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THÉORIE
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
JuLius PETERSEN,
PROFESSEUR A LUNIVERSITE DE COPENHAQUl
MEMBRE DE L'aCADÉMIE ROYALE DES SCIENCES.
TRADUCTION PAR
H. LAURENT,
K\ainin3lPur il'ailmission :i rKrult* l'ulyleelini(|ue île l'iirU.
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai (les Granris-Augustins, 55.
1897
THÉORIE
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES,
CHEZ LES MEMES EDITEURS.
DU MÊME AUTEUR :
Méthodes et théories pour la résolution des problèmes de con-
structions géométriques, avec application à plus de 400 pro-
blèmes; traduit par 0. Chemin.
Deuxième édition 4 fr.
THÉORIE
ÉQUmONS ALGÉBRIQUES
JuLius PETERSEN,
'ROFESSEUR À L" UNIVERSITE DE COPENHAGUE
MEMBRE DE l'aCADÉMIE ROYALE DES SCIENCES.
H. LAURENT,
Examinalcur d'admission à l'École l'olylcchiiique de Vai
PARIS,
GAUTHIER-VILLARS/ ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
Quai des Grands-Aiiguslins, 55. /)
1897 , >^
si
Tous droits réservés.
au
PRÉFACE DU TRADUCTEUR.
Je n'ai pas la prétention de faire l'éloge de la Théorie
des équations algébriques de M. Petersen, ce Livre est
connu et apprécié en France, et depuis longtemps on
en désirait une traduction.
Sous un volume relativement petit, l'édition française
que nous publions aujourd'hui contient les matières dé-
veloppées dans la plupart des Traités d'Algèbre supé-
rieure, mais il contient, en outre, une théorie des équa-
tions résolubles au moyen d'équations du second degré
avec la condition nécessaire et suffisante pour qu'un
problème de Géométrie puisse être résolu au moyen de
la règle et du compas; c'est, je crois, le seul Traité
didactique dans lequel cette question importante se
trouve traitée ('). Il contient aussi une théorie entière-
ment nouvelle de la théorie des formes binaires (-), due
(1) Le Chapitre relatif aux équations résolubles au moyen de racines
carrées est tout à fait original; il est extrait de la thèse soutenue par
M. Petersen pour obtenir le grade de docteur en 1871.
(-) Celle théorie des covarianls a été donnée en 1879-1880.
VI PRÉFACE or TRADUCTEIR.
à M. Petersen, qui n'existait pas dans l'édition originale
et qui, bien entendu, n'a encore paru dans aucun Traité
classique; cette théorie, qui fait l'objet du dernier Cha-
pitre, sera lue avec intérêt, je l'espère, non seulement
par les jeunes étudiants de nos Facultés et de nos Ly-
cées, mais encore par leurs maîtres et par les savants.
Les personnes qui n'ont pas encore lu l'Ouvrage de
M. Petersen et qui voudront bien étudier dans cette tra-
duction, remarqueront la simplicité et la clarté de l'ex-
position qui font le charme de ce Traité d'Algèbre. Pour
le lire avec fruit, il suffit de posséder les parties les plus
élémentaires des Mathématiques, avec les quelques no-
tions de Calcul différentiel enseignées dans les cours de
nos Lycées qui préparent aux Écoles Polytechnique et
Normale. Les candidats à ces Écoles trouveront, dans les
trois premières Parties, le développement des matières
exigées aux examens d'admission, avec de nombreuses
applications. Ils y trouveront la démonstration de théo-
rèmes utiles pour la délimitation et la séparation des
racines, de nombreuses méthodes d'élimination, de
curieuses méthodes d'approximation, peu connues en
France, et cependant fort intéressantes.
Les élèves forts et qui ne travaillent pas dans le but
exclusif d'entrer dans une École liront avec intérêt
la théorie des équations abéliennes et le Chapitre re-
PRÉFACE DU TRADUCTELIJ. VII
latif à l'équation du cinquième degré, où l'impossibi-
lité de la résolution de cette équation se trouve établie
par des moyens tout à fait élémentaires; et môme, la
théorie des équations résolubles au moyen d'équations
du second degré, qui conduit à trouver les conditions
nécessaires et suffisantes pour qu'un problème de Géo-
métrie puisse être résolue au moyen de la règle et du
compas.
La quatrième et la cinquième Partie contiennent :
i*" la théorie des substitutions de lettres et des équations
algébriques avec l'exposé des recherches d'Abel et de
Galois; 2° la théorie des formes linéaires, dont nous
avons parlé plus haut. Ces dernières Parties s'adressent
plus particulièrement aux élèves de nos grandes Écoles ;
les maîtres même y trouveront l'occasion de s'instruire.
Je termine en remerciant M. Petersen d'avoir bien
voulu me permettre de traduire son Traité d'Algèbre et
de mettre mes compatriotes à même de profiter des
excellentes choses qu'il contient.
H. Laurent.
TABLE DES MATIÈRES.
PREMIERE PARTIE.
SUR DES ÉQUATIONS EN GÉNÉRAL.
CHAPITRE I.
Pascs
Propriétés générales des équations algébriques i
Sur les expressions imaginaires. Fonctions rationnelles entières. Nom-
bres des racines d'une équation. Racines conjuguées des équations à
coefficients réels. Détermination de la racine commune à deux équa-
tions. Condition pour que deux équations aient des racines communes.
Racines égales. Expressions des coefficients en fonction des racines.
CHAPITRE II.
Relations entre les coefficients et les racines xiS
Fonctions symétriques des racines. Formules de Newton. Autres fonc-
tions symétriques. Nouvelle méthode pour le calcul des fonctions sy-
métriques des racines. Formules générales pour le calcul de s ^ et
de a . Equation aux carrés des différences. Fonctions rationnelles des
racines.
CHAPITRE ni.
Sur l'élimination i.1
Elimination d'une quantité. Application de la théorie des fonctions symé-
triques. Méthode de Labatie. Méthode d'Euler. Méthode de Sylvester.
Méthodes de Bézout et de Laurent. Systèmes de plusieurs équations
à plus de deux inconnues. Théorème de Bézout. Théorème de Jacobi.
Méthode de Poisson.
TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITRE IV.
Pages
Transformation des équations 72
Transformation linéaire. Equations réciproques. Formation des équa-
tions clans lesquelles une racine est fonction de plusieurs racines
d'une équation donnée. Méthode de Tschirnaus pour faire disparaître
des termes d'une équation.
DEUXIEME PARTIE.
SUR LA SOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS.
CHAPITRE I.
L'équation du troisième degré ou l'équation cubique 89
Méthode de Hudde. Méthode de Lagrange. Méthodes de Tschirnaus et
d'Euler.
CHAPITRE II.
V équation du quatrième degré ou équation biquadratiquc 96
Méthode de Lagrange. Méthode de Descartes. Méthode de Ferrari. Mé-
thodes de Tschirnaus et d'Euler. Étude approfondie de la Méthode de
Descartes.
CHAPITRE IH.
L'équation binôme i o3
Expression des racines au moyen des lignes trigonométriques. Pro-
priétés des racines. Application de la théorie des équations récipro-
ques aux équations Linomes.
CHAPITRE IV.
L'équation du cinquième degré 112
Impossibilité de résoudre cette équation algébriquement.
TABLE DES MATIÈRES. XI
CHAPITRE V.
Pages
Décomposition des poljnoines rationnels en facteurs rationnels. . . 117
Facteurs du premier degré. Expression ge'nérale d'un facteur de f(x).
CHAPITRE VI.
Équations abc'lienncs 124
Équations dans lesquelles une racine peut s'exprimer rationnellement
en fonction d'une autre. Equation ahdlienno dont les racines forment
un groupe. Examen du cas où le degré de Te'quation n'est pas un
nombre premier. Sur les équations irréductibles dont deux racines
sont liées par la relation x, x^-\- ax^'\- bx^-\- c = 0. Résolution algé-
brique des équations binômes. Division de la circonférence en 17 par-
ties égales. Réduction de l'équation a;'= = i. Propriété de l'équa-
. xy—\
tion • = 0 ou « est premier.
:r — I
CHAPITRE VU.
Équations résolubles à l'aide de racines carrées r")o
Forme des racines. Résolution de l'équation. Condition pour qu'il soit
possible de résoudre l'équation. Application à un problème de Géomé-
trie. Intersection d'un faisceau avec une courbe du quatrième ordre.
TROISIEME PARTIE.
SUR LA RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS.
CHAPITRE I.
Séparation des racines 167
Limites des racines réelles. Nombre des racines comprises entre deux
nombres donnés. Théorème de Descartes. Théorème de Budan. Théo-
rème de Rolle. Théorème de Sturm. Application du théorème de
Sturm aux racines imaginaires. Séparation des racines réelles. Mé-
thode de Fourier. Théorème de Newton. Généralisation du théorème
de Descartes.
TABLE DES MATIÈRES.
CHAPITIΠH.
Pascs
Calcul des racines des équations numériques ^"3
Calcul des racines commensurables. Interpolation. Méthode d'approxi-
mation de Newton. Méthode de Lagrange. Méthode de Horner. Calcul
des racines imaginaires.
QUATRIEME PARTIE.
SUR LES SUBSTITUTIONS.
CHAPITRE I.
Des substitutions en "énéral
Ordre des substitutions. Substitutions circulaires. Substitutions sembla-
bles et échangeables. Substitutions positives et négatives.
CHAPITRE II.
Substitutions co?ijuguces ou groupes 245-
Théorème de Lagrange. Substitutions permutables avec un groupe. Sur
la formation de quelques groupes. Le groupe alterné. Groupes que
l'on peut former par la multiplication des substitutions d'autres
groupes. Théorème de Cauchy. Groupes transitifs et intransitifs. Sur
les groupes transitifs qui contiennent d'autres groupes également
transitifs. Groupe d'une fonction et nombre des valeurs qu'elle peut
acquérir. Indice d'un groupe. Dos substitutions linéaires.
CHAPITRE m.
Théorie de Gnlois 276-
Groupe d'une équation. Propriétés du groupe d'une équation. Réduc-
tion du groupe au moyen de quantités adjointes. Adjonction des ra-
cines d'une équation auxiliaire.
TABLE DES MATIÈRES. Xlll
CHAPITRE IV.
Pages
Applications de la théorie de Galois ■^Q'î
Équations abéliennes. Equation de Galois. Equations dont le groupe a
pour ordre une puissance d'un nombre premier. Équation de Hesse.
Groupe de monodromie d'une équation.
CINQUIEME PARTIE.
SUR LKS FORMES.
CHAPITRE I.
Covariants des formes binaires 3 i i
Formes et substitutions linéaires. Symboles. Coefficients et fonctions
transformées. Semi-invariants. Covariants. Formation de nouveaux
semi-invariants. Systèmes généraux de formes jusqu'à « = 4- Formes
quadratiques à plusieurs variables. Substitutions orthogonales. Inva-
riants.
iNOTE.
Sur l'équation .r'» = i 3 jC)
ERRATA.
Au lieu de
2.3
7 en rem.
38
formule (9)
45
i3 en rem.
52
2
54
'7
59
i5 en rem.
60
8
62
12 en rem.
G7
S
77
7
84
i4
84
3 en rem.
89
6
91
2
loi
II en rem.
103
6 en rem.
106
i3
m
6
120
6 en rem.
122
i4 en rem.
122
i3 en rem.
i3o
2 en rem.
,40
I en rem.
i4i
3 en rem.
l52
5 et 6
i53
2 en rem.
160
6 en rem.
179
7 en rem.
187
10 en rem.
217
I en rem.
221
17
235
5 en rem.
p — I fois appartient à ligne 9.
s s„.
p "
Ainsi, Mais.
6.1- +4
Terrard
d'eux
irréductible.
r-
(2).
m.
¥z.
6X-4.
Jerrard.
des restants.
réductible.
racines imaginaires.
qui sont... binômes appartient à ligne i5 après celles
divisibles. divisible.
on peut
3490
cabd
on le peut,
en un.
■2-iZ
car jj.
F-
3.
34940
bdea.
ERRATA.
Pages
Lignes
Au lieu lie
Lire
243
3 en rem.
des trois
trois des.
248
4 en rem.
\-
X-.
250
25 1
10
II en rem.
{be),l,cd)
ces
{be){cd).
les.
253
6 en rem.
un
un plus
256
2 eu rem.
c,
269
278
5
4 en rem.
y
A'
a".
285
I
z= z
Z=ZZ.
288
290
292
II
■4
I en rem.
pour
un
fouctions
par
le
équations
299
3o3
9
II en rem.
Q
P.
G
3o4
12
'9
If) en rem.
lignes triples
ligne triple
lignes triples
pour la fouction
0,
lignes
ligne d'un triple
triples de lignes
par l'adjonction
G,
3i3
14 en rem.
fonctions
formes
3i8
I eu rem.
•••■î H- ■ • •
''',
319
I ( en rem.
P
V-
THÉORIE
DES
ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.
CHAPITRE I.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES.
Sur les expressions imaginaires.
1. Si l'on désigne par i l'expression imaginaire \'^i, la
forme générale d'une quantité imaginaire ou d'un nombre
complexe sera
a -+- bi,
oix a Ci b sont réels. Si l'on pose
(i; a^rcosO, /['^/•siiiO,
on aura
y > ) a ■+- bi ~ r ( eos 0 -f- / sii 1 0 )
et
) r = v/«'--H b- , taiigO =
/■ est le module, il est essentiellement positif; Ô est l'argu-
ment, (3) donne pour d deux valeurs, mais (i) montre que
cos9 a le signe de a et sin9 celui de b, et, comme ces signes
déterminent le quadrant où se termine B, l'arc compris entre
o et 271, dont la tangente est tang9, se trouve bien déter-
P. I
2 / CHAPITRE I.
miné. En réalité, Q possède une infinité de valeurs posi-
tives ou négatives différant entre elles de ipn, où p désigne
un entier arbitraire positil" ou négatif. Dans la suite, il sera
sous-entendu que l'on peut toujours ajouter à l'argument ce
nombre 2/:>7r. On représente encore, pour abréger, la quantité
qui a pour module /• et pour argument Q par la notation /-,.
Exemples :
1 = 1^, / = I ^, — 1 -1- / y '^ = 2 2 Tt, — I / /3 = 2 i TT.
2. L'imaginaire a + bi peut être représentée par un point.
Soient 0 {fig. i) une origine et OXun axe orienté; un point A
est déterminé quand on donne le rayon vecteur /• et l'angle B
qu'il fait avec l'axe OX; on peut représenter ce point par la
notation re; on voit que les quantités réelles sont représen-
tées par les points de l'axe OX. On voit aussi que /■ repré-
sente en quelque sorte la valeur numérique de r%, et que le
fcicteur cos9 + i^inQ en détermine la direction, il joue le rôle
d'un signe directif. Les signes + et — désignent deux direc-
tions opposées sur l'axe OX, de même i et — i représentent
les deux directions opposées perpendiculaires à OX. Nous
allons montrer comment, en généralisant la notion d'addi-
tion, on peut déduire de ces directions toutes les autres.
Au lieu de dire que l'imaginaire /-g représente le point A,
on peut dire que le ra^^on orienté OA est représenté par /'o.
Les deux imaginaires a + bi, a — bi sont dites conjuguées;
elles ont même module, leurs arguments sont égaux et de
signes contraires, les points qu'elles représentent sont symé-
triques par rapport à l'axe OX.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 3
3. Calcul des imaginaires. — Nous allons maintenant géné-
raliser la notion d'addition, de manière à obtenir pour les
imaginaires un calcul analogue à celui des quantités réelles.
Soit donnée la formule
(« + bi) -h («1-!- bit) = a -i- ai-\- (b -+- bi)i;
les points qui représentent les parties de la somme ont res-
pectivement pour coordonnées a, b et «i, b^, celui qui repré-
sente la somme, a pour coordonnées « + «i et b-\-bx. Ces
trois points et l'origine des coordonnées sont les sommets
d'un parallélogramme dont les côtés sont r et /•,, les direc-
tions de ces côtés sont déterminées par les angles 6 et Oj.
L'addition se ramène donc à la recherche de la résultante
de deux droites ayant pour longueurs les modules et pour
directions les arguments des quantités à ajouter, et l'on voit
l'interprétation géométrique de ce fait qu'une somme ne
change pas quand on intervertit l'ordre de ses parties.
Lorsque la somme de plusieurs imaginaires est nulle, après
avoir composé les droites qui représentent les parties, on
revient à l'origine et la figure se réduit à un polygone fermé :
on peut donc dire que la somme des côtés d'un polygone
fermé est nulle, si l'on sous-entend que chaque côté repré-
sente une imaginaire, et qu'il est déterminé en grandeur et
en direction, ce qui détermine le sens dans lequel le poly-
gone doit être parcouru. On peut dire aussi que le point final
représente la même imaginaire quel que soit le chemin par-
couru. Ainsi la formule (2) montre que l'on arrive au même
point, soit en parcourant le rayon r dans la direction d, soit
en parcourant a dans la direction +1 et 6 dans la direction i.
Il résulte des considérations précédentes que le module d'une
somme est moindre que la somme des modules de ses parties,
pourvu que les parties n'aient pas toutes le même argument.
Dans ce dernier cas, en effet, le module de la somme serait
égal à la somme des modules de ces parties.
hdi soustraction revient à une addition avec changement de
signe de la partie à soustraire.
4 CHAPITRE I.
La notion de multipUcalion résulte de la considération de
la formule
/■(cos6 4- /siiiO) r^ (cosOi-(- i sinOi)
= r./-, [cos(0 + Oi) + / sin(0 + Oi)]
ou
(4) 'o '■'9. = ('■'•! Wô,-
On voit que le module d'un produit est égal au produit des
modules de ses facteurs, et que son argument est égal à la
somme des arguments des facteurs.
La multiplication par un facteur revient ainsi à une multi-
plication par le module de ce facteur (dans le sens ordinaire
du mot multiplication), suivie d'une rotation égale à l'argu-
ment de ce facteur. Soient A et Ai {fg. 2) les points qui re-
présentent les facteurs, B le point qui représente l'unité h-i,
et P celui qui représente le produit; on voit facilement que le
triangle OBA est semblable à OAiP.
Ainsi le triangle, formé par l'unité et l'un des facteurs, est
semblable au triangle formé par l'autre facteur et le produit.
Le produit est formé avec le multiplicande comme le multi-
plicateur est formé avec l'unité.
L'échange des points A et A, fournirait encore des trian-
gles semblables; c'est l'interprétation géométrique du théo-
rème relatif à la possibilité de l'interversion des facteurs.
Exemple :
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 5
La division se ramène à la multiplication. Quant à Y éléva-
tion aux puissances et à l'extraction des racines, elles don-
nent lieu aux formules {n étant un entier positif)
Dans le second membre de la dernière formule, on doit sup-
poser à B des valeurs de la forme B+ipr., et des valeurs dif-
férentes de /> pourront fournir des solutions différentes.
Dans la suite, on fera usage d'exposants fractionnaires,
lorsqu'on suppose toutes ses valeurs à une racine, au con-
traire, on fera usage du signe radical, lorsque l'on voudra
représenter une valeur bien déterminée; ainsi on aura
(6) (^e)"=(v/^)2pz + Q,
oh p doit recevoir les valeurs o, i, 2, ..., (/?— i). p=^n
donne le même résultat que /o = o; p^^n-^a donne le même
résultat que p^i^a. Ainsi le nombre des valeurs réellement
distinctes de (6) est n\ et, comme leurs directions partagent
Tespace en n parties égales déterminées par les directions
// // n II II
1
(/•fj)" aura au plus deux valeurs réelles données par les for-
mules
■ip--hO ■?.p--~-0
-i- = O OU — = -.
Il II
Dans le premier cas, on a ô = o, /5 =: o; dans le second cas,
on a 9 = o et 2/? = n ou 9 z= tt et 2/j> -1- i =: n. Si r^ est imagi-
naire, ses racines sont imaginaires; s'il est positif, une racine
sera positive, l'autre négative si n est pair; une seule racine
sera positive, si n est impair.
Enfin, si r^ est négatif, une racine sera négative si n est
impair, et toutes les racines seront imaginaires si n est pair.
O CHAPITRE I.
En combinant les résultats précédents, on obtient des théo-
rèmes analogues au sujet des exposants négatifs et fraction-
naires
Si la fraction - peut être réduite à une plus simple expres-
sion, l'expression de O'^y peut se simplifier également.
Exemple I :
les trois valeurs de cette expression sont
cos4o°-H f sin4o°, cos 160°-}- /sin 160°, cos28o"-+- j sinaSo".
Exemple II :
(—8)^, r = 8, v//' = 2, 0 = -;
1
les valeurs de (—8)^ sont
2-., 2_ et 25- ou I -H / y/j , — 2 et I — isf^.
Nous allons maintenant appliquer la théorie précédente à
des considérations géométriques.
On sait que l'expression
.ro — .ri ,r, — .r^
X'^ — x^ X'^ — j:3
reste invariable quand on remplace a?i, a?,, ^3, ^4 par — , — j
Xy x^
— 5 — • Supposons les quantités a; imaginaires et représentées
Xz X'^
par les points Aj, A,, A3, A4 {fi g. 3). Alors x^^ — x^ sera représenté
en grandeur et en direction par Ai Ao. Si l'on parcourt les seg-
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 7
inents analogues dans l'orclre Ai, A., A3, Ai; si l'on désigne
leurs modules par i\, /:,, r^, r., el leurs directions par de
Fig. 3.
A, _^ -^ R,
grandes lettres, X désignant la direction des quantités posi-
tives, on aura
^-2— ^1= /'UXR.I,
Le rapport considéré devient alors
r,{Xl\,)- r.iXR,)'
il a pour module
r-. Pi
et pour argument
(XRi) + (R,X) + (RiX)-T-(XI\3) = (R,R,) + (BiR3).
Ainsi le module de notre expression est le rapport des pro-
duits des côtés opposés du quadrilatère AiAïAaAj, et l'argu-
ment de cette expression est la somme des angles opposés
(et extérieurs); ces grandeurs restent inaltérées après la
transformation, qui consiste à remplacer a: par - ou Tq par
(-) ; si — 5 se change en 9, le point correspondant se change
en son symétrique par rapport à l'axe des quantités positives;
cela revient à changer la direction dans laquelle on compte
les angles positifs; on obtient alors (-) • Notre proposition
O CHAPITRE I.
a donc encore lieu si l'on remplace /'q par (-) , et si nous
changeons — 9 en 9, de telle sorte que le produit des distances
des deux points corpespondanl à l'origine soit égal à un. Les
deux points en question sont alors transformés l'un de l'autre
par rayons vecteurs réciproques. Nous venons donc de dé-
montrer par l'Algèbre que, par une transformation par rayons
vecteurs réciproques des sommets d'un quadrilatère, on n'al-
tère pas le rapport des produits des côtés opposés pendant que
la somme des angles opposés change son signe. Il est d'ailleurs
indifférent que le quadrilatère soit concave ou convexe.
Fonctions rationnelles entières.
k. Étant donnée la fonction entière
on peut toujours choisir le module /■ de c assez petit pour
que le module de f{z) devienne et reste plus petit qu'une
quantité donnée R.
En effet, soit a le plus grand module des coefficients de
f{z), on aura
mod /(c) <«(/•'" -^ r"'-i -!-.. .-t- /■) ou <« ; — ,
et si r < I
mod/(3)<-^,
et/(^) aura un module inférieur à R, si l'on prend
R
Il résulte de là que, dans la fonction
z"^V,
OÙ P désigne une fonction entière dans laquelle les expo-
sants de z sont supérieurs à n, on peut choisir le module
p
de z assez petit pour que mod— puisse être rendu phis petit
riiOPRIÉlÉS GÉNÉUALF.S DKS ÉQUATIONS ALGÉBRIQIKS. 9
qu'une quantité donnée; si l'on change -; en ^, on voit, par
suite, que l'on peut prendre le module de z assez grand pour
que
puisse surpasser toute quantité donnée, P désignant un poly-
nôme dans lequel tous les exposants de z sont inférieurs à n.
5. Une fonction entière et rationnelle de z est continue {^).
f{z) est continue si, z étant quelconque, on peut prendre
mod/i, tel que pour toutes les valeurs de h du module moindre
ou égal, le module de la dilïérence
/(3-/o-/(0
devienne moindre qu'une quantité donnée si petite que l'on
veut.
Celte dilïérence, développée par la formule de Taylor,
donne
f'iz)h+f"{z) j'~ -f-. . . + /-(c.) 77:^^.
et cette expression, comme on vient de le voir, peut être
rendue aussi petite que l'on veut en choisissant modA con-
venablement.
Il résulte de là que, si f{z) est à coefficients réels, et si
cette fonction prend des valeurs de signes contraires pour
deux valeurs de z, elle doit s'annuler pour une certaine
valeur de z comprise entre celles-ci.
6. Une fonction entière réelle de deux variables réelles x
et y ne peut changer de signe quand x et y varient d'une
manière continue sans passer par zéro.
Dans le cas contraire, la fonction en un certain point de-
vrait passer brusquement d'une valeur positive à une valeur
(') Cela résulte aussi de ce qu'une pareille foncliou a une dérivée bien déter-
minée pour chaque valeur de la variable.
lO CII.VPITRC I.
négative ou inversement, de telle sorte que
f(x-^/>.y~\-/,)—f(.r.r)
ne pourrait pas devenir moindre qu'une quantité donnée
pour des valeurs suffisamment petites de h et A; cela est im-
possible, car cette dillerence peut s'écrire
/(.r + A, J -4- k) -f(.r + //, j) +f{x + h, r)-f{x, j),
et il résulte de ce que nous avons dit plus haut que chacune
des deux différences dont se compose l'expression précé-
dente peut être rendue aussi petite que l'on veut, la pre-
mière en prenant k, la seconde en prenant h suffisamment
petit.
La courbe dont l'équation est
partage le plan en régions finies ou infinies; si l'on considère
deux points, si l'on substitue les valeurs de leurs coordon-
nées dans/(j?,y), et si l'on obtient des résultats de signes
contraires, on ne pourra passer d'une manière continue de
l'un à l'autre sans traverser la courbe. Les régions du plan
seront regardées comme positives ou négatives par rapport
à la courbe, suivant que les coordonnées des points de ces
régions substitués à la place de ^ et y rendront /{■r, y)
positif ou négatif. Pour passer d'une région positive à une
région négative, il faut traverser la courbe un nombre impair
de fois; pour passer d'une région positive à une région posi-
tive, il faut la traverser un nombre pair de fois. Si l'on tra-
verse un point ot^i se coupent deux branches de courbe, il
faut compter le passage par un tel point comme un double
passage.
Comme on peut supposer /(^, 7) écrit avec un signe quel-
conque, le signe d'une région est arbitraire, mais on peut
convenir d'écrire /(^,/) de telle sorte que le terme qui ne
contient ni ^ ni y soit positif. De cette façon, l'origine sera
dans la région positive et les signes des autres régions seront
déterminés.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. I I
7. Si l'on considère deux courbes A =: o et B = o, leur
ensemble partagera le plan en régions où le produit AB sera
ou positif ou négatif, suivant que A et B y auront le même
signe ou des signes contraires. Considérons un point d'inter-
section des deux courbes {fg. 4)> et décrivons autour de ce
Fig. 4.
point une petite courbe fermée; son périmètre sera partagé
par les branches des courbes A =: o, B rr: o en quatre parties.
Parcourons la petite courbe et déterminons en chacun de ses
points la valeur de AB; toutes les fois que AB s'annule, son
signe change et l'on franchit une branche du nœud. Appe-
lons les portions de la petite courbe, parties positives ou
négatives suivant que sur ces parties AB est positif ou
négatif; deux parties opposées seront positives, les deux
autres seront négatives; chaque fois que l'on traverse une
branche du nœud, on passe d'une partie positive à une partie
négative ou inversement. Si l'on effectue le parcours dans
un sens déterminé, on rencontre deux espèces de points
d'intersection : ceux où, en traversant la courbe A, on passe
du positif au négatif; ceux où, en traversant la courbe A, on
passe du négatif au positif. On trouve un exemple de ces
points dans l'intersection de deux cercles.
Si, pour chaque point d'intersection des courbes A et B, on
fait la différence du nombre de fois où, dans un parcours au-
tour de ces points dans le sens positif, on traverse la courbe A
en passant du positif au négatif, et où on la traverse en pas-
sant du négatif au positif, on trouve -h 2 pour certains points
et — 2 pour d'autres, les uns seront appelés de première es-
pèce, les autres seront de seconde espèce. Si l'on ajoute toutes
ces différences, on obtient un nombre qui est le double de la
12 CHAPITRE I.
difTérence A entre les nombres de points de la première et de
la seconde espèce. Ce nombre est celui que l'on trouverait si
l'on parcourait une courbe fermée renfermant, dans son inté-
rieur, tous les points d'intersection des courbes A et B. En
effet, en déformant une pareille courbe, l'ordre dans lequel
elle rencontre A et B ne peut se modifier qu'en passant par un
point d'intersection de A et B, et en quittant un point où elle
toucbe A ou B. Elle gagne où elle perd alors deux points d'in-
tersection avec ces courbes {fig- 5). Ces derniers points n'ont
Fig. 5.
pas d'influence sur la valeur de la différence considérée, car
ils se suivent immédiatement; si ce sont des intersections
avec B, ils ne comptent pas; si ce sont des intersections avec
A, ils ne cbangenl pas la différence, parce que, une fois, on
passe du négatif au positif, et une autre fois du positif au né-
gatif.
Puisque deux semblables points, pris simultanément, n'ont
pas d'influence sur les autres points d'intersection, ils ne peu-
vent modifier la différence A dont nous nous occupons. Celle-
ci ne peut donc changer que quand on passe par un point
d'intersection de A et B.
Considérons une petite courbe fermée {fig. 6), ne coupant
Fig. 6.
ni A et B, et pour laquelle la différence A est nulle; agran-
dissons cette courbe jusqu'à ce qu'elle touche une des petites
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRigLES. l3
courbes décrites autour d'un point d'intersection de A et B, et,
à ce moment, adjoignons-lui cette petite courbe; la différence
croîtra de +2 ou — 2, suivant que l'intersection sera de pre-
mière ou de seconde espèce; on peut donc énoncer le théo-
rème suivant :
Etant données deux courbes A, B, si Von parcourt une
courbe fermée dans un sens déterminé^ la différence du nombre
des points de première et de seconde espèce contenus à l'inté-
rieur de cette courbe est la moitié de la différence du nombre
de fois que l'on passe du positif au négatif et du nombre de
fois que l'on passe du négatif au positif, en traversant la
courbe A.
S'il n'y a que des points d'une seule espèce, on peut déter-
miner ainsi le nombre des points réels d'intersection des
courbes A et B contenus dans un contour fermé. Le théorème,
du reste, est vrai quelque rapprochés que soient les points
d'intersection, et, si plusieurs sont confondus, il a encore lieu
en comptant chaque point autant de fois qu'il renferme d'in-
tersections confondues.
Nombre des racines d'une équation.
8. Considérons une équation du degré n
(I) f{z) = Ao3«4- Ai3«-'-f-. . .+ A„ == o,
à coefficients réels ou imaginaires; posons
^ et 7 désignant des nombres réels; en séparant les parties
réelles et imaginaires, on a
(•2) /(x--jo = A-B/,
A et B désignant des fonctions réelles de x et y; la condition
nécessaire et suffisante pour que ^ H- ji soit racine de l'équa-
14 CHAPITRE I.
lion (i) est que l'on ait
(3) A = o, B = o;
les racines seront donc représentées par les points d'intersec-
tion réels des courbes A et B : nous les appellerons points
racines (').
Maintenant appliquons à ces courbes le théorème démontré
tout à l'heure. A cet effet, décrivons un cercle assez grand
pour contenir toutes les intersections des courbes A et B, si
elles se coupent; divisons l'équation (i) par Ao, elle prendra
la forme
(4) ^" -H «.,;«-' -i-.. .= o,
et, en posant z ^ x -^ ri ^= /-(cosS + /sin5),
(5) A = /'"cos/^0 -i- 07'"-'cos[(/^ — i )0 — v] -+-.,.= o,
( 6 ) B = /•« siii /i 0 -i- ar"-^ siii [{ n — i ) 0 -{- v ]-:-... = o,
on peut prendre le rayon /• du cercle assez grand, pour que
les premiers termes de (5) et (6) donnent, avec une approxi-
mation aussi grande que l'on veut, les points d'intersection
des courbes avec le cercle; on a alors
cos/<0 = o, siii//0 = o,
d'où
■2/i II
(') Les courbes A et B ne sont pas quelconques, elles dépendent Tune de
Tautre; on a en eifet, en difterentiant.
d"où Ton tire
/'(^ + -?•'■)
_ ÔX ÔB .
Ox ôx '
//(.r + rO
_ ^)A ÔB .
~ ÔJ ÔJ ''
()B _ ^;a
Ox ~ ôj'
ô\ _ ÔB
ôx " ÔJ
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 10
Les points d'intersection avec le cercle des courbes A et B,
à mesure que le rayon du cercle croît, tendent donc à partager
la circonférence en 4" parties égales, et ces points se suivent
alternativement; la ditTérence A, considérée plus haul, du
nombre des points de première et de seconde espèce est donc
in, il y a donc au moins n points d'intersection contenus
dans le cercle. Donc
Une équation de degré n a au moins n racines.
9. Si a, est une racine de /{:■) ^= o, le polynôme f{z) est
divisible par z — y.^.
En effet, on peut poser
Q désignant une fonction entière, et R un nombre indépen-
dant de z. Cette identité doit avoir lieu pour :; = c/.^, et l'on a
R = o;
car T{ ne contient pas :;, et il ne cbange pas en remplaçant ;:
par a,.
Soit a, une autre racine de l'équation, elle doit annuler
{z — ai)Q et par suite Q, donc
donc
/(:;) = (3-a,)(3-a,)Q„
et ainsi de suite.
Inversement, on voit facilement que a est racine de f{z)^=o
quand {z — a) divise f{z). A chaque racine de f{z) corres-
pond donc un facteur de f{z) de la forme z — a, et récipro-
quement. Comme un polynôme du degré n ne peut avoir plus
de n facteurs du premier degré, une équation de degré n ne
saurait avoir plus de n racines. En combinant ce résultat
ib CnAPURE I.
avec le n" 8, on voit qu'une équation de degré n a n ra-
cines (').
Si l'on appelle y.^, v-i, • • -, «« ces racine?, on a
(7) f{z ) = X,{z - aO (-■ - a,), --(z- a„ l,
OÙ Ao est le coefficient de ^" dans/(c).
10. On a supposé, dans la démonstration du théorème pré-
cédent, que les points d'intersection de A et B étaient simples,
c'est-à-dire tels qu'une petite courbe tracée autour de chacun
d'eux ne rencontrait chacune des courbes A, B que deux fois
seulement. Si cela n'avait pas lieu, on ne trouverait n racines
qu'en comptant chaque semblable point pour autant de fois
qu'il y a de doubles passages du signe + au signe — . Nous
allons revenir sur ce cas.
Prenons pour origine un point racine z =: v.: z=io doit
satisfaire à l'équation, elle a donc la forme
(8) a.jZ-^/^-j^z'^^...= o,
et l'on a
(g) A = rtrcos(6 -f- u) -4- br- cos(20 -h uj) -^. . .= o,
(lo) B = rtz-sin (0 -H ■j) + /jf' sin (26 -!- -j,) -h. . .= o:
(') On voit que les poiats racines doivent être des points de même espèce, de
sorte que le théorème énoncé plus haut peut servir à déterminer le nombre des
racines contenues dans un contour donné ( théorème de Gauchy ) ; on peut mon-
trer que les deux espèces de points d'intersection pour les courbes A et B sont
tels qu'il faut traverser la courbe
fJA (m _ ()X ()B
(jjc ()y Oj dx
un nombre impair de fois pour aller d'un point d'une espèce à un point dit
l'autre espèce. Cette courbe n'a pas de branche réelle, car à l'aide des équations
de la note de la page i4, le premier membre de son équation se change en une
somme de deux carrés.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. in
pour une petite valeur de r, on n'a besoin de considérer que
les premiers termes. Tant que a n'est pas nul, chacune des
courbes A et B ne coupe le petit cercle de rayon /• qu'en deux
points déterminés par les équations
cos(0 -h u) = o, sin(8 + 'j) = o,
et l'on a affaire à un point d'intersection ordinaire. Si, au
contraire, a = o, les points d'intersection du cercle avec A
et B seront donnés par
cos(2 6 -f- Ji) = o et sin('2 0 -H -Ji) = o,
d'où il suit que chaque courbe possède en ce point un point
double, et le petit cercle les coupe en 8 points, chaque équa-
tion donnant 4 valeurs pour Q. Un pareil point augmente la
différence A de ± 4 et compte pour deux points racines. En
général, un point devra compter pour p points si l'équation
a pour premier terme un terme en zp ou quand son premier
membre est divisible par zP; dans ce cas /(s) est divisible par
{z — a)P et le théorème que nous avons démontré n'est vrai
que si, f{z) étant divisible par {z — y.)P, on compte la racine a
comme équivalant à p racines. On dit alors que l'équation
a p racines égales à a, ou que a est une racine multiple
d'ordre p.
11. Deuxième démonstration de ce théorème que toute
équation de degré n a n racines (démonstration d'Argand,
aussi appelée démonstration de Cauchy).
Il suffit de démontrer que toute équation a une racine,
car on peut écarter cette racine par la division du premier
membre de l'équation par un facteur du premier degré, on a
alors une équation de degré moindre qui admet une racine,
et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à une équation du
premier degré qui a une seule racine; on a ainsi déterminé
successivement n racines dans le cas oij l'équation est de
degré n.
P. 2
l8 CHAPITRE I.
Pour établir que l'équation
a au moins une racine, nous chercherons à la vérifier pour
une valeur
Si ^0 satisfait à l'équation, ce sera une racine, sinon /{-■)
prendra pour -s = ^o une valeur Zq de module R; mais on
peut montrer que, en modifiant légèrement /■ et 9, on peut
faire acquérir hf{z) un module inférieur à R, si R n'est pas
nul. Si l'on remplace ^o par -o+ /* où
on a
f{Zo + //) = /(3o ) -+-/'^(-o)^' -^fr-^K-n ) ^y^_ -r- . . . -+- Ao//'S
oii p peut être >i, plusieurs dérivées pouvant être nulles. On
a alors
^." = i-hC;;pP[cos(/Jcj -+-Xjj) -hi s'm(pw -4- a^j)] 4- B,
B étant divisible par une puissance de p supérieure à p, en
posant
P- J^^o)
Si l'on choisit w de telle sorte que/Joj 4- a^, =: 7-, on a
cos(/j»oj -h ap) — — I, sia{p(^i -i- 'Jij,) = o
et
y(-o;
I — C„p/'+Bo
où Bo est la valeur que prend B pour la valeur assignée à w.
Le terme — Cppp est négatif et, pour de petites valeurs nu-
mériques de p, supérieur au module de Bj : on peut donc
prendre w et p tels que
mod^-^^ ^<i ou mod/(;o+/0 < mod/(;o).
PROPRIÉTÉS GÉ.NÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. I9
Le minimum de 11 est donc zéro et le théorème est dé-
montré.
On pourrait cependant objecter que R, en décroissant,
pourrait tendre vers une limite différente de zéro sans l'at-
teindre; mais, si l'on considère les valeurs de R correspon-
dant aux valeurs finies de ^, il y en aura une qui sera
minima; mais cela est impossible, comme on l'a vu, si celte
valeur minima n'est pas nulle. Il reste donc à montrer que z
ne croît pas indéfiniment quand R tend vers zéro. Or, cela
n'a évidemment pas lieu puisque f{z) croît indéfiniment
avec -;.
Racines conjuguées des équations à coefficients réels.
12. Si la quantité imaginaire a -+- bi est racine d'une
équation à coefficients réels, a — bi est également racine de
cette équation.
En effet, on a, en désignant par J{z) un polynôme entier
et par a + bi une racine de/(^) = o,
j\z)={z-{a + bim,
Q désignant un polynôme entier. Comme f{z) ne contient
pas i, i doit disparaître du second membre après que l'on y
aura effectué la multiplication, ce qui ne peut avoir lieu que
si les exposants de i sont tous pairs, et alors son expression
ne doit pas changer quand on remplace i par — /; il en
résulte que
/(3) = [3-(«-/v/)]Ch,
où Qi est entier et ne diffère de Q que par le changement de
i en — i\ on voit donc que/(^) est divisible par z — {a— bi)
ou que a — bi est également racine de/(^) ^ o.
Les racines imaginaires d'une équation à coefficients réels
sont donc en nombre pair et les facteurs imaginaires du pre-
mier degré d'un polynôme entier à coefficients réels sont, par
suite, également en nombre pair.
20 CHAPITRE I.
En groupant deux facteurs imaginaires conjugués, on ob-
tient le facteur réel
On voit donc qu'an polynôme entier à coejficients réels peut
se décomposer en fadeurs réels du premier et du second
de^ré.
Détermination de la racine commune à deux équations.
13. Si les deux équations /(;)=:o et F(r)=3:o ont les
racines communes a, h, c, ..., J\z) et F(^) auront le fac-
teur commun {z — a) [z — b) {z — c) . . . et vice versa.
Comme on peut toujours obtenir, par des méthodes con-
nues, le facteur commun à deux polynômes, on pourra tou-
jours trouver une équation ayant pour racines les racines
communes à deux équations données. Des équations ayant
des racines communes pourront donc toujours être rempla-
cées par d'autres de degré moins élevé. Si, par exemple,
9 (s) est le plus grand commun diviseur de f{z) et F(-),
l'équation cp(-s) =0 aura pour racines les racines communes
à /■(;:) =:o et F(s)=:o. Les autres racines de ces équations
satisferont aux équations
fjz) ^^ FJ2l =0
Si les équations données avaient des racines multiples
communes, (p(:;) = o admettrait ces racines avec leur plus
petit degré de multiplicité. Si, par exemple, f{z) est divi-
sible par {z — a)!' et F(:;) par (5 — a)^^?, ©(s) l'est par
(z — a)'', V{z):cf){z) et 9(5) auront donc encore des racines
communes et leur degré pourra être encore abaissé, etc.
Une équation f{z)r=o à coefficients numériques ration-
nels est dite irréductible quand f{z) ne peut pas se décom-
poser en facteurs à coefficients rationnels. Cette notion peut
être généralisée; si l'on regarde certains nombres irration-
nels comme donnés, adjoints, comme l'on dit, on peut les
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 2 1
considérer comme rationnels. L'équation z^ — 3 = o est alors
irréductible dans le sens primitif du mot, mais elle devient
réductible après l'adjonction du radical y/S : le domaine de
rationalité ordinaire est alors étendu, comme l'on dit, à \/3.
Si les coefficients contiennent des irrationnelles, il faut les
considérer comme adjoints.
Si les coefficients contiennent des lettres, on doit les con-
sidérer comme des quantités rationnelles. Des fonctions irra-
tionnelles de lettres peuvent être adjointes. Ordinairement,
quand les coefficients contiennent des lettres, on adjoint
toutes les irrationnelles numériques.
Comme 0(5) est rationnel quand /(:;) et F(^) le sont eux-
mêmes, on voit que deux équations sont réductibles, quand
elles ont des racines communes; cependant il pourra arriver
que/(c) divise F(^) et que o{z) ^f{z); dans ce cas/(::)=^o
pourrait être irréductible.
Il résulte de là que, quand une équation admet une racine
d'une équation irréductible, elle les admet toutes.
Condition pour que deux équations aient des racines communes.
li. Proposons-nous de trouver la condition nécessaire et
suffisante que doivent remplir les coefficients de deux équa-
tions, pour qu'elles aient des racines communes.
Soient les équations
(l) flz) = Z" -t-r/i;"-l -^rt.3«-2 -J-...H- ^„ =0,
{■1} J\{Z) = Z'" + /;ic'« 14- /;,-"^-2_^. . .+ /;,„ = o.
Si ces deux équations ont une racine commune, /(-) et
/i(^) ont un diviseur commun; si l'on cherche le plus grand
commun diviseur de /{z) et /i(-), on finit par trouver un
reste qui n'est fonction que des coefficients des deux équa-
tions; soit V ce reste, d'où l'on a éliminé les facteurs intro-
duits pour faciliter la divisions'il y a lieu.
(3) V = o
22 nilAPITUE I.
sera la condition nécessaire et suffisante pour que nos équa-
tions aient une solution commune, le reste qui précède a la
forme
s'il est identiquement nul, les polynômes / et/i ont un fac-
teur commun du deuxième degré, et les équations proposées
ont deux racines communes; la condition pour que les équa-
tions en question aient deux racines communes est donc
et ainsi de suite.
15. Lagrange a mis ces équations de condition sous une
forme différente. Supposons un des coefficients des équa-
tions a variable, les autres restant constants; quand a varie
d'une manière continue, on peut admettre que les racines
varient également d'une manière continue ('); demandons-
nous quel accroissement h il faut donner à a pour que l'équa-
tion (i), dans sa nouvelle forme, ait une racine commune
avec (2). Si dans V on change a en « + A, cette expression
devient
(5) Va = Vh- y- //+ -— h....
(la d(i- I .1
Si la quantité a est déterminée de telle sorte que les équa-
tions (i), (2) aient une racine commune, on a V = o; si,
pour « + ^, on a encore une racine commune, on a, en outre,
V/i=o; l'accroissement h est alors donné par la formule
(la (la- 1 . 2 c/a-^ 1 . ■>. . i
Si l'on remplace dans (1) z par toutes les racines de (2),
a reçoit, pour chacune d'elles, une valeur correspondante qui
satisfait à (i), et à chacune de ces valeurs de a correspond.
(') Cela résulte de l'existence des dérivées des fonctions implicites.
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 23
dans (6), une valeur de h. Ces m valeurs de h correspondent
chacune à une racine de (2). D'un autre côté, deux équations
(i), qui correspondent à des valeurs distinctes de a, ne peu-
vent avoir de racines communes (excepté si ^ = 0, cas que
l'on peut laisser de côté). Si alors, pour une valeur de a,
q racines de l'équation (2) satisfont à (i), q des racines
de (6) doivent être nulles. Donc la condition nécessaire et
suffisante pour que q racines de ( 2) satisfassent à{i) est
^7^ ^ = "' .7^7^"' ^="' ■••' rf^^="'
en sous-entendant que ^ = o n'est pas racine.
Ces équations sont équivalentes à celles qui ont été trou-
vées plus haut si les q racines sont distinctes; si a était plu-
sieurs fois racine de (2), il n'a besoin que d'être racine
simple de (i) pour que les équations (7) aient lieu. On voit
que, au lieu de supposer a égal à l'un des coefficients de (i),
on pourrait le supposer choisi de telle sorte que les coeffi-
cients de (i) soient fonctions linéaires de ce paramètre; cette
équation serait alors de la forme A + aB =0 et, d'après ce
que l'on a vu plus haut, il faudrait supposer que A et B n'ont
pas de facteur commun.
Racines égales.
16. Toute quantité p fois racine de f{z) = o est exactement
racine de f {z) =0.
Soit, en effet, a une racine d'ordre de multiplicité p de
p — I fois f{z) = o, alors on a
f{z) = {z-^)pQ,
où Q n'admet plus le facteur (g — a). On en tire
/' (5) = /?(G - a)A'-iQ + (3 - a)/'Q'
= (3_a)/'-i[pQ + (3-a)Q'j.
Q' désignant la dérivée de Q; f'{z) est donc divisible par
{z — a)p-^ et n'est pas divisible par une puissance plus élevée
24 CHAPITRE I.
de ^ — a, puisque /)Q n'est pas divisible par z — y., c/. est
donc racine d'ordre de multiplicité p — i def'{z.).
Désignons maintenant par Pj le produit des facteurs sim-
ples de /(g), par P, le produit des facteurs doubles pris unr
seule fois, etc., en sorte que
/(3)=:P,PiP^..,
/'(c) = P.Pi...Q,
Q désignant les facteurs de f'{z) non contenus dans /(■:;);
le plus grand commun diviseur de f{z) et /'(s) sera
?(3) = P.P1...,
d'où
^]=P,P.P3...=.A(.).
En appelant 9i(-) le plus grand commun diviseur de 9(3)
et de o'(3), on trouve, en divisant o{^) par 0\{z),
/,(c) = P,P3...;
donc
On a ainsi l'expression
de l'équation à laquelle satisfont les racines simples de
/(s) ^o. Celte équation est, en général, irréductible. Pour
déterminer P,, on a
o,(:;) = P3P|...,
et si 92(-) est le plus grand commun diviseur de 9i( = ) et de
(f[{z), on a
d'où l'on tire
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES. 20
En continuant ainsi, on a successivement
P, = O, l'o = O, P3= O, ....
et la résolution de ces équations fait connaître les racines de
f{z)=:o. On ne saura pas toujours résoudre ces équations,
mais en tout cas, il est toujours possible de remplacer la ré-
solution ci' une équation qui a des racines multiples par la ré-
solution d'autres équations qui n'ont que des racines simples et
lesquelles entrent à un même degré de multiplicité dans
/(--)= o.
Expression des coefficients en fonction des racines.
17. La forme la plus générale de l'équation du degré n,
quand on divise le premier membre par le coefficient de z",
est
(i) f{z) — :;«-(-«, 3" ■■•-;- aiZ'^---~. . .-i- a,i_iz -h a,i = o,
et si l'on désigne par «i, a., . . ., a„ ses racines, on a
(2) f{z)=(z-oi,)iz-a,)...(^-ccn)-
Si l'on effectue le produit indiqué dans le second membre de
cette équation, et si on l'identifie avec le développement de
/(-), on obtient les formules
/ î(l-r- 2-2 -r-.-.-h a„ = — «i ,
\ ai a,-!- «las -r-. . ,-i- a„_i a„ = «2,
(3) ' a, a.^a,-!- a, aj^i -+- . . .-f- a„_.2a,j_ia„ =— <73,
26 CHAPITRE II.
CHAPITRE IL
RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES.
Fonctions symétriques des racines.
18. Une fonction de plusieurs variables est dite symétrique
quand elle reste invariable lorsque l'on permute deux de ces
variables d'une façon quelconque. Nous ne considérerons dans
la suite que des fonctions symétriques rationnelles. Quand
une expression de forme non symétrique ne change pas de
valeur, quand on y permute les lettres qu'elle renferme, pour
des valeurs déterminées de ces lettres, on peut lui donner
une forme symétrique. Ainsi, par exemple,
«2 + 3/;,
pour a = I et ^>= 2, ne change pas de valeur quand on per-
mute a et Z;; on peut l'écrire sous la forme symétrique
-{cfi-\- 'M) -1- /;2_f_ 3^;),
D'une manière générale, si o ne change pas de valeur, en
permutant certaines quantités données, et si, par les permu-
tations de ces quantités, elle prend les formes o,, 9., . . ., 9,,,
on peut poser
cp = - (o,+ (p,-l-...-UO„),
et 9 prend la forme symétrique.
Une fonction quelconque symétrique des racines cV une
REL-VTIONS EMRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 27
équation peut s'exprimer rationnellement en Jonction des
coefficients.
Dans le cas où la fonclion est fractionnaire, on peut la
mettre sous une forme telle que le numérateur et le dénomi-
nateur soient symétriques. Si, en effet, on considérait la frac-
lion réduite à sa plus simple expression
o(.ri, r,, . . ■)
J/(x,,^-2, ...)'
et si les deux termes n'étaient pas des fonctions symétriques,
il y aurait deux valeurs x^ et x^_, qui, en s'échangeant, laisse-
raient inaltérée la valeur de la fraction, tandis que les valeurs
du numérateur et du dénominateur se trouveraient changées.
Mais cela est impossible, car il en résulterait deux fractions
égales, capables de devenir infinies pour des valeurs de x^,
Xo, ... qui ne seraient pas les mêmes.
On peut donc, si l'on veut, ne considérer que des fonc-
tions symétriques entières. Considérons un terme d'une telle
fonction, et permutons les racines qui y entrent de toutes les
manières possibles: les résultats devront entrer dans la fonc-
tion symétrique et leur somme sera symétrique; les autres
termes peuvent être traités de la même façon.
Considérons, par exemple, une équation du troisième degré
ayant pour racines x^, Xo, x^. Si, dans une fonction symé-
trique des racines, il entre le terme Xixlx^, il doit aussi y
entrer les termes x^xlx^, x^xlx,, et l'on aura à considérer
la fonction
Ti .r| .rj -I- .ro x\ x^ -+- x^ .r | x, ,
qui peut s'écrire
.ri.r2.r3(.ri-f-.r2-i- fs),
et l'on a alors affaire aux fonctions x^x^x^ et Xi-\- x,^-[- x^;
en réalité, on aurait du obtenir six termes, car le nombre des
permutations de trois lettres est 6; mais le terme considéré
est lui-même symétrique par rapport à deux racines : il n'y a
pour cette raison que trois permutations donnant des résul-
tats différents.
2 8
CHAPITRE II.
Ainsi, une fonction symétrique, qui ne peut pas être dé-
composée en fonctions plus simples, est déterminée par un
seul de ses termes; on la représente par ce terme, précédé
du signe i; par exemple, pour une équation de degré n,
S.ri.r2= J-pr,-!- x^x^-^- ,ri^i-f-. . .-}- .r„_,.r„,
Formules de Newton.
19. Nous considérerons, en particulier, les fonctions symé-
triques
s .r, = i'i , S .r f = ,v, , .... ^ ,r'i = s,.
pour le calcul desquelles Newton a donné la méthode sui-
vante : de
(i) f{,r) = (.V - ,r, ) (x -.T,)...{x- .r„)
on tire, en prenant les dérivées logarithmiques ('),
(2) --jr - = 1 h. ..H
J{X) X — Xi X — .^2 X — X/i
(') Cette formule peut aussi s'établir comme il suit : on tire de
/(.r) ^(.r _.,-,) (.r-xj ... (.r-.rj
la formule
f{x-i-h) = {a.-->,-h—.r){x + h-x„) ... (x + /i-.r„)
et
mais
A^) /(-*■) • /(^) 1.2 '^•■•'
si l'on égale les coefficients des mêmes puissances de h dans les deux exprcs-
siens de • — "
{•*^){--^r^y-h^}
f'{x) I r I
j{x) X — x^ a- — X, X ~ .r^
1 f"(x) ^ I , i I
2 J{x) (.1 -./■,) (..-.r,) ^" (X-.;-,) (x-^J ^•••'^ i^-^n-.) (•^- -■'■„)'
RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES.
Ainsi
(3)
fX-r) =
f(^) , f(^)
f(-r)
X Xi X X-i
or on a
( 4 ) ,/■( X ) = x'^ -f- ai x'i- ' -+- «o .r«-2 .
et
./■(•
X"-
X, X"-
-I- «1 J'f
-I- «2-^'l
-i- «3
.r^-^-f-. . .-f- JC'
riyx'}~^
on a d'autres équations analogues, en permutant j^i avec les
antres racines .r,, ^3, . . ., .r„.
En ajoutant toutes ces formules, on a, avec les notations
adoptées tout à l'heure.
,r"-2-+-.v3
.r''-3--.
..-f-<-«-i
^«i.v.
+ «1.S'„_2
-+- «o^l
+ «2 -^«-3
-1- «r/;j
-i-
<run autre côté,
(5) f'(x) = «.r"-' + (« — i)r<i.r«-2H- (/i— Oa^.r"- ^-t-. . .+ «„-
en identifiant les deux valeurs de f'i-r), on a
I .^2-^ «1^1 -I- ■>.r/2= o,
(7,j_2Vl + (/« O'^/l-l = O.
3o CHAPITRE II.
De ces équations on lire, par un calcul de proche en
proche,
(7)
S.2= rtf 2<72,
S;> — (/'f -+- 3 «1 «2 3 «3,
-^i = fi'[ — 4 f'I ^2 + 4 ^'i '^s + '
lal — 4<Ti-
Sr, = — «f -i- 5 rrf ri-, — 5 rcf a-i — :
'■>(al — a;)a
ces formules ne peuvent servir qu'à calculer ^,, s=,, . . ., 5„_,.
Pour calculer s^, s,^^^, . . ., on multiplie f{^) =^o par .r'", et
Ton a
,l-'l+"' -f- «1 ,f«+"2-l -f. (i^x"+"'-- -t- . . . -r- rt„ .r'« = o,
équation satisfaite pour j? z=: ^i, a:.,, . . ., x„. Si l'on remplace
successivement x par ces valeurs, et si l'on ajoute les résul-
tats obtenus, on trouve
( 8 ) Sn^m -^- "l -fa+m-l + ^'2 Sn^m-'ï -i- . • . 4- «« */; = O,
et, en faisant m = o, i, 2, ... (et en observant que 5„z^/i),
on a
Si, -^ aiSa -1 + lti'!ji-l-^ ■ • --^ iia,i =0.
(9) ',
i ■^■/i + 2— f''l'"^«+l + '^'i*'» -t-. . .-4- (7„.V2 = O,
Ces formules permettent de calculer 5,,, ,ç„+i, 5'„+,, ... quand
.v,j_i, .ç„_2, . . . ont été calculés par les formules précédentes.
Les formules, auxquelles nous venons de parvenir, montrent
que, si les coefficients de l'équation (4) sont des nombres en-
tiers, les sommes des puissances semblables des racines sont
aussi des nombres entiers. Dans la suite, nous aurons besoin
de remarquer que les formules précédentes sont homogènes,
quand on y considère les indices des a et des s, comme jouant
le rôle d'exposants. Enfin que les coefficients sont donnés par
des équations linéaires quand on connaît
RELATIONS EMRE LES COEFKICIEMS ET LES RACINES. 3l
Quand on connaît Sp pour n valeurs de p consécutives, on
détermine les coefficients à l'aide de n équations.
Le calcul de s-p peut se faire en faisant usage de l'équation
obtenue en changeant a- en -; pour celle-ci on a, en effel.
«'-1(7 )"=!:■
20. On peut encore obtenir Sp de la manière suivante :
on a
(10) _J_^I_:^^-4^...;
.1 — .Vp ./■ .1- .r*
cette équation a lieu en supposant le module de a: supérieur
au plus grand des modules des racines, afin que le second
membre soit convergent; si l'on remplace alors a^p successi-
vement par toutes les racines de l'équation et, si l'on ajoute,
on obtient, en vertu de la formule (2) du n" 19,
f'(.r) _ n .v, i-,
j\.v) X .1- x^
(l l) —jr- = /^ -I- -' -H — -H
Si l'on développe alors le premier membre, suivant les
puissances de -■> on obtient deux expressions de cette fonc-
tion qui doivent être identiques pour les valeurs de x de
module supérieur à une quantité déterminée. Une simple
division permettra donc de calculer ^j, 5,, ....
La quantité ^ peut aussi, pour des valeurs suffisam-
ment petites de œ, se développer en série convergente, suivant
les puissances de ^ à exposants positifs ; on a
on en déduit, par des moyens analogues à celui qui a été
32 CHAPITRE II.
employé tout à l'heure,
([■2) — • . ' ' = .v-i-h y_2.r-i- ,ç_3.r2-h. . .,
f'{ r)
et l'on trouve 5_i, .ç_.2, ... en ordonnant le quotient "V— -( »
suivant les puissances positives de œ. On voit l'identité des
méthodes qui ont permis de calculer 5p en fonction de .■?/,_,,
.Çp_,, . . ., s,,^„, à l'aide de la formule (9) du n" 19, et qui per-
mettent de calculer un terme d'une série récurrente en fonc-
tion des précédents; les termes de l'échelle de relation sont
les coefficients de l'équation changés de signe.
Autres fonctions symétriques.
21. Les fonctions symétriques que nous venons d'apprendre
à calculer sont ce que l'on appelle les fonctions simples; les
fonctions doubles sont celles dans chacun des termes des-
quelles il entre deux racines, les fonctions triples sont celles
dont les termes en contiennent trois, etc.
Le terme général d'une fonction double est ainsi de la
forme ^*^f. Si l'on forme le produit Srx.So, on trouve les
termes de i^^^'^, et, en outre, des termes de la forme x'^-^'^;
ainsi on a
(0
\^r
on voit que les fonctions doubles seront des nombres entiers
si les coefficients eux-mêmes sont entiers, et que leur degré,
estimé comme nous l'avons dit plus haut, est égal à la somme
des exposants a, [3.
Pour a = |3, les termes sont égaux deux à deux, car
jc'^x^z^i x'jji-^; et comme, dans la fonction symétrique, ces
termes ne figurent qu'une fois, on a
RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LFS RACINES. 33
Pour obtenir la fonction symétrique triple ijr^j:-^.r^, on
multiplie (i) par 5,,, et l'on a
Les termes du premier membre contiennent ceux de la
(onction symétrique cherchée, mais il y en a d'autres qui pro-
viennent de la multiplication de termes de la forme j:J par des
termes contenant encore cT,; ces termes sont ceux de la fonc-
tion symétrique
I 2 ' -- •■' 1 ■■'' 2 •' {
on a donc
(3) X ,r? .r '? .r^ = vv, .«•„ A' — A-yVo — Xr, s — s s „ + 2 v o
^ ^' 12 3 p T p-'-y P o'-^Y y a+p a+p+y'
dans le cas où deux des exposants a, j3, y deviennent égaux,
les termes deviennent égaux deux à deux; quand les trois ex-
posants a, (3, y deviennent égaux, six termes deviennent
égaux; ainsi on a
(4) S.r«.r^.rJ = - (.^.yy — -i s y, s- .^^y — .v.-^.v,, -i- a.foa+y ),
( 5 ) X .r-f J'I vf^ = _L ( 4 _ 3 ,-^ .V, -^ -f- 2 .Va a )•
On peut continuer ainsi, et il est démontré que toute fonc-
tion symétrique entière des racines est une fonction entière des
coejficients ; elle est homogène, et son degré est la somme des
exposants des racines, pourvu que l'on considère Up comme
étant du degré/?.
Nouvelle méthode pour le calcul des fonctions symétriques
des racines.
22. Les formules de Newton s'appliquent assez facilement
aux équations numériques, mais il y a d'autres méthodes qui
sont préférables quand l'on a affaire à des équations litté-
rales. Telles sont les méthodes de Waringet de Cauchy; nous
34 CHAPITRE II.
allons indiquer ici une méthode qui, au fond, coïncide avec
celle de Waring, mais qui est d'une application plus commode.
Pour la facilité de l'exposition, nous écrirons l'équation
donnée sous la forme
(l) ,r« — fil .r"-' -t- a.yj:"-'^ — a^x"--^ -+-...= o,
nous supposerons la fonction symétrique cp de degré a; soil
( 2 ) Cf == Aa-af'n -+- Aa-«4-K'/t-l + . . . ,
Aa-„«« contient tous les termes de 9 qui dépendent de «„;
Aa-«+i«/j-i contient, parmi ceux qui restent, tous ceux qui
dépendent de a„-i, etc., l'indice est égal au degré. Cette
équation, quand on y remplace a„, «„_,, . . . par leurs valeurs
en fonction des racines, se transforme en une identité; on
peut y annuler autant de racines que l'on veut, et si l'on s'ar-
range de telle sorte que le dernier terme de <p, en faisant cela,
soit le seul qui ne soit pas nul, ce terme sera tout calculé; on
peut alors se débarrasser par la division du produit des ra-
cines restantes, et continuer à appliquer la même méthode.
Nous allons appliquer cette méthode à quelqties exemples.
Exemple I :
(3) S.rJ.r|.r3 = X^^a^ -h Ai «3-1- Xifi'^-^ A3 «3;
le premier terme contient «e puisque 1 est du sixième degré;
ce terme disparaîtrait si la fonction était de degré moindre.
Le dernier terme contient a^, car la fonction s'annule si l'on
annule toutes les racines sauf deux.
Posons maintenant
•n = ■•^s = .re = . . . = o :
alors on a
(4) ^.v\.rl.r,= \,a,.
Nous pouvons conserver notre notation primitive, en nous
rappelant que l'indice le plus élevé est 3; en divisant par
x^x^x-^, on a
( 5 ) S ,r 1 x-x = .A3 = «o^'s + ^1 (i-i (i\ ;
RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 00
a\ n'entre pas dans A3, car la fonction doit s'annuler quand
deux racines s'annulent.
Si l'on pose x^:^ o, on trouve
.ri.rîI,Xi=^ T-iûiOi, ai = i;
et de (5)
.ii.r,X3
Comme cette formule est identique, on peut y faire toutes
les racines égales à l'unité, alors tous les produits de racines
qui se rencontrent dans la fraction se réduisent à l'unité, et
l'on a
ao=6 — 3.3= — 3.
Si maintenant on fait a/,== o pour/? > 4»
Z.I-] .r^./':) = Aifif^ — 3aj -i- «1 a> a-^
ou
^ .rî x% .i\ -f- 3 rt? — <7i <7., a,
— - — -^ — ' = A ., = ay a^ -\- a, a\ ,
.r, .v-i .1-3 ./i
formule où «„ 6t a, sont à déterminer. Pour y arriver, posons
trois racines égales à l'unité et la quatrième égale à h; cher-
chons le coefficient de h- dans le second memhre pour l'éga-
ler au coefficient de A* dans le numérateur du premier; dans
1x\x\x^, on n'utilisera que les termes qui ont l'exposant 3
en h, et l'on trouvera ainsi A^ autant de fois qu'il est possible
de prendre deux racines parmi les trois que l'on a fait égales
à un, c'est-à-dire six fois; alors, comme on a
^3 = I -I- 3 //, (7-2 = 3 -i- 3//, ((y = Il -\- 3,
on a
(3 — 9 = a 1 = — 3 ;
et, en prenant toutes les racines égales à l'unité,
■i\ -+- 48 — 96 = 6ao — 3. 16,
2(o = i ;
on a donc maintenant
"L.r] j:% .r-i— a,^( \a.^ — 3rtf ) -t- 3<7| — r/, Oo/Vj
= =: A I — 7. r; 1 ,
36 CH.VPITIIK II.
si l'on annule toutes les racines sauf 5. Et si l'on prend ces
cinq racines égales à l'unité, on a
Go — 5(4. lo — 3.2")) -H 3.io2— "). lo. 10 = a.j,
a ^ 7,
et finalement Ao = — 12, de sorte que le résultat pour toute
équation sera
I.x\ xl X3 = — I2<76-H yf'ôf'i -r- ft'J ^a, — 3(7î ) — "yr/l ^ rii aïO:,.
