Théorie mathématique des phénomènes électro-dynamiques: uniquement déduite de l'expérience

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THÉORIE MATHÉMATIQUE

DES

PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

UNIQUEMENT DÉDUITE DE L'EXPÉRIENCE

THÉORIE MATHÉMATIQUE

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DÉDUITE DE L*EXl»tRlENCE

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PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

UNIQUEMENT DÉDUITE DE L'EXPÉRIENCE

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DES PHÉNOMÈNES

ÉLECTRO-DYNAMIQUES

UNIQUEMENT

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DÉDUITE DE L'EXPERIENCE

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DEUXIÈME ÉDITION

CONFOEMI A LA PEIMIIEI PUBLIÉE IN 1 82Ô

m»m

PARIS

A. HGRMANN, L.TBRAIRIB SCIBNTIFIQU

8, RUE DE LA BOEBONNEy 8

1883

MÉMOIRE

SUR LA THÉORIE MATHEMATIQUE

PHÉNOMÈNES ÉLECTRO- DYNAMIQUES

UNIQUEMENT DÉDUITE DE L'EXPÉRIENCE

L'époque que les travaux de Newlon ont marquée dans l'histoire des
sciences n'est pas seulement celle de la plus importante des décou-
vertes que riiomme ait faites sur les causes des grands phénomènes
de la nature, c'est aussi l'époque oii l'esprit humain s'est ouvert une
nouvelle route dans les sciences qui ont pour objet l'étude de ces
phénomènes.

Jusqu'alors on en avait presque exclusivement cherché les causes
dans l'impulsion d'un fluide inconnu qui entraînait les particules
matérielles suivant la direction de ses propres particules; et partout
où Ton voyait un mouvement révolutif.on imaginait un tourbillon dans
le même sens.

Newton nous a appris que cette sorte de mouvement doit, comme
tous ceux que nous offre la nature, être ramenée par le calcul à des
forces agissant toujours entre deux particules matérielles suivant la
droite qui les joint, de manière que l'action exercée par l'une d'elles
sur l'autre soit égale et opposée à celle que cette dernière exerce en
même temps sur la première, et qu'il ne puisse, par conséquent,
lorsqu'on suppose ces deux particules liées invariablement entre elles,

2 THÉORIE MATHÉMATIQUE

résulter aucun mouvement de leur action mutuelle. C'est cette loi
confirmée aujourd'hui par toutes les observations, par tous les calculs,
qu'il exprima dans le dernier des trois axiomes qu'il plaça au com-
mencement des Philosophiœ naturalis principia mathematica. Mais il
ne suffisait pas de s'être élevé à cette haute conception, il fallait
trouver suivant quelle loi ces forces varient avec la situation respec-
tive des particules entre lesquelles elles s'exercent, ou, ce qui revient
au même, en exprimer la valeur par une formule.

Newton fut loin de penser qu'une telle loi pût être inventée en
partant de considérations abstraites plus ou moins plausibles. 11
établit qu'elle devait être déduite des faits observés, ou plutôt de ces
lois empiriques qui, comme celles de Kepler, ne sont que les résultats
généralisés d'un grand nombre de faits.

Observer d'abord les faits, en varier les circonstances autant qu'il
est possible, accompagner ce premier travail de mesures précises
pour en déduire des lois générales, uniquement fondées sur Texpé-
rience, et déduire de ces lois, indépendamment de toute hypothèse
sur la nature des forces qui produisent les phénomènes, la valeur
mathématique de ces forces, c'est-à-dire la formule qui les représente,
telle est la marche qu'a suivie Newton. Elle a été, en général, adoptée
en France par les savants auxquels la physique doit les immenses
progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps, et c'est elle qui m'a
servi de guide dans toutes mes recherches sur les phénomènes électro-
dynamiques. J'ai consulté uniquement l'expérience pour établir les
lois de ces phénomènes, et j'en ai déduit la formule qui peut seule
représenter les forces auxquelles ils sont dus; je n'ai fait aucune
recherche sur la cause même qu'on peut assigner à ces forces, bien
convaincu que toute recherche de ce genre doit être précédée de la
connaissance purement expérimentale des lois, et de la détermina-
tion, uniquement déduite de ces lois, de la valeur des forces élémen-
taires dont la direction est nécessairement celle de la droite menée
par les points matériels entre lesquels elles s'exercent. C'est pour
cela que j'ai évité de parler des idées que je pouvais avoir sur la
nature de la cause de celles qui émanent des conducteurs voltaïques,
si ce n'est dans les notes qui accompagnent VExposé sommaire des
nouvelles expériences électro-magnétiques faites par plusieurs p/iysi-
ciens depuis le mois de mars 1821, que j'ai lu dans la séance publique
de l'Académie des Sciences, le 8 avril 1822 ; on peut voir ce que j'en

DES PUÈNOMÈNES ÉLKCTRO-DTN AMIQUES 3

ai dit dans ces notes à la page 215 de mon Recueil d Ohsemaliom
électro-dynamigues. Il ne paraît pas que cette marche, la seule qui
puisse conduire à des résultats indépendants de toute hypothèse,
soit préférée parles physit-iens du reste de l'Europe, comme elle l'est
par les Français; et le savant illustre qui a vu le premier les pôles
d'un aimant transportés par l'action d'un Ql conducteur dans des
directions perpendiculaires à celles de ce fil, en a conclu que la ma-
tière électrique tournait autour de lui, et poussait ces pôles dans le
sens de son mouvement, précisément comme Descartos faisait tour-
ner la matière de ses tourbillons dans le sens des révolutions plané-
taires. Guidé par les principes de la philosophie newtonienne, j'ai
ramené le phénomène observé par M. Oerstedl, comme on l'a fait à
l'égard de tous ceux du même genre que nous ofTre la nature, à des
forces agissant toujours suivant la droite qui joint les deux particules
entre lesquelles elles s'exercent ; et si j'ai établi que la même disposi-
tion ou le même mouvement de l'électricité qui existe dans le fil con-
ducteur a lieu aussi autour des particules des aimants, ce n'est cer-
tainement pas pour les faire agir par impulsion à la manière d'un
tourbillon, mais pour cjilculer, d'après ma formule, les forces qui en
résultent entre ces particules et celles d'un conducteur ou d'un autre
aimant, suivant les droites qui joignent deux à deux les particules
dont on considère l'action mutuelle, et pour montrerque les résultats
du calcul sont complètement vérifies : 1° par les expériences que j'ai
faites et par celles qu'on doit à M. Pouillet sur la détermination pré-
cise des situations où il faut que se trouve un conducteur mobile,
pour qu'il reste en équilibre lorsqu'il est soumis à l'action, soil d'un
autre conducteur, soit d'un aimantj 2° par Tacconi de ces résultats
avec les loisque Coulomb et M. Biot ont déduites de leurs expériences,
le premier relativement à l'action mutuelle de deux aimants, le
second h celle d'un aimant et d'un Ql conducteur.

Le principal avantage des formules qui sont ainsi conclues immé-
diatement de quelques faits généraux donnés par un nombre suffi-
sant d'observations pour que la certitude n'en puisse être cinlestée,
est de rester indépendantes, tant des hypothèses dont leurs auteurs
ont pu s'aider dans ta recherche de ces formules, que de celles qui"
peuvent leur être substituées dans la suite. L'expression de l'attrac-
tion universelle déduite des lois de Kepler ne dépend point des hypo-
thèses que quelques auteurs ont essayé de faire sur une cause méca-

4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

nique qu'ils voulaient lui assigner. La théorie de la chaleur repose
réellement sur des faits généraux donnés immédiatement par l'obser-
vation ; et l'équation déduite de ces faits se trouvant confirmée par
l'accord des résultats qu'on en tire et de ceux que donne l'expérience,
doit être également reçue comme exprimant les vraies lois de la pro-
pagation de la chaleur, et par ceux qui l'attribuent à un rayonnement
de molécules calorifiques, et par ceux qui recourent pour expliquer le
même phénomène aux vibrations d'un fluide répandu dans l'espace ;
seulement il faut que les premiers montrent comment l'équation dont
il s'agit résulte de leur manière de voir, et que les seconds la dédui-
sent des formules générales des mouvements vibratoires ; non pour
rien ajouter à la certitude de cette équation, mais pour que leurs
hypothèses respectives puissent subsister. Le physicien qui n'a point
pris de parti à cet égard admet cette équation comme la représenta-
tion exacte des faits, sans s'inquiéter de la manière dont elle peut ré-
sulter de l'une ou de l'autre des explications dont nous parlons ; et si
de nouveaux phénomènes et de nouveaux calculs viennent à démon-
trer que les effets de la chaleur ne peuvent être réellement expliqués
que dans le système des vibrations, le grand physicien qui a le pre-
mier donné cette équation, et qui a créé pour l'appliquer à l'objet
de ses recherches de nouveaux moyens d'intégration, n'en serait pas
moins l'auteur de la théorie mathématique de la chaleur, comme
Newton est celui de la théorie des mouvements planétaires, quoique
cette dernière ne fût pas aussi complètement démontrée par ses tra-
vaux qu'elle l'a été depuis par ceux de ses successeurs.

Il en est de même de la formule par laquelle j'ai représenté l'action
électro-dynamique. Quelle que soit la cause physique à laquelle on
veuille rapporter les phénomènes produits par cette action, la for-
mule que j'ai obtenue restera toujours l'expression des faits. Si l'on
parvient à la déduire d'une des considérations par lesquelles on a
expliqué tant d'autres phénomènes, telles que les attractions en rai-
son inverse du carré de la distance, celles qui deviennent insensibles
à toute distance appréciable des particules entre lesquelles elles
s'exercent, les vibrations d'un fluide répandu dans l'espace, etc., on
fera un pas de plus dans cette partie de la physique; mais cette re-
cherche, dont je ne me suis point encore occupé, quoique j'en recon-
naisse toute l'importance, ne changera rien aux résultats de mon tra-
vail, puisque pour s'accorder avec les faits, il faudra toujours que

DES PHÉNOMÂNES ÉLEGTRO-DTNAMIQUES 5

l'hypothèse adoptée s'accorde avec la formule qui les représente si
complètement.

Dès que j'eus reconnu que deux conducteurs volttdques agissent
Tun sur Tautre, tantôt en s'attirant, tantôt en se repoussant, que
j*eus distingué et décrit les actions qu'ils exercent dans les diffé-
rentes situations où ils peuvent se trouver l'un à Tégard de l'autre,
et que j'eus constaté l'égalité de l'action qui est exercée par un con-
ducteur rectiligne, et de celle qui l'est par un conducteur sinueux,
lorsque celui-ci ne s'éloigne qu'à des distances extrêmement petites
de la direction du premier, et se termine, de part et d'autre, aux
mêmes points ; je cherchai à exprimer par une formule la valeur de
la force attractive ou répulsive de deux de leurs éléments, ou parties
infiniment petites, afin de pouvoir en déduire, par les méthodes con-
nues d'intégration, l'action qui a lieu entre deux portions de conduc-
teurs données de forme et de situation.

L'impossibilité de soumettre directement à l'expérience des portions
infiniment petites du circuit voltaique, oblige nécessairement à par-
tir d'observations faites sur des fils conducteurs de grandeur finie, et
il faut satisfaire à ces deux conditions, que les observations soient
susceptibles d'une grande précision, et qu'elles soient propres à dé-
terminer la valeur de l'action mutuelle de doux portions infiniment
petites de ces fils. C'est ce qu'on peut obtenir de deux manières :
Tune consiste à mesurer d'abord avec la plus grande exactitude des
valeurs de l'action mutuelle de deux portions d'une grandeur finie,
en les plaçant successivement, l'une par rapport à l'autre, à diffé«
rentes distances et dans différentes positions, car il est évident qu'ici
l'action ne dépend pas seulement de la distance; il faut ensuite faire
une hypothèse sur la valeur de l'action mutuelle de deux portions
infiniment petites, en conclure celle de l'action qui doit en résulter
pour les conducteurs de grandeur finie sur lesquels on a opéré, et
modifier l'hypothèse jusqu'à ce que les résultats du calcul s'accordent
avec ceux de l'observation. C'est ce procédé que je m'étais d'abord pro-
posé de suivre, comme je l'ai expliqué en détail dans un Mémoire lu à
l'Académie des Sciences, le 9 octobre 1820 (1); et quoiqu'il ne nous

(1 ) Ce mémoire n'a pas été publié à part, mais les principaux résultais en
ont été insérés dans celui que j*ai publié en 1820, dans le tome XV des Amnalet
de ekimiê et de physique.

6 THEORIE MATHÉMATIQUE

conduise à la vérité que par la voie indirecte des hypothèses, il n'en
est pas moins précieux, puisqu'il est souvent le seul qui puisse être
employé dans les recherches de ce genre. Un des membres de cette
Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la phy-
sique, l'a parfaitement décrit dans la Notice sur V aimantation impri-
mée aux métaux par f électricité en mouvement^ qu'il nous a lue le
2 avril 1821, en l'appelant un travail en quelque sorte de divination,
qui est la fin de presque toutes les recherches physiques (I).

Mais il existe une autre manière d'atteindre plus directement le
même but; c'est celle que j'ai suivie depuis, et qui m'a conduit au
résultat que je désirais : elle consiste à constater, par l'expérience,
qu'un conducteur mobile reste exactement en équilibre entre des
forces égales, ou des moments de rotation égaux, ces forces et ces mo-
ments étant produits par des portions de conducteurs fixes dont les
formes ou les grandeurs peuvent varier d'une manière quelconque,
sous des conditions que l'expérience détermine, sans que l'équilibre
soit troublé, et d'en conclure directement par le calcul quelle doit
être la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment
petites, pour que l'équilibre soit en effet indépendant de tous
les changements de forme ou de grandeur compatibles avec ces
conditions.

Ce dernier procédé ne peut être employé que quand la nature de
l'action qu'on étudie donne lieu à des cas d'équilibre indépendants
de la forme des corps ; il est, par conséquent, beaucoup plus restreint
dans ces applications que celui dont j'ai parlé tout à l'heure : mais
puisque les conducteurs voltaïques présentent des circonstances où
cette sorte d'équilibre a lieu, il est naturel de le préférer à tout autre,
comme plus direct, plus simple, et susceptible d'une plus grande exacti-
tude quand les expériences sont faitesavec les précautions convenables.
Il y a d'ailleurs, à l'égard de l'action exercée par ces conducteurs, un
motif bien plus décisif encore de le suivre dans les recherches rela-
tives à la détermination des forces qui la produisent : c'est l'extrême
difficulté des expériences où l'on se proposerait, par exemple, de me-
surer ces forces par le nombre des oscillations d'un corps soumis à
leurs actions. Cette difficulté vient de ce que quand on fait agir un

(1) Voyez le Journal des savants, avril 1821, p. 233.

DES PHÉNOMÈNES éLBCTHO-DYN AMIQUB3 7

conducteur fixe sur une portioa mobile du circuit voltalque, les
parties de l'appareil Qécessalre pour la mettre en communicatioD
avec la pile, agissent sur cette portion mobile en même temps que
le conducteur fixe, et altèrent ainsi les résultats des expériences. Je
crois cependant être parvenu à la surmonter dans un appareil
propre ii mesurer l'action mutuelle de deux conducteurs, l'un
fixe et l'autre mobile, par le nombre des oscillations de ce dernier,
et en faisant varier la forme du conducteur fixe. Je décrirai cet appa-
reil dans la suite de ce Mémoire.

Il est vrai qu'on ne rencontre pas les mêmes obstacles quand ou
mesure de la même manière l'action d'un fil conducteur sur un
aimant ; oiaiâ ce moyen ne peut être employé quand il s'agit de la
détermination des forces que deux conducteurs voltaïques exercent
l'un sur l'autre, détermination qui doit être le premier objet de nos
recherches dans l'étude des nouveaux phénomènes. Il est évident,
en effet, que si l'action d'un fil conducteur sur uu aimant était due à
une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs, les expé-
riences faites sur la première ne pourraient rien apprendre relative-
meul à la seconde ; et que si les aimants ne doivent leurs propriétés
qu'à des courants électriques, entourant chacune de leurs particules,
il faudrait, pour pouvoir en tirer des conséquences certaines relative-
ment à l'action qu'exerce sur ces courants celui du fil conducteur,
que l'on sût d'avance s'ils ont la même intensité près de la surface
de l'aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette
intensité ; si les plans de ces courants sont partout perpendiculaires
à l'axe du barreau aimanté, comme je l'avais d'abord supposé, ou si
l'action mutuelle des courants d'un même aimant leur donne une
situation d'autant plus inclinée à cet axe qu'ils en sont k une plus
grande distance et qu'ils s'écartent davantage de son milieu, comme
je l'ai conclu depuis de la différence qu'on remarque entre la situa-
tion des pôles d'un aimant, et celles des points qui jouissent des
mômes propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (!}.

(1] Je crois devoir insérer ici la note suivaDte, qui est eilraile de l'analyse
des travBui de l'Académie pendant l'aDoée 1821, publiée le 8 avril I8S2. (Voyei
U partie nialbi^matique de celte «nalyse, p. ii el 23.)

<t La principale différence entre la manière d'agir d'un aimant et d'un con-
I' ducteur voUaïque dont une partie est roulée en bélice autour de l'autre.

8 THÉORIE MATHEMATIQUE

Les divers cas d'équilibre que j'ai constatés par des expériences
précises, donnent immédiatement autant de lois qui conduisent

« consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de

< Taimant que ses extrémités, tandis que les points qui présentent les mômes
« propriétés dans Thélice sont exactement placés aux extrémités de cette
« hélice : c'est ce qui doit arriver quand l'intensité des courants de Taimant va
« en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Ampère a reconnu
« depuis une autre cause qui peut aussi déterminer cet effet. Après avoir
« conclu de ses nouvelles expériences, que les courants électriques d'un aimant
« existent autour de chacune de ses particules, il lui a été aisé de voir qu'il

< n'est pas nécessaire de supposer, comme il l'avait fait d'abord, que les plans
« de ces courants sont partout perpendiculaires à l'axe de l'aimant; leur action
« mutuelle doit tendre à donner à ces plans une situation inclinée à Taxe, sur-
« tout vers ses extrémités, en sorte que les pôles, au lieu d'y être exactement
« situés, comme ils devraient l'être, d*après les calculs déduits des formules
u données par M. Ampère, lorsqu'on suppose tous les courants de même inten-
« site et dans des plans perpendiculaires à l'axe, doivent se rapprocher du mi*
« lieu de Taimant d'une partie de sa longueur d'autant plus grande que les
« plans d'un plus grand nombre de courants sont ainsi inclinés, et qu'ils le sont

< davantage, c'est-à-dire d'autant plus que l'aimant est plus épais relativement
€ à sa longueur, ce qui est conforme k l'expérience. Dans les fils conducteurs
« plies en hélice, et dont une partie revient par l'axe pour détruire l'effet de la
« partie des courants de chaque spire qui agit comme s'ils étaient parallèles à
« cet axe, les deux circonstances qui, d'après ce que nous venons de dire, n'ont
« pas nécessairement lieu dans les aimants, existent au contraire nécessai-
« rement dans ces fils ; aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles sem-
« blables à ceux des aimants, mais placés exactement k leurs extrémités comme
« le donne le calcul. »

On voit par cette note que, dès l'année 1821, j'avais conclu des phénomènes
que présentent les aimants : 1* qu'en considérant chaque particule d'un bar-
reau aimanté comme un aimant, les axes de ces aimants élémentaires doivent
être, non pas parallèles à l'axe de l'aimant total comme on le supposait alors,
mais situés dans des directions inclinées à cet axe et dans des directions déter-
minées par leur action mutuelle ; 2* que cette disposition est une des causes
pour lesquelles les pôles de l'aimant total ne sont pas situés à ses extrémités,
mais entre les extrémités et le milieu de l'aimant. L'une et l'autre de ses asser-
tions se trouvent aujourd'hui complètement démontrées par les résultats que
M. Poisson a déduits des formules par lesquelles il a représenté la distribution,
dansles aimants, des forces qui émanent de chacune de leurs particules. Ces
formules sont fondées sur la loi de Coulomb, et il n'y a, par conséquent, rien à
y changer quand on adopte la manière dont j'ai expliqué les phénomènes
magnétiques, puisque cette loi est une conséquence de ma formule, comme on
le verra dans la suite de ce Mémoire.

DES PHÉNOMÈNES iLIGTRO-DTNAMIQUES 9

directement à Texpression mathématique de la force que deux élé-
ments de conducteurs voltaïques exercent l'un sur l'autre, d'abord en
faisant connaître la forme de cette expression, ensuite en détermi-
nant les nombres constants, mais d'abord inconnus, qu'elle renferme,
précisément comme les lois de Kepler démontrent d'abord que la force
qui retient les planètes dans leurs orbites tend constamment au
centre du soleil, puisqu'elle change pour une même planète en raison
inverse du carré de sa distance à ce centre, enfin que le coefficient
constant qui en représente Tiotensité a la même valeur pour toutes
les planètes. Ces cas d'équilibre sont au nombre de quatre : le pre-
mier démontre l'égalité des valeurs absolues de l'attraction et de la
répulsion qu'on produit en faisant passer alternativement, en deux
sens opposés, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne
change ni la situation ni la distance au corps sur lequel il agit. Cette
égalité résulte de la simple observation que deux portions égales d'un
même fil conducteur recouvertes de soie pour en empêcher la com-
munication, et toutes deux rectilignes ou tordues ensemble de
manière à former l'une autour de l'autre deux hélices dont toutes les
parties sont égales, et qui sont parcourues par un même courant
électrique. Tune dans un sens et l'autre en sens contraire, n'exercent
aucune action, soit sur un conducteur mobile, soit sur un aimant;
on peut aussi la constater à l'aide du conducteur mobile qu'on voit
dans la figure 9 de la planche I'* du tome XVIII des Annales de
chimie et de physique, relative à la description d'un de mes appareils
électro-dynamiques, et qui est représenté ici (PI. I, fig. 1). On place
pour cela un peu au-dessous de la partie inférieure deéd de |ce con-
ducteur, et dans une direction quelconque, un conducteur rectiligne
horizontal plusieurs fois redoublé AB, de manière que le milieu de sa
longueur et de son épaisseur soit dans la verticale qui passe par les
pointes x, y, autour desquelles tourne librement le conducteur
mobile. On voit alors que ce conducteur reste dans la situation où on
le place ; ce qui prouve qu'il y a équilibre entre les actions exercées
par le conducteur fixe sur les deux portions égales et opposées de
circuit voltaîque bcde^ Vc'de\ qui ne diSerent que parce que^daus
l'une, le courant électrique va en s'approchant du conducteur fixe
AB, et dans l'autre, en s'en éloignant, quel que soit d'ailleurs Tangle
formé par la direction de ce dernier conducteur avec le plan du
conducteur mobile : or, ai l'on considère d'abord les deux actions

S

10 THEORIE MATHÉMATIQUE

exercées entre chacune de ces portions de circuit voltaïque et la moitié
du conducteur AB dont elle est la plus voisine, et ensuite les deux
actions entre chacune d'elles et la moitié du même conducteur dont
elle est la plus éloignée, on verra aisément : !• que l'équilibre dont
nous venons de parler ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de
cet angle, qu autant qu'il y a séparément équilibre entre les deux
premières actions et les deux dernières; 2* que si Tune des deux pre-
mières est attractive, parce que les côtés de l'angle aigu formé par les
portions de conducteurs entre lesquelles elle a lieu, sont parcourus
dans le même sens par le courant électrique, l'autre sera répulsive
parce qu'elle aura lieu entre les deux côtés de l'angle égal opposé au
sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant,
en sorte qu'il faudra d'abord, pour qu'il y ait équilibre entre elles,
que ces deux premières actions qui tendent à faire tourner le con-
ducteur mobile, l'une dans un sens, l'autre dans le sens opposé,
soient égales entre elles ; et ensuite que les deux dernières actions,
l'une attractive et l'autre répulsive, qui s'exercent entre les côtés des
deux angles obtus opposés au sommet et suppléments de ceux dont
nous venons de parler, soient aussi égales entre elles. Il est inutile
de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des pro-
duits des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petite du
conducteur mobile, multipliées par leur distance à la verticale autour
de laquelle il peut librement tourner; mais comme les distances à cette
verticale des portions infiniment petites correspondantes des deux
branches bcde^ b'c'cte' sont toujours égales entre elles, l'égalité des
moments rend nécessaire celle des forces.

Le second des trois cas généraux d'équilibre, est celui que j'ai
remarqué à la fin de l'année Ï820 ; il consiste dans l'égalité des
actions exercées sur un conducteur rectiligne mobile, par deux con-
ducteurs fixes situés à égales distances du premier, et dont l'un est
rectiligne, l'autre plié et contourné d'une manière quelconque, quelles
que soient d'ailleurs les sinuosités que forme ce dernier. Voici la
description de l'appareil avec lequel j'ai vérifié l'égalité des deux
actions par des expériences susceptibles d'une grande précision, et
dont j'ai communiqué les résultats à l'Académie, dans la séance du
26 décembre 1820.

Les deux règles verticales en bois, PQ, RS (fig. 2), portent, dans
des rainures pratiquées sur celles de leurs faces qui se trouvent en

DBS PHÉNOMÈNES BLBCTRO-DTNAMIQUES 11

regard, la première un fil rectiligne bc^ la seconde un fil A:/ formant,
dans toute sa longueur et dans un plan perpendiculaire au plan qui
joindrait les deux axes des règles, des contours et des replis tels que
ceux qu'on voit dans la figure le long de la règle RS, de manière que
ce fil ne s'éloigne, en aucun de ses points, que très peu du milieu de
la rainure.

Ces deux fils sont destinés à servir de conducteurs à deux portions
d'un même courant, que l'on fait agir par répulsion sur la partie GH
d'un conducteur mobile, composé do deux circuits rectangulaires
presque fermés et égaux BCDE, FGHI, qui sont parcourus en sens
contraires par le courant électrique, afin que les actions que la terre
exerce sur ces deux circuits se détruisent mutuellement. Aux deux
extrémités de ce conducteur mobile, sont deux pointes A et K qui
plongent dans les coupes M et N, pleines de mercure, et soudées aux
extrémités des deux branches de cuivre ^M, AN. Ces branches sont
en communication, par les bottes de cuivre g et A, la première avec
un fil de cuivre gfey plié en hélice autour du tube de verre hgf^ l'autre
avec un fil rectiligne Ai qui passe dans Tintérieur du môme tube, et
se termine dans l'auge /n, creusée dans une pièce de bois vw qu'on
fixe à la hauteur que l'on veut, contre le montant z, avec la vis de
pression o. D'après l'expérience dont j'ai parlé plus haut, cette por-
tion du circuit composée de l'hélice gfel du fil rectiligne At, ne peut
exercer aucune action sur le conducteur mobile. Pour que le courant
électrique passe dans les conducteurs fixes bc et ^/, les fils dont ces
conducteurs sont formés se prolongent en cd^, /nm, dans deux tubes
de verre (1) attachés à la traverse ory, et viennent se terminer, le
premier dans la coupe f , et le second dans la coupe n. Tout étant ainsi
disposé, on met du mercure dans toutes les coupes et dans les deux
auges ba^ At, et l'on plonge le rhéophore positif /mi dans l'auge ba qui
est aussi creusée dans la pièce de bois t^tc, et le rhéophore négatif
gn dans la coupe n. Le courant parcourt tous les conducteurs de
l'appareil dans l'ordre suivant pabcdefg MABGDEFGHIKN hiklmnq;

(1) L*u8age de ce8 tubes est d*empècher la flexion des fils qui y sont renfer-
més, en les maintenant à des distances égales des deux conducteurs et, kU afin
que leurs actions sur GH qui diminuent celle de ces deux conducteurs, les dimi-
nuent également

12 THÉORIE MATHÉMATIQUE

d'où il résulte qu'il est ascendant dans les deux conducteurs fixes, et
descendant dans la partie GH du conducteur mobile qui est soumise
à leur action, et qui se trouve au milieu de l'intervalle des deux con-
ducteurs fixes dans le plan qui passe par leurs axes. Cette partie GH
est donc repoussée par bc et kl: d'où il suit que si l'action de ces
deux conducteurs est la même à égales distances, GH doit s'arrêter
au milieu de l'intervalle qui les sépare ; c'est ce qui arrive en effet.
Il est bon de remarquer : 1 • que les deux axes des conducteurs fixes
étant à égales distances de GH, on ne peut pas dire rigoureusement
que la distance est la même pour tous les points du conducteur A/, à
cause des contours et des replis que forme ce conducteur. Mais
comme ces contours et ces replis sont dans un plan perpendiculaire
au plan qui passe par GH et par les axes des conducteurs fixes, il est
évident que la différence de distance qui en résulte, est la plus petite
possible, et d'autant moindre que la moitié de la largeur de la
rainure RS, que cette moitié est moindre que l'intervalle des deux
règles, puisque cette différence, dans le cas où elle est la plus grande
possible, est égale à celle qui se trouve entre le rayon et la sécante
d'un arc dont la tangente est égale à la moitié de la largeur de la
rainure, et qui appartient à un cercle dont le diamètre est l'intervalle
des deux règles ; 2' que si l'on décompose chaque portion infiniment
petite du conducteur A/, comme on décomposerait une force en deux
autres petites portions qui en soient les projections, l'une sur l'axe
vertical de ce conducteur, l'autre sur des lignes horizontales menées
par tous ses points dans le plan où se trouvent les replis et les con-
tours qu'il forme, la somme des premières, en prenant négativement
celles qui, ayant une direction opposée à la direction des autres, doi-
vent produire une action en sens contraire, sera égale à la longueur
de cet axe ; en sorte que l'action totale, résultant de toutes ces pro-
jections, sera la même que celle d'un conducteur rectiligne égal à
l'axe, c'est-à-dire à celle du conducteur bc situé de l'autre côté à la
môme distance de GH, tandis que l'action des secondes sera nulle
sur le même conducteur mobile GH, puisque les plans élevés per-
pendiculairement sur le milieu de chacune d'elles passeront sensi-
blement par la direction de GH. La réunion de ces deux séries de
projections produit donc nécessairement sur GH une action égale à
celle de bc; et comme l'expérience prouve que le conducteur sinueux
kl produit aussi une action égale à celle de de, quels que soient les

DES PHÉNOMiNES ELECTRO-DYNAMIQUES 13

replis et les contours qu'il forme, il s'ensuit qu'il agit, dans tous les
cas, comme la réunion des deux séries de projections, ce qui ne peut
avoir lieu, indépendamment de la manière dont il est plié et con-
tourné, à moins que chacune des parties de ce conducteur n'agisse
séparément comme la réunion de ses deux projections.

Pour que cette expérience ait toute l'exactitude désirable, il est
nécessaire que les deux règles soient exactement verticales, et qu'elles
soient précisément à la même distance du conducteur mobile. Pour
remplir ces conditions, on adapte une division a^ à la traverse xy, et
l'on fixe les règles avec deux crampons t| et 0, et deux vis de pression
X, |A, ce qui permet de les écarter ou de les rapprocher à volonté,
en les maintenant toujours à égale distance du milieu y de la divi-
sion 0^. L'appareil est construit de manière que les deux règles sont
perpendiculaires à la traverse xy, et on rend celle-ci horizontale c^
l'aide des vis que l'on voit aux quatre coins du pied de l'instrument,
et du fil à plomb XY qui répond exactement au point Z, déterminé
convenablement sur ce pied, quand la traverse xy est parfaitement
de niveau.

Pour rendre le conducteur ABGDEFGHIK mobile autour d'une
ligne verticale, située à égale distance des deux cx)nducteurs 6c, kl^
ce conducteur est suspendu à un fil métallique très fin attaché au
centre d'un bouton T, qui peut tourner sur lui-même sans changer
de distance à ces deux conducteurs; C4^ bouton est au centre d'un
petit cadran 0, sur lequel Tindice L sert à marquer l'endroit où il
faut l'arrêter pour que la partie GH du conducteur mobile réponde,
sans que le fil soit tordu, au milieu de l'intervalle des deux conduc-
teurs fixes dr, A/, «afin de pouvoir remettre immédiatement l'aiguille
dans la direction où il faut qu'elle soit pour cela, toutes les fois qu'on
veut répéter Texpérience. On reconnaît que GH est en effet à égale
distance de hc et de ^/, au moyen d'un autre fil à plomb '^cd attaché
à une branche de cuivre yI^ portée comme le cadran par le sup-
port UVO, dans lequel cette branche Ytji P^^^ tourner autour de
Taxe du bouton f qui la termine, ce qui donne la facilité de faire
répondre la pointe de l'aplomb ^ sur la ligne yS milieu de la division
01^. Quand le conducteur est dans la position convenable, les trois
verticales <|^, GH et CD se trouvent dans le même plan, et l'on
s'en assure aisément en plaçant l'œil dans ce plan en avant
de^.

14 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Le conducteur mobile se trouve ainsi placé d'avance dans la situa-
tion où il doit y avoir équilibre, entre les répulsions des deux conduc-
teurs fixes, si ces répulsions sont exactement égales : on les produit
alors en plongeant dans le mercure de l'auge ba et de la coupe n les
fils ajo, nq^ qui communiquent avec les deux extrémités de la pile, et
Ton voit le conducteur GH rester dans cette situation malgré la
grande mobilité de ce genre de suspension, tandis que si l'on déplace^
même très peu, l'indice L, ce qui amène GH dans une situation où il
n'est plus à égales distances des conducteurs fixes ôc, A/, on le voit
se mouvoir à l'instant où l'on établit les communications avec la pile,
en s'éloignant de celui des conducteurs dont il se trouve le plus
près. C'est ainsi que j'ai constaté, dans le temps où j'ai fait cons-
truire cet instrument, l'égalité des actions des deux conducteurs
fixes, par des expériences répétées plusieurs fois avec toutes les pré-
cautions nécessaires pour qu'il ne pût rester aucun doute sur
leur résultat.

On peut aussi démontrer la même loi par une expérience bien
simple : il suffit pour cela de prendre un fil de cuivre revêtu de soie
dont une portion est rectiligne et l'autre est repliée autour d'elle de
manière qu'elle forme des sinuosités quelconques sans se séparer de
la première qui en est isolée par la soie qui les recouvre. On constate
alors qu'une autre portion de fil conducteur est sans action sur l'as-
semblage de ces deux portions ; et comme elle le serait également
sur l'assemblage de deux fils rectilignes parcourus en sens contraires
par un même courant électrique, d'après l'expérience par laquelle on
constate de la manière la plus simple le premier cas d'équilibre, il
s'ensuit que l'action d'un courant sinueux est précisément égale à
celle d'un courant rectiligne compris entre les mêmes extrémités,
puisque ces deux actions font l'une et l'autre équilibre à l'action
d'un même courant rectiligne de même longueur que ce dernier,
mais dirigé en sens contraire.

Le troisième cas d'équilibre consiste en ce qu'un circuit fermé de
forme quelconque, ne saurait mettre en mouvement une portion
quelconque d'un fil conducteur formant un arc du cercle dont le
centre est dans un axe fixe, autour duquel il peut tourner libre-
ment et qui est perpendiculaire au plan du cercle dont cet arc fait
partie.

Sur un pied TT (PI. !'•, fig. 3), en forme de table, s'élèvent deux

DES PHÉKOHÎNES ELECTRO-DYNAMIQUES tS

colonnes, EF, KF, liées entre elles par deux traverses LL', EF; un
axe GH est maintenu entre ces deux traverses dans une position
verticale. Ses deux extrémités G, H, terminées en pointes aiguës,
entrent dans deux trous coniques pratiqués, l'un dans la traverse
inférieure LL', l'autre à l'extrémité d'une vis KZ portée par la tra-
verse supérieure FF', et destinée à presser l'axe GH sans le for-
cer. En G est fixé invariablement à cet axe un support QO dont
l'extrémité présente une charnière dans laquelle est engagé par
son milieu un arc de cercle A.A' formé d'un fîl métallique qui reste
constamment daus une position horizontale, et qui a pour rayon la
distance du point à l'axe GH. Cet arc est équilibré par un contre-
poids Q, afln de dimÏDuer le frottement de l'axe GH dans les trous
coniques où ses extrémités sont reçues.

Au-dessous de l'arc AA' sont disposés deux augets M, M' pleins de
mercure, de telle sorte que la surface du mercure, s'élevant au-des-
sus des bords, vienne toucher l'arc AA' en B et B'. Ces deux augets
communiquent par des conducteurs métalliques, MN, M'N', avec des
coupes P, F pleines de mercure. La coupe P et le conducteur MN qui
la réunit à l'auget M sont fixés à un axe vertical qui s'enfonce dans la
table de manière k pouvoir tourner librement. La coupe P', à laquelle
est attaché le conducteur M'iV, est traversée par le même axe, autour
duquel elle peut tourner aussi indépendamment de l'autre. Elle en
est isolée par un tube de verre V qui enveloppe cet axe, et par une
rondelle de verre U qui la sépare du conducteur de l'auget M, de ma-
nière qu'on peut disposer les conducteurs MN, M'N' sous l'angle qu'on
veut.

Deux autres conducteurs IR, l'R' attachés à la table plongent res-
pectivement dans les coupes P, P", et les font communiquer avec des
cavités K, H' creusées dans la table et remplies de mercure. Enliu,
une troisième cavité S pleine également de mercure se trouve entre
les deux autres.

Voici la manière de faire usage de cet appareil : On fait plonger
l'un des rhéophores, par exemple, le rhéophore positif dans la cavité
H, et le rhéophore négatif dans la cavité S, qu'on met en communi-
cation avec la cavité R' par un conducteur curviligne d'une forme
quelconque. Le courant suit le conducteur RI, passe dans la coupe
P, de là dans le conducteur NM, dans l'auget M, le conducteur M'N',
la coupe P", le conducteur l'R', et enfin de la cavité R' dans le cou-

16 THEORIE MATHÉMATIQUE

ducteur curviligne qui communique avec le mercure de la cavité S
où plonge le rhéophore négatif.

D'après cette disposition le circuit voltaïque total est formé :

!• De Tare BB' et des conducteurs MN, M'N';

2' D'un circuit qui se compose des parties RIP, FI'R' de l'appareil,
du conducteur curviligne allant de R' en S et de la pile elle-même.

Ce dernier circuit doit agir comme un circuit fermé, puisqu'il n'est
interrompu que par l'épaisseur du verre qui isole les deux coupes P,
P' : il suffira donc d'observer son action sur l'arc BB' pour constater
par l'expérience l'action d'un circuit fermé sur un arc dans les dififé-
rentes positions qu'on peut donner à l'un et à l'autre.

Lorsqu'au moyen de la charnière on met l'arc AA' dans une po-
sition telle que son centre soit hors de l'axe GH, cet arc prend un
mouvement et glisse sur le mercure des augets M, M' en vertu de
l'action du courant curviligne fermé qui va de R' en S. Si au con-
traire son centre est dans l'axe, il reste immobile; d'où il suit que
les deux portions du circuit fermé qui tendent à le faire tourner en
sens contraires autour de Taxe exercent sur cet arc des moments de
rotation dont la valeur absolue e3t la même, et cela, quelle que soit
la grandeur de la partie BB' déterminée par l'ouverture de l'angle des
conducteurs MN, M'N'. Si donc on prend successivement deux arcs
BB' qui diffèrent peu l'un de l'autre, comme le moment de rotation
est nul pour chacun d'eux, il sera nul pour leur petite différence, et
par conséquent pour tout élément de circonférence dont le centre
est dans l'axe ; d'où il suit que la direction de l'action exercée par le
circuit fermé sur l'élément passe par l'axe, et qu'elle est nécessaire-
ment perpendiculaire à l'élément.

Lorsque l'arc AA' est situé de manière que son centre soit dans
l'axe, les portions de conducteur MN, M'N' exercent sur l'arc BB' des
actions répulsives égales et opposées, en sorte qu'il ne peut en ré-
sulter aucun effet; et puisqu'il n'y a pas de mouvement, on est
sûr qu'il n'y a pas de moment de rotation produit par le circuit
fermé.

Lorsque l'arc AA' se meut dans l'autre situation où nous l'avions
d'abord supposé, les actions des conducteurs MN et M'N' ne sont plus
égales : on pourrait croire que le mouvement n'est dû qu'à cette
différence ; mais suivant qu'on approche ou qu'on éloigne le circuit
curviligne qui va de R' en S, le mouvement est augmenté ou diminué,

\
\

DES PHÉNOMÈNES ELECTRO-DYNAMIQUES 17

ce qui ne permet pas de douter que le circuit fermé ne soit pour beau-
coup daus l'effet observé.

Ce résultat ayant lieu, quelle que aoit la longueur de l'axe AA',
aura nécessairement lieu pour chacun des éléments dont cet arc est
composé. Nous tirerons de là cette conséquence générale, que l'action
d'un circuit fermé, ou d'un ensemble de circuits fermés quelconques,
sur un élément infiniment petit d'un courant électrique, est perpen-
diculaire à cet élément.

C'est à l'aide d'un quatrième cas d'équilibre, dont il me reste à
parier, qu'on peut achever de déterminer U'n cœfficients constants
qui entrent dans ma formule, sans avoir recours, comme je l'avais
d'abord fait, aux expériences où un aimant et un SI conilucteur agis-
sent l'un sur l'autre. Voici l'instrument à l'aide duquel cette détenni-
nation repose uniquement sur l'observation de ce qui a lieu quand
ce sont deux 81s conducteurs dont on examine l'action mutuelle.

Dans la table MN fPl. 1", flg. 4), est creusée une cavité A, remplie
de mercure, d'où part un conducteur fixe ABCDEFG formé d'une
lame de cuivre, la portion CDE est circulaire, et les parties CBA, EFG
sont isolées l'une de l'autre par la soie qui les recouvre. En G ce
conducteur est soudé à un tube de cuivre GH, surmonté d'une coupe
I, qui communique avec le tube par le support HI du même métal.
De la coupe 1 part un conducteur mobile IKLMNPQRS, dont la por-
tion MNP est circulaire; il est entouré de soie dans les parties MLK
et PQR pour qu'elles soient isolées, et il est tenu horizontal au moyen
d'un contre-poids a fixé sur une circonférence de cercle qu'un pro-
longement bcg de la lame dont est composé le conducteur mobile
forme autour du tube GH. La coupe S est soutenue par une tige ST,
ayant le même axe que GH, dont elle est isolée par une substance
résineuse que l'on coule dans le tube. Le pied de la tige ST est soudé
au conducteur fixe TUVXYZ.V, qui sort du tube GH par une ouver-
ture assez grande pour que la résine l'en isole aussi complètement
dans cet endroit qu'elle le fait dans le reste du tube GH, à l'égard de
ST. Ce conducteur, à sa sortie du tube, est revêtu de soie pour empè-
rhep la portion TUV de communiquer avec YZA'. Quant à la portion
VXY, elle est circulaire, et l'extrémité A' plonge dans une seconde
cavité A' creusée dans la table et pleine de mercure.

Les centres 0, 0', 0" des trois portions circulaires sont en ligne
droite; les rayons des cercles qu'elles forment sont en proportion

18 THÉORIE MATHÉMATIQUE

géométrique continue, et l'on place d'abord le conducteur mobile de
manière que les distances 00', O'O" sont dans le même rapport que
les termes consécutifs de cette proportion ; de sorte que les cercles
et 0' forment un système semblable à celui des cercles 0' et C. On
plonge alors le rhéophore positif en A et le rhéophore négatif en A',
le courant parcourt successivement les trois cercles dont les centres
sont en 0, 0', O'', qui se repoussent deux à deux, parce que le cou-
rant va en sens opposés dans les parties voisines.

