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Full text of "Théorie de la capillarité"

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THÉORIE 


LA   CAPILLARITÉ. 


OUVRAGES  DE  M.   Emile  MATHIEU. 


Cours  de  Physique  mathématique.  In-4  ;  1878 i5  fr. 

Cet  Ouvrage  peut  être  considéré  comme  le  premier  Volume  d'un  Traité  de  Physique 
mathématique.  L'auteur  y  présente  les  méthodes  d'intégration  dans  cette  branche  de  la 
Science.  Pour  simplifier  cette  exposition,  il  apph'que  ces  méthodes  seulement  à  la  Théorie 
de  la  chaleur  et  à  l'Acoustique;  mais  elles  trouvent  aussi  bien  leur  emploi  dans  l'Électro- 
slatique,  le  Magnétisme,  l'Électrodynamique  et  la  Théorie  de  l'élasticité. 

Dynamique  analytique.  In-4  ;  1878 i5  fr. 

Quand  la  seconde  édition  de  la  Mécanifjiœ  analyticjnc  do  Lagrange  parut,  au  commen- 
cement de  ce  siècle,  elle  pouvait  être  regardée  comme  une  œuvre  accomplie;  mais  difTé- 
rents  géomètres  ont  ensuite  apporté  sur  cette  matière  des  travaux  importants  :  il  était 
donc  utile  de  fondre  les  résultats  nouveaux  avec  les  anciens.  C'est  ce  que  s'est  proposé 
l'auteur  dans  cet  Ouvrage,  en  laissant  de  côté  la  Statique,  à  laquelle  il  avait  été  peu 
ajouté. 


886G  Paris.  —  Imprimerie  de  GAUTHIER-VILLARS,  quai  des  AufTiistins,  55. 


THÉORIE 


DE 


LA  CAPILLARITÉ 


PAR 


M.  EMILE  MATHIEU, 

PROFESSEUR     A     LA     F  A  C  C  L  T  É     DES     SCIENCES     DE     NANCY. 


PARIS, 

GAUTHIER- VILLARS ,  IMPRIMEUR-LIBRAIRE 

DE    l'école    polytechnique,     DU    BUREAU    DES     LONGITUDES, 

SUCCESSEUR  DE  MALLET-BACHELIER , 

Quai  des  Angustins,  55. 

1883 

(Tous  droits  réservés.) 


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A  M.  LE  GÉNÉRAL  MENABREA, 


AMBASSADEUR     D    ITALIE. 


MoNsiEUFx  LE  Général, 

J'ai  désiré  vous  dédier  cet  Ouvrage  comme  à  celui  de  tous  les  savants 
qui  m'a  témoigné  le  plus  d'estime  pour  mes  recherches  scientifiques. 
C'est  pour  moi  une  grande  satisfaction  que  mes  travaux  aient  occupé 
quelques  instants  des  loisirs  d'un  homme  qui,  par  la  politique  et  par 
les  armes,  a  contribué  puissamment  à  l'unité  et  à  la  grandeur  de 
l'Italie.  Mais  ce  plaisir  est  aujourd'hui  mêlé  de  quelque  regret,  c'est 
que  ce  Livre  ne  soit  pas  plus  digne  de  vous  être  dédié. 

Votre  tout  respectueux  serviteur, 
É.' Mathieu. 


PRÉFACE. 


L'Ouvrage  que  j'ai  publié  précédemment  sous  le  titre  de 
Cours  de  Physique  inatliématique  pouvait  être  considéré 
comme  le  premier  Volume  d'un  Traité  de  Physique  mathé- 
matique; le  Livre  actuel  en  forme  le  deuxième  Volume.  Le 
temps  qui  s'est  écoulé  entre  les  publications  de  ces  deux 
Ouvrages  a  été  assez  long;  mais  je  pense  que  les  autres  Vo- 
lumes paraîtront  à  des  époques  beaucoup  plus  rapprochées. 


THÉORIE 

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LA   CAPILLARITÉ. 


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INTRODUCTION. 


Au  commencement  de  ce  siècle,  on  connaissait  un  certain  nombre 
(le  phénomènes  dus  à  la  capillarité,  mais  on  n'avait  aucune  théorie 
pour  les  calculer,  ni  même  les  expliquer. 

La  plupart  de  ces  phénomènes  avaient  été  reconnus  par  Borelli  et 
décrits  par  lui  dans  un  Ouvrage  publié  en  1G70  [voir  Poggexdorff, 
Geschichte  der  Physik). 

Dès  cette  époque,  on  savait  l'inégale  ascension  des  divers  liquides 
dans  un  même  tul)e  capillaire  plongé  dans  un  vase  qui  les  renferme, 
certains  d'entre  eux,  comme  le  mercure,  étant  même  déprimés.  Suivant 
Borelli,  l'ascension  verticale  d'un  liquide  dans  un  tube  capillaiie  cir- 
culaire est  en  raison  inverse  du  rayon  du  tube,  et  l'élévation  du  liquide 
entre  deux  lames  parallèles  est  la  même  que  dans  un  tube  dont  le 
rayon  est  égal  à  la  distance  des  lames.  Quand  les  liquides  sont  suscep- 
tibles de  mouiller  les  tubes,  on  obtient  des  résultats  plus  facilement 
comparables  en  humectant  de  liquide  l'intérieur  des  tubes. 

Comme  le  reconnut  le  même  physicien,  deux  lames  verticales  et 
parallèles,  très  voisines,  plongeant  dans  un  même  liquide,  s'attirent 
réciproquement,  soit  que  le  liquide  s'élève  entre  les  deux  lames,  soit 
qu'il  s'y  abaisse  ;  mais  elles  se  repoussent  au  contraire  si  le  liquide 
s'élève  sur  l'une  et  s'abaisse  sur  l'autre. 

Borelli  attribuait  aussi  à  la  capillarité  le  fait  d'une  petite  aiguille 


■2  INTRODUCTION. 

d'acier  qui  reste  à  la  surface  de  l'eau,  quand  on  l'y  a  posée  avec  pré- 
caution. 

Une  colonne  d'eau  renfermée  dans  un  tube  conique,  ouvert  à  ses 
deux  extrémités  et  maintenu  horizontal,  se  porte  vers  le  sommet  du 
tube.  Une  colonne  de  mercure  dont  la  surface  est  convexe  s'éloigne  au 
contraire  du  sommet.  Si  l'on  incline  l'axe  du  tube  renfermant  la  co- 
lonne liquide  sous  un  angle  suffisant,  l'action  capillaire  pourra  faire 
équilibre  au  poids  et  la  colonne  restera  suspendue.  On  peut  également 
maintenir  suspendue  une  goutte  liquide  entre  deux  lames  qui  forment 
un  très  petit  angle  et  se  rencontrent  suivant  une  droite  horizontale,  et, 
en  faisant  varier  l'inclinaison  du  plan  bissecteur,  on  voit  que  le  sinus 
de  cette  inclinaison  est  en  raison  inverse  du  carré  de  la  distance  du 
milieu  de  la  goutte  à  l'intersection  des  deux  lames.  Hawksbee,  en  1713, 
étudia  l'équilibre  d'une  goutte  ainsi  suspendue. 

Tels  sont  les  principaux  faits  qui  étaient  connus  dans  la  théorie  de 
la  capillarité  au  commencement  du  siècle  actuel,  et,  comme  on  voit, 
ils  l'étaient  déjà  depuis  longtemps  ;  mais  aucun  n'avait  été  expliqué 
par  l'Analyse  mathématique. 

Clairaut  avait  bien  essayé,  en  I7^i3,  dans  sa  Théorie  de  la  figure  de  la 
Terre,  de  soumettre  au  calcul  l'élévation  des  liquides  dans  les  tubes 
capillaires  ;  mais  de  son  analyse  exacte  et  rigoureuse  il  ne  put  déduire 
la  loi  de  cette  élévation,  parce  qu'il  n'a  pas  admis  que  l'attraction  du 
tube  sur  le  liquide  est  insensible  à  des  distances  excessivement  faibles 
et  incomparablement  plus  petites  que  le  rayon  du  tube.  Il  trouva  que  le 
poids  du  liquide  soulevé  dans  le  tube  doit  faire  équilibre  à  l'action  du 
ménisque  et  à  l'action  directe  du  tube.  S'il  avait  supprimé  cette  der- 
nière action  comme  insensible,  il  eût  immédiatement  résolu  la  ques- 
tion. 

En  i8o5,  Thomas  Young,  A'aw^Xgs  PhUosophical  Transactions,  avait 
assimilé  la  surface  libre  d'un  liquide  à  celle  d'une  membrane  égale- 
ment tendue  dans  tous  les  sens  et  il  en  avait  conclu  le  premier  l'équa- 
tion aux  différences  partielles,  à  laquelle  satisfait  cette  surface.  Mais, 
comme  le  dit  Poisson  et  comme  Laplace  l'avait  remarqué  auparavant, 
«  l'identité  entre  la  surface  du  licjuide  et  celle  d'une  membrane  ne 
peut  être  que  la  conséquence  et  non  le  princij)e  de  la  solution  du 
problème   ». 


INTROnrCTION.  3 

Laplace  publia  \o  prnmior,  on  iSoG,  nno  véritable  théorie  mathé- 
matique de  l'action  capillaire  (en  premier  et  second  Supplément  au 
Livre  X  de  la  seconde  Partie  de  la  Mécanique  céleste)  (  '  ),  et  ce  travail  de 
l'illustre  géomètre  est  un  de  ses  principaux  titres  à  la  célébrité.  En  se 
fondant  sur  le  principe  de  l'attraction  du  liquide  sur  lui-même  et  sup- 
posant qu'elle  n'a  lieu  qu'à  des  distances  insensibles,  il  commence 
par  déterminer  l'équation  aux  différences  partielles  de  la  surface  capil- 
laire ;  puis  il  explique  et  calcule  tous  les  phénomènes  connus  jusqu'a- 
lors dans  cette  théorie  et  que  j'ai  commencé  par  rappeler.  Il  calcula 
aussi  l'adhérence  d'un  disque  à  la  surface  des  liquides,  la  figure  d'une 
large  goutte  de  mercure  posée  sur  un  plan  horizontal  et  la  dépression 
dans  un  large  tube  barométrique  due  à  la  capillarité. 

Les  résultats  obtenus  par  Laplace  ont  été  vérifiés  par  les  expériences 
de  Gay-Lussac. 

Gauss,  à  son  tour,  s'occupa  des  principes  de  cette  théorie  dans  un 
Mémoire  \n\\i\\\ii  Principia  generalia  theoriœ  figiuxe  fluidonim  in  statu 
œquilihni,  i83o  (Gauss,  Werke,  t.  Y).  Il  remarqua  que  les  objections 
qui  avaient  été  faites  contre  la  théorie  de  Laplace  sont  en  général  sans 
valeur  [vel  levis  vel  nullius  momenti).  Le  seul  défaut  grave  de  cette 
tlréorie,  suivant  lui,  est  d'avoir  accepté  d'abord  sans  démonstration  la 
constance  de  l'angle  de  la  surface  du  liquide  avec  la  partie  de  la  paroi 
touchée  par  le  liquide,  et  cette  lacune  n'avait  pas  même  été  remarquée 
des  détracteurs  de  Laplace.  Il  est  vrai  que,  dans  la  seconde  partie  de 
sa  théorie,  Laplace  est  revenu  sur  la  constance  de  cet  angle  et  qu'il  en 
détermine  même  la  valeur  en  fonction  des  constantes  d'attraction  ; 
mais,  outre  que  cette  démonstration  est,  suivant  Gauss,  peu  satisfai- 
sante, elle  ne  s'applique  qu'à  une  paroi  verticale.  Cependant  le  prin- 
cipal mérite  de  la  théorie  de  Gauss  n'est  pas  d'avoir  comblé  cette 
lacune.  Ce  géomètre  cherche  la  fonction  de  forces  qui  régit  le  liquide 
et  dont  la  variation  égalée  à  zéro  donne  l'équation  générale  du  principe 
des  vitesses  virtuelles.  Cette  fonction  renferme,  outre  un  terme  qui 
provient  de  la  pesanteur,  deux  intégrales  sextuples;  mais,  par  des 
transformations  analytiques,  il  les  ramène  à  la  somme  de  deux  termes 
proportionnels,  l'un  à  la  surface  libre  du  liquide,  l'autre  à  la  surface 


(I)  (A.m'ics  (oiiipiciis  dt   J.dpicic,  t.  IV;  iSî^o. 


4  INTROnrCTION. 

du  vase  touchée  pai'  le  liquide.  Ce  résultat  est  certainement  le  plus 
remarquable  de  ce  Mémoire. 

M.  Bertrand  a  montré  que  l'analyse  de  Gauss  pouvait  être  simplifiée 
dans  plusieurs  de  ses  parties. 

Presque  aussitôt  après  la  publication  du  Mémoire  de  Gauss,  Poisson 
fit  paraître,  en  i83i,  ^a  Nouvelle  Théorie  de  l'action  capillaire,  oii  il  ne 
cite  d'ailleurs  Gauss  que  dans  le  préambule.  Il  reproche  à  Laplace 
d'avoir  établi  sa  théorie  sans  tenir  compte  du  chaugement  de  densité 
d'un  liquide  tout  près  de  sa  surface  libre  et  aussi  tout  près  des  sur- 
faces qui  sont  en  contact  avec  un  corps  solide  ;  la  théorie  de  Gauss  a 
d'ailleurs  le  même  défaut.  Pour  avoir  les  équations  des  phénomènes 
capillaires,  il  ne  suffit  donc  pas  d'avoir  égard  à  la  courbure  des  sur- 
faces des  liquides,  il  faut  encore  tenir  compte  de  leur  état  particulier 
vers  leurs  limites.  Par  des  calculs  foi't  compliqués,  mais  extrêmement 
bien  conduits,  il  retrouve  l'équation  aux  différences  partielles  de  la 
surface  capillaire  et  démontre  la  constance  de  l'angle  de  raccorde- 
ment. Les  équations  sont  les  mêmes  que  dans  la  théorie  de  Laplace, 
avec  cette  seule  différence   que   les  deux   constantes  qui   y   entrent 
prennent  une  signification  plus  compliquée.  La  théorie  de  Poisson  est 
certainement  exacte,  mais  on  pourra  voir  dans  le  Chapitre  I  de  mon 
Ouvrage  qu'il  n'est  pas  nécessaire  d'employer  des  calculs  si  difficiles 
pour  modifier  la  signification  de  ces  constantes.  On  peut  aussi  juger 
par  le  seul  Chapitre  Y  de  son  Livre  que  Poisson  a  pris  cette  théorie  par 
un  côté  très  difficilement  accessible.  Il  étudie  en  effet  dans  cet  endroit 
les  modifications  de  la  pression,  sur  un  corps  plongé  en  partie  dans 
un  liquide,  par  l'action  capillaire.  Mais,  bien  qu'il  déploie  dans  cette 
recherche  la  plus  grande  habileté,  il  ne  parvient  à  résoudre  complète- 
ment la  question  que  pour  un  corps  de  révolution  dont  l'axe  est  ver- 
tical. J'ai  traité  le  même  sujet  dans  le  Chapitre  IV  de  mon  Livre  d'une 
manière  complète  pour  un  corps  de  forme  quelconque.  Je  l'ai  même 
traité  deux  fois  :  d'abord  par  des  démonstrations  synthétiques  et  plus 
faciles,  ensuite   par  des  démonstrations  analytiques  ;  car  je   montre 
que  les  premières  sont  insuffisantes  ;  j'arrive  des  deux  manières  aux 
mêmes  résultats.  Je  termine  ce  Chapitre  en  montrant  l'accord  de  ma 
théorie  avec  celle  de  Poisson. 

Depuis  la  publication  de  l'Ouvrage  de  ce  célèbre  géomètre,  le  champ 


INTRODUCTTON.  5 

des  expériences  relatives  à  la  capillarité  s'est  beaucoup  agrandi  et  a 
fourni  de  nouveaux  éléments  à  la  théorie. 

Hagen,  Brunner,  Edouard  Desains,  Bède,  M.  Quet  ont  étudié  avec 
une  grande  précision  l'élévation  ou  la  dépression  des  liquides  par  la 
capillarité  et  ont  démontré  l'accord  des  faits  avec  la  théorie.  Mais 
on  sait  maintenant  qu'une  très  légère  altération  de  la  surface  d'un  li- 
quide par  le  contact  de  l'air  peut  modifier  beaucoup  la  constante  ca- 
pillaire. On  sait  aussi  que  l'angle  de  la  surface  d'un  liquide  avec  un 
corps  solide  est  susceptible  encore  de  plus  grandes  variations.  Cet 
angle  constant,  d'après  la  théorie  qui  suppose  que  le  liquide  reste  tou- 
jours identique  à  lui-même,  peut  varier  beaucoup  si  le  liquide  ou  seu- 
lement sa  partie  superficielle  vient  à  s'altérer. 

Gay-Lussac  ne  connaissait  pas  la  grande  variation  de  cet  angle  pour 
le  mercure.  Ainsi,  à  la  demande  de  Poisson,  il  a  mesuré  la  hauteur  de 
gouttes  de  mercure  de  différentes  grosseurs,  après  en  avoir  déterminé 
le  poids.  Or,  en  m'occupant  du  calcul  de  la  figure  de  ces  gouttes,  j'ai 
pu  reconnaître  [l'oir  Chapitre  V)  que  l'angle  de  raccordement  qu'elles 
formaient  avec  le  plan  de  verre  sur  lequel  elles  reposaient,  et  qui  était 
considéré  comme  constant  par  Gay-Lussac,  a  varié  d'une  goutte  à  l'autre. 
Ces  expériences  auraient  présenté  plus  d'intérêt  s'il  avait  déterminé  la 
plus  grande  largeur  des  gouttes,  au  lieu  de  leur  hauteur. 

Enfin,  pour  achever  de  citer  seulement  les  principales  recherches  des 
physiciens,  je  rappellerai  que  Hagen  a  employé  le  premier  le  compte- 
gouttes  pour  déterminer  la  constante  capillaire,  que  Dupré  a  prouvé 
directement  la  tension  superficielle,  que  Plateau  et  Quincke  ont  déter- 
miné la  limite  des  distances  des  attractions  moléculaires  et  que  Plateau 
a  étudié,  dans  des  expériences  célèbres,  les  figures  d'équilibre  que  peu- 
vent prendre  les  liquides  sans  pesanteur. 


CHAPITRE    I. 


CHAPITRE  I. 

DES  PRINCIPES  DE  LA  THÉORIE  DE  LA  CAPILLARITÉ. 


1.  Dans  la  tlicorie  de  la  capillarité,  comme  son  nom  l'indique,  on 
cherche  à  déterminer  l'élévation  ou  la  dépression  des  liquides  dans 
des  tuhes  très  fins;  mais,  plus  généralement,  on  s'y  propose  d'étudier 
l'équilihre  des  liquides  mis  en  contact  avec  des  corps  solides. 

Le  senl  fait  sur  lequel  nous  nous  appuierons  d'ahord,  c'est  (jue  la 
surface  d'un  liquide  ne  varie  pas,  quand  on  change  l'épaisseur  des  parois 
du  vase  dans  lequel  il  se  trouve,  quelque  Aiihle  qu'on  rende  cette 
épaisseur.  11  en  résulte  évidemment  que  les  actions  capillaires  s'exercent 
à  une  distance  excessivement  petite. 

Il  est  aisé  de  comprendre  que  la  densité  d'un  liquide  doit  varier 
dans  le  voisinage  des  surfaces  qui  le  terminent,  soit  que  ces  surfaces 
demeurent  lihres,  soit  qu'elles  couvrent  d'autres  corps.  A  une  distance 
sensihle  de  ces  surfaces,  un  liquide  pourra  être  regardé  comme  de 
densité  constante,  chaque  molécule  étant  pressée  par  toutes  les  molé- 
cules situées  dans  sa  sphère  d'activité,  dont  le  rayon  t  est  très  petit, 
d'après  ce  qui  vient  d'être  dit.  Mais,  si  l'on  considère  une  molécule  à 
une  distance  de  la  surface  lihre  qui  soit  moindre  que  le  rayon  d'acti- 
vité moléculaire,  la  force  comprimante,  qui  proviendra  alors  de  la 
partie  comprise  entre  la  surface  libre  et  la  surface  parallèle  menée  par 
la  molécule,  sera  moindre  que  précédemment.  La  densité  du  liquide 
sera  donc  moindre  en  ce  point  qu'à  l'intérieur  du  li(|ui(le  et  décroîtra 
jusqu'à  la  surface.  La  couche  d'épaisseur  s,  dont  l'une  des  faces  est  la 
surface  libre  du  liquide,  étant  d'une  densité  moindre  que  celle  qui  a 
lieu  à  une  profondeur  sensihle,  exercera  sur  l'autre  face  une  jtression 
moindre  que  celle  à  la(}uelle  sont  soumises  les  molécules  situées  à  une 
profondeur  plus  grande.  Ainsi  la  densité  du   liquide  doit  être  consi- 


DES    PRINCIPES    DE    LA    THEORIE    DE    LA    CAPILLARITE.  'J 

dérée  comme  variable  vers  la  surface  libre  et  jusqu'à  une  profondeur 
plus  irrande  que  le  rayon  d'activité. 

On  voit  de  même  que  la  densité  d'un  liquide  doit  changer  aux  en- 
virons d'une  paroi  ou  d'un  autre  liquide  et  y  être  tantôt  plus  grande, 
tantôt  moindre  qu'à  l'intérieur  du  premier  liquide. 

Laplace  n'a  point  fait  entrer  dans  ses  calculs  sur  la  théorie  de  l'action 
capillaire  ce  changement  de  densité,  et  l'a  regardé  comme  négligeable. 
Mais  c'est  à  tort  qu'on  a  prétendu  souvent  qu'il  la  croyait  constante; 
il  dit  au  contraire,  à  la  fin  de  cette  théorie,  que  cette  densité  change 
vers  les  limites  du  liquide. 

Application  du  priivipe  des  vitesses  virtuelles. 

2.  Considérons  un  liquide  en  contact  avec  un  corps  solide  et  appli- 
quons à  ce  système  le  principe  des  vitesses  virtuelles. 

Soient  m,,  //z^,  . . .,  m^,  . . .  les  molécules  du  li(juide  et  M,,  31.,,  . .  ., 
M^,  ...  les  molécules  du  corps  solide.  Désignons  par  r,,^  la  distance 
entre  rrii  et  m^,  et  par  R/,^  la  distance  entre  m^  et  M^;  représentons  aussi 
par/(/',,J  la  fonction  qui  exprime  l'attraction  entre  nii  et  m^,  et  par 
F(R,,J  celle  qui  donne  l'attraction  entre  m,  et  M,. 

Prenons  un  système  d'axes  rectangulaires  des  r,  y,  z,  dont  l'axe 
des  z  soit  vertical  et  mené  de  bas  en  haut.  Le  moment  virtuel  de  la 
pesanteur  sur  la  molécule  m  sera  —  gm})z,  Iz  étant  le  déplacement  vir- 
tuel de  m  suivant  la  verticale,  et  g  l'accélération  due  à  la  pesanteur. 
Le  moment  virtuel  des  deux  forces  égales  et  contraires  qui  s'exercent 
entre  m^  et  m^,  provenant  de  la  variation  ^r,_^  de  leur  distance,  a  pour 
valeur 

et  le  moment  qui  résulte  des  actions  entre  m^  et  M^  est  de  même 

-/;/,M,  F(U,-,.,)oU,-,,. 

Le  système  étant  supposé  en  équilibre,  on  aura,  d'après  le  principe 
des  vitesses  virtuelles,  en  indiquant  les  sommations  avec  le  signe  S, 

la  première  somme  s'étendant  à  toutes  les  molécules  m  du  liquide;  la 


CllAl'lTl'.K   I. 


seconde  somme,  qui  est  double,  s'étendant  à  chaque  arrangement  de 
deux  molécules  W/,  Wj  du  liquide;  enfin  la  troisième  somme,  double 
également,  s'obtient  en  prenant  chaque  molécule  tni  du  liquide  avec 
une  molécule  quelconque  M^  du  corps  solide.  On  a  mis  le  facteur  ^ 
en  avant  de  la  première  somme  double,  afin  de  ne  pas  prendre  deux 
fois  un  terme  provenant  de  l'action  mutuelle  entre  deux  molécules  du 
liquide. 

Nous  regarderons/(r)  et  F(R)  comme  tout  à  fait  nuls,  dès  que  ret  R 
dépasseront  des  quantités  très  petites  e  et  a';  nous  pouvons  donc  poser 


f    Y{r)dr^  I     l<{r)dr:r.<i^{r), 


(p(r)  et  <î>(r)  étant  deux  fonctions  positives,  puisque  tous  les  éléments 
des  intégrales  sont  positifs.  Nous  en  déduisons 

—  J\r)dr=z(/o{r),     —  F( /•)  r//' =  r/ '!•(/•). 

Ainsi  l'équation  du  principe  des  vitesses  virtuelles  deviendra 

Si  nous  désignons  par  U  la  fonction  de  forces  pour  tout  le  système 
et  que  nous  posions  en  conséquence 

U  ^—i^'è/n  z  +  !,  S,S,w,///,s-  'f  ('•/,.)  +  S,-S,m,M,1'(R/„0, 

nous  réduirons  cette  équation  à 

(a)  oU-^o. 

Prenons  un  point  à  l'intérieur  du  li(|uide  et  situé  à  une  distance  sen- 
sible de  sa  surface.  Désignons  par  L  la  somme  S//Z9(/-)  étendue  à  toutes 
les  molécules  m  d'une  sphère  dont  le  centre  est  à  ce  point  du  liquide 
et  dont  le  rayon  est  celui  de  la  sphère  d'activité.  Si  nous  sommons  la 
quantité  m'L  pour  toutes  les  molécules  du  liquide,  cette  somme  restera 
constante,  quelle  que  soit  la  forme  afrectée  par  la  masse  donnée  du 
liquide. 


DES  Pr.LNCIPES  DE  L\  THKOP.IE  DE  I.A  CAPILI.AUITE.  -  C) 

Nous  allons  employer  cette  considération  à  la  simplification  de  la 
somme 

ib)  S,S,/«,//^,o(/V,,). 

3.  Supposons  d'abord  que  le  liquide  soit  entièrement  homogène, 
même  vers  sa  surface.  Si  nous  sommons  la  quantité  m'L  pour  toutes  les 
molécules  du  li(juide,  nous  obtiendrons  une  somme  LSm'  plus  grande 
que(^);  car  elle  comprendra,  outre  la  somme  [b),  \e potentiel Aq  la  masse 
liquide  sur  une  couche  fictive  excessivement  mince  de  ce  liquide,  re- 
couvrant cette  masse  et  dont  l'épaisseur  constante  est  égale  au  l'ayon  i 
de  la  sphère  d'activité. 

(J'étends  ici  le  mot  àa  potentiel  à  une  attraction  autre  que  celle  de 
l'inverse  du  carré  de  la  distance.) 

Désignons  par  y,  une  molécule  de  cette  couche  fictive;  nous  aurons 

/^désignant  dans  la  dernière  somme  la  distance  de  la  molécule  fictive  [j. 
à  une  molécule  quelconque  du  liquide.  Le  premier  terme  du  second 
membre  est  constant,  la  masse  du  liquide  restant  invariable.  D'autre 
part,  l'épaisseur  s  de  la  couche  est  en  général  excessivement  petite  par 
rapport  aux  rayons  de  courbure  de  la  surface  du  liquide  et  o(/)  est  nul 
pour  /•>  s;  il  est  donc  évident  que  SSy.wo(r)  est  proportionnel  à  la 
surface  du  liquide,  à  des  quantités  près  tout  à  l'ait  négligeables. 

Ainsi,  en  désignant  par  T  la  surface  entière  du  liquide  et  par/»  une 
quantité  constante  positive,  on  a,  pour  la  variation  de  la  quantité  [h), 

(c)  )r)  sailli  1)1,0  'f(/v,.s-)  ^—  P  5T. 

La  démonstration  de  cette  formule  suppose  que  le  liquide  reste  ho- 
mogène jusqu'à  sa  surface.  Nous  allons  maintenant  supposer  que  le 
liquide  change  de  densité  dans  les  environs  de  sa  surface  et  examiner 
comment  cette  dernière  formule  se  modifie. 

Modification  de  la  fornude  [e)   dans  r/iypothèse  d'un  changemeii! 
de  densité  da//s  le  liquide. 

4.  Pour  simplifier,  admettons  d'abord  que  la  surface  du  liquide  est 
entièrement  libre.  Soient  aa'  {/ig.  i)  la  sui'face  de  ce  liquide  et  h//  la 


lO 


CIIAPITHE  1, 


limite  inférieure  de  la  couelie  de  densité  moindre  que  la  densité  p  de 
l'intérieurdu  licjnide;  la  surface />// est  parallèle  à  rï^' et  à  iinedistaMce/; 
de  cette  dernière  surface,  plus  grande  que  le  rayon  d'activité  s. 


FilT.   1. 


Condensons  par  la  pensée  cette  couche  d'épaisseur  •/;,  de  manière 
qu'elle  prenne  partout  la  densité  p  et  l'épaisseur  w,  alors  la  surface  ex- 
térieure du  liquide  viendra  en  ce' ,  surface  parallèle  aux  deux  précé- 
dentes. 

Considérons  la  quantité  LSw,  S/^z  représentant  la  somme  de  toutes 
les  molécules  renfei'mées  dans  la  partie  B  du  liquide  comprise  sous  la 
surface  hh' ,  et  dans  la  couche  condensée  cc'hh'  que  nous  appellerons  A. 
Si  l'on  suppose  que  la  surface  extérieure  aa'  vienne  à  se  modifier,  non 
seulement  LS/?z  restera  constant,  mais  le  volume  renfermé  sous  la  sur- 
face ce'  sera  lui-même  constant  et,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  dans 
le  numéro  précédent,  le  potentiel  de  ce  liquide,  compris  dans  <:'c',  sur 
lui-même  est  égal  à  l'expression 

(i)  jLS///  —  iSS;x/;/o(/'), 

oij  la  somme  douhle  représente  le  potentiel  de  A  sur  une  couche  placée 
surrr'  et  ayant  la  densité  p  et  l'épaisseur  £. 
Pour  avoir  h;  potentiel  total 

(2)  lS,S,;;/,;;/,'^(/V,.0, 

il  suffira  de  l'etrancher  de  la  valeur  (i)  le  potentiel  de  la  couche  A  sur 
le  liquide  B  et  sur  elle-même,  et  d'y  ajout(u*  le  potentiel  de  la  couche 
»'raie  hh' aa'  sur  le  liquide  B  et  sur  elle-même. 

D'après  cela,  désignons  par  v>,  rz'  deux  molécules  quelconques  de  la 
couche  fictive  A,  et  par.v,  v'  deux  molécules  quelconques  de  la  couche 
vraie  ad  hh' .  Désignons  aussi  par  m'  une  molécule  (juelconque  de  B. 
Le  potentiel  de  la  couche  A  sur  B  et  sur  elle-même  sera 


DES    PRINCIPES   DE   LA  THÉORIE  DE   LA   CAPILLARITE.  I  I 

et  celui  de  la  couche  aa'hb'  sur  B  et  sur  elle-même  sera 

SSm'v'^(/')  +  iSSvv''^(/-), 

r  représentant  dans  chacune  de  ces  sommes  la  distance  entre  les  deux 
molécules  qui  y  sont  indiquées. 

Nous  en  concluons,  pour  l'expression  (?.), 

!^  S/S,s/^///y/,-T  (/•/,, S-)  =  H^^/'i^  \  SS//rj.'j(/') 
^SS/«'r;T'f(/')  —  ^-SSTOro'o(/') 
+  SS//<'v  o(/-)    -H  ,lSSvv'o(/-\ 

Les  termes  de  la  deuxième  ligne  sont  respectivement  plus  grands  que 
ceux  de  la  troisième. 

Si  l'on  conçoit  que  la  surface  extérieure  du  liquide  change,  la  quan- 
tité ^LSm  restera  invariahle.  Ensuite,  d'après  ce  que  nous  avons  re- 
connu (n"  3),  la  première  somme  double  de  la  formule  précédente  est 
proportionnelle  à  la  surface  T  du  liquide,  et  l'on  voit  de  la  même  ma- 
nière que  les  quatre  autres  sommes  doubles  sont  proportionnelles  à  cette 
même  surface  :  donc,  A  et  K  étant  deux  constantes  positives  dont  la 
première  représente  H^Sm,  le  second  membre  de  la  formule  (3)  peut 

s'écrire 

A  —  KT. 

5.  Concevons  ensuite  (jue  la  surface  T  du  liquide  ne  soit  plus  entiè- 
rement libre,  mais  qu'elle  se  compose  d'une  partie  libre  n  et  d'une 
partie  H  en  contact  avec  un  corps  solide  ou  un  autre  liquide.  Nous  sup- 
poserons encore  que  la  couche  terminée  par  a  et  de  densité  moindre 
que  p  ait  l'épaisseur  r,,  et  que  celte  couche  condensée  jusqu'à  la  den- 
sité p  prenne  l'épaisseur  a.  Et  pareillement  nous  supposerons  (|ue  la 
semblable  couche  terminée  par  i^  ait  l'épaisseur-/;,  et  (jue,  ramenée  à 
la  densité  p,  elle  ait  l'épaisseur  u^. 

Désignons  encore  par  n  ou  rr,  chaque  molécule  de  la  couche  fictive 
d'épaisseur /i  ou  //,  et  par  v  ouv,  chaque  molécule  de  la  couche  vraie 
d'épaisseur  r,  ou  r,,.  Alors,  pour  avoir  l'expression  de  la  (|uantité  (2), 
il  faudra,  au  second  membre  de  la  formule  (3),  ajouter 


12  CHAPITRE  I. 


Désignons  par  A,  B,  C,  D  des  nombres  constants;  nous  pourrons 
représenter  ^LSm  par  A,  SSmao(r)  par  B('7  -+-  £>),  la  somme  da  quatre 
derniers  termes  du  second  meml)re  de  (3)  par  —  (''7  et  la  somme  (4) 
par  —  Di^.  Nous  aurons  donc 

iS,S,/;^■w,'v(/v,.s.)—  \—  -(a+o)  — Ct     -Dt>, 

A,  B  et  C  étant  positifs  et  D  positif  ou  négatif.  Les  termes  —  Ct— Di2 
sont  ceuxqui  proviennent  du  changement  de  densité  du  li(|uide  vers  ses 
limites. 


Nouvelle  forme  de  V équation  du  principe  des  vitesses  virtuelles. 

C.   Supposons  que  l'on  ait  un  seul  liquide  qui  se  trouve  au  contact 
d'un  solide  par  la  surface  12.  La  quantité 

S/S,/;/,-M,<I'(U,-,s-), 

qui  entre  dans  l'expression  de  U  (n'*  2),  est  proportionnelle  à  12  et  peut 
être  représentée  par  Ei2,  E  étant  une  constante  positive.  On  peut,  dans 
cette  même  expression  de  U,  remplacer  g'èmz  par 


g?      :-dTT^, 


l'iutégrale  s'étendant  à  tous  les  éléments  dvî  du  volume  du  liquide.  On 
au  l'a  donc 

L  =  -  ,s^pfz  dr.  +  A  -  (^^  +  c)  .  -  (!1  -,  -  I)  -  e)  <>. 

Dans  le  cas  où  l'on  suppose  C  (;t  1)  nuls,  on  obtient  la  formule  donnée 
par  Gauss.  Cette  fonction  doit  être  substituée  dans  l'équation 

oUrrO. 


Remarques  sur  les  principes  employés  dans  les  numéros  précédents. 

7.  Outre  l'attraction  entre   deux  molécules,   il  peut  y  avoir  entre 
elles  nue  répulsion  calorifique;   mais,  pour  eu  tenir  compte,  il  suffit 


l)i:S   I>niN(',ll>KS   DE  LA   TlIKOniE  DE   LA   CAPILLAUITÉ.  l3 

(l'admettre  que,  dans  le  n°  2,  les  fbnctions/(/)  etF(/)  représentent  la 
somme  de  ces  deux  actions. 

Nous  admettons  donc  seulement  que  l'action  totale  entre  deux 
molécules  n'est  fonction  que  de  leur  distance.  Cependant  on  peut 
douter  que  cette  action  soit  aussi  simple.  On  conçoit  en  effet  que  les 
molécules  liquides  au  voisinage  du  corps  solide  puissent  prendre  une 
orientation  déterminée,  et  l'action  entre  deux  molécules,  l'une  liquide, 
l'autre  solide,  pourrait  dépendre  non  seulement  de  leur  distance,  mais 
encore  de  la  disposition  de  la  molécule  liquide  par  rapport  à  la  droite 
qui  la  joint  à  la  molécule  solide.  Toutefois  il  suffit  que  l'expi-ession  du 
moment  virtuel  de  la  force 

où  X,  Y,  Z  sont  les  composantes  de  cette  force,  soit  une  différentielle 
exacte,  pour  que  les  résultats  obtenus  dans  ce  qui  précède  restent 
applicables.  L'intégrale  de  cette  différentielle  remplacera  la  fonc- 
tion <i>(R)  et  l'on  reconnaîtra  facilement  que  la  somme  qui  remplacera 

S,S,/y^M,*(R,-,,) 

pourra,  comme  au  numéro  précédent,  être  représentée  par  Ei2,  E  étant 
constant. 

On  verra  également  que,  si  les  molécules  du  liquide  ont  une  certaine 
orientation  auprès  de  la  surface  libre  et  que  le  moment  virtuel  de  leur 
action  mutuelle  soit  une  différentielle  exacte,  l'expression  qui  rempla- 
cera 

^  S;  S.,- /«//;?.,.  'f'(/'/,i-) 

pourra  encore  se  mettre  sous  la  forme  indiquée  ii  la  fin  du  n"  5.  Donc 
enfin  il  existera  une  fonction  de  forces  U,  qui  conservera  la  même 
forme  qu'au  numéro  précédent. 

L'existence  d'une  fonction  de  forces  doit  d'ailleurs  être  admise,  si 
l'on  néglige  la  viscosité,  c'est-à-dire  le  frottement  du  liquide  sur  lui- 
même;  car,  dans  ce  cas,  les  molécules  du  liquide  étant  supposées  dé- 
placées, puis  revenues  à  leurs  positions  primitives,  le  travail  accompli 
doit  être  nul,  ce  qui  n'a  lieu  que  dans  la  supposition  de  l'existence 
d'une  fonction  de  forces. 


i\  CHAPITRE    I. 


Équilibre  d'un  liquide  renfermé  dans  un  vase. 

8.  Supposons  un  corps  solide  formant  un  vase  (|ui  renferme  le  li- 
quide. Posons 


d'après  le  n"  6,  nous  aurons  l'équation 

(  :î  )  0_/".-  f/77T  +  M  r:^  +  N  01)   =1  O, 

(7  étant  la  surface  libre  et  12  la  surface  du  liquide  en  contact  avec  le  so- 
lide. 

La  quantité  ^Jzdx  serait  évidemment  nulle  si  la  surface  libre  <>  ne 
changeait  pas,  et  aussi,  pour  évaluer  cette  quantité,  nous  pouvons  sup- 
primer au  volume  du  liquide  bipartie  commune  avant  et  après  le  dépla- 
cement virtuel.  Si  nous  multiplions  chacun  des  éléments  de  la  dilfé- 
rence  des  deux  volumes  par  :;,  nous  aurons  ^Jzdxs.  Or,  en  désignant 
par  n  la  normale  extérieure  et  par  hi  le  déplacement  de  la  surface  sui- 
vant cette  normale,  l'élément  de  volume  de  cette  dilférence  a  pour  v;.- 
Icur  dnhi;  on  aura  donc 

r,fz(/T^-fzO/ld7, 

l'intégrale  du  second  membre  s'étendant  à  tous  les  éléments  de  la  sur- 
face libre  a. 

Comme  la  densité  du  liquide  n'est  plus  la  même  vers  ses  limites,  il 
faudrait,  pour  plus  de  rigueur,  remplacer  le  premier  terme  de  la  for- 
mule (2)  par 

(3)  -rjj'zpdîT}, 

p  étant  considéré  dans  l'intégrale  comme  variable  vers  la  surface  du  li- 
quide. Alors,  le  liquide  étant  supposé  partagé  en  la  partie  dont  la 
densité  est  constante  et  en  une  couche  d'épaisseur  très  petite  d'une 
densité  moindre,  la  partie  de  la  formule  (3)  qui  se  rapporte  à  cette 
couche  est  insensible,  comme  on  le  voit  aisément;  donc  il  n'y  a  rien  à 


DES    PRTNT.ÎPF.S    DE    LA    THÉORIE    DE    L\    CAPILLARITÉ.  IJ 

changer  à  la  détermination  que  nous  avons  faite  du  premier  terme  de 
l'équation  (2). 

Pour  former  l'équation  (2),  supposons  d'abord  que,  la  surface  Q. 
restant  la  même,  la  surface  libre  g  soit  changée  en  une  surface  infini- 
ment voisine  g',  terminée  au  même  contour.  Sur  la  surface  a  traçons 
les  deux  systèmes  de  lignes  de  courbure,  ^  et  ^,  ;  le  long  de  ces  lignes 
menons  des  normales  qui  détermineront  sur  g'  les  lignes  s'  et  s\. 
Ces  lignes  de  courbure  découpent  la  surface  g  en  rectangles  curvilignes 
infiniment  petits.  Soient  ds,  r/5,  les  deux  côtés  d'un  de  ces  rectangles  ; 
les  normales  menées  aux  deux  extrémités  de  ds  se  rencontrent  en  un 
même  point  et  interceptent  sur  g'  l'arc  ds'  ;  de  même  les  deux  normales 
menées  aux  deux  extrémités  de  ds^  interceptent  sur  g'  l'arc  ds\  et  l'on 
aura 

ds' -=z  ris  (  i  ^-  -^V       r/s\  r^r/s, 


on 

IT 


Kl 


%n  étant  la  distance  déjà  considérée  entre  les  deux  surfaces  et  R,  W^ 
étant  les  deux  rayons  de  courbure  principaux  de  la  surface  g,  qui  doi- 
vent être  regardés  comme  positifs  ou  négatifs,  suivant  (ju'ils  sont  ex- 
térieurs ou  intérieurs  au  volume  du  liquide.  Nous  pourrons  donc  poser 


(h  -zz  (/s  ds  i , 
r/cr'  =  ds'  ds!  =  ds  ds,l  f-  ~](i 


et  il  en  résulte 


d^  rn  d-' 


(h 


(ïï 


0//  c/.v  (/Si, 


Donc,  quand  ^Q.  est  nul,  l'équation  (2)  se  réduit  à 

(4)  f 


M(^ 


+  - 


di 


Il  faut  exprimer  que  la  masse  du  liquide  ne  change  pas,  et  il  est  en- 
core aisé  de  voir  qu'on  peut  dans  cette  condition  négliger  le  change- 
ment de  densité   qui  a    lieu  trc's  près  do  la   surface.  On  aura  donc  îi 


l6  CFIAPITRE    I. 

exprimer  que  le  volume  du  liquide  est  constant  ;  ce  qui  donnera 


/• 


on  ch  =:  o. 


Multiplions  cette  dernière  équation  par  une  constante  —  //  et  ajou- 
tons îi  (4)  ;  nous  avons 


/ 


M  (  |j  +  ^ 


r,ii  (h 


Comme  cette  équation  doit  avoir  lieu  quel  que  soit  S//,  on  en  conclut 
(5)  -M(-^^-T^-)-hc-/^ 


Ml^-.-^^,.. 


ce  qui  détermine  l'équation  de  la  surface  libre  a. 

Si  l'on  voulait  tenir  compte  de  la  pression  II  de  l'atmosphère,  on 
remarquerait  que  son  moment  virtuel  sur  l'élément  «^/c;  est  —  JVtiid': 
et  que  le  premier  membre  de  l'équation  (2)  est  la  quantité  %\}  divisée 
par  —  ^0.  On  en  conclurait  qu'il  faut  introduire  dans  l'équation  (/|) 

entre  les  crochets  la  quantité  — II,  et  l'on  obtiendrait,  au  lieu  de  l'é- 
quation  (5), 

n  +  ,i^p  (..  - /O -^ .i^;p  M  (^-|^  +  ll^y 

9.  Supposons  ensuite  que  la  surface  ^  de  contact  du  liquide  avec  le 
vase  change.  Désignons  par  /  la  ligne  de  séparation  de  g  et  de  i2  ;  par 
la  déformation  /se  changera  en  une  ligue  /'.  Le  long  de  la  ligne/  éle- 
vons des  normales  à  la  surface  g  jusqu'à  la  rencontre  de  a  ;  ces  nor- 
males couperont  t'  suivant  une  ligne  /,  .  Ainsi  la  surface  a'  peut  être 
partagée  en  deux  parties  :  l'une '7^  renfermée  dans  la  ligne/,,  l'autre 
n'.,  comprise  entre  /,  et  /'. 

D'après  ce  qui  a  été  démontré  ci-dessus,  nous  avons 


(6) 


'^~^-^-j{^.-^w)'"''' 


Désignons  par  c)X  la  distance  enti'c  les  deux  lignes  /  et  /'  situées  sur 


DES    PniNCTPES    DE    LA    THÉORIE    DE    l.A    CAPILLAIUTE.  I - 

la  paroi  du  vase  ;  nous  aurons  d'aboi'd 

Oi>  —    f  OÀ  d/. 

Ensuite  rr.,  peut  être  considéré  comme  la  projection  des  éléments 
^1  dl  de  la  paroi  sur  n' .  Si  donc  nous  désignons  par  /  l'angle  des  nor- 
males à  T  et  a  la  paroi,  menées  respectivement  hors  du  liquide  et  hors 
de  la  paroi,  nous  aurons 

(  7  )  <!.■,  -=r.    /    COS^'o  dl. 

Ajoutant  (G)  et  (7),  nous  avons 

car:-:  —    I     (—    -h    --    I   rhld'l  -\-    I    COSf'oXc//. 

Enfin  considérons  encore  l'expression  ()  /  zJcj;ellese  compose  d'a- 
bord de  /  zhi  clrj,  puis  d'une  partie  provenant  du  liquide  renfermé  entre 

la  paroi  et  la  petite  surface  réglée  terminée  aux  deux  lignes  /et/,; 
mais  cette  seconde  partie  est  infinimentpetite  par  rapporta  la  première. 
Ainsi  l'équation  (2)  devient 


/ 


"'•ïï-^K 


O/i  c/t  -h    /     (M  COS/ +  N)  oX  (^/:rzo, 


et  il  faut  y  ajouter  encore  l'équation  de  condition 

/  o/i  <r/a-  r—  o. 

On  en  conclut  comme  ci-dessus  l'équation  (5)  et  aussi,  puisque  (>7. 
est  arbitraire, 

M  ces/  -T-  N  zzr:  o. 

Ainsi  on  a,  \)QI\\'V angle  de  raccordement,  c'est-à-dire  l'angle  sous  lequel 
le  liquide  rencontre  la  partie  de  la  paroi  touchée  par  le  liquide, 


(8) 


N 

COS«  ■=^  —   rj 


li  ~  2  E  4-  2  D 


ij  -h  2(; 
B,  E,  C  étant  des  quantités  positives  et  D  positif  ou  négatif. 


I  (S  chai'Hiœ  i. 

10.  La  mélhode  qui  précède,  pour  déduire  au  moyen  de  l'équation  (2) 
l'équation  de  la  surface  libre  du  liquide  et  la  formule  qui  détermine 
l'angle  i,  a  été  exposée  pai'  M.  Bertrand  [Journal  de  Liouville,  t.  XUl, 
1848).  La  variation  de  densité  que  j'ai  admise  vers  les  limites  du 
liquide  ne  modifie  en  rien  cette  démonstration.  Laplace  a  démonti'é  le 
premier  ces  deux  formules,  en  supposant  la  densité  du  liquide  par- 
tout la  même,  et  par  suite  C  et  D  nuls. 

Si  nous  faisons  C  et  D  nuls,  nous  avons 

li  —  2  E 

19)  cos<  = jj- —  , 

et  nous  obtenons  les  résultats  suivants  donnés  par  Laplace. 

Admettons  que  l'action,  entre  deux  molécules  du  liquide  ou  entre 
une  molécule  du  liquide  et  une  du  solide,  soit  la  même  fonction  de 
leur  distance,  à  un  coefficient  constant  près.  Alors  13  et  E  seront  pro- 
portionnels à  ces  attractions. 

Si  B  —  2E  est  positif  et  par  conséquent  l'attraction  du  liquide  sur 
lui-même  plus  grande  que  deux  fois  celle  de  la  paroi  sur  le  liquide, 
l'angle  /  est  obtus  et,  si  la  paroi  est  verticale,  la  surface  du  liquide  est 
convexe. 

Si  B  =  2E,  le  liquide  rencontrera  la  paroi  normalement  et  il  sera 
liorizontal  si  le  tube  est  vertical. 

Si  B  —  2E  est  négatif  et  par  conséquent  l'attraction  du  liquide  plus 
petite  que  deux  fois  celle  de  la  paroi,  l'angle  /  est  aigu  et,  si  la  paroi 
est  verticale,  la  surface  du  liquide  est  concave. 

Toutefois  si,  B  —  2E  étant  négatif,  on  a  de  plus  B  <<  E,  la  valeur 
trouvée  pour  cos/  serait  plus  grande  que  1,  la  valeur  de/  serait  imagi- 
naire et  la  formule  (9)  ne  serait  plus  applicable  ;  cela  provient  de  ce 
que  l'équilibre  n'est  plus  possible.  Alors  le  liquide  tendra  par  l'attrac- 
tion de  la  paroi  à  s'y  élever  et  à  y  former  une  couclie  excessivement 
mince  ;  le  liquide  n'aura  qu'à  vaincre  sa  pesanteur  qui  sera  très  faible 
et  le  frottement  contre  la  paroi  qui  pourra  avoir  une  valeur  sensible. 
Le  tube  liquide  excessivement  mince  qui  s'élève  au-dessus  de  la  surface 
du  liquide  devra  être  substitué  dans  la  tbéorie  précédente  à  la  paroi 
même.  On  devra  donc  faire  B  =  E,  et  par  suite 

cos< r=  i; 


DES    PRINCIPES    DE    LA    THÉORIE    DE    LA    (IsPILLAHITÉ.  If) 

ainsi  l'angle  /  est  nul  et  la  surface  du  liquide  est  tangente  à  la  paroi. 
Tous  ces  résultats  cessent  d'être  exacts,  si  C  et  D,  comme  il  est 
vraisemblable,  ne  sont  pas  négligeables  devant  B  et  E;  alors  il  faut 
adopter  la  formule  (8).  La  limite  où  l'expression  (8)  sera  applicable 
aura  lieu  quand  cos?'  sera  égal  à  i  ou 

(lo)  E  =  B  +  C  +  I). 

Ainsi,  à  cette  limite,  la  surface  du  liquide  est  tangente  à  la  paroi. 