Exemple If. — Pour l'équation
X^ — rtj X- -T- «2 ■'' — ^':i = O.
on demande de calculer
u = (xi - x.,y- (xi - x,y- (x,-x,y- -.
on a
U = A,j«:j-^ X'^a.,,
les termes suivants doivent manquer, U s'annulant alors que
deux racines deviennent égales à zéro.
Pour ^3= o, on a
.r j xl {xi — x-i )2 = Ai n> = fij ( — .\ ci, -h al):
et alors
U = r/aCaofl.s-t- ai«2'''i -+- y-2 a\ ) -i- al(— ^ m -^ «{)•
si l'on lait
.ri = x-, = i. .r:j = //,
et si l'on égale les coefficients de h'*, on a
o = X2 -H 4, '^î = — Â '•
en égalant les coefficients de A% on a
9.7.1 — -ai — 12 = 0,
et si l'on égale toutes les racines à l'unité, on trouve
ao = — 27 ;
ainsi on a
U = — 27«j -t- 18 rti a-, rti — Uh^'l — ^ril -h a'ia'i.
RELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 3"
Dans cet exemple et dans le précédent, le résultat ne
change pas en revenant à la forme primitive de l'équation
avec tous les coefficients positifs.
Formules générales pour le calcul de v^, et de a,,.
23. Le théorème de Newton permet de calculer Sp quand
les coefficients sont connus, et, inversement, les coefficients
quand Si,s^_, . . ., s,i sont donnés ; mais le calcul exige la réso-
lution d'un système d'équations linéaires. Par la méthode
suivante, on trouve l'expression explicite de ces quantités.
Soit
( 1 ) (.r — .ri ) (.r — .r^ ) . . . (.r — .r„ ) = x" -+- r/, .r"-' -j- Oy r«--+ . . . -i- <?„ ;
dans cette identité, supposons œ plus grand que le plus grand
des modules des racines; alors, en divisant par x"- et en pre-
nant les logarithmes naturels, on a
(2)
\ \ .r X- X"'
tous les termes peuvent être développés en séries conver-
gentes, et l'on a
/■^i •''■2 >^n
formule où l'on a posé
Égalons, de part et d'autre, les coefficients de x-p; dans le
premier membre, il est — — ; dans le second membre, le
^ ^ . P
lerme gênerai est
k \ X x'-
et le lerme général du développement de la parenthèse est
38 CHAPITRE II.
égal (en vertu de la formule du polynôme) à
( 3i 4- 3-' -+- • ■ • — 3« V. -5 -î 'i la +"'1,
(4)
ou
(5) p,- fi,-+-... + ?„ = /.:
on n'utilisera que les termes pour lesquels
(G) 3, + '2;î, + ...-^«3„ = /;.
de sorte que la solution générale sera
(:; ■'i>=2d pTTsTTTTTv '^'V'^'ï ■••^'« •
où (3,, [3o, ..., j3„ doivent recevoir toutes les valeurs posi-
tives ou nulles satisfaisant à (6).
Pour obtenir ap sous forme explicite, on tire de (2)
^ ' X ' x^ ' ' ' ' .r"- ^ I 1 . ■>. "
où
X ix'^ 3 x^
et l'on trouve comme tout à l'heure
où
(10) p,-^•2p2+3p.3 + ••.-+-"^l« = p;
on trouve ainsi
, «1 = — -Cl,
l a «2= *1— "*2j
(.11) ', 31<73= — i'f-H 3 Si Si— 2.S-3,
i41«4= i-f— G^ïio-f- Si'i^a^Si'l — 6^1,
1 5!-73= — j'f-i-IO^f .yo— 20,9î*3 — l5*I*l-^ 3o*l*i-|- 205,^3— '^1-^5,
comme avec les formules de Newton.
RELATIONS EMUE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 3g
•24. Si l'on applique (7) à l'équation
(12) x- — a.v-hb = o,
on trouve
(.3) y(-0.p(;>-a--i)!^^,_,,^^,
^ ^ ' j^ {p—-iix)\ix\
grand entier contenu dans -^- On peut aussi écrire
S/, = aP — pnP-^- h 4- ' ' aP-* h'- ^ . . .
(14 j '
pour l'équation
z- — :;,r -f- 1 = o,
on a
/ , »(D — 3)
( s^^xP-pxP-^^LJL- .r/'-.-...
(i5j <:
( -+-(-1). 1.0.3. ..îz -^
formule qui trouvera son application plus tard.
Équation aux carrés des différences.
25. Étant donnée une équation, on peut en déduire une
autre dont les racines sont les carrés des différences des
racines de la proposée. Soient
les racines de la proposée; les racines de l'équation cherchée
seront
(,fi — .roj2, (.r, — ./;3)2, ..., (.r„_i — x„)^
et cette équation sera de degré ^'~' >
ijO CHAI'ITHK II.
Celte équation a joué autrefois un rôle important dans la
théorie qui nous occupe. Si l'on annule son dernier terme,
on exprime que la proposée a des racines égales, car cette
circonstance exige qu'une des différences au moins soit
nulle. Ce dernier terme, abstraction faite de son signe, porte
le nom de discriminant de l'équation proposée. Si l'équation
donnée a deux paires de racines égales 0^1= cc^, œ^-=^x,^, les
deux derniers termes de l'équation aux carrés des différences
seront nuls. Si l'équation proposée a trois paires de racines
égales, les trois derniers termes de l'équation aux carrés des
différences seront nuls, etc.
L'équation aux carrés des différences servait surtout à
trouver des intervalles comprenant une seule racine de
l'équation proposée. Nous parlerons plus loin de cette appli-
cation, nous allons donner ici une méthode simple pour
former l'équation aux carrés des différences. Pour former
cette équation, Lagrange exprime les sommes des puissances
semblables de ses racines S,, S2, ... en fonction des sommes
des puissances semblables des racines s^, s,, ... de la pro-
posée comme il suit.
L'application de la formule du binôme donne identique-
ment
( X — .ri f-P H- ( X — a:, f -^ ...-+- {x — x,t)-P
"i-P o , •ip(?-.p l) ,
= nx^P .r-/'-' \i ^ x-P—-s.y -H ... ;
I l . A
si l'on remplace successivement œ par .r,, j:^_, . . ., et si l'on
ajoute, on a
-2?) ipllfj — })
et comme les termes équidistants des extrêmes sont égaux,
•^ p
(i) s,, = ns-i/j •'^2/>-i vi -H . . . it; '—^ ' sf,.
■1 1 . 2 . . ./>
Si, par exemple, l'équation donnée est
x^ -h px- -T- qx -h I' = o,
RELATIONS EMRI' LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. L\l
on trouve
s, = 3,.,- si
^3 = J •'''g — '"> •*'i *'5 -I- I > ■''i ■'''■, — ^^"h
d'où l'on conclut l'équation aux carrés des différences
où
P = 2/J--1- fxy,
\\ = i/J^r — p-'J- — 1 8/"//' -+- i 7^-!- 27/'-.
On peut donner du discriminant une expression qui est
souvent commode; si l'on pose
f{.r) = (.r — Xi)o{.r),
si l'on différentie et si l'on fait j: := .r,, on trouvera
/'(.r/) = (xi- .r, ) (Xi—.r., )... (.n— ,r,_, ) (.r,- .r,vi ) . . .(.r,-.r„ ).
Si l'on remplace Xi successivement par toutes les racines et
si l'on multiplie entre elles toutes les équations obtenues,
on obtient dans le second membre tous les facteurs de la
forme — {xi — ^jY; le discriminant est donc de la forme
/•'(.r,)/'(.r,).../'(.r„).
Fonctions rationnelles des racines.
26, Une fonction rationnelle d'une racine j^i d'une équa-
tion/(.r) = 0, de degré n, peut se mettre sous la forme
cp et ^]> désignant des polynômes entiers. Si l'on multiplie haut
et bas par J>(j^,) ^(-^s) • • • 'H-^n), on a
(2) ?(^l)-
<\>(xi) J^(j:2). . .4'(.-^/j)
43 CHAPITRE IJ.
Le dénominateur est une fonction symétrique des racines et
peut être exprimé rationnellement en fonction des coef-
ficients; le numérateur est une fonction symétrique des
racines de
(3) é^ = -
dont les coefficients, quand on a effectué la division indi-
quée, sont des fonctions entières de oc^ et des coefficients
de/(^). La fonction rationnelle donnée est donc réductible
à une fonction algébrique entière de x^, j'ajoute que l'on
peut supposer son degré au plus égal à « — i; en effet, si son
degré est plus élevé, on peut la mettre sous la forme
oi^i R est du degré n — i au plus, et comme /(^i) = o, on
voit que toute fonction rationnelle d'une racine d'une équa-
tion de degré n peut se mettre sous la forme d'une fonction
entière de degré n — i au plus.
Si l'on avait une fonction rationnelle de plusieurs racines,
on la mettrait d'abord sous la forme
Ao-l-Ai.r,-^...-hA,,_,.r«-i,
oix Ao, Al, . . ., A„ peuvent contenir jc.^, x^, .... Chacun de
ces coefficients peut être traité de la même façon par rap-
port à ^2 et ainsi de suite, et l'on arrive ainsi à une fonction
entière des racines, dans laquelle l'exposant d'une racine
quelconque ne peut dépasser n — i.
Exemple. — Dans l'équation
.r^ -i- p.i- -+- qx -I- r = o,
on peut mettre une fonction d'une racine sous la forme
a -\- l).i\-\- c.r'i,
mais il vaut souvent mieux adopter la forme
UELATIONS ENTRE LES COEFFICIENTS ET LES RACINES. 43
on l'obtient en remplaçant x par ^, dans l'identité
f-2 ( .r^ -f- p .r2 -i- y ,r -+- /• )
= ('r.r--4- hx -+- a) (c.r ^ pc — /;)
Alors le premier membre étant nul, on a
r ,.2 -*-/,,. ^ ., _ [ yr^ - r ( ^/ -4- /yp ) -4- /^2 ] -ri + rc'- — ope + r/T-
cx^-^ pc — b
CIIAPITRK III,
CHAPITRE III.
SUR L'ÉLIMINATION.
Élimination d'une quantité
27. Deux équations algébriques entre a; el y : l'une du
degré w, l'autre de degré n, peuvent être mises sous la
forme
(I)
f(.y
) = ^'oj '"-^ f^'i.
) '"-
I j_ r/2j'"~
--^.
. .+ rt;
(2)
F(.)-
) = /a,.) "--/',.
)"''
+ /.,,,- ^
^.
. . + ^,
OÙ ap et ^p désignent des fonctions de .c seul et de degré p.
On peut de ces équations en déduire d'autres, satisfaites pour
les mêmes valeurs de a; et de y.
Pour trouver ces valeurs, on cherche, en général, une
équation qui ne contient plus qu'une des inconnues. Cette
équation porte le nom d'équation finale, et l'on forme cette
équation en chassant (en éliminant) l'autre inconnue. Si l'on
forme cette équation en œ, elle déterminera toutes les va-
leurs que X peut acquérir, de manière à satisfaire à (i)et(2);
en général, à chacune de ces valeurs de x ne correspond
qu'une valeur de j, telle que l'ensemble de ces valeurs satis-
fasse aux équations données : à chaque valeur de x corres-
pond un facteur déterminé du premier degré commun aux
deux équations. La question peut donc se présenter sous cet
autre point de vue : trouver la condition pour que les poly-
nômes /(j) et F(/) aient un facteur commun. Nous allons
faire connaître les méthodes les plus importantes, qui ont
pour but de conduire à l'équation finale.
SLR l'élimination. 4^^
Application de la théorie des fonctions symétriques.
28. L'équation F( j) =: o est de degré n en / et, par suite,
elle a n racines fonctions de x; on ne peut pas, en général,
les calculer, mais on peut les appeler jj, 7,, ...,/„; à chaque
valeur de x cherchée, correspond au moins une valeur,
ji, y.,, . . ., j„ satisfaisant à /( j) := o ; la condition nécessaire
et suffisante, pour qu'il existe une valeur de x satisfaisant
aux deux équations, est
(I) ./'(r, )/(j-2 ).../(,)■« .) = o,
car cette équation est satisfaite lorsque l'un des facteurs du
premier membre est nul, et seulement dans ce cas. Comme
Ju y-2, ■ ■ -, y a entrent symétriquement dans l'équation précé-
dente, ils peuvent être éliminés à l'aide de la théorie des
fonctions symétriques, en exprimant le premier membre au
moyen de bo, b^, . . ., 6„, c'est-à-dire en fonction de x seul.
L'équation ainsi obtenue ne contient plus que x et est l'équa-
tion finale cherchée.
On peut montrer facilement que l'équation finale est, au
plus, de degré mn ; /(/) est, en effet, homogène du degré m
quand on y regarde Qp comme du degré p. Si l'on regarde /j,
Vo, . . . comme étant du premier degré, f{y\)f{y-2)- ■ -/{yn)
sera homogène et du degré mn. Ainsi, toutes les formules
relatives aux fonctions symétriques de j'i, Joj •••» yn sont
homogènes en regardant les racines comme du premier degré
et bp comme du degré p.
L'équation finale en x sera donc du degré mn, si l'on
regarde les indices des a et des b comme déterminant les
degrés de ces quantités. En réalité, ces indices ne sont égaux
qu'à l'exposant de la plus haute puissance de x que peuvent
contenir les coefficients. Si donc on considère les degrés par
rapport à x, l'homogénéité sera détruite, mais le plus fort
exposant de x dans l'équalion finale sera mn au plus. ^0 entre
en dénominateur dans les coefficients de F(/), mais cela n'a
pas d'influence sur le résultat, b^ ne contenant ni x ni y.
46 CHAPITRE III.
On voit donc que V équation finale est, au plus, du degré mn.
Si les équations données sont complètes et générales, c'est-
à-dire si tous les termes ont des coefficients tout à fait quel-
conques et indépendants les uns des autres, le degré sera
précisément mn.
Si, en effet, on considère les équations particulières
{■1) j = x>n, ■r=j",
on obtient l'équation finale de degré /n«
(3) ,r'"« = .r,
et ce cas doit être contenu dans le cas général, s'il ne s'est
pas introduit de solution étrangère; or tel n'est pas le cas;
car, soit x^ une racine de (3), la première équation (2) donne
et la deuxième équation (2) devient
donc les racines de (3) donnent toutes des solutions de (2);
donc il est prouvé que :
Deux équations générales des degrés m et n conduisent à
une équation finale du degré nin.
29. Si l'on regarde x ai y comme des coordonnées dans un
système de coordonnées rectangulaires, les équations don-
nées représenteront deux courbes des degrés m et «, et leurs
solutions détermineront les intersections des deux courbes.
Deux courbes générales des degrés m et n ont donc
nin points communs. Dans quelques cas particuliers, l'équa-
tion finale pourra être de degré moindre. Si l'on part du cas
général, et si l'on fait varier les coefficients d'une manière
continue pour leur faire prendre des valeurs pour lesquelles
le cas particulier se présente, les coefficients des plus hautes
puissances de x tendront vers zéro, et autant de racines croî-
SUR l'élimixation. kl
tront au delà de toute limite (ce que l'on voit d'ailleurs en
changeant x en - )• On peut donc dire qu'il y a toujours mn
solutions communes ou mn intersections, si l'on compte les
solutions qui croissent indéfiniment ou les points qui s'éloi-
gnent à l'infini. Ces considérations, qui conservent au théo-
rème relatif aux intersections de deux courbes toute sa géné-
ralité, sont d'une grande utilité dans la Géométrie moderne.
Exemple. — Les équations générales du second degré sont
/(.)") = (f^r"' H- «1 j -H «0,
On trouve, pour le produit f{yi)f{yi),
-+- "i 71/2 -+- f^o^'i (Ji H- ri ) -+- «1 «2 (fl + J 2 ) H- "1
Jlji-
Voici comment on peut former la fonction f{yi)f{yi)
On divise /(y) par F(/), et l'on a, en appelant E un polynôme
entier,
fiy) . . ^? /(.'•/)
F(J)
E +
li
F'(;/j
et, par suite, en posant "^rj-^ = ?(/)>
/•( y)
F(JJ
= E+-2:o07)
cpCn)+-Vr;.0,)
ce qui permet de former icp(/,), 1yiO{yi),
simple division; on a alors identiquement
par une
'f(ji)
?0"2)
?(r2)
= ?(.^•l)'f(/■2)...cp(.r„)•D^
48 CHAPITRE III.
en appelant D le second déterminant. D- est égal au produit
des carrés des différences ( j^ — vj) ou au produit
F'0-i)F'(r2)...F'(r.);
{voir n"** 23 et 37) celte équation peut s'écrire
= /(.''! )/(.r2).../(j,J,
ce qui fait connaître l'expression de l'équation finale.
Méthode de Labatie.
30. Soient Vi^^o, ¥, = 0 les équations données en jc et y,
ordonnées comme plus haut; soit n le degré de V, en r ; nous
supposerons que V, est de degré égal ou inférieur au degré
de Vj. Si Vi et V2 ont un facteur commun, nous le supprime-
rons; outre le nombre fini de solutions que nous détermine-
rons plus bas, les équations seront encore satisfaites pour
toutes les valeurs de ^ et j qui annulent le facteur commun.
Maintenant cherchons le plus grand commun diviseur de
V, et V,; on finit par trouver un reste fonction de .a? seul; en
égalant ce reste à zéro, on a l'équation finale, car cette équa-
tion exprime que Vi et V, ont un facteur commun. Mais, en
examinant les choses de plus près, on voit qu'il peut s'intro-
duire des solutions étrangères, de même qu'il peut en dispa-
raître; cela tient à ce que, pour éviter les fractions, on intro-
duit ou on supprime des facteurs dans les calculs. Ces facteurs
sont fonctions de a^ seul : ceux qui seront introduits dans les
dividendes seront désignés par 11, ceux qui seront supprimés
dans les diviseurs seront désignés par v, les quotients seront
désignés par Q. On a alors tout d'abord
(0 «iV, =QiV.2-^V3('i;
on voit alors que les deux systèmes d'équations
uiYi^o ) { V. = o,
^'^ ' V. = o) - IVar,
SLR L ÉLIMINATION. 4g
ont les mêmes solutions finies, car toutes les valeurs finies
qui satisfont à l'un, satisfont à l'autre; si l'un des systèmes a
des solutions multiples, l'autre les a aussi et au même degré
de multiplicité ; car on peut regarder ces systèmes comme des
cas limites de systèmes plus généraux sans solutions multi-
ples.
Ce que nous venons de dire n'est vrai que pour les solu-
tions finies; les deux systèmes peuvent ne pas avoir les
mêmes solutions infinies; ainsi le système
X- -T- y^ -\- cil ■'' -f- b^y -i- Cl = o
a deux systèmes de solutions infinies, et l'une de ces équa-
tions combinée avec
{a — ai)x-\- (b — bi)y -f- c — f, = o
n'a pas de solutions infinies. Nous laisserons de côté les so-
lutions infinies.
Les systèmes (2) peuvent aussi s'écrire
1 «j = o. Vi = 0 cl l'i = o, V2 = o,
■^'* \ \, = o. V. = 0 V, = 0, V3 = o:
nous désignerons ces systèmes par i, 2, 3, t\.
On voit que, si l'on remplace le système donné 2 par 4, on
introduit les solutions étrangères qui appartiennent à i, et
que l'on a éliminé celles qui appartiennent à 3. Dans le cas où
«1 et v^ ont un facteur commun d^, on peut l'écarter par la
division, car il entre les deux fois en combinaison avec
¥2 = 0 : il disparaît une fois en divisant par t'i, tandis qu'il
s'introduit une autre fois en multipliant par «j; de la sorte le
système donné sera remplacé par
-1=0 et Vo
(.4) 'A
( V2 = o V3
P.
5o CnAPITRE III.
et les solutions étrangères introduites sont rléterminées par
On opérera, sur le système Vo =: o, \-^ =^ o, de la même
façon que sur le système primitif, et l'on continuera ainsi de
suite jusqu'à ce que l'on parvienne à l'équation finale, en
ayant égard aux systèmes mis de côté et à ceux qui détermi-
nent les solutions étrangères. Pour obtenir l'équation finale,
il faut la multiplier par -~ et par les quantités analogues, et
la diviser par -/ et les quantités analogues.
Cependant, s'il s'agit des solutions générales des équations,
on doit se rappeler que les racines chassées et introduites
jouent un rôle spécial et tout autre que celui des racines, qui
sont telles qu'à chacune ne correspond qu'une valeur de y.
De celte façon, -^ =^o doit être combiné avec V.i=:o et une
équation analogue '-f- avec ^'p_ul = o, analogue à ¥.= 0. Nous
allons maintenant montrer comment on peut simplifier la
solution.
31. Nous avons seulement évincé les facteurs communs à
un t' et à un M de même indice; car on n'a à combiner que
dans ce cas u et f> avec une même équation. Nous allons
toutefois établir le théorème suivant :
Si un u et un v suivant, par exemple u, et i\ ont un facteur
commun x — ol, qui n' appartient pas à un u ou un ç intermé-
diaire, le système x — a = o, ¥3^=0 peut être remplacé par
X — a = o^ Vj^ o.
Considérons, en effet, les équations
(6) I ":3V,= Q:3Vi^Y3i'3,
Elles montrent que .r =r a, et les valeurs de j qui satis-
font à ;/,=:o et ¥3=0 satisfont aussi à Vi = oet ¥3 = 0 (s'ils
SUR l'élimi.wtion. 5i
n'annulent pas c, ou ('3) et inversement, les valeurs qui satis-
font à ('4=0 et ¥5^=0 satisfont aussi à ¥3=0. Il est donc in-
différent de combiner les racines communes à «2 = o et i\ = o
avec ¥3= o ou avec V5 = o, et ainsi (abstraction faite des so-
lutions infinies) on ne commettra pas de faute en supprimant
les facteurs communs à lu et i\. Ainsi, on peut supprimer tout
facteur primitivement introduit par une multiplication dans
un u, si on le rencontre une première fois dans un c.
Si, par exemple, dans a, on trouve le facteur a; — Xi, et
dans U3 le facteur jc — «2, on peut faire disparaître ces fac-
teurs si on les rencontre pour la première fois dans un v, et
comme cela a lieu quelque petite que soit la différence
entre a, et ct^, cela doit encore avoir lieu pour ai=z oco. Si
donc le même facteur a été introduit plusieurs fois, on peut le
faire disparaître le même nombre de fois s'il entre dans les c.
On voit maintenant quelles sont les équations à résoudre :
d'abord, on a le facteur étranger '-^. et la multiplication sui-
"1
vante donne ^7-^; on élimine, par la division, les facteurs
contenus dans ç^; en appelant leur produit di, il reste à con-
sidérer -T-T-j et en multipliant par u^ et en écartant les fac-
teurs contenus dans «-3, dont on désigne le produit par d^, on
a à considérer "'"/"/ ;. et ainsi de suite.
«1 rt2 «3
Les équations données seront donc remplacées par le sys-
tème suivant :
\ -7- = O. -—=0, -—=0, -. = O.
(7) fA (h d^ da-x
\ Vo = O, V3 = o. ¥4 = 0 V„ = o,
équations qui, abstraction faite des solutions infinies, ne
fourniront que les véritables solutions avec leurs degrés de
niultiplicilé. Les facteurs étrangers introduits doivent donc,
si cela n'a déjà pas été fait dans le courant de l'opération, dis-
paraître de l'équation finale. Le dernier reste est V„^.,(^„_i, et
l'on peut supposer V„+i= i, ce reste ne contenant pas y, en
52 CHAPITRE III.
sorte que ('„_i=o est l'équation finale, de laquelle après
avoir divisé par a„_, on a écarté toutes les solutions étran-
gères. Comme, en général, V„ est du premier degré en y,
le dernier système fait connaître les solutions qui sont telles
qu'à une valeur de a: correspond une valeur de j; l'avant-
dernier système fait connaître les racines telles qu'à une va-
leur de ^ correspondent deux valeurs de y, etc. Comme les
solutions multiples ne peuvent se rencontrer que dans des
systèmes tout particuliers, on ne trouve que le dernier sys-
tème, si l'on a affaire à des équations tout à fait générales.
En général, l'équation finale, obtenue en annulant le dernier
reste de la méthode du plus grand commun diviseur, est de
degré trop élevé, puisque l'on doit en ôter les facteurs intro-
duits pour faire les divisions, afin d'éviter les fractions. En
opérant sur deux équations du troisième degré, on trouve un
reste du onzième degré, et l'on a eu à multiplier deux fois par
un polynôme du premier ou une fois par un polynôme du
second degré. La dernière division introduit un facteur du
quatrième degré; mais il ne joue aucun rôle, car il n'intro-
duit pas de racines finies.
Si le nombre des racines communes est moindre que celui
qui est indiqué par le théorème général, c'est que les racines
manquantes sont infinies. En Géométrie, les solutions infi-
nies ont une plus grande importance, et, pour cette raison,
nous n'en parlerons plus ici :
Exemple :
Vi = ) 3-i- •ixy'^-h {2x- — j.i')'' -i~ ■^" — 4 = 0,
V2 = J "--i- 2./) -f- 'IX- — >./• -+- l = O.
On supprime dans le premier reste le facteur x — 2, et on
le combine avec V,. Le deuxième diviseur est y + j? H- 2; il
donne le reste a:^-—5x -{-6, et l'on obtient les deux systèmes
./■ = 2, .1"- — 5.V -i- 6 ^ o,
y--^ 2 J7)' -T- 2X'- — ^ 5.r -^ 1 = o, j- -i- .r ^--2 = 0,
ainsi
.r = 'jt, X = "2, X = 2. X = 3,
r = o, ;= — 4, y=_4, ,=_j.
SLR l'élimination. 53
Comme on devrait obtenir une équation finale du sixième
degré, deux valeurs de a: sont infinies. Les deux courbes
représentées parles équations données ont deux interseclions
à l'infini et, sur les quatre autres intersections, deux se con-
fondent pour donner un contact.
Méthode d'Euler.
32. Soient
j U = ooy'" -^ «I ) "'-1 — a-iY'"-^ -h . . . ^ <7,„ = o.
'" } V = i„, «__/,,,«-! ^ /;,,«-'- -^...- />,,= ...
les équations données. Si U et V ont un facteur commun 9 de
degré p,
(1) Ci = aoV/'-i- a, r/'-' -H. . .-I- a;,,
et si l'on pose
(3) ^==M, X=N,
les polynômes NU et MV devront être identiques. N est alors
de degré n — p et M de degré m — p. Multiplions alors U et V
par des polynômes de degrés respectifs, égaux à n — p et
m — p, et à coefficients indéterminés; et égalons les coeffi-
cients des mêmes puissances de j dans les deux produits. Si
l'on élimine les coefficients indéterminés entre les équations
qui sont du premier degré, on aura les conditions pour que U
et V aient un facteur commun de degré/?.
Soit
{ X = /-o.r"-/' -/•, )"-/'-! +...-/■„-/,.
On a à sa disposition m -h n — 2p coefficients indéterminés,
et l'identification des deux produits donne m -t- « — p équa-
tions; en éliminant les coefficients indéterminés, on a /«équa-
tions de condition; si elles sont satisfaites, on a
NU = MV.
De là, il résulte que les n facteurs de V doivent entrer dans
54 CHAPITRE Iir.
NU, et que p d'entre eux au moins doivent entrer dans U,
puisque N est seulement de degré n —p.
Pour /? = i, on n'a qu'une équation de condition qui est
l'équation finale cherchée.
On peut obtenir la forme générale du facteur commun, en
remplaçant les polynômes M et N par d'autres M, et Ni de
degré moindre, et en annulant les coefficients des puissances
supérieures de j dans N,U — MiV; si l'on pose
(5)
NiU — iMiV = a„r/'
le facteur commun à U et V de degré p sera précisément le
second membre de (5), si les conditions pour que ce facteur
existe sont satisfaites.
Exemple :
U =
V =
si l'on pose
«3=0,
^3 = o;
X2)U=(J'+P1J-^P2)V,
on a, en identifiant,
r/yd
-{-
a 2
Q
— l>2
+ ^P.
+ b.
f/iO.
-+-
«3
= h,h
+ A.2P.
+ />3
a-iOi
-+-
-^l'^h
'
En éliminant a,, a,, (3i, (3,, on a l'équation finale
<^'l
o
/>,
0
I
f'i—bi
a,- h.
«2
«I
A,
br
f'z—b^
f'3
«2
b.
bî
o
O
«3
o
b.
o
Pour avoir l'expression du facteur commun, on posera
(j + ai)U — (j -t- (iiOV =/«/ + «;
SUR l'élimination. 55
et l'on trouve
ai/7i -1- a-i — pi/;] + h.-,,
ai a.2 -+- a-i = p, /a, -h l>z + m,
a, et {3i sont donnés par les deux premières équations, et m
et n par les deux dernières.
Pour trouver la condition pour qu'il existe un facteur com-
mun du second degré, il suffit de poser m =r « i= o; alors les
conditions sont données en égalant à zéro les déterminants
oblenus en prenant trois colonnes dans le Tableau
I
('l
n.
f'z
Ih
l>i
l>z
-l'I
r/3 — b-i
()
Ces quatre déterminants, que l'on peut ainsi égaler à zéro,
ne fournissent que deux équations distinctes.
Si les équations ainsi obtenues sont satisfaites, on obtient
le facteur commun du second degré en éliminant/' entre les
deux équations données, ce facteur est
Méthode de Sylvester.
33. Cette méthode ne diffère pas, au fond, de la précé-
dente. Elle consiste à multiplier les équations données par
y, y^, y^, ... jusqu'à ce que l'on ait obtenu deux équations
de degré m -h n — i ; on a alors fii + n équations, entre les-
quelles on élimine y, y-, j% . . ., j"'+«-i, en les considérant
comme des quantités indépendantes entrant au premier
degré. On obtient ainsi, en considérant les équations trai-
tées au paragraphe précédent,
j^+<^/iy^-i- (iiY -^ (i-i = o,
r'^ -h «u 3 -)- rt^j^ -i- a-ij =^ o,
^5 _,. fuy'* + «2j' -h 0^}"^ :
CHAPITHE III.
j^-h i>iY--i- /joj- -{- l>i = o,
d'où l'équation finale
I l>i l'i h,
l'x l>i I'; o
b-i b^ o o
Oi
fl-i
/'.
h.
l'-l
Ih
Celle équation devient identique à celle que l'on a trouvée
tout à l'heure, si l'on échange la troisième ligne avec celle
que l'on obtient en retranchant la sixième de la troisième,
puis en supprimant la première colonne et la sixième ligne.
Si on laisse de côté la troisième et la sixième équation, on
trouve
l'^
ce qui détermine les deux conditions pour que les équations
proposées aient un facteur commun du second degré.
Les résultats des recherches précédentes sur les équations
à deux inconnues peuvent se résumer ainsi :
Soient m et n les degrés des deux équations, l'équation
finale est de degré mn; dans des cas particuliers ce degré
peut s'abaisser, soit parce qu'il existe un facteur commun
dans les deux premiers membres des deux équations annu-
lant leur plus grand commun diviseur, soit parce qu'elle pré-
sente des racines infinies faisant disparaître les plus hautes
puissances de l'inconnue. A chaque racine de l'équation
SLK l'élimination. 5j
finale en x correspond, en général, une valeur de 7 donnée
par une équation de la forme
A/ -!- B = o.
Celte équation devient illusoire quand les valeurs de x annu-
lent A et B, 7 a alors deux valeurs données par une équation
de la forme
A,72^B,7-^Cl = o,
si Ai= B, = Ci= o, 7 a trois valeurs, elc.
Ces résultats sont surtout mis en lumière dans la méthode
de Labatie, parce que toutes les expressions dont on a besoin
pour former les équations de condition ou les facteurs sont
calculées pendant les opérations; cette méthode est plus
commode quand on a affaire à des équations numériques, et
doit être alors préférée; tandis que les méthodes d'Eu 1er et
de Sylvester, qui doiuient le résultat au moyen d'un détermi-
nant, sont préférables dans le cas oi^i le calcul complet des
résultats n'est pas exigé.
Méthodes de Bézout et de Laurent.
34. Les méthodes d'élimination que nous avons dévelop-
pées ne sont pas, en réalité, très différentes; elles se rédui-
sent, en définitive, à déduire, des équations données, de
nouvelles équations linéaires en y, et à en éliminer les 7 ; la
méthode suivante de Laurent a pour but de montrer leurs
rapports. Soient f{y) = o et 9 (7) — o les équations données
que nous supposerons des degrés m et n ou m^n. Soient
^1(7)» ^2(7), ..-, ^niy) des polynômes de degré « — i linéaire-
ment indépendants. En multipliant f{y) par ces polynômes
et en divisant les produits par 9(7), on obtient n équations
de la forme
(i) ^i(r)fir) - qi(j)^(f ) = f'i + luy + Ci^ 2 + . . .-4- /,-7''-i.
Considérons le déterminant des coefficients des restes
58 CHAPITRE III.
Soient Ai, Ao, . . ., „ les mineurs de R relatifs à la pre-
mière colonne; si nous multiplions les équations (i) respecti-
vement par ces mineurs, et si nous ajoutons, nous obtenons
l'équation
(2) /Q-) V A,.e,( r) - '^(j)ZXiqi(y) = R:
celte identité montre que tout facteur commun à /(/) et à
9(7) appartient à R ; et, comme R ne contient pas j, R = o
est la condition pour que/ et o aient un facteur commun. Si
les coefficients de / et de 9 dans (2) sont respectivement de
degrés n — i et m — i,/ et 9 ont un facteur commun du pre-
mier degré, et R =:o est la résultante de/= o et 9 =; o.
Si R n'est pas nul, (2) donne le théorème suivant :
Si /{y) et o{y) n'ont pas de facteur commun, on peut tou-
jours trouver deux polynômes A e^ B des degrés n — i et
m — I, respectivement tels que l'on ait identiquement
A/C,r)-Bo(,)) = r.
Lorsque R = o, on tire des n — i équations distinctes, obte-
nues en égalant les restes à zéro, les valeurs de y, y'^, ■ ■ -,
/""S oii y désigne la racine commune à /(r)=o et
On peut remplacer les fonctions 9 par des combinaisons
linéaires de celles-ci qui soient linéairement indépendantes;
les a, les b, . . . seront ainsi remplacés par des fonctions
linéaires de ces quantités; le déterminant R sera alors mul-
tiplié par le déterminant de la substitution correspondante.
En faisant varier les coefficients des 0, R acquerra des fac-
teurs divers. Laurent prend les 9 égaux à i, y, y-, . . ., j"~';
dans ce cas, en désignant par 71,72, •••, J« les racines de
9(7) zzz o, les équations (1) deviennent
(3) n /(/^) = ''i- hoi.-^--.-^iiyr'-
Si l'on forme le déterminant qui a pour élément général le
second membre de cette équation, on voit, d'après la forme
SLR L ÉLIMINATION.
de cet élément, qu'il est le produit de R par
59
D =
I J--Î
comme D = o pour/x^^= V/, on voit que D est divisible par le
produit des différences des racines j^., et comme D et ce pro-
duit sont de même degré, ils ne peuvent différer que par un
facteur numérique, et il est facile de voir que ce facteur est i
(voir p. 48); D^ est donc le discriminant de o{y)- Si, au con-
traire, on considère le déterminant qui a pour élément général
le premier membre de (3), on le trouve égal à
on a donc
./b-i)/0 2)....f(j,OD;
H = /':n)/0-2).../(j«),
ce qui (p. 45) donne la forme la plus simple de la résultante.
Maintenant supposons qu'avec ce choix spécial des 9, l'on
ail A„=o : le terme en j"~' dans 2)A,9, s'annule, le coeffi-
cient de/(7) est alors de degré n—2 dans (i), et /(y) et 9 (y)
ont pour R = o un facteur commun du second degré ; si l'on
a encore A„_i = o, ces fonctions ont un facteur commun du
troisième degré, et ainsi de suite. Si le facteur commun est
de degré n — i, il ne devra différer que par des facteurs
connus de chaque reste; tous les éléments de R d'une même
ligne sont alors proportionnels à ceux d'une autre ligne, et
tous les mineurs de R sont nuls.
Laurent évite les divisions à l'aide de certaines fonctions
auxiliaires, mais le déterminant qui exprime la résultante est
un peu moins simple; comme ces fonctions sont souvent
utiles, nous allons les faire connaître.
Soit F(y)i=o une équation de degré m ayant toutes ses
racines «1, c/.,, . . ., «,„ inégales; on pose
F(y)
(j — "ijl^'l un'
6o CHAPITRE III.
les \ sont des fonctions entières de degré m — \, \i se réduit à
I pour /^ a, et s'annule pour les autres valeurs de a; il en ré-
sulte que, si '^{y) est un polynôme quelconque de degré m — \
au plus, on a identiquement
'L( r) = 'I;((7i )ïi^ '^{.fti)\i^- ■ --^ '^(V'w );/;/.
Si l'on prend 4> égal aux m expressions de la forme
f(r) '^(r/,-) — cpf r) f(r/,-)
on obtient en fonctions linéaires des 4 qui, pour une racine
commune de/(/) = 0, cp(j)^ o, s'annulent à la fois; si l'on
élimine les ^ des équations obtenues en égalant les fonctions
linéaires à zéro, on obtient la résultante. Laurent montre
qu'elle contient en facteur le discriminant deF(y); dans les
applications, il n'est pas nécessaire de former ce discrimi-
nant ; et l'on peut prendre pour les a des nombres arbitraires.
Bézout, Cauchy et Cayley ont fait connaître des méthodes
fl'élimination qui, au fond, reviennent à prendre (lorsque
m = n) Qi, On, ... égaux aux coefficients du quotient de la
division de o{x) par y — ^c; q^, q,, ... sont alors les coeffi-
cients du quotient de la division de f{x) par y — x.
Systèmes de plusieurs équations à plus de deux inconnues.
Théorème de Bézout.
33. Bézout a démontré, pour la première fois, que l'élimi-
nation de A- — j quantités entre k équations conduit à une
équation finale au plus égale au produit des degrés des équa-
tions en question.
Pour plus de simplicité, nous supposerons que les équa-
tions données soient au nombre de quatre, nous les suppose-
rons à quatre inconnues x, y, z, a, et tout à fait générales des
degrés m, n, p et q; nous supposerons mln^p^q.
De la dernière équation, on tire ui en fonction entière des
autres inconnues et en fonction linéaire des puissances moins
élevées de u, et, en multipliant par it, on peut ainsi obtenir
toutes les puissances de u en fonction linéaire des puissances
SLR L ÉLIMINATION. 6l
inférieures à 7. Si l'on porte ces valeurs dans les autres équa-
tions, Il n'y entrera plus qu'à la puissance 7 — i au plus; de
même, de l'avant-dernière équation, tirons la valeur de zp, et,
en continuant, on tirera la valeur de y"- de la seconde. Ces
substitutions faites, la première équation ne contiendra pas
de termes divisibles par j", z-p, u'', elle sera de forme entière
et homogène dans le sens oii nous avons déjà pris ce mot.
Maintenant multiplions la première équation ordonnée par
rapport à /, z, u, et dont les coefficients sont fonctions de x,
par un polynôme P, contenant tous les termes de la forme
Xy^z^u^ non divisibles par y", z-p, u'J. Supposons que le
premier coefficient de ce polynôme soit égal à un. La multi-
plication une fois effectuée, faisons encore disparaître les
termes divisibles par y", zp, «-?, l'équation contiendra autant
des autres termes indéterminés que de coefficients indéter-
minés, et cela sous forme linéaire; on peut les déterminer
de manière à annuler tous les termes en y, z, u et le résultat
est alors l'équation finale.
Pour déterminer le degré de l'équation finale, nous obser-
verons que le degré de la première équation est m. Le degré
du facteur par lequel on l'a multipliée, et qui, au moyen d'in-
dices convenablement choisies, est rendu homogène, étant
/JL, le produit sera de degré m + [i, le nombre des termes du
produit est npq, c'est le nombre des termes du produit
( 1 -;- )■ -f- }-2 — . . .—_)"->)( i~ z —. . .— :./'-')(! — ;/—...— «'/-'),
qui ne diffère du premier que par ses coefficients qui sont
linéaires par rapport aux coefficients indéterminés. Soient
/"■' un terme de P et a''') son coefficient ; a^''/''' est de degré \j.,
il se trouve multiplié dans le produit par un facteur de degré m
en .r. Le produit a la forme
si l'on égale à zéro les coefficients de /'"', l^'^>, . . ., et si, entre
les équations obtenues, on élimine a**", a''\ ..., ce qui se
fera en égalant à zéro un certain déterminant, les termes de
la diagonale sont les coefficients de termes de la forme
62
CHAPITRE iri.
a<'")/"'. Ces coefficients sont de degré m, et leur produit est
de degré mnpq. Tous les termes de l'équation finale ont donc
une somme d'indices égale à mnpcj, et, par rapport à x, elle
sera de degré mnpq au plus. II est facile de voir que ce degré
n'est pas, en général, inférieur à mnpq; en effet, si l'on con-
sidère les équations particulières
X — y'", y = z", z = al', a = x'i .
leur équation finale est bien de degré mnpq.
36. Si l'on n'introduit que npq — 2 coefficients indéterminés
dans P, on peut faire disparaître tous les termes, à l'excep-
tion de celui qui contient seulement jr et de celui qui contient
une des autres inconnues au premier degré; on a alors une
équation qui détermine cette inconnue lorsque l'on a tiré x
de l'équation finale, et la discussion s'achève comme dans la
méthode d'Euler exposée à propos de deux équations; cette
méthode d'Euler, en réalité, est identique à celle de Bézout.
Exemple :
y- -h xz = b-,
'^f
= Ij^-
j-z = lAx —xc^-
^^-J
yzi =c^y —xlA
-+- .r2 z
y'-z'-= /Ac'-—b^-x
■ — c\r
et
(yz -^ 3ti 3 — ^3i j>- -T- Yî ) (yz — .r^ — a'- ) = o.
Si l'on effectue la multiplication et si l'on remplace yS :;-.
y-z, yz- par leurs valeurs, on obtient, en égalant les coeffi-
cients de yz, z, y et le terme indépendant à zéro, et en éli-
minant les coefficients «i, ;3i, ■/.„ l'équation finale
2.r2 — a- o o 1
— c^x 2.r2 — a- h- o
— h^x c- IX- — a- o
b-ic'- —b^-x —cKc x'- — i
SLR l'élimination. 63
On voit que tous les termes d'une ligne diagonale sont du
second degré, ce qui confirme ce que nous avons dit sur le
degré de ces termes en général. Pour trouver y et z, posons
(3 -h ao J -i- ai ) {yz ^x"-— a^ ) = o
ou
z-)- -+- oio)-z -f- -Xirz -f- :;(./;"- — n-) -^ an.r(.r- — a-) -+- ai(.r2 — a-) = o;
si l'on remplace z-y et y'-z par leurs valeurs, et si l'on égale
à zéro le coefficient de yz, on a
■3(2.r- — a--r- cxqÙ-) -h ) [ao(2.r'- — a-) -7- c-~\ — .r( //--i- aoc-) = o:
en égalant à zéro les coefficients de / ou de z, on a
z [ b- r^ — (.9. .r2 — a- )- ] — j:[c* — h- ( 2 jf- — a- )] .
Les équations que nous venojTS de traiter peuvent être réso-
lues plus simplement, en ajoutant les deux dernières et en
les multipliant entre elles, puis en éliminant y + z e\. yz.
L'équation finale du huitième degré se ramène au quatrième,
en posant a:-=z u.
37. Nous pouvons donner à la méthode que nous venons
d'exposer une autre forme; elle revient, en réalité, à retran-
cher d'abord de l'une des équations les autres, multipliées
par des polynômes déterminés. Par exemple, pour faire dis-
paraître de /= o de degré n >/? les termes qui contiennent
•r/', xP-^\ . . ., J-", au moyen de l'équation
o = .r/' -h (Il .ri'-'^ -f- . . . = o,
on a
_ri> = r^ ^ . . . ,
OÙ kn-p est de degré n—p, en sorte que, pour faire dispa-
raître les termes en xi', xp^\ . . ., on écrit
où B„..,, est un polynôme de degré n —p.
64 CIIAI'ITHE III.
J)e celle faron si cpi= o, 9,= o^ 93— o, 9i=o sont les équa-
tions considérées au n° 35, nous avons d'abord formé l'équa-
lion
co 1 -H A '^ 2 -t- B cçs -i- C ççi = O ;
nous avons ensuite multiplié celte équation par un facteur, cl
nous avons combiné le résultat de la même façon avec les
trois équations 02=0, 93=^0, 9i=o; nous avons alors trouvé
Xi oi -H (Xi A H- Al ) cp2 + (>M B -^ B, )'^:j+ ( X, C + Cl )'^i = o;
et cette équation, quand on y suppose les coefficients du
polynôme multiplicateur convenablement choisis, est la ré-
sultante ; en sorte que celle-ci est de la forme
X, C3, -!- I2 'f 2 -+- l-i 'i:! -^ Ài 'il = R-= O.
Théorème de Jacobi.
38. Pour simplifier, nous ne considérerons, dans ce qui va
suivre, que deux équations; néanmoins, nos conclusions se-
ront tout à fait générales, et nos raisonnements pourront
sans difficulté s'étendre à un plus grand nombre d'équations.
Soient les trois équations
cp,(,r, r, 3 )= o, o.,{.r,j\ z)= o, 03(x,)-,z)=o:
pour la commodité du langage, nous supposerons que ces
trois équations soient celles de trois surfaces. Alors les coor-
données de leurs intersections sont les solutions de ces équa-
tions. Soient m, n, p respectivement les degrés des équa-
tions en question, posons mnp = \j.\ nous désignerons par
{xifiZi) les coordonnées des intersections et nous suppose-
rons i = I, 2, . . ., /a.
Il existe un théorème important sur les fonctions symé-
triques des coordonnées des points d'intersection des trois
surfaces, dû à Jacobi et que nous allons démontrer.
Soit f{œ):=.o, une équation ayant toutes ses racines a-,,
^•2, ..., œ„ distinctes; en désignant par (^{x) un polynôme
SUR l'élimination.
65
quelconque, la formule relative à la décomposition en élé-
ments simples donne
an^ri'-i- a<xP-
2(
Xi^{Xi)
V — Xi)j'{Xi)
formule d'où les termes entiers disparaissent si le degré de
o{oc) est inférieur à « — i. Si l'on y fait x^o, on a
^(Xi)
el A- = G si le degré de o est inférieur à n
Posons maintenant
(«)
A 1 1 'f 1 -i- A 1 2 cp2 -f- A 1 3 '^3 = X,
X.lO,^ ÀooCpo-h A 23 93= Y,
''3 1 9Î "^ ''32 '^2 "+" ^33 93 ^ ^ '
X, Y, Z ne contenant respectivement que x, que 7 et que z
ces quantités sont de degré [x; nous supposerons nos équa
lions générales, en sorte que le déterminant fonctionnel
<^?l
do,
doi
dx
ùy
'dz
d-^i
ôyj
do.
'ôx
^'
Oz
<H,
()-:,:i
r>f.
O.i
7»r
f)z
D =
sera différent de zéro aux points d'intersection de nos trois
surfaces. Nous poserons
A- S±ÀnÀ22>^33,
\ sera le déterminant des équations (i), et nous aurons
A'^/= A,X + R/Y-^C,Z.
Nous pouvons combiner les /ut. racines des équations X=:o,
Y = o, Z==o ensemble de [x^ manières; ces combinaisons
comprendront les coordonnées simultanées des /jt. inlersec-
P. 5
66
CHAPITRE III.
lions de nos surfaces. Chacune de ces ii^ combinaisons an-
nule A(f)i et, comme les 9 s'annulent à la fois et aux points
d'intersection seulement, A devra s'annuler pour les autres
combinaisons en nombre /ji* — (j..
Le théorème de Jacobi apprend h évaluer la fonction sy-
métrique
OÙ ^ est une fonction entière quelconque, et oiî la somma-
tion s'étend à tous les points d'intersection des trois surfaces.
Si nous différentions les équations (i), en négligeant les
termes nuls avec les ©, nous aurons
(2)
dj Ôf Ôf
Xj,_Li -l-X,, JL +Xi3-i- =0,
et deux systèmes analogues. Formons le déterminant
X'Y'Z'
X
0
0
0
Y'
0
0
0
Z'
et remplaçons ses éléments par leurs valeurs (2), nous obte-
nons le produit des deux dé erminants D et A, donc
DA = X'Y'Z'.
La somme que nous avons voulu évaluer se réduit alors ;
Zj X'Y'Z"
elle doit s'étendre à toutes les intersections; mais on peut,
sans inconvénient, l'étendre à toutes les combinaisons des
racines de X = o, Y = o, Z = o, à cause de la présence du
facteur A, nul pour les combinaisons qui n'appartiennent pas
SUR l'élimination. 67
aux intersections. Cette somme se décompose en d'autres de
la forme
2^ X \ z' ~ 2d X' 2dy Z^ z' '
Ce produit, d'après ce que nous avons vu, s'annule quand
a, (3, y ne sont pas simultanément égaux ou supérieurs à /jt. — 1 .
Si le degré de ^pA est alors inférieur à 3 (jut. — i), la somme en
question sera nulle; si le degré ^'A est égala 3(|u. — i), elle
sera égale au rapport des coefficients de xV--'^ , yV--'^ , zV--'^ au
numérateur et au dénominateur.
Comme la différence des degrés du numérateur et du dé-
nominateur n'est pas altérée par l'introduction du facteur A,
on peut dire que la somme en question est nulle quand le
degré de ^ est moindre que le degré de D.
Méthode de Poisson.
37. Considérons d'abord trois équations des degrés m, n, p
(i) cp,„f.r, )■,:;) = 0, cp„(.r,j, 3) = o, o p(,r, j, 3) = o.
Éliminons z entre les deux dernières, nous aurons
La dernière équation est de degré np, et <\ii, ^^ sont des
fonctions entières. Si donc on regarde x comme une quantité
connue, on aura np valeurs de y et np valeurs correspon-
dantes de z. Nous supposerons les équations données homo-
gènes dans le sens déjà donné à ce mot, c'est-à-dire que nous
supposerons, par exemple, à y''z^ un coefficient d'indice
m — /• — 5 dans la première équation, et ce coefficient sera
une fonction entière de x dont le degré sera égal à son in-
dice. Nos deux équations (2) sont alors homogènes dans le
sens convenu.
Nous appellerons fonctions symétriques des np solutions
( r,, z^), (j-,, z.,), . . . des fonctions qui ne changent pas quand
68 CHAPITRE m.
on permute à la fois Zp et Zg, jp et y,/. Les fonctions symé-
triques des solutions seront des fonctions symétriques de
Xi, y.2, ... si l'on y remplace ^i, z^, . . . en faisant usage de la
première formule ( 2 ), et pourront être exprimées rationnelle-
ment à l'aide des coefficients de la seconde équation (2), coef-
ficients qui sont fonctions de œ. Comme les équations dont
on a fait usage sont homogènes, les fonctions symétriques
homogènes par rapport aux solutions seront homogènes par
rapport aux coefficients. Par exemple
sera transformé en
4^l(-r,.Vl) _^ . '}l(-^,j2) _^
•^''^2C-Ï,^l) ' •^'J^2(.r,j2) ' ■■■'
et sera exprimable en fonction de x seul, c'est-à-dire en
fonction des coefficients des équations données. Comme nos
fonctions symétriques sont fractionnaires, on doit s'attendre
à ce que leur expression sera fractionnaire et que la diffé-
rence entre le degré des numérateurs et du dénominateur
sera le degré de la fonction symétrique. Nous allons prouver
que le résultat est entier et que le dénominateur divise
exactement le numérateur. En effet, s'il n'en était pas ainsi,
il existerait des valeurs finies de x rendant infinies des fonc-
tions symétriques entières de /i, ^1, y^_, z,, . .., ce qui ne
peut arriver que si l'une des quantités jj, c,, y^, z.2, ... est
infinie. Or, les équations ^«= o, ^p=o sont tout à fait géné-
rales, même quand x prend une valeur particulière, et l'on
sait que de pareilles équations n'ont pas de solutions infinies.
La condition pour que la première équation soit satisfaite
par un des systèmes trouvés est
(•}j cp„,(,r,_)i,ci) ç>,„(x,j2, z,) ... Omi-^,fnp, z„p) = o;
ce produit est une fonction symétrique entière de o-,, jj,
./o, Yi, ... et peut s'exprimer en fonction de x; chaque fac-
teur est une fonction homogène de degré m, et ce degré ne
SUR l'élimination. 69
change pas quand on passe des fonctions symétriques aux
coefficients; l'équation finale est donc de degré mnp.
38. Si l'on élimine z entre o,n = o et9„ = o,on obtient une
équation entre x et j de degré m«; si l'on élimine z entre
<p„=o et cpp = o, on obtient une équation de degré np. En
éliminant y entre ces deux dernières équations, on obtient
une équation de degré mn-p, rationnelle en x. On ne peut
donc employer ce procédé d'élimination sans introduire de
solutions étrangères; mais on peut utiliser ces calculs pour
obtenir y puis z rationnellement en fonction de x.
Il est facile d'interpréter les solutions étrangères, si l'on
considère les deux équations en ^ et y : la première exprime
(|ue o,n et 9,1 ont un facteur commun; la seconde exprime que
9„ et Op ont un facteur commun. L'équation obtenue par
notre dernier procédé exprime donc que la première et la
deuxième équation ont une solution commune, que la
deuxième et la troisième ont une solution commune, tandis
qu'il faudrait exprimer que les trois équations ont une solu-
tion commune.
Si l'on désigne par
les valeurs de z tirées des trois équations, on peut combiner,
pour les égaler, une valeur de chaque groupe, ce qui peut se
faire de mnp manières, tandis que l'on peut obtenir mn'^p
combinaisons en égalant une valeur du premier groupe avec
une valeur du deuxième, et une du deuxième avec une du
troisième.
Si l'on considère, par exemple, trois équations représentant
trois surfaces du second ordre, en éliminant deux fois z, on
obtient les équations des courbes du quatrième ordre qui
projettent l'intersection de deux surfaces sur le plan des xy ;
ces courbes se coupent en 16 points; 8 de ces points sont les
projections des intersections des trois surfaces; les 8 autres
sont les projections de points d'intersections de parallèles à
l'axe des z, avec les courbes, intersections qui sont distinctes.
70 CHAPITRE III.
39. Nous avons montré que, dans un système de trois équa-
tions de degrés m, n, p, deux inconnues pouvaient s'expri-
mer rationnellement au moyen de la Iroisième, cette der-
nière étant déterminée par une équation de degré m«/>. Nous
avons montré que, si les équations étaient tout à fait géné-
rales, ce degré était précisément m?ip. Dans des cas particu-
liers, le degré peut s'abaisser; alors une ou plusieurs solu-
tions sont infinies. De même, les valeurs de / et s exprimées
en œ pourraient être indéterminées; ce cas se présenterait,
comme on l'a vu, à propos de deux équations, si, à une va-
leur de oc, correspondaient plusieurs valeurs de r et ::, don-
nées alors par des équations de degré supérieur.
On voit facilement que la démonstration que nous venons
de donner s'étendrait à quatre équations à quatre inconnues,
et nous n'entrerons pas, à ce sujet, dans de plus amples dé-
veloppements.
40. La méthode que nous venons de donner pour le calcul
des fonctions symétriques est très pénible et peut être sim-
plifiée comme il suit : écrivons la première équation donnée
ainsi
a,„ — ?/ = o,
a„i désignant les termes qui ne contiennent que x, et — u
désignant les autres termes; si, comme plus haut, on rem-
place /i, Zi, Y-2, ^-i, ■ ■ • par leurs valeurs (3), u prend np va-
leurs «1, «2, . . ., et l'équation finale est
(4) (a,„— «i)(«,„ — M,) ■••{f',n—ihip) = o;
on exprime alors z rationnellement en fonction de .r et j
[37(2)], et si l'on porte ces valeurs dans u, on a
(5) u = t^{x,j).
Si l'on élimine/ entre cette équation et
<ll{x,J') = o.
on obtient une équation en u de degré np; et quoique u se
SUR l'élimination. 71
présente sous forme fractionnaire, on voit, comme plus haut,
que les coefficients de l'équation en u sont des fonctions cn-
lières de x. Comme l'équation en 11 peut s'écrire
{a — »i K" — "2) • • • ( " — ""/',) = o,
il suffit d'y remplacer « para,,, pour obtenir l'équation finale.
On pourrait aussi bien tout de suite remplacer u par a,„
dans (5), ce qui revient à éliminer y de l'équation ^' = 0 et
de la première après en avoir fait disparaître z. Mais la forme
du résultat serait changée, et l'on ne verrait pas immédiate-
ment le facteur que l'on doit supprimer, tandis que l'on sait
que, quand on a u, c'est le coefficient de u"''.
Exemple. — De
y- -+- --^ ■■
on tire
X
J
/;'- r
— l3
■2/j')--r- .r-* ) —
' : )-3 — /A )
éliminons y entre les deux équations en j, le coefficient de là
sera supprimé et, à la place de u, on mettra a^ — x-; on
retrouve ainsi l'équation en x du huitième degré trouvée
page 62.
CHAPITRE IV.
CHAPITRE IV.
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS.
Transformations linéaires.
ki . Étant donnée une équation, on peut en déduire d'autres
dont les racines sont liées aux racines de la proposée par des
relations données.
Étant donnée l'équation
(i) fU) = o,
on peut former une équation
(2) o(n) = o
telle qu'entre les racines x et u de ces équations il existe la
relation
a -h bu a — ex
{'">)
du dx — /;
où a, b, c, d sont indépendants de u et de x.
Pour obtenir l'équation (2), il suffit de remplacer dans (i)
.a; par sa valeur (3); on obtient ainsi l'équation
qui, après l'évanouissement des dénominateurs, se ramène à
la forme ordinaire.
Pour résoudre l'équation (1), on peut résoudre l'équation
<p(«) = o et remplacer, dans l'expression de x en fonction
de u, u par sa valeur; les équations (i) et (2) sont donc de
TRANSFORMATION DKS ÉQLATIO.NS. ^3
même degré et chaque racine de l'une fournit une racine de
l'autre. Si l'une des équations est irréductible, l'autre l'est
aussi; en effet, si l'une d'elles était réductible, elle se décom-
poserait en d'autres plus simples que l'on pourrait transfor-
mer individuellement, et l'autre équation serait elle-même
décomposable.
On peut effectuer la transformation en posant successive-
ment
/; ad — hc c
a (l-((i et
de sorte que les transformations linéaires se ramènent aux
trois types
./■ = ■xu: .f = u -T- Il : .1- = - .
Il
i2. La substitution a; = 1x11 fournit une équation dont les
racines sont avec celles de la proposée dans un rapport fixe.
Si l'équation proposée a des coefficients fractionnaires (le
coefficient de la plus haute puissance de l'inconnue étant ré-
duit à l'unité), on peut toujours disposer de a de telle sorte
que l'équation transformée ail tous ses coefficients entiers.
Si l'on a, par exemple,
'■'1 i>i i>,i
Si l'on pose x^^ -, et si l'on multiplie par a", on a
(l\ <U fin
ce (?;) = ?/" -^ -_ aw"-' -1- ~T^ y.-u"-'^~\- . . .-h -r™ «" = o:
pour que -p y., V y.'-, . . ., "r' a" ijerdent leur forme fraction-
'-'1 l>l l>n
naire si toutes les fractions 7-^, ,-, ••• sont irréductibles,
/;, /;,
il faut que a contienne les facteurs premiers ou littéraux qui
entrent dans 6,, b.^, . . ., b,i. Pour trouver l'exposant q avec
lequel un facteur (3 doit entrer dans a, on observera que (3/"^
entrera en facteur dans ot^; si donc, dans le dénominateur b,,.
74 CHAPITRE IV.
il entre le facteur (3'", il disparaîtra si pq^ r ou si ^=-- On
divisera donc les exposants des facteurs qui entrent dans les
dénominateurs par l'indice du terme correspondant et l'on
prendra pour exposant g de (3 le plus petit entier tel que g=-'
Exemple :
I 1 ^ I I
les exposants de a dans les dénominateurs sont
I, ■■>.. 4, 3,
en les divisant par i, 2, 3, 4> on a
la valeur entière minima plus grande que toutes ces quantités
est 2; un calcul analogue pour b donne
I I '2 3
1 j 11-
2 3 4'
on a ainsi
a
et l'équation transformée devient
II'* -+- a u^ -+- a- h 11^ -+- a- b u -{- a^ l> = o ;
si l'on prend a = —i, ou a: = — u, on obtient une équation
dont les racines sont égales à celles de la proposée changées
do signe.
4-3. La substitution
.r = Il -{- Il
peut servir, en choisissant convenablement /i, à faire dispa-
raître un terme de l'équation. La formule de ïaylor, en l'ap-
pliquant à
(5) f{x) = ^"-H axX'i-'^-\- aiX'^-^-\-. . .4- a,i-iX -\-an= o,
TRAXSFORMATIOX DES ÉQUATIONS. 76
donne, en effet,
(/(/, + «)=/(/') +/'(/o" +/"(/') -^^ +•• •
le coefficient de u" est i, car f" {h) = ni; le coefficient de
i/"-^ est «1+ nh; on le fera disparaître en prenant
Le coefficient de ii"~- est
«'2^- (// — f )rti// + 2 "(" — i)/'"!
et on pourra le faire disparaître de deux manières par des
choix convenables de h. En général, le coefficient de u"-''
pourra s'annuler pour p valeurs de /i qui sont racines d'une
équation de degré/?. Si l'on veut annuler le dernier terme, il
faudra résoudre une équation du degré n, qui, au nom de
l'inconnue près, sera identique à la proposée, ce qui s'explique
en observant que faire disparaître le dernier terme, c'est ex-
primer que l'équation transformée a une racine nulle, ce qui
revient à trouver les valeurs de h qui, soustraites des racines
de la proposée, donnent une différence nulle. Les valeurs de
h en question sont donc les racines de la proposée.
Exemple :
^2 -H A .r- -+- B .r -f- C = o
se ramène
à la
forme
II-
• -\- au -(-/> =
0
en posant
A
alors
a =
= ii-4^
}
Ij==C-
i
^6 CHAPITRE IV.
44. En combinant les deux substitutions dont il vient d'être
([uestion, on obtient la suivante :
,r = a «< -I- // ,
Nous examinerons le cas particulier
(7) x = h-u.
Il peut arriver que l'équation en u, abstraction faite du
nom de l'inconnue, soit identique à l'équation proposée: si Xi
est alors une des racines de cette dernière, h — Xy en sera
une autre; appelons-la x^', alors
(8) ,r, + .r.= //;
comme jt, est une racine arbitraire, l'équation jouira de cette
propriété que les racines ont deux à deux pour somme h, et,
si l'équation est de degré impair, une racine sera égale à -■,
et le facteur x peut être éliminé par la division; nous
supposerons alors l'équation de degré pair.
Une telle équation peut être résolue à l'aide d'une équation
de degré moitié moindre et d'équations du second degré. En
effet, si l'on pose
(9) j = x{h — x) ou x'- — lix + y = o
dans l'équation donnée (5), y n'aura que - valeurs; car
y y = ,ri (// — Xi) cl j-2 = '^3 ( /' — -^2 )
sont égaux en vertu de la relation x^ + j-^zz: h.
Les fonctions symétriques des j seront aussi des fonctions
symétriques des x; cette considération permet de former
l'équation en j; mais on peut aussi l'obtenir en éliminant x
entre (5) et (9).
Si l'on peut résoudre l'équation en j, f{x) pourra se dé-
composer en - facteurs du second degré comme il suit :
i'{x) = {x'^ — hx-^yi ) {x'- — hx -hy-,) . . . rx'^— /ix-hy„y
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. 77
On voit, en comparant cette valeur de/(.?^) avec (5) que
2«i = — ////.
Si l'on veut vérifier qu'une équation jouit de la propriété
en question, il n'y a qu'à voir si elle est inaltérée quand on
change a- en — — ' — j:-.
Exemple :
x^ — 9^5 -T- 3o.r'* — \^x^ -h •i.a.r- -\- (Sx m '\ =: o.
Celte équation ne change pas quand on remplace x par
3 — .r; si l'on élimine x à l'aide de la relation
x2 — 3.r -+-J = o,
on trouve
) -^ — 3 )■■- — 2 ) -r- 4 = o,
qui se décompose en
j — I = (, et r^ — 2.)- — 4 = 0.
Équations réciproques.
iîi. Si, dans une équation dans laquelle x est l'inconnue,
on fait la substitution
(0 - = ;.
on obtient une nouvelle équation dont les racines sont les
inverses des racines de la proposée. Si l'on tombe sur une
équation identique avec la proposée, celle-ci a ses racines
deux à deux inverses l'une de l'autre; si elle est de degré
pair et si elle est de degré impair, une racine devra être égale
à ± I. Dans ce dernier cas, on supposera que l'on ait écarté
le facteur xzj-i par la division; alors l'équation peut être
résolue au moyen d'une équation de degré moitié moindre
et d'équations du second degré.
yo CHAPITRE IV.
En effet, si l'on pose
( 2 ) y = j: -, — . ou .r2 — .r/ -+- I = o,
les valeurs de y
I , I
Ji = "ï"lH J et yo_= X.i-\
.ri X2
seront égales ?,i x^x^^zi; y a donc moitié moins de valeurs
que X. On obtient l'équation en y, en éliminant x entre la
proposée et (2).
La condition pour qu'une équation soit réciproque est
(}u'elle reste inaltérée quand on y change x en -; dans le cas
où l'équation est de degré pair, il faut que la suite des coef-
licients soit symétrique (le premier doit être égal au dernier,
le second à i'avant-dernier, etc.)- Si l'équation est de degré
impair, la suite des coefficients doit être symétrique si l'on
peut diviser le premier membre par ^ 4- i ; si le premier
membre peut être divisé para- — i, la suite des coefficients
doit être symétrique, à cela près que les coefficients numéri-
([uement égaux doivent avoir des signes contraires. La forme
générale des équations réciproques de degré pair est donc
(3) j:2«-f- 1 -^ rti(j;2«-i-4- x)-\- a2(x-'i-'~- X-)—. . .-h anX"-= o.