Le but de l'expérience qu'on fait avec cet instrument est de prouver
que le conducteur mobile reste en équilibre dans la posilion où le
rapport 00' à O'O" est le même que celui des rayons de deux cercles
consécutifs, et que si on l'écarté de cette position il y revient en
oscillant autour d'elle.

Je vais maintenant expliquer comment on déduit rigoureusement
de ces cas d'équilibre la formule par laquelle j'ai représenté l'action
mutuelle de deux éléments de courant voltaîque, en montrant que
c'est la seule force agissant suivant la droite qui en joint les milieux
qui puisse s'accorder avec ces données de l'expérience. Il est d'abord
évident que l'action mutuelle de deux éléments de courants électri-
ques est proportionnelle à leur longueur; car, en les supposant
divisés en parties infiniment petites égales à leur commune mesure,
toutes les attractions ou répulsions de ces parties, pouvant être con-
sidérées comme dirigées suivant une même droite, s'ajoutent néces-
sairement. Cette même action doit encore être proportionnelle aux
intensités des deux courants. Pour exprimer en nombre l'intensité
d'un courant quelconque, on concevra qu'on ait choisi un autre
courant arbitraire pour terme de comparaison, qu'on ait pris deux
éléments égaux dans chacun de ces courants, qu'on ait cherché le
rapport des actions qu'ils exercent à la même distance sur un même
élément de tout autre courant, dans la situation où il leur est parallèle
et où sa direction est perpendiculaire aux droites qui joignent son
milieu avec les milieux de deux autres éléments. Ce rapport sera la
mesure d'une des intensités, en prenant l'autre pour unité.

Désignant donc par t et t' les rapports des intensités des deux cou-
rants donnés à l'intensité du courant pris pour unité, et par ds^ d^
les longueurs des éléments que l'on considère dans chacun d'eux ;
leur action mutuelle, quand ils seront perpendiculaires à la ligne qui
joint leurs milieux, parallèles entre eux et situés à l'unité de distance

DES pnXNOMÈNES tf LErmO-DYN-AMIQUES

19

l'un de l'autre, sera exprimée par li'dsd*'; que nous prendrons avec
le signe + quand les deux courants, allant dans le même sens, s'at-
tireront, et avec le signe — diins le cas contraire.

Si l'on voulait rapporter l'action des deux éléments à la pesanteur,
on prendrait pour unité de forces le poids de l'unité de volume d'une
matière convenue. Mais alors le courant pris pour unité ne serait plus
arbitraire ; il devrait être tel, que l'attraction entre deux de ses élé-
ments ds, as', situés comme nous venons de le dire, pût soutenir un
poids qui fût à l'unité de poids comme dsds' est à i . Ce courant une
fois déterminé, te produit ri'dsds" désignerait le rapport de l'attrac-
tion de deux éléments d'intensités quelconques, toujours dans la
même situation, au poids qu'on aurait choisi pour unité de force.

Cela posé, si l'on considère deux éléments placés d'une manière
quelconque ; leur action mutuelle dépendra de leurs longueurs, des
intensités des courants dont ils font partie, et de leur position respec-
tive. Cette position peut se déterminer au moyen de la longueur r de
la droite qui joint leurs milieux, des angles 9 et Q' que font, avec un
même prolongement de cette droite, les directions des deux éléments
pris dans le sens de leurs courants respectifs, et enfin de l'angle o>
que font entre eux les plans menés par chacune de ces directions et
par la droite qui joint les milieux des éléments.

La considération des diverses attractions ou répulsions observées
dans la nature me portait à croire que la force dont je cherchais l'ex-
pression, agissait de même en raison inverse de la distance ; je la sup-
posai, pourplusde généralité, en raison inverse de la puissance n'*"' de
cette distance, n étant une constante à déterminer. Alors en repré-
sentant par p, la fonction inconnue des angles 9, 8', w, j'eus ~ — — —

pour l'expression générale de l'aclion de deux éléments d.«,ds'de deux
courants ayant pour intensités i et î'. Il me restait à déterminer la
fonction s, je considérai d'abord pour cela deux éléments ad, «"d*
(pi. I", Ûg. 5) parallèles entre eux, perpendiculaires à la droite qui
joint leurs milieux, et situés à une distance quelconque r l'un de
l'autre ; leur action étant exprimée d'après ce qui précède par

, je supposai que ad restât fixe, et que i^d' fût transporté

parallèlement à lui-même, de manière que son milieu fût toujours à
la môme distance de celui de ad; w étant toujours nul, la ^'aleur de

20 THÉORIE MATHÉMATIQUE

leur action mutuelle ne pouvait dépendre que des angles désignés

ci-dessus par 6, 9', et qui, dans ce cas, sont égaux ou suppléments

l'un de l'autre, selon que les courants sont dirigés dans le même sens

... ... XX 1 w'd5ds'©(8i 8')

ou en sens opposés ; je trouvai ainsi pour cette valeur ^ — -.

En nommant k la constante positive ou négative à laquelle se réduit
? (9, 9') quand l'élément a'd est en «'"rf"' dans le prolongement de ad,

niî ' d 5 d 5'

et dirigé dans le même sens, j'obtins — pour l'expression de

l'action de ad sur d 'b'"; dans cette expression la constante k repré-
sente le rapport de l'action de ad sur ad" à celle de ad sur dcC,
rapport indépendant de la distance r, des intensités i, i\ et des lon-
gueurs d5, d^' des deux éléments que l'on considère.

Ces valeurs de l'action électro-dynamique, dans les deux cas les
plus simples, suflBsent pour trouver la forme générale de la fonction p,
en partant de l'expérience qui montre que l'attraction d'un élément
rectiligne infiniment petit est la même que celle d'un autre élément
sinueux quelconque, terminé aux deux extrémités du premier, et de
ce théorème que je vais établir, savoir : qu'une portion infiniment
petite de courant électrique n'exerce aucune action sur une autre
portion infiniment petite d'un courant situé dans un plan qui passe
par son milieu, et qui est perpendiculaire à sa direction. En effet, les
deux moitiés du premier élément produisent sur le second des
actions égales, l'une attractive et l'autre répulsive, parce que dans
Tune de ces moitiés le courant va en s'approchant et dans l'autre en
s'éloignant de la perpendiculaire commune. Or, ces deux forces
égales font un angle qui tend vers deux angles droits à mesure que
l'élément tend vers zéro. Leur résultante est donc infiniment petite
par rapport à ces forces, et doit par conséquent être négligée dans
le calcul. Cela posé, soient Mm(fig. 6) = d5 et M'm = d5', deux
éléments de courants électriques, dont les milieux soient aux
points A et A' ; faisons passer le plan MA'm par la droite AA' qui
les joint, et par l'élément Mm. Substituons à la portion de courant
ds qui parcourt cet élément, sa projection Nn = d5cos0 sur la
droite AA', et sa projection Pjo = d 5 sin 9 sur la perpendiculaire élevée
en A cette droite dans le plan MA' m; substituons ensuite à la portion
de courant ds' qui parcourt M' m' sa projection N'n' = d5' cos 9 sur la
droite AA' et sa projection Fy = d5' sin, 9' sur la perpendiculaire à

I

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 21

AA' menée par le point A' sur AA' dans le plan M'Âm' ; remplaçons
enfin celle dernière par sa projection Tf' = ds* sin V cos u sur le
plan MA'm et par sa projection D'u'=ds'sin d'sinw sur la perpen-
diculaire à ce plan menée par le point A' ; d'après la loi établie ci-des-
sus, l'action des doux éléments ds et ds' sera la même que celle de
l'assemblage des deux portions de courants ds cos 8 et ds sin 8 sur
celui des trois portions ds'cosff, ds'sînO'cosu, ds'sind'sinu; cette
dernière ayant son milieu dans le plan MAm auquel elle est perpen-
diculaire, il n'y aura aucune action entre elle et les deux portions
ds cos 9, as sin 6,qui sont dans ce plan. 11 ne pourra non plus, par la
môme raison, y eu avoir aucune entre les portions ds cos 0, ds'sinV
cos. I», ni entre les portions ds sin 6, ds" cos ff, puisqu'on concevant
par la droite AA' un plan perpendiculaire au plan MA'm, ds cos 6 et
ds'cos 6' se trouvent dans ce plan, et que les portions ds'sinQ' cos w
et dssin 6 lui sont perpendiculaires et ont leurs milieux dans Cô
même plan. L'action des deux éléments ds et ds' se réduit donc à la
réunion des deux actions restantes, savoir : l'action mutuelle de ds
sin 8 et de ds'sin ff cos w et à celle de ds cos 8 et de ds" cos V, ces
deux actions étant toutes deux dirigées suivant la droite AA' qui
joint les milieux des portions de courants entre lesquelles elles
s'exercent, il suffit de les ajouter pour avoir Tactiou mutuelle des
deux éléments ds et ds'. Or les portions dssin 6 et ds'sinS'cosw sont
dans un même plan, et toutes deux perpendiculaires & la droite AA' ;
leur action mutuelle suivant cette droite est doue, d'après ce que
nous venons de voir, égale à

lï'dids'sinBsinS'costd

et celle des deux portions ds cos 8 et ds' cûsd* dirigée suivant la même
droite AA', a pour valeur

AiV'dïdï'cosftcosft

et par conséquent l'action des deux éléments ds, dy l'un sur l'autre
est nécessairement exprimée par

- (sin e sin Vcosa + k cos 6 cos 6).

22 THÉORIE MATHÉMATIQUE

On simplifie cette formule en y introduisant l'angle e des deux élé-
ments au lieu de ci> ; car en considérant le triangle sphérique dont les
côtés seraient B, 0", c, on a

ces s = ces 6 ces 6' -(- sin 6 sin V ces w ;
d'où

sin 6 sin V ces u» = ces t «- ces ces 6' ,

substituant dans la formule précédente et faisant A: — i = A, elle de-
vient

— -- — (co8« + *co80cos6;,

et il est bon de remarquer qu'elle change de signe quand un seul des
courants, par exemple celui de l'élément ds, prend une direction dia-
métralement opposée à celle qu'il avait, car alors cos 6 et cos t chan-
gent de signe, et cos 6' reste le môme. Cette valeur de l'action mu-
tuelle de deux éléments n'a été déduite que de la substitution des pro-
jections d'un élément à cet élément môme; mais il est facile de
s'assurer qu'elle exprime qu'on peut substituer à un élément un con-
tour polygonal quelconque, et par suite un arc quelconque de courbe
terminé aux mômes extrémités, pourvu que toutes les dimensions de
ce polygone ou de cette courbe soient infiniment petites.

Soient, en eflfet, ds^, ds„... ds« les différents côtés du polygone infi-
niment petit substitué à ds; la direction AA' pourra toujours ôtre
considérée comme celle des lignes qui joignent les milieux respectifs
de ces côtés avec A'.

Soient 6,, 6,... 6« les angles qu'ils font respectivement avec AA'; et
*i)<tf*^^u^ Qu'ils font avec M" m', en désignant, suivant l'usage,
par 2 une somme de termes de môme forme, la somme des actions
des côtés ds^ d5„... ds» sur ds', sera

— — (Sd«j cose, -|- Acos 01Id«j 008 Oj).

OrSds^cose, est la projection du contour polygonal sur la direc-
tion de dsf et est par conséquent égal à la projection de ds sur la
môme direction, c'est-à-dire à d^cosc; de môme 2d«, cosO^ est égal
à la projection de ds sur AA' qui est ds cos B; l'action exercée sur d^

DBS PHRNOHÈNES ÉLRCTRO-DVNAMIQUES 23

par le contour polygonal terminé aux extrémités de ds a donc pour
expression

- (dl COS e -|- ^'^î C08 9 cos 6')

et est la même que celle de ds sur ds".

Cette conséquence étant indépendante du nombre des côtés
d*, ds„... ds., aura lieu pour un arc infiniment petit d'une courbe
quelconque.

On prouverait semblablement que l'action de ds* sur ds, peut être
remplacée par celle qu'une courbe infinimeot petite quelconque,
dont les extrémités seraient les mêmes que celles de d/, exer-
cerait sur cbacun des éléments de la petite courbe que nous
avons déjà substituée à ds, et par conséquent sur cette petite courbe
elle-même. Ainsi la formule que nous avons trouvée exprime
qu'un élément curviligne quelconque produit le môme effet que la
portion infiniment petite de courant rectiligne terminée aux mêmes
extrémités, quelles que soient d'ailleurs les constantes net A. L'expé-
rience par laquelle on constate ce résultat ne peut donc servir ea rien
à déterminer ces constantes.

Nous aurons alors recours aux deux autres cas d'équilibre dont
nous avons déjà parlé. Mais auparavant nous transformerons l'expres-
sion précédente de l'action de deux éléments de courants voltalques,
en y introduisant les différentielles partielles de la distance de ces
deux éléments.

Soient x, y, z, les coordonnées du premier point, et ^, y", s* celles
du secoDCl, il viendra

r' = (i - xy + (y —y)' + (i — ly,
d'où, en prenant successivement les coefficients différentiels partiels

24 THÉORIE MATHÉMATIQUE

par rapport à 5 et 5',

dr , .X dar , , ^v dy , , ,. dz

ainsi

. dr ., dr

co8 = T-t cose= — T-.
ds ds

Pour avoir la valeur de cose, nous observerons que

dx ûy dz d^ dy' dz'

dF' dl' ïï«' d?' d7' d?

sont les cosinus des angles que ds et dsf forment avec les trois axes,
et nous en conclurons

dx dx , dy dy' . dz dz'
ds ds ds ds ds ds

Or, en différentiant par rapport à sf l'équation précédente qui donne
r T— , on trouve

d*r , dr dr dx dx dy dy' dz dz'

dsds^ ds ds' ds ds' ds ds' ds ds'

Si l'on substitue, dans la formule qui représente l'action mutuelle
des deux éléments d5, ds^, au lieu de cose, cosO', cose, les valeurs que
nous venons d'obtenir, cette formule deviendra, en remplaçant
i + h par son égal A;,

lï'dsds' / d'r . , dr dr

/ dV , . dr dr\
V dsds'+ ds'd?/'

qu'on peut mettre sous la forme

dr

lï'dsds' i ^V ds)

ds'

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 25

OU enfin

("S)

ds

On pourrait encore lui donner la forme suivante :

_ Jl, h- ^1^ d,d,'.

Examinons maintenant ce qui résulte du troisième cas d'équilibre
dont nous avons parlé, et qui démontre que la composante de Taction
d'un circuit fermé quelconque sur un élément, suivant la direction de
cet élément, est toujours nulle, quelle que soit la forme du circuit.
En désignant par ds' l'élément en question, l'action d'un élément ds
du circuit fermé sur ds^ sera, d'après ce qui précède.

— n is ' r*-*-* r d«,

as

dr
ou, en remplaçant -p par — cos O',

u dsr'-*-* — i-^ ' ds:

ds

la composante de cette action suivant ds^ s'obtiendra en multipliant
cette expression par cosO', et sera

it dsr'-*-*cos6 -^— T 'as.

ds

Cette différentielle intégrée dans toute l'étendue du circuit s don-
nera la composante tangente totale, et devra être nulle, quelle que
soit la forme de ce circuit. En l'intégrant par partie, après l'avoir
écrite ainsi

u ds'r'-^^'VcosO ^ ds,

ds

26 THÉORIE MATHÉMATIQUE

nous aurous

- it'd*' r*-*cos V — (i — n — a*) /r"* cos* 6'dr L

Le premier tenner*-"cos"6' s'évanouit aux limites. Quant à l'inté-
grale /r-^cos" 6'dr, il est très facile de concevoir un circuit fermé pour

lequel elle ne se réduise pas à zéro. En effet, si on coupe ce circuit
par des surfaces sphériques très rapprochées ayant pour centre le
milieu de l'élément d 5', les deux points où chacune de ces sphères
coupera le circuit donneront la même valeur pour r et des valeurs
égales et de signes contraires pour dr; mais les valeurs de cos*0'
pourront être différentes, et il y aura une infinité de manières de
faire en sorte que les carrés de tous les cosinus relatifs aux points
situés d'un môme côté entre les points extrêmes du circuit soient
moindres que ceux relatifs aux points correspondants de l'autre
côté ; OTf dans ce cas, l'intégrale ne s'évanouira pas ; et comme l'ex-
pression ci-dessus doit ôtre nulle, quelle que soit la forme du circuit,
il faut donc que le coefficient 1 — n — 9A; de cette intégrale soit nul,
ce qui donne entre n et A: cette première relation 1 — n — «A = 0.

Avant de chercher une seconde équation pour déterminer ces deux
constantes, nous commencerons par prouver que k est négatif, et,
par conséquent, que n = 1 — s A; est plus grand que 1 ; nous aurons
recours pour cela à un fait bien facile à constater par l'expérience,
savoir qu'un conducteur rectiligne indéfini attire un circuit fermé,
quand le courant électrique de ce circuit va dans le môme sens que
celui du conducteur dans la partie qui en est la plus voisine, el qu'il le
repousse dans le cas contraire.

Soit UV (fig. 7) le conducteur rectiligne indéfini ; supposons pour
plus de simplicité que le circuit fermé THKTK^H' soit dans le môme
plan que le fil conducteur UV, et cherchons l'action exercée par un
élément quelconque MM' de ce dernier. Pour cela tirons du milieu A
de cet élément des rayons vecteurs à tous ces points du circuit, et
cherchons l'action perpendiculaire à UV exercée par cet élément sur
le circuit.

La composante perpendiculaire à UV de l'action exercée par
MM' = dy sur un élément EH = ds s'obtiendra en multipliant l'ex-

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNA MIQUE8 27

pression de cette action pur ainô"; elle sera donc, on observant que
I — n — sA = 0,

-lï'diUngd'

d(r"co5*8')

expression qui doit être intégrée dans toute retendue du circuit.
L'intégration par parties donnera

I lï'd jYr" sin 6' C08 9 — rr»dfl') .

Le premier terme s'évanouissant aux limites, il reste seulement

-i..,y;

r"d6',

Considérant maintenant les deux éléments KH, K'H' compris entre
les deux mêmes rayons consécutifs, dtf est le même de part et
d'autre, mais doit être pris avec un signe contraire, en sorte qu'en
faisant AH = r, AH' = r', on a pour l'action réunie <"
menta

( deux élé-

-iiïdiTj(r'"— r")d6'l,

oâ nous supposons que r' est plus grand que r. Le terme de cette in-
tégrale qui résulte de l'action de la partie THT' convexe vers UV
l'emportera sur celui qui est produit par l'action de la partie concave
TOT si k est négatif; le contraire aura lieu si k est positif, et il n'y
aura pas d'action si k est nul. Les mêmes conséquences ayant lieu
pour tous les éléments deUV, il s'ensuit que la partie convexe vers DV
aura plus d'influence sur le mouvement du circuit que la partie con-
cave, si A<o, autant si A=o, et moins si A >o. Or l'expérience prouve
qu'elle en a davantage. On a donc i<o, et par suite n> i, puisque
rt = 1 — ai.
On déduit de là cette conséquence remarquable , que les parties

28 THÉORIE MATHÉMATIQUE

d'un même courant rectiligne se repoussent; car si l'on fait 0=o,
B'=:o, la formule qui donne l'attraction de deux éléments, devient

— -jj — ; et comme elle est négative , puisque k Test, il y a répulsion.

C'est ce que j'ai vérifié par l'expérience que je vais décrire. On prend
un vase de verre PQ (fig. 8) séparé par la cloison MN en deux compar-
timents égaux et remplis de mercure, on y place un fil de cuivre
recouvert de soie ÂBCDE, dont les branches ÂB, ED, situées parai*
ièlement à la cloison MN, flottent sur le mercure avec lequel commu-
niquent les extrémités nues A et E de ces branches. En mettant les
rhéophores dans les capsules S et T, dont le mercure communique
avec celui du vase PQ par les portions du conducteur AH, A;K, on établit
deux courants, dont chacun a pour conducteur une partie de mercure
et une partie solide : quelle que soit la direction du courant, on voit
toujours les deux fils AB, ED marcher parallèlement à la cloison MN
en s'éloignant des points H et E, ce qui indique une répulsion pour
chaque fil entre le courant établi d,ans le mercure et son prolonge-
ment dans le fil lui-môme. Suivant le sens du courant, le mouvement
du fil de cuivre est plus ou moins facile, parce que, dans un cas, l'ac-
tion exercée par le globe sur la portion BCD de ce fil, s'ajoute à l'effet
obtenu, et que dans l'autre, au contraire, elle le diminue et doit en être
retranchée.

Examinons maintenant l'action qu'exerce un courant électrique for-
mant un circuit fermé , ou un système de courants formant aussi des
circuits fermés, sur un élément de courant électrique.

Prenons l'origine des coordonnées au milieu A (fig. 9) de l'élément
proposé M'N', et nommons X, [x, v, les angles qu'il fait avec les trois
axes. Soit MN un élément quelconque du courant formant un circuit
fermé, ou d'un des courants formant également des circuits fermés
dont se compose le système de courants que l'on considère, en nom-
mant dsfetds les éléments M'N', MN, r la distance AA' de leurs milieux
et V l'angle du courant M'N' avec A A', la formule que nous avons trouvée
précédemment pour exprimer l'action mutuelle des deux éléments de-
viendra , en y remplaçant t- par — cos V,

as

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 29

Les angles que AA' fait avec les trois axes ayant pour cosinus -, ^, -,

on a

ces • = - C08 A -|- i C08 |A + " COS ^;

T T r

en substituant cette valeur à cosB, et en multipliant par—, nous
trouverons pour l'expression de la composante suivant Taxe des x,

ird«'r*"*xd(r*~* jf cos X -J- r^'^jf ces |& -|- ^^^ cos v),

le signe d se rapportant seulement, excepté dans le facteur às\ aux
difTérentielles prises en ne faisant varier que 5, cetle expression peut
s'écrire ainsi

= lï'dsfcos Xr*-»a?d(r*-«^) + ^^^liî r*-«yd(r*-«y) + ^^^ r*-««d(r»-»«)l

= i lï'dsf cosXd(r«*-'x») + - ces |id(r'*-«y*) + î cos vd(r"-«z»)l

' .., , T, ar'cosX-f wco8|i + xzcosv y'cosix x «'cosv.jfl
= " " ds d — n ^^1 d — r— d -

a L ^ ^'^ y ^ yJ

= . Il d« l^d -j^ + ^^J C08 fi — ces V J ,

en remplaçant «A — a par sa valeur — n — i .

Si Ton représente par r^ , a:^ , ^i, et r, , a:, , fti, les valeurs de r, a:, V,
aux deux extrémités de Tare s et par X la résultante suivant Taxe des
X de toutes les forces exercées par les éléments de cet arc sur d^,
on aura

1 ..,j Ta?, ces ^^ a?, ces «'^ , rxAy—yix /•zàx—xûxl

Si cet arc forme un circuit fermé r,, a:,, 0,, seront égaux à r, , a;^, O'i, et
la valeur de X se réduira à

30 THÉORIE MATHÉMATIQUE

En désignant par Y et Z les forces suivant les axes des y et des z ré-
sultant de Faction des mômes éléments sur ds^, on trouvera par un
calcul semblable

et en faisant

/ydz — zAy rzdx — xdz rxdy — yix

il viendra

i

X = - iï'd«' (C cos 11 — B cos v),
a

Y = - lï'd*' (A cos V — C cos X),
Z = - iY'd«' (B cos X — A cos \i).

En multipliant la première de ces équations par À, la seconde par B et
le troisième par C, on trouve AX + B Y + CZ = o ; et si l'on conçoit
par Torigiae une droite A'E qui fasse avec les axes des angles dont les
cosinus soient respectivement

A B P

-srCOsÇj, -=COST||, g=COSÇ,,

en supposant, pour abréger,

VA« + B* + C« = D,

elle sera perpendiculaire sur la résultante R des trois forces X, Y, Z,
qui fait avecles axes des angles dont les cosinus sont

X Y Z

R* R' R'

puisqu'on a, en vertu de Téquation précédente,

D R^D R^D R

RHS PHRNOMÈNER ÉLBCTBO-DYN A MigUBR

31

Il est à remarquer que la droite que nous venoas de détermiDer est
tout à fait indépendante de la direction de l'élément M'N' ; car elle se
déduit immédiatement des intégrales A, B, C qui ne dépendent que du
circuit fermé et de la positiou des plans coordonnés, et qui sont les
sommes des projections sur les plans coordonnés des aires des trian-
gles qui ont leur sommet au milieu de l'élément ds*, et pour bases les
différents éléments des circuits fermés s, toutes ces aires étant divisées
par la puissance n + i du rayon vecteur r. La résultante étant perpen-
diculaire sur cette droite A'E que je nommerai directrice, elle se
trouve, quelle que soit la direction de l'élément, dans le plan élevé au
point A' perpendiculairement à A'E; je donnerai ^ ce plan le nom de
plan directeur. Si l'on fait la somme des carrés de X, Y, Z, on trouvera
pour valeur de la résultante de l'action du circuil unique ou de l'en-
semble de'circuits que l'on considère,

Il = - IHl" (lf'^(«)9i;,C0B|i— C01>1|C0BVJ*-I-(C0SE,C0B«— eiMi;,COaX}*-|-(cOaT|,GOB)L— COlE,G(»|i)*,

Iou, en appelant t l'angle de l'élément ds' avec la directrice,
R = -Dirda'8int.

Il est facile de déterminer la composante de cette action dans un plan
donné passant par l'élément ds' et faisant un angle f avec le plan
mené par ds" et la directrice. En effet, la résultante R étant perpen-
diculaire à ce dernier plan, sa composante sur le plan donné sera

n sin f , ou - Dii " dï' sÎd i sin f .

Or, sin t sin <f est égal au sinus de l'angle <}• que la directrice fait avec
le plan donné. C'est ce que l'on déduit immédiatement de l'angle
trièdre formé par d^, par la directrice et par sa projection sur le plan
donné. La composante dans ce plan aura donc pour expression

- Diï'di'sin^.

Cette expression peut se mettre sous une autre forme en observant

32 THÉORIE MATHEMATIQUE

que ^ est le complément de Tangle que fait la directrice avec la nor-
male au plan dans lequel on considère l'action. On a donc, en nom-
mant (, 71, 2^ les angles que cette dernière droite forme avec les
trois axes,

ABC
sin4»= g cosÇ + g co8t| + - cosÇ,

et Texpression de Taction devient

- lï'ds (A ces Ç -|- B ces 11 + C ces Ç),
a

ou

9

en faisant

U = A CCS ï 4" B cos T| + C cos Ç.

On voit que cette action est indépendante de la direction de l'élé-
ment dans le plan que l'on considère, nous la désignerons sous le
nom d'action exercée dans ce plan, et nous conclurons de ce qu'elle
reste la même lorsqu'on donne successivement à l'élément différentes
directions dans un môme plan, que si celle que la terre exerce sur un
conducteur mobile dans un plan fixe est produite par des courants
électriques formant des circuits fermés, et dont les distances au con-
ducteur sont assez grandes pour être considérées comme constantes
pendant qu'il se meut dans ce plan, elle aura toujours la même valeur
dans les différentes positions que prendra successivement le conduc-
teur, parce que les actions exercées sur chacun des éléments dont il
est composé restant toujours les mêmes et toujours perpendiculaires
à ces éléments, leur résultante ne pourra varier ni dans sa grandeur
ni dans sa direction relativement au conducteur. Cette direction
changera d'ailleurs dans le plan fixe en y suivant le mouvement de ce
conducteur : c'est en effet ce qu'on observe à l'égard d'un conducteur
qui est mobile dans un plan horizontal, et qu'on dirige successive-
ment dans divers azimuts :

On peut vérifier ce résultat par l'expérience suivante : dans un
disque de bois ABGD (fig. 10), on creuse une rigole circulaire KLMN
dans laquelle on place deux vases en cuivre KL, MN de même forme,
et qui occupent chacun presque la demi-circonférence de la rigole de

DBS phAnomènes Albctro-dtnaxiquks 33

maaiëre cependant qu'il reste entre eux deux intervalles KN, I«H,
qu'on remplit d'un mastic isolant; à chacun de ces vases sont soudées
les deux lames de cuivre PQ, RS, incrustées dans le disque et qui
portent les coupes X, Y, destinées à mettre, au moyen du mercure
qu'elles contiennent, les vases KL, MN, en communication avec les
rbéopbores d'une très forte pile; dans le disque est incrustée une
autre lame TO portant la coupe Z, où l'on met aussi un peu de mer-
cure ; cette lame TO est soudée au centre du disque à une tige ver-
ticale sur laquelle est soudée une quatrième coupe U, dont le fond est
garni d'un morceau de verre ou d'agate pour rendre plus mobile le
sautoir dont nous allons parler, mais dont les bords sont assez élevés
.pour être en communication avec le mercure qu'on met dans cette
coupe; elle reçoit la pointe V(Sg. H) qui sert de pivot au sautoir
FGHI, dont les brancbes EG, El, sont égales entre elles et soudées
en G et I aux lames gxh^ iyf qui plongent dans l'eau acidulée des
vases KL, MN, lorsque la pointe Y repose sur le fond de la coupe U,
et qui sont attachées par leurs autres extrémités A, /aux brancbes
EH, EF, sans communiquer avec elles. Ces deux lames sont égales et
semblables et pliées en arcs de cercle d'environ 90*. Lorsqu'on plonge
les rbéopbores, l'un dans la coupe Z, l'autre dans l'une des deux
coupes X ou Y, le courant ne passe que par une des brancbes du
sautoir, et l'on voit celui-ci tourner sur la pointe V par l'action de la
terre, de l'est à l'ouest par le midi quand le courant va de la circon-
férence au centre, et dans le sens contraire quand il va du centre à la
circonférence, conformément à l'explication que j'ai donnée de ce
phénomène, et qu'on peut voir dans mon Recueil ^Observations
ilectr(Hdynamiques^ page 284. Mais lorsqu'on les plonge dans les
coupes X et Y, le courant parcourant en sens contraires les deux
brancbes EG, El, le sautoir reste immobile dans quelque situation
qu'on l'ait placé, quand, par exemple, une des brancbes est parallèle
et l'autre perpendiculaire au méridien magnétique, et cela lors même
qu'en frappant légèrement sur le disque ÂBGD, on augmente, par les
petites secousses qui en résultent, la mobilité de l'instrument En
pliant un peu les branches du sautoir autour du point E, on peut leur
faire faire différents angles, et le résultat de l'expérience est toujours
le même. Il s'ensuit évidemment que la force avec laquelle la terre
agit sur une portion de conducteur, perpendiculairement à sa direc-
tion, pour la mouvoir dans un plan horizontal, et, par conséquent,

5

34 THÉORIE MATHÉMATIQUE

dans un plan donné de position à l'égard du système des courants
terrestres, est la même, quelle que soit la direction, dans ce plan, de
la portion de conducteur, ce qui est précisément le résultat de calcul
qu'il s'agissait de vérifier.

Il est bon de remarquer que l'action des courants de l'eau acidulée
sur leurs prolongements dans les lames gh^ if ne trouble en aucune
manière l'équilibre de l'appareil ; car il est aisé de voir que Taction
dont il est ici question tend à faire tourner la lame gh autour de la
pointe Y dans le sens hxg^ et la lame if dans le sens fyiy d'où résulte,
à cause de l'égalité de ces lames, deux moments de rotations égaux
et de signes contraires qui se détruisent.

On sait que c'est à M. Savary qu'est due l'expérience par laquelle,
on constate cette action ; cette expérience peut se faire plus commo-
dément en remplaçant la spirale en fil de cuivre de l'appareil dont il
s'est d'abord servi , par une lame circulaire du même métal. Cette
lame ABC (fig. 12) forme un arc de cercle presque égal à une circon-
férence entière ; mais ses extrémités A et G sont séparées l'une de
l'autre par un morceau D d'une substance isolante. On met une de
ses extrémités A, par exemple, en communication avec un des rhéo-
phores par la pointe qu'on place dans la coupe S (fig. 13) pleine de
mercure ; celle-ci est jointe par le fil métallique STR à la coupe R
dans laquelle plonge un des rhéopbores. Cette pointe (fig. 12) com-
munique avec l'extrémité A par le fil de cuivre AEQ dont le prolon-
gement QF soutient en F la lame ABC par un anneau de substance
isolante, qui entoure en ce point le fil de cuivre. Lorsque la pointe
repose sur le fond de la coupe S (fig. 13), la lame ABC (fig. 12) plonge
dans l'eau acidulée contenue dans le vase de cuivre MN (fig. 13)qui com-
munique avec la coupe P où se rend l'autre rhéophore ; on voit alors
tourner cette lame dans le sens GBA, et pourvu que la pile soit assez
forte, le mouvement reste toujours dans ce sens lorsqu'on renverse les
communications avec la pile, en changeant réciproquement les deux
rhéopbores de la coupe Pà la coupe R, ce qui prouve que ce mouvement
n'est point dû à l'action de la terre et ne peut venir que de celle que les
courants de l'eau acidulée exercent sur le courant de la lame circu-
laire ABC (fig. 12)-, action qui est toujours répulsive, parce que si GH
représente un des courants de l'eau acidulée qui se prolonge en HK
dans la lame ABC, quel que soit le sens de ce courant, il parcourra
évidemment l'un des côtés de l'angle GHE en s'approchant, et l'autre

DES PIIÉNOXÈNRS ÉLECTRO-DTNAMIQURS 35

en s'ëloignant du sommet H. Mais il faut, pour que le mouvement
qu'on observe dans ce cas ait lieu, que la répulsion entre deux élé-
ments, Tun en I et l'autre en L, ait lieu suivant la droite IL, oblique
à Tare ABC, et non suivant la perpendiculaire LT à l'élément situé en
L, car la direction de cette perpendiculaire rencontrant la verticale
menée par le point autour de laquelle la partie mobile de l'appareil
est assujettie à tourner, une force dirigée suivant cette perpendicu-
laire ne pourrait lui imprimer aucun mouvement de rotation.

Je viens de dire que, quand on veut s'assurer que le mouvement
de cet appareil n'est pas produit par l'action de la terre, en constatant
qu'il continue d'avoir lieu dans le môme sens quand on renverse les
communications avec la pile en changeant les rhéophores de coupes,
il fallait employer une pile qui fût assez forte; il est impossible
en eflfet, dans cette disposition de conducteur mobile, d'empêcher
la terre d'agir sur le fil vertical AE pour le porter à l'ouest, quand le
courant y est ascendant, à l'est, quand le courant y est descendant,
et sur le fil horizontal EQ, pour le faire tourner autour de la verticale
passant par le point 0, dans le sens direct est, sud, ouest, quand le
courant va de E en Q, en s'approchant du centre de rotation, et dans
le sens rétrograde ouest, sud, est, quand il va de Q en E, en s'éloi-
gnant du môme centre (1). La première de ces actions est peu sen-
sible, lors du moins qu'on ne donne au fil vertical AE que la longueur
nécessaire pour la stabilité du conducteur mobile sur sa pointe 0;
mais la seconde est déterminée par les dimensions de l'appareil; et
comme elle change de sens lorsqu'on renverse les communications
avec la pile, elle s'ajoute dans un ordre de communication avec
l'action exercée par les courants de l'eau acidulée, et s en retranche
dans lautre; c'est pourquoi le mouvement observé est toujours plus
rapide dans un cas que dans l'autre; cette différence est d'autant plus
marquée, que le courant produit par la pile est plus faible, parce qu'à
mesure que son intensité diminue, l'action électro- dynamique étant,
toutes choses égales d*ailleurs, comme le produit des intensités des
deux portions de couranLs qui agissent Tune sur l'autre, cette action
entre les courants de l'eau acidulée et ceux de la lame ABC, diminue

(I) Voyez sur ces deux sortes d'actions exerces par le globe terrestre, ce qui
est dit dans mon Recueil éTObiervaikm éiêciro^ynamiquet^ pages 980, 984.

36 THÉORIE MATHÉMATIQUE

comme le carré de leur intensité, tandis que l'intensité des courants
terrestres restant la même, leur action sur ceux de la lame, ne devient
moindre que proportionnellement à la même intensité : à mesure
que l'énergie de la pile diminue, l'action du globe devient de plus en
plus près de détruire celle des courants de l'eau acidulée dans la dis-
position des communications avec la pile où ces actions sont oppo-
sées, et l'on voit lorsque cette énergie est devenue très faible, l'ap-
pareil s'arrêter dans ce cas, et le mouvement se produire ensuite en
sens contraire ; alors l'expérience conduirait à une conséquence oppo-
sée à celle qu'il s'agissait d'établir, puisque l'action de la terre deve-
nant prépondérante, on pourrait méconnaître Texistence de celle des
courants de Teau acidulée. Au reste, la première de ces deux actions
est toujours nulle sur la lame circulaire ABC, parce que la terre agis-
sant comme un système de courants fermés, la force qu'elle exerce
sur chaque élément étant perpendiculaire à la direction de cet élé-
ment, passe par la verticale menée par le point 0, et ne peut, par
conséquent, tendre à faire tourner autour d'elle le conducteur
mobile.

Nous allons pour servir d'exemple, appliquer les formules précé-
dentes au cas où le système se réduit à un seul courant circulaire
fermé.

Lorsque le système n'est composé que d'un seul courant, parcou-
rant une circonférence de cercle d'un rayon quelconque m on sim-
plifie le calcul, en prenant, pour le plan des ay, le plan mené par
l'origine des coordonnées, c'est-à-dire par le milieu A de l'élément
ab (fig. 14), parallèlement à celui du cercle; et pour le plan des xz,
Delui qui est mené perpendiculairement au plan du cercle par la même
origine et par le centre 0.

Soient p ei q les coordonnées de ce centre ; supposons que le
point G soit la projection de sur le plan de ay, N celle d'un point
quelconque M du cercle, et nommons o) l'angle AGN ; si l'on abaisse
NP perpendiculairement sur AX, les trois coordonnées x, y, z du
point M seront MN, NP, AP, et l'on trouvera facilement pour leurs
valeurs :

z=zq, y = msin(i>, x=p — mcoso).
Les quantités que nous avons désignées par A, B, C, étant respecti-

DES PH^NOMiNBS BLBGTR0-DTNAMIQUB8 37

vemeat égales &

yiz — zdy j*idx — xdz (*xûy^yix

/ yûz — iûy r zûx — xiz r
r^» • J r^* ' J

nous aurons

^ /*8înMdM

B = mq j

cosMdM . /*d«t

^ /*co8MdM • rdM

Si Ton intègre par partie ceux de ces termes qui contiennent siotti
et cosci), en faisant attention que

donne

mp 8in«td«t

drss-t::

r

qu'on supprime les termes qui sont nuls parce que ces intégrales
doivent être prises depuis ui = o jusqu'à ai = 9 ic, et qu'on mette les
valeurs de Â, B, G ainsi trouvées dans celle de U,

U = Aco8E-}-Bco8i)-f GcosC,
on obtiendra

w^ F/ . w • . PS /•«io* «•<!•• . /* d«*I

U=:ml(n+ i)(p*co8C — pfCOsQ J — ^ CO8ÇJ — J.

Or, Tangle ( peut être exprimé au moyen de C; car, en désignant
par h la perpendiculaire OK abaissée du centre sur le plan bkQ
pour lequel on calcule la valeur de U, on aura A = 9 cos s +/) cos (, et
cette valeur deviendra

D = m«j(n+.)[(;,' + ç«)co8Ç-A,]Jïî^-c08c/^

L'évaluation en est bien simple dans le cas où le rayon m est très
petit par rapport à la distance / de l'origine A au centre ; car, si on

38 THÉORIE MATHÉMATIQUE

la développe en série suivant les puissances de m, on verra que quand
on néglige les puissances de m supérieures à 3 , les termes en m'
s'évanouissent entre les limites o, a ic, et que ceux en m* s'obtiennent

en remplaçant r par / = sj p^ + y* ; il ne reste alors qu'à calculer les
valeurs de

/ sin*(i>dcA et de / dco depuis ca = o jusqu'à ca=3ic;

ce qui donne ic pour la première, et aie pour la seconde; la valeur de
U se réduit donc a

T7 — ,«• r(2ziil£2L^ (n+i)Ag -]

Pour plus de généralité, nous allons supposer maintenant que le
courant fermé, au lieu d'être circulaire, ait ime forme quelconque,
mais sans cesser d'être plan et très petit.

Soit MNL (flg. 15) un très petit circuit fermé et plan dont l'aire soit
\ et qui agisse sur un élément placé à l'origine A. Partageons sa sur-
face en éléments infiniment petits, par des plans passant par Taxe des
z, et soit APQ la trace d'un de ces plans, et M, N ses points de ren-
contre avec le circuit X, projetés sur le plan des ay en P et Q. Prolon-
geons la corde MN jusqu'à l'axe des z en G; abaissons de A une per-
pendiculaire kE = q sur le plan du circuit, et joignons EG. Soit kpq
la trace d'un plan infiniment voisin du premier, faisant avec celui-ci
un angle dy; faisons AP = m et PQ = Zu. L'action du circuit sur l'élé-
ment en A dépend, comme nous l'avons vu, de trois intégrales dési-
gnées par A, B, C, que nous allons calculer. Considérons d'abord C,
dont la valeur est

/ xiy — yàx r

Cette intégrale est relative à tous les points du circuit, et si l'on con-
sidère simultanément les deux éléments compris entre les deux plans
voisins AGNQ et AGn^, et qui se rapportent à des valeurs égales et
des signes contraires de df , on verra que les actions de ces deux élé-
ments doivent être ôtées l'une de l'autre, et que celle de l'élément
qui est le plus près de A produit l'action la plus forte. Observant que

DS8 PH<N01liNS8 <LSCTR0-DTNAMIQUB8 39

pour avoir TactioD du plus éloigné, il fout remplacer u et r par u + ^^
et r + 8r, on trouve

(r + Iry

ces deux intégrales étant prises entre les deux valeurs de f relatives
aux points extrêmes L, L' entre lesquels est compris le circuit.

La différence de ces deux intégrales pouvant être considérée comme
la variation de la première prise en signe contraire, lorsqu'on néglige
toutes les puissances des dimensions du circuit dont les exposants
surpassent Tunité, il vient

c = -,/^=/[&±^ -•*>,.