Quand  on  aura 

E>B^C  +  I), 

la  valeur  de  i  donnée  par  la  formule  (8)  sera  imaginaire  ;  mais  on  devra 
concevoir  qu'une  coucbo  liquide  excessivement  mince  s'élève  au  con- 
tact de  la  paroi.  Désignons  par  E'  la  quantité  analogue  à  E  et  relative 
à  l'attraction  de  la  coucbe  liquide  sur  le  liquide  intérieur  et  par  C  et 
D'  ce  que  deviennent  G  et  D,  quand  on  substitue  la  couche  liquide  à 
la  paroi.  Les  quantités  G',  D'  seront  évidemment  très  petites.  En  rem- 
plaçant E,  G,  D  par  E',  G',  D'  dans  la  formule  (8),  nous  aurons 

.       ?.E'  — B  — 9.1)' 

ces/  =: 


Or  il  est  aisé  de  comprendre  que  l'angle  i  doit  rester  nul,  comme 
dans  le  cas  où  a  lieu  la  formule  (lo);  car  le  liquide  du  ménisque  et 
celui  de  la  couche  ne  forment  qu'un  môme  liquide  dont  la  surface  ne 
doit  point  contenir  de  parties  angulaires.  Ainsi  E'  satisfera  à  l'équation 

E'  =  B  +  C'4-T)'.    , 

11.  On  peut,  par  la  considération  de  l'angle  de  raccordement,  dé- 
montrer que  les  actions  moléculaires  îtb  s'exercent  qu'à  une  distance 
excessivement  faible.  A  cet  effet,  Quincke  déposa  sur  la  surface  du 
verre  des  couches  extrêmement  minces  de  différents  corps,  et  il  con- 
stata que  l'angle  de  raccordement  d'un  liquide  déterminé  avec  ces  corps 
ne  varie  pas  quand  l'épaisseur  des  couches  surpasse  des  quantités  ex- 
trêmement petites.  Par  exemple,  pour  le  mercure,  voici  les  couches 
trouvées  suffisantes  : 

o"'"',oooo4S  de  sullnre  d'argent, 
o™'", 000059  d'iodiiro  d'argent. 


■2  0  CHAPITRE    1. 


Ces  nombres  indiquent  l'ordre  de  grandeur  des  distances  auxquelles 
s'arrêtent  les  actions  moléculaires. 


Sur  (h's  précautions  à  prendre  dans  V application  du  principe 
des  vitesses  virtuelles. 

12.  Si,  dans  un  déplacement  virtuel  du  liquide,  la  courbure  de  la 
surface  libre  t  change  d'une  quantité  finie,  même  seulement  sur  une 
étendue  infiniment  petite  de  cette  surface,  mais  de  longueur  finie,  la 
quantité  s,  quoique  très  petite,  étant  finie,  le  raisonnement  qui  a  servi 
à  démontrer  (n"  3)  que  la  quantité 

(i)  SS;/./// '^(z-) 

subit  une  variation  proportionnelle  à  celle  de  la  surface  du  liquide 
n'est  plus  applicable. 

On  voit  de  la  même  manière  que  la  variation  de  cette  quantité  n'est 
pas  proportionnelle  à  celle  de  la  surface  du  liquide,  si,  dans  la  défor- 
mation de  la  surface  libre  g,  l'angle  du  liquide  avec  la  paroi  change 
d'une  quantité  finie.  Dans  le  même  cas,  la  variation  de  la  quantité 

(2)  SSmM'I>(R) 

ne  sera  pas  proportionnelle  à  f)12,  H  étant  la  surface  du  liquide  en  con- 
tact avec  la  paroi. 

En  résumé,  dans  l'application  du  principe  des  vitesses  virtuelles,  il 
faut  avoir  soin  de  ne  considérer  que  des  déformations  de  la  surface 
libre  du  liquide,  dans  lesquelles  les  angles  du  plan  tangent  à  cette  sur- 
face avec  les  trois  plans  de  coordonnées  subissent  des  variations  infi- 
niment petites. 

Supposons,  par  exemple  {fig.  2),  un  tube  capillaire  parfaitement  cy- 
lindrique à  son  intérieur  et  la  base  rectangulaire  sur  le  cylindre  inté- 
rieur. Un  liquide  qui  y  est  renfermé  descend  jusqu'à  la  base  du  tube, 
en  formant  une  surface  concave  tangente  au  cylindre  intérieur.  Or  il 
n'est  pas  permis  de  donner  à  tout  le  liquide  un  même  déplacement  vir- 
tuel Vi  de  haut  en  bas.  En  effet,  après  ce  déplacement,  l'angle  de  la 
surface  du  liquide  avec  le  tube,  qui  était  égal  à  zéro,  devient  celui  de 
la  surface  du  li(juide  extérieur  avec  la  base  du  tube,  c'est-à-dire  égal  à 


DES    PRINCIPES    DE    LA    THEORIE    DE    LA    CAPILLARITÉ. 


21 


un  angle  droit.  Il  en  résulte  que  la  quantité  (2)  subit  une  variation 
qui  n'est  plus  proportionnelle  à  ^£î;  cette  variation  doit  même  être 
considérée  comme  indéterminée,  parce  que  ^h  est  infiniment  petit  par 
rapport  à  s  et  que  la  loi  de  la  fonction  <!>  (R)  est  inconnue. 


Filj.  2. 


V^   /  ^ 


13.  Il  n'est  pas  inutile  de  donner  un  second  exemple  pour  mieux 
justifier  les  réflexions  qui  précèdent. 

Supposons  une  paroi  plane  qui  retienne  un  liquide,  et  calculons  la 
force  produite  par  la  capillarité  sur  cette  paroi  ;  cette  paroi  a  d'ailleurs 
une  inclinaison  quelconque  sur  l'horizon  et  le  liquide  la  rencontre  sui- 
vant une  droite  horizontale  /.  Donnons  [fig.  3)  à  tous  les   points  de 


Fig.  3. 


«7 


nV 


la  paroi  plane  AB  des  déplacements  virtuels  rectilignes,  égaux,  paral- 
lèles et  de  grandeur  égale  à  ^A;  nous  supposons  ^h  oblique  à  la  paroi, 
mais  perpendiculaire  à  la  ligne  /.  La  paroi  plane  vient  ainsi  de  AB 
en  A'B'. 

On  peut  supposer  que  le  liquide  s'étend  à  l'infini  du  côté  de  R,  en 
sorte  qu'il  ne  s'abaissera  que  d'une  quantité  négligeable.  Conformé- 
ment à  ce  qui  vient  d'être  dit,  nous  devons  supposer  que  dans  ce  mou- 


2  2  CHAPITRE    I. 

vement  le  liquide  ne  subit  pas  un  changement  fini  de  courbure,  et  que 
l'angle  de  raccordement  sur  A'B'  soit  i  comme  sur  AB,  à  un  infiniment 
petit  près.  Prolongeons  donc  la  surface  aR  jusqu'en  a  de  manière 
qu'elle  fasse  avec  la  paroi  A'B'  un  angle  qui  diffère  infiniment  peu  de  i. 
Supposons  que  al  représente  Vi  et  aE  la  perpendiculaire  commune 
aux  deux  plans.  Désignons  aussi  par  P  la  somme  des  composantes 
suivant  la  des  forces  appliquées  à  la  paroi  et  par  y  l'angle  a' al. 
Appliquons  le  principe  des  vitesses  virtuelles;  nous  aurons 

en  désignant  par  /  la  largeur  de  la  paroi  ;  nous  avons  ensuite 

,       ,       sin(Y  +  /)  ,,, 

oc:  ■=.  aa    x,  l  -=i  ■ ^ — . /  o//^ 


sin« 


Nous  avons 
et  nous  en  concluons 


N  "--  —  M  ces/, 


M  05  +  N  oQ  =  M  /  cos  Y  8//. 


%Jzdv>,  dans  l'équation  (a),  correspond  à  la  pression  hydrostatique  qui 
a  lieu  en  dehors  des  forces  capillaires;  nous  obtenons  donc  pour  la 
composante  de  la  force  capillaire  suivant  la 

,4'-pM/cosY. 

On  en  conclut  que  la  paroi  est  sollicitée  par  une  force  normale  à  /,  tan- 
gente h  la  surface  du  liquide  et  égale  à  g^M  par  unité  de  largeur. 

Il  est  aisé  de  voir  qu'on  arriverait  à  un  résultat  différent  et  inexact, 
si  l'on  eût  appliqué  le  principe  des  vitesses  virtuelles  en  prenant  au- 
trement l'accroissement  de  la  surface  libre  du  liquide.  Si,  par  exemple, 
on  prenait  cet  accroissement  suivant  al  au  lieu  de  le  prendre  suivant 
aa',  on  aurait 

oQ  =:  o,      oa  =:  /  oh, 

Moc7  +  NoQ  — M/oA, 

et  l'on  trouverait  que  la  composante  de  la  force  capillaire  suivant  al 
est  ^pM/  :  ce  qui  est  faux. 


DES    ITUNCIPES    DE    LA    THÉORIE    DE    L\    CAI>ILL\IUTÉ.  2^ 


Force  capillaire  normale  à  la  surface  d'un  liquide  et  tension 
à  cette  surface. 

14.  Nous  avons,  pour  l'équation  de  la  surface  capillaire  d'un  li- 
quide (n"  8), 

Reportons-nous  à  l'équation  (>U  ==:  o  du  principe  des  vitesses  vir- 
tuelles dont  nous  l'avons  tirée,  et  qui  peut  s'écrire 

—  g-p  j  {z  -  -  h)o/i  (t/t  —    /Il  o/i  cla  +  g^j  /  ^1  (  TT  +■  .7-  )  (^^'t-  <^l^  =  o. 

Le  premier  et  le  deuxième  terme  représentent  la  somme  des  moments 
virtuels  qui  proviennent  de  la  pesanteur  et  de  la  pression  n  d'un  gaz 
sur  la  surface  capillaire.  Le  troisième  terme  représente  une  somme  de 
moments  virtuels  de  forces  agissant  sur  la  surface  et  représentées  sur 
chaque  élément  t/a  par 

cette  force  élémentaire  agit  suivant  l'élément  hi  de  normale  extérieure 
au  liquide,  si  v-  -\~  tt-  est  positif  ou  si  le  plus  petit  rayon  de  courbure 
principal  est  extérieur  au  volume  du  liquide,  et  en  sens  contraire  si 
|r  +  TT-  est  négatif.  Ainsi,  la  courbure  de  la  surface  produit  une  force 
normale  égale  à 

'?"(k-'-h;)' 

qui  agit  dans  la  concavité  de  la  surface  si  les  deux  rayons  de  courbure 
sont  de  même  sens,  et  du  côté  du  rayon  le  plus  petit  s'ils  sont  de  sens 
contraire. 

15.  Nous  avons  trouvé  (n^'ô),  pour  la  fonction  de  forces. 


l[\  CIIAPITUE    I. 

Si  nous  supposons  une  délormation  très  petite  de  la  masse  liquide  qui 
altère  les  quantités  a  et  12,  il  en  résultera  un  travail  représenté  par 

0  U  r—  g  p  IJz  dv5 i^  p  M  0!T  —  g  p  N  ol2. 

Si  la  surface  ^  reste  la  même  et  que  le  centre  de  gravité  de  la  masse 
liquide  ne  change  pas  sensiblement  de  hauteur,  ce  qui  rend  insensible 
le  premier  terme,  on  aura  simplement 

Ce  sera  le  travail  provenant  de  la  seule  déformation  de  la  surface  libre. 
Si  la  surface  libi'c  du  liquide  diminue,  il  se  fait  un  ti'avail  positif  in- 
diqué par  la  variation  de  la  fonction  U;  ce  travail  se  changera  en  une 
petite  quantité  de  chaleur  qui  élèvera  la  température  du  liquide;  cette 
quantité  de  chaleur  se  calculera  facilement  d'après  le  principe  de  la 
transformation  du  travail  en  chaleur.  De  même,  à  l'accroissement  de  la 
surface  libre  du  liquide  correspondra  un  petit  abaissement  de  tempé- 
rature. 

Supposons  une  membrane  plane,  dont  l'épaisseur  très  mince  est  e, 
et  qui  est  tendue  dans  tous  les  sens  par  une  force  constante  :  cette  ten- 
sion s'exercera  dans  toute  l'épaisseur;  représentons  par  ^  le  contour  de 
la  membrane  :  la  tension  sur  la  longueur  <^^  pourra  être  représentée  par 
Tzds,  et,  si  nous  désignons  par  hi  U)  déplacement  normal  à  s,  le  travail 
correspondant  sera  —Ttclshi.  Faisons  la  somme  de  tous  ces  travaux 
élémentaires  et  remarquons  que  f^nds  est  la  variation  "^g  de  la  sur- 
face d'un  des  côtés  de  la  membrane  :  nous  aurons  —  Ts  ^a  pour  ce  tra- 
vail. Supposons  ensuite  que  la  membrane  ne  soit  pas  plane,  qu'elle  soit 
étendue  sur  un  corps  solide,  sur  lequel  elle  s'applique  exactement,  et 
qu'elle  soit  tirée  sur  ses  bords  par  une  force  normale  constante.  Il  suf- 
fira alors  de  la  diviser  en  éléments  plans  auxquels  ce  qui  précède  sera 
applicable,  et  l'on  arrivera  au  même  résultat. 

Si  nous  appelons  la  quantité  Ts  la  tension  de  la  membrane,  nous 
voyons  que,  dans  le  travail  provenant  de  l'accroissement  de  la  surface 
libre  du  liquide,  la  quantité  gpM  est  analogue  à  la  tension  de  la  mem- 
brane. On  doit  aussi  la  considérer  comme  s'exerçant  non  à  la  surface, 
mais  à  une  profondeur  tellement  petite,  que  les  résultats  du  calcul  ne 
sont  pas  altérés  si  l'on  fait  abstraction  de  cette  épaisseur.  C'est  ainsi 


DES    PRINCIPES    DE    I.A    THÉORIE    DE    LA    CAPILLARITÉ.  25 

que,  dans  la  Théorie  mathématique  de  l'électricité  statique,  on  fait  abs- 
traction de  l'épaisseur  de  la  couche  électrique. 

La  tension  à  la  surface  du  liquide,  selon  ce  que  nous  avons  vu 
(n°  13),  exercera  sur  la  paroi  une  action  dont  la  direction,  en  chaque 
point  de  l'intersection  de  la  surface  avec  cette  paroi,  sera  tangente  à 
la  surface  du  liquide. 

D'après  l'expérience,  la  tension  superficielle  d'un  liquide  peut  chan- 
ger considérablement,  sans  que  sa  nature  soit  sensiblement  altérée. 
Il  suffit,  par  exemple,  que  la  couche  superficielle  de  l'eau  renferme 
quelques  traces  d'alcool  provenant  de  l'évaporation  de  ce  liquide  placé 
dans  le  voisinage;  il  suffit  encore  que  la  couche  superficielle  du  mer- 
cure renferme  des  traces  d'oxydation.  La  théorie  exposée  aux  n"^  4,  5 
et  6  reste  applicable;  on  concevra  seulement  que  la  couche  superfi- 
cielle du  liquide,  que  nous  avons  supposée  d'une  autre  densité  que  le 
reste  du  liquide,  soit  aussi  d'une  composition  chimique  un  peu  diffé- 
rente, et  tous  les  raisonnements  resteront  l(;s  mêmes. 


CHAPITRE    IL 


CHAPITRE  If. 

ÉLÉVATION  OU  DÉPRESSION  D'UN  LIQUIDE  AUPRÈS  D'UNE  PAROI. 


Equation  aux  différences  partielles  de  la  suif  ace  du  liquide. 

1 .  Les  rayons  de  courbure  principaux  d'une  surface  sont  donnés  par 
l'équation  du  second  degré 


en  posant 

dz  dz  d^  z  d^  z  __  d"^  z 

dx  '  dy  dx"^  dx  dy  dy"- 

En  établissant  cette  équation,  on  regarde  les  rayons  de  courbure  prin- 
cipaux comme  positifs  ou  négatifs,  suivant  qu'ils  font  un  angle  aigu  ou 
obtus  avec  les  z  positifs.  D'après  cette  équation,  on  a,  pour  la  somme 
des  inverses  de  ces  rayons  de  courbure, 

I  I    (  I  +  />-  )  ^  H-  (  f  +  7-)  /■  —  2  />r/.ç 


Il       R, 


(,+y,2_|_^2)-2 


Désignons  par  a-  la  quantité  positive  représentée  par  M  dans  le 
Cbapitre  précédent;  alors  l'équation  delà  surface  capillaire  (n"8) 


deviendra 


(2)  {\^p''-)t-A-{\-\-(f)r -ipcjfi  ^    1    ^_ 

{i+p'^+q'-Y 

Nous  rappelons  que  l'axe  des  z  est  vertical  et  mené  de  bas  en  baut. 


ÉLÉVATION    OU    DEPRESSION    D  UN    LIQUIDE    AUPRÈS    D  UNE    PAROI.  27 

Dans  l'équation  (i),  R  et  R,  sont  supposés  positifs  ou  négatifs,  sui- 
vant que  ces  rayons  de  courbure  sont  dirigés  vers  l'extérieur  ou  vers 
l'intérieur  du  liquide  (Chap.  I,  n'^S).  Si  donc  l'un  des  deux  rayons  de 
courbure  est  extérieur  au  liquide  et  fait  un  angle  aigu  avec  les  z  posi- 
tifs, les  valeurs  ^^^  n  +  ït'  calculées  des  deux  manières  précédentes, 

ont  le  même  signe,  et  l'on  a  bien  l'équation  (2).  Il  en  est  de  même  si 
l'un  des  rayons  de  courbure  est  intérieur  au  liquide  et  fait  un  angle 
obtus  avec  les  z  positifs.  Dans  les  cas  différents  des  précédents,  il  fau- 
drait changer  de  signe  le  second  membre  de  la  formule  (2). 

Un  tube  étant  plongé  dans  un  liquide  indéfini,  cette  équation  con- 
viendra également  à  la  surface  du  liquide  intérieure  au  tube  et  à  celle 
qui  lui  est  extérieure.  La  constante  h  sera  donc  la  valeur  de  z  pour  la 
surface  de  niveau,  c'est-à-dire  pour  la  partie  de  la  surface  du  liquide 
assez  éloignée  du  tube  pour  qu'elle  puisse  être  considérée  comme  plane. 
En  effet,  en  les  points  de  cette  surface,  R  etR,  seront  infinis  et  l'équa- 
tion (i)  se  réduira  à  ^  =  A. 


2.  Si  la  surface  du  liquide  est  de  révolution  autour  de  l'axe  des  z, 
prenons,  au  lieu  de  x,  y,  des  coordonnées  polaires,  en  faisant 

r  sera  la  distance  de  chaque  point  à  l'axe  de  révolution,  et  l'on  aura 

dz   dz  X        dz        dz  y 

dx        dr  r        dy        dr   r 

d^  z   d'^z  x^        dz  y^  d-z     d-z  xy        dz  xy 

dx""'        dr-   r-        dr  r^        dx  dy       dr'''    /'^    dr    /■* 

d'^z d'^'z   y^    dz  x''-  ^ 

dy'''        dr-   r-         dr  r^  ' 

on  obtiendra  donc,  au  lieu  de  l'équation  (2),  la  suivante  : 


d'-z        I   dz 
dr"-         r  dr 


(dz 
'^Vdr 


1  + 


a- 


On  aurait  pu  former  immédiatement  cette  équation  en  remarquant  que 


28  CHAPITRE    II. 

les  deux  rayons  de  courbure  principaux  d'une  surface  de  révolution 
sont  le  rayon  de  courbure  du  méridien  et  la  grandeur  de  la  normale  à 
ce  méridien,  terminée  à  l'axe.  On  peut  donc  poser 


jr-(p- 


l\,r=r 


drV 


d' z  V  \  ''^■^ 

et  il  en  résulte  l'équation  précédente. 

Poids  du  liquide  s()ule<^é  dans  un  tube  cylindrique  par  l'effet 
de  la  capillantè. 

3.  Supposons  d'abord  un  tube  vertical  plongé  dans  un  liquide,  et 
calculons  la  formule  donnée  par  Laplace  pour  déterminer  le  volume  du 
liquide  soulevé  dans  ce  tube,  en  suivant  l'analyse  de  l'illustre  géo- 
mètre. 

L'équation  (2)  de  la  surfoce  du  liquide  peut  s'écrire  ainsi  : 


^.dp        ,  ,,   dq  (dp        d(i 


ou  encore 


=  i=(--"' 


d   f  p  \  d  f  (j  \  I 


-1 — 7 


dœ  \^y  ^p-i  +  (ji  J         dy  \^ y/j  +  p^^  +  q'^ 

Posons,  pour  abréger  l'écriture, 


S-' <--">■ 


T  '  -  V 


et  cette  équation  devient 

,5,  d'V       dV        I    .         ,, 

(3)  -T-  +  -.-  =—,{z  —  h). 

^    '  dx        dy        a- 

Multiplions  cette  équation  par  dxdyc^i  intégions  ensuite  les  deux 
membres,  en  étendant  l'intégration  à  toute  la  section  du  cylindre  ;  nous 


ÉLÉVATION    OU    DÉPllESSION    D  UiN    LIQUIDE   AUPHES   D  UNE    PAROI .  29 

aurons 

«)      ffSi  "-'■■•  '-//^?  ""'J-  -  i'  //(-^  "  ">''^'-"-- 

Considérons  la  première  intégrale  double;  on  peut  d'abord  y  effectuer 
l'intégration  par  rapport  à  x,  et  l'on  a 

df  j    -j-  clx  1=  T,  dy  —  To  c(r, 

les  indices  o  et  i  indiquant  qu'on  prend  la  quantité  T  pour  la  plus 
petite  et  la  plus  grande  valeur  de  x  correspondant  à  une  valeur  de  y. 
Cette  formule  donne  la  partie  de  l'intégrale  double  relative  à  une  bande 
de  largeur  dy  et  parallèle  à  l'axe  des  x. 

Désignons  par  v  l'angle  de  la  normale  au  contour  s  de  la  section 
droite  du  cylindre  avec  l'axe  des  x,  la  normale  étant  menée  extérieure- 
ment; désignons  aussi  par  ds^,  ds^  les  arcs  infiniment  petits  du  con- 
tour qui  terminent  la  bande;  nous  aurons 

df  nz  dSi  COS  l'i,       df  r=:  —  dS(,  COS  i\, 

ds^i,  dst  et  dy  devant  être  regardés  comme  positifs.  Nous  avons  donc 


/    /   —  dx  df  =:  j  T  COS  vds, 


l'intégrale  simple  s'étendant  à  tout  le  contour  de  la  section. 

Nous  pouvons  transformer  de  la  même  manière  la  seconde  intégrale 
double.  Nous  aurons  d'abord,  en  intégrant  le  long  d'une  bande  infini- 
ment étroite,  d'épaisseur  dx  et  parallèle  à  l'axe  des  y, 


r  dv 


les  indices  ayant  un  sens  analogue  à  celui  qui  a  été  indiqué  ci-dessus, 
et,  comme  nous  avons 

dx  --  dsy  sin  c,,     dx  rr;  —  ds^  siii  t'y, 
ds\^,  dSf  étant  les  arcs  qui  terminent  cette  bande,  il  en  résulte 

/    l  -J-  dx  df  =1  I  V  sin  r  ds. 


3o  CHAPITRE    II. 

Le  premier  membre  de  l'équation  (/j)  devient  donc 


/ 


p  cosi^  -H  7 Sine 

\J l -^ p^' -\- q- 


l'intégrale  s'étendant  à  tout  le  contour  de  la  section. 

Les  cosinus  des  angles  de  la  normale  à  la  surface  du  liquide,  menée 
intérieurement  au  liquide,  et  de  la  normale  à  la  paroi  menée  dans  cette 
paroi,  sont  respectivement 


P 


\U+p^'+q'''      \/ 1  -\- p"' -\- q^'      \/ 1 -i- p' -h  q^' 
cosc,  sine,  o; 

or  cet  angle  des  deux  normales  est  précisément  celui  qui  est  désigné 
par  i  au  n"  0  du  Chapitre  I  ;  on  a  donc 

p  COSi'  -+-  q  s'm'H' 
—  - —  =:COSl, 

\/l-i-p'  -^q^' 

et,  comme  i  est  constant  tout  le  long  du  contour,  on  a 

/p  cos(^  -hq  s\nv   j  f  ,        , 

^ —  =^-  as  ■=.  ces  i  /  as  =  l  ces  i, 

^l+f-+q'  J 

en  désignant  par  /  la  longueur  de  ce  contour. 
Nous  avons  donc 


/    /  ( :;  —  h)  dx dy  z=  a-lcos i. 


La  quantité  h  représente  la  coordonnée  z  pour  la  surface  de  niveau  ; 
le  premier  membre  est  donc  égal  au  volume  V  du  liquide  soulevé  dans 
le  tube  au-dessus  de  cette  surface  et  l'on  a 

(5)  V=:a-/cosf. 

Comme  nous  avons  posé  (Chap.  I,  n*^  8) 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    D  UN    LIQUIDE   AUPRÈS    DUNE    PAROI. 

il  en  résulte  aussi  la  formule 


3. 


S?^-^  {-  +  CJ/COS?-, 


qui  exprime  le  poids  du  liquide  soulevé  dans  le  tube.  On  voit  que  ce 
poids  est  proportionnel  au  contour  de  la  section  droite  du  tube. 

Si  l'angle  i  est  obtus  comme  pour  le  mercure  dans  un  tube  de  verre, 
la  formule  (5)  donne  pour  V  une  valeur  négative  et  indique  la  dépres- 
sion du  liquide  dans  le  tube. 

4.  Supposons  ensuite  le  tube  capillaire  incliné  et  faisant  l'angle  a 
avec  la  verticale  ifig-  4)- 

Fin-  -I- 


7 


^S£ 


OF    THC 


UNJ  VEERITY 


Soit  G  le  centre  de  gravité  de  la  section  AB  faite  dans  le  tube  par 
le  plan  de  niveau  du  liquide.  Menons  par  le  point  G  la  section  droite 
A'B'  du  cylindre;  soit  Gj  l'intersection  de  A'IV  par  le  plan  AB;  me- 
nons les  deux  autres  axes  rectangulaires  G^r,  Gs;  puis,  dans  le  plan 
xÇfZ,  menons  G^'  parallèle  aux  génératrices  et  Gx'  rectangulaire  sur 

D'après  l'origine  prise  pour  les  axes,  on  a  A  =  o  et  l'équation  de  la 
surface  du  liquide  dans  le  tube  est 


(^) 


I         I 


[x\y,z')  étant  les  coordonnées  d'un  point  de  la  surface  du  liquide  par 
rapport  aux  axes  G^',  Gj,  G^',  on  a 


^'cosa  H-  .r'sina. 


Remplaçons  :;  par  sa  valeur  dans  l'équation  («),  puis  multiplions  ses 


32  CHAPITRE    II. 

deux  membres  par  dx' dy'  et  intégrons  dans  toute  l'étendue  de  la  sec- 
tion droite  A'B';  nous  aurons 

{h)       cos a  r  ( zJ dx' dy'  +  sin a  r  fx' dx' dy'  =  «'  T  f (w^  H-  jf  ) di' df . 

Si  le  tube  est  capillaire,  la  coordonnée  z'  sera  à  très  peu  près  la  même 
en  tous  les  points  du  bord  du  ménisque  liquide  (toutefois,  par  exemple, 
B'F  sera  plus  grand  que  A'E  dans  un  tube  circulaire).  En  admettant 
cette  égalité,  ce  qui  ne  produira  qu'une  erreur  très  faible,  on  aura, 
d'après  le  calcul  du  numéro  précédent. 


// 


jT  4-  7^  )  dx'  dy'  =  lco^i. 


En  désignant  par  V  le  volume  soulevé,  on  a 

\.'dx'dy'  =-_  V  -  vol  AGA'  +  volGBB'  =  V  ; 


ff 


car,  le  point  G  étant  le  centre  de  gravité  de  la  section  AB,  on  a 

VOlAGA'-VOlGBB'nrO; 

pour  la  même  raison  on  a 

r  r 

x'  dx'  dy'  -=^  o. 


ff 


D'après  tous  ces  résultats,  la  formule  (/>)  devient 

V  cosa  r=:  a-lcosi. 

Le  volume  soulevé  varie  donc  en  raison  inverse  de  cosa,  a  étant  l'angle 
des  génératrices  du  tube  avec  la  verticale. 

Le  théorème  donné  par  la  formule  (5)  peut  être  étendu  au  liquide 
soulevé  dans  l'espace  compris  entre  deux  tubes  verticaux.  Il  est  en  effet 
aisé  de  voir  que  le  raisonnement  qui  a  conduit  à  cette  formule  est  en- 
tièrement applicable.  Supposons  que  les  deux  tubes  soient  de  même 
matière,  en  sorte  que  la  quantité  î  soit  la  môme  pour  les  deux  tubes. 
Alors,  en  désignant  par  /  le  contour  de  la  section  droite  du  cylindre  in- 
térieur du  tube  extérieur,  et  par  /'  le  contour  de  la  section  droite  du 
cylindre  extérieur  de  l'autre  tube,  on  aura  pour  le  volume  soulevé  entre 
ces  deux  tubes 

V  r_-  rr  (/H-  /')  cos/. 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN   LIQUIDE   AUPRÈS    d'uNE   PAROI.  33 

Elévation  ou  dépression  d'un  liquide  auprès  d'une  lame  verticale, 
plongée  dans  ce  liquide. 

5.  L'axe  des  z  étant  toujours  supposé  vertical  et  mené  de  bas  en 
haut  h  la  surface  de  la  plaque  dont  la  largeur  est  supposée  indéfinie, 
ou  du  moins  assez  grande  pour  qu'on  puisse  négliger  ce  qui  a  lieu  aux 
extrémités,  menons  l'axe  des  j  horizontal  dans  la  surface  de  la  plaque, 
et  l'axe  des  a?  perpendiculaire  à  cette  surface.  Le  liquide  affecte  alors 
la  forme  d'un  cylindre  de  révolution  dont  les  génératrices  sont  paral- 
lèles à  l'axe  des  y.  La  coordonnée  z  étant  indépendante  de  j,  l'équation 
de  la  surface  du  liquide  devient 


:,{z-h). 


dz 
dx 


En  intégrant,  on  a,  G  étant  une  constante  arbitraire, 


^-m 


2  a- 


V' 


Si  nous  comptons  les  z  à  partir  de  la  surface  de  niveau,  h  sera  nul  et, 
pour  3  =  o,  nous  aurons  -^  =  o  et  par  suite  C  =  i .  Nous  obtenons  donc 


(A) 

Il  en  résulte 

et,  en  intégrant,  on  a 


h(â)'I 


2  a- 


(B) 


dx  =: 


(2  a-  —  z^)dz 

z\]!\a'''  —  z'^ 


±x-=.  \J [\  or  —  z-  +  a  loj 


\Jkd-- 


const. 


D'après  cette  formule,  pour  3  =  0,^  sera  infini  ;  la  surface  du  liquide 


34  CHAPITRE   II. 

est  donc  asyinptotique  au  plan  desa;,  j.  Toutefois,  à  une  petite  distance 
de  la  plaque,  cette  surface  sera  à  très  peu  près  plane  et  horizontale. 

i  étant  l'angle  de  raccordement  de  la  surface  du  liquide  avec  la 
plaque,  la  formule  (A)  donnera,  pour  la  hauteur  h  contre  la  lame, 

sin i  =  1 ^ ,     h  =  ±:a  \j2ii  —  siiw')  =  ±  2a sin  (  t  —  -  i ' 

le  signe  ±  ayant  lieu  suivant  que  le  liquide  s'élève  ou  s'abaisse  contre 
la  plaque. 

Si  le  liquide  mouille  le  tube,  on  sl  i  =  o,  et  il  s'élève  contre  la  plaque 
à  la  hauteur  «  V2- 

Si  la  lame  est  inclinée  {Jig.  5),  désignons  par  v  l'angle  EBF  de  cette 

Fi  (T.  5. 


lame  avec  l'horizon  BF;  menons  la  tangente  EH  à  la  section  droite  EA: 
le  premier  membre  de  l'équation  (A)  est  égal  àcosEHB;  on  a  EIlB  =  c^  — /, 
et  l'on  déduira  de  l'équation  (A),  pour  la  hauteur  verticale  contre  la 
lame, 


h  ^=.2  a  sin  - 


0.  Hagen  a  vérifié  que  la  hauteur  à  laquelle  l'eau  s'élève  contre  une 
lame  verticale  au-dessus  du  niveau  est  indépendante  de  la  nature  de 
cette  lame,  pourvu  qu'elle  ait  été  au  préalable  convenablement  mouillée 
par  ce  liquide.  En  prenant  de  l'eau  distillée  ou  de  l'eau  de  fontaine,  il 
a  trouvé,  pour  cette  hauteur,  quand  la  surface  de  l'eau  est  fraîche, 

h—a\J~2-=.  3""",  49; 

d'où  l'on  déduit  a-  =  G,i.  Mais  cette  hauteur  décroissait  assez  vite  et 
descendait  à  3""",og,  ce  qui  donne  a-  =  4,  77.  Le  nombre  G,  1 ,  comme 
nous  verrons  plus  loin,  est  trop  faible,  ce  qui  prouve  que  l'expérience 
qui  a  donné  ce  nombre  n'a  pu  être  conduite  assez  rapidement. 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'uNE    PAROI.  35 

Hagen,  ayant  mesuré  par  l'expérience  les  ordonnées  de  la  courbe  ca- 
pillaire, provenant  de  l'immersion  d'une  lame  de  verre  verticale,  a 
trouvé  : 

^  — 0">"S00,  0'"'",70,  I""",42,  2""",  12,  2"'", 84,  3"'",54,  4™'">24,  5'"™, 26,  7™'", 06, 
z-=z  3"'",09,  i""",58,  i™™,io,  o""",77,  o""",54,  o""",4i,  o'"™,27,  o""",i6,  o""",o9, 

qui  sont  très  conformes  à  la  formule  (B),  en  prenant  a-  =  4  »  77- 


Elévation  ou  dépression  d'un  liquide  entre  deux  plaques  fixes,  planes, 
verticales  et  parallèles,  qui  y  sont  plongées. 

7.  Supposons  deux  lames  planes,  verticales,  maintenues  fixes  et  pa- 
rallèles; nous  les  regardons  encore  comme  très  larges.  La  figure  de  la 
surface  liquide  en  dehors  des  deux  lames  a  été  obtenue  ci-dessus;  il 
reste  à  déterminer  cette  fi2^ure  à  l'intérieur  des  deux  lames. 

Mettons  l'origine  des  coordonnées  sur  le  plan  de  niveau  et  l'axe  des^ 
perpendiculaire  aux  plaques;  alors  l'équation  de  la  surface  du  liquide 
sera,  comme  au  n"  5, 

En  intégrant,  on  obtient,  G  étant  une  constante  arbitraire, 

,  j   s  .-.^        ^       2  a-' 
/  ciz 


..I.OT 


dx 


\/-(^-iiy 


et  la  dernière  intégration  conduit  à  des  intégrales  elliptiques. 

Mais  reprenons  la  question  autrement.  Menons  la  section  droite  de 
la  surface  cylindrique  du  liquide,  et  désignons  par  ©  l'angle  de  la  tan- 
gente avec  un  plan  horizontal.  L'expression  du   rayon  de  courbure 


36 


CHAPITRE    II. 


ds 


sera  -r^  ds  étant  l'élément  de  la  courbe  et  l'équation  (A)  deviendra 


(B) 

On  a  d'ailleurs 


d^  z 

ds  Or- 

dz         .  dx 

---=sinç,  -y -==  COS9. 

ds  '  ds  ' 


Différentions  l'équation  (B),  nous  aurons 

'd 
et,  en  intégrant, 


ds^        a- 


(C) 


I  (d':^y       I 


G  étant  une  constante  arbitraire.  On  en  conclut 


(B) 
(I)') 


a 

sji  y/C  —  cos'j' 
,    a      coscp<icp 

v''-^  VG  —  cos -f 
• a      sino  d'^ 


sjl  v/G  —  cos  Ci 


8.  En  premier  lieu,  supposons  que  le  liquide  s'élève  contre  chacune 
des  lames  prise  isolément.  Faisons  passer  l'axe  des  z  par  le  point  le  plus 


l'ij.  6. 


iV 


K         X 


bas  de  la  courbe,  et  mettons  l'axe  des  x  sur  la  surface  de  niveau  (fig.  G). 
Désignons  par  z^  la  coordonnée  z  du  point  le  plus  bas;  nous  avons, 
pour  ^  =  ^„, 

cp  =:  O. 


ÉLÉVATION    OU    DEPRESSION    D  UN    LIQUIDE    AUPRES  D  UNE    PAROI. 

Égalant  les  valeurs  de  -^  fournies  par  les  équations  (B),  (C),  on  a 


et 


(E)  x:o  =  «v/n/<^-i- 

Soient  c,  é  les  distances  de  l'axe  des  z  aux  deux  lames,  et  soient  /, 
i  les  angles  de  raccordement  TME,  Ï'M'E'.  Pour  x=^e,  nous  aurons 

(p  =: «  et,  pour  X  r=  —  e  ,  9  == \-i . 

En  intégrant  la  formule  (D),  on  a 


Pour  donner  à  ces  intégrales  elliptiques  la  forme  canonique  adoptée 
par  Legendre,  posons 

nous  aurons 

C  —  coscp=  C4-cos24^  — C-r  I—  2 sin^<|^  =:  (G  + 1)  (i—  ^r—  sin-t];  j- 

D'après  la  formule  (E),  G  est  >  i;  si  donc  on  fait 


G  +  I 
k  sera  <  i  et  l'on  aura 


{i  —  k'Aa 


/       /         /2   •   '>T        T    /      S^  —  l^^'^xn-^d^. 


Ti  l 


Pour  a?  =  e,  on  a  9  =  -  —  ^  et,  par  suite,  ({^  =  ^  +  -;  on  en  conclut 
la  première  de  ces  formules 

e  —  — -, —  a  /         ,  7-  /        VI  —  '^"  sin^  ^  d\y 


a\  j-  \        sj \  —  k- 'à\w- ^  d<\ 


2  —  /C'- 

V 

4  '  % 


38 


CHAPITRE    II. 


la  seconde  se  déduisant  de  la  première  en  changeant  les  deux  quantités 
e,  i  en  e\  i' .  En  ajoutant  ces  deux  équations  et  remplaçant  e  -{-  e  par  /, 
on  obtiendra  une  équation  qui  ne  renfermera  plus  que  l'inconnue  k.  Si 
l'on  en  déduit  y?-,  on  aura  ensuite  e  et  e'  par  les  mêmes  équations,  puis 
on  aura,  pour  la  hauteur  du  point  le  plus  bas. 


et,  pour  les  valeurs  de  z  sur  les  lames. 


a\^\/  —  —  I  —  suH, 


^v^Vè" 


I  —  sin^. 


9.  Dans  le  cas  particulier  où  «'=  «,  on  a  e  —  -  eti^est  déterminé  par 
l'équation  suivante  : 

;     2  — ,t'     r'  d'i/  ia  c'-    , 


Supposons  que  la  distance  entre  les  deux  lames  soit  très  petite  et  cher- 
chons à  calculer  k  au  moyen  de  cette  formule.  La  distance  /  étant  très 
petite,  la  hauteur  z^  du  point  le  plus  bas  de  la  section  deviendra  très 
grande  par  rapport  à  a,  et  il  résulte  de  la  formule  qui  détermine  z^^  que 
le  module  k  sera  très  petit.  Nous  pourrons  donc  développer  le  second 
membre  de  la  formule  (F)  suivant  les  puissances  de  k,  en  négligeant 
les  termes  multipliés  par  k^. 
Nous  aurons 

/(-^.sin'«-irf*  =  (,H-fH-il/')t-(fH-|jX-')sin.^+Jg^-'si„4^, 
Prenons  ces  intégrales  entre  ^  +  -  et  ->  puis  substituons   dans  (F), 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'uNE    PAROI.  3f) 

nous  aurons 


9   ^.. 


2/   _l±_  3 
4        2/       kV       ^       64 


(•2-r-) 


TT  +  15-  A:M  cosi  -I — p-T  A:^  sin  2  « 
o        ô'2      /  200 


+     7  H — 7^    cos  <  -I ^  A'^  sin  2  f 

\4        10/  128 

et,  en  ordonnant  par  rapport  à  k, 

l  A^    /  TT  i  I 

-  ■=.  A  cosi  +  -7-    cos  i  +  y h  -/  sin  2  i 

a  4  \  424 

Par  première  approximation,  on  a,  pourvu  quoi  ne  soit  pas  voisin  de  ^> 

Ar 


/ 


a  cosi 

et,  en  remplaçant /î;  par  cette  valeur  dans  les  termes  du  troisième  degré 
par  rapport  à  k,  on  obtient 

,  /  /^  /  .  I        .  .  TT  / 

A  ■=■  .  —  -, — —.    COS  l  -!-  y  Sin  2  f  +  -, 

a  cosf        l^a"  cos*f  \  4  4       2 

D'après  la  formule  (/),  on  a,  pour  la  hauteur  du  point  le  plus  bas  du 
ménisque,  en  négligeant  les  termes  de  l'ordre  — ? 

,^,  /i        A\        ici'- ç,Ç)'?,i       /i     .       .       TT        i  \       l 

(Ij)     z^-=.ia\- —  ■ ^ ^sin2fH-- cosf    -^ 

\k       1/  L  \4  42  /2cos-i 

et,  pour  la  hauteur  du  liquide  contre  les  lames, 

/i        i  +  sini,\        2  a- cos  «        /        .     .        .       ~        A       / 

2  a    7 -, A    =: — ■  4-    —  sin  i  cos  f  h i\  -, —.  • 

\A-  4  /  /  \  2        /4cos^i 

Si  le  liquide  mouille  les  deux  lames,  en  sorte  qu'on  aiti  =  o,  on 
aura 

a  16      a^ 

_  2  a"'        4  —  -  , 


4o  CHAPITRE   II. 

et  la  hauteur  du  liquide  contre  les  lames  sera  égale  à 

~  +  8  '• 

10.  On  peut,  comme  l'a  fait  Hagen,  déterminer  la  quantité  a-,  en 
observant  l'élévation  d'un  liquide  entre  deux  lames  verticales  paral- 
lèles et  très  rapprochées. 

Supposons  que  «et  i'  soient  nuls,  en  sorte  que  le  liquide  mouille  les 
deux  lames,  et  représentons  par  z'  la  hauteur  à  laquelle  le  liquide  s'élève 
dans  cet  intervalle  contre  les  lames;  nous  aurons 


et,  par  suite, 

(H)  a^=\{^^-zl). 

Hagen  prit  d'abord  pour  liquide  l'eau  et  il  vérifia,  comme  lorsqu'il 
n'employait  qu'une  lame,  la  diminution  considérable  de  la  quantité  a-, 
lorsque  l'expérience  est  prolongée  ;  il  trouva  7,59  pour  la  valeur  maxi- 
mum de  a^.  Il  fit  des  expériences  semblables  pour  l'alcool  et  l'huile 
d'olive,  et  il  trouva  au  contraire  que  l'élévation  contre  les  lames  et  la 
quantité  a-  ont  diminué  très  peu,  après  plusieurs  heures. 

En  employant  la  formule  (H),  il  a  trouvé 

Poids  spécifKiue.  Tension  à  la  surface. 

Alcool «-—2,96  ^p=:  0,797  ^pa2r=2,36 

Huile  d'olive ^^  =  3,77  ^p  =  0,918  ^^-pa^  r=r  3,44 

La  température  était  d'environ  19°  C. 

Si  l'eau  s'est  abaissée  peu  à  peu  entre  les  lames,  il  faut  l'attribuer 
surtout  à  ce  que  l'eau  qui  se  trouvait  sur  les  lames  a  dû  s'évaporer,  en 
sorte  qu'elles  ont  cessé  d'être  mouillées  et  que  l'angle  i  n'a  plus  été 
égal  à  zéro;  d'ailleurs,  si  l'angle  i  n'est  plus  nul,  cette  expérience  ne 
donne  plus  a-. 

\\.  En  second  lieu,  supposons  que  le  liquide  s'abaisse  auprès  de 
chacune  des  lames  prises  isolément.  Les  angles  i  et  i',  que  fait  le  plan 
tangent  au  liquide  avec  la  surface  du  tube  en  contact  avec  le  liquide. 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'uNE    PAROI.  f\\ 

sont  obtus.  Désignons  par  y  et  y'  les  suppléments  de  ces  angles.  Alors  la 
théorie  précédente  est  entièrement  applicable  et  la  surface  du  liquide 
est  la  symétrique,  par  rapport  au  plan  de  niveau,  de  celle  du  premier 
cas,  les  angles  i  et  i'  étant  remplacés  pary  et/. 

Ainsi  k  s'obtiendra  comme  ci-dessus;  la  valeur  de  x  restera  la  même 
et  l'on  aura 


a  y  2  t  /  -Ti  —  I  —  cos  'f ,     ^^0  =  —  2  a y — 


^0  étant  la  coordonnée  z  du  point  le  moins  déprimé  du  ménisque. 

Si  î'  =  t  et  que  /  soit  très  petit  par  rapport  à  a,  on  aura,  d'après  la 
formule  (G), 

2 a- cos/       /,    .       •       '^       ./'  •\        ^ 


—    ism2y+  --  — -  -cosy 


"  l  \*        ''       [^       1  -'  )  1  cosv 

et,  pour  l'abaissement  du  liquide  contre  les  lames, 


2  a'^  cos  /        /        .     .        .      Ti       .  \        / 
+     -  siny  cosy  +-—77- 


l  \  ■'■'2/4  cos-y 

12.  En  troisième  lieu,  supposons  que  l'angle  i  soit  aigu  et  l'angle  i' 
obtus. 

En  général,  la  section  droite  aura  un  point  d'inflexion.  Faisons  passer 
l'axe  des  z  par  ce  point  et  mettons  l'origine  des  coordonnées  sur  le 
plan  de  niveau.  Au  point  d'inflexion  le  rayon  de  courbure  est  infini  ; 
donc  l'équation  (B)  donne  z  ~^  o  pour  ce  point,  qui  sera  donc  à  l'origine 
des  coordonnées.  Désignons  par  9»  1^  valeur  de  9  en  ce  point  ;  nous  dé- 
duirons de  l'équation  (G) 

C  =  COScpo- 


En  posant  encore 


r=.iz  —  27, 


on  aura 

do 

—  id'^ 

et,  en  faisant 

y/C  —  cos^p 
sin<]^  - 

\Ji  +  cos'fo  —  2  sin-t] 

/l+COScpo     •     A 

42  CHAPITRE  lî. 

puis,  remplaçant  dans  la  formule  précédente,  on  obtient 

do  .-  f]f) 

V2 


v/C — coscp  \/i  —  yt-sin-O 

avec 

7  ?" 

A:r=  COS  —  • 


2 


D'après  les  formules  (D)  et  (D'),  on  a 


^  ::=  a  y/2  y/C  —  COS  O  , 

._         ^       f"^      C0Scp<ic5 

y/2  J^^     y/C  —  COS  cp  ' 

on  trouve  d'ailleurs 

y/C  —  COS  ^  =  k\^^  COS  e, 

cosç  =^2k'^  si  11^0  ^  I, 

COS cf  G?'^     (—  ?'  V^2  A--  siii-  0  -+-  y/2  )  <iô 

V^C  —  coscp  y/i  —  k^  sin^O 

=  2  v/2  y/i  —  A^Tin^  f/Ô 


V^^O 


y/i  —  /i^  si  11-0 

Remarquons  ensuite  qu'on  a 

cos  -  =  sint];=  A-sinO  —  COS  —  sinO, 
2  2 

et  que,  par  suite,   pour  9—90»  on  a  6  —  ^^,  et  les  valeurs  ci-dessus  de 
^  et  £1"  deviendront 

5  —  2ak  ces  6, 


^'0     y'i  —  A-'^sin-O  Jo 


Désignons  encore  pare  la  distance  de  l'origine  des  coordonnées  à  la 
lame  qui  correspond  à  l'angle  /;  on  calculera  k  et  e,  en  raisonnant 
comme  dans  le  premier  cas.  Si  nous  désignons  par  z^  et  z.^  la  hauteur 
du  liquide  contre  la  première  et  la  seconde  lame,  nous  aurons 


^,  —  2  a  V  /  k-  —  cos^  (  T )  '     ^2  =  —  2  a  \  /  A--  —  COS-  (  j 


yK'-^o^[j^--y  -.=-2«y y^    ^ 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'l'NE    PAROI.  4^ 

13.  Si  le  liquide  s'élève  sur  une  des  lames  et  s'abaisse  auprès  de 
l'autre,  lorsqu'on  rapprochera  suffisamment  les  lames,  le  point  d'in- 
flexion disparaîtra,  à  moins  que  l'angle  obtus  i'  ne  soit  le  supplément 
de  i. 

Représentons  -  -t'par/;  nous  aurons 


4-cos^f?--^ 


Si,  par  exemple,  ?  est  <y',  la  valeur  absolue  de  ^i  est  plus  grande  que 
celle  de  z.,,  le  liquide  s'élèvera  plus  contre  la  première  lame  qu'il  ne 
s'abaissera  contre  la  seconde.  A  mesure  qu'on  les  rapprochera,  k  dimi- 
nuera, et  pour 

(t.         /■' 
k  =z  ces    T  —  — 

on  a  ^2  =  o-  Le  point  d'inflexion,  qui  est  à  la  hauteur  du  niveau,  se 
trouve  alors  sur  la  seconde  lame.  En  rapprochant  encore  les  lames, 
toute  la  surHice  du  liquide  qui  y  est  renfermée  s'élèvera  au-dessus  du 
niveau,  et  il  faudra  modifier  l'analyse  précédente.  Nous  allons  voir 
qu'on  peut  se  servir  des  formules  du  premier  cas,  où  les  angles  i  et  i' 
sont  aigus. 

Soit  C  le  point  le  plus  bas  de  la  section  droite  [fig.  7).  Menons  le 


plan  BF  parallèle  au  plan  AE,  entre  la  lame  AE  et  le  point  C,  puis  me- 
nons la  tangente  HK;  l'angle  KHF,  que  nous  appellerons  /,,  est  obtus, 
tandis  que  l'angle  TME,  qui  représente  l'angle  i  est  aigu,  et  l'on  a 
/  <  -  —  i , . 


44  CHAPITRE    II. 

Remplaçons  ensuite  le  plan  BF  par  une  lame  pour  laquelle  l'angle 
de  raccordement  avec  le  liquide  soit  précisément  égal  à  «, .  Il  est  évi- 
dent que  le  liquide  se  maintiendra  jusqu'à  la  surface  HM;  car  la  sur- 
face HM  représente  bien  une  surface  capillaire,  et  les  deux  conditions 
relatives  aux  angles  de  raccordement  sont  satisfaites. 

On  pourra  donc,  en  prenant  encore  pour  origine  des  abscisses  celle 
du  point  C,  appliquer  la  formule  du  premier  cas 


2  —  A-2 
X  =:  — - —  a 
k 


F(-,  k 
1 


en  posant,  d'après  la  notation  de  Lcgendre, 


E(-,  A 

2 


E(J>,/0 


r  —=£L=^-=.YK^,k),       f'sj\-k'^sm^^d^'^E{'!^,k 
Jo     V'  —  A- SI  11^ ^{^  c/q 


Pour  ^  ==  OE  =  e,  on  a  cp  =  -  —  «,  -^  =  ^  h —  et,  pour  ^  =  OF  =  e, , 
on  a  9  =  ï)  —  75  <\i=  -J-'  —  -•  Donc  l'équation  précédente  devient,  pour 


=^«K^^)-<i-^^)] 


2  a 


E    -,  A- 


/i^ 


4<i 


,  k 


F('^-^S  k 


]--'[e(.. 