La réduction peut s'obtenir de la manière suivante : on di-
vise par x'^ et l'on a
on pose
(5) X -i =j,
d'où
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. 79
et, en multipliant membre à membre ces deux formules,
En général, si l'on fait
(6)
en multipliant par ^ + - =/, on a
(7) ■'''p+\=J'Sij — S,,-i,
formule qui permet de calculer successivement s^, s^, s^, ....
On obtient une formule générale pour le calcul de s,, à
l'aide de la théorie des fonctions symétriques. En effet, œ et
- sont racines de l'équation
Or on a trouvé [2ï, (i5)]
/ , PO — 3)
^> =fp-pj"-'--^ ' \ ^ V- + - • •
( 8 ) <
) , p{p — ]x -^ i) . . .(p — a (j. H- i)
+ (_,|xLli \ -.^'- ^ -^;/'-2H-^....
Quand le produit de deux racines quelconques d'une équa-
tion est égal à k, on abaisse cette équation par la substitu-
tion
A-
d'une manière analogue à celle qui permet d'abaisser les
équations réciproques.
Exemple :
x"^ — 1 = 0;
en divisant par o^ — i, on a
JO^ -\- x^ -{- x'* -^ X^ -^ X- -^ X -\- I = o ,
8o CHAPITRE IV.
que l'on peut réduire à
Exercice. — La substitution
a -+- bu
peut être utilisée pour faire disparaître le deuxième et le troi
sième terme de l'équation du troisième degré.
Formation des équations dans lesquelles une racine est fonction
de plusieurs racines d'une équation donnée.
46. Jusqu'ici, l'équation cherchée avait chacune de ses ra-
cines fonction d'une seule racine de la proposée. On peut
aussi former des équations dont les racines soient fonctions
de plusieurs racines de la proposée. Un exemple de ce cas a
été traité lorsque nous avons cherché l'équation aux carrés
des différences dans laquelle chaque racine est déterminée
par deux racines de la proposée. D'une manière générale, on
peut déterminer une racine de l'équation cherchée au moyen
de la relation
(l) j=/(.r,,.r,, ...,,/>).
On obtient alors toutes les racines de l'équation cherchée,
en remplaçant les p racines œ qui figurent sous le signe /
par les racines de la proposée de toutes les manières pos-
sibles; si l'on suppose que / soit une fonction rationnelle,
cette fonction aura autant de valeurs qu'il y a de manières de
prendre p racines parmi celles de la proposée. Si l'on repré-
sente les valeurs par /i,/., . . ., /jj., l'équation cherchée sera
( 2 ) (7 - /i ) ( j- -j'i)--- {.y -fu. ) = o.
Comme le premier membre de cette équation est une fonc-
tion symétrique de /i, /.,, . . ., /^, il sera aussi une fonction
symétrique des racines de la proposée et pourra s'exprimer
TRANSFORMATION DES É0U4T1ONS. 8l
l'alioiinellemeiit en l'onction de ses coefficients. L'équation
cherchée aura donc ses coefficients rationnels, si les coeffi-
cients de la proposée sont eux-mêmes rationnels, et son de-
gré sera le nombre des valeurs de la fonction /.
47. On peut suivre une autre voie pour trouver l'équation
cherchée et faire usage de l'élimination; mais on peut ainsi
introduire des solutions étrangères dont il faut se débarras-
ser. Considérons, par exemple, l'équation générale de degré n
et proposons-nous de trouver l'équation dont les racines sont
données par la formule
(3) r = .ri -H ocro,
OÙ y. est un nombre donné; on en tire
(4) .r, :rr V — a.r.
et, comme jt, est racine de l'équation donnée/(.r) = 0,
(j) /(r — a,r2)=o.
Si l'on ordonne cette équation et si l'on écrit a- au lieu de x.y,
on a
(G) /O— a.r) = o, /(x) = o.
Ces deux équations doivent avoir une racine commune, ce
(|ue l'on exprime en éliminant x; la résultante est l'équation
cherchée en /.
On voit que les équations (6) auront une racine commune
((uand on aura
Y = .r,, -r- a ,ZV/,
ce qui n'exclut pas le cas où l'on aurait Xp^^x^j contraire-
ment à ce que l'on suppose : l'équation transformée aura donc
pour racines étrangères les valeurs de (i -\- a)Xp; toutes ces
quantités sont racines de
^■(.:-.)-°
et pourront être écartées. Alors la résultante, qui était de
P. 6
82 CHAPITRE IV.
degré nP-, pourra être réduite au degré n{n — i), et aura pour
racines les valeurs de a.\ 4- y.x.2, a-, et x, étant supposés diffé-
rents.
Pour a = r, les racines de l'équation finale deviennenl
égales deux à deux et, par une extraction de racine carrée,
cette équation se réduit au degré "~^ ^ nombre des va-
leurs distinctes de ^i-H jc.,.
Plus loin, nous développerons une autre méthode qui per-
mettra de faire usage de l'élimination sans introduire de so-
lutions étrangères. (Voir Calcul des racines imai^inaires des
équations numériques. )
D'une manière analogue, on voit que l'équation qui a pour
racines les produits des racines prises deux à deux des ra-
cines de l'équation proposée s'obtient en éliminant .r entre
(9) .f{-'^) = ^ et /('-j^O'
la résultante admet comme racines étrangères les carrés des
racines de la proposée.
48. On peut utiliser les relations qui existent entre les coef-
ficients et les fonctions symétriques des racines pour écarter
de l'expression donnée plusieurs racines et ensuite faire usage
de l'élimination. Soit, par exemple, l'équation
et
Si l'on fait usage de la relation
./j -F- X, — .
qui donne
on obtient l'équation cherchée en éliminant /■ entre la p
posée et
x{y ^i) -uja,=: o.
TRANSFORMATION DES ÉQUATIONS. 83
Si l'on voulait avoir, pour la même équation, l'équation aux
carrés des différences, on aurait
4 ^1
j = (.vi — .r, )' = (-Ti ~ ./-o )2 — 4 .r, .r, = (aj -f- .rj ^-^ -^^
et il faudrait éliminer .c entre la proposée et
.r>- = .r(ai + ,r)2+4a3.
Méthode de Tschirnaùs pour faire disparaître des termes
d'une équation.
49. Soit donnée l'équation
< i ) x-" -+- «I a:"-' ■+- Oi.r'i-- -h. . .-h fia-i -T -f- ('il — o ;
|)osons
( i ) Y ~ Ijo — hi ./■ -h ^2-l"- -t- • • • -i- ^p '^l',
oiip<n. Si l'on élimine œ entre (i) et (2), on obtient une
équation de degré n en y, car y a autant de valeurs que a;.
Pour éliminer a;, on peut faire usage des méthodes exposées
plus haut; on peut aussi procéder comme il suit : On élève (2)
au carré, au cube, etc., en éliminant à l'aide de (i) les puis-
sances de X supérieures à la (« — i)'^""^, on obtient ainsi une
série d'équations de la forme
< J ) \ )^ — cZo -i- di .r — cf^x^ -^ . . . ,
remplaçons, dans ces équations, ce successivement par toutes
les racines de (i); en ajoutant les équations ainsi obtenues
et en appelant Si, s.,, ... les sommes des puissances sem-
blables des racines de (i); Si, S,, ... les sommes des puis-
sances semblables des valeurs de r, on aura
' Si=-- flbo^ biSi-^ b.2S2-h. . .,
! S-2 = nco -h CiSi-i- C2S,-\- . . ..
S3 = iuIq -^ di Si -+- d.2 .y2 -I- . . . .
0Z| CllAITlRE IV.
Si, S,, ... pourront être calculés en fonction des coefficients
de l'équation (i) et, inversement, les coefficients de l'équa-
tion cherchée pourront être calculés en fonction de Si, S2, ...
à l'aide des formules connues. Les coefficients indéterminés
bo, bi, ..., b,, pourront être déterminés de manière à faire
disparaître p coefficients de l'équation en /. Si l'on pose
ainsi
Si =0, 82= O, S;j = O,
on fera disparaître le deuxième, le troisième et le quatrième
terme. La première équation est du premier degré, la
deuxième du deuxième degré, la troisième du troisième de-
gré par rapport aux coefficients indéterminés. On voit qu'il
faudrait, en apparence, résoudre une équation du sixième
degré pour faire disparaître ces trois termes; maisJTerrard a
montré qu'il suffisait pour cela de résoudre une équation du
troisième degré.
La première équation Si^ o est homogène et du premier
degré en b^, b^, . . .; à l'aide de cette équation on peut élimi-
ner un coefficient dans 82 = 0 et S-j=:o qui sont homogènes
du deuxième et du troisième degré, et qui ne cessent pas de
l'être après l'élimination du coefficient en question. Prenons
p-=^(\-, on pourra disposer de cinq coefficients; S2 est alors
une fonction homogène du second degré de quatre d'entre
eux et peut se mettre sous la forme {voir 50)
aipf -t- o..p\ — r/.^p\ -^ -x.^pl,
«1, «2? «3» 2^1 étant des nomhres connus et /^i, p.i, p^, p,^ des
fonctions linéaires homogènes des coefficients indéterminés.
Si l'on pose
(5) ai/>»f -^ a./j.] = o, «s/?! -^ a.pl = o,
on obtient, au moyen d'extractions de racines carrées, deux
équations linéaires, à l'aide de ces équations, on pourra faire
, disparaître deux coefficients indéterminés de 83^:0; l'un
j(/:iW dl^ilX est arbitraire, l'autre sera déterminé par une équation
du troisième degré qui, résolue, fournira les valeurs des
autres coefficients.
TKA>SFORMATIO>' DES ÉQUATIONS. 85
50. Nous avons admis qu'une fonction homogène du
deuxième degré pouvait affecter une certaine forme particu-
lière, et il nous reste à le prouver, ce qui se fait comme il
suit :
Soient ^i, ^o» • • •> -^n, « variables; une fonction homogène
du deuxième degré de ces variables peut se mettre sous la
forme
a-2.r-2^aaP.r,-Q,
OÙ a est un coefficient rationnel ou iiralionnel cl P et Q sont
respectivement du premier et du second degré et ne contien-
nent pas ^i; celte expression peut se mettre sous la forme
(a.r,-hP)2-4-Q-P2,
où Q — P* est une fonction homogène du deuxième degré qui
ne contient pas o^i et peut être traitée comme la précédente.
En continuant ainsi, on décompose la fonction donnée en un
nombre de carrés au phis égal au nombre des variables.
Cette démonstration est en défaut lorsque tous les termes
de la forme axf manquent. Dans ce cas, la fonction est de la
forme
xix,-^ Xxi — Bxi = (.r, -^ B)(.r, -+- A) — AB,
où A et B sont indépendants de ^i et ^2 ; mais alors on a
(J7i — B -+- x,-v A)2— (^l-^ B — .r-j — A)'^ = 4(.fi -1- B)(^2-^ A),
et nous pouvons, en introduisant deux carrés, nous débarras-
ser de deux variables.
Nous reviendrons plus loin sur cette question.
Si l'on applique la méthode précédente à l'équation du cin-
quième degré ou à l'équation aux inverses, on obtient les
transformées
DEUXIÈME PARTIE.
Slil! I.A SOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS.
l'éqcation du troisième degré ol- équation cubique. 89
CHAPITRE I.
L'ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ OU ÉQUATION CUBIQUE.
Méthode de Hudde.
51. L'équation ilu Iroisième degré
(1) .r3 — 1 = 0
est irréductible. Ses racines sont i, a et (3, et l'on a
entre ces racines, on a les relations remarquables
I — a — P-— o; I — a^— 32=0: a3 = i;
a =3-^; 3 = «2.
L'équation générale du troisième degré, ou équation cu-
bique, est de la forme
-3-t- A:;2-^B3 — C = 0;
la substitution
A
la ramène à la forme
( 3 ) .r * — a .r -7- /-» =0
que l'on peut résoudre de plusieurs manières.
Ç)0 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
52. Nous remplacerons ^ par deux nouvelles inconnues
p, <7, en posant
(4) x=--p^f/,
l'équation (3) deviendra alors
p'-^ — q^— b — { 3pq -~ a )( p — q ) ^= o,
et sera satisfaite si l'on détermine /? et y au moyen des deux
équations
(5) p^ — q-^= — h\ pq=—y
En élevant la dernière au cube, on a
(6) p3,/3=_ ('^y.
11 est à remarquer que l'on obtiendrait encore cette der-
nière équation en remplaçant a par aa ou Sa.
p^ et cf sont racines de l'équation
(7) ^2^hv-~ (j^'=o,
et sont déterminés par les formules
d'où Ton conclut
/*/ b Ifby /ay /'. b /[by (ay
'SI) — v-ï-^vG) "(3)^1- 5-^(5)^(3) ■
formule connue sous le nom de formule de Cardan. Comme
une racine cubique a trois valeurs, on a, pour x, neuf va-
leurs; il s'est donc introduit six racines étrangères; cela tient
à ce ((ue l'on a remplacé la deuxième équation (5) par (6) :
l'équation du troisième degré ou équation cubique. gi
les neuf valeurs sont racines des trois équations
i a:- -+- a.jc -+- b =-- o,
( I o ) ' x^ -4- a <v X -^ /; — o.
Pour séparer les racines de ces équations, nous oljserve-
rons que chacune d'elles est relative aux hypothèses respec-
tives
a ifx n'i
( M ) /;./ ^ — - ; pq ^ - y ; l^'l - - Y *
Si a et ^ sont réels, p et q doivent être choisis de telle sorte
que leur produit soit réel. Nous avons trois cas à considérer:
r' i-\ -+- (^) >o, />•' et (f sont réels, p ei q ont un sys-
tème de valeurs réelles; si l'on désigne ces valeurs réelles
par pi et 7,, tous les systèmes des valeurs de p et q seront
'12) px. /J,a, p/y. 7,. 7, a. 71^3,
et l'équation proposée aura pour racines
•*i = /?!-- 71; ■'Ci = p\^ — qi'^\ ■£i=p\'é-^q\^,
de manière que/»'/ soit réel dans tous les cas. La deuxième
ot la troisième équation (10) auront pour racines
/;, -^7,a; pr^-qr. pi'ii -^ qi'i,
Pi^qi?- pi'^-qr. /i a -+-./, a-
On peut aussi poser
a a
et l'on n'obtient alors que les véritables racines. Dans le cas
([ue nous venons d'examiner, l'équation a une racine réelle
et deux racines imaginaires.
2» Si I - ) ^- ( ô ) =: O, />, et qi sont égaux, 1 équation a ses
racines réelles; mais deux d'entre elles sont égales.
92 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
3" (r)~(^)<^- Dans ce cas, yj^ et (7" sont imaginaires,
p et q sont également imaginaires, mais on peut accoupler
leurs valeurs de manière que /"7 = — - soit réel; soient p^
et ^1 de telles valeurs. Les formules (12) fourniront encore
les racines, même lorsque a et b sont imaginaires.
Quand a et b sont réels, les racines affecteront une forme
imaginaire; il est facile de montrer qu'elles sont réelles. On
a, en effet,
(i4)
^-^a'-œ'-ii;
Si l'on pose alors
(.3) -^=,.cosO. ^-^/_(^y_(|y=rsinO,
on trouve
(16) /)■*= /'(cosO — j sin9); <r/^ = /-(cosO — /sinO),
ou
^n"-(ii
(17) ^= 1/ -U ; cose-
v-iïï
6 est donc dans le premier ou le second quadrant, car sin 5 est
positif. On a alors
(.8)
et
? = 1 / — , ., ( cos ;^ ; sin 1 ;
a 1 k
X = 24/ — - cos
où k doit recevoir les valeurs o, i, 2.
l'éolatiox du troisième degré ou équation cubique. g'6
Les trois racines, clans le cas qui vient de nous occuper,
sont donc réelles et inégales. Ou lui donne le nom de cas
irréductible. On ne peut représenter les racines au moyen de
radicaux que sous une forme imaginaire.
Lorsque l'on essaye de calculer p el q sous la forme
A rii B v/ ^
sans faire usage de fonctions trigonométriques, on est fatale-
ment ramené à l'équation donnée.
Méthode de Lagrange.
53. Lagrange cherche à déterminer une fonction des racines
qui, une fois connue, permette d'en utiliser les racines. La
fonction considérée par Lagrange est
(r) y = {xi—OLX, — p.r-,Y,
OÙ Xi, x.,, cTs sont les racines de l'équation proposée et a, j3
les racines cubiques imaginaires de l'unité. Cette fonction
dépend d'une équation du second degré; en effet, elle n'a
que deux valeurs, caries six valeurs qu'elle semble prendre
quand on y permute les racines ne sont pas distinctes; ainsi,
on a (ol)
et
y n'a donc, en réalité, que deux valeurs distinctes, soil
ji= {xy — 'xxi+ ?■2•3)•^ j2= {■xxi — Xi^ 3x3)3,
dont la somme et le produit peuvent s'exprimer rationnelle-
ment au moyen des coefficients de l'équation. On trouve
^ --T- l'/bf — i-cû = o,
94 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
et les racines sont données par les formules
.n — .r.2 -^ .r:j = o :
.Xi -1- a.r2 -+- (3x3 — Y Yi ;
Nous ne ferons pas de discussion.
Méthodes de Tschirnaiis et d'Euler.
5i. Ces deux méthodes, au fond, rentrent l'une dans l'autre ;
en posant
(i) r^H-/;/-Hr/ = ,f,
et en choisissant /> et q de manière qu'en éliminant / entre
cette équation et
(•2) j^^-d,
on trouve l'équation proposée. On peut aussi se proposer de
ramener l'équation à la forme (2) en posant
Exemple :
.ty^ + ,r- — 'îx — 1 = 0,
.r=j-
cosO = — ""' — — '-—; 0 — 79" 6' 24".
•1 /- 9,/5Tr-t-f)
r =- 3 v7C0s-^-^
Problème. — Quelles sont les équations irréductibles du
troisième degré dont une racine peut s'exprimer rationnelle-
ment au moyen d'une autre?
■'>4
27 ""'
v'(D'
2/7'
CHAPITRE I. — ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ, ETC. gj
Si .r, et Jo désignent les deux racines, on pourra poser
./"i = a — b.r2-+- r.r|,
car toute fonction rationnelle d'une racine affectera cette
forme (26).
Soit
/"(.r) = .1'^ -^ p .v- -i- q.i -^ r = o
l'équation demandée et W(a7)r=o l'équation qui a pour ra-
cines les troi-s valeurs de « h- 6x, -h cx-l;f{cc) = o eiW{.x)z=io
ont alors une racine commune et, comme/(.r) est irréduc-
tible, toutes leurs racines doivent être égales deux à deux;
comme on ne peut pas avoir, par exemple,
.;■;; = a -î- b.r^ -h r.r|,
car j?3 serait racine d'une équation du second degré, il faut
que l'on ait
./■] — a -^ b.i\ — cri^
Xo = a -I- hx^ -i- c.r| ,
./'s = a ^ bxi~r- cxr .
On
tii
re de
ces
équations
'-
i
D =
- 1 .^1
— Xof-iXi —
■^■i
)-(-ï-2-
^'i)'- {voir 2o).
b et a contiennent v^D au dénominateur; mais ils ne contien-
nent pas d'autre irrationnalité. Toutes les équations du troi-
sième degré pour lesquelles s/D sera censé connu jouiront
alors de la propriété demandée; en prenant v/D successive-
ment avec le signe -h et avec le signe — , on aura deux racines
en fonction de la troisième.
q6 deuxième partie. — CHAPITRE H.
CHAPITRE II.
L'ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ OU ÉQUATIOX
RIQUADRATIQUE.
Méthode de Lagrange.
55. La résolution de l'équalioii du quatrième degré s'effec-
tue au moyen d'une équation du troisième degré, que l'on
appelle la résolvante. L'inconnue de cette dernière équation
est une fonction des racines de la proposée qui n'a que trois
valeurs. Il existe plusieurs fondions jouissant de cetle pro-
priété, par exemple
{x^-- X2){x:i-T-X!,),
{xi — x-i-^ x^ — .rv )-■
Lagrange fait usage de la première; il pose
(0 yi = J-\.ri-^ x-iX.^-. y^_= x^x^-r-x-ix^; y3 = x^x^^ x-yX^.
Si l'équation donnée est
(2) /(j7) = xi^ Ax3-T-B^-2— C.r — D = o,
on a
Jl.r2-^-Jljr3-^j2j3 = ^X\X.iXi = AC — 4D,
Ji7-2 r,3= 'Lx\x.iXzX'^— S.r"ïx|x2 = D(A2 — 4B)-^ G- ;
la résolvante est alors
(3) j3 - Bj2- (AC - 4D)j -:- D(4B - A^; - C'-= o.
LÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ, ETC. 97
Méthode de Descartes.
56. Descartes pose
J\x) = (.1-2-)- oL^x -+-a.2)(.r2-hPi.r-)- ^^
et ridentificalion lui donne
Si l'on fait alors
et si l'on élimine «i, (3i, a.,, (S.^ entre ces cinq équations, on
irouve une équation en j identique à celle que nous avons
obtenue plus haut. Cela s'explique en observant que czj et (S^
sont les produits de couples de racines et a^-^ (3., est la fonc-
tion utilisée par Lagrange; on pourrait tout aussi bien poser
j=ai;3, ou j=(xi— 3i)2,
et j serait toujours une des fonctions possédant trois valeurs
identiques à celles que nous avons citées plus haut.
Méthode de Ferrari.
57. Ferrari, qui a le premier résolu l'équation du quatrième
degré est parvenu à la même résolvante que Lagrange et que
Descartes. Il écrit l'équation sous la forme
<■' (--.--■r)'=(T-»-)--(T-^-)-T-^'
et il détermine y de manière à rendre le second membre égal
à un carré parfait; en écrivant cette condition, on retrouve
la résolvante de Lagrange, et / a encore la même significa-
tion que plus haut. Si l'on désigne par S^ le second membre
P- 7
gS DEUXIÈME PARTII'. — CnAPITRE II.
de (i), lorsque/ a été déterminé comme on vient de le dire,
on a
(2) x^^-x^^±S = o,
et l'équalion du quatrième degré se décompose en deux autres
du second degré qui fournissent les racines cherchées; on a
ainsi
et, par suite,
J = Xi .V.2 -)- .Vs ^'4 .
Méthodes de Tschirnaiis et d'Euler.
08. Tschirnaiis ramène l'équation à la forme
J*-t-PJ2^-0 = 0
en posant
j = r/ -^ ùx -\- x^
et il détermine a et b de manière à annuler les coefficients
de y^ et de y.
Euler élimine y entre
X = a -+- hy -\- cy- -+- dy^
et
_)-4 = e.
et ciéierniine a, b, c, cl et e de manière que la résultante
coïncide avec l'équation proposée. Nous n'indiquerons pas
comment les racines de la proposée dépendent de l'équation
du troisième degré que l'on obtient ainsi. Euler a aussi in-
diqué une méthode analogue à celle de Iludde pour le troi-
sième degré en posant
X ■— p -^ q ^ r\
on peut disposer de/?, q, r de manière à décomposer l'équation
en trois autres qui font connaître />^+^-4-/'\. /f'g--{-p-r--{-rj-r-,
L ÉQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ, ETC. gg
et pcjr; p^, q"' et /'- sont alors racines d'une même équation
du troisième degré.
Étude approfondie de la méthode de Descartes.
59. Dans la pratique, il convient de donner la préférence à
la méthode de Descartes, en la modifiant un peu. On ramè-
nera d'abord l'équation à la forme
(i) x*-\- ax''--^hx -\r c — o^
et l'on posera
(2) x'*-\- ax--i- ù X -\- c = {x- -\- X X -h '^) {x^ — a.r-f- y),
et, par suite,
(3) _.oc2+P + .^ = ,,, «(.^_P) = ^,, ^^{ = c,
on en déduit
4l3Y = 4c = (« + a2)2_^,
ou
(4) a^-\- iaa'*-i- {a- — 4^)»" — //-=o;
cette équation, en posant «- = /, devient
(5) r^-h lay^---- {a^- — ^c)y — b'^ — o;
l'équation en a a six racines, à savoir les six valeurs de
x^ -H d?, ; elles sont, par couples, égales et de signes contraires,
car (i) donne
Xy-r- .ro 4- JTj -H X4 = o.
Si a et h sont réels, le dernier terme de la résolvante est
négatif; elle a donc toujours une racine positive et les deux
autressont toutes deux positives, négatives ou imaginaires;
a-=.\jy sera alors réel au moins pour une valeur de 7 ; or
(6) p^îizt^_A:
■2 2 a
100 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
deux racines seront donc fournies par l'équation
o? -^ a-x — I)
(7) .r^-i-a.r-! =0.
^'' 2a
et l'on obtient les deux autres en changeant a en — a.
On voit que les racines de l'équation proposée sont don-
nées par de simples extractions de racines carrées, sila résol-
vante a une racine rationnelle, et cette condition, comme on
le verra plus tard, est nécessaire et suffisante pour que l'on
puisse résoudre la proposée au moyen de racines carrées.
Si l'on a
«2 al)
4 ' 2 2 a
pour les deux valeurs, l'équation (7 ) du second degré montre
que les quatre racines sont imaginaires; elles sont toutes
réelles si l'on a, au contraire,
4^2 2a'
et, si ^ + - est compris entre + et . deux racines sont
42 ^ 2 a
réelles et deux autres imaginaires.
Si l'équation proposée a des racines égales, les deux équa-
tions du second degré considérées plus haut auront une ra-
cine commune, ou bien l'une d'elles aura une racine double;
dans ce dernier cas, on a
2 2a
a2
4
12/ 4»'
et, comme on a a^r=j', on peut écrire celte équation
Cette équation devant avoir une racine commune avec la ré-
l'équatiox du quatrième degré, etc. ioi
Suivante, celle-ci doit être réductible. On arrive à la même
conclusion en admettant que les équations du deuxième
degré ont une racine commune.
60. Nous avons vu que nous n'avions besoin de connaître
qu'une seule racine de la résolvante pour en déduire toutes
les racines de la proposée; on peut aussi utiliser toutes les
racines de la résolvante; appelons-les a,, al, al, on aura
XTXiX,
ou 01 j «22:3= f^-
car on peut choisir a^, a^, «3 de telle sorte que leur produit
ait le signe de b.
La quantité placée sous le radical dans les racines de
peut prendre une autre forme; on a, pour x = aj,
a- a b fa-iH- <x.^)-
4 J. lOL .\
et alors
(8)
Xi 1 — a,d=(a,-+-3r3)_
^2 \ 2
de même
(9)
x^ ) _ ot,±(a.,-^a3)
La résolvante a toujours une racine positive; soit a\ cette
racine, et a, la valeur positive de \Ja\. a^a^ doit alors avoir
le signe de b\ trois cas peuvent se présenter :
1° al et a\ sont tous deux positifs, a^ et «3 ont le même
signe si b est posilif; ils sont de signes contraires si b est né-
gatif : les racines de la proposée sont toutes réelles.
2° a\ et al sont tous deux négatifs. On posera
m et n étant positifs; on a alors
a2 = qz « \/m ; a^ = ±i^i
102 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. II. — l'ÉQUATION DU 4'' DEGRfi.
si b est positif et
a-2 = ± i \//>}, 0C3=:± i \//l
si b est négalif ; les racines de la proposée sont imaginaires
dans le cas où m et n sont inégaux. Si m^n, deux racines
sont égales, les deux autres imaginaires.
3° a\ et y.\ sont tous deux imaginaires; alors on posera
a| = r2(cosô-i-/sinO); a| = r2(cosO — JsinO)
et
0 . . o\
r ( cos — h t sin
2 2/
0 . . 0'\
/■ ( COS i sin- 1:
et les signes de /• seront les mêmes ou non, suivant que b
sera positif ou négatif; dans le premier cas, on a
dans le second,
.r, j
1
— ai± 2rcos -
Xi \
2
■^3 1
1
1
^ ■ ■ ^
ai ± iir?,\n-
2
•r, 1
2 ^
Xi
— ai± 2irsin-
x,_
2
^3 1
i-
_^ 0
ai±2rcos-
l'équation proposée a alors deux racines réelles et deux ra-
cines imaginaires.
l'équation BINOME. Io3
CHAPITRE III.
L'ÉQUATION BINOME.
Expression des racines au moyen des lignes trigonométriques.
Gl. On appelle équations binômes les équations de la
forme
(I) z" = a.
Nous avons déjà rencontré des cas particuliers de cette
équation; nous allons maintenant nous occuper du cas gé-
néral.
Si a est imaginaire, par exemple, si
(3)
rt = <7l-r- ibi,
on pose
(3)
ai = r cosfi, /-'i=rsinO;
on trouve
(4)
z = v ri cos -^ ■ -i- i sin —
Cette formule donne les n valeurs de z en attribuant à p
n valeurs entières consécutives. Les racines sont imaginaires,
car, pour obtenir une valeur réelle, il faudrait avoir, pour
une valeur entière de/?,
ipr.
/<-.
104 DEUXIÈME PAFSTIE. — CHAPITRE III.
k désignant un entier, ce qui ne peut avoir lieu que si 5 = o
ou B=iT., ce qui suppose b = o.
Si a est réel et si k désigne le nombre positif tel que
l'équation (i), en posant
devient
On obtient, comme plus haut, pour les racines de
(5) .r« = i,
(6)
X
= cos
n
. . -xpr.
- i sin — — ,
n
et pour
celles
de
(7)
x'^=-
- I,
(S)
X =
cos
( o.r> -
-I)-
. . (9.p -h
^ i sm ^—i-
1)-
Dans le premier cas, on obtient une racine réelle pour
ipr. == G ou 2/?7r = II-, en attribuant à p les valeurs
O, I, 2, . . ., (« — l).
Si n est impair, on ne peut prendre que /> = o, ce qui donne
X ^i; si /i est pair, on peut prendre p =zo et p = - j d'où
l'on lire ce :=i et j:- = — i. Les autres racines sont imaginaires
et conjuguées deux à deux.
Dans le second cas, on a des racines réelles en prenant
2/) -4- [ — o, et ip -i- i = n;
la première équation n'a pas de solution, et la seconde n'en
a que si n est impair; si n est pair, on n'a que des racines
imaginaires; si fi est impair, on n'a qu'une racine réelle
.27= — i; les racines imaginaires sont encore ici conjuguées
deux à deux.
l'équation BhNOME. 100
Propriétés des racines.
62. Les racines des équations binômes jouissent de pro-
priétés dont on fait un fréquent usage; nous considérerons
spécialement l'équation
.r" = [ .
Les racines communes aux équations
X" = I et .t"" = 1
sont racines de l'équation
xi = l,
où q est le plus grand commun diviseur de m et n.
Cela résulte de ce queccf—i est le plus grand commun
diviseur de x"^ — i et ^" — i .
63. Toute puissance d'une racine de l'équation
est une racine de cette équation.
Car si a est une racine de ^" = 1, olp sera aussi une racine,
puisque («/')" = (a")^= '•
64. Si p est un nombre premier, toutes les racines de
XP= I
pourront être représentées par
a, a-, «3, . . . , aP,
a désignant une quelconque des racines.
Comme tous les termes de cette suite sont racines, il suffit
de montrer qu'ils sont tous inégaux. Or, si l'on pouvait avoir
a7 = a'',
OÙ ^ > /•, on aurait ainsi
I06 DEI'XIÈMIC PARTIE. — CHAPITRE III.
et comme a n'est pas nul, a devrait être racine de
.r'i'''— I = o;
ce qui est impossible, car (62) 7 — r <.p et l'équation précé-
dente ne peut avoir d'autre racine commune avec la proposée
que l'unité. Si p n'est pas un nombre premier, plusieurs
termes de la suite a, a-,a^, ... pourront être égaux, en sorte
que cette suite ne fournira pas nécessairement toutes les ra-
cines.
On appelle racines primitives celles qui ne satisfont à au-
cune autre équation de la forme x'J=zj , oii q est moindre
que p. Si p est un nombre premier, toutes les racines sont
primitives, excepté l'unité. Si p n'est pas premier et si a est
une racine primitive, toutes les racines sont comprises dans
la suite a, a-, a% . . ., qui sont déterminées par des équations
binômes. Si p est une puissance de nombre premier, toutes
les racines sont primitives, à l'exception de celles dont l'expo-
sant est une puissance de p inférieure au degré de l'équa-
tion. Ainsi — i et H- i sont racines primitives pour /? = 4, alors
que —I et H- 1 ne le sont pas, vu qu'ils sont racines de
x'''z=]. Toutes les racines peuvent être représentées par a,
ot}, a?, a'*, si a :=±: /; mais non si <xz=.±i.
On peut démontrer comme il suit qu'il existe pour toute
valeur de n des racines primitives; si, en effet, toutes les ra-
cines pouvaient satisfaire à des équations de degré moindre
que le degré de la proposée, on aurait pour chaque valeur
de/)
-IPJZ _ O.py-
Il /Il
où «,< «; ce qui ne peut avoir lieu que si - est réductible à
une plus simple expression. Il y a donc autant de racines
primitives que de nombres entiers inférieurs à n et premiers
avec n ; ce nombre est, comme l'on sait, égal à
J(-À
PU \ PJ \ Pqt
Pi, p.2, ■ . ., Pq étant les facteurs premiers de n.
L ÉQUATION BINOME. IO7
65. Si m et n sont premiers entre eux, on obtient toutes
les racines de a;'"" = i en multipliant toutes les racines de
■j^m.-— j pdf^ toutes les racines de x'^zzii.
En effet, si les arguments des racines dea^'"=i elx'^z=i\
ipr^ 2<7TC ,, , , 1 .. 2-(nm -h pn)
sont-^— el -J— 1 argument de leur produit sera '- —
Ce produit sera donc racine de x""'=zi; il reste à prouver
que tous les mn résultats ainsi obtenus sont différents. S'ils
ne l'étaient pas, on aurait, par exemple,
qm -\-pn = qi/n -\- pi'i
OU
n q — qi'
ce qui est impossible, car m et n sont premiers entre eux et
Pi—p<m, q — qi<n.
On voit facilement que ce théorème peut être étendu à un
nombre quelconque d'équations binômes dans lesquelles les
exposants de l'inconnue sont premiers entre eux. Les équa-
tions de la forme x'^^zi peuvent donc être ramenées à d'au-
tres dans lesquelles les exposants de l'inconnue sont des
puissances de nombres premiers.
66. L'équation
XP^ = I ,
où p désigne un nombre prétnier, peut être résolue à l'aide
d'équations de la forme
xP= a.
En effet, l'équation proposée peut être résolue au moj€n
des suivantes
xP=^y', o£//=ot,, af=a3, ..., «/'_,— I.
Si, en résolvant ces équations, on prend une racine quel-
conque, pourvu qu'elle ne soit pas égale à i, la valeur de x,
à laquelle on parvient de cette manière, est une racine primi-
tive de la proposée, sans quoi elle donnerait, pour l'une des
I08 DEUXIÈME PARTIE. — CIIAP[TRE Ilf.
quantités «i, a,, . . ., la valeur i, ce qui est contraire à nos
hypothèses; on trouve, de cette manière, une racine primitive
de la proposée, et ses puissances donnent les autres racines.
Nous venons ainsi de prouver que toute équation de la
forme
X" = I
peut être ramenée à des équations la forme
.r/'= a,
OÙ p est un facteur premier de n, a étant déterminé comme
on vient de le dire.
67. Les fonctions symétriques des racines de ^"— i = o
sont faciles à calculer; on a, en effet,
Sn = .i-P -f- .r'^ -i- . . . -4- x'' = a/' -i- x'^r -+-... -m ,
a désignant une racine primitive. Si p n'est pas divisible
par n, le numérateur de la fraction est nul, le dénominateur
ne l'est pas, ainsi 5^=0. Si/? est divisible par n, la fraction
prend une forme indéterminée; mais chaque terme de s^,
est égal à l'unité, donc Sp=z n. Il en résulte
toutes les fois que a + (3 + y h n'est pas divisible par n;
car une pareille fonction s'exprime sous forme de sommes de
termes tels que s^s^s,. . . ., qui sont nuls dès que les indices
ne sont pas tous divisibles par n, et la somme des indices est
égale à la somme des exposants de la fonction.
Application de la théorie des équations réciproques
aux équations binômes.
68. L'applicalion de la théorie des équations réciproques
l'équation binôme permet d'abaisser le degré de cette équa-
l'équation BINOME. fog
tion. Considérons l'équation
(0 xP=^,
OÙ p désigne un nombre premier; tous les cas où p n'est pas
premier pouvant se ramener à celui-ci.
Soit/? = 2/1 + i; en divisant par x — i, on a
(2) x-"-\- x2rt-i_|_ j;2«-2_|__ ^ __i_^f. _|_, = o ;
cette équation est réciproque et la substitution
I
Y = .1- -\
.r
conduit à une équation de degré n
(3) U„=o.
Cette équation a toutes ses racines réelles; en effet, on a
( 4 ) x'^ — xr -\- i =0;
il en résulte que, à une valeur de / correspondent deux
valeurs de ce dont la somme est j et le produit i. Deux ra-
cines jouissant de cette propriété sont données par les for-
mules
Xi =
cos
2Pi-
-f- i sin
2/5, TT
■2/1 -h l
2// -i- I
x,=
cos
ipiT.
— i sin
2/?,-
■2/1 -+-I
■2/1 ■+- I
J
= 2 COS
2/JiTr
en sorte que
(5)
^/t -r 1
Les racines de l'équation (3) sont donc les n valeurs diffé-
rentes de 2 cos ^^^' que l'on obtient en posant
pi= 1,2, . . ., //.
Dans cette expression, les arcs sont des multiples de la
(2/1 -h i)'^'"*' partie de la circonférence; ces arcs peuvent être
construits à l'aide de lignes droites et d'arcs de cercle, si
1 10 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
leurs cosinus peuvent s'obtenir par des extractions de racines
carrées. On voit ainsi que le problème, qui a pour but de par-
tager la circonférence en p parties égales au moyen d'arcs
de cercle et de lignes droites, revient à résoudre l'équation
au moyen d'extractions de racines carrées. Pour />:=5,
l'équation en/ est du deuxième degré et le problème admet
une solution. Pour /? = 7, l'équation en y est du troisième
degré et ne peut être résolue au moyen de racines carrées.
Plus loin, nous reprendrons cette question; pour le mo-
ment, nous nous bornerons à établir le théorème suivant :
G9. Si p est iiJi nombre premier, l'équation
xi> — I
est irréductible.
Si X est un polynôme entier à coefficients entiers, décom-
posable en facteurs A, B de degrés moindres, A et B pour-
ront avoir leurs coefficients entiers. En effet, si l'on avait
l'identité
X = AB,
A et B ayant des coefficients fractionnaires, on pourrait mul-
tiplier par un nombre k et faire perdre aux coefficients leur
forme fractionnaire; maintenant AX est divisible par un fac-
teur premier de A, il doit en être de même de A ou B (•); on
pourra diviser les deux membres de l'équation par ce facteur
sans introduire de dénominateurs et ainsi de suite.
Maintenant, supposons que
(•) La démonstration qu'on donne ordinairement de ce the'orème, A et B étant
des nombres entiers, s'applique encore au cas où A et B sont des polynômes
à coefficients entiers. Le polynôme est dit divisible parx, si tous ses coefficients
sont divisibles par a:.
CHAPITRE ni. — L ÉQIATION BINOME. III
soit le produit de deux facteurs rationnels; ces facteurs de-
vront avoir leurs coefficients entiers; changeons a? en ^ + i,
l'expression précédente prendra la forme
(6) xP-^-^ po{x)-\-p,
o(^) désignant un polynôme entier rationnel à coefficients
entiers et divisibles para-; les termes indépendants de ^ dans
les facteurs de (6) ayant pour produit/?, et p étant un nombre
premier, devront être égaux à ± i et à ±p; le produit en
(juestion aura donc la forme
(±i + a,.ï:-+- r/2.r--T-. . .){±p^byx-^b^_x^-^. ..);
retranchons des deux membres de l'équation
il= /) ( dr I -^ «1 .r -^ <72 ^■'- . . . ) ;
tous les termes de ce qui reste dans (6), à l'exception de
xP-\ seront divisibles par /?; il en résulte que b^ est divisible
par p, et ainsi de suite; en continuant ainsi, on arrive à une
égalité de la forme
{±i — aiX-\- a.yx^ . . .)x[>-= .r/'-'-+-/?OiCr),
d'oii il résulterait que p devrait diviser le coefficient de a;^,
ce qui est impossible, puisqu'il est égal à ±1; l'équation en
question est donc irréductible.
DEITXIÈMK PARTIE. — CHAPITHE IV,
CHAPITRE IV.
L'ÉQUATION DU CINQUIÈME DEGRÉ.
Impossibilité de résoudre cette équation algébriquement.
70. On a vu que la résolution de l'équation du troisième
et du quatrième degré réussit, grâce à cette circonstance
qu'il est possible de trouver une fonction des racines possé-
dant moins de valeurs qu'une racine même, et qui, par con-
séquent, dépend d'une équation de degré moindre. Lagrange
a montré que lorsque l'on essayait d'appliquer les méthodes
qui réussissent pour le troisième et le quatrième degré à des
équations de degré supérieur, l'équation auxiliaire était de
degré supérieur à celui de la proposée. Il devenait ainsi pro-
bable que les équations générales de degré supérieur au qua-
trième ne pouvaient pas avoir de racines algébriquement
exprimables en fonction des coefficients. Abel a montré qu'il
en était réellement ainsi. Sa démonstration a été simplifiée
par Galois. Nous allons exposer la démonstration de Galois
en la modifiant dans la forme.
Si une équation générale du degré n pouvait être résolue
à l'aide de radicaux, il en serait de même de l'équation
(l) V 1 - /
( -f- X^X., -+- XyX^ . . . ) X"--"^ . . . Zh X1X2, . . . X,i — O,
oii x^, x-i, . . ., x,^ sont arbitraires et indépendantes les unes
des autres, x^, x^_, ..., .r„ étant les racines de l'équation,
la résolution doit conduire à ces valeurs. Toute racine que
l'on aura besoin d'extraire devra pouvoir s'effectuer quand
l'équation du cinquième degré. ii3
on remplacera les coefficienls a,, a,, . . . par leurs valeurs en
Maintenant, supposons que la première racine à extraire
soit _
A ne contient pas de radicaux, c'est une fonction des coeffi-
cients de l'équation, et, par suite, une fonction symétrique
de ^,, x-y, . . ., ^«. Mais y ne peut pas être une fonction sy-
métrique rationnelle de ^i, jt^, . . ., x„, sans quoi il s'expri-
merait rationnellement au moyen des coefficients; si / n'est
pas symétrique, il contiendra deux racines ^i et ^2. qui> en
se permutant, changeront la valeur de /; comme toutes les
valeurs de j sont données par la formule
/'•=A,
l'une des valeurs doit se déduire d'une autre en la multi-
1
pliant par une valeur a de i'' différente de l'unité. Si donc
/(^,, ^,> . . . ) est l'une des valeurs de j, on aura
/(^i,,r.2, .r3,.ri ,. . . , x^) = a/f.r^, Xi, Xi,Xf^, .... x,i).
Cette équation doit être identique, car j?i, ^2, ... sont indé-
pendantes les unes des autres ; elle subsiste donc en permutant
Xi et ^2; on obtient alors
f{x.2, Xi, X3, .ri, . . ., X/i) = '^fi^l, -^25 -3^3, -^45 • • •■ ^n)',
en multipliant cette équation par la précédente, on a
On peut toujours supposer que p est premier, car on peut
toujours parvenir à un radical à indice quelconque par des
extractions successives de racines à indices premiers; alors
on doit avoir /•= 2, puisque dans ce cas seulement on peut
avoir a:= — i. La première racine que l'on doit extraire est
donc une racine carrée, y est une fonction rationnelle de ^r,,
x^, . . . , x^ qui change de signe quand on échange ^1 et x^,
ou même quand on échange deux racines quelconques, car
P. 8
Il4 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
on peut supposer, avant l'exlraclion de la racine carrée, que
l'on ait mis dans A, à la place de Xi et a;,, deux racines quel-
conques.
y n'est pas symétrique, mais il jouit d'une propriété carac-
téristique; il reste invariable par une substitution circulaire
effectuée entre un nombre impair de racines. Par exemple,
quand on met j^j à la place de œ^, a;,_ à la place de x^, x^ à la
place de ^i, cela revient en effet à faire un nombre pair
d'écbanges entre deux racines, ce qui chaque fois produit un
changement de signe, et ce qui finalement reproduit la va-
leur initiale.
Si l'on continue à combiner le radical avec des radicaux
analogues et avec les coefficients, qui sont des fonctions sy-
métriques des racines, puis avec de nouveaux radicaux, et
ainsi de suite, deux cas peuvent se présenter : ou bien les
nouvelles expressions présenteront ce caractère de rester
inaltérées par toutes les permutations circulaires de 3 et
5 racines, ou bien on finira par être obligé d'extraire une
racine, et le résultat obtenu ne présentera plus le caractère
en question. Dans le premier cas, on finira par trouver
Xi=/(,ri,,r2,X3, ...,,r„),
ce qui doit être une identité, ce qui est absurde si l'on a plus
de deux racines, une permutation circulaire de trois lettres
altérant le premier membre sans altérer le second, d'après
notre hypothèse.
Il faut donc nécessairement que l'on tombe sur un radical
qui ne présente plus le caractère en question. Ainsi on par-
viendra à une expression
dans laquelle B reste inaltéré après une permutation circu-
laire quelconque de 3 ou 5 racines, cette propriété n'appar-
tenant pas à z.
Supposons que z change de valeur quand on remplace Xy,
X,, x^ par X., x^, Xy respectivement, les valeurs de z sont
l'équation du clnquième degré. ii5
racines de
:;'■=: B ;
entre deux valeurs de z, on aura une relation de la forme
qui doit être identique; elle doit donc subsister quand on y
permute les trois racines. On a donc
/(,r2, X3. xi^xi,, .... x„ ) = 0Lf(x3, X, , X.J ,x,,, . . . , ,r„ ),
/(•-fa, -2^1, •^■2, -2^4, • • • , -^n) = ^/(••f'i, "l'2, •«"3, "^'i, • • • , -^'/i )
et en multipliant les trois équations, membre à membre,
on a
Si donc il y a trois ou un plus grand nombre de racines, on
doit rencontrer un radical cubique.
Désignons par
~, y.z, oL-z
les trois valeurs de ce radical, on a
33 = B.
Supposons qu'il y a plus de quatre racines; une permuta-
tion circulaire de cinq lettres n'altère pas B. Par cette per-
mutation, pour que l'équation ne cbange pas, z doit se changer
en az ou en u^z; si z change par cette permutation, on mon-
trera comme tout à l'heure que
ce qui est impossible, puisque a est une valeur imaginaire
de i^
Alors z doit rester invariable par la permutation circulaire
de cinq lettres : c'est la seule hypothèse qui nous reste à faire,
en supposant qu'une substitution circulaire de trois racines
le multiplie par a ou a-.
Or, une permutation circulaire de trois quantités peut s'ob-
Il6 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. IV. — l'ÉQLATION DU 5® DEGRÉ.
tenir en exécutant deux permutations de cinq d'entre elles.
Ainsi une permutation circulaire de
peut s'obtenir en exécutant, par exemple, une substitution
circulaire entre
"^oî •^*4î ^Z-} "^ 1 î '^'2?
puis entre
Xi, JTj, ,r3, .r^^, ,^5 ;
comme z doit rester invariable après une permutation de
cinq lettres, elle doit aussi rester invariable après une per-
mutation de trois lettres; ceci étant en contradiction avec
nos hypothèses, il est prouvé que l'équation générale d'un
degré supérieur au quatrième ne peut être résolue algébri-
quement (').
(') Par ce mot algébriquement, il faut entendre que l'équation ne peut pas
être résolue au moyen d'extraction de racines et des autres opérations algé-
briques. Abel et Galois ont aussi examiné la possibilité d'exprimer x, au moyen
de formules algébriques ne se réduisant pas identiquement à a-,.
\
DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS, ETC. II7
CHAPITRE V.
DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS EN FACTEURS
RATIONNELS.
Facteurs du premier degré.
71. Les facteurs rationnels du premier degré d'un poly-
nôme rationnel f{x) peuvent toujours être calculés. Un fac-
teur de cette espèce doit en effet avoir la forme a; — a, et a
doit être un facteur du terme indépendant de x; plus tard
nous reviendrons sur cette question; nous remarquerons seu-
lement ici qu'il n'y a à chercher que des facteurs x— a dans
lesquels a. divise le dernier terme; si de pareils facteurs
n'existent pas, l'équation f{x)z=o n'a pas de racines ration-
nelles et f{x) n'a pas de facteurs rationnels du premier
degré.
Expression générale d'un facteur de/(x).
72. Soit
(I) f(x) = o
l'équation générale du degré n sans racines égales. Soient
J-,, .r,, .... x,i
ses racines; soit
une fonction rationnelle déterminée de p racines et
?l! ?2, .-., Cf/-
Il8 DEUXIÈME PAUTIE. — CHAPITRE V.
les valeurs algébriques que l'on obtient en permutant dans cp
toutes les racines de l'équation. Désignons par
Jl, J-2, ..., Jq
les valeurs numériques de celles d'entre elles où l'une des
racines, x^, par exemple, est restée à sa place. Les diverses
valeurs de o sont déterminées par une équation à coefficients
rationnels. Soit /i une racine de cette équation et soit oc son
degré de multiplicité, alors
n = 9i = cp2=...= Ça;
considérons l'équation
(3) (/ -)\)iy-]\)- ■ -{y -jcj) = o;
ses coefficients sont des fonctions symétriques des racines
de
et peuvent s'exprimer rationnellement en fonction de Xy et
des quantités connues; et (3) pourra se mettre sous la forme
(4) F(r,.r,) = o.
Puisque j, est racine de cette équation, on a
(5) F(/„,r,) = o;
ce qui montre que x^ est racine de
(6) F(7i,.r)-o;
cette dernière a donc une racine commune avec la proposée.
Voyons si ces équations peuvent avoir d'autres racines
communes, par exemple x,n. Pour cela il faut que
F(ri,.r„0 = o,
ce qui exprime que /i est racine de
F(j, .r;„) re-
cette équation se déduit de (4) en changeant^i en ;r,„, ou,
ce qui revient au même, elle s'obtient en faisant le même
DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS, ETC. I 19
changement dans (3) qui est identique à (4). Parcechange-
ment/i, /a- • • se changent dans des valeurs de 9, de sorte que
la condition pour que ^,„ soit une racine commune consiste en
ce qu'il existe une valeur 9/,. de cp, dans laquelle j:„j remplace
^1 et pour laquelle
71 = ta;
cette dernière équation est satisfaite pour
A = i, A- = 2, ..., /c = a-,
donc les deux équations
(7) /(•>p) = o, F(ji,^) = o
ont pour racines communes toutes celles qui peuvent prendre
la place de Xx dans
(8) 'fi, ^2' •■•5 ?a-
On peut tirer diverses conséquences de ce théorème qui a
été donné sous une forme un peu moins générale par La-
grange et par Galois.
73. Dans le cas où l'équation en 9 n'a pas de racines égales
on a seulement
ji = oi ;
si donc 9 est dissymétrique et d'une forme telle qu'aucune
racine ne puisse prendre la place de x^ sans que la valeur
algébrique de 9 change, x^ reste alors la seule racine com-
mune aux deux équations; elle peut alors s'exprimer ration-
nellement au moyen de y^ et des quantités connues. En par-
ticulier, cela aura lieu pour toutes les racines de l'équation
si
J= 9(.ri,.r2, ...,.r„)
prend des valeurs toutes différentes pour les n\ permutations
des racines. C'est la forme donnée par Galois au théorème
qui nous occupe.
Si 9 est symétrique ou présente une symétrie partielle,
toutes les racines qui peuvent prendre la place de x^, sans
changer la forme algébrique de 91, sont racines communes
I20 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
aux deux équations. Considérons en particulier le cas où
toutes les p racines peuvent être échangées dans o,, les deux
équations ont/» racines communes et, par la méthode du plus
grand commun diviseur, on peut former une équation qui
détermine ces racines communes, ou le facteur du p^^"^^ degré
correspondant de f{x).
La forme la plus générale d'un facteur du p^''^" degré de
f{x) est alors
(9) ■^''+ ?i(.ri)'^'^-^+ ?2(ri)^/^-2. . .-^ '^p{y,). ■ .,
où 9i, 92? •••>?? sont des fonctions rationnelles de /i et des
quantités connues, /i désignant la valeur d'une fonction
symétrique de/» racines qui est déterminée par une équation
dont toutes les racines sont simples. On peut ainsi dans ce
cas exprimer toutes les fonctions symétriques des/? racines
en fonction d'une d'entre elles et des quantités connues.
Exemple I. — Pour l'équation
x^ — 6 .r2 -1- 1 1 .r — 6 = o ,
si l'on donne
x\ -f- j:| = 5 ;
on posera
Ji = -^^ï -+- A , Xi = x\ + xl
et l'on obtiendra, en éliminant x^ et x-„
j^- — {x\ + i4)j+ i4.i1 + 7^ =o;
ou, en remplaçant x^ par ^ et / par 5,
.r^ — 5x2-1- 2 = o,
équation qui a avec la proposée les racines de
^2 3j7 -t- 2 = O.
Exemple II. — Trouver la forme générale des diviseurs du
second degré de
f{x) =: x^-\- ax-->r bx-\-c
DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS, ETC. 12 1
en fonction du produit j de deux racines de /(.r) =r o
Xi-i-X3= — a — xi ;
ainsi
J-2 -+- {Xl -+- OXi ) J XiC = O,
d'où la forme cherchée
r/y — r
x^ -^ X -hr.
7i. L'équation en o qui a ni racines inégaies et dont nous
avons fait usage plus haut appartient à une classe remar-
quable d'équations dont nous allons nous occuper. Elles ont
cette propriété que chaque racine peut s'exprimer rationnel-
lement en fonction de chacune des autres. En effet, chaque
racine est fonction rationnelle de ^j, œ^^, . . ., x^, qui, à leur
tour, sont fonctions rationnelles d'une des valeurs de 9.
On peut utiliser cette propriété pour exprimer autant
d'irrationnelles que l'on veut rationnellement, au moyen
d'une même irrationnelle, en appelant irrationnelle une ra-
cine d'une équation algébrique à coefficients rationnels; peu
importe d'ailleurs que l'on puisse ou non exprimer cette irra-
tionnelle au moyen de radicaux.
En effet, soient cr,, x.^, ...,Xp des irrationnelles, détermi-
nées par diverses équations algébriques dont elles sont
racines. On peut toujours (par exemple au moyen d'une
simple multiplication) former une équation dont ces quan-
tités soient racines; si l'on considère une fonction des racines
de cette équation dont toutes les valeurs, obtenues en per-
mutant les racines, soient distinctes, les racines de cette
équation et les irrationnelles données seront exprimables
rationnellement au moyen de celte fonction. On peut, par
exemple, prendre cette fonction égale à
(10) J = a1.r1-4-a2.r2-t-. . .-+- a„j:-„,
en supposant l'équation auxiliaire de degré n. 11 est évi-
dent que l'on peut choisir les coefficients «j, «2, ...,a„
122 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE V.
puisque a-^, œ^, ... sont différents, de telle sorte que toutes
les valeurs de y soient distinctes.
75. Supposons toujours l'équation donnée de degré n et
les ni valeurs de cp distinctes, l'équation en tp pourra être
réductible; dans ce cas, supposons-la décomposée en équa-
tions irréductibles; soient
(^') ?I: '■f2, ..., O/j
les racines de l'une d'elles. On peut, comme on l'a vu, expri-
mer chaque racine de l'équation donnée en fonction ration-
nelle d'une valeur de 9, en sorte que les racines pourront
être représentées par
Si dans cette suite on remplace o^ par un autre terme de la
série (11), la nouvelle suite représentera encore les racines de
l'équation donnée, mais dans un autre ordre.
Pour trouver l'une des racines, x^, par exemple, posons
si dans 91 on intervertit l'ordre des racines, on peut trans-
former un autre terme de (n) ; le calcul, dans les deux cas,
sera le même, à l'ordre près des racines, et si l'on a
on aura
Xp désignant la racine échangée avec œ^, quand 0,, remplace
cpi. Les nouvelles valeurs sont distinctes; car si l'on avait, par
exemple,
^l(?/.) = ^I' -2 (?/,),
(ifp serait une racine commune à ^\(cp) — 1''2(9) = 0 et à
l'équation irréductible qui a pour racines les quantités (11).
On devrait donc aussi avoir W, ( 91 ) — W, ( 91 ) = o ( 13 ), ce
qui est absurde puisque les quantités (lâ) sont distinctes.
CHAPITRE V. — DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES, ETC. 120
Nous verrons plus loin que ce théorème est fondamental
dans les applications de la théorie des substitutions à la
théorie des équations.
76. Des développements qui précèdent, il résulte que dans
le cas où f{x) a des facteurs rationnels, il est toujours pos-
sible de les trouver. Par exemple, si/(j7) possède un fac-
teur rationnel de degré p, il devra exister p racines de
/(^)=o dont le produit est rationnel. On peut trouver ce
produit y en formant l'équation qui a pour racines les pro-
duits de p racines de la proposée, cette équation a alors une
racine rationnelle; appelons-la k. On aura
.riXo. . .Xp = /i,
et les coefficients du facteur rationnel peuvent être expri-
més en fonctions rationnelles de k. Si l'équation en y avait
des racines égales, on pourrait partir d'une autre fonction
symétrique des racines, par exemple
y= {a — ^•i)(a — j'2).-.(a— i>),
où l'on peut toujours choisir a de telle sorte que l'équation
en / n'ait pas de racines égales, si la proposée elle-même
n'en a pas. Comme k est facteur du dernier terme de l'équa-
tion, on peut, quand il n'a pas un grand nombre de facteurs,
au moyen de tâtonnements, simplifier la recherche de l'équa-
tion qui donne k.
Quand k est rationnel, il existe un facteur rationnel, pourvu
que k ne soit pas racine multiple; en effet, si k était racine mul-
tiple, il n'existe pas nécessairement un facteur rationnel de
degré/», car les équations (7), dans ce cas, peuvent avoir un
facteur commun de degré plus élevé. Nous reviendrons sur
ce cas un peu plus tard; nous nous bornerons à observer ici
que si une équation est réductible, il est toujours possible de
la décomposer en d'autres irréductibles.
124 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VF.
CHAPITRE YI.
ÉQUATIONS ABÉLIENNES.
Équations dans lesquelles une racine peut s'exprimer rationnelle-
ment en fonction d'une autre.
77. Gauss a montré que les équations qui servent à par-
tager la circonférence en parties égales sont résolubles algé-
briquement; ces équations sont comprises dans une classe
d'équations, étudiées plus tard par Abel et qui portent le
nom à'équaLions abéliennes; ce sont des équations dans les-
quelles une racine peut s'exprimer rationnellement en fonc-
tion d'une autre. Les équations réciproques et les équations
du 3« degré, par exemple, appartiennent à cette classe
(Exercice 5i). Les équations abéliennes peuvent toujours
être abaissées et souvent même résolues algébriquement.
Nous supposerons que, dans l'équation irréductible de
degré n,
(1) /(■r) = o,
on ait entre deux racines la relation
(2) .r, = fJ(.r.),
où Q désigne une fonction rationnelle.
Si l'on forme l'équation en/ qui a pour racines
(3) Ji = e(,ri), j.2 = e(,r,), ..., r„=0(.r,),
on obtient une équation qui a une racine commune avec la
proposée et, comme celle-ci est irréductible, les deux équa-
ÉQUATIONS ABÉLIENXES. 125
lions en ^ et en j étant de même degré doivent avoir les
mêmes racines. II en résuite que, si l'on exécute l'opération 9
sur une racine quelconque, on doit en trouver une autre; si
l'on opère sur celle-ci comme sur la première on en trouve
une troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on retombe
sur une racine déjà obtenue. Un groupe de racines, par
exemple trois, sera donc lié par des équations telles que
1.ri = OfjTa),
•^3= Oi;.r, );
si l'on désigne alors 5[9(a:)] par9"'(.37), etc., ces équations
donnent
(5) ,r,^On.r,);
cette équation ne saurait être identique si l'on suppose à 01a
forme entière, ce qui est possible (26), et si l'on exclut le cas
où Q serait linéaire; cette équation x — Q^{x) = o a une ra-
cine Xi commune avec f{a;) = o, elle admet donc toutes les
racines de cette équation. Si en dehors des racines Xi, x^, x^
on prend une racine x,^, celle-ci doit donc former un groupe
avec deux autres racines; dans ce groupe il ne peut entrer
plus de trois racines, car l'équation ^4=:9*(^J montre
qu'après avoir effectué trois fois l'opération B on doit retrou-
ver x.^\ il ne peut pas entrer moins de trois racines dans le
groupe, car si l'on avait x^-=^ 0"{x,,) on aurait aussi Xi:= Q^{xi)
et le premier groupe ne contiendrait que deux racines, La
même racine ne peut entrer dans deux groupes différents,
car si le second groupe contenait jt^, x^ et Xi on aurait
et.z-3 = ^5, ce qui est absurde, l'équation proposée n'ayant
pas de racines égales.
On voit ainsi que les racines se partagent en groupes con-
tenant le même nombre de racines, et si n est premier, il n'y
aura quun groupe. Si n est un nombre composé il doit être
divisible par le nombre des racines de chaque groupe.
126 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
Si, par exetnple, on a m groupes de p racines, n = mp.
L'équation peut alors se résoudre à l'aide d'une équation dé
degré p dont les coefficients dépendent d'une équation de
degré m.
Si, pour plus de simplicité, nous supposons p toujours égal
à 3, on peut poser
( 6 ) ji = a:i + .r, + .rj = 02 (.rj ) -i- fj (.rj ) 4- X3,
si l'on remplace x^ par toutes les racines de l'équation pro-
posée, on obtiendra 3/?i valeurs pour /j.
Ces valeurs sont égales trois à trois; ainsi
02 ( .r, ) + 0 ( .ro ) + x^ = x^ -i- J^i + .r., .
0 2 (.r, ) -i- 0 ( .ri ) -f- x^ = x-i -f- .7-3 -+- xi ;
y n'a ainsi que m valeurs et sera fourni par une équation de
degré m à coefficients rationnels, que l'on obtiendra par la
théorie des fonctions symétriques ou en éliminant x entre
(7) f{Jo)^o et j = .r-f-0(.r)H-fj2(,r);
la résultante
(8) ?0) = o
du degré m a pour racines
\ 1-2 = .r4-)-.r5-i-.rf,.
(9) j-
' J'/«= -1^1)1 — %-+- -^'Sm — l -T~ •"-'iin ■
dans le cas où ces racines sont inégales, on peut trouver la
forme générale d'un diviseur du 3'' degré de/(^)
,r^-y,,.v^-^W,{r,,)x-^W,{jp)\
si l'on remplace jp successivement par ji, y-2, ••■fj'm, on
obtient les /n facteurs du 3" degré def{x); de telle sorte que
l'équation donnée du degré 3/?i est réduite aux équations
\ x^ —j-x'- -h- Ti (7 ) X + ^'2 0' ) = o,
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. I27
la première est du troisième degré et la seconde du /??î«™<=
degré. Les mêmes considérations sont applicables au cas où
le groupe contiendrait, au lieu de trois, un nombre quel-
conque de racines.
L'équation 9(7) = 0 ne donne pas lieu à l'examen de cas
particuliers : elle peut être quelconque ; l'autre est encore
une équation abélienne, car ses racines forment encore un
groupe doué des propriétés considérées plus haut. Nous ver-
rons plus loin qu'elle est toujours résoluble algébriquement.
78. 9(/)==o peut avoir des racines égales; alors on peut
partir de la fonction
(il) j, = (a-xi)(a — ,r,)(a— .r3) = [a-Û-^(.r3)][a-0(^-3)](a-.r3X
où a peut être choisi de telle sorte que deux valeurs de 7,
ne puissent être égales. Si l'on avait, en efTel, pour toute va-
leur de a, j'i = J2 pai' exemple, ou
(x — Xi){a — .r,){a — X3) = (7. — ./•.J(a- Xs)(a — .re),
les trois racines du premier groupe seraient égales à celles
du second, et l'équation donnée serait réductible.
Le résultat de cette discussion est donc que ;
Si p des racines d'une équation irréductible peuvent se
mettre sous la j orme x^, Q{xy)y 0-(^,), . . ., 0^-*(^i), où 9 est
tel que Op{Xj)^=zxi, cette équation est de degré mp et elle
peut, à l'aide d'une équation de degré m, être réduite à une
autre de degré p.
Équations abéliennes dont les racines forment un groupe.
79. Il reste à étudier l'équation du degré n
(0 /(■'^) = o,
dont les racines peuvent être mises sous la forme
(2) ^1, e(^i), On^i), ..., 0«-i(.r,),
128 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
OÙ ^1 désigne une racine quelconque et où
(3) Q'^(x,)=j-i.
Désignons par a une racine quelconque de
(4) ^" = i;
l'expression
(5) W(.ri) = [.r,4-aO(.ri)-i-a2 62(,r,)-+-... + a«-iO"-i(.r,)]'S
où a. est considéré comme connu, n'a qu'une seule valeur et,
par suite, peut s'exprimer rationnellement en fonction des
coefficients de l'équation donnée des coefficients de 0etde a.
Si l'on prend, au lieu de a,, une autre racine, par exemple
j:-3= 9'2(j?,), on a
XF(,r3 ) = [62 (.ri ) -h cc(P { .r, ) -4- a'^ 0'* (,ri )-!-...+ a^-' 6 (,r, )]«,
OÙ la quantité entre crochets se déduit de celle qui est ana-
logue dans (5) en la multipliant par a"--. Comme a'^^i, les
deux expressions de W(^i) et de ^(j^g) sont égales. On voit
ainsi que
(6) Wi.r^)=W(.r,)=...= W{.r,).
On peut poser
(7) W(x,)='^[W{xO-i-'Vi.r,)^... + W{Xn)]
et calculer W comme une fonction symétrique. Elle contient
a et, par suite, possède une valeur pour chaque valeur de a.
