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Full text of "Traité de géométrie"

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TRAITÉ 



DE 



GÉOMÉTRIE 



PARIS.— IMPRIMERIE G A UTH lER-VILL A RS ET G", 

66570-22 55, Quai des Grands-Augustins, 55 



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TRAITE 




DE 



GÉOMÉTRIE 



PAR 



Eugène ROUCHÉ et Ch. de COMBEROUSSE 



NOUVELLE EDITION 



PREMIERE PARTIE 
GÉOMÉTRIE PLANE. 



PARIS 
GAUÏHIEK-VILLARS et C'% ÉDITEURS 

LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ëCOLE POLYTECHNIQUE 

55, Quai des Grands-Augustins, 55 

1922 



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Tous droits de traduction et reproduction réservés. 



TABLE ANALYTIQUE DES MATIERES. 



Pa^e» 

Avertissement xvi: 

Notions historiques xxi 

Définition de la Géométrie i 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



LIVRE PREMIER. 

LA LIGNE DROITE. 

§ I. — Des angles. 

Égalité et somme de deux angles 8 

Bissectrices d'un angle 9 

Egalité des angles opposés par le sommet . . . 10 

Perpendiculaire à une droite. — Égalité des angles droits 11 

Angles adjacents et supplémentaires . . 1 3 

Somme des angles autour d'un point i4 

Bissectrice des angles formés à la rencontre de deux droites indéfinies... i5 

§ II. — Des triangles. 

Propriétés du triangle isocèle 17 

Cas dégalité des triangles quelconques 20 

Comparaison des angles opposés à des côtés inégaux 22 

La ligne droite est plus courte que toute ligne brisée ayant les mêmes 

extrémités. Conséquences 24 

§ III. — Des perpendiculaires et des obliques. 

Dépendance mutuelle entre la longueur d'une oblique et la distance de 

son pied à celui de la perpendiculaire. Conséquences 27 

R. et DE G. — Tr. de Géom. { I" Partie). /-> 



VI TABLE DES MATIÈRES. 

PagCi 

Cas d'égalitd des triangles rectangles 29 

Lieu des points équidistants de deux points donn('-^ 3i 

Lieu des points équidistants des côtés d'un anglu Sa 

§ IV. — Droites parallèles. 

Postulatum. — Deux parallèles ont leurs perpendiculaires communes .... 34 

Relations entre les angles alternes-internes, correspondants, etc 36 

"Égalité des parallèles comprises entre parallèles » 38 

Relations entre les angles dont les côtés sont parallèles ou perpendicu- 
laires 4o 

§ V. — Somme des angles d'un polygone. 

Somme des angles d'un triangle 4* 

Égalité des angles de deux triangles dont les côtés sont parallèles ou per- 
pendiculaires 43 

Somme des angles d'un polygone 44 

§ VI. — Du parallélogramme. 

Propriétés des côtés, des angles et des diagonales du parallélogramme. . . 4^ 
Caractères auxquels on reconnaît qu'un quadrilatère est un parallélo- 
gramme 47 

Propriétés du rectangle, du losange et du carré • 48 

Lieu des points situés à une distance donnée d'une droite 5o 

§ VII. — Figures symétriques. 

Symétrie par rapport à une droite et symétrie par rapport à un point 5i 

La figure symétrique d'une droite est une droite 02 

Égalité de deux figures symétriques; deux modes de superposition 53 

Figure à deux axes de symétrie rectangulaires 36 



LIVRE IL 

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE 

§ I. — Des arcs et des cordes. 

Propriétés des diamètres 58 

Dépendance mutuelle entre les longueurs des arcs et des cordes 09 

Propriétés du rayon perpendiculaire à une corde 60 



TABLE DES MATIÈRES. VU 

Pages 

Dépendance mutuelle entre la longueur d'une corde et sa distance au 

centre 6i 

§ II. — Tangente au cercle. — Positions mutuelles 
de deux circonférences. 

Propriété de la tangente au cercle 63 

Normales et obliques 65 

Égalité des arcs compris entre deux parallèles 66 

Trois points non en ligne droite déterminent un cercle 67 

Point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés 

d'un triangle et point de concours des hauteurs 68 

Intersection, contact et angle de deux circonférences 69 

Positions relatives de deux cercles; relations correspondantes entre ia 

distance des centres et les rayons 70 

§ III. Mesure des angles. 

Mesure des angles au centre 72 

Mesure des angles inscrits ; segment capable 74 

Mesure des angles dont le sommet est intérieur ou extérieur au cercle ... 76 

Lieu des points d'où l'on voit une droite sous un angle donné 77 

Propriétés des angles opposés d'un quadrilatère inscrit convexe 78 

§ IV. — Construction des angles et des triangles. 

Usage de la règle et du compas 79 

Commune mesure de deux droites; la diagonale et le côté d'un carré sont 

deux lignes incommensurables entre elles 80 

Construction des angles; leur évaluation en degrés; usage du rapporteur. 82 

Co'nstruction des triangles ; les quatre cas fondamentaux 85 

Discussion du cas douteux; nouveau cas d'égalité des triangles 87 

Autres cas qui se ramènent aux cas fondamentaux 89 

§ V. — Tracé des parallèles et des perpendiculaires, 

Construction des parallèles ; usage de l'équerre 90 

Division d'une droite, d'un arc, d'un angle en deux parties égales 91 

Bissectrice d'un angle dont le sommet est inaccessible 98 

Cercle passant par trois points donnés gS 

Construction des perpendiculaires 9 /j 

§ VI. — Problèmes sur les tangentes. 

Construction des tangentes au cercle 96 

Cercles inscrit et ex-inscrits à un triangle; points de concours des bis- 



Vfll TABLE DES MATIÈRIÎS. 

râpes 
sectrîces des angles intérieurs et extérieurs d'un triangle; distances 
d'un sommet aux diffe'rents points de contact situés sur un même côté 

passant par ce sommet 97 

Segment capable d'un angle donne 99 

Tangentes communes à deux cercles 100 

APPENDICE DU DEUXIÈME LIVRE. 

De la résolution des problèmes io3 

Méthode des substitutions successives. — Analyse et synthèse io3 

Méthode par intersection de lieux géométriques; exemples; droite de 

Simson io5 

Constructions auxiliaires ; translation, renversement, etc.; billard poly- 
gonal; construire un polygone connaissant les perpendiculaires élevées 

sur les mil eux des côtés m 

Polygones égaux et de même sens 1 15 

Déplacement d'une figure dans son plan, centre instantané de rotation. — 

Point où une droite mobile touche son enveloppe 118 

Polygones égaux et de sens opposés 119 



LIVRE III. 

LES FIGURES SEMBLABLES. 

§ I. — Lignes proportionnelles. 

Positions relatives des deux points qui divisent une droite dans un rap- 
port donné ; division harmonique 121 

Proportionnalité des segments interceptés sur deux droites quelconques 
par une série de parallèles 128 

Rapport des segments déterminés sur un côté d'un triangle par la bis- 
sectrice intérieure ou extérieure de l'angle opposé 126 

Lieu des points dont les distances à deux points tixes sont dans un rap- 
port donné 127 

§ II. — Lignes proportionnelles dans le cercle. 

Propriétés des droites anti-parallèles par rapport à un angle 129 

Constance du produit des segments interceptés par un cercle sur les trans- 
versales issues d'un point fixe; tangente, moyenne proportionnelle entre 
la sécante entière issue du même point et sa partie extérieure; puissance 
d'un point par rapport à un cercle i3i 



TABLE DES MATIÈRES. 

§ m. — Similitude des polygones. 

de similitude des triangles i35 

Point de concours des médianes d'un triangle i38 

Décomposition des polygones semblables en triangles semblables iSg 

Rapport des droites homologues de deux polygones semblables; rapport 

de leurs périmètres 142 

Proportionnalité des segments interceptés sur deux parallèles par des 

droites concourantes i43 

Lieu des points dont les distances à deux droites fixes sont dans un rap- 
port donné i^S 

§ IV. — Relations métriques entre les différentes parties 
d'un triangle. 

Relations entre les côtés d'un triangle rectangle, la hauteur abaissée du 
sommet de l'angle droit, et les segments de l'hypoténuse i47 

Carré de l'hypoténuse. i48 

Carré du côté opposé à un angle aigu ou obtus dans un triangle quel- 
conque. — Hauteurs en fonction des côtés i5o 

Somme des carrés de deux côtés d'un triangle. — Somme des carrés des 
côtés d'un quadrilatère. — Lieu des po",nts dont la somme des carrés 
des distances à deux points fixes est constante. — Médianes d'un 
triangle en fonction des côtés i53 

Différence des carrés des côtés d'un triangle. — Lieu des points dont la 
différence des carrés des distances à deux points fixes est constante i55 

Produit de deux côtés d'un triangle en fonction de la bissectrice de leur 
angle ou de la hauteur correspondant au troisième côté. — Bissectrices 
et rayon du cercle circonscrit en fonction des côtés i56 

Propriétés du quadrilatère inscriptible. — Construire le quadrilatère 
connaissant les quatre côtés. — Diagonales en fonction des côtés. — 
Calcul de la corde de la somme de deux arcs i58 

§ V. — Problèmes relatifs aux lignes proportionnelles. 

Division d'une droite en parties dont les rapports sont donnés 162 

Quatrième proportionnelle à trois droites données i63 

Moyenne proportionnelle entre deux droites données ; limite supérieure de 
la différence entre la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique 

de deux longueurs 1G4 

Construction de certaines expressions algébriques iG5 

Rétablissement de l'homogénéité dans les formules 168 

Construction d'un polygone semblable à un polygone donné 1G9 

Construire deux droites dont on a le produit et la somme ou la différence; 
construction des racines de l'équation du second degré et de l'équation 
bicarrée , 17 * 



X TABLE DES MATIÈRES. 

Passes 

Division d'une droite en moyenne et extrême raison j -4 

Tangentes communes à deux cercles ; centres de similitude de deux 

cercles 1-6 

Cercle passant par deux points et tangent à une droite ou à un cercle ... 180 

Détermination d'un cercle astreint à trois conditions ( dix cas) 181 

§ VI. — Polygones réguliers. 

Tout polygone régulier est inscriptible et circonscriptible i83 

Deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables, et 
leur rapport de similitude est égal au rapport de leurs rayons ou de 

leurs apothèmes 186 

Nombre des polygones réguliers convexes ou étoiles de m côtés 187 

§ VII. — Problèmes sur les polygones réguliers. 

Inscription du carré 1 88 

Inscription de l'hexagone régulier et du triangle équilatéral 189 

Inscription des deux décagones réguliers et des deux pentagones ^90 

Inscription des quatre pentédécagones réguliers 192 

Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit, calculer : 1° le côté du 
polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés double; 2» le côté du po- 
lygone régulier circonscrit semblable 194 

Problème sur le polygone régulier isopérimètre ' 198 

§ VIII. — Mesure de la circonférence. 

Définition de la longueur d'une ligne courbe; la ligne droite est le plus 
court chemin d'un point à un autre; le rapport d'un arc de courbe à sa 
corde a pour limite l'unité 200 

Le rapport ir de la circonférence au diamètre est constant; calcul de la 
longueur d'un arc de cercle ; arcs semblables 2o5 

Unités employées dans la mesure des angles 206 

Calcul de ic. — Méthodes des isopérimètres ; perfectionnement et degré de 
l'approximation. — La méthode des périmètres conduit aux mêmes calculs. 209 

APPENDICE DU TROISIÈME LIVRE. 

Principe des signes. — Des segments rectilignes et des angles; formules 
pour le changement d'origine ai6 

Théorie des Projections; généralisation de la formule fondamentale de la 
Trigonométrie rectiligne 219 

Transversales dans le triangle. — Théorèmes de Ménélaiis et de Jean de 
Céva. — Applications ; relations trigonométriques 22a 

Propriétés du quadrilatère complet 227 



TABLE DES MATIÈRES. 



*-■•♦ 



Pages 

Rapport anharmonique de quatre points en ligne droite; il est projectif; 
son expression trigonométrique 228 

Rapport anharmonique d'un faisceau de quatie droites, de quatre points ou 
de quatre tangentes d'un cercle 281 

Propiidte's fondamentales relatives à deux faisceaux qui ont un rayon 
homologue commun et un rapport anharmonique égal, ou à deux séries 
rectilignes de quatro points qui ont un rapport anharmonique égal et un 
point homologue commun 233 

Triangles homologiques 234 

Hexagones de Pascal et de Brianchon 235 

Divisions et faisceaux harmoniques, propriétés et formules fondamentales; 
moyenne harmonique ; polaire par rapport à un angle 287 

Pôle et polaire dans le cercle ; triangle autopolaire 241 

Méthode des polaires réciproques; transformation des propriétés descrip- 
tives et des propriétés métriques ; applications aux polygones inscrits ot 

circonscrits 245 

.Hémothét'ie. — Propriétés des figures homothé tiques. — Centres et axes 

• d'homothétie de trois figures homothétiques deux à deux et, en parti- 
culier, de trois cercles 262 

Définition générale de la. similitude. — Pôle double de deux figures 
semblables • 267 

Méthode des figures semblables et méthode par renversement; inscrire 
dans un quadrilatère un quadrilatère semblable à un quadrilatère donné; 
combinaison de la méthode par rotation avec la construction d'une 
figure homothétique ; problème de la section de raison 260 

Puissance d'un point par rapport à un cercle. — Axe radical de deux 
cercles; centre radical de trois cercles; axe radical commun à trois 
cercles, autres propriétés du quadrilatère complet. — Points antiho- 
mologues du système . de deux cercles, propriétés des systèmes de deux 
cercles touchés par un troisième 266 

Notions* sur Flnvolution; points -doubles, dispositions de la figure suivant 
que les points doubles existent ou n'existent pas. — Condition pour que 
trois couples de points en ligne droite forment une involution; propriétés 
involutives du quadrilatère 270 

Faisceaux de cercles; points liniites d'un laiscoau du premier genre; 
points fondamentaux d'un faisceau du second genre ; faisceaux conjugués ; 
nouvelle expression de la puissance d'un point par. rapport à un cercle. 
— Cercles orthogonaux; cercles coupés diamétralement 2-; 7 

Inversion. — Propriétés des figures inverses; conservation des angles; 
figure inverse d'une droite ou d'un cercle; tout faisceau de cercles du 
premier genre ou du second genre peut être transformé, par inversion, 
en un système de cercles concentriques ou en un faisceau de droites; 
propriétés des cercles inverses de deux cercles tangents; le rapport de 
la tangente commune à la moyenne géométrique des rayons est le même 
pour le système de deux cerclée et pour la figure inverse 281 

R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). C 



XII TABLE DES MATIÈRES. 

rages 
Méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques. — Relation 
qui lie les longueurs des tangentes communes, lorsqu'un cercle en touche 

quatre autres 290 

Cercle isogonaux 298 

Problème d'Apollonius : cercles tangents à trois cercles donnés. — Solu- 
tions applicable aux divers cas particuliers. — Discusçion générale. — 

Quelques propriétés des cercles tangents à trois cercles 297 

Cercle coupant trois cercles donnés sous des angles donnés : cas parti- 
culiers, solution générale 3o4 

Cercle des neuf points ou cercle d'Euler; son contact avec les cercles 

inscrit et ex-inscrits ou théorème de Feucrbach 3o6 

Inverseurs de Peaucellier et de Hart 809 

Problème de Castillon 3 10 

Problème de Malfatti 3 1 1 

Transformation par semi-droites réciproques. — Propriétés des semi- 
droites et des cycles. — Applications de cette méthode employée seule 
ou combinée avec la méthode de transformation par rayons vecteurs réci- 
proques 3i4 



LIVRE IV. 

LES AIRES. 

§ I, — Mesure des aires des polygones. 

Proportionnalité entre l'aire du rectangle et chacune de ses dimensions... 325 

Aire du rectangle. . , 327 

Aire du parallélogramme 328 

Aire du triangle. — Calcul de cette aire et des rayons des cercles cir- 
conscrit, inscrit et ex-inscrits en fonction des côtés du triangle 829 

Aire du trapèze. — Mesure de l'aire d'un polygone quelconque 333 

§ II. — Comparaison des aires. 

Rapport des aires de deux polygones semblables 335 

Rapport des aires de deux triangles qui ont un angle égal ou supplémen- 
taire 337 

Propriétés des carrés construits sur les côtés d'un triangle rectangle. — 
Théorème de Pythagore 338 

§ III. — Aires du polygone régulier et du cercle. 

Aire d'un polygone régulier. — Rapport des aires de deux polygones ré- 
guliers d'un môme nombre de côtés. — Aire d'un secteur polygonal 
régulier 3 'j i 



TABLE DES MATIÈRES. XIII 

Pages 

Aire du cercle. — Rapport des aires de deux cercles 344 

Aire du secteur circulaire. — Rapport des aires des secteurs semblables . 346 
Aire du segment circulaire. — Rapport des aires de deux segments sem- 
blables 348 

§ IV. — Problèmes sur les aires. 

Transformer un polygone en un triangle ou en un carré e'quivalent 349 

Transformer un polygone en un autre de même aire et semblable à un po- 
lygone donné 352 

Deux figures semblables étant données, construire une figure semblable 
égale à leur somme ou à leur diiïérence. — Lunule d'IIippocrate 353 

Construire un polygone semblable à un polygone donné et dont l'aire ait 
un rapport donné avec celle de ce polygone 354 

APPENDICE DU QUATRIÈME LIVRE. 

Évaluation approchée de Taire d'une figure à contour curviligne. — For- 
mule de Simpson. — Formule de Poncelet 357 

Limite supérieure de la différence entre la longueur d'un arc de cercle et 
celle de sa corde 36i 

Maximums et minimums des figures planes. — Maximum de l'aire d'un 
triangle dans lequel on connaît la base et le périmètre, ou les longueurs 
de deux côtés, ou la somme de deux côtés 363 

Entre toutes les figures planes isopérimètres, le cercle est un maximum. 
— Maximum d'une figure composée d'une droite et d'une ligne de forme 
arbitraire. — Maximum d'un polygone de côtés donnés, ou d'un polygone 

»dont on donne le périmètre et le nombre des côtés. — Application aux 
polygones réguliers 365 
Du 



QUESTIONS PROPOSÉES SUR LA GÉOMÉTRIE PLANE. 



Exercices concernant les divers paragraphes : 

Du premier Livre (1 à 67 ) 369 

Du deuxième Livre (68 à 155) 376 

Du troisième Livre ( 156 à 372 ) 385 

Du quatrième Livre ( 373 à 481 ) 4o8 

Questions diverses de Géométrie plane (482 à 530) 419 



X V TABLE DES MATIÈRES. 



NOTES 



NOTE I. 

Mesure des grandeurs. 

Paget 

Mesure d'une grandeur commensurable avec l'unité ^^27 

Mesure d'une grandeur incommensurable avec l'unitd 428 

Calcul des nombres incommensurables 42c) 

Rapport des deux grandeurs 482 

Conditions pour que deux grandeurs varient proportionnellement 433 

Grandeur proportionnelle à plusieurs autres 435 



NOTE II. 

Sur l'impossibilité de la quadrature du cercle. 

Historique du problème 437 

Impossibilité de l'équation (A) ; transcendance de «? 438 

Impossibilité de l'équation (B ) ; transcendance de it , /|4o 



NOTE III. 

Sur la géométrie récente du triangle. 

Définition des coordonnées d'un point et d'une droite; coordonnées nor- 
males et coordonnées barycentriques 443 

Points complémentaires et anticomplémentaires ; triangle complémentaire 
et triangle anticomplétentaire du triangle de rélércnce; orthocentre, 
triangle orthique, droite d'Euler 44^ 

Droite et points harmoniquement associés à un point donné; axe orthique 
d'un triangle 44? 

Points et transversales réciproques 45o 

Points inverses, droites isogonales, triangle podaire et triangle anti- 
podairo 45 1 

Triangles orthologiques. — Propriétés des quadrangles métapolaires 4^4 

Métapôles de deux triangles; expressions des coordonnées des métapôlcs. 
Points jumeaux 4-6 



TADLE DES MATIÈRES. , XV 

Page 

Triangles métaharmoniques par rapport à un point; propriétés du triangle 
métaharmonique et du triangle podaire d'un triangle par rapport à un 
môme point. — Centres métaharmoniques de deux triangles; trouver 
dans le plan d'un triangle un point dont les distances aux trois sommets 
soient proportionnelles à des nombres donnés; points tripolairement 
associés 4^1 

Symédianes; centre des symédianes ou point de Lemoine, droite de Le- 
moine; coordonnées normales et coordonnées barycentriques du centre 
des symédianes; ces dernières coordonnées sont les mêmes dans le tri- 
angle donné et dans son triangle orthique; trouver dans le plan d'un 
triangle un point dont la somme des carrés des distances aux côtés du 
triangle soit un minimum; autres propriétés 1^67 

Centres isogones et centres isodynainiques; propriétés et détermination; 
cercles d'Apollonius 47 1 

Cefcle de Brocard; premier et second triangle de Brocard du triangle 
donné; angle de Brocard du même triangle; axes et angles de Steiner. 
— Propriétés et formules correspondantes. — Points de Brocard, leurs 
coordonnées barycentriques et leurs coordonnées normales. — Autres 
propriétés relatives au cercle de Brocard 47^ 

Cercles tangents aux trois côtés d'un triangle; point de Gergonne; point 
de Nagel /,82 

Des ligures semblablement variables; propriétés et formules diverses 484 

Sur quelques cercles remarquables. — Construire un triangle qui soit ho- 
mothétique à un triangle donné et tel que les six points de rencontre 
des côté.ï non homologues des deux triangles soient situés sur une même 
circonférence; conséquences. — Les projections respectives des pieds 
des hauteurs d'un triangle donné, sur les deux autres côtés, sont six 
points situés sur une même circonférence; etc 492 

Questions proposées sur la Géométrie du triangle (1 à 56) 5oi 



NOTE IV. 

Sur la Géométrographie. 

Notations 5i5 

Problèmes 5i8 

îclusion 545 



AVERTISSEMENT, 



Il y a deux manières d'écrire un livre destiné aux études 
on peut se restreindre aux Programmes officiels et n'en pas 
franchir le cadre; on peut aussi, en suivant strictement ces 
Programmes dans ce qu'ils ont d'obligatoire, aller au delà et 
essayer de les compléter. Pour appliquer une science, il ne 
suffit pas d'en connaître quelques parties; il faut être fami- 
liarisé avec toutes ses méthodes, en saisir l'ensemble. Les 
magnifiques découvertes de la Géométrie moderne n'ont pas 
pénétré dans l'enseignement; délaissées par les Programmes, 
elles n'occupent pas dans la série des études mathématiques 
la place qui leur est due; on en parle à peine et accessoire- 

Iient en Géométrie analytique, où elles semblent bien à tort 
tre une nouvelle conquête de l'admirable instrument créé 
ar Descartes. Nous sommes loin de reprocher aux Pro- 
, grammes leur silence à cet égard; ils sont tellement chargés, 
^^^'on serait mal venu à réclamer une addition. Mais ne peut-on 
^^t>prendre un programme d'examen et essayer en même 
^^mps de comprendre la portée de la science que l'on étudie, 
^ e n prenant une connaissance rapide, une vue générale de ses 
^^incipales méthodes? Telle est la pensée qui nous a guidés 
^Hins la composition de cet Ouvrage; c'est aussi celle qui ap- 
^Hiraît dans le choix des caractères employés. 

I 



XVIII AVERTISSEMENT. 

Borné aux parties imprimées en caractères ordinaires, l'Ou- 
vrage est entièrement conforme aux Programmes officiels et 
à leur esprit. Les numéros imprimés en petits caractères con- 
tiennent d'utiles développements du texte destinés aux Can- 
didats aux Écoles spéciales. Enfin les Appendices sont consa- 
crés à l'exposition des nouvelles méthodes. L'élève studieux 
les lira à son aise sans se préoccuper de la nécessité de rete- 
nir immédiatement tous les détails; il y puisera une profonde 
admiration pour la science dont les limites lui apparaîtront si 
lointaines, un goût des spéculations mathématiques qui don- 
nera à son esprit plus de rectitude et de fermeté; et, à me- 
sure que son savoir gagnera en étendue, par une réaction 
inévitable, les matières exigées, éclairées par ses nouvelles 
connaissances, perdront pour lui leur difficulté première. 

Le succès de nos éditions successives a donné pleinement 
raison à notre manière de voir. Aussi nous sommes-nous ap- 
pliqués sans cesse à compléter peu à peu notre œuvre. Il 
suffirait de comparer la Table des matières de la première 
édition à celle de l'édition actuelle pour se rendre compte de 
l'extension considérable que l'Ouvrage a reçue. 

Privé de la collaboration si précieuse de mon ami Charles 
de Comberousse, j'ai dû m'occuper seul de cette septième 
édition, assumant ainsi une tâche fort lourde, mais surtout 
douloureuse; car il est en noug; pour certaines pertes, des 
sources intarissables de regrets I Toutefois, malgré mon iso- 
lement, j'espère être parvenu à tenir ce Traité au courant des 
progrès accomplis. Voici les additions ou les améliorations 
les plus importantes : 

Les Notions historiques ont été notablement développées. 

Un chapitre sur la Symétrie a été introduit à la fin du pre- 
mier Livre. 

La théorie des cercles isogonaux, que jusqu'ici nous avions 



AVERTISSEMENT. XIX 

«ulement ébauchée, dans la deuxième Partie, sur la sphère, 
iêté développée dans la preiuière Partie, pour le cas du 
plan. 

Le problème d'Apollonius (cercle tangent à trois cercles 
donnés) a été traité par la méthode de M. Fouché, qui con- 
tient d'ailleurs la solution de Gergonne. Ce tracé se trouve, 
il est vrai, mentionné dans le Traité des propriétés projec- 
tiçes {^. i38). Mais M. Fouché, comme bien d'autres, igno- 
rait cette circonstance; d'ailleurs, tandis que Poncelet s'est 
borné à indiquer la solution dont il s'agit, M. Fouché en a fait 
une étude approfondie et en a tiré un très heureux parti pour 
la discussion fort épineuse du problème. 

C'est à M. Neuberg, le savant professeur de l'Université de 
Liège, que nous devons la Note Sur la Géométrie récente du 
triangle; nul n'a, d'ailleurs, plus que lui contribué à l'insti- 
tution de cette théorie. Nous lui avons, dans notre précédente 
édition, témoigné notre gratitude pour son obligeante con- 
fraternité scientifique; mais je tiens aujourd'hui à constater 
le succès de son travail, qui a suscité de nombreuses félici- 
tations. On peut, je crois, sans trop conjecturer, prédire le 
même sort à la Note nouvelle Sur les coniques remarquables 
annexées à un triangle, qui a été placée naturellement dans 
la seconde Partie, après la Théorie générale des coniques. 

La Note Sur l'impossibilité de la quadrature du cercle a 
été complètement changée. A la démonstration exacte mais 
^compliquée de M. Lindemann,. j'ai substitué la preuve plus 
y^ile de M. Hilbert {Mathematische Annalen, 1898). 
^Hln assez grand nombre de personnes m'ayant exprimé le 
^Kir de trouver dans ce Traité des notions sur la Géométro- 
graphie, j'ai cru ne pouvoir mieux faire que de m'adresser à 
l'inventeur, M. Lemoine, géomètre bien connu par ses con- 
ibutions à la Géométrie du triangle, où le point de Lemoine 



XX AVERTISSEMENT. 

joue un rôle prépondérant. Ma requête a été bien accueillie; 
la Note IV de la première Partie a été rédigée par M. Le- 
moine. 

Enfin, la Note relative à îa Géométrie non euclidienne, qui 
figurait dans l'édition précédente, a été remplacée par une 
belle Étude que M. Poincaré a eu l'obligeance de compo- 
ser sur le même sujet pour ce Traité, et qui sera certaine- 
ment fort appréciée de nos lecteurs. 



NOTIONS HISTORIQUES. 



Nous voyons par expériencfl 

qu'entre esprits égaux et toutes choses 
pareilles, celui qui a de la Géométrie 
l'emporte, et acquiert une Tigueur 
toute nouvelle. Pascal. 



Les idées d'étendue, de silualion et de forme sont aussi 
anciennes que l'homme. On attribue aux Égyptiens et aux 
Chaldéens le premier essai de coordination de ces idées. Hé- 
rodote explique comme il suit la naissance de la Géométrie 
en Egypte : 

rt Les prêtres me dirent encore que Sésoslris fit le partage 
dos terres, assignant à chaque Égyptien une portion égale et 
quarrée, qu'on tirait au sort, à la charge néanmoins de lui 
payer tous les ans une certaine redevance qui composait le 
revenu royal. Si une crue du Nil enlevait à quelqu'un une por- 
tion de son lot, il allait trouver Sésostris pour lui exposer l'ac- 
cident, et le Roi envoyait sur les lieux des Arpenteurs pour 
mesurer de combien l'héritage était diminué, afin de ne faire 

àyer la redevance convenue qu'à proportion du fonds qui 
estait. Voilà, je crois, l'origine de la Géométrie qui a passé 

ce pays à la Grèce (*). » 

C'est aussi en Egypte qu'Aristote (-) place le berceau de la 

tométrie. 

Quoi qu'il en soit, cette Science fut introduite chez les Greca 



) HÉRODOTE, Livre II, g CIX. 
[(') AlUSTOTE, l\létaphysicju€, tome I. 



XXn NOTIONS HISTORIQUES. 

par le Phénicien Thaïes (689-548 av. J.-C.)- Instruit en Egypte, 
où il surpassa bientôt ses maîtres, et où, d'après la légende, 
il étonna profondément le roiAmasis en mesurant la hauteur 
des pyramides de Memphis par l'étendue de leur ombre, 
Thaïes revint à Milet pour y fonder l'École ionienne, pépi- 
nière de philosophes et de savants. On lui attribue l'emploi 
de la circonférence de cercle pour la mesure des angles, 
et c'est à lui qu'on fait remonter la théorie des Triangles 
semblables. Il répandit d'ailleurs le premier en Grèce les 
connaissances astronomiques qu'il avait sans doute puisées 
en Egypte. 

A côté de Thaïes, on doit citer son disciple immédiat, 
Anaxamandre, l'inventeur présumé des cadrans solaires, ainsi 
que le dernier représentant de l'École ionienne, Anaxagore 
de Ciazomène, qui entreprit, paraît-il, dans sa prison, les pre- 
mières recherches sur la quadrature du cercle (43o ans 
av. J.-C). 

Dès que, par l'effet des fluctuations politiques, l'Ionie eut 
vu sa prospérité disparaître pour passer, d'abord en Sicile, 
puis dans l'Italie méridionale ou Grande-Grèce, la Science 
suivit ce mouvement, et c'est Crotone qui devint le siège de 
l'École italique, fondée vers Sog av. J.-C. par Pylhagore, à 
son retour d'un long voyage en Egypte et dans les Indes. 

Pythagore restera immortel, surtout par la proposition du 
carré de l'hypoténuse. Il en tira la conséquence relative à 
l'incommensurabilité de la diagonale et du côté du carré, et 
lui ou ses élèves en déduisirent plusieurs propriétés géné- 
rales des lignes incommensurables entre elles. Parmi les ré- 
sultats qui semblent dus à Pythagore, on peut encore citer la 
propriété du cercle ou de la sphère d'être maximum parmi les 
figures de même périmètre ou de même aire, et la première 
théorie des corps réguliers qui devaient jouer un si grand 



NOTIONS HISTORIQUES. ~^~ XXIII 

rôle dans les rêveries cosmogoniques de l'antiquité et du 
moyen âge. 

Les deux plus éminents successeurs de Pythagore sont Ar- 
cliitas de Tarente et Hippocrate de Chîos, qui vivaient l'un et 
l'antre vers 44o av. J.-C. Le premier a mis en évidence le 
problème de la duplication du cube; le second est resté cé- 
lèbre par la quadrature des lunules. Ils forment la transition 
entre Pythagore et Platon. 

C'est de Platon (43o-347) que date l'essor de la Géométrie 
en Grèce. Ce grand homme alla d'abord s'instruire près des 
prêtres égyptiens; puis, en Italie, auprès des Pythagoriciens. 
De retour à Athènes, il introduisit dans la Science la méthode 
analytique, la théorie des sections coniques et la doctrine si 
féconde des lieux géométriques. C'était créer une Géométrie 
nouvelle, à laquelle on donna à cette époque le nom de Géo- 
métrie transcendante. Telle fut, en Mathématiques, l'œuvre 
magnifique de l'illustre Philosophe, chef du Lycée, qui in- 
scrivit sur la porte de son École : « Que nul n'entre ici, s'il 
n'est géomètre. » 

La doctrine des lieux géométriques fut appliquée dès ce 
temps, avec une très grande ingéniosité, aux problèmes fa- 
meux de la duplication du cube, des deux moyennes propor- 
tionnelles et de la trisection de l'angle. La difficulté de ces 
questions tenait à ce qu'on ne voulait les résoudre qu'à l'aide 
de la règle et du compas. On fut obligé d'y renoncer et de se 
servir d'autres lignes que la ligne droite et le cercle. C'est 
ainsi que la quadrature a été imaginée par Dinostrate pour 
la résolution du problème de la trisection de l'angle. 

Platon eut de nombreux disciples dont les plus distingués 
sont : Aristophane, qu'Aristote mentionne comme s'étant oc- 
cupé de la quadrature du cercle; Eudoxe de Cnide, le disciple 
préféré qu'Archimèdc cite comme étant l'auteur delà mesure 



XXIV NOTIONS HISTORIQUES. 

de la pyramide et du cône; Hippias, dont les travaux sont 
de même nature que ceux de Dinostrate; enfin Menechme, 
frère de ce dernier, et auteur d'une contribution importante 
à la théorie, à peine encore ébauchée, des sections coniques. 

Les successeurs de Platon et de ses disciples étudièrent 
avec ardeur les sections coniques, dont Platon avait trouvé 
plusieurs propriétés. Ces célèbres courbes, qui devaient, deux 
mille ans plus tard, tenir tant de place dans la Philosophie 
naturelle, lors des superbes découvertes astronomiques de 
Kepler et de Newton, furent donc complètement connues des 
Grecs. 

De même que Platon avait rencontré les coniques, courbes 
du deuxième degré, en examinant les sections d'un cône par 
un plan, Perseus forma ses lignes splriques, courbes du qua- 
trième degré, en coupant un tore par un plan. L'époque où 
vivait Perseus est fort incertaine; ses écrits ont été perdus, 
et nous ne connaissons leur objet que d'après quelques lignes 
ajoutées par Proclus (5oo av. J.-C.) à son Commentaire des 
Éléments dCEuclide, 

Après la mort d'Alexandre le Grand, le centre de la civili- 
sation subit un nouveau déplacement. Alexandrie devint alors 
le siège de la Science, grâce aux efforts de Ptolémée I", le 
plus heureux des héritiers de l'illustre conquérant. C'est sous 
le règne (3i3 à 283 av. J.-C.) et par les largesses du fonda- 
teur de la dynastie des Tagides que le savant Euclide, qui 
habitait la Grèce, fut attiré dans la ville qui était devenue la 
capitale de l'Egypte. Il y fonda VÉcole d'Alexandrie, à la- 
quelle appartiennent les plus grands noms de la Géométrie 
ancienne : Euclide, Archimède et Apollonius. 

En rassemblant les découvertes de ses devanciers et les 
siennes propres, Euclide (285 av. J.C.) piépara celles de ses 
successeurs. Ce géomètre est surtout connu par ses Éléments 



NOTIONS HISTORIQUES. XXV 

OÙ Ton voit apparaître, pour la première fois, la méthode de 
réduction à l'absurde. Toutefois, il avait écrit d'autres Ou- 
vrages qui ne nous sont point parvenus et dont le plus pro- 
fond était sans doute ce fameux Traité des Porismes, dont la 
divination, après avoir exercé vainement la sagacité des 
meilleurs esprits des siècles derniers, a été si heureusement 
accomplie par Chastes, d'après un passage obscur et quelques 
lemme de Pappus. 

Jamais aucun livre de science n'a eu une aussi longue in- 
fluence que les Éléments d'Euclide. Ils ont été traduits et 
commentés dans toutes les langues, enseignés exclusivement 
pendant des siècles dans toutes les Écoles de Mathématiques : 
on les suit encore en Angleterre. Ils sont divisés en treize 
Livres, dont les six premiers et les trois derniers appar- 
tiennent à la Géométrie; les quatre autres se rapportent au 
calcul des grandeurs. On ne trouve pas dans les Éléments la 
mesure de la circonférence du cercle : cette découverte capi- 
tale était réservée à Archimède. 

En môme temps que lesÉléments, un autre Ouvrage d'Eu- 
clide nous est parvenu, dont Newton lui-même a eu l'occa- 
sion de se servir, et qui portait le titre de Données. Pour Eu- 
clide, une donnée était ce qu'on peut déduire des conditions 
d'un problème à l'aide des théorèmes contenus dans les Élé- 
ments. Telle est, par exemple, la proposition suivante : « Si 
par un point connu on mène une droite qui touche un cercle 
connu, la droite est donnée de grandeur et de position. » Il 
y avait 96 propositions de ce genre; et, résoudre un pro- 
blème, c'était, dans le langage de cette époque, le ramener à 
des données. 

Les anciens géomètres cherchaient à mettre une extrême 
rigueur dans leurs démonstrations. Par cela même, celles 
d'Euclide sont quelquefois longues, indirectes et compliquées 



XXVI NOTIONS HISTORIQUES. 

pour les commençants. Aussi, Ptolémée Philadelphe, roi 
d'Egypte, dont il fut le maître, lui demanda-t-il un jour d'apla- 
nir un peu en sa faveur les difficultés de la roule. « Seigneur, 
lui répondit Euclide, il n'y a pas en Géométrie de chemin 
particulier pour les rois. » 

Immédiatement après Euclide, Archimède et Apollonius 
marquèrent l'apogée de la Géométrie chez les anciens. Toutes 
les branches des Mathématiques conservent les traces ineffa- 
çables de leurs sublimes conceptions. 

Les travaux d'Archimède (287-212 av. J.-C.)> le plus grand 
mathématicien de l'antiquité, se rapportent spécialement à la 
Géométrie de la mesure. 

En trouvant le rapport de la circonférence au diamètre et 
en effectuant de deux manières différentes la quadrature de 
la parabole, le géomètre de Syracuse donna les premiers 
exemples d'un problème résolu par approximation et de 
l'évaluation rigoureuse d'une aire à contour curviligne. 

Le Traité des spirales, la proportion de la sphère et du cy- 
lindre circonscrit, la cubature des sphéroïdes (ellipsoïdes de 
révolution) et des conoïdes (paraboloïdes et hyperboloïdes 
de révolution), sans oublier dans le môme domaine le prin- 
cipe du levier, la notion du centre de gravité et l'équilibre 
des corps flottants ou plongés dans les liquides, sont au- 
tant d'inventions ou de découvertes capitales de ce génie 
créateur, auquel la Statistique doit autant que la Géométrie. 

La marche suivie par Archimède, pour démontrer des vé- 
rités mathématiques si nouvelles, constitue la Méthode d'ex- 
liaustion dans laquelle la Méthode des limites se trouve en 
germe. 

Veut-il, par exemple, chercher l'aire enfermée par une 
courbe, il regarde cette courbe comme la limite dont s'ap- 
prochent de plus en plus des polygones inscrits et circon- 



NOTIONS HISTORIQUES. XXVII 

scrits, quand on multiplie par bissection le nombre de leurs 
côlés, de manière que la différence tombe au-dessous de 
toute quantité donnée. Il épuise, pour ainsi dire, cette diffé- 
rence, d'où est venu le nom de la méthode. Une fois le ré- 
sultat obtenu par voie de rapprochements successifs et par 
induction finale, Archimède revient à la méthode par l'ab- 
surde, pour l'établir en toute rigueur. 

On sait que les merveilleuses inventions du grand Géo- 
mètre ne purent empêcher Syracuse de tomber par surprise 
aux mains de Marcellus, et que, malgré les ordres de ce gé- 
néral, Archimède périt victime de l'ignorance et de la bruta- 
lité d'un soldat. Le tombeau de ce prodigieux génie, oublié 
par les descendants de ceux qu'il avait défendus contre les 
Romains, fut retrouvé deux cents ans après sa mort, caché 
sous les ronces, dans une campagne voisine de Syracuse : il 
portait gravés, selon le vœu du géomètre, le dessin de la 
sphère inscrite au cylindre et six vers grecs qui rappelaient 
sa découverte. Ces vestiges permirent à Cicéron, alors ques- 
teur en Ciciie, de le retrouver après bien des recherches, et 
^^^ ramener une seconde fois, comme il le dit, Archimède à 
^la lumière. 

Né à Perge, en Pamphylie, Apollonius était de 4i ans plus 
je une qu'Archimède; il vient à Alexandrie sous le règne de 
HkoléméePhilopator. Ses écrits sont surtout relatifs à la Géo- 
^^Bétrie de la forme. Le principal est le grand Traité des Co- 
^^iques, qui valut à son auteur, de la part de ses contempo- 
rains, le surnom de Géomètre par excellence. On y trouve les 
propriété des asymptotes, des foyers, des diamètres conju- 
gués, des normales, de la polaire et du système de deux 
coniques; citons encore la première idée des développées, 
et de belles questions de maximum et de minimum qui ren- 

R. et DE G. — Tr. de Géom. (I" Partie.) d 



XXVIII NOTIONS HISTORIQUES. 

ferment tout ce que les méthodes analytiques actuelles noua 
enseignent sur ce sujet. 

Ce grand Traité des Coniques était divisé en huit Livres. 
Les quatre premiers sont arrivés jusqu'à nous en grec, c'est- 
à-dire dans le texte original; nous ne connaissons les trois 
suivants que par une traduction arabe qui date du milieu du 
treizième siècle et qui fut elle-même mise en latin vers 1600; 
le huitième Livre est perdu. Le célèbre astronome Halley, 
par un effort de divination, a restitué ce huitième Livre 
d'après le plan d'Apollonius, et a publié à Oxford, en 17 10, 
une magnifique édition du Traité ainsi complété. C'est dans 
le septième Livre qu'Apollonius démontre les deux théorèmes 
célèbres qui portent son nom et qui lient les diamètres con- 
jugués aux axes dans l'ellipse et dans l'hyperbole. 

Ajoutons que ce fut lui qui, le premier, considéra les coni- 
ques sur un cône oblique à base circulaire, le plan sécant 
étant perpendiculaire au plan déterminé par l'axe et la hau- 
teur du cône. On ne les avait étudiées jusque-là que sur le 
cône de révolution, et encore, en supposant le plan sécant 
perpendiculaire à l'une des génératrices du cône : on était 
ainsi obligé de prendre trois cônes d'angle difTérent pour ob- 
tenir les trois sections coniques, qui ne reçurent les noms 
sous lesquels nous les désignons aujourd'hui que dans l'Ou- 
vrage de l'émule d'Archimède. 

Les autres Ouvrages d'Apollonius ne nous sont pas parve- 
nus; nous ne les connaissons que par des traductions rares 
ou par des restitutions faites au dix-septième siècle d'après 
les indications laissées par Pappus. 

On attribue encore à Apollonius une théorie des épicycles 
servant à expliquer la station et la rétrogradation apparentes 
des planètes. 

Parmi les contemporains d'Apollonius, nous signalerons 



NOTIONS HISTORIQUES. XXIX 

!râïbslhène, le savant directeur de la bibliotlièque d'Alexan- 
drie; Nicomède, l'inventeur de la conchoïde, et Dioclès, l'in 
venteur de la cissoïde. 

Les successeurs d'Archimède et d'Apollonius dirigèrent 
leurs méditations vers, l'Astronomie et vers les parties de la 
Géométrie qui se rattachent à cette Science. Nous nous con- 
tenterons de mentionner les principaux. 

Hipparque (i5o av. J.-C), le plus grand astronome de l'an- 
tiquité, fut le véritable fondateur de l'Astronomie mathéma- 
thique, l'inventeur de la Trigonométrie rectiligne et sphé- 
rique. C'est à lui qu'on fait remonter la découverte de la 
projection stéréographique. 

Le Traité des Sphériguesde Théodose (loo av. J.-C), où ce 
géomètre étudie diverses propriétés des grands cercles tracés 
sur la sphère, a eu beaucoup de réputation à cause de son 
exposition fort méthodique; commenté par Pappus, il a été 
traduit par les Arabes, puis par divers géomètres modernes. 

Ménélaûs (80 ap. J.-C), géomètre et astronome, publia un 
Ouvrage important sur les Cordes, qui a été perdu, et un 
Traité des Sphériques, qui nous a été conservé par les Arabes. 

La plus importante proposition des Sphériques de Méné- 
laûs est celle qui concerne les six segments déterminés sur 
les trois côtés d'un triangle sphérique par un arc de grand 

Iercle quelconque. Ménélaiis emploie comme lemme, pour 
a démonstration, le théorème analogue de Géométrie plane 
Ont Carnot a fait, de nos jours, le fondement de sa théorie 
es transversales. 

Ptolémée (i25 apr. J.-C), astronome et géomètre du plus 

rand savoir, nous a laissé, dans son Almageste (^), un vérl- 

ble Traité de Trigonométrie rectiligne et sphérique. 11 éta 

(*) En iuabe, Almageste veut dire très grand. 



XXX NOTIONS HISTORIQUES. 

blit sa Trigonométrie sphérique sur le théorème des six 
segments, dû à Ménélaûs. On trouve, enire autres, dans 
VAlmageste, la belle propriété du quadrilatère inscrit dans le 
cercle, par laquelle le produit des diagonales est égal à la 
somme des produits des côtés opposés. Elle est donnée 
comme un lemme pour la construction d'une Table de cordes. 

Citons encore, de Plolémée, son Optique et un Traité des 
trois dimensions des corps, où, le premier sans doute, il parle 
des trois axes rectangulaires auxquels la Géométrie analytique 
rapporte aujourd'hui le plus souvent la position d'un point 
quelconque dans l'espace. 

Enfin, la Géométrie est redevable à Ptolémée de la consi- 
dération des Projections, qu'il employa pour le tracé des 
cartes géographiques. 

Nous devons nommer avec honneur Pappus (385 ap. J.-C), 
le plus célèbre commentateur des Ouvrages de l'École grecque 
qui s'était développée à Alexandrie, esprit original et profond 
dont Descaries faisait grand cas. 

Ses précieuses Collections mathématiques représentent à 
peu près l'état de la Science à cette époque. Elles étaient 
divisées en huit Livres : les deux premiers ne sont pas parvenus 
jusqu'à nous; les autres renferment surtout des questions de 
Géométrie, mais l'Astronomie et la Mécanique n'y sont pas 
oubliées. On y trouve la fameuse règle connue sous le nom 
Théorème de Guldin, qui fait intervenir le centre de gravité 
d'une ligne ou d'une surface dans la mesure de l'aire ou du 
volume de révolution correspondant. Cette proposition, re- 
trouvée par Guldin au commencement du xvir siècle, semble 
appartenir à Pappus. La préface du septième Livre renferme 
une définition précise de Vanalyse et de la synthèse, et le 
géomètre alexandrin donne ensuite des exemples de ces deux 
méthodes appliquées tour à tour à une même question. On 



NOTIONS HISTORIQUES. XXXI 

voit, par les problèmes qu'il résout, que les anciens s'étaient 
livrés d'une manière assez approfondie à l'élude des surfaces 
courbes et des lignes à double courbure tracées sur ces sur- 
faces. Enfin on rencontre dans les Collections la propriélé 
fondamentale du rapport anharmonique, le germe de la 
théorie de l'involution, un cas particulier de la belle propriété 
de l'hexagone inscrit dans une conique et la nolion de la di- 
rectrice dans ces courbes, qui avait échappé à Apollonius. 

La Géomélrie dite moderne a donc ses racines dans Tanti- 
quilé, et ses progrès eussent été bien plus rapides sans l'arrêt 
imposé aux sciences par les bouleversements et les transfor- 
mations qui suivirent la décadence et la chute de l'Empire 
romain. 

Pappus eut quelques continuateurs distingués; nous cite- 
rons : Serenus(de Lesbos), qui acquit une certaine notoriété 
en montrant, contrairement à l'opinion alors généralement 
répandue, que l'ellipse formée par la section plane du cône 
ne diffère pas de celle qu'on obtient par la section du cy- 
lindre; le célèbre philosophe grec Proclus (4i 2-485), qui a 
laissé un commentaire d'Euclide renfermant, outre des no- 
lions historiques intéressantes, la description de l'ellipse par 
le mouvement d'un point d'une droite dont les extrémités 
glissent sur les côtés d'un angle; enfin Eutocius, qui vivait 
en 540 sous Justinien, et dont les Commentaires sur Apollo- 
nius et sur Archimède contiennent beaucoup de renseigne- 
ments précieux pour l'histoire de la Science. 

C'est la fin de l'École d'Alexandrie, qui avait d'ailleurs 
pcrilu déjà tout son éclat lors de la conquête arabe (638 
ap. J.-C). Au viii« siècle, et surtout au ix% l'école de Bagdad 
compta quelques commentateurs habiles des Ouvrages grecs 
échappés aux désastres successifs de la bibliothèque d'Alexan- 
drie; mais, en Europe, mille ans s'écoulèrent dans une 



XXXII NOTIONS HISTORIQUES. 

profonde stagnation, et ce n'est que vers le milieu du 
xYi« siècle que la Géométrie, suivant le mouvement général 
des Lettres, des Sciences et des Arts, se ranima. 

Pour être juste envers les Arabes, il faut cependant recon- 
naître que la Trigonométrie leur doit la forme simple et 
commode sous laquelle nous l'appliquons. Parla substitution 
des sinus aux cordes des arcs doubles qu'on employait aupa- 
ravant, ils abrégèrent notablement les calculs. Cette substi- 
tution est due au savant Albategni, surnommé le Ptolémée 
arabe, qui mourut à Bagdad en 929. Il convient de citer en- 
core Alhazen, mort au Caire en io38, auteur d'un Traité 
d'Optique, où l'on trouve la solution du problème du miroir 
(ou du billard) circulaire. 

Dès le commencement de la Renaissance, le fil fut enfin 
renoué, la tradition reconstituée, et l'ancienne Géométrie 
cultivée en Europe avec succès. La plupart des Ouvrages 
laissés par les géomètres grecs furent traduits en latin ou en 
italien. L'étude des langues anciennes, alors fort répandue, 
multipliait les moyens d'instruction, et l'imprimerie, en pro- 
pageant les productions des anciens Maîtres, favorisait le 
réveil de la Science. 

C'est notre compatriote Viète, de Fontenay-le-Comtc ( i54o- 
i6o3), qui ouvrit la marche; véritable créateur de l'Algèbre, 
il eut la gloire d'introduire cet admirable instrument dans la 
science de l'étendue. Par sa construction graphique des équa- 
tions du deuxième et du troisième degré, il fit un premier 
pas dans la voie féconde, qui devait, en unissant intimement 
l'Algèbre et la Géométrie, conduire aux grandes découverles 
de Descartes et mettre en notre possession la clé universelle 
des Mathématiques. 

Très versé aussi dans la Géométrie des anciens, Viète resti- 
tua le Traité perdu d'Apollonius, Z><?7'ac^^o/^/^w5 (des contacts), 



NOTIONS HISTORIQUES. XXXIII 

SOUS le litre ù' Apollonius Gallus. C'est là qu'il résolut, le pre- 
mier, le problème du cercle tangent à trois cercles donnés, 
problème difficile alors, mais dont les méthodes modernes 
ont offert des solutions plus élégantes et plus simples. Il per- 
fectionna en outre, de la manière la plus utile, la Trigono- 
métrie, en faisant connaître la loi suivant laquelle croissent 
les sinus des arcs multiples et en résolvant quelques cas 
nouveaux des triangles sphériques qui n'avaient point reçu 
d'application en Astronomie, par exemple celui où Ton doit 
trouver un angle connaissant les trois côtés. 

On remarque, dans la Trigonométrie de Viète, une idée 
neuve et très heureuse sur la transformation des triangles 
sphériques. Le triangle réciproque considéré par Viette a 
deux de ses côtés égaux à deux angles du triangle primitif et 
le troisième côté égal au supplément du troisième angle. Il 
n'y a donc pas entre ces deux triangles la réciproque par- 
faite dont jouissent les triangles supplémentaires découverts 
en 1627 par Snellius (de Leyde), et qui constituent en réalité 
la première apparition de la loi générale de la dualité de 
l'étendue que Poncelet et Chasles devaient, plus de deux 
siècles après, mettre en pleine lumière. 

C'est au grand Kepler ( 167 j-i63i) qu'on doit l'introduction 
de l'idée de V infini en Géométrie; il put, par son aide, géné- 
raliser, dans sa Nouvelle Stéréométrie, les recherches d'Ar- 
chimède sur la cubature des sphéroïdes et des conoïdes. 
Il faut encore ajouter à l'actif en Géométrie du fondateur 
de l'Astronomie moderne la doctrine des polygones étoiles 
(retrouvée de nos jours par Poinsot), le principe fonda- 
mental des maxima et des minima, et enfin sa belle mé- 
thode des projections pour déterminer, par une construction 
graphique et près de deux cents ans avant l'invention de 



XXXIV l^OTIONS HISTORIQUES. 

Monge, les circonstances des éclipses de Soleil pour les habi- 
tants des différentes régions terrestres. 

Quelques années après Kepler, Cavalleri, professeur à Bo- 
logne (i 598-1647), donna sa Géométrie des indivisibles, où il 
montrait, comme l'illustre astronome, à évaluer les gran- 
deurs géométriques par leurs éléments. La méthode de 
Cavalleri, qui a suppléé pendant cinquante ans au Calcul 
intégral, n'est, comme il l'a fait voir lui-même, qu'une trans- 
formation heureuse de la méthode d'exhaustion, si habile- 
ment appliquée par Archimède. 

Grégoire de Saint-Vincent (iSS/j-iôô;), à son tour, mais 
d'une manière qui lui était propre, appliqua, comme Caval- 
leri et Roberval, la méthode d'exhaustion d'Archimède aux 
quadratures curvilignes. Il a mérité par là d'être regardé, lui 
aussi, comme un des précurseurs du Calcul infinitésimal. La 
Géométrie des sections coniques lui doit de nombreuses dé- 
couvertes, et il écrivit un Traité remarquable sur les rappro- 
chements singuliers qu'on peut faire entre la parabole et la 
spirale, dont les propriétés se correspondent. Il donna ainsi 
l'occasion à Pascal de composer son beau Mémoire sur Véna- 
lité des lignes spirale et parabolique. 

Descartes (iSgô-iôSo), Fermât (1590-1662), Roberval (1602- 
1675), eurent presque en même temps la gloire de résoudre, 
dans toute sa généralité, chacun par une voie distincte, le 
Problème des tangentes aux lignes courbes. 

On connaissait des solutions particulières de ce Problème 
pour quelques courbes, comme les coniques et la spirale 
d'Archimède; mais ces solutions restaient impuissantes dans 
leur étroitesse spéciale, dès qu'on voulait aborder une courbe 
nouvelle. La Géométrie demeurait concrète; elle ne s'était 
point élevée au caractère abstrait qui pouvait seul lui donner 
toute son étendue et toute sa puissance. 



NOTIONS HISTORIQUES. XXW 

Descartes et Fermât, en appliquant différemment ce point 
(le vue, regardaient tous deux la tangente à une courbe 
comme une sécante dont deux points d'intersection sont 
réunis; Roberval la considérait comme la direction du mou- 
vement résultant par lequel la courbe peut être décrite. Sa 
méthode, qui rentre mieux que celle de Descartes ou de 
Fermât dans la Géométrie pure, était ainsi fondée sur la 
composition des mouvements, doctrine découverte par Galilée 
peu de temps auparavant et appliquée par lui à la seule Mé- 
canique. L'idée de déduire des considérations de mouvement 
un principe de génération de toutes les courbes fait certaine- 
ment grand honneur à Roberval. 

Le profond Fermât, membre du Parlement de Toulouse, 
dans les écrits duquel apparaissent, comme dans ceux de Ke- 
pler, les germes évidents de la Méthode infinitésimale, fut 
sans égal dans la Théorie des nombres. Il partage avec Pascal 
la gloire de l'invention du Calcul des probabilités, et, par 
l'application de sa belle méthode De maximis et minimis au 
phénomène de la réfraction de la lumière, il a mérité d'être 
associé à Descartes comme introducteur des Mathématiques 
dans l'étude des'phénomènes naturels. Fermât excella aussi 
dans la Géométrie des anciens; on lui est redevable de la 
restitution des lieux plans d'Apollonius, Ouvrage perdu, et 
de la première solution complète des problèmes relatifs au 
contact des sphères, solution remarquable, mais qui a été 
dépassée depuis. 

Pascal (1623-1662), si justement renommé pour ses éton- 
nants travaux sur la cycloïde, sur les indivisibles et sur le 
Calcul des probabilités, avait trouvé, dès l'âge de seize ans, la 
belle propriété de Yhexagramme mystique (ou de tout hexa- 
gone inscrit à une Conique, d'avoir en ligne droite les trois 
points de concours de ses côtés opposés). 11 la prit pour base 



XXXVI NOTIOAS HISTORIQUES. 

d'un Traité complet des coniques. Cet Ouvrage a été malheu- 
reusement perdu, comme beaucoup d'autres de ce génie hors 
ligne et d'une si effrayante précocité, et nous n'en possédons 
qu'une sorte de programme, V Essai sur les coniques, que 
Pascal publia dès i64o. 

Dans les écrits de Pascal, on reconnaît l'influence de son 
contemporain, le Lyonnais Desargues (iSgS-ïôôS), qu'un sa- 
vant géomètre de nos jours, Poncelet, a surnommé le Monge 
de son siècle. Les anciens, qui étudiaient les sections coniques 
dans le cône même, employaient des démonstrations souvent 
pénibles et surtout différentes pour les trois courbes. De- 
sargues, en cherchant à leur appliquer directement les pro- 
priétés du cercle qui était la base du cône, parvint à des 
démonstrations qui convenaient à la fois aux trois espèces de 
coniques, malgré la différence de forme de ces lignes. Il dé- 
couvrit la propriété involutive du quadrilatère .inscrit dans 
une conique, la propriété fondamentale des triangles homo- 
logiques, et écrivit avec le même talent et le même esprit de 
généralisation sur la Coupe des pierres, la Gnomonique et la 
Perspective. 

Quoique nous nous soyons ici placés surtout au point de vue 
de la Géométrie pure, nous devons mentionner hautement la 
création de la Géométrie analytique par Descartes (1637). 
L'avènement de cette nouvelle doctrine, si séduisante pa: 
son caractère d'universalité, si facilement féconde, et dont 
on ne trouve aucun germe dans les écrits des anciens, fut 
une véritable révolution. Le grand philosophe, par cette ad- 
mirable conception ô.qY Application de l' Algèbre à la théorie 
des courbes, put franchir des obstacles qui avaient arrêté les 
plus profonds géomètres, et changea la face des Sciences ma- 
thématiques. On le suivit avec enthousiasme, et un coup fu- 
neste fut portée à la Géométrie pure. 



■r ^NOTIONS HISTORIQUES. XXXV II 

Cependant, quelques esprits éminents s'opposèrent à cette 
décadence, et soutinrent dignement l'honneur des méthodes 
anciennes. Nous citerons Huygens (1629-1695), à la Haye, et 
De la Hire (1640-1718), à Paris. 

Huygens, que Newton proclamait le plus excellent imitateur 
de anciens, et que Leibnitz plaçait au premier rang parmi les 
hommes de son siècle, créa la théorie des développées et dé- 
couvrit les lois de la force centrifuge. Son célèbre Traité, De 
horologio oscillatorio, est l'indispensable introduction des 
Principes de Newton, et se place tout à côté dans l'histoire 
des grandes conceptions de l'esprit humain. Il faut en dire 
autant du Traité de la Lumière de l'illustre Hollandais, à qui 
l'on doit la théorie des ondes. 

Le principal Ouvrage publié par De la Hire est un grand 
Traité des sections coniques divisé en neuf Livres, et qui 
eut une grande réputation dans l'Europe savante. Dans ce 
Traité, il s'élève des propriétés du cercle, base du cône, aux 
propriétés analogues des sections d» la surface par un plao 
tout à fait quelconque, et Ton peut, à juste titre, regarder 
cet habile géomètre comme un digne continuateur de Pascal 
et de Desargues. Son Mémoire sur les épicycloïdes, sa théorie 
des roulettes et son Traité de Gnomonique méritent d'être 
rappelés. C'est à lui qu'on doit, au fond, la théorie du pôle et 
de la polaire, dont Apollonius n'avait connu qu'un théorème, 
et la transformation homologique, qui, employée ensuite par 
Newton, a été retrouvée de nos jours d'une autre manière et 
développée avec un rare talent par Poncelet dans son beau 
Traité des propriétés projectiles des figures (*), où Ton 
trouve les applications les plus intéressantes et les plus va- 
riées de celte théorie. 

( ») Deuxième édition, i865; 2 vol. in-4°, avec planches, chez Gauthier- Villars. 



XXXVIII NOTIONS HISTORIQUES. 

En résumé, à la fin du xvii« siècle, trois sortes de Géomé- 
trie s'offraient aux méditations des savants : la Géométrie des 
anciens, la Géométrie analytique de Descartes, et une troi- 
sième espèce de Géométrie, celle de Desargues et de Pascal, 
qui devait prendre une si grande extension au xix® siècle et 
dont on rencontre déjà quelques principes dans les Porismes 
d'Euclide et les Collections de Pappus. « Cette troisième 
» branche de la Géométrie, qui constitue aujourd'hui ce que 
» nous appelons la Géométrie récente, est exempte de calculs 
» algébriques, quoiqu'elle fasse un aussi heureux usage des 
» relations métriques des figures que de leurs relations de 
» situation; mais elle ne considère que des rapports de dis- 
)) tances reclilignes d'un certain genre, qui n'exigent ni les 
» symboles ni les opérations de l'Algèbre. Cette Géométrie 
» est la continuation de V Analyse géométrique des anciens, 
» sur laquelle elle offre d'immenses avantages par la généra- 
» lité, l'uniformité et l'abstraction de ses méthodes, et par 
» l'usage si utile de fa contemplation des figures à trois 
» dimensions dans les simples questions de Géométrie 
» plane (*). » 

La découverte du Calcul infinitésimal par Leibnitz (i646- 
1716) et Newton (1642-1717) arrêta à son tour les progrès de 
la Géométrie. Nous n'avons pas à entrer ici dans les détails 
sur l'objet de V Analyse infinitésimale, ni sur les polémiques 
auxquelles donna lieu son invention; le géomètre philosophe 
de Leipzig et le Membre éminent de la Société Royale de 
Londres partagent la gloire d'avoir inventé celte sublime 
doctrine, et « quoique différemment illustres, chacun d'eux 
» doit être tenu pour honoré de s'être rencontré avec un tel 
» émule ('). » 



(') CiiASLES, Jperçu historique, Bruxelles, 1887. 

(.")!. Bertrand, Traité de Calcul différentiel et intégral. 



NOTIONS HISTORIQUES. XXXIX 

Le nouveau Calcul s'appliqua avec une si grande facilité à 
la Géométrie des mesures et à l'élude des phénomènes natu- 
rels, qu'il devint presque exclusivement l'objet des travaux 
des plus illustres géomètres. Toutefois la chaîne ne fut pas 
entièrement rompue. Newton lui-même, donnant l'exemple, 
prouva, dans ses admirables Principes da la Philosophie na- 
turelle, que la Géométrie pure se prête aux recherches de 
l'ordre le plus élevé. Cotes (1682-1716) et Maclaurin (1698- 
1746) étudièrent les propriétés générales des courbes géomé- 
triques. Il faut encore citer l'astronome Halley (1656-17/42) 
pour ses belles traductions d'Apollonius et de Ménélaûs; 
Simson (1687 1768), pour ses écrits sur les coniques, sa resti- 
titution de la section déterminée d'Apollonius et sa remar- 
quable tenlalive de divination des Porismes; Slewart (1717- 
1785), pour ses Théorèmes généraux; Lambert (1728-1777), 
pour son Traité géométrique des Comètes: enfin Euler (1707 
1788), pour ses Théorèmes si élégants et si généraux sur la 
courbure des surfaces et sur la relation entre les nombres de 
sommets, d'arêtes et de faces d'un polyèdre. Mais, en dépit 
de ces louables efforts, aucune doctrine nouvelle ne surgit 
jusqu'au xix* siècle, et cette période se distingue surtout par 
les belles applications que l'on fit de la Géométrie à l'étude 
des phénomènes naturels. 

Au commencement du xix« siècle, la création de la Géomé- 
trie descriptive marqua une ère nouvelle dans l'histoire de la 
Géométrie. Considérée comme simple doctrine géométrique, 
indépendamment de son utilité pratique, la Géométrie de 
Monge fut d'un immense secours dans l'étude des propriétés 
de rétendue. En familiarisant l'esprit avec la forme des corps, 
elle développa notre puissance de conception, éclaira la Géo- 
métrie analytique dont elle apprit à interpréter les résultats 
avec une grande facilité, et permit de raisonner, dans les cas 



XL ^OTI0NS HISTORIQUES. 

les plus compliqués, sans le secours de ces figures qui, en ab- 
sorbant Tatlention, entravent la pensée. Elle montra l'alliance 
intime des figures planes et des figures de l'espace, et la Science 
s'enrichit dès lors de ces méthodes élégantes et tant cultivées 
depuis qui permettent de déduire des propriétés des figures 
à trois dimensions les théorèmes de la Géométrie plane. 

C'est encore Monge (1746-1818) et à son école qu'on doit 
l'introduction dans la Science d'un mode de démonstration 
qui, bien que manquant au fond de cette rigueur si justement 
recherchée des géomètres anciens, a cependant conduit à de 
magnifiques résultats. Nous voulons parler du principe des 
relations contingentes ou de continuité : « Certaines par- 
» ties d'une figure, considérées dans un état général de 
» construction, peuvent être indifféremment réelles ou ima- 
» ginaires. Or il arrive souvent que ces parties servent utile- 
» ment, dans le cas de la réalité, à la démonstration d'un 
» théorème, et que cette démonstration n'a' plus lieu quand 
» ces mêmes parties deviennent imaginaires. Alors on dit 
» qu'en vertu du principe de continuité \e théorème démontré 
» dans le premier cas s'étend au second, et on l'énonce d'une 
» manière générale. Quelquefois le contraire a lieu, et c'est 
» quand certaines parties d'une figure sont imaginaires que 
» l'on y trouve les éléments d'une démonstration facile, dont 
» on applique ensuite les conséquences, en vertu du principe 
» de continuité, au cas où ces mêmes parties sont réelles et 
» où la démonstration n'existe plus (^). » Tel a été le point 
de départ de l'introduction des imaginaires en Géométrie; 
mais nous devons ajouter que cette introduction si impor- 
tante n'a été accomplie, d'une manière véritablement irré- 
prochable, qu'un peu plus tard par M. Chasles, dont les dé- 



(») Chasles, Préface de la Géométrie supérieure, 1846. 



i 

Fi 



NOTIONS HISTORIQUES. 

onslrations se distinguent par ce caractère spécial, que les 
objets susceptibles de devenir infiaginaires n'y entrent pas 
sous forme explicite, mais y sont représentés par des élé- 
ments réels, de même que les racines d'une équation n'en- 
trent pas elles-mêmes dans les calculs de la Géométrie ana- 
lytique, mais y sont représentées collectivement par les 
coefficients de cette équation. 

L'apparition de la Géométrie de Monge recula les bornes 
de la Géométrie pure, un peu délaissée depuis un siècle, et 
l'on chercha dès lors à obtenir par cette voie seule les nom- 
breux résultats dont l'Analyse de Descartes avait enrichi la 
Science. Parmi les Ouvrages entrepris dans ce but et qu'on 
peut regarder comme l'heureuse continuation de ceux de 
Desargues et de Pascal, il faut citer au premier rang la Géo- 
métrie de position et V Essai sur les transversales de Carnot, 
les Développements de Géométrie de Charles Dupin, et le 
grand Traité des Propriétés projectiles des fig ares dans lequel 
Poncelet (i 788-1 857), par l'habile emploi du principe de con- 
tinuité et la belle création des théories des polaires réci- 
proques et des figures homologiques, a démontré toutes les 
propriétés coïinues des lignes et des surfaces du second 
ordre, et a doté en outre la Science d'une foule de résultats 
nouveaux. 11 convient de signaler encore les savants écrits de 
Legendre, Hachette, Brianchon, Gergonne, Dandelin, Que- 

let ; les travaux de Gaultier, de Steiner et de Gudermann sur 
Géométrie de la sphère qu'avaient déjà cultivée Lexell, 

uss, Lhuillier de Genève et Magnus de Berlin; la belle 
Théorie de la rotation des corps de Poinsot; les études de ce 
géomètre, de Cauchy et de M. Bertrand sur les polyèdres; 
les belles recherches de Géométrie infinitésimale* d'Ossian 
Bonnet, et enfin les travaux si remarquables et si nombreux 

e Chasles (1798-1860), parmi lesquels nous nous bornerons 



XLII NOTIONS HISTORIQUES. 

à citer V Aperçu historique, la Géométrie supérieure, le Traité 
des Porismes; les recherches sur Vattraction des ellipsoïdes, 
sur les cônes du second ordre, sur les surfaces réglées: le 
Mémoire sur la dualité et V homographie, ces deux lois si 
générales de l'étendue figurée; et la nouvelle méthode de 
détermination des caractéristiques des systèmes de coniques. 
Tune des dernières productions de ce maître éminent. 

La Géométrie marche donc à grands pas dans une voie fé- 
conde. Grâce aux belles conquêtes de notre siècle, elle a 
regagné sur l'Analyse le terrain perdu. 




TRAITÉ 



GÉOMÉTRIE. 



INTRODUCTION. 



1. Le volume d'un corps matériel est l'étendue du lieu que 
ce corps occupe dans l'espace. Ce lieu est essentiellement 
limité; sa limite, qui le sépare de l'espace environnant, prend 
le nom de surface. Les diverses faces d'un corps sont autant 
de surfaces dont les limites ou les intersections mutuelles 
s'appellent lignes. Enfin, on donne le nom de points aux li- 
mites ou extrémités d'une ligne, aux intersections mutuelles 
des lignes. 

Ces idées de surface, de ligne et de point, étant une fois 
acquises par la considération des corps, la surface, la ligne et 
le point peuvent ensuite être conçus indépendamment du 
corps, des surfaces et des lignes, dont ils constituent les li- 
mites. C'est ainsi qu'on arrive à regarder inversement une 
ligne comme le lieu des positions successives d'un point mo- 
bile, et une surface comme le lieu des positions successives 
d'une ligne qui se meut suivant une loi déterminée. 

On donne le nom de figure à un ensemble quelconque de 
surfaces, de lignes ou de points. 

ILa Géométrie a pour objet l'étude des propriétés des figures, 
et en particulier, comme son nom l'indique, la mesure de 
l'étendue. 



2. La plus simple de toutes les lignes est la ligne droite, 

R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). i 



2 INTRODUCTION. 

dont la notion est familière à tout le monde, et dont un fll 
tendu offre l'image. 

Cette ligne est caractérisée par la propriété suivante : Deux 
Doints déterminent une droite; en d'autres termes, par deux 
points on peut toujours faire passer une droite, et Ton n'en 
peut faire passer qu'une. D'où il suit que deux droites gui 
ont deux points communs coïncident, non seulement entre 
ces deux points, mais encore dans toute leur étendue; et, par 
conséquent, que deux droites distinctes ne peuvent avoir 
qu'un point commun. 

3. En Géométrie, on indique un point par une lettre, une 
droite par deux lettres affectées à deux de ses points. Ainsi, 
l'on dit le point A, la droite AB {fig. i). 

Fiff. I. 



Deux portions AB et CD, prises respectivement sur deux 
droites indéfinies, ont la môme longueur lorsqu'elles sont 
siiperposables. Cette coïncidence peut avoir lieu de deux 
manières suivant que C tombe en A et D en B, ou que C 
tombe en B et D en A. 

Pour ajouter deux portions de droites AB et CD, on porte 
l'une d'elles, CD, en BE, à la suite de l'autre prolongée : la 
somme est la longueur de la droite AE comprise entre les 
points extrêmes : elle est indépendante de l'ordre des parties. 

Une droite AE est dite plus grande qu'une autre CD, lorsque 
sa longueur est la somme des longueurs de cette autre et d'une 
troisième. 

On remarquera que nous n'avons pas défini le mot lon- 
gueur; c'est que l'idée de longueur est une de ces notions 
premières qu'on ne sait ramener à aucune autre. Aussi bien, 
hâtons-nous de le dire, il n'est pas nécessaire de savoir définir 
une grandeurpour pouvoir la mesurer (*), c'est-à-dire la coni- 

(') Voir, à la fin du Volume, la Note I Sur la mesure des grandeurs. 



INTRODUCTION. 

IKi à aiie autre grandeur de même espèce prise pour unité; 
il suffit de posséder la notion des grandeurs de cette espèce et 
d'avoirdéfinileur égalité et leur addition. C'est ainsi qu'après 
avoir défini, comme nous venons de le faire, l'égalité et l'ad- 
dition des lignes droites, on conçoit nettement ce que c'est 
qu'une portion de droite double, triple, . . ., d'une autre, et 
en général ayant avec cette autre un rapport quelconque. 

On nomme distance de deux points A et B la longueur de 
la droite qui joint ces deux points. 

Toute portion de droite AB a un milieu 0, c'est-à-dire un 
point qui la partage en deux parties égales. En effet, si un 
mobile parcourt cette droite en marchant de A vers B, sa dis- 
tance au point A, d'abord nulle, croît d'une manière continue 
jusqu'à la longueur AB, tandis que sa distance au point B, 
d'abord égaie à AB, décroît d'une manière continue jusqu'à 
devenir nulle. 11 passe donc par une position pour laquelle 
il se trouve à égale distance des extrémités A et B. Celte po- 
sition est unique, puisque, avant de l'atteindre et après 
l'avoir dépassée, le mobile se trouve à des distances inégales 
des points A et B. 

4. On nomme li§^ne brisée une ligne ABCD formée de plu- 
sieurs portions de droites placées bout à bout {/ig, 2). On 



Fi< 




confond sous la dénomination commune de lignes courbes 
toutes les lignes autres que la ligne droite ou les lignes bri- 
îées. 



6. La plus simple de toutes les surfaces est le plan, dont 
ine glace polie peut donner l'idée. La définition géométrique 
lu plan consiste en ce que toute droite qui joint deux points 
le cette surface y est contenue tout entière. C'est ainsi que, 



4 INTRODUCTION. 

pour vérifier si une table est plane, on s'assure qu'on peut y 
appliquer dans tous les sens une règle bien dressée, sans qu'il 
reste aucun vide entre la table et la règle. 

Un plan P doit être considéré comme ayant deux faces, le 
dessus Pi et le dessous Po. F étant une figure tracée sur P,, 
prenons le calque cp de F sur une feuille Q dont nous dési- 
gnerons le dessus par Qi et le dessous par Qj. Actuellement, 
O, est appliqué sur Pj. F restant fixe, retournons la feuille Q, 
de façon que Qi vienne s'appliquer sur P,; l'empreinte F' que 
9 laissera sur P^ est ce qu'on nomme le retournement de la 
figure F. 

Une surface formée de plusieurs portions de plans distinctes 
est dite brisée; et l'on confond sous la dénomination commune 
de surfaces courbes toutes les surfaces autres que le plan et 
les surfaces brisées. 

On divise la Géométrie en deux parties : la Géométrie plane, 
relative aux figures situées dans un plan unique, et la Géo- 
métrie dans l'espace, relative aux figures dont les éléments 
peuvent être disposés d'une manière quelconque dans l'es- 
pace. 

6. Nous terminerons cette Introduction par quelques re- 
marques importantes. 

Toute proposition consiste dans une hypothèse et une con- 
clusion qui en découle, soit immédiatement, soit en vertu 
d'un raisonnement qu'on appelle démonstration. 

On nomme réciproque d'une proposition une seconde pro- 
position dont l'hypothèse et la conclusion sont respectivement 
la conclusion et l'hypothèse de la première. La proposition 
contraire d'une proposition est une autre proposition dont 
l'hypothèse et la conclusion sont respectivement la négation 
de l'hypothèse et de la conclusion primitives. Ainsi, la propo- 
sition « Si A égale B, C égale D » a pour réciproque : « 5i G 
égale D, A égale B », et pour contraire : « Si A n'est pas égal 
à B, C n'est pas égal à D ». 

La vérité de la réciproque d'une proposition exacte entraîne 
celle de la proposition contraire. Ainsi, soit la proposition : 
# Si A égale B, G égale D » ; de la réciproque : « Si C égale J), 



INTRODUCTION. 



A égale B, il résulte que « si A n'est pas égal à B, C n'est pas 
égal à D » ; car si C était égal à D, A serait égal à B. 

De même, la vérité de la proposition contraire d'une pro- 
position exacte entraîne la vérité de la réciproque. 



7. En général, lorsque dans une proposition ou dans une 
série de propositions on a fait toutes les hypothèses possibles 
sur un sujet déterminé et que ces hypothèses ont conduit à des 
conclusions respectives essentiellement distinctes et dont cha- 
cune exclut toutes les autres, on peut affirmer que les réci- 
pr yques des propositions établies sont toutes vraies. Nous fei'ons 
clans la suite un fréquent usage de ce principe. 



GÉOMÉTRIE PLANE. 

LIVRE PREMIER. 

LA LIGNE DROITE. 



§1. 



DES ANGLES. 



DEFINITIONS. 

8. On nomme demi-droite une portion de droite AB, limitée 
dans un sens par un point A et illimitée dans l'autre sens. 

On appelle angle la figure formée par deux demi-droites 
AB et AG issues d'un même point A ; le point A est le sommet 
de l'angle et les demi-droites AB, AC en sont les côtés 

Fig. 3. Fig. 4. 




Imaginons une demi-droite AM issue du point A et tour- 
nant autour de ce point dans le plan BAC; si elle passe de la 
position AB à la position AC sans avoir atteint le prolonge- 
ment de BA, on dit que AM a décrit l'angle de AB avec AC; 
AB est le côté origine, AC le côté extrême et l'on désigne 
l'angle par la notation BAC oii figurent, par ordre, une lettre 
placée sur le côté origine, la lettre du sommet et une lettre 
appartenant au côté extrême. 



8 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Si la demi-droite mobile AM passe de la position AC à la 
position AB sans avoir atteint le prolongement de CA, on dit 
que AM a décrit l'angle de AC avec AU; alors c'est AG qui 
est le côté origine et l'angle est désigné par la notation CAB. 

Dans les questions où il s'agit indifféremment de l'un ou de 
l'autre des angles BAC, CAB, on confond ces angles sous la 
dénomination commune à^angle des deux demi-droites con- 
sidérées. Alors, si l'angle est isolé, on le désigne simplement 
par la lettre de son sommet. 

Deux angles BAC, CAD, qui ont le même sommet A, un 
côté commun AC et les deux autres côtés AB et AD situés de 
part et d'autre du côté commun sont dits adjacents. 

9. La notion d'angle une fois acquise, il faut définir Véna- 
lité et V addition des- angles. 

On dit que deux angles sont égaux lorsqu'on peut les porter 
l'un sur l'autre, de manière qu'ils coïncident. Ainsi, lorsqu'on 
aura placé le côté A'B' sur AB, de façon que le sommet A' 
soit en A et que le côté A'C tombe comme AC au-dessus de 
AB {fig' 5), il faudra, pour que les angles A et A' soient 
égaux, que le côté A'C s'applique sur AC. 

Fig. 5. 





Pour ajouter deux angles BAC, FEG, on transporte l'un d'eux 
à la suite de l'autre {fig. 6), de manière à former les deux 
angles adjacents BAC, CAD; l'angle BAD des deux côtés non 
communs AB et AI) est la somme des deux angles proposés ; 
cette somme est indépendante de l'ordre des parties. 

10. Il importe de remarquer : . 

1° Que, d'après les définitions précédentes, la grandeur 
d'un angle est indépendante de la longueur de ses côtés; 

2° Que deux angles égaux peuvent être amenés à coïn- 
cidence, soit ^{>ec^eme/i^, c'est-à-dire de manière que A' G' 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 9 

tombe en AC (comme nous l'avons expliqué au n° 9), soiipar 
retour iiemeiit, c'esl-à-dire de manière que A'B' tombe sur 
ACet A'C sur AB (5). 




Fiîr. 6. 




11. On nomme bissectrice d'un angle la droite qui, menée 
par le sommet, divise cet angle en deux parties égales. 

Tout angle a une bissectrice et n'en a qu'une seule. 

Soit, en effet, un angle AOB. Si l'on suppose qu'une droite 
mobile OM, d'abord appliquée sur le côté OA, tourne autour 
du sommet comme une branche de compas autour de sa 
charnière, en se rapprochant du côté OB, l'angle AOM, d'abord 
nul, croît d'une manière continue jusqu'à la valeur AOB, 
tandis que l'angle BOM, d'abord égal à BOA, décroît d'une 
manière continue jusqu'à devenir nul. La droite OM passe 
donc par une position où elle fait des angles égaux avec les 
côtés OA et OB. Cette position est unique; car, avant de 
l'atteindre et après l'avoir dépassée, la droite OM fait avec les 
côtés OA et OB des angles inégaux. 

12. On dit qu'une droite AO est perpendiculaire sur une 
droite BG {fig, 7), lorsque les deux angles adjacents AOB, 
AOC, qu'elle forme avec celle-ci, sont égaux. Si la droite AO 



Fig, 7. 
4 



Fig. 



est telle {fig- 8), que les angles adjacents AOB, AOC, soient 
inégaux, on dit que cette droite esi oblique sur BC. Le point 
est le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique AO. 



10 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Deux angles sont dits opposés par le sommet lorsque les 
côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre. 
D'après cela, deux droites indéfinies BB' et CC {fig. 9) for- 

Fig- 9. 




ment, en se coupant au point A, quatre angles, BAC et B'AC, 
GAB' et BAC, qui sont deux à deux opposés par le sommet. 

THÉORÈME. 
13. Les angles opposés par le sommet sont égaux {Jig. 10). 
Il faut démontrer l'égalité des angles AOD, BOC. 

Fie 





Soit la figure O'A'B'C'D', reproduction exacte de la figure 
primitive OABCD. Transportons cette seconde figure sur la 
première, en la retournant de façon que, 0' tombant en 0, 
O'A' s'applique sur OB et O'B' sur OA. Alors, O'C, prolon- 
gement de A'O', viendra sur le prolongement OD de BO et 
O'D^ prolongement de B'O', viendra sur le prolongement OC 
deAO. 

L'angle B'O'C coïncidera donc avec l'angle AOD et^ comme 
il est la reproduction de l'angle BOC, on a AOD = BOC. 

Corollaires. 

\k. Les deux droites AC, BD {fti^. 10) forment quaire 
angles, deux à deux adjacents et deux à deux opposés par le 
sommet. 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. I r 

Si deux des angles adjacents sont égaux, les quatre angles 
formés par les deux droites sont nécessairement égaux entre 
eux. 

Dans ce cas, les deux droites AC, BD ?>oni perpendiculaires 
l'une sur l'autre (12). 

Ainsi, lorsqu'une droite BD est perpendiculaire sur une 
autre AC, AC est réciproquement perpendiculaire sur BD. 

On appelle angle droit tout angle dont un côté est perpen- 
diculaire sur l'autre {fig* 7). 

THÉORÈME. 

15. Par un point donné A, on peut toujours mener une 
perpendiculaire à une droite donnée XY, et l'on ne peut en 
mener qu'une, 

1° Supposons le point Asilué horsÙQ la droite XV {fig. n). 




Désignons par A' le point sur lequel vient s'appliquer le 
point A, lorsqu'on plie la figure autour de la droite XY, de 
manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie infé- 
rieure. Replaçons ensuite la figure dans sa première position 
et menons la. droite AA% qui rencontrera XY en un certain 
point B, puisque A et A' sont de part et d'autre de XY. La 
droite AA' sera perpendiculaire à XY. 

En effet, si l'on replie de nouveau la figure autour de XY, 
BA coïncide avec BA', et les angles adjacents ABX, A'BX 
sont égaux. Par suite, XB ou XY est perpendiculaire sur 
AA' (14) et, réciproquement, AA' ou AB est perpendiculaire 
sur XY. 

Toute autre droite AC, distincte de AB et passant par le 
point A, est oblique sur XY. 



12 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



En effet, si l'on replie encore la figure autour de X Y, A vient 
en A', et l'angle ACB coïncide avec l'angle A'CB. D'ailleuis, 
comme on ne peut mener qu'une droite par les deux points A 
et A', CA' diffère du prolongement CD de AC. L'angle ACB, 
égal à l'angle A'CB, est donc, comme lui, différent de l'angle 
DCB ou de l'angle ACX opposé par le sommet à l'angle 
DCB (13). 

2° Supposons le point A situé sur la droite XY {fig- 12). 

Fig. 12. 



Considérons, dans le plan de la figure, une autre droite ZU 
et l'unique perpendiculaire OH (1°) abaissée du point exté- 
rieur sur celte droite. Transportons alors celte nouvelle 
figure sur la première, de manière que le point H vienne au 
point A et que la droite ZU coïncide avec la droite XY. La 
droite OH deviendra la droite AB et sera une perpendiculaire 
élevée en A à la droite XY. 

On ne peut élever par le point A d'autre perpendiculaire à 
la droite XY; en d'autres termes, toute droite telle que AC, 
distincte de AB, est oblique à XY. En effet, l'angle BAX étant, 
par h^/pothèse^ égal à l'angle BAY, on voit que l'angle CAX, 
égal à la somme des angles BAX et BAC, diffère nécessaire- 
ment de l'angle CAY égal à la différence des mêmes angles. 

Corollaire. 

IG. Tous les angles droits sont égaux. 

Soient {fig. i3) les deux angles BAC, B'A'C, qui ont été 
formés, le premier en élevant la perpendiculaire AB sur AC, 
le second en élevant la perpendiculaire A'B' sur A'C; ces 
deux angles sont droits, et il faut démontrer qu'ils sont égaux. 
Transportons à cet effet la deuxième figure sur la première, 
de façon que le point A' tombe en A et que le côté A'C s'ap- 
plique sur AC; le côté A'B' deviendra alors perpendiculaire 



LIVRE 



— LA LIGNE DROITE. 



sur AC au point A : il s'appliquera donc sur AB, puisque par 
le point A on ne peut élever sur AG qu'une seule perpendicu- 




laire. Donc les deux angles BAC, B'A'C coïncideront, c'est- 
à-dire (9) seront égaux. 

SCOLIE. 

17. L'angle droit est donc un lype invariable auquel on 
peut rapporter les autres angles. 

On dit qu'un angle est aigu ou obtus suivant qu'il est plus 
petit ou plus grand que l'angle droit. Ainsi, dans la /ig. 12, 
l'angle GAY est aigu et l'angle CAX est obtus. 

Deux angles sont dits complcmentaires lorsque leur somme 
est égale à un angle droit. Ainsi, dans \di Jig. 12, chacun des 
angles BAG, GAY est le complément de l'autre. Deux angles 
qui ont des compléments égaux sont égaux. 

Deux angles sont dits supplémentaires lorsque leur somme 
est égale à deux angles droits. Ainsi, dans la flg. 12, chacun 
des angles GAX, GAY est le supplément de l'autre. Deux angles 
qui ont des suppléments égaux sont égaux. 

THÉORÈME. 



18. Deux angles adjacents AGD, BCD sont supplémen- 

• si 



ta ires si leurs côtés extérieurs A G et GB sont en ligne droite 



Fig. 14. 

El 




A ' C lî 

En oiïet, si GD est perpendiculaire sur AB, le théorème est 



l4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

évident, puisque les angles adjacents ACD, BCD sont droits 
tous les deux. 

Si CD est oblique sur AB, les deux angles ACD, BCD sont 
inégaux; soit ACD le plus grand. La perpendiculaire CE, 
élevée au point C sur AB, tombera dans l'intérieur de cet 
angle et le décomposera en deux autres ACEetECD. On aura 

donc 

ACD H- BCD = ACE + ECD -4- BCD. 

Or l'angle ACE est droit, et la somme ECD + BCD est égale 
à l'angle droit BCE. Donc enfin 

ACD ■+- BCD = 2 angles droits. 

11 résulte de ce théorème que, pour avoir le supplément BCD 
d'un aùgle ACD, il suffit de prolonger l'un des côtés AC au 
delà du sommet. 

19. Bécïproquemenï, si deux angles adjacents ACD, BCD 
sont supplémentaires^ leurs côtés extérieurs AC e^ BC sont en 
ligne droite. 

Car le prolongement de AC doit former avec CD un angle 
égal au supplément de ACD, c'est-à-dire, à cause de l'hj'po- 
ihèse, un angle égal à BCD ; le prolongement de AC ne diffère 
donc pas, de BC. 

Corollaires. 

20. La somme de tous les angles consécutifs ABD, DBE, 
EBF, FBC, que Von peut former autour du point B d'une 
droite AC, d'un même côté de cette droite, est égale à deux 
angles droits (Jîg. i5); car leur somme est évidemment la 
môme que celle des deux angles adjacents ABF, FB,C. 




Fig. i6. 




La somme de tous les angles consécutifs AOB, BOC, COD, 



I 



L 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 

DOE, EOA, que Von peut j or mer autour d'un même point 0^ 
est égale à quatre angles droits {fig. i6); car, en prolon- 
geant OC, par exemple, suivant OC, on voit que cette somme 
équivaut à celle des angles C'OA, AOB, BOC, situés d'un côté 
de ce, plus celle des angles COD, DOE, EOC, situés de 
l'autre côté; et l'on vient de voir que chacune de ces deux 
sommes partielles est égale à deux angles droits. 

21. Les bissectrices OE, OF de deux angles adjacents et 
supplémentaires AOC, AOD sont perpendiculaires l'une à 
Vautre; car la somme des deux angles AOC, AOD étant égale 
à deux angles droits, celle des angles AOE, AOF, qui sont 
respectivement moitié des premiers, est égale i\ un angle 
droit. 

Les bissectrices OF et OF' de deux angles opposés par le 
sommet AOD et BOC sont dans le prolongement l'une de 
Vautre; car chacune d'elles doit être perpendiculaire au 
point sur la hissectrice OE de l'angle AOC qui est adjacent 
et supplémentaire par rapport à chacun des angles consi- 
dérés AOD et BOC. 

Il résulte de là que les bissectrices des quatre angles déter- 
minés par la rencontre de deux droites AB et CD forment 
deux droites indéfinies EE et FF', à angle droit Vune sur 
Vautre, 

II. — DES TRIANGLES. 

DÉFINITIONS. 

22. Une ligne brisée est, avons-nous dit, formée de plu- 
sieurs portions de ligne droite placées bout à bout. Pour pré- 
ciser cette définition, considérons divers points A, B, C, D, E 
distribués d'une manière quelconque dans un plan; attri- 
buons à ces points un ordre déterminé. Tordre alphabétique, 
par exemple; puis, traçons successivement les portions de 
droite AB, BC, Cl), DE qui unissent le premier point au 
second, le second au troisième, ..., l'avant-dernier au dernier. 
La ligne ABCDE ainsi obtenue sera une ligne brisée ayant 
4,B, C, D, E pour sommets, AB, BC, CD, DE pour côtés, et, 



i6 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



pour angles, les angles ABC, BCI), CDE formés chacun par 
deux côtés consécutifs. Le premier sommet A est dit Vori- 
gine de la ligne brisée et le dernier E reçoit le nom iïeœtré- 
mité. Enfin, on appelle diagonale toute droite unissant deux 
sommets non consécutifs. 




Fis. i8. 




On donne le nom àQ polygone à toute ligne brisée /e/vnee, 
c'est-à-dire telle que son extrémité coïncide avec son ori- 
gine. Toutes les définitions données dans l'alinéa précédent 
s'appliquent à ce cas. 

23. Une ligne brisée ou polygonale est dite convexe\oTS(\\iQ 
la droite indéfinie qui passe par deux sommets consécutifs 
quelconques laisse tous les autres sommets d'un même côté 
d'elle. Tel est le polygone ABCDEF {fig. 17). Le polygone 
ABCDE, au contraire {Jîg. 18), n'est pas convexe; car le côté 
DE, prolongé indéfiniment, laisse le polygone en partie au- 
dessus et en partie au-dessous de lui. 

Une droite quelconque, tracée dans le plan d'une ligne 
polygonale convexe, ne peut la rencontrer en plus de deux 
points; car, si une droite XY {fig. 18) rencontrait la ligne 
polygonale AEDC en trois points Q» R» S, les points Q et S 
se trouvant de part et d'autre du côté DE, la ligne AEDC ne 
serait pas tout entière d'un môme côté par rapport à DE pro- 
longé, c'est-à-dire qu'elle ne serait pas convexe. 

^k. Le plus simple de tous les polygones est le triangle 
{fig. 19), qui n'a que trois côtés. Après lui viennent: le qua- 
drilatère, qui a quatre côtés; \q pentagone, qui a cinq côtés; 
Vliexagone, qui a six côtés, . . .; Voctogone, qui a huit côtés, 



[VRE 



LA LIGNE DROITE. 



17 



. . .; le décagone^ qui a dix côtés, . . .; le penlédécagone, qui 
a quinze côtés. La fig. 17 représente un hexagone. 

Parmi les triangles, on distingue le triangle isocèle, le 
triangle équilatéral et le triangle rectangle. 



Fig. 19. 





Fig. 




Un triangle est isocèle quand il a deux côtés égaux : tel est 
le triangle ABC {fig> 20) obtenu en portant des longueurs 
égales AB et AC sur les côtés d'un angle quelconque A. Le 
troisième côté BG et le sommet opposé A prennent spéciale- 
ment les noms de base et de sommet du triangle isocèle. 

Un triangle est équilatéral lorsque ses trois côtés seul 



I 



Enfin, un triangle est dit rectangle lorsqu'il a un angle 
droit. 

Le côté BG {fig. 21), opposé à l'angle droit A, reçoit le 
nom Ol hypoténuse. 

On dit que deux triangles sont égaux lorsqu'on peut le» 
appliquer l'un sur l'autre de manière qu'ils coïncident. 

THÉORÈME. 

25. Dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés 
égaux sont égaux. 

Soit ABG un triangle isocèle; par hypothèse le côlé AB est 
égal au côté AG, et il faut démontrer que l'angle B est égal à 
l'angle G {fig. 22). 

Considérons un second triangle A'B'G', reproduction exacte 
du premier, et transformons-le sur ABG en le renversant de 
manière que A' tombe en A et G' en B, ce qui est possible 
puisque le côté A'C^ reproduction de AG, doit, en vertu de 
l'hypothèse, être égal à AB. Les angles A et A' étant les 

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( P* Partie) 2 



l8 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. 

mêmes, le côté A 'B' prendra la direction AC, et comme A'B', 
reproduction de AB, est égal à AC, le point B' tombera en C; 
donc les deux triangles coïncideront; par suite, l'angle C' 
coïncidant avec l'angle B et n'étant que la reproduction de 
l'angle C, on a B = G. 

Fig. 2a. 




26. BÉcn'ROQUEMENT, SI deux angles d'un triangle sont 
égaux, les côtés opposés sont égaux et le triangle est isocèle. 

Soit ABC un triangle dont les angles B et C sont égaux; il 
faut démontrer que AB = AC. 

Considérons un second triangle A'B'C^ reproduction exacte 
du premier^ et transportons-le sur ABC, en le renversant, de 
manière que B' tombe en C et C en B. Le côté C'B' coïnci- 
dera avec son égal BC. L'angle C étant égal à l'angle C, et 
par suite à l'angle B, si l'on fait tomber les deux triangles 
d'un même côté par rapport à BC, le côté C'A' prendra la 
direction BA, et le point A' tombera quelque part sur la 
droite indéfinie BA. De même, l'angle B' étant égal à l'angle 
B, et par suite à l'angle C^ le côté B'A' prendra la direction 
CA, et le point A' tombera quelque part sur la droite indé- 
finie CA. Le point A', devant se trouver à la fois sur les deux 
droites BA et CA, tombera donc sur leur intersection A, et les 
deux triangles ABC, A' B'C coïncideront. Puisque le côté A' B'^ 
qui est égal à AB, vient recouvrir exactement le côté AC, on 
en conclut que AB et AC sont égaux. 

SCOUE. 

27. Les démonstrations qui précèdent mettent en évidence 
la propriété propre au triangle isocèle d'être superposable à 
lui-même par retournement. Cette propriété est la clef des 
autres propriétés du triangle isocèle. 



Fig. a3. 




LIVRE I. — LA LIG^E DROITE. IQ 

Ainsi {fig. 23), dans ce retournement du triangle isocèle 

BAC, B venant en C et C en B, le milieu I de BC retombe sur 

^£ lui-même aussi bien que le sommet A. Par suite, l'angle AIG 

^K vient recouvrir son adjacent et supplémentaire AlB, et l'angle 

t 

CÂI son adjacent BAI. Donc, dans tout triangle isocèle BAC, 
la droite qui joint le sommet A au milieu I de la base BC est 
perpendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet en 
deux parties égales. 

La droite AI satisfait donc aux quatre conditions suivantes : 
elle passe par le sommet A, par le milieu I de la base BC, elle 
est perpendiculaire sur cette base, elle est bissectrice de 
l'angle au sommet. 

Or, deux de ces quatre conditions suffisent pour déter- 
miner la droite AI; car on sait que par deux points on ne 
peut mener qu'une droite, qu'un angle n'admet qu'une bis- 
sectrice, et que par un point on ne peut mener qu'une per- 
pendiculaire à une droite. Donc toute ligne droite, assujettie 
à deux des quatre conditions indiquées, remplira nécessaire- 
ment les deux autres. 



28. On appelle hauteurs d'un triangle quelconque les per- 
pendiculaires abaissées des différents sommets sur les côtés 
opposés. 

Tout triangle a donc trois hauteurs, comme il a trois bis- 
sectrices : ce sont les bissectrices de ses angles. 

Enfin, en entend par médiane d'un triangle la droite qui 
joint un sommet de ce triangle au milieu du côté opposé; un 
triangle a aussi trois médianes. 

Dans un triangle isocèle, on appelle plus spécialement 



20 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE. 

hauteur dti triangle la perpendiculaire AI abaissée sur le côté 
B(] qui n'a pas d'égal, c'est-à-dire sur la base ûu triangle (27). 
La droite AI est à la fois hauteur, bissectrice et médiane. 

Il résulte du n*^ 2G que tout triangle dont les trois angles 
sont égaux est équilatéral, et, réciproquement, que tout 
triangle équilatéral a ses trois angles égaux. 

On obtient un triangle équilatéral en prenant un triangle 
isocèle BAC et portant sur la base BC, dans les deux sens à 
partir du milieu I, des longueurs égales à la moitié de AB. 

THÉORÈME. 

29. Deux triangles sont égaux : 

1° Lorsqu'ils ont un côté égal adjacent à deux angles 
égaux chacun à chacun; 

2° Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux cotés 
égaux chacun à chacun; 

3° Lorsqu'ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun 

En effet : 

1*^ Soient (y?«-. 9.4) les deux triangles ABC, A' B'C, tels qu'on 

BC = B'C', Br=B', C=:C'. 

Transportons le triangle A' B'C sur le triangle ABC, de ma- 
nière que le côté B'C coïncide avec son égal PC, \V étant en 
B et C en. C. Puisque l'angle B' est égal à l'angle B et que les 
deux triangles sont supposés tomber d'un même côté de BC, 
le côté B'A' prendra la direction BA, et le point A' tombera 
quelque part sur la droite indéfinie BA. De même, puisque 
l'angle C est égal à l'angle C, le côté CA' prendra la direc- 
tion CA, et le point A' tombera quelque part sur la droite in- 
définie CA. Donc, le point A', devant se trouver à la fois sur 
les deux droites BA et CA, tombera nécessairement sur leur 
point d'intersection A. Par suite, les deux triangles coïnci- 
deront. 

2° Soient {fig, 24) les deux trianglesABC, A'B'C, tels qu'on 
ait 

A = A', AB = A'B', AC = A'C. 

Transportons le triangle A'B'C sur le triangle ABC, de 



LIVRR 1. — LA LIGNE DROITE. 



manière que l'angle A coïncide avec son égal A', le côté A'B' 
tombant sur le côté AB et le côté A'C sur le côté AC. Ces 






côtés ayant alors môme direction, même longueur et une 
extrémité commune, leurs autres extrémités se confondront, 
c'est-à-dire que le point B' tombera sur le point B et le 
point G' sur le point C. Par suite, les deux triangles coïnci- 
deront. 

3'^ Soient {fig. 25) les deux triangles ABC, A'B'C, tels 
qu'on ait 

AB = A'B', BCrzzB'C, ACr^A'C. 

Portons le triangle A'B'C^ à côté de ABC, en le retournant 
do manière que B' tombe en B, C en C et A' en A", au-dessous 



Fig. 25. 





de BC (en supposant que A soit au-dessus de cette droite). 
Puisque BA^trz B'A'=BA, le triangle ABA'' est isocèle et la 
bissectrice de l'angle ABA" est (27) perpendiculaire sur le 
|milieu de kk*' \ mais, le triangle ACA^ étant aussi isocèle 
à cause de A"C = A'C'=:AC, la perpendiculaire sur le milieu 
de AA'^ passe par C (27); donc la bissectrice de l'angle 
ABA" n'est autre que BC, et l'angle ABC est égal à A"BC, 



22 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. 

c'est-à-dire à l'angle A'B'C; donc les triangles ABC, A'B'C/ 
sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux 
côtés égaux chacun à chacun (2°). 

SCOLIE. 

30. Deux triangles égaux, ABC, A'B'C, satisfont à six con- 
ditions, savoir : 

AB=r:A'B', AC=:A'C', BC=rB'G', 

C =:C', B =B', A =:A\ 

Chaque cas d'égalité renferme trois de ces conditions 
groupées de telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les 
six soient remplies. Par suite, quand on aura reconnu dans 
une certaine figure l'égalité de deux triangles par l'application 
de l'un des trois cas énoncés, ori devra en conclure immédia- 
tement l'égalité des trois éléments non employés, et l'on aura 
acquis ainsi de nouvelles données qui permettront d'aller 
plus avant dans la recherche que l'on poursuit. Tel est l'usage 
de la théorie de l'égalité des triangles. 

Il est essentiel de remarquer que, dans deux triangles 
égaux, les côtés égaux sont toujours opposés aux angles 
égaux. 

THÉORÈME. 

31. Si un triangle a deux côtés Inégaux, l'angle opposé 
au plus grand de ces deux côtés est plus grand que V angle 
apposé à Vautre, 

Soit {fig. 26) le triangle ABC, dans lequel on a AC> AB; 



il faut démontrer que l'angle ABC est plus grand que l'angle 
ACB. 
Prenons AD=:rAB et menons la d'oite BDK; le triangle 



LlVllE 



— LA LIGNE DROITE. 



23 



ABD étant isocèle, l'angle ABD est égal à l'angle ADB ou à 
son opposé par le sommet KDC; l'angle KDC est donc moindre 
que ABC. 

Joignons le point B au milieu I de DC, prolongeons BI 
d'une longueur lE égale à BI et tirons la droite DE; les 
triangles DIE, BIG ont un angle égal DIE = BIC compris 
entre deux côtés égaux DI = IG, El = IB ; ils sont donc égaux 
et l'angle EDI est égal à IGB; mais, d'après la construction, 
le point E est situé dans l'angle KDG; donc l'angle KDG est 
plus grand que EDI ou que son égal AGB. 

Donc enfin, l'angle KDC étant supérieur à AGB et infé- 
rieur à ABC, il faut que l'angle AGB soit moindre que l'angle 
ABC. 

32. Réciproquement, si un triangle a deux angles inégaux, 
le côté opposé au plus grand de ces deux angles est plus grand 
que le côté opposé à Vautre, 

Ainsi, si l'angle ABC est plus grand que l'angle AGB, on 
doit avoir AG > AB. 
En effet, si l'on avait AG = AB, on aurait (25) 

angle ABC = angle AGB, 

et, si l'on avait AG < AB, on aurait 

angle ABC < angle AGB. 

THÉORÈME. 

33. Dans un triangle, un côté quelconque est plus petit que 
la somme des deux autres. 




Il suffit de démontrer que le plus grand côté BC est moindre 
que la somme BA h- AG des deux autres {fis- 27). 



24 GÉOMÉTRIE DANS l'esPACE. 

Prolongeons BA d'une longueur AD=:AC, et menons CI). 
Le triangle ACD étant isocèle, l'angle I) est égal à l'angle ACD 
et, par suite, moindre que l'angle BCD; donc dans le triangle 
BCD, le côté BC est moindre que BD, c'est-à-dire que 

BA + AD ou BA + AC. 

Corollaires. 

34. Dans tout triangle ABC, un côté quelconque BC est 
plus grand que la différence des deux autres AC et AB. En 
effet, soit AB le plus grand des deux côtés AC et AB, on aura, 
d'après le numéro précédent, 

I3C + AOAB; 

d'où, en retranchant AC de part et d'autre, 
BC > AB - AC. 

Trois droites de longueurs arbitraires ne peui>ent pas tou- 
jours former les trois cotés d'un triangle. Il faut que la plus 
grande d'entre elles soit inférieure à la somme des deux 
autres. Par exemple, il n'existe pas de triangle dont les côtés 
aient des longueurs respectivement égales à 7 mètres, 
5 mètres, i mètre. 

THÉORÈME. 

35. La ligne droite est plus courte que toute ligne brisée 
ayant les mêmes extrémités. 

Soit AB une ligne droite et ACDEFB une ligne brisée ayant 
les mêmes extrémités {fig. 28). 



En joignant le point A aux sommets D, E, F de la ligne 



I 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 25 

brisée, on a successivement 

AB < AF + FB, 
AF<AE+EF, 
AE < AD + DE, 
AD<AC +CD, 

(l'oii, en ajoutant et supprimant les quantités AF, AE, AD 
communes aux deux membres de l'inégalité, 



AB < AG -i- CD 

Corollaire, 



DE + EF + FB. 



3C. Toute ligne polygonale convexe ABCD est moindre que 
toute ligne polygonale enveloppante AMND, terminée aux 
mêmes extrémités {fig. 29). 

En laissant de côté la partie commune AD, prouvons que 
le contour ABCD est inférieur au contour AMND. Prolongeons 



Fig. 29. 





suivantes : 



^^ les côtés AB et BC jusqu'à ce qu'ils coupent en E et en F le 
^K contour polygonal AMND. Nous pourrons écrire les inégalités 

I 



AB 
BC 



BE<AM + ME, 

CF < BE 4- EN 4- NF, 

CD<CF -i-FD. 



Si nous ajoutons ces inégalités membre à membre, il vien- 
dra, en opéxant les réductions et additions, 

AB + BC 4- CD < AM 4- MN 4- ND. 