/c)  — E 


^-,"-^',A- 


)} 
)] 


Désignons  par  1  la  distance  des  lames;  nous  aurons,  en  retranchant 
ces  égalités, 


1  = 


-THT-r'^-Kl-^i'')] 


équation  qui  détermine  k. 

Les  élévations  du  liquide  contre  les  lames  seront  positives  et  données 
par  les  expressions 


""^^k/y'—^—^'^^''    ^^\/Yi~ 


sin  i 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'uNE    PAROI.  /|  ^ 

Ce  qui  précèdo  suppose  ?,  <-  —  i.  Si  ?,  est  >>  -  —  i,  le  calcul  sera 
tout  semblable,  mais  les  élévations  se  changeront  en  dépressions. 

Sur  l'élévation  ou  la  dépression  d'un  liquide  dans  un  tube  circulaire 

et  capillaire. 

14.  Supposons  un  cylindre  vertical  circulaire;  prenons  son  axe  pour 
l'axe  des  :;  et  mettons  l'origine  des  z  sur  le  plan  de  niveau.  En  dési- 
gnant par  X  la  distance  d'un  point  de  la  surface  du  liquide  à  l'axe,  nous 
aurons,  d'après  ce  que  nous  avons  vu  (n°  2),  pour  l'équation  du  méri- 
dien de  la  surface  du  liquide, 

d-iz         I    dz  r         /dz  \-"| 

d^v-        X   dx  I  \dx }    I  z 

\  '  /  3  "-2  ' 


\-m\ 


Le  premier  membre  représente  la  somme  des  courbures  principales  en 
chaque  point  de  la  surface,  au  sommet  de  laquelle  les  deux  rayons  de 
courbure  principaux  sont  égaux  à  une  même  quantité  y.  Si  donc  on 
fait  X  —  o  dans  cette  équation  et  qu'on  désigne  par  h  la  hauteur  du 
sommet,  on  aura 

ï 

En  multipliant  l'équation  (i)  par  ^</a7  et  intégrant  les  deux  membres, 

on  a 

dz 

(2) =  —l     xz  dx. 


/      (dz  y 
\'-^\Tx) 


Nous  allons  maintenant  supposer  que  le  rayon  r  est  très  petit.  Dans 
ce  cas,  la  surface  du  ménisque  diffère  peu  d'une  portion  de  sphère;  si 
elle  appartenait  à  une  sphère,  son  méridien  serait  un  cercle  ayant  pour 
équation 


/i()  ciixVPiTiu:  II. 

/  et  c  étant  constants.  Posons  donc 

Z  --  l  —  \'c'-  —  ./•  '  -h  If, 

u  étant  une  fonction  de  x  très  petite.  Nous  aurons 

dz  X-  du 

et  par  conséquent  -%-  est  nul  pour  a?  =  o.  Nous  allons  substituer  cette 
expression  de  z  dans  (2);  en  négligeant  le  carré  de  -,-?  nous  aurons 


/  dz  \-              c         (  ic  v/f-  —  œ-  du 

I  +  -7-  — ^-   I  + 


dz 

dx  (  X-        X  v/c-  —  X'  du  \  f         X  V  c^  —  x-  du 


I         (  d-\''-        \  c       c  dx )  \  c^  dx 

x''-        x{c'-  —  x'^Y  du 
c  c-*     dx 

et  le  second  membre  de  (2)  deviendra 

I      /■  '  ,  .X-'  /        {c-  —  r^  )  ^  -  -  c'^ 

— -       /         XZ  dx  = :    -\ ■- —  5 

a-    f  2a-  6a- 

en  négligeant  -\  /  uxdx.  Ainsi  l'équation  (2)  devient 

du         „  /  cl 


=  CM :,   —  I 


dx  ~        \id-         )  .  ,         „.\        3a-  X       Sa"^      .  „        ,,ij 
(c-  —  x-)^  x{c^  —  x^)- 

et,  en  intégrant,  on  aura 

u  =  c-  (  --^  —  /-„  —  I  )    ,  +  y—,  Iog(c  +  \/c-—  x^-)  -H  const. 

\2a^        3«-         J^c-i—x^       3a2 

Comme  m  ne  doit  pas  être  extrêmement  grand,  quand  x  diffère  très 
peu  de  c,  le  premier  terme  de  u  doit  s'annuler,  et  l'on  a 

2  a-        Ci 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUI'UÈS    d'uNE    PAUOI.  Zj- 

ce  qui  détermine  /  en  fonction  de  c;  enfin,  on  déterminera  la  con- 
stante arbitraire  qui  entre  dans  w,  en  exprimant  que,  pour  a?  —  o,  w  est 
nul;  on  obtiendra  ainsi 


c 
const.  =z  —  - — -  loir2c 
6  a- 


et 


c*  c  -+-  \/c 


W  =    7T-T   lOô 


/r2  _  .^2 


oa-  2C 


Nous  obtenons  donc,  pour  la  surface  du  ménisque,  cette  équation 


dans  laquelle  il  ne  reste  plus  d'inconnue  que  c. 
Pour  ^  — -  o,  s  est  égal  à  A,  et  l'on  a 

. .  2^^  C 

Nous  déterminerons  la  quantité  c  par  l'angle  aigu  i  de  la  surface 
avec  le  tube;  nous  aurons  donc,  en  désignant  par  r  le  rayon  du  tube, 


dz 

COlf=: 
OU 


colf  =: -7-     pour     >r  = /•, 


C""  I 

COti  =  ^rrr— _  (    I  —  -— 


De  cette  formule  on  tire  d'abord,  pour  c,  la  valeur  approchée  :> 

puis  on  a 

/■  r^        I         sin-i 

c  ■= 


cost       à  a-  cos*f  1  +sint 

c  étant  obtenu,  l'équation  (3)  ne  renferme  plus  rien  d'inconnu. 

Si  l'angle  i  est  obtus,  le  liquide  sera  déprimé  dans  le  tube.  Toute  la 
théorie  précédente  est  applicable,  })ourvu  que  l'on  change  le  signe  du 
radical  \/c-  —  x'-.  Cela  revient  à  dire  que  l'on  peut  adopter  encore  les 
formules  précédentes,  en  prenant  pour  i  l'angle  aigu  que  fait  le  liquide 
avec  la  partie  du  tube  qui  n'est  pas  en  contact  avec  le  liquide,  et  por- 
tant la  valeur  de  z  au-dessous  du  plan  de  niveau. 


48  CHAPITRE    IT. 

D'après  ce  qu'on  a  vu  ci-dessus,  on  a,  pour  le  rayon  de  courbure  y 
au  sommet, 

la- 

qui  est  donc  aussi  déterminé,  puisque  h  est  connu. 

Remarque.  —  Le  calcul  de  Poisson  pour  résoudre  ce  problème  est 
très  analogue  à  celui-ci,  quoiqu'il  ne  conduise  pas  aux  mêmes  formules. 
Il  est  bon  de  montrer  par  où  pèche  son  raisonnement.  En  égalant, 
comme  je  l'ai  fait,  à  zéro  le  coefficient  de  ~— dans  u,  il   trouve 

ICI  • 

■^        ba-        c 


que,  d'après  ses  notations,  il  écrit 


I  Y  ' 

-  -H  ô^- 1 

Y        0  a-         Y 


et,  comme  on  a  A  =  — >  il  en  résulte 

T 

2  a-        c 
(a)  ^^==T--3 


Or,  sans  remarquer  cette  valeur,  il  emploie,  pour  déterminer  A,  un 
calcul  que  je  vais  faire  seulement  pour  le  cas  de  i  =  o.  On  a  alors  c  =  /% 
et  l'équation  (2)  donne 

,.  _,  i_    j      a-{h-rZ,)djC, 

en  faisant 

Z^z:::  c  —  \J C^  —  x'^  +  U  ; 

cette  équation  devient,  puisque  c  est  égal  à  r, 
ou 

Poisson  trouve  donc  deux  valeurs  de  A,  savoir  (a)  et  (6),  et  la  se- 


,  hr-        2,  ,  , 

a-r=:. 1 ; h  /     iixdx 

2  6 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'lN    LIQUIDE    AUmÈS    d'uNE    PAPxOI.  49 

conde  rend  u  infini  pour  x  =  /■.  La  correction  du  terme  en  —  ?  qu'il  fait 

par  la  formule  [h),  se  trouve  être  à  peu  près  double  de  celle  qu'il  faut 
faire. 

15.  Si  l'angle  i  de  raccordement  n'est  ni  nul,  ni  très  petit,  les  for- 
mules que  je  viens  de  donner  s'appliqueront  très  bien  à  des  tubes  dont 
le  rayon  ne  dépassera  pas  i'"'";  ainsi  elles  s'appliqueront  en  particulier 
à  une  colonne  mercurielle  renfermée  dans  un  pareil  tube.  Mais,  si  «est 
nul,  la  métliode  d'approximation  du  calcul  précédent  n'est  plus  appli- 
cable. En  effet,  dans  ce  cas,  c  est  égal  à  r,  et  une  nouvelle  approxima- 
tion calculée  d'une  manière  semblable  donnerait  dans  z  des  termes  qui 
seraient  infinis  pour  x  ■=  r. 

11  faut  donc,  quand  i  est  nul,  employer  d'autres  formules.  La  surface 
convexe  diflerant  peu  d'un  liémispbère  si  le  rayon  ne  dépasse  pas  i""", 
restant  convexe  et  se  terminant  normalement  à  un  plan  horizontal,  on 
conçoit  qu'elle  pourra  être  assimilée  avec  une  grande  approximation  à 
un  demi-ellipsoïde  de  révolution  dont  le  rayon  équatorial  sera  celui  r 
du  tube. 

En  mettant  l'origine  au  sommet,  l'équation  de  l'ellipse  méridienne 
sera 

r,  p  étant  ses  demi-axes,  et  le  rayon  de  courbure  au  sommet  sera 

r- 

F 

(I)  h 


I  -  ^ 


on  aura  donc 

2  «^  2  a-  p 


Le  volume  du  liquide  soulevé  est  2-ra-  (n"  3),  et  il  en  résulte 

2  7:/'a-  i::^  TT/ 2/i  -H  2  71     /       ZXclx. 

•-  0 

Cette  intégrale  est  égale  à  ^-  >  et  l'on  obtient 

2  «2  8 

(.)  ''=  — -f 


.)0  CIIAPITHE    11. 

Dos  équations  (i)  et  (2),  on  tii'c 

„  6  a-/'  ,  I?,  a'* 

ba-  -h  /-  (oa--h  /-)/■ 

Nous  verrons,  au  Chapitre  Y,  le  moyen  de  juger  du  degré  d'approxi- 
mation de  ce  calcul  en  comparant  les  résultats  des  formules  précédentes 
à  ceux  d'autres  entièrement  rigoureuses. 

Si  l'on  veut  calculer  la  quantité  a'-,  connaissant  h,  on  déduira  de  la 
dernière  formule 

h/'        hr      /         4'"         f^J'  (  I    /■        I    /•-  \ 

"^=^  T  ^"  T  V  ^"^'  3Â  ^  T  V  ^-  3  Â  -  9  ^^  '"••  )' 

Edouard  Desains  a  déduit,  au  moyen  de  cette  formule,  pour  la  valeur 
de  cC^  relative  à  l'eau,  le  nombre  7,60  à  la  température  de  8", 5  G. 

IG.  Pour  déterminer  l'épaisseur  de  la  couche  d'un  liquide  qui  hu- 
mecte la  paroi  intérieure  d'un  tube  capillaire,  M.  Duclaux,  après  avoir 
introduit  dans  le  tube  une  colonne  du  liquide,  l'aspire  jusqu'à  une  des 
extrémités  de  ce  tube;  puis  il  fait  retournera  sa  position  primitive  la 
base  opposée  de  la  colonne  dont  la  longueur  se  trouve  diminuée.  Il  en 
déduit  bien  facilement  le  volume  de  la  couche  liquide  qui  reste  adhé- 
rente à  la  surface  intérieure  du  tube  et  par  suite  aussi  son  épaisseur. 
M.  Uuclaux  a  ainsi  trouvé,  en  employant  un  tube  de  o'"'",i4v')  : 

Epaisseur 
en  millimètres. 

Eau o ,  oooSo 

Alcool  à  ào° 0,00076 

»        à  90" o ,  00064 

Huile  d'olive o,oo344 

J'ai  le  premier  démontré  que,  lorsqu'un  liquide  coule  dans  un  tube 
capillaire,  il  se  trouve  sur  la  paroi  une  couche  immobile  tellement  mince 
qu'on  peut  la  considérer  comme  nulle  dans  le  calcul  (voir  Comptes  ren- 
dus des  séances  de  l' Académie  des  Sciences,  10  août  i8G3,  et  mon  Cours  de 
Physique  mathématique,  n°  30).  Cela  n'était  nullement  admis  aupara- 
vant; néanmoins  les  physiciens  ne  me  citent  jamais  à  ce  sujet. 

Si  l'on  représente  par  11  la  hauteur  moyenne,  au-dessus  du  niveau, 


ÉLÉVATION    OU    nÉPRFSSTON    D  UN    LIQUIDE    AUPr.ÈS    DUNE    PAROI.  5l 

de  la  surface  du  ménisque  dans  un  tube  circulaire  du  rayon  ;%  on  a, 
d'après  le  théorème  de  Laplace, 

OU 

Ainsi  H  varie  en  raison  inverse  du  rayon  du  tube;  ce  qui  est  la  loi 
dite  de  Jurin. 

Certains  physiciens  ont  cru  reconnaître  que,  pour  les  liquides  qui 
mouillent  le  tube,  la  hauteur  H  croît  plus  que  ne  l'indique  la  loi  de 
Jurin,  quand  le  rayon  du  tube  devient  inférieur  à  i'"'".  On  a  voulu 
expliquer  ensuite  ce  fait  par  la  couche  liquide  dont  l'épaisseur  ne  se- 
rait plus  négligeable  pour  des  tubes  aussi  fins;  mais  cette  explication 
doit  être  rejetée  d'après  les  nombres  donnés  ci-dessus  pour  l'épaisseur 
de  la  couche.  La  loi  de  Jurin  doit  être  considérée  comme  très  exacte 
et  l'anomalie,  que  certains  physiciens  ont  observée,  provient  de  ce  que, 
dans  les  tubes  extrêmement  fins,  la  surface  du  liquide  est  moins  ex- 
posée à  être  altérée  par  les  poussières  et  que  la  couche  liquide  s'y  main- 
tient plus  longtemps. 

Remarquons  que,  si  l'on  voulait  tenir  compte  de  l'épaisseur  de  la 
couche,  il  faudrait,  dans  l'application  des  formules,  diminuer  le  rayon 
du  tube  de  plus  du  double  de  l'épaisseur  de  cette  couche.  En  effet, 
dans  le  Chapitre  P%  n''  10,  on  a  raisonné  comme  si  la  couche  liquide 
était  solide,  ce  qui  était  suffisamment  exact  à  cause  de  sa  faible  épais- 
seur; toutefois  elle  est  attirée  par  le  ménisque  et  celui-ci  doit  se  relier 
à  la  surface  cylindrique  par  une  très  petite  surface,  en  sorte  que  la 
somme  des  rayons  de  courbure  principaux  ne  change  pas  brusquement, 
en  passant  d'une  surface  à  l'autre,  ainsi  qu'on  l'avait  admis. 

17.  Laplace  avait  énoncé  ce  théorème  :  L'élévation  d'un  liquide  qui 
mouille  exactement  les  parois  d'un  tube  capillaire  est,  à  diverses  tempéra- 
tures, en  raison  directe  de  la  densité  du  liquide.  (On  fait  abstraction  de 
la  dilatation  du  tube). 

Désignons  par  H  la  hauteur  du  liquide  dans  le  tube  à  la  température  t 
et  par  Ho  cette  hauteur  à  la  température  zéro  et  représentons  par  a  un 


52  CHAPITRE    II. 

coefficient  constant;  puis  posons 

(b)  II=:Uo(i-aO; 

d'après  Laplace,  a  serait  le  coefficient  de  dilatation  du  liquide. 
D'après  les  expériences  de  Brunner,  on  a  la  formule  {h) 

Pour  l'eau  entre o"  et    82"  en  faisant  a  =1:0,00187  • 

»     l'étlier  entre 0°  et    35"  »  a  3=  o,oo523 

»     l'huile  d'olive  entre.  .     o"  et  iSo"  »  a=:o,ooi/4i 

et  les  valeurs  de  a  sont  beaucoup  plus  grandes  que  le  coefficient  de  dila- 
tation de  ces  liquides. 

M.  Wolf  a  trouvé,  pour  l'eau  et  pour  des  valeurs  de  t  comprises  entre 
0°  et  2j",  la  formule  encore  plus  précise 

Il  rr;  IIq  (  I  —  O  ,  OO20G  i  —  O  ,  00000298  t-  ) , 

qui  conduit  à  la  même  conclusion. 

Voici  à  quoi  revient  le  raisonnement  fait  par  Laplace  :  D'après  la 
formule  (a),  on  a 

r         gp      r 

La  quantité  g^a-  esta  peu  près  proportionnelle  à  l'attraction  du  li- 
quide sur  lui-même,  comme  il  résulte  de  la  formule  (Chapitre  F',  n'*  8) 

-    +  C --=,i?-pM  ■— i'-prr-, 
2 

si  l'on  suppose  C  très  petit  vis-à-vis  de  B.  Si  donc  on  néglige  l'accrois- 
sement de  répulsion  entre  les  molécules  provenant  de  l'augmentation 
de  la  température,  on  voit  que  g^a-  varie  à  peu  près  proportionnelle- 
ment à  p-  ;  donc  H  est  sensiblement  proportionnel  à  la  densité  p.  Comme 
cette  conséquence  n'est  pas  juste,  il  faut  en  conclure  que  les  hypo- 
thèses précédentes  ne  sont  pas  non  plus,  toutes  les  deux,  exactes. 

Tube  non  cylindrique ,  mais  de  jvvo/ution  et  dont  l'axe  est  vertical. 

18.  Supposons  un  tube  de  révolution,  dont  l'axe  est  vertical,  plongé 
en  partie  dans  un  liquide  (fig.  8).  Soit  ZOD  l'axe  vertical  du  vase  qui 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'uNE    PAROI.  53 

sera  aussi  celui  du  liquide.  La  hauteur  du  ménisque  AMB  ne  dépend 
que  de  la  forme  de  ce  ménisque. 

Pour  un  liquide  donné,  le  ménisque  ne  variera  qu'avec  le  rayon 
AO  =  r  et  l'angle  NAO  =  i'  formé  par  la  normale  AN  à  la  surface  capil- 
laire avec  l'horizon. 

Fis.  8. 


Soient  AH  une  verticale,  AT  et  AG  deux  tangentes  au  méridien  et  à 
la  section  du  ménisque;  on  aurai'  =  HAC.  Désignons  comme  précé- 
demment par  i  l'angle  de  raccordement  TAC  qui  est  connu;  nous  au- 
rons 

i'  r=  [lAT  +  i. 

Si  nous  regardons  comme  connus  la  hauteur  du  cercle  AB  et  par 
suite  r  et  l'angle  HAT,  nous  aurons  aussi  la  valeur  de  i.  Alors  la  for- 
mule qui  donne  la  coordonnée  z  de  la  surface  du  ménisque  est  la  même 
que  celle  qui  donne  cette  coordonnée  pour  le  ménisque  d'un  tube  cy- 
lindrique, dont  r  est  le  rayon,  l'angle  de  raccordement  étant  supposé 
égal  à  i . 

Ainsi  on  aura  (n°  14) 


(«) 


+  -C 


v/^: 


3«- 


loe:  - 


2C' 


c  étant  fourni  par  la  formule 


{b) 


c  = 


COSi 


/■-     tanff-/' 


3  a-  I  +  siiu' 


n  y  a  toutefois  une  remarque  à  faire  pour  le  cas  où,  dans  la  surface 
du  ménisque,  à  certaines  valeurs  de  x  correspondent  deux  valeurs  de  z, 
ainsi  que  cela  a  lieu  (fig.  9)  depuis  le  point  A'  jusqu'en  A. 


54 


CHAPITRE    II, 


Les  formules  [a)  et  {h)  sont  encore  applicables  depuis  le  point  M 
jusqu'au  point  P  où  la  tangente  est  verticale.  Mais  en  ce  point  la  va- 
leur (le 


do) 


s/c' 


'       3a^ 


v/^ 


devient  infinie;  oc  y  est  donc  égal  à  c  et  le  radical  y  change  de  signe. 
Il  faudra  donc,  à  partir  de  ce  point  jusqu'en  A,  faire 

9,  (7^  ,  r— c''     ,  C  —  V^C^^  .T^ 

z  = H  .^  e  +  \'C'  -  -  ^-^  -h  ^— ^  log ^^ 

c  *  ^  6a^  2c 


Pour  déterminer  c,  désignons  par  i'  l'angle  aigu  de  la  normale  au 


«•'i:T.  9- 


ménisque  en  A  avec  l'horizon,  nous  aurons 


r/-                /• 
COil'  --=■  —  -j-  :=^  -.-- - 

"•^       v/c-  —  /■ 


V 


3^ 


s/c 


et  on  en  conclut  facilement 


tang^f' 


cosi'  \         da'  i  —  sini' 


Dans  ce  qui  précède,  nous  avons  supposé  connue  la  section  circu- 
laire AB  à  laquelle  s'arrête  le  liquide,  par  suite  connues  les  valeurs  de 

z,  X  et-T^  au  point  extrême  A  du  méridien  du  ménisque.  Si  cela  n'avait 

pas  lieu,  on  égalerait  entre  elles  les  valeurs  de  z  relatives  aux  méridiens 
du  ménisque  et  de  la  surface  intérieure  du  tube,  et  il  en  résulterait  en 
général  un  problème  assez  difficile,  mais  peu  utile  à  la  Physique. 


ELEVATION    OU    DEPRESSION    D  UN    LIQUIDE    AUPKES    D  UNE    PAROI.  JJ 

19.  Dans  un  tube  de  révolution  dont  l'axe  est  vertical,  il  peut  y 
avoir  plusieurs  états  d'équilibre  et  si  le  rayon  diminue  par  degrés  in- 
sensibles, ces  divers  équilibres  sont  en  général  alternativement  stables 
et  instables.  Voici  le  raisonnement  donné  parLaplace  pour  le  prouver: 

D'abord,  le  liquide  tend  à  s'élever  dans  le  tube,  et  cette  tendance 
en  diminuant  devient  nulle  dans  l'état  d'équilibre;  le  liquide  conti- 
nuant à  s'élever,  elle  change  de  signe  et  le  liquide  tend  à  s'abaisser. 
Ainsi  le  liquide,  étant  un  peu  écarté  de  cet  état  d'équilibre,  tend  à  y 
revenir  :  cet  état  est  donc  stable.  Si  l'on  élève  le  liquide  par  aspiration, 
sa  tendance  à  s'abaisser,  après  que  cette  action  aura  cessé,  diminuera 
jusqu'à  devenir  nulle  pour  une  certaine  hauteur  de  la  colonne,  au  delà 
de  laquelle,  la  tendance  changeant  de  sens,  le  liquide  devra  monter. 
Ainsi  cette  hauteur  correspond  à  un  état  d'équilibre  instable.  De  môme 
le  troisième  état  d'équilibre  serait  stable,  le  quatrième  instable  et  ainsi 
de  suite. 

Le  raisonnement  de  Laplace  est  vague  et  il  est  indispensable  de  le 
remplacer  par  un  autre  qui  ait  plus  de  précision. 

La  fonction  de  forces  U  qui  régit  le  liquide  peut  être  considérée 
comme  ne  dépendant  que  d'une  seule  variable,  par  exemple  de  la  hau- 
teur à  laquelle  s'élève  le  sommet  du  liquide,  et  l'équilibre  correspond 
à  l'équation  §U  =  o.  Or  la  fonction  U  ne  dépendant  que  d'une  variable, 
les  valeurs  de  cette  variable  déduites  de  cette  équation  correspondent 
en  général  à  des  maxima  ou  des  minima  de  U  qui  se  succèdent  alter- 
nativement quand  cette  variable  va  en  croissant.  Au  maximum  de  U 
correspond  un  équilibre  stable  d'après  un  théorème  de  Mécanique,  et 
à  un  minimum  de  U  un  équilibre  instable.  Ainsi  les  équilibres  de  la 
colonne  capillaire  seront  alternativement  stables  et  instables.  Il  reste  à 
prouver  que  le  premier  est  stable. 

On  a  (Chapitre  I",  n*^  6) 

U  =;  A  —  g^  fzdm  —  -pMa  —  ^-pNtî 
et,  si  le  liquide  mouille  le  tube,  on  a  N  —  —  M  —  —  «-,  par  suite 

\]-=k~  g^fzdxis  —  spa^'}^  g^a'-il, 

a  étant  la  surface  libre  du  liquide  et  Q,  celle  qui  est  au  contact  du  tube. 
On  voit  facilement  que  si  l'on  fait  croître  la  hauteur  de  la  colonne  à 


56 


CHAPITRE    II. 


partir  de  zéro,  le  terme  g^a-Q.  sera  celui  qui  subira  d'abord  le  plus 
grand  accroissement  et  que  U  commencera  par  croître.  Quand  U  cessera 
d'augmenter,  il  passera  par  un  maximum.  Ainsi  le  premier  équilibre 
est  stable. 

Tuhe  conique  vertical. 

20.  Comme  application  de  ce  qui  précède,  considérons  un  tube  co- 
nique de  révolution  et  plongeons-le  dans  un  liquide  qui  le  mouille  par 
sa  partie  la  plus  large,  de  manière  que  son  axe  soit  vertical.  Désignons 
par  2/2  l'angle  au  sommet  du  cône  et  par  a  le  rayon  du  tube  à  la  hau- 
teur de  la  surface  de  niveau,  à  partir  de  laquelle  on  compte  les  z.  Le 
méridien  du  tube  est  une  droite  qui  a  pour  équation 


lang^ 


Nous  supposons  la  surface  du  ménisque  tangente  au  tube;  elle  se 
trouve  donc  dans  le  second  cas  examiné  au  n"  18.  Désignons  par  r  le 
rayon  du  tube  sur  le  contour  du  ménisque;  sur  ce  contour,  z  étant  le 
même  pour  le  tube  et  la  surface  libre  du  liquide,  on  a 


/• 


2«'_^2^^./72 T^  ,      c'    i.„^-v/c^- 


tangp         c         ^         ^  3a-      °  2C  ' 

l'angle  désigné  précédemment  (n''  18)  par  i'  est  constant  et  égal  à  [5  et 
l'on  a 

/    ,  r     (         r^-     langes 

(2)  ._  /  .  ^  V 


cos^  \        3a^  1  —  sinp 

En  portant  cette  valeur  de  c  dans  l'équation  précédente,  elle  ne  ren- 
fermera plus  que  l'inconnue  r. 

Faisons  le  calcul  en  supposant  que  p  soit  un  très  petit  angle,  ce  qui 
est  nécessaire  pour  que  le  tube  soit  capillaire,  et  posons  d'abord 


3^^^^ 


c  —  \[^ 


En  faisant  simplement  c  =  r  et  négligeant  J,  on  déduira  de  Téqua- 


ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION    d'uN    LIQUIDE    AUPRÈS    d'uNF.    PAKOT.  5^ 

tion  (i) 


r-=  -  ±i  /  -r  —  2«2sin3. 


Ne  considérons  d'abord  que  la  solution  où  le  radical  est  prcccdé  du 
signe  +  et  posons 


— 1-  1  /  —  —  2  «■-  sin  p  =z  /•, , 


i/  -y 2«-  sinp 

nous  aurons  pour  J,  en  remplaçant  dans  le  logarithme  c  par — ^5 

/■?   ,       I  — sin3 

Faisons  ensuite  dans  l'équation  (i)c  =  — ^  et  remplaçons   le  dernier 

^  ^    '  ces  ,3  ' 

terme  par  J,  dont  la  valeur  est  connue;  nous  aurons 

a  —  /•        2  a-  cos  ?j        9.      /■  .         n        T 

laiigp  /•  .T  cos 3 

et  il  en  résultera,  en  négligeant  des  quantités  très  petites, 


a  —  J,  tangj3  4-  va' —  2a,)i  taiig3  —  8c/-  siii|i  (i  +  ^  siii[i) 

Si  nous  posons  de  même 


4 


t   / •  :?  rt-  SI  n  ;i  :=::   /'.. , 


/•  '    ,       I  —  sin  3 
^-  lop-  '-    -.h_, 

nous  aurons  pour  le  rayon  du  bord  du  ménisque  cette  seconde  solu- 
tion 


.  a  —  J.,  tangp  —  s/'oL'^  —  :^aj,  tang^  —  8a'  sin  i^  (i  H-  |  siii|^) 

^"*^  '' ^  '.i  +  -.;-siii;i 

D'après  ce  que  nous  avons  dit  (n"  19),  la  valeur  (4)  de /-correspond  à 
un  équilibre  instable;  la  valeur  (3)  se  rapporte  au  contraire  à  un  équi- 
libre stable;  toutefois  cet  équilibre  n'est  lui-même  possible  que  si  l'ex- 
pression (3)  est  réelle,  c'est-à-dire  si  l'on  a 

a^  —  8 «2  sin  ^    -  9. 7.1, 1ang3    -  \«  a-  sin-  p  >  o. 


58  ciiapht.e  n.  —  i.i.évatiox  ou  dépression  d'un  uquioe,  etc. 

Si  cette  condition  n'est  pas  remplie,  le  liquide  montera  jusqu'en 
haut  du  tube.  Cette  inégalité  se  réduit  à  peu  près  à 

a-  >  Sa-  sinP; 

donc  un  équilibre  stable  sera  possible,  si  le  rayon  le  plus  grand  du 
tube  est  sensiblement  >2«v2sin^,  et  il  suffira  d'enfoncer  le  tube 
de  manière  que  son  rayon  à  la  hauteur  de  la  surface  de  niveau  soit 
>  2a\/2s\n{i.  Il  faudra  d'ailleurs  que  le  tube  s'élève  assez  pour  que 
la  valeur  de  r  donnée  par  la  formule  (3)  soit  un  des  rayons  du  tube. 


LIQUIDES    SUPEUPOSÉS. 


^9 


CHAPITRE  m. 

LIQUIDES  SUPERPOSÉS.  -  SUSPENSION  DANS  L'AIR  D  UN  LIQUIDE 
PAR  UN  TURE  CAPILLAIRE. 


Equilibre  d'un  système  composé  de  deux  liquides  et  d'un  corps  solide. 

1.  Appliquons  l'analyse  exposée,  du  n"  2  au  n"  6  du  Chapitre  I, 
quand,  au  lieu  d'un  seul  liquide,  on  en  a  deux  superposés  dans  un 
vase. 

Désignons  par  m  chaque  molécule  du  premier  liquide;  par  m'  cha- 
cune du  second;  par  M  chacune  du  corps  solide,  avec  des  indices  pour 
les  distinguer.  Représentons  par  r  la  distance  entre  deux  molécules  du 
premier  liquide;  par  r  la  distance  entre  deux  molécules  du  second; 
par  R  la  distance  entre  met  M;  par  R'  la  distance  entre  m'  et  M,  et  par/> 
la  distance  entre  m  et  m' .  Nous  aurons,  d'après  le  principe  des  vitesses 
virtuelles,  l'équation 

g^moz  +  -  S,S,-/;i,//^./(/-/,,s)o/v^,.    ;- S,S,./«/M,-F(R/,^)oR,-^,„ 

~ g'èm'oz'  -r  7  S/S,-/?ij-»/,/i(/v,,)5/v,,,  -;-  S/S,.7«',M, Fl(R'/,.,)ol^/,,s■ 
+  S„St,/«„/;C  '^{Pu,v)  '■'Pu,  V  :-  o, 

/,  /,,  F,  F<,  9  étant  les  attractions  entre  les  molécules,  dont  les  masses 
multiplient  ces  fonctions.  Le  premier  membre  de  cette  équation  est 
égal  à  —  %\^,  U  étant  la  fonction  de  forces. 

Désignons  par  c»  etrr'les  parties  libres  des  surfaces  des  deux  liquides; 
par  Çl  et  ^  les  surfaces  suivant  lesquelles  ces  deux  liquides  touchent 


6o  CUAPITRK    III. 

le  solide  ;  enfin,  parT  la  surface  de  séparation  des  deux  liquides.  Soient 
encore  p  et  p' les  densités  de  ces  deux  liquides. 

Nous  aurons,  en  désignant  par  B,  C,  D,  E,  F,  H,  B',  C,  D',  E',  F' 
d(îs  constantes, 

S,S,m;M.Fi(R;,,)8U;.,..:-E'S<>', 

-  S/ S, /«//«,/(/•/,  5)  8/7,, s-  —  -  o(c7  +  <>  +  T  )  +  c  Sa  +  D  oi>  +  F  oT, 

1  s,s,m;. m;/, (/•;,,) a/-;. ,  -.._  "1'  o{a'  +  <>'+  t')  -^  c'3a'+ d'8i>'+  f' si, 

C,  D,  F,  G',  D',  F'  étant  nuls  si  l'on  ne  suppose  aucun  changement  aux 
limites  des  liquides.  Posons 

^-E  +  l)=-i'-pN,     ^-E'+D'=.-é^p'N', 
-  +F-h-  +F'-H=-T, 

et  l'équation  du  principe  des  vitesses  virtuelles  deviendra 

(  A  )      po  fzdm  4-  p'  0  /  z'dxn'  ^\-  p  M  os  -l-  p'  M'  8  j'  +  p  N  8i2  +  ?'  N'  8i>'  +  X  Sï  =:  o. 

2.  Développons  d'abord  l'équation  (A),  en  supposant  que  le  second 
liquide  recouvre  entièrement  le  premier.  Soient  R',  R',  les  rayons  de 
courbure  de  la  surface  a  et  Jl,  Jl<  ceux  de  la  surface  T;  désignons  par  i' 
l'angle  de  raccordement  de  g'  avec  la  paroi,  par  /'  le  contour  de  a'  et 
par  SV  la  distance  de  la  ligne  /'  à  la  position  infinimentvoisine  qu'elle 
prend  après  le  déplacement  virtuel.  Désignons  par  ï,  ,  /, ,  Sx,  les  mêmes 
quantités  pour  la  surface  T.  Entin,  représentons  par  ^/^,  hi',  h  les  di- 
stances des  surfaces  a,  t',  ï  à  ces  mêmes  surfaces  après  le  changement 
virtuel. 


LIQUIDES    SUPERPOSES. 


6i 


D'après  ce  qu'on  a  vu  dans  le  Chapitre  I  (n'"*  8,  9),  on  obtient  faci- 
lement 

oT  =  —  /  (  "ijT  +  T^-  )  ^"'  <^T  H-  /  ces  il  oXi  dli, 
o<2  =        /  oX  dl  +  I  olidli, 

0  I  z  dw  ■:==.        1  Zi  OV  f/T, 

0  fz'  dw'  z=       Cz'  on'  d^'  —  i Zy  OV  dT, 

z'  étant  l'ordonnée  de  la  surface  c'  et  ^,  celle  de  la  surface  T.  Si  l'on 
substitue  ces  valeurs  dans  l'équation  (iV),  les  intégrales  en  tn!%fz'  et 
t^dl.  seront 


M'IjL^jL,,. 


on'  d^' , 


f 

f[-    K^+F,)+(?-P')-]°''"'' 

et,  comme  le  volume  de  chacun  des  liquides  est  constant,  on  en  conclut, 
pour  les  équations  des  surfaces  a  et  ï, 


M'(5-,  +  I^)=^'-/<, 


X  /     I  I       \  , 


h  et  //,  étant  deux  constantes  arbitraires. 

On  trouve  aussi,  dans  l'équation  (A),  les  deux  intégrales 


r(p'M'cosi'+p'N')§X'^/', 
A-ccosii  +  pN— p'N')oXiG?/i, 


62  ClIAPlTIiE    m. 

qui  doivent  être  nulles,  quels  que  soient  S)/ et  Bx,  ;  on  en  eonclut 


on  a 


COSl   ■--  —  CY,  j       COSi, 

M'  T 


H       „       TV       ,.,      „ 


et,  dans  le  cas  où  le  cliangement  de  densité  des  liquides  serait  négli- 
geable à  leur  limite,  cette  formule  deviendrait 


pM-hP'M'      - 


Superposition  d'une  goutte  de  liquide  à  un  autre  liquide. 

3.  Plaçons  une  goutte  de  liquide  sur  un  autre  liquide  plus  dense,  que 
nous  supposons  assez  large  pour  être  regardé  comme  s'étendant  indé- 
finiment. En  prenant,  par  exemple,  pour  la  goutte  de  l'eau  ou  de  l'huile 
et  pour  le  liquide  inférieur  du  mercure,  les  surfaces  seront  convexes. 
Pour  simplifier,  nous  admettrons  que  la  surface  de  la  goutte  est  de 
révolution  et  par  suite  aussi  la  surface  du  liquide  inférieur. 

p'  est  la  densité  du  liquide  de  la  goutte,  p  celle  du  liquide  inférieur, 
T  la  surface  de  contact  des  deux  liquides;  nous  aurons  à  faire 

0<)  =::  O,       0<>'   —  O 

dans  l'équation  (A)  du  n°  1,  qui  deviendra 

(D  )  pM  -^  drs  +  p'ô  /  z' dvj'  -f-  pM  ô(T  -h  p'M'  ot'  1-  T  ôT  :^  o. 

Nous  pouvons  supposer  que  les  déplacements  virtuels  laissent  de  ré- 
volution les  surfaces  c,  g'  et  T. 

I'i{j.    10. 


Admettons  d'abord  que,  dans  ce  mouvement,  le  cercle  aa!  [fig.  lo) 


LIQUIDES    SUPERPOSÉS.  63 

suivant  lequel  se  rencontrent  ces  trois  surfaces  ne  change  pas  de  gran- 
deur et  reste  fixe.  Nous  aurons 

0  /  ^  07TT  zz:z  I  z  on  da  -\-  I  Zi  ov  dT, 

0  Çz'  Zw'—  Çz'on'd^'—  fz,  5v  dV^ 

Z,^-j(^L^^y.nd., 

Nous  allons  supposer  ensuite  que  le  cercle  «a'  se  modifie  et  chercher 
les  termes  qu'il  faut  ajouter  aux  expressions  précédentes.  Si  l'on  con- 
çoit que  le  point  a  se  meuve  dans  un  plan  passant  par  l'axe  de  révo- 
lution, ce  déplacement  peut  se  décomposer  en  deux  autres  :  l'un  sur  g 
et  l'autre  sur  g',  que  nous  allons  examiner  séparément. 

4.  Faisons  d'abord  glisser  le  point  a  d'une  quantité  infiniment  pe- 
tite ()"X  =:  ««,  sur  G  et  supposons  que  g  ne  change  pas  au  delà  du  paral- 
lèle du  point  «,.  Dans  la  déformation,  T  viendra  en  T,,  g'  en  g\  et  ses 
deux  surfaces  feront  entre  elles  un  angle  très  peu  différent  de  celui 
qu'elles  faisaient  d'abord. 

Désignons  par  ^'g,  Vg',  ^'T  les  parties  de  ^g,  ^t',  ^J  qui  n'ont  pas  été 
calculées  précédemment  et  qui  dépendent  de  ^1;  représentons  par  h  le 
rayon  du  cercle  aa'  et  par  n,  n',  N  les  normales  menées  au  point  a  aux 
trois  surfaces  g,  g',  T  et  dirigées  à  l'intérieur  de  la  goutte.  Enfin  posons, 
pour  les  angles  de  ces  normales, 

{n,n')  —  i,     («,  N)=./,     («',  N)  = 'j  =/ — /; 

nous  aurons 

o'a  z^  —  2- h  oX, 

8'T—       'itJi  X  bai'-      2tJi  SX  ces/, 

8' a'  -=  —  2  r  A  X  ca   -=  —  2  t.  h  oA  COS  i, 

ah  et  a.c  étant  des  normales  aux  méridiens  de  T,  et  g  , 


64  CHAPITRE    HT. 

Ainsi,  l'équation  (D)  renferme  l'expression 

(E)  2'jr/i  oX(— pM  —  p'M' COS<  + -ï:  cosy). 

En  second  lieu,  déplaçons  le  point  a  [fîg.  1 1)  sur  la  surface  a  d'une 
quantité  infiniment  petite  t'ï!  —  «a  et  supposons  que  a' ne  change  pas 

Fig.  II. 


au-dessus  du  point  a.  Dans  la  déformation,  T  viendra  en  T,  et  n  en  a^  ; 
abaissons  ay?  normal  à  a  et  ak  normal  à  T,.  Les  parties  de  ta,  tï,  ta 
dépendant  de  ^X'  sont  respectivement 

' —  iizh  xap  ^=^  —  9.T. h  oX'  cos /, 
^Tzh  X  ak  r=z       9. TT h  o)/  ces 0, 
—  2-h  X  «  a  "—  —  ^-k/i  o)/; 

ainsi  l'équation  (D)  renferme  l'expression 

(F)  2~AoX'(— pMcos/— p'M'  +  TCOS'j). 

Les  deux  quantités  ^X  et  (>X'  étant  arbitraires,  les  deux  parenthèses 
des  expressions  (E)  et  (F)  sont  nulles. 

Si  l'on  supposait  le  déplacement  du  point  «effectué  sur  la  surface  T, 
en  désignant  par  c)L  sa  grandeur,  on  trouverait  qu'il  faut  ajouter  au  pre- 
mier membre  de  (D)  l'expression 

2  7tAo  L(pM  cosy  -f-  p'M'cosu  —  -:), 

qui  doit  être  également  nulle. 

5.  On  a  donc  ces  trois  équations,  qui  ne  renferment  que  les  incon- 
nues i  ety, 

(  «  )  —  p  M  —  p  '  M'  cos  /  +  T  cosy"  -„  o, 

{b)  —  pM  cos«  — p'M'+ -:  cosu  7=  o, 

(c)  p  M  cos/ +  p'M'cosu —  X  .:- o, 


LIQUIDES    SLTERPOSI-.S.  65 

mais  dont  la  troisième  doit   évidemment  rentrer  dans  les  deux  pre- 
mières. 

Pour  le  démontrer,  remplaçons  u  pary  —  i,  puis  multiplions  (a)  par 
sin(y—  i),  {b)  par  -  siny  et  ajoutons,  nous  aurons 

—  pM  [sin(y  —  i)--  cosisiny]  —  p']\r[cosi  sin(y  —  i)    -  siny] 

-F-  '  [cosy  sin  (y  —  i)  —  siny  ces  (y  —  /)]  -:  o  ; 

si  l'on  développe  et  qu'on  divise  par  sin?,  on  trouve  l'équation  (c). 

On  peut  regarder  {a),  [b),  [c)  comme  trois  équations  du  premier 
degré  dont  les  inconnues  sont  cosy,  cosu  et  eos/,  et  l'on  a 

.      T^  +  p^lVP^-p'^M'^  -:2  — p^M^-hp'^M'^ 

cosy    -V- ■ ~ ,  CCS  'J   --      ' -r-rV 5 


cosi 


o.oM  p'M' 


Ces  formules  nous  montrent  que  p^I,  p'M'  et  t  forment  les  trois  côtés 
d'un  triangle  dont  les  angles  opposés  à  ces  côtés  sont  u,j,  -  —i.  Con- 
formément au  n"  15  du  Chap.  I,  regardons  gz^\  et  ^p'ÎM/ comme  des 
forces  de  tension  normales  au  cercle  aa'  et  tangentes  aux  surfaces  n 
et  g'.  Dans  le  travail  virtuel  (^U  des  forces  capillaires,  —  g-r^T  est  la 
partie  qui  provient  de  la  variation  de  la  surface  T,  en  sorte  que  gi  peut 
être  considéré  comme  une  tension  de  la  surface  T  qui  agit  tangentiel- 
lement  à  cette  surface  et  normalement  au  cercle  aa' ;  on  en  conclut  ce 
théorème  : 

Les  trois  tensions  relaCwes  aux  trois  surfaces  a,  r/  et  ï  se  font  équilibre. 

Ce  théorème,  admis  maintenant  sans  raisons  suffisantes  dans  les  Ou- 
vrages de  Physique,  était  indispensahle  à  démontrer. 

6.  D'après  ce  qui  précède,  on  connaît  les  inclinaisons  mutuelles  des 
trois  tangentes  au  point  a,  menées  aux  méridiens  des  trois  surfaces;  il 
reste  à  former  une  équation  pour  déterminer  leurs  positions. 

Nous  allons  examiner  cette  question  dans  le  cas  où  la  goutte  est  très 
large,  en  sorte  qu'on  peut  la  regarder  comme  cylindrique  dans  une 
petite  étendue  [fig.  12).  Supposons  donc  que  les  trois  surfaces  a,  r/,  T 
se  rencontrent  suivant  une  ligne  droite  horizontale  et  qu'elles  soient 

9 


6G 


CHAPITRE    III. 


des  cylindres  dont  les  génératrices  sont  parallèles  à  cette  droite.  Soient 
a,  a'  et  r,  les  angles  aigus  formés  avec  un  plan  horizontal  par  les  plans 
tanijents  menés  à  ces  trois  surfaces  en  leur  intersection. 


L'équation  de  la  surface  g  est  (Chap.  Il,  n"  5) 


I  ^-h 


dzY- 


cLr 


en  mettant  l'origine  des  g  sur  le  niveau  de  n.  Désignons  par /la  distance 
verticale  d'un  point  a  de  l'intersection  à  ce  plan  de  niveau.  On  déduit 
de  l'équation  précédente 


COSa  — ^  1 

9,(7- 


n  T(7  sin 


Désignons  par  II  la  hauteur  de  la  partie  horizontale  plane  de  q  au- 
dessus  du  niveau  de  t  et  parti,  la  hauteur  de  la  partie  horizontale  de  T 
au-dessous  de  ce  même  plan.  Nous  aurons  ces  deux  équations  sem- 
hlahles  à  la  précédente 

r,' 
Il    +   / 


en  faisant 


H, 


M'  -:rr  «' 


2a'sni  --  ? 

1 


lrz=.lb  Sm  -; 
2 


-  b\ 


Supposons  les  points  B  et  G  sur  une  même  verticale  et  admettons  de 
plus  que,  en  les  points  A,  B,  C,  les  surfaces  c,  c'  et  T  soient  sensible- 
ment planes  et  horizontales.  Concevons  un  canal  dont  les  branches  ver- 
ticales passent  par  ces  points  et  soient  réunies  par  une  branche  horizon- 


LIQUIDES    SLI'EUPOSÉS.  G7 

taie  qui  passe  au-dessous  de  la  surface  T;  nous  déduirons  de  l'équilibre 
de  ce  canal 

(II  +  1I.)?'-II,P, 

et,  en  remplaçant  H  et  II,,  nous  aurons 

a'  siii v  h  sin  -\o'  -  [h  sin  -  -i-  a  sin 


or  nous  avons 

{a)  %'—%^l,      r,  —  a—:/; 

l'équation  précédente  devient  donc 

a  sin h  b  sin-      -    ?  :::      b  siu -1-  a  sin 


tang^ 


On  en  conclut 


a'  0'  sin b{ç>  —  p')  sin  - 

'  2  '        '   '         2 


^  (  P  —  ?'  )  cos  -  -\'  ao  —  a'o'  cos  - 


formule  dont  le  second  membre  ne  renferme  que  des  quantités  con- 
nues. On  aura  ensuite  a'  et  r,  par  les  formules  (a). 

Pour  que  l'équilibre  de  la  goutte  soit  possible,  il  faut  que  les  trois 
tensions  ^pM,  ^p'M'  et  ^t  puissent  se  faire  équilibre  et  par  conséquent 
que  la  plus  grande  de  ces  quantités  soit  plus  petite  que  la  somme  des 
deux  autres.  Si  cette  condition  n'est  pas  remplie,  le  liquide  le  moins 
dense  se  répandra  sur  l'autre,  jusqu'à  former  une  coucbe  d'épaisseur 
excessivement  mince,  à  laquelle  les  raisonnements  précédents  ne  se- 
ront plus  applicables.  Cette  remarque  a  été  faite  pour  la  première  fois 
par  Marangoni,  en  i865. 

Figure  d'équilibre  d'une  masse  liquide  soustraite  à  l'action 
de  la  pesanteur. 

7.  Pour  réaliser  un  liquide  sans  pesanteur,  Plateau  composa  un 
mélange  d'eau  et  d'alcool  ayant  exactement  la  même  densité  que  de 
l'huile.  Si  donc  on  introduit  une  goutte  de  cette  huile  dans  ce  mé- 


68 


CIlAI'lTliK    111. 


lange,  elle  y  (lemeurcra  suspendue  et  prendra  une  figure  d'équilibre 
sous  la  seule  action  des  forces  moléculaires. 

x\ppliquons  les  n°*  1  et  2  à  l'ensemble  de  cette  masse  liquide.  En  dé- 
signant, comme  précédemment,  par  U  la  fonction  de  forces,  le  premier 

membre  de  l'équation  (A)  du  n"  1  représente  —  -  ()U;  si  l'on  suppose 

qu'on  déforme  infiniment  peu  la  masse  d'iiuile,  sans  clianger  la  surface 
du  liquide  extérieur  dans  sa  partie  libre  et  dans  celle  qui  toucbe  le 
vase,  le  premier  membre  de  (A)  se  réduit  à  t()Ï;  ainsi  on  a 


SU 


g-^dT 


-/(^ 


si       SX, 


ov  ^T. 


Le  volume  de  la  masse  d'Iiuile  étant  constant,  /  hdJ  est  nul.  Multi- 
plions cette  expression  par  une  constante  G,  ajoutons  à  ^U  et  égalons 
la  somme  à  zéro,  nous  aurons 


f[-HT.'-^y^y''''=° 


pour  l'équation  générale  de  l'équilibre  et,  h  étant  arbitraire,  on  a, 
pour  l'équation  de  la  surface  de  l'iiuile, 


(I) 


1 


I 


const. 


Pour  que  l'équilibre  soit  stable,  il  faut  que  la  fonction  de  forces  U 
soit  maximum  ;  ainsi  le  volume  se  déformantd'une  manière  quelconque, 
il  faut  que  (>U  soit  négatif  et,  par  suite,  ()T  positif;  donc  la  surface  T 
est  alors  minimum.  Si  l'on  assujettit  la  surface  T  à  passer  par  des  lignes 
qui  la  terminent,  la  même  propriété  subsistera. 

8.  Supposons  que  la  surface  d'équilibre  soit  de  révolution.  Dési- 
gnons par  C  une  constante  arbitraire  et  par  ^  la  distance  d'un  point 
de  la  surface  à  l'axe  de  révolution  pris  pour  axe  des  :■.  L'équation  (i) 
peut  s'écrire 


d. 


dz 
dx 


-rz  2  C  J?  dx 


h(OT) 


LIQUIDES    SUPERPOSÉS.  69 

Cliap.  II,  n"  14).  intégrons  les  deux  membres,  puis  résolvons  par  rap- 
port à  dz,  nous  aurons,  en  représentant  par  C  une  seconde  constante 
arbitraire, 

CIZ  z —  -  , 

^X'  —  {'ùx"-  --H  C')- 

et  cette  équation  peut  s'écrire 

{x^  ±  ab)dx 


dz 


\/{x'—  b'^){a-  —  X-) 


a  et  b  étant  deux  quantités  positives,  dont  la  première  est  la  plus 
grande.  Comme  œ-  peut  varier  entre  a-  et  b-,  posons 


nous  aurons 


et  si  nous  posons 


nous  aurons 


x^  -:=!  a-  cos^ç  +  6-sin^cp, 

dz  ■=  '  ' «'f , 


,        \Ja^-~b'^        ^  I 77-.— 7- 


'do 


(.)  z--=aj^odo±ibj  ^^ 

9.  La  seconde  intégrale  étant  précédée  du  signe  ±,  prenons  d'abord 
le  signe  -+-,  et,  en  nous  servant  des  notations  habituellement  employées 
pour  les  intégrales  elliptiques,  nous  aurons  les  deux  formules 

X  r—  a  Ace, 

qui  expriment  les  deux  coordonnées  du  méridien  au  moyen  d'une  môme 
variable  cp. 