Or

d'où

^ mSii -f zlz
îr=— — ;

r

d'ailleurs l'angle ZAE étant égal à C» on a

cosC cosC

et, à cause des triangles semblables MH6, MSN,

BfH:BIS::GH:NS,

c'est-à-dire

ii:Jii::i —^:^z\

en tirant de cette proportion la valeur de Sx et la reportant dans celle
de Sr, on obtient :

^^xcosC-Çj^ ^^^ (ti«+i')co8S-yi ^^ ^ HcosÇ-ç» ^^
•fCosC * itf*cosC * «rcosC *

et en substituant cette valeur dans celle de G, il vient

'^=/[ "^'ff:::i~"' -;^]-^t

40 THEORIE MATHÉMATIQUE

Le circuit étant très petit, on peut regarder les valeurs de r et de js
comme constantes et égales par exemple à celles qui se rapportent au
centre de gravité de Taire du circuit, afin que les termes du troisième
ordre s'évanouissent, en représentant ces valeurs par / et z^, l'inté-
grale précédente prendra cette forme

Mais ud<f est l'arc PK décrit de A comme centre avec le rayon u et
PQ=8ti; donc ud(fiu est Taire infiniment petite PQpÇi et l'inté-
grale jud<fdu exprime Taire totale de la projection du circuit, c'est-à-
dire X cos 2^, puisque ^ est Tangle du plan du circuit avec le plan des
xy ; on aura donc enfin

_ rn— i)cosÇ (n + i)gzn

G-L — j=n Fî~J^-

On obtiendra des valeurs analogues pour B et A, savoir :

° — I i^i ^% J'^»

__ r (n— QcosS (n+_i)££,-|

On connaîtra ainsi les angles que la directrice fait avec les axes, puis-

A B C
qu'on a pour leurs cosinus ^, tt, tt, en faisant

d = v'a«+b«+c\

Quant à la force produite par Taction du circuit sur Télément situé à
Torigine, elle aura, connue on Ta vu plus haut, pour expression

j n' dsT) sin e, e étant Tangle que fait cet élément avec la directrice,

à laquelle cette force est perpendiculaire ainsi qu'à la direction de
Télément.
Dans le cas où le petit circuit que Ton considère est dans le même

DES PHÉNOMÈNES ÉLBCTRO-DTNAMIOUBS 41

plan que rélément ds' sur lequel il agit, on a, en prenant ce plan pour
celui des 2y,

q=zo, co8C=i, co8i)r=o, cosC = 0,
et par suite

A = o, B = o, C = 2^X;

D se réduit alors à C; e est égal à -, et l'action du circuit sur rélément

di devient

!•— 1 lï'df'X

Je vais maintenant exposer une nouvelle maoière de considérer
l'action des circuits plans d'une forme et d'une grandeur ({uelconque.

Soit un circuit plan quelconque MNm (Qg. 16); partageons sa sur-
face en éléments infiniment petits par des droites parallèles coupées
par un second système de parallèles faisant des angles droits avec les
premières, et imaginons autour de chacune de ces aires infiniment
petites des courants dirigés dans le même sens que le courant MNm.
Toutes les parties de ces courants qui se trouveront suivant ces lignes
droites, seront détruites, parce qu'il y en aura deux de signes con-
traires qui parcourront la même droite; et il ne restera que les parties
curvilignes de ces courants, telles que MM', mm\ qui formeront le
circuit total MNm.

Il suit de là que les trois intégrales Â, B, C s'obtiendront pour le
circuit plan d'une grandeur finie, en substituant dans les valeurs que
nous venons d'obtenir pour ces trois quantités, à la place de \ un élé-
ment quelconque de Taire du circuit que nous pouvons représenter
par d*X et intégrant dans toute l'étendue de cette aire.

Lorsque, par exemple, l'élément est situé dans le même plan que
le circuit, et qu'on prend ce plan pour celui des 2y, on a

/•/•d*X
A = o, B = o. c = (ii— i)jj— ,

et la valeur de la force devient

^-''ff^>-

42 THÉORIE MATHÉMATIQUE

d'où il suit que, si à chacun des points de Taire du circuit on élève
une perpendiculaire égale à ^j, le volume du prisme qui aura pour
base le circuit et qui sera terminé à la surface formée par les extré-
mités de ces perpendiculaires, représentera la valeur de jj j^ ; et

ce volume multiplié par ii'ds' exprimera l'action cherchée.

Il est bon d'observer que la question étant ramenée à la cubature
d'un solide, on pourra adopter le système de coordonnées, et la divi-
sion de l'aire du circuit en éléments qui conduiront aux calculs les
plus simples.

Passons à l'action mutuelle de deux circuits très petits et 0'
(flg. 18) situés dans un même plan. Soit MN un élément d^' quel-
conque du second. L'action du circuit sur dsf est, d'après ce qui
précède,

n — 1 tï'ds'Xd^
~ ?^^^~'

Nommant dy l'angle MNO, et décrivant l'arc MP entre les côtés de cet
angle, on pourra remplacer le petit courant MN par les deux courants
MP, NP dont les longueurs sont respectivement rdy et dr ; l'action du
circuit sur l'élément MP, qui est normale à sa direction, s'obtien-
dra en remplaçant dans l'expression précédente ds' par MP, et sera

n — 1 tï'Xdç

1;

a r" '

l'action sur NP, perpendiculaire à sa direction, sera de même

n — 1 tï'Xdr
""^ ^^^'

Cette dernière intégrée dans toute l'étendue du circuit fermé 0' est
nulle, il suffit de considérer la première qui est dirigée vers le point
0, d'où il résulte déjà que l'action des deux petits circuits est dirigée
suivant la droite qui les joint.

Prolongeons les rayons OM, ON jusqu'à ce qu'ils rencontrent la
courbe en M' et N' ; l'action de M'N' devra être retranchée de celle de

DES PHÉNOMiNES ELECTRO-DTNAMIQUES 43

BiN, et l'action résultante s'obtiendra en prenant conune précédem-
ment la variation de celle de MN en signe contraire» ce qui donne

nln — i) lï'Xdftr n(n — i) n'ïràwtr
. — ou •—- — .

Or, rdf 8r est la mesure du segment infiniment petit MNN'M'. Faisant
la somme de toutes les expressions analogues relatives aux différents
éléments du circuit (y, et considérant r comme constant et égal à la
distance des centres de gravité des aires \ et V des deux circuits, on
aura pour Taction qu'ils exercent l'un sur l'autre

n(n— i) Wï!'

et cette action sera dirigée suivant la droite 00". Il résulte de là que
Ton obtiendra l'action mutuelle de deux circuits finis situés dans
un même plan, en considérant leurs aires comme partagées en élé-
ments infiniment petits dans tous les sens, et supposant que ces
éléments agissent l'un sur l'autre suivant la droite qui les joint, en
raison directe de leurs surfaces et en raison inverse de la puissance
n + 9 de leur distance.

L'action mutuelle des courants fermés n'étant plus alors fonction
que de la distance, on en tire cette conséquence importante, qu'il ne
peut jamais résulter de cette action un mouvement de rotation con-
tinue.

La formule que nous venons de trouver pour ramener l'action
mutuelle de deux circuits fermés et plans à celles des éléments des
aires de ces circuits, conduit à la détermination de la valeur de n. En
effet, si l'on considère deux systèmes semblables composés de deux
circuits fermés et plans, les éléments semblables de leurs aires seront
proportionnels aux carrés des lignes homologues, et les distances de
ces éléments seront proportionnelles aux premières puissances de ces
mêmes lignes. Appelant m le rapport des lignes homologues des
deux systèmes, les actions de deux éléments du premier système et
de leurs correspondants du second seront respectivement

nfn — i) inV n(it— i) uïXm'

9 r^« % r^«in^«'

44 THÉORIE MATHÉMATIQUE

leur rapport, et par suite celui des actions totales, sera donc nù
Or, nous avons décrit précédemment une expérience par laquelle on
peut prouver directement que ces deux actions sont égales ; il faut
donc que n = «, et, en vertu de l'équation i — n — a A = o, que

A = . Ces valeurs de n et de A réduisent à une forme très simple

a

l'expression

II' dsds'

de l'action mutuelle de d5 et de ds'; cette expression devient

j^ d«dr

Il suit aussi de ce que n = 2 , que dans le cas où les directions des
deux éléments restent les mêmes, cette action est en raison inverse
du carré de leur distance. On sait que M. de La Place a établi la
même loi, d'après une expérience de M. Biot, lorsqu'il s'agit de l'ac-
tion mutuelle d'un élément de conducteur voltaïque et d'une molé-
cule magnétique : mais ce résultat ne pouvait être étendu à l'action
de deux éléments de conducteurs, qu'en admettant que l'action des
aimants est due à des courants électriques ; tandis que la démonstra-
tion expérimentale que je viens d'en donner est indépendante de
toutes les hypothèses que l'on pourrait faire sur la constitution des
aimants.

Soit MON (fig. 17) un circuit formant un secteur dont les côtés
comprennent un angle infiniment petit, et cherchons l'action qu'il
exerce sur un conducteur rectiligne OS' passant par le centre du
secteur, et calculons d'abord celle d'un élément MNQP de l'aire de ce
secteur sur un élément M'N' du conducteur OS'. Faisons OM = «,
MF = dtt, OM' = 5', MM' = r, S'ON = e, NOM = d e. Le moment de
MNQP pour faire tourner M' autour de sera, en observant que l'aire
MNQP a pour expression t/dtide,

-tiVds — r— ,
a r*

DES PHÉN0MÊNB8 ÉLXCTB0*DTNAMIQUB8 45

et le moment du secteur sur le conducteur J s'obtiendra en inté-
grant cette expression par rapport kueiJ.
On a

r* 2= «'• + ti* — lia' C08 »,

d'où

dr , dr ,

et, en différenciant une seconde fois,

d*r , dr dr
difds Ai Au

ou, en substituant ^ T7 ^^^ x* leavs valeurs,

d'r

r

, (m — l'eus »)(#' — tfCOSs)
} H jî = — C08t,

dtidf'
ce qui devient, en effectuant les calculs et réduisant,

d*r tff'sin*»

''dïïd7+-H- = ^'

d'où l'on tire

itf' i dV

r* sin't dtidf"

substituant cette valeur dans le moment élémentaire, on a pour l'ex*
pression du moment total

\ ... rrusAuAi i .., dt /•/• dV

-lîd»// -— = = " -:-T W â'Tj^^^^'

^ JJ r* 3 8m'» jj diidi*

En considérant la portion L'L' du courant y, et la portion L^Li
du secteur, et en faisant L'L^ = ri, L^'L, = r/, L'L, = ri, L^L, = rÇ,
la valeur de cette intégrale est évidemment

-"'4^K + ^i-r;-r;).
Lorsque c'est à partir du centre que commencent le secteur et le

46 THÉORIE MATHÉMATIQUE

conducteur s\ la distance r', = o ; et si l'on fait OL, = a, OL*' = A,
LTj, = r, on trouve que leur action mutuelle est exprimée par

1 .., de

-n' .— - a + 6— r).

a sm*8 ^ ' '

Quand le conducteur VU (flg. 19) a pour milieu le centre Lj du sec-
teur, et que sa longdeur est double du rayon a de ce secteur, on a
a= ô, et enfaisantLlijL, = «8=ir — e,

r\ = r\=ia, r^, = QasinO, r^ = aacos6, d6 = — adO,

en sorte que la valeur du moment de rotation devient

... de , . ^ ^, 1 att'd0(cos6 — sinO)

an' -T-T-(sme — cose) = r^— — — ^,

sm*6^ ' a sm*6cos"6

On peut déduire de ce résultat une manière de vérifier ma formule
au moyen d'un instrument dont je vais donner la description.

Aux deux points a a' (flg. 20) de la table mn s'élèvent deux sup-
ports ab, dV dont les parties supérieures ci, db sont isolantes; ils
soutiennent une lame de cuivre HdeE'de' pliée en deux suivant la
droite HH', et qui est terminée par deux coupes H et H' où l'on met
du mercure. Aux points A, G, A', G', de la table sont quatre cavités
remplies de même de mercure. De A part un conducteur en cuivre
AEFGSRQ, soutenu par HH' et terminé par une coupe Q ; de A' il en
part un second A'EFG'S'R'Q' symétrique au premier ; ils sont tous les
deux entourés de soie, pour être isolés l'un de l'autre et du conduc-
teur HH'. Dans la coupe Q plonge la pointe d'un conducteur mobile
QPONMLKIH revenant sur lui-même de K en I, et ayant dans cette
partie ses deux branches PO, Kl entourées de soie; il est terminé
par une seconde pointe plongée dans la coupe H ; NML forme une
demi-circonférence dont LN est le diamètre, et K le centre ; la tige
PKj9 est verticale, et terminée en jo par une pointe retenue par trois
cercles horizontaux B,D,T qui peuvent tourner autour de leurs cen-
tres et sont destinés à diminuer le frottement.

XY est une tablette flxe qui reçoit dans une rainure un conducteur
VJJi/khgoZC revenant sur lui-môme de ^ en o et doublé de soie dans
cette partie ; ifkhg est un secteur de cercle qui a pour centre le point

DBS PHÉNOMiNXS tfLXCTR0-DTNAMIQ|uX8 47

Ar;les parties Ut et go sont rectilignes ; elles traversent en x le support
ab^ dans le^el on a pratiqué une ouverture à cet effet, et se sépa-
rent en pour aller se plonger respectivement dans les cavités A
et G. A droite de FG se trouve un assemblage de conducteurs fixes et
mobiles parfaitement semblable à celui que nous venons de décrire,
et lorsqu'on plonge le rhéophore positif de la pile en G, et le négatif
en G', le courant électrique parcourt les conducteurs GZo^AA/tUY,
AEFGSRQ ; de là il passe dans le conducteur mobile QPONMLKIH, et
se rend en H' par HH'; il parcourt ensuite le conducteur mobile
symétrique H'I'K'L'M'N'O'P'Q', arrive en Q', suit le conducteur
Q'R'S'GTE'A' qui le conduit dans la cavité A', d'où il se rend en G
par le conducteur YU'i'f^kh'^o'TlCÎ ^ et de là dans le rhéophore
négatif.

Le courant allant dans la direction LN dans le diamètre LN, et de
h en A:, puis de k en /, dans les rayons hk^ kf^ il y a répulsion
entre ces rayons et le diamètre ; de plus, le circuit fermé ghkfi ne
produisant aucune action sur le demi-cercle LMN dont le centre se
trouve dans l'axe fixe ;>H, le conducteur mobile ne peut être mis en
mouvement que par l'action du secteur ghkfi sur le diamètre LN, vu
que dans toutes les autres parties de l'appareil passent deux courants
opposés dont les actions se détruisent. L'équilibre aura lieu quand
le diamètre LN fera des angles égaux avec les rayons A/, kh ; et si on
Técarte de cette position, il oscillera par l'action seule du secteur
ghkfi sur ce diamètre.

Soit % i[ l'angle au centre du secteur, on aura dans la position
d'équilibre

«•=- + 11 ou dcs^+il,
9 4

d'où Ton conclut

cosd — sinOscosd^cosf ttj = 98in j sinf j — •] =5 — ^tin-i|.

et

8indcostt = -sin9d=- cosi);

9 a

Mais il est aisé de voir que quand on dépUce, de sa position d'équi-
libre, le conducteur L'L' d'une quantité égale à sd9, le moment des
forces qui tendent à l'y ramener se compose de ceux que produisent

48 THÉORIE MATHÉMATIQUE

deux petits secteurs dont l'angle est égal à ce déplacement, et dont
les actions sont égales, moment dont la valeur, d'après ce que nous
avons vu tout à l'heure, est

1 aiï'(cos6 — sinO) aatTySsinln

a sin"6cos*6 cos*i)

D'où il suit que les durées des oscillations seront, pour le môme dia-
mètre, proportionnelles à

^sin^i)

COSïl

Faisant donc simultanément osciller les conducteurs mobiles dans
les deux parties symétriques de l'appareil, en supposant les angles
des secteurs différents, on aura des courants de môme int^isité, et
on observera si les nombres d'oscillations faites dans un môme temps,
sont proportionnels aux deux expressions

C0S1) cosV '

en appelant 97) et aV les angles au centre des deux secteurs.

Nous allons maintenant examiner l'action mutuelle de deux con-
ducteurs rectilignes; et rappelons -nous d'abord qu'en nommant^
l'angle compris entre la direction de l'élément d^ et celle de la
droite r, la valeur de l'action que les deux éléments de courants
électriques ds et d/ exercent l'un sur l'autre a déjà été mise sous la
forme

irds'r»d(r»cosp),

en la multipliant et la divisant par cos^, et en faisant attention
que k= donne r" = -, nous verrons qu'on peut l'écrire ainsi :

jr*co8pd(r*co8P) = 5. d( ^U

cosp 'a cosp \ r I

d'où il nous sera facile de conclure que la composante de cette action
suivant la tangente à l'élément d^ , est égale à

^8« p>

i,ï'd,'d(^)

<

DBS PHÉNOMàNBS ÉLBGTRO-DTNAMIQUKS 49

et que la composante normale au môme élément, l'est à

iu'd.'t.ngpd(^).

expression qui peut se mettre sous la forme

i,rd.[d(5îH^)-^]

Ces valeurs des deux composantes se trouvent à la page 331 de
mon Recueil cP observations électro-dynamiques ^ publié en 1822.

Appliquons la dernière au cas de deux courants rectilignes pardd-
lèles, situés à ime distance a l'un de l'autre.

On a alors

^ a
et la composante normale devient

«La a J*

Soit M' (flg.21) un point quelconque du courant qui parcourt la droite
L, L/, et fUjP" les angles UM'L,, L'M'L, formés avec L,L, par les
rayons vecteurs extrêmes M'U, M'L'; on aura l'action de ds' sur
L' L' en intégrant l'expression précédente entre les limites p', P"^ ce
qui donne

— iï'd«'(8in*p'co8p*+co8p*— sin^P'cosp'— cosp*);

mais on a à chaque limite, en y représentant les valeurs de s par If
et*",

1'=*^— acotfl*=*'— acota*. d^ = ^^ = '^^:
en substituant ces valeurs et intégrant de nouveau entre les limites

7

5 THÉORIE MATHEMATIQUE

Pii ^ 6t p"„ Pi\ on a pour la valeur de la force cherchéei

- itYsinK — sinK - sinp; + 8inp; — -r^ + -r^ + -r^ r-^^ ,

a \ ^* * ^*^ ^^ sin p, sm K sm p; sinp;/'

ou

^"VîT"ïT""^'^ïT + â j-

Si les deux conducteurs sont de même longueur et perpendiculaires
aux droites qui en joignent les deux extrémités d'un môme côté,
on a

r\ =zr\ = a, et r', =t^^=c,

en nommant c la diagonale du rectangle formé par ces deux droites
et les deux directions des courants, l'expression précédente devient
alors

<î-t)=

u'P
ac

en nommant / la longueur des conducteurs, et quand ee rectangle

ti

devient un carré, on a -7= pour la valeur de la force ; enfin, si Ton

suppose Tun des conducteurs indéfini dans les deux sens, et que /
soit la longueur de l'autre, les termes où ri, ri, rj, rj se trouvent au
dénominateur disparaîtront; on aura

et l'expression de la force deviendra

IÏ7

a '

qui se réduit à ii' quand la longueur / est égale à la distance a.

Quant à l'action de deux courants parallèlement à la direction de y,
elle peut s'obtenir quelle que soit la forme du courant s. En effet la
composante suivant à d s' étant

1^'d.df-^).

DES PHÉNOMÈNKS ÉLECTRO-DTN AMIQUES 51

l'action totale qu'exerce d*' dans celte direction sur le courant L'L"
(fig. 21) a pour valeur

-:--r-^-^).

et il est remarfuable qu'elle ne dépend que de la situation des extré-
mîté3 L', L" du conducteur s; elle est donc la même, quelle que soit
la forme de ce conducteur, qui peut être plié suivant une ligne quel-
conque.

Si l'on nomme a' et a" les perpendiculaires abaissées des deux
extrémités de la portion de conducteur L'K" que l'on considère comme
mobile, sur le conducteur rectiligne dont il s'agit de calculer l'action
parallèlement à sa direction, on aura

f^=-

et par conséquent

cosp' sin' p°'

" sin p"'

"ain'fl"

-iL
" sin p"

d'où il est aisé de conclure que l'intégrale cherchée est

a J\ einP'

cos* p"dp' _ coa*p'd9 '\
sinp' /

Ungip'

Il faudra prendre cette intégrale entre les limilos déterminées par les
deux extrémités du conducteur rectiligne, en nommant p,', pj et p", ^"^
les valeurs de P' et de jî" relatives à ces limites, on a sur-le-champ
celle de la force exercée par le conducteur rectiligne, et cette dernière
valeur ne dépend évidemment que des quatre angles pj , 3',', pj , Pj',
Lorsqu'on veut la valeur de cette force pour le cas où le conducteur
rectiligne s'étend indéHniment dans les deux sens, il faut &ire
p;=PÏ = o, et Pi =Pi' =«: il semble, au premier coup d'œil,
qu'elle devient nulle, ce qui serait contraire it l'expérience; mais on

52 THÉORIE MATHÉMATIQUE

voit aisément que la partie de Tintégrale où entrent les cosinus de ces
quatre angles est la seule qui s'évanouisse dans ce cas, et que le reste
de l'intégrale

tangiK ^tangip;\ i .„ tengip-.cot|p;

tengip'.cotip;

devient à cause qu'on a Pî = « — p" et Pi ^ « — p| ,

' .Y' T *»^°8*iP« _ .:■■ T ^"gj^ _ • « T o"

Cette valeur montre que la force cherchée ne dépend alors que du
rapport des deux perpendiculaires a' et a', abaissées sur le conducteur
rectiligne indéfini des deux extrémités de la portion de conducteur
sur lequel il agit ; qu'elle est encore indépendante de la forme de cette
portion, et ne devient nulle, comme cela doit être, que quand les
deux perpendiculaires sont égales entre elles.

Pour avoir la distance de cette force au conducteur rectiligne,
dont la direction est parallèle à la sienne, il faut multiplier chacune
des forces élémentaires dont elle se compose par sa distance au con-
ducteur, et intégrer le résultat par rapport aux mêmes limites; on
aura ainsi le moment qu'il faudra diviser par la force pour avoir la
distance cherchée.

On trouve aisément, d'après les valeurs ci-dessus, que le moment
élémentaire a pour valeur

-it'dsrsmpd

a r

Cette valeur ne peut s'intégrer que quand on y a substitué à l'une
des variables r ou ^ sa valeur en fonction de l'autre, tirée des équa-
tions qui déterminent la forme de la portion mobile de conducteur;
elle devient très simple quand cette portion se trouve sur une droite
élevée par un point quelconque du conducteur rectiligne que Ton
considère comme fixe, perpendiculairement à sa direction, parce
qu'en prenant ce point pour l'origine des s\ on a

s

cosp'

DBS PUÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNAMIQUES 53

et que s' est uoe constante relativement à la différentielle
, cos' p

- «""di' à (cos' f

La valeur du moment élémentaire devient donc

- lï'ds'siD'pcospd^,

dont l'intégrale entre les limites p" etp' est

— - «'d»" (sin' p' — sin* y).

En remplaçant ds' par les valeurs de cette différentielle trouvées
plus haut, et en intégrant de nouveau, on a, entre les limites déter-
minées du conducteur rectiligne,

- ir[a"(coB p; — cos P^} — a' (coa p", — cos P', }].

Si l'on suppose que le conducteur s'étende indéQnîmenl dans les
deux sens, il faudra donnera^;, p", P",, P'^, les valeurs que nous leur
avons déjà assignées dans ce cas, et un aura

pour la valeur du moment cherché, qui sera, par conséquent, pro-
portionnel à la longueur a" — a' du conducteur mobile, et ne chan-
gera point tant que cette longueur restera la même, quelles que soient
d'ailleurs les dislances des extrémités de ce dernier conducteur à celui
qui est considéré comme Qxe.

Calculons maintenant l'action exercée par un arc de courbe quel-
conque NM pour faire tourner un arc de cercle L,L, autour de son
centre.

Soit M' (fig. 23) le milieu d'un élément quelconque d/ de l'arc L,L,,
et a le rayon du cercle. Le moment d'un élément ds de NM pour faire
tourner d«' autour du centre s'obtient en multipliant la compo-

54 THÉORIE MATHÉMATIQUE

sanl6 tangente en M' par sa distance a au point fixe ; ce. qui donne

- airds d .

Nommant P', p" et r', Z' les valeurs de p et r relatives aux limites M et
N, on a pour le moment de rotation de ds'

résultat qui ne dépend que de la situation des extrémités M
etN.

Nous achèverons le calcul en supposant que la ligne MN soit un dia-
mètre L'L" du même cercle.

Nommons a 6 l'angle M'OL'; MT étant la tangente en M' les angles
L'MT, L"MT seront respectivement p' et P", et Ton aura évidem-
ment

C08P'= — C086, cosp^ssinO, ^''avaasinO, r^ = aacos6.

L'action du diamètre L'L'' pour faire tourner l'élément situé en M
sera donc

4 \cos6 sin6/

Lorsqu'on prend un point quelconque A de la circonférence pour
origine des arcs, et qu'on fait AL' = G, on a

s' = G+aae et ds' = 2ade,
ce qui change l'expression précédente en

1 ..,/sin*0d6 C05'6d6\

-airl r-r- ),

a \ cosO smO /

qu'il faut intégrer dans toute l'étendue de l'arc L^ L, pour avoir le
moment de rotation de cet arc autour de son centre.

0E9 PHÉNOMÈNES ÉLECTUO-DTNA MIQUK3

/ — — - = Ltang -8 + C08 8+C :

si donc on appelle aB, et 29, les angles L'OL, et L'OL, le moment
total de l'arc L, L, sera

I

t»ngU+-^e,j tangos,

~"'l ^ 7i

■ sÎD e, — COI B, -|- >în B, + COI 4,

Cette expressioD, changée de signe, donne la valeur du moment de
rotation du diamètre L'L" dû à l'action de L, L,.

Dans un appareil que j'ai décrit précédemment, un conducteur qui
a ta forme d'un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur com-
poséd'un diamètre et d'une demi-circonférence qui est mobile autour
d'un axe passant par le centre de cette demi-circonférence et perpen-
diculaire à son plan L'action qu'elle éprouve de la part du secteur est
détruite par la résistance de l'axe, puisque le contour que forme le
secteur est fermé; il ne reste donc que l'action sur le diamètre. Nous
avons déjà calculé celle de l'arc, il ne nous reste donc plus qu'à
obtenir celles des rayons de ce secteur sur le même diamètre.

Pour les déterminer, nous allons chercher le moment de rotation
qui résulte de l'action mutuelle de deux courants recliligoes situés
dans le même plan, et qui tend à les faire tourner en sens contraire
autour du point de rencontre de leurs directions.

La composante normale à l'élément d;' situé en M' (Qg. 34), est,
comme nous l'avons vu précédemment,

-lï'dCfd

siQ^cos^

v^

Le moment de ds pour faire tourner ds* autour de 0, s'obtiendra
en multipliant cette force par s' \ on aura donc, en nommant M le

56 THÉORIE MATHÉMATIQUE

moment total,

sd« a \ r r)

d'où, en intégrant par rapport à 5,

d.'=iùYd.'(!iîil^p-/l^).

Mais, d'après la manière dont les angles ont été pris dans le calcul
de la formule qui représente l'action mutuelle de deux éléments de
conducteurs voltsûques, l'angle MM'L, = P est extérieur au triangle
OMM'; et, en nommant e l'angle MOM' compris entre les directions
des deux courants, on trouve que le troisième angle OMM' est égal à
P — e , ce qui donne

f'sint

sin(p-.)'
on a donc

lîld«' = itï'4^[cos38inPsin(P — «) + cos(p — •)+€).
d« a sms*^

En remplaçant dans cette valeur cos (p — c) par

cos* p cos (P — «) 4" «lï^* P <^os (P — *)i
on voit aisément qu'elle se réduit à

lîidf' = -«t'4^[cos«co8P + 8in«pcos(p — + C]

qu'il faut prendre entre les limites ^ et ^'\ on a ainsi la différence de
deux fonctions de même forme, l'une de P", l'autre de p', qu'il s'agit
d'intégrer de nouveau pour avoir le moment de rotation cherché : il
suffit de faire cette seconde intégration sur une seule de ces deux
quantités : soit donc d* la distance OL" qui répond à P'', on a, dans le
triangle OMX",

9 = 7^ — •' = a*'co8t — a*'8m»cotB% As'= — . >^^ ;

sm p'' ^ ' sm» p'

DE3 PHÊNOMÈNKS ÈLECTRO-DYN A MIQUES 'l7

et la quantité que nous nous proposons d'abord d'iatégrer, devient
.., rcos«cosp"dP"

' ...,rcos«ci

-+<

,s(r-.)dp-],

doQt l'intégrale prise entre les limites p" et ^^' est

En désignant par/^j^ot/i', les perpendiculaires abaissées du point 0,
sur les distances L"L,^ri', L"L, = r;', on a évidemment

^'^' ' • ' ' ' ^' sinp; sin« BinPÎ sint

et l'intégrale précédente devient

~ii'{p', — p'; — (r; — r^jcolt].

Si l'on fait attention qu'en désignant la distance OL' par a' on a aussi,
dans le triangle OM'L',

sic" p'

un voit aisément que l'intégrale de l'autre quantité se forme de celle
que nous venons d'obtenir, en y changeant p'î^p'i, '"î,'"") en p',,p[,
''») '■'i ; ce qui donne pour la valeur du moment de rotation qui est la
différence des deux intégrales,

.«Vi-

'P\ + P'i - {r; - r', - '', + r-J cot .].

Cette valeur se réduit à celle que nous avons trouvée plus haut, dans
le cas où l'angle * est droit, parce qu'alors cot « = o.

Quand on suppose que les deux courants partent du point 0, et
que leurs longueurs OL", OL, (fig. 22) sont représentées respective-
ment par a et b, la perpendiculaire 01' par p, et la distance L"L, par

58 THÉORIE MATHÉMATIQUE

r, on a/; =p,p" =p\ =p\, = o, r'; = r, r'/ .= a, r; = *, r; = o, et

- tï'lp + (« 4" * — ^) col •]»

pour la valeur que prend alors le moment de rotation.

La quantité a + b — r, excès de la somme de deux côtés d'un trian-
gle sur le troisième, est toujours positive : d'où il suit que le moment

de rotation est plus grand que la valeur -ii'p qu'il prend quand l'an-

gle e des deux conducteurs est droit, tant que cot < est positif, c'est-à-
dire tant que cet angle est aigu ; mais il devient plus petit quaad le
môme angle est obtus, parce qu'alors cote est négatif. Il est évident
d'ailleurs que sa valeur est d'autant plus grande que l'angle e est plus
petit, et qu'elle croit à l'in&ni comme cot e à mesure que e s'approche
de zéro ; mais il est bon de montrer qu'il reste toujours positif, quel-
que voisin que cet angle soit de deux droits.

Il suffit pour cela de faire attention qu'en nommant a l'angle du
triangle OL"L, compris entre les côtés a et r, et § celui qui l'est entre
les côtés b et r, on a

cot t =: — cot (« + P) , p =r a sin « = 6 sin p, r = a cos a -{- 6 ces p,

et par conséquent

a-|-6 — r = a(i — cos«) + 6(i — cosP),

=ptang^« + ptang^p,
3 a

et

» -.r 1 / 1 i 4 4 1 » • / /j tang I « 4- tang i p \

valeur qui reste toujours positive, quelque petits que soient les angles
a et p, puisque tang (a +^)i pour des angles inférieurs à j, est tou-
jours plus grand que tang a -f tang^, et à plus forte raison plus que
tang -a + tang- p. Cette valeur tend évidemment vers la limite

a w j

« AV

2 ii'p à mesure que les angles a et ^ s'approchent de zéro ; elle s'éva-
nouit avecj9 quand ces angles deviennent nuls.

DES PHÉNOMÈNKS ÉLKCTB 0-DYNA MIQUES

59

Reprenons maintenaat la valeur générale du moment de rotation
en n'y faisant entrer que les distances OL' = a", OL' = a', et les diffé-
rents angles, valeur qui est

- iV fa" sin (p; — i) — a* sin (p; — .) — a' sin (?, — .)

et appltquons'la au câs où un des conducteurs L'L" (Qg. 35) est recU-
ligne et mobile autour de son milieu L, , et où l'autre part de ce milieu.
En faisant L'L' =: aa, on a

?'■=" + ■.

sin p-, =— SI

et en désignant comme précédemment les perpendiculaires abaissées
de L, sur L'L,, L'L,, l'expression du moment devient

Pt+P\ — -

acos«\

ânp^^-.a :: sin* : rî

- sin p', : a : : sîn ■ : t', .

et les valeurs de r',' et de r. tirées de ces proportions et substituées
dans l'expression précédente la changent en

Lorsqu'on supposa L,L, infini, on a p'l=p', = a a,ïnt,r'^ — r',' =
^scose, et cette valeur du moment se réduit à

I ..,/ . »cos*«\ ail"

-au In sm t H : — 1 = -; — ; -

a \ sm • / sin »

il est donc en raison inverse du sinus de l'angle des deux courants, et
proportionnel à la longueur du courant Qni.

Quand L,L, = - L'L* = a el qu'on représente l'angle L"L,L, par «9,

= a sin 4, y, ^flcos6, r', =:aa8ine, r'; = ancos9. cote

60 THÉORIE MÀTHéMATIQUE

et le moment devient

- ail* [cos 6-f8in6-facota6 (ces 6 — 8in é)],

en remplaçant a cot a par sa valeur

1 — tang* 6 __ cos* 6 — sin* 6 (cos 6 + sin 6) (cos 6 — sin 6)
tang6 sin 6 cos 6 sin cos 6

on trouve que celle de ce moment est égale à

i«,ï'(co8e+8inO)r. + î£2!!=!l£ji:i=iaM (c^^

a ^ * 'L ' sm6cos6 J a '\sm6cos6 /

Pour avoir la somme des actions des deux rayons entre lesquels est
compris un secleur infiniment petit donc Tare est de, il faut faire
attention que ces deux rayons étant parcourus en sens contraire, cette
somme est égale à la différentielle de l'expression précédente; on
trouve ainsi qu'elle est représentée par

» 'F/ t. ' t,\/ > \ (cosesinexcos^e — sin*e)i,^
-att cose— sme)(— — — .—i)— : -^- — _- i de

a L \sm cos 6 / sm' 6 cos* 6 J

1 ..,, . . ^./ 1 (cos 6 4. sin e)«\

=r-att (cos 6 — sm 6) ( -r^ - — 1— . ,J — —]

a ' \sm cos 6 sm* 6 cos' /

=— i au (cos e — sin 6) (-r-r^ rr + -:— r^ r + 1 ) dS.

a ^ '\sm*6cos*0 sm6cos6 ' /

Mais l'action de l'arc L,L, sur le diamètre VL' est égale et opposée
à celle que ce diamètre exerce sur l'arc pour le faire tourner autour de
son centre; le moment de celte action, d'après ce que nous venons de
voir, est donc égal à

de

(-— -J -)de = -att (cos e — sm e) ( -r-r r + i)d6;

\sm6 cos6/ a ^VsmOcosO ' /

1 •..Vcos'S sm*6
-ait

a

en l'ajoutant au précédent, on a pour celui qui résulte de l'action du
secteur infiniment petit sur le diamètre VU

an (cos — sin 6) —

a sm cos 6

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 61

Cette valeur ne diffère que par le signe de celle que nous avons déjà
trouvée pour le même moment, différence qui vient évidemment de
ce que nous avons tiré cette dernière de la formule relative à Faction
d'un très petit circuit fermé sur un élément où nous avions changé le
signe de G pour la rendre positive.

Examinons maintenant Faction que deux courants rectilignes, qui
ne sont pas dans un môme plan, exercent Tun sur l'autre , soit pour
se mouvoir parallèlement à leur commune perpendiculaire , soit pour
tourner autour de cette droite.

Soient les deux courants AU, A'U' (Qg. 26) ; AA' = a, leur commune

perpendiculaire; AY une parallèle à A'U' : Faction de deux éléments

3

situés en M et M', lorsqu'on fait n= a et A = A — 1 = — dans la for-

s

mule générale

devient

— -- — (cos » + A cos 6 cos 6*).

tt'dsds (aco8» + 3-r- • -r-J
1 \ ai ûs/

r«

à cause de

1^ ^^ i.' dr

CO8 0=:-r-, cos6=— -—r;
ds df^

mais en faisant AM = 5, A'BT = s\ YAU = e, on a

d'où

dr dr , dV . dr dr

r ---:=: s — s cos», r '•r^, =z S — scost, r - ^ , -^ -_ . -— = — cost;
ds ds dsds ds ds

et comme

1 dr ^. I dV ^dr dr . ^ dr dr

r ds r dsds ds ds ds ds

ds^~'r^' dsds'"" "i^ "" H '

la valeur de Faction des deux, éléments devient

62 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Pour avoir la composante parallèle à AA', il faut multiplier cette
expression par le cosinus de l'angle MM'P que fait MM' avec MT paral-
lèle à AA', c'est-à-dire par tjttj , ou -, ce qui donne

/ d.i\

et en intégrant dans toute l'étendue des deux courants, on trouve
pour l'action totale

l«.ï'(i + C08.^^).

Si les deux courants font entre eux un angle droit, on a co3e=o, et
l'action parallèle à ÂÂ' se réduit, en prenant Tintégrale entre les li-
mites convenables, et en employant les mêmes notations que d-des-
sus, à

\ ...fa a a . a\

Celte expression est proportionnelle à la plus courte distance des cou-
rants, et devient par conséquent nulle quand ils sopt dans un môme
plan, comme cela doit être évidemment
Si les courants sont parallèles, on a c = o et

r» = a* + (.-«•)»,
d'où

J a* ^a' + (. - »y «' «"

c'est-à-dire entre les limites des intégrations,

a*

DES PHÉNOMàNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 63

et comme cos e = 1 , l'action totale devient

Nous verrons plus tard comment se fait l'intégration dans le cas où

l'angle e est quelconque.

Cherchons maintenant le moment de rotation autour de la commune

perpendiculaire : pour cela il faut connaître d'abord la composante

suivant MP, et la multiplier par la perpendiculaire AQ abaissée de A

MP
sur MP, ce qui revient à multiplier la force suivant MM' P^ri^ . AQ,

«y sin e
ou par ; on aura ainsi

r d«i 1

1 .., . ^ A A ' t ,costd«d«' I
- tt smtl ss T-T-î d«ds +$$ -= I ;

posant — = 9, on aura

ss'd^
d?_«' , :

ds""?"^ ds '
et

d«i
d'y __ I 9' dr_s_ dr , r

d«d«' r r* d$ r* ds dsds

i «'(s' — s ces ») + *(* — *' cos 1^

r

M'

r» ' dsdf"

et en réduisant,

d*q g*
l»d«' ~ r» "'"

«»'d* i
r

11757'

d'QÙ l'on tirera

d«i

SS'

r d^q a*

dsds' dsdi' r*

Or, nous avons trouvé précédemment

dV* . dr dr
r — — 4- — • — ^~- ces • ,
dsds'^ds ds* '

64 THÉORIE MATHÉMATIQUE

OU

d*r , (s — f'cosOfs' — sco8«)

effectuant la multiplication et remplaçant s* + y* par sa valeur
tirée de

r* = a* + »• + 1^ — 3 < s' co 8 1,
on obtient, en réduisant,

d*r , <«' sin* t -4- a* C08 1
? + rï =0.

d<d<
d'où

«s' I / dV a*co8« \

r» ""~ iîn^ \dsd? "•■ ~H~/ '

d«l
Substituant cette valeur ainsi que celle de ssf -p4n dans l'expression

du moment de rotation de l'élément, il devient

> • » • j j » r d V û* C08 » / d*r , a* cos t\ 1

-t«'8m«d«ds' --^, — _. (r— r-,H T—l

a L<i^<i« '•^ 8m'»\d«d« * r* /J

= - tt dsdf' ( sm t —2-; cot t -r-— ; : -j )

a \ d«d« r* dsds 8m i r'/

■ -vj j '/ . d*j ^ dV 1 a*\

a \ d«d« did«' 8m t r'/

et intégrant par rapport à 5 et s', on a pour le moment total

i .^/ . . à* rr d$d!f\

-,. (,8.n.-rcot.-^jJ-j3-);

le calcul se ramène donc, comme précédemment, à trouver la valeur

de l'intégrale double // — j— .

Si les courants sont dans un même plan, on a a=o, et le moment
se réduit à

- ti'lg sin t — r cot i),
a

DES PUENOH&NES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

65

résultai qui coïncide avec celui que nous avons obtenu en traitant di-
rectement deux courants situés dans un même plan. Car 9 n'étant

autre chose que *— , et r devenant MP, on a
Msin» MPAO

el nous avions trouvé par l'autre f

~iï-{p — rcott);

p désignant la perpendiculaire AQ : les deux résultats sont donc iden-
tiques. L'intégration faite entre les limites donne

si l'angle t est droit, ce moment se réduit à
iiV'(p;~p';— p; 4-p'j.

Lorsque « = -, mais que a n'est pas nul, le moment ci-dessus de-
vient

L'intégrale qu'il s'agit de calculer dans ce cas est

J J "^ J J («•+.•+'■*)' J (<■•+•■') v«' +■■+■■•

qu'il faut intégrer de nouveau par rapport à /; il vient
J (o' + i')Vo'+." + .'~j {a' + «■<■• + »■!■ + .-i") </a'+,- + ••

66 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Soit M la valeur du moment de rotation lorsque les deux courants
électriques, dont les longueurs sont $ et $\ partent des points où
leurs directions rencontrent la droite qui en mesure la plus courte
distance, on aura

M = -tï'(jr — aarctang-j,

expression qui se réduit, quand a = o, à M = - ii'Çj ce qui s'accorde

avec la valeur M = -ii'p que nous avons déjà trouvée pour ce cas,

parce qu'alors q devient la perpendiculaire que nous avions dési-
gnée par j9. Si Ton suppose a infini, M devient nul, comme cela doit
être, puisqu'il en résulte

a
a arc tang - = 9.

Si l'on nomme z l'angle dont la tangente est

il viendra

a *\ tangV

c'est la valeur du moment de rotation qui serait produit par une force
égale à

a \ tang z/

agissant suivant la droite qui joint les deux extrémités des conduc-
teurs opposées à celles où ils sont rencontrés par la droite qui en
mesure la plus courte distance. .

Il suffit de quadrupler ces expressions pour avoir le moment de
rotation produit par l'action mutuelle de deux conducteurs dont Tun
serait mobile autour de la droite qui mesure leur plus courte dis-
tance, dans le cas où cette droite rencontre les deux conducteurs à

DBS PHÉNOMÈNES ÉLBCTRO-DTNAMIQUBS 67

leurs milieux, et où leurs longueurs sont respectivement représen-
tées par %set %fl.

n est, au reste, aisé de voir que si, au lieu de supposer que les deux
courants partent du point où ils rencontrent la droite, on avait fait
le calcul pour des limites quelconques* on aurait trouvé une valeur
de M composée de quatre termes de la forme de celui que nous avons
obtenu dans ce cas particulier, deux de ces termes étant positifs et les
deux autres négatifs.

Considérons maintenant deux courants rectilignes A'S', MV (8g. 27),
non situés dans un même plan et dont les directions fassent un angle
droit.

Soit A'A leur commune perpendiculaire, et cherchons l'action de
MM' pour faire tourner A'S' autour d'une parallèle OV à MM menée à
la distance A'O = & de A.

Soient M,M' deux éléments quelconques de ces courants; Texpres-
sion générale de la composante de leur action parallèle à la perpen-
diculaire commune AA', devient, en faisant t =-,

son moment par rapport au point est donc, en prenant A' pour
origine des /, égal à

d«i

en intégrant par rapport à 5, il vient

dl

ia,r(,'_6)j;dir;
a d«

et en appelant r^ et r' les distances Mli\ WM de IT aux points L', L',
et intégrant entre ces limites Taction de LTi', pour faire tourner Télé-
ment If, est

i««'(.'_*)d4^-'g^).

68 THÉORIE MATHÉMATIQUE

expression qu'il faut intégrer par rapport à 5'. Or

et il est d'ailleurs aisé de voir qu'en nommant c la valeur AL'' de 5 qui
correspond à r"^ et gui est une constante dans l'intégration actuelle,

on a A'L"' = ^5^+7, d'où il suit que

sin p" ' ^ * '^ ' sm" p*^

^nsi

/•d*;_ Ç dp- Ungip; .

