also jetzt 

(19) • 2 = 2^1^2 

annehmen. Behalten wir Bezeichnung und Gang der obigen Unter- 
suchung bei, so findet sich erstlich durch zweite Ueberschiebung von 
l mit /: 

(20) m = — 2 («1 x^ + 2 «2 ^1 ^t + % ^'2^) ; 

also , damit m von l nur um einen constanten Factor verschieden sei : 

(21) «^ = 0, «, = 0. 



442 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

Es enthält also i nur gerade Potenzen, daher ebenso A, und 
deswegen auch die Covariante {alf aj. Bilden wir diese, so findet sich 

(a l) 2 a/ = — 2{a^ x^ + 4 «^ ^i x.^-\-^a.^ x^x.^ -\-^a^x^ x.^ + a^ x.^) , 

und man muss also haben: 

(22) «2 = 0, «, = 0. 

Bildet man endlich l durch vierte Ueberschiebung von i und fy 
so findet man 

Z= oTy {^ a^x^x..^-\- a^x^) -f 12 «^ % ^i ^2 + ^4 (ö^o^i^"I~^^i^i^2)? 
also indem man dies mit der angenommenen Form von l vergleicht: 

ß:., «5 + 6 «2 ^;5 "i~ ^4 ^h = ^ • 
Hieraus ergeben sich folgende zu unterscheidende Fälle: 

a) «y=:0, «^^ — 0, 6 «^> «3 =1. 

^) a^ = 0, «y — 0, 6 «2 «3 + «4 «I = 1. 

c) «^ = 0, a^ = 0, «^ «5 -h 6 «2 a.3 = 1. 

^) a^, = 0, «jj = 0, a^ % + ß «2 0^3 + «4 a^ = 1. 

ci) In diesem Falle verschwinden alle Coefficienten von i bis auf 
den mittleren, und da ausserdem nach (22) a^ und a^ verschwinden, 
so wird dies nach (12) ausgedrückt durch die Gleichungen: 

während ß^g ~ I ^'3^ ^'^^^ Null verschieden ist. Es kann daher a^ nicht 
Null sein, folglich verschwinden a^ und a^, und man hat: 

jr ■ — 61',) ^j ~|~ ^U tüg ^1 ^2 1" «6 *^2 • 

(24) i = 16 ai x^ x.^ 

l = 32 a.^ x^ x^. 

h) Die Gleichungen «^ — 0, 0:^ = 0,^3 = 0, «^ = 0, a2=0, a^ = 
geben nach (12): 

^j «3 = , a^a^^-=0, «2 = -| «3^ ^ ^^ _, _ g ^^ ^^^ 

Wäre nun nicht «^ = 0, so müsste a.^ verschwinden, also auch 
«2; «4, und i würde identisch Null. Es muss also a^ = sein, daher 
f einen dreifachen linearen Factor besitzen, was auf den Fall 1) zu- 
rückführt, indem nur der besondere (in der ümkehrung des Satzes 
dort bereits vorgesehene) Fall eintritt, dass l und m mehr als einen 
linearen Factor gemein haben. 

c) Dieser Fall entsteht aus dem vorigen durch blose Vertauschung 



gerader Ordnung mitteltit quadratischer Covarianten. — § 09. 443 

d) lu diesem Falle verschwinden alle Coefficienten von /", welche 
einen geraden Index haben, und die Gleichungen «^ = 0, «3 = sind 
von selbst erfüllt. Man hat: 



f= 2 x^ x.^ \ 3 a^ x^ + 10 «3 x^ x^ + 3 «5 x^\ 

-.,.4, 



(25) j == — 8 «3 ( a, x^ — 2 «3 x^ X,} + rt- x.^ 

? = 32 «3 («3- — a^ «5) x^ X.,. — 

Man kann die Resultate dieser Untersuchung* in folgendem Satze 
aussprechen : 

Ist m von l nur um einen constanten Factor 
verschieden, und besitzt /*= keine dreifache Wur- 
zel, so ist 

entweder i von dem Quadrate von l nur um einen 
constanten Factor verschieden, und /wird durch 
Einführung der Factoren von? in eine quadrati sehe 
Function ihrer Guben verwandelt*; 

oder i ist eine bi quadratische Form, für welche 
l eine der aus Spaltung ihrer Govariante T hervor- 
gehenden irrationalen Govarianten, und f ist das 
Product von l mit einer linearen Gombination der 
Form i und ihrer biquadratischen Govariante; 

Untersuchen wir die Umkehrungen dieser Sätze. Die Umkehrung 
des ersten lehren die Gleichungen (24): 

Ist f durch lineare Substitution als quadra- 
tische Form zweier Guben darstellbar, so ist i Null 
oder das Quadrat der Producte der Wurzeln beider 
Guben, und / Null oder bis auf eine Gonstante die- 
sem Producte selbst gleich. 

Was den zweiten angeht, so sind nur noch die Fälle zu unter- 
suchen, in denen eine Form vierten Grades nicht auf die Form 
!PqX^^-\-^P^x^ x.2^ -\-p.,x.^^ gebracht werden kann, während eine ihrer 
irrationalen quadratischen Govarianten 2 x^ x.^ wird. Im Allgemeinen 
ist dies immer möglich, und man kann, wenn man durch t eine solche 



* Geometrisch: Die sechs f repräsentiren den Punkte zerfallen 
in zwei Gruppen zu drei, und die Punkte jeder Gruppe sind in 
Bezug auf dasselbe feste Punktepaar (Z=:0) cjclisch-projectivisch. 

** Geometrisch: Die sechs f repräsentirenden Punkte zerfallen 
in dreiPaare, deren eines (Z— 0) zu jedem der beiden anderen harmo- 
nisch ist. 



444 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

irrationale Covariante einer quadratischen Form cp bezeichnet, den 
Gleichungen (25) die Deutung geben, es sei/=r^, und zugleich 
i = 'K(p-\- 1 Hcp j 1= ^.t. 

Hat nun zunächst cp — O zwei gleiche Wurzeln , so kann man nach 
§ 48. dem Ausdrucke (p die Form geben: 

(p =^ x^^-\-Q q x^ xf, 

und die quadratischen Factoren von T werden x^ ^^ und x^. Der erste 
Fall ist im Obigen enthalten; im andern hat /' die Form 

f = X . cp — a^ x^ -\- Ib a.2 x^^ x.^ , 
daher 

i = Qa.^x^y 1 = 0, 

wo i wieder unter die Form %q)-{- k Hcp fallt. 

Hat q) zwei Paar gleicher Wurzeln, qpii^T^, so sind die irrationalen 
Co Varianten theils Null, theils bis auf einen Zahlenfactor gleich r, 
also kann man setzen: 

f=r^ = 6 a^Xj^ x.2^j 
und hat: 

i = 16 «3^ x^^ x./j 1 = const. x^ x.^. 

Hat cp eine dreifache Wurzel, 9 =4^/^^, so führt H auf x^^, 
und die quadratischen irrationalen Covariauten sind sämmtlich bis auf 
numerische Factoren gleich x^^. Man muss also setzen : 

f=z t , cp = 6 üi x^ X.2J 
und findet 

^• = 0, 1 = 6. 