Si  nous  faisons  varier  9  depuis  zéro  jusqu'à  7  >  x  décroîtra  depuis  a 
jusqu'à  b.  Prenons  l'origine  des  z  pour  9  =  0,  alors  z  croîtra  depuis 


70 

zéro  jusqu'à 


CHAPITRE   in. 


bV 


aE 


et  nous  obtiendrons  l'arc  AB  {/ig.  i3). 

Continuons  à  faire  croître  o  de  -  à  -,  x  croîtra  de  b  h  a,  et  comme 
les  intégrales  ont  la  même  valeur,  prises  entre e  et  -j  ou  entre  - 

^  ^222 

et  -  4-  e,  il  en  résulte  un  second  arc  BC  symétrique  du  premier.  En- 
suite la  courbe  se  composera  d'une  infinité  de  brancbes  identiques  à 

Fig.  i3. 


ABC.  La  surface  dont  elle  est  le  méridien  a  été  appelée  par  Plateau  un 
onduloïde. 
On  a 

dz^ ^•^+  ab  dP-z  _  {a+  b)"^ {ab  —  x^) x _ 

donc  la  courbe  méridienne  a  un  point  d'inflexion  pour  x  =z  sjab. 


LIQUIDES    SUPERPOSÉS. 

Si  «  =  ^,  la  surface  devient  un  cylindre  droit 
Si  a  =  oo  ,  l'équation  différentielle  devient 

h  dx 


\Jx'^ —  h''- 

et  le  méridien  est  une  chaînette  dont  l'équation  est 

Cette  surface  d'équilibre,  appelée  calènolde,  correspond  à  C  =  o  et  ses 
deux  rayons  de  courbure  principaux  sont  égaux  et  de  sens  contraire. 

Si  Z>  =  o,  la  surface  est  une  sphère,  elle  est  intermédiaire  entre  la 
famille  des  onduloïdes  et  celle  des  surfaces  suivantes. 

10.  Prenons  ensuite,  dans  la  formule  (2),  le  signe  — .  Nous  aurons 

x;  =  aE(o)-^.F('f), 
X  -rr  a  A'j. 

Faisons  croître  9  à  partir  de  zéro,  x  décroîtra  depuis  la  valeur  a,  et  z 
ira  d'abord  en  croissant.  On  a 


dz 

ab  —  X- 

d^z 

dx- 

-{a- 

-  by  {ab -V- X-)  X  ^ 

dx 

{x^-- 

-b^na^- 

1  ' 

-x^^y 

■  b^'Y' {a- —  x-y 

l'ordonnée  z  croîtra  donc  jusqu'à  la  valeur  de  x  =  sjah,  qui  correspond 
à  la  valeur  de  9  donnée  par 


sincpi 


v/« 


on  en  pourra  déduire  la  valeur  correspondante  z^  de  :;  par  les  Tables 
des  intégrales  elliptiques,  et  l'on  en  conclura  l'arc  AD  [fig.  i4)-  Puis  9 

variant  de  o,  à  -,  x  décroîtra  de  \Jah  à  h  et  z  décroîtra  de  z.  à 


aEf  -  1  ^--^F(  - 


on  obtiendra  ainsi  l'arc  BD.  En  faisant  varier  9  de  -  à  77,  on  aura  un 


72 


CHAPITRE    III. 


arc  BEF  symétrique  de  l'arc  ADB.  La  courbe  est  ensuite  composée  d'une 
infinité  de  branches  identiques  à  ADBEF.  La  surface  qui  a  cette  courbe 
pour  méridien  a  été  appelée  par  Plateau  un  nodoïde. 


Fig.  i/,. 


11.  Le  méridien  de  l'onduloïde  ou  du  nodoïde  peut  être  obtenu  par 
le  roulement  sans  glissement  d'une  ellipse  ou  d'une  hyperbole  dans  un 
plan  sur  l'axe  de  révolution.  Le  foyer  de  la  conique  engendrera  en  effet 
le  méridien  de  la  surface,  comme  l'a  démontré  Delaunay  (Journal  de 
Liouville,  t.  YI  ;  iS/ji). 

Pour  obtenir  ces  figures  d'équilibre,  Plateau  commençait  par  établir 
dans  le  vase  deux  disques  horizontaux  et  de  môme  axe,  et  il  formait 
un  cylindre  d'huile  dont  les  bases  étaient  sur  ces  disques.  En  rappro- 
chant lentement  ces  disques,  le  cylindre  droit  se  change  en  une  portion 
d'onduloïde,  dont  le  plus  grand  cercle  parallèle  est  à  égale  distance  des 
deux  disques.   Si  l'on  rapproche  encore  les  plaques,  on  obtient  une 


LIQUIDES    SUPERPOSÉS.  ']'5 

portion  de  sphère,  puis  une  portion  de  nodoïde,  où  n'entrent  jamais  de 
parties  correspondant  à  l'arc  BD. 

Si,  après  avoir  formé  le  cylindre  précédent,  on  enlève  avec  une  pipette 
de  l'huile  au  milieu,  on  aura  un  onduloïde  qui  aura  son  cercle  de  gorge 
à  égale  distance  des  deux  bases.  Jamais  la  grandeur  de  l'onduloïde  ne 
dépasse  la  distance  comprise  entre  deux  cercles  de  gorge  consécutifs. 

Si,  au  lieu  de  deux  disques,  on  emploie  deux  anneaux  de  fil  de  fer 
qui  servent  d'abord  de  bases  au  cylindre,  ce  cylindre  sera  terminé  par 
deux  calottes  sphériques  convexes  égales.  En  rapprochant  les  deux  an- 
neaux, on  pourra  obtenir  de  même  un  onduloïde  ou  un  nodoïde,  ter- 
miné par  deux  calottes  sphériques  convexes. 

Stabilité  de  l'équilibre  d'un  cylindre  sans  pesanteur. 

12.  Occupons-nous  de  la  stabilité  de  l'équilibre  d'un  cylindre  d'huile 
placé  entre  deux  disques  parallèles  dans  le  mélange  de  Plateau.  Il  ré- 
sulte des  expériences  de  ce  physicien  que  ce  cylindre  serait  stable  tant 
que  sa  hauteur  ne  dépasserait  pas  la  circonférence  de  sa  base;  mais  il 
deviendrait  instable  dès  que  la  hauteur  dépasse  cette  circonférence. 
Nous  allons  rechercher  si  cette  proposition  est  absolument  exacte. 

Il  faut,  comme  nous  avons  vu  au  n°  7,  pour  que  l'équilibre  du  cylindre 
soit  stable,  que  sa  surface  soit  plus  petite  que  toutes  celles  dans  les- 
quelles elle  peut  se  changer  par  une  déformation  très  petite. 

Supposons  d'abord  qu'on  déforme  infiniment  peu  ce  cylindre,  de  ma- 
nière que  la  surface  conserve  son  axe  de  révolution  et  qu'elle  reste  une 
surface  d'équilibre,  de  sorte  que  la  somme  des  courbures  principales 
sera  la  même  dans  toute  l'étendue  de  la  surface. 

L'équation  du  méridien  de  ces  surfaces  est  (n"8) 

dz 


dx 

C.r2 

-hC 

1         (dz  ' 

T 

OU, 

si 

nous 

posons 

dx 
'dz 

X 

c^^ 

+  C' 

(•) 

—           

;    

, 

v/i  -^p^ 

•i. 

74  CHAPITRE    III. 

Dans  le  cas  particulier  où  cette  surface  se  réduit  h  un  cylindre,  on  a 
/?  =  o,  et  l'équation  devient 

x  — h  C, 

9. 

r  •=  -i  ±  -^  ^/TZTTCiy. 

Comme  x  a  alors  une  seule  valeur,  nous  devons  supposer  que  le  radical 
est  nul;  ainsi  nous  avons 

et,  en  désignant  par  R  le  rayon  du  cylindre, 

Pour  l'onduloïde  infiniment  voisin  provenant  de  la  déformation  du  cy- 
lindre, C  et  C  doivent  prendre  des  valeurs  infiniment  peu  différentes 

I  \\ 

^  +  3, h  '/i;  posons  aussi 

oc  — -  R  -h  i(, 

II  sera  infiniment  petit,  et,  comme  y;  l'est  aussi,  l'équation  (i)  deviendra 

(R  H_  „)  (,  _  Ç^  =  (_'_  H_  i)  (U=+  .,,11  +  „.)  -H  ^  +-  ,„ 


y/_  .  Ra  c—  :iR-f,  —  2li^l<<^^-^ 

et,  en  intégrant,  on  aura 

,    ,  ^  R'^£  +  ?<  ,- 

(2)  -Y".  —  arc  cos  -=^  +  I), 

D  étant  une  constante  arbitraire.  La  valeur  de  u  s'annulera  pour  des 
valeurs  de  z  distantes  de  ttR.  Le  radical  devant  être  réel,  on  en  conclut 

(3)  —  Rn-2r,  >o. 

Calculons  l'aire  S  de  la  surface;  nous  aurons 


S  "-  2  TT  /  ^  y/ 1  -4-  y^-  dz, 


LIQUIDES    SUPF.IïPOSKS.  -yS 

puis,  en  posant 
nous  obtenons 

/         3R2  \  R^£  +  ;/ 

—  —  V  A  -h  R  «  —  «-  -t-    R ■  î  —  rj  arc  ces    , -\-  consi . 

\  2  ;  ^/_iv'£-2Rt) 

ou,  d'après  la  formule  (2), 

//o,  :^o  t'tant  les  valeurs  de  ?/,  s  sur  la  base  inférieure,  et  les  lettres  u,  z 
sont  conservées  sans  changement  pour  la  base  supérieure. 

Exprimons  ensuite  que  le  volume  n'a  pas  changé.  On  a,  pour  ce  vo- 
lume. 


R'z-i-u 


V  —  —  2  Tc R-  y/À  +  R  «  —  //"-  +  -r  R-  (  R  +  R  )  arc  ces  — "-  _ —  +  const. , 

V/A 

et,  si  ::  —  ^0  6st  plus  petit  que  2-R,  on  déduit  de  (2) 

Le  volume  du  cylindre  est  donné  par  le  premier  terme;  il  faut  donc  que 
la  partie  restante  de  Y  soit  nulle,  ce  qui  donne 

y/A  +  R  «  —  u-  —  y/À  -r-  R  «0  —  "0  — "  —  R-  (■=  —  ^0  ). 
Remplaçant  dans  S,  on  a 

et,  d'après  l'inégalité  (3),  S  est  toujours  plus  grand  que  la  surface  du 
cylindre  2-R(5  —  ::„). 

Donc,  si  la  haïUcar  du  cylindre  est.  moindre  que  la  circonférence  de  ses 
bases,  sa  surface  latérale  est  moindre  que  celle  de  l'onduloïde  infiniment 


76  .  CHAPITRE    III. 

îxnsiji  dans  lequel  le  cylindre  peut  se  changer.  Ce  cylindre  ayant  donc  été 
ainsi  déformé,  il  tendra  à  reprendre  sa  forme  première. 

13.  Nous  allons  considérer  une  autre  déformation  du  cylindre,  en 
supposant  encore  que  sa  hauteur  soit  plus  petite  que  la  circonférence 
s-R  de  sa  base.  Concevons  que  le  cylindre  se  change  en  une  surface  de 
révolution  dont  le  méridien  ait  pour  équation 

OÙ  [X  et  h  sont  infiniment  petits,  et  supposons  l'axe  des  x  mené  à  la 
moitié  de  la  hauteur  du  cylindre. 

Désignons  par  ih  la  hauteur  du  cylindre;  nous  aurons,  pour  expres- 
sion du  volume  de  révolution, 


V 


=  t:  /      X-  dz, 

et,  en  remplaçant  x  par  sa  valeur  [a), 

V=2tJi 


{n-i^-y-i-- 


bH    .    1-h 

sui 

2  / 


Ce  volume  est  égal  à  2-R-A;  on  en  conclut  la  valeur  de  ]j. 
Calculons  ensuite  la  surface:  nous  aurons 


x  ds  ■=.  2T.  I  X  i/  I  H -—  ces-  -^  dz 

-  .^y(R-  1X4-  ^sin^)  (^1+  ^-  cos^^^j./.. 

En  effectuant  le  calcul,  on  obtient 

c         /     r>  7  /  7  ^"^'i)7         nb-li     .     2iz/i 

b  —  l^Tilih  H-  27:    —  2  [xh  -] ^,--  R/i  H — —  sin  — ,— 

\  2  /-  4  ^  i 


LIQUIDES    SUPERPOSÉS.  n'j 

remplaçons  [j.  par  la  valeur  (b),  et  nous  aurons 

S  ^  ^r.^h  +  ~^^~  {-^nV-  1')+^^  (^^IV^+  t')  sin  ^-- . 

La  surface  du  cylindre  est  [\~V\.h,  et,  pour  reconnaître  si  S  peut  être 
plus  petit  que  cette  surface,  il  suffit  d'examiner  le  signe  de  la  quantité 

(c)  -~  (-Ml^-  n  +  {-"-W-h  1-)  sin  '^^ 


Supposons 
nous  pouvons  alors  poser 


h  <  Ut:  <  /, 


Sin =r  —  sin  2  7:  A- 

i 


et,  si  nous  prenons  k  entre  zéro  et  -,  sin  -j-  sera  négatif;  par  suite, 
l'expression  (c)  le  sera  aussi.  Il  en  résultera  toutefois 

/       2 

ainsi  ce  calcul  suppose  la  hauteur  du  cylindre  comprise  entre -R  et  27:R. 
Remarquons  que,  en  opérant  comme  nous  venons  de  le  faire,  on  rend 
négatives  les  deux  parties  de  l'expression  (e);  ce  qui  n'est  pas  néces- 
saire pour  que  cette  expression  soit  elle-même  négative.  Il  en  résulte 
que  l'instabilité  de  l'équilibre  du  cylindre  commence  pour  une  valeur 
de  sa  hauteur  notablement  inférieure  à  -R. 

14.  De  ce  qui  précède,  on  doit  conclure  que  Plateau  s'est  trompé 
quand  il  dit  au  §  418  de  son  bel  Ouvrage  {Statique  eocpciimentalc  et 
théorique  des  liquides)  : 

«  Pour  tout  intervalle  des  bases  moindre  que  leur  circonférence,  la 
»  surface  du  cylindre  est  mi ni/nœ  ai'cœ  d\\ne  manière  complète,  c'est- 
))  à-dire  à  l'égard  de  toute  espèce  de  petite  déformation.  » 

Cette  proposition  n'étant  pas  exacte,  il  faut  maintenant  s'expliquer 


yS  CIIAPITUE    III. 

comment  Plateau  a  pu  admettre,  d'après  ses  expériences,  que  le  cy- 
lindre est  stable,  quand  sa  hauteur  ne  dépasse  pas  2-]\. 

Il  faut  d'abord  remarquer  que  si,  dans  la  déformation,  la  grandeur 
des  bases  de  la  figure  vient  à  changer,  la  variation  W  ne  se  réduira  pas 
à  —  ^T()T,  comme  nous  l'avons  trouvé  (n"7);  mais,  si  nous  désignons 
par  //„  et  u  les  variations  des  rayons  des  bases  et  par  b-  une  constante, 
nous  aurons 

ôU  ■=  —  ,^-  oT  +  3 -R  h- (  a  -H  Ko). 

Si  les  bases  se  rétrécissent,  h'  second  terme  est  négatif;  l\]  peut  donc 
être  négatif,  sans  que  son  premier  terme  le  soit.  Remarquons  aussi  que 
le  liquide  peut  être  un  peu  maintenu  par  les  disques  à  cause  de  l'adhé- 
rence et  du  fi'oltemenl. 

Toutefois  ces  raisons  ne  suffisent  pas  pour  expliquer  comment,  d'a- 
près l'expérience,  l'équilibre  est  stable  tant  que  la  hauteur  est  plus 
petite  que  j-rAi.  Mais  les  déplacements  très  petits  que  l'on  communique 
ordinairement  à  la  colonne  liquide,  et  par  exemple  en  donnant  un  mou- 
vement vibratoire  au  vase,  ne  sont  pas  absolument  quelconques.  On 
conçoit  que,  en  se  déformant,  la  colonne  liquide  ait  une  tendance  à 
passer  par  des  figures  d'équilibre.  C'est,  en  effet,  ce  qui  a  été  reconnu 
par  Plateau.  Alors,  d'après  ce  qu'on  a  vu  au  n""  12,  le  méridien  de  la 
surface  devient  une  sinusoïde  dont  le  pas  est  égal  à  277R,  et  la  surface 
déformée  est  plus  grande  que  celle  du  cylindre,  si  la  hauteur  de 
la  figure  est  inférieure  à  277 R. 

15.  Plateau  a  étudié  expérimentalement  les  déformations  succes- 
sives d'un  cylindre  très  allongé  d'un  liquide  sans  pesanteur,  dont  les 
deux  bases  sont  au  contact  de  deux  disques  horizontaux.  En  faisant 
vibrer  cette  colonne,  il  y  produitdes  ventres  et  des  étranglements  qui  se 
suivent  régulièrement,  et,  quand  la  figure  se  rompt,  elle  se  partage  en 
deux  ou  trois  espèces  de  sphères  qui  se  succèdent  aussi  régulièrement. 
Béer,  qui  a  calculé  le  premier  l'onduloïde  et  le  nodoïde,  a  aussi  étudié 
ces  faits  par  l'analyse  [Einleitung  in  die  Elasticitat  und  Capillantdt); 
mais  on  doit  toutefois  remarquer  que  c'est  après  avoir  admis  certains 
faits  d'expérience  qu'il  en  calcule  d'autres  rigoureusement.  Remar- 
quons aussi,  comme  l'a  déjà  observé  Plateau,  que  quand  les  surfaces 
d'équilibre  ne  sont  pas  minimœ  areœ,  en  sorte  qu'elles  ne  sont  pas 


LiQUinES  supi-.nposKs.  79 

stables,  on  ne  doit  pas  les  regarder  comme  des  surfaces  maximœ.  areœ, 
ainsi  que  l'a  fait  Béer.  Ces  surfaces  de  révolution  sont  en  général  jni- 
nimœ  areœ,  parmi  les  surfaces  qui  renferment  le  même  volume,  entre 
un  cercle  parallèle  donné  et  un  autre  cercle  suffisamment  rapproché. 


FigufTS  d'équilibre  d'un  liquide  sans  pesanteur,  qui  ne  sont  pas 

de  révolu tio/i. 

16.  Les  surfaces  renfermées  dans  l'équation 

î^-,^ï(_-.     consl., 

et  qui  ne  sont  pas  de  révolution,  ne  peuvent  pas  être  fermées;  mais  on 
peut  obtenir,  dans  l'appareil  de  Plateau,  une  masse  d'huile  terminée 
par  une  pareille  surface,  en  l'assujettissant  à  passer  par  deux  fils  de 
fer  qui  la  limitent. 

Au  lieu  de  soustraire  une  masse  liquide  complètement  à  l'action  de 
la  pesanteur,  on  peut  rendre  cette  action  excessivement  faible  et  négli- 
geable vis-à-vis  des  forces  moléculaires.  Pour  cela,  Plateau  forme  une 
ligne  fermée  gauche  au  moyen  d'un  fil  de  fer,  et  il  la  plonge  dans  un 
liquide  convenablement  choisi;  après  que  le  til  est  retiré,  une  lame 
mince  de  liquide  tei'minée  à  ce  fil  peut  se  maintenir  un  certain 
temps. 

La  lame  étant  soumise  sur  ses  deux  faces  à  la  pression  de  l'atmo- 
sphère, la  pression  normale  provenant  de  l'action  capillaire  doit  être 
nulle;  ainsi  l'on  a 

pour  la  surface  d'équilibre  affectée  pai'  la  lame.  Les  surfaces  que 
nous  avons  considérées  précédemment  sont  miiiima  pour  un  volume 
donné  qu'elles  devaient  renfermer;  celles-ci  sont  minima  sans  condi- 
tion, pourvu  toutefois  qu'on  n'en  prenne  pas  une  trop  grande  éten- 
due. C'est  aussi  seulement  dans  ce  cas  que  l'équilibre  sera  stable  et, 
par  conséquent,  que  la  lame  liquide  pourra  se  maintenir.  On  recon- 
naît que  ces  surfaces  sont  minima  par  la  formule  qui  donne  la  varia- 


8o  CHAPITRE    HT 

tion  de  leur  aire  quand  on  passe  à  une  surface  infiniment  voisine 


"/(ïï  +  i)^""^' 


(Chap.  I,  n"8);  l'élément  '^n  de  normale  étant  quelconque,  il  faut,  pour 
que  (irrsoit  nul,  qu'on  ait  l'équation  (A). 

Les  surfaces  fournies  par  l'équation  (A)  ont  été  étudiées  par  Monge, 
MM.  Ossian  Bonnet,  Scherk,  Schwai'z,  Enneper.  Plateau  a  cherché 
d'ahord  à  reproduire  quelques-unes  de  ces  surfaces  qui  avaient  été  défi- 
nies d'une  manière  particulière  parées  géomètres;  puis  il  a  reconnu 
expérimentalement  que,  par  un  contour  donné,  on  peut  en  général  faire 
passer  une  lame  mince  et  par  conséquent  une  surface  satisfaisant  à 
l'équation  (A). 

Uiemann  a  précisément  soumis  à  l'analyse  les  surfaces  fournies  par 
l'équation  (A) et  qui  passent  par  des  lignes  limites  données;  mais  on 
ne  voit  pas  dans  son  Mémoire  d'équations  de  ces  surfaces  sous  forme 
finie. 

Poids  des  liquides  superposés  dans  un  tube  capillaire. 

17.  Supposons  deux  liquides  renfermés  dans  un  tube  capillaire,  le 
plus  léger  de  densité  p',  le  plus  lourd  de  densité  p,  etle  tube  plongé  aussi 
dans  ce  dernier  liquide.  Soient  h'  et  A  les  hauteurs  moyennes  des  deux 
liquides  dans  le  tube,  au-dessus  de  la  surface  de  niveau  dans  le  vase. 

Imaginons  un  abaissement  infiniment  petit  de  même  grandeur,  re- 
présenté par  —  M,  pour  tous  les  points  du  liquide  renfermé  dans  le  tube, 
et  par  ^if  l'élévation  correspondante  de  chaque  point  de  la  surface  ex- 
térieure. Appliquons  l'équation  (A)  du  n"  1  ;  nous  aurons  d'abord 

0  /  zr/jT^  zrz  —  oh  I  z  dx  dy  H-  /  -  5//,  dx  dy\ 

z,  dans  la  première  intégrale  du  second  membre,  représente  la  hauteur 
d'un  point  de  la  surface  du  ménisque  et  dans  la  seconde  intégrale  la 
hauteur  d'un  point  de  la  surfa('e  du  liquide  du  vase;  les  indices  Z>  et  B 
indiquent  que  les  intégrales  s'étendent  aux  sections  h  et  B  du  tube  et 
du  vase. 


LIQLIDi:S    SLJ'KHPOSKS.  8l 

La  valeur  moyenne  de  la  quantité  positive  M,  est  à  ^h  comme  /;  est 
à  B,  et  comme  z  n'a  que  de  très  petites  valeurs  dans  la  seconde  inté- 
grale, elle  est  négligeable.  Ainsi  S  j  zdrjy  se  réduit  à  —  b/il/t. 

En  considérant  la  même  quantité  pour  le  liquide  moins  dense,  on 
aura 

On  a  ensuite 


01': 


rr 


et  si  l'on  désigne  par  /  et  L  les  périmètres  des  sections  du  tube  et  du 
vase,  on  a 

mais  la  quantité  NSi2  de  la  formule  (A)  doit  être  remplacée  pai'  ces 
deux  parties 

i> 

en  désignant  par  N,  ce  que  devient  N  quand  on  [)asse  du  tube  au  vase  ; 
toutefois  le  second  terme  est  négligeable  devant  le  premier. 
Ainsi  l'équation  (A)  du  n"  1  deviendra 


(H)  -.hh~^-:b[ji'  -h) 

et  si  l'on  fait  (Cliap.  I,  ii"  Oj 


/-N^. 


on  obtient 

(K) 


PS  --  —  M  cos/, 


,:  hh  +  p'^  (  h'  —h)  —  p  /M  ces  i. 


Le  premier  membre  représente  le  poids  du  liquide  soulevé  dans  le  tube, 
et  l'on  trouve  ainsi  ce  tbéorëme  donné  parLaplace  :  La  poids  duliqidde 
soulevé  dans  le  lid>e  ne  dépend  que  du  liquide  inférieur. 

18.  Il  faut  toutefois  remarquer  que,  si  le  liquide  inférieur  mouille 
le  tube,  on  n'a  pas  en  général  N  =  —  Mcost  =  —  M,  en  faisant  /  =  0; 
mais,  d'après  ce  qu'on  a  vu  (Cbap.  I,  n"  10),  i  peut  être  imaginaire,  et 
l'on  a  alors  —  N  >  M.  Le  poids  soulevé  pourrait  donc  être  plus  grand 


82  CllAl'lTUE    111. 

que  celui  qui  est  indiqué  par  la  formule  (K),  et  la  détermination  expé- 
rimentale de  ce  poids  pourrait  servir  à  calculer  N  d'après  (H). 

On  doit  observer  que,  dans  la  formule  (H),  on  ne  peut  supposer  que 
le  liquide  supérieur  disparaisse  complètement,  parce  que  l'angle  de 
raccordement  du  liquide  inférieur  avec  le  tube  varierait  brusquement. 
Cependant  personne  ne  me  semble  avoir  fait  cette  remarque. 

Citons  une  expérience  de  Thomas  Young  qu'il  a  donnée  comme  étant 
en  contradiction  avec  la  théorie  de  Laplace.  Une  petite  goutte  d'huile 
était  introduite  par  le  haut  dans  un  tube  capillaire  qui  renfermait  de 
l'eau,  et  la  surface  supérieure  de  l'huile  s'est  abaissée  au-dessous  de 
la  surface  primitive  de  l'eau. 

On  peut  expliquer  ainsi  ce  fait.  Admettons  que  l'angle  de  raccorde- 
ment de  l'eau  avec  le  verre  ne  soit  pas  zéro,  mais  un  petit  angle  que 
nous  appellerons  i.  Désignons  par  H  la  hauteur  à  laquelle  s'élève  l'eau 
dans  le  tube  mouillé  préalablement  par  ce  liquide;  nous  aurons 

Enfonçons  le  tube  de  manière  que  l'eau  vienne  jusqu'à  l'extrémité  su- 
périeure, puis  introduisons  une  très  petite  goutte  d'huile  et  relevons 
le  tube;  nous  pourrons  alors  appliquer  la  formule  (K),  qui  montre  que 
le  poids  soulevé  dans  le  tube  capillaire  sera  moindre  que  précédem- 
ment. On  comprend  donc  que,  si  la  goutte  d'huile  est  très  petite,  la  sur- 
face supérieure  de  l'huile  dans  le  tube  se  trouve  plus  bas  que  la  surface 
de  l'eau  quand  le  tube  ne  renfermait  que  l'eau.  On  voit  de  plus  que 
cette  expérience,  faite  avec  précision,  pourrait  servir  à  déterminer 
l'angle  i. 

19.  Supposons  que  le  tube  capillaire  soit  formé  de  deux  matières 
différentes,  séparées  par  une  section  droite.  Si  le  liquide  supérieur 
reste  au-dessus  de  cette  section,  la  formule  (H)  subsistera,  N  désignant 
une  constante  relative  au  liquide  inférieur  et  à  la  partie  supérieure  du 
tube,  ainsi  qu'on  le  voit  d'après  le  raisonnement  qui  a  servi  à  établir 
cette  formule. 

Si  le  liquide  supérieur  est  en  partie  au-dessus,  en  partie  au-dessous 
de  la  même  section,  désignons  par  N,  et  N',  ce  que  devient  N  quand  on 
prend  la  partie  inférieure  du  tube  avec  les  liquides  inférieur  et  supé- 


LIQUinES    SUPKHPOSKS. 

rioiir.  Il  faudra,  dans  la  formule  (A),  remplacer 

NÔ.2      par     -^N,/o//, 

N'o.>'     par     —  N'/o//-i-N; /o.'/, 

et,  au  lieu  de  la  formule  (H),  nous  aurons 


83 


Enfoncement  d'un  tube  ccipUlaire  dans  un  rase  renfermant 
deux  liquides  superposes. 

20.  On  a  un  vase  indéfini  renfermant  deux  liquides.  Plongeons-y 
verticalement  un  tube  capillaire  et  cessons  d'abord  de  l'enfoncer  quand 
l'extrémité  inférieure  du  tube  rencontre  le  fond  CD  du  liquide  supé- 
rieur [fig.  i.^);  alors  le  tube  ne  renfermera  que  du  liquide  de  densité  p', 
et  si  nous  désignons  par  X  la  longueur  moyenne  de  la  colonne  soulevée 
dans  le  tube  au-dessus  de  CD,  par  H'  la  bauteur  moyenne  de  la  surface 


Fiff.  i5. 


Fig,  i6. 


^._  y 

\ 



Ij 

c 

1) 

du  ménisque  au-dessus  du  niveau  AB  du  liquide  supérieur  et  par  k  la 
distance  des  niveaux  AB  et  CD,  nous  aurons 

Continuons  à  enfoncer  le  tube.  La  colonne  \  du  liquide  supérieur  res- 
tera dans  le  tube,  et  il  s'y  introduira  de  plus  du  liquide  inférieur 
[fig.  i6).  Désignons  par  h  la  bauteur  moyenne  du  ménisque  inférieui' 
au-dessus  de  CD  et  remarquons  que,  d'après  le  théorème  du  n"  17,  le 
poids  soulevé  au-dessus  de  CD,  o'A a  +  ohh,  ne  dépend  pas  de  la  nature 


S\  CHAPITRE  HT. 

(lu  liquide  siipôricuir;  nous  aurons,  si  l'angle  i  esL  réel, 

H  étant  la  hauteur  à  laquelle  s'élèverait  le  liquide  inférieur  dans  un 
tube  capillaire,  s'il  existait  seul.  En  remplaçant  1  par  sa  valeur,  on  a 

.A:^,  pll—  O'U', 

é([uation  qui  détermine  //. 

21 .  Enfonçons  le  tube  davantage  et  de  manière  que  l'extrémité  infé- 
rieure plonge  dans  le  liquide  plus  dense  et  l'extrémité  supérieure  dans 
le  liquide  moins  d(ïDse. 

Concevons  qu'on  donne  un  très  petit  déplacement  vertical  de  haut 
en  bas  aux  molécules  du  liquide  intérieur  au  tube  et  le  même  pour 
toutes;  puis  appliquons  l'équation  (A)  du  n"  1,  nous  aurons,  en  dési- 
gnant par  A  hi  hauteur  moyenne  de  la  surface  de  séparation  des  deux 
li(juides  dans  le  tube  au-dessus  de  CD, 

0    f  Z  flTT-,  ^r:  —  h.h  l  !l ,        0    fz  '  (Itt,'  r  -  h  h  0  A  , 
;î.i^—  /$/,  0?J=zlol,, 

et  l'équation  du  principe  des  vitesses  virtuelles  deviendra 

_  p  /,//  +  p'  hl,  -  N  /  +  N7  rr:  O. 

Or,  II  et  H'  étant  l'élévation  moyenne  du  premier  et  du  second  liquide 
dans  un  tube  capillaire,  on  a 

et,  en  remplaçant  dans  l'équation  précédente, 

Sur  la  Jiaulcur  des  sommets  de  deux  liquides  superposés  dans  un    tube 
capillaire  et  circulaire  (pd  plonge  dans  le  liquide  inférieur. 

22.  Deux  liquides  étant  superposés  dans  un  tube  capillaire  vertical 
dont  la  section  dioite  est  un  cercle,  désignons  par  z'  la  coordonnée  de 


Liorinr.s  superposas. 


la  surface  du  liquide  supérieur  et  par  ^  celle  de  la  surface  de  sépara- 
tion des  deux  liquides.  Comme  au  Chap.  II,  désignons  la  quantité  posi- 
tive M  par  a^  et  M'  par  «'-;  la  quantité 


remplace  rt'-,  quand  on  passe  de  la  surftice  supérieure  à  la  surface  de 
séparation. 

La  coordonnée  z'  de  la  surface  du  liquide  supérieur  ne  diffère  que 
par  une  constante  de  celle  qu'on  aurait  s'il  n'existait  que  ce  liquide, 
puisque  le  ménisque  reste  le  même.  On  aui'a  donc,  /'  étant  une  con- 
stante inconnue  (Chap.  II,  n"  14\ 


/'  —  V' '■'  ~  ■^■'  +  ''T'T,  '^^ 


c>  c  -t-  K^C'  —  ./•- 


.)  a  -  9.  c 

avec 


cos<'        3(7-  (1 -1- sii)/' )  cos<' 

i'  étant  l'angle  de  raccordement  du  liquide  supérieur  avec  le  tube.  De 
même,  ?'<  étant  l'angle  de  raccordement  de  la  surface  de  séparation,  on 
aura,  pour  l'ordonnée  de  cette  surface. 


'"'    i,w/''''-v^i 


Zy-=  I  —  Jc'\  —  .r-  -\ '-  loi;- 

/•  /•'  1an2:-<, 

'   "  COS/j  ?>ri\    (  !  -i-  Sill/'i  )  COS/'i 

Les  quantités  /et  /'  sont  deux  constantes  qu'il  faut  calculer. 

Si  l'on  suppose  qu'on  a  déterminé  expérimentalement  la  distance  /• 
des  deux  sommets,  on  aura 

Si,  au  lieu  de  cette  donnée,  on  connaît  le  volume  -nz  de  la  masse  supé- 
rieure, cette  équation  sera  remplacée  par 

Ensuite,  comme  nous  savons  que  le  poids  du  liquide  soulevé  dans 


86  CHAPITRE    III. 

le  tube  est  —  p.27:7'N  (n"  17),  nous  aurons 


{z'  —  z)  œ  d.r  +  2 


-p   /     z 


X  dx  =r  —  p  2  -  /•  N 


OU 


p'  /     z'x  dx  -\-{''^  —  ^')  I     zx  dx  r=z  —  p  r^ . 

t-'n  •-'h 


L'équation  {c)  avec  {a)  ou  {b)  détermine  /et  /'. 

Si  l'on  se  contente  d'une  approximation  où  l'on  regarde  les  sur- 
faces des  deux  liquides  comme  spliériques,  on  aura 


-' =  i' -  .^/^jrz. 


cos< 


COS/i 


et  l'équation  [c)  deviendra 

Si  l'on  a  l'équation  {a),  on  en  conclura 


^-.i(..-,..,î-ie. 


-prN. 


/  =  -  -  N  -  !- 
'•  P 


21  ji  O  /^'^ 

3  r^^    '  ''         3/'^ 


Si  c'est,  au  contraire,  l'équation  (/>)  à  laquelle  on  doit  satisfaire,  on  ti- 
rera de  cette  équation  et  de  {c) 


X  dx    —s  —  N  /■  ^ —  - 


-/     ,-2. 


N/-  -h  '- 


—  p       /-£ 


OU,  en  remplaçant  les  deux  intégrales  par  leurs  valeurs  déjà  employées 
ci-dessus, 


/  =  -^N-P 


3  "^    '        3  eus'/, 

2  2       /■ 

â  /•tang3/'+  -  . — 


SUSPENSION  d'un  LIQUIDE  DANS  l'aIH  AU  MOYEN  d'uN  TUDE  GAPILLAIUE.       87 


SUR  LA  SUSPENSION  D'UN  LIQUIDE  DANS  L'AIR  AU  MOYEN 
D'UN  TUBE  CAPILLAIRE. 

Suspension  (l'an  liquide  par  an  tube  vertical  de  rèxolulion. 

23.  Supposons  que  la  surface  intérieure  du  tube  soit  de  révolution 
et  qu'elle  ait  son  axe  vertical  [fig.  ij).  Les  surfaces  inférieure  et  supé- 
rieure BGB'  et  AG'A'  du  liquide  suspendu  dans  ce  tube  seront  aussi  de 
révolution  autour  du  même  axe. 

Vi".   1-. 


Désignons  respectivement  par  :;  et  :;'les  hauteurs  des  points  des  sur- 
faces BCB'  et  AG'A'  au-dessus  d'un  plan  horizontal.  Si  R,  R,  et  R',  R', 
sont  les  rayons  de  courbure  principaux  en  un  point  quelconque  de  ces 
surfaces,  on  aura 


(') 


1 
R' 


I 

r; 


Je  dis  qu'on  doit  prendre  la  même  constante  k  dans  ces  deux  équations. 
En  effet,  désignons  par  h  et  h'  les  valeurs  de  z  et  z'  aux  deux  sommets 
G  et  G'  et  par  y  et  y'  les  rayons  de  courbure  en  ces  points,  nous  aurons 


h' -h 


ou 


,(A'--Aj=:.yp«'( 


car  cette  équation  exprime  que  le  poids  d'unTilet  vertical  liquide,  com- 
pris entre  les  deux  sommets,  est  égal  à  la  différence  d'action  des  deux 
ménisques  qui  terminent  ce  filet.  Or  l'équation  (2)  se  déduit  des  équa- 


88 


CIIAPlTIiE   m. 


lions  (i)  retranchées  l'une  de  l'autre,  et  montre  qu'il  fallait  prendre  la 
même  constante  k  dans  ces  deux  équations. 

D'après  ce  ({ue  nous  avons  vu  (Chap.  II,  n"  1),  les  deux  équations  (i) 
peuvent  s'écrire,  en  désignant  para?  la  distance  d'un  point  à  l'axe. 


d'-z          1    dz 

dx'         X  dx 

v-m'\ 

=  -±U™.) 

_'+(Êy. 

d-z'         1    dz' 
dx'^         X  dx 

.-.(^f 

=  >-'^^ 

:^[,u)  _ 

(3) 

(4) 

De  la  seconde  de  ces  équations,  on  tire  (Chap.  11,  n"  14' 


c' 


Z-'  —  A  =:   —j-  ^  ^  c'  ^\  C'-  —  x'  +   rr~,  log 


c  '  c        \  c  -  —  ,/- 


avec 


/  ■       I 


sur-  / 


ces/'        Sa-  cos-'y'   j  +  siny' 

/•'  étant  le  rayon  du  cercle  AA'  et  y'  étant  l'angle  de  la  tangente  à  la 
courbe  ACA'  avec  la  verticale  menée  de  haut  en  bas.  En  modifiant  le 
calcul  du  n"14  du  Chap.  Il  pour  obtenir:;  au  moyen  de  l'équation  {'.)), 
on  trouve 


c 


V'c- 


X-  ~i- 


r 
cos/ 


loi 


sm\/ 


\  c-  —  X- 


ùu-  cos\/  I  4-  siny 


/•  étant  le  rayon  du  cercle  BB'  et  j  l'angle  aigu  de  la  tangente  en  B  à 
la  courbe  BCB'  avec  la  verticale.  Si  l'on  connaît  les  positions  des 
points  A  et  B,  les  angles  y  et/  se  déduisent  immédiatement  de  l'angle  i 
de  raccordement  de  la  surface  du  liquide  avec  la  paroi. 

Une  goutte  de  liquide  étant  placée  dans  un  pareil  tube,  l'équilibre 
ne  s'y  établira  pas  en  général  sans  un  déplacement  de  toute  la  goutte 
qui  montera  ou  descendra.  Pour  trouver  sa  position  d'équilibre,  il 
faudra  exprimer  qu'aux  points  A  et  B  les  coordonnées  z'  et  z  des  mé- 
nisques coïncident  avec  la  coordonnée  z  du  méridien  du  tube,  et  que 
la  goutte  a  un  volume  donné.  Les  lignes  trigonométriques  dey  et/ 
doivent  d'ailleurs  se  déduire  de  ré({uation  du  méridien  AB. 


SrSPENSTON   d'lN  LIOIIDR  DANS   l'aIR   AU  MOYEN  WvS  TUIîF.  CAPII.I.ATHE.        cSf) 


Suspension  d'un  liquide  dans  un   tube  conifjue  verlicaL 

24.  Pour  qu'une  colonne  liquide  d'un  volume  donné  reste  en  sus- 
pension dans  un  tnhe  conique  dont  l'axe  est  vertical  [fig.  18),  il  faut 

risT.  iN. 


T'  v'I 


que  le  sommet  du  cône  soit  en  haut  si  les  ménisques  sont  concaves,  et 
en  bas  s'ils  sont  convexes.  Considérons  le  cas  où  ces  surfaces  sont  con- 
caves. 

Désignons  par  2[3  l'angle  au  sommet  du  cône  et  par  i  l'angle  aigu  de 
raccordement;  enfin  pary  et  /  les  angles  aigus  du  plan  tangent  au  bord 
des  ménisques  inférieur  et  supérieur  avec  la  verticale.  Nous  aurons, 
BV  et  AV  étant  deux  verticales, 

TRV  rrr  _/  =  /  +  3 ,       ï' A  V  ^  j'  =  /  -  -  3. 

D'après  le  numéro  précédent,  en  négligeant  des  termes  très  petits, 
on  aura,  pour  les  coordonnées  z'  et  z  des  surfaces  AIA'  et  BKB'  qui 
terminent  la  colonne  liquide. 


z'  =  /.  + 


'x  ci-  ces  /' 


3  cos/'       V  cos^y 


Ta-  cos /        '?.      r  i    /•-      _     j 

"  "  '  /•  j  cos/        y    cos^y 

Désignons  par  Z'  et  Z  les  valeurs  de  :;'  et  z  sur  les  bords  des  mé- 


90  CHAPITRE    HT. 

nisqiies  ou  pour  .r  =  /'  et  r\  puis  retranclions-pn  z'  eX  z,  nous  aurons 
z-Z   -    .      V/  •  -      — r--  -  ^->in  /     . 

Représentons  par  Y  le  volume  du  tronc  de  cône  AA'BB'  et  par  t^,  (^'  es 
volumes  AlA'  et  BKB';  nous  aurons 

sn=r— ^^,    SI)'       ''' 


langui  tangfi 

.5  ^  in  ni;- 3 


r''  -/••' 

(■'—  '^^ît:  /      (//—  z').r  (Ir  -=- :---.;  (■>  -—  ?>  sin/'+  sin^/'). 

Supposons  que  nous  comptions  les  coordonnées  z  et  z  \\  partir  du 
sommet  S  du  cône;  comme  elles  étaient  supposées  positives,  étant 
comptées  de  bas  en  haut,  nous  aurons 


'      ,     7/=  '■ 


lA  ' 


tang;^  tang[i 

égalons  ces  expressions  à  celles  que  nous  avons  obtenues  précédem- 
ment pour  les  mêmes  quantités;  nous  aurons 

/•  ,        9.  «-cos/         T      /• 

(I  ,  _,  _  /.  +  ._    _„      .     |_  /.  tang/, 

langS  /■  6  cos/ 

tangp  /•'  3  cosy' 

Désignons  par  m^  le  volume  donné  de  la  goutte,  nous  aurons 

m'-  --  V  —  (•     -  r' 


OU 


(3)/ 


/'  —  /■ 
tanins 


""  -7(2-3  sin,/+  sin^  /)  -  T~r^^:,  (-^  ~  ^  sin,/'  +  sinV') 


3  cos\/  -     ./  '^       3  cos'  /' 


SUSPENSION  D  UN  LIQUIDE  DANS  1.  AIK  AU  310\EN  D  UN  TUUE  CAI'ILIAIHE.        ()l 

Les  trois  équations  (i),  (2),  (3)  serviront  à  déterminer  les  trois  quan- 
tités /■,  /-',  /•. 

25.  Dans  ee  qui  précède,  j'ai  supposé  que  la  verticale  ne  rencontre 
jamais  la  surface  AIA'  qu'en  un  point.  En  particulier,  elle  rencontre 
cette  surface  vers  son  bord  en  deux  points  si  l'angle  i  est  nul.  Si  la  sui- 
face  AIA'  est  traversée  en  deux  points  par  la  verticale,  nous  aurons 
/ '  =  [i  —  i;  mais,  dans  les  formules  précédentes,  il  faudrait  changer  le 
signe  de/,  comme  on  le  voit  facilement.  On  peut  donc  conserver  les  for- 
mules précédentes  en  regardant/  comme  négatif. 

Considérons  le  cas  oî^i  «est  nul,  nous  aurons  y  —  ['>,  f  —  —  [',  et,  en 
retranclianl  (i)  et  (2),  nous  aurons 

,     ,        I               9.(1-  (;os3  .         :>.    /■    1-  /•' 

"•-  /•  )      ..,„;,.  o -7.7 1-  ^^»"r 


nr^  ..[/■' 


3^  \laiiy;i         ces-/   /         o      cos^i 

L'angle  fi  est  très  petit;  si  de  plus  la  longueur  de  la  goutte  est  très  pe- 
tite par  rapport  à  la  distance  du  milieu  de  la  goutte  au  sommet  du 
cône,  on  pourra  écrire  ainsi  ces  deux  é(|ualioiis 

1  ■>.a'- 


'  '  _  _!i:  ■■■•■ 


lang/i 

Éliminons  /  —  r'  entre  ces  deux  équations,  et  nous  obtiendrons  cette 
équation  du  troisième  degré 

(Sza-  taiiu/./'--  \>in'  r-^-  (j/itui'  lang  /  -^  o, 
qui  permettra  de  déterminer  / . 

IncUnaisun  suus  IcKjucllc  il  faut  niclLic  l'ii.ic  d'un  liihc  coni<iue  [nnir 
qu'une  goutte  reste  suspendue  à  un  e/ulruit  donné  du  tube. 

26.   Pour  résoudre  cette  question,  je  suivrai  exactement  l'analyse 
de  Laplace. 


9-^'  CUAPITUE    lil. 

Soit  i\A'BB'  le  cône  intérieur  du  tube  qui  a  son  sommet  en  S 
[fig.  19);  soit  efkh  la  colonne  liquide  et  supposons  les  extrémités  con- 
caves; on  peut  regarder  la  goutte  comme  de  révolution.  Désignons 
par  R  et  R'  les  rayons  de  courbure  de  e/^et  hp'k  aux  sommets  u  et//; 


H  est  <  W.  Considérons  un  canal  infiniment  étroit  /;//;  la  difféi'ence 
d'action  des  deux  ménisques  est  égale  à  la  quantité 


■^^"^■K       IV 


multipliée  par  la  tîCction  droite  du  filet,  et  fera  avancer  le  liquide  vers 
le  sommet  si  le  tube  est  horizontal. 

Déterminons  les  rayons  de  courbure  R  et  R',  en  supposant  les  arcs 
(if,  hk  circulaires.  Désignons  par  2I  la  longueur /y,  par  2  fi  l'angle  au 
sommet  du  cône  et  par  \  la  longueur  SP,  où  P  est  le  milieu  de/;/. 

Menons  la  tangente  eC  et  la  normale  eO;  désignons  toujours  par  / 
l'angle  hcC  de  raccordement;  nous  aurons 

cosOe/       cos(/— [^.j' 
/•  ^:  SI  lang  fi,     Si  r^  S/>  ~-  \p  -^1-  i  ^-  1{  [ ,  „_  sin  (  i  -  ,3  )J  ; 

en  remplaçant  dans  la  première  équation,  on  obtient 

,.   _  À-/-R[i-sin(/  --p)| 

cos(/— p)  i-ui^... 

Tirons  R  de  cette  équation,  en  ayant  égard  à  ce  que  p  est  très  petit,  et 
nous  aurons 

(À  —  /)  si  11  3 


R 


COS/+  sin  3 


SUSPENSION  d'lN   LlOl  11)1':  DANS  l/Alli  AU  JJOVKN   I)'UN  TUlîi:  (lAIHLLAllU:. 

On  trouve;  do  mémo 
On  a  do no 


9'^ 


cos< 


SI  11^ 


K       II' 


I       /  c<»s  / 
siii3  \        À 

I 


X  -\-  l 


ASlll  i 


/ 

I  H-  - 
A 


/\  -' 


I    H 


/\-'1 


et,  011  iiégligoaiit  dos  tormos  très  [)otits,  on  a 


""'î\    "lî' 


)~-~sinTi 


Supposons  que  le  tube  soit  inoliné  à  l'horizon  d'un  angle  I;  le  poids 
do  la  colonne  cylindrique  divisé  par  la  section  du  tube  au  point  P  sera 
2/i,'p  et  sa  composante  suivant  l'axe  du  tube  sera  égale  à  ^fyosinl.  Il 
faut  pour  l'équilibre  que  cotte  ({uantité  soit  égale  à  la  précédente.  Ainsi 
l'on  a 

"~sin3~  )>  ^'^  Tl  ' 


5inl 


Le  second  terme  étant  en  général  très  petit  vis-à-vis  du  premier  qui 
renferme  sinp  en  dénominateur,  le  sinus  de  l'inclinaison  est  à  peu 
près  inversement  proportionnel  au  carré  de  ),. 

27.  Considérons  (Misuite  une  goutte  de  liquide  comprise  entre  deux 
plans  qui  se  touchent  par  un  bord,  en  faisant  un  angle  très  petit.  Si 
le  plan  bissecteur  est  horizontal,  cette  goutte  sera  à  peu  près  circu- 
laire et  analogue  à  une  poulie.  Supposons  que,  en  inclinant  ce  plan 
sur  l'horizon,  la  goutte  soit  assez  large  pour  que,  vers  le  milieu  de  sa 
largeur,  sa  surface  puisse  être  considérée  en  haut  et  en  bas  comme  cy- 
lindrique, la  génératrice  des  deux  cylindres  étant  parallèle  à  l'inter- 
section des  deux  plans.  Nous  regardons  toutefois  la  longueur  de  la 
goutte  comme  très  petite  par  rapport  à  la  distance  du  milieu  de  sa  lon- 
gueur à  l'intersection.  Alors  le  raisonnement  et  la  figure  qui  précèdent 
seront  applicables;  les  lignes  SB  et  SB'  représenteront  les  coupes  des 
deux  plans  donnés,  SOO'  leur  plan  bissecteur,  epf,  hp'/c  les  surfaces 
cylindriques. 


94  CIIAPITUK    III. 

En  considérant  comme  précédenjment  un  tilet  pp   de  section  to,  on 

trouvera 

I         I 

ïï  "  ïr 


g?a-\  - 


pour  la  différence  d'action  de  ses  deux  ménisques  et  l'on  aura  pour  la 
composante  verticale  de  son  poids  2/co^psinI,  I  étant  l'inclinaison  du 
plan  bissecteur  sur  l'horizon.  Donc,  si  la  goutte  reste  en  équilibre,  la 
valeur  de  cet  angle  sera  donnée  par  cette  formule  : 

.      ,  rt-COS<      I  (('- 

sin^     A-        /A 

On  voit  donc  que,  pour  l'équilibre  d'une  goutte  suspendue  dans  un 
tube  conique  ou  dans  l'intervalle  de  deux  plans  à  une  même  distance 
de  S,  on  devra  également  incliner  sur  l'horizon  l'axe  du  tube  et  le 
plan  bissecteur  si  l'angle  des  deux  plans  est  égal  à  la  moitié  de  l'angle 
au  sommet  du  cône. 