J T^'^J sinf$"-^Ungiip';'

le second terme s'intégrera de la môme manière, et l'on aura enfin
pour le moment de rotation cherché

( s\ — b f[,—b s'^---b 8\ — b tang}p;taDg^p; \
\ rî ,^; r^, "^ 7\ ''tangiP';tanRiP'J-

Dans le cas où Taxe de rotation parallèle à la droite L'L'^ où s passe
par le point d'intersection A' des droites a et 5', on a 6 = 0; et si l'on
suppose, en outre, que le courant qui parcourt sf part de ce point d'in-
tersection, on aura de plus

»i=0| P'i=-' K = Tt

en sorte que la valeur du moment de rotation se réduira à

a \r; f^, tangip.;-

Je vais maintenant chercher l'action d'un fil conducteur plié sui-
vant le périmètre d'un rectangle K%''L''L' pour faire tourner un con-
ducteur rectiligne A'S' = ^, perpendiculaire sur le plan de ce rectangle,
et mobile autour d'un de ses côtés K'K^ qu'il rencontre au point A' :
le moment produit par l'action de ce côté K'K'' étant alors évidenunent
nul, il faudra à celui qui est dû à l'action de L'L'' et dont nous venons

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNAICf QUES 69

de calculer la valeur, ajouter le momenl produit par K'L' dans le
môme sens que celui de L'L', et en ôter celui qui Test par R'L' dont
l'action tend à faire tourner A'S' en sens contraire ; or, d'après les
calculs précédents, en nommant ^ et A les plus courtes distances
A'K', A'K"', de AS' aux droites K'L\ K'^L' qui sont toutes deux égales à a,
on a pour les valeurs absolues de ces moments

i ,r (q' — gf^ Ung2.j , 1 II Iq' ^ A arc tang ^\ ,
en faisant

celle du moment total est donc

t ...A ,9' . * f tanpAS;\

-ti ( A arc tang \ — a arc tang - — aL z-^ ] .

a V ^h ^ °y tangiP,/

Telle est la valeur du moment de rotation résultant de l'action d'un
conducteur ayant pour forme le périmètre d'un rectangle, et agissant
sur un conducteur mobile autour d'un des côtés du rectangle, lorsque
la direction de ce conducteur est perpendiculaire au plan du rectan-
gle, quelle que soit d'ailleurs sa distance aux autres côtés du rectan-
gle et les dimensions de celui-ci. En déterminant par Texpérience
l'instant où le conducteur mobile est en équilibre entre les actions
opposées de deux rectangles situés dans le même plan, mais de gran-
deurs différentes et à des distances différentes du conducteur mobile,
on a un moyen bien simple de se procurer des vérifications de ma
formule susceptible d'une grande précision ; c'est ce qu'on peut faire
aisément à l'aide d'un instrument dont il est trop facile de concevoir
la construction pour qu'il soit nécessaire de l'expliquer ici.

Intégrons maintenant l'expression j j — ^^ dans l'étendue de deux

courants rectilignes non situés dan f« un nnôme plan, et faisant entre
eux un angle quelconque c, dans le cas où ces courants commencent
à la perpendiculaire commune; les autres cas s'en déduisant immé-
diatement.
Soient A (fig. 28) le point où la commune perpendiculaire rencontre

70 THÉORIE MATHÉMATIQUE

la direotion Ail du courant 5, kti! une parallèle menée par ce point au
courant y, et mm' la projection sur le plan MAM' de la droite qui joint
les deux éléments d5, d$'.

Menons par k une ligne An parallèle et égale à mm\ et formons en n
un petit parallélogramme nn\ ayant ses côtés parallèles aux droites
MAN, AM', et égaux à ds, dsf.

Si Ton répèle la même construction pour tous les éléments, les
parallélogrammes ainsi formés composeront le parallélogramme
entier NAM'D, et, leur surface ayant pour mesure d5 ds^sine, on
obtiendra Tintégrale proposé multipliée par sine, en cherchant le
volume ayant pour base NAM'D, et terminé à la surface dont les
ordonnées élevées aux différents points de cette base ont pour valeur

-i ; r étant la distance des deux éléments des courants, qui correspon-
dent, d'après notre construction, à tous ces points de la surface
NAMD.

Or, pour calculer ce volume, nous pourrons partager la base en
triangles ayant pour sommet commun le point A.

Soient kp une droite menée à Tun quelconque des points de Taire
du triangle AND, etpq^p' l'aire comprise entre les deux droites infi-
niment voisines A/?, A^ et les deux arcs de cercle décrits de A avec
les rayons kp = u et kp' = 11 -f du : nous aurons, à cause que
l'angle NAM' = ic — c et en appelant f Tangle NA/i,

dsds' rrududf

•-'fr-^-ff

Or, si a désigne la perpendiculaire commune aux directions des deux
conducteurs, et s eisf les distances comptées de A sur les deux cou-
rants, on a

r = Vu* + w* > ti = V »• + s** — 25s' cos t :
donc, en intégrant d'abord depuis 11 = jusqu'à n = AR = 11, ,

JJ r* jjl«* + «*)î J A" VSH^/

n reste à intégrer cette dernière expression par rapport à f : pour

DIS PHÉNOM^NIS ^LBCTRO-DTNAMIQUES 71

cela nous calculerons «, en fonction de f par la proportion
AN:AR::sin(f + «):8inc, ou «:«,::8in(f + ():sin«; et en substi-
tuant & a* + uî la valeur tirée de cette proportion, nous aurons à
calculer

I ' " ./.. «•««»'« I ° I V*'ùn** + a**in*(f

J L V"+ii5MrRJ J

+ •)

a

, 1 /• dcos(^+t) iF . acos(ç-4-t) , n

/ Y ""^?^ cos«(t+t) ^ ^ -■

Nommons |i et ^' les angles NAD, M'AD, et prenons l'intégrale précé-
dente entre f s= et f = ;a, elle devient alors

1 r , . a C08 (|fc + *) a cos • T

- Ifc + arcsm ^^ * ' — arctm-- L

et, à cause de |a + 1 = « — |a', elle se change en

1 r a cos u a cos t 1

• I UL — arcsm-— =i=== — arcsm , — I;

«L v^a« + ««8in«i Va« + «*sin'tJ

or

AK «'— «cost t— fcost

cos |fc = T-rr =:

AD yr(,'_,eost)« + f«sin«t ^«• + «'« — iw'cost'
d*ob Ton tire pour l'intégrale l'expression suivante :

I r a(f^ — fcoss) acost "1

-1 |fc — arcsm- — — ===z=z — arc sm — L

^ L ^a* + «• sin* t ^«l+«'* — an' cos t ^a* + «" sinH J

0U| en passant du sinus à la tangente pour les deux arcs,

if , a{s — scost) ^ acott T

- 1 |ji— arc tang — : - — arc tang -==: 1 ;

«L «"'^•Va" + «* + «^ — aw'cost v^a* + »*J

et comme on trouve l'intégrale relative au triangle ITAD en chan-
geant dans cette expression |a en a' et s en /, on a pour l'intégrale

72 THÉORIE MATHÉMATIQUE

totale, à cause que |x -f |x'=7c — e,

1/

a(5' — 5cose) , a cott

arc tang — — arc tang

s sin e Va* + «* + * * — ^^ ces t \/a^^-7

a(s — s'cose) ^ a cott \

— arc tang - — arc tang ).

s sin e^a* +«'+«'• — as^cose ^a«-j-/«y

En calculant la tangente de la somme des deux arcs dont les valeurs
contiennent s et 5^, on change cette expression en

a sin «i/a" + s" + 5'" — a ss' cose
arc tang —

ss' sin* e 4- a* cost

dcott a

— arc tang —=1: — arc tang •—

et comme

« a sinc^a* + s +« — a «s cose

- — arc tang r-r-r ;

a ° ss sm"8-f-a"coss

ss'sin's + d'cose

= arc tang

asintv^a* + «"4"** — ass'cote

on a, en divisant par sin c,

rrdsds' i l . ss'sin't + a*cos8

/ / —7- = — :— ( arctang

JJ r» dsinty^ a8inev/a«4-5« + 5'* — 25«'cos»

c^oub» . UCOtc . « \

— arc tang —:=: — arc tang A « 1.

a cote . d

-:=: — arc tang — 1

expression qui, lorsqu'on suppose e=-, se réduit à

3

-(arctang — - V

comme nous l'avons trouvé précédemment.

On peut remarquer que le premier terme de la valeur que nous
venons de trouver dans le cas général est l'intégrale indéfinie de

AsAff

(a« + f«+«'«— aw'cosi)!'

PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES

73

comme on peut le vérifier par la différenciation, et qiie les trois
autres s'obtienneat en faisant successivement dans cette intégrale
indéfinie :

r i'^o; a" ï = o; 3' 5* = o et m=:o.

Si les courants ne partaient pas de la commune perpendiculaire, on
aurait une intégrale composée encore de quatre termes qui seraient
tous de même forme que l'intégrale indéfinie.

Nous avons considéré jusqu'ici l'action mutuelle de courants élec-
triques situés dans un même plan, et de courants rectilignes situés
d'une manière quelconque dans l'espace; il nous reste à examiner
l'action mutuelle des courants curvilignes qui ne seraient pas dans
un même plan. Nous supposerons d'abord que ces courants décrivent
des courbes planes et fermées, dont toutes les dimensions soient
infiniment petites. Nous avons vu que l'action d'un courant de
cette espèce dépendait de trois intégrales K, B, G, dont les valeurs

Concevons maintenant dans l'espace une ligne quelconque MmO
(P. II, ûg. 29), qu'entourent des courants électriques formant de très
petits circuits fermés autour de cette ligne, dans des plans infini-
ment rapprochés qui lui soient perpendiculaires, de manière que les
aires comprises dans ces circuits soient toutes égales entre elles et
représentées par "k, que leurs centres de gravité soient sur MmO, et
qu'il y ait partout la même dislance, mesurée sur cette ligne, entre
deux plans consécutifs. En appelant g cette distance que nous regar-
derons comme infiniment petite, le nombre des courants qui se

trouveront répondre à un élément de d* de la ligne MmO, sera — ; et

il faudra multiplier par ce nombre les valeurs de A, B, C que nous
venons de trouver pour un seul circuit, afin d'avoir celles qui se rap-

74 THEORIE MATHEMATIQUE

portent aux circuits de rélément d$\ en intégrant ensuite, depuis
Tune des extrémités L' de Tare 5, jusqu'à l'autre extrémité L" de cet
arc, on aura les valeurs de A, B, G relatives à l'assemblage de tous
les circuits qui l'entourent, assemblage auquel j'ai donné le nom de
solénoîde électro-dynamique^ du mot grec mûXi^vosifii^c, dont la signifi-
cation exprime précisément ce qui a la forme d'un canal, c'est-à-dire
la surface de cette forme sur laquelle se trouvent tous les circuits.
On a ainsi, pour tout le solénoîde,

X /*/cosÇd» ^xAi'

9

r/cosKds 3qxds\

X /7cosijds 3qyds'

9

/yco8i)d< 3^ds\

X /'/cosÇdi 3qzds

9

J \~P ?~/

Or, la direction de la ligne ^, perpendiculaire au plan de X, étant
parallèle à la tangente à la courbe 5, on a

dx dy ^ dz

cosç=-T-, C0S1J = -T^, cosÇ = --.
as as as

De plus, q est évidemment égale à la somme des projections des trois
coordonnées x, y, z, sur sa direction ; ainsi

xdx + ydy-\' zdz Idl

*■" dl ■" dl'

puisqu'on a /" = x* -|- y" -|- z*. Substituant ces valeurs dans celle que
nous venons de trouver pour G, elle devient

-5/(t-¥)=K^^)-

Nommant a/, y', js*, /' et a/', y", z^, f, les valeurs de a:, y, «, /, relatives
aux deux extrémités L', L" du solénoîde, on a

^'"A^"^)*

En opérant de la même manière, pour les de^x autres intégrales A, B,

DES PHÉNOMÈNE.^ ÉLECTRO-DYNAMIQUES

75

on trouve des expressions semblables pour les représenter, et les
valeurs des trois quantités que nous bous sommes proposé de cal-
culer pour le solénoîde entier sont

g\r Pi'

I

Si le solénoîde avait pour directrice une courbe fermée, on aurMt
x' = 3f, y" = t/, z'=:^, f = l, et, par conséquent, A, = o, B = o,
C = o; s'il s'étendait à l'infini dans les deux sens, tous les termes des
valeurs de A, B, G seraient nuls séparément, et il est évident que
dans ces deux cas l'action exercée par le solénoîde se réduit à zéro.
Si l'on suppose qu'il ne s'étende à l'infini que d'un seul côté, ce que
j'exprimerai en lui donnant alors le nom de solénoîde indéfini dans
un seul sens, on n'aura à considérer que l'extrémité dont les coor-
données a;', y*, z' ont des valeurs finies, car l'autre extrémité étant
supposée à une distance infinie, les premiers termes de celles que
nous venons de trouver pour A, B, G, sont nécessairement nuls; on
a ainsi

s'"

Jf"

donc A : B :C:: .x':;/; z'; d'où il suit que la normale au plan direc-
teur, qui passe par l'origine et forme avec les axes des angles dont les
cosinus sont

en faisant toujours D = •JK* -|- B' + G*, passe aussi par l'extrémité du
solénoîde dont les coordonnées sont x', ^ , s*.

Nous avons vu, dans le cas général, que la résultante totale est per-
pendiculaire sur cette normale; ainsi l'action d'un solénoîde indéfini
sur un élément est perpendiculaire k la droite qui joint le milieu de
cet élément à l'extrémité du solénoîde; et conune elle l'est aussi à

76 THÉORIE MATHEMATIQUE

rélément, il s^ensuit qu'elle est perpendiculaire au plan mené par cet
élément et par l'extrémité du solénoïde.

Sa direction étant déterminée, il ne reste plus qu'à en connaître
la valeur : or, d'après le calcul fait dans le cas général, cette valeur
est

DiV'ds'sint'

d étant l'angle de l'élément d5' avec la normale au plan directeur; et
comme D = ^k} + B" + G*, on trouve aisément

ce qui donne pour la valeur de la résultante

Xtï'ds'sint

On voit donc que l'action qu'un solénoïde indéfini dont L'extrémité
est en L' (fig. 29) exerce sur l'élément ab^ est normale en À au plan
bkVy proportionnelle au sinus de l'angle bkh' et en raison inverse du
carré de la distance AL', et qu'elle reste toujours la même, quelles
que soient la forme et la direction de la courbe indéfinie llh" sur
laquelle on suppose placés tous les centres de gravité des courants
dont se compose le solénoïde indéfini.

Si l'on veut passer de là au cas d'un solénoïde défini dont les deux
extrémités soient situées à deux points donnés L', L'', il suffira de
supposer un second solénoïde indéfini commençant au point L" du
premier et coïncidant avec lui depuis ce point jusqu'à l'infini, ayant
ses courants de même intensité, mais dirigés en sens contraire, l'ac-
tion de ce dernier sera de signe contraire à celle du premier solénoïde
indéfini partant du point U, et la détruira dans toute la partie qui
s'étend depuis V jusqu'à l'infini dans la direction L''0 où ils seront
superposés; l'action du solénoïde L'L'' sera donc la même qu'exerce-
rait la réunion de ces deux solénoïdes indéfinis, et se composera, par
conséquent, de la force que nous venons de calculer et d'une autre
force agissant en sens contraire, passant de même par le point A, per-

I

I

DBS PtlÉKOHÈNES ÉLECTRO-DTNAHIQUES 77

pendiculaire au plan bkL", et ayant pour valeur
XiV'ds'siiii"

a^r- ■

t" étant l'angle 6AL", et /' la distance AL". L'action totale du solé-
noide L'L" est la résultante de ces deux forces, et passe, comme elles,
par le point A.

Comme l'action d'un solénoïde déâni se déduit immédiatement de
celle du solénoide indéfini, nous commencerons, dans tout ce qa'iï
nous reste à dire sur ce sujet, par considérer le solénoide indéfini
qui offre des calculs plus simples, et dont il est toujours facile de
conclure ce qui a lieu relativement à un solénoide défini.

Soient L' (Qg. 30), l'extrémité d'un solénoide indéfini; A le milieu
d'un élément quelconque ba d'un courant électrique M,AM,, et L'K
une droite fixe quelconque menée par le point L'; nommons 9 l'angle
variable KL'A, [* l'inclinaison des plans 6.VL', AL'K, et t la distance
L'A. L'action de l'élément 6a sur le solénoide étant égale et opposée
à celle que ce dernier exerce sur l'élément, il faut, pour la détermi-
ner, considérer un point situé en A, lié invariablement au solénoide,
et sollicité par une force dont l'expression soit, abstraction faite du
signe,

Ijï'di'sinéAL' hï'àv

^' "" ~w

en nommant dv l'aire oL'b qui est égale k
f'ds'BJoftAL '

Comme cette force est normale en A au plan kVb, il faut, pour avoir
?on moment par rapport k l'axe L'K, chercher sa composante per-
pendiculaire h AL'K, et la multiplier par la perpendiculaire à AP
abaissée du point A sur la droite L'K. [j: étant l'angle compris entre
les plana AL'i, AL'K, rctte composante s'obtient en multipliant l'ex-
pression précédente par cos [*; mais du cos ^i. est la projection de
l'aire dt sur le plan AL'K, d'où il suit qu'en représentant cette pro-
jection par à M, la valeur de la composante cherchée est

Xii'du

78 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Or, la projection de Tangle aVb sur AL'K peut être considérée comme
la différence infiniment petite des angles KL'a et KL'6 : ce sera donc
dO, et Ton aura

/'•de

du = ;

a

ce qui réduit la dernière expression à

et comme AP = / sin 6, on a pour le moment cherché

— smBdô.

Cette expression, intégrée dans toute l'étendue de la courbe M,AlM„
donne le moment de ce courant pour faire tourner le solénoïde autour
de L'R : or, si le courant est fermé, l'intégrale, qui est en général

Xtï'cos6
^9

s'évanouit entre les limites, et le moment est nul par rapport à une
droite quelconque L'K passant par le point L'.

Il suit de là que dans l'action d'un circuit fermé, ou d'un système
quelconque de circuits fermés sur un solénoïde indéfini, toutes les
forces appliquées aux divers éléments du système donnent, autour
d'un axe quelconque, les mêmes moments que si elles Tétaient à
l'extrémité môme du solénoïde ; que leur résultante passe par cette
extrémité, et que ces forces ne peuvent, dans aucun cas, tendre à
imprimer au solénoïde un mouvement de rotation autour d'une
droite menée par son extrémité, ce qui est conforme aux résultats
des expériences. Si le courant représenté par la courbe M^AM, n'était
pas fermé, son moment pour faire tourner le solénoïde autour de L'K,
en appelant 61 et % les valeurs extrêmes de relatives au point L' et
aux extrémités M^, M, de la courbe M,ÂM,, serait

XiV

— (cos8', — cosB').

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTHO-DTSA MIQUES

79

Considérons maintenant un solénoîde déSnï L'L" (fig. 31) qui ne
puisse que tourner autour d'un axo passant par ses deux extrémités.
Nous pourrons lui substituer, comme précédemment, deux solé-
noides indéfinis; et la somme des actions du courant M,AM, sur
chacun d'eux sera son action sur L'L". Nous venons de trouver le
moment de la première, et en appelant BJ', fij les angles correspon-
dants à %, Oî, mais relatifs h l'extrémité L", on aura pour celui de la
seconde

\ii'

- (cos e*, -

le moment total produit par l'action de M,ÀM„ pour faire tourner le
solénoîde autour de son axe L'L", sera donc

I

Ce moment est indépendant de la ferme du conducteur M,AJ!d„ de sa
grandeur et de sa distance au solénoîde L'L", et reste le môme quand
elles varient de manière que les quatre angles 8,', ej, bJ, 8ï ne chan-
gent pas de valeurs ; il est nul non seulement quand le courant
M,M, forme un circuit fermé, mais encore quand on suppose que ce
courant s'étend à l'inûni dans les deux sens, parce qu'alors ses deux
extrémités étant à une distance inÛnie de celles du solénoîde, l'angle
s; devient égal à O;, et l'angle %k^t.

Tous les moments de rotation autour des droites menées par Tex-
Irémité d'un solénoîde indéfini étant nuls, cette extrémité est le point
d'application de la résultante des forces exercées sur le solénoîde par
un circuit électrique fermé ou par un système de courants formant
des circuits fermés; on peut donc supposer que toutes ses forces y
sont transportées, et la prendre pour l'origine A (fig. 32) des coor-
données : soit alors BM une portion d'un des courants qui agissent
sur le solénoîde; la force due à un élément quelconque Mm de BM
est, d'après ce qui précède, normale au plan AMm et exprimée par

dv étant l'aire AMm, et r la distance variable AM.

80 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Pour avoir la composante de cette action suivant AX, on doit la multi-
plier par le cosinus de l'angle qu'elle fait avec AX, lequel est le même
que l'angle des plans AMm, ZAY; mais dv multiplié par ce cosinus
est la projection de AMm sur ZAY, qui est égale à

ydx — zdy
a

si donc on veut avoir l'action suivant AX exercée par un nombre
quelconque de courants formant des circuits fermés, il faudra pren-
dre dans toute l'étendue de ces courants l'intégrale

Xiï' rydz — zdy Xw'A
— / ' i — ^ qui est ,

A désignant toujours la même quantité que précédemment dans la-
quelle on a remplacé n par sa valeur 3; on trouvera semblablement
que l'action suivant AY est exprimée par

XîV'B

et celle qui a Ueu suivant AZ, par

Xirc

La résultante de ces trois forces, qui est l'action totale exercée par
un nombre quelconque de circuits fermés sur le solénoide indéfini,
est donc égale à

XîV'D

en désignant toujours v^ A* + B* + G' par D ; et les cosinus des an-
gles qu'elle fait avec les axes des x, des y et des jc, ont pour va-
leurs

ABC
D' D' D'

qui sont précisément celles des cosinus des angles que fait avec les
mômes axes la normale au plan directeur que l'on obtiendrait en
considérant l'action des mêmes circuits sur un élément situé en A.

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNAHIOUES 81

Or, cet élément serait porté par l'action du système dans une direc-
tion comprise dans le plan directeur ; d'où l'on lire cette conséquence
remarquable, que lorsqu'un système quelconque de circuits fermés
agit alternativement sur un solénoîde indéfini et sur un élément
situé à rexlrémité de ce solénoîde, les directions suivant les-
quelles sont portés respectivement l'élément et l'extrémité du solé-
noîde, sont perpendiculaires entre elles. Si on suppose l'élément si-
tué dans le plan directeur lui-même, l'action que le système exerce
sur lui est à son maximum, et a pour valeur

Celle que le même système exerce sur le solénoîde vient d'être
trouvée égale à

ces deux forces sont donc toujours entre elles dans le rapport cons-
tant pour UQ même élément et un môme solénoîde

c'est-à-dire, comme la longueur de l'élémentest h l'aire de la courbe
fermée que décrit un des courants du solénuide divisée par la dis*
tance de deux courants consécutifs; ce rapport est indépendant de
la forme et de la grandeur des courants du système qui agit sur l'élé-
ment et sur le solénoide.

Lorsque le système de circuits fermés que nous venons de consi-
dérer est lui-même un solénoîde iodéfini, la normale au plan direc-
teur passant par le point A est, comme nous venons de le voir, la
droite qui joint ce point A. à l'extrémité du solénoide; il suit de la
que l'action mutuelle de deux soléuoïdes indéflnis a lieu suivant la
droite qui joiul l'extrémité de l'un à l'extrémité de l'autre; pour en
trouver la valeur, nous désignerons par V l'aire descircuits formés par
les courants de ce nouveau solénoîde, ^ la distance entre les plans
de deux de ces circuits qui se suivent immédiatement, / la distance
des extrémités des deux solénoides indéfinis, et nous aurons

82 THÉORIE MATHéMATIQUK

D = — -nî , ce qui donne pour leur action mutuelle

XiV'D XX' «V

in^

^9 ^99' t

qui est en raison inverse du carré de la distance /. Quand Tun des so*
lénoïdes est défini, on peut le remplacer par deux solénoïdes indéfinis,
et l'action se trouve composée de deux forces, Tune attractive et l'au-
tre répulsive, dirigées suivant les droites qui joignent les deux extré-
mités du premier à l'extrémité du second. Ëofin, dans le cas où deux
solénoïdes définis L'L", L,L, (fig. 33) agissent l'un sur l'autre, il y a
quatre forces dirigées respectivement suivant les droites L'L^, L'L„
L"Lj, L"L, qui joignent leurs extrémités deux à deux; et si, par
exemple, il y a répulsion suivant L'L^ il y aura attraction suivant
L'L, et L"Lj, et répulsion suivant L"L,.

Pour justifier la manière dont j'ai conçu les phénomènes que pré-
sentent les aimants, en les considérant comme des assemblages de
courants électriques formant de très petits circuits autour de leurs
particules, il fallait démontrer, en partant de la formule par laquelle
j'ai représenté l'action mutuelle de deux éléments de courants élec-
triques, qu'il résulte de certains assemblages de ces petits circuits
des forces qui ne dépendent que de la situation de deux points déter-
minés de ce système, et qui jouissent, relativement à ces deux points,
de toutes les propriétés des forces qu'on attribue à ce qu'on appelle
des molécules de fluide austral et de fluide boréal, lorsqu'on explique
par ces deux fluides, les phénomènes que présentent les aimants,
soit dans leur action mutuelle, soit dans celle qu'ils exercent sur un
fil conducteur : or on sait que les physiciens qui préfèrent les explica-
tions où l'on suppose l'existence de ces molécules à celles que j'ai dé-
duites des propriétés des courants électriques, admettent qu'à chaque
molécule de fluide austral répond toujours, dans chaque particule du
corps aimanté, une molécule de fluide boréal de même intensité, et
qu'en nommant élément magnétique l'ensemble de ces deux molé-
cules qu'on peut considérer comme les deux pôles de cet élément,
il faut pour expliquer les phénomènes que présentent les deux
genres d'action dont il est ici question : 1* que l'action mutuelle de deux
éléments magnétiques se compose de quatre forces, deux attractives
et deux répulsives, dirigées suivant les droites qui joignent les deux

I

DES PHÉNOMÈNES ÉLFXTHO-DYNA MIIJUES 83

molécules d'ua de ces éléments aux deux molécules de l'autre, et
dont l'iolensiié soit on raison inverse des carrés de ces droites ; 2* que
quand un de ces éléments agit sur une portion infiniment petite de
SI conducteur, il en résulte deux forces perpendiculaires aux plans
passant par les deux molécules de l'élément et par la direction de la
petite portion du fli, et qui soient proportionnelles aux sinus deaan-
gles que cette direction forme avec les droites qui en mesurent les
distances aux deux molécules, et en raison inverse des carrés de ces
distances. Tant qu'on n'admet pas la manière dont je conçois l'action
des aimants, et tant qu'on attribue ces deux espèces de forces à des
molécules d'un Huide austral et d'un fluide boréal, il est impossible
de les ramener à un seul principe ; mais dès qu'on adopte ma manière
de voir sur la constitution des aimants, on voit, par les calculs précé-
dents, que ces deux sortes d'actions et les valeurs des forces qui en
résultent se déduisent immédiatement de ma formule, et qu'il suffit
pour trouver ces valeurs de substituer à l'assemblage de deux molé-
cules, l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, un solénolde
dont les extrémités, qui sont les deux points déterminés dont dépen-
dent les forces dont il s'agît soient situées précisément aux mêmes
points où l'on supposerait placées les molécules des deux fluides.

Dés lors deux systèmes de très petits solénoïdes agiront l'un sur
l'autre, d'après ma formule, comme deux aimants composés d'aulant
d'éléments magnétiques que l'on supposerait de solénoïdes dans ces
deux systèmes; un de ces mêmes systèmes agira aussi sur ua élé-
ment de courant électrique, comme le fait un aimant; et par consé-
quent tous les calculs, toutes les explications, fondés tant sur la con-
sidération des forces attractives et répulsives de ces molécules en
raison inverse des carrés des distances, que sur celle de forces révo-
lutives entre une de ces molécules et un élément de courant élec-
trique, dont je viens de rappeler la loi telle que l'admettent les physi-
dens qui n'adoptent pas ma théorie, sont nécessairement les mêmes,
soit qu'on explique comme moi par des courants électriques les phé-
nomènes que produisent les aimants dans ces deux cas, ou qu'on
préfère l'hypothèse des deux fluides. Ce n'est donc point dans ces
calculs ou dans ces explications qu'on peut chercher ni les objections
contre ma théorie, ni les preuves en sa faveur. Les preuves sur les-
^^ quelles je l'appuie, résultent surtout de ce qu'elle ramène à un prin-
^m cipe unique trois séries d'actions que l'ensemble des phénomènes

84 THÉORIE MATHÉMATIQUE

prouve être dues à une cause commune, et qui ne peuvent y être
ramenées autrement. En Suède, en Allemagne, en Angleterre, on a
cru pouvoir les expliquer par le seul fait de Faction mutuelle de deux
aimants, tel que Coulomb l'avait déterminé ; les expériences qui nous
offrent des mouvements de rotation continue sont en contradiction
manifeste avec cette idée. En France, ceux qui n'ont pas adopté ma
théorie, sont obligés de regarder les trois genres d'action que j'ai
ramenés à une loi commune, comme trois sortes de phénomènes
absolument indépendants les uns des autres. Il est à remarquer,
cependant, qu'on pourrait déduire de la loi proposée par M. Biot pour
l'action mutuelle d'un élément de fil conducteur et de ce qu'il appelle
une molécule magnétique, celle qu'a établie Coulomb relativement à
l'action de deux aimants, si l'on admettait qu'un de ces aimants est
composé de petits courants électriques, tels que ceux que j'y conçois;
mais alors comment pourrait-on ne pas admettre que l'autre est com-
posé de même, et adopter, par conséquent, toute ma manière de
voir?

D'ailleurs, quoique M. Biot ait nommé force élémentaire (I) celle
dont il a déterminé la valeur et la direction dans le cas où un élément
de fil conducteur agit sur chacune des particules d'un aimant, il est
clair qu'on ne peut regarder comme vraiment élémentaire, ni une
force qui se manifeste dans l'action de deux éléments qui ne sont pas
de même nature, ni une force qui n'agit pas suivant la droite qui joint
les deux points entre lesquels elle s'exerce. Cependant, dans le
Mémoire que cet habile physicien a communiqué à l'Académie les
30 octobre et 18 décembre 1820 (2), il regarde comme élémentaire la

(i) Précis élémentaire de physique, t. II, p. i22 de la seconde édition.

(2) Ce dernier Mémoire n'ayant pas été publié à part, je ne connais la formule
qui y est donnée pour exprimer cette force que par le passage suivant de la
seconde édition du Précis élémentaire de physique , t. II, p. 122 et 123.

« En divisant par la pensée toute la longueur du fil conjonctif Z'C (fig. 34)
« en une infinité de tranches d'une très petite hauteur, on voit que chaque
« tranche doit agir sur Taiguille avec une énergie différente, selon sa distance
M et sa direction. Or, ces forces élémentaires sont précisément le résultat simple
M qu'il importe surtout de connaître ; car la force totale exercée par le fil
« entier n'est que la somme de leurs actions. Mais le calcul su£Bt pour remon-
c ter de cette résultante à l'action simple. C'est ce qu'a fait M. Laplace. 11 a
c déduit de nos observations, que la loi individuelle des forces élémentaires

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTN A MIQU ES 85

force qu'exerce un élément de Ul cooducteur sur un molécule de
fluide austral ou de fluide boréal, c'est-à-dire sur le pôle d'un élé-

■• exercises par chaque tranche du (il conjonctiT, était la raison inverse du carré
" âe la dislance, c'est-à-dire précisément la même que l'on sait exister dans les

■ actions mafrnétiqucs ordinaires. Cette analyse montrait que, pour compléter

■ la connaissance de la force, il restait encore à déterminer si Tnction de chaque
1 tranche du fil était la même dans toute» les directions à distance égale, ou si

■ elle était plus énergique dans certains sens que dans d'autres. Pour di^cider
•• cette question, j'ai fpndu dans un plan vertical un long fil île cuivre ZHC
- ffip. 34], en le pliant en U, de manière que les deux branches ZM, MC fissent
1 avec l'horizontale H)f des angles égaux. Devant ce fil, j'en ai tendu un autre

■ ZH'C de même matière, de même diamètre, pris dans le même tirage; mats
<• j'ai disposé celui-ci verticalement, de manière qu'il ne t&l séparé du premier

■ en HH' que par une bande de papier très mince. J'ai ensuite suspendu notre
• aiguille aimantée AB devant ce système, à la hauteur des points H, H', et j'ai

■ observé ces oscillations pour diver.'^es distances, en faisant successivement
H passer le courant vollaïque par le fil plii^ et par le fil droit. J'ai trouvé ainsi
€ que, pour l'un comme pour l'autre, l'action était réciproque à la distance aux
« points H, M': mais l'intensité absolue était plus faible pour le (il oblique que
« pour le fil droit, dans la proportion de l'angle ZUH à l'unité. Ce résultat aoa-
" lysé par le calcul, m'a paru indiquer que l'action de chaque élément f du fil
I oblique sur chaque molécule m de magnétisme austral ou boréal est reci-

■ proqiie an carré de su dislance fim k cette molécule, et proportionnelle au
•> sinus de l'angle m|iH formé par la distance ^m avec la longueur du fil, ■

Il est assez remirquable que cette loi qui est une conséquence rigoureuse de la
formule pur laquelle j'ai exprimé l'action mutuelle de deux éléments de fils
conducteurs, quand on remplace, conformément à ma théorie, chaque élément
magnétique par un très petit soli-noïde électro-dynamique, a d'abord été
trouvée par une erreur de calcul; en effet, pour qu'elle soit vraie, il faut que
Vinfenaiti abtolve de la force soit proportionnelle, non pas à l'angle ZHH, mais k
la tangente de la moitié de cet angle, ainsi que l'a démontré U. Savary, dans le
Mémoire qu'il u lu à l'Académie, le 3 Tévrier 1823. qui a été publié dans le temps
et se trouve ainsi dans le Jo'imal de pliytiipte, t. XCVI, p, 1 -<5 et suiv. Il paraît,
■u reste, que H. Biut a reconuu cette erreur, car dans la troisième édition du
même ouvrage qui vient de paraître, il donne, à la vérité, sans citer le Mémoire
oIi elle avait été corrigée, de nouvelles expériences 01*1 l'intensité de la force
totale est, ronformément au calcul de M. Savary, proportionnelle à la tangente
de la moitié de l'angle ZUil, et il en conclut de nouveau, avec plus de raison
qu'il ne l'avait fait de ses premières expériences, que la force qu'il appelle
élémentaire est, k distances égales, proportionnelle au sinus de l'angle compris
entre la direction de l'élément de fil conducteur et celle de la droite qui en
joint le milieu & la molécule magnétique, (Prêcit élémentaire de phj/tvjue txpé-
rimtniale, troisième édition, t. II. p. 740-7iS.)

86 THEORIE MATHÉMATIQUE

ment magnétique, et il y considère comme un phénomène composé
l'action mutuelle de deux éléments de conducteurs voltaïques. Or, on
conçoit aisément que s'il existe en effet des molécules magnétiques,
leur action mutuelle peut être considérée comme la force élémen-
taire : c'était le point de vue des physiciens de la Suède et de l'Alle-
magne, qui n'a pu supporter l'épreuve de l'expérience, puisque cette
force étant proportionnelle à une fonction de la distance, ne peut
jamais donner lieu au mouvement toujours accéléré dans le même
sens, du moins tant que, comme ils le supposaient, les molécules
magnétiques sont considérées comme fixées à des points déterminés
des fils conducteurs qu'ils regardaient comme des assemblages de
petits aimants, et alors les deux autres genres d'action étaient des pbé
nomènes composés, puisque l'élément voltaïque l'était. On conçoit
également que ce soit l'action mutuelle de deux éléments de fils con-
ducteurs qui offre la force élémentaire : alors l'action mutuelle de
deux éléments magnétiques, et celle qu'un de ces éléments exerce
sur une portion infiniment petite de conducteur voltmque, sont des
actions composées, puisque l'élément magnétique doit, dans ce cas,
être considéré comme composé. Mais comment concevoir que la force
élémentaire soit celle qui se manifeste entre un élément magné-
tique et une portion infiniment petite de conducteur voltsûque, c'est-
à-dire entre deux corps à la vérité d'un très petit volume, mais dont
l'un est nécessairement composé, quelle que soit celle des deux ma-
nières d'interpréter les phénomènes dont nous venons de parler ?

La circonstance que présente la force exercée par un élément de fil
conducteur sur un pôle d'un élément magnétique, d'agir dans une
direction perpendiculaire à la droite qui joint les deux points entre
lesquels se développe cette force, tandis que l'action mutuelle de
deux éléments de conducteur a lieu suivant la ligne qui les joint,
n'est pas une preuve moins démonstrative de ce que la première de
ces deux forces est un phénomène composé. Toutes les fois que deux
points matériels agissent l'un sur l'autre, soit en vertu d'une force
qui leur soit inhérente, ou d'une force qui y naisse par une cause
quelconque, telle qu'un phénomène chimique, une décomposition ou
une recomposition du fluide neutre résultant de la réunion des deux
électricités, on ne peut pas concevoir cette force autrement que
comme une tendance de ces deux points à se rapprocher ou à s'éloi-
gner l'un de l'autre suivant la droite qui les joint, avec des vitesses

DES PnÊNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

87

I

I

réciproquement proportioanelles k leurs masses, et cela lors même
que cette force ne se transmettrait d'une des particules matérielles
k l'autre que par un fluide interposé, comme la masse du boulet n'est
portée en avant avec une certaine vitesse, par le ressort de l'air dégagé
de la poudre, qu'autaut que la masse du canon est portée en arrière
suivant la même droite, passant par les centres d'inertie du boulet et
du canon, avec une vitesse qui est à celle du boulet, comme la masse
de celui-ci est à la masse du canon.

C'est là un résultat nécessaire de l'inertie de la matière, que Newton
signalait comme un des principaux fondements de la théorie physi-
que de l'univers, dans le dernier des trois axiomes qu'il a placés au
commencement des PhiiosophÙE naturalis principia mal/iematica, en
disant que l'action est toujours égale et opposée à la réaction; car
deux forces qui donnent à deux masses des vitesses inverses de ces
masses, sont des forces qui les feraient produire des pressions égales
sur des obstacles qui s'opposeraient invinciblement à ce qu'elles se
missent en mouvement, c'est-à-dire des forces égales. Pour que ce
principe soit applicable dans le cas de l'action mutuelle de deux par-
ticules matérielles traversées par le courant électrique, lorsqu'on
suppose cette action transmise par le fluide éminemment élastique
qxii remplit l'espace, et dont les vibrations constituent la lumière (1),
il faut admettre que ce lluide n'a aucune inertie appréciable, comme
l'air à l'égard du boulet et du canon ; mais c'est ce dont on ne peut
douter, puisqu'il n'oppose aucune résistance au mouvement des pla-
nètes. Le phénomène de la rotation du moulinet électrique avait
porté plusieurs physiciens à admettre une inertie appréciable dans les
deux fluides électriques, et par conséquent dans celui qui résulte de
leur combinaison ; mais cette supposition est en opposition avec tout
ce que nous savons d'ailleurs de ces fluides, et avec le fait que les
mouvements planétaires n'éprouvent aucune résistance de la part de
l'éther; il n'y a plus d'ailleurs aucun motif de l'admettre, depuis que
j'ai montré que la rotation du moulinet électrique est due à une
répulsion électro-dynamique produite entre la pointe du moulinet et

(1) Ce fluide ae peul 6tre que celui qui résulte de la combinaison des deux
ilectricitéa. Afin d'éviter de répéter toujours la mâme phrase pour le dùsigoer,
je crois qu'on dnil employer, comme Ëuler, le noin d'éther, en enlendaDt tou-

jours par ce mot le fluide ainsi déflni.

88 THÉORIE MATHÉMATIQUE

les particules de Tair ambiant, par le courant électrique qui s'échappe
de cette pointe (1).

Lorsque M. OErsted eut découvert l'action que le fil conducteur
exerce sur un aimant, on devait, à la vérité, être porté à soupçonner
qu'il pouvait y avoir une action mutuelle entre deux fils conducteurs;
mais ce n'était point une conséquence nécessaire de la découverte de
ce célèbre physicien, puisqu'un barreau de fer doux agit aussi sur
une aiguille aimantée, et qu'il n'y a cependant aucune action mu-
tuelle entre deux barreaux de fer doux. Tant qu'on ne connaissait que
le fait de la déviation de l'aiguille aimantée par le fll conducteur, ne
pouvait-on pas supposer que le courant électrique communiquait seu-
lement à ce fil la propriété d'être influencé par l'aiguille d'une ma-
nière analogue à celle dont l'est le fer doux par cette même aiguille,
ce qui suffisait pour qu'il agît sur elle, sans que pour cela il dût en
résulter aucune action entre deux fils conducteurs lorsqu'ils se trou-
veraient hors de l'influence de tout corps aimanté ? L'expérience pou-
vait seule décider la question : je la fis au mois de septembre 1820,
et l'action mutuelle des conducteurs voltaïques fut démontrée.

A l'égard de l'action de notre globe sur un fil conducteur, l'ana-
logie entre la terre et un aimant suffisait sans doute pour rendre cette
action extrêmement probable, et je ne vois pas trop pourquoi plu-
sieurs des plus habiles physiciens de l'Europe pensaient qu'elle
n'existait pas ; non seulement comme M. Erman, avant que j'eusse
fait l'expérience qui la constatait (2), mais après que cette expérience
eut été communiquée à l'Académie des sciences, dans sa séance du
30 octobre 1820, et répétée plusieurs fois, dans le courant de
novembre de la même année, en présence de plusieurs de ses
membres et d'un grand nombre d'autres physiciens, qui m'ont auto-
risé, dans le temps, à les citer comme ayant été témoins des mou-
vements produits par l'action de la terre sur les parties mobiles des

(i) Voyez la note que je lus à rAcadémie, le 24 juin 1822, et qui est insérée
dans les Annales de chimie, t. XX, p. 419-421, et dans mon Recueil dCobserva-
lions électro-dynamiques^ p. 316-318.

(2) Dans un Mémoire très remarquable, imprimé en 1820, ce célèbre physi-
cien dit que le fil conducteur aura cet avantage sur Taiguille aimantée dont on
se sert pour des expériences délicates, que le mouvement qu'il prendra dans
ces expériences ne sera point influencé par Faction de la terre.