Ist cp endlich ein Biquadrat, so sind alle Formen t gleich Null; 
dieser Fall ist also nicht zu betrachten. 

Man kann daher die Umkehrung für den zweiten Theil des Satzes 
folgendermassen aussprechen : 

Ist /"das Product einer biquadratischen Fo-rm cp 
mit einer der irrationalen quadratischen Covarian- 
ten r, die sich aus der Zerlegung von T(p ergeben, 
so hat i dieForm oicp -\- XHcp , l dieForm ^r, wo;c, A, /Lt 
auch Null sein können. 

Die Auflösung der Gleichung /*— führt in diesem Falle auf die 
Lösung der biquadratischen Gleichung cp = zurück. Aber die zu 
ihrer Lösung erforderliche cubische Gleichung reducirt sich hier auf 
eine quadratische und eine lineare, da von den drei Factoren von Tcp 
einer bereits bekannt ist, und die Lösung von f=0 erfordert daher 
überhaupt nicht die Lösung von höheren als quadratischen Gleichungen. 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 109, 110. 445 



§ 110. Ausnalimefälle , in welchen eine der Coyarianten m, l, i 
yerschwindet. 

Die Untersuchungen des vorigen Paragraphen umfassen alle 
diejenigen Fälle ^ in welchen die typische Darstellung durch quadra- 
tische Covarianten unmöglich wird, ohne dass eine der Covarianten nij 
Ij i verschwindet. Untersuchen wir nun den Charakter der Fälle, in 
denen dies eintritt. Beginnen wir mit der Untersuchung des Falles, 
wo m identisch verschwindet, wobei wir zunächst voraussetzen, dass 
/ nicht Null sei. Wegen der Gleichung § 78. (2), in welcher m, q 
jetzt verschwinden, hat man nothwendig (7=0, daher, wenn man in 
der letzten Gleichung § 78. (9) Aim = ^ setzt, auch B = 0. Damit 
aber verschwindet Au [§ 78. (9).], und l ist also ein Quadrat, i ent- 
hält einen dreifachen linearen Factor, In der Untersuchung des 
vorigen Paragraphen für den Fall, dass l ein Quadrat, wurde aber 
geschlossen, dass dann 1 = sei, und man hat also den Satz: 

Wenn m identisch verschwindet, so verschwin- 
det auch l. 
Gehen wir also zu dem Falle / = über und nehmen zunächst 
an, dass i nicht verschwinde. Nach der Gleichung 

ist dann 

also entweder i von A nur um einen Factor verschieden, daher i ein 
Quadrat, oder A = 0, A =0, also i ein Biquadrat, was nur ein beson- 
derer Fall des ersten ist. 

Unterscheiden wir also die Fälle: 

1) i^Qa^x^^x.^ 

2) i = a^x^\ 

1) Da l = {aiY aj' hier verschwinden soll, so hat man 

«2 \a.^x^^ -f 2 a^x^ x.^ + a^x.f\ = 0, 

also, da a.^ nicht verschwinden darf: 

a^ = Oj «3 = 0, «4 = 0. . 

Hierdurch reduciren sich die der Form von i wegen eintretenden 
Gleichungen 

«^ = 0, 0:^ = 0, «3 = 0, «4 = 
auf: 



446 Neunter Absclinitt, Typische Darstellung der Formell 

während 

nicht verschwinden darf. Es bleibt also nur übrig: 

«1-0, «5 = 0, 

/ = ÜqX^ + «ß ^2 • 

Wenn 1 = und i kein Biquadrat, so muss fsich 
aus zwei sechsten Potenzen linear zusammensetzen, 
und umgekehrt führt diese Form immer auf /=.0.* 

2) In diesem Falle führt die Gleichung l=:[aiy aj = auf 

also auf 

«4 = 0, «5 = 0, a^^ = 0. 

Zugleich müssen a^j cc^, «3, a^ verschwinden, was die Bedingung 
giebt : 

% = ö. 
Es wird also 

f= ÜQ Xj^ + 6 «1 x^^ X2 + 15 «2 ^1^ ^2^- 

Wenn ? verschwindet und i ein Biquadrat ist, 
so hat f einen vierfachen linearen Factor und um- 
gekehrt. 

Es bleibt nur noch der Fall zu behandeln, wo i identisch ver- 
schwindet. Dies tritt erstlich ein, wenn f eine sechste Potenz ist. 
Soll dieser Fall nicht eintreten , so hat es jedenfalls zwei verschiedene 
lineare Factoren , und indem man solche zwei durch x^ , x.^ bezeichnet, 
kann man aQ = 0, a^. = annehmen. Die Gleichungen, welche das 
Verschwinden der a ausdrücken, werden dann 

= 3 «2^ — 4 «1 «3 = 3 «4^ — 4 «3 « 

(1) = 2 «2 «3 — 3 «1 «4 = 2 «3 «4 — 3 «2 ^5 

= 8 «3^ — 9 «2 «4 • 
Man sieht aus denselben, dass, wenn «3 = 0, auch a.^ und a^ 
verschwinden und / die Form hat: 

(2) f=6xyia,x,^+a,x,% 

Ist «3 nicht Null, so findet man aus (1), dass dann alle anderen 
Coefficienten auch nicht verschwinden können; man kann sie also 
aus (1) bestimmen durch die Formeln: 



* Geometrisch: Die sechs / repräsentirenden Punkte sind cyclisch- 
projectivisch. 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 110, 111. 447 






^5 «5 



und es wird daher 



3 

was, wenn man eine lineare Transformation anwendet, wieder auf die 
Form (2) zurückkommt. 

Die Gleichung (2) und die Form einer sechsten Potenz umfassen 

aber genau alle Formen , welche die Covariante T einer biquadratischen 

Grundform annehmen kann. Man kann also den Satz aussprechen: 

Die Bedingung, dass i verschwinde, ist identisch 

mit der Bedingung, dass f die Covariante sechster 

Ordnung einer biquadratischen Form sei. 

Die Eigenschaften, welche die Form f in diesem Falle besitzt, 

werde ich im folgenden Paragraphen entwickeln. 



§ 111. Untersuchung einer Form sechsten Grades, welche Covariante 
sechsten Grades einer biquadratischen Form ist. 

Es entsteht hier die Aufgabe^ wenn eine Form f gegeben ist, 
welche Covariante sechsten Grades einer biquadratischen Form werden 
kann, die biquadratische Form cp zu finden, deren Covariante T die 
gegebene Form ist. Diese Aufgabe ist nicht völlig bestimmt; denn 
genügt eine Form (p derselben, so genügt ihr auch noch die Form 

c{occp-\- X S(p)j 

wenn k^ X beliebige Parameter bezeichnen und die Constante c nur 
passend als Function dieser Parameter bestimmt wird. 

Ist zunächst f eine sechste Potenz, etwa 2)/, so muss (p einen 
dreifachen Factor p^c haben, und es wird 

eine Lösung, wo g eine beliebige lineare Form und c nur so zu 
bestimmen ist, dass die Covariante Tcp der gegebenen Form auch 
absolut gleich wird, nicht blos bis auf einen constanten Factor. 

