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«A
I
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^
ï
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^
TRAITÉ
D'ALGÈBRE
PARIS. - IMPRIMERIE DE GAUTHIER-VILLARS,
Quai dci Augustins, 55.
^
TRAITÉ
DALGÈBRE,
A L USAGB
^^43J^
DES CANDIDATS AUX ÉCOLES DO GOUVERNEMENT,
Par Hf^URENT,
Examinateur d'admission à l'École Polytechnique.
QUATRIÈME ÉDITION,
EN HARMONIE AVEC LES NOUVEAUX PROGRAMMES,
revue
Par J.-H. MARCHAND,
Ancien Élève de l'École Polytechnique.
DEUXIÈME PARTIE,
A l'usage des classes de Mathématiques spéciales.
PARIS,
GAUTHIER. VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE
DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉGOLE POLYTECHNIQUE,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,
Quai des Grands-Augustins, 55.
i887
( Tou8 droits réiierrés).
TRAITÉ
D'ALGÈBRE.
DEUXIÈME PARTIE.
CHAPITRE PREMIER.
a
i*
I * ANALYSE COMBINATOIRE,
-
I. — DES ARRANfiEMENTS.
On appelle arrangements de m objets pris n k n les
résultats obtenus en prenant n de ces objets de toutes les
manières possibles, de telle sorte que deux quelconques
de ces résultats diflFèrent soit par les objets dont ils sont
composés, soit par Tordre de ces objets.
Proposons-nous de trouver le nombre des arrangements
de m objets pris n kn, nombre que Ton désigne habituel-
lement par le symbole A^. A cet effet, supposons que Ton
connaisse le nombre des arrangements de m objets pris
i à i, ou A.\„ ; si Ton veut former les arrangements de m ob-
jets pris i -h I ài-f-i, il faudra ajouter successivement
à chaque arrangement des m objets pris i k i les m — /
objets qui n*y entrent pas. On formera ainsi m — i nou-
L. — Algèbre, II. I
a TRAITE D ALGEBRE.
veaux arrangements avec chacun des anciens, c'est-à-dire
en tout Aj„ (m — i) nouveaux résultats.
Je dis : i^que tous ces résultats sont des arrangements
diflférents, car ils diflTèrent, soit par l'arrangement com-
posé de i objets qui a servi à les former, soit par le
dernier objet ajouté; 2° qu'un arrangement quelconque
composé de i -f- 1 objets s'y trouve, car, si à cet arrange-
ment on enlève son dernier objet, on retrouve un arrange-
ment de i objets. Or, comme ils ont été tous employés,
l'arrangement composé de i -h i objets se trouve parmi
ceux que nous avons formés ; on a donc enfin
Si l'on observe alors que AJ^ est égal à m et si dans la
formule précédente on fait 1 = 1, 2, 3, ..., n — 1, on
trouve
A*, = /n(m — i), AJ,"A«„(m— 2), ...,
A';;,= A-^-'{m-n-^i),
et, en multipliant ces égalités membre à membre, puis en
supprimant dans les deux membres de la formule résultante
des facteurs égaux,
A* =:/7l(/W — i)('w — 2). ..(m — Tl-f-l).
G. Q. F. D.
n. — DES PEBMUTATIOIIS.
On appelle permutatioTis de n objets les résultats ob-
tenus en disposant ces n objets les uns à côté des autres
de toutes les manières possibles.
Proposons-nous de trouver le nombre des permutations
de n objets; désignons ce nombre par P„ (*). Supposons
{*) On désigne quelquefois ce nombre par le symbole ni.
CHAPITRE PREMIER. 3
que Ton sache former le nombre Pf : à chaque permutation
de i objets ajoutons un nouvel objet, en lui faisant oc-
cuper successivement la première, la seconde, ..., la
i + 1***® place ; on formera ainsi (i -j- i )P/ résultats diflfé-
rents, soit par la permutation de i objets qui a servi à les
former, soit par le rang occupé par le nouvel objet. En
second lieu, une permutation quelconque de i -H i objets
fait partie de celles que Ton vient de considérer, car, en lui
enlevant le dernier de ses objets, on retombe sur une des
permutations de i objets, permutations qui ont été toutes
employées. On a donc
En faisant successivement 1 = 1, 2, . . . , n — i et en ob-
servant que P| est égal à i , on a
et par suite, en multipliant ces égalités membre à membre,
On peut remarquer que
P '— A"
Et, en effet, si dans la formule trouvée page 2 on fait
m=- Uj on trouve
A^r=/2 (« — l)(/Z — 2). . .2.I=:P„.
m. — DES GOMBIRAISOirS.
On appelle combinaisons de m objets pris /i à n les
résultats obtenus en prenant n de ces objets de toutes les
manières possibles, deux résultats différant seulement par
I .
4 TRAITE D ALGEBRE.
la nature des objets qui entrent dans chacun d'eux et non
par leur ordre.
Désignons par Cj„ le nombre des combinaisons de
m objets pris i k i\ pour former les combinaisons de
m objets pris i •+• i à i H- i , on peut, à chaque combinaison
composée de i objets, ajouter chacun des m — i objets
qui n'y entrent pas. On obtient ainsi C^ 'X{m — i) résul*
tats qui contiendront toutes les combinaisons formées de
i •+• I objets, puisque, en retranchant un objet à Tune des
combinaisons formée de / + 1 objets, on retrouve une
combinaison formée de i objets, et que toutes celles-ci ont
été employées ; mais les résultats que nous obtenons de la
sorte ne sont pas tous différents. En effet, si nous consi-
dérons l'un quelconque d'entre eux, quel que soit l'objet
que Ton en retranche, on retombe sur une combinaison
différente formée de i objets ; une combinaison quelconque
de 7n objets pris /i 4- i à n ~\- i a donc été obtenue par
notre procédé de i-hi manières différentes, en sorte
que Cj„(/n — i) représente i •+- 1 fois CjJ"*. On a donc
d'où l'on conclut, en faisant i == i , 2, 3, . . . , n — i , et en
observant que le nombre des combinaisons de m objets
pris un à un est m.
j m — I j ri '^ — ^
m — ^m ~
d'où l'on conclut
t * J ^- ~ 1.2.3. ../^
CHAPITRE PREMIER. 5
On voit, d'après ce qui précède, que
A'* •
en ^m ^
»
Celte formule peut du reste se démontrer directement en
observant que les arrangements de m objets pris n k n
peuvent s'obtenir en permutant les n objets de chaque
combinaison de m objets pris w à n, de toutes les manières
possibles. On a donc
d'où l'on déduit la formule précédente, et par suite, si l'on
veut, la formule (i).
Si l'on adopte la notation /z! pour représenter le pro-
duit 1 .2.3. • .72, la formule (i) peut encore s'écrire
r>n
n\[m — n)[
IV. — REMARaUES AU SUIET DES THÉORIES PRÉCÉDENTES.
Problème 1. — Concevions qu après avoir formé les
arrangements de m lettres prises n an on suppose i de ces
lettres identiques à a, j de ces lettres identiques à h, etc, :
combien dbtiendra-t-on de résultats différents?
Supposons d'abord qu'il n'y ait que i lettres iden-
tiques à a :
i" Les arrangements où a n'entre pas seront tous diffé-
rents : ce sont les arrangements de m — i lettres prises
n kn] leur nombre est A^_^ ou
2° Les arrangements où a entre une fois seront encore
tous différents : si nous voulons en connaître le nombre,
6 TRiHTB D ÀLGESaK.
considérons les combinaisons correspondantes; ôtons a,
nous aurons les combinaisons de m — i lettres n — i kn — i.
Si dans chacune de ces combinaisons nous permutons les
n lettres qui y entrent y compris a, nous aurons P/iC^^li
p
résultats différents ou r~ C^l,.
3^ Les arrangements où a entre deux fois ne seront
pas tous différents; si nous ôtons deux fois a et si nous
considérons les combinaisons correspondantes, elles sont
en nombre C^I^, et, si nous permutons les lettres qui y
entrent en y comprenant deux fois a, nous aurons P/iC^^^
résultats qui ne seront pas tous différents, car, en permu-
tant les deux lettres a dans chaque combinaison, on ne
p
la change pas; il n'y aura donc en tout que ^CJÎ,~^ré-
sultats différents, etc. Le nombre cherché est donc
(r>n—i r>n-2 nn-z nn—i
c„_,+ p^ + p^ ^ p^ +•••+ p.
Supposons maintenant qu4l y ait i lettres égales à a,
j lettres égales à è.
Le terme général de la quantité cherchée sera le nombre
des arrangements dans lesquels a entre jui fois et è v fois. Il
est facile de voir que ce nombre est
P
*■ n /-i /t— n — V
P P
Cre— I* — V
p
en sorte que le nombre des résultats cherchés est
(X et V restant toujours moindres que i et 7, etc.
Problème IL — Tromper le nombre des permutations dif-
férentes que l'on obtient en supposant un certain nombre
de lettres identiques dans les permutations de n lettres.
GHAHTRE PREMIER. 7
P,, étant le nombre des permutations de n lettres, si
parmi ces lettres il y en a i identiques à a, il est clair
qu^en permutant ces lettres a on aura des résultats iden-
tiques; les permutations P,, se partagent en groupes de P,
permutations identiques : donc les permutations essentiel-
lement différentes se réduisent au nombre de P,» ! P{ quand i
lettres deviennent identiques ka\ si, en outre, y lettres
deviennent identiques à &, le nombre des permutations
distinctes se réduira à ^5 etc.
*
Problème III. — Trouver le nombre des résultats dif-
férents obtenus en supposant^ dans les combinaisons de ni
lettres prises n à n, i lettres identiques à a, j lettres iden-
tiques à b.
Considérons une combinaison dans laquelle a entre
fi fois, b V fois, etc. ; supprimons les lettres a et b de cette
combinaison, nous trouvons une combinaison de m — i — /
lettres prises n — (i — v à n — fi — v; donc le nombre des
combinaisons distinctes où a entre /ui fois et é v fois
est C^T^), d'où Ton conclut facilement le nombre
cherché.
V. — FORMULE DU BINOm.
On appelle formule du binôme celle qui fait connaître
le développement d'une puissance quelconque d'un bi-
nôme. Cette formule (dans le cas où l'exposant de la puis-
sance est entier et positif) paraît avoir été connue bien
avant Newton, on la trouve dans les Œuvres de Pascal. On
peut consulter à ce sujet : 1° l'article Binôme dans le Dic-
tionnaire des Mathématiques de Montferrier; 2^ un article
de M. O. Terquem, inséré dans ses Nouvelles Annales,
t. VI ; 3° enfin, Y Histoire des Mathématiques de Montucla.
8 TRAITÉ d'algèbre.
Voici comment on peut arriver à cette formule à Taide de
l'analyse combinatoire.
Multiplions entre eux les binômes
[a: -h a) [jc -{- b) [x -\' c) , , , [x -{- l).
Pour faire un produit de deux polynômes, on multiplie
chaque terme du multiplicande par chaque terme du mul-
tiplicateur; en d*autres termes, le produit de deux poly-
nômes est la somme des produits obtenus en prenant pour
facteurs un terme dans chaque polynôme de toutes les ma-
nières possibles.
Le produit de trois polynômes est égal à la somme
des produits obtenus en prenant pour facteurs un terme
dans chaque polynôme de toutes les manières possibles, et
ainsi de suite (t. I, p. 24).
Cela posé, le produit que nous cherchons est égal à la
somme des produits obtenus en prenant pour facteurs un
terme dans chacun des binômes (a:-f-a),(j^-t-i), •.. de
toutes les manières possibles. Prenons d'abord x dans
chacun des m binômes en question, nous formons le
terme x^; prenons ensuite x dans m — i binômes et le
second terme dans le m**™* binôme restant ; faisons cette
opération de toutes les manières possibles, la somme des
termes ainsi obtenus sera x"^"* (a -H i -i- . . . -H '), que Ton
peut désigner par ]a notation abrégée
^m-
'2"'
déjà employée (I" Partie, p. 65, 66). En général, si
nous prenons x dans m — n binômes, il faudra prendre
les seconds termes dans chacun des n binômes restants ;
en répétant cette opération de toutes les manières pos-
sibles et en ajoutant les résultats, on trouve
CHAPITRE PREMIER. 9
^^ flic. . ./désignant, pour abréger, la somme des pro-
duits obtenus en prenant pour facteurs n des m lettres
a, byCy, . .yl de toutes les manières possibles. ^^ abc . . ,/
représente donc la somme des combinaisons des m lettres
Ujb,, , . , y prises n kn sous forme de produits. Si donc on
vient à supposer a=:b==.cz=,,.=l, le terme que nous
venons de calculer se réduit à
Enfin, pour achever la formation du produit que nous
cherchons, nous prendrons les seconds termes des bi-
nômes, et nous aurons le terme abc . ./; nous pourrons
donc écrire
/ [x -^ a][x-^ h). , .[x-^-l]
t \ ï
Nous aurons plus loin occasion de faire usage de cette
formule ; si Ton y fait a=b = c=,,.=^lj il vient
[x -\- a)"" = x"^ -^ max'"^-^ H- , . . -+- C;), fl" a:'"-'* + . . . -ha"'.
Cette formule peut encore s'écrire, en remplaçant C^ par
sa valeur
/ » ^ . Aw(/n — i) . ^ ,
.r -ha)^ z=x^ -+- max"^-^ H ^ ^û*a:'«-' -4- . . .
^ J .2
(2) /
' m(m — i){m — 2]... [m — n-hi) „ ^ „
Nous ferons, au sujet de cette formule, plusieurs re-
marques importantes.
1*^ Deux coefficients également éloignés des extrêmes
dans le dév^eloppement de (x -H a)^sont égaux.
10 TRAITE d'ALGBBBE.
En effet f en changeant x en a et a en x^ les coefficients
des termes ne changent pas ; le premier membre de l'équa-
tion (2) ne change pas non plus. On a alors, en identi-
fiant les deux développements de [x 4- a)"' que Ton ob-
tient ainsi, c'est-à-dire en égalant les coefficients des mêmes
puissances de x^ le théorème qu'il s'agissait d'établir; il
conduit à la formule
que l'on peut vérifier directement. Elle revient, en effet, à
la suivante :
m
[m — i)...(/w — ii-f-i) m{m — i).. .(« H-i)
I.2.3.../Z 1.2. 3. ..(m — n)
Si l'on réduit les deux membres de cette égalité au
même dénominateur, les numérateurs deviennent égaux
a i«2«0t** fi»
2° Si l'on fait a = .r = i , on a
2"» = 1 + Ci, + cj, + . . . + c;^ .4- . . . -i- cj;.
3° Si l'on fait a = — x ^= — i, on a
O — I V^„j -t- VAfn • • • — «-vn -f- • • • ^l^ y^m*
4° Si, dans la formule (2), on met le terme général sous
la forme
i\ désignant d'une manière générale le produit i .2.3. . .z,
si l'on change ensuite a en a -t- i, le terme général du
développement de (x H- a+ è)'^ sera donné par le terme
général du développement de l'expression (3) dans la-
CHAPITRE PREMIER.
quelle on aura changé a en a -t- i ; il sera donc
II
ml [m — 71 ) !
ni (m — n)l[m — n — a)!a!
ml
^a^m— «-»^
nl(m — n— a)lal
a*^'»— »— «^p».
En changeant ensuite i en i •+- c, on obtient de la
même façon le terme général du développement de
(or -j-aH-i H- c)'^, et, en continuant ainsi, on trouve,
comme t. I, p. 67,
formule dans laquelle on a toujours
aH-j3-+-... -h'k'^ nz= m;
les entiers «,j3,... pouvant être nuls, on y supposera a9
égal à i, et ci égal à i.
VI. — DU TBIAH6LB AHTHMÉTiaUE.
Considérons les coefficients des puissances successives
du binôme; écrivons sur une première ligne les coeffi-
cients de la première puissance, c'est-à-dire i et i ; sur
une seconde
2
3
4
5
6
7
I
3
6
10
i5
21
I
4
10
ao
35
I
5
i5
35
I
.6
21
I
7
igné écrivons les coefficients de la seconde
puissance, c'est-à-dire i, 2, i, et ainsi de suitei de sorte
12 CHAPITRE PREMIER.
que les coefficients des termes de même rang se corres-
pondent dans une même colonne verticale. Le Tableau que
nous formons ainsi porte le nom de triangle arithmé-
tique; les propriétés de ce triangle ont été développées
avec beaucoup de soin par Pascal dans son Traité dû
triangle arithmétique; toutefois il ne dispose pas son
I I
I
I
I
I 2
3
4
5
I 3
6
10
I 4
10
I 5
triangle tout à fait de la même façon que nous. Si nous
concevons que, dans le triangle dont nous avons parlé en
premier lieu, on fasse glisser chaque colonne verticale
de manière à amener toutes les unités qui sont en tête
sur une même ligne horizontale, on aura le triangJe de
Pascal. Les nombres qui sont inscrits dans la (/z-H i)^*"'®
colonne verticale du triangle portent le nom de nombres
figurés du n^^^^ ordre; les nombres du premier ordre,
oui,2,3,4>««M portent aussi le nom de nombres natu-
rels, les nombres du second ordre celui de nombres
triangulaires , les nombres du troisième ordre celui de
pyramidaux, les nombres du quatrième ordre celui de
triangulo'triangulaires .
Théorème L — Le i^^^^ nombre figuré de l'ordre n a
pour expression
i[i -^\), . .[i + n — i) . (/2 -♦- i) (/2 4- 2). • .(/2 + / — i)
I .2.3. . .W I .2.3. . .(1 — l)
En effet, les nombres figurés de Tordre n sont les nombres
de combinaisons w à /i; le premier est relatif à n objets,
CHAPITRE PREMIER. l3
le second à 7Z H- i , . . . , le i'*™® à tz -t- i — i , en sorte que
le i'^™® nombre figuré de Tordre n est C"^^_^, ou, d'après
un corollaire (p. lo), GJj~i_i, c'est-à-dire
{/ + /? — i)(/H- « — 2)...i (w4-/ — l)(/î-f-/ — 2)...f«-f-l)
. ou — r- )
1.2. 3.. .72 1.2.3. ..(; — l)
expressions identiques avec celles que nous avions an-
noncées.
Théorème II. — Un nombre figuré est égal au nombre
écrit immédiatement au-dessus de lui dans le triangle
arithmétique, augmenté du nombre placé à la gauche de
ce dernier.
En d'autres termes,
é
pn rin _, pn-1
Cette formule se vérifie très-facilement en remplaçant
les symboles C^+/, C^^,_^, C"7/_/ par leurs valeurs. Voici
comment on peut l'établir directement. Considérons la
formule
démontrée pages 8 et 9; multiplions ses deux membres
par(a:-hfl), nous aurons
(^ ^ a)n^i = ^«+^ + . . . -h (CJ^^_j 4- C;;7_i)û'»^' 4- ... ;
or, en identifiant cette formule avec celle que l'on obtient
en appliquant directement la formule du binôme à l'ex-
pression [x -H a)""^', on trouve
Cn , nn—i r>n
n+i-i "^ W+i-l — W+/ •
C. Q. F. D.
Théorème III. — // resuite du théorème précédent
14 TftAITB D'ALGàBRE.
qu'un nombre figuré quelconque est égal à la somme des
nomhres figures de l'ordre précédent^ placés immédiate'-
ment au-dessus de lui dans le triangle arithmétique.
Ainsi, Ton a
i{i ~h i). , ,{i-h n — i) 1.2.3... (/2 — i) i,3.^,,.n
I.2.3.../2 1.2.3... (tï — i) i.a...(/i — l)
-f-
i{i -h i), . .{i -^ n — 2 )
I .2.3. . .(/2 — l)
Le triangle arithmétique dont nous venons de parler est
un cas particulier d'un triangle beaucoup plus général, que
Pascal appelle aussi triangle arithmétique et que nous
allons apprendre à former.
Dans une première colonne verticale écrivons le nom-
bre a; dans une seconde colonne contiguë écrivons les
nombres a, a -H i, aa H- è, . . . , obtenus en ajoutant au
nombre b les produits de a par les nombres figurés du pre-
mier ordre; dans une troisième colonne écrivons les pro-
duits des nombres du second ordre par a augmentés. des
produits des nombres du premier ordre par b, et ainsi de
suite; nous formerons le Tableau ci-contre.
a
a
b
a
a-i- b
b
a
ia -h b
a -h 2 b
b
a
3a -^ b
3a-^3b
a-h 3b
b
a
^a-\-b
6a +4^
4« -h 6b
a-4- 4^
a
5a -+- b
loa -+- 5 b
lOa -h loh
5a -f- lob
Les propriétés connues des nombres figurés montrent :
I** quun nombre inscrit dans le Tableau précédent est
égal à celui qui est placé au-dessus de lui augmenté de
celui qui est à gauche de ce dernier; 2** qu'un nombre
GHAPITBE PREMIER. t5
quelconque est égal à la somme de tous ceux qui sont
écrits au-dessus de lui dans la colonne précédente.
Considérons la troisième colonne de notre dernier Ta-
bleau ; faisons J = i , elle se composera de la suite
I, a -f- 2, 3 a -I- 3, 6<Jï + 4? loa-^Sy ....
Lorsque a = 1, on retrouve les nombres triangulaires;
lorsque a = a, on obtient les nombres carrés, qui ne sont
autre chose que les carrés des nombres naturels ; lorsque
a = 3, on obtient ce que Ton appelle les nombres penta-
gonaux; lorsque a == 4> on obtient les nombres hexago-
naux, etc. Voici maintenant la raison de ces dénomina-
tions.
Fig. 5. rîg. 6. Fig. 7.
.A
• • •
• • • •
Considérons Xdifig. S : elle commence par un point; au-
dessous on a placé deux points, puis trois, puis quatre, etc.
Si n représente le nombre de points placés sur le côté AB,
le nombre total des points contenus dans la figure sera
1 -h 2 -T- 3 H- ... -f- 71,
somme des n premiers nombres naturels, c'est-à-dire re-
présentera le n^*"* nombre triangulaire.
Si nous considérons maintenant la Jig. 6, si nous dé-
signons par n le nombre de points contenus dans le
côté AB, il y aura n^ points en tout dans la figure ; or, on
peut évaluer ce nombre d'une autre manière, en obser-
vant que Ton trouve de chaque côté de la diagonale AC
l6 TRAITE D ALGEBRE.
A^ points, h désignant le [n — !)»*«»« nombre triangulaire;
il y a donc en tout
points dans la figure, c'est-à-dire un nombre de points
marqué par le w**""® nombre carré.
Si nous considérons la fig. 7 et si le côté AB contient
n points, nous voyons que la figure totale contiendra, en
désignant par /r le [n — i)'*"® nombre triangulaire, ik -j- n
points, et ainsi de suite.
VIL — SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES DES TERMES
D'UNE PROGRESSION ARITHMETiaUE.
Considérons la progression arithmétique (*)
«4, 2^2i ^3' • • • » ^mt ^m-\-\y • • • •
Soit h la raison; nous aurons, en désignant par n un en-
tier quelconque,
1 .2
{*) La théorie des nombres polygonaux et des progressions arithmétiques
existe dans les œuvres de Diophante. Archimède a fait connaître la somme
des carrés des n premiers nombres entiers, il l'a appliquée à la recherche
de l'aire de la parabole ; la somme des cubes des n premiers entiers a été
donnée par Brahmegupta, au vu' siècle; la somme des quatrièmes puis-
sances a été donnée par Djamchid ben Mas'oud ben Mahmoud, médecin
arabe du xvi* siècle ; Fermât a donné le premier une méthode générale pour
la sommation des puissances semblables des termes d'une progression arith-
métique.
CHAPITRE PREMIER. 17
Ajoutons ces égalités membre à membre, il vient, en sup-
primant des termes communs de part et d'autre,
i=zni I = m
£ = I i=zi
d'où Ton tire
Cette formule permet de calculer la somme des puis-
sances 7i'^™«^ des termes d'une progression arithmétique
lorsque l'on connaît la somme des puissances i, 2, 3,.-«y
n — I .
Proposons-nous par exemple de trouver la somme des
carrés des p premiers nombres. Il faudra, dans la formule
précédente, faire h=i i et /z = 2; il viendra alors
1
r — -y
3 2 c>
1=1
ou bien, réductions faites,
i — p
_P{P-^^){^P-^^]
2
6
La même formule (i) donne ensuite, pour « =3,
^ A 1 6
j=i
426
3.2/?(/?-hi) 3.2.1
2.3 2 2.3.4 *
L. — Algèbre, II. 2
l8 TRAITÉ d'algèbre.
c'est-à-dire, réductions faites,
Vm. — APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES
A LA SOMMATION DES PILES DE BOULETS.
Dans les arsenaux, les projectiles emmagasinés sont
aujourd'hui de deux espèces : les uns sont destinés aux
pièces lisses et sont sphériques; les autres sont destinés
aux pièces rayées et ont une forme cylindro-conique.
Nous nous occuperons d'abord de la sommation des
piles de projectiles cylindro-coniques ; ces piles sont for-
mées d'une première rangée de projectiles se touchant
tout le long d'une génératrice cylindrique. Soit n le
nombre des projectiles placés dans cette rangée ; au-dessus
et entre les intervalles laissés par les projectiles de la
première rangée, on place une seconde rangée de /z — i
projectiles; au-dessus de celte rangée, on en place une
troisième composée de n — 2, et ainsi de suite. On forme
ainsi une espèce de triangle dans lequel le nombre des
projectiles employés est évidemment le «**™® nombre
n ( fi -{- I )
triangulaire, ou — ^ -\ pour donner plus de solidité à
1.2
la pile, on place plusieurs rangées verticales, semblables
à celle dont nous venons de donner la description, les
unes contre lés autres. En désignant par p le nombre de
ces rangées, le nombre total des boulets sera
w(/z -4- i)
Donc, pour a^oir le nombre des projectiles oblongs
CHAPITRE PREMIER. 19
contenus dans une pile, comptez le nombre des boulets
contenus en long et en large à la partie inférieure de la
pile; si n désigne le nombre contenu dans le sens du
diamètre et p le nombre contenu dans le sens de la lon-
gueur des projectiles, p — représentera le nombre
total des projectiles contenus dans la pile.
Les boulets sphériques sont rangés le plus souvent sous
forme de piles rectangulaires ; les piles carrées ou qua-
drangulaires sont moins fréquemment usitées. Enfin on
n'emploie que rarement les piles triangulaires, et seule-
ment pour un petit nombre de projectiles, à cause de
l'espace qu'elles exigent.
Occupons-nous d'abord de la pile triangulaire. Soit n
le nombre des boulets contenus dans le côté du triangle
équilatéral qui forme la base de la pile ; cette base con-
tient évidemment un nombre total de boulets égal au
^ième nombre triangulaire, ou -^ ' boulets; au-dessus
de cette base ou première rangée; on en a placé une se-
conde, en ayant soin de mettre les nouveaux boulets entre
les interstices laissés par les premiers. Le côté de cette
seconde rangée ne contient que n — i boulets; par con-
séquent, la rangée elle-même contient un nombre de bou-
lets représenté par le [ji — ly^"® nombre triangulaire, et
ainsi de suite. Il y aura donc en tout dans la pile un nombre
de boulets égal à la somme des n premiers nombres trian-
gulaires, c'est-à-dire égal au ti**™® nombre pyramidal (de
là le nom de nombres pyramidaux donné aux nombres du
troisième ordre).
Donc, si n désigne le nombre des boulets contenus dans
le côté d'une pile triangulaire,
n[n -h i) [n -\-i)
*- -■ ■ —■■M I ■
1.2.3
2.
'JtO TRAITÉ d'algèbre.
représentera le nombre total des boulets contenus clans
la pile.
Considérons maintenant une pile quadrangulaire. Dans
cette pile, la base est formée de boulets tangents, les
points de contact ayant Heu aux extrémités des diamètres
rectangulaires; la forme générale de cette base est un
carré, en sorte que, si n désigne le nombre des boulets
contenus dans le côté, n* représentera le nombre total des
boulets contenus dans la base. Au-dessus de la base se
trouve une rangée de [n — i)^ boulets, et ainsi de suite,
en sorte que le nombre total des boulets contenus dans
la pile est la somme des carrés des n premiers nombres, ou
/2(/2-hl)(2/2-hl)
_ •
6
Ainsi donc, n désignant le nombre des boulets con-
tenus dans le côté d'une pile quadr angulaire,
m
/2 ( /2 H- 1 ) ( 2 « -I- I )
représentera le nombre total des boulets contenus dans
cette pile.
Considérons enfin une pile rectangulaire; sa base est
construite de la mcme manière que celle de la pile qua-
drangulaire. Soient n et n' les nombres de boulets contenus
dans les côtés de la base; au-dessus de la base, on- place
une rangée rectangulaire ayant tz — i eln' — i boulets de
côté, et ainsi de suite. Posons n' =^n-\~p\ le nombre total
des boulets de la pile sera
n[n -hp) -I- (/z •— i) (/z — ■ I 4-/?) -f- . . • + i 4-/^,
c'est-à-dire
/z2H-(/2 — l}*^-h. . .-f-2*-f- 14- [/2 4- (« — i) -f-. ..+ 2 -h i]p,
CHAPITRE PREMIER. 21
OU bien
/2(/2-t-i)(2/i-f-i) ^ n{n -\-i)
c'est-à-dire
6 • V -P'
OU bien
n{n -H i) (3^ -4- 2/2 -f- i)
/l(/2-+-l)(3V — /î-4-i)
On aurait pu arriver à ce résultat en observant que la pile
pouvait se décomposer en une pile quadrangulaire ayant
n boulets de côté et en une autre pile analogue aux piles
de projectiles oblongs, mais inclinée, et ayant/? et n bou-
lets de côté.
Donc, n et ri désignant le nombre des boulets con-
tenus dans le petit et le grand côté d'une pile rectangu-
laire, le nombre total des boulets contenus dans la pile
sera
n(n -|-i)(3/î' — /2-f-i)
6
Si dans cette formule on fait n' = n, on retrouve la for-
mule qui convient aux piles quadrangulaires .
NOTES ET EXERCICES.
1 . Dans les problèmes relatifs à l'analyse combinatoire, on est sou-
vent amené à évaluer le produit i . 2 . 3 . . . /z = n\\ quand n est grand,
le calcul de ce produit est presque impraticable. Voici une formule
(dont nous ne proposons pas la démonstration) que Ton donne dans
les Traités de Calcul intégral et qui permet de calculer rapidement n ! ;
log/i! = /î(log/i~ 0,4342945) -4- 0,3990899 -h -log/ï-H^
22 TRAITÉ d'algèbre.
(les logarithmes ont pour baseio). L'erreur commise par l'emploi de
cette formule est moindre que
I
10/2^
Il ne faut pas oublier que Cg, = , ^-j — r, A;J? = — ^> P« = /î!.
'^ ^ ( /// — n)\n\ n\
Exemple, — De combien de manières loo personnes peuvent-elles
se ranger à table? De loo! manières. On a logioo! = 157,97131. Le
nombre cherché a donc i58 chiffres; les premiers sont 93598.
2. De combien de manières peut-on écrire les unes à la suite des
autres a lettres « et p lettres b ?
a!j3!
'a-l-p
3. De combien de manières peut-on écrire les unes à la suite des
autres a lettres a, p lettres b^ . . . , > lettres /?
^P' a!(3!../A!
4. Le nombre de manières dont on peut amener le point N avec
ft dés à jouer est le coefficient de x^ dans le développement du poly-
nôme (JC -h a?^ H- j;3 H- ^* H- jc« -h ^76)1*,
5. Trouver le plus grand terme du développement de [a -+- b)'^,
m f
En appelant —^^ a'^b^ ce terme et en écrivant qu'il est plus grand
que celui qui le précède et celui qui le suit, on trouve
a ^ a a -+- i'
d'où l'on tire
Donc a est le plus grand entier contenu dans r— •
6. De ce que le nombre des combinaisons de m objets pris n ^ n
est — ^^ — ^ on peut conclure que le produit de
CHAPITRE PREMIER. 23
n entiers consécutifs est divisible par i .2.3. . ./z. Par des considéra-
tions analogues, prouver que, si a -h p -h 7 -h ... -h > = /w, le pro-
duit 1 . 2 . 3 ... m est divisible par
7. On a, quels que soient a:, jti, . . . , .r„,
, ..{x'-xMx — x^^,,Ax—Xr^ X xix — x(\
\ — X)"" ; =1 1 . . .
X\X^X^. . ,Xji X\ X\X\
X[X — X^{X — JTs) ... [x — Xn-\]
X\X^X^ , t % X
n
8. En appelant C^*, non plus le nombre des combinaisons de m objets
n ai n, mais la fraction — ^^ ■ — r-^ ■» ou w peut être
1 . 2 . 3 . . . /2 '^
quelconque, entier ou fractionnaire ou même négatif et incommensu-
rable, on a
9. Démontrer la formule
(x-\-a]"^ = x^^—a(x-^ b)"^-^-\ ^^ -a[a -ib) [x -+- ib) '«-2
nf[m — \)[in — 2 )
1 .2.3
a[a —^h)^ [x -^ ^b)"^-^ ^
(ÂBEL.)
10. On appelle factorielle un produit de facteurs en progression
arithmétique. On pose, d'après Vandermonde,
[ti^ r]« = a[n-^ r)[a -^ ir) . . . (/? -h // — ir).
Kramp remplaçait le signe [*'/, r]« par n''^'* Cela posé, on demande
de prouver que
Aa = [/w-«-M,i]«, P« = [I,IJ^
-h ... -4- es, [a, r]'«-« [b, /•]« -h . . . .
24 TRAITE d'algèbre.
Cette dernière formule est connue sous le nom de binôme de Vandcr-
mondt' ou des jactorielles.
11. On a
12. Si /2> I, on a
o = «' - ri(// — i)' -h C2(/? — 2)' — . . . ±z 0,1"^ I'.
13. Combien y a-t-il de termes dans un polynôme de degré w?
(Un de degré o, - du degré i, — du degré 2, etc.; en
tout ^ — :^ ^^ î n désignant le nombre des variables).
14. Avec des dames à jouer on forme une pile comme il suit : à la
partie inférieure on forme une sorte d'hexagone régulier en plaçant
n dames ayant leurs centres en ligne droite ; contre cette rangée on
place une seconde rangée contenant n ■+- 1 dames, puis une troisième en
contenant w -+- 2, . . . , puis une //**"* rangée, en contenant « -+-//— i ,
après quoi on place une {n -+- 1)'*"' rangée contenant une dame de moins,
et ainsi de suite, jusqu'à ce que l'on ait placé une dernière rangée
de n dames. Par-dessus cette figure on en place une autre formée de
la môme façon, mais contenant n — i dames seulement sur son côté,
et ainsi de suite, de sorte que la pile contienne une* dame à sa supé-
rieure, sept immédiatement au-dessous, puis dix-neuf, etc. Prouver,
que le nombre total des dames de la pile est /z*.
15. On peut toujours trouver pour A, B, C, ... des nombres rendant
identiques les formules
n^ = Xn(n -hi)-+- B(// — 1)/2,
n^ = A' n{/i -f- i)(n -+- 2) h- B'(/? — i)«(/2-+- i) -+- C'(n — 2)(n — i)/?.
En conclure les valeurs de 2/?*, 2^3^ etc.
16. On peut toujours déterminer des nombres A, B, C, ... tels que
l'on ait identiquement
^n{n-h\) -^ /lin -hi) . ,, (n -h i — i)
ni = A -h B/2 H- C -5^ -h ... -h K -^^ ^ ^-^ '->
1.2 1 «2. . .1
CHAPITRE PREMIER. 25
En profiter pour calculer 2 n^,
17. On a
V//2» < 1 .2.3. . ./? < ( ) •
18. ^expression
m*. 1.2. 3... w m^
0" -^^TÏT-î
étudiée avec soin par Gauss, se réduit, pour x entier, à
I .2.3. . .[x —l)
quand on y suppose m = ce .
19. Combien peut-on mener de diagonales à un polygone de n côtés ?
20. Étant donnés n points, on les joint deux à deux de toutes les
manières possibles : en combien de points les droites ainsi menées se
rencontrent-elles ?
21. Étant donnés // points, par tous ces points pris trois à trois on
fait passer des cercles : en combien de points tous ces cercles se
rencontrent-ils?
22. On appelle probabilité d*un événement le rapport du nombre
de cas favorables à l'arrivée de Tévénement au nombre total des cas
possibles et également possibles qui peuvent se présenter quand on
attend l'arrivée de Tévénement.
Ainsi la probabilité d'aïnener le point 6 avec un dé est - > parce
que six cas peuvent se présenter quand un dé est jeté sur un tapis e^
qu'un seul de ces cas est favorable à l'arrivée du point 6. Cela posé,
on propose de résoudre les questions suivantes :
23. Calculer la probabilité d'amener le point i5 avec 3 dés.
24. On prend m billets dans une loterie de N lots : quelle est la pro-
babilitjé de gagner n lots ?
26
Ré p.
m [m
TRAITE D ALGEBRE.
i). . .(w — n -^ \)
N(N — i)...(N — //-+-i)
25. Une urne contient quatre-vingt-dix numéros, on en tire cinq au
sort, on désigne un, deux, trois, quatre ou cinq numéros à l'avance :
quelle est la probabilité de deviner juste dans chaque hypothèse
Ré p. :
La probabilité pour que i des numéros désignés sorte est
»
»
3
4
5
87
2
8ÔÎ
I
»
»
»
»
II748
r
5iio38
I
^3949268
26. L'expression
I —
X — 1
X
X^^ 1
X — I
X'
'3
est nulle si m est impair ; au contraire, elle est égale à
(i — jr)(i — x3)...(i —xfn-i)
si m est pair. { Gauss. )
27. Soit In. le n^^^"" nombre triangulaire; le n'^"* nombre carré sera
Trt-i -f- T„, le 72"™*' nombre pentagonal sera 2T„_i4- T„, le w*^"* nombre
hexagonal ^Tn-\ -i-T,i, ....
CHAPITRE II. 27
CHAPITRE II.
NOTIONS GÉNÉRALES,
I. — nfTRODUGTION.
Nous allons maintenant aborder cette partie de TAlgèbrc
appelée Analyse algébrique par Cauchy, introduction à
V Analyse infinitésimale par Euler. L'Analyse algébrique a
pour but de préparer Tesprit à Tétude des branches élevées
de TAnalyse, en ajoutant des conceptions plus philoso-
phiques aux spéculations de TAlgèbre élémentaire.
Dans rAnalyse algébrique, les quantités que l'on con-
sidère sont systématiquement variables; l'emploi des
lettres devient donc tout à fait indispensable pour les
représenter. Les théorèmes sur les limites, la notion de
l'infini et de l'infîniment petit reviennent à chaque instant
et constituent le véritable fondement de la science que
nous allons étudier.
Quelques auteurs ont défini les mots de constante et
variable-, nous ne pensons pas pouvoir substituer à ces
mots des idées plus claires que celles que l'on y attache
immédiatement (*).
(*) « Quantitas 'constans est quantitas dcterminata, perpetuo eumdem
valorem servans.... Quantitas variabilis est quantilas indetorminala, quae
omnes omnino valores determinatos in se complectitur. »
EuLËR, IiUroductio in analysin in^nitorum.)
28 TRAITÉ d'algèbre.
Lorsque deux quantités dépendent l'une de Tautre de
telle sorte que, Tune d'elles variant, l'autre varie aussi, et
que, l'une d'elles restant constante, l'autre reste constante
aussi, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre.
Les fonctions d'une quantité x se désignent par les
notationsy(cr), F(x), . . . , cf (^), . • . , F'(.r), F< [x), ....
Si j est une fonction (f(^x)àex,x sera une fonction ^{j)
de j ; les deux fonctions ^{x) et ^[x] sont dites ins^erses
l'une de l'autre.
On dit qu'une quantité f est fonction de plusieurs
autres lorsque, celles-ci restant constantes, à l'exception
d'une seule x d'entre elles, y et x sont fonctions l'une de
l'autre; on représente les fonctions de plusieurs quantités
parles notations /(Xjj*, z, . . . ), (^[x, j), "^[oc, y, z) . . . •
(( Le mot fonction a été employé par les premiers
analystes pour désigner en général les puissances d'une
même quantité; depuis, on a étendu la signification de ce
mot à toute quantité formée d'une manière quelconque
d'une autre quantité. Leibnitz et les Bernoulli l'ont em-
ployé les premiers dans cette acception générale.... »
(Lagrakge, Equations numériques, )
II. — RAPPEL DE aUELaUES DÉFINITIONS ET THÉORÈMES
FONDAKŒNTAUX.
On appelle limite d'une quantité variable une quantité
fixe dont elle approche indéfiniment, de manière à pou-
voir en différer d'aussi peu que l'on veut.
La limite d* une somme ou d'un produit de plusieurs
quantités variables en nombre limité est égale à la
somme ou au produit des limites de ces quantités,
La limite d'une différence ou d'un quotient de deux
CHAPITRE II. 29
^variables est égale à la différence ou au quotient des
limites de ces variables.
Ces théorèmes s'étendent encore au cas où quelques-unes
des variables seraient remplacées par des constantes,
pourvu que Ton considère ces constantes comme étant à
elles-mêmes leurs propres limites.
On dit qu'une quantité variable est infinie lorsqu'elle
peut croître en valeur absolue au delà de toute limite.
On appelle valeur d'une fonction pour une valeur
infinie de sa variable la limite vers laquelle tend cette
fonction lorsque cette variable croît indéfiniment; ainsi on
dira que - est égal à zéro pour x = ob .