26 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE. 

On prouverait de ]a même manière que toute ligne polj- 
gonale convexe ABCD est moindre que toute ligne polygo- 
nale EFGHIK qui l'enveloppe de toutes parts {fig. 3o). 

THÉORÈME. 

37. Si deux côtés d'un triangle sont égaux à deux côtés 
d'un autre triangle chacun à chacun, et si l'angle compris 
entre les deux premiers est plus grand que V angle compris 
entre les seconds, le troisième côté du premier triangle est 
plus grand que le troisième côté du second {fig. 3i). 




Soient les deux triangles ABC, A'B'C dans lesquels on 
suppose AB =: A'B', AC = A'C, angle BAC > angle B'A'C; il 
faut démontrer que le côté BC est plus grand que B'C. 

Transportons le triangle A'B'C en ABC", de façon que A'B' 
coïncide avec AB; l'angle BAC", égal à B'A'C, étant moindre 
que BAC, le côté AC" tombera dans l'intérieur de l'angle BAC. 
Soit I le point oij la bissectrice de l'angle C"AC rencontre BC; 
les deux triangles CAI, C"AÏ ayant un angle égal CAI = C"AI, 
compris entre un côté commun AI et deux côtés égaux 
AC"=AC seront égaux, et l'on aura IC"=IC; mais, dans le 
triangle BC"I, on a 

BC"<Bl4-IC"; 
donc 

BC"<BI + IC ou B'C'<BC. 

38. Béciproquement, si deux triangles ont deux côtés égaux 
chacun à chacun, et si le troisième côté du premier est plus 
grand que le troisième côté du second, l'angle opposé du 



LIVRE I. 



LA LIGNE DROITE. 



27 



crémier triangle est plus grand que l'angle opposé du 
second. 



I 



Ainsi, en supposant 
AB = A'B', 



n a 



AC = A'GV BOB'e, 
angle BAC > angle B'ATV. 



En effet : 

i« Si l'on avait angle BAC = angle B'A'C, les triangles 
eraient égaux (29, 2*^) et l'on aurait BG = B'C; 

2° Si l'on avait angle BAC < angle B'A'C, on aurait (37) 
BC<B'C'. 
t THÉORÈME. 

39. Si, d'un point pris hors d'une droite AB, on mène à 
cette droite la perpendiculaire 01 et plusieurs obliques OC, 
01), OE, . . . : 

1° Deux obliques OC et OE, dont les pieds C e^ E sont éga- 
lement distants du pied 1 de la perpendiculaire, sont égales ; 

2° La perpendiculaire 01 est plus courte que toute oblique 
OC et, de deux obliques OC et OD ou OE et OB, celle dont le 
pied s'écarte le plus du pied I de la perpendiculaire est la 
tplus longue. 

En effet: 

1° Les deux triangles OIC, OIE {fig. 82) sont égaux comme 

Fig. 32. 





ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : 
l'angle droit OIC égal à l'angle droit OIE, le côté 01 commur^, 
et le côté IC égal à lE par hypothèse ; donc 

OC = OE. 



28 GÉOMÉTRIE DANS l'eSPACE. 

2° Prolongeons la perpendiculaire 01 d'une quantité 
I0'-= 01, et menons les droites O'C, O'D. 

Les droites OC et O'C sont égales (i°) comme obliques 
s'écarlant également du pied de la perpendiculaire CI menée 
de C sur 00'; on a de même OD = O'D. Or le triangle ODO' 
donne 

00'< OC 4- O'C < OD -f- O'D; 

d'où, en prenant les moitiés, 

OI<OC<OD. 

Si l'on considérait deux obliques OD etOE situées de côtés 
différents par rapport à la perpendiculaire 01, on commence- 
rait par prendre sur lA une longueur IC égale à lE; les 
obliques OC et OE seraient alors égales comme s'écartant 
également du pied de la perpendiculaire. Or, si lE est moindre 
que ID, IC le sera aussi; et, d'après l'alinéa précédent, 
l'oblique OC sera moindre que l'oblique 01). On aura donc 
encore 

OE<OD. 

COROLLAHIES. 

k-0. La perpendiculaire 01 abaissée d' un point sur une 
droite AB est la ligne droite la plus courte que l'on puisse 
mener de ce point à la droite : sa longueur est ce qu'on 
appelle la distance du point à la droite AB. 

ki. La perpendiculaire 01 étant plus courte que toute 
oblique OC, il suit du n° 31 que l'angle OCI est moindre que 
l'angle droit OIC. Donc, lorsque deux droites AB et OC se 
coupent, la perpendiculaire 01, abaissée d'un point de l'une 
sur l'autre, est située dans l'intérieur de l'angle aigu OCB 
formé par ces deux droites. 

On peut conclure de là que, dans tout triangle rectangle, 
les deux angles autres que l'angle droit sont aigus. 

SCOLIES. 

42. L'exactitude des réciproques des propositions qui pré- 
cèdent résulte immédiatement du principe général énoncé au 
n*»7. 



LIVKE I. — LA LIGNE DROITE. 



I 



29 

1° Sî une droite est la plus courte qu'on puisse mener d'un 
point à une autre droite, ces deux droites sont perpendicu- 
laires entre elles. 

2° Si deux obliques à une même droite partent d'un même 
point et sont égales entre elles, elles s'écartent également du 
pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite. 

3° Si deux obliques à une même droite partent d'un même 
point et sont inégales, la plus grande s'éloigne le plus du pied 
de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite, 

43. D'un même point, on ne peut mener à une droite que 
deux obliques égales, et ces obliques sont situées de part et 
d'autre de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite. 

THÉORÈME. 

kh. Deux triangles rectangles sont égaux : 
1° Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un angle aigu égal; 
2° Lorsqu'ils ont l'hypoténuse égale et un côté de l'angle 
droit égal. 

En effet : 

1° Soient (y?^. 33) les deux triangles ABC, A'B'C, rec- 



Fig. 33. 





I 



tangles en A et en A', et dans lesquels on a 

BC = B'C' et Br=B'. 

Portons le triangle A'B C sur le triangle ABC, de manière 
que B'C coïncide avec BC, B' étant on B et C en C. Si l'on 
fait tomber les deux triangles du même côté de BC, l'angle B' 
étant égal à l'angle B, le côté B'A' prendra la direction BA; 
dès lors, le côté C'A', qui est perpendiculaire sur B'A', devra 
prendre la direction de CA, qui est la seule perpendiculaire 



30 GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE. 

qu'on puisse abaisser du point C sur BA (15). Le point A/ 
devant tomber à la fois sur BA et sur CA viendra donc en A, 
elles deux triangles coïncideront. 

2° Soient {fig* 33) les deux triangles ABC, A'B'C, rec- 
tangles en A et en A', et dans lesquels on a 

BC^B'C et AC = A'C^ 

Portons le triangle A'B'C sur le triangle ABC, de manière 
que A' C coïncide avec AC, A' étant en A et C en C. Si l'on fait 
tomber les deux triangles du même côté de AC, le côté A'B' 
prendra la direction de AB, à cause de l'égalité des angles 
droits A et A'. De plus, C'B' deviendra une oblique égale à 
CB, issue du même point C, et située du même côté de la 
perpendiculaire CA. Donc CB et CB' s'écarteront également 
du pied de cette perpendiculaire (42); en d'autres termes, 
le point B' tombera en B, et les deux triangles coïncideront. 

THÉORÈME. 

/i-5. Tout point M de la perpendiculaire CD élevée sur le 
milieu d'une droite AB est également distant des extrémités A 
et B de cette droite {ftg, 34). 





Fig 


34. 






D 






X 


M 


X 


\ 


A 


C 




B 



En effet, C étant le milieu de AB, on a CA = CB; donc MA 
et MB sont des obliques qui s'écartent égalemenl du pied de 
la perpendiculaire CD. On a donc MA=:MB (39). 

46. Réciproquement, tout point Mcquidistant des extrémités 
k et ^ d'une droite AB appartient à la perpendiculaire Cl) 
menée à cette droite par son milieu C. 

En effet, le triangle MAB étant isocèle par bypolhèse, la 



LIVRE I. 



LA LIGNE DROITE. 



3l 



I 



droite MC, qui joint le sommet au milieu C de la base, est 
perpendiculaire sur cette base (27). 

Corollaires. 

kl, 11 résulte de là que tous les points de la perpendicu- 
laire menée à une droite par son milieu sont équidistants 
des extrémités, de cette droite, et que les points de cette 
perpendiculaire sont les seuls points du plan qui jouissent de 
cette propriété. On donne le nom de lieu géométrique à la 
figure formée par l'ensemble des points qui jouissent d'une 
propriété commune. 

On peut donc exprimer la double proposition qui précède 
en disant : 

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite est le 
LIEU GÉ0MÉTRIQU2 des points équidistants des extrémités de cette 
droite. 

Deux points suffisent pour déterminer une droite. Donc, 
dès qu'une droite a deux points équidistants des extrémités 
d'une seconde droite, on peut affirmer que la première droite 
est perpendiculaire sur le milieu de la seconde. 

THÉORÈME. 

48. Tout point M pris sur la bissectrice AD d'un angle 
BAC éest également distant des deux côtés de cet angle 
U'S- 35). 




La distance du point M au côté AB est la longueur de la 
perpendiculaire ME abaissée du point M sur AB; de môme, 
la perpendiculaire MF, abaissée du point M sur AG, mesure 
la distance du point M au côté AC. Il s'agit de démontrer 



32 GÉOMÉTRIE DANS l'kSPACE. 

l'égalité de ME et de MF. Or cette égalité résulte de celle des 
deux triangles MAE, MAF, qui, rectangles en E et en F, ont 
l'hypolénuse AM commune et un angle aigu égal, savoir 
MAE = MAF, puisque la droite AD est la bissectrice de 
l'angle BAC. 

49. Réciproquement, tout point M pris à l'intérieur d'un 
angle BAC, à égale distance ME = MF de s,es deux côtés AB 
et AC, appartient à la bissectrice de cet angle. 

En effet, en menant la droite MA, on obtient deux triangles 
rectangles, MAE, MAF, qui sont égaux comme ayant l'hypo- 
ténuse MA commune et un côté de l'angle droit égal : 
ME = MF. Donc l'angle MAE opposé au côté ME est égal à 
l'angle MAF opposé au côté MF, et la droite AM est la bissec- 
trice de l'angle BAC 

Corollaire. 

50. La bissectrice d'un angle est le lieu géométrique des 
points qui, situés dans l'intérieur de cet angle, sont équidis- 
tqnts de ses côtés et, par suite , le lieu géométrique des points 
équidistants de deux droites qui se coupent se compose des 
deux bissectrices des angles for m,és par ces droites, 

SCOLIE. 

51. Pour établir un lieu géométrique, il faut toujours 
prouver une double proposition composée, soit d'une cer- 
taine proposition directe et de sa réciproque, soit de cette 
même proposition directe et de la proposition contraire. 

Ainsi l'on démontrera : que tout point d'une certaine figure 
jouit d'une certaine propriété (proposition directe), et que 
tout point jouissant de cette propriété appartient à cette 
figure (proposition réciproque); 

Ou bien : que tout point d'une certaine figure jouit d'une 
certaine propriété (proposition directe), et que tout point 
pris hors de cette figure ne jouit pas de cette propriété (pro- 
position contraire ). 

11 est ordinairement plus simple d'adopter le premier mode, 
c'est-à-dire de démontrer la proposition directe et sa réci- 



LIVRE 



— LA LIGNE DROITE. 



S3 



proqu'e; cela lient à ce que la proposition contraire exige une 
figure différente de celle qui est relative à la proposition di- 
recte, tandis que la réciproque n'exige pas en général une 



figure nouvelle. 



§ IV. — DROITES PARALLÈLES. 

DÉFINITIONS. 

!. Lorsqu'une sécante EF rencontre deux droites quel- 
conques AB et CD, elle forme avec ces deux droites huit 
angles, dont quatre autour du point G et quatre autour du 

point H {fig. 36). 

Fig. 36. 





On distingue alors trois parties sur la sécante : une partie 
intermédiaire GH comprise entre les deux droites AB et CD, 
deux parties extrêmes GE, HF non comprises entre ces 
droites. 

Les quatre angles i, 4, 5, 8, dont un des côtés est confondu 
avec la partie intermédiaire de la sécante EF, sont appelés 
internes; les quatre autres 2, 3, 6, 7, dont un côté est con- 
fondu avec l'une des parties extrêmes de la sécante, sont ap- 
pelés externes. Il en résulte les dénominations suivantes : 

Deux angles qui sont internes, non adjacents et situés de 
part et d'autre de la sécante, sont dits alternes~internes : tels 
sont les angles i et 5, 4 et 8. 

Deux angles qui sont externes, non adjacents et situés de 
part et d'autre de la sécante, sont dits alternes-externes : tels 
sont les angles 2 et 6, 3 et 7. 

Deux angles situés d'un même côté de la sécante, l'un in- 
terne, l'autre externe, et non adjacents, sont dits correspon- 
dants': tels sont les angles i et 7, 4 et 6, 2 et 8, 3 et 5. 

R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). 3 



34 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Enfin, les angles i et 8, 4 et 5, sont dits intérieurs d'un 
même côté, et les angles 2 et 7, 3 et 6, extérieurs d'un même 
côté. 

53. Deux droites sont, dites parallèles lorsque, étant situées 
dans un même plan, elles ne peuvent se rencontrer, si loin 
qu'on les prolonge. 

THÉORÈME. 

^k. Deux droites AG et BD perpendiculaires sur une troi- 
sième droite Ya^ sont parallèles {fig> 87 ). 

Car, si elles se rencontraient, on pourrait, de leur point 
d'intersection, abaisser deux perpendiculaires sur EF (17). 

Corollaire. 

55. Par un point K, situé hors d'une ligne droite BC, on 
peut mener une parallèle à cette droite {fig. 38). 



Fig. 37. Fig. 38. 



A E 



Abaissons du point A la perpendiculaire AD sur BC, et 
menons à AD la perpendiculaire AE. Les deux droites AE et 
BC, étant toutes deux perpendiculaires sur AD, sont paral- 
lèles. 

SCOLIE. 

56. On admet que, ^«r un point pris hors d'une ligne droite, 
on ne peut mener qu'une parallèle à cette droite. De là ré- 
sultent les deux propositions suivantes : 

57. Si une droite A en rencontre une autre B, elle ren- 
contre toute parallèle C à cette autre; car si A était parallèle 
à C, du point de rencontre des droites A et B, on pourrait 
mener deux parallèles à C. 

68. Deux droites A et B, parallèles à une troisième C, 
iont parallèles entre elles; car, si A et B se rencontraient, de 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 



35 



leur point de concours, on pourrait mener deux parallèles 
àC. 

THÉORÈME. 

59. Lorsque deux droites AB et CD sont parallèles, toute 
droite EB\ perpendiculaire sur l'une AB, est perpendiculaire 
sur l'autre {jig- Sg). 





Fig. 


39. 




A 




E 


B 






c 




i" 


D 



D'abord la droite EF rencontre CD (57). Concevons par 
leur point d'intersection F la perpendiculaire à EF. Cette 
perpendiculaire, devant être parallèle à AB (5^) coïncidera 
avec CD, puisque par le point F on ne peut mener qu'une 
parallèle à AB. Donc, CD est perpendiculaire sur EF et, inver- 
sement, EF est perpendiculaire sur CD. 

On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide, 
en disant : Deux parallèles ont leurs perpendiculaires com- 
munes. 

THÉORÈME. 

60. Lorsque deux droites parallèles AB et CD sont rencon- 
trées par une sécante EF {fig- ko) : 

Fig. 4o. 




1° Les angles alternes-internes sont égaux; 

2° T^es angles alternes-externes sont égaux; 

3° I^es angles correspondants sont égaux; 

4° Les angles intérieurs d'un même côté sont supplémen 



36 GÉOMÉTRIE PLANE. 

taires, et il en est de même des angles exlérieurs d'un même 
côté. 

En effet : 

1° Par le point 0, milieu de la partie intermédiaire GH de 
la sécante, menons sur les parallèles AB et CD la perpendicu- 
laire commune IK; 01 tombera dans l'angle aiguOGA, elOK 
dans l'angle aigu OUI) (41). Or, les triangles rectangles OGI, 
OHK, ont leurs hypoténuses OG et OH égales, puisque le 
point est le milieu de GH, et les angles aigus lOG, KOH, 
égaux comme opposés par le sommet : ils sont donc égaux 
(44), et, par suite, les deux angles alternes-internes OGI, 
OHK, sont eux-mêmes égaux. Les deux autres angles 
alternes-internes BGH, CHG, sont aussi égaux comme supplé- 
ments des précédents. 

2° Les quatre angles alternes-externes EGB et FHC, EGA 
et FHD, sont égaux deux à deux comme opposés par le som- 
met aux angles alternes-internes; 

3° Les huit angles correspondants sont égaux deux à deux, 
l'un des angles du groupe considéré étant toujours opposé 
par le sommet à l'angle alterne-interne ou alterne-externe de 
l'autre; 

4° Les quatre angles intérieurs d'un même côté sont sup- 
plémentaires deux à deux, l'un des angles du groupe consi- 
déré étant toujours le supplément de l'angle qui est le cor- 
respondant de l'autre. 

Les quatre angles extérieurs d'un même côté sont aussi 
supplémentaires deux à deux pour la même raison. 

6L Réciproquement, deux droites AB et CD, étant coupées 
par une sécante EF, ces droites sont parallèles {fig, 40 • 

Si les angles alternes-internes sont égaux; 

Ou, si les angles alternes-externes sont égaux ; 

Ou, si les angles correspondants sont égaux; 

Ou, si les angles intérieurs d'un même côté ou les angles 
extérieurs d'un même côté sont supplémentaires. 

Il suffit d'établir cette réciproque dans le premier cas; car, 
si les angles alternes-externes sont égaux, ou si les angles 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 87 

correspondants sont égaux, ou si les angles intérieurs ou 
extérieurs d'un même côté sont supplémentaires, l'égaliiédes 
angles alternes-internes en résulte immédiatement d'après 
ce qui précède (60, 2°, S**, /|°). 

Supposons donc {fig* 40 que les deux angles alternes- 
internes HGA et GHD soient égaux, et concevons par le 

Fig. 41. 



point H la parallèle à AB. Cette parallèle doit, d'après la pro- 
position directe, faire avec GH un angle égal à l'angle HGA 
et, par suite, à l'angle GHD; cette parallèle coïncide donc 
avec HD, et la droite CD est parallèle à AB. 

SCOLIE. 

65. La proposition directe et la proposition réciproque 
étant démontrées, les propositions contraires sont vraies par 
cela même. Ainsi : 

Deux droites étant coupées par une sécante, si les angles 
formés ne satisfont pas aux relations qu'on a énoncées (61), 
les deux droites ne sont pas parallèles. En particulier : 

Lorsque deux droites font avec une transversale deux 
angles intérieurs d'un même côté dont la somme diffère de 
deux angles droits, ces droites se rencontrent du côté de la 
sécante ou cette somme est inférieure à deux angles droits. 

C'est l'axiome XI de la Géométrie d'Euclide; on préfère 
aujourd'hui prendre pour axiome la proposition énoncée as. 
n° 56. 

63. Voici deux autres remarques souvent utiles: 

1° Deux droites {fig. (\i)y l'une AB perpendiculaire, et 



38 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



l'autre CD oblique sur une troisième droite AC, doivent se 
rencontrer ; car la somme des deux angles intérieurs BAC, 
DCA, est moindre que deux angles droits. 



Fig. 42. 




Fig. 43. 




2° Deux droites EF, GH {fig. 43), respectivement perpen- 
diculaires à deux droites CA et CB qui se coupent, doivent se 
rencontrer; car, en menant la droite EG, on voit que chacun 
des angles intérieurs FEG, HGE, est moindre qu'un angle 
droit : la somme de ces angles est donc inférieure à deux 



angles droits. 



THÉORÈME. 



6^. Deux parallèles kCt, BD, comprises entre deux autres 
parallèles AB, CD, sont égales {fig. 44 )• 

Fn effet, menons AD. Les deux triangles ABD, ACD seront 
égaux comme ayant un côté commun AD adjacent à deux 
angles égaux chacun à chacun, savoir: l'angle BAD égal à 
l'angle ADC comme alternes-internes par rapport aux paral- 
lèles AB, CD, coupées par a sécante AD ; et l'angle ADB égal 



Fig. 44. 



Fig. 45. 



à l'angle DAC comme alternes-internes par rapport aux pa- 
rallèles AC, BD, coupées par la même sécante. Donc le côté 
BD opposé à l'angle'BAD est égal au côté AC opposé à l'angle 
ADC. 



LIVRE 



— LA LIGNE DROITE. 



39 



Corollaire. 



65. Si les deux lignes AC et BD {fig, 4^) étaient perpendi- 
culaires sur AB et, par suite, sur CD, elles mesureraient les 
distances des points A et B de la droite AB à la droite CD. 
Ces deux distances étant égales comme parallèles comprises 
entre parallèles, et les deux points A et B étant pris d'une 
manière quelconque sur AB, on voit que deux parallèles 
sont partout également distantes. 



THÉORÈME. 

06. Deux angles qui ont leurs côtés parallèles chacun à 
chacun sont égaux ou supplémentaires {fig. 46). 

1° Supposons que les côtés parallèles soient deux à deux 
dirigés dans le même sens. Soient, par exemple, les angles 
ABC, DEF; BA et ED sont parallèles et dirigés l'un et 
l'autre de gauche à droite : les deux angles considérés sont 
égaux. 

Fig. /i6. 
A, 




En effet, prolongeons le côté DE jusqu'au point H, 011 il 
coupe le côté BC. Les angles ABC, DHC sont égaux comme 
correspondants, par rapport aux parallèles BA, HD, coupées 
par BC; de même, les angles DEF, DHC sont égaux comme 
correspondants par rapport aux parallèles EF, HC, coupées 
par DH. Donc, l'angle ABC est égal à l'angle DEF. 

2° Supposons que les côtés parallèles soient dirigés deux à 
deux en sens contraires. Soient, par exemple, les angles ABC, 
GEH; BA et EH sont parallèles et dirigés, le premier de bas 
en haut, le deuxième de haut en bas; BC et EG sont paral- 
lèles et dirigés, l'un de gauche à droite, l'autre de droite à 
gauche : les deux angles considérés sont égaux. 



4o 



GÉOMÉTRIE TLANE. 



En clTct, en prolongcanl les côtés de l'angle GEH au delà 
du sommet E, on forme un angle DEF égal d'une part à GEH 
comme opposé par le sommet, et d'autre part égal à AB(] 
comme ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux de ce 
dernier angle et dirigés dans le même sens. 

S*' Supposons enfin que deux côtés soient parallèles et de 
môme sens, et les deux autres parallèles et de sens con- 
traires. Soient, par exemple, les angles ABC, DEG; BA et El) 
sont parallèles et dirigés l'un et l'autre de bas en haut, BC 
et EG sont parallèles et dirigés, le premier, de gauche à 
droite, le deuxième, de droite à gauche : les deux angles con- 
sidérés sont supplémentaires. 

En effet, en prolongeant GE au delà du sommet E; on forme 
un angle DEF, qui est, d'une part, le supplément de DEG, et 
qui est, d'autre part, égal à ABC comme ayant ses côtés res- 
pectivement parallèles à ceux de ce dernier angle et dirigés 
dans le même sens. 

En résumé, deux angles qui ont leurs côtés parallèles sont 
égaux si les cotés parallèles sont dirigés deux à deux dans le 
même sens, ou encore si les côtés parallèles sont dirigés deux 
à deux en sens contraires ; ils sont supplémentaires si deux 
côtés parallèles sont de même sens et les deux autres de sens 
contraires. 

Corollaire. 

67. Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires c/iacun 
à chacun sont égaux ou supplémentaires. 

1° Considérons deux angles aigus ABC, DEF {/ig. 4?); 1^ 

Fig. /Î7- 




côté DE est perpendiculaire sur BA, et le côté EF est per- 
pendiculaire sur BG: les deux angles considérés sont égaux. 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 4* 

En effet, si Ton fait tourner l'angle DEF tout d'une pièce 
d'un angle droit autour de son sommet E, le nouvel angle 
D'EF', reproduction de DEF, aura ses côtés respectivement 
parallèles à ceux de ABC : ED' et BA seront parallèles comme 
perpendiculaires à DE; EF' et BC seront parallèles comme 
perpendiculaires à EF. D'ailleurs, les angles ABC, D'EF', qui 
ont leurs côtés parallèles, étant tous les deux aigus, ne peu- 
vent être supplémentaires : ils sont donc égaux; par suite, 
les angles ABC, DEF le sont aussi. 

1° Si les deux angles comparés étaient obtus, on démon- 
trerait de la même manière leur égalité. 

3° Considérons enfin deux angles d'espèce différente, c'est 
à-dire l'un ABC aigu, l'autre DEF obtus {fig, 48). En prolon- 

Fig. 48. 




géant EF au delà du sommet E, on forme un angle DEF,, qui 
est le supplément de DEF : cet angle DEFi est donc aigu 
comme Tangle ABC; d'ailleurs, il a ses côtés respectivement 
perpendiculaires à ceux de ABC. Les angles ABC et DEFt sont 
donc égaux et, par suite, les angles proposés ABC et DEF 
sont supplémentaires. 



§V. 



SOMME DES ANGLES D'UN POLYGONE. 



THÉORÈME. 

68. La somme des angles d'un triangle quelconque ABC 
est égale à deux angles droits {fig. 49)- 

En effet, prolongeons BC suivant CD et menons CE parai- 



42 GÉOMÉTRIE PLANE. 

lèle àBA.La droite CE tombera dans l'angle ACD; sans quoi, 
elle rencontrerait BA. 

Les angles BAC, ACE sont égaux comme alternes-internes, 
par rapport aux parallèles AB, CE, coupées par AC. Les 
angles ABC, ECI) sont égaux comme correspondants, par 
rapport aux parallèles BA et CE coupées par BD. D'après 
cela, la somme des trois angles du triangle ABC est la môme 



que celle des trois angles BCA, ACE, ECD, formés autour du 
point C au-dessus de la droile indéfinie BD; cette somme est 
donc égale à deux angles droits (18). 

SCOLIE. 

69. On voit par celte démonstration que l'angle ACD est la 
somme des deux angles B et A; ainsi, tout angle extérieur 
d'un triangle, c'est-à-dire tout angle formé par un côté c. le 
prolongement d'un autre côté, est égal à la somme des deux 
angles intérieurs qui ne lui sont pas adjacents. 

Corollaires. 

70. Un triangle ne saurait avoir qu'un seul angle droit et, 
a fortiori, qu'un seul angle obtus. 

71. Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont 
complémentaires, 

72. Un angle quelconque d'un triangle est le supplément 
de la somme des deux autres. D'où il suit que si deux triangles 
ABC, A^B'C, ont deux angles égaux chacun à chacun, A=:A' 
et B ^ B', le troisième angle C du premier triangle est égal 
au troisième angle C de l'autre. Il en résulte que deux 
triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal et deux angles 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 

aux chacun à chacun, que ces angles soient ou non adja- 
cents au côté égal. 

73. Deux triangles ABC, A'B'C, qui ont leurs côtés paral- 
lèles ou perpendiculaires chacun à chacun, ont leurs angles 
égaux chacun à chacun. 

En effet, deux angles qui ont leurs côtés parallèles ou per- 
pendiculaires étant égaux ou supplémentaires, on a 

A — A' ou A -H A' = 2«f, 

B = B' ou B + B'==:2«f, 




C=rC' 



ou 



C -1- C = 2^ 



On ne peut donc faire que les trois hypothèses suivantes: 

A + A'=2«^, B-hB'=:2^, C4-C'r=2^ 



A=:A', 

A = A', 



B + B'=2' 



C4-C'=2^ 



B=:B', et, par suite (72), C = C. 



Or, dans le premier cas, la somme des angles des deux 
triangles vaudrait 6 angles droits; dans le second cas, cette 
somme surpasserait 4 angles droits de la quantité A -h A' = 2 A. 
La troisième combinaison est donc seule possible. 

THÉORÈME. 

74. La somme des angles intérieurs d'un polygone con- 
vexe ABCDEF est égale à autant de fois deux angles droits 
qu'il a de côtés m,oins deux {fig* 5o). 




En joignant l'un des sommets A à tous les sommets non 
adjacents, on décompose le polygone en autant de triangles 
qu'il a de côtés moins deu^L; car chaque triangle contient uri 
seul côté du polygone, excepté les deux triangles extrêmes, 



(\[\ GÉOMÉTRIE PLANE. 

qui renferment chacun deux côtés de ce polygone. La somme 
(les angles du polygone est égale à celle des angles de tous 
ces triangles; elle vaut donc autant de fois deux angles droits 
que le polygone a de côtés moins deux. 

SCOLIE. 

75. Si l'on désigne par/i le nombre des côtés du polygone, 
la somme de ses angles aura pour expression, en prenant 
l'angle droit pour unité, 

i{n — 2) ou 2/1 — 4. 

Si l'on fait dans la formule précédente n == 4, on trouve 4 
pour la somme cherchée. La somme des angles d'un quadri- 
latère est donc égale à quatre angles droits ; d'où il suit que, 
si un quadrilatère a tous ses angles égaux, chacun de ces 
angles est droit. 

Corollaire. 

76. La somme des angles qu'on forme à l'extérieur d' un 
polygone convexe, en prolongeant successivement ses côtés 
dans le même sens, est égale à quatre angles droits {Jig. 5i). 




En effet, la somme d'un angle extérieur quelconque NAG 
et de l'angle intérieur adjacent FAB est égale à deux angles 
droits; donc, la somme des angles, tant intérieurs qu'exté- 
rieurs, du polygone est égale à autant de fois deux angles 
droits qu'il a de sommets ou de côtés. Cette somme surpasse 
donc de quatre angles droits (75) la somme des angles inté- 
rieurs : en d'autres termes, la somme des angles extérieurs 
est égale à quatre angles droits. 



LIVRE I. — LA LIGNE DUOITE. 4^ 

77. Il convient de remarquei* qu'un polygone convexe ne 
saurait avoir d'après cela plus de trois angles intérieurs 
aigus; sans quoi il aurait plus de trois angles extérieurs 
obtus, et la somme de ses angles extérieurs surpasserait 
quatre angles droits. 



§ VI. — DU PARALLÉLOGRAMME. 

DÉFINITIONS. 

78. Parmi les quadrilatères convexes, on distingue : 

Le parallélogramme {Jig,'52), qui a ses côtés opposes 
parallèles deux à deux; 

2° Le rectangle {Jig. 53), qui a tous ses angles égaux entre 
eux : il résulte du n° 84 que les quatre angles d'un rectangle 
sont droits; 

3° Le losange {ftg. 54), qui a tous ses côtés égaux entre 
eux : nous démontrerons dans cette leçon que le rectangle et 
le losange sont des parallélogrammes; 




Fig. 52. 



Fig. 53. 



Fig. 54. 




Fig. 55. 



Fig. 56. 



4'' Leca/Te(y?^. 53),qui a tous ses côtés égaux et ses angles 
égaux : le carré est à la fois un losange et un rectangle; 

5° Le trapèze {Jig* 56), dont deux côtés opposés seulement 
sont parallèles; ces côtés sont les bases du trapèze et leur 
distance est la hauteur. Le trapèze est rectangle lorsqu'un 
de ses côtés non parallèles est perpendiculaire ««ur les deux 



46 GÉOMÉTRIE PLANE. 

côlés parallèles; il est isocèle lorsque ses deax côtés non pa- 
rallèles sont égaux. 

THÉORÈME. 

79. Dans tout parallélogramme : 
1^ Les côlés opposés sont égaux deux à deux; 
2° Les angles opposés sont égaux deux à deux; 
3*^ Les diagonales se coupent m,utuellement en deux parties 
égales. 

Soit le parallélogramme ABCD {Jig. 57). 

i*^ Deux côtés opposés quelconques AB et CD, par exemple, 
sont égaux entre eux; car ce sont, par hypothèse, deux droites 
parallèles comprises entre deux autres droites parallèles AD 
etBC(64). 

2° Deux angles opposés quelconques, DAB et BCD, par 
exemple, sont égaux entre eux; car ils sont formés par des 
côtés parallèles deux à deux et de sens contraires (66, 2°). 
AB et CD sont en effet parallèles et de sens. contraires, et il 
en est de même de AD et de CB. 

3° Chacune des diagonales AC et BD est coupée par l'autre, 
au point 0, en deux parties égales. En effet, les deux triangles 
AOB, DOC ont un côté égal adjacent à deux angles égaux, 
savoir : le côté AB égal au côté DC, comme côlés opposés du 
parallélogramme; l'angle OAB égal à l'angle OCD, comme 
alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CD coupées 
par AC; et l'angle OBA égal à l'angle ODC, comme alternes- 
internes par rapport aux mêmes parallèles coupées par Bl). 

Fig. 57. Fig. 58. 





Les triangles AOB, DOC sont donc égaux. Par suite., le côté 
OB, opposé à l'angle OAB, est égal au côté OD opposé à 
l'angle OCD, et le côté OA opposé à l'angle ()I5A est égal au 
côté OC opposé à l'angle ODC. 



IVRE I. — LA LIGNE DROITE. 

THÉORÈME. 

80. Un quadrilatère convexe est un parallélogramme : 

i*' Si ses cotés opposés sont égaux deux à deux ; 

2*^ Si ses angles opposés sont égaux deux à deux ; 

S*' Si deux cotés opposés sont à la fois égaux et paral- 
lèles; 

4*^ Si ses diagonales se coupent mutuellement en deux par- 
ties égales. 

Soit le quadrilatère ABCD {fig. 58). 

1° Menons la diagonale AC. Les deux triangles ABC, ADG 
sont égaux comme ayant les trois côtés égaux, savoir : AC 
commun, AB et CD égaux entre eux par hypothèse, ainsi que 
AD et BC. Par suite, l'angle BAC opposé à BC est égal à l'angle 
ACD opposé à AD ; et comme ces angles occupent, par rapport 
aux deux droites AB et CD et à la sécante AC, la position d'al- 
ternes-internes, les deux côtés AB et CD sont parallèles (61). 
De même, l'égalité des angles BCA et CAD entraîne le paral- 
lélisme des deux autres côtés AD etBC. Donc, le quadrilatère 
ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux esl un 
parallélogramme. 

1° Les angles opposés A et C étant égaux entre eux, ainsi 
que les angles B et D {fig- 59), on voit que deux angles con- 

Fig. 59. 

A B 



sécutifs quelconques, B et C par exemple, ont une somme 
égale à la moitié de la somme des angles du quadrilatère, 
c'est-à-dire à deux droits. Ces deux angles B et C étant supplé- 
mentaires, et, de plus, intérieurs d'un même côté par rapport 
aux deux droites AB et CD coupées par BC, ces mêmes droites 
sont parallèles (61). On démontrerait de même que, les angles 
A et B étant supplémentaires, les deux autres côtés opposé.% 
AD et BC, sont parallèles. Le quadrilatère ABCD est donc un 
parallélogramme. 



L\S GÉOMÉTRIE PLANE. 

3° Soient AB et CD les deux côtés opposés que l'on suppose 
égaux et parallèles (y?^>^. 58). En menant la diagonale AC, on 
forme deux triangles ABC, ADC, qui ont un angle égal enlre 
deux côtés égaux, savoir : l'angle BAC égal à l'angle ACD, 
comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB et CI) 
coupées par AC; le côté AB égal au côté CD par hypothèse, et 
le côté AC commun. De l'égalité des triangles ABC, ADC, ré- 
sulte celle des angles ACB et CAD; et comme ces angles sont 
alternes-internes par rapport aux deux droites AD et BC cou- 
pées par AC, ces mêmes droites sont parallèles. Le quadrila- 
tère ABCD ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux est 
un parallélogramme. 

4** Puisqu'on suppose OA = OC et OB =: OD {fig. 67), les 
angles AOB et COD étant d'ailleurs opposés par le sommet, 
les deux triangles AOB, COD, sont égaux. Donc, l'angle OAB 
est égal à l'angle OCD. D'ailleurs, ces angles étant alternes- 
internes par rapport aux droites AB et CD coupées par AC, les 
côtés opposés AB et Cl) sont parallèles. De l'égalité des 
triangles AOD, BOC, on déduirait pareillement l'égalité des 
angles OAD, OCB et, par suite, le parallélisme des deux 
autres côtés opposés AD et BC. Le quadrilatère ABCD, ayant 
ses côtés opposés parallèles deux à deux, est donc un paral- 
lélogramme. 

THÉORÈME. 

8L Tout rectangle est un parallélogramme dont les diago- 
nales sont égales {fig. 60). 

Fiir. 60. 




D'abord, tout rectangle est un parallélogramme, puisque 
ses angles opposés sont égaux (80, 2°). En second lieu, les 
deux triangles DAB, CAB, par exemple, sont égaux comme 
ayant un angle égal compris entre deux côtés égaux, savoir : 
l'angle droit DAB égal à l'angle droit CBA, le côté AB com- 



LIVRK I. — LA MUNK DROITE. 



mun, el le côté AD égal au côté BG, comme côtés opposés 
d'un parallélogramme; donc, les diagonales AC et BD, hypo- 
ténuses des triangles rectangles égaux DAB, CBA, soni 



égales. 



82. Réciproqukment, tout parallélogramme dont les diago- 
nales sont égales est un rectangle {fig. 60). Car les triangles 
DAB, CBA, sont alors égaux comme ayant leurs trois côtés 
égaux : donc, l'angle DAB est égal à l'angle CBA, et comme 
chacun d'eux est égal à son opposé, on voit que le parallélo- 
gramme considéré a tous ses angles égaux et, par suite, est 
un rectangle. 

THÉORÈME. 

83. Tout losange est un parallélogramme dont les diago- 
nales sont : 1° perpendiculaires l'une sur l'autre; 2" bissec- 
trices des angles opposés {fig. 61). 

D'abord, tout losange est un parallélogramme, piiisque ses 
côtés opposés sont égaux. 

Fig. 6t. 




En second lieu, les triangles ABC et ADC étant isocèles, 
puisque les quatre côtés d'un losange sont égaux, la diago- 
nale BD, qui passe par le milieu de la diagonale AC, est à 
Ila fois perpendiculaire sur AC et bissectrice des angles B et D. 
Pour une raison analogue, la diagonale AC est bissectrice des 
angles A et C. 



84-. Réciproqukment, tout parallélogramme est un losange : 
1° si ses diagonales sont perpendiculaires l'une sur l'autre; 
2° si l'une d'elles est bissectrice des angles dont elle unit les 
sommets, 

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( !'• Partie). 4 



5o GÉOMÉTRIE PLANE. 

En effet : 

Dans le premier cas, les quatre côtés sont égaux comme 
hypoténuses de quatre triangles rectangles égaux. 

Dans le second cas, AC étant, par exemple, bissectrice des 

angles BAD, BCD, les triangles ABC, ADG sont égaux; on a 

donc 

AB = AD, CB=:CD. 

Mais, ABCI) étant un parallélogramme, les côtés opposés sont 
égaux. 
Donc enfin les quatre côtés sont égaux. 

THÉORÈME. 

85. Tout carré est un parallélogramme dont les diagonales 
sont égales, perpendiculaires entre elles et bissectrices des 
angles opposés; réciproquement, tout parallélogramme est un 
carré lorsque ses diagonales sont : i° égales et perpendicu- 
laires entre elles; 2° égales, l'une d'elles étant en outre la 
bissectrice des angles dont elle unit les sommets. 

Le carré étant à la fois un rectangle et un losange, cet 
énoncé est évident d'après les propositions démontrées du 

n° 81 au n° 84. 

/ 

SCOLIE. 

86. Remarquons, en terminant ce Chapitre, que si, par les 
divers points d'une droite A, on mène des droites AA', BB', 
MM', . . . égales, parallèles et de même sens, le lieu des extré- 
mités A/, B', M', . . , de ces droites est une parallèle à la 
droite A. 

Cela résulte de ce que AA'B'B, AA'M'M étant (80, 3°), en 
vertu de l'hypothèse, des parallélogrammes, les droites A'B' 
et B'M' sont une même droite indéfinie parallèle à A. 

En particulier, le lieu des points situés à une distance donnée 
d'une droite ùi. se compose de deux parallèles à A situées de 
part et d'autre de cette droite. 

Enfin, le lieu des points équidistants de deux droites paral- 
lèles est une droite parallèle aux deux premières. 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 



VII. — FIGURES STMÉTRiaUES. 



DEFINITIONS. 

87. Il y a deux sortes de symétrie : la symétrie par rapport 
à une droite et la symétrie par rapport à un point. 

Deux points A et A' sont symétriques par rapport à une 
droite œy, lorsque cette droite est perpendiculaire sur la 
droite AA' en son milieu {fig- 62). 

Deux figures sont symétriques par rapporta une droite xy^ 
lorsque tout point de chacune de ces figures a son symé- 
trique sur l'autre. La droite xy prend le nom à' axe de symé- 
trie. Les points symétriques des deux figures sont dits homo- 
logues. 



Fi g, Sa. 



Fig. 63. 



Deux points A et A' sont symétriques par rapport à 
un point 0, lorsque ce point est le milieu de la droite AA' 

Deux figures sont symétriques par rapport à un point 0, 
lorsque tout point de chacune de ces figures a son symé- 
trique sur l'autre. Le point prend le nom de centre de 
symétrie. Les points symétriques des deux figures sont dits 
homologues, 

THÉORÈME. 

88. La figure symétrique d' une droite est une droite. 

1° Considérons d'abord la symétrie par rapport à un axe 

(fis- 64). 

Soient AB la droite donnée et C le point où elle rencontre 
l'axe xy. M étant un point quelconque de AB, et M' étant son 
symétrique, les deux triangles CM m, CM'w sont égaux 



52 



GÉOMÉTRIE PLANE, 



et, par suite, l'angle M' Cm est égal à l'angle MCm. Le 
point M' est donc constamment situé sur la droite menée 



Fig. 64. 



y 



M' 



par le point C et faisant avec xy, et de l'autre côlc de cet 
axe, un angle égal à l'angle de AB avec xy. 

Si la droite AB était parallèle à xy {fig. 64')> le quadrila- 
tère AA'M'M, formé par le point A, un point quelconque M 
de AB et leurs symétriques, serait un parallélogramme, 



Fig. 64'. 



1 1 1 


o^ 1 i î ^ 



Fig. 65. 




puisque les parallèles AA', MM' seraient égales. Le jK)int M' 
resterait donc constamment sur la parallèle à xy menée par 
le point A'. 

2° Considérons maintenant la symétrie par rapport à un 
centre {fig- 65). 

Soient AB la droite donnée et M un point quelconque de 
cette droite. Le quadrilatère, formé par les points A et M et par 
leurs symétriques A' et M', est un parallélogramme, puisque 
ses diagonales se coupent mutuellement en parties égales au 
centre (97, 4°). Le point M' se trouve donc constamment 
sur la parallèle à AB menée par le point A'. 



I 



» 



LIVRE [. — LA LIGNE DROITE. , 53 

SCOLIE. 

89. Remarquons que, dans la symétrie par rapport à un 
point, deux droites homologues sont parallèles, tandis que, 
dans la symétrie par rapport à un axe, deux droites homo- 
logues quelconques sont également inclinées de part et 
d'autre de l'axe qu'elles rencontrent au même point. Elles ne 
peuvent donc être parallèles entre elles que si elles sont pa- 
rallèles à l'axe. 

THÉORÈME. 

90. La distance de deux points est égale à celle de leurs 
points symétriques. 

En effet, dans le cas de la Jig. 64, on a, par la démonstra- 
^ lion même, CM = CM' et, aussi, CA =: CA', d'où, par soustrac- 
tion, AMrrrA'M'. 

Dans le cas de la fig, 65, on a AM^^A'M' puisque ces 
droites sont les côtés opposés d'un parallélogramme. 

THÉORÈME. 

91. L'angle de deux droites AB et CD est égal à l'angle 
formé par leurs symétriques A'B' et CD'. 

En eiï'et, considérons un point A sur AB, un point C sur CD 
et le point I d'intersection des deux droites. Soient A', C, F, 
les symétriques de ces trois points. Les deux angles AIC, 
A'I'C, ayant leurs trois côtés égaux, sont égaux et, par suite, 
l'angle A'TC est égal à l'angle AIC. 

Si les deux droites AB et CD étaient parallèles, il en serait 
de môme des droites symétriques. 

THÉORÈME. 

92. Deux polygones symétriques ABC..., iV'B'C... sont 
égaux. 

En effet, leurs côtés homologues et leurs angles homo- 
logues sont égaux (90, 91); mais, pour montrer qu'ils sont 
superposabies, il convient de distinguer les deux espèces de 
symtérie. 



54 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Dans la symétrie par rapport à un centre {fig- 66), un 
observaleur, debout au point A sur Je plan de la figure et 
regardant le point B, voit le sommet suivant C à sa droite. 

De même, un observateur, debout en A' sur le plan de la 
figure et regardant le point B', voit le sommet suivant C à sa 
droite. 

Donc, si l'on déplace la figure A'B'C... dans son plan, de 
façon à faire coïncider A' avec A et B' avec B, le point C 
tombera à droite de AB et, comme l'angle en B' est égal à 



E^ 





l'angle en B et le côté B'C égal au côté BC, le sommet C tom- 
bera sur le sommet C, ..., et ainsi de suite. Par conséquent, 
les deux polygones coïncideront. 

Dans la symétrie par rapport à un axe {fig. 66'), les deux 
observateurs, placés comme on vient de le dire précédem- 
ment, verraient, au contraire, le premier, le sommet C à sa 
droite et, le second, le sommet C à sa gauche. 

Donc, si l'on déplaçait la figure A'B'C... dans son plan, de 
façon à amener A' en A et B' en B, les sommets C et C se 
trouveraient de part et d'autre de AB et ne pourraient coïn- 
cider. Mais, en retournant Xa figure A'B'C'..., puis en la dé- 
plaçant dans son plan de façon à amener encore A' et B' en A 
et en B, le sommet C tombera à droite de AB et coïncidera 
avec le sommet C, d'après l'égalité des angles B' et des côtés 



LIVRE I. — LA LIGNE DROITE. 



55 



B'C et BC, ..., et ainsi de suite. Par conséauent, les deux 
polygones coïncideront encore. 



Fig. 66'. 
C 




B' 




En résumé, deux polygones symétriques par rapport à un 
centre sont superposables mRECTFMEîiTy tandis que deux poly- 
gones symétriques par rapport à un axe ne le sont, en géné- 
ral, ^w 'après retournement de Vun d'eux, 

SCOLIE. 

93. 1° Si une figure est telle que ses points considérés deux 
à deux soient symétriques par rapport à une droite, on dit 
que cette droite est un axe de symétrie de la figure. 

Ainsi, le triangle isocèle a pour axe de symétrie la perpen- 
diculaire abaissée de son sommet sur sa base, et le triangle 
équilatéral a pour axes de symétrie ses trois hauteurs. 

De même, la droite qui joint les milieux de deux côtés 
opposés d'un rectangle est un axe de symétrie de la figure. 
Le rectangle a donc deux axes de symétrie. Le carré en 
a quatre, puisque ses diagonales sont deux nouveaux axes. 
Le losange n'en a que deux. 

2° Si une figure est telle que ses points considérés deux à 
deux soient symétriques par rapport à un point, on dit que 
ce point est un centre de symétrie de la figure. 

Ainsi, le parallélogramme a pour centre de symétrie le 



56 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



point de rencontre de ses diagonales, car, si l'on mène par 
ce point une droite quelconque MOM' {fig, 65), l'égalité 
des triangles MOA, M'OG (32, 2°) donne MO — M'O. 

THÉORÈME. 

93. Lorsqu'une figure possède deux axes de symétrie rec- 
tangulaires, elle a pour centre de symétrie le point d'inter- 
section de ces deux axes {fig. 67). 

Fig. 67. 







œ^ 








A"^— 




r â 




\ 


\ 




I 


il- 









A' 



Soient xy et x'y' les deux axes de symétrie de la figure 
considérée, perpendiculaires entre eux au point 0. 

Les points A' et A", respectivement symétriques d'un point 
quelconque A de la figure par rapport aux axes xy et x'y', 
font, par hypothèse, partie de cette figure. 

Les deux triangles lOA', FOA" sont alors égaux entre eux 
(34., 2°), et l'on a OA'=r OA". De plus, l'angle FOA" est égal 
à l'angle lA'O et, par suite, à l'angle A'Oy' égal au pré- 
cédent comme alterne-interne. Or, les deux angles égaux 
rOA", A'Oj' sont dans la position d'opposés par le sommet 
et ont deux côlés en ligne droite; leurs deux autres côtés 
OA", OA' forment donc une seule et même ligne droite 
(r»" Exercice de la deuxième Leçon), dont le point est le 
milieu. 

Ainsi, à tout point A de la figure donnée, répondent deux 
autres points A' et A" de cette figure qui sont symétriques par 
rapport au point 0. Ce dernier point est donc un centre de 
symétrie de la figure donnée. 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



LIVRE IL 

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



§ I. — DES ABCS ET DES CORDES. 



DEFINITIONS. 



14. Là cil conférence est une ligne courbe ABCD {/ig. 70), 
dont tous les points sont également distants d'un point inté- 
rieur qu'on nomme centre. 

Le cercle est l'espace limité par la circonférence. 




On appelle rayon toute droite menée du centre à la cir- 
conférence. Tous les rayons OA, OB, OC, . . . d'un cercle sont 
égaux, d'après la définition même de la circonférence. 

Deux cercles de même rayon sont égaux; car si l'on place 
le centre 0' du second ^fig. 71) sur le centre du premier 
^fiS' 70), l'égalité des rayons entraînera la coïncidence des 
deux circonférences. 

On nomme arc une portion quelconque AB de circonfé- 
rence. 

Deux arcs de même rayon, BC et B'C, sont dits égaux 
lorsqu'on peut les placer l'un sur l'autre de manière qu'ils 
coïncident. 

Pour ajouter deux arcs de même rayon, AB et B'C, on 
porte le second en BC à la suite du premier, sur le cercle 



58 GÉOMÉTRIE PLANE. 

auquel ce premier arc apparlieni, de manière qu'ils aient une 
extrémité B commune; l'arc ABC, compris entre les extré- 
mités non communes A et C, est dit la somme des deux arcs 
proposés. 

95. Un point est intérieur ou extérieur di un cercle suivant 
que sa distance au centre est plus petite ou plus grande que 
le rayon. 

96. Une droite quelconque EF ne peut rencontrer une cir- 
conférence en plus de deux points C e/ D [fig» 72). 




En effet, du centre à la droite EF, on ne peut mener au 
plus (43) que deux droites OC et OD égales au rayon. 

On donne le nom de sécante à toute droite EF qui coupe 
la circoniérence en deux points G et D. On appelle corde la 
partie CD intérieure au cercle, et l'on réserve le nom de dia- 
mètre aux cordes qui passent par le centre. 

Tous les diamètres d'un cercle sont égaux, car un diamètre 

quelconque AB est la somme de deux rayons OA et OB. 
Le diamètre est la plus grande corde du cercle. 
Car une corde quelconque CD est moindre que la somme 

OC + OD des deux rayons qui aboutissent à ses extrémités : 

elle est donc moindre qu'un diamètre. 

97. Tout diamètre AB divise la circonférence et ie cercle en 
deux parties égales (fig- 72). 

En effet, si l'on plie la fij^ure autour d'un diamètre AB, un 
rayon quelconque OC de la partie supérieure prendra la direc- 
tion du rayon OC qui fait de l'autre côté de AB un angle C OA 
égal à l'angle COA ; et, à cause de l'égalité des rayons, le point C 



LIVRE II. 



LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



59 



de Tare supérieur AGB tombera en C sur Tare inférieur AHB. 
Ces deux arcs AGB, AHB, se recouvrant exactement, sont donc 
égaux, ainsi que les espaces compris entre chacun d'eux et 
le diamètre AB. 

98. Une corde quelconque CD, autre qu'un diamètre, divise 

d'après cela la circonférence en deux arcs inégaiiXy l'un CGD 

moindre que la demi-circonférence, l'autre CHD plus grand. 

On dit que la corde CD sous-tend ces deux arcs. Toutefois, 

quand nous parierons de Varc sous-tendu par une corde CD, 

il faudra toujours entendre, à moins d'avertissement contraire, 

qu'il s'agit du plus petit des deux arcs correspondant à celte 

corde. 

THÉORÈME. 

99. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux : 

1° Deux arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales; 
7.° De deux arcs inégaux, le plus grand est sous-tendu par 
la plus grande corde {Jig. 78 ). 

Fig. 73. 





joient et I deux cercles égaux : 

1° Si l'arc AMB est égal à l'arc CND, les cordes AB et CD 
seront égales. En effet, portons le cercle I sur le cercle de 
ïianière que le rayon IC coïncide avec son égal OA, I étant 
en et C en A. Les circonférences coïncideront, l'arc CND 
tombera sur son égal AMB, et le point D viendra en B. La 
corde CD s'appliquera donc sur la corde AB, et, par suite, lui 
sera égale. 

2° Si l'arc AMH est plus grand que l'arc CND, la corde AH 
sera plus grande que la corde CD. En effet, prenons à partir 
du point A, sur l'arc AMH, un arc AMB égal à l'arc CND; les 
cordes AB, CD, seront égales ( 1°), et il restera à démontrer que 
la corde AB est moindre que la corde AH. Or, l'arc AMB étant 



60 GÉOMÉTRIE PLANE. 

moindre que l'arc AMH, le point B tombe entre les points A 
et H, et l'angle AOB est inférieur à l'angle AOH. Par suite, les 
deux triangles AOB, AOH, ont un angle inégal compris entre 
deux côtés égaux chacun à chacun, savoir OA commun et 
OB = OH comme rayons d'un même cercle. Donc le côté AB 
opposé à l'angle AOB est moindre que le côlé AH opposé à 
l'angle AOH. 

100. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe 
général du n*» 7 il suit que : 

Réciproquement, dans un niême cercle ou dans des cercles 
égauTy à des cordes égales répondent, des arcs égaux y et à une 
plus grande corde répond un plus grand arc, 

SCOLIE. 

101. Nous n'avons considéré dans ce qui précède que des 
arcs moindres qu'une demi-circonférence (98). Si l'on consi- 
dérait des arcs plus grands qu'une demi-circonférence, pour 
la seconde partie du théorème ies conclusions seraient in- 
verses : l'arc augmentant, la corde diminuerait au lieu de 

croître. 

THÉORÈME. 

102. Le diamètre AB, perpendiculaire sur une corde CD, 
divise cette corde elles deux arcs CBI), CXD, rj/u'elle sous-tend^ 
chacun en deux parties égales {Jîg. 74). 




En effet, soient le centre de la circonférence et I le point 
de rencontre du diamètre AB et de la corde Cl). Les rayons OC, 
OD, étant, par rapporta la perpendiculaire 01, deux obliques 
égales, s'écartent également du pied de cette perpendiculaire. 
On a donc CI = ID. En d'autres termes, la corde CD est divisée 



I 



LIVI12 II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 6l 

au point I en deux parties égales. Dès lors, AB étant perpen- 
diculaire sur le milieu de CD, tout point de AB, et en parti- 
culier le point B, est équidistant des points C et D. Les cordes 
BG et BD sont donc égales, et, par suite, les arcs BC et BD 
sont aussi égaux. En d'autres termes, l'arc CBl) est divisé au 
point B en deux parties égales. On démontrerait de même que 
l'arc CAD est aussi divisé en deux parties égales au point A 

Corollaires. 

103. La droite AB satisfait, d'après cela, aux cinq conditions 
suivantes : elle passe par le centre 0, par le milieu I de !a 
corde CD, et par les milieux A et B de chacun des arcs que cette 
corde sous-tend; elle est enfin perpendiculaire sur la corde CD. 
Or, deux de ces cinq conditions suffisent pour déterminer la 
droite AB ; car on sait que, par deux points, on ne peut mener 
qu'une droite, et que par un point on ne peut mener qu'une 
perpendiculaire sur une droite. Donc, toute ligne droite assu- 
jettie à deux des cinq conditions énoncées remplira néces- 
sairement les trois autres. De là une série de propositions que 
le lecteur énoncera sans difficulté, et parmi lesquelles nous 
ne citerons que les suivantes : 

La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une corde passe 
par le centre et par le milieu de chacun des arcs que cette 
corde sous-tend. 

Le lieu géométrique des milieux d'an système de cordes 
parallèles est le diamètre perpendiculaire à la direction com- 
mune de ces cordes. 

THÉORÈME. 

104-. Dans un même cercle ou dans des cercles égaux : 
1° Deux cordes égales sont également éloignées du centre; 
tP De deux cordes inégales, la plus petite est la plus éloi- 
gnée du centre [Jig. 75 ). 

1* Soient les deux cordes égales AB, CD, et soient OE, OF, 
les perpendiculaires menées du centre sur chacune d'elles. 
Les longueurs de ces perpendiculaires mesurent les dis- 
lances du centre à ces deux cordes, et il s'agit de démontrer 
que ces distances sont égales. Or les triangles rectangles EOB, 



62 GÉOMÉTRIE PLANE. 

COF, sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale à un côté 
égal, savoir : OB = OC comme rayons d'un même cercle, et 
EB = CF comme moitiés de cordes égales, puisque les pieds E 
et F des perpendiculaires OE et OF sont les milieux des 
cordes AB et CD. Donc OE, troisième côté du triangle OElî, 
est égal à OF, troisième côté du triangle OCF. 




2° Soient les deux cordes inégales AG et CD. On suppose AG 
moindre que CD, et il faut démontrerquela perpendiculaire OH, 
menée du centre sur la première corde, est plus grande que 
la perpendiculaire OF. Par le point A menons une corde AB 
égale à CD. La distance OE du centre à cette corde sera égale 
à OF, et il reste à démontrer que OE est moindre que OH. Or, 
la corde AG étant moindre que la corde AB, l'arc AG est infé- 
rieur à l'arc AB, et, par suite, le centre du cercle et le mi- 
lieu H de la corde AG sont situés de part et d'autre de la 
droite AB. Donc AB rencontre OH en un point I situé entre 
et H, et Ton a OI<;OH. Mais, puisque OE est perpendicu- 
laire sur AB, 01 est oblique, et l'on a 

OE<OI; 

donc, à fortiori, 

OE<OH. 

105. Du théorème qu'on vient de démontrer et du principe 
général du n** 7 il résulte que : 

Béciproquement, dans un même cercle ou dans des cercles 
égaux, deux cordes également éloignées du centre sont égales; 
et, de deux cordes inégalement éloignées du centre, la plus 
éloignée est la plus petite. 



LIVIIE [I. 



L4 CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



63 



§ lî. — TANGENTE AU CERCLE. — POSITIONS MUTUELLES 
DE DEUX CIRCONFERENCES. 



DÉFINITION. 

106. On nomme tangente au cercle toute droite CD [Jig. 76) 
qui n'a qu'un point commun avec la circonférence. Ce point 
commun A est appelé point de contact. 

THÉORÈME. 

107. Toute perpendiculaire CD, àl'extrémité d'un ra/onOA, 
est tangente à la circonférence [ftg. 76). 



Fig. 76. 





^K esi li 

P 

■P En effet, en joignant au centre un point quelconque B 
de CD, autre que le point A, on obtient une droite OB oblique 
sur CD, puisque OA est la perpendiculaire à CD qui passe 
par le point 0. Cette droite OB est donc plus grande que le 
rayon OA(42), et, par suite, le point B est extérieur au cer- 
cle (94). La droite CD ayant tous ses points hors du cercle, 
sauf le point A, qui est commun aux deux lignes, est donc 
une tangente à la circonférence. 

108. Réciproquement, toute tangente CD à ta circonférence 
est perpendiculaire à l'extrémité du rafon OA qui aboutit au 
point de contact A [Jig. 76). 

En effet, tout point B de la tangente CD, autre que le point A, 
étant extérieur au cercle, sa distance BO au centre est plus 
grande que le rayon (95). Donc le rayon OA est la plus courte 
de toutes les droites qu'on peut mener du centre à la t;ni- 
gente CD. En d'autres termes, OA est perpendiculaire sur 



6.^ GÉOMÉTRIE PLA^K. 

CD, et inversement, la tangente CD est perpendiculaire au 
point A sur le rayon OA. 

Corollaires. 

109. Par un point A d'une circonférence 0, on peut tou- 
jours mener une tangente à cette courbe, et l'on ne peut en 
mener qu'une, 

110. Toute tangente est parallèle aux cordes que le dia- 
mètre mené au point de contact divise en deux parties 
égales (103). 

Sgolii;s. 

111. On peut considérer la tangente AC en un point A 
d'une circonférence (Jig. 77) comme la position limite que 
prend une sécante AB lorsque cette sécante tourne autour 
du point A de manière que le second point d'intersection B 
vienne se confondre avec le premier. Car, lorsque les deux 
points d'intersection B et A sont ainsi réunis en un seul, la 
droite AC n'a plus qu'un point commun avec la circonfé- 
rence. 

Cette nouvelle définition de la tangente est applicable à 
toutes les courbes. D'ailleurs, nous verrons plus tard qu'outre 
sa généralité cette définition a sur celle du n° lOG l'avantage 
de mettre en lumière l'intime corrélation de certains théo- 
rèmes qui sembleraient sans cela tout à fait distincts. 

On dit qu'une courbe ou qu'un arc de courbe est convexe 
lorsque cette courbe ou cet arc tombe entièrement d'un même 
côté de chacune de ses tangentes. Le raisonnement du n° 107 
prouve que la circonférence est convexe. 

Nous avons vu qu'une droite quelconque ne peut rencon- 
trer une circonférence en plus de deux points. Tout arc de 
courbe convexe jouit de la même propriété; car, si une droite 
coupait cet arc en trois points, le premier et le dernier point 
seraient situés de part et d'autre de la tangente au point 
intermédiaire. 

112. On appelle normale en un point d'une courbe la per- 
pendiculaire élevée par ce point à la tangente correspondante. 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 65 

La normale en un point d'une circonférence est donc dirigée 
suivant le rayon qui passe par ce point, c'est-à-dire que toutes 
les normales à la circonférence passent par son centre. 

Il en résulte que par un point pris sur la circonférence on 
peut toujours lui mener une normale, mais une seule; tandis 
que par un point 0, extérieur ou intérieur à cette courbe 
[fig' 78), on peut en mener deux : la normale OA et la nor- 
male OB. 

Toute droite qui n'est pas normale à la circonférence lui est 

oblique. 

THÉORÈME. 

1 J3. Toute oblique OE, issue d'un point qui n*appartient 
pas à la, circonférence C, a sa longueur comprise entre celles 
des deux normales OA et OB qui passent par ce point [fig- 78). 

Fie. 7«. 





Que le point soit extérieur ou intérieur, OA est égal à 
la différence des côtés OC et CE du triangle OCE; donc la nor- 
male OA est plus petite que l'oblique OE, troisième côté du 
triangle. 

De même, OB est égal à la somme des côtés OC et CE du 
même triangle; donc la normale OB est plus grande que l'o- 
blique OE, troisième côté de ce triangle. 

SCOLIE. 

114. On appelle distance d'un point à une circonférence 
la longueur de la plus petite OA des deux normales que l'on 
peut mener de ce point à la circonférence. 

THÉORÈME. 

115. Deux parallèles interceptent sur la circonférence des 
arcs égaux, 

R. et DE G. — Tr. de Géom. (I" Partie). 5 



66 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Il faut distinguer trois cas : 

1° Supposons [fg, 79) que les parallèles AB, CD, soient sé- 
cantes, et abaissons du centre sur ces droites la perpendi- 
culaire commune OM qui coupe la circonférence en M. Le 



Fig. 79- 

M 



C C'y^"^ 


F^H D 


( 


I \ 


A E 


PB 




point M est (102) à la fois le milieu de l'arc EMF que sous- 
tend la corde EF, et le milieu de l'arc GMH que sous-tend la 
corde GH; on a donc 

arc EM = arc FM, arc GM = arc HM ; 

d'où, en soustrayant membre à membre, 

arc EM — arc GM = arc FM — arc HM, 

c'est-à-dire 

arcEG = arcFH. 

2° Supposons (Jig. 79') que les parallèles AB et CD soient 
l'une sécante et l'autre tangente. Alors le rayon OK, qui abou- 
tit au point de contact, est (107, 110) une perpendiculaire 
commune à la tangente CD et à la corde EF qui lui est paral- 
lèle; il divise donc l'arc EKF, sous-tendii par cette corde, en 
deux parties égales, et l'on a 

arc EK = arc FK. 

3° Supposons enfin {fig.']^") que les deux parallèles AB et CD 
soient tangentes, l'une en 1 et l'autre en K. Les deux rayons 01 
et OK, respectivement perpendiculaires à AB et à CD, seront 
dans le prolongement l'un de l'autre, puisque des droites 
parallèles ont leurs perpendiculaires communes. Les deux 
arcs KPI, KQI, sont donc égaux l'un et l'autre à une demi- 
circonférence. 



LIVRE II. 



LA CinCONFÈRF.NGE DE CERCLE. 



67 



THÉORÈME. 

116. Par trois points A, B, C, non situés en ligne droite, on 
peut toujours faire passer une circonférence, et l'on ne peut 
m faire passer quune {fig. 80). 



iS- 80. 




Fig. 8o\ 
A 



\.' 



Il s'agit de prouver qu'il existe un point, et un seul, situé à 
la même distance des trois points donnés A, B, C. 

Or, tout point équidistant de A, B, C, doit se trouver sur la 
perpendiculaire DE élevée sur le milieu de AB, parce qu'elle 
est le lieu des points équidistanls de A et de B; il doit aussi 
appartenir à la perpendiculaire FG élevée sur le milieu de BC, 
parce qu'elle est le lieu des points équidistanls de B et de C. 
Comme deux droites DE, FG, ne peuvent avoir qu'un point 
commun, on voit d'abord qu'il ne saurait jamais exister qu'un 
seul point équidistant des points A, B, C. En second lieu, un 
tel point existe toujours si, conformément à notre hypothèse, 
les points A, B, C, ne sont pas en ligne droite; car, les deux 
droites AB et BC se coupant, les droites DE et FG, qui leur sont 
respectivement perpendiculaires, doivent se rencontrer en un 
certain point 0. 

Le cercle décrit de ce point O comme centre, avec l'une des 
trois droites égales OA, OB, OC, pour rayon, passe par les 
points A, B, C, et est le seul qui puisse y passer. 

On énonce souvent ce théorème d'une manière plus rapide 
en disant : Trois points, non en ligne droite, déterminent un* 
circonférence. 

Corollaires. 

117. La démonstration précédente prouve que les perpen- 
diculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle ABC 



68 GÉOMÉTRIE PLANE. 



passent par un même point. On en conclut immédiate 
ment que les trois hauteurs d'un triangle ABC {fig* 80'), 
c'est-à-dire les perpendiculaires AD, BE, CF, abaissées des 
sommets sur les côtés opposés, passent par un même 
point. 

Il suffit pour cela de montrer que ces trois hauteurs sont 
perpendiculaires sur les milieux des côtés du triangle A'B'C 
formé en menant par les sommets du triangle primitif ABC 
des parallèles aux côtés opposés. Or, d'une part, la hauteur 
AD, perpendiculaire à BC, l'est aussi à sa parallèle B'C^• et, 
d'autre part, les longueurs AB' et AC sont égales entre elles, 
puisqu'elles sont respectivement égales à BG comme paral- 
lèles comprises entre parallèles. 

118. Deux circonférences ne peuvent avoir trois points 
communs sans coïncider; d'où il suit que deux circonfé- 
rences distinctes ne peuvent avoir plus de deux points com- 
muns. 

Lorsque deux circonférences ont deux points communs, on 
dit qu'elles se coupent ou qu'elles sont sécantes. 

Lorsque deux circonférences n'ont qu'un point commun, 
on dit qu'elles sont tangentes; le point commun est appelé 
point de contact. 

THÉORÈME. 

119. Lorsque deux circonférences se coupent, la droite 
00' qui joint leurs centres est perpendiculaire sur la corde 
commune AB et divise cette corde en deux parties égales 
{fig.m. 

En effet, la perpendiculaire élevée sur la corde commune 
AB par son milieu I doit passer par le centre de chacune des 
deux circonférences et 0' (103). 

Corollaire. 

120. Supposons que, la circonférence restant fixe, ainsi 
que le point A, la circonférence 0' tourne autour du point A, 



1 



LIVRE H. — LA. CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 69 

de manière que le second point d'inierseclion B se rapproche 
de plus en plus du prennier el vienne à la limite se confondre 
avec lui, comme dans la Jig. <So. Les deux circonférences 
n'ayant plus alors qu'un point commun A seront tangentes en 
ce point. D'ailleurs, la droite 00' passant toujours entre A et B, 
ces deux points ne peuvent se réunir que sur la ligne des cen- 
tres 00'. Enfin, en vertu de ce mouvement (111), la corde 
commune devient à la limite tangente en A à chacune des 
deux circonférences. Donc : 

Lorsque deux circonférences et 0' sont tangentes^ leur 
point de contact A est situé sur la droite des centres, et la per- 
pendiculaire CD élevée en ce point sur cette droite est une 
tangente commune aux deux circonférences. 

On appelle angle de deux courbes qui ont un point commun 
l'angle formé par les tangentes à ces deux courbes en ce point. 
Si cet angle n'est pas nul, on dit que les deux courbes se cou- 
pent. S'il est nul, c'est-à-dire si les deux courbes ont la même 
tangente au point commun, on dit que ces courbes sont tan- 
gentes. On appelle orthogonales deux courbes qui se coupent 
à angle droit. 

I^K SCOLIE. 

^» 121. Deux circonférences distinctes peuvent avoir deux 
points communs, c'est-à-dire se couper [fig- 83); ou avoir un 
seul point commun, c'est-à-dire être tangentes, soit extérieu- 
rement [Jig. 82), soit intérieurement [fig- 84); ou enfin n'avoir 
aucun point commun, c'est-à-dire être extérieures [Jig, 81) ou 
intérieures [Jig. 85) l'une à l'autre. Leurs positions relatives 
sont donc au nombre de cinq. 

THÉORÈME. 

122. 1° Si deux circonférences et 0' sent extérieures, la 
distance des centres est plus grande que la somme des rayions; 

2° Si elles sont tangentes extérieurement, la distance des 
centres est égale à la somme des rayons; 

3" Si elles se coupent, la distance des centre^ est à la fois 
moindre que la somme et plus grande que la différence des 
rayons; 



yo GÉOMÉTRIE PLANE. 

4" Si elles sont tangentes intérieurement, la distance des 
centres est égale à la différence des rayons ^ 

5° Si elles sont intérieures, la distance des centres est 
moindre que la différence des rayons. 

En effet : 

1° A et A' {fig, 8i) étant les points où la ligne des centres 
coupe les deux circonférences, on a 

00' = 0A-4-AA'-i-0'A' ou 00'>OA + 0'A\ 

2° Le point de contact A (fig- 82) est situé entre les deux 
centres et sur la droite 00' qui les joint. On a donc 

00' = OA + O'A. 

3° Les deux points communs {Jig. 83) étant situés hors de 

Fig. 81. Fig. 82. 





Fig. 83. 




Fi g. 84. 




Fig. 85. 




ia ligne des centres (119), en joignant l'un d'eux Ji aux deux 
centres, on forme un triangle dans lequel on a (3G, 37) 

00'<OB-f-0'B et 00'>OB-0'B. 

4" Le point de contact A [Jig. 84) est situé au delà .des deux 
centres sur la droite qui les joint. On a donc 



0A = 00'4-0'A, d'où 00' = OA-0'A. 



I 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCF DE CFRCLE. 7» 

5*» A et A' (Jig. 85) élanl les points où la droite 00' coupe 
les deux circonférences, on a 

OA r= 00' 4- 0' A' + A' A, d'où OA > 00' -1- O'A', 

c'est-à-dire 

00' <0A — O'A'. 

Corollaire. 

123. A cliacune des cinq hypothèses faites répond une con- 
clusion distincte. Donc, en vertu du principe général du n° 7, 
les réciproques des propositions précédentes sont toutes 
vraies. Voici leurs énoncés : 

1° Si la distance des centres est plus grande que la somme 
des rayonSy les deux circonférences données sont extérieures 
l'une à l'autre. 

2° Si la distance des centres est égale à la somme des rayons, 
les deux circonférences sont tangentes extérieurement. 

3° Si la distance des centres est à la fois moindre que la 
somme et plus grande que la différence des rayons^ les deux 
circonférences se coupent. 

4° Si la distance des centres est égale à la différence des 
rayons, les deux circonférences sont tangentes intérieure- 
ment. 

5° Si la distance des centres est moindre que la différence 
des rayons, les deux circonférences sont intérieures l'une à 
l'autre. 

Ainsi, connaissant les trois nonmbres D, R, r, qui nnesureni 
respectivenient la distance des centres et les rayons de deux 
circonférences, on peut, sans tracer ces circonférences et par 
une simple opération numérique, savoir quelle est leur posi- 
tion relative. Par exemple, si Ton aD = i5™, R = 21'", r = 6™, 
on peut affirmer que les deux circonférences sont tangentes 
intérieurement; car on a i5 — 21 — 6, ou D = R — r. 



72 GÉOMÉTRIE PLANE. 

§ III. — MESURE DES ANGLES. 

DÉFINITIONS. 

12V. On nomme angle au centre tout angle qui a son som- 
met au centre d'un cercle, et angle inscrit tout angle formé 
par deux cordes qui se coupent sur la circonférence d'un cercle. 

THÉORÈME. 

125. Dans le même cercle ou dans des cercles égaux : 

1° Deux angles au centre égaux interceptent des arcs égaux ; 

2° Si un angle au centre est la somme de deux antres angles 

au centre f Varc intercepté par cet angle est la somme des arcs 

interceptés par les deux autres [fig. 86). 

Fig. 86. 



I" Soient AOB, A'O'B', deux angles au centre égaux entre 
eux; les deux arcs correspondants AB et A'B' seront égaux. 
En effet, en menant les cordes AB, A'B', on forme deux Irian - 
gles AOB, A'O'B', qui sont égaux comme ayant un angle égal 
compris entre deux côtés égaux, savoir : l'angle AOB égal 
à l'angle A'O'B' par hypothèse, et les côiés OA = 0'A', 
OB = 0'B', comme rayons de cercles égaux. Donc la corde A B 
est égale à la corde A'B', et, parsuile (100), les arcs AB et A'B' 
que ces cordes sous-tendent sont égaux entre eux. 

2° Soient A'O'B' et BOC deux angles au centre ; transpor- 
tons îe premier en AOB à la suite du second, de manière à 
former (0) un angle AOC qui soit ia somme des deux angles 
proposés. L'arc ABC sera évidemment la somme des deux 
arcs AB et BC, et comme les arcs AB et A' B' sont é gaux, puis 
qu'ils correspondent à des angles au centre égaux, l'arc ACC 
sera la somme des arcs A'B' et BC. 



LIVRE II. 



LÀ CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



73 



I 



Corollaire. 

12G. Il résulte de là (noie i) que, dans le même cercle ou 
dans des cercles égaux^ le rapport de deux angles au centre 
est égal au rapport des arcs qu'ils interceptent; en d'autres 
termes, l'angle au centre d'an cercle est proportionnel à l'arc 
correspondant. 

THÉORÈME. 



127. Tout angle a la même mesure que l'arc qu'il intercepte 
sur une circonférence décrite de son sommet comme centre^ 
avec un rayon quelconque, pourvu que l'on prenne pour unité 
d'angle l'angle au centre qui intercepte sur cette circonférence 
l'arc choisi pour unité d'arc. 

En effet, soient {Jig. 87) AOB l'angle à mesurer et AB l'arc 
qu'il intercepte sur la circonférence de rajon arbitraire OA; 
AC étant l'unité d'arc, l'angle correspondant AOG sera, par 
hypothèse, l'unité d'angle. On a (126) 



AOB arcAB 
AOG arcAC 

Or le premier rapport est égal au nombre qui mesure l'an- 
gle AOB, et le second- est égal au nombre qui mesure 
l'arc AB. Donc, dans le système d'unités adopté, le nombre 
qui mesure l'angle AOB est le même que celui qui mesure 
l'arc AB. 




Comme ce Ihcorème est d'un usage très-fréqueiil, on pré- 



74 GÉOMÉTRIE PLANE. 

fère l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte. 
D'abord on sous-eniend la condition relative à la correspon- 
dance des unités; puis on dit a pour mesure^ au lieu de a la 
même mesure que; et l'on arrive ainsi à cet énoncé usuel: 
tout angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses 
côtés. 

SCOLIE. 

128. Lorsqu'on prend Tangle droit pour unité, l'arc unité 
est le quart de la circonférence ou le quadrant; car, si l'angle 
au centre AOB est droit {Jig. 87), les quatre angles AOB, BOC, 
COD, DOA, formés par les deux diamètres BOD, AOG, sont 
droits, et par suite égaux; les quatre arcs AB, BC, CD, DA, sont 
donc égaux entre eux, el chacun d'eux est le quart de la cir- 
conférence. 

THÉORÈME. 

129. Tout angle inscrit dans un cercle a pour mesure la 
moitié de l'arc compris entre ses côtés. 

Soit BAC un angle inscrit dans un cercle 0. Pour démontrer 
que cet angle a pour mesure la moitié de l'arc BC compris 
entre ses côtés, il convient de distinguer trois cas : 

1° Le centre tombe sur l'un des côtés AC de l'angle BAC 
(Jig. 88). Menons le rayon BO; le triangle BOA étant isocèle, 
les angles A et B sont égaux, et comme (73) leur somme équi- 
vaut à l'angle extérieur BOC, l'angle A est égal à la moitié 
de BOC; mais ce dernier angle, avant son sommet au cenire 
du cercle, a pour mesure l'arc BC. Donc l'angle proposé BAC 
a pour mesure la moitié de l'arc BC. 




Fig. 89. 



Fig. 90. 





i° Le centre tombe à riniérieur de l'angle BAC [fig. 89). 
Menons le diamètre AOD; l'anij^le BAC est la somme des an- 



I 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. ^5 

gles BAD, DAC, qui, d'après le premier cas, ont respeclive- 
meni pour mesure | BD el 1 DC. La somme de ces deux arcs, 
c'esl-à-dire la moitié de l'arc BDC, est donc la mesure de l'an- 
gle BAC. 

3° Le centre tombe en dehors de l'angle BAC [Jîg. 90). 
Menons le diamètre AOD; l'angle BAC est la différence des 
angles BAD, CAD, qui, d'après le premier cas, ont respective- 
ment pour mesure y BD et j CD; la différence de ces arcs, 
c'est-à-dire la moitié de l'arc BC, est donc la mesure de l'angle 
proposé BAC. 

Corollaires. 

130. Supposons {fig. 90) que, le côté AC restant fixe, la 
corde AB tourne autour du sommet A, de manière à devenir 
la tangente AT au point A; dans toutes les positions de la 
corde AB, l'angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de 
l'arc correspondant BC; donc, à la limite, l'angle TAC^ formé 
par une tangente AT et une corde AC issue du point de con- 
tact, a pour mesure la moitié de rare AC compris entre ses 
côtés. 

On peut d'ailleurs démontrer ce théorème, indépendamment 
de toute notion de limite. Il suffit, par exemple, d'observer 
que l'angle TAC est l'excès de l'angle droit TAD sur l'angle 
inscrit CAD; sa mesure est donc l'excès de la moitié de la 
demi-circonférence ABD sur la moitié de l'arc CD, ou enfin la 
moitié de l'arc AC. 

131. On appelle 5eg-me/i/ la portion de cercle comprise entre 
un arc et sa corde. A chaque corde AB correspondent deux 
segments ACB, AMB [fig* 91). On dit qu'«/i angle est inscrit 

Fig. 91. 




dans un segment lorsque son sommet est situé sur l'arc du 



-6 GÉOMÉTRIE PLANE. 

segment et que ses côtés passent par les extrémités de la 
corde sous-tendante. Ainsi les angles ACB, AEB, sont inscrits 
dans le segment ACB, et l'angle AMB est inscrit dans le seg- 
ment AMB. 

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux; 
ainsi, les angles ACB, AEB, sont égaux comme ayant l'un et 
l'autre la moitié de l'arc AMB pour mesure. 

Tout angle inscrit dans l'un des deux segments déterminés 
par une même corde est le supplément d'un angle quelconque 
inscrit dans l'autre segment. Ainsi les angles ACB, AMB, sont 
supplémentaires, car leurs mesures ~ arc AMB et j arc ACB 
forment en somme la moitié de la circonférence. 

Tout angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, 
suivant que ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un 
demi-cercle; car l'arc compris entre les côtés de l'angle est 
alors inférieur, égal ou supérieur à une demi-circonférence. 

On dit qu'w/z segment de cercle est capable d'un angle donné, 
lorsque les angles inscrits dans ce segment sont égaux à l'angle 
considéré; ainsi le segment capable d'un angle droit est un 
demi cercle. 

Fig. 92. Fig. 93. 



r.-^K 





THÉORÈME. 

13iJ. Tout angle BAC, formé par deux sécantes qui se ren- 
contrent à l'intérieur du cercle, a pour mesure la demi-somme 
des arcs BC et DE compris entre ses côtés et entre ses côtés 
prolongés {fig, ç^i). 

En effet, en menant DC, on voit que l'angle BAC, exté- 
rieur au triangle ACD, est égal (73) à la somme des angles 
Inscrits ADG, ACD, qui ont respectivement pour mesure - BC 
et ; DE. 



I 



LIVRE II. — lA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 

THÉORÈME. 

133. Tout angle BA.C, formé par deux sécantes qui se ren- 
contrent hors du cerclcy a pour mesure la demi-différence de 
l'arc concave BC et de l'arc convexe DE compris entre ses 

côtés [fg. 93). 

En effet, en menant DC, on voit que l'angle BDC, extérieur 
au triangle BAC, est la somme des angles A et C; par suite, 
l'angle A est l'excès de l'angle BDC sur l'angle C; sa mesure 
est donc l'excès de ^ BC sur | DE, c'est-à-dire ~ (BC — DE). 

En faisant tourner autour du sommet A l'un des côtés, ou 
même les deux côtés de l'angle, jusqu'à ce qu'ils deviennent 
tangents à la circonférence, on voit que le théorème subsiste 
pour l'angle formé par une tangente et une sécante qui se cou- 
pent hors du cercle, et pour l'angle de deux tangentes. 

COHOI.LAIRE. 

1 34. Dans la portion de plan située au-dessus d'une droite KC, 
le lieu des points d'où l'on voit cette droite sous un angle 
donné est un arc de cercle passant par les extrémités B 6?/ C 
de cette droite [fig. 94 )• 

En effet, soient A un point du lieu et BMACN la circonfé- 
rence déterminée par les trois points A, B, C. 1° De tout point M 
de l'arc BMAC on voit la droite BC sous un angle égal à 
BAC (131); 2*» de tout point I pris à l'intérieur du segment 
BMAC, on voit la droite BC sous un angle BIC plus grand 
que BAC, puisque (132) sa mesure excède la moitié de 
l'arc BNC; 3° de tout point E extérieur au segment BMAC et 
situé au-dessus de la droite BC, on voit celle droite sous un 
angle BEC moindre que BAC, puisque sa mesure est plus pe- 
tite que la moitié de l'arc BNC (133). L'arc BMAC est donc le 
lieu cherché. 

Il résulte de là que l'arc BA'C, sur lequel s'applique l'arc 
BMAC, lorsqu'on replie la figure autour deBC, est, au-dessous 
de BC, le lieu des points d'où l'on voit la droite BC sous l'angle 
donné. 

Donc, enfin, le lieu des points d'où Von voit une droite BC 
sous un angle donné se compose de deux arcs de cercle égau.v 



78 GÉOMÉTRIE PLANE. 

entre eux et passant par les extrémités B et C de cette droite. 
Remarquons, en outre, que l'ensemble des arcs BNC, BN'G, 
représente le lieu des points d'où l'on voit la droite BC sous 
un angle supplémentaire de l'angle considéré (131 ). 



Fig. 94. 




Fig. 95. 



D ^M 




Si l'angle considéré est droit, les deux arcs BAC, B A' G, sont 
des demi-circonférences décrites sur BC comme diamètre. 
Donc, le lieu des points d*oà l'on voit une droite sous un angle 
droit est le cercle décrit sur cette droite comme diamètre. 



THÉORÈME. 

135. Dans tout quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, 
les angles opposés sont supplémentaires. 

En effet (^g-, gS), considérons par exemple les angles op- 
posés, B et D. La corde AC détermine deux segments ADC, 
ABC, et nous avons vu (131) que tout angle D inscrit dans le 
segment supérieur est le supplément de tout angle B inscrit 
dans le segment inférieur. 

Réciproquement, 5/, dans un quadrilatère convexe ABCD, 
deux angles opposés B e< D sont supplémentaiteSy le quadri- 
latère est inscriptible; en d'autres termes, la circonférence 
déterminée par les trois points A, B, C, passera par le qua- 
trième sommet D. 

En effet, le sommet D est un point situé au-dessus de AC, 
et d'où Ton voit la corde AC sous un angle supplémentaire de 
l'angle B; or l'arc AMC est le lieu des points du plan qui jouis- 
sent de cette propriété (13^1.). 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉHENCE DE CERCLE. 79 

§ IV. — CONSTRUCTION DES ANGLES ET DES TRIANGLES. 
NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 

136. Les deux principaux iiislrumenls employés dans lé. 
consli uciion graphique des figures sont la rè^le el le compas. 
Chacun sait comment on trace des lignes droites avec la règle 
ei des circonférences avec le compas. 

On fait d'abord tout le dessin au crayon; on exécute ensuite 
la mise à l'encre à l'aide d'un lire-ligne à branches égales et 
que l'on tient perpendiculairement au plan du papier. Les 
données et les résultats sont représentés par un train plein ou 
continu; on représente par un trait pointillé ou interrompu 
\qs lignes de construction y c'est-à-dire les lignes qui servent 
h déduire les résultais des données. 

En pratique, lorsqu'on détermine une droite par deux points, 
il convient que ces deux points ne soient pas trop voisins 
Tun de l'autre; sans cela, la moindre erreur sur la position de 
l'un d'eux entraînerait une erreur notable sur la direction de 
la droite. 

De même, quand un point est déterminé par la rencontre de 
deux droites, il faut que ces droites ne se coupent pas sous 
un angle trop petit; sans cela l'épaisseur inévitable des deux 
traits laisserait dans l'incertitude sur la véritable position du 
point de rencontre. 

PROBLÈME. 

137. Trouver la plus grande commune mesure de deux ligner, 
droites. 

Soient A et B deux droites comm.ensurahlt;s entre elles; 
la recherche de leur plus grande commune mesure, c'est-à-dire 
de la plus grande portion de droite qui soit une partie aliquote 
de chacune d'elles, repose sur les deux principes suivants : 

i» Si^ est une partie aliquote de A, B est évidemment la 
plus grande commune mesure de h. et de J^; 

2** Si A contient m fois B, plus un reste R moindre que B, 



So GÉOMÈTftlE PLANE. 

lapins grande commune mesure de A et de B est la même que 
celle de B et t/eR. On a, en effet, 

A = mB+R; 

or, toute commune mesure de A et de B, étant une partie ali- 
quote de B, l'est aussi de mB, et, par suite, de A — wB ou 
de K. Inversement, toute commune mesure de B et de R, étant 
une partie aliquote de B, Test aussi de mB, et, par suite, 
de mB -i- R ou de A. Donc les communes mesures de A et 
de B sont les mêmes que celles de B et de R; et, en parti- 
culier, la plus grande commune mesure est la môme de pari 
et d'autre. 

D'après cela, on portera B sur A autant de fois que possible; 
s'il n'y a pas de reste, B sera la plus grande commune mesure 
demandée; s'il y a un reste R, on sera ramené à chercfier la 
plus grande commune mesure de B et de R. On portera donc 
R sur B autant de fois que possible; s'il n'y a pas de reste, 
Rsera la plus grande commune mesure demandée; s'il y a un 
reste R', on sera ramené à chercher la plus grande commune 
mesure de R et de R'. 

Il est aisé de prouver qu'en continuant de la sorte on arri- 
vera à un reste qui sera une partie aliquote du précédeni. En 
effet, dans toute division, le dividende est au moins égal à la 
somme du diviseur et du reste; le reste est d'ailleurs moindre 
que le diviseur; donc le reste est inférieur à la moitié du 
dividende. On voit par là que, dans la recherche de la plus 
grande commune mesure de A et de B, le premier reste sera 

inférieur à — ; le troisième reste sera moindre que la moiiié 

du premier, et, par suite, inférieur à y ^ le cinquième reste 
sera moindre que la moitié du troisième, et, par suite, infé- 
rieur à -n- \ et ainsi de suite. L'opération ne pourra donc passe 

prolonger indéfiniment, car on tomberait sur un reste moindre 
que la plus grande commune mesure supposée; ce qui est 
absurde, puisque, d'après la théorie précédente, la plus grande 
commune mesure doit diviser exactement les restes successifs. 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 8] 

On arrivera donc à un resie qui sera une partie aliquote du 
précédent, el ce reste sera la plus grande commune mesure 
demandée. 

138. IU:cipuoQUKME>T, si, en appliquant le procédé qu'on 
vient d'indiquer à deux droites données, on arrive à un reste 
qui soit contenu un nombre exact de fois dans celui qui le 
précède, les deux droites considérées feront commensurables 
entre elles, et ce reste sera alors leur plus grande commune 
mesure. 

Ainsi, supposons qu'on ait trouvé successivement 

on aura 

R =r 7 R", B = 38 R", A = 45 R% 

et le rapport des deux droites A et B sera représenté par le 

45 
nombre fractionnaire ~t^* D'ailleurs R" étant la plus grande 
60 

commune mesure de R' et de R" sera, d'après ce qui précède, 

la plus grande commune mesure de A et de B. 

SCOLIE. 

i39. Il résulte de là que le procédé précédent, appliqué à deux droites 
incommensurables entre elles, conduira à une série d'opérations intermi- 
nable. 

Cette conclusion, absolument rigoureuse en théorie, ne se vérifie pas 
en pratique; cnr les restes cessent d'être appréciables au compas. Mais, 
s'il est impossible de constater de cette manière, ou plus généralement au 
moyen d'une opération mécanique quelconque, l'incommensurabilité de 
deux droites, on peut parfois, lorsque les droites résultent d'une con- 
struction bien définie, démontrer géométriquement leur incommensura- 
bilité en s'appuyant sur la théorie qui précède et en cherchant la loi des 
restes successifs. 

Nous allons, comme exemple, démontrer ainsi que la diagonale AC et 
le côté AB (Vun carré ABCD sont deux lignes incommensurables entre 
elles. 

Le côté AB [Jig. 96) étant moindre que la diagonale AG et plus grand 
que la moitié AO de celle diagonale, on voit d'abord que, si l'on prend 
sur la diagonale AC la longueur AE égale à AB, le reste EC sera moindre 
que AB. 

R. et DE G. — Tr. de Gcom. (I" Partie). 6 



82 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Comparons maintenant ce reste ÊC au côté AB ou à son égal BC. Si 
l'on mène EF parallèle à BD, le triangle FEG, rectangle en E, sera iso- 
cèle, puisque l'angle EFG est égal à son correspondant OBC, et, par suite, 

Fie- 9^- 



A 


T 


\\ 


/ 


\ V 




/ \ / 

B F 


G C 



à ECF. Donc, dans ce triangle comme dans le triangle analogue ABC, si 
l'on prend FG égale à EG, le reste GC sera moindre que EG. D'ailleurs, 
les triangles rectangles ABF, AEF, ayant l'hypoténuse commune et un 
côté égal, sont égaux, et, par suite, BF est égal à FE ou à EG ou à FG. 
Donc enfin le côlé BG contient deux fois EG, plus un reste GC moindre 
que EG. 

Ce dernier résultat, énoncé d'une manière générale, prouve que dans 
tout triangle rectangle et isocèle le côlé contient deux fois la différence 
entre l'hypoténuse et le côté, plus un reste moindre que cette différence. 
Donc, à son tour, le côté EG contiendra deux fois GC, plus un nouveau 
reste moindre que GC, et ainsi de suite. 

On voit par là que, si l'on applique aux droites AC et AB la règle pres- 
crite au n** 137, chaque reste contiendra deux fois le précédent, plus un 
nouveau reste moindre que celui-ci, de sorte que l'opération n'aura pas 
de fin. Les deux droites considérées sont donc incommensurables entre 

elles. 

PROBLÈME. 

140. Par un point B d'une droite BC, mener une seconde 
droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle 

donné {fig, 97). 

Fis- 97- 




F c 



Du point A comme centre, avec une ouverture de comi) 



LIVRE n. — LA. CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. S3 

arbitraire, mais assez grande, décrivez un arc de cercle qui 
coupe en D el E les côtés de l'angle donné : avec la même 
ouverture, et du point B comme centre, décrivez un second 
arc de cercle GF, qui coupe en F la droite BC. Prenez avec le 
compas la longueur de la corde DE (il est inutile pour cela de 
tracer cette corde), et du point F comme centre, avec cette 
ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe en H l'arc GF; 
la droite BÏI sera la droite demandée. 

En ciret, les arcs HF et DE ayant des rayons égaux et 
des cordes égales sont égaux (100); par suite, les angles au 
centre HBF, DAE, qui correspondent à ces arcs, sont aussi 
égaux (126). 

IVl. On divise la circonférence en 36o parties égales qu'on 
nomme degrés^ le degré en 60 parties égales appelées /n/«w/e5, 
et la minute en 60 parties égales appelées secondes. D'après 
cela, la circonférence contient 360.60 = 2.1600 minutes, ou 
2F 600,60 = I 296000 secondes; la demi-circonférence con- 
tient 180 degrés, ou 10800 minutes, ou 648000 secondes; 
enfin le quadrant vaut 90 degrés, ou 54oo minutes, ou 324000 
secondes. 

On évalue un arc quelconque en degrés, minutes el se- 
condes de la circonférence. Ainsi l'on dit : un arc de 36 de- 
grés i5 minutes 21 secondes, que l'on écrit : arc de 36°i5'2i''. 

Deux arcs AB et A'B' [fîg. 98), décrits entre les côtés d'un 
même angle XOY, de son sommet comme centre, contiennent 

Fis- 99. 





le même nombre de degrés, minutes et secondes. En effet, le 
rapport de l'arc AB au quadrant AG est le même que le rap- 
port de l'arc A' B' au quadrant A'C, puisque chacun de ces 
rapports est égal à celui de l'angle XOY à l'angle droit 



84 GÉOMÉTRIE ILAJNli. 

XOZ. Or, comnxe le (juadranl AC vaut 90 degrés de la cir- 
conférence OA, et que le quadrant A'C vaut 90 degrés de la 
circonférence OA', les arcs AB et A'B' vaudront le même 
nombre de degrés, minutes etsecondes de leurs circonférences 
respectives. 

D'après cela, on appelle angle de 36°i5'2i" l'angle qui in- 
tercepte entre ses côtés, sur toute circonférence décrite de 
son sommet comme cenlre, un arc de 36°i5'2i". 

Connaissant le nombre de degrés, minutes et secondes d'un 
angle, on obtient son rapport à l'angle droit en prenant le rap- 
port de ce nombre de degrés, minutes et secondes à go degrés; 
il faut avoir soin, bien entendu, d'évaluer les deux angles en 
unités de même espèce, soit en degrés, soit en minutes, soit 
en secondes. Ainsi, comme 36" i5' 21" valent i3o52i secondes, 
et que go degrés renferment 324000 secondes, le rapport de 
l'angle de 36** 1 5' 21" à l'angle droit est exprimé par la fraction 
t3o52i 43507 

3240Q0 108000 

Pour évaluer le nombre de degrés d'un angle, ou pour 
tracer un angle ayant un nombre de degrés donné, on emploie 
un instrument appelé rapporteur. C'est un demi-cercle en 
corne ou en cuivre dont le bord circulaire ou limbe est divisé 
en 180 parties égales ou degrés; les rapporteurs qui ont un 
décimètre de rayon sont même divisés en demi-degrés. Le cenlre 
est marqué jiar un petit trou ou par une petite échancrure. 

Pour mesurer un angle DOG (/ig. gg), on place l'insiru- 
ment de manière que son centre coïncide avec le sommet de 
l'angle, et que le diamètre AB, qui va de zéro à 180 degrés, 
s'applique sur l'un des côtés OG. On lit alors le nombre de 
degrés de l'angle au point où le limbe est traversé par le se- 
cond côté OD. 

Pour mener au point d'une droite OG une seconde 
droite OD, formant avec la première un angle donné, do 
49 degrés par exemple, on place l'instrument de manière que 
son centre soit en 0, et que son diamètre AB coïncideavec OG; 
puis on marque le point C du papier sur lequel tombe la divi- 
sion 49 du limbe; et, après avoir enlevé le rapporteur, onlire 
la droite OC. 



LIVRE II. — LA ClnCO^FÉUENCE DE CERCLE. 85 



PROBLÈME. 

ssnntdeux i 
le troisième y. 



\k^. Connaissant deux angles ocet & d'un InangleyConstruive 



Fig. 100. 





Tracez une droite indéfinie AB{fig. loo); par l'un de ses 
points 0, menez une droite OC qui forme avec OA un angle COA 
égala a; menez par le môme point une autre droite OD qui 
fasse avec OB un angle DOB égal à 6. L'angle COD sera l'angle 
cherché; carlasommedeslroisangles formésautour du point 
et au-dessus de AB équivaut à deux angles droits (72). 

SCOLIE. 

143. Nous allons apprendre à construire un triangle, con- 
naissant : i** un côté el deux angles; 2° deux côtés et l'angle 
compris; 3" deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux; 4** 'es 
trois côtés. Dans ces quatre problèmes, nous désignerons les 
trois côtés par a, b, c, el les angles respectivement opposés 
par A, B, C; ainsi l'angle A sera opposé au côté a, l'angle B au 
côté 6, l'angle C au côté c. 

PROBLÈME. 
ikk. Construire un triangle, connaissant un côté a et deux 
angles. 

On peut donner les deux angles B el C adjacents au côté «, 
ou bien l'angle opposé A et l'un des angles adjacents; on ra- 
mène ce dernier cas au premier en commençant par chercher 
le troisième angle (142). 

Supposons donc connus le côté a el les deux angles adja« 
cents B et C. 

Après avoir tracé une droite BG [fig, ici ) égale à a, menea 
au point B une droite BA formant avec BG et au-dessus de celte 



86 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



ligne un angle ABC égal à l'angle donné B; menez de même 
au point C une droite CA formant avec CB, et au-dessus de 
cette ligne, un angle ACB égal à l'angle donné C. Le point de 
rencontre A de ces deux droites sera le troisième sommet du 
triangle cherché. 

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que les 
deux droites BA, CA, se coupent, c'est-à-dire (66) que la somme 
des deux angles B et C soit moindre que deux angles droits. 





' PROBLEME. 

145. Construire un triangle, connaissant deux côtés a et b 
et l'angle compris C. 

Tracez une droite Q.^{fig. 102) égale à «; au point C, menez 
une droite CA formant avec la première un angle ACB égal à 
Tangle donné C; puis prenez sur cette droite, à partir du 
point C, une longueur CA égale à b; enfin tirez AB, et vous 
aurez le triangle cherché. ' 

PROBLÈME. 

146. Construire un triangle, connaissant deux côtés a et b 
et l'angle B opposé à l'un d'eux. 

Fig, jo3. 




Tracez une droite BC (fig* io3) égsle à a, et au point B 
menez une droite BA formant avec la première un angle ABC 
égal à l'angle donné B; puis, du point C comme centre, avec 



LIVRE 11. — LA GlUCOi^^<Éiiii^Cii Dli ŒUCLE, 87 

une ouverture de compas égale à 6, décrivez un arc de cercle. 
Si A est un point d'intersection du côté BA et de cet arc de 
cercle, il suffira de tirer AG pour avoir un triangle ABC satis- 
faisant aux conditions exigées. 

Discutons maintenant ce problème, c'est-à-dire cherchons 
les conditions que doivent remplir les données pour que le 
problème soit possible, et, dans ce cas, les diverses solutions 
qui peuvent exister. 

1° L'angle B étant aigu [fig. io3), pour que le problème 
soit possible, il faut que l'arc de cercle rencontre le côté BA, 
c'est-à-dire que le côté b soit au moins égal à la perpendicu- 
laire CD abaissée du point C sur BA. 

Si le côté h est égal à cette perpendiculaire CD, le cercle 
louche BA en D, et il n'y a qu'une solution : c'est le triangle 
rectangle BCD. 

Si le côté b est compris entre la longueur de la perpendi- 
culaire CD et celle du côté a, le cercle coupe la droite BA 
en deux points A et A' situés au-dessus de B, et de part et 
d'autre de D; il y a donc deux solutions distinctes : ce sont les 
triangles ABC, A'BC. 

Enfin, si le côté b est plus grand que a, le point A' passe 
au-dessous de B, et le triangle correspondant doit être rejeté, 
puisque son angle en B n'est plus l'angle donné, mais son sup- 
plément; il n'y a donc qu'une solution ; c'est le triangle ABC. 

2° V angle B étant obtus {fig» lo^), là perpendiculaire CD 

Fig. lo/j. 



ne tombe plus dans l'angle B, mais dans son supplément (44^); 
cl, pour que le problème soit possible, c'est-à-dire pour que 



88 GÉOMÉiniE PLAISE. 

Tare de cercle coupe la droite BA au-dessus (Je B, il l'aut que 
le côté b soit plus grand que a : ce que l'on pouvait prévoir, 
car dans tout triangle au plus grand angle doit être opposé le 
plus grand côté. D'ailleurs, lorsque cette condition est rem- 
plie, les deux points d'intersection A et A' sont de part et 
d'autre de B; le triangle A'BC doit être rejeté, car son angle 
en B est le supplément de l'angle donné, et il n'y a qu'une 
solution : c'est le triangie ABC. 

3° L'angle B étant droit, le problème est impossible si b est 
inférieur ou égalà«; il admet une solution unique si b est 
supérieur à a, 

La discussion est résumée dans le tableau suivant : 

i' ^ < CD problème impossible, 

b = CD une solution, 

fl>^>Cl) deux solutions, 

ù = a ou ^ f{ une solution. 

_, .. ,. \ b <in ou = a problème impossible, 

B droit ou obtus. , /^ , ,. 

I 6 > <7 une solution. 

Ainsi, lorsque b est supérieur à a, le problème a toujours 
une solution et une seule; en d'autres termes, on peut tou- 
jours construire un triangle, et un seul, connaissant deux côtés 
et l'angle opposé à l'un d'eux, pourvu que l'angle donné soit 
opposé au plus grand des deux côtés donnés. De là ce théorème : 

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont deux côtés égaux 
chacun à chacun^ ainsi que l'angle opposé au plus grand de 
ces deux côtés. 

PROBLÈME. 

147. Construire un triangle connaissant les trois côtés a, b, c. 
Tracez [Jig, io5) une droite BC égale à a, c'esl-à-dire au plus 

Fig. io5. 

\. 

c ' 1 c/ \b 

b\ 1 

»' ' B a C 

grand des côtés donnés. Du point C comme centre, avec une 




I 



TJVRE II. LA. CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 89 

ouverture de compas égale à 6, décrivez, au-dessus de BC, un 
ôrc de cercle; du point B comme centre, avec une ouverture 
de compas égale à c, décrivez au-dessus de BC un autre arc de 
cercle. En joignant aux points B et C le point d'intersection A 
de ces deux arcs, vous aurez le triangle demandé ABC. 

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que 
les deux arcs de cercle se coupent, c'est-à-dire (122) que le 
plus grand côté a, qui est la distance des centres, soit moin- 
dre que la somme et plus grand que la différence des deux 
autres côtés ^ et c qui sont les rayons. Ce résullat est con- 
forme aux n°s 36 et 37. 

SCOLIE. 

148. Tels sont les quatre problèmes fondamentaux relatifs à la con- 
struction des triangles; beaucoup d'autres se ramènent à ceux-là. Voici 
quelques exemples : 

Soit ABC 'un triangle quelconque, dont nous désignerons les angles 
par A, B, C. Si l'on prolonge BA d'une longueur AD, égale à AC, et si 
l'on mène CD ^^fïg. 3o), on forme une figure dont on évalue facilement 
les angles en appliquant le théorème du n" 72 et observant que les 
angles ADC et ACD sont égaux; on trouve ainsi 

D A , G-B 

B, - ) qo* H j 

pour les valeurs des angles du triangle BDC. Si, donc, ori donne, dans un 
triangle ABC, la hase BC, la somme des deux autres côtés, et, en outre, 
soit le demi-angle opposé à la base, soit la demi-différence des angles à 
la hase, on connaîtra dans le triangle auxiliaire BDC deux côtés et l'angle 
opposé à l'un d'eux; on pourra donc construire ce triangle, et, par suite, 
lo triangle demandé ABC, en menant une droite CA faisant avec CD un 
angle égal à CDB. 

De môme, si sur le plus grand AB des deux côtés AB et AC on porto 
de A vers B une longueur AD égale à AC, on voit que les angles dr 
!rian,L;le BDC ont respectivement pour valeurs 

n o A C-B 

Si, donc, on donne, dans un triangle ABC, la hase BC, la différence 
AB — AC des deux autres côtés, et en outre, soit le demi-angle opposé 
à la hase, soit/a demi-différence des angles à la hase, on connnîtrn ^-àw^ le 



90 GÉOMÉTRIE PLANE. 

triangle auxiliaire BDC deux côtés et l'angle opposé à l'un d'eux; on 
pourra donc construire ce triangle, et par suite le triangle demandé ABC en 
menant une droite GA faisant avec CD un angle égal au supplément de CDB. 
La discussion résulte d'ailleurs immédiatement de celle du n° 1 i6. 

§ V. — TRACÉ DES PARALLÈLES ET DES PERPENDICULAIRES. 
PROBLÈME. 

140. Par un point donné A, pris hors d'une droite BC, me- 
ner une parallèle à cette droite [fig. io6). 

Y\r'^. io6. 




La droite BG ei la parallèle cherchée AD doivent faire (65), 
avec une sécante quelconque AC issue du point A, deux angles 
alternes-internes DAC, ACB, égaux entre eux. De cette consi- 
dération et de la solution du problème du n* 140 résulte la 
construction suivante : 

Du point A comme centre, avec une ouverture de compas 
arbitraire, mais assez grande, décrivez un arc de cercle DC; du 
point G, avec la même ouverture, décrivez un second arc de 
cercle AB, qui passera nécessairement par A. Prenez avec le 
compas la longueur de la corde AB, el du point G comme cen- 
tre, avec cette ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe 
en D l'arc DG. En tirant AD, vous aurez la parallèle demandée. 

Il est clair, en effet, qu'on a construit de celte façon un 
angle DAG égal à AGB. Il est inutile de tracer la droite AC, qui 
ne sert que dans la démonstration. 