Ganz allgemein aber wird die Aufgabe gelöst durch die Formel, 
welche in § 42. zwischen der biquadratischen Form und ihrer Covarian- 
ten aufgestellt wurde, und w^ eiche, w^enn (p die biquadratische Form 
ist, die Gestalt annimmt: 

^ {x).H^ {y)-ip{y) . Hcp {x)-=4{xy) TJT/. 

Setzt man in dieser Formel für T die gegebene Form / ein und 
betrachtet y^, y^ als constante Parameter, so giebt die Form 



448 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

4 (^xy) c . a/ a,/ 

die allgemeinste lineare Combination von qp und Hy und demnach die 
allgemeinste Lösung unserer Aufgabe, wenn man nur noch die Con- 
staiite c gehörig bestimmt. Nach § 41. ist die Co Variante T der Form 

4 c . {xy) TJ> T,/ = c, \\p {x) H^ (y) - cp {y) Hcp (x)] 

gleich 

c'.T{x).Q[H^{y), -<p{y)\=-2c^T{x)T'{y), 

und also gleich T{x)j wenn 

-2cKT^y)==-2e'P {y) = 1 

gesetzt wird. Die zu f gehörige allgemeinste biquadratische Form 
ist also 

4 {xy) . aj ay^ 

Der hier vorliegende Fall ist unter den in diesem und dem vori- 
gen Paragraphen behandelten auch dadurch ausgezeichnet, dass in 
ihm nicht sofort die Auflösung der Gleichung f—-0 sich darbietet, 
wie dies in allen anderen Fällen geschieht. Man kann nun die Lösung 
der Gleichung /"= an die Darstellung der zugehörigen Form vierter 
Ordnung anknüpfen, indem man die Lösung derselben verfolgt, also 
die zugehörige Form H^ bildet, und aus z/; und H^ die drei irratio- 
nalen quadratischen Covarianten von ip zusammensetzt, welche denn 
nach der Theorie der biquadratischen Formen zugleich die Factoren 
von f sind. 

Aber man kann zur Auflösung der Gleichung f= in diesem 
Falle noch einen zweiten eleganteren Weg einschlagen, welcher auch 
zugleich auf eine zweite Darstellung der zu /"gehörigen biquadratischen 
Form ip führt, und welcher zugleich tiefer aus der Natur der Formen 
sechster Ordnung geschöpft ist. 

Dieser zweite Weg, die Gleichung /"= in diesem Falle zu lösen, 
beruht auf folgenden Betrachtungen. Ich entwickle zuerst den Ausdruck 
für das Quadrat der zu f gehörigen Covariante zwölfter Ordnung T, 
welche aus der ersten Ueberschiebung von f mit H entsteht. Nach 
der Formel (10) des § 35. ist demnach: 

(2) T2 = -^ ^ \p {HHJ H/ H'J - 2 fH. {aHf aj HJ + H'i. 

Die Darstellung der beiden Formen 

{aHf aj H/, {HH'f H/ H'J 

erfordert etwas Rechnung. Nach den Formeln des § 8. hat man 

. ox (a hy aj hj h/ = IT/ H/ + f ^ . {xyY 

^ ^ {c df cj' dj> c,d ^ HJ Hy' - j\ i . {xyf. 



gerader Ordiuing mittelst quadratischer Covarianten. — § 111. 449 

Setzt man in der zweiten dieser Formeln y^ = a.2, ?/2 = — ^'i> so 
hat man : 

(« Hf aj H/ = VV ^ / + (^ ^0- (« c) {a d) . cj cU «/. 

Der zweite Theil der rechten Seite verschwindet; denn wenn man 
darin r/, c, d cyclisch vertauscht und die Summe aller entstandenen 
Ausdrücke bildet, erhält man 

{cd) (ax) {ad) c/ dj a/ \ycd) a.^. + (da) c^ + (ac) d^\ = 0. 

Es ist also erstlich: 

(4) (aHfaJHJ^^if: 

Schiebt man zweitens die beiden Ausdrücke (3) zweimal über 
einander, indem mau sie als Functionen der y betrachtet, so ergiebt sich : 

(5) {HHJ H/ WJ = (a hf {c df (h c) {h d) «^^ h/ cj dj - j\ i H. 
Im ersten Theile der rechten Seite wendet mau nun die Identität 
3 (hc) (cd) (db) h, c^ d, = {hc)^ dj + {cdf hj + (dby cJ 
an, welche aus 

(bc) ds + {cd) bj, + (db) c^ = 

durch Cobiren hervorgeht, und hat dann, indem man gleichwerthige 
Terme zusammenzieht: 

(6) (HHJ HJ H'J - - i 1 2 (a by (cd) (b cf «/ b, c/ dj> 

+ (a bf (cd)^ a/ bj cJ ^-'! - if 

31= {abf (cd) (bcf aj b^ c/ f//. 

In M vertauscht man b mit c, addirt den neuen Ausdruck zum 
vorigen und dividirt durch 2. Dann wird: 

M-=^(b cf a/ b, c, dj> \ a bf (c d) c, - (a cf (b d) b. \ , 

oder wenn man im ersten Theile rechts 

(a b) Cj: — (a c) bjc — (b c) 0^ 
setzt : 

=- ^{bcf a/ b^r c^ d/ \ {a c) b,, {{a b) {c d) - {a c) {b d)\ - (a b) {c d) (b c) a^ \ 
^-^{bcfa/ba-CjrdJ' \{ac){ad b^-\-(ab)(cd)ajc\ 

wo 

F=={b cY (a c) {a d) a/ bj c^ d/ 
Q = lb c)"- (a b) {cd) oj^ bjr c^ dj>. 

Clebsch, Theorie der binären algebr. Formen. Zi) 



450 Neunter Absclinitt. Typische Barstellung der Formen 

In P kann man das Symbol von 

einführen und erhält 

F=aJ dj" (ai) (ad) ij 
= -i aj^ dj (ad) [(ai) da: — {di) a^] iJ = ^Hi. 

Um Q zu bilden, geht man von der aus den Gleichungen des 
§ 8. folgenden Formel aus : 

{Jb cY ha: by Ca: Cy = 1/ ^/ — \A. {xyf ^ 
verwandelt sie zunächst in 

Q) c)^ Ijc Cx hy Ca = ^.r^ iy i^, ~ \ A {xy) (xs) , 
und setzt dann y,=a^^ y.^^ — a^, z^ = d.^, ^2 = — ^h- ^^^n erhält dann : 
Q = - iJ (ja) iid) a/ dj* + i^ P 
= i ^ P - Y ^^' «-* ^-' ^ (^" cif ^- + {i d)^ aj - {a df iJ } 

Demnach hat man nun: 

12 ^ 2 2 ' 

und also aus (6) den gesuchten Ausdruck: 

(7) {HHy HJ H'J = ^i^ÄP-ipf-^\ iE. 