I

I

DES PHÉNOMÈNES ÉLKCTRO-DYN AM IQUES 89

appareils décrils et Qgurés dans les Annales de chimie et de physique,
i. XV, p. 191-196 (P. II, fig. 5 et P. III, fig. 711, ainsi que dans mon
Recueil d'obxn^-alions électro-dynamiques, p. 43-48, puisque près d'un
an après, les physiciens anglais élevaient encore des doutes sur les
résultats d'expériences si complètes et faites devant un si grand
nombre de témoins (1). On ne peut nier l'importance de ces expé-
riences, ni se refuser à convenir que la découverte de l'action de la
terre sur les fils conducteurs m'appartient aussi complètement que
celle de l'action mutuelle de deux conducteurs. Mais c'était peu
d'avoir découvert ces deux genres d'actions et de les avoir constatés
par l'expérience ; il Fallait encore :

l' Trouver la formule qui exprime l'action mutuelle de deux
éléments de courants électriques ;

2* Montrer que d'après la loi, exprimée par cette formule, de
l'attraction entre les courants qui vont dans le même sens, et de la
répulsion entre ceux qui vont en sens contraire, soit que ces courants
soient parallèles ou forment un angle quelconque (3), l'action de la
terre sur les fils conducteurs est identique, dans toutes les circons-
tances qu'elle présente, k celle qu'exercerait sur ces mêmes fils un
faisceau de couranis électriques dirigés de l'est à l'ouest et situés au
midi de l'Europe, où les expériences qui constatent cette action ont
été faites ;

3* Calculer d'abord , en partant de ma formule et de la manière

(I) Voyelle Mémoire de M. Faraday, publié le 11 septembre 18Ï1. La traduc-
tion de ce Mémoire se trouve dnns les Annale» de chimie el de j'hysique, 1, XVIil,
p. 3:17-370, et dans tnon Recueil d'observations électro-dynamiques, p. 1Î5-IB8.
C'est par une faute d'impression qu'elle porte la date du i septembre 1821, au
lieu de celle du tl septembre 1821.

(3) Les expériences qui mettent en évidence l'action mutuelle de deux cou*
ranls rectilignes dans ces deux cas, furonl communiquées & l'Académie dans la
ti&nce du 9 octobre ISSO. Les appareils que j'avais employés sont décrits el
figurés dans le l. XV des Annales de chimie el de physique, savoir; 1' celui pour
l'action mutuelle de deux courants parallèles, p. 73 (PI. I, fig. I), et avec plus
de détail dans mon Recueil d'obtertatioits électrchàynamique», p. 16-18 ; 8* celui
pour l'action mutuelle de deux courants formant un angle quelconqui.-, p. 171
du même 1. XV des Annales de chimie et df phy tique (PI. Il, fig. 2), el dans mon
Recueil, d. 33. Les figures portent dans mon Recueil les mêmes numéros que

tuittalet.

90 THÉORIE MATHÉMATIQUE

dont j'ai expliqué les phénomènes magnétiques par des courants élec-
triques formant de très petits circuits fermés autour des particules
des corps aimantés, Faction que doivent exercer Tune sur l'autre deux
particules d'aimants considérées comme deux petits solénoïdes équi-
valant chacun à deux molécules magnétiques, Tune de fluide austral,
l'autre de fluide boréal, et celle qu'une de ces particules doit exercer
sur un élément de fil conducteur ; s'assurer ensuite que ces calculs
donnent précisément pour ces deux sortes d'actions, dans le premier
cas la loi établie par Coulomb pour l'action de deux aimants, et dans
le second celle que M. Biot a proposée, relativement aux forces qui se
développent entre un aimant et un fil conducteur. C'est ainsi que j'ai
ramené à un principe unique ces deux sortes d'actions, et celle que
j'ai découverte entre deux fils conducteurs. 11 était sans doute facile,
d'après l'ensemble des faits, de conjecturer que ces trois sortes d'ac-
tions dépendaient d'une cause unique. Mais c'est par le calcul seul
qu'on pouvait justifier cette conjecture, et c'est ce que j'ai fait, sans
rien préjuger sur la nature de la force que deux éléments de fils con-
ducteurs exercent l'un sur l'autre : j'ai cherché, d'après les seules
données de l'expérience, l'expression analytique de cette force ; et en
la prenant pour point de départ, j'ai démontré qu'on en déduisait par
un calcul purement mathématique les valeurs des deux autres forces
telles qu'elles sont données par l'expérience, l'une entre un élément
de conducteur et ce qu'on appelle une molécule magnétique, l'autre
entre deux de ces molécules, en remplaçant, dans l'un et l'autre cas,
comme on doit le faire d'après ma manière de concevoir la constitu-
tion des aimants, chaque molécule magnétique par une des deux
extrémités d'un solénoïde électro-dynamique. Dès lors tout ce qu'on
peut déduire des valeurs de ces dernières forces subsiste néces-
sairement dans ma manière de considérer les effets qu'elles pro-
duisent, et devient une suite nécessaire de ma formule, et cela seul
sufiirait pour démontrer que l'action mutuelle des deux éléments de
fils conducteurs est réellement le cas le plus simple et celui dont il
faut partir pour expliquer tous les autres ; les considérations suivantes
me semblent propres à confirmer de la manière la plus complète ce
résultat général de mon travail, elles se déduisent facilement des
notions les plus simples sur la composition des forces, et sont relatives
à l'action mutuelle de deux systèmes, composés tous deux de points
infiniment rapprochés les uns des autres, dans les divers cas qui

I

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DTNAMIQU ES 91

peuvent se présenter suivant que ces systèmes ne contiennent que
des points de même espèce, c'est-à-dire qui tous attirent ou repous-
sent les mêmes points de l'autre système, ou qu'il y ait, soit dans un
de ces systèmes, soit dans tous les deux, des points de deux espèces
opposées, dont les uns attirent ce que les autres repoussent et repous-
sent ce qu'ils attirent.

Supposons d'abord que chacun des deux systèmes soit composé
de molécules de même espèce, c'est-à-dire que celles de l'un agissent
toutes par attraction ou toutes par répulsion sur celles de l'autre,
avec des forces proportionnelles à leurs niasses ; soient MM'M", etc.
{Qg, 35), les molécules qui composent le premier, et ?» une quel-
conque de celles du second : en composant successivement toutes les
actions ma, mb, md, etc., exercées par M, M', M", etc , on obtiendra
les résullantes me, me, etc., dont la dernière sera l'action du sys-
tème MM'M" sur le point m, et passera à peu près par le centre
d'inertie de ce système. En raisonnant de même relativement aux
autres mr.Iécules du second système, on trouvera que les résultantes
correspondantes passeront aussi toutes très près du centre d'inertie
du premier système, et auront une résultante générale qui passera
aussi à peu près par le rentre d'inertie du second : nous nommerons
centres d'action les deux points extrêmement voisins des centres
respectifs d'inertie des deux systèmes par lesquels passe cette résul-
tante générale; it est évident qu'elle ne tendra, à cause des petite.s
distances oii ils sont des centres d'inertie, à imprimer k chaque sys-
tème qu'un mouvement de translation.

Supposons, en second lieu, que les molécules du second système
restant toutes de même espèce, celles du premier soient les unes
attractives et les autres répulsives à l'égard de ces molécules du
second système, les premières donneront une résultante o/(fig. 36),
passant par leur centre d'action N, et par le centre d'action o de
l'autre système : de même, les particules répulsives donneront une
résultante oe, passant par leur centre d'action P et par le même
point : la résultante générale sera donc la diagonale og ; et comme
elle passe à peu près par le centre d'inertie du second système, elle
ne tendra encore à lui imprimer qu'un mouvement de translation.
Cette résultante est d'ailleurs dans le plan mené par les trois centres
d'action o, N, P; et quand les molécules attractives sont en même
nombre que les n^pulsives, et agissent avec la même intensité, sa

92 THÉORIE MATHÉMATIQUE

direction est, en outre, perpendiculaire à la droite oO qui divise
Tangle PoN en deux parties égales.

Considérons enfin le cas où les deux systèmes seraient composés
Tun et l'autre de molécules d'espèces différentes. Soient N et P (fig. 37)
centres d'action respectifs des molécules attractives et répulsives du
premier, soient netp les centres correspondants du second, de sorte
qu'il y ait attraction entre N et jo, ainsi qu'entre n et P, et qu'il y ait
répulsion entre N et n, de même qu'entre P et p. Les actions combi-
nées de N et P sur p donneront une résultan le dirigée suivant la dia-
gonale pe : semblablement, les actions de N et P sur n donneront une
résultante nf. Pour avoir la résultante générale, on prolongera ces
deux lignes jusqu'à leur rencontre en o, et prenant oh=pe^ et
ok = nf^ la diagonale ol sera la résultante cherchée qui donnera l'ac-
tion exercée par le système PN sur le système pn. Mais comme le
point ne fait pas partie du système pn^ il faudra concevoir qu'il est
lié à ce système d'une manière invariable sans l'être au premier sys-
tème PN ; et la force ol tendra généralement, en vertu de cette liaison,
à opérer sur j9n un mouvement de translation et un mouvement de ro-
tation autour de son centre d'inertie.

Examinons maintenant la réaction exercée par le second système
sur le premier : d'après l'axiome fondamental de la mécanique, que
l'action et la réaction de deux particules l'une sur l'autre sont égales
et directement opposées, il faudra, pour l'obtenir, composer successi-
vement des forces égales et directement opposées à celles que les par-
ticules du premier système exercent sur les particules du second , et
il est évident que la réaction totale ainsi trouvée sera toujours égale et
directement opposée à l'action totale.

Dans le premier cas, la réaction sera donc représentée par la ligne
mt (fig. 35), égale et opposée à la résultante me^ et que l'on pourra
supposer appliquée au centre d'action du premier système qui se
trouve sur sa direction; d'où il suit qu'en négligeant toujours la petite
différence de situation du centre d'action et du centre d'inertie, on
n'aura encore ici qu'un mouvement de translation.

Dans le second cas, la réaction sera de même représentée par la ligne
oy (fig. 36), égale et opposée à og. Mais comme le point o n'appartient
pas au premier système, et que généralement celui-ci ne sera pas tra-
versé par la direction oy» îl faudra concevoir que ce point o soit lié
invariablement au premier système sans l'être au second; et, par

DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES

93

cette liaison, la force oy tendra génératemeat à opérer sur le système
PN un double mouvement de translation et de rotation. Au reste, cette
force OY est dans lo plan PoN ; et lorsque les molécules attractives sont
en même nombre que les répulsives et agissent avec la même] inten-
sité, sa direction est, comme celle de og, perpendiculaire à oO.

Enfin, dans le troisième cas, la réaction sera représentée par la ligne
o\ (fig. 37], égale et opposée à la résultante o/, et appliquée comme
elle au point o. Pour avoir l'action ol sur pn, nous avons conçu tout à
l'heure que ce point o était lié à ce second système pn sans l'être au
premier PN, Pour avoir maintenant la réaction exercée sur celui-ci,
nous concevrons ta force oX appliquée en un point situé en o, et lié au
premier système PN sans l'être au second. Cotte force tendra encore
généralement à opérer sur PN un double mouvement de translation
et de rotation.

Si l'on compare ces résultats avec les indications de l'expériencei
relativement aux directions des forces qui s'exercent dans les trois
genres d'actions que nous avons distingués plus haut, on verra aisé-
ment que les trois cas que nous venons d'examiner leur correspondent
exactement. Lorsque deux éléments de conducteurs voltaîques agis-
sent l'un sur l'autre, l'action et la réaction sont, comme dans le pre-
mier cas, dirigées suivant la droite qui joint ces deux éléments ; quand
il s'agit de la force qui a heu entre un élément de Ql conducteur et
une particule d'aimant contenant deux pôles d'espèces opposées, qui
agissent en sens contraires avec des intensités égales, l'action et la
réaction sont, comme dans le second cas, dirigées perpendiculaire-
ment à la droite qui joiut la particule à l'élément ; et deux particules
d'un barreau aimanté, qui ne sont elles-mêmes que deux très petits
aimants, e.\ercent l'une sur l'autre une action plus comphquée, sem-
blable à celle que présente le troisième cas', et dont on ne ipeut de
même rendre raison qu'en la considérant comme le résultat de quatre
forces, deux attractives et deux répulsives : il est aisé d'en conclure
qu'il n'y a que l'élément de Ûl conducteur dont on puisse supposer
que tous les points exercent la môme espèce d'action, et de juger
quelle est, des trois sortes de forces dont il est ici question, celle qu'on
doit regarder comme la plus simple.

Mais de ce que la force qui a lien entre deux éléments de fils con-
ducteurs est la plus simple, et de ce que celles qui se développent,
l'une entre un de ces éléments et une particule d'aimant où se trou-

94 THEORIE MATHÉMATIQUE

vent toujours deux pôles de même intensité, l'autre entre deux de ces
particules, en sont des résultats plus ou moins compliqués, en faut-il
conclure que la première de ces forces doive être considérée comme
vraiment élémentaire ? C'est ce que j'ai toujours été si loin de penser
que, dans les Notes sur F exposé sommaire des nouvelles expériences
électro-magnétiques^ publiées en 1822(1), je cherchais à en rendre
raison par la réaction du fluide répandu dans l'espace, et dont les vi-
brations produisent les phénomènes de la lumière : j'ai seulement dit
qu'on devait la considérer comme élémentaire^ dans le sens où les chi-
mistes rangent dans la classe des corps simples tous ceux qu'ils n'ont
encore pu décomposer, quelles que soient d'ailleurs les présomptions
fondées sur l'analogie qui pourraient porter à croire qu'ils sont réel-
lement composés, et parce qu'après qu'on en a déduit la valeur des
expériences et des calculs exposés dans ce Mémoire, c'était en partant
de cette seule valeur qu'il fallait calculer celles de toutes les forces
qui se manifestent dans les cas les plus compliqués.

Mais quand même elle serait due, soit à la réaction d'un fluide dont
la rareté ne permet pas de supposer qu'il réagisse en vertu de sa
masse, soit à une combinaison des forces propres aux deux fluides
électriques, il ne s'ensuivrait pas moins que l'action serait toujours
opposée à la réaction suivant une même droite ; car, ainsi qu'on Ta vu
dans les considérations qu'on vient de lire , cette circonstance se ren-
contre nécessairement dans toute action complexe, quand elle a lieu
pour les forces vraiment élémentaires dont se compose l'action com-
plexe. En appliquant le même principe à la force qui s'exerce entre
ce qu'on appelle une molécule magnétique et un élément de fil con-
ducteur, on voit que si cette force, considérée comme agissant sur
l'élément, passe par son milieu, la réaction de l'élément sur la molé-
cule doit aussi être dirigée de manière à passer par ce milieu et non
par la molécule. Cette conséquence d'un principe qu'avaient jusqu'à
présent admis tous les physiciens, ne parait pas au reste facile à dé-
montrer par l'expérience, lorsqu'il s'agit de la force dont nous par-
lons, parce que dans toutes les expériences où l'on fait agir sur un
aimant une portion de fil conducteur formant un circuit fermé, le ré-
sultat qu'on obtient pour l'action totale est le même, soit qu'on sup-

(i) Recueil éTobêervaHans électro-dynamiques, p. SI 5.

DES PHÉNOUÈNES ÉLECTRO- DYN AHt QQ ES

95

pose que cette Force passe par l'élémeat de Ql conducteur ou par la
molécule magnétiijue , ainsi qu'on l'a vu dans ce Mémoire; c'est ce
qui a porté plusieurs physiciens à supposer que l'action exercée par
l'élément de 01 conducteur passait seule par cet élément, et que la
réaction lui étant opposée et parallèle n'était pas dirigée suivant
la même droite, qu'elle passait par la molécule et formait avec la
première fois ce qu'ils oat appelé un couple primitif.

Les calculs qui vont suivre me fourniront bientôt l'occasion d'exa-
miner en détail celte singulière hypothèse. On verra, par cet examen,
qu'elle n'est pas seulement opposée à l'un des principes fondamen-
taux de la mécanique, mais qu'elle est en outre absolument inutile
pour l'explication des faits observés, et qu'une fausse interprétation
(le ces faits a pu seule porter à l'adopter les physiciens qui n'admet-
tent pas que les aimants doivent ri'ellement leurs propriétés à l'action
des courants électriques qui entourent leurs particules.

Les phénomèaes produits par les deux fluides électriques en mou-
vement dans les conducteurs voltaïques paraissent si différents de
ceux qui en manifestent la présence quand ils sont en repos dans des
corps éle^trisés k la mauière ordinaire, qu'on a aui^si prétendu que
les premiers ne davaieut pas être attribués aux mêmes fluides que les
seconds. C'est précisément comme si Ton concluait de ce que la sus-
pension du mercure dans le baromètre est un pbénomène entière-
ment différent de celui du son, qu'on ne doit pas les attribuer au
même fluide atmosphérique, en repos dans le premier cas et en mou-
vement dans le second; mais qu'il faut admettre, pour deux faits
aussi différents, deux fluides dont l'un agisse seulement pour presser
la surface libre du mercure, et dont l'autre transmette les mouve-
meats vibratoires qui produisent le son.

Rien ne prouve d'ailleurs que la force exprimée par ma formule ne
puisse pas résulter des attractions et répulsions des molécules des deux
fluides électriques, en raison inverse des carrés des distances de ces
molécules. Le fait d'un mouvement de rotation s'accélérant continuel-
lement jusqu'à ce que les frottements et la résistance du liquide dans
lequel plonge l'aimant ou le conducteur vollaique qui présente celte
sorte de mouvement en rendent la vitesse constante, paraît d'abord
absolument oppisé à ce genre d'explication des phénomènes électro-
dynamiques. En elfet, du principe de la conservation des forces vives,
qui est une conséqueuce nécessaire des lois mêmes du mouvement,

96 THÉORIE MATHÉMATIQUE

il suit nécessairement que quand les forces élémentaires, qui seraient
ici des attractions et des répulsions en raison inverse des carrés des
distances, sont exprimées par de simples fonctions des distances mu*
tuelles des points entre lesquels elles s'exercent, et qu'une partie de
ces points sont invariablement liés entre eux et ne se meuvent qu'en
vertu de ces forces, les autres restant fixes, les premiers ne peuvent
revenir à la même situation , par rapport aux seconds , avec des
vitesses plus grandes que celles qu'ils avaient quand ils sont partis
de cette même situation. Or, dans le mouvement de rotation con-
tinue imprimé à un conducteur mobile par l'action d'un conducteur
fixe, tous les points du premier reviennent à la même situation avec
des vitesses de plus en plus grandes à chaque révolution, jusqu'à ce
que les frottements et la résistance de l'eau acidulée où plonge la
couronne du conducteur mettent un terme à l'augmentation de la
vitesse de rotation de ce conducteur : elle devient alors constante,
malgré ces frottements et cette résistance.

Il est donc complètement démontré qu'on ne saurait rendre raison
des phénomènes produits par l'action de deux conducteurs voltaî-
ques, en supposant que des molécules électriques agissant en raison
inverse du carré de la distance fussent distribuées sur les fils conduc-
teurs, de manière à y demeurer fixées et à pouvoir, par conséquent,
être regardées comme invariablement liées entre elles. On doit en
conclure que ces phénomènes sont dus à ce que les deux fluides
électriques parcourent (1) continuellement les fils conducteurs, d'un

(i) Lors des premiers travaux des physiciens sur les phénomènes électro-
dynamiques, plusieurs savants crurent pouvoir les expliquer par des distribu-
tions de molécules, soit électriques, soit magnétiques, en repos dans les con-
ducteurs voltaïques. Dès que la découverte du premier mouvement de rotation
continue faite par M. Faraday eut été publiée, je vis aussitôt qu*elle renversait
complètement cette hypothèse, et voici en quels termes j*énonçai cette observa-
tion, dont ce que Je dis ici n*est que le développement, dans VExposé sommaire
des nouvelles expériences électro-magnéiiques faites par différents physiciens
depuis le mois de mars 1821, que je lus dans la séance publique de TAcadémie
royale des Sciences le 8 avril 1822.

« Tels sont les nouveaux progrès que vient de faire une branche de la phy-
« sique, dont nous ne soupçonnions pas même Texistence il y a seulement deux
« années, et qui déjà nous a fait connaître des faits plus étonnants peut-être
« que tout ce que la science nous avait jusqu'à présent offert de phénomènes

DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES U/

mouvement exlrêtnement rapide , en se réunissant et se séparant
alternativement dans les intervalles des particules de ces fils. C'est
parce que les phénomènes dont il est ici question ne peuveat être
produits que par l'électricité en mouvement, que j'ai cru devoir les
désigner sous la dénomination de phénomènes électro-dynamiques ;
celle de phénomènes électro-magnétiques, qu'on leur avait donnée
jusqu'alors convenait bien tant qu'il ne s'agissait que de l'action dé-
couverte par M. OErsted entre un aimant et un courant électrique,
mais elle ne pouvait plus présenter qu'une idée fausse depuis que
j'avais trouvé qu'on produisait des phénomènes du même genre sans
aimant, et par la seule action mutuelle de deux courants électriques.

C'est seulement dans le cas où l'on suppose les molécules électri-
ques en repos dans les corps où elles manifestent leur présence par
les attractions ou répulsions produites par elles entre ces corps, qu'on
démontre qu'un mouvement indéfiniment accéléré ne peut résulter
de ce que les forces qu'exercent les molécules électriques dans cet
état de repos ne dépendent que de leurs distances mutuelles. Quand
l'on suppose au contraire que, mises en mouvement dans les fils con-
ducteurs par l'action de la pile, elles y changent continueUement de
lieu, s'y réunissent à chaque instant en Quide neutre, se séparent de
nouveau, et vont aussitôt se réunir à d'autres molécules du Quide de
nature opposée, il n'est plus contradictoire d'admettre que des actions
en raison inverse des carrés des distances qu'exerce chaque molé-
cule, il puisse résulter entre deux éléments de fils conducteurs une
force qui dépende non seulement de leur distance, mais encore des
directions des deux éléments suivant lesquelles les molécules élec-

> merveilleux. tJn mouvement qui se continue toujours dans le mfime sens,

• malgré les frottements, malgré la résistance des milieux, et ce mouvement
■• produit par l'aclion mutuelle de deui corps qui demeurent constamment dans
" le mËme état, est un fait sans exemple dans tout ce que nous savions des pro-
>• priétés que peut offrir la matière inorganique; il prouve que l'action qui
« émane des conducteurs voltaïquea, ne peut êlre due à une distribution parti-
u culiëre de certains Quides en repos dans ces conducteurs, comme le sont les
» attractions ei les répulsions électriques ordinaires. On ne peut attribuer cette
« action qu'a des fluides en mouvement dans le conducteur qu'ils parcourent
H en se portant rapidement d'une des extrémités de la pile à l'autre exlré-

* mité. » Voyei le Journal de physique où cet exposé a été inséré dans le temps,
l, XCiV, p. 6B, et mon Recueil d'obtercationt éteclro-dynamiques, p. SOB.

13

98 THÉORIE MATHÉMATIQUE

triques se meuvent, se réunissent à des molécules de Tespèce oppo-
sée, et s'en séparent l'instant suivant pour aller s'unir à d'autres. Or,
c'est précisément et uniquement de cette distance et de ces directions
que dépend la force qui se développe alors, et dont les expériences et
les calculs exposés dans ce Mémoire m'ont donné la valeur. Pour se
faire une idée nette de ce qui se passe dans le fil conducteur, il faut
faire attention qu'entre les molécules métalliques dont il est composé
est répandu un fluide composé de fluide positif et de fluide négatif,
non pas dans les proportions qui constituent le fluide neutre, mais
avec un excès de celui de ces deux fluides qui est de nature opposée
à l'électricité propre des molécules du métal, et qui dissimule cette
électricité, comme je l'ai expliqué dans la lettre que j'écrivis à M. Van
Beek au commencement de 1822 (1) : c'est dans ce fluide électrique
intermoléculaire que se passent tous les mouvements, toutes les dé-
compositions et recompositions qui constituent le courant électrique.

Gomme le liquide interposé entre les plaques de la pile est, sans
comparaison, moins bon conducteur que le fil métallique qui en joint
les extrémités, il se passe un temps, très court à la vérité, mais ce-"
pendant appréciable, pendant lequel l'électricité intermoléculaire,
supposée d'abord en équilibre, se décompose dans chacun des inter-
valles compris entre deux molécules de ce fil. Cette décomposition
augmente graduellement jusqu'à ce que l'électricité positive d'un
intervalle se réunisse à l'électricité négative de l'intervalle qui le suit
immédiatement dans le sens du courant, et son électricité négative à
l'électricité positive de l'intervalle précédent Cette réunion ne peut
être qu'instantanée comme la décharge d'une bouteille de Leyde ; et
l'action entre les fils conducteurs, qui se développe, pendant qu'elle
a lieu, en sens contraire de celle qu'ils exerçaient lors de la décom-
position, ne peut par conséquent diminuer l'effet de celle-ci, car l'effet
produit par une force est en raison composée de son intensité et du
temps pendant lequel elle agit ; or ici l'intensité doit être la même,
soit que les deux fluides électriques se séparent ou se réunissent :
mais le temps pendant lequel s'opère leur séparation est sans compa-
raison plus grand que celui qu'exige leur réunion.

L'action variant avec les distances entre les molécules des deux

(!) Journal de physique^ t. XCIII, p. 450-453, et ReeueU éTobservaiionê éUe-
tro-àynamiques, p. 174 -177.

DES PHiNOMÈNES ÉLECTBO-DTNAMIQUKS

99

I

fluides électriques pendant que se fait cette séparation, il faudrait
intégrer, par rapport au temps et pour toute la durée de la séparation,
la valeur de la force qui aurait lieu à chaque iustanl, et diviser en-
suite, par cette durée, l'intégrale ainsi obtenue. Sans faire ce calcul,
pour lequel il faudrait avoir des données, qui nous manquent encore,
sur la manière dont les distances des molécules électriques varient,
avec le temps, dans chaque intervalle intermoléculaire du fil conduc-
teur, il est aisé de voir que les forces produites de cette manière,
entre deux éléments de ce Ql, doivent dépendre des directions du
courant électrique dans chacun de ces éléments,

S'il était possible, en partant de celte considération, de trouver que
l'action mutuelle de deux éléments est en effet proportionnelle à la
formule par laquelle je l'ai représentée, cette explication du fait fon-
damental de toute la théorie des phénomènes électro-dynamiques
devrait évidemment être préférée à toute autre; mais elle exigerait
des recherches dont je n'ai point eu le temps de m'occuper, non plus
que des recherches plus difficiles encore auxquelles il faudrait se
livrer, pour voir si l'explicatiou contraire, où l'on attribue les phéno-
mènes électro-dynamiques aux mouvements imprimés k l'étberpar
les courants électriques, peut conduire it la même formule. Quoi qu'il
en soit de ces hypothèses et des autres suppositions qu'on peut faire
pour expliquer ces phénomènes, ils seront toujours représentés par la
formule que j'ai déduite des résultats de l'expérience, interprétés par
l6 calcul, et il restera mathématiquement démontré, qu'en considérant
les aimants comme des assemblages de courants électriques disposés
autour de leurs particules ainsi que je l'ai dit, les valeurs des forces
qui sont, dans chaque cas, données par l'expérience, et toutes les cir-
constances des trois sortes d'actions qui ont lieu, l'une entre deux
aimants, une autre entre un fil conducteur et un aimant, et la troi-
sième entre deux fils conducteurs, se déduisent d'une force unique,
agissant entre deux éléments de courants électriques suivant la droite
qui enjoint les milieux.

Quant à l'expression même de cette force, elle est une des plus
simples parmi celles qui ne dépendent pas seulement de la distance,
mais encore des directions des deux éléments; car ces directions n'y
entrent qu'en ce qu'elle contient la seconde difi'érentielle de la racine
carrée de la distance des deux éléments, prise en faisant varier alter-
nativement les deux arcs de courants électriques dont cette distance

100 THÉORIE MATHÉMATIQUE

est une fonction, différentielle qui dépend elle-même des directions
des deux éléments, et qui entre d'ailleurs dans la valeur donnée par
ma formule d^une manière très simple, puisqu'on a pour cette valeur
la seconde différentielle ainsi définie, multipliée par un coefficient
constant et divisée par la racine carrée de la distance, en observant
que la force est répulsive quand la seconde différentielle est positive,
et attractive quand elle est négative. C'est ce qu'exprime le signe —
qui se trouve au-devant de l'expression générale

^ dsd*'

de cette force, d'après l'usage où Ton est de regarder les attractions
comme des forces positives, et les répulsions comme des forces néga-
tives.

Les époques où l'on a ramené à un principe unique des phénomènes
considérés auparavant comme dus à des causes absolument diffé-
rentes, ont été presque toujours accompagnées de la découverte d'un
grand nombre de nouveaux faits, parce qu'une nouvelle manière de
concevoir les causes suggère une multitude d'expérience à tenter,
d'explications à vérifier ; c'est ainsi que la démonstration donnée par
Volta de l'identité du galvanisme et de l'électricité a été accompagnée
de la construction de la pile, et suivie de toutes les découvertes qu'a
enfantées cet admirable instrument. A en juger par les résultats si
importants des travaux de M. Becquerel, sur l'influence de l'électricité
dans les combinaisons chimiques, et de ceux de MM. Prévost et Dumas
sur les causes des contractions musculaires, on peut espérer que tant
de faits nouveaux découverts depuis quatre ans, et leur réduction à un
principe unique, aux lois des forces attractives et répulsives observées
entre les conducteurs des courants électriques, seront aussi suivis
d'une foule d'autres résultats qui établiront entre la physique d'une
part, la chimie et même la physiologie de l'autre, la liaison dont on
sentait le besoin sans pouvoir se flatter de parvenir de longtemps à
la réaliser.

Il nous reste maintenant à nous occuper des actions qu'un circuit
fermé, quelles que soient sa forme, sa grandeur et sa position, exerce,
soit sur un solénoîde, soit sur un autre circuit d'une forme, d'une
grandeur et d'une position quelconques ; le principal résultat de ces

DES PHÉNOMÈNES SLKCTRO-DTN AUIQUBS

101

recherches consiste dans l'analogie qui existe entre les forces pro-
duites par ce circuit, soit qu'il agisse sur un aulre circuit fermé ou
sur un solénoide, et les forces qu'exerceraient les points dont l'actioa
serait précisément celle qu'on attribue aux molécules de ge qu'on
appelle fluide austral et fluide boréal ; ces points étant distribués de
la manière que je vais expliquer sur des surfaces terminées par les
circuits, et les extrémités du solénoide étant remplacées par deux
molécules magnétiques d'espèces opposées. Cette analogie paraît
d'abord si complète, que tous les phénomènes électro-dynamiques
semblent être ainsi ramenés û la théorie où l'on admet ces deux
fluides ; mais on reconnaît bientôt qu'elle n'a lieu qu'à l'égard des
conducteurs voltaiques qui forment des circuits solides et fermés,
qu'il n'y a que ceux de ces phénomènes qui sont produits par des
conducteurs formant de telles circuits dont on puisse rendre r^son
de cette manière, et qu'enfin les forces qu'exprime ma formule
peuvent seules s'accorder avec l'ensemble des faits. C'est, d'ailleurs,
de cette même analogie que je déduirai la démonstration d'un théo-
rème important qu'on peut énoncer ainsi : l'action mutuelle de deux
circuits solides et fermés, ou celle d'un circuit solide et fermé et d'un
aimant, ne peut jamais produire de mouvement continu avec une
vitesse qui s'accélère indéfiniment jusqu'à ce que les résistances et
les frottements des appareils rendent cette vitesse constante.

Afin de ne rien laissera désirer sur ce sujet, je commencerai par
donner aux formules relatives à l'action mutuelle de deux fils conduc-
teurs une forme plus générale et plus symétrique. Soient pour cela
Jet «' deux courbes quelconques qu'on suppose parcourues par des
courants électriques dont nous continuerons à désigner les intensités
par ( et i'. Soit d s = Mm (flg. 38) un élément de la première courbe,
dy = MW un élément de la seconde; x,y, z et x', y', z les coordon-
nées de leurs milieux o, o', et r la droite oo' qui les joint, laquelle
doit être considérée comme une fonction des deux variables indépen-
dantes s et s qui représentent les arcs des deux courbes comptés à
partir de deux points fixes pris sur elles. L'action mutuelle des deux
éléments As, ds', est, comme nous l'avons vu plus haut, une force
dirigée suivant la droite r, et ayant pour valeur

(("d«d»>' ■

d*'

102 THÉORIE MATHÉMÂTiQUt

On peut récrire plus simplement de cette maoilré :

— tt'r*d'(r»dr),

en distinguant par les caractéristiques d et ^ les différentielles rela-
tives à la variation des seules coordonnées ff^ y, z^ de Télément ds, de
celles qu'on obtient en faisant varier seulMient les coordonnées x\ y\
s/ de rélément às'\ distinction dont nous nous servirons toutes les
fois que nous aurons à considérer def différentielles prises les unes
dMne de ces deux manières, et les au(|f8s de l'autre.

Cette force étant attractive, il faut, pour avoir celle de ses compo*
santés qui est parallèle à Taxe i$ê x, en multiplier la valeur par

ou par , suivait qu'on la considère comme agissant

sur l'élément d^ ou sur l'éléfllânt ds; dans ce dernier cas, la compo-
sante est donc égale à

On peut mettre cetti expression sous une autre forme en faisant
usage de la valeuri{u*on obtient pour tidt?, ti et t? réprésentant des
quantités quelcoofias, lorsqu'on ajoute* membre à membre, les deux
équations identimies

cette valeur est

et en faisant

r

tidt; — vAu = u*d(- J,
uAv = - A{uv) + - ti'd - ,

on en conclut

r»-*(x— a?')d'(r»dr) = i d'[r«*-«(« — ar'ldr] + i r«*-«(«— «?d'-î^

puisque 2 A + n = 1, ce qui donne

«4—1 = — n, ai — a = — n — i.

HaU

6113 PHÉNOMÈNES ÉI.KCTHO'DyNAMIQUKS

r'=|jr-xr+(j-yr+(' -»■)".

et par cooséquent

= di +

y—v

<iy+-

i—j

-di,

-i')ix' — j — j')dî' j

(g— g')dy'— (y— yldz*

" x~x (g — xy (X — X')*

La composants para] lèle à l'axe des x a doac pour valeur

iy-

^-A-

■«■jdi'— (X— g'jd»'^

;j-j')dy'-(y-y')dT'

dy].

Les deux termM de cette expressioa peuveol être coasidéréa sépa-
rémoDt comme deux forces dont la réunioa équivaut à la force cher-
chée. Or, il estaisâde voir que quaad la courbe s' forme un circuit
fermé, toutes les forces telles que celle qui a pour expression la partie

- «'d' ■— — , provenant de l'action de tous les éléments d/ du

circuit 5' sur le même élément dise détruisent mutuellement. En effet,
toutes ces forces sont appliquées au même point 0, milieu de l'élé-
ment di, suivant une même droite parallèle à l'axe des z ; il faut donc
pour avoir la lorce produite suivant celte droite par l'action d'une

portion quelconque du conducteurs' intégrer -lï'd'^ — -i — d'une

des extrémités cette portion à l'autre, et l'on trouve

' -v nJ' — g;idr, * — «df,) -!.
■ " 1_ r; f^ J'

en nommant x\ , r, , dr, , les quantités qui se rapportent à une extrémité,
et xj, r„ dr, celles qui sont relatives à l'autre, cette valeur devient
évidemment nulle quand, le circuit étant fermé, ses deux extrémités
sont au mémo point.

Quand le conducteur t" forme ainsi un circuit fermé, il faut donc,
pour avoir plus simplement l'action qu'il exerce sur l'élément d* pa>

104 THÉORIE MATHÉMATIQUE

rallèlement à l'axe des x^ supprimer, dans Texpression de la compo-
sante parallèle à cet axe, la partie -lï' ^^ — , et n'avoir égard
qu'à Taùtre partie

1 r (z-z')A:xf-(x-x')Az {x^a/)dy-(y^y')dx' 1

que nous représenterons par X.

En appliquant les mêmes considérations aux deux autres compo-
santes de la même force qui sont parallèles aux axes des y et des s,
on leur substituera des forces Y, Z, ayant pour valeurs

y = i ^ M^-^'W'-(y-y')à^ j^_ (y-y)dz-(z-zody ^ i

Ainsi, lorsqu'il s'agit d'un circuit fermé, la résultante R des trois
forces X, Y, Z, auxquelles sont réduites les composantes de la force
— uVd'(r*dr), remplace cette force; et l'ensemble de toutes les
forces R est équivalent à celui de toutes les forces exercées par cha-
cun des éléments ds', du circuit fermé s\ et représente l'action totale
de ce circuit sur l'élément ds. Voyons maintenant quelle est la valeur
et la direction de cette force R.

Soient u, t), t&, les projections de la ligne r sur les plans des yz^
des xz et des xy, faisant respectivement les angles f i X) 4^' ^^^^ ^^
axes des y, des z et des x. Considérons le secteur M'om' (flg. 38), qui
a pour base l'élément d$\ et pour sommet le point o milieu de ds,
dont les coordonnées sont x^ y, z. Appelons X, pi, v les angles que
fait avec les axes la normale au plan de ce secteur, et 0' l'angle com-
pris entre les directions de ds' et de r. Le double de l'aire de ce sec-
teur estrds' sin. 0', et ses projections sur les plans des coordonnées
sont

u*d'f =rds'sin6'cosX = {t/ — y)d^ — {z — z)dy\
v^d'x = rds'sinO'cos|&= (z — z)daf — {x' — x)dz\
to'd'^=:rdf'8inO'co8v = (a/ — x)dy^ — (y' — y)dx\

On peut donc donner cette nouvelle forme aux valeurs des forces

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 105

X, Y, Z,

_ 1 ../w'd'x^ M;«d'+^ \ 1 tï'd5d5'sin67dz dy \

^=â"(-7=^'^~-7=^'yj = a ;= (d7^"^«^-d7^"^V'

„ I ..,/M;«d'+^ ti«d>^ \ 1 tfdsd^'sinO/da: dz ^\

y = -ii (--r-r dar -—7^ dz) = ( ^— cosv— .-7-cosX 1.

a \ r^» r^* / a r* \d« d« /

_ i ../u«d> . w'd'x^ \ 1 tï'd$d5'sin6'/dy , dar \

Or ces valeurs donnent

dx Au de

Xco8X-f-Ycos|& + 2cosv = o;

c'est-à-dire que la direction de la force R fait avec celle de Télément
mM = d5, et avec la normale op au plan du secteur M'om', des angles
dont les cosinus sont zéro, de sorte que cette force est à la fois dans le
plan du secteur et perpendiculaire à l'élément ds. Quant à son inten-
sité, on a par les formules connues

A^> . ^« . rw. * tï'dsds'sinO'sinpom i fï'd 5 ds'sinO' ces moi
* a r* a r*

ok étant la projection de om sur le plan du secteur M'om'. On peut
décomposer cette force dans le plan du même secteur en deux autres.
Tune S dirigée suivant la ligne 00' = r, l'autre T perpendiculaire à
cette ligne. Celle-ci est

« « r« « ir* i . ' tï'dsds'sinô'cosmoicosAoA:

T = RcosToR = ReosAo* = ;

a r*

et comme l'angle trièdre formé par les directions de om^ ok et oh
donne

cosmok cos hok = ces moA = cosO,

il vient

„ 1 t'râsds'sintt'costt

T = .

a r*

La force S suivant oh est

S = RsinAoA = TtangAoJk.

14

106 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Mais en désignant par (o l'inclinaison du plan moh sur le plan Ao*,
qui est celui du secteur M'om', on a

tang AoA = tang cos u ;
ainsi

Q 1 tV'dsds'sinOsinO'cosco
S = - .

Si l'on intègre les expressions de X, Y, Z pour toute retendue du
circuit fermé sfj on aura les trois composantes de l'action exercée par
tout ce circuit sur l'élément d$ ; en remplaçant n par sa valeur 2,
celles des trois composantes deviennent

Des forces semblables appliquées à tous les éléments d^ de la
courbe s donneront l'action totale exercée par le circuit sf sur le
circuit 5. On les obtiendra en intégrant de nouveau les expressions
précédentes dans toute l'étendue de ce dernier circuit.

Concevons maintenant deux surfaces prises à volonté o*, 9% termi-
nées par les deux contours s, s\ dont tous les points soient liés inva-
riablement entre eux et avec tous ceux de la surface correspondante,
et sur ces surfaces des couches infiniment minces d'un même fluide
magnétique qui y soit retenu par une force coercitive suffisante pour
qu'il ne puisse point s'y déplacer. En considérant sur ces deux sur-
faces deux portions infiniment petites du second ordre que nous
représenterons par d*(r et dV, dont les positions soient détermi-
nées par les coordonnées x^ y y % pour la première, td^ y\ z' pour la
seconde, et dont la distance soit r, leur action mutuelle sera une
force répulsive dirigée suivant la ligne r et représentée par

— ï:^ — Z. — que nous considérerons comme agissant sur l'élément

ds; f, e^ désignent ici ce qu'on appelle l'épaisseur de la couche ma-
gnétique sur chaque surface; |ji est un coefficient constant, tel

DES PHÉNOMÈNES ÉLBCTRO-DTNAMIQUBS

!07

I
I

I

I

que [iw' représente l'action répulsive qui aurait lieu, si l'on réunissait
en deux points situés à une distance égale à l'unité, d'une part tout
le fluide répandu sur une aire égale à l'unité de surface, où l'épaisseur
serait constante et égale à «, de l'autre tout le fluide répandu sur une
autre aire égale à l'unité de surface, où l'épaisseur serait aussi cons-
tante et égale à c'.

En décomposant cette force parallèlement aux trois axes, on a les
trois composantes

iui'd'ffd*ff'(j — x")

(Ut'cl'»d'T'(l —

Concevons maintenant une nouvelle surface terminée par le même
contours qui limite la surface <t, et telle que toutes les portions de
normales de la surface o- comprises entre elle et la nouvelle surface
soient très petites. Supposons que sur cette dernière surface soit dis-
tribué le fluide magnétique de l'espèce contraire à celui de la sur-
face ff, de manière qu'il y en ait sur la portion de la nouvelle surface
circonscrite par les normales menées par tous les points du contour
de l'élément de surface à*a une quantité égale à celle du fluide
répandu sur dV. En nommant h la longueur de la petite portion de la
normale à la surface u, menée par le point dont les coordonnées
sont X, y, z, et comprise entre les deux surfaces, laquelle mesure
dans toute l'étendue de l'aire infiniment petite d'à- la distance de ses
points aux points correspondants de l'autre surface, el en désignant
parE, T|, Ç les angles que cetle normale fait avec les axes, les trois
composantes de l'action mutuelle entre l'élément dV et la petite
portion de la nouvelle surface circonscrite comme nous venons de le
dire, qui est toujours égale à d*o- tant que A est très petit et qu'on
néglige dans les calculs, comme nous le faisons ici, les puissances
de h supérieures à la première s'obtiendront en remplaçant dans
l'expression que nous venons de trouver, x, y, z par a: + Acos5,
y + A cos n, 2 -|- A cos C Et comme les deux fluides répandus sur les
deux aires égales à rf*» sont de nature contraire, il faudra retrancher les
nouvelles valeurs de ces composantes des valeurs trouvées précédem-
ment; ce qui se réduira, puisqu'on néglige les puissances de A supé-
rieures à la première, à différentier ces valeurs, à remplacer dans le
résultat les différentielles de x, y, s par AcosÇ, Acosii, Acos C» et à en
changer le signe. Ces différentielles étant prises en passant de la pre-

AÙS THÉORIE MATHÉMATIQUE

mière surface o* à l'autre, nous les désignerons par S, suivant la nota-
tion du calcul des variations ; nous aurons ainsi pour la composante

parallèle aux x ce que devient — |xee'd*o'd'o''8 — j— , quand on y rem-
place &r par h cos Ç, c'est-à-dire

jiw'd'ffd'o'AcosÇ

Nous allons maintenant déterminer la forme de la position de
l'élément cPfT.