Dans  ces  expériences,  il  est  utile  de  mouiller  le  tube  et  les  deux 
lames;  car,  sans  cela,  le  lïottement  jouerait  un  rôle  qui  ne  serait  pas 
négligeable. 

SiispciiSLon   (l  un   li(jiddc  dans  un   tube  cy[uulri(ju('  rcrlical. 

28.  Si  l'on  applique  la  théorie  précédente  au  cas  où  le  tube  est 
cylindrique,  les  deux  ménisques  tournés  en  sens  contraires  sont  alors 
identiques;  et  en  faisant  y—  y  dans  l'équation  (2)  du  n""  23,  on  trouve 
A'^  //.  L'équilibre  de  la  goutte  ne  serait  donc  plus  possible.  L'expé- 
rience prouve  cependant  qu'une  petite  quantité  de  li(|uide  peut  restei' 
suspendue  dans  un  tube  cylindrique  vertical  si  le  tube  n'est  pas  mouille 
intérieurement  au-dessous  du  ménisque  inférieur,  et  l'on  ne  peut  ex- 
pliquer ce  désaccord  qu'en  admettant  un  frottement  du  li(]uide  contre 
le  tube. 

Le  Irottement  du  liquide  sur  le  tube  étant  supposé  du  même  ordre 
de  grandeur  que  la  cohésion,  le  liquide  tendra  à  tomber  en  C,  mais 
sera  retenu  en  1>  près  de  la  paroi  [Jig-  20);  le  ménisque  inférieur  s'af- 
faissera donc  et  l'angle  de  raccordement  augmentera. 


SUSPENSION  D  UN  LIQUIDE  DANS  L  AIR  AU  MOYEN  0  UN  TUBE  UAPILLATRE. 


q3 


Désignons  par  /la  longueur  AB  comprise  entre  les  bords  des  ménis- 
ques; si  le  liquide  a  un  mouvement  suivant  l'axe  du  tube,  la  force  de 
frottement  contre  le  tube  sera  -îr.rJf,  /étant  un  coefficient.  Imaginons 
un  déplacement  vertical  et  descendant  de  translation  commun  à  tout 


Fif[.  20. 


\) 


le  liquide,  et,  en  regardant  les  deux  surfaces  ACA',  BC'B'  comme 
spbériques,  nous  aurons 


—  o.r.rifr.!,  ^- 


-/•V- 


COS'<    \  .5  O 

-r"'    fo        I 


U< 


OU 


{a)     2lJ>i^zr\l--^ 


cos-'<  \  ,> 


sin'/ 


sin  / 


cos'/.  V'> 


/  et  i'  étant  les  angles  aigus  de  raccordement  des  surfaces  supérieure 
et  inférieure  avec  la  paroi.  Quand  il  y  aura  égalité  entre  les  deux  mem- 
bres, la  valeur  de  /  représentera  la  longueur  maximum  de  la  colonne 
liquide  qui  peut  rester  suspendue.  Réciproquement,  si  l'on  détermine 
cette  longueur  maximum  par  l'expérience,  on  en  conclura  la  valeur 
de/. 

Désignons  par  ir.iif  la  résistance  opposée  par  le  frottement  pour 
empêcher  le  mouvement;  nous  aurons 


{f>) 


iir 


?/iï, 


en  représentant,  pour  abréger,  par  H  la  quantité  mise  entre  crochets 
dans  l'inégalité  [a). 


()G  ciiAPiTRi:  m. 

Considérons  nn  filet  vertical  HB'A'I  à  section  dt'oite  rectangulaire 
dont  un  des  côtés  ds  est  sur  la  surface  du  tube.  Désignons  par  P  le 
poids  de  ce  filet,  par  Y  la  composante  verticale  de  la  différence  d'ac- 
tion des  deux  ménisques  qui  terminent  le  filet  et  par  D  la  différence 
de  l'action  verticale  du  tube  sur  ces  deux  ménis(|ues;  nous  aurons 

P      -  //V/V  :^.  V  -  -  I). 

Or  P  =  V  pour  tous  les  filets  verticaux,  el  cette  égalité  a  encore  lien 
tout  près  de  la  paroi  ;  on  a  donc 

{(■)  -     -  If  (Is-:  —  I). 

Ensuite  la  partie  du  tube  en  contact  avec  le  filet  produit  à  la  surface 
supérieure  la  composante  verticale 

et  à  la  surface  inférieure;  la  composante  verticale 

—  ,4''p/'('-  COS/"  r/.v 

(  ro7>  Cbap.  1,  n"  13).  On  a  donc  pour  la  quantité  1) 

])  ~-    .;'■  p  rr  (  Cf tS  /        COS  /  '  !  ^/s 

et  l'on  déduit  de  l'équation  (r) 

(  (/)  /■/'  --=  Si' pa-(cosi  -  ros  /'  ) . 

En  comparant  [b]  et  (d),  on  a 

/•H  =■-  2 a"- ( ces /  —  ces/' ). 

Supposons  H  remplacé  par  sa  valeur;  la  longueur  /  est  connue  par  l'ex- 
périence et  l'angle  i  est  aussi  connu:  cette  équation  servira  à  détermi- 
ner l'angle  i  de  raccordement  de  la  surface  liCB' avec  le  tube. 

29.  z  cXz'  étant  les  distances  d'un  point  des  surfaces  des  ménis(jues 
supérieur  et  inférieur  à  un  plan  borizontal,  nous  avons  (n"24) 


'>.a-  COS/         2      r  I    /■"- 

/■  H  ces/        y    COS-/ 


2<'/-C0Sr 


,,  -h  i/---.r-.,  —  .r 

o  COS/         y   COS/ 


SUSPENSION  1)  UN  LIQUIDE  DANS  L  AIR  AU  MOYEN  I)  UN  TUBE  CAPILLAIHE.        97 

La  longueur  /de  la  colonne  comptée  entre  les  bords  des  ménisques  est 
égale  à  la  valeur  de  ^  —  g'  pour  œ  =  r;  ainsi  nous  avons 

(c)       1=  —  ( cos /  —  cos i' )  H-  ^  /•  ( .  -i-  ■ ^  )  —  /■  ( lang- /  -[-  tanst' ) . 

/•  ^       o     \cosi       cosr/         ^       o  o    y 

Cette  équation  ne  renferme  pas  d'inconnues  nouvelles  et  sera  im- 
possible. Mais  admettons  que  le  liquide  ait  une  viscosité  qui  ne  soit  pas 
négligeable;  il  ne  faut  plus  alors  supposer  dans  les  deux  équations  (i) 
du  n"  23  que  la  constante/'  ait  la  même  valeur.  Cbangeons  k  en  /c'  dans 
l'expression  de  z';  nous  aurons,  au  lieu  de  l'équation  {e), 

/—  A  —  /.'+  - — (ces/  — cos/')  +  ^/i .  -; r,  I  —  /•(lari2-/  -hlaiiii/'), 

/•  '  O      \COSi  COS</  \         o  o      .' 

équation  qui  déterminera  X-  —  k'. 

L'équation  (2)  du  n"  23  sera  remplacée  par 

et  l'on  voit  que^p(X:  —  /c')  indiquera  la  résistance  opposée  par  la  visco- 
sité pour  contribuer  à  l'équilibre. 


Suspension  d'un  liquide  à  l'exlrèinitê  d'un  tube  vcitieaL 

30.  Supposons  ensuite  que  le  liquide  descende  jusqu'à  l'extrémité 
inférieure  du  tube,  mais  en  y  restant  enfermé.  Il  faudra  alors  avoir 
égard  à  la  courbure  de  la  surface  intérieure  du  tube  vers  son  extré- 
mité. En  eflet,  cette  surface  ne  doit  pas  être  considérée  comme  celle 
d'un  cylindre  coupé  rigoureusement  par  un  plan  normal  à  l'axe;  mais 
elle  doit  se  terminer  par  une  partie  courbe  EF  tangente  d'une  part  à 
la  surface  du   cylindre  intérieur  et  de  l'autre  au  plan  de   la  base 

(/^•2l). 

Pour  simplifier,  supposons  que  cette  surface  soit  de  révolution  au- 
tour de  l'axe  du  cylindre  intérieur,  et  appliquons  l'équation 

(\)  0  l zdr;^  +  M  07  +  N  oi>  =  o 


()8  CUAI'ITUE    III. 

(Chap.  I,  n°  8),  où  a  est  la  surface  libre  du  liquide  et  12  la  surface  de 
contact  du  liquide  avec  le  solide.  Le  liquide  étant  supposé  mouiller 
parfaitement  le  tube,  on  a  M  =  —  N  =  a'-. 


ut-  ■■>■'■ 


Nous  supposons  aussi  que  le  bord  du  ménisque  inférieur  touche  la 
partie  courbe  EF  du  tube. 

Cela  posé,  donnons  à  tous  les  piùnts  du  liquide  un  mouvement 
ascensionnel  infiniment  petit  et  tel  que  le  ménisque  supérieur  J  soit 
transporté  parallèlement  à  lui-même  en  J,,  et  le  ménisque  inférieur  de 
J'en  J',,  le  bord  de  J'  étant  seulement  diminué  de  la  quantité  infini- 
ment petite  qui  sort  de  la  section  du  tube  en  J',.  Désignons  par  r  le 
rayon  du  tube  et  par  r'  le  rayon  de  la  base  de  J',  puis  par  Vi  et  ^li'  les 
hauteurs  dont  se  sont  élevés  les  ménisques  J  et  J'  dans  le  déplacement 
virtuel. 

Le  ménisque  J'  est  tangent  à  la  surface  EF  et  J',  ne  fait  qu'un  angle 
infiniment  petit  avec  la  même  surface.  Par  le  cercle  de  base  ce  de  J', 
menons  le  cylindre  vertical  ce;  la  sera  égal  à  J',  —  J';  nous  aurons 

donc 

07  =  — suri',  ec/, 

oi>  =  2  -  /•  o/<  —  su  ri",  cd. 

Ainsi 

07  —  o<2  :=  ^  2  -  /■  oA  -\-  surf,  cd  —  suri",  cd 

=: —  1-iV.i  4-  surf.ce  sinu, 


'J  étant  l'angle  du  plan   tangent  au  bord  du  ménisque  avec  un  plan 


SUSPENSION  1)  UN  LIQUIDE  DANS  L  All\  AU  MOYEN  d'uN  TUHE  CAPILLAIRE.        99 

horizontal;  nous  avons  donc  enfin 

07  —  oi>  = —  171  r  ^jIi  +  o.-v'  o/V  siiTJ. 
On  a  d'autre  part 

0  /  ;  c/ttt  — -  (•  cA  — •  c'o//', 

V  et  /  étant  les  volumes  intérieurs  du  tube  depuis  J  et  J'  jusqu'à  la 
base  FG  du  tube.  Ecrivons  enfin  que  le  volume  du  liquide  n'a  pas 
changé,  et  nous  aurons 

Remplaçons  dans  l'équation  (A)  les  termes  par  leurs  valeurs  calcu- 
lées, et  nous  trouverons 

(R)  (•/•'' —  r'/-^  z=:.  9. -a^  /•/■'{  /■'  —  /■  sin'j). 

Si  r  —  r  est  très  petit  par  rapport  à  /*,  ce  qui  aura  lieu  ordinaire- 
ment, on  pourra  remplacer  dans  cette  équation  /'  par  /•,  et  nous  aurons 

la  formule 

(•  —  r'=  9.-a-r(\  —  sinu), 

qui  donnera  le  volume  du  liquide  soulevé.  Il  est  aisé  de  voir  que  cette 
formule  subsisterait  quand  même  le  bord  très  petit  EF  ne  serait  pas 
de  révolution. 

31.  Supposons  ensuite  qu'une  partie  du  liquide  soit  extérieure  au 
tube,  que  le  cylindre  extérieur  du  tube  se  relie  à  la  base  FG  par  une 
partie  courbe  très  petite  GH  et  que  le  liquide  s'élève  sur  GH  jusqu'en  I. 
Désignons  par  r'  le  rayon  du  cercle  parallèle  du  point  I;  soient  v  et  v' 
les  volumes  du  liquide  appartenant  à  la  partie  intérieure  et  à  la  partie 
extérieure  au  tube,  u  l'angle  aigu  du  plan  tangent  en  I  avec  un  plan 
horizontal.  Il  suffira  de  changer  les  signes  de  ç^'  et  -j  dans  la  formule  (B), 

et  nous  aurons 

(•/■'-  +  r'/'-  m  9- a-  /•/■'{/''  -\~  /•  sin'j). 

Si  r'  est  assez  petit  pour  que  la  surface  de  la  partie  extérieure  du 
liquide  puisse  être  regardée  approximativement  comme  sphérique,  on 
aura 

,        T.r'^   (i         I 


siir'oVS    '    3 


lOO  CHAPITRE    III. 

nous  avons  ainsi  denx  équations  pour  déterminer  ç  et  v'  et  par  suite  le 
volume  total  r  -h  c'. 

La  formule  (C)  n'est  qu'approchée;  dans  le  Chapitre  V,  nous  mon- 
trerons comment  on  peut  calculer  exactement  le  volume  t''. 

Suspension  d'un  liquide  à  l'extrémité  d'un  tube  capillaire  vertical 
adapté  au  fond  d'un  rase. 

32.  Désignons  par  R  le  rayon  intérieur  du  vase  supposé  cylindrique, 
par  /'le  rayon  intérieur  du  tuhe  et  par/  son  rayon  extérieur.  Le  vase 
lenferme  un  liquide  dont  une  goutte  s'est  formée  à  l'extrémité  du  tube, 
ayant  pour  base  la  section  extérieure;  cherchons  la  condition  d'équi- 
libre de  cette  goutte.  Il  suffit  de  reprendre  les  raisonnements  du 
n"30. 

Soient  H  la  hauteur  du  liquide  dans  le  vase  et  A  la  longueur  du  tube. 
Donnons  un  mouvement  ascendant  infiniment  petit  au  liquide;  soient 
^\\  l'élévation  du  liquide  dans  le  vase,  th  la  quantité  dont  le  liquide 
monte  dans  le  tube  et  enfin  Vi'  la  quantité  dont  s'élèvent  les  points  de' 
la  surface  de  la  goutte.  Nous  aurons 

07  —  oJ  r=  —  ^-/•'o///sin'j  —  -^TcR  oTL 

Désignons  par  V  le  volume  du  vase  et  par  v'  celui  de  la  goutte,  nous 
aurons 

0  Cz  <H  ^  v'  o/é  +  V  8H  4-  -  r'  h  o// . 

Substituons  ces  expressions  dans  l'équation 

0    /   Z(lT7i  4-  (7-(07  —  oi2)  =  o, 

et  nous  aurons 

r'o//'  f-  Wm  ^!-  -r'-l,  oh  -  >-r'a-^  oA'siU'j  ^  ■^,-\\rr  oH  =  o. 

Or  nous  avons 

et  le  volume  V  est  égal  à  -R-H;  l'équation  précédente  donne  donc  pour 


SUSPENSION  D  UN  LIQUIDE  DANS  L  AIR  AU  MOYRN  D  UN  TUDU  CAPILLAIRE.        I  ()  I 

le  volume  (^'  de  la  goutte 

/•'■- 
(•'i=  2:T/-'rt-  sin'j  +  2  7:a-  -r^  —  -/-'-(Il  +  A), 

qui  sera  par  conséquent  le  plus  grand  pour  'j  =^  '-■ 

Pour  que  l'équilibre  soit  possible,  il  faut  que  ^^'  soit  positif  pour 

■-)  =  -;  ce  qui  donne  la  plus  grande  valeur  que  puisse  avoir  la  hauteur  11 

du  liquide  dans  le  vase.  Quand  H  dépasse  cette  valeur,  la  goutte  gros- 
sit, puis  elle  tombe. 


I02  CIIAPITP.E    IV. 


CHAPITRE  IV. 

MODIFICATION   DE   LA    PRESSION    HYDROSTATIQUE 
PAR    LES    FORCES    CAPILLAIRES. 


Les  forces  qui  élèvent  ou  abaissent  un  liquide  en  équilibre  contre  la 
paroi  qui  le  retient  ou  contre  un  corps  quelconque  exercent  aussi  une 
influence  sur  la  pression  supportée  par  ce  corps.  Il  en  peut  môme  ré- 
sulter (les  mouvements  sensibles,  tels  que  l'attraction  ou  la  répulsion 
entre  deux  lames  verticales  parallèles  et  très  rapprochées  quand  elles 
sont  plongées  dans  uu  môme  liquide,  ou  encore  l'attraction  ou  la  ré- 
pulsion entre  de  petits  corps  nasjeant  à  la  surface  d'un  liquide.  Nous 
allons  étudier  d'une  manière  générale  dans  ce  Chapitre  la  modification 
de  la  pression  hydrostatique  due  aux  forces  de  la  capillarité. 

Nous  commencerons  par  quelques  démonstrations  synthétiques  qui 
auront  l'avantage  de  faire  concevoir  plus  facilement  le  détail  des  phé- 
nomènes; nous  embrasserons  ensuite  leur  ensemble  dans  des  démon- 
strations analytiques. 

Attraction  et  rèpidsioji  entre  deux  lames  verticales  parallèles, 
pfonqées  dans  un  liquide. 

1.  Soient  les  deux  lames  L  et  L'  parallèles  et  verticales,  NM  la  sur- 
face cylindrique  du  liquide  intérieur  et  ABCD  celle  du  liquide  extérieur 

{fig.2'?.). 

Imaginons  un  canal  edcb  qui  parte  d'un  point  e  situé  sur  le  plan  de 
niveau  et  dont  le  côté  ch  vienne  entre  les  lames  et  évaluons  les  pres- 
sions par  des  hauteurs  du  liquide.  La  pression  en  le  point  H  du  canal  sera 


310011  ICATION  DE  LA  PIII-SSION  UYDIIOSTATIOIL  PAU  LES  lOUCES  CAPILLAIULS.        I  o'^ 

évidemment  la  même  qu'en  e,  c'est-à-dire  la  pression  II  de  l'atmosphère 
et  la  pression  en  h  sera  égale  à  n  diminué  de  la  hauteur  verticale  iH. 
Si  le  canal  se  recourbe  horizontalement  suivant  ha  et  se  termine  sur 
la  face  intérieure  de  L,  la  pression  du  liquida  contre  la  lame  sera 


l'ij.   21. 


1 

1' 

I. 

.M 

^^.y 

'L^b 

K       lî 

.(', 

t 

\ 

K,,^ 

f 

ij^ 

: 1 

n  —  ^11,  diminué  de  l'attraction  du  li(|aide  sur  la  lame;  mais  cette 
dernière  force  sera  détruite  par  l'action  égale  et  contraire  de  la  lame 
sur  le  liquide  et  ne  produira  que  l'adhérence.  Et  comme,  au  point  cor- 
respondant de  la  face  extérieure  de  la  lame  L,  la  pression  estn,  il  en 
résulte  une  pression  en  a  égale  ii  HZ>  et  agissant  de  a  vers  b. 

Dans  la  partie  BI  de  la  lame,  les  pressions  sont  égales  et  contraires 
sur  les  deux  faces.  Prenons  en  effet  sur  une  normale  à  la  lame  le  point/ 
sur  chacune  des  faces;  à  l'intérieur,  d'après  ce  qui  vient  d'être  dit,  le 
point/subira  la  pression  II  — /I;  menons  le  canal  F/horizontal  et  nor- 
mal à  la  lame;  la  pression  au  point  extérieur  /  sera  la  même  qu'au 
point  F  et  égale  à  II  — /I. 

Pour  évaluer  la  résultante  des  pressions  qui  s'etfectuent  sur  NB, 
élevons  en  chaque  point  tel  que  a  une  normale  égale  à  bE.  et  évaluons 
le  poids  du  liquide  compris  entre  la  paroi  et  le  lieu  des  extrémités  des 
normales.  Désignons  par  ^o  et  r,  les  hauteurs  des  points  B  et  N  au- 
dessus  du  plan  de  niveau,  par/  la  largeur  des  lames,  par  p  la  densité 
du  liquide  et  par^'-  l'accélération  due  à  la  pesanteur;  nous  aurons  ainsi 
pour  la  résultante  des  pressions  qui  s'exercent  sur  la  lame  L 


l{=-,-  ^■,) 


n'P^i-l 


IO.|  CIIAPITUK    IV. 

Mais  il  existe  deux  autres  forces  dont  il  faut  tenir  compte;  soient  ?", 
et  i  les  angles  de  raccordement  en  N  et  B.  Le  liquide  exerce  le  long  des 
deux  lignes  d'atïleurement  en  N  et  B  sur  la  lame  une  tension  normale 
à  ces  lignes  et  tangente  à  la  surface  du  liquide;  la  grandeur  de  cette 
Ibrce  est  g^a'-  par  unité  de  largeur.  Ces  deux  tensions  produiront  donc 
les  forces  normales  ^p^'/sini,  et  g^crlsïni,  la  première  dirigée  sui- 
vant NP,  la  seconde  suivant  BK. 

On  a  donc  enfin  pour  la  résultante  des  pressions  normales  agissant 
sur  la  lame  L 

(i)  •  l* -- l^:,'p /(:;■[— c-^)  +  ^'-p  (7- /(sin/'i  —  s'ini). 

Les  hauteurs  :?,  et  :;:„  ont  été  calculées  (Chap.  II,  n"*  5,  8  et  9  j. 

Si  les  deux  faces  de  la  lame  sont  entièrement  identiques,  on  aura 
/,  =  /,  et  le  dernier  terme  de  P  disparaîtra. 

La  démonstration  qui  précède  est  exactement  celle  qui  se  trouve 
dans  la  Théorie  de  la  capillarité  de  Laplace,  sauf  qu'il  avait  négligé  la 
partie  de  P  due  à  l'action  de  la  couche  superficielle  du  liquide;  Poisson 
a  remarqué  le  premier  qu'il  faut  tenir  compte  de  cette  quantité  [Nou- 
velle Théorie  de  r action  capillaire,  Chap.  V,  n""  85). 

2.  La  lame  L'  est  poussée  vers  la  lame  L  par  une  force  normale  sem- 
blable à  P  et  dont  la  valeur  est 

V  -j:.{  -p /(:;',-—  z'^-)  -J- i,'prt-/(siiu", --  sin/'), 

en  adoptant  les  mêmes  lettres  avec  des  accents,  afin  d'indiquer  pour 
la  lame  L'  les  mêmes  quantités  que  pour  L.  Si  les  angles  de  raccorde- 
ment sont  les  mêmes  des  deux  côtés  de  chaque  lame,  les  deux  forces  P 
et  P'  seront  égales. 

En  effet,  l'équation  de  la  surface  du  liquide  renfermé  entre  les 
lames  peut  s'écrire  (Chap.  II,  n"  5) 

(i)  T  v^consl ^• 

Kw  appli(|uant  celle  é{}ualion  sur  la  face  intérieure  de  la  lame  L,  on 


.M(»l)lllCATIO>  l)i:  LA  l'UKSSlO.N  IIYDROSTATIQL  K  PAU  LKS  lORCES  CAI'lLLAllil  S .         lOJ 

aura 

siii  /,  =  consi  —  -^; 
2  a'- 


on  a  II  l'a  de  uicuii' 


par  suite, 


siiu,  =  coiisl —: 

■>.  a- 


Sill  /,      -  Sin  f,  rr:  ^-^  —  — !- 
■.irt-  "2(1- 


Mais,  si  Tou  appli(jue  l'tMjuation  (i)  aux  deux  parties  du  liquide  exté- 
rieur qui  coi'respondeut  à  eliaque  lame,  la  eonstaute  arbitraire  sera 
éiiale  à  ruiiilé,  et  l'on  aura 


il  en  resuite 


SUU    —  I  —    — ;? 

■la- 


^n\i  :=-  I :  : 

'^  a- 


■I         •     •  •         ,         -, 


la 
Si  doue  /,  =  /et  /',  =  /',  on  aura 


ou 


par  suite,  P  =  P. 

Si  les  deux  lames  sont  très  rapprochées,  z'I  sei'a  négligeable  vis-à-vis 
de  z\\  or  z^  est  alors  sensiblement  en  raison  inverse  de  la  distance  des 
deux  faces  internes  des  lames.  Donc  l'attraction  P  de  ces  deux  plans 
aura  lieu  à  très  peu  près  en  raison  inverse  du  carré  de  leur  distance, 
ainsi  que  l'a  remarqué  Laplaee. 

Nous  avons  supposé  que  les  deux  lames  ne  pouvaient  se  mouvoir  que 
suivant  leur  normale  commune;  autrement,  les  résultantes  des  pressions 
qui  se  trouvent  sur  les  deux  faces  n'étant  pas  directement  opposées,  la 
lame  L  tournerait  en  outre  autour  d'un  axe  passant  par  son  centre  de 
gravité  et  parallèle  à  sa  largeur.  Il  serait  facile  d'évaluer  le  mouvement 
de  rotation,  en  se  rappelant  que  les  forces  capillaires  agissent  en  NetB, 
et  en  déterminant  la  position  du  centre  de  gravité  du  prisme  liquide 
imaginé  ci-dessus. 


loG  CHAPITRE    IV. 

3.  Si  le  liquide  s'a])aisse  auprès  de  chaque  lame  prise  isolément,  la 
surface  du  liquide  est  partout  convexe  et  le  liquide  s'abaisse  entre  les 
lames;  nous  désignerons  alors  par  z^  et  ^^o  '^s  dépressions  du  liquide 
auprès  de  la  lame  L,  et  nous  aurons  encore,  pour  la  pression  (jui  agit 
sur  la  lame  L, 

1*  "  !-  ,^'-?  / (  z'I  —  zl)  -{-  -p a-  /( sin  /,  —  sin  l'o ), 

?„,  if  étant  les  angles  aigus  de  raccordement,  et  P  tendra  encore  à  rap- 
procher L  de  L'. 

Si,  dans  l'intervalle  des  deux  lames,  le  liquide  s'élève  vers  l'une  et 
s'abaisse  vers  l'autre,  z^  sera  en  général  plus  petit  (juc  r„;  néanmoins, 
le  premier  terme  de  P  restera  ordinairement  en  valeur  absolue  plus 
grand  que  le  second;  ainsi  les  deux  lames  auront  une  tendance  à  s'éloi- 
gner l'une  de  l'autre,  mais,  comme  on  voit,  cette  répulsion  sera  faible, 
comparée  à  l'attraction  apparente  qui  a  lieu  entre  deux  lames  mises 
dans  un  liquide  qui  les  mouille. 

Supposons  que  le  liquide  s'élève  plus  sur  la  première  lame  qu'il  ne 
s'abaisse  sur  la  seconde.  Nous  avons  vu  (Cliap.  11,  n"  13)  que,  en  rap- 
prochant suffisamment  ces  lames,  le  point  d'inflexion  de  la  section 
droite  du  liquide  disparaîtra  et  qu'ensuite  le  liquide  montera  sur  les 
deux  lames  :  par  conséquent  la  répulsion  se  changera  en  attraction. 

Ce  fait  reconnu,  d'après  la  théorie,  parLaplace  a  été  vérifié  par  Haùy. 
11  plongeait  dans  l'eau  un  parallélépipède  d'ivoire  qui  était  mouillé  et, 
parallèlement  à  une  de  ses  faces,  une  feuille  de  talc  laminaire  sus- 
pendue à  un  fil  très  délié.  11  a  constaté  que  cette  feuille,  qui  n'était 
pas  mouillée  pai*  l'eau,  était  repoussée  d'abord,  puis  attirée  lorsqu'elle 
était  amenée  à  une  distance  suffisamment  petite. 

Su/-  la  imussc'c  verticale  (jid  sollicite  un  corps  ils  rc^'ohuion  dont  l'aie 
est  vertical,   immergé  en  partie  dans  an   liquide. 

4.  Soient  PQ  [fig.  2'3)  le  plan  de  niveau  et  a,3  le  cercle  auquel  le  li- 
quide vient  affleurer  sur  le  corps  de  révolution  AEBD,  dont  l'axe  AB 
est  vertical. 

Désignons  par  u  l'angle  du  plan  tangent  au  corps  le  long  du  cercle  a[i 
avec  le  plan  de  niveau  et  par  ^  l'angle  de  raccordement  F[il.  11  existe 


MODIFICATION  ])V.  I.A  PRESSION  IlYDROSTATlQli:  PAR  LES  FORCES  CAPILLAIRES.        lO" 

en  chaque  point  ^  du  cercle  a^  une  force  de  tension  dirigée  suivant  la 
tangente  pi  au  méridien  [iH  du  liquide,  et  sa  composante  verticale 

sera 

^'- p  Cl'  cos  b  '^\  --=  ^ p  a-  sin  { u  —  / ) , 

et  si  nous  désignons  par  /'le  rayon  du  cercle  a^,  la  portion  du  liquide 
voisine  de  ce  cercle  produit  une  force  verticale,  agissant  de  haut  en  has 

et  éarale  à 

2~rgpa^  sin('j  —  i). 

Évaluons  ensuite  la  pression  hydrostatique  provenant  du  reste  du 
liquide  qui  entoure  le  corps  solide. 

Fi!',  al. 


\ 

/■ 

N 

_ 

1  f 

1 

\ 

¥ 

Vf 

La  pression  normale  sur  un  élément  de  surface  (h,  appartenant  à  la 
partie  EBD  située  au-dessous  du  niveau  et  représentée  sur  la  figure  par 
e/,  sera 

gpy  (h  +  W(h, 

n  étant  la  pression  de  l'atmosphère  et  j  la  distance  de  l'élément  au  plan 
de  niveau,  et  la  composante  verticale  de  has  en  haut  sera 

gpy  chcos{n,  c)  +  U  fhcos{n,  z), 

n  désignant  la  direction  de  la  normale  menée  intérieurement,  et  z 
celle  de  la  verticale  menée  de  has  en  haut.  En  faisant  la  somme  de 
toutes  ces  quantités  sur  EBD,  on  aura 

gp  f  j-  cos(//,  z)(h  -'i-  n  cercle  ED  =  gp  vol.  EBD4-  n  cercle  ED. 

Si  certaines  des  ordonnées  r  rencontraient  la  surface  EBD  en  deux 
points,  il  est  aisé  de  voir  que  ce  résultat  serait  encore  exact. 


Io8  CHAPITllK    IV. 

Considérons  ensuite  la  partie  ED[3x;  la  pression  an  point//  de  la  sur- 
face du  liquide  estll  — ^p.r,  tétant  la  distance  du  point/?'au  plan  PQ; 
menons  le  canal  horizontal  pp' ,  la  pression  en  p  sur  l'élément  da  de 
surface  sera  [W  —  c>'^x)dr:,  et  sa  composante  verticale  de  liant  en  bas 
sera 

(a)  (U—  -p..r)cos(N,  ::)r/7, 

N  étant  la  normale  extérieure  menée  à  di.  Donc  la  résultante  verticale 
comptée  de  bas  en  haut  sur  la  surface  aED[i  sera 

\  g?  i  .r  cos(N,  z)  (h  —  n  (cercle  El)  —  cei'cle  oc3) 

'      rrz  opvol.  annulaire  E<7aZ;  1)3  —  n(cerc]oEf) -- cercloaS). 

Enfin  la  résultante  de  la  pression  atmosphérique  sur  la  surface  y.k'i 
est  II  cercle  y.'i. 

On  obtient  donc,  en  ajoutant  toutes  ces  forces,  pour  la  poussée  ver- 
ticale du  liquide, 

gçj  vol.EBJ)  4-  ,4'  p  vol.  annnl.  a  V.ab  1)3    -  •x-ii^zrr  sin  (u  —  /). 

Dans  le  cas  où  le  corps  est  homogène  à  son  intérieur  et  libre,  pour 
que  le  corps  soit  en  équilibre,  il  suffit  que  cette  force  soit  égale  h  son 
poids. 

On  n'a  pas  tenu  compte  de  la  densité  de  l'aii'.  Si  l'on  veut  y  avoir 
égard,  désignons  par  p,  cette  densité;  il  faudra  ajoutei' à  l'expression 
précédente  de  la  poussée  la  quantité  ^p^  vol.EocASD;  mais  dans  (A)  il 
faudra  aussi  remplacer  p  par  p  —  p,,  ce  qui  donnera  le  terme 

—  ^,;'- Pi  vol.  aiHHil.  Er/a/>l)3. 

On  aura  donc,  pour  la  poussée  totale, 

^A\'-vol.EBD+,;'(p--pi)vol.ain]ul.Erta/>I)3  f-;'pi  vol.Ea.VSI)  — ^77/-^'^pr/2j^in(o  - 

Pour  calculer  la  hauteur  du  cercle  a[i  au-dessus  du  plan  de  niveau, 
si  la  courbure  de  la  surface  du  corps  immédiatement  au-dessus  du 
cercle  ED  n'est  pas  très  petite,  on  cherchera   l'élévation  verticale  du 


.MODinCATION  lii:  I.V  PI'.KSSION  liYDIlOSTATIQri:  PAU  LKS  lOP.CF.S  CAl'ILI.AHir.S.         I  Of) 

liquide  sur  le  plan  tangent,    et  l'on  aura  ainsi,  pour  cette  hauteur 
^Chap.  H,  n"5). 


A  -:  la  sin 


Si  les  perpendiculaires  abaissées  de  la  surBice  EafiD  sur  le  plan  de 
niveau  sont  extérieures  au  coips  comme  dans  la  /7.i;>-.  9.[\,  cos(N,  z)  seia 


A 


,^7 


'7   b 


négatif  dans  la  formule  (a),  et  il  faudra,  au  contraire,  retrancher  de  la 
poussée  l'anneau  y.ciMDb^i  qui  est  extérieur  au  corps.  On  aura  donc, 
pour  cette  poussée, 

5r  (Calculons  ensuite  le  volume  du  licjuide  soulevé  autour  du  corps 
au-dessus  du  plan  de  niveau.  La  coordonnée  verticale  :;  étant  comptée 
à  partir  de  ce  plan,  l'équation  dilTérentielle  de  la  surface  lihre  du  li- 
(juidc  peut  s'écrire,  si  l'on  tient  compte  de  la  densité  :,  de  l'air, 


Tir 


V 


/  l<lz.   ^-         "■ 

'  ^  I  Tu 


z.r  (l.f. 


X  étant  la  distance  à  l'axe  de  révolution,  et,  en  intégrant,  on  a 


(^ 


dz       n 

1 

1          ldz\- 

a 

X     r 

r  étant  le  ravou  du  cercle  yJi  et  \\  le  rayon  d'un  cercle  à  partir  ducjuel 


I  lo  ciiAi'iir.i:  IV. 

le  liquide  peut  être  considéré  comme  sur  le  niveau.  Pour  .r  =  /  ou 
;  —  h,  on  a 

dz 

dx 

—  — ■  =  —  sui  (  'j  —  /  )  ; 

/  /  dz   .  - 

[)ar  suite,  en  multipliant  l'équation  (/>)  par  2-,  on  a 


(  r  )  T  -  /•  si  n  (■  'j  —  i)-r=L  — ^  '- 'i    /       -  0  T..V  d.r 


Or  o.r,xdx  représente  la  projection  sur  le  plan  horizontal  d'une  zone  de 
la  surface  du  liquide;  donc,  si  l'on  désigne  par  Y  le  volume  du  liquide 
soulevé  au-dessus  du  niveau,  on  a 

/      n-.rv/r  =V  +  V0l.  aillHll.  aErt^D^i. 

d  r 

En  remplaçant  dans  (c),  on  a,  pour  le  volume  soulevé, 

(p  —  p,)V  -:  ">.-v.cd  sin(u  —  /)  —  (p  -   pi  )  vol.  annul.  aE^Z^D'i. 
Dans  le  cas  de  la  ///>•.  2^1,  le  signe  du  volume  annulaire  doit  être  changé. 


Poussée  7'Prlicah  sur  un  cojjts  solide  quelconque  immergé  en  partie 

dans  un  liijuide. 

6.  Prenant  maintenant,  au  lieu  d'un  corps  de  révolution,  un  corps 
quelconque,  nous  conserverons  néanmoins  les  figures  du  n"  4;  ainsi  PQ 
sera  encore  le  plan  de  niveau,  mais  la  courbe  a^  n'est  plus  un  cercle, 
et  ses  points  sont  à  difTérentes  hauteurs. 

Désignons  par  r/s  un  élément  de  la  courbe  a,3;  ses  éléments  en  gé- 
néral pouiTont  être  considérés  comme  sensiblement  horizontaux.  Kn 
désignant  encore  par  u  l'angle  du  plan  tangent  au  corps  en  un  point 
de  cette  courbe  avec  un  plan  horizontal,  on  aura,  pour  la  hauteur  de 
chaque  point  de  la  courbe  afi, 

,             .    j  —  / 
A  :--  2  a  sin 5 


MODll'ICATION  DE  LA  PIU.SSION  IlYDrvOSTATIOl'E  l'AP.  LI.S  lOlUlKS  CAPILLAIUES. 


1  1  I 


OÙ  'j  est  maintenant  une  quantité  variable.  La  tension  de  la  surface  du 
liquide  qui  s'exerce  normalement  sur  toute  la  courbe  afi  aura  une  com- 
posante verticale  qui,  estimée  de  bas  en  baiit,  est  égale  à 


^'•pa-  /  sin('j  —  /)  (Is 


En  l'aisonnant  comme  ci-dessus,  on  trouvera,   pour  le  restant  de  1 
poussée  verticale  estimée  de  bas  en  baut. 


g-,  vol.  EBD  +  i,'  pi  vol.  liaAIiJ)  +  -(p 


vol.  aniiul.E'/a^l)  3, 


si  le  volume  annulaire  est  intérieur  au  corps  solide. 

D'une  manière  générale,  si  le  volume  annulaire  est  en  partie  inté- 
rieur, en  partie  extérieur  au  coi'ps,  on  pourra  encore  adopter  la  for- 
mule précédente,  en  convenant  de  considérer  comme  positive  la  partie 
de  ce  volume  intérieure  au  corps  etcomme  négative  celle  qui  se  trouve 
en  dehors. 

Ainsi,  en  désignant  par  P  la  poussée  verticale  provenant  du  liijuidc, 
on  aura 

1>  - -p  vol. EBD  +  g-.,  vol.  h:aA.3J) 

+  ,^'(p  —  pi  )  vol.  aniiul.  My-aW^l)  ^  goa-  1  siii('j  —  i)c/s, 

en  comprenant  le  troisième  terme,  comme  nous  venons  de  l'expliquer. 

7.  Voyons  comment  nous  devons  modifier  le  dernier  terme  de  cette 
formule,  quand  chaque  élément  ds  de  la  ligne  a[i  n'est  pas  regardé 


comme  sensiblement  horizontal.  Concevons  alors  un  cylindre  vertical 
mené  par  cette  ligne;  soit  a  l'angle  de  ds  avec  un  plan  horizontal.  Me- 
nons {/i^.  25)  en  un  point  M  de  ds  la  normale  N  au  cylindre  et  la  nor- 


1  12  CilAlMTlU;    IV. 


maie  n  à  la  surface  du  corps,  les  deux  normales  elaiil  diiigées  vers 
l'intérieur,  et  soit  vi  l'angle  de  ces  deux  normales. 

Représentons  la  ligne  s  par  MC;  soient  Mï  la  tangente  en  M,  ZMII 
une  verticale,  /la  tension  de  la  surface  du  liquide;  elle  est  située  dans 
le  plan  tangent  à  celte  surface  et  perpendiculaire  à  IMT.  Projetons  y" 
en  y,  sur  le  plan  vertical  ZMT;/,  sera  comme  /perpendiculaire  à  MT, 
et  la  projection  verticale  de/  sera 

-   /cos(y,,/,)cus/,  MIL 

i^a  ligne  MT  fait  avec  MZ  l'angle  -  —  \).\  donc/  MH  =  ;x.  Les  plans  TAFy 

et  TM/  sont  les  plans  tangents  à  la  surface  du  liquide  et  à  la  surface 
du  cylindre  vertical,  et  leur  angle /:M/  est  celui  des  deux  normales 
XM/i  ou  r,.  Donc  la  projection  verticale  de  /  est 

—  /'cOSr,  COSJJ.. 

Donc  le  dernier  terme  de  l'expression  de  P  doit  être  remplacé  j)ar 

—  g'^a-  I  COSr,  ces  ;j.  (Is. 

8.  Calculons  ensuite  le  volume  V  du  liquide  soulevé  autour  du  corps 
au-dessus  du  niveau. 

Comme  la  poussée  ne  dépend  pas  de  la  nature  intérieure  du  corps, 
on  peut  toujours  concevoir  le  poids  yo  du  corps  et  la  position  de  son 
centre  de  gravité,  de  manière  qu'il  y  ait  équilibre  entre  le  poidsyjet  la 
poussée.  Imaginons  alors  un  canal  composé  de  deux  branches  verticales 
égales;  la  première  branche  est  supposée  comprendre  le  corps  et  toute 
la  partie  du  liquide  qui  s'élève  au-dessus  du  niveau  par  suite  de  l'at- 
traction du  corps  solide;  dans  la  seconde  branche,  le  liquide  se  ter- 
mine par  le  plan  de  niveau. 

Désignons  par  ^  et  v'  les  parties  du  volume  du  corps  situées  au-des- 
sous et  au-dessus  du  niveau,  par  zs  le  poids  du  liquide  situé  dans  la 
secondée  branche  et  par  A  le  volume  annulaire  compris  entre  le  plan  de 
niveau,  le  cylindre  vertical  mené  parla  ligne  d'affleurement  et  la  sur- 
face du  corps.  Le  poids  cj  du  liquide  renfermé  dans  la  seconde  branche 
du  canal  doit  être  égal  au  poids  du  liquide  et  du  corps  contenus  dans 


MODIIICATION  I)i:  I.A  l'IiKSSION  lIYDROSTATlOn:  PAIi    l.F.S  lOUCES  C M'n.LMFU'.S.        I  I '1 

la  première  brandie;  on  a  donc 
par  snite 

/>  — ^pr—  -Ce  — c,)V'  -u  -p,r'. 

Cette  quantité  est  égale  à  la  poussée  P,  dont  l'expression  esl,  d'après 
ce  que  nous  venons  de  voii'  fn"'  0  et  7), 

I*  r—  i^>-p  f  -h  ,4'  Pi  r'+  ,:,'  (p  —  pi  )  \  —  .A'p«"  /  COSy,  cos  ;j.  c/.v, 

et,  en  exprimant  cette  égalité,  on  obtient  l'équation 

(  p  ^  Pi  )  V  =  p  a-  j  COST,  ros  ;j.  r/.v  —  (  p  —  p ,  ")  \ , 
(|ui  détermine  le  volume  \  . 

/^r///  ro/y>,v  phi  ce  SI//-  1(1  surface  d'un   liquide. 

9.  Un  petit  coi'ps  placé  sur  la  surface  d'un  liquide  qui  ne  le  mouille 
pas  peut  ne  pas  s'y  enfoncer  complètement,  bien  que  sa  densité  soit 
supérieure  à  celle  du  liquide.  Il  suffit  évidemment  que  la  force  verti- 
cale provenant  de  la  capillarité  surpasse  la  difféi'ence  entre  le  poids  du 
petit  corps  et  celui  du  liquide  sous  le  même  volume. 

Prenons  l'exemple  même  donné  par  Laplace.  Un  petit  parallélépipède 
rectangle,  dont  la  densité  est  D,  est  placé  sur  un  liquide  dont  la  den- 
sité p  est  moindre;  les  côtés  a,  ^  du  parallélépipède  sont  mis  borizon- 
taux  et  le  côté  A  vertical  ;  a  et  A  sont  supposés  tiès  petits.  Désignons 
par  X  la  quantité  dont  il  s'enfonce  et  par  f  l'angle  dont  le  liquide  s'é- 
carte du  corps.  Le  poids  du  corps  sera  gD'x^h,  celui  du  li((ui(le  dé- 
placé /?pai.r  et  la  composante  verticale  de  la  tension  superficielle 
Liza- .  2i  y.  H-  '0  cosi';  on  aura  donc 

,;'  I)'/3//  ■=-  ^yx'i.v  4-  i:oa-.'.i  (a  -+-  3)  cos/ 

OU 

I)  ,         oa-(a  +  8)  ces/ 
.f  =.  —  Il , 

et,  si  cette  quantité  est  plus  petite  que  //,  le  corps  flottera  sur  le  li- 
(]uide. 


I  I  \  CIIAPITP.E    TV. 


Dcmonstra/ion  analytique  des  rèsuUats  précédenls. 

10.  Nous  avons  calculé  d'une  manière  synthétique  la  poussée  d'un 
liquide  sur  un  corps  qui  y  est  plongé.  Mais  on  peut  douter  que  nous 
n'ayons  rien  négligé  dans  le  calcul  de  cette  force;  on  comprendra 
mieux  l'importance  de  cette  remarque  par  les  numéros  suivants,  où  il 
sera  prouvé  qu'il  existe  véritablement  d'autres  forces  verticales  qui  sol- 
licitent le  corps,  mais  qu'elles  se  détruisent.  La  démonstration  analv- 
tique,  que  nous  allons  donner,  lèvera  tous  les  doutes  sur  l'exactitude 
des  résultats  qui  précèdent. 

Supposons  d'abord  le  corps  de  révolution  et  son  axe  vertical.  Fai- 
sons descendre  de  Vi  tout  le  corps  solide,  et,  confoi'mément  au  n*"  12 
du  Chapitre  I,  nous  supposons  que  l'accroissement  tn  de  la  surface  libre 
rRdu  liquide,  qui  forme  l'anneau  chc'h',  soit  le  prolongement  de  la  sui- 
face  c^  (Jig.  sO). 


a  ^ 

u ^ 

'<^. 

?i  "  - 

r 

\  \^ 

^  / 

La  ligne  d'affleurement  ce  vient  ainsi  en  bb';  par  bb'  menons  un  cv- 
lindrevertical  qui  rencontre  la  position  primitive  de  la  surface  du  coi'ps 
en  aa'.  L'accroissement  '^Q.  de  la  partie  de  la  surface  du  corps  qui  plonge 
dans  le  liquide  est  indiqué  ])i\v  aen'a'.  Ainsi  on  a 


•<-/'.  c/k 


/'étant  le  rayon  du  cercle  ce'.  Comme  précédemment,  désignons  par/ 
l'angle  de  raccordement  du  liquide  avec  le  corps  et  par  -j  l'angle  du 
plan  tangent  au  corps  solide  avec  l'horizon;  on  déduit  de  la  considéra- 
tion du  triande  abr 


oAcosu                 oAcos(u      /) 
co:=^  — ; — 7-)      ea  — A-^ 


Désignons  par  Z  la  résultante  veiticale  de  toutes  les  forces  qui  solli- 


MOUlI-ICx^TION  DE  I.A  l'IiESSlU.N  IIYDIIOSTATIQLE  PAK  LES  FOliCES  CAI'ILLAIHES.        1  I  J 

citent  le  corps  solide  de  bas  en  haut.  D'après  le  n°  8  du  Chapitre  1,  on 
aura,  en  ayant  égard  au  déplacement  du  corps  solide, 

pa  i  z.(It^  +  \)o  i  -  ch-  +  M  p  07  -i-  Np  an  =:   '-  Z  oA, 

p  étant  toujours  la  densité  du  liquide,  D  la  densité  du  solide,  ch  son 
élément  de  volume,  drs  l'élément  de  volume  du  liquide. 

Désignons  par  dO  un  élément  quelconque  de  la  snrface  du  corps  et 
par  f/£2  un  des  éléments  de  cette  surface  situé  au-dessous  du  cercle  ce' . 
Appelons  In  la  distance  normale  de  la  seconde  position  de  la  surface 
du  corps  à  la  première,  et  remarquons  que  le  liquide  vient  remplacer 
l'espace  abandonné  par  le  solide  au-dessous  de  la  surface  6cR6'c'R'; 
nous  aurons 

a  /  ;  (/r  ^  —  /  c  0//  c/0,    a  /  ;  du,  L^  I  z  a/<  cLi  • 

or  on  a 

r,n  -=  a/<  cus(//, .;), 

/i  étant  la  normale  menée  intérieurement,  z  la  verticale  menée  de  bas 
en  haut,  et  ?i/i  positif  quand  il  est  extérieur  à  la  surface  primitive;  on 
a  donc 

a    /  ;  (/\-     :-       ^  rJi    l  -  COS(//,  Z)di),        a    /    .-  <lxr^  ^.  ^Jl    /   ;  C0^(/^  Z)dil. 

I zcos{n,  z)dO,  comme  on  l'a  déjà  remarqué  au  n"  i,  représente  le 

volume  entier  V  du  corps  solide,   /  z  cos(//,  z)d<},  représente  le  volume 

du  corps  situé  au-dessous  du  niveau  augmenté  de  la  partie  annu- 
laire fgc;  appelons-le  Y'.  Entin  nous  avons 

M  zn  a-,     ^  ::^  —  a-  cos  /, 

COS'J,,         .^  C0S(J  —  /). 

SllU  SHH 

11  en  résulte 

( A )  Z  t=  —  ^ D \'  —  ^'- p \ '  —  'iT.rg p a-  siu ( -j  —  O . 

Le  premier  terme  représente  le  poids  du  corps,  l'action  du  liquide  est 
donnée  par  les  deux  autres  termes,  et  nous  retrouvons  le  résultat  du 
n"  4. 


I  if) 


ciiAi'inU':  IV 


1 1 .  Examinons  ensuite  le  cas  où  le  corps  solide  n'est  pas  de  révolu- 
tion autour  d'un  axe  vertical.  On  voit  aisément  qu'il  n'y  a  lieu  de 
moditier,  dans  la  démonstration  précédente,  ([ue  ce  (|ui  concerne  l'ex- 
pression 

cr/-(^0T  —  COS/o.i), 

Le  triangle  abc  de  \'àfig.  2(3  sera  remplacé  par  un  quadrilatère  gauche 
défini  comme  il  suit  :  Soit  ce'  la  ligne  d'affleurement  et  aa'  la  trace  de 
cette  ligne  sur  le  corps  quand  il  est  enfoncé  verticalement  de  Vi.  V-àv  le 
j)oint  c  de  la  ligne  ce' ,  menons  à  cette  ligne  et  sur  la  surlace  du  corps 


la  ligne  normale  tï^;  de  même,  menons  normalement  à  la  ligne  «/ sur 
le  prolongement  de  la  surfiice  ':  du  liquide  la  courbe  c[i;  menons  la  ver- 
ticale ah  ^^Vi  terminée  au  point  h  de  t,  et  menons  h^j  parallèle  à  ce'. 
L'arc  ca  représente  la  largeur  de  %il  et  l'arc  c'i  celle  de  (^t;  ainsi  on  a 


0-   r::    l  C'^..<ls,        01>  ri;     /, 


(H- .  ris. 


les  deux  intégrales  s'etendant  à  tous  les  éléments  ds  de  la  ligne  d'af- 
tîeuj'emeut. 

Projetons  la  ligne  brisée  cab^^  sur  c,i,  nous  aurons 

c  3  --  ac  cos  /  —  oA  cos{a[j,  c  3  )  ; 

mais  nous  avons  vu  (n"7)  que  le  dernier  cosinus  est  égal  à  cosr,  cos;;.; 
nous  avons  donc 

c  }  —  ac  eus  /  =:  —  oA  cosT,  cos  ;j. 

et  par  suite 

07  —  COS  i  oii  z^  /  (  c  ,3  —  ac  cos  i)  ds  =^  -  -  oA  /  eus  y,  cos  ;j.  cls. 