Die Gleichung (4) aber verwandelt sich mit Hilfe von (4) und (7) 
in die Relation: 

(8) T^ = -\[i,Af'-:^pP-\iHp + H^\ 

In dem vorliegenden Falle nun, wo i identisch verschwindet, 
wird damit auch p^{aif i^^ aj^ identisch Null, und es bleibt also 
die Gleichung: 

(9) T2 + :^'=-^m 

Da nun, wie leicht zu sehen, hier f, H und T keinen Factor 
gemein haben, so folgt, dass die beiden Factoren der linken Seite 



^■^ 6 ' 6 

vollständige Guben biquadratischer Formen sein müssen; man kann 
also solche biquadratische Ausdrücke u, v bestimmen, dass 



ci^) T-\py^^^=2v^ 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§111, 112. 451 

Auch u und v können keinen Factor gemein haben, da T und /"kei- 
nen gemeinschaftlichen Factor besitzen; bildet man also die Gleichung 

= (ll — V) ill —£V) {U — S^ V), 

so folgt, dass die biquadratischen Formen 

u — v, U — EVy U — S-V 

die Quadrate von quadratischen Formen, den Factoren von f sind. 

Man kann daher die Lösung der Gleichung f=0 in folgenden Satz 

zusammenfassen , indem man die Werthe von ti und v aus (10) einführt : 

Die Form f zerfällt (abgesehen von einem con- 

stanten Factor) in die drei quadratischen Factoren, 

welche man aus dem Ausdrucke 

erhält, wenn man darin für s die drei dritten Wur- 
zeln der Einheit setzt. 



§ 112, Typische Darstellung der Form sechster Ordnung, wenn B nicht 

yerschwindet. 

Ich gehe jetzt dazu über, die typische Darstellung für diejenigen 
Fälle zu entwickeln, in denen sie möglich ist. Dabei sind zwei Fälle 
zu unterscheiden, je nachdem R von Null verschieden ist oder nicht. 
Beginnen wir mit ersterem. 

Wenn B nicht verschwindet, so kann man in den Formeln des 
§ 103. X, 31, X durch l, m, n ersetzen-, der dort durch D bezeichnete 
Nenner wird gleich jR, und indem man die Bezeichnungen 

(1) ll = (nl) Ha: h 

beibehält, wird nach § 103. (15): 

(2) E^ f= a,,, A3 -f 3 a,,, P ^ + 3 a,,.^ X^v + 3 a,,, X^i'^ + ß a,,^ X^iv 

+ 3 <7j33 XV^ + a.o, ft^ + 3 a^23 ^2y + 3 «233 ft 1/2 _|_ ^^^ ^3^ 

wo die Coefficienten durch die symbolischen Gleichungen 

a^^^ = (a ly^ (a ly (a VJ a,,., = {a m)' (a mj {a mj 

«112 = (« W (« ^Y (6^ »>^') «223 = (« ^0' (« '^Y (« **)^ 

«113 = («?)' (« 0' (« »^)' «221 = (« ^^0' (« ^'^0' (« ^f 

(3) «333 = {a nf (a ny {a n'y 

a,,, = {anY{any{aiy 
a = {a nf {a ny (a nif 



«123 = («Q^ (« ^^0' («^)^ 



123 

29* 



452 Neunter Abschnitt, Typisclie Parstellimg der Formen 

definirt sind, und l, m, n mit A, ft, v durch die Gleichungen zu- 
sammenhängen [vgl. § 58. (7), (11)]: 

Rl =Aii k-^-Aim n + Ain V 

^ ^ Bn = Änl ?^+ Änrn ^ + Ann V 

Um die Coefficienten anii zu berechnen, gehe ich von den Aus- 
drücken der drei Covarianten 

{a If a/ y (a mf aj- , {a nf «/ 
aus. Nach § 109. iß), (7) hat man 

(am)^a.4 = ^i±^ + i?^. 

Um den Ausdruck der dritten Covariante zu finden, schiebe ich 
zunächst i zweimal über die zweite Gleichung (5) und erhalte links 
die Form {anif {aif ij aj-^ rechts wird aus i jetzt A, aus A wird 

Bi 

[vgl. § 40. (8)] -^ ; endlich ist, wenn P = 9/ gesetzt wird, nach § 8.: 

und daher die zweite Ueberschiebung von i über P: 

((f if iJ (p/ =- (i ly i/ J-iÄii.i^ml-^Äui. 
Daher ist endlich 

r ^2r •^2 • 2 • 2 ^^ 1 ^^^ 1 ^^^ ^ 1 A .' 
(amf {aifß/ 1/ = -^ "^ 18 "^ "2" ~ ^ ^ 

oder wenn man für Au seinen Werth aus § 78. einführt: 
(6) (amf{aiyaJi,-=.?^^ + '^. 

Der gesuchte Ausdruck ist 

(any a/= {aif (imf a/; 
also wenn man hiervon die Gleichung (6) abzieht: 

Der letzte Theil rechts ist gleich: 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Co Varianten. — § 112. 453 

Aber wegen der identischen Gleichung (§ 76., 8atz 1.) 

ist auch, indem man dies einmal über i schiebt: 

(a if [aj {m i) + 3 aj {m a) ijc\ ms = , 
und man kann daher für obigen Ausdruck setzen: 

7)1 1/ 

i (a if nKv cij \ (m i) a.r — (jn a) u- j = ^ {aiy a^^ m/ = ~^. 
Daher wird nun: 

(a ny aj = ., \-7nlj 

und man hat also die drei analogen Darstellungen: 

(7) ^ (amya/=^^^^^-^iV^ 

. .., ^ BA-Ci , , 
o 

Um diese Formeln anwenden zu können, bildet man ihre zweiten 
Polaren. Es ist nach einer oft angewandten Formel: 

(8) A.,-^ A,^' = (n:^ ij r/ - 1 i> . (xyy, 

ferner nach dem Obigen, wenn (p/-—l': 

(9) <p:.^<p,' = Ul',f-^\An{xijy, 

endlich wenn man diese für jede quadratische Form / giltige Formel 
nach den Coefficienten von l difierenzirt und mit denen von m mul- 
tiplicirt und ifj^zml setzt: 

( 10) tJ t,/ - i (7)1 J 1/ + mj^ IJ) - \A„a {xyf. 

Die Gleichungen (7) führen daher mit Hilfe von (8), (9), (10) 
auf die Gleichungen: 

(« If aj a/ = 2 (Uy ^/ i',/- 1 B {xijf ^-\A. ij // 

B Ä AB 

{a7nf a/ a,/ = -^ ij^ i,f + -^ (Itf i/ i'^ g- (xijf 

(11) + i//?V-i^/K^2/)' 

{auf ajay^ = -^{ii'fij,?i'y^— -g- {xyf — -^ i/ iy^ 

+ i (m/lZ + myHJ) - i Ami {xijf. 



454 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

Setzt man hierin statt x^ und —x^, statt y^ und — y.^ in allen 
Combinationen die Werthepaare l^^, k'^ m^, m.^\ n^, n.^, so findet man 
die gesuchten zehn Coefficienten. Doch ist es zweckmässiger, zunächst 
nur für die y jene Werthe zu setzen, und auf diese Weise zunächst 
die Forrüeln abzuleiten, welche die sechs quadratischen Covarianten 

{alf{aiy^ajj ialf {anif aj etc. 