On appelle quantité infiniment petite une quantité
variable qui a pour limite zéro ; ainsi on pourra dire que
- est infiniment petit pour x infini. Toutefois, il ne faut
pas confondre ou assimiler le zéro à l'infiniment petit; le
zéro est constant, l'infiniment petit est variable; il peut
donc passer par des valeurs très-considérables avant d'at-
teindre sa limite zéro.
m. — DE LA GONTINÏÏITË.
On dit qu'une quantité varie d'une manière continue
entre deux limites a et b lorsqu'elle ne peut passer entre
ces limites d'une valeur à une autre sans passer par toutes
les valeurs intermédiaires.
On dit qu'une fonction f{x) est continue pour une
valeur c de sa variable quand elle possède pour x = c
une valeur unique finie et bien déterminée, et quand il
est possible de déterminer une quantité positive H telle
que, h étant moindre en valeur absolue que H, on ait, quel
3o TRAITÉ d'algèbre.
que soit d'ailleurs^ h,
e étanl aussi petit que Ton voudra du reste.
Ou bien, d'une manière abrégée, une fonction de x est
continue pour une valeur c de sa variable quand à un
accroissement infiniment petit quelconque donné à c cor-
respond toujours un accroissement infiniment petit de la
fonction; ou bien encore /'(a:) est continue pour z = c
quand lim/(c-|-/i) — ./(c) = o pour h = o.
Théobème L — Si une fonction f(^x) est continue pour
toutes les valeurs de sa variable comprises entre deux
limites a et b, elle passera par tous les états de valeur
compris entre J[a) et f(^b).
En effet, subdivisons l'intervalle compris entre a et i en
n parties égales à /i<, et, a désignant une quantité donnée
comprise entre /{cl) el f[b), cherchons dans la suite
f{ci),f{a-\-h), ,.,^f{a-\-n — lA) deux termes consé-
cutitsy(c< ) elf[c^ -\-h^) comprenant |ut, si aucun d'eux n'est
égal à //. Subdivisons encore l'intervalle compris entre C|
et C\ -h h\ en n autres égaux à h^ ; cherchons dans la suite
f{Ci), f ( c< -I- /i2 ) , . . . , y" ( c< -h 7z — I ^2 ) deux termes con-
sécutifs /(<?2) ety^{c2 -1-^2) comprenant ;/, si aucun d'eux
n'est égal à/x, et ainsi de suite; les nombres c^, ^2, C3, ...
vont en croissant et les nombres c^-f-Ai, C2-i-A2i ... en
décroissant. Mais C|, C2 , ... sont tous moindres que è-
c< -f-Aj, C2 -h A2, . . . sont plus grands que a : donc les uns
et les autres ont une limite; cette limite est évidemment la
même pour c/ et c^-l-A/, car ht tend vers zéro avec i. J'ap-
pelle c cette limite commune ; je dis que l'on a précisément
/*( c) = |u. En effet, il est toujours possible de déterminer la
quantité positive H de telle sorte que, pour /i<CH en
CHAPITRE II. 3l
valeur absolue, on sàlf^c-hh) — J'(c)<^e; mais on
peut toujours prendre i assez grand pour que c/ et c/-f- hj
diffèrent de leur limite c d'une quantité moindre que H, et
alors y(c,) — f{c) sera moindre que £, f[ci-hhi) — f[c)
également. Donc fx, qui est compris entre y (c/ h- /i/) et
f{ci)j différera a fortiori def{c) d'une quantité inférieure
à e; donc enfin y(c) = fx. c. q. f. d.
Théorème II. — Si une fonction f[x) ne peut pas passer
de la valeur fiot.) à la valeur f{p) sans passer par toutes les
valeurs intermédiaires quand x varie d* une manière con-
tinue entre oc et ^^ (x et ^ désignant deux nombres quel-
conques compris entre a et b, si de plus entre ctet^ la fonc-
tion f[x) ne passe qu'un nombre fini de fois par la même
valeur (*) et possède pour chaque valeur de x une
valeur finie et déterminée ^ elle est continue pour toutes
les valeurs de x complaises entre a et b.
En effet, soit c une valeur comprise entre a et b\ don-
nons à X une valeur k voisine de c et un peu plus grande
que c. Quand x variera entre c et A", y*(ar) variera entre des
limites qui pourront être Tune supérieure et l'autre infé-
rieure k f[c). Supposons, pour fixer les idées, Tune d'elles
supérieure kf[c) et égale kf[c) -+- w; si l'on pose
(i) /{c-4-H)~/(c)z:ze ou /(c-f-H)=/(c)-f-£.
on trouvera toujours pour H une valeur satisfaisant à cette
équation si £ est très-petit, parce que f(x)^ passant par
(*) Cette condition, que l'on ne mentionne pas ordinairement, est ce-
pendant nécessaire : ainsi une fonction égale à sin - pour toutes les va-
X
leurs de x différentes de zéro et égale à zéro pour a: = o n*est pas conti-
nue pour x=.o\ elle satisfait cependant aux autres conditions de l'énoncé,
et il est clair que /(A) — /(o)ou/(A) = sin y ne tend pas vers zéro avecÂ.
32 TRAITÉ d'algèbre.
la valeury(c) et par la valeur f[c) -f- w, doit passer par la
valeur intermédlairey(c)-l- s. De plus, il n'y a par 113^)0-
thèse, entre c et A, qu'un nombre limité de valeurs de H
satisfaisant à l'équation (1). Si donc nous prenons H égal
à la plus petite solution de (1), pour toute valeur de h
moindre que H, on aura
f[c~^h)-f[c]<z ou /(^ + /,)</(^) + £,
sans quoi,/'(c -I- h) pouvant devenir plus grand quey(c) -|- e,
il passerait entre c et c -4- H par la valeur /(c) -j- e, et H
ne serait pas la plus petite racine de (i).
^\.f[x) variait entre deux limites dont Tune soit infé-
rieure kf[c), on prouverait de même qu'il existe une
quantité H' telle que pour h' <^)A! on aurait
f{o)-f{c + h')<Cz.
On verrait enfin d'une façon analogue qu'il existe une
quantité Hi telle que toute valeur négative h moindre
en valeur absolue que H< satisfasse aux inégalités précé-
dentes. La fonction J est donc continue pour x = c com-
pris entre a et b. c. q. f. d.
Théorème II. — La somme, la différence, le produit,
le quotient de plusieurs fonctions continues sont encore
des fonctions continues (*).
En effet, prenons, par exemple, le produit de plusieurs
fonctions continues /» (a:)yi(a:). . *fn['^)\ changeons j: en
(*) Les théorèmes qui précèdent ne sont généralement pas enseignés;
c'est d'autant plus regrettable, qu'admis sans restriction ils peuvent con-
duire à des résultats inexacts. Il est assez remarquable que Ton tienne à
démontrer avec tant de rigueur au commencement de la Géométrie des pro-
positions évidentes, quand on admet sans démonstration en Algèbre des
théorèmes qui ne sont vrais que sous certaineâ conditions.
CHAPITRE II. 33
a: -H /i : le produit devient
lorsque Ton fait tendre Avers zéro ',f^ (■:*^-f-A),/i (0:4-/1), ...
tendent vers les limites f^ (or), f2{^)i • • • • Or la limite
du produit
est égale au produit des limites de ses facteurs : donc
/i {x-h h)f2{x -j- A). . . a pour limite ft [x)j2{x), . . .
et par conséquent peut en différer d'aussi peu que Ton
veut; donc /i{x)fi{x). . . représente une fonction con-
tinue.
Il faut bien remarquer que, siy(o:) n'était pas continue
pour la valeur a de sa variable, y( a -|- A) n'aurait pas
pour limite y( a), ce qui peut arriver de deux manières :
1° la fonctiony^(o:) passe brusquement d'une valeur à une
autre lorsque x ne varie pas sensiblement ; ces cas sont
très-rares : nous en verrons plus loin des exemples ; 2^ la
fonction f{x) existe pour x = a-\-hy mais n'existe plus
pour X = a; alors, f{a) n'existant pas, /*(« -H h) n'a pas
de limite. Par exemple, la fonction - n'existe pas pour x=o\
elle est discontinue pour x = o] la fonction ^^i — x est
discontinue pour x = i , etc.
Remakque. — Un quotient de deux fonctions continues
cesse d'être continu lorsque le diviseur passe par zéro. En
effet, alors le raisonnement exposé plus haut tombe en
défaut, car le quotient des limites de deux quantités dont
le diviseur est nul n'existe plus.
Théokème III. — Si ur=.f[x) est une Jonction con-
tinue de X pour j: = a et si y est une fonction continue
de u pour u =f(^a), y sera une Jonction continue de x
pour a: = a.
L. — AlgèbrCf II. 3"
34 TRAITÉ D* ALGEBRE.
En effet, à un accroissement infiniment petit de x cor-
respond un accroissement infiniment petit de m, à un
accroissement infiniment petit de a correspond un ac-
croissement infiniment petit à^y : donc, en définitive, à
un accroissement infiniment petit de x correspond un
accroissement infiniment petit de j^; donc j- est fonction
continue de x*
Théorème IV. — Si f[u, p») est Jonction continue de u
et de V, et si u et v sont jonctions continues de Xj f{u^ i^)
sera fonction continue de x.
Mais, pour que ce théorème soit vrai, il ne suffit pas
quey*(u, i^) soit continu pour des valeurs déterminées de u
et v^ il faut c\\ief[u, \^) soit conlinu pour toutes les valeurs
de u comprises entre deux limites fixes a-he, a — s! et
de p» comprises entre deux autres limites b -\- ti et b — e\,
simultanément, e, e', 6,, e'^ désignant des nombres finis. A
ce prix seulement, y( w + a, ^' + (3) — f{^9 ^) tendra vers
zéro quand les accroissements a et |3 de m et i' produits
par Taccroissement très petit de x tendront vers zéro. En
effet, cette différence peut s'écrire
et les deux différences dont elle se compose ont pour limite
zéro pour a = o et (3 = o.
Une somme ou un produit composé d'un nombre illi-
mité de fonctions continues peut fort bien cesser d'être
continu. Nous verrons plus loin des exemples de ce fait.
CHAPITRE III. 35
CHAPITRE IIL
DE LA FONCTION SIMPLE ALGÉBRIQUE , DE LA FONCTION
EXPONENTIELLE ET DES LOGARITHMES.
I. — PRÉLIMINAIRES.
Lemme I. — Les puissances successives des nombres
plus grands que i vont en croissant et peuvent dépasser
toute limite,
Lemme II. — Les puissances successiv^es des nombres
moindres que i vont en diminuant et ont zéro pour
limite,
Lemme III. — Les racines successives des nombres
plus grands que i vont en diminuant et ont l'unité pour
limite,
Lemme IV. — Les racines successives d'un nombre
moindre que i vont en croissant et ont l'unité pour limite.
Il était indispensable de rappeler ces propositions^ déjà
établies page 200 (P® Partie).
n. — DE L'EXPOSANT FRACTIONNAIRE.
Désignons par a un nombre positif : si nous observons
que Ton a
m
3.
•y
36 TRAITÉ d'algèbre. ^
toutes les fois que m est divisible par n, nous serons con-
m
duits naturellement à représenter par le symbole a'* l'ex-
pression v^a"*, lors même que le nombre m ne sera plus
divisible par n. Mais, pour que cette notation soit logique,
il est nécessaire que les règles de Texposant entier s'ap-
pliquent encore à l'exposant fractionnaire ; c'est ce qui a
Heu. En effet.
m p
nÇf
a" Xa^'zzz Ç^a'« . ^aP = 7a'»^-*"«/'
mç np 2L^P
On a donc, pour toutes les valeurs positives et commen-
surables de a,
on en conclut
et, en général.
On a aussi, pour toutes les valeurs positives et rationnelles
de a, (3, 7, ...,
car
On a encore
En effet,
/ m\p
^mp
mp m p
=z^^a'"P=a"'>=a" 1.
C. Q. F. D.
CHAPITRE III. 37
Enfin on vérifie aisément que
m. — DE L'EXPOSANT mGOHHENSURABLE.
Lemme I. — Supposons, pour Jîxer les idées, le nombre a
plus grand que Vunité; alors, — désignant un nombre
commensurable, on aura
m
a J> I .
m
En effet, a est égal à y «'" ; or, a^ est plus grand que i :
donc \fâ^ sera aussi plus gT and que 1 ( p. 35 ). Au contraire,
si a était moindre que i , on aurait
4
m
m
Lemme II. — a" croît avec — si a est plus grand que i ;
il décroît dans le cas contraire.
En effet,
n II' 'n ^ ^ II'
mm'
Si donc a est plus grand que i , a sera plus grand que
m
a'* ; il serait évidemment plus petit dans le cas contraire,
ce qui démontre le lemme énoncé.
m
Lemme III. — Si le nombre commensurable — a pour
m
limite zéro, a" aura pour limite l'unité.
En effet, les racines croissantes de a ont pour limite
38 TRAITÉ d'algèbre.
l'unité (p. 35) : donc il existera toiyours une racine, la
^ième pg^j. exemple, qui sera telle que
1
^a ou ûi^<i±(î,
5 étant une quantité aussi petite que Ton voudra, et, pour
toutes les valeurs de — inférieures à -, on aura a fortiori
n |x '^
m
m
ceci revient à dire que a" a pour limite l'unité.
Ces préliminaires une fois posés, nous pouvons définir
l'exposant incommensurable comme il suit.
^ . m m m r • i r »
ooient — ) — 5 — , 1 • • • une série de tractions ayant pour
limite le nombre incommensurable x ; la limite vers laquelle
tendent les quantités a" , a" , . . . est ce que nous appel-
lerons a^. Cette limite existe, car, si l'on suppose a^i
I m m'
tïi tn . n n' i ^
et — 9 — 75 • • • croissants, a , a , . - . seront des nombres
n n
croissants inférieurs àa\ désignant un nombre commen-
surable supérieur à x\ ils auront donc une limite X. Sup-
ni tn
posons maintenant que —> -y» ••• tendent vers x d'une
n n
manière quelconque : on peut toujours prendre- moindre
que Xy mais assez voisin de x pour que
1
d désignant un nombre aussi petit que l'on voudra ; mais
quel que soit — ^ pourvu qu'il soit assez voisin de - et par
CHAPITRE III. 39
conséquent de jc, on pourra toujours poser, en vertu du
lemme précédent,
val. abs. { a^ — <«" j <^ -»
c'est-à-dire
/ f \
val. abs. IX — a i<^^y
m
ce qui prouve que a'^ a pour limite X, de quelque manière
que — tende vers x. Nous avons supposé a ]> i ; en sup-
posant a<^i, le raisonnement se fait identiquement de
la même façon.
Il va sans dire que les règles de Fexposant entier s'ap-
pliquent à l'exposant incommensurable; en effet, on a
m p
a^a^zi^ lim«" lim «^,
— et - étant les fractions qui ont pour limites x et z. On
là
m p
— et -
n q
tire de là
a^rt= = lima" «^ = lima" ^;
Z?+£
or, lima" ^ est ce que nous avons appelé ai^^y car j: H- z
est la limite de — I- -; donc
n q
a^ a^ z=z a^"^^ »
De cette égalité on peut déduire, comme au paragraphe
précédent, toutes les propriétés des exponentielles.
I?. — DE L'EXPOSANT lltGATIF ET NUL.
Si l'on observe que pour m > /i on a
4o TRAITÉ D ALGEBRE.
on est conduit à poser dans tous les cas, comme défi-
nition,
^m-rt _ ^m . ^n
et en particulier, si m = /î,
ûO=:I.
Or on a, dans le cas où m <^n,
a"» : fl" z=
fl"-"» '
on est donc conduit à écrire
OU enfin
fl-* = —
a
I
Les règles de l'exposant négatif sont les mêmes que
celles de Texposant positif. En effet, on a
a-* X fl^ = flP : û* = «^*,
donc, quel que soit a et quel que soit jS,
On en conclut, comme à la page 36,
Enfin, je dis que Ton a
CHAPITRE III. 4l
En efTet, si a est négatif et égal à — a', an a
Si (3' est négatif et égal à — j3', on a
[a'Y = («•)-?' = ^ = «-^' = «'^
Si a et |3 sont tous deux négatifs et égaux à — a', — j3',
on a
= 1 :a-«'p' = fl*'p'=««p.
C. Q. F. D.
On verrait facilement que
Si Ton considère x comme variable et si m désigne un
nombre constant, x"^ est ce que Ton appelle la fonction
simple algébrique. Toutefois, Abel et quelques autres géo-
mètres ne regardent la fonction x"^ comme algébrique
qu'autant que l'exposant m est commensurable [voir Abel,
Sur les Jonctions algébriques des différents ordres
[OEuvres complètes)],
« .... La position d'une grandeur à la suite d'une autre
suffit pour exprimer leur produit; si ces grandeurs sont
les mêmes, ce produit est le carré ou la seconde puissance
de cette grandeur. Mais, au lieu de l'écrire deux fois.
Descartes imagina de ne l'écrire qu'une fois (*), en lui
donnant le nombre 2 pour exposant, et il exprima les
puissances successives en augmentant successivement cet
exposant d'une unité. Cette notation, en ne la considé-
{*) Élienne de Laroche avait eu ayant Descartes Tidée des exposants, mais
si Descartes n'a pas invente les exposants il en a vulgarisé l'usage.
42 TRAITÉ d'algèbre.
rant que' comme une manière abrégée de représenter ces
puissances, semble peu de chose ; mais tel est Tavantage
d'une langue bien faite, que ses notations les plus simples
sont devenues souvent la source des théories les plus pro-
fondes, et c'est ce qui a eu lieu pour les exposants de
Descartes. Wallis, qui s'est attaché spécialement à suivre
le fil de l'induction et de l'analogie, a été conduit par ce
moyen à exprimer les puissances radicales par des expo-
sants fractionnaires.... Wallis supposa généralement que
l'exposant exprime l'unité divisée par la racine /i^*""
de la grandeur élevée à la puissance m. Ce fut dans son
Ouvrage intitulé Arithmetica infinitorum que Wallis ex-
posa ces remarques » (Laplace, Théorie analytique
des probabilités, P® Partie, Livre I. )
?. ~ DE LA FONCTION EXPONIiNTIELLE.
Lorsque a désigne un nombre positif constant et x un
exposant variable, la fonction a^ est ce que l'on appelle
la Jonction exponentielle simple, « — L'extension la
plus importante que cette notation (celle des exposants)
ait reçue est celle des exposants variables, ce qui con-
stitue le Calcul exponentiel, l'une des branches les plus
fécondes de l'Analyse moderne. Leibnitz a indiqué le pre-
mier, dans les Actes de Leipsick pour 1682, les transcen-
dantes à exposants variables » (Laplace, Tliéorie ana-
lytique des probabilités, P® Partie, Livre IL)
VI. — CONTINUITÉ DE LA FONCTION ALCÉBRIOUE
ET DE LA FONCTION EXPONENTIELLE.
Théorème L — La fonction j:*, dans laquelle ol désigne
un exposant constant quelconque, est croissante et continue
pour toutes les valeurs positives de sa variable.
CHAPITRE III. 43
Faisons varier x entre les limites a et i ; x" prendra des
valeurs comprises entre a* et i*. En effet, a:* croît avec x
si « est positif; il décroît dans le cas contraire. Pour le dé-
montrer, il suffit d'observer que, si par exemple a est po-
sitif et si Ton pouvait avoir
[^x + a)«<;j:*,
on en déduirait
'■•;'■'•<■
ou
(-J)'<-
ce qui est impossible, puisque les puissances entières et
les racines d'un nombre plus grand que i sont plus grandes
que I.
En second lieu, si fx est compris entre a* et i*, il est
facile de voir que a:* passera par la valeur /x. En eflet, il
I
suffit pour cela de faire x=-\i^\ donc x* ne peut passer
d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs
intermédiaires; il ne passe d'ailleurs qu'une fois par la
même valeur p; a:" est donc une fonction continue pour
les valeurs positive» de x.
Quand on donne à x des valeurs négatives, la conti-
nuité peut être interrompue; il y a plus, la fonction j:*
I 2
est alors mal définie, car ( — 8)^ et ( — 8)*^, dans les-
quelles l'exposant est le même, représentent respective-
ment v^ — 8 ou — 2 et
Il est impossible de se faire une idée de la valeur d'une
44 TRAITE D ALGÈBRE. .
expression telle que ( — i)v^^. Enfin, si le nombre a est
une fraction telle que -j â^" "* ^* n'existe pas.
Théorème II. — La Jonction a^, dans laquelle a est
constant et x variable, croit avec x si a est plus grand
que i; elle décroît dans le cas contraire; de plus, elle
est continue.
En effet, supposons, pour fixer les idées, a^i] pour
démontrer que a^ croît avec x, il suffit d'établir que l'on a
«'" > a^ pour m^ n.
Si m et 71 sont commensurables et de la forme m-=z -^
1
n = -y p^ q^ ry s désignant des nombres entiers, on a
Mais
p r
->- on sp^rq,
q s
Or a*^ est plus grand que i , puisque a ^ i ; donc
ou, en vertu des formules (i).
Supposons maintenant l'une des quantités m ow n in-
commensurable; soit / un nombre commensurable com-
pris entre m et /i, de telle sorte que
CHAPITRE III. 45
Faisons tendre /vers m, par exemple, en le faisant croître
et passer par des valeurs commensurables ; a' ira en crois-
sant, et la limite de a^ est ce que nous avons appelé a^ ;
cette limite est le plus petit des nombres auxquels a^ reste
inférieur; donc, que m soit commensurable ou non, on a
toujours
On verrait de même que
donc
Qm ^ ^n^
C. Q. F. D.
Donnons maintenant k x xxti accroissement infiniment
petit h ; a* prendra l'accroissement
k = fl^+^ — a^. *
Il est facile de prouver que cet accroissement est infini-
ment petit. En effet, on a
/ =a^+^ — û*=a^(a^ — i).
Mais a* a pour limite l'unité quand h tend vers zéro. Cette
proposition a été établie pour les valeurs commensurables
de h (p. 35); mais, comme a^ décroît avec h, il en résulte
que la limite de a^ est encore l'unité pour les valeurs in-
commensurables de hf ce qui revient à dire que k a pour
limite zéro ; donc a^ est une fonction continue.
c. Q. F. D.
Nous avons supposé «>i; la démonstration se fait de
la même façon dans le cas contraire : il est bien entendu,
du reste, que a est censé positif, la fonction a* n'ayant été
définie que dans ce cas.
46 TR4ITÉ D*ALGÈBRE.
TU. — SUB LA FBOFBIËTË FOUDAUENTALE DE L'EXPOnERTIELLE.
Si Ton pose a^= ç(j:), on aura
(i) ff{x)<^{x)=f{a:-hx);
»
réciproquement, il est facile de prouver que toute fonc-
tion (f{x) continue satisfaisant à cette formule est de la
forme a^.
En effet, si l'on multiplie pair (f[z) les deux membres
de (i), on a
En multipliant par çp(f) les deux membres de cette nouvelle
formule, on aurait
et ainsi de suite. Donc, m étant entier, on trouvera
(2) tf>{xy^=f{ma:),
en faisant x =j = z = . , . .Je dis que cette formule a lieu
pour les valeurs fractionnaires de m; on a, en effet, en
supposant p et q entiers,
d'où
et, en élevant les deux membres à la puissance p, en vertu
de la règle (2),
f(Y^ = ?{^)'
I
CHAPITRE III. 47
Si la fonction y est continue, la formule (2), qui a lieu
pour les valeurs fractionnaires de m, aura encore lieu pour
les valeurs incommensurables de cette lettre.
Si dans (i) on faitj = — x, on a
et, en faisant x = o,
?(o)'=?(o),
d'où Ton conclut, ^[oc) n'étant pas toujours nul, cp(o) = i
et (p( — x) = —, — Tî et par suite, en élevant à la puissance
positive m y
La formule (i) est donc générale. On en conclut
et par suite
I 1
quels que soient m et x; donc (f{xY est une constante a,
et, par suite, cp(a:) = a'^, c. q. f. d.
?m. — DES LOGABITHMES.
La fonction x^ reproduit une fonction algébrique quand
on en prend l'inverse ; la fonction inverse de a^ est ce que
Ton appelle le logarithme de x pris dans la base a : on la
désigne par le symbole
loga^.
Lorsque a = 10, on écrit simplement
logj;.
48 TRAITÉ d'algèbre.
Ainsi le logarithme d'un nombre peut se définir : l'expo-
sant de la puissance à laquelle il faut élever un nombre
constant appelé base pour reproduire le nombre proposé.
Théorème I. — Tout nombre positif a un logarithme;
les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes.
En effet, si Ton désigne par x un nombre positif et si
Ton pose
(i) ay=zx,
y sera ce que nous avons appelé le logarithme de x. Or,
si nous faisons varier j d'une manière continue depuis
— 00 jusqu'à -I- 00 , o^ variera d'une manière continue
(p. 44) entre zéro et -|- oo ; donc il passera par la va-
leur a:; donc le nombre a: a un logarithme. De plus, on
voit qu'il n'en aura qu'un seul.
Si l'on avait supposé x négatif, on n'aurait pas pu satis-
faire à l'équation (i), puisque aX est toujours positif; donc
les nombres négatifs n'ont pas de logarithmes.
Remarques. — On a toujours
loga I = o, car a® z= I ,
log^o •=■- — 00 pour « 2> ï ï c*'*'* alors «"* = o,
loga o =^ -*- 00 pour « <C I ï car alors «"•"* = o,
Théorème TI. — Le logarithme est une fonction qui
croît avec sa variable lorsque la base est plus grande
que I ; elle décroît lorsque sa variable croît, dans le cas
contraire.
Théorème III. — Le logarithme d'un produit est égal
à la somme des logarithmes de ses facteurs.
CHAPITRE m. 49
En effet, si l'on pose
on a, par définition,
( 2 ) j?! = a^i, arj = a^i, . . , , J?» = ^^" ;
donc
c'est-à-dire
ri -4- ri -J- . . . -♦-r/» = logaJ^i^i- • -«n»
ou bien
^^Sa^i ^- ÏOga*l -4- . . . = loga^i ^j . . . ^n.
C. Q. F. D.
Des formules (2) on tire x^ 1x2 = o/i""/!; j^ — }, est
donc le logarithme de Xi l X2' Donc ;
Théokème IV. — Le logarithme d'un quotient est égal
à la différence des logarithmes du dividende et du di-
viseur.
On a également x"^ = a'^^t. Donc mjt ou mlogXi est le
logarithme de x^; donc enfin :
Théorème V. — Le logarithme d'une puissance queU
conque de x est égal au logarithme de x multiplié par
V exposant de cette puissance.
Théorème VI. — Soit <f[x) une fonction continue de x\
si Von a
la fonction <f{x) sera un logarithme de x.
Nous laissons au lecteur le soin de faire la démonstra-
tion [voir p. 46).
L. - Mgèbre, II. 4
5o TRAITÉ^ d'algèbre.
IZ. ~ GONGOBDÂNGE DE LA DÉFINITIÛN NtPÉBŒlIllE DES LOGA-
RITHMES AYEG LA DÉnNITION NOUVELLE.
Neper définissait, comme l'on a vu, les logarithmes au
moyen des deux progressions
«r était, d'après lui, le logarithme de q'^ ; cette définition
s'accorde avec celle que nous avons donnée dans ce Cha-
pitre. En effet, on a
nry logarithme de ^^ d'après Neper, est donc bien l'expo-
sant de la puissance à laquelle il faut élei^er le nombre
I I
constant q'' pour a^oirq". Du reste, q'' a bien pour loga-
rithme I : c'est la base.
Réciproquement, si nous considérons des nombres en
progression géométrique a, a*, a^, . . ., leurs logarithmes
dans la base a quelconque seront log«, 2loga, 31oga,...,
c'est-à-dire seront en progression arithmétique.
Z. — DU MODULE D'UN SYSTÈME DE LOGARITHMES.
Il est souvent utile de savoir passer d'un système de
logarithmes à un autre. Ainsi, par exemple, les premiers
logarithmes calculés par les soins de Neper n'avaient pas
pour base lo. Pour les calculer dans la nouvelle base, il
suffit de les multiplier par un nombre constant : c'est ce
que nous allons établir.
Soient x le logarithme de N dans la base a et y le loga-
CHAPITRE III. 5l
rîthme du même nombre dans la base b ; on aura
en prenant les logarithmes des deux nombres dans la base i,
on a
logôN=a:log6âf
ou bien
(i) log^,N=ilog^N.log6ûJ,
De là le théorème suivant :
Théorème L — Le logarithme d'un nombre pris daas
le nouveau système s'obtient en m,ultipliant le logarithme
de ce nombre dans l'ancien système par le logarithme de
l'ancienne base dans le nouveau système.
Si Ton fait N = b dans la formule (i), on a
i=\ogabAogi,a ou ^^ëb^=j—i'^
donc :
Théorème II. — Le logarithme de l'ancienne base dans
le nouveau système et celui de la nouvelle base dans
V ancien système sont inverses l'un de l'autre.
Le nombre constant log^a ou i:logai est ce que l'on
appelle le module qui sert à passer du système dont la
base est b au système dont la base est a.
Lorsque Neper eut inventé les logarithmes, il ne tarda
pas à s'apercevoir que, si a représente un nombre très-
petit et si j3 est le logarithme de i -h or, le logarithme
de i -H 2a, qui diflfère fort peu de i -h 2a H- a2= (i H- a)^,
différera fort peu de 2(3; de même, 3(3, logarithme de
(i-ha)3, différera fort peu du logarithme de i -f-3a...;
donc les nombres très-voisins de l'unité croissent propor-
4.
52 TRAITÉ d'algèbre.
tionnellement à leurs logarithmes. La limite du rapport -
pour a = o était ce que Neper appelait le module d'un sys-
tème de logarithmes. Neper crut faire l'hypothèse la plus
simple en posant
lim - = I .
a
Il obtint alors un système de logarithmes que Ton a ap-
pelés naturels, népériens ou hyperboliques. Effectivement,
les logarithmes népériens sont ceux que Ton rencontre le
plus fréquemment en Analyse. Proposons-nous de calculer
la base.
La base est le nombre qui a pour logarithme i; or, i-l- a
I
ayant pour logarithme (3, (i H- a )^ aura pour logarithme
£ ou I ; si donc nous supposons - = i , on aura, en appe-
lant e la base des logarithmes naturels,
l Q
€ = lim ( 1 -h uY pour a = o et lim - = i ,
a
ou
I a
e = lim(i -h a)*^= lim(i -f-a)\
Nous calculerons plus loin la limite de l'expression (i H- a)*.
Elle est égale à 2,718281828459040 —
Cherchons maintenant le module qui sert à passer des
logarithmes naturels aux logarithmes pris dans la base a.
Ce module sera i:log<.a. Soit jS le logarithme de i-i- a
dans la base a ; on aura
I
a=\im[i -h aY pour a = o,
ou bien
logert = 1"» I ^^Se{i -^ «)!•
CHAPITRE III. 53
Or, pour a très-petit, on a log^ (i + a) = a, ou, pour être
plus rigoureux, log(i -t- a) est un nombre qui, divisé par a,
donne i pour quotient lorsque l'on passe aux limites et
que Ton fait a = o ; on en conclut
ralogc(n-a)"| a
logea est donc ce que Neper appelait le module. Aujour-
d'hui c'est log^e ou lira - que l'on appelle le module d'un
système de logarithmes ; c'est, d'après ce que nous avons
vu, le nombre par lequel il faut multiplier les logarithmes
naturels pour avoir ceux du système dont la base est a.
EXERCICES ET NOTES.
i. Supposons que la somme a soit placée au taux r. Au bout du
temps ô très-petit, qui sera, si Ton veut, - d'année, elle deviendra
« ( i-h - j; si on la retire alors pour la replacer au môme taux, elle
deviendra, après un nouvel intervalle de temps -j égale à a ( i -h - ) ;
au bout du temps 30 elle deviendra a li-\ — Jî^-^au bout du temps
— n r "1^''
/ = m9 = — elle deviendra ^(n--j =flMi-H-j .Qr^
I
poura = o, (i-i- a)*tend vers la limite e = 2,7182845... (nous l'avons
admis, sauf à le démontrer rigoureusement plus loin). On a donc pour
la valeur acquise par le capital a placé pendant le temps r, quand on
suppose n indéfiniment croissant, ae^^. On pose <?'*=(n-/) ou
r= log(n- /) ; en appelant alors A la valeur du capital a au bout du
temps /, on a
54 TRAITÉ d'algèbre.
C'est la formule dont les financiers font usage. Cette autre,
où n est entier et où / = « -t-/, n'est pas usitée dans les affaires. / est
dit le taux instantané,
2. Résoudre les équations
3. Trouver des fonctions «p, x? + continues telles que l'on ait
x('^)^-x(r) = x(^-*-7)»
4. Lorsque « est positif et moindre que i , l'expression a^"' tond
vers une racine de l'équation a^ = x. (Eisenstein).
5. Dans un système de logarithmes, dont la base est entière, il n'y
a que les puissances commensurables de la base qui ont des logarithmes
comxnensurables.
6. On a construit des Tables qui, étant donné logx, font connaître
log(i -h x) et Iog(i — ^) ; à l'aide de ces Tables, on calcule facilement
log(a -f- ^ ), connaissant log« et log 6, ainsi :
l0g(fldi6) = l0gflH-l0gU±-J;
ces Tables portent le nom de Tables de Causs.
CHAPITRE IV. 55
CHAPITRE IV.
DES IMAGINAIRES.
I. — PBÉLIMINAIBES.
Lorsque Ton cherche à résoudre une équation du second
degré, telle que
(l) a?* — 2aa? + a'H-|5* = o,
et qui n'a pas de racines, on est conduit, en appliquant la
formule générale, à un résultat impossible.
et en l'écrivant ainsi
(2) XzzzoLZhp^ — I,
on arrive à ce résultat singulier que, si Ton remplace dans
la formule [i) x par sa valeur (2), en traitant le signe
absurde y/ — i comme une lettre dont on remplacerait le
carré par — i, cette équation (i) se trouve satisfaite; en
effel, on a
(a dz p V/^)' — 2a(a ±: p s/^) -f- a« + |5«
= a* d= 2 «p V''^ -h j3' (v/~j' — 2«*
=j= 2aP y/— I -h a* -t- l3*.
Si Ton efface les termes qui se détruisent dans le second
1
56 TRAITÉ d'algèbre.
membre et si Ton remplace (y/ — i)^ par — i, on trouve
bien zéro.
L'introduction du signe ^ — i dans les calculs a souvent
conduit à la découverte de résultats nouveaux et impor-
tants, reconnus exacts a posteriori; les géomètres se sont
alors crus autorisés à faire usage de ce signe \/^ i , en le
traitant comme une quantité dont le carré serait — i . Mais
on sent tout ce qu'une pareille convention a de contraire
à l'esprit de rigorisme qui caractérise les sciences mathé-
matiqueSy et Ton a dû chercher si l'emploi du signe y/ — i
devait nécessairement ou seulement accidentellement con-
duire à des résultats exacts. Dans le premier cas, il y a
toute une théorie nouvelle à édifier; dans le second, il
faut renoncer à classer dans le domaine des faits acquis
ceux que l'emploi du signe en question aura fait apparaître.
n. — EXPLICATION D'UH PABADOXE.
Reprenons l'équation (i) du paragraphe précédent .
ar* — 2 a x -1- a' H- j3* =1 o
ou
(i) (a:-«)«-t-|3* = o.
Il est clair que l'on ne peut y satisfaire si (3 n'est pas nul ;
mais, au problème impossible qui consisterait à résoudre
l'équation (i), essayons de substituer un autre problème
qui n'en diffère pas beaucoup et qui soit pour ainsi dire la
rectification de son énoncé (c'est ainsi que l'on agit pour
l'interprétation des solutions négatives des problèmes).
On a vu que a -j- [3 ^ — i , mis à la place de Xy satisfaisait à
l'équation quand on remplaçait (y/ — i)^ par — i, en trai-
tant ^ — 1 comme une quantité ordinaire. Au lieu de rem-
CHAPITRE IV. 5y
placer x par a -4- (3 ^ — i, remplaçons-le par a -f- jSi, i dé-
signant une indéterminée ; on aura
(a: _- a )* 4- |3« ir: ^U* + ps = p« (i -f. f»).
Le premier membre de (i) devient, comme Ton voit, divi-
sible par I -h 1*2, en sorte que, si i -h i^ pouvait s'annuler
pour une certaine valeur de i, cette valeur de i fournirait
pour X =cc -\-^i une valeur satisfaisant à l'équation (i).
Cette remarque nous permet de rectifier comme il suit le
problème qui consiste à résoudre l'équation (i) :
Etant donné le polynôme x^ 4- 2aa7 -f- a^ -h jS^, trouver
une expression de la forme a -\- bi qui, substituée à la
place de x rende ce polynôme divisible par i^ •+• i ou, ce
qui revoient au même, égal à zéro, à un multiple de i^ -+- 1
près.
On trouve alors, comme nous l'avons vu, la solution
a -h (3i. Mais négliger i^ •+- 1 dans les calculs, c'est regarder
i^ comme égal à — i : on voit ici le germe d'un nouveau
genre de calcul, qu'il importe de régulariser.
m. — DES aUANTITÉS IMAfiINAIBES.
Désignons par i une variable susceptible de passer par
tous les états de valeur entre — oo et h- oo . Tout polynôme
entier en i est ce que nous appellerons une imaginaire.
Nous conviendrons de regarder deux imaginaires comme
égales entre elles quand elles ne différeront que par un mul-
tiple de i^ -f- 1 ou quand les restes de leur division par ï^-j- i
seront effectivement égaux; cette convention n'aura rien
d'absurde si l'on sous- entend toujours dans l'un des
membres de l'égalité un multiple de i^ -f- 1 ; et dans l'éga-
lité
A = B -4- multiple de (^* 4- i),
58 TRAITÉ d'AL6ÉBRE«
on peut sans inconvénient effacer ces mots multiple de
(i^-i- i), s41 est bien convenu, une fois pour toutes, qu'ils
devraient y être écrits, ou que dans le langage ils doivent
être sous-entendus.
D'après cela, toute quantité imaginaire peut être ra-
menée à la /orme a -^ bi^ a et b désignant deux quan-
tités indépendantes de i.
En effet, dire qu'une imaginaire est égale à a + ii, c'est
une manière abrégée de dire qu'elle est égale à a -h bi
augmenté d'un multiple de i^-^ i . Or soit P l'imaginaire
en question ; en la divisant par /^ -f- 1 , on obtient un reste
du premier degré. Appelons-le a -h bi, on aura rigoureuse-
ment, en appelant Q le quotient,
Pr=Q(i"*-hi) -ha -hbi.
Donc, en négligeant ou en sous-entendant un multiple de
V = a -h bi. c. Q. F. D.
Les quantités indépendantes de i s'appellent quantités
réelles.
Une quantité imaginaire quelconque se ramenant à la
forme a -f- bi en la remplaçant par le reste de sa division
par i^-h i.y il importe de montrer comment on peut trouver
le reste de la division dey(i) par i^-l- i.
Pour trouver le reste de la division d'un polynôme par
i^-i-i, il suffit d'y remplacer i^ par — i, i' par — i,
i* par I, i^ par i, ..., e/z général i*" par i, i*'^+* par i,
j4«+2 par — 1 et 1*'*+' par — i [c'est-à-dire d'y regarder i
comme une quantité dont le carré serait — i).
En effet, soity(i) un polynôme en i. En appelant 9(1^)
l'ensemble des termes de degré pair et i^(i^) l'ensemble
CHAPITRE IV. • 59
des termes de degré impair, on aura rigoureusement
Mais, le reste de la division de <j)( x) par j: -h i s'obtenant
en remplaçant, dans cj> ( x ) , a: par — i , on a, quel que soit x,
Q désignant un polynôme entier en x. Cette formule ayant
lieu quel que soit x, on peut y faire j: = P, et Ton a
?('■') = Q(«'){''+')-t- ?(-');
on aurait de même
et, en vertu de (i),
Le reste de la division dey(i) = (p(i2) -4- j^j^(j2^ p^p j2^_ j
est donc ç( — i) -hî^{ — 1)5 on l'obtient bien en rempla-
çant i^ par — idansy(i). c. q. f. d.
IV. — DES aïïATRE OPÉBATIONS.
D'après nos conventions :
1° Toute égalité de lafoi^me
f I ) a -^^ bi =1 c -\- dly
oii a, byC, d sont réels, entraînera, puisque i est arbitraire
(c'est-à-dire puisque cette égalité doit avoir lieu quel que
soit z),
( 2 ) a = Cf b :=:d,
6o TRAITÉ d'algèbre.
en sorte que la formule ( i ) sera une manière abrégée d'écrire
les deux formules (2) (*).
2° Le produit de deux imaginaires a H- bi, c -h di sera
(3) ac — bd -^ i[bc -\- ad), •
car, rigoureusement, il estac-f- bdi^ -h i{bc-had) ; et, en
remplaçant i^ par — i , ce qui revient à négliger un mul-
tiple de i^-f-i, on trouve bien l'expression (3).
i^ Le produit de plusieurs imaginaires est indépendant
de l'ordre des facteurs; la somme de plusieurs imaginaires
est indépendante de l'ordre dans lequel on écrit les par-
ties, etc.
4° Pour qiCun produit de plusieurs imaginaires soit
nul y il faut et il suffit que Vune de ces imaginaires soit
nulle.