Si l'on appelle v,. la valeur de W qui correspond à la valeur
a,, de (X, on ohtient n équations de la forme]
(8) .r + a,.0(.f) + ocf. 02(.r)-i-. . .+ a;?-i 0"-i(,r) = 7~-
La valeur correspondant à oc,.= i de 'sf-j,- est connue, car on
connaît la somme des racines, elle est — A, si A est le coef-
ficient de ^"-'. Si l'on ajoute les n équations (8), et si l'on
observe que
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. I 29
pour toutes les valeurs de p non divisibles par n, on trouve,
en supposant «0=^ i>
(9) •^=
Si l'on multiplie chaque équation par a~'" avant de les ajou-
ter, tous les termes du premier membre s'annulent, excepté
B"^{x), et l'on obtient une quelconque des racines par la for-
mule
(,o) 6„.(.)=-^-^°T"">^^°î"'/^^--- + °;"y^.
Dans cette expression, on peut prendre un des radicaux,
avec une quelconque de ses valeurs, mais alors les valeurs
des autres doivent s'en déduire. Par exemple si, dans l'ex-
pression de uj, a désigne une racine primitive de l'unité, les
autres valeurs de a seront ses puissances ap=a^, et l'on a
i y^i = X -^ a.^{x) -^a2 02(a-) -l-...-T-a«-ie«-i(x),
\ y~p= x — xi>%{x)^ar-Pf)'^{x)-^. . .-T-a(«-i)/^0'»-i(a:);
si l'on change, dans ces deux équations, œ en 9"'{x), la pre-
mière se trouve multipliée par a-'", la seconde par a-p'". Le
produit
(12) 0ix) = {V^,)"-^V^p
se trouve alors multiplié par
cc-min-p) a- mp = i^-mn — j j
il se trouve donc inaltéré quand on y permute deux valeurs
de ^; 9(x) est donc une fonction rationnelle qui peut être
calculée comme plus haut ^'(^). Si Ton désigne sa valeur
par ttp, on a
(i3) 'v/^=^('ra'^-
Tous les radicaux qui entrent dans la valeur de x peuvent
donc s'exprimer rationnellement en fonction de l'un d'entre
P- 9
l3o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
eux; si l'on remplace ces radicaux parleurs valeurs dans (9),
on obtient pour x une expression qui n'a que n valeurs cor-
respondant aux valeurs de '{j-o^,. a entre dans le résultat, et
nous verrons plus loin qu'on peut l'exprimer algébriquement.
On voit ainsi qu'^we équation dont les racines peuvent être
représentées par x., Q{x), 6^{x), . . ., 0"—''-{x), où d'^{x) = x,
est résoluble algébriquement.
Comme cela a toujours lieu quand n est premier, dès qu'une
racine est fonction rationnelle d'une autre, une équation de
degré premier dont une racine est fonction rationnelle d'une
autre, et qui est irréductible, est résoluble algébriquement.
Dans le cas où les fonctions /et 0 sont à coefficients réels,
a sera la seule imaginaire contenue dans Ui et, comme les
valeurs de a sont conjuguées deux à deux, à savoir a'^ et a"--'-',
il doit en être de même pour les valeurs de u ; ainsi
( ui r=: p(cosw -I- i sinœ),
( u„_i=p(cosa) — isinio),
(i5) p2= u,u„_i = rt;j_,.
Comme a„_i= y^ui '(/u„_i quand on échange et. et a"^-^ reste
inaltéré et ne contient d'autre imaginaire que a, il doit être
réel. On a donc
(16) Vui == v^^Wcos-^— ^^ hisin-^— ^^ Y
oià a désigne la valeur numérique de a„_i ; il en résulte
(,7) ;^^ = ^ y/;^- Fcos
'^ r- 1 sin
De sorte que les racines ne dépendent que de quantités ra-
tionnelles, d'une racine carrée, du sinus et du cosinus de la
,jième partie de la circonférence, et de la même partie d'un
angle &j dont la tangente est fonction rationnelle du sinus et
du cosinus de ce même angle oj.
Comme 0 est réel, on voit immédiatement que les racines
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l3l
sont toutes réelles ou toutes imaginaires, car si l'une est
réelle, les autres le sont aussi.
Examen du cas où le degré de l'équation n'est pas un nombre
premier.
80. La méthode que nous avons fait connaître pour la ré-
solution des équations abéliennes dont les racines forment
un groupe, est tout à fait générale ; mais, quand le degré n'est
pas un nombre premier, la solution peut être simplifiée.
Soit n = pm; on peut répartir les racines en groupes de
p racines, à savoir :
(0
X, e'«(j;), 02'«(.r), ..., e'/'-i)'«(a:),
e(,r), e'«+i(-^), G2'"-^'('^)- •••, G(p-i''"+i(.r),
( e'"-l(,r), e2'«-J(x), ..., Ql>'n-l(x),
et l'on pose alors
<2) 6'«(a:) = 0i(a-),
les racines placées sur la première ligne seront
(3) .r, 0,(j:), ef(a:). ..., O^H-ï),
ou
<4) QP{x) = %'np(j:) = X.
On peut donc, d'après ce que l'on a vu (77), réduire l'équa-
tion, à l'aide d'une équation de degré m, à une autre de de-
gré/?. L'équation de degré/» a la même propriété que la pro-
posée; cela n'a pas lieu pour l'équation de degré m dans le
cas traité (77) et (78). Mais on peut montrer que, ici, où
toutes les racines forment un groupe, les deux équations aux-
quelles se réduisent la proposée jouissent de la même pro-
priété.
L'équation du degré m en / est constituée de telle sorte
que l'une de ses racines est fonction symétrique des/j racines
iSa DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
du premier groupe; les autres dépendent de la même façon
des racines des autres groupes.
Soit maintenant ji la racine qui peut s'exprimer au moyen
de
(5) X, %'»{x), %'-"\x), ..., 0'/'-i)'«(x),
soit /2 celle qui peut s'exprimer au moyen de
(6) e(jc), 0'«+i(^), ..., 0(P"i' '«+'(,/;),
les coefficients de l'équation qui a pour racines les quanti-
tés (5) sont fonctions rationnelles de jj, et toutes les fonc-
tions symétriques des racines peuvent s'exprimer rationnelle-
ment en /i; ja est une fonction symétrique de
e(x), eO'"(.r), eo2'"(.r), ...,
et, par conséquent, aussi des racines (5); y, peut donc s'ex-
primer rationnellement en y,, de sorte que l'équation en r
jouit de la même propriété que la proposée.
Si m et /o sont des nombres composés, on peut continuer
de la même façon, et toute équation abélienne dont les racines
forment un groupe peut être ramenée à des équations abé-
liennes de degré premier.
Sur les équations irréductibles dont deux racines sont liées par la
relation
(i) XiX^-^-aX'^-^bx^-^ c = o.
81. Nous supposerons que a, b el c sont des fonctions ra-
tionnelles de quantités dont les coefficients de l'équation
sont eux-mêmes des fonctions rationnelles. Si l'on change
dans l'équation oc en x -\- h, h étant déterminé par l'équa-
tion
(2) //2+ (rt + è)//-4-C = O,
deux racines seront liées par la relation
(3) XiX^-^ {h -\- a)xi-\- {h -+- b)X'i = o\
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l33
si l'on chan2:e ensuite a: en -, on obtient entre deux racines
la nouvelle relation
(4) i-h {// -r- a)j:2-\- {/i -h b)xi — o;
si enfin on change ^ en ^ + A, ou
(5) (■2/1 -r-b -{-a)/ii-hi = o,
on obtient une équation dans laquelle deux racines sont
liées par la relation
,rs ' /i -^ a
(6) .rj = a.r.,, ou a = — -, ,- •
Maintenant supposons que l'équation donnée continue à être
irréductible, même lorsque l'on regarde h comme une quan-
tité connue, bien qu'il soit donné par une équation du second
degré, quantité pouvant être utilisée dans la décomposition
en facteurs; dans ce cas, l'équation finale doit être considé-
rée comme irréductible; car, si elle pouvait se décomposer
en plusieurs autres, il suffirait, pour décomposer l'équation
primitive, de revenir aux inconnues primitives. Un groupe
de racines sera donné par les relations
( 7 ) .ri = a X2 , jTo ~ 3C j:-3 , . . . , ^p = aj^i ,
qui montrent que a est racine primitive de
(8) a:P=i.
De
h -^ a
on tire
<io) // = ;
et alors, en remplaçant h par cette valeur dans (2), on a
{\ 1) cL-(ab — c) -h (a'^-f- b"^ — ■2c)ix-h ab — c = o.
L'une des racines de cette équation est l'imaginaire conju-
l34 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
guée de a, car le produit des racines est un; soient
cos'j -;- isin-j
et
COS'J — /siii'j
ces racines; on a
rt-'-H//2— 2C (a — bY
2 COS 'J = 1 = -. 2 ,
c — al) c — ab
OU
, , , (a — f>)- , a -h /> ^ . a — b [xtt
(12) c = ab -^. : h = ±1 tang ^ — ,
4 COS- - —
P
011 /x est premier avec p, puisque a est une racine primitive.
On voit qu'un groupe de p racines de l'équation transfor-
mée peut être exprimé au moyen de l'une d'entre elles; si
l'on désigne par /i cette racine, les p racines sont données^
par l'équation
et s'il y a m semblables groupes, on pourra mettre l'équation
transformée sous la forme
(i3) {xi'-jP){.vP-j-P)...{xP-jP,) = o;
y'I, yl, . . ., y^;^ peuvent ainsi être considérés comme racines
d'une équation quelconque du degré m. Soit
(i.i) f(j) = o
cette équation, l'équation en œ sera
(i5) /(.r/0 = o,
et l'équation proposée doit être telle qu'on puisse la ramener
à cette forme au moyen des transformations dont il a été
question; on voit que p peut être supposé premier, sans
diminuer la généralité de la solution.
82. Les équations, qui ont la forme générale que nous
avons considérée, supposent que a puisse entrer dans la rela-
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l35
tion (i). Si celte relation ne contient que des quantités ration-
nelles.
doit être rationnel et le nombre premier p doit être égal à 2
ou à 3.
Si /) =r 2, la valeur de c est illusoire ; dans ce cas
h -T- a
ainsi
a = b,
d'où la relation
(lO) .ri^To-r- rt(Xi-+-^2) -i- c = 0.
Si l'on pose
y — .i\-^ Xi,
on trouve l'équation en j en éliminant œ entre la proposée
et
.1-2 —yx — aj — c = o.
On reconnaît (jue l'équation appartient à cette classe,
quand elle reste inaltérée en changeant a: en
Réciproquement on trouve toutes les équations du degré
2/1, qui appartiennent à cette classe, quand, dans l'équation
générale du degré n en r, on pose
.r2 — c
Pour/? = 3, on a
(18) c =ab-h{a — ùy,
et la relation
(19) XiX^-h axi -r- bx^-V- ab ^ {a — b)- = o.
l36 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
Ces équations doivent rester inaltérées quand on change x
en
ax -T- a^ — ah -i- b'^
(20)
Elles se réduisent à la forme
x'^ =j-,
ofi
2 // -f- (■ a -f- /-- )
( 9, l ) x' = -7 H -, T J X = Il
' X — Il ih -^ a -^ b (zh -i- a-h b)x — i
et
/ ft -^ b , a — b I — - , , ,
( •}.'}. ) h — ± sJ — 0 — — a — (a — ^ ) ^•
22
On peut facilement exprimer les coefficients de l'équation
du troisième degré au moyen de l'un d'entre eux; si l'on pose
.Ti + x-i + .Ts = — J ; xx .r, + ,ri x^ -+- .r, .rj = a, ;
,ri,r2-^3 = — «3,
on lire de
.ri x^ -y- axi -f- bx^ + «^ — ab -h b^ = o,
x^Xg-h- ax-i— bx,i-^ a"^ — ab -^ b- = o,
X3 Xi H- axz -f- bxi -f- a^ — ab -t- /;2 = o ,
en les ajoutant,
o, _ (o ^- /> )j H- 3(«2 _ «Z, + /';2 ) = o ;
et en les ajoutant, après les avoir multipliées par x^, .Ti et a-,,
— 3a3-i- (a -i- b)a2—j(a^-— ab -h b'i) = o;
d'où l'on déduit l'équation
(23) ./;3 -hrx^' -+- [(a -f- 6 )/ — 3 («2 _ r/Z* -4- b'-)] x -^ aby — (a^ + b^) = o.
En éliminant/ entre cette équation et
M) K(j) = o,
où r(j) =0 est une équation irréductible arbitraire, on ob-
tient une équation de l'espèce cherchée.
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 187
Exemple :
.r^ -7- .r- — 2 jr — I = o ;
celte équation reste inaltérée quand on change ^ en ;
on a alors
.ri .ro -^ .ri -H I = o ;
ainsi
1 I -f- T. Ot
a = I ; /; = o : // = a ; /' 1 = = — '■ ;
i -f- 2 a o
l'équation réduite est
„„ ±i3v/=:T-9
83. Nous avons supposé que l'équation donnée reste irré-
ductible quand la racine carrée qui entre dans h est censée
connue; soit k cette racine, il peut arriver que l'équation se
décompose en deux autres
et
A — /.B = o,
et alors il est clair que dans ce cas la relation (i) détermine
^2 comme racine d'une de ces deux équations quand x^ est
pris pour une autre racine.
L'équation transformée se laisse décomposer aussi en deux
autres et chacune des racines de celles-ci xi, est déterminée
en fonction d'une autre racine Xi au moyen d'une relation de
la forme
Xk = axi;
on arrive donc à la même détermination de a que dans le cas
général, de sorte que l'on peut énoncer le théorème sui-
vant :
Si deux racines d'une équation irréductible du /i'«'"<" degré
sont liées par la relation (i), l'équation peut être résolue au
moyen d'une équation du second degré à l'aide d' une équa-
tion de desrré -. dans le cas où a ^ b: dans le cas contraire,
on peut la ramener à une équation du troisième degré, à
l38 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
Vaide d'une équation de degré -; dans ce dernier cas on doit
avoir c ^ a-— ah -^ b".
84. Lorsque deux racines d'une équation irréduclilDle, déve-
loppées en fraction continue, finissent par avoir les mêmes
(luotients complets, l'équation appartient à la classe d'équa-
tions que nous venons d'étudier. Si le quotient complet com-
mun est désigné par q on a
/ r\ d-^-diq f^fiq
( -25 ) JTi = -^- , X, — ^^-^ ,
c-^c,q i'-é'i7
d d\ , , 1 . > ... , f il r .
-et — étant les dernières réduites de a:, et -j — étant les
(^ ei g gi
dernières réduites de a;^ que l'on obtient quand on fait usage
des parties différentes des fractions continues. Si l'on éli-
mine ^ on a
(26) (egi —gei)xi X.2 -1- {eif— e/i ) .rj -h (d^g — dgi).ro -h dfi—dj=^ o ;
on a identiquement
,^^x \ {eif~efi){dig-dgi)-\-{dei — edi)(fgi — gfi)
■'' i , =(egi-ger){dj\-fd,\
OÙ, comme l'on sait,
rZei — dei = ± i ,
Pour p =-2, (« = b), et si l'on pose
egi — gei = X, e,/— cj\ = dig —gid= a,
(27) donne
df\-dj='^,
où 1 est un diviseur de a-±i; la forme générale d'une équa-
tion aux racines ^1 et a:<, est donc
(29) X^ — Xf-
ay a- nr
T \^
où a désigne un entier quelconque, 1 un diviseur de a^± i
ÉQUATIONS ABÉLIENXES. iSg
et / une racine d'une équation arbitraire. Pour p:=o en
posant
eif—fei = a, d^ g — g, d = b, et dj\ —fdi = c,
(27) donne
ab ± \ = X c
et l'on a (18)
\c = a'^ — ab -+- b- ;
il en résulte
de sorte que l'on doit faire usage du signe -h ; on a donc
h = « ±: I ,
'= X — '
La forme la plus générale d'une équation du troisième
degré aux racines ^i et Xj est donc
X^ -r-JX^ -1- «2 -^ -^ «3 = O,
où
(3o) \ -lazti 3(«2±rt-+-i),
ai-
~W X^
a est un entier arbitraire et >. un diviseur de a-±i a
Résolution algébrique des équations binômes.
85. On a montré que la résolution de l'équation binôme se
ramenait à la résolution d'équations de la forme
(i) x/'— 1 = 0,
oij p désigne un nombre premier; les racines de cette équa-
tion ont été mises sous forme trigonométrique, et nous allons
montrer maintenant comment on peut les mettre sous forme
l4o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
algébrique. La somme de deux racines de l'équation (i) étant
égale à 2cos — , la circonférence pourra être partagée en
p parties égales au moyen de la règle et du compas, si l'équa-
tion en question peut être résolue au moyen seulement de
racines carrées.
Si l'on divise par j? — i, on obtient l'équation irréductible
( 2 ) ,r/'-i -4- xP-- -h . . . -1- ,r2 H- ,r -M = o.
Les racines de cette équation peuvent être représentées au
moyen de l'une d'elles a par les expressions
(3) 'a, a'', a'-', . . ., a''''"',
OÙ /• est une racine primitive de la congruence
(4) .rP-i — lEso (mod/?),
c'est-à-dire un nombre tel que /-^ — i ne peut être divisible
par/? pour A </; — i. Il est facile de voir que tous les termes
de la suite (2) sont différents.
Soit 8 une racine arbitraire (i excepté) de
xP-^^i = o.
Nous aurons à considérer dans la suite le produit de
/ V, = a + p a'' H- p2 ^r'. _<_ . . . _|. p/;-2 a^P"^
(16) ' par
les termes en [3" sont
Si l'on pose a, + «'"-% a, sera racine de (i) et l'on aur
ÉQUATIONS ABÉLIEXNES. l4l
pour expression de la quantité entre parenthèses
Si ai n'est pas égal à i, ceci représente la somme des ra-
cines de l'équation (2), c'est-à-dire — i. Si, au contraire,
a, = I , cette somme est égale à /> — i ; c'est ce qui a lieu si
/•«-f-i = o (mod p),
d'où l'on tire
le produit cherché sera alors
et comme
i^i3-T-p2H-...+ [3p-2=o,
on aura
(7) \,\,=pf^=±p,
car ,3 ^ est égal à i ou à — i .
Dans le premier cas, on peut réunir dans les deux facteurs
V, et V2 les termes éloignés l'un de l'autre de ■^-— rangs;
deux semblables termes sont
p—i /) — 1
P -1
p divisant /• - +1, /? divise
(,V_,)(,V_.,)
et ne divise pas le premier facteur; la somme de nos deux
t/42 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
termes est alors
S = «."(«'•"+ «-'■"),
ou si, par exemple,
l-K . . 271
a — cos — ■ -h i sin —
P P
et si l'on pose
2Tr _
on a
Si l'on désigne alors par y une racine de
p-i
et si l'on fait/» =: 2[x + i, on aura
(9) 4ViV, = p,
où
Vi = cos a -H YC0S7-rt -h. . .-f- yt^"' cosr!-'--'(7,
V2= cosrt-i- Y~* C0S7-rt -+-. . .-h y-'S^-i' cosrV--^a.
86. Si l'on pose
les racines de l'équation donnée (2) pourront se mettre sous
la forme
X, 0{x), 02(,r), ..., 0/^-2 (x),
où 0^-^(^)=r^; cette équation appartient donc à la classe
des équations étudiées (79), et les racines sont des sommes
de termes de la forme
V désignant une fonction rationnelle des coefficients et de (3.
a peut donc s'exprimer au moyen de radicaux, si la même
chose a lieu pour [3; comme le calcul de [3 dépend à son tour
de la résolution d'équations binômes dont les degrés sont des
nombres premiers inférieurs à p, on finit, par des réductions
successives, par tomber sur des équations que l'on peut ré-
ÉQUATIONS ABÉLIENXES. l43
soudre et, par suite, la proposée est résoluble au moyen de
radicaux.
Les termes de a sont conjugués deux à deux; par exemple
V/ui et \l-^n-\
sont conjugués, etc. Ces deux radicaux sont V, et V, dont le
produit est ±p. Leur module est \]p. Les arguments s'obtien-
nent en divisant, par les facteurs premiers de /j — i, un angle
que l'on peut construire. Si le nombre premier p est de la
forme
(10) p = 2^M- I,
p — I ne contiendra pas d'autres facteurs premiers que 2, on
pourra donc, dans ce cas, partager la circonférence en p par-
ties égales, au moyen de cercles et de lignes droites, car on
n'aura à construire que des expressions rationnelles, à par-
tager des angles en deux parties égales et à construire la ra-
cine carrée de p.
87. Au lieu de traiter comme nous l'avons fait l'équation
donnée, on peut la traiter comme une équation réciproque
et la réduire à une autre de degré \i., celle-ci conserve le
caractère d'équation abélienne. En effet, ses racines étant
des sommes de racines conjuguées de l'équation binôme sont
de la forme
(11) 2C0S«, 2 COS/*«, 2C0S7'-<7, ..., 2C0SA'H-~*rt,
et l'on sait que cos/« est fonction rationnelle de cosa. Si
l'on fait pour cette équation le produit
on retrouve le produit (9) dont la valeur est/?.
C'est Gauss qui a résolu, pour la première fois, l'équation
binôme; il a fait voir que la circonférence pouvait être par-
tagée en /? = 1'^+ I parties égales quand p était premier, et
144 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI,
cela en partageant des angles en deux parties égales et en
construisant sjp.
Plus tard, Abel a généralisé la méthode de Gauss.
Division de la circonférence en 17 parties égales.
88. La division de la circonférence en dix- sept parties
égales dépend de l'équation
(i) x'^ — I = o;
si on la divise par x — i et si l'on réduit l'équation réci-
proque ainsi obtenue, on obtient la transformée
( 2 ) .r* -4- .r" — -x^ — G .r» -r- 1 5 X* — i o x^ — i o .r^ — ^x -^1=^ o.
Les racines de cette équation sont
■ikiz
.r = 2 cos j
17
011 A= t , 2, . . . , 8.
L'équation (2) étant du degré 2^ pourra être résolue parla
méthode développée (80), à l'aide de trois équations du second
degré; mais nous préférons faire usage de l'équation primi-
tive du 16" degré.
La plus petite racine primitive de j?^*^ = i (mod. 17) est 3;
on prendra alors /■ := 3, et les racines seront
Posons
alors on a
7i-^-r.2= — I.
Le produit /1J.2 est rationnel, car si l'on échange a avec une
autre racine il ne change pas de valeur; car si l'on échangea
ÉQUATIONS ABÉLIEN.NES. 1^5
avec une racine du même groupe 7, et 72 ne changent pas;
si l'on échange a avec une racine d'un autre groupe ji et j^
s'échangent entre eux. Comme le produit de deux racines
est encore une racine, /ija est la somme de 64 racines
parmi lesquelles ne se trouve pas l'unité, deux racines con-
juguées se trouvant dans le même groupe; comme le produit
est symétrique chaque racine y entre quatre fois.
Enfin, comme la somme des racines est— i, on a
vi.r-2 =— i,
et y, et j'2 sont racines de
(5) ,2^,._^^o
Maintenant posons
( a 4- a'3^ 3! -1 — a-'^ — ;i : a^ -;- a-' -f- a-^ + a-5 = ;.j.
(6)
-11
(7) -l-+--2=Ji; -3-i--V=j2-
L'équation qui a pour racines les 8 termes de jj est du
huitième degré; l'un de ses coefficients est — Vi et les autres
sont fonctions rationnelles de celui-ci. ^^1:^2 doit donc pouvoir
s'exprimer rationnellement en /,, car il n'est pas altéré
quand on échange les racines contenues dans j, ; le produit
en question a 16 termes qui sont tous racines; parmi ceux-ci
se trouve a'" qui appartient à 72 et a* qui appartient à j, ;
les autres termes de ji et Vo doivent donc se trouver aussi
l)armi les 16 termes en question; on a donc
et, en remplaçant y. par y/-,
les z sont donc racines de
(8) :;2— ji; — t = o el ^'^—Jî-
P.
I46 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
Si l'on pose enfin
a -i- a-i = ti ,
comme tit^ est rationnel en l'i et ^,, il doit en être de même
de 53, et l'on a, en effet,
Zl = z.2^2Z->^ i OU -2^3 = 3j — r,— Ji — 4:
/j et to sont donc racines de
On peut donner six expressions analogues à celles qui sont
données pour t^ et t.,. Ces huit valeurs sont racines de l'équa-
tion réciproque du huitième degré à laquelle se ramène la
proposée; ces valeurs sont
2C0S<7; 2C0S2<7; ...; acosSa,
Le côté du polygone de 34 côtés inscrit dans le cercle de
rayon i a pour expression
T. 8::
■3. sin 7;-; = 2 cos — =2 cos î<7
^4 '7
et se trouve parmi ces racines; on les construit facilement au
moyen de cercles et de droites, à l'aide de trois équations du
second degré, en construisant d'ahord/ et z. A.insi, on con-
struit le polygone de 17 côtés et, enjoignant les sommets de
deux en deux, celui de 34 côtés.
Réduction de l'équation ./'" = i.
89. Nous appliquerons encore notre méthode au cas où
/> = t3; ici r = 2, et, en faisant ahstraction de la racine i, les
autres sont
ÉQUATIONS ABÉr.IENNES. \ [q
Si l'on pose
j)"i = a -^ a* -I- «3 _^_ 3£-i -f- a.-* -i- a-^,
}■, = a- H- x^-l- a*"' H- o'-^-h a-8 -H a-^,
on a
j"i-^j2 = — i; .rij-2 = — 3,
el l'on a, pour calculer y, et j.,,
J--^J — 3 = o.
Posons
et, par suite,
r.i + G,-i-C3=J-i,
3(32-7- 3i;;3-f- 32-3 = — I,
^,30 33 = 2-I-J2 = 1— Ji;
a/.—
les six valeurs de 2 cos -—-seront déterminées par les équa-
tions
J--^J — 3 = o,
33-J32 — 3H-J — 1 = 0.
./■/' — I
Propriété de l'équation -; = o où p est premier.
90. I,'équation
(0
.f — 1
où p est un nombre premier, a pour racines
a, X'", a'", .... ol''^"' :
si l'on pose, comme plus haut,
i )i = X ^- a'"-(- X''-!- . . .-+- x'"''"'
I J-2 = X' — X' —01.' -I- ... -I- X'''^ '
on a
/> peut être de la forme \n -h i ou 4" + 3.
l48 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.
1° yj z= 4« + !• — Les racines conjuguées se trouvent dans
le même groupe; en sorte que ji/2 iie contient pas le terme i.
Le nombre des termes de 71/2 est t\n} et chaque racine doit
y entrer n fois; on a donc
j2+/-/' = 0
et
(3) J= :^-^-
L'équation dont les racines sont les termes de y\ a ses
coefficients de la forme « + />/,, a et ^ désignant des
nombres entiers; si l'on forme la somme des produits de
q racines pour calculer les coefficients de l'équation, on
obtient une somme dont chaque terme est une racine; ces
racines sont les unes égales à i, les autres sont des termes
de 7i ou de y,_ ; mais, si un terme de /i se trouve dans le pro-
duit, ils doivent s'y trouver tous. La somme a donc la forme
aj,+ ^y,+ cou {a — b)Yi + c — b, 011 a, ^^, c sont entiers
et où l'on a
'xn{a+ b) -\- c = (l^iïii),
ces deux nombres étant tous deux l'expression du nombre
des termes qui entrent dans le coefficient calculé.
Si l'on échange a en a'", et, par suite, ji en/., on obtient
l'équation dont les racines sont les termes de y^, les deux
équations se distinguent seulement l'une de l'autre par le
signe de \//3. Il n'y entre pas d'autres dénominateurs que 2;
alors on peut écrire ces équations ainsi
où Y et Z ont des coefficients entiers, et on a identiquement
4X = Ï2 — yjZ2.
Y est de degré ^^^^ , Z de degré ^-^^^; comme les deux équa-
tions que nous venons de former sont réciproques, on voit
ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l^Q
que dans Y et Z les coefficients formeront des suites symé-
triques, comme dans les équations réciproques.
2" /?i=4« -t- 3. — Les racines qui entrent dans /i senties in-
verses de celles qui entrent dans j,; parmi les(2rt-i-i)" termes
de /, j2 se trouve l'unité 2«4-i fois; chaque autre racine
entre n fois; on a alors
J-
-t- J
r + // -1- 1
= o.
}■
=
-l±v/=
"^.
•2
et, en procédant comme plus haut, on a
les deux équations ne diffèrent, comme dans le cas précé-
dent, que par le signe de \/— p, mais elles ne sont plus réci-
proques; l'une se déduit de l'autre en changeant .37 en - et
en chassant les dénominateurs; les coefficients de Z ont les
mêmes propriétés que plus haut, et les coefficients de Y sont
égaux et de signes contraires deux à deux.
Notre développement n'est pas applicahle au cas où p =^0;
dans ce cas
4(a-2 + .;;4-i) = V-2^3Z2;
Y = 2x-t- i: Z = I,
ou
Y = j: -H -2 ; Z = jr,
OU
Y = .r — I ; Z = .r + I .
Les théorèmes que nous venons de démontrer sur les poly-
nômes X trouvent leur application dans la théorie des
nomhres (Diricolet, Journal de Crelle, t. 17).
DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VU.
CHAPITRE VIL
ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A L'AIDE DE RACLNES CARRÉES.
Forme des racines.
91. Soit ^1 une racine d'une équation irréductible donnée
que nous supposerons résoluble au moyen d'expressions
rationnelles et de racines carrées; lorsque nous dirons qu'une
expression contient n racines carrées , il faudra sous-en-
tendre que ces racines sont distinctes; nous dirons qu'une
expression qui ne contient que des racines carrées d'expres-
sions rationnelles est une expression du premier ordre; une
expression qui contiendra des racines carrées d'expressions
du premier ordre seulement sera du second ordre et ainsi de
suite.
Si les radicaux qui entrent dans jr, sont liés entre eux par
une équation du premier degré à coefficients rationnels, on
en profitera pour réduire le nombre des radicaux contenus
dans .a?,. Lorsque a^i sera ainsi ramené à contenir le plus petit
nombre possible de radicaux, on fera évanouir les radicaux
qui entreront en dénominateurs; on n'introduira pas, par
cette opération, de nouveaux radicaux, cette opération se
faisant par de simples multiplications qui peuvent se faire de
façon qu'on n'introduise pas de nouveaux radicaux. Alors les
radicaux n'entrent dans j?, qu'avec l'exposant i ; car une
puissance paire d'un radical est une expression radicale d'un
ordre moins élevé; il en résulte aussi que toute fonction ra-
tionnelle d'un radical entrant dans x^ peut s'exprimer en
fonction rationnelle du premier degré par rapport à ce radical.
Si l'on change les signes des radicaux qui entrent dans
ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A l'aIDE DE KACINES CAIîRÉES. l5l
l'expression de x^ de toutes les manières possibles, ^i pren-
dra de nouvelles valeurs ^"2, ^o, . . . , j:'^,. et, si ^1 contient
p radicaux, Xy prendra 2^ valeurs; mais ces 21' valeurs ne sont
pas toujours distinctes; c'est ainsi que
ne change pas quand on change le signe de \/l> .
Si J7i est racine crime équation irréductible
(0 /(.r) = o
,ro, .r-i, . . . , ^jj, sont racines de la même équation.
En effet, remplaçons ^par ^1 dans/(wr) : comme il n'existe
pas de relations entre les radicaux qui entrent dans ^1, les
coefficients des radicaux qui entreront dans l'équation ainsi
obtenue devront être nuls. Les équations qui en résultent et
qui expriment que .Vy est racine, à leur tour contiendront des
radicaux dont les coefficients devront être nuls et ainsi de suite;
on arrive de la sorte à des équations qui ne contiennent plus
que des quantités rationnelles, (pii ne dépendront pas des
signes des radicaux qui entraient dans ^1 et qui seront satis-
faits, quels que soient ces signes. Si donc l'équation (i) admet
pour racine ^1, elle admettra aussi pour racines œo, ^3, . . . , ^p..
Maintenant on peut poser
où ^c est un radical qui n'entre pas sous un autre signe ra-
dical; \/c n'entre pas alors dans l'expression de A ou de B,
qui peuvent contenir d'autres radicaux; posons alors
T. = A-B s/r :
le produit
(,,;_,^,)(,r_.r,)
ne contiendra pas \/c si l'on forme des produits analogues
pour toutes les autres racines en changeant les signes des ra-
dicaux se trouvant en A et B ; on obtient l'expression
ix—Xi){x — X2), ...,{X — X^)
1.J2 DIÎLXIÈMIÎ PARTIE. — CHAPITIIE \ll.
transformée en un produit de 2/'-' facteurs du second degré,
qui se déduisent de l'un d'eux, en changeant les signes des
radicaux de toutes les manières possibles. Deux de ces fac-
teurs sont de la forme
j:-2— ( A, - B, /c) .>■ -^ X.,— \i, y/^.
et leur produit du quatrième degré dont le premier terme
est ^* ne contient pas \/Ti. Si l'on traite ces facteurs du qua-
trième degré d'une façon analogue et si l'on continue ainsi
de suite, on finit par trouver une équation du degré 1'' à
coefficients rationnels admettant les racines a?,, .v.,, . . ., x^.
Si elle est irréductible, elle doit se confondre avec l'équation
donnée; mais il peut arriver que plusieurs valeurs de x
soient égales, en sorte que l'équation obtenue soit réduc-
tible. Dans ce cas elle admettra un même nombre de fois
toutes les racines de/(^):=o; sans quoi, en divisant par
une puissance convenable de/(^), on pourrait obtenir une
équation admettant une partie seulement des racines de
f{x)^o; le degré de l'équation donnée doit donc être un
diviseur de ip. Donc
Une équation irréductible qui peut être résolue au moyen
d'extractions de racines carrées doit être d'un degré égal à
une puissance de 1 et ses racines ne diffèrent les unes des
autres que par les signes des radicaux.
92. Une racine d'une équation irréductible de degré i''
qui peut être résolue à l'aide de racines carrées peut s'expri-
mer au moyen de p radicaux.
Si dans l'équation
(0 /(•^) = o
on remplace x par -, si l'on chasse les dénominateurs et si
l'on cherche par les méthodes connues le plus grand commun
diviseur des premiers membres des deux équations, on
ÉQUATIONS RÉSOLLBI.ES A l'aIDE DE RACINES CARRÉES. 1 53
obtient un reste du premier degré
M >■ -^ X
et le dernier diviseur peut être représenté par
Ax2+B.r — C.
M, N, A, B, C désignant des fonctions entières de A et des
quantités connues. Soient Xj et x^ deux racines de l'équa-
tion (i) : si l'on l'ait k = x^x^^, Xi et x^ seront des racines
communes aux deux équations et l'on aura
La forme la plus générale d'un facteur du second degré de
f{x) en fonction du produit de deux racines est donc
9 désignant une fonction rationnelle.
Quand k sera connu, les deux racines seront ainsi données
par une équation du second degré, c'est-à-dire que leur ex-
pression contiendra un radical de plus que celle de /..
k, étant un produit de deux racines, sera déterminé par une
équation de degré
^ = ■2/'-' (2/'— 11.
Comme k peut s'exprimer au moyen de racines carrées,
l'équation en k devra pouvoir se décomposer en d'autres
dont les degrés seront des puissances de 2. Ces équations
ne peuvent être toutes de degré 2? ou de degré plus élevé,
car une somme de pareilles puissances serait divisible par ip,
ce qui n'a pas lieu avec le degré de l'équation déterminant k : le
degré de l'une de ces équations doit donc être au plus égal
à 2^-'.
L'équation de degré 2^ pourra donc se résoudre au moyen
de p racines carrées si celle du degré 2^-' peut se résoudre
au moyen de « — i racines carrées. Mais l'équation du second
degré peut se résoudre au moyen d'une racine carrée; lethéo-
I04 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VIT.
rème se trouve donc démontré. Cependant, il existe un cas qui
demande à être examiné de plus près, à savoir celui dans le-
quel/(j;) el/[ - I ont un facteur commun de degré supérieur
à deux. Cela ne peut arriver que si l'on a, pour des valeurs
de p et q différentes de i el 2,
on aura alors
et si l'on remplace œ par jc + /^
■Tp .r^ -\- h ( x,, -^ ./Vy ) ^ h^ =.ri ,r, -h // ( ,r i 4- .r, ) -+- h- ;
celte formule ne peut avoir lieu quel que soil h; sans quoi
l'équation donnée aurait des racines égales, ce qui est impos-
sible, puisqu'elle est irréductible.
Si donc la démonstration tombait en défaut, on pourrait
toujours transformer l'équation de manière que le cas en
question ne se présente pas. Comme la transformation n'altère
pas le nombre des radicaux qui entrent dans les expressions
des racines, le théorème est vrai dans tous les cas.
93. Si, comme plus haut, on associe les facteurs
deux par deux, les nouveaux facteurs du second degré deux
par deux et ainsi de suite, on se débarrasse chaque fois d'un
radical; quand il ne reste plus qu'un radical y/a , on obtient
deux facteurs qui ne diffèrent l'un de l'autre que par le signe
de\/a; l'équation de degré 2^ peut alors se ramènera une
autre de degré 2^-^ dans laquelle les coefficients contiennent
\^x et qui prendra la forme
', et l'on peut toujours faire en sorte que le coef-
ÉQUATIONS RÉSOLUBLKS A LAIDE DE RACINES CARRÉES. 100
ficient de la plus haute puissance de x soit l'unité, sans que
\'y. entre en dénominateur. Si l'équation donnée est
/(.r) =. o,
il faut donc que l'on ait
/(.r ) = (.;■'" 4- fli ^'«-1 -f- . . . ^ a,„ f-
— 7.{bixm-i-\- h^x"i-^-^. . .+ Oin)-.
\j y. est le dernier radical que l'on fait disparaître dans :r,,
c'est-à-dire le premier qu'il faut calculer quand on veut
évaluer a:,; si l'on a le choix entre plusieurs radicaux à
calculer tout d'abord, f{x) peut être ramenée de plusieurs
manières à la forme que nous venons de considérer. Par
exemple, si
.n = y/â -I- \/7i -H \ s/ il ^ \JJ) ^ /c,
on pourra ramener /(.r) aux deux formes
X'^ — aW ou k^—bW,
où A est du quatrième degré et B du troisième.
Résolution de l'équation.
9i. Pour abaisser l'équation donnée, on peut former
l'équation qui a pour racines les valeurs de
(j:i+ .7-2 -h. . .-4-.r,„)(jr,„+i-t-x,„+2-j-. . .H-./-./»)-
Le degré g de cette équation est égal à la moitié du nombre
de manières dont on peut prendre 2/'-* lettres sur ip ou
On peut montrer que ce nombre est impair; si l'on divise
para tous les facteurs pairs de ip\ on obtient tous les fac-
teurs de 2/'-'l, Si donc u, //,, «^ désignent des nombres
impairs, on aura
2/jl _ 22P-'.2/'-l \u.
l56 DFXXIÈMK PARTIE, — CHAPITRE VII.
Si l'on remplace successivement /> par/» — i, /? — 2, .
et si l'on multiplie les équations ainsi obtenues, il vient
•2.PI = ■2-''-hiiiiiu. . . ;
le dénominateur de ,s- étant 2-''-' «7 i/î .... ainsi
ce qui est un nombre impair.
L'équation déduite de la proposée et que nous venons de
considérer est résoluble par radicaux, si la proposée l'est, et
elle doit se décomposer en équalions dont les degrés sont
des puissances de 2; or son degré est impair: donc l'une des
équalions dans lesquelles elle se décompose doit être du pre-
mier degré, de sorte que, parmi les valeurs que peut acquérir
le produit que nous avons considéré. Tune est rationnelle;
on peut la trouver dès que Ton a formé l'équation auxiliaire,
car elle entre en facteur dans le dernier terme du premier
membre de l'équation auxiliaire; comme on connaît en outre
la somme des facteurs de ce produit, ceux-ci pourront se
déterminer au moyen d'une équation du second degré à coef-
ficients rationnels. On connaît donc la somme de m racines
en fonction d'un radical carré et les autres fonctions symé-
triques de ces m racines peuvent s'exprimer rationnellement
à l'aide de la somme trouvée et des quantités connues; l'équa-
tion qui détermine ces /« racines a donc la forme
.t:'" ^- (//] -T- l>i /a )./•'"-' -^ («2 -f- h-, y/a)./;"'-2 -^ . . . -i- et,,, -+- b„t sj % = o,
où «1, b^, a.,, . . ., a„i, b„i et a sont rationnels. Si l'on change
+ v/a en — \a, on obtient l'équation qui donne les m autres
racines.
Si l'on traite de même l'équation réduite, en regardant y/a
comme une quantité connue, on obtient une équation de
degré 2p-^ dont les coefficients sont fonctions de ^ot. et d'un
nouveau radical carré. Ici se présente une difficulté : la racine
que l'on cherche et qui doit être considérée comme ration-
ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A LAIDE DE RACINES CARRÉES. I Sj
nelle est en réalité de la forme b + c v^a et doit être facteur
d'une expression de la même forme, à savoir le dernier terme
de l'équation; mais on peut tourner la difficulté en changeant
X en r + ^y/a et en décomposant l'équation en deux autres
ayant pour racines b et c.
Condition pour qu'il soit possible de résoudre l'équation.
95. En suivant la marche que nous venons d'indiquer, il
est toujours possible de résoudre une équation résoluble à
l'aide de radicaux carrés. Mais en pratique il devient déjà
très pénible de résoudre l'équation du huitième degré. On
peut souvent simplifier les calculs en faisant usage du théo-
rème suivant :
S'il est possible de réduire de moitié le degré de l'équation
f{x)^=iO, en extrayant la racine carrée de f{x), on doit
trouver un reste qui, multiplié par une puissance de 2, est
divisible par a, \/x désignant la racine carrée à laquelle on
est conduit en effectuant la réduction.
Supposons que l'équation soit
(1) .r-'"-+- A,. /•-'"-' — .. .-^ Â,„ = o
et puisse être ramenée à la forme
(2) (jr'«-4-ai.r'«-i-i-...-;-r?„,)2— a(^i.r'"-i-^ ù.2X"i--^...-^b,„)' = o;
supposons que l'extraction de la racine carrée donne pour(i)
(3) (,r'«-t- /LiX'«-'-h A■2.r"'----^-. . .-H A•m/-^- R/«-i = o,
R„,_i étant, au plus, de degré m — i; alors on a identiquement
1 [2.r'»-f- (cii^ ki)j:'"-^-h (ai-h k,)^'"-^-^. . .^ a,n-^ fim]
(4) x[(ai — Ai).r'"-i+ («,-- A-.,),r'«-2^. . .+ a,„ - A„,J
et, en égalant les coefficients de x-"'-\ x-'"--, ..., x'" où
l58 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.
le reste est sans influence,
•2(rti — A-i) = o,
2(a2— /^-î) + (^'1 -+- ^ù) («1 — /ù) = aèf ,
(5) { 2(a,,- A>)-H(rti-HA-i)(r</,-i-A-/-i)+..-= «A,
■iiCn — l^m ) -t- ( «1 -1- ^1 ) ( «'«-1 — l^m- 1 ) + • • •
-I- ( a,n-\ -\- km- 1 ) («1 — In ) = 7. B,
aA et aB désignant des quantités divisibles par a.
La première de ces équations montre que «i = Ai; la
seconde que a^— A^, abstraction faite du facteur 2, est divi-
sible par a; la troisième que a^— k^ est divisible par a, et
ainsi de suite; la dernière montre que- a,,, — k,^ est encore
divisible par a; <x est donc facteur du premier membre de
l'identité (4) et par suite de R,„-i.
Si la racine contient plusieurs radicaux du premier ordre,
chacun de ceux-ci peut être soumis à la même discussion
que v/a, et tous les facteurs des quantités rationnelles a doi-
vent se trouver dans les termes de ll„,_i.
Considérons, par exemple, l'équation à laquelle on ramène
.2-1'' — 1 = 0, à savoir
/■( .1 ) = ,rS _)_ j;i — n x^> — G .r^ -t- 1 5 .r^ + i o .r^ — i o ,r- — ^x -\- i = o ;
l'extraction de la racine carrée donne
■?J^'l\,n-i = — 1 7 ,32.r3 — 17 . 88.r2 — 17 . 92a- — 1 7 . 1 278 ;
l'équation peut en réalité s'écrire
.^,.4 _^ 1 j;3 _ 1 j^i^ .>,r _ I = ± ^ '^ i^^.i^j^i— 2.r).
2 2 2 '
Application à un problème de Géométrie.
9G. Les équations que l'on peut résoudre par de simples
extractions de racines carrées ont une importance toute par-
ticulière en Géométrie , car tout problème de Géométrie
ÉQUATIONS IIÉSOLLBLES A l'aIDE D1: RACINES CAIUIÉES. iSg
résoluble au moyen de la règle et du compas doit conduire
à une semblable équation. Toute construction de ce genre se
ramène à ces problèmes élémentaires : faire passer une droite
par deux points; décrire, d'un point donné comme centre,
une circonférence de rayon donné; en répétant ces construc-
tions, la Géométrie analytique permet de calculer les élé-
ments inconnus en fonction de ceux qui sont donnés ; comme
ces calculs ne conduisent jamais à des équations d'un degré
plus élevé que le second, il faut que les éléments inconnus
puissent se déduire des données par de simples extractions de
racines carrées.
Il résulte de là qu'il est impossible de partager un angle en
trois parties égales au moyen de la règle et du compas. On
peut, en effet, se proposer de construire le cosinus de cet
angle et, comme ce cosinus est racine d'une équation irré-
ductible du troisième degré, il ne peut pas s'exprimer au
moyen de racines carrées.
La plupart des constructions reviennent à la détermination
d'un point qui lui-même se trouve déterminé par l'intersec-
tion de deux lieux géométriques- Si l'un d'eux est une
droite dans une position quelconque et si l'autre est une
courbe indépendante, on peut déterminer l'ordre de cette
courbe si la construction du point peut se faire à l'aide de la
règle et du compas. D'une manière moins générale, on peut
avoir à déterminer la courbe lorsque la droite renferme un
paramètre variable, par exemple quand elle doit passer par
un point fixe.
97. Supposons que l'on se donne un faisceau de droites
dont le sommet soit à l'origine des coordonnées et propo-
sons-nous de trouver les courbes dont les intersections avec
une droite quelconque du faisceau peuvent être déterminées
à l'aide de la règle et du compas.
Nous supposerons que la courbe ne passe pas par l'ori-
gine; prenons des coordonnées polaires et posons
(i) x = mr: y = iir\
i6o Di:u\ii:ME pautik. — ciiapitue mi.
l'équation de la courbe prend la forme
( 2 ) « 4- hr + cr- -H . . . = O,
où a n'est pas nul et où a, h, c, ... sont des fonctions homo-
gènes des degrés o, i, 2, ... de m et de n.
Si le problème peut être résolu avec la règle et le compas,
cette équation doit pouvoir se résoudre pour toute valeur
de m et de n ; il existe sans doute entre m et n une relation en
sorte que leur rapport seul est arbitraire; mais on peut rem-
placer m et n par mk et ni:, si l'on change en même temps
/■ en T' ot l'on peut, par cete raison, regarder m et n comme
indépendants.
D'après nos hypothèses les constantes qui entrent dans
l'équation de la courbe sont indépendantes de m et de ji. U
est facile de voir que l'équation (2) est irréductible si la
courbe est indécomposable.
Si l'équation (2) est susceptible de se résoudre au moyen
de racines carrées, elle devra pouvoir se ramener à la forme
(3) />(A4-B/-4-C/-2, ...j2 = /,•,(A, + Bl^-hCl/•^...)^
où k et Aj sont des fonctions entières homogènes de m et n ;
(3) n'est pas nécessairement identique à (2), car on peut avoir
supprimé un facteur par la division. En comparant les équa-
tions, on voit que ce facteur est
-^ ou 0 = k A2 — /l 1 A 2 ;
a
car a est indépendant de m et n et on peut le supprimer sans
changer la forme de nos équations. On peut supposer que k
et A-, n'ont pas de facteur commun, car on pourrait le faire
disparaître par la division; on peut supposer en outre que 9
n'a pas de facteur commun avec A et Ai ; car un facteur appar-
tenant à 9 et à A'i appartiendrait à A, B, C, ... et pourrait être
supprimé par division sans changer la forme de l'équalion.
On peut mettre (3) sous la forme
[A v/Â + A, v/^+ (B ^k + B, v/^)/- - . . . .]
X \X^I-X,\/1',^ (b/Â-B,v/Z^)/' --...] =0.
ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A LAIDE DE RACINES CARRÉES. l6l
Si l'on multiplie le premier fadeur par Ay/A — Aiv/Aj, le se-
cond par Av^/i + Ai\/A-i, on obtient la forme
[ cp + ( M + N s/Wi) r + ( ,M 1 -t- N , v/ÂÂ^ ) /■ 2 -H . . . ]
X [cp + (M — N/Â7^)r + (M,-Niv//Û^)/'2 + ...] = o
et le premier membre doit être divisible par 9-.
Nous allons montrer que chacun des facteurs est divisible
par 9. Si l'on forme le produit des deux facteurs, chaque
coefficient sera divisible par 9-; or, en développant, on a
cp2 + 2 cp M /• + . . .
et l'on voit que 9 doit être en facteur dans M. Si m — oui est
en facteur dans 9, m = a/i doit annuler un des deux fac-
teurs, par exemple le premier; m^=.aii doit alors annuler
M + N\/AAi et, comme A^i n'a pas de facteur commun avec 9,
il doit annuler N. Maintenant, considérons dans le produit le
coefficient de /■- : en dehors des termes divisibles par cp^^ il
n'entre que le terme 2M19 ^^ nous voyons que Mj doit être
divisible par 9; nous en concluons, comme plus haut, que Nj
est divisible par 9; en continuant ainsi, on voit que tous les
M et les N sont divisibles par 9. Si l'on divise les deux fac-
teurs par 9, on obtient l'équation (3) dégagée du facteur 9 et
sans que sa forme soit modifiée; on peut donc supposer (2)
et (3) identiques; alors on a kk}— k^k\r^a, a étant indé-
pendant de m et «; a n'est pas nul et k et Aj ne peuvent être
tous deux constants (sans quoi l'équation serait réductible);
les coefficients doivent être des fonctions homogènes de m
et de II, parce que l'équation reste inaltérée par la substitu-
tion qui remplace vi, n, r par mh, nh, j et ne peut prendre
la forme (3) que d'un nombre fini de manières; si donc Aj
contient m et n, Aj doit être nul et A- et A constants.
Si l'on pose Ai=o dans (3), on détermine les valeurs de
m et n pour lesquelles les points d'intersection d'une droite
et de la courbe sont confondus deux à deux. La courbe doit
donc être une courbe d'ordre ip telle que du sommet du
P. n
l62 DEUXIÎÎME PARTI!!. — CHAPITRE VII.
faisceau, on puisse lui mener des sécantes dont les intersections
coïncident deux à deux et, comme Ai=:o, Ai doit être au
moins du second degré en m et n\ le sommet du faisceau
doit donc être le point d'intersection de deux droites jouis-
sant de cette propriété et, s'il est arbitraire, le problème ne
sera possible que si une droite coupe la courbe en deux points
seulement. Donc :
En dehors des coniques, il n'existe pas de courbe dont les
intersections avec une droite arbitraire puissent se déterminer
à l'aide de la règle et du compas.
Et le principe de dualité montre que, en dehors des coniques,
il n'existe pas de courbe dont les tangentes menées par un
point arbitraire puissent être construites avec la règle et le
compas.
Intersections d'un faisceau avec une courbe du quatrième ordre.
98. Nous allons considérer, en particulier, les courbes du
quatrième ordre; leur équation doit être de la forme
( 1 ) ( A -)- B r + C r^ Y- = kv"- n.) r + E )2 .
Si E n'est pas nul, k est du deuxième degré; si E est nul, k
doit être du quatrième degré. Dans le premier cas, on par-
vient à une équation de la forme
(2) S-^=Xa3y2,
OÙ S = o représente une conique quelconque, oii X désigne
une constante, y = o une ligne droite, oc:=o, (3 = o deux
droites du faisceau.
Dans le second cas, on a
S2=XapYo;
a:=o, [3 = G, y = G, ô = o sont alors des droites arbitraires
du faisceau.
La première équation appartient à une courbe du quatrième
ordre avec deux points doubles déterminés par S = o et
ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A l'aIDE DE RACINES CARRÉES. l63
y = G et avec les tangentes doubles a = o, j3 =: o qui se cou-
pent au point donné et dont les points de contact se trouvent
avec les points doubles sur la conique S = o.
La deuxième équation est celle d'une courbe du quatrième
ordre avec quatre tangentes doubles qui se coupent au point
donné et dont les buit points de contact sont sur la conique
S = o.
Nous n'examinerons pas le cas où le point donné se trouve
sur la courbe et y est un point multiple d'ordre g, l'ordre de
la courbe chercbée s'élevant de g unités. Nous montrerons
seulement comment on peut construire les intersections des
courbes de la première classe avec les droites du faisceau au
moyen de deux coniques.
L'équation (i) peut s'écrire
(C - D /^)/--+ (b — E //c)r + A = o.
2 1
— 1 —
1 '"2
sfket
pi en
P2,
Pl
etp^
seront déler-
Si l'on change \/'k en
minés par l'équation
(B^— /tE2)p2-t- 4ABp -t-4A-^= o,
qui est celle d'une conique; celte conique, pour E = o, se
transforme en une droite double
Bp-4-'2A = o
qui est la polaire de l'origine par rapport à la conique S = o.
Si E n'est pas nul, pi et Pa sont confondus pour A ==: o et
les tangentes doubles sont tangentes à la conique auxiliaire.
Comme les deux intersections fournies par la conique ne
suffisent pas pour déterminer les quatre points d'intersection
cherchés, nous ferons usage d'une seconde conique; on peut,
par exemple, prendre celle dont les points d'intersection avec
les droites du faisceau sont en division harmonique avec /', et
l64 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. VU. — ÉQUATIONS RÉSOLUBLES, ETC.
/•2, et également avec 7-3 et t\\ ces points sont déterminés
par les équations
2(^:1X2-+- ri /■,) = (.i'i + .r.2) (/'i 4- r.),
2 ( .ri .r. H- /'s /■4 )=(,/■! + ,ro ) ( /'s -h r^ ).
On en déduit l'équation de la conique cherchée
(BD — CE),r2 4-2AU,r + AE = 0.
Pour E = 0, cette conique se décompose en deux droites,
dont l'une passe par le point donné et dont l'autre est la
droite trouvée plus haut. Dans ce cas, on ne peut pas opérer
la réduction, tandis que, quand E est différent de zéro, on
détermine facilement les quatre points d'intersection quand
on a trouvé les intersections avec les coniques auxiliaires.
Inversement, on peut se donner deux coniques et se pro-
poser de construire une courbe du quatrième ordre de l'es-
pèce qu'on vient de considérer. Pour plus de détails, on peut
consulter un Mémoire de l'auteur dans le Tidsskrift de Zeu-
then pour 1874.
TROISIEME PARTIE.
SUR LA RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DES ÉQUATIONS.
SÉPAKATIOX DES UACINliS. 167
CHAPITRE I.
SÉPARATION DES RACINES.
Limites des racines réelles.
99. La résolution algébrique des équations de degré supé-
rieur au quatrième n'est, comme nous l'avons vu, possible
que dans des cas particuliers. Lorsque l'on donne une équa-
tion à coefficients numériques, on peut cependant, sans con-
naître la forme algébrique des racines, déterminer leurs va-
leurs numériques avec telle approximation que l'on veut. Pour
obtenir ces valeurs approchées, il faut d'abord séparer les
racines, c'est-à-dire déterminer pour chaque racine deux
nombres comprenant cette racine et pas d'autre racine; s'il
existe des racines égales, il faut connaître leur ordre de mul-
tiplicité. La séparation est facilitée quand on détermine d'a-
bord les limites des racines, c'est-à-dire deux nombres com-
prenant toutes les racines réelles; on a plusieurs méthodes
pour déterminer les limites des racines qui ne donnent ce-
pendant que des approximations très incertaines.
100. Première méthode. — Soit l'équation
X"- -i- cil x"--^ + . . . — a,n .r"-'" — . . .— Op x"-i' . . , ± «„ = o,
où a,„ est le premier coefficient négatif et Up le plus grand
coefficient négatif pris en valeur absolue. Pour ^>i, on a
j^n—m + l j
X'^< ap{xn-"^-\-xn-m+'^ + ...+ \) = Clp ,
l68 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
donc aussi
OU
OU
(l) X<l-^"i/a,,.
Celle valeur de a; sera une limite supérieure des racines. On
peut abaisser cette limite comme il suit. Posons
et appliquons la formule trouvée pour la limite supérieure à
l'équation en y, on a
f <i^"{/aijj.i\
on aura
(2) .r < - -f- v/<7/, y./'-'".
Comme a est un nombre positif arbitraire, on peut le choisir
de manière à abaisser autant que possible la limite trouvée;
cette valeur s'obtient en annulant la dérivée du second
membre de (2), ce qui donne
P
a'" =
p — m •'
d'où
m
(3) .<-^(^-:^f ç/.7; = m/^Z^Z^I,
^ ' p — m\ m I " '' ' \ ,n>" {p — m )P-"'
formule que l'on ne peut employer si mzzzp-, dans ce cas, (2)
donne pour a = 00
(4) ^<"v/^.
On ne peut pas prendre ici pour ap le plus grand coefficient
SÉPARATION DES RACINKS. l6(J
négatif de l'équation donnée, parce qu'il ne donne pas néces-
sairement le plus grand coefficient de l'équation en j; on
doit, pour ce motif, prendre la limite la plus élevée, que l'on
obtient quand on prend pour ap tous les coefficients néga-
tifs.
Exemple :
x^ — x~ -\- 5x^ — i5j;^ — ^~x'*-\- x^ — 71 1 ,r- — 3i3 j: + 1 =0;
les limites sont
n 3/15 t/T; „ 6/71 1 7/31 3
'• Vt' <V^' «VV- 'V"6^'
d'où il résulte que 5 est une limite supérieure des racines
positives. La plus basse limite en nombres entiers est en réa-
lité 4-
Si l'on change o^ en — ^ et si l'on cherche une limite supé-
rieure des racines de l'équation transformée, on obtiendra
une limite inférieure des racines négatives de l'équation pro-
posée. On trouve ainsi
<6,
16
en sorte que les racines réelles de l'équation considérée
sont comprises entre — 6 et -1- 5.
Si l'on change x en - j on trouve, en appliquant les mé-
thodes précédentes, que - est compris entre deux limites
— k et A'i, alors x ne peut pas être compris entre — -^ et ^;
la première de ces quantités est une limite supérieure des
racines négatives, la seconde est une limite inférieure des
racines positives.
101. Deuxième méthode. — On met l'équation sous la
forme
f{x) = ^{x) — (p,(^)-+- <^,{x) = 0,
oii o(^) désigne l'ensemble des termes précédant le pre-
v/^
170 TnOISIÈME PARTIE. — CllAPimE I.
mier terme négatif, — o,(^) l'ensemble des termes négatifs,
92 (^) l'ensemble des termes positifs restants. Dans la diffé-
rence
o(x) — oi(,r)
substituons des nombres positifs croissants jusqu'à ce que
nous trouvions un nombre k qui rende cette différence posi-
tive; A- sera une limite supérieure des racines positives. En
effet, soit a:'" la puissance la moins élevée de a: dans o{3r),
la différence précédente peut s'écrire
r cp ( .r ) _ Oi(.r)"|
Or -^-^ ne contenant que des coefficients et des exposants
positifs sera croissant avec a-, '^\^l ne contenant que des ex-
posants négatifs sera décroissant quand x croîtra. Une valeur
de 37 supérieure à k rendra donc notre différence positive, el,
par suite, /(^) positif. Aucune valeur de ^ supérieure à A
ne pouvant annuler /(^), k sera une limite supérieure des
racines.
Exemple. — Si, dans l'exemple ci-dessus, on change x en
— ce, on obtient l'équation
œ^ -+- x~ -\- 5 x^ -^ 1 5 x^ — 47'^* — -^^ — 711X--T- 3i3j: -f- I = o.
Si, après avoir divisé par ce-, l'on cherche à rendre positif
a:^ -1- x5 -4- 5 j;* -+- 1 5 x^ — ( 4" .r^ -1- .r -+- 7 1 1 ),
on voit que cela a lieu pour a:z=3. Cette méthode fournit
donc — 3 comme limite supérieure des racines négatives,
tandis que l'autre méthode donnait — 6.
La méthode précédente peut être généralisée en décompo-
sant/(^) en plusieurs groupes de la forme (p{cc) — Oi{cc), où
les coefficients de ^(^) et de ^i{^) sont positifs, tous les
termes de 91 étant de degrés inférieurs à ceux de o{cc); une
valeur de ce qui rendra positives toutes ces différences sera
évidemment une limite supérieure des racines positives.
SÉPARATION DES TIACLNES. 17!
102. Méthode de Newton. — Si, dans les polynômes
f(x), /'(,r), f"{x), ..., /"(.r),
on substitue des valeurs croissantes de a; jusqu'à ce cjue Von
trouve un nombre k qui les rende tous positifs, k sera une li-
mite supérieure des racines.
En effet, on a
/(A- + /o-/(A)+/'(/Oy+/"(/0-/^, +•••+/'",
d'où il résulte que/(A -j-/0 sera positif si h est positif et si A:
a été déterminé comme il a été dit : k -{- h ne peut donc être
racine si h est positif, donc k est une limite supérieure des
racines.
Cette méthode est plus pénible que les précédentes, mais
elle donne, en général, des limites plus resserrées. Toutefois,
les limites peuvent encore être trop élevées, car cette mé-
thode fait, en outre, connaître des limites supérieures des
racines de/'(^) = 0, /"(x) = o, ..., et ces équations peu-
vent avoir des racines bien supérieures à celles de/(^)=:o.
Un exemple servira à jeter quelque lumière sur la pratique
de cette méthode.
Exemple :
x5-i-5.r'*
— io,r3
-h X-
-
ïQ>x
-
7
= 0
/(^)
=
x--i-5x'* —
[OX3-f-
x'- —
6
X —
7-
f'(^)
=
5x^-i- 20.r3-
-3ox2
-^1X
-
16.
f"i^)
1.1
=
lo.r^H- 3ox^
-3o^
+ 1.
...
f"(^)
iox'^-i-iox
— 10. .
2.3
/"(•^)
=
5^-+-5.. . .
2.3.4
/'(-)
-+-
On commence par en bas, a;r=o rend/"" positif, toute va-
172 TROISIÈME PARTIE, — CHAPITRE I.
leur supérieure rend f^ positif, et l'on en a fini avec celte fonc-
tion, .2?= i rend positif /"(^) et /"(.a;), mais/'(^) négatif;
pour x=zi, f {x) est positif, mais f{x) est négatif et, comme
finalement 3 rend f{x) positif, c'est une limite supérieure
des racines.
Nombre des racines comprises entre deux nombres donnés.
103. Soient a^, a,, a^, ... les racines réelles de/(^) = o,
rangées par ordre de grandeurs croissantes; on a
/(.r) = X(,r-a,)(-i'-^2)(.r-«3)...,
X déterminant les racines imaginaires et ne pouvant, par
suite, s'annuler pour aucune valeur réelle de x. Si l'on
prend x inférieur à aj et si on le fait croître jusqu'à ce qu'il
passe par une valeur supérieure à la plus grande racine
réelle, le signe d'un facteur et, par suite, le signe du produit
changent chaque fois que x passe par une racine : f{x) doit
donc prendre le même signe pour des valeurs de x compre-
nant un nombre pair de racines et de signes opposés pour des
valeurs de x comprenant un nombre impair de racines. Donc
Si f{a) et f{b) ont le même signe, il y a un nombre pair
de racines entre a et h; si a et h sont de signes contraires, il
y a un nombre impair de racines entre a et b.
Par exemple, si, dans une équation dont le dernier terme
est ± «„, on fait successivement x égal à — 00, o et -+■ ce, on
obtient, pour/(^)
± co, ± a,i, -+- co,
on a + co pour x z= — 00 si l'équation est de degré pair et
— 00 si elle est de degré impair; i\ en résulte qu'««e équa-
tion de degré impair a au moins une racine réelle de signe
contraire à son dernier terme, et une équation de degré pair
à une racine positive et une racine négative au moins, si son
dernier terme est négatif.
SÉPARATION DES RACINES. IjZ
Théorème de Descartes.
104. Lorsque deux termes consécutifs d'une équation ont
le même signe, on dit qu'ils forment une permanence; lors-
qu'ils ont des signes contraires, ils forment une variation.
Descartes a démontré le théorème suivant :
Une équation ne saurait avoir plus de racines positives que
de variations, ni plus de racines négatives que de perma-
nences.
Pour démontrer ce théorème, nous considérerons une
équation quelconque ordonnée suivant les puissances dé-
croissantes de X, et en la multipliant par x — a, nous intro-
duirons la racine positive a. Nous allons voir que, quels que
soient les signes des termes, cette multiplication introduit
une variation au moins.
Le premier terme ^" de l'équation peut être censé positif;
la première variation se rencontre dès que l'on arrive à un
terme négatif et, comme il est précédé d'un terme positif, ces
deux termes seront
Un des termes de la nouvelle équation sera alors
— {aan-p+ f'n-p+l )-vP-
On ignore si le terme précédent est positif, mais ce que l'on
sait, c'est qu'il existe au moins un terme précédent positif et
si, par suite, on parcourt la suite des termes depuis le pre-
mier jusqu'au terme en xp, on rencontrera au moins une va-
riation, comme dans la première équation à xp-'^. Si, en par-
courant la suite des termes jusqu'au terme en xp, on rencontre
plus d'une variation, on en rencontrera évidemment un
nombre impair, carie changement d'un signe ne peut jamais
produire une augmentation ou diminution d'un nombre im-
pair de variations.