(und zwar ohne Nenner) linear durch l, m, n ausdrücken. Man hat 
dann nur zu beachten, dass 

(iiy ij =m, 

(i ly {i iy i/ = ix^ (i my = n , 

limy (^ iy i'J = ij [iny = q==^B m + ^Cl [§ 78. (2)J 

(i ny (i i'y i'J = iJ (iqy = \ Bn + -^Cm, 

sowie dass 

4 _^'^C^,iABG 

Auf diese Weise erhält man: 
(aiy {aiy aj = -^l + ~m + 2n 

AC . , (2C , AB\ . B 

3 

(12) [a my (am ) a^^=^[-^-\ p— ) ^ — o ^^ + ir ^^ 






18 '''' 



(amy{anyaj^ ("TT + y) ^ ^ KQ'^T') ^'^ ~ 3" 
f .2r '^2 2 (2C'B^ 2ABC\.^(B 

Es ist sehr leicht, hieraus die Coefficienten aikh abzuleiten. In 
der That aber genügen die Ausdrücke (12) selbst bereits vollkommen 
für die typische Darstellung. Denn multiplicirt man dieselben der 
Reihe nach mit 

P, 2kii, 2lv, ii\ 2^v, v^ 

und addirt, so erhält man rechts 

a/ [(^aiy A + iamy ^ + {anf v] [{al'y l + (am') ^' + {jxv^y v\ , 



gerader Ordnung mittelst quadratisclier Covarianten. — §§ 112, 113. 455 

was nach § 58. (10) gleich R^ . aj = R^ . f ist Bezeichnet man also 
die sechs in I, w, n linearen Ausdrücke (12) durch 

^U, (flm, (flu, (Pmm) (frnn , ^nn, 

SO ist 

und es tritt auch ein weiterer Nenner nicht auf, wenn man l, ^i, v 
durch Ij nij n ausdrückt, da die Quadrate und Producte von A, ^, v 
durch l, 7)1, n ohne Nenner darstellbar sind, wie die Formel (3) des 
§ 58. lehrt. Mit Bezug auf diese Formel kann man die Gleichung (13) 
durch den folgenden Satz ersetzen: 

Man erhält Br . f durch l, m, n ausgedrückt, wenn 
man in dem Ausdrucke 



Ai, 


Alm 


Ain 


l 


u 


A,nl 


■^inm 


■^mn 


m 


V 


Änl 


-^nm 


Ann 


n 


IV 


l 


m 


n 








U 


V 


w 









die Quadrate und Producte der u, v, iv durch die 
sechs Ausdrücke (12) ersetzt. 



§ 113. Fall, wo B yersch windet. 

Wenn i^ = 0, so kann man AuAmm — A^mi als von Null ver- 
schieden voraussetzen; denn wenn jener Ausdruck, die Resultante von 
m und l, zugleich mit R verschwindet, so haben nach § 109. die 
Formen Z, m, n einen gemeinsamen Factor, wenn nicht selbst eine 
oder mehrere von ihnen identisch verschwinden, Fälle, in welchen 
eine solche typische Darstellung nicht mehr möglich wird. 

Setzen wir also R = 0, aber AuAmm — A^mi als von Null ver- 
schieden voraus, und führen daher als Grundlage der typischen Dar- 
stellung die Covarianten ?, m und 

ein. Nach § 104. (3) wird der typische Ausdruck von f dann : 
(iAiiAm„,-A^my.f= 



(1) '=' 



n^ I {aV^>y (lA^m-m Ai„,)+(am^i)y {mAu - lA^i) + 2 (avioy v\, 



während 

(2) v' = -i\AmmP-2Amiml + Aum^\. 

Bemerken wir nun, dass die beiden Seiten der Gleichung (1) von 
ungeradem Grade sind, ebenso wie ?, m, während v von geradem 



456 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

• 

Grade ist. Daher müssen die Coefficienten von Pvy ImVj m^v, v^ 
nothwendig Invarianten ungeraden Grades sein. Aber unter den Fun- 
damentalinvarianten ist nur eine von ungeradem Gerade, nämlich B. 
Jene Coefficienten müssen also R als Factor besitzen, mithin in dem 
vorliegenden Falle verschwinden. Und so kann man an Stelle der 
Gleichung (1) die folgende setzen, in welcher der Werth von v'^, sowie 
der entsprechende aus (2) folgende Werth von {avY (avf bereits 
eingetragen ist: 

= n \{aV^^y {lArr,m- m Ain,) + {am^'yf {^mAii - lA,ni)\ 

2=1 

^-?>{Am,ni:'-2A„aml+Aiim'\ 

. \A,„„, {aT) {aiy - 2A,ni {aiy {amy + Au {amf {am'f] 
. {{ary {lAmm—niAin?) + {anfy {mAii—lA,„i)u 

Diese Gleichung zeigt erstlich, dass in diesem Falle /"eine cubische 
Form von l und m allein ist; zweitens, dass in den Coefficienten nur 
noch die vier Ausdrücke zu bestimmen bleiben, welche aus symbo- 
lischen Factoren (a?""))'^, (am^'^ zusammengesetzt sind, und welche 
im vorigen Paragraphen durch 

^1117 ^112 7 ^122} ^222 

bezeichnet wurden. Man erhält dieselben aus den Gleichungen (12) 
des vorigen Paragraphen: 

0^111= TV- Aii+-^ Ain,-{-2Ai„ 

'^B A 

<^112 — ö~ -^inl 1 TT -^in m "T ^ -^^in n 

2C , , i^ . A . 



26' B 



^122 — "ö" A,n l-^ -^ A, 






B' . AAG 



40' \ 



Anil 







— Ti Ai ,„ 


+ §A,„ 


c , 





3 

Der zuerst erwähnte Umstand giebt die Lösung der Gleichung 
sechster Ordnung f=0, wenn ihre Invariante E verschwindet. Be- 
zeichnen wir den rechten Theil der Gleichung (3) durch (p{l,m', so 
können wir folgenden Satz aussprechen: 

Die Gleichung / = ist algebraisch lösbar, so- 
bald ihre Invariante R verschwindet, und zwar 
geht sie dann durch die Substitution 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Co Varianten. — § 113. 457 

(4) , = j 

in die cu bische Gleichung 

9,(1, ^)=.0 
über. 

Hat man diese Gleichung gelöst, so bestimmt jeder Werth von 
zwei Werthsysteme x^, x.,. Man findet diese, indem man die Gleich- 
ung (2) zu Hilfe nimmt. Indem man in dieser l^=mz setzt, hat man 
nun die beiden Gleichungen 
m — lz = 



aus welchen die Verhältnisse x^ :x^x.,:x.^ sich linear bestimmen. Die 
beiden verschiedene)! Werthsysteme, welche demselben z zugehören, 
sind durch das Vorzeichen der Quadratwurzel unterschieden. 