Le sens de ce théorème est celui-ci : Pour que le pro"
duit de plusieurs quantités telles que a 4- bi, c -h di, . . . ,
en nombre n, soit multiple de i^ -f- 1, il faut que l'une
d'elles soit nulle. Supposons que l'on ait
[a -h bi) [c -hdi),.,=z (/« 4- i)X,
X désignant un polynôme entier en i. Le premier membre de
cette formule est de degré n en i; le second doit être du
même degré : donc X est de degré n — 2. Or le premier
membre s'annule pour i = — -? — -, ..., en tout pour
(*) Il faut bien remarquer que cette conclusion est vraie lors même que
la formule (i) est une manière abrégée d'écrire
a-hbi = c -hdi-+- multiple de ( «* H- 1 ),
en sorte que cette formule exige que le multiple de <*+i soit nul aussi;
en effet quand deux polynômes sont égaux, les restes de leur division a-i-bi
et c + di par l' + i ou par un diviseur quelconque sont égaux (t. I, p. 5o,
ligne 20.)
J
CHAPITRE IV. 6l
n valeurs de i. Mais, i^ -f- 1 ne s 'annulant jamais , il faut que
o c
X s'annule pour les n valeurs de i, — y? — -9 •••• Or il
* a
est de degré n — 2 : donc il est identiquement nul ; donc
enfin on a rigoureusement
[a H- bi)[c -^di), . .=0,
qui exige que l'un des facteurs a ■+- bi, c -k- di, ... soit nul.
Théorème. — // existe toujours une imaginaire qui,
multipliée par une imaginaire donnée, appelée diviseur,
reproduit une autre imaginaire donnée, appelée divi-
dende (à un multiple de i^ -+- 1 près).
En effet, soit a -h bi le dividende, c -f- di le diviseur; si
Ton pose
a -h bi=: [c-h di) [x -f- j/),
on en conclut
a -{- bi=zcx — dy -{- i[ dx -h cy)y
ce qui exige que Ton ait
a = cx — rfy, b = dx -+- cj\
Ces deux équations donnent pour x et pour y les valeurs
finies et bien déterminées
ac -h bd bc — ad
c«
Si c^ -+■ d^ est difl'érent de zéro, c'est-à-dire si c et d ne
sont pas nuls à la fois, en d'autres termes si le diviseur c -f- di
n'est pas nul. On a donc
ac-h bd-^ i{bc — ad]
*+':^= ?Tt|i
6a TRAITE D ALGÈBRE.
Ce résultat, qui est ce que Ton appelle le quotient àe a-hbi
parc-f-ûfi, peut s'obtenir, comme il est facile de le vérifier,
en effectuant les opérations dans l'expression
(«-h bi)[c — di)
{c -\-di)[c — di)'
Théorème. — Le quotient de deux imaginaires Detdne
change pas quand on multiplie le dividende et le diviseur
par une même quantité réelle ou imaginaire.
En effet, en appelant q le quotient, on a
en multipliant par m, on a
D/w = dmq.
Donc q est le quotient de Dm par dm.
Si nous convenons de représenter par ~ le quotient
de D par rf, on voit que Ton aura
a -h bi [a-\-bi)[c — di) ae -h bd -h i { bc — ad)
c-h di ^ [c^di)(c--di) ~ c^ -f- ^* '
comme tout à l'heure.
Nous appellerons racine carrée d'une imaginaire a -f- bi
l'expression imaginaire jc 4- iy, qui, élevée au carré, repro-
duit a -f- Ji (à un multiple de i^ -h i près). Bornons-nous
pour le moment à chercher la racine carrée de — i, nous
réservant de revenir plus loin sur le cas général. En appe-
lant X -i-ij cette racine, si elle existe, on aura
( à la rigueur, on devrait écrire dans le second membre un
multiple de i* 4- i , ce qui ne présente rien d'absurde a
CHAPITRE IV. 63
priori). L'égalité précédente revient à
X* — y- H- lixy = — i,
ce qui exige que* Ton ait (p. 5g, ligne i8) rigoureusement
X^ — ^' = — 1, 1Xjrz=0,
Il faut donc que a: ouj^ soit nul; or on ne peut pas sup-
posera^ nul, car on aurait x^ = — i, équation absurde;
on doit donc prendre j:=o, et Ton a alors j^ = i ou
JK = =t I . Ainsi la racine cherchée a: H- ij^ a deux valeurs
zb i; cela justifie les formules
et dorénavant i sera toujours remplacé par le signe y/ — i •
Toute imaginaire a -h hi pourra donc s'écrire a-\- b y/ — i .
Quelques géomètres ne font pas usage du signe \—i et
conservent la lettre i dans les calculs.
En résumé :
I® y — I représente une quantité qui peut recei^oir toutes
les valeurs possibles entre — oo et -^ <x> dans toutes les
égalités dans lesquelles il se trouvée écrit, et 2° dans ces
égalités il faut toujours sous-entendre que Von a écrit dans
l'un des membres un multiple de (y/ — i)* 4- i . Ce multiple
peut d'ailleurs être nul.
7. -- DU MODULE ET DE L'ARfiUMENT.
Toute quantité imaginaire x -^-y \l — i peut être mise
sous la forme suivante :
64 TRAITE D ALGEBRE.
Si Ton remarque alors que la somme des carrés des quan-
tités 1 est éffale à l'unité, on pourra poser
•=- COS0, =: sinô.
Si Ton pose, en outre.
r= \Jx^ -+-JK*»
l'égalité (i) pourra s'écrire
X -+- J V— I =:r(cos0 -h v^ — isinô).
La quantité r est ce que Ton appelle le module de l'ex-
pression X -\-y ^ — 1 ; l'angle est son argument.
On convient de prendre le module toujours positif;
quant à l'argument, il peut varier entre — oo et -4- oo , en
sorte que, cet argument n'étant absolument donné que par
son sinus et son cosinus, sa valeur se trouve indéterminée
et comprise dans la formule
01 H- 2A:7r,
9i désignant le plus petit argument positif répondant à
l'imaginaire en question, et h pouvant prendre toutes les
valeurs entières comprises entre — oo et + oo .
Deux imaginaires qui ont le même module et qui ne
diffèrent que par le signe de leur argument, en d'autres
termes deux imaginaires de la forme
sont dites conjuguées (*). Une imaginaire dont le module
( * ) Le produit de deux iiÀaginaires conjuguées x -{-y ^ — i et x — y yj — i
est égal à â:'+^r*, c'est-à-dire au carré de leur module commun.
CHAPITRE IV.
65
est Tunité est ce que l'on appelle une expression réduite;
la forme la plus générale des expressions réduites est
COS0 -t- sj— isinô.
Traçons dans un plan deux droites rectangulaires j:Oa/,
y Oy [fig' 8 ) ; donnons-leur le nom à^axe des x et A^axe
des y^
Fig. 8.
H
N
a'
Cela posé, considérons l'imaginaire
Prenons sur x'xj à partir du point O, une longueur OM
égale en valeur absolue à a:, dans, le sens Oo: si x est posi-
tif, dans le sens Ox' s'il est négatif; prenons de même ON
égal à la valeur absolue de j et dans le sens Oj si
y est positif, dians le sens Oj' si y est négatif. Con-
struisons enfin un rectangle sur ON et OM ; le sommet A
de ce rectangle sera déterminé toutes les fois que Ton se
donnera x et y, ou, ce qui revient au même, x H-jy \l — i.
Réciproquement, à tout point A du plan correspondra
une imaginaire déterminée, et une seule, dont la partie
réelle sera l'a: du point A et dont le coefficient de y — i
sera Vy,
En sorte que nous confondrons Ibuvent dans le langage
les expressions point et quantité imaginaire. Si nous
L. — jâlgibre, II. 5
66 TRAITÉ d'algèbre.
menons la diagonale OA, nous aurons
ces MO A =
sjx^ 4- j«
sinMOAn: ^ 3
et, par conséquent, OA est le module de x -^y yj — i ,
l'angle MOA en est l'argument, cet angle MOA devant
être compté depuis la droite OM jusqu'à la droite OA
dans le sens inverse du mouvement des aiguilles d'une
montre. Nous ne nous arrêterons pas à généraliser les
formules précédentes; il faudrait, pour les établir en
toute rigueur, supposer successivement le point M dans
chacun des angles xOy^ jOx'j x'Oj', y'Ox, et dis-
cuter les signes de x et de y. Nous laissons au lecteur le
soin de compléter cette démonstration.
Voici un autre mode de représentation des quantités
imaginaires, proposé par Mourey dans un excellent Ou-
vrage publié sur cette théorie.
A partir du point O, que l'on appelle origine des ima-
ginaires, traçons une droite OA ayant pour longueur le
module de l'imaginaire x -^y yj — i et faisant avec Ox
un angle égal à l'argument de cette imaginaire ; la droite
OA représentera l'imaginaire x -^j yj — i aussi bien que
le point A,
Théorème I. — La somme de plusieurs imaginaires
est représentée par la résultante des droites qui repré-
sentent les imaginaires en question.
En effet, considérons les imaginaires
CHAPITRE IV. 67
leur somme est
Or a?!, X2, . . . représentent les projections sur l'axe des .r
des droites qui représentent respectivement ^<, ^2? ^3? • • . ;
donc 0:1 -h 072 + J^3 -f- . . . représente la projection de la
résultante de ces droites sur Ox, JK< +jr2+J^3-f- •••
représente la projection sur O 7 de la résultante des mêmes
droites ; donc enfin Z est représenté par la résultante des
droites qui représentent z^, z^, ....
c. Q. F. D.
Corollaire. — De là résulte immédiatement que le mo-
dule d'une somme est moindre que la somme des modules
de ses parties.
Théorème IL — 1° Le module d'un produit est égal au
produit des modules de ses facteurs; 2° l'argument d'un
produit est égala la somme des arguments de ses facteurs.
En effet, considérons les imaginaires
r(cos0 + v^— isinô) et r'(cos0'-f- y^^^sinô');
si nous en faisons le produit, il vient, en intervertissant
Tordre des facteurs,
rr'(cos H- ^—i sin ) ( ces 0' -f- sf^i sin ô' ),
ou bien
rr' [(cosôcosô' — sinôsmô'JH- sj— i(sinôcos0' -f- cosôsinô')],
c'est-à-dire
rr' [cos( -h 0') -f- v/^ sin( -{- 0' )] .
Mais, en multipliant ce résultat par une nouvelle imagî-
5.
68 TRAITÉ d'algèbre.
naire r^^{cosff' -\- ^ — i sin6"), on trouvera
rrV [cos(ô + Q' -^ Q'')^ ^Zrism(e + ©' -^ B'')],
et ainsi de suite, ce qui démontre le théorème énoncé.
Théorème III. — Lorsqu'un produit de plusieurs /ac-
teurs est nul, l'un de ses /acteurs est forcément égal à
zéro.
En effet, le module d'un produit étant égal au produit
des modules de ses facteurs, si le produit est nul, son
module sera nul, et par conséquent le module de l'un des
facteurs au moins devra être égal à zéro. Mais une ima-
ginaire dont le module est zéro est évidemment nulle;
donc, etc., comme on Ta prouvé plus haut (p. 60).
C. Q. F. D.
Théorème IV. — Le module d'un quotient est égal au
quotient des modules du dix^idende et du div^iseur, L'argu-
ment d'un quotient est égala la différence des arguments
du dii^idende et du diviseur.
En effet, soient r (cos0 + \j — i sinô) le dividende,
p(cosc«)-f- \l — isino)) le diviseur; le quotient sera donné
par la formule
/(cosô H- \l — I sinô)
|3(cosw -f- ^ — I sin&>)
que l'on peut écrire
r (cosÔ H- \l — isin0)(cosw — y/ — i sin&))
P ( cosft) 4- v^ — I sin w) (ces « — ^ — 1 sinw)
c'est-à-dire
- [cos(0 — w)-^v''— isin(0 — «)],
ce qui démontre le théorème énoncé.
CHAPITRE IV. 69
Remarque. — Le quotient de i par une expression
réduite est l'imaginaire conjuguée de cette expression
réduite ; on a, en effet.
: = cosw — v^ — i sinw.
cosw -h y' — isinw
VI. — THËOKIE DES RADICAUX AL6ÉBRIÛUES.
Jusqu'ici, nous avons pu remarquer une analogie com-
plète entre le calcul des imaginaires et le calcul des quan-
tités réelles; cette analogie cesse dès que l'on essaye de
généraliser la notion de radical ou d'exposant, ainsi que
nous allons le constater.
Si nous représentons par le symbole
et si nous appelons puissance n**"^® de x -t-j y/ — i le pro-
duit de n facteurs égaux à cette imaginaire, nous aurons,
en vertu du théorème II (p. 67),
[/•(cosô -+- V'"— isin0)]«=: r«(cos/i0 -f- sj'^ûnnB),
Si l'on suppose en particulier /- = i , on obtient la formule
suivante,
(cosô -f- v^ — I sinô)'* = cos/2 -r- ^— i sinwô,
restée célèbre sous le nom Aq formule de Moivre^ du nom
du géomètre français qui l'a découverte ( * ) .
(*) Que signifie au fond la formule de Moivre? En toute rigueur, il fau-^
drait écrire
(cos ô -+- i sin 6 y* — ( cos mB -i- i sin m ô ) = multiple de ( '* -h i) j
ainsi elle signifie que (cosô ■+■ i sinfly — (cosmô + i sinm^) est divisible
yo TRAITÉ d'algèbre.
On appelle racine n}^^^ d'une imaginaire A une quantité
qui, élevée à la puissance /z, reproduit A.
Théorème I. — Toute imaginaire a n racines /i'^'»«.
En effet, considérons l'imaginaire
r(cosO -+- v^ — I sin©);
désignons par r (cos6-l- y/ — i sin0) sa racine /i***"®; nous
aurons, par définition,
[r(cos0 -h v^— isinô)]'* = R(cos0 4- y/— i sine),
c'est-à-dire, en vertu de la formule de Moivre,
r"(cos/i0 -h ^ — 1 sin«0) = R(cos0 -\- \J — i sin©).
Cette égalité se décompose en deux autres :
( r"cos/iô = Rcos0,
(>) . .
^ ' ( r^smnBzzz Rsin0;
si l'on élève au carré ces deux égalités et si l'on ajoute, on
trouve
r*'»=rR*,
par i*-^i: ce que Ton prouverait directement par les procédés ordinaires
de l'Algèbre, en écrivant i au lieu de yj — i et en rétablissant partout lo
multiple de /*+ 1 dans les formules du texte où il a été omis.
Si l'on réduit le premier membre de la formule de Moivre à la forme
a -f- b>J — I en faisant usage de la formule du binôme, a devra être égal à
cosmd et ^ à sin//i0; on trouve ainsi
m(m — «/...y,
cosrn^ = cos"»d ^ ^cos^-'ôsin'ô-i-...,
1.2
iïnme = - cos'«-»ô sinô ^ ^ co8«-"Ô sin'ô h-. . . ;
I I • '2 •
mais l'étude de ces formules trouvera sa place dans la Trigonométrie et
nous ne nous y arrêterons pas.
CHAPITRE IV. 71
et, en observant que r doit être un nombre essentiellement
positif ou nul,
[1] /^ = R ou r=y^R;
les formules ( 1 ) donnent alors
cos/zô = COS0, sin/îô = siaO,
et par suite
À désignant un entier quelconque, c'est-à-dire
= .
Si Ton désigne alors, avec Cauchy, par le symbole y ((A))
la racine /z**"' de l'imaginaire A, on voit que la racine /z**"®
de R (cos0-|-y/ — isin 0) aura n valeurs données par la
formule
v((r( cosO -h v/— 1 sin©)))
(3) { «,- / 0H-2/-7r I . 0-f.2^7r\
= y/ R I cos h V — I sm I »
formule dans laquelle il suffira de faire h successivement
égal à o, 1,2,3, . . . , 71 — I . En effet, si Ton fait k égal à
ni-^j, j désignant un entier compris entre o et n — i
inclusivement, et i désignant un entier quelconque positif
ou négatif, on obtient, pour la racine w'*™® de
R(cos0 + \J — isin©),
une valeur dont l'argument ne diffère de — que d'un
multiple entier de la circonférence, c'est-à-dire une valeur
déjà comprise parmi celles que l'on obtient en faisant k
■
1
72 TRAITÉ d'algèbre.
égal k o, 1, 2, ^, . , ., n — i dans la formule (3); donc
enfin la racine /z**°® d'une imaginaire a n valeurs, comme
nous l'avions annoncé.
Au surplus, il est facile de voir que ces n valeurs sont
toutes différentes, car les arcs compris dans les formules
0-h27r 0-f-4^ 0-h2« — ITT
n n n n
diffèrent de moins d'une circonférence; deux quelconques
d'entre eux ne sauraient donc avoir à la fois même sinus
et même cosinus.
Remarque I. — Si, dans la formule (3), on suppose
© = o, on trouve
(4) Vm) = "^S (cos ^ + V^i sin ^''
Remarque II. — La formule (3) peut encore s'écrire
V ((r(cos0 -f- /^ sin©)))
[nr77 f ® / • ®\1/ 2A:7r / . 2/-7r\
VRIcos — hy'— ism-j Icos hy— ism j-
Or, en vertu de la formule (4)? dans laquelle on peut sup-
T^ 7. kit I . 2 A: TT j , . ,
poser n =r: I , cos h \] — i sm désigne une quel-
conque des racines /z*^"®* de l'unité ; peut être censé
représenter l'un quelconque des arguments de
R (cos0 -H y' — f sin©)
La formule précédente nous montre donc que les n ra-
cines /2*^™«« d'une imaginaire quelconque peuvent s'obtenir
en multipliant l'une quelconque d'entre elles successive-
ment par chacune des racines w**"®* de l'unité.
Dorénavant, lorsque nous ne spécifierons pas la valeur
s
CHAPITRE IV. 73
d'une racine ti**"*, nous la représenterons par le sym-
bole y/(( )); au contraire, lorsqu'il sera question d'une
valeur bien déterminée de celte racine, par exemple lors-
qu'il s'agira de celle qui a le plus petit argument positif,
nous ferons usage du signe y/ sans doubles parenthèses.
Vn. — CALCUL DES RADICAUX ALGÉBRIQUES.
Théorème I. — Si Von multiplie chacune des valeurs
^fe y (( A)) par chacune des valeurs de ^/((B)), on reproduit
chacune des valeurs de y (( AB)).
En effet, soit
A =: r, (cosôj + v^ — I sin^i),
B= rj(cos62 + V^ — isinôj);
on aura
^(( A]) = Tj ( ces h sj— I sm
v'((B)) = '-!(
n ' n
Ô2-f-2/«7r . 60 -f- 2/:2 7r\
ces -^ h i/— I sm — ^— ,
n ^ n *
et par suite
1 1
-t- yl---i sm ""— ^— .
formules dans lesquelles k^ et k^y et par suite k^ -f-A*2î
désignent des entiers tout à fait quelconques. D'un autre
côté, on a
AB = rjrj [ces (0, -f-Ô,)+ ^^sin(ô, -f- ^2)],
"/■rrr^û J^T ^i -f- ^2 -t- ^^tt . Q ^q ^ a/Tri
VUAB))==r,rj| CCS hv^— ism '^ L
74 TRAITÉ D^ALGÈBRE.
I désignant un entier quelconque. De la comparaison de
cette formule avec la précédente on déduit
';/(iA))xvm)=vm)).
ۥ Q. F. D.
Si l'on voulait supprimer les doubles parenthèses, on le
pourrait; mais il faudrait choisir convenablement les
valeurs des radicaux.
Théorème II. — Si l'on divise chacune des valeurs
rfey((A)) par chacune des valeurs de y((B)), on obtient
n j^ésultats différents qui sont les n valeurs de ^(( A : B)).
Théorème III. — Si Von élèi^e à la puissance m les va-
leurs Je y ((A)), on obtient les valeurs de y ((A'")).
Théorème IV. — *SY l'on extrait les racines m*^"^^^ des
n valeurs de y ((A)), on obtient les valeurs de '"y ((A)).
Remarque. — Quand on a un radical de la forme
mn,
V((A'«)).
il faut éviter de le simplifier et d'écrire
mn
A"')) = v'((A)];
en effet, le premier membre de cette formule a mn valeurs,
le second n'en a que /i; quand on n'agit pas avec précau-
tion dans le calcul des radicaux imaginaires, on s'expose
souvent à tomber dans de grossières erreurs ; il ne faut pas
en accuser l'emploi des symboles imaginaires, dont le cal-
cul n'est pas tout à fait soumis aux mêmes règles que celui
des quantités réelles. Ainsi, par exemple, on raisonnerait
mal en écrivant
( I ) ÇCTi X v^^^ = î/(-a)(-2) = 5/4 = 2,
CHAPITRE IV.
75
pujs
y3^xî/^^ = (î/=^> =
— 2,
d'où Ton déduirait
2= — 2.
En effet, dans la formule (i), ^ — a désigne une valeur
particulière de yj[[ — 2)), y/( — 2)( — 2) désigne une valeur
particulière de y^((4)); ^^ ^^ peut, sans examen, égaler
ces deux valeurs; et eu effet, on a
V((-" 2)) = v/2(cos7r-f- v^^sIutt)
/t. I ces I - + Att j H- y^— I sin ( - 4- Â:7r j
= V
ou
î/a-2)) = ±v'V-'.
Prenons les radicaux avec le signe -f- ; on voit que Ton
n*aura pas
Î/-2Xy-2=î'4,
mais bien
î'— 2X {/— 2 = v^X v^— I X v^2X\/— I = — 2.
Si l'on prend les radicaux avec le signe — , on arrive
encore au même résultat. Donc la formule (i) est tou-
jours fausse si y — 2 y représente toujours la même valeur
de ^yjJT^r^).
Vm. — 8!JB LES 1ËÛUATI0V8 SU aÉNÉBAIi.
Les règles de la multiplication et de la division algébri-
ques s'appliquent évidemment aux quantités imaginaires
(
76 TRAITÉ D* ALGÈBRE.
comme aux quantités réelles; il en est de même de la
formule du binôme.
On peut former des équations à l'aide de quantités
réelles et imaginaires, et chercher s'il n'existe pas des
quantités imaginaires satisfaisant à ces équations; les
principes fondamentaux que nous avons démon très sur la
résolution des équations, dans la première Partie de cet
Ouvrage, sont encore applicables aux cas où l'on considé-
rerait des égalités entre quantités imaginaires ; ces principes
ne dépendent absolument que des quatre premières opé-
rations de l'Algèbre, reconnues applicables aux quantités
imaginaires. Ainsi, il n'y a rien à ajouter à la théorie des
équations du premier degré et à la théorie des détermi-
nants. Il n'en est pas de même des équations du second
degré où interviennent des questions sur les radicaux;
il y a donc lieu d'examiner de nouveau la théorie des
équations du second degré : c'est ce que nous allons
faire.
n. — SUR LES ÉÛUATIONS DU SECOND DE6BÉ.
Nous conviendrons de ne pas écrire l'indice d'un radi-
cal lorsque cet indice sera 2.
Cela posé, cherchons la racine carrée de a -f- i y/ — 1 ;
désignons cette racine par x -t-jK V^ — 1> nous aurons
[x -^ X sj— i)* = a H- b y^— I
ou bien
^2 — ^* -f 2.xy ^ — I = a -f- ^ V — ' •
Cette équation équivaut aux deux suivantes :
(1) x^ — jr^ = a,
(2) 2^7= è;
CHAPITRE IV. 77
la dernière peut s'écrire, en la généralisant un peu,
(3) -^V=-j-
A l'inspection des équations (i) et (3), on reconnaît im-
médiatement que X* et — j^ sont racines de l'équation
en u
b*
ir — au —
d'où l'on déduit
ir — au y = o,
4
a ± s/a^ -h b^
UZ= 9
1
c'est-à-dire, en observant que j^ doit être positif,
xlz=:l[a-\-sJa'-\-b^),
On déduit de là
L'équation (2) montre avec quels signes on doit prendrez
et y\ si, par exemple, h est positif, on prendra x et y^ de
même signe, en sorte que l'on aura
+ Y/i(v/^?:r6Î-a)v^— ];
• ^» • _ ^i,
^8 TRAITE DALCBBRC.
si b est négatif, on aura, au contraire,
-^J\{^|a'^b*-a)^|-^'^
Si Ton fait J = o, on trouve : en supposant a ^ o,
en supposant a < o,
OU, en explicitant les signes,
Une équation du second degré a toujours deux racines
lorsque l'on admet pour Tinconnue des valeurs imaginaires :
voici comment il faut entendre cette proposition. Considé-
rons l'équation
x' -{- px 4- q = 0.
Supposons j q <Co\ on peut se proposer de chercher
s'il existe pour a: des valeurs de la forme a H- j3 yj — i véri-
fiant cette équation, c'est-à-dire en sous-entendant dans le
second membre un multiple de (y/ — 1)24-1. On trouve
alors successivement
2-/ 4
I
^'\/^~'i
CHAPITRE IV. 79
Z. — DES FONCTIONS DE VARIADLES IMAOINAIBES.
Tout polynôme entier en z = x -h y \—i est ce que
Ton appelle une fonction entière de z,
Soity(tt, z) une fonction entière de iietz] toute expres-
sion de la forme XH-y— i Y qui, mise à la place de u
dans Téquation
y satisfait, est ce que l'on appelle une fonction algébrique
de z, mais il faut encore pour cela que X et Y soient des
fonctions de a: etj^ (*).
En général, toute expression qui peut être ramenée à la
forme X H- Y \] — i ou qui est définie par cette forme, X et Y
désignant des fonctions de x etj^, est ce que l'on appelle
une fonction de a? -t- sj — ly. Toutes les fonctions qui ne
sont pas algébriques sont transcendantes.
Une fonction X-f-Yy/ — i de x-\-y^~ i est continue
lorsqu'à un accroissement infiniment petit quelconque
de X -\- y y/ — i correspond un accroissement infiniment
petit de X -+- Y y — i , et nous appelons ici accroissement
d'une quantité la différence entre deux valeurs de cette
quantité.
Pour qu'une fonction X -f- Yy/---i de x -\-y\f—i soit
continue, il faut et il suffit évidemment que X et Y soient
des fonctions continues de x et dej^; il faut et il suffit
aussi que son module et son argument soient des fonctions
continues du module et de l'argument de sa variable. Ces
(*) PuisEUX, Mémoire sur les fonctions algébriques {^Journal de Liouville,
t. XV); Briot et Bouquet, Fonctions elliptiques, sont peut-être les premiers
qui aient adoptée cette définition, aujourd'hui admise par tous les savants.
80 TRAITÉ d'algèbre.
propositions deviennent évidentes si l'on représente les
imaginaires à l'aide de points, comme il a été expliqué
plus haut.
XI. ~ DÉrnriTioK de la fongtiov ezpoheiitielle.
Nous avons défini le symbole
[r{cos6 -h y/^^sinô)]^,
pour toutes les valeurs entières et positives de x, comme
étant le produit de x facteurs égaux à r(cos0 4- y/— i sin0);
nous en avons déduit la formule
[r(cosO •+■ ^ — isin0)]^=: r^[cosdx -h^ — isîn^j:).
Nous pouvons maintenant nous servir de cette formule
pour définir le symbole [r(cos0 -4- ^ — i sin0)]^ lorsque
X sera fractionnaire, incommensurable ou négatif. Ainsi
r^(cos0x 4- y^ — 1 sinôo:) est ce que nous appellerons do-
rénavant la X**™* puissance de r(cos6 -f- y^ — isinô).
La puissance x**°^' de r(cos9 -f- \/ — i sinO) n'a qu'une
seule valeur lorsque x est entier; mais il n'en est pas
de même dans les autres cas. En effet, l'expression
r(cos0^- y/— I sin9) ne change pas quand on remplace
par 0-f- a/rTT, A désignant un entier quelconque ; ainsi les
valeurs de [r(cosâ-t-y/ — isin0)]* seront données par la
formule
[r(cos0-|-v^— isinô)]^
=zr^[cos(9x -h 2 Â Tt x) -h ^ — isin(ôa: -h aX-Trx)]-
Si X est incommensurable, les arcs compris dans la for-
mule
Ox •+■ 2ÂltX
CHAPITRE IV. 8l
aaront pour sinus et cosinus une infinité de nombres diflfé-
renls, en sorte que la puissance a:^*"® d'une quantité ima-
ginaire a en général une infinité de valeurs.
Le lecteur se demandera sans doute pourquoi nous
n'avons pas défini la puissance fractionnaire - de
r(cos(?H-y/ — I sin0) à Taide de la formule
p
(i) [r(cos6 + v^— isin6)f z=\^[r(cosÔ-l-v^— isinô)]'',
pourquoi enfin nous n'avons pas suivi .dans la définition
des puissances de quantités imaginaires la même marche
que dans la définition des puissances de quantités posi-
tives. La raison en est simple : d'après notre définition,
[r (cosô 4- V — I sin0)]^ est une quantité qui possède plu-
sieurs valeurs, il est vrai, mais dont le nombre des valeurs
ne change qu'avec la valeur et non avec la forme de x ;
ainsi nous avons
3 6
2 r / . / . .\iT
(2) [r(cos6-H v^—isinô)] = [r(cos6 + \/— i sinô)] =....
Au contraire, en partant de l'équation (i) pour définir les
puissances fractionnaires, on voit que
p
1?
[r(cosô -1-v^— isinô)]
■
aurait q valeurs, et par conséquent varierait avec la forme
de la fraction^? en sorte que, par exemple, la formule (2)
serait inexacte. De la définition que nous venons de
donner résulte la généralisation de la formule de Moivre,
à savoir
(cos0 -t- \J — I sin6)"^= co^Bx -4- sj — i sinOjc.
Une quantité réelle étant assimilable à une imaginaire,
L. — Algèbre, II. 6
33 TRAITE D*ALfiBBRE.
on voit qu'une quantité réelle peut avoir une infinité de
puissances or**"" dont une seule est toujours réelle.
Les règles des exposants s'appliquent encore aux imagi-
naires, avec certaines restrictions toutefois ; ainsi on a
[r(cosô 4- sT-^^ sinô)]*[r(cosô -H ^/^ sinô)]*
= r* (ces ô jr -♦- sj— I sin Qx)r*' (cos jr' H- ^— i sin ô x')
= /^^^'[cosô [x -h x] -^ v^^^sinô (x 4- x')]
= [r(cosÔ + v/^^ sin ô)] ""*"''.
Les autres propriétés des exposants se démontreraient
d'une manière semblable.
Théorème L — La fonction a^ est continue, lors même
que l'on suppose a imaginaire.
Cela résulte évidemment de la formule
[r(cos0 4- ^ — I sin6)]*= /^(cosôx + ^ — isinôx),
dans laquelle z^, cos 6a: et sin do: sont des fonctions con-
tinues. Nous verrons plus loin comment on peut encore
généraliser davantage la fonction exponentielle, en sup-
posant sa variable imaginaire, et nous verrons qu'alors
encore elle reste continue.
Théorème IL — Si Von a pour toutes les valeurs réelles
de X et de y
et si la fonction ^[x) est continue, on a nécessairement
a désignant une quantité réelle ou imaginaire.
CHAPITRE IT. 83
Eja effet, en répétant le raisonnement de la page 4^? on
trouve que ^(jf}* est une constante réelle ou imaginaire a.
EXERaCES ET NOTES.
1. On a
[a-\-b-\- c)(a-^boL-\-cx'](a-^ ba' -+-ccx.) = a^ -{- b^ -i- c^ — 3 abc,
OL et a' désignant deux racines imaginaires dex^— i = o.
2. Résoudre Téquatioa {a: -+- 1 )» — jc» = i .
3. Calculer et mettre sous la forme a -+- b^—i les expressions
\[7^v, \/sl\f^, ....
4. Quelles sont les racines cubiques de v^— i?
5. La théorie des imaginaires remonte aux premiers travaux des
modernes sur la théorie des équations, mais elle n'a été assise sur
des bases solides que dans ces derniers temps, grâce aux recherches
de Français, Argand, Vallès, Mourey, Truel et Gauchy. La théorie ex-
posée dans le texte a été ébauchée par Gauchy.
Mourey, dans sa Fraie tJvéoriey etc., a présenté comme il suit la
théorie des imaginaires :
Appelons quantité imaginaire une droite située dans un pian sur
equel est tracé un axe fixe de direction donnée. La longueur r de
cette droite sera ce que nous appellerons son module; l'angle ô qu'elle
fait avec l'axe fixe, compté comme on compte les angles en Trigono-
métrie, sera ce que nous appellerons son argument.
La droite en question sera représentée par la notation r^ et Ton con-
vient de ne pas écrire l'argument quand il est nul, ainsi «o = «. La résul-
tante de r^, /v, rj,, ... s'appellera aussi leur somme et sera repré-
sentée par r^ -h rj, -h rj» -+-... . La différence de deux imaginaires se
définira comme plus haut. Le produit de deux imaginaires r^ et Resera,
par définition, l'imaginaire ayant pour module rR et pour argument
G -t- 0. Ce produit existe et est bien défini. Le carré de r^ sera r\^.
D'après cela, on voit que i^ a pour carré i^ = o — i ou — i . Ainsi l'on
a
6.
84 TRAITÉ d'algèbre.
peut dire que la droite i^ ou — i est le carré de i„ que Ton peut
alors représenter par \/— i- Toute droite pouvant être considérée
comme la résultante de deux autres, l'une, û ou ^o, parallèle à l'axe
fixe, et l'autre, ^u= ^o.i,= b\/—i, perpendiculaire à cet axe; elle
a 3
pourra être représentée par un symbole tel que
a-^b\/ — I , etc.
Hamilton ( Lectures on quaternions) a essayé d'étendre ces notions
à la Géométrie de l'espace. M. Despeyrous [Mémoires de V Académie
de Toulouse) a fait une tentative du môme genre. Les imaginaires do
M. Despeyrous sont jusqu'ici la généralisation la plus naturelle des
imaginaires de Mourey ; les quaternions d'Hamilton sont soumis à des
règles bizarres: ainsi le produit de deux quaternions peut changer
avec l'ordre des facteurs.
6. Une droite étant déterminée par ses deux extrémités, on pro-
pose de trouver son milieu en faisant usage d'un compas, mais sans se
servir de la règle. (Mascherom.)
Les propriétés de l'hexagone régulier et la théorie de Mourey per-
mettent de donner un grand nombre de solutions de ce problème.
[Foir Masgheroni, la Géométrie du compas. Napoléon \" faisait,
paraît-il, grand cas de cet Ouvrage.)
7. Consulter la théorie des équipollences de Bellavitis, traduite par
Laisant, député.
CHAPITRE y. 85
CHAPITRE V.
THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES.
I. -~ DÉFINITIONS.
*
On appelle série une suite illimitée de termes qui se
forment et se suivent d'après une loi déterminée. On
appelle encore les séries suites infinies.
Une série est dite convergente si la somme de ses n pre-
miers termes tend vers une limite déterminée, lorsque n
augmente indéfiniment, en suivant du reste une loi quel -
conque; cette limite est ce que Ton appelle la valeur de
la série ou la somme de ses termes ( * ).
Une série qui n'est pas convergente est appelée div^er-
gente, La série
(«0— ai)-+-(ai—«î) + («i—«8)-t-(a3— «*)-+-••• +(««-1— ««)+•••»
dans laquelle a„ désigne un nombre qui a pour limite
zéro, lorsque n augmente indéfiniment, est convergente,
car la somme de ses n premiers termes est a© — «/i, et cette
quantité a pour limite «q pour n = ao .
(*) Quel est l'inventeur de la théorie des séries? C'est une question dif-
llcile à trancher; Archimède a sommé les progressions géométriques, New-
ton, Wallis, Leibnitz, Mercator, Maclaurin, Stirling, les Bernoulli, Euler,
Lagrange, etc., ont sommé bien des séries, mais leurs raisonnements man-
quent en général de rigueur; Abel et Gauchy paraissent être les premiers
qui aient raisonné juste dans cette branche de l'Analyse. (Lire l'Histoire
des Mathématiques de Montucla.)
âC TRAITÉ D*ALG£imE.
Au contraire, la série
est divergente, car la somme de ses n premiers termes est
alternativement zéro et i ; elle ne tend par conséquent pas
vers une limite déterminée lorsque n croît d'une manière
quelconque.
On comprend difficilement comment d'illustres ana-
lystes ont pu écrire des formules telles que
(A) -f-l — iH-î— 1-^...=:-
(Leibnitz, Lettre à Christian Wolff, — Exiler, Insîitu-
tiones Calculi differentialis et integralis. Pars posterior,
Cap.I, etc.).
Une série divergente ne saurait représenter-* En effet,
quelle idée peut-on se faire d'une somme composée d'un
nombre illimité de parties? En toute rigueur, on n'a pas
même le droit d'écrire
(l) ao=: (ao— ai)-4-(ai— «gj-f-. . . -f- ( a„ — ««^.j ) -f- . . .
lorsque a„ tend vers zéro, c'est-à-dire lorsque la série est
convergente. On le fait cependant, mais seulement en
vertu d'une convention qui consiste à séparer une série
convergente de la limite vers laquelle tend la somme de
ses termes par le signe =. Ainsi la formule (i) est une
manière abrégée d'écrire
«0 r=r liori [ ( «0 — a, ) -f- . . . -i- ( K„ — k„_^i ) ] pour /? = oo .
La formule (A) est donc complètement absurde, puisque
la limite de la somme de ses n premiers termes n'existe
pas : elle n'est donc pas égale à -•
I
GHAPITItB V. Sy
Si nous insistons sur ce point, c'est <fae malheureuse^^
ment on trouve dans d'excellents auteurs, parmi les
princes de la Science, des fautes analogues à celle dont
nous venons de parler. Abel s'en plaint amèrement dans
une de ses Lettres à Holmboë (voir OEuvres complètes).
n. — THËOBËHES SUB LA GORVERaOlGE.
Théorème 1. — Pour qu'une série soit com^ergente, il
faut que ses termes diminuent indéfiniment.
En effet, soit la série
Mo> Wi, Wj, W3, ..., Uny ...,
et en général Sn la somme des n premiers termes ; on a
(1) ^/i+l — Sn= Uf^,
Si l'on suppose la série proposée convergente et si l'on
désigne sa valeur par s, on aura
lim^„_,_i= s,
\imSn=is;
donc
lim^rt+i -— limsn = \im[sn+i — «^z» ) = <>>
c'est-à-dire, en vertu de l'équation (i),
limM;t=o.
Remarque I. — La démonstration que nous venons
d'employer, comme du reste toutes celles que nous em-
ploierons dans l'exposition de ces principes, est basée sur
le calcul des limites ; elle précise le sens que nous devons
attribuer à la locution diminuer indéfiniment. Quand nous
disons que u„, doit diminuer indéfiniment, nous devons
88 TRAITÉ d'âLGEBRE.
entendre par là que celte quantité, réelle ou imaginaire,
doit avoir zéro pour limite, rien de plus : ainsi m„ peut
tendre comme on veut vers zéro ; il n'est nullement néces-
saire, par exemple, que l'on ait
Remarque IL — On aurait également pu écrire les équa-
tions suivantes,
d'où, retranchant la deuxième de la première,.
lim ( Wrt -f- Un+i H- Wn-i-2 -h . . . + Ua-^-p-i ) = O,
résultat que nous énoncerons ainsi :
Pour qu'une série soit convergente, il faut que la
somme des p termes qjui suivent le n^^^^ diminue indéfi-
niment quand n augmente indéfiniment, quel que soit du
reste p.
Remarque III. — Il existe des séries dans lesquelles Un
peut tendre vers zéro sans que la série à laquelle appar-
tient ce terme soit convergente ; par exemple, considérons
la série suivante, appelée série harmonique :
I I 1 I I I
204^ W/î + I
Il est facile de s'assurer que cette série est divergente, car,
si Ton prend n termes après le /i**™*, la somme
I I I
H : 1-...4-
/l -h I /2 H- 2 2/î
est plus grande que — répété n fois, c'est-à-dire que -• Si
CHAPITRE y. 89
donc on groupe les termes de la série harmonique ainsi
qu'il suit,
I /i i\ /i I I i\
• • *
n -\- i n -\- 2, in
on voit que la somme de ses in premiers termes est plus
grande que - répété autant de fois que Ton veut, en pre-
nant n suffisamment grand. La somme de ces in premiers
termes croît donc au delà de toute limite ; donc la série
est divergente. c. q. f. d.
Il arrive souvent que Ton rend une série convergente
par un simple changement des signes de quelques-uns de
se^ termes. Ainsi la série
III ,1 I
I f-TT— -jH-.. .±-
2 3 4 n~^ n -\-\
est convergente. En général :
Théouème II. — Si dans une série les termes sont, à
partir de l'un d'eux, indéfiniment décroissants et alter-
nativement positifs et négatifs, cette série est conver-
gente.
En effet, considérons la série
Ml -h Wj -4- ... -h Un. — Un^i H- U/i+S — ...-+- Un-i-ip — Un-hip-hl ± . . . j
dans laquelle les termes sont indéfiniment décroissants et
alternativement positifs et négatifs à partir de a„.
Appelons en général S^ la somme des m premiers
termes de la série. Si nous remarquons que les termes
90 TRAITB OALfiEBRE.
vont constamment en diminuant , les quantités
seront toutes positives, et, par conséquent,
Les quantités — Un^i -\- Un^2j • • • > — Un+tp-t 4- i^/i+i/y) • ••
seront toutes négatives, et, par suite,
Or
Donc S„^2/> est plus grand que Sn^2p~ij et, à cause de
la suite d'inégalités (i), plus grand que S^^i. Ainsi donc
une somme quelconque comprise dans la suite 8^-1.2 1 ^n^tf
S/146 > • • • est plus grande que S„^i ; il en résulte que ces
sommes, allant constamment en décroissant et restant
supérieures à Sn^i, qui est fixe, ont une limite S. Or
on a
Faisons croître p indéfiniment ; le premier membre de cette
équation a pour limite S, car Un^zp^t a pour limite zéro;
donc S;i^2^Hh< ^ pour limite S également; donc^ de quelque
manière que croisse Tentier /w, S^ a une limite, ce qui
revient à dire que la série proposée est convergente.