La première variation que l'on rencontre ensuite se trouve
1^4 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
quand on parvient à un terme positif. Supposons que ce terme
soit en x'J, on montrera, comme tout à l'heure, que le terme
en .r^+i dans la nouvelle équation est positif, de sorte que,
quels que soient les signes précédents, il y a, entre xp et
xi^'^, au moins une variation dans la nouvelle équation; en
continuant ainsi on verra qu'en arrivant au terme *•'" dans
l'ancienne équation, et au terme j?'+* dans la nouvelle, on a,
dans cette dernière, rencontré au moins autant de variations
que dans la première. Supposons que, après avoir passé par
le terme en x^' dans la première équation, on ne rencontre
plus de variations, soit ±: k le coefficient de x'', tous les
termes qui suivent ont le signe de k\ dans la nouvelle équa-
tion, le terme en x''^'^ a le signe de A, tandis que le dernier
terme est — aa^, qui est de signe contraire à k. Si donc on
parcourt la suite des termes à partir de ic''+\ on rencontre
encore au moins une variation dans la nouvelle équation;
comme la suite des termes jusqu'à ^'■^"' (inclus) présentait
au moins autant de variations que dans l'ancienne équation,
il faut nécessairement que la nouvelle équation présente au
moins une variation de plus que l'ancienne.
Supposons maintenant que l'on ait divisé le premier
membre de f^x) ^o par tous les facteurs linéaires qui cor-
respondent aux racines positives ; l'équation que l'on obtient
n'a plus que les racines négatives et imaginaires de l'ancienne
équation ; et l'on ne sait rien sur le nombre de ses variations.
Réintroduisons successivement les facteurs que l'on avait
supprimés, à chaque fois on introduit au moins une nouvelle
variation.
Quand on a réintégré toutes les racines positives, on re-
tombe sur l'équation primitive, qui doit avoir autant de varia-
tions au moins que de racines positives. En changeant x en
— X, on établit la seconde partie du théorème.
Le nombre total des variations et des permanences d'une
équation de degré n est précisément n. Si donc cette équation
a toutes ses racines réelles, le nombre des variations est égal
au nombre des racines positives, le nombre des permanences
est égal au nombre des racines négatives.
SÉPARATION DES RACINES. irjB
Si un OU plusieurs coefficients sont nuls, on peut les regar-
der à volonté comme positifs ou négatifs, une variation infini-
ment petite dans un coefficient ne pouvant changer le signe
d'une racine (en faisant abstraction du cas où l'équation a
une racine nulle). On peut donc, quand il y a des termes
nuls, les remplacer par d'autres choisis de manière à rendre
minimum le nombre des variations et des permanences. Si
l'on a un terme nul entre deux de signes contraires, on peut
le supposer positif ou négatif à volonté, car
donne une variation et une permanence, quel que soit le
signe que l'on mette à la place de o. Si, au contraire, il se
trouve un terme nul entre deux de mêmes signes, l'équation
a au moins deux racines imaginaires; car, si l'on a
on peut, pour compter le nombre des variations, supposer
que l'on a
H- -i- +,
et, pour compter le nombre des i)ermanences, supposer que
l'on a
-+- — -t-;
la somme du nombre des variations et du nombre des per-
manences sera donc de deux unités moindres au moins que
le degré de l'équation, ce qui montre qu'elle a au moins deux
racines imaginaires.
Lorsque la somme du nombre des variations et du nombre
des permanences n'est pas égale au nombre des racines
réelles la différence est un nombre pair; cela résulte de ce
que l'introduclion d'une racine positive correspond à l'intro-
duction d'un nombre impair de variations, et à ce qu'une
équation qui n'a que des racines imaginaires a un nombre
pair de variations (son dernier terme est positif).
Exemple :
x"^ -^ x^ — x'* 2^3 — >r -h I = O.
lyQ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
On peut lire
et l'équation a au plus deux racines positives et une racine
négative; elle a donc au moins quatre racines imaginaires.
Théorème de Budan.
105. Les théorèmes de Descartes et de Newton sont des
cas particuliers d'un théorème de Budan; ce théorème a aussi
été donné par Fourier, qui l'a développé dans ses leçons;
mais il a été puhlié avant par Budan.
Considérons la suite
f(x), f\x), /'(.r), .... /"')(.r),
et substituons à la place de x les nombres a, b où a <. b.
L'équation f (a;) ^o n'a pas plus de racines entre a et b
que de variations perdues par la suite précédente, quand on
passe de a à b.
On voit facilement que quand l'une des fonctions de la
suite passe par zéro, la précédente et la suivante sont de
signes contraires; si l'on considère f'p-{a:), par exemple,
on a
fyp){x^h)=fp'{x) -^fu>+y\x)h^. . .;
pour/f^^(^) = G et pour h infiniment petit
fi'{-r^ — l>) et fi>+'{x)
ont des signes contraires ;//'-*-H.^^) elf''{x + h) ont le même
signe sif^p'> (a:) eif''i'+^'>{x) ne sont pas nuls à la fois. Si donc
deux dérivées consécutives ne sont pas nulles en même
temps, il faut qu'il se perde une variation quand x traverse
une racine de la première. Si l'on considère alors la suite
f^P-^\x), fp^ix), f^P^'^ix),
SÉPARATION DES RACINES. I77
on voit que si/^^'(x) s'annule, il se perdra une variation par
les deux dernières fonctions, tandis que par les deux pre-
mières il se gagnera ou se perdra une variation ; ainsi quand
f^p^{jc) s'annule, il se perd deux ou zéro variations; quand
/(:r) s'annule, il se perd toujours une variation, puisqu'il
n'existe aucune fonction avant. On arrive ainsi au résultat
suivant : Il se perd au moins une variation chaque fois que
l'on passe par une racine de l'équation f{x) =: o, il peut s'en
perdre plus qu'il n'y a de racines, mais l'excès est pair.
106. Il faut examiner le cas particulier où plusieurs fonc-
tions consécutives s'annulent; soit J'-p~^^{^) la dernière
d'entre elles; on a
j\,j-i}Çr—/i) = +f'i>^{x) — +..., /</^-2)(.r+//)=/(/')(.r) -^ +...,
f.i>-z)(x—h) = —f'/'\.r) -^ +..., /(P-3)(,r+//) =fp\.v) Y^ -+-••.,
Les fonctions qui s'annulent à la fois présentent, avant le pas-
sage par zéro, uniquement des variations et, après le passage,
elles ne présentent que des permanences; de sorte que, dans
ce cas, il y a encore perte de variations. Dans le cas particu-
lier où les p premières fonctions s'annulent l'équation a
p racines égales et il se perd alors p variations. Le théorème
est donc applicable à tous les cas et, en particulier, aux
racines multiples.
Si l'on pose x = — oc, la suite n'a que des variations; si l'on
fail^ = o, on obtient les signes des coefficients de l'équa-
tion; si l'on fait x = -{-œ, on n'a plus que des permanences.
C'est justement le théorème de Descartes, qu'on obtient ici
comme cas particulier du théorème de Budan.
Si l'on remplace x par un nombre k qui ne donne que des
permanences, il n'y aura pas de racines entre A et oc; k sera
donc une limite supérieure des racines ; de sorte que le théo-
rème de Newton est aussi contenu dans celui de Budan.
P. 12
178 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Si /(«) et f{b) sont de signes contraires, tous les autres
termes de la suite conservant les mômes signes pour ^ = a et
.r = b, il n'y a qu'une racine entre a et b, car on a vu qu'entre
a et Z> il y a un nombre impair de racines, et il n'y a eu
qu'une variation perdue. Dans ce cas la racine est séparée
par a et b, il faut cependant remarquer que la séparation ne
pourra pas toujours se faire par ce procédé, parce que plu-
sieurs fonctions de la suite peuvent s'annuler avec/(^), et
qu'il peut ainsi se perdre à la fois plusieurs variations.
Au moyen de la suite considérée, on peut se procurer une
limite supérieure du nombre des racines comprises entre
deux nombres donnés, mais la considérai ion de la suite ne
permet pas d'affirmer l'existence de racines imaginaires, car
de —00 à +00 il se perd toujours le même nombre de varia-
tions, que l'équation ait ou n'ait pas de racines imaginaires.
Théorème de RoUe.
107. Si a et b sont deux racines consécutives de V équation
f{x)z=.o, r équation f\x)z= o a au moins une racine com-
prise entre a et 6, en tout cas un nombre impair de racines
comprises entre ces limites.
Puisque /(^) est une fonction continue, comme elle s'an-
nule pour x=ia et x^zb,e,\\e, ne peut aller sans cesse en
croissant ou sans cesse en décroissant; elle doit donc passer
par un maximum ou un minimum pour une valeur de x com-
prise entre a et Z^ et cette valeur est racine ùe. f {x) := o.
La fonction peut avoir plusieurs maxima ou minima, mais
comme elle ne s'annule pas entre a et b, il faut bien, si elle
commence par croître, qu'elle finisse par décroître ou, si elle
commence par décroître, qu'elle finisse par croître; il est
facile de voir qu'il en résulte un nombre impair de maxima
ou de minima. La considération de la courbe / =:f{x) rend
ces développements évidents.
Il résulte de là qu'entre deux racines consécutives de
f'{x) = 0, il ne peut y avoir plus d'une racine de f{x) = o;
SÉPARATIO.N DES UACINES. I79
car s'il y en avait deux, entre celles-ci il y aurait une racine de
/'(^) = o. 11 en résulte que, quand f{x)^zio a toutes ses
racines réelles, f'{^) a aussi toutes ses racines réelles; que si
f{oc), pour X ^=: a, a p racines égales, f {ce) = o, pour cette
même valeur, a p — i racines égales.
Exemple :
f{.r) = X'" -\- pjc'^ -h fj = o (m cl // sont impairs).
La règle de Descartes montre que l'équation a une ou trois
racines réelles. Or
f'{.r) = mx"-^ ( j-"'-«+ — ] •
1° Si p est positif, f'{x) n'a d'autre racine réelle que
j; = o : donc/(.2:) =o n'a qu'une racine réelle;
2° p est négatif . f'{x) =:oaune racine nulle et deux autres
racines réelles : appelons-les — b et h- 6 ; f{x) =^ o peut avoir
trois racines réelles dans les intervalles (« — i est pair):
— -X, — b, -i- h. -1- ce,
ces valeurs, portées dans/(j;), donnent les signes
si les trois racines réelles existent ; pour qu'il en soit ainsi
il faut que
— hm —pbn-^— q^
ou, en remplaçant b par sa valeur et en simplifiant,
\in — n J \ m )
La condition pour que
X^ -\- px -j- <jf = o
ait trois racines réelles est
l3o TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Théorème de Sturm.
108. Nous avons remarqué que ce qui empêchait le théo-
rème de Budan de donner le nombre exact des racines réelles
comprises dans un intervalle, c'est que lorsqu'un terme de
la suite s'annule il peut se perdre des variations, sans que
/(:;) passe par zéro. Sturm a tourné cette difficulté en faisant
usage d'une autre suite qui jouit de celte propriété que, lors-
qu'un terme de la suite s'annule, ceux qui le comprennent
sont de signes contraires de sorte que le nombre de varia-
tions n'est pas altéré quand un terme intermédiaire de la
suite passe par zéro. La suite de Sturm a pour premiers
termes, comme celle de Budan, /(^) et/'(.r); les autres
termes sont les restes que l'on obtient en appliquant à ceux-
ci la méthode du plus grand commun diviseur en ayant soin
de changer chaque fois les signes de ces restes et en n'in-
troduisant que des facteurs positifs pour éviter les fractions.
Nous supposerons l'équation débarrassée de ses racines mul-
tiples : /{or) etf'{.x) n'auront pas alors de facteurs communs
et le dernier reste sera indépendant de jr; les termes de la
suite sont donc f{x), f'{^) et les restes changés de signes;
nous les désignerons par
/(■^■), f'i-^). M^r), /3(,r), ..., fnix);
alors, en désignant par un q les quotients et par un c des fac-
teurs positifs,
CiMx) = cjif-iix) -/i(.r),
Ces restes donnent lieu aux remarques suivantes :
Deux termes consécutifs de la suite f{x), f {x), f-iix),
ne peuvent s'annuler pour une même valeur de x.
SÉPARATION DES RACINES. lOI
En efiet, s'il en était ainsi, tous les restes, jusqu'au der-
nier, seraient nuls, et l'équation aurait des racines égales.
Si un terme de la suite [excepté f (ce)] s'annule, celui qui
le précède et celui qui le suit sont de signes contraires.
Par exemple, pour/3(^) = 0, on a c^_f.,{x) =:—f.,{x). Si
l'on fait varier x à.Q — 00 à +00, les termes de la suite ne
pourront changer de signe qu'en passant par zéro; donc
il ne se perdra pas de variation, puisque, quand un terme
s'annule, celui qui le précède et celui qui le suit sont de
signes contraires, de sorte que, avant comme après le passage
par zéro, les trois termes considérés forment une variation et
une permanence. Cette conclusion ne s'applique pas au pre-
mier et au dernier terme de la suite, qui n'en ont pas avant
ou après eux. Mais le dernier terme est indépendant de x et
ne saurait changer de signe et, en vertu de ce qui a été dit(l05),
il se perd une variation quand /(^) change de signe. La suite
considérée perd donc une variation toutes les fois que x passe
par une racine de f{x) =1 o. Ainsi :
Si, dans la suite de Sturm, on fait xr=^a et x^i^h, le
nombre des variations perdues est égal au nombre des ra-
cines comprises entre a et b {b> a).
Quand la valeur substituée annule un terme de la suite de
Sturm, suivant le premier, on peut le supposer égal à + o ou
à — o. Si le premier terme est nul, c'est une racine de l'équa-
lion, et si l'on veut le faire entrer dans la suite, il faudra faire
commencer cette suite par une variation ou une permanence,
suivant que la racine en question sera une limite supérieure
ou une limite inférieure de l'intervalle considéré.
Lorsqu'un terme de la suite de Sturm ne change pas de
signe dans l'intervalle considéré, on peut arrêter la suite à
ce terme. En effet, la démonstration du théorème de Sturm
suppose seulement que le dernier terme de la suite conserve
toujours le même signe, et il est indifférent que ce terme soit
ou non fonction de x.
TROISIÈME PARTIE.
CHAPITRE I.
109. Quand on forme la suite de Sturm, on trouve le plus
grand commun diviseur de f{x) et f'{œ), qu'il y ait ou qu'il
n'y ait pas de racines multiples ; s'il y a des racines multiples,
tous les termes de la suite acquièrent un facteur commun 9,
il peut être écarté par une division, sans que les propriétés
de la suite cessent d'avoir lieu : le dernier terme est alors
fi r ) f ( v)
constant, les deux premiers ^^-— ^ et --^-^'-^ perdent une varia-
tion quand /(j?) elf'{x) s'annulent; et, après la division,
un terme qui s'annule se trouve toujours entre deux autres
de signes contraires; donc, après la division, on peut encore
appliquer le théorème de Sturm, mais les racines multiples
ne peuvent être comptées qu'une fois. On n'a pas besoin de
diviser par le facteur 9, car, s'il est positif, il ne change pas
les signes de la suite; s'il est négatif, il les change tous; en
aucun cas, le nombre des variations ne se Irouve changé.
Si l'équation donnée est de degré /^ et a toutes ses racines
réelles, la suite de Sturm a /i + 1 termes; pour jr = — 00,
elle ne doit avoir que des variations; pour ^r =+00, elle ne
doit avoir que des permanences, et il faut pour cela que tous
les termes de la suite aient leur premier coefficient positif.
En posant xz=i — 00 et œ^=.o dans la suite de Sturm, on a
le nombre des racines négatives ; en posant ^ =3 o et j: =; co,
on a le nombre des racines positives. Les racines manquantes
sont imaginaires.
Exemple I :
.r6_i- 3x4—4^3-1- Gx2+i2J; — 18 = o,
/ (.r) = xG + Zx'*— 4,r3-h 0^2+ i2,r -
\f'{x) — .rS-t-2.r3 — ix''--^ 'ix -hi
/^(x) = — x'^'Jr- ■2X^ — 4>^" — 1oj:-1- 18.
f3{x)= — X^+lOX'-—lÇ)
f^(x) = 84 .r2— qj:— T70
f^(x) = lïGyx — 2402
û{^)= +
SÉPARATION DES RACINES. 1 83
Pour^ = — ce, on a quatre variations; pour ^ = o, on en a
trois; et pour ^=+00, on en a deux. L'équation a donc une
racine négative, une racine positive et quatre racines imagi-
naires.
Exemple II :
j:^-4- dx -\- b = o,
f (x) =z x^-\- ax-+- b,
f'(x) = 3^-2+ «,
f>{x) = — lax — 3t,
/3(,r)=-4«3-27/;2.
La condition, pour que l'équation ait trois racines réelles, est
que a soit négatif et que
4a^-T- 27/>-< o.
La première condition est comprise dans la seconde; si elle
est remplie, on a, pour^=:o,
Les trois premiers termes donnent toujours une permanence
et une variation; on a deux racines positives et une racine
négative quand b est positif, deux racines négatives et une
positive quand b est négatif.
On rencontre souvent des suites de fonctions qui jouissent
des propriétés caractéristiques des suites de Sturm, et l'on
peut en profiter pour déterminer la nature des racines des
équations obtenues en égalant ces fonctions à zéro; les
exemples suivants mettront ce fait en évidence :
1° Dans la fraction continue suivante, où «1, «o, • • • sont
positifs,
les dénominateurs des réduites sont liés entre eux parles re-
lations
Q„+i = j:Q„ — «„_iQ;j_,, Qo = i, Qi = a:.
l8/+ TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
On voit facilement que le premier terme de Q„ est jr" et que
la suite
Q„, 0,_„ ..., œ, I
jouit des propriétés de la suite de Sturm. Comme le second
terme n'est pas la dérivée du premier, on ne peut pas en con-
clure qu'une variation se perd toutes les fois que le premier
terme passe par zéro, mais dans le passage de — oo à h-oo, on
perd n variations. Q„ a donc dû s'annuler n fois et, comme il
est du degré n, Q„=:o a toutes ses racines réelles.
Les théorèmes suivants se démontrent de la même façon.
2° La n'^'"'= dérivée de la fonction
est de la forme
(1 + ^2).
l'équation P„= o a toutes ses racines réelles.
= Uo + Ui a -}- U2 a2 -i- . ,
l'équation U„=o a toutes ses racines réelles.
4° La fi''"^" dérivée de e-^' est de la forme P,^e--^'; l'équa-
tion P„=o a toutes ses racines réelles. (Hermite.)
5«
, „ -3- a a^
u = (i — 2 a.r + a^ ) 2 = uq -t- «1 — h «■> — -t- . . . ;
I 1.2
les polynômes «0, «1, «2, • • • sont appelés polynômes de Le-
gendre. «„r=o a toutes ses racines réelles; on trouve, en
effet, en différentiant par rapport à a,
u — 3{.v — a)u'-h{i — 2aj7-i- oc^)[i"= o,
et en différentiant plusieurs fois de suite, puis en faisant a =r o,
i/„— (2// — i)j: 11,1-1 — (" — i)^««-2) "0=1, iii = x,
on peut terminer la suite à l'unité.
SÉPARATION DES RACINES. l85
Application du théorème de Sturm aux racines imaginaires.
110. On a vu plus haut que si, clans une équation à coeffi-
cients réels ou imaginaires
/( = ) = o,
on posait
:; = .r + } /,
elle se partageait en deux autres
A = o, B = o,
qui pouvaient être regardées comme les équations de deux
courbes dont les intersections étaient les points représentant
les racines de l'équation. Nous allons nous proposer de trou-
ver le nombre des points racines contenus dans un contour
fermé. Pour plus de simplicité, nous supposerons qu'il s'agisse
de trouver le nombre des racines contenues à l'intérieur d'un
cercle de rayon r et dont le centre a pour coordonnées a et h.
L'équation de ce cercle peut être remplacée par les deux
suivantes :
I — t- , -it
I + ;- ^ I -H r-
qui, par l'élimination de t, donnent l'équation du cercle.
La circonférence du cercle est parcourue dans un sens dé-
terminé quand on fait varier i de — ce à + oo. En vertu du
théorème de Cauchy, le nombre des points racines contenus
à l'intérieur du cercle est la moitié de la différence du nombre
de fois que AB passe du négatif au positif et du positif au né-
gatif. Ces nombres sont les mêmes que celui de changements
des variations que présentent A et B écrits l'un après l'autre,
ou des permanences qu'ils présentent.
Remplaçons maintenant x el y par leurs valeurs en t, et
multiplions A et B par un même facteur, de manière à les
changer en deux polynômes entiers en t et premiers entre
eux.
l86 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Opérons ensuite sur ces polynômes comme on l'a fait plus
haut sur/(jc) et/' (^), on obtiendra une série de polynômes.
Cherchons combien il se perd de variations dans cette suite
quand on fait varier ^ de — oo à + ce. Comme la suite ne peut
perdre de variations que par son premier terme, chaque
terme étant compris entre deux autres de signes contraires
quand il s'annule, le nombre de variations perdues donnera
la différence du nombre de fois que le produit des deux pre-
miers termes passera du négatif au positif et du positif au
négatif, et comme ces deux premiers termes ne diffèrent de
A et B que par un même facteur, leur produit a le signe de AB.
On voit ainsi que, pour chaque racine contenue à l'intérieur
du cercle, il se perd deux variations {ou il s'en gagne deux).
Séparation des racines réelles.
111. D'après ce que l'on a vu, il est facile de voir si, entre
deux nombres donnés, il y a un nombre pair ou impair de
racines réelles. Mais, avant de procéder au calcul numérique
des racines, il faut déterminer des intervalles qui ne com-
prennent qu'une racine. Il y a des cas particuliers où il est
très facile de séparer une racine; par exemple quand tous les
termes sont positifs, sauf le dernier, l'équation n'a qu'une ra-
cine positive, et celle-ci se trouve séparée. Si l'on remplace x
par I, lo, ICO, . . ., on peut déterminer deux de ces nombres
comprenant la racine; on peut ensuite resserrer les limites
jusqu'à ce que l'on ait renfermé la racine entre deux nombres
entiers; on abrège le nombre des essais en déterminant une
limite supérieure et une limite inférieure des racines.
Une méthode très sûre, mais très pénible pour la sépara-
tion des racines, a été donnée par Waring et, plus tard, par
Lagrange ; elle consiste à former l'équation aux carrés des
différences des racines et à déterminer une limite inférieure
de ses racines positives ; soit a cette limite ; entre deux racines
quelconques de l'équation proposée, on aura
SÉPARATION DES RACINES. 187
si l'on forme alors la suite
V' 3c, îs/^, 3 V' 2, ....
deux termes consécutifs de cette suite ne pourront com-
prendre plus d'une racine, car, s'il en était autrement, la
différence de deux racines serait moindre que s/ en.
Cette méthode suppose, bien entendu, l'équation débar-
rassée de ses racines multiples, sans quoi l'on trouverait
On peut, toutefois, modifier la méthode de manière à n'a-
voir besoin de connaître que le dernier terme de l'équation
aux carrés des différences; nous ne nous arrêterons pas da-
vantage sur cette méthode, parce que le théorème de Slurm
permet plus facilement la séparation des racines.
Pour séparer les racines, on forme la suite de Sturm et l'on
remplace x successivement par des valeurs entre lesquelles
on en intercale de nouvelles, jusqu'à ce que l'on parvienne à
deux valeurs telles que, en passant de l'une à l'autre, la suite
de Sturm ne perde plus qu'une variation. Les racines sont
ainsi complètement séparées, et l'on peut, par de simples
essais, resserrer l'intervalle comprenant une racine.
Exemple :
La suite de Sturm est
x'* -h x^ — 4 -f '■ — 4 -^
4.r3-h 3,r2— 8a: —4..
7 j-' -4- 8 a: — 4
kx +5
+ 0C.
-t-
-1-
2.
-4-
-t-
— I.
-t-
-\-
0.
-)-
-1-
+ I.
-+-
+ 2.
-t-
-f-
+
-t-
Ce Tableau montre que, dans le passage de — 2 à — i, de
o à I, de I à 2, il se perd respectivement 2, i et i variations;
l'équation a donc quatre racines réelles, les racines positives
se trouvent séparées; pour séparer celles qui sont comprises
l88 TROISlÈMi: PARTIK. — CHAPITRE I.
3
entre — 2 et — i, on fera œ = — - dans le premier membre
de l'équation proposée, et l'on obtiendra un résultat négatif:
il en résulte qu'une des racines négatives est comprise entre
— I et — 1 ,5, et l'autre entre — i ,5 et — 2.
Méthode de Fourier.
112. Le théorème de Sturm permet de séparer à coup sûr
les racines, mais les calculs auxquels conduit celte méthode
sont très prolixes. Une équation du sixième ou du septième
degré avec des coefficients très simples conduit ordinaire-
ment à des résultats contenant cinquante chiffres et plus;
aussi, dans la pratique, est-il souvent plus commode de faire
usage du théorème de Budan.
On se souvient que la suite de Budan est
/(.r), /'(.f), /"(.r), ...,
et l'on fait usage de cette suite comme de celle de Sturm;
mais le nombre des variations perdues ne donne qu'une limite
supérieure des racines comprises dans l'intervalle correspon-
dant. Ainsi il peut se perdre deux variations quand un terme
intermédiaire de la suite s'annule, sans pour cela que /{x)
passe par zéro; cela arrive quand le terme nul est placé entre
deux autres de même signe. Comme en passant de — 00 à
-f-00 on perd /^ variations quand l'équation est de degré n,
l'équation a deux racines imaginaires toutes les fois qu'il se
perd deux variations par suite du passage par zéro d'une des
fonctions /' {x), f"{x) On peut donc conclure de là que
si, X variant de a à b, la suite de Budan ne perd pas de varia-
tions, l'équation n'a pas de racine comprise entre a et è et
que, si elle en perd une, il y a une racine entre a et b. Si elle
en perd deux, ou bien l'équation a deux racines imaginaires,
ou bien elle a deux racines réelles comprises entre a et b.
113. Supposons que l'on ait trouvé un intervalle dans
lequel il se perde deux variations, et cela entre les trois pre-
SÉPARATION DES RACINES. 1 89
miers termes; alors, en supposant/(j:) positif pour les deux
limites oc et [3 ([3 > a), on aura
/(^), /'(^), /"(«), /(?), /'(P), nn
Si nous supposons qu'il ne se soit pas perdu de variations
dans le reste de la suite, /"(a^) =o n'a pas de racine entre a
et ^.f"{x) est donc toujours positif dans l'intervalle; si/(x)
reste également positif, la perte de deux variations doit indi-
quer l'existence de deux racines imaginaires. Des considéra-
tions géométriques vont nous permettre de nous rendre
compte de ce qui arrive en général.
Comme les intersections de la courbe
avec l'axe des x donnent les racines de l'équation /(^) = o,
il s'agit de trouver si entre a; = a et ^ = |3 il existe deux ou
zéro points d'intersection. Comme f {x) change de signe
tandis que/"(^) conserve son signe dans l'intervalle consi-
déré, il doit y avoir dans cet intervalle un minimum et la
concavité est tournée vers le haut; les deux cas sont repré-
sentés par les Jig. 7 et 8.
Fi-.
Fig.
La première correspond au cas où il y a deux racines ima-
ginaires, la seconde au cas où il y a deux racines réelles. Si
les tangentes aux points limites se coupent au-dessus de
l'axe des x, il y a nécessairement des racines imaginaires,
mais la réciproque n'est pas vraie. On peut seulement dire
igO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
qu'il y a des racines imaginaires si
ATi-f-TB^AB,
ou
Je répète que, de ce que les tangentes ne se coupent pas
au-dessus de l'axe des x, il ne faut pas conclure à l'existence
des racines réelles, mais on voit que, si les racines sont ima-
ginaires, on pourra toujours rapprocher les limites a et (3
pour que l'intersection des tangentes ait lieu au-dessus de
l'axe des x. On resserrera alors l'intervalle compris entre y.
et (3 jusqu'à ce que la relation (i) soit satisfaite, ou jusqu'à
ce que la perte de deux variations soit remplacée par la perte
d'une variation; dans le premier cas, on est en présence de
deux racines imaginaires; dans le second, on est en présence
de deux racines réelles.
114. Maintenant, nous allons examiner le cas où, dans le
passage de a à [3, la série perd d variations.
Laissons de côté le terme f{x), c'est-à-dire considérons
f'{x) :=o comme l'équation donnée, alors on perdra d^ varia-
lions; en considérant/"(a^) = G comme l'équation donnée,
on en perdra d^, etc. Deux d consécutifs sont alors égaux ou
différents d'une unité, Fourier appelle dp l'indice de f-p^ix).
Maintenant, considérons le premier indice de la série qui
a pour valeur i ; soit dp cet indice, f^P''{x) -=o a. alors une
racine entre oc et (3; l'indice précédent doit être 2, car, s'il était
égal à zéro, il devrait y avoir un indice antérieur égal à i;
l'indice suivant peut être 2, i ou o; s'il est 2 ou i, on peut
toujours subdiviser l'intervalle, de telle sorte que l'intervalle
qui contient la racine de f^p''{x)=zo ne contienne pas de
racine de/<^'"'"''(^) ^ o; pour les autres intervalles, on a
d, = o,
et le premier indice i est à chercher plus à gauche dans la
SÉPARATION DES RACINES. IQr
suite; donc on n'a besoin de considérer que le cas où
dp^i = '2, dj, = I , dp+i = o ;
ce cas est celui que nous avons examiné (113), et l'on peut
décider si les racines de
f<p-i){x) = o
sont réelles ou imaginaires; si elles sont réelles, on peut
scinder l'intervalle en deux autres, contenant chacun une
racine et, comme chacun a l'indice i, on peut continuer de la
même façon ; si elles sont imaginaires, les deux variations
doivent être perdues et quand une fonction suivante s'an-
nule elle doit se trouver entre deux autres de même signe.
L'équation proposée doit donc aussi avoir deux racines ima-
ginaires; si l'on en fait abstraction, on peut retrancher 2 de
chacun des indices de la partie de la suite qui reste à étudier.
Si l'on continue de celte manière, on peut rejeter le premier
indice i vers un terme moins avancé dans la suite, et, quand
on l'a ramené jusqu'au premier terme, la racine est séparée.
Exemple :
x^ — j .r* — 1 6 ^3 -t- -}- 1 2 ./:- — 9 X — 5 = o.
On a
f{x) = .r» — 5x'' — i6j:3-f- 12^2 — g,^; — 5^
f (x) = 5>r^ — 20 x^ — 48"C2-i- 24 >r — 9,
y f" i-r) = 5x^—i5x-—2^x -{-6,
4
— f"'( X ) — 5 X- — I o .r — 8 .
12 '
la limite supérieure des racines est 8. Dans l'intervalle o, 8
on perd trois variations; deux de o à i, une de 7 à 8. Il y a
donc une racine entre 7 et 8 qui se trouve séparée. L'inter-
192 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
valle de o à I doit être examiné de plus près; les signes de la
suite sont
Pour X = o : -I-— H,
» .X = 1: — — — — — -+-,
si l'on regarde o comme négatif; alors on a
f/j = 2, di = i, (fs = o,
et
f'(i) /'(o) ^3 3
/"(O /"(O) 7 8 ^ '
il faut alors resserrer les limites; on pose ^—- et l'on a les
les variations se perdent donc de o à -; on trouve alors
d'où il résulte que les deux racines sont imaginaires. L'équa-
tion a encore deux racines négatives, l'une entre — 3 et — 2,
l'autre entre — i et o.
115. Les racines imaginaires peuvent être séparées par la
méthode donnée (110), ou encore en remplaçant le cercle
par deux parallèles à l'axe des y, qui servent à séparer les
parties réelles, ou par deux parallèles à l'axe des a:, qui ser-
vent à séparer les coefficients de i.
Théorème de Newton.
116, Newton a énoncé sans démonstration un théorème
établi plus tard par Sylvester et généralisé par lui et qui cor-
rige les indications du théorème de Budan, relatif au nombre
des racines comprises entre deux limites données.
SÉPARATIOX DES HACINES. igS
On considère une seconde suite dont tous les termes sont
conjugués deux à deux avec celle de Budan. Lorsque dans la
série de Budan on a une variation, les termes de la série con-
juguée formant une permanence, nous dirons que nous avons
une variation-permanence et nous désignerons celte circon-
stance par le symbole V-P; l'équation f{a:) — o étant de
degré n, les deux suites sont
]f\-^\ [f"(.v)r—/c,f'(.v)f"'{.r),
fi'\x), [/(/')(.r)]2- A>f /-»(,r)/(/^+i)(^-),
(I)
OÙ
^ ' 'il — p
Pour abréger, nous désignerons/'^) (^) par/,.
Nous allons étudier les changements des V-P que l'on ren-
contre dans la double suite quand on fait croître x\ il faut
remarquer que
(3) .^_/,-^= ' .
Nous supposerons d'abord que deux termes consécutifs ne
s'annulent pas en même temjjs.
Le nombre des V-P ne peut changer que quand un terme
de l'une des deux suites passe par zéro.
Supposons que ce soit le cas pour/^, le changement s'opé-
rera entre les termes
Jl>1 J p 'V' Jp-ljp-i-ll
Jp+ll Jp+l '^p+ljp Jp+i'l
pour/p = o les signes des termes de la seconde suite sont
Si le signe du milieu est 4- on a une V-P, c'esl-à-dire si /,,_i et
P. i3
194 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
fp^x sont de signes contraires; dans ce cas, dans la première
suite, il y a une variation et une permanence, de sorte que,
dans les trois paires de termes, il y a une V-P avant comme
après l'annulation de/,,.
Ceci n'a plus lieu quand c'est /(x) qui s'annule ; dans la
première suite une variation se change en permanence et
les deux premiers termes de la seconde série sont positifs et
forment une permanence; donc, en tout cas, il se perdra
une V-P quand x passera par une racine de f{x)^zo, pen-
dant qu'il ne se produit aucun changement dans les V-P
quand un autre terme de la première suite s'annule.
Il reste encore à chercher si le nombre des V-P peut chan-
ger quand les termes de la seconde suite s'annulent. La dé-
rivée de/;, — ki,fp.Ji,^x — lp est
(2 — kp )Jpfp-^i — /.p //,_i/p+2 ;
pour T„ = 0, on a
II
et comme
on peut mettre les dérivées sous la forme
I f
7. f~^ (fp+i — l'^:>+ifp.fi>+i)^
OÙ la quantité entre parenthèses est le terme suivant T/,+,
de la suite; on voit ainsi que si x reçoit un accroissement
infiniment petit h à partir de la valeur qui annule 1 p, T,,
reçoit lui-même un accroissement qui a le signe de
(4) {-^Tp^.h.
Tp ne peut changer de signe que si /p_i et /p+i sont de
mêmes signes. Si donc on a une V-P, fp doit avoir un signe
opposé à ceuxde/p+i et/p_i. La première suite présente alors
les signes
-4- — -!- OU — 4- —,
SÉI'AUATION DES RACINES. IQO
f
de sorte que -j-^— esl négatif et T^, a le signe de
—Tp+i/i.
Pour une valeur négative de h, c'est-à-dire avant le passage
de Tp par zéro, T^ et T^+i forment une permanence qui, pour
h positif, se change en variation; dans ce cas, il se perd une
V-P; quand Tp_i a même signe que Tp+,, il se perd aussi
une permanence entre T/,_i et T;„ et, dans le cas contraire, il
s'en gagne une. On perd ainsi une V-P chaque fois que l'on
passe par une racine def(x)=zo; il s'en perd deux toutes les
fois qu'un terme de la seconde série passe par zéro quand il
est compris entre deux autres de même signe, pendant que le
terme correspondant de la première série forme avec le pré-
cédent et le suivant une variation.
117. Nous avons supposé que deux termes consécutifs ne
pouvaient pas s'annuler en même temps; s'il en était ainsi,
les coefficients de/(^) devraient satisfaire à une équation de
condition; alors, en changeant infiniment peu les coeffi-
cients, on pourrait ramener ce cas au précédent.
Ce changement n'altère pas les signes des termes des deux
suites, pourvu que les valeurs limites de x n'annulent aucun
terme. Un changement infiniment petit dans les coefficients
ne peut altérer le nombre des racines contenues dans un
intervalle donné, si, bien entendu, les valeurs limites ne sont
pas racines; la méthode, même dans le cas qui nous occupe,
fera connaître une limite supérieure du nombre des racines.
Il reste encore à examiner le cas où. f{x), f {x), ...,
/■(/^-''(j7), f'-p^{x) s'annulent : c'est le cas où p + 1 racines
sont égales. On trouve alors, comme à propos du théorème
de Budan, que la première suite perd/? variations; supposons
/p4_i positif; la première suite
/(.r), f'{x). ..., f'P-^Ux), fpU.r), /(/'+i'(.r)
passe de
ig6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
La seconde série n'a pour x — Ju dans ses p + i premiers
termes, que des permanences. Soit
l'un des termes; pour x — h, on a
//P—r-hl lip—r-rl
f, = =//,+! ^— — -— -, ; /,_, = -f,,^, _____;
hP~''
de sorte que le signe de ce terme sera le même que celui de
1 1^
ou de
p — r-T-2 /i — r-i-i
p — r -r- i II — r
Cette dernière expression est positive, car n >/>, et cela quel
que soit ;•. Les deux suites commencent donc pour x — h
par/? V-P, qui se perdent toutes quand on franchit les p ra-
cines; le théorème subsiste donc dans le cas où il y a des
racines multiples.
118. En ce qui concerne kp, nous n'avons utilisé que la rela-
tion
2 — kp = j ,
et nous avons supposé kp positif; ces conditions sont rem-
plies si
_ w - p ^- I
hp — >
m — p
OÙ m> n; quand m croît indéfiniment, cette valeur de kp se
réduit à l'unité.
SÉPARATION DES RACINES. I97
Exemple :
f (x) = .rS— 3x'*+ 2.r5 — 8x^-+ 3,r — 25 = o,
f (x)=5x'* — \2x^-h 6x- — iQ>x -h 3,
f" (x) = 2o.r3— SG.r^H- [2.r — 16,
/'" (x) = 60X- ~-2X -+- 12,
/'"(x) = I20X 72,
r (.r) = i2o.
Les racines sont comprises entre zéro et 4; pour ^=ro
on a
— 25 -1-3 — i6 -f- 12 — 72 -i- 120
_i_ _ ^- _ + -i-
où les signes placés sur la seconde ligne sont ceux des T;
pour a; = ^, la première suite ne présente que des perma-
nences, et il n'y a pas besoin de déterminer ceux de la se-
conde. Pour ic = o, on a une V-P; pour ^=: 4, on n'en a pas;
l'équation a donc une racine réelle et quatre racines imagi-
naires.
119. Dans ce qui précède, on a considéré les V-P perdues
pour déterminer le nombre des racines par lesquelles on
passe. Sylvester a pris les P-P ou doubles permanences en
considération; quand un terme /p de la première suite, com-
pris entre deux autres de signes contraires, s'annule, les
trois termes correspondants de la seconde suite sont positifs,
en sorte que une V-P et une P-P changent de place. Si les
deux termes qui comprennent celui qui s'annule ont le même
signe, les trois termes correspondants de la seconde suite
formeront deux variations, de sorte que, dans ce cas, il est
encore indifférent de considérer les V-P ou les P-P.
Quand c'est Tp qui change de signe, fp-i et fp+i ont le
même signe, de telle sorte que la première suite a deux va-
riations ou deux permanences. Si Tp_i et Tp+i ont des signes
différents, l'ordre seul se trouve modifié : il ne reste donc
plus à examiner que le cas 011, Tp passant par zéro, Tp_i et T^+t
sont de mêmes signes.
igS TROISIÈME PARTIi:. — CHAPITRi: I.
Dans le cas où la première suite présente deux perma-
nences, (4) montre que T^, après s'être annulé, prend le
signe de Tp+ii alors deux P-V se changent en P-P.
Dans le cas oij la première suite présente deux variations,
(4) montre que, dans la seconde suite, deux permanences se
changent en variations ; dans ce cas, deux V-P se changent
en V-V; on peut donc étendre comme il suit le théorème
démontré plus haut :
Quand x croit, en passant par une racine de l'équation
donnée, on gagne une P-P ; quand x annule un ternie de la
seconde suite compris entre deux de même signe, et quand, de
plus, les termes correspondants de la première suite présen-
tent deux permanences, on gagne deux P-P.
120. De cette manière, on a donc deux limites supérieures
du nombre des racines réelles, et l'on peut choisir entre
celles-ci la moins élevée; c'est ce que l'on voit sur l'exemple
traité ci-dessus; pour ^ = o, on n'a pas de P-P, tandis que
pour ^ = 4 on en a cinq; ici le théorème de Sylvester donne
cinq racines, tandis que, sous la nouvelle forme que nous
avons donnée, il en donne une.
Pour déterminer le nombre des racines réelles d'une équa-
tion, on peut faire ^ = — oo et a? = -h co ; il faut alors, dans la
seconde suite, déterminer les plus forts exposants de chaque
terme; sans s'arrêter aux calculs nécessaires pour cela, on
remarquera que, dans T^, les deux termes avec l'exposant le
plus élevé s'évanouissent, de sorte que le terme utile à consi-
dérer contient un exposant pair; en laissant de côté un fac-
teur positif, le coefficient de ce terme sera
(6) «1-,^— r«2,
l'équation étant
(7) f{x) = xn + aixn-i-{-aix"-'^ + ...=
Si donc on avait
SÉPARATION DES RACINES. IQQ
tous les signes de la seconde suite seraient + pour œ = cc
comme pour ^=— oc; si
in
ai < (72,
ils seraient —, à l'exception du premier et du dernier, qui
seraient +. Dans le premier cas, on gagne n P-P ou l'on
perd n Y-P, et la méthode ne donne aucun renseignement;
dans le second cas, la méthode montre que l'équation a deux
racines imaginaires : la méthode ne peut déceler que la pré-
sence de deux pareilles racines; pour obtenir un meilleur
résultat, il faut partager l'intervalle et, pour chacun des nou-
veaux intervalles, appliquer le théorème en choisissant la plus
petite limite qu'il fournit pour le nombre de racines réelles.
Pour ^ = o, on tire de (7)
il en résulte
T/, = ipiy- al _p — '' ~^ ' (p - I ) ! ( p -M ) ! «„_/,_, aa-,,+u
ou, en écartant le facteur positif (/>!)-,
T„-r/B.
p -^ i n — p -+-
P " —P
formule valable pour tous les termes, sauf pour le premier et
le dernier, qui sont positifs.
C'est le seul cas considéré par Newton et pour lequel il a
donné son théorème sans démonstration; les deux suites sont
alors, en écrivant les termes dans un ordre inverse,
-H, «1, «2, «3>
in , '\(n — i) „ Un — a)
-H, ai — - a-i, al ciiCi^, «3 TT 5-'^'!2«4,
n — I %{n—i) •* 3(/z — 3)
Admettons que l'on ait ici q P-P. Pour jr=r — 00, on n'a pas
de P-P; donc l'équation n'a pas plus de racines négatives
que les deux suites n'ont de P-P(^). Admettons que les deux
suites aient q^ V-P ; pour x^=-\-cc, on n'a pas de V-P : donc
200 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
l'équation n'a pas plus de racines positives que les deux suites
n'ont de V-P (^i); et l'on peut encore dire que l'équation a
au moins autant de racines imaginaires que la seconde suite
a de variations {n — q ■ — ^, ).
Newton, en utilisant les P-P pour les valeurs négatives de
a; et les V-P pour les valeurs positives, obtient une meilleure
estimation que Sylvester pour la limite supérieure du nombre
des racines réelles. Dans l'exemple traité plus baut, le Ibéo-
réme de Newton montre qu'il n'y a pas plus d'une racine po-
sitive, tandis que le théorème de Sylvester, qui n'emploie que
les P-P, montre qu'il ne peut en exister plus de cinq. C'est
la même limite que donnerait l'application du théorème de
Descartes.
Généralisation du théorème de Descartes.
121. Dans ce qui va suivre, nous allons donner une mé-
thode nouvelle qui montre comment, par des considérations
toutes différentes, on peut arriver à déterminer une limite du
nombre des racines, et qui remplace avec avantage la précé-
dente. Seulement, dans quelques cas particuliers, elle se
montre inférieure à celle de Newton, mais elle s'applique
avec plus de facilité.
Quand nous avons démontré le théorème de Descartes,
nous avons vu que, en introduisant dans l'équation une ra-
cine positive, on augmentait au moins d'une unité le nombre
des variations. Si la multiplication par ce — a introduit plus
d'une variation, elle diminue le nombre des permanences, et
l'on obtient une détermination plus précise du nombre des
racines négatives, le nombre de ces racines n'étant pas aug-
menté par l'introduction d'une racine positive.
Soit ap le premier coefficient négatif; l'équation obtenue
en multipliant par a: — a présentera, à certaines places, les
mêmes signes que les termes de l'équation proposée, si l'on
écrit les termes les uns au-dessous des autres, et l'on peut
se demander si l'on peut choisir a de telle sorte que des per-
manences se changent en variations.
SÉPARATION DES RACINES. 20I
La multiplication de
(i) x" ^ Oix'^-^ -^ a.2X"-^-[- . . .-h ap-xxn-P+^ — a,,xn-P .. .
par X — a donne
(2) JC«+'4- (r/i — r/).c"+ . . . + («/,-i - 'xa,,.-i)x'^-P+^—mx"'-P+'^ ...,
OÙ m est positif; maintenant posons
(3) ^=/.v,
les signes, dans la nouvelle équation, seront ceux de
I, 7.1 — a, h-i — a, ..., I< p-i — a, — ....
Soit a^j le premier coefficient positif après — ap\ soit — a,
le premier coefficient négatif qui suit, etc., les signes des
termes suivants seront ceux, de
a — /.-,-
Dans le cas où les quotients A- qui entrent dans chaque
groupe sont décroissants, la valeur de a est indifférente; on
peut alors déplacer les variations, mais non augmenter leur
nombre; dans le cas contraire, il existe une valeur de a com-
prise entre la plus grande et la plus petite valeur de k d'un
groupe qui augmente le nombre des variations; on peut dé-
terminer facilement la valeur de a qui transforme le plus
grand nombre possible de permanences en variations; la nou-
velle équation peut être traitée comme la première, et ainsi
de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à une équation où les
quotients k sont tous décroissants dans chaque groupe. La
limite du nombre des racines positives se déterminera de
même façon en changeant ^ en — x.
, a — A>+i,
a — /.7,-H2,
, Vi-a,
/'Vy+2— «,
, a-Av^,,
a-A,.+2,
202 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I. — SÉPARATION DES RACINES.
Exemple :
x^-\- j:" -f- 4 .r^ -f- 8 x^ — x'* — j x^ — iix'^-\-\5ïx — 45o = o,
29.
les nombres précédents donnentles valeurs des k; si l'on fait
« = 3, les trois permanences se changent en variations, et
l'on n'obtient que des permanences dans
— 4 .r6 — 25 x'^ — ^x'* — x^ + . . .
"^ 1 L
4 25 4
et l'on a le nouveau groupe de signes
25 4 I
4 2J 4
de sorte que, pour
4 25
on n'a plus qu'une permanence; l'équation n'a qu'une racine
négative.
Le théorème de Newton donne
ainsi on a trois P-P. Pour trouver le nombre des racines
positives, on change oc en — ^ et l'on a
x^ — .r" -+- 4 x^ — 8 x^ — x'*-\-'] x^ — l'iX' — 132^' — 43" = o ;
dans les dernières permanences, les quotients A- vont en di-
minuant, et la multiplication ne peut faire disparaître de
permanences. L'équation a donc une ou trois racines positives,
ce que nous apprend aussi la méthode de Newton.
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2o3
CHAPITRE IL
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.
Calcul des racines commensurahles.
122. Une équalion à coefficienls fractionnaires peut tou-
jours, comme on l'a vu (42), être remplacée par une autre à
coefficients entiers, le premier terme ayant pour coefficient
l'unité. Dans la suite nous supposerons toujours qu'il en est
ainsi.
Une équation à coefficients entiers et dont le premier terme
a pour coefficients l'unité ne saurait avoir de racines frac-
tionnaires.
Soit l'équation
(l) j:« + ri'i.r'^-i-|-«2.r"---4-. . .-^o,i = o.
Si la fraction irréductible - pouvait être racine de cette équa-
tion, on aurait
ou
— = — (aijyi-'i -{- a^p'^-- q -i- . . .-4- rt;,,f/«-i ),
ce qui est impossible, vu que le premier membre est une
fraction irréductible, tandis que le second membre est
entier.
204 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
123. Si l'on veut alors calculer les racines rationnelles
d'une équation, on peut d'abord la mettre sous une forme
telle qu'elle n'ait plus que des coefficients entiers; le pre-
mier étant égal à i , elle n'a plus en fait de racines rationnelles
que des racines entières, et nous allons montrer comment on
peut déterminer ces dernières.
Soit (i) l'équation donnée et t une racine entière, on a
^''-f-rti^'-i-f- r/-2;"-2-+-. . .4- a„_2r--t- an-vt + fin = o;
il faut remarquer tout d'abord que t est un diviseur de a,^;
on essayera donc les diviseurs de a^, et si aucun d'eux n'est
racine, l'équation proposée n'a pas de racine entière.
Pour essayer le nombre t, on divisera l'équation précé-
dente par t et, si l'on fait «„ = tq^-i, on aura
rtii"-2-)- rt.,^'-3.
«„_i ^ fJa-\
d'où il résulte que a„_i -i- q,i-x doit être divisible par t-, appe-
lons q,i-2 le quotient, on voit de même que «„_, -^ ^«-2 doit
être divisible par t, et finalement on a
1-4- go = o.
Dès que dans le courant des opérations un quotient ^ devient
fractionnaire, le nombre t essayé ne peut être racine. Au
contraire, si tous les coefficients sont entiers et si l'on ter-
mine par ^0 = — ij le nombre essayé est racine et le premier
membre de l'équation, débarrassé du facteur linéaire cor-
respondant à cette racine, est
xn-r _ ryi ,/;«-2 _ q,xn-i — .. . — 7„_i,
car, en multipliant le polynôme par ^— ^ on trouve
et comme
ou
tqp-x-qp^cip,
CALCUL DES KACINES DES ÉQUATIO.XS NUMÉRIQUES. 2o5
on retrouve le premier membre de (i). L'exemple suivant
rendra évidente la marche des calculs.
Exemple :
x"^ — 47-^'^-+- 4^3x3 — i4oj:2-4-i2i3.r -\- ^10 = o.
Essayons, par exemple, le noml^re 3, on aura
. . . — ï^ox^ -+- I2i3 x -I- 420
45i i4o
3ii i353
3 ne divise pas 3n et ne peut être racine; essayons 12, on a
I —47 423 —140 i2i3 420
— I 35 — 3 104 35
o — 12 420 — 36 1248
12 est racine et l'équation divisée par ^ — 12 donne
x'* — 35^:3 4- 3.^2 — io4.r — 35 = o;
en essayant œ = 35, on a
1—35 3 — 104 — 35
— I o — 3 — 1
— 35 o — io5
et l'on arrive à l'équation
j;3 -h 3^ + 1 = o
qui n'a plus de racines rationnelles.
Pour diminuer le nombre des essais infructueux, il faut
déterminer les limites des racines ; on diminue ainsi le
nombre des facteurs de a^ à essayer en éliminant ceux qui
sont compris en dehors des limites. Il faut ensuite observer
que, sif{.x) est divisible par x — t, les nombres
t—l' t -{- l t — 2 t ^ -2 '
doivent être entiers; les nombres les plus petits — i, +1,
206 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
substitués dans l'équation, donnent /(i), /(— i) et, dans
l'exemple précédent, on a
/(-i)=:-i4o4; /(i) = i87o.
Il n'est donc pas nécessaire d'essayer le nombre lo, car
i4o4 n'est pas divisible par ii; il faut essayer, au contraire,
— lo parce que i4o4 est divisible par 9 et 1870 par 11; on a
/(a) = 49^0
qui n'est pas divisible par 12. On voit alors que —10 n'est
pas racine.
Interpolation.
124. Lorsque l'on a séparé les racines d'une équation, il
est nécessaire de rapprocher, autant que possible, les limites
qui comprennent cette racine, avant d'appliquer les méthodes
d'approximation. On arrive à ce résultat en substituant des
valeurs intermédiaires dans f{oc), et l'on peut continuer
ainsi jusqu'à ce que l'on ait repéré les racines entre des
limites aussi rapprochées que l'on veut.
Bien que cette méthode soit théoriquement assez simple,
elle ne laisse pas que d'être très pénible en pratique, et l'on
suit une autre voie qui permet d'arriver plus facilement au
but.
125. Différences cV une fonction. — Soit
UQi "i, Un.
une suite de quantités déterminées d'une manière quel-
conque; si l'on pose
(l) Un+x — lln= ^Ihi-,
^Un est ce que l'on appelle la première différence de u,i;
on construit d'une manière analogue la seconde, la troisième
différence, etc. Ainsi
{ y-Un-i-i — ^-i'n= A3</„. etc.;
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2O7
on en déduit
A2«„ = \ll„+i — \Un
= 11,1+1. — lln+l — Un+i -f- ««
= ^<,^^-2 — 2/<„^.l + ?<„,
= /<,j + 3 — 3«„ + 2+ 3?/„^-i ll„ ;
comme on voit, les coefficients sont ceux des puissances de
a — 6 et l'on a en général
(3) \Pl/n - «/.+,. - ^ ».+p-l+^'^^^~'^ ?/,,+„_2--. . .+ (-I)/'?/,,,
et Ton voit que les dllférences peuvent s'exprimer en fonc-
tion des fermes de la suite Uo, u^, Réciproquement, les
termes de la suite peuvent s'exprimer à l'aide des différences.
On a, en effet,
d'où
mais
donc
De même
?<2 = Ui -+- A«,,
«2 = «o-t- 2A«o-+- A-//,,.
= «0+ 2AMo-r- A2«o-|- A?/o+ .^ A^ Wq + A'' «0
= «0-+- 3Az<o+ A^Sz/o-H A3//0,
et l'on voit que les coefficients sont ceux des puissances de
a ^- b. On a ainsi, en général.
(4) ///, = ?/oH- - A?<o+ — ^^ A^i/o-}-..
AP?<o.
126. Différences des fonctions entières. — Soit
(5) u = f{x) — aox" -h o,x«-i + . ..
2o8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I!.
une fonction entière de x, dans laquelle on donnera à x suc-
cessivement les valeurs
j"o ; ^0 -i- ''^ ! x^-\- i}i\ ... ; .2-0 -^ nli:
soient
llQ, Ui, «2, •••, Un
les valeurs correspondantes de ii.
On a alors
(6) ^u =f{x + /i)-f{x) = «r/oX«-i/i ^. . .
et il en résulte que Au est de degré inférieur d'une unité au
degré de u; A^m est de degré inférieur de deux unités et a
pour premier terme n{n — \)a^x'^-^'h'^, etc.; il en résulte
que lorsqu'une fonction est de degré n, sa n^^"^^ différence
est constante et
Les différences d'ordre supérieur sont nulles. Une suite dont
les différences d'ordre n sont constantes est une suite diffé-
rentielle d'ordre n.
Exemple :
[x) = x'*,
/l = l
; ^^0 =
Uq Ui
Il 2
Ils «4
i i6
8i
256 625
AUq lUi
\U2
A «3
i5 65
[JD
369
^^-Uo ^'
2«, A
2«2
5o I
10 1
94
A3«o
A3«,
6o
84
Ai
Uo
24
Les formules (4) et (3) donnent
?/5 = I -i- 5. i5 -+- 10. 5o -i- 10.60 + 5.24 = 1296 = 6^,
Ai?/o = I — 4.16 -f- 6.81 — 4.256 + 625 = 24.
CALCUL DES RACIXES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2O9
127. Substitution de valeurs équidistantes de x dans f{x).
— Si l'on veut calculer /(j?) pour des valeurs équidistantes
de X, on peut le faire pour n valeurs équidistantes de x et
obtenir les autres valeurs de/(^) au moyen de simples addi-
tions.
Supposons, par exemple, que la fonction donnée soit
u =^ x^ — 'ix -f- 6,
et que l'on désire en obtenir les valeurs pour j; = i, 2, 3, . . .;
alors si 0^0= i> pour
a: = I, x = 2, ,r = 3,
u lu l'^u l^u
2
2
4 126
14
18
Comme l'on sait, la dernière différence est 6. Pour A-u, le
calcul peut se faire en observant que les différences de deux
différences secondes est égale à 6; il suffira d'avoir une seule
différence première pour avoir toutes les autres quand on
connaîtra les différences secondes et, enfin, on aura toutes
les valeurs de « dès que Ton aura l'une d'elles ; il suffira donc
d'avoir calculé trois valeurs de u et d'en déduire directement
deux valeurs de A«, puis une de A.-u. On trouve ainsi, pour
6, 12, 18, ...,
puis, pour A«,
—4» 2,
puis, pour u,
6, 2, 4j 18, 5o, ...;
ainsi l'on trouve
/(o)=6, /(4)=5o.
128. Calcul de f{x) au moyen de ses valeurs pour n + i
valeurs équidistantes de x. — Si l'on écrit la formule (4)
P. i'.
32,
2J0 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
SOUS la forme
j ' I 1.2
^^^ j , ;.(p-l)...(p-/7H-i) ^^
l 1 . 2 . O . . . /Z
et si l'on y fait
puis si l'on y suppose Uo, Ai/^i ^'"o^ • ■ ■ remplacés par leurs
valeurs déduites de u=f{x), on a
I x — .ro S.iin ( x — .ro ) f .r — .tq— /i) A^ //„
1 ~ l /l 1.2 A^
( 8 ) '
^ ^ j _ (.r — .r») f.r — .rp — /Q . . . [.r — .rp — (n—i)//] \" it,
I ~^ I .2.3. . .« //«
Comme cette formule a lieu pour toutes les valeurs entières
de p, elle aura lieu aussi pour
X = ,ro, X = X(,-i- /i, Jc = Xo-h -î/i. . . . , X = Xq -i- /t/i.
Si l'on désigne le second membre par F(.r), on aura donc
f{x) = F(x)
pour n +1 valeurs de œ; comme celte équation est au plus
de degré n, c'est une identité; on a donc exprimé /(^) au
moyen de ses valeurs pour n -+- 1 valeurs équidistantes de ce,
et cela sous une forme qui est souvent utile.
Exemple. — Trouver une fonction du troisième degré pre-
nant pour œ^zzi, j?=2, x^?>, X =1 /^ les valeurs 5, ii, i3
et 2 1. On a
5 II 1 3 21
C 2 8
-4 +6
lO
ainsi
iio=5, A»o=6, A-«o = — 4) \^Uo = io, /' = ',
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 211
donc
f(x):= 5 -^ &(x - l) — 1(X — l) (X— 7.) -^ ^(x — l) {x —2) (x — 3).
129. Interpolation. — A l'aide du théorème précédent, on
peut résoudre la question que nous nous étions proposée, à
savoir de calculer des valeurs d'une fonction, pour des va-
leurs de ^ comprises entre celles pour lesquelles le calcul a
déjà été fait. Ordinairement, on partage /* en parties égales;
on pose, par exemple,
h = q/ii;
on a alors les valeurs de la fonction pour x = jCq-{- mh^ au
moyen de la formule (8)
où
m(m — q)(m-9.q) ... [w-(A-,)r/|
Si l'on pose, par exemple,
/. = >. h,= -L,
10
on a
(10) Aa= r, r^- •
1 .2.3 . . . Aïo^
Pour calculer/(a7o+ /«/il), on ne substitue pas les valeurs
de m dans A;^.; on se borne à calculer les différences de la
fonction correspondant au nouvel intervalle et, si on les dé-
signe parla caractéristique ô, on a
St'o = oAlA^/o-^ ôA2A2«o -i-SAjA^Wo -
O^Vq= O^Aîl-Uo-r-O-Asl^Uo-
o3t'o= o-^AsA^j/o-
car
0Ui,= O, o2Ai=o, 03A2=O, ...,
parce que «o» ^i' -■^2, • • • sont de degrés o, i, 2, ... en m res-
212 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
pectivemenl; on a, pour 7 = lo, w = o,
Al =—5 oAi = o,i,
10
, m(in — ]o) ^. ,- ,, .
A9= ;— J 0Ao=: 0,045, 02A->=0,OI.
1.2.102 ' '
. ini m — io)( m — 10) ^. „. ^„ .
A3= ^ ^ 5 0A3=O,O283, 02^3=— 0,009,
03A3= 0,001.
Dans la fonction considérée plus haut, on avait
i/o=5, A;<o=6, A2«Q = — 4, A3;/o=io;
alors
ot^o = 6.0, 1 -i- 4.0,045 -i- 10.0,0285 = I ,o65,
o^t^Q = — 4 -0,01 — 10.0,009 = — o, i3,
o3t'o= 10.0,001 = 0,01.
Les valeurs de la fonction pour
.r = i,i, A' = 1,2, ..., a.' = i,y
sont fournies par le Tableau :
X. u. Zu. 5=«. S' M.
1,0 5,000 i,o65 — o,i3 0,01
1,1 6,o65 0,935 — 0,12 0,01
1,2 7 , 000 o , 8 1 5 — o ,11 0,01
1,3 7,8i5 0,705 —0,10 0,01
1,4 8,520 o,6o5 —0,09 0,01
1,5 9)i'^5 o,5i5 — 0,08 0,01
1,6 9,640 0,435 — 0,07 0,01
1,7 10,075 o,365 — 0,06 0,01
1,8 10,440 o,3o5 — o,o5
1,9 10,745 0,255
2,0 Il ,000
Si l'on prolonge ce Tableau par le haut, on trouve que la
fonction s'annule pour une valeur de x comprise entre x = 0,6
et ^1=0,7.
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES.
Méthode d'approximation de Newton.
130. Supposons qu'une racine de/(^) = o soit séparée par
deux nombres voisins a et 6 où a < 6. Si l'on pose ^ := a, on
a une erreur jpj déterminée par l'équation
/(rt + .ri)=o OU o=f{ci)+f'{a)xi-\--f"{a)x\-+-...\
comme x^ est très petit, les termes en x\, œ\, . . . sont très
petits en comparaison de ceux qui contiennent x^. Newton
les néglige et pose
o=/(«)-+-/'(rt).ri, d'où .ri = — — — ;
d'où
On obtient ainsi une valeur approchée qui, en générai, sera
plus satisfaisante que la première; de celle-ci on en déduira
une autre par le même procédé, et ainsi de suite.
Exemple :
x^ — IX — 5 = o;
une racine est comprise entre 2 et 2,1, on a
f {x) = x^—%x — 5,
f{x) = 3^2_._^.
si l'on fait a^=.i, on a
— 1
X = 1 =2,1;
10
on a
/(2,i) = o,o6i; /'(2,i) = ii,23,
d'où
■r = 2, 1 — o,oo54 = 2,0946,
2 [4 TROISIÈME PARTIK. — CHAPITRE H.
et de là on déduit encore
/(2,o946)
.r = 2,0946— — 1-_ =2,0946 — 0,000048317
j (2,0946;
= 2,09455x483.
131. Défaut de la méthode. — La méthode de Newton est
d'une application assez simple, mais elle ne peut pas toujours
être employée avec certitude, parce qu'il peut arriver que
l'erreur, au lieu de s'atténuer, aille en grossissant. On s'en
rend compte au moyen d'une représentation géométrique; on
doit déterminer l'intersection de la courbe y=f{a;) avec
l'axe des œ. On a trouvé un point dans le voisinage du point
Fig. 9. . Fig. 10.
d'intersection, qui a pour abscisse a; la méthode de Newton
revient à remplacer la courbe par sa tangente au point qui a
pour abscisse a; cette tangente a, en effet, pour équation
j-f(a)=f'{a)(x-a),
et son intersection avec l'axe des œ s'obtient en faisant j = o ;
d'où
fia)
X = a — ,
./'(«)
ce qui est la formule de Newton; on voit que le point où la
tangente coupe l'axe des x peut être plus éloigné du point
cherché que le point d'où l'on est parti. Pour cette raison
(Fourier, Housel, etc.), on a cherché à perfectionner la mé-
thode de manière à approcher constamment de la racine cher-
chée. Pour arriver au but, il faut connaître une valeur appro-
chée par excès et une valeur approchée par défaut. Ce qui
suit va résulter des explications que nous venons de donner.
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 2l5
132. Nous supposerons l'équalion débarrassée de ses ra-
cines multiples. Nous supposerons, en outre, que f {oc) et
f"{^) ne soient pas nuls en même temps. On peut alors sup-
poser que les limites de la racine cherchée soient assez rap-
prochées pour que, entre ces limites, f'{x) et /"{a;) ne chan-
gent pas de signe. L'ordonnée de la courbe y=:f{x) est alors,
entre ces limites, toujours croissante ou toujours décroissante,
et sa concavité est toujours tournée du même côté; comme
f{x) change de signe dans l'intervalle, f{x) et f"{x) ont le
même signe à l'une des limites; si l'on part de cette limite,
la méthode de Newton fournira une valeur plus approchée,
ainsi que l'on peut s'en assurer à l'inspection des quatre
figures ci-dessous :
Fig. II. Fig. 12.
Fig. i3. Fig. il^
^
Dans la première et dans la dernière figure, /"(a?) est positif,
et l'on part de la limite pour laquelle f{x) est positif; dans
les deux autres, f"{a;) est négatif et l'on part de la limite pour
laquelle f{x) est négatif. Si l'on mène une sécante passant
par les points correspondants aux deux limites, cette sécante
coupe l'axe des x en un point qui, avec le point où la tan-
gente rencontre le même axe, fournit deux limites plus rap-
prochées entre lesquelles la racine se trouve comprise; la
sécante a pour équation
J-fi/') = - ^_^ (-^ - «),
et elle donne
-a fia)
-/(«)
y(^)-/(«) /'(«)•
2l6 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
OU
fU')=f{a)-^f'{a)—^ h/ («)— 777^ +•••>
m = -J"{a){b-a)-h^J"'{a){l> — a)'^ + ....
Si donc a et h sont deux limites telles que f{a) et f" {a)
soient de même signe
(Il = a -T,
./ («)
et
lji=z a —
/ {a)-^m
sont deux nouvelles limites plus approchées.
Exemple. — Nous avons considéré l'équalion
x^ — IX — 5 = o,
où
f{x) = x'^ — IX — 5; /'(^) = 3uC2 — 2; /"(.r) = 6.r.
Une racine est séparée par les limites 2 et 2, i ; on a
/('2)= — I, /(2, 0 = 0, 061
el/"(2, i) est positif.