Die geoQietrische Bedeutung dieses Falles ist sehr einfach. Da 
l und Di der Voraussetzung nach keinen gemeinschaftlichen Factor 
haben, so kann man nach § 57. zwei lineare Ausdrücke finden, aus 
deren Quadraten sich l und t)i linear zusammensetzen; es sind dies 
keine andern, als die Factoren von v. Aber dann gehen auch die 
drei linearen Factoren von (p (J , m) in Aggregate derselben Quadrate 
über, und man kann sie durch 

Q m^ — 6¥, Q nf — a' l' , q" m- — 0" l'^ 

darstellen. Mit andern Worten: die drei linearen Factoren von (pQ,m) 
liefern Elementepaare einer Involution, und man hat den Satz: 

Wenn i^ = 0, ohne dass m, l einen linearen Factor 
gemein haben, so entsprechen der Gleichung / = 
drei Elementepaare einer Involution.* 
Dieser Satz lässt sich umkehren. W^enn die Wurzeln von / = 
drei Elementepaaren einer Involution entsprechen, so braucht man 
nur die Doppelelemente der letzteren zu Grunde zu legen, um der 
Function f eine Form zu geben, in welcher alle Coefficienteu unge- 
rader Potenzen verschwinden. Dann enthält aber auch i nur gerade 
Potenzen, daher auch l, m, n. Es müssen also Ij m^ n die Formen 
annehmen : 

l — (/j X-^ ~\~ li-2 «^-j 

m = m^ X{- -f m^ x.^ 

n =. n^ X{ + n.^ x.^^ 

und die Determinante U ihrer Coefficienteu verschwindet also, wie 
zu beweisen war. 



* Siehe Salmon, Lessons etc. 



458 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

§ 114. Die Modulargleichung für die Transformation fünfter Ordnung der 

elliptischen Functionen. 

In einem ganz andern Sinn, als bei dem Verschwinden von B, 
kann man diejenigen Gleichungen sechsten Grades als auflösbar be- 
zeichnen, in welchen gleichzeitig die Invarianten A und G verschwin- 
den. Diese lassen sich nämlich durch eine lineare Substitution in die 
Modulargleichung für die Transformation fünfter Ordnung der ellip- 
tischen Functionen überführen, und der zugehörige Modul der ellip- 
tischen Functionen wird durch eine reciproke biquadratische Gleichung 
bestimmt. Da andererseits in der Theorie der elliptischen Functionen 
die Lösung der Modulargleichung durch einfache transcendente Mittel 
gelehrt wird, so ist die Lösung der angegebenen Classe von Gleich- 
ungen sechsten Grades, wenn auch nicht mehr durch ausschliesslich 
algebraische Mittel, dadurch gegeben. 

Die betreffende Modulargleichung ist nach Jacobi, Fund. S. 27: 

(1) v^^4.u^v^-\-bu^v^ — bu^v^ — ^uv — u^==0, 

wenn % — u^ der ursprüngliche, k = v'^ der transformirte Modul ist. 
Diese Gleichung aber geht durch die lineare Substitution 

wie eine kleine Rechnung lehrt, in die Form über: 

(3) ^« + 5^'^+15 5'^-4^fi-5 = 0, 
wo 

(4) ^^ <l-^0 

der einzige nicht numerische Coefficient der Gleichung ist. 
Setzen wir 

(5) . - = !' 

WO 5, 7^ lineare Functionen von x^j x^ sein sollen, deren Determi- 
nante durch r bezeichnet werden mag, so nimmt die Gleichung (3) 
auch die Gestalt an: 

(6) 9)(|,7i) = 0, 

und (p ist dabei die homogene Function sechster Ordnung: 

(7) 9) = |6 _^ 5 g* i^2 _|. 15 g2 ^4 _ 4 ^ g ^5 _ 5 ^6^ 

Bildet man nun die Co Varianten und Invarianten von /"*, so erhält 
man sogleich: 



* Vgl. Gordan, Annali, Ser. IL t. IL; Joubert, Comptes Rendus, 1867. 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Co Varianten. — § 114. 459 

^ = 

daher, als Invarianten von i: 

(9) ^ 9 ^^''^^^•'^ y xHl->cT 

c = o. 

Durch die vierte Ueberschiebung von i mit f findet man weiter 

(10) ; = _|,2.^-4^ 

sodann^ indem man diese Form und die folgende mit i combinirt: 

2 



7)1 



(11) 5. 



52 



und hieraus ergeben sich weiter die Invarianten: 



■ö 



U-J ^- lö ' 48 ' ' 

sowie die Covariante 

(13) ^ = (nl)7i:.h^-'^^ri.9'-\ 

Es erhellt hieraus die charakteristische Eigenschaft der Modular- 
gleichung, dass ihre Invarianten Ä und ^verschwinden. Man 
ist daher im Stande, gemäss den Principien des § 103. (deren Anwen- 
dung sich indess hier sehr vereinfacht) jede Gleichung sechsten Gra- 
des, bei welcher die Invarianten Ä und C verschwinden, in die Form 
(3) oder (6) zu bringen. In der That, ist /"irgend eine Form, welche 
diese Eigenschaft hat, und bezeichnet man durch obere Striche die 
aus ihr abgeleiteten Formen, so hat man, unter der Voraussetzung, 
dass dieselbe durch eine lineare Substitution mit der Determinante r 
in (p{^, Tj) übergehe, nach dem Vorigen die Gleichungen: 

(14) f 



460 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 



oder man hat 






~ WD 


(15) 






n BH 



Die letzte Formel giebt eine lineare Substitution, da l und d-, 
sobald ^ = 0, (7=^0, stets einen Factor gemein haben. Es ist näm- 
lich die Resultante von %' und l nach der Bezeichnung des § 58.: 

Nun ist D^/ gleich Null, weil %" eine Functionaldeterminante und l 
eine ihrer constituirenden Functionen ist (vgl. § 58.); und nach 
§ 78. (9) wird 

also Null, weil Ä und C verschwinden. So ist also die Resultante 
von d" und l gleich Null, und diese Formen haben einen gemein- 
samen Factor, nach dessen Entfernung die letzte Formel (15) rechts 
in Zähler und Nenner linear ist. 

Die Formel für -^ hängt von r^ ab, während nur r^ völlig, r^ 

nur bis auf das Vorzeichen bestimmt ist. Geht man von einem 
Vorzeichen von r^ zum entgegengesetzten über, so ändert sich nach 
der zweiten Formel (15) auch das Zeichen von ^. Das Quadrat dieser 
letztern Grösse ist wiederum völlig bestimmt, und zwar auf doppelte 
Weise. Aus (15) erhält man 



dagegen aus (9): 



^^ _ß8 - X>J55 ' 



, 9 5 _ 121)^ _ 



Die Vergleichung beider Ausdrücke giebt . * 

■^'"92' 
dies ist nichts anderes als die Form, welche die Identität § 78. (10) 
annimmt, wenn A und C verschwinden. 