Corollaire. — On voit que, la valeur de la série étant
comprise entre S» et S„^i , Terreur commise en prenant S»
pour valeur de la série est moindre en valeur absolue que
Théorème III. — Quand une série à ternies positifs a
ses termes respectii^ement plus petits que ceux d'une autre
caAPiTâB T. gi
série également à termes positifs et de plus convergente,
la première série est aussi com^ergente.
Soient, en effet,
la série convergente donnée (on représente ordinairement
une série convergente en séparant la somme d'un certain
nombre de termes de sa valeur par le signe =, on sup-
prime le mot lim,) et
(a) t^o -+■ ♦'i "*" •'j + • • • ^" ^» -♦- • • •
la série proposée. Soit Sn la somme des n premiers termes
de la série (i), tn la somme des n premiers termes de la
série ( 2 ) ; comme J^o <C ''o> ^i <C ^o • • • ■> ^« <C "«î ^^ si ^^i*
demment
tn<Sn.
donc, a fortiori.
Or, n croissant^ t^ croît, mais tn reste constamment infé-
rieur à 5; donc, en vertu d'un principe déjà invoqué, In. a
une limite; la série (2) est convergente.
C. Q. F. O.
Théorème IV. — Une série à termes positifs et néga-
tifs est convergente lors4fue la série des valeurs absolues
de ses termes est convergente.
En effet, considérons à part les séries des termes posi-
tifs et des termes négatifs pris dans l'ordre dans lequel ils
se succèdent dans la série proposée.
Soient
JL -»»
9% TRAITE D ALGEBRE.
la série des termes positifs el
( 2 ) ^0 -^- ^1 -+- • • • -+- ^* -1- • • •
celle des termes négatifs pris chacun en valeur absolue.
Soient Xi la somme des i premiers termes de la série (i),
;^jtla somme des h premiers termes de la série (2), et ^„ la
somme des n premiers termes de la série proposée. Nous
pouvons toujours supposer que Aq, aj,. . ., ai soient les
ermes positifs de Sn, et io> io • • • > ^a les termes négatifs;
alors on a, en appelant ^'„ la somme des n premiers termes
de la série proposée rendus positifs,
(3) s^ = ^i-^Xk.
(4) ^/i = -^/— Ja-.
L'équation (3) montre que s'^ est plus grand que xt et que
Yk] donc, a fortiori, la limite de s'^, qui par hypothèse
existe, est supérieure à x/ et k jk* Or Xi ^l jh sont des
nombres croissant avec i et A, mais constamment infé-
rieurs à la limite de s'^'i donc ils ont une limite chacun;
donc les séries (i) el (2) sont convergentes. L'équation (4)
montre que Sn a une limite égaie à la différence des limites
de xieljki c'est-à-dire que la série proposée est couver-
gente et a une valeur égale à la différence des valeurs des
séries de ses termes positifs et de ses termes négatifs.
Théorème V. — Quand une série ne perd pas sa con-
vergence lorsque l'on rend tous ses ternies positifs, on
peut, sans altérer sa ^valeur, intervertir l'ordre de ses
termes.
En effet, considérons d'abord une série convergente à
termes positifs :
( l) 5 = «0 H- Mj -t- M, -h . , . -M/;„
. • • .
CHAPITRE V. ç)'i
[ntervertissons l'ordre de ses lerpaes, et soit
la nouvelle série obtenue après ce changement. Soient 5', la
somme des n premiers termes de la série (2), Sm la somme
des m premiers termes de la série proposée ; on pourra tou-
jours choisir m de telle sorte que tous les termes de s'„
soient contenus dans les m premiers termes de la série (i).
On aura alors
s'nâsm et s'„<C\ims^ ou <J.
Nous voyons par là :
1° Que la série (2) est convergente, puisque s'„ croît
avec n sans dépasser s ;
2° Que la valeur ^'=:lim5'^ de la série (2) ne saurait
surpasser s. Or on démontrerait de la même manière que
la valeur s de la série (i) ne saurait surpasser /; donc on
doit avoir
s'.
donc la série (i) n'a pas changé de valeur.
Supposons actuellement la série
(l) ^ = iio + «^1 H-Z's "+■• • '-H "» H- • • •>
à termes quelconques.
Soient
( 3 ) Cq + /?! H- «j + . . . H- û/ -H . . .
la série de ses termes positifs pris dans le même ordre que
dans la série (1),
(4) b^'{- b^-h., -{- bf,-h...
la série de ses termes négatifs également pris dans Tordre
94 TRAITA D'ALGàBRE.
OÙ ils se trouvent dans l'équation (i). Supposons que la
série (i) conserve sa convergence quand on rend ses
termes positifs. Les séries (3) et (4) sont convergentes,
et, si X Qlj désignent les valeurs respectives de ces séries,
on a
(5) *=:jr — jr.
Cela posé, changeons Tordre des termes de la série (i);
la série de ses termes positifs sera encore la série (3),
à Tordre des termes près. Or, cette série est à termes posi-
tifs; donc elle conserve sa valeur. Même observation
pour la série des termes négatifs et pour la série des
valeurs absolues des termes de la série (i). II en résulte,
d'après le théorème IV, que la valeur de la série (i) trans-
formée est encore x — j\ donc la série (i) ne change pas
de valeur quand on change Tordre de ses termes.
c. Q. F. n.
Remarque. — Toute cette démonstration repose sur
Tégalité (5); lors donc que x on y n'existeront pas, c'est-
à-dire quand dans la série proposée les termes positifs et
négatifs ne formeront pas des séries convergentes, la dé-
monstration précédente tombera en défaut. Il est facile,
du reste, de donner un exemple dans lequel on voit une
série changer de valeur quand on change Tordre de ses
termes.
Considérons, par exemple, la série convergente
, , I I I I I .1 '
(0 7~r+^--7 +
I 2 3 4 ^ /l/l^l
Remarquons que la série des valeurs absolues de ses
termes est identique avec la série harmonique qui est diver-
gente.
Posons
III I
/(«l^T-::-^?
12 2/1
J
GHAPITRB V. 95
et considérons la série
,, I I I I I I i i I
^ ' I 32074 H^ — 3 qn—i 2/2
I • > ■ •
Arrêtons-nous au terme — ; cette série, comme on voit,
2/2
renferme les mêmes termes que la série proposée; leur
ordre est diflFérent, et Ton prend d'abord deux termes posi-
tifs, puis un terme négatif, puis deux termes positifs, puis
un terme négatif, ... ; nous aurons
II 1 II
I 3 /in — 3 ^n — i 2/z
(3) ;
= f{n) H \ 1 L_--}-...-f._2 —
*^ ^ ' 2/1 -l-i 2/2 -h 3 ^n — I
La quantité qui smlf[n), composée de n termes, est évi-
demment plus grande que n X 7 ou que ■ On a
4 —
n
donc
II I I ï ^ /•/ \ ï
I 3 ^n — 3 ^n — i in " ^ ' 1
^~n
Si nous supposons que n devienne infini, le premier
membre de cette inégalité ou la valeur de la série ( 2 ) dif-
férera de lim/'(n) ou de la valeur de la série (i) de plus
de -T-, donc évidemment la série (2) a une valeur toute
4
différente de celle de la série (i).
Jusqu'ici nous n*avons guère parlé que de séries à termes
réels ; mais on fait un fréquent usage en Analyse de séries
à termes imaginaires.
Une série à termes imaginaires peut se mettre sous la
96 TRAITÉ 0*ALGÈBRE.
forme
fil i ("o-+-*'oV^^^-*-(mi-4-«'i\/— i) + (tt,4-i',v/--i)-4-..
Cette série sera convergente si les deux séries
(2) Mo-f- Wi-h M,-4-. . .-I- «„ + . . .,
(3)
«'O -H t'i -t- t'2 -^ • • • H- *';*
formées des parties réelles et des coefficients de ^ — i
dans tous ses termes, sont toutes deux convergentes.
En effet, soit Sn la somme des n premiers termes de la
série (i), o"/? et Zn les sommes des n premiers termes des
séries (2) et (3); on a
En passant aux limites et en désignant par a et t les va-
leurs des séries (2) et (3), on voit que
lim5„= or -h tv'—i;
donc la série (i) est convergente. c. q. f. d.
Remarque. — Il est clair que, si Tune des séries (2) et
(3) eût été divergente, la série (i) l'eût été pareillement.
Théorème VI. — Dans une série à termes imaginaires,
si la série des modules des dijfférents termes est conver-
gente, cette série est elle-même convergente et Von peut,
sans altérer sa convergence, intervertir V ordre des termes.
En effet, considérons la série (i). Les séries de ses
termes réels et des coefficients de \J — i sont convergentes
indépendamment des signes de leurs termes, car ceux-ci
sont respectivement plus petits que ceux de la série des
modules qui est à termes positifs. On peut donc changer
CHAPITRE V. 97
Tordre des termes de ces séries sans en altérer la valeur,
ce qui revient à dire que Ton peut changer Tordre des
termes de la série proposée elle-même. c. q. f. d.
m. — BË6LES DE CONVERGENCE.
On connaît un grand nombre de règles permettant de
reconnaître si une série donnée est convergente ; mais un
petit nombre de caractères suffisent dans la plupart des
cas, et nous allons les faire connaître.
Théorème I. — Toute progression géométrique dont
la raison est un nombre réel ou imaginaire de module
moindre que i est une série convergente.
En effet, une telle progression peut se mettre sous la
forme
( I ) a -h ax -\- ax^ -\- . . , -\- ax^ -^- , , .,
Or, quel que soit x^ la somme des n-^\ premiers termes est
égale à
a(-i — -î:^V
\i — X 1 — X I
a ou
X — I
Si le module de x est moindre que i, ^"+* tend vers zéro,
et la somme des n premiers termes tend vers la limite finie
: pour Al = 00. La série (i) est donc convergeiite, et
Ton a
a -
1 X
Si Ton remplace x par -» en supposant mod - <[ i, on a
av. z «* z^
z=: a-\-a - -\- a-z 4-... -H^-r-H...»
« — Z a «' a'
L. — Algèbre^ II.
9^ TRAITÉ B'AIiCABRB.
et, en faisant a = -?
a
I I a a* «*
-:zz. I I h. «.H
a — z « a* a' * a'*"*"*
'cette formule, qui nous sera utile plus tard, a lieu pour
toutes les valeurs de z et de a telles que niodz<^ moda.
Théorème II. — Si, dans une série à termes positifs
( I ) ttj + Wj -4- . . . -4- tt„ H- M„+i -f- . . . ,
la limite du rapport -^^ d'un terme au précédent tend
vers une limite inférieure à l'unité ou reste constamment
inférieure à un nombre a fixe moindre que i , cette séide
est convergente.
Observons tout d'abord que, la limite de -^^ étant
««
u
moindre que l'unité, -^^ finira, pour des valeurs suffîsam-
ment grandes de n, par différer ds sa limite de moins que
u
celte limite ne diffère de l'unité, et par suite — ^^ finira
««
par rester moindre qu'un nombre a fixe, moindre lui-même
que l'unité ; ainsi nous n'avons besoin de démontrer le
théorème que pour le cas où l'on a, pour n «suffisamment
grand,
««-+1
De là on tire
et de même
1
On tire de ces formules
La série considérée a donc ses termes respectivement
moindres que les termes de la progression géométrique
a «;j H- a' K„ + a' M;j -f- . . . ,
dont la raison a est moindre que i et qui, par suite, est
convergente; la série proposée elle-même est donc conver-
gente.
Corollaire. — Si dans une série à termes quelconques
la limite du rapport d'un terme au jyrécédent a un mo-
dule moindre que l'unité, ou si le rapport d'un terme au
précédent conserve un module moindre qu'un nombre
a fixe moindre que i, cette série est convergente»
Car la série formée des modules de ses termes est con-
vergente, en vertu du théorème précédent (p. 96).
Remarque I. — Si le rapport ^^- tendait vers une
limite supérieure à l'unité ou restait à partir d'un certain
terme supérieur à l'unité, la série serait dii^ergente, car
les termes iraient en augmentaiU»
RïMÀR^^DE II. — Si la limite î^* était l'unité, *''"'*■*
"« "»
n'étant pas constamment supérieur à i, on ne pourrait
plus rien affirmer relativement à la convergence de la série,
et il faudrait avoir recours à d'autres caractères pour
décider si la série proposée est convergente ou divergente.
Remarque III. — Il est facile d'évaluer une limite de
l'erreur commise quand pour calculer la valeur de la
série (i) on se borne à faire la somme des n premiers
.7-
100 TRAITÉ d'algèbre.
termes. En effet, cette erreur est
or u„^i<Cccun', Un^2<C^^Unj •••? d'après ce que l'on a
vu : donc Terreur est moindre que la valeur de la progres-
sion
««/»+ «'«/»-4- «'w„-h . . .
ou que
1 — a
Théorème III. — Si l'on a deux séries à termes positifs,
l'une convergente,
(i ) ^ =z «0 -+- «1 -h «j -h . . . + iï;i H- a^+i -I- . . . ,
et Vautre,
(2) ^0+ ^1-1- ... -f- ^«-f- ^«+1 + . . .,
telle que le rapport d'un terme au précédent, -7^9 soit
constamment inférieur au rapport correspondant ""*"*
«/»
dans la première, cette dernière est com^ergente.
En effet, la série (i) étant convergente, la suivante le
sera aussi {*):
^0 + — ^1 -f- -- ^î ^- • • • -!- — ^11 -T- — <^»+i -'- •
^0 ^0 ^0 ^0
C^) Si Ton éprouvait quelques doutes à cet égard, ils seront levés par le
théorème II du paragraphe suivant, théorème qui pourrait trouver sa place
ici.
CHAPITRE V. 10 1
Celte série peut s'écrire ainsi :
• • —
^■~ • • . •
(3) /o-4-^-4-^o---i-... + ^
Mais la série (2) peut se mettre sous la forme
or cette série a, en vertu de notre hypothèse, ses termes
respectiTeiKent moindres que ceux de la série (3), qui
est convergente; donc la série (2) est elle-même conver-
gente, c. Q. F. D.
Il est facile de déduire de là le théorème précédent.
Théorème IV. — La série
, , I I ï I T
n^ (n-hi)
k
es^, con^ergen e ou dwergente selon que k est plus grand
ou plus petit que i.
En effet, supposons d'abord k plus grand que 1 ; la série
précédente peut s'écrire, en groupant les termes (ce qui
n'altère pas la convergence ou la divergence de la série,
puisqu'elle a ses termes positifs), de la manière suivante :
^'^^ r_i_ I I -1.
Si l'on suppose A ^ 1 , le terme général de la nouvelle
série est moindre que — ^ répété 2" fois, c'est-à-dire
moindre que - n(k-\) ^ ^^^ termes de cette série sont donc
I02 TRAlri B'itffiiBRB.
moindres que ceux de la progression géométriqoe décrois*
santé
2
k—t
(l^-l)« ■ ••• ' (2*-l)«
elle est par conséquent convergente.
Si au contraire A"<^i, alors la série (.2) a ses termes
plus grands respectivement que ceux de la série harmo-
nique ; elle est donc divergente dans ce cas.
Dans la série (i), le rapport d'un terme au précédent est
de la forme
(/î-hi)*-/i* I ^_^i
si k est plus grand que i, cette quantité est évidemment
moindre que 7» On peut donc énoncer le théorème
n
suivant (*) :
Théorème V. — Si dans une série le rapport d'un
terme au précédent, ayant pour limite l'unité, peut se
mettre sous la forme > et si na> tend "vers une li*
mite k plus grande que 1 , cette série sera convergente.
Les règles de convergence que nous venons de donner
suffisent dans la plupart des cas ; nous donnerons dans les
exercices quelques règles nouvelles, en laissant au lecteur
le soin de les démontrer.
Applications. — 1° Cherchons si la série
8 , /g'— I
10 «* -h 1
l-^ -zX -\ J?*-4-,..-h -r X"'^^ -r- . . .
{*) Raabe et Duhamel l'ont trouvé à peu près en même temps.
CHAflTlE T. I03
est convergente. On a ici, pour TexpressioD du rapport
d'un terme au précédent,
pour 71 = 00 , la limite de cette expression est x. Donc
la série est convergente si modx <[ i , divergente si
modj:>i; enfin, »i modar = iy elle est encore diver-
gente, parce que les modules des termes ont pour limite i
et par suite ne tendent pas vers zéro,
a** Cherchons si la série
I I I
iH h3-l-...H — i h. .
est convergente. Le rapport d'un terme au précédent a
pour expression générale r^ — : » dont la limite
est 1 . Cette expression peut s'écrire :
/ 2/1
71' — n
2 /î
En multipliant -^ par n, on obtient une quantité dont la
limite pour n = co est 2. Donc la série est convergente.
IV. — DES CALCULS aUE L'ON PEUT EFFECTUER SUB LES SÉRIES.
Théorème I. — Si Von considère les séries cons^er-
gentes
A = «0 + ^1 "^~ . . . -f- û» + . . . ,
B = ^0 -î- ^1 -«- • • • + ^/î + • • • »
t *
I04 TRAITE OAtGEBRE.
la série dont le terme général est
est convergente et a pour valeur A =iz B dz G ± . . . .
En effet, on a
czh . . . ,
Si Ton suppose que n augmente indéfiniment, on voit
que ^ u dL une limite égale àihAdiBiiiGrh..., ce qui
démontre le théorème énoncé.
Théorème II. — Si la série
est convergente et a pour valeur s,
auQ -f- aui -f . . . -f- au^ H- , . .
sera convergente et aura pour valeur as»
En effet,
Donc, si n augmente indéfiniment, \] {au) a une limite
égale à alim\] u ou à o^. c. q. f. d.
Théorème III. — Si la série
5 =:: Mq -f- «1 + «2 H- . . . H- M» H- . . .
est cons^ergente et a tous ses termes positifs, si de plus
ao, a\, ..., an, ... sont des nombres positifs qui ne
CHAPITRE V. I05
croissent pas au delà de toute limite,
ÛQ «0 H- «1 Ml -f- aj w, -h . . . -f- «rt «rt + • • •
sera com^ergente.
En effet, en désignant par A un nombre plus grand que
a^j «2, . . ., an, . . ., cette série a ses termes respective-
ment plus petits que ceux de la série convergente
A.V = Awq -h A«i + . . .-+- Am„-^. . .,
qui est aussi à termes positifs. Abel a démontré que le
théorème précédent était encore vrai pour une série quel-
conque si les nombres ^o; ^o ^2? •*• allaient constam-
ment en décroissant; en effet, dans cette hypothèse, en
posant .
(l) «o+^l-i-- ••-H-«ft=«^«»
(a) ^o«o-+-^i«i-+-- • + «»««=^«»
on a les relations suivantes,
^0 ~~~ ^0» U\^=- S^ ^0, • • • f Ufi^ "z^ Sfi "^n—ii • • • »
et par conséquent, en portant ces valeurs dans l'équa-
tion (2),
tn = a^SQ -+- ai{si — Sq) -^ . , , -h an(sn —• .c^_i),
ce que Ton peut écrire ainsi :
Dans cette équation, les coefficients de^o, ^o ... sont
tous positifs, car ao, a^, ... vont en décroissant; mais, si
B désigne une moyenne entre les quantités Sq^ St, . . ., Sn,
on aura
I06 TRAITÉ D'Al.fiiBRB.
Or, 71 augmentant indéfiniment, 9 conserve une valeur
finie; donc tn conserve une valeur finie. Supposons alors
Saj S\, . . ,, Sny - . • positives (s'il n'en était pas ainsi, on
augmenterait convenablement uo)\ tn croît, en vertu de
l'équation (3), avec n, sans devenir infini; il a donc une
limite; par suite, la série (2) est convergente.
c. Q. F. D.
Théorème IV. — Si les séries
(1) S = Uq-{'Ui-\- Ui-\- . . .-hUn-^-. ' *y
(2) r = Po -h Pj -+- l', 4- . . . -h «'n -^- • • •
sont contrer genteSj la série dont le terme général est
est convergente et a pour valeur st dans certains cas que
nous allons examiner»
1° Supposons d'abord les séries (i) et (2) à termes posi-
tifs; nous aurons
f 3) < •"© ^^0 ^™o
Considérons maintenant le produit ^ m \ f'. Le terme
de ce produit dans lequel la somme des indices est la plus
élevée est 2/11. Si donc 2 m est moindre que « 4- i , ou si iti
est le plus grand entier contenu dans , tous les termes
de >^ u 5] ^ se trouvent compris dans \^ w. On a donc
Or, en vertu de l'égalité (3),
Mais si Ton snppcyse que m et n augmentent indéfiniment,
My^f'ety] "^ ^ tendront tous deux vers st. Alors
2 fv, qui reste compris constamment entre ces deux pro-
duils, tendra aussi vers ta limite st. Le théorème qui nous
occupe est donc démontré pour le cas où les séries (i) et
(2) sont à termes positifs.
2° Supposons que les séries (i) et (a) ne perdent pas
leur convergence quand on rend leurs termes positifs.
Considérons d^abord les termes des séries (i) et (a) en
valeur absolue. Tout ce qui dans l'égalité (3) suit >" w
a pour limite zéro , car X" u \^ ^ et ^ w ont même
limite, d'après ce que nous venons de voir tout à l'heure.
Il en sera encore de même a fortiori quand on aura rendu
aux termes des séries (i) et (2) leurs signes respectifs. Par
conséquent, si dans l'égalité (3) nous supposons que n
augmente indéfiniment, il vient, en passant aux limites,
St = lim y (T,
ce qui démontre que le théorème est encore applicable
dans le cas où les séries ne perdent pas leur convergence
quand on rend leurs termes positifs.
3° Considérons enfin le cas où les séries (i) et (2) se-
raient à termes imaginaires. Nous supposerons les séries
des modules de leurs termes convergentes, et nous pose-
108 TRAITÉ D^ALGàBRE.
rons en général
^n = Pn, (cosa,, -♦- v/— I sina„),
«'t. = ^1» { cos p,, -+- v^— I sin |3„ ) .
Alors, en vertu de ce que nous avons démontré dans le pre-
mier cas, la différence
aura pour limite zéro; il en sera de même a fortiori de la
quantité
/7i(cosaiH-v^— isin«,)g;,(cosP/j-+-s/-~isinp„)
/>j (cosa, -4- y'— I sinaa) [g«-i(cos p^_i + y'— i sin p„_i )
+ ^i»(cosP„ -+- v^^sinp^)]
qui n'est autre chose que U\ ^^2 -H ^^a ( ^/t-i -H^n )-f- — L'éga-
lité (3), en passant aux limites, fournira donc encore
jf = 51 ^î ^^ '^ théorème est encore vrai dans ce dernier
cas.
V. — THÉOBËME D'ABEL.
Lemme. -t- Si une série ordonnée par rapport aux
puissances croissantes d'une même lettre x est conver-
gente pour le module R de x, elle l'est encore pour tout
module moindre. Si elle est divergente pour le module R
de a:, elle l'est encore pour un module plus grand.
En effet, considérons la série
CHAPITRE V. 109
cette série étant convergente pour un certain module R
de X, les modules de a©, a^R, . . ., anK'^ devront tendre
vers zéro. Si Ton considère alors la progression
lïiod^ /mod^\"
qui est une série convergente quand le module de a: est
moindre que R, en multipliant ses termes par les nombres
modao, modaiR, modagR^,. . ., moda„R'', qui ne crois-
sent pas indéfiniment (p. 106), on obtient la série conver-
gente
mod/7o-f- mod^ix + moda^x^ -h ... 4- mod<i„.r'*-h. . . .
La convergence de cette série entraîne celle de (i).
C. Q. F. D.
CoKOLLÀiRE. — Il résulte de là qu'il existe un module R
de X tel, que pour tout module moindre la série (i) est
convergente, pour tout module plus grand elle est diver-
gente ; ce module s'appelle le rayon de coîi^ergence de
la série. En représentant les imaginaires par des points,
conformément aux méthodes de Cauchy, on voit que la
série (i) est convergente pour toutes les valeurs de jc con-
tenues à l'intérieur d'un cercle décrit de l'origine comme
centre avec un rayon égal au rayon de convergence. Ce
cercle est ce qu'on appelle le cercle de convergence de la
série.
Théorème. — Une série convergente ordonnée par rap-
port aux puissances croissantes d'une même ^variable x
représente une fonction continue de cette variable pour
toutes les ^valeurs du module de x inférieures au rayon
de convergence.
Pour démontrer cette proposition, considérons la se-
IIO TBUTÉ »'AI£lâBRE.
rie (c) ; dësigaons par/(jr) sa valeur, jqous aurons
(i) /[x) = aQ -h OiX-h. . .-h/ï^x^H-.. .,
Soit R le rayon de convergence, et supposons le module
de X inférieur à R. En donnant un accroissement k assez
voisin de zéro kXyX -^ k aura un module moindre que R,
et Ton pourra encore écrire
d'où Ton conclut
or, si nous posons
on pourra toujours choisir w assez grand pour que ^(a:-f-A)
ait et conserve un module moindre qu'une quantité don-
née a lorsque h tend vers zéro ; en effet, pour cela il suffit
de prendre n assez grand pour que
soit inférieur à a, R désignant toujours le rayon de con-
vergence. Mais alors ^[x-hh) — ^{00) aura et conservera
un module moindre que 2 a, puisque le module d'une
s^omme «est mx>indre que la somme des modules de ses
parties. Gela posé, la formule (3) peut s'écrire
or, en faisant tendre h vers zéro, <p(^ + A) — y(^) tend
vers zéro, car ^{x) est un^ somme d'un nombre limité
CHAPITRE y, III
de fonctions contmaes de x (p. 34); on peut donc pren-
dre le module de y(^-f-A) — f(^) moindre que a, et,
comme ^(x -^ h) — ^ {^) conserve un module moindre
que a a quand h tend vers zéro, la formule précédente
fournira la relation
mod[/(a7 H- h) —/(a?)] < 3a.
Ainsi le module de Taccroissement de f{x)^ correspon-
dant à Taccroissement h de x^ peut être pris moindre que
toute quantité donnée, ce qui revient à dire que/(j:) est
continue. c. q. f. d.
Les géomètres avaient, longtemps avant Abel, admis
tacitement qu'une série dont les différents termes étaient
des fonctions continues de x avait pour valeur une fonc-
tion continue de cette variable, assimilant ainsi une série
à un véritable polynôme. Cette assimilation n'est pas
légitime : on conçoit, en effet, qu'à un acccroissement
infiniment petit de x puisse correspondre une infinité
d'accroissements infiniment petits pour les termes de
la série, et dont la somme donnerait un accroissement
fini.
Remarque très importante. — Deux séries ordonnées
par rapport aux puissances de x et qui représentent la
même fonction .ont les mêmes cofficients ; en d^autres
termeSy une même fonction ne peut pas ^ pour les mêmes
valeurs de x^ se développer de âeux manières en série
ordonnée suivant les puissances croissantes de x.
En effet, si l'on ayait
on aurait, pour x=:o^
ao = bu \
lia TRAtré d'algèbee.
divisant alors par x^ on obtiendrait l'égalité
«1 H- a^x -\- . . . =61-4- bxX -t- . . . ,
qui subsiste même pour j? = o, car les deux membres de
la formule précédente sont continus, en vertu du théorème
d^Abel; on a donc a^ =60 ^^ ainsi de suite.
VI. — LIMITE DE ( 1 + -^ I POUR m =1^ . m ttàXf ERTIER.
\ ml
On a souvent besoin , en Analyse, de connaître la limite
vers laquelle tend li-\ — j *" quand m croît indéfiniment.
Pour trouver cette limite, nous nous appuierons sur le
lemme suivant :
Lemmb. — 5i a, (3, . . ., X sont des nombres positifs
moindres que l'unité et tels que « -h- j3 -f- . . . -h X <^ i , on
aura
(i — a)(i — /3) . . . (i — X) = I — (a H- p -4- . . . -i- >),
6 désignant un nombre compris entre o et i.
En eflFet,
d'où ^
(A) (,-«)(, -.p)>,_(« + p).
En multipliant par 1 — y, on en déduit
(,_a)(,_p)(,_y)>[,_(«+P)](,_y),
OU, en vertu du théorème contenu dans la formule (A),
(i — «)(i-p)(i-y)>i-(a-t-p + 7);
(0
. CHAPITRE V. Il3
en multipliant par i — dy on trouvera de même
et ainsi de suite. On a donc
l>(i — a) (l — p)...(l — ^)> l—( a -f-P + ... + >),
et, si d désigne un nombre convenablement choisi entre o
et I , on peut écrire
(i — a)(l— P). ..(l — >) =1— 0(a-f-p-f-...H->).
C. Q. F. D.
IH j . En sup-
posant d'abord que m croisse en passant par des valeurs
entières et positives, la formule du binôme donne (p. y)
jr\"*' m / x\ m[m — i] f -t
m i \m \ .1
S)
m [m — î).. .[m — p -\- i) / x\P
i ,1,6. . ,p \m
OU bien
IH ) =i-l-a7-f- I —
mj \ m] \ ,
I • • •
2
,_iU.-^V-.(i-''-'^ ""
mj\ mj \ m j i ,2..Z, . .p
Supposons que m augmente au delà de toute limite ; si Ton
remplaçait dans le second membre de cette formule (i)
chaque terme par sa limite, on s'exposerait à trouver un
résultat inexact, parce que la limite d'une somme n'est
égale à la somme des limites de ses parties qu'autant que
le nombre m de ces parties est fini (t. I, p. 117, ligne 1 1).
Quoi qu'il en soit, je dis que le second membre de la for-
L. — Algèbre, II. 8
Il4 TBÀITÉ D'ALGÂBRE.
mule (i) a pour limite la valeur de la série
N
S = n 1 h... H 5
11,1 I .2.0. . . n
qui esl convergente, car l'expression générale du rapport
d'un terme au précédent est -, quantité dont la limite est
zéro pour /i = oo (p. 99).
Pour le démontrer, observons qu'en vertu du lemme
précédent on a, en désignant par On ^a? ... des nombres
compris entre o et i,
m) \ m) \ m J
P(P — ^)
p— î
im
car la somme
m
2
m
m 2m
mule (i) peut alors s'écrire
(
X
m
m
X X*
I H 1
I 1.2
X
m
(3)
.r* r ^ X ^ X
^^ 1-1- 01 - -f- 0,
2/72 [_ I
I . 2 . 3 . . • /71
1
I .2
+ ^/n-« 7-- T- —v 1
1 .2. . .(m — 2 jj
Si Ton suppose m = 00 , la quantité écrite sur la première
ligne du second membre de cette formule tend vers la
valeur S de la série (2); quant à la quantité écrite à la
suite, elle se compose de deux facteurs, l'un — qui tend
vers zéro et l'autre dont le module est inférieur à la valeur
de la série convergente
R'*
R R«
H h h ... H r- . . . ,
I 1.2 1.2. . .72
CHAPITRE V. Tl5
dans laquelle R désigne le module dé x. Cette quantité a
donc pour limite zéro, et, par suite, la formule (3) devient,
pour 771 = QO ,
IH 1 =S = H h— h... H '■ h...-
m) I 1.2 1,2.. .71
Cette formule est démontrée en supposant que m tend vers
l'infini en passant seulement par des valeurs entières et
positives \ nous allons prouver qu'elle a encore lieu quand m
devient infini en passant par des valeurs quelconques.
1+ - ] • £TUDE du cas ou m EST ttUEL-
GONftUE. DÉVELOPPEMENT DE ^, CALCUL DE e.
Supposons X réel et m positif; soit n un entier tel que
71 <[ 771 <^ 71 4- I . On aura, en supposant d'abord a: > o,
(
n ] \ ml \ 7î4-i
ou
-r(-â>(-s)">(-»-^)"X-.-^)-
I -I- - 1 et 1 iH )
nj \ n-^i)
ont pour limite la quantité appelée S au paragraphe pré-
cèdent quand m = co ou n = QO ; les facteurs i H — et
I -I ont évidemment pour limite i . Donc ( i H ) »
n -\- 1 * \ mj
qui est compris entre deux quantités ayant pour limite S,
a lui-même pour limite S. La démonstration serait la même
si Ton avait j: <^ o ; il faudrait seulement changer le sens
des inégalités précédentes.
8.
Il6 TRAITÉ d'algèbre.
Si m était négatif, en le remplaçant par — /i, on aurait
alors
\ m/ \ nj \n — xj \ n — a?/
= (n ) (n )
\ n — x/ \ n — x/
X
Or, la limite de f i h — -— j pour n — x = <x>^ c'est-à-
dire pour Al = 00, est S, tandis que la limite de ( i h — - )
est I ', on a donc encore, dans le cas où m devient infini
en passant par des valeurs négatives,
(I) lim (
,. f x\"^ „ X x^
hmfiH ) ==S = H 1 1-
• • • •
Remarques. — Si dans cette formule (i) nous faisons
x=^\^ nous aurons
limi-i 1 =H 1
\ mj I 1.2
I
1.2.3 1 .2.3 ... /l
On désigne par e le second membre de cette formule, en
sorte que
(2) lim(^i^-j =e.
Ce nombre e est, comme on l'a vu, la base des logarithmes
népériens; on peut, en posant m = -j lui donner la forme
(3) ^ = lim(i + «)%
que Ton a rencontrée (p. Sa).
'
CBAPITRE V. 117
On a
m
H'-^iY-'^ih^YT'
m
X
mais
is ( iH — I 9 en vertu de ( 2 ) ou de (3 ), a pour limite e
quand m ou — croît indéfiniment ; on a donc
m
X
et par suite, en vertu de la formule (i),
X x^ x^
(4) e^=H i h.. -1-
I 1.2 I 2.3. . ./z
t
I"* • • • •
Si dans cette formule on remplace x par ^loga, elle
donnera
a'=i T H ^ H ^ +
I 1.2
La formule (4) peut servir au calcul de e^. Supposons
que nous ne prenions que les /i -I- i premiers termes de
cette formule ; Terreur commise sera
I.2, .(/2H-I)l W-t-2 (/!+ 2)(W-1- 3) **'J'
si X est positif, cetie erreur sera inférieure à
1.2.3. ..(«-hJ}L n-\- 1 («-4-1)* '**J
ou a
x"^^ w -f- 1 x" X
ou
1.2.3. ..(/i-i-i) n-\-i — X ï.2.3...«/i-f-i — jc'
si Ton suppose x négatif, le premier terme négligé dans la
série fera connaître une limite de Terreur (p. go).
Il8 TRAITE d'algèbre.
En appliquant ces considérations au cas où x = i ^ on
peut calculer le nombre e au moyen de la formule
I 1 I
e=zi H 1 h. . .H •
I 1 .2 1 .2. . ,n
On a, par exemple,
1.2.3. . . 12 = 479^*^'6o;
donc, en s'arrêtant au treizième terme inclusivement,
Terreur commise sur le calcul de e sera moindre que
I I
40000000 12
et Ton aura e avec huit chiffres exacts. On a trouvé
e=z 2,718281828459045. ...
Le nombre e est incommensurable. En effet, si Ton pou-
vait avoir
(5) ^=e = H 1 h. ..+ _ . o : • •••>
q I 1.2 * * I .2.3. . .9
p et ç désignant deux entiers, on en déduirait, en multi-
pliant par 1.2.3...^,
1.2. 3. ..[^ — I )/?=!. 2. 3.. .^ + 2.3. ,.^-i-3.4' • .^-f-. •.
I I
Or cette égalité est absurde. En effet, le premier membre
est entier; quant au second, il est évidemment fraction-
naire, car
I I ^11
• ^ + 1 (î+0(^"*"^) *** ^-4-1 (î + lj*
c*est>-à-dire
* ou bien
CHAPITRE
V.
1
î
<
'^-^' 1-
\
9
4-1
<^
«
^
"9
La formule (5) est donc absurde, et le nombre e incom-
mensurable, c. Q. F. D.
(
Vin. — LIMITE DE l 1+ '^"^-^^ — ^- ) POUB m = (» .
m
SÉRIES DE NEWTON.
Soit
m
et proposons-nous de trouver la limite de Z pour /n = oo ,
:t: et ^ désignant deux nombres réels. Pour éviter toute
ambiguïté dans la valeur de Z, nous supposerons que m
ne passe que par des valeurs entières (ou que Ton prenne Z
avec son plus petit argument); on a
m
amj-4-j'-»-y»
a/n
I -! 1 /- I
m mr J
Quand m croît indéfiniment, la quantité entre crochets tend
vers e (*), Texposant de cette quantité tend vers x\ donc
C*") £n effet on a
m*
^ = - ( 2* H h —
m\ m, m J
T20 TnAiTé d'algâbre.
on a
limmodZ .= tf*.
Calculons l'argument de Z. Soît cp Targument de
iH '■ ;
772
celui de Z sera m cp (p. 69), et Ton aura
(i) siny===^ — y=======J====r==r, tangy=— ^-•-
\ / IH 1 i
y m mr
Or l'arc y a une tangente et un sinus très-petits ; on peut
le supposer très-petit, positif ou négatif, car son cosinus
est très-voisin de -f- 1 ; il est alors compris entre sa tan-
gente et son sinus, dont on a les expressions (i). L'arc mcp,
qui est l'argument de Z, sera donc compris entre
\/
r y
' et — ^^ — ;
2 J7 J7' -f- r' "^
— -\ ^
m m
I -I 1 £- IH
ces deux quantités ayant pour limite y quand on fait
m = 00 , on en conclut que mcp ou l'argument de Z a pour
limite y ; donc enfin
(2) limfiH 1 =limZ = <?*(cos7 -4-^— isinjr)-
Mais on a trouvé (p. ii5, 1. 4)
,. / x\^ X .r*
lirniH ) =H 1 h . . .
\ m] I 1.2
et il est manifeste que pour m •=■<*> cette quantité tend Ters zéro, de mémo
:— =.x-\ • a pour limite x pour m =. 00 ,
'im 2/» "^
GHAPITBE V. 121
quel que soit x ; donc
-1- h. . .1
I .2
et par suite, en vertu de (2),
e*(^cos7 + V — * sin/j = i H
• • • •
i.a
Voici maintenant les conséquences importantes à tirer
de cette formule. Si l'on y fait j: = o, on a
/ . ri/ — I J* r*i/ — I
cos r H- i/— I sm r = i h —^ — -r- 4- ... ;
•^ ^ -^ 1 1.2 1.2.3
en égalant alors de part et d'autre les termes réels et les
coefficients de ^ — i , on a
(4) co8r = i-7^ + 7YTI'^---- . / ^n ^---'
sin/ = r ^-«- H \ , f, -\-
j I .2.0 1 .2. 0.4*0
(5)
yS/l+l
2/î +l)^^
formules remarquables dues à Newton et déduites d'un
développement de arc sin j: par une méthode peu usitée
aujourd'hui et dite du retour des suites; ce développement
de arc sin j: avait d'ailleurs ité découvert par Newton lui-
même, ainsi que la méthode du retour des suites.
Les formules (3) et (4) peuvent servir au calcul des
laa TRAITÉ d'algèbre.
Tables de sinus et de cosinus naturels ; elles serviront à
vérifier de temps en temps les résultats obtenus par la
méthode de Simpson. Mais elles seront surtout utiles pour
calculer un sinus ou un cosinus quand on n'aura pas de
Tables à sa disposition, car elles sont très-convergentes.
Pour les appliquer à un arc de (i secondes, on commencera
par calculer la valeur y de cet arc en prenant le rayon
du cercle trigonométriquc pour unité ; on aura alors
nu.
180.60. 60'
ce serait une faute grossière que d'écrire
a»
Sm u" =11 : — - -i-
'^ ^ 1.2.0
• • 1
et que je signale pour l'avoir vu commettre trop souvent
par les élèves.
n. — auELauES mots sur les tbahsgerdahtes ikaginaibes.
Reprenons la formule ( 3 ) du paragraphe précédent :
er^ \CQ%x -+- V — I smjj = IH -^
('M , ' r-^.
"1 ~ ~T" * • ■ •
I .2
Le second membre de cette formule ne diffère du déve-
loppement de eP^ que par le changement de j: en a: -^y \j — i ;
il paraît donc tout naturel de prendre ce second membre
comme définition de l'exponentielle eP^r^^^ ; alors, par
définition, on aura (p. 121, 1. 5)
( 2 ) c^+rv^ z= c* (cosj H- V'^ sin^).
CHAPITRE V. ia3
Il est très-facile de constater que les propriétés des
exponentielles imaginaires sont les mêmes que celles des
exponentielles réelles. Ainsi, je dis que l'on aura
en effet, cette formule équivaut à
e* [cosy -+- \l — I sin^) e^' {co%y H- sj — i siny')
— e^+^' [ces [y 4- y') -4- sf^ sin [y + /)] ,
qui a lieu en vertu de la formule de Moivre.
La propriété fondamentale des exponentielles étant dé-
montrée, les autres s'en déduisent (p. 4o).
Si dans (a) on fait a? = o, on a
{ 3 ) e^v^~* = cos jr -f- v^ — I sin^,
d'où l'on tire, en changeant j^ en — y y
(4) e^yf-^ z= cosy — v^ — i sinj^.
Des formules (3 ) et ( 4 ) on tire les suivantes, dues à Euler :
(5 ) cosj = î siny = •
Ces deux formules, à leur tour, peuvent servir de définition
aux fonctions cos^ et sinj^ quand jr est imaginaire, et,
quand on y remplace eW-< et e~y^ par leurs dévelop-
pements en série, on retrouve les formules (4) et (5) du
paragraphe précédent, que l'on pourrait également prendre
pour définitions des fonctions cosy et sinj^.