150. Dans la pratique, on résout presque toujours ce pro- 
blème à l'aide d'un instrument spécial qui porte le nom 
d'équerre. G'est une planchette en bois ayant la forme d'un 
triangle rectangle; elle est munie d'une petite ouverture cir- 
culaire ou œilj qui la rend plus facile à manier. 

Pour vérifier une équerre BAC {Jig. 107), on applique l'un 
des côtés de l'angle droit AB contre une règle bien exacte, et 



LIVRE II. 



LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



91 



Ton irace une droite au crayon le long du côté AC. Cela fait, 
on retourne l'équerre, comme l'indique la figure, et l'on trace 
une nouvelle droite le long de AC; selon que les deux droites 

Fig. 108. 




ainsi obtenues coïncident ou divergent, l'angle BAC de l'é- 
querre est droit ou non, en d'autres termes l'équerre est juste 
ou fausse. 

Pour mener {fig, 108) à l'aide de l'équerre, par un point C, 
une parallèle à une droite AB, on place sur la droite AB l'hy- 
poténuse de l'équerre; puis on appuie la règle GH contre le 
petit côté DF de l'angle droit, et, en maintenant la règle immo- 
bile, on fait glisser l'équerre jusqu'à ce que l'arête, qui coïn- 
cidait d'abord avec AB, vienne passer par le point C; on trace 
alors le long de cette arête une droite E'D' qui est la parallèle 
demandée. En effet, les angles correspondants E'D'F', EDF, 
étant égaux, les droites E'D', ED, sont parallèles. 

Cette méthode ne suppose pas que l'équerre ait l'un de ses 
angles droits. Il suffit que les arêtes soient bien dressées; cet 
avantage et la simplicité de l'opération ejtpliquent la supério- 
rité de ce procédé. 

PROBLÈME. 

151. Mener une perpendiculaire sur une droite en son mi- 
lieu. 

Soient {fig. 109) A et B deux points donnés; il s'agit de 
mener uue perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint 
ces deux points. 

La perpendiculaire sur le milieu d'une droite étant le lieu 
des points éauidisiants des extrémités de cette droite {k9 ), il 



92 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



suffit (l'obtenir deux points qui soient cliacun également dis- 
tants de A et de B, puis de joindre ces deux points. De là celle 
construction. 

Fig. 109. Fig. no. 



\C/ 



c 



Du point A comme centre, avec un rayon sensiblement plus 
grand que la moitié de AB, décrivez une circonférence; du 
point B comme centre, avec la même ouverturCi décrivez une 
seconde circonférence; ces deux circonférences se couperont, 
puisque, les deux rayons étant égaux et surpassant la moitié 
de AB, la distance AB des centres sera comprise entre la 
somme et la différence des rayons. Chacun des deux points 
d'intersection C etD sera équidistant de A et de B; et, en tirant 
CD, vous aurez la perpendiculaire demandée. 

Dans la pratique, on ne décrit pas les cercles complets; on 
se borne à tracer deux petits arcs de chacun d'eux, de part et 
d'autre de AB, dans la région où l'on prévoit que l'intersection 
doit avoir lieu [fig. iio). Ce procédé ne suppose pas que la 
droite AB soit tracée. 
Ce problème renferme les deux suivants : 
1° Diviser une droite en deux parties égales; 
2° Décrire un cercle sur une droite donnée pour diamètre. 
Celte dernière question se réduit en effet à la recherche du 
milieu de la droite, qui est le centre du cercle à décrire. 

PROBLÈME. 
152. Diviser un arc de cercle ou un angle en deux parties 
égales [fig. 1 1 1 ). 

1° Soit AB Tare proposé; on sait que la perpendiculaire 
enée sur le milieu de la corde divise l'arc en deux parlies 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE GERCIE. 



9^ 



égales (103); on appliquera donc la conslruciion du n" 151. Si 
le centre de Tare est donné, il suffira de déterminer un seul 
point équidislant de A et de B, et de mener OE. . 

2" Soit AOB Tangle proposé. Du point comme centre, 
avec un rayon arbitraire, on décrira un arc AB entre les côtés 
de l'angle, et la droite OE qui divisera cet arc en deux parties 
égales sera évidemment la bissectrice de l'angle AOB. 

En appliquant ce procédé aux deux moitiés, aux quatre 
quarts, etc., de l'arc, on divisera l'arc et l'angle en 4> 8, etc., 
parties égales. 



Fi{j. III 



Fig. 112. 




; 



--'G 



><E 



IP» 153. Il peut arriver que le sommet de l'angle sorte de la 

P feuille de dessin; en d'autres termes, on a besoin parfois de 

trouver la bissectrice de l'angle formé par deux droites AB et Cl) 

qu'on n^e peut pas prolonger jusqu'à leur point d'intersection. 

IOn mène {fg.112) une perpendiculaire quelconque EP 
mm sur AB et une perpendiculaire quelconque FQ sur CD. Sur ces 
perpendiculaires, on prend deux longueurs égales HF et GE; 
puis, par H, on mène une parallèle à CD, et, par G, une paral- 
lèle à AB; le point de rencontre M de ces deux lignes est un 
point de la bissectrice cherchée. En elfei, ce point M est (53) 
à des distances égales GE et HF des deux droites proposées. 
En prenant deux autres longueurs égales sur EP et FQ, on 
obtiendrait un second point M' de la bissectrice, et il ne res- 
terait plus qu'à tirer MM'. 

PROBLÈME. 
154. Décrire une circonférence qui passe par trois points 
donnés A, B, C, non situés en ligne droite [fig. 77). 

Le centre devant se trouver (116) à l'intersection desper- 



94 GÉOMÉTRIE FLANB. 

pendicuiaires élevées, l'une sur le milieu de AB, l'autre sur le 
milieu de BC, il suffira, pour avoir ce centre, de répéter deux 
fois la construction du n" 151. Il est même inutile de tracer 
les droites AB et BC. Le centre étant connu, on décrira la 
circonférence demandée à l'aide d'une ouverture de compas 
égale à l'une des trois droites égales OA, OB, OC. 

Pour trouver le centre d'une circonférence déjà tracée, on 
prend à volonté trois points A, B, C, sur celle circonférence, 
et l'on applique la solution qui précède. 

PROBLÈME. 

155. Mener par un point donné C une perpendiculaire sur 
une droite donnée AB. 

Il y a deux cas à distinguer : 

1° Le point donné C est sur la droite AB {Jîg. 1 13 ). En pre- 
nant de part et d'autre de C deux longueurs égales CA et CB 
sur la droite donnée, le problème est ramené à celui du 
n" 151. Seulement, ici, la droite AB e^si tracée, ei l'on connaît 
son milieu, de sorte qu'il suffit de trouver un seul point D de 
la perpendiculaire. De là cette construction : 

Avec une ouverture de compas arbitraire, mais assez grande, 
prenez sur la droite donnée, ei à partir du point C, deux dis- 
tances égales CA et CB. Ouvrez davantage le compas, ^t des 
points A et B comme centres décrivez successivement, avec 
cette nouvelle ouverture, deux petits arcs de cercle au-dessus 
de AB. En joignant au point C le point D d'intersection de ces 
arcs, vous aurez la perpendiculaire cherchée. 

Fis- n3. Fig. Il 4. 



.T>, 





c 


x^ 


, 


A^-^^^_ 


^^.-'B 


v^ 


-E 







1° Le point c est hors de la droite AB {fig. ii4). En tra- 
çant, du point C comme centre, un arc de cercle qui coupe la 
droite AB en deux points A et B, on est ramené au problème 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. <r^^ 

du n° 151, avec celte différence qu'on connaît déjà un point C 
de la perpendiculaire et qu'il suffit d'en trouver un second. 
De là la construction suivante : 

Du point C comme centre, avec un rayon assez grand, décri- 
vez un arc de cercle qui coupe la droite donnée en deux 
points A et B. De ces points comme centres, avec une ouver- 
ture de compas sensiblement plus grande que la moitié de AB, 
décrivez successivement deux petits arcs de cercle au-dessous 
de AB. En joignant au point C le point E où ces arcs se cou- 
pent, vous aurez la perpendiculaire demanàée. 

156. En bonne construction on ne doit jamais se servir di- 
rectement de l'équerre pour le dessin des perpendiculaires. 
Toutefois, il est un cas très-fréquent dans la pratique où l'em- 
ploi, en quelque sorte indirect, de cet instrument fournit 
d'excellents résultats : c'est celui où l'on doit mener sur une 
droite des perpendiculaires par plusieurs points. On commence 
par tracer avec soin l'une de ces perpendiculaires à l'aide du 
compas, puis on lui mène à l'équerre des parallèles par les 
autres points. On opère de même lorsqu'on veut élever une 
perpendiculaire à l'extrémité d'une droite qu'on ne peut pas 
prolonger; oniracea l'équerre, par ce point extrême, une paral- 
lèle à une perpendiculaire que l'on a préalablement menée sur 
celte droite en un autre point à l'aide de la règle et du compas. 

Voici d'ailleurs une solution directe et fort simple de ce 
dernier problème : A étant le point extrême de In droite con- 
sidérée, on décrit un cercle quelconque passanipar A (Jig. 91); 
on trace le diamètre CB qui aboutit au second point de ren- 
contre B du cercle et de la droite; en joignant AC, on a la 
perpendiculaire demandée, car l'angle CAB est droit comme 
inscrit dans une demi-circonférence. 



9^ 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



§ VI. — PROBLÈMES SUR LES TANGENTES. 



PROBLÈME. 
157. Mener par un point donné A une tangente à un cercle 
donné 0. 

li faut distinguer deux cas : 

1° Le point A [Jîg. ii5) est sur la circonférence. Il suffit 

Fig. ii5. Fij. n6. 





d'élever par le point A une perpendiculaire AT sur le rayon OA. 

2° Le point A est hors du cercle {fig. ii6). Supposons le 
problème résolu; soient AB une tangente menée par A au 
cercle 0, et B son point de contact. La tangente étant per- 
pendiculaire à l'extrémité du rayon, du point de contact B on 
voit la droite AO sous un angle droit OBA. Donc (134) le 
point B est situé sur la circonférence décrite sur AO comme 
diamètre; ce point étant d'ailleurs sur la circonférence don- 
née 0, il est à l'intersection de ces deux circonférences, et 
l'on voit dès lors qu'il y a deux solutions. 

Ainsi on décrira sur AO comme diamètre une circonfé- 
rence, et, en joignant au point A les points B et B' où cette 
circonférence rencontre la proposée, on aura les deux tan- 
gentes BA et B'A. 

COROLLAIIIE. 

158. Les deux tangentes AB et AB' que l'on peut mener à 
un cercle par un point extérieur A sont égales entre elles, 
et la droite qui joint ce point extérieur au centre du cercle 
divise en d^ux parties égales l'angle BAW des deux tangentes^ 
ainsi que l'angle BOB' des deux rayons OB et OB' qui abou- 
tissent aux points de contact. 



Livr.E II. — LA clllco^FÉRli^•CE r»E cercle. 



07 



I 
I 



En ellei, les deux iriangles rectangles OBA. OB' A sont 
égaux comme ayant l'hypoténuse AO commune et les côtés 
(le l'angle droit OB et OB' égaux entre eux comme rayons du 
cercle donné. On a donc 

AB = AB', angle BAO = angle B'AO, angle BOA r=: angle B'O A. 

SCOLIE. 

159. Pour mener à un cercle une tangente parallèle à une 
droite donnée, on mène le diamètre perpendiculaire à la droite 
donnée, et les extrémités de ce diamètre sont les points de 
contact des deux tangentes qui satisfont à la question. 

PROBLÈME. 

160. Inscrire un cercle dans un triangle donné ABC. 

On dit qu'un polygone est circonscrit à un cercle lorsque 
chacun de ses côtés est tangent à la circonférence; le cercle 
est alors inscrit dans le polygone. 

Cela posé, soit ABC [fig- 117) le triangle proposv^ dans le- 
quel il faut inscrire un cercle. Supposons le problème résolu. 
La droite AC), qui joint le centre du cercle cherché au point de 
rencontre A des deux tangentes AD et AE, est, d'après le pro- 
blème précédent, la bissectrice de l'angle A du triangle. On 
voit de même que le point doit encore se trouver sur les 
bissectrices BO, CO, des angles B et G. D'après cela, on mènera 
deux de ces bissectrices, et de leur intersection comme 

Fig. 117. 




centre, avec une ouverture de compas égale à la longueur 
commune des perpendiculaires OD, OE, OF, abaissées de ce 
point sur les côtés, on décrira une circonférence qui touchera 
en D, E, F, les côtés du triangle donné. 

R. et DE G. — Tr. de Géom. (I" Partie). 7 



98 



GÉOaiÉTRIE TLANE. 



SCOLIE. 



161. Il résulte de celle démonslralion que les bissectrices 
des trois angles d'un triangle concourent en un même point. 
On voit d'une manière analogue que les bisseclrices des angles 
exiérieurs d'un triangle ABC [Jig. ii8) forment un second 

Fig. Il 8. 




N 



triangle O'O'O'* dont les sommets sont situés sur les bissec- 
trices des angles intérieurs. Chacun de ces sommets est le 
centre d'un cercle exinscrii, c'est-à-dire d'un cercle langent 
à l'un des côtés du triangle et aux prolongements des deux 
autres côtés. Il existe donc, en général, quatre circonférences 
tangentes à trois droites données. 

Si Ton désigne par a, b, c les côtés BC, GA, AB du trian- 
gle ABC, et par /? le demi-périmètre de ce triangle, on aura, 
pour les dislances du sommet A aux points où la droite AB 
louche les quatre cercles : 



AM=p, 
En effet 



A\)=p — a, Al=p — b, AK = p — c. 



égalité 



2/; = AB -+- BH 4- lie H- CA = AB -h BM + CN 4- CA 

==:AM-l-AN=z:^AM 



donne d'abord 



AM=/j. 



LIVRE H. 



LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLB 



99 



On obliendrail de même 

BK=^, CL = p, 
et par suite, 

âk = bk — ab — /) - c, ai =r al = cl — CA — /? — 0. 

Enfin on a 

np = (EA 4- AD) -^ ( DB + BF) + (FG + CE) 
= ^AD + 2BF H- 2FG = 2 AD -f- aa, 



d'où 



h 



AD=p 

PROBLÈME 



a. 



165. Décrire sur une droite donnée AB un segment capable 
d'un angle donné. 

Supposons le problème résolu, et soit AFB [Jig, 119) le 
segment cherché : la tangente BC au point B de ce segment 
fait avec la corde AB un angle ABC qui, comme tout angle AFB 
inscrit dans le segment, a (130) pour mesure la moitié de l'arc 
situé au-dessous de AB; cet angle est donc égal à l'angle 
donné, et par suite l'angle ABO formé par AB et le rayon BO 
est égal au complément de l'angle donné. D'après cela, on 
aura une droite BO passant par le centre en construisant au 
point B, au-dessus de AB, un angle ABO égal au complément 

FIg. 119- 




de l'angle donné. Le centre du cercle cherché sera à Tinter* 
section de cette droite BO et de la perpendiculaire OE élevée 
sur le milieu de AB; on décrira donc ce cercle en plaçant l'une 
des pointes du compas en et en donnant aux branches une 



ouverture égale à OB. 



lOO 



GEOMETRIE PLANE. 



PROBLÈME. 

163. Mener une tangente commune à deux cercles et 0\ 

Supposons le problème résolu. 

1° Soil AA' une tangente commune extérieure, c'est-à-dire 
:|ui laisse les deux cercles d'un même côté (fig. 120). Si, par 
le centre 0' de l'un des cercles, on imagine une parallèle 
O'B à AA', cette parallèle sera, comme AA', perpendiculaire 
sur le rnyon OA. Elle sera donc tangente en B au cercle décrit 
du point comme centre avec OB pour rayon; or, lu figure 
ABO'A' étant un rectangle, on a 

AB=:A'0', et, par suite, OB = OA — AB = OA — O'A'. 

On est ainsi conduit à la construction suivante : décrivez une 
circonférence du point comme centre, avec un rayon égal à 
la différence des rayons des cercles donnés, et par le point 0' 
menez une tangente à cette circonférence auxiliaire; B étant 
le point de contact obtenu, tirez OBA, menez O'A' parallèle à 
OA; en joignant les points A et A', vous aurez la tangente 
cherchée. 

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que 
le point 0' ne soit pas à l'intérieur du cercle auxiliaire. 

On doit donc avoir 

00'>0B, c'est-à-dire 00'>0A — O'A', 

•equi revient à dire (122) que les deux cercles proposés 
fct 0' ne doivent pas être intérieurs l'un à l'autre. 

FifT. 120. Fig. '2'^- 





Si les deux cercles et 0' sont extérieurs, tangents cxlé- 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. lOI 

rieuremeni ou sécants, on a 00' >> OA — O'A' ; le point est 
extérieur au cercle auxiliaire, et l'on peut par ce point mener 
deux tangentes à ce cercle; donc les deux cercles donnés ont, 
dans chacun de ces cas, deux tangentes communes exté- 
rieures. 

Si les deux cercles sont tangents intérieurement, on a 
00' = OA — O'A'; le point 0' est sur la circonférence auxi- 
liaire; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente 
à ce cercle et, parsuiie, les deux cercles et 0' ont une seule 
tangente commune extérieure. 

2° Soit EE' une tangente commune intérieure, c'est-à-dire 
qui laisse les deux cercles etO' de côtés différents {Jig.iio), 
En imaginant, comme ci-dessus, une parallèle O'F à EE', on 
verra que cette parallèle est tangente à un cercle concentrique 
au cercle et décrit avec un rayon OF égal à la somme 
0E4-0'E' des rayons des cercles donnés, d'où l'on dé- 
duira la construction suivante : décrivez du centre de l'un 
des cercles une circonférence, avec un rayon égal à la somme 
des rayons des cercles proposés, et du point 0' menez une 
tangente à ce cercle auxiliaire; F étant le point de contact, 
lirez OEF, menez O'E' parallèle à OF, et, en joignant les points 
E et E', vous aurez la tangente demandée. 

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que 
le point 0' ne soit pas à l'intérieur du cercle auxiliaire; on 
doit donc avoir 

00'>0F ou 00'>OE + 0'E', 

ce qui revient à dire (123) que les deux cercles proposés G 
et 0' doivent être extérieurs l'un à l'autre ou tangents exté- 
rieurement. 

Dans le premier cas, on a 00' > OE -^ O'E' ; le point 0' est 
extérieur au cercle auxiliaire; on peut donc mener par ce 
point deux tangentes à ce cercle, et les deux cercles et 0' 
ont deux tangentes communes intérieures. Dans le secon»^ 
cas, on a 00' = OE -h O'E' ; le point 0' est sur la circon- 
iérence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce poini 
qu'une tangente à ce cercle, et, par suite, les cercles proposés 
ei 0' ont une seule tangente commune intérieure. 



I02 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



164. En résumé : 

Deux cercles extérieurs [fig. 121) ont quatre tangentes 
communes, deux extérieures, deux intérieures 

Fig. 121, 




Deux cercles tangents extérieurement [Jig, 1121) ont trois 
tangentes communes, deux extérieures, une intérieure. 



Fig. 122,. 



Fig 122,. 




\ ■ > 




Deux cercles sécants [fig, 1222] ont deux tangentes com- 
munes qui sont extérieures. 

Deux cercles tangents intérieurement {fig* 128) ont une 
seule tangente commune, qui est extérieure. 




Deux cercles intérieurs l'un à l'autre n'ont point de tangente 
commune. 

Les tangentes, soit intérieures^ soit extérieures, se coupent 
sur la ligne des centres^ qui est la bissectrice commune de 
leurs angles (53). 



LIVUE II. — LA CIRCONFÉUENCE DE CEUCLE. 



i03 



APPENDICE DU SECOND LIVRE. 

I. — Des méthodes en Géométrie. 

165. Il est impossible d'indiquer une méthode générale et certaine 
pour résoudre tous les problèmes de Géométrie. La nature des questions 
qu'on peut poser est trop variable pour que la solution puisse être obtenue 
à coup sûr en suivant une voie unique. Il existe toutefois quelques 
procédés particuliers qui s'appliquent plus directement à certaines classes 
de questions. Nous allons indiquer sommairement ici ceux qui se rap- 
portent aux deux premiers Livres, en nous réservant de revenir dans la 
suite sur ce sujet au fur et à mesure que nous rencontrerons des méthodes 
nouvelles. 

MÉTHODES DES SUBSTITUTIONS SUCCESSIVES. 



"166. Et d'abord, sauf pour un petit nombre de questions très simples 
qui se résolvent immédiatement, on procède toujours par substitutions 
successives. On ramène le problème proposé à un autre, qui se ramène à 
son tour à un troisième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à un 
problème connu ou dont la solution soit immédiate. 

C'est ainsi, par exemple, que le problème de mener par un point une 
parallèle à une droite se ramène à la construction d'un angle égal à un 
angle donné; que toutes les questions relatives aux perpendiculaires se 
ramènent à la première d'entre elles, mener une perpendiculaire sur le 
milieu d'une droite: que le problème de la tangente commune à deux 
cercles se ramène à la construction d'une tangente par un point exté- 
rieur, etc. 

Voici un nouvel exemple un peu moins simple : 

Construire, de tous les tiiangles équilatéraux dont tes côtés passent 
par trois points donnés A, B, C, celui qui a le plus grand périmètre. 

Fig. 124. Fig. i?.5. 





Le sommet M du triangle cherché MNP [fg. 124) doit se trouver su 



jo4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

lo segment capable de 60 degrés décrit sur AB. De môme, le segment 
capable de 60 degrés décrit sur AG doit renfermer le sommet N. On ob« 
tiendra donc un triangle équilatéral circonscrit au triangle ABC, en dé« 
crivant sur AB et sur AG deux segments de 60 degrés, menant à volonté 
par le point A une sécante MAN, et tirant MB, NG, qui, par leur rencontre, 
donneront le troisième sommet P; il restera alors à choisir parmi tous 
les triangles qu'on obtient ainsi celui dont le côté MAN est maximum. 
Le problème est donc ramené au suivant : Mener , par un point k commun 
h deux circonférences G et D, la sécante maximum [fi g. ii5). Or, MAN 
étant une sécante quelconque, si l'on abaisse des centres G et D des per- 
pendiculaires GP, DR, sur cette sécante, la droite PR sera la moitié de la 
sécante, et il suffira de chercher le maximum de PR ou delà parallèle DL 
qui lui est égale. Mais le triangle rectangle DLG donne DL < GD; GD est 
donc le maximum de PR, et ce maximum a lieu lorsque la sécante MAN 
est parallèle à la ligne des centres G et D des deux circonférences. 

167. Parfois le problème auquel on ramène la question proposée est 
plus général que celle-ci. Il faut alors ne prendre parmi les solutions du 
second problème que celles qui conviennent à la question primitive, et 
écarter les solutions étrangères. Ainsi, au n" 146, nous avons ramené le 
problème proposé à trouver sur la droite BA un point A dont la distance 
au point G soit égale à b. Mais, pour répondre au problème considéré, la 
droite AG = è doit, en outre, être placée dans l'angle donné B. C'est 
pourquoi, dans la discussion (146), nous avons rejeté les droites com- 
prises dans l'angle adjacent et supplémentaire de l'angle B. 

La méthode de substitutions successives n'est pas seulement un procédé 
géométrique, c'est la marche que suit naturellement l'esprit pour établir 
une proposition quelconque dont l'évidence n'est pas immédiate. C'est ce 
fjui explique l'intervention de cette méthode dans la démonstration de la 
plupart des théorèmes de Géométrie. Pour prouver la vérité d'une pro- 
position A, on la ramène à une proposition B, qu'on ramène à son tour 
à une troisième proposition G, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne 
à une dernière proposition M évidente par elle-même ou démontrée an- 
térieurement. Mais, pour l'exactitude du raisonnement, il est indispen- 
sable qu'il y ait réciprocité entre deux propositions consécutives quel- 
conques de la série A, B, G, . . . , M; en d'autres termes, chacune des deux 
propositions consécutives considérées doit entraîner l'autre, sans quoi la 
vérité de la proposition finale M n'entraînerait pas celle de la première 
proposition A. 

Dès qu'on est arrivé à construire la chaîne des propositions A, B, G, . . . , 
M, on peut exposer la démonstration de deux manières : soit en suivant 
l'ordre même A, B, G, . . ., M, de l'invention, soit en partant au contraire 
d9 la proposition M et en remontant la série dans l'ordre inverse M, ..., 



I 



LIVIIE II. — LA ClUCONFfRENCE DE CERCLE. lo5 

C, B, A. Dans le premier cas, on fait Yanfdyse du théorème; dans le se- 
cond cas, on en présente la synthèse. L'analyse est la méthode d'inven- 
tion; c'est par elle seule que l'on découvre. La synthèse n'est en réalité 
qu'une méthode d'exposition; plus rapide qu'instructive, elle ne doit être 
exclusivement employée que dans les cas simples oii la solution est évi- 
dente. En thèse générale, dans toute bonne exposition, il convient de 
commencer par une analyse succincte et de ne laiss r \\ la synthèse que 
le soin d'éclaircir les détails; les deux méthodes se prêtent alors un mu- 
tuel secours, l'une guidant la marche, l'autre l'assurant. 

MÉTHODE PAR INTERSECTION DE LIEUX GEOMETRIQUES. 

168. La plupart des problèmes de Géométrie reviennent en dernière 
analyse à la détermination d'un point d'après certaines conditions. S'agit- 
il, par exemple, de faire passer un cercle par trois points donnés? II faut 
trouver le centre. Veut-on mener une tangente à un cercle par un point 
extérieur? On cherche le point de contact, etc. D'après cela, si on laisse 
de côté une des conditions données, les autres conditions ne suffiront plus 
pour déterminer un point unique, et il existera une infinité de points 
remplissant ces conditions et formant par leur ensemble un lieu géomé- 
trique auquel appartiendra le point cherché. En reprenant la condition 
délaissée, et faisant abstraction d'une autre, on aura un nouveau lieu géo- 
métrique qui rencontrera le premier au point demandé. 

Ainsi, pour trouver le centre d'un cercle passant par trois points donnés 
A, B, G (154), on fait d'abord abstraction du point G, et l'on trouve pour 
le lieu des centres des circonférences passant par A et B la perpendicu- 
laire élevée sur le milieu de AB; puis, reprenant le point G et délaissant 
le point A, on trouve pour le lieu des centres passant p^r B et G la per- 
pendiculaire élevée sur le milieu de BG. Ces deux perpendiculaires se cou- 
pent au centre demandé. 

Dans le problème Mener une tangente au cercle par un point extc'- 
rieur A (1S7), le point de contact inconnu est déterminé par l'intersec- 
tion de la circonférence 0, qui est un premier lieu, et de la circonférence 
décrite sur AO comme diamètre, qui est le lieu des points d'oii l'on voit, 
comme du point de contact, la droite AO sous un angle droit. 

Dans la recherche du segment capable cVun angle donné (162), la 
méthode des substitutions successives ramène d'abord la question à la 
recherche du centre d'un cercle passant par deux points donnés A et B, 
et langent en B à une droite donnée GBD; puis, en faisant tour à tour 
abstraction de la tangente CD et du point A, on trouve deux lieux recti- 
lignes EO et BO qui se coupent au centre cherché. 

La méthode par intersection de lieux géométriques , due à l'école do 
Platon (i3o-347 av. J.-C), est peut-Mre la plus générale et la plus fé- 



106 GÉOMÉTRIE PLANE. 

conde de toutes les méthodes de la Géométrie. L'élégance et la valeur 
pratique de la solution sont d'ailleurs subordonnées au choix plus ou 
moins habile des deux conditions que l'on délaisse tour à tour; car do 
ce choix dépendent la nature et la facilité de recherche des deux lieux 
employés. La ligne droite et le cercle sont les seuls lieux qui doivent 
figurer dans les problèmes relatifs aux éléments de Géométrie plane, 
où toutes les constructions doivent s'effectuer avec la règle et le 
compas. 

La méthode se prête, d'ailleurs, aussi bien à la discussion des problèmes 
qu'à leur solution. On commence par chercher les conditions pour que les 
deux lieux obtenus se rencontrent : le nombre de leurs points communs 
est le nombre des positions du point choisi pour inconnue. On cherche 
ensuite, si on ne l'aperçoit immédiatement, combien, à chaque position 
du point cherché, répondent de figures remplissant les conditions de 
l'énoncé, ce qui conduit au nombre des solutions du problème. 

Remarquons enfin que, au lieu de ramener un problème à la recherche 
d'un point, on peut parfois le ramener à la détermination d'une droite 
d'après certaines conditions. S'il arrive alors que, en délaissant une de 
ces conditions, la droite devenue mobile reste tangente à un cercle 
fixe; puis que, en reprenant ladite condition et en faisant abstraction 
d'une autre, la droite reste tangente à un second cercle, on aura la 
position de la droite cherchée en menant des tangentes communes aux 
deux cercles enveloppes. L'un des cercles, ou même chacun d'eux, peut 
d'ailleurs se réduire à un point. 

Proposons-nous, par exemple, de mener une droite D, qui passe par 
un point donne' A et qui détermine dans un cercle donné G une corde 
de longueur donnée. Les droites qui satisfont à la première condition 
seule ont pour enveloppe le point A. Quant aux droites qui satisfont à 
la seconde condition seule, elles enveloppent un cercle y concentrique 
au cercle G, puisque les cordes égales d'un même cercle sont équidis- 
tantes du centre. Toutefois, ce cercle y se réduit à son centre si la 
longueur donnée, qui, d'ailleurs, ne saurait excéder le diamètre du 
cercle G, se trouve égale à ce diamètre. La droite cherchée D est, dans 
le premier cas, l'une quelconque des tangentes menées par A au cercle 
y; dans le second cas, c'est la droite AO. 

469. Pour faciliter l'emploi delà méthode qui nous occupe, nous allons 
rappeler les lieux géométriques que nous avons déjà rencontrés, et en 
ajouter quelques autres qui se rattachent aux précédents et qui résultent 
immédiatement des théories étudiées. 

1° Le lieu des points situés à une distance donnée d'un point donné 
est le cercle qui a le point donné pour centre et la distance donnée pour 
rayon (91); 



UWl'k H. — LA CIIICO.NFÉRENCE DE CERCLE. 107 

7." Le lieu des milieux des cordes égales d'un cercle est un cercle con- 
centrique au premier (104); 

S** Le lieu des points d'où l'on peut mener à un cercle des tangentes 
d'une même longueur donnée est un cercle concentrique au premier ( 1 58) ; 

4" Le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite donnée 
est le système des deux droites parallèles à la droite donnée et situées à 
la distance donnée de cette droite (69); 

5° Le lieu des points situés à une distance donnée d'un cercle donné 
est le système des deux cercles concentriques au premier, dont les 
rayons sont égaux au rayon du cercle primitif augmenté ou diminué de 
la distance donnée (114) ; 

6** Le lieu des points équidistants de deux points donnés est la perpen- 
diculaire élevée sur le milieu de la droite qui unit ces deux points (49); 

7° Le lieu des points équidistants de deux droites qui se coupent est 
le système des bissectrices des angles formés par ces deux droites (53); 

8° Le lieu des points d'où l'on voit une portion de droite sous un angle 
donné est le système de deux arcs de cercle passant par les extrémités 
de la droite (134). En particulier, le lieu des points d'où l'on voit une 
portion de droite sous un angle droit est la circonférence dont cette por- 
tion de droite est un diamètre; 

9" Le lieu des milieux des cordes d'un cercle qui passent par un point 
donné est le cercle qui a pour diamètre la droite qui joint le centre du 
cercle primitif au point donné, car du milieu de chacune de ces cordes 
on voit cette portion de droite sous un angle droit (102); 

10° Le lieu des points dont les distances à deux droites qui se coupent 
ont une somme ou une différence donnée est le système de quatre droites. 
En effet, on prouve d'abord aisément que les points du lieu qui sont sur 
les deux droites données sont les sommets d'un rectangle dont ces deux 
droites sont les diagonales. Puis, en prenant un point sur l'un des côtés 
du rectangle (ou sur ce côté prolongé), on voit que la somme (ou la 
différence) des distances de ce point aux deux diagonales est égale à la 
distance d'un sommet du rectangle à la diagonale opposée. Nous nous 
bornons à ces indications, en proposant au lecteur comme exercice de 
trouver les détails de la démonstration ; 

11° Le lieu des points M, tels que les pieds P, (}, R des perpendicu- 
laires abaissées de ce point sur les côtés d 'un triangle ABC soient en ligne 
droite, est le cercle circonscrit à ce triangle {fig. 126). 

En effet, quelle que soit la position du point M dans le plan, les quadri- 
latères MRPA, MllGQ sont inscriptibles, puisque des points R et P on 
voit MA sous un angle droit, et que des points R et Q on voit MG sous un 
angle droit; il en résulte que les angles ARP, CRQ sont respectivement 
égaux aux angles AiMP, CMQ. 

Cela posé, si M est sur le cercle circonscrit au triangle ABC, les angles 



io8 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



AxMC et PMQ sont égaux comme ayant l'un bt l'autre pour supplément 
l'angle B; et si de chacun de ces deux angles on retranche l'angle PMC, 
les restes, c'est-à-dire les angles AMP, CMQ, et, par suite, AHP et CIlQ 
seront égaux, d'où il suit que P, Il,Q sont en ligne droite. Inversement, 
si ces points sont en ligne droite, les angles ARP, CRQ sont égaux; par 
suite, AMP, CMQ le sont aussi, ainsi que les angles AMC, PMQ qu'on ob- 
tient en leur ajoutant PMC;or, comme l'angle PMQ est le supplément de 
B, il en est de môme de AMC; de sorte que le point M est sur le cercle 
circonscrit au triangle ABC. 

Fig. 126. 




n est aisé de prouver que la droite PQR, que l'on nomme droite de 
Simson, est équidistante du point M et du point de concours des hau- 
teurs du triangle ABC. 

A cet effet, remarquons d'abord que si l'on prolonge la hauteur CHR 




jusqu'à sa rencontre G avec le cercle circonscrit au triangle ABC, on 
a RG = RH; car les angles RAG, RAH étant l'un et l'autre égaux 



I 



LIVHE II. — LA CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. IO9 

à HCD, sont égaux entre eux; les triangles rectangles ARG, ARH sont 
donc égaux et, par suite, KG est égal à RH. Cela pose, soit F un point 
quelconque du cercle circonscrit, N et L les projections de F sur AB 
et AC, enfin E et K les points où FG rencontre le côté AB et la droite 
de Simson NL. Le quadrilatère AFLN est inscriptible, puisque des 
points N et L on voit AF sous un angle droit; on en conclut l'égalité 
des angles FNK, FAC; mais ce dernier angle a même mesure queFGC, 
lequel est égal à NFK, puisque FN et CG sont parallèles. Donc les 
angles FNK, NFK sont égaux et, par suite, les droites KF et KN sont 
égales. On déduit de là, puisque le triangle FNE est rectangle en N, 
que K est le milieu de l'hypoténuse FE et que l'angle KNE est égal 
à KEN ou encore à HER, vu la symétrie de EH et de EG par rapport 
à AB. D'après cela, la droite de Simson NKL est parallèle à EH et 
passe par le milieu K de FE; elle doit donc passer par le milieu I 
de FH. 

Le théorème de Simson a de nombreuses applications. Nous citerons 
en particulier la proposition suivante qu'on attribue à Salmon : 

Si par un point M pris sur une circonférence w on mène trois 
cordes MA, MB, MG, et si l'on décrit les circonférences a, ^, y ajant 
respectivement pour diamètres MA, MB, MG, les trois cercles a, p, y 
auront en commun, outre le point M, trois autres points D, E, F qui 
sont en ligne droite. 

11 est, en effet, aisé de voir que les points D, E, F sont les pieds des 
perpendiculaires abaissées sur les côtés du triangle ABC par le point M 
du cercle circonscrit à ce triangle. 

470. Voici maintenant quelques applications un peu moins simples 
que les exemples qui nous ont servi ù exposer le principe de la mé- 
thode : 

1° Construire un triangle ABC connaissant le côté AB, la hauteur cor- 
respondante et P angle opposé C. 

Le sommet G est à l'intersection du lieu des points qui sont à une 
distance de AB égale à la hauteur donnée (169, 4°) et du lieu des points 
d'où l'on voit AB sous l'angle donné (169, 8°). Le premier lieu se com- 
posant de deux droites parallèles à AB et l'autre de deux arcs de cercle 
passant par A et B, il y a, en apparence, quatre solutions, qui se ré- 
duisent, en réalité, à une seule, vu l'égalité des quatre triangles trouvés. 
Le problème n'est, d'ailleurs, possible que si la flèche de l'arc capable 
de G et décrit sur AB est supérieure ou égale à la hauteur donnée. 

2" Mener entre deux cercles K et ^ une droite qui soit tangente au 
premier A et qui ait une longueur donnée. 

Le cercle B est un premier lieu d'une extrémité de la droite; un se- 



J lO GÉOMÉIRIE PLANE. 

cond lieu do la même extrémité est un cercle concentrique à A (169, 3°). 
Le problème a quatre solutions, car de chacun des deux points communs 
aux deux lieux partent deux tangentes au cercle A. 

Ainsi, dans ce problème, le nombre des solutions excède le nombre 
des points d'intersection des deux lieux, tandis qu'il était moindre dans 
le problème précédent. 

3" Décrire un cercle qui touche à la fois une circonférenee G et une 
droite AX en un point donné A (Jig. 127). 




La perpendiculaire élevée par le point A sur la droite donnée est évi- 
demment un premier lieu du centre du cercle inconnu. 

Cela posé, remarquons que ce centre est à une dislance du point A 
égale au rayon du cercle cherché, et à une distance du point G égale à 
la somme ou à la dififérence des rayons du cercle inconnu et du cercle 
donné G, suivant que les cercles se touchent extérieurement ou intérieu- 
rement. 

Donc, si l'on prend à partir du point A, de part et d'autre de la 
droite donnée AX et sur la perpendiculaire qu'on lui a menée au point A, 
deux longueurs AB et AB' égales au rayon du cercle G, on voit que le 
centre inconnu est équidistant de B et de G si le contact est extérieur, 
et de B' et de G si le contact est intérieur. Les perpendiculaires élevées 
sur les milieux de BG et de B'C forment donc un second lieu géomé- 
trique du centre cherché, et les points et 0' où elles coupent la per- 
pendiculaire menée par A à la droite donnée sont les centres des deux 
cercles qui résolvent la question. 

Le point existe toujours, car G et B étant de part et d'autre de AX, 
les droites BG et AX se coupent et, par suite, aussi les perpendiculaires 
à ces deux droites. Mais le point 0' peut cesser d'exister, car 
B'C peut être parallèle à AX ; le cercle G touche alors AX, et c'est cette 
droite qui tient lieu du cercle 0'. 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DU CERCLE. I l i 



CONSTRUCTIONS AUXILIAIRES : TRANSLATION, RENVERSEMENT, ETC. 

171. Dans un grand nombre de cas, une heureuse inspiration, fruit do 
l'habitude et d'un certain sentiment des choses géométriques, conduit à 
des constructions auxiliaires qui facilitent singulièrement la solution du 
problème proposé. On ne saurait évidemment formuler de règle géné- 
rale; la diversité de ces constructions tient à la nature si variable du 
sujet lui-môme, et constitue au fond la richesse inépuisable de la Géo- 
métrie. L'étude comparée de plusieurs exemples bien choisis est plus 
instructive assurément que bien des préceptes. Toutefois, il convient de 
signaler quelques procédés qui réussissent souvent; tels sont la trans- 
lation, la rotation, ou le retournement de certaines parties de la figure 
qui, permettant de mieux grouper les données, de réunir les éléments 
épars, rendent plus aisée la construction de la figure définitive. 

Voici quelques exemples de translation parallèle : 

1° Construire un trapèze connaissant les longueurs des quatre côtés 

En transportant parallèlement à lui-même l'un des côtés non paral- 
lèles du trapèze jusqu'à ce qu'il rencontre l'autre, on obtient un paral- 
lélogramme et un triangle; on sait construire le triangle, puisqu'on a 
ses trois côtés, et la figure s'achève immédiatement. 

2® Étant donnés deux paT'allèles XY, X'Y' et deux points A ^^ B si- 
tués hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court 
chemin de A e/z B par une ligne brisée AMNB, telle que la portion MN 
coin prise entre les parallèles ait une direction donnée {^g. i'28). 

Fig. 12^ 




Si l'on transporte la portion intermédiaire MN parallèlement à elle- 
même au point B, c'est-à-dire si l'on mène BI parallèle à la direction 
donnée et égale à la longueur constante que les deux parallèles XY, 
X'Y' interceptent sur les droites ayant cette direction, on voit que la 
longueur de l'un quelconque AM'N'B des chemins considérés dans l'é- 
noncé sera égale à celle de la ligne brisée AM'IB; elle se composera 
donc d'une partie constante BI et d'une partie variable AM'I, et tout re- 
viendra à chercher sur la droite XY la position du point M' pour la- 
quelle le chemin AM'I est minimum. Or, cette position n'est autre évi- 



I 



II -2 GÉOMÊTKIE l'LANE. 

demmentque lo point M où la ligne droite Aï coupe XY. Connaissant M, 
on n'a plus qu'à mener MN parallèle à la direction donnée et à tirer NB, 
pour obtenir le chemin minimum demandé AMNB. 

3° Foici un mode de translation <jui permet de résoudre un grand 
nombre de problèmes relatifs au quadrilatère (Jîg. 129) (*). 

Dans un quadrilatère ABCD, on peut transporter AB et AD parallèle- 
ment à eux-mêmes en CBi et CDi. Le parallélogramme BBiDjD formé do 
la sorte contiendra les éléments du quadrilatère groupés d'une façon sou- 
vent avantageuse; les droites issues de G sont les côtés du quadrilatère 
et les angles formés autour de ce point sont les angles du quadrilatère; 
enfm les côtés du parallélogramme sont égaux aux diagonales du quadri- 
latère et forment les mêmes angles que celles-ci. 

Par exemple, s'agit-il de construire un i/uadrilatère ABCD connaissant 
les diagonales, leur angle et les angles BGA, CAD. La connaissance des 
diagonales et de leur angle permet de tracer le parallélogramme BBi Di D ; 
puis, à l'aide des deux autres angles, qui sont respectivement égaux à 
BiBC, DDiC, on a le point C par la rencontre de deux droites, et la 
figure totale s'ensuit. 

4° Remarquons enfm que la translation parallèle permet de mener entre 
deux lignes données une droite de direction et de grandeur données. 

Il suffit de déplacer l'une des lignes de façon que chacun de ses points 
décrive une droite égale et parallèle à la droite donnée; cette nouvelle 
ligne coupera la ligne qui est restée fixe aux points où devra passer la 
droite cherchée. Nous engageons le lecteur à appliquer la solution au 
cas où les lignes données sont deux droites, deux cercles ou une droite 
et un cercle. 

172. On a vu, à propos du triangle isocèle, l'avantage qui peut résulter 
du retournement d'une figure, et, dans la théorie des perpendiculaires 
et des obliques, la facilité que présente l'adjonction à une figure de la 
figure symétrique par rapport à une droite convenablement choisie; sur 
la figure ainsi doublée, on saisit parfois d'un coup d'oeil entre certaines 
lignes des relations qui seraient, sans cela, restées souvent inaperçues. 

Voici d'autres exemples intéressants de cette méthode dllepar replie- 
ment ou par symétrie : 

1° Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette 
droite un point M tel que la somme AM -h BM soit un minimum. 

Si les deux points donnés sont, comme A et B' (^g. i3o), situés de 
part et d'autre de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY 
au point cherché. 

C) Peterses, Méthodes et théories pour la résolution tics jjroblèmes. (Tra- 
duit par M. Chemin.) 



i 



LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCK DE CIÎRCLE. !l3 

Si les deux points A et B sont d'un même côté do XY {fg. i3o), on 
observe que tout point M' de XY est équidislant de B et de son symé- 
trique B' par rapport à XY (48); le ciiemin AM'B' est donc égal à AM'B, 
et il suffit de chercher le minimum de AM'B'. A et B' étant de part et 
d'autre de XY, on n'a qu'à tirer la droite AB' qui rencontre XY au point 
cherché M. Il est bon de remarquer que les deux parties AM et MB du 
chtniin minimum sont également inclinées sur XY. En effet, dans le ra- 
battement de la figure autour de XY, le point M restant fixe, et B venant 
sur son symétrique B', l'angle BMY recouvre l'angle B'.MY ; et, comme 
ce dernier est opposé par le sommet à AMX, on voit que les angles AMX, 
B.MY sont égaux. 



i3o. 



FiîT. i3i 





2° Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette 
droite un point M, tel que BM — AM soit un maximum. 

Si les deux points donnés sont, comme A et B' {fig. i3i), situés d'un 
même côté de XY, la droite AB' résout la question ; elle coupe XY au 
point cherché M. En effet, M' étant un point quelconque de XY, on a 
dans le triangle B'M'A 

AB' ou B'M — AM>B'M' — AM'. 

Si les deux points Aet B sont de part et d'autre de XY {fig. i3i), 
on voit, en substituant, comme précédemment, au point B son symé- 
trique B' par rapport à XY, qu'il suffit de tirer AB', qui coupe XY au 
point cherché M. 

3° Le premier des deux problèmes que nous venons de traiter se 
présente en Optique dans la tliéorie des miroirs plans. L'angle d'inci- 
dence étant égal à l'angle de réflexion, pour qu'un rayon lumineux issu 
du point B vienne, après réflexion sur le miroir XY, passer par A, il 
faut qu'il soit dirigé vers le point M où le miroir est rencontré par la 
droite qui joint le point A au symétrique B' du point B. On voit par là 
que le chemin décrit par la lumière est le plus court parmi ceux qui 
vont de B en A en passant par un point de XY. 

Pi. et DE C. — Tr. fie Gcom. (I" Partie). o 



11^ GÉOMÉTRIE PLANE. 

Il en est de même lorsqu'un corps élastique, comme une bille de bil- 
lard, vient se réfléchir sur la bande XY; pour que, lancée du point H, 
elle arrive en A, il faut qu'elle frappe la bande au point M où cette bande 
est rencontrée par AB'. Il est aisé, d'après cela, de résoudre le problème 
du billard polfgonal : 

Deux points M et Ç^ étant marques sur un billard polygonal XYZU . . .ï, 
de n côtés, vers quel point M de la bande XY faut-il lancer une bille 
du point P, pour qu^ après réflexions sur les bandes successives XY, YZ, 
ZU, , elle vienne passer par le point Q? 

Quel que soit le point de la bande XY vers lequel on lance la bille, le 
prolongement de la route suivie par la bille après la réflexion passera 
par le point Pi symétrique de P par rapport à XY; après la seconde ré- 
flexion, la bille se mouvra sur une droite issue du symétrique P2 de Pi 
par rapport à YZ, ... ; en continuant ainsi, on obtiendra un point P„ par 
lequel doit passer le prolongement de la droite que suit la bille après 
la dernière réflexion; comme cette droite doit aussi passer par Q, la 
droite P«Q déterminera par son intersection avec la dernière bande le 
point où la bille doit la frapper; et F on pourra dès lors, en remontant, 
tracer la roule complète de la bille. Le problème ne sera évidemment 
possible que si les points d'incidence se trouvent sur les bandes elles- 
mêmes et non sur leurs prolongements. 

En faisant la figure pour le cas du billard rectangulaire, on pourra 
constater que, pour que la bille revienne au point de départ, il faut la 
lancer parallèlement à l'une des diagonales du rectangle. 

4° Construire un polygone connaissant en position les perpendiculaires 
tti, a2, . . . , OLn élevées sur les milieux des côtés (Petersen). 

Soit A le sommet inconnu qui est situé sur le côté perpendiculaire 
à ai ; prenons dans le plan un point arbitraire P, et construisons suc- 
cessivement le symétrique Pi de P par rapport à ai, le symétrique Pj 
de Pi par rapport à a2, . . ., et ainsi de suite jusqu'au symétrique ?n par 
rapport à a„. Si l'on avait opéré sur A comme l'on vient de le faire sur 
P, le point A„ auquel on serait parvenu serait le point A lui-même, 
car Al, A2, . . ., Are seraient les sommets successifs du polygone. Or la 
longueur d'une portion de droite étant égale à celle de la droite symé- 
trique, on aurait donc AP = AP»; la perpendiculaire élevée sur le mi- 
lieu de PPrt passe donc par le sommet inconnu A. On déterminera de la 
même manière une droite passant par Ai la symétrique de cette droite 
par rapport à ai passera par A qui sera ainsi déterminé par l'inter- 
section des deux droites. 

On résout par des considérations analogues la question qui consiste à 
tracer le polygone de périmètre minimum ayant respectivement un sommet 
sur chacune des droites indéfinies qui forment les côtés d'un polygone 
donné, attendu que deux côtés consécutifs du polygone inconnu doivent 



LIVRE II. — LA CIRCONFÊRlîNCE DE CERCLE. Il5 

(i°) être également inclinés sur la droite qui contient leur point d'inter- 
section. 

Nous ne donnerons qu'un exemple de l'emploi des rotations^ nous 
proposant de revenir sur ce sujet après la théorie de l'homothetie. 

Etant donnés deux cercles et 0' et deux points k et ^ situés sur 
la circonférence du cercle 0, trouver sur cette même circonférence un 
point M tel que, si V et Q sont les points ou AM et BM rencontrent 
respectivement la circonférence 0', la droite PQ ait une longueur 
donnée {fig. i3i bis). 

L'angle PO'Q est connu de grandeur, puisqu'il fait partie d'un 
triangle PO'Q dont on connaît les trois côtés. L'angle AMB est aussi 

Fig. i3i bis. 



connu, puisqu'il est inscrit dans un arc donné. Faisons tourner le triangle 
O'PA, autour de 0', d'un angle w égal à PO'Q, de manière à amener 
O'P sur O'Q. Si A' est la position que prend ainsi le point A, et si l'on 
désigne par I l'intersection de PA et de QA', l'angle MIQ sera égal à 
l'angle de rotation w ou à son supplément. On connaîtra donc dans le 
triangle MIQ deux angles M et I et, par suite, l'angle BQA'. Mais B est 
donné, et le point A' s'obtient en faisant tourner O'A de l'angle w autour 
de 0'. Donc le pointQsera sur le segment capable de l'angle connu BQA', 
décrit sur une droite connue BA'; comme ce point Q appartient, en 
outre, à la circonférence 0', il sera déterminé. 

II. — Polygones égaux et de même sens ou de sens contraires. 

NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 

173. Plusieurs points étant distribués d'une manière quelconque dans 
un plan, si on les joint successivement, dans un' ordre déterminé, par 
des lignes droites, de manière à revenir au point de départ, on obtient 



Il6 GÉOMÉTRIE PLANE. 

une ligure rectiligne à laquelle on donne, par extension, le nom âe po- 
lygone; ainsi quand nous dirons le polygone ABGDE, il faudra entendre 
la figure rectiligne obtenue en joignant par des lignes droites le^Dremier 
point A au second point B, le second point B au troisième C, . . ., et 
enfin le dernier point E au premier A. 

Considérons, dans un plan, deux systèmes de points A et A', B et B', 
C et C, . . . , qui se correspondent un à un d'après une loi géométrique 
d'ailleurs quelconque. Soient AB. . .PQR. . ., un polygone formé avec les 
points du premier système, et A'B'. . .P'Q'R'. . . , le polygone formé 
avec les points correspondants ou homologues du second système. Suppo- 
sons enfin que deux observateurs parcourent simultanément, l'un le 
chemin bien déterminé AB. . .PQR.. ., l'autre le chemin correspondant 

A'B'... P'Q'R Nous dirons que les deux polygones AB...PQR..., 

A'B'. . .P'Q'R'. . . sont de même sens ou de sens opposés suivant que 
deux sommets homologues quelconques R et R' sont vus de la môme 
manière (c'est-à-dire tous deux à droite ou tous deux à gauche), ou de 
manières différentes (c'est-à-dire l'un à droite, l'autre à gauche) parles 
observateurs parcourant les deux côtés homologues PQ, P'Q' qui pré- 
cèdent immédiatement R et R'. 

Nous désignons, en général, deux sommets homologues de deux po- 
lygones correspondants par une même lettre, en accentuant celle qui est 
relative au second polygone; toutefois cette notation n'est pas toujours 
possible, quand les deux figures ont des points communs, à moins de 
mettre deux lettres à un même point, ce qui serait une complication 
inutile. On évite toute ambiguïté en convenant d'attribuer, dans les sym- 
boles ABC. . ., MNS. . . qui désignent deux polygones correspondants, 
le même rang aux deux lettres qui répondent à deux points homologues; 
ainsi, A est l'homologue de M, B l'homologue de N, etc. 

Deux polygones correspondants ABC..., A'B' G'... sont dits égaux 
lorsqu'on peut les superposer soit directement, soit par retournement, 
de manière que chaque sommet vienne sur son homologue. Dès que le 
mode de correspondance des sommets est fixé, il est clair quela super- 
position n'est possible que d'une seule manière. 

174. Deux polygones égaux et de même sens ABC. . . , A'B'C. . . coïn- 
cident dès qu'Us ont deux couples A et A\ B et B' de sommets consécu- 
tifs commu//s. 

En effet, dès que A est en A' et B en B', BC prend la direction B'C, 
puisque BC et B'C sont du même côté par rapport à AB et font des 
angles égaux avec cette droite; d'ailleurs, B'C' = BC; donc C tombe en 
C, et l'on verrait de même que D' tombe en D, et ainsi de suite. 

Si les polygones étaient de sens opposés, lisseraient symétriques par 
rapport au côté commun AB; car si l'on imagine le . polygone ABCiDi.. . 



LIVRE II. — LA CiUCOiNFÉRENCE DE CERCLE. II7 

S) métrique de ABCD. . . par rapport à AB, ce nouveau polygone sera de 
même sens que A'B'C'D'. . ., lui sera égal et aura avec lui deux points 
homologues communs A et A', B et B'; donc il coïncidera avec lui, d'a- 
près la proposition précédente. 

THÉORÈME I. 

I 7d. Lnrs(]ue deux polygones égaux et de inême sens ABC . . . , A'B'C . . . 
sont situes dans un même plan, on peut amener le premier sur le second 
par une rotation autour dhin point du plan {fig. iSa). 

II suffit, d'après le n° 174, de montrer qu'on peut, par une rotation, 
amener A sur A' et B sur B'. 

Or construisons sur A'B' un triangle A'B'A" égal à ABA' et de même 
sens, et soit le centre du cercle qui passe par les trois points A, A', A". 
Les triangles OAA', OA'A" sont égaux comme ayant les trois côtés égaux ; 
ils sont, en outre, de môme sens, car deux cordes égales et consécutives 
AA', A' A' d'un cercle comprennent le diamètre A'O qui aboutit à leur 
point commun. Donc, si, par une rotation autour de 0, on amène OA sur 
OA', le triangle OAA' coïncidera (174) avec OA'A"; et, par suite, le 
triande ABA' coïncidera avec A'B'A" 



Fig. i32. 



Fi{j. i33. 





Il importe de remarquer que le centre de rotation doit être équidis- 
tanl de deux points homologues quelconques ; il est donc le point de 
concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des droites qui 
joignent deux points homologues quelconques. 

Enfin le raisonnement et la conclusion supposent que les points A, A', 
A" ne soient pas en ligne droite, c'est-à-dire, d'après la construction du 
point A", que AB et A'B' ne soient pas parallèles et de même sens; s'il 
en était ainsi, la figure AA'BB' serait un parallélogramme, AA' et BB' se- 
raient donc égales, parallèles et de môme sens, et alors, pour amener A 
sur A' et B sur B' et, par suite, la première figure sur la seconde, il suf- 
firnil d'opérer sur la première figure une translation, c'est-à-dire de 
faire décrire à chaque sommet une droite égale et parallèle à AA'. 



I l8 GÉOMÉTUIE PLANE. 

Corollaires. 

176. Quand une figure de forme et de grandeur invariables se déplace 
dans son plan d'un mouvement continu, chaque point décrit une trajec- 
toire ; soient ABC . . . une position quelconque de la figure, A' B' G' . . . une 
position voisine; si la seconde figure tend vers la première, les cordes 
AA', BB'j ce, ... deviennent les tangentes en A, B, C, . .., aux tra- 
jectoires de ces points, et les perpendiculaires élevées sur les milieux 
des cordes deviennent les normales aux trajectoires; comme ces per- 
pendiculaires passent par un même point dont la situation dépend à 
la fois des deux positions successives ABC. . ., A'B'C . . de la figure, à 
la limite, ces perpendiculaires, c'est-à-dire les normales, passeront par 
un même point w dont la situation ne dépend plus que de la position 
ABC. . . de la figure considérée. Donc, quand une figure se déplace dans 
son plan, les normales aux trajectoires des divers points, pour une posi- 
tion déterminée quelconque de la figure, passent par un même point w ; 
ce point lo a reçu le nom de centre instantané de rotation relatif à la 
position considérée de la figure. 

Si l'on sait mener les normales aux trajectoires de deux points de la 
figure mobile, on aura par l'intersection de ces droites le point w, et il 
suffira de joindre w à tout autre point de la figure pour avoir la nor- 
male et, par suite, la tangente à ^^ trajectoire de ce point. 

177. Considérons, en particulier, le déplacement d'une droite AB 
{fig. i33). Soient co le centre instantané relatif à la position AB, et P la 
projection de w sur la droite AB, c'est-à-dire le pied de la perpendicu- 
laire abaissée de w sur AB. Quand AB se déplace, le point P, considéré 
comme invariablement lié à la portion de droite AB, décrit une trajec- 
toire qui, d'après le numéro précédent, a pour normale Pw et, par suite, 
pour tangente en P la droite PAB. Donc, quand une droite se déplace 
dans un plan suivant une loi déterminée quelconque, elle reste constam- 
ment tangente à une ligne qu'on nomme son enveloppe; et, pour une 
position quelconque de la droite, le point où elle touche son enveloppe est 
la projection sur cette droite du centre instantané de rotation correspon- 
dant. 

Ce point de contact est aussi la limite du point I où la droite AB est 
rencontrée par sa position infiniment voisine A'B'. En eiïct, soient le 
point autour duquel il faut faire tourner AB pour amener A en A' et B 
en B', Q et Q' les projections de sur AB et A'B'. Le point I est l'inter- 
section des tangentes AB, A'B' au cercle décrit du point comme 
centre avec OQ = OQ' pour rayon ; la distance QI, moindre (}uo (){)\ 
tend donc vers zéro quand A'B' tend vers AB; donc le point I a la nième 



LIVRE II. 



LA CIHCOiSFÉRENCE DE CERCLE. 



1^9 



limite que le point Q, c'est-à-dire a pour limite la projection P sur AB 
du centre instantané w relatif à AB. 

THÉORÈME II. 
178. Lorsque deux polygones égaux et de sens opposés ABC... 
A'B'C. . . sont situés dans un même plan^ on peut amenei^ le premier 
sur le scnmd au moyen du retournement du plan autour d^ un certain axe 
et d^une translation rectillgne parallèle à cet axe {J'g. i34). 

Fig. i34. 




En effet, achevons le parallélogramme AA'B'Ba dont AA' et A'B' sont 
deux côtés consécutifs; puis, par le milieu I de AA', menons la parallèle L 
à la bissectrice AE de l'angle BjAB. Le polygone Ai Bi Ci. . ., symétrique 
de ABC. . . par rapport à L, étant égal à A'B'C. . . et de même sens, il 
suffît de prouver que la figure A'B'BiAi est un parallélogramme, et que 
AAi est parallèle à L; car, alors, en repliant le plan autour de L, on amè- 
nera ABC... sur AiBiCi...; puis une translation rectiligne égale et 
parallèle à AiA' et. par conséquent, parallèle à L amènera Ai sur A', Bi 
sur B' et, par suite (174), AiBiCi... sur A'B'C... 

Or AiBi et AB2, étant les symétriques d'une môme droite AB par rap- 
port à deux axes parallèles L et AE, sont égales, parallèles et de môme 
sens; d'ailleurs A'B' et AB2 sont aussi égales, parallèles et de même 
sens; il en est donc de même pour AiBj et A'B', de sorte que la figure 
A'B'BiAi est bien un parallélogramme. D'autre part, a étant le milieu de 
AA», c'est-à-dire le point de rencontre des deux droites rectangu- 
laires AAi et L, et a' étant la projection de A' sur L, les triangles rec- 
tangles Ala, A'Ia' sont égaux comme ayant l'hypoténuse égale et les 
angles égaux; il en résulte A'a'= Aa = aAi, de sorte que la figure 
Al A' a' a est un rectangle, ce qui prouve que Ai A' est parallèle à L. 

La droite L est également inclinée sur deux côtés homologues quel- 
conques des deux polygones, et elle contient les milieux des droites qui 
joignent les sommets homologues. 



LIVRE 111. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



121 



LIVRE m. 

LES FIGURES SEMBLABLES. 



§ I. — LIGNES PROPORTIONNELLES. 
NOTIONS PRÉLIMINAIRES. 

179. Supposons qu'un mobile parcoure de gauche à droite 
une ligne droite indéfinie XY, sur laquelle sont marqués deux 
points fixes A et B, et étudions les variations du rapport des 
distances du mobile aux points A et B (Jif;. i35). 

Fig. i35. 



i M' A M N R N' Y 

Pour toute position M' du mobile à gauche de A, on a 



MA 
MB 



M'B — AB 



MB 



= I 



AB 
MB' 



On voit par là que si M' est très-loin, le dénominateur M'B 
est très-grand ; par suite, la fraction :jr|7^ est très-petite, et le 

M'A 
rapport r^yp;^ est aussi voisin qu'on veut de l'unité. A mesure 

que le mobile se rapproche du point A, le dénominateur M'B 

AB 

diminue en tendant vers AB; la fraction r^y^ augmente en se 

^ ,, . . , M'A , 

rapprochant de 1 unité, et le rapport -^-rj^ diminue jusqu a o, 

valeur qu'il atteint lorsque le mobile arrive en A. Ainsi, à 
gauche du point A, le rapport considéré décroît d'une manière 
continue de i à o. 

Au delà du point A, le rapport ^r^^ augmente, puisque son 

numérateur croît et que son dénominateur diminue; et il de- 
vient égal à I, lorsque le mobile est au point milieu de AB. 



122 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Ainsi, dek en 0, le rapport considéré croît d'une manière con- 
tinue de o à I . 

A partir du point 0, le rapport ^^z continue à "croître pour 

les mêmes motifs; à mesure que le mobile se rapproche de B, 
le numérateur NA tend, vers AB, le dénominateur NB diminue 
en tendant vers o; et, par suite, le rapport acquiert des va- 
leurs de plus en plus grandes et peut même surpasser tel 
nombre qu'on voudra. On exprime ce fait en disant que la va- 
leur du rapport devient infinie^ et l'on représente par le sym- 
bole co cet état limite. Ainsi, de en B, le rapport considéré 
croît d'une manière continue de i à /'co . 
Enfin, pour toute position N' du mobile au delà de B, on a 

N^A _ N^B -4- AB _ AB 

NB" N'B "'"^N'B' 

lorsque le point N' s'éloigne de B, le dénominateur N'B aug- 

AB 

mente déplus en plus jusqu'à l'infini; la fraction ^^7^ diminue 

N'A 
graduellement jusqu'à zéro, et le rapport ^^ttt décroît succes- 
sivement jusqu'à I. Ainsi, à droite de^, le rapport considéré 
décroît d'une manière continue de /'co à \ . 

En résumé, le rapport considéré prend deux fois à gauche 
du point toutes les valeurs numériques moindres que i, et 
deux fois à droite du point toutes les valeurs numériques 
supérieures à i. 

Donc enfin, étant donnés deux points fixes A et B, // existe 
toujours sur la droite indéfinie XY qui les contient, deux 
points, et seulement deux, tels que les rapports des distances de 
chacun d'eux aux points A e^ B aient une même valeur donnée. 
Ces deux points sont situés d'un même côté du milieu de AB, 
l'un entre A et B, l'autre en dehors; ils sont d'ailleurs à gauche 
deO, commeMetM' ouà droite deOyComme^etW, suivant que 
la valeur donnée du rapport est inférieure ousupérieure à l'un ité. 

180. Le point N, situé entre A el B, divise réellement la droite 
AB dans le rapport donné ; par extension, on dit que le point 
extérieur N' divise aussi la droite AB dans ce môme rapport. 
Pour éviter toute confusion, on qualifie alors d'additifs les 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



123 



segments NA et NB déterminés par le point N, et dont AB est 
ta somme, et de soustractifs les segments N'A et N'B détermi- 
nés parle point N', et dont AB est la différence. 

Lorsqu'une droite AB est ainsi divisée par deux points N 
etN', de façon que les segments additifs NA et NB soient pro- 
portionnels aux segments soustractifs N'A et N'B, on dit que 
ces deux points N et N' divisent liarmoniquement la droite AB 
ou sont conjugués harmoniques par rapport à la droite AB. 

THÉORÈME. 
181. Deux droites quelconques sont coupées en parties pro- 
portionnelles par une série de droites parallèles ; en d'autres 
termes, lorsque deux droites AG, A' G', sont coupées par une 
série de parallèles AA', BB',..., GG', le rapport de deux seg- 
ments quelconques de la première droite est égal au rapport 
des segments correspondants de la seconde (fig. i36, 137). 

,\a' 



FifT-. 





Il suffit (note i] de prouver : 

1° Que, si deux segments AB et EF de la première droite 
sont égaux entre eux, les segments correspondants A'B' et E' F' 
de la seconde droite sont aussi égaux entre eux ; 

2° Que, si sur la première droite, un segment EG est égal 
à la somme de deux autres AB et CD, sur la seconde droite, le 
segment E'G', correspondant à EG, est aussi égal à la somme 
des segments A'B' et CD' qui correspondent à AB et à CD. 

1** Menons A' P et E'Q parallèles à AG; A'P et AB seront 
égales comme parallèles comprises entre parallèles; E'Q sera 
égale à EF pour la même raison ; par suite, on aura A'P = E'Q, 
puisqu'on a par hypothèse AB = EF. D'ailleurs, les angles PA'B', 
QE'F', sont égaux comme correspondants, et les angles A' PB', 
E'QF', comme ayant les côlés parallèles et de même sens; donc, 
les triangles PA'B', QE'F', ayant un côté égal adjacent à deux an- 
gles égaux chacun à chacun, sont égaux, et l'on a A'B' =: E'F*. 



124 GÉOMÉTRIE PLANE. 

2° Puisque, par hypothèse, EF = AB, et GF = CD, on a, 
d'après l'alinéa qui précède, E'F'=:A'B' et F'G' = C'D'; le 
segment E'G' est donc égal à la somme de A'B et de CD'. 

La figure peut offrir deux dispositions différentes; mais la 
démonstration ne change pas. 

THÉORÈME. 

182. Toute parallèle DE à l'un des côtés BC d'un triangle 
ABC divise les deux autres cotés en parties proportionnelles 
{PS- i38, iSg, i4o). 

Fig. i38. Fig. iSg. Fig. \!\o. 






B C 

En effet, en concevant par le sommet A une parallèle à BC, 
on voit (181) qu'on a 

DA EA 



(0 

ou encore 

(3) 



DB ~" EG 

ADAE 
AB~AG' 

BACA 
BD ~ CE' 



Chacune de ces proportions se trouve ici démontrée direc- 
tement; mais il convient de remarquer qu'en vertu des règles 
de l'Arithmétique, l'une quelconque d'entre elles entraîne les 
deux autres. 

Nous avons indiqué les trois dispositions que peut présen- 
ter la figure. 

183. Réciproquement, 5/ deux points D et E, situés respec- 
tivement sur deux côtés AB et AC d'un triangle ABC, divisent 
ces côtés en parties proportionnelles, la droite DE qui unit ces 
d'^ux points est parallèle au troisième côté BC. 

Puisque chacune des proportions (i), (2), (3), entraîne les 



LIVRE III. — f^BS FIGURES SEMBLABLES. 125 

deux autres, on peut partir de Tune quelconque d'entre elles 
comme hypothèse; nous choisirons par exemple la première 

DAEA 
•^^ DB~EG' 

Cela posé, il faut distinguer plusieurs cas: 

Supposons d'abord les points D e/ E situés sur les côtés eux- 
mêmes, c'est-à-dire l'un D entre A et B, et l'autre E entre A 
et G [fig, 1 38) ; et concevons par le point D une parallèle à BC. 
Cette parallèle déterminera (181) entre A et C un point dont 

DA 

les dislances à A et C formeront un rapport égal à jr^- Or, 

entre A et C(179), il n'existe qu'un seul point dont le rapport 

DA 

des distances à A et C soit égal à ^r-^t et ce point est par hy- 

pothèse le point E. Donc la parallèle à BC, menée par le 
point D, passe par E et coïncide avec DE. Donc enfin DE est 
parallèle à BC. 

Supposons, en second lieu, les points D e/ E situés sur les 
prolongements des côtés. Si D est, par exemple, au-dessous 

DA 

de AB (fig. 139), le rapport t— sera supérieur à i ; il en sera 

EA 

donc de même de son égal =nT et, par suite, le point E sera 

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s'a- 
chèvera comme ci-dessus. 

On verrait de même que si D était au-dessus de BA (fig. i4o ), 
la proportion (i) exigerait que E fût au-dessus de CA ; puis, 
on achèverait la démonstration comme dans le premier cas. 

Cette réciproque demande une certaine attention; l'hypo- 
thèse renferme en réalité deux parties : la première consiste 
dans l'existence de la proportion (i), et l'autre est relative à la 
situation des points D et E qui doivent être placés de la même 
manière sur les côtés AB et AC. Bien que sous-entendue d'or- 
dinaire pour plus de brièveté, cette seconde partie est indis- 
pensable; car si l'un des points D était, par exemple, sur le 
côté lui-môme et l'autre E sur l'un des prolongements, la 
droite DE ne saurait être parallèle à BC, bien que la propor- 
tion (i) fût satisfaite. 



126 GÉOMÉTRIE PLANE. 

THÉORÈME. 

184. Dans tout triangle AKC {fig. i^i ] . 

i" La bissectrice AD d'un angle quelconque BAC divise le 
côté opposé BC en deux segments additifs DB et DC propor- 
tionnels aux côtés adjacents; 

1° La bissectrice AD' d'un angle extérieur BAE divise le 
côté opposé BC en deux segments soustractifs D'B, D'C, pro- 
portionnels aux côtés adjacents. 

Fig. i4i. 



En effet: 

1" En menant BE parallèle à la bissectrice AD, on a dans le 
triangle BEC (182) 

DB AE 
DC"" AC* 

D'autre part, l'angle BEA est le correspondant de l'angle DAC, 
et les angles EBA et DAB sont alternes-internes; or, AD étant 
bissectrice de l'angle BAC, les angles DAC, DAB, sont égaux; 
par suite, les angles BEA, EBA, sont aussi égaux, et le triangle 
BAE est isocèle. En remplaçant dès lors, dans la proportion 
qui précède, le côté AE par son égal AB, on a 

DB_ AB 
DC"~ AC' 

2" En menant BE' parallèle à la bissectrice AD' de l'angle 
extérieur BAE, on a dans le triangle D'AC (182) 

D'B _ AE' 
D'C ~ AC ' 

D'autre part, l'angle BE'A est le correspondant de l'angle D'AE, 
et les angles E'BA et D'AB sont alternes-internes; or, AD' 
étant bissectrice de l'angle BAE, les angles D'AE, D'AB, sont 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 127 

égaux; par suite, les angles BE'A, E'BA, sont aussi égaux, 
et le triangle BAE' est isocèle. En remplaçant dès lors, dans 
la proportion qui précède, le côté AE' par son égal AB, on a 



F 



D^BAB 
D'C"~AG 



185. Réciproquement, si une droite, issue du sommet d^ un angle 
d'un triangle y divise le côté opposé en parties proportionnelles 
aux côtés adjacents, cette droite est la bissectrice de l'angle 
considéré ou de l'angle supplémentaire, suivant qu'elle ren- 
contre le côté opposé lai-méme ou l'un de ses prolonge- 
ments. 

En effet, entre B et C il n'existe qu'un point D qui divise BC 
dans le rapport de AB à AC (179); le théorème direct exige 
donc que ce point appartienne à la bissectrice de l'angle BAC 

De même, sur les prolongements de BC, il n'existe qu'un 
point D' qui divise BC en deux segments souslractifs propor- 
tionnels à AB et AC (179); dès lors, le théorème direct 
exige que ce point appartienne à la bissectrice de l'angle exté- 
rieur BAE {fig. i4i). 

Corollaire. 

186. Les deux points D ei D' satisfont à la proportion 

DBITB 
DC"~1)'C^ 

ils sont donc (180) conjugués harmoniques par rapport à la 
droite BC. Ainsi, les deux côtés d'un angle, la bissectrice de 
cet angle et celle de son supplément, déterminant quatre 
points sur une sécante quelconque, les deux derniers sont 
conjugués par rapport aux deux autres. 

THÉORÈME. 

187. Le lieu géométrique des points dont les distances à 
deux points fixes sont dans un rapport donné est une circon- 
férence {fig. 142). 



128 GÉOMÉTRIE PLANK. 

Soient B et C les deux points fixes, — ie rapport donné et Al 
un point quelconque du lieu, c'est-à-dire un point tel qu'on ait 

MB m 

Il existe d'abord, sur la droite indéfinie BC, deux points da 

Fig. 142. 




lieu, c'est-à-dire (179) deux points D et D' qui satisfont aux 

relations 

DBm D Bm 

ÏÏC~ n' WC~ n' 
on déduit de là 

I)B_MB D^BMB 

DC"~]V1G 1)'C~MG' 

Ces proportions prouvent (185), la première que MD est la 
bissectrice de l'angle BMC, et la seconde que MD' est la bis- 
sectrice de l'angle adjacent supplémentaire. Or, les bissec- 
trices de deux angles adjacents et supplémentaires sont rec- 
tangulaires. Donc, le point variable M est le sommet d'un 
angle droit DMD' dont les deux côtés passent constamment 
par deux points fixes D et D'; tout point M du lieu est donc 
situé sur la circonférence décrite sur DD' comme diamètre. 

Réciproquement, tout point M de cette circonférence DD' 
appartient au lieu. 

En effet, B' étant le symétrique de B par rapport à la droite 
DM, désignons provisoirement par P le point où CB' rencontre 
DM; DP sera la bissectrice de l'angle BPC, et l'on aura 

PBDBm 
PC~DG~'n* 



L 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. '29 

Donc, le point P appartient au lieu ; mais, comme tel, il est 
sur la circonférence DD' et, par suite, il coïncide avec M qui 
est le seul point, autre que D, commun à DM et à la circon- 
férence DD^ Donc, M appartient au lieu. 

188. Lorsque le rapport donné est égal à l'unité, D devient 
le milieu de BC et D' passe à l'infini (179); le cercle devient 
la perpendiculaire élevée sur le milieu de BG (49). 



§ IL — LIGNES PROPORTIONNELLES DANS LE CERCLE. 
DÉFINITIONS. 



189. On dit que deux droites, tracées entre les côtés d'un 
angle ou de son opposé par le sommet, sont anti-pnrallèU.'i, 
lorsque la première fait avec Tun des côtés de l'angle donné un 
angle égal à celui que la seconde droite fait avec l'autre côté. 

Ainsi, les deux droites DE et BG [fig- i43) sont anti-paral- 
Icles par rapport à l'angle BAG, si l'angle ADE est égal à l'angle 

Fig. i/,3. 





ACB. Alors Tangle AED, que la première droite forme avec le 
second côté AG, est égal à l'angle ABG que la seconde droite 
fait avec le premier côté AB (76). 

THÉORÈME. 

190. Lorsque les deux côtés d'un angle sont coupés par 
deux droites anti-parallèles^ le produit des distances du som- 
met aux deux points où chacun des côtés est rencontré par 
les deux transversales est constant [fg. i43). 

Ainsi, BAG étant l'angle proposé et les deux droites BG et 
DE étant anti-parallèles, on a la relation 

AB.AD = AG.AE. 

R. et DE C. — Tr. de Gconu ( I" Partie). 9 



l3o GÉOMÉTHIE PLANE. 

En effci, prenons AD' = AD ei AE'= AE, el menons D'E'. 
L'égalité des triangles ADE, AD'E', qui ont un angle commun 
compris cnirc deux côlés égaux, entraîne celle des angles 
ADE, A'D'I'y. D'ailleurs, les angles ADE, ACB, sont égaux par 
hypothèse (189); donc les angles correspondants AD'E', ACB 
sont égaux, el les droites BC, D'E' sont parallèles (65); on a 
donc (182) la proportion 

AB _ AC 
AE ~AD'' 

qui, lorsqu'on remplace les quantités AE' et AD' par les quan- 
tités égales AE el AD, devient 

^:r=:^ OU AB.AD = AC.AE. 
AE AD 

191 . Réciproquement, si deux droites DE et BC, tracées entre 
les côtés d'un angle BAC, sont tel/es, que le produit des dis- 
tances du. sommet aux deux points où elles coupent chacun 
des côtés soit constant, c'est-à-dire sont telles, qu'ont ail 

AB AT 
(i) AB.AD = AC.AE ou t^^tt^^ 

^ ' AE AD 

ces droites sont anti-parallèles par rapport à cet angle. 

En effet, concevons {fig i43) la droite qui, menée par le 
point E, serait anti-parallèle à BC par rapport à Tangle BAC; 
celle droite coupe le côté AB en un point (190) dont la dis- 
lance au sommet A sera une quatrième proportionnelle à AB, 
AE, AC. Or, la distance AD est précisément, en vertu de l'é- 
galité (i), cette quatrième proportionnelle; donc la droite DE 
est anti-parallèle à BC. 

Corollaire. 

192. Si les deux points D et B se confondaient {fig. i44), 

on aurait AB =zAC.AE. 

Donc, lorsque deux droites anti-parallèles par rapport à 
un angle se coupent sur Vun des côtés de cet angle, la distance 
du sommet à ce point est moyenne proportionnelle entre les 
distances du sommet aux points où le second câté de Cangle 
coupe les deux droites anti-parallclcs. 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



iS. 



I 



Récipiioqukment, si par un point By pris sur l'un des côtés 
d'un angle BAC, on mène dans l'intérieur de l'angle deux 

droites BCy BE, telles, queAB = AC.AE, ces deux droites sont 
anti-parallèles par rapport à cet angle. 

THÉORÈME. 

193. Si, d'un point pris dans le plan d'un cercle, on mène 
dés sécantes à ce cercle, le produit des distances de ce point aux 
deux points d'intersection de chaque sécante avec la circonfé- 
rence est constant, quelle que soit la direction de la sécante. 



Fig. i'|5. 



Fig. i/jô. 



Fig. 147. 






Ainsi, soient EA, ED, deux sécantes issues du point fixe E; 
il s'agit de démontrer qu'on a 



(0 



EA.EBr=EC.ED. 



La figure peut se présenter de deux manières, suivant que 
le point E est intérieur {fig. i45) ou extérieur au cercle 
[fig. 1 46 ) ; mais la démonstration est la môme dans les deux cas. 

Menons les cordes AC et BD; les angles ACD, ABD, étant 
inscrits dans le même segment, sont égaux, et par suite les 
cordes AC, BD, sont anti-parallèles par rapport à l'angle AED. 
On a donc (190) la relation (i) 

Le produit constant EA.EB a reçu le nom de puissance du 
point E par rapport au cercle considéré. 

19i. Réciproquement, lorsque deux droites AB et CD, pro~ 
longées, s'i le faut, concourent en un point ^ tel qu'on ait 
la relation 

EA.EB = EC.ED, 



I 



l32 GÉ0MÉT11II-: l'LANE. 

les extrémités A, B, C, 1), sont situées sur une même circonfé- 
rence. 

En elFel, d'après le n° 191, la relation donnée prouve que 
les deux droites AC et BD sont anti-parallèles par rapport à 
l'angle AED; par suite, les angles ACD, DBA, sont égaux, et si 
sur la droite AD on décrit un segment capable de l'angle ACD, 
la circonférence qui passe par les trois points A, C, D, renferme 
le point B. 

Corollaire. 

195. Reprenons le cas où le point E est extérieur {Jig. i46), 
et supposons que la sécante EDC tourne autour du point E 
jusqu'à ce qu'elle coïncide avec la tangente EF; la sécante 
entière EC et sa partie extérieure ED deviendront l'une et 
l'autre égales à la longueur EF de la tangente, et la relation 

EA.EB = EC ED, 

prise à la limite, sera la suivante 

ea.eb=êf' 

Donc, si, par un point extérieur à un cercle, on mène à ce 
cercle une sécante et une tangente, la tangente est moyenne 
proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. 

On peut d'ailleurs appliquer directement à ce cas particu- 
lier la démonstration du cas général : les angles EBF, AFE 
[Jig. 14?)» ï'un inscrit, l'autre formé par une tangente et une 
corde, ont l'un et l'autre pour mesure la moitié de l'arc AF; 
l'égalité de ces angles prouve l'anii-parallélisme des droites AF 
et BF par rapporl à l'angle E, et par suite (19*2) entraîne la 
relation 

Ëf'=::EA.EB. 

196' Réciproquement, si trois points A, B, F, situés, les deux 
premiers K et ^ sur un côté de l'angle E, et le troisième F sut 
l'autre côté, sont tels, qu'on ait la relation 

êf' = ea.eb, 




LIVRE III. 



Li;S FIGURES SEM3LADLES, 



l33 



la circonférence qui passe par ces trois points est tangente 
en F au côté EF. 

En effet, d'après le n° 192, la relation donnée prouve l'anti- 
parallélisme des droites AF et BF par rapport à l'angle E; les 
angles AFE, EBF, sont donc égaux; par suite, si l'on décrit 
une circonférence passant par A et F et tangente en F à la 
droite EF, cette circonférence, d'après la construction connue 
du segment capable (162), passera par le point B. 



§ III. — SIMILITUDE DES POLYGONES. 



DEFINITIONS. 



197. Deux polygones d'un même nombre de côtés sont dits 
semblables lorsqu'ils ont les angles égaux et les côtés homo- 
logues proportionnels. 

On entend par côtés homologues ceux qui sont adjacents à 
des angles respectivement égaux, et l'on donne à ces angles 
eux-mêmes le nom d'angles homologues; enfin, on appelle 
rapport de similitude des deux polygones le rapport de deux 
côtés homologues quelconques. 




Fij. i/,8. 




Ainsi les deux pentagones ABCDE, A'B'C'D'E' [Jig. i48), 
sont semblables, s'ils satisfont aux relations 



Ar=A', B=:B', C=:C', D = D', 



E% 



AB 



BC 



CD 



DE 



A'B' B'C CD' DE' 



EA 
E'A' 



I 



i3/ 



GÉO.nÉlRIE PLANE. 



Dans les triangles semblables, tels que ABC, A'B' C [Jig. 149), 
les côtés liomologues sont opposés aux angles égaux. 




LEMME. 
198. En coupant un triarigle ABC par une parallèle DE à 
l'un des côtés BC, on détermine un nouveau triangle ADE 
semblable au premier (fig, i5o, i5i, \5i). 



Fig. i5o. 



Fig. i5i. 




.\7 




En effet : 

D'abord les deux triangles ADE, ABC {Jig. i5o), ont leurs 
angles respectivement égaux; car l'angle A est commun et les 
angles ADE, ABC, sont correspondants, ainsi que les angles 
AED, ACB. 

En second lieu, les côtés homologues sont proportionnels; 
car, DE étant parallèle à BC, on a (182) 

AD_ AE 
^'^ ÂÏÏ-AC' 

puis, en menant EF parallèle'à AB, on a encore 

AE_ BF. 
AC ~'BC' 

ou, comme les parallèles DE, BF, comprises entre parallèles, 
sont égales, 

AE DE 
<^^ AC==BC' 



LIVRE IH. — LES FIGURES SEMBLABLES. l35 

la réunion des proportions (i) et (2), qui ont un rapport com- 
mun, donne la suite de rapports égaux 

ADAEDE 
AB "~ AC ""BC* 

SCOLIE. 

199. La proposition énoncée subsiste lorsque la parallèle DE 
est située au-dessous de BC [fig. i5i), ou au-dessus de A 
[Jig. i5i). La dénionsiraiion est absolument la même dans le 
cas de lay?'^. i5i; et, dans le cas de lay?^. 162, toute la diffé- 
rence consiste en ce que les angles ADE, ABC, ainsi que les 
angles AED, ACB, sont alternes-internes au lieu d'être corres- 
pondants. 

THÉORÈME. 

200. Deux triangles ABC, A'B'C, sont semblables : 

i" Lorsqu'ils ont deux angles égaux chacun à chacun ; 
2** Lorsqu'ils ont un angle égal compris entre deux côtés 
p rop o rt io nnels; 

3° Lorsqu'ils ont les côtés proportionnels, 
i" Supposons qu'on a\i{Jig. i53) 

A = A', B = B'. 

Prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur 
AD égale à A' B', et menons DE parallèle à BC. Le triangle ADE 

Fig. i53. 



est semblable à ABC (108), et il suffit de démontrer l'égalité 
des triangles ADE, A'B'C 

Or, les angles A et A' sont égaux par hypothèse; l'angle ADE 
est correspondant de l'angle ABC, qui, par hypothèse, est égal 
à B'; enfin, le côté AD est égal à A'B' par construction. Donc 



l36 GÉOMÉTRIE PLANE. 

les deux triangles ADE, A'B'C, sont égaux, comme ayant un 
côté égal adjacent à deux angles égaux. 
2° Supposons qu'on ait 

.) A:^A', ^« ^^ 



A'B'~"A'C''' 

prenons sur le côté AB homologue de A'B' une longueur AI) 
égale à A'B', et menons DE parallèle à BG. Le triangle ADE 
est semblable au triangle ABC ( 198), et il suffit de démontrer 
l'égalité des triangles ADE, A'B'C. 

Or, la similitude des triangles ABC, ADE, donne la propor- 
tion 

, . AB AC 

^^^ ÂD-Âl' 

qui a les mêmes numérateurs que la proportion (i); les déno- 
minateurs AD et A'B' des deux premiers rapports étant en 
outre égaux par construction, il faut que AE = A'C'; les deux 
triangles ADE, A'B'C, sont donc égaux comme ayant un angle 
égal compris entre deux côtés égaux. 
3° Supposons qu'on ait 



(0 



AB BC CA 



AB' WC C'A 



1 1 



prenons sur le côté AB une longueur AD égale à A' B', et menons 
DE parallèle à BC. Le triangle ADE est semblable à ABC (198 ), 
et il suffit de démontrer l'égalité des triangles ADE, A'B'C. 

Or, la similitude des triangles ADE, ABC, donne la série de 
rapports égaux 

AB _ BC _ CA 
^^^ AD-DE-ËÂ' 

qui présente les mômes numérateurs que la série (i). Par 
suite, les dénominateurs AD, A'B', des deux premiers rap- 
ports étant égaux par construction, il faut qu'on ait aussj 

DE = B'C', EA = C'A'; j 

les deux triangles ADE, A'B'C, sont donc égaux comme ayant 
les trois côtés égaux chacun à chacun. 



I 



livre iii. — les figures semblables. l37 

Corollaires. 

201. Deux triangles sont semblables, lorsqu'ils ont leurs 
cotés respectivement parallèles ou respectivement perpendi- 
culaires; car, dans l'un et l'autre cas, ces triangles ont leurs 
angles égaux chacun à chacun (77). 

202. Deux triangles rectangles sont semblables, lorsqu'ils 
ont un angle aigu égal. 

Scolies. 

203. Il résulte du n° 200 que, dans les triangles, l'égalité 
des angles entraîne la proportionnalité des côtés, et récipro- 
quement. Cette propriété fondameniale, dont la découverte 
est attribuée à Thaïes (63g-548 av. J.-C), ne subsiste pas pour 
des polygones quelconques. Par exemple, un carré et un rec- 
tangle ont leurs angles égaux, et cependant leurs côtés homo- 
loguvjs ne sont pas proportionnels. De même, un carré et un 
losange ont leurs côtés proportionnels, et cependant leurs 
angles ne sont pas égaux. 

204. Le tableau suivant, dans lequel nous avons réuni les 
cas d'égalité et les cas de similitude de deux triangles, en les 
faisant correspondre un à un, permet de comparer les deux 
théories. 

Deux triangles sont : 

égaux, I semblables, 

lorsqu'ils ont : 



' Deux angles égaux comprenant 
un côté égal ; 

' Un angle égal compris entre deux 
côtés égaux ; 
' Les trois côtés égaux. 



1° Deux angles égaux; 



2° Un angle égal compris entre deux 

côtés proportionnels ; 
3° Les trois côtés proportionnels. 



I 

^B On voit que chaque cas de similitude ne renferme que deux 
^m conditions, tandis que l'égalité en exige toujours trois. 



205. Il importe en outre de remarquer le mode uniforme 
de démonstration que nous avons adopté au n*» 200. Le pro- 
cédé consiste à prendre, sur un côté du premier iriang'ie, a 



,38 GÉOMÉTRIE PLANE. 

parlir du sommet, une longueur égale au côlé homologue du 
second; puis à mener, par le point ainsi déterminé, une pa- 
rallèle à l'un des deux autres côtés du premier triangle. On 
construit ainsi un triangle auxiliaire qui, d'après le lemme du 
n° 198, est semblable au premier; et les conditions renfermées 
dans l'hypothèse permettent ensuite de démontrer aisément 
que ce triangle auxiliaire est égal au second triangle, en vertu 
du cas d'égalité qui correspond au cas de similitude que l'on 
étudie. 

206. Enfin, il reste à montrer l'usage de cette théorie, c'est- 
à-dire à indiquer de quelle manière les cas de similitude 
interviennent dans la démonstration des théorèmes. Deux 
triangles semblables satisfont à cinq conditions, et chaque cas 
de similitude comprend deux de ces conditions groupées de 
telle sorte que, lorsqu'elles sont satisfaites, les cinq soient 
remplies. Par suite, quand, dans une certaine figure, on aura 
reconnu la similitude de deux triangles par l'application de 
l'un des trois cas, on devra en conclure immédiatement que 
les trois autres conditions sont remplies, et l'on aura acquis 
de celte manière de nouvelles données qui permettront d'aller 
plus loin. 

207. Cherchons, par exemple, dans quel rapport se coupent 
deux médianes d'un triangle ABC, c'est-à-dire les droites AD 
et BE qui joignent deux sommets aux milieux des côtés res- 
pectivement opposés {fig. i54). 

Fig. i54. 




Soit G le point commun aux deux médianes AD, BE; la 
droite DE est parallèle à AB (183); par suite, les triangles DEC, 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



\BC, sont semblables, ainsi que les triangles GED, AGB. 
D'ailleurs, E étant le milieu de AC, le rapport de similitude des 
deux premiers triangles est 4; donc ED est égale à la moitié 
de AB, et le rapport de similitude des seconds triangles est 
aussi y. On a donc 



DG = {AG, GE = iBG 



ou bien 



DG 



AD, GE = iBE. 



Ainsi, deux médianes quelconques se coupent en un point 
situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté qu'elle divise 
en deux parties égales. 

Donc les trois médianes d'un triangle concourent en un 
m âme point, 

THÉORÈME. 

208. Deux polygones, composés d'un même nombre de 
triangles semblables chacun à chacun et semblahlement dis- 
posés, sont semblables (fiç^. i55). 



Kiff. i55. 




Soient ABF, FBE, EBC, CED, et A'B'F', F'B'E', E'B'C, 
C'E'D', deux séries de triangles respectivement semblables et 
semblablement disposés; le polygone ABCDEF, formé par les 
premiers triangles, est semblable au poiygone A'B'C'D'E'F' 
que forment les seconds. 

En effet : 

1° Les angles des deux polygones sont égaux, soit comme 



l4o GÉOMÉTRIE PLANE. 

9ngles homologues de deux triangles semblables, soil comme 
sommes d'angles homologues de plusieurs triangles sembla- 
bles. Ainsi, les angles A et A' sont égaux comme angles ho- 
mologues des deux triangles semblables BAF, B'A'F', tandis 
que l'angle B est égal à l'angle B' comme étant la somme des 
trois angles ABF, FBE, EBC.. respectivement égaux aux trois 
angles A'B'F', F'B'F, E'B'C, qui composent l'angle B'. 

2° Les côtés homologues sont proportionnels, car on a suc- 
cessivement : 

A cause des triangles semblables ABF, A'B'F', 

A^B^A F _B'Y' 
AB "~ AF ~ BF *' 

A cause des triangles semblables BFE, B'F'E', 

B'Y' F'E' E'W 
BF ~ FE ~ EB ' 

A cause des triangles semblables EBC, E'B'C, 

E^B^ _ B'C _C'¥.\ 
~W ~~ lÏÏT ~ CE ' 

A cause des triangles semblables CED, C'E'D', 

CE' _eF ivF, 

d'où, en supprimant les rapports communs, 

A'B' _ A^ _ FE^ _ BM7 _ OB^ _ IVF 
"ÂB" " HT "~ FE ~ BC ~~ CD "~ DE * 

209. Réciproquement, deux polygones semblables peuvent 
être décomposés en un même nombre de triangles semblables 
et semblablement disposés {fig. i56). 

Soient ABCDE, A'B'C'D'E', deux polygones semblables. 
Prenons à l'intérieur du premier un point quelconque 0, et 
joignons ce point aux extrémités du côté AB; puis, sur le 
côté A'B' homologue de AB, et dans l'intérieur du poly- 
gone A'B'C'D'E', construisons les angles B'A'O', A'B'O', res- 



LIVRE m. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



^4: 



peciivemenl égaux aux angles BAO, ABO. Le point 0' sera le 
sommet d'un triangle O'A'B' semblable au triangle OAB (200), 





et situé, par rapport au second polygone A'B'C'D'E', de la 
même manière que le triangle OAB par rapport au polygone 
ABCDE. 

Cela posé, joignons le point à tous les sommets du premier 
polygone, et le point 0' à tous les sommets du second ; les deux 
polygones seront ainsi décomposés en un même nombre de 
triangles semblablement disposés, dont il s'agit de démontrer 
la similitude respective. 

Or, les deux premiers triangles OAB, O'A'B', semblables 
par construction, donnent 

OB ~" AB ' 

la similitude des polygones proposés donne à son tour 
A'B' B'C 



on a donc 



AB BC ' 
O'B' B'C 



OB 



BC 



D'ailleurs, l'angle O'B'C, différence des angles A'B'C, A'B'O', 
qui sont respectivement égaux aux angles ABC, ABO, est égal 
à l'angle OBC, différence de ces deux derniers. Donc les trian- 
gles OBC, O'B'C, sont semblables comme ayant un angle égal 
compris entre côtés proportionnels. 

De la similitude des triangles O'B'C, OBC, on déduirait de 
même celle des triangles suivants O'C'D'.OCD; eiainsi de suite. 



1^2 GÉOMÉTRIE PLANE. 

SCOLIES. 

210. Deux points et 0', situés dans le plan de deux poly- 
gones semblables, sont dits homologues, lorsqu'en joignant 
l'un d'eux aux exlréniiiés d'un côté AB et l'autre 0' aux 
extrémités du côté homologue A'B', on obtient deux trian- 
gles OAB, O'A'B', semblables et semblablement disposés par 
rapport aux deux polygones. 

Il résulte de la démonstration précédente que deux points 
homologues quelconques peuvent être pris pour centres de 
décomposition de deux polygones semblables en triangles 
semblables et semblablement disposés. 

Si le point était extérieur au polygone ABCDE, son ho- 
mologue 0' serait aussi extérieur au polygone A'B'C'D'E'; il 
faudrait alors considérer les deux polygones comme composes 
de triangles additifs et de triangles souslractifs. 

Si le point coïncidait avec l'un des sommets A, son homo- 
logue 0' coïnciderait avec le. sommet A'. 



'D' 



211. Deux droites situées dans le plan de deux polygones 
semblables sont dites homologues, lorsque leurs extrémités 
sont deux à deux des points homologues; telles sont, par 
exemple, les diagonales relatives à des sommets homologues. 

Le rapport de deux droites homologues quelconques est 
égcd au rapport de similitude des deux polygones. 




Soient en effet ABCDE, A'B'C'D'E' [fig.i^i), deux poly- 
gones semblables, et FH, F'H', deux droites homologues 
quelconques. La similitude (i210) des triangles FAB, F'A'B', 
prouve l'égalité des angles ABF, A'B'F', et celle des rapports 

F'B' A'B' 

-— — , — — . De même, la similitude des triangles HAB, H' A' B', 
rB Ali 



LIVIIE III. 



LES FIGURES SEMBLABLÎ'S. 



143 



entraîne l'égalilé des angles HBA, H'B'A', ei celle des rap- 
H'B' A'B' 



P""^^^ HB-' AB 




On a par suite 
F'B' 



FB 



HB ' 



angieFBH ou HBA-FBA = anglerB'H' ou H'B'A'-F'B'A' 

Donc, Ips triangles FBH, F'B'Il', sont semblables (200), et le 

FH , , , , , , FB' k'W 

rapport ^^7-^7 est égal a chacun des rapports égaux -pr^-» "TïT' 

c'est-à-dire au rapport de similitude des deux polygones con- 
sidérés. 

THÉORÈME. 

212, L( rapport des périmètres de deux po If go nés sem- 
blables est égal à leur rapport de similitude. 

En effet, ABCDE, A'B'G'D'E' {fi g. 15';), étant deux poly- 
gones semblables, les rapports 



AB 



BC 



A'B'' BC 



CD 
CD' 



DE 



EA 



\yE EA 



7? 



I 



sont tous égaux par définition (197) au rapport de similitude; 

donc, en vertu d'une propriété connue, la somme de leurs 

numérateurs et celle de leurs dénominateurs, c'est-à-dire les 

périmètres des polygones ABCDE, A'B'G'D'E', forment un 

rapport égal à chacun des précédents, c'est-à-dire au rapport 

de similitude. 

THÉORÈME. 

213. Deux parallèles quelconques sont coupées en parties 
proportionnelles par une série de sécantes issues d'un même 
point. 

Soient AD, A'D', deux parallèles, et une série de sécantes 
OAA', OBB', OCC, ODD', issues d'un point placé, soit entre 
les deux parallèles, soit extérieurement [fig. i58); on a la 
suite de rapports égaux 

A'B' B'C CD' 

(0 



A/B^ 
AB 



BG 



CD 



£44 GÉOMÉTRIE PLA^E. 

En effet, les triangles semblables OAB, OA'B'(198), donnent 

j, AB "~ OB * 

De même, par les triangles semblables OBC, OB'C, on a 



ob; 

OB 



BC 



OC 



Enfin, les triangles semblables OCD, OC'D', donnent à leur 
tour 

OC^ Cî)' 

OC "" CD * 

En supprimant les rapports communs, on a la série de rapports 
égaux (i) qu'il fallait démontrer. 

2H. On voit, par la démonstration même, que celte série 
de rapports est encore égale à la suite 



OA/ 
OA 



OB^ __ OC 
OB "" OC 



OD' 
OD 



En d'autres termes, le rapport de deux parties correspon- 
dantes quelconques des deux parallèles est le même que celui 
des distances du point aux deux points où l'une quelconque 
des sécantes rencontre les deux parallèles. 

Fig. i58. 




215. Béciproquement, lorsque plusieurs sécantes A A', BB', 
ce, DI)', coupent deux parallèles en parties proportionnelles ^ 
ces sécantes concourent en un même point (Jig. i58). 

Appelons -r le rapport de deux parties correspondantes (juel- 



UVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. l45 

conques des deux parallèles, de sorte qu'on ait 

AB "~ AC ~ BC b 

x"" Si les deux séries de points A, B, C, D, et A', B', C, D', 
présentent une disposition inverse l'une de l'autre [fig. i58), 
deux sécantes quelconques AA' etCC se coupent en un point 
intérieur aux deux parallèles; de plus, les triangles semblables 
OAC, A' C, donnent 

QA^ _ k!ÇJ _ a 
OA ~" AC ■" b 

Ainsi, l'une quelconque CC des sécantes coupe la première 
d'entre elles AA', en un point situé entre A et A' et tel que 

OA/ _« 
OA ~~ b 

Toutes les sécantes concourent donc en ce point (179). 

2° Si les deux séries de points A, B, C, D et A', B', C, D', 
sont disposées de la même manière [fig,. i58), on verra de 
même qu'une sécante quelconque CC coupe la première AA'* 
en un point situé hors de AA' et tel que 

OA/ _a 
OA " />* 

Toutes les sécantes concourent donc aussi en ce point ( 179 ). 
21C. Lorsque le rapport -j est égal à l'unité, les parties cor- 
respondantes des deux parallèles sont égales entre elles, et les 
sécantes sont toutes parallèles. Le théorème énoncé subsiste 
donc, à la condition de regarder deux parallèles comme deux 
droites qui concourent à l'infini. 

THÉORÈME. 

217. Le lieu des points dont les distances à deux droites 
fixes ont un rapport donné est un système de deux droites 
passant par le point de concours des deux premières (fig. iSg) 

En efl'et, soient OU et OV les deux droites, et M un point 

R. et DE c. — Tr. de Gcom. (!'• Partie). 10 



l46 GÉOMÉTRIE PLANE. 

quelconque pris dans l'inlérieur de l'angle VOU ou de son 
opposé par le suinuielj 



Q 

M' K 












U' r P' ^-r7n\ I P ^ 



n' 
Menons par M les perpendiculaires MP et MQ sur OU et OV 
el les parallèles MK et MI aux mêmes droites. Quand le point 
M se déplace d'une manière quelconque dans Tangle UOV, 
le triangle MPI reste semblable à lui-même, puisque ses côtés 

MI 

conservent leurs directions; le rapport ^rn l'este donc con- 

, . . MK ,3 1 

stant; il en est de même du rapport :r|y-- et, par suite, de leur 

. ^. MI MQ , ,. . . ,, , , MQ 

quotient TrfrFîrr^- I-e lieu des points M pour lesquels ^^ 

reste constant est donc le même que celui des points pour 

MI MI 
lesquels ^r^^r ou ^ est invariable; mais alors, le triangle MOI 

restant semblable à lui-même, puisqu'il a un angle constant 
OIM compris entre deux côtés dont le rapport est fixe, l'an- 
gle MOI de ce triangle reste constant; donc le lieu du point 
M est une droite OL passant par 0. 

De même, dans l'angle VOU' et dans son opposé par le 
sommet, le lieu est une droite OL' passant par 0. 

SCOLIES. 

218. Lorsque le rapport donné est égal à l'unité, le lieu est 
l'ensemble des bissectrices des angles VOU, VOU' (53). 

219. Au lieu de mesurer les distances du point M à OU et OV 
perpendiculairement à ces droites, on pourrait les estimer 
suivant des directions déterminées quelconques, la démons- 
tration el, par suite, le théorème subsisteraient. 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



i47 



220. Enfin, si les deux droites données U et V étaient pa- 

MP 

rallèles (Jig. 1^9' ), le rapport constant ^r^^ étant égal à 

PQihMQ PQ_^ , ^. 

— AU^ M^ ' distance MQ serait constante, et le 

lieu se composerait de deux droites parallèles aux proposées. 

§ IV. — RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES DIFFÉRENTES PARTIES 
D'UN TRIANGLE. 

DÉFINITIONS. 

221. On ^\)^e[\ei projection d'un point A sur une droite in- 
définie XY le pied a de la perpendiculaire abaissée de ce point 
sur cette droite (Jig. 160). 

Si l'on considère une droite limitée AB, la projection de cette 
droite sur XY est l'intervalle ah qui sépare les projections de 
ses extrémités A et B. 

Fig. iCo. 



THÉORÈME. 
222. Si du sommet A de l'angle droit d'un triangle rectan- 
gle ABC on abaisse la perpendiculaire AD sur l'hypoténuse, 
i" chaque côté de l'angle droit est moyenne proportionnelle 
entre V hypoténuse et sa projection sur l'hypoténuse; 1° la 
perpendiculaire AD est moyenne proportionnelle entre les 
deux segments BD et CD de l'hypoténuse [Jig. 161). 

Fig. 161. 




En effet : 

1° Les droites AC et AD sont antiparallèles par rapport à 
J'an^le B (189), puisqu'elles font un angle droit, l'une avec le 



l45 GÉOMÉTRIE PLANE. 

côté BA, l'autre avec le côlé BC. On^a donc (192). 

bâ'=bc.bd, 

et l'on dêmonlrerait de même la relation CA =BC.CD. 

1° Les droites AC et AD étant antiparallèles par rapport à 
l'angle B, les angles BAD et C sont égaux (189); par suite, si 
l'on amène le triangle ADB en ADB' en le faisant tourner au- 
tour de AD, l'angle B'AD sera égal à l'angle C, et les deux 
droites AB'et AC seront antiparallèles par rapport à l'angle ADC. 
On aura donc 

Âd' = B'D.CD ou âd' = bd.cd. 

Corollaire. 

223. En joignant un point quelconque A d'une circonfé- 
rence aux extrémités B et C d'un diamètre [Jîg, i6i), on forme 
un triangle rectangle (131). De là, une nouvelle manière 
d'énoncer la proposition précédente : 

1° Toute corde AB d'un cercle est moyenne proportionnelle 
entre le diamètre BC qui passe par l'une de ses extrémités et 
sa projection BD sur ce diamètre; 

2° La perpendiculaire AD, abaissée d'un point quelconque A 
d'une circonférence sur un diamètre BC, est moy^enne propor- 
tionnelle entre les deux segments BD et CD de ce diamètre. 

THÉORÈME. 

22^f. Les trois côtés d'un triangle rectangle étant évalués 
en nombres au moy^en d'une unité commune, le carré du 
nombre qui mesure l'hypoténuse est égal à la somme des carrés 
des nombres qui mesurent les deux côtés de l'angle droit; ou 
plus brièvement, dans tout triangle rectangle, le carré de Vliy^ 
poténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. 

En effet, en ajoutant les deux relations (222, i°) : 

âb'=bc.bd, Âg'=:BC.CD, 

on obtient 

ÂbVÂc'=BC(BD4-GD) ou ÂB V ÂG = BG". 



LIVRK III. - LES FIGURES SEMBLABLES. 



iOUOLLAIRSS. 



225. Ce théorème permet de calculer l'un des côtés d'un 
triangle rectangle quand on connaît les deux autres. 

Si Ton connaît les deux côtés 6 et c de l'angle droit, l'hypo- 
ténuse a résulte de la formule 



6'-+- c', d'où a = sjb''-^c\ 



Ainsi, soient Z> = 3, c = 4> o^i a « = ^9^-16 = sji^ = 5. 