I 
Durch die Gleichungen (15^ sind also — und ^ bis auf ein ge- 
meinsames Vorzeichen bestimmt. Dass es auf dieses nicht ankommt, 
sieht man aus der Gleichung (7), welche sich nicht ändert, wenn man 
ri und ft zugleich das Zeichen wechseln lässt. Setzen wir also 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 114. 461 

(16) ,^ = — ä=^, 

4.Y-BB' 

wo das Vorzeichen der Wurzel irgendwie bestimmt sein mag. Es 
wird dann \ 

_ 12 E 

(17) "^ -B^-y-^BB 

1] _ lj/-BB 

^~ 2d- ' 

Diese Substitution führt zu der Form (7). Will man zu der Mo- 
dulargleichung selbst übergehen, so muss man daher die Substitution 



..^. l]/-BB vii^^ + ti 

anwenden. Die Grösse it bestimmt sich^ da u^=x, aus der Gleich- 
ung (4): 

(19) i^i^^ = . '2^ 



und man erhält 16 verschiedene Substitutionen (18), indem man die 
vier Wurzeln % der Gleichung (19), und die vier aas jeder derselben 

fliessenden Werthe der Grösse ti = ]/ x anwendet. 

Nachdem auf diese Weise die Form f in die Form der Modular- 
gleichung gebracht ist, kommt auch ihre Auflösung auf die der Mo- 
dulargleichung zurück. Denkt man sich v der Theorie der ellip- 
tischen Functionen gemäss bestimmt, so giebt die Gleichung (18) die 
Wurzeln der Gleichung f= auf lineare Weise. Die Grösse u war 
dabei nur bis auf eine vierte Wurzel der Einheit bestimmt; aber 
wenn man ii um eine solche, £, ändert, so muss in Folge der Gleich- 
ung (1) auch V um s geändert werden, und die rechte Seite der 
Gleichung (19) erfährt keine Modification. 

Ebenso wenig wird die Auflösung geändert, wenn man an Stelle 
einer W^urzel x der Gleichung (18) eine der drei anderen treten lässt. 
Ist nämlich x eine Wurzel jener Gleichung, so sind die drei anderen: 

Es treten also, wenn man eine dieser Wurzeln statt x einführt, 
an Stelle von ti die Grössen 

"^=f-l' "^-f-r^' "3=/^T^«- 

Zugleich aber sind dann an Stelle der Wurzeln v der Modular- 
gleichung in (19) die Ausdrücke zu setzen: 



462 Neunter Absclanitt. Typische Darstellung der Formen 

' " '{i + XK,)u+ (X -y.,) V' ' ^ (1 + XK,) II + (X - Z,) V ' 

wodurch die Modulargleicliung befriedigt wird, indem nicht blos ^, 
sondern auch seinen Werth beibehält, und also auch die Lösung 
(18) unserer Gleichung sechsten Grades ungeändert bleibt. 



§ 115. Die Grleichung für den Multiplicator der Transformation fünfter 
Ordnung der elliptischen Function. 

Eine andere Classe von Gleichungen sechsten Grades, welche mit 
Hilfe der Theorie der elliptischen Functionen lösbar sind, erhält man 
durch Betrachtung des dem Modul A entsprechenden Multiplicators. 
Ist in Folge einer der im Vorigen benutzten Transformationen fünfter 
Ordnung 

dy _ 1 dx 

so hat man M= — ^ . Dieser Zusammenhang von M mit v 

ist kein linearer mehr, und daher genügt M einer Gleichung sechsten 
Grades mit Invarianteneigenschaften, welche von denen der Gleichung 
für V verschieden sind. 

Wie Hr. Brioschi gezeigt hat, wird die Gleichung für 

die folgende**: 

(1) ^6 _ 4 ^5 _j_ 256 ^2 3C'2 (^ _}_ 1) ^ 0^ (;t'2 ^ 1 _ ^2y 

Das Charakteristische dieser Gleichung ist zunächst, dass die drei 
mittleren Glieder fehlen. Setzt man aber 

(2) ' = ^\' 

multiplicirt noch mit einer beliebigen Constante, und setzt die Gleich- 
ung in der Form an: 

(3) «oi' + 6«i^'^ + 6«5S^' + ^r.^' = 0, 

so bleibt zwischen a^, a^, a^, üq die eine Relation bestehen: 

(4) a^a^ + dttj^ar^^O, 



* Jacobi, Fund. S. 28. 
** Annali di matematica , Bd. 1 , S. 177. 



gera<ler Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — §§ 114, 115. 463 
und um (3) in (1) überzuführen, hat mau die Gleichungen 

128 , ,, 

a^^ = 256 Q K^ x'-. 
Man findet daraus, die Gleichung (4) vorausgesetzt, 

^^^ ^--3^' "" "" - 324 a,^' 

aus welcher letztern Gleichung sich mit Hilfe einer quadratischen 
Gleichung k^ ergiebt. 

Um nun aber weiter den allgemeinen Charakter der Gleichungen 
zu untersuchen, welche die Form (3) annehmen können, bilde ich die 
Invarianten derselben, indem ich |, r] als lineare Functionen von x^y x,^ 
betrachte, deren Determinante gleich 1 sein mag. Die letztere An- 
nahme ist gestattet, da die Veränderung von | und r] um constante 
Factoren nur durch eine Veränderung der Constanten a bedingt wird. 
Ja, von diesen letzteren ist noch eine willkürlich; man kann, wie weiter- 
hin geschehen soll, zwischen den a eine beliebige Relation fest- 
setzen, wenn dieselbe nur nicht ausschliesslich von den Producten 
«Q öfg und «1 «5 abhängt, deren Werthverhältniss allerdings durch die 
vorige Annahme festgelegt wird. 

Man hat nun zunächst, wenn 

aQaQ = öa, a^a-^ = — ^ 
gesetzt wird : 

(6) A = 2{aQaQ-Ga,a^) = l0a, « = yq; 
sodann 

(7) 2 = I >^ (4 «0 «5 1^+2 a^ a^ ^ r; -f 4 a, a^ if)y 
also 

(8) B=Ua\ C = -18a^ 
Hieraus folgen sofort die Invariantenrelationen 

(9) B = l^A^ C = -A^a, 

welche den Charakter der Gleichung bezeichnen. 
Weiter wird 

wo ß den Ausdruck 



464 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

(11) ß = a,'a,' + a,'a,' 

bedeutet. 

Hieraus folgt, dass man eine Form, welche den 
Invariantenbeziehungen 

7 9 

genügt, in die Form 

bringt, indem man als neue Veränderliche die li- 
nearen Factoren des Ausdrucks 

(12) -8ßiir,^m-~l 

einführt. 

Aus dem Ausdrucke von m findet man noch 



(13) i) = 32(J-^^). 



Dies führt auf keine Invariantenrelation, da a und ß durch keine 
Beziehung verbunden sind. Aber es giebt sofort die Bestimmung 



('4) ^=y^-i2 



Dieser Ausdruck darf, damit die vorliegende Umformung möglich 
sei, nicht verschwinden. Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist 

A 

zugleich die Discriminante des Ausdrucks m — —T^l'^ es hat dieser Aus- 
druck also wirklich, wenn ß von Null verschieden ist, zwei verschie- 
dene lineare Factoren, welche denn zur Transformation benutzt wer- 
den können. 

Endlich ergiebt sich noch 

*■ 

(15) n=^ a m -]- IQ a ß Iri + S ß {a^a^l^ -\- a^ÜQ rf). 