Désignons comme précédemment par u, t;, to les projections de la
ligne r sur les plans des yz, des zx et des xy^ et par f, x> ^« ^^^ angles
que ces projections font avec les axes des y, des z et des x respecti-
vement. Décomposons la première surface <t en une infinité de zones
infiniment étroites, telles que abcd (fig. 42), par une suite de plans
perpendiculaires au plan des yz menés par la coordonnée my = x du
point m'. Chaque zone se terminant aux deux bords du contour s de
la surface o*, aura pour projection sur le plan des yz une aire décom-
posable elle-même en éléments quadrangulaires infiniment petits,
auxquels répondront autant d'éléments de la surface o* sur la zone
dont il s'agit. Ce sont ces éléments qu'on doit considérer comme les
valeurs de d'o*. Celui dont la position, à l'égard de l'élément dV, est
déterminée par les coordonnées polaires r, t/, f , est égal à sa projec-
tion ududf sur le plan des yz divisée par le cosinus de l'angle Ç com-
pris entre ce plan et le plan tangent à la surface <t avec lequel coïn-
cide l'élément d'o*. Il faudra donc remplacer d'o* par J^dans la

'^ *^ cosÇ

formule précédente, et Ton aura

[3(0:-. or) ^ ]

|AAa'

Pour calculer la valeur de {x — ^ ft> soient mx le prolongement de

la coordonnée mp = x du point m où est situé l'élément d'o*, mu une
parallèle au plan des yz menée dans le plan pmm'p\ et mt perpendi-
culaire à ce dernier plan au point m. Il est aisé de voir que la droite

DES PHÉNOMÈNES ÉLBGTRO-DTNÂMIQUES 109

mil, suivant laquelle pmmlp* coupe le plan tangent en m, & la sur-
face 0*, fait avec les trois lignes ma:, mu^ mt^ qui sont perpendiculaires
entre elles, des angles dont les cosinus sont respectivement

Ax du

et 0,

et que la normale mh fait avec les mêmes directions des angles dont
les cosinus sont

Ix lu It

ht tenant lieu de la projection de mh sur m/. On a donc

Axlx'\'lulu
Vdx* + du*V5ar« + 8u" + 8r«

pour le cosinus de l'angle compris entre la droite mn et la nor-
male mA, et puisque cet angle est droit, dj:8x4-duSu=Ot d'où

-= — r-.Mais l'équation

r* = (a: — xy + u«,

donne

r8r = [x — x)lx + u8ti,

et

rdr = udti + (a? — x')Ax,

d'où Ton déduit

8r a: — ^' , m 5u

8x r * r * 8x'

et

dr u , a: — if ûx u x — x 8u

Au r "* r du r r 84:'

en éliminant centre ces deux équations, il vient

, ,.lr ^ dr (a: — a?')* . u'

a: — a:)— +u— = ^ h— = »-.

6X du r r

8r

Si nous tirons maintenant de cette équation la valeur de (a: — ^)?-

110 THÉORIE MATHÉMATIQUE

pour la substituer dans celle de la force parallèle à l'axe des x^ nous
aurons

ïiAttudud^l^ ^^ pj=l**«dç\^-7î —)

w

La hauteur h et Tépaisseur c de la couche de fluide infiniment
mince répandue sur la surface o*, peuvent varier d'un point de cette
surface à un autre ; et pour atteindre le but que nous nous proposons
de représenter à Taide des fluides magnétiques, les actions qu'exer-
cent les conducteurs voltaïques, il faut supposer que ces deux quan-
tités e, hj varient en raison inverse l'une de l'autre, de manière que
leur produit ht conserve la même valeur dans toute l'étendue de la
surface 9. En appelant g la valeur constante de ce produit, l'expres-
sion précédente devient

u«

W«'d«ffd«pd^

et s'intègre immédiatement. Son intégrale H^^'^^^'df [ -j — C]

exprime la somme des forces parallèles à l'axe des x qui agissent sur
les éléments cPa^ de la zone de la surface o* renfermée entre les deux
plans menés par m'p' qui comprennent l'angle d<f. La surface o* étant
terminée par le contour fermé 5, il faut prendre cette intégrale entre
les limites déterminées par les deux éléments a6, cd de ce contour
qui sont compris dans l'angle d<f des deux plans dont nous venons
de parler, en sorte qu'en nommant u^, r^ et u„ r,, les valeurs de u et
de r relatives à ces deux éléments, on a

„..,ve,(ï|-^)

pour la somme de toutes les forces exercées par l'élément d^a^ sur la
zone parallèlement à l'axe des x.

Si la surface o*, au lieu d'être terminée par un contour, renfermait
de tous côtés un espace de figure quelconque, la zone de cette surface
comprise dans l'angle dièdre f serait fermée, et l'on aurait ti, = ti,,

DEB PH^NOmAnICS ÉLECTRO-DYNAMIQUES

111

r, = r, ; en sorte que l'action exercée sur cette zone parallèlemeDt à
l'axe des x serait nulle, et par conséquent aussi celle que rélémeot
c^o' exercerait sur toute la surface « composée alors de semblables
zones. Et comme la même chose aurait lieu relativement aux forces
parallèles aux axes des y et des z, on voit ijue l'assemblage de deux
surfaces très rapprochées l'une de l'autre, renfermant de tous côtés
un espace de forme quelconque, et couvertes, de la manière que nous
venons de le dire, l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, est
sans action sur une molécule magnétique, en quelque endroit qu'elle
soit placée, et par conséquent sur ua corps aimanté de quelque
manière que ce soit. Reprenons l'expérience précédente

et il nous sera aisé de voir que, pour avoir la somme totale des forces
parallèles h l'axe des x que l'élément d^a' exerce sur la surface
entière v, U faut intégrer, par rapport à f, les deux parties dont se
compose cette expression, respectivement dans les deux portions
Aa£B, Bc(fvl du contour s, déterminées par les deux plans tangents
p'm'k, p'm'R, menés par la ligne m'p'. Mais il revient au même d'in-
tégrer f».j«'dV —~ dans toute l'étendue du circuits; car si l'on met

pour u et <p leurs valeurs en fonctions de r déduites des équations de
la courbe s, on voit qu'en passant de la partie ka&B à la partie Bci^A,
if change de signe, et que par conséquent les éléments de l'une de
ces parties sont d'un signe contraire k ceux de l'autre.

D'après cela, si nous désignons par X la somme des forces paral-
lèles aux X qu'exerce l'élément dV sur l'assemblage des deux surfaces
terminées par le même contour s, nous aurons

OU, ce qui est la même chose,

x=wdv /''-'''""-''"''"'*.
les X, tf, z n'étant relatifs qu'au contour i.

112 THEORIE MATHÉMATIQUE

On aura de même, en désignant par Y et Z les sommes des forces
parallèles aux y et aux % qui agissent sur le même assemblage de
surfaces,

Y = M.'dVj— jirxffjie'dVJi i — i !—,

,j. » r^^d'^ ,,. , rte — x^dy — (y — y')dx „.
Z = M«'dVj— j-!:=ffj«d«a j ^ ^ \.^ ^^ 0)

Gomme toutes les forces élémentaires qu'exerce Télément (Pa' sur ces
sm*faces passent par le point m' où il est situé, on voit que toutes ces
forces ont une résultante unique dont la direction passe par le môme
point m\ et dont les composantes parallèles aux axes sont X,Y,Z. Les
moments de cette résultante par rapport aux mômes axes sont donc

Yz: — Zy\ Zx—Xz\ Xy' — Yx\

Supposons maintenant qu'au lieu de ces forces on applique au
milieu de chacun des éléments ds du contour $ une force égale à

^idPJ — s — , et perpendiculaire au plan du secteur qui a ds pour

base, le point ni pour sommet, et dont l'aire est - rds sin 0. Les trois
composantes de celte force étant respectivement égales à

W* d«a -jjl, ixje d«c -^, jiffe d'à' —5-!:,

parallèles à celles qui passent par l'élément dV et dirigées dans le
môme sens, on aura les mêmes valeurs pour les trois forces X, Y, Z
qui tendent à mouvoir le circuit s; mais les sommes, des moments
de rotation qui en résulteront, au lieu d'être représentées par

(i) Il est inutile de remarquei^ que ces X, T, Z expriment des forces toutes
différentes de celles que nous avons déjà désignées par les mêmes lettres, lors-
qu'il s'agissait de l'action mutuelle de deux éléments de circuits voltaîques.

DES PHÉNOlciNES ÉLECTRO-DTNAMIQUES 113

le seront par

n semble d'abord que ce changement en doit apporter mi à l'action
exercée sur le contour «, mais il n'en est pas ainsi pourvu que ce
contour forme un circuit fermé, car si Ton retranche la première
somme de moments, relative à Taxe des x par exemple, de la qua-
trième qui se rapporte au môme axe, en faisant attention que x\y^'%
doivent être considérées comme des constantes dans ces intégrations,
on aura

W* d"a / j5 =

^^jV r[(*-0' + (y-yy]dx--(x~xir(x^Odx + (y^y-)dy] ^
. j. 'Ci** — (x— «')']dx — (x — x)\rAr— (« — x^d*]

IV» ^•J -^ =

.f{ ràx — (x — x')àr -\ .^jI** — *' ^i— *^ \

«'•''VL ■? j=M«dv^-- —y

en nommant ^|, ^„ et r^^r^^ les valeurs de x et de r aux deux extré-
mités de l'arc s pour lequel on calcule la valeur de la différence des
deux moments. Quand cet arc forme un circuit fermé, il est évident
que :r, = x^r, = ^d ^^ 9^ ^^^^ mjXLQ l'intégrale ainsi obtenue; on
a donc alors

On trouve par un calcul semblable que les moments relatifs aux
deux autres axes sont les mômes, pour un circuit fermé, soit qu'on
suppose que les directions des forces

H«t d«« ^3-^, ny» d^a — jj^, |Ay|tt dV — —

iS

114 THÉORIE MATHEMATIQUE

passent par rélément d'o^ ou par le milieu de ds; d'où il suit que
dans ces deux cas Faction qui a lieu sur le contour s est exactement
la même, ce contour étant invariablement lié aux deux surfaces 1res
voisines qu'il termine : Faction exercée ^ur ces deux surfaces par
l'élément dV se réduira donc, pourvu que le contour s soit une
courbe fermée, aux forces appliquées comme nous venons de le dire
à chacun des éléments de ce contour, celle qui agit sur l'élément ds
ayant pour valeur

,,, ,d«sine
j^e'dV— ^5— .

La force appliquée au milieu o de Télément ab = ds, qui est pro-
portionnelle à dssin divisé par le carré de la distance r de cet élé-
ment au point m\ et dont la direction est perpendiculaire au plan
qui passe par Télément ab et par le point m\ est précisément celle
qu'exerce, comme nous l'avons vu, sur l'élément ds l'extrémité d'un
solénoîde électro- dynamique indéfini lorsqu'on place cette extrémité
au point m'; c'est aussi celle qui est produite, d'après les dernières
expériences de M. Biot, par l'action mutuelle de l'élément abj et d'une
molécule magnétique située en m\

Mais en donnant à cette force la même valeur et la même direction
perpendiculaire au plan m'a6, qu'on doit lui donner lorsqu'on la dé-
termine, comme je l'ai fait, en remplaçant la molécule magnétique
par l'extrémité d'un solénoîde indéfini, M. Biot suppose que c'est en
m' que se trouve son point d'application, ou plutôt celui de la force
égale et opposée que l'élément ds exerce sur le point m\ car c'est à
cotte dernière que se rapportent les expériences qu'il a faites; au lieu
que la direction de la force exercée par cet élément sur l'extrémité
située en m' d'un solénoîde indéfini doit passer parle point m, comme
celle que le solénoîde exerce sur l'élément, quand on conclut cette
force de ma formule. Ainsi, en conservant les notations que nous
employons, et en représentant, pour abréger, par p le coeflBcient con-
stant ^(iLc'd*^', les sommes des moments, d'après la manière dont
M. Biot place les points d'application des forces, seraient pour les
trois axes et en changeant les signes, puisqu'il s'agit des forces qui
agissent sur le point m\

-4

DS8 PHÉNOlciNSS iLSCTB0*DTKAMIQUK8 115

-/

ytpM»— xiiMy

r»

_ p /-yVdçD^^^Vdx.

'J- H

tandis qu'en prenant les points d'application comme je les trouvei on
a pour ces sommes de moments

->.f

xu;*di — zti*df
yti'dy — xv^dx

Mais nous venons de voir que ces dernières valeurs sont respecti-
vement égales aux trois précédentes, quand la portion de conduc-
teur forme un circuit fermé; d'où il suit que dans ce cas, l'expérience
ne peut décider si le point d'application des forces est réellement au
point m' ou au milieu m de l'élément ds. Et comme, dans celles qu'a
faites l'habile physicien à qui l'on doit les expériences dont il est ici
question, c'était en effet un circuit complètement fermé, composé de
deux portions reclilignes formant un angle auquel il donnait succes-
sivement différentes valeurs, du reste du fil conducteur et de la pile,
qu'il faisait agir sur un petit aimant, pour déduire le rapport des forces
correspondantes aux diverses valeurs de cet angle des nomhres d'os-
cillations du petit aimant, pendant un temps donné, qui correspon-
daient à ces diverses valeurs ; dès lors, les résultats des expériences
faites de celte manière devant être identiquement les mêmes, soit
qu'on suppose le point d'application des forces en o ou en m\ ne peu-
vent servir à décider laquelle de ces deux suppositions doit être pré-
férée, cette question sur la situation du point d'application ne peut
être résolue que par d'autres considérations; c'est pourquoi je pense
qu'il est nécessaire, avant d'aller plus loin, de l'examiner avec quel-
ques détails.

C'est dans le Mémoire que je lus à la séance du 4 décembre 1830,
que je communiquai à l'Académie la formule fondamentale de toute
la théorie exposée dans ce Mémoire, formule qui donne la valeur de

116 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Taction mutuelle de deux fils conducteurs exprimée ainsi

ti''dsds'(sin 6 sin 6' cosco -|- k ces 8 cos 6')

r«

(1),

k étant un nombre constant, dont j'ai depuis déterminé la valeur, en
prouvant, par d'autres expériences, qu'il est égal à .

Quelque temps après, dans la séance du 18 du même mois, M. Biot
lut un Mémoire où il décrivait les expériences qu'il avait faites sur les
oscillations d'un petit aimant soumis à l'action d'un conducteur angu-
laire, et où il concluait de ces expériences, par l'erreur de calcul
exposée plus haut, que l'action de chaque élément du conducteur sur
ce qu'on appelle une molécule magnétique, est représentée par une
force perpendiculaire au plan mené par la molécule et par l'élément,
en raison inverse du carré de leur distance, et proportionnelle au
sinus de l'angle que la droite qui mesure cette distance forme avec la
direction de l'élément. On voit par les calculs précédents, que cette
force est précisément celle que donne ma formule pour l'action mu-
tuelle d'un élément de fil conducteur et de l'extrémité d'un solénoîde
électro-dynamique, et qu'elle est aussi celle qui résulte de la loi de
Coulomb, dans l'hypothèse des deux fluides magnétiques, lorsqu'on
cherche l'action qui a lieu entre une molécule magnétique et les élé-
ments du contour qui termine deux surfaces infiniment voisines,
recouvertes l'une de fluide austral, l'autre de fluide boréal, en sup-
posant les molécules de ces fluides distribués sur les deux surfaces
comme je viens de l'expliquer.

Dans ces deux manières de concevoir les choses, on trouve les
mêmes valeurs pour les trois composantes, parallèles à trois axes
pris à volonté, de la résultante de toutes les forces exercées par les
éléments du contour, et, pour chacune de ces forces, Faction est
opposée à la réaction suivant les droites qui joignent deux à deux les
points entre lesquels elles s'exercent ; il en est de même de la résul-
tante elle-même et de sa réaction. Mais dans le premier cas, le point
(fig. 36) représente l'extrémité du solénoîde auquel appartiennent
les points P, N, el o étant celui où est situé l'élément, les deux forces

(1) Journal de physique, t. XCI, p. 226-230.

DES PHÉNOMÈNES ÊLECTBO-DYNXMIQUES

117

I
I

égales et opposées og, oy passent par cet élément; dans le second
cas, au contraire, c'est en qu'il faut concevoir placé rélément du
contour des surfaces recouvertes de molécules magnétiques P, N, et
en o la molécule sur laquelle agissent ces surfaces, en sorte que les
deux forces égales et opposées passent par la molécule. Tant qu'on
admet qu'il ne peut y avoir d'action d'un point matériel sur un
autre, sans que celui ci réagisse sur le premier avec une force égale
et dirigée en sens contraire suivant une même droite, ce qui entraîne
la môme condition relativement k l'action et à la réaction de deux
systèmes de points invariablement liés, on n'a à choisir qu'entre ces
deux hypothèses. Et comme l'expérience de M. Faraday, sur la rota-
tion d'une portion de fil conducteur autour d'un aimant, est, ainsi
que je l'expliquerai tout à l'heure, en contradiction manifeste avec la
première, il ne devait plus y avoir de difficulté à regarder, avec moi,
comme seule admissible celle où l'on fait passer, par le milieu de
l'élément, la droite suivant laquelle sont dirigées les deux forces.
Uais plusieurs physiciens imaginèrent alors de supposer que, dans
l'action mutuelle d'un élément AB (flg. 39) de fil conducteur et d'une
molécule magnétique M, l'action et la réaction, quoique égales et
dirigées en sens contraire, ne l'étaient pas suivant une même droite,
mais suivant deux droites parallèles, en sorte que la molécule M,
agissant sur l'élément AB, tendrait à le mouvoir suivant la droite OR
menée par le milieu de l'élément AB perpendiculairement au plan
HAB, et que l'action qu'exercerait réciproquement cet élément sur
la molécule M tendrait à la porter, avec une force égale, dans la direc-
tion MS parallèle à OR.

11 résulterait de cette singulière hypothèse, si elle était vraie, qu'il
serait mathfmati (uement impossible de ramener jamais les phéno-
mènes produits par l'action mutuelle d'un fll conducteur et d'un
aimant h des forces agissant, comme toutes celles dont on a reconnu
jusqu'à présent l'existence dans la nature, de manière que l'action et
U réaction soient égales et opposées dans la direction des droites qui
joignent deux h deux les points entre lesquels elles s'exercent; car,
toutes les fois que cette condition est remplie pour des forces élémen-
taires quelconques, elle l'est évidemment, d'après le principe même
de la composition des forces, pour leurs résultantes. Aussi, les physi-
ciens qui ont adopté cette opinion sont-ils forcés d'admettre une
action réellement élémeataire, consistant en deux forces égales diri-

118 THÉORIE MATHÉMATIQUE

gées en sens contraires suivant deux droites parallèles, et formant
ainsi un couple primitif, qui ne peut être ramené à des forces pour
lesquelles Faction et la réaction seraient opposées suivant une même
droite. J'ai toujours regardé cette hypothèse des couples primitifs
comme absolument contraire aux premières lois de la mécanique,
parmi lesquelles on doit compter, avec Newton, l'égalité de l'action
et de la réaction agissant en sens contraires suivant la môme droite;
et j'ai ramené les phénomènes qu'on observe quand un fil conduc-
teur et un aimant agissent l'un sur l'autre, comme tous les autres
phénomènes électro-dynamiques, à une action entre deux éléments
de courants électriques, d'où résultent deux forces égales et oppo-
sées, dirigées toutes deux suivant la droite qui joint les deux élé-
ments. Ce premier caractère des autres forces observées dans la
nature se trouve ainsi justifié; et quant à celui qui consiste en ce
que les forces que l'on considère comme réellement élémentaires
soient en outre simplement fonctions des distances des points entre
lesquels elles s'exercent, rien ne s'oppose, ainsi que je l'ai déjà
remarqué, à ce que la force, dont j'ai déterminé la valeur par des
expériences précises, ne se ramène un jour à des forces élémentaires
qui satisfassent aussi à cette seconde condition, pourvu qu'on fasse
entrer dans le calcul le mouvement continuel, dans les fils conduc-
teurs, des molécules électriques auxquelles ces dernières forces se-
raient inhérentes. La considération de ces mouvements introduisant
nécessairement dans la valeur de la force qui en résulterait entre
deux éléments, outre leur distance, les angles qui déterminent les
directions suivant lesquelles se meuvent les molécules électriques,
et qui dépendent des directions mêmes de ces éléments; ce sont pré-
cisément ces angles, ou, ce qui revient au même, les différentielles
de la distance des deux éléments considérée comme une fonction des
arcs formés par les fils conducteurs, qui entrent seuls avec cette dis-
tance dans ma formule. Il ne faut pas oublier que, dans la manière
de concevoir les choses qui me paraît seule admissible, les deux
forces égales et opposées OR et OT sont des résultantes d'une infinité
de forces égales et opposées deux à deux; OR est celle des forces
On', Op\ etc., qui passent toutes par le point 0, en sorte que leur
résultante OR y passe aussi, mais que OT est la résultante des forces
Nn, Vp^ etc., exercées par l'élément ÂB sur des points tels que N,
P, etc., invariablement liés à l'extrémité M du solénoîde électro-

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 119

dynamique par laquelle je suppose remplacé ce qu'un nomme une
molécule magnélique. Ces points sont tros près de M quand ce solé-
DOlde est 1res petit, mais ils en sont toujours distirc's, et c'est pour-
quoi leur résultante OT ne passe pas par !e point M, mais par le point
vers lequel toutes les forces Nh, ï'p, etc., sont dirigées.

On voit, par tout ce que nous venons de dire, qu'en conservant aux
deux forces égales qui résultent de l'action mutuelle d'un fil conduc-
teur et d'un aimant, et qui agissent l'une sur le fil dont l'élément AB
fait parUe, et l'autre sur l'aimant auquel appartient le point M, la
même valeur, et la même direction perpendiculaire au plan MA.B, on
peut faire trois hypothèses sur le point d'application de ces forces :
dans la première, on suppose que les deux forces passent par le point
M; dans la seconde, qui est celle qui résulte de ma formule, les deux
forces passent par le milieu de l'élément; dans la troisième, où les
forces sont OR et MS, celle qui agit sur l'élément est appliquée au
point 0, et l'autre au point M. Ces trois hypothèses sont entièrement
d'accord : 1' & Végard de la valeur de ces forces qui sont également,
dans tous les trois, en raison inverse du carré de la dislance MO, et
en raison directe du sinus de l'angle MOB que la droite CM qui me-
sure cette distance fait avec l'élément AB; 2* à l'égard de la direction
des mêmes furces, toujours perpendiculaire au plan MAB qui passe
par la molécule el par la direction de l'élément; mais à l'égard de
leurs points d'application, ils sont placés différemment pour les deux
forces, dans les deux premières hypothèses, et il y a identité entre la
première et la troisième seulement pour les forces qui agissent sur
l'aimant, et entre la seconde et la troisième seulement pour les forces
qui agissent sur le conducteur.

En vertu de Tidentilé des valeurs et des directions des forces qui a
lieu dans les trois hypothèses, les composantes de leurs résultantes,
prises parallèlement il tnti" axes quelconques, seront les mêmes; mais
les moments de rotation, qui dépendent en outre des points d'appli-
cation de ces forces, ne seront, en général, les mêmes, h l'égard des
forces qui tendent à mouvoir l'aimanl, que pour la première et la
troisième, et, à l'égard des forces qui agissent sur le âl conducteur,
que pour la seconde et la troisième.

Nous venons de voir que dans le cas où il est question de l'action
d'une portion de âl conducteur, formant un circuit fermé, les valeurs
des moments sont les mêmes, soit qu'on prenne, pour chaque élé-

120 THÉORIE MATHÉMATIQUE

meot, le point d'application des forces en ou en M ; dans ce cas,
donc, il y aura, en outre, identité pour les valeurs des moments dans
les trois hypothèses.

Le mouvement d'un corps, dont toutes les parties sont invariable-
ment liées entre elles, ne peut dépendre que des trois composantes
parallèles à trois axes pris à volonté, et des trois moments autour des
mêmes axes ; d'où il suit qu'il y a identité complète dans les trois hy-
pothèses pour le mouvement produit, soit dans l'aimant, soit dans le
conducteur, lorsque celui-ci forme un circuit solide et fermé. C'est
pourquoi l'impossibilité d'un mouvement indéfiniment accéléré, étant
en général une suite nécessaire à la première hypothèse, puisque les
forces élémentaires y sont simplement fonctions des distances des
points entre lesquels elles s'exercent, il s'ensuit évidemment que
ce mouvement est également impossible, dans les deux autres hy-
pothèses, seulement lorsque le conducteur forme un circuit solide et
fermé.

Il est aisé de voir, au reste, que la démonstration ainsi obtenue de
l'impossibilité de produire un mouvement indéfiniment accéléré par
l'action mutuelle d'un circuit électrique solide et fermé, et d'un
aimant, n'est pas seulement une suite nécessaire de ma théorie, mais
qu'elle résulte aussi, dans l'hypothèse des couples primitifs, de la
seule valeur donnée par M. Biot pour la force perpendiculaire au plan
MAB, ainsi que je l'ai démontré directement, avec tous les détails
qu'on peut désirer, dans une lettre que j'ai écrite sur ce sujet à M. le
docteur Gherardi. Si donc on avait pu produire un mouvement accé-
léré en faisant agir sur un aimant un conducteur formant un circuit
soUde et fermé, ce n'aurait pas été seulement ma formule qui aurait
été en défaut, mais encore celle qu*a donnée M. Biot, que toutes les
observations faites depuis ont complètement démontrée, et dont les
physiciens qui admettent l'hypothèse des couples primitifs n'ont ja-
mais contesté l'exactitude.

Lorsqu'on rend mobile une portion du circuit volts^que, on doit
distinguer trois cas : celui où elle forme un circuit presque fermé (1) ;

(i) Le circuit formé par une portion mobile du fil conducteur n'est jamais
rigoureusement fermé, puisqu'il faut bien que ces deux extrémités commu-
niquent séparément avec celles de la pile ; mais il aisé de rendre Fintervalie
qui les sépare assex petit pour qu'on puisse le considérer comme s'il était exac-
tement fermé.

IlES l'HENOMÈNES ELECTRO-DYNAMIQUES

121

celui où ne pouvant que tourner autour d'un axe, elle a ses deux
extrémilés dans cet axe; celui où la portion mobile ne forme pas uo
circuit fermé, et où une de ses extrémilés au moins parcourt un cer-
tain espace h mesure qu'elle se meut : ce dernier cas comprenant celui
où celte portion est formée par un liquida conducteur.

Nous venons de voir que, dans le premier de ces trois cas, le mou-
vement que prend la porlion mobile par l'action d'un aimant, est
identiquement le même dans les trois hypothèses, et ne peut jamais
s'accélérer indéQniment, mais tend seulement à amener la portion
mobile dans une position déterminée où elle s'arrête eu équilibre
après avoir quelque temps oscillé autour de cette position en vertu de
la vitesse acquise.

Il en est de même du second, qui ne diffère du premier qu'en appa-
repca; car si l'on ajoutait dans l'axe, un courant, qui rejoignit les
deux extrémités de la portion mobile, on aurait un circuit fermé sans
avoir rien changé au moment de rotation autour de cet axe, puisque
les moments des forces exercées sur le courant ajouté seraient évi-
demment nuis; d'où il suit que te mouvement de la porlion mobile
serait identiquement le même que celui du circuit fermé ainsi obtenu.

Mais lorsque la portion mobile ne forme pas un circuit fermé, et
que ses deux extrémilés ne sont pas dans un axe autour duquel elle
sérail assujettie à tourner, les moments produits par l'action, soit
d'une molécule magnétique, soit de l'extrémité d'un solénoide indé-
fini, ne sont plus les mêmes que dans la seconde et la troisième hypo-
thèse, et ont une valeur différente dans la première. En prenant pour
l'axe des x la droite autour de laquelle on suppose la porlion mobile
liée de mauière h ne pouvoir que tourner autour de cette droile, et en
conservant les dénominations que nous avons employées dans les cal-
culs précédents, nous en conclurons que la valeur du moment de
rotatiOD produit par les forces qui agissent sur la portion mobile,
sérail

dans la première hypothèse, et
dans les deux autres.

122 THÉORIE MATHÉMATIQUE

C'est à cette différence dans les valeurs du moment de rotation,
qu'on doit la possibilité de prouver par l'expérience que la première
hypothèse est en contradiction avec les faits. Car si Ton considère un
aimant comme réduit à deux molécules magnétiques d'une force
comme infinie placées à ses deux pôles, et qu'après avoir mis dans
une situation verticale la droite qui les joint, on assujettisse une por-
tion de fil conducteur à tourner autour de cette droite prise pour l'axe
des Xy alors les deux moments de rotation relatifs aux deux pôles seront
exprimés par la formule précédente en y remplaçant a!^ y\ z' par xj,
y'u ^'i pour un des pôles, et par a:',, yi, z'^ pour l'autre, en ayant soin
de changer de signe l'un de ces moments, le premier, par exemple,
puisque les deux pôles sont nécessairement de natures opposées, l'un
austral et l'autre boréal.

Quand les deux pôles sont, comme nous le supposons ici, situés sur
Taxe des a:, on a y\ = o, yi = o, zi = o, zi = o, et les deux mo-
ments de rotation autour de l'axe des x deviennent nuls dans la pre-
mière hypothèse : ce qu'il était facile de prévoir, puisque dans cette
hypothèse les directions de toutes les forces appliquées au conducteur
mobile passent par un des deux pôles et y rencontrent l'axe fixe, ce
qui rend nécessairement nuls les moments de ces forces.

Dans les deux autres hypothèses, au contraire, où les directions des
forces passent par les milieux des éléments, les parties des moments
égales à ceux de la première hypothèse sont les seules qui s'éva-
nouissent; et lorsque après les avoir supprimées, on réunit ce qui
reste de chaque moment, on a

V »v n^ >-t,i n^ /'

en désignant par r,^; r,^; r^yy r^^^ les distances des points dont les
abcisses sont respectivement x,, x\\ Xj, x\\ x,, x\\ x,, x\. Il est
aisé de voir que les quatre termes de la quantité qui est comprise
entre les parenthèses dans cette expression, sont précisément les
cosinus des angles que forment avec l'axe des x les droites qui me-
surent les distances r^\ r^y^ r^y r^ : ce qui rend la valeur que nous
venons de trouver pour le moment produit par l'action des deux pôles
sur le conducteur mobile, identique à celle que nous avons déjà ob-
tenue, pour celui qui résulte de l'action sur le môme conducteur d'un

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTHO-D YN AMIQl! ES

123

solénoide dont les exlrémilés seraient situées à ces pôles, et doDt les
couraols électriques auraient une intensité i et des distances respec-
tives telles qu'on eût

Xit" __

I

•'' étant l'intensité du courant du conducteur.

I^ moment de roialion étant toujours nul dans la première hypo-
thèse, la portion mobile du circuit voltaique ne tournerait jamais par
l'action d'un aimant situé, comme nous venons de le dire, autour de
Taxe de cet aimant; dans les deux autres hypothèses, elle doit au coa-
troire tourner en vertu du moment de rotation dont nous venons de
calculer la valeur, toujours la même, dans ces deux hypothèses.
M. Faraday, qui a le premier protluit ce mouvement, conséquence
nécessaire des lois que j'avais établies sur l'action mutuelle des con-
ducteurs voltaiques, et de la manière dont j'avais considéré les aimants
comme des assemblages de courants électriques, a démontré par là
que la direction de l'action exercée par le pôle d'un aimant sur un
élément de fil conducteur passe en effet par le milieu de l'élément,
conformément à l'explication que j'ai donnée de cette action, et non
par le pôle de l'aimant. Dès lors l'ensemble des phénomènes éleclro-
dynamique ne peut plus être expliqué par la substitution de l'action
des molécules magnétiques australes et boréales, répandues de la
manière que je viens de l'expliquer sur deux surfaces très voisines
et terminées par les Ûls conducteurs du circuit %'oltaique, à la place
de l'action, exprimée par ma formule, qu'exercent les courants de ces
fils. Cette substitution ne peut avoir lieu que quand il s'a^rit de l'action
des circuits solides et fermés, et sa principale utilité est de démontrer
l'impossibilité d'un mouvement indéflniment accéléré, soit par l'ac-
tion mutuelle de deux conducteurs solides et fermés, soit par celle
d'un conducteur de ce genre et d'un aimant.

Lorsque l'aimant est mobile, il faut aussi distinguer trois cas ; celui
où toutes les parties du circuit voltaïque qui agit sur cet aimant sont
immobiles; celui où quelques parties de ce circuit sont mobiles,
mais sans liaison avec l'aimant, ces portions pouvant d'ailleurs
être formées par un fil métallique, ou par un liquide conducteur;
enfio celui ou une partie du courant passe par l'aimaot, ou par une
portion de conducteur liée à l'aimant.

124 THEORIE MATHÉMATIQUE

Dans le premier cas, le circuit total composé des conducteurs et de
la pile, est nécessairement fermé; et puisque toutes ses parties sont
immobiles, les trois sommes des moments des forces exercées sur les
points de l'aimant considérés, soit comme des molécules de fluides
austral ou boréal, soit comme des extrémités de solénoïdes électro-
dynamiques, sont identiques dans les trois hypothèses, ainsi que
le sont les résultantes mêmes de ces forces; en sorte que les
mouvements imprimés à l'aimant, et toutes les circonstances de ces
mouvements, sont précisément les mêmes, quelle que soit celle de
ces hypothèses qu'on adopte. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour
la durée des oscillations faites par l'aimant, sous l'influence de ce
circuit fermé et immobile ; et c'est pour cela que les dernières expé-
riences de M. Biot, d'où il résulte que la force qui produit ces oscilla-
tions est proportionnelle à la tangente du quart de l'angle que forment
les deux branches du conducteur qu'il emploie, s'accordent aussi bien
avec cette conséquence de ma théorie que les directions des forces
qui agissent sur l'aimant passent par les milieux des éléments du fil
conducteur, qu'avec l'hypothèse qu'il a adoptée et dans laquelle il
admet que ces directions passent par les points de l'aimant où il
place les molécules magnétiques.

L'identité qui a lieu dans ces cas entre les trois hypothèses, montre
en même temps l'impossibilité que le mouvement de l'aimant s'accé-
lère indéflniment, et prouve que l'action du circuit voitsûquene peut
que tendre à l'amener dans une position déterminée d'équilibre.

Il semble, au premier coup d'œil, que la même impossibilité devrait
avoir lieu dans le second cas, ce qui est contraire à l'expérience, du
moins quand une partie du circuit est formée d'un liquide. Il est évi-
dent, en effet, que la mobilité d'une portion du conducteur n'em-
pêche pas que cette portion n'agisse à chaque instant comme si elle
était fixe dans la position qu'elle occupe à cet instant; et l'on ne voit
pas d'abord comment cette mobilité peut changer tellement les con-
ditions du mouvement de l'aimant, qu'il devienne susceptible d'une
accélération indéfinie dont l'impossibilité est démontrée quand toutes
les parties du circuit voltaique sont immobiles.

Mais dès qu'on examine avec quelque attention ce qui doit arriver,
d'après les lois de l'action mutuelle d'un corps conducteur et d'un
aimant, quand le conducteur est liquide, qu'un cylindre aimanté ver-
tical flotte dans ce liquide, et que la sm*face du cylindre est recou-

I

I

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 135

verta d'un vernis isolant afin que le courant ne puisse pas le traverser,
ce qui dounerait lieu au troisième cas, on reconnall bientôt comment
il résulte de la moLiililé de la portion liquide du circuit voltaique que
l'aimaot flottant acquière un mouvement qui s'accélère indéflDiment :
il ne faut pour cela qu'appliquer a ce cas l'explication que j'ai don-
Dée,dans les Amiales de chimie et de physique (tome XX, pag. 68-70),
du même mouvement, quand on suppose que l'aimant n'étant pas
verni, les courants du liquide où il flotte le traversent librement.

Eu effet,. cette explication étaot fondée sur ce que les portions de
courants qui se trouvent daus l'aiiuant ne peuvent avoir sur lui
aucune action, et que celles qui sont dans le liquide hors de l'aimant
agissent toutes pour accélérer son mouvement toujours dans le même
sens, il s'ensuit évidemment que tout ce qui arrive daos ce cas doit
encore arriver quand la substance isolante, dont on revêt l'aimant,
supprime seulement precisémeut ces portions de courants qui n'a-
vaient aucune action, et qu'elle laisse subsister et agir, toujours de la
même manière, celles qui, étant hors de l'aimant, tendaient toutes h.
accélérer son mouveme-it constamment dans le même sens. Pour
qu'on puisse mieux juger qu'il n'y a, en effet, rien k changer à l'ex-
plicalion dont je viens de parler, je crois devoir la rappeler ici, en
l'apptiquantau cas où l'aimant est recouvert d'une substance isolante.
Je supposerai, pour plus de simplicité dans cette explication, que l'on
substitue à l'aimiuit un solénuule <■ eiiro dynamique, dont Ips extré-
mitt^s soient aux pôles de cet aimant, quoique, d'aprôs ma théorie, il
dût être considéré comme un faisceau de sulénoldes. Celte supposi-
tion ne change pas les effets produits, parce que les courants du mer-
cure agissant do la même manière et dans le m^me sens sur tous les
s'iténoides du faisceau, ils lui impriment un mouvement semblable
k celui qu'ils donneraient à un seul de ces soléooides, et l'on peut
toujours supposer que les courants électriques de celui-ci aient assez
d'intensité pour que son mouvement soit sensiblement le même que
celui du faisceau.

Soit donc ETFT (flg. 40) la sectiori horizontale d'un vase de verre
plein de mercure en contact avec un cercle de cuivre qui en garnît le
bord intérieur et qui communique avec un des rhéopbores, le rhéo-
phore négatif par exemple, tandis que l'on y fait plonger en P le
rhéophore positif; alors il se formo dans le mercure des courants
qui vont du centre P du cercle ETFT à sa circonférence.

126 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Représentons la section horizontale du solénoîde par le petit cerde
ttft\ dont le centre est en A et dont la circonférence ttp! est un des
courants électriques dont il est composé : en supposant que ce courant
se meuve dans le sens etft\ il sera attiré par les courants du mercure
tels que PUT, qui se trouvent, dans la figure, à droite de etft\ parce
que la demi-circonférence e//, où le courant va dans le même sens, en
est plus rapprochée que ft*e où il va en sens contraire. Soit AS cette
attraction égale à la différence des forces exercées par les courants
PUT sur les deux demi -circonférences, et qui passe nécessairement
par leur centre A, puisqu'elle résulte des forces que ces courants
exercent sur tous les éléments de la circonférence etfV qui leur sont
perpendiculaires, et sont, par conséquent, dirigées suivant les rayons
de cette circonférence. Le même courant etfV du solénoîde est, au
contraire, repoussé par les courants qui, comme PUT, sont, dans la
figure, à gauche de ce courant etft\ parce quMls sont en sens contraire
dans la demi-circonférence ft'e la plus voisine de PUT. Soit AS' la
répulsion qui résulte de la différence des actions exercées par les cou-
rants PUT sur les deux demi-circonférences //'c, ttf^ elle sera égale à
AS, et fera, avec le rayon PAF, Tangle FAS' = PAS, puisque tout est
égal des deux côtés de ce rayon : la résultante AR de ces deux forces
lui sera donc perpendiculaire; et comme elle passera par le centre A,
ainsi que ses deux composantes AS, AS', le solénoîde n'aura aucune
tendance à tourner autour de son axe, comme on Tobserve en effet à
regard de l'aimant flottant que représente ce solénoîde ; mais il tiendra,
à chaque instant, à se mouvoir suivant la perpendiculaire AR au
rayon PAF, et comme , lorsqu'on fait cette expérience avec un aimant
flottant, la résistance du mercure détruit à chaque instant la vitesse
acquise, on voit cet aimant décrire la courbe perpendiculaire à toutes
les droites qui passent comme PAF par le point P, c'est-à-dire !a cir-
conférence ABC dont ce point est le centre.

Cette belle expérience, due à M. Faraday, a été expliquée par les
physiciens qui n'admettent pas ma théorie, en attribuant le mouve-
ment de l'aimant au rhéophore plongé en P dans le mercure , auquel
on donne ordinairement une direction perpendiculaire à la surface du
mercure. Il est vrai que, dans ce cas, le courant de ce rhéophore tend
à porter l'aimant dans le sens où il se meut réellement; mais il est
aisé de s'assurer, par des expériences comparatives, que c'est avec
une force beaucoup trop faible pour vaincre la résistance du mercure.

DttS PHBNOMJbNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 127

et produirei malgré cette résistancei le mouvement qu'on observe.
J*étais d'abord surpris de voir que ces physiciens ne tenaient pas
compte de l'action que les courants du mercure doivent exercer dans
leur propre théorie, ma surprise a augmenté quand j'en ai reconnu la
cause dans une erreur manifeste qui se trouve énoncée en ces termes
dans Touvrage déjà ci lé (1) : « L'action transversale de ce fil fictif (le
c courant électrique qui est dans le memure) sur le magnétisme aus-
c tral de À (fig. 43), tendra donc aussi constamment à pousser À de la
c droite vers la gauche d'un observateur qui aurait la tète en C, et les
c pieds en Z. Mais une tendance contraire s'exercera sur le pôle B, et

< même avec une énergie égale, si la ligne horizontale CFFZ se trouve
c à la hauteur précise du centre du barreau ; de sorte qu'en somme,

< il n'en résultera aucun mouvement de translation. Ce sera donc
c alors la seule force exercée par GF qui déterminera la rotation du
€ barreau AB. > Ck)mment l'auteur n'a-t-il pas vu que les actions que
le fil fictifs placé comme il le dit, exerce sur les deux pôles du barreau
âB, tendent à le porter dans le même sens, et qu'elles s'ajoutent au
lieu de se détruire, puisque étant d'espèces contraires, ces pôles se
trouvent des deux côtés opposés du fil ?