Si l'on connaît Thypoténuse a et l'un des côtés b de l'angle 
droit, on trouve l'autre côté c par la formule 



b\ d'où c = slci'—b\ 



Ainsi, pour « = 5 et 6 = 3, on a c = \li5 — 9 = y^i6 = 4* 

Il résulte encore de la proposition précédente que le rap- 
port de la diagonale d'un carré au côté de ce carré est égal 



Fig. 162. 
D c 



à v/2. La diagonale AC est en effet l'hypoténuse d'un triangle 
rectangle et isocèle ABC (fig. 162), dans lequel on a 



ag'=abVbg'=2.ab', 



d'où 



AG 

ab' 



. AG /^ 
. et - = v^.. 



Ainsi, la diagonale et le côté d'un carré sont deux droites 
incommensurables entre elles, puisque leur rapport est un 
nombre incommensurable. G'est ce que nous avons déjà dé- 
montré par la Géométrie pure (139). 



THÉORÈME. 

226. Dans tout triangle y le carré d'un côté opposé à un 
xnisle ais;u est égal à la somme des carrés des deux autres 



I 



i5o 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



I 



côtés, moins deux fois le produit de l'un de ces côtés par la 
projection du second sur le premier. 

Fis- i63' 





Soient ABC le triangle proposé, C un angle aigu et CD la 
projection du côté AC sur CB; il s'agit de démontrer la relation 



AB 



BG -1- AC -2BC.CD. 



Deux cas peuvent se présenter, suivant que la perpendicu- 
laire AD tombe à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle ABC; 
le premier cas a lieu lorsque l'angle ABC est aigu, et le second 
lorsque cet angle est obtus (44). 

Dans le premiercas [Jig. i63), le triangle rectangle ABD donne 

(i) Âb'=Bd'-i-Âd\ 

Or, puisque le pointD est, par hypothèse, situé entre C eiB, on a 

BDrr:BC-CD, 

et, par suite, d'après un théorème connu d'Arithmétique ('), 

BD'=r BC' H- ci)'- 2BC.CD. 

En portant celle valeur de BD dans la relation (i), on trouve 

Âb'=Bg'-i- Cd'-i-Âd'- 2BC.CD; 
H,comme le triangle rectangle ACD donne 



on a finalement 



AB =iBC H-AC -^BC.CD. 



(•) Le carré de la différence de deux nombres est égal au carré du premier 
nombre, plus le carré du second, moins le double produit de ces deux nombre». 



LIVRE III. — LES FIGUKES SEMBLABLES. l5l 

Dans le second cas [fig. i63'), la démonslralîon est la 
même. 11 est vrai que, au lieu de 

BD = BC — CD, on a BD = CD — BC; 
mais comme, en vertu du théorème d'Arithmétique cité, le 
carré de BD reste le même, et que c'est ce carré seul qui 
figure dans la démonstration, on voit que tout le raisonnement 
subsiste. 

THÉORÈME. 

227. Si l'un des angles d'un triangle est obtus, le carré du, 
côté opposé à cet angle est égal à la somme des carrés des deux 
autres côtésy plus deux fois le produit de l'un de ces côtés 
par la projection du second sur le premier [Jig. i64). 

Fig. i64 




I 



Soient ABC le triangle proposé, C l'angle obtus, et CD la 
projection de AC sur BC; il s'agit de démontrer la relation 

ÂB^ = BcVÂC*-+-2BC.CD. 
Le triangle rectangle ABD donne 

(i) ab'^bdVâd'. 

Or, puisque l'angle ACB est obtus, la perpendiculaire AD tombe 
hors du triangle ( kk ), et le point D est extérieur à BC ; on a donc 

BD = BC 4- CD, 

et, par suite, en vertu d'un théorème connu d'Arithmétique ('), 

Bd' == BC V CÏ) V 2BC.CD. 

En substituant cette valeur de BD dans la relation ( i ), on trouve 
ÂB =BC'-f-CD% ÂdVîBC.CD; 



(') Le carré de la somme de de.ix nombres est égal au cane du premier) 
plus le carré du second, plus le double produit de ces deux nombres. 



l52 GÉOMÉTUIE PLANE. 

n, comme le triangle rectangle ACD doiiiie 



on a finalement 



CD'-f.AD'=Ac\ 



Ab'= BC'-t- AC'-h 2BC.CD. 



Corollaires. 

228. Il résulte des trois théorèmes précédents que, dans 
un triangle, le carré d'un côté est inférieur, égal ou supérieur 
à la somme des carrés des deux autres, suivant que l'angle 
opposé à ce côté est aigu, droit ou obtus ; donc, réciproque- 
ment (7), un angle d'un triangle est aigu, droit ou obtus, 
suivant que le carré du côté opposé à cet angle est inférieur, 
égal ou supérieur à la somme des carrés des deux autres côtés. 

Par exemple, si«rr=5, 6 = 4> ^ = 3, l'angle A est droit et 
le triangle est rectangle, puisque 25 = 1 6 H- 9. De même, si 
a=zii, bz=g, c=8, Tangle A est aigu, puisque 11' ou 121 
est moindre que 9'+ 8% c'est-à-dire que 81 4- 64 = J^5. 

229. Comme application des théorèmes qui précèdent, nous allons cal- 
culer les hauteurs d'un triangle en fonction des côtés. Nous désignerons 
par ABC le triangle considéré, et par a, b, c, les longueurs des côtés res- 
pectivement opposés aux angles A, B, C. 

Cherchons la hauteur AD = h issue du sommet A. Des deux angles B 
et C, l'un au moins est aigu; supposons que ce soit l'angle C (y%. i63'). 
On a d'abord, dans le triangle rectangle ADC (225), 

//'= ^'^-Cd', 
puis, dans le triangle ABC (226), 

c'=:«»-+- ^2— 2«.CD. 
On déduit de là 

2fl 

et la première relation devient 

h' = 0'- {^'^b'-c'y ^ 4a^b'-{a'-\-b^-c^)\ 




I 



LIVUK III. — - LES FIGURES SEMBLABLES. i53 

OU, en vertu d'un théorème d'Arithmétique ( ') 

[lab -^ g}-^ h"— c') [inb — a^— h'-:~ c^) 

^ [{a -^ Oy- c^][c'- [a - by] 

~ 4«' 

_ {n -+■ b -h c) {a -h b — c){c -+- a — b){c — a -i- b) 

- J^' ' 

Or, si l'on désigne par p le demi-périmètre du triangle ABC, c'est-à-dire 
si l'on pose 

a-h b -\- c = 2/?, 
on a 

b -h c — a = 2.p — ia = i[p — a)y 

a -ir c — b = ip — ib = i{p — b), 
a -{- b — c = ip — ic = i[p — c). 

En portant ces valeurs dans l'expression de //', simplifiant et extrayant 
la racine carrée, on obtient 

f^ = ^^P^P - ^) ^P - ^) (/^ - ^)- 

Exemple. Pour les hauteurs h, h\ h% du triangle dont les côtés sont 
i3, 9 et 6, on trouve, à i millième près, 

/i = 3,64i, /8'=5,25(j, A" = 7,886. 

THÉORÈME. "" 
230. La somme des carrés de deux côtés d'un triangle est 
égale à deux fois le carré de la médiane relative au troisième 
côté y plus deux fois le carré de la moitié, de ce troisième côté 
[fis- ■65). 

Fig. i65. 




Soient ABC le triangle proposé, AD la médiane relative au 
côté BC, et AE la perpendiculaire abaissée du point A sur BC. 



(' ) La difTérence des carrés de deux nombres est égale au produit de Li soinmfl 
de ces deux nombres par leur différence. 



54 ' GÉOMÉTRIE PLANE. 

L*angle ADB étant aigu, on a, dans le triangle ADl^, 



ab'=ad'-+-bd'- 2BD.de. 



L'angle ADC élani obtus, on a, dans le triangle ACD, 

âc'=âdVcd'4-2Cd.de. 

En ajoutant ces deux égalités et en observant que CD = B1), 
on trouve 

|l) ÂbV Âc'=r 2ÂD'-f- 2BÏ)'. 

Corollaires. 
231. Considérons un quadrilatère ABCD [fg. 166), et soient E et F los 

Fig. 166. 



milieux des deux diagonales AC et BD. En appliquant successivement le 
théorème qui précède aux triangles ABC et ADC, on a 

AB -4-Bc'='2ÂË'-4-'2BË\ 

d'où, en ajoutant et en désignant par S la somme des carrc'^s des quatre 
côtés du quadrilatère, 

S = 4ÂËV2(BË'-hDÏ;'). 
Or, dans le triangle BED, on a 

Donc, enfin, 

Ainsi, dans tout quadrilatère, la somme des carrés des quatre côtes est 



beVde =2Bf'+2EfV 



S = 4AE + 4BF*4- 4Ef'= AcV Bd'h- 4Ef'. 



égale à la somme des carrés des deux diagonales y plus quatre fois le carré 
de la droite qui unit les milieux de ces diagonales. 

Pour que le quadrilatère soit un parallélogramme, il faut et il suffit 
que les points E et F coïncident (8,'?, 8i). Donc, dans tout parallélo- 



h» 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l55 

gramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés 
des diagonales, et réciproquement, si la somme des carrés des côtés d'un 
quadrilatère est égale à la somme des carrés des deux diagonales, ce 
quadrilatère est un parallélogramme, 

232. Revenons au triangle ABC [Jlg. i65). Si, les points B et C res- 
tant fixes, le sommet A se déplace de manière que la somme des carrés 
des côtés AB et AC reste constante, la relation (i) du n" 230 montre que 
la valeur de la médiane AD restera constante. Donc, le lieu des points 
dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante 
est une circonjérence ayant pour centre le milieu de la droite qui unit les 
deux points fixes. D'ailleurs, pour trouver le rayon AD de ce cercle, il 

suffît de remplacer dans la relation (i) la somme AB h- AC par la con- 
stante donnée K'; on a ainsi successivement 



K*=2AD-4-2BD, AD= — -BD, AD=i/— - 


-bd'. 


On voit que le lieu n'existe qu'autant que la condition 




— >bd' ou K>BDv/^ 




est satisfaite. 





233. Enfin, comme dernière application du théorème précédent, nous 
calculerons les médianes d'un triangle en fonction des côtés. 
m étant la médiane relative au côté BC = «, on a, par la relation (i), 



(^ , d'où /w = iv/a(^'H-c')-«'. 



■ Exemple. Pour les médianes /w, ///, ///", du triangle dont les côtés sont 
5 i3, 9 et 6, on obtient, à i millième près, 

/w = 4jo3i, w'= 9,069, w"= 10,770. 

THÉORÈME. 
234. La différence des carrés de deux côtés d*un triangle 
est égale au double produit du troisième côté par la projection 
de la médiane correspondante sur ce même côté. 

Soit ARC le triangle proposé {fig. i65); reprenons les deux 
■ft égalités 



ab' =: ad' h- bd' — 2 bd . de, 

Âc' = Âd' -T- Cd' -f- îCD.DE, 



56 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



considérées au n" 230, et retranchons la première de la se- 
conde, en observant que BD = CD ; il viendra 

Âc' — âb'=4bd.de ou âc'— âb' = 2BC.de. 

Corollaire. 
23d. Si, les points B et C restant fixes, le sommet A se déplace de 

2 2 

façon que la différence AC — AB reste constante, la relation précédente 
prouve que la projection DE de la médiane ne change pas, c'est-à-dire 
que la projection E du sommet mobile A sur la droite BC reste fixe. Donc, 

2 2 

le lieu des points A, dont la différence AC — AB des carrés des distances 
à deux points fixes C ^/ B est constante, est une droite perpendiculaire 
à la droite BC qui unit les deux points fixes. D'ailleurs, pour avoir la 
valeur de DE, il suffit de remplacer dans la relation qui précède la dif- 

férence AC — AB par la constante donnée K' ; on a ainsi successivement 



K'= 2BC.de, DE = 



2BG 



THÉORÈME. 
236. Le produit de deux côte's d'un triangle est égal au produit des 
deux segments additifs que la bissectrice de leur angle détermine sur 
le troisième coté, augmenté du carré de cette bissectrice. 

En effet, soient [fig. 167) ABC le triangle proposé, ACEBE' le cercle 
circonscrit, et AD la bissectrice de l'angle BAC qui passe évidemment par 



Fifj. 167, 



Fig. 168. 





le milieu E de l'arc BC; les triangles ABE, ADC, ont deux angles égaux 
chacun à chacun, savoir : l'angle BAE égal à l'angle DAC, puisque la 
droite AE est, par hypothèse, bissectrice de Tangle BAC, et les angles 
BEA, DCA, égaux entre eux comme inscrits dans le môme segment BECA. 



LIVRE III. " LAS FIGURES SEMBLABLES. l5y 

Ces triangles sont donc semblables, et l'on a 

AD "■ AG 
ou (193) 

AB. AC = AE.AD = (AD h- DE) AD = lô'-h DA .DE = ÀdV DB.DC. 

237. En considérant la bissectrice AD' de l'angle extérieur CAF', qui 
passe évidemment par le milieu E' de l'arc BAC, on déduirait de !a simi- 
litude des triangles ACD', ABE', la relation 

AB.AC=AE'.AD', 

qu'on transformerait ensuite dans la suivante : 

AB.AC = D'B.D'C-ÂF'\ 

Donc, le produit de deux côtés d'un triangle est égal au produit des 
deux segments soustractifs que la bissectrice de leur angle extérieur dé- 
termine sur le troisième côté, diminué du carré de cette bissectrice. 

238. Ces théorèmes permettent de calculer les longueurs des bissec- 
trices en fonction des côtés du triangle. 

S'agit-il, par exemple, de la bissectrice AD = a, il suffit de remplacer 
dans la relation 

^c = a^H-DB.DC, 

les segments DB et DC par leurs valeurs que l'on déduit (I8i) des équa- 
tions 

DB DG^ DBh-DC _a 

c ~ b ~' b -^ c ~ b -h c 

On trouve ainsi, réductions faites, et en désignant par p ledemi-périmètro 
du triangle, 

2 



a = 



Sfbcpïp 



Un calcul analogue donnerait pour la bissectrice AD' ~ a' de l'angle 
extérieur 

a'= — ^ ^bc{p-b){p-c). 

Exemple. Pour les bissectrices intérieures a, p, 7, et pour les bissec- 
^ trices extérieures a', p', 7'» du triangle dont les côtés sont i3, 6 et 9, on 
^B obtient à i millième près 

B «= 3,833, p = 7,778, 7=10,407, 

H a'= 3o,983, ^'=7,137, 7'= 12,093. 

1 



l58 GÉOMÉTRIE rUKE. 

SCOLIE. 

239. Voici une autre expression souvent utile du produit de deux côtés 
d'un triangle. 

Le produit de deux côtés AB, AC, d'un triangle est égal au produit 
du diamètre AD du cercle circonscrit par la liauteur AE relative au troi' 
siènte côté {fig. i68). 
La relation à démontrer 

ABAE 
AD~ AC 



AB.AC = AD.AE ou 



résulte immédiatement de la similitude des deux triangles rectungles ABD, 
AEC, dont les angles aigus D et C sont égaux comme inscrits dans le même 
segment. 

Ge théorème permet de calculer, en fonction des côtés du triangle, le 
rayon Rdu cercle circonscrit; il suffit pour cela de remplacer, dans Té- 

galité 

hc = 2R.AE, 

la hauteur AE par sa valeur donnée au n° 229 ; on trouve alors 

ahc 



R = 



Pour a —\Z^b 



^\lp[p-a)[p-b){p-c\ 
9, c - 6, on a R = 7,416. 
THÉORÈME. 



24^0. Dans tout quadrilatère inscriptible convexe, le produit 
des diagonales est égal à la somme des produits des côtés op- 
posés, et réciproquement . 

En effet, considérons un quadrilatère convexe quelconque 
ABCD [Jig. 169), et désignons respectivement par a, b, c, d, 

Fig. 169. 





X, jles côtés AB, BC, CD, DA et les diagonales AC, BD; enfin, 
sur AB considéré comme homologue de AD, construisons, 
extérieurement au quadrilatère, un triangle ABO semblable à 



LIVRE III. — LES FÏGUIÎES SEMBLABLES. ibg 

ADC. Nous aurons d'abord 

M AO _ AB _ OB 

d'où 

d d 

La première des proportions ( i ) et l'égalité évidente des 
angles OAC, BA!) prouvent que les triangles OAC, BAD sont 
semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés 
proportionnels; on en conclut la relation 

OC AC ., , ^^ xr 
BD = Al)' 'l^" ^^=d 

Ainsi,/^.ç trois côtés du triangle OBC ont respectivement pour 
valeurs 

BC=:6, OB=î^, 0C = ^, 
a a 

et, par conséquent, sont proportionnels aux produits bd, ac, 
xy. Donc, comme OC est moindre que OB + BC, on voit que 
dans un quadrilatère convexe quelconque le produit xy des 
diagonales est iniérieur à la somme ac + hd des produits des 
côtés opposés. Pour qu'il soit égal à cette somme, il faut et il 
suffit que le côté BO soit le prolongement de CB, c'est-à-dire 
que l'angle ABO, et par suite son égal ADC, soit le supplé- 
ment de ABC, ou enfin que le quadrilatère ABCD soit in- 
scriptible. 

Corollaires. 

1h\. La démonstration qui précède suggère immédiatement 
le moyen de construire un quadrilatère convexe inscriptihle 
connaissant les longueurs a, b, c, d des côtés et leur ordre de 
succession. 

On portera sur une même droite à la suite l'une de l'autre 

ac 
des longueurs CB, BO respectivement égales à ^ et à -7-; puis, 

on aura le sommet A par l'intersection du cercle décrit du 
point B pour centre avec a pour rayon et du cercle, lieu des 



l6o GÉOMfiTRIE PLANE. 

points dont les distances aux points et C sont dans le rapport 

— - = -. On connaîtra 3lors les trois côtés du triangle DAC, ce 
AC tt 

qui déterminera le point D. 

11 y a deux points D; mais on choisira celui qui est, par 
rapport à AC, du côté x)pposé à B. De môme, il y a deux 
points A; mais ils sont symétriques par rapport à BG; il suf- 
fira donc de prendre l'un d'eux, l'autre donnant le même 
quadrilatère placé symétriquement par rapport à BC. Il y a 
donc une solution unique. 

242. Si l'ordre de succession des côtés n'était pas imposé, 
on trouverait trois quadrilatères distincts, suivant qu'on oppo- 
serait au côté 6, le côté dy c ou a: h chacun de ces cas répon- 
dent, il est vrai, deux quadrilatères; mais ces deux quadrilatères 
sont égaux; ils ne diffèrent que parleur disposition symétrique 
par rapport à la perpendiculaire élevée sur le milieu du côté />. 

Lorsqu'on a l'un ABCD (Jlg. 170) des trois quadrilatères, on 
obtient immédiatement les deux autres ABCD', BCDA', en pre- 
nant sur le cercle circonscrit au premier l'arc AD' égal à l'arc 
CD, et l'arc DA' égal à l'arc AB; les arcs BAD', CDA' étant 
égaux, leurs cordes BD', CA' sont égales, et, en désignant par 
z leur valeur commune, on voit que les trois quadrilatères ont 
respectivement pour diagonales a: et j, ^ et z, j et z. Le théo- 
rème ci-dessus (240) appliqué à chacun d'eux donne 

(2) xy = ac -\- bd, xz=iad-\- bc, yz =z ab -\- cd. 

En divisant les deux dernières équations membre à membre, 
on obtient 

X ad -h bc 

^ ' y ab -\- cd 

Donc : Dans tout quadrilatère inscriptibîe convexe, les diago- 
nales sont entre elles comme les sommes des produits des côtés 
qui aboutissent à leurs extrémités. 

La réciproque de cette proposition est vraie ; en d'autres 
termes, si les diagonales et les côtés d'un quadrilatère convexe 
ABCD satisfont à la relation (3 ), le quadrilatère est inscriptibîe. 
Mn effet, soient x, etjr, les diagonales du quadrilatère inscriptibîe 



LIVRE 111. — LES FIGUUES SEMBLABLES. l6l 

A.B.C.D, qui a ses côtés égaux à ceux du quadrilatère ABCD et 
disposés dans le même ordre; en vertu du théorème direct, le 

rapport — sera égal au second membre de la relation (3); on 

aura donc 

(4) ---•, 

r. r 

or, si l'on avait .r,>>^, il en résulterait Bil> B et D,>>D; 
d'ailleurs, on aurait aussi, en vertu de (4)> J»^/"» et, par consé- 
quent, A,> A et O» C; la somme des angles du quadrilatère 
A.B.CiD, l'emporterait donc sur celle des angles du quadrila- 
tère ABCD, ce qui est absurde. On prouverait de même qu'on 
ne peut avoir x,<^x\ donc il y a égalité entre les diagonales 
X et jr,, et, par suite, entre les quadrilatères ABCD, A.BiC.D,; 
le quadrilatère ABCD est donc inscriplible. 

Indiquons enfin les valeurs des trois diagonales en fonction 
des côtés : 

î_ [f^d -^ bc){ac -h bd) ^__ (ac -+- hd]{ah -4- cd) 

~ ab -\- cd ' / ad -^ bc 

j_ [ab-A- cd)(ad-\- bc) 
ac H- bd ' 

on les obtient en divisant le produit des trois équations (2) 
successivement par le carré de chacune d'elles. 

SCOLIE. 

24^3. Le théorème du n° 240 est attribué à Plolémée qui, dans 
son Àlmageste, l'a donné comme lemme pour la construction 
d'une table de cordes. Il offre, en effet, le moyen de calculer 
la corde u de la somme de deux arcs en fonction des cordes c 
et c' de ces arcs et du diamètre 5 du cercle; les deux cordes 
et le diamètre qui passe par leur point commun forment deux 
côtés contigus et une diagonale d'un quadrilatère inscrit dont 
l'autre diagonale est la corde inconnue m, tandis que les deux 
autres côtés sont égaux à si à-— c\ v/â»— c'S* de là, en venu 
du théorème de Ptolémée, la relation 



èu = c\/o'—c"-h c's/à'—c', 
qui permet de calculer u. 

l\. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). » > 



l62 



GÉOMÉTRIE PLANE. 

PROBLÈMES RELATIFS. AUX LIGNES PROPORTIONNELLES. 



24-4. Diviser une droite A en parties proportionnelles à des 
droites données M, N, P, ou en un certain nombre de parties 
égales. 

Après avoir tracé un angle GBD de grandeur convenable 
{Jig. 171), prenez sur le côlé BG une longueur BE égale à A, 
et sur le côlé BD des longueurs BF, FG, GH, respectivement 



Fig. 171 



Fig. 172. 





égales à M, N, P. Tirez HE, et menez FL, GK, parallèles à HE. 
La droite BE ou A sera ainsi divisée aux points L et K en par- 
ties proportionnelles à M, N, P. On a, en effet (181), 

BLLK KE 5t-t5 — ^ 

BF ~ FG ~ GH ^" M "" N "~ P * 



Si l'on devait partager A proportionnellement à des nombres 
donnés w, /i, /?, on représenterait ces nombrespar des droites 
M, N, P, en adoptant une certaine longueur comme unité, et 
Ton retomberait sur la question précédente. 

245. Enfin, le procédé graphique que nous venons d'indi- 
quer permet aussi de diviser une droite A en parties égales; 
il suffit évidemment de supposer M, N, P, quelconques, mais 
égales entre elles; ce qui revient à porter sur Bi) des longueurs 
BF, FG, GH, égales entre elles, et à mener par F et G des pa- 
rallèles à HE. 

Lorsqu'on a plusieurs droites à diviser en un même nombre 
de parties égales, on préfère employer le tracé suivant : 

5 étant, par exemple, le nombre des parties égales, lirez une 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l63 

droite indéfinie CD [fig. 172) sur laquelle vous porterez cinq fois 
une même ouverture de compas CE = EF — FG = GH =: HD^ 
Des extrémités C et D comme centres, avec CD pour rayon, 
décrivez successivement deux arcs de cercle qui se couperont 
en un point 0, et menez OC, OE, OF, OG, OH, OD. Cela étant, 
prenez OA et OB égales à l'une des droites que vous voulez 
diviser, et tirez AB; cette droite AB sera égale à la droite pro- 
posée, puisque le triangle OCD étant équilatéral, le triangle 
OAB qui lui est semblable doit l'être aussi, et de plus AB sera 
divisée (213), par les sécantes issues du point 0, en cinq par- 
ties proportionnelles aux parties de CD, c'est-à-dire égales 
entre elles. 

PROBLÈME. 

246. Trouver la quatrième proportionnelle à trois droites 
données M, N, P. 

Après avoir tracé un angle BAC de grandeur convenable, 
prenez [fig. 173) sur le côté AB des longueurs AB et AD res- 




pectivement égales à M et à N, et sur le côté AC une longueur 
AC égale à P; lirez BC et menez DE parallèle à BC; AE sera la 
quatrième proportionnelle cherchée. On a, en effet (182), 



^ AC 




M P 


)~"AE 


ou 


N ~ AE 



SCOLIES. 

2i7. Si les droites N et P étaient égales, AE serait la troi- 
sième proportionnelle à M et à N. 

PROBLÈME. 

24-8. Construire la moyenne proportionnelle entre deux 
droites données A e-/ B. 



l6/J GÉOMÉTRIE PLANE. 

I® Prenez, à la suite Tune de l'autre [fig. 174), sur une 
droite indéfinie, deux longueurs CD et DE respectivement égales 
à A et à B. Sur CE, comme diamètre, décrivez une circonfé- 
rence, et par le point D élevez DF perpendiculaire à CE. La 
droite DF sera (223) la moyenne proportionnelle entre CD et 
DE, c'est-à-dire entre A et B. 

2° Lorsque les droites données A et B sont un peu grandes, 
on préfère le procédé suivant : prenez sur une droite indé- 



Fig. 174. 



Fig. 175. 





finie [fig» 1 75 ), et à partir du même point C, deux longueurs CD 
et CE respectivement égales à A et à B; sur CD, comme dia- 
mètre, décrivez une circonférence, et élevez EF perpendicu- 
laire à CD; enfin tirez FC. La corde FC sera (223) la moyenne 
proportionnelle entre CD et CE, c'est-à-dire entre A et B. 

3° On pourrait aussi, après avoir pris CD et CE égales à A et 
àB (ftg. 175), décrire une circonférence quelconque passant 
par E et D, par exemple la circonférence dont ED est le dia- 
mètre, puis mener la tangente CG à cette circonférence. Celte 
tangente (195) serait la moyenne proportionnelle entre CD et 
CE, c'est-à-dire entre A et B. Toutefois, au point de vue gra- 
phique, ce procédé est inférieur au précédent, et il convient 
de ne l'employer que lorsqu'on veut relier la construction à 
une autre figure qui contient déjà plusieurs des lignes dont ce 
procédé exige le tracé. 

SCOLIE. 

249. La moyenne proportionnelle entre deux longueurs 
prend souvent le nom de moyenne géométrique, tandis qu'on 
appelle moyenne arithmétique de ces deux longueurs leur 
demi-somme. 

Les trois côtés du triangle rectangle CGO' {fg. 176) repré- 
sentent respectivement : CG la moyenne géométrique des deux 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. l65 

droites A et B, CO' leur moyenne arithmétique et GO' leur 
demi-différence. Comme le côté CG est moindre que l'hypo- 
ténuse CO', on voit que la moyenne géométrique est moindre 
que la moyenne arithmétique^ Appelons à leur différence; le 
iriande O'CG donne 



0'g'= CO''- cg' = (co'-t- CG)(co' - cg; 



I 

^K or, les moyennes CO' et CG sont toutes deux supérieures à la 
^B plus petite B des deux lignes proposées; on a donc 



{^y 



>2B.Ô, d'où 



Ainsi, la différence entre la moyenne arithmétique et la 
moyenne géométrique de deux longueurs A e/ B est moindre 
que le carré de la différence de ces longueurs, divisé par huit 
fois la plus petite. 



250. Pour mettre en équation un problème de Géométrie, 
il suffit de concevoir que toutes les longueurs soient rappor- 
tées à une même unité, sans qu'il soit besoin de fixer cette 
unité commune, qu'on laisse, au contraire, indéterminée. Les 
raisonnements étant indépendants du choix de cette unité, 
c'est-à-dire de l'échelle à laquelle a été construite la figure 
que l'on a sous les yeux, si les raisonnements et les calculs 
sont justes, l'équation à laquelle on parvient doit pouvoir sup- 
porter, sans altération, un changement dans un même rap- 
port de toutes les données linéaires, les données angulaires 
restant les mêmes. En d'autres termes, l'équation doit être 
homogène, c'est-à-dire telle qu'en y multipliant par un même 
nombre chaque lettre exprimant la mesure d'une longueur, 
ce nombre disparaisse de lui-même 

Si l'inconnue est une longueur, la formule qui exprime sa 
mesure doit donc être homogène et du premier degré; con- 
struire cette formule, c'est trouver la longueur inconnue par 
des opérations graphiques exécutées sur les longueurs dont 
les mesures entrent dans la formule. Nous allons montrer qu'on 
peut construire, à l'aide de la règle et du compas, toute exprès- 



}66 GÉOMÉTRIE PLANE. 

sion rationnelle ou ne renfermant d'autres irrationnelles que 
des radicaux ayant une puissance de i pour indice. 

Pour plus de clarté, nous représenterons les longueurs par 
des lettres majuscules et les nombres qui les mesurent parles 
lettres minuscules correspondantes. 

!• Si la formule est de la forme 

xz=z a ->rb — c -h d — e, 

on portera, à l'aide du compas, à partir d'un point 0, sur une 
droite fixe, les unes à la suite des autres, d'abord les longueurs 
A et B dans un même sens, puis C en sens contraire, D dans 
le sens primitif, enfin E en sens contraire; M étant l'extrémité 
de cette dernière, la longueur OM sera la longueur inconnue X. 
1° S'il s'agit d'un monôme fractionnaire 

Y aoUiUiai 

"~ b,b,bi 

(le nombre des facteurs du numérateur surpassant d'une unité 
celui du dénominateur), on écrira 



d'où 



en sorte que X s'obtiendra en construisant une suite C, C, X 
de quatrièmes proportionnelles. 

3" Le procédé précédent ne suppose pas qu'au numérateur, 
comme au dénominateur, les facteurs soient inégaux. Il résulte 
de là que, p étant un monôme quelconque de degré Ar et m la 
mesure d'une longueur U donnée, on peut toujours construire 
une longueur A, telle que 

a=-~y ou p = u''~* .a. 

Cela posé, soit une fonction rationnelle quelconque (homogène 
et du premier degré) 

Ço— gi-h q. 



c rt, 


c, a, 

-c = -b: 




c A, 
Ao"'B»' 


c. A, 
G ~B,' 


X A, 

G. "Ba' 



LIVRE III. — LES FIGUKES SEMBLABLES. I&7 

Pof Pi, P2, pz désignant des monômes de degré quelconque A^, el 
Ço, ^1, ^î des monômes de degré k — i. \] étant une longueur 
prise à volonté, on construira d'abord des longueurs Ao, A,, A„ 
A3, B„ B,, B2, telles que l'on ait 

p,==u^-'.a„ p^=u^-'.axj p2=u''-Ka,y p^—u'^Ka^, 
on aura alors 

et. 
il\ 



«*~' ( (to 4- «t ^ et; + fla ) «o-i-«i — «2H-«3 



et enfin, en désignant par S et T les longueurs 

S = Ao 4- A. — A2 -I- A3, T = B„ — B, + B„ 
il viendra 



X_ S 
U~ï' 

en sorte que X s'obtiendra par une quatrième proportionnelle 
à ï, SetU. 

4" Considérons maintenant les expressions irrationnelles. 

Soit le radical du second degré 



...^. 



où p et q désignent des expressions entières el homogènes 
l'une de degré /r, l'autre de degré /r — 2. U étant une longueur 
prise à volonté, on construira d'abord deux longueurs A et B. 
telles que l'on ail 

p = u^-^.a, q z=z u''-^.b. 
On aura dès lors 



, Iii^a I u.a 



IX sera donc la moyenne proportionnelle entre U et une lon- 
gueur L quatrième proportionnelle à B, A et U. 
Si l'indice du radical était une puissance de 2 supérieure à 
la première, la quantité sous le radical étant une fonction ra- 
tionnelle el homogène de même degré que cet indice, on 



l(^3 GÉOMÉTIIIE PLANE. 

remplacerait ce radical par une suite de radicaux du second 
degré superposés. Soit, par exemple, 

on déterminera, au moyen de quatrièmes proportionnelles 
successives, une longueur G, telle que 

a'=zbKc; 
on aura alors 



x = s/b-'ic — b) — \'b\/b{c — b), 

et X s'obtiendra en construisant deux moyennes proportion- 
nelles successives. 

251. On peut avoir à construire une formule non homo- 
gène provenant de ce que l'on prend l'une A des lignes 
de la figure pour unité ; il faut alors commencer par ré- 
tablir V homogénéité ; c'est-à-dire par chercher la formule 
qui remplacerait la proposée, si l'on avait laissé l'unité ar- 
bitraire. 

Or, soit a le nombre qui mesurerait la longueur A (prise 
d'abord pour unité) si l'on adoptait une autre unité U d'ail- 
leurs arbitraire. Soient ô, c, . . ., les mesures des autres lon- 
gueurs B, C, . . ., l'unité étant A, et b', c', . . ., leurs nouvelles 
mesures, l'unité étant U. Puisque le rapport de deux gran- 
deurs est toujours égal au quotient des deux mesures quelle 
que soit l'unité commune, on a 

b — ^ —- 
a a 

Il suffira donc de remplacer, dans la formule donnée, 6, c, 

par ces valeurs, ou plus rapidement, en supprimant les ac- 
cents, de remplacer 6, c, ..., par -?->••• • 
Par exemple, si l'on donne la formule 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 

on la remplacera par la suivante : 

que nous avons construite ci-dessus. 
Soit encore à construire 



169 




^ = V 7 -f- v/3 j 

étant donnée la longueur A qui a été prise pour unité; on la 
remplacera par 



d'où 






et en désignant par 3 la moyenne proportionnelle entre A et 
3A, 

x^=zsJa{']a-\- b)\ 

X sera donc la moyenne proportionnelle entre A. et la longueui 
S =:^ 7 A -h B qui s'obtient par addition. 



PROBLÊME. 
252. Construire sur une droite donnée : 1° un triansle sem- 



Fig. 177. 



Fig. 178. 





blable à un triangle donné; 2° un polygone semblable .à un 
polygone donné {fig. 177).- 



I 



'7^ GÉOMÉTRIE PLANE. 

I' Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme 
l'homologue de AB, un triangle semblable au triangle ABC, 
faites un angle B'A'C égal à l'angle BAC, et un angle A'B'C 
égal à l'angle ABC. Le triangle A'B'C ainsi obtenu et le triangle 
donné ABC seront semblables comme ayant deux angles égaux 
chacun à chacun (200). 

2° Pour construire, sur la droite A'B' considérée comme 
l'homologue de AB, un polygone semblable au polygone 
ABCDE, décomposez ce dernier polygone en triangles, en 
menant par l'un des sommets A les diagonales AC, Al). 
Construisez alors sur A'B' un triangle A'B'C semblable au 
triangle ABC, puis sur A'C un triangle A' CD' semblable au 
triangle ACD, enfin sur A'D' un triangle A'D'E' semblable 
au triangle ADE. Le polygone A'B' CD' E' ainsi obtenu et le 
polygone donné ABCDE seront semblables comme composés 
d'un même nombre de triangles semblables et semblablement 
disposés. 

La similitude de chaque couple de triangles exigeant deux 
conditions, on voit que la similitude de deux polygones de n 
côtés exige 2(n — ^) ou in — ^ conditions; leur égalité en 
exige 2w — 3, c'est-à-dire une de plus; et, en effet, deux poly- 
gones égaux sont deux polygones semblables dont le rapport 
de similitude est égal à l'unité. 

253. Si, au lieu de donner un côté A'B' du polygone de- 
mandé, on donnait le rapport de similitude — j on pourrait en- 
core appliquer la solution précédente, en construisant préala- 
blement une droite A'B' dont le rapport à AB fût égal à — (2W)). 

n 

Dans ce cas, on préfère souvent opérer de la manière sui- 
vante : 

On joint {fg. 178) les divers sommets du polygone donné 
ABCDE à un point choisi arbitrairement dans le plan de ce 
polygone; on prend sur OA une longueur OA' dont le rapport 

à OA soit égal à — ; puis on mène dans l'angle AOB la parai- 

lèie A'B' à AB, dans l'angle BOC la parallèle B'C è BG, . . ., et 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLLS. 



■7i 



I 



ainsi de suite. Les polygones A'B'C'D'E', ABCDE, sont sem- 
blables, car (210) les triangles additifs OB' A', OA'E', OE'D', 
et les triangles souslraclifs OB'C, OC'D', dont la réunion con- 
stitue le polygone A'B'C'D'E', sont respectivement semblables 
aux triangles OBA, OAE, OED, et aux triangles OBC, OCD, qui 
forment par leur assemblage le polygone ABCDE. 

PROBLÈME. 

254. Construire deux droites, connaissant leur somme et 
leur produit [Jig. 179). 

Soient BC la somme donnée et A une droite dont le carré 
est égal au produit donné. Supposons le problème résolu, et 
soient BF et FC les deux droites demandées; si sur BG comme 
diamètre on décrit un demi-cercle, la perpendiculaire FE sera- 
moyenne proportionnelle entre BF et FC (223), et par suite' 
égale à A; la parallèle menée par E à BC interceptera donc une 



Fis 179. 



Fig. 180. 





B F F' C 



longueur BD égale à A sur la tangente en B. De cette analyse, 
résulte la construction suivante : 

Sur BC comme diamètre, décrivez un demi-cercle ; au point B, 
élevez BD perpendiculaire sur BC et égale à A, menez DEE' 
parallèle à BC, et projetez en F et en F' sur BC les points E et 
E' où cette parallèle rencontre le cercle. Les deux droites 
cherchées seront BF et FC, ou, ce qui revient au même, BF' 
etF'C. 

Ainsi, le problème, quand il est possible, n'a qu'une solu- 
tion. Pour qu'il soit possible, il faut et il suffit que la parallèle 
DEE' rencontre la demi-circonférence, c'est-à-dire que la 
droite BD ou A ne surpasse pas le rayon OE ou la moitié de BC. 
Lorsque la quantité A atteint sa valeur maximum |BC, la pa- 
rallèle DEE' est tangente au demi-cercle, et les deux segments 



1-2 GÈOMClUlK l'LAMi. 

de BC sont OB el OC. On voit par là que le produit de deux 
droites, dont la somme est constante, est maximum lorsque ces 
droites sont égales entre elles. 

SCOLIE. 

256. En représenlani par /? el q la somme el le produit 
donnés, on a 

EO := BO = CO = ^ -, FE = BD = v^^, 
OF 



= \Jm-^¥=s/j-<i^ 



et, par suite, 

BF = BO - OF 



=f-\/f 



CF 



= CO + OF = f + y^Ç-,. 



PROBLÈME. 

256. Construire deux droites, connaissant leur différence 
el leur produit [fig- i8o). 

Soient EF la différence donnée, et A la droite dont le carré 
est égal au produit donné. Supposons le problème résolu et 
soient DE et DF les deux droites demandées. La tangente DB, 
menée du point 1) au cercle décrit sur EF comme diamètre, 
sera moyenne proportionnelle entre DE et DF (195), et par 
suite égale à A. Et, comme cette tangente est perpendiculaire 
sur le diamètre BC qui est égal à la différence donnée EF, on 
est conduit à la construction suivante : 

Sur les côtés d'un angle droit, prenez une longueur BD 
égale à A et une longueur BO égale à la moitié de la diffé- 
rence donnée; du point comme centre avec OB pour rayon, 
décrivez un cercle; puis menez DO qui coupe la circonférence 
aux points E et F; DE et DF seront les droites demandées. 

Le problème est toujours possible et n'a qu'une solution. 

SCOLIE. 

257. En représentant par /? et g la différence et le prod.uU 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



.73 



donnés, on a 



0£ = OF=:OB=^, BD^V^^, OD = \/ob' -f-BD^^v/^' H-^, 
et, par suite, 

DE = OD 



/^ 



DF=OD-t-OF 



i/f 



I 



258. Les deux problèmes précédents permettent de construire les 
racines de toute équation du second degré à une inconnue, c'est-à-dire 
de toute équation de la forme 

p et q étant des nombre.^ po.-ilifs quelconques. 
En eiïet, des quatre types 

a:^-h /)X -^ q = o, 
x^ — pjc-h q ~ G, 
a:^-\~ px — <7 = o, 
x'^ — px — 7 = 0, 

le premier se ramène au second, et le troisième au dernier, par le seul 
changement de x en — x. Il suffit donc de construire les racines dos 
équations 

x^ — px-i-q = o et x^ — px — <7 = o. 

En mettant ces équations sous la forme 

q=x{p — x), q = x{x—p), 

on voit que, construire les racines de la première, c'est construire deux 
droites dont la somme est/? et le produit «y. De même, construire les 
racines de la seconde, c'est construire deux droites dont la différence 
est p et le produit q. 
L'équation bicarrée 

x^ -+- px^ -\-q z=o 

se ramène h l'équatiu:) du second degré 

c C^ 

en désignant par C une longueur prise à volonté dont la mesure est c, 
et en posant 



174' GÉOMÉTRIE PLANi:. 

On construira donc les longueurs Z' et Z* qui ont pour mesures les ra- 
cines de cette équation du second degré, puis on aura les valeurs do x 
par des moyennes proportionnelles entre G et chacune des longueurs Z' 
et Z". 

PROBLÈME. 
259. Diviser une droite en moyenne et extrême raison 

ifs- -S')- 

On dit qu'un point divise une droite AB en moyenne et 
extrême raison, lorsque sa dislance à l'une des extrémités A 



Fig. i8i. 



D' 

A-' ! / 



de celte droite est moyenne proportionnelle entre sa dislance 
à l'autre extrémité B et la droite AB. 

On voit a priori : 

i*' Que, entre A el B, il existe un point X, et un seul, jouis- 

AB 

sanl de la propriété énoncée. Car, de A en B, le rapport ^— 

décroît d'une manière continue de l'infini à i, tandis que le 

rapport ^^-^^ croît de zéro à l'infini; ainsi, quand le point X se 
Xi) 

meul de A en B, le premier rapport diminue, le second aug- 
mente, et comme le premier, d'abord supérieur au second, 
finit par devenir moindre, il y a entre A et B une position 
de X, el une seule, pour laquelle on a 

(l) |l = XE ""^ XX'r=:AB.XB. 

2° Que, sur le prolongement de AB à gauche du point A, 
il existe un point X', et un seul, jouissant de la propriété 

^ ^ . . . AB , ^, 

énoncée. Car, dans cette région, le rapport ;^7-^ croît d une 

X' A 
manière continue de zéro à l'infini, tandis que le rapport =t7-^ 

décroît de i à zéro; il y a donc à gauche de A une position 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 

de X', et une seule, pour laquelle on a 
AB X'A 



175 



N 



\' A ~ X' B 



ou X' A 



AB.X'B. 



3° Que Sur le prolongement de AB à droite du point B, il ne 
peut exister aucun point jouissant de la propriété énoncée. 
Car la dislance d'un point de cette région au point A, étant 
à la fois plus grande que la dislance du point considéré au 
point B et que la ligne AB, ne saurait être moyenne propor- 
tionnelle entre ces deux longueurs. 

Ainsi, sur la droite indéfinie qui unit les points A et B, il 
existe deux points X et X', et rien que deux, qui divisent la 
droite AB en moyenne et extrême raison : l'un X intérieur, et 
les deux segments correspondants XA, XB, sont alors addi- 
tifs; l'autre X' extérieur, et les deux segments correspondants 
X'A, X'B, sont alors soustractifs. 

Pour déterminer ces deux points X et X', il suffit de trou- 
ver AX et AX'. Or, d'une part, si l'on retranche la relation (i) 
de la relation (2), on a 



XB 



ou 



(X'A 
c'est-à-dire 

et, par suite, 



X'A -XA =AB(X'B 

^XA)(X'A-XA) = AB(X'B 

XX'(X'A - XA) = AB.XX', 
X'A-XA=:AB. 



XB 



D'autre part, la relation (i) donne 

AB -f- XA XA -h XB 



AB 



XA 



ou 



X'A 
AB 



AB 
XA 



c'est-à-dire 



X'A.XArrrAB . 



Donc, la recherche des droites AX et AX' revient à con- 
struire deux lignes dont la différence est égale à AB et dont le 

produit est égal à AB ; c'est le problème du n"' 256 dans un 
cas particulier. De là, cette construction : 

Élevez sur AB, à son extrémité B, une perpendiculaire B'J 



176 Gi-OMÉTRIR PLANE. 

égale à la moitié de AB. Du point C comme centre, avec CB 
pour rayon, décrivez une circonférence; menez AG qui coupe 
cette circonférence en D et en D'; la droite AD sera l'incon- 
nue AX, et la droite AD' sera l'inconnue AX'. Deux arcs de 
cercle décrits de A comme centre, avec AD et AD' pour 
rayons, couperont la droite indéfinie AB aux points cherchés 
X et X'. 

En désignant par a la droite AB, et en remplaçant dans les 
formules du n° 257 /> par a et </ par ar^ on trouve 

AX=f(s/5-i), AX'=f(\/5 + i). 

Il est bon de remarquer qu'on a, d'après cela, 

BX=r|(3-v^), BX'=|(3 + v/5), 

PROBLÈME. 

260. Mener une tangente commune à deux cercles {fig. 182). 
Nous avons déjà résolu ce problème au n<* 163. Nous allons 
suivre ici une autre marche, utile à signaler. 

Soient les deux cercles C et C de rayons R et R', et sup- 
posons, pour fixer les idées, R > R'. AA' étant une tangente 
commune extérieure qui coupe la ligne des centres en 0, au 
delà de CC, les rayons CA, C'A', sont parallèles et de même 
sens, et l'on a 

OC CA R 



(0 



oc ""C'A' ~R' 



Or, toute droite MM' qui unit les extrémités de deux rayons 
parallèles et de même sens CM et CM', coupe également la 
ligne des centres en un point Oi situé au delà de GC, et tel 
que 

OiC _ CM _ R 

0,C~CM''~R'' 

î^os deux points et Oi se confondent donc (179). 



LIVHE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



mn 



De môme, BB' étant une tangente commune intérieure qr.i 
coupe la ligne des centres en 0' entre G et C, les rayons CB, 
C'B', sont parallèles et de sens contraires, et l'on a 



(2) 



O^C _ CB 

O'C "~ CB' 



R 
R' 



Or, toute droite MN' qui unit les extrémités de deux rayons 
parallèles et de sens contraires CM, C'N', coupe également 

Fi{j. 182. 




la ligne des centres en un point 0', situé entre C et C, et tel 
que 

0; C _ CM _ R 
o;C'~C'N' R'* 

Les deux points 0' et 0', se confondent donc (179). 

De là, résulte la construction suivante : Menez dans le pre- 
mier cercle un rayon quelconque CM, et dans le second le 
diamètre M'N' parallèle à CM; tirez MM' et MN', et des 
points et 0', où ces droites coupent la ligne des centres, 
menez des tangentes à l'un des cercles; elles toucheront éga- 
lement l'autre cercle. 

Les deux points et 0' divisent harmoniquement la droite 
des centres ce (180). 

Il y aura deux tangentes communes extérieures, tant que le 
point sera situé hors du cercle C. La relation (i), mise sous 
la forme 

OC R 



OC-OC ~"R 

U. et DE C. — Tr. de Geom. ( !'• l'arlie). 



R' 



IjS GÉOMÉTRIE PLANE. 

OU 

ce 

montre que, pour que OC soit plus grand que R, il faut et il 
suffit que la distance CC des centres soit plus grande que la 
différence R — R' des rayons, c'est-à-dire que les deux cercles 
ne soient ni intérieurs l'un à l'autre, ni tangents intérieure- 
ment. Quand les deux cercles sont tangents intérieurement, 
on a ce = R — R'; par suite OC = R, et le point n'est autre 
que le point de contact des deux cercles; il n'y a alors qu'une 
tangente commune extérieure. 

De même, pour qu'il y ait deux tangentes communes inté- 
rieures, il faut que le point 0' soit extérieur au cercle C. La 
relation (2), mise sous la forme 

O'C R 



0'C4-0'C' "R-hR' 
ou 

ce 

montre que, pour que O'C soit plus grand que R, il faut et il 
suffit que la distance CC des centres soit plus grande que la 
somme R 4- R' des rayons, c'est-à-dire que les deux cercles 
soient extérieurs l'un à l'autre. Quand les deux cercles sont 
tangents extérieurement, on a CC'=: R -f-R', par suite 0'Gr=:R, 
et le point 0' n'est autre que le point de contact des deux 
cercles; il n'y a dans ce cas qu'une tangente commune inté- 
rieure. 

Nous avons supposé les deux cercles inégaux. Si l'on avait 
R = R', les formules précédentes deviendraient 

OC.::xR.^==00, 0'C=— . 
2 

Le point s'éloignant indéfiniment sur la ligne des centres, 
les tangentes communes extérieures seraient parallèles à celle 
ligne; et quant aux tangentes communes intérieures, elles se 
couperaient au milieu du la ligne des centres. 

2G1. On nomme centres de similitude de deux cercles les 



LIVRE 111. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



179 



deux points et 0' {fig- 182) qui divisent la ligne des centres 
C et G' dans le rapport des rayons. 

Quand un cercle variable {,/ig» i83) reste tangent à deux 
cercles donnés A e^ B, la droite MN qui joint les deux points 
de contact passe par un centre de similitude S des cercles A 
e^ B, et la puissance de ce point S par rapport au cercle 
variable reste constante. 

En effet, soit I le second point d'intersection de MN avec 
le cercle B. Les triangles NMO, BMI, étant isocèles, les 

Fig. i83. 




angles MNO, MIB, sont égaux entre eux comme étant respec- 
tivement égaux à deux angles opposés par le sommet M. Ces 
angles étant alternes-internes, il faut que les rayons AN et 
BI soient parallèles, et la droite MN passe alors (260) par un 
centre de similitude S des cercles A et B, On a d'ailleurs 



SM.SNrrrSM.SI 



AN 
BI 



Le second membre de cette égalité étant égal à la puissance 
[^du point S par rapport au cercle B (193), multipliée par le 
'apport des rayons des cercles A et B, est constant; il en est 
[donc de môme du premier membre, c'est-à-dire de la puis- 
sance du point S par rapport au cercle variable 0. 

Ce théorème et sa démonstration subsistent quand l'un des 
îercles donnés, A par exemple, est remplacé par une droiteD. 
jeulement, le centre de similitude S est, dans ce cas, rem- 
dacé par l'une des extrémités du diamètre du cercle B qui 
ifit perpendiculaire à la droite D. 



,8o 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



PROBLÈME. 

2G2. Décrire une circonférence passant par deux points 
donnés et tangente soit à une droite donnée, soit à un cercle 
donné, 

Fig. i83.. 





1° Soient A et B {fig- i83i) les deux points donnes et KL la 
droite donnée. Prolongeons AB jusqu'au point C oii elle ren- 
contre KL. Si T est le point où le cercle inconnu touche 
cette droite KL, CT sera la moyenne proportionnelle (195) 
entre les deux droites connues CB et CA. De là, cette construc- 
tion : 

Menez AB qui coupe KL en C; déterminez la moyenne pro- 
portionnelle entre GB et CA, et portez-la en CT sur la droite 
CL. Élevez la perpendiculaire TO sur KL et la perpendicu- 
laire 00' sur le milieu de AB; le point commun à ces deux 
perpendiculaires sera le centre du cercle cherché. 

En portant la moyenne proportionnelle en CT' à gauche 
de C, on a une seconde solution. 

Si AB était parallèle à KL, le point de contact serait sur la 
perpendiculaire élevée sur le milieu de AB, et il n'y aurait 
qu'une solution. 

Enfin, il est évident que le problème n'est possible que si 
les points A et B sont situés d'un même côté de la droite KL. 

1° Soient B et G les deux points donnés et la circonfé- 
rence donnée {Jig. iSSg). Supposons le problème résolu, et 
désignons par A le point où le cercle demandé 0' touche le 
cercle 0; tout revient à trouver le point M où la tangente AM 
rencontre la droite BC prolongée. Or, si l'on mène par B etC 
une circonférence auxiliaire quelconque qui coupe la circon- 



LlVKIi m. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



l8l 



I 



férence en deux points D et E, la corde DE prolongée pas- 
sera par M. En effet, désignons un moment par s le point où 
la droite MD coupe la circonférence 0; on aura 



MD.M£ = MA = MB.MG. 



Donc ( 194-) le point £ est sur le cercle déterminé par les trois 
points C, B, D, c'est-à-dire sur la circonférence auxiliaire; il 
ne diffère donc pas de l'intersection E du cercle et de cette 
circonférence auxiliaire. On déduit de cette analyse la con- 
struction suivante : 

Par les deux points B et C, menez une circonférence quel- 
conque qui coupe la circonférence donnée en deux points D 
et E; et du point M, intersection de BC et de ED, menez une 
tangente MA au cercle 0. Le point A sera le point de contact 
du cercle et du cercle inconnu, dont le centre 0' se trou- 
vera d'ailleurs à l'intersection de OA prolongée et de la per- 
pendiculaire élevée sur le milieu de BC. 

La seconde tangente menée de M au cercle donné don- 
nera une seconde solution. 

Si les points B et C étaient équidistants du centre 0, les 
droites BC et DE seraient parallèles ; il suffirait alors de mener 
au cercle une tangente parallèle à BC; il y aurait encore 
deux solutions. 

Enfin, pour que le problème soit possible, il faut et il suffit 
que M soit extérieur au cercle 0, c'est-à-dire tombe sur les 
prolongements de la corde DE, et non entre D et E. Or, la 
corde DE décompose la circonférence auxiliaire DBCE en 
deux arcs a et a', dont Tun est intérieur et l'autre extérieur 
au cercle 0. Pour que M ne soit pas situé entre D et E, il faut 
A il suffit que B et C ne soient pas, l'un sur l'arc a et l'autre 
lur l'arc a', mais bien tous deux sur l'arc a ou tous deux sur 
farc a', c'est-à-dire que B et C soient tous deux intérieurs 

tous deux extérieurs au cercle 0. 



SCOLIE. 

263. La détermination d'un cercle astreint à trois conditions prises 
fermi celles qui consistent à passer par un point donné, ou à toucher 
pe droite ou un cercle donné, répond à dix problèmes qu'on peut dé- 



l82 GÉOMÉTRIE PLANE. 

signer par les symboles 

PPP (i sol.), FDD (2 sol.), DDG (8 sol.), 

DDD (4 sol.), PCD (4 sol.), DCC (8 sol.), 

PPD (2 sol.), PCG (4 sol.), CGC (8 sol.), 
PPG (a sol.), 

en représentant un point par P, une droite par D, un cercle par C. 
Nous avons indiqué, à côté de chaque symbole, le nombre des solu- 
tions dont le problème correspondant est susceptible. 

La résolution de ces dix problèmes offre un exemple remarquable de 
la méthode des substitutions successives. 

Les problèmes de la première colonne ont été déjà résolus (154, -161, 
262); on a vu d'ailleurs (262) que les deux derniers se ramenaient au 
premier PPP. — Indiquons ici, en passant, une nouvelle solution du pro- 
blème .PPD, qui n'exige que la connaissance du Livre IL — P et P' dé- 
signant les deux points donnés, et Pi le symétrique de P' par rapport à 
la droite donnée D, il est aisé de constater que la droite PPi est vue 
des deux points de contact cherchés sous des angles qui sont respecti- 
vement égaux aux angles des deux droites D et PP'. Il suffit donc, pour 
avoir ces points de contact, de décrire sur PPi un segment capable de 
l'un de ces angles, et de marquer les intersections de la droite D et du 
cercle ainsi obtenu. 

Le premier problème PDD de la deuxième colonne se ramène à PPD, 
en observant que la circonférence cherchée doit contenir le symétrique 
du point donné par rapport à la bissectrice de l'angle que forment les 
droites données et qui renferme le point donné. — Le problème PGC se 
ramène à PPC; car on connaît (261) le centre de similitude S des deux 
cercles donnés et la puissance de ce point par rapport au cercle cher- 
ché 0. On peut donc déterminer le second point d'intersection de la 
droite PS et du cercle inconnu 0. — Le problème PCD se ramène de la 
même manière (261) à PPD ou à PPG. 

Enfin, les problèmes de la troisième colonne se ramènent respective- 
ment à ceux qui sont placés vis-à-vis dans la deuxième colonne. La 
marche à suivre reste la même pour tous les trois : c'est la méthode 
de translation (171). Ainsi, pour le problème DDG, on remarquera que, 
si le rayon du cercle cherché augmentait ou diminuait du rayon R du 
cercle donné, le nouveau cercle inconnu passerait par le centre du 
cercle donné et toucherait les droites données déplacées parallèlement 
à elles-mêmes d'une quantité égale à R. — De môme, s'il s'agit du pro- 
blème DCC, on remplacera le plus grand des deux cercles donnés par 
un cercle ayant pour rayon (suivant la nature des contacts) la somme 
ou la différence des rayons de ces deux cercles, et l'on déplacera la 
droite donnée parallèlement à elle-même d'une quantité égale au rayon 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



83 



du plus petit des deux cercles. — Enfin, pour le problème CGC, on 
substituera aux deux plus grands cercles des circonférences concen- 
triques dont les rayons différeront des leurs d'une quantité égale au 
rayon du plus petit des trois cercles donnés. 



I 



§ VI. — POLYGONES REGULIERS. 
DÉFINITIONS. 



264. Un polygone est dit régulier, lorsqu'il a tous ses côtés 
égaux et tous ses angles égaux. Tels sont, par exemple, le 
triangle équilatéral et le carré. 

On nomme ligne brisée régulière toute ligne brisée convexe 
qui a ses côtés égaux et ses angles égaux. 

THÉORÈME. 

265. On peut toujours inscrire ou circonscrire à une circon- 
férence donnée un polygone régulier d'un nombre donné de 
côtés. 

Supposons la circonférence divisée en n parties égales, 
n étant le nombre de côtés que doit avoir le polygone. 

i^ En menant {Jig. i84) les cordes AB, BC, . . . qui unis- 





sent les points de division, on aura un polygone régulier in- 
scrit de n côtés. En effet, les côtés de ce polygone sont égaux 
comme cordes d'arcs égaux, et ses angles sont égaux comme 
inscrits dans des segments égaux; car tout angle ABC du po- 
lygone est inscrit dans un segment correspondant à deux divi- 
Iions consécutives de la circonférence 
2" En menant des tangentes [Jig. i84) par les points de di- 
ision A, B, C, .. ., on aura un polygone régulier circonscrit 
e n côtés. En effet, dans les triangles GAB, HBG, .... les 
■ :... : „. 



ig^ GÉOMÉTRIE PLANE. 

côtés AB, BC,... sont égaux, el les angles en A, E, C,..., 
formés par une tangente et une corde, sont aussi égaux comme 
ayant tous pour mesure la moitié d'une division de la circon- 
férence; dès lors les triangles GAB, HBC,... sont isocèles 
et égaux, el l'on a d'une part G = H = K = . . . , et de l'autre 
AG = GB= BH = HC=:CK,..., d'où l'on déduit GHr=zHK = .... 
Ainsi le polygone GHK... a ses angles égaux et ses côtés 
égaux. 

D'après cette démonstration, pour avoir le polygone régu- 
lier de n côtés circonscrit à un cercle, il suffit de diviser la 
circonférence en n parties égales et de mener des tangentes 
par les points de division. Or, les milieux M, N, P,... des 
arcs AB, BC, CD,. . ., qui sous-tendent les côtés du polygone 
régulier inscrit {Jig' i85), divisent évidemment la circonfé- 
rence en n parties égales. On aura donc un polygone régulier 
circonscrit de n côtés en menant des tangentes par ces points. 
On préfère souvent cette seconde manière d'opérer, parce que 
le polygone A'B'C'D',. . ., ainsi obtenu, a ses côtés parallèles 
à ceux du polygone inscrit ABCD,. . . , et ses sommets A', B', 
C, . . . , sur les mêmes rayons OAA', OBB', . . . , que les som- 
mets du polygone ABCD. . .. En effet, d'une part deux côtés 
tels que BC, B'C, sont parallèles comme perpendiculaires sur 
la même droite ON, et d'autre part deux tangentes telles que 
MB', NB', doivent se couper (158) sur la bissectrice OB de 
l'angle MON. 

266. Béciproquement, on peut toujours inscrire et circon- 
scrire une circonférence à un polygone régulier donné. 




Soit ABCDEF le polygone régulier donné {Jig, i86). 

1° Pour démontrer qu'on peut circonscrire une circonfé- 



LIVPC m* — I^ES FIGURES SEMBLABLES. l85 

rence à ce polygone, il suffit de prouver que la circonl'érence 
qui passe par trois sommets consécutifs quelconques A, B, C, 
passe par le sommet suivant D. Or, soit le centre du cercle 
déterminé par les trois points A, B, C; menons OA, OD, et la 
perpendiculaire OH sur BC. Replions le quadrilatère ABHÔ 
autour de OH; les angles en H étant droits, BH prendra la di- 
rection lie, et le point B tombera en C, puisque BH = HC. 
Mais, le polygone étant régulier, l'angle ABH est égal à l'an- 
gle HCD, comme le côté BA au côté CD; par suite, le côté BA 
prendra la direction Cl), et le point A tombera en D. Donc OD 
est égal au rayon OA, et la circonférence considérée passe par 
le point D. 

2° Les côtés AB, BC,. . ., étant des cordes égales du cercle 
circonscrit, les perpendiculaires OG, OH,..., abaissées du 
centre sur ces cordes, seront égales (104); donc, si du 
point comme centre, avec OH pour rayon, on décrit une 
circonférence, chacun des côtés du polygone sera touché en 
son milieu par cette circonférence, alors inscrite au polygone. 

Corollaires. 

267. On nomme centre d'un polygone régulier le centre 
commun de la circonférence inscrite et de la circonférence 
circonscrite. Ce point, étant à égale distance de tous les côtés 
et de tous les sommets, est à la fois le point de concours des 
bissectrices de tous les angles et des perpendiculaires élevées 
sur les milieux des divers côtés. 

On appelle rayon d'un polygone régulier le rayon du cercle 
circonscrit, et apothème de ce polygone le rayon du cercle 
inscrit. 

On nomme angle au centre d'un polygone régulier l'angle 
AOB de deux rayons consécutifs; cet angle est évidemment 
égal à l'angle GOH de deux apothèmes consécutifs, et par con- 
séquent est le supplément de l'angle GBH du polygone régu- 
lier. D'après cela, si n est le nombre des côtés du polygone, 
et si l'on prend l'angle droit pour unité, l'angle au centre 

iaudra - et l'angle du polygone 2 — -• On voit ainsi que, 
n n 



luf le triangle équilatéral dont les angles sont de 60 degrés. 



t86 GÉOMÉTRIE PLANE. 

et le carré dont les angles sont droits, tous les 4[)o]ygones 
réguliers ont leurs angles obtus. 

268. On prouverait, par des raisonnements identiques aux 
précédents, que toute ligne brisée régulière est inscriptible 
et circonscriptible, et par suite qu'elle a un centre, un apo- 
ihènie et un rayon, qui sont le centre et les rayons des cir- 
conférences inscrite et circonscrite. Une ligne brisée régulière 
ne diffère d'une portion de polygone régulier qu'en ce que 
son angle au centre n'est pas forcément une partie aliquote 
de quatre angles droits. 

THÉORÈME. 

209. 1° Deux polygones réguliers d'un même nombre de 
côtés sont semblables. 

1^ Leur rapport de similitude est égal à celui de leurs rayons 
ou de leurs apothèmes. 

Fig. .87. 




En effet : 

1" Ces polygones ont les angles égaux, puisque la valeur de 
l'angle d'un polygone régulier ne dépend que du nombre des 
côtés (267), et que le nombre des côtés est le même dans les 
deux figures; de plus, les côtés sont évidemment proportion- 
nels, puisque, dans l'une et l'autre figure, ils sont égaux. Donc, 
les polygones considérés sont semblables. 

2° Soient {fig- 187) AB le côié du premier polygone, son 
centre, OB son rayon, OF son apothème; soient de même A'B' 
le côté du second polygone, 0' son centre, O'B' son rayon, 
et O'F' son apothème. Les triangles rectangles BFO, B'F'O', 
sont semblables (202), puisque les angles FBO, F'B'O', sont 
égaux comme moitié des angles égaux ABC, A'B'C'(267). On 
a donc 

BF OB OF 



B'F' ~" OB' OF 



n 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES, 187 

mais, les polygones proposés étant semblables, leur rapport 
de similitude est égal au rapport des côtés AB, A'B', ou des 
demi-côtés BF, B'F'; il est donc aussi égal au rapport des 
rayons OB, O'B', ou au rapport des apothèmes OF, O'F'. 

SCOLIE. 

270. Supposons la circonférence divisée en m parties égales; 
désignons par a la longueur de l'une des parties, et joignons 
les points de division de /? en /?, à partir de Tun d'eux. 

Si p est premier avec m, la circonférence ma et l'arc pa 
sous-tendu par chacune des cordes successives auront pour 
plus petit multiple commun pma, et l'on reviendra au point 
de départ après avoir parcouru p fois la circonférence ou 
m fois l'arc pa. On aura donc formé ainsi un polygone régulier 
de m côtés. Par exemple, dans \^ fig- 190 où la circonférence 
est divisée en 10 parties égales, on obtient, en joignant les 
points de division de i en i, le décagone convexe, et enjoi- 
gnant ces points de 3 en 3 un décagone régulier étoile. 

Si p et m, au lieu d'être premiers entre eux, ont un plus 
grand commun diviseur 0, le plus petit multiple commun de 

l'arc pa et de la circonférence ma sera -^ f^- On reviendra 
alors au point de départ après avoir parcouru ~ fois la cir- 
conférence ou -^ fois l'arc pa-, en d'autres termes, on aura 

formé ainsi un polygone régulier de -r côtés, et non plus de 

m côtés. 

Au premier abord, il semble résulter de là qu'il existe au- 
tant de polygones réguliers (convexes ou étoiles) de m côtés 
[u'il y a de nombres premiers à m dans la suite i, 2,..., 
-I. Mais, si l'on remarque qu'en joignant les points de 
livision de p en p, p étant premier à m, on obtient le même 
lolygone qu'en les joignant de m— p en m —p, on voit qu'en 
réalité le nombre des polygones réguliers de m côtés est égal 
tu nombre des entiers premiers à m contenus dans la suite 

5 m—i 
1,2, 3,. .. , — 



l88 GÉOMÉTRIE PLANE. 

D'après cela, il n'y a qu'un hexagone régulier; il y a deux 
pentagones réguliers, deux décagones, quatre peniédéca- 
gones, etc. 

^ Vîl. - PROBLÈMES SUR LES POLYGONES RÉaULIERS. 

PROBLÈME. 
271. Inscrire un carré dans un cercle donné [Jig, i88). 




Il suffit évidemment de mener deux diamètres AC et BI) 
perpendiculaires entre eux, et de joindre leurs extrémités, 
pour avoir le carré demandé ABCD. 

Le triangle AOB, rectangle en 0, donne 



-2 2 2 2 



AB =0A -hOB =20A , d'où AB = OA.v^. 
Ainsi, le côté du carré inscrit dans le cercle de rayon R est 

égal à R.y/a. 

Il convient de remarquer que l'apothème du carré inscrii 
est égal à la moitié de son côté, et que le côté du carré cir- 
conscrit est égal au diamètre du cercle considéré. 

Corollaire. 
27*2. Du carré, on passe à l'octogone régulier inscrit en 
divisant [fig» i88) chacun des arcs AB, BC, CD, DA, en deux 
parties égales. On déduirait de même de l'octogone le poly- 
gone régulier de i6 cotés, . . . , et ainsi de suite. On peut donc, 
avec la règle et le compas, inscrire les polygones réguliers 
de 4» 8, i6, 32, .... , et, en général, de 2" côtés. 

PROBLÈME. 
273. Inscrire un hexagone régulier dans un cercle (Jig. 189). 
Supposons le problème résolu, et soit ABCDEF Thexagone 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 189 

demandé. En menant deux rayons consécutifs OA, OB, on 
obtient un triangle OAB qui est isocèle, et, par suite, dont 



Fig. 189. 





les angles A et B sont égaux. Mais, si Ton remarque que le 
rayon BO prolongé passe par le sommet E de l'hexagone, on 
voit que l'angle inscrit ABE a pour mesure la moitié de l'arc 
AFE, c'est-à-dire une division de la circonférence; et comme 
l'angle au centre AOB a aussi pour mesure une de ces divi- 
sions AB, les deux angles ABO et AOB sont égaux, et le trian- 
gle OAB est équilatéral. Donc, le côté de Vliexagone inscrit 
dans un cercle est égal au rayon R de ce cercle. 

Pour inscrire un hexagone régulier dans un cercle, il suffit, 
d'après cela, de porter six fois sur la circonférence une ou- 
verture de compas égale au rayon, et de joindre les points de 
division consécutifs ainsi obtenus. 

Corollaires. 
274-. En joignant de deux en deux les sommets de l'hexa- 
gone, on obtient le triangle équilatéral inscrit ACE. Le triangle 
rectangle ACD donne 



d'où 



AC =AD -CD =4R'-R» 
AC = R v'S. 



3RS 



i Ainsi, le côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle de 
rayon R est égal ^Ir R v/3; son apothème OG est d'ailleurs égal 
à la moitié du rayon, car la figure ABCO est un losange. 
_ 



igo 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



275. En menant des tangentes par les points B, D, F, on 
forme le triangle équilaléral circonscrit A'C'E', dont les côtés 
sont parallèles à ceux du triangle équilaléral inscrit ACE. Le 
rapport de similitude de ces deux triangles est égal (269) à 

OR 

rT7T> c'est-à-dire à 2. Ainsi, deux lignes homologues quelcon- 

Uli 

ques dans le triangle équilatéral circonscrit et dans le triangle 
équilatéral inscrit sont doubles l'une de l'autre. 

276. De l'hexagone, on passe au dodécagone régulier inscrit 
en divisant en deux parties égales les arcs sous-tendus par les 
côtés de l'hexagone; on déduirait de même du dodécagone le 
polygone régulier de 24 côtés,. . ., et ainsi de suite. On peut 
donc, avec la règle et le compas, inscrire les polygones régu- 
liers de 3, 6, 12, 24,. . ., et, en général, de 3.2" côtés. 

PROBLÈME. 

277. Inscrire un décagone régulier dans un cercle donné 

Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence 
divisée en dix parties égales par les points A, B, C, I), E, F, 
G, H, K, I. 

En joignant les points de division consécutifs, on obtient 
le décagone régulier convexe ABCDEFGHKI; en joignant les 
points de division de trois en trois, on obtient le décagone 
régulier étoile ADGICFKBEH (270). 11 s'agit de construire les 
côtés AB et AD de ces deux décagones. 




Fig. 191. 




Or, en remarquant (^^. 191) que le rayon BO prolongé passe 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. I9I 

par le sommet G, on voit que l'angle AMB, dont le sommet est 
à l'intérieur du cercle, a pour mesure la moitié de l'arc AB, 
plus la moitié de l'arc GD, c'est-à-dire deux divisions de la 
circonférence. D'ailleurs, l'angle inscrit ABG a pour mesure 
la moitié de l'arc AG, c'est-à-dire encore deux divisions; 
l'angle au centre BOD a aussi cette même mesure. Les deux 
triangles AMB, DM0, sont donc isocèles, et l'on a 

AM = AB, MD^OD ou AD - AM ^ OD. 

D'un autre côté, les angles OMA, DOA, étant égaux comme 
ayant l'un et l'autre pour mesure trois divisions, les droites OM 
et OD sont antiparallèles par rapport à l'angle OAD, et Ton 
a (192) 

AD.AM^ÂÔ'. 

Les deux relations précédentes montrent que la recherche 
des côtés AD et AB = AM revient à celle de deux lignes dont 
la différence est égale au rayon et dont le produit est égal au 
carré du rayon; on obtiendra donc ces deux côtés (259) en 
divisant le rayon en moyenne et extrême raison; le plus grand 
segment additif sera le côté du décagone régulier convexe, 
et le plus petit segment soustractif sera le côté du décagone 
régulier étoile. 
Si R est le rayon du cercle, on aura (259) 

AB=:R.^^^^^ et AD=:=R.A^ϱi. 



Corollaires. ^w.r^-t,-tN. ^<^r<A ^ 

278. La circonférence étant divisée en dix parties égales, 
enjoignant les points de division de deux en deux, on oh- 
lient \e pentagone régulier convexe ACEGK; en les joignant de 
quatre en quatre, on trace le pentagone régulier étoile AEKCG 

Pour calculer les côtés FD et FB {Jig. igS) du pentagone 
régulier convexe et du pentagone étoile, il suffit de remarquer 
que, si l'on mène le diamètre FA, les cordes AD et AB soni 
les côtés du décagone étoile et du décagone convexe. Or les 

■ _.___._._ '__.._..__ 



192 GÉOMÉTKIK l'LANE. 

xriangîes rectangles FAD, FAB, donnent 



\/^\V- 


-AD , 


FB= V/4K^-AB 


ig. 192. 

A 




Fig. 193. 

A 





d'où, en remplaçant AD et AB par leurs valeurs (277) et ré- 
duisant, 

-v/io-2v/5, FB = 5v/io4-2v'5. 



FD 



279. Du décagone convexe, on passe au polygone régulier 
de 20 côtés, puis à celui de ^o,. . ., et ainsi de suite, en pre- 
nant chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés 
du polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le 
compaSf inscrire les polygones réguliers de 5, 10, 20, 4o»- • •» 
et, en général, de 5.2" côtés. 

PROBLÈME. 

280. Inscrire un pentédécagone régulier dans un cercle 
donné [fig. 194). 

Supposons le problème résolu, c'est-à-dire la circonférence 
divisée en quinze parties égales par les points A, B, C, D, E, 
F, G, H, I, K, L, M, N, 0, P. 

En joignant les points de division de i en i, de 2 en 2, de 
4 en 4> de 7 en 7, on obtient les côtés AB, AO, AE, AI, du 
pentédécagone convexe et des trois pentédécagones étoiles. 

Considérons les côtés AB et AE; Q étant le milieu de l'arc 
CD, on a 

arcAQ= (2 + 1)^ = 1, 
arcQB = arcQE=(,+ ^)^ = ^. 



LIVRE m. — LKS FIGURES SEMBLABLES. IQS 

Donc, pour construire AB el AE, il suffit de porter, à partir 
du point A, une corde AQ égale au côté de Thcxagone, puis a 




partir de Q, et de part et d'autre de ce point, une corde 
QB = QE égale au côté du décagone convexe. 

Pour calculer AB et AE, abaissons du point Q les perpendi- 
culaires QSel QT sur ces côtés; l'égalité des triangles rectan- 
gles QAS et QAT, qui ont l'hypoténuse commune et un angle 
aigu égal QAS = QAT, donne 

AS = AT, QS = QT; 

puis, de l'égalité des triangles rectangles BQS, TQE, qui ont 
l'hypoténuse égale et un côté égal, on déduit 



On a donc 

AB = AS-BS 



ET = BS. 



el AE = AT -h TE 



AS + BS. 

Mais QS n'est autre que la moitié du côté du décagone con- 
vexe, puisque AQ est égal au rayon et que, l'arc BQ étant le 
dixième de la circonférence, l'angle inscrit BAQ est la moitié 
de l'angle au centre du décagone convexe; on a donc 



QS = ^(v'5-.); 



par suite, 



AS = sJaq' -~ Qs' = j Vio + 2s/5, 



BS= V^BQ'-Qs' = 5(y^ 



V^3). 



R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). 



l3 



194 GÉOMÉTRIE PLANE. 

On aura donc, d'après les relations ci-dessus, 

ABr=: I {Vio-i-2v/5-hv/3-v/"i5), 

AE = j (Vio + 1 v/5 - v/3 -I- v/"^). 

On verra de même que, X étant le milieu de ML, AX est le 
côté du décagone étoile et XO =: XI le côté de l'hexagone, ce 
qui permettra de construire et de calculer d'une manière ana- 
logue les côtés AO et AI des deux autres pentédécagones 
étoiles. En remarquant que XY est la moitié du côté du déca- 
gone étoile, on trouve 

AO =. ^ ( V/T.5 -4- v/3 -~ v/io-2v/5), 
AI = ^ ( V/^ -I- v/3 -}- v/io-a^5). 

281. Du peniédécagone convexe, on passe au polygone de 
3o côtés, puis à celui de 6o, . . ., et ainsi de suite, en prenant 
chaque fois les milieux des arcs sous-tendus par les côtés du 
polygone précédent. On peut donc, avec la règle et le compas^ 
inscrire les polygones réguliers de i5, 3o, 6o, 120,..., et en 
général de 3.5.2« côtés. 

PROBLÈME. 

282. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans 
un cercle donné, calculer le côté du polygone régulier inscrit 
d'un nombre de côtés double [Jig, igS). 




Soient kh ~ a le côté donné et R le rayon du cercle; 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. IqS 

CD étant le diamètre perpendiculaire à AB, AC sera le côté 
cherché, que nous désignerons par «'. 

La corde AC est moyenne proportionnelle entre le dia- 
mètre CD et sa projection CE = OC — OE sur ce diamètre; 
on a donc 

a'^= 2R(R - OE) = R(2R — 2OE). 

Mais le triangle rectangle AEO donne 



OE = \/\d-AE ou OE=i/K'-j = ls/^\\^-a' 



On a donc finalement 



(i) «'= v/r(2R— v'4R'— «0- 

En particulier, lorsqu'on prend le rayon pour unité, on a 



(2) a'z^sli— sl^ — a\ 

On peut donner à cette relation une autre forme plus com- 
mode pour le calcul numérique. Le produit de la somme 
2 -h y/4 — a% par la différence 2 — y/4 — a', est égal à la diffé- 
rence des carrés de 2 et de y/4 ~ <^% c'est-à-dire à 

4~(4-a')==a\ 
Par suite, or a 



2-s/4-«^ = — — = 

2-t-y/4 

et enfin 

(3) a' = 



\!i -\- y/4 — à" 

SCOLIE. 

,, 283. En partant d'un polygone dont on connaît le côté, on 

I pourra, par l'application répétée de la formule (3), calculer 
successivement les côtés, et par suite les périmètres des poly- 
gones réguliers inscrits de 2«, 4^, 8/î, i6/i, . . . côtés, n étant 
le nombre des côtés du premier polygone. Voici les résultats 
que l'on obtient en partant, soit du carré dont le côté est y/2 
I _ .__. _ __ ....,_ .....__ _......_ ._. 



196 GÉOMÉTRIE PLANE. 

dans le cercle de rayon i, soit de l'hexagone dont le côlo 
est I : 



Nombre des côtes. Dcml-pérlmètres. 

4 2,82842 

8 3,06146 

16 3,12144 

32 3,i3654 

64. 3,i4o33 

128 3,14127 



Nombre des côlôs. Demi-pcrlmètres, 

6 3,00000 

12 3, 10682 

24 3,13262 

48 3,13935 

96 3, i4io3 

192 3,14145 



Ces valeurs sont obtenues par défaut à moins dune unité du 
cinquième ordre décimal. 



PROBLEME. 



284. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit, 
calculer le côté du polygone régulier circonscrit semblable 

Fig. 196. 




Soient AB= a le côté donné et R le rayon du cercle; me- 
nons la tangente CD au milieu F de l'arc AB et prolongeons-la 
jusqu'aux points C et D, où elle rencontre les rayons OA et OB 
prolongés. CD sera le côté cherché (265); désignons-le par a. 

Les triangles semblables AOE, COF, donnent 



maison a (282) 

il en résulte 

(0 



CFOF «__5_. 

AE^OE ^" «""OE' 



2flR 

v/4R'— «' 



LIVUE 111. — LES FIGURES SEMBLABLES. 197 

En particulier, lorsqu'on prend le rayon pour unité, on a 



h) 



ia 



SCOLIE. 

285. Connaissant les côtés des polygones réguliers de n, in, 
4«, 8/1,... côtés, inscrits dans le cercle de rayon i, on aura 
parla formule (2) les côtés, et, par suite, les périmètres des 
polygopes réguliers circonscrits semblables. Voici les résul- 
tats que Ton obtient pour les séries qui dérivent du carré et 
de l'hexagone : 



Nombre des côtes. Demi-périmètres. 

4 4 j 00000 

8 3,3i37i 

16 3,18260 

32 3, 16173 

64 3,14412 

128 3,14223 



Nombre (les côlcs. Demi-périmètret. 

6 3,46411 

12 3,2i54o 

24 3,16967 

48 3,14609 

96 3,14^72 

192 3,14188 



Ces valeurs sont obtenues par excès à moins J une unité du 
cinquième ordre décimal. 

PROBLÈME. 
286 Étant donnés le rayon r et V apothème a d'un poly^ 
gone régulier de n côtés, calculer le rayon r' et l'apothème a' 
du polygone régulier qui aurait in côtés et le même péri- 
mètre [Jig. 197). 

Fig. 197. 




Soient AB le côté et le centre du polygone donné; en 
menant le rayon OGC perpendiculaire sur AB, on aura 



OC = r, OG = a. 



igS GÉOMÉTRIE PLANE. 

Tirons CA et CB, et joignons les milieux D et E de ces deux 
cordes. La droite DE, parallèle à AB et égale à sa moitié, sera 
le côté du polygone régulier qui a même périmètre et deux 
fois plus de côtés que le premier. D'ailleurs, l'angle DOE étant 
la moitié de l'angle au centre AOB du polygone primitif, le 
point sera encore le centre du nouveau polygone, ei l'on 
aura 

OD — I ', OF = a'. 

Or, le point F est le milieu de CG; donc 

(i) OF=i(OG+OC) ou a'=-(a + r). 

De plus, le triangle rectangle ODC donne (222) 

(2) Od'=:OC.OF ou r'^zr^r.a', 

d'où 

Les relations (i) et (?.) résolvent le problème proposé; la 
première permet de calculer a' ; puis, a' étant connu, la se- 
conde donne r'. 

SCOHES, 

287. La formule (i) peut encore s'écrire 

(i') i[a' — a] = r— «, 

(i") 2{r— a')=:r—a. 

288. On voit sur la figure que OF est plus grand que OG et 
que OD est moindre que OC. Donc, quand on passe d'un poly- 
gone régulier au polygone régulier isopérimètre d'un nombre 
de côtés double, l'apotlième augmente et le rayon diminue, 
de sorte que la différence entre le rayon et l'apothème va en 
décroissant. 

On peut voir que la différence r' — a' est moindre que le quart de Itt 
différence précédente r — <?. 
En effet, si du point comme centre, avec OD pour rayon, on trace 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES I99 

l'arc DIE, on a 

r'—a'=\F et r — a = CG = 2CF; 

il s'agit donc de prouver que IF est inférieur à la moitié de CF, c'est- 
à-dire que IF est moindre que CI. Or l'angle inscrit IDE et l'angle IDC 
formé par une tangente et une corde ont pour mesure, le premier la 
moitié de l'arc lE, le second la moitié de l'arc DI; ces angles sont donc 
égaux, et DI est la bissectrice de l'angle -CDF. Donc enfin le rapport do 
IF à IG est égal à celui de la perpendiculaire DF à l'oblique DG, et, par 
suite, moindre que i. 

Le même fait ressort des formules précédentes. 

Nous désignerons par a" et r" l'apothème et le rayon du polygone iso- 
périmètre de in côtés, en sorte que ia" = o! -\- r\ r"^ = a"r'. 

Cela posé, on a, en vertu de (i"), 

r' — ^' _ ^' — <*' _ «'(^' — ^') _ a' (r' — a') __ a' _^ ^' . 

r — a ~ •2{r — a') ~ i{ra' —a!'^) ~ i{r'^ — a"^) ~" i{a' -^ r') ~~4 «"* 

or, les apothèmes allant en croisant, le dernier membre est plus petit 
quel. 

289. On peut encore remarquer (D. Andri:, Nouvelles Annales, 1874) 
que chacun des rapports 

aJ'—a! r'—r" 
■> ; 



a — a 

est aussi inférieur à - • 

Cela est évident pour le premier ; car, en vertu de la formule (i") et de 

son analogue a"—a'^ -(/—«'), il est égal au rapport que 

nous venons de considérer. 
Quant au second, on a 

r' — r" d' a' r' r" — a" 



r r — a 



or, des trois facteurs qui figurent au dernier membre, les deux premiers 

sont inférieurs à i ot l'autre est moindre que -• 

4 



200 GÉOMÉTRIE PLANE. 



THÉORÈME. 



290. Étant donnés les périmètres p et ? de deux polygones réguliers 
ie n côtés f l'un inscrit, l'autre circonscrit à un même cercle, calculer 
les périmètres p' et P' des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 
in côtés. 

Le rapport de similitude ou celui des périmètres étant égal au rappori 
des apothèmes (269), on a {Jig. 197) 



d'où 



£__0G £'_0!D_OF 
P~0G' P'~0G~0D' 



OC ^ OG . 22 - 2ï, 

I ~ I l ~ I 



p V / P' 

D'ailleurs, les triangles semblables ODG, ACG, donnent 

OC_AG_y OCOD 

OD "" AG ■" /? ^^ L~ L' 
P p' 

OC ^ OG ^ Op ^ OF^ 
1 ~ I I I 

p V p' Y 

OF = 1 (OC + OG) et OD = /OCOF; 



On a donc 



mais (286) 



donc enfin 



p'-^l^p + py' p' 



§ VIII. — MESURE DE LA CIRCONFÉRENCE. 
DÉFINITIONS. 

291. Considérons {Jig. 198) un arc de courbe plane AB ei 
désignons par C, D, . . ., I, divers points situés sur cet arc el 
pris dans l'ordre suivant lequel un mobile décrivant l'arc AB 
de A vers B, sans jamais revenir sur ses pas, les rencontre- 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 201 

rail. C et D étant deux points consécutifs quelconques, nous 
nommerons angle de la corde CD avec la tangente au point G 
l'angle dont devrait tourner CD autour du point C supposé 
fixe pour que le point D vînt se confondre avec C. De même, 
l'angle de la corde CD avec la tangente au point D sera l'angle 
dont devrait tourner DC autour du point D supposé fixe pour 
que le point C vînt se confondre avec D. 

Supposons les points A, C, D, ..., I, B, assez rapprochés 
pour que chacun des arcs partiels AG, CD, . . ., IB, soit con- 
vexe et que sa corde fasse des angles aigus avec les tangentes 
menées à ses deux extrémités. Dans ces conditions, nous 
donnerons à la ligne polygonale AGD...IB le nom de ligne 
brisée inscrite dans l'arc AB, et nous appellerons ligne brisée 
circonscrite correspondante la ligne AM'N'.-.I'B dont les 
côtés touchent l'arc AB aux sommets A, C, D, . . ., I, B, de la 
ligne brisée inscrite. 

Gela posé, on ramène la notion de la longueur d'un arc de 
courbe à celle de la longueur d'une ligne droite, à l'aide de la 
définition suivante : 

La longueur d'un arc de courbe est la limite vers laquelle 
tend le périmètre d'une ligne brisée inscrite dans cet arc, 
lorsque les côtés de cette ligne tendent vers zéro. 

Toutefois, pour justifier cette définition, il faut prouver que cette 
/imite existe et est unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant 
laquelle les côtés tendent vers zéro. 

Pour plus de clarté, nous diviserons la démonstration en deux parties. 




1" Le rapport des périmètres d'une li^ne brisée inscrite et de la 
U^ne brisée circonscrite correspondante tend vers l'unité, quelle que 



iO?. GÉOMÉTRIE PLANE. 

soit la loi suivant laquelle les côtes de la ligne inscrite tendent vers 
zéro. 

En effet, soient M, N, . . . , T, les projections des sommets M', N', . . . , 
T', de la ligne circonscrite sur les côtés AC, CD, ..., IB, de la ligne 
inscrite. Puisque chacune de ces cordes fait des angles aigus avec les 
tangentes à ses extrémités, les points M, N, ..., T, tombent respecti- 
vement entre A et C, entre C et D, . . ., entre I et B (44). Le rapport 
considéré est donc égal au suivant 

AM^-h MT + CN^ + . . .-h r B . 
AM-hMG + GN-H...-hTB * 

et, comme la valeur de ce dernier est, d'après un théorème connu d'A- 
rithmétique, comprise entre les valeurs du plus petit et du plus grand 
des rapports 

AM' MX cn; ttb 

AM' MG' CN* "*' TB' 

il suffit de prouver que chacun de ces rapports tend vers l'unité. 

CN' 
Considérons, par exemple, le rapport -^ • Sur une droite «p inva- 
riable de grandeur et de position, construisons un triangle apy rectangle 
en p et dont l'angle aigu a soit égal à N'CN. Les triangles semblables 
CNN', a^Y donneront la proportion 

CN ~ a^' 

mais, lorsque le côté CD tend vers zéro, il en est de même de l'angle 
N'CN ou de son égal a. Par suite, la longueur finie et variable ay tend 
vers ap, et le rapport ci-dessus a pour limite l'unité. 

2° Le périmètre d'une ligne brisée inscrite dont les côtés tendent 
vers zéro, a une limite déterminée et indépendante de la loi d'inscrip- 
tion adoptée. 

En effet, une première ligne brisée étant inscrite dans l'arc AB, joi- 
gnons un point quelconque de chacun des arcs sous-tendus par ses divers 
côtés aux extrémités du côté correspondant. Nous formerons ainsi une 
nouvelle ligne brisée inscrite ayant deux fois plus de côtés que la pre- 
mière. En opérant sur celle-là comme sur la précédente, et ainsi de 
suite, nous obtiendrons une série illimitée de lignes brisées inscrites 
suivant une loi particulière, hts périmètres (Jn q^^qs, . . ., de ces lignes 




LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 2o3 

croîti-ont sans cesse et, comme ils restent moindres que le périmètre 
d'une ligne brisée, quelconque circonscrite à l'arc AB, ils tendront vers 
une limite déterminée L. D'ailleurs (i"), les périmètres Qi, Qa, Q3, •• -, 
des lignes brisées circonscrites correspondantes tendront vers la même 
limite L. 

Considérons maintenant une suite de lignes brisées inscrites dans 
l'arc AB suivant une loi quelconque, et dont les côtés tendent vers 
zéro. 

Soient/? le périmètre d'une ligne de cette série et P le périmètre de 
la ligne brisée circonscrite correspondante. P étant plus grand que l'une 
quelconque des lignes ^1, 72, qz-, •••, sera supérieur ou égal à leur 
limite L. D'autre part, p étant moindre que l'une quelconque des lignes 
Qij Q2, Qs, . • • , sera au plus égal à leur limite L. 

On aura donc 

P^L<P, 

-p-p 

p 

Mais le rapport - a pour limite l'unité (1°). Par conséquent, le rapport 

~, étant compris entre i et une quantité qui tend vers i, a l'unité pour 

limite. 
En d'autres termes, p a aussi pour limite L. 

292. De là résultent les propositions suivantes : 

1° La ligne droite est le plus court chemin d'un point à un 
autre. 

Nous avons déjà démontré (38) qu'une portion de droite AB est 
moindre que toute ligne brisée ayant les mêmes extrémités A et B. Con- 
sidérons maintenant un arc de courbe quelconque AMB; soient L sa 
longueur et L' la longueur d'une ligne brisée inscrite dans cet arc. L'iné- 
galité (38) 

AB < L' 

subsiste quand les côtés do la ligne brisée tendent vers zéro ; on a donc 
à la limite 

• AB < L. 



2o4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

2° Tout arc convexe a. est moindre qiCune li^nc quelconque p qui /V/i- 
veloppe en partant des mêmes extrémités. 

Il suffit, en effet, de concevoir une ligne brisée convexe a' inscrite 
dans l'arc a et une ligne brisée p' inscrite dans l'arc p et n'ayant aucun 
point commun avec l'arc a. On aura alors (39) a'< p', et par suite à la 
limite, lorsque les côtés des lignes brisées tendent vers zéro, a < p. 

On verrait, par un raisonnement analogue, que le périmètre d'une 
ligne convexe fermée est moindre que le périmètre de toute ligne qui 
l'enveloppe. 

3° Le rapport d'un arc de courbe AC à sa corde [fg. 198) « pour li- 
mite l'unité, lorsque l'arc tend vers zéro. — Car, en menant les tan- 
gentes AM' et CM', on a (i*) 

corde AG < arc AC < AM' -f- M'C, 
d'où 

arcAG AM'-i-IvrC 
* *^ corde AC"^ AMh-MG * 

Or, on a prouvé (291, i") que ce dernier rapport a pour limite l'unité 
lorsque l'arc AG tend vers zéro. La proposition est donc démontrée. 

THÉORÈME. 

293. Le rapport de deux circonférences quelconques est 
égal au rapport de leurs rayons. 

Soient K et R' les rayons, et C et C les longueurs de deux 
circonférences; inscrivons dans la première un polygone ré- 
gulier quelconque et, dans la seconde, un polygone régulier 
d'un même nombre de côtés. P et P' étant les périmètres de 
ces polygones, on aura (212, 269) 

P_R 
P' ~ H'' 

Cette proportion, ayant lieu quel que soit le nombre des côtés 
des deux polygones, subsistera quand on fera croître ce nom- 
bre indéfiniment; mais alors, les périmètres P et P' tendront 
vers leurs limites respectives C et G' (291) et leur rapport 

tendra vers jr,' On aura donc, à la limite, 

C _ R^ 
C ~ K' * 



liviie iii. — les figures semblables. 2o5 

Corollaire. 

294. La proposition précédente donne 

C_C^ C _ C 

K~R' ^" 211 ~2K'' 

Donc, le rapport d'une circonférence à son diamètre est le 
même pour toutes les circonférences; en d'autres termes : 

Le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre 
constant. 

Ce nombre, qu'on représente ordinairement par tt, est in- 
commensurable (^ ); on ne peut donc pas l'avoir exactement; 
mais on peut le calculer, comme nous le montrerons bientôt, 
avec telle approximation qu'on veut. Voici sa valeur en déci- 
males, ainsi que celle de son inverse et de son logarithme : 

TT = 3,141592653589793 23846. . ,, 

- — o,3i83o 98861 83790 67 153. . . , 

Iog7r= 0,49714 9^7^694 '33 85435. . .. 

En donnant à la formule —r- = 7: les deux formes 

2U 

C = 27rR. R = — , 

271 

on voit : 1° que, pour calculer la longueur d*une circonfé- 
rence, il faut multiplier par le nombre n le double de la Ion- 
gueur du rayon; 2° que, pour calculer le rayon d'une circon- 
férence, il faut diviser par tt ou multiplier par - la moitié de 
la longueur de la circonférence- 
Exemples : 

1° Quelle est la circonférence d'une roue de voiture dont 
le rayon est de o™,65? 



( » ) Voir la Note II à la fin du Volume. 



9.o6 GfiOMETRIE PLANB. 

En multipliant le rayon o'",65 par 6™, 28 qui est la valeur de 
27: à moins d'un centième, on trouve pour la circonférence 
cherchée 4"So8 à moins d'un centimètre. 

1° Quel est le rayon du méridien de Paris ? 

On sait que la demi-circonférence de ce méridien est do 
20000000 mètres; en multipliant ce nombre par o,3i83o9g, 

qui est la valeur de - à moins de l dix-millionième, on trouve 

pour le rayon cherché 6366197 mètres à moins de i mètre. 

295. La longueur de l'arc de 180 degrés dans le cercle de 
rayon R, c'est-à-dire de la demi-circonférence, étant ttR, la 

ttR 

longueur de l'arc de i degré sera -^5 et, par suite, la lon- 
gueur l de l'arc de n degrés dans le cercle de rayon R a pour 
expression 

/_ 7:R^ 
180 ' 

Cette formule et les deux suivantes 

180/ „ 180/ 

n=: rr-) R= J 

ttR Tzn 

qu'on en déduit, servent à calculer l'une quelconque des trois 
quantités /, n, R, lorsqu'on connaît les deux autres. 

Exemples : 

1° Sur une circonférence dont le rayon a ©'",90, quelle est 
la longueur de l'arc de 25°45'? 

On a ici 

^ 45 . 3 io3 

bo 4 4 

et, par suite, 

i[o3 
'-^ 4 io37r io3.3,i4 , 

:So 800 800 "" ,40.... 

2» Quel est l arc dont la longueur est égale au rayon P 



LIVRE III. ~ LES FIGURES SEMBLABLES. 207 

La seconde des formules qui précèdent donne pour le nom- 
bre de degrés de cet arc 

n = ^^ — i8o«Xo,3i83og88... = 57°i7'44",8o.... 

3° Quel est le rayon du cercle dans lequel l'arc de 3o degrés 
vaut I mètre? 

La troisième formule donne 



r 



R=-^ = - =:6.o,3i83=:i-,9io. 



THÉORÈME. 

296. Deux arcs semblables, c'est-à-dire deux arcs qui ré- 
pondent à des angles au centre égaux dans des cercles diffé- 
rents, sont proportionnels à leurs rayons. 

En effet, soient / et /' les longueurs des deux arcs, R et R' 
leurs rayons, et 0' les angles au centre égaux qui corres- 
pondent à ces arcs; on a 

/ _ l' _ 0' 

2 7:11 4f'f'oits 2T.K' 4clroils' 

d'où, en divisant membre à membre et observant que = 0', 

/' ~~R'* 

Sgolie. 

207. Dans la pratique, on évalue les angles en parties aliquotes de la 
circonférence, c'est-à-dire en degrés, minutes et secondes. Il n'en est plus 
de même en théorie, lorsqu'on veut introduire un angle dans une formule. 

Soient VOX un angle et w le nombre qui le mesure, c'est-à-dire le rap- 




port de cet angle à l'angle unité UOX {Jig. 199). Décrivons du sommet 
commun comme centre une circonférence, et désignons respectivemen* 



2o8 GÉOMÉTRIE l'LANE. 

par r, /, /', les nombres d'unités linéaires contenues dans le rayon et dan ^ 

les arcs AM, AN, interceptés entre les côtés des deux angles VOX, UOX. 

La proportionnalité des angles au centre aux arcs interceptés (126) 

donne 

VOX / 



UOX ^" ^-/' 



Donc 



1° Si on laisse arbitraire l* unité lincnire et Vunité angtiltiircj un angle 
quelconque a pour mesure le rapport des nombres cV unités linéaires con- 
tenues dans les arcs que V angle considéré et V angle unité interceptent 
sur une circonférence quelconque, décrite de leur sommet commun comme 
centre. 

a° Si, sans fixer aucune des deux unités, on les fait correspondre l'une 
à l'autre, c'est-à-dire si Von prend pour unité d'arc l'arc intercepté par 
l'unité d^ angle j on a /'= i, et w = /. 

Dans ce cas, un angle quelconque a même mesure que rare compris 
entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre avec un rayon 
quelconque; c'est le théorème du n** d27. 

3° Souvent, au lieu d'établir la correspondance entre l'unité linéaire et 
l'unité angulaire, on laisse indéterminée l'unité de longueur, et l'on fixe 
l'unilé d'angle ; on prend pour unité angulaire V angle qui intercepte sur 
une circonjérence quelconque un arc égal au rayon. On a alors /'= r, et 
par suite 

« = - ou / = wr. 



Bans ce cas, un angle quelconque a pour mesure le rapport de Vare 
qu'il intercepte sur une circonférence quelconque décrite de son sommet 
comme centre, au rayon de cette circonférence^ et inversement, Varc est 
égal à l'angle multiplié par le rayon. 

Pour rendre facile la comparaison entre ce mode de mesure et l'éva- 
luation en degrés, minutes et secondes, il suffit de rappeler (295, a°) que 
l'angle unité est alors de 57°i7'44",8o 

Ajoutons enfin que si, après avoir fixé de la sorte l'unité d'angle, on 
prend de plus le rayon r pour unité de longueur, on établit ainsi la cor- 
respondance des unités linéaire et angulaire, et l'on retombe sur la for- 
mule w = /. L'angle droit est alors mesuré par - = i ,5707. . ., l'angle 

de 45 degrés par -?•••) CvC. 
4 




LIVRE m. — LES FIGURES SE31CLABLES. 2O9 

PROBLÈME. 

298. Calculer le rapport de la circonférence au diamètre, 
La formule 

montre que, pour avoir tt, on peut : 

Soit se donner le rayon R et calculer la longueur de la cir- 
conférence C : c'est la méthode des périmètres; 

Soit se donner la circonférence C et calculer le rayon R : 
c'est la méthode des isopérimètres, 

299. Méthode des périmètres. — Pour R = i, la formule (i) 
donne r = yC; le nombre tt est donc égal à la demi-circonfé- 
rence de rayon i. Par suite, le demi-périmètre de tout poly- 
gone inscrit dans cette circonférence est une valeur de tt 
approchée par défaut, et le demi-périmètre de tout polygone 
circonscrit est une valeur de tt approchée par excès. Donc, si 
on calcule, comme au n*>283, en parlant du carré inscrit, les 
demi-périmètres des polygones réguliers inscrits de 8, i6, 
32, . . ., côtés, les nombres obtenus seront des valeurs par dé- 
faut do plus en plus voisines de tt; et de même, si, en partant 
du carré circonscrit, on calcule, comme au n° 285, les demi- 
périmètres des polygones réguliers circonscrits de 8, i6, 32,..., 
côtés, on aura des valeurs par excès de plus en plus voisines 
de TT. Par exemple, on trouve (283, 285) pour les demi-pé- 
rimètres des polygones réguliers inscrit et circonscrit de 
128 côtés. . . 3,14127 et 3, 14223; on conclut de là que 7: est 
compris entre ces deux nombres et que 3,142 est sa valeur à 
moins d'un millième. 

On peut aussi partir de l'hexagone et calculer, comme aux 
n°» 283 et 285, les demi-périmètres des polygones réguliers 
inscrits et circonscrits de 12, 24, 4S>- • • > côtés. 

Ainsi présentée, la méthode des périmètres est très-labo- 
rieuse; mais en revanche elle est très-simple en principe; 
c'est d'ailleurs la méthode suivie par Archimède, l'illustre géo- 
mètre qui vivait à Syracuse 25o ans avant J.-C, et auquel appar- 
tient la gloire d'avoir trouvé le premier le rapport de la circon- 

U. et DE C. — 7>. de Gconi. (I" Partie). l4 



2IO GÉOMÉTRIE PLANE. 

férence au diamètre. Archimède, en parlant de l'hexagone ei 
en s'arrêtant aux polygones inscrit el circonscrit de 96 côtés, 

a prouvé que tt était compris entre 3 h el 3 h Ce der- 
nier nombre 3 h ou — y qui surpasse 7: de moins d'un demi- 

70 7 

centième, suffît dans beaucoup d'applications. 

Il convient de signaler encore la valeur par excès — r? qui 

est due à Adrien Métius, el dont l'erreur n'alleintpasun demi- 
millionième. 

Nous allons voir que la méthode des isopérimèlres, publiée 
en 1 8 1 3, à Nancy, par le géomètre Schwab, conduit à des calculs 
beaucoup plus simples; nous reviendrons ensuite sur la mé- 
thode des périmètres, pour montrer qu'on peut la présenter 
de telle sorte qu'elle conduise identiquement aux mêmes cal- 
culs que celle des isopérimètres. 

300. Méthode des isopérimètres. — Elle est fondée sur le 
principe suivant : 

Le nombre - est compris entre les valeurs a et r de l'apo- 
thème et du rayon de tout polygone régulier dont le péri- 
mètre est égal à 2, et Von peut prendre le nombre n des côtés 
du polygone assez grand pour que ces valeurs approchent au- 
tant qu'on voudra de - • 
^ 7: 

En effet, le périmètre du polygone étant compris entre la 
circonférence inscrite et la circonférence circonscrite, on a 

2 7:a <^2 <^2 7rr, d'où ««<-<Cr. 

D'ailleurs, l'excès du rayon OA = r sur l'apothème OG = a 

fig, 197) étant moindre que la moitié AG du côté du polygone, 

2 
et le côté ayant pour valeur -? on a 

r — rt < - -, 
n 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLÂELES. 



211 



on peut donc prendre n assez grand pour que les différences 



II 



a et r ; 



ùî sont inférieures h r—a, deviennent moindres que toute 
quantité donnée. 
L'application simultanée de ce principe et du problème du 

n" 286 permet de calculer - et par suite tt avec telle approxi- 
mation qu'on voudra. 

On partira d'un polygone dont on sache trouver directement 
l'apothème et le rayon, par exemple du carré dont le périmètre 

est égal à 2 ; le côté étant égal à - ? l'apothème aura pour valeur 

«= -^ et,Ie rayon,r= i/ ( -^ J +(7) = tV^^. Puis, à l'aide 

des formules du n° 286, qn calculera successivement les apo- 
thèmes et les rayons «< et n, «2 et r2, . . ., a^ et r^t, . . ., des 
polygones réguliers et isopérimètres ayant 4-2, 4-2^, ..., 
4.2^, . . ., côtés. 
Voici le Tableau des calculs jusqu'au polygone de 128 côtés : 



I 



a = o,25ooooo. . 
«1 = 0,8017767. . 
a^ = o,3r42o87. . 
«3 =z 0,3172865. . 
«4 = o,3i8o54i . . 
as = 0,3182459. . 



r rr= 0,3535534. . 
Pi = 0,3266407. . 
r2 = o,32o3644' • 
rs = 0,3188217 . . 
rji = 0,3184377. . 
r5=o,3i834i8.. 



La dernière ligne montre que - est compris entre o,3i82 et 

TT 

0,3181, et par suite a pour valeur o,3i83, à moins d'un dix- 
millième ; quant à tt, il est compris entre 



0,3182459 



= 3, 142 



et 



0,3183419 



=:3,i4r. 



c'est-à-dire entre 3,i4i et 3, i43; il a donc pour valeur 3, 142, 
à moins d'un millième. 



On peut remarquer que r= -^ est la moyenne arithmétique 



212 GÉOMÉTRIE PLANE. 

entre o et - et que r r-= - ^ est la moyenne géométrique entre 
et «, et l'on est ainsi conduit à ce théorème : 



2 

r 



Le nombre - est la limite vers laquelle tend la suite des 
nombres 



I 
G,-, «, r, «2i, rj, ^2, /'a, 



obtenus en partant de o et -> et prenant alternativement la 

moyenne arithmétique et la moyenne géométrique entre les 
deux qui précèdent. 

Pour compléter l'exposition de la méthode, il reste à chercher une li- 
mite du nombre des opérations à faire pour obtenir tt avec une approxi- 
mation donnée. 