Combiniren wir dies mit den Gleichungen (10), so finden wir 

«6 «/ 5' + % «5^ ^' == - ^ 

% ^h l + «1 ^h n ^ p- ; 

und indem wir diese Gleichungen nach 5^, '»^^ auflösen, wobei die 
Determinante der Ausdruck 

(16) y = a^^a,.^-'a^^a^^ 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covariant^n. — § 115. 465 

ist : 

^ , / , n-\- a m— 2 a^ l 

(17) ^ ^^ 

yn= ^0 «ö-j + «ß ^h • gß • 

Nehmen wir die Gleichung (12) hinzu, so sehen wir, dass wir 
den Quotienten — , also die Unbekannte der transformirten Gleichung, 
ohne Wurzelausziehen tindeii, wenn nur die Grössen 

6fo, «1, rt-, öfi, y 
noch bekannt sind. 

Was zunächst y IjetriÖt, so bestimmt man dasselbe durch Bit- 
dung der letzten Invariante Bj welche der aus den Coefficienten von 
l, m y n gebildeten Determinante gleich ist: 

B = 128 f^' y. 

Es ist also 



(Ä-^ 



Zur Bestimmung von a^^ a^, a-^j cIq haben wir die Gleichungen: 
(19) 



ß -\-y 



« i 9 ß—y 

«1 '^*5 = - -3 ? (l'o (^a^= -Y^' ^ 

Diese Gleichungen sind nicht von einander unabhängig; denn es 
folgt daraus die Beziehung 

(20) • ^=-t 

welche dem Umstände entspricht, dass sich B^ durch A, B ^ C , D 
ausdrücken lässt. ^^ber aus (19) erhält man ferner 

a^a^' ^ ß-y ci^a,' ^ ß + y 
«1 a^ 2 cc- ' Gq a- 2 «^ ' 

so dass die Ausdrücke (17) für |-, rj- bis auf Factoren ci^ttej S% 
vollständig bestimmt sind. 

Dass eine der Grössen a unbestimmt bleibt, liegt in der Natur 
der Aufgabe. Um sie willkürlich zu bestimmen, setze ich 

«0 0^5 = « » 
so dass dann nach (19): 

a^ CIq = — a. 
Dann ist endlich: 

C leb seh, Theorie der hinären algebr. Formen. 30 



466 Neunter Abschnitt. Typische Darstellung der Formen 

^,, 1 , y — ß n-\- a m — 2 a"^ l 



4 ' 2« • Sß 

(21) ,_ / y-\-ß t'i + a m - 2a'l 

^4 2a ' ^ Sß 
ß^7]=^m — a ( , 



yri' = a.-r- 



wo 



A ^ i^ 



(22) « = j(j, )' = ^ ^, ß = yf-i2A.aK 



Hier ist nunmehr alles bestimmt. In der Gleichung 

aber werden die Coefficienten : 

% - 6 ^2 ; ^1-18 «2^ ^^^^ - 18 a^' ^« ~ 6 ß^^ ' 

so dass sich dieselbe mit Auslassung des Nenners 6 «- in folgende 
verwandelt : 

Die Gleichungen (5) geben sodann für den üebergang zu der 
Multiplicatorgleichung : 







^ = 2, ^.= 


n 


, »c^'x'^ = i 


v-ß 
'y+ß 


man 


kann 


daher setzen: 












- x^=i 


:('■■ 


y r+ß> 








%■■' = ^ 


^0-/^)- 


— 



Diese Transformation der gegebenen Gleichung ist, wie man aus 
den vorstehenden Formeln sieht, immer möglich, sobald a, ß, y von 
Null verschieden sind; denn auch der Nenner y + ß, welcher hi den 
Formeln für die x vorkommt, führt, wenn er verschwindet, wegen 
der Gleichung (20) auf a = 0. In zweien dieser Ausnahmefälle aber 
verschwindet jR; nämlich beim Verschwinden von ß oder y, da 
B — 128 /3^ y. Da in diesem Falle die Gleichungen sechsten Gra- 
des, wie oben gezeigt, in anderer Weise lösbar sind, so kann derselbe 
hier übergangen werden. Es bleibt also nur der Fall zu betrachten, 
wo « = 0, also A = {), B — O, C = 0, während D und B als von Null 
verschieden angenommen werden (i^^=- — ^D^). 

Diesen Fall kann man bequem mit Hilfe der typischen Darstellung 
behandeln, welche in § 112. gegeben wurde. Da -4, B, C verschwin- 
den, so verschwinden auch An, Aim, A„,„, A„„. Daher sind die 
Gleichungen zwischen /, m, n und A, ft, i» hier [vgl. § 78. (9)] 



gerader Ordnung mittelst quadratischer Covarianten. — § 115. 467 

EI =^Dv 

(23) Bm = D^ 

Rn =DX. 

Sonach geht die identische Gleichung 

I ?,-\-m ^-\- n v = 
in 

(24) 0^21 n + m~, 

und die typische Darstellung in 

R'f=2nl'-\-2Dnvl + ^ v' m , 
oder, indem man die VVerthe der ?., ^, v einführt, in 

(25) j)'f^2n'-i-^-^Pm 

über. Aber da ohnehin /, n wegen Äu — O, Ä„n~0 Quadrate sein 
müssen j so ergiebt sich aus (24) , dass man setzen darf: 

und indem man nun diese Veränderlichen ^, rj in (25) einführt, wird 

Man hat daher folgenden Satz: 

Wenn ^ = 0, 5 = 0, C = i), aber D von Null ver- 
schieden ist, so ist n ein Quadrat und die Wurzel 
von n ist Factor von /. Der übrigbleibende Factor 
fünften Grades lässt sich als Aggregat zweier fünf- 
ter Potenzen darstellen, indem man ]/ n und — ^ als 

j/n 
Veränderliche einführt. 

Die Gleichung sechsten Grades hat also einen rationalen linearen 
Factor und die Auflösung der übrigbleibenden Gleichung fünften 
Grades erfordert nur das Ausziehen einer fünften Wurzel. 



Verbesserungen. 



S. 31, Z. 15 V. u. statt „einen ihrer" lies: „seien ihre". 

S. 161, Z. 4. Von hier bis zum Ende des Paragraphen lese man: 

i 
Im ersten Falle muss also | H negativ, } H^ — -x p positiv 

sein, im zweiten Falle tritt eine der andern Zeichencombinationen 

dieser Grössen ein. Und so haben wir folgenden Satz: 

Wenn *"' — 6j^I>0, so ist entweder H bei beliebigen 

reellen Werthen der x negativ, und zugleich immer 

i 
H^—-^P positiv; dann hat f lauter reelle Wurzeln; 

oder die Wurzeln der Gleichung /"= sind sämmtlich 
imaginär. 
S. 227, Z. ö und Z. 8 v. o. und S. 228, Z. 13 v. u. sind die Sl enthaltenden Terme 
immer mit dem entgegengesetzten Zeichen zu versehen. 



Piuck von B. G. Teubner in Dresden. 



GENERAL LIBRARY 
UNIVERSITY OF CALIFORNIA— BERKELEY 

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This publication is due on the LAST DATE H Sp^j. 



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Suhiecf to roca!' ;»fter~ 

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(6295s4)4188 



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