Toutes les formules de la Trigonométrie se retrouvent
avec la plus extrême facilité en partant des formules (5);
en les ajoutant après les avoir élevées au carré, on trouve
ta4 TRAITÉ d'algèbre*
cos^j^ -h sin*j^ = I . Les formules d'addition des arcs se
retrouvent aussi facilement. Les fonctions tang^-, coty,
séc^, cosécj^ seront définies par les équations
• • • •
smr cosr
tang^= > cotj^= - — »
cosjr sinjr
Il existe deux fonctions présentant avec le sinus et le
cosinus la plus grande analogie : ce sont le cosinus et le
sinus hyperboliques, définis par les relations
cosAx= > sinAx= •
2 a
On vérifiera facilement que
cos^[j? 4- j^) r= cosAxcos/i^ -f- sln^jT ûvihy^
sinA(x-f-j^)= sîn^jrcosA^ — cosA^rsin^j,
cos/i*jr — sinA'^= I,
Maintenant posons
z sera ce que Ton appelle le logarithme népérien de a:, et,
comme Ton a, par définition, en appelant logr le loga-
rithme népérien ordinaire du nombre positif r,
on voit que logr -h 5 v' — i est le logarithme de
r(cos0 -h sj— I sinô).
Donc :
Le logarithme d'une imaginaire est égal au logarithme
réel de son module, augmenté de l'un quelconque de ses
r
CHAPITRE V. 125
arguments multiplié par \J — i; il a donc une infinité de
valeurs différant entre elles d'un multiple de 2ii^ — i.
Le logarithme d'une quantité réelle et positive r, ou
r(cos2Ar7r-H y^^^sinaÂTTr), aura donc une infinité de va-
leurs logr -h 2kn ^ — i . Ainsi log i = a Att ^ — i ; le loga-
rithme de — r sera logr -f- ( 2 Ar -+- i) ît y/ — i , .... Il va sans
dire que Ton a toujours, quand x et y sont imaginaires,
log^c -H logj = logA'jr;
mais il ne faut pas oublier que, logx contenant l'arbitraire
2kit)f^, les deux membres de l'égalité précédente ne
sont vraiment égaux qu'en choisissant convenablement les
arguments de x, y et xy.
Les fonctions arcsino:, arccosx, arctangar, ... spnt
naturellement définies par les équations
siii^ = X, cos^ = JF, tangj = or, ....
(Voir la Trigonométrie de J.-A. Serret.)
X. — GÉNÉRAUSATION DE LA rOBHULE DU BINOW;, BÉSOLUTION
DE ax^ -^ bx-^c =0 aUAND a EST TRÈS PETIT.
Nous ferons une dernière application de la théorie des
séries à la généralisation de la formule du binôme.
La série
m m{m — i) , mim — i]...f/n — /t-f-i)
I I .2 1 .2.0. . . n
[^cjui pour m entier et positif est limitée et a pour valeur
(i-f-^)'^] est coni^ergénte quand on suppose le module
de X moindre que i ; elle est divergente quand le module
de X est supérieur à i .
(3)
126 TRAITÉ D^ALGÂBHB.
En effet, le rapport d'un terme au précédent a pour ex-
pression générale x ; pour 71=00, il se réduit
à X. Si donc le module de x est plus petit que i, la série
sera convergente; elle serait divergente si le module de x
était supérieur à Tunilé.
Supposons donc modx <^ 1 et posons
/ t \ ^ m (m — I ) ,
(l) < , .
mlm — i)...(/72 — /H-i)
I f f\ n^ /w'f/w'— l) ,
' ;,-(./ -■,)...(;^^^^ 4-1)
1 .2.0. . ./z
Si nous multiplions ces formules membre à membre en
observant la règle donnée p. 106, nous trouvons
1 1 • ^
[m[m — i)...(a72 — /2-f-i) m' m[m — t)...(w — n] 1
I.2.0.../I I I.2.0...(/2 — l) J
Soit, pour abréger, A le coefficient de x"^ dans cette for-
mule ; A est un polynôme entier du degré zi en m et m'. Si
Ton supposait m et m' entiers, <Sj[m)(^[ml) se réduirait à
(i-l-x)'""^'"', car c[>(/n) et ç(m') se réduiraient à (i-l-.r)'"et
à (i -I- x)'"'; le coefficient A serait donc égal au polynôme
de degré n
[m -\- m']{m -^ m' — i)...(/72-f-Aw' — /i-f-i)
1.2.3. . ,n
que nous désignerons, pour abréger, par B. Les polynômes
CHAPITRE V. 127
A et B sont égaux pour toutes les valeurs entières de m
et m', c'est-à-dire que, m' étant entier, on a A = B pour
plus de n valeurs de w ; on a donc A =: B pour m! entier,
quel que soit m. Mais on a A = B, quel que soit m, pour
plus de n valeurs de m'; donc enfin on a A = B quel que
soit m' et quel que soit m. En remplaçant A par B dans ( 3 ) ,
on a alors
m -\- m'
(m -^ m!]. . ,(m -^ m' — « -f- 1)
-H ' ^-^ a7«4-. . .,
I .2.3. . .« .
c'est-à-dire
(4) (f[m]<f[m)=: (f[m-\- m').
Or y (m) est fonction continue de w, car, si l'on suppose m'
très-petit, ç( m'), en vertu de (i), est très-voisin de 1; donc
ç(m-f-/7i') diffère très-peu, en vertu de la formule précé-
dente, de cp(w). La formule (4) exprime (p. 46) que <f[m)
est de la forme a'", a désignant une quantité indépendante
de m que l'on obtiendra en faisant m = 1 dans la for-
mule ( I ) ; on a alors
y(l) rr= I H- a:=: 65 et y ( w) = (l -î- ar)"*.
La formule (i) devient ainsi
/ V m m (m — i ] «
, ' I 1.2
(5)
1 .2. . ./z
c'est la formule du binôme généralisée. Le premier
membre a en général plusieurs valeurs, mais il est facile
de voir qu'il faut prendre celle qui a son argument com-
ia8 TRAITE D ALGEBRE.
pris entre et -f- m-» En effet, pour a:==o, le pre-
mier membre de (5) doit se réduire à i comme le second;
son argument peut alors être pris égal à zéro ainsi que
celui de x\ pour que l'argument de (i-f-o:)'^ puisse
franchir les limites et H > il faut que celui de
2 2 ^ .
î-h X puisse franchir les limites et H — ^ or c'est ce qui
n'aura jamais lieu, car, si l'on pose a: = a -h i ^ — i , Tar-
a
ffument de i -h j: aura pour cosinus -7-^ r > quantité
toujours positive, car, x ayant un module moindre que un,
a et b restent moindres que un en valeur absolue.
On voit que, si m est négatif, on aura
/ I , , „ m /wfiTi -f- 1) -
• m • •
I .2.3
La formule du binôme permet de résoudre l'équation
ajc^ H- 6 jc H- c =: G,
quand a est très-petit, avec beaucoup plus de rapidité
qu'en appliquant la formule
2a 2a
On écrit cette formule ainsi, en ne prenant que le signe — ,
-U-i-':^ï]
1
5
et, si -rj- <^ I, surtout s'il est très-petit, on aura, en appli-
CHAPITRE V« 129
quant à ( i — -^- ) la formule du binôme,
SI a et c sont de signes contraires, l'erreur commise en s'ar-
rétant à un terme quelconque sera moindre que le premier
terme négligé. Si a et c sont de même signe, l'erreur,
en s'arrétant au terme en ( -~- j » sera moindre que la
somme des termes d'une progression géométrique dont la
raison serait -~- et le premier terme ( ^jj- ] ' ^^ ?^^
Soit à résoudre, par exemple,
0,01 :c- — 2X + I =r o;
on aura
X
iT I 1.3 1
—-- 1-1-70,01+7-7:0,0001-1-...
2L 4 4.6 J
En se bornant aux termes écrits, l'erreur sera moindre
que - o , 000000 1 5 et 1 on aura
a: = o , 5o 1 2563 ... ;
l'autre racine s'obtiendra en retranchant celle-ci de
0,01
ou de 200, ou encore en prenant 100 fois l'inverse de la
première, puisque leur produit doit faire 100.
Il est bon d'observer qu'à un degré d'approximation
toujours facile à évaluer on a, pour de petites valeurs
L. — Algèbre, II. 9
l3o TBAITÉ D AE6UBE.
dect.
1
1-4- a*
I
1 zp — a.
a
|-+-a
v/i-+-«
1
Jï±cc
La formule du binôme pour le cas où Texposant ni est
fractionnaire a été donnée par Newton, mais l'illustre géo-
mètre n'en a pas donné de démonstration bien satisfai-
sante.
Q. — 8ÉBIE8 LOGABITHMiaUES , GAIiGUI DB tt.
La formule du binôme donne
^ I 1.2
m(/7*-+-i)...(/7i4-«) ^„^,
I.2.3...(/2 4-l)
J7'
• • • •
m peut être quelconque : nous le supposerons positif;
quant à x, son module doit être plus petit que i . On en
tire
^ L — x-f-(i-f.m} h...
-f-(i-f-/n)li-f--j--li-+--j ! •
Faisons tendre m vers zéro ; la limite du premier membre
s'obtient en observant que
^ ' I i.a
^
coAPiTaB V. x3i
On en conclut
i i = — log(l — x) H log*(l — x) — * . •,
et, pour m =r o,
lim^ 1 =::_ logfl — a?).
m '
On a donc
Soient S« la somme des ti-h i premiers termes de la
série écrite entre crochets, R» le reste; soient S'„ la somme
des 71 -h 1 premiers termes de la série suivante et R'„ son
reste :
>
X x* x^ .r'*'*"^
S=r-H l--:r + . . .H-
12 3 /^ H- i
qui est évidemment convergente, puisque le rapport d'un
terme au précédent a pour expression générale » quan-
tité qui a pour limite x^ lequel par hypothèse a un module
moindre que i.
Soit p le module de or; on peut toujours prendre n assez
grand pour que R/i soit moindre qu'une quantité donnée e
lorsque x se trouve remplacé par ,0, et alors il est clair que
Ton aura non-seulement
modR„<Cs, modR'„<;s,
mais que ces inégalités seront encore satisiaites quand
m diminuera. On aura alors
mod(R«— r;)<2«.
Cela fait, on pourra toujours prendre m assez petit pour
9-
iSa TRAITE D*AL6ÈBRE.
que
inod(S„-S;)<e,
car S„ a pour limite S'^. Donc alors on aura
mod(S„-S;)-f-mod(R„— R;)<3e,
ei a fortiori, puisque le module d'une somme est moindre
que la somme des modules de ses parties,
mod(S„- s; -f- R„~ R;)< 3e
ou bien
mod(S„-f-R„ — S)<3e.
t étant aussi petit que Ton veut, cette formule exprime que
S,? -f-R/2 a pour limite S. La formule (2) devient alors, pour
les valeurs de x dont le module est plus petit que i.
.r* x^ x^
(3) — log(l— ^)=r.r-f- — -4--^ -+-. . .+
31 " • • I
n
En changeant x en — x, on a la série de Mercator (Kauff-
mann)
x^ x^ . x"'
(4) l0g(l-t-^)=:^ — - + y— ...± — + ...,
et l'on doit toujours avoir modj:<^i (*). Néanmoins, s'il
y a convergence, quand mod x := i , la formule sera encore
(*) Que X soit réel ou imaginaire, log(n- jp) et log(i — x) ont une in-
duite de valeurs, et il est bien clair que quand x est réel, c'est la valeur
réelle des quantités log(i — x), log(i -h x) qu'il faut prendre dans les for-
mules (3) et (/|). Quand x est imaginaire, les valeurs qu'il faut prendre
sont un peu plus difïiciles à déterminer, mais avec un peu d'attention on
y arrive; si l'on sépare les parties réelles des parties imaginaires, on obtient
ahisi des formules curieuses, mais sur lesquelles nous ne croyons pas de-
voir nous arrêter.
• •
CHAPITRE V. l33
vraie; amsi, poura: = i, on a
1 III
10g2 =rl f-^_4-....
En ajoutant (3) et (4), on a
(5) \o^-— = ^[a:+- +- + ... + —— ...^
et, si Ton fait x = —r-, 9 on trouve
l0g(N+l) — l0gN=:2
2N-f-i 3(2N-f-i)' 5(2N-m)
Cette formule, très-convergente, sert pour le calcul des
Tables de logarithmes. Si Ton y fait N=i, on trouve
log2; en triplant log2, on a logS; en faisant N = 8, on
calcule log9 — logS, d'où Ton conclut logp; puis, fai-
sant N=9, on a le logarithme de 10. Les logarithmes
ainsi calculés sont népériens. est égal au logarithme
vulgaire de e. Or on a logvulgN= logN ^ ; la for-
mule (5) donne alors
(6jlogyulg(N+x)-logvulgN=j^(^^+3^L^3+..
Dans cette formule on fait N = 1000, looi, 1002,.... Comme
le logarithme vulgaire de 1000 est connu et égal à 3, on a
des séries très-convergentes pour calculer les logarithmes
de 1001, 1002, . . . [la série qui figure dans la formule (6)
est évidemment d'autant plus convergente, et, par suite, il
est d'autant plus facile de calculer sa valeur que N est
plus grand].
Si dans la formule (0) on remplace or par x \/ — i, on
l34 TRAITÉ D'ALQiB&E.
trouve
I -h ^ J — I a?' a^
V — * ^ — -t- ._ -.
(7) •— =log ^ .
Soit alors
iog ^,= =r;
2^ — I I — x^ — I
on en tire
^^-=: = c«W-i et a: V — I = r= ==»
ou, en vertu des formules (p. i23, 1. 16),
X = tang^, 7 = arctangjT.
I I *4*- X \j t
Remplaçant j ou — = Iog par cette valeur
2 ^ I I X \' I
dans (7), on a la formule suivante, due à Grégory et
trouvée également par Leibnitz, mais postérieurement,
{8) arctangjr = ar -=- -\ ...,
pour toutes les valeurs du module de x moindres ou égales
à I pour lesquelles le second membre est convergent (*).
Si Ton fait attention que, d'après Euler, on a
^ = 4arctang ^ — arctang — ,
ce que le lecteur vérifiera sans peine, on pourra calculer
(*) La fonction arctangx a une infinité de T&Ieurs, pour une Taleur
donnée de x, mais la valeur que Von doit choisir quand x est réel doit éyi-
demment se réduire à zéro pour j: =: 0, quand x varie d'une manière con-
tinue en se rapprochant de zéro, et c'est la valeur de arc tangx, comprise
4P T
entre et - 9 qu'il faut adopter.
CHAPITRE V. l3!)
-j au moyen de la formule précédente en y remplaçant
arc tang ^ et arc tang -r- par leurs développements fournis
par la formule (8). On a ainsi
Pour avoir -j avec dix décimales, il suffit de prendre sept
termes dans la première série et deux dans la seconde;
vingt minutes suffisent à un calculateur ordinaire pour
effectuer l'opération complète.
Zn. — CONCLUSION.
La théorie des séries est surtout utile, comme l'on voit,
pour le calcul des fonctions transcendantes, ou même poui
le calcul des fonctions algébriques, dans certains cas où
le calcul arithmétique ordinaire entraînerait à des opéra-
tions trop compliquées.
Mais, à un point de vue plus abstrait, la théorie des
séries permet de définir et d'étudier une foule de trans-
cendantes nouvelles; ainsi elle nous a servi à généraliser
la fonction exponentielle, et, en posant
<>os.r = - (^\/^ -4- ^W^), %\VLx = L=: (ir^v/^— ^-v/^),
2' 2s/-I ^
elle nous a permis de donner une définition purement
analytique du sinus et du cosinus, d'où il serait facile de
déduire toute la Trigonométrie, sans employer de consi-
dérations géométriques ( * ) .
{*) Terminons ce Chapitre par une réflexion que Ton ne fait pas assez
l33 TRAITÉ D'ALGàBRB.
NOTES ET EXERCICES.
1. Los séries
I -H 2 JF -h 3.r* -t- . . . -f- 72^'*-* -t- . . . ,
l-hôX-+- 6-C* -H ... -H — ' X"^^ -f- . . .
sont convergentes pour x < i et divergentes pour o:^ i; la valeur de
la première est , -^ celle de la seconde est , -r-
^ (i — x}^ (i — x)^
2. La série
I I 1
•22 3* 72'*
est convergente : calculer sa valeur à o,oooi près.
3. On a
I I I
I = i r -H:r— : H- . . . -h
1.2 2.3 3.4 /2(/2-f-l)
X x(x-^i) (j: -h I ) (a* -H 2) '" (x-hn)[X'-hn-i'i) ***'
I 2 3
X[X-hl) x{x-i-l)[x-\- ^) (x-hl){x-h2)(x-h3)
n
[x-^n — i)[x-^n — i)[x-hn)
4. Soit wo -h «1 -i- «2 -h . . . -h «/t -H . . . une série quelconque, mais
souvent. Plus tard on fera connaître une formule dite formule de Taylor,
qui donne les développements de c*, sinar, cos.i", log(n-x) et (n-ar)»»,
mais cette formule ne donne que péniblement d'autres développements; en
outre elle suppose la variable x réelle. On voudra donc bien reconnailre
la supériorité et l'excellence des méthodes que nous venons d'exposer,
à cause de leur grande généralité. Ajoutons que les développements en
question étaient connus bien avant l'invention du théorème de Taylor et
que les théories exposées ci-dessus se rapprochent beaucoup de celles des
inventeurs.
CHAPITRE V. l37
divergente et à termes positifs ; la série suivante sera convergente et
■
aura pour valeur i :
Wo «1 ''2
■ -h , r-7 -. : -f- . . . = I ,
I
formule remarquable en ce sens qu'elle renferme une infinité de
quantités arbitraires. En y remplaçant ifn par -— > on a
po f^i ^0 *'2 "'i i^'o
5. La série
H-... = I
I
aloga 31og3 "* nlogn
est divergente, le signe log désignant un logarithme népérien.
6. Considérons une série uo-h ui-i- Ui-h . . . h- «„ -h . . . , dans la-
quelle le rapport -^^ tend vers une limite finie /; on pourra écrire
— — =/^ei, = /-}-e2, ..., =i-^s/c,
Un «/H-1 «/»-+-Ar-l
«i, 6j, . . . étant tous moindres qu'une quantité >3, que l'on peut prendre
aussi petite que l'on veut en prenant n suffisamment grand. Multi-
plions toutes ces égalités membre à membre ; on aura
!^=(/+sO(/H-«.)...(/+.,)=(/+fa)*= '(;^^y .
désignant un nombre compris entre — i et -+- 1 . On en conclut
n+k/
■*v^=('-°«)V(7^»'
or, en prenant /* suffisamment grand, la racine {n h- /^''"'''do - — |-^
aura pour limite 1; donc, pour X- = 00 , on aura
i. n+/i
lim '*"*"{////»+* = / •+- Oïj.
l38 TRAITÉ d'algèbre.
Mais n peut toujours être pris assez grand pour que ^n soit moiodre
qu'une quantité donnée; donc, enfin,
lim *^^y/un-k-k = / ou lim "\fïhn = / = lim -^^^ { /« = » ) .
îl résulte de là (p. 99) que, la limite de -Î2±2 étant la même quo
celle de \/umj "''t' .ve>/^ sera convergente ou divergente suivant qae
lim "\J Um sera plus petit ou plus grand que i . Démontrer ce théorème
directement. (Cauchy, Jnai, algébr,)
7. Supposons que, dans la série uq-\- ux-\- u^-h .. ,-{- u,
on ait
/^„^.| _ /z^ -f- A/2^-1 -h B/2^-* ^- . . .
Wn "" /i^ H- an^-^ H- é/i^-*
Si la première des différences A — «, B — ^, . . . , qui ne s'annule pas,
est positive, la série est divergente. La série sera convergente ou
divergente, suivant que A — a -hi sera négatif ou positif.
(Gauss.)
8. La série dont le terme général est i/« est convergente ou diver-
gente suivant que Ton a
log-î-
lim-, > ou <i.
log/i
9. La série à termes positifs <ï>(i)-+-<p(2)-H. ..-+-<p(/i)-h'. . ., où
tf(x) désigne une fonction positive décroissante, est convei^ente ou
divergente suivant que l'aire de la courbe /= (f(jc) comprise entre
Taxe des x et les ordonnées <p{i) et ^(00) est finie ou infinie. /Ce
caractère de convergence, dû à Cauchy, est l'un des plus puissants
que l'on connaisse.)
iO. La limite de - h 1 h ... h pour n = oo est
n // H- 1 Ji -h2, np '^
égale à log/?.
11. iH h^-i-...H log« tend vers une limite finie pour
20/1 ^
CHAPITRB V« l39
/i = 00 : prouver seulement l'existence de cette limite. (On lui donne
le nom de constante d'Euler,)
12. Si ^O) ''1, ''2, . • • sont des nombres indéfiniment décroissants
et si 9 n'est pas un multiple de 27r, les séries
/•o-+- Ticosô ■+■ rjcos^iô -H. . .-f-r/tCOS/îQ -+-...,
Ti sinO H- rg sin 2 -*-...-+-/•« sin/20 -h . . .
sont convergentes. (Faire usage du théorème des projections.)
(Bjôbling.)
13. Étudier la série
I — x"» (i — x'») (i — j:'»-*)
I— J? ' (i — jr:)(i — x^)
^ (i--^w)(i — x^-a)( I — jp/»-i )
(i_ar)(i — x«)(i — x8) "^ * * • ■
Quand m est entier et positif, et quand on arrête le développement au
terme égal en valeur absolue à l'unité, la valeur de la suite ainsi
limitée est zéro pour m impair et (i — x) (i — a;^) . . . (i — jr^-i) pour
m pair. (Gauss.)
14. Étudier la série
mP mP ( tnP — i ) mP [mP — i ) [mP — ip)
\P iP,iP ip.ip.Zp *"""'
quand m est entier et positif, sa valeur est zéro.
15. a^ b, c, ... désignant les nombre premiers impairs, on a,
pour x< I,
I — X ~" ^ I — a;« ^ i — x^^ ~~ 2U I — x<^ifc "•"•••
= X + x2 ^ X* -h x» + . . : . ( Catalan.)
16. On a
lim / • • • • • • \
\ 1^ S'» Ô» p^ J
I I I 1
= 1-1 1 -+- 1- —
a'* 3^» 4» 5»
l40 TOAITE D ALGEBRE.
n est supposé supérieur à i; quant à/?, il désigne un nombre pre-
mier. (Laubert.)
17. On a les formules
arc sina: = -p= log[(.r ± ^x^— i) y/— i]?
arccosj: = log(x ±:v^^2 — i),
/— I
1 , I -H .r i/ — I
arc tango: = — log •
2 y/ — I I — ^v — I
(J. Bernoulli.)
Ces formules s'obtiennent en résolvant par rapport à « les équations
qui donnent sinu, cos;/ et tang^^.
Montrer que ces formules mettent en évidence la périodicité des
fonctions sinx, cosx et tangx.
18. Si l'on considère des facteurs en nombre illimité, mais dans un
ordre déterminé, on dit que leur produit est convergent si le produit
des n premiers tend vers une limite déterminée différente de zéro,
lorsque n augmente indéfiniment.
Un produit quelcomiue peut se mettre sous la forme
( IH- ai) ( I -H aj) . . . (i -h a;,) (iH- a;,+i) 4- . . . ,
etf pour qu'il soit convergent, il faut que ol^ terule vers zéro.
En effet, en appelant P„ le produit des n premiers facteurs, on a
^n—x
= I -H a„.
Or la limite de P^, si le produit en question est convergent, doit être
la môme que celle de Pn-i ; donc (x.n doit avoir pour limite zéro.
Le produit suivant, dans lequel «i, «j, . . . , a„ sont positifs,
1 ) (I -+- «i) (i -i- «j) . . . (l -+- a») . . . ,
est convergent ou divergent en même temps que la série
(2) aj-i- aj-haa-H. . .-H a;j-i-. ...
CHAPITRE y. lil
En effet, on a
P„ ou ( I -h ai) ( 1-+- aj) . . . (i -h a„) > n- ai -f- aj -♦- . . . -4- a;, .
Si donc la série (2) diverge, ai -4- xj-t-, ..-+- a„ augmente indéfini-
ment; donc P/i augmente indéfiniment avec n et le produit (i) est
divergent.
D'un autre côté, on a
I -4- ai < e'», I -h a2 < e"», . . . , I -+- a„ < <?•», ... ;
donc
(1 -+■ ai) (1 -+- a2). . .(l -h a„) < ^«h-«i4-...h-««.
Si donc la série (i) est convergente, P„ aura une limite pour /i = » ,
et par suite le produit (i) sera convergent.
Lorsque le produit
(i) (H- a,) (i -h aj) . . . (i -+- a„}. . .
est convergent y la série
(2) log(l-+-ai)-hIog(l-Haj)-f-...
l'est aussi.
Si le produit (i) défient convergent quand on remplace ai, as, . . . par
leurs modules, il rétait primitivement. (Cauchy, Jnal, algébr.)
Mf\ T j -L ^ ^ ^ ^ 1 sin.r
49. Le produit cos - cos j cos ^ • • • cos — • • • a pour valeur •
20. Soient 2, 3, 5, . . ., /i, . . . les nombres premiers consécutifs; le
produit fi-f--j(n-rj»'»(n--j«-» est divergent : en conclure
que la série formée des inverses des nombres premiers est diver-
gente.
21. Soient
la série jj -h j» -h J4 -f- . . . -f- j* -f- . . . est convergente
i
i4a
TRAITÉ D'ALGBBRE.
valeur i. Le produit (i-h .vj) (i-t- .^s). • .(n- su) est dono conTergent
22. X étant moindre en valeur absolue que Funité, trouver la valeur
des produits
( n- ^ ) ( I -h X* ) ( I -+- x*) . . . ( 1 -f- X**) . . . ,
(i — x) (i — j?«) (i — j:*) . . . (i — a:*") ....
23. Si le produit
est convergent et a une limite différente de zéro, la série (considérée
à l'ex. 4)
«1
tfj
Uz
est
i-htti (n-«i)(n-Wî) (i-*-«i)(i-t-«t)(n-«8)
convergente et a pour valeur i — p • •
24. Trouver la limite de cos'» — pour /w == co .
cosx ^_ ^ s
25. Trouver la limite de —^ pour x = o»
GifÂPITllE YI. f4^
CHAPITRE YI.
DES FRACTIONS CONTINUES.
I. — DÉFIHITIONS.
On appelle fraction continue une expression de la
forme ( * )
«0
-f-
f'x
b.
1
«5
1
H-
^s
b.
1
ï-^-.
dans laquelle les quantités a^j a^f a^j , , .yb^, b^^b^, . . ,
peuvent être en nombre illimité. Dans ce dernier cas, il
est indispensable de définir ce que Ton appelle valeur de
la fraction continue.
Lorsque Texpression
h,
a.
bt-^r- . . û/t
V
(* ) La théorie des fractions continues est due à lord Rrouncker, qui
a donné sous cette foi me l'expression dn nombre ^r. Quelques professeurs
déHnissent la fraction continue en supposant a^^ a,, ... égaux à runité;
cette définition n'est pas conforme à celle des bons auteurs dans lesquels
nous ayons puisé notre définition ; d'ailleurs la théorie générale n'est pas
plus compliquée que celle des fractions très-particulières dans lesquelles
a, = «, =. a, = . . . =r I .
l44 TRAITE d'algèbre.
que nous désignerons par le symbole F^, tend vers une
limite finie quand n croît indéfiniment, la fraction con-
tinue est dite com^ergente, et la limite de F^ ou F* est ce
que Ton appelle la valeur de la fraction continue; dans le
cas où F^* ne tend vers aucune limite, la fraction est di-
y^ergente.
La valeur de F.^ est ce que Ton appelle la /i'®"® réduite;
a^ «2
t—t ••• sont ce que Ton appelle les fractions inté-
gluantes,
Fj, F*, F*, . . . sont ce que l'on appelle le premier, le
deuxième, le troisième quotient complet; ils jouent ici
un rôle analogue aux restes dans les séries.
Occupons-nous de la formation des réduites. On a
(0 iFÎ= "'*'
FJ =
^1 ^2"i" ^2
bi b^ ^3 -f- a, ^3 -f- ^, «3
La loi de formation de ces réduites est exprimée par la
formule suivante,
^ ^ ' Q«+l "~ Qn ^rt+1 + Q«-l «/i+l '
dans laquelle P/ désigne d'une manière générale le numé-
rateur et Q/ le dénominateur de la i*^"® réduite. Pour dé-
montrer la formule (2), admettons qu'elle se vérifie jus-
qu'à une certaine valeur m de n, changeons m en m -f- 1;
nous allons voir qu'elle subsiste pour la nouvelle valeur
de 72. En effet, pour passer de la m-hi*^"*® réduite à la
m 4-2'*°®, il suffit de changer b^^t en im+i-+-i~~'^ îl
-.J
CHAPITRE VI. 145
vient alors
c'est-à-dire
P/n+î P/n-»-l ^m+2 + Pm ^m-4-t
. ^^ .^^^__^^-^^-__^..^_^^____^^_^_ «
Q/rt+î Qm+l ^/n4-2 "^~ Qm^m+t
m
La formule (2) est donc vérifiée pour n = m -f- i; or elle
est satisfaite pour 72 =: 2, comme le prouve la relation (1) ;
eJle l'est donc pour n = 3, par suite pour n = 4>« • -î
donc elle est générale. c. q. f. d.
Ainsi, on peut poser les formules
Po ~«0i Qo =1,
Pi =Po^i-+-«i, Qi =^1,
(3)<;P3 =Pi^»,-4.Po«„ Q, =Qi62-}-Qo«2,
P«+l = P» ^/i+l -+- P/i-l <^rt+l > Qrt+l = Q/i ^/n-i -+- Qn-i ^«4-1 •
De là on pourrait tirei* P„+< et Q/i+i sous forme de déter-
minants en fonction des a et des A.-
Théorème I. — On a
(4) P«+iQ« — Q/i+iP/i = (— O^^i^j. . . fln+i.
En effet,, remplaçons dans le premier membre P^+j et
Q/î+< par leurs valeurs (3); on a
Pn+l Qn - Q/x-f-l P/» = ( Pn *«+l + P«-i ««+i )Qn
— ( Q» ^/i+l -+- Q«-l «/i+l ) P;»
ou
Pn-f-iQ»- Q«+iP« = - (P«Q«-i - Q«P«-i ) «»+i.
En remplaçant dans cette formule n par i, 2, 3, . . ., tz,
L, — Algèbre, II. 10
l46 TRAITÉ D'àL6BBRB«
on obtient des formules qui, multipliées entre elles, donnent
ou
(4) P«+iQ»— Q«4-iP« = (— i)"«i«3-..«/f+i,
ce qu'il fallait établir.
Les conséquences de cette formule (4) sont très-nom-
breuses.
Corollaire I. — On en déduit
Si dans cette formule on fait w = i, 2, 3, ... et si l'on
ajoute les résultats, on a
(5)
Pn-l-1
Pi
Qt
Q.Q,
•
..)-2i
De là un moyen, si la fraction continue est limitée, de
calculer sa valeur sans avoir besoin de formel' les P|.
Te là un moyen aussi de reconnaître si la fraction con-
tinue donnée est convergente ; en effet, si elle est conver-
P 1 • . .
gente (ou divergente), -p^—- aura (ou n'aura pas) une limite
pour 72 = 00 , et la série (5) sera (ou ne sera pas) conver-
gente pour 72 = 00 .
Corollaire II. — La formule [5) fait connaître un
déi^eloppement de la fraction continue en série. Elle per-
met aussi, par V identification de son second membre ax^ec
une série donnée^ de conveî iir celle-ci en fraction con-
CHAPITRE VI. 147
tinue* (Consulter à ce sujet le Calcul différentiel de
M. Bertrand.)
n. — ÉTUDE DU CAS OU LES NUMÉRATEURS DES FRACTIONS
INTÉGRANTES SONT ÉGAUX A L'UNITÉ.
Lorsque les numérateurs des fractions intégrantes sont
égaux à l'unité, les formules du paragraphe précédent se
simplifient; mais, si l'on suppose de plus les dénomina-
teurs entiers et positifs, la fraction continue jouira de pro-
priétés arithmétiques intéressantes dont nous allons nous
occuper.
i*^ D'abord une telle fraction est toujours convier gente,
car la série (5) du paragraphe précédent se réduit à
(0
p.
Qi QiQ» QnQ»-!
Les formules (3) du même paragraphe donnent
Q2=6i^>jH-l ou Q2>Ql>l»
Q3 = Qî^3-^^ ou Q3>Q«>2,
Q4=Q3^4-+-Qî ou Q4>Q3>3,
Ainsi Qw+i^w, et par suite le terme général de la
série (i), tend vers zéro ; cette série, et par suite la fraction
continue elle-même, est donc convergente en vertu du
théorème de la page 89.
2° Réciproquement y tout nombre peut être développé
de cette manière en fraction continue. En effet, soient en
général E (x) le plus grand entier contenu dans :c et N le
nombre à développer ; on peut poser
N = E(N)+i;,
lO.
1
l48 TRAITÉ d'algèbre*
et N' sera'plus grand que Tunité. Si N <^ i, on a d'ailleurs
E(N) = o. On posera de même
N'=--E(N') + ^.
ti"=E(N'') + ±, ...,
et Ton aura
N=:E(N)H ?
ce qui démontre notre proposition.
La fraction sera limitée si N = j-j a et b désignant deux
entiers. En effet, E ( y j ou E(N) est alors le quotient de a
par b, et, en appelant R le reste, on a N' = — -, en appelant
R' le reste de la division de b par R, on a W= i^-. • • •
L'opération que Ton a à faire est identique avec celle du
plus grand commun diviseur, en sorte qu'elle se termi-
nera si a et è sont entiers.
3® Les réduites sont des fractions irréductibles.
En effet, la formule (4) du paragraphe précédent donne
P«+iQ/.-Q«+iP« = =t:i.
Tout facteur divisant P,^ et Q,j devrait diviser ziz i. Ce fac-
teur commun ne saurait être que l'unité, et par suite P/,
P
et Q,^ sont premiers entre eux; donc -^ est irréductible.
4° La différence entre deux réduites consécutii^es, étant
de la forme ± — -r — > tend vers zéro en diminuant in-
définiment, car
Qi<Qs<Q8< .., et Q„>/i-i.
CHAPITRE VI. ï49
5° Le nombre N esl compris entre deux réduites suc-
cessives. On peal le voir aisément sur la fraction elle-
même; mais on peut observer que la série (5) du pa-
ragraphe précédent donne les valeurs successives des
réduites quand on prend son premier, ses deux premiers,
ses trois premiers. . . termes. Or, la valeur de la série ou
de la fraction continue est comprise, comme l'on sait,
entre deux sommes successives, c'est-à-dire entre deux
réduites consécutives (p. 90) ; d'ailleurs, chaque somme ou
chaque réduite se rapproche de plus en plus de N quand
n augmente.
6° Les réduites sont les fractions les plus simples que
ton puisse employer pour approcher du now.hr e N.
En effet, soit -j un nombre approchant de N; il sera
compris entre deux réduites consécutives, par exemple
~- et jr—^t et sa différence avec N sera moindre que
Q« Qn-i ^ Q«Q«-i
sa différence avec -—^ sera aussi moindre que r— ^^ Or,
en faisant celte différence, on trouve
Mais le numérateur de cette fraction est au moins égal
à I ; donc la fraction précédente est au moins égale à j~
Pour que cette quantité soit moindre que -;— r — ; il faut
que i}>Q/2; donc la fraction y a son dénominateur plus
Application. — Réduisons tt = 3,i4i59. . . on frac
l5o TRAITÉ D* ALGÈBRE*
tion continue ; on trouve
ir = 3 H
7 +
i5
T
Les réduites successives sont les nombres bien connus
22 333 355
Ô f "~^ > ■ ) — — î • • « •
7 I ob 1 1 3
ni. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FRACTIONS GONTINDES
A L'ANALTSE NUMÉRiaUE.
Lorsqu'on veut démontrer Tincommensurabilité de cer-
taines transcendantes, un excellent moyen consiste à les
développer, si Ton peut, en fractions continues, et le théo-
rème suivant permet alors, dans un grand nombre de cas,
de trancher la question.
Théorème L — Si les fractions y^j r^? ••• sont toutes
en valeur absolue moincb^es que i , la fraction
h
^ + -.
représentera un nombre incommensurable , poun^u que
la différence entre an et b^ ne soit pas toujours égale à un.
Nous supposons a^, b^, «2? ^2^ ••• entiers, mais du
reste quelconques, positifs ou négatifs.
On aura d'abord en valeur absolue
CHAPITRE VI. l5l
mais. 7^ étant inférieur à l'unité, £<-[-— sera encore plus
grand que «i, car la différence entre «i et b^ est au moins
d'une unité, en sorte que, quand même ~ serait de signe
contraire à &i, on aurait toujours
«1
6>l-f-7-
^2
I.
Soient F}, FJ, FJ, ... les réduites successives de la
fraction continue considérée et F", F*, ... les quotients
complets successifs. En continuant ce raisonnement, on
voit que F^, n étant un nombre fini, sera moindre que i;
mais on ne peut pas affirmer a priori que F^ soit moindre
que I. Tout ce que l'on peut dire, c'est que la limite de
F^ est au plus égale à i . Mais, pour que F" = i, il faudrait
que bi différât de a^ d'une unité et que l'on eûtF2=i,
c'est-à-dire que ^2 différât de a^ d'une unité, etc., en sorte
que l'on ne pourra avoir F* = i que si la différence entre an
et bfi est un, encore F* sera-t-il moindre que un si a<,
«2, . . ., biy ^2? • • • soiit tous positifs.
Ce cas est le cas d'exception signalé dans notre énoncé.
Posons alors
po» 2^ __ -pat _ piao
on aura
c'est-à-dire
Bài-f-C=ûiA ou C = a,A— ^iB.
^^::
l52 TRAITÉ d'algèbre.
Si donc B et A sont entiers, C le sera aussi ^ et ainsi de
suite. Or, si F* est commensurable, on peut supposer
A et B entiers ;' mais on a en valeur absolue
c'est-à-dire
A>B>C>D>...,
Ainsi A, B, C, ... seraient des nombres entiers indéfini-
ment décroissants, ce qui est absurde; donc F* est incom-
mensurable, c. Q. F. D.
Application. — La fraction
a-\-
a
dans laquelle a et ft sont des entiers positifs tels que h <^a^
est incommensurable. Supposons ces entiers constants, et
soit z la valeur de la fraction ; on aura
c'est-à-dire
ou bien
fl H- 3
T?--^ az — ^ = G,
z •=.
— azt\/a*4-4*
y/a^-h 4^ est donc toujours incommensurable; donc enfin
a*-h4i n'est jamais un carré parfait si Ton a a^Z», ce
qu'il est facile d'établir directement.
CHAPITRE VI. l53
IV — AFPLIGÂTIOIIS DE LA THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES
A LA RÉSOLUTION EN NOMBRES ENTIERS DES ÉAUATIONS INDÉ-
TERMINÉES DU PREMIER DEGRÉ.
Considérons Téqualion
ax -\- by :=: c,
dans laquelle nous supposerons a, b, c entiers; rédui-
sons j en fraction continue, et, à cet effet, soit b^ le plus
grand entier contenu dans -• Posons
on déduit de là
b-''^z^
b
z
On peut poser
^ a — b^^b
I
2l=l 6, H 5
2^2
et ainsi de suite; on a alors
b = '^
^
b^-\-. . I
b
2 - — .
Cette fraction est forcément limitée, sans quoi (p. i5o)
le second membre ne saurait représenter un nombre com-
mensurable.
a' û"
Soient jy ravant-dernière réduite, -p la dernière ; on a
(p. i45) pour deux réduites consécutives quelconques la
relation
THfllTâ D'ALGÈMB.
. égal à —■ Supposons que a el b soient premiers
eux; on aura alors a'= a, A"^ b et
ab' -- ba- z=±i,
'on tire
tisfera donc à l'équation proposée en prertaot
x=±l>'c, ^ = zjza'c.
inaissant une solution, on connaît facilement toutes
très. En elTet, soit (xt,y„) une solution; on aura
ax^ -)- 6 /, = c ;
duira de cette équation et de la proposée
,e équation peut remplacer la proposée ; on en déduit
et h étant premiers entre eux, pour que y soit une
m entière, il faut et il suffît que -^^-7 — soit un entier,
1 a alors, pour satisfaire à la question, les systèmes
eurs suivants :
is avons supposé a et & premiers entre eux; s'ils ne
nt pas, et si du reste a, b, c n'avaient plus de diviseur
un, il est facile de voir que l'équation
CHAPITRE VI. l55
n'aurait pas de solutions entières, sans quoi le plus grand
commun diviseur de a et b diviserait le premier membre
de l'équation sans diviser le second.
Si Uy i, c avaient un facteur commun, il faudrait le
supprimer, après quoi on rentrerait dans le cas que nous
venons de traiter.
EXERCICES ET NOTES.
1 . Toute fraction continue qui devient périodique est racine d'une
équation du second degré, dont les coefficients sont rationnels par
rapport aux termes des fractions intégrantes.
2. Démontrer que, si N est premier avec «, b, c, ... et moindre
que leur produit, on a
N ABC
abc. abc
A, B, C, . . . désignant des entiers.
• 3. La fraction continue dont toutes les fractions intégrantes sont
égales à __ , est égale k^b,
4. Former les réduites successives de la fraction continue dont
X I
toutes les fractions intégrantes sont égales à - ou à -; trouver
l'expression générale de la /i**"® réduite.