MODiriCATIO.N  1)K  I.A  l'KKSSlO.N  IIYDIIOSTA  IIOIK  PAU  I.F.S  1  OIICK.S  CAl'iM.AIKKS.         1  I 

L'équation  (A)  est  donc  remplacée  pai*  la  suivante  : 


■  I ) \'  -i  -  ,4'  ,>  >"  —  ,:,'■  :  a  '  j  cos  r,  c 


os 'A  f/s. 


et  nous  arrivons  aux.  niéines  résultats  ({u'aux.  n"'  6  et  7. 

Désignons  par),  l'angle  de  la  normale  à  la  surface  du  corps  avec  la 
normale  Xau  cylindre  vertical  mené  par  la  ligne  c',  les  deux  normales 
étant  menées  intérieurenient,  il  est  clair  (ju'on  aura 


Su/'  les  cornposdnli's  /loiizontd'es  des  forces  everrees  par  un   H(jid(U' 

sur  un   corps  jJollanl. 

12.  Supposons  le  corps  rapporté  à  trois  axes  rectangulaires  des  .r, 
)',  z,  le  plan  des  a,  vêtant  toujours  supposé  le  plan  de  niveau.  l^]n  i-ai- 
sonnant  comme  aux  n'"  10  et  II,  on  trouvera,  pour  la  somme  des  com- 
posantes dirigées  suivant  l'axe  ^\{^>  .r, 

X  — ,:,' s  /  ^  cos(//,  -r)  (Li  —  ^'  I)  /  ::  cos(//,  ■>)(iO       v'p<^"  /  cos  y/  COSa'  (h 
avec 


les  trois  angles  r/,  a',  y/ ayant  la  même  signitication  relativement  à  l'axe 
des  a-  que  r,,  a,  ;x  pour  l'axe  des  ::.  Je  dis  (jn'on  a 


/  :;:  (:os(//, 


<l{) 


en  ellét,  supposons  deux  éléments  ^0  de  la  surface  du  corps  (jui  aient 
la  même  projection  sur  le  plan  des  y:^.  La  quantité  z  y  sera  la  même  et 
la  quantité  cos(/i,  x)dO  y  aura  des  valeurs  égales  et  de  signe  contraire, 
dont  l'une  sera  la  projection  de  ces  éléments.  Comme  on  peut  prendre 
ainsi  deux  ;i  deux  tous  les  éléments  de  la  surface,  il  est  évident  que  l'in- 
tégrale est  nulle.  Pour  la  même  l'aison,  l'intégrale 

/  c  COS(//.  .r  )  (Il 


ii8 


ClIAl'lTIiE    IV. 


peut  être  l'éduite  aux  éléments  compris  entre  la  ligne  s  d'at'tleuremeni 
et  une  ligne  horizontale  tracée  sur  le  corps  par  le  point  le  plus  bas  de 
la  ligne  s.  Cette  intégrale  étant  ainsi  comprise,  on  aura 

X  ^:=  ^^' i   /  ;  COS(/<,  .<■)  (/'.l  —  A'P«"   /  COSt/  COSJJ.'  c/s. 

On  aura  de  même  la  somme  des  com[)osantes  des  mêmes  forces  suivant 
l'axe  des  )'. 

Sa/'  Ui  ihéoric  donnce  par  Poisson. 

13.  Poisson,  dans  le  Chap.  V  de  sa  Théorie  de  l'action  capillaire,  s'est 
occupé  de  la  moditication  de  la  pression  hydrostatique  pai'  l'action  ca- 
pillaire sur  un  corps  qui  y  est  plongé  en  partie,  il  pai'tage  le  liquide  ({ui 
environne  le  corps  solide  en  ditférentes  parties  dont  il  recherche  sépa- 
rément l'actioii  sur  ce  corps;  ily  emploie  des  calculs  extrêmement  coui- 
pliqués,  bien  que  ti'ës  habiles;  on  peut  toutefois  reconnaître  <[u'il 
n'avait  pas  pris  la  question  par  son  vrai  coté,  car  il  n'est  parvenu  à  dé- 
terminer l'ellét  des  actions  capillaires  que  dans  le  cas  où  le  corps  est 
de  révolution  et  son  axe  vertical. 

La  surface  capillaire  d'un  liquide  est  sollicitée  par  une  pression  nor- 


male P  égale  à 


Il  et  R,  étant  les  rayons  de  courbure  principaux  de  la  surface  en  chaque 
point.  Mais,  comme  le  remarque  Poisson,  cette  force  s'exerce  de  la 
même  manière  sur  une  couche  de  liquide  qui  entoure  le  corps,  R  et  R, 
étant  les  rayons  de  courbure  principaux  de  ce  corps,  et  cette  pression 
se  transmet  au  corps  solide.  Ainsi,  en  laissant  de  côté  la  pression  qu'on 
a  coutume  d'appeler  hydrostatique,  chaque  élément  de  la  surface  d'un 
corps  situé  dans  un  liquide  n'est  soumis  qu'à  la  pression  P.  Cette  sur- 
face est  en  outre  sollicitée  par  une  tension  constante,  et  cette  tension, 
exercée  sur  toute  la  surface  immergée  du  corps,  ne  tend  à  produire 
aucun  mouvement;  il  y  a  exception  toutefois  pour  celle  qui  se  produit 
le  long  de  la  ligne  d'affleurement,  parce  qu'elle  n'est  pas  contreba- 
lancée de  l'autre  côté  de  cette  ligne.  Poisson  trouve  que,  pour  un  corps 


MODiriCATlON  DE  T.A  PRESSION  TIYDROSTATTQIT.  PAR  LES  FORCES  C.AIMEEAIRES .         T  K) 

solide  de  révolution  dont  l'axe  est  vertical,  la  résultante  verticale  des 
forces  P  est  détruite  par  nne  action  qui  s'exerce  près  de  la  ligne  d'af- 
flenrement,  et  qui  n'est  autre  que  la  tension  dont  je  viens  de  parler. 

On  doit  remarquer  que,  dans  la  démonstration  analytique  que  j'ai 
donnée  dans  les  n"*  10  et  1 1 ,  on  ne  rencontre  pas  l'action  des  forces  P 
(jui  s'exercent  sur  la  surface  d'un  corps  solide  de  forme  quelconque.  On 
en  doit  conclui'e  que  les  trois  composantes  de  la  résultante  de  ces 
forces  sont  détruites  parles  trois  composantes  de  la  résultante  des  ten- 
sions qui  s'exercent  le  long  de  la  ligne  d'affleurement  et  tangentielle- 
ment  an  corps  solide.  C'est  ce  que  nous  prouverons  par  un  calcul  direct. 

Calcul  des;  /rois  coni  osdiiles  des  forées  ectnillalres. 
1  î.   Proposons-nous  de  calculfM'  les  trois  composantes  des  forces 

qui  agissent  normalement  sur  la  partie  du  corps  solide  baignée  par  le 
liquide,  .r,  y,  tétant  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point  de  la 
surface  du  corps,  posons 

dz  dz  , ^ : 


d.r       /''      dv 

-^'1, 

VH-/>-  - 

^7 

nous  aurons 

{o) 

1            I 

'  dr  \ 

r   '        dv 

(1: 

comme  nous  l'avons  déjà  vu  (Cliap.  II,  n°  3).  Remplaçons  la  quantité 
g^ci^  parla  lettre  M,  et,  en  désignant  par  X,  Y,  Z  les  composantes  de 
la  force  P,  nous  aurons 


Z 


L±  (IL]  ,,  i  ^ii'LV 


M  r  d  r  ^    r   '  r   (h-  \   i 


iVI 

r   de \  r  / 

r   dy  \v  ! 

-Y- 
M 

V     '^  (  /'\ 

r   d.r\vj 

'1  <i  (n\ 

y   dy  \y  ) 

I  2L)  ClIAlMTIir.    IV. 

formules  (ju'on  peut  l'euiplacer  par  les  suivautes 

I     ri    f\\p\         j     ri    fMg\ 
;■  7/] 


z  -..  -  ~    ^ 


X 


/.v 

I  ./ 

r  7h- 

7-  7h- 


M, 

-( 

4- 

7" 

) 

M, 

n 

—  { 
r 

-4- 

/' 

■) 

I    //  /.M 
7  7r7\\-'"', 

r     ^/    /M        >> 

7  7rrh '''')■ 


Poisson,  supposant  la  tension  superficielle  M  variable,  ce  qui  peut 
avoir  lieu  si  la  températui'C  du  liquide  n'est  pas  pai'tout  la  même,  est 
arrivé  à  ces  trois  formules,  (^'est  pour  indiquer  cette  généralisation  que 
j'ai  placé  la  quantité  M  sous  les  sii^nes  de  diiïérentiation  ;  je  ne  la  de- 
monti'erai  pas  rependant,  parce  {|u'elle  me  parait  pcMi  utile. 

15.  Faisons  la  somme  des  composantes  verticales  des  forces  P.  Dé- 
signons par  (h'i  un  élément  de  la  surfac*'  du  corps  baignée  par  le  li- 
quide; -  c/oj  représentera  sa  [)rojection  sur  le  plan  des  . ri' et  pourra 
être  remplacé  par  dxdy.  Xous  aurons  donc 


kI>) 


MJ^^^''-//^:;.f7)'^-^'-  ./V"^ 


Supposons  d'abord  qu'en  tous  les  points  de  la  ligne  s  qui  termine  la 
surface  que  nous  considérons  la  normale  intérieure  au  corps  fasse  un 
angle  aigu  avec  l'axe  des  z  positifs. 

Désignons  par  r,  r',  c'  les  cosinus  des  angles  de  la  normale  à  la  sur- 
face avec  les  trois  axes;  la  dii*ection  de  la  normale  faisant  un  angle 
aigu  avec  l'axe  des  z  positifs,  nous  aui'ons 


C=-~-^,       r 


<l 


par  suite 

Par  le  contour  s  de  la  sui'face  w  que  nous  considérons,  menons  um* 
surface  cylindrique  parallèle  à  l'axe  des  ::,  et  soient  [i,  V,  o  les  cosinus 


MODIFICATION  DE  LA  PRESSION  HYDROSTATIQUE  PAR  LES  FORCES  CAPlLLAlPxES.        1 1 1 

des  angles  de  la  normale  intérieure  à  cette  surface  cylindrique  avec  les 
trois  axes  de  coordonnées.  Désignons  aussi  pari  l'angle  des  deux  nor- 
males menées  à  la  surface  du  corps  et  au  cylindre  en  un  point  de  la 
lignes,  par  ;z  l'angle  de  «-/i- avec  le  plan  horizontal,  enfin  par  /  la  pro- 
jection de  la  ligne  s  sur  ce  plan. 

Dans  la  première  intégrale  du  second  membre  de  (r/),  etTectuons 
l'intégration  dans  le  contour  s'  le  long  d'une  bande  de  largeur  dy  et 
parallèle  à  l'axe  des  x,  nous  aurons 


rf// 


i^^dx^{c.^~c^)dy, 


c,  et  c.  étant  les  valeurs  extrêmes  de  c.  On  aura  ensuite 

dy  -=z  —  p,  f/5',  =  ^1  ds^ , 

po  et  p,  étant  les  valeurs  de  [i  aux  deux  extrémités  et  ds',,  ds\  les  arcs 
infiniment  petits  de  s' interceptés  par  la  bande.  On  en  conclut 

/     /     -7-  dœ  dy  rr:  —   /  c  P  ds'  -=:  —   /  c  p  ces  [Ji.  ds, 

les  intégrales  du  second  et  du  troisième  membre  s'étendant  au  contour 
entier  s'  ou  s.  On  a  de  même 


il  en  résulte 


/    /   -j—  dx  dy  -zz  —  I  c'  fj'  cos  [x  ds  ; 

—  /  Z  (^co  — -  /  (  c  p  +  c'  [îi'  )  cos  [X  ds. 


cjâ  +  c'P'  —  cos)., 


Comme  on  a 

on  a  enfin 

(e)  I  Zdui  :^M  I  cosX  cos[x  ds. 

D'après  ce  qui  a  été  dit,  \  est  l'angle  formé  par  les  deux  normales 
menées  en  un  point  de  la  ligne  s  à  la  surface  du  corps  et  au  cylindre 
vertical  mené  par  s,  les  deux  normales  étant  menées  intérieurement  au 

16 


122  CHAPITRE    IV. 

corps.  On  a  supposé  que  la  normale,  ainsi  menée  à  la  surface  du  corps, 
fait  un  angle  aigu  avec  l'axe  des  z  positifs.  Pour  simplifier,  admettons 
que  la  surface  du  corps  soit  entièrement  convexe;  si  cette  normale  fait 
un  angle  obtus  avec  l'axe  des  ^,  d'après  ce  qui  a  été  dit  ((^bap.,  II,  n"l), 
le  second  membre  de  (a)  devrait  être  cbangé  de  signe,  et  par  suite  aussi 
le  second  membre  de  (Z>);inais  les  expressions  (c)  des  cosinus  c,  c\  c" 
devraient  être  aussi  cbangées  de  signe,  et  par  conséquent  il  n'y  aura  rien 
à  cbanger  à  la  formule  {d).  On  en  conclut  que  la  formule  (e)  reste 
exacte. 

[Par  inadvertance,  Poisson  dit,  dans  sa  Théorie  de  T action  capillaire 
(Cbap.Y),  que  le  signe  de  cosl  doit  être  cbangé  dans  la  formule  (e),  quand 
la  normale  intérieure  fait  un  angle  obtus  avec  l'axe  des  z  positifs.] 

Si,  en  certains  points  de  la  ligne  s,  la  surface  était  concave  ou  qu'elle 
fût  concavo-convexe  et  de  manière  que  la  concavité  fût  plus  grande 
que  la  convexité,  on  verrait  facilement  que  le  signe  de  cos>.  devrait  être 
cbangé  en  ces  points  et  supposé  négatif. 

16.  Concevons  une  force  égale  à  M,  normale  à  la  ligne  s,  tangente  à  la 
surface  du  corps  et  dirigée  du  côté  oii  le  corps  est  toucbé  par  le  liquide. 
D'après  ce  que  j'ai  démontré  (n'*7),  la  projection  verticale  de  la  résul- 
tante de  cette  force  est 


—  M  /  cosX  cos  [j-ds, 


c'est-à-dire  qu'elle  est  égale  et  de  signe  contraire  à  la  force  verticale  (e). 
Il  est  évident  que  le  même  résultat  est  applicable  aux  deux  autres 
composantes;  par  conséquent,  comme  nous  l'avons  dit(n°  13),  les  trois 
composantes  des  forces  normales  P,  qui  agissent  sur  la  partie  de  la  sur- 
face du  corps  baignée  par  le  liquide,  sont  détruites  par  la  tension  qui 
agit  le  long  de  la  ligne  d'affleurement,  tangentiellement  à  la  surface  du 
corps. 

Calcul  des  moments  des  forces  capillaires. 

17.  D'après  les  expressions  obtenues  (n^'li)  pour  les  composantes 
X,  Y,  Z  de  la  force  normale  P  qui  agit  sur  la  surface  du  corps,  baignée 


MODIFICATTON  DE  LA  PRESSION  HYDROSTATIQUE  PAR  LES  FORCES  CAPILLAIRES.        123 

par  le  liquide,  on  a  pour  les  moments  de  cette  force 


M  d^ 

V  cly 

M  ^ 

V  dy 


M    d   r  y  X 


M    d  \p 


^X  —  XL    -=. T- 


('  +  7'^)^ 


.ri       M    d   fv  1 

/J j~\-!-  {pz    \-x)    . 

r  J        r   dy  [r  ^J 


Calculons  l'intégrale 


j\xY-y^. 


\)dio, 


étendue  à  toute  la  surface  co;  nous  pouvons  la  ramener  à  une  intégrale 
relative  à  la  ligne  s  qui  termine  o),  par  le  même  calcul  qui  a  été  fait  ci- 
dessus.  Adoptant  les  mêmes  notations  et  posant 

U  rrr  i  [(  I  -i-  g^'  )y^pqoc-],      \^l[{i  +  p'-  )  X  +  pqy], 

nous  aurons 

j^î  /(^^  Y  ^-  JX)  ^co  r:=ff  ^  ./^  <>-  _  j^y  ^  ^^  ^J 

—  —  Avp'— U!3)cosii.^.ï. 
Remplaçons  U  et  V  par  leurs  valeurs,  et  nous  obtiendrons 

Comme  on  a  aussi 

dv         ,  dx 

Bcosiji  — ■--•,     B' cos  [j.  —  -5- , 

il  en  résulte 

i_  j"(^Y-jX)rAo 


COS[Ji. 

V 


ds. 


(éO 


-  —  r  ^  [('  -^  p-)jcdx  4-  (i   1-  ff-)ydy  -\-  pq{ocdy  ^\-ydx)\. 


124  CHAPITRE    IV. 

Désignons  par  l,  -n,  "(  les  composantes  de  la  force  M  appliquée  norma- 
lement à  la  courbe  s  et  tangentiellement  à  la  surface  co.  D'après  ce  que 
nous  avons  vu,  nous  aurons 

K  =:  — -  M  COS).  COSJJL, 

1  étant  l'angle  des  normales  intérieures  menées  à  la  surface  et  au  cy- 
lindre vertical  mené  par  s.  On  a,  par  analogie, 

^  -r  —  M  ces  X'  COS  [x',      r,  ="  —  M  COS  X"  COS  [x", 

V,  [j!  et  1",  \j!'  étant  ce  que  deviennent  les  quantités  X,  [z  quand  on 
change  l'axe  des  z  en  celui  des  x  ou  des  y.  En  prenant  les  moments  de 
ces  forces  tout  le  long  de  s  par  rapport  à  l'axe  des  z,  on  aura 

/  ( -^ '^.  —  7 0  ds  --  —  M  \{x  COS X"  COS  -j."  —  y  ces X'  cos  \i! )  ch. 

Menons  par  s  un  cylindre  parallèle  à  l'axe  des  ^;  soient  (o,  a',  a")  les 
cosinus  des  angles  de  la  normale  avec  les  trois  axes;  soient  (a,,  o,  a,  ) 
les  mêmes  quantités  pour  un  cylindre  parallèle  à  l'axe  des  y.  Nous 
aurons  ces  formules 

il~-  „  dy 


\Jdy-  +  dz^  sjdy-  +  dz- 

dr  dz 


\Jdz^+d.x^  '^dz'^  +  dx'-' 

nous  avons  d'ailleurs 

cos  X'  ^  c'a'  +  C"a",  cos  X"  nrr  Ca,  +  c" oî\  , 

,        \ldY^-  -f-  dz^                 „        Jdz^  4-  d.T- 
COS  \x'  "  ^- ,       cos  [x"  =  i ~ — -  ■ 

ds  ds 

Nous  aurons  donc,  en  remplaçant  dans  l'intégrale, 

/    1  [(/^ -^  +  ^/ j)  dz  +  X  dx  +  y  dy'\ 


MOniFICATION  DE  LA  PRESSION  HYDROSTATIQUE  PAR  LES  FORCES  CAPILLAIRES.        I  2 5 

et  en  remarquant  que  l'on  a 

dz  ■-■—  p  dx  -f-  (j  dy, 

on  obtient  une  expression  égale  et  de  signe  contraire  à  (^•). 

Je  crois  inutile  de  revenir  sur  la  question  des  changements  de  signe 
qui  peuvent  se  produire  dans  les  quantités  employées  dans  la  démon- 
stration et  qui  se  compensent  dans  le  résultat  final. 

Il  est  évident  qu'on  arriverait  à  un  résultat  semblable  pour  les  mo- 
ments par  rapport  à  l'axe  des  x  ou  à  l'axe  desj. 


2G 


CIIAPITRK    V. 


CHAPITRE  V. 

ÉLÉVATION  D'UN  LIQUIDE  AU  MOYEN  D'UN  DISQUE  HORIZONTAL. 
-  FIGURES  DES  GOUTTES  DE  LIQUIDE  POSÉES  SUR  UN  PLAN 
HORIZONTAL  OU  SUSPENDUES. 


Poids  (Vun  liquide  soulevé  au  moyen  d'un  disque. 

\ .  Lorsqu'on  place  la  base  parfaitement  horizontale  d'un  disque  sur 
la  surface  d'un  liquide  et  qu'on  le  soulève  graduellement,  on  éprouve 
une  résistance  de  la  part  du  liquide.  Le  disque  en  s'élevant  soulève  une 
colonne  liquide,  qui  se  détache  seulement  dès  qu'elle  atteint  une  cer- 
taine hauteur. 

Supposons  le  disque  circulaire.  Au  point  M  de  la  surface  du  liquide 
soulevé  {/ig.  28)  et  en  tout  point  situé  à  la  même  hauteur  dans  la  co- 


Fig.  28. 


r 


C  Ay 

T 


lonne  liquide,  la  pression  est  égale  à  H  — ^pA,  H  étant  la  pression  de 
l'atmosphère,  g  l'accélération  due  à  la  pesanteur,  p  la  densité  du  liquide 
et  //  la  hauteur  du  point  M  au-dessus  du  niveau.  Donc,  si  l'on  désigne 
par  k  la  hauteur  de  la  hase  inférieure  du  disque  au-dessus  de  ce  niveau, 
il  existe  sur  cette  base,  dont  la  surface  est  B,  une  pression  égale  à 
(H  —  ^p^)B,  et,  comme  la  pression  sur  la  base  opposée  est  HB,  le 
disque  est  tiré  de  haut  en  bas  par  une  force  verticale  égale  à  ^pB^. 


ÉLÉVATION   D  UN    LIQUIDE   AU    MOYEN    d'uN    DISQUE    HORIZONTAL.  I27 

Le  bord  du  disque,  près  de  la  base  inférieure,  ne  doit  pas  être  re- 
gardé comme  une  arête  vive;  mais  il  est  formé  d'une  surface  courbe 
dont  les  rayons  de  courbure,  quoique  très  petits,  sont  cependant  très 
grands  par  rapport  au  rayon  d'activité  moléculaire.  Il  en  résulte  que 
la  surface  du  liquide,  tout  en  faisant  l'angle  ordinaii'C  i  de  raccorde- 
ment avec  cette  surface,  pourra  faire  un  angle  très  différent  de  i  avec  le 
plan  CA  de  la  base.  Désignons  par  u  l'angle  ATR  du  plan  tangent  au 
bord  supérieur  du  liquide  avec  l'horizon;  la  tension  de  la  surface  du 
liquide  produira  sur  ce  bord  une  force  verticale,  tirant  de  haut  en  bas 


et  égale  à 


pa^  L  sinu. 


L  étant  la  circonférence  du  bord.  Donc,  en  définitive,  le  disque  est 
sollicité  de  haut  en  bas  par  une  force  verticale  égale  à 

^' p  B k  +  ^'p  La-  sinu. 

Si,  après  avoir  suspendu  le  disque  au  plateau  d'une  balance  et  lui 
avoir  fait  équilibre,  on  abaisse  l'appareil  de  manière  à  mettre  le  disque 
au  contact  du  liquide  et  qu'on  élève  graduellement  ce  dis(|ue,  en  ajou- 
tant successivement  dans  le  second  plateau  de  petits  poids  dont  la  va- 
leur totale  est  égale  à  P,  on  aura 

P  n=  ^  p  B  A-  +  5'  p  L  «2  sin  u. 

Nous  déterminerons  plus  loin  la  grandeur  maximum  de  k. 

Supposons  que  le  liquide  mouille  le  disque.  A  mesure  que  le  disque 
s'élèvera,  le  bord  supérieur  du  liquide  descendra  sur  la  surface  courbe 

de  l'arête;  l'angle  u  aura  d'abord  pour  valeur  -  +  i,   et  il  deviendra 

égal  à  i  aux  points  de  ce  bord  où  le  plan  tangent  est  horizontal.  Alors 
la  ligne  où  le  liquide  s'arrête  sur  le  disque  cesse  d'être  déterminée  et 
le  liquide  tombe. 

Si  le  liquide  mouille  parfaitement  le  disque,  l'angle  ï  est  nul. 

Calcul  de  la  surface  du  liquide  soulevé  par  le  disque. 

2.  Désignons  par  /  le  rayon  du  disque  circulaire  et  par  l-{-x  la 
distance  à  l'axe  d'un  point  de  la  surface  du  liquide  ;  z  étant  sa  coor- 


«28  CUAMTUE    V. 

donnée  verticale  au-dessus  du  niveau,  nous  aurons  l'équalion 


7Ï^ 


dx  j 


-tH- 


dx 


l-\-  X 


I  H- 


dz\^ 


dx 


Nommons  o  l'angle  de  la  tangente  en  un  point  du  méridien  de  la  sut- 
face  avec  l'horizon,  nous  aurons 


dz 


l'équation  précédente  devient  ainsi 

d'i 


(*) 


COS! 


sm'-2 


dx  """  '        l-\'  X       a'- 
et,  en  multipliant  l'équation  par  dz  --  —  dx  tangç, 

t)  rfci  Slll'-:>  —  Sino =  ; 

'  l  -{-  X  a- 


iiitécrant,  nous  avons 


COSO  - 


r4 


sin©  dz 


-\-  X  ià- 


const. 


Sur  le  niveau,  on  a  ^  =  o,  o  =  o,  ce  qui  détermine  la  constante,  et 

C  sino 


i  on  a 

(a) 


:,  =--  I  —  COSo 


dz 

X 


Si  l'on  suppose  le  disque  très  large,  /  sera  très  grand  par  rapport  à  a, 
et  l'on  aura  approximativement 

Z-:=:  as]l\l  l  —  COStf  :^  9.  Cl  SÏll  ^• 


Substituant  cette  valeur  dans  l'intégrale,  nous  aurons 

sm-  cos^  -  ,       ^ 

/ • ^'f  =  —  V   /    1 d 


cos^l^  —  J  ), 


ÉLÉVATION    D  UN    LIQUIDE    AU    MOYEN    D  UN    DISQUE    HORIZONTAL.  1 29 

et,  en  intégrant  par  partie, 


(^) 


/■"sinœ 


sin  cp  dz 


,        COS-'  -'-  —  I 


4rt 


COS'*  -  —  I 
2 


(/ 


dx. 


Négligeons  le  second  ternie  de  cette  formule  qui  est  très  petit  vis- 
à-vis  du  premier,  et  nous  aurons 

I  —  cos^- 


(c) 

ou 


z-  =  4  a-  sm^ —  — 

2  ,>         /  4-  X 


9.  a  sm  - 

2 


I  —  COS'*  - 
2  a-  2 


(/+  .r)  sin  - 


formule  donnée  par  Laplace. 

3.  On  peut  obtenir  une  approximation  encore  plus  grande  en  rem- 
plaçant z  par  cette  valeur  dans  le  second  membre  de  la  formule  [a]  et 
ayant  égard  au  second  terme  de  la  valeur  de  l'intégrale  {h).  11  faudra 

ainsi  ajouter  à  la  valeur  de  -^  l'expression 


COS^-  —  I 
2 


-    cos -    a» 

2/  -2j        ' 


3  .;  {i  +  xy    \ 
et,  en  intégrant  par  partie  de  zéro  à  o,  on  obtient  sensiblement 


>7 


,     ,  ,  ,  ces'*-  —  I  )  cos-' 

3  (Z  +  .r)^  V  2 


l"3o  CHAPITRE    V. 

Ainsi  l'on  aura,  au  lieu  de  la  formule  (c), 


1  —  cos'- 


/^  étant  la  hauteur  de  la  base  inférieure  du  disque  au-dessus  du  niveau 
du  liquide,  on  a,  pour  le  point  le  plus  élevé  du  méridien  de  la  colonne 
liquide, 

Ci  71  U 

Ainsi  l'on  a 

{cl)  h-  =  \a'-  ces---  -  -^  (^i  -  sin^  â  j  (^'  "  7  '"^  ^ 

4.  Supposons  que  le  liquide  mouille  le  disque;  l'angle  u,  d'après  ce 

que  nous  avons  dit,  varie  depuis  ^+i  jusqu'à  i,  et  la  valeur  la  plus 

grande  de  k  aura  lieu  pour  -j  =  i,  comme  le  prouve  la  formule  précé- 
dente. 

Pour  que  l'expérience  réussisse  bien  et  que  toutes  les  parties  de  la 
base  du  disque  soient  en  contact  avec  le  liquide,  on  commence  par 
mouiller  le  disque  avant  de  faire  l'expérience. 

En  général,  /est  nul,  et  l'on  obtient,  par  conséquent,  pour  la  valeur 
maximum  de  Py 

ou 

2a^ 
^  =  '^--37' 

et  cette  quantité  est  indépendante  de  la  nature  du  disque.  On  aura 
alors  pour  le  poids  du  liquide  soulevé  P  =  ^pMr/-K,  c'est-à-dire  le 
poids  d'un  cylindre  de  hauteur  K  et  de  base  égale  à  rd'-.  Le  rétrécisse- 
ment au-dessous  du  disque  est  donc  égal  au  volume  du  liquide  soulevé 
en  dehors  du  cylindre  précédent. 

Remarquons,  en  passant,  que  si  l'on  fait  u  =:  -  dans  la  formule  [d), 

la  quantité  k  sera  la  hauteur  à  laquelle  s'élèverait  le  liquide  le  long  des 


ÉLÉVATION    D*L'N    LIQUIDE  AU    MOYEN    d'uN    DISQUE    HORIZONTAL.  l3l 

génératrices  d'un  cylindre  vertical  de  révolution  dont  le  rayon  /  est 
très  grand.  Ainsi  l'on  aura  pour  le  carré  de  cette  hauteur 


3  M  oJo         \  i/o     / 


2V/2 


Sl^J   \  sji 


5.  Calculons  directement  le  volume  du  liquide  soulevé  par  le  disque. 
Ce  volume  est  égal  au  cylindre  ~Pk,  plus  à  l'intégrale 


(/  +  x)zdj:. 


On  peut  calculer  rigoureusement  cette  intégrale.  En  effet,   multi- 
plions l'équation  [s)  par  (/-h  x)dx  et  intégrons,  nous  aurons 

—    /  {l  -^  x)zdx  ^=^  —  I  {In-  x)  cos o  ch  —  /  siii o  dx 
■=—  {t+  x)  sillci  4-  COllSt., 

et,  en  faisant  commencer  l'intégrale  à  o  =  o,  la  constante  arbitraire  est 
nulle,  parce  que  (/+  x)  sin9  est  nul  pour  9  =  0,  bien  que  (/+  jo)  soit 
infini. 

En  effet,  nous  avons  trouvé  (n"  2),  pour  la  surface  du  liquide,  l'équa- 
tion 

dz       .             z.dz 
Sm«?  do  —  -, Sllici  m ! 

'     '        l  -]-  X        '         a- 

si  nous  supposons  a;  très  grand  et,  par  suite,  z  très  petit,  cette  équation 
se  réduira  à 

,  zdz 

puisque  :;  =  o  pour  9  =  0.  Ensuite  l'équation  -7-  =  —  tang9  donne 

dz  ,  d'^        ,  , 

-— z=:l — 9,     dxr=z — a—^)      L-\-x=- — alogç; 

dx  '  (f 

donc  (/+  ic)sin9  pour  9  ==  o  a  la  môme  valeur  que  —  a9log9;  elle  est 
donc  nulle. 

On  en  conclut  que  l'intégrale  (/)  a  pour  valeur  2rJa-  sinu,  et  l'on-re- 


102  CHAPITRE    V. 

trouve  la  formule 

V  =:  TT  /-  A  -H  2  t:  /«-  sin  ->, 

pour  le  volume  du  liquide  soulevé. 

6.  Supposons  ensuite  que  le  liquide  soulevé  par  le  disque  soit  le 
mercure  (y?^.  29).  Désignons  par  y  l'angle  aigu  de  raccordement  du 
mercure  avec  la  surface  AMH  du  disque  et  par  u  l'angle  aigu  MDÏ  du 

Fig.  29. 


plan  tangent  à  l'arête  courbe  avec  l'horizon,  le  long  de  la  ligne  d'inter- 
section S  de  la  surface  du  liquide  et  de  celle  du  disque.  Si,  sur  cette 
ligne  passant  par  M,  u  est  <  7  —  TME,  comme  on  a  posé 

dz 

et  que,  sur  tout  le  méridien  de  la  surface  du  liquide,  z  décroît  avec  x, 
tang9  est  positif  et  9  est  un  angle  aigu  sur  toute  cette  surface;  on  a 

donc 

o  =  MTD  r=y  —  u. 

Si  le  liquide  s'arrête  en  A  au  bas  de  l'arête,  u  sera  nul  et  o  sera  égal 

Nous  aurons  donc  la  plus  grande  hauteur  de  la  colonne  de  mercure 
élevée  par  le  disque  en  faisant  9  =y  dans  la  formule  [c).  Réduisons 
cette  formule  à  son  premier  terme,  nous  aurons 

x;2=:  4<^"  sin^-     ou     ^r=2asin-j 
2  2 

et  nous  aurons  pour  la  plus  grande  hauteur  du  liquide  soulevé 
(/)  K=^2asin-« 


ÉLÉVATION    d'un    LIQUIDE    AU    MOYEN    d'uN    DISQUE    HORIZONTAL.  l33 

Remarquons  que,  pour  u  =/,  nous  aurons  9  —  0  sur  le  disque  et 
;:;  =  o.  Pour  une  valeur  de  u  plus  grande  que  y,  o  serait  négatif  et  la 
ligne  S  s'abaisserait  au-dessous  du  niveau. 

L'angle  de  raccordement  du  mercure  avec  le  verre  dans  l'eau  est  nul. 
Si  donc  on  applique  un  disque  de  verre  sur  la  surface  du  mercure  et 
qu'on  recouvre  le  mercure  d'une  couche  d'eau,  l'angley  sera  nul,  K  le 
sera  donc  aussi  et  le  disque  se  séparera  du  mercure  sans  résistance.  Ce 
fait  est  vérifié  par  l'expérience. 

7.  Gay-Lussac  a  fait  des  expériences  sur  l'adhérence  des  disques  aux 
liquides.  Quand  le  liquide  est  susceptible  de  mouiller  le  disque,  il 
commençait  par  mouiller  ce  disque  avant  de  l'attacher  au  plateau  de  la 
balance  et  il  a  reconnu,  comme  on  devait  s'y  attendre,  que  le  poids 
maximum  de  liquide  soulevé  était  indépendant  de  la  matière  du 
disque. 

Gay-Lussac  a  pris  successivement  pour  liquide  l'eau,  l'alcool  et 
l'huile  de  térébenthine;  les  poids  maxima  soulevés  ont  été  trouvés 
conformes  à  la  théorie. 

Il  est  au  contraire  arrivé  à  des  résultats  peu  concordants  entre  eux 
en  prenant  le  mercure  pour  liquide  à  soulever.  Tandis  que  le  poids 
maximum  de  mercure  soulevé  par  le  disque  qu'il  employait  devait  être, 
d'après  la  formule  (/),  de  222^'', 464,  en  supposant  l'angle  y  égal  à 
45°3o',  ce  poids  a  varié  dans  ces  expériences  depuis  138^'' jusqu'à  296^''. 
Les  valeurs  moindres  que  le  nombre  théorique  peuvent  toujours  faci- 
lement s'expliquer  par  une  petite  agitation  venant  de  l'extérieur,  qui 
aurait  fait  tomber  la  colonne  mercurielle  avant  qu'elle  fût  arrivée  à 
sa  hauteur  maximum. 

On  sait,  d'autre  part,  que  l'angley  de  raccordement  du  mercure  subit 
de  grandes  variations,  et  l'angley  peut  encore  croître,  dans  l'expérience 
actuelle,  par  suite  du  frottement  du  mercure  sur  lui-même  tout  près  du 
disque;  mais  le  poids  de  296°'''  ayant  été  obtenu  en  soulevant  le  disque 
dans  un  temps  que  Gay-Lussac  indique  comme  long,  sans  en  donner  la 
grandeur,  c'est  surtout  à  l'oxydation  de  la  surface  du  mercure  qu'il 
faut  attribuer  la  grandeur  du  poids  soulevé,  et  l'angle  de  raccordement 
y  a  dû  s'élever  à  environ  Go°. 


l34  CHAPITRE   V. 

Goutte  cVun  liquide  sur  un  plan  horizontal. 
8.  L'équation  de  la  surface  de  la  goutte  est 

en  prenant  pour  plan  des  x,  y  le  plan  horizontal  sur  lequel  repose  la 
goutte  et  l'axe  des  z  étant,  comme  à  l'ordinaire,  mené  vertical  de  bas 
en  haut.  Si  la  goutte  est  très  large,  on  aura,  à  très  peu  près,  au  point 
le  plus  haut,  R  =  co  ,  R,  =  oc  et  A  sera  la  plus  grande  épaisseur  de  la 
goutte.  Si  la  goutte  est  de  révolution,  que  q  soit  sa  plus  grande  hau- 
teur et  que  b  soit  la  valeur  prise  positivement  des  rayons  de  courbure 
principaux  au  sommet,  on  aura  en  ce  point  R=  R,  =  —  Z;,  et  il  en  ré- 
sultera 

h.=  q+—. 

h  étant  supposé  connu,  examinons  comment  on  pourra  calculer  le 
volume  V  de  la  goutte.  Multiplions  l'équation  (a)  par  dxdy  et  inté- 
grons dans  toute  l'étendue  de  la  projection  de  la  surface  libre  de  la 
goutte;  si  B  est  la  surface  plane  par  laquelle  la  goutte  repose,  nous  au- 
rons 


V-BA 


'j\k-^w)'^^'^y^ 


en  changeant  dxdy  de  signe  pour  les  points  situés  à  la  partie  infé- 
rieure de  la  goutte,  déterminée  par  un  cylindre  circonscrit  vertical.  Or, 
d'après  le  raisonnement  donné  (Chap.  II,  n'^  3),  on  aura,  pour  cette  in- 
tégrale dont  tous  les  éléments  sont  négatifs, 


(P)  j\k^K)"-''y 


X  sin  i, 


1  étant  le  contour  de  la  base  de  la  goutte  et  i  l'angle  aigu  de  raccorde- 
ment du  mercure  avec  le  plan.  On  aura  donc  cette  formule 

(y)  y=zB/i  —  ansini. 


GOUTTE    d'un    liquide    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  1 35 

9.  On  peut  encore  démontrer  la  formule  (y)  de  la  manière  suivante, 
donnée  par  M.  Bertrand  [Journal  de  Liomille,  t.  XIII,  1848). 

L'intégrale  double  ([3),  prise  en  signe  contraire,  peut  être  considérée 
comme  la  composante  verticale  d'un  système  de  pressions  normales  à 
la  surface  libre  de  la  goutte  et  ayant  sur  chaque  élément  (h  de  cette 

surface  une  intensité  égale  à  —  (  n -+-  wy^'^-  ^^  système  de  forces 

peut  être  remplacé  par  deux  autres  systèmes.  En  effet,  imaginons  une 
surface  a'  parallèle  à  a  et  menée  au-dessus  de  n  à  la  distance  t  infini- 
ment petite.  Supposons  que  chaque  élément  r/^  de  la  première  surface 

soit  sollicité  normalement  de  bas  en  haut  par  une  force  ~(h,  et  de 
même   chaque  élément  cW  par  la  force  -dn',  mais  en  sens  contraire. 

Si  da  et  dn'  sont  deux  éléments  correspondants,  en  sorte  que  dr/  soit  la 
projection  de  dn  sur  t',  on  aura 

[voir  Chap.  I,  n"  8).  La  différence  des  forces  qui  agissent  sur  ces  deux 
éléments  est  donc  bien 

Il  reste  à  prendre  la  somme  des  composantes  verticales  de  toutes  ces 
forces;  elle  est 

-   I  COS{z,  /i)  ch' I  COS{z,  /i)  d:!, 

[z,n)  indiquant  l'angle  de  la  normale  intérieure  avec  la  verticale  menée 
de  haut  en  bas.  Ces  deux  intégrales  doubles  représentent  les  projec- 
tions P'  et  P  de  a'  et  n  sur  le  plan  des  oc, y;  nous  aurons  donc 


-f  f  [i  ^id  "■'"'' =i'''"~''^' 


mais  la  différence  P'  —  P  des  projections  de  g'  et  a  est  égale  à  la  projec- 
tion de  la  surface  réglée  infiniment  petite  menée  normalement  à  g  le 
long  de  la  ligne  1  et  comprise  entre  a  et  g'  ;  elle  est  donc  égale  à  sXsini"; 
on  a  donc  bien  la  formule  (^). 


36 


CHAPITRE    V. 


Figure  d'une  large  goutte  de  mercure  placée  sur  un  plan  horizontal. 


10.  Nous  supposerons  que  la  surface  de  la  goutte  est  de  révolu- 
tion. 

Afin  de  nous  rapprocher  le  plus  possible  des  calculs  des  n^'*  2  et  3, 
menons  l'axe  des  z  vertical  de  haut  en  bas  et  menons  dans  le  méridien 
de  la  surface  l'axe  des  x  tangent  au  sommet.  Désignons  ensuite  par  /  le 
rayon  de  la  base  de  la  goutte  et  par  /  +  a?  la  distance  à  l'axe  d'un  point 
quelconque  de  la  surface;  nous  aurons  l'équation 


(A) 


d^z        I    r     /^^-V]  ^^- 

dx'        l -\- X         '    \dx  J  ]  dr 

z  —  h 

\-mj 

a- 

dz 


Quand  la  tangente  à  la  courbe  devient  verticale,  —  devient  infini, 
et  le  dénominateur  change  de  signe  pour  la  partie  inférieure  de  la 
goutte  [fig.  3o). 


Fig.  3o. 


Désignons  par />  le  rayon  de  cf^~\rbure  au  sommet  de  la  courbe;  les 
deux  rayons  de  courbure  principaux  sont  égaux  à  h  en  ce  point;  le  pre- 
mier membre  de  l'équation  se  réduit  \\j->^X  l'on  a,  en  faisant  5  =  0, 


Posons 


h^  — 


dz 
langcp=_ 


nous  trouverons,  au  lieu  de  l'équation  [t)  du  n"2, 

dz     _{z  —  h)dz 


sin©  do  4-  sincii 


GOUTTE    U'UN    LIQUIDE    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  iS; 

et,  en  intéc;i'ant, 

■=  I  —  COSCf 


(z  —  hy  r  "sinwf/c 


la- 


pour  9  =  o,  on  doit  avoir  2  —  0,   et  l'intégrale  est  nulle;  comme  le 
premier  membre  se  réduit  à  — ,  =  -,-7  5  il  faudrait  en  toute  rigueur 
ajouter  cette  quantité  au  second  membre;  mais,  comme  nous  suppo- 
sons b  très  grand,  cette  quantité  est  très  petite  et  négligeable. 
Nous  avons  ensuite 


i 


,  ;      .  ,  ,  I  COS' 

smcp  az \a 


l  +  X  3        I,  -\~  X 


et,  en  négligeant  le  dernier  terme  comme  très  petit  par  rapport  au  pre- 
mier, on  aura 

j  I  —  cos^  " 

(B)                                          (-_A)2,^/«2sijj2?   _^^  _ ^', 

^      '                                   ^              '                           1            i  i+  X 

,  I  —  cos^  - 

(  C  )  3  —  A  r=  2  a  sni  -  M ^ 


2  3 


9 
(/  +  ^)  sni- 


Faisons  ç  =  -  —  ?',  ?  étant  l'angle  aigu  formé  par  la  surface  du  mer- 
cure avec  le  plan  horizontal,  et  désignons  par  q  la  hauteur  de  la 
goutte,  nous  aurons  en  même  temps  ce  =:  o,  ^  =  q,  et  l'équation  pré- 
cédente deviendra 


I  —  sni'" 


(D)  .J:=2aC0S^-^^.jj- . 


cos 

2 


Telle  est  la  formule  donnée  par  Laplace,  qui  exprime  l'épaisseur  de 

la  goutte  en  supposant  connu  le  rayon  de  courbure  h  au  sommet  qui 

9.  tj' 
entre  dans  le  terme  très  petit  —  -'.-• 

'En  poussant  plus  loin  l'approximation,  on  aura,  d'après  le  calcul  du 
11    «j , 

/  2a'-y       ,    ,    .    .'O        ^a'  '■     ^°'    2  /•  a  c.\ 

^  -i — --]  =  4«  sur-  -  H-  -r, -, i-f  7- —  cos  -^  h 

\  b   J  2  3         1  +  X      \    ^    1  +  X         1) 

18 


l38  CHAPITRE    V. 

et  la  hauteur  q  de  la  goutte  sera  donnée  par  la  formule 

q  H T-  )  =  i\a-  COS--  +  -T77     I  —  siir^-       i-f  -y  sin- 


3/\  ?.  /V        /        2 

ou 


(E)  ^:^_-+y/4«-cos--  +  ^^(^r-sin3-j(^i-f--sin-j. 

Cette  formule  pourra  donner  une  approximation  très  supérieure  à 
celle  qui  est  fournie  par  la  formule  de  Laplacc,  si  -.  n'est  pas  une  quan- 
tité extrêmement  petite. 

11.  Calculons  maintenant  le  rayon  de  courbure  h. 
Dans  l'équation  (A),  remplaçons  l-^x  par  r,  et,  en  négligeant  les 
termes  du  troisième  degré  par  rapport  à  -,"?  nous  aurons 

d}  z        \  dz        z  —  h 
df^        r  dr  a'- 


OU 


d''' z        dz        V  1 

dr-        dr       œ  b 


On  en  tire 


'd^\ 


ce  n'est  pas  l'intégrale  générale,  mais  elle  s'annule  pour  r=  o,  ainsi 
que  -,-;  elle  est  donc  l'intégrale  voulue. 

Le  calcul  actuel  suppose  que  ~_  reste  très  petit  sur  la  partie  considé- 
rée de  la  courbe  ;  toutefois  on  peut  supposer  que  r  soit  assez  grand  pour 
que  —  soit  un  nombre  considérable. 

Posons,  en  prenant  t  pour  variable, 


.   4^ 

sm  - 

2 


En  supposant  r  assez  grand  pour  que  la  limite  supérieure  l/—  de 


GOUTTE    d'un    liquide    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  iSq 

l'intégrale  par  rapport  à  t  puisse  être  remplacée  par  co  ,  on  aura 


^lX"-(-i^'')' 


Or 


/ 


e-''  f/^ 

?. 


donc 


2a^        Spxa-   e'^  (         a\ 

Calculons  ensuite  la  quantité  z  approximativement  en  fonction  de  r, 
vers  le  bord  de  la  goutte. 

En  ne  prenant  dans  l'expression  (C)  de  z  —  h  que  son  premier  terme, 
on  a 

dz  ■=  a  ces  -d'^y 


2 


et,  comme  dz  —  f/rtangç,  on  a 

? 


cos 

dr  =  a «i  —  a  /  —  sin  -  H \  do. 

°  ^  \  2  sni  -  / 

\  2/ 


En  intégrant,  on  a 

(«)  -  =:  2C0S  -  H- logtang  y  +  consl. 

^    '  a  24 

Pour  9  =  -  —  i,  on  a  r  =  /;  donc 

consl.  = 2  sin log  lang  (  7  —  7  )  ' 

et,  en  remplaçant  dans  l'équation  [n],  on  obtient 

o        /•         l            -il,         T.  —  i  cp 

log  tang  -jr  = 1-  2  sm  -  H-  log  lang  — , 2  cos  -^ , 

et  si  Ton  veut  appliquer  cette  équation  en  un  point  pour  lequel  cp  est 
très  petit  et  pour  lequel  l'équation  [m)  a  déjà  été  établie,  on  pourra 


I  /|0  CHAPITRE    V. 

faire  o  —  o  dans  le  dernier  terme,  et  l'on  aura 


O  •::  —  i 

lane:  y  =r:  tan  g  -   , —  e  " 


4 ^    4 

et,  parce  que  9  est  très  petit,  on  en  conclut  encore 


aZ  ,  .  7T  l      —^       4sin3 


tangcf  =r  —  nr:  4tang  — ^— e  "  '^ 


ip)  ^=  consl.  +  4«tang— ^ — e  " 


Les  deux  équations  (m)  et  (p)  doivent  avoir  lieu  à  la  partie  supé- 

dz 

TTi- 


rieure  de  la  goutte  en  des  points  où  /'  est  grand,  quoique  ^'  soit  très 


petit,  et  l'on  en  conclut,  en  égalant  les  deux  valeurs  de  z, 

\Jia~  ,  T.—  i      -4siir-— -^- 

y-—^  --  4  «  lang  ^.-   e  '      "  , 

h\lTd  4 

(F)  |— cîy/p.rr   -\/T:/lang— ,~e     "      '  "'  ''    . 

b  4 

Ainsi  la  formule  (D)  ou  (E)  ne  renfermera  plus  rien  d'inconnu. 
L'équation  (F),  qui  détermine  h,  a  été  donnée  par  Laplace. 

1 2.  Calcul  du  rayon  du  plus  grand  parallèle  de  la  goutte.  —  Désignons 
par  2L  la  plus  grande  largeur  de  la  goutte  qui  correspond  à  9  =  -;  on 
déduira  de  la  formule  [n] 

L  =  /  +  asji  —  2  a  sin  -  +  «log  tang  ^  —  alog  tang  ^—  • 

Désignons  par  p  la  différence  entre  L  et  /,  c'est-à-dire  posons 

{q)  ^ -— a\J 9.  —  9. a 's,\n — h  aloglang^  —  «logtang 


et  proposons-nous  de  calculer  L  avec  une  approximation  plus  grande. 

Pour  calculer  r d'une  manière  plus  approchée  que  par  la  formule  [n), 
il  faudra,  dans  la  formule 

dz 

dr  —-■ » 

iang<i. 


r.OLTTR  d'un  liquide  sur  un  plan  horizontal.  i4i 

prendre  pour  z  toute  l'expression  (G),  en  remplaçant  toutefois  l ^- x 
par  /+  p,  ce  qui  augmentera  le  second  membre  de  {n)  de 


/         o 

(ces  -  -    r 
sin-- 

la  constante  C  devant  être  déterminée  de  manière  que  cette  intégrale 
s'annule  pour  9  =  -  —  ï;  ce  qui  donne 

i 
I  —  sin  - 

01  7:  —  i 

-f-  4  CCS- 3  log  tang  — . — 


^      ces-  - 


On  aura  donc 


/■  ~ .  2  a  ces  -  +  (7  log  tang  >  h   /  —  2  «  sin  -  —  «  log  tang  -^ 


,   ..  .„- _  V  H   /  —  2a  sm a  log  tang  — ; — 

2  '=''4  2  ""4 


-1-  4sni--^  —  3  log  tang  I 


'   ^   '    2C0S-  y  / 

-.  4-  4cos- 3Ioglang  — -.— 


\   2C0S-  — ^ — • 

On  aura  donc,  pour  le  plus  grand  rayon  de  la  goutte, 

L  :::./  +  P  -  ^-^l^-^j  /  -— ^  ^  2  -  3  log  tang  ^ 

^  '^     \   2C0S--^ 

(G,       ;  a-^  '  I 

— -,^ï^^ — —  / .  +  4cos-  -  —  3 log  tang  '--^ 

6(/+i)  o-^— '  ^-  4 

\   2  ces-  — ^ 

P  ayant  la  valeur  donnée  par  la  formule  (q). 