Pour obtenir — à moins de — - > il suffit qu'on ait 

TT 10"" ^ 

Mais la différence r/c — a/c est moindre successivement (288) que 

4 
et, par conséquent, que 



(r/c-i — afc-i), 7^(a-2 — «/r-2), .-., (ri — ai), 



I 



4/M0 

puisque rj — ai = 0,0248. . . est inférieur à — -• L'inégalité primitive sera 

40 

donc vérifiée si l'on a 



4/c> lo'/i-i, d'où k> '" 



et, a fortiori, 



log 



^->f (/^^-i), 



3 I 

puisque log4 = 0,602. . . est supérieur à -• Donc, pour a^mr - a moins 



de — - f il suffit de pousser les calculs jusqu^au polygone de ^.1^ côtes, 

5 
k étant V entier égal ou immédiatement supérieur à - [m — \) 

D'ailleurs, dès qu'on connaît uns valeur approchée do - avec m dt'ci- 



LIVRE III. ~ LES FIGURES SEMBLABLES. 2l3 

maies exactes, m étant plus grand que 2, on peut compter sur m — i 
décimales exactes dans la valeur approchée qui en résulte pour - ( M • 

301 . On voit par ce qui précède combien le travail est considérable ; toute- 
fois, on peut l'abréger considérablement à l'aide de la proposition suivante : 

Le nombre - est compris entre les deux quantités 

ri—^ir—r^), a^-^ -[a^ — a], 

où a et r désignent Vapothème et le rayon d'un polygone régulier quel" 
conque j dont le périmètre est égal à 2, et ai et ri Papothème et le rayon 
du polygone re'gulier isopérimètre d\in nombre de côtés double (E. Rou- 
CHÉ, ISouv. annales, 18S2). 

En effet, n étant le nombre des côtés du premier polygone, désignons 
par aky r^t l'apothème et le rayon du polygone isopérimètre dont le nombre 
des côtés est n.i^. Les rapports (289) 

a^ — Clf a^ — cil ^m — ^m—l 



I 



ai — a «2 — «1 «m-l — «m-2 

étant moindres que - ? il en est de même du rapport obtenu en divisant la 
somme des numérateurs par celle des dénominateurs ,c*est-à-dire du rapport 

^m — ^1 

et, par conséquent, de sa limite 

I 

- — ai 



I 
a 

TT 



(*) En effet, si l'on désigne respectivement par e' et e les erreurs corres- 
pondantes de TT et de-» et par e' et e les valeurs absolues de ces mêmes cr- 

7r 



reurs, on a 










I 




I 




^ 1 d'm'i 1-' < 






H- 5 




'.{H ^ 


n en conclut 

ourvu que l'on ait 








<?'<I0ff, 


'est-à-dire, 






e 


7t\7r /^lO 

<^^<^(o,o.). 



ÎU-')' 



2l4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

lorsque rentier m croît indéfiniment; on a donc 

«1 

~ <7 d'où -<«i-i- ^(ûT,— û). 

a 

En raisonnant de môme sur les rapports 



on trouvera 



I 



- <7, dou _>ri— - (/-—ri). 



_ I 4 Tî 3 

TT C. 0. F. D. 



Cela posé, revenons à la suite de Schwab 

o, -y a, r, «1, ri, «2» ^2> «3 '*3, ••• 

Tandis que la méthode ordinaire des isopérimètres consiste à prendre 
ak et r^r pour une valeur approchée de - > la méthode perfectionnée con- 
sistera à prendre les limites plus resserrées 

rk— :^irk-i — rjc) et «A:-»- 3 («A:— «Ar-l)- 

Pour comparer la marche de l'approximation dans les deux cas, remar- 
quons que la différence entre les deux limites précédentes 



ou (289) 



^(^c-i — fik-i ) — '^[rk — ak) 



[rk — ak]— ô (a— «A:)= o 



3 cik '3 3 ak 

est moindre que 

■-{rk—cikrt 

3 

puisque a>t, au moins égal à «i = o, 3oi . . ., reste supérieur à — • D'a- 
près cela, pour obtenir - à moins de — - > il suffit qu'on ait 

Cl, a fortiori, 



\4^'ioJ 



^ 4 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 210 

puisque r^ — a/c est inférieur (300) à —. et que - est supérieur à 4- 

4*' . 1 o 2 

On déduit de là successivement 



42A-+l>,o'»-S 2A'-hI>'^^'>|(/72-l), X->i(5/W-8), 



I 

^^m Xinsi, pour avoir - à moins de — -^ H suffira de pousser les calculs 

jusqu'au polygone de ^.i'' côtés, k étant V entier égal ou immédiatement 

supérieur à -{5m — 8 ) . 

Cette nouvelle limite étant au plus égale à la moitié de celle du numéro 
précédent, on voit que l'emploi de la met/iode perfectionnée diminue 
^ certainement le travail de moitié, 

302. Retour à la méthode des périmètres. — Nous avons dit (299) que 
la méthode des périmètres convenablement dirigée conduisait à des cal- 
culs identiques aux précédents. 

En effet, /> et P étant les périmètres de deux polygones réguliers sem- 
blables, l'un inscrit, l'autre circonscrit, et /?' et P' étant les périmètres des 
deux polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés 
double, on a (290) 



Les nombres 



P' 2VP"^/J' p' \/p'*/V 



V p V p 



sont donc, à partir du troisième, alternativement moyens arithmétiques 
et moyens géométriques entre les deux qui précèdent. D'ailleurs, si l'on 



I 



prend le rayon du cercle égal à - > on a 

1^ = 1- ou - = - 

' Te L 



et, par suite, - est la limite de la suite formée parles inverses des péri- 
mètres des polygones réguliers circonscrits et inscrits dont le nombre 
des côtés va en doublant. Enfin, si l'on part des carrés circonscrit et 
inscrit, les deux premiers teimes de la série sont 

I _ I I _ v/2 
p-4' P~~^' 
et l'on retombe sur le théorème de Schwab énoncé au n° 300. 



^w 



2l6 GÉOMÉTRIE PLANK. 

APPENDICE DU LIVRE III. 

I. — Principe des signes. 

DKS SEGMENTS RECTILIGNES. 

303. Par définition un segment rectiligne désigné par AB est la portion 
de droite AB parcourue de A versB; A est V origine, B q?,\,V extrémité Qi la 
droite indéfinie X qui contient A et B est la base du segment. 

Deux segments sont dits consécutifs lorsque le second a pour origine 
l'extrémité du premier. 

Quand plusieurs segments sont situés sur une môme droite ou sont pa- 
rallèles à une même droite, on choisit, parmi les deux sens dans lesquels 
cette droite peut être parcourue, celui que l'on veut appeler sens positif; 
puis on attribue au nombre qui mesure la longueur de chaque segment 
le signe h- ou le signe — suivant que le segment considéré est décrit 
dans le sens positif ou dans le sens opposé. Ce nombre ainsi précédé d'un 
signe est la valeur algébrique du segment. Par exemple, en supposant 
que la distance des points A et B renferme 5 unités de longueur, et que le 
sens positif de la droite X [fig. 9.00) soit celui de la flèche, on a 

AB = H- 5, BA = — 5 

d'où 

(i) AB=— BA. 

Lorsque dans une question on a à considérer plusieurs segments de 
même base, il e^ utile le plus souvent de les rapporter à une même 
origine, c'est-à-dire d'exprimer chacun d'eux en fonction de segments 
ayant pour origine commune un point pris à volonté sur la droite X. 
On y parvient au moyen de la formule 

(2) AB = OB-OA, 

qui est vraie quelles que soient les positions relatives des points 0, A, B sur 

Fig. 200. 



V A ] B î^ 

la droite X; car, suivant que le point intermédiaire est 0, A ou B, on 3 

AB = AO + OB, OB = OA-hAB, OA=OB + BA; 

d'où l'on tire toujours pour AB la valeur (2) si l'on a égard à la for- 
mule (i). 

La position d'un point A sur une droite OX est déterminée sans ambi- 
guïté dès qu'on connaît le segment OA compté à partir d'un point fixe 0, 



IIVRB III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



21' 



choisi d'ailleurs à volonté sur la droite. On donne à ce segment OA le 
nom di* abscisse du point A; cette définition permet d'énoncer aisément 
la formule (2) : Un segment quelconque AB est égal à l'abscisse de son 
extrémité^ diminuée de V abscisse de son origine A. 

Comme application de cette règle, nous proposerons au lecteur de vé- 
rifier les relations 

OA -h OB = 2OI, OA.OB = ÔI^— Âï^ 

entre trois points quelconques 0, A, B situés en ligne droite, I étant le 
milieu de AB; il suffit de rapporter tous les segments à l'origine 1. 

L'emploi des signes permet de raisonner d'une manière générale et de 
se débarrasser de certaines conditions de situation qui rendent les dé- 
monstrations pénibles et les énoncés obscurs. Par exemple, quand on a 
égard aux signes, la proposition du n" 179 s'énonce : Sur la droite indé- 
finie X' X qui passe par deux points A et B, // existe un seul point M tel 

MA 

que le rapport ^ ait une valeur assignée. Ce point est situé entre A 

et B, ou sur l'un des prolongements de AB, suivant que la valeur du rap- 
port est négative ou positive. Ainsi énoncé, ce lemme permettrait de 
simplifier notablement les démonstrations des n°* 184, 236, 237. 



DES ANGLES. 

301. Considérons un cercle de rayon égal à l'unité {fig. 201) et deux 
diamètres perpendiculaires A'A et B'B. Supposons qu'un mobile M par- 
tant de A décrive la circonférence en tournant dans un sens déterminé, 
par exemple dans le sens opposé au mouvement des aiguilles d'une 
montre; ce mobile décrira un arc x qui, nul au départ, prend successi- 
vement les valeurs -> tt, — ? 277, — , ... à mesure que le mobile ar- 
222 ^ 

rive respectivement aux points B, A', B', A, B. .. .. Si le mobile, partant 
toujours du point A que nous prenons pour origine des arcs, tournait en 






Fig. 201 






M' 




Y 
B 


M 




/ 


\ 


V 


\ 




A' P' 

V 


/ 


\0 

Q' \ 


P A 


1 


M 




B' 


M' 





sens inverse, il décrirait des arcs négatifs égaux respectivement en va- 
leur absolue aux arcs positifs décrits âans le premier cas. D'après cela, 



2l8 GÉOMÉTRIE PLA1n£. 

l'arc x est une variable qui peut passer par tous les états de grandeur do 
— oo à -f-oo. 

Tous les arcs qui, ayant la même origine A, ont une même exirémité 
M, sont compris dans la formule 2 kir -^ x, où x désigne le plus petit des 
arcs positifs qui vont de A en M et k un nombre entier quelconque posi- 
tif, nul ou négatif; en effet, deux arcs quelconques de la série diffèrent 
évidemment d'un certain nombre de tours, c'est-à-dire d'un multiple de 277. 

Gela posé, soient u et t> deux directions données et OU et OV deux 
demi-droites menées par un point arbitraire parallèlement à ces direc- 
tions. Du point comme centre, décrivons (^^.199) un cercle de 
rayon i , et désignons par N et M les points où ce cercle rencontre res- 
pectivement OU etOV; enfin prenons pour sens positif sur ce cercle le 
sens opposé au mouvement des aiguilles d'une montre. On nomme 
angle de la direction u avec la direction v ou angle de la demi-droite OU 
avec la demi-droite OV, l'angle qui a pour mesure a -h 2/7T, a étant le 
plus petit arc positif ayant N pour origine et M pour extrémité, et k un 
nombre entier quelconque positif nul ou négatif. Cet angle, ainsi défini, 
n'est déterminé qu'à un multiple près de 27t; on le désigne par UOV; 
OU est le côté origine et OV le cté extrême. 

En vertu de cette même définition, on aura pour l'angle VOU de la di- 
rection OV avec la direction OU, la valeur — a -h 2A'7r; on a donc alors 

(1) U0V = -V0U-4-2/?*7r. 

SOS. Deux angles de même sommet sont dits consécutifs lorsque le 
côté origine du second est le côté extrême du premier. 

Quand plusieurs angles ont le même sommet 0, il est commode le plus 
souvent de les rapporter à un même côté origine OX; on y parvient à 
l'aide de la formule 

(2) UOV=XOV-XOU-4-2«7r, 

que l'on démontre de la manière suivante. Désignons respectivement 
par a, p, y les plus petites valeurs positives des arcs AN, NM, MA comp- 
tés sur le cercle de rayon i ayant pour centre : on a évidemment, 

a 4- p -h Y = 2X71, 
X étant un entier positif. 
Mais les définitions du numéro précédent donnent 

X0U = a-4-2/:7r, 
UOV =P + 2A-'ir, 
XOV = — VOX = - Y + 2rir, 

et il sufHt de tirer de ces relations a, p, y et de les porter dans la pré- 
cédente pour tomber sur la formule (2) qu'on énonce ainsi : L'angle 



LIVRE III. 



LUS FIGURES SEMBLABLES. 



219 



UOV de la direction OU avec la direction OV est e'gal à l'angle qu'une 
direction quelconque OXfait avec le côté extrême OV -, diminue' de l'angle 
que la même direction OX fait avec le côté origine OU. 

TIIÉOUIE DES PROJECTIONS. 

306. Soient X'X et Y' Y deux droites qui se coupent en un point 
{fig. 202); A étant un point quelconque du plan XOY, on nomme pro- 
jection du point A sur X' X le point a où cette droite rencontre la paral- 





lèle à Y' Y menée par A. La droite ka reçoit le nom ^q projetante du 
point A et la droite X'X celui d'«x<? de projection. 

La projection est dite orthogonale ou oblique suivant que Y' Y est per- 
pendiculaire ou oblique sur l'axe X'X. 

On nomme projection d'un segment AB le segment ab qui a respective- 
ment pour origine et pour extrémité les projections de l'origine et de 
l'extrémité du segment AB. 

Fig. 202'. 
T/ 





On nomme résultante de plusieurs segments consécutifs AB, BC, CD, 
DE {^^g. 20-2'), le segment AE qui a pour origine l'origine du premier, et 
pour extrémité l'extrémité du dernier; les segments AB, BG, CD, DE 
prennent le nom de composantes. 

La projection de la résultante est la somme (algébrique) des projections 
des composantes ; en d'autres termes, on a, quel que soit le sens positif 

adopté pour X'X, 

Iae = ab -h- bc -h cd -+■ <7<?, 



:Î20 GtOMÉTlllE l'LANE. 

c'est-à-dire 

ab -\- bc -Jr cd -h de h- ert = o. 

En effet, en rapportant tous les segments qui figurent dans le premier 
membre à une origine commune, ce premier membre prend la forme 

i^ob — oa) -f- (oc — oô) -4- {od — or) + {oe — od) -h {oa — oé)^ 

dans laquelle chaque terme est détruit par un terme égal et de signe con- 
traire. 

Tel est le théorème général des projections, La Trigonométrie permet 
de traduire cet énoncé en une relation entre les segments consécutifs et 
leurs inclinaisons sur l'axe de projection. 

307. Pour arriver à ce but, nous commencerons par généraliser la pro- 
priété fondamentale des triangles rectilignes ( * ). 

Assignons aux droites qui forment les côtés d'un triangle un sens posi- 
tif choisi à volonté pour chacune d'elles; les segments et les angles rela- 
tifs à ces directions auront dès lors des signes bien déterminés, et l'on 
pourra énoncer le théorème suivant : 

Bans tout triangle rectiligne ABC on a, en grandeur et en signe, les 
relations 
(,) AB ^ BG ^ GA 

sin(a,^) sin(p,7)~sin(7,a)' 

dans lesquelles a, p, '^ désignent respectivement les directions positives des 
droites opposées aux sommets A, B, G. 

En effet : observons d'abord que si les relations (i) sont vraies pour 
un choix particulier des directions positives, elles subsistent quand on 
change le sens positif de l'une des trois droites; car, si l'on change, par 
exemple, le sens positif de la droite opposée au sommet A, les facteurs 
BG, sin(a, p), sin(7, a) changent de signe, tandis que les trois autres fac- 
teurs restent les mêmes. Pour achever la démonstration du théorème, il 
suffit donc de prouver qu'il a lieu pour un choix particulier des direc- 
tions positives. Or, si l'on adopte pour sens positif de chaque droite le 
sens dans lequel elle est parcourue quand on décrit le contour du triangle 
en suivant l'ordre alphabétique, on a, en désignant comme à l'ordinaire, 
par «, ô, c. A, B, G les valeurs absolues des côtés et des angles de ce 
triangle, 

AB = -+. c, BG = -4- ^, GA = -h ^, 
(a,(5) = ;r-G, (?,7) = 77-A, (y, a) = tt - B, 



(') Nous supposons au lecteur la connaissance des premiers éléments de 
Trigonométrie. 



I 



I 



LIVRE 111. — LES FIGURES SEMBLABLES. 221 

et les relations (i) se réduisent par suite aux fonimlcs 

fl _ ^ _ c 
sinA ~ sinB ~~ sinC 

qui ont été démontrées en Trigonométrie. 

Ajoutons que. les angles (a, p), (P, 7), (7, a), satisfont (n** 30o) à la 
relation 

(2) (a, P) -+- (P, 7) -4- (7, a) = 2«7r. 

Le groupe des formules (i) et (2) renferme toute la théorie des triangles 
rectilignes avec le degré de généralité qu'il convient de lui donner 
pour les recherches géométriques. 

Cela posé, revenons aux projections : 

308. La projcctinn d'un segment sur un axe est égale au produit de 
ce segment par le rapport des sinus des angles que les directions posi- 
tives de la base du segment et de Vaxe font avec îa direction positive des 
projetantes. 

En effet, imaginons par le point {Jig. 202) la parallèle L'OLà la base 
du segment proposé AB, et soient OX, OY, OL les directions positives de 
l'axe, des projetantes et de la base du segment. En menant par le point A 
une parallèle à X'X, on forme un triangle ABC dans lequel les directions 
positives sont fixées; et l'on a, d'après le numéro précédent, 

AB _ CA 
sinYOX~sinLOy' 

d'où l'on déduit, en observant que la projection ab du segment AB est 
égale en grandeur et en signe à AG, 

, . _ sinLOY 

ab = AB ' ■ „^.^ } 
sinXOY 

formule conforme à l'énoncé. 
Quand les projections sont orthogonales, on a 





XOY: 


~ 2 


LOY: 


= XOY 


-XOL 


~" 2 


-XOL 


par 


suite, 














» 




ab = 


:ABsin(^- 


xol) = 


AB 


cosXOL 



Donc, la projection orthogonale d'un segment est égale au produit de 
ce segment par le cosinus de V angle de la direction positive de Vaxe 
avec la direction positive de la base du segment. 



222 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Il suffit, d'après cela, de remplacer dans le théorème des projections les 
projections des composantes et de la résultante par leurs expressions tri- 
gonométriques pour obtenir une relation entre les segments et les angles 



de la figure. 



n. — Transversales dans le triangle. 

309. Lorsqu'une transversale abc {fig. 2c>3 et 2o3') rencontre les trois 
côtés d'un triangle ABC, regardés comme indéfinis, chacun des points d'in- 
tersection «,è,<r, est l'origine commune de deux segments ayant pour extré- 
mités les extrémités du côté que l'on considère. Ainsi, sur AB, sont les 



Fk. 2o3 




deux segments cA et cB, sur BC les segments aB et «C, et sur CA les 
segments ^C et bk. Les deux segments relatifs à un même côté sont de 
signes contraires ou de même signe (303), suivant que la transversale 
coupe le côté lui-même ou son prolongement. 

THÉORÈME. 

3 1 0. Quand un triangle ABC est coupé par une transversale abc [fig, ?.o3 
et 2o3'), il existe y entre les segments que cette droite détermine sur les côtés, 
la relation 

a^ bC cA 



(I) 



aC bk cB 



En effet, en menant CD parallèle à AB, on a, dans les triangles sem- 
blables aCD, rtBc, 

flB cB 



flC~DC* 



et, dans les triangles semblables ^GD, bck 

^_DC, 
ok~ ck' 



LIVRE III. -~ LES FIGURES SEMBLABLKS. 223 

il suffit donc de multiplier ces deux proportions membre à mennbre 
pour avoir la relation (i), qui se trouve ainsi démontrée en valeur 
absolue. 

II reste à prouver que, eu égard aux signes des segments, c'est le 
signe -h qui convient au second membre de cette égalité. Or il ne peut 
se présenter que deux cas : la transversale coupe deux côtés et le pro- 
longement du troisième {^g. 2o3), ou elle coupe les prolongements des 
trois côtés [Jig. io3'). Dans le premier cas, deux des rapports qui figurent 
dans le premier membre sont négatifs, et le troisième positif; dans le 
second cas, les trois rapports sont positifs. Le produit des trois rapports 
a donc toujours le signe •+-. 

Réciproquement, si sur les trois côtés d'un triangle ABC consi- 
dérés comme indéfinis, on prend trois points a, b, f, tels que la relation (i) 
soit satisfaite, ces trois points seront en ligne droite. 

En effet, en désignant par c' le point où la droite ab rencontre AB, on a, 
d'après ce qui précède, 

oB bC c^__ 
aC'bA'c'B~^'' 

par suite, en comparant cette relation à la relation (i), qui est satisfaite 
par hypothèse, on a 

c'a _ cA. 

7B~cb' 

Donc (303) c' coïncide avec c, et les trois points a, 6, c, sont en ligne 
droite. 

Observons que la relation (i), qu'on prend ici pour hypothèse, exige 
que le nombre des rapports négatifs du premier membre soit pair, c'est- 
à-dire que, parmi les trois points «, b,c, il y en ait un nombre pair situé 
sur les côtés et, par suite, un nombre impair sur les prolongements. 

On peut encore remarquer que les numérateurs des trois rapports sont 
trois segments sans extrémités communes; il en est de même pour les 
dénominateurs. 

Le théorème qui précède, attribué à Ménélalis, géomètre grec an- 
térieur de près d'un siècle à Ptolémée, sert à prouver que trois points 
d'une figure sont en ligne droite; outre cet usage spécial, il intervient 
souvent d'une manière utile comme intermédiaire dans certaines démons- 
trations. 

Dans ce théorème, les seuls signes qui interviennent sont ceux des trois 
rapports formés par les couples de segments relatifs à chaque côté du 
triangle; il n'est donc pas nécessaire de fixer les signes des segments eux- 
mêmes. Il suffit, par exemple, dans la fig. '2o3, de donner à ^C et à bA 
des signes opposés, que le sens positif des segments comptés sur AG soit 
AC ou CA. 



i 



221 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Toutefois, il est souvent commode dans les applications de fixer le sens 
positif pour chaque côté du triangle ABC. Supposons, par exemple, qu'on 
adopte pour sens positif de chaque côté le sens dans lequel ce côté est par- 
couru quand on décrit le contour du triangle dans l'ordre alphabétique ABC ; 
alors, dans la^^. 2o3, les segments cBel ^A seront seuls positifs, les 
autres seront négatifs; dans la fig. 2o3', tous les segments seront né- 
gatifs; dans les deux cas, le nombre des segments négatifs étant pair, le 
premier membre de la relation (i) aura le signe -h, comme cela doit 
être. 

THÉORÈME. 

311. Les droites mene'es d'un même point [fig' 204 et ao5) aux 
trois sommets d'un triangle ABC rencontrent les côtés opposés, considérés 
comme indéfinis, en trois points <?, b^ c, qui satisfont à la relation 

flB ^ ck 

En effet, le triangle AG«, coupé par la transversale Bô, donne 

Ba OA bÇ_ 
BC'Oû'^A"'* 

Fiff. 204. 





Bac B 

Le triangle AB^, coupé par la transversale C<r, donne à son tour 

CB Oa ck_ 
C«*OA'cB~'* 

En multipliant membre à membre ces deux égalités, on obtient la 
relation 

«B ^ £A CB_ 

aC bk cB'BG"^' 

CB 

qui ne diffère pas de la relation (2), puisque nr- = ~-^- 



LIVRE III. — LUS FIGURES SEx>lBLABLi;S. 225 

Réciproquemoiit, si, par les sommets d'un triangle ABC, on mène 
trois droites ka^ B^, Ce, telles que la relation (2) soit vérifiée, ces trois 
droites passent par un même point. 

En effet, en désignant par le point de concours de A<7 et de B^, et 
par c' le point où CO rencontre le côté AB, on a, d'après ce'qui précède, 

«B bZ î_k^_ 
aC'bkc'tà~ '' 

d'où, en comparant avec la relation (2) qui est satisfaite par hypothèse, 



k 



cA _ c'a 

7b ""7b 



é 



Les points c et c' coïncident donc (303); en d'autres tern.es, la droite Ce 
asse par l'intersection de A^ et de B^. 



Corollaire. 



312. Le théorème qui précède, dû à Jean de Céva, géomètre italien du 
XVI'' siècle, sert à prouver que trois droites d'une figure sont concou- 
rantes; il peut aussi intervenir comme auxiliaire utile dans certaines dé- 
monstrations. 

Voici quelques exemples : 

1° Dans tout triangle ABC, les trois médianes ka^ Bè, Ce, passent par 
un même point; car chacun des rapports qui figurent dans le premier 
membre de la relation (2) est alors égal à — i. 

2° Dans tout triangle ABC, les bissectrices Afl-, Bè, Ce, des trois angles 
passent par un même point. 

En effet, en vertu du n" 184, les rapports négatifs qui figurent dans 
le premier membre de la relation (2) sont, en valeur absolue, respec- 
tivement égaux aux rapports 

AB BG AG 
AC' AB' BC' 

dont le produit est égal à i. 

On verrait de même que les bissectrices des suppléments, de deux angles 
et la bissectrice du troisième angle passent par un même point. 

3" Dans tout triangle ABC, les trois hauteurs Aa, B^, Ce ^passent par 
un même point. 

En effet, les triangles semblables BA^, CAc donnent 





ck AC 
bk AB* 


.. et DE G. - 


- Tr de Géom. (I" Partie), 



226 


GÉOMÉTRIE PLA^E. 


et l'on a do môme 






^B AB bO. BG. 
cB BC' «G AC 



d'où l'on vbit, en multipliant membre à membre, que le produit 

-7^»7-r«— ^ est, en valeur absolue, égal à i. D'ailleurs, chacun de ces 
(iC bk cB 

trois rapports est négatif; donc leur produit est égal à — i. 

SCOLIE. 

313. Si par les sommets d^un triangle ABG on mène trois droites quel' 
conques rencontrant respectivement les côtés opposés en o, b^ c, on a la 
relation [fig. 20 5) 

,-, r/B bO ck _ singAB sin^BG sincCA 

^ aCbk"cB~ sin^AG'sin^BA'sincCB* 

En effet, les triangles «AB et «GA donnent (307) 

^B _ BA aC _ GA ^ 

sinBA« sinArtB* sinCAû ~ sinAâC* 

d'où, en divisant membre à membre, 

^ _ AB sinoAB , 

oG ~ ÂG sinûAG' 

et il suffit de transporter cette valeur et les valeurs analogues de j-r ^ 

ck 

-jr dans le premier membre de (3) pour tomber sur le second membre. 

De ce lemme et des théorèmes de Ménélaiis et de Jean de Géva, ré- 
sultent immédiatement les propositions suivantes : 

I* Si par les trois sommets d'un triangle ABC on mène trois droites 
rencontrant les côtés opposés aux trois points a^ b^ c situés en ligne 
droite, on a la relation 

sinflAB sin^BC sincCA _ 
sin/7AG sin^BA sincCB ~" 

2* Quand trois droites issues des sommets d'un triangle ABG passent 
)ar un même point 0, on a 

sinOAB sinOBG sinOCA __ 
sinOAG'sinOBA* sinOGB "~ '" 



LIVRE Ilf. 



LES ^"vGURES SEMBLABLES. 



227 



QUADRILATk^E COMPLET. 

314. On appelle quadrilatère complet la figure formée par le système 
de quatre droites ou, en d'autres termes, la figure formée en prolongeant 
jusqu'à leurs points de rencontre E et F les côtés opposés d'un quadri- 
latère ordinaire ABCD. Un quadrilatère complet ABCDEF {fg. 206) a 
six sommets et trois diagonales : les sommets sont les points d'intersec- 
tion A, B, C, D, E, F, des quatre droites considérées, et les diagonales 
sont les droites AC, BD, EF, qui joignent les trois couples de sommets 
opposés. 

Nous allons démontrer, comme application de la théorie des transver- 
sales, deux propriétés fondamentales du quadrilatère complet. 

THÉORÈME. 

3i 5. Dans tout quadrilatère complet, cliaque diagonale est divisée har' 
moniquement par les deux autres (Pappus, Math, coll.^ lib. III, propo- 
sitio 129). 

Soit, par exemple, la diagonale EF qui est coupée en P et en Q par les 

Fig. 206. 




diagonales AG et BD (/^. 206); il s'agit de prouver la relation ( 180, 303; 
(I) 



PE.QE 
PF • QF 



— I, 



Il suffit, pour cela, de diviser membre à membre les deux égalités 

PE DF BA 



QE DF BA 

qf*da'be 



I et 



PF DA BE 



— I, 



dont la première s'obtient en appliquant le théorème de Ménélaiis au 
triangle AEF coupé par la transversale BD, et dont la seconde résulte de 
l'application du théorème de Céva au même triangle AEF et aux trois 
droites CA. CE, CF. 



228 



GÉOMËTRIB TLANB. 



Corollaire. 



316. Ce théorème fournit un moyen très simple pour construire, avec 
la règle seule, le conjugué harmonique Q d'un point P par rapport à une 
droite EF. On mène par P une droite quelconque PCA ; en joignant 
deux points A et C pris à volonté sur cette droite aux points E et F, 
on obtient un quadrilatère complet dont la diagonale BD va couper EF au 
point demande Q. 

THÉORÈME. 

317. Dans tout quadrilatère complet j les milieux des trois diagonales 
tant en ligne droite. 

En effet, soient [fig. 207) ABCDEF un quadrilatère complet, et L, M; N, 
les milieux des diagonales AG, BD, EF. Les milieux G, H, K des côtés du 




triangle BCE sont les sommets d'un nouveau triangle dont les côtés passent 
respectivement par L, M, N, et tout revient à démontrer (310) l'égalité 



MG LK NH 

mk'lii'ng 



= I. 



Or l'exactitude de cette relation résulte de ce que les six longueurs qui 
composent son premier membre sont respectivement les moitiés des seg- 
ments que la transversale ADF détermine sur les côtés du triangle BCE. 

III. — Rapport anharmonique de quatre points. 



318. On appelle rapport anharmonique de quatre points A, B, C, D, 
situés en ligne droite, le quotient des rapports des distances de deux quel- 
conques de ces points aux deux autres. Tels sont, par exemple (yf^. 208), 
les quotients 

CA. DA DA. BA 

CB'DB' DC*BG'"*' 




LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 2'>.C) 

que nous désignerons respectivement par (ABCD), (ACDB), .... 

11 importe de se familiariser avec cette notation. En api^elani premier 
point celui qui répond à la première lettre à gauche dans la parenthèse, 
deuxième point celui qui répond à la seconde lettre à gauche, etc., on 
prend toujours le rapport des distances du troisième point au premier et 
au deuxième, et on le divise par le rapport des distances du quatriènie 
point au premier et au deuxième. 

Trois points A, B, C, étant donnés d'une manière quelconque sur 
une droite indéfinie, on peut déterminer sur cette droite un quatrième 
point D tel, que le rapport anharmonique des quatre points A, B, G, D, 
ait une valeur donnée X en grandeur et en signe. Car la relation 

CA.pA_ 2A_ I CA 

CB'DB" ' °" DB~)i'gb' 

dont le second membre est entièrement connu, détermine (303) le point D. 
Toutefois, pour que ce point D soit distinct des trois premiers, il faut que l 
n'ait aucune des trois valeurs o, <» ou 4- i. En effet, si X était nul, on aurait, 
en vertu de la relation précédente, DB = o, et D coïnciderait avec B; siX 
était infini, on aurait DA = o, et D coïnciderait avec A; enfin, siX était 

égala -t- 1, on aurait tâîs = 7^' ^t D coïnciderait avec G. Ainsi, le rap- 
port anharmonique de quatre points distincts peut avoir une valeur quel- 
conque j positive ou négative, excepté les valeurs o, 00 et -hi. 

Le rapport anharmonique de quatre points ABGD n'est pas altéré 
lorsqu'on échano^e entre eux deux de ces points, pourvu qu'en môme 
temps on échange entre eux les deux autres. Ainsi l'on a 

(ABGD)-^.--^^^^, 



et par suite 



(ABCD) = (GDAB). 



Avec les quatre mêmes points A, B, G, D, on peut former vingt-quatre 
rapports anharmoniques,dont six seulement sont distincts. Lorsque, dans 
un théorème, nous parlerons du rapport anharmonique de quatre points, 
sans indiquer spécialement l'un de ces rapports, il faudra entendre que le 
théorème s'applique indifféremment à l'un quelconque d'entre eux. 

319, On donne le nom de faisceau à un système quelconque {Jig. 208) 
de droites OM, ON, OP, OQ, issues d'un même point 0. Le point est 



23o GÉOMÉTIUE PLANE. 

dit le centre du faisceau, dont les droites OM, ON, OP, OQ, sont appelées 
les rayons. 

THÉORÈME. 

320. Lorsque un faisceau de quatre droites OM, ON, OP, OQ, est coupé 
par deux transversales L et L', le rapport anharmonique des quatre 
points A, B, C, D, de'lcrminês sur la première transversale, est égal au 
rapport anharmonique des quatre points A', B', G', D', déterminés sur la 
seconde [Jîg. 208). 

Nous allons démontrer, par exemple, l'égalité (ABCD) = (A'B'C'D'). 
Les rapports -^5 » pr^ > ayant le même signe ainsi que les rapports 

ïïr' ÏVÏÏ'' ^^ ®^ ^^^^ ^® même pour les quotients ou rapports anhar- 

CA. DA C'A' D'A' ^ ., , , ,, , v- v.a a 
moniques 7775 : i^j 7^75-, : i^ir,, et il reste a démontrer 1 égalité des va- 

leurs absolues de ces derniers rapports. 




Or, en menant par le point B la parallèle Byiî à OA, on a, par les 
triangles semblables CAO et CB7, DAO et DB(î, les proportions 

CA_OA 2A_0A 
GB~yB' DB~8B' 

qui, divisées membre à membre, donnent 

(ABCD) = ^. 
En menant par B' la parallèle B'v' J' à OA, on obtiendrait de même 

(A-B'CD)=?:2;. 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



23l 



L'égalité manifeste des seconds membres des deux relations qui précèdent 
prouve l'égalité de leurs premiers membres. 

On peut considérer la figure rectiligne A' B' CD' comme \d. perspective ou 
projection concourante de la figure rectiligne ABCD, cette projection étant 
faite du centre et suivant les rayons projetants OA, OB, OC, OD. De là, 
cet autre énoncé fort commode du théorème qui nous occupe : le rapport 
anharmo nique de quatre points en ligne droite est projectif. Si le centre 
est à l'infini, les rayons OA, OB, OC, OD, sont parallèles, et le théorème 
subsiste. 

Voici de ce théorème fondamental une démonstration un peu différente 
qui a l'avantage de fournir une expression trigonométrique utile de la 
valeur du rapport anharmonique 



CA 
CB 



DA 

db' 



Les triangles CAO, CBO donnent (307) 



CA 


AO CB BO 


sinAOC 


"sinOCA* sinBOC ~ sinOGB 


d'où, en divisant, 






CA OA sinCOA. 




CB~ OB sinCOB' 


on obtiendra de môme 






DA OA sinDOA 
DB OB sinDOB' 


et par suite 




CA 


DA_sinCO A. SinDOA^ 



CB* DB sinCOB* sinDOB 

Le rapport anharmonique qui figure dans \q premier membre ne dépend 
donc que des angles du faisceau et nullement de la position de la trans- 
versale L; il a donc la même valeur pour la transversale L'. 

RAPPORTS ANHARMONIQUES d'uN FAISCEAU. 



321 . On nomme rapports anharmoniques d^ un faisceau de quatre droites 
les rapports anharmoniques des quatre points déterminés par ce faisceau 
sur une transversale quelconque. Ainsi, (ABCD), (ACDB), ... (318) sont 
des rapports anharmoniques du faisceau formé par les droites OM, ON, 
OP, OQ {fig. 2o8). On désigne ces rapports anharmoniques du faisceau 
par la notation (O.ABCD), (O.ACDB), ... 



232 GÉOMÉTRIE l'LA.NE. 

Il résulte d'ailleurs du n" 318 que le rapport anliarmonique d'un fais- 
ceau ne change pas de valeur lorsqu'on échange deux rayons quelconques, 
pourvu qu'on échange en môme temps les deux autres; de sorte qu'on a, 
par exemple, (O.ABGD) = (O.CDAB). 

Il résulte de la seconde démonstration donnée au numéro précédent 
que le rapport anliarmonique (O.ABCD) du faisceau a pour expression 

sinCOA . sinPOA 
sinCOB * sinDOB* 

II est évident, d'après cela, que deux faisceaux qui ont respectivement 
les mômes angles ont les mêmes rapports anharmoniques. Voici deux 
exemples importants de faisceaux de cette nature : 

i" Si l'on joint un point quelconque d'une circonférence à quatre 
points fixes A, B, G, D, de cette circonférence, le rapport anliarmonique 
du faisceau ainsi obtenu est constant y quelle que soit la position du point 
sur la circonférence. II résulte, en effet, des propriétés des angles inscrits 
que le point se déplaçant, et les points A, B, G, D, restant fixes sur la 
circonférence, le faisceau conserve les mêmes angles. Ge rapport constant 
est ce qu'on appelle le rapport anliarmonique des c^uatre points A, B, G, D, 
du cercle. 

i" Si Conjoint le centre d\in cercle aux points où quatre tangentes fixes 
sont coupées par une cinquième tangente, le rapport anliarmonique du 
faisceau ainsi obtenu est constant, quelle que soit la cinquième tangente. 
En effet, l'angle sous lequel on voit du centre la portion d'une tangente 
mobile comprise entre deux tangentes fixes est évidemment égal à la 
moitié de l'angle des deux rayons qui aboutissent aux points de contact de 
ces tangentes fixes. Get angle est donc constant, et par suite le faisceau 
considéré conserve les mêmes angles, quelle que soit la position de la 
cinquième tangente. 

On voit par là que le rapport anliarmonique des points suivant lesquels 
une tangente mobile est coupée par quatre tangentes fixes est constant. 
Ge rapport est ce qu'on appelle le rapport anliarmonique des quatre tan- 
i^entes fixes. 

Le rapport anliarmonique de quatre tangentes à un cercle est égal 
au rapport anliarmonique des quatre points de contact; car le faisceau 
partant du centre du cercle, et aboutissant aux points d'intersection de 
ces quatre tangentes avec une cinquième, a ses rayons respectivement 
perpendiculaires à ceux du faisceau parlant du point de contact de la 
cinquième tangente et aboutissant aux points de contact des quatre tan- 
gentes considérées ( 320, 71 ). 



LIVRE m. 



LES FIGUIIES SEMBLABLES. 



233 



THÉORÈME. 
322. Quand deux faisceaux de 
quatre droites OA, OB, OC, OD, 
et O'A', O'B', O'C, O'D', ont un rap- 
port anharmonique égal et un rayon 
Immologue commun 00', les trois 
points 6,7,^, d'intersection des au- 
tres rayons homologues pris deux à 
deux, sont en ligne droite [fig. 209) . 

Fig. 209. 




En effet, désignons respective- 
ment par a, (î, c?', les points où la 
droite ^7 rencontre 00', OD, O'D'; 
on aura, d'après l'hypothèse (320), 

(aS7^J) = (aP7^'). 

Donc ^ et ^' coïncident (318), et 
les trois points p, 7, ^, sont en ligne 
droite. 

Corollaire. 

323. Lorsque deux faisceaux de 
quatre droites correspondantes ont 
un rapport anharmonique égal, les 
autres rapports anharmoniques sont 
égaux de part et d'autre. 

En effet, en plaçant les deux fais- 
ceaux de façon que deux rayons ho- 
mologues soient sur la même droite, 
l'égalité de l'un des rapports anhar- 
moniques exigera que les autres 
rayons homologues se coupent sur 



THÉORÈME. 
324. Quand deux figures recti" 
lignes de quatre points A, B, C, D, 
et A', B', G', D', ont un rapport an- 
harmonique égal et un point homo- 
logue commun A, les trois droites 
BB', ce, DD', qui joignent les au- 
tres points homologues pris deux a 
deuxj concourent en un même point 
[fig, 110), 

Fijj. 210. 






En effet, soit le point de con- 
cours de BB' et de CC, et désignons 
par ^ le point où OD' rencontre la 
droite ABC; on aura (320) 

(A'B'C'D') = (ABC^). 
Mais on a, par hypothèse, 
(A'B'C'D')=:(ABCb); 

donc 

(ABC^) = (ABCD). 

Par suite (318) ^ coïncide avec D, 
et la droile DD' passe par le point 0. 

Corollaire. 

325. Lorsque deux figures recti- 
lignes de quatre points correspon- 
dants ont un rapport anharmonique 
égal, les autres rapports anharmo- 
niques sont égaux départ et d'autre. 

En effet, en plaçant les deux 
droites qui portent les deux figures 
de manière que deux points homo- 
logues coïncident, l'égalité de l'un 
des rapports harmoniques exigera 
que les deux figures soient la per- 



234 



GÉOMÉTRIE PLANE. 

spective l'une de l'autie, et, dès 
lors (320), tout rapport anharmo- 
niquede l'une sera égal au rapport 
anharmonique analogue de l'autre 



une même droite, et alors les deux 
faisceaux auront bien tous leurs rap- 
ports anharmoniques égaux, puis- 
que ces rapports ne sont autres (320 i 
que ceux des quatre points détermi- 
nés par les deux faisceaux sur une 
transversale commune. 

TRIANGLES HOMOLOGIQUES. 

Le Traité de Géométrie supérieure de M. Chasles montre tout le 
parti qu'on peut tirer de la théorie si simple du rapport anharmonique. 
L'emploi des théorèmes qui précèdent (320, 322, 324) a une grande im- 
portance, comme on le verra surtout lorsque nous traiterons de l'homo- 
graphie et de Tinvolution. Nous nous bornerons ici à quelques exemples; 
nous rencontrerons d'ailleurs d'autres applications dans le courant même 
de cet appendice. 



HEXAGONE DE PASCAL. 



326. Quand deux triangles ABC, 
A'B'C, ont_ leurs sommets situés 
deux à deux sur trois droites OA' A, 
OB'B, OC'C, concourant en un 
même point , leurs côtés se ren- 
contrent deux à deux (BC ^i B'C, 
AC et A'C, AB et A'B') en trois 
points a, p, y, situés en 
droite {fig. 2.11). 



ligne 



327. Quand deux triangles ABC, 
A'B'C, sont tels, que leurs côtés se 
coupent deux à deux (BG et B'C, 
AG et A' G', AB et A'B') en trois 
points a, p, 7, situés en ligne droite, 
leurs sommets sont situés deux à 
deux sur trois droites OA'A, OB'B, 
OC'C, concourant en un même 
point {fig. 21 1). 




En effet, désignons par D et D' 
les points où la droite OC'C ren- 
contre respectivement les côtés AB 
et A'B'. Le faisceau des quatre 



En effet, soit I l'intersection de I;î 
droite a^y et de CC; on aura (320 ; 

(C.a7ip) = (C'.avip). 



LIVRE III. — tES 

droites O7, OB, OA,OC, étant coupé 
par les deux transversales AB et 
A'B', on a (320) 

(7BAD) = (yB'A'D'), 
et par suite (325) 

(C.7BAD) = (C'.yB'A'D'). 

Or, ces deux faisceaux ont un rayon 
homologue commun DD'; donc les 
points de concours 7, a, [3, des trois 
autres couples de rayons homolo- 
gues (322) sont en ligne droite. 



FIGURES SEMBLABLES. 235 

Donc, en coupant le premier fais- 
ceau par AB et le second par A'B', 
et en appelant D et D' les points où 
ces droites coupent CC, on aura 
(323) 

(B7DA) = (B'7D'A'). 
Or, ces deux figures rectilignes ont 
un point homologue commun 7; 
donc les droites BB', DD', AA', qui 
joignent les autres points homolo- 
gues deux à deux, concourent (324) 
en un même point 0. 



Ces deux théorèmes, attribués à Desargues, géomètre du xvii* siècle, 
ont été repris par Poncelet [Traité des Propriétés projectives)^ qui en 
a fait la base de sa Théorie des figures homologiques. Les deux triangles 
ABC, A'B' G', qui satisfont aux conditions précédentes, sont dits homolo- 
giques; le point et la droite ap7 sont appelés \q centre et Vaxed'homologie. 



328. Dans tout hexagone k'èÇ.DW 
inscrit à une circonférence , les 
points de concours L, M, N, des trois 
couples de côtés opposés AB et DE, 
BC et EF, CD et AF, sont en ligne 
droite [fig. 212). 

Fig. 212. 




En effet, on a (321, 1°) 
(A.BFED)=(C.BFED), 



329 . Dans tout hexagone k^CDW 
circonscrit à un cercle, les trois dia- 
gonales AD, BE, CF, qui unissent 
les sommets opposés, se coupent en 
un même point [fig. 21 3). 

Fig. 2i3. 




En effet, soient I et M les points où 
le côté AB rencontre FE et DE, ot L 
et N les points où CD rencontre AF et 



236 

Par suite (320), en coupant le 
premier faisceau par la droite DE, 
le second par la droite FE, et nom- 
mant G l'intersection de AF et de 
DE, I l'intersection de EF et de CD, 
on aura 

(LGED) = (MFEI). 

Or, ces deux figures rectilignes ont 
un point homologue commun E; 
donc (324) les droites LM, GF, DI, 
qui joignent les autres points homo- 
logues deux à deux , se coupent en 
un môme point N. Les trois points 
L, M, N, sont donc en ligne droite. 

Ce théorème, dû à Pascal, et la 
démonstration si simple que nous 
venons d'exposer, subsistent quand 
même l'hexagone cesse d'être con- 
vexe. 



GÉOMÉTRIE l'LAKE. 

FE; on aura (321 , 2"), en considé- 
rant les deux côtés non contigus AB 
et CD coupés par les quatre autres, 

(BAIM) = (CLND). 
Par suite, 

(E.BAIM) = (F. CLND). 

Or, ces deux faisceaux ont un rayon 
homologue commun IN ; donc (322 ) 
les points de concours 0, A, D, des 
trois autres couples EB et FC, EA 
et FL, EM et FD, de rayons ho- 
mologues, sont en ligne droite. Les 
trois droites AD, BE, CF, passent 
donc par un même point 0. 

Ce théorème est dû à Brianchon 
[Journ. de V École Pol/t., 1 3'cahier) , 
qui l'a déduit du théorème de Pascal 
par la considération des polaires, 
comme nous le verrons bientôt. 



330. Si l'on considère les théorèmes des n*" 322, 326, 328 d'une part, 
et les théorèmes des n*" 324, 327, 329 de l'autre, on voit que, dans les 
premiers, il s'agit de points en li^ne droite, et dans les seconds de droites 
qui concourent en un même point. On dislingue en effet, dans la science 
de l'étendue, deux genres de propositions , les unes se rapportant à des 
points, les autres à des droites, et se corres{)ondant en vertu de ce qu'on 
a nommé le principe de dualité. Un des grands avantages du rapport 
anharmoni^ue est de se prêter indifféremment à ces deux genres de pro- 
j)Ositions corrélatives, et d'en fournir des démonstrations directes et cor- 
rélatives à leur tour. On peut voir, en effet, que, dans les propositions 
que nous avons placées en regard l'une de l'autre, on passe de l'énoncé 
et de la démonstration de l'une à l'énoncé et à la démonstration de l'autre, 
en substituant certains faisceaux de droites concourantes à certaines séries 
rectilignes de quatre points, et réciproquement. 

Le théorème fondamental du n" 320 était connu des anciens; il se 
trouve dans les Collections mathématiques de Va\^ipus, qui vivait à Alexan- 
drie à la fin du iv^ siècle. « Aucune autre proposition, dit M. Chasles 
dans la préface du Traité de Géométrie supérieure, ne me paraît aussi 
propre à servir de lien entre les diverses parties d'une figure dont on 
veut découvrir ou démontrer les propriétés. La proposition la plus fré- 
quemment employée est celle de la Droportionnalité entre les côtés des 



I 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 287 

triangles semblables; mais ces triangles n'existent pas en général dans 
les données de la ques tion, et il faut chercher à les former par des 
lignes auxili aires, tandis que les rapports anharmoniques s'aperçoivent 
presque to ujours dans la figure même ou peuvent s'y former aisément. » 

On se convaincra de la vérité de ces assertions en comparant la dé- 
monstration que nous venons de donner (328) du théorème de Pascal à 
celle qui résulterait, par exemple, de l'emploi de la théorie des trans- 
versales. 

Pour démontrer par les transversales le théorème de Pascal, on con- 
sidère le triangle formé par trois côtés non consécutifs de l'hexagone 
inscrit. Ce triangle est coupé par chacun des trois autres côtés, et, en 
appliquant successivement à chacune de ces transversales le théorème 
du n" 310, on obtient trois relations dont le produit, membre à membre, 
se réduit à une nouvelle égalité de même forme entre les segments que 
déterminent, sur les côtés du même triangle, les points de concours 
des côtés opposés de l'hexagone. La réciproque établie au n" 310 prouve 
alors que ces trois points de concours sont en ligne droite. On voit 
combien cette démonstration, que le lecteur rétablira sans peine d'après 
cette analyse, le cède pour la simplicité à celle du n" 328. 



DIVISIONS ET FAISCEAUX HARMONIQUES. 

331. Nous avons montré au n° 179 que, A et B étant deux points 
pris sur une droite indéfinie X'X {fig. 214), il existe sur cette droite 

ri{j. 214. 



deux points G et D, situés l'un sur AB, l'autre en dehors, et tels 5^6 
les rapports 

CA DA 

CB ' DB 

soient égaux en valeur absolue; les deux rapports étant d'ailleurs (303) 
(0 premier négatif, le second positif, on a 



fO 



CA 
GB 



DA 
DB 



ou 



CA . DA 
GB • DB 



Celle relation, que l'on nomme proportion harmonique, pouvant être 
mise sous la forme 

AC .BG____ 

AD • BD *' 



238 GÉOMÉTRIE PLANE. 

on voit que, si deux points C <?^ D divisent harmoniquement une droit 
AB, les points A e/ B divisent à leur tour harmoniquement la droite CD. 

332. Il est souvent commode de rapporter à une môme origine les 
segments qui figurent dans la proportion harmonique : il suffit, pour 
cela, de remplacer ces segments par leurs valeurs 

CA = OA — OC, CB = OB — OC, 
DA = OA - OD, DB = OB — OD; 

on obtient ainsi la relation générale 

2 (OA.OB -t- OC.OD) = (OA -+- OB) (OC -f- OD), 
qui devient 

suivant qu'on place l'origine au point A ou au milieu I de AB. 

333. Voici quelques conséquences de la dernière formule : 

i" (Juand deux points C et D divisent harmoniquement une droite AB, 
ils sont situés d'un même côté du milieu I de cette droite (179); 

2" Le conjugué du milieu de AB est à l'infini, et inversement le con- 
jugué de l'oo est le milieu de AB, en sorte que deux points quelconques ^ 
le milieu de la droite qui les joint et le point à l'infini sur cette droite, 
forment une division harmonique. 

3** Lorsque le facteur IC augmente, le facteur ID diminue, A et B res- 
tant fixes. Dès lors, si C et D' sont deux nouveaux points conjugués 
harmoniques par rapport à A et à B, et situés comme C et D à droite 
de I, les segments CD et CD' seront compris l'un dans l'autre. Ils se- 
raient extérieurs l'un à l'autre si C et D' étaient à gauche de I. Donc, 
quand deux segments CD, CD', sont conjugués harmoniques par rap- 
port à un troisième AB, ils sont compris l'un dans l'autre, ou ils n'ont 
aucune partie commune. Et, par suite, lorsque deux segments empiè- 
tent en partie l'un sur l'autre .^ on ne peut pas déterminer deux points 
qui les divisent l'un et l'autre harmoniquement. 

334. C'est l'expression 

GA. DA 
CB'DB 

qui figure '331) au premier membre de la proportion harmonique (i\ 
D'après cela (318), quatre points A, B, C, D, en ligne droite forment un 
système harmonique lorsque leur rapport anharmonique est égal à — i. 

335. Quand on a /z points Ai, Aa, . . ., A/,, en ligne droite, si, après 
avoir choisi arbitrairement un point de cette droite pour origine, on 
détermine sur la même ligne un point M tel qu'on ait, en grandeur et 



en signe, 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 23q 



n _ 1 I I 



le segment OM reçoit, d'après le géomètre anglais Maclaurin (De llnea- 
rum curvarum proprietatlbus, etc., i75o), le nom de moyenne harmo- 
nique des segments OAi, OA2, . . ., Okn. 

Poncelet a, depuis, appelé le point M centre des moyennes harmoniques 
des points Al, A2, ...,Art,par rapporta l'origine 0(/oMr/2<2/rf^C/'c//e, t. llî). 

336. D'après cela, on peut dire (332) que : 

Dans tout système harmonique de quatre points, la distance de l'un 
des points à son conjugué est la moyenne harmonique de la distance 
du même point aux deux autres; 

Dans tout système harmonique de quatre points, un point est, par 
rapport à son conjugue', le centre des moyennes harmoniques des deux 
autres points. 

337. On appelle /<2/^c<?aM harmonique tout faisceau de quatre droites 
OA, OB, OC, OD, dont le rapport anharmonique (O.ABGD) est égal à 
— I, c'est-à-dire (321) tout faisceau qui détermine sur une transversale 
quelconque un système de quatre points harmoniques (y%. 2i5). On dit 
alors que les rayons OG et OD sont conjugués harmoniques par rapport 
aux rayons OA et OB, ou qu'ils divisent harmoniquement l'angle AOB; 
et, de même que les rayons OAetOB sont conjugue's harmoniques par rap- 
port aux rayons OCetOD ou qu'ils divisent harmoniquement l'angle COD. 

Il est clair, d'après ce qui précède, que si y par un point G pris dhine 
manière quelconque dans le plan d'un angle AOB, on mène diverses sé- 
cantes telles que AGB, en prenant sur chaque sécante le point D conjugué 
harmonique du point G par rapport au segment AB intercepté entre les 
côtés de l'angle, le lieu du point D sera le rayon OD conjugué harmonique 
de OG par rapport à V angle AOB. Ainsi, pendant que la sécante tourne 
autour du point G, le conjugué D de ce point fixe décrit une droite fixe OD. 
On donne à la droite OD le nom de polaire du point G par rapport à 
Vangle AOB, et au point G le nom de pôle de la droite OD par rapport 
au même angle AOB. 

Steiner a déduit de ce principe une démonstration très-élégante de la 
propriété fondamentale (315) du quadrilatère complet. Reportons-nous à 
\^fig. ao6. Soient P' le conjugué harmonique de F par rapport à EF, et 
R' le conjugué harmonique de R par rapporta BD ; P' et R' devront appar- 
tenir l'un et l'autre à la droite conjuguée harmonique de AG par rapport 
à l'angle EAF et, aussi, à la droite conjuguée harmonique de AG par rap- 
port à l'angle ECF. Les deux points P' et R' coïncident donc et ne diiïè- 



2^0 GÉOMÉTRIE PLANE. 

fent pas de l'intersection Q de BDet de EF; les systèmes EPFQ, BRDQ, 
sont par suite harmoniques; et l'on démontrerait d'une manière analogvus 
qu'il en est de même du système ARCP. 

On voit en outre quej si par un point Q, pris dans le plan d'un angle 
EAF, on mène deux transversales QDB, QFE, le lieu du point d'inter- 
section C des droites BF, ED, est la polaire du point Q par rapport a 
l'angle EAF; de là résulte un moyen fort simple de construire, avec la 
règle seule, la polaire d'un point par rapport à un angle. 

THÉORÈME. 

338. Dans un faisceau harmonique OA, OB, OC, OD, toute transversale 
A'B'C'D', parallèle à Vun des rayons OD, est coupée par les trois autres 
rayons en deux parties égales [Jig. 21 5). 

Fi{j. 21 5. 




En effet, dans le système harmonique A'B'C'D', le point D' étant à Tin- 
fini, puisque A'D' est parallèle à OD, son conjugué C doit être au milieu 
du segment A'B' (333). 

Réciproquement, un faisceau de quatre droites OA, OB, OC, OD, 
est haj'monique si une parallèle A'B'C'D' a Vun des rayons est divisée en 
deux parties égales par les trois autres. 

En effet, le point C étant le milieu du segment A'B', ce segment est 
divisé harmoniquement par le point C et par le point D' situé à l'infini 
sur A'B', c'est-à-dire par le point C et parle point d'intersection de A'B' 
et de OD. Le faisceau divisant harmoniquement la transversale particu- 
lière A'B'C'D' divise harmoniquement toute autre transversale ACBD 
(320), et par suite est un faisceau harmonique. 

Corollaires. 

330. Lorsque j dans un faisceau harmonique, deux rayons conjugués 
OC et OD sont rectangulaires, ces rayons sont les bissectrices des deux 
angles supplémentaires, formés par les deux autres rayons OA et OB ; Ccir 
une transversale A'C'B', perpendiculaire à OC, étant alors parallèle à OD, 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLVBI.ES. 



241 



on a A'C'= C'B'; par suite, les triangles rectangles OC A', OC'B', sont 
égaux, et OC est la bissectrice de l'angle AOB. 

La proposition réciproque : Un angle quelconque AOB est divisé har* 
moniquement par sa bissectrice OC et celle OD de son supplément, résul- 
terait pareillement du n" 338. Elle a d'ailleurs été démontrée directement 
au n° 193. 

. POLE ET POLAIRE DANS LE CERCLE. 



THÉORÈME. 



340. Si, par un point pris dans le plan d'un cercle C, on mène une 
sécante quelconque OFE, et qu'on détermine le conjugué harmonique I du 
point Opar rapporta EF, le lieu géométrique du point I, lorsque la sé- 
cante tourne autour du point 0, est une ligne droite perpendiculaire au 
diamètre AB qui passe par le point {/ig. 216 et 217). 





Fig. 217. 




En effet, soit H le conjugué harmonique de par rapport à AB; si 
l'on joignait EA et EB, le faisceau (EA, EH, EB, EO) serait harmonique 
et, comme EA et EB sont rectangulaires, EB serait la bissectrice de 
l'angle ÏIEF (339). Mais dès lors les arcs BF et BF' étant égaux, la 
droite 110 est la bissectrice de l'angle FHF', et, par suite, la perpendi- 
culaire HZ est bissectrice de l'angle supplémentaire FHL. Or, dans tout 
triangle HEF, la base EF est divisée harmoniquement par les bissec- 
trices HZ et HO de l'angle au sommet et de son supplément. Donc, le 
point I est situé sur la perpendiculaire HZ au diamètre AB. 



341. On dit que le point est le pôle de la droite HZ, et que la droite 
HZ est \a polaire du point par rapport au cercle C. 
Le diamètre AB qui passe par le pôle étant divisé harmoniquement par 

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( P« Partie). i^> 



ie pôle et le 
la relation 



GÉOMÉTRIE PLANF. 

H de la polaire, on a (332) en grandeur et en signe 
CH.CO = RS 



dans laquelle R désigne le rayon du cercle C. Donc le rayon du cercle 
est moyen proportionnel entre les distances du centre au pôle et à la 
polaire. 

De celte relation, ou bien de ce qui a été dit au n° 333 sur les posi- 
tions relatives des deux points qui divisent harmoniquement un segment 
donné, résultent les propriétés suivantes : 

1° Le pôle et la polaire sont situés d'un même côté du centre C; la 
polaire est extérieure au cercle si le pôle est intérieur; elle coupe le 
cercle si le pôle est extérieur. Dans ce dernier cas, la polaire coïncide 
avec la corde de contact MN des tangentes issues du pôle ( fig. 216) ; 
car, lorsque E et F se confondent en M, le point I, qui est toujours con)- 
pris entre eux, vient aussi en M, de sorte que ce point de contact appar- 
tient au lieu des points I, c'est-à-dire à la polaire du point 0. 

2** La polaire du centre est à V infini, et la polaire d'un point qui s'est 
éloigné indéfiniment dans une direction donnée est le diamètre perpendi- 
culaire à cette direction. — Inversement, le pôle d'une droite située à 
l'infini est au centre, et le pôle d'un diamètre est à l'infini sur la perpen- 
diculaire à ce diamètre. 

3° La polaire d'un point du cercle est la tangente en ce point; et, 
inversement, le pôle d'une tangente est son point de contact. 

THÉORÈME. 

342. Les polaires de tous les points d'une droite passent par le pôle de 
cette droite; et, inversement, les pôles de toutes lesdroites qui passent pai 
un point sont situés sur la polaire de ce point [fig. 218). 




En effet, soient XY une droite quelconque, I son pôle par rapport au 
cercle C, et l'un quelconque de ses points. Si Ton abaisse du point I ly 



LIVRE nu 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



243 



I 
I 
I 



perpendiculaire IH sur CO, on aura (190), à cause des droites antiparal- 
lèles m, 00', 

CH.CO = CI.CO', 
et par suite 

CH.CO=:R^ 

Donc la droite IH est la polaire du point 0. Il résulte de là : 1° que la 
polaire IH d'un point quelconque de la droite XY passe par le pôle I 
de cette droite ; 2** que le pôle I d'une droite quelconque XY passant par 
un point est située sur la polaire IH de ce point. 

Corollaire. 
343. Toute droite a pour pôle V intersection des polaires de deux de 
ses points. Tout point a pour polaire la droite qui joint les pôles de deux 
droites menées par ce point, 

THÉORÈME. 

3i4. Si, par un point pris dans le plan d'un cercle^ on mène deux 
transversales OAB, OA'B', qu^on tire les d/oites AA', BB', qui se coupent 
en M, et les droites AB', BA', qui se coupent é« N, le lieu géométrique des 
points M et N, lorsqu'on fait varier les sécantes OAB, A'B', est la po- 
laire du point [Jîg. 219 et 220). 



Fig. 219. 



Fig. a-io. 




En effet, si Ton tire MN et si l'on nomme I et I' les poinls où celle 
droite coupe AB et A'B', on voit, en considérant le quadrilatère complet 



244 GÉOMÉTRIE PLANE. 

MB'NA'BA, que les systèmes OATB', OAIB, sont harmoniques (315), 
et par suite les points M et N sont sur la polaire II' du point 0. 

Corollaires. 

345. Ce théorème offre un moyen simple de construire avec la règle 
seule la polaire MN d'un point par rapport au cercle. 

346. Dans le triangle MNO, chaque côté est évidemment la polaire du 
sommet opposé. Donc, dans tout quadrilatère inscrit à un cercle, le 
point d'intersection des diagonales et les points de concours des côtés 
opposés forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté 
opposé. 

Si la transversale OAB tend vers OA'B', les droites A A', BB' de- 
viennent les tangentes au cercle en A' et en B'. Donc, siy par un point 
pris dans le plan d'un cercle, on mène une sécante OA'B' et les tan- 
gentes A'T, B'T, aux points A' et B' où elle coupe le cercle, le lieu géo- 
métrique du point de concours T de ces tangentes, lorsque la transversale 
tourne autour du point 0, est la polaire du point 0. 

Par suite, si l'on mène des tangentes au cercle par les sommets du qua- 
drilatère inscrit ABB'A', on forme un quadrilatère circonscrit qui, après 
avoir été complété, a pour diagonales les trois côtés indéfinis du triangle 
MNO. Donc, dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, les trois 
diagonales forment un triangle dont chaque sommet est le pôle du côté 
opposé. Enfin, en réunissant cette dernière propriété à la première 
et en ayant égard au théorème du n° 337, on arrive à cet énoncé géné- 
ral : Si l'on inscrit à un cercle un quadrilatère quelconque et qu'on lui 
en circonscrive un autre dont les côtes touchent le cercle aux sommets 
du premier : i° les diagonales intérieures des deux quadrilatères se cou- 
pent en un même point et forment un faisceau harmonique ; 2® les troi- 
sièmes diagonales sont situées sur la même droite, et leurs extrémités 
jorment une série de quatre points harmoniques ; 3° V intersection de 
deux diagonales quelconques est le pôle de l'une des trois autres» 

PROBLÈME. 

347. Etant donnés deux points A et B sur une circonférence de 
centre 0, trouver sur cette circonférence un point P tel, que les droites 
PA et PB déterminent sur un diamètre fixe DD' les segments OM, ON, 
égaux entre eux [fig.iii). 

Soit FIE la polaire du point T commun aux droites AB et DD','par rap 
port au cercle donné. Les quatre points T, B, I, A, étant harmoniques, 
le faisceau E.TBFA est harmonique, par suite, il en est de mémo (321) 
du faisceau P.EBFA qui a pour centre l'extrémité P du diamètre FO. 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 245 

Mais l'angle inscrit FEP étant droit, la droite DD' est parallèle au rayon PE 
de ce faisceau ; cette droite est donc divisée en deux parties égales OM 
et ON par les trois autres rayons. 

Fig. 221. 




( 


yL 


k 


\ 


/A 


iy 


p 


^ .-^ 


E 



On voit qu'il y a deux points qui satisfont à la question ; ce sont les 
points diamétralement opposés aux points communs à la circonférence et 
à la polaire du point T. 



METHODE DES POLAIRES RECIPROQUES. 

348. Un polygone quelconque ABCDE étant donné, si l'on prend, par 
rapport à un cercle quelconque de son plan, les polaires A'B', B'C\ 
CD', D'E', E'A', de ses divers sommets, on obtient un second polygone 
A'B'C'D'E' dont les sommets A', B', C, D', E', sont les pôles des côtés EA, 
AB, BC, CD, DE, du premier. En effet, le sommet de l'angle C, par 
exemple, a pour polaire (343) la droite BG qui joint les pôles B et C des 
deux côtés G'B', CD', de cet angle. Ainsi, on peut considérer le second 
polygone A'B'CD'E' comme obtenu, soit en prenant les polaires des som- 
mets du premier polygone, soit en prenant les pôles de ses côtés. Et in- 
versement, si l'on cherchait les pôles des côtés ou les polaires des som- 
mets de la seconde figure, on retomberait sur la première. 




Ces deux polygones sont dits /?o/m>«5 réciproques par rapport au cercle 



246 GÉOMÉTRIE PLANE. 

qui reçoit le nom de cercle directeur. Tels sont, par exemple, un po- 
lygone quelconque inscrit dans un cercle et le polygone circonscrit 
formé en menant des tangentes par les sommets du polygone inscrit 
[fis- 222). 

Considérons en second lieu une courbe quelconque ABC [fig. 228). 
En prenant, par rapport à un cercle quelconque situé dans son plan, 

Fig. 223. 




les pôles A', B', . . . , des diverses tangentes MA, MB, . . . , on obtient une 
nouvelle courbe A'B'C dont les tangentes N'A', N'B', . . . sont les polaires 
des points A, B,. . . , de la première. En effet, le point d'intersection des 
tangentes MA et MB a pour polaire (343) la corde A'B'; et lorsque B 
tend vers A, la corde A'B' et le point M, qui sont toujours polaire et pôle, 
tendent respectivement vers la tangente A'N' et vers le point A. Ainsi, on 
peut considérer la seconde courbe A'B'C comme obtenue, soit en pre- 
nant les pôles des tangentes, soit en prenant les polaires des points de la 
première courbe ABC. Dans la seconde manière d'opérer, la courbe A'B'C 
est définie par ses tangentes successives dont on dit qu'elle est V enve- 
loppe. Inversement, si l'on cherchait les pôles des tangentes ou les polaires 
des points de la seconde figure, on retomberait sur la première. 

Ces deux courbes sont dites polaires réciproques par rapport au cercle 
directeur 0. Le rayon du cercle directeur est d'ailleui:s (341) moyen 
proportionnel entre les distances de son centre à un point quelconque de 
l'une des courbes et à la tangente correspondante de Vautre courbe. Ainsi, 
la polaire réciproque d'un cercle concentrique au cercle directeur est un 
autre cercle concentrique, et le rayon du cercle directeur est moyen 
proportionnel entre les rayons des deux autres cercles. En particulier, le 
cercle directeur est à lui-même sa polaire réciproque. Lorsque le cercle 
considéré n'est pas concentrique au cercle directeur, sa polaire réciproque 
n'est plus un cercle, comme nous le montrerons plus tard. 



LIVRE m. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



2/17 



349. Cela posé, voici en quoi consiste la méthode des polaires réci- 
proques : 

Une figure quelconque étant donnée, si l'on forme sa polaire réciproque 
par rapport à un cercle directeur, on obtiendra une nouvelle figure cor- 
rélative de la première, c'est-à-dire telle que ses points et ses droites se- 
ront respectivement remplacés par des droites et des points. Ainsi, à uno 
série rectiligne de points dans l'une des figures répondra dans l'autre 
un faisceau de droites, et réciproquement; à des points en ligne droite 
sur une courbe, répondront autant de tangentes issues d'un même point 
et menées à la courbe correspondante; le point d'intersection de plusieurs 
courbes sera remplacé par une tangente commune aux courbes correspon- 
dantes, etc. . . . Toute propriété descriptive, c'est-à-dire n'ayant rapport 
qu'à la situation des lignes, indépendamment de toute condition de gran- 
deur, conduira à une autre propriété de la figure polaire réciproque que 
l'on pourra énoncer immédiatement d'après ce qui précède, et qui sera 
par là même démontrée. Il n'est pas même nécessaire de construire la 
figure; il suffit, pour passer d'un énoncé à l'autre, de changer les mots 
points et lignes en lignes et points. 

C'est ainsi que l'un des deux théorèmes (326, 327) sur les triangles 
homologiques résulte de l'autre, que îa propriété de l'hexagone circon- 
scrit, due à Brianchon, résulte du théorème de Pascal sur l'hexagone in- 
scrit (328, 329), etc. Toute conséquence de l'un de ces deux derniers 
théorèmes doit aussi conduire à une conséquence corrélative de l'autre; 
voici quelques exemples : 



Dans tout pentagone inscrit dans 
un cercle, le point de concours de 
la tangente menée par un sommet 
et du côté opposé, et les points de 
concours des autres côtés non con- 
sécutifs, sont trois points en ligne 
droite. 

Dans tout quadrilatère inscrit 
dans un cercle, si l'on mène des tan- 
gentes par deux sommets adjacents, 
le point de concours de chacune 
d'elles avec le côté passant par le 
point de contact de l'autre, et le 
point de concours des deux autres 
côtés, sont trois points en ligne 
droite. 

Dans tout quadrilatère inscrit 
dans un cercle, les points de con- 



Dans tout pentagone circonscrit 
à un cercle, la droite qui joint un 
sommet au point de contact du côté 
opposé et les diagonales joignant 
les autres sommets non consécutifs 
sont trois droites qui se coupent au 
même point. 

Dans tout quadrilatère circon^ 
scrit à un cercle, si Von prend les 
points de contact de deux côtés ad- 
jacents et que Von joigne le point 
de contact de chaque côté avec le 
sommet de Vautre côté, et les deux 
autres sommets opposés, on aura 
trois droites se coupant au même 
point. 

Dans tout quadrilatère circon- 
scrit à un cercle, les deux diagonales 



2^8 GÉOMÉTRIE PLAME. 

et les droites qui joignent les points 
de contact des côtés opposés, sont 
quatre droites se coupant au même 
point. 

Dans tout triangle circonscrit à 
un cercle, les droites qui joignent 
le point de contact de chaque cote 
avec le sommet opposé se coupent 
au même point. 



cours des tangentes menées par les 
sommets opposés, et les points de 
concours des côtés opposés, sont 
quatre points en ligne droite. 
Dans tout triangle inscrit dans 



'in cercle, les points de concours de 
chacpie côté avec la tangente me- 
née par le sommet opposé sont trois 
points en ligne droite. 

Les théorèmes de la colonne de gauche sont des corollaires du théo- 
rème de Pascal ; ce théorème, étant en effet indépendant de la longueur 
des côtés de l'hexagone inscrit, subsiste lorsque l'on remplace quelques- 
uns de ces côtés par des tangentes à la circonférence. Les théorèmes de 
la colonne de droite résultent de ceux de la colonne de gauche, d'après 
la théorie des polaires réciproques. 

On peut aussi considérer les théorèmes de la colonne de droite comme 
des corollaires du théorème de Brianchon, dans lequel on suppose certains 
angles égaux à deux droits, et les théorèmes de la colonne de gauche 
comme résultant alors de ceux de la colonne de droite, d'après la théorie 
des polaires réciproques. 

C'est surtout à propos des coniques qu'on pourra voir toute la fécondité 
de cette belle méthode des polaires réciproques, due au général Poncelet. 
Toutefois, il faut remarquer que cette théorie, si utile comme méthode 
d'invention, puisqu'elle permet, suivant la piquante expression de Gcr- 
gonne, de faire en quelque sorte de la Géométrie en partie double, a, 
comme tous les procédés de transformation, l'inconvénient de laisser 
ignorer comment la proposition que Ton découvre se rattache à une théo- 
rie, et comment on pourrait s'y prendre pour la démontrer directement. 
« En général, comme le remarque M. Chasles, il ne suffit pas qu'une 
proposition soit vraie pour qu'on puisse en faire un usage utile en Mathé- 
matiques, il faut encore connaître toutes ses dépendances avec les diverses 
propositions qui se rattachent au même sujet. » 

350. Nous terminerons cet aperçu par quelques mois sur la transfor- 
mation des propriétés métriques, c'est-à-dire des propriétés dans les- 
quelles on a égard non-seulement à la situation des lignes, mais encore 
à certaines relations numériques entre les angles ou les segments des di- 
verses lignes de la figure. 

D'abord, les propriétés métriques angulaires se transforment simplement 
par la théorie des polaires réciproques, au moyen du principe suivant : 

Vangle de deux droites est égala Vangle des droites qui joignent leurs 
voles au centre du cercle directeur, car ces deux angles ont les côtés res- 
pectivement perpendiculaires. 



.IVIlli in. — LKS FIGURES SEMBLABLES. 



249 



Comme exemple, transformons cette proposition si connue : Dans tout 
triangle ABC, les hauteurs ka^ Bè, Ce, se coupent au même point I. 

Soient le centre du cercle directeur, et A'B'C le triangle polaire ré- 
ciproque de ABC, A' étant le pôle de BC, B' celui de CA et C celui de AB. 
Les trois hauteurs A«, B^, Ce, se coupant au même point I, leurs pôles 
a, 6, 7, doivent être sur une même droite, polaire de I. Or, le pôle a de A a 
doit se trouver d'une part sur B'C polaire de A, et de l'autre sur la per- 
pendiculaire menée par à la droite OA', puisque, en vertu du principe 
énoncé plus haut, l'angle aOA' doit être droit comme l'angle A«B des 
polaires A<2, BC, des points a et A'. On a donc ce théorème : 

Si l'on joint un point fixe ])ris arbitrairement dans le plan d'un 
triangle A'B'C aux trois sommets A', B', C, les perpendiculaires menées 
par ce point aux trois droites OA', OB', OC, ainsi obtenues, vont couper 
respectivement les côtés opposés B'C, C'A', A'B', en trois points a, 6, 7, 
situés en ligne droite, 

331. Quant aux relations segmentaires, on en transforme un assez 
grand nombre à l'aide des deux principes suivants : 

1° Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite 

dans une figure est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre 

droites correspondantes de la figure polaire réciproque, car ce faisceau 

et celui qu'on obtient en joignant les quatre points au centre du cercle 

directeur ont respectivement leurs angles égaux, d'après le principe du 

n° 350. 

AO 
1° Le rapport -^ des distances de deux points quelconques k et ^ au 



BO 



AM 



centre du cercle directeur est égal au rapport -^ des distances de 
chacun de ces points à la polaire de Vautre [fig, 224). Car A'N étant la 

Fig. 224. 




polaire de A et B'M celle de B, menons AC perpendiculaire sur OB et BD 
perpendiculaire sur OA ; nous aurons, en désignant par R le rayon du 
cercle directeur, 



R'=OA.OA'=OB.OB', 



., , OA OB' 



25o GÉOMÉTRIE PLANE. 

Mais BD et AG étant antiparallèles par rapport à l'angle 0, on a 



par suite, 



OA.OD = OG.OB, d'où ^ = §§; 



OA OB'-hOC CB' ^AM 
OB ~ 0A'-+- OD ~" DA' "" BN ' 



352. On déduit, par exemple, bien simplement du premier principe 
que le rapport anhannonique de quatre tangentes d'un cercle est égal au 
rapport anharmonique des quatre points de contact. Nous nous borne- 
rons à cette application ; mais on sentira aisément la portée de ce pre- 

mier principe en remarquant qu'il sert à transformer le rapport -^ des 

deux segments formés par trois points quelconques A, B, G, en ligne 
droite. En effet, l'introduction du point situé à l'infini sur cette droite 
permet de considérer ce rapport comme égal au rapport anharmonique 
( A, B, G, oo ) ; si donc on désigne par A', B', G', les polaires des points A, 
B, G, par D' la polaire du point à l'infini, et par a, 6, y, ^, les points 
où une transversale choisie à volonté rencontre le faisceau de ces quatre 
droites, on aura 

§| = (ABCoo) = W) = ïî:|. 

353. Le second principe est dû à M. Salmon. En voici une application : 
ABGD étant un quadrilatère inscrit dans un cercle de centre et de 

rayon R, et M étant un point quelconque de ce cercle, on a l'identité 

(MA. MB) (MG.MD) = (MA.MD) (MB.MG). 

D'ailleurs, si ME, MF, MG, MH, sont les perpendiculaires abaissées de M 
sur les côtés AB, BG, GD, DA, du quadrilatère, les produits renfermés 
entre parenthèses sont respectivement (239) proportionnels à ME, MG, 
MH, MF; on a donc 

(i) ME.MG = MH.MF, 

c'est-à-dire que, dans tout quadrilatère inscrit dans un cercle, le pro- 
duit des distances d'un point quelconque de la circonférence à deux côtés 
opposés est égal au produit des distances du même point aux deux 
autres côtés. Transformons ce théorème par la mclhode des polaires réci- 
proques; le cercle étant pris pour cercle directeur, au quadrilatère 
inscrit ABGD répondra le quadrihilère circonscrit A'B'G'D'et, au point M, 
la tangente Mï en ce point. Soient A'L, B'N, G'P, D'Q, les distances des 
sommets A', B', G', D', à la tangente MT. Puisque A' est le pôle de AB et 



I 

I 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 

M le pôle de MT, on aura, par le principe de M. Salmon, 
ME MO ,, , ,,„ xMO ,,- 

) dOU ME=-rT7r-AL. 



25l 



A'L A'O 



A'O 



Ainsi, les lignes ME, MG, MH, MF, sont respectivement proportionnelles 
aux distances A'L, C'P, D'Q, B'N, et la relation (i) devient 

c'est-à-dire que, dans tout quadrilatère circonscrit h un cercle, le produit 
des distances de deux sommets opposés à une tangente quelconque est 
dans un rapport constant avec le produit des distances des deux autres 
sommets à la même tangente. 

Le théorème sur le quadrilatère inscrit peut s'étendre à un polygone 
inscrit quelconque d'un nombre pair de côtés. En e^'et, si P est un poly- 
gone inscrit de 2/z côtés, et P' le polygone inscrit de 2« — 2 côtés qu'on 
obtient en détachant de P un quadrilatère au moyen d'une diagonale, on 
voit tout de suite que, si le théorème a lieu pour le polygone P' de in — 'i 
côtés, il subsiste pour le polygone P de 2« côtés. 

On peut même appliquer le théorème à un polygone quelconque, en 
remarquant qu'on peut considérer tout polygone inscrit comme ayant un 
côté infiniment petit dirigé suivant la tangente en l'un des sommets. 

De là résultent les deux propositions suivantes, en regard desquelles 
nous avons placé les deux propositions corrélatives qui en découlent 
d'après la méthode des polaires réciproques. 



Quand un polygone d'un nombre 
pair de côtés est inscrit dans un 
cercle, le produit des distances 
d'un point quelconque de la cir- 
conférence aux côtés de rangs 
pairs est égal au produit des dis- 
tances du même point aiux côtés de 
rangs impairs. 

Quand un polygone est inscrit 
dans un cercle, le produit des dis- 
tances d'un point quelconque de la 
circonférence aux divers côtés est 
égal au produit des distances du 
même point aux tangentes menées 
par les sommets du polygone. 



Quand un polygone d*un nombre 
pair de côtés est circonscrit à un 
cercle, le produit des distances des 
sommets de rangs pairs à une tan- 
gente quelconque est dans un rap' 
port constant avec le produit des 
distances des sommets de rangs im- 
pairs à la même tangente. 

Quand un polygone est circon- 
scrit à un cercle, le produit des 
distances de ses sommets à une 
tangente quelconque est dans un 
rapport constant avec le produit des 
distances des points de contact des 
côtés à la même tnnzciite. 



202 GÉOMÉTRIE PLANE. 

IV. — Homothétie. 

PROPRIÉTÉS DES FIGURES HOMOTHÉTIQUES. 

3S4. Étant donné un système quelconque A, B, C,. . ., de points situés 
dans un plan [f^. 11^ et 226), si, sur les rayons SA, SB, SC,.. ., issus 

Fig. 225. 





d'un point S choisi arbitrairement dans le plan, on prend à partir de ce 
point des segments SA', SB', SG',. 



, tels, qu'on ait 



SA' 

SA 



sb; 

SB 



se 

SG 






K étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points 
A', B', G', . . . , est homothétique au système primitif ABG, .... 

Le point S est dit le centre, et le nombre K, le rapport (V homothétie. 
Si K est positif, les deux segments SA et SA' sont de même sens, et les 
points A et A' sont d'un même côté du point S {Jig. 226). Si K est né- 
gatif, les segments SA et SA' sont de sens contraires, et les points A 
et A' sont de part et d'autre du point S [fg. 226) ; dans le premier cas 
[Jlg, 225), les deux systèmes sont dits homothétiques directs; dans le se- 
cond {fig. 226), ils %Qï\\, homothétiques inverses. Quand deux systèmes 
sont homothétiques inverses, il suffit évidemment, pour les rendre homo- 
thétiques directs, de faire tourner l'un d'eux de 180 degrés autour du 
centre S. On obtient donc tous les systèmes homothétiques à un système 
donné en faisant varier la position du centre S et en donnant à K toutes 
les valeurs positives de o àoo . 

355. Suivant que les points du premier système ABC... sont isolés 
ou forment des lignes continues, les points du système homothétique 
A'B'C'. . . sont à leur tour isolés ou forment des lignes continues. 

Supposons, par exemple, que la figure primitive soit une circonférence 

OA dont le centre est [fig. 227), et cherchons la figure homothétique, 

SA' 
c'est-à-dire le lieu des points A', tels, que ^-^ = ^- Si l'on prend sur SO 



une longueur SO' telle, que 



SO' 
SO 



K, les deux triangles semblables (200) 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 253 

O'A' 
SOA, SO'A', donnent -^ = K; par suite O'A' est constant comme OA, 

Fig. 227. 




et le lieu est une circonférence dont le point 0' est le centre. Ainsi la 
figure homothétique d'une circonférence est une circonférence. 

THÉORÈME. 

3o6. Dans deux systèmes homothétiques, la droite AB qui joint deux 
points quelconques du premier système et la droite A'B' qui joint les 
points homologues du second système sont parallèles et dans le rapport K 
{fig. ii5 et 226). 

En effet, les droites AB et A'B', divisant les rayons SA et SB dans le 
même rapport K, sont parallèles, et l'on a en outre 



A'B' 
AB 



SA 
SA 






Corollaires. 



357. Si trois points M, N, P du premier système sont en ligne 
droite, il en est de même des trois points homologues M', N', P' du 
second système; car les droites M'N', M'P' ayant un point commun M' 
et étant l'une et l'autre parallèles (3o6) à MNP, coïncident. La figure 
homothétique d'une ligne droite est donc une ligne droite parallèle 
à la première; ces deux droites sont dites homologues. 

Si un point M coïncide avec le centre S d'homothétie, il en est de 
même de son homologue M' ; car la relation 

SM' = K.SM 

montre que SM' s'annule en même temps que SM. Donc, si une droite 
passe po^ le centre d'homothétie, son homologue y passe également et, 
par suite, coïncide avec elle; réciproquement, si deux droites homo- 
logues coïncident.^ elles passent par le centre d'homothétie. 

358. L' angle de deux droites est égal à celui de leurs droites homo- 
logues. Par suite, la figure homothétique d^un polygone est un polygone 
semblable au premier. Les côtés du nouveau polygone sont parallèles aux 
côtés homologues du premier, et leur rapport de similitude est égal à K. 



254 GÉOMÉTRIE PLANE. 

359. Les tangentes en deux points homologues de deux courbes ho- 
mothéliques sont parallèles comme limites de sécantes parallèles. 

THÉORÈME. 

360. Deux systèmes sont homothé tiques s'il existe dans leur plan deux 
points et 0' tels, que les droites qui joignent le point aux divers 
points du premier système, et les droites qui joignent le point 0' aux 
divers points du second système, soient parcdlèles et dans un même 
rapport K {fig. iij ). 

En effet, si les droites OA et O'A' sont parallèles et de même sens, 
la droite AA' ira couper le prolongement de 00' en un point S tel, que 

so; _ o;;a; _ ^ _ sa; 

SO ~ OA ~ SA * 

Le point S est donc le même, quel que soit le couple de points homo- 
logues A et A' considéré; et, par suite, les deux systèmes sont homo- 
thétiques directs, et ont le point S pour centre et le nombre K pour 
rapport d'homothétie. 

Si les droites OA et O'Ai sont parallèles et de sens contraire, la droite 
AAi coupe 00' en un point Si tel, que 

SiO-_0-Ai_ SiAi 

SiO ~ OA ~ SiA' 

et les deux systèmes, alors homothétiques inverses, ont le point Si 
pour centre et le nombre K pour rapport d'homothétie. 

Corollaires. 

361. Deux polygones semblables ABCDE, A'B'G'D'E', qui ont leurs 
côtés parallèles, sont homotJiétiques . En effet (209), si l'on prend dans 
le plan du premier polygone un point quelconque et si l'on détermine 
dans le second polygone le point 0' homologue de 0, les droites OA 
et O'A', OB et O'B', OC et O'C, . . ., seront parallèles et dans le rap- 
port K. Donc les polygones seront homothétiques. 

L'homothétie est directe (/%. 225) ou inverse {fg. 226), suivant que 
les deux polygones ont leurs côtés parallèles de même sens ou de sens 
contraires. 

362. Deux circonfe'rences quelconques sont homothétiques directes et 
homothétiques inverses {fg. 11'^). 

En effet, le rapport ^77- de deux rayons parallèles et de même sens 
étant constant, les deux circonférences sont homothétiques directes, et 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. ^% 

elles ont un centre d'homothétie directe S situé au delà de la ligne 
des centres, de telle sorte qu'on ait 

scvr; 

SO ~ 11 ' 

R' et R étant les rayons des deux cercles. 

O'Ai 
De même, le rapport -j— de deux rayons parallèles et de sens con- 
traires étant constant, les deux circonférences sont aussi homothétiques 
inverses, et elles ont un centre d'homothétie inverse Si situé sur la 
ligne des centres, de telle sorte qu'on ait 

SiO^ R^ 

SiO ~ R* 

La comparaison des deux relations précédentes donne 

S0\ SiO^^ 

SO • SiO ^' 

Donc les deux centres d'homothétie divisent harnioniqiiement la ligne 
des centres 00' des deux cercles. 

Les tangentes communes extérieures pessent par le centre d'homo- 
thétie directe, et les tangente* communes intérieures par le centre 
d'homothétie inverse. C'est sur cette propriété qu'est fondée la con-, 
struction du n° 260. 

Lorsque les deux cercles sont tangents, leur point de contact est un 
centre d'homothétie, directe si le contact est intérieur, inverse si le 
contact est extérieur. 

T-HÉORÈME. 

363. Deux systèmes P' et P", homothétiques à un troisième P, sont 
homothétiques entre eux {fig. 228 et 229). 

Soient A un premier point du système P, et A' et A" ses points ho- 
mologues dans les systèmes P' et P". Joignons le point A à un point quel- 
conque M du système P, et joignons A' et A" aux points M' et M'homo- 
logues de M dans les systèmes P' et P". Les systèmes P' et P étan 
homothétiques, les droites A'M' et AM seront parallèles et dans un cer- 
tain rapport K"; de même, les droites A"M" et AM seront parallèles et 
dans le rapport K' d'homothétie des systèmes P" et P. Donc les droites 

K" 
A'M' et A"M" sont parallèles, et dans le rapport constant -^^ Donc (360), 

iv 

les systèmes P' et P" sont homothétiques. 



•20O 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Corollaires. 

36i. Si K"= K', les systèmes P' et P* ont un rapport d'homothélie 
égal à l'uniLo; ils sont donc superposables. Il résulte de là que, pour 
avoir tous les systèmes homothétiques à un système donné, il n'est pas 
nécessaire de faire varier le centre (334) : il suffit, en conservant le 
même centre, de faire varier K de zéro à l'infini. 

365. Si P est homolhétique direct avec chacun des systèmes P' et P", 
AM et A' M' sont de môme sens, comme AM et A'M", et par suite 
aussi A'M' et A' M"; de sorte que P' et P" sont homothétiques directs 
(A-.228). 

On verra de môme que, si P" est homothctique inverse avec chacun 
des systèmes P et P', P et P'sont homothétiques directs (/%. 229). 

Si P est homothétique direct avec l'un des systèmes P' et P", et ho- 
mothétique inverse avec l'autre, P' et P" sont homothétiques inverses 
{fig. 229). 

Parmi les trois systèmes homothétiques ainsi formés, il y en a donc 
toujours un nombre impair (i ou 3) dont l'homothétie est directe. 

Dans tous les cas, les trois centres d'homothétie S, S', S", sont en 
ligne droite {fig. 228 et 229). 



riîî. 228. 



Fi[r. 239. 




En eiïct, la droite S'S', considérée comme appartenant au système P, a 
pour homologue dans le système P' cette droite elle-même, puisque (357) 
elle passe par le centre d'homothétie S' de P et do F. Cette droite, con- 
sidérée comme appartenant au système P, est aussi à elle-même son 
homologue dans le système P", puisqu'elle passe par S", centre d'homo- 
thétie de P et de P". Donc, cette droite S'S" (357) passe par le centre S 
d'homothétie des systèmes P' et P'. 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 267 

366. Tl*ois cercles considérés deux à deux ont trois centres d'homo- 
thétie directe et trois centres d'homotbétie inverse (362). Les trois 
centres d'homothétie directe sont sur une même droite (365), qu'on 
nomme axe d'homothétie directe. De môme, deux centres d'homothétie 
inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse sont 
sur une même droite qu'on nomme axe d'homothétie inverse; il y a, 
d'après cela, trois axes d'homothétie inverse. 



I 



DEFINITION GENERALE DE LA SIMILITUDE. — POLE DOUBLE DE DEUX FIGURES 

SEMBLABLES. 

367. Pour étendre aux figures curvilignes la notion de la similitude, 
il faut prendre pour point de départ une propriété essentielle des poly- 
gones semblables qui soit immédiatement applicable aux courbes. Voici 
comment on parvient à faire cette généralisation : 

1° Deux polygones semblables P et P' étant donnés dans un plan, on 
peut toujours amener le polygone P' à avoir ses côtés parallèles aux 
côtés homologues de P {Jig. aSo). 

Deux cas peuvent se présenter, suivant que les deux polygones sont 
de même sens ou de sens opposés. 

On dit que P et P' sont de même sens lorsque deux mobiles, astreints 
à décrire respectivement leurs contours ABCDE, A'B'C'D'E', en suivant 
l'ordre alphabétique, marchent tous les deux dans le sens du mouve- 
ment des aiguilles d'une montre ou tous les deux dans le sens opposé. 

Fig. 23o, 




Considérons alors deux côtés homologues quelconques CD et CD' et 
faisons tourner le polygone P' autour du point C d'un angle a égal à 
celui des deux côtés considérés; CD' deviendra parallèle à CD, puis, 
comme les angles CD'E', CDE sont égaux et que D'E' tombe par rap- 
R. et DE C. — Tr. de Gcom. (I" Partie). 17 



GÉOMÉTRIIÎ PLANK. 

port à CD' du môme côté que DE par rapport à CD, le côté' D'E' de- 
viendra parallèle à DE, et ainsi de suite. 

On dit que P et P' sont de sens opposés lorsque deux mobiles 
astreints à décrire leurs contours respectifs ABCDE, AiBiGiDiEi, en 
suivant l'ordre alphabétique, marchent l'un dans le sens du mouvement 
des aiguilles d'une montre et l'autre dans le sens contraire. Dans ce 
cas, en prenant le symétrique de AiBiCiDiEi autour d'un axe quel- 
conque XY du plan, c'est-à-dire en rabattant ce polygone AiBiGiDiEi 
autour de cet axe, on obtiendra évidemment un second polygone 
A'B'G'D'E', qui présentera, relativement au polygone ABCDE, la même 
disposition que dans le premier cas. Un rabattement suivi d'une rota- 
tion amènera donc alors le polygone AiBiGiDiE» à avoir ses côtés pa- 
rallèles à ceux de ABCDE. 

2° On a vu que deux polygones semblables qui ont les côtés paral- 
lèles sont homothëtiques (361). Deux polygones semblables peuvent 
donc (1°) être rendus homothétiques ; et réciproquement, la figure ho- 
mothétique d'un polygone est un polygone semblable au premier (358). 

Par suite, pour qu'un polygone P' soit semblable à un autre poly- 
gone P, il faut et il suffit que ce polygone P' soit égal à l'un des homo- 
thétiques de P. 

Voilà donc une propriété caractéristique des polygones semblables. 
D'ailleurs, la définition de l'homothétie est immédiatement applicable 
aux figures curvilignes (354). On est ainsi conduit à cette définition 
générale : 

On dit qu'w/ze figure est semblable à une autre lorsqu'elle est égale à 
Vune des figures homothétiques de cette autre. 

On comprend d'après cela pourquoi on donne, en général, les noms 
de centres de similitude^ à'axes de similitude et de rapport de simili- 
tude aux centres, aux axes et au rapport d'homothétie. 

368. On nomme /?a/e double de deux figures F et F' semblables et de 
même sens le point du plan de ces deux figures qui est son propre ho- 
mologue. 

Il faut montrer qu'un tel point existe et qu'il est unique. 

Bappelons d'abord qu'on appelle homologues deux points et 0' tels, 
qu'on puisse les rattacher à deux côtés homologues AB et A'B' par deux 
triangles semblables AOB, A'O'B'; et alors (209), les triangles qui rat- 
tachent ces mêmes points à tout autre couple de côtés homologues 
sont par là môme semblables. Nous n'avons donc qu'à prendre à vo- 
lonté deux côtés homologues AB et A'B' des polygones F et F', et à 
montrer qu'il existe un point 0, et un seul, tel que les triangles AOB 
et A'OB' soient semblables, c'est-à-dire que les angles lAO, lA'O soient 
égaux, ainsi que les angles IBO, IB'O, I désignant l'inlerseclion des 



LIVRE III. — LES FIGUUES SEMBLABLES. 269 

droites AB, A'B'. Or l'égalité des deux premiers angles impose seule- 
ment au point {fig. 23oi) la condition de se trouver sur le cercle cir- 
conscrit au triangle lAA'; l'égalité des deux autres angles indique à son 
tour, comme autre lieu géométrique du point 0, le cercle circonscrit au 
triangle IBB'. Ces deux Cercles, passant par I, ont un second point 
commun et un seul : c'est le point cherché 0. 

On donne parfois à ce point double le nom de centre de rotation 
des deux figures semblables F et F'. C'est qu'en effet il suffit de faire 

Fig. 23o,. 




louriler, d'un angle convenable, l'une des figures, F' par exemple, au- 
tour du point 0, pour rendre les deux fi<^ures liomothétiques, étant 
lui-même le centre d'homotliétie. Cela résulte immédiatement de ce que 
les triangles OAB et OA'B', OAG et OA'C, . . ., étant semblables deux 
à deux, les côtés OA et OA', OB et OB', OC et OC, . . . sont propor- 
tionnels, et les angles AOA', BOB', COC, . . . sont égaux comme étant 
la somme ou la différence d'angles égaux. 

Ainsi, on obtient la seconde figure A'B'C... en joignant le point 
double aux divers points A, B, C, . . . de la première, puis en faisant 
tourner les rayons OA, OB, OC, . . ., d'un même angle V autour de 0, 
tandis qu'on augmente ou qu'on diminue les rayons dans un même 
rapport K. 

D'ailleurs, puisque la rotation V amène toute droite BC de la figure F 
à être parallèle à son homologue B'C de la figure F', on voit que deux 
droites homologues quelconques BC, B'C, des deux figures font entre 
elles un angle égal à l'angle de rotation V. 

Les triangles AOA', BOB', COC, . . . , ayant un angle égal compris 
entre côtés proportionnels, sont semblables, et l'on peut dire encore 
qu'on obtient les divers points A', B', C, ... de la figure F', en con- 
struisant sur les droites OA, OB, OC, . . ., de la figure F des triangles 
semblables AOA', BOB', COC, .... 

La construction donnée ci-dessus pour obtenir le point double de 
doux figures semblables est, en général, la plus simple ; mais on peut, 



200 GËOMUTIUK PLAiNE. 

dans certains cas, mettre à profit la propriété suivante : Le rapport det 
distances du point double à deux points homologues quelconques est 
égal au rapport de similitude des deux figures. Cette propriété est 
évidente, puisque les distances en question sont des droites homo- 
logues. Il en résulte que le cercle, lieu des points dont le rapport des 
distances à deux points homologues des deux figures est égal au rap- 
port de similitude (187), passe par le point double. 

Il convient encore de remarquer, en vue des applications, que, 
lorsque les points B et A' se confondent et, par suite, coïncident avec 
I {Jig. 23oi), les cercles lAA', IBB', dont le second point d'intersection 
est le point double, doivent être remplacés par le cercle qui, passant 
par A et I, touche IB', et par le cercle qui, passant par B' et I, 
touche AI. 

Deux cercles sont deux figures semblables; mais leur point double 
n'est déterminé que si l'on indique le point A' du second cercle que 
l'on veut considérer comme l'homologue d'un point A choisi arbitraire- 
ment sur le premier cercle. Si le point A' homologue de A n'est pas 
donné, on ne connaît qu'un seul couple de points homologues, celui 
qui est formé par les centres G et G' des deux cercles; et le point 
double n'est astreint alors qu'à être situé sur le cercle, lieu des points 
dont le rapport des distances aux centres G et G' est égal au rapport 
des rayons, c'est-à-dire sur le cercle ayant pour diamètre la droite qui 
joint les centres de similitude des cercles proposés (187, 362). 

Pour deux droites indéfinies, considérées comme des figures sem- 
blables, le point double n'est déterminé que si l'on donne sur ces 
droites deux couples A et A', B et B', de points homologues, auquel 
cas le point double est le second point d'intersection des cercles cir- 
conscrits aux triangles lAA', IBB', I désignant le point commun aux 
deux droites proposées. 

MÉTHODE DES FIGURES SEMBLABLES. 

369. Parmi les procédés généraux qui servent à la résolution des 
problèmes, il importe de signaler celui qui consiste à construire une 
figure semblable à la figure cherchée avec des éléments pris parmi les 
données; on passe ensuite de cette figure auxiliaire à la figure deman- 
dée, en comparant deux éléments homologues des deux figures. 

Gette méthode, dite par similitude, est surtout avantageuse quand, 
parmi les données, ne se trouve qu'une seule longueur L, les autres 
données étant des rapports ou des angles. On fait alors abstraction do 
la longueur L, et l'on construit une figure cp présentant les angles et les 
rapports donnes. X étant le côté de cette figure auxiliaire qui corres- 
pond au côté L de la figure cherchée F, il suffit, pour avoir cette der- 



LIVÎIK IIL 



LI':S FIGURKS SK.UBLAHLES. 



261 



nièie, de construire (2j2), sur une droite égale à L et considérée 
comme homologue du côté X, une figure semblable à la figure cp. 

On voit, sans autre explication, que ce procédé donnera immédiate- 
ment la solution de questions telles que celles-ci : 

Construire un triangle, connaissant un angle, un côte' et le rapport 
des deux autres côtés, ou bien deux angles et la longueur d'une droite 
{hauteur, médiane, bissectrice, . . .) devant être déterminée dès que le 
trianîrle l'est. 

o 

Construire un carré, connaissant la différence enlre la diagonale et 
le côté .... 
Voici un exemple un peu moins simple : 




l'iil. 232. 




k V F 



Soit proposé de construire un triangle ABC dont on donne les trois 
hauteurs a, ê, ^ {fig. 231); «, h, c, étant les côtés du triangle inconnu, 
et BD et AE étant les hauteurs 6 et a, les triangles semblables CBD, 
CAE, donnent 

a b 

On a de même 

a c 



et, par suite, 



b^ 



cy. 



On voit par là que si, d'un point pris à volonté, on mène à un cercle 
trois sécantes respectivement égales aux trois hauteurs données a, ê, y, 
les autres segments, comptes sur les mômes sécantes à partir de leur 
point commun, seront proportionnels aux côtés «, b, c du triangle de- 
mandé. On construira donc un triangle A'BC ayant pour côtés ces 
segments; ce triangle sera semblable au triangle cherché ABC et, pour 
avoir ce dernier triangle, il suffira de prendre sur la hauteur issue du 
sommet B une longueur BD = 6, puis de mener par le point B la paral- 
lèle AC à A' C. 

Dans les questions que nous venons de traiter, la position absolue de 



202 GÉOMÉTRIE PLA.XE. 

la ligure demandée demeure arbitraire; mais, dans un grand nombre 
de cas, la figure à construire doit, au contraire, avoir une position déter- 
minée par rapport à des points ou à des droites données. C'est alors de 
l'une de ces conditions de situation qu'il faut faire abstraction, et la 
méthode s'appliquera encore si les figures satisfaisant à l'ensemble des 
autres conditions données sont semblables et semblablement placées. 
Citons, comme exemple, un problème déjà résolu d'une autre façon (263) : 
Par un point P situé à l'intérieur d'un an<j;le XSY, tracer un cercle G 
tangent aux deux côtés de l'angle. En faisant abstraction de la condi- 
tion imposée au cercle de passer par le point P, on tracera un cercle 
quelconque inscrit dans l'angle XSY. Ce cercle et le cercle de- 
mandé C, dont nous désignerons les centres par w et y, auront le point S 
pour centre de similitude. La droite PS, par sa rencontre avec le cercle 0, 
donnera donc l'homologue Q du point P; et, comme les rayons wQ, CP 
doivent être parallèles (336), on aura le centre y du cercle inconnu, en 
prenant l'intersection de la droite Sw et de la parallèle menée par P 
à coQ. 

Soit encore proposé ^'inscrire dans un triangle donné ABC un 
triangle dont les côtés soient parallèles à ceux d'un triangle donné de j 

ifig. 232). 

Si l'on trace dans le triangle ABC une parallèle d'f à df, puis par 
les points d' et/' des parallèles d' e\ f e\ à c?e et à e/, on formera un 
triangle d'f'e\ homothétique au triangle cherché DFE, et le point A sera 
pour ces triangles un centre de similitude directe (356). La droite Ae' 
coupera donc BC en un point E qui sera l'un des sommets du triangle 
demandé, et il ne restera plus qu'à mener par ce point E des paral- 
lèles ED et EF, à ed et à ef, et à joindre les points D et F. 

370. A ce procédé s'en rattache un autre où l'on opère par renverse- 
ment, c'est-à-dire qu'on renverse la question eij prenant les données 
pour inconnues, et réciproquement. En traitant ce nouveau problème, 
on obtient une figure égale ou semblable à la figure cherchée, et, pour 
avoir la figure demandée dans la position voulue, il suffit d'en connaître 
une seule ligne. 

Reprenons, par exemple, le problème précédent. On commencera 
par circonscrire au triangle def un triangle abc ayant ses côtés respec- 
tivement parallèles à ceux du triangle ABC. La figure ainsi formée sera 
semblable à la figure cherchée,^et il suffira de partager le côté AB dans 
le rapport de db à da pour avoir le sommet D du triangle demandé. 

Voici un second exemple de cette méthode indirecte : 

Inscrire dans un quadrilatère donné ABCD un quadrilatère a'b'c'd' 
semblable à un autre quadrilatère donné A'B'C'D' {fg. 233). 

La méthode inverse sera ici évidemment préférable à la méthode directe, 



LIVRE !II. — LES FIGURES SEMBLABLES. 203 

parce que, s'il s'agit do circonscrire une figure semblable au lieu de 
l'inscrire, les segments capables, décrits sur les côtés du polygone 
donné, fournissent immédiatement des lieux géométriques des sommets 
du polygone à construire. 

Renversons donc la question, et proposons-nous de circonscrire à 
un quadrilatère donné A'B' CD' un quadrilatère abcd semblable à un 
autre quadrilatère donné ABCD. 

Les angles du quadrilatère abcd étant donnés, les sommets «, ^, d 
appartiennent aux segments capables de ces angles, décrits sur les 
côtés A'B', B'C, A'D'. 

De plus, le quadrilatère abcd étant semblable au quadrilatère ABCD, 
le triangle abd est lui-môme semblable au triangle ABD, et l'on con- 
naît les angles abd, adb. Comme ces angles ont pour mesures, le pre- 
mier la moitié de l'arc B'Z>', le second la moitié de l'arc SI d\ on pourra 
marquer sur les arcs B'C et A'D' les points b' et d' : la droite b'd' sera 
donc déterminée, et ses seconds points d'intersection avec les seg- 
ments décrits sur B'C et sur A'D' seront les points b et d. Ayant ainsi 
doux sommets opposés du quadrilatère abcd, le problème inverse se 
trouvera résolu. 

l'-ifT. 233. 




Pour revenir au problème direct, on n'aura plus qu'à diviser ios côtés 
du quadrilatère ABCD dans des rapports égaux à ceux des segments que 
les points A', B', C, D', déterminent sur les côtés du quadrilatère abcd, 
et à joindre les points de division. 

Le problème proposé a /mit solutions dans le cas général. En effet, en 
considérant le problème inverse, on voit d'abord que l'angle d peut 
s'appuyer indifféremment sur chacun des côtés du quadrilatère A'B'C'D': 
ce qui donne quatre solutions. De plus, chacune de ces solutions doit 
être double : car l'angle a s'appuyant sur le côté A'B' par exemple, les 
angles b ei d peuvent s'appuyer respectivement, soit sur les côtés B'C 
et A'D', soit au contraire sur les côtés A'D' et B'C. Cette double solu* 



264 GÉOMÉTRIE PLANE. 

tion se réduirait à une seule, si les angles h et d étaient égaux en 
môme temps que les côtés B'C et A'D'. 

371 . La méthode par rotation dont nous avons parlé à la fin du livre II 
(172) prend une extension considérable quand on la combine avec la 
construction d'une figure homothétique. 

Soit proposé de construire un triangle ABC semblable à un triangle 
donné, de telle sorte que l'un des sommets Q, ait une position donnée 
et que las deux autres sommets k et ^ soient respectivement sur deux 
lignes données a et h. 

Il est clair que, si l'on fait tourner la ligne a autour du point donné C 

d'un angle égal à l'angle connu AGB, puis qu'on construise la ligne a' 

homothétique de cette ligne ainsi déplacée en prenant pour centre d'hô- 

CB 
mothétie le point G et pour rapport d'homothétie le rapport connu -— -, 

LA 

le point A de la ligne a viendra en B. On obtiendra donc la position 

cherchée de ce sommet B en prenant l'intersection des lignes b et a'. 

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire un triangle dont 
les côtes soient proportionnels aux nombres 3, 4, 5, de façon que les 
sommets soient sur trois droites parallèles données, ou sur trois cercles 
concentriques donnés. 1.0) triangle est ici rectangle; on placera à volonté 
le sommet de l'angle droit sur celle des lignes à laquelle il doit appar- 
tenir; puis, on fera tourner l'une des autres lignes autour de ce point 
d'un angle égal à 90°, en prenant f pour rapport d'homothétie. 

La méthode consiste, on le voit, dans l'emploi du point C comme 
centre de rotation et d'homothétie. 

Voici quelques autres exemples simples : 

I** Soit un quadrilatère ABCD. On peut considérer A et D, B et G 
comme deux couples de points homologues de deux figures semblables; 
désignant le pôle double de ces deux figures, les triangles AOB, 
DOC seront semblables; par suite, il est aisé de voir qu'il en sera de 
même des triangles AOD, BOG; donc, si l'on considère A et B, C et D 
comme deux couples de points homologues de deux autres figures sem- 
blables, le pôle double de ces figures sera aussi le point ; et l'on ver- 
rait de même que ce point est encore le pôle double de deux figures 
semblables dont A et G, B et D seraient deux couples de points homo- 
logues. On conclut do là que dans tout quadrilatère complet, les cer- 
cles circonscrits aux triangles qui restent lorsqu'on néglige successive- 
ment un des côtés passent tous par un même point. 

2° Gonsidérons un triangle quelconque ABG et en même temps le 
triangle A'B'G' qui a pour sommet les milieux des côtés du premier. 
Ges deux triangles sont semblables ; deux côtés homologues quelconques 
forment un angle de 180° et le rapport de similitude est égal à i. Si 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



265 



désigne le pôle double, comme les angles AOA', BOB', COC doivent être 
égaux à i8o°, on voit que ce pôle se trouvera sur toute ligne joignant 
deux points homologues, et qu'il divisera cette ligne dans le rapport de 
I à 2. Ce pôle est donc à la rencontre des médianes AA', BB', GC. Mais 
les points de rencontre des hauteurs dans les deux triangles sont deux 
points homologues K et K' ; d'ailleurs K' est le centre du cercle cir- 
conscrit à ABC; donc, dans tout triangle ABC, le point de concours des 
hauteurs K, le point de concours des médianes 0, et le centre K' du 
cercle circonscrit sont situés sur une même ligne droite que le point 
partage dans le rapport de i à i. 

3" On donne, dans un plan, deux droites L et L'.un point A sur 
la droite L et un point A' sur la droite L'. Mener ^ par un point quel- 
conque P du plan, une droite qui coupe respectivement L et L' en deux 
points X et X', tels que les segments AX et A'X' aient un rapport 
donné {fig. 233i). 

Considérons A et A', X et X' comme deux couples de points homo- 
logues de deux figures semblables F et F'; le point double de ces 
deux figures s'obtiendra aisément, car il est d'une part sur le cercle cir- 
conscrit au triangle A A'I, I étant le point d'intersection des droites L et 
L'; d'autre part, il est sur le cercle, lieu des points dont le rapport des 
distances à A et A' est égal au rapport donné. 



Fig. -jSS.. 



I 





L'angle OAA' est donc connu, et, comme il doit être égal à OXX', 
c'est-à-dire à GXP, il suffira, pour avoir le point X, de décrire sur OP 
un segment capable de l'angle OAA'. 

Dans le cas particulier où le point A' se confondrait avec I, le cercle 
circonscrit à A A'I serait remplacé par le cercle passant par A et tangent 
en I à la droite L'. 

Ce problème remonte à Apollonius, qui l'avait surnommé problème de 
la section de raison. 



266 GÉOMÉTRIE PLANR. 

V. — Puissance d'un point par rapport à un cercle. 

AXES RADICAUX. 

372. Nous avons vu (193) que, si, par un point M pris à volonté dans 
le plan d'un cercle 0, on mène à ce cercle une sécante arbitraire MAB, 
le produit MA. MB des dislances de ce point aux deux intersections A 
et B de la sécante et de la circonférence est une quantité constante, 
c'est-à-dire indépendante de la direction de la sécante. Ce produit 
constant MA. MB, qui est évidemment positif lorsque le point M est 
extérieur au cercle, et négatif lorsque le point M est intérieur, porte, 
d'après Steiner, le nom de puissance du point M par rapport au 
cercle {fig. 234). 

Fi{ï. 234. 




Considérons en particulier celle des sécantes issues du point M qui 
passe par le centre 0, et désignons par d la distance MO et par ;• le 
rayon du cercle. Si le point M [est extérieur au cercle, les deux seg- 
ments MA et MB, comptés sur cette sécante, sont de même signe, et, 
comme leurs valeurs absolues sont d — r et d-hr, la puissance du 
point M a pour expression {d-^-r){d — r) ou d^—r^. Si le point M 
est intérieur, les deux segments MA et MB, comptés sur la sécante qui 
passe au centre, ont respectivement pour valeurs absolues r — d el 
r -h d; mais, comme ils sont de sens opposés, la puissance a pour 
expression — {r — d){r-\-d) = —(r^ — d'^)^ c'est-à-dire encore 
d^ — r^. Ainsi, dans tous les cas, Impuissance d'un point par rapport 
à un cercle est égale, en grandeur et en signe, à l'excès du carré de 
la distance de ce point au centre sur le carré du rayon. 

Lorsque le point M est extérieur au cercle, sa puissance est égale au 
carré de la tangente MT menée au cercle par ce point. 

Si le point M est intérieur, sa puissance est négative et égale en 
valeur absolue au carré de la moitié de la corde CMD perpendiculaire 
à OM, c'est-à-dire de la corde minimum parmi celles qui passent 
par M. 



LIVIIE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 267 



THÉORÈME. 

373. Le lieu des points M d'égale puissance par rapport à deux- 
cercles et 0' est une droite perpendiculaire à la ligne des centres 00'. 

En effet, on a MO — r'^— MO' — r'2, r et r' étant les rayons des deux 
cercles. Le lieu cherché est, d'après cela, le lieu des points dont la dif- 
férence des carrés des distances aux centres et 0' est égale à la diffé- 
rence des carrés des rayons. C'est donc (235) une droite perpendiculaire 
à 00', plus voisine du centre 0' du plus petit cercle que du centre du 
plus grand, et dont la distance au milieu de la ligne des centres 00' est 
égale à la différence des carrés des rayons divisée par le double de la 
distance des centres. 

D'après Gaultier (de Tours), on donne à cette droite le nom A'axe 
radical des deux cercles. 

Tout point commun à deux cercles, ayant une puissance nulle par 
rapport à chacun d'eux, appartient à leur axe radical. De même, tout 
point commun à l'axe radical et à l'un des cercles appartient à l'autre 
cercle, puisque sa puissance doit être nulle par rapport au second 
cercle comme elle l'est par rapport au premier. Donc : l'axe radical 
de deux cercles qui se coupent est la sécante commune ; l'axe radical 
de deux cercles qui se touchent est la tangente commune; l'axe radical 
de deux cercles qui n'ont aucun point commun est extérieur à chacun 
d'eux. 

374. En vertu de ce qui a été dit à la fin du n° 372, le lieu des points 
d'où l'on peut mener à deux cercles des tangentes égales est l'axe 
radical des deux cercles si les cercles ne se coupent pas ; s'ils se coupent, 
le lieu n'est que la partie de l'axe radical qui est extérieure aux deux 
cercles, et alors, la partie intérieure est le lieu des points tels, que les 
cordes minimum, relatives à ces points, soient égales dans les deux 
cercles. 

375. Si l'on désigne par S l'un quelconque des centres de similitude 
de deux cercles et 0', et par L, P et P' les points où la ligne des 
centres 00' rencontre respectivement leur axe radical et les polaires 
de S par rapport aux deux cercles, on a, en vertu du théorème du 
n''373, de la théorie de la polaire (341) et de celle des centres de simi- 
litude (362), 

00' r2— r'2 



0L = 



a 00' 



o_s^o:s^_oo;^ ^^^r^ ^,p,^_^ 

r r r — r OS OS 



253 




GÉOMÉTRIE PLANE. 




On déduit de là 










/■2— r'2 r( 


p — 
00' 


.') r'{r-r') 
■^ 00' ~ 


7-2 


r'2 


00' ~ 


O'S 


et, par suite, 










( 


)[,= 


OP + OO'-i-O'P' 


OP-f-OP 



OP + O'P', 



L'axe radical de deux cercles est donc la droite équidistante des 
deux polaires de l 'un quelconque de leurs centres de similitude, par 
rapport aux deux cercles. 

Ce théorème est d'ailleurs évident dans le cas où le centre de simili- 
tude considéré est extérieur aux deux cercles ; car l'axe radical passe 
alors par les milieux de leurs tangentes communes, tandis que les 
polaires sont les cordes de contact correspondantes. 

Il résulte de la même proposition que l'axe radical d'un cercle et 
d'un point 0' est parallèle à la polaire du point par rapport au cercle 
et équidistant de ce point et de sa polaire. 

THÉORÈME. 

376. Les axes radicaux de trois cercles considérés deux à deux 
concourent en un mcnie point (/%". 235 et 236). 





En effet, soient 0, 0', 0", les centres des trois cercles et L, L', L", 
les axes radicaux des cercles 0' et 0", 0" et 0, et 0'. En supposant 
que les trois points 0, 0', 0", ne soient pas en ligne droite, on voit que 
L et L' perpendiculaires à deux droites qui se coupent, O'O" et 0"0, 
se rencontreront en un certain point C, qui sera alors d'égale puissance 
par rapport sux cercles 0' et ^/, et aussi par rapport aux cercles 0" 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 269 

et 0. Ce point C aura donc même puissance par rapport aux cercles 
et 0', et par suite il appartiendra à leur axe radical L". 

Le point C, commun aux trois axes radicaux, prend le nom de centre 
radical du système des trois cercles 0, 0', 0". 

Lorsque les trois centres sont en ligne droite, le centre radical est à 
l'infini ou est indéterminé suivant que les cercles et 0', et 0" ont 
des axes radicaux parallèles ou coïncidents. 

Ce théorème permet de construire simplement l'axe radical de deux 
cercles et 0' extérieurs ou intérieurs l'un à l'autre. Il suffit découper 
ces deux cercles par un troisième cercle quelconque 0". La corde com- 
mune aux cercles et 0" et la corde commune aux cercles 0' et 0" se 
couperont au centre radical G des trois cercles 0, 0', 0", et il restera 
à abaisser de ce point G une perpendiculaire sur la ligne 00' {Jig. 235 
et 236). 

377. Dès qu'il existe dans le plan de trois cercles plusieurs points 
distincts ayant même puissance par rapport à chacun des trois cercles, 
on peut affirmer que ces points sont sur une même droite qui est l'axe 
radical commun aux trois cercles. 

On peut fonder sur cette remarque une nouvelle démonstration très 
simple de la propriété du quadrilatère complet qui fait l'objet du n^SH. 

Soit ABGDEF {Jig. 237) un quadrilatère complet. Considérons l'un 



'ig. 237. 




des triangles BCE formé par trois côtés du quadrilalcro; soient BP, CR, 
EQ, les trois hauteurs de ce triangle, et leur point de concours. Les 
circonférences décrites sur les diagonales BD, AG, EF, comme dia- 
mètres, passent respectivement par les points P, R, Q. Les puissances 
du point par rapport à ces trois cercles sont donc 

OB.OP, OR. OC, OQ.OE, 



et les quadrilatères inscriptibles BRCP, BQEP, montrent que ces puis- 
sances sont égales. Le point a donc môme puissance par rapport aux 
trois cercles, et il en est de môme des trois autres points analogues Oi» 



270 



GÉO.^IÉTUIK PLANE. 



O2, O3, relatifs aux trois autres triangles que l'on peut former en pre- 
nant chaque fois trois des côtés du quadrilatère. Par suite., d'après la 
remarque ci-dessus, les trois cercles considérés ont un même axe 
radical qui contient les points 0, Oi, O2, O3, et les centres des trois 
cercles, c'est-à-dire les milieux des trois diagonales, sont sur une même 
droite perpendiculaire à l'axe radical commun. 

On voit, par cette démonstration, non seulement que les milieux des 
diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite, mais encore 
que les circonférences de'crites sur les trois diagonales comme diamètres 
ont même axe radical, que cet axe radical est perpendiculaire à la 
droite qui passe par les milieux des diagonales, et qu'il contient les 
points de concours des hauteurs des quatre triangles formés par les 
côtes du quadrilatère combinés trois à trois. 

POINTS antihomologues DE DEUX CERCLES. 

THÉORÈME. 

378. 1° Xe produit des distances de l'un quelconque des deux centres 
de similitude de deux cercles à deux points anti-homologues est con- 
stant; -1° deux couples de points anti-homologues sont sur une même 
circonférence ; 3** deux cordes anti-homologues se coupent sur l'axe 
radical. 

Soient deux cercles et 0' {fig. 238), S un de leurs centres de 



238. 




similitude, par exemple le centre de similitude externe. Une sécante SM, 
issue de S, coupe les cercles et 0' en quatre points M, N, M', N'. 
Les points M et M' sont homologues par rapport ' au centre S, car les 
rayons correspondants OM, O'M', sont parallèles ; de môme, N et N' 
sont homologues. Les points M et N' sont dits anti-homologues , ainsi 
que les points N et M'. Une corde quelconque IVl/z du premier cercle, et 
la corde N'm' du second cercle qui joint les points anti-homologues des 
extrémités de la première, prennent le nom de cordes anti-homologues. 
Ces définitions établies, voici la démonstration du théorème énoncé : 



LIVRE III. — LES FIGUHES SEMBLABLES. 27! 

En désignant par r et r' les rayons des deux cercles et par p la 
puissance du point S par rapport au cercle 0, on a 

SM.SxN = p et 1^; = ^• 
En divisant la première égalité par la seconde, il vient 



et l'on trouverait de môme 



SN.SM' = /?-; 



SM.SN'=:d- 

^ r 



2° D'après cela, si Sm est une autre sécante issue du point S, on 
aura 

SM.SN'=:S«.Sm'; 

donc (194) les points M et N', n et m' sont sur une même circonfé- 
rence 0". 

3" Enfin, la corde M/z étant l'axe radical des cercles et 0", et la 
corde N'm' l'axe radical des cercles 0' et 0", le point d'intersection C 
des deux cordes est le centre radical (376) des trois cercles 0, 0', 0", 
c'est-à-dire un point de l'axe radical des cercles et 0'. Cette dernière 
propriété, prise à sa limite, prouve encore que les tangentes en deux 
points anti-homologues de deux cercles se coupent sur l'axe radical. 

THÉORÈME. 

379. Quand deux cercles (A) et (B) sont touchés par un troi- 
sième (w), la droite qui joint les points de contact a et b passe par un 
centre de similitude \ de {k) et de (B)^ et le pôle t de cette droite par 
rapport à (w) est situé sur {'axe radical L de (A) et de (B) [fg. 238i]. 

En effet, puisque (362) a est un centre de similitude de (A) et (w), 
et b un centre de similitude de (B) et (w), la droite «è est (366) un axe 
de similitude des trois cercles (A), (B), (w); elle passe donc par un des 
deux centres de similitude de (A) et(B). D'autre part, les tangentes en a 
et en b étant (373) les axes radicaux de (A) et (a>) et de (B) et (w), leur 
point de rencontre ^ c'est-à-dire (343) le pôle de ab par rapport à 
(o)) est le centre radical (376) des trois cercles (A), (B), {<ii)\ il ap- 
partient donc à l'axe radical L de (A) et (B). 

Cette proposition a deux réciproques. 

1° Si la droite ab, qui joint deux points respectifs a et b des cer- 
cles (A) et (B), passe par un centre de similitude I de ces deux cer- 



j;4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

des, le cercle (w) qui touche (A) au point a et qui passe par le 
point b, touche en ce point le cercle (B). — En effet, si le cercle (w) cou- 
pait (B) en un second point b^, la droite I^i couperait les cercles (w) 
et (A) en deux points distincts a et a^^ et l'on aurait, en combinant 
les propriétés des sécantes (193) et celles des points antihomologues 
(378), 

I^i.Ia = iZ'.lrt = IZ'i.Irti, 

c'est-à-dire lai — la, ce qui est contraire à l'hypothèse. 

2" Si la droite ab^ qui joint deux points respectifs a et b des cer- 
cles (A) et (B) est telle, que le point de rencontre t des tangentes en a 
et en b à ces deux cercles appartienne à leur axe radical L, le 
cercle (u>) qui touche (A) au point a et qui passe par le point b, 



Fig. 238 




touche en ce point le cercle (B). — En effet, si la droite tb coupait le 
cercle (w) en un second point èi, on aurait 



— 2 — 2 
tb.tbi = ta = tb , 



c'est-à-dire tb — tbi^ ce qui est contraire à l'hypothèse. 



Corollaire. 

380. Si deux cercles (A) et (B) sont touchés respectivement en a et 
en b par un cercle (ui) et en a' et en b' par un cercle (w'), de façon 
que les contacts en b et en b' soient semblables ou dissemblables sui- 



\ LIVRE m. — LES FlGUilES SKMCL.VBLES. 278 

vant que les contacts en a et en a' sont eux-mcmcs semblables ou dis- 
semblables, le point de concours de deux côtés oppose's quelconques du 
quadrilatère aba b' est à la fois un centre de similitude des deux cer- 
cles dont ces côtés sont des cordes et un point de Vaxe radical des 
deux autres cercles {Jig. 2881 ). 

En effet, si les contacts en a et en a' sont semblables, aa' passe (366) 
par le centre de similitude externe de (w) et (w'); mais, alors, les 
contacts en b et en b' étant aussi semblables par hypothèse, bb' passe 
par ce même centre de similitude; on verrait, par un raisonnement 
analogue, que, si les contacts en a et en a' sont dissemblables, les 
droites aa' et ^^' passent toutes deux parle centre de similitude interne 
de (w) et (w'). Dans les deux cas, le point de concours J de aa! et de 
bb' est donc un centre de similitude de (w) et (w'). Les points « et « 
sont sur ces deux cercles des points anti-homologues, et il en est de 
môme des points b et b'. On a dès lors 

Jrt.Jrt' = JZ>.JZ>\ 

et le point J, ayant même puissance par rapport à (A) et à (B), appar- 
tient à l'axe radical L de ces deux cercles. 

D'ailleurs, de ce que les contacts en b et en b' sont semblables ou 
dissemblables en même temps que les contacts en a et en a\ il résulte 
que les contacts en a' et en b' sont semblables ou dissemblables en 
même temps que les contacts en « et en è; et, par suite, un raisonne- 
ment identique au précédent prouve que le point de concours I de ab 
et de a'b' est un centre de similitude de (A) et (B) et appartient à 
Taxe radical de (w) et (a>'). 

NOTIONS SUR l'INVOLUTION. 

381. On dit que plusieurs couples de points («,«'), {b, b'), ..., 
(m, m'), ... situés sur une même droite L forment une involuL.on, 
lorsqu'on peut trouver sur la droite L un point 0, tel que l'on ait 

0«.0«'=0^.0^'=0c.0c' = ...= K. 

La droite L est la base, le point central^ et la constante K \<i puis- 
sance de l'involution. 

r Deux couples de points (a, a'), {b, b'), déterminent une involution. 
i En effet, si p est un point pris à volonté hors de la droite L, le point 
l^fc central doit avoir la même puissance par rapport aux cercles circon- 
IHscrits aux deux ifmn^XQs paa\ pbb' ; il appartient donc à l'axe radical 
I^Kdc ces deux cercles et, par suite, il sera le point où cet axe coupe la 
I^R droite L. Dès lors, q étant le second point d'intersection des deux cer- 
W^k ^' el DE G. — Tr. de Géom. (!'• Partie). l8 



274 GÉOMÉTRIE I»LANE. 

des, le conjugué d d'un point c de la droite L sera le second point 
commun à cette droite et au cercle circonscrit au triangle pqc. 

La perpendiculaire élevée sur la base L par le point central esl 
l'axe radical commun des cercles de'crits sur les segments aa\ bb\ cc\ 
comme diamètres. 

2" On nomme point double d'une involution tout point u de la base L 
qui est son propre homologue. Pour qu'un tel point existe, il faut et il 
suffit qu'on ait 

Donc il n'y a pas de points doid)les si K est négatif ; si K est positif, 
il y a deux points doubles e el f situés sur la droite L, de part et 
d'autre, du point central à une môme distance égale à /K. 

D'après cela, l'involution peut offrir deux dispositions différentes. 

Si K est positif, comme on a (332, 333) 



Oe 



0/ =0a.0a'=0b.0b'=0c.0c' 



les points doubles e et /divisent harmoniquement chacun des segments 
aa', bb', cc\ . . .; par suite, le point central n'est jamais compris entre 
deux points conjugués, tels que a et «', et deux quelconques des seg- 
ments aa\ bb\ ce', ... sont, soit comme aa et bb', d'un même côté 
de et alors compris l'un dans l'autre, soit comme aa' et ce', de part 
et d'autre de et alors extérieurs l'un à l'autre (fig. 289). 0<? et 0/ 
sont égales à la longueur commune des tangentes menées par aux 
divers cercles décrits sur aa', bb', ce', . . . comme diamètres. 



Fi 


g. 239. 


c e c 


a b f b' 


a' 



Si K est négatif, les produits Oa.Oa', Ob.Ob', Oc. Oc', ... éta:U 
négatifs, tout couple de points conjugués est séparé par le point cen- 
tral et deux quelconques des segments aa', bb', ce', . . . empiètent 
l'un sur l'autre (^g. 2391). Chacun des cercles décrits sur aa', bb' , 
ce', . . . comme diamètres coupe l'axe radical commun aux deux mômes 
points P et P' symétriques par rapport à la base L et situés à une dis- 
tance OP de cette base égale à la racine carrée des produits Oa.Oa', 
Ob.Ob', Oc. Oc', ..., c'est-à-dire égaie à / — K. Une involution de ce 



LIVUK III. — LES Fir.URES SEMBLABLES. 



27Î) 



genre étant donnée par deux couples (^, «'), (b, b') de points conju- 
gués, c'est-à-dire par deux segments na' et bb' empiétant l'un sur 
l'autre, les circonférences décrites sur aa! et bb' comme diamètres 
donneront le point P, par suite le point central 0, projection de P sur 
la base L, et il suffira de faire pivoter un angle droit autour du som- 
met P pour avoir sur la base L tous les couples de points conjugués. 



Fig. 239,. 












'b ja 



v;— -- 



3° Pour que trois couples {a, «'), (/;, ^'), (c, c') de points en ligne 
droite forment une involution, il faut et il suffit que quatre de ces 
points (n'appartenant pas aux deux mêmes couples) aient leur rapport 
anharmonique égal à celui de leurs conjugués. 

La condition est nécessaire; car, si, dans le rapport anharmonique des 
quatre points «, Z», c, c', on remplace le segment ca par sa valeur 



ca 



Oa — Oc 



Oa' 



Oc' 



Oa'.Oc 



.c\ 



et chacun des autres segments par la valeur analogue, on obtient le 
rapport anharmonique des points «', è', c', c respectivement conjugués 
des premiers. 

La condition est suffisante ; car, si elle est remplie, le rapport anhar- 
monique {abcc') est égal à (a'b'c'c). Mais, si l'on désigne par a le con- 
jugué de a' dans l'involution déterminée par les deux couples {b, b'), 
{c, c), le rapport anharmonique {abcc') doit, en vertu de la proposition 
directe, être aussi égal à (a'b'c'c), ce qui prouve que les points a et a 
divisent ce' dans le môme rapport et par suite coïncident. 

14° Toute transversale L menée dans le plan d'un quadrilatère ABCD 
encontre les quatre côtés et les deux diagonales en six points a, «', ^, 
', c, c' formant une involutïon {fig. 2892). 
Car les faisceaux (AB, AC, AD, Ac'), (CB, CA, CD, Ce) ont le môme 



276 GÉOMÉTRIE PLANE. 

points. Donc les rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre 
points rt, c, b, d et b' . c, «', c' suivant lesquels la transversale L coupe 
ces deux faisceaux sont égaux; mais, au rapport {b\ c, «', c'), on peut 
substituer {a'c' b'c)^ et l'on voit ainsi que le rapport anharmonique des 
points a, c, b, c' est égal au rapport anharmonique de leurs conjugués 
n\ c\ b\ c, d'où l'on conclut que {a, a), {b,b'), {c,c') forment une 
involulion. 

5° Quand un quadrilatère est inscrit dans un cercle^ toute trans- 
versale L située dans son plan rencontre les deux couples de côtés 
opposés et le cercle en six points «, a', è, //, c, c\ formant une involu- 
lion {fg, 2892). 

Fig. 2^^,. 




En effet, les faisceaux (AB, AD, A^, A/), (CB,CD, Ce, C/) ont les 
mômes angles, puisque leurs sommets A et C sont sur la circonférence 
et que leurs rayons se coupent deux à deux sur cette môme ligne ; ils 
ont donc même rapport anharmonique et, par suite, si on les coupe par 
la transversale L, les deux systèmes de quatre points a, b, e, f et 
b\ a\ e, /que l'on obtient ont môme rapport anharmonique; donc, en 
échangeant, dans le dernier groupe, b' et «', e et/, on voit que le rap- 
port anharmonique des points «, b, e, /est égal à celui de leurs con- 
jugués a\ b\ f, e; par suite, les couples («, a'), (b, b'), {e,f) forment 
une mvolution. — Ce théorème est dû à Desargues. 

Tels sont les premiers principes do cette belle théorie de l'involution, 
dont on trouvera l'entier développement dans notre seconde Partie. 



I 



LIVRE Iir. — LES FIGURES SEMBLABI ES. 277 

FAISCEAUX DE CERCLES. 

382. On dit que plusieurs cercles A, B, C, ... forment un jaisceau 
lorsqu'ils ont leurs centres sur une môme droite L et que les points a 
et «', h et h\ c et c', ... suivant lesquels ils coupent cette droite for- 
ment une involution. 

La base L, le point central et la puissance K de l' involution reçoi- 
vent les noms de hase^ point central et puissance du faisceau. 

Le faisceau est dit du premier ou du second genre suivant que l'in- 
volulion correspondante a des points doubles ou en est dépourvue, 
c'est-à-dire suivant que K est positif ou négatif. 

1° Il résulte de la théorie de l' involution qu'w/i faisceau de cercles 
est déterminé par deux quelconques d'entre eux, et que tous les cercles 
d'un faisceau, pris deux à deux, ont le même axe radical. La réci- 
proque de cette dernière proposition est vraie : si, plusieurs cercles A, 
B, C, . . ., pris deux à deux, ont un même axe radical R, ils forment 
un faisceau dont la base L est perpendiculaire à R ; car les centres 
sont évidemment distribués sur une même perpendiculaire L à l'axe 
radical R, et le point commun à R et à L ayant même puissance par 
rapport à chacun des cercles, on a, en désignant par a et a', h et h\ 
c et c', ... les points où ces cercles coupent la droite L, 

0a.0a'=0^.0//=0c.0c' = .... 

2° Les points doubles e et /de l'involution relative à un faisceau de 
cercles du premier genre prennent le nom de points limites du faisceau ; 
voici pourquoi : puisque e Qi f divisent harmoniquement chacun des 
diamètres aa\ hb\ ce', ... les milieux de ces diamètres, c'est-à-dire les 
centres des cercles A, B, G, ... sont tous en dehors du segment ef; 
les deux parties indéfinies de la base L qui sont l'une à gauche de e, 
l'autre à droite de /, sont les seules régions dans lesquelles puisse se 
trouver le centre d'un cercle quelconque du faisceau; d'ailleurs, tout 
point a> de ces régions est effectivement le centre d'un cercle du fais- 
ceau ; c'est le cercle Q qui a pour rayon la tangente tut menée par w au 
cercle décrit sur e/ comme diamètre. Le rayon 0^ du cercle ef, étant en 
effet perpendiculaire à wf, est tangent au cercle û et, si a et a' sont les 
points où ce cercle coupe L, on a 

Oa.Oa'=Ô/^ = C)^\ 

ce qui prouve que le cercle Q fait partie du faisceau. Le rayon du 
cercle Q. diminue à mesure que son centre w se rapproche de l'un des 
points e et /, et par suite ces points limites peuvent être considérés 
comme deux cercles évanouissants faisant partie du faisceau. 



278 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Dans un faisceau du second genre, tous les cercles passent par les 
deux points P et P' (381) de l'axe radical II; on a donné à pes points le 
nom de points fondamentaux. Ici, tout point o) de la base peut être le 
centre d'un cercle du faisceau; c'est le cercle Q. décrit de oj comme 
centre avec œP pour rayon. 

3° On dit que deux faisceaux de cercles sont conjugués lorsque, le 
point central étant le même, les bases sont rectangulaires et les puis- 
sances égales et de signes contraires. 

Il est clair q\x alors les points fondamentaux de Vun des faisceaux 
coïncident avec les points limites de Vautre et que, réciproquement, si 
cette coïncidence a lieu, les deux faisceaux sont conjugués. 

4° On peut donner à l'expression de la puissance d'un point P par 
rapport à un cercle (A) une forme élégante et souvent commode, en 
faisant intervenir un cercle auxiliaire (G) astreint seulement à passer 
par le point P <^fig. 2093). 

En désignant par I le milieu de la ligne des centres AC, et par p la 
projection du point P sur cette ligne, on a (23i) 



PA 



PC" = 2AC.I/?. 




Mais, si r est le rayon du cercle (A) et w le pied de l'axe radical 
des deux cercles (A) et (G), on a (373) 

r2— PG'=2AG.Ia). 
En retranchant cette relation de la précédente, on obtient l'égalité 



PA 



AG.( 



qui montre que la puissance d'un point P par rapport à un cercle (A) 
est égale au double de la distance du centre (A) au centre (G) d'un 
cercle quelconque passant par P, multipliée par la distance du point P 
à l'axe radical des deux cercles. 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 279 

Il résulte de là que, si (A), (B), (G), sont trois cercles d'un même fais- 
ceau, les puissances d'un point quelconque P du cercle (G) par rapport 
aux cercles (A) et (B) sont entre elles comme les produits AG.P^, 
BG.P^, ou comme les distances du centre du cercle (G) aux centres 
des cercles (A) et (B). Par suite, le lieu du point P dont les puissances 
par rapport à deux cercles fixes (A) et (B) ont un rapport donné est 
un cercle du faisceau déterminé par (A) et (B); et c'est, parmi les 
cercles de ce faisceau, celui dont le centre G divise AB dans le rapport 
donne. 

CERCLES ORTHOGONAUX. 

383. i" Pour qu'un cercle (0) de rayon r soit coupé orthogonale- 
ment par un autre cercle (0'), il faut et il suffit que, de son centre, 
on puisse mener au cercle (0') une tangente égale à r. 

La condition est nécessaire; car, M désignant un des points communs 
aux deux cercles dont les deux centres sont et 0', la tangente en M 
au cercle (0') et le rayon OM se confondent comme étant perpendicu- 
laires au môme point M à la tangente au cercle ( ). 

La condition est suffisante; car, soit OM la tangente menée du point 
au cercle (0'); puisque OM est égale à r, le point M appartient aussi 
au cercle (0); d'ailleurs, la tangente en ce point au cercle (0) est 
perpendiculaire au rayon OM, c'est-à-dire à la tangente au cercle (0'), 

On peat encore énoncer le théorème de la manière suivante : 

Pour qu'un cercle de rayon r soit coupé orthogonalement par un 
autre cercle, il faut et il suffit que la puissance de son centre par rap- 
port à cet autre cercle soit égale à r^. 

2° Il résulte de là : i° que le lieu des centres des cercles qui sont 
coupés orthogonalement par deux cercles donnés k et ^ est le lieu des 
points d'où l'on peut mener aux cercles A <?; B des tangentes égales; 
1° que si un cercle est coupé orthogonalement par deux cercles A et 
B, il est coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau de'terminé 
par A e; B ; car, le cercle ayant son centre sur l'axe radical de A et 
de B, et cet axe étant commun à tous les cercles du faisceau, le centre 
en question aura, par rapport.à tout cercle du faisceau, la même puis- 
sance, laquelle est égale au carré du rayon du cercle 0, puisque ce 
cercle est coupé orthogonalement par A et B. Pour plus de brièveté, 
nous dirons, d'un cercle qui est coupé orthogonalement par tous Icî 
cercles d'un faisceau, qu'il est orthogonal au faisceau. 

3° Tom les cercles Ai, Bi, Ci, orthogonaux à un faisceau F de 

cercles A, B, G, ... forment le faisceau conjugué du premier. 

En effet, le centre du cercle A ayant, par rapport à chacun des cercles 
orthogçnaux, une môme puissance égale au carré de son rayon, appar- 
tient à l axe radical de deux quelconques de ces cercles orthogonaux. 



28o GÉOMÉTRIE PLANE. 

Comme il en csl de môme des centres des cercles B, C, . . . , on volt 
que les cercles orthogonaux Ai, Bi, Ci, . . . ont pour axe radical com- 
mun Ri la base L du faisceau F. Ces cercles orthogonaux forment donc 
un faisceau Fi. Ce faisceau Fi a pour base Li l'axe radical R du faisceau 
F, puisque cet axe radical contient, comme nous l'avons vu, les centres 

de tous les cercles Ai, Bi, Ci, Les deux faisceaux F et Fi, étant 

tels que la base de l'un soit l'axe radical de l'autre et vice versa, ont 
donc leurs bases rectangulaires et le même point central 0, qui est l'in- 
tersection de Li et de Ri aussi bien que de L et de R ; dès lors, il reste 
seulement à prouver que les puissances fji et \ii des deux faisceaux sont 
égales et de signe contraire. Or, si F est du premier genre, on a 

e et /étant les deux points limites; mais le cercle {ef , c'est-à-dire le 
cercle décrit sur ef comme diamètre, coupe orthogonalement tout 
cercle Q. du faisceau F, puisque (382) du centre co du cercle û, on peut 
mener au cercle (e/) une tangente égale au rayon de û. Donc le cercle 
{ef) fait partie du faisceau Fi, et la puissance |jli de ce faisceau, c'est- 
à-dire la puissance du point central w par rapport à (e/), est égale à 

Oe,Of=: — Ôe^ = —\L. 

Si F est du second genre, on a 

,ji = - ÔP^ = — ÔF'\ 

P et F' étant les points fondamentaux ; mais le cercle (PP')i c'est-à-dire 
le cercle décrit sur PP' comme diamètre, fait partie du faisceau F; il 
est donc coupé orthogonalement par tout cercle du faisceau Fi et, par 

2 

suite, le carré OP de son rayon est égal à la puissance de son centre 
par rapport à tout cercle du faisceau Fi, c'est-à-dire à la puissance \i! 
de ce dernier faisceau ; on a donc 

• 

fji' = 5p' = _fx. 

4° Soient 0, 0', 0" trois cercles n'ayant pas le môme axe radical. Si 
leur centre radical c est intérieur à l'un d'eux, il l'est aussi aux deux 
autres, et s'il est extérieur à l'un d'eux, il l'est aux deux autres. Dans le 
premier cas, il n'existe aucun point d'où l'on puisse mener aux trois 
cercles des tangentes égales et, par suite, aucun cercle ne saurait couper 
ces trois cercles orthogonalement. Dans le second cas, le centre radical 
c est le seul point d'où l'on puisse mener à c""^ trois cercles des tan- 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 28 1 

gentes égales; le cercle ayant c pour centre et pour rayon la longueur 
commune des tangentes égales, est orthogonal aux trois cercles 0, 0' 
et 0". et c'est le seul cercle qui jouisse de cette propriété. 

5° On dit qu'un cercle (0 ) est coupé diamétralement par un cercle (0') 
lorsque la corde commune à (0) et (0') est un diamètre du cercle (0). 

On démontrera sans peine que, pour qu'un cercle (0) de rayon r soit 
coupé diamétralement par un cercle (0'), il faut et il suffit que la puis- 
sance de son centre par rapport au cercle (0') soit égale à — r^\ il 
suit de là que si les deux cercles A et B n'ont aucun point commun, 
auquel cas leur axe radical leur est extérieur, il n'y a aucun cercle qui 
puisse être coupé diamétralement par chacun des cercles A et B; tandis 
que si A et B se coupent, leur corde commune, c'est-à-dire la partie de 
leur axe radical qui est intérieure aux deux cercles, est le lieu du 
centre des cercles qui sont coupés diamétralement par A et B. 

Lorsque le centre radical c de trois cercles 0, 0', 0" est intérieur 
aux trois cercles, il existe un cercle et un seul qui soit coupe' diamétra- 
lement par chacun des trois cercles 0, 0', 0". C'est le cercle qui a 
pour centre le centre radical c et pour rayon la moitié de la longueur 
commune des cordes minimum que l'on peut mener par ce point dans 
les trois cercles (374). 

► VI. — Inversion. 

PROPRIÉTÉS DES FIGURES INVERSES. 

384. Étant donné, dans un plan, un système quelconque de points A, 
B, C, . . ., isolés ou formant des lignes continues, si, sur les rayons vec- 
teurs SA, SB, se,. . ., issus d'un point S choisi arbitrairement dans le 
plan, on prend, à partir de ce point S, des segments SA', SB', SC, ..., 
tels que 

SA.SA'=SB.SB'=SG.SG'= . . . = fi, 

\L étant une quantité constante positive ou négative, on dit que le sys- 
tème A'B'C . . est inverse du système ABC Le point fixe S prend le 

nom d'origine, et la constante (jl le nom de puissance. Si celle puissance 
est positive, les rayons vecteurs correspondants SA et SA' sont de môme 
sens, elles points correspondants A et A' sont situés d'un môme côlé par 
rapport à l'origine S; si fji est négatif, les rayons vecteurs SA cl SA' 
sont de sens contraires, et les points correspondants A et A' sont situes 
de part et d'autre de 1 origine S. 

THÉORÈME. 

3Sr"i. Deux figures F' et F", inverses d'une même figure ¥ par rapport 
à une même origine S et à deux valeurs difficrentes (jl' et \x" de la con- 



283 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



S tante \i., sont honiotJiétiques i leur centre de siinilitude est le point S et 



leur rapport de similitude est égal à ^ 

En effet, si l'on désigne par M un point quelconque de la figure pri- 
mitive F, et par M' et M" les points correspondants des figures F' et F", 
points qui sont d'ailleurs situés sur la droite indéfinie SM, on a 



d'où 



SM.SM'= (Ji', SM.SM"=fx"; 

SM"~(jl"' 



THÉORÈME. 

386. M ^/ N étant deux points quelcouques d'une f gare et M', N', les 
points correspondants d'une fgure inverse par rapport à une origine S 
et à une puissance p., la distance M'N' s'obtient en multipliant la dis- 
tance MN par le rapport de la puissance jjl au produit SM . SN des deux 
rayons vecteurs de la figure primitive. 

En effet, la relation {fig. 240) 

SM.SM'=SN.SN'=|x 
prouve que les droites iMN, M'N' sont anliparallèlcs par rapport a l'angle 



Fig. 240. 




Fig. 241. 




MSN, et par suite que les Irianslos SMN, SM'N', sont semblables. Oa a 
donc 

M'N^ _ SN; _ \L 
MN ~SM "SM.SN' 
d'où 

M'N' = -M_.a. 

SM.SN ^ 

THÉORÈME. 

387. L angle de deux lignes quelconques qui se coupent est égal a 
r angle des deux lignes inverses. 



LIVRI-; m. — LES FIGUUES SE31BLAULES. 283 

Considérons d'abord {fîg. 240) une seule ligne quelconque MN et son 
inverse M'N'; il est aisé de voir que les angles TMM', TM'AI, que leurs 
tangentes MT, M'T, font avec le rayon vecteur SMM', sont égaux; car, 
si l'on considère un rayon vecteur voisin SNN', les cordes MN et M' N' 
sont, comme nous l'avons déjà fait observer, antiparallèles par rapport à 
l'angle MSN; donc les angles SM'N', SNM, sont égaux; or, à la limite, 
le premier devient l'angle S M'T, et l'autre, l'angle SMTi, opposé par le 
sommet à l'angle TMM'; donc, MM'T = TMM'. Pour éviter toute ambi- 
guïté dans la manière de compter les angles, on peut remarquer que les 
deux tangentes correspondantes forment les deux côtés d'un triangle 
isocèle TMM', dont la base est la partie MM' du rayon vecteur comprise 
entre les deux points de contact. 

Soient actuellement {fg. 241) deux courbes M« et MA qui se coupent 
en M, et les courbes inverses M'a' et M'A'; il faut prouver que l'angle 
des deux premières, c'est-à-dire l'angle tMÏ de leurs tangentes, est égal 
à l'angle ?M'T des deux autres. Or, on a, d'après l'alinéa précédent, 

/MM'= ?M'M, TMM'= TM'M, 

d'où, en retranchant, 

?MM'— TMM' ou /MT = ;M'M — TM'M ou ;M'T. 

Cette propriété de conserver les angles dont jouit ce mode de trans- 
formation des figures est très importante : elle entraîne la similitude 
des triangles infiniment petits correspondants, de sorte que deux figures 
inverses l'une de l'autre sont deux figures semblables dont le rapport 
de similitude varie d'un lieu à un autre. 

Les trois théorèmes précédents sont généraux, c'est-à-dire relatifs à 
des figures quelconques; les trois suivants sont particuliers et relalils 
à la droite et au cercle. 

THÉORÈME. 

388. La figure inverse d'une ligne droite est une circonférence /uis-^ 
sant par l'origine. 

Nous laissons de côté le cas où la droite donnée passe par l'origine. 
Dans cette hypothèse, cette droite elle-même est évidemment son in- 
verse. 

Considérons donc une droite AB ne passant pas par l'origine S {fg. 2.\-2, 
243). Menons du point S surAB deux droites, l'une SP perpendiculaire, 
l'autre SM oblique à AB, et prenons respectivement sur ces lignes les 
inverses P' et M' des points P et M. Los droites MP et M'P' étant anti- 
parallèles (386), l'angle SM'P' doit ôLro droit comme l'angle SPM. Lo 



284 GÉOMÉTKIE l'LANE. 

lieu du point M' est donc la circonférence décrite sur SP' comme dia- 
mètre. 

Réciproquement, la figure inverse d'une circonférence passant par 
V origine est une droite perpendiculaire au diamcirc qui aboutit à r ori- 
gine. 

En effet, soient {fig. 1^1^ 243) P l'inverse de l'extrémité P' du dia- 
mètre SP' et M l'inverse d'un point quelconque M' de la circonférence. 
Les droites ]\1P et M'P' étant antiparallèles, l'angle SPM doit être droit 



Fig. 242. 



Fig. 243. 





comme son égal SM'i^'. Le lieu du point M est donc la perpendiculaire 
élevée par P sur SP'. 

SCOLIE. 

389. Les distances SP et SO de l'origine a la droite et au centre du 
cercle sont liées par la formule 

2S0.SP = fx, 

où \i. est la puissance donnée. Cette relation a lieu en grandeur et en 
signe. 

On voit par là qu'w/ze droite AB et un cercle situés d'une manière 
quelconque dans un plan {fig. 242, 243) peuvent toujours être considérés 
comme des figurées inverses Vune de Vautre. Il suffit de choisir pour ori- 
gine S l'une des extrémités du diamètre perpendiculaire à la droite, 
c'est-à-dire (401) l'un des centres de similitude du système formé par 
la droite et le cercle, et pour puissance ji la valeur en grandeur et en 
signe du double produit des distances de l'origine à la droite et au 
centre du cercle. 

THÉORÈME. 

390. La figure inverse dhinc circonférence , lorsque r origine est inté- 
rieure ou extérieure à la courbe, est une circonférence. 



LIVRE m 



LES FIGLRES SEMBLABLES. 



28: 



Soient S et [x l'origine et la puissance données, et/? la puissance de 
l'origine S par rapport au cercle proposé {fg. 244). 

La figure inverse du cercle par rapport à l'origine S et à la puis- 
sance/? est évidemment le cercle lui-même; car, puisque l'on a 

SM.SN=/?, 

tout point M de ce cercle a pour inverse le point N où le rayon vecteur 
correspondant rencontre le cercle une seconde fois. 

Par suite (38o), la figure inverse du cercle par rapport à l'origine S 
et à la puissance \l est encore un cercle, puisque cette figure doit être 
homothétique à la précédente ou au cercle lui-même, S étant le centre 

de similitude et - le rapport de similitude. 

I 

IT SCOLIES. 

391. et R étant le centre et le rayon du cercle donné, 0' et R' le 
centre et le ravon de son inverse, on aura donc 



SO' 
SO 



Le signe -4- se rapporte au cas où, \l et/? étant de même signe, l'ho- 
molhctie est directe, et le signe — au cas où, (x et/? étant de signes 
opposés, l'homothétie est inverse. 

Fi'c. 244. 




D'ailleurs, si p' est la puissance de l'origine S par rapport au cercle 
)', on a, d'après les relations ci-dessus, 



■d'où 



SO'2— R'2 n' mS 

• ou — =: — 

S02_R2 "" p p^ 



|2 — 



fX' =/?/?. 

On voit, par ces formules, que deux cercles et 0', situe's dhine ma- 



286 GÉOMÉTRIE PLANE. 

nière quelconque dcms an plan, peuvent toujours être regardes comme 
inverses Vun de Vautre. Il suffit d3 prendre pour origine S l'un quel- 
conque des deux centres de similitude et, pour puissance, la moyenne 
géométrique entre les puissances p et /?' du point S par rapport aux 
deux cercles, en donnant à cette moyenne le signe de p ou le signe 
opposé, suivant que S est un contre de similitude externe ou in- 
terne. 

On aurait pu déduire tous ces résultats du n° 378. Les points inverses 
l'un de l'autre ne sont autres que ceux que nous avons appelés anti- 
homologues. On peut donc dire que les tangentes aux points correspon- 
dants de deux cercles inverses se coupent sur l'axe radical des deux 
cercles. 

392. Les centres et 0' de deux cercles inverses ne sont pas des 
points correspondants. Il y a donc lieu de se demander quels sont les 
inverses de ces centres. 

Désignons {fig. 244) par F l'inverse du centre et par A, B, A', B', 

les points où la ligne des centres SOO' rencontre les deux cercles. Nous 

aurons 

SO.SI' = |Ji, 

d'où 

J_ _ ^ _ P^^ _ ^ _ ^^^'Jl?l' 
SF " jji ~ ~[x2~ "~ p' " 2 SA'. SB' ' 

c'est-à-dire 

1 _ I I 

sI'^sÂ'"^ sIF* 

Le point I' est donc (332) le conjugué harmonique de S par rapport 
au diamètre du cercle 0'. Ainsi, Vinverse du centre de Vun quelconque 
des deux cercles est le pied de la polaire de V origine par rapport à 
Vautre cerr/^(340, 341). 

On voit par là que, pour que deux cercles aient pour inverses deux 
cercles concentriques, il faut et il suffit que V origine ait même polaire 
par rapport à ces deux cercles. 

Par suite, tout faisceau de cercles du premier genre peut, par inver- 
sion, être transformé en un système de cercles concentriques ; il suffit do 
prendre pour centre d'inversion l'un àes points limites e ou /(382), 
puisque, e et /étant conjugués harmoniques par rapport à chacun des 
diamètres aa\ bb', cc\ la polaire du point e est la môme par rapport à 
tous les cercles du faisceau. 

Tout faisceau de cercles du second genre peut, au contraire, être 
transformé par inversion en un faisceau de droites; il sulïit évidem- 
ment (382) de choisir pour centre d'inversion l'un des points fonda- 
mentaux P ou P'. 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



28; 



THÉORÈME. 

393. Les cercles inverses (A') et (to') de deux ce?'cles tangents (A) 
et {im) sont aussi tangents, puisque l'inversion conserve les angles ; d'ail- 
leurs, les contacts entre (A') et (ca') et entre (A) et {ta) sont semblable i 
ou dissemblables, suivant que les puissances du centre d^ inversion '^ par 
rapport aux deux cercles primitifs (A) et (oj) ont le même signe ou des 
signes opposés {Jig. i\f\i). 

Pour le prouver, prenons la constante d'inversion égale à la puis- 
sance de S par rapport à (A); ce cercle se transformera alors en lui- 
même (390). Désignons par p et par cr la puissance du point S par 
rapport à (A) et par rapport à (co); par A, co, w', les centres des 
cercles (A), (w), (to'); enfin, par a et a' les points où (A) est touché 
respectivement par (w) et par (o)'). 

Fig. 244,. 




K Le centre S d'inversion étant à la fois sur la ligne des centres ww' et 
sur la droite aa' qui joint deux points correspondants, le triangle Aww' 
coupé par la transversale Saa' donne 



aiù a'k Sco' 
ah. a'(ù' Sto 



ses, les deux premiers rapports de la relation (i) seront de môme signe 



Mais, puisque l'on prend p pour constante d'inversion, on a 

So)' _ p 
Sa) ~ cï 



288 GÉOMÉTRIE PLANE. 

OU de signes cpntraires. D'ailleurs, le contact en a est interne ou ex- 
terne, suivant que le rapport — est positif ou négatif; de même: le 

a' A. 
contact en a' est interne ou externe, suivant que le rapport -r-, est po- 
sitif ou négatif. Donc, les contacts en a et en a' seront semblables ou 
dissemblables, suivant que p Qirs seront de même signe ou de signes 
contraires. 

THÉORÈME. 

394. Si l'on considère deux cercles quelconques et leurs inverses y en 
désignant par «?, r, r\ la distance des centres et les rayons des deux 
premiers cercles, et par 8, p, p', les éléments analogues pour les deux 
autres cercles, on a 



(I) 



^2 



j2_ o'2 



99 



Il faut prendre le signe -h ou le signe — suivant que les puissances 
de l'origine par rapport aux deux cercles primitifs sont de même signe 
ou de signes opposés. 

En effet, soient S l'origine, et 0' les centres des premiers cercles, 
to el w' les centres des cercles inverses, A et a les projections de et 
de w sur la droite SO'w' {Jig. 245). Désignons par jji la constante d'in- 
version, et par /?, /?', w^ rs\ les puissances de l'origine S par rapport 
aux cercles 0, 0', w, w'. 

Fig. 2^5. 




A u' a b)' 



Le triangle SOO' donne 
ou (372) 



</2=soVsO''— 2SA.S0', 



^2 _ r2— r'2 = ^ -4- /?'— aSA . SO', 
et l'on aurait de même • 

22_ p2 — p'2_ TO _i_ cj' — aSa.Sw'. 



289 



LIVRE III. — LES FlGUllES SEMBLABLES. 

D'ailleurs (390, 391), 

Sw' _{JL Sa_Sw_fji 
SÔ' ~ p" SA ~ SÔ ~ ^p' 
Par suite, 



tS2_p2_p'2= 11" ^ 1^_2-^.SA.S0'= -^,(o + »'-2SA.,S0'), 

p p pp pp 



Kcst-à-dire 



82_ p2_ p'2== j^ (^2_ ^_ ^'). 
pp 



Or cette relation ne diffère pas de (r), puisqu'on a (391) 



p 



- j 

r p 



PP'~ 



9? 



le signe •+• convenant au cas où p et p' sont de môme signe, et le signe — 
au cas ou p et p' sont de signes contraires. 

SCOLIES. 

395. Supposons qu'on prenne pour origine un point dont les puis- 
sances par rapport aux deux cercles primitifs soient de même signe, 
c'est-à-dire un point qui soit à la fois extérieur ou intérieur aux deux 
cercles. Alors, le signe ■+■ conviendra seul, et, si l'on augmente ou si 
d'on diminue de 2 les deux membres de la relation (i), on aura 



^^2_(^_^^)2 _ a2_(p_p>)2 

rr' pp' 



et 



^2_(r + r')2 82 — (p-{-p')a 



PP 



L'expression d^ — (r — r'y représente le carré de la longueur de la 
tangente commune extérieure aux deux cercles et 0'. Il est vrai que 
cette tangente commune n'existe plus lorsque ces deux cercles sont 
intérieurs; mais il est toujours permis, pour la commodité du langage, 
d'appeler longueur de la tangente commune extérieure la racine carrée 
de la valeur absolue de d"^— {r — r'y. Si l'on appelle de même longueur 
de la tangente commune intérieure la. racine carrée de la valeur absolue 
de d^—(r-^ r')2, on pourra énoncer le théorème suivant : 

Si l'on considère deux cercles quelconques et leurs inverses, le rap- 

I^^ort de la tangente commune à la moyenne géométrique des rayons est 
^M? même pour les deux couples. 

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( !'• Partie). IQ 



200 GÉOMÉTRIE PLANE. 



'HI 



Il est sous-entendu d'ailleurs que l'origine est à la fois intérieure ou 
extérieure aux deux cercles primitifs, et que l'on doit prendre alors des 
tangentes communes de même espèce dans l'un et l'autre couple. 

On verrait de même que, si l'origine est intérieure à l'un des cercles 
primitifs et extérieure à l'autre, le théorème subsiste, à la condition de 
prendre des tangentes communes d'espèces différentes dans l'un et 
l'autre couple. 

MÉTHODE DE TRANSFORMATION PAR PAYONS VECTEURS RÉCIPROQUES. 

396. La figure inverse d'une figure donnée prend aussi le nom de 
transformée par rayons vecteurs réciproques. Ce mode de transformation 
est un des moyens d'investigation les plus puissants dans l'état actuel 
de la Géométrie. En construisant la figure inverse de celle qui répond 
à un théorème connu, on obtient des propositions nouvelles qui sont 
plus ou moins intéressantes, suivant le choix que l'on a fait de l'origine, 
et la nature de la figure primitive. 

Voici quelques exemples : 

1° Dans tout triangle rectiligne, la somme des angles est égale à deux 
angles droits. En formant la figure inverse (388), on obtient un triangle, 
formé par trois arcs de cercle qui se coupent tous à l'origine; et, comme 
la transformation n'altère pas les angles, on a ce théorème : La somme 
des angles d'un triangle curviligne, dont les côtés sont des arcs de 
cercle qui se croisent en un même point, est égale à deux angles droits. 
On aurait un théorème analogue en transformant la proposition rela- 
tive à la somme des angles d'un polygone. 

a°. Il est évident que si, dans un angle fixe, on inscrit deux cercles 
tangents entre eux, le lieu de leur point de contact est la bissectrice 
de l'angle. Donc, en formant la figure inverse, si, dans l'espace compris 
entre deux cercles qui se coupent, on inscrit deux circonférences tan- 
gentes entre elles, le lieu de leur point de contact est une autre circon- 
férence. 

397. Au lieu de chercher des propositions nouvelles en partant d'un 
théorème dont la démonstration est connue, comme nous l'avons fait 
dans les deux exemples précédents, on peut avoir à démontrer directe- 
ment un théorème énoncé. On construit alors la figure inverse de celle 
qui répond au théorème proposé, en choisissant l'origine de façon que 
la nouvelle figure soit plus simple que la première, et que la propriété 
correspondante soit, sinon intuitive, au moins plus facile à prouver. 

C'est ainsi que tout théorème ou tout problème sur un faisceau de 
cercles peut 6tre ramené au cas beaucoup plus simple où le faisceau 
est composé soit do droites, soit de cercles concentriques (392). Par 



c 

I 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 291 

exemple, ce procédé permettra de démontrer fort aisément la propo- 
sition suivante : 

Lorsqu'un cercle variable touche toujours de la même manière deux 
cercles donnés, il coupe sous un angle constant tout cercle du faisceau 
déterminé par les deux cercles fixes . 

Quand, dans une question, on a à considérer plusieurs cercles, ilj 
a parfois avantage à choisir le centre d'inversion de façon que les 
transformés de deux de ces cercles soient égaux entre eux. La chose 
est possible d'une infinité de manières. En effet, soient R et Ri les 
rayons des deux cercles considérés (A) et (B) et p le rayon de leurs 
mverses supposés égaux. On a (391), en désignant par \i la constante 
d'inversion et par/? et/?i les puissances du centre d'inversion par rap- 
port à (A) et à (B), 

p ^ (X p_^ jX 

R p' \\x Pi 

et, par suite, 

Z = A 

Pi Ri 

Le centre d'inversion doit donc appartenir au lieu des points dont les 
puissances par rapport aux cercles (A) et(B) sont proportionnelles aux 
rayons R et Ri; et nous savons (382) que ce lieu est un cercle du 
faisceau déterminé par (A) et (B). On voit même par là que l'on peut, 
en général, trouver un centre d'inversion tel, que trois cercles donnés 
se transforment en trois cercles égaux. 

398. Les exemples que nous venons de traiter se rapportent à des 
propriétés descriptives ou à des propriétés métriques angulaires. La 
méthode se prête également à la transformation des propriétés métriques 
de segments. On emploie à cet effet la formule du n° 386, dans laquelle 
on peut d'ailleurs faire [x = i. Il suffit, d'après cela, pour transformer 
une relation entre diverses distances AB, BG, . . . , de la figure primitive, 

AB 

de remplacer chaque distance telle que AB par ? S étant le point 

pris pour origine. Voici un exemple : 

Étant donnée sur une droite une série de points se succédant dans 
l'ordre A, B, G,. . ., H, K, on a évidemment 

AK = AB + BG + . . . + HK. 

La figure inverse offre une série de points se succédant dans l'ordre 
S, A, B, G, ... , H, K, sur un cercle passant par l'origine S, et l'on a 
entre les distances de ces points la relation 

AK AB BG HK 



SA.SK SA. SB SB.SG ' SH.SK 



292 GÉOMÉTRIE PLANE. ^ 

Si les points ne sont qu'au nombre de trois, A, B, C, on a 

SËC - silû - soc »" AC.SB = AB.SC + BC.SA, 

et l'on retombe sur le théorème de Ptolémée (240) relatif au produit 
des diagonales du quadrilatère inscrit. 

La mélhodo de transformation par rayons vecteurs réciproques, pro- 
posée par M. Stubbs {PhUosophical Magazine, i843), appliquée ensuite 
par M. William Thomson sous le nom de principe des images^ a été 
l'objet d'un Mémoire de M. Liouville, qui en a donné une théorie ana- 
lytique complète {Journal de Mathématiques, i*"* série, t. X[I). Depuis 
lors, la méthode a reçu un très grand nombre d'applications ; nous en 
trouverons dans le paragraphe suivant des exemples variés, mais nous 
devons signaler ici l'une des plus élégantes, due à M. Casey, et qui 
concerne la recherche de la condition pour que quatre cercles soient 
tangents à un cinquième. 

399. A et B étant deux cercles quelconques, convenons de désigner 
par (AB) la longueur de leur tangente commune. Ce sera, suivant les 
circonstances, Ta tangente extérieure ou la tangente intérieure ; mais, 
dans tous les cas, il faudra attribuer à cette locution le sens indiqué 
au n* 395. Ceci entendu, le théorème de M. Casey s'énonce de cette 
manière : 

Lorsque quatre cercles A, B, C, D, sont tangents à un cinquième 
cercle E, les longueurs de leurs tangentes communes satisfont à la 
relation 

(ï) ( AB) (CD) ± (AG) (BD) ± (AD) (BC) = o. 

Pour démontrer cette proposition, supposons, par exemple, que, des 
quatre cercles A, B, C, D, touchés par le cercle E, le premier A soit 
contenu dans E, et que les trois autres soient extérieurs à ce cercle. 
Convenons, en outre, de compléter la notation (AB), en aiïectant la 
parenthèse de l'indicée ou i, suivant qu'on voudra désigner la tangente 
commune extérieure ou intérieure. Ainsi, (AB)o sera la tangente com- 
mune extérieure aux cercles A et B, et(AB)i sera la tangente commune 
mtérieure. 

Construisons la figure inverse du système, en prenant pour origine S 
un point quelconque du cercle E {fig. 246). Le cercle E deviendra une 
droite s qui touchera les cercles a, p, y, 5. inverses des cercles A, B, 
C, D, et qui laissera d'un côté le cercle a, et, de l'autre, les cercles p, 
Y, S. Or, en désignant par a, p, y» S> ^es points de contact de la 
droite s avec ces mômes cercles, on a, entre les segments compris 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 

entre ces quatre points, la relation suivante, facile à vérifier : 

a|3. yo — ay. po — ao. py == o. 



293 



.1 

I 



En la divisant par le produit pp'p"p'" des rayons des quatre cercles a, 
, Y) ^5 et en adoptant la notation indiquée précédemment, on en 
déduit 

pp' p"p"' pp" • p'p'" pp'" p'p" 



Cette relation, en vertu du principe établi au n° 395, revient à 

(^AEOi (Cp}o_(AC)i (BD)o (AD)t (BC)o ^ 
KR' * inr RR" * R'R'" RR'" * R'R" ' 

R, R', R% R'", étant les rayons des cercles A, B, G, D. 

Fig. 246. 




La suppression du facteur commun R R' R' R'" donne finalement 
l'égalité 

(AB), (GD)o- (AG)i (BD)o+ (AD)i (BG)o = o, 

qui rentre bien dans le type (i). 



CERCLES ISOGONAUX 



400. Pour qu'une droite soit isogonale à deux cercles, c'est-à-dire 
coupe ces cercles sous le même angle, il faut et^l suffit qu'elle passe 
par l'un des centres de similitude. 

La condition est nécessaire, car les tangentes aux quatre points 



294 GÉOMÉTRIE PLANE. 

d'intersection d'une droite isogonale aux deux cercles sont parallèles 
deux à deux, et, par suite, les points de contact sont homologues. La 
condition est suffisante, puisque l'inversion conserve les angles. 

^OO'. Tout cercle qui en coupe deux autres en deux points antiho- 
mologues est isogonal à ces deux-là. 

Soit le cercle w qui coupe les deux cercles et 0' aux points anti- 
homologues A et B. Transformons la figure par inversion en prenant 
pour pôle le centre de similitude S des deux cercles donnés et pour 
module le module d'inversion des deux cercles et 0', lequel est égal 
au produit SA. SB et est en même temps la puissance du point S par 
rapport à w. Les deux cercles et 0' s'échangent et le cercle to se 
transforme en lui-môme. Comme la transformation conserve les angles, 
l'angle de œ avec G', qui remplace celui de w avec 0, doit donc lui 
ôlre égal. 

Réciproquement^ quand un cercle est isogonal à deux cercles donnés, 
il les coupe en quatre points qui sont deux à deux antihomologues. 

Soit le cercle œ isogonal aux deux cercles et 0' qu'il coupe aux 
quatre points A, B, C, D. Joignons A, C et A, D, et supposons que la 
tangente en A au cercle soit comprise dans le segment ADG et coupe 
l'arc AG en F. L'arc AF, moindre qu'une demi-circonférence, mesure 
le double de l'angle des deux cercles. Les tangentes en C et en D au 
cercle 0' couperont le cercle to en deux points G et H, tels que les 
arcs CG et DH, moindres qu'une demi-circonférence, soient égaux à 
l'arc AF; ces arcs sont, du reste, dirigés en sens inverse à partir de C 
et D. Je considère celui qui est dirigé en sens inverse de AF, soit DH. 
De l'égalité des arcs AF et DH résulte celle des arcs AH et DF, qui 
montre que les deux tangentes AF et DH coupent la droite AD sous un 
môme angle. Donc la droite AD isogonale aux deux cercles doit passer 
par l'un des centres de similitude (n** 400), et, comme les tangentes 
en A et D aux cercles et 0' ne sont pas parallèles, ces points A et D 
sont anlihomologues. 

D'après cela, tous les cercles isogonaux a deux cercles donnés se 
répartissent en deux groupes tels que, par rapport à tous les cercla 
d'un même groupe, l'un des centres de similitude a la même puissance 
escale au module d'inversion des deux cercles' relativement au centre 
de similitude considéré, et 

Réciproquement, tout cercle tel que la puissance d un des centres de 
similitude de deux cercles donnes par rapport à lui est égale au mo- 
dule d'inversion des deux cercles donne's relativement au centre de 
similitude considéré est isogonal aux deux cercles fixes. 

Ces propositions permettent de généraliser la notion des cercles iso- 



LIVRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. 205 

gonaux et de faire rentrer sous cette dénomination des cercles qui ne 
coupent pas les deux cercles donnés, pourvu que le centre de simili- 
tude ait par rapport à eux la puissance convenable. 

Il est facile de reconnaître que les cercles isogonaux formant le 
groupe qui correspond au centre de similitude directe sont ceux qui 
coupent les deux cercles fixes de telle manière que les angles formés 
par les tangentes menées en l'un des points d'intersection, du cote de 
l'intérieur, sont égaux, tandis que ceux qui forment le groupe corres- 
pondant au centre de similitude inverse sont tels que les angles ainsi 
définis sont supplémentaires. 

Les cercles orthogonaux aux deux cercles fixes appartiennent aux 
deux groupes à la fois, et les quatre points d'intersection sont deux à 
deux antihomologues par rapport aux deux centres de similitude. 

400*. Les cercles isogonaux à trois cercles donnés se répartissent 
en quatre faisceaux tels que tous les cercles d'un même faisceau ont 
pour axe radical commun l'un des axes de similitude des trois cercles 
donnés. 

En effet, considérons les cercles isogonaux aux cercles et 0' et 
correspondant à un centre de similitude S", puis, parmi ceux-ci, ceux 
qui coupent le cercle 0" sous le même angle que les cercles et 0'. 
Ils peuvent se répartir en deux familles, suivant qu'ils correspondent 
à l'un ou l'autre des centres de similitude des cercles et 0"; si nous 
considérons seulement ceux qui correspondent au centre de simili- 
tude S, on voit que les points S et S" auront la même puissance par 
rapport à tous ces cercles. Par conséquent, l'axe de similitude SS" est 
l'axe radical commun de tous ces cercles ; en faisant varier les centres 
de similitude, on trouve les quatre faisceaux correspondant aux quatre 
axes de similitude. 

Réciproquement, tous les cercles d'un des quatre faisceaux défirds 
dans l'énoncé sont isogonaux aux trois cercles donnés. 

En eff'et, la puissance par rapport à chacun d'eux de chacun des 
centres de similitude S et S" situés sur l'axe considéré étant égale au 
module d'inversion de deux cercles correspondant à ce centre de simi- 
litude, il suit du corollaire du théorème III que le cercle considéré 
coupe sous un même angle les cercles et 0' et les cercles et 0". 

Le faisceau des cercles qui admettent pour axe radical commun l'axe 
de similitude SS' est tel que le centre de similitude S, en ligne droite 
avec les premiers, a la même puissance par rapport à tous les cercles 
du faisceau. Ainsi les trois centres de similitude qui correspondent 
à un cercle isogonal sont toujours trois centres en ligne droite. On arri- 
verait à la môme conclusion par l'application de la remarque II du théo- 



296 GÉOMÉTRIE PLANE. 

rème III. Le cercle orthogonal aux trois cercles fixes appartient aux 
quatre faisceaux à la fois. 

Si le cercle orthogonal aux trois cercles donnés est réel, on voit immé- 
diatement que le lieu des centres des cercles isogonaux d'un même 
faisceau, devant contenir le centre du cercle orthogonal, sera la per- 
pendiculaire abaissée du centre radical sur l'axe de similitude. Dans le 
cas général, on arrive à la même conclusion en transformant la figure 
par inversion avec le centre radical pour pôle, et pour module la puis- 
sance commune de ce centre par rapport aux trois cercles donnés. 
Alors ceux-ci se reproduisent de telle sorte que deux points antiiiomo- 
logues par rapport à un centre de similitude, se transforment en deux 
autres points antihomologues par rapport au même centre. Il faudra 
donc que les cercles isogonaux d'un même faisceau se transforment les 
uns dans les autres, ce qui exige que leurs centres soient alignés sur 
le pôle d'inversion qui est le centre radical. 

Ainsi, dans tous les cas, le lieu des centres des cercles isogonaux 
d'un même faisceau est la, perpendiculaire abaissée du centre radical 
des trois cercles donnés sur l'axe de similitude correspondant. 

Il résulte de ce qui précède que les cercles isogonaux d'un même 
faisceau se répartissent en groupes de deux, qui admettent pour centre 
de similitude le centre radical des trois cercles donnés et qui coupent 
ceux-ci sous le même angle. 

Si les trois cercles ont un centre de similitude commun, trois centres 
de similitude se confondent en ce point ; l'axe de similitude correspon- 
dant est indéterminé, et le faisceau des cercles isogonaux correspon- 
dant à cet axe se réduit aux droites passant par le centre de similitude, 
car les points antihomologues sur les trois cercles sont nécessairement 
alignés sur ce centre. 

400". Tous les cercles isogonaux à trois cercles fixes, qui appar- 
tiennent à un même faisceau, coupent l'un quelconque des cercles fixes 
suivant des droites qui concourent en un même point de l'axe de simi- 
litude correspondant. 

En effet, soit un cercle isogonal w qui coupe le cercle suivant une 
droite MN, laquelle rencontre l'axe de similitude correspondant en H. 
Le point H a la môme puissance par rapport aux cercles et w, et 
quand on fait varier le cercle ^^i, il conserve la même puissance par 
rapport à ce cercle, puisqu'il appartient à l'axe radical commun des 
cercles to. Donc il fait partie de l'axe radical, c'est-à-dire de la sécante 
commune à tout cercle w et au cercle 0. 



LIVRE III. — Î.ES FIGURES SEMBLABLES. 297 

VIÏ. — Quelques problèmes remarquables. 

PROBLÈME d'aPPOLLONIUS. 

401. Le problème dont il s'agit consiste dans la recherche des cercles 
tangents à trois cercles donnés. 

Ce problème, dont la première solution, attribuée à Appolonius, ne 
nous est pas parvenue, a occupé un grand nombre de géomètres. 

Nous avons déjà indiqué, en quelques mots, au n° 263, une solution 
élémentaire due à Viète. Notre but est ici de donner une construction 
susceptible de s'appliquer à tous les cas particuliers où un ou plusieurs 
des cercles donnés sont remplacés par des droites ou des points. C'est 
à Gergonne que revient l'honneur d'avoir résolu le problème ainsi posé. 
Toutefois un cas échappe à sa méthode ; c'est celui où les centres des 
trois cercles donnés sont en ligne droite. 

Dans ces derniers temps, M. FoucUé a donné dans un savant Mé- 
moire une méthode exempte de cette imperfection et qui, d'ailleurs, 
permet de retrouver le tracé de Gergonne. 

Voici, à peu près textuellement, la solution de M. Fouché {Nouv. 
Ami., 1892) : 

Soit 0) (y%. 247) le cercle cherché, tangent en A, A'. A" aux trois 
cercles 0, 0', 0". 

Ce cercle w est un cercle isogonal qui coupe chacun des trois cercles 
donnés sous un angle nul. La tangente commune en A est l'axe radical 
des cercles w et 0; elle vient rencontrer l'axe de similitude correspon- 
dant en un point H par lequel passera aussi la sécante commune au 
cercle et à un cercle isogonal quelconque de la même famille, ce qui 
permet de le déterminer. On mènera de H une tangente HA au cercle ; 
puis on cherchera les points A' et A" antihomologues de A sur les deux 
autres cercles relativement aux centres de similitude qui se trouvent 
sur l'axe de similitude considéré. Le cercle passant par A, A', A" sera 
tangent aux trois cercles donnés. En effet, d'abord, il leur est isogonal 
(n" 400'"); de plus, son axe radical avec devant passer par H est 
AH tangente à 0. Donc il est lui-même tangent à AH et, par suite, à 0. 
Alors, l'angle commun d'intersection est nul et il est tangent aux trois 
cercles donnés. 

De ce qui précède résulte la construction suivante : 

On considère un axe de similitude contenant les centres de simili- 
tude S' et S'. On prend sur un point arbitraire M qu'on joint à S' et S". 
MS" coupe en deux points dont l'un M' est antihomolOgue de M. De 
même MS' dclcrmine sur 0" un point M' antihomologue de M. On trace 



298 GÉOMÉTRIE PLANE. 

le cercle circonscrit au triangle M M' M" qui coupe les trois cercles 
donnés en trois autres points N, N', N". On joint MN qui rencontre l'axe 
de similitude en H, De H on mène une tangente HA au cercle et Von 



Fig. 24-3. 



^^ 




cherche, comme précédemment, les points M et A" antihomologues de A 
sur les deux autres cercles. Le cercle circonscrit au triangle A A' A" ré- 
pond à la question. 

Gomme on peut mener du point H deux tangentes HA, HB au cercle 0, 
chaque axe de similitude fournit deux solutions réelles ou imaginaires, 
ce qui fait en tout huit solutions réelles ou imaginaires. 

L'axe de similitude est déterminé d'après des règles bien connues, 
quand on donne à l'avance l'espèce des contacts. 

Si l'on veut traiter le problème directement, indépendamment de la 
théorie d«s cercles isogonaux,' on commencera par remarquer que les 



LIVRE III. — LES FIGURES SL'MBLLBLES. 299 

trois points de contact A, A', A' sont deux à deux antihomologues, puis 
on construira trois points x\l, M', M*, M' et M" étant respectivement anti- 
homologues de M sur 0' et 0". On remarquera alors que, si l'on fait 
varier le point M, le cercle M M' M" conserve la même puissance par 
rapport aux points S et S", de sorte que tous les cercles M, M', M" onf 
le même axe radical S' S*. Il en résulte que la sécante commune MN a/i 
cercle variable MM'M" et au cercle fixe passe par un point fixe H de 
l'axe de similitude, par lequel doit aussi passer la tangente en A com- 
mune à et w. On retrouve ainsi la construction indiquée. Pour dé- 
montrer que le cercle to, passant par A, A', A", est bien tangent aux trois 
cercles donnés, on remarque que l'axe radical de w et étant AH, w est 
tangent à en H. Alors, comme (o passe par A' antihomologue de A, il 
est aussi tangent à 0' en A', et enfin il est tangent à A" pour une raison 
analogue. 

Si un ou plusieurs centres de similitude sont en dehors des limites 
de l'épure, on peut néanmoins construire les points M', M"; il suffit de 
mener à 0' un rayon parallèle au rayon OM et de joindre le point M à 
l'extrémité de ce rayon ; la droite MP coupe le cercle 0' en un second 
point M' qui est antihomologue de M. Jl faut seulement faire attention 
au sens des rayons OM et O'P', suivant qu'on considère le centre de 
similitude direct ou inverse. 

Si l'axe de similitude, ou simplement le point H, est en dehors des 
limites de l'épure, on pourra y suppléer de la manière suivante : on 
cherchera deux groupes de points antihomologues MM'M", MiM'iM'i. 
Les deux cercles isogonaux ainsi déterminés coupent le cercle sui- 
vant des cordes MN, MiNi; on joindra MMi et NNi qui se couperont 
en Q, MNi et MiN qui se couperont en R. La droite QR sera la polaire 
du point H où se coupent MN et MiNi et, par suite, son intersection 
avec le cercle déterminera les deux points de contact A et B. 

Si l'on considère les deux cercles to et w' fournis par un même axe 
de similitude, lesquels touchent les cercles donnés en AA'A" et BB'B", 
on peut remarquer que AB, qui est la polaire de H par rapport au 
cercle 0, contient le pôle de l'axe de similitude par rapport au même 
cercle. De plus, les cercles w et w' correspondant au même axe de 
similitude sont ceux qui se déduisent l'un de l'autre par une inversion 
effectuée du centre radical G des trois cercles donnés comme pôle. 
Il en résulte que les cordes AB, A'B', A"B' vont concourir au centre 
radical G. On retrouve ainsi la construction de Gergonne, qui consiste 
à joindre le centre radical des trois cercles donnés aux pôles de l'axe 
de similitude par rapport aux trois cercles donnés. 

éi le cercle isogonal MM'M" coupe l'axe de similitude en deux points 
réels L et L', tous les cercles isogonaux du mémo faisceau passeront 



300 GÉOMÉTRIE PLANE. 

par ces deux points, et l'on sera ramoné à faire passer par ces deux 
points un cercle tangent à l'un des cercles donnés. Mais, comme il est 
aisé de le reconnaître, le tracé de ce cercle, par la méthode classique, 
reproduit exactement notre construction générale. 

Si les trois cercles ont un centre de similitude commun, l'axe de 
similitude correspondant est indéterminé, et la méthode ne s'applique 
plus; mais alors il est clair que les solutions correspondant à ce centre 
de similitude sont les tangentes communes aux trois cercles. 

401'. Application de la méthode aux cas particuliers. 

La méthode n'offre aucune simplification dans le cas de deux cercles 
et d'une droite. 

Dans le cas de deux droites et d'un cercle, la construction générale 
s'applique, mais elle donne un tracé plus compliqué que celui de la 
méthode de Gergonne qui consiste, dans ce cas, à circonscrire au 
cercle un parallélogramme dont les côtés sont parallèles aux droites 
données et à joindre les sommets de ce parallélogramme au point d'in- 
tersection des deux droites. Mais la méthode de Gergonne cesse d'être 
applicable si les deux droites sont parallèles. Soient PQ, P'Q' les deux 
droites parallèles et le cercle 0. Les centres de similitude sont en S 
et S' aux extrémités du diamètre perpendiculaire aux deux droites. On 
peut prendre un de ces deux points S pour centre de similitude commun 
de avec PQ et avec P'Q'. Alors toute droite passât par S sera iso- 
gonale aux trois lignes données ; comme elle rencontre l'axe de simi- 
litude en S, S^ sera un point de contact. Ainsi, on trouve déjà les deux 
tangentes en S et S' qui doivent être considérées comme des solutions 
singulières, car, dans la transformation par inversion, elles deviennent 
des circonférences tangentes à et aux deux circonférences transfor- 
mées de PQ et de P'Q' en leur point de contact, qui est le pôle d'inver- 
sion. Si l'on prend des centres de similitude différents, S et S', soit M un 
point arbitraire de la circonférence 0, joignons SM et S'M qui coupent 
respectivement les droites P'Q', PQ, en M', M'^ et M'i, M". Les points 
antihomologues de M sont M', M"' ou Mi^ W[, suivant l'attribution qu'on 
fera des centres de similitude S et S' aux deux droites données. Les 
cercles circonscrits aux deux triangles MM'M", MM'iM'i fourniront, 
d'après la construction générale, quatre solutions nouvelles. 

La discussion, quoique un peu longue, est très aisée : 

1° Si le cercle est entre les deux parallèles, et si M' et M" sont sur 
les prolongements de SM et S'M, les points S et S' étant en dehors de 
la circonférence MM'M", il est impossible que celle-là passe entre S 
et S', de sorte que son second point d'intersection N avec est néces- 
sairement de môme côté que M, et la corde MN coupe SS' en un point U 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 3oi 

^ué en dehors de et duquel on peut mener des tangentes au cercle 0. 
Par un raisonnement analogue, on arrive à une même conclusion pour 
le cercle MM'^ M'[ qui contient S et S' à son intérieur. Les quatre cercles 
tangents sont donc réels. 

2" Si le cercle coupe l'une des trois droites, on reconnaît, par un 
raisonnement analogue, que l'un des cercles auxiliaires MM'M* qui 
laisse S et S' à son extérieur, donne deux solutions, tandis que l'autre, 
MM'iMi, passe entre S et S' et ne donne aucune solution réelle. Donc 
il y a deux cercles tangents. 
l 3° Si le cercle est en dehors des deux parallèles, le môme raisonne- 
ment montre qu'il n'y a pas de cercle tangent, ce qui est du reste évi- 
vident a priori. Il n'y a pas d'autre solution, que les deux droites. 

4° Il est aisé de reconnaître que, dans les cas de deux cercles et un 

point, d'un cercle, une droite et un point, d'un cercle et deux points, 

la construction générale reproduit la construction habituelle de ces 

problèmes simples, les points donnés constituant des cciUres de simi" 

Jitude. 

401". Étant donnés trois cercles extérieurs deux à deux, on peut 
leur mener huit cercles tangents réels dont deux au plus peuvent se 
réduire à deux droites. 

Pour qu'un axe de similitude fournisse deux solutions réelles, il faut 
et il suffit que le point H situé sur cet axe {fig. 247) soit à l'extérieur 
du cercle 0, ou, ce qui revient au même, à l'extérieur du segment MN, 
ou encore que Taxe de similitude ne traverse pas MN. Or l'axe ne peut 
traverser le segment MN sans traverser en même temps l'arc MN du 
cercle MM'M" situé à l'intérieur de et réciproquement. Donc, pour 
qu'un axe de similitude donne deux solutions réelles, il faut et il suffit 
que le cercle isogonal MM'M" ne coupe pas l'axe de similitude corres- 
pondant, ou le coupe en deux points situés d'un même côté du cercle 0. 

Il résulte de cette condition que si le cercle MM'M" coupe l'axe de 
similitude à l'intérieur de l'un des cercles donnés en un point unique, 
il le coupera aussi à l'intérieur des deux autres cercles, car est l'un 
quelconque des trois cercles donnés, et la solution ne peut être à la 
fois réelle et imaginaire. Mais le cercle MM'M" ne coupe l'axe qu'en 
deux points. Si donc cet axe ne donne aucune solution réelle, il faut 
que l'un au moins des deux points d'intersection soit inférieur à la fois 
à deux des cercles donnés au moins, ce qui exige que ces deux cercles-là 
aient une région commune. Or cela ne peut arriver si les trois cercles 
donnés sont extérieurs. Donc, dans ce cas, toutes les solutions sont 
réelles. Il peut arriver que les trois cercles aient deux tangentes com- 
munes, mais ils ne sauraient en avoir trois. 



302 GÉ03IÉTRIE PLANE. 

401'". Discussion générale. 

1° Si les circonférences n'ont aucun point commun, il peut y avoir : 

a. Trois couples extérieurs : il y a huit solutions réelles. 

p. Un couple intérieur et deux extérieurs, c'est-à-dire deux cercles 
intérieurs et le troisième extérieur à ces deux-là. Le problème est ma- 
nifestement impossible. 

Y. Deux couples intérieurs et le troisième extérieur, c'est-à-dire que 
deux des circonférences données sont à l'intérieur de la troisième et 
extérieures entre elles. 

Dans ce cas, en prenant pour pôle d'inversion au point P, situé à 
l'intérieur de la grande circonférence et à l'extérieur des petites, et 
pour module la puissance de ce point par rapport à la grande circon- 
férence, on transforme les trois cercles en trois cercles extérieurs. 
En effet, soit une droite tirée de P qui coupe la grande circonférence 
en A et B, et l'une des petites en C et D. La grande circonférence se 
transforme en elle-même; comme PC et PD sont tous deux plus petits 
que PB, les distances inverses PC et PD' seront plus grandes que PA, 
et les deux points G' et D' seront au delà de A. 

Il en résulte que le problème admet huit solutions réelles. Aucune ne 
peut se réduire à une droite. 

8. Trois couples intérieurs. Le problème est manifestement impossible. 

2° Si deux des circonférences se coupent on les transformera en 
droites en prenant pour pôle d'inversion l'un de leurs points d'inter- 
section. Donc, d'après une discussion rappelée plus haut, il y aura 
huit solutions réelles, si le troisième cercle coupe les deux premiers 
sans passer par l'un des points d'intersection, ou quatre seulement, 
si le troisième cercle coupe un seul de ces deux-là, ou n'en coupe 
aucun, ou passe par l'un de leur point d'intersection. Dans ce dernier 
cas, le point de concours des trois circonférences doit être considéré 
comme un cercle de rayon nul formant une solution quadruple. Il y a 
des solutions doubles s'il y a des cercles tangents. Enfin, si les trois 
cercles passent par deux mêmes points, ils se transforment en trois 
droites concourantes et le problème est impossible, ou du moins il 
n'admet d'autres solutions que les deux points communs qui consti- 
tuent deux solutions quadruples de rayon nul. 

3° S'il y a deux cercles tangents, le troisième ne coupant pas les 
deux premiers, on transformera les deux cercles tangents en deux 
droites parallèles en prenant le point de contact pour pôle, et l'on 
trouve aisément, en tenant compte des deux solutions rectilignes qui 
donnent des cercles dans la transformation inverse. Il y a six solutions 
réelles si, les cercles étant tangents extérieurement, le troisième leur 
est extérieur, ou si, étant tanaents intérieurement, le troisième est 



LivRK III. — LKS Figures semblables. 



3o3 



inférieur au grand et extérieur au petit; quatre solutions réelles dans 
tous les autres cas. Les solutions qui passent par le point de contact 
doivent être considérées comme doubles. Il y a d'autres solutions 
doubles, si le troisième cercle est tangent à l'un des deux autres ou à 
tous les deux. 

4" Si enfin les trois cercles sont tangents au même point, le problème 
est indéterminé. 

402. Il importe de signaler encore, à propos du problème d'Apollo- 
nius, quelques relations remarquables qui résultent immédiatement du 
théorème de M. Gasey (399). 

i°En supposant que le cercle D se réduise à son point de contact, et 
en désignant par /, /', /', les longueurs des tangentes menées de ce 
point aux trois cercles A, B, G, on voit que, si un cercle E touche trois 
cercles donnés, A, B, G, les tangentes menées d'un point quelconque 
de ce cercle aux trois cercles donne's satisfont à la relation 



I 



/"(AB) ± l'{AC) ± /(BG) = q. 

2" Enfin, si l'on se reporte à la figure formée par un triangle quel- 
conque, le cercle inscrit D et les trois cercles exinscrits A, B, G, et si 
l'on applique le théorème de M. Gasey à ces quatre cercles considérés 
successivement comme tangents aux trois côtés du triangle, on obtient 
les trois relations 

-(AB)i(GD)o+(AG)i(BD)o-(AD)i(BC)o=o, 

(AB)i(GD)o4-(AG)o(BD)i-(AD)o(BC)i = o, 

-(AB)o(GD)i-^(AG),(BD)o4-(AD)o(BG)i = o, 

qui, ajoutées membre à membre, donnent 

(AB)o(GD),-(AG)o(BD)i-f-(AD)i(BG)o=o. 

Le cercle inscrit et les trois cercles exinscrits à un triangle quel- 
conque sont donc tangents à un cinquième cercle, qui laisse le cercle 
inscrit d'un côté et les trois cercles exinscrits de l'autre côté. 

[Ce théorème est dû à Feuerbach : nous le retrouverons plus loin 
(40i).] 

Le môme procédé conduit d'ailleurs à ce théorème plus général dû à 
M. Hart : 

Les cercles tangents à trois cercles donnés sont, quatre à quatre, 
tangents à un cinquième cercle. 



3o.4 



GÉOMÉTRIE PlàNE. 



CERCLE COUPANT TROIS CERCLES DONNES 
SOUS DES ANGLES DONNES. 

403. Nous traiterons d'abord quelques cas particuliers qui sont d'ail- 
leurs intéressants par eux-mêmes, et dont nous emprunterons la solu- 
tion à M. G. Tarry. 

(a) Décrire une circonférence (X) coupant respectivement deux 
droites RA et RB sous des an.^les oc et [3, et passant par un point A pris 
sur la droite RA {Jig. 2472)- 

Supposons le problème résolu, et soit B l'un des points d'intersec- 
tion de la circonférence (X) avec la droite RB. Par hypothèse, la tan- 
gente en A à la circonférence (X) fait avec la droite RA un angle égal 

Fig. 247, 




à a ou à son supplément; par suite, le rayon AX fait avec RA un angle 
égal à a ou à son supplément. De même XB fait avec RB un angle 



à ^ p ou à son supplément. Les rayons XA et XB étant égaux, 

le point B s'obtiendra par le tracé suivant : par un point quelconque 
X' de la droite AX, qui fait avec RA un angle égal à - — a ou à son 

supplément, menez la droite qui fait avec RB un angle égal à ^ 

ou à son supplément; prenez sur cette droite une longueur X'B' égale à 
X'A; la droite AB' coupe RB au point cherché. Le problème a quatre 
solutions. 

{b) Décrire une circonférence (X) qui coupe libspectivement deux 
droites données RA et RB et une circonférence donnée (G) sous trois 
angles donnés a, p, y (,/%". 2472). 

Cherchons le centre X. Soit D l'un des points d'intersection des cir- 
conférences (X) et (G). Par hypothèse, l'angle XDG est égal à y ou à 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



3o5 



I 



son supplément, et les angles XAR, XBR, sont égaux à - — a, - — p, 

OU à leurs suppléments. Or, les circonférences qui coupent RA et RB 

sous les angles a, p, sont homothétiques et ont pour centre 

d'homothétie le point R. On connaîtra donc la position de la droite RX 
XR XR 
XD' 



et la valeur du rapport ^^^ = Yn 



XA 

Sur le côté XR, considéré comme homologue de XD, construisons le 

triangle XRC, directement ou inversement semblable au triangle XDC. 

On connaît l'angle XRC et la longueur RC déterminée par la propor- 

RC XR 
lion j-^ — \T)' ^" P®"'' ^^"^ trouver le point G'. D'ailleurs, la simili- 



tude des triangles XRC, XDC, donne la relation 



XC XR ,, 

^ = 3^.Parcon- 

séquent, le point X, situé sur la droite connue RX, appartient aussi à 
la circonférence, lieu des points dont les distances à C et à G sont dans 
le rapport de XR à XD. Le problème comporte huit solutions. 

(c) Connaissant deux circonférences (A) et (B) ei un point D pris 
sur (A), construire une circonférence (X) qui passe par D et qui coupe 
(A) et (B) sous des angles donnés a et ^ {fg. 2473). 

Supposons le problème résolu, et soit E l'un des points communs 
aux cercles (X) et (B). Par hypothèse, les angles XDA, XEB, sont 
égaux aux angles a et p ou à leurs suppléments. Sur le côté XD, égal 



v\z. 247,. 





à XE, construisons le triangle XDB' symétriquement ou directement 
égal au triangle XEB. On connaît les angles ADX, XDB', et, par suite, 
la position de la droite DB' et celle du point B'. Le centre X est donc 
déterminé, puisqu'il est situé sur la droite connue DX et équidistant 
des points B et B'. Il y a quatre solutions. 

{d) Décrire une circonférence (X) qui coupe respectivement deux 
circonférences concentriques ( A ) et ( B ) et une circonférence quelconque 
(G) sous des angles donnés a, [3, y^ 

R. et DE C. — Tr. de Gcom. (I" Partie). 20 



3o6 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Décrivons une circonférence qui coupe respectivement (A) et C^) 
sous les angles a et p. L'une des circonférences cherchées sera égale à 
cette circonférence et coupera (C) sous l'angle y. Or, le lieu des centres 
des circonférences égales qui coupent sous un même angle un cercle 
donné se compose de deux circonférences concentriques. Les centres 
des cercles cherchés se trouvent donc à la rencontre de circonférences 
que l'on sait construire. Le problème comporte huit solutions. 

(e) Nous pouvons maintenant passer au problème général : 

Décrire une circonférence (X) qui coupe respectivement trois cercles 
donnés (A), (B), (C), sous des angles donnés a, p, y* 

Si deux des cercles donnés, (A) et (B), se coupent, on formera la 
figure inverse en prenant pour centre d'inversion l'un des points d'in- 
tersection et pour coefïicient d'inversion la puissance de ce point 
par rapport au cercle (C). Ce cercle ne changera pas, les cercles (A) 
et (B) se transformeront en deux droites et, comme l'inversion n'al- 
tère pas les angles, on sera ramené au problème (b). 

Si les circonférences (A), (B), (G), considérées deux à deux, n'ont 
aucun point commun, on pourra (392) former la figure inverse de fa- 
çon que deux des cercles donnés se transforment en deux circonfé- 
rences concentriques, et le problème sera ainsi ramené au pro- 
blème (d). 

CERCLE DES NEUF POINTS. 

404. ABC étant un triangle quelconque, désignons par (M) le cercle 
qui a pour rayon la moitié du rayon du cercle circonscrit et pour centre 
le milieu M de la droite qui joint le centre du cercle circonscrit au 
point de concours H des hauteurs (/%•. 2474). 

Le cercle (M) pusse par les milieux a, b, c, des côtés, par les pieds 
a, P, Y, des hauteurs, et par les milieux p^ q, r des distances du pomt 
de concours H des hauteurs aux trois sommets A, B, C. 

En effet : 

1° La droite M/?, joignant les milieux M et p des côtés IIO et HA du 
triangle OHA, est parallèle à la base OA et égale à la moitié de cette 
base, c'est-à-dire à la moitié du rayon du cercle circonscrit. Le cercle 
(M) passe donc par /?, et l'on verrait de même qu'il passe par 7 
et r. 

2° On a vu (117) que les hauteurs du triangle ABC étaient les per- 
pendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un second triangle A'B'C, 
obtenu en menant par chaque sommet du premier la parallèle au côté 
opposé. Les triangles A'B'C et ABC étant semblables et ayant 2 pour rap- 
port de similitude, la droite AH considérée comme liée au triangle A'B'C 
est double de la droite 0« qui est son homologue par rapport au triangle 



LIVRE III. — LES FIGUtUîS SEMBLABLES. Soj 

ABC. Les droites On et Ap sont donc égales et, comme elles sont pa- 
rallèles, pa est égale et parallèle à OA. Par suite, pa n'est donc autre 




chose que pM prolongée d'une quantité Ma égale à joM, et le cercle (M) 
passe par a. On verrait de même qu'il passe par ^ et c. 

3° Enfin, puisque pa est un diamètre du cercle (M) et que l'angle 
paa est droit, le cercle (M) passe par a. On verrait de même qu'il 
passe par p et y. 

Cette propriété, qui a fait donner au cercle (M) le nom de cercle des 
neuf points, est due à Eiiler. 

On peut aisément trouver les tangentes aux neuf points. 

La tangente «E au point a est perpendiculaire au rayon M^ ou à sa 
parallèle OA : elle est donc parallèle à la tangente AT au cercle circon- 
scrit; mais cette tangente est antiparallèle à BG par rapport à l'angle 
BAC, puisque les angles TAB, ACB, ont la même mesure. Par consé- 
quent, la tangente «E au cercle des neuf points au point a est antipa- 
rallèle à BC par rapport à l'angle BAC. 

Au point /?, la tangente est parallèle à «E et, au point a, la tangente 
! fait avec la direction CB un angle EaB égal à l'angle E^C que la tan- 
gente en a forme avec la direction BC. On connaît ainsi les droites qui 
touchent le cercle (M) aux neuf points «, h, c, p^ q, r, a, p, y. 

Parmi les nombreuses propriétés dont jouit le cercle (M), il importe 
de remarquer la suivante, due à Feuerbach : 

ï Le cercle des neuf points est ta/igent au cercle inscrit et à chacun 
des cercles exinscrits au triangle ABC {fig. 2475)» 

En effet, soient I le centre du cercle inscrit et l' le centre de l'un des 
cercles exinscrits^ par exemple de celui qui est compris dans l'angle 
CAB. 



;o8 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Le côté BG est une tangente commune intérieure aux deux cercles l 
et r, et son milieu a est aussi le milieu de l'intervalle FF' compris entre 



Fig. 247,. 




SCS deux points de contact; car, en désignant par a, 6, c, les côtés du 
triangle ABC et par/? son demi-périmètre, on a (161) 



BF 



et, par suite, 



^ 



BF': 



- (BF + BF') = -(ip~b — c) = - = ]ia. 



La seconde tangente commune intérieure KK' passe parle point A' où 
la première rencontre la bissectrice AH' de l'angle BAC ; elle est d'ail- 
leurs symétrique de BC par rapport à cette bissectrice, c'est-à-dire anti- 
parallèle à BG par rapport à l'angle BAG 

Remarquons enfin que les quatre points I, I', A, A', étant harmoniques, 
leurs projections sur BG forment aussi un système harmonique FF'aA', 
de sorte qu'on a 

(i) rtF^=: «F'^ = «a.aA'. 

Ceci posé, formons la figure inverse des cercles J, I', et du cercle de? 

neuf points, en prenant pour origine le point a et pour constante d'in- 

— 2 
version la quantité «F . Gette quantité étant égale à la puissance du 

point a par rapport à l'un ou l'autre des cercles I et T, chacun de ce? 

cercles coïncidera avec son inverse. Quant au cercle des neuf points, 

puisqu'il passe par l'origine «, il aura pour inverse une droite. Cette 

droite passera par A', puisqu'on vertu de l'égalité (i) le point A' est 

l'inverse de a; elle devra en outre faire avec la direction BG un angle 

égal à celui que la tangente en a au cercle des neuf points fait avec cette 

même direction. En d'autres termes, la droite inverse du cercle de? 

neuf points sera la droite menée par A', antiparallèlement à BG par 



I 



LIVUE ni. — LES FIGLUIKS SE.tIBLADLES. . SoQ 

rapport à l'angle BAC, c'est-à-dire la seconde tangente commune inté- 
rieure KK' aux deux cercles I et T. Dans la figure primitive, le cercle 
des neuf points touche donc les cercles I et F; et l'on verrait de même 
que ce cercle touche les deux autres cercles exinscrits. 



INVERSEURS DE PEAUCELLIER ET DE HART (/%. 2476, 2477). 

40o. Soit ABCD un losange articulé, c'est-à-dire formé de tiges rigides 
reliées à leurs extrémités de façon que leurs inclinaisons mutuelles 
puissent varier; soient de plus OB et OD deux autres tiges, égales entre 
elles et articulées en 0, B, D. Tel est le système à six tiges de M. Peau- 
cellier; on lui donne le nom à' inverseur, parce que, lorsque l'on déforme 
le système, le point restant fixe, les points k et Ça décrivent des 
lignes inverses, étant le centre d'inversion. En effet, pour toute posi- 
tion de l'appareil, puisque chacun des points 0, A, G reste à égales 
distances des points B et D, les trois points 0, A, G sont en ligne 
droite; d'ailleurs, si l'on imagine le cercle ayant B pour centre et BA 
pour rayon, puisque la distance OB et le rayon BA restent constants, la 

2 2 

puissance OB — BA du point fixe par rapport à ce cercle mobile 
reste aussi constante; mais cette puissance s'exprime aussi par le pro- 
duit OA.OG ; donc A et G décrivent des lignes inverses l'une de l'autre 
D'après cela, si l'on fait décrire au point G un cercle quelconque, le 
point A décrira aussi un cercle. Mais si le cercle que l'on fait décrire au 
point G passe par le point fixe 0, le point A décrira une ligne droite. 
G'est la première solution rigoureuse qu'on ait donnée du problème de 
Watt, c'est-à-dire de la transformation d'un mouvement circulaire en 
un mouvement rectiligne. Depuis, M. Hart a résolu le même problème è 



Fig. 247 




aux 



l'aide de quatre liges seulement; ces tiges forment les côtés é 
GCi, DDi, et les diagonales GDi et CiD d'un trapèze isocèle articulé. 
Soient A, Pi, P trois points divisant respectivement les tiges GGi, CiD 
et GDi dans un même rapport; si le système se déforme, A restant 
fixe, les points P et Pi décrivent des lignes inverses, A étant le centre 
d'inversion. En effet, il est clair que, dans toute position du système, 
les couples GD et GiDj, APi et GD, AP et GiDi conservent leur parai- 



OlO GÉOMÉTRIE PLANE. 

lélisme, en sorte que A, Pj et P restent en ligne droite. On a d'ailleurs 



AP _ CA APi _ C,A 

( 
d'où 



CiDi ce,' CD CGi' 



AP.APi = £4^.GD.C,D,; 

CCi 

il suffît dès lors de prouver que le produit GD.CiDi est constant. Or, 
si l'on désigne par le milieu de Ci Di et^ par. E la projection de C sur 
GiDi, on voit que le produit en question est égal à 4OD1.OE ou à 

CDi — CCi , qui est une quantité constante. 

PROBLÈME DE CASTILLON. 

406. Inscrire dans un cercle donné un polfgniie dont cluujue côte 
passe par un point donné. 

La solution suivante, que nous empruntons à M. Pctersen, oiïre un 
exemple très remarquable de la méthode par inversion. Le lecteur la 
saisira sans peine s'il veut bien faire la figure avec la règle et le com- 
pas. Nous avertissons d'ailleurs, une fois pour toutes, que, lorsque 
nous parlons de l'inversion d'une partie de la figure autour d'un point, 
il faut entendre que l'on construit la figure inverse de la partie consi- 
dérée en prenant pour origine le point indiqué et ^omt puissance d'in- 
version la puissance de ce point par rapport au cercle donné. 

Il convient de distinguer deux cas suivant que le nombre des côtés 
est pair ou impair. Nous nous bornerons aux cas du quadrilatère et du 
triangle, la généralisation n'offrant après cela aucune difficulté. 

Cas du quadrilatère. — Soient a, b, c, d les points par lesquels 
doivent passer respectivement les côtés AB, BC, CD, DA. Remarquons 
d'abord que le point A, après quatre inversions successives autour 
de rt, b, c, d, revient en A; en d'autres termes, si l'on prend successi- 
vement l'inverse A^ de A par rapport à «, l'inverse Aao de Aa par 
rapport à è, l'inverse Aabc de Aab par rapport à c, et enfin l'inverse 
Aahcd de Aabc par rapport à c?, le point Aahcd coïncidera avec A. Dési- 
gnons par P le point obtenu par l'inversion de d successivement autour 
de c, b^ a, en sorte que l'inversion de P autour de a, b, c reproduira d. 
Cela posé, si l'on faisait successivement l'inversion de la droite PA 
autour de <2, b, c, d, on trouverait d'abord un cercle passant par «, 
B, Pa, puis un cercle passant par «a, C, Paôc, ensuite un cercle passant 
par abcy D, Vabc ou a^c, D, d, et enfin une droite passant par A et par 
le point abcd que nous désignerons par Q et que l'on obtient en faisant 
l'inversion de a autour de b, c, d. Mais les droites QA et PA qui ré- 



LIVRE II[. — LES FIGURES SEMBLABLES. 3n 

sultcnt ainsi l'une de l'autre par quatre inversions doivent (387) faire 
avec le cercle donné des angles égaux et de même sens, puisque, d'après la 
manière dont on a choisi les puissances, le cercle se transforme chaque 
fois en lui-môme ; donc PA et QA forment une même droite, et l'on ob- 
tient le point A par l'intersection du cercle et de la droite qui joint les 
points connus P et Q. 

Cas du triangle. — Soient a, è, c, les points par lesquels doivent 
passer respectivement les côtés du triangle demandé ABC. 

En opérant comme ci-c^essus, mais faisant bien entendu trois inver- 
sions au lieu de quatre, on trouve encore deux segments rectilignes PA 
et QA ; seulement ils ne forment plus une même droite, car les angles 
qu'ils font avec le cercle donné sont égaux, mais non de même sens. Soit R 
le point qu'on obtient en faisant l'inversion autour de a, b, c, de l'un des 
points où Va coupe le cercle; par cette opération, a? et AP deviennent 
les droites RQ et AQ, et les angles «PA, RQA sont égaux et de même 
sens, en sorte que, si l'on appelle S l'intersection de aV et de QR, le 
quadrilatère APSQ est inscriptible; le cercle circonscrit au triangle 
connu PSQ détermine donc le point A par son intersection avec le cercle 
donné. 

PROBLÈME DE MALFATTI. 

407. Étant donné un triangle ABC, décrire trois cercles (a), (b), (c), 
inscrits respectivement dans les angles k^ B, G, <?^ tels que chacun d'eux 
touche les deux autres. 

Trois cercles (<2), (6), (c), considérés deux à deux, donnent lieu à 
trois couples ayant chacun quatre tangentes communes. Nous dirons 
que deux tangentes communes sont associées, lorsqu'elles seront rela- 
tives à un même couple de cercles et qu'elles seront en outre de même 
espèce, c'est-à-dire toutes deux extérieures ou toutes deux mtérieures. 

Cela posé, nous établirons d'abord, pour plus de clarté, deux lemmes 
préliminaires. 

1° Si deux tangentes extérieures dcc, d^, relatives à deux couples 
différents (b) et (c), (b) et (a), et une tangente commune intérieure dh, 
relative autroisième couple (a) et (c), concourent en un même point d, 
les tangentes aq, yq^ pq, qui leur sont respectivement associées, con- 
courent aussi en un même point q (Jig. 248). 

En effet, par le point «7, intersection de uq et de y<7, imaginons qu'on 
mène la seconde tangente qp au cercle (c); il suffit de montrer que 
cette droite qp touche le cercle (rt).Or, les quadrilatères c?a^Y> dhqa, 
étant circonscrits, le premier au cercle (b), le second au cercle (c), 
on a 

(loL -\- d^( = q^( -h q'x, r/a -h q/i — dh -+- qoL, 



3l2 

d'où, par soustraction, 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



d-^ -h clh = q^ -{- qh. 



Le quadrilatère cl^qh est donc cireonscriptible à un cercle; et, comme 
trois de ses côtés touchent déjà le cercle («), le quatrième côlé 
qli doit toucher ce môme cercle. 

Fier. 248. 




2" Si deux cercles (0) et (0') déterminent sur une sécante AB' deux 
cordes égales AB, A'B', ces cercles seront vus sous des angles égaux du 
point dq concours M des tangentes MA, MB', menées aux extrémités de 
la sécante {fig. 2481). 

En effet, soient F, P, F', les projections des points 0, M, 0', sur la 
sécante AB'. Les triangles AMP, AOF, étant semblables, ainsi que les 
triangles MPB' et B'O'F', on a 



AM 
MP 



d'où, par multiplication. 



AO 
AF 



AM 
B'M 



MP 
B'M 



AO 
B'O' 



B'F' 
B'O'' 



Les triangles rectangles AOM, B'O'M, sont donc semblables et, par 
conséquent, les angles AMO, B'MO', sont égaux; ce qui démontre l'é- 
noncé, puisque ces angles sont les moitiés de ceux sous lesquels on 
voit du point M les deux cercles. 

Ajoutons que les tangentes AK et B'L sont égales, puisque la puis- 
sance de A par rapport au cercle (0') est évidemment égale à la puis- 



LIVRE III. 



LES FIGURES SEMBLABLES. 



3l3 



sance de B' par rapport au cercle (0). Inversement, si la transversale 
AB' est telle que les tangentes AK et B'L soient égales, les cordes 
AB et A'B' le seront elles-mêmes. 




1. 

et la 



Arrivons maintenant au problème de Malfatti. 

Soient D, E, F {fi^\ 2482), les points de contact des trois cercles 
cherchés (a), (^), (c). Les tangentes en D, E, F, étant les axes radi- 
caux de ces cercles pris deux à deux, concourent au centre radical L de 
ces trois cercles. Soient G et H les points où le côté BG du triangle ABC 
touche {b) et (c). On a évidemment 



MQ — MR = GQ — RH = QE — RF = LQ — I^, 



I 



et la comparaison des membres extrêmes prouve que le point M est le 
point où le côté RQ touche le cercle inscrit dans le triangle RLQ (161). 
Nous désignerons ce dernier cercle par {a'), et nous représenterons 
par {b') et (c') les cercles analogues qui touchent respectivement les 
côtés AG et AB aux points N et P. 

Si l'on considère alors le système des trois cercles (a'), (è'), (c'), 
les tangentes communes RN, SM, PQ, concourant au point L, il résulte 
du premier lemme que la seconde tangente commune intérieure à (a') 
et à (Z>') passe par le point de concours G des tangentes communes 
extérieures BG et AG. 

Les relations 

MD = MH = TF, DU = NK = NF, 

donnant, par addition, MU = TN, la remarque qui termine le second 
lemme prouve que les cercles (a') et {b') doivent intercepter sur MN 
deux cordes égales. Donc, en vertu de ce même lemme, la tangente 



3l4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

commune intérieure aux deux cercles («') et (^'), qui passe par le 
sommet G, est la bissectrice de l'angle G. 

De là, on conclut le tracé suivant : I étant le centre cla cercle inscrit 
dans le triangle donné ABG, inscrivez un cercle dans chacun des 
triangles lAB, IBG, IGA, puis menez les secondes tangentes communes 
intérieures de ces trois cercles pris deux à deux; on obtient ainsi des 
triangles ayant chacun pour côtés une de ces tangentes et deux côtés 
du triangle ABC : les cercles inscrits dans ces nouveaux triangles sont 
les cercles chercliés. 



Fig. 2/i8,. 




Gette règle a été donnée en 1826 par Steiner, mais sans démonstra- 
tion proprement dite, l'éminent géomètre s'étant borné à indiquer les 
théorèmes sur les centres de similitude, les axes radicaux, . . . , qui 
permettraient de parvenir au tracé indiqué. 

Nous avons adopté ici la démonstration de M. Hart, développée par 
M. Desboves dans ses Questions de Géométrie. 



VIII. — Transformation par semi-droites réciproques. 



DEFINITION DES SEMI-DROITES ET DES CYCLES. 



408. Une droite étant donnée, on peut supposer qu'elle soit décrite 
dans un certain sens par un point mobile; une telle droite, déterminée 
ainsi par sa position et le sens dans lequel elle est décrite, est désignée 
sous le nom de semi-droite ; ce sens est. indiqué sur la figure par une 
flèche placée près de la droite. 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



3i5 




Une môme droite pouvant être décrite dans deux sens différents déter- 
mine deux semi-droites distinctes que l'on appelle semi-droites opposées. 

Un cercle étant donné, on peut supposer également qu'il soit décrit 
dans un certain sens par un point mobile; un tel cercle, déterminé ainsi 
par sa position et le sens dans lequel il est décrit, est désigné sous le 
nom ÙQ cycle ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près 
de la circonférence du cycle. 

Un même cercle pouvant être décrit dans deux sens différents déter- 
mine deux cycles distincts que l'on appelle cycles opposés. 

En un point A d'un cycle, la tangente doit être considérée, le long de l'élé- 
ment infiniment petit commun au cycle, comme décrite dans le même sens 




que le cycle ; la tangente au point A est donc une semi-droite bien détermi née 
De là résultent les conséquences suivantes : 

I ° On ne peut mener à un cycle donné qu 'une tangente parallèle à 
une semi-droite donnée {fig- 249)- 

II est clair, en effet, qu'on peut mener au cercle déterminé par le cycle 
deux tangentes parallèles à la droite déterminée par la semi-droite don- 
née; mais, si l'on désigne par A et par A' les points de contact, on voit 
que les tangentes au cycle en ces points ont des directions opposées ; une 
seule d'entre elles est donc parallèle à la semi-droite donnée. 

1° Deux cycles donnés ont deux tangentes communes et n*en ont que deux. 

Sur la,^^. 2491 > on voit que les semi-droites AA'et B'B sont tangentes à 
la fois aux deux cycles K et K'. Les cercles déterminés par ces cycles 
ont quatre tangentes communes dont deux sont précisément AA' et BB' ; 
si l'on considère une quelconque des deux autres, par exemple CC, il est 
aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette 
droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la définition 
donnée du contact d'un cycle et d'une semi-droite. 

Le point de rencontre P des deux tangentes communes est le centre 
de similitude des deux cycles. 

Ce centre de similitude est unique ( *). 



I 



(*) Une proposition démontrée précédemment peut, par suite de cette défi- 
nition, s'énoncer de la façon suivante : 

Etant donnés trois cycles, les trois centres de similitude de ces cycles prif 



3i6 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



La distance AA', comprise sur l'une des tangentes communes entre les 
points de contact avec les cycles, est la distance tangentielle des cycles \ 
elle n'est déterminée qu'en valeur absolue, mais non en signe. 

Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si ce cycle est décrit 
dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif 
dans lo cas contraire. 

Far suite, en désignant par T la distance tangentielle des deux cycles 

l'ig. 2/i9,- 




dont les centres sont et 0', la 7%-. 2491 montre immédiatement qu'en dé- 
signant par D la distance des centres, on a la relation 

T2=D2-(R — ll')2. 

Cette formule détermine, dans tous les cas possibles, la distance tangen- 
tielle de deux cycles; en particulier, si nous considérons deux cycles 
opposes et si le rayon d'un de ces cycles est R, l'autre est — R ; d'ail- 
leurs, la distance de leurs centres est nulle; on a donc, dans ce cas, 

T»=r — 4R«. 

Une semi-droite étant donnée, ainsi qu'un point P, le cycle qui a pour 
centre ce point et qui touche la semi-droite est bien déterminé; la dis- 
tance du point P à la semi-droite est le rayon de ce cycle; elle est donc 
déterminée en grandeur et en signe. 

Un point doit être considéré comme un cycle d'un rayon infiniment pe- 
tit; toutes les semi-droites passant par ce point doivent être considérées 
comme tangentes à ce cycle. 

Étant données deux semi-droites quelconques, on peut construire une 
infinité de cycles qui leur soient tangents; les centres de ces cycles sont 
situés sur une môme droite que l'on appellera la bissectrice des semi- 
droites. 

Si, le point P d'intersection des semi-droites restant fixe, l'angle que 
font ces semi-droites diminue indéfiniment en sorte qu'elles tendent 
toutes les deux à se confondre avec leur bissectrice, les rayons de tous 
les cycles inscrits diminuent indéfiniment et, à la limite, ces cycles se 
réduisent à des points, tandis que les deux semi-droites deviennent doux 
semi-droites opposées. 



I 



m 



LIVR^ III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 3i^ 

On voit ainsi que les cycles qui touchent deux semi-droites opposées 
sont les divers points de la droite qu'elles déterminent. 

Il résulte aussi de ce qui précède qu'un cycle assujetti à toucher trois 
semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point 
de rencontre des trois bissectrices des semi-droites prises deux à deux. 

MÉTHODE DE TRANSFORMATION. 

409. Considérons une droite fixe û ; traçons dans le plan un cycle quel- 
conque K ayant pour centre le point et, sur la perpendiculaire abais- 
sée du point sur la droite Q, prenons un point arbitraire P (Jig. 249,). 

Cela posé, à chaque semi-droite NM du plan, on peut faire correspondre 
une autre semi-droite de la façon suivante. Menons au cycle R la tan- 
gente AB parallèle à NM, joignons le point de contact A au point P, et, au 

Fig. 2i92. 




12 M 



point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tan- 
gente A'B'; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe 
la droite fixe £1, une semi-droite N'M parallèle à A'B'. 

N'M correspond ainsi à NM, et il est clair, en examinant les construc- 
tions effectuées, que NM correspond réciproquement à N'M; on dit que 
ces deux semi-droites sont réciproques, 

11 résulte évidemment de ce qui précède que : 

!* Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite D. que l'on 
appelle l'axe de transformation ; 

•2° Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites 
parallèles. 

Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les 
semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à elles- 
Kômes. II y a donc deux séries de semi-droites parallèles qui se trans- 
forment en elles-mêmes; ces semi-droites font des angles égaux avec l'axe 
de transformation. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne 
sont réelles que si le point P est extérieur au cycle K. 



3i8 GÉOMÉTRIE PLANE. 

THÉORÈME. 

410. Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tan* 
gents à un même cycle. 

Soient, en effet, £1 l'axe de transformation, NM et MN' deux semi- 
droites réciproques, RS une semi-droite quelconque du plan (fg. 9.493). 

Construisons le cycle K qui touche les semi-droites NM, MN' et RS; me- 
nons la droite NN' qui joint les points de contact de NM et de MN', et 
désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée 




du point sur l'axe û. Il est clair, d'après ce qui précède, que la trans- 
formation, qui a pour axe û et dans laquelle NM correspond à MN', peut 
être définie au moyen du cycle K et du point P. Si, maintenant, on re- 
marque que P est le pôle de la droite Q. relativement au cycle K, on voit 
que la tangente S'R est la réciproque de RS; les deux couples de semi- 
droites réciproques NM elMN', RS et S'R sont deux tangentes au cycle 
K, ce qui démontre la proposition énoncée. 

La transformation par semi-droites réciproques est ainsi caractérisée 
par les deux propriétés suivantes : 

Deux semi-droites réciproques se coupent sur l'axe de transformation; 
deux couples de semi-droites réciproques sont tangents à un même cycle {}), 

Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se 
donne l'axe de transformation et deux semi-droites réciproques D et D'. 
Pour obtenir la réciproque d'une semi-droite quelconque A, que l'on 
construise le cycle tangent à D, D' et A, et que, par le point M où A coupe 
l'axe do transformation, on mène la deuxièrpe tangente au cycle, cette 
taiîirentc sera la semi-droite cherchée. 



(*) La transformation par rayons vecteurs réciproques est également carac- 
térisée par les deux propriétés suivantes : 
, Deux points réciproques sont situés sur une droite passant par le pôle de 
transformation ; 

Deux couples de points réciproques sont situés sur un même cerclt. 



LIVRE JII. — LES FIGURES SEMBLABLES. Sig 

Considérons une courbe K comme l'enveloppe d'une semi-droite mo- 
bile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu'on appelle la 
transformée de la courbe K. 

THÉORÈME. 

M \ . Quand on effectue une transformation par semi-droites réci-^ 
proques, un cycle a pour transformé un autre cycle. 

Soit £i l'axe de transformation, et considérons un cycle quelconque K 
coupant l'axe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et 




N'M' parallèles à la direction des semi-droites qui, dans la transformation, 
sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de ren- 
contre de ces droites {^fig. 2494). 

Cela posé, construisons le second cycle K' qui, passant par les points 
A et B, touche les semi-droites PM et M'P; je dis que le cycle K' est le 
transformé de K . 

On voit en effet que la transformation est définie par l'axe ii, le cycle 
K et le point P. 

Par le point P, menons une sécante quelconque coupant le cycle K' au 
point a et le cycle K aux points p et 7. On sait que les tangentes menées 
en a et 7 se coupent en un point T do l'axe radical II des deux cycles ; 
d'ailleurs, la tangente ^^ au point ^ est parallèle à aT; il résulte donc de 
la définition donnée plus haut que aT et T7 sont deux demi-droites réci- 
proques. L'enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent 
K est donc le cercle K'; ce qu'il fallait démontrer. 

On voit ainsi qu'un cycle K a pour réciproque un cycle K'. La rela- 
tion qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les 
doux propriétés suivantes : 

i" Leur axe radical est l'axe de transformation ^ 



320 GÉOMÉTIUE PLANE. 

a° Leurs tanç^entes communes sont parallèles à deux directions fixes ^ 
à savoir aux directions des semi-droites qui se transforment en elles- 
mêmes. 

Désignons respectivement par R et R' les rayons des deux cycles (ces 
quantités étant données en grandeur et en signe) et par D et D' les dis- 
tances de leurs centres à l'axe ( ^ ). 

La première propriété donne la relation suivante : 

D2— D'2= U2_R'2, 

et la deuxième, la relation 

(i) D-D'=a(R-R'), 

où a désigne une constante caractérisant la transformation; d'où encore, 
en combinant ces deux relations, 

(2) D-+-D'=i(R + R'). 

On en déduit 



et 



D(a2-M)— 2aR 
"" I — a2 

_, 2aD — R(i-+-a2) 
K. = r • 



Le cycle K' est ainsi complètement déterminé, quand le cycle K est 
donné, puisque l'on connaît la distance de son centre à l'axe et son 
rayon. 

Le cycle K' se réduit à un point, si R'= o, ce qui exige que l'on ait 

Ra2— 2aD-t-R=o, 
d'où 



a=D±v/D2— R2. 

Il en résulte qu'«// cycle étant donné, ainsi que Vaxe de transformation j 
on peut toujours de'terminer le modulev.de la transformation, de façon que 
ce cycle ait pour ti-ansformé un point, dans le cas où ce cycle ne coupe 
pas l'axe. En désignant, en effet, par R son rayon et par D la distance de 
son centre à l'axe, on voit que, D^ — R2 étant positif, l'équation précé- 
dente détermine pour le module a deux valeurs réelles. 



(•) On doit ici considérer l'uxc de transformation comme une semi-droite, 
en liii donnant un sens arbitraire, de sorte que D et D' sont aussi déterminés 
•n grandeur et en signe. 



LIVRE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



32! 



Soit K le cycle donné ; de son centre abaissons une perpendiculaire 
OP sur Taxe de transformation et de son pied P comme centre décrivons 
le cercle qui coupe orthogonalement le cycle donné. Ce cercle coupe la 
droite OP en deux points A et B ; on prouvera aisément qu'il existe une 
ïansformation telle que les tangentes au cycle K aient pour réciproques 

Fig. 249,. 





les semi-droites qui se croisent au point A. Il existe également une 
autre transformation dans laquelle le point B est le réciproque du 
cycle K(/^-. 2495). 

Une transformation étant définie par l'axe de transformation il et par 
le module a, il existe une infinité de cycles qui ont pour transformés 
des points; ils sont définis par la relation 

D ~" a2 H- I 

Leur propriété caractéristique est que leur rayon varie proportionnel' 
lement à la distance de leur centre à Vaxe ; elle présente une grande 
importance dans l'application de la transformation par semi-droites réci- 
proques à la théorie des anticaustiques par réfraction. 



THÉORÈME. 

412. La distance tangenlielle de deux cycles est égale à la distance 
tangentielle des deux cycles correspondants. 

Considérons, en effet, deux cycles; désignons respectivement par R etr 
leurs rayons, par D et ^ les distances de leur centre à l'axe de transfor- 
mation, par p la projection sur cet axe de la droite qui joint leurs centres, 
et par T leur distance tangentielle; on aura évidemment 

T«=;^2-+-(D-rf)»- (R-r)2. 

Soient de môme R'et r les rayons des cycles transformés; D' et d' les 
dislances de leurs centres à l'axe, et T' leur distance tangentielle. Si l'on 
remarque que deux cycles réciproques ont leurs centres sur une môme 

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( !'• Partie). 21 



323 GÉOMÉTRIK PLANB. 

perpendiculaire à l'axe, il est clair que l'on a 

T'»=p»-+-(D'-r/')2-(R'-r')V 
Or les formules énoncées plus haut donnent aisément 

D- d'=^ (D~^)(a^-4-i)-2a(R-r) 
I — a* 

Substituant ces valeurs dans l'expression précédente, il viendra, toutes 
réductions faites, 

ce qui démontre la proposition énoncée (* ). 

APPLICATIONS DE LA MÉTHODE. 

413. Soient {fig. 2490) trois cycles K, K' et K" ayant respectivement 
pour centres les points 0, 0' et 0". Soient P" le centre de similitude des 
cycles et 0', P' le centre de similitude des cycles et 0". Supposons que 
la droite P'P' ne coupe pas le centre 0; en prenant cette droite pour 
axe de transformation, nous pourrons toujours, en choisissant conve- 
nablement le module de la transformation, transformer le cycle en 
un point w. Les deux tangentes P'A et P'B auront pour trans- 
formées les semi-droites opposées déterminées par les points P' et w; 
le cycle K' étant tangent à AP' et P'B aura pour transformé un cycle 
tangent à ces demi-droites opposées, et, par conséquent, un point w' 
qui sera l'intersection de P'w avec la perpendiculaire abaissée de 0' sur 
l'axe P' P". 

Les deux tangentes CP' et P'D auront pour transformées les semi- 
droites opposées déterminées par la droite P'w, et il est clair que le cycle 
0', qui touche CP' et P'D, aura pour transformé le point w' où P'w ren- 
contre la perpendiculaire abaissée de 0" sur l'axe P P'. Si l'on considère 



(•) Relativement à la transformation par rayons vecteurs réciproques, le 
théorème analogue est le suivant : L'angle sous lequel se coupent deux cercles 
est égal à l'angle sous lequel se coupent les cercles correspondants. 

Ce théorème s'étend à deux courbes quelconques, et de même dans la trans- 
formation par semi-droites réciproques : 

Si une semi-droite A touche deux courbes aux deux points a et b, et si la 
semi-droite réciproque A' touche les courbes transformées aux points a' et b', 
Us deux longueurs ab et a' b' sont éiyales 



LIVIJE III. — LES FIGURES SEMBLABLES. 



323 



maintenant les deux tangentes communes aux cycles K',K*, elles au- 
ront pour transformées les semi-droites opposées déterminées par les 
points w' et w*. D'où il résulte que ces tangentes se coupent au 
point P où la droite w' w" rencontre P' P", et de là une démonstration 
nouvelle de cette proposition rappelée plus haut : Les trois centres de 
similitude de trois cycles considérés deux à deux sont en ligne droite; 
il suit de là également que si trois cycles sont tels que la droite, qui 
contient leurs centres de similitude, ne les rencontre pas^ on peut, par 




une tr ans fort nation par semi-droites re'ciproques, les transformer en trois 
points (*). 

41 i. La transformation par semi-droites réciproques peut servir, comme 
la transformation par rayons vecteurs réciproques, soit à simplifier la 
solution de certains problèmes, soit à généraliser certaines propriétés 
géométriques. 

Pour en donner un exemple simple, considérons le problème suivant : 
Construire un cycle touchant trois cycles donnés. 

Supposons que les cycles donnés K, K' et K' soient tels que la droite 
qui contient leurs centres de similitude ne les coupe pas : nous pouvons, 
d'après ce qui précède, en prenant cette droite pour axe de transforma- 
tion, transformer les cycles donnés en trois points w, w' et w'. Le cercle 
passant par ces points détermine deux cycles opposés H et H' dont les 
réciproques seront les solutions du problème. Deux cycles opposés ren- 
contrant l'axe de transformation aux mêmes points, il en est de même de 



(*) La propriété analogue dans la théorie de la transformation par rayons 
vecteurs réciproques est la suivante : Lorsque deux cercles se coupent, on peut 
toujours les transformer en deux droites. 



32/i GÉOMÉTRIE PLANE. 

leurs réciproques; d'où il suit que le problème proposé a deux solutions, 
et que l'axe radical des deux cycles qui satisfont à la question est l'axe de 
similitude des cycles donnés. 

Le problème de mener un cercle tangent à trois cercles donnés se ra- 
mène immédiatement au précédent. On peut, en effet, donner à un des 
cercles un sens arbitraire, de façon à le transformer en un cycle; on trans- 
formera également les deux autres cercles en cycles en fixant leur direc- 
tion, ce qui pourra se faire de quatre façons différentes. A chaque groupe 
de cycles correspondent deux solutions ; le problème proposé aura donc 
en tout huit solutions. 

415. Un point décrivant dans un sens déterminé une semi-droite ou un 
cycle, si l'on emploie la transformation par rayons vecteurs réciproques, 
on voit que le point transformé décrit une autre semi-droite ou un autre 
cycle (lequel peut se réduire à une semi-droite quand le pôle de trans- 
formation est sur le cycle considéré). 

On peut souvent, avec avantage, employer simultanément la transfor- 
mation par rayons vecteurs réciproques et la transformation par semi- 
droites réciproques. Ainsi, en général, étant donnés cinq cycles, on peut, 
par deux transformations successives^ les transformer en deux semi' 
droites et en trois points. En effet, si deux des cycles se coupent, par une 
première transformation par rayons vecteurs réciproques, on pourra les 
transformer en deux semi-droites. Les trois autres cycles ayant pour 
transformées K, K' et K', si l'axe de similitude de ces cycles ne les ren- 
contre pas, on pourra, par une transformation par semi-droites réci- 
proques, les transformer en trois points, tandis que les semi-droites se 
transformeront en semi-droites. 

La méthode de transformations par semi -droite s réciproques est due 
à M. Laguerre (*). 



(') Les pages qui précèdent, et que ce profond géomètre a bien voulu 
rédiger spécialement pour notre Traité, ne renferment que les principes de 
cette théorie si ingénieuse dont le lecteur pourra constater la fécondité en 
consultant les Comptes rendus de V Académie des Sciences (années 1881 et 
188a}. 



LIVRE IV. — LES AIRES. 325 

LIVRE IV. 

LES AIRES. 



I 



§ I. — MESURE DES AIRES DES POLYGONES. 
DÉFINITIONS. 

^16. On appelle fl/rel'élendue d'une portion limitée de surface. 

Quand deux figures peuvent coïncider, elles sont égales. 
Quand deux figures non superposables ont des aires égales, 
on dit qu'elles sont équivalentes» 

Un côté quelconque d'un triangle étant pris pour base, la 
hauteur du triangle est la perpendiculaire abaissée du som- 
met opposé sur la base. 

Un côté quelconque d'un parallélogramme étant pris pour 
hase, la hauteur du parallélogramme est la distance constante 
(69) qui existe entre sa base et le côté opposé. 

D'après cela, les deux côtés adjacents d'un rectangle consti- 
tuent indifféremment sa hase et sa hauteur, et reçoivent le 
^om de dimensions de la figure. 

Les hases d'un trapèze sont ses deux côtés parallèles, et sa 
hauteur esX la distance constante de ces deux côtés. 

THÉORÈME. 

417. 1° Si deux rectangles de même hase ont des hauteurs 
égales, ces deux rectangles sont égaux, 

2° Si trois rectangles de même hase sont tels, que la hauteur 
du premier soit égale à la somme des hauteurs des deux autres, 
le premier rectangle est égal à la somme des deux autres. 

En effet : 

1° Soient (/fg-. 25o) les deux rectangles ABCD, A'B'C'D', 
dont les bases AB et A' B' sont égales ainsi que les hauteurs AD 
et A'D'. Ces deux rectangles sont évidemment superposables. 



326 Gf:OMÉTHIE PLANE. 

2° Soient {fig. iSo) les trois rectangles ABGH, A'B'CD', 
E'F'G'H', dont les bases AB, A'B', E'F', sont égales, et dont 
les hauteurs AH, A'D', E'H', satisfont à la condition 

AH=:A'D' + E'H'; 

le rectangle AGBH est égal à la somme des deux autres; car, 
si l'on prend sur AH une longueur AD égale à A'D', et qu'on 

Fig. 25o. 

B . ^G 

r/ 

H' G- 



mène la parallèle DC à AB, DH sera égale à E'H', en vertu de 
l'hypothèse. Par suite, des deux rectangles ABCD, DCGH, qui 
composent le rectangle ABGH, le premier sera égal au rec- 
tangle A'B'C'D', et le second au rectangle E'F'G'H' (i°). 

Corollaires. 

il8. Le rapport de deux rectangles de même base est égal 
au rapport de leurs hauteurs; en d'autres termes, l'aire d'un 
rectangle de base constante est proportionnelle à sa hauteur. 

Car le théorème précédent prouve qu'un rectangle de base 
constante et sa hauteur satisfont aux conditions nécessaires et 
suffisantes (Note I) pour qu'il y ail proportionnalité entre ces 
grandeurs. 

Comme on peut échanger la base et la hauteur d'un rec- 
tangle (416), on peut dire aussi que le rapport de deux rec- 
tangles de même hauteur est égal au rapport de leurs bases. 

En rapprochant les deux derniers énoncés, on peut dire 
que l'aire d'un rectangle est à la fois proportionnelle à sa 
base et à sa hauteur. 

Donc (Note I), /e rapport des aires de deux rectangles quel- 
conques est égal au produit des rapports de leurs bases et de 
leurs hauteurs; en d'autres termes, deux rectangles quel- 
conques sont entre eux comme les produits respectifs de leur 
base par leur hauteur. 



LIVRE IV. — LES AIRES. 827 

THÉORÈME. 
419. L'aire d'un rectangle a pour mesure le produit du 
nombre qui mesure sa base par le nombre qui mesure sa hau- 
teur, lorsque l'on prend pour unité d'aire le carré construit 
sur Vanité de longueur. 

En effet, soient (fg, 25o) ABGH le rectangle à mesurer, et 
A.'B'C'D' le carré dont le côté A'B' = A'D' représente Tunilé 
de longueur. On aura (418) 

ARGH AB AH 



A'B CD' A'B' A'B' 

Or, le premier membre de cette relation est égal au nombre 
qui mesure l'aire ABGH (Nolel), et les rapports qui composent 
le second membre sont respectivement égaux aux nombres 
qui mesurent la base et la hauteur du rectangle proposé. Donc, 
dans le système d'unités adopté, le nombre qui mesure l'aire 
du rectangle est égal au produit des nombres qui mesurent 
sa base et sa hauteur. Ainsi, ea désignant ces trois nombres 
par S, B, H, on a la formule 

S=:B.H. 

Comme ce théorème est d'un usage très-fréquent, on préfère 
l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte, en 
disant simplement : L'aire du rectangle est égale au produit 
de sa base par sa hauteur. 

SCOLIE. 

420. L'aire d'un rectangle est encore égale au produit de sa 
base par sa hauteur, lorsqu'on prend pour unité d'aire le rec- 
tangle ayant pour base la longueur prise pour unité de base, 
et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur. 

421. L'aire d'un carré est égale au carré de son côté; de là, 
le nom de carré donné à la seconde puissance d'un nombre. 

422. Exemples : 

1° Quelle est la surface d'un rectangle dont la base est égale 
à 2°», 34, et la hauteur à 3'", 19? 



328 GÉOMÉTRIE PLANE. 

On a pour l'aire demandée : 

S = 2,34x3,i9=7°'i,4646, 

ou 7 mètres carrés, 4^ décimètres carrés, ^6 centimètres carrés. 

1° Il a fallu i5 rouleaux de papier, de jo mètres de longueur 
chacun sur o^ ,6o de largeur, pour tapisser une paroi rectangu- 
laire de i8'" ,25 de largeur; quelle est la hauteur de cette paroi P 

La surface du rectangle considéré est 

S = lo X o,6o X i5 ^ 9o°'i. 
Sa base étant i8"','25, on aura pour sa hauteur 

H=i;^ = 4",93, 
à moins de i centimètre. 

THÉORÈME. 

423. L'aire d* un parallélogramme a pour mesure le produit 
de sa base par sa hauteur, 

Fig. 201. 

F D E C 



Soit {Jig. 25i) le parallélogramme ABCD. On obtient le 
rectangle de même base et de même hauteur en menant des 
extrémités de la base AB sur le côté opposé les perpendicu- 
laires AF et BE. Pour démontrer le théorèm.e énoncé, il suffit 
alors (419) de prouver l'équivalence du parallélogramme ABCD 
et du rectangle ABEF. Le trapèze ABED est une partie com- 
mune à ces deux figures; il reste donc à comparer les parties 
non communes BEC, AFD. Or ces parties non communes 
sont des triangles rectangles égaux, comme ayant l'hypoténuse 
égale et un côté de l'angle droit égal, savoir : BC = AD comme 
côtés opposés d'un parallélogramme, et BE = AF pour la môme 
raison. 



LIVRE IV. — LES AIRES. Ssg 

Corollaires. 

424. En désignant par S, B, H les trois nombres qui me- 
surent respectivement l'aire d'un parallélogramme, sa base el 
sa hauteur, on a la formule 

S=:B.H. 

Donc •- 

Deux parallélogrammes de même base et de même hau- 
teur sont équivalents; deux parallélogrammes sont entre eux 
comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur; 
deux parallélogrammes de même base sont entre eux comme 
leurs hauteurs; deux parallélogrammes de même hauteur sont 
entre eux comme leurs bases. 

THÉORÈME. 

425. L'aire d'un triangle a pour mesure la moitié du pro» 
duit de sa base par sa hauteur. 




I 



Il suffit, pour démontrer ce théorème, de prouver que tout 
triangle est la moitié du parallélogramme de même base el de 
même hauteur. 

Soit le triangle ABC {fig. i52). On obtient un parallélo- 
gramme de même base BC el de même hauteur AE, en me- 
nant, par les sommets A et C du triangle, des parallèles AD 
et CD aux côtés opposés. Le triangle ABC est la moitié de ce 
parallélogramme ABCD, car tout parallélogramme est partagé 
par une de ses diagonales en deux triangles égaux. Donc, l'aire 
du parallélogramme ABCD étant égale au produit de sa baseBC 
par sa hauteur AE (423), l'aire du triangle ABC sera égale à la 
moitié du produit de sa base BC par sa hauteur AE. 

Corollaires. 
426. En désignant par S, B, II, les trois nombres qui me- 
surent respectivement Taire du triangle, sa base et sa hauteur, 



33o GÉOMÉTRIE PLAISE. 

on a la formule 

2 2 2 

Donc : 

Deux triangles de même base et de même hauteur sont 
équivalents; deux triangles sont entre eux comme les produits 
respectifs de leur base par leur hauteur; deux triangles de 
même base sont entre eux comme leurs hauteurs; deux trian- 
gles de même hauteur sont entre eux comme leurs bases. 

427. Quand le triangle est équilaléral, son aire s'exprime 
en fonction de son côté «. 

La hauteur du triangle tombant alors au milieu de sa base, 
on a en efïei 







et la formule 






2 


devient 






S=«'/^ 



4 

Exemple. — Quelle est la surface du triangle équilaiéral-de 
mètre de côté? 



On a 



4 4 



à I centimètre carre près, 
428. Considérons un triangle ABC et appelons 

rt, è, r, les côtés respectivement opposés aux sommets A, B, G; 
p, le demi-paramètre ; 
S, l'aire; 

h^ la hauteur relative au côté a\ 
R, le rayon du cercle circonscrit; 
r, le rayon du cercle inscrit; 

/, r\ /", les rayons des cercles ex-inscrits qui sont respectivemenl si 
tués dans les angles A, B, G. 



LIVRE IV. — LES AIRES. 3?^ 

1° La proposition du n"* 239 donne 

bc = iVih^ d'où abc — 2J{ah = 4R.S, 

5t, par suite, 

_ abc 

', (0 4R' 

Ainsi , l'aire d'un triangle est égale au produit des trois côtés divisé 
par quatre fois le rayon du cercle circonscrit. 

1° En joignant aux trois sommets A, B, C, le centre du cercle inscrit, 
on voit [Jig. 253 ) que 

ABC = 0BC-+-0CAH"0AB. 

Et , comme les triangles indiqués dans le second membre ont respecti- 

Fig. 253. 




vement pour bases «, ^, c, et pour hauteur commune le rayon r du cercle 
inscrit, on a 

ar br cr a -h b -\- c 

S= ! 1 = • /• 

2 2 2 2 

ou 

(2) S = pr. 

3° En joignant aux trois sommets le centre 0' du cercle ex-inscrii 
situé dans l'angle A, on voit que 

ABC = O'C A -f O'AB — O'BC 

ou 

^ br' cr' ar' b -h c — a , ip — ia , 
S= 1 = r'= — ' r'. 



c'est-à-dire 




(3) 


^^[p-a]r\ 


On trouverait de môme 




(4) 


^ = [p-h)r\ 


(5) 


^=[p-c]r"'. 



332 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Les formules (2), (3), (4), (5), donnent de nouvelles expressions de 
l'aire d'un triangle. 

4** Les formules (i), (2), (3), (4), (5), permettraient inversement de 
calculer R, r, r\ r", /•'", en fonction des trois côtés, si l'on connaissait 
l'expression de l'aire S en fonction de ces côtés. 

Or, cette expression résulte immédiatement du calcul fait au n** 229. 
On a trouvé, en effet , 



h = - \/p[p-a){p - b] [p — cj 



d'où, en remarquant que S = -• ^, 



(6) ^=VP{P'-^){P-Ô){p-C). 

On peut d'ailleurs établir cette formule géométriquement de la ma- 
nière suivante (/%•. 253). 
En multipliant les relations (2) et (3) membre à membre, on obtient 

S^=^ p(p — a)r,r'. 

Les bissectrices OC et O'C des deux angles adjacents et supplémen- 
taires EGA, BCQ, étant rectangulaires, les triangles OPC, O'QC, sont 
semblables comme ayant les côtés perpendiculaires, et l'on a 

1 = 11 ou OP.O'Q = PC.CQ. 

Mais OP et O'Q sont respectivement égaux à r età r', et, d'après îo 

n° 161, les longueurs PC et GQ sont respectivement égales k p — b et 

à p — c. On a donc 

rr'=[p-b)[p-c), 

et, par suite, la relation qui représente le produit des équations (2) et (3) 

devient 

^-^ = pi^p^a)[p-b][p-c). 

S" Enfin, en multipliant membre à membre les relations (a), (3), (4) 
et (5), on obtient 

^' = p[p-a)(p^b){p-c),r.r',r\r'\ 

d'où résulte, eu égard à la formule (6), l'expression plus curieuse qu'utile 



(7) S = v//*.r'.r''.r"'. 

Application numérique. — Calculer Paire S et les rayons R, r, r', r% 

r'", des cercles circonscrit, inscrit et ex-inscrits, relatifs au triangle qui a 

pour côtés 

a = 3", b = 4"». ■= 5™. 



I 



LIVRE ÏV. — LES AIRES. 335 

On a d'abord 

^p — a -h b -h c = Z -h ^ -i- 5 = 17., 

d'où 

p — &, p — a — 'i, p — b = ij p — c — i. 

Les formules (6), (i), (2), (3), (4), (5), donnent ensuite successi- 
vement 



3.4.5 



S = v/6.3.2. 1 = 6"'^ R = -j^ = 2™, 5; 

r-^-i, r-^-i, r_^_d, r_^_b. 

Le triangle considéré étant rectangle, puisque c^— a}-\- b^, il est facile 
de trouver directement les valeurs numériques que nous venons de dé- 
duire des formules générales. 

429. Pour évaluer l'aire d'un polygone, il suffit de décom- 
poser ce polygone en triangles, de calculer les aires de ces 
triangles et de faire la somme des nombres ainsi obtenus. 

Pour opérer cette décomposition, on peut choisir un point 
quelconque dans le plan du polygone et le joindre à tous ses 
sommets. Les bases des différents triangles formés seront les 
côtés du polygone, leurs hauteurs seront les perpendiculaires 
abaissées du point choisi sur ces côtés. L*aire du polygone 
sera la somme arithmétique ou algébrique des aires des trian- 
gles obtenus, suivant que leur sommet commun sera intérieur 
ou extérieur au polygone. 

Souvent, on fait la décomposition en prenant pour centre 
l'un des sommets du polygone, c'est-à-dire en menant toutes 
les diagonales qui partent d'un même sommet. 

430. Si l'on peut trouver dans l'intérieur du polygone un 
point à égale distance de tous ses côtés, c'est-à-dire si le po- 
lygone est circonscriptible, les triangles qui le composent ont 
pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit, et son aire 
a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le 
rayon du cercle inscrit. 

THÉORÈME. 

431. L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de la 
demi-somme de ses bases par sa hauteur. 



334 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Soit le trapèze ABCD [fig. 254). En menant la diagonale BC, 
on le partage en deux triangles ABC, BCD, qui ont pour hau- 

Fig. 254. 



teur commune la hauteur EF du trapèze, et pour bases res- 
pectives les bases même du trapèze. L'aire du premier est 

égale à EF, celle du second à EF. En ajoutant ces 

2 2 

deux expressions, on trouve, pour l'aire du trapèze, 
^« + ^".EF. 

2 
gcOLlES. 

432. En désignant par S, B, 6, H, les nombres qui mesurent 
respectivement l'aire d'un trapèze, ses deux bases et sa hau- 
teur, on a la formule 

2 

433. Menons par le point G [fig. 254), niilieu du côté AC, 
une parallèle GH aux deux bases du trapèze. Cette parallèle 
coupera le côté BD et la diagonale BG en leurs milieux II 
et L (182). On aura donc 

^_ AB ,„ CI) , . ,. ^„ AB+CD 

GL = — î LHr= — > c est-à-dire GH= . 

22 2 

La droite qui joint les milieux des côtés non parallèles d'un 
trapèze est donc égale à la demi-somme de ses bases, et l'on 
peut dire par suite que l'aire d'un trapèze est égale au pro- 
duit de sa hauteur par la droite qui joint les milieux de ses 
côtés non parallèles. 

Exemple. — L'une des hases d'un trapèze égale 10 mètres ^ 
sa hauteur est de 4 mètres, sa surface de 32 mètres carrés. On 



LIVRE IV. — LES AIRES. 335 

demande de calculer la longueur de la parallèle aux deux 
baseSy menée à i mètre de distance de la base donnée. 

En divisant la surface du trapèze par sa hauteur, on ob- 
tient 8 mètres pour la longueur de la droite qui joint les mi- 
lieux de ses côtés non parallèles. Si l'on remarque maintenant 
que cette droite divise le trapèze proposé en deux autres tra- 
pèzes de hauteur égale à 2 mètres, on voit que, dans l'un de 
ces trapèzes, la droite dont on cherche la longueur est aussi 
celle qui joint les milieux des côtés non parallèles. Elle est 



donc égale à 



8' 



? ou a 9 mètres. 



434. Nous avons dit au n°429 que, pour évaluer l'aire d'un 
polygone, on décomposait ce polygone en triangles. Plus gé- 
néralement, il suffit de le décomposer en parties que, l'on 
sache mesurer, et de faire ensuite la somme des aires par- 
tielles. Voici un procédé de décomposition très-usité, princi- 
palement sur le terrain. 

Fis. 255. 




On mène la plus grande diagonale AF {Jig. 255) du poly- 
gone proposé; puis, à l'aide des perpendiculaires BN, CP, 
DQ, ER, HO, GQ, abaissées des sommets extérieurs sur cette 
diagonale, on décompose le polygone en triangles et en tra- 
pèzes rectangles. En mesurant avec soin ces diverses perpen- 
diculaires et les distances mutuelles de leurs pierts sur AF, 
on a tous les éléments nécessaires pour calculer les aires par- 
tielles dont le polygone considéré est la somme. 



§ïî. 



COMPARAISON DES AIRES. 



THÉORÈME. 
435. Le rapport des aires de deux polygones semhiables est 
égal au carré de leur rapport de similitude, ou deux polygones 



336 GÉOMÉTRIE PLANE. 

semblables sont entre eux comme les carrés des côtés homo- 
hgues. 

Soient d'abord deux triangles semblables ABC, A' B' C 
{Jig. 256), ayant pour bases les côtés AB, A'B', et pour hau- 
teurs les droites CD, CD'. 




A U B A' D' Bf 

On aura (425) 

ABC = -AB.CD, A'B'C' = 1a'B'.C'D, 

2 2 

d'où 

ABC _ AB.CD _ J^ J^D^ 
A'B'C'~ A'B'.C'D' ~ AB' ^ CD'' 

D'ailleurs, les deux triangles rectangles ACD, A'CD', étant 

CD 

semblables (202), on peut remplacer le rapport pT^r; par son 

, , AC AB . . 

égal -^7^7 ou ^^Tg-/ 5 et écrire 

ABC _^^ _A5__ ^' 



A'B'C A'B' ^^ A'B' 



AB' 



Soient maintenant deux polygones semblables S et S'. Leur 
rapport de similitude, égal à celui de deux côtés homologues 

AB 

quelconques AB et A'B', sera représenté par -rr^r Ces deux 

polygones seront décomposables en un même nombre de 
triangles semblables el semblablement disposés (209), et le 
rapport de similitude de deux triangles homologues sera égal 
au rapport de similitude des deux polygones. Si le polygone S 
est composé des triangles T, ï„ Tj, et le polygone S', des 



LIVRE IV. — LES AIRES. 33^ 

triangles homologues T', T,, Tj, on aura donc, d'après ce qui 
précède, 



AB 



T. 

r. 



AB 



II 



AB 



^ AB' ^» A'B' ^' A'B' 

et, par suite, en appliquant un théorème connu. 



T + T.H-T. 



AB 



ou ^::=: 



AB 



AB' ^ A'B' 

SCOLIE. 

436. De la relation démontrée, on déduit réciproquement 

AB 
AB'" 

Donc, lorsqu'on veut amplifier ou réduire un polygone dans 
un rapport donné, Véchelle à adopter pour amplifier ou ré- 
duire les côtés de ce polygone est égale à la racine carrée du 
rapport donné. Par exemple, si l'aire du nouveau polygone 
doit être la centième partie du polygone donné, il faudra faire 
ses côtés dix fois plus petits que les côtés homologues du po- 
lygone donné. 

THÉORÈME. 

437. Deux triangles qui ont un angle égal ou supplémentaire sont 
entre eux comme les produits des côtés qui comprennent cet angle. 




Soient deux triangles ayant un angle égal. On pourra les placer l'un 
par rapport à l'autre comme le sont les triangles ADE, ABC [Jig. 257), 
c'est-à-dire les disposer de telle sorte qu'ils aient un angle commun. 

Menons alors la droite BE, et comparons successivement le triangle ABE 
aux deux triangles donnés. Les deux triangles ABC et ABE ont même 

R. et DE C. — Tr. de Géom. (1" l'arlic). 22 



338 GÉOMÉTRIE PLANE. 

hauteur, puisque leurs bases AC, AE, opposées au sommet commun B, 
sont en ligne droite; on aura donc (426) 

ABC _ AC 
^^^ ABE ~ AE' 

De même, les deux triangles ABE et ADE ont même hauteur, puisque 
leurs bases AB et AD, opposées au sommet commun E, sont en ligne 
droite; on aura donc également 

, , ABE AB 

^^^^ ÂDÊ=ÂD- 

En multipliant membre à membre les égalités (i) et (2) et en suppri- 
mant le facteur commun ABE, il viendra 

ABC AC.AB 



ADE AE.AD 

La démonstration subsiste pour deux triangles ABC, AD'E, qui ont un 
angle supplémentaire; il suffit de remplacer partout la lettre D par la 
lettre D'. 

THÉORÈME. 

438. Le carré construit sur V hypoténuse d'un triangle rec- 
tangle est équivalent à la somme des carrés construits sur les 
côtés de l'angle droit (fi g. 258). 




Soit le trian^'le ABC rectangle en A; soient les carrés ABDE, 
ACFG, BCHK, construits sur ses trois côtés. L'angle en A étant 
droit, le côté AE du carré ABDE sera le prolongement du côté 
CA du triangle, et le côté AG du carré ACFG sera le prolon- 
gement du côté BA. 




LIVnE IV. — LES AIRES. SSg 

Ceci posé, abaissons sur l'hypoténuse BG la perpendicu- 
laire AL, et proiongeons-la jusqu'en I où elle coupe le côté KH; 
menons les droites AK et DG. Le triangle ABK a mênîe base BK 
que le rectangle BKIL, et il a aussi même hauteur, puisque 
son sommet A se trouve sur la droite IL : le triangle ABK 
équivaut donc (425) à la moitié du rectangle BKIL. De même, 
le triangle BCD équivaut à la moitié du carré ABDE, car il a 
même base BD et même hauteur, puisque son sommet G se 
trouve sur la droite EA. D'ailleurs, les deux triangles ABK 
et BDC sont égaux comme ayant un angle égal compris entre 
deux côtés égaux chacun à chacun, savoir : l'angle ABK égal 
à l'angle CBD, comme formés tous deux d'un angle droit et de 
l'angle ABG du triangle donné; le côté BK égal au côté BG 
comme côtés d'un même carré; le côté AB égal au côté BD 
pour la même raison. De l'égalité des deux triangles ABK 
et BDG, on conclut l'équivalence du rectangle BKIL et du 
carré ABDE. 

On démontrerait d'une manière analogue, en menant les 
droites AH et BF, l'équivalence du rectangle 'CHIL et du 
carré ACFG. 

Le carré BGHK, somme des deux rectangles BKIL et CHIL, 
est donc équivalent à la somme des deux carrés ABDE et 
ACFG. 

Corollaires. 
4-39. Deux rectangles de même hauteur étant entre eux 
comme leurs bases, on a 

BKIL BL CHIL CL 

— 777T et -ÎTTTTTTF = ï^ ; 



BGHK "" BG BGHK BG 

d'où, en remplaçant les rectangles par les carrés équivalents, 
ABDE ACFG BCHK 



BL CL BC 

Les canes construits sur les côtés de l'angle droit et sur 
l'hypoténuse d'un triangle rectangle sont donc respective- 
ment proportionnels aux projections de ces côtés sur l'Iirpo- 
ténuse et à l' hypoténuse elle-même. 



340 GÉOMÉTRIE PLANE. 

440. Si Ton construit sur les côtés de l'angle droit et sur 
l'hypoténuse d'un triangle rectangle ABC trois polygones sem- 
blables P, Q, R, on aura (435) 



AB 



AC 



d'où 



BC 



AB 



AC' 



BC 



c'est-à-dire (224) 

SCOLIE, 

441. On peut donner du théorème qui précède (438) une 
autre démonstration qui montre comment on peut décom- 
poser effectivement le carré construit sur l'hypoténuse en par- 
lies capables de recouvrir les carrés construits sur les côtés. 

Soit {Jîf^. 259) le triangle ABC rectangle en A. Sur l'hypoté- 
nuse BC, construisons le carré BCHK. Des sommets H et K, 



ig. 259. 




abaissons sur le côté AB et sur son prolongement les perpen- 
diculaires HG et Kl; des sommets C et K, menons à ce même 
côté, jusqu'à la rencontre de HG, les parallèles CF et KL. 

Les quatre triangles rectangles ABC, CFH, HLK, KIB, sont 
égaux, comme ayant l'hypoténuse égale et un angle aigu égal. 
GIKL et ACFG sont donc les carrés construits sur les côtés AB 
et AC du triangle donné. La figure montre alors immédiate- 
ment que, si l'on enlève les deux triangles HCF, HLK, qui, 
avec le pentagone irrégulier CFLKB, constituent le carré con- 
struit sur l'hypoténuse, pour les placer en CAB et BKI, on 
forme, avec les trois mêmes parties disposées de cette nou- 
velle façon, la figure ACFLKI, qui est précisément la somme 
des deux carrés construits sur les deux côtés de l'angle droit. 



LIVRE IV. — LES AIRES. 34l 

kk^. Enfin, on peut encore déduire le mênne théorème 
de celui du n° 224. Car, puisque l'aire du carré construit sur 
une droite a pour mesure le carré du nombre abstrait qui 
mesure la longueur de celle droite, on voit que le théorème 
du n° 224 exprime que la mesure du carré construit sur l'hy- 
poténuse est égale à la somme des mesures des carrés con- 
struits sur les côtés de l'angle droit, et, par suite, que le 
premier carré équivaut à la somme des deux autres. Inverse- 
ment, on passerait du point de vue concret au point de vue 
abstrait, c'est-à-dire du n° 438 au n" 224, en remplaçant les 
aires des carrés par leurs mesures respectives. 

La même remarque s'applique aux diverses relations numé- 
riques que nous avons démontrées dans le § IV du Livre III, 
entre les divers éléments d'un triangle rapportés à une unité 
commune. De ces relations, résultent immédiatement autant 
de théorèmes sur les aires, et l'on pourrait inversement don- 
ner des démonstrations directes de ces derniers théorèmes et 
en déduire ensuite les relations numériques correspondantes. 

§ III. — AIRES DU POLYGONE RÉGULIER ET DU CERCLE. 

DÉFINITIONS. 

443. Un secteur circulaire est la portion de cercle comprise 
entre un arc ACDB et les rayons OA, OB, menés aux extré- 
mités de cet arc {Jig. 260). 

Fig. 260, 




\]n secteur polygonal régulier Qs\ là portion de plan com- 
prise entre une ligne brisée régulière ACDB et les rayons OA, 
OB, menés du centre de cette ligne (268) à ses extrémités. 
En divisant en un nombre quelconque de parties égales l'arc 



34^5 GÉOMÉTRIE PLANE. 

AB du secteur circulaire OAB et joignant les points de division, 
on obtient un secteur polygonal régulier OACDB inscrit dans 
le secteur circulaire. 

THÉORÈME. 
444. L'aire d'un polygone régulier a pour mesure le pro- 
duit de son périmètre par la moitié de Vapothème {Jig. 261). 




En effet, en joignanlle centre du polygone régulier ABCDEF 
à tous ses sommets, on décompose ce polygone en triangles 
OAB, OBC,..., OFA, qui ont respectivement pour bases les 
côtés AB, BC,..., FA, et pour hauteur commune l'apothème OG. 
La somme des aires de ces triangles, c'est-à-dire l'aire du po- 
lygone, a donc pour mesure le produit de la somme des côtés 
AB, BC,. . ., FA, par la moitié de Tapothème OG, c'est-à-dire 
le produit du périmètre par la moitié de l'apothème. 

En désignant par S, /?, a, l'aire, le périmètre et l'apothème 
du polygone proposé, on a donc la formule 

Corollaire. 

445. Le rapport des aires de deux polygones réguliers d'un 
même nombre de côtés est égal au rapport des carrés de leurs 
apothèmes ou de leurs rayons. 

En effet, soient p, a, r, le périmètre, l'apothème et le rayon 
du premier polygone, et />', a\ r', le périmètre, l'apothème et 
le rayon du second. En vertu du théorème précédent, le rap- 
port des aires est égal à 

M ou a L. . 
^p'a' p a' 



LIVRE IV. — LES AIRES. 3/3 

D'ailleurs, on a (269) 



p a 



p' a' r' 
Le rapport des aires est donc égal à 

^. ou a -. 

Celle proposition résulle encore de ce que deux polygones 
réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables (269), 
et de ce que les aires de deux polygones semblables sont 
entre elles comme les carrés de leurs droites homologues 
(435,211). 

SCOLIE. 

H6. Par un raisonnement analogue à celui du n'' hkh-, on 
prouverait que Vaire d'un secteur polygonal régulier OkCD^ 
ifig' 260 ) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne 
brisée régulière ACDB par la moitié de l'apothème 01. 

447. Soit OAB un secteur circulaire {Js^' 260). En partageant l'arc 
AB en un nombre quelconque n de parties égales et menant des tan- 
gentes par les milieux des divisions ainsi obtenues, on forme deux sec- 
teurs polygonaux réguliers OACDB, OA'C'D'B', semblables, l'un inscrit 
et l'autre circonscrit au secteur circulaire OAB. Si l'on désigne par « et/? 
l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière ACDB, et par a' 
et p' l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière A'C'D'B', le 

rapport des aires des deux secteurs polygonaux sera —,'—,' D'ailleurs, 

I jo p' a! 

il résulte du n^âOl que, lorsqu'on fait croître n indéfiniment suivant une 
loi quelconque, les rapports -^5 —,-, ont pour limite l'unité. Donc, il en est 

de même du rapport -^7—; 5 et par suite, à fortiori^ du rapport du secteur 

circulaire à chacun des deux secteurs polygonaux qui le comprennent. 
Donc : 

Vaire d'un secteur circulaire est la limite commune des aires des sec- 
leurs polygonaux réguliers semblables inscrit et circonscrit, lorsqulon fait 
croître indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite. 

Et, de môme, Vaire dhin cercle est la limite commune des aires des poly- 
gones réguliers semblables inscrit et circonscrit, dont on fait croître indé- 
finiment le nombre des côtés. 



344 GÉOMÉTRIE PLANE. 

Il importe de remarquer que ces deux énoncés sont de véritables théo- 
rèmes y tandis que les énoncés analogues (291 ) sur la longueur de l'arc et 
de la circonférence ne sont que des définitions. 

THÉORÈME. 

448. Vaire d'un cercle a pour mesure le produit de sa cir- 
conférence par la moitié du rayon. 

L'aire du cercle est la limite des aires des polygones régu- 
liers inscrits dont le nombre des côtés croît indéfiniment. 
D'après cela, soient S, C, B, l'aire, la circonférence, le rayon 
du cercle considéré, et Sy /?, a, l'aire, le périmètre et l'apo- 
thème d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle. On a (444) 

I 

Lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés du 
polygone régulier inscrit, s tend vers S, p vers C et « vers R. 
On a donc, à la limite, 

(i) S = C.-R. 

2 

Corollaires. 

449. En remplaçant dans la relation précédente la circonfé- 
rence G par sa valeur 

(2) C = 27rR, 
on obtient la nouvelle formule 

(3) S=:7rR% 
qui montre : 

I** Que, pour calculer Vaire d'un cercle de rayon donné, il 
faut multiplier par t: le carré du rayon; 

2° Que, pour calculer le rayon d'un cercle d'aire donnée, il 

faut multiplier par- ou diviser par tï le nombre qui exprime 

cette aire, et extraire la racine carrée du résultat. 



LIVRE iV. — LES AIRES. 345 

450. Si, au lieu d'éliminer C entre les relations (i) et (2), 
on éliniine R, on trouve la formule 



(4) 



J5 — 7 » 

4 TT 



i qui permet de calculer directement la surface, connaissant la 

circonférence, ou la circonférence, connaissantlasurface. Celte 
formule est beaucoup moins usuelle que les précédentes. 

^R 451. Exemples * 

^H 1" Quelle est la surface d'un bassin circulaire dont le rayon 
^K est 1^,1^1 

H On a 

et, en prenant pour 7: la valeur 3,142 approchée à moins d'un 
millième, on trouve S = i6*"*ï, 63 à moins d'un décimètre carré. 

2° Quel est le rayon du cercle dont la surface est de 20 mè- 
tres carrés? 



La formule 
donne 



7:R*:= 20 



R=: 1/20.-= ^20.0, 3l83l = 2^^,52^ 

à moins d'un centimètre. 

3<* Quelle est la surface d'un cercle dont la circonférence 
est égale à ro mètres? 
On a 

^K à moins d'un décimètre carré. 

^K 452. Le rapport des aires de deux cercles est éççal au rap- 
^m port des carrés de leurs rayons. 

Car, en désignant par S et R Taire et le rayon du premier 



I 



346 GÉOMÉTRIE PLÀNfi. 

cercle, et par S' et R' Taire et le rayon du second, on a 

S = TrR% S' = nW\ d'où ^ = ^,' 

THÉORÈME. 

453. L'aire d'un secteur circulaire a pour mesure le produit 
de son arc par la moitié du rayon. 

L'aire du secteur circulaire est la limite des aires des sec- 
teurs polygonaux réguliers inscrits (447) dont on fait croître 
indéfiniment le nombre des côtés. D'après cela, soient S l'aire 
du secteur considéré, / la longueur de l'arc qui le termine, et 
R le rayon de cet arc; soient de même s l'aire d'un secteur 
polygonal régulier inscrit, p le périmètre de la ligne brisée 
régulière qui le termine, et a l'apothème de cette ligne brisée. 
On a (446) 

Mais, lorsqu'on fait croître indéfiniment le nombre des côtés 
de la ligne brisée régulière inscrite, 5 tend vers S, p vers /, et 
a vers R. On a donc, à la limite, 

(5) S = /.^R. 

Corollaires. 

454. En comparant les formules (i) et (5), on voit que le 
secteur est au cercle entier comme son arc est à la circonfé- 
rence. 

Si n est le nombre de degrés de l'arc, le rapport de cet arc 

à la circonférence sera ^^•> et par suite l'aire S du secteur 

s'obtiendra en multipliant par ce rapport l'aire ttR' du cercle, 
de sorte qu'on aura 

Cette formule permet de calculer l'une quelconque des 
quantités S, R, n, lorsqu'on connaît les deux autres. 



livre iv. — les aires. ô47 

455. Exemples. 

i** Quelle est l'aire du secteur de 60 degrés dans le cercle 
dont le ra.jron est de 10 mètres? 

L'arc de 60 degrés étant le sixième de la circonférence, le 
secteur correspondant est le sixième du cercle, c'est-à-dire 



100 TT 



52™^,3599, 



à moins d'un centimètre carré. 

2° L'aire d'un secteur est égale à Vaire du carré construit 
sur le rayon. Quel est le nombre de degrés de Varc qui le ter- 
mine P 



La formule 
donne 



36o 



36o« 



= ii4«35'29%6, 



3° Quel est le rayon du cercle dans lequel le secteur de 
45 degrés renferme o^"'î, i25o ? 

La formule 



45 

TTR'^TTr- := 0,125o OU 7rll'= G , I 25o . 8 == I 

obo 



donne 



R=:i/-=^o™,564. 



456. Le rapport des aires de deux secteurs semblables, c'est- 
à-dire terminés par des arcs semblables, est égal au rapport 
des carrés de leurs rayons. 

En effet, S, /, R, étant l'aire, la longueur de l'arc elle rayon 
du premier secteur, et, S', /', R', l'aire, la longueur de l'arc 
et le rayon du second secteur, on a 



348 GÉOMÉTRIE PLANE. 

or, les deux arcs / el /' étant semblables, leur rapport est égal 
à celui de leurs rayons (296) : on a donc 

S'—R"* 

THÉORÈME. 

457. L'aire d'un segment circulaire a pour mesure le pro- 
duit de la moitié du rayon par l'excès de son arc sur la moitié 
de la corde de l'arc double [fig. 262) 

Fig. 262. 



En effet, le segment AMB, c'est-à-dire la portion du cercle 
comprise entre l'arc AMB et sa corde AB, est égal à l'excès de 
l'aire du secteur OAMB sur l'aire du triangle OAB. Or, l'aire 

du secteur a pour mesure arcAB»- OA; l'aire du triangle a 

pour mesure BP •- OA, BP étant la perpendiculaire abaissée du 

point B sur le rayon OA, c'est-à-dire la moitié de la corde BB' 
de l'arc BAB' qui (102) est le double de l'arc AB. On a donc, 
en désignant par S l'aire du segment, 

S = arc AB . - OA - - BB' - OA, 
2 22 



ou 



:=^^arcAB-^BB') 



Lorsque la corde BB' est le côté de l'un des polygones ré- 
guliers que l'on sait inscrire (Liv. III, § VII), on peut calculer 
directement cette corde, par suite l'aire du segment; sinon, il 
faut recourir aux Tables trigonoméiriques. 



I 



livre iv. les aires. 349 

458. Exemple : 

Quelle est l'aire du seççment de 60 degrés dans le cercle dont 
le rayon est 2 mètres? 

L'arc AB est ici le sixième de la circonférence; il est donc 
égal à 

47r 27: 

i^a corde BB' est le côté du triangle équilatéral inscrit, égal 
à 2^; on a donc 

S=^-v/3= 0-^,362344, 

à moins d'un millimètre carré. 
Corollaire. 

459. Le rapport des aires de deux segments semblables, 
c'est-à-dire terminés par des arcs semblables, est égal au rap- 
port des carrés de leurs rayons. 

En effet, soient S et T les aires du secteur et du triangle 
dont le premier segment est la différence, et S' et T' les aires 
du secteur et du triangle dont le second segment est la diffé- 
rence; les secteurs S et S' sont semblables, ainsi que les trian- 
gles T et ï'; donc, si l'on désigne par R et R' les deux rayons, 
on aura 

1 — ^ î._^ ^ — L — ^. 

g/ — 1^,2» ï'^R'» ^" S' — ï' — R'^*' 

et, par suite, en vertu d'une proposition connue sur les rap- 
ports égaux, 

S - T _ R' 

S'— T' — R"* 

§ IV. — PROBLÈMES SUR LES AIRES. 

PROBLÈME. 
4G0. Construire un triangle équivalent à un polygone donné 
(fig. 263, 264). 

Soii, par exemple, le pentagone convexe ABCDE {fig. 263), 



35o 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



En menant la diagonale EC, on détache de ce pentagone le 
triangle ECD. Si par le sommet D on mène alors une paral- 
lèle DF à la diagonale EC, tous les triangles qui auront EC 



Fig. 263. 




Firr. 204- 




pour base et leurs sommets sur DF seront équivalents au 
triangle ECD (426), et formeront avec le quadrilatère ECBA 
un polygone équivalent au pentagone proposé. Or, pour que 
le nouveau polygone ABCFE ait un sommet de moins, il suffit 
de choisir parmi tous ces triangles celui dont le sommet est 
en F, à la rencontre de la parallèle DF et du côté BC prolongé. 

La construction indiquée permettant de transformer un po- 
lygone quelconque en un polygone équivalent, mais ayant un 
côté de moins, on arrivera toujours, en la répétant, à un 
triangle équivalent au polygone proposé. 

Dans la Jîg. 263, en menant par le sommet A, jusqu'à la 
rencontre de FB prolongé, la parallèle AG à la diagonale EB, 
on passe du quadrilatère EABF au triangle équivalent FEG. 
Ce triangle est donc équivalent au pentagone primitif. 

46i. Lorsque le polygone considéré n'est pas convexe 
(fig. 264), la construction reste la même. Le pentagone con- 
cave ABCDE, augmenté du triangle EDC, équivaut au quadri- 
latère ABCE; et ce quadrilatère, diminué du triangle EFC, qui 
est équivalent au triangle EDC, donne le quadrilatère ABFE 
équivalent au pentagone proposé. 

SCOLIE. 

4G2. Le problème précédent fournit un nouveau moyen 
pour évaluer l'aire d'un polygone; on peut, en effet, transfor- 
mer le polygone considéré en un triangle équivalent, puis 
calculer l'aire de ce triangle. 



LIVRE iV. — LES AIRES- 



35 1 



Appliquons ce procédé à la recherche de l'aire du trapèze. 

Soil [jig. 265) un trapèze quelconque ABCD. Menons la dia- 
gonale JDB et la parallèle CE à cette diagonale jusqu'à la ren- 
contre de la base AB prolongée. 





Le triangle ADE sera équivalent au trapèze ABCD. Il a 
d'ailleurs même hauteur DF, et sa base AE est la somme des 
deux bases du trapèze. On retombe ainsi sur la mesure con- 
nue (431). 

PROBLÈME. 

463. Construite un carré équivalent à un polygone donné. 

Supposons d'abord qu'on veuille construire un carré équi- 
valent à un triangle donné. Soient X le côté de ce carré, 
B et H la base et la hauteur du triangle proposé. On devra 
avoir (421,425) 



X'=M = :?.H 



Le côté du carré cherché sera donc une moyenne propor- 
tionnelle à la moitié de la base du triangle et à sa hauteur. 

S'il s'agit d'un parallélogramme, d'un trapèze, d'un polygone 
régulier et, en général, d'un polygone dont l'aire soit exprimée 
par le produit de deux lignes, il suffira de chercher la moyenne 
proportionnelle à ces deux lignes. On obtiendra ainsi le côté 
du carré équivalent. 

Dans tout autre cas, on transformera le polygone donné en 
un triangle équivalent (460), et on cherchera le carré équiva- 
lent à ce triangle, comme on vient de le dire. 

PROBLÈME. 
404. Trouver deux droites proportionnelles à deux poly- 
gones donnés» 

On pourra toujours remplacer les polygones considérés par 



I 



352 GÉOMÉTRIE PLANE. 

les carrés équivalents (463). Soient a et a' les côtés de ces 
carrés, a; et/ les droites cherchées. On devra avoir 

X «» 

On peut choisir arbitrairement l'une des deux droites cher- 
chées, y par exemple, et poser y = o! . Il vient alors 



X «' 






a' 


a! ~ a'' 


ou 


X 


~^ 







X sera donc, dans cette hypothèse, une troisième proportion- 
nelle (247) aux côtés «' et a; et le rapport de cette troisième 
proportionnelle à a' sera le même que celui des polygones 
donnés. 

PROBLÈME. 

465. Construire un polygone équivalent à un polygone P 
et semblable à un polygone Q. 

Il s'agit ici de transformer un polygone donné P en un autre 
polygone X équivalent au polygone P, mais semblable à un 
second polygone donné Q. 

Soient q un côté quelconque du polygone Q, et x le côté 
homologue du polygone X. On devra avoir (435) 

^ = 31, 
X X- 

ou, puisque le polygone X doit être équivalent au polygone P, 

P x^' 

Remplaçons les polygones Q et P par les carrés équivalents a- 
et 6' (463). Il viendra 

a' q* ., , a q 
t; = — ,' d'où T = ~' 
b^ x^ b X 

Le côté X est donc une quatrième proportionnelle aux 
trois droites a, b, q (240), et il restera à construire sur ce 
côté, homologue du côté q, un polygone semblable au poly- 
gone Q (253). 



LIVUB IV. — LES AIRES. 353 

PROBLÈME. 

466. Deux figures semblables étant données , construire une 
figure semblable égale à leur somme ou à leur différence. 

S'il s'agil de deux carrés dont les côtés soient a et b{a^b), 
le côté a; du carré égal à leur somme sera l'hypoténuse du 
triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit « et 6; le 
côté jdu carré égal à leur différence sera le second côté de 
l'angle droit d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse 
et b pour premier côté de l'angle droit (438), 

S'il s'agit de deux polygones semblables A et B (A>>B), donr 
deux côtés homologues quelconques soient a et b, le côté 
homologue x du polygone semblable X==A-h B sera l'hypo- 
ténuse du triangle rectangle construit sur a et b comme côtés 
de l'angle droit; le côté homologue j du polygone semblable 
Y = A — B sera le second côté de l'angle droit du triangle 
rectangle ayant a pour hypoténuse eib pour premier côté de 
l'angle droit (440). 

Dans le cas de deux cercles ayant R et H' pour rayons, il 
suffit de remplacer dans l'alinéa précédent a ei b par II et R', 
pour trouver les rayons x et y des cercles égaux respective- 
ment à la somme ou à la différence des deux cercles donnés. 

SCOLIE. 

467. Soit à construire une droite x liée à plusieurs lon- 
gueurs données «, 6, c, d, e, par une expression de la forme 

x = s/a^^-hb^^—c'-td^—eK 



On cherchera d'abord ûc = \/a^-i-b^ à l'aide d'un triangle rec- 
tangle ayant a eib pour côtés de l'angle droit: a sera l'hypo- 
ténuse de ce triangle ; puis p = s/oc^ — c% à l'aide d'un triangle 
rectangle ayant a pour hypoténuse et c pour côté de l'angle 
droit; (3 sera le second côté de ce triangle. De même, on cher- 
chera y =: v^jS^-i- d"^ e\. X := V^y'~ ^% P^r deux autres triangles 
rectangles ayant, le premier (3 et </ pour côtés de l'angle droit, 
le second y et e pour hypoténuse et côté de l'angle droit : 
X sera le second côté de ce dernier triangle. 

R. et DE C. — Tr. ae Géom. (1" Partie). 23 



254 



GÉOMÉTHIE PLARB. 



SCOLIE. 



468. Il résulte du dernier alinéa du n" 4G6 que si, sur les 
trois côtés d'un triangle rectangle ABC [Jig, 266) comme dia- 
mètres, on décrit des demi-cercles, le demi-cercle décrit sur 

Fig. q66. 




l'hypoténuse sera équivalent à la somme des demi-cercîos 
décrits sur les côtés de l'angle droit. En enlevant de part et 
d'autre les parties communes A/7B, A^C, qui sont ombrées 
sur la figure, on voit que la somme des deux lunules AmhpK, 
AnCqA, est équivalente à Taire du triangle rectangle ABC. 
Cette proposition esî attribuée à Hippocraie. 



PROBLEME. 



469. Construire un polygone semblable à un polygone donné, 
et dont l'aire soit à celle de ce polygone dans le rapport de 
deux droites données M ^/ N (Jig. 267), 

Fiç. 267. 




Supposons d'abord que le polygone donné soit un carré, et 
soit A son côté. Si X est le côté du carré cherché, on devra 
avoir (435) 

X'M 

A-' "~ N ' 

La question est donc de construire un triangle rectangle tel, 



LIVRRE IV. — LES AIRES. 



355 



que le rapport des segmenls déterminés sur l'hypoténuse par 
la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit soit 

M 

fgal à — (439), et que le côté adjacent au segment qui cor- 
respond à N soit égal à A. 

Or, en portant sur une droite indéfinie BG = M, CD = N, en 
décrivant une demi-circonférence sur BD comme diamètre, 
et en menant à Bl) la perpendiculaire CE jusqu'à la rencontre 
de cette demi-circonférence, on obtiendra un triangle rec- 
tangle BED dans lequel les segments de l'hypoténuse présen- 
teront le rapport demandé. 11 en sera de même (213) pour 
tous les triangles rectangles semblables qu'on formera en me- 
nant entre les côtés de l'angle droit BED, prolongés ou non, 
une parallèle à l'hypoténuse BD. Parmi tous ces triangles, 
celui dont le côté, dirigé suivant ED, est égal à A, répond à la 
question. 

On portera donc sur ED la longueur EG = A; par le point G, 
on mènera à BD la parallèle GF jusqu'à la rencontre de EB, 
et FE représentera le côté du carré cherché. On a, en effet. 



EF 

eg' 



FH 
IIG 



BC 
CD 



= 7T?r ou 



EF 

A^ 



I 



470. Soit maintenant un polygone quelconque P, soient p 
l'un de ses côtés et x le côlé homologue du polygone cher- 
ché X. On devra avoir, d'après l'énoncé, 



X M 

— = — et 
P N 



>' 



d'où 



^ 

P' 



M 
N 



Le problème se trouve donc ramené à trouver le côté d'un 
carré qui soit à un carré donné dans le rapport de deux droites 
données, question que nous venons de résoudre. Quand on 

Iaura obtenu le côlé x homologue de /?, il restera à construire 
sur ce côté un polygone semblable au polygone P. 
i ______ _.__.._._ _ __ ___._..__._ 



356 GÉOMÉThfE PLANE. 

471. Dans le cas de deux cercles, en désignant par x et r 
leurs rayons, on devra avoir 

nx^ _ M ^' _ M 

Cesl encore le même problème. 

SCOLIE. 

M 

472. Si le rapport — était donné numériquement et égal, 

par exemple, à -» on choisirait une certaine longueur pour 

unité, et l'on rentrerait dans le cas précédent en prenant les 
droites BC et CD égales à cinq fois et à sept fois cette lon- 
gueur. 

473. On peut aussi, dans ce cas, opérer de la manière suivante. Soit 

M 5 

_ = -. Sur KH, côté du carré donné, comme diamètre {Jîg. 268), décri- 
vez une demi-circonférence. Divisez KH au point I dans le rapport do 
Fiff. 268. Fig. 269. 




5 à a = 7 — 5, et menez à KH la perpendiculaire IL. La droite KL sera 

le côté du carré cherché (439). 

M 7 

Si le rapport — est plus ^rand que i et égal à ^> par exemple, divisez 

le côté donné KH {J/g. 269), au point I, dans le rapport de 7 à 2 = 7 — 5. 
Décrivez sur Kl comme diamètre une demi-circonférence, et menez au 
point H à Kl la perpendiculaire HL. La droite KL sera le côté du carré 
cherché (223). 



LIVRE IV. 



LES AIRES. 



357 



APPENDICE AU LIVRE lY. 

Valeur approchée de l'aire d'une figure plane terminée 
par une courbe quelconque. 

FORMULE DE SIMPSON, 

474. Soit à évaluer approximativement l'aire comprise entre un arc df 
courbe quelconque AB, une droite fixe XY et les perpendiculaires AA', BB' 
abaissées sur cette droite par les extrémités de l'arc AB. 

Nous supposerons d'ailleurs que l'arc AB soit, dans toute son étendue, 
concave vers la droite XY, sans quoi on le décomposerait en plusieurs 
parties, et l'on évaluerait séparément l'aire correspondante à chaque partie. 

Divisons la base A'B' en un nombre pair de parties égales, en dix par 
exemple, et par les points de division C, D', E', F', G', U', 1', K', L', éle- 

FÎT. 2';o. 




-IF" 




vons des perpendiculaires à XY. Désignons respectivement par /i,j2, 
73j • • • » Jii, les perpendiculaires ou ordonnées AA', CG',DD', . . . , BB', et 
par // la distance constante de deux ordonnées consécutives. 

Soit m la somme des aires des trapèzes inscrits compris entre les 
ordonnées successives. A l'extrémité de chaque ordonnée de rang pair, 
menons la tangente en la limitant aux deux ordonnées qui comprennent 
celle que l'on considère; nous formerons ainsi une suite de trapèzes cir- 
conscrits compris entre les ordonnées successives de rang impair; repré- 
sentons par iM la somme de ces trapèzes circonscrits. 

L'aire cherchée est évidemment comprise entre m et M, et si l'on prend 
pour valeur approchée de cette aire une quantité S comprise entre w et 
M, l'erreur correspondante sera moindre que la plus grande des diiïé- 
rences M — S, S — rn. 

La méthode de Simpson consiste à prendre S = /w 



i(M 



l'erreur est donc alors moindre que -(M 



I 



358 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



Or, si l'on désigne par P la somme des ordonnées de rang pair et par I 
la somme des ordonnées de rang impair autres q^ae les extrêmes, aug- 
mentée de la demi-somme de ces ordonnées extrêmes, on a 



M = ihyt-'r ihf!,- 



ihfi 



fi-^fi 



et, par suite, 



X2-^.n 



M 



2AP, 

,rto-t-jii 



= /i(PH-I), 



p-l" 



Il en résulte, pour la valeur approchée de l'aire, S = // ( P -+- 1 
avec une erreur moindre que 2 h. — - — • 
Cette démonstration fort simple nous a été communiquée par M. Mantion. 



FORMULE DE PONCELET. 



La base A'B' doit ici encore être partagée en un nombre pnir de par- 
ties égales, dix par exemple (y%. 271). Nous désignerons les onze or- 
données correspondantes parji,;>'2, Ja, • . • Jio, Ju- Parles extrémités de 

Fig. 271. 



^ 


D 


E 


F 


M_ 


H 


^ 


^ 

' 


A. 


f^ 


N 


y^ - 









n" 


— 


— 




— — ' 




1 
























K, », 


Vs 


y* 


^, 


y. 




//, 




^s 


^3 


^10 



X A.' C D' E' F' G' H' I' K' 1/ 15' \ 

tontes les ordonnées de rang pair Jî,/4, . . ., Jio, menons des tangentes 
à la courbe AB, et terminons ces tangentes aux deux ordonnées voisines. 
Nous formerons ainsi une série de trapèzes dont la somme, évidemment 
supérieure à Paire cherchée dans le cas de la figure, sera une limite su- 
périeure du résultat demandé. 
En appelant h l'intervalle constant entredeux ordonnées consécutives, on a 



trapèze AD' = ih.y^^ 
trapèze DF'= a/'-r*» 



trapèze KB'= ih.yx^» 
En désignant par S la somme de ces trapèzes, il vient 

S = 2// ( J2 H \r4 H- . . • -»- r,o) : 



LIVRE IV. — LES AIRES, 



35( 



la parenthèse renferme toutes les ordonnées de rang pair. En désignant 
leur somme par P, on aura donc 

S = 2/;. P. 

Menons les cordes AG et BL, qui correspondent aux divisions extrêmes; 
puis, dans l'intervalle, les cordes CE, EG, GI, IL, qui correspondent cha- 
cune à deux divisions. Nous formerons une nouvelle série de trapèzes 
dont la somme sera une limite inférieure du résultat demandé. On a 



trapèze AC'= h (^^^^^ 
trapèze CE'= ih C ^'~^'^\ 

trapèze IL' = ih ( ^^''^jA , 
trapèze LB'^:/^^' ^"'"^-^^" y 
En désignant par s la somme de ces trapèzes, il vient 



ou bien, en ajoutant et en retranchant dans la parenthèse 



r2-»'r.o 



= /.(^ 



2 2 



2pY 



A étant l'aire cherchée, on a 



^ < A < S. 



S + ^ 
Mais la moyenne tombe aussi entre s et S. On peut donc, sauf une 

erreur que nous estimerons, prendre 



A = 



=„(.p.tï), 



îans cette formule, P désigne, comme nous l'avons dit, la somme de 
toutes les ordonnées de rang pair, E est la somme des deux ordonnées 
extrêmes, E' est la somme des deux ordonnées voisines des deux extrêmes. 
L'avantage de cette formule, quand le nombre des divisions est grand, 
c'est qu'il n'y entre que les ordonnées de rang pair et les deux ordonnées 



36o GÉOMÉTRIE PLANE. 

extrêmes, ce qui dispense de calculer les ordonnées intermédiaires de 
rang impair. 

Il reste à indiquer une limite supérieure de l'erreur commise en em- 
ployant la formule. Comme A tombe entre S et ou entre et s, 

l'erreur que l'on fait en substituant à A est moindre que S 

ou que ^, c est-a-oire que 

S-^ ,/E-E'\ // /E E 



/ E-E' \ _ h/E __ E;\ 
V 4 )~A^ W 



Menons sur la figure les droites AB et CL; ces deux droites coupent 
l'ordonnée du milieu GG' en deux points M et N, et l'on a 



Zi±ij[« = MG', ^^L±Iii ^ NG', 



c'est-à-dire 



5 _ î^ = MN. 

1 1 



La limite supérieure de l'erreur commise s'exprime donc géométriquement 
par le produit 

-*MN. 

2 

On peut donc, après avoir tracé la courbe, mener provisoirement les 
deux premières et les deux dernières ordonnées, ainsi que celle du milieu, 
en donnant à h une certaine valeur; puis, avant tout calcul, vérifier, en 
mesurant MN, si l'approximation demandée est bien obtenue, c'est-à-dire 
si la valeur choisie pour h est convenable. 

Remarque. — Si l'arc AB était convexe vers la droite XY dans toute 
son étendue, une marche analogue conduirait à la même formule. Si cet 
arc était en partie concave et en partie convexe, en menant une perpen- 
diculaire à XY par le point d'inflexion, on mesurerait, d'après les règles 
précédentes, les aires situées de part et d'autre de cette perpendiculaire 
et l'on en ferait la somme. 

application. — Pour le quart de cercle de rayon i, on trouve, en divi- 
sant le rayon en dix parties égales : 

.^1 = 1» r3=0'98o, J, = 0,995, 

r„=o, ^6= 0,917, ^4= 0,954, 

j, = 0,800, jg = o,8G6, 

^,= 0,600, j, = 0,714, 

J,o=o,436. 



I 



LIVRE IV. — LES AIRES. 36l 

La vraie valeur est 7 = 0""», 7854. La formule de Simpson donne 
4 
o*'',78i8, celle de Poncelet donne o'"'i,7822, 

IL — Sur la différence entre la longueur d'un arc de cercle 
et celle de sa corde. 

LEMME. 

475. Vaire dhin triangle isocèle PNQ, inscrit dans un segment circu- 
laire moindre qu^un demi-cercle, est plus petite que le cube de l'arc a 
qui limite ce segment, divisé par 16 fois le rayon R [Jig. 272). 

Car cette aire, ayant pour expression {428, 1°) 
PQ.PN.QN 



est moindre que 



a a 

a. 

2 2 _ a^ 

4K ~ Ï6R' 
THÉORÈME. 



476. Im différence entre un arc de cercle ABA' moindre qu'une demi- 
circonférence et sa corde AA' est plus petite que le cube de l'arc dii'isé 
par 24 fois le carré du rayon [fig. 272). 

Fig. 272. 




Désignons par a l'arc ABA', par c sa corde AA' et en général par c^ 



r^ 



B étant le milieu de l'arc ABA', l'aire du segment ADB a pour me- 
sure (457) 

\{fa c\ R, . 
ou -[a — c]. 



362 QÉOMfcTRIK PLANE. 

D'autre part, si l'on prend le milieu D de l'arc AB, puis les milieux E 
et E, des arcs AD et DB, et ainsi de suite, et si l'on désigne respective- 
ment par /,, ^j,. . ., les aires des triangles ADB, AED,. . ., l'aire du seg- 
ment sera la limite de la somme 

f j H- 2/, -J- ')} -fj -h . . . -h 2"-* f„ -h 

Donc, comme, d'après le lemme précédent (475), on a 

^"^ TGÎr\2"/ ' 

W, : ^ t Va' a' «\ 1 ■ • 

- [a — c) < — TTT — 4- - -h -, + . . . 

^ rtW I I \ 



on aura aussi 



ou 



c'est-à-dire 



ou enfin 



^-4 



(I) ^-^<MR^- 

Pour présenter une application de cette formule, cherchons, par exemple, 
quel doit être le rayon R d^an cercle pour que la différence entre un arc 
de 6o mètres et sa corde n^atteigne pas i millimètre. 

Il suffît, d'après la formule (i), que R satisfasse à l'inégalité 

6o^ ^ I 
24 IV^ ~ 1000' 
d'où 



«5v/^ 



- — ou R > 3ooo 



Le rayon du cercle devra donc être au moins égal à 3 kilomètres. 

Remarque.'-^ La formule (i) répond à la formule trigonométrique 
connue 

(2) J7 — sin^r < — • 

' 

En effet, si l'on suppose R = i et a = a^r, on a 



LIVRE 



LES AIRES. 



363 



I 



puisque, dans le cercle de rayon i, le sinus d'un arc est la moitié de la 
corde de Varc double; et , si l'on substitue ces valeurs dans la relation (i), 
on obtient la relation (2). 

IIÎ. — Sur les maximums et les minimums des figures planes. 

477. On attribue à l'École de Pythagore les premières recherches, par 
voie synthétique, sur les maximums et les minimums des figures. En 1782, 
Lhuilier [^De relatione mutuâ capacitatis et terminorum Jïgurarum) a 
résumé toutes les découvertes faites sur ce sujet depuis les Grecs jusqu'à 
R. Simpson; il a corrigé avec une admirable sagacité les erreurs de ses 
devanciers et accru considérablement par ses propres découvertes le do- 
maine de cette théorie. Enfin, en 1842, Steiner, dans deux Mémoires [Jour- 
nal de Crelle, t. XXIV), véritables chefs-d'œuvre de Géométrie synthé- 
tique, a fait connaître, pour la recherche des maximums des figures planes, 
cinq méthodes, dont les deux premières s'appliquent à la sphère. Nous 
exposerons ici la première de ces méthodes, qui surpassé d'ailleurs les 
autres en élégance et en généralité. 

THÉORÈME. 

478. Entre tous les triangles isopérimètres et de même base AB , le 
triangle isocèle ACB est un maximum [fig. ^73). 




En effet, soit ADB un triangle non isocèle construit sur la base AB, au- 
dessus d'elle et tel que AD-i- DB = AG-t-CB. Les triangles AC2, ADB, ayant 
une partie commune AEB, il s'agit de prouver que le triangle BED est 
moindre que le triangle AEG. Or si l'on prend sur EA et sur EC, EF = EB 
et EG = ED, les triangles FEG, BED, seront égaux, et il suffira de faire 
voir que le triangle FEG est compris dans AEG, c'est-à-dire que le point F 
tombe entre E et A, et le point G entre E et G. 

D'abord F tombe entre E et A; car l'angle p, égal à a, est supérieur 
à 7; donc EA est plus grand que EB ou EF. 

En second lieu, G tombe entre E et G; il suffit pour le prouver d'éta- 
blir l'inégalité 

FG -f- CE < FC -t- GE 



I 



364» GÉOMÉTRIE PLANE. 

OU, en ajoutant AF h- FE de part et d'autre, 

AF + FG + GE + FE < AF -+- FC -+- CE -+- EF; 

mais on a 

EG = ED, FG = BD, EF = EB; 

l'inégalité précédente ne diffère donc pas de 

AD-+-DB ou AC-HCB<AF + FC-t-CB, 

c'est-à-dire de l'inégalité 

AC<AF-i-FC, 
qui est évidente. 

479. Réciproquement, entre tous les triangles de même base et de 
même aire, le triangle isocèle G a le périmètre minimum. 

En effet , soit U un triangle non isocèle ayant la même base et la même 
aire que G, et G, un triangle isocèle ayant la même base et le même pé- 
rimètre que U ; d'après le théorème précédent. G, sera plus grand que U, 
c'est-à-dire que G ; or, de deux triangles isocèles construits sur la même 
base, celui qui a l'aire la plus grande a le périmètre le plus grand; donc 
le périmètre de G„ c'est-à-dire le périmètre de U, est plus grand que 
celui de G. 

Nous supprimerons dans ce qui suit les démonstrations des réciproques; 
ces démonstrations seraient toutes analogues à la précédente. 

Corollaire. 

480. Entre tous les triangles de même périmètre , le triangle équilatéral 
est un maximum; car le triangle maximum correspondant au périmètre 
donné doit être isocèle , quel que soit celui de ses côtés que l'on prenne 
pour base. 

Réciproquement , entre tous les triangles équii'alents , le triangle équi- 
latéral a le plus petit périmètre. 

THÉORÈME. 

481. Entre tous les triangles construits avec deux côtés, celui dans 
lequel ces deux côtés sont à angle droit est un maximum. 

En effet, si l'on prend l'un des côtés donnés pour base, la hauteur est 
moindre que l'autre côté donné, à moins que ce second côté ne soit per- 
pendiculaire au premier ; dans cette position, la hauteur est maximum 
et par suite l'aire l'est aussi. 

COROLLAIUE. 

482. Entre tous les triangles dont la somme de deux côtés est donnée, 
celui dans lequel ces deux côtés sont à la fois égaux et à angle droit est 
un maximum. 




I 



LIVRE IV. — LES AIRES. 365 

En effet, que l'on repartisse comme on voudra la somme donnée sur 
les deux côtés, le triangle maximum sera toujours celui dans lequel ces 
deux côtés seront perpendiculaires entre eux; il ne reste donc plus qu'à 
emparer les triangles rectangles dont la somme des côtés de l'angle 
iroit est constante. Considérons un de ces triangles rectangles P et sur 
son hypoténuse construisons un triangle isocèle Q dont les côtés égaux 
aient la même somme que les côtés de l'angle droit de P ; enfin, désignons 
par R le triangle isocèle dont les côtés égaux auraient la même longueur 
que ceux de Q et seraient de plus à angle droit; on aura, par ce qui pré- 
cède, P < Q et Q < R ; il en résulte donc R > P. 

THÉORÈME. 

483. Entre toutes les égares planes isopérimètres, le cercle est un 
maximum {fig, 274). 

L'aire d'une figure de périmètre donné peut évidemment devenir aussi 
petite qu'on veut; mais elle ne peut grandir indéfiniment, puisque cette 
figure reste forcément comprise dans l'intérieur du cercle décrit d'un 
point de son contour comme centre avec un rayon égal à la moitié du 
périmètre donné. Entre toutes les figures planes isopérimètres, il y a 
donc une figure maximum, ou plusieurs figures maximums de différentes 
formes et de même aire. 

Fis- 274. 




D'ailleurs, toute figure n\aximum de périmètre donné est convexe, sans 
quoi on pourrait agrandir«son aire sans changer la longueur de son con- 
tour. 

Cela posé, soit EFGH une figure maximum ayant le périmètre donné. 
A tout point A pris à volonté sur son contour répond un autre point B 
de ce contour, tel que la droite AB divise le périmètre en deux parties 
égales. Les aires AEFB, AHGB, devront être égales, sans quoi, en rempla- 
çant la plus petite d'entre elles par la figure symétrique par rapport à 
AB, on obtiendrait une figure totale de même périmètre que la première 
et d'aire plus grande, de sorte que la première figure ne serait pas un 
maximum comme on l'a supposé. 

Il résulte de là que, si dans une figure maximum EFGH de périmètre 
donné on remplace la partie au-dessous de AB par une partie symétrique 



366 GEOMETRIE PLANE. 

de celle qui est au-dessus de cette droite, la nouvelle figure totale sera 
encore une des figures maximums. 

Raisonnons actuellement sur cette nouvelle figure ; en d'autres termes, 
admettons que la partie AlIGB soit symétrique de AEFB par rapport à 
AB. Soit C un point quelconque du contour AEFB ; prenons son symé- 
trique D par rapport à AB et menons CA, AD, DB, BC. L'angle ACB sera 
droit; car si les angles ACB, ADB, n'étaient pas droits, on pourrait con- 
struire avec les mômes côtés CA, AD, DB, BC, un quadrilatère ayp^ dans 
lequel les angles 7 et S seraient droits ; ce nouveau quadrilatère serait plus 
grand que l'ancien (484 ), et en plaçant respectivement sur les côtés ccy, 
7^, (îp, a^, les segments AEC, CFB, BGD, DHA, qui sont actuellement 
sur CA, BC, DB, AD, on aurait une figure totale ayant le même péri- 
mètre que AECFBGDHA et une aire plus grande, de sorte que ceite figure 
AECFBGDHA ne serait pas un maximum comme on l'a supposé. Donc, de 
tout pointe du contour AECFB, on voit la droite AB sous un angle droit; 
par suite, ce contour est le demi-cercle décrit sur AB comme diamètre. 

Ainsi, si une figure de périmètre donné est maximum, sa moitié ACB, 
prise à partir d'un point quelconque A de son contour, est un demi-cercle. 
La figure totale est donc un cercle. 

Donc, enfin, il n'y a qu'une seule figure maximum de périmètre donné, 
et cette figure est un cercle. 

Sleiner donne à ce théorème le nom de théorème principal, parce que 
sa démonstration renferme les principes les plus essentiels relatifs à la 
plupart des questions de maximums dans les figures planes (ou sphé- 
riques). 

THÉORÈME. 

484. 1" Si le périmètre d'une figure se compose d'une droite de lon- 
gueur arbitraire l et d'une ligne de forme arbitraire L, et si en même 
temps la longueur de la ligne L ou l'aire de la figure est donnée, celle-ci 
est un maximum ou la ligne L est un minimum, quand cette figure est 
un demi-cercle. 

Toute figure comprise dans ce théorème peut être considérée comme 
la moitié d'une figure symétrique, dont la droite / est l'axe de symétrie, 
Bt dont le périmètre, égal à 2L, est donné; mais l'aire de la moitié est 
nécessairement un maximum, dès que la figure entière en est un. L'é 
nonce est donc une conséquence du théorème principal. Il s'ensuit ei 
particulier : qu'e/rfre tous les segments de cercle à arcs égaux ou à aire 
égales j c'est le demi-cercle qui a l'aire la plus grande ou l'arc le plus petit 

2** Entre toutes les figures dont le périmètre est composé d'une droite, 
donnée a et d'une ligne prise à volonté L, le segment de cercle a la plus 
grande aire pour des longueurs égales de la ligne L, et la plus petite 
ligne L quand les aires sont égales. 



LIVRE IV. — LES AIRES. Sôj 

Supposons la ligne L de forme quelconque, et qu'elle compose avec la 
droite a le périmètre de la figure ah; on peut toujours construire sur a 
un segment de cercle dont Tare a soit égal à L, a et L étant situés du 
même côté de a. Complétons le cercle, et désignons l'autre arc par ^ ; 
alors le cercle de périmètre a h- p est plus grand que la figure limitéa 
par L-i- P; ainsi «a -j- «p > «Lh-«6; donc «a> «L. 

On déduit de ce théorème cette règle générale : 

Dans toute Jigure dont l'aire doit être un maximum sous des conditioni 
quelconques j chaque partie du périmètre, qui est libre d'avoir une jorme 
quelconque entre deux points donnés, doit être un arc de cercle, 

THÉORÈME. 

485. i" Un polygone de côtés donnés est maximum lorsqu'il est inscrip- 
tible au cercle. 

Observons d'abord qu'on peut toujours, avec des côtés donnés ^, 6, 
c, . . . , /, dont le plus grand a est moindre que la somme de tous les 
antres, former un polygone convexe inscriptible, et un seul. En effet, 
décrivons un premier cercle assez grand pour que, en portant les unes 
à la suite des autres, à partir de l'un des points A de la circonférence, des 
cordes AB = «, BG = ^, . . . , LM = /, l'extrémité M de la dernière corde 
n'atteigne pas le point A. Le centre étant d'abord situé dans le seg- 
ment BCMA au-dessus de AB, supposons que ce centre s'abaisse d'une 
manière continue en décrivant la droite OZ perpendiculaire sur le milieu 
de AB. L'arc BCMA de la circonférence variable qui a pour centre et 
qui passe par A et B décroîtra, et comme il a pour limite la droite AB, 
c'est-à-dire une longueur moindre que ^-i-c-t-. . .h- /, on voit que l'ex- 
trémité M de la ligne brisée inscrite BC. . .M s'approchera du point A, et 
l'atteindra pour le dépasser ensuite. Il y aura donc une position du centre 
et une seule, pour laquelle la ligne brisée ABC. . . M formera un polygone 
inscrit, comme nous l'avons annoncé. 

Cela posé, soient S un cercle et P un polygone inscrit de côtés donnés 
«, 6, c,. .., /; P' étant un polygone quelconque formé avec les mêmes 
côtés, ajoutons à ce polygone P', sur chacun des côtés, les segments cir- 
culaires qui surmontent les côtés correspondants du polygone inscrit P. 
On obtient ainsi une figure S' terminée par des arcs circulaires, et dont 
e périmètre est égal à la circonférence du cercle S. On aura donc (483), 
5> S', d'où, en retranchant de part et d'autre les segments circulaires 
:iui surmontent les côtés, P > P'. 

2° Entre tous les polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, 
le polygone régulier est un maximum; et réciproquement, entre les péri" 
mètres de tous les polygones équivalents d'un même nombre de côtés, celui 
j^K<//< polygone régulier eH un minimum^ 



368 GÉOMÉTRIE PLANE. 

En effet, le maximum parmi les polygones isopérimètres de n côtés 
doit d'abord avoir tous ses côtés égaux entre eux ; car si deux côtés con 
sécutifs AB et BC étaient inégaux, en remplaçant le triangle ABC par un 
triangle isocèle AB'C construit sur la môme base et de même périmètre, 
on aurait (478) une figure isopérimètre de n côtés et d'aire plus grande. 
Par suite, les côtés du polygone sont donnés et égaux chacun à la «'*"" 
partie du périmètre ; de plus, en vertu de la première partie du théorème 
qui nous occupe, .e polygone maximum doit être inscriptible au cercle: 
Donc, enfin, le polygone maximum, devant être à la fois équilatéral et 
inscriptible, est régulier. 

Corollaire. 

486. D'après cela, quand on cherchera quel polygone a l'aire maximum 
pour un périmètre constant, ou le périmètre minimum pour une aire con- 
stante, le nombre des côtés étant variable, on n'aura qu'à s'occuper des 
polygones réguliers, et l'on trouvera la loi suivante : 

Les aires des polygones réguliers isopérimètres forment une série crois- 
sante, qui commence par le triangle et se termine par le cercle; et les 
périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante, à 
partir du triangle jusque au cercle. 

En effet, deux polygones réguliers isopérimètres d'un nombre de côtés 
différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadri- 
latère abcd^ on peut considérer ce dernier comme un pentagone dont l'un 
des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un point e sur un 
aes côtés de ce quadrilatère, par exemple sur ad^ le considérer comme 
un pentagone ahcde^ dont l'un des angles e serait égal à deux angles 
tlroits; le quadrilatère régulier peut donc être regardé comme un pen- 
tagone irrégulier : donc son aire est plus petite que celle du pentagone 
régulier ABCDE. 



QUESTIONS PROPOSÉES 




SUR LA GÉOMÉTRIE PLANE. 



LIVRE PREMIER. 

LA LIGNE DROITE. 



§.^ I, n, III 



Des angles.— Des triangles. — Des perpendiculaires 
et des obliques. 



i. ÉtantdonnéesquatredroitesOA,OB,OG,OD,issuesd'unmêmepointO, 
si les angles DOA, BOC, sont égaux entre eux, ainsi que les angles AOB, 
COD, les côtés OA et OC sont en ligne droite, ainsi que les côtés OB et OD. 

2. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme des droites 
qui joignent un point intérieur quelconque aux trois sommets, et moindre 
que le double de cette somme. 

3. Une médiane quelconque d'un triangle est moindre que la demi- 
somme des deux côtés issus du même sommet, et plus grande que la 
moitié de l'excès de cette somme sur le troisième côté. 

4. Le périm.ètre d'un triangle est plus grand que la somme de ses trois 
médianes et moindre que le double de cette somme. 

5. ABC étant un triangle quelconque, on prend sur AB, prolongé s'il le 
faut, une longueur AC égale à AC; on prend de môme sur AG une lon- 
gueur AB' égale à AB; on tire B'C qui coupe BG en I : démontrer que la 
droite AI est la bissectrice de l'angle BAC. 

6. Si, d'un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur cette droite 
la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, d'un môme côté,. telles que 
BC = CD, l'angle BAC est plus grand que l'angle CAD. 

7. On dit que deux points A et A' sont symétriques par rapport à une 
droite indéfinie XY, lorsque cette droite XY est perpendiculaire sur le 
milieu de AA'. Démontrer d'après cette définition : i° que, si A' et B' sont 
les symétriques par rapport à XY de deux points quelconques A et B, les 
deux droites symétriques AB et A'B' sont égales entre elles; 2° que l'angle 

Tx. et DE C. — Tr. de Gconi. ( l" Partie). 24 



370 GÉOMÉTRIE PLANE. 

CABde deux droites AB et AC est égal à l'angle C'A'B' de leurs symétri- 
ques A'B'ei A'C. 

8. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène la droite indéfinie XY 
Perpendiculaire sur la bissectrice de- l'angle A. Démontrer que, si M est 
m point quelconque de XY, le périmètre du triangle BMC est plus grand 
[ue celui du triangle donné ABC. 

9. Les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle 
;oncourent en un même point. 

10. Les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un 
même point. — La bissectrice de l'un des angles et les bissectrices des 
suppléments des deux autres angles concourent aussi en un même point. 

§ IV. — Des parallèles. 

11. Si deux droites égales AB et CD, comprises entre deux parallèles 
AG et BD se coupent en un point 0, on a AO = OC et OB = OD. 

12. Si par le milieu D du côté AB d'un triangle ABC on mène une pa- 
rallèle DE au côté BC, la droite DE passera par le milieu E de AC et sera 
égale à la moitié de BC. — Réciproquement, la droite qui joint les mi- 
lieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté et égale 
à sa moitié. 

13. Trouver le lieu des milieux des portions de droites qui vont d'un 
point donné à une droite donnée. 

14. Étantdonnéun pointa l'intérieur ok à l'extérieur d'un angle, mener 
entre les côtés de l'angle une droite qui soit divisée par ce point ou par 
l'un des côtés de l'angle en deux parties égales. 

13. Un triangle quelconque est le quart de celui qu'on obtient en me- 
nant par chacun de ses sommets une parallèle au côté opposé. Chaque 
côté du nouveau triangle est le double du côté correspondant du triangle 
donné. 

16. Les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point 

17. Déduire du résultat précédent un procédé pour mener par un point 
donné une droite qui aille passer par le point de concours, supposé inac- 
cessible, de deux droites données. 

18. Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point 
situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté correspondant. 

19. Dans un triangle, la plus petite médiane correspond au plus grand 
côté. — Conséquence. 



QUESTIONS PROPOSÉES. Sjl 

20. Dans un triangle, le point de concours des perpendiculaires élevées 
sur les milieux des côtés, le point de concours des trois médianes et celui 
des trois hauteurs, sont en ligne droite, et la distance du premier point 
au second est moitié de la distance du second point au troisième. 

21. Si, par le point d'intersection I des bissectrices des angles B et C 
d'un triangle ABC, on mène entre les côtés de l'angle A la parallèle DIE 
à BC, la droite DE sera égale à la somme de BD et de CE. Si, par le point 
d'intersection I' de la bissectrice de l'angle B et de celle du supplément 
de l'angle C, on mène entre les côtés de l'angle A ou de son opposé par 
le sommet la parallèle D'I'E' à BC, la droite D'E' sera égale à la diffé- 
rence de BD' et de CE'. — Conséquences, 

22. Des extrémités A et B et du milieu C d'une droite AB, on mène 
dans une direction quelconque des droites parallèles AA', BB', CC, jusqu'à 
leur rencontre avec une droite indéfinie XY. Démontrer que le point C 
est le milieu de A'B', et que la parallèle CC est égale à la demi-somme 
ou à la demi-différence des parallèles AA' et BB', suivant que les points 
A et B sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de XY. 

23. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un 
triangle isocèle aux deux autres côtés est constante. — Qu'arrive-t-il 
lorsque le point considéré est pris sur le prolongement de la base? 

24. Trouver le lieu géométrique des points dont la somme ou la diffé- 
rence des distances à deux droites fixes est constamment égale à une 
longueur donnée. 

25. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un triangle 
équilatéral à ses trois côtés est constante. — Qu'arrive-t-il lorsque le point 
considéré est extérieur au triangle ? 

26. AX étant une droite quelconque menée par le sommet A d'un 
triangle ABC, et BE, CF, étant les perpendiculaires abaissées des points B 
et C sur cette droite AX, démontrer que le milieu D de BC est à égale 
distance des points E et F. 

27. Démontrer : i" que si deux angles ont leurs côtés respectivement 
)arallèles, leurs bissectrices sont parallèles ou perpendiculaires entre 
elles; a" que si deux angles ont leurs côtés respectivement perpendi- 
culaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles entre elles. 

28. Déterminer sur l'un des côtés d'un triangle un point tel, que les 
longueurs interceptées par les deux autres côtés sur les parallèles menées 
de ce point à ces mômes côtés soient égales entre elles. 

29. Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur 
^(cette droite un point M tel que la somme AM -t- BM soit un minimum. 



372 GÉOMÉTRIE PLANE. 

30. Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur 
cette droite un point M tel que la difîérence BM — AM soit un maximum. 

31. Trouver sur un côté d'un triangle un point tel que la somme de se 
distances aux deux autres côtés soit un minimum. 

32. Trouver dans le plan d'un triangle un point tel que la somme do 
ses distances aux trois côtés soit un minimum. 



§ V. — Somme des angles d'un polygone. 

33. Étant donnés un triangle ABC et un point pris dans son inté- 
rieur, démontrer que Tangle BOC est toujours plus grand que l'angle BAC 
du triangle. 

34. Un angle d'un triangle est droit, aigu ou obtus, suivant que la 
médiane issue du sommet de cet angle est égale, supérieure ou inférieure 
à la moitié du côté opposé. — Réciproques. 

33. AD et BG étant deux parallèles coupées obliquement par AB et per- 
pendiculairement par AC, on mène entre ces deux parallèles la droite BED 
qui coupe AC en E, de manière que ED = 2AB : démontrer que l'angle 
DBC est le tiers de l'angle ABC. 

36. Si, d'un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur cette 
droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, de manière que 
ces obliques soient situées d'un même côté de AB et que les angles BAC, 
CAD, DAE, soient égaux, on a BC < CD < DE. 

37. Soient un triangle ABC, et AO, BO, CO, les bissectrices de ses angles ; 
AO prolongée coupant le côté BC en D, et 01 étant la perpendiculaire 
menée du point sur BC, démontrer que l'angle BOD est égal à 
l'angle COI. 

38. L'angle formé par la bissectrice de l'angle A d'un triangle ABC et 
par la perpendiculaire menée du sommet A sur le côté BC est égal à la 
demi-différence des angles B et C. 

39. La différence entre les deux angles aigus d'un triangle rectangle 
est égale à l'angle formé par la hauteur et la médiane issues du sommet de 
l'angle droit. — Si l'on rapproche ce résultat du précédent, quelle con- 
clusion peut-on en déduire? 

40. Si l'on mène les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC, 
les trois triangles partiels et le triangle total qu'elles déterminent autour 
du triangle donné sont équiangles. Chaque angle du triangle ABC a pour 
supplément le double de l'angle qui lui est opposé dans le triangle total. 



. QUESTIONS PROPOSÉES. 878 

41. Dans un triangle ABC, on prend sur le côté AB et sur son prolon- 
f^ement AD = AE = AG, puis on joint le sommet G aux points D et E. 
L'émontrer que l'angle E est la moitié de l'angle A du triangle ABG, et que 
i angle DGE est droit. 

42. Dans un triangle ABG on mène, jusqu'au côlé BC, une droite AD 
faisant avec le côté AB un angle égal à l'angle G et une droite AE faisant 
avec le côté AC un angle égal à l'angle B. Démontrer que le triangle DAE 
est isocèle. 

'43. Dans un triangle rectangle, si l'un des angles aigus est double de 
l'autre, l'hypoténuse est double du plus petit côté. — Réciproque. 

44. Dans un triangle quelconque ABC où l'angle B est double de l'angle G, 
on mène AD perpendiculaire sur le côté BG; sur AB, prolongé ou non sui- 
vant que l'angle B est aigu ou obtus, on prend BE égal à BD, puis on tire 
la droite EDF qui coupe AG au point F. Démontrer : 1° que les longueurs 
FD, FG, FA, sont égales et que les triangles ABG, AFE, sont équiangles; 
2" que le côté AB est égal à la différence des segments DG et DB de la 
base BG si l'angle B est aigu, à leur somme si l'angle B est obtus 

45. L'angle des bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrila- 
tère convexe est égal à la demi-somme dos deux autres angles du quadri- 
latère. L'angle des bissectrices de deux angles opposés est égal à la demi- 
différence des deux autres angles. 

46. Les bissectrices des angles formés en prolongeantjusqu'à leur ren- 
contre les côtés opposés d'un quadrilatère convexe se coupent sous un 
angle égal à la demi-somme de deux angles opposés du quadrilatère. 

§ VI. — Du parallélogramme. 

47. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle 
égal, et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la 
même manière. Énoncer le théorème correspondant pour le cas de 
deux parallélogrammes, de deux rectangles, de deux losanges, de deux 
carrés. 

48. Deux trapèzes sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux 
chacun à chacun et disposés de la môme manière. 

49. Toute droite passant par le centre d'ua parallélogramme le divise 
en deux quadrilatères égaux. 

50. Tout quadrilatère est la moitié du parallélogramme que l'on obtieni 
en menant par les extrémités de chaque diagonale des parallèles à l'autre 



374 GÉOaiÉTRlE P[-ANE. 

diagonale. — Déduire de ce théorème que deux quadrilatères ont même 
surface lorsque leurs diagonales sont respectivement égales et se coupent 
sous le même angle. 

51. Si l'on mène la droite DE qui joint les milieux des côtés AB et AG 
du triangle ABC et, par les points D et E, deux parallèles quelconques 
DF, EG, jusqu'à la rencontre du côté BC, le triangle ADE est le quart 
du triangle ABC et le parallélogramme DEGF en est la moitié. 

52. Les droites qui joignent successivement les milieux des côtés d'un 
quadrilatère forment un parallélogramme, moitié de la figure primitive. 
— Conséquence relative aux droites qui joignent les milieux des côtés du 
quadrilatère. 

53. En divisant arbitrairement, mais de la même manière, les côtés 
d'un carré, et en joignant successivement les points de division, on forme 
un nouveau carré inscrit dans le premier. 

54. Étant donné un parallélogramme ABCD, on prend en sens inverse, 
sur les côtés opposés AB, CD, deux longueurs AE et CF, arbitraires, mais 
égales; de même, sur les côtés opposés AD, BC, on prend en sens inverse 
les longueurs arbitraires AH = CG. Démontrer : i° que la figure EGFH 
est un parallélogramme inscrit dans le parallélogramme proposé; 2" que 
le centre du parallélogramme proposé est en même temps celui de tous 
les parallélogrammes qu'on peut y inscrire. 

55. Le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés 
opposés d'un quadrilatère quelconque est le milieu de la droite qui unit 
les milieux des diagonales de ce quadrilatère. 

56. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un 
second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Lorsque 
le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle 
dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales 
à la différence de ses côtés adjacents. Lorsque le premier quadrilatère est 
un rectangle, le second est un carré. 

57. Si, par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle, on mène 
des parallèles aux deux autres côtés, on forme un parallélogramme dont 

e périmètre est constant. 

58. ABC étant un triangle rectangle et ABDM, ACEN, étant h s cai rés 
.'onstruits sur les côtés AB et AC de l'angle droit, des sommets D et E, 
opposés au sommet A, on abaisse des perpendiculaires DF, EG, sur l'hypo- 
ténuse BC prolongée. Démontrer : 1° que l'hypoténuse BC est égale à la 
somme des perpendiculaires DF et EG ; a** que le triangle proposé ABC 
est la somme des triangles DFB, CEG. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 3^5 

59. Démontrer que dans tout trapèze isocèle les angles opposés sont 
supplémentaires. 

60. Dans tout trapèze, les quatre points, milieux des deux côtés non 
parallèles et des deux diagonales, sont sur une même droite parallèle aux 
deux bases du trapèze; la distance des points extrêmes est égale à la demi- 
somme de ces bases; la distance des points intermédiaires est égale à leur 
demi- différence. 

61. ABCD étant un parallélogramme, E et F étant les milieux des côtés 
opposés AB et CD, les droites BF et DE divisent la diagonale AG en trois 
parties égales. 

62. Par le sommet A d'un parallélogramme ABCD, on mène une droite 
quelconque AX. Prouver que la distance du sommet C à la droite AX est 
égale à la somme ou à la différence des distances des sommets B et D à 
la même droite, suivant que AX est extérieure au parallélogramme ou le 
traverse. 

63. D, E, F, étant respectivement les milieux des côtés AB, BC, CA, d'un 
triangle ABC, on mène DG parallèle à la médiane BF jusqu'à la rencontre 
de EF prolongée. Démontrer que les trois côtés du triangle DGC sont res- 
pectivement égaux aux trois médianes du triangle ABC. 

64. Démontrer qu'un polygoae convexe, d'un nombre impair de côtés, 
est déterminé quand on donne les milieux de ses côtés. 

65. Parmi tous les triangles qui ont un angle égal compris entre deux 
côtés variables dont la somme est constante, quel est celui dont le péri- 
mètre est minimum? 

66. Étant données deux parallèles XY, X'Y', et deux points A et B si- 
tués hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court 
chemin de A en l ■)ar une ligne brisée AMNB telle, que la portion MN 
comprise entre les parallèles ait une direction donnée. 

67. Sur un billard rectangulaire, dans quelle direction faut-il lancer la 
bille pour qu'elle revienne au point de départ après avoir frappé succes- 
sivement les quatre côtés? — Qutlle est la longueur du chemin parcouru 
alors par la bille? — Comment généraliserait-on la question? {On admet 
que, lorsque la bille frappe une bande, les deux droites qu'elle suit, avanf 
et après le choc, sont également inclinées sur la bande). 



3^6 GÉOMÉTRIE PLANE. 



LIVRE IL 

LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. 



§ I. — Des arcs et des cordes. 

68. Étant données la base d'un triangle et la différence des deux autres 
côtés, trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées des extré- 
mités de la base sur la bissectrice de l'angle au sommet. — Même ques- 
tion en remplaçant la différence des deux côtés par leur somme, et la 
bissectrice de l'angle au sommet par celle de son supplément. 

69. Si l'on divise la corde d'un arc de cercle en trois parties égales, 
les rayons qui passent par les points de division partagent l'arc en trois 
parties, dont les deux extrêmes sont égales entre elles et moindres que 
la partie intermédiaire. 

70. Par un point A extérieur à une circonférence 0, on mène une sé- 
cante ACD dont la partie extérieure AC est égale au rayon ; on mène 
en outre le diamètre AOB : démontrer que l'angle COA est le tiers de 
l'angle DOB. 

71. Étant donnés une circonférence et un point dans son plan, quelle 
est la plus petite corde qu'on puisse mener par ce point dans la circonfé- 
rence? 

72. Si deux cordes égales se coupent à l'intérieur ou à l'extérieur d'une 
circonférence, les segments déterminés sur ces deux cordes par leur point 
de rencontre sont respectivement égaux. 

§ IL — Tangente au cercle. — Positions mutuelles de deux 
circonférences. 

73. La plus petite et la plus grande des droites qu'on peut mener entre 
fieux circonférences passent par les centres de ces circonférences. 

74. Étant donnés trois points non en ligne droite, faire passer par un 
point donné ou décrire avec un rayon donné une circonférence dont le» 
trois premiers points soient également distants. 



I 



QUESTIONS PROPOSÉES. 877 

75. Si deux cordes AB et CD se coupent dans un cercle, la somme 
AG -+- BD des arcs qu'elles interceptent est égale à la somme des arcs 
interceptés par les deux diamètres parallèles à ces cordes. 

76. Un cercle étant donné, combien faut-il de cercles de même rayon 
pour l'entourer? 

77. On donne un cercle de centre et de rayon U, et un point exté- 
rieur A. Du point A comme centre, avec OA }30ur rayon, on décrit un 
arc BOC, et du point comme centre avec 2R pour rayon, on décrit un 
nouvel arc qui coupe le précédent en B et en G. On mène OB et OC qui 
rencontrent respectivement en E et en D la circonférence primitive. Dé- 
montrer que AE et AD sont tangentes à cette circonférence. 

78. AB étant un diamètre fixe d'un cercle, et CD une corde parallèle à 
ce diamètre, on mène CB et DA qui se coupent en M, puis CA et DB qui 
se coupent en N. Trouver le lieu des points M et N quand la corde CD se 
déplace parallèlement à elle-même. 

79. Quel est le lieu des centres des circonférences de môme rayon qui 
partagent une circonférence donnée en deux parties égales? 

80. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui 
coupent sous un angle donné une circonférence donnée? 

§ III. — Mesure des angles. 

81. A, B, C, étant trois points quelconques d'une circonférence, D le 
milieu de l'arc AB, et E le milieu de l'arc AG, la droite DE coupe respec- 
tivement en F et en G les cordes AB et AG. Démontrer que AF = AG. 

82. A étant un point quelconque d'un diamètre, B l'extrémité du rayon 
perpendiculaire à ce diamètre, on mène BA qui coupe le cercle en P, 
puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé. Dé- 
montrer que CA = CP. 

83. A, B, C, A', B', C, étant six points pris sur une circonférence, de 
telle manière que AB soit parallèle à A'B' et AG à A' G', démontrer que 
BC et CB' sont parallèles. 

84. Les hauteurs AA', BB', CG', d'un triangle quelconque ABC, sont les 
bissectrices des angles du triangle A'B'C. 

83. ABC étant un triangle inscrit dans un cercle, on joint le centre 
au milieu D de l'arc BC, et l'on mène AD. Démontrer que l'angle ADO est 
la moitié de la différence des angles B et C. 

86. Si par le point A, commun à deux circonférences qui se coupent, 
on mène à volonté deux sécantes ABC, ADE, les cordes BD et CE qui 



378 GÉOMÉTRIE PLANlî. 

joignent leurs extrémités se rencontrent sous un angle constant. — Dans 
le cas où les deux sécantes se confondent, comment faut-il énoncer le 
théorème? 

87. On donne deux circonférences et 0' et un angle XAY situé dans 
leur plan. Le côté AX coupe la circonférence aux points B et C et la 
circonférence 0' aux points B' et C; le côté AY coupe la circonférence 
en D et E, la circonférence 0' en D' et E'. Démontrer que les cordes BD, 
CE, B'D', CE', indéfiniment prolongées, forment un quadrilatère inscrip- 
tible. 

88. Si par le point d'intersection des diagonales d'un quadrilatère 
inscrit ABCD, on mène la corde EOF qui a son milieu en 0, la partie de 
cette corde interceptée entre les côtés opposés du quadrilatère sera aussi 
divisée par le point en deux parties égales. 

89. étant le point de concours des hauteurs d'un triangle ABC et G 
le point où la hauteur AD rencontre le cercle circonscrit au triangle, on 
a OD = DG. 

90. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit, si du milieu 
de l'un quelconque des deux arcs sous-tendus par le côté BC on abaisse 
des perpendiculaires sur AB et sur AC, la somme des distances des pieds 
de ces perpendiculaires aux sommets du triangle est ^gale à la demi- 
somme ou à la demi -différence des côtés AB et AC. 

91. Si par le point A, milieu d'un arc BAC d'une circonférence, on 
mène deux cordes quelconques AD et AE qui coupent en F et en G la 
corde BC, le quadrilatère DFGE est inscriptible. 

92. ABCD étant un quadrilatère inscriptible, on mène une circonférence 
passant par A et B, une seconde par B et C, une troisième par C et D, et 
une quatrième par D et A. Ces quatre circonférences se coupent succes- 
sivement en quatre points L, M, N, P, autres que les points A, B, C, D. 
Démontrer que le quadrilatère LMNP est inscriptible. 

93. Si dans un quadrilatère ABCD on prolonge les côtés opposés AB 
et CD jusqu'à leur rencontre E, puis les côtés opposés AD et BC jusqu'à 
leur rencontre F, on forme une figure qu'on nomme quadrilatère com- 
plet, et qui renferme quatre triangles ABF, ADE, BCE, DGF. Démontrer : 
x° que les cercles circonscrits à ces quatre triangles passent par un même 
point; 2° que ce point et les centres des quatre cercles sont sur une 
môme circonférence. 

94. Sur les trois côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement 
à ce triangle les triangles équilatéraux ABC, ACB', BCA'. Démontrer : 
1** que les trois droites AA', BB', CC, sont égales; 2° qu'elles concourent 



QUESTIONS PROPOSÉES. 879 

en un même point 0; 3" que, du point 0, on voit sous le même angle 
les trois côtés du triangle ABC. 

95. Par un point fixe pris dans le plan d'un cercle, on mène diverses 
cordes : trouver le lieu des milieux de ces cordes. 

96. Par l'une des extrémités d'un diamètre AB d'un cercle, on mène 
une corde quelconque AG que l'on prolonge d'une quantité CM égale à CB : 
quel est le lieu des points M? 

97. On donne un cercle et un point fixe A situé dans son plan. ABC 
étant une corde quelconque issue du point A, on élève sur le milieu de 
cette corde une perpendiculaire IM égale à TA. Quel est le lieu des 
points M? 

98. ABC étant un triangle équilatéral, quel est le lieu des points M, 
tels que MA -= MB -h MC? 

99. Trouver le lieu du point de concours des hauteurs des triangles qui 
ont même base et même angle au sommet. 

100. Une circonférence roule dans l'intérieur d'un cercle de rayon 
double : quel est le lieu décrit par un point de cette circonférence? 

JOl. Trouver le lieu des points tels, que si l'on abaisse de l'un d'eux 
des perpendiculaires sur les trois côtés d'un triangle fixe, les trois pieds 
de ces perpendiculaires soient en ligne droite. 

102. Dans un triangle, on donne : la somme ou la différence de deux 
côtés et l'angle formé par ces côtés en grandeur et en position. Trouver 
le lieu du centre du cercle circonscrit. 

103. Deux circonférences et 0' étant tangentes intérieurement au 
point A, et BC étant une corde de la grande circonférence tangente en D à 
la petite circonférence, la droite AD est la bissectrice de l'angle BAC. 

104. La circonférence touchant les deux circonférences 0' et 0" aux 
points A et B, on prolonge la corde AB jusqu'à son second point de ren- 
contre C avec la circonférence 0*. Démontrer que les deux rayons O'A 
et 0"C sont parallèles. La droite O'O" rencontrant les circonférences 0' 
et 0" aux points D et E, démontrer en second lieu que le quadrilatère 
ABDE est inscriptible. 

105. Le point C étant le milieu d'un arc AB, et le point D un point 
quelconque de cet arc, on a AC -f- BC > AD -h BD. 

§ IV. — Construction des angles et des triangles. 

106. Construire un triangle, connaissant: 
1° Deux côtés et une médiane (deux cas)j 



38o GÉOMÉTRIE PLANE 

2" Un côté et deux médianes (deux cas) , 

3° Les trois médianes; 

4" La base, la différence des deux autres côtés et la différence des angle 
( la base; 

5° La base, un angle à la base, et la somme ou la différence des deux 
utres côtés; 

6° La base, l'angle au sommet, et la somme ou la différence des deux 
autres côtés. 

107. Diviser un angle droit en trois parties égales. 

108. Par un point donné 0, mener trois droites OA, OB, OC, de lon- 
gueurs données et telles, que leurs extrémités A, B, C, soient en ligne 
droite, et que les intervalles AB et BC soient égaux entre eux. 

109. Soient ABC un triangle, et ABDE, ACFG, BCHK, les carrés con- 
struits sur les trois côtés; connaissant les longueurs des trois droites EG, 
FH, KD, construire le triangle ABC. 

§ V. — Tracé des parallèles et des perpendiculaires. 

liO. Décrire un cercle ; 

1° Touchant deux droites données, et l'une d'elles en un point donné; 
2° Touchant une droite et une circonférence données, et cette circon- 
férence en un point donné. 

111. Construire un triangle, connaissant; 
1° Les pieds des trois hauteurs ; 

2" Un angle, une hauteur et le périmètre (deux cas); 

3" Un côté, l'un des angles adjacents et la longueur do la bissectrice 
de cet angle; 

4** La somme de deux côtés et les angles; 

5" Le périmètre et les angles; 

G** Un angle, la longueur de sa bissectrice et l'une des hauteurs (deux 
cas); 

7° Les angles et une hauteur; 

8** La base, la somme des deux autres côtés et la différence des angles 
à la base. 

1 1 2. Construire un quadrilatère, connaissant les quatre côtés et la droite 
tiui joint les milieux de deux côtés opposés. 

113. Construire un pentagone, connaissant les milieux des cinq côtés. 

114. Par l'un des points d'intersection de deux cercles, mener une sé- 
cante commune qui ait son milieu en ce point. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 38 1 

lis. Par un point donné, mener une droite qui fasse des angles égaux 
ivec deux droites données. 

416. Tracer une droite de longueur donnée, dont les extrémités s'ap- 

uient sur deux droites données, et qui soit parallèle à une droite donnée. 

Même problème en remplaçant les deux droites par deux circonférences. 

117. On donne trois droites issues d'un môme point, et un point pris 
sur l'une d'elles; mener par ce point une sécante qui soit divisée par les 
trois droites en deux parties égales. 

118. Par un point extérieur à un cercle, mener une sécante dont la lon- 
gueur totale soit double de sa partie extérieure. 

119. Inscrire dans un triangle un losange dont l'un des angles coïncide 
avec un angle du triangle. 

120. Tracer une circonférence qui passe à égale distance de qualre points 
donnés, dont trois quelconques ne soient pas en ligne droite. 

121. Décrire une circonférence de rayon donné, dont le centre soit sur 
une droite donnée et telle, que la somme des distances, maximum et mi- 
nimum, d'un point donné à cette circonférence, soit égale à une longueur 
donnée. 

122. Par un point pris dans le plan d'un parallélogramme, mener une 
sécante telle, que la partie comprise entre deux côtés opposés (prolongés 
s'il le faut) soit égale à la partie comprise entre les deux autres côtés. 

§ VI. — Problèmes sur les tangentes. 

123. Mener à un cercle une tangente qui fasse un angle donné avec une 
droite donnée. 

124. Deux cercles étant donnés, mener une sécante telle, que les cordes 
interceptées sur elle par les deux cercles aient des longueurs données. 

125. Des sommets d'un triangle comme centres, décrire trois cercles 
qui se touchent deux à deux. 

126. Décrire un cercle qui touche deux circonférences, et l'une d'elles 
en un point donné. 

127. Construire un triangle rectangle, connaissant : 

1° L'un des côtés de l'angle droit et l'excès de l'hypoténuse sur le Iroi 
sième côté; 

2° Les angles et l'excès de l'hypoténuse sur un des côtés de l'angle 
droit. 

128. Étant donnés un cercle et un angle circonscrit, toute tangente à 
l'arc qui tourne sa convexité vers le sommet détermine avec les côtés de 



382 GÉOMÉTRIE PLANE. 

l'angle un triangle dont le périmètre est constant et dont le troisième côté 
est vu du centre du cercle sous un angle constant. — Qu'arrive-t-il lors- 
que la tangente est menée par un point de l'arc concave? 

429. Construire un triangle, connaissant son périmètre, un angle en 
grandeur et en position, et un point du troisième côté. 

J30. Construire un triangle, connaissant : 

i" Un angle, ainsi que la hauteur et la médiane issues de son sommet; 

2° Un côté, un angle et une hauteur (cinq cas). 

d31. Construire un triangle ayant des angles donnés et tel, que ses 
sommets appartiennent à deux circonférences concentriques données. 

132. Construire un triangle, connaissant la base, la différence des 
angles à la base, et sachant que le sommet doit être situé sur une droite 
donnée. 

133. Dans tout triangle rectangle, le diamètre du cercle inscrit est égal 
à l'excès de la somme des deux côtés de l'angle droit sur l'hypoténuse. 

134. Étant donnés un triangle, le cercle inscrit et les trois cercles ex- 
inscrits, démontrer : i* que les quatre points de contact qui se trouvent 
sur un mêpfie côté (deux intérieurs et deux extérieurs) sont deux à deux 
équidistants du milieu de ce côté; 2° que la distance d'un point de con- 
tact extérieur au plus éloigné des deux sommets situés sur le même côté 
est égale au demi-périmètre du triangle; 3" que la distance du point de 
contact du cercle inscrit à l'un des sommets situés sur le même côté est 
égale au demi-périmètre diminué du côté opposé à ce sommet ; 4° que la 
distance des deux points de contact intérieurs situés sur le côté consi- 
déré est égale à la différence des deux autres côtés du triangle ; 5° que la 
distance- des deux points de contact extérieurs est égale à la somme des 
deux autres côtés du triangle; 6** que la distance du point de contact du 
cercle inscrit à l'un des points de contact extérieurs est égale à celui des 
deux autres côtés du triangle qui aboutit au sommet situé entre ces deux 
points de contact. 

133. Soient ABC un triangle, D le centre du cercle circonscrit, celui 
du cercle inscrit, et 0', 0", 0'", les centres des cercles ex-inscrits respec- 
tivement situés dans les angles A, B, C; démontrer : 1° que le cercle cir- 
conscrit passe par les milieux des droites 00', 00", 00'"; 2° que les 
quatre points 0, B, C, 0', sont sur un même cercle dont le centre est sur 
la circonférence D; 3*» que les points 0", B, C, 0'", sont sur un même 
cercle dont le centre est sur la circonférence D. 

136. Si l'on désigne par U le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC ; 
par r celui du cercle inscrit, par r', r", r'", ceux des cercles ex-inscrits; 



QUESTIONS PROPOSEES. 383 

par §, 5', S", les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circon- 
scrit sur les côtés; par ^i, \k\ fx", les portions de ces perpendiculaires 
comprises entre les côtés du triangle et la circonférence circonscrite, on a 
les relations 

r'-h }•" -\- r'" = 4R -f- /*, 

pi -h p' 4- fi" = 2 R — r, 
S-^d'-hS" = R -f- r. 

La dernière relation suppose que le centre D du cercle circonscrit est 
situé à l'intérieur du triangle. Dans le cas où le point D est extérieur, 
comment faut-il modifier cette relation? 

137. Construire un triangle, connaissant : 

I** Le rayon du cercle inscrit, un angle et la hauteur issue de son 
sommet; 

2" Un côté, la somme ou la différence des deux autres, et le rayon du 
cercle inscrit ou de l'un des cercles ex-inscrits ; 

3° Les centres des trois cercles ex-inscrits. 

138. Construire trois cercles égaux qui se touchent deux à deux et qui 
touchent intérieurement un cercle donné. 

139. Étant donnés la base et l'angle au sommet d'un triangle, trouver 
les lieux des centres du cercle inscrit et des cercles ex-inscrits. 

140. Le trapèze isocèle est le seul trapèze inscriptible. 

APPENDICE DU DEUXIÈME LIVRE. 

141. ABC étant un triangle quelconque, on construit sur les côtés les 
carrés ABDE, ACFG, BCHK; on mène EG, DK, HF, DC, BF, et l'on abaisse 
la hauteur AI ; démontrer : i" que les trois droites DC, BF, AI, concou- 
rent en un même point; 7." que les perpendiculaires abaissées respecti- 
vement de A sur EG, de B sur DK, et de G sur FH, concourent en un 
même point. 

142. Partager un arc de cercle en deux parties telles, que la somme ou 
la différence de leurs cordes soit égale à une droite donnée. 

143. Deux cercles et 0' et une droite XY étant donnés, trouver 
sur XY un point tel, que les tangentes menées de ce point aux dei;x 
cercles soient également inclinées sur la droite XY. 

144. Étant donnés une droite XY et deux points A et B situés d'ur 
même côté de cette droite, trouver sur XY un point M tel, que l'angle AMX 
soit double de l'angle BMY. 

143. On donne un cercle de centre et un diamètre fixe AOB. Du 



3g/j GÉOMÉTRIE PLANE. 

point B, on mène une coi*cle BC, que l'on prolonge d'une quantité CD égale 
à BG. On tire les droites CA et DO, qui se coupent en M. Quel est le lieu 
du point M, lorsque la corde BC tourne autour du point B? 

iîG. On donne un cercle et deux diamètres rectangulaires AA', BB'. 
Du point A, on mène une sécante AGI qui coupe le cercle en C et le dia- 
mètre BB' prolongé en I. La tangente en C au cercle et la perpendicu 
laire en I au diamètre BB'se rencontrent en un point M dont on demande 
le lieu. 

147. Construire un triangle équilatéral, sachant qu'il doit s'appuyer paf 
ses trois sommets sur trois circonférences concentriques données. 

148. Construire un triangle dont on connaît les angles, et qui ait ses 
trois sommets sur trois droites parallèles données. 

149. Trouver, dans le plan d'un triangle, le point dont la somme des 
distances aux trois sommets est un minimum. 

150. Construire un quadrilatère, connaissant deux angles opposés, les 
longueur des deux diagonales et l'angle qu'elles forment. 

151 . Dans le plan d'un angle donné BAC, mener par un point donné D 
une droite DBC telle, que le périmètre du triangle ABC ainsi formé ait une 
longueur donnée, 

152. D'un point donné comme centre, décrire une circonférence qui 
coupe une droite donnée, de manière que l'un des segments déterminés par 
la droite soit capable d'un angle donné. 

153. Couper un triangle donné par une droite telle, que les deux seg- 
ments interceptés sur cette droite par les trois côtés du triangle (pro- 
longés s'il est nécessaire) aient des longueurs données. 

15 i. Décrire un cercle qui touche une droite donnée en un point donnée 
et qui coupe un cercle donné sous un angle donné. 

155, On donne un triangle ABC rectangle en A; une perpendiculairt 
quelconque DE à l'hypoténuse coupe le côté BA en D, le côté CA en F; 
on mène les droites DG et BF qui se rencontrent en M; trouver le lieu du 
point M. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 335 

LIVRE III. 

LES FIGURES SEMBLABLES. 



§ L — Lignes proportionnelles. 

i56. Démontrer que, si l'on mène entre les deux côtés d'un triangle 
une suite de parallèles à la base, la médiane qui correspond à cette base 
est le lieu des points d'intersection des diagonales des trapèzes ainsi 
obtenus. 

157. Trouver le lieu géométrique des points d'un plan également 
éclairés par deux foyers lumineux placés dans ce plan, et dont les inten- 
sités à l'unité de distance sont représentées par les nombres a et h, 

158. Trouver dans le plan déterminé par trois foyers lumineux le point 
également éclairé par chacun d'eux, 

159. Trouver le lieu des points qui partagent dans un rapport donné — 
toutes les droites comprises entre un point donné A et un cercle donné 0. 

160. Trouver le lieu des points d'oii l'on voit sous un même angle donné 
deux cercles donnés. 

161. Trouver le point d'où l'on voit sous un même angle donné trois 
cercles donnés. 

162. Soient deux droites quelconques AB et XY. Si AB est divisée au 
point C dans le rapport — j et si des points A,B, C, on mène jusqu'à XY 
les parallèles AA', BB', CC, à une direction quelconque, on a toujours 

CC'(/w H- n\ = «.AA'-h /7/.BB'. 



§ IL — Lignes proportionnelles dans le cercle, 

163. Étant donnés un point A et un cercle 0, on mène à ce cercle par 
le point A une sécante ABC sur laquelle on prend un point M tel, qu'on 
ait AM.AC= P\ trouver le lieu décrit par le point M quand la sécante 

iBC tourne autour du point A. 
' R. et DE C. — Tr. de Géom. (I" Partie). 25 
L :__ ____.^ _ :__.. 



386 GÉOMÉTRIE PLANE. 

•164. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une sécante telle, 
que la corde interceptée soit moyenne proportionnelle entre la sécante 
entière et sa partie extérieure. 

16S. D'un point donné hors d'un cercle, lui mener une sécante telle, 
que le produit de la sécante entière par sa partie intérieure soit égal à 
un carré donné k^. 

dC6. Étant donné un triangle obtusangle, mener du sommet de Tangle 
obtus au côté opposé une droite dont le carré soit égal au produit des 
segments qu'elle détermine sur ce côté. 

167. AB est un diamètre d'un cercle, CD une corde perpendiculaire 
à AB; par un point P pris sur CD, on mène une corde APQ : démontrer 
que le produit AP.AQ est constant. 

168. Si l'on joint le centre d'un cercle à un point d'une corde, le carré 
de la droite obtenue, plus le produit des segments que le point choisi 
détermine sur la corde, est égal au carré du rayon. 

169. Les cordes communes à un cercle fixe et à tous les cercles que 
l'on peut mener par deux points donnés, passent par un point fixe. 

170. Dans tout triangle, la demi-différence de deux côtés est la moyenne 
proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où 
ce côté est coupé par la bissectrice et la hauteur issues du sommet de 
l'ande opposé; de môme, la demi-somme de deux côtés est la moyenne 
proportionnelle des distances du milieu du troisième côté aux points où 
ce côté est coupé par la bissectrice du supplément de l'angle opposé et 
par la hauteur issue du sommet de cet angle. 

171 . Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit à ce triangle, 
on mène la bissectrice AD de l'angle A qui coupe BC en D et le cercle 
circonscrit en E, et la bissectrice AD' du supplément de l'angle A qui 
coupe BG prolongé en D'et le cercle circonscrit en E' : démontrer queBE 
est la moyenne proportionnelle de EA et de ED, et que BE' est la moyenne 
proportionnelle de E'A et de E'D'. 

172. On donne l'angle au sommet d'un triangle en grandeur et en po- 
sition, et la somme des inverses des côtés qui comprennent cet angle : 
démontrer que la base du triangle passe par un point fixe. 

173. Deux droites se coupent à angle droit dans un cercle ou hors d'un 
cercle : démontrer que la somme des carrés des deux droites opposées 
déterminées par leurs points d'intersection avec la circonférence est égale 
au carré du diamètre, ainsi que la somme des carrés des quatre segments 
des deux droites données. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 38^ 

174. Si, dans le problème précédent, AB et CD sont les cordes inter- 
ceptées par la circonférence sur les deux droites données qui se coupent 
perpendiculairement en E, on a 



175 



ABVcD'-f-40E'=:80A' 



75. Soit un demi-cercle décrit sur AB; deux cordes quelconques AD 
et BG se coupent en P : démontrer que 

ÂB^ = AD.AP-+-BG.BP. 

176. Dans un triangle quelconque ABC, soient M le milieu de la base 
BC, I son point de contact avec le cercle inscrit au triangle, H et K les 
points de rencontre de la hauteur et de la bissectrice issues du sommet 
A avec BG : démontrer la relation 

MI.H1 = MH.KI. 

177. R, r, pi, p2, p3, étant les rayons du cercle circonscrit, du cercle 
inscrit et des cercles ex-inscrits à un triangle quelconque, et d^ Sj, 02, S3, 
étant les distances da centre du cercle circonscrit aux centres des cercles 
inscrit et ex-inscrits : démontrer les relations 

ir- = ^2^aRr^5f-2Upi = a|-2Rp2^5i-2Rp3^^ '"^^'^^^"^^' 

178. Si ABCD est un parallélogramme, et si Ton décrit un cercle pas- 
sant par A et coupant respectivement en F, H, G, les côtés AB et AD 
et la diagonale AC, démontrer la relation 

AB.AF-4-AD.AH = AC.AG. 

179. Étant donnés deux cercles concentriques, mener au plus petit 
une tangente telle, que, si l'on joint respectivement les points A et B 
où elle coupe le second cercle avec deux points G et D donnés dans le 
plan des deux cercles, les droites AG et BD soient parallèles. 

180. Deux cercles A et B se touchent en C; d'un point D quelconque 
extérieur à ces cercles, on voit sous le même angle les rayons AC et BC. 
Si du point D on mène aux deux cercles les tangentes DE et DF, on a 

de.df=dg'. 

181. Si, du sommet d'un angle A d'un triangle quelconque ABC, on 
iène une droite AB' a nti -parallèle à AC par rapport à l'angle C, puis une 



388 GÉOMÉTRIE PLANE. 

droite AO antr-parallèle à AC par rapport à l'angle B, on obtient sur le 
troisième côté BC trois segments B'C, BC, CB', dont les deux extrêmes BC 
et CB' sont, l'un BC adjacent au côté AB, l'autre CB' adjacent au côté AC; 
démontrer : 

1° Que chaque côté de l'angle A est moyen proportionnel entre le troi- 
sième côté et le segment qui lui est adjacent; 

2° Que les deux droites AC'et AB' sont égales entre elles, et que cha- 
cune d'elles est moyenne proportionnelle entre les deux segments ex- 
trêmes BC et CB'. 

182. Dans tout triangle, la somme des perpendiculaires abaissées du 
centre du cercle circonscrit sur les trois côtés est égale à la somme des 
rayons des cercles inscrit et circonscrit. 

183. Par deux points donnés, faire passer un cercle qui coupe en deux 
parties égales une circonférence donnée. 

184. Si les bissectrices des angles à la base d'un triangle sont égales, 
ce triangle est isocèle. 

185. ABC étant un triangle quelconque, D le miheu de la base, E le 
pied de la hauteur abaissée sur cette base, L le pied de la bissectrice de 
l'angle opposé A, enfin H et K les points de contact de BC avec le cercle 
inscrit au triangle et le cercle ex-inscrit dont le point de contact est entre B 
et C, démontrer les relations 

LH.LK = LD.LE, HD.HE = DE.HL. 

186. Quatre points étant sur une môme circonférence, dans chacun des 
triangles formés par ces quatre points pris trois à trois, existe un point 
de rencontre des hauteurs : démontrer que ces quatre points de rencontre 
sont sur une même circonférence égale à la première. 

187. La somme 8es carrés des trois côtés d'un triangle est égale: 

1° A deux fois la somme des produits de chaque hauteur par la portion 
comprise sur elle entre le sommet correspondant et le point de concours 
des trois hauteurs ; 

2° A douze fois le carré du rayon du cercle circonscrit, moins la somme 
des carrés des trois droites qui unissent les sommets au point de concours 
des trois hauteurs. 

§ III. — Similitade des polygones. 

188. Si les trois côtés d'un triangle font respectivement avec les trois 
côtés d'un autre triangle des angles égaux, ces deux triangles sont sem- 
blables. 



QUESTIONS PROPOSÉES. SSq 

189. Étant donné un triangle ABC, y inscrire un triangle semblable à 
un triangle donné, et qui ait l'un de ses sommets en un point donné sur 
l'un des côtés du triangle ABC. 

190. Un billard circulaire étant donné, dans quelle direction faut-il 
lancer la bille pour qu'elle revienne au point de départ, après aroir frappé 
deux fois la bande? 

194. Si un triangle circonscrit à un triangle fixe se meut en restant 
semblable à lui-même, un point quelconque de son plan décrit une cir- 
conférence. 

192. On donne une droite XY et un angle BAC dont le sommet est en 
un point fixe A hors de cette droite. Le point B étant le point commun à 
la droite XY et au côté BA, on prend sur l'autre côté de l'angle BAC un 
point G tel, qu'on ait 

AB.AC=À^ 

Déterminer le lieu décrit par le point G lorsque l'angle BAG tourne autour 
de son sommet. 

193. Mener à un cercle donné, par deux points donnés extérieurement, 
deux sécantes qui se coupent sur le cercle, et dont les deux autres points 
d'intersection avec la circonférence déterminent une corde parallèle à une 
direction donnée. 

194. Inscrire dans un triangle donné un triangle semblable à un triangle 
donné, et qui soit minimum. 

195. Circonscrire au système de trois cercles donnés un triangle sem- 
blable à un triangle donné, et qui soit maximum. 

196. Inscrire dans un triangle donné trois cercles dont les rayons et 
les distances des centres soient dans un rapport donné, et qui forment un 
système minimum. 

197. Trouver le lieu du troisième sommet d'un triangle semblable à 
un triangle donné, et dont un sommet reste fixe, tandis que l'autre décrit 
une droite ou une circonférence donnée. 

198. On donne un point A et une droite BG; trouver le lieu des points M 
qui divisent les sécantes AN menées du point à la droite, de manière 
qu'on ait 

AM.AN = X'. 

199. Les diagonales AC, BD d'un quadrilatère inscrit ABGD se coupent 
en E : démontrer qu'on a 

AB.BG BE 
AD.DC~ED' 



SgO GÉOMÉTRIE PLANE. 

200. Si un carré DEFG tst inscrit dans un triangle rectangle ABC, do 
manière qu'un côté DE du carré coïncide avec l'hypoténuse BC, ce côté 
est moyen proportionnel entre les deux segments BD et EC de l'hyvo- 
ténuse. 

201. La droite AB étant divisée aux points C et D de manière qu'on ait 

AB_ AC 

AC ad' 

si Ton mène par le point A une autre droite AE égale à AC, démontrer 
que l'angle BED a EG pour bissectrice. 

20^. Si deux cordes se coupent dans ihi cercle, de manière que les seg- 
ments de l'une présentent le même rapport que les segments de l'autre, 
la bissectrice de l'angle formé par deux segments homologues passe par 
le centre du cercle. 

203. Ondonneun triangle ABC rectangle en A ; une perpendiculaire DE 
à l'hypoténuse coupe le côté BA en D, le côté CA en F; on mène les 
droites CD, BF, qui se coupent : lieu des points M d'intersection. 

204. Un triangle BAC étant inscrit dans une demi-circonférence, une 
perpendiculaire menée en D à l'hypoténuse BC coupe les côtés BA et AC 
du triangle et la demi-circonférence aux points E, G, F : démontrer la 
relation 

df' = de.dg. 

205. Si, d'un point A d'une circonférence, on mène les cordes AB, 
AC, etc., qu'on les coupe par une corde DE parallèle à la tangente en A, 
le produit de chaque corde issue du point A par le segment compris sur 
elle entre le point A et la corde DE, est constant. 

206. Étant donnés un parallélogramme ABCD et deux points P et Q 
sur les côtés AD et CD, si l'on mène par ces points, dans une direction 
quelconque, deux parallèles qui rencontrent respectivement en M et 
en M' les deux côtés AB et CB, le produit AM.CM' est constant. 

207. On donne trois droites parallèles et deux points P et Q ; si, autour 
de ces points, on fait tourner deux droites qui se coupent sur l'une des 
trois parallèles et qui rencontrent respectivement les deux autres en M 
et en M', la droite MM' passe par un point fixe. 

208. Si, par le sommet d'un angle donné et par un point extérieur à 
cet angle, on fait passer une série de cercles, ces cercles divisent les deux 
côtés de l'angle en parties proportionnelles. — Quel est le lieu du milieu 
des cordes interceptées entre les côtés de Pangle donné? 



QUESTIONS PROPOSÉES. SqI 

209. Quand un losanjie ABCD est circonscrit à un cercle, toute tan- 
gente MM' à ce cercle détermine sur les côtés AB et AD deux segments 
BM et DM' dont le produit est constant. 

210. Deux cercles tangents extérieurement étant donnés, la portion 
de tangente commune extérieure comprise entre ses deux points de con- 
tact est la moyenne proportionnelle des diamètres des deux cercles. 

2H. Trouver dans le plan d'un triangle ABC un point tel, que les 
circonférences passant par ce point et deux des sommets du triangle soient 
entre elles comme trois droites données. 

2i2. Si, sur les deux côtés AB et AC d'un triangle ABC, on décrit des 
cercles de manière que leur second point d'intersection se trouve sur la 
base BG ou sur son prolongement, les diamètres de ces cercles sont pro- 
portionnels aux côtés sui lesquels on les a respectivement décrits. 

213. CDE étant la tangente commune à deux circonférences et rencon- 
trant la ligne des centres AB au point E, si l'on mène aux deux circon- 
férences une sécante FGHKE, démontrer la relation 

EC.ED-zEF.EK = EG.EII. 

214. Si un cercle quelconque touche deux autres cercles donnés, la 
droite qui unit les deux points de contact passe par un point fixe. 

213. Lorsque deux triangles ont deux angles égaux et deux angles sup- 
ptémentciires chacun à chacun, les côtés de ces triangles respectivement 
opposés à ces angles sont proportionnels. 

216. Soient dans un cercle le diamètre AB et la perpendiculaire AC à 
ce diamètre; si, par un point C quelconque de cette perpendiculaire, on 
mène au cercle une seconde tangente CD, la perpendiculaire DE, menée 
par le point de contact D au diamètre AB, est divisée en deux parties 
égales par la droite CB. 

217. On donne deux cercles dont l'un a pour centre un point de la 
circonférence de l'autre; si l'on mène au cercle une tangente quel- 
conque qui rencontre l'autre cercle en M et en M', le produit OM.OM' 

est constant. 

218. Inscrire un carré dans un triangle. — Discussion. 

219. Inscrire dans un rectangle donné un rectangle semblable à un 
autre rectangle donné. — Discussion, 

220. Un angle AOB, tournant autour de son sommet 0, intercepte sur 
les côtés d'un angle fixe, supplémentaire du premier, une corde AB : 
trouver le lieu des points qui divisent cette corde dans un rapport donné. 



392 GBOMÉTRIE PLANE. 

221. «r, b^ c, désignant les longueurs des trois côtés d'un triangle; 
p^ r/, r, celles des trois hauteurs; x., /, z, les côtés des trois carrés in- 
scrits; x\ y, a', les côlés des trois carrés ex-inscrits : démontrer les re- 
lations 



I I 

_ + _, 

p a 


I I I 

J 7 ^ 


I I I 


I I 


I I I 


I 1 I 


— % 


J'-7,~V 


— :n: — • 


p a' 


Z r C 



222. Sur la base BG d'un triangle ABC, on décrit extérieurement au 
triangle un carré BCDE; on mène les droites AD et AE qui coupent BC 
en P et Q : démontrer que PQ est égal au côté du carré inscrit dans le 
triangle ABC et reposant sur BG. 

223. Dans tout triangle ABG, le produit des distances des points B et C 
à la bissectrice de l'angle intérieur A, est égal au produit de la bissec- 
trice de l'angle extérieur supplémentaire par la distance du milieu de BG 
à la première bissectrice; de même, le produit des distances des points B 
et C à la bissectrice de l'angle extérieur A est égal au produit de la bis- 
sectrice de l'angle intérieur supplémentaire par la distance du milieu 
de BG à la première bissectrice. 

224. La distance d'un point M d'une circonférence à une corde quel- 
conque est la moyenne proportionnelle des distances du même point aux 
tangentes menées par les extrémités de- la corde considérée. 

225. Le produit des distances d'un point quelconque d'une circonfé- 
rence à deux côlés opposés d'un quadrilatère inscrit dans cette circonfé- 
rence, est égal au produit des distances du même point aux deux autres 

côtés. 

226. Si des trois sommets d'un triangle et du point de rencontre de 
ses médianes, on mène des parallèles dans une direction donnée jusqu'à 
un axe quelconque, la dernière parallèle est la moyenne arithmétique des 
trois premières. 

227. Étant donnés deux triangles et un point, mener par ce point une 
droite telle, que les sommes respectives des distances des sommets des 

deux triangles à cette droite soient dans un rapport donné — • 

§ IV. — Relations métriques entre les différentes parties 
d'un triangle. 

228. Si, du milieu d'un des côtés d'un triangle rectangle, on abaisse 
une perpendiculaire sur l'hypoténuse, la difîérence des carrés des seg- 



QUESTIONS PIlOrOSÉES. SqS 

ments déterminés sur l'hypoténuse est égale au carré de l'autre côté du 
triangle. 

229. Soit l'angle droit AOB placé au centre de la circonférence OA. 
D'un point quelconque C pris sur l'arc AB, on abaisse sur OA ou sur OB 
la perpendiculaire CD, qui rencontre en E le rayon, bissectrice de l'angle 
AOB : démontrer la relation 

CD'-f-DË' = ÔÂ'. 

230. Si, d'un point pris dans le plan d'un polygone, on abaisse des per- 
pendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommes des carrés des segments 
ainsi déterminés, pris alternativement, sont égales. 

231. Étant donné un cercle 0, on décrit un demi-cercle sur l'un de 
ses rayons OA, et l'on mène à ce rayon une perpendiculaire CDE qui 
coupe le cercle en D et le demi-cercle OA en E : démontrer la relation 

Âd'=:2ÂË'. 

232. Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est 
le double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des 
côtés opposés. 

233. Soit G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC; dé- 
montrer la relation 

Âb' + ÂcVbc'= 3(ÂG'H-BG'-f-CG'). 

— En déduire le rapport de la somme des carrés des côtés d'un triangle 
à la somme des carrés de ses médianes. 

234. Soient G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC, 
et M un point quelconque pris dans son plan: démontrer la relation 

MÂV Mb' -f- MC' = Ag' + Bg' + Cg' -t- 3MG\ 

235. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la 
gomme des carrés des distances aux trois sommets du triangle est con- 
stante et égale à un carré donné P, 

236. La somme des carrés de deux côtés d'un quadrilatère, plus la 
somme des carrés des diagonales, est égale à la somme des carrés de£ 
deux autres côtés, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les mi- 
lieux de ces côtés. 

237. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à la 



394 GÉOMÉTRIE PLANE. 

scmme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit dtîs 
bases. 

238. Si l'on prend deux points à égale distance du centre sur le dia- 
mètre d'un cercle, la somme des carrés des distances d'un point de la cir- 
conférence à ces deux points est constante. 

239. Dans tout triangle ABC, le produit des distances des points B etC 
è la bissectrice de l'angle intérieur A est égal au carré de la moitié de BC, 
diminué du carré de la demi-différence des côtés AB et AC; de mémo, le 
produit des distances des points B et C à la bissectrice de l'angle exté- 
rieur A est égal au carré de la demi-somme des côtés AB et AC, diminué 
du carré de la moitié de BC. 

240. Le sommet A d'un rectangle ABCD est fixe, les sommets B et D 
se meuvent sur un même cercle ; quel est le lieu du sommet C opposé au 
sommet A? 

241. Trouver le lieu des points qui partagent les diverses cordes d'un 
cercle donné en deux segments (additifs ou soustractifs) dont le produit 
soit constant, 

242. Étant donnés un cercle et un point P, trouver le lieu des 
points M tels, que la distance MP soit égale à la tangente menée du 
point M au cercle 0. 

243. b et c étant les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et h 
la hauteur qui correspond à l'hypoténuse, démontrer la relation 

II I 

244. «, b, r, étant les côtés d'un triangle rectangle en A, et /i la hau- 
teur qui correspond à l'hypoténuse «, le triangle qui a pour côtés b -h c, 
/i ei a -h h, est aussi rectangle. 

245. Si un triangle équilatéral a ses sommets respectivement situés sur 
trois droites parallèles, et si ^ et c sont les distances de la parallèle inter- 
médiaire aux deux autres, le côté du triangle a pour expression 



V 



bc 



246. Dans tout trapèze, la différence des carrés des diagonales est à la 
différence des carrés des côtés non parallèles comme la somme des côtés 
pa-allèles est à leur différence. 

2n. Calculer les diagonales d'un trapèze, connaissant ses quatre côtés. 



QUESTIONS PROPOSÉES. SgS 

248. ABCD est un quadrilatère, E le milieu de la droite qui unit les 
milieux des diagonales ; si du point E comme centre on décrit un cercle, 
montrer que la somme des carrés des distances d'un point P de ce cercle 
aux quatre sommets A,.B, C, D, est constante et égale à la somme 
des carrés des distances du centre E aux mêmes sommets, plus quatre 

fois ËP\ 

249. Une corde PAQ coupe en A le diamètre d'un cercle sous un angle 

de 45 degrés, démontrer que AP h- AQ est égale à deux fois le carré du 
rayon. 

250. Si deux cordes se coupent dans un cercle, la différence de leurs 
carrés est égale à la différence des carrés des différences de leurs seg- 
ments. 

251. Si Ton prend un point dans l'intérieur d'un rectangle, les sommes 
des carrés des distances de ce point à deux sommets opposés sont égales. 

252. Si l'on mène une tangente à un cercle, la partie de cette tangente 
interceptée par les tangentes menées aux extrémités d'un même diamètre 
est divisée au point de contact en deux segments dont le produit est égal 
au carré du rayon. 

253. Si, autour de deux points A et B d'une circonférence, on fait tour- 
ner les côtés d'un angle droit M, et que du point N où le côté BM coupe 
la circonférence on abaisse la perpendiculaire NP sur le diamètre AA', le 

rapport -j^ est constant. 

254. Si l'on prend respectivement sur les trois côtés BC, CA, AB, d'un 
triangle ABC, trois points a, p, 7, tels, qu'on ait 

(b^/ - C^') -H (C^' - Ip) -4- {l'y' - B^') = o, 

les perpendiculaires élevées par ces points sur les côtés du triangle con- 
courent en un même point. 

255. Déduire de la proposition précédente : 

i** Que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle 
se coupent en un même point, qu'il en est de même des trois hauteurs 
et des perpendiculaires menées aux côtés d'un triangle par les points de 
contact des trois cercles ex-inscrits, 

2" Que si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC 
sur les côtés d'un triangle A'B'C se coupent en un même point, récipro- 
quement les perpendiculaires menées des sommets du triangle A'B'C'sui 
les côtés du triangle ABC sont aussi concourantes. 



3q6 géométrie plane. 

256. Soit un triangle ABC rectangle en A, et partagé en deux autres 
triangles rectangles par la perpendiculaire AD abaissée du sommet A sur 
l'hypoténuse; si l'on désigne par R, r, /•', les rayons des cercles inscrits 
dans les triangles ABC, ABD, ACD, on a 

257. Dans un triangle quelconque, une perpendiculaire étant menée du 
sommet sur la base, cette base est à la somme des deux autres côtés 
comme leur différence est à la différence ou à la somme des segments de 
la base, suivant que la hauteur considérée tombe en dedans ou en dehors 
du triangle. 

258. Si un côté de l'angle droit d'un triangle rectangle est double de 
l'autre, la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur l'hypo- 
ténuse la divise en deux segments qui sont dans le rapport de i à 4- 

259. Deux cercles dont les rayons sont dans le rapport de 2 à 3 se 
touchent intérieurement, et par le centre du plus petit cercle on mène une 
droite perpendiculaire à la ligne des centres; démontrer que les tangentes 
menées au plus petit cercle par les points où cette perpendiculaire ren- 
contre le plus grand sont à angle droit l'une sur l'autre. 

260. Deux cercles sont tangents en ; par le point 0, on mène à angle 
droit l'une sur l'autre les sécantes communes POP', QOQ'; A et A' étant 
les points où la ligne des centres coupe les deux cercles, démontrer la 
relation 

pp'Vqq' = ââ''. 

261. AOB est un quadrant; si l'on tire la corde Q7 parallèle à la 
corde AB, en la prolongeant jusqu'à ses points de rencontre R et r avec 
les rayons AO et OB, on a 

Qr' -h qT-' = âb'. 



§ V. — Problèmes relatifs aux lignes proportionnelles. 

202. Mener par un point donné entre deux droites données une droite 
telle, que le point donné la partage dans un rapport donné — • 

203. Étant donnés deux points sur une circonférence, déterminer sur 
celle circonférence un troisième point tel, que le rapport de ses distances 

aux deux premiers soit égal à un rapport donné — • 



QUESTIONS PROPOSÉES. 3g^ 

264. Déterminer hors d'un cercle un point tel, que la somme des deux 
tangentes menées au cercle par ce point soit égale à la sécante entière 
qui passe par ce point et le centre du cercle. 

265. Inscrire dans un triangle un rectangle dont le rapport des côtés 
soit donné. 

266. On donne sur deux parallèles deux points A et B, et un point G 
extérieur à ces parallèles. Mener par le point G, à ces parallèles, une sé- 
cante dont les distances des points d'intersection aux points A et B soient 
dans un rapport donné. 

267. Déterminer le point dont les dislances à trois points donnés sont 
dans des rapports donnés. 

268. Étant donnés une circonférence et un point, mener par le point 
une sécante qui soit divisée par cette circonférence dans un rapport 
donné. 

269. On donne deux cercles qui se coupent : mener par un de leurs 
points d'intersection une sécante telle, que le produit des deux cordes in- 
terceptées soit égal à un carré donné. 

270. Déterminer sur la bissectrice de l'angle A d'un triangle ABG le 
point M pour lequel la différence des angles MBG et MCB est maximum. 

271. Inscrire dans un triangle un parallélogramme semblable à un pa- 
rallélogramme donné. 

272. Décrire un cercle qui coupe en deux parties égales trois circon- 
férences données. 

273. Construire un triangle, connaissant sa base, la somme ou la dif- 
férence des deux autres côtés, et sachant que son troisième sommet est 
situé sur une droite donnée. 

27i. Gonstruire un triangle, connaissant un côté, un angle et le rapport 
des deux autres côtés. 

27b. Gonstruire un triangle, connaissant deux côtés et la longueur de 
la bissectrice de l'angle qu'ils comprennent. 

276. Dans un cercle donné, inscrire un triangle : 

1° Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres 
côtés passant respectivement par deux points donnés sur cette droite; 

2° Tel que sa base soit parallèle à une droite donnée, ses deux autres 
côtés passant respectivement par deux points donnés d'une manière quel- 
conque; 

3** Tel que ses trois côtés passent respectivement par trois points don- 
nés d'une manière quelconque. 



3^3 GÉOMÉTRIE PLANE. 

277. Construire un triangle, connaissant le produit de deux côtes, la 
médiane relative au troisième côté et la différence des angles adjacents à 
ce côté. 

278. Construire un triangle, connaissant un angle, la hauteur relative 
au côté opposé et la somme ou la différence des deux autres côtés. 

279. Par deux points donnés, mener à une circonférence donnée deux 
sécantes qui se coupent sur la circonférence, et dont les deux autres 
points d'intersection déterminent une corde parallèle à la droite qui joint 
les deux points donnés. 

280. Étant données trois circonférences concentriques, construire un 
triangle semblable à un triangle donné et qui ait ses sommets respective- 
ment situés sur les trois circonférences données. 

281 . Construire un carré, connaissant la somme ou la différence de sa 
diagonale et de son côté. 

282. Étant données deux droites qu'on ne peut prolonger, mener par 
un point donné une droite qui aille passer par le point de concours in- 
connu des deux premières. 

283. Mener par le point d'intersection de deux circonférences une sé- 
cante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux circonférences 
soient dans un rapport donné. 

28i. On donne deux droites et un point dans leur angle; déterminer 
sur l'une d'elles un point qui soit à la même distance du point donné et 
de la seconde droite. 

285. Partager, lorsque cela est possible, une droite donnée en deux 
parties telles, que la somme de leurs carrés soit égale à un carré donné. 

286. Diviser une droite donnée en deux parties telles, que la somme de 
leurs carrés soit minimum. 

287. Partager une droite donnée en trois parties telles, que la pre- 
mière et la seconde soient dans le rapport de deux droites données M 
et N, et la seconde et la troisième dans le rapport de deux autres droites 
données P et Q. 

288. Déterminer le point dont les distances aux trois côtés d'un triangle 
sont proportionnelles à trois droites données. 

289. Mener, par un point pris à l'intérieur d'un angle donné, une 
droite limitée aux côtés de l'angle et partagée par le point en moyenne 
et extrême raison. 



QUESTIONS PROPOSÉES. Sgg 

0. Construire un trapèze, connaissant les deux diagonales et les deux 
côtés non parallèles. 

291. Par un point donné, faire passer une circonférence qui touche 
deux droites données. 

292. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à 
deux circonférences données. 

293. Par un point donné, faire passer une circonférence tangente à une 
droite et à une circonférence données. 

294. Construire une circonférence tangente à deux droites données et 
à une circonférence donnée. 

295. Construire une circonférence tangente à une droite donnée et à 
deux circonférences données. 

§ VI. — Polygones réguliers. 

296. En joignant de deux en deux les sommets d'un pentagone régulier 
on en prolongeant ses côtés de deux en deux, les points d'intersection 
obtenus forment intérieurement ou extérieurement un autre pentagone 
régulier. 

297. Si l'on prolonge deux côtés AB et CD d'un polygone régulier de 
centre 0, séparés par un seul côté BC, jusqu'à leur rencontre en E, le 
quadrilatère AECO est inscriptible. 

298. Prouver qu'on peut exécuter un pavage, soit avec des triangles 
équilatéraux, soit avec des carrés, soit avec des hexagones réguliers. -- On 
ne peut le faire en employant des pentagones réguliers ou des polygones 
réguliers de plus de six côtés. 

299. On peut exécuter un pavage, soit en assemblant à la fois des carrés 
et des octogones réguliers de même côté, soit en assemblant des triangles 
équilatéraux et des dodécagones réguliers de même côté, soit en assemblant 
des décagones et des pentagones réguliers de même côté. 

300. Un polygone équilatéral inscrit dans un cercle est régulier. — Un 
polygone équilatéral circonscrit à un cercle est régulier, si le nombre de 
ses côtés est impair. 

301. Un polygone équiangle inscrit dans un cercle est régulier, si le 
nombre de ses côtés est impair. — Un polygone équiangle circonscrit à un 
cercle est régulier. 

302. Si Ton rapporte un polygone régulier à deux axes coordonnés, les 
co'jidonnées de son centre sont respectivement les moyennes arithmétiques 



^QQ GÉOMÉTRIE PLANE. 

des coordonnées de ses différents sommets par rapport aux axes considérés. 
~ Application au triangle équilatéral. 

303. Si des sommets d'un triangle équilatéral inscrit, on mène des per- 
pendiculaires sur un diamètre du cercle circonscrit, l'ordonnée qui tombe 
d'un côté de ce diamètre est égale à la somme des deux ordonnées qui 
tombent de l'autre côté; de même, l'abscisse qui tombe d'un côté du centre 
est égale à la somme des deux abscisses qui tombent de l'autre côté. 

304. La somme des distances d'un point pris à l'intérieur d'un poly- 
gone régulier aux m côtés de ce polygone est égale à m fois l'apothème. 
— Considérer le cas où le point choisi est extérieur. 

305. Si d'un point P du cercle circonscrit à un triangle équilatéral ABC, 

2 2 2 

on mène des droites à ses sommets, la somme PA + PB ■+■ PC est con- 
stante. — Si ABCP, A'B'C'P', sont deux cercles concentriques dans lesquels 
soient inscrits les triangles équilatéraux ABC, A'B'C, on a 

ÂF'-t- bf'-h cp''= ÂTp'-i- bt'-+- ct\ 

306. AB et AC étant les côtés du pentagone et du décagone régulkir 
inscrits dans un cercle dont le centre est 0, on mène la bissectrice de 
l'angle AOC qui coupe en D le côté AB : démontrer la similitude des trian- 
gles ACB et ACD, ainsi que celle des triangles AOB et DOB, et en déduire 
la relation connue 

âb'= agVôâ\ 

307. Deux diagonales d'un pentagone régulier qui n'aboutissent pas au 
même sommet se coupent en moyenne et extrême raison. 

308. Dans un polygone inscrit d'un nombre de côté pair, la somme 
des angles de rang impair est toujours égale à la somme des angles de 
rang pair. 

§ VII. — Problèmes sur les polygones réguliers. 

309. Sur une droite donnée comme côté, décrire un octogone régulier. 

310. Inscrire un carré dans Tespace compris entre deux cercles sécants 
égaux. 

311. Inscrire un triangle équilatéral dans un carré donné, en plaçant 
l'un de ses sommets soit en l'un des sommets du carré donné, soit au 
milieu d'un de ses côtés. 

312. Sur une droite donnée comme diagonale, décrire un pnrallélo- 
gramme dont les angles soient doubles l'un de l'autre. — Déduire de la 
Solution de ce problème un moyen d'opérer la trisection de l'angle droiv. 



QUESTIONS PROPOSÉES. l^OI 

313. Connaissant le côté d'un polygone régulier inscrit dans un cercle, 
calculer le côté du polygone régulier inscrit d'un nombre de côtés deux 
fois moindre. — Appliquer cette formule à la recherche du côté du pen- 
tagone régulier, connaissant le côté du décagone régulier. 

314. Sur le diamètre AB d'un cercle 0, on construit un triangle équi- 
latéral ABC; on divise AB en n parties égales, et l'on joint le sommet C 
à l'extrémité D de la seconde division ; CD prolongée coupe le cercle en F, 
et l'on demande de calculer la corde AF. — Examiner les cas particuliers 
de « = 3, 4, 6. 

315. Trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances 
aux sommets d'un polygone régulier est constante et égale à un carré 
donné. 

316. Connaissant l'apolhème du décagone régulier, calculer son côté et 
le rayon du cercle circonscrit. 

317. Dans une circonférence 0, on trace les deux diamètres perpen- 
diculaires AB et CF; du point D milieu de OC comme centre, avec DA 
pour rayon, on décrit un arc de cercle jusqu'à sa rencontre au point E 
avec le diamètre CF : démontrer que OE représente le côté du décagone 
régulier et AE celui du pentagone régulier inscrit. 

318. Calculer les rayons des cercles inscrit et circonscrit au triangle 
équilatéral, au carré, au pentagone, à l'hexagone, au décagone et au do- 
décagone, en prenant pour unité le côté du polygone régulier considéré. 

319. Calculer l'apothème du pentagone, de l'hexagone, du décagone et 
du dodécagone régulier, en prenant pour unité le rayon du cercle cir- 
conscrit. 

320. Connaissant le rapport du périmètre d'un polygone régulier inscrit 
au périmètre du polygone régulier circonscrit semblable, calculer les pé- 
rimètres de ces deux polygones en prenant pour unité le diamètre du 
cercle donné. 

321. m étant le rapport des périmètres des polygones réguliers inscrit 
et circonscrit d'un même nombre de côtés, et m' le rapport des périmètres 
des polygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés doubles 
démontrer la relation 



•w- 



I 



322. Inscrire dans un triangle équilatéral donné trois cercles égaux 
tangents entre eux, et déterminer leur rayon en fonction du côté du 
triangle. 

R. fit DE C. — Tr. de Géom. (!'• Partie). ^^ 



4o2 GÉOMÉTRIE PLANB. 

323. Inscrire dans un carré donné quatre cercles égaux tangents entre 
eux, et déterminer leur rayon en fonction du côté du carré. 

324. Inscrire dans un cercle donné m cercles égaux tangents entre eux, 
et déterminer leur rayon en fonction du rayon du cercle donné et de la 
corde qui sous-tend la w'"'"' partie de sa circonférence. 

§ VIII. — Mesure de la circonférence. 

323. Dans deux circonférences de rayons différents, le rapport des 
angles au centre qui interceptent des arcs de même longueur est égal 
au rapport inverse des rayons. 

326. Si deux circonférences sont tangentes intérieurement à une troi- 
sième circonférence, et si la somme de leurs rayons est égale à celui de 
cette troisième circonférence, l'arc compris entre leurs points de contact 
sur la grande circonférence est égal à la somme des arcs respectivement 
compris sur les circonférences intérieures entre leur point de rencontre 
le plus rapproché de la grande circonférence et les mêmes points de 
contact. 

327. Démontrer que tt est compris entre 3 et 4» par la considération 
des périmètres de l'hexagone régulier inscrit et du carré circonscrit. 

328. Quelle erreur commet-on en remplaçant la demi-circonférence 
d'un cercle par la somme des côtés du triangle équilatéral et du carré 
inscrit dans ce cercle? 

329. Soient dans un cercle le diamètre AB et la corde AC égale au 
rayon ; menons le rayon OD perpendiculaire sur AC, et prolongeons-le 
jusqu'à son point de rencontre en E avec la tangente en A ; portons à 
partir du point E sur cette tangente, et dans le sons EA, une longueur EF 
égale à trois fois le rayon OA; puis menons la droite FB. Quelle erreur 
commet-on en remplaçant par cette droite la demi-circonférence OA? 

330. Si l'on décrit deux demi-cercles égaux sur le diamètre d'un demi- 
cercle donné, si l'on inscrit un cercle dans l'espace compris entre les trois 
demi-circonférences, le diamètre de ce cercle est à celui des cercles égaux 
dans le rapport de a à 3. 

331 . Connaissant les longueurs «, 6, c, des cordes de trois arcs formant 
ensemble la demi-circonférence, chercher de quelle^ équation dépend le 
diamètre x du cercle considéré. 

332. Évaluer le périmètre du polygone régulier de vingt côtés formé 
par les mterseclions successives dus côtés du dé':agone régulier étoile. 



QUESTIONS PUOPOSÉKS. 

333. Démontrer les formules 

TV 1 1 a 



4o3 



v/a \Ji-i-\fl y2 4-v/2-h\/â 



(indéfiniment); 



TT = lim .2"' Y 2 — Y s 



)ans la dernière formule, le nombre m, qu'il faut faire croître indéfini- 
ment, est égal au nombre des radicaux placés sous le premier radical. 

334. Soient p et p' les demi-périmètres de deux polygones réguliers 
inscrits dans le cercle de rayon i , le second polygone ayant deux fois plus 
de côtés que le premier. — Démontrer que l'expression 

P'-^\{P'-P) 

est une valeur de tt approchée par défaut, et que l'erreur correspondante 
est moindre que 

Z[ip-^p') 
APPENDICE DU TROISIÈME LIVRE. 

335. A, B, C, D, étant quatre points en ligne droite, on a, en grandeur 
et en signe, la relation 

AB.CD -f- AC.DB h- AD.BG = o. 

336. Si l'on désigne par p le premier des six rapports anharmoniqies 
distincts 

(ABCD), (ACBD), (ADBC), (ABDC), (ACDB), (ADCB), 

auxquels donnent lieu quatre points, A, B, C, D, en ligne droit©, les cinq 
autres ont respectivement pour valeurs 



>-P» 



? i-p 



337. Si les points P et P' divisent harmoniquement la droite AB, étant 

le milieu de AB, I le milieu de PP', et M un point pris arbitrairement 

sur AB, on a 

MP.MP'4- MA. MB = 2MI.MO. 

338. La moyenne proportionnelle de deux droites est aussi la moyenne 
proportionnelle de leur moyenne arithmétique et de leur moyenne har- 
monique. 



4o4 GÉOMÉTRIE PLANE. 

339. Si A, B, C, D et A', B', C, D', sont deux systèmes de quatre points 
correspondants, situés sur deux droites distinctes L et L' et ayant môme 
rapport enharmonique, les trois droites PB, PC, PD, issues d'un point 
quelconque P de AA', coupent respectivement les trois droites P'B', P'C, 
P'D', issues d'un autre point quelconque F de AA', en trois points p, 7, S, 
situés en ligne droite. 

340. A, B, C, D et A', B', C, D', étant deux systèmes de quatre points 
correspondants, situés sur deux droites L et L' qui se coupent en A, si 
l'on prend dans leur plan deux points quelconques et 0', les droites OB, 
OC, OD, coupent respectivement les droites correspondantes O'B', O'C, 
O'D', en trois points p, 7, <J, situés en ligne droite. 

341. A, B, C, étant trois points d'une droite L, et A', B', C, trois points 
correspondants d'une autre droite L', prouver que les trois couples de 
droites AB' et A'B, AC et A'C, BC et B'C, se coupent en trois points \ 
f*, V, situés en ligne droite. 

342. Si les trois côtés d'un triangle tournent autour de trois points fixes 
situés en ligne droite, et si deux sommets glissent sur deux droites fixes, 
le troisième sommet décrit une ligne droite. 

.343. Si les côtés d'un polygone tournent autour d'autant de points fixes 
situés en ligne droite, et si tous les sommets moins un glissent sur des 
droites fixes, le dernier sommet décrit une ligne droite; et il en est de 
même du point de rencontre de deux côtés quelconques non conligus. 

344. Si les trois sommets d'un triangle glissent sur trois droites fixes 
qui se coupent en un même point, et si deux de ses côtés tournent autour 
de deux points fixes, le troisième côté passe par un point fixe en ligne droite 
avec les deux premiers. 

343. Si les sommets d'un polygone glissent sur autant de droites fixes 
qui concourent en un même peint, et si tous les côtés moins un tournent 
autour d'autant de points fixes arbitraires, le dernier côté passe par un 
point fixe; et il en est de même d'une diagonale quelconque. 

346. Lorsque trois triangles homologiques deux à deux ont le même axe 
d'homologie, les trois centres d'homologie sont en ligne droite; et lorsque 
trois triangles homologiques deux à deux ont le même centre d'homologie, 
les trois axes d'homologie concourent en un même point. 

347. Lorsqu'une corde d'un cercle tourne autour d'un point fixe 0, la 
somme des deux quotients qu'on obtient en divisant la distance de chaque 
extrémité de la corde à une droite donnée L, par la distance de cette cordo 
à la polaire du point 0, est constante. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 4o5 

3i8. Lorsque le sommet d'un angle circonscrit à un cercle décrit une 
droite L, la somme des deux quotients qu'on obtient en divisant les dis- 
tances de chaque côté de l'angle à un point fixe et au pôle de L est 
constante. 

\ 349. Les polaires des différents points de l'axe radical de deux cercles 
se coupent sur cet axe ; et réciproquement, si les polaires de chaque point 
d'une droite par rapport à deux cercles se coupent sur cette droite, elle 
est l'axe radical des deux cercles. 

350. Les pôles de l'axe radical de deux cercles, pris par rapport à ces 
cercles, divisent harmoniquement la droite qui joint leurs centres de si- 
militude. 

3ol. Si du centre de similitude de deux circonférences on leur mène 
deux sécantes, les cordes qui joignent dans les deux circonférences les 
points d'intersection correspondants sont parallèles ; et des huit points 
d'intersection obtenus, quatre quelconques (non situés sur la même sé- 
cante) se trouvent sur une même circonférence, pourvu que parmi les 
quatre points choisis il n'y en ait pas deux homologues. 

352. Un cercle inscrit dans un quadrilatère ABCD, touchant ses côtés 
aux points E, F, G, H, si l'on joint le point d'intersection K des droites 
EH et FG au centre 0, la droite KO est perpendiculaire sur la diago- 
nale AC. 

353. Quand un quadrilatère est circonscrit à deux cercles, chaque dia- 
gonale coupe la ligne des centres en un point qui a la même polaire par 
rapport aux deux cercles. 

354. Si l'on divise un quadrilatère en deux autres par une sécante quel- 
conque, les points de rencontre des diagonales des trois quadrilatères sont 
trois points en ligne droite. 

355. Le rapport anharmonique de quatre points d'un cercle est égal au 
rapport des produits des côtés opposés du quadrilatère inscrit déterminé 
par ces quatre points. 

356. Trois cercles 0, 0', 0", étant donnés, en décrivant un quatrième 
cercle quelconque w et en prenant les axes radicaux du cercle w et de cha- 
cun des cercles donnés, on forme un triangle ABC ; en décrivant un autre 
cercle w', on obtient d'une manière analogue un second triangle A'B'C: 
démontrer que les triangles ABC, A'B'C, sont homologiques. 

357. Lorsqu'une série de cercles ayant leurs centres sur une droite 
donnée coupent orthogonalement un cercle donné, leur axe radical com- 
mun est la perpendiculaire abaissée du centre du cercle donné sur la 

d.-oite donnée. 



4o6 GÉOMÉTRIE PLANE. 

358. Les trois cercles décrits sur les trois diagonales d'un quadrilatère 
complet, comme diamètres, ont deux à deux le même axe radical et 
coupent orthogonalement le cercle circonscrit au triangle formé par les 
trois diagonales. 

359. Lorsque deux triangles sont polaires réciproques par rapport à un 
cercle situé dans leur plan, ils sont homologiques. 

360. Si la base d'un triangle est fixe, la somme ou la différence des 
deux autres côtés restant constante, la polaire du sommet par rapport à 
un cercle quelconque, ayant pour centre l'une des extrémités de la base 
donnée, touche constamment un cercle fixe. 

361 . ABC étant un triangle donné, et «, b^ c, les projections des som- 
mets A, B, C, sur les côtés opposés, les trois couples de droite ab et AB, 
bc et BC, CCI et CA, se coupent en trois points 7, a, ^, situés sur l'axe ra- 
dical des cercles circonscrits aux triangles ABC et abc, 

362. Toute tangente commune à deux cercles donnés est divisée har- 
moniquement par tout cercle dont les axes radicaux avec chacun des cercles 
donnés se confondent. 

363. Dans un cercle donné, inscrire un quadrilatère dont on connaît les 
trois diagonales. 

364. Un triangle étant donné, construire un cercle tel, que chaque som- 
met du triangle soit, par rapport à ce cercle, le pôle du côté opposé. 

365. Décrire un cercle passant par un point donné et coupant orthogo- 
nalement deux cercles donnés. 

366. Étant donnés trois cercles, en décrire un quatrième tel, que les 
trois axes radicaux de ce cercle, comparé successivement à chacun des 
trois premiers, passent par trois points donnés. 

367. Étant donnés six points A, B, C, D, E, F, sur une circonférence, 
marquer sur cette ligne un septième point X tel, que les rapports anhar- 
moniques (XAEC), (XDBF), soient égaux. — Môme question en suppo- 
sant les six points sur une droite donnée. 

368. Étant donnés un polygone de n côtés et n points placés arbitrai- 
rement, inscrire dans ce polygone un autre polygone dont les n côtés 
passent respectivement par les n points donnés. 

369. Étant donné un triangle coupé par Une transversale, si sur chaque 
côté on prend le conjugué harmonique du point de rencontre de la trans- 
versale par rapport aux extrémités de ce côté, les droites qui joignent les 
trois points ainsi obtenus aux sommets opposés passent par un mémo 



point. - 

triansic. 



QUESTIONS PKOruSÉES. 407 

En déduire le théorème du n" 312, relatif aux médianes d'un 



370. Étant donné un triangle coupé par une transversale, si sur deus 
côtés on prend le conjugué harmonique du point de rencontre de ia trans- 
versale par rapport aux extrémités du côté considéré, les deux points 
ainsi obtenus et le point où la transversale coupe le troisième côté sont 
en ligne droite. 

37i. Un triangle ABC inscrit dans un cercle 0, étant coupé aux points 
a, 6, c, par une transversale, si'a, p, y, représentent les longueurs des tan- 
gentes menées des points «, b, c, au cercle 0, démontrer ia relation 

a..^.'^ = kb,^c.Ca = kc.^a,Cb, 

372. Quatre droites dans un même plan, prises trois à trois, forment 
quatre triangles, dans chacun desquels existe un point de rencontre des 
hauteurs; démontrer que ces quatre points sont en ligne droite. 



4o8 



GÉOMÉTRIE PLANE. 



LIVRE IV 

LES AIRES. 



§ I. — Mesure des aires des polygones. 

373. Chercher rexpression de l'aire d'un trapèze, en le considérant 
comme la différence des deux triangles obtenus en prolongeant jusqu'à 
leur point de rencontre ses deux côtés non parallèles. 

374. Étant données les bases et la hauteur d'un trapèze, calculer les 
aires des deux triangles dont il est la différence. 

375. L'aire d'un trapèze est égale au produit d'un de ses côtés non pa- 
rallèles par la perpendiculaire abaissée du milieu de l'autre côté sur le 
premier. 

376. Par un point pris sur la bissectrice d'un angle, mener une droite 
telle, que la partie interceptée par les côlés de l'angle soit minimum ou 
qu'il en soit de même de l'aire du trianale déterminé. 

377. Dans un angle donné, mener une droite minimum qui intercepte 
un triangle dont l'aire soit équivalente à un carré donné. 

378. Si, dans un triangle rectangle, l'un des angles aigus est égal à ^ 

d'angle droit, l'aire du triangle équilatéral construit sur l'hypoténuse est 
égale à la somme des aires des triangles équilatéraux respectivement con- 
struits sur les côtés. 

379. On donne un triangle ABC ; aux points B et C, et d'un même côté 
de BG, on mène à cette droite des perpendiculaires BD et CE qu'on prend 
égales à deux fois la hauteur du triangle ABC. Les points F et G étant les 
milieux des côtés AB et AC, démontrer que le triangle ABC est équiva- 
lent à la somme ou à la différence des triangles BDF, CEG, suivant que 
ses angles en B et en C sont ou non tous les deux aigus. 

380. Les deux triangles opposés, qu'on forme enjoignant un point quel- 
conque pris dans l'intérieur d'un parallélogramme à ses quatre sommetS; 
équivalent ensemble à la moitié du parallélogramme. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 4^9 

381. On donne un rectangle ABCD; on prend un point quelconque E 
sur BG, un point quelconque F sur CD. Démontrer que le rectangle ABCD 
équivaut au double du triangle AEF, augmenté du rectangle ayant pour 
dimensions les segments BE et DF. 

382. Tout rectangle est moitié du rectangle qui a pour dimensions les 
diagonales des carrés construits sur ses côtés adjacents. 

383. Si, par le milieu E de la diagonale BD d'un quadrilatère ABCD, on 
mène la parallèle FEG à la seconde diagonale AG, démontrer que la 
droite AG divise le quadrilatère en deux parties équivalentes. 

384. ABCD étant un rectangle, on inscrit dans le triangle ABC un cercle 
qui touche AB en E et BG en F; on mène ensuite EH parallèle à AD et 

. FK parallèle à CD. Démontrer que le rectangle KH est la moitié du rec- 
tangle ABCD. 

385. Dans un quadrilatère, les perpendiculaires abaissées sur une diago- 
nale des sommets opposés sont égales : on demande de le diviser en quatre 
triangles équivalents par des droites menées d'un point intérieur aux quatre 
sommets. 

386. Si, des sommets d'un triangle jusqu'aux côtés opposés ou à leurs 
prolongements, on mène trois droites égales à une longueur donnée et si, 
d'un point intérieur, des parallèles sont menées à ces droites jusqu'aux 
mêmes côtés, la somme de ces parallèles est égale à la longueur donnée. 

387. Si les diagonales d'un quadrilatère inscrit se coupent à angle droit, 
la somme des produits des côtés opposés représente une aire double de 
celle du quadrilatère donné. 

388. P étant un point quelconque pris dans le plan d'un parallélo- 
gramme ABCD, démontrer que le triangle PBD est équivalent à la somme 
des triangles PAB, PBG. 

389. ABCD étant un quadrilatère inscrit, démontrer par les propriétés 

des aires la relation connue 

AC ^ BA.AD-i-BC.CD 
BD~ AB.BG-hAD.DC* 

390. D'un point pris dans l'intérieur d'un triangle ABC, on mène 
jusqu'aux côtés BG, AG, AB, les droites Oa, 0^, Oc; puis, par les sommets 
A, B, G, jusqu'aux mêmes côtés, les parallèles A«', Bb\ Ce', aux premières 
droites; démontrer la relation 

Oa^ Ob Oc__ 

a^/'^bT/'^c?"'* 



/jjo ' GÉOMÉTRIE PLANE. 

391. Démontrer par les propriétés des aires que, si l'on mène la paral- 
lèle cb à la base BG d'un triangle ABC, les droites Bè, Ce, se croisent sur 
la médiane qui correspond au sommet A. 

392. Si l'on inscrit un cercle dans un triangle rectangle, ce triangle es' 
équivalent au rectangle qui a pour dimensions les segments déterminée 
sur l'hypoténuse par le point de contact du cercle inscrit. 

393. Démontrer que l'aire d'un triangle en fonction de ses médianes a 
P, 7, est exprimée par la formule 

394. La droite qui contient les trois projections d'un point A d'une cir- 
conférence sur les côtés d'un triangle équilatéral inscrit passe par le 
milieu du rayon OA. 

395. Dans tout quadrilatère circonscrit à un cercle, la droite qui joint 
les milieux des diagonales passe par le centre du cercle. 

396. Étant données les trois hauteurs A, h', h", d'un triangle, trouver 
ses trois côtés et sa surface. 

397. L'aire d'un triangle est égale au rayon du cercle circonscrit, mul- 
tiplié par le demi-périmètre du triangle formé en joignant les pieds des 
hauteurs. 

398. Deux triangles ont un sommet commun : quel est le lieu décrit par 
ce sommet lorsque, les deux bases restant fixes, la somme ou la différence 
des aires des deux triangles demeure constante? — Discussion. — Déduire 
du résultat obtenu que les milieux des trois diagonales d'un quadrilatère 
complet sont en ligne droite. 

399. Les côtés consécutifs d'un quadrilatère quelconque étant représen- 
tés par fl, by c, cl, et ses diagonales par m et /z, l'aire de ce quadrilatère 
est exprimée par la formule 

S = - ^{Q.mn H- a' — b' -h c' — cP) [•imn — a' -{- b' — c' -^ ci') . 

Si le quadrilatère est inscriptible et si p désigne son demi-périmètre 
cette formule devient 



S = \/[p-a){p-b){p-c){p-ci). 
Si le quadrilatère est un trapèze ayant « et c pour bases, on a 



rt-hC 



S = - \/[b-hd-i-a — c){b-i-ci-\-c—a){a — c-i-b—(i){a — c-hd—b). 



ï 



QUESTIONS PROPOSÉES. 4ll 

iOO. Trouver l'aire d'un quadrilatère quelconque en fonction des 
deux diagonales et des deux droites qui joignent les milieux des côtés 
opposés. 

401. Démontrer que l'aire d'un quadrilatère, à la fois inscriptible et 
circonscriptible, est égale à la racine carrée du produit de ses quatre 
côtés. 

K § n. — Comparaison des aires. 

402. On donne un triangle rectangle sur les côtés duquel on construit 
trois carrés; on joint les sommets consécutifs de ces carrés, et l'on de- 
mande l'expression de l'aire de la figure totale ainsi formée. 

403. Un triangle étant donné, partager sa surface en moyenne et extrême 
raison par une parallèle à sa base. 

404. Sur les côtés AB, AC, d'un triangle ABC, on construit des parallé- 
logrammes quelconques ABDE, ACFG, dont on prolonge les côtés DE et FG 
jusqu'à leur rencontre au point H; démontrer que la somme des aires de 
ces deux parallélogrammes équivaut à l'aire du parallélogramme qui a 
pour côtés adjacents BG et une droite égale et parallèle à AH. — Déduire 
de ce théorème celui du carré de l'hypoténuse. 

405. On donne un quadrant AOB et un point P quelconque sur l'arc AB; 
par ce point P, on mène à cet arc la tangente STP : S est son point d'in- 
tersection avec le rayon OA, T avec le rayon OB. On mène PM perpen- 
diculaire sur OA, et l'on demande de prouver que le triangle AOB est la 
moyenne proportionnelle des triangles SOT et OMP. 

406. Sur les côtés AB, AC, d'un triangle ABC, on marque deux points M 
et N, et sur la droite MN un point P, tels qu'on ait 

BM _ ANPM. 
AM "~ CN ~ PN ' 

iémontrer que le triangle BPC équivaut au double du triangle AMN. 

407. Soit un triangle quelconque ABC; on mène BD perpendiculaire et 
égale à AB, CE perpendiculaire et égale à AC, et l'on tire DE. Démontrer 
que la somme des carrés construits sur BC et sur DE équivaut à deux 
fois la somme des carrés construits sur les côtés AB et AC. 

408. Par le milieu de chacune des deux diagonales d'un quadrilatère, 
on mène une parallèle à l'autre, et l'on joint le point d'intersection de 
ces deux parallèles aux milieux des quatre côtés; démontrer que le qua- 
drilatère est ainsi partagé en quatre parties équivalentes. 

409. Deux polygones d'uii nombre pair de côtés sont équivalents, 
lorsque leurs côtrs ont les mômes points milieux 



4l2 GÉOMÉTRIE PLANE. 

410. L'aire d'un polygone d'un nombre pair de côtés ne varie pas, 
lorsque tous les sommets de rangs pairs ou tous les sommets de rangs im- 
pairs décrivent des droites égales, parallèles et de même sens. 

4H. Si deux polygones semblables et intérieurs l'un à l'autre ont leurs 
côtés homologues parallèles, tout polygone à la fois inscrit dans l'un et 
circonscrit à l'autre a une aire moyenne proportionnelle entre les aires de 
ces deux polygones. 

412. Démontrer que la surface du triangle formé avec les médianes d'un 
triangle donné est les trois quarts de la surface de ce triangle. — En dé- 
duire : i" qu'entre tous les triangles qui ont la somme de leurs médianes 
constante, le triangle équilatéral est maximum; 2" que de tous les trian- 
gles équivalents, le triangle équilatéral est celui dans lequel la somme des 
médianes est minimum. 

§ III. — Aires du polygone régulier et du cercle. 

413. Trouver en fonction du rayon du cercle circonscrit Taire du do- 
décagone régulier. 

414. L'aire de l'octogone régulier inscrit dans un cercle équivaut à 
celle du rectangle qui a pour côtés adjacents les côtés des carrés inscrit 
et circonscrit. 

41 S. L'aire de l'hexagone régulier inscrit dans un cercle est les trois 
quarts de celle de l'hexagone régulier circonscrit. 

416. L'aire de l'hexagone régulier inscrit est la moyenne proportion- 
nelle de celles des triangles équilatéraux inscrit et circonscrit. 

417. Étant donné un polygone régulier, on mène les diagonales qui 
sous-tendent successivement deux côtés; ces diagonales déterminent par 
leurs intersections un autre polygone dont on demande la nature, et l'aire 
en fonction de celle du premier polygone. 

418. On prend les points B et D à égale distance des extrémités de 
l'arc d'un quadrant AOG, et l'on mène sur OC les perpendiculaires BG et 
DH; démontrer que la figure mixtiligne BGHD est équivalente au sec- 
teur OBD. 

419. Si l'on prend un point G sur le diamètre AB d'un cercle, l'aire 
comprise entre ce cercle et les cercles décrits sur les segments AC et GB 
comme diamètres équivaut au cercle qui a pour diamètre la moyenne 
proportionnelle des segments AC et CB. 

420. Dans des cercles différents, les secteurs dont les angles sont en 
raison inverse des carrés des rayons sont équivalents. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 4l3 

421. La diiïérence de deux secteurs semblables a pour mesure de son 
aire le produit de la différence des rayons par l'arc concentrique mené à 
égale distance des arcs considérés, 

422. Si des demi-cercles sont décrits sur les trois côtés d'un triangle 
rectangle comme diamètres, et si l'on tourne vers l'intérieur du triangle 
ceux décrits sur les côtés de l'angle droit, la somme des segments exté- 
rieurs correspondant aux côtés de l'angle droit, moins la somme des 
segments déterminés par l'hypoténuse, équivaut à l'aire commune aux 
demi-cercles décrits sur les côtés. 

423. Des demi-cercles OEDA, OFDB, étant décrits sur les rayons OA, 
OB, d'un quadrant OACB, démontrer : i** que les trois points A, B, D, 
sont en ligne droite; i"" que les aires ACBD, OEDF, sont équivalentes; 
3° que les aires OFDA, OEDB, équivalent chacune au quart du carré con- 
struit sur le rayon OA. 

424. Si AB et CD sont deux diamètres perpendiculaires d'un cercle 0, 
et si, du point D comme centre avec DA pour rayon, on décrit un arc de 
cercle AEB, démontrer que l'aire de la lune AEB équivaut à celle du 
triangle DAB. 

425. Dans un triangle rectangle ABC, AD étant la perpendiculaire abais- 
sée du sommet sur l'hypoténuse, démontrer que les cercles inscrits dans 
les triangles ABD, ACD, sont proportionnels à ces triangles. 

426. On donne deux droites qui se coupent en A, et l'on décrit une 
série de cercles tous tangents à ces deux droites et successivement tan- 
gents entre eux ; OA étant la dislance du centre du cercle le plus éloigné 
au point A, et OB son rayon, la somme des aires de tous les cercles esta 

(OA-i-OB)' 



l'aire du plus éloigné dans un rapport exprimé par 



40A.0B 



427. Si le diamètre d'un cercle est divisé en n parties égales aux 
points P,, Pj,. . . , et si l'on décrit des demi-cercles au-dessus de AB sur 
les diamètres AP,, AP^,. . ., et au-dessous de AB sur les diamètres BP,, 
BPj,. . ., le contour de chaque figure telle que AP^_, BP^ est égal à la 
circonférence du cercle donné, et l'aire de la même figure à la n^'""'* par- 
tie de celle du cercle donné. 

428. A étant l'aire d'un polygone régulier inscrit et B l'aire du poly- 
gone circonscrit semblable, démontrer que la différence B — A équivaut 
à l'aire du polygone régulier semblable inscrit dans la circonférence qui 
a pour diamètre le côté du polygone B, ou encore à l'aire du polygone 
régulier semblable circonscrit à la circonférence qui a pour diamètre le 
côté du polygone A. 



/|l^ GEOMEriUB PLANE. 

429. CBD étant un triangle rectangle en B dans lequel BD est le double 
de BC, on prolonge BD d'une longueur P/7 = —-j puis encore d'une lon- 
gueur ab = — r-; on mène les droites C^, Ce, et l'on prolonge BG de telle 

sorte que BA = C«; enfin, par A, on mène à la droite C^ une parallèle 
qui coupe en E le prolongement de BD. Démontrer que la longueur BE 
diffère très-peu de la demi-circonférence dont BC est le rayon, et que le 
triangle BCE diffère très-peu du cercle correspondant; évaluer les deux 
différences. 

430. A et B désignant les surfaces de deux polygones réguliers sem- 
blables inscrit et circonscrit à un cercle, et A' et B' celles des deux po- 
lygones réguliers inscrit et circonscrit d'un nombre de côtés double, dé- 
montrer les formules 

r^^VÂ'B ®* b'^'^Vb'^aV' 

B —A 

prouver en outre que B'— A' est < — - — • — Déduire des formules ob- 
tenues une nouvelle démonstration du théorème de Schwab (300). 

431. r et fl désignant le rayon et l'apothème d'un polygone régulier, 
r^ et a! le rayon et l'apothème du polygone régulier de même aire et d'un 
nombre de côtés double, démontrer les formules 



r* = sjr.a^ a' ~ i /<5f< 



— Déduire do ces formules, en partant du carré dont l'aire est égale à 2, 
un théorème analogue à celui de Schwab, c'est-à-dire le moyen d'obtenir 



une série de nombres tendant vers 



V^' 



§ IV. — Problèmes sur les aires. 

432. Partager un triangle en parties proporiionneUes à des droites don- 
nées par des parallèles à sa base. 

433 Partager un trapèze en parties proportionnelles à des droites don- 
nées par des parallèles aux bases. 

434. Partager un polygone en parties proportionnelles à des nombres 
donnés par une série de droites parallèles à une droite donnée. 



QUESTIONS PROPOSÉES. 4l5 

435. Partager un triangle en trois triangles équivalents par trois droites 
nenées d'un même point intérieur à ses trois sommets. 

436. Par un point pris dans le plan d'un angle donné, mener une 
droite telle, que le triangle qu'elle détermine par sa rencontre avec les 
côtés de l'angle soit équivalent à un carré donné. 

437. Partager un quadrilatère quelconque en deux parties qui soient 
dans le rapport de deux droites données, par une parallèle ou une per- 
pendiculaire à l'un de ses côtés. 

438. Étant donnés trois points A, B, C, en trouver un quatrième tel, 
que les surfaces AOC, AOB, BOC, présentent des rapports donnés. 

439. Par un point pris sur l'un des côtés d'un polygone, mener une 
série de droites qui partagent sa surface en un nombre donné de parties 
équivalentes. 

440. Inscrire dans un triangle donné un parallélogramme ayant une 
aire donnée. — Discussion. 

441 . Partager un polygone en n parties équivalentes par une série de 
droites issues d'un point intérieur. 

442. Inscrire dans un cercle donné un trapèze, connaissant son aire et 
la longueur commune des deux côtés non parallèles. 

443. Inscrire dans un cercle donné un rectangle de surface donnée. 

444. Construire un triangle, connaissant ses angles et sa surface. 

44d. Après avoir inscrit un carré dans un carré donné, on en inscrit 
un troisième dans le second obtenu, et ainsi de suite indéfiniment, en 
adoptant toujours la même loi d'inscription. 

On demande : i° la limite vers laquelle tend la somme des carrés in- 
scrits; 2° combien il faut construire de carrés inscrits pour que leur 
somme soit équivalente à une surface donnée. 

446. Étant donné un triangle, on en forme un second en joignant les 
milieux de ses trois côtés, un troisième en joignant les milieux des trois 
côtés du second, et ainsi de suite indéfiniment. On demande la limite de 
la somme de tous les triangles inscrits de cette manière. 

447. Construire un triangle équivalent à un triangle donné et tel, que 
ses sommets soient respectivement situés sur trois droites données. 

448. Partager un trapèze en parties proportionnelles à des droites 
données, par des sécantes coupant les deux bases. 

449. Partager un cercle en parties proportionnelles à des nombres 
donnés, par des rayons. 



/jg GÉOMÉTRIE PLANE. 

450. Partager un corcle en parties proportionnelles à des nombres 
donnés, par des circonférences concenlTÎques. 

451. Partager un triangle en deux parties proportionnelles à des droites 
données, par une perpendiculaire à l'un des côtés. 

452. Partager un triangle en deux parties proportionnelles à des droites 
données, par une sécante minimum. 

453. Partager un triangle quelconque en quatre parties équivalentes, 
par deux droites perpendiculaires entre elles. 

454. Étant donné un cercle, trouver quatre autres cercles dont les 
rayons soient pro:;ortionnels à des droites données et dont la somme des 
aires soit équivalente au cercle donné. 

455. On donne trois droites en grandeur et en position; trouver un 
point tel, qu'en le prenant pour sommet commun de trois triangles 
ayant ces droites pour bases respectives, ces trois triangles soient équi- 
valents. 

456. Inscrire dans un carré un rectangle d'aire donnée. 

457. Trouver sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle un point tel, 
que le carré construit sur la perpendiculaire abaissée de ce point sur 
l'un des côtés de l'angle droit, soit équivalent au rectangle qui a pour 
dimensions les deux segments correspondants de l'hypoténuse. 

458. Décrire quatre circonférences qui soient en proportion, dont la 
plus grande soit égale à la somme des trois autres, et telles, que leur 
somme et la somme des cercles correspondants soient respectivement 
égales à une circonférence et à un cercle donnés. 

459. Trouver sur la diagonale prolongée d'un carré donné un point tel, 
que si l'on mène de ce point une parallèle à l'un des côtés du carré jus- 
qu'à la rencontre du côté adjacent prolongé, on forme ainsi, avec la dia- 
gonale prolongée elle-même, un triangle équivalent au carré donné. 

460. Construire un triangle isocèle équivalent à un triangle donné. 

461. D'un point donné sur l'un des côtés égaux d'un triangle isocèle, 
mener une droite jusqu'à la rencontre de l'autre côté prolongé, de ma- 
nière à déterminer un triangle équivalent au triangle donné. 

462. On donne un triangle ABC et un point D sur AB; construire un 
triangle équivalent au triangle ABC, qui ait l'un de ses sommets en D et 
l'angle A commun avec le triangle ABC. • 

403. Construire un triangle, connaissant son aire, un de ses angles et 
la médiane qui correspond à l'un des deux autres angles. 



QUESTIONS PROPOSÉES. ^'7 

46i. Transformer un triangle quelconque en un triangle isocèle qui ait 
môme angle au sommet. 

465. Construire un parallélogramme équivalent à un carré donné et 
qui ait un angle donné. — Cas du losange. 

APPENDICE DU QUATRIEME LIVRE. 

466. De tous les triangles qui ont même angle au sommet et même 
somme des côtés de cet angle, le triangle isocèle est maximum et sa base 
est minimum. 

467. De tous les triangles satisfaisant aux conditions de l'énonce 
précédent, le triangle minimum est celui dans lequel la différence des 
côtés de l'angle donné est m-aximum, et sa base est maximum. — Réci- 
proque. 

468. De tous les triangles équivalents qui ont même angle au sommet, 
c'est le triangle isocèle qui a le périmètre minimum. 

469. De tous les triangles qui ont pour angle au sommet un angle donné 
et dont la base est astreinte à passer par un point donné, le triangle mi* 
nimum est celui dont le point donné est le milieu de la base. 

470. De tous les triangles ayant même base et même hauteur, le triangle 
isocèle a le plus grand angle au sommet. 

471. De tous les triangles qui ont même angle au sommet et même pé- 
rimètre, le triangle isocèle a l'aire maximum et la base minimum. — 1! 
en est de même de tous les triangles qui ont môme angle au sommet et 
même différence entre la somme des côtés de cet angle et la base. 

472. De tous les triangles qui ont même angle au sommet et des bases 
égales, le triangle isocèle a l'aire maximum et le périmètre maximum. 

473. De tous les triangles qui ont même angle au sommet et même 
hauteur, le triangle isocèle est minimum. 

474. Étant donnés dans un quadrilatère un angle et les deux côtés 
opposés à cet angle, l'aire du quadrilatère est maximum lorsque le som- 
met de l'angle donné est à égale distance des trois autres sommets. 

475. De tous les triangles dont deux côtés ont des grandeurs données, 
le triangle maximum est celui dans lequel les trois sommets sont à égale 
distance du milieu du troisième côté. 

476. L'aire d'un quadrilatère, dans lequel on donne Un angle et 1& 
R. et DE C. — Tr. de Géom. (1" Partie). 27 



4t8 GÉOMÉTRlJi PLANE. 

gomme des deux côtés opposés, est maximum lorsque ces deux côtes sont 
égaux. 

477. Étant donnés un angle d'un polygone et les côtés non adjacents à 
cet angle, l'aire du polygone est maximum lorsque le sommet de l'angle 
donné est également distant de tous les autres sommets. 

478. Étant donnés tous les côtés d'un polygone à l'exception d'un seul, 
son aire est maximum lorsque tous ses sommets sont à égale distance du 
milieu de ce dernier côté. 

479. De tous les polygones d'un même nombre de côtés, circonscrits 
à un même cercle, le polygone régulier a l'aire minimum el le périmètre 
minimum; et, de tous les polygones réguliers circonscrits à un même 
cercle, celui qui a le plus grand nombre de côtés a l'aire minimum et le 
périmètre minimum. 

480. Étant donnés n points situés comme on voudra dans un plan, dé- 
crire le plus petit cercle qui les contienne tous. 

481. Les bases de deux triangles et la somme des quatre autres côtés 
étant données, trouver les conditions du maximum de la somme des aires 
de c^s deux trianeles. 



QUESTIONS PROPOSÉES. ^ig 



QUESTIONS DIVERSES 

DE GÉOMÉTRIE PLANE. 



482. Étant donnés les milieux des côtés d'un polygone convexe d'un 
nombre impair de côtés» déterminer ses sommets en employant seule- 
ment le compas. 

483. Construire un triangle rectangle tel, qu'un de ses côtés soit la 
moyenne proportionnelle de l'hypoténuse et de l'autre côté. 

484. Construire un triangle égal à un triangle donné et dont les trois 
côtés passent respectivement par trois points donnés. 

485. On donne un demi-cercle de diamètre AB ; soit C un point quel- 
conque de ce diamètre. On décrit deux autres demi-cercles sur AC et CB 
comme diamètres, et l'on mène à AB une perpendiculaire par le point C. 
Démontrer que les deux cercles inscrits de part et d'autre de cette per- 
pendiculaire sont égaux entre eux. 

486. Si deux cercles de rayons égaux se coupent en A et en B et si, par 
le point A, on mène la droite AEC qui rencontre respectivement les deux 
cercles en E et en C, le triangle EBC est équivalent à l'aire comprise 
entre les deux arcs BE et BC et le côté EC. 

487. Trouver, sur la droite qui joint les centres de deux triangles 
équilatéraux donnés, un point tel, que les sommes respectives des carrés 
de ses distances aux côtés des deux triangles soient dans un rapport 
donné. 

488. Inscrire dans un cercle donné un triangle isocèle dont la somme 
de la base et de la hauteur soit égale à une droite donnée. 

489. Étant donnés une circonférence et un triangle, trouver sur la cir- 
conférence un point tel, que la somme des carrés de ses distances aux trois 
sommets du triangle soit égale à un carré donné. 

490. Étant donnés un cercle et une tangente à ce cercle, trouver sur 
sa circonférence un point dont la somme des distances à la tangente et à 
son point de contact soit égale à une droite donnée. 



420 GÉOMÉTRIE PI.ANE. 

491. On partage une driote donnée en moyenne et extrême raison; 
puis le plus grand segment trouvé en moyenne et extrême raison, et 
'linsi de suite indéfiniment. Vers quelle limite tend la somme des plus 
grands segments ainsi obtenus? 

492. Étant données la hauteur d'un triangle et les différences de cha- 
cun des segments qu'elle détermine sur la base avec le côté adjacent, 
construire le triangle. 

493. Si, du sommet de Tangle droit d'un triangle rectangle, on mène 
des droites aux sommets opposés du carré construit sur l'hypoténuse, la 
différence des carrés de ces droites est égale à la différence des carrés 
des côtés du triangle. 

49i. Étant donnés sur une droite trois segments AB = <?, BG = ^, 
DC = c, déterminer le point P d'où ces trois segments sont vus sous le 
même angle; discussion. — Application aux valeurs a = i, b = i^ c = 3. 

493. Soient six points pris dans un plan, les trois premiers A, C, E, 
sur une même droite, les trois autres, B, D, F, sur une autre droite. 
Démontrer que les trois intersections de AB et de DE, de BG et de EF, 
de GD et de AF sont en ligne droite. 

496. Un cercle et un quadrilatère inscrit étant donnés, démontrer 
que, si l'on complète le quadrilatère : 

I** Le carré de la troisième diagonale est égal à la somme des carrés 
des tangentes issues de ses extrémités; 2°Gette diagonale est égale à la 
somme des deux tangentes issues de son milieu ; 3° Le cercle décrit sur 
celte diagonale comme diamètre coupe orlhogonalement le cercle donné. 

497. Dans un triangle ABC, on mène la bissectrice AK de l'angle au 
sommet et la hauteur AF correspondante ; des extrémités B et C de la 
base, on abaisse sur la bissectrice AK les perpendiculaires BD et CE; 
démontrer que le cercle déterminé par les trois points F, D, E, passe par 
le milieu G de la base BC, et que l'aire du triangle équivaut au rectangle 
BD.AEouCE.AD. 

498. La courbe plane dont toutes les normales concourent en un même 
point, est une circonférence. 

499. Démontrer que D étant un point quelconque de la base BC d'un 
triangle ABC, et AD la droite qui le joint au sommet du triangle, on a 



ab\cd-+-ac' 



BD= AD .BC-hBC.BD.CD. 



500. On donne un point C quelconque sur une droite AB; trouver sur 
ce et sur CB prolongée les points D et D' tels, que CD soit la moyenne 



QUESTIONS PROPOSÉES. 4^1 

proportionnelle de AD et de BD, et CD' la moyenne proportionnelle de AD' 
et de BD'. 

501. AB est divisée au point G en moyenne et extrême raison; sur le 
plus grand segment CA prolongé, on prend AD = CA, et sur CA on prend 
AE = BG ; démontrer que les droites BD et BE sont aussi divisées en 
moyenne et extrême raison aux points A et G. 

502. AB, AC, DE, DF, étant quatre droites qui, par leurs intersec- 
tions trois à trois, forment quatre triangles, démontrer que les cercles 
circonscrits à ces triangles passent par un même point. 

503. Si l'on prolonge la base d'un triangle de part et d'autre, de ma- 
nière que chaque prolongement soit égal au côté adjacent, et si l'on fait 
passer un cercle par les extrémités obtenues et le sommet du triangle, la 
droite qui joindra ce sommet au centre du cercle sera la bissectrice de 
l'angle au sommet. 

504. Trouver le lieu des points dont les puissances par rapport à deux 
cercles donnés sont égales et de signes contraires. 

505. Si l'on partage un losange en losanges égaux par deux séries de 
parallèles aux côtés, la somme des cercles inscrits dans les losanges par- 
tiels équivaut au cercle inscrit dans le losange total. 

506. Les côtés d'un triangle étant en progression arithmétique, a et a' 
étant le plus petit et le plus grand côté, R et r les rayons des cercles 
circonscrit et inscrit au triangle, on a 

6Rr = aa'. 

507. Construire un triangle rectangle, connaissant la somme des deux 
côtés de l'angle droit et la somme formée par l'un d'eux et l'hypoténuse. 

508. Du sommet A de l'angle droit d'un triangle rectangle ABG, on 
abaisse A/? perpendiculnire sur l'hypoténuse BG, pq perpendiculaire sur AB, 
qr perpendiculaire sur BG, rs perpendiculaire sur AB, et ainsi de suite 
indéfiniment; démontrer que le rapport de la somme de ces perpendicu- 
laires à AB est égal au rapport de AB + BG à AG. 

509. On a dans un cercle une corde GD parallèle à une droite de lon- 
gueur donnée AB; la droite AG coupant le cercle une seconde fois en E, 
et la droite BE une seconde fois en F, démontrer que la droite DF coupe 
AB en un point fixe, quand la corde CD se déplace parallèlement à elle- 
même. 

5i0. Dans un triangle inscrit ABC, on mène par le sommet A jusqu'à 



^2 2 GÉOMÉTRIE PLAKÎS. 

la base BC des parallèles AD et AE aux tangentes en G er en B; démon- 
trer la relation 

BE _ Ab' 

5H. Lo côté d'un polygone est divisé en n parties; sur chacune de ces 
parties, on construit par rapport au polygone donné un polygone sem- 
blable et semblablement placé; démontrer que la somme des périmètres 
de tous ces polygones est égale au périmètre du polygone donné, et que 
la somme de leurs aires (si le côté du polygone donné a été divisé en 
n parties égales) est égale à la «'*'"' partie de ce polygone. 

512. Si l'on désigne par «, h, c, les trois côtés d'un triangle ABC, et si 
A«', B/>', Ce', sont les bissectrices de ses angles, on a la relation 

A^'.Crt' Bc' = 



{a -\- b)[h -\- c]{c ->r- a\ 



513. Si A«, Bè, Ce, sont les droites menées des sommets d'un triangle 
aux points de contact des côtés opposés avec le cercle inscrit, on a 

A^.C«.Bc = Ac.B«.C^. 

514. Si l'on prolonge le côté AB d'un triangle ABC jusqu'en D, et si l'on 
prend CF = BD sur le côté CA, la base BC divise la droite DF dans le 
rapport des côtés AC et AB ; de même, la droite DF divise BC dans le 
rapport des segments AF et AD. 

515. Soient deux cercles extérieurs l'un à l'autre dont les deux tan- 
gentes communes intérieures, qui correspondent aux rayons AC et BD, 
se rencontrent en et coupent aux points K et H l'une des tangentes 
communes extérieures ; démontrer la relation 

0C.0D-+-AC.BD::-0K.0I1. 

516. ABCD étant un quadrilatère quelconque etT le point de concours 
des perpendiculaires menées par les extrémités du côté AB aux côtés ad- 
jacents AD et BC, démontrer que la perpendiculiiire menée par le point T 
sur la droite qui joint les milieux des diagonales du quadrilatère, divise le 
côté AB en deux segments proportionnels aux projections des côlésBC el 
AD sur AB. 

517. La somme algébrique des perpendiculaires abaissées des sommets 
d'un polygone régulier sur une droite menée par son centre, est nulle 
quelle que soit la direction de cette droite. 



QUESTIONS PROPOSi^.ES. 4^3 

518. Étant donnés un triangle ABC et des droites A«, B^, Ce, qui allant 
des sommets aux côtés opposés se rencontrent en un même point, on fait 
passer un cercle par les trois points «, b^ c, lequel coupe les mômes côtés 
du triangle en trois autres points a\ b\ c'; démontrer que les droites ka\ 
B^', Ce', se rencontrent aussi en un même point. 

519. D'un point pris dans l'intérieur d'un triangle ABC, on mène des 
sommets aux côtés opposés les droites AH, BE, CF, puis on joint deux 
à deux les points H, E, F; démontrer que les droites AH, BE, CF, sont 
alors divisées harmoniquement. — Inversement, si une droite AH est divi- 
sée harmoniquement en G et D, et si F est un point d'une autre droite AB, 
les intersections E et C des droites FG et BD, FD et BH, sont en ligne 
droite avec le point A. 

I^H, 520. Par le sommet A d'un triangle ABC, mener une droite telle, que 
f^^les perpendiculaires BB', CC, abaissées sur elle des extrémités delà base, 
forment des triangles rectangles ABB', ACC, équivalents. 

521. L'aire d'un quadrilatère quelconque ABCD est égale à l'aire du 
triangle ayant pour base l'un des côtés AB et pour sommet le point de 
concours des deux diagonales, plus trois fois le triangle ayant pour base 
le côté CD et pour sommet le point de concours des deux droites qui 
joignent les centres de gravité des triangles ABC et CDA et des triangles 
BCD et DAB. 

522. Inscrire un carré dans un parallélogramme. — Discussion. 

523. Étant donné un quadrilatère ABCD, si Ton prend à volonté un 
point M sur AB et un point N sur CD, et que l'on mène les droites AN et 
DM qui se coupent en P, puis les droites CM et BN qui se coupent en Q, 
la droite PQ passe par un point u.^e. 

524. Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés et qui passe par 
un point donné de leur axe radical. 

525. Étant donnés deux points A et B et deux circonférences passant, 
l'une par A, l'autre par B, trouver sur l'axe radical de ces circonférences 
un point C tel, que la droite qui unit les secondes extrémités des cordes 
déterminées par les sécantes CA et CB soit perpendiculaire à cet axe 
radical. 

526. Un triangle PQR étant circonscrit à un cercle 0, on forme un 
second triangle ABC ayant pour sommets les milieux des côtés du premier ; 
des points A, B, C, on mène au cercle des tangentes qui rencontrent 
en <7, è, c, les côtés opposés du triangle ABC; démontrer que les points 
a. 0, r, sont en ligne droite. 



I 



42^ GÉOMÉTRIE PLANR. QUESTIONS PROPOSÉES. 

527. Deux triangles circonscrits à un cercle donné de rayon R et ayant 
leurs côtés parallèles deux à deux, déterminent en s'enlrecoupant six 