«1 = 2,1 — o,oo54 = 2,0946,
, 0,061
(^1=2,'
Si l'on part de ces nouvelles limites, on trouve
«2 = 2,094551483,
^2= 2,0946 — 0,000048528 = 2,094551472.
Méthode de Lagrange.
133. Lorsqu'une racine se trouve séparée par deux entiers
consécutifs a et a + i, on peut poser
I
X ^=^ a-\
Xi
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 217
et former l'équation en x^ ; si la racine cherchée était néga-
tive, on changerait ^ en — r.
Si l'équation proposée n'a qu'une racine entre a et « + 1,
la transformée n'a qu'une racine supérieure à i ; celle-ci
pourra être séparée par deux entiers Z^ et 6 + 1, et l'on posera
X'^=h -\ — ^•
En poursuivant ainsi les calculs, on ohlient le développe-
ment de la racine en fraction continue
b
Si l'équation proposée avait plusieurs racines entre a et
a-t- 1, la transformée aurait plusieurs racines supérieures à i;
chacune d'elles donnerait lieu à un calcul analogue.
Exemple :
f{x) = x^— -ix — 5 = 0,
on pose
Xi
f{x) =/(.) + /'(a)i- 4- i/"(2) ^ + ^
= — H-io i-6^--l T>
Xi x\ X[
et la transformée
/i(,ri) = x\ — \ox\ — Ç>x^ — \ = o;
la racine positive de cette équation est comprise entre 10
et 11; on pose
^1 = 10 -(- — •
X2
On a
fi{x) = ^s_io,r2 — 6x — I, /i(io) = — 61,
f\ix) = 3x^—20x — 6, /i(io) = -f-94,
~fl{x) = 32X — IO, i/'|(io)= + 20,
2l8 TROISIEME PARTIE. — CHAPITRE H.
et la transformée est
— 6ixl-T- ç)^xl-\- lox^-T- 1 = o,
dont la racine positive est comprise entre i et 2.
La racine cherchée est comprise entre
2 H et 2 -H >
ou entre
I I 21
134. Cette méthode ne conduit que péniblement à une ap-
proximation convenable. Lagrange a montré comment on
pouvait simplifier la dernière partie du calcul; mais, comme
les calculs sont encore compliqués, malgré ce perfectionne-
ment, la méthode n'est pas avantageuse et, pour cette raison,
nous ne l'exposerons pas. Au contraire, nous montrerons que
cette méthode peut être remplacée par une autre plus avan-
tageuse en profitant de la forme particulière de l'équation
transformée.
Considérons l'équation trouvée plus haut
fi(xi ) = xl — io.rf — 6x1 — 1 = 0.
Si l'on développe en série récurrente une fraction dont le
dénominateur est/i(^), cette série passera de l'état de con-
vergence à l'état de divergence quand œ^ passera par la racine
cherchée et rendra la fraction infinie; développons alors
-fT—-, nous aurons
oi^i les coefficients sont liés par la relation
an= iort„_i-i- 6«„_2-!- a, 1-3;
on trouvera successivement, pour ces coefficients, les valeurs
I, 10, 106, 1121, ii856, I253g2, 1326177, ••••
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 210
En vertu d'un théorème de Cauchy, lorsque la série de con-
vergente devient divergente, le rapport d'un terme au précé-
dent passe par la valeur i; ce rapport est
de sorte que -^ tend vers — ; en faisant usage des deux
derniers coefficients calculés, on trouve
•r = 2 -I = 2,09 45 5i 48 15.
.ri
Si l'on calcule encore un coefficient, celui-ci et le précédent
fourniront une valeur de x qui a, avec celle que nous venons
de trouver, dix décimales communes.
135. Cette méthode revient, au fond, à celle que Daniel
Bernoulli a fait connaître; voici en quoi elle consiste :
Calculons les fonctions symétriques des racines
Si ^1 est la plus grande racine, pour une grande valeur de m,
s„i et s,„^i pourront être remplacées par leurs premiers termes
et l'on aura
^ m
En faisant usage de 5_,„ et 5_(„,^_i), on peut de même trouver
la plus petite racine.
Si l'on observe alors que
j:f'(x) Si s.,
—. = /z -+- - -H ^ -t- . . . ,
on voit que la méthode exposée plus haut coïncide avec celle
de Bernoulli quand on prend xf'{x) pour numérateur.
Cette remarque montre dans quel cas il sera avantageux
d'employer la méthode. Pour que tous les termes que l'on
220 TROISIÈME PARTIE. — CnAPITRE II.
néglige soient petits par rapport à ^'", il faut qu'il n'existe
pas de racine ayant une valeur absolue voisine de celle de œ^,
ni de racine imaginaire dont le module difîère peu de celui
de ^1. Si deux racines imaginaires ont un module maximum,
le rapport de deux sommes consécutives ne tendra vers au-
cune limite; si, par exemple, ces racines sont
r(cosO ± i siiiO),
on aura
s„i = 2 r'" cos /?i 0 + . . . ,
X/n+l = 2r'« + ' cos(w -H I ) 0 -t-. . .,
et, en négligeant les termes d'ordre inférieur,
s,n+\ _ cos(m + i)0
s,n cos m 6
m croissant indéfiniment, cette expression n'a pas de limite.
L'emploi des séries entières conduit aux mêmes conclusions.
Pour que l'on puisse appliquer la méthode avec succès, il
faut que l'on puisse mettre l'équation sous une forme telle
que les termes de l'échelle de relation aient le même signe
et décroissent assez rapidement ; la méthode pourra donc
s'appliquer concurremment avec la méthode de Lagrange
qui, en général, conduit rapidement à une équation transfor-
mée jouissant de la propriété requise.
136. Nous traiterons encore un exemple. L'équation
.1-3 — 7 j; H- 7 = O
a deux racines comprises entre i et 2 ; si l'on pose
^ = n >
.ri
on obtient la transformée
X] 4 '^'l -H SoTi -h I = O,
qui a une racine entre i et 2 et une autre entre 2 et 3; on
devra traiter chacune à son tour; en considérant la seconde
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 221
on posera
d'où l'on déduit
I
r| -+- X| — 2 ^2 — I = o,
qui a une racine positive entre i et 2; on posera
I
et l'on aura
xl— 3.r| — 4.r3 — I = o;
la racine positive de cette équation est comprise entre 4 et 5.
Posons enfin
on obtient la transformée
xl — 7.0x1 — 9.r4 — 1=0;
l'échelle de relation est
20, 9, I,
et, à l'aide de ces nombres, on forme les coefficients
I, 20, 409, 836i, 170921, 349078.
Si l'on pose
on a
Xr,=
349ÎO78
I 7092 I
2 -i-
I
[
4 +
Xi.
ou
^^19.3494078+4.1709^1^^33
14.3494078 + 3.170921
137. Après la méthode de Bernoulli, il convient de men-
tionner celle de Graffe. Elle consiste à poser ,3; = y/y et à faire
évanouir le radical; on obtient alors une équation dont les
222 TROISIÈME PARTIE. — CUAPITRE II.
racines sont les carrés des racines de la proposée; si l'on
continue de la sorte en calculant les coefficients par loga-
rithmes, si l'on finit par trouver une transformée dans la-
quelle les logarithmes des coefficients vont en doublant : c'est
un signe que les racines sont négligeables vis-à-vis de la plus
grande. Supposons, par exemple, que l'on ait élevé les racines
à la trente-deuxième puissance et que l'on ait obtenu l'équa-
tion
:^"-t-rti:;«-i-!- «2 -""- + • . . = o.
Si l'on pose
x-p = — ai,
en négligeant les termes d'ordre inférieur, on trouve les ra-
cines quand elles sont réelles, mais la présence des racines
imaginaires complique la question comme dans la méthode
de BernouUi; aussi n'entrons-nous pas dans plus de détails.
Méthode de Horner.
138. La méthode de Horner s'appuie sur ce fait que, étant
donnée une équation, on peut en déduire une autre dont les
racines sont égales à celles de la proposée, diminuées d'une
même quantité; la méthode tire son importance de la manière
même dont se fait la transformation, qui est assez simple.
Soit
J\.v) = o
l'équation donnée; pour diminuer les racines de a, on prend
pour nouvelle inconnue x — a cl l'on pose
fia:) =/(a + ^- - a) =/(a) +/'(a) (x - a) + Ç^ (■^- - '-^T-^-- •
-f- (x — 0.)"-= o.
On voit que /(a) est le reste de la division de/(j:) par
X — y., que /'(a) est le reste obtenu en divisant le quotient
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 223
par^r — a, etc.; par des divisions successives par ^ — a, on
obtient les termes successifs de l'équation transformée.
Pour effectuer la division par x — oc, on peut faire usage
de la méthode employée pour développer une fraction en sé-
rie, l'échelle de relation est a; si le dividende est
et le quotient
X — a
on a
h^= a(,. bi = Oi-h xbo, b^=^a^-\- olI^i, ..., b ,, = a p -\- 'x b ^^i
On a l'habitude de disposer les calculs comme on va l'indi-
quer à propos des racines de l'équation
3^5 _ j;3 4_ ^x--\-Sx 8=0,
en diminuant les racines de deux unités; on a, en n'écrivant
que les coefficients,
3 o — I -f-4 +5 -8
3 6 K 26 5- 106
3 12 35 96 249
3 18 71 238
3 9.4 119
3 30
l'équation transformée est ainsi
3^5-1- 3o,r^-i- 1 \<jx^-\- 238x2-1- 249^ -\- loG = o.
La multiplication par 2 (a) et l'addition ont été menées de
front; si l'on avait affaire à des nombres composés d'un plus
grand nombre de chiffres et qu'il fût impossible de faire les
opérations de tête, il serait bon d'écrire le produit ab,, au-
dessous de ttp+Y et d'ajouter comme on l'a fait dans l'exemple
que nous traitons un peu plus bas.
On fait usage de cette méthode pour trouver les chiffres de
la racine successivement. Supposons, par exemple, la racine
comprise entre 2 et 3; on diminuera les racines de deux
224 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
unités; on cherchera la première décimale de la racine : on
réduit pour cela l'équation à ses deux derniers termes; si
l'on trouve que cette décimale est 5, on diminuera les racines
de 0,5 et l'on continuera ainsi de suite; il peut arriver que,
en procédant ainsi, on trouve un chiffre trop fort pour la dé-
cimale cherchée; on en sera averti, parce que, dans l'équa-
tion transformée, la nouvelle racine est négative ; alors on
essaye un chiffre moins élevé; si l'on a trouvé un chiffre trop
faible, la suite du calcul ne tarde pas à mettre le fait en
évidence.
Comme exemple, nous reprendrons l'équation étudiée plus
haut
x^-
-7-^ + 7
= 0.
Cherchons la racine
comp
irise entre i,3 et 1
[,4; le calcul se
dispose ainsi :
'
0
I
—7
-6
+7
-Hl
I
2
—4
I
3
'
0,3
0,09
—0,903
3,3
—3,01
0,097
0,3
1,08
I
3,6
— ,93
0,3
I
3,9
La racine a été diminuée de i,3; le chiffre suivant est dé-
terminé par l'équation
1,93^ = 0,067, j: = o,o5;
on diminue alors la racine de o,o5
I
3,9
o,o5
-1,93
0, 1973
0,097
—0,086625
3,95
— 1,73 25
0,010375
o,o5
0 , 20
47oo
— 1,5325
o,o5
4,03
CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 225
les deux derniers termes donnent alors le chiffre 6; ainsi
4,o5
— 1,5325
0,010375
0,006
4,o5G
0,024336
— 1, 508164
—0,009048984
0,001326016
0,006
0,024372
4 ,062
—1,483792
0,006
4,068
d'où l'on déduit le chiffre suivant 8.
139. Lorsque l'on a ainsi trouvé quelques chiffres, on peut
trouver plusieurs des suivants par une méthode abrégée; on
voit, par exemple, que, pour trouver le chiffre 8, il n'est pas
nécessaire de faire usage des quatre dernières décimales des
deux dernières séries; on laisse de côté les deux derniers
chiffres de la première série et les chiffres correspondants
des séries suivantes.
Calcul des racines imaginaires.
140. Il a été prouvé (110) que l'on pouvait séparer les ra-
cines imaginaires en cherchant des limites pour les modules
et les arguments de ces racines, ou en cherchant des limites
entre lesquelles sont comprises la partie réelle et la partie
purement imaginaire. Ensuite, on peut utiliser la métliode
de Newton pour déterminer plus complètement les racines.
En général, le calcul présentera de grandes difficultés, car
l'on n'a pas de moyen commode pour s'assurer que l'on
approche effectivement de la racine; aussi vaut-il mieux em-
ployer un autre moyen, et l'on ramène la recherche des ra-
cines imaginaires à la recherche des racines réelles d'une
autre équation.
Soit
/(.r) = o
l'équation à résoudre: posons
P. i5
226 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
on a
équation qui se décompose en deux autres :
et
/(J) -/"0-) -^ +/"(/) pf^ — . . = o,
/'(/)-/"'(j)-;^+.f'(.r)^^
Si l'on élimine y entre ces deux équations, on obtient une
équation en z, où z n'entre qu'avec des exposants pairs et qui,
par conséquent, peut être abaissée. On déterminera, d'après
les méthodes exposées plus haut, les valeurs positives de z-;
on sait que les méthodes d'élimination permettent d'exprimer
y rationnellement en fonction de z; chaque valeur de z don-
nera une valeur correspondante de y, si nous supposons
l'équation donnée à coefficients réels et qu'une seule paire
de racines conjuguées ont la même partie imaginaire, en
sorte qu'à une valeur de z^ne correspond qu'une valeur dej;
si deux paires de racines ont la même partie imaginaire, une
équation du second degré donnera les valeurs correspon-
dantes de y, et ainsi de suite, conformément à ce qui a été
dit dans la théorie de l'élimination.
On comprendra mieux l'esprit de cette méthode en la con-
sidérant à un autre point de vue. Soient ^Tj et ^2 deux racines
conjuguées, et soit
lors
Jl= -(Xi-HJTî),
- (Xi -Co)-,
l'équation en z^ est donc, à un léger changement de variable
près, l'équation aux carrés des différences. Elle a une racine
négative correspondant à chaque couple de racines imagi-
CALCUL DES RACI.XES DES ÉQUATIONS .NOMÉRIQUES. 227
naires de la proposée, une racine réelle correspondant à une
combinaison de deux racines réelles, et une racine imaginaire
correspondant à chaque combinaison d'une racine réelle et
d'une racine imaginaire, ou de deux racines imaginaires non
conjuguées.
Exemple :
x'*-^ ax^-h ùx -h c = o,
on trouve
4/3 -4_ 2rt/ -h Z» — 4j:;2 = o,
et, en éliminant z-.
rB ■ «v.H-"^-4S. '' .
= 0,
^ -1^ ^ 16 ^ 04
•" 2 47
Pour
X'— X -+- \,
on a les deux équations
r'-|r'~ji=o, ='=j'
47
Si l'on pose
'-'=v
on a
i>^— ii> — 1 = 0,
ou, en diminuant de 2 les racines,
v\ -;- 6^1 -(- 8t'i — I := 0.
en faisant usage d'un développement en série récurrente,
l'échelle de relation est
8, 6, I,
228 TROISIÈME PARTIE. — CHAP. H. — CALCUL DES RACINES, ETC.
et l'on trouve
I, 8, 70, 60g, 53oo, 46i'^4---
53oo
V ='i.-^ — ; =2,11 4907^^
46124
j2= 0,5287269 J =± 0,727136. . .,
22= j 0,8725415,
( 0,1849123,
et, par suite, les quatre racines sont
— 0,727136. . .± /. 0,934092. . .,
-t- 0,727136. . .± /. 0,430014. . ■ •
QUATRIÈME PARTIE.
SUR LES SUBSTITUTIONS.
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 23 1
CHAPITRE I.
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL.
Ordre des substitutions.
lil. Si l'on considère une fonction de cci, a-.,, ^3, par
exemple
Xi -\-O.Xi-\- 3^3,
on peut en déduire une autre
en remplaçant a-i par ^2» -^i par ^3 et ^3 par cci. L'opération
par laquelle on remplace ainsi plusieurs lettres par d'autres
est ce qu'on appelle une substitution: on représente cette
opération au moyen de deux séries de lettres, chaque lettre
placée au-dessus d'une autre indiquant qu'elle doit être
substituée à cette autre; la substitution que nous avons eflec-
tuée ci-dessus pourra donc être représentée par le symbole
X.j X3 Xi \
•ri X.2 x^J
et, comme l'ordre dans lequel s'etrecluent les remplacements
est indilFérent, on peut sans inconvénient remplacer le sym-
bole précédent par un autre obtenu en intervertissant l'ordre
des lettres pourvu que les lettres placées dans une même
colonne verticale restent dans une même colonne.
La forme la plus générale d'une substitution de n lettres
est alors
(t)
232 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
OÙ Al et Ao représentent des permutations différentes de n
lettres. Ai est le numérateur, Aq le dénominateur de la sub-
stitution. La lettre qui en remplace une autre sera dite la
remplaçante de cette autre.
Si on laisse A,, inaltéré, on pourra remplacer Ai par n\
permutations, on a donc en tout n\ substitutions de n lettres;
l'une d'elles
'Ao\
Ao/
qui laisse toutes les lettres en place se représente parle
nombre i.
Lorsque dans une substitution, au-dessus l'une de l'autre,
figurent deux lettres identiques, on peut en faire abstraction
et la substitution n'est en réalité qu'une substitution entre
un moins grand nombre de lettres que îi.
Le symbole
SAo
exprime que la substitution S s'effectue sur l'arrangement Ao,
ainsi
Le produit de deux substitutions
TS
représente la substitution qui résulte de la substitution S
effectuée d'abord et de la substitution T effectuée ensuite;
par exemple, on a
(t)a:)^(:t)
et l'ordre des facteurs ici n'est pas indifférent. Si l'on effec-
tue p fois de suite la substitution S, on a une substitution
finale que l'on représente par S^; alors
S" et I signifiant qu'on laisse toutes les lettres en place. Si
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 233
l'on a
S=T,
on a évidemment
SS, = TS,, S,S = SiT;
en sorte que l'on peut multiplier à gauche ou à droite les
deux membres d'une égalité par une même substitution.
Exemple :
XxX\ — X\X!,,
par la substitution
devient
x,^x\ -]- xlxz,
soit
j^ /X3 Xi Xi\^
\Xi X.2 xj '
on aura
ST =
■■(::
X,,
X3 xj' \Xi Xi ^3 -^i
S2 = (^^ -^4 Xi Xi\^ ^, ^ /Xi Xi Xi
\Xi X.2 X3 X^J' \Xi X2 X3
142. Si l'on considère la suite des substitutions
I, S, S2,
le nombre total des substitutions de n lettres étant fini, on
doit nécessairement retomber sur une substitution déjà
obtenue : supposons, par exemple, que l'on trouve alors
ou
cette formule prouve que la substitution S? laisse invariable
une permutation quelconque; ainsi
234 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
et k désignant un entier quelconque
les puissances successives de S forment donc une suite pé-
riodique.
Si [3 est le plus petit entier donnant Si^ = i, on dit que S
est d'ordre [3.
Si au lieu de SP-=* on écrit S-=<; on a
On voit facilement que si S remplace la permutation a par la
permutation h. S"* remplacera h par a.
Soit [3 l'ordre de S et
/désignant le plus grand commun diviseur de a et [3, y.^ el
j3i seront premiers entre eux. Pour déterminer l'ordre x de
la substitution S^ posons
d'où
A- 3 /-S,
il en résulte que (3i ou -^ est la plus petite valeur de x, donc :
Si S est d'ordre (3, S" sera d'ordre ^i f étant le plus grand
commun diviseur de a et ^. On remarquera que S'^ et S sont
de même ordre si c/. et ^ sont premiers entre eux. Dans ce
cas, les puissances de S* seront égales, à l'ordre près, à celles
de S ; par exemple, si l'on pose
on aura
a.r — pj = /;,
équation qui a toujours une solution si a et (3 sont premiers
entre eux.
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 235
Exemple. — Soit
e a h cl
de
I c a c h d\ _ le a h
\a h c d c ] '^ \a h à
ldcah\
^ - \a h d e)
\a I) d cj
et S est du quatrième ordre; si l'on pose, par exemple,
on a
et l'on a aussi
(«■)-(fir.)=^'
Si l'on applique celte substitution à la fonction
«3-1- 3rt;/;2_ 2ff^e,
on a
Substitutions circulaires.
143. Une substitution est dite circulaire, quand elle substi-
tue à chaque lettre du dénominateur celle qui la suit et quand
elle remplace la dernière parla première.
La substitution
'c a b d^
a b d e^
est circulaire, car elle remplace chaque lettre de a h d e par
la suivante et la dernière e par a; une pareille substitution
se représente encore par une suite de lettres entre paren-
236 QL'ATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
thèses, ainsi
ç^ ^ [^ c d ''/'\ = {n b c cl c) = {b c d e a),
\a b c cl e I
L'ordre d'une substitution circulaire est évidemment égal
au nombre des lettres qu'elle déplace. Car, par une applica-
tion répétée de cette substitution, on remplace successive-
ment a par b c d e a el, quand on a remplacé a par a, on
obtient la substitution i.
lii. Toute substitution est un produit de substitutions cir-
culaires.
Prenons, en effet, une lettre arbitrairement au dénomina-
teur de cette substitution, elle se trouve remplacée par une
seconde, celle-ci par une troisième et ainsi de suite jusqu'à
ce que l'on tombe sur la première; ces lettres constituent
une substitution circulaire ou un cycle. Si l'on opère de la
même façon sur les autres lettres, on obtient de nouveaux
cycles. Une substitution ou un cycle qui opère sur deux
lettres est ce que l'on appelle une transposition; elle re-
vient à l'échange de ces lettres; un C3'cle composé d'une
seule lettre peut être négligé.
La substitution
-,_/// k cl f h j a g e c i m l n
\a b c cl e f g II i j k l m n ,
peut se décomposer ainsi
S = (« h g){b k i e){c dfj)(lm){n),
OÙ le dernier cycle formé d'une seule lettre peut être laissé
de côté. Il est évident que l'ordre dans lequel on écrit les
cycles est indifférent. .
lio. L'ordre d'une substitution est égal au plus petit mul-
tiple des ordres de ses cycles.
Soit, en effet,
S = CoCiCo. . .
DES SUBSTITUTIOXS EN GÉNÉRAL. 287
une substitution décomposée en ses facteurs circulaires, et
soit
S-^- = I ;
comme les cycles sont relatifs à des lettres différentes, on a
c^ — I , r-y = I , f f = I , • . . •
La plus petite valeur que puisse prendre x est, d'après cela,
le plus petit des nombres satisfaisant à la fois aux égalités
précédentes.
Si tous les cycles de S sont de même ordre, cet ordre sera
aussi celui de S, et une pareille substitution est dite régu-
lière; il ne faut pas oublier que les cycles considérés doivent
tous contenir des lettres différentes.
{ab){cd) est une substitution régulière du second ordre,
mais (aô) (6c) ^ (aôc) est une substitution circulaire du
troisième ordre.
146. Si S est une substitution circulaire d'ordre [3, S^ sera
une substitution régulière composée de f cycles, f désignant
le plus grand commun diviseur de a et [3. Si a et [3 sont pre-
miers entre eux, S"^ sera elle-même circulaire.
Soit
S = («1 a.2 ... «^);
S remplace ap par a^+i, S^ remplace «p par a^+a, ..., S'^ rem-
place «p par rtp+a; si l'on effectue la substitution S'-*, on ob-
tiendra d'abord un cycle
ou un indice tel que p -\- xy. devra être remplacé par le reste
de sa division par (3, s'il est plus grand que ,3. Alors, pour re-
tomber sur la lettre ap, il faut que
^-4- o£x = p — Pj ou .r=-^,
OÙ X désigne le nombre des lettres du cycle. Si a et |3 sont
premiers entre eux / == a, a; := [3, et la substitution S est cir-
Exemple :
238 QUATRIÈME PAIITIE. — CHAPITRE I.
culaire. Si a =/ai, (3 =:/j3i, alors/ = ^ et le nombre des
cycles est
Q
S = inbcdef),
S2= {ace){bdf),
S^ = (ad){be){cf),
S^=(aec){bfd),
S-' = (afedcb),
S«=i.
147. Toute substitution régulière est une puissance d'une
substitution circulaire.
Soit la substitution régulière
S = {ciibiCi . . .gOiOibiCo . . . o-a)- • ■(amb,nC„, . ■ .gm}-
Si l'on pose
G = (rti r^2 . • . ffm bi bi . . . b„i . . . gig2 . . .g,n ),
on a évidemment
S = C'«.
lis. Toute substitution peut être décomposée en facteurs
primitifs, c'est-à-dire en facteurs dont l'ordre est un nombre
premier ou une puissance d'un nombre premier.
Supposons S d'ordre n et
n = a^,
a et [3 désignant des nombres premiers entre eux. On peut
toujours trouver des entiers x, / tels que
a .r -}- p__r = I •
Alors
S = S='-^S?r.
Or, on a
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 289
de sorte que les facteurs S"'^, SP^ sont d'ordre (3 et a respec-
tivement; on peut ainsi poursuivre la décomposition en fac-
teurs jusqu'à ce que l'on n'ait plus que des facteurs d'un
ordre égal à un nombre premier, ou à une puissance d'un
nombre premier.
Exemple .
S = {abcdef)
est d'ordre 2 x 3 =6; on a donc
où
Substitutions semblables et échangeables.
149. Deux substitutions sont semblables, quand elles sont
composées d'un même nombre de cycles composés d'un même
nombre de lettres. Deux substitutions S et T sont échan-
i^eables quand on a
ST = TS.
La substitution
ASA->
est dite la transformée de 'è par A.
150. Une substitution est semblable ci ses transformées.
Soit
{ahc.)
un des cycles de S et «,, ^i, c,, ... les lettres par lesquelles
A remplace a, b, c, ... ; quand on opère la substitution A-',
a, se trouve remplacé par a, qui se trouve remplacé par b
par la substitution S, qui se trouve lui-même remplacé par by
parla substitution A. La substitution ASA"^ remplace donc
«1 par bi, bi par Ci, . . . , de sorle qu'au cycle {abc. . .) corres-
pond, dans la transformée, le cycle («lôiCi. . .); donc :
2^0 QUATRIÈME PARTIE, — CHAPITRE !,
La transformée de S par A peut s'obtenir en effectuant
sur les lettres des cycles de S la substitution A.
Exemple :
S = {abcd), k = {ac){b(l), ASA- ^ = (cdab).
Si
on a
où
S =^ (abc) (de),
T = {dca){lw),
T = ASA-i,
A = {adbc).
Ainsi quand S ei T sotit semblables, on peut toujours trouver
une substitution A qui transforme S en T. Cette substitution
est celle qui remplace chaque lettre de S par celle qui occupe
la môme place dans ï.
151. Les deux produits de deux substitutions sont sem-
blables. ST et ÏS sont semblables, car
ST = S(TS)S-i.
152. La transformée d'un produit est égale au produit des
transformées de ses facteurs. Ainsi
A(ST)A-i = ASA-iATA-i.
153. Si deux substitutions sont échangeables, leurs trans-
formées le sont.
En effet, si
ST = TS,
ASA-'ATA-i = ATA-iASA-i.
154. Si les substitutions S et T sont échangeables, on a
ST = TS ou S = TST-i,
et S est égale à sa transformée j)ar T.
Pour effectuer la transformation de S par T, il faut (150)
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 2^1
effectuer la substitution T dans les cycles de S; alors deux
cas pourront se présenter : ou bien T ne modifiera pas les
cycles de S, ou bien elle se bornera à les échanger entre eux.
Le premier cas se présentera si les lettres d'un cycle de S
n'entrent pas dans T ou si une puissance d'un cycle est un
facteur de T, ce qui fera que le cycle transformé commence
par une autre lettre sans que l'ordre des lettres soit altéré. En
dehors de ces facteurs, T ne peut contenir que des facteurs
qui peuvent échanger des cycles de S; cherchons un pareil
facteur Q.
Si l'on applique ce facteur au cycle Ci, celui-ci se change
en un autre C2 qui doit aussi entrer dans S, C2 se change en
C3, . . . , C[x se change en C, ; d'ailleurs Ci gagné par la trans-
formation peut commencer avec une autre lettre que dans S;
on a, par exemple.
Cl =(«!«, ...fti),
C.2 = {bibo...bi\
et Cl devient
Le facteur P de S
c^=(Af....fn,
(«p+l«p+2 • • . «p).
1 = Li L2 • ■ • Cjj.
est une substitution régulière et, si p=:o, le facteur 0 de T
Q = («1 b, . . ./,) («2/a . . ./2 ) . . . (a, b,-... fi)
est régulier. Q est encore régulier si p n'est pas nul, mais le
nombre des lettres dans chaque cycle sera un multiple de f/;
le premier cycle, quand on prend les indices suivant le mo-
dule i, devient
(«1^1-. -/l «p+l ^p+l • • ./p+l «2p+l • • . ),
dans lequel on parvient à un terme
^7P-(-i)
qui est identique à Uy-, alors on doit avoir
^ p = /a,
V. 16
242 QUATRIÈME PARTIE. — CUAPITRE I.
OU, en appelant a le plus grand commun diviseur de p et de /,
et en posanl api = p, af, == i,
donc
q = il ;
Q est donc un produit de a facteurs circulaires composés
chacun de l'i [j. lettres, et l'on a
PP = («■lrtl + p«H-2p- • •) ('^l^l + p^l-l-2p- ••)•••.
QV-=z («lrtl + p<7i+2p. • •)('^''l^H-p^H-2p- • •)
d'où
PP= QV-,
les membres étant différents de l'unité, car P est d'ordre i et
p < «. S et T seront donc échangeables, seulement si leurs
lettres communes constituent des substitutions régulières
satisfaisant à la condition précédente. L'équation PP:=Q!^
est une condition nécessaire, mais non suffisante pour que S
et T soient échangeables.
155. // existe toujours des substitutions T satisfaisant à
l'équation
(i) S'«=TST-i,
lorsque ni est premier avec Vordre de S.
m doit être premier avec l'ordre de chacun des cycles de S.
S'" est alors semblable à S, car chaque cycle, élevé à la puis-
sance m, donne un nouveau cycle composé des mêmes
lettres. Alors (150) il y aura des substitutions T. Soit Tj l'une
d'elles, (i) pourra s'écrire
T1ST71 = TST->
ou
ST7iT = T7iTS.
S ot T^'T sont alors échangeables. Soit U une substitution
quelconque échangeable avec S, et soit
Tt'T = U,
DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 243
d'où
T = T,U.
Celte substitution satisfait à (i), car
TiUS(T,U)-i=TiST7' =S'«;
on voit donc que Von obtient toutes les solutions de (i) e/i
multipliant une solution particulière par les substitutions
échangeables açec S.
Exemple :
S = (abc) (clef); S'- = {ac/j)(dfe);
S2=TST-i, si T = (bc)icf).
Substitutions positives et négatives.
156. Une substitution quelconque peut être décomposée en
un produit de transpositions.
En effet, on peut, au moj^en d'une transposition, amener une
lettre à la place qu'elle doit occuper définitivement; et l'on
peut alors remplacer la substitution par une autre dans la-
quelle n'apparaît plus cette lettre; la nouvelle substitution
pourra être traitée comme la première, et ainsi de suite. On
a ainsi, par exemple,
iabcd) = {bd) {hc) {ad).
157. Si le produit d'un certain nombre de transpositions
est égal à i, le nombre de ces transpositions est pair.
Soient a, b, c, d, ... les lettres sur lesquelles on opère;
considérons le produit
{n — b){a — c){a — d)...{b — c){b — d)...:
il change de signe par une transposition quelconque. Soient
p, q, r des trois lettres, dans le produit entreront les facteurs
±{p — r) ei±{q — /■), dont le produit ne change pas par la
transposition {pq). Les facteurs du produit considéré chan-
244 QUATRIÈME PARTIE. — CHAP. I. — DES SUBSTITUTIONS, ETC.
gent donc de signe par couples ; abstraction faite de p — q, qui
se change en q — p, le produit tout entier change donc de
signe par la transposition {pq)- Si donc le produit des trans-
positions employées est égal à i, il faut que le produit des
différences considérées ait changé de signe un nombre pair
de fois, c'est-à-dire que le nombre des transpositions en
question soit pair.
Quelle que soit la manière dont une substitution a été dé-
composée en un produit de transpositions, le nombre de ces
transpositions est toujours de même parité.
En effet, supposons qu'un produit de m transpositions soit
égal à un produit de n transpositions. Si l'on multiplie ces
deux produits successivement par les n transpositions, on
obtiendra un produit de m -\- n transpositions égal à i; donc
m H- n est pair et, par suite, m et n sont de même parité.
On est donc conduit à considérer deux classes de substitu-
tions : les unes sont un produit d'un nombre''pair de transpo-
sitions; les autres sont un produit d'un nombre impair de
transpositions; les premières sont dites positives, les autres
sont dites négatives, parce qu'elles ne changent pas ou chan-
gent le signe du produit de différences. On voit facilement
qu'une substitution circulaire est positive quand elle opère
sur un nombre impair de lettres, et qu'elle est négative quand
elle opère sur un nombre pair de lettres. Si une substitution
est décomposable en \i. cycles de «i, n^, . . ., n^ lettres res-
pectivement, son signe sera celui de
de sorte que la différence entre le nombre des lettres et celui
des cycles sera pair ou impair, suivant que la substitution
sera positive ou négative.
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 245
CHAPITRE IL
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES.
Théorème de Lagrange.
158. On dit que des substitutions forment un groupe ou
un système conjugué, lorsque le produit de deux quelconques
de ces substitutions fait partie de leur système. Les puis-
sances d'une même substitution, par exemple, forment un
groupe. Les substitutions en nombres! que l'on peut for-
mer avec n lettres forment également un groupe (le groupe
général). Pour exprimer que le groupe G est formé des sub-
stitutions I, S,, S,, . . ., on écrit
G = (i,S„S2,...).
Le nombre des substitutions d'un groupe est Vorclre de ce
groupe, le nombre des lettres sur lesquelles il opère est son
degré; l'ordre du groupe formé des puissances de S est égal
à l'ordre de S.
159. Si un groupe Y d'ordre jx est contenu dans un groupe
G d'ordre m, ^ est un diviseur de m (Théorème de La-
grange).
Supposons le premier groupe F formé des substitutions
soit Ti une autre substitution de G, ce groupe G conliendra
les sui)Stitutions
Ti, S,T,, S,Ti, ..., Sa_,Ti;
2^6 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
si G contient encore d'autres substitutions, soit Ta l'une
d'elles, il contiendra
T2, SiTo, S, T., ..., Sa-iTo;
et ainsi de suite. On obtient ainsi les substitutions de G or-
données en des séries contenant chacune p. substitutions et
le théorème sera démontré, si l'on constate que toutes ces
substitutions sont différentes. S'il n'en était pas ainsi^ on
aurait
SaTp = So(,Tp,
pour certaines valeurs de a, |3, «i, [3,. Soit j3 >[3,, on aurait
T,s=S-iSa,Tp,,
ce qui est impossible; en effet, le second membre fait partie
des substitutions
et l'o ne fait précisément pas partie de ces substitutions.
On verrait de même que les substitutions du groupe G
peuvent être ordonnées en séries de la forme
Ta, TaSi, TaS,, ..., TaS^.-,.
Du théorème que nous venons de démontrer on tire les
conséquences suivantes qui sont très importantes :
L'ordre cl un groupe de degré n est un diviseur de n\
Car ce groupe est contenu dans le groupe général.
Vordre d'un groupe est divisible par l'ordre d'une quel-
conque de ses substitutions.
Car il contient le groupe formé des puissances d'une quel-
conque de ses substitutions.
Un groupe dont Vordre est un nombre premier p ne con-
tient que des substitutions régulières d'ordre p {excepté la
substitution i). Si son degré est p, le groupe se compose des
p puissances d'une substitution circulaire d'ordre p.
SUBSTITLTIO>S CONJUGUÉES OU GROUPES. 2Zi7
On voit aussi que
Les substitutions communes à deux groupes forment un
groupe.
Car le produit de deux de ces substitutions appartient aux
deux groupes.
Les substitutions d'un groupe qui ne déplacent pas des
lettres données forment un groupe.
Car si certaines lettres ne sont pas déplacées par deux sub-
stitutions elles ne le sont pas non plus par leur produit.
Toutes les substitutions d'un groupe qui sont échangeables
avec une substitution donnée forment un groupe.
Substitutions permutables avec un groupe.
160. Les transformées des substitutions
I , Si, So, • • • ) S/M— 1
d'un groupe G par une substitution quelconque T forment
elles-mêmes un groupe.
En effet,
TSiT-'TSoT-' = TCSiSoJT-i.
Les substitutions des deux groupes sont semblables deux à
deux, et dans ce cas on dit que les deux groupes eux-mêmes
sont semblables.
Lorsque le groupe transformé coïncide avec le groupe pri-
mitif on dit que la substitution T est permutable avec le
groupe G. Dans ce cas, on a, pour chaque valeur de a, une
valeur de (3 telle que
TSa=SpT.
Toutes les substitutions d'un groupe G, qui sont permu-
tables avec un groupe R forment un groupe.
En effet, si U et T sont permutables avec H = (i, Si, S2, .. )
on a
UTSa(UT)-i = UTSaT-iU-i= USpU-i = Sy,
de sorte que UT est aussi permutable avec H.
248 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
161. Un groupe est simple, quand il ne contient aucun
groupe avec lequel toutes ses substitutions sont permuta-
bles, dans le cas contraire il est composé.
Soit G un groupe composé qui contient le groupe H avec
lequel toutes ses substitutions sont permutables; soient
I, S„ S,., ..., S,„_i
les substitutions de H, soit T une substitution de G qui ne
soit pas contenue dans H; H peut contenir des puissances de
T, soit T=' la puissance la moins élevée de T contenue dans H,
les substitutions de la forme
TPS,.
sont contenues dans G et sont différentes pour (3 < a ; pour
(3 = a, on obtient les substitutions de H, et pour [3> a, on
obtient périodiquement les mêmes substitutions que tout à
l'heure, et les substitutions de H quand [3 est un multiple de
a. L'ordre de T doit donc être un multiple de a.
Les am subslitutions que nous venons d'obtenir forment
un groupe Hi; en effet, on voit que le produit de deux quel-
conques d'entre elles appartient à la suite de ces am substi-
tutions, car pour une certaine valeur de h on a
TPSa-=S/,TP.
Sur la formation de quelques groupes.
162. Les substitutions qui transforment T en une de ses
puissances forment un groupe.
En effet, si a et (3 sont premiers avec l'ordre fx de T et si
l'on a
MTM-'=T^, NTN-i = TP,
on a aussi
(MN)T(MN)-i = MNT. . .M-i = MT?M-i = MTM-i MTM-i N-i= T«P ;
de sorte que MN fait partie des substitutions considérées si
M et N en font partie.
On peut voir que l'on obtient encore un groupe, si, parmi
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. "i^g
les substitutions du groupe considéré, on ne prend que
celles dans lesquelles les exposants de T satisfont à une cer-
taine condition si cette condition est telle que a^ y satisfait
quand oc et (3 y satisfont, a^ étant pris suivant le module fi. ;
cela a lieu non seulement quand a et 3 sont premiers avec [x,
mais encore quand, a et (3 étant premiers avec [j., ils satisfont
à la congruence
x9 = /l'« (mod ix),
où d et k sont des nombres donnés, le second premier avec [i,
m étant quelconque.
En effet, si l'on a
on a
Considérons, par exemple, une substitution circulaire Tde
jjL lettres, prenons pour a et [3 tous les nombres premiers
avec ix; le nombre de ces entiers est 9(/Jt); considérons les
o([jl) puissances de T dont l'exposant est premier à /m, et
inférieur à ju., chacune d'elles peut être formée par transfor-
mation de T, et fournir /x substitutions, car chaque lettre de
la puissance de T peut être placée la première. On obtient
ainsi un groupe de i^o(jdl) substitutions, et si ix est un nombre
premier/» l'ordre de ce groupe sera p{p — i). On pourrait
aussi se borner à considérer les substitutions que l'on obtient
quand on écrit T et ses puissances de manière qu'elles
commencent avec la même lettre; cette lettre ne figure pas
alors dans les substitutions cherchées, et celles-ci sont alors
des substitutions de /j- — i lettres et forment un groupe
d'ordre 9 (fi).
Exemple I :
T = (a b c d c f), T^ = {a f e d c b).
La transformation se fait par
qui avec i forme un groupe du second ordre.
25o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Si l'on écrit T^ de toutes les manières possibles, on obtient
un groupe du douzième ordre qui contient le précédent.
Exemple II :
T = (rt b c d e)^
1^ — {a c e h d),
T^ = (a d b e c),
T^ =^ (a c d c b).
Si a conserve sa place dans la transformation, on obtient
le groupe du quatrième ordre
I, {b c e d), (b d e c), (b e), (c d).
On a vu que si (j. désignait un nombre premier/» on obte-
nait un groupe de p — i lettres d'ordre/? — i; ce groupe se
compose des puissances d'une substitution circulaire d'ordre
p — i, s'il entre une pareille substitution dans le groupe. On
peut poser
T=(rto, (Il fl^ . . . cip-i), 1''= {cio ttr Clir •••))
et on obtient la transformante
qui est circulaire si /• est racine primitive de /?, ce qu'on peut
supposer, puisque tout nombre premier a des racines primi-
tives; le groupe cherché est alors
1, U, U2, ..., LV-2.
Si l'on veut former le groupe d'ordre /»(/? — i), on écrira
T'' en le faisant commencer par chacune de ses lettres ; les
transformantes ont alors la forme
car on obtient par une transformation par U^ la puissance
demandée de T commençant par ao, et avec une transforma-
lion par T''' on amènera une autre lettre à la première place.
Par exemple,
1 = {a b c d e), T^ = (b c c a d)
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 25 1
et l'on obtient la transformante
/ b e c a d\ _ f h e c a d\ / a d b e c\ _ j ,
\a b c d e ) ~ \a d b e c ) \a b c d e J
on obtient ainsi le groupe cherché, en multipliant les puis-
sances de U à gauche par les puissances de T.
Si l'on multiplie à droite on obtient les mêmes substitu-
tions, mais dans un ordre différent.
Le groupe alterné.
163. Parmi les '^ =. n\ substitutions que l'on peut forme?-
avec n lettres, celles qui sont positives forment un groupe
N
d'ordre — et il n'y a pas d'antre groupe de cet ordre.
Lorsqu'un groupe contient une substitution négative, il
doit contenir autant de substitutions négatives que de substi-
tutions positives. Si l'on multiplie toutes les substitutions de
ce groupe par une de ses substitutions négatives on retrouve
le groupe; comme cette multiplication change les substitu-
tions négatives en substitutions positives et vice versa, il faut
qu'il y en ait autant des unes que des autres; comme, d'ail-
leurs, les substitutions positives forment un groupe, il faut que
N
toutes ces substitutions positives forment un groupe d'ordre —
Ce groupe porte le nom de groupe alterné.
N
Considérons maintenant un groupe d'ordre — formé des
s ubstitutions i , S,, S,, ... ; soit T une substitution quelconque
N
qui ne fait pas partie du groupe, les - substitutions ST sont
différentes entre elles et différentes de i, Sj, S,, . . ., les sub-
stitutions S et ST sont alors en nombre N et contiennent
toutes les substitutions possibles : les substitutions S doivent
donc renfermer et se confondre avec les substitutions T-S et
de même avec les substitutions T* S, ï'^ S,
Alors T doit être d'ordre pair, sans quoi TS devrait se trou-
202 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ver dans le groupe considéré. Ce groupe devra alors contenir
toutes les substitutions circulaires du troisième ordre et par
suite le groupe alterné car on a
(«1«2)(«2«3) = («l«2^-'3), («)«2)(«S«4) = («i ^^2 r/3 ) ( <7-2 «3 «4),
ce qui montre que toute substitution positive peut être mise
sous la forme d'un produit de substitutions circulaires du
troisième ordre.
Une fonction qui, sans être symétrique, n'est pas altérée
par les substitutions du groupe alterné est dite alternée. Une
pareille fonction n'a que deux valeurs, toute substitution
ayant la forme S ou ST, S appartenant au groupe alterné et
T désignant une substitution négative quelconque; puisque
la fonction n'est pas altérée par les substitutions S, elle ne
peut posséder qu'une valeur distincte d'une valeur donnée,
valeur que lui fait acquérir la substitution T. Pour « = 3
est une fonction alternée qui prend les valeurs r et — y.
16i. Un groupe qui contient toutes les substitutions circu-
laires du troisième ordre est ou le groupe alterné ou le groupe
général.
Car on a vu qu'un pareil groupe contenait toutes les sub-
stitutions positives.
Un groupe qui contient toutes les substitutions circulaires
d'ordre p est le groupe alterné ou le groupe général.
Car on a
(«i«2«3) = {a^a^a.^a-ia-i . . . ap){apap-i . . . a5«2«'i«4«3),
en sorte que le groupe contient toutes les substitutions cir-
culaires du troisième ordre.
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 253
Groupes que l'on peut former par la multiplication des substitu-
tions d'autres groupes.
163. Quand deux groupes
•: S„ S.,,
..., S,„-,
1, T„ T,,,
..., T„-i
inl tels que
SaTp =
= T?.S..
pour toutes les valeurs de a et j3 et pour des valeurs conve-
nables de [3i et «i, on dit que ces groupes sont échangeables.
Si l'on multiplie toutes les substitutions S d'un même côté
par toutes les substitutions T, on obtient un nouveau groupe
d'ordre mn, si les groupes considérés n'ont d'autre substi-
tution commune que l'unité.
En effet, toutes les substitutions obtenues ainsi sont diffé-
rentes, car, si l'on pouvait avoir
on en conclurait
et les groupes auraient en commun une substitution qui,
évidemment, est différente de l'unité. D'ailleurs
SaTpSaJp,,
par un échange de facteurs et d'indices convenables, peut
être ramenée à la forme
SyTs,
ce qui montre que nos mn substitutions forment un groupe.
Des théorèmes analogues peuvent être énoncés pour un
grand nombre de groupes.
Théorème de Cauchy.
166. Si p est un nombre premier, il existe un groupe de k
lettres dont l'ordre est la plus haute puissance de p qui
diviie k '
254 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Si k<p, le groupe i d'ordre />" est le groupe dont il est
question dans l'énoncé. Pour démontrer le théorème il suffit
de montrer que s'il a lieu pour tous les nombres inférieurs
h p'^ i\ a encore lieu pour tous les nombres inférieurs à />*+*.
Tout nombre inférieur à /?''+' peut être mis sous la forme
pq -i- f où q <.p'^ et r<,p; nous admettrons qu'avec les g
lettres a, b, c, . . . on peut former un groupe d'ordre /jP où p^
est la plus haute puissance de p qui entre dans q\
Au moyen de chaque substitution {abc . . .), {de . . .), ...
de ce groupe nous pouvons en former une autre
{aihiCi. . .){a.2h2Ci ...).. .{a,yhpC,,. . .)
X (rfici ...){che.2... )...{d,,e,,. ..)
X
en remplaçant chaque cycle par un produit de p cycles com-
posés des mêmes lettres affectées d'indices différents. Les
substitutions ainsi obtenues forment un groupe de degré pq
et d'ordre /:>P ; soit
T = (C„C2...)
ce groupe; ses substitutions échangent les lettres sans tou-
cher aux indices. Désignons les substitutions circulaires
{ai^'i Cp), {biù.2. . ..bfj), ...
par
Sa, Si, ...
respectivement. Ces substitutions échangent les indices sans
modifier les lettres. Le groupe cherché est composé de sub-
stitutions de la forme
Sa, S^ .... Cjj.,
et leur nombre eslp'^p^.. Nous allons montrer que toutes ces
substitutions sont distinctes et qu'elles forment un groupe;
on a, en effet, si Cj^. remplace b par a,
SIC, = C,Sr,
car les deux substitutions que l'on vient d'égaler remplacent
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 255
b/, par «!^-hy; on peut donc échanger des facteurs S et C dans
un produit SC pourvu que l'on modifie convenablement l'in-
dice de S. Si l'on pouvait alors avoir
il faudrait qu'une substitution C qui n'échange que des lettres
pût s'exprimer à l'aide d'un produit de substitutions S qui
n'échangent que des indices. Cela étant impossible, les /)'?+P
substitutions considérées sont toutes distinctes; elles for-
ment un groupe, car le produit de deux d'entre elles peut
être ramené à la même forme en faisant reculer leur fac-
teur C; ce produit appartient donc à l'ensemble des/>'?+P sub-
stitutions.
Il reste à trouver la puissance la plus élevée de p contenue
dans {pq + r)\; si l'on met à part les facteurs non divisibles
par/? on trouve /^''^l et/>P étant la plus haute puissance con-
tenue dans ql, p'^'^1 est la plus haute puissance de p contenue
dans {pq -\- r)\. Il est donc prouvé que l'on peut trouver un
groupe d'ordre />P+'? oiî /?P+'? est la plus haute puissance de p
contenue dans A !, où A' est le nombre des lettres.
167. Si le groupe G d'ordre g contient les groupes H, K
d'ordres h, k et si H ne contient pas de substitutions {autre
que i) semblables à celles de K, on a g ^^ multiple de hk.
En effet, appelons S les substitutions de H, T celles de K
et U celles de G, il existe hk substitutions de G de la forme
SaUiTp,
toutes différentes, car si Ton avait
on en déduirait
ce qui est absurde, puisque T^Tp' et Sa' S^, ne peuvent être
toutes deux égales à i et ne sont pas semblables.
Soit alors U2 une substitution non comprise parmi les hk
256 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
substilutions considérées; G contiendra encore hk substitu-
tions distinctes de la forme
SaUoTp,
distinctes des précédentes; car, si l'on avait
SaUiTp = Sa,U2Tp^,
U, se trouverait parmi les substitutions déjà considérées. Si
l'on continue de cette manière, on épuise toutes les substitu-
tions de G à savoir hk substitutions dans chaque série, et il
faut que hk divise g.
168. Tout groupe G dont l'ordre est divisible par un
nombre premier p contient une substitution d'ordre p.
Supposons que le groupe G soit formé avec A: lettres et que
son ordre soit égal à g, ce groupe et le groupe T considéré
§ 166, supposé d'ordre /??, sont contenus dans le groupe géné-
ral d'ordre A'!. Si G ne contenait pas de substitution d'ordre/?,
il ne contiendrait pas de substitution semblable à celles de T;
car r ne contient que des substitutions dont l'ordre est une
puissance de p (159), et il y a toujours des puissances des
substitutions semblables à celles-ci dont l'ordre estp; k\ de-
vrait donc être divisible par gp^ (167), ce qui est impossible
si g est divisible par le facteur premier p, puisque p^ est la
puissance la plus élevée de/» contenue dans A!. G doit donc
contenir au moins une substitution d'ordre p.
Groupes transitifs et intransitifs.
169. Un groupe est dit transitif, si au moyen de ses sub-
stilutions on peut amener une quelconque des lettres à la
place occupée par chacune des autres; il est intransitif dans
le cas contraire.
Quand un groupe est intransitif, une lettre a, peut rem-
placer «2, «3, •••; ap, mais non bi, b.,, ..., b^, alors une
lettre a ne peut remplacer une lettre b ; sans quoi, en combi-
nant deux substitutions du groupe a, on pourrait faire occu-
per à a, la place d'une lettre b.
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 2^7
Ainsi, dans un groupe intransitif, on pourra distribuer les
lettres en deux ou plusieurs systèmes tels que dans un même
système les lettres ne puissent que s'échanger entre elles, et
non avec celles des autres systèmes; toute substitution du
groupe se décomposera en cycles qui ne contiennent que des
lettres d'un même système.
Naturellement, il faut dire quelles sont les lettres en ques-
tion. Ainsi le groupe général de n — i lettres est transitif si
l'on n'a à considérer que les n — i lettres de ce groupe; il
devient intransitif par rapport à un système contenant, outre
ces n — I lettres, d'autres lettres que le groupe considéré ne
déplace pas.
Un groupe est m fois transitif s'il est possible de faire pas-
ser, au moyen de ses substitutions, à la fois m lettres données
à la place de m autres lettres arbitraires distinctes ou non
des premières.
On voit facilement que, si l'on peut remplacer m lettres
quelconques par m lettres données, on peut également rem-
placer m lettres quelconques par m lettres quelconques.
Le groupe général de n lettres est n — i fois transitif, le
groupe alterné « — 2 fois. Si un groupe de n lettres contient
une substitution circulaire de n lettres, il est au moins une
fois transitif; s'il contient en outre une substitution circulaire
de n — I lettres, il est deux fois transitif, etc.
170. Si Von considère des lettres déterminées a, b, c, . . .
d'un groupe G {transitif ou intransitif) et si le groupe H
qui ne déplace pas ces lettres est d'ordre k, G est d'ordre kp,
p désignant le nombre des systèmes de places que prendront
a, b, c, ... par les substitutions de G.
Soient, en effet,
I, Ti. To, ...., T/._i
les substitutions de H, et R une des autres substitutions; les
substitutions
R, TiR, T.R; .... T/,-iR
P. •;
258 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
transportent toutes les \eitres a, b,c, . . . aux mêmes places, et
cette propriété n'appartient qu'à ces substitutions, car, si une
autre substitution R, possédait cette propriété, RiR-' lais-
serait les lettres invariables et appartiendrait au groupe des
substitutions T. R, se trouverait alors donc dans la suite TR.
Les substitutions de G peuvent donc se partager en p séries
de k substilutions.
Si G est m fois transitif, si l'on considère m lettres ff, b,
c, . . . , le nombre total des lettres étant n, on aura
p = n{n — i). . .{il — m + i),
d'où l'on voit que V ordre d'un groupe m fois transitif de n
lettres est divisible par n{n — i) . . . {n — /?i + i).
Si G est intransitif et si l'on considère a lettres, échan-
geables entre elles, les substitutions qui n'échangent pas ces
a lettres forment un groupe; soit A son ordre; le nombre des
systèmes de places auxquelles on peut amener ces lettres est
un diviseur de a!; l'ordre de G est donc un diviseur de kyl;
si l'on raisonne de la même façon sur les n — a lettres res-
tantes et ainsi de suite, on voit que l'ordre de G est un divi-
seur de a! i3! y! . . ., où a, [3, y, ... satisfont à la relation
a + [B -t- Y . . . = /i
et désignent le nombre de lettres des systèmes dont les
lettres peuvent être échangées.
171. Si un groupe est m fois transitif, et s'il contient une
substitution qui ne déplace pas plus de m lettres, il est le
groupe général ou le groupe alterné.
Soit S une substitution qui déplace au plus m lettres; soit
S, une substitution quelconque semblable à S; le groupe doit
contenir une substitution qui change les lettres de S dans les
lettres correspondantes de Si (169); si l'on transforme S par
cette substitution, on obtient Si; cette substitution entrera
donc aussi dans le groupe. Soit
(«!«:. ..a,j)
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. aSg
un cycle de S. Pour Si on peut prendre une substitution con-
tenant le cycle
les autres cycles de S et Si étant les mêmes, à l'ordre des
lettres près qui sera renversé. G renferme aussi la substitu-
tion
SiS = ((71^/3 riTi),
et par suite toutes les substitutions circulaires du troisième
ordre; G contient donc le groupe alterné ( 164).
Cette démonstration suppose que S contient un cycle de
trois lettres au moins. Dans le cas contraire on peut prendre
pour les deux cycles de S et Si
(«irt.) et (a2«3),
«3 étant une lettre qui n'entre pas dans S; alors
SSi = («l«2«3).
172. Quand un groupe m fois transitif contient une sub-
stitution qui ne déplace pas plus de 2 tu — 4 lettres, il est le
groupe alterné ou le groupe général.
Soit, en effet,
S = (abc...)(def...)(g...)
une des substitutions qui déplace q lettres, et supposons
ni<.q <i2in — 3. Le groupe contient une substitution T qui
ne déplace pas m — i de ces lettres a, b, c, . . ., d, e, et qui
remplace les autres par a, |3, y, . . ., dont l'une au moins, a,
qui remplace /, n'existe pas parmi les q lettres considérées.
Le groupe contient alors la substitution
U = TST-i = (abc ... I {deoi ...) (p ...)... ,
et la substitution S-'U, qui ne contient que les lettres e, a, (3,
f, g, . . ., et qui ne peut être i, puisqu'elle déplace au moins
oc; le nombre de ses lettres est au plus
■A(q — m -h i ) ^ i = iq — 2/n -h 0 <. q ;
de cette manière, à l'aide de la substitution donnée, on peut
200 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
en trouver une autre déplaçant moins de lettres et, en conti-
nuant ainsi, on finit par en trouver une qui déplace au plus
m lettres, ce qui démontre le théorème.
Le nombre minimum des lettres déplacées par une substi-
tution d'un groupe est ce que l'on appelle Xdi classe ùu groupe.
173. U ordre d'un groupe de n lettres, m fois transitif, qui
ne contient pas le groupe alterné, est un diviseur de
a désignant le plus grand des nombres m et i m — 4.
En effet, si l'on forme le groupe général de a. lettres, il ne
contient pas de substitution semblable à une substitution du
groupe donné déplaçant plus de a lettres; si l'ordre du groupe
donné est g, gai sera un diviseur de n\ (167).
174. Un groupe de degré n, qui ne contient pas le groupe
alterné, ne peut pas être plus de q fois transitif, q désignant
le plus petit des nombres
n -h ^ n
Si le groupe est q fois transitif, son ordre (170) est un mul-
tiple de
« ( // — 1 ) ... ( n — f/ -M ) ;
ce nombre doit (173) être un diviseur de — j , ou {n — q)l doit
être divisible par a!; on doit donc avoir
n — q'^a, q'^n — a,
où a est le plus grand des nombres q, iq — 4; il en résulte
7^- et -71-3—
M. Jordan a fait voir qu'un groupe de degré /> + a ne peut
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 261
être plus de a fois transitif, si p est premier et si a > 2 {Bul-
letin de la Soc. math, de France, t. I).
175. Si un groupe Cj, n fois transitif, contient un groupe H,
permutable avec toutes les substitutions de G, H est au moins
n _ I fois transitif. {Ce théorème est soumis à une exception.)
Le théorème est vrai pour n = 2, car, si l'on désigne par
S = (a6 ...)(...)•• • une suhstitution de H, G contiendra
une substitution T qui remplace a, b par deux lettres arbi-
traires. H contiendra alors ÏSÏ-', qui remplace une lettre
arbitraire par une lettre arbitraire.
A l'aide de G et de H, formons deux nouveaux groupes G,,
H,, en laissant de côté les substitutions qui contiennent une
lettre déterminée, a par exemple; Hi est contenu dans Gj, il
est permutable avec toutes les substitutions de G,. Comme G
est n fois transitif, Gi l'est n — i fois.
H est une fois de plus transitif que H„ car, au moyen des
substitutions qui ont été écartées, on peut placer a oii l'on
veut; le théorème énoncé a donc lieu pour G et H; s'il a lieu
pour G, et H,, et comme il a été démontré pour le cas où
n = i,\\ est général, pourvu toutefois que l'un des groupes Hi
ne se compose pas de la seule substitution identique i.
Il y a donc lieu de considérera part le cas où Hi=r(i);
dans ce cas, toutes les substitutions de H (à part la substitu-
tion i) contiennent toutes les lettres qui entrent dans G, sans
quoi on pourrait prendre pour a une des lettres qui font dé-
faut; une seule substitution de H peut remplacer a par b.
Soient, en effet, T et U deux substitutions différentes; rem-
plaçant a par 6, ÏU-' est différent de i et ne peut contenir a;
d'un autre côté, a s'échange avec toutes les autres lettres, le
nombre des substitutions est alors égal à celui des lettres; il
en résulte que H est une fois transitif (170).
Si G est deux fois transitif, le théorème est vrai; on n'a
donc à considérer que le seul cas n > 2. Si H contenait une
substitution
S = {ahc. ..){...),
262 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
il coiiliendrait une autre substitution remplaçant a par b
Si= {abd ...)(...).
car si G est plus de deux fois transitif, il existe une substitu-
tion qui transforme S en Sj. On voit donc que les cycles de H
ne contiennent que deux lettres, et l'on en conclut facilement
que l'on ne peut avoir que n := 3.
Puisque les substitutions de H sont du second ordre, l'ordre
de H est une puissance de 2. Les substitutions de H sont écnan-
geables, car si S et T sont deux de ces substitutions, on a
(ST)(ST) = i, d'où ST = TS.
Le groupe
I, {ab){cd), (ac){bd), (ad){bc),
contenu dans le groupe général du quatrième ordre, est un
exemple.
Sur les groupes transitifs qui contiennent d'autres groupes
également transitifs.
176. Soit G un groupe transitif de degré sujjérieur à p qui
contient un groupe jh fois transitif, A,'permutant les lettres «i,
«2, • • -, «p. Les substitutions de G, qui ne permutent que ces
lettres, forment un groupe qui contient A et qui est au moins
m fois transitif, nous supposerons que ce groupe soit A.
Soient b^, b., ... les autres lettres permutées par G; sup-
posons que G contienne un groupe renfermant A et permu-
tant les lettres «i, a.,, . . ., a^, b^. Ce groupe doit contenir des
substitutions qui remplacent b^ par un a et, par suite, des
substitutions remplaçant 6, par un a quelconque. Une pareille
substitution permet de mettre b^ à une place quelconque; au
moyen des substitutions A, on peut mettre m des lettres a à
des places quelconques; le groupe est donc au moins m + i
fois transitif.
Ce groupe peut lui-même être contenu dans un autre groupe
contenu dans G, lequel déplace les lettres Oi, a^, ..., ap, b^, b^
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 263
el est au moins m + 2 fois Iransilif. En continuant ainsi, deux
cas pourront se présenter :
1° Après avoir ajouté q lettres une à une, nous parvenons
au groupe G au moins m + q fois transitif;
2° Nous arrivons à un groupe que nous ne pouvons plus
généraliser de cette manière, parce qu'il n'existe plus de sous-
groupe contenant une lettre de plus; nous désignerons main-
tenant par A ce groupe m fois transitif, permutant les 7? lettres
rti, «2, . . ., Gp. G contient au moins deux lettres b, et de telle
sorte qu'aucune de ses substitutions ne contienne pas seule-
ment une seule lettre b; car s'il contenait une semblable
substitution, il existerait un sous- groupe échangeant seule-
ment les a et un b, ce qui est contraire à notre hypothèse.
Considérons maintenant, parmi les substitutions qui échan-
gent un a avec un b, sans changer tous les a avec des b, une
substitution dans laquelle les b sont en nombre minimum;
soit T celle substitution, supposons qu'elle remplace a^ par
bi, ai ne remplaçant pas lui-même un b; nous supposerons
qu'elle remplace un b par un autre b, qu'elle remplace, par
exemple, b,. par b^; on aura
V^i Or a,. ... J
Dans le groupe A, il entre une substitution S qui échange
«1 en a,.; si on la transforme parT, on obtient une substitution
qui remplace 61 par un a, dans laquelle bg n'entre pas et qui,
en outre, ne contient pas d'autres b que ceux qui entrent
dans T. La substitution inverse remplace un a par un b et ne
contient pas bs. Or cela est contraire à notre hypothèse. On
a donc le théorème suivant :
Une substitution qui remplace un a par un b et qui con-
tient le minimum de lettres b doit remplacer chaque a par
un b, ou ne doit remplacer aucun b par un autre b.
Dans le premier cas, le nombre des lettres b doit être au
moins égal au nombre des lettres a.
204 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Dans le second cas, on a
\«i «2 ... y
Nous supposerons maintenant A au moins deux fois tran-
sitif. Si nous supposons que chaque a n'est pas remplacé
par un b, a,, par exemple sera remplacé par «^, où /• pourra
être égal à s. A contient une substitution qui ne déplace pas a^
et qui remplace a,, par a^_. Si on la transforme par T, on ob-
tient une substitution qui ne contient pas 61 et qui remplace
Us par 6,; or cela est impossible, T doit donc remplacer tout
a par un b. Donc :
Si A est deux fois transitif, une substitution T, qui rem-
place un a par un b, doit remplacer chaque a par un b.
Nous désignerons par b^, b.., . . ., bp les b qui, dans T, rem-
placent les a ; s'il y a plus de p lettres b, nous les désignerons
par c. En transformant A par T, on obtient un groupe B des
lettres 6, m fois transitif.
11 existe une substitution qui remplace «1 parci; elle rem-
place, comme on l'a vu, tous les a par des b ou des c; si
parmi les lettres substituées aux a il se trouve des b, trans-
formons cette substitution par T^', nous obtiendrons une
substitution qui remplacera les a en partie par des a, en
partie par desc; or cela est impossible; donc toute sub-
stitution remplaçant un a par un c doit remplacer chaque a
par un c, il y a donc au moins p lettres c; on prouve aisé-
ment, comme plus haut, qu'une substitution qui remplace un
b par un c remplace chaque b par un c.
Si l'on continue ainsi, on voit que les lettres de G peuvent
être réparties en systèmes de p lettres a, b, c, . . ., avec les
indices i, 2, 3, , . .,/j; les substitutions du groupe échangent,
soit les lettres d'un même système, soit toutes les lettres
d'un système avec toutes les lettres d'un autre système.
Les groupes qui jouissent de cette propriété sont dits impri-
mitifs. Les autres groupes sont dits primitifs. Les groupes
imprimitifs sont une seule fois transitifs, car ils ne peuvent,
par exemple, remplacer à la fois «1 par a, et a^ par b^.
SL'BSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 265
177. On a supposé le groupe A au moins deux fois transi-
tif; s'il était seulement une fois transitif, la substitution T,
qui contient le plus petit nombre de lettres b peut échanger
les lettres a en partie par des lettres a, en partie par des
lettres b.
Nous désignerons les a, qui sont remplacés par des b, par
«1, a,, . . .; les autres seront désignés par a. On a alors
'bi b-2 ... a, . . . \
T =
\rtl «2
011 «2 pourra être un a.