5. Consulter le Traité de Calcul différentiel de M. Bertrand et
V Algèbre d'Euler avec les Notes deLagrange. Consulter aussi le Traité
des équations numériques de Lagrange. Pour la résolution des équa-
tions du premier degré en nombres entiers, vo/r V Analyse numérique
de M. V.-A. Lebesgue, un des plus grands arithmologues de notre époque.
6. Des ouvriers, hommes et femmes, ont gagné ensemble 246'^
chaque homme est payé lo^"", chaque femme 8^' : combien y a-t-il
d'hommes et de femmes ?
lâ6 TRAITÉ d'alGÈBBB.
7. Des ouvriers, hommes, femmes et eoranU, au nombre de 34, ont
été payés en tout iGo''; chaque homme a touché io'',chaquefenime8''',
chaque enfant a'' : combien y avait-il d'hommes, de femmes et d'en-
Prouver que, m et n étant deux nombres incommensurables
conques^on peut toajoura trouver deux nombres entiers x, j- tels
iver effectivement ces deux nombres.
itte proposition très-importante se démoulre en réduisant — en
fraction continue dont les numérateurs des fractions intégrantes
l'unité et dont les dénominateurs sont positifs. Soient ^ et
deux réduites successives; leur différence est ^^ — ^' Or —
umpris entre deu» réduites consécutives; donc
% ^ Qm-iQ..
ste donc à prendre ^.r — < s, ce qui est toujours possible, car
croit indéfiniment avec f .
IncommaTisurabiîilé de ir. — Posons
i ç(zl=i-l- ' - + -^ — h...
I ¥1") "-^ , , ^ ,., ,|-_t,\^•■•
:cond membre de cette formule est une série convergente, i
ort d'un terme au précédent a pour expression générale
CHAPITRE VI. l57
quantité qui a pour limite zéro pour « = qo . On a, en changeant
z en 2 4- 1 ,
I x^
"^ i.a.3...^ (zH-i)(z-+-2)...(3-f-/î)
d'où Ton tire aisément
(p(z) — (P(z-f-l)=— ; -flp(z-t-a),
, V / TV / 2(Z H-l) ^^ '
ou, en multipliant par —. r?
(j)(z-m) (z-+-i)<j)(zh-i)
Si Ton pose alors
(a) ^ z = ^V S
on pourra écrire Téquation précédente comme il suit •
X
ou bien
= Z-H>Kz-+- l)
J,(Z)= j-^^ :•■
En changeant z en z h- i, z -+- a, . . . , on a
>Kz -+- l) = • — rj — ; ; y
X
J;(z-H al = ; — j-: r"T\ >
et par conséquent
(3) 4^) =
a?
Z'\
z-i-i-f-— ^
.-f-
Z H- / — H- -^ ( s -f-
l58 TRAITÉ D'ALGéBRE.
Or, si Ton fait z = -, on a, en vertu de l'équation (2),
*œ-"i
I ■
__ 1.2.3 1.2.3.4-5 * V 1 .2.3. . .(9./?-f- t)
~" Jx 4<x» 4*x* 4».r'*
1.2 1.2.3.4 1.2.3.4*5.6 *** I.2.3...2A<
Cette équation peut encore s'écrire (p. 117)
»2 ^x f»-7. yfx
(4) 'î'(^) = a</ï
2 ylx _u /»-2 v^jj
En second lieu, la fonction ^(s) peut se mettre sous la forme
I a: I ar*
f H h
,/, X TZ-+-I I.2(zH-i)(2-+-2)H-...
^ ^ Z \ X \ X^
H
\ Z 1.2 Z(ZH-l)
et, si l'on fait augmenter / indéOniment, ^(2 + /) tend évidemment
vers zéro, en sorte que pour 2 = - l'équation (3) devient
%yx
c%>fx^e-2yix ^ ^ /jx
4x
5h-.
X*
Changeons ar en -;• j nous aurons
4
(5) ~ "^-^"
e^-\-e-^ x^
H
x^
/r2 j»2 jj2
Quel que soit a?, les fractions -ô" > "T ^ — ' " * finissent par devenir
CHAPITRE VI. 169
moindres que i. Si donc nous supposons x entier, nous voyons que
■— est une quantité incommensurable, en vertu du théorème
de la page i5o; donc e^ est aussi incommensurable. Ainsi :
Les puissances entières du nombre e sont incommensurables.
Dans la formule (5), changeons x&a. x^^\\ nous aurons
qx>P\ ^ g-x'T^x x^
•
c'est-à-dire (p. 121 ), en vertu des relations connues,
exv^^g-x^^ ^ ex^^\ ^ c-^yl'^,'
7= = smx, = cos^,
«
X
tang j: =
I —
j:2
3- "
5-.
7
ou bien, en changeant a: en - ?
tang^= 2
q p^
37- '
5q-.,
On voit donc que, si un arc - est commensurable, sa tangente ne
p2 pt pi
Test pas, car les fractions ^ j f- ? ^-- ? • • • finissent par devenir
^ ^ oq Oq 'jq ^
9
TV
moindres que l'unité; il en résulte que le nombre - est incommensu-
rable, car, s'il était commensurable, sa tangente, qui est i, serait
incommensurable. On en conclut le théorème suivant :
La circonjérence d'un cercle est incommensurable avec son rayx>n.
l60 TRAITÉ d'ALGBBRE.
10. Le rapport des vitesses de deux roues d'engrenage est le même
que le rapport inverse de leur nombre de dents. Sachant que le
i855
rapport des vitesses doit ôtre d'environ -7-5» trouver un rapport
commensurable plus simple approchant de celui-Ià, afin de construire
moins de dents.
1 J . Développer e en fraction continue et calculer les premières ré-
duites.
CHAPITRE VII. 161
CHAPITRE YII.
THÉORIE DES FONCTIONS DÉRIVÉES,
I. — DÉFIHITIOHS.
On appelle dérivée d'une fonction la limite du rapport
de l'aecroissement de cette fonction à Taccroissement c<ir-
respondant de sa variable lorsque celui-ci tend vers zéro.
Cette définition, pour être bien comprise, exige que
nous entrions dans quelques détails. Lorsqu'une fonc-
tion y(j:) est continue, à un accroissement infiniment
petit h de sa variable x correspond toujours un accrois-
sement infiniment petit k de la fonction y (j:), mais il
k
n'est pas évident a priori que la limite du rapport -t que
nous avons appelée dérivée de la fonction, soit finie et
déterminée; en d'autres termes, il n'est pas évident que,
quelle que soit la manière dont h tend vers zéro, j tende
toujours vers la même limite.
Nous verrons dans la suite que les fonctions de va-
riable réelle ont en général une dérivée unique et bien
déterminée, et nous ne nous occuperons que de ces fonc-
tions (*).
(*) Toute fonction f{x) qui admet une dérivée finie et bien détei minée
pour X z= a est évidemment continue, parce que l'accroissement de / est
nécessairement infiniment petit avec celui de x\ mais il n^est pas prouvé
que toute fonclion continue ail une dérivée : quelques auteurs ont cité des
L. — Algèbre^ II. Il
i. — >
k6o tbjitb:
Lsgrange, dans sa Théorie des f oncHons emafytfçues,
propose de représenter la dérivée de la fonction j^ P^^j/ (*)i
y à son tour pouvant être considéré comme fonction de
la même variable qirejr, sa dérivée sera représentée parj^^:
elle porte le nom de dérwée seconde de J^ La dérivée de y"
sera représentée p€Pr 7'* : eDe porte le ho«» de dérwée troi-
sième Aq jy etc.
Théorème I. — Soient f[x) une fonction quelconque y
f{x) sa dérivée, h. n otwraùmmenM quelconque donné
à x; on aura
$ désignant une fuemtiié qwi' s'annule avee h.
En effet ,. d'après la définition même que nous avons
donnée de la dérivée, on a
^J[f^±}}rim ^ f ^^y
c'est-à-dir«y en désignant par e une qwanfrté qui s^amrale
a.vec A,,
d'où Ton tire la relation (i).
fonctions continues ne possédant pas do, dérivées; mai& il ne n'est paabien
démontré qae ces fonctions soient contiiiaes.
d^). CeilaB natatixiJi^ àaaAXa^ffWBo^ luL^njÊtaïc n'a joHuiii iRouto %amm «Hifv
dans ses recherches, nous est imposée en France par les programuask L0
notation inventée parLeibnitz | -j- pour représenter la dérivée de y rela-
tive à a; J est encore celLe dont on fait usage aujourd'hui universellement;
eiia a de grcMidB ovaiitegev sapecite àm Lafpanf» (Ulkiibr et M é i n l u i i «mM
Jev inreateuvs din C«leid dbist dériivMs ; fi» pouiiar Fa i^fwiA fiMAeni J^i^
rmiiei,. le aeeond Caieuà dn /limimacj».
GAAPIXRE TU. 103
L'expression de k différence /(j: -f- h.) — f{x.) est sus-
ceptible dfe prendre une autre forme, qui nous sera très-
utile dans la suite, et que nous^ alloua' faire cp&naître.
THÈcmkmB IL — Soitf[x) une fonction qui reste con-
tinue ( * ) quand X varie de a à b et qui ait dans cet
intervalle une dérii^ée f^ [x) unique ^ déterminée et finie
pour chaque valeur de x ; si l'on a f[a)=z o, f[b) =i o,
il existera entre a et b une valeur c telle, que ton aura
f{c) = o.
En effet, supposons a<Cb^x varianl: Ae akb\ f[x) part
de zéro pour redevenir nul pour x==è. Alors, s'il n'est pas
resté constant, il a dû croître pour décroître ensuite, ou
décroître d'abord et devenir négatif pour croître de nou-
veau afin de s'annuler, y (x) passe donc par une valeur y(c)
ou plus grande ou plus petite que celles qui la précèdent
ou la suivent immédiatement. Ebù d'autres ternies, poar
des valeurs de h suffisamment petites^
f[c^h\-/{c) et f[c-h)-f[c\
sont de même signe
/(. + A)~/(c), f[c-h).-f[ c]
sont alors de signes contraires. Mais, d'après la définition
que nous avons donnée de la dérivée , chacune de ces
expressions a pour limite y'(c), dont la valeur, par hypo-
thèse, est unique et bien déterminée; f'{c) est donc là
limite commune de deux quaîatiliéS) l'uAe poaiifiive, ranutre
négative, et pau* su-ite ne peut être que aéro. c. q. f. d-.
C**) Il est inutile, à la rigueur, dlddlite que/(.t) est continu, car, si la
dérivée existe, la fonction est continue..
II.
l64 TRAITE d'algèbre.
Celte démonstration, due à M. O. Bonnet, est extrême-
ment remarquable, en ce sens que Ton n'a pas besoin de
supposer la dérivée /^(x) continue.
Corollaire I. — Si la fonction f{x) consente une
dérivée bien déterminée entre les ^valeurs x et x A- h de
sa vqji'iable, on a
d désignant un nombre compris entre zéro et i .
En effet, posons j: -f- A = X, X — j: = A et
on en conclura
/(X)-/{:r)~(X-^)Az=o.
Si Ton considère alors la fonction de z,
elle s'annulera pour z = x. Mais, elle s'annule aussi pour
z = X ; donc sa dérivée s'annule pour une valeur ^ de z
comprise entre x et X. Cette dérivée est la limite de
AX)>-/(z + e)-(X-^-g)A-[/(X)^/(z)-(X~z)A ] .
pour e = o ; cette quantité peut être remplacée par
c
dont la limite est, par définition, — J^i^) -+- A. Remplaçant
z par ^, on a donc — /'{^)-^A = o ou A=/'((^); par
suite, la formule (i) devient
/(X) -/(*)
X — X
=/'(«).
I
4 CHAPITRE Vil. l65
Remplaçons X par x -^-h et la valeur Ç comprise entre
X et x-^h par x-\-Bhy B désignant un nombre positif
moindre que i ; nous aurons
ou
n. — DÉRIVÉE D'UNE SOMME, D'UN PRODinT, D'UN aUOTIENT.
Théorème I. — La dérivée d'une somme comjyosée
d^'un nombre limité de parties est égale à la somme des
dérivées de ses parties (*).
En effet, considérons la quantité
(i) y=.u-\'V — wzt.,. . y
M, i^, çv, . . . désignant des fonctions quelconques de x en
nombre limité; représentons par le symbole ^x un accrois-
sement arbitraire donné à x (le signe A ne représentant
plus ici une quantité, mais une opération). Soient Aj^,
Am, Aj^, Açv, ... les accroissements correspondants àey^
Uy Vy Wy . , . ; cu rcmplaçaut dans Téquation (i) a: par
x-h^Xyii deviendra alors mH-Am, v deviendra v~{-Avy etc.,
et Ton aura
(i) j- '}' ^y = u -h \u -\- V -h ^v — w — Atv di . . . .
Si Ton retranche les équations (i) et (2) membre à membre,
on a *
A/ = Am -f Ap — Aw zt . . . ,
{*) Nous suppo8«)rons toujours dans la suite que les fonctions sur les-
quelles nous raisonnons ont une dérivée. L'existence de la dérivée cherchée
sera seule à démontrer.
f(66 TRAITB m*XLB&BRE,
c'est- à-«âîpe<, en dÎTisaRt par Ajt,
(3)
^ ' A:r Aj; àx Ax
Or, si Ton fok tendre Ax vers zéro, — tendra vers y
Ajc *^
dérivée de^, — tendra vers u', etc., en sorte qu'en pre-
nant les limites des deux membres de l'équation précé-
dente, et en observant que dans le secojxd membi^ de ceUe
équation le nombre des parties est limité, on a
ce qui démontre le théorème énoncé.
Remarque. — Nous avons insi^ vnr ce potift «pue le
nombre des parties u, ç^, fv, . . . devait être limité; en effet,
quand nous avons fait tendre Ax vers zéro, nous avons
admis que la limite de la somme 1 h • • • étah
^ Ax AnT Ax
égale à la somme des limites de :6es parxies, ce ^ui .cesse
d'être vrai lorsque l'on sup|>ose le nombre des paities illi-
mité (*}. Ainsi le théorième que noujs venons de démontrer
n^est pas applicable aux séries^ ou du moins, pour qu'il
devienne applicable aux séries, il faAit néceasairement une
nouvelle démonstration.
C^) On démontre par le Calcul intégral H formule
jr . ainur ainSor , sia nx
.._ "EE UHX "-^ ■ - ■ '-^ ' '- " • — — •.. . ."^I •
2 X 3 //
•
Si l'on prend la dérivée des deux membres de cette équation, en procédant
comme si le second membre avait un nombre limité de termes, on trouve,
à Taide de procédés qui seront expliqués plus loin, la formule
2
absurde, car le second membre est divergent.
TMÉL&tàMB II. — Ladérzpéc d'un produit de plusieurs
fonctions en nombre limité est égale à la somme des pro-
émits 4>bimiui en noÊbipiiami ia dén¥ée dv rchacyne de oes
fonctions par touùes les autres.
En effet, soient », f, w, . . . diffiércntes feBction» 4e x
^ea oombrse liaiiié; po&ous
Changeons dans, cette formule x en x-^ Ax]jr^Uy i^.,
w, . . . deviendront y -+• A^, u -h Am, . . . , Aj^, Au , . . . ,
représentant, co^mme plus àaut, les accroissements de ^,
«,... oori^espondant à Taccroissement Ax de a:. Nous
aurons
Or le produit des facteurs qui entrent dans le second
membre de cette équation est égal à la somme des produits
obtenus en prenant pour facteurs un terme dans chacun
des binômes u -|- Am, ^^ -f- Aïs ... ; on aura donc
( 2 ) J H- Aj rr: UVW , . ,-{- \u,VW, , . -{- At' . W<V . .
&),
w désignant une somme de termes contenant en facteur
au moins deux des quantités Au, Av, Açv, ....
Or, des équations (i) et (2) on lire par soustraction
A/ == Am . PW . . . -h Aj' , wm:' . . . ~{- Aw . Mf» . . . -+- w,
ou bie£Ly en divisant par AXy
,_, Aj Am \u w
(,3) — =r — ut^m.^-i UW.^m-^ -
^ ' Aj7 Ao: A.r A.r
Or, si Fou fait tendre Ax vers zéro, — 5 — • ••• auront
Ax Ax
l68 TRAITÉ d'ALGÂBRE.
pour limites y* ^ m', .... Quant à — i il se compose de
termes de la forme — a, dans lesquels a est un produit
qui contient au moins un des facteurs Au, At^, . . . ; si nous
supposons donc qu'aucune des dérivées i/, v\ ... ne soit
infinie , — n'augmentera pas indéfiniment ; d'un autre
côté; a aura pour limite zéro, et par suite ci) aussi; donc,
si l'on suppose les facteurs u, j^, çv, . . . en nombre limité,
la formule (3) donnera, pour Lx = oj
( 4 ) j' = tt' ('(V. .. -f- / MW ... -4- w' !«(*,.. .
G. Q. F. D.
Corollaire I. — Si l'on divise les équations (i) et (4)
membre à membre, on trouve
. / ' / /
y u V w
-=--4 1 h...,
y u V w
relation remarquable et dont on fait un fréquent usage.
— est ce que l'on appelle la dérivée logarithmique de y ;
on peut donc dire que :
La dérivée logarithmique d'un produit est égale à la
somme des dérivées logarithmiques de ses facteurs.
Corollaire IL — a désignant une constante, la dérivée
de au sera au', car la dérivée de a est nulle. En effet,
Aa est nul, et par suite — aussi, quelque petit que soit
Ax; donc la limite de — sera zéro. c. o. ». d.
Remarque. — On a quelquefois besoin de prendre n fois
de suite la dérivée d'un produit uv. On peut le faire à l'aide
CHAPITRE VII. 169
de la formule suivante; due à Leibnitz,
dans laquelle G^, G*, . . . représentent les coefficients de la
formule du binôme -5 — — '■ — '9 . . . , et dans laquelle u^^^
I 1 .2 ^
désigne en général la dérivée i**™* de u.
Pour démontrer cette formule, il suffit d'observer que
Ton a
et par suite, en prenant encore la dérivée,
[ui'Y = u"i> + 2w'/ H- uv".
La formule (i) a donc lieu pour 72 = i , « = 2, .... Admet-
tons qu'elle ait lieu pour la tî**"* dérivée, démontrons qu'elle
a encore lieu pour la [n -f- i)**™, et, comme elle a lieu pour
7î = 2, elle aura lieu pour /z = 3, w = 4i • • • î elle sera
alors générale. Si nous prenons la dérivée des deux
membres de (i), nous trouvons
Or, par un théorème connu, on a (p. i3)
Cl _i , — pi c^ ~A^ c^ — r*
/»-+-» — W+i» W ^^ ^« — '-•rt-hi» • • • ï
donc
Gette formule n'est autre que (i), où l'on a remplacé n
par (/iH-i); donc enfin la formule (i) a lieu quel que
soit n, c. Q. F. D.
Théorème III. — La dérwée d'un quotient est égale
au résultat obtenu en dwisant par le carré du diviseur
la dérivée du diifidende multipliée par le di\fiseur, dimi»
%y9 TBAiie
nuée de la dérwée du, dwisemr mwiiip U ée pmr le divi^
demie.
£d effet; soit
n
(0 r=-
le quotieDt des deux fonctÎDiu; « et (^ de x« Giiangeoas jc
en a: -+- Aar; «, y, y deriendroiiA u hh Au, y -H A**', j^ -h A7
et Ton aura
Des équations (1) et (2) on tire
Ar — •>
c'est-à-dire
•^•^ — i,(p + A») *
d'où Ton tire
Au A9
V u
Ay Ax At
Ax v^ -^^ V Av
Si Ton fait tendre A.r vers zéro, il vient alors, en observant
Ay Au Av
Ax Ax Ax
Ay Au Av ,. . j I t
que --- > — 5 -— ont pour limites j)^, » , »/,
, u' V — v' u
r = r * c, Q. r. D.
■ C01101.LÀIUE. — La dérivée de - s'obtiendra en faisant
u = ï dans la formule précédente, et par suite w'=o. O»
a alors
\vj ~" P«'
CBAHTIE VIL 171
m. — B9BBnrÉ88 ns mrgtiwi se fonsTioini st m
Soient ¥ utus foncdou de jt, w tme ibnicitMMi de p^ y une
fonetton de Wj y isera «ce que fou appelle «ne Jbnctiim. de
fonction de x.
Théokême I. — La dérivée d' une fonction de fonction
est égale au produit des dérivées des fonctions dont elle
est formée.
En effet, soit y une fonction de w, w une fonction de v^
V une fonction de x. Changeons xen x-{- ^x\y deviendra
Y 4- ùij, w deviendra w -f- Awj v^ deviendra i^ -t- A^», et Ton
aura identiqQemeB.t
^ ' ^x Aw jÀp Ax
Si Ton fait tendre Ax vers zéro, — aura pour limite ^'.
Ax *
— est le rapport de l'accroissement de w a Taccroisse-
ment correspondant de ^ ; sa limite est donc la dérivée
de w prise en considérant w uniquement comme fonction
de V et non comme fonction de x : nous désignerons eette
dérÎTée par «\, pour ne pas ia confondre avec V, qui est
la dérivée de w considérée etwnme fonction de x. De même
— aura pour limite r'^y dérivée de y prise en considé-
rant y uniquement comme fonction de w* La formule ( i )
peut alors s'écrire
ce qui démontre le théorème énoncé.
■ 72 TRAITÉ D*ALGBBRE.
Remarque L — Nous avons tacitement supposé le
nombre des fonctions intermédiaires çv et (^ limité ; en
efTet, en passant aux limites dans la formule (i), nous nous
sommes appuyés sur ce principe que la limite d'un pro>
duit était égale au produit des limites de ses facteurs : ce
principe n'est pas applicable aux produits composés d'un
nombre illimité de facteurs.
Remarque II. — Il ne faut pas confondre les expres-
sions jy^ et y'\ elles sont, comme on voit, essentiellement
différentes et liées entre elles par la relation (2).
Soient m, v^ w, . . . des fonctions de x, qI f[uj v, w, . . . )
une fonction de m, v, w, ... ; y* sera par rapport à x ce
que Ton appelle nue fonction composée.
Théorème II. — La dérivée d'une fonction composée
est égale à la somme de ses dérivées prises par rapport
à chaque fonction dont elle est composée, respective-
ment multipliées par les dérivées de ces fonctions elles-
mêmes.
En effet, considérons la fonction ^(m, i^, w), u, Vy w dé-
signant ici des fonctions de x\ on aura
A/ /(«-h Aa, i' -4- Ap, w -4- An/) — /(«,♦', «')
Aar Aa?
bkU^ Aç^, Afv, A/* désignant, comme plus haut, les accrois-
sements de w, V, çv, y correspondant à l'accroissement Aj:
de X. Or on peut écrire comme il suit l'équation précé-
dente :
[ A/ /(^ -h Ag, t> 4- Ap, w 4- Aty) — /(« -+- At/, H- Ap, w)
ùkx A.r
f[u 4- Aa, V -H Ai^, w) — f[u -^ Att, v, w)
(0< Ax
^x
CHAPITRE VII. 173
Or la première partie du second membre de cette équation
y(« + Att, P -4- Ac, w -*- Aw) — y(w -4- Ai/, p + A<% «'l
est l'accroissement que prendy(w -+- Au, ç H- à{f, w) quand
on change wenw-h àw. Or, en appliquant ici la formule
démontrée (p. 164), nous pouvons écrire ainsi la quan-
tité (2),
(3) /w("-t- A«,P-h Ap, w' -hÔàw) —,
où Q désigne un nombre compris entre zéro et i. Pour
bien comprendre cette formule, il faut voir dans la nota-
tion /^ une dérivée prise /7ar rapport à w, comme si m-|-Am
et v-h àv étaient des constantes ; et en effet, dans l'appli-
cation de la formule (a), on ne suppose pas que la fonc-
tion y(x) ne contient pas d'autres variables que l'on pourra
ultérieurement regarder comme fonctions de x^ et la dé-
rivée qui y entre n'est relative qu'à la quantité recevant
l'accroissement A. Ainsi/^, pour nous résumer, représente
une dérivée prise comme si m -f- Aa, v 4-, A^ étaient indé-
pendants de (v; la variable est çv, et on la remplace par
w-h 0Aw. En mettant le second et le troisième terme de (1)
sous une forme analogue à (3), on aura
a/* w / ^ \ Af**
-^ = /^ f w -f- A«, c H- Ac, ï** -f- w Af*' ) —
A^ Aj:
6^ et 02 désignant comme 6 des nombres compris entre zéro
; et I. Si alors on suppose que x décroisse indéfiniment,
i Au, Aç^, Açv tendant vers zéro et — > — » — vers les limites
Ax Aj7 àx
/.il vient, caaoppc iai tks fonctions ^,^,yjl,c(m^
par rapport à u, v, w,
Mt laformole ^i fait coMaaltre ïa denrée d'me/oBC-
în supposant c et (v constants et u seul variable [uoir
iplication an § VIII).
fonction yi[j:,_/,^) de plusieurs variables est dfte
fène et de degré m quand elle satisfait, quel que soit
relation
x'-f-^est homogène et dn second degré, etc. Si
prenons les dérivées des deux membres de (i) par
rt à X", BOUS aurons, en appliquant le théOTème dé-
é an paragraphe précédent,
rvieni, ponrft:=r,
'/;+ J'y; +»/.=-»/.
enant encore la dérivée de {2) par rapport à t et en
ik^i, on trouve [voir §X11}
is laissons au lectem- le soin de développer cette dé-
ratioa très-facile et de la généraliser.
9t dan» la formule (3) que consiste le tliéorèine des
ans homogènes, dont l'utilité se manifestera plus
D Alg^e et dans tonte la Géométrie analytique.
yoL 175
?. — vtÊSïïiM WÊ ftmcaaam mnmaaL
Lorsqu'une fo&ctiaiK esl dé&aie cofiimc salution d'une
ou de plusieurs^ éqpuaiîoiiâi àaak» lesb^paelUs entre la variarble,
on dit qu'elle est implicite ; elle est explicite dans le cas
contraire.
Ainsi j^^ défini par Féquation
est implicite; si Vom tire de Ik
j" devient explicite.
Nous allons trouver la déîpfvée d'une fonction implicite,
mais nous ferons Fhypolhèse que cette dérivée existe, en
nous réservant de prouver plus foîn F'existcnce de cette
dérivée pour un grand nombre de cas.
i^ Consiadérana d'aèramlikimclKni jprééflniepar la seule
équation
Cette équation étant uoe véritable identité quand j)^ y
est censé remplacé par sa valeur en x, ce que nous suppo-
serons, /[xjjr) est identiquemeirt rniï^ sa dérivée est donc
nulle, et, en supposant fuej' existe ^hi règle des fonctions
composées, démontrée § HI, donnera
d'où l'on tire
J y
Pour bien comprendre commei^ em a obtenu l'équation (n),
I7(> TRAITÉ D* ALGÈBRE.
il faut remarquer ^^^ /{^yj) est une fonction composée
de Xj composée des deux fonctions x et j^. Sa dérivée se
composera donc de la dérivée ^^ multipliée par xf, qui
est I, et de la dérivée y^ multipliée par y*,
2? Sij^ était donné par deux équations telles que
y (.r, J, z) = G, ^(.r, J, z) = O,
on prendrait les dérivées de ces deux équations en appli-
quant toujours la règle des fonctions composées, et Ton
aurait
On aurait ainsi deux équations permettant de calculer
y' et z'. Il n'est pas nécessaire de montrer comment on
obtiendrait la dérivée de y s'il était défini par un plus
grand nombre d'équations.
VI. — DtiBI¥É£8 DES FOirCTIORS 8IMPUSS.
Dérivée de a^. — Posons
en changeant a: en a: H- ^x^y devient^ + AJ^ et Ton a
7 + Ar = a^^,
d'où l'on tire
ou bien
x+Ax
A/ = a'"'^'^ — a
Aj = a^(â5^'— l).
On tire de là
(0
Ar ^a^'—i
bkX àx
CHAPITRE VII. 177
Si, dans celte iormule, on vient à poser
«^ = I -h a ou àX=: —^ -9
loga
elle devient
Ax log(i4-«)
ou bien
Ar a^lo^a
Ax '
log(i-t-a)*
Si l'on fait alors tendre ùiX vers zéro, a tend vers zéro,
(i H- «)*lend vers e, et par conséquent on a
lim — =rr r' = a^ \osa.
A.r ^ ^
Remarque. — La dérivée de a^ étant a^ 'oga, celle de
e^ est e^.
Dérivée de log x* — En posant
y = logir,
on a
c'est-à-dire
Ay _ log ( a? -f- Aa? ) — loga?
Lx Lx
Ax 1 /^ "^ ^^\ '^^
= log
Aa? ° \ X
ou enfin
; '
Ar , / A3?\Ajr
si l'on fait alors tendre ^x vers zéro, la limite de
L. — Algèbre, II. 12
L -^»
17g TRÀITB D ALGEBRE
sera e*, et l'on aura
Av -
lim-^ = y = loge'
y = -loge.
ou bien
Si le logarithme est un logarithme népérien, on aura sim-
plement
^=j
Dérivée de x"^. — Si m est entier et positif, la dérivée
de x"* est la limite vers laquelle tend le rapport
Ax
ou bien
wx"*-^ H ^^ ' .r'«-* Aj7 H- . . . ,
m (m — I )
1.2
c'est-à-dire
m.r"'-K
Si m est négatif, mais entier, on posera x'"= a:~"= i ix"
et la règle de la page 1 69 (l. aS) donnera — nx-" - * =:mx"^~* .
Si m n'est pas entier, il faut supposer x positif, soit :
r = .r'",
d'où
logj = m logx ;
si l'on donne à x l'accroissement infiniment petit Ax, la
fonction x"^ étant continue, y prendra l'accroissement in-
finiment petit Aj , et l'on aura
A logy m A Jogar A lop: y Ly A log j;
— — 1_ -— QQ :_ — __ ^ .
A.r A./: A^' Aj: A.r
cnAPixaE VII. 179
ou
A r A \ogx ^ A log j ^
A.2r A^ àjr
m
si l'on fait tendre âix vers zéro, on a
lim^ ou y = m(\ogx)'^:{\osx)'y = ^
comme dans le cas où m est entier et positif.
Corollaire L — La dérivée de ^x est égale à celle de
r'", c'est-à-dire éffale à - :c* ou à - i/ -— , •
Corollaire IL — En particulier, la dérivée de y/.r sera
ql^'x
Corollaire IlL — Si u désigne une fonction de Xy la
dérivée de a'" s'obtiendra en prenant la dérivée de m'" par
rapport à m, ce qui donnera mu'""*, et en la multipliant
par la dérivée vl de w, en sorte que (p. 171 )
i. r ^'
Corollaiub IV. — La dérivée de u* ou de i/u est — 7= •
t
?U. — DÉBIVtES DBS FOMIIOIS (UBGULàlBBS.
Dérivée du siwus. — Posons
y •= sin.r;
on a, d'après la définition même de la dérivée,
,. sinfa? 4- Aa:) — sino?
/=:lim — ^ )
Aj?
12.
-,-♦ ■ t
180 TBAITÉ 0*AIjGàBBE.
c'est-à-dire
y=lim
2 sin — Ax cos
2
(x+1ax)
Ax
OU
mais, si Ton observe que le rapport du sinus à l'arc a pour
limite l'unité quand l'arc tend vers zéro, l'équation pré-
cédente devient, pour Ax =0,
y =zz COSX.
Dérivée du cosinus. — La dérivée de cosx se trouve
de la même manière que celle de sinx; cependant on peut
y arriver plus simplement en observant que
cos a?
sin ( x] est une fonction de fonction. Pour obtenir sa
dérivée par rapport à x, il faut d'abord la prendre par
rapport à x, ce qui donne cos 1 xj ou sinx,
puis multiplier ce résultat par la dérivée de la somme
- — X, qui est — i ; on a donc
(cos^)'nr — sinor.
DÉaiVÉE DE LA TANGENTE. On a
2
sinjT
tSLilSX = >
cos a:
CHAPITRE VII. l8l
er, par conséquent, pour trouver la dérivée de tangx, il
faut prendre la dérivée d'un quotient; en appliquant la
règle donnée (p. 169), on trouve
i^^^ë^y = ^ — - — 7:::^ — - — '
c'est-à-dire •
008*0?
Dérivée de la cotajïgente, etc. — On trouve ainsi
(C0tx)'=: :-V~>
. ., siiîj:
(séCJ:)'= r->
^ ' 008*07
, ooso:
(ooseoa:j'i= r-r-*
^ sin'o:
Dérivée de arc sin a:. — Si Ton pose
on en déduit
X aro sm x,
(•)
sin/ X ;
si Ton prend les dérivées par rapport à x des deux
membres de cette équation, il vient, en observant que
sinj^ est une fonction de fonction,
y oosjr = I
ou bien
oosjr
et, en remplaçant cosj^ par sa valeur tirée de (i),
l82 TRAITE D ALGEBRE.
le signe -h convient au cas où cosjk est positif et le
signe — an cas où il est négatif^ ce qui revient à dire que
l^on aura
^ = -4- ou —
y/i — x^
suivant que y sera compris entre a/rr et iht: -\ — )Ou
entre (a/: -h i)7r et (2/:-!- i)7r -f--.
Cette démonstration suppose que l'on sait à l'avance que
y a une dérivée ou que — a une limite, mais ce fail est
évident, puisque — a une limite qui est la dérivée
Dérivée de arccoso:. — On peut poser
arccosj? = arc smo:;
«
on déduit de là que les dérivées de arcsinx et arccosar
sont égales et de signes contraires.
Dérivée de arc tang j:. — Si l'on pose
y z=z arctangor,
on a
tang j = X,
et, en prenant les dérivées des deux membres de cette
équation,
^ =,
cosV
d'où l'on tire
/ = cosV»
c'est-à-dîre
1
CHAPITRE VII. l83
y--i-
I -hx^
Vni. — APPLICATION DES PRINCIPES PRÉCÉDENTS.
Nous pouvons maintenant prendre les dérivées de toutes
les fonctions qui sont jusqu'ici entrées dans nos calculs;
nous allons le montrer sur quelques exemples.
Dérivée de x^. — • La fonction x^ est composée; pour
bien le comprendre, considérons Ja fonction w*', u et v
désignant deux fonctions de x. Cette dernière expression
est de la forme /(zt, ^); sa dérivée sera donc de la forme
c'est-à-dire
si Ton prend m = i^ = jc, on a la dérivée de x^, qui est
ainsi
X^{l -r- log.r).
Dérivée de arc tang • — Cette expression est
une fonction de fonction; pour en obtenir la dérivée, il
Cl — j"- je
faut regarder comme seule variable, prendre la
i — ax
dérivée dans cette hypothèse, ce qui donne
■■['<^n
et multiplier le résultat par la dérivée de > qui est
I — ax -^ a[a -^ x\ i + ât*
^ ' ou
(i — ûtj?)* (i — ax]
I I
l84 TRAITÉ D ALGBBftE.
on obtient alors
(
ou bien
I — axy L \ï — ^•^/ J
c'est-à-dire
I
I -4- x^
t
résultat aiique. on aurait pu arriver immédiatement en
observant que
a -^ X
arc tang = arc tanga -h arc tan£[ x.
i — ax "
Débitée de \o^\x -4- \/i -t- j:^). — : Cette fonction peut
être considérée comme fonction de fonction; en regardant
X 4- sjv + x'^ coipme variable, la dérivée de cette fonc-
tion est
T
X -\-sj\ -\-
JC
2
Mais, comme x est la variable, il faut multiplier cette
quantité par la dérivée de a: -h s^i -H j:', c'est-à-dire par
J H — " ) ce qui donne
y I -T- x^
X
i/l-ha:*
ou
-f-^I-f-:r* ^ v^I-hx^
IX. — DÉBITÉES DES FONCTIONS DE VABIABLE IHACUNAIBE.
Si Ton appelle fonction de x ~\-y y/ — i toute expression
de la forme X -h Y y/ — i , oùX et Y sont fonctions de x et^,
CHAPITRE VII. l85
une fonction de x et y n'aura pas en général de dérivée,
et l'on ne considère en Analyse que les fonctions admet-
tant une dérivée. Pour faire comprendre cette espèce de
paradoxe, observons que la dérivée de X -h Y y — i est la
limite de
AX H- AY v/~
(0
Ax -f- Aj )/ — I
quand x etj^ tendent vers zéro. Or Aj et Ax peuvent tendre
vers zéro en suivant des lois très diverses. De là une infinité
de limites difl'érentespour le rapport considéré. Supposons,
pour fixer les idées, x eiy fonctions d'une variable t, qui
pourra être x si l'on veut ; le rapport ( i ) pourra s'écrire
/AX aY , — \ /'Ax ^r
ou, en passant aux limites,
x;h-y;v/-~i x;4 + xy/, ^ y/- 1 (y>; + y;/,)
La dérivée que nous trouvons ainsi dépend, comme l'on
r
voit, durapport -f j et, pour qu'elle soit indépendante de
Xt
ce rapport, en d'autres termes, pour que la dérivée
de X -{- Y \j — i ne dépende pas du mode de variation de x
et de y, il faut que les coefficients de x\qIj\ dans la frac-
tion (2) soient proportionnels, ce qui donne
X;+y/-iY:, ^ X;-h\/-iYV
ou bien, en égalant les parties réelles et les coefficients
de \l — I ,
X^= Y^., X^.= Yj.
1
l86 TRAITÉ D* ALGÈBRE.
Ces relations ne seront pas, en général, satisfaites quand
on prendra X et Y au hasard .
Quoi qu'il en soit, parmi les règles que nous avons
données pour prendre la dérivée d'une fonction, il en est
qui ne supposent pas la variable réelle; telles sont les
règles relatives aux sommes, aux produits, aux quotients,
aux fonctions de fonctions et aux fonctions entières. La
règle des fonctions composées peut se généraliser ainsi :
Soity^(a, 1^) une fonction composée de x -^j y — i.
Si u et i^ ont une dérivée unique et si de plusy^^ ^^fv ^^^^
bien déterminés, on supposera a: et j^ fonctions de f , et
Ton aura pour dérivée de f l'expression ^ > où
la variable t est réelle. On a ainsi
— ■ •
u.
Mais ^ est ladérivée u'de u relative à x-hry—i;
donc la dérivée cherchée de/*estbien/*„u'-f-y|,i/ comme
quand la variable est réelle.
La dérivée de e^/v^-î s'obtient en observant que cette
fonction est égale à e*(cos^-f- y— i sin;^). Supposons j^
et X fonctions de t et prenons la dérivée ; nous aurons
fr'x' (cosj -h ^ — I sin^ )-he^{ — sin/ -h y'— i cos jr) y
=: e* (cosj -f- ^ — I sinj) [a/ 4- y^--i)
En divisant par ocf-\-y sj — i , on trouve la dérivée unique
QX+yyT-'K . la dérivée de log(a: 4-^ sj — i) s'en déduit faci-
lement, et l'on reconnaît qu'elle est »
X -h J ^ 1
I
J
CIIAPITAE VII. 187
Il reste à montrer que la dérivée de sîd jc est toujours
cosj:. On a
sinx =
2 v/— I
on en conclut
( Sin;r f = =: COSJ7»
On verrait de même que la dérivée de cos:r est — sinx (*).
2. — PROPRIÉTÉS DES FORCTIORS DÉRIVÉES.
Théorème I. — Toute fonction f[x) réelle et continue
entre les limites x =^ a el x ^=^ b de sa variable passe for-
cément au .moins une fois par la valeur u comprise entre
les valeurs f [a) etf[b) qu'elle prend pour les valeurs a
et b de sa variable, et y en particulier , sif[a) etf[b) sont
de signes contraires y l'équation
admet au moins une racine comprise entre aetb.
Ce théorème a déjà été démontré à la page 3o de ce vo-
lume.
Théorème IL — 1° Une fonction réelle et continue dont
la dérivée est positis^e croît avec sa variable ; 2° une Jonc-
(^) On ne fait pas généralement dans les Cours les remarques que noua
venons de faire, et cependant on ne se gène en aucune façon, en Géomé-
trie analytique, pour prendre des dérivées quand la variable est imagi-
naire; on a bien soin, il est vrai, de ne pas attirer l'attention de rélève sur
ce que la variable peut ne pas être réelle, et voilà comment l'étude des
Mathématiques, qui devrait servir à rendre l'esprit juste, peut contribuer à
fausser le jugement.
l88 TBAITE D ALGEBRE.
lion réelle et continue dont la dérivée est négatit^e décroît
lorsque sa variable croît.
En effet, considérons la fonction réelle f[x)\ suppo-
sonsy^(x) positif entre les limites a et & de la variable j\
on aura en général (p. i65)
/(x + //)~/(.r)=//[/'(x)-f-e],
e désignant une quantité qui tend vers zéro avec h. Or,
supposons X el X -k-h compris entre les limites a et è ; e,
ayant pour limite zéro, pourra être pris moindre en valeur
absolue que /'(a:). Si donc nous supposons l'accroisse-
ment h positif, le second membre de la formule précé-
dente sera de même signe quey"'(j?) ; donc enfin
/(^ + /0-/(x)
sera de même signe (\aef[x ), ce qui revient à dire que /(j:)
croît avec a: quand sa dérivée est positive et décroît quand j:
croît dans le cas contraire. c. q. f. d.
Théorème III. — Une fonction J i^x) réelle et continue
passe ordinairement par un maximum ou un minimum
lorsque sa dérivée s'annule.