Il est important de remarquer à ce sujet, que si des portions de cou-
rants faisant partie de ceux du mercure, pouvaient se trouver dans
l'intérieur du petit cercle etft' et agir sur lui, elles tendraient à le faire
tourner autour du point P en sens contraire, et avec une force qui, au
au lieu d'être la différence des actions exercées sur les deux demi-
drconférences etf^ ft'e^ en est la somme, parce que si uv représente
une de ces portions, il est évident qu'elle attirera l'arc utv et repous-
sera l'arc vt'u^ d'où résultent deux forces qui conspirent à mouvoir
etft' dans la direction ÀZ opposée à ÀR. Celte circonstance ne peut
évidemment avoir lieu avec l'aimant flottant qui occupe tout l'inté-
rieur du petit cercle etft\ parce qu'il en exclut les courants quand il
est revêtu de matière isolante, et parce que, dans le cas contraire, les
portions de courants comprises dans ce cercle, ayant lieu dans des
particules de Taimant invariablement liées à celles sur lesquelles elles
a^ssent, l'action qu'elles produisent est détruite par une réaction

(I) Préci» ilimerUairê de ph§Hque expérimentale ^ troiiième édition, t. Il,

m. mm9

128 THÉORIE MATHÉMATIQUE

égale et opposée; en sorte quHl ne reste, dans les deux cas, que les
forces exercées par les courants du mercure, qui tendent toutes à
mouvoir l'aimant suivant ÀR. C'est uniquement pour cela qu'il tourne
autour du point P dans ce sens, comme on s'en assure en remplaçant
Taimant par un conducteur mobile xzetfi'sy {ûg, 41), formé d'un fil
de cuivre assez fin, revêtu de soie, dont la partie intermédiaire etft' est
pliée en cercle, et dont les deux portions extrêmes, tordues ensemble
de e en z^ vont, l'une ezx se rendre en x dans une coupe à mercure
communiquant à un des rhéophores , et Tautre t'sy plonger en P
(fig. 40) dans le mercure qui communique, comme nous Pavons dit,
avec l'autre rhéophore : on suspend ce conducteur mobile de manière
que le cercle et fi' (Qg. 41) soit très près de la surface du mercure, et
l'on voit qu'il reste immobile, en vertu de l'équilibre qui s'établit
entre les forces exercées par les portions de courants comprises dans
le cercle eifi\ et celles qui le sont par les courants et portions de cou-
rants extérieurs à ce cercle. Mais dès qu'on supprime les portions de
courants comprises dans Tespace eift' (Qg. 40), en enfonçant dans le
mercure au-dessous du cercle eift' (fig. 41) un cylindre de matière
isolante dont la base lui soit égale pour imiter ce qui arrive à l'aimant
flottant, on le voit se mouvoir, comme cet aimant, dans le sens AR.
Lorsqu'on laisse le cylindre de matière isolante où était d'abord le
cercle etfi\ celui-ci ne tourne pas indéfiniment comme l'aimant, mais
va s'arrêter, après quelques oscillations, dans une position d'équi-
libre ; différence qui vient de ce que l'aimant flottant laisse, derrière
lui, se remplir de mercure la place qu'il occupait d'abord, et chasse le
mercure successivement des diverses places où il se trouve transporté.
C'est ce changement dans la situation d'une partie du mercure qui en
entraîne un dans les courants électriques, et fait que, quoique le cir-
cuit voltaique total soit fermé, le mouvement continu de l'aimant,
qui est impossible par l'action d'un circuit solide et fermé, ne laisse
pas d'avoir lieu dans ce cas où le circuit fermé change de forme par
le mouvement même de l'aimant. Pour produire ce mouvement en
employant, au lieu de l'aimant, le conducteur mobile que nous venons
de décrire, il faut, lorsqu'on a constaté qu'il ne se meut que quand on
supprime, par le cylindre de matière isolante, les portions de courants
intérieurs au petit cercle eifi\ et qu'eu laissant ce cylindre à la môme
place, il s'arrête dans une position déterminée d'éqmlibre après avoir
oscillé autour d'elle, imiter ce qui a lieu lorsqu'il s'agit d'un aimant

DBS PHÉNOMàNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 129

flottant, en faisant glisser le cylindre de matière isolante sur le fond
du vase, de manière qu'il soit toujours sous le cercle ttft* (Qg. 41), et
que son centre corresponde toujours verticalement à celui de ce
cercle, le conducteur mobile se met alors à tourner indéfiniment
autour du point P (fig. 40) comme l'aimant.

C'est, en général, en substituant aux aimants des conducteurs
mobiles plies en cercle, qu'on peut se faire une idée juste des causes
des divers mouvements des aimants, lorsqu'on veut analyser ces
mouvements par l'expérience sans recourir au calcul, parce que cette
substitution donne le moyen d'en faire varier les circonstances de
différentes manières, qu'il serait le plus souvent impossible d'obtenir
avec des aimants, et qui peuvent seules éclaircir les difficultés que
présentent des phénomènes souvent si compliqués. C'est ainsi, par
exemple, que dans ce que nous venons de dire, il est impossible,
avec un aimant, de vérifier ce résultat de la théorie, que si des por-
tions des courants de mercure pouvaient traverser l'aimant, et agir
malgré cela sur lui en conservant l'intensité et la direction qu'ils ont
dans le mercure lorsqu'on enlève l'aimant, celui-ci ne tournerait pas
autour du point P, et que la vérification en devient facile quand on lui
substitue, comme nous venons de le dire, le conducteur mobile repré-
senté ici (fig. 41).

L'identité d'action qu'on observe constamment entre les mouve-
ments d'un conducteur mobile et ceux d'un aimant, toutes les fois
qu'ils se trouvent dans les mêmes circonstances, ne permet pas de
douter, quand on a fait l'expérience précédente, que l'aimant ne rest&t
aussi immobile, lorsqu'il est traversé par les portions de courants inté-
rieures au cercle tift ^ si ces portions pouvaient agir sur lui ; et,
comme on voit, au contraire, que quand il n'est pas revêtu d'une
substance isolante, et que les courants le traversent librement, il se
meut précisément comme quand il l'est et qu'aucunes portions de
courants ne peuvent plus pénétrer dans l'intérieur de cet aimant, on
a une preuve directe du principe sur lequel repose une partie des
explications que j'ai données, savoir : que les portions de courants
qui traversent l'aimant n'agissent en aucune manière sur lui, parce
que les forces qui résulteraient de leur action sur les courants pro-
pres à l'aimant, ou sur ce qu'on appelle des molécules magnétiques,
ayant lieu entre les particules d'un même corps solide, sont nécessai-
rement détruites par une réaction égale et opposée.

17

130 THÉORIE MATHÉMATIQUE

JTavoue que cette preuve expérimentale d'un principe qui n'est
qu'une suite nécessaire des premières lois de la mécanique, me
paraît complètement inutile, comme elle Taurait paru à tous les phy-
siciens qui ont considéré ce principe comme un des fondements de
la science. Je n'en aurais pas fait la remarque, si Ton n'avait pas
supposé que l'action mutuelle d'un élément de fil conducteur et d'une
molécule magnétique, consistait en un couple primitif composé de
deux forces égales et parallèles sans être directement opposées, en
vertu duquel une portion de courant qui a lieu dans un aimant
pourrait le mouvoir ; supposition contraire au principe dont il est ici
question, et qui se trouve démentie par l'expérience précédente
d'après laquelle il n'y a pas d'action exercée sur l'aimant par les por-
tions de courants qui le traversent quand il n'est pas revêtu d'une
enveloppe isolante, puisque le mouvement qui a lieu dans ce cas reste
le môme lorsqu'on empêche les courants de traverse rl'aimant, en
le renfermant dans cette enveloppe.

C'est de ce principe qu'il faut partir pour voir quels sont les phé-
nomènes que doit présenter un aimant mobile sous l'influence du
courant voltaïque, dans le troisième cas qui nous reste à considérer,
celui où une portion du courant passe par l'aimant, ou par une por-
tion de fil conducteur invariablement liée avec lui. Nous venons de
voir que lorsqu'il s'agit du mouvement de révolution d'un aimant
autour d'un fil conducteur, le mouvement doit être le môme, et l'est
en efTet, ^it que le courant traverse ou ne traverse pas l'aimant Mais
il n'en est pas ainsi quand il est question du mouvement de rotation
continue d'un aimant autour de la droite qui en joint les deux pôles.

J'ai démontré et par la théorie et par les expériences variées de
diverses manières dont les résultats ont toujours confirmé ceux de la
théorie, que la possibilité ou l'impossibilité de ce mouvement tient
uniquement à ce qu'une portion de circuit voltaïque total soit dans
tous ses points séparé de l'aimant, ou à ce qu'il passe, soit dans cet
aimant, soit dans une portion de conducteur liée invariablement avec
lui. En effet, dans le premier cas, l'ensemble de la pile et des fils
conducteurs forme un circuit toujours fermé, et dont toutes les par-
ties agissent de môme sur l'aimant, soit qu'elles soient fixes ou
mobiles ; dans ce dernier cas, elles exercent, à chaque instant, préci-
sément les mômes forces que si elles étaient fixes dans la position où
elles se trouvent à cet instant. Or nous avons démontré, d'abord

DBS PHÉNOMÈNES ÉLBGTRO-DTNÀMIQUXS 131

synthétiquement à l'aide des considérations que nous ont fournies les
figures 30 et 31 , ensuite en calculant directement les moments de
rotation, qu'un circuit fermé ne peut imprimer à un aimant un mou-
vement continu autour de la droite qui joint ses deux pôles, soit qu'on
les considère, conformément à ma théorie, comme les deux extré-
mités d'un solénoîde équivalent à l'aimant, ou comme deux molé-
cules magnétiques dont l'intensité soit assez grande pour que les
actions exercées restent les mêmes quand on les substitue à toutes
celles dont on regarde l'aimant comme composé dans l'hypothèse des
deux fluides. L'impossibilité du mouvement de rotation de l'aimant
autour de son axe, tant que le circuit total fermé en est partout séparé,
se trouve ainsi complètement démontrée, non seulement en appli-
quant ma formule aux courants du solénoide substitué à l'aimant,
mais aussi en partant de la considération d'une force qui aurait lieu
entre un élément de fil conducteur et une molécule magnétique per-
pendiculairement au plan qui passe par cette molécule et par la
direction de l'élément, en raison inverse du carré de la distance, et
qui serait proportionnelle au sinus de l'angle compris entre la droite
qui mesure cette distance et la direction de l'élément. Hais lorsqu'on
suppose, dans ce dernier cas, que la force passe par le milieu de l'élé-
ment, soit qu'elle agisse sur lui ou réagisse sur la molécule magné-
tique, ainsi que cela a lieu, d'après ma théorie, à l'égard du solénoide,
le même mouvement devient possible dès qu'une portion du courant
passe par l'aimant, ou par une portion de conducteur invariablement
liée avec lui ; parce que toutes les actions exercées par cette portion
sur les particules étant détruites par les réactions égales et opposées
qu'exercent sur elles ces mêmes particules, il ne reste que les actions
exercées par le reste du circuit total qui n'est plus fermé, et peut par
conséquent faire tourner l'aimant

Pour bien concevoir tout ce qui rapporte à cette sorte du mouve-
ment, concevons que la tige TYUS (PI. I, fig. 13), qui supporte la
petite coupe S dans laquelle plonge la pointe o du conducteur mobile
ooA, soit pliée en V et U comme on le voit dans la figure, de manière
à laisser libre la portion VU de la droite TS prise pour lae de rota-
tion, afin qu'on puisse suspendre Faimant cylindrique GH, par un fil
très fin ZK, au crochet K attaché en U à cette tige, et que le conduc-
teur mobile oab maintenu dans la situation où on le voit dans la figure
par le contre-poids c, soit terminé en b par une lame de cuivre be/^

132 THÉORIE MATHÉMATIQUE

qui plonge dans Teau acidulée dont on remplit le vase MN, a&n que
ce conducteur communique avec le rhéophore jdP plongé dans le mer-
cure de la coupe P, tandis que Tautre rhéophore rR est en communi-
cation avec la tige TVUS par le mercure qu'on met dans la coupe R,
et que la pile pr ferme le circuit total.

A rinstant où Ton établit le courant dans cet appareil, on voit le
conducteur mobile tourner autour de la droite TS; mais Taimant est
seulement amené à une position déterminée autour de laquelle il
oscille quelque temps, et où il reste ensuite immobile. En vertu du
principe de l'égalité de l'action et de la réaction, qui a lieu à l'égard
des moments de rotation autour d'un même axe comme à l'égard des
forces, si Ton représente par M le moment de rotalion imprimé, par
Taction de Taimant, au conducteur mobile oab^ la réaction de celui-ci
tiendra nécessairement à faire tourner Taimant autour de son axe
avec le moment — M, égal à M, mais agissant en sens contraire.

L'immobilité de Taimant vient évidemment de ce que si le conduc-
teur mobile oab agit sur lui, le reste 6MP;>rRTS du circuit total ne
peut manquer de le faire également ; le moment de Faction qu'il
exerce sur l'aimant, réuni à celui de oab^ donne le moment du circuit
fermé oadMPjorRTS qui est nul ; d'où il suit que le moment de
AMPprRTS est M, égal opposé à — M.

Mais si l'on vient à lier l'aimant GH au conducteur mobile oab^ il
en résulte un système de forme invariable, dans lequel l'action
et la réaction qu'ils exercent l'un sur l'autre se détruisent mutuel-
lement ; et ce système resterait évidemment immobile, si la partie
6MP;>rRTS n'agissait pas comme auparavant sur l'aimant pour le
faire tourner en lui imprimant le moment de rotation M. C'est en
vertu de ce moment que l'aimant et le conducteur mobile, réunis en
un système de forme invariable, tournent autour de la droite TS; et
comme ce moment est, comme on vient de le voir, et de même
valeur et de même signe que celui qu'imprimait l'aimant au conduc-
teur oab quand ce conducteur en était séparé et tournait seul, on
voit que ces deux mouvements auront nécessairement lieu dans le
même sens,* mais avec des vitesses réciproquement proportionnelles
au moment d'inertie du conducteur et à la somme de ce moment
d'inertie et de celui de l'aimant.

J'ai fait abstraction, dans les considérations précédentes, de l'action
exercée par la portion 6MP/?rRTS du circuit total sur le conducteur

DIS PHÉNOMJbNXS ÉLXGTR0-DTNAMIQUK8 133

mobile oaA, soit dans le cas où ce conducteur est séparé de l'aimant,
soit dans le cas où il lui est uni, non seulement parce qu'elle est très
petite relativement à celle qu'exerce Taimant, mais parce qu'elle tend
uniquement à porter le conducteur mobile dans la situation déter-
minée par la répulsion mutuelle des éléments de ces deux portions du
circuit total, et ne contribue, par conséquent, dans les deux cas, aux
mouvements de rotation de oabj que pour en faire un peu varier la
vitesse, qui sans cela serait constante.

Pour pouvoir facilement unir et séparer alternativement Taimant et
le conducteur mobile, sans interronipre les expériences, il convient
de fixer au crochet Z par lequel Taimant est suspendu au fil ZK, un
morceau de fil de cuivre ZX terminé en X par une fourchette dont les
deux branches Xx, Xy embrassent le conducteur mobile oabj qui se
trouve serré entre elles, quand on plie convenablement la tige ZX;
en la pliant en sens contraire, on lui donne la position où elle est
représentée dans la figure, et le conducteur redevient libre.

J'ai expliqué en détail cette expérience, parce qu'elle semble, plus
qu'aucune autre, appuyer l'hypothèse du couple primitif, quand on
ne l'analyse pas comme je viens de le faire. En effet, on admet
comme moi, dans cette hypothèse, que les forces exercées par
l'aimant 6H, sur les éléments du conducteur mobile oa6, passent par
ces éléments, et qu'en les supposant tous dans le plan vertical TSa6,
mené par la droite TS, les forces sont normales à ce plan, elles
tendent donc à faire tourner oab toujours dans le même sens autour
de TS : ces forces sont, d'après la loi proposée par M. Biot, précisé-
ment les mêmes, en grandeur, en direction et relativement à leurs
points d'application, que les forces données par ma formule; elles
produisent donc le même moment de rotation H en vertu duquel
s'exécute le mouvement du conducteur oab lorsqu'il est libre. Mais,
suivant les physiciens qui admettent l'hypothèse dont il est ici ques-
tion, les forces dues à la réaction des éléments du conducteur sur
l'aimant ne sont plus les mêmes qu'en grandeur et en ce qu'elles sont
perpendiculaires au plan TSab; ils pensent que ces forces sont appli-
quées aux molécules magnétiques, ou, ce qui revient au môme, aux
deux pôles de l'aimant GH qui sont sur la droite TS; dès lors leurs
moments de rotation sont nuls relativement à cette droite. C'est à
cette cause qu'ils attribuent l'inmiobilité de l'aimant quand il n'est lié
à aucune portion du circuit voltaique ; mais pour expliquer le mouve-

134 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ment de rotation de l'aimant dans le cas où on Tunit au conduc-
teur mobile oab^ à Taide de la tige ZX, ils supposent que la réunion
de ces deux corps en un système de forme invariable, n'empêche pas
l'aimant d'agir toujours pour imprimer au conducteur mobile le
môme moment de rotation M, sans que ce conducteur réagisse sur
l'aimant de manière à mettre obstacle au mouvement du système, qui
doit tourner par conséquent dans le même sens que tournait le con-
ducteur mobile avant d'être lié invariablement à l'aimant, mais avec
une vitesse moindre dans la raison réciproque des moments d'inertie
du conducteur seul et du conducteur réuni à l'aimant.

C'est ainsi qu'on trouve dans cette hypothèse les mêmes résultats
que quand on suj^pose l'action opposée à la réaction suivant la môm#
droite, et qu'on tient compte de l'action exercée sur l'aimant par la
reste ôMPprRTS du circuit voltaïque. Il résulte de tout ce qui a été
démontré dans ce mémoire, que cette identité des effets produits et
des valeurs des forces que nous venons de trouver, dans la cas que
nous avons examiné, entre la manière dont j'ai expliqué les phéno-
mènes et l'hypothèse du couple primitif, est une suit^ nécessaire de
ce que le circuit voltaïque qu'on fait agir sur l'aimant est toujours
fermé, et que dès qu'il s'agit d'un circuit fermé, non seulement les
trois forces parallèles à trois axes qui résultent de l'action qu'un tel
circuit exerce sur un aimant, mais encore les trois moments de rota-
tion autour de ces trois axes, sont les mêmes dans les deux manières
de concevoir les choses, ainsi que le mouvement de l'aimant, qui ne
peut dépendre que de ces six quantités.

La même identité se retrouvera, par conséquent, dans toutes les
expériences du même genre, et ce n'est, ni par ces expériences, ni
par la mesure des forces qui se développent entre les fils conduc-
teurs et les aimants, qu'une telle question peut être décidée; elle
doit l'être :

l"" Par la nécessité du principe, que l'action mutuelle des diverses
parties d'un système de forme invariable ne peut, dans aucun cas,
imprimer à ce système un mouvement quelconque; principe qui
n'est qu'une conséquence de l'idée même que nous avons des forces
et de l'inertie de la matière.

2* Par cette circonstance, que l'hypothèse du couple primitif n'a été
imaginée, par ceux qui l'ont proposée, que parce qu'ils ont cru que les
phénomènes dont ils sont partis ne pouvaient être expliqués autre-

DES PHÉNOMàNBS ÉLBCTRO-DTNAMIQUBS 135

meot, faute d'avoir tenu compte de Taction qu'exerce sur l'aimant la
totalité du circuit voltaîque ; parce qu'ils n'ont pas £ait attention que
ce circuit est toujours fermé, et qu'ils n'ont pas déduit, comme je l'ai
fait, de la loi proposée par M. Biot, cette conséquence rigoureuse que,
pour un circuit fermé, les forces et les moments sont identiquement
les mêmes, soit qu'on suppose que les directions des forces exercées
sur l'aimant passent par les molécules magnétiques ou par les milieux
des éléments des fils conducteurs.

3* Sur ce, quand on admet que les phénomènes dont nous nous
occupons peuvent être produits, en dernière analyse, par les forces
exprimées en fonctions des distances qu'exercent les molécules des
deux fluides électriques, et qu'on attribue aussi aux deux fluides
magnétiques quand on les regarde comme la cause des phénomènes,
purement électriques selon moi, que présentent les aimants, on peut
bien concevoir que si ces molécules sont en mouvement dans les fils
conducteurs, il en résulte entre leurs éléments des forces qui ne
dépendent pas seulement des distances de ces éléments, mais encore
des directions suivant lesquelles a lieu le mouvement des molécules
électriques qui les parcourent, telles précisément que les forces que
donne ma formule, pourvu que ces forces satisfassent à la condition
que l'action et la réaction soient dirigées suivant la même droite,
tandis qu'il est contradictoire de supposer que des forces, quelles que
soient d'ailleurs leurs valeurs en fonctions des distances, dirigées
suivant les droites qui joignent les molécules entre lesquelles elles
s'exercent, puissent produire, par quelque combinaison que ce soit,
tors môme que ces molécules sont en mouvement, des forces pour
lesquelles l'action et la réaction ne soient pas dirigées suivant la
même droite, mais suivant deux droites parallèles, conmie dans
l'hypothèse du couple primitif.

On sait, en effet, que quand même des molécules électriques ou
magnétiques sont en mouvement, elles agissent à chaque instant
comme si elles étaient en repos dans la situation où elles se trouvent
à cet instant. Si donc on considère deux systèmes de molécules, telles
que chaque molécule de l'un exerce sur chaque molécule de l'autre
une force égale et opposée, suivant la droite qui les joint, à la force
exercée par la seconde molécule sur la première, et qu'arrêtant toutes
ces molécules dans la situation où elles se trouvent à un instant
donné, on suppose qu'elles soient toutes liées invariablement ensem-

136 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ble dans cette situation, il y aura nécessairement équilibre dans le
système de forme invariable, composé des deux autres, qui résultera
de cette supposition, puisqu'il y aura équilibre entre les forces élé-
mentaires prises deux à deux. La résultante de toutes les forces exer-
cées par le premier système sur le second sera donc égale et opposée,
suivant la môme droite, à celle de toutes les forces exercées par le
second sur le premier; et ces deux résultantes ne pourront jamais
produire un couple capable de faire tourner le système total, quand
toutes ses parties sont invariablement liées entre elles, comme le
supposent ceux qui, tout en adoptant Thypotbèse d'un couple dans
l'action mutuelle d'une molécule magnétique et d'un élément de fil
conducteur, prétendent cependant que cette action résulte de ce que
l'élément n'agit sur la molécule que parce qu'il est lui-môme un
assemblage de molécules magnétiques, dont les actions sur celle que
l'on considère sont telles que Coulomb les a établies, c'est-à-dire diri-
gées suivant les droites qui les joignent à cette dernière, et en raison
inverse des carrés des distances.

n suffit de lire avec quelque attention ce qu'a écrit M. Biot sur
les phénomènes dont nous nous occupons, dans le livre neuvième
de la troisième édition de son Traité élémentaire de physique expéri-
mentale^ pour voir qu'après avoir considéré constamment les forces
que les éléments des fils conducteurs exercent sur les aimants, comme
appliquées aux molécules magnétiques perpendiculairement aux plans
passant par chaque élément et chaque molécule, il suppose ensuite
quand il parle du mouvement des fils conducteurs autour des aimants,
que, les forces exercées par les molécules magnétiques sur les élé-
ments des fils, passent par ces éléments dans des directions parallèles
à celles des forces exercées sur l'aimant, et forment, par conséquent,
des couples avec les premières, au lieu de leur être opposées suivant
les mômes droites; qu'il explique en particulier, à la page 754, tome II
de cet ouvrage, le mouvement de rotation d'un aimant autour de son
axe, quand une portion de courant le traverse, en supposant que
l'aimant tourne par l'action que cette portion môme exerce sur le
reste de l'aimant, qui forme cependant avec elle un système de forme
invariable dont toutes les parties sont invariablement liées entre
elles (1) : ce qui suppose évidemment que l'action et la réaction de

(i) Je ne sais s'il est nécessaire de rappeler à ce sujet ce que j*ai déjà fait

DES PllÉSOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

137

cette portion de courant et du reste de l'aimant forment un couple.
Comment dès lors concevoir que le physicien qui admet une pareille
supposition, puisse s'exprimer en ces termes à la page 769 du nième
livre : ■ Si l'on calcule l'action qu'exercerait à distance une aiguille

• aimantée d'uoe longueur infiniment petite et presque moléculaire,
« OQ verra aisément que l'on peut former des assemblages de telles
■ aiguilles, qui exerceraient des forces transversales. La difficulté
a unique, mais très grande sans doute, c'est de combiner de tels sys-

• tèmes, de manière qu'il en résulte, pour les tranches d'un fil con-

• jonclif de dimension sensible, les lois précises d'actions transver-
■1 sales que l'expérience fait reconnaître, et que nous avons expo-

• stjes plus haut. » Sans doute que de l'action de deux systèmes de
pelits aimants, dont les molécules australes et boréales s'attirent ou

remii-quer aîDeura, savoir que les fluides électriques, d'après ['ensemble des
fftJLs surtout d'aprèit la nullité d'action sur les cnrps les plu4 légers de l'élec-
Iricilé qui se meut dans le vide, doivent être considérés comme incapables
d'agir en vertu de leur masse qu'on peut dire infiniment peLile è l'égard de
celle des corps pondérables, et qu'iiinsî toute attraction ou répulsion excrcéo
entre ces corps et les fluides électriques peut bien mettre ceux-ci en mouve-
menl, mais non les corps pondérables. Pour que ces derniers se meuvent, il
faut, lorsqu'il sagit des attractions et répulaion'i l'ieclriques ordinaires, que
l'électricité soit retenue sur |pur sitrface, afin que la force qui surmonte l'inertie
de l'un, s'appuie, si l'on peut s'exprimer ainsi, sur l'inertie de l'autre. Il faut
de mfme, pour que l'action mutuelle de deux fils conducteurs nielle ces flis en
mouvement, que les décompositions et recomposilions du fluide neutre qui ont
lieu à chaque instant dans tous les éléments des lonf;ueurs des deux fils, déter-
minent entre leurs particules pondérables les Torces capables de vaincre l'inertie
de ces particules en imprimant aux deux (ils des vitesses réciproquement pro-
portionnelles à leurs masses. Quand on parle de l'action mutuelle de deux cou-
rants électriques, on n'a jamais entendu, el il est évident qu'on ne peut entendre,
que celle des conducteurs qu'ils parcourent: les physiciens qui admettent des
molécules magnétiques BRissant sur les éléments d'un 61 conducteur, conrormé-
ment à la loi propoï-ée par H. Biol, admettent sans doute aussi que cette action
ne meut le fil que parce que la molécule magnétique est retenue par les parti-
cules pondérables de l'aimant qui constituent l'élément magnétique dont elle
fait partie : et il est dès lors évident qu'en supposant que l'aimant se meut par
l'action de la portion de courant électrique qui le. traverse, on suppose nécessui-
rement que son mouvement résulte de l'action mutuelle qui a lieu entre cha-
cune de celtes de ses particules que traverse le courant et toutes les autres
particules du même corps.

138 THÉORIE MATHÉMATIQUE

se repoussent en raison inverse des carrés de leurs distances, suivant
les droites qui les joignent deux à deux, il peut résulter des actions
transversales j mais non pas des actions qui ne soient pas égales et op^
posées à des réactions dirigées suivant les mêmes droites j comme celles
que suppose M. Biot.

En un mot, la valeur de Faction de deux éléments de fils conduc-.
teurs, que j'ai déduite uniquement de l'expérience, dépend des angles
qui déterminent la direction respective des deux éléments : d'après la
loi proposée par M. Biot, la force qui se développe entre un élément
de fil conducteur et une molécule magnétique, dépend aussi de l'angle
qui détermine la direction de l'élément. Si j'ai appelé élémentaire la
force dont j'ai déterminé la valeur, parce qu'elle s'exerce entre deux
éléments de fils conducteurs et parce qu'elle n'a pas encore été
ramenée à des forces plus simples : il a aussi appelé élémentaire la
force qu'il admet entre une molécule magnétique et un élément de fil
conducteur. Jusque-là tout est semblable à l'égard de ces deux sortes
de forces; mais pour celle que j'ai admise, l'action et la réaction sont
opposées suivant la même droite, et rien n'empêche de concevoir
qu'elle résulte des attractions et des répulsions inhérentes aux molé-
cules des deux fluides électriques, pourvu qu'on suppose ces molé-
cules en mouvement dans les fils conducteurs, pour rendre raison de
l'influence de la direction des éléments de ces fils sur la valeur de la
force ; tandis que M. Biot, en admettant une force pour laquelle l'ac-
tion et la réaction ne sont pas dirigées en sens contraire sur une
même droite, mais sur des droites parallèles et formant un couple» se
met dans l'impossibilité absolue de ramener cette force à des attrac-
tions et répulsions dirigées suivant les droites qui joignent deux à
deux les molécules magnétiques, telles que les admettent tous les
physiciens qui s'en sont servis pour expliquer l'action mutuelle de
deux aimants. N'est-il pas évident que c'est de cette hypothèse de
M. Biot, sur des forces révolutives pour lesquelles l'action et la réac-
tion ne sont pas opposées suivant une même droite, qu'on devrait
dire ce qu'il dit (page 771) au sujet de l'action mutuelle de deux élé-
ments de fils conducteurs, telle que je l'ai déierminée par nies expé-
riences et les calculs que j'en ai déduits, savoir : qu'une pareille sup-
position est d^abord en elle-même complètement hors des analogies que
nous présentent toutes les autres lois d attraction? Y a-t-il une hypo-
thèse plus contraire à ces analogies, que d'imaginer des forces telles

DBS PHÉNOMiNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 189

que raction mutuelle des diverses parties d'un système de forme
invariable puisse mettre ce système en mouvement?

Ce n'est point en m'éloignant ainsi d'une des lois que Newton a
regardées comme les fondements de la théorie physique de Tunivers,
qu'après avoir découvert un grand nombre de faits que nul n'avait
observés avant moi, j'ai déterminé, par la seule expérience et en sui-
vant la marche tracée par ce grand homme, d'abord les lois de l'action
électro-dynamique, ensuite l'expression analytique de la force qui se
développe entre deux éléments de fils conducteurs, et qu'enfin j'ai
déduit de cette expression toutes les conséquences exposées dans ce
Mémoire. H. Biot, en citant les noms d'une partie des physiciens qui
ont observé de nouveaux faits ou inventé des instruments qui ont été
utiles à la science, n'a parlé ni du moyen par lequel je suis parvenu
à rendre mobiles des portions de fils conducteurs, en les suspendant
sur des pointes d'acier dans des coupes pleines de mercure, moyen
sans lequel on ne saurait rien des actions exercées sur ces fils, soit
par d'autres conducteurs, soit par le globe terrestre ou par des
aimants ; ni des appareils que j'ai construits pour mettre en évidence
toutes les circonstances que présentent ces actions, et déterminer
avec précision les cas d'équilibre d'où j'ai conclu les lois auxquelles
elles sont assujetties; ni de ces lois elles-mêmes déterminées par mes
expériences; ni de la formule que j'en ai conclue ; ni des applications
que j'ai faites de cette formule. Et à l'égard des faits que j'ai observés
le premier, il n'en cite qu'un seul, celui de l'attraction mutuelle de
deux fils conducteurs ; et s'il le cite, c'est pour en donner l'explica-
tion qui avait été d'abord proposée par quelques physiciens étran-
gers, à une époque où l'on n'avait pas fait les expériences qui ont
démontré depuis longtemps qu'elle était complètement inadmissible.
Cette explication consiste, comme on sait, à supposer que deux fils
conducteurs agissent l'un sur l'autre, comme ils le feraient en vertu
de l'action mutuelle d'aiguilles aimantées infiniment petites, tan-
gentes aux sections circulaires qu'on peut faire dans toute la longueur
des fils supposés cylindriques ; l'ensemble des petites aiguilles d'une
même section formant ainsi un anneau aimanté, semblable à celui
dont MM. Gay-Lussac et Yelter se sont servis pour faire, en 1820,
une expérience décisive au sujet de Texplication dont il est ici ques-
tion. Cette expérience a prouvé, comme on sait, qu'un pareil anneau
n*ezerc6 absolument aucune action, tant qu'il forme ainsi une circon-

140 THÉORIE MATHÉMATIQUE

férence entière, quoiqu'il soit tellement aimanté qu'en le formant d'un
acier propre à conserver, quand on le rompt, tout son magnétisme,
on trouve, en le brisant, que toutes ses portions sont très fortement
aimantées.

Sir H. Davy et M. Erman ont obtenu le même résultat à l'égard
d'un anneau d'acier d'une forme quelconque. Il est, au reste, une
suite nécessaire de la théorie des deux fluides magnétiques comme
de la mienne, ainsi qu'il est aisé de s'en assurer par un calcul tout
semblable à celui par lequel j'ai démontré, dans ce Mémoire, la nul-
lité d'action d'un solénoïde formant une courbe fermée, conformé-
ment à ce que M. Savary a trouvé, le premier, par un calcul qui ne
diifère pas essentiellement du mien, et qu'on peut voir, soit dans l'ad-
dition qui se trouve à la suite du Mémoire sur l'application du calcul
aux phénomènes électro-dynamiques, qu'il a publié en 1823) soit
dans le Journal de physique ^ tome XCVI, pages 295 et suiv. En don-
nant de nouveau cette explication, M. Biot montre qu'il ne connaissait
ni l'expérience de Gay-Lussac et Velter, ni le calcul de M. Savary.

Il y a plus, les petites aiguilles tangentes aux circonférences des
sections des fils conducteurs, sont considérées par M. Biot comme les
particules mêmes de la surface du fil conducteur aimantées par le
courant électrique qui séparerait dans ces particules le fluide austral
du fluide boréal, en les portant en sens contraire, sans que les molé-
cules de ces fluides puissent sortir des particules du fil où elles se
trouvaient d'abord réunies en fluide neutre. Dès lors, quand le cou-
rant est établi depuis quelque temps dans le fluide et se continue
indéfiniment, la distribution des molécules magnétiques dans les fils
conducteurs ne peut plus changer; c'est donc comme s'il y avait dans
ces fils une multitude de points déterminés qui ne changeraient pas
de situation tant que le courant continuerait avec la même intensité,
et dont il émanerait des forces attractives et répulsives dues aux mo-
lécules magnétiques, et par conséquent réciproquement proportion-
nelles aux carrés des distances.

Ainsi deux fils conducteurs n'agiraient Tun sur l'autre qu'en vertu
de forces exprimées par une fonction des distances entre des points
fixes dans l'un des fils et d'autres points également fixes dans l'autre
fil ; mais alors un de ces fils, supposé immobile, ne pourrait qu'ame-
ner l'autre dans la situation d'équilibre où l'intégrale des forces vives,
qui s'obtient toujours en fonctions des coordonnées des points du fil

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 141

mobile quand les forces sont fonctions des distances, atteindrait sa
valeur maximum. Jamais de telles forces ne pourraient produire un
mouvement de rotation dont la vitesse allât toujours en augmentant
dans le même sens, jusqu'à ce que cette vitesse devint constante, à
cause des frottements, ou de la résistance du liquide dans lequel il faut
que plongent les conducteurs mobiles pour maintenir les communi-
calions. Or, j'ai obtenu ce mouvement de rotation en faisant agir un
conducteur spiral, formant à peu près un cercle, sur un fil conducteur
rectiligne, tournant autour d'une de ses extrémités située au centre du
cercle, tandis que son autre extrémité se trouvait assez près du con-
ducteur spiral.

Cette expérience, où le mouvement est très rapide et peut durer plu-
sieurs heures, quand on emploie une pile assez forte, est en contra-
diction manifeste avec la manière de voir de M. Brot; et si elle ne Test
pas avec l'opinion que l'action de deux fils conducteurs résulte des
forces attractives et répulsives inhérentes aux molécules des deux
fluides électriques, c'est que ces molécules ne restent pas circon-
scrites, comme celles dont on suppose composés les deux fluides
magnétiques, dans des espaces très petits où leur distribution est
déterminée par une cause permanente, mais qu'au contraire elles
parcourent toute la longueur de chaque fil par une suite de composi-
tions et de décomppsitions, qui se succèdent à de très courts inter-
valles : d'où il peut résulter, comme je l'ai déjà observé, des mouve-
ments toujours continus dans le même sens, incompatibles avec la
supposition que les points d'où émanent les forces attractives et répul-
sives ne changent point de lieu dans les fils.

Enfin, M. Biot répète dans la troisième édition de son Traité élémen-
taire de physique (tome 11, page 773), ce qu'il avait déjà dit dans la
note qu'il publia* dans les Annales de chimie et de physique^ sur les
premières expériences relatives au sujet dont nous nous occupons,
qu'il a faites avec M. Savart, savoir : que quand un élément de fil
conjonctif très fin indéfini agit sur une molécule magnétique, c la
« nature de son action est la même que celle d'une aiguille aimantée
« qui serait placée sur le contour du fil dans un sens déterminé et
c toujours constant par rapport à la direction du courant voltaîque. »
Cependant l'action de cette aiguille sur une molécule magnétique est
dirigée suivant la même droite qno la rôaclion de la molécule sur
l'aiguille, et il est d'ailleurs aisé de voir que la force qui en résulte est

142 THÉORIE MATHEMATIQUE

en raison inverse du cube, et non pas du carré de la distance, comiqè
M. Biot a trouvé lui-même qu'est celle de l'élément du fil.

Il me reste maintenant à étendre à l'action mutuelle de deux cir*
cuits fermés, de grandeurs et de formes quelconques, les considéra-
tions relatives aux surfaces terminées par ces circuits et dont les points
agissent comme ce qu'on appelle des molécules de fluide austral ik de
fluide boréal, que j'ai précédemment appliquées à l'action mutuelle
d'un circuit fermé quelconque et d'un élément de fil conducteur. J'ai
trouvé que l'action de l'élémeot d^tsf sur les deux surfaces terminées
par le contour 5, était exprimée par les trois forces

V-g^^'^ -^y JAS'*(i*a -jj^, ^j„d«a-jj-,

•

appliquées à chacun des éléments ds de ce contour, je vais mainte-
nant faire à l'égard du circuit 5', ce que j'ai fait alors à l^égard du cir-
cuit 5. Concevons pour cela une nouvelle surface terminée de tous
côtés, comme la surface o*', par la courbe fermée ^^ et qui soit telle
que les portions des normales de la surface 9' comprises entre elle et
cette nouvelle surface, soient partout très petites. Supposons, sur la
nouvelle surface, du fluide de l'espèce contraire à celui de la sur-
face 9\ de manière qu'il 7 ait les mêmes quantités des deux fluides
dans les parties correspondantes des deux surfaces. En désignant par
(') V) Cl les angles que la normale au point m', dont les coordonnées
sont x\ y', z', forme avec les trois axes, et par h la petite portion de
cette normale qui est comprise entre les deux surfaces, nous pour-
rons, comme nous l'avons fait pour l'élément d'o*', ramener l'action
de l'élément de la nouvelle surface qui est représenté par dV, sur
l'ensemble des deux surfaces terminées par le contour 5, à des
forces appliquées, comme on l'a vu, page 3i9« aux divers éléments
de ce contour; celle qui est relative à l'élément ds et parallèle aux x
s'obtiendra en substituant dans l'expression que nous avons trouvée
pour cette force

ou

DIS PHÉNOMiNIS iLBGTRO-DTNAMIQUBS 149

les nouvelles coordonnées â/+ A' cosi', y + A'cosVi 2' + A'cosC à
la place de J^ y, ai. Gomme les forces ainsi obtenues agissent en sens
contraire des premières, il faut les eo retrancher, ce qui se réduit, lors-
qu'on néglige dans le calcul les puissances de h supérieures à la pre-
I, à différentier

faisant varier sf^ y', z\ remplaçant 8a/, Sy', Iz' par A'cos(',
A'oosV) A'cosCf et changeant le signe du résultat* tandis que x^ y,
S| et àxy dy, dz, doivent être considérées comme des constantes
puisqu'elles appartiennent à l'élément As.

La formule dans laquelle on doit substituer A'cosÇ', A'cosVt
cosC à Sa/, Sy', S^, est donc

,.,.' (did'a'o' ?^ - dy d'ao- îlzJ j ,

qu'il faut intégrer après cette substitution dans toute l'étendue de la
surface t' pour avoir l'action totale de cette surface et de celle qui lui
est jointe sur l'assemblage des deux surfaces terminées par le con-
tour s. On peut faire cette double intégration séparément sur chacun
des deux termes dont cette expression se compose. Exécutons d'abord
celle qui est relative au premier terme

Mtdjd'a'S'^^-^.

Pour cela, décomposons la surface 9' en une infinité de zones infi-
niment étroites par une suite de plans perpendiculaires au plan des xz
menés par la coordonnée y du milieu de l'élément ds. Nous pren-
drons, sur une de ces zones, pour d'^ Télèment de la surface 9 qui
a pour expression

vA'vA'x

cosV '

et nous aurons alors à intégrer la quantité

cosi) r*

144 THÉORIE MATHÉMATIQUE

qui se changera, par une transformation toute semblable à celle que
nous avons employée plus haut relativement à

cos 5

en celle-ci

V*

En supposant, comme nous l'avons fait pour la surface o*, que les
quantités A', t' varient ensemble de manière que leur produit con-
serve une valeur constante g'j on intégrera cette dernière expression,
en supposant l'angle x constant, dans toute la longueur de la zone
renfermée sur la surface <r' entre les deux plans qui comprennent
l'angle d'x depuis l'un des bords du contour s' jusqu'à l'autre. Cette
première intégration s'effectue immédiatement et donne

-f.<??'dzdx(^-^),

Tj , v^ et r, , u, représentant les valeurs de r et de t; pour les deux bords
du contour s!. Les deux parties de cette expression doivent mainte-
nant être intégrées par rapport à x respectivement dans les deux por-
lions du contour sf déterminées par les deux plans tangents à ce con-
tour menés par l'ordonnée y de l'élément ds ; et d'après la remarque
que nous avons faite, page 317, à l'égard de la valeur de la force pa-
rallèle aux X dans le calcul relatif aux deux surfaces terminées par le
contour 5, il est aisé de voir qu'on a ici

en prenant cette intégrale dans toute l'étendue du contour fermé/;
les variables r, t; et ^ n'étant plus relatives qu'à ce contour.

On exécutera de la même manière la double intégration de l'autre
terme qui est égal à

— jAiye'dydVS'i^

dans toute l'étendue de la surface o^. Il faudra, pour cela, diviser cette
surface en une infinité de zones, par des plans menés par la coor-

DES PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES 145

donnée z du milieu de l'élément (&, et prendre, sur Tune de ces
zones* pour dV Taire infiniment petite qui a pour expression

57^ . La formule, après avoir été transformée comme la précé-

cosÇ ' *^ ^

dente, s'intégrera d'abord dans toute la longueur de la zone ; l'inté-
grale ne renfermera alors que des quantités relatives au contour y.
Ensuite la seconde intégration faite par rapport à 4» dans l'étendue du
contour fermé y, donnera

M9'^yf

H^A'^

Rassemblant enfin les deux résultats obtenus par ces doubles intégra-
tions, on aura

pour la valeur de la force parallèle aux or, dont la direction passe par
le milieu de l'élément d$^ et qui provient de Taction des deux sur-
faces terminées par le contour s' sur les deux surfaces terminées par
le contour s.
On aura de même, parallèlement aux deux autres axes, les forces

Ainsi, en supposant appliquées à chaque élément ds du contour 5 les
forces que nous venons de déterminer, on aura Faction qui résulte
des attractions et répulsions des deux fluides magnétiques, répandus
et fixés sur les deux assemblages de surfaces terminées par les deux
contours 5, 5^.