A contient une substitution Si qui remplace «, par a..;
supposons qu'elle remplace un a par un a; transformons
cette substitution par T, on obtient une substitution dont
l'inverse remplace un a par un b et 63 par ô,; or c'est impos-
sible : donc toute substitution de A, qui remplace un a par
un a, remplace tout a par un a; nous pouvons continuer ce
raisonnement comme plus haut et montrer que A est impri-
mitif. On peut donc énoncer le théorème suivant :
Un groupe transitif de p-]-q lettres, qui contient un groupe
de p lettres qui est m fois transitif, et qui ne contient pas de
groupe imprimitif de p lettres, est imprimitif ou au moins
m -\- q fois transitif.
Deux cas particuliers sont à remarquer.
JJn groupe transitif du degré n qui contient une substitu-
tion circulaire d'ordre p, p désignant un nombre premier
> - «, est au moins {n — p -r- 1) transitif.
La substitution circulaire et ses puissances forment un
•groupe d'ordre/» qui ne peut être imprimitif, et ni/>, ni au-
cun nombre plus grand que p et plus petit que n ne peut
diviser n, de sorte que le groupe considéré ne peut être
imprimitif.
Un groupe transitif qui contient un sous-groupe alterné
est imprimitif ou contient le groupe alterné formé avec
toutes les lettres.
266 QUATUlfcME PARTIE. — CHAPITRE II.
Car un groupe de degré n ne peut être au moins n~ i fois
transitif que dans le cas où il est le groupe alterné ou le
groupe général.
178. Ordre des groupes imprùnilifs. — Dans un groupe G
imprimilif d'ordre mp les substitutions des lettres «i, a.^, . . .,
«/>; by, b.^, . . ., b,,; c^, C.2, . . ., Cp-, . . . ne peuvent remplacer
que des lettres d'un même système par des lettres d'un même
système. Soient Tj et Tj deux substitutions qui permutent les
lettres de la même manière, abstraction faite des indices, et
Si, Sa, ... les substitutions qui n'opèrent que sur les indices.
La substitution T^Tj^ appartient alors à la série des substi-
tutions S; dans la suite
Ti, S,T,, S2T1, ...
se trouvent toutes les substitutions de G qui, sans avoir égard
aux indices, échangent les mêmes lettres de la même façon.
Soit
Ui = {abc. . .) {de. . . )
une substitution dont les lettres sont échangées de la même
façon.
A l'aide d'une autre substitution de G, qui n'appartient ni à
la série S, ni à la série Sïi, formons la série
T,, SiT,, S2T2. ...,
caractérisée par la substitution U., et ainsi de suite.
Les substitutions U forment un groupe, car si TaTp entre
dans la suite qui commence par Ty, on a
UaUp = Uy.
L'ordre de G est donc un diviseur de
• m\{p\)'n,
car G est contenu dans le groupe imprimitif pour lequel le
groupe U est le groupe général d'ordre m\ et S,, S2, ... et
leurs produits sont donnés par les groupes généraux que
l'on peut former avec les m systèmes de lettres.
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 267
Un groupe H est isomorphe avec un groupe K, quand à
chaque substitution de K correspond une substitution de H
et à chaque substitution de H une ou plusieurs substitutions
de K, le produit de deux substitutions de K correspondant au
produit des substitutions correspondantes de H.
De cette définition et de ce qui précède, il résulte que le
groupe U est isomorphe avec G.
Exemple. — Si l'on prend
on peut former le grouiie du quatrième degré et du huitième
ordre
1, (oiao), {fnbi). {aia.2){ùilj2),
(ciibiaibi), (aibi){o.,h.), {aj>i){a.bi), {.nJ)iaJ)i)\
ce groupe est imprimitif et isomorphe avec i, [ah).
Groupe d'une fonction et nombre des valeurs qu'elle peut acquérir.
179. Les substitutions que Von peut faire subir aux lettres
dont dépend une fonction, sans altérer la valeur de cette
fonction, forment un groupe.
En effet, si une fonction reste inaltérée quand on opère
avec la substitution S ou avec la substitution T, il est clair
qu'elle ne changera pas non plus quand on effectuera la sub-
stitution ST; celle-ci fait donc partie des substitutions qui
n'altèrent pas la fonction, qui par suite forment un groupe.
Ce groupe s'appelle le groupe de la fonction et l'on dit que la
fonction admet les substitutions du groupe. Si la fonction
par exemple est symétrique, son groupe sera le groupe géné-
ral; si elle est alternée, son groupe sera le groupe alterné. Le
groupe du huitième ordre et du quatrième degré consi-
déré (178) appartient aux fonctions («i est remplacé par
x^, etc., . . .)
(jCi-}-X2) (^3-1- ^i), XiX-i^XiXi,, {xi—X'i^Xz — x^y, ....
Soit maintenant g l'ordre d'un groupe d'une fonction, qui se
208 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
compose des substitutions
I, s„ s,, ..., s.-,.
Le groupe général, si le nombre des lettres est n, pourra
être représenté par les — séries de substitutions
et comme les substitutions S ne changent pas la fonction
considérée, toutes les substitutions de la série feront acqué-
rir à la fonction la même valeur que T^.
On oJ)Lient donc le nombre des valeurs distinctes que peut
acquérir une fonction de n lettres en divisant ni par l'ordre
du groupe de la fonction.
Exemple. — Les trois valeurs
pourront se déduire de la première au moyen des substitu-
tions
I, (-^2.^3), {x.x.,).
Le groupe de la fonction se compose de huit substitutions;
si on les multiplie par les trois précédentes, on obtient les
vingt-quatre substitutions du groupe général. La somme et
le produit des trois fonctions considérées ne sont altérés par
aucune des vingt-quatre substitutions en question, elles sont
symétriques.
180. On peut toujours former une fonction admettant un
groupe donné; on peut, par exemple, former une fonction/
dont toutes les valeurs sont distinctes;
J =.aiJ"i-4-a2"K--2 — • • .
oi^i a,, a,, ... sont des nombres différents, est dans ce cas;
si l'on désigne par/i, /o, ... les valeurs que prend/ parles
substitutions du groupe donné
- = (^— ri)(2-j2)..-,
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 269
OÙ a est indéterminé, est inaltérée par les substitutions du
groupe et variable pour toute autre substitution.
181. Si le groupe de la fonction y^ est G et si la substitu-
tion T transforme jo ^'^ J'i> le groupe transformé de G par T
appartiendra à y.
Soit, en effet, S une substitution de G. S ne cliange pasjo;
TST-^ ne changera pas/,; car on a
Tjo=„Vi ou T-iji =jo;
ainsi
TST-h-, = TSjo = Tjo=Ji.
Lorsque G est permutable avec T, le groupe transformé
coïncide avec G, de sorte que le groupe appartient aussi àji-
On voit ainsi que si le groupe G appartient à y„, il appar-
tient aussi auœ fonctions transformées de jo />«/" ^^^ substitu-
tions permutables avec G.
Indice d'un groupe.
182. On appelle indice d'un groupe, le quotient obtenu en
divisant l'ordre du groupe général par l'ordre de ce groupe.
Considérons une fonction qui ne soit pas altérée par toutes
les substitutions d'un groupe, mais qui soit altérée par toutes
les autres, le nombre des valeurs distinctes de cette fonc-
tion, d'après ce que l'on a vu (179), sera égal à l'indice du
groupe. L'indice du groupe général est i, celui du groupe
alterné est 2.
On a vu (170) que l'ordre d'un groupe intransitif de n
lettres était un diviseur de a ! [3 !.. . où a + (3 + ... ^: /i. L'in-
dice de ce groupe est alors un multiple de
L'ordre d'un groupe imprimitif est (178) un diviseur de
m\{p\)"',
270 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
quand le groupe contient m systèmes de /) lettres. La plus
petite valeur que puisse prendre l'indice i est donc
mp(inp — i)...(m-i-i)
~ î.i. . .p.-i.3. . .p. . .i.i.p'
le numérateur et le dénominateur contenant le même nombre
de facteurs. Pour « = 4, on obtient le groupe de l'exemple
178 dont l'indice est 3. Pour n = 6, le plus petit indice est 10,
pour n=zS il est 35 et il croît rapidement. On peut prouver
que cet indice pour n > 4 est supérieur à n, bien que ce fait
soit presque évident.
183. Nous allons encore considérer un groupe primitif qui
ne contient pas de groupe alterné. Soient /?,, /?2, •• • des
nombres premiers distincts dont la somme ne soit supérieure
au nombre n des lettres; avec/?i lettres formons une substi-
tution circulaire non contenue dans le groupe; les substitu-
tions circulaires de /?, des lettres restantes ne pourront pas
toutes entrer dans le groupe; prenons une de celles qui n'y
entrent pas et continuons de cette façon autant que possible;
soit T la substitution d'ordre P1P2 ■ • ■ obtenue en faisant le
produit de ces substitutions circulaires.
Le groupe ne peut contenir ni T ni ses puissances, car parmi
les puissances d'une telle substitution se trouve au moins une
des substitutions circulaires qui n'entrent pas dans le groupe.
Soient alors r, S,, S,, ... les substitutions du groupe con-
sidéré, ^leur nombre; formons toutes les substitutions telles
queT'^Sp; elles sont toutes diiïérentes et leur nombre est
IPiP-2 • • ' ce nombre est au plus égal k ni; donc
7 = ; i = ^piP',. . .
II en résulte que Vindice du groupe ne peut être inférieur au
produit des nombres premiers dont la somme ne dépasse pas n.
iSk. Supposons que les nombres premiers employés soient
Pi, Pi, . . ., prj,; alors
SUBSTITUTIONS COXJUGUÉES OU GROUPES. 27 1
mais po désignant un nouveau nombre premier quelconque
Pi-^ Pi + ■ ■ ■— Pa-^ P^> >t,
le nombre
/^a désignant le plus grand de ces nombres premiers ou celui
qui en approche le plus n'est pas divisible par un des nom-
bres /?,, />2, ■ ■ ■, Pa] c'est donc un nombre premier ou un pro-
duit de nombres premiers différents de ceux-ci : /j»o peut donc
être pris inférieur ou égal à ce produit; alors
Pl + P-2-^---^ POL-I -^PlPi- ■■ POL-I > "
OU
i^PiPi ■ • • P'x-iP'x > -Pa"-
De celte manière, on voit qu'il n'existe qu'un seul groupe
d'indice plus grand que 2 et moindre que n, à savoir pour
ti = 4. Parmi les groupes de n lettres dont l'indice est n se
trouve le groupe général de n — i lettres. Ce groupe appar-
tient aux fonctions de n lettres symétriques par rapport à
n — I d'entre elles. Si l'on prend pour les nombres premiers
/?,, p,_, . . ., les nombres 2, 3, 5, . . ., on voit qu'un groupe
d'indice n n'est possible que pour
//<io(=2-f-3-i-5);
et comme
9 = 7 -f- 2, s = 3 -t- j, 7 = 2 -^- 5, 5 = 2 -f- 3,
il reste à considérer les cas où « = 4 et n =6 . On voit faci-
lement que, pour « = 4, il n'y a pas de groupe transitif d'in-
dice 4; pour «^ 6, il y a un groupe d'indice 6 trois fois tran-
sitif appartenant aux fonctions de six lettres possédant six
valeurs sans être symétriques par rapporta cinq d'entre elles;
on obtient une pareille fonction en multipliant entre elles les
expressions
ab -H cd -h ef, ac -H be -^ fd, ad -t- bf-+- ce,
ae -\- bd -h fc, af-h bc -\- éd.
272 QUATRIÈMK PARTIE. — CHAPITliE II.
// eut donc impossible de trouver une fonction de n lettres
possédant plus de deux et moins de n valeurs, excepté si
n ^ [\. Il est impossible de trouver une fonction de n lettres
ayant n i^aleurs, si elle n'est pas symétrique par rapport à
n — I lettres, excepté pour n ■=-. 6.
Des substitutions linéaires.
185. Considérons une substitution formée avec les lettres
«0, «1, ..., a„_i; si, dans une transformation d'indices, l'un
d'eux devenait supérieur à n — i, il faudrait sous-enlendre
qu'il doit être remplacé par le reste de sa division par n;
OL, n -V- a, in-\- a, . . . seront donc considérés comme repré-
sentant le môme indice. Représentons par le symbole
^'f)
la substitution qui remplace la lettre qui porte l'indice z en
général par une autre portant l'indice F(c). La fonction F(-)
devra être telle que, pour >■: = o, 1,2, ...,« — i, elle prenne
à l'ordre près ces mêmes valeurs.
Nous considérerons en particulier les substitutions li-
néaires
F (z) = a:^ -\- b remplira la condition dont nous venons de
parler, si b désigne un nombre entier quelconque et si a est
un nombre premier avec n, car on obtient des restes tous dif-
férents en divisant az-^ b par n et en attribuant à z les va-
leurs 0, I, 2, . . ., « — I.
Les substitutions circulaires sont un cas particulier des
substitutions linéaires; par exemple, si
-(=:■> -cr> -cr> •■■'
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 278
Le nombre des substitutions linéaires de n lettres est no{n),
9(/0 désignant le nombre des entiers premiers avec n et in-
férieurs à n; a peut, en effet, recevoir 9(«) valeurs et b peut
en recevoir n. Les substitutions linéaires forment un groupe,
car
'cz-^d\ f az -{- h\ / ac z -\- ad -\- b'
Ce groupe est celui qui a été considéré (162), car si l'on trans-
forme
(ao«i«2 • ••)
par
on obtient une substitution dans laquelle la série des indices
est
b, a-h b, -ia-^ b, . . .,
la substitution considérée est donc transformée en sa puis-
sance a.
D'après ce qui précède, on voit que toutes les substitutions
du groupe linéaire peuvent s'obtenir en combinant par mul-
tiplication deux substitutions
où a est racine primitive de j;?''^' = i.
186. Si n est égal à un nombre premier p, l'ordre du
groupe linéaire est p{p — i), et il n'y a pas d'autre groupe
de p lettres qui soit du même ordre.
En vertu du théorème de Cauchy (168), un groupe d'ordre
p{p — i) doit contenir une substitution circulaire d'ordre p;
soient
I, S, S2, ..., s/^-i
les puissances successives de cette substitution et ï une
autre substitution du groupe; toutes les substitutions delà
forme
P. i8
274 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
ne peuvent être différentes, car leur nombre est jf-; on doit
donc avoir, pour des valeurs convenables des exposants,
OU
d'où l'on tire, en élevant les deux membres à une puissance
convenable,
TST-> = S'".
T transforme donc les substitutions S en leurs puissances, et
ces substitutions forment, comme on l'a vu, le groupe li-
néaire.
187. La notion de substitution linéaire est susceptible d'ex-
tension, et l'on peut concevoir des fonctions linéaires frac-
tionnaires en posant
az -h h
F(z)
ciiz- -h bi
Lorsque F(5) = q, il faut supposer que q est donné par l'équa-
tion indéterminée
az ^ b = q{aiz — bi)->v- py
(on suppose n égal à un nombre premier p). Si une valeur
de 5 rend le dénominateur «i^ -+- b^ multiple de/», on a ^=cc,
une lettre devra alors porter l'indice oo, et on a les ^ -h i
lettres
«u, Ci, .... «/^-i, a^.
La lettre qui porte l'indice ce sera remplacée par celle qui
porte l'indice a donné par la formule
PX
Ces substitutions forment un groupe d'ordre {p — i)p{p + i).
Nous n'en dirons pas davantage sur ce sujet.
On a étendu ces notions en considérant des lettres avec
SUBSTITUTIONS CONJUGUÉES OU GROUPES. 275
plusieurs indices, par exemple x et j. Ainsi le symbole
, ax -^ Of \
bj, aix-i-bij
J
représente une substitution qui remplace .v et/ parax -\- by^
a^x + b^y; comme plus haut, les indices doivent être censés
remplacés par le reste de leur division par un nombre donné.
Ces considérations trouvent leur application quand le nombre
des lettres est la puissance d'un nombre premier. Quand le
nombre donné (module) est yo, a^y^ représente un ensemble
de p^ lettres.
Ordinairement, on appelle groupe linéaire le groupe gé-
néral d'ordre no{n) dont nous avons parlé; mais on com-
prend aussi sous cette dénomination d'autres groupes conte-
nus dans ce groupe et transitifs ; leurs ordres sont de la forme
an, Cf. désignant un diviseur de 9(/0'
276 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
CHAFITRE III.
THÉORIE DE GALOIS.
Groupe d'une équation.
188. Une équalion irréductible peut devenir réductible si
l'on suppose certaines irrationnelles données et pouvant en-
trer dans les coefficients. Ainsi, par exemple, l'équation
est irréductible, mais elle devient réductible si l'on se permet
d'employer l'irrationnelle v^S; elle se réduit alors aux équa-
tions
X — 2 -H V' ^ = o et X — 2 — y/j = o ;
quand on se permet ainsi d'employer dans les calculs cer-
taines expressions, on dit que ces expressions sont adjointes.
L'équation considérée est réductible quand on adjoint y/S;
elle reste irréductible quand on adjoint \/5, ^7, Toute
équation devient réductible en adjoignant une ou plusieurs
de ses racines.
Dans la suite, nous supposerons l'adjonction de certaines
irrationnelles, et ces irrationnelles pourront alors entrer,
sous forme rationnelle, dans les coefficients des équations
que nous aurons à considérer.
Galois a montré qu'à toute équation correspondait un cer-
tain groupe de substitutions servant à la caractériser, ou
plus exactement, servant à caraciéi'iser une classe d'équa-
tions. Quand on connaît certaines propriétés des racines, on
THÉORIE DE GALOIS. 277
peut les Utiliser pour découvrir le groupe de l'équation el,
inversement, quand on connaît le groupe de l'équation, il en
résulte certaines propriétés communes à toutes les équations
de la classe à laquelle appartient ce groupe; nous allons
maintenant montrer comment on parvient à la notion du
groupe.
189. Nous nous donnerons l'équation réductible ou irré-
ductible du degré n
(0 /(•^) = o,
dont nous supposerons les racines toutes inégales
Considérons une fonction des racines qui prenne des valeurs
toutes distinctes quand on y permute ces racines; une pa-
reille fonction a n 1 valeurs, qui sont racines d'une équation
de degré n\ sans racines égales. Nous pouvons, par exemple,
prendre cette fonction égale à
(2) ji = 3t,.r, -i- aoJTo^-- • -^ ^«•^«>
a,, C/..2, . . ., a,j étant choisis de telle sorte que toutes les va-
leurs de j soient distinctes.
L'équation du degré n\ qui détermine les valeurs de /
peut être réductible; décomposons-la en d'autres irréduc-
tibles et désignons l'une d'elles (la résolvante) par
(3) F(j) = o.
Supposons-la de degré m.
Soient y\, y^_, . . ., /,„ ses racines. On a vu (74) que chacune
de ces racines pouvait s'exprimer rationnellement en fonc-
tion de l'une d'entre elles; on a vu aussi (73) que toute ra-
cine de (i) pouvait s'exprimer rationnellement au moyen
d'une quelconque des racines de (3).
On peut donc représenter les racines de (i) sous la forme
(4) ^i(ri), ^'2(71). •••, ^«(/i),
278 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
W^, W,, . . ., ^n désignant des fonctions rationnelles. Dési-
gnons par Al la permutation (4) des racines représentées par
cette série; si l'on change ji en y,,, Ai se changera en une
autre permutation A^- des racines a^i, x^, . . ., à savoir celle
qu'on obtient au moyen de la substitution qui change /i en
jk (75). On obtient ainsi m permutations des lettres Xi,
Xo, . . . , x„, à savoir
(5) A,, A2, ..., A,n.
qui se déduisent de Ai au moyen des substitutions
(6) I, S,, S,; .... S,„_i.
Nous allons prouver que ces substitutions forment un groupe.
On a, en effet,
/A=6(j,),
0 désignant une fonction rationnelle déterminée. La série A^
ou S/,_iAi pourra se mettre alors sous la forme
T,Oj„ V^eji, .... T„Oji
[en écrivant 5/i au lieu de ô(/, ) . . . ] et, en opérant avec la
substitution S^-i, on obtiendra pour la série des S^-iS^-iA,
^l'iV., ^'^Oj,. .... T„0/,;
car l'effet de la substitution S^_i est de remplacer l'i par y^.
Si la suite de ces racines coïncide avec une des suites A,
le produit S^_i S/,._i se trouvera dans la suite (6), et les sub-
stitutions de cette suite formeront un groupe.
Puisque 9{yi)=yk est une racine de l'équation irréduc-
tible (3), il faut que l'équation du degré m dont les racines
sont 9{yi), 9{y^_), . . ., 9(j,„) coïncide avec (3), et l'on doit
avoir, par exemple,
0(r,/) = r,.;
la série précédente coïncide alors avec la série A'.
Il est donc prouvé que les m substitutions (6) forment un
groupe. Ce groupe a été désigné par Galois sous le nom de
groupe de l'équation; nous le désignerons par G.
THÉORIE DE GALOIS. 279
Propriétés du groupe d'une équation,
190. Toute fonction rationnelle U des racines dont la va-
leur numérique n'est pas altérée par les substitutions du
groupe G peut s'exprimer rationnellement au moyen des
quantités connues.
La fonction U peut s'exprimer rationnellement au moyen
d'une des racines de (3), par exemple /i, de telle sorte que
l'on a
<p désignant une fonction rationnelle. Comme les substitu-
tions de G n'altèrent pas la valeur de U et que leur effet est de
permuter ji avec y 2, 73, ...,/„,» on a aussi
U = cp(j,) = ?(j3)-... = <F0;«),
et, par suite,
U - ;)-^ [ 'f (Ji ) -^ ? ( Kî ) ^ . . . -H cp {y,n )].
U s'exprime ainsi comme fonction symétrique des racines
de (3) et, par suite, peut s'obtenir au moyen des quantités
connues.
191. Une fonction rationnelle des racines qui peut s'' expri-
mer rationnellement au moyen des quantités connues reste
numériquement inaltérée par les substitutions du groupe G.
Soit B la valeur donnée de la fonction; en exprimant toutes
les racines qui entrent dans B au moyen de /i, on a
9(ji)=B,
cp désignant une fonction rationnelle; ji est donc une racine
de
qui doit, par suite, admettre les autres racines /2>j3» • • •>//«;
on a donc
?(J2) = B, ?0'3)-B, ..., o(/,„) = B,
28o QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
si bien que la fonction conserve la valeur B quand on effectue
les substitutions de G.
Ce théorème est encore vrai et la démonstration conserve
toute sa force quand B est irrationnel, pourvu que l'adjonc-
tion des irrationnelles contenues dans B n'empêche pas (3)
d'être irréductible.
192. // n'y a que les substitutions du groupe G qui laissent
invariables toutes les fonctions rationnelles des racines.
Considérons, en effet, la fonction
(a — Ji ) (a — j2 ). . . (a — Y,n)
où a est indéterminé; on voit facilement que celte fonction,
dont la valeur est rationnelle, ne resie inaltérée que par les
substitutions permutant y\, j.,, ..., y,„, c'est-à-dire parles
substitutions du groupe G. Une équation ne peut donc avoir
qu'un seul groupe; on doit donc trouver le même groupe
quelle que soit l'équation analogue à (3) dont on fait usage.
Ces équations par suite sont de même degré.
193. Si deux fonctions rationnelles des racines, cp e^ (|i sont
égales, elles ne cessent pas de l'être après avoir effectué une
substitution du groupe G.
Car leur différence est rationnelle; elle doit donc toujours
conserver sa valeur nulle après que l'on a effectué les substi-
tutions du groupe.
194. Le groupe G est transitif ou intransitif, suivant que
l'équation est ii-réductible ou non.
Si le groupe est intransilif il échange quelques racines
entre elles sans les échanger avec les autres; il ne change
donc pas une fonction symétrique quelconque de ces racines;
une semblable fonction peut donc s'exprimer rationnellement,
et ces racines seront les racines d'une équation à coefficients
rationnels; l'équation proposée est donc réductible.
THÉORIE DE GALOIS. 281
D'un autre côté, si l'équalion est réductible, on doit avoir,
pour des racines déterminées,
(a — .ri)(a — .r.,)...(a-.rp) = K,
OÙ a est indéterminé et K rationnel; ce produit ne conserve
sa valeur que si l'on permute ensemble aci, œ.,, . . ., Xp, ou si
l'on permute d'autres racines entre elles. G ne peut donc
contenir que des substitutions produisant ces permutations,
il est donc intransilif.
Si l'on ne garde, parmi les substitutions de G, que les cycles
qui contiennent x^, x^, ..., x,,, on obtient un groupe Gi-
Une fonction de ces racines, qui reste inaltérée par les per-
mutations de G,, mais qui est altérée par toutes les autres
qui permutent x^, x.y, . . ., Xp, est rationnelle, car elle n'est
pas altérée par les substitutions de G. Gi est donc le groupe
de l'équation qui a pour racines xi, x^, . . ., Xp.
195. La résulta/ite provenant de l'élimination dey entre
y'" -+- ai/'"-i -h. . .-¥- a„i = o
et
?o(/).r«-^?lO').r«-»-^...^-<f„(/),
où «1, «2» • • • ^ont rationnels et Oq, o,, ... sont des fondions
rationnelles, a son groupe impriniitif, et réciproquement
toute équation dont le groupe est imprimitif provient d'une
semblable élimination.
Soient /i, y.^, . . ., /,„ les racines de la première équation,
soient Xr^^, x^^, • • ■■, ^pn les racines de la seconde quand on
y remplace/ par yp; soit Pp une fonction symétrique arbi-
traire de ces n racines; la fonction
A = {cc — Vi){<X — i>,)...(ct. — V,n),
où a est indéterminé, est alors une fonction symétrique de
ji, j',, . . .,j',n et peut s'exprimer rationnellement. Le groupe
chercbé ne peut contenir que des substitutions laissant A
invariable, c'est-à-dire laissant Cj, r,, ..., (',« invariables ou
282 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITHE III.
les permutant entre eux. Ces substitutions échangent ainsi
les n racines du système
.rpi, .rp2, . . . . Xpri,
contre les n racines du même ou d'un autre système; le
groupe est donc imprimitif.
D'un autre côté, soit G le groupe imprimitif d'une équation
contenant les m systèmes de lettres
.rpi, .rp2, .... .rp,;,
pour p = I, 2, . . ., ?n. Posons
^'p=(?-.^pi)(13-.rp.2:)...(?-.rp„)
et
A = fa — (•!)(« — i',). . .(a — v,n),
où OC et ;3 sont indéterminés. A reste inaltéré par les substi-
tutions qui remplacent des lettres d'un môme système par
des lettres d'un même système. A reste donc invariable par les
substitutions du groupe et peut s'exprimer rationnellement.
A l'aide de A on pourra trouver toutes les fonctions symé-
triques de p,, ('2, . . ., v,„ sous forme rationnelle; c, ayant les
valeurs c,, r,, . . ., v,^, sera ainsi déterminé par une équation
de degré m à coefficients rationnels; quand Cp sera connu, JCr,
sera déterminé d'une manière analogue par une équation
de desré n dont les coefficients seront des fonctions ration-
Réduction du groupe au moyen de quantités adjointes.
196. L'ordre de G est le degré de l'équation irréductible
en r; si l'on adjoint de nouvelles quantités de manière à
rendre cette équation décomposable, on obtient un nouveau
groupe d'ordre moindre; comme les substitutions du nouveau
groupe sont déterminées par les racines de la nouvelle équa-
tion irréductible et que ces racines se trouvent parmi les
quantités /i, jo? • • •• y,>n le nouveau groupe est contenu dans
l'ancien.
THÉORIE DK GALOIS. 283
197. Si l'on adjoint la valeur r, d'une certaine fonction
rationnelle des racines, le groupe nouveau devient le groupe
des substitutions de G qui n'altèrent pas Zi.
;, ayant été adjoint doit être regardé comme rationnel;
toute substitution du nouveau groupe doit laisser inaltérée
la fonction ^1 des racines; le nouveau groupe est contenu
dans l'ancien : donc il ne peut contenir que des substitutions
de l'ancien groupe qui n'allèrent pas ^i.
Nous allons montrer que toutes les substitutions de G qui
n'altèrent pas ^i appartiennent au nouveau groupe; formons
une fonction rationnelle quelconque des racines exprimable
rationnellement au moyen de -i et des quantités connues, en
appelant Ui cette fonction et o un symbole de fonction ra-
tionnelle
d'où (193)
l'indice a indiquant que l'on a effectué une substitution
quelconque a qui se trouve parmi celles de G qui n'altèrent
pas ;;i ; on a donc
en sorte que la substitution a laisse invariables toutes les
fonctions qui peuvent s'exprimer rationnellement en Jj et
des quantités connues, a appartient donc, en réalité, au nou-
veau groupe après l'adjonction de 5,.
198. Si une fonction 9 des racines et une autre fonctions
restent inaltérées par les mêmes substitutions de G, cp peut
s'exprimer rationnellement en fonction de t..
En effet, si l'on adjoint tî, on obtient pour l'équation un
groupe réduit H. Ses substitutions laissent tt et 9 invariables,
9 peut donc s'exprimer ralionnellement au moyen de tt et
des quantités connues.
284 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
Adjonction des racines d'une équation auxiliaire.
199. Soit Zi une racine d'une équation irréductible auxi-
liaire dont les racines sont z-i, s,, . . ., z;,; nous admettrons
que l'adjonction de ^i réduise le groupe G. Alors l'équation
F(/)^ose décompose en d'autres irréductibles du même
degré, chacune d'elles peut servir à déterminer le nouveau
groupe ; soit
(I) o(j,^0 = o
l'une de ces équations ; on peut supposer que le coefficient
de la plus haute puissance de/ soit l'unité, les autres étant
des fonctions entières rationnelles de z^ de degré A- — i au
plus.
Si l'on divise F(/) par 9 {y,z) et si l'on égale à zéro les
coefficients du reste on obtient les conditions pour que F(j)
soit divisible par o{y, z); ces équations de condition sont
satisfaites pour z ~zi ei comme l'équalion en z est irréduc-
tible elles doivent être satisfaites pour z^=z.2, . . ., z ^ z/^.,
F (y) est donc divisible par 9(7, 5,), . . ., 9(7, z/,).
Le produit
(•2) ^l'O) = ?0', -1) 'fO-, =0) . . . oO;z,)
est une fonction entière de y et des quantités connues (les
valeurs de z ne sont pas ici regardées comme connues);
chaque facteur étant facteur de F (7), l'équation
(3) ^'(7) = o
ne saurait avoir d'autres racines que celles de F(7) = o, et
doit les admettre au même degré de multiplicité; donc on a
identiquement
(4) ^"(/) = [F(r)]'7.
Comme o{y, z^) = 0 est irréductible, les autres équations
analogues le sont aussi, pourvu que pour chacune d'elles la
valeur correspondante de z soit adjointe. Si, en effet, 9(7, z)
THÉORIE DE GALOIS. '.îSS
était divisible par 91 (y, z), pour ^ = ;, le reste de la division
de 9(7, z) par 91(7, -) devrait être nul pour z = z^, il devrait
encore être nul pour z:= Zi et 9(7, Zi)^=o serait réductible,
ce qui est en contradiction avec ce qui précède.
Lorsque deux des équations 9 = 0 ont une racine com-
mune, toutes leurs racines sont égales deux à deux; en effet.
(5) oCr,:;i).= o et ^(j,Z2) = o
ont toutes deux la racine 71, et si la première a, en outre, la
racine 72, 72 pourra s'exprimer rationnellement en 7,, et l'on
aura
(6) 72=00.),
9 désignant une fonction rationnelle. L'équation
(7) ?[0(7), :;i] = o
a alors une racine commune avec la première équation (5)
et par suite doit les admettre toutes; la fonction
est alors divisible par o{y, z) pour z=zzi et donc de même
pour z = Zo, de sorte que l'équation
(8) ?[0(j),32] = o
doit être satisfaite quand 9(7, ^o) = 0 l'est; parmi les racines
de cette équation se trouve 7,, en sorte que l'on a identi-
quement
(9) ?[9(7i), -2] = o ou 'j{y,,z2) = o;
d'oij il résulte que 7, est racine de la seconde équation (5) :
deux des équations 9 = 0 ont donc ou les mêmes racines, ou
toutes leurs racines différentes.
Soit 7i une racine commune à 7 de ces équations, ces équa-
tions devront avoir les mêmes racines; g autres équations
doivent avoir les mêmes racines, sans les avoir communes
avec les équations du système précédent, et ainsi de suite.
286 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
En extrayant la racine r/''"^'' de (4), on a alors, identique-
ment,
(lo) F(j) = (p(7, 3i)cp(7, Sa) ••• ?(/, 2/0,
oi!i 9(r,Ci), ..., o{y,z,.) désigjnent des facteurs de chaque
système; on a donc A =: qr.
Les racines z se partagent ainsi en r systèmes de q racines,
de telle sorte que l'on obtient deux groupes réduits différents,
suivant que l'on adjoint deux racines appartenant à deux
systèmes diff'érents, tandis que l'on obtient le même groupe
réduit pour deux racines d' un même système.
Dans le cas où le degré k de l'équation auxiliaire est un
nombre premier /j, on a ^=:i. F(/) est donc un produit de
p facteurs et l'on obtient l'ordre du groupe réduit en divisant
l'ordre de G par />.
Si l'on adjoint une fonction des racines d'une équation, on
adjoint en définitive une racine de l'équation irréductible
qui détermine cette fonction. Les valeurs de cette fonction
forment alors des systèmes analogues à ceux que nous venons
de considérer.
200. Les différents groupes réduits sont semblables.
Soient Hi et H, deux de ces groupes correspondant à -:,
et z.^; soient ji et/.2 des racines respectives de
Les racines de la première équation peuvent être mises
sous la forme
lu OiO-i), 6oO'i)- ••••
6*1, 9.2, .. . désignant des fonctions rationnelles.
On montrera, comme plus haut, que les racines de la se-
conde sont
j2, OiO-o. Ui^h ••••
Soit maintenant ï la substitution qui remplace ji parja»
THÉORIE DE GALOIS. 287
Sa, S^ les substitutions qui remplacent jj par 9a- (71) et jo par
Qkiy'i); on a
TSa. = S:i.T;
car ces deux substitutions remplacent Vi par B^iy-i); celte
formule établit la similitude de Sa- et S^; mais Sa est une
substitution quelconque du groupe Hj, SJ^. une substitution
du groupe H,; la substitution T transforme donc Hj en lïo.
Comme j, et y^ sont des racines quelconques de (3), une
substitution quelconque de G transformera un groupe H en
lui-même ou en un autre groupe H.
201. Si les racines de l'équation irréductible auxiliaire
peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l'une
d'elles, et si Vadjonction d'une de ces racines réduit G à II,
H sera permutable avec toutes les substitutions de G.
Si toutes les racines de l'équation auxiliaire peuvent être
exprimées rationnellement en fonction de l'une d'elles, en
les exprimant effectivement ainsi, adjoindre une racine de
l'équation auxiliaire, c'est les adjoindre toutes; les groupes
H,, H2, . . . que l'on a trouvés tout à l'heure doivent coïnci-
der; mais, puisque tous ces groupes peuvent être transformés
les uns dans les autres avec les substitutions de G, H trans-
formé par ces substitutions reste identique à lui-même : H est
donc permutable avec les substitutions de G.
202. Si l'adjonction de toutes les racines dUine équation
irréductible auxiliaire réduit le groupe G à H, H est permu-
table avec toutes les substitutions de G.
L'adjonction des racines en question revient à l'adjonction
d'une fonction 9 rationnelle de ces racines, dont toutes les
valeurs sont distinctes ; ces valeurs peuvent être exprimées
rationnellement en fonction de l'une d'elles, et les racines de
l'équation auxiliaire peuvent être exprimées rationnellement
en fonction de 9, de sorte que les racines de l'équation en cp
peuvent être considérées comme adjointes; notre théorème
résulte donc du précédent (201 ).
288 QUATRIÈME l'AKIIE. — CHAPITRE IH.
203. Dans le cas où le groupe G d'ordre in-=zkq contient
un groupe H d'ordre q, permutable avec toutes les substitu-
tions de G, G pourra se réduire à H en adjoignant les racines
d'une équation abélienne de degré k.
Soient
I, Si, S2, ..., S^_i
les substitutions de H; les substitutions de G peuvent être
distribuées en k séries : elles sont de la forme TaSp, où a a la
même valeur dans une même série.
Soient j'i, j.,, ..., j^^ les racines de F(j')^o, qui se dé-
duisent de ji pour les substitutions S, et soit
61= (3t— Ji)(a— J-2) ■•• (a— J7),
a désignant une indéterminée; 9^ reste inaltéré par les sub-
stitutions S, mais les autres substitutions changent sa valeur;
si donc on adjoint B^, le groupe de l'équation deviendra H.
Montrons maintenant que B^ peut être déterminé au moyen
d'une équation abélienne. Soient ôj, Q^, ..., Ok les valeurs
que l'on obtient en effectuant sur 9i les substitutions i, ï,,
T., . . ., T;t_i, et posons
A = (P-0,)(P-0.)...(8-e,.),
où (3 désigne une indéterminée.
Puisque H est permutable avec les substitutions de G, au-
cune des fonctions 9 (181) ne sera altérée parles substitu-
tions S. A ne peut donc être altéré par aucune substitution
TjîSa; car Sa ne modifie aucune des valeurs 9, et T ne fait
qu'échanger les valeurs des 9; on a, par exemple,
TpÔ3 -= TpT,0, = TySôOi = ô,,^.i ;
car TpTa fait partie du groupe G et doit avoir, à cause de
cela, la forme TySg.
Puisque aucune substitution de G ne modifie A, A pourra
s'exprimer rationnellement, ôj, 9,» • • • seront déterminés par
une équation du degré k, et l'on voit facilement que cette
équation est irréductible et abélienne, car les diverses va-
THÉORIE DE GALOIS. 289
leurs de 9 peuvent s'exprimer rationnellement les unes eu
fonction des autres, puisqu'elles restent invariables par les
mômes substitutions de G; leur groupe est d'ordre k et se
compose des substitutions qui permutent 9,, Q.^, ... de la
même manière que les substitutions T.
Si k est un nombre premier, les racines de l'équation abé-
lienne peuvent s'exprimer rationnellement au moyen d'une
équation binôme; on peut donc aussi réduire G à II en adjoi-
gnant un radical et les racines de l'unité.
204-. A présent, nous pouvons faire connaître les conditions
nécessaires et suffisantes pour qu'une équation puisse être
résolue algébriquement. Si une équation peut être résolue
algébriquement, son groupe doit pouvoir se réduire à la seule
substitution i, en adjoignant successivement les radicaux qui
se trouvent dans les racines et des racines de l'unité, de ma-
nière à connaître toutes les racines de l'équation en /. Le
groupe devra donc se réduire à i en adjoignant successive-
ment des racines d'équations de la forme
zP= A,
o\x p désigne un nombre premier et A une quantité connue
ou déjà adjointe. Cette équation est abélienne si l'on regarde
les racines de l'unité comme des quantités connues.
D'ailleurs, aux n°^ 199 et 203, on a montré que la condition
nécessaire et suffisante pour que le groupe G de l'équation,
d'ordre pcj, puisse être réduit par une telle adjonction, con-
siste en ce que ce groupe G contienne un groupe II d'ordre q,
permutable avec toutes les substitutions de G. Alors H doit
contenir un nouveau groupe permutable avec toutes les sub-
stitutions de H, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne
au groupe i. Ainsi
La condition nécessaire et suffisante pour qu une équation
puisse être résolue algébriquement est que son groupe con-
tienne un groupe et celui-ci un nouveau groupe, et ainsi de
suite, jusqu'à ce que l'on parvienne au groupe i; et cette suite
P. 19
agO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
de groupes doit être telle que chacun d'eux soit permutable
avec les substitutions du précédent, l'ordre de chacun d'eux
s" obtenant en divisant l'ordre du précédent par un nombre
premier.
205. Prenons, par exemple, l'équation générale du qua-
trième degré; son groupe est le groupe général du quatrième
degré et du vingt-quatrième ordre; ce groupe contient le
groupe alterné avec lequel ses substitutions sont permu-
tables; en adjoignant une fonction altérée des racines, le
groupe sera réduit au groupe alterné; c'est cette fonction que
l'on trouve quand, cherchant à résoudre l'équation, on est
conduit à extraire une première racine carrée.
Le groupe alterné contient un groupe du quatrième ordre
où les substitutions sont permutables avec un groupe alterné;
ce groupe est
I, (.r, .r,) (.r3,r4), (.rj .rs) (.r^ X4), {^x^x,^){x^_x^).
Au moyen d'une extraction de racine cubique, on détermine
une fonction qui reste inaltérée par ces substitutions, par
exemple x^x^_ -h x.^x,^; si l'on adjoint cette fonction, le groupe
alterné se trouve réduit au groupe du quatrième ordre con-
sidéré, qui, au moyen de deux extractions de racines carrées,
se trouve réduit au groupe i.
Le groupe général de degré n, qui est le groupe de l'équa-
tion générale de degré «, peut aussi, au moyen d'une extrac-
tion de racine carrée, être réduit au groupe alterné. Nous
allons voir tout à l'heure que, pour n>4, ce groupe est
simple, et alors ce groupe ne peut plus être réduit par l'ad-
jonction d'un radical; il en résulte que les équations géné-
rales de degré supérieur à 4 ne peuvent pas être résolues
algébriquement.
Voici maintenant la démonstration de la proposition que
nous avons admise : Supposons que le groupe G d'ordre \n\
puisse se réduire à un autre K d'ordre k oij kp r=z\n\, p dési-
gnant un nombre premier. K ne saurait contenir toutes les sub-
stitutions circulaires du troisième ordre. On peut donc for-
THÉORIE DE GALOIS. 29I
mer un groupe d'ordre 3 A- (161) contenu dans G, ainsi/) =; 3;
si « > 4» on peut montrer que p = 5, K ne contenant pas
toutes les substitutions circulaires du cinquième ordre; mais
p ne peut être à la fois 3 et 5; la réduction est donc impos-
sible pour « >4«
En réalité, cette démonstration ne diffère pas de celle que
nous avons donnée plus haut pour établir que l'équation du
cinquième degré n'était pas résoluble algébriquement.
292 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
CHAPITRE lY.
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS.
Équations abéliennes.
206. Nous avons déjà étudié les équations abéliennes. Aussi
montrerons-nous brièvement comment on peut leur appli-
quer la théorie de Galois.
Considérons une équation abélienne irréductible de de-
gré n, on aura
(1) .r.2=G(.x-i) ou a-,— 6(xi) = o;
le groupe de l'équation doit contenir une substitution qui
remplace x^ par x^\ soit
un de ses cycles; si l'on fait subir à (i) celte substitution,
on a
(2) e(xi) = x2, e(x2) = .r3, ..., e(j:,.) = '^i-
On voit alors facilement qu'une substitution du groupe qui
remplace une des lettres x^, x^, . . ., x,. par une lettre qui ne
fait pas partie de cet ensemble, doit les remplacer toutes par
de nouvelles lettres, sans quoi l'équation aurait des racines
égales; transformons une substitution entre les lettres a?,,
X,, . . .,x,. par une substitution qui les échange avec d'autres,
nous obtenons une substitution qui montre que /• racines
différentes des précédentes sont liées par des équations ana-
logues aux fonctions (2); s'il y a plus de /• racines, un autre
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. 298
système de /• racines sera encore lié par des équ^ilions ana-
logues, etc., elles substitutions du groupe ne pourront échan-
ger que des racines d'un même système avec des racines d'un
même système. Le groupe est donc imprimitif et l'équation
peut se décomposer en équations de degré r, au moyen d'une
équation auxiliaire.
207. On n'a donc à considérer que des équations dont le
groupe contient une substitution circulaire de toutes les ra-
cines et où ^2= 0(^, ). Toutes les racines peuvent alors s'ex-
primer rationnellement en fonction de l'une d'elles, et une
fonction des racines n'a que n valeurs. L'équation F(j) =:o,
qui détermine le groupe, est donc au plus du degré n : elle est
donc exactement de degré n, car le groupe est transitif et, par
suite, son ordre est divisible par n. Ce groupe se compose
d'une substitution circulaire et de ses puissances.
Soit y. une racine primitive de oc" = i , on voit facilement que
A = ( a xi -+- a- x-i -h ... -h .r „ )'^
est rationnel, car cette fonction n'est pas altérée par les sub-
stitutions du groupe. Si l'on adjoint a et '\fk, le groupe sera
réduit à l'unité; les autres substitutions changent, en effet,
ax^-\- a.^x^-\-. . .^ x,i; les racines seront donc exprimables
rationnellement en fonction de yA et des racines de l'unité.
Si le degré d'une équation abélienne est un nombre pre-
mier n, son groupe doit contenir une substitution circulaire
d'ordre n; l'équation sera alors résoluble algébriquement.
Si n n'est pas premier, et si le groupe contient encore une
substitution circulaire d'ordre «, on voit que l'on peut abais-
ser son groupe en adjoignant des radicaux à indices pre-
miers; par exemple, si « = 1 5 et si S est la substitution cir-
culaire,
I, s^ ss s», s'2
sera un groupe permutable avec les substitutions du groupe
primitif, et sera le groupe réduit en adjoignant les racines
d'une équation de la forme
2»= A.
294 QIATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
Équations de Galois.
208. Galois a étudié les équations irréduclibles de degré
premier p et dont les racines sont exprimables rationnelle-
ment en fonction de deux d'entre elles, et il a fait voir qu'elles
sont résolubles algébriquement.
Toute fonction rationnelle des racines d'une pareille équa-
tion pouvant s'exprimer rationnellement en fonction de deux
racines, l'ordre de son groupe est au plus /?(/? — i), et comme
ce groupe est transitif, son ordre est divisible par/?.
Nous avons vu plus haut (186) que les substitutions d'un
groupe de cette espèce, les racines étant x^, cc^, x^_, . . ., Xj,_f
sont de la forme
ou de la forme
(=:■> -a-
L'ordre du groupe est kp, k est égal à/> — i ou à un divi-
seur de /) — I, et a est une racine primitive de a'^ = i (mod/?).
Maintenant, posons
où a est racine de ' = o, désignons par X,, X3, . . . , X/f_,
les résultats obtenus en effectuant sur X, les substitutions
T, T-, . . ., T"^'-', et posons encore
A = (Xi+[3X,+ p2X3 + ...+ p^-XA.)^
[3 désignant une racine quelconque de .3;^ — 1 = 0. A doit être
rationnel, car il n'est pas altéré par les substitutions du
groupe, car la substitution S n'altère pas X,, X2, . . ., X^. et
la substitution T effectue des permutations circulaires entre
lesX.
APPLICATIONS DE LA THÉOniE DE GALOIS. CîqS
Si l'on remplace alors (3 par ses tlilTérentes valeurs, on ob-
tient k équations qui se ramènent au premier degré et d'où
l'on peut tirer X,,X2. . . . en fonction de vA et des racines de
l'unité.
Les quantités Xj, X., . . . étant connues, on en déduit ^o.
r,, . . . comme on l'a vu à propos des équations abéliennes.
En réalité l'équation donnée se réduit à une équation abé-
lienne par l'adjonction d'une de ces quantités, car alors le
groupe se réduit aux puissances de S. Donc :
Une équation irréductible dont le degré est un nombre
premier, et dont les racines sont des fonctions rationnelles de
deux d'entre elles peut se résoudre algébriquement.
Dans le cas où le groupe d'une équation irréductible de
degré p ne contient que des substitutions linéaires, chaque
racine peut s'exprimer en fonction rationnelle de deux d'entre
elles; car si l'on adjoint deux racines, le groupe se trouve
réduit à l'unité, puisque, mise à part la substitution i, les
substitutions linéaires déplacent au moins /> — i racines et
ne peuvent en laisser deux invariables.
209. Si une équation irréductible dont le degré est un
nombre premier p est résoluble algébriquement, son groupe
ne contient que des substitutions linéaires.
Si l'on adjoint tous les radicaux, pour réduire le groupe de
l'équation, il se trouvera un radical d'indice p, car c'est le
seul qui pourra faire disparaître le facteur p de l'ordre du
groupe. Dès que l'on aura adjoint ce radical, et pas avant,
l'équation sera réductible, et comme le nouveau groupe est
intransitif, son ordre ne peut être divisible par/>, et récipro-
quement l'équation ne peut être irréductible si l'on n'a pas
évincé le facteur /> de l'ordre du groupe.
L'équation donnée devient donc réductible après l'adjonc-
tion du radical d'indice />, et son groupe est devenu intran-
silif ou réduit à l'unité. Soit
H=(i,Ui,U,. ...)
296 QUATRIÈME PAUTIK. - CHAPITRE IV.
ce groupe. Avant l'adjonction du radical, le groupe conte-
nait toutes les substitutions de la forme
S désignant une substitution circulaire d'ordre/^ (ICI).
Les lettres se distribuent en systèmes, de telle sorte que
les substitutions U n'échangent que des lettres d'un même
système; H est permutable avec les puissances de S; celles-ci
ne peuvent donc échanger que des lettres d'un même sys-
tème avec des lettres d'un même système; comme ce n'est
pas le cas pour les puissances de S, H ne peut contenir que
la substitution i. La dernière adjonction doit être d'un radi-
cal d'indice p et auparavant le groupe était composé d'une
substitution circulaire et de ses puissances.
Comme le groupe se trouve réduit à l'unité par la dernière
adjonction, toutes les racines deviennent rationnelles, de
sorte que l'équation auparavant irréductible se décompose
actuellement en équations du premier degré.
210. Les adjonctions successives auraient pu réduire le
groupe sans rendre /(^) = o réductible; dans le cas où des
adjonctions réduisent le groupe G à H qui ne contient que
des substitutions linéaires, on peut montrer que G ne con-
tient non plus que des substitutions linéaires, et le théorème
précédent en résultera, car, le dernier groupe ne contenant
que des substitutions linéaires, cela aura lieu pour les autres.
Il reste donc à prouver que G ne peut contenir que des
substitutions linéaires, si le groupe H, obtenu par l'adjonc-
tion des racines d'une équation binôme, ne contient lui-
même que des substitutions linéaires. H doit contenir la sub-
stitution circulaire S d'ordre p et ses puissances; soit T une
substitution de G qui n'entre pas dans H, H est permutable
avec T, et T doit par suite transformer S en une de ses puis-
sances, car dans le groupe linéaire H il n'entre pas d'autre
substitution semblable à S que les puissances de S. T est
donc lui-même une substitution linéaire, car seules les sub-
stitutions linéaires transforment S en une puissance de S.
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. 297
Il est donc prouvé que la condition donnée par Galois pour
la résoiulDiiité d'une équation irréductible de degré premier,
sous forme algébrique, est nécessaire et suffisante.
Équations dont le groupe a pour ordre une puissance d'un nombre
premier.
211. Soit p"- l'ordre du groupe d'une équation irréductible
y(x)=o, p désignant un nombre premier. Comme l'ordre
du groupe est divisible par le degré de l'équation, ce degré
doit être une puissance de/?, yw'" par exemple.
Si l'on adjoint une racine Xi de l'équation, l'équation de-
vient réductible; chacune des équations irréductibles dans les-
quelles elle se décompose a un groupe qui ne contient que des
substitutions dont l'ordre est une puissance de p (19V), de
sorte que ces groupes ont pour ordre une puissance de p et il
€n est de même des degrés des équations correspondantes.
Puisque l'équation se trouve réduite par l'adjonction de x^
à d'autres dont les degrés sont des puissances de/? et que
parmi ces équations il en est une du premier degré, il faut
qu'il y en ait au moins p du premier degré; au moins p ra-
cines seront rationnellement exprimables en fonction de x^.
Plus haut (206) on a fait voir que le groupe de semblables
équations était imprimitif et qu'elles pouvaient être réduites
au moyen d'une équation auxiliaire. Le groupe de l'équation
réduite se compose de substitutions dont les cycles se trou-
vent dans les substitutions de G, et leur ordre comme le
degré de l'équation sont des puissances de p.
En divisant le degré de l'équation proposée par celui de
l'équation réduite, on a le degré de l'équation auxiliaire (195),
qui par suite est aussi une puissance de p. L'ordre du groupe
de l'équation auxiliaire est aussi une puissance de p, car ce
groupe se réduit à l'unité en adjoignant toutes les racines de
l'équation donnée. Adjoignons ces racines une à une; à chaque
réduction on doit parvenir à une équation irréductible dont
l'ordre du groupe et le degré doivent être une puissance de/>.
On voit ainsi que l'ordre du groupe de l'équation auxiliaire
298 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
doit être une puissance de p (199). On arrive au même résul-
tat en montrant que ce groupe est isomorphe avec G.
Les deux nouvelles équations peuvent être réduites de la
même façon jusqu'à ce que l'on tombe sur des équations
abéliennes de degré p. Comme le produit des degrés de ces
équations est égal au degré de la proposée, les racines de
celle-ci peuvent être exprimées au moyen de m équations
abéliennes d'ordre p.
212. D'un autre côté, l'ordre du groupe d'une équation,
qui peut être résolue à l'aide d'équations abéliennes de
degré/?, peut être abaissé au moyen de divisions successives
par le nombre/», jusqu'à ce qu'il se réduise à l'unité; l'ordre
de ce groupe est donc une puissance de/?. Donc
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation
puisse être résolue au moyen d'équations abéliennes de degré
p est que V ordre de son groupe soit une puissance de p. Son
degré est alors nécessairement une puissance de p également.
Ce tbéorème est une généralisation de celui qui fait con-
naître les conditions pour qu'une équation soit résoluble au
moyen de racines carrées, et que nous avons démontré plus
haut.
La démonstration qui précède montre qu'il n'y a pas
d'autres groupes transitifs d'ordre />"(« >i)que des groupes
imprimitifs. Cela résulte nettement de ce qu'il existe une
équation qui possède un groupe donné. En effet, chaque
groupe correspond à une équation; à savoir l'équation géné-
rale de même degré que le groupe quand on a adjoint une
fonction des racines invariable par les substitutions du groupe
et variable par tout autre substitution.
213. Supposons qu'un groupe G contienne un groupe H
d'ordre /J'^, /:> désignant un nombre premier. Toutes les sub-
stitutions de G permutables avec H forment un groupe K
d'ordre l^.p'^.
Supposons
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. C-QQ
les substitutions de K peuvent être rangées en séries, de la
forme
Ty, TySi, ...:
dans le cas où H est celui des sous-groupes contenus dans G
pour lequel a est le plus grand possible, il ne peut se trou-
ver, parmi les substitutions TySp, une substitution dont l'ordre
soit une puissance de p; s'il s'en trouvait en effet une, on
pourrait à l'aide de cette substitution construire un groupe
contenu dans Q, et d'ordre /?P ou (3 > a (161) ; comme l'ordre
de chaque substitution S est une puissance de p, elle ne peut
être semblable à une substitution ÏS.
Les substitutions de G peuvent être rangées en séries
comme il suit (chaque série a ^i.p'^ termes) :
I, Si, S2, ..., T, TSi, ....
U, US„ us.,, .... UT, ...,
U n'est pas permutable avec H, mais il pourrait l'être avec
un groupe contenu dans H, à savoir i, Sa, Sp, . . .; les sub-
stitutions S peuvent être écrites en séries comme il suit
I, s„
Sp, .
M,,
M,S«,
M,Sp,
M,,
M., Sa,
M2S3,
le nombre des substitutions M étant une puissance de p.
Si l'on multiplie à gauche les termes de la série
U, USi, US2, ..., UT, ...
par l'une des substitutions Sa, S;^, . . ., on retrouve la même
série à l'ordre des termes près. Au contraire, si l'on multiplie
les termes de la même série par une des substitutions M, on
obtient une nouvelle série, composée de termes différant à
la fois entre eux et de ceux de la série primitive. On déduit
ainsi de la série primitive autant de séries qu'il y a de substi-
tutions M; le nombre de ces séries est une puissance de p.
300 QUATRIÈME PARTIK. — CHAPITRE IV.
Si G contient un plus grand nombre de substitutions, avec
l'une d'elles formons de la même manière une série de sub-
stitutions dont le nombre soit une puissance de p, et conti-
nuons ainsi jusqu'à ce que nous ayons épuisé toutes les sub-
stitutions de G. Comme toutes les substitutions ainsi obtenues
sont différentes, l'ordre de G est
;jL/j^(l — p^-^i — p'^-'^2 ... I.
où p"^^, p'^^-, . . . sont les ordres des groupes contenus dans
H et qui sont permutables avec les substitutions U. Plusieurs
des nombres a^, a,, ... peuvent être égaux; ils peuvent
même être nuls, mais ils sont au plus égaux à a — i . La quan-
tité entre parenthèses a en tout cas la forme i -h np.
214. Nous allons étudier de plus près le groupe K et mon-
trer que jUL ne peut être divisible par/>. Puisque H est per-
mutable avec toutes les substitutions de R, on peut, si l'on
considère une équation dont le groupe est K, réduire K à H,
au moyen d'une équation auxiliaire du degré (j. dont toutes
les racines peuvent être exprimées rationnellement à l'aide
de l'une d'entre elles, et dont le groupe est d'ordre [x(203).
Ce groupe doit contenir une substitution d'ordre p, si /j. est
divisible par/?.
Cette substitution, par rapport aux quantités désignées
(203) par 0,, 5,, .... peut être remplacée par une des substi-
tutions T (203); la puissance p de cette substitution doit
laisser Ô,, 0^, ... inaltérées. Comme cela n'a lieu que pour
les substitutions S, T'' est l'une d'elles, ce qui exigerait que
l'ordre de T fût une puissance de p, ce qui est contraire à
notre hypothèse, /j. n'est donc pas divisible par/?.
On voit ainsi qu'un groupe d'ordre kp'^, où k n'est pas
divisible par p, doit contenir un sous-groupe imprimitif
d'ordre /»^ ou un groupe linéaire d'ordre /? si a = i . Le groupe
d'ordre p^ est contenu dans un autre d'ordre ^j-p^ avec les
substitutions duquel il est permutable, et l'on a
h — l±{np -^i).
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. 3oi
215. Si k<.p, on a A^=p.; soit alors ij.z=ij.jp^, où/», dé-
signe un nouveau nombre premier qui ne divise pas [j.i. Si
i^i</'i> l'équation auxiliaire de degré (x pourra être ré-
duite à une équation résoluble par radicaux, au moyen d'une
équaiion de degré /Jii; si l'on peut ainsi continuer jusqu'à ce
que l'on obtienne une équaiion auxiliaire dont le degré et
l'ordre soient des puissances d'un nombre premier, l'équation
proposée est résoluble algébriquement (Sylow, Math. An-
nale n, V).
Équation de Hesse.
210. Hesse a étudié une équation du neuvième degré, dans
laquelle deux racines quelconques a, b sont liées à une troi-
sième par les relations
c = tp(rt, /)), /)=o(a,c), a = o(b,c).
9 désignant une fonction symétrique et rationnelle.
On rencontre cette équation quand on cherche les 9 points
d'inflexion d'une courbe du troisième degré. Au sujet de ces
points on a le théorème suivant : toute droite passant par deux
points d'inflexion passe par un troisième point d'inflexion.
La condition pour que trois de ces points soient en ligne
droite prend la forme c = cp(a, b), où a, b, c sont trois ra-
cines de l'équation du neuvième degré qui détermine les
points d'inflexion. L'équation c = 9(a, b) n'est satisfaite que
si les trois points a, b, c sont en ligne droite.
217. Le groupe de l'équation ne peut contenir que des
substitutions qui remplacent les trois points a, b, c par trois
autres en ligne droite (193).
On peut prendre deux points sur neuf de 72 manières;
de cette manière chaque droite est obtenue 6 fois, et il existe
12 lignes droites distinctes passant par trois inflexions. On
arrive au même résultat en observant que par chaque point
passent 4 des lignes en question; leur nombre est donc
4x0:3^12.
302 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.
De 3 points en ligne droite partent donc 9 lignes droites,
abstraction faite de celle-ci; les 6 autres points se trouvent
donc sur les deux droites restantes.
Maintenant représentons chaque point d'inflexion par deux
indices; le premier de ces indices sera o, i ou 2 suivant que
le point sera sur la première, la deuxième ou la troisième de
ces lignes; sur les 9 lignes restantes choisissons-en 3 de la
même façon et donnons au point le second indice o, i ou 2 sui-
vant qu'il sera sur la première, la deuxième ou la troisième.
De celte manière les points seront représentés par les élé-
ments du tableau
(00) (01) (02),
(10) (n) (12),
(20) (21) (22);
les points représentés par les éléments d'une mèrae ligne ou
d'une même colonne sont alors en ligne droite.
On ne peut ranger ces points de manière à voir les 6 autres
lignes parce que 3 points d'inflexion au plus sont réels. Les
deux lignes droites que l'on ne voit pas et qui passent par
le point (00) sont nécessairement
(00) (11) (22).
(00) (12) (■11);
les autres lignes sont déterminées d'une façon analogue, et
l'on voit que si 3 points sont en ligne droite la somme de
leurs premiers et de leurs seconds indices est divisible par 3.
218. Désignons ces indices par .r et y, et considérons les
substitutions qui remplacent a: et j par ax -i- by -j- c et
«i^-h bif -\- Cl, les nombres étant pris suivant le module 3;
alors, après la substitution, 3 points en ligne droite seront
remplacés par 3 autres points encore en ligne droite, car si
^1 + JTo -H .rj = Ji — J-o -H Js = O,
on a encore
axi ■+- b/i-h- c -^ax2-+- bj'^-i- c -^ ax^ -\- by-i-h- c = o.
APPLICATIONS DE LA TOÉORIE DE GALOIS. 3o3
La notation
(.r, /; ax -T- bj -\- c^ a^x -+- hij -r- c^)
représentera une substitution des 9 points, si l'on exclut les
valeurs de a, b, «,, b^ pour lesquelles a^, — 6ai = o. Ces
substitutions forment un groupe, car le produit de deux
d'entre elles donne une substitution de même espèce, c etCi
peuvent être pris égaux à o, i ou 2 ; si c et Cj ont été choisis,
a et 6 ne doivent pas être à la fois nuls; si « et 6 ont été choi-
sis, a, et 61 peuvent être choisis de 6 manières différentes;
l'ordre du groupe est donc 9.8.6.
Le groupe en question remplace 3 points en ligne droite
par 3 autres points en ligne droite; nous allons voir qu'il
contient toutes les substitutions qui jouissent de cette pro-
priété.
Soit T une semblable substitution qui remplace (00) par
(a[3), (01) par (a, (3i), elle devra remplacer (02) par (a., (Sa),
de telle sorte que
la substitution
S = (jr,7; ax^hy^a, aix-^hyf^^^)
du groupe produit cet effet quand
si T remplace (10) par {y-^^-,)-, la substitution S produira cet
effet si
a -H a = as, <7i -1-^ = ^3.
On voit facilement que la substitution T est maintenant
bien déterminée, et cela par cette seule condition que 3 points
en ligne droite sont remplacés par 3 autres en ligne droite;
et comme la substitution S déterminée jouit de cette pro-
priété, S et T sont égales.
^04 QUATRIÈME PARTIK. — CHAPITRE IV.
' G contient ainsi les substitutions qui n'altèrent pas la va-
leur nulle de o{a, h) — c. Alors G est le groupe de l'équation
ou le contient.
G contient le groupe Gj formé des substitutions
où a est égal à i ou 2, et où c et Cj peuvent recevoir leurs
trois valeurs. Ce groupe du dix-huitième ordre est permu-
table à toutes les substitutions de G. Si l'on cherche 3 droites
contenant les 9 inflexions, on voit que G, ne contient que les
substitutions de G qui échangent ces lignes; comme il existe
12 lignes triples et qu'une ligne triple détermine les deux
autres, il existe 4 lignes triples qui doivent se déterminer au
moyen d'une équation du quatrième degré dont les racines
réduisent le groupe G à G,.
On peut encore réduire le groupe G à Gi en résolvant une
équation abélienne du degré 9.8.6; 18 r= 24. Cette équation
n'est autre chose que la résolvante de l'équation du quatrième
degré et se trouve résolue dès que celle-ci l'est. Au lieu de
réduire le groupe G à G, pour la fonction des racines, on
aurait pu le réduire par l'adjonction successive des radicaux
qui servent à résoudre l'équation du quatrième degré.
On divise ainsi l'ordre de G par 24.
Gi contient le groupe G, du troisième ordre
qui est permutable avec les substitutions de Gi; le groupe Q,
peut être réduit à G,, en adjoignant les racines d'une équa-
tion du troisième degré qui lait connaître les 3 droites d'un
triple, ou en adjoignant les radicaux qui servent à résoudre
cette équation.
Le groupe est alors réduit aux puissances d'une substitu-
tion régulière du troisième ordre; il est donc intransilif, et
l'équation se trouve réduite à 3 équations du troisième de-
gré; ces équations sont abéliennes, le groupe se trouvant
réduit à i en adjoignant une racine arbitraire.
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. 3o5
Groupe de monodromie d'une équation.
220. Soit
une équation contenant un paramètre indéterminé X ; pour
plus de simplicité, nous supposerons les coefficients numé-
riques. Si l'on suppose k connu, l'équation possède un groupe
déterminé G.
Une fonction rationnelle o de k et des racines qui reste
inaltérée par les substitutions de G peut être exprimée ration-
nellement au moyen de k et des nombres connus; elle doit
donc être monodrome par rapport à k, c'est-à-dire qu'elle
doit avoir une valeur déterminée pour une valeur donnée de
A-, et reprendre cette même valeur quand k, après avoir varié
d'une manière quelconque, repasse par sa valeur primitive.
La fonction reprend après la variation de k sa valeur numé-
rique primitive, mais sa forme algébrique peut avoir changé,
la variation de k pouvant avoir amené une permutation entre
les racines.
Si l'on fait varier /ren lui faisant prendre toutes les valeurs
réelles ou imaginaires, on produira des substitutions entre
les racines; ces substitutions forment un groupe, car si k en
suivant un chemin fermé produit une substitution S et en
suivant un autre chemin fermé il produit la substitution T,
en suivant successivement ces deux chemins il produira la
substitution TS. Ce groupe porte le nom de groupe de mono-
dromie par rapport à k. Nous le désignerons par H.
221. Les substitutions du groupe de monodromie naltè-
rent pas une fonction monodrome de k. En effet, si k suit un
chemin déterminé, il en résulte une substitution déterminée
correspondante, et, comme la fonction est monodrome, cette
substitution ne le change pas, puisque la fonction reprend la
même valeur quand k revient au même point, quel que soit
le chemin suivi.
P. 20
3o6 QUATUIÈMK PARTIE. — CHAPITRE IV.