En effet, supposons la foncliony( a:) continue ainsi que
ses dérivées pour j: = a; si Ton ay'(a)=o, trois cas
peuvent se présenter :
1° /'(or), en s'annulant pour x = a^ passe du négatif
au positif; cette fonction est donc croissante ; donc sa
dérivée y' (or) doit être positive ou nulle pour a: = a, car,
si elle était négative, /'(or) décroîtrait en faisant croître x
(théorème II). Maisy'(x) ayant changé de signe pour x = a,
en passant du négatif au positif, /'(a: ) a dû être décrois-
sante pour les valeurs de x moindres que a et croissante
CHAPITRE Vil. 189
pour les valeurs dex plus grandes que a; elle a donc dû
passer par un minimum pour x = a,
a° Siy'(jc), en s'annulant, passe du positif au négatif,
cette fonction est décroissante, et, par suite, sa dérivéey^'(a:)
est négative ou nulle pour x = a ; en second lieu, y^(x)
passant du positif au négatif, /*( or) passe, pour a:=a, d*une
période croissante à une période décroissante, c'est-à-dire
quey (a) est un maximum dey(jc).
3° Sif\x) ne change pas de signe en s'annulant, cette
fonction croît pour décroître ensuite ou décroît pour
croître ensuite lorsque x passe par la valeur a ; donc alors
f"{x) doit changer de signe pour x =^ a\ donc enfin,
dans ce cas, y" (a) est nul.
Ainsi, en résumé, si Ton a /*'(«)== o et
/"(a)> Oyf{a) est un minimum de /(.r),
/''(^Xo,/(«) est un maximum dey(^).
Lorsque /'(a) et f"[a) sont nuls à la fois, trois cas
peuvent se présenter comme tout à l'heure :
i^S\f"[x) passe du positif au négatif, cette fonction
décroît, et alors /'''(a) est nul ou négatif; mais dans ce cas
f'{a) est un maximum àe f[x), etf[a) n'est ni un maxi-
mum ni un minimum; 2^ si/*'' (or) passe du négatif au positif,
f"{a) est nul ou positif, y (a) est un minimum Ae f^x)
elf[a) n'est ni maximum ni minimum; 3® ^^f"{^) con-
serve le même signe en s'annulant, f'{ci) n'est ni un maxi-
mum, ni un minimum, et il peut arriver que/ (a) soit
maximum ou minimum.
Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion ; on
voit que
(i) /'W=o
fournira des valeurs de x qui rendent y (a:) maximum ou
1^ TEAFTÉ »*AL6ÂBRE.
minimum toutes les fois quey*''^(.r) De s'annnlera pas en
même temps quef(x)\ je dis des valeurs, parce qu^il ne
sufBt pas de résoudre Téquation (i) pour en déduire tous
les maxima ou minima dey*(a:).
n. — TBiOBÈn DE TATLOB.
Considérons un polynôme entier
Si Ton change jc en a: -h A, on a
F(.r-h A)=r:flo-ha,(j:-f-/i) + aj(x-+-/*)'-f-. . .H- a„(dr-t- A)",
et, en développant chaque parenthèse par la formule du
binôme, puis en ordonnant par rapport à /i,
F (.r + // ) 1= «Q -f- ^1 JT -I- «, a:* -i- . . .-{- af^x^
h . . .
-f- - ( ^1 -h 2«j J? -f- • . . -t- na^x^"^ )
4 [i,2û, 4- 2.3/23^ -h ...-{- n[n — ija^x""*]
A» ,
-\ X I .2.0. . '^Of^,
Dans cette formule, le terme indépendant de h est F(x),
le coefficient de - est F'fjc), le coefficient de est la
I ^ ' 1.2
dérivée de F'(a:), que Ton désigne par F^'[x)^ et ainsi de
suite. On peut donc écrire la formule
F(.r-f-/0 = F(.r)-H-F'(.r)4- — F'(.r)4-...-i- ^ F«(x),
qui fait connaître Taccroissement F (a: H- h) — F{x) d'un^
CHAPITRE VU. 191
fonction entière, correspondant à l'accroissement h de sa
variable.
Nous allons essayer de» généraliser cette formule; à cet
effet, désignons par PA' le terme qu*il faudrait ajouter au
second membre pour qu'elle devînt exacte lorsque la fonc-
tion F (^) cesse d'être entière. Le terme additionnel pourra
toujours être mis sous la forme que nous lui avons assignée
PA', i désignant un entier, si nous supposons tous les termes
de la formule précédente finis. Nous poserons donc
(') { I 1.2
I . 2 . . . /î ^ '
Cette formule est une identité : en d'autres termes, P a
la valeur que l'on en déduirait en résolvant cette équation
comme si P était une inconnue entrant au premier degré.
Nous supposerons que la fonction F(z) reste finie et con-
tinue, ainsi que ses n premières dérivées, quand z varie de
X k X -\-h'^ quant à la dérivée F'*+* (z), nous supposerons
simplement qu'elle existe et qu'elle ait entre les limites en
question une valeur unique. Alors la fonction suivante, où
l'on a fait X = a: -H A,
?(2) = F(X)-F(r)-^F'(z)
(X
i*F"(*)-...-i^-^f^F»(z)-(X-2)'P,
1.2 I»2.3.../2
sera finie et continue entre les limites ^ == a? et
sa dérivée n'aura qu'une valeur bien déterminée. Or
cj>(X)= o, et, si l'on suppose X = j^-t-A, ç(^) sera nul en
vertu de l'équation (i).
JL ^» ,
19'2 TRAITE D ALGEBRE.
Donc, en vertu du théorème II, démontré à la page i63,
la dérivée de c]p(z) doit s'annuler pour une valeur de z com-
prise entre x et x-h h, valeur que Ton peut représenter
par X -h Ohf 6 étant compris entre zéro et i. Or la dérivée
de'^[z) est donnée, réductions faites, par la iormule
î"' W = - T^fïr^ P"-"' (^) + '{X - 3)'-P.
Si Ton y fait z = x -hOh, on a, d'après la remarque
précédente.
0=: —
(X — X— 0/^)"
F«-*-i (x -t- Oh ) -t-i(x — or— ohy-^p.
d'où l'on tire la valeur de P suivante, dans laquelle on a
remplacé X par x -hhj
si Ton porte celte valeur de P dans la formule (i), il vient,
en faisant passer dans le second membre tous les termes
négatifs,
F(x + A)-F(a.)-:-jF'(^) + ^r''(x) + ...
I,n hn+i 1, g \n-l+l
+ — ^ F''M+ ■ ^ ^ F» .r + e/,).
I .2. . .« ^ «.I .2.0. . ,n
Le dernier terme porte le nom de reste; on lui attribue
généralement deux formes : l'une correspond à i = /z-f- 1 ;
elle conduit à la formule suivante, due à Lagrange et
indiquée par d'Alembert :
( F(.r -H h)= F [x) -h h r[x) -h — r'[x) -h . . .
+ 5 r-— î F"*'(* + «*)•
I .2.3. . .(« -t- 1)
GHAPltRE VU. 193
En faisant 1 = 1, on a la formule suivante, due à
Cauchy :
l M. t i
-h- — î-~-^ F"^Ux-\-e/i).
I .2.3. . ./l ^ '
La formule (2) est celle dont on fait le plus fréquemment
usage; on peut lui donner une autre forme, très-utile dans
les applications, quand F"+' [x) est continue. On a, en
effet,
e désignant une quantité qui s^annule avec h^ et, par suite,
la formule (2) donnera
F[x -^h)=zF{x)-h hF'(x) + -^ F"(x) +. . .
I .2. . .(/iH-l) ^ '
et, pour que cette formule ait lieu, il suffit que F (or) soit
continu, ainsi que ses tï -h i premières dérivées dans le
voisinage de x,
Zn. — EXTEHSION AU CAS DE PLUSIEURS VABIABLES.
Théorème. — Soient/ (^Xjj) une fonction de x et dey ^
fjc sa dérivée prise en regardant x comme seule variable
et y comme une constante, Jy sa dérivée prise par rapport
à y en regardant x comme une constante; soient f't la
dérivée prise par rapport àxdefl ^fly la dérivée def^
prise par rapport à y, fy^ la dérivée de Jy prise par
rapport à x et fyx la dérivée de fy par rapport à y ;
on a
L. — Algèbre, II. 1 3
194 TRAITE D ALGEBRE.
En effet, on a, par le théorème de Tajlor,
(') { . h*
I .2
/?• (^,r)-t-/'*e.
et ceci suppose simplement y*(x,jK) continu dans le voi-
sinage de X et jj ainsi que ses dérivées premières et
secondes prises par rapport à x\ s'il en est de même des
dérivées prises par rapport à x et j^ ou par rapport à y deux
fois, on aura
f[x,y + k)=f{x,x)+kf;(x,y)+^f', + k*u,
I * ^
^î *> i3> 7 désignant des quantités qui tendent vers zéro
quand h et k tendent vers zéro. Si dans la formule (i) on
change^ en ;^ -f- Ar, elle devient
1 .2
/.^(^,r + *)-+-^'si.
Cl jouissant toujours de la propriété de tendre vers zéro
pour /i et /: = o; en vertu des formules (a), cette dernière
s'écrit
f{x + h,y + k)=f+{hf'^ + kr^)
û désignant un polynôme du deuxième degré en h et A",
dont les coefficients a, [3, y, g deviennent nuls pour A = o,
/: = o, et qui, par suite, tend vers zéro lors même qu'on
CHAPITRE VII. 195
k .
Ta divisé par hk, pourvu que le rapport j reste fini. Or,
on aurait trouvé de la même iaçon, en permutant Tordre
des opérations relatives à h et A",
Qt étant un polynôme de même espèce que Q,
Comparant cette formule avec (3), on a
hk ^- /ik .„
1
ou bien
Jxy — J yx ^^ -^ ^^
D'après ce que nous avons dit de i2 et 12i, si A tend vers
k
zéro, le rapport - restant arbitraire, mais fini, il vient à la
limite
f — r
J xy — J yx*
On peut donc intervertir Tordre de deux dérivations
successives sans changer le résultat des opérations; mais
ceci suppose la continuité des dérivées auxquelles on
parvient et de toutes celles qui précèdent ou qui sont de
même ordre. Si Ton avait plusieurs dérivées successives à
prendre par rapport aux mêmes variables x^ jj ou même
à des variables différentes z, tj u, . . . , on pourrait inter-
vertir Tordre des opérations. La démonstration de cette
proposition est calquée sur celle que Ton donne en Arith-
métique pour prouver qu'un produit est indépendant de
Tordre de ses facteurs.
Ceci justifie la notation
i3.
jgB TRAITE d'algèbre*
pour désigner le résultat obtenu en prenant la dérivée dey
un nombre de fois égal à a -H P -h y, à savoir a fois par
rapport à a:, (3 fois par rapport à j^, y fois par rapport à z.
Théorème de Taylor. — Considérons une fonction de
plusieurs variables, y( a:, y) par exemple; la fonction
pourra être considérée comme une fonction de la seule
variable f, que nous appellerons pour un moment cp (î). La
formule de Taylor, appliquée à la fonction cy (f), donne
et, pour co = o,
fTl
e et 64 désignant des nombres finis pour î = o et que nous
avons appris à écrire sous diverses formes.
Calculons 9'(w), ({>''( co), ... ; nous avons
d'où, par le théorème des fonctions composées (p. 172),
OÙ nous écrivons j: et r en indice au lieu de x -h Aw et
y -h koij uniquement en vue de simplifier Técriture. Soit en
général à prendre la dérivée par rapport à co de Gf^%^ , G
désignant un facteur indépendant de co; le résultat sera
c'est-à-dire le même que si l'on avait multiplié le terme
CHAPITRE Vil. 197
primitif par f]^ h -h /y h et traité les indices comme des
facteurs de la lettre/*; on aura donc symboliquement et en
corrigeant les résultats, comme nous l'avons dit,
et en général
Si Ton fait co = o, le second membre de cette formule ne
change pas^ car nous avons écrit x au lieu de a: -h o) A, ... ,
et Ton a
y''(o)=(/; A +/;*)",
cette fois avec une notation plus régulière, mais en atta-
chant toujours à l'exposant n le même sens que tout à
l'heure; on a alors, au lieu de la formule (i), en rempla-
çant y (t), y(o), . . . par leurs valeurs et t par l'unité,
n
E désignant une quantité nulle avec h et A", de la forme
par exemple si les dérivées de l'ordre « -h i existent, et
qui peut toujours être remplacée par un polynôme de
degré n en A et A", dont les coefficients sont nuls pour
ft r= o, /r = o si les dérivées d'ordre n sont continues ainsi
que les précédentes.
ZIU. -^ SÏÏB LA CONTINUITÉ DES FONCTIONS IMPLICITES.
Il va sans dire que la formule de Taylor s'applique à un
nombre quelconque de variables.
Lorsque nous avons démontré la règle qui permet de
19^ TaAiTÉ d'algèbre.
trouver la dérivée de la fonction y définie par TéquatioD
(p. 173) f{Xyj) = o, nous avons admis que y avait une
dérivée ; nous allons prouver que :
Sif[xyj) est continue par rapport à x et à y quand x
et y varient dans le voisinage des valeurs Xo ^t y^, y^
désignant une racine simple de J'[xojyo) = o telle que
dans le voisinage de Xo cette équation n'ait pas d'autre
racine, \^ y est Jonction continue de x pour des valeurs
de X voisines de Xo, 2° 51, en outre, fx^^fy existent et
si fi n'est pas nul, y cuira une dériv^ée.
En effet, k désignant un nombre très petit, entre j^o — ^'
et j'Q-{-h,\\ n'y aura qu'une racine de y(xo, j') = o;
f{xoyyo "f- A ) ety"(xo,j^ — ^ ) seront de signes contraires;
mais, la fonction y* étant continue, on pourra toujours dis-
poser de h de telle sorte que f[xQ-{- /i, yo-^- k) soit de
même signe que /[xq, yo -h k) et que /[xo-h h, yo — k)
soit de même signe quey(j:o?J^'o — k). Mais alors
seront de signes contraires, et entre yo — k et yo-{- k il y
aura une racine de f[xo-\- h, ^)=o; donc cette racine
sera aussi voisine que l'on voudra de }'o quand h sera suf-
fisamment petit; donc enfin, si dans le voisinage de^^o il
n'y a pas deux racines de f{j^o^yo)= o> J sera une fonc-
tion continue de x quand x et y seront voisins de Xo et j o«
Cela posé, la formule de Taylor donne
/{x -f- //, j -f- A) ~/{a:,r)= ///; {x + ô/i,y -f- 9k)
H- A'/; (x-ho/i^x-^ek).
Si Ton suppose /(a: -r- A, j- -f- A ) = o^f[x,y)= o, on en
tire
J
CHAPITRE Vir. 199
sî alors y^ n'est pas nul en même temps que/, on aura,
pour A = 0, A = 0, et
ce qui démontre rigoureusement Ja règle donnée plus
haut.
H?. -. DES EIPBES8I0H8 QUI SE PBÉSEHTEHT SOUS LES
FORMES ~9 ^9 o X 00 , ETC.
o QO
Certaines fonctions se présentent pour une valeur par-
ticulière de la variable sous la forme - : cela tient souvent
o
à la présence d'un facteur commun qui entre au numéra-
teur et au dénominateur de la fraction qui constitue la
fonction en question, facteur qui s'annule pour la valeur
particulière de la variable qui donne à la fonction la forme
illusoire -• Tel est le cas de la fonction
o
.r' — /7*
x^ — «*
Cette fonction prend la forme - quand on suppose X'=^ a\
mais, comme on peut supprimer aux deux termes le fac-
teur commun x — a, on a
,. dr' — n^ .. .r* -+- nx. A- n^ 3
lim —z ; = hm = - «.
X* — a* X -^ a 2,
- a est ce qu'on appelle la vraie valeur de la fonction
x' ^— a^
or* — «2
200 TRAITE
pour ar == a. Eo général, si/ 'x i se présente sons une forme
illusoire pour x = a, on appellera valeur de f[x) pour
x= aei Ton désignera par la notationy*(a} la limite vers
laquelle tendy(x) lorsque x tend vers a.
La théorie des dérivées fournit an moyen assez général
et assez rapide pour trouver la valenr d'une eicpression qui
se présente sous la forme - ^ il repose sur la formule
Pour démontrer cette formule, où d a la même valeur au
numérateur et au dénominateur , on pose
d'où Ton tire
Si Ton applique à la fonction y(x) — f^^{^) ^^ formule de
Taylor, on a •
— ^[f (« H- ô^) — ^'f'{a -h 0//)];
or, le premier membre étant nul en vertu de la formule
précédente, on a
/'(a -h Qh)-^ kf'[a + 0/i}= o,
d'où l'on tire
kz=z
f'{a -i-e/i)
En éliminant k entre cette formule et (2) par comparaison,
on obtient la formule (i), qu'il fallait démontrer.
CHAPITRE VII. 201
Lorsque /'(a) et y (a) sont nuls, la formule (i) devient
(f[a -h //) ^'[a -4- Bhy
si alors on fait tendre h vers zéro, celte formule pourra
s'écrire
lim ' -rx = lira -; ;— ^ pour h = o,
ou, ce qui est la même chose,
lim — ^ — - =: lira — - — pour x = a.
Donc :
f'Ix)
i^ Si /. { pour X = a di une limite bien connue, sî
par exemple y( a) et '/(«) ont des valeurs déterminées, la
limite de —7 — f sera connue et éerale a ,, / ■»
?(-^) ? {«)
2° Si, ce qui arrive souvent, ,} , se présente aussi sous
la forme -? on lui appliquera la règle que Ton vient d'appli-
quer a - / , > et 1 on aura
lim ^^-7—^ = lii» Hi — = lira ,, ; / ;
et ainsi de suite.
3** S'il arrive que —^ — - n'ait pas de limite, parce que
ç'(a) = o et que /'(«) <o, — — i n'aura pas de limite non
plus. Ainsi :
aoa TRAITÉ d'algèbre.
Règle. — Pour tromper la vraie valeur d'une expression
qui se présente sous la forme -> on peut en général rem-
placer le numérateur et le dénominateur par leurs déri-
vées relatives au paramètre variable en vertu duquel la
fraction devaient - •
o
Cette règle, due à L'Hôpital, n'est pas sans exception. En
effet, elle s'appuie sur la formule de Taylor et elle tombera
en défaut quandy(j:) e\.(f[x) ne seront pas développables
par cette formule pour x =^ a. Ainsi, en particulier, la dé-
monstration ne s'applique pas au cas où âf = ao; mais alorS;
en posant a: = - > on aura
lim*^- — ' (pour a? = oo) = lim — ^ — ^ (pour z = o),
et nous rentrerons dans le cas étudié plus haut; d'ail-
leurs
'■(;)(-r.) 'ti)
d'où
la règle démontrée plus haut subsiste donc encore.
Les expressions qui se présentent sous la forme - se
ramènent immédiatement aux précédentes ^ sî, par exemple,
CHAPITRE Vit. 203
f{a) = 00, <p(a) = 00, on aura
lim I^ = lim i^l^) = lim SMlLîMI!,
d'où Ton déduit
cp(a7) «p(a?)
étant entendu que Hm ; ! ne soit ni nul ni infini. Sup-
posons donc
Iim = o
cp(a7)
on aura
Âr désignant un nombre quelconque; de cette formule on
déduira
et par suite
lim *^,; ' = o, c est-à-dire = lim —^^ •
. fix] . . , oix]
Enfin, si ; ; était infini, —-^ serait nul, et Ton aurait
d'où
hm , / =Iimi^^ ; =00 .
Ainsi, pour trousser la vraie valeur d'une expression qui
00
se présente sous la forme — > la règle à suivre est la
même que si elle se présentait sous la forme -•
loi TRAITÉ D ALGEBRE.
Les expressions qui se présentent sous la forme o X oo
se ramènent au cas précédent; ainsi, par exemple, si ron
Sif{a) = o, c[>(a) = 00 , on aura
et le second membre de cette formule est de la forme —
o
pour X =^ a.
Si Ton ay(a) = o, c[»(a) == oo , on aura
on est ainsi ramené au cas précédent. Les expressions de
la forme cx>® se ramènent donc aux précédentes ; celles-ci ,
1*5 cx> — 00, ..., s'y ramènent à l'aide d'artifices ana-
logues.
Z7. — APPLICATIONS.
Problème I. — Tr ouvrer la limite de -t-t— f pour jc = oc ,
¥[x)etf[x) désignant deux polynômes entiers.
Soient n le degré de F(a:), m celui dey(a:); si l'on
suppose 72 > m et si l'on remplace F(a:) elf[x) par leurs
dérivées, on trouve encore — si m est'^i, et, si m = i,
la fraction se réduit à oo . Pour se débarrasser de la forme
illusoire, on voit qu'il faudra prendre m fois la dérivée
des deux termes de la fraction, et, en faisant j: = oo dans
le résultat, on trouvera l'oo . Si au contraire on avait
eu n = m^ la fraction se serait réduite au rapport des
coefficients de x^ dans F(x) elf[x). Enfin, si l'on avait
eu « <] m, on aurait trouvé zéro pour la limite cherchée.
Ces résultats pouvaient se découvrir sans le secours du
CHAPITRE VII. 205
calcul des dérivées. En effet; on a •
ao4-«ia?H-. . .-+-a^x
^0 "+" ^1^ H- ... 4- bff^x
%^x^
—
«0
-h
^1
-f-
• •
.-4-««
•/»*'"
K
x^
H-
:,+•
• •
-f-
^,„x-
-n
Si Ton fait j: = oo , la seconde fraction devient manifes-
a
tement 7^ si m = /i, oo si /i ^ m, et o si /i <^ m.
Problème II. — Trousser la limite de —j^pouro: = 00 .
du
Nous supposerons m^o, a>>i. On a (p. 117)
I 1.2
donc
a^ i T loge I (loge)*
Tous les termes tendent vers zéro jusqu'à celui où l'expo-
sant de X est négatif; à partir de celui-là tous les termes
sont infinis et de même signe ; donc — est infini pour
X = 00 . Il en serait de même a fortiori si ni était négatif.
X ,. ^'"
Corollaires. — lim-^ ^^^^=^^ pour x=x> , lim—- =
pour a: = 00 , etc .
Problème III . — Trousser la limite de pourx^= 00 .
Si Ton prend le rapport des dérivées des deux termes de
r .• cosj: -f- 1 , . ,,
cette traction, on trouve > et, coso: étant indéter-
i •
miné, on pourrait en conclure que n'a pas de
206 TRAITÉ d'algèbre.
limite. £)r on a
sinx + ^ sinj?
= hi;
X X
sin X
or, sin j: étant toujours moindre que Tunité, a pour
limite zéro. On a donc
,, sina: + X
lira = I .
X
A quoi tient cette contradiction?
Si Ton réfléchit à la démonstration de la règle que nous
avons appliquée, on verra qu'elle s'appuie sur la formule
de Taylor; notre règle du rapport des dérivées ne s'ap-
plique donc qu'aux fonctions f{x) développables par la
formule de Taylor. Pour rendre ce fait sensible, recom-
mençons sur notre exemple la démonstration de la règle.
On fera - = z, et l'on aura à chercher
I I
sin - -f- -
îm pour z = o,
z
ou enfin de
I : ( sin - -h -
\ z z
Or I : ( sin - -h - I n'est pas développable par la formule de
Taylor, et c'est pourquoi la règle de L'Hôpital tombe en
défaut.
Problème IV. — Limite de — \ ~— pow* x = a.
• a • îi
sm X — sm a
CHAPITRE VII. 207
En appliquant la règle de L'Hôpital, on a
^~^ï — '
- sin 'xcosx
2
dont la limite est 00 . Mais là encore il est à craindre que
le résultat soit inexact, car yjx — a n'est pas développable
suivant les puissances de x — a par la formule de Taylor.
Mais ^sinx — ^sina l'est, et le premier terme est
COSfl
(x — a) ;
la limite cherchée est donc bien infinie.
Z7I. — aUELaUES MOTS SUR LES MAZIMA ET LES KINIIIA.
Nous avons vu çj^ne f[x) passait en général par un maxi-
mum quand on avaity^( a:) = o. La formule de Taylor rend
parfaitement compte de ce fait; ainsi l'on a
f[a + h)^f{a)=.hf{a-^Qh).
Si f\ci) n'est pas nul et si h est suffisamment petit,
f{ci-h Oh) ne sera pas nul non plus et sera de même signe
quey(a)*,y"(a -f- h) — /^(«) changera alors de signe avec h
pour de petites valeurs de cette variable et ne sera ni
maximum ni minimum. On sait en effet quef[a) est maxi-
mum s'il est plus grand quef{a -t- A), quel que soit le signe
de /i, et qu'il est minimum quand il est plus petit que
f[a H- /i), quel que soit le signe de A ; le caractère du maxi-
mum et du minimum est donc quey(a-t-/i) — J\^) ^ 1©
même signe quel que soit le signe de h.
aoB TBAITÉ D'ALCdlBB.
D'après ce qui précède, y(a) ne sera donc maximum que
si f[ a) est nu] ; la formule de Taylor donne alors
A(<. + 4)-/(») = ^/-(« + »*).
f(a) n'est pas nul, le signe du second membre pour
petites valeurs de h sera celui Aef[a), et, par suite, ce
a aussi celui dey"(a + A) — /[t*]- Ainsi
/[a] .er. ...imu. «/(«) = o el ,i /•(.)< o,
" minimum » /"("j^-o.
Dn ne peut plus rien dire siy{«) ^ o. Mais soity^"(a)
)ren)ière dérivée dey(x} qui n'est pas nulle pour x =: a;
'ormule de Taylor donne
difrérencey(o-t- A) — /{<>■) ne changera pas de signe
c A si n est pair, et il y aura maximum si y" [a) <^ o et
limum si/""(a) ^ o; au contraire, si n est impair il n'y
i maximum ni minimum, parce quey(a-+-A) — f{<^)
nge de signe avec h. Nous retrouvons ainsi des résul-
\ déjà indiqués plus haut.
!)n obtient d'une façon analogue les conditions du maxi-
m et du minimum des fonctions de plusieurs variables,
isi la formule de Taylor donne
-|-//j(*H-eA,A + eft).
ir que le premier membre ne change pas de signe avec
t h, il est nécessaire quey^ ^'^4 soient nuls tous deux.
\si, pour qu'une fonction de plusieurs variables soit
xima ou minima, il faut que ses dérivées prises par
port à chaque variable soient nulles.
CHAPITRE VII. 209
Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion, qui
n'offre aucune difficulté, mais qui appartient à un autre
Cours. Nous ferons observer toutefois que nos conclusions
ne sont exactes qu'autant que la formule de Taylor est
applicable, et la recherche d'un maximum est pour cette
raison une chose assez délicate.
Pour ne citer qu'un exemple bien connu des cas où les
méthodes précédentes peuvent tomber en défaut, pro-
posons-nous de trouver le maximum de la distance d'un
point à un cercle situé dans le même plan.
Soient a la distance du centre au point, $ la distance d'un
point du cercle au point donné; soit x la projection du
rayon de ce point sut la droite qui joint le centre au point
donné. On a, en appelant R le rayon,
ou
(î* = r* 4- a' — 2 ax.
Si pour avoir le maximum de 5^ on prenait la dérivée par
rapporta or, on aurait, enl'égalant à zéro, — 2^=0, résultat
absurde ; cela tient à ce que 5^ est maximum et minimum
pour x = zh a et que la fonction cî^ est discontinue pour
a: = =i=a: elle cesse en effet d'exister pour a: ^ a ou a: <^ — «,
et par conséquent de coïncider avec la fonction con-
tinue r^-l-a* — *iax* La formule de Taylor ne lui est
donc pas applicable. 5^ est une fonction qui n'existe pas
pour x<^ — a, égale à r^-f- «^ — ^ax pour — a<^x<^a
et qui n'existe pas pour x^a.
Problème I. — Discuter la fonction
s\nx
r = '
C0S2X
Il s'agit de voir comment varie j^ quand x passe de — 00
L. — Algèbre, II. l4
2XO TRAITÉ d' ALGEBRE*
à -4- 00 d'une façon continue; en formant la dérivée )',
on voit d'abord, en discutant son signe, quand j^ croit et
quand il décroît, ce qu'il serait sans cela difficile de décider
quand le numérateur et le dénominateur varient dans le
même sens. On a
, cosar
y —
cos*2-r
On peut observer tout de suite que y ne change pas de
valeur quand x se change en — x, mais qu'il change de
signe. Des valeurs dej^ pour x positif on déduira donc les
valeurs correspondantes pour x négatif, et nous n'aurons
pas besoin de discuter les valeurs de y pour les valeurs
négatives de x si nous avons discuté ses valeurs pour les
valeurs positives de x. Nous pouvons même observer que
y reprend périodiquement les mêmes valeurs quand x
prend des accroissements égaux à 2 7r. Nous n'aurons donc
qu'à faire varier a: de o à 27r, et par cela même nous con-
naîtrons la marche de la fonction y en dehors de ces
limites.
Or, tant que r reste moindre que y? les deux termes dej^
sont positifs ; y croît donc dans cet intervalle ; il est nul
pour j: = o et infini pour x = - ; j^ passe alors brusque-
ment du positif au négatif, mais,j'' étant encore positif,
y croît tant que l'on n'a pas a? = -\ alors j^ s'annule, et,
comme y est continu, il passe par un maximum ; y' change
de signe ; y décroît jusqu'à ce que l'on ait x = -^ ; y rede-
vient infini, mais, commej^' reste négatif, j^ passe du négatif
au positif, décroît encore, s'annule pour j: = tt, décroît
toujours, devient infini pour a:= — ?-j la dérivée restant
CHAPITRE VII. '211
négative, il passe du négatif au positif et décroît pour
atteindre un minimum quand x = — ; la dérivée alors passe
du négatif au positif; j" croît, devient infini pouc x = -^^
et, comme j' ne change pas de signe, j^ passe du positif au
négatif et croît jusqu'au moment où a: = 2 7r; alors y est
nul et repasse par la série de valeurs que nous venons de
trouver indéfiniment. L'un des objets de la Géométrie
analytique est précisément la discussion des fonctions et
leur représentation géométrique; nous renverrons donc
pour cet objet le lecteur à un autre Cours, en bornant là ce
genre de discussion, que nous ne saurions traiter complè-
tement ici avec les seules ressources de l'Analyse.
Problème II. — Trouver les maxima et les mînima de
la fonction x e~^,
La dérivée de cette fonction étant e~^ — xe"^ ou
e~-^(i — x), on voit qu'elle s'annule pour a:= i ete"*-^' = o;
or, a"-^ n'étant nul pour aucune valeur finie dex, la fonction
en question est maxima ou minima pour x = i, car pour
x = i elle est continue; la dérivée seconde de xe"^ est
(i — .r)er-^,
c'est-à-dire négative pour x= i; cette valeur de x rend
donc xe"^ maximum.
Problème III. — De tous les parallélépipèdes rectangles
de même surface h^ inscrits dans la sphère de rayon R,
quel est celui dont le volume est maximum?
Soient x^y^ z les côtés du parallélépipède ; on a
( I ) xy '\- yz -\- zx •=. A*,
(2) ' X» + 72 _^ 3« r= R».
14.
* * *** •*•
* * • • ••
« • • •
w
21 a TRAITE D* ALGÈBRE.
Il faut rendre xyz maximum. Pour résoudre cette ques-
tion, il semble qu'il soit nécessaire de calculer xyz en
fonction de x^ par exemple, pour égaler ensuite sa dérivée
à zéro ; mais on peut poser
( 3 ) m^=L xyz
et prendre la dérivée de m comme celle d'une fonction
implicite. Observons d'abord que l'équation (i) peut être
remplacée par
(4) ^+j-t-3 = v^R*-+- 2/2*,
qui est plus simple. La variable indépendante pouvant
être à volonté x^y^ z ou toute lonction de ces variables,
laissons-la indéterminée et prenons les dérivées des équa-
tions (2), (3), (4) ; en remplaçant /7i' par zéro, nous aurons
x' +
/
-f-
2'
— G,
xx' -\-
XÏ
4-
zz'
— 0,
x'yz -h y zx +
z' xy
— 0;
en éliminant a/,j^, ^, nous aurons une relation qui, jointe
aux conditions (i) et (2) ou (2) et (4), lera connaître
x^y^ z. En éliminant x\ y^j z!, on a
x[x'^ — 2*) -f- j(2* — •^*) -H ^[^^ — y] == o;
cette équation est satisfaite pour y •=, z. Les formules (4)
et (2) donnent alors
2J -f- X = y/R2 -+- 2/i%
2J*-f-^*=R',
d'où l'on tirera les valeurs correspondantes de x et de^'.
Nous laissons au lecteur le soin d'achever le calcul.
Problème IV. — De tous les cylindres inscrits dans
b
fc
* ». * •- <•
^
CHAPITRE VII. 2l3
un hémisphère, quel est celui dont la surface totale est
maxima?
En appelant R le rayon de la sphère, x le rayon de base
variable, la surface à rendre maxima a pour expression
Nous devons égaler la dérivée de celte quantité à zéro;
nous trouvons alors
IX H- i/R' — x^ = = o
ou
2.x y^R* — 07* + R^ — 2 j;* = o.
Isolant le radical dans un membre et élevant au carré, on a
4^2 (R« — x^]=ix'^ — 4R«x« -h R* .
ou
8x*— 8R«Jc2-hR*r=o.
Cette équation bicarrée donne pour seule solution réelle et
admissible
x=z — \/2±: v^2.
2
La solution correspondant à la plus petite valeur de x donne
évidemment un maximum et l'autre un minimum.
Le calcul de la dérivée seconde serait, sinon difficile
au moins de peu d'intérêt, à cause de sa complication.
On arrive au même résultat en posant x=K cos cp ; la quan-
tité à rendre maxima ou minima est alors cos^ (f -f- sin cp cos ç ;
en égalant sa dérivée à zéro, on trouve
tang*y -f- 2tangy — i := o.
21 4 TRAITE D ALGEBRE.
on en déduit
tang^ = — I dz v/2, cos^ = - y 2 dz v'2,
ce qui donne la valeur de x trouvée plus haut.
XVn. — DES FONCTIONS PRIMITIVES.
La recherche de la dérivée d'une fonction est un pro-
blème résolu, d'après ce qui précède, pour toutes les fonc-
tions que Ton a à considérer dans les éléments; il n'en est
pas de même du problème qui a pour but la recherche
d'une fonction dont on donne la dérivée. Ce problème, qui
est de la plus haute importance en Analyse, est du ressort
du Calcul intégral; nous n'en dirons ici qu'un seul mot.
La fonction qui admet y( a:) pour dérivée s'appelle la
fonction primitive ou l'intégrale àef(x). Bien que l'on ne
sache pas toujours trouver cette fonction primitive, il est
bien des cas dans lesquels on peut la deviner ; ainsi l'on voit
de suite que la fonction primitive de Kx^ est A 9
A
excepté si m = — i; la fonction primitive de — est Aloga:,etc.
Mais on peut se demander si une fonction n'admet
qu'une seule primitive ; les théorèmes suivants ont pour
but d'éclaircir cette question.
Théorème L — La dériv^ée d*une constante est nulle,
et réciproquement, si la dérivée d'une fonction continue
entre les limites a et b de la variable est nulle; cette
fonction reste constante entre ces limites.
En effet, soient /( a: ) la fonction en question, x etx -i-h
deux valeurs de la variable comprises entre a et &; la for-
mule de la page i65 lui est applicable, puisque la dérivée,
• *
• • ••• • •
•• • • • •
CHAPITRE VII. 21 5
étant nulle par hypothèse, existe et est bien déterminée, et
Ton a
f[x -\- h)z=f[x) -^ hf[x -\-Qh).
OT,f'(x) étant nulle pour a <[a:<;i, on ay'(j: + Ôh) = o,
et par suite /( a: -f- A) = (/j^) ; doncy(x) est constant, ce
qu'il fallait prouver. La réciproque est évidente.
Théorème II. — Deux fonctions ayant la même dérivée
ne diffèrent entre elles que par une constante.
En effet, soient /(x) et F (a:) deux fonctions telles que
Ton ait
La fonction y(j:) — F(:r)>a sa dérivée nulle; donc cette
fonction est constante, et par suite
/(x) = F(x) H- const.
Ce théorème reposant sur le précédent, il est sous-entendu
que les f6nctionsy(a:) et F(.r) sont continues.
D'après cela, on voit que la fonction primitive de
x"^ est h const.,
m -h I
— » logj? -t- const. = loge J7,
X
ûnx » — cos 07 -+- const.,
cosx » ûnx H- const.
Pour faire comprendre l'utilité des considérations pré-
cédentes, nous résoudrons quelques problèmes :
1° Quelle est la fonction de x constamment égale à
sa dérivée?
2i6 TRAITE D ALGEBRE.
Soitj^ la fonction inconnue; on a
ce que Ton peut écrire
y'
Avec un peu d'habitude, on reconnaît que — est la dérivée
y'
de logr ; les deux quantités — et i sont donc les dérivées
de logj^ et de a: ; comme ces dérivées sont égales, log^ et j:
ne peuvent différer que par une constante c; on a donc
log y = .r -I- c, / = e^"*^,
2° Trousser le volume d'un segment sphérique à deux
bases?
Soient R le rayon de la sphère, h la hauteur du segment
ou la distance de ses bases. Supposons Tune des bases
variable de position; soient r son rayon et z sa distance au
centre de la sphère. Si z reçoit Taccroissement A^, le
volume cherché V reçoit un accroissement AV que nous
allons estimer. Ce volume AV est compris entre celui de
deux cylindres ayant pour hauteur ^z et pour bases deux
cercles de rayons /' et r H- A/^; donc
7rHAz<AV<7r(r-4- A/-)*A3;
on en conclut
AV
7r/^<— <7r(r-f-Ar)«.
A2 ^ '
AV
Si Ton fait tendre A^ vers zéro, — tend vers V' et la for-
' A3 '
mule précédente donne, en passant aux limites.
* » • * *^
CHAPITRE VU. 217
Or on a r^ = R^ — z^; donc
On reconnaît que le second membre de cette formule est
la dérivée de tt f R^ z — — J ; on peut donc écrire
z»
V = 7r(R'z— . — l-h const.
Pour déterminer la constante, on observe que le volume V
est nul pour une certaine valeur de z que nous appelle-
rons Zq ; il vient alors /en faisant z = zq^
z»
o = TT f R* 2o ^ ) "^ const.,
d'où, retranchant cette formule de la précédente.
On peut remarquer que z — zo= h et que
On peut évidemment donner plusieurs formes à V suivant
les données que Ton introduira dans la question.
EXERCICES ET NOTES.
1 . Prendre les dérivées des fonctions suivantes :
y = arctang-p==« Rep, : y = -
y = arctang , • y = —t==
\/i — a:i (n-;f;î)v/i-j:i
2l8
7=arcsin
r =
acosbx-hbsinbx
gax^
^ = 5'^°'^(s-i^-^"'-
X= log{logsinx).
TRAITÉ d'algèbre.
Rép.
(iH- j:2) v/i -h X*
^ __ ^aarcos^^.
6j:)cosa:.
/_ ^Sginjc.
/=
COtJ?
logsinj7
/ = arccosécj?.
r = arctang<?^.
r =
.rarcsin-r
\/i — .r2
H- lOg \/l — X^.
y - x^^gar.
(^ — 2 3
•^ ^07 — 1
r =
v/lH-^^
y = arctang
— v/i — ^2
j:
/=
rpose
/=-
/=
xyjx'*^ — 1
I
/ =
/=
/=
(arcsinx)(ï— j:') '
aloe:^
Jogx
07
%X — I
a?2 — ;i^ + a
_3
/=(n-x«) '•
on a
Si l'on pose
7 =
av/i — J^^
2^(^— l)
x^ (l— logor).
arr — r^ = o,
xrlogj: — xy^~'^
x^-^-y^ ~h z^ = 1,
a: -H / -H 3 = 0,
on a
Si l'on pose
CHAPITRE VII. 219
r — X , z — X
y^^-^ , z' =
^ y — z z — y
on a
F désignant le produit des différences que l'on peut former avec les
quantités placées dans la parenthèse qui suit.
.-t r in — 3 , „ ,
'-^ - -^/-^ ..jjrt_n^ 2/2—4
(2/2 — 2) (.r2
(2/2 —
n — l^){%n — 6). ..4. 2^ J
(2/2 — 3) (2// — 5)... 5. 3.1
H- 7 -p-r, r; ; arctangx.
(2/2 — 4 (2/2 — . . . 4.2 ^
Kép:y^-r- '
Prendre les dérivées do ;
y=z Iog(a:±:v/a^:±:^^),
7=r a-
.m
y = 6'-*[a7"»-t- mx'^-'^-\- m[m — i)^?'»-*. . . -f- 1 .2.3. . .//i].
;^ == y/jï-î-i- 2a:cosa -f- 1 — cosalog(a: -+- cosan-v^x^H- 2-1'COSa + i).
(Les résultats sont simples).
2. Prendre les dérivées de
logo:, loglogo: = logiX, loglogjo: = logjo:, etc lognX.
< TRAITÉ n'ALCàBBC.
. Trouver la n'"°" dérivée de ncB'.
. Trouver la /i'*°" dérivée de arcBin* : ei l'on appelle cette fonc-
1 j-, on se bornera à prouver que
/'.^.)(,_x»)-(în-,};r^('.)-(«-l)V"-'>=0.
i. Trouver lan'*"* dérivée de arctang^; en appelant cette fonc-
I r, on a
_^™.i.(, +x.)+ a/>/"'-K -.(/> + .)/-» = o.
1. On étendra la formule du binûme au cas d'un exposant quel-
que en développant {i + A )"• par la formule de Taylor. On aura
(1 + /.)'"
itant donné par la formule
^-A-^^
"'~'U.....
mlm-i].