Les  formules  (D)  et  (F)  permettent  de  calculer  la  hauteur  q  d'une 
large  goutte  de  mercure,  quand  on  connaîtra  le  rayon  /de  la  base.  Si 


1^2  CHAPITRE    V. 

l'on  regarde  la  plus  grande  largeur  2L  de  la  goutte  comme  une  donnée 
de  l'expérience,  on  en  conclura  /  par  la  formule  (G)  et  l'on  obtiendra 
ensuite  la  hauteur  cj  comme  précédemment. 

1 3.  Calcul  des  dimensions  d'une  large  goutte  de  mercure  au  moyen  de 
son  volume.  —  Supposons  que  l'on  donne  le  poids  et,  par  suite,  le  vo- 
lume V  de  la  goutte.  Nous  avons  obtenu  (n°  8)  la  formule 


■2a^-\ 


en  y  faisant 
nous  aurons 


7  H T-  )  C-—  -2  ta?-  sm  ;  =  -  , 


et,  en  remplaçant  le  coefficient  de  /^  d'après  la  formule  (D),  nous  obte- 


nons 


I  —  sm^  - 
I  2 

cos^  - 
1 


2Sin-   \al 
1 


V 


o; 


lit  a  ces 


on  obtiendra  /en  calculant  la  racine  positive  de  cette  équation  du  se- 
cond degré.  On  aura  ensuite  6  et  ^  par  les  formules  (F)  et  (D). 


Goutte  de  mercure  de  révolution,  placée  entre  deux  lames  horizontales. 
14.  Prenons  pour  axe  des  z  l'axe  vertical  de  la  goutte  mené  de  haut 


Fi 

g.  3i. 

0 

dK' 

C         X 

y 

en  bas  et  l'axe  des  x  dans  le  plan  horizontal  supérieur  [fig.'M).  Dési- 
gnons par  /  le  rayon  DA  de  la  base  inférieure  et  par  /'  celui  de  la  base 


GOUTTE    d'un    liquide    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  l43 

supérieure.  Désignons  encore  par  l  +  x  la  distance  à  l'axe  d'un  point 
de  la  surfoce  libre  du  liquide.  En  conservant  à  toutes  les  lettres  la 
même  signification  qu'au  n°  10,  nous  aurons,  comme  dans  ce  numéro, 
l'équation 

,      I— cos*- 
(a)  z:=.  h  +  la^m-  -\ :r-  ? 

2  3        ....      Ci 

(/  H-  .-r)  sin  - 

2 

h  étant  une  constante  à  déterminer. 

Regardons  /  comme  connu  et  désignons  par  q  la  distance  des  deux 
lames  qui  est  donnée;  si  nous  faisons  o  =  x  —  i,  nous  aurons 

,  l  2(7-  2 

a  —.  Il  -\-  2  a  ces  — h  ^:rT -■ —  ; 

^  2         3/  < 

cos- 

2 

cette  équation  déterminera  h. 

En  supposant  la  lame  supérieure  de  même  nature  que  la  lame  infé- 
rieure, on  aura  en  même  temps 

5  =r  o,       l  ~k-  X  r=^  l' ,       52  =  i, 

et,  par  suite, 

„  i 
,    I  — cos^- 

.      l  "2  0/'  2 

O  =:  /<  +  2  a  sin  — !-  ——, : —  ' 

2  61  .      l 

sin  - 

2 

équation  qui  ne  renferme  que  /'d'inconnue,  mais  qui  ne  pourrait  servir 
à  la  déterminer  avec  assez  d'approximation. 

Mais,  d'après  le  calcul  du  n''12,  nous  avons,  pour  la  distance  /  +  a?, 

o  ,  o  .     i  t:  —  i 

r  =  l  1-  2  a  cos  -  +  a  loi?  tang  y  —  2  a  sin  -  —  a  loff  tang  — ^ — 

2  ^°/j  2  "^^4 

-|!/_i-H-4sm^|-3Iogtan8|\ 

\^2C0S-  J 

+  g  / ^  ^  +  4  cos^  i  -  3  log  lang^^\ 

\    2  cos-  -    ^      ■  / 


l44  CHAPITRE    V. 

et,  en  y  faisant  9  —  i, 

,1       ,             fi'  ■     i\  1  i  1  ■^  —  i 

/  —  /  +  2  a  (  cos sin  -  j  +  a  log  lang  -j  —  a  log  tang  —-, — 

+  _  /  . _____  +  4  cos-  -  -  o  log  lang  -—  y 

On  obtiendra  le  rayon  L  du  plus  grand  parallèle  de  la  goutte,  en  fai- 
sant 9  =  -  dans  l'expression  de  r;  puis  on  aura  la  distance/ de  ce  pa- 
rallèle au  plan  supérieur,  enfaisanto  =  -  dans  {a),  et  l'on  obtiendra 

/  ^^  /<  +  a  ^/2  +  —  (  2  V  2  —  J  )• 

15.  Cherchons  la  formule  qui  exprime  le  volume  de  la  goutte. 
Nous  avons  l'équation 

<*)  "'(r  +  É; 

Désignons  par  da  un  élément  de  la  surface  libre  de  la  goutte,  par  y 
l'angle  de  la  normale  intérieure  avec  l'axe  des  z  et  par  ch'  la  projection 
de  cIg  sur  le  plan  des  x,  y;  nous  aurons 

—  ±  dx  dy  =;  ±:  t/a', 

cos  7  "^ 

suivant  que  y  sera  aigu  ou  obtus.  Multiplions  l'équation  {h)  par  —  dn 
et  intégrons  dans  toute  l'étendue  de  la  surface  courbe,  nous  aurons 


(c) 


'^y^(ii-ïl;)^^'-/^^^^'-^/=^^^'' 


les  éléments  ayant  le  signe  h-  ou  le  signe  —,  d'après  ce  que  nous  ve- 
nons de  dire.  Nous  aurons  ensuite 

I  ±zda'-  ~\olAbcd-\-  vol  bcA'^^  -{\o\Abcd-h\oH)AdO~\oibcA')~\-Tzl^rj, 


GOUTTE    d'un    liquide    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  l/|5 

en  indiquant  les  volumes  de  révolution  par  les  surfaces  qui  les  engen- 
drent. Si  nous  désignons  par  V  le  volume  de  la  goutte,  nous  aurons 


/ 


±zd^'  =z  —  Y  -^Til'^q. 


Pour  calculer  la  première  intégrale  de  l'équation  (c),  imaginons, 
comme  aun°  9,  une  surface  infiniment  voisine  de  la  surface  courbe, 
parallèle  et  située  au-dessus,  a  la  distance  s;  de  plus,  terminons-la  aux 
normales  menées  à  la  première  surface  le  long  de  ses  bords.  Désignons 
par  P  la  projection  de  la  première  surface  sur  le  plan  des  x,  y  et  parP' 
la  projection  de  la  seconde  surface.  Nous  aurons 


/Hh-^)  — i('"-"'- 


Projetons  les  deux  surfaces  parallèles  et  les  sui'faces  latérales  des  deux 
troncs  de  cône  ({ui  les  unissent  sur  le  plan  des  x,  y,  nous  aurons 

—  2 -  /î  sin  i  -t-  l*  +  2  -  /'  ;  sin  i  —  P'  -—  o 
OU 

^  (I>'— P)  =  2-(/'-0sin/. 

Remplaçons  dans  (c)  les  trois  intégrales  par  leurs  valeurs,  et  nous 
aurons 

{d)  y  ^  {q  ~  h)- r- ^  2-{l  —  l'  )  a'^  ^\ni  +  h-l'K 

16.  Supposons  qu'on  connaisse  le  volume  V  de  la  goutte;  pour  dé- 
terminer sa  figure,  il  faudra  déterminer  /,  /'  et  A. 
Posons 


A  -;  2  [ces  -  —  sin  -  )  +  log  ta"g  /  """  ^Oo  tanj 


B .  -+-  4  sin'^ 3 log  lang  -, „  i:~-  —  4  cos'^-  -i-  3  log tang  — —  > 

2  ces'  y  ^^2  ces-  —7—  "^  ' 

4  4 

I  —  siir^  - 
i         r>.n  2 

L.  —  2  ces r-    .,  ; ^ —  > 

1        6  L  i 

cos  - 

2 


l4^  CHAPITRE    V 

nous  aurons 


h  -—  q  —  aC,     r  z=  l-]-  lia  —  -.--.  H, 


et  l'équation  (d)  deviendra 


V 

ç-/-  H-  2  A  a  (  Y  —  aC)l 1-  2  A  «  -  sin  « 


-[  {q  —  aC)  (a-—  -^j  a- *  y  (  a  sin  f  +  A  ^  —  A  a  C  )  =0. 

Négligeons  d'abord  les  termes  en  j;  et  nous  obtiendrons  /en  calcu- 
lant la  racine  positive  d'une  équation  du  second  degré;  remplaçons  /, 
par  la  valeur  obtenue,  dans  les  termes  en  y?  et  nous  obtiendrons  en- 
suite /  avec  une  plus  grande  approximation.  Connaissant  le  rayon  /, 
nous  sommes  ramenés  à  un  problème  qui  a  été  traité  (n°  14). 


Détermination  de  la  constante  a-  et  de  l'angle  i  de  raccordement 
du  mercure  avec  le  verre. 

17.  On  peut  opérer  ainsi,  comme  l'a  fait  Edouard  Desains.  Il  me- 
sura la  dépression  du  mercure  dans  un  vase  large  auprès  d'une  lame  de 
verre  plane  et  verticale.  En  désignant  par  H  cette  dépression,  on  a 

(1)  ir-=2a^(i  —  sin/). 

Il  observa  ensuite  la  plus  grande  épaisseur  d'une  large  goutte,  ayant 
49'"'", 5  de  rayon,  et  il  substitua  cette  valeur  à  la  place  de  q  dans  la  for- 
mule de  Laplace, 

,  I—  sm^- 

,    ^  i        ia?        ia-  1 

(2)  ^^,acos---^-  +  ^- -^   , 

ces  - 

2 

en  négligeant  le  terme  très  petit  —  -j-  On  réduira  d'abord  le  second 
membre  de  l'équation  (2)  à  son  premier  terme  et  l'on  calculera  ainsi  a 
et  i.  On  obtiendra  ensuite  une  approximation  plus  grande,  en  tenant 
compte  du  troisième  terme  de  l'équation  (2).  Desains  a  trouvé  ainsi 


GOUTTE    D  UN    LIQUIDE    SUPx    UN    PLAN    HORIZONTAL.  \  l\'] 


Calcul  d'une  petite  goutte  de  mercure. 

18.  Prenons  pour  axe  des  r  la  tangente  au  sommet  du  méridien  de  la 
goutte  de  mercure,  pour  axe  des  z  la  verticale  qui  passe  par  ce  sommet 
et  menée  de  haut  en  bas.  Désignons  par  r  la  distance  d'un  point  du 
méridien  de  la  surfiice  à  l'axe  et  par  9  l'angle  de  la  tangente  à  ce  méri- 
dien avec  l'axe  des  r;  nous  supposerons  que  cet  angle,  nul  au  sommet 
de  la  goutte,  croît  jusqu'à  -  —  î,  en  représentant  par  i  l'angle  aigu  de 
raccordement  du  mercure  avec  le  plan  sur  lequel  repose  la  goutte. 
Puis  nous  poserons 

^^  i  r=:B,cp  +B2cp3+B3r+Bicp^  +  .... 

D'après  le  n*"  10,  nous  avons  ces  deux  équations,  où  h  est  égal  à 

/■coscsf/»  4-  s'uï'idr  =z  --(z  —  h)r  (Ir, 
dz  =  drlang<s, 

et,  en  y  substituant  les  deux  expressions  précédentes,  on  trouvera  les 
valeurs  suivantes  des  coefficients,  où  b  représente  le  rayon  de  courbure 
au  sommet  : 

Ai=-,        A,=:—  ^^+K-   — 

'2  \24  02  a- 

I  ,         I    />^          5     U^ 

A3=  — 7-,    .    ,.  h  -A :,  -1 jj  -,  1 


^374^5767778     "^  75360  ^  "^  ^^76  d*  "^  73^^  ^y 
B,=  ^     B.:=      (^Z,+  A^ 

I     ,         I    /r'  I    b'' 

I20           24  a^  24  Cl 

/           I  23     ^^         7     tf"         169    IP 

^^"^ ~  \^3.4.5.6.7  "^  576Ô  «2  '^  384  ^  ^  921(3  ^ 


i48 


CHAPITRE    V. 


19.  Au  moyen  de  ces  formules,  on  pourra  déterminer  s  et  r  depuis 
cp  =  o  jusqu'à  une  valeur  o,  de  o  plus  ou  moins  grande,  suivant  que  h 
sera  plus  petit  ou  pins  grand,  car  la  convergence  des  deux  séries 
sera  d'autant  moins  grande  que  b  sera  plus  grand.  Soit/>  la  valeur  de  :; 
correspondant  à  9  =  p,.  A  partir  de  cette  valeur  de  9,  développons  r 
suivant  les  puissances  de  'C  =--  z  —  p.  Nous  avons  l'équation 

dr-     ''  r  dr  \  dr 


M 


'--È 


et,  si  nous  prenons  r  pour  la  variable  indépendante,  nous  ferons 


d'-z 
dJ^ 


_drr 

dz'- 

7~dJ^'^' 

71: 


-f^+P, 


en  faisant,  de  plus, 

l'équation  différentielle  deviendra 

ih-       I  /dry-      I        I  r 


d'. 
dl 


1-4- 


Posons 


B) 


-  —  I  4-  m  il  +  /«2C-+  Jn.^V+  ;;?.  ^■'  +  .  .  .^ 


et  nous  trouverons,  après  avoir  posé/-  —  i  +  c-m\, 
c/;îi"  colcp,,    f^- 


siii-o, 


r 


2C  2rt-       • 


cm,. 


_   fhti 


'>•  I  1 

„        -f-  2  cm,  m.,  —  -— j  /' ;  II /;? .  /«,  c-  /■, 

6c-  3       '     -       Ç)a--'         a-         '     -    •/' 


I2f 

cm 

ia- 


^  Tn\m.,c  -\-  ^  c//i: 


2        '      •* 


5^  (./'-., 


in^mj 


-  c'-  fin^  ;«,• 


(lOUTTR    d'un    LIOUIDR    SUR    UN    PLAN    IIORIZONTAI..  l/jf) 

Les  coefticients  de  la  formule  (B)  deviennent  beaucoup  plus  faciles  à 
calculer  si  on  l'applique  à  partir  du  plus  grand  rayon  de  la  goutte;  on 
aura  alors  cm,  ==  o  et  l'on  obtiendra  pour  les  autres  coefticients 


(C)  {  niuc  -^ 


m^c  = 


I       II  I 

,•>  m-iC  =  ~  —, 

2C        aa-  ba- 

I Il  W  W 

2-4  c*        [\a-c-        3a''c       Sa''' 

7    JL    .  ii  Jï    _  A  ^ï' 

60  a'-c^  /|0  rà  c  20  a" 


20.  Premier  exemple  [fig.  ^2).  —  Supposons  que  l'angle  aigu  de  rac- 
cordement du  mercure  avec  le  verre  sur  lequel  il  repose  soit  de  /|2"3o' 
et  adoptons  pour  a-  la  valeur 

ft^=  3,263. 

Prenons  d'abord  pour  le  rayon  de  courbure  au  sommet  de  la  goutte 
/>==  1™'".  Eu  prenant  le  millimètre  pour  unité,  on  obtient,  si  l'on  ap- 
plique les  formules  (A), 

;;  =;  o  ,  5  y  —  0 ,  07O4  •^''  +  O  ,  OO90  o"'  —  O  ,  OO  I  ^2  'i'*, 

/■  ■=.  ç  -  -  n,2o5oci^4-  o,o25oo''  — ■  o,oo366o". 

Pour  0=  -)  on  trouve 
'       2 

---0,91,       /'^OjQO. 

Appliquons  ensuite  la  formule  (B),  en  partant  du  rayon  maximum 
qui  vient  d'être  calculé  et  en  nous  servant,  par  conséquent,  des  expres- 
sions (G).  Nous  ferons  11  =  0,91  -h  ^.a-  =  7,/i^i,  et  nous  aurons 


/•  =  o ,  95  —  o ,  G 1  .^i  C^  —  o ,  o5 1  C'  —  o ,  2 16  C  —  o .  077  U, 
'r 

et,  pour  ^C,  =  0,5, 


"^^■::,-_  -  1, 228^-0, i53C—o,98K'-o,385!:', 


dr 

'■  =  0,79,     ^=— o, 


A  partir  du  point  correspondant  à  ces  dernières  valeurs,  appliquons 


I  ^O  CHAPITRE  V. 

la  formule  (B);  nous  aurons  d'abord 

c  — 0,79,     cm,=:-o,8o,     11  —  7,9^,,     /2r=I,6'i; 

puis 


'■  =  0,79  — o,8oC-i, 5i7Ç2_  2,5,4^3^ 

dr 
dl 


-^  =  —  o ,  80  —  3 ,  o34  —  7 ,  542 1-, 


et,  pour  Z,  =  0,08,  on  a 

dr 
^  =  0,72,      ———1,09,      t:  — o  =  42«3o'. 

Ainsi  la  goutte  de  mercure  a  i'""','49  de  hauteur;  le  rayon  de  son 
équateur  est  0,95  et  le  rayon  de  base  est  0,72. 
Le  volume  V  de  la  goutte  est 


y  =  7zt-(q  -\-  —  \  —  2rda^s\ni; 


en  faisant /=  0,72,  ^  =  1,49,  h  =  i,  et  prenant  1 3,6  pour  la  densité 
du  mercure,  on  obtient  pour  le  poids  de  la  goutte 


oë',  041. 

21.  Deuxième  exemple  (fig.  33).  —  Prenons  ensuite  pour  le  rayon 
de  courbure  au  sommet  de  la  goutte  6  =  i'"'",38.  En  appliquant  les 
formules  (A),  nous  aurons 

-  =  0,690-— 0,182  cp4+ 0,0294  o«—o,oo85oicp8, 
/•=  1 ,38cp  —  o,33itp3+  o,o645cp^—  0,016820"; 

au  moyen  de  ces  formules,  on  obtient 

pourcpr=3o%  5  =  0,1801,  /  =0,677; 

0  =  58",  5  =  0,593,  /•=  1,108; 

cp  =  75»,  5  =  0,90,  /•=i,25; 

0=90°,  5=1,23,  /•=i,3i. 

Les  deux  séries  ne  sont  pas  assez  convergentes  pour  9  =  -,  pour 
que  l'on  soit  sûr  du  dernier  résultat  obtenu;  mais  nous  le  vérifierons. 


GOUTTK    D  UN    LTQUinE    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  lOI 

En  appliquant  les  formules  (B)  et  (C),  nous  aurons 

/•  =  i,3i  —  o,53i  ^- —  o,o5i  I  ^^ —  OjiSg^^—  o,o56C', 

et,  pour  vérifier  cette  formule,  essayons  de  retrouver  le  point  corrcs 
pondant  l\  (^  =  y.)*";  pour  cela,  faisons  'C  =  —  o,33,  et  nous  aurons  ef- 
fectivement r=  1,23. 

lie.  33.  —  Échelle  20. 


Fij.  32.  —  Éclielle  20 


Fig.  34.  —  Échelle  20. 


Faisons  dans  cette  formule  et  dans  sa  dérivée  ^  =  o,j,  nous  aurons 

Appliquons  la  formule  (B)  à  partir  de  ce  dernier  point;  nous  aurons 
/•  z=  1 ,  1 54  —  o .  67  Ç  —  1 ,  089  C^  —  1 ,  267  C^  —  o ,  249  ?S 


132  CHAPITRE    V. 

Pour  "C  =  o,i5,  nous  aurons 

Cette  goutte  de  mercure  a  donc  une  hauteur  </  —  i'°'",88,  un  rayon 
de  base  /=  1,02  et  un  rayon  de  l'équateur  égal  à  f  ,3i.  On  trouve  pour 
son  poids  0^^',  102. 

22.  Troisième  exemple  [fig.  '^f\).  —  Prenons  h  —-  2'"'".  En  applitjuant 
les  formules  (A),  nous  aurons 

-3  =  ç-2    —  O  ,  3  I  82  Ci'*  4-  O  ,  I  4  I  2  Ci"  —  O  ,  o83o  Ci*, 

/•  =  2cp  —  o,63g8ci'  +  0,2440  «f"' —  o,o832  cf'^. 
Pour  9—7'  on  a 

^  =r  0,519,       /•  =  I  ,3l8. 

Appliquons  ensuite  la  formule  (B),  nous  aurons 

/■  =r  I  ,  3  1 8  H-  C  —  O  ,  880  C"  -t-  O  ,  GG I  U; 

et,  pour  'C  =  o,.),  nous  obtiendrons 

/•  — 1,61,    —=0,41,    cp  =  67^30'. 
Appliquons  de  nouveau  la  formule  (B),  nous  aurons 

/•  r=.  I  , 6 1  +  o , 4 1 Ç  —  o ,  '(Gj  X,--\-  o, 0968 "O ; 

d'après  cette  formule,  on  voit  que  /■  est  maximum  pour  'C  ==  o,5i,  et 
l'on  obtient,  pour  la  valeur  de  /-correspondante,  1,71. 
La  formule  (B),  appliquée  à  partir  de  l'équateur,  donne 

(a)  /■=:  1 ,71  —  0,441  C^— o,o5i  i^-' — o,o83Ç* — 0,089 1"'. 

Pour  '(  —  0,78,  on  a  /•—  i,38,  et  l'inclinaison  de  la  tangente  sur  l'ho- 
rizon est42°3o'.  La  base  est  l'eprésentée  sur  \'à  fig.  34  par  AA',  et  la 
tangente  au  méridien  en  k  par  AT. 

Ainsi  la  goutte  de  mercure  a  la  hauteur  ^  =  2""",3i,  le  rayon  de 
base  /=  1,38  et  le  rayon  de  l'équateur  égal  à  1,71.  On  trouve  pour  son 
poids  06',  193. 


GOUÏTIi:    1)  UN    LIQUIDE    SUU    UN    PLAN    HORIZONTAL.  1 53 

Les  deux  premiers  exemples  s'accordent  assez  bien  avec  des  expé- 
riences de  Gay-Lussac;  mais  il  n'en  est  pas  de  même  du  troisième 
exemple.  Pour  se  rapprocher  le  plus  possible  dans  le  dernier  cas  des 
résultats  obtenus  par  ce  physicien,  il  faudra  supposer,  à  l'angle  de 
raccordement  du  mercure  avec  le  verre,  la  valeur  de  55"*  qu'il  ne  peut 
guère  dépasser.  On  trouve  alors  que,  pour  avoir  le  rayon  de  base,  il 
faut  faire  dans  [a)  C  =  o,G;  on  a  ainsi 

et  l'on  a,  pour  le  poids  de  la  goutte,  o^',  i85.  Sa  base  est  alors  repré- 
sentée, sur  \'à  Jig.  3/i,  par  BB'  et  la  tangente  au  méridien  en  B  par  BH. 

23.  Gay-Lussac,  après  avoir  déterminé  les  poids  de  plusieurs  gouttes, 
en  a  cherché  expérimentalement  les  hauteurs;  voici  les  résultats  qu'il 
a  obtenus  (Poisson,  Nouvelle  théorie  de  VacUoii  capillaire,  n°  109)  : 

Poids  llaulcui' 

en  cil 

;;rairiiiics.  luilliiiièU'cs. 

6  ,oi3 3,34 

J,^7^ >^'^9 

2,865 3  ,2.5 

2,14; 3,20 

',187 ^'>9<^ 

o,8i3 2,80 

o ,  667 2,71 

0,307 2,32 

0,233 2,  19 

0,095 1,78 

0,059 I  ,60 

o,o3i 1 ,38 

11  faut  remarquer  que,  la  hauteur  d'une  goutte  de  mercure  étant 
donnée,  on  n'en  peut  pas  conclure  sa  masse,  même  approximativement, 
car  cette  masse  sera  très  différente  suivant  l'angle  de  raccordement 
qu'elle  fera  avec  le  plan  sur  lequel  elle  repose,  angle  qu'il  est  très  dif- 
ficile de  maintenir  constant.  Au  contraire,  si  l'on  se  donnait  le  plus 
grand  rayon  de  la  goutte,  sa  masse  serait  à  très  peu  près  déterminée, 
car  elle  ne  varierait  que  peu  avec  l'angle  de  raccordement. 

Suivant  les  expériences  d'Edouard  Desains,   quand  on  laisse  une 

20 


l54  CHAPITRE    V. 

fifoutte  de  mercure  sur  un  plan  de  verre,  on  reconnaît  que  la  goutte 
s'affaisse  peu  à  peu  et  que  son  épaisseur  diminue  notablement.  En  outre, 
le  mercure  perd  sa  fluidité  à  tel  point,  qu'il  conserve  les  empreintes 
qu'on  y  fait,  se  comportant  alors  en  quelque  sorte  comme  du  beurre. 
En  agitant  le  mercure,  on  lui  fait  reprendre  sa  fluidité;  mais  la  goutte 
ne  reprend  pas  tout  à  fait  la  même  épaisseur  qu'à  l'état  primitif.  Ain.si, 
il  est  nécessaire,  dans  ces  expériences,  de  prendre  du  mercure  parfai- 
tement pur  et  de  mesurer  cliaque  goutte  aussitôt  qu'elle  a  été  posée 
sur  un  plan  de  verre. 

Calcul  des  dimensions  d'une  goutte  moyenne  de  mercure. 

24.  I.es  calculs  employés  dans  les  exemples  précédents  deviendraient 
fort  pénibles  pour  des  valeurs  de  b  plus  grandes  que  2""",  et  il  sera 
utile  de  les  modifier. 

Menons  une  ellipse  tangente  au  sommet  du  méridien  de  la  goutte  et 
ayant  le  même  axe  de  symétrie.  Prenons  toujours  pour  axe  des  r  la  tan- 
gente au  sommet  et  pour  axe  des  z  l'axe  de  symétrie.  Désignons  par  a 
etp  les  demi-axes  de  l'ellipse  et  par  9  l'angle  de  la  tangente  à  l'ellipse 
avec  l'axe  des  r.  Les  coordonnées  r  et  ^  de  cette  ellipse  seront  données 
par  les  deux  équations 

,    ,  a-siiio  3-cosc» 


V/p-cos-cp  +  a- sin'o  v^!^^  cos-ç.  H- a^  sin'^cp 

En  développant  les  expressions  de  r  et  :;  suivant  les  puissances  de  9, 
on  trouve 


D'autre  part,  les  coordonnées  /et  2  du  méridien  de  la  goutte  sont  ex- 
primées par  les  formules  du  n"  18  : 


b        I   b'^ 

6    "^    8    ^, 

).'-. 

b         3    b'\ 

24           32    rz-y 

)o-.+ 

r.OUTTE    1)  L'N    LIQUIDE    SUR    UN    PLAN    IIOUIZONTAL.  [  ;>D 

En  identifiant  les  deux  coordonnées  r  ou  les  deux  coordonnées  z  dans 
leurs  deux  premiers  termes,  on  obtient 


(2) 


?  =  - 


Ir 


I    b'' 

I  +  7  — , 


I    h 
4  r."^ 


On  peut  adopter  pour  méridien  de  la  goutte  l'ellipse,  dont  on  vient  de 
calculer  les  demi-axes,  depuis  o  =  o  jusqu'à  une  valeur  plus  ou  moins 
grande  de  o  suivant  la  valeur  de  h.  J'ai  vérifié  que,  lorsque  h  =  f\,  en 

prenant  l'arc  d'ellipse  jusqu'à  7»  l'erreur  commise  sur  /-et  z  aux  ex- 

trémités  de  cet  arc  ne  dépasse  pas  -j-^  de  millimètre.  Quand  h  sera  plus 
petit  que  4,  l'emploi  du  même  arc  d'ellipse  donnera  des  résultats  en- 
core plus  exacts. 

25.  Calculons  la  forme  d'une  goutte  de  mercure  quand  le  l'ayon  de 


FifT.  3,).  —  Échelle  -îo 


courbure  h  du  sommet  est  égal  à  4"""  {fig.  35).  On  déduit  d'abord  des 
formules  (2) 

y.  —  9.,C)'^\,      ,3  =  1,79;, 

et,  pour  9  —  45",  les  formules  (i)  donnent 

/•  =  2,9.27,     c  =  0,796. 


1^6  CFIAPITRE    V. 

En  développant  rpar  l'apport  à  "C  à  partir  de  ce  point,  on  a  (n"  19) 

/•  r=  2,0,27  +  ^  —  0,6o3  t-  --f-  0,24'î  C'', 


COto  =  -3^  =[  —  i  ,  9.0b  l  -h  o  ,y'?.6Ç- . 


o  est,  d'après  la  dernière  formnle,  égal  à  Go*'  pour 'C  -=  o,  Vj,  et  l'on  a 
alors 

(3)  ^=0,790-1-0,44  :=z  1,236,       /•  =  2,566. 

[En   faisant  9=  Go"  dans   les  formules  (i),    on   aurait  z  =  i,r4(), 
/'=  2,5oo]. 

En  développant  rl\  partir  de  ce  point,  on  a 

/■  =z  2,566  4-  0,577  r  —  o,4i6  Ç-  -H  0,084  ?^ 

et,  pour  'Ç  =  o,  s  on  a 


;•-=:  2,760,      -7;;  =0,214. 


dr 
d^ 

On  a  ensuite 

;-  =  2,76o4-o,2i4r  — o,363r--H-o,oo3r^ 

et  -pz  est  nul  pour  C  =  o,29G. 

Ainsi  l'on  a,  pour  le  rayon  du  plus  grand  cercle  et  pour  sa  distance 
au  sommet, 

/■:r:2,79I,       ^  =  2,o32, 

Enfin,  en  développant /à  partir  de  ce  cercle,  on  a 

/•  =  2,791  —  0,382  ^-  —  o,o5i  !'  —  o,o63  V*  —  0,029  r-, 

r/inclinaison  de  la  tangente  sur  le  plan  de  la  base  est  égal  h  4^°3o', 

lorsque   —  est  égal  à  —  cot42"3o'=  —  1,091,  et  cette  dérivée  prend 

cette  valeur  pour  'C  =  o,(S8;  on  en  conclut  ensuite  r—  2,412. 

Ainsi  le  rayon  de  courbure  h  de  la  goutte  au  sommet,  sa  liauteur  </, 
le  rayon  /  de  sa  base  et  son  plus  grand  rayon  c  ont  ces  valeurs 

b  =  \,    7  =  2,912,    /  =  2,4i2,    c  — 2,791, 

et  l'on  déduit  pour  son  poids  o^''',G75. 


GOUTTE    1)  UN    LIQUIDE    SUR    UN    PLAN    HOrdZONTAI,.  I  57 

26.  Lorsque  le  plus  grand  rayon  do  la  goutte  ira  on  croissant,  la 
convergence  de  la  série 


c  -h  cm..\  -4-  cm- 


appliquée  au-dessous  de  l'équateur,  ira  en  augmentant  par  une  raison 
que  nous  donnerons  plus  loin.  iVinsi,  lorsque  le  rayon  de  courbure  h 
sera  >•  4  o^i  ^lue  le  rayon  de  l'équateur  sera  >>  2,791 ,  après  avoir  cal- 
culé le  méridien  depuis  le  sommet  jusqu'à  ce  cercle,  on  pourra  facile- 
ment achever  de  déterminer  le  reste  du  méridien  jusqu'à  la  base  de  la 
goutte.  Mais,  pour  déterminer  la  partie  supérieure  de  la  goutte,  on  em- 
ploiera une  des  méthodes  par  quadrature,  que  nous  exposerons  plus 
loin  dans  la  recherche  de  la  dépression  capillaire  dans  le  baromètre. 

27.  On  pourrait  faire  croître  le  rayon  h  du  sommet  de  la  goutte  par 
intervalles  très  rapprochés  et  calculer,  d'après  les  méthodes  précé- 
dentes, pour  chaque  goutte  correspondante  le  plus  grand  rayon,  le 
rayon  /  de  la  base,  la  hauteur  ^de  la  goutte  et  enfin  son  poids,  en  sup- 
posant connu  l'angle  de  raccordement  du  mercure  avec  le  plan  de  la 
base.  Alors  réciproquement,  étant  donné  un  quelconque  de  ces  élé- 
ments de  la  goutte,  on  en  pourra  déduire  les  autres. 

D'après  les  expériences  de  M.  Quincko,  non  seulement  l'angle  de 
raccordement  varierait  d'une  goutte  à  une  autre,  mais,  le  mercure 
n'étant  pas  un  fluide  parfait,  cet  angle  serait  loin  d'être  constant  sur 
tout  le  contour  de  la  base  d'une  môme  goutte.  S'il  en  est  ainsi,  les  cal- 
culs précédents  pourraient  servir  à  déterminer  la  valeur  moyenne  de 
cet  angle  sur  la  base. 

En  effet,  supposons  qu'on  ait  déterminé  par  l'expérience  le  poids 
d'une  goutte  et  son  plus  grand  rayon.  D'apri's  ce  que  nous  venons  de 
dire,  nous  pourrons,  de  ce  plus  grand  rayon,  conclure  le  rayon  de 
courbure  h  du  sommet.  On  connaîtra  ensuite  la  forme  du  méridien  de 
la  goutte  et,  sachant  son  poids,  on  calculera  le  point  oi^i  le  méridien 
s'arrête  sur  la  base  et  l'angle  i  de  raccordement  du  mercure  avec  cette 
base.  Si  cet  angle  n'est  pas  constant  le  long  du  contour  de  la  base,  cette 
valeur  théorique  de  i  pourra  être  prise  pour  la  valeur  moyenne  de  cet 
an£fle. 


i58 


CEIAPITRK    V. 


Figure  cViine  huile  d'air, 

28.  La  figure  d'une  bulle  d'air  qui  se  trouve  sous  un  plan  horizontal 
à  l'intérieur  d'un  liquide  qui  mouille  ce  plan  peut  être  obtenue  par 
les  mêmes  calculs  que  la  figure  d'une  goutte  de  liquide  qui  ne  mouille 
pas  le  plan  sur  lequel  elle  est  placée. 

En  effet,  mettons  l'origine  des  coordonnées  au  sommet  de  la  bulle 
et  menons  l'axe  des  z  vertical  de  bas  en  haut  [fig.  36).  Nous  aurons, 

Mfî.  36. 


pour  l'équation  de  la  surface  concave  du  liquide  (jui  limite  la  bulle. 


TT     + 


9.  a 


a-  étant  la  constante  capillaire  du  liquide  et  h  le  rayon  de  courbure  au 
sommet  o.  Cette  équation  est  entièrement  semblable  à  celle  que  nous 
avons  trouvée  au  n°  10  pour  une  goutte  de  mercure. 

Supposons  qu'on  ait  déterminé  par  l'expérience  l'angle  de  raccorde- 
ment du  bord  de  la  bulle  avec  le  plan,  angle  qui  sera  en  général  très 
petit  ou  nul.  Alors,  si  la  bulle  est  grande,  on  pourra  y  appliquer  les 
formules  des  n""*  10,  11  et  12.  Si  la  bulle  est  petite,  on  pourra  y  ap- 
pliquer les  formules  (A)  du  n"  18. 


Injlueuce  de  la   capillarilé  sur  le  birom^'lr.'. 

29.  Supposons  que  le  baromètre  soit  formé  d'un  tube  cylindrique 
droit  vertical,  d'un  assez  grand  rayon,  fermé  à  son  extrémité  supé- 
rieure et  plongeant  dans  une  très  large  cuvette  de  mercure.  Désignons 
par  /  le  rayon  du  tube  et  par  q  la  hauteur  ou  flèche  du  ménisque.  Nous 


GOUTTE    D  UN    LIQUIDE    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL. 

avons  (n"  10),  pour  l'équation  de  la  surface  du  liquide, 


139 


I  —  cos^- 


4«^  sin-  -   f 


"3     r~^ 


en  comptant  z  de  haut  en  bas  à  partir  du  sommet. 

Désignons  par  f  l'angle  aigu  de  raccordement;  nous  aurons,  sur  le 

contour  de  cette  surface,  r  —  o,  o  =  -  —  /,  3  =  q,  et  nous  déduisons 

de  cette  formule,  pour  la  flèche  du  ménisque. 


I  —  COS"^ 


?~i'J[('"^^°'(i~0_ 


Ladépression  du  sommet  provenant  de  la  capillarité  est(Chap.  II,  n"  IV 


2«- 


et  il  reste  à  déterminer  le  rayon  de  courbure  h  du  sommet  du  ménisque. 
Pour  l'obtenir,  il  suffit  de  reprendre  le  calcul  (|ui  donne  cette  quantité 
au  sommet  d'une  goutte  de  mercure.  On  a  approximativement  (n"  il  ) 


-—  2C0S  ^  +  log'  laiigy  +  const. 


Pour  o 


ainsi  I  on  a 


i,  on  a  /■  —  /,  donc 


const.  -= 3  cos  [  y  —  -  )  —  log  lang  (  h  —  y  ); 


log  tang^  :=  «  -^^o^i  -  «   l-.cos(^  -  i)  +logtang(^  -  i  ), 


(a) 


tangy  —taiig^j^ 


1-  2  L'cx     —  2  cos  I      - 

,      «  \  i        2/  2     „« 


e  ; 


et,  en  supposant  o  très  petit,  on  oi)tient 

dz 


tan^,::--^-=4lang^g-vie 


.8        4^^.. 


i6o 


CHAPITRE    V. 


mais,  en  difï'érentiaiit  l'expression  (m)  de  3  du  n*'  11  et  négligeant  des 
termes  très  petits  par  rapport  à  celai  que  l'on  conserve,  on  a  aussi 


dz  _  \J'i  a-     \      - 

Ces  deux  expressions  de  -^  doivent  être  égales  pour  une  valeur  de  / 

moindre  que  /,  mais  peu  différente  de  /;  on  ne  commellra  qu'une  très 
petite  erreur  en  faisant  /•  =  /dans  les  deux  expressions  et  en  les  éga- 
lant; on  obtient  ainsi 


y  =^2^/2  a  ^y^Tï/lanj 


^\   -^--1:4) 


Cette  valeur  de  ,   est  plus  exacte  que  la  semblable  obtenue  (n"  11) 

pour  une  goutte  de  mercure  posée  sur  un  plan. 

En  effet,  soit  N'AN  la  figure  d'une  telle  goutte  et  soit  B'AB  {fig.  37) 


la  portion  de  sa  surlace  qui  fbi'merait  la  surface  barométrique,  en  sorte 
que  l'angle  du  plan  tangent  avec  la  verticale  est  égal  à  i  au  point  B.  On 
peut  obtenir  un  point  M  assez  voisin  de  B  et  où  la  tangente  est  sensible- 
ment borizontale,  et  la  formule  {a)  n'a  besoin  d'être  admise  que  de  B 
en  M.  Au  contraire,  pour  la  goutte,  la  semblable  formule  doit  être 
admise  depuis  N  jusqu'en  M. 

D'après  ce  qui  précède,  on  a  pour  la  dépression  barométrique 


(M 


A  —  4^/2  a^-  y-  /  lang  /  {^ 


M, ---"'( 


c'est  la  quantité  dont  il  faudra  augmenter  les  indications  du  baromètre. 


GOUTTE    d'un    liquide    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  iGl 

30.  Supposons  qu'on  remplace  le  tube  barométrique  par  un  tube 
vertical  ouvert  à  ses  deux  extrémités  et  plongeant  dans  la  même  cuvette 

de  mercure.  La  quantité  -y-  représentera  1  abaissement  du  sommet  de 

la  colonne  au-dessous  du  niveau  dans  la  cuvette  et,  q  étant  la  fïèclie 

du  ménisque,  la  quantité  q  +  — 1~  ou  le  radical 


V 


8rt' 


ces' 


eos 


représentera  la  distance  du  contour  du  ménisque  au  plan  de  niveau. 
Supposons  que  le  même  tube  ouvert  soit  plongé  dans  un  liquide  qui 
le  mouille.  Pour  avoir  l'élévation  du  contour  du  ménisque  alors  con- 
cave au-dessus  du  niveau  extérieur,  il  faudra  faire  i=~  dans  l'expres- 
sion du  radical  précédent,  et  l'on  aura  pour  cette  élévation 


/.■  ^^- 


ia--{- 


17 


./... 


J^>. 


Soit  B  (fig.  38)  le  sommet  du  ménisque,  CA  la  bauteur  k  du  bord  du 

Fis.  38. 


ménisque  au-dessus  du  niveau  extérieur;  on  a  CB  ~  ^,  BA  =  h-,  donc 
b  étant  négatif  et  donné  par  la  formule 


^17 


i^'xa   -  v-/tang^t^    " 


lC)2  (.IIAPITRE    Y. 

ainsi  l'on  anra  ponr  la  liantonr  du  ménisque 


a  v's 


dont  le  premier  terme  est  négatif,  comme  ci-dessus. 

Le  volume  de  liquide  soulevé  dans  le  tube  par  la  capillarité   est 
(Chap.  11,  n"  3)  2-7rr',  plus  généralement 

9. -/r/-  cos/', 

si  l'on  suppose  que  l'angle  aigu  i'  de  raccordement  ne  soit  pas  nul  ; 
menons  le  plan  tangent  en  B,  le  cylindre  renfermé  entre  le  plan  tan- 
gent et  le  niveau  est  ~r-h;  donc  le  ménisque  a  pour  volume 

2TZ ra-  cas/'  —  T.r'-/i, 
/<  étant  donné  par  la  formule  (/>)  changée  de  signe,  où  Ton  lait 

OU  par  la  formule 

h  —  t\  \hi a-  \'t.  l  lang- (  ij  —  7  )  -    " 


4siM-     

\8        4 


31.  Ce  qui  précède  suppose  que  le  tube  est  très  large.  Si  l'on  veut 
trouver  la  dépression  du  mercure  due  à  la  capillarité  dans  un  tube 
d'un  très  petit  rayon,  on  pourra  appliquer  la  formule  du  n"  14  du  Cha- 
pitre II.  Mais  on  obtiendra  une  approximation  plus  grande  en  se  ser- 
vant des  calculs  des  n°"*  18  et  19  du  Chapitre  actuel.  Pour  une  valeur  du 
rayon  de  courbure  h  au  sommet,  on  pourra  calculei'  les  rayons  du  tube 
qui  correspondent  à  un  angle  donné  de  raccordement;  par  suite  aussi, 
étant  donnés  ces  rayons,  on  en  conclura  h  ou  la  dépression  h. 

Supposons,  par  exemple,  que  l'angle  de  raccordement  du  mercure 
avec  le  tube  soit  égal  à  4^"-  l^os  quatre  exemples  calculés  aux  n"^  20, 

21 ,  2*2  et  24  donneront,  en  y  faisant  9  —  -  —  4^''  --  45*", 

I"  Z>=:l,  f  z=iO,Q(^'^,       ;=:  0,284,       h  ^=9.  a-      :r:;6,5r>G; 

2»  ^—1,38,        /•"  0,9^0,        ::  =  0,382,        A     ::^   y-^   —4,728; 


GOLTTl':    d'UiN    LlOLIDt;    SLUi    UN    l'LAN    IIOUJZOMAL.  l63 

3"  b=^9.,  /:=i,3i8,     ^  =  o,5ig,     li-=ia-      =3,263; 

4"  ^  =  4,  i=i,î-2-;,     ^  =  0,796,     II——      =],63i. 

La  seconde  colonne  verticale  donne  le  rayon  du  tube,  la  troisième  la 
liauteur  du  ménisque  et  la  quatrième  la  dépression  du  mercure. 

Remarquons  que  les  formules  (A)  et  (B)  des  n"**  18  et  19  pourront 
servir  également  à  calculer  la  figure  du  ménisque  d'un  liquide  dans  un 
tube  capillaire  qu'il  mouille. 

Quand  le  rayon  du  tube  n'est  ni  très  petit  ni  supérieur  à  10""',  on 
forme  alors  une  Table  des  dépressions  au  moyen  de  quadratures. 

Mél/iodes  par  quadrature  pour  former  une    Tahle  de  la  dépression 
barométrique  due  à  la   capillarité. 

32.  Il  s'agit  de  former  une  Table  qui  fournisse  la  dépression  baro- 
métrique, provenant  de  la  capillarité,  pour  des  valeurs  successives  du 
rayon  du  tube. 

Première  méthode.  —  Laplace  a  indicjué  une  métbode  par  quadrature 
pour  déterminer  la  surface  du  ménisque  mercuriel  [Connaissance  des 
Temps,  181 2).  Pour  trouver  le  rayon  du  tube  correspondant  à  une  dé- 
pression donnée  II,  il  prend  d'abord  pour  le  rayon  de  courbure  au  som- 
met b  =  -,|--  11  divise  le  méridien  de  la  surface  en  parties  dont  les  ex- 
trémités correspondent  à  des  valeurs  de  l'angle  9  distantes  de  4"  et  il 
remplace  ces  arcs  par  des  arcs  de  ceicle  de  même  amplitude  et  dont 
chacun  continue  le  précédent  suivant  la  même  tangente. 

D'abord,  le  premier  arc  de  cercle  qui  commence  au  sommet  est  im- 
médiatement déterminé,  puisque  son  rayon  est  b;  si  donc  on  désigne 
par  9,  la  valeur  de  9  relative  à  son  autre  extrémité  et  qu'on  mette  l'ori- 
gine des  coordonnées  au  sommet,  l'axe  des  z  vertical  et  l'axe  des  /■ 
horizontal,  on  aura  pour  les  coordonnées  de  cette  extrémité 

Calculons  le  rayon  de  courbure  du  méridien  correspondant  à  ce  point. 


iG/j  CllAl'lTIlt    V. 

R,  étant  ce  rayon  de  courbure  et  R'  et 
ce  point  terminée  à  l'axe,  nous  avons 


R,  étant  ce  rayon  de  courbure  et  R'  étant  la  longueur  de  la  normale  en 


'1 
ou 


I  I  \  ia- 


I  'l  I  I 


R,  "     h 


Menons  un  arc  de  cercle  dont  le  rayon  soit  R,,  qui  passe  par  le  point 
(r,,j^,)  et  qui  soit  le  prolongement  du  précédent;  nous  aurons  pour  les 
coordonnées  des  points  de  cet  arc 

/•n:;  Il  -f-  Ui  sillo,       Zr=z  k  —  Ri  COS'f, 

A,  k  étant  deux  constantes;  désignons  par  (a.,,  z.^)  la  seconde  extrémité 
de  cet  arc  qui  correspond  à  o  =9.,  nous  aurons 


/2 —  /'i^:  Ri  sinço  —  Ri  sino,  =:=  aR,  siu  — ^  ces 


formules  qui  déterminent  /.,,  z.^.  On  calculera  ensuite  le  rayon  de  cour 
bure  R^  en  ce  point  par  la  formule 


I  :>>  I  I     . 

i\2        b        a-    '       /■, 


puis  on  déterminera  un  troisième  arc  de  cercle,  et  ainsi  de  suite,  jus- 
qu'à ce  qu'on  arrive  à  la  valeur  de  9  qui  est  égale  au  complément  de 
l'angle  de  la  surface  du  mercure  avec  le  tube.  La  valeur  de  /•  corres- 
pondante sera  le  rayon  du  tube  pour  la  dépression  supposée. 

Quand  la  dépression  est  moindre  que  o""",8,  le  l'ayon  de  courbure /> 
au  sommet  de  la  goutte  devient  trop  grand  pour  qu'un  arc  de  4"  vers 
le  sommet  puisse  être  remplacé  par  un  arc  de  cercle.  On  a  donc  été 
obligé,  dans  cette  partie  de  la  courbe,  de  faire  croître  l'angle  9  de 
(juantités  plus  petites. 

Dans  cette  métbode,  on  l'emplace  les  arcs  du  méridien  de  la  goutte 


GOUTÏK    1)  LN    LlQLIUbT    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  1 63 

par  des  arcs  de  cercles  osculateurs,  qu'on  transporte  parallèlement 
bout  à  bout,  et  l'on  suppose  ainsi  que  le  rayon  de  courbure  est  con- 
stant tout  le  long  d'un  arc,  tandis  qu'il  va  en  diminuant.  11  en  résulte 
que  les  valeurs  que  l'on  calcule  successivement  pour  les  abscisses  r, , 
/%,  /-.j,  ...  sont  trop  grandes  et  que  les  valeurs  obtenues  pour  :;,,  z.,, 
r.,,  .. .  sont  trop  petites;  l'erreur  commise  sur  cbaque  arc  a  donc  lieu 
dans  le  même  sens.  A  la  vérité,  après  avoir  calculé  un  des  arcs  de  cercle 
et  le  rayon  de  courbure  à  la  seconde  extrémité,  on  peut,  comme  l'a  fait 
Bravais,  revenir  sur  le  calcul  de  cet  arc,  en  prenant  pour  son  rayon  la 
demi-somme  des  rayons  de  courbure  obtenus  à  ses  extrémités.  Mais  on 
obtiendra  des  résultats  beaucoup  plus  exacts  si  l'on  conserve  les  mêmes 
divisions  du  méridien  ou  beaucoup  plus  rapides  si  l'on  prend  des  divi- 
sions plus  grandes,  en  adoptant  des  arcs  d'ellipse  au  lieu  d'arcs  de 
cercle.  C'est  surtout  vers  le  sommet  du  ménisque  que  cette  méthode 
sera  avantageuse. 

33.  Seconde  méthode .  —  Divisons  donc  le  méridien  du  ménisque  en 
parties  correspondant  ii  des  accroissements  successifs  de  l'angle  9  et 
assez  petites  pour  être  assimilées  à  des  arcs  d'ellipse. 

Nous  prendrons  d'abord  un  arc  de  l'ellipse  osculatricc  au  sommet; 
les  coordonnées  /■,  z  dt'  chaque  point  de  cet  arc  ont  pour  valeurs 

(^^  .._  '^'sif?  ._o  P'coscp    


V/[i-  COS^'v  H-  a-  siu'^'f  \l'^'^  C0S-Ç3  -+-  a-  sill'^o 

a  et  [i  étant  donnés  par  les  formules  (n"  24) 


I  «■ 


ces  valeurs  correspondent  à  une  valeur  déterminée  de  b  ou,  d'après  ce 
que  nous  avons  dit,  à  une  valeur  déterminée  de  la  dépression.  Nous 
prendrons  un  arc  de  cette  ellipse  depuis  0  =  0  jusqu'à  une  valeur 
o  =r  o,,  et  nous  aurons  les  coordonnées  j\,  r,  de  l'extrémité  en  faisant 
o  —  o,  dans  les  équations  (A). 

Considérons  une  deuxième  ellipse,  dont  les  axes  ont  la  même  direc- 
tion, qui  passe  aussi  par  le  point  (/•,,  z^)  et  qui  ait  la  même  tangente 


l66  CIIAPITUE    V. 

que  la  première  en  ce  point,  et  examinons  comment  nous  devons  choi- 
sir ses  demi-axes  a,,  ^^  pour  qu'elle  se  rapproche  le  plus  possible  du 
second  arc  du  méridien.  Les  coordonnées  r,  z  de  cette  ellipse  seront 

(  !',  )         )■  =  h  +    , '         '       _-^ ,      ;  =  A- 


V'Pi  cos-'f  +  'J.\  sin-o  \J^l  cob-o  -i-  %'[  siii-o 


h,  k  étant  deux  constantes. 