Réciproquement, une fonction est nionodronie quand elle
n'est pas altérée par les substitutions de H. Car ces substilu-
tioiis correspondent à tous les chemins que peut suivre k.
222. Le groupe II est contenu dans G. Toutes les substitu-
tions de H laissent, en effet, une valeur rationnelle d'une
fonction rationnelle des racines et de k inaltérée, car cette
fonction est monodrome.
Mais il faut remarquer que II ne contiendra nécessairement
pas toutes les substitutions de G; en effet, de ce qu'une fonc-
tion est monodrome, il n'en résulte pas qu'elle puisse s'ex-
primer rationnellement par des quantités connues ; elle peut,
par exemple, contenir des radicaux et G ne se réduit à H
qu'après l'adjonction de ces radicaux.
223. Le groupe H est permutable aux substitutions de G.
Soit 4^ une fonction des racines invariable par les substitu-
tions de H, mais variable par les autres substitutions. Elle
sera monodrome en k et par suite exprimable rationnelle-
ment au moyen de k et de coefficients irrationnels; appelons
a, by c, ... ces coefficients; la fonction ^ satisfait à une
équation irréductible; on obtiendra des relations entre a, b,
c, . . . en écrivant que ^p satisfait, quel que soit k, à cette
équation. On peut donc former une équation telle que a, b,
c, . . . s'expriment rationnellement au moyen d'une de ses
racines (74), et, si l'on adjoint ses racines, G se réduira à un
groupe qui ne pourra contenir d'autres substitutions que
celles de H. Ce groupe sera donc H, car l'adjonction d'irra-
tionnelles numériques ne saurait réduire ce groupe. H est
donc permutable avec les substitutions de G (202).
224. Considérons, par exemple, l'équation qui fait con-
naître cos- au moyen de k zzz. cos^. Appelons x^, œ.2, . . ., x,^
ses racines, ou x-p=z cos — ; adjoignons cos^ et sin:;; si
z varie d'une manière continue, cos^ et sin^ reprennent les
APPLICATIONS DE LA THÉORIE DE GALOIS. Soj
mêmes valeurs quand z croît de 2p tï, p désignant l'un des
nombres G, I, 2, . . ., n — i; la racine a;,, se changeant alors en
x,.+p, le groupe de monodromie de l'équation par rapport à
sin^ et cos^ est le groupe linéaire de degré n
(r-^p
et, comme ce groupe est permutable avec les substitution;
du groupe algébrique, celui-ci a la forme
il se réduit au groupe de monodromie en adjoignant cos — ' et
sin — , car on voit facilement que dans ce cas
II
^(.r ,,+ ,,, r^,) =0,
OÙ ij; est rationnel et cette équation ne subsiste que pour les
substitutions du groupe de monodromie.
CINQUIÈME PARTIE
SUR LES FORMES.
COYARIANTS DES FORMES BINAIRES.
Formes et substitutions linéaires.
1. Nous désignerons par a% la forme binaire générale
d'ordre n
(i) a'j. = Uqx'I -;- - aix'l-^XQ~\ ^^ -aix'l~'^xl -4-. . .-h «„.r^',
OÙ «0) «ij • • •> «« seront ce que nous appellerons les coeffi-
cients; si l'on fait a":=o, et si l'on regarde x^ : x^ comme
inconnue, on obtient l'équation générale du degré n.
2. La forme est transformée par une substitution linéaire,
quand on pose
(2) -('i = aii;i + ai2?0) •■t'o = «21 ^i -t- «22 ^21
et l'on suppose le déterminant
(3) D= I '"
1 «21 «22 I
différent de zéro; si l'on a plusieurs formes analogues a'^,
b%', . . ., il sera sous-entendu qu'elles sont transformées par
la même substitution.
Quand on effectue la substitution, la forme se change en
une autre de même ordre, mais avec de nouveaux coeffi-
cients u'q, a\, .... qui dépendent des anciens et des coeffi-
cients de la substitution (2); on peut effectuer deux sub-
stitutions successivement: cela revient à effectuer une seule
3l2 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.
substitution, mais cette troisième substitution n'est pas la
même quand on change l'ordre dans lequel on effectue les
deux premières; toutefois, le déterminant de la troisième est,
en tout cas, le produit des déterminants des deux premières.
3. La substitution la plus générale résulte des quatre sui-
vantes {voir il) :
x, = Ai,,
Xq — /i;o
X\= çu
.ro=/^o:
•ï-i = ;i^^-i;o,
.ro = ^u,
dont les déterminants sont /.-, /, i et i. La substitution obte-
nue en les effectuant successivement aura pour déterminant
/î^l; c'est la plus générale, parce qu'elle contient les quatre
paramètres k, l, a^, a^, et l'on A^oit facilement qu'on peut les
déterminer sans ambiguïté quand on se donne les coefficients
de (2). Excepté pourtant lorsque ajj = o ou ao^^o; alors,
en effet, ils sont infinis; comme, dans ce cas, a,, et a,i ne
peuvent être nuls, nous admettrons encore une cinquième
substitution simple qui échange seulement les variables; elle
a pour déterminant — i et change a^ en «„_^.
Symboles.
4. Nous regarderons les lettres a, b, . . . , A, B, . . . , dans ce
qui va suivre, comme des s^^mboles dont les puissances seront
remplacées par des indices; ainsi nous aurons
(a)"=fin, («)o = rto, (A)3 = A3,
mais n sera toujours égal à ou inférieur à l'ordre de la
forme, car «„ n'a plus de sens dans le cas contraire. Nous
pouvons alors écrire
( 4) ^'5 = (.î-i-t- «a?o)«,
si, après avoir appliqué la formule du binôme, nous écrivons,
COA'ARIANTS DES FORMES BINAIRES. 3l3
au lieu du premier terme,
j:'l ( a ,ro )" = .r'/ ( ^/ )o ( ,ro )» = «o J.-'/ •
Nous considérerons ensuite une différentiation symbolique
pour laquelle nous ferons usage de la caractéristique Aj; elle
€onsistera à appliquer les règles ordinaires de la difl'érentia-
tion aux puissances symboliques. Ainsi, on posera
On voit donc que l'on n'a qu'à différentier en regardant les
indices comme des exposants. Nous donnerons encore quel-
ques exemples :
Ai(«i^('2 — '''!) = o, Ai<7i(7j =rto'^'3 -f-6a]a2«3.
Coefficients et fonctions transformés.
5. Lorsque l'on transforme la forme (i), on obtient une
forme de même ordre avec de nouveaux coefficients «„,
«1, . . . , et il en est de même pour toute autre forme. Soit u
une fonction entière et rationnelle des variables et des coef-
ficients d'une ou de plusieurs fonctions, homogène en o^,
et Xq. Si, dans u, nous remplaçons les coefficients par ceux
des formes transformées et x^, x^ par ^i, ^o respectivement,
nous obtenons une nouvelle expression u' . Maintenant, dans
u', remplaçons les nouveaux coefficients et les variables t\
et ^0 pai' leurs valeurs en fonction des anciens coefficients et
des anciennes variables; si alors a' ne diffère de u que par
un facteur dépendant seulement des coefficients de la sub-
stitution, on dira que u est un covariant de la forme, ou un
covariant simultané des formes s'il intervient plusieurs
formes dans l'expression de u. Les considérations qui vont
suivre ont pour objet la recherche des covarianls et leur
mode de dépendance. Pour obtenir des covariants, nous cher-
cherons les conditions pour que u reste invariable quand on
3l4 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.
effectue les cinq subslitulions particulières dont il a été ques-
tion plus haut.
6. La première substitution donne
a',, = h"ag, l\=Xi : h, ^q = -^0 : k.
On voit que tout covariantde a% doit être homogène par rap-
port aux coefficients de cette forme; si son degré par rapport
aux variables (que l'on appelle son ordre) est/?, si son degré
par rapport aux coefficients (que l'on appelle son degré) est
g, la substitution considérée multiplie le covariant par A"^-^.
Si l'on considère un covariant de plusieurs formes des degrés
n, /ij, /?,, . . ., et si les degrés d'un de ses termes par rapport
aux coefficients de ces formes sont respectivement g, g^y
g^, . . ., Ing sera le degré de tous ses termes et le covariant
sera multiplié par k^"^-p après la transformation.
7. La seconde transformation donne
a[j = lla,i, h',1 = l'ihq-, \ï = ••Ci, ^u = •^ol l-
Si l'on désigne par v le degré de A dans un terme kx^^x^^, en
y regardant les indices comme des exposants (c'est ce que
l'on appelle \e poids de A), ce terme sera multiplié par /^-?;
V — (3 doit alors avoir la même valeur pour tous les termes d'un
covariant. Si l'on ordonne le covariant comme les formes, le
poids de chaque coefficient devra être supérieur d'une unité
au poids du coefficient précédent.
8. La cinquième substitution change a„_^ en «^, x^ en Xq et
vice versa; ce changement ne doit pas altérer un covariant,
ou doit simplement le multiplier par — i. Soit
(5) Ao.rP-^^Ai.<-i^o-t-...+ Ap.rg
le covariant, la substitution change Aq en ± kp. Si y est le
poids de Ao, A^ sera de poids v -\- p.
Mais AflAp doit être de poids ^ng, car, si dans AoAp il entre
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 3l5
un facteur «^ ou b^, il doit aussi y entrer un facteur a^-py
bn
(6) p^^ng-i^>,
ce qui montre que l'ordre d'un covarianl est déterminé quand
on connaît le poids et le degré de son premier coefficient.
Si l'on effectue successivement la première et la deuxième
substitution, le covariant est multiplié par li^'^s-pp-=^ {k^iy.
Or k^l est le déterminant de la substitution résultant des
deux premières, la troisième et la quatrième substitution ont
pour déterminant i et ne changent pas le covariant, comme
nous le verrons plus loin; il en résulte que :
Une substitution quelconque de déterminant D multiplie
un covariant par D^, v désignant le poids du premier coeffi-
cient du covariant.
9. Nous avons vu que tous les coefficients d'un même cova-
riant u ont le même poids ou, comme nous le disons, sont ho-
mogènes en indice et sont de même degré, c'est-à-dire ho-
mogènes dans le sens propre du mot. On aura donc, en vertu
de cette dernière propriété,
du du du
(la -. r- Ot V- . . .-^ a„ ■ — (ru.
L'homogénéité en indice fournit une équation analogue.
Si nous faisons, en effet.
CH^'^ln
h,=f!n
nous aurons
'^ du
^d ^ dx^
..=2^-'^
cpi
du
"V^ du
, . du du du , du
o«i da^ da^ dbi
3l6 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.
10. La troisième substitution est
•^1 = ^1 -+- =^1 ;o) ^'o = ^0,
elle change a'^:= (.Ti— aj^^Y ^n
[;i-f-f;«-i-ai)ïo]".
Les coefficients de la forme transformée dépendent donc de
ceux de la forme primitive au moyen d'une équation symbo-
lique qui exprime que le symbole reçoit l'accroissement «j.
On a alors
( 8 ) <^'p = ( « -^ s'-i y = ^h' -^ - ^'p- 1^-1-^ ^—^ ^'p—î otf — . . . — «/',
ce que l'on peut encore écrire
(9) "7^= ^'p— Ai«p-' ^ Af (7/, —!-—...,
où Aj représente AiAj.
Nous avons là une analogie frappante avec la formule de
Taylor et, si nous observons que cette dernière formule peut
se démontrer en s'appuyant sur ce fait qu'elle est valable
pour aP et l'accroissement «i donné à a, et qu'on peut la
généraliser en considérant plusieurs variables recevant des
accroissements divers, on pourra l'étendre à des symboles;
si nous supposons que tous ces symboles reçoivent le même
accroissement «i, la formule de Taylor donnera
du du
Oa~ Où ~'
et, en faisant usage de la notation différentielle symbolique,
( 10) u' = u -h ^lU— -f- Af » — - -f-. . .,
u désignant une fonction entière des coefficients d'un
nombre quelconque de formes et u' la fonction transformée.
Si les variables entrent aussi dans a, on a
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. Siy
et l'on trouve
(11) « = « -r- Al « — .ro -— ai ^- A, « — xo --— h . . . ,
formule dans laquelle les exposants des parenthèses doivent
être considérés comme plus haut.
La formule (ii) montre que les covariants doivent satisfaire
à la relation
, , ^ du
(12) Ai«~ .ro^-- = o,
d'où il résulte
Si a^o et Xj n'entrent pas dans u, on a seulement
(i3) \iu = o
ou
, , à//. du du , du
(i4) «0 1 1- 2«i "i H.. .-)- ncin-i- \-bo-j- -^. ...
Au surplus, (12) peut être considérée comme un cas parti-
culier de (i3), si l'on y considère — a;^ et œ^ comme les coef-
ficients d'une forme adjointe du premier degré.
11. La diflférentiation symbolique abaisse d'une unité le
poids de chaque terme, sans changer les lettres; pour un co-
variant u, les termes de (12) qui contiennent les mêmes let-
tres au même degré doivent se détruire entre eux. Nous pou-
vons en conclure qu'un covariant est homogène par rapport
aux coefficients de toutes les formes ou se décompose en plu-
sieurs autres. Un covariant pourrait aussi se rapporter à des
formes contenant des variables différentes, œ^, ^1; fo, Ji • ■ ■;
il devrait alors être homogène par rapport à chaque paire de
variables, et dans (12) il s'introduirait de nouveaux termes de
la forme
du
3l8 CINQUIÈME PARTIE. — SUR LES FORMES.
12. La quatrième substitution transforme a'^. en
[^i(i — aa2)-4-«;o]'S
alors
7) p
rt^ = ( I -f- a a2 y-PaP = cip h ap^x =«2 -r- • • •
<^2 », «2
A, désignant une opération identique avec A,, à cela près que
Oq doit être remplacé par «„_,/, bq par hn,-q, .... On a donc
A2a„_i = <7,;, Ao*?,, — o.
La condition pour que u soit un covariant est alors
du
(i5) \iu—xi -— =0,
et l'on a, en général,
, r\ ' i K àii\ a. ( du Y ^-
(iG) u — u-^ t \,u — Xi - — h A,?/ — xi -^ — -^ -f-. . .,
^ ' \ dxj I V OJOqJ 1.-2
formule qui doit être généralisée comme (u), si l'on a affaire
à plusieurs paires de variables. Si les variables n'entrent pas
dans u, (i5) donne
{17; AoU = o
ou
, „ du , ^ ou du , du
dcio dcii da^^i dOo
13. Nous allons maintenant montrer comment les coeffi-
cients d'un covariant dépendent de l'un d'entre eux. Soit le
covariant
(19) K = Aox'i-r- ^-^ Aix^-' xo+ ^'^ ^^~'\,xf-'xl~...-^X^x^-^.~....
COVARIANTS DES FORMES BIXAIRES. Sig
Supposons que g soit le degré et v le poids de A^, de sorte
que
[jl = Il g — 2 V .
Nous avons vu que A^ est de degré g et de poids v h- 7.
Si nous appliquons à K la formule (12), nous trouvons
ot, comme cette quantité doit être identiquement nulle,
AiAo=o, AiAi = Ao, A, A., = 2 Ai, ..., Aj A.^ = ^yA^_i.
On voit que l'opération A, a le même effet sur les coeffi-
cients d'un covariant et sur ceux de la forme.
Appliquons à K la formule (i5), nous trouvons
A,Ao.r!^ + -^A,Ai.rr'.ro+'^''^~'^AoA.,x!f--^xg + ... + A,At,x^
'^A,.rï-i^l^A,rr.„
I
\x( u. — i)('u — 2)
d'où l'on conclut
AjA/, = 0, AoAp-i^A/;, ...,
A2A^= ([j. — f/)A^+i, ..., A2Ao=[JlAi.
Ces formules montrent que l'opération A^ s'applique d'après
les mêmes règles aux coefficients d'un covariant et aux coef-
ficients d' une forme de même ordre que le covariant.
De ces théorèmes, il résulte qu'ww covariant est entiè-
rement déterminé quand on connaît un quelconque de ses
coefficients, car au moyen des deux opérations on peut dé-
terminer tous les autres. En particulier nous remarquerons
que Ao satisfait à l'équation AiAq^o et A^ à l'équation
A2Ajx=:o. Les fonctions qui satisfont à ces deux équations
320 CINQUIÈME PARTIE. — SLR LES FORMES,
seront ce que nous appellerons des semi-invariants; ils se-
ront de première espèce ou de seconde espèce, suivant qu'ils
satisferont à la première ou à la seconde (').
Un covariant d'ordre nul satisfait aux deux conditions et
on l'appelle un invariant; pour un semblable covariant, on
a l.ng-=z-2v. Les deux espèces de semi-invariants se déduisent
les uns des autres en changeant aq en a„_ç, bq en b,i^-q, ....
Il en résulte qu'un invariant, par un semblable changement,
doit rester inaltéré ou changer seulement de signe selon que
son poids est pair ou impair; car le changement se produit
par la cinquième transformation.
Les covariants deviennent des invariants lorsque l'on re-
garde les variables comme coefficients de formes linéaires
dont le premier terme est négatif.
Semi-invariants.
\k. On voit facilement que
{ai — acioy
est un semi-invariant de première espèce, car
Ai(ai — r/(7o)!^= [J.(ai— aciQ)V--'^{aQ~ ciq) = o;
il se trouve représenté par a'^z=z(a:i-r- axo)^-, si l'on rem-
place a-i par «1 et ^o par — «o- l^ est nul identiquement pour
|jL= I ; pour les autres valeurs de ^x, on a, en divisant par a^,
qui est lui-même un semi-invariant,
(20) Co=«o> C2=feoOi — a'I, C3 = «^«3 — 3«o«iao — 2«f;
n est la plus grande valeur que puisse prendre ^.
A l'aide de ces n — i semi-invariants, on peut exprimer
en fonction entière tous les semi-invariants de a"^, après les
avoir multipliés par une puissance convenable de «y.
( ' ) Parfois, quand nous parlerons de semi-invariants, sans en désigner l'es-
pèce, il faudra sous-entendre qu'il s'agit de semi-invariants de première espèce.
COVARIAXTS DES FORMES BINAIRES. 321
Dans Cjj., le premier terme est a^'^ a^, et a^ n'entre que
dans ce terme. On peut alors éliminer d'un semi-invariant
donné U, au moyen des équations (20), les quantités a,i, (7„_,,
«„_2, . . ., «2 et l'on n'introduit ainsi que des dénominateurs
puissances de Oq; on obtient ainsi
U = A-4-Bai + C«ï^...,
A, B, C, . . . désignant des fonctions entières des c divisées
par des puissances de Cq. A, B, C, . . . sont ainsi eux-mêmes
des semi-invariants et l'on a
AjU = B«o + 2Cao«i -T-. • -,
et cette quantité n'est identiquement nulle que quand
B =C. . . =0, car les c et a peuvent être considérés comme
indépendants.
On voit, de même, qu'une fonction U, telle que A^ U ^ o,
peut être ramenée à la forme A + Ba,, etc.
D'une manière toute semblable on verrait que des semi-
invariants simultanés, abstraction faite de multiplicateurs
puissances de a^, bg, . . ., peuvent être exprimés en fonction
entière et rationnelle des c et de leurs analogues ainsi que
de semi-invariants de la forme a^b^ — boU^. Enfin, on aurait
des théorèmes analogues pour des semi-invariants de se-
conde espèce en changeant a^ en a„_,, etc.
15. Il est facile de trouver l'expression d'un semi-invariant
donné de a% en fonction des c. Si l'on pose, en effet, «i = o,
Cjx se réduit à a^^'ajj.; il suffit alors de multiplier le semi-
invariant par une puissance de «o telle que son degré de-
vienne égal à son poids (tous les c, excepté Cq, jouissent de
cette propriété ), et alors de poser «, = o ; on a ainsi l'expres-
sion demandée.
Par exemple, soit
en multipliant par al et en posant a, = o, on a
P. 21
322 COVARIAMS DES FORMES BINAIRES.
d'où l'on tire
C'est ce que l'on peut voir d'une autre manière.
Le semi-invariant doit rester inaltéré par la troisième sub-
stitution, et par suite quand on remplace a^ par
0(,-r- rja^^iai-
comme «i doit disparaître du résultat, on peut le remplacer
par une quantité arbitraire; nous le remplacerons par ^-^
Si nous multiplions par a'^, où v désigne le poids, «^ se change
en a^Cq, et si l'on divise par a^, où g- désigne le degré, on re-
trouve le résultat auquel nous sommes parvenus tout à
l'heure.
On aurait pu remplacer «1 par —; et en multipliant par
une puissance de rg, a^ se serait changé en a%; donc :
Un semi-invariant quelconque, multiplié par une puissance
convenable de Xq, peut s'exprimer sous forme entière au
moyen de «'J, a^"' , . . . .
Par exemple, on a identiquement
.rJ(<7o<Vv — 4«i'''3+ 3a|) — ciQa^ — 4«'i«l- -+- 3(«1-)-.
Ce théorème s'étend sans difficulté aux semi-invariants si-
multanés. On a, par exemple,
j'(,{a,^/ii — l^oUi) — UqÙ]- — l>Qf'x-
16. On obtient encore un groupe de semi-invariants en
posant
d^^= (a — /j)\^,
car on a
Airfu.= iJ.{a — b)\>-~U.i-i) = o.
Si l'on pose b = a, on obtient des semi-invariants relatifs
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 32.3
à la forme «"., qui, pour p. impair, s'évanouissent identique-
ment; ainsi
Ces quantités peuvent servir, au lieu de c.2, c^, . . . , à expri-
mer un semi-invariant; et, par ce nouveau procédé, on intro-
duira en dénominateur une puissance moins élevée de a^.
17. Il est facile de trouver la signification des semi-inva-
riants c; en effet, si en appliquant la troisième substitution
on pose «1 égal à ^ le second terme de la forme transfor-
mée s'évanouit et <7), se réduit à (a — ^^j qui, abstraction
faite du facteur a'^'^ , se réduit à c^,; donc :
Si l'on transforme la forme de telle sorte que son second
terme s'évanouisse, on trouve
Si l'on égale cette forme à zéro, on obtient une équation
dont les fonctions symétriques des racines pourront s'expri-
mer au moven de -^j ^," . . ., -^; ses racines dépendent des
différences des racines de l'équation non transformée; on a,
en effet,
•ri = ^1 ^0, .^0 = ço et .— = s
JTy
Ainsi
ô désignant la différence entre — et une autre racine.
324 COVARIANTS DES FORMES BINAIRES.
En ce qui concerne les semi-invariants de seconde espèce,
il n'y a qu'à remplacer les racines par leurs inverses. D'ail-
leurs, il est facile de voir que la troisième substitution ne
change pas la différence de deux racines et que la quatrième
ne change pas la différence de leurs inverses.
18. Si l'on remplace «i par — ^, Aq et Ai désignant les
deux premiers coefficients d'un covariant, on trouve
c'est un semi-invariant qui, multiplié par AJ% est ramené à
la forme entière. On obtient ainsi n — i nouveaux semi-inva-
riants par lesquels, à l'aide de Ao, un semi-invariant quel-
conque, multiplié par une puissance convenable de Ao, peut
s'exprimer sous forme entière et rationnelle. Aq, comme nous
le verrons, est un semi-invariant arbitraire qui n'est pas un
invariant; si l'on exprime de même Aq, on obtient une rela-
tion entre les semi-invariants dont on a fait usage.
En effet, comme celui qui correspond à c^ ne s'évanouit
pas, on a, dans ce cas, n semi-invariants, tandis qu'il n'existe
que n — i semi-invarianls c.
19. Il existe entre les opérations Aj et Aj une dépendance
que l'on met en évidence comme il suit : on a
^ Ou . ^ / ^ (^n-
si l'on forme Ai AoW et A^Aj u, on voit immédiatement que les
termes qui renferment des dérivées du second ordre sont
les mêmes; les autres sont
Z{iJ.^i){n-[}.)a,,,~ et Z^x^ji - ix ^ i)a,j, ~
On a donc, quel que soit le semi-invariant u,
(22) AiA2?i — AaAi?; = {n<^ — '2.v)u.
CO VARIANTS DES FORMES UIXAIRES. 3^5
Si II contient les coefficients de plusieurs formes, on doit
remplacer ng par ^ng.
Co variants.
20. Nous avons vu que les coefficients d'un covariant de-
vaient satisfaire aux deux séries de relations
AiAy=ryA^_l, A2Ây=([x — r/)A^+i.
En outre, on a
jjL désignant l'ordre du covariant, g le degré et v le poids de
Ao.
Nous pouvons montrer que la dernière condition peut rem-
placer une des séries de conditions trouvées plus haut, pourvu
que nous ayons encore égard aux relations
AiAo = o ou A2A[ji = o.
On a, en effet,
A2Ao=[xAi ou Al AoAo = [JtAi Al ;
mais
AiA2Ao= A2AiAo-^(2://ji; — 2v)Ao= [-lAol
donc
Al Al = Ao.
De plus, on a
A2 Al = {\x — i) A2, Al A2 Al = ( ;ji — i) A] A,,
mais
AiA2Ai = A2AiA,-f-(S/io-2v — 2)Ai
= A2Ao-+-([Jt — 2)Ai = 2([JL — l)Ai,
donc
AiA2=2Ai,
et ainsi de suite.
Tout semi-invariant détermine donc un et un seul cova-
riant.
SaÔ COVARIANTS DES FORMES BLXAIRES.
Le semi-invariant cf„ détermine la forme donnée (la forme
fondamentale).
Il en résulte que les covarianls dépendent les uns des
autres de la même manière que les semi-invariants qui les
déterminent. Si l'on a, par exemple,
Ao=BoCoH-Do,
et si l'on remplace Bo, Co et Dq par les covariants qu'ils dé-
terminent, on obtient un covariant dont le premier terme a
pour coefficient Ao, ce covariant n'est autre que celui qui est
déterminé par Ao, car il n'y en a qu'un qui soit ainsi déter-
miné.
Les théorèmes démontrés plus haut, sur les semi- inva-
riants, en donnent d'autres analogues pour les covariants;
ainsi l'on a, par exemple, le théorème suivant :
Un covarianl appartenant à la forme a", multiplié par
une puissance convenable de la forme fondamentale, peut
s'exprimer en fonction entière et rationnelle au moyen des
covariants déterminés par les c.
On démontre des théorèmes analogues au sujet des semi-
invariants de seconde espèce.
'•li. Nous avons montré plus haut que les semi-invariant*
sont simplement multipliés par une puissance de Xq quand
on y remplace a^, par a^; il existe un théorème analogue
pour les covarianls. En effet, un covariant n'est pas altéré
par la troisième substitution; on a donc identiquement
K = A;(j:i— aiXo)f^--i- - ^\{-^\ — aj^o)!^-^ -+-•• . — X'^x'^q,
ou, en remplaçant a^ par .2?i : x^,
K=A;,.zt
où AÎj,, représente la valeur transformée de Ajj,. Le change-
ment dont nous avons parlé remplace a^_ par «^' ; a-^-, en sorte
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 827
que A'^ acquiert le dénominateur jc^-^^- où v désigne le poids
de Aq', ainsi :
L/i covarianl multiplié par x^ est représenté par son der-
nier coefficient dans lequel on remplace a p, bq, ... par a'^,
hl ...."
On arrive au même résultat en donnant dans Ap au symbole
l'accroissemeril — — et en développant par la formule sym-
■i'o
bolique de Taylor,
Exemple. — A l'aide de c^ et pour «=^4» on forme un cova-
riant d'ordre
2.4 — 4 = 4,
on a
Ao=rto'''2 fl\; iXi^ f(nf(3— aiClo-, 6A2= <7o«4-i-2ai03 — 3rt|,
1X3= ai a^ — a^Os, A4. = «2 ^'4 — «L
et le covarianl peut s'écrire
pour n = 2, C2 est un invariant qui peut s'écrire
pour n = 3, c, donne le covariant
(«0 «2 — «î ) -^ 'î -^ ('"'O «3 — «1 «2 ) -^-'1 "f 0 -+- {fil «3 — a \ )xl
=.[ai«i-(«J.)2]:.r^
Formation de nouveaux semi-invariants.
22. Étant donné un semi-invariant, on peut en déduire de
nouveaux, en remplaçant les coefficients a^, «,, a,, ... par
une série de fonctions Aq, Aj, Ag, . . . pour lesquelles
AiAo=o, AiAi=Ao, AiA2 = 2Ai, ....
En vertu de ces équations la nouvelle expression s'évanouira
quand on la différentiera symboliquement, tout comme l'an-
cienne. Alors on peut remplacer aq par a^-i- kbq, â: désignant
328 COVARIANTS DES FORMES BINAIRES.
adjointe. Un semi-invariant H se transformera en
et comme k est arjjilraire, les coefficients de toutes les puis-
sances de k devront être des semi-invarianls. Ainsi, un semi-
invariant H en donne un autre
dE , ôti , dH ,
la différentiation symbolique donne
/ ,x * ^H dE dR du ^ cm
(94) A, — - = — , Al-— = — 2- — , ••-, Al- — ^ o.
Otto ocii ofti acii aa,i
La dernière équation montre que d'un semi-invariant on
peut en déduire un autre en différentiant par rapport au
dernier coefficient «„.
Les équations (2^) montrent encore que chaque dérivée
partielle détermine la suivante; H est donc bien déterminée
quand on connaît -— et en vertu de (7) quand on connaît -r —
(et l'on en dirait autant des semi-invariants simultanés).
On voit encore que si a^ entre dans H, a^__^, a^_^_, . . ., a^
doivent y entrer également. Dans un invariant, à cause de la
symétrie, il doit entrer tous les coefficients.
Si, dans un covariant, on regarde — x^ et x^ comme les
coefficients d'une forme adjointe — ^0^1 + ■^1^0» dételle sorte
que ^,^x^z= — Xq; A2 ^0 = — ^i> les conditions de covariance
deviennent des conditions d'invariance. On peut donc consi-
dérer les X comme des coefficients et les/ comme de nou-
veaux coefficients; du covariant K on déduit alors le nouveau
covariant
divisé par le degré de K en ^; on lui donne le nom de pre-
COVARIAXTS DES FORMES BIXAIRES. 829
mière polaire de K. Si K =:: Ag = (xi -f- A^o)'' on a, pour ex-
pression de celte polaire,
j,(.r, -V A.ro)/'-' -- Ajo (.ri + A^'o)^"» = A^.-' A| .
La première polaire de cette expression est la seconde polaire
de K; elle a pour expression A^r'A^. et ainsi de suite; d'ail-
leurs les polaires de K se réduisent à K si l'on fait y, = ^"1,
Soit, maintenant, Kj un covariant, avec deux paires de va-
riables X el y et de degré /• en /. Si l'on remplace / par x,
on obtient un covariant K; soit R la z-'^™^ polaire de K, Kj— R
doit alors s'annuler pour y^x (c'est-à-dire pour y^^zx^,
ji = ^i) et par suite il doit être divisible par ^i/o — /i^^o que
l'on appelle le coi^ariant identique et que l'on désigne par
{xy). On a alors
où K, désigne un covariant dont le degré en x et en y est infé-
rieur d'une unité au degré de Ki; si l'on traite K, comme Ki,
et ainsi de suite, on a le théorème suivant:
Un coK'ariant qui contient deux paires de variables x et y
peut se mettre sous la forme
Kl = R -+- Ri (.n) ^ R o(.rK)'-4- . . . ,
les R désignant des polaires de co^ariants indépendants
des y.
2i-. A l'aide du covariant K, formons le nouveau covariant
oao ddy Oa,i
OÙ nous pouvons remplacer les b par les coefficients de
(yi-o — -1/0)"; nous trouvons alors le covariant
, ,, c(K „ rJK „ , rJK „ , , . c)K „
foetji ont été jusqu'ici regardés comme des constantes;
33o COVARIANTS DES FORMES BINAIRES.
maintenant supposons-les variables, (26) est encore un co-
variant, car la relation ix=:2ng — 2 y est encore satisfaite;
posons K:= A|^ et remplaçons y par a:, (26) deviendra le co-
variant déterminé par le semi-invariant -— -^« La /•'«™'= polaire
de ce covariant et (26) ont une différence divisible par (^/)
(23).
On peut aussi pi-endre K égal à un invariant, (26) sera
alors un covariant d'ordre /*; si l'on pose dans ce covariant
ji =r «, jû = — I» on retrouve l'invariant, et en procédant
ainsi on déduit toujours d'un invariant un covariant d'ordre n ;
au contraire, un covariant d'ordre n ne fournit pas toujours
un invariant, le résultat pouvant parfois être identiquement
nul; nous pouvons donner, sous une forme remarquable, la
condition pour que les choses se passent ainsi. Si le cova-
riant A^ est déduit de l'invariant J, (26) donne
Ao= ' — j —nAi
()a,i
en sorte que
(27) (/J = Ao don — //Al dcin
Un covariant d'ordre n détermine donc de cette manière
un invariant quand le second membre de (27) est une diffé-
rentielle exacte; si cela n'a pas lieu, on obtient un résultat
identiquement nul.
25. Lorsque l'on a deux semi-invariants Ao etBo la formule
suivante en donne un nouveau
(A— B)' = AoB,.— '^ AiB,._i-^...,
pourvu cependant que /• ne soit pas plus grand que l'ordre
d'un des covarianls déterminés par Aq et Bq. Considérons la
polaire r'^""^ de l'un d'eux
Ar'-A;-.
et posons dans cette polaire Xo = o, ^'1 = 1, yoz=i, ji = — B;
'
//(// — I ) ^ di
1.2 ^ da,i-i
1 da,i-
1 -t-
n(n — i)
— Aodan-o — . . .
COVARIAMS DES FOKMliS BINAIRES. 33 1
nous obtiendrons le semi-invariant (A— B)'" que nous appel-
lerons le /•'^■™e composant de A et B.
Tout invariant est le n''^"'e composant de «o ^t d'an autre
semi-invariant; nous avons, en effet, trouvé
^^
J = l'A — rt)«, Ao= -T— •
"««
Ici, (A — a)«-i est identiquement nul; en effet, si, dans
n — i (il — i)(/; -2)
Aofl/j-l \ia,i—2- ; Aort/J-S — • • •
on fait
di , I f)J
Ao = Y — ) Al = ) • • • 1
oa,i n oa,i-\
le composant multiplié par n devient AiJ, c'est-à-dire zéro.
26. Tout semi-invariant est une somme de composants de
a^ et de semi-invariants, dont le degré est moindre d'une
unité.
Dans
g-H = rt„-T- rt„_i -t- ...— -— «7o,
° ()a„ àa„-i dao
nous écrivons le second membre
// n(n — \) ,
Ao«7j A «/i_i -! A a,i-i-T- . . . ,
OÙ, d'après {1^),
AiAo = o; A,A'=Ao, Ai A" =2 A',
nous poserons
A' = Ai^Bo,
A" = A2-+-'2Bi-4-Co,
A"' = A3-i-3B2-^3Ci + Do,
Ao, Bo, Cû, ... désignant des semi-invariants de degré g — i.
332 COVAUIANTS DES FORMES BINAIRES.
On obtient alors
(28) -H - (A - o)'^ - Y (B - «)"-' -^ 'li^LlZll (C - «)«-2_^ . . .^
comme il est dit dans le théorème énoncé. Il est sous-entendu
que les ordres de Aq, Bq, Cq, ... sont assez élevés pour que
les compositions puissent être effectuées; tel n'est pas le cas
lorsque le covariant dérivé de Ao est d'un ordre inférieur à
2/1, les ordres de Ao, Bo, Co, ... allant en diminuant de deux
unités. Nous supposerons, par exemple, Do = o, et nous sup-
poserons que la formation de C2 ne puisse pas être effectuée.
(La difficulté se présente dans le dernier terme d'une des
équations précédentes.) On a alors
A'" = As+SBo^SCi,
A"= A4+4B3^ "iK,
où K est à déterminer; or, de AiA'^'= 4 A"', on tire
AïK = 3Ci;
de ce que C2 ne peut pas être formé, cela doit tenir à ce que
AjCirzro, en sorte que Cj est un semi-invariant de seconde
espèce; il faut montrer qu'il n'existe pas de fonction en-
tière K, telle que AïK soit un semi-invariant de seconde es-
pèce. En d'autres termes, il faut montrer que l'équation
A2 Al u = o ne peut être satisfaite que si Aj « = o.
Supposons que u soit une solution, effectuons une permu-
tation symétrique sur les indices; nous obtiendrons une nou-
velle fonction Ui, et alors AiAo^i — o et, par suite,
AjAi Aoio = o;
ce qui nous donne, pour la première équation, la nouvelle
solution A^Ui.
Soient g le degré, v le poids de u, A2 «1 sera de degré g- et de
poids ng — V -h i. Supposons que u soit celle des solutions
de degré g qui a le plus petit poids, alors
COYARIANTS DES FORMES BINAIRES. 333
Ai« est un semi-invariant de seconde espèce, et si p. désigne
l'ordre du covariant correspondant
ce qui est en contradiction avec ce qui précède, puisque p.
est positif ou nul. Ci doit donc être nul, et le tliéorème est
vrai dans tous les cas.
Nous avons alors à notre disposition un moyen pour former
tous les semi-invariants; en effet, en composant a^ avec lui-
même on forme les semi-invariants du second degré; en com-
posant ceux-ci avec «o> on a les semi-invariants du troisième
degré, et ainsi de suite.
Exe/)iple : A\ecA(,— Co, « = 3,on forme rinvariant[uoiV(2i)]
R = 2(Â — A)2 = 4 (Ao A, - Af ) = i{aoa.2 - af ) {a^ a^ — a?, )
— (rto«3— «iwa)--
Pour n -= 4, on a
i2(AoA.2 — Af j = 2(<7ort2 — «D («oa4-f-'2 0irt3 — 3 al) — 3(«7o'''3— «"'K'a)")
ce qui est un semi-invariant du quatrième ordre (ordre du
covariant correspondant).
Pour «=: 27 -i-i, on a «0*^27+1 "* ••• 6*' <^'^ difïérentiant par
rapport à «27+1, on a un semi-invariant
62^+1 = «^«27+1 + • • -,
Ces semi-invariants et ceux que nous avons appelés «^2» d^,
dg, ... peuvent servir à exprimer tous les semi-invariants
sous forme rationnelle, avec des dénominateurs qui sont des
puissances de «o» et l'on pourra obtenir ainsi, ordinairement,
des puissances moins élevées de «0 en dénominateur, que si
l'on employait les c et les d.
27. Nous avons vu que tous les semi-invariants, multipliés
par une puissance convenable de ciq, pouvaient s'exprimer
en fonction entière des c, et, en faisant usage des d et des e,
334 COVARÎANTS DES FORMES BINAIRES.
nous avons vu que celle puissance de «o pouvait être abais-
sée; on peut se demander si, en introduisant de nouveaux
semi-invariants, on peut parvenir à réduire ultérieurement
cette puissance de «„•
On peut enfin se demander s'il n'existe pas un nombre fini
de semi-invariants d'une forme permettant d'exprimer sous
forme entière tous les autres. C'est ce qui a lieu effective-
ment, et Gordan en a donné une démonstration très compli-
quée en considérant successivement tous les semi-invariants
de degrés croissants, en écartant ceux qui peuvent s'expri-
mer en fonction d'autres de degrés moindres; nous ne par-
lerons pas de cette démonstration, mais renverrons à celle
beaucoup plus simple de Hilbert {Mathematische Annalen,
Bd. 33). Sylvester a donné, à l'aide de longs calculs, le
nombre des semi-invariants nécessaires jusqu'à « = io {Ame-
rican Journal, Bd. 2). L'auteur du présent Traité a poussé
les recherches de Hilbertplus loin {Acta mathematica, Bd. 15 ;
Théorie der regulâren Graphs) et a obtenu des résultais
qui permettront peut-être de trouver directement les semi-
invariants en fonction desquels on peut exprimer les autres.
Nous exposerons ici un problème dont la solution sera né-
cessaire pour arriver à ce but.
Si l'on considère l'expression
Pi = (.ri — ,r, )-A f .ri — .rs)". . . . (.r„_i — a-,,)'^;^,
oii P, est de même degré par rapport à tous les oc, et si l'on
forme la somme 2P relative aux valeurs que prend P quand
on y permute les x, ce sera une fonction symétrique, qui est
susceptible dans des cas particuliers de s'annuler identique-
ment. Le problème dont nous avons parlé a pour but de
caractériser les expressions Pi qui jouissent de cette pro-
priété.
28. Le premier composant de A» et Bo est
Dn=(A — B)'= AoB,-BoAi.
On l'appelle le déterminant fonctionnel ûe. Aq et Bq (à pro-
prement parler, c'est celui des covarianls correspondants):
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 335
si l'on forme le déterminant fonctionnel de D^ et d'un autre
semi-invariant Co, on a
DoCi — CoD, = AoBiCi-A,BoC,-AiB,Co-A.,BoCo
= -^[Bo(A-C)^+Co(A-B)2-A,(B-C)2],
ce qui permet d'exprimer le déterminant fonctionnel an
moyen de formes d'un degré moindre.
Le produit de deux déterminants fonctionnels est donné
par la formule
2(AoBi-BoAi)(CoD,-DoCi)
=— AoCo(B-D)2-vAoDo(B-Cr--BoCo(A-D)2-BoDo(A — C)5.
On appelle forme hessienne de Aq la quantité AqA, — A7,
Le second composant de cette quantité et de Ao est, si l'on
suppose que Aq détermine un covariant, d'ordre ft
(AoAo — Af)A2- (A0A3- A, A,)A,
-h - — ^- Ao[2A,A3+([JL — 3)AoAi-(!JL- i)A|]=. -^^-^^AoDi-
4;x — 10 "^ - 4[J. — 10
où D4 est formé d'une manière analogue à d,,.
Systèmes généraux de formes jusqu'à « = 4.
29. Nous supposerons que nous n'ayons affaire qu'à une seule
forme fondamentale de degré «14, et nous déterminerons
le système de formes qui lui correspond, c'est-à-dire les semi-
invariants nécessaires et suffisants pour pouvoir exprimer
tous les autres. Pour y parvenir, nous établirons le théorème
suivant :
Si, dans un semi-invariant d'une forme a", nous rempla-
çons respectivement a^, a,, a^, . . . , a,^ par o, ag, 2 «1, . . . , nan-i,
nous obtenons un semi-invariant.
Un semi-invariant u peut se mettre sous la forme
U = X -h B<70)
336 COVARIAXTS DES FORMES BINAIRES.
A ne contenant pas «o- ^ous poserons
ou
âa,
du ^ du du
dcii ' (Ja3 ùa,i
et, comme A, u = o, on a
A'i A -r- Oo-^lB)
où «0 n'entre pas dans A[\; cette équation se partage alors
dans les deux suivantes :
àX ÔX „ .)A
-— - -T- Al B = o, 2«i ^3^7-: ^...= 0,
w/i 0(1-2 ' da^
Si dans A on met «o à la place de a^, 2 ai à la place de a,, etc.,
A se changera en A' et l'on aura
dX' dX' , dX!
aç^^- -r-icii —-—■. .-^{n — i)«„_2- = o,
o«i da-i da,i-i
formule qui montre que A' est un semi-invariant de a^'K Si
g et V sont le degré et le poids de a, le degré g' et le poids v'
de A' seront
S — §1 V = V - g.
On passe facilement de A' à A. Quand on connaît A, u n'est
pas en général déterminé, B ne l'étant pas. Mais si l'on a
«1= A + Biao, «2 = A. -f-Bgaoj on a
«1 — "2= (61 — 62)^/0,
Bi — Bo désignant un semi-invariant de degré g — i.
30. Pour n z= 2, on voit facilement que a^ et c-i constitue le
système général de formes et que a*cf est la forme la plus
générale d'un semi-invariant.
Si II = 3, nous allons voir que le système général de formes
est
ao, C2=«o«2 — rtj, C3=alci3 — 3«o«i«2-î- 2rtf
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. SSj
et l'invariant
On a les valeurs suivantes de A'
rtj, al, alc^.
Tous les A' qui peuvent être formés à l'aide des semi-
invariants de aj. appartenant à a^, ils ont la forme a'^c^, mais
ici a et (3 ne sont pas arbitraires, car pour m on a 3^^ 2v et
pour A', par suite, 3 «■'^2(v'+^'); d'où g'^2v' ou oc ^2(3. Ils
peuvent tous s'exprimer comme produits des trois semi-inva-
riants trouvés, excepté si a := 2|3 h- i. Ce cas ne peut pas se
présenter, car u aurait la forme
U ~ OiRr'-T- «oB,
d'oiî
o = Al ii = <^/o H? -;- «0 ^1 B,
où
AiB=— HP,
ce qui est impossible (26).
Si nous considérons un u arbitraire, nous pouvons en dé-
duire l'A' correspondant et l'exprimer sous forme entière à
l'aide des trois A' spéciaux, et si l'on remplace ces A' par les
semi-invariants H, c,, Cg, on a u exprimé à l'aide de ces quan-
tités à un terme près de la forme a,,"! qu'il faut calculer de la
même manière, ce qui prouve que si le théorème est vrai
pour le degré g — i, il l'est pour le degré g; il est donc dé-
montré.
Si n = 4, nous allons prouver que le système général de
formes est
«0, Co, Cs, i = a^jO'^ — ^(iiOz-^- "ial,
j = {a^a^ — «f)rt4-T- la^aid^ — a\ — a<^a\
Clg cil «2 I
«1 «2 «3 I ,
I a-i «3 «4 I
p. 22
338 COVARIANTS DES FORMES BINAIRES.
<■ et / désignant deux invarianls. Les A' sont
al, al, C.2, C3,
et il faut prouver que tous les A' peuvent s'exprimer sous
forme enlière à l'aide de ceux-ci.
Nous trouvons, comme plus haut, ^'=v'; si l'on exprime A'
en fonction des c et a,, (14), «o ne peut entrer en dénomina-
teur, car pour tout c le degré et le poids sont égaux : tout A'
doit donc se composer de termes de la forme
Si a > T, a^ peut s'exprimer à l'aide de a^ et al, et nous
avons seulement à examiner le cas où A'— «oc^cj. Mais on
peut voir que ce cas ne peut pas se présenter; en effet, on
aurait
Il = /?! S -1- «0 Br
OÙ s est un semi-invariant de aj.; pour A', on a g' = -<y-\-i
et pour u, 2ff = v^ i, et pour B, 2^2^= "■>%', c'est la condition
pour que B soit un invariant, et nous voyons comme pour
n=z3 que l'équation est impossible. Donc tous les A' peuvent
s'exprimer à l'aide des 4 considérés plus haut; nous en con-
cluons que le système de formes est composé de
et des invariants / et/.
Nous n'avons considéré que des semi-invariants de pre-
mière espèce, mais ils peuvent servir à former tous les cova-
riants.
31. La signification des covariants et des invariants consiste
en ceci : en les égalant à zéro, on obtient les propriétés des
formes qui restent les mêmes quand elles subissent des sub-
stitutions linéaires. Le discriminant exprime une semblable
propriété et est un invariant; poura^, c'est la quantité H écrite
plus haut. Nous allons chercher, comme exercice, la condi-
tion pour que les points racines de a^ = o, ou les zéros de a^.,
forment une proportion harmonique ou une division harmo-
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. SSg
nique sur une droite, en les considérant comme des abscisses
de points en ligne droite; cette propriété n'est pas altérée
par une substitution linéaire, et nous pouvons supposer les
abscisses de nos quatre points égales à o, i, oo et — i; alors
l'équation a la forme
4^i^o(ri — ?o) = Oi où ^0 = <^'2= «i= o, fii=i, ^3 = — i;
on trouve y = o, condition qui convient à toute équation du
quatrième degré.
Pour former le discriminant de a^, nous observerons qu'il
est du douzième degré par rapport aux racines de a^ = o, a,,
est de degré q par rapport à ces racines; le discriminant est
alors un invariant de poids 12 et, par suite, de la forme
ai*+ {3y% a et|3 désignant des constantes dont le rapport est
à déterminer (si nous faisons abstraction d'un facteur com-
mun); nous considérerons, pour cela, une équation simple
de discriminant nui, par exemple
.t'i — .r?,r? = o.
G
ce qui donne pour le discriminant
«3 = «4
Les covariants égaux à zéro fournissent des points qui sont
liés aux points racines des formes fondamentales par des re-
lations qui restent inaltérées par une substitution linéaire.
Par exemple, les formes a% et bj, ont pour semi-invariant
a^bi — b^ai et pour covariant correspondant
{af,bi — 6o«i).rj -i- {a^bi— ^o«2)-fi.ï'o-i-(«i^2— ^i«2)-^o !
les points racines de celte équation forment une division har-
monique avec les points racines de chacune des formes al,
bl {voir p. i64).
340 FORMES QUADRATIQUES.
Formes quadratiques à plusieurs variables.
32. La forme la plus générale d'une forme quadratique à
Il variables est, en supposant «/,/= «//„
(i) f= aiix\ -\- iaiiXiXn-\- a.inx\ +...-+- a,i7i-^fi= ^OkiXkXi;
elle sera transformée par une substitution linéaire générale
si l'on fait
/ x^= aiiJi-i-ai2r2-4-...-+-ai„j„,
(2) j ,
OÙ le déterminant de la substitution 1±a.^y(Xz^_, . . . a„,j n'est
pas nul. Nous supposerons les a et les a réels.
Nous avons vu plusbaut (p. 85) que /pouvait être ramené,
et cela de plusieurs manières, à la forme
( 3 ) /= A, j? -^ A, j| + . . . + A^j/5 ,
es A étant réels et les / désignant des fonctions linéaires et
homogènes des a:; nous supposerons ces fonctions linéaire-
ment indépendantes les unes des autres; si cela n'avait pas
lieu, on pourrait toujours remplacer un certain nombre des y
par leurs valeurs en fonction des autres et effectuer de nou-
veau la décomposition en cai-rés; en tout cas/?;: /?.
33. Si l'on ramène f de deux manières à la forme ( 3 ), dans
les deux cas le nombre des termes sera le même.
Supposons, en effet, que l'on ait identiquement
Aijï-HAa/i 4-...-T- A/,_}-2 =BiY2 + B2Y| +. . .+ B^Y|,
OÙ q>P' Les / étant linéairement indépendants, nous pou-
vons exprimer x^, x^_, . . ., Xp en fonctions linéaires de yi,
fn, • • -1 fp 6t des autres x et porter leurs valeurs dans Yi,
Y2, . . . , Y,j, qui deviendront des fonctions de ji, j^, . . . , j^,,
Xp+i, . . ., x,i. En différentiant la relation trouvée par rapport
FORMES QUADRATIQUES. 34^
à ocp^y, on obtiendrait une relation entre les Y qui serait
linéaire, ce qui est contraire à nos hypotlièses. Donc q^p .
Dans tous les cas, il y aura un même nombre de coefficients
A et B positifs et négatifs.
Supposons Al, A2, . . . , A,, positifs, Bi, B,, . . ., B/ négatifs,
et les autres A négatifs, les autres B positifs; si le théorème
n'est pas vrai, nous pouvons supposer r -^ l<Cp. Si l'on pose
Jl=j2 = .--=J/-= Vi=y2 = ...= Y/= O,
on pourra de ces équations tirer un certain nombre des œ en
fonction des autres et porter leurs valeurs dans l'équation
Al jf -^ A^ji -^. . . = Bi Y? -+- Bo Yl . . . .
Si tous les Y s'annulent, c'est qu'il existe entre eux des
relations linéaires, ce qui est contraire à nos hypothèses; s'ils
ne sont pas tous nuls, le second membre de l'équation pré-
cédente sera positif, tandis que le premier sera négatif ou
nul, ce qui est absurde.
Substitutions orthogonales.
34. 11 y a des substitutions linéaires qui changent l'expres-
sion
x\ -h .ri -h . . . ■+- x%
€n
on leur donne le nom de substitutions orthogonales. Il est
facile de voir qu'elles satisfont aux relations
<4) a.\p-\~alp^...-^a.%p = \ (/> = i, 2, . . . , «)»
(5) ai/,ai/-+- aoA-ao/-!-.. .-+-a«^a„/= o {k,l = i , -2, . . . , n; k^l).
En vertu de ces équations, si l'on multiplie la première
équation (2) parait, la seconde par «2^, ... et si on les ajoute,
on a
<6) jr /i-=ai/tJ^i-l-a-2A-^2 -*-••• -H a«A.^rt (/i = i, 2, . . . , «),
342 FORMES QUADRATIQUES.
et l'on reconnaît, en vertu de yl -^ yl -h . . .■= x\ ^ a-l -\- . . .
que cette substitution est encore orthogonale.
Pour n =: 2 elrt=:3, les substitutions orthogonales repré-
sentent des transformations de coordonnées rectangulaires
sans changement d'origine.
35. Nous allons essayer de ramener / à la forme (3) au
moyen d'une substitution orthogonale; nous supposerons le
problème possible, quitte à le démontrer plus loin.
La formule
(7) f=ktYl-^AoXl-h...-^Anfh
donne
dxi
2 A ^y^-
Cette équation, étant identique, subsistera en remplaçant œ^
œ.2, . . . , Xn par ai/,., a^,,, • • • ? (^'■nk, valeurs annulant les y, ex-
cepté j'i qu'elles rendent égal à un, et alors on aura
«a «lA-f- Cli2 22/.- -I- . . • — Uin^nk = Aa a/A- (/ = 1 , 2, . . . , «)
ou
/ («11 — A/,) a,/,-;- «12X2^. -^. . .^-«i„2„A = o,
(8) \ an^xa^iciii— -^k)^U' — - ■■ — ain'-'-nk^o,
d'où nous tirons, en éliminant les a et en remplaçant k/,.
par s,
(9) ?(0
ni^ — S «12 <Vi3
Si l'on permute circulairement Ai, Aj, ..., A,j et ji^
Vj, . . ., yn l'équation (7) ne change pas; les coefficients de
(2) se permutent circulairement, tandis que les x et les a
ne changent pas; dans (8) A;^ est remplacé par A^^-i tandis
que les a en (9) ne changent pas. L'équation (9) a donc pour
racines Aj, Aj, . . ., A„.
FORMES QUADRATIQUES. 343
Toutes ces racines sont réelles. — En effet, les coefficienls
de l'équation (9) sont, par hypothèse, réels; s'il y a des ra-
cines imaginaires, elles doivent être conjuguées deux à deux;
soient A/t et A/ deux semblables racines; remplaçons dans
(8) Aa- par sa valeur, alors de ces équations et de (4) on
pourra tirer a^k, «aA. • • -, ««a» et comme dans les équations
qui déterminent A^- il n'entre pas d'imaginaires, pour déter-
miner ai/, a,,-, ..., a„/, il suffira de changer i en — i;ilen
résulte que ot-jk et cf.ji sont conjugués : leur produit est donc
positif, ce qui est impossible en vertu de (5).
36. Lorsque l'on remplace A^. par sa valeur dans (8) le dé-
terminant de ces équations s'annule et l'une de ces équations
devient une conséquence des autres, et si nous désignons par
AiA:, Aayt» •■■t^nk Igs mincurs relatifs à la première ligne,
nous avons
«lA- ^ik <X,tk I
Au- Mk A,a- v/a^a-+A|a. + ...^A,^a
où le dernier rapport est déterminé par (4). Les a ont donc
des valeurs bien déterminées quand tous les A ne sont pas
nuls; si tel était le cas, on pourrait faire usage d'une autre
ligne. Enfin, si tous les mineurs étaient nuls, deux des équa-
tions (8) rentreraient dans les autres, une des quantités a
pourrait être choisie arbitrairement (moindre que i); dans
ce cas on a o'{s) = o, et deux valeurs de s sont égales, car
,, , do do
o(.v)= —
et tous les termes du second membre sont nuls, car les déri-
do
sont des mineurs du déterminant 9(5). On
— d{nii-s)
rait de même que si deux des quantités a peuvent être choi-
sies arbitrairement o"{s) = o et ainsi de suite.
Nous allons montrer maintenant que la substitution consi-
dérée est orthogonale et que l'équation (3) est satisfaite. En
344 FORMES QUADRATIQUES.
effet, si A^. et A/ sont des racines distinctes, on a
f'iï^llc-^fni'^lk-^- ■ •— C'in^nk ^ A/,a,7„
<7/i ai/ -t- r//2 «2/ -+-••• "t- (lin '^ni ~ A/ a//.
Si l'on multiplie la première équation par a,/, la seconde par
o-ik et si l'on retranche, on a
fii\{rLxk'3.ii— ai/a//,) -^ ariia^j^au — c^i/^ik)- ■ -^ ( A/, — A/)a;A:a,7 ;
si l'on fait « =r: i, 2, . . , /i et si l'on ajoute toutes les équa-
tions ainsi obtenues, on remarque que, en vertu de la rela-
tion a„jp=-. aj,,„, lous les termes du premier membre se dé-
truisent et l'on a
(A/,— A/)(ai/ta]/-t-a2/,a2/H-. ..-+-«„/, a,,/) = o,
de sorte que les équations (5) sont satisfaites, ainsi que les
équations (4) qui ont été introduites pour achever de déter-
miner les a.
De ces équations il résulte que tous les termes de la forme
B/„,yiy,„, où / et >7i sont différents, s'évanouissent, en sorte
que l'on a bien la relation (3).
Invariants.
37. Une substitution linéaire transforme lajjXiXj en une
autre IbijyiYj, avec d'autres coefficients. Toute fonction
des coefficients qui, après la substitution, se trouve seule-
ment multipliée par une puissance du déterminant de la sub-
stitution est ce que l'on appelle un invariant.
Quand on multiplie le déterminant de la substitution
D = :S±a„,a22, ...,ot„„
par lui-même on obtient un nouveau déterminant dont l'élé-
ment général est
Si la substitution est orthogonale tous ces éléments sont
FORMKS QUADRATIQUES. 345
nuls, sauf ceux de la diagonale principale qui sont égaux à i;
le déterminant D est donc dans ce cas égal à ± i.
Dans le cas général les valeurs des coefficients de la trans-
formée sont données par la formule
Si l'on multiplie le déterminant
deux fois par D, on obtient le déterminant A où les a sont
remplacés par des b; mais si l'on multiplie A par D^ le terme
général sera
«a Cji -(- rt/2 cj-2 -+-... -4- ain Cjn-,
ce qui montre ([u'après le changement des a en i, A est mul-
tiplié parD^. A est donc un invariant; on lui donne le nom
de discriminant de/.
9 {s) devient égal à A quand on fait 5 = 0. Donc A = o est la
condition pour que /se décompose en n — i carrés: c'est là
une propriété qui ne se trouve pas altérée, comme on l'a vu,
par une substitution linéaire.
Lorsque l'on effectue une substitution orthogonale, les
coefficients de 9 {s) ne sont pas altérés; pour le voir il suffit
de considérer l'expression
/ — ^(■^i -^ x'i— . . .-^ xJi).
dont le discriminant est 9(5), quel que soit ^, ce qui exige
que tous les coefficients de 9(5) restent les mêmes après la
substitution orthogonale.
NOTE.
SUR L'ÉQUATION
1. De l'équalioii
(1) /(.r) = .r«-i-r o,
nous écartons par la division tous les facteurs qui se trouvent
dans des expressions de la môme forme et de degré moindre.
Nous obtiendrons alors une équation
(2) cp«(.r)=:o,
dont les racines sont
-ik- . . ik-
cos ^ i sin 7
// n
où A a toutes les valeurs moindres que n et premières à n, en
nombre o{n). Ces racines sont les racines primitives de
l'équation (i).
On peut former les polynômes cpa('^)> successivement, en
s'appuyant sur le théorème suivant, qu'on démontre facile-
ment en ayant égard aux arguments des racines :
Si p est un nombre premier qui divise n, on a
(3) cp,./,(a;)-ç„(.r/'),
mais, si p ne divise pas n,
348 NOTE.
On trouve, par exemple,
o.i(.r) = x -{-i, Os{ôc) = X'-^ X -T-i, Ç6(-^) = -ï'- — ^
®15(-^) = -^^ X'^ -h X^ — X'*^ X^ X -^ l.
Les coefficients sont — i, o, -h i jusqu'à « = io5, où l'on
trouve un coefficient — 2. Les équations sont réciproques.
On a
et, par l'équation (3),
dans tous les autres cas, l'équation (4) montre qu'on a
2. Si a est une racine quelconque de l'équation (2), toutes
les racines sont exprimées par a^", où k est premier avec n.
Si l'on élève toutes les racines à la puissance A", on obtient les
mêmes racines dans un autre ordre, et l'équation 9„(^) =0
reste inaltérée.
Si ç3„(^)^o est réductible, elle se partagera en équa-
tions irréductibles de même degré.
Soient
>t'i(,r)=o, ■»F2(^) = o
deux des équations, a une racine de la première, a^' une ra-
cine de la seconde. Si l'on élève toutes les racines deTi(j?)=^o
à la puissance k, on obtient une équation de même degré qui
aune racine commune avec l'équation irréductible ^"2(^)^=0;
donc elle a toutes les racines de ^'2(-^) = o; donc ^'i(^) est
au moins du même degré que W^_{x).
De la même manière, on voit que ^\_{x) est au moins de
même degré que W ^i^x)\ donc les W{x) sont du même degré,
3. Cependant on peut prouver que cp„(^) =0 est irréduc-
tible. Ce théorème a été démontré pour la première fois par
SUR l'éqlatiox a:"^=^i. 8/49
Gauss pour le cas où n =p. Plus lard Eisenstein, Kronecker,
Dedekind, etc. ont donné des démonstrations, dont la plus
simple, due à Eisenslein, est donnée p. iio. Nous donnerons
ici une démonstration nouvelle pour n =^ p^.
Comme Opa(i)=/>, on doit avoir, abstraction faite du
signe (2),
^i{i)=p,
lt%(l) = Vl'3(l)...=
et alors
P ^'i(i)
(i-af)(i-af)...
(i-a,)(i-a2)...
où «1, «0, . . . désignent les racines de ^\( j?) = o; ici la fonc-
tion est une fonction entière et symétrique des racines de
Wi{œ) = o et pour cette raison est égale à un nombre entier,
les coefficients de ^1(0;) étant des nombres entiers, le pre-
mier égal à I. L'équation ne peut donc être réductible.
La démonstration du cas général a coûté bien du temps et
de grands efforts, et les démonstrations que l'on en a don-
nées sont très compliquées. La plus simple est due à Arndt.
Nous exposerons ici une démonstration nouvelle que l'au-
teur a trouvée trop tard pour l'insérer à sa place dans ce
Traité. Elle est fondée sur un théorème connu de Gauss, à
savoir :
Sif{x) ^ o est une équation à coefficients entiers et si Von
forme V équation o{x) := o, dont les racines sont les puissa/ices
piè/ne ^jgg racines de f{x) ^o {p désignant un nombre pre-
mier), le polynôme
f{x)-o{x)
aura tous ses coefficients divisibles par p.
Nous allons maintenant donner notre démonstration.
Soit
Or,{x) = W^{x)W.^{x) ...;
les racines de ^\(j:) = o sont les A'^™*^* puissances des racines
de^'i(^)=o. Soit m>n un nombre plus grand que tout
35o NOTE. — SUR l'équation œ" = ] .
nombre qui divise tous les coefficients d'un polynôme
Soit
t == An -h /.-,
OÙ A est le produit de tous les nombres premiers jusqu'à m,
excepté ceux qui divisent k. Comme .2;" = i, en élevant toutes
les racines de W^ {x) =r o à la puissance t on obtient
Soit
; = PiP,P3, ...,
où les P sont des nombres premiers; ils sont tous plus grands
que m; en élevant les racines de ^1 aux puissances Pi, P2,
P3, . . . , on ne peut pas dans tous les cas retrouver Wj, parce
que le produit t change ^1 en ^^2- Alors au moins un des
nombres, par exemple P,, changera ^1 en un autre W, par
exemple «Fg. Alors
W,i.r)~W,{.x)
serait divisible par Pi, ce qui est impossible, puisque Pi > m.
.pr. GAUTIIIEK-VILI.ARS ET FILS, quai des Crands Augusli;
LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS ET FILS,
QUAI DES GRANDS-AUGUSTINS, 55, A PARIS.
PETERSEN (Julius), Professeur à l'Université de Copenhague. — Méthodes
et théories pour la résolution des problèmes de constructions géo-
métriqueSj^ avec application à plus de 400 problèmes. Traduit par
0. Chemin, Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, Professeur à
l'Ecole des Ponts et Chaussées. 2* éd. Petit in-8, avec fig.; 1892. 4 fr.
LAURENT (H.), Examinateur d'admission à l'École Polytechnique. —
Traité d'Algèbre, à l'usage des candidats aux Écoles du Gouverne-
ment. Édition revue et mise en harmonie avec les derniers Programmes,
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matiques élémentaires. 5' édition ; 1897 4 fr.
IF Partie : Analyse algébrique, à l'usage des Classes de Mathé-
matiques spéciales. 5" édition ; 1894 ^ ïr.
IIP Partie : Théorie des équations, à l'usage des Classes de Mathé-
matiques spéciales. 5" édition ; 1 894 4 fr.
IV® Partie : Compléments. Théorie des polynômes à plusieurs va-
riables; 1 894 I fr. 5o c.
LAURENT ( H. ), Examinateur d'admission à l'Ecole Pol) technique. — Traité
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Tome IL — Applications géométriques ; 1887 12 fr.
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1889 ." 12 fr.
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Tome VII et dernier. — Applications géométriques de In théorie des
équations différentielles ; 1891 . . 8 fr. 5o c.
Ce Traité est le plus étendu qui soit publié sur l'Analyse. Il est destiné aux
personnes qui, n'ayant pas le moyen de consulter un grand nombre d'Ouvrages,
ont le désir d'acquérir des connaissances étendues en Mathématiques. Il contient
donc, outre le développement des matières exigées des candidats à la Licence,
le résumé des principaux résultats acquis à la Science. (Des astérisques indiquent
les matières non exigées des candidats à la Licence.) Enfin, pour faire comprendre
dans quel esprit est rédigé ce Traité d'Analyse, il suffira de dire que l'Auteur est
UD ardent disciple de Cauchy.
23024 .Fan». - Imprimerie GAUTHIER-VILLARS ET FILS, quai des Grands-Auguslins, 55.
:\ Petersen, Julius
11 Théorie des équations
P4,81/^ alf^ebriqiies
] Physical &
Applied Sci.
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