.im -"-<->) ^
■■)•■■(
1.Ï...H
jj ^ "'"" ■'•■" "' A^^. (, _ e).(, + 9A)«-.
ii l'on suppose A*<i, on prouvera que R a pour limite ïéro
ir n = «! (mais c'est là un fort mauvais moyeu d'ékiblir la fer-
le du binôme, parce que la vanable h dut être supposée réelle;
li qu'il en soit, on obtient ainsi une forme du reste qui peut être
unode pour évaluer l'erreur commise en s'arrètant à un l«rme de
g donné dans la série).
'. Démontrer, en s'cqjpuyant sur la formule de Taylor, les équations
sinA = A — — — ^ + ^ ^ ^ , g —
). La formule de Taylor permet d'évaluer une limite de l'erreur
amise en admettant que les différences entre les nombres sont pro>
F
CHAPITRE VII. 221
portionnelles aux différences qui existent entre leurs logarithmes,
lorsque Ton fait usage des tables.
En effet, soient x et a: h- i deux nombres de la table, x -{-h un
nombre compris entre x et ^ + 1 , A la différence tabulaire, on a par
la formule de Taylor
(i) log(a:-hA)-logar = /ilog'(a:-h0/i) = j-j-^^^,
et est compris entre zéro et i. Si l'on suppose A — i, on a
log(:p-4-i)— loga: ou A= J^ ;
61 étant compris entre zéro et i , on établit ordinairement la proportion
log:(a: -h //)— loe:.r A
d'où
1^ =r
log (x -{- h) — \o%x = //A = — —
-f-01
Mais, en comparant ce résultat avec le résultat exact (1), on voit que
Terreur est r ^-7—; cette erreur est donc moindre que
ou que —7 : ou môme que — 5 si a: est un nombre de
X x-\-i ^ x[x-\--i) ^ x^
cinq chiffres ; on voit que Terreur est bien loin de porter sur le
septième chiffre.
9. Évaluer d'une manière analogue une limite de Terreur commise
en faisant usage des tables trigonométriques, quand on admet la pro-
portionnalité entre les différences des arcs et les différences entre
leurs logarithmes sinus; Terreur est de la forme — r-^ — pour le cas
SI II X
où les différences procèdent de lo" en 10'; il faudra donc éviter l'usage
des petits arcs x, — Étude analogue pour les logarithmes cosinus et
tangentes.
10. Étant donnés un angle droit et un point dans son plan, par ce
point faire passer une droite qui, limitée aux côtés de l'angle droit,
soit de longueur minima.
22'Jft TRAITE D ALGEBRE.
il. Un point se meut avec une vitesse v dans un milieu A et avec
une vitesse v' dans un milieu A' ; ces deux milieux sont séparés par
une surface plane : quelle doit être la trajectoire de ce point pour se
rendre d'un point M situé dans le milieu A en un point M' situé dans
le milieu A', pour que le temps du trajet soit un minimum (on doit
trouver que l'angle d'incidence et l'angle de réfraction ont un rapport
de sinus égal kv : v')t (Fermât.)
12. Trouver sur la droite qui joint deux lumières le point le moins
éclairé.
13. Démontrer que, a, [3, 7, ... étant des nombres quelconques
et a: H-j^H- 3 H- . . . étant constants, le maximum de x*jr^z^ ... a
lieu quand -=*{-=:-=•..•
a p 7
14. Étant donnés deux points A et B et une droite parallèle à AB,
trouver sur cette droite un point M tel que a MA -h ^ MB soit un mi-
nimum, a et b désignant deux nombres donnés.
15. Sur la ligne des centres de deux sphères, trouver un point tel
que la somme des calottes vues de ce point soit un maximum.
16. Démontrer que sif{x) s'annule pour x=: a,jc = b, . . . x == /
les quantités a, b, c^ ... / étant au nombre de /z, on a
J(x) = (x-a)(x-b)...(x-l) {"'l^\ ,
l.^.vJ...'»
X désignant une quantité comprise entre la plus grande et la plus
petite des quantités jt, a, b, . . . /.
17. Si Ton pose
X — «3
on a
-h (x — «1 ) (a? — flî). . .(^ — ^«)/«(X),
CHAPITRE VII. 223
X étant compris entre la plus grande et la plus petite des quantités
or, ai^a^, ... a;» (Ampère). (On s'appuiera sur l'exercice précédent.)
18. Étant données les équations
•^ = ?(0, r = ^(0,
on en déduit que x ^^t une fonction de x. Cela posé, on demande do
démontrer les formules
Xx'— ^/» fx— ^,3 >
___ f^^s^ yy-V— 3y>^4^''-f- 3<p"»f
19. Trouver une fonction égale à sa dérivée, ou égale à sa dérivée
multipliée par une constante [y= ce^^).
20. Trouver une fonction égale a sa dérivée seconde
(jK= ce^ -\- c'e-^),
21. Trouver une fonction égale et de signe contraire à sa dérivéo
seconde {x= c coso? -+- c'sinx).
22. Trouver la vraie valeur des fractions suivantes pour x = o x
tangjc cosa: — <?" 2 j"sinjc
j . — j _ •
X sm*j? I g-x^
23. Trouver la vraie valeur des fractions suivantes pour a: = co :
logj: — X y/i -f-x-h \/2 -4- iT
24. Démontrer que, si la fonction symétrique /(x, /, z . . . ) reste
ccmstante, la fonction symétrique ^[x^jr^z . . . ) sera maxima ou mi-
nima quand on aura a: = / = z = —
25. Soit Z une fonction imaginaire de la variable réelle x ; le module
224 TRAITÉ D* ALGÈBRE.
de Z croît ou décroît avec x suivant que la partie réelle de =- est posi-
Là
tive ou négative. (Puiseux).
26. Trouver le poids d'un cône dont la base est B et la hauteur A,
sachant que la densité reste constante dans chaque section parallèle à
la base, mais vraie proportionnellement à la distance de la section au
sommet. On donne la densité A sur la base B et la densité $ au sommet.
27. Démontrer que, si aucune cause ne s'oppose à Taccroissement de
la population d'un pays, cette population à l'époque t sera donnée par
la formule
Po désignant la population à l'époque / = o et ^ un coefficient constant.
C'est dans cette proposition que consiste la loi de Malthus.
j
\
CHAPITRE VIII. ?.25
CHAPITRE VIIL
CALCUL DES DIFFÉRENTIELLES.
I. — NOTIONS SUR LES INnNIMENT PETITS.
On appelle infiniment petit toute quantité variable
qui a pour limite zéro (t. I, p. 1 15).
L'infiniment petit n'est donc pas une quantité nulle, et
il y a cette différence entre le zéro et rinfîniment petit que
le zéro est un nombre fixe, tandis que Tinfiniment petit
est essentiellement variable de sa nature.
On dit que deux infiniment petits a, (3 sont de même
ordre quand la limite de leur rapport - est finie et diffé-
rente de zéro. Quand la limite de - est nulle, on dit que (3
est d'ordre supérieur à a.
Si la limite de ~- est finie et différente de zéro, on dit
que (3 est d'ordre m par rapport à a : ainsi a'" est d'ordre m
par rapport à a.
Dans une question d'Analyse, on prend en général l'un
des infiniment petits de la question pour infiniment petit
principal; tout infiniment petit de même ordre que l'infi-
niment petit principal est alors considéré comme étant du
premier ordre, et, en général, tout infiniment petit d'ordre
m par rapport à l'infiniment petit principal est simplement
appelé un infiniment petit d'ordre m. Nous pouvons ré-
L. — Algèbre, II. l5
aa6 TRAITÉ i^'ALGEBRE.
sumer ces notions -dans une formule. Soît a Tinfiniment
petit principal; |3 sera infiniment petit d'ordre m si
p désignant une quantité finie difi'érente de zéro, et de
cette formule on déduit, en appelant e une quantité infini-
ment petite
8
OU
(3 =/?«'«+ a'«e.
(xP^î est d'ordre supérieur à a'", puisque son rapport à a"*
est £, qui par hypothèse est infiniment petit, e'est-à-dire a
pour limite zéro. On voit donc que tout infiniment petit
d'ordre m est de la forme pa"^ h- un infiniment petit
d'ordre supérieur à m.
Il j a ici une remarque importante à faire : pour que
Tordre d'un infiniment petit ^ soit supérieur à l'ordre de a,
il n'est pas nécessaire que l'ordre de (3 soit déterminé par
rapport à a; il suffit que lim - = o. Ainsi il y a des infi-
niment petits qui sont d'ordre supérieur à celui de jx,
sans être pour cela d'aucun ordre par rapport à a.
a(loga)~* n'est d'aucun ordre, parce que - — "^^ — ne tend
vers aucune limite, quel que soit m, pour a = o. Il est
cependant d'ordre supérieur à celui d'C ol^
n. — UÉMÉflU: IDIiiUBVTâL.
Lorsijhue Von cherche la Umite <lu mpport ile deux in-
finiment petitSy on peut stans inooMvéni&fvt remplacer ces
infiniment petits par d'autres, pour^^ €/ue la iimiêe du
rapport de chaqiiq infiniment petit à celui qu'on lui sub-
stitue soit l'unité.
En effet, supposons que lim ~ = i, lim;^ r=: i. Je dis
a p
que Ton aura
aOL
lim- = lim-,.
Cela résulte de la suite d'égalités
um - =: lim - lim — lim ^ = hœ - — h = "Hi tt"
(3 p a |3' (3 « (3' 13'
On peut donner à ce théorème fondamental une autre
forme plus commode dans les applications. Remarquons
en effet que, si lim — =: i, «' ne diffère de a que par un
infiniment petit d'ordre supérieur par rapport à a et à a',
qui sont de même ordre. En effet, si lim— = i, c'est que.
— = 1 -f-£, »2 tendant T-ers Bëro avec « et «'; donc
a = « -|- « s.
Or a's est d'ordre supérieur à celui de a', car —-=:£, qui
tend vers zéro. Donc, deux infiniment petits tels que la
limite de leur rapport soit i ne dij^reiit ^que par un
terme d'ordre supérieur,
KéciçroquemenX : Si la dijfférence de deux infiniment
petits est d'ordre supérieur par rapport à diacun d'eux,
la limite de leur rapport est i .
En effet, soient a et ce' deux infiniment petits, e leur
différence; on aura
i5.
228 TRAITÉ d'aLGÈBBE.
d'où
a e
a a
Si e est d'ordre supérieur par rapport à a', — tendra vers
zéro et Ton aura
lim — = 1 .
a
De là résulte que nous pouvons énoncer notre théorème
fondamental en ces termes :
Quand on cherche la limite du rapport de deux infini-
ment petits, on peut négliger, dans l'expression de cha-
cun d'eux, des infiniment petits d'ordre supérieur.
Supposons, par exemple, que Ton veuille trouver la 11-
mite de — ^ — ô~ pour j:= o; on observera que, x étant
infiniment petit principal, x^ et x^ sont d'ordre supérieur
par rapport à — a: et à — 3j:; on peut donc les négliger, et
la limite cherchée est celle de — ~ ou -
— ÔX Ù
m. — DES DIFF£R£NTI£UES.
Soit j^ une fonction de x ayant une dérivée j)'; on a
lira-=-=j' (pourAr = o)
ou, si Ton veut,
Ar
Ax^-^'-^-^'
£ désignant un infiniment petit, c'est-à-dire une quantité
CHAPITRE VIII. 229
nulle avec ^x, mais dont Tordre précis nous est d'ailleurs
inconnu, ce qui pour le moment est tout à fait indifférent.
On en conclut
Ar =r:j'A.r-f-E,
E désignant le produit de e par Ax, c'est-à-dire un infini-
ment petit d'ordre supérieur par rapport à Aa:, et par suite
par rapport àj/Aj:, dont la limite du rapport à Ao: ou j^
est en général finie et différente de zéro.
Le produit j'Ax, différant de Aj- par un infiniment petit
d'ordre supérieur E, pourra remplacer Ay dans une limite
de rapport, et, comme il sera généralement plus facile à
calculer, il y a lieu de prendre ce produit en considération.
On lui donne avec Leibnitz le nom de différentielle de j^, et
on le représente par dj. On a donc par définition
(1) ciy—ynx.
Ainsi :
1° La différentielle d* une fonction est le produit de la
dérivée de cette fonction par l'accroissement arbitraire
ùx de la variable;
2^^ Quand l' accroissement donné à la variable est infi-
niment petit, la différentielle de la fonction est infniment
petite, et elle peut, dans la recherche des limites de rap-
ports, remplacer V accroissement de la fonction, dont elle
diffère par un infiniment petit d'ordre supérieur ;
3° Quand V accroissement de la fonction est égal à i-,
sa différentielle est égale à sa déris^ée.
Cette dernière remarque n'a d'autre utilité que de faire
bien observer que la différentielle d'une fonction n'est ni
une quantité nulle, ni une quantité très petite, ni une
quantité égale à l'accroissement de la fonction.
23iQ> TRAITS D'ALGBBBE.
11 y- a ui> cas vemairqtiiable dan», lequel on a Ay = dy :
c'est celui où. Ton a ;^ = jr.. En effet,, si dans (i) on sup-
pose j^ = Xf on a, en observant que af = i^
dx = Aj:.
Ainsf , ta diffet'entieSle de la variahle est égale à son ac-
croissement, Sr Ton remplace alors, daiis(r), Ax' par son
égal dx, on a
^ =y'dx,
d'où
Puisque la dérivée j^ est égale au rapport -^^ rien n'em^
dx
pèche de représenter à l'avenir la dérivées de la fonction»^
parla notation — -, c'est ce que l'on fait souvent.
IV. — AVAliTAfiES DE LA NOTATION LEIBNITZIENNE.
dy
La notation -j- présente sur la notation plus simple y'
d'immenses avantages.
1° D'abord elk est expressive ; elle rappelle par sa iorme
l'origine de la dérivée.
'jp Un autre avantage de la notation différentielle con-
siste en ce que dy est toujours la différentielle dey, quelle
que soit la variable indépendante,, tandis que la notation /
représente des fonctions bien différentes, suivant la nature
de la variable indépendante. Je m'explique. Soientj)^ une
fonction de x el t une autre fonction de .r; alors y sera
par cela même fonction de f. Soient y^ la dérivée de y
relative à x, j^ sa dérivée relative à f ; soient dtu, en géné-
ral, la différentielle d'une fonction u relative à if , dxU la
CHAPITRE VTtr. a3i
cfifférentîelle de la même fonction relative à x ; on a
dxJ __ / _ y't _ x't^tt __ dtX .^.
d^x ^ x\ x\d^t d^x
Ainsi —représente la dérivée à^ j relative à»r, que xsoit
variable indépendante ou que t soit variable indépendante,
puisque -~- == -—- ; au contraire, y^ n'est pas égal à j'^^
/
puisque Jj, = y'tl!j^ouy^= ^^
3° Mais la notation différentielle présente encore un
autre avantage sur celle des dérivées,, et celui-là est im-
mense.
Supposons que, en négligeant des infiniment petits
d'ordre supérieur à ceux que Ton a conservés, on soit
parvenu à une équation de la forme suivante, où A, B, C,
D, sont finis :
\\) kdx -\- Bf/j -4- Q.dZ'\- Ddt = o.
Une pareille équation^ en vertu de la notation dont on a
fait usage, est rigoureusement exacte; les erreurs se sont
compensées d'elles-mêmes.
Pour expliquer cette proposition un peu paradoxale,
observons que, si? l'é(juatioft (d) es-t inexacte, la suivante
sera parfaitement exacte ;
Adx-{- Bdf -T- Cdz-\- Ddez=s,
e désignant un terme d'ordre supérieur à dty puisque, par
(*) Il est à peine nécessaire de faire observer que j-^ =-7» parce que
Ton a
232 TRAITÉ d'algèbre.
hypothèse, on n'a négligé que des termes d'ordre supé-
rieur. Divisons alors par dt et observons que, quelle que
soit la valeur de dty on a
dx , dy , dz ,
nous aurons
Aor; 4- Bj; 4- Cz, 4- D = i- .
s
Or y tend vers zéro avec dty puisque i est d'un ordre supé-
rieur à celui de dt. Le premier membre de l'équation pré-
cédente, pouvant être pris aussi petit que l'on veut en
prenant dt suffisamment petit, est rigoureusement nul,
puisqu'il est indépendant de dt; on a donc rigoureuse-
ment
kx\ + B/^ -f- Cz^ -}- D = o.
En multipliant par dt et en observant que x\dt= dxy
y\dt = dj, . . . , on a aussi rigoureusement
kdx -+- Bdr -+- Cdz -h Bdt = o.
L'erreur s était donc bien nulle.
T. - SIFFËBENTIIXLES DES FONGTIOHS.
Puisque la différentielle dy de y est le produit de sa
dérivée j' par dx, on aura, en faisant j'^ = x"^, a^, . . . dans
la formule dj^ =j'dx^
d. a^ = a^ log<^ dx^
, I ; — xdx
rt.yi — .T^ r=n s
\l I — .r*
CQAPITRE VIII. 233
On a
[u zL vdo ^x^ zlz . . .y = II' dz v ± «'' dz . . . ,
et, en multipliant par dx,
€l[Uzt.vzha'lt.. . , ) = du zh (Iv ± div dz . . . .
On a
[nv I z=z fi V -^ vu.
On en conclura, en mullipliant par la différentielle dx de
la variable
d.uvzzz [u' dx ) »^ -4- ( <'' dx ] u
ou
d.uv =z vdn -}- MfA'.
De la formule
vu' — nv
7^
©'=■"
on déduira^ en multipliant par dx,
.u vdu — u dt>
d--.
V v^
Le théorème des fonctions de fonctions donne l'égalité
, dy , du , dx
et, en remarquant que y„ = -— 9 u^,= -—y v^z=z—-^ on a
. dx_dxdadv^
^ ' dx du d\> dx'
ou plus exactement, en mettant au bas de la lettre d la
variable par rapport à laquelle on différentie,
dxX __ duX f^ ^.
d^x d,iU d^v d^x'
23 i TRAITÉ Oi'ALGBBRE.
mais on a vu que Ton pouvait supprimer les indices placés
au bas de la lettre d et les supposer identiques (p. 23o),
en sorte que cette formule ou (i) est évidente.
Nous ferons au sujet du théorème des fonctions com-
posées une remarque importante. Si J[u, \^) désigne une
telle fonction, u, v désignant des fonctions de x, on a
ou, en multipliant par dx,
Je n'ai pas remplacé^^ elj^pav -j- et - parce qu'il en résul-
terait une confusion ; l'équation précédente pourrait en
effet s'écrire
(2) cîf=%du-^%d,,
^ ' au iw
On serait tenté de simplifier, et alors, en supprimant
des facteurs communs, on trouverait df=. ^dfj ce qui est
absurde; mais il est facile de voir que cette simplification
ne doit pas se faire, les trois (//"figurant dans ces formules
ayant des significations distinctes.
dj qui est écrit dans le premier membre représente,
aux termes du second ordre près, l'accroissement de/dû à
raccroissement dx donné kx. Au contraire, le premier c{/
qui est écrit dans le second membre représente, aux termes
d'ordre supérieur près, l'accroissement que prend f
quand u seul croît de du, s^ restant constant. Or on conçoit
que/éprendra des accroissements tout différents, quand on
fera varier à la fois u et s^ par un accroissement donné à x
ou quand on fera varier \f tout seul. Pour éviter toute con-
fusion et pour marquer que l'on ne doit pas chasser les
dénominateurs, on représentera les dérivées partielles de /*
G&A.PITRE VfiU. T^
par les notations ^ ^ -r- 5 et la formule ( 2 ) s^écrîra
OU Ov
ou encore
df _èf dn df dt>
dx du dx dp dx
et l'on convient de regarder -~ comme un symbole irré-
ductible (*). Si en particulier m. = x, on a
df _ df âf' di>'
dr dx (Jv dx
équation qu'il serait difficile d'écrire avec les notations de
Lagrange; en effet, -^ et ~ sont essentiellement distincts,
et avec la notation de Lagrange on les représenterait tous
deux pary^. Si Ton considère la fon-ction x^, on aura
f «X"-,
dx '
dx "=" dx'
àf df
ainsi, on n a pas -r— = -— .
^ dx dx
VI. — DIFFÉRENTIELLES DES DIFFÉRENTS ORDRES.
La fonction je a paur difféxentieUie j'dxy et l'on, peut
écrire
(*) En d'autres termes, on n'attache plus aucun sens à o>/et à dx tout
seuls, de telle sorte que -p; ne peut plus se simplifier quand on le multi-
plie par dx.
236 TRAITÉ 0*ALGÈBRE.
mais ydx ou dy a lui-même une différentielle que Ton
désigne par d'^j et que Ton calculera en multipliant la
dérivée dej^rfxpar dx. En prenant cette dérivée, on doit
regarder dx comme une constante, en d'autres termes,
supposer ddx ou rf^xnul, parce que l'accroissement Aex
est arbitraire, et par suite indépendant de a:; on a donc
Ainsi, ce qui caractérise la variable indépendante Xy c'est
que dx est indépendant de x ou que d^x = o. De même,
d^y ou ^"dx^ a une différentielle égale au produit de sa
dérivée j '^^ dx^ ^ar dx ; on représente cette différentielle
par d^y^ et l'on a
iPr:=y''iUK
En général,
d"j est ce que l'on appelle la différentielle n^^"^^ de y, La
formule précédente donne
d-r
7'* =
(Ix
.1
d"' Y
d'où la notation -— ^ pour représenter la dérivée w**"® de j'-.
dx'
¥11. — CHAH6EMENT DE VARIABLE.
Lorsque l'on considère des dérivées d'ordre supérieur,
la notation différentielle perd une partie de ses avantages.
Ainsi, en convenant de représenter par dj^, d^j, . . . les
différentielles d'une fonction y prises par rapport à jr et
par dj, à'j, ... les différentielles de la même fonction
prises par rapport à f, on a, comme on l'a vu (p. 23 1),
dy ày
^ ' dx dx^
CHAPITRE VIII. 237
mais on n'a pas
.s
Nous allons calculer —^5 -— V? ••• en fonction de dy.
d.r^ dx^ *^
d'^jy ..., dx, ô^x, .... A cet effet, différentions la for-
d^r
mule ( 1 ) par rapport à x ; le premier membre deviendra —-^ -
Pour obtenir la dérivée par rapport à a: du second, nous
appliquerons le théorème des fonctions de fonctions et
nous prendrons sa dérivée par rapport à f , que nous multi-
plierons par la dérivée — de ^ prise par rapport à x ; nous
aurons ainsi
, dr
'd -^
d^j^ d.r dt
dx'*' dt dx
^g . dt dt , . dr ., , 1 ^ d^ydx — d^xdr
Mais — == — ; quant a d -^5 il est égal a — ^ r-^ '—•
On a donc
(^)
d^y d^y dr — ô^x dr
dc^ d.i
.3
ï
ô^ y d^xdy
résultat qui diffère de -r-^ par le terme XT"* ^^ ^^^
d^y
.voulait calculer -— ? il faudrait prendre la dérivée du second
membre de la formule précédente par rapport à t et la
I . ,. dt dt ...
multiplier par — ou -r-; on aurait ainsi
. d^y dx — d^xdr
d^y _ ôt:^ dt
dx^ dt dx
238 TRAOCi d'axgèbbe.
ouy réductions faites,
et ainsi de suite.
Ces formules servent à changer de variable. Le change-
ment de variable est un problème qui a pour but, étant
donnée une expression contenant les dérivées d^une fonc-
tion j^ de X, la fonction j^ et la variable a:, de calculer cette
eitpression en n'employant que les dérivées d'une autre
fonction n prises par rapport à une autre variable ^ la ionc-
tion Tj et la variable \. y el x sont donnés, bien entendu,
en fonction de ^ el de •/;. Pour résoudre celte question, on
remplacera d'abord j^ et x par leurs valeurs en ^ et yj, qui
sont censées données; puis, désignant par un d les dérivées
de /y relatives à 5, on aura
(1) ———9
(2)
dx dx
d*y à^y â.^ â^x djr
7î^ ~" dr^
•5
et l'on remplacera ôj^ àx^ ^^Ji à^x, ... par leurs valeurs
tirées des équations donnant x ely en fonction de Ç et ri-
V
Exemple. — Que deK^ient l' équation -r-j = o quand on
remplace xety par \ et r\ donnés par les formules
En vertu de (2), on peut écrire l'équation proposée
(b) ^, - = o;
. CUAPITAE THI. 23$
or les équations (a) donnent
d.r = dÇ -4- dn, d^jc = d^ -+- d'-n,
ôx = ^Ç — dn, d^j = ()H — d'v:,
et (i) devient, en prenant ^ poar variable indépendante,
c'est-à-dire en faisant ô^\=^o (p. 236)
lômhr)^ =^ °" ^="-
VIII. — RGMARaUE AU SUJET DE LA FORMULE DE TAYLOR.
La formule de Taylor peut s'écrire
«
R désignant une quantité nulle pour // =o ; ceci suppose seu-
lement/*" [x) continu. Si Ton fait h = dxjf{x -f- h) — -J{x)
sera ùkf et hf[x) sera dj, h^J"{x) sera égal à d^f^ etc.
(p. 236) par définition même; on pourra donc écrire
(i) A/=^^-f--t/*/-i-...H ? ^V-Hs,
^ ' 2 V ,'?.,. ,fl
S désignant un infiniment petit d'ordre supérieur à n. Cette
formule montre bien que la différence entre A/ et dj n'est
pas nulle ; on voit qu'elle est égale à J d-f^ en négligeant
des termes d'ordre supérieur au second. Il ne faut pas
oublier d'ailleurs que la formule (i) suppose/'* (a:) continu
pour la valeur de x à laquelle on applique cette formule.
•
IX. — SES J>IFFÉREin!B!LLES TOTALES.
Soit f{x^ Tf ^) ^^6 fonction de plusieurs variables; on
appelle différentielle totale, on simplement différentielle
3t4o TRAITE D*ALGÈBRE.
dey, et Ton dénote par rf/Texpression
àf . df . ùf .
-T- dx -\- -- dy -\- -^ dzy
ox oy ôz
dans laquelle dx, dj\ dz sont des accroissements arbi-
, , , /-w ^ df df df ,
traires donnés a x^ r, z. (Juant a 4-) -t-> -r-» ce sont les
^ ^ ôx oy OZ
dérivées partielles de y relatives à Xy j, z\ en d'autres
termes, -r- est la dérivée de / prise par rapport à x en lais-
sant^ et z constants, -^ est la dérivée dey*prise par rap-
port k j en laissant x el z constants, etc.
Si, conformément à l'usage, on suppose dxy dj, dz
choisis de telle sorte que leurs rapports restent finis, en
d'autres termes si on les suppose de même ordre, la dif-
férentielle dj pourra remplacer dans la recherche d'uue
limite de rapport l'accroissement A/de f. En effet, on a,
en donnant k x^j, z des accroissements dx, dy, dz,
l/=/[x -\-dx,y-i-dy,z-{- dz] — /(x, y, z)
ou
Sfz=z/[x -^dx,y-\- dy, z -h dz) —f[x, y H- dy^ z -\- dz)
-+-/(-^.7-+- 'b'y ^-^dz)—f[x,y, z -\- dz)
^-/(•^. y. z-^dz) — /(^, J, 2).
ù.f est ainsi décomposé en trois différences qui peuvent
respectivement se mettre sous les iormes (p. 164)
dx/^[x H- edx, y -i-dy, z-^ dz), dyfy[x, y -{- Q' dy, z -^ dz)
et
dzf,[x. y, z -^ r dz),
CHAPITRE VIII. 24 1
6 y 6', 6'' désignant des nombres compris entre o et 1. Mais,
si les fonctions f'xify'tfz ^^^^ continues ( ce que n ous sup-
poserons), les coefficients de dx^ djy dz dans les trois
expressions précédentes diffèrent infiniment peu de fxtfyi
.., ^ àf df df . . . j.^
j\ ou de -r-» ^1 -r-> et, par suite, ces trois expressions dii-
féreront de -r- rfx, -^ dj^ -^ dz par des infiniment petits
d'ordre supérieur; on aura donc
A/= -^ ^/.r H- -— c?jr + 37^=^2 + a ou Lf=df-\-oL,
'^ Ôx oy of
et. désignant un infiniment petit d'ordre supérieur.
G. Q. F. D.
La différentielle de dfse désigne p^rd^f: c'est la diffé-
rentielle totale seconde de df. La différentielle de d^f
que l'on désigne par d^J est la différentielle troisième
de/
De même que nous avons remplacé les notations fj^^fly
n' àf df df . ^ 1 I
r, par-T-> -7-9 •4-t de même nous remplacerons la nota-
^^ ^ ox oj dz ^
tion yj5t"^ft • , assez incommode, par la notation symbolique
irréductible -r — r-^ — •> sans d'ailleurs chercher à attacher
un sens précis aux éléments dx*, ()jP, . . ., (J*-^?-/.
Cela posé, calculons d'^f. On a, par définition,
,r ^f 1 ^f , àf .
dx dy dz
et
^^r à.df ^ d.df ^ d.df ^
d^f= -.-^ dx 4- -Y^ df -f- — ^ dz,
^ dx dy dz
c'est-à-dire, en observant que dx^ rf/, dz ne sont pas fonc-
L. — Jlgèbre, II. 16
24a
TRAITÉ d'algèbre.
fions de .r, y^ z, puisqu'ils sont arbitraires,
cPf
( à\f
'f d*/
dy^
dz
^'^^S/-'-^w"'
dxôz àj ôz
djr
dxôz
dz
)
ou
'V=«^'--^ -.•+!?.-
âx^
Ôjrôz
2 -r — ^ ax dz -{- 2
OxOz
dxâjr
tlxdj.
On peut écrire cette formule symboliquement
-/= [i
d_
'z= [ ^ dx -\- ^ dy -^ ^ dz^ /,
dz
\ 2
en traitant d aux numérateurs comme une véritable quan-
tité; puis, en effectuant la multiplication par y, en l'écri-
vant à côté et à droite de d- en numérateur, je dis que l'on
a plus généralement
' d
•^ \dx
dx
àf
dy-^y-:^^
n
J9
pourvu que, après avoir développé le produit
l^'^-^+i'^-^
)
en considérant d aux numérateurs comme une véritable
quantité, on écrive^" immédiatement après la lettre d^. Cela
résulte de la formule
ùx dy ôz
CHAPITRE VIII. 243
en vertu de laquelle, pour différentier une quantité y, il
suffit de la multiplier symboliquement par
Pour difl'érentier rf/) il faudra différentier chacun de ses
termes, c'est-à-dire multiplier chaque terme symbolique-
ment par -T- dx -^-T-dj -^ -T-dz^ ce qui donnera
[ d ^ d ^ d ^ \\,
Pour avoir d^J\ on multipliera cette expression par le bym-
bole (i)y comme il a été expliqué, ce qui donnera
(
i^.i^..±A^
et ainsi de suite.
z. — auELauEs théorèmes sur les différentielles totales.
I. Le théorème de Taylor, appliqué à la fonction
f{x, Y y z), donne, en appelant dx^ rfy, dz des accroisse-
ments arbitraires de x, j, z^
• •
X • Je
OU, par définition,
2 I .2. . .72
E désignant un infiniment petit d'ordre supérieur à n.
Cette forme du théorème de Taylor est fréquemment em-
ployée.
244 TRAITÉ d'algèbre.
II. En général, si Von trouve une relation de la forme
il faudra^ si dx, dy^ dz sont arbitraires, que l'on ait
h\ V-^f O-^-^ R-*^-^
(') ^-Tx' ^-Tx' ^-Tz'
car, df étant égal à -r- dx + 3^ ^ "*- 3~ ^^> ^^ dinr^
Vdx -h Q4r -h R^fo = ■/ efx H- ^ û[r -h ^dz,
dx ây dz
et, comme cette relation a lieu quels que soient dx^ dy, dz,
elle entraîne les formules (i) (t. I, p. 43, dernière ligne).
III. Si la différentielle totale d' une fonction est toujours
nulle, cette Jonction est constante.
En effet, dire que rf/*= o, c'est dire que l'on a, quels que
soient dxj dj^ dzy
-j^ rfx -h 3- rfr -f- -3- £/z = o,
Ox ojr oz
OU
^ = ^=0 ^ =
dx ^ dy * dz
Or, ^ étant nul,yest constant quand, faisant varier j:, on
laisse j^ et z constants : donc y ne contient pas x. On voit
de même que/ ne contient ni r ni z. Donc enfin y, ne dé-
pendant ni de x^ ni de j, ni de Zj est une constante ou,
plus exactement, ne varie pas quand, toutes choses égales
d'ailleurs, on fait varier x,j^ z,
IV. Si l'on a établi unejormule telle que
Adf-^Bdg-h.. .4- Pcir H- Qû[/- -4- . . . = 0,
CHAPITRE VIII. 245
en négligeant des infiniments petits d'ordre supérieur au
premier. A, B, C, ... we contenant pas dx^ dy, ..., df^
dgy ..., différentielles des variables Xy y, ... et des fonc-
tions y, g, . . . , cette formule se trouve rigoureusement
établie en vertu de la notation employée.
En effet, si cette formule n'est pas exacte, son second
membre o doit être remplacé par un certain infiniment
petit e d'ordre supérieur ; en divisant par dx, elle devient
alors
\ôx dx dx /
-h d[-z h-T" "3 l-*''+*«»-l-Jr-hU-7 [-••• = -7-9
\ox oy dx j dx dx
Or, si l'on fait tendre dx vers zéro en conservant aux rap-
d^ dz Ë
ports —5 yj ••• des valeurs finies y\ V, ..., fixes, —
CIX UU CIX
tend vers zéro, et l'on a rigoureusement
(i-^i^-)
dy dz
OU, en multipliant par dx et en observant que -^'i -r"* " *
sont restés les mêmes bien que dx ait pu varier, on a ri-
goureusement
Adf-hBdg -h,..-\-Pdx'hQdx-^-. .. =0.
C. Q. F. D.
On verrait de même que, si une équation telle que
Arf*/-hBc?*g'-H...4-P^^*-f-Q<r* + .. . =0
^46 TRAITÉ d'algèbre.
a été établie en négligeant des ternies d'ordre supérieur
au second, elle est rigoureusement exacte, etc.
Nous terminerons ce qui est relatif aux différentielles to-
tales en faisant observer que Ton a
d[u±v±w] T=:du±dv± dwy
duv ^zz: u dv H- V du,
u V du — Il dv
^-= 1 9
dans le cas où d représenle une différentielle totale comme
dans le cas où il n'y a qu'une variable indépendante. Ainsi,
par exemple, dans le cas où il y a deux variables x, y, on a
duv . duv .
duv z= -T — dx H — -— dr
ôx oy
dv ^ du . ôv ^ du ^
=iu-^-dx-^v^-dx-{-u -^— dr -^ v^— dy
OX ôx Or ôy
[ àv ^ àv \ ( du ^ du ,
= u\ -T- dx -h -r- dr ] -h V [ -r-- dx -j- ^— dr
\ôx df I \dx dy
=:z u dv -\- V du.
Les autres formules se démontrent de la même façon.
Si 9 est fonction de u, i^, et si m et i^ sont fonctions de
X, y^ la différentielle totale de sera
d^ ^ dQ ^ fdQ du de dv , ,
dx du \ du dx dv d
X
de du ^^ ^^ \^
du dy dv dy
_ de^/du
du \dx
du
de
d
— iix -f- — dy )
dx dy )
de ^ de ^
=: '^— du -h -^ dv,
du dv
CHAPITRE VIII.
a47
EXERCICES ET NOTES.
1. Les seules fonctions d'une variable dont les différentielles sont
égales aux accroissements sont de la forme ax-^ b, a etb désignant
des constantes.
â. Traiter les exercices 26 et 27 du paragraphe précédent en fai-
sant usage de la méthode infinitésimale.
3. Démontrer que la condition nécessaire et suffisante pour qu'il
existe entre les fonctions «pi, Ç2, ...,?» des variables j;i, ^2, . . ., J^n
une relation de la forme F (<ï>i, «pj, . . . , ç») = o est que l'on ait
dxi
dxf
an
àXn
dxi
dxi
dXn
àffn
au
à<fn
dxi
dxf
dXn
= 0.
4. Déterminer l'ordre infinitésimal de <? * , sina?, i — cosar par rap-
port à X,
5. Déterminer l'ordre infinitésimal de (i h- a)»» par rapport à a, de
log*a? par rapport à .r — i , de a:*— i par rapport à a.
6. Calculer les différentielles totales de
xy -+- jr^, arc tang -j log vZ-r^-Hj*.
7. Interpréter géométriquemeht les expressions d^, dy et d^y.
FIN DE LA DEUXIÈME PARTIE.
TABLE DÈS MATIÈRES.
DEUXIÈME PARTIE.
Pages.
CHAPITRE PREMIER. — analyse combinatoire i
I. — Des arrangements i
II. — Des permutations ^ 9
III. — Des combinaisons 3
IV. — Remarques an sujet des théories précédentes 5
V. — Formule du binôme 7
VI. — Du triangle arithmétique ii
VII. — Somme des puissances semblables des termes d'une pro-
gression arithmétique 1 6
VIII. — Application des théories précédentes à la sommation des
piles de boulets i8
CHAPITRE II. — Notions générales 27
I. — Introduction 27
II. — Rappel de quelques définitions et théorèmes fondamentaux. a8
Hl. — De la continuité 3q
CHAPITRE III. — De LA fonction simple algébrique, de la fonction
BXFOMBNTIBLLB BT DBS LOGARITHMES 35
I. — Préliminaires 35
II. — De l'exposant fractionnaire 35
m. — De l'exposant incommensurable 37
IV. — De l'exposant négatif et nul Sg
V. — De la fonction exponentielle 4^
VI. — Continuité de la fonction algébrique et de la fonction expo-
nentielle ; 43
250 TABLE DES MATIÈRES.
Pagef.
y H. — Sur la propriété fondamentale de l'exponentielle /(6
VIII. — Des logarithmes 4?
IX. — Concordance de la définition népérienne des logarithmes
avec la définition nouvelle ...... 5o
X. — Du module d'un système de logarithmes 5o
CHAPITRE IV. — Des imaginaires 55
I. — Préliminaires 55
II. — Explication d'un paradoxe 56
III. — Des quantités imaginaires 57
IV. — Des quatre opérations.' 59
V. — Du module et de l'argument 63
YI. — Théorie des radicaux algébriques 69
VU. — Calcul des radicaux algébriques 78
Vlll. — Sur les équations en général 76
IX. — Sur les équations du second degré 76
X. — Des fonctions de variables imaginaires 79
XI. — Définition de la fonction exponentielle 80
CHAPITRE V. — Théorie générale des séries 85
I. — Définitions 85
II. — Théorèmes sur la convergence 87
III. — Règles de convergence 97
IV. — Des calculs que l'on peut efiectuer sur les séries io3
V. — Théorème d'Abel 108
i-i — j pour m = 00 , m étant entier 112
VII. — Limite de | i h — ) • Étude du cas où m est quelconque.
Développement de e^, calcul de e ii5
I ^ :L j pour m = 00 . Séries de New-
ton 119
/X. — Quelques mots sur les transcendantes imaginaires laa
\. — Généralisation de la formule du binôme, résolution de
ax* -i- bx-^c =z zéro quand a est très petit 1 35
XI. — Séries logarithmiques, calcul de it i3o
XIL — Conclusion' .-.•;. ^ . ; • i35
TABLE DES MATIERES. 25 I
Pages.
CHAPITRE VI. — Des fractions continues i43
I. — Définitions i43
II. — Étude du cas où les numérateurs des fractions intégrantes
sont égaux à Tunité 1^7
III. — Applications de la théorie des fractions continues à l'analyse
numérique i jo
IV. — Applications de la théorie des fractions continues à la réso-
lution en nombres entiers des équations indéterminées
du premier degré i53
CHAPITRE VII. — Théorie des fonctions dérivées 16 *
1. — Définitions 161
II. — Dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient i65
III. — Dérivées des fonctions de fonctions et des fonctions com-
posées 171
IV. — Théorème des fonctions homogènes 174
V. — Dérivées des fonctions implicites 176
VI. — Dérivées des fonctions simples 1 76
VII. — Dérivées des fonctions circulaires 179
VIII. — Application des principes précédents i83
IX. — Dérivées des fonctions de variable imaginaire i8/|
X. — Propriétés des fonctions dérivées 187
XI. — Théorème de Taylor - 190
XII. — Extension au cas de plusieurs variables 193
XIII. — Sur la continuité des fonctions implicites 197
XIV. — Des expressions qui se présentent sous les formes -9
— -, 0x00, etc 199
00
XV. — Applications 204
XVI. — Quelques mots sur les maxima et les minima. -207
XVII. — Des fonctions primitives 214
CHAPITRE VIII. — Calcul des différentielles 225
I. — Notions sur les infiniment petits 2^5
II. — Théorème fondamental 226
III. — Des difi'érentielles 228
IV. — Avantages de la notation leibnitzienne. .7. . 23o
1
a52 TABLE DES MATlàllES.
Pa^es.
V. — Différentielles des fonctions aSî
VI. — Différentielles des différents ordres 235
VII. — Changement de variable •. . 286
VIII. — Remarque au sajet de la formule de Taylor 9 289
IX. — Des différentielles totales 289
X. — Quelques théorèmes sur les différentielles totales 243
TaBLB des MilTIÉRES 249
I2l''0 PARIS. » IMPRIMERIE GAUTBIER-VlLLiili, QUAI DBS AUGUSTIN8, 55.
ERRATA,
Pa^es.
Lignes.
Au lieu de :
Li*« ;
24
5
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i3
I
X -h 2
X{X H-i)
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17
F^Ca; 4-6/1)
F'»+t(a:4-eA)
220
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2 n^C") a:
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7
n{n -h i)j>'("-«>
/i(n — i)^('»-0
L. — Algèbre, II.
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