Mais ces forces appliquées aux éléments ds ne diffèrent que par le
signe de celles que nous avons obtenues page 106, pour Taclion des
deux circuits 5, y, en les supposant parcourus par des courants élec-
triques, pourvu qu'on ait ^^ = - tï'. Cette différence vient de ce que

dans le calcul qui nous a les données, les différentielles d'f , d'x» d' ^
ont été supposées de même signe que les différentielles df, d^^ d*^,
tandis qu'elles doivent être prises avec des signes contraires quand
les deux courants se meuvent dans le môme sens; alors les forces

19

146 THÉORIE MATHEMATIQUE

produites par l'action mutuelle de ces courants sont précisément les
mômes que celles qui résultent de l'action des deux surfaces fJ sur
les deux surfaces <7, et il est ainsi complètement démontré que l'ac-
tion mutuelle de deux circuits solides et fermés, parcourus par des
courants électriques, peut être remplacée par celle de deux assemblages
composés chacun de surfaces ayant pour contours ces deux circuits,
et sur lesquelles seraient fixées des molécules de fluide austral et de
fluide boréal, s'attirant et se repoussant suivant les droites qui les
joignent, en raison inverse des carrés des distances. En combinant ce
résultat avec cette conséquence rigoureuse du principe général de la
conservation des forces vives, déjà rappelée plusieurs fois dans ce
Mémoire, que toute action réductible à des forces, fonctions des dis-
tances, agissant entre des points matériels formant deux systèmes
solides, l'un fixe, l'autre mobile, ne peut jamais donner lieu à un
mouvement qui soit indéfiniment continu, malgré les résistances et
les frottements qu'éprouve le système mobile, nous en conclurons,
comme nous l'avons fait quand il s'agissait d'un aimant et d'un cir-
cuit voltaïque solide et fermé, que cette sorte de mouvement ne peut
jamais résulter de Vaction mutuelle de deux circuits solides et fermés.
Au lieu de substituer à chaque circuit deux surfaces très voisines
recouvertes l'une de fluide austral et l'autre de fluide boréal, ces
fluides étant distribués comme il a été dit plus haut, on pourrait
remplacer chaque circuit par une seule surface sur laquelle seraient
uniformément distribués des éléments magnétiques tels que les a dé-
finis M. Poisson, dans le Mémoire lu à l'Académie des Sciences, le
2 février 1824.

L'auteur de ce Mémoire, en calculant les formules par lesquelles
il a fait rentrer dans le domaine de l'analyse toutes les questions
relatives à l'aimantation des corps, quelle que soit la cause qu'on
lui assigne, a donné (1) les valeurs des trois forces exercées par un
élément magnétique sur une molécule de fluide austral ou boréal;
ces valeurs sont identiques à celles que j'ai déduites de ma formule,
pour les trois quantités A, B, C, dans le cas d'un très petit circuit
fermé et plan, lorsqu'on suppose que les coefficients constants sont
les mêmes, et il est aisé d'en conclure un théorème d'après lequel
on voit inunédiatement :

(i) Mémoire sur la théorie du magnétisme^ par M. Poisson, p. SS.

DES PHÉNOMÈNES ÊLECTBO- ItYNAMIQUES

H7

I

!• Que l'action d'un solénoïde électro-dynamique, calculée d'après
ma formule, est, dans tous les cas, la même que celle d'une série
d'éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformé-
ment le long de la ligne droite ou courbe qu'entourent tous les
petits circuits du solénoïde, en donnant, 4 chacun de ses points,
aux axes des éléments, la direction même de cette ligne;

2* Que l'action d'un circuit vollaîque solide et fermé, calculée de
même d'après ma formule, est précisément celle qu'ex erceraîeal des
éléments magnétiques de même intensité, distribués uniformément
sur une surface quelconque terminée par ce cireuit, lorsque les axes
des éléments magnétiques sont partout normaux k cette surface.

Le même théorème conduit encore à cette conséquence, que si l'on
conçoit une surface renfermant de tous côtés un très petit espace;
qu'on suppose, d'une part, des molécules de fluide austral et de ûuide
boréal en quantités égales distribuées sur cette petite surface, comme
elles doivent l'être pour qu'elles constituent l'élément magnétique tel
que l'a considéré M. Poisson, et, d'autre part, la même surface recou-
verte de courants électriques, formant sur cette surface de petits
circuits fermés dans des plans parallèles et équidistants, et qu'on cal-
cule l'action de ces courants d'après ma formule, les forces exercées,
dans les deux cas, soit sur un élément de fil conducteur, soit sur une
molécule magnétique, sont précisément les mêmes, indépendantes de
la forme de la petite surface, et proportionnelles au volume qu'elle
renferme, les axes des éléments magnétiques étant représenlés par la
droite perpendiculaire aux plans des circuits.

L'identité de ces forces une fois démontrée, on pourrait considérer
comme n'en étant que de simples corollaires, tous les résultats que
j'ai donnés dans ce Mémoire, sur la possibilité de substituer aux
aimants, sans changer les effets produits, des assemblages de courants
électriques formant des circuits fermés autour de leurs particules. Je
pense qu'il sera facile au lecteur de déduire cette conséquence, et le
théorème sur lequel elle repose, des calculs précédents ; je l'ai d'ail-
leurs développée dans un autre Mémoire où j'ai discuté en môme
temps, sous ce nouveau point de vue, tout ce qui est relatif à l'action
mutuelle d'un aimant et d'un conducteur vollaique.

Pendant que je rédigeais celui-ci, M. Arago a découvert un nouveau
genre d'action exercée sur les aimants. Cette découverte, aussi impor-
taole qu'inattendue, consiste daus l'action mutuelle qui so développe

148 THÉORIE MATHÉMATIQUE

entre un aimant et un disque ou anneau d'une substance quelconque,
dont la situation relative change continuellement. M, Arago ayant eu
ridée qu'on devait pouvoir, dans cette expérience, substituer un
conducteur plié en hélice au barreau aimanté, m'engagea à vérifier
cette conjecture par une expérience dont le succès ne pouvait guère
être douteux. Les défauts de l'appareil avec lequel j'essayai de cons-
tater l'existence de cette action dans les expériences que je fis avec
M. Arago, nous empêchèrent d'obtenir un résultat décisif; mais
M. GoUadon ayant bien voulu se charger de disposer plus convena-
blement l'appareil dont nous nous étions servis, j'ai vérifié avec lui
de la manière la plus complète, aujourd'hui 30 août 1826, l'idée de
M. Arago, en faisant usage d'une double héUce très courte, dont les
spires avaient environ deux pouces de diamètre.

Cette expérience complète l'identité des effets produits, soit par des
aimants, soit par des assemblages de circuits voltsûques solides et
fermés (1) ; elle achève de démontrer que la série de décompositions

(i) 11 semble d'abord que cette identité ne devrait avoir lieu qu*à Tégard des
circuits voltaîques fermés d*un très petit diamètre ; mais il est aisé de voir
qu'elle a lieu aussi pour les circuits d'une grandeur quelconque, puisque nous
avons vu que ceux-ci peuvent être remplacés par des éléments magnétiques
distribués uniformément sur des surfaces terminées par ces circuits, et qu'on
peut multiplier à volonté le nombre des surfaces que circonscrit un même
circuit. L'ensemble de ces surfaces peut être considéré comme un faisceau
d'aimants équivalents au circuit. La même considération prouve que sans rien
changer aux forces qui en résultent, il est toujours possible de remplacer les
très petits courants électriques qui entourent les particules d'un barreau
aimanté, par des courants électriques d'une grandeur finie, ces courants for-
mant des circuits fermés autour de l'axe du barreau quand ceux des particules
sont distribués symétriquement autour de cet axe. Il suffit pour cela de conce*
voir dans ce barreau des surfaces, terminées à celle de l'aimant, qui coupent
partout k angles droits les lignes d*aimantation, et qui passent par les éléments
magnétiques qu'on peut toujours supposer situés aux points où ces lignes sont
rencontrées par les surfaces. Alors, si tous les éléments d'une même surface se
trouvaient égaux en intensité sur des aires égales, ils devraient être remplacés
par un seul courant électrique parcourant la courbe formée par l'intersection
de cette surface et de celle de l'aimant; s'ils variaient en augmentant d'intensité
de la surface k l'axe de l'aimant, il faudrait leur substituer d'abord un courant
dans cette intersection tel qu'il devrait être d'après l'intensité minimum des
courants particulaires de la surface normale aux lignes d'aimantation que l'on
considère, puis, k chaque ligne circonscrivant les portions de cette surface où
les petits courants deviendraient plus intenses, on concevrait un nouveau cou-

DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES 149

et de recompositions du fluide neutre, ijui constitue le courant élec-
trique, sufBt pour produire, dans ce cas comme dans tous les autres,
les effets qu'on explique ordinairement par l'action de deux fluides
différents de l'électricité, et qu'on désigne sous les noms defiuide
austral et de fluide boréal.

Après avoir longtemps réfléchi sur tous ces phénomènes et sur
l'ingénieuse explication que M. Poisson a donnée dernièrement du
nouveau genre d'action découvert par M. Arago, il me semble que ce
qu'on peut admettre de plus probable dans l'état actuel de la science,
se compose des propositions suivantes :

1° Sans qu'on suit autorisé à rejeter les explications fondées sur la
réaction de l'éther mis en mouvement par les courants électriques,
rien n'oblige jusqu'à présent d'y avoir recours.

2° Les molécules des deux fluides électriques, distribuées sur la
surface des corps conducteurs, sur la surface ou dans l'intérieur des
corps qui ne le sont pas, et restant aux points de ces corps où elles
se trouvent, soit en équilibre dans le premier cas, soit parce qu'elles
y sont retenues dans le second par la force coercitîve des corps non
conducteurs, produisent, par leurs attractions et répulsions récipro-

ranl concentrique au précédent, et tel que t'exigerait la différence d'intensité
des courants adjacents, les uns en dehnrs, les autres en dedans de cette lif^ne ;
si l'inlensilé des coumnis partrcnlaires allait en diminuant de la surface k l'axe
du barreau, il faudrait concevoir, sur la ligne de séparation, un courant con-
r.fntrique au précédent, mais allant en sens contraire, enfin, une au^entalion
d'iolensité qui succéderait à cette diminution, exigerait un nouveau courant
concentrique dirigé comme le premier.

Je ne fais, au reste, ici celte remarque que pour ne pas omettre une consé-
quence ri'marquable des résultats obtenus dans ce Mémoire, et non pour en
déduire quelques probabilités en faveur de la supposition que les couranls élec-
Iriques des aimants forment des circuits fermés autour de leurs axes. Après
avoir d'abord hésité entre celte supposition et i'Hulre manière de concevoir ces
courants, en les considérant comme entourant les pnrltcules des aimants; j'ai
reconnu, depuis longtemps, que cette dernière était la plus conforme & Ken-
semble des faits, et je n'ai point changé d'opinion à cet égard.

Cette conséquence est d'ailleurs utile en ce qu'elle rend la similitude des
actions produites, d'une part par une hélice électro-dynamique, de l'autre par
un aimant, aussi complète, sous le point de vue de la théorie, qu'on la trouve
quand on consulte! expérience, et en ce qu'elle jusliSe les explications ou l'on
substitue, comme je l'ai fait dans celle que j'ai donnée plus haut du mou-
vement de révolution d'un aim'int flottant, un seul circuit fermé à l'aimant que
l'on coniidëre.

150 THÉORIE MATHÉMATIQUE

quement proportionnelles aux carrés des distances» tous les phéno-
mènes de Télectricité ordinaire.

3* Quand les mêmes molécules sont en mouvement dans les fils
conducteurs, qu'elles s'y réunissent en fluide neutre et s'y séparent à
chaque instant, il résulte de leur action mutuelle des forces qui dé-
pendent d'abord de la durée des périodes extrêmement courtes com-
prises entre deux réunions ou deux séparations consécutives, ensuite
des directions suivant lesquelles s'opèrent ces compositions et décom-
positions alternatives du fluide neutre. Lies forces ainsi produites sont
constantes dès que cet état dynamique des fluides électriques dans les
fils conducteurs est devenu permanent; ce sont elles qui produisent
tous les phénomènes d'attraction et de répulsion que j'ai découverts
entre deux de ces fils.

4* L'action dont j'ai reconnu l'existence, entre la terre et les con-
ducteurs voltsûquest ne permet guère de douter qu'il existe des cou-
rants, semblables à ceux des fils conducteurs, dans l'intérieur de
notre globe. On peut présumer que ces courants sont la cause de la
chaleur qui lui est propre ; qu'ils ont lieu principalement là ou la
couche oxydée qui l'entoure de toute part repose sur un noyau mé-
tallique, conformément à l'explication que sir H. Davy a donnée des
volcans, et que ce sont eux qui aimantent les minerais magnétiques
et les corps exposés dans des circonstances convenables à l'action
électro-dynamique de la terre. Il n'existe cependant, et ne peut exis-
ter, d'après l'identité d'efiets expliquée dans la note précédente, au-
cune preuve sans réplique que les courants terrestres ne sont pas
seulement établis autour des particules du globe.

5* Le même état électro-dynamique permanent consistant dans une
série de décompositions et de recompositions du fluide neutre qui a
lieu dans les fils conducteurs, existe autour des particules des corps
aimantés, et y produit des actions semblables à celles qu'exercent ces
fils.

6* En calculant ces actions d'après la formule qui représente celle
de deux éléments de courants voltaîques, on trouve précisément,
pour les forces qui en résultent, soit quand un aimant agit sur un fil
conducteur, soit lorsque deux aimants agissent l'un sur l'autre, les
valeurs que donnent les dernières expériences de M. Biot dans le pre-
mier cas, et celles de Coulomb dans le second.

7* Cette identité, purement mathématique, confirme de la manière
la plus complète l'opinion, fondée d'ailleurs sur l'ensemble de tous

DES PHENOMENES ELECTRO-DYNAMIQUES

151

les faits, que les propriétés des aimants sont réellement dues au
mouvement continuel des deux tluides électriques autour de leurs
particules.

8* Quand l'action d'un aimant, ou celle d'un fll conducteur, établit
ce mouvement autour des particules d'un corps, les molécules d'élec-
tricité positive et d'électricité négative, i[ui doîvptit se constituer dans
l'état électro-dynamique permanent d'uù résultent les actions qu'il
exerce alors, soit sur un fil conducteur, soit sur uu corps aimanté, ne
peuvent arriver à cet état qu'après un temps toujours très court, mais
qui n'est jamais nul, et dont la durée dépend en général de la résis-
tance que le corps oppose au déplacement des fluides électriques qu'il
renferme. Pendant ce déplacement, soit avant d'arriver à un état de
mouvement permanent, soit quand cet état cesse, elles doivent exer-
cer des forces qui produisent probablement les singuliers effets que
M. Arago a découverts. Cette explication n'est, au reste, que celle de
H. Poisson, appliquée i ma théorie, car uu courant électrique formant
un très petit circuit fermé agissant précisément comme deux molé-
cules, l'une do fluide austral, l'autre de fluide boréal, situées sur son
axe, de part et d'autre du plan du petit courant, à des distances de ces
plans égales entre elles, et d'autant plus grandes que le courant élec-
trique a plus d'intensité, on doit uécessairement trouver les mêmes
valeurs pour les forces qui se développent, soit lorsqu'on suppose
que le courant s'établit ou cesse d'exister graduellement, soit quand
on conçoit que les molécules magnétiques, d'abord réunies en fluide
neutre, se séparent, en s'él^iignant sticcessivement à des distances
de plus en plus grandes, et se rapprochent ensuite pour se réunir do
nouveau.

Je crois devoir observer en finissant ce Mémoire, que je n'ai pas
encore eu le temps de faire construire les instruments représentés
dans la ligure 4 de la planche première et dans la figure 20 de la
seconde planche. Les expériences auxquelles ils sont destinés n'ont
donc pas encore été faites; mais, comme ces expériences ont seule-
ment pour objet de vérifier des résultats obtenus autrement, et qu'il
serait d'ailleurs utile de les faire comme une contre-épreuve de celles
qui ont fourni ces résultats, je n'ai pas cru devoir eu supprimer la
description.

152 THÉORIE MATHÉMATIQUE

NOTES

CONTENANT

QDELQDES NOUVEAUX DÉVELOPPEMENTS SUR DES OBJETS TRAITÉS

DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT

I. Sur la manière de démontrer par les quatre cas d^ équilibre exposés
au commencement de ce Mémoire y que la valeur de Faction mutuelle
de deux éléments de fils conducteur est

2tt' dsds' ^ ^ ,
dsds.

\/^

dV

En suivant Tordre des transformations que j^ai successivement fait
subir à cette valeur, on trouve d'abord, en vertu des deux premiers
cas d^équilibre, qu'elle est

tf (sin 6 sin 6' ces » + ^ ces cos 6') dsds'

on déduit du troisième, entre n et A, la relation n + sA=i, et du

quatrième n = « , d'où k= ; ce quatrième cas d'équilibre est alors

celui qu'on emploie en dernier lieu à la détermination de la valeur de
la force qui se développe eotre deux éléments de fils conducteurs :
mais on peut suivre une autre marche en partant d'une considération
dont s'est servi M. de Laplace, quand il a conclu des premières expé-
riences de M. Biot sur l'action mutuelle d'un aimant et d'un conduc-
teur rectiligne indéfini, que celle qu'un élément de ce fil exerce sur un
des pôles de l'aimant est en raison inverse du carré de leur distance,

DES PjrÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

153

lorsque celte distance change seule de valeur et que l'angle compris
entre la droite qui la mesure et la direction de l'élémenl reste le
même. En appliquant cette considération à l'action mutuelle de deux
élémenls de fils conducteurs, il est aisé de voir, indépendamment de
toute recherche préliminaire sur la valeur de la force qui en résulte,
que cette force est aussi réciproquement proportionnelle au carré de
la distance quand elle varie seule et que les angles qui déterminent
ta situation respective des deux éléments n'éprouvent aucun change-
ment. En effet, d'après les considérations développées au commence-
ment de ce Mémoire, la force dont il est ici question est nécessaire-
ment dirigée suivant la droite r, et a pour valeur

jr/"(r, e, 9', utjdsdï';

d'où il suit qu'en nommant a, p, y, les angles que cette droite forme
avec les trois axes, ses trois composantes seront exprimées par

ii'f[r, e, e, ùijcosadsdï', iï/(r, 6, 0', iu)cospdjdï*,
ii'f{r, 6, 6', w)c08Ydiidi',

et les trois forces parallèles aux trois axes qui en résultent entre deux
circuits p>ar les doubles intégrales de ces expressions, let i" étant des
constantes.

Or il suit du quatrième cas d'équilibre, en remplaçant les trois cercles
par des courbes semblables quelconques dont les dimensions homo-
logues soient en progression géométrique continue, que ces trois
forces ont des valeurs égales dans deux systèmes semblables; il faut
donc que les intégrales qui les expriment soient de dimension nulle
relativement à toutes les lignes qui y entrenl, d'après la remarque
de M. de Laplace que je viens de rappeler, et qu'il en soit par consé-
quent de même des différentielles dont elles se composent, en com-
prenant d^ et àsf parmi les lignes qui y entrent, parce que le nombre
de ces différentielles, quoique infiui du second ordre, doit être con-
sidéré comme le môme dans les deux systèmes.

Or le produit ds dV est de deux dimensions : il faut donc que f{r,
8, 6', G») cos«, /(r, 8, 6', w} cosp, /(r, Q, 6', w) cosy soient de la dimen-
sioa — s; et comme les angles 0, 6', u, et, p, y sont exprimés par des
nombres qui n'entrent pour rien dans les dimensions des valeurs des
différentielles, et que /(r, t, 6*, t») ne contient que la seule ligne r, il

154 THÉORIE MATHEMATIQUE

faut nécessairement que cette fonction soit proportionnelle à -7, en

sorte que la force qu'exercent Tun sur Tautre deux éléments de fils
conducteurs est exprimée par

Les deux premiers cas d'équilibre déterminent ensuite la fonction f ,
où k seul reste inconnu, et l'on a

n'(sin6sin6'cosco + A:cos6cos6')

r'

pour la valeur de la force cherchée : c'est, comme on sait, sous cette
forme que je l'ai donnée dans le Mémoire que j'ai lu à F Académie le
4 décembre 1820. En remplaçant alors sinO sin^ cosco, et cos6 cosO' par
leurs valeurs

rd*r ^ j , dr dr

dsds . — —^ • — - .

d»d«' ' d» d»"

il vient

r» \d»d»'^ d« d^J

»'(rddV + il;drd>) _ tïr*dd'r + il;r*-'drd'r

tTd(r*dV) trdd'(r**«)

et ea faisant pour abréger A + i = m, on a pour la valeur de la force
cherchée cette expression très simple

tï'dd'Çr*)

Il ne reste plus alors qu'à déterminer m d'après le cas d'équihbre qui
démontre que la somme des composantes des forces qu'exerce un fil
conducteur sur un élément, prises dans la direction de cet élément,
est toujours nulle quand le fil conducteur forme un circuit fermé. Ce
cas d'équilibre, que j'ai considéré dans ce Mémoire comme le troi-
sième, doit Tétre alors comme le quatrième, puisqu'il est le dernier
qu'on emploie dans la détermination complète de la force cherchée.

CES PHÉNOMÈNES ÉLEGTBO-DTN&MIQUES 155

En remplaçant d'r par — cosB' d^ dans la valeur

»'d(r-'dV)

de la force que les deux éléments exercent l'un sur l'autre, on a, pour
sa composante, dans la direction de l'élément ds*,

I

rdy cos 6'd {r"-' cos 8')

ird*'d{r'^'co3'6')

dont il faut que l'intégrale relative aux différentielles qui dépendent
de dj soit nulle toutes les fois que la courbe 5 est fermée; mais il est
aisé de voir, en intégrant par parties, qu'elle est égale à

:,vd.'[£^ - ^ +(,„_, )js2!llir].

La première partie de cette valeur s'évanouit quand la courbe s est
fermée, parce qu'alors r, = r,, cos6'j = cos9;, à l'égard de la seconde
on démontre facilement, comme nous l'avons fait, page 26, que

1 i — ne peut s'évanouir, quelle que soit la forme de la courbe

fermées; il faut dont qu'on ait a m — 1 =0, m=-, et que la valeur

de la force due à l'action mutuelle des deux éléments ds, ds' soit

ndd'(>^)_ 2iVdd v^

'fr

II. Sur une transformation propre à simplifier le calcul de Faction
mutuelle de deux conducteurs rectilignes.

Quand les deux conducteurs sont rectilignes, l'angle formé par les
directions des deux éléments est constant et égal à celui des direc-
tions mêmes des deux conducteurs; il est donc censé connu, et en le
désignant par t, on a, page 24,

''d*d»""'"d*'dj'

di

di'

■1,»

■I.Ï

d>

Ai

d>

dt'

d(

ii

d>

H

— T ■ T'j^ — C08»,

155 THÉORIE MATHÉMATIQUE

d'où il suit que

dd'(r*j _ (m — i)drdr -{-rddV (m — a)drdr' — costdsd/

En désignant par /> un autre exposaat quelconquei on a de même

d d' (r>) ^{p — a) drd'r — ces edsd^

drdr'
et, en éliminant — 5— entre ces deux équations, on obtient

(;? — ajdd^r*) __ (m — a)dd'(r>) _ (m— p)co8ed<di^
wir* pr' r* *

d'où

dd'(r*) _^ m — a dd'(r') m — p co8td<d<^
mr^ p — a pr^ p — a r* '

En substituant -km dans cette équation, et en multipliant les deux

membres de celle qui résulte de cette substitution par — u', on a la
valeur de l'action de deux éléments de fils conducteurs transformée
ainsi

_ aiï'ddVr _ \n" dd (r>) _ (^— jg)»' cosed<d<'
yjr ^P — ^ P^ P — ^ »•"

et l'on peut, dans cette expression, assigner à /> la valeur que l'on veut.
Celle qui donne un résultat plus commode pour le calcul est p = — 1 ,
en l'adoptant, il vient

2iï'dd'v/r 1 ..,,,.1 , I iV'cosedsds' 1 ..,, , ,(co8

z~- =-ii'dd -+- ; =- Il d«d« \ — r

J^ a r a r* a \ r'.

J'ai déjà trouvé d'une autre manière, page 61, cette expression de la
force qu'exercent l'un sur l'autre deux éléments de fils conducteurs ;
on ne peut l'employer, pour simplifier les calculs, que quand les con-
ducteurs sont rectilignes, parce que ce n'est qu'alors que l'angle t est
constant et connu; mais dans ce cas, c'est elle qui donne de la
manière la plus simple les valeurs des forces et des moments de

DES PHÉNOMÈNES KLECTHO-D YNA MIQU ES 157

rotation qui résultent de l'action mutuelle de deux conducteurs de
ce geare. Si j'ai employé dans ce Mémoire d'autres moyens de cal-
culer ces valeurs, c'est qu'à l'époque où je l'ai écrit je ne connaissais
pas encore cette transformation de ma formule.

III. Sur la direclion de la droite désignée dans ce Mémoire sous le nom
de directrice de l'action électro -dynamique à un poîat donné,
lorsque cette action est celle d'un circiiit fermé et plan dont toutes
les dimensions sont très petites.

La droite que j'ai nommée directrice de faction électro-dynamique à
nnpoint donné est celle qui forme avec les trois axes des angles dont
les cosinus sont respectivement proportionnels aux trois quantités
A, B, G dont les valeurs, trouvées h la page 40, deviennent

/cos E 2qx\

G = i

/cosC

quand on substitue à n le nombre a auquel n est égal ; si donc on
suppose le petit circuit d'une forme quelconque situé comme il l'est
(P. I, fig. 14), c'est-à-dire qu'après avoir placé l'origine A des coor-
données au point donné, on prenne pour Taxe des z la perpendi-
culaire Kï abaissée du point A sur le plan du petit circuit, et pour le
plan des xs celui qui passe par cette perpendiculaire et par le centre
d'inertie de l'aire LMS auquel se rapportent les :r, y, s qui entrent
dans les valeurs de A, B, C, il est évident qu'on aura y = o,

y = a, 6 = ïi=-, î = o, et que ces valeurs se réduiront par consé-
quent à

A = -Sî:, B=o, c=xa-a = Mîlz^,

parce que r' = x*-^z'. B étant nul, la directrice ÀE est nécessai-
remeni dans le plan des xz déterminé comme nous venons de le dira.
La tangente de l'angle ËAX qu'elle forme avec l'axe des x est évi-

158 THEORIE MATHÉMATIQUE

demment égale à j, c*est-à-dire à — ^ — ; et comme calle de
l'angle OAX Test à -, on trouvera pour la valeur de la tangente

Su

deOAË

tang OAB = j-r— j = / , . ,. =-.- = - tong COA :

d'où il suit que si l'on prend OB = ^ OA, et qu'on élève sur OA au

point B un plan perpendiculaire à AO qui rencontre en D la normale
OG au plan du petit circuit, la droite ADE menée par les points A, D,
sera la directrice de l'action exercée au point A par le courant élec-
trique qui le parcourt, puisqu'on aura

AB = aOB, tang BDA = a Ung BDO,

et

tang OAB = cet BDA = - cot BDO = - Ung COA.

a a

Cette construction donne de la manière la plus simple la direction de
la droite AE suivant laquelle nous avons vu que le pôle d'un aimant
placé en A serait porté par l'action de ce courant. Il est à remarquer
qu'elle est située à l'égard du plan LMS du petit circuit qu*il décrit,
de même que la direction de l'aiguille d'inclinaison l'est en général à
l'égard de l'équateur magnétique; car le point étant considéré
comme le centre de la terre, le plan OAC comme celui du méridien
magnétique, et la droite AE comme la direction de l'aiguille d'incli-
naison, il est évident que l'angle OAE compris entre le rayon ter-
restre OA et la direction AE de l'aiguille aimantée est le complément
de rinclinaison, et que l'angle COA est le complément de la latitude
magnétique LOA ; l'équation précédente devient ainsi

cot. incl = - cot. lat,
a

OU

tang. incl = a tang. lat.

DKS PHÉNOMÈNES ÉLECTRO-DYNAMIQUES

IV. Sur la valeur de la force qu'un conducteur angulaire indéfini
exerce sur le pâle d'un petit aimant.

Soit que I'od considère le pôle B (P. II, flg. 34) du petit aimaat A3
comme l'extrémilé d'uD solénoïde électro-dynamique ou comme une
molécule magnétique, on est d'accord, dans les deux manières de
voir, à l'égard de l'expression de la force exercée sur ce pôle par
chaque élément du conducteur angulaire CMZ : on convient géné-
ralemeat qu'en abaissant du point B sur une de ses branciies G^U
prolongée vers la perpendiculaire BO^^, en faisant 0|x=s,
BM = a, Bit = r, l'angle B|j.M = ô, l'angle CMH = BMO = c, et en
désignant par p un coefficient constant, la force exercée sur le pôle B
par l'élément as aitué en y. est égale à

psinOdi

qu'il s'agit d'intégrer depuis s = OM = a ces e jusqu'à s = c<Oj ou, ce
qui revient au même, depuis = £ j usqu'à Q := o : mais, dans le triangle
B0[*, dont le côté OB = 6 = a sin t, on a

g = a sId t col 0, d s = -

dfl
asini'

dont l'intégrale est

-(cosB-l-C),

ou, en la prenant entre les limites déterminées ci-dessus,

valeur qu'il suffit de doubler pour avoir la force exercée sur le pôle
B par le conducteur angulaire indéfini CMZ; cette force, en raison
inverse de BM = a, est donc, pour une même valeur de a, propor-
tionnelle i la tangente de la moitié de l'angle CMH, et non à cet angle

160 THÉORIE MATHÉMATIQUE

lui-même, quoiqu'on prétende que la valeur

psinOds

r«

de la force exercée par Télément ds sur le pôle B, ait été trouvée en
analysant par le calctU la supposition que la force produite par le fll
conducteur CMZ était proportionnelle à Tangle CMH. On ne peut
douter qu'il n'y eût quelque erreur dans ce calcul ; mais il serait d'au-
tant plus curieux de le connaître, qu'il avait pour but de déterminer
la valeur d'une différentielle par celle de l'intégrale définie qui en
résulte entre des limites données, ce qu'aucun mathématicien ne me
parait, jusqu'à présent, avoir cru possible.

Gomme on ne peut pas, dans la pratique, rendre les branches
MC, MZ du conducteur angulaire réellement infinies, ni éloigner les
portions du fil dont il est formé qui mettent ces branches en commu-
nication avec les deux extrémités de la pile, à une assez grande
distance du petit aimant AB pour qu'elles n'aient sur lui absolument
aucune action, on ne doit, à la rigueur, regarder la valeur que nous
venons d'obtenir que comme une approximation. Afin d'avoir à
vérifier par l'expérience une valeur exacte, il faut calculer celle
qu'exerce sur le pôle B du petit aimant un fil conducteur PSRMTSN,
dont les portions SP, SN, qui communiquent aux deux extrémités de
la pile, sont revêtues de soie et tordues ensemble, comme on le voit
en SL, jusqu'auprès de la pile, en sorte que les actions qu'elles
exercent se détruisent mutuellement, et dont le reste forme un
losange SRMT situé de manière que la direction de la diagonale SM
de ce losange passe par le point B. Pour cela, en conservant les déno-
minations précédentes et faisant de plus l'angle BRM = 0^ , l'angle
BR(y = Vi , la distance BS = a' et la perpendiculaire BO' == ^ =— a'
sin t parce que l'angle BSO' = — e, on verra aisément que l'action de
la portion R S du fil conducteur sur le pôle B est égale à

p(cose — cos6j)
V '

comme, à cause de 6 = a sin t, on aurait trouvé

p(C086j — cost)

DES PUKNOKSNES ÉLKCTRO-DYNAMIQUSS

161

pour celle qu'exerce la portion MR sur le même pôle B, en prenant
l'intégrale précédente depuis Q = 6 jusqu'à 6 = 9,.

En réunissant ces lieu^c expressions et en doublant la somme, oa a,
pour l'action de tout le contour du losange MRST,

/eos 9,

'H—

-+

cos 6',

Cette expression est susceptible d'une autre forme qu'on obtient en
rapportant la position des quatre angles du losange à deux axes BX,
B Y menés par le point B parallèlement à ces côtés et qui les rencon-
trent aux points D.E, F, G; si l'on fait BD = BF = y, BE = BG = /i,

in 3G, b' = BO' = A sin 3

h -\- g cos 91

v'Sf' + A' + ajAcosai

g-^-h cos ae
v'?' + A* + ajAcosat

et au moyen de ces valeurs, celle de la force exercée sur le prtle B
deviendra

' * + s

cos ai

;jsmj.vs' + '

,• + ,,*

cos

"

'jVs'+*' + -

igh cos ai

_

g h sin »

ina^V + A'-
h sin I y'

jrsiD3> A sin mJ-

en remplaçant dans les deux derniers termes slo a > par sa valeur
9 sin ccost.

Abaissons maintenant du point D les perpendiculaires DI, DK sur
les droites BM, BR : la première sera évidemment égale à ^ sin c, et
la seconde s'obtiendra en faisant attention qu'en la multipliant par
BK = v'j* + A' + a y h cos a «, on a un produit égal au double de la
surface du triangle BDR, c'est-à-dire à gh sin s<, en sorte qu'en nom-
mant /»,., &ip,f ces perpendiculaires, il vient

1 t i _ i/ g* + h' + igh cos at^

162 THÉORIE MATHÉMATIQUE

en abaissant du point E les deux perpendiculaires EU, EV sur les
droites BT, BS, et en les représentant par pt^i et pt,^ , la première sera
égale à DK à cause de Tégalité des triangles BDR, BET, et la seconde
aura pour valeur h sin e, en sorte que Texpression de la force exercée
par le contour du losange MRST sur le pôle B pourra s'écrire ainsi :

Sous cette forme elle s'applique non seulement à un losange dont
une diagonale est diiîgée de manière à passer par le point B, mais à
un parai lélogranmie quelconque NRST (fig. 44) dont le périmètre est
parcouru par un courant électrique qui agit sur le pôle d'un aimant
situé dans le plan de ce parallélogramme. Il résulte, en effet, de ce
qui aété dit, pages 41 et 81, que l'action de NRST sur le pôle B
est la même que si tous les éléments d'X dont se compose sa surface

agissaient sur ce pôle avec une force égale à ^— ^ ; d'où il suit qu'en

nommant jt; et y les coordonnées rapportées aux axes BX, B Y, et à
l'origine B d'un point quelconque M de l'aire du parallélogramme ce
qui donne

d*X = dxdy sinas et r = v'j:*+y*+«^cosa6,

on aura, pour la force totale imprimée au pôle B,

dxdy

/•/• dxdti
P sin 2t / / 7-5- — — — 2

Qr nQU3. avons vu, page 73, que l'intégrale indéfinie dQ

dsds

%3t

(a*-f ** + «* — a«s'cos8)|

1 , ss'sin*e + a*cos»

arc tang

« s^° • a sin e V «• + «« + «'« — a»' co^t '

ou

I ^ a sin ev^a* + «* + «'" — a«$' ces s

arc tang

asme $s sin' s -|- a' ces s

en supprimant la constante - . Quand a est nui, celte quantité se pré-

DES PHÉNOUËNBS ÉLECTHO-DYNAMIQUES

sente sous la furme - ; mais comme l'arc doit être alors remplacé par

sa tangente, le fact'ïur nul a sin t disparaît, et l'on a

JJ (ï' + s'— 3Mcoai)î

V/7T7

qu'il est aisé de vérifier par la diffère a tiatioD. On en coDclut immé-
diatement que l'expression de la force que nous calculons, considérée
comme une intégrale indéfinie, est

P</a:'-f-y'+axycoga« _ p
xy sin' t p '

en nommant p la perpendiculaire PQ abaissée du point P sur BM,
parce que le double de l'aire du triangle fiPM est à la fois égal &
p^/x* + v' + axycos ae el à xysiuac, ce qui donne

i _ \lx' + g' + -iXH COS 3«
p xtf sin' 31

n ne reste plus maintenant qu'à calculer les valeurs que prend cette
intégrale indéfinie aux quatre sommets N, R, T, S du parallélo-
gramme, et à les ajouter avec des signes convenables; en continuant
de désigner respectivement par p,,, , p,^ , ;j,,, , p,j les perpendiculaires
DI, DK, EU, EV, il est évident qu'on obtient ainsi pour la valeur de
la force cherchée

\pti Pu Pi., pt» '

La direction perpendiculaire au plan du parallélogramme NRST
suivant laquelle le pôle d'un aimant situé en B est porté par l'action
du courant électrique qui parcourt le contour de ce parallélogramme,
est la directrice de l'action électro-dynamique qu'il exerce au point B :
d'où il suit que s'il y avait à ce point un élément de courant électrique
situé dans le plan du parallélogramme, il formerait un angle droit
avec la directrice, et qu'ainsi l'action de ce courant sur l'élément
serait une force située dans ce plan, perpendiculaire à la direction de
l'élément, et égale à celle que le même courant exercerait sur le pôle

164 THÉORiE DES PHÉNOMÈNES ELECTRO-DYNAMIQUES

d'un aimant placé au point B multipliée par un rapport constant, qui
est ici celui de p à - ii'ds^ en nommant cet élément ds ; en sorte qu0
la force ainsi dirigée qui agirait sur Télément aurait pour valeur

- Il ds{ 1 ) .

Lorsque l'élément situé en B n'est pas dans le plan du parallélo-
gramme, mais forme avec ce plan un angle égal à co, on peut le rmn-
placer par deux éléments de même intensité, l'un dans ce plan,
l'autre qui lui est perpendiculaire : l'action du courant du parallélo-
gramme sur ce dernier étant nulle, on ne doit tenir compte que de
celle qu'il exerce sur le premier ; elle est évidemment dans le plan du
parallélogramme, perpendiculaire à l'élément et égale à

- Il dscoscui i ).

a ^P\A Pi.1 Pui P^'

FIN

fàMMÊ, — UfraiMJCaiB C. UAMfitS SX B. PLàMIUmiON. An AAOm,

K^^/^r/Vf r/f^

i

i

i

i

w

1

I.A MÊiïï LTBlàT'kiÉ

,\«ui luatlirinallcn. — HOdni-iKUr i-ii clt.^f, U. IITrAe-urni;}!
cimcunre d«s priar^anx muttuiiialiciuiih An In Fmnw i4.il> :
Chaiiue volume ilVuviron 180 pages in-4", imprimée» «op beau |i .
fiança.

Le tiuim V cmitieiil u» ttiii beau imrbuit iI'Abol gnii.

ISiNITr. Membre de rinMllul. — Ctturs profCGsô \ la Farutti des bciena-s-
(itïndanl le y enuic^re ls8l-il2, «or liia lnt^«i'«>CH déflnicw, Im
tlivoi'lo de* fanrtloim *l*tme vartiUilB bHN^lnalro iri Ira Aimk*
(i4«nM «llliiilqncH. — Lfç^us ivctitiillit-s par U. Andu^r. S*^d., rwue
el iiijgmeiïtf.^ par M. Ilermitc. 1 vol. m-i', 1883, lilli. 18 Jib. .

Ca lll||illi:B. l'mfcssi-tir .1( rniilh.'nialiiiuos spcci.ili!» an Ivc'-i' de Own?
Appllcwdun il<! In tbporlu nlSX'lu'Iqnc «la* Ax-mv* nW'
il*i«M A In «ItiaMinrnUon dtM llsutt* et dCM m^Ami**
a- orrtr*. Id-IT, br. IBsa. . >fr. DO*

CI. ■EKtt. 'l'niltrssi^itr it la KacultA dits icletiu» d<! Dijon. ~ »«■««««« itt^
el» il'iuialyMî InOïklt^Imale. I ViiL in-V, 1971. 310 V'i

CB. lEHAT. ~ KoHviMUx élémiMilii de sréutuétrle. Corls, 1-^: '

j[>-)l* di' 33G ;>iii;i-« cumpaulrs «vec llil lig. tiore LckIp. :'. ii.

■lUST. — Pr4nolpalMi méUiMleM de lit ir^a<l|^4r1e ■np^leiiro.

1 vol. in-8°, IS70, tilb. 4 fr.

STUtSTB «iLOll. — mwvrvm nwUiimnilqiai

riUe, iD-i", br . l8iG.

. pobirce» pH- M. i.'LJDBiT-

E, DOCLiOX. — l^liA^gu du uourf <li! cbiniiv bîotvgtquc à la Factiltû desscjeac».
Hvtuwire tuar 1« talc Craud in-8"t I^M). ttû pagtis, tlffuieit dans le itixlc
l'i s! pi, hor* li'vfr. ( fp__^

/':/( /f l'Alt.UiiHi Lh {• ISOVtUtttltk 1883

CROCT. — lltitclHur de robsprïaioiri! cl professeur ù lu FacuUii d<,-K snionce
\\Kfmr,oi\. doyeii tiiiniirain-. Lt^umt d^tuKfnnomlc réiOmivé <
AirntéitMat «u itropramme «lu 1« llci-«c«< 1 voU in-i*. llUl*

1^

THF. BORROWtR Wlli BE CHARfîF.D
THE aiSTOF flVERfJUF. WJTIFICATION
rF THIS BOC>K tS NOT RETURNFJI TO
THE LrKRARY UN OR IIKFfiRF THE LAST
I)ATt. STAMPEI) KFtpW.

Hk WEMtlLfeRAIRIE

Aotn luaUKnittttoB. — ft^'ilnt^untr m choF, H. ■irr«a-CErrLII, ikvt
vuncunT^ des )irïDfijiniix iiiHUiéDinticitioe de- ht Franoc il. du 1^1
Climiui! voloine d'environ WO pages in-t', imimm^oe. «np liau papîor iutf^
^MCM. 15 fr.

Le li^tit! l" cniitieut nu très beau (lortrall 4'Abnl gra»^.

lEUITE Ui'mbre de l'InBtitat. — Cftura profésdé li la Faotillâ ilos sdcitfl
pendant le ■£• semestre IB81-83 , Uni- Hw InlvcnOoM aâOnkWi
Itkéorlv tl«« riH>ctl4Mw «l'iuie viu-lable Imairlnalre oC lv« J!
il»iiM «illi>tl>iu«w. — l.ci;i'iie rucueillks par U. AndzijM*. i" àiL,
«l dii({iDenté.' par H. Heiiiiitc- I vol. in-*% IS83, lilli.

ca BUDIER. ^r■r'■s^t■ur .!..■ inatlK-iiiatiiiu..-* sf-ecisles an Ucêc du Cncn.
ApiilIcMlloa (tf? bi thfiirttr Bli^ËlM-lqnp dcM Axinc^ ipinilratl-
ituea A la (^loMMlfli-nUan dr« ll|[tn<i« M Um »(irlb4M*» *lt*
a- »rttiY. In-lf, l>r, 1«8S. a fr. SO

Cl. lEUT. frorr-ssi-ui' il b Kfteult« ilcs iH:JeDues •!<' DiJ»H,
tflM (faufilyM- ltillnlt«aliuale. I vol. in-S*, l»7^.
[««ctt.-^

Cl. niEAT. — lVo«v««ux AliwuitMtM d» iréuniétrlr '

ia-6* àa 33li pOjjcB cvtnpaclcs nv«ç Itii %■ bon k-tte.

I vnl. liHf, 1870, lUk. i rr.

ÊTillSTE tUOIl. — atn^Tfv» uutUtémndlqnfia, pnbln-ia psr U . J. Liou-

vilk>, lii-i-, br . tStG. 10 Ir.

t. DDCt-ftOX. — Ctiargi- du lîours dt tbiniic Itiulogtquc h la t'acultii des scJeoco».

MJuMrfre «MT le IbIC Grand in-((, It(i3. lâU pages, flKiire«iliiSi t« lutd

ol â pi. hop* le»t(î. ( fr._:

- N<nnr«MuApi^

/»«(/« FA/tAJTIUi Lh \' .\0\£lttÙff/i l»«J

«MIT. — mr^lunr lie robscrTSldlru i:l professeur h U facuW itc6 kcm'Uru d
llc>-un<;on, doyen houuruiro. i.«r'^>iM •l^MrtMtnauUe «<4(llc««d att'
fbrtnriMrnt nu itropvautuie île In itccaeiN 1 vuL ilt•i^ lit

TH( KJRROWER WFU- BE CHARCED
Tilt niST OF OVERDini M^TTFICATTON
IF THIS MlOK IS NOT RETURNED IXt
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