Nous  avons  les  deux  équations  du  n"  18 


/•  coso  do  -H  siii'v  (Ir  i^-  (  -^  4-  -^  1  r  dr, 

■     '  '  \a-        ùj 

dz  -—  dr  lang'f. 
Kemplaçons-y  o  par  ç,  -h  y,  nous  aurons 

/■  cos  (  '^1  4-  -!;  )  d'I  "\-  siii  (  -i ,  +  'l  )  dr  —  (  ~;  +  7  )  ''  ^^/"  =  o> 
(cos'l'  —  taiig'fi  siii '})<;/:;  —  'vlanyoi  cos^J/  +  siii'})c//'  =:  o. 

Développons  les  premiers  membres  d(î  ces  équations  par  rapport  aux 
puissances  de  7,  après  avoir  posé 

-  =  -1  +  Pi"^  +  /y/i'}-  +  .  .  ., 
(C)  /•  =  /•!  + Yi  6 -f.  /i,.}^  +  .  .., 

et  nous  en  tirerons,  en  égalant  à  zéro  les  coet'ticients  des  puissances 

de  'l, 

/■|   COS'-i, 

Vi  "  — r- r^" '    Pi  —  Vi  iy»D'fi» 


2 
«2  '  ^ 


'"i  1  7.2  -'-  7.  )-"Snic^, 


27,  coso,—  /'i  siii'fi  — I  ,  +  H)  7i ilh'h'^ 


«1  — 


2,,i-+^l-2sm'-p, 


Les  trois  quantités/;,,  ^,,  //,  sont  donc  connues. 
D'autre  part,  si  l'on  développe  l'expression  (B)  de  l'abscisse  r  de 
l'ellipse  suivant  les  puissances  de  6,  on  obtient,   en  s'arrêtant  aux 


GOUTTE    n  UN    LIQUIDE    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL.  167 


tonnes  en  6^,  cette  équation 


02 


a-  sin-fi  aj  |:J-  COS? 


G  G^ 

si  no, 


OÙ  l'on  a  posé 

G-=;  j3j  cos-o,  i-ajsin^'f,. 

En  identifiant  cette  expression  à  (C),  on  obtient  ces  deux  équations 

af  3^  COSo, 

—  G^T---'/., 

^I?'   ^"^^^   ['^I^ÎCOS^^,-  aJ(r  +  2C0S^ç,)]   ::^/?,, 

pour  déterminer  a,,  [!i,.  En  divisant  la  seconde  par  la  première,  on 

trouve 

7i  tanp:o,[^;3j  cos-G,—  7.-2(i  +  2cos-'f,)]  =  2G-/«i 
et 

g 2  _  ■^//|Sin-o,  +  Yi  lnnp-o,(i  +  2cos-o,)  ^^ , 
''"  2ros-o,(vi  tang-oi— //i)  ^'' 

Pour  abréger,  désignons  par  M  le  coefficient  de  a';  dans  cette  formule, 
et  a;'.  Si;  seront  déterminés  par  ces  deux  expressions 

5      :',  —  M  y.:. 


M^  ces-  o 


f  1 


Oo  étant  la  valeur  de  9  relative  à  l'extrémité  du  second  arc,  les  coor 
données  7\,  z-,  de  ce  point  seront  données  par  les  formules 

ol]  sino,  ol'i  sincsi 

r, —  /■', — ' 


\  'j'î  (:os'o,+  ^1  sin-o.,       \^fi,'  cos-OiH-  aj  sin-o 
Pj  ces  Ça  P^  cosç, 


\'3'j  cos'cio  ~i-  '^j  siri-'f,       V'[^ï  cos-0|  +  y.^  siii-o, 

On  calculera  de  même  successivement  les  arcs  d'ellipse  qui  peuvent 
remplacer  les  arcs  en  lesquels  on  a  partagé  le  méridien  du  ménisque. 

3i.  Bouvard  a  formé  en  1812  une  Table  de  la  dépression  dans  les 
tubes  barom*étiiques,  d'après  la  métbode  exposée  au  n*^  32;  il  avait 


l68  CHAPITUE    Y. 

supposé  l'angle  de  raccordement  du  mercure  avec  le  verre  des  tubes 
égal  à  43"  12'. 

Ed.  Desains,  en  discutant  les  expériences  faites  par  Danger  sur  des 
tubes  barométriques  de  différents  rayons,  a  trouvé  que  l'angle  de  rac- 
cordement du  mercure  avec  ces  tubes  a  été  très  sensiblement  constant 
et  égal  à  3 7" 5 2'  [Annales  de  Chimie  et  de  Physique,  3''  série,  l.  LI). 

Suivant  un  Mémoire  de  Bravais,  antérieur  à  celui  de  Desains,  l'angle  / 
de  raccordement  du  mercure  avec  le  verre  dans  le  vide  barométrique 
serait  en  général  })lus  grand  que  dans  l'air,  et  l'on  ne  doit  songer  à 
faire  la  correction  de  la  dépression  qu'après  avoir  déterminé  cet  angle 
expérimentalement  pour  le  baromètre  qu'on  emploie.  En  se  servant 
aussi  de  la  métbode  indiquée  au  n"  32,  il  a  formé  une  Table  de  cette 
dépression  pour  des  valeurs  de  i  comprises  entre  73"  et  4^"  et  pour  des 
rayons  du  tube  compris  entre  2'"'"  et  10"""  [Annales  de  Chimie  et  de  Phy- 
sique, 3*^  série,  t.  V,  1842).  Nous  reproduisons  cette  Table  ci-contre. 

Bravais  a  adopté  pour  la  constante  capillaire  à-  —  3,264;  ïtI'IJs  il  est 
utile  de  remarquer  qu'on  ne  peut  pas  admettre  que  l'angle  de  raccorde- 
ment s'élève  de  42"  à  75"*,  sans  que  la  coucbe  superficielle  du  mercure 
s'altère  beaucoup,  ce  qui  devrait  entraîner  un  changement  sensible 
dans  la  valeur  de  a-. 


r.OUTTE    1)  UX    LIQUIDE    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL. 


1G9 


H 

0S 

H 

•H 

^ 

^M 

w 

UJ 

— 

0 

r^ 

1-^ 

Sh 

ïr; 

H 

w 

-w 

H 

•« 

0 

a 

Pï 

« 

< 

(1. 

PQ 

X! 

b; 

p^ 

ï^ 

M 

'^ 

0 

•^ 

0 

H 

U 

se 

-< 

-< 

^ 

U 

[^ 

w 

Q 

a 

^ 

■< 

0 

hJ 

(Xl 

^^ 

CD 

0 

w 

>5 

0 

Ch 

-UJ 

H 

Q 

a 

000 


•.  oooôoôoôôooo 

o  o  00  00  o"         o  o"         o"         o"         o" 

O  —  (M  (M  ^:^t  tfO  co  w  -■*•-•*■-+  -•  -o 

000000000000 

0000000  obooo 

^  cToocToooooooc. 

Z  t^  tô  ci  j^^  o  ^  o  ^^*  ^  ^M  ^ 

b  o  o  o  o  o  o  o  o^  o^         o^  o^ 

',.  000000000— ■"«■^ 

'~  o"  o"  o"  o"  o""  o  o"  o  o  o  o  o 

"  o"o"o"Groooooooo 

■^  o"  o'  o"  o"  o"  o"  o  o"  o"  o  ~  e' 

^  !  o  o'  o'  o'  o"  o  o"  o"  cT  o o c- 

■'^  o'  o""  o"  o"  o  o  o o o o o o 

■''  ^oo'ooooooooo 


===      \- 


no 


CHAPTTFÎE    V 


Forme  d'une   croiitte  suspendue  à  un  corps  solide  quelle  nioudle. 

35.  Menons  au  sommet  0  de  la  goutte  la  verticale  0^  de  bas  en 
haut  et  la  tangente  Or  au  méridien.  D'après  le  n"  \  du  Chapitre  II,  on 
a,  pour  l'équation  de  la  goutte, 

I  J_  _     h  —  z 

et,  si  l'on  désigne  par  h  le  rayon  de  courbure  au  sommet,  on  aura,  en 
faisant  ^  =  o, 


Nous  en  conclurons,  comme  au  n"  18,  les  deux  équations 

/•  cos cp do  +  sin  cp  dr  ~-  ~{^h  —  z)r  dr. 


a- 
dz  :zz  df  tanffcû. 


'6 


On  passe  donc  des  formules  du  n"  J8  à  celles  du  problème  actuel, 
en  changeant  simplement  a-  en  —  a-.  Ainsi  l'on  aura 


en  faisant 


Air=-,      Aa  — -4-- 

2  9J\  62   a- 

1.2.3.4.0.6  "j-i  a-         i44  rà 

1.2.3... 8  i53bo  «^       9216  «'*       78728  a« 

B,  —  Z^,     B2  =  —  7.  +  -  -  , 

p  _  J^ J_  ff       _i_  ^5 

120        24  a'^        9.\  a*^ 

B>  = \ /,  +  Jil  i'  _  ^7_  ?l!  _,^  i69_  *.^ 

1-2. 3... 7  .O-bo  r/^        384  <7'*        9216  a" 

36.  On  développera  z  et  r  par  les  formules  précédentes,  tant  qu'elles 


GOUTTE    SUSPENDUE.  I7I 

seront  suffisamment  convergentes;  puis,  comme  au  n"  19,  p  étant  la 
valeur  de  z  pour  l'extrémité  de  l'arc  obtenu,  nous  développerons  rsui- 
vant  les  puissances  de  C  =  ^  —p. 
Posons  donc 


W^P 


f'--rz\-\-c-m\ 


et  les  coefficients  du  développement 


{b) 


1  -\-  /Hi  Z  +  m.2  ^-  -{-  m^  l-^  -\-  . 


seront,  en  désignant  par  9,  la  valeur  de  o  pour  z  --p, 


cm,r=L  coto,,     cm=^z=.  - —  h jH/^, 


(c) 


6c  3  ba--^  a- 

{i)i]  —  m^)f-        1      .,                I        .,       I 
ci)i'^^=. '-^ ,,))i\))i^_c  -h  T,c))ii cm^m^ 


ia- 


3 


-  C-//llif)l.2. 


Si  l'on  applique  ces  formules  à  partir  du  plus  grand  rayon  de  la 
goutte,  on  aura  w,  =  o,  /=  i  et,  par  suite, 

I 


(d) 


ni^c  = 


2  c        2  a^ 
I  H 


IP  W 


,'.^i        '. 


l'.^C        'j^a-c 


'da*c       8  a'* 


71  M    H         3    IP 

bo  a'c^        40  ci*c        20  a** 


En  raisonnant  comme  nous  avons  fait  n''  8,  nous  trouverons  pour 
le  volume  de  la  goutte 

/2«2  \ 

(e)  V  =  a- X  sin  «  —  (  -^^ 7  j  B, 

en  désignant  par  ^  la  hauteur  de  la  goutte,  1  le  contour  et  B  la  surface 
de  la  base. 

Il  est  utile  de  remarquer  que,  lorsqu'on  aura  calculé  la  figure  d'une 


I  ']2  CHAPITRE    V. 

goutte  (l'un  liquide,  on  en  pourra  conclure  la  figure  d'une  correspon- 
dante d'un  autre  liquide  quelconque.  En  efï'et,  d'après  les  formules  [a), 
^  et  T  ne  dépendent  de  a  et  Z;  que  par  le  rapport  -•  Par  conséquent,  à 

une  goutte  du  premier  liquide  correspondra  une  goutte  semblable  du 
second  liquide. 

37.  Application  I.  —  Nous  allons  déterminer  avec  une  grande  préci- 
sion la  figure  d'équilibre  d'une  goutte  d'eau  suspendue  à  un  tube  dans 
la  supposition  que  le  rayon  de  courbure  h  au  sommet  soit  égal  à  2'"'". 

Fig.  89.  —  Échelle  lo. 


Faisons  donc  ;«-  =  7,5  et  appliquons  d'abord  les  formules  (a),  nous 
aurons 

/•rn^aci  — 0;2ç^       — o,oo4oç^ — o,ooo55o''. 

Faisons  9  =  ->  et  nous  aurons 

^  m  3 ,  806,     /•  =  2 , 3 1 6  ; 


GOUTTE    SUSPENDUE.  1  73 

ainsi  le  plus  grand  rayon  de  la  goutte  est  2""",3i6.  Ces  coordonnées 
correspondent,  sur  lay%-.  Sq,  au  cercle  aa' .  Pour  9  =  7'  on  a 

ce  qui  correspond  au  cercle  hh' . 

Appliquons  ensuite  les  formules  {h)  et  [d]\  nous  aurons 

0  1=2,3 16,     H=::^2,8o6-— 7,5=— /4,69/i,     mi=:o, 
et  nous  trouverons 

/•=:  2,3l6  —  0,0970^^+  0,0222!;*—  0,0001  V—  0,00082?% 

Nous  en  concluons 


-^  r=:  —  O,  1940?  +  0,o666C^— 0,0004?''— 0,004l  C^ 


Pour?  =  0,5  ou    ^  =  3,3o6,  /•:- 2,295, 

?=  I  :  =  3,8o6,  /•=i2,24i, 

?r=l,5  ^r=4,3o6,  /•=2,I79, 

t^l  ^  =  4,806,  /■  =  2,I28. 

Pour  '(  =  2,  la  série  qui  donne  ^  n'est  pas  suffisamment  conver- 
gente; mais  cette  série  est  égale  à  —  0,121  pour  "(  =  i,5.  Appliquons 
donc  les  formules  {h)  et  (c)  à  partir  du  point  c  correspondant  à '(=  i,5  ; 
nous  aurons 

c-  =  2,i79,     H  =  4, 306-7,5=:— 3,194,     cm,  — -o, 111, 

et  nous  trouverons 

/■  =  2,i79  — o,  121  Ç  H-  0,01521*4-0,0272?*, 

^■=-o,i2i  +  o,o3o4?  +  o,o8i6?^; 
dX, 

— —  =  o,o3o4  +  o,  i632?. 
a?' 

La  première  dérivée  est  nulle  sur  le  cercle  de  gorge  et  pour 

?=:l,05,      ^=:5,356,      /■--=2,ioo, 


174  CllAPITUE    V. 

et  la  seconde  dérivée  est  nulle  au  point  d'inflexion  pour 

^,-^= — 0,l86,       Z  -^  l\,l'20,       /•"-=  2,202. 

Appliquons  les  formules  [b)  et  {d)  à  partir  du  cercle  de  gorge  dd'; 
nous  aurons 

C  ::=  2  ,  lOO,       11  --  —  2,1  44>       C/W,  ■=:  O, 

et  ensuite 

/•  s^-  2 ,  loo  +  0,095  W-+  0,0222  w* —  o,ooi6^^. 

Pour  véritier  cette  formule,  employons-la  à  la  détermination  d'un 
point  déjà  obtenu  et  faisons  '(  =  —  o,55,  ce  qui  correspond  à  z  =  4>8o6, 
et  nous  retrouvons  en  effet  r=  2,128. 

Pour  "C  =  0,55  ou  ^  =  5,906,  nous  obtenons  r^=  2,129. 

Enfin,  calculons  le  volume  de  la  goutte  jusqu'au  cercle  de  gorge, 
d'après  la  formule  (e);  nous  ferons 

(J=^0,3o6,       1=:--,        X  =  27rX2,l,       H  :i^T..2  ,1^, 

et  nous  trouverons 

V  ^  ôg^'^S  26  ; 

ainsi  son  poids  est  de  69'"^'",  2G. 

38.  Application  II.  —  Résolvons  la  même  question  dans  la  supposi- 
tion que  le  rayon  de  courbure  b  au  sommet  de  la  goutte  soit  égal  à 
l'^'^Sy:").  Depuis  le  sommet  jusqu'au  plus  grand  cercle  de  la  figure, 
nous  appliquerons  les  formules  [a),  qui  deviennent 

z  -r=z  0,8-5'^-—  o,oo6ci^+  0,0026^5*^  +  0,0004 P**, 

/■  =:r  I  ,  ^00  Cf    —  O  ,  2o3  Ci*  —  O  ,  Oo3  I  ç ''  —  O  ,  OOo5  Ci'^  ; 

et  nous  en  déduirons 

* 

Pour  0=  y,     x;:=o,538,     z'^;  1,275, 
4 

Pour  cp  i:::;  -,        ^  =  2,176,       /— 1,920, 

ce  qui  correspond,  sur  \'à/ig.  4o,  aux  cercles  bb'  et  aa  . 


GOUTTE    SUSPENDUE. 


Appliquons  ensuite  les  formules  (/>j  et  (r/)  au-dessus  du  cercle  aa' ; 
nous  obtiendrons 


/■  =r.  1 ,920  —  o,  i66r-  1   0,0222  î^-^ —  0,004^^^-1   o, 002/4 !i'', 

-   =:r  —  0,332^  -!     0,0666^- —  0,0l6C^H-  0,0120^% 


et,  pour  *C—  1,3, 


/•=z  1,686,       -^:rr—  0,320,       ^-3,476. 


Fi(j.  4o.  —  Échelle  10. 


Au-dessus  du  point  qui  a  ces  coordonnées,  nous  appliquerons  les 
formules  [h)  et  (c),  et  nous  aurons 

/■  z=  1 ,686  —  o,32or  —  0,066 r2+ o,o4or% 


dK 


=:  —  0,320  —  o,  l32  ^    +0,120:1-, 


et,  en  faisant  Z  =  0,5, 


dr 


rr-i,5i5,     -^——0,224,     -  =  3,976. 


J76  CHAPITRE    V. 

Nous  aurons  ensuite 

/•  =r  I  ,5l5  —  0,224b  H-  0,0l6^--t-  0,o4l  ^% 

et,  pour  'C  =  0,3, 


cJr 


/•  — i,4,5o,     -^--  — o,2o3,    ^^4,2-6; 


puis 

/•rr.  I  ,43o  —  0,2o3^  -f-  0,055^"+  0,o42^^, 

et,  pour  C  =:  0,5, 

/•  — 1,36;,     --^— —  o,r[7,     ^  =  4,776. 

Enfin,  à  partir  de  ce  dernier  point,  nous  aurons 

;■  =  1 ,  3G7  —  o, 117^-1-0, ii3^-+o,  o35  ^% 
-ip  —  —0,117    -f- 0,226c  +  o,  io5!;^ 

Cette  dérivée  est  nulle  pour  (^  =  o,43,  ce  qui  correspond  au  cercle 
de  gorge  cld' .  Ainsi  l'on  a  sur  ce  cercle 

/•  =  1,341,    ^  =  5,206. 

En  comptant  la  coordonnée  verticale  T  à  partir  du  cercle  de  gorge, 
on  a  encore 

/•  =:  I  ,341  +  O,  149^^+  0,0222  C^—  0,0375  C*. 

La  hauteur  de  la  goutte  jusqu'au  cercle  de  gorge  est  donc  <7=  5, 206, 
et,  en  appliquant  la  formule  {e),  on  trouve  44'"*'%  18  pour  le  poids  de 
la  goutte. 

On  doit  remarquer  que  la  hauteur  de  cette  goutte  diflère  peu  de  celle 
de  la  précédente,  mais  que  le  cercle  de  gorge  et  le  volume  sont  deve- 
nus beaucoup  moindres. 

39.  Application  III .  —  Résolvons  ensuite  la  même  question  dans  la 
supposition  que  le  rayon  de  courbure  h  au  sommet  de  la  goutte  soit 
égal  à  i™"',5.  Nous  aurons  d'abord,  d'après  les  formules  [a), 

Z  ■=!  0,75ocp- —  0,0203cf.*+  O  ,  0006  Ci'' -f-  0,0000-JCi^, 

r  =  1 ,5oocp  —  o,  i938<p^  —  o,ooo6!p^H-  0,000070'. 


GOUTTE    SUSPENDUE.  I77 

En  faisant  9  =  -?  nous  aurons,  sur  le  plus  grand  parallèle  de  la 
joutte,  représenté  sur  la/^.  4i  par  aa', 

^  =  1,788,       /•:=  1,600. 
Fig.  !\\.  —  Échelle  lo. 


Ensuite,  d'après  les  formules  [b)  et  {d),  on  obtient 

/•  =  i,6oo  — 0,289^^-0,022^3— 0,011  Ç^H-o,oo5  es 

—  0,478?  +o,o66C'—o,  044^^+0, 025  es 


dr 


et,  pour  '(  =  I ,  on  a 


di 


r  —  i,2>--,      -^=  —  0,431,      ^  —  2,788. 
Au  delà  de  ce  point,  nous  appliquerons  la  formule 

/•—  1,877  —  0,431!; —  0,192  C' 4- 0,0262  ?% 
%=  -o,43i    -o,384?  +o,0786rs 


et,  pour  'C  =  0,75,  nous  aurons 


/•  =  0,964,     -^^-O'^^Q' 


8,488. 


•28 


178  CHAPITRE    V. 

A  partir  de  ce  point,  nous  emploierons  la  formule 

/•  =  O  ,  964  —  O  ,  629  t  -V-  O  ,  008  ^-+0,1  6/4  Ç^, 

et  nous  aurons,  en  faisant  "C  —  o,325, 

r:=zo,~6y,     -Ti  =^ — 0,555,      ^=:3,8i3. 

CIL, 

Nous  aurons  ensuite 

/•  =  0,767  —  o,o55Ç  -t-  o,236b"+  o,248Ç^, 
et,  pour  'C  =  0,2, 

/•  =  0,667,      ^^  "~°''^+'^^'      -  — 4,oi3; 

puis 

r  z=  0,667  —  o,43i  s  +  0,373^^+  o,  199^^, 


r  — 


et,  pour  C  =  0,2, 


/•  — 0,598,        -^=—0,258,        ^r=4,2l3. 

Enfin  nous  aurons 

/•  1^:0,598  —  o,258Ç  +  o,466C--f-  o,  ii4C% 
-k;  =  — o,258    +0,932^+0,342^-, 

et  cette  dérivée  est  nulle  pour  C  =  0,20.  Ainsi  l'on  a  pour  le  cercle  de 
gorge  marqué  sur  la  figure  par  dd', 

/•  =  0,565,     ^  =  4)463. 

On  aura,  pour  le  volume  de  la  goutte  terminée  au  cercle  de  gorge, 

V  r=  2  7t  X  o,565.a2 —  71. o, 565^  x  5,537  =  21 ,074; 

on  en  conclut  que  son  poids  est  2i'"«%o74. 

40.  Appliccuion  IV.  —  Passons  au  cas  où  le  rayon  de  courbure  au 
sommet  de  la  goutte  est  b  =  1""".  Nous  aurons  d'abord 

^  =^  o  ,  5  Ci-  —  o  ,  029 1  Ci*  +  o  ,  0002  cp'^  +  O  ,  00002  cp**  +  .  .  .  , 

/•  rzz        o  — O,  i5oocp'^+ o,oo35cp5  + 0,00025 cp ■'  +  ... , 


GOUTTE    SUSPENDUE. 

et,  pour  o—-  -y  nous  obtenons 

5  —  1,059,    /  =1,029; 

ce  qui  correspond  au  plus  grand  cercle  aa'  de  lay?^.  42. 

Fif[.  /(2.  —  Échelle  lo. 


^79 


Nous  avons  ensuite 

,.  —  1^029  — 0,443^2+ 0,022^^  —  0,066  r*  + 0.0176^% 

et,  pour  "C  =  0,6, 

/•  =  0,867,     -^=  —  0,554,     ^  =  1,659. 

9.""  A  partir  de  ce  point,  nous  avons 

r  =  0,867  — 0,55/4!;  — o,  135!;-— o,oI6r^ 

et,  pour  'C  —  0,3, 

,•  =  0,689,     ^=-0,639,     r=  1,959. 

3°  Nous  aurons 

/•  =  0,689  —  o,639r  —  o,43i  Ç-'-  o,o5i  C% 

et,  pour  'C  =  o,25, 

r  =  o,5o3,      5=-o,844,      ^  =  2,209. 


l8o  CHAPITRE    V, 

4"  Nous  obtenons 

/•  =  o,5o3 -o, 844?- o,2o8^M- 0,843 ^S 
et,  pour  t  =  o,25, 

/•=  0,292,      —=—0,790,      :;-  2,459. 

5*^  Nous  aurons  enfin 

;•  =  o ,  292  —  o ,  790  Ç  H-  I ,  o5 1  Ç2  +  2 ,  427  t', 
dr 

-7=  =  —0,790     +  2,  102!;    +  7,281  Ç-. 

Cette  dérivée  est  nulle  pour  *C  =  0,214.  Ainsi  l'on  a,  sur  le  cercle  de 
gorge  marque  sur  \difig.  l\i  par  dd' , 

/•  =  0,195,    ^  =  2,673. 
En  comptant  "C,  à  partir  du  cercle  de  gorge,  on  aurait  encore 

r  :rz  o,  195  +  I  ,74'2C^  + 0,022?^ —  I  ,  126Ç*. 

On  trouvera  ensuite,  pour  le  poids  de  la  goutte,  le  nombre 

7™g'',7i6. 

Figures  d'une  goutte  suspendue  à  un  tube  et  en  équilibre  stable. 

4t.  Si  nous  coupons  une  àas  fig.  Sg,  l\o,  4i  et  4^  au-dessous  du 
cercle  aa  par  une  section  circulaire  et  horizontale,  la  partie  située  au- 
dessous  représentera  la  figure  d'équilibre  d'une  goutte  suspendue  à 
un  tube  vertical. 

En  prenant  cette  section  suivant  le  cercle  aa',  on  aura  les  figures  de 
gouttes  d'eau  en  équilibre  attachées  à  un  tube  dont  la  section  exté- 
rieure sera  aa' ,  lorsque  le  plan  tangent  le  long  du  bord  fait  avec  l'ho- 
rizon le  plus  grand  angle,  c'est-à-dire  un  angle  droit. 

En  prenant  ensuite,  par  exemple,  les  parties  situées  au-dessous  du 
cercle  bb' ,  on  aura  les  figures  de  gouttes  d'eau,  suspendues  à  un  tube 
dont  la  section  est  bb',  lorsque  le  plan  tangent  le  long  du  bord  de  la 
goutte  fait  un  angle  de  45°  avec  l'horizon. 


GOUTTE    SUSPENDUE.  l8l 

Ce  sont  les  figures  que  nous  avions  assimilées  dans  une  première 
approximation  à  une  portion  de  sphère  (Ghap.  111,  n''31). 

Sur  le  développement  en  série  (n"*  36)  de  la  fonction  r 
suivant  les  puissances  de  t. 

42.  La  fonction  r  satisfait  à  l'équation  différentielle 

et  nous  nous  proposons  de  déterminer  les  points  critiques  de  cette 
fonction  de  l,  afin  de  savoir  dans  quelles  limites  elle  est  développable 
suivant  les  puissances  de  '(. 

Il  est  d'abord  aisé  de  voir  que  le  sommet  de  la  courbe  qui  a  pour 
coordonnées  (^  =  o,  -  =  o)  est  un  point  critique  et  que  la  fonction  est 
développable  à  partir  de  ce  point  en  une  série  de  la  forme 

On  a  aussi  un  point  critique  correspondant  à 

En  effet,  aux  environs  d'un  tel  point,  le  second  membre  de  l'équation 
(A)  est  très  petit  en  comparaison  des  termes  du  premier  membre,  et 
cette  équation  se  réduit  sensiblement  à 


Intégrons  cette  équation,  et,  en  désignant  par  C  et  C  deux  constantes 
arbitraires,  nous  avons 

dt  2     ^ 


I02  CHAPITRE    V. 

et,  puisqu'on  doit  avoir,  si  l'on  suppose  le  point  à  l'origine  des  coor- 
données, 

dr  . 

-7=  =  =n  i     pour     Ç  r=  O, 
«s 

en  faisant  i  =^  \J—  i,  il  en  résulte 

CJ  T.    . 

et  la  valeur  de  r  devient,  pour  la  même  valeur  de  C 

r=r  L  ces-  =  o. 

2 

On  a  ainsi  deux  points  doubles,  pour  lesquels  -p  ~  ±:  {,  et,  en  dési- 
gnant par  a  et  p  deux  quantités  réelles,  on  peut  représenter  les  coor- 
données de  ces  deux  points  par 

^  =  a  +  p/,      /■  .—  o, 

L'expression  (B)  de  r  peut  s'écrire 

A'  =  L  ï 

2 


OU,  en  changeant  C  en  - 


/  =  tf  sin  j^' 


Nous  pouvons  prendre  cette  expression  pour  le  premier  terme  d'un  dé- 
veloppement et  poser 

ç  ç  t:  r 

(C)  /■  =  Cisin  T7  -H  D  sin-'-  h-  E  sin"-;;  4-  F  sin"  -  +.  .  .. 

Ij  L/  Ij  Li 

Si  t  a  un  petit  module,  on  peut  remplacer  dans  (A)  "C  par  son  dévelop- 

t 
pement  suivant  les  puissances  de  sin-r? 


GOUTTE    SUSPENDUE.  1  83 

et  en  prenant  le  radical  du  second  membre  de  (A)  avec  le  signe  di, 
puisqu'il  s'annule  en  ce  point,  on  aura,  si  l'on  désigne  par  A'  la  valeur 
imaginaire 


que  prend  h  en  ce  point. 


'la" 

~b 

a  - 

-  p  i 

It, 

D  = 

-  ^ 

h'  C'^ 
cû-  lo 

E  = 

-^ 

C^  (//  +  ( 
i8a- 

^ 

56  F 

+  i6J)=. 

ziz 

i5A'CD/ 

•5 

et  il  est  aisé  de  voir  qu'on  obtiendra,  pour  tous  les  coefficients  de  la 
formule  (C),  des  valeurs  finies  et  déterminées. 

43.  Si  l'on  fait  c  =  o  et  cm,  =  i  dans  les  expressions  données  au 
n*'  36  pour  les  coefficients  du  développement 

r  --=  c  -V  cm  1  V  4-  cm  2  ^-  -i-  .  .  . , 

on  aura  /==  o,  et  l'on  voit  que  tous  les  coefficients  se  présentent  sous 
la  forme  -;  ils  sont  cependant  déterminés.  En  effet,  nous  avons  re- 
marqué que  la  série  (C)  a  tous  ses  coefficients  finis  et  déterminés. 
Remplaçons  sin^par  son  développement,  et  nous  aurons 

44.  La  fonction  r  n'a  pas  d'autres  points  critiques.  Si  donc  on  pose 

et  qu'on  regarde  u,v  comme  les  coordonnées  rectangulaires  d'un  point, 
la  fonction  r  sera  développable  à  partir  du  point  {u  =p,  t'  =  o),  sui- 
vant les  puissances  de  C  =  ^  —  p,  dans  l'intérieur  d'un  cercle  décrit  de 
ce  point  comme  centre,  de  manière  qu'il  ne  renferme  pas  les  points  cri- 
tiques. 
Dans  l'application  IV  (n"40),  on  a,  pour  le  cercle  de  gorge,  :r  =  2, 673  et, 


l84  CHAPITRE    V. 

àtrëspeuprès,  pour  les  deuxderniers  points  critiques, 5  =  2, 673  ±o,3f. 
Il  en  résulte  que  les  développements  de  r  sont  peu  convergents  dans  le 
haut  delà  goutte.  Dans  l'application  I  (n"37)  au  contraire,  le  méri- 
dien de  la  surface  de  la  goutte  s'éloignant  beaucoup  de  l'axe  sur  le 
cercle  de  gorge,  on  comprend  facilement  que  la  même  série  soit  très 
convergente  sur  tout  l'arc  ad. 

On  s'explique  de  la  même  manière  pourquoi,  selon  ce  qui  a  été  dit 
(n"  26),  la  série  analogue  relative  à  une  goutte  de  mercure  est  très  con- 
vergente au-dessous  de  son  plus  grand  parallèle,  dès  que  le  rayon  de 
ce  cercle  surpasse  3™"". 

Compte- gouttes. 

45.  Quand  une  goutte  se  forme  à  l'extrémité  d'un  tube  capillaire  ver- 
tical, adapté  au  fond  d'un  vase,  pour  ensuite  tomber,  elle  grossit  peu  à 
peu,  puis  s'étend  au  delà  du  rayon  du  tube;  enfin  elle  se  creuse.  Elle 
affecte  finalement  les  figures  complètes  dont  j'ai  calculé  plusieurs  cas 
dans  les  n"'  37  à  40  ;  alors  elle  se  rompt  sur  le  cercle  de  gorge,  dont 
le  rayon  diffère  très  peu  du  rayon  de  la  section  extérieure  ou  intérieure 
du  tube,  suivant  que  la  goutte  est  attachée  au  cylindre  extérieur  ou 
intérieur. 

Bien  que  la  goutte,  avant  de  se  détacher  sur  le  cercle  de  gorge, 
prenne  une  figure  d'équilibre  instable,  on  ne  peut  cependant  consi- 
dérer l'ensemble  formé  par  la  goutte  et  par  le  liquide  du  vase  et  du 
tube  comme  un  système  en  équilibre.  C'est  pour  cette  raison  que  la 

quantité  désignée  au  n°  36  par  —  H  =  ^| q  ne  représente  pas  la 

hauteur  du  niveau  du  liquide  du  vase  au-dessus  du  cercle  de  gorge.  La 
hauteur  de  ce  niveau  n'altère  pas  la  forme  de  la  goutte;  quand  cette 
hauteur  croît,  la  vitesse  de  l'écoulement  est  seulement  augmentée. 

En  supposant  même  le  vase  d'une  longueur  indéfinie,  la  vitesse  d'é- 
coulement ne  sera  pas  uniforme.  Au  moment  où  la  goutte  se  creuse,  il 
se  produit  une  traction  capillaire  de  dedans  en  dehors,  qui  accélère  la 
descente  du  liquide  du  vase. 

La  théorie  que  je  viens  d'expliquer  est  confirmée  par  les  expériences 
de  Dupré.  En  eff'et,  d'après  les  calculs  que  j'ai  faits  ci-dessus  sur  les 


GOUTTE    SUSPENDUR.  l85 

figures  des  gouttes  prêtes  à  se  détacher,  il  résulte  que,  si  le  diamètre 
du  tube  capillaire  est,  en  millimètres, 

0,39.     1,1 3,     o.,68,     4,20, 
les  poids  des  gouttes  sont  respectivement,  en  milligrammes, 

7,716,    21,074,    44,18,    69,0.6. 

Or  Dupré  a  trouvé  par  l'expérience  (Dupré,  Théorie  mécanique  de  laeha- 
/^7/r,  Cliap.TX)  que,  pour  les  diamètres 


m  111 


0,9,,  0,5^,      I,i5,      ■:!,i5,      y.,-?.^)-?.,      3,o'|,      4,06,      4,445,      5,1:2,      10,435, 

les  poids  des  gouttes  sont,  à  la  température  de  9.'S°,  en  milligrammes, 

4,20,     12,4,     2r,g,     35,1,     4o,8,       5o,o,     65, o,     70,0,       76,5,       85,6, 

et  les  nombres  que  j'ai  trouvés  s'accordent  bien  avec  ces  derniers.  Il 
faut  remarquer  que  les  diamètres  donnés  par  Dupré  sont  ceux  des  tubes 
et  que  les  diamètres  que  j'ai  calculés  sont  ceux  des  cercles  de  gorge  de 
la  goutte;  mais,  par  cette  comparaison  même,  on  voit  que  les  seconds 
diamètres  doivent  différer  très  peu  des  premiers.  Il  est  aussi  utile  de 
dire  que  Dupré  déclare  qu'il  aurait  pu  arriver  à  une  précision  plus 
grande,  s'il  avait  pu  consacrer  plus  de  temps  à  ses  expériences. 

46.  Ilagen  a  employé  le  premier  le  compte-gouttes  pour  comparerles 
tensions  superficielles.  On  place  le  liquide  à  essayer  dans  un  vase  muni 
d'un  tube  capillaire  par  lequel  il  s'échappe  par  goutte,  et  l'on  admet 
que  les  poids  de  deux  gouttes  de  deux  liquides  différents,  tombant  de 
cet  appareil,  sont  proportionnels  à  leurs  tensions  superficielles,  ou,  ce 
qui  revient  au  même,  que  les  volumes  de  ces  deux  gouttes  sont  pro- 
portionnels aux  constantes  capillaires  a-  et  a"-  de  ces  liquides.  En  fai- 
sant donc  couler  par  gouttes  un  même  volume  des  deux  liquides  et  dé- 
signant par  //  et  //'  le  nombre  des  gouttes  fournies  par  chacun,  nous 
aurions 

n'         a- 

(=<)  —  =  -7:.' 

n         a  - 

■    Mais  la  proportionnalité  des  poids  des  sfouttes  des  deux  liquides  à 

24 


l86  CHAPITRE    V. 

leurs  tensions  superficielles  est  loin  d'être  très  exacte,  ainsi  que  je  vais 
l'expliquer. 

On  a,  pour  le  volume  de  la  goutte  depuis  son  sommet  jusqu'au 
cercle  de  gorge,  en  désignant  par  R  le  rayon  de  ce  cercle  et  par  ^  la 
hauteur  de  la  goutte  (n"  36), 


V:r.:27:R«^--(^-7)-R'; 


on  a  ensuite,  d'après  rtk|uation  du  méridien  de  la  goutte, 


9.«-  „/_!_  I 


rj  ^^-  a-[  —  — 


i  étant  le  rayon  de  courbure  du  méridien  sur  le  cercle  de  gorge,  pris 
positivement;  en  remplaçant,  on  a 


Y  =  .Wa^{^-^[ 


Pour  le  volume  d'une  goutte  du  second  liquide  sortant  du  même  appa- 
reil, on  aurait 


V'=--:7rR2«'M^^+    '- 


en  accentuant  les  lettres  pour  la  seconde  goutte,  mais  R  reste  le  même. 
Or,  pour  que  le  rapport  de  Y  à  V  fût  égal  à  celui  de  ^,  il  faudrait  que 
x'  fût  égal  à  ï,  et  l'on  conçoit  facilement  que  cette  égalité  ne  doit  pas 
avoir  lieu. 

Au  reste,  examinons  les  valeurs  de  î^  et  ^  pour  les  quatre  gouttes 

que  j'ai  calculées;  on  obtient  ^  en  calculant  la  valeur  de  -^  sur  le 
cercle  de  gorge.  Nous  trouverons  ainsi  : 

Application  I,      h -r^  ?.™"^ ÏÏ  ~    2~i"    ~  °'^"^'     ~  =  ^'  ^9»» 

11,^-1,75....      r^=7:^-«'7^6,     ^=:=o,.98, 

ni'  '^-''5 n  =  d65  =  ''""'     T^''«^^^' 

IV,    b.=  ^ ïï^^^^''^^'     ^  =  3,484. 


GOUTTE    SUSPENDUE.  ign 

Le  rapport  tle  -  ^i  jr  ^i  respectivement  pour  valeurs 

(?)  0,399,     o,4oo,     o,58o,     0,678. 

Si  ce  rapport  était  constant  pour  un  même  liquide,  il  le  serait  aussi 
quanti  on  passerait  d'un  liquide  à  un  autre,  cardiaque  goutte  du  premier 
liquide  a  sa  semblable  dans  le  second  liquide  (n"  35),  et  si  R  était  le 
même  dans  deux  gouttes  de  ces  liquides,  t.  le  serait  aussi.  Les  nombres 
{{i)  étant  différents,  cette  propriété  n'a  pas  lieu.  Toutefois,  comme  ces 
nombres  ne  varient  pas  rapidement,  on  comprend  qu'on  puisse  obtenir 
une  certaine  approximation,  en  déduisant  a'-  de  la  formule  (a),  pourvu 
que  le  rapport  plus  grand  que  l'unité  des  deux  nombres  rr,  a"-  ne  soit 
pas  trop  grand. 

47.  Montrons  comment  on  pourra  vérifier  si  le  compte-gouttes  ainsi 
appli(|ué  donne  un  résultat  suffisamment  approché. 

Supposons  que  le  premier  liquide  dont  la  constante  capillaire  est 
a-  soit  l'eau,  et  concevons  qu'on  ait  fait  les  calculs  des  n''^  37  à  40 
pour  un  plus  grand  nombre  de  gouttes  d'eau,  en  sorte  qu'elles  ne  dif- 
férent successivement  que  par  petits  degrés.  Connaissant  le  volume  V 
de  la  goutte  d'eau  (|ui  tombe  de  l'appareil,  nous  pourrons  en  conclure 

b,  Il 

par  interpolation,  et  nous  n'avons  pas  besoin  d'admettre  que  R  soit  le 
rayon  du  tube.  Au  moyen  de  la  formule  (a),  nous  calculons  a'-  approxi- 
mativement et  nous  connaissons  V  exactement  par  l'expérience. 

Pour  la  valeur  a^  de  l'eau,  construisons  la  courbe  qui  a  pour  abscisses 
les  quantités  b  et  pour  ordonnées  correspondantes  les  quantités  R. 

Pour  la  valeur  trouvée  pour  a'-,  construisons  la  courbe  analogue  à 

a' 

la  précédente,   ayant    pour    abscisses  b  —  b  —  et    pour  ordonnées 

R'  =  R^. 

Dans  cette  seconde  courbe,  prenons  l'ordonnée  égale  à  la  valeur  R 
du  cercle  de  gorge  des  deux  gouttes  ;  l'abscisse  correspondante  b'  sera 
le  rayon  de  courbure  au  sommet  de  la  goutte  du  second  liquide. 

Considérons  la  goutte  d'eau  semblable  dont  le  rayon  de  courbure  au 


l88  CHAPlTHi:    V.    —    GOUTTE    SUSPENDUE. 


sommet  est  b,  =  //  — ,  et  soit  V,  son  volume.  Le  volume  V  de  la  ûoutte 

liquide  doit  être  égal  à  -,— ^«  =  ~i  ^  <•   Si  cette  égalité  n'a  pas  lieu  à 

très  peu  près,  c'est  que  a'-  a  été  mal  calculé  au  moyen  de  la  for- 
mule (a). 

Dans  ce  cas,  en  augmentant  ou  diminuant  a'-  et  reprenant  la  même 
méthode,  on  pourra  parvenir  à  corriger  le  premier  résultat  trouvé. 

On  peut  remarquer  que,  dans  cette  recherche,  R  n'est  pas  supposé 
égal  au  rayon  du  tube;  mais  ce  qui  est  plus  exact,  on  le  suppose  égal 
au  rayon  du  cercle  de  gorge,  qu'on  regarde  comme  le  même  pour  les 
deux  gouttes  des  deux  liquides,  qui  tombent  du  même  appareil. 


FIN. 


TABLE  DES  MATIÈRES. 


Pages 
Préface v 

Dédicace vu 

Introduction.  —  H  istoiiquc i 


CHAPITRE  I. 

DES    PRINCIPES    DE    LA    THÉORIE    DE    LA    CAPILLARITÉ. 


Application  du  principe  des  vitesses  virtuelles - 

Comment  on  tient  compte  du  changement  de  densité  présenté  par  le  liquide  tout  près  de 

sa  surface q 

Nouvelle  forme  de  l'équation  du  principe  des  vitesses  virtuelles 12 

Remarques  sur  les  principes  employés  dans  les  numéros  précédents 12 

Equilibre  d'un  liquide  renfermé  dans  un  vase.  —  Calcul  de  l'angle  de  raccordement i4 

Sur  des  précautions  à  prendre  dans  l'application  du  principe  des  vitesses  virtuelles.  —  Ac- 
tion de  la  capillarité  sur  la  paroi  d'un  vase 20 

P'orce  capillaire  normale  à  la  surface  d'un  liquide  et  tension  à  cette  surface 28 


CHAPITRE  IL 

ÉLÉVATION    OU    DÉPRESSION   d'l'N   LIQUIDE    AUPRÈS    d'lNE    PAROI. 

Equation  aux  différences  partielles  de  la  surface  du  liquide. — Cas  oii  cette  surface  est 

de  révolution 26 

Poids  du  liquide  soulevé  par  la  capillarité  dans  un  tube  vertical  ;  —  dans  un  tube  incliné.       28 

Élévation  ou  dépression  d'un  liquide  auprès  d'une  lame  verticale  qui  y  est  plongée 33 

Élévation  ou  dépression  d'un  liquide  entre  deux  plaques  fixes,  planes,  verticales  et  paral- 
lèles qui  y  sont  plongées.  —  Cas  où  le  liquide  s'élève  sur  chaque  lame  prise  isolément; 
—  où  il  s'abaisse  sur  chacune  prise  isolément;  — où  il  s'élève  sur  l'une  et  s'abaisse  sur 
l'autre 35 


K)Ô  TABLE    DES    JIATIEKES. 

Pages 

Élévation  ou  dépression  d'un  liquide  dans  un  tube  circulaire  et  capillaire.  —  Cas  où  l'angle 
de  raccordement  est  nul.  —  Épaisseur  de  la  couche  qui  humecte  la  paroi  intérieure  du 
tube.  —  Variation  de  la  hauteur  capillaire  avec  la  température ^5 

Tube  non  cylindrique,  mais  de  révolution  et  dont  l'axe  est  vertical.  —  Des  différents 
écjuilibres  de  la  colonne  capillaire  dans  ce  tube 5i 

Tube  conique  vertical 56 


CHAPITRE  111. 

LIQUIDES  SUPERPOSÉS.  —  SUSPENSION  DANS  l'aIR  d'uN  LIQUIDE  PAR  UN  ÏUBE  CAPILLAIRE. 

Équilibre  d'un  système  composé  de  ticux  liquides  et  d'un  corps  solide 59 

Superposition  d'une  goutte  de  liquide  à  un  autre  liquide 62 

Figui-es  d'équilibre  d'une  masse  liquide  soustraite  à  l'action  de  la  pesanteur.  —  Détermi- 
nation de  ces  figures  quand  elles  sont  de  révolution 67 

Stabilité  de  l'équilibre  d'un  cylindre  sans  pesanteur.  —  Comment  la  théorie  parait  au 
premier  abord  en  contradiction  avec  l'expérience.  Explication  de  ce  désaccord  apparent.       ^3 

Figures  d'équilibre  d'un  liquide  sans  pesanteur,  qui  ne  sont  pas  de  révolution 79 

Poids  des  liquides  superposés  dans  un  tube  capillaire.  —  Théorème  de  Laplace.   Cas  où 
l'angle  de  raccordement  du  liquide  inférieur  avec  la  matière  du  tube  est  imaginaire. 

—  Explication  d'une  expérience  de  Thomas  Young 80 

Enfoncement  d'un  tube  capillaire  dans  un  vase  renfermant  deux  liquides  superposés....       83 
Sur  la  hauteur  des  sommets  de  deux  Ii(pii(les  superposés  dans  un  tube  circulaire  (fui  plonge 

dans  le  li(|uide  inférieur 84 

Suspension  d'un  liquide  par  un  tube  vertical  de  révolution 87 

Suspension  d'un  liquide  dans  un  tube  conique  vertical 89 

Inclinaison  sous  laquelle  il  faut  mettre  l'axe  d'un  tube  conique  pour  qu'une  goutte  reste 
suspendue  à  un  endroit  donné  du    tube.  —  Problème  semblable  pour  deux  lames  qui 

comprennent  entre  elles  un  très  petit  angle 91 

Suspension  d'un  liquide  dans  un  tube  cylindrique  vertical  par  l'effet  du  frottement  contre 

le  tube  et  de  la  viscosité  du  liquide g'j 

Suspension  d'un  liquide  à  l'extrémité  d'un  tube  vertical 97 

Suspension  d'un  liquide  à  l'extrémité  d'un  tube  capillaire  adapté  au  fond  d'un  vase 100 


CHAPITRE  IV. 

.MODIFICATION    DE    LA    PRESSION    HYDROSTATIQUE    PAR    LES    FORCES    CAPILLAIRES. 

Attraction  et  répulsion  entre  deux  lames  verticales  parallèles,  plongées  dans  un  liquide.  102 
Détermination  synthétique  de   la  poussée  verticale  qui  sollicite  un  corps  de  révolution, 

dont  l'axe  est  vertical,  et  qui  est  immergé  en  partie  dans  un  liquide 106 

Solution  du  problème  pTécédent  pour  un  corps  de  forme  quelconque 1 10 

Équilibre  d'un  petit  corps  placé  à  la  surface  d'un  liquide  moins  dense  que  ce  corps ii3 

Démonstration  analytique  des  résultats  précédents 1 14 

Sur  les  composantes  horizontales  des  forces  exercées  par  un  liijuide  sur  un  corps  flottant.  117 

Sur  la   théorie  donnée  par  Poisson i'^ 


TABLF    DES    MATIÈRES. 


'9ï 


Pages 

Calcul  des  trois  composantes  des  forces  capillaires nq 

Calcul  des  moments  de  ces  forces , 1 22 


CHAPITRE  V.  ■ 

ÉLÉVATION   d'uX    LIQUIDR   Al    MOYKN    DL.N    DrSQLE    HORIZONTAL.    —    FIGURES    DES    GOUTTES 
DE    LIQUIDE    POSÉES    SUR    UN    PLAN    HORIZONTAL    OU    SUSPENDUES. 


Poids  d'un  liquide  soulevé  au  moyen  d'un  disque lafi 

Calcul  de  la  surface  du  liquide  soulevé  par  le  disque.  —  Elévation  niaxiniuni  du  ii((iiide. 

—  Cas  où  le  liquide  soulevé  est  le  mercure.  —  l-]xpériences  de  Gay-Lussac iît 

Goutte  d'un  liquide  sur  un   plan  horizontal i34 

Figure  d'une  large  goutte  de  mercure  placée  sur  un  plan  horizontal.  —  Calcul  du  rayon 

du  plus  grand  parallèle  de  la   goutte.  —  Calcul  des  dimensions  de  cette  goutte  d'après 

son  volume i3G 

Goutte  de  mercure  de  révolution  placée  entre  deux  lames  horizontales i^a 

Détermination  de  la  constante  capillaire  du  mercure  et  de  l'angle  de  raccordcmenl  tic  ce 

liquide  avec  le  verre r^6 

Calcul  d'une  petite  goutte  de  mercure  posée  sur  un  plan.  —  Premier  et  second  système  de 

formules  pour  calculer  le  méridien  de  la  goutte.  —  Application  à  plusieurs  exemples. 

—  Expériences  de  Gaj -Lussac  et  d'Éd.  Desains 1 1- 

Calcul  des  dimensions  d'une  goutte  moyenne  de  mercure.  —  Connaissant  le  poids  d'une 

goutte  et  son  plus  grand  rayon,  comment  on  en  pourrait  déduire  l'angle  de  raccordement 

de  la  goutte  avec  le  plan  de  base i54 

Figure  d'une  bulle  d'air i58 

Influence  de  la  capillarité  sur  le  baromètre.  —  Calcul  de  la  llèclie  du  ménisque  mercuriel. 

—  Élévation  d'un  liquide  dans  un  tube  large  et  vertical i58 

Deux  méthodes  par  quadrature  pour  former  une  Table  de  la  dépression  barométrique  due 

à  la  capillarité t63 

Table  donnant  cette  dépression 169 

Figures  de  gouttes  suspendues  à  un  corps  solide  qu'elles  mouillent.  —  Représentation  de 
gouttes  au  moment  où  elles  sont  près  de  se  détacher  sur  le  cercle  de  gorge,  près  de  l'ori- 
fice du  vase  d'où  le  liquide  s'écoule.  —  Examen   particulier  des  gouttes  d'eau  quand  le 

rayon  de  l'orifice  varie  entre  2°"", 100  et  o""",ig5 l'jo 

Figure  d'une  goutte  suspendue  à  un  tube  et  en  équilibre  stable 180 

Sur  le  développement  en  série  de  la  fonction  r  suivant  les  puissances  de  Ç 181 

Compte-gouttes i84 


8866 


Paris.  —  Imprimerie  de  Gauthier-Villars,  quai  des  Augustins,  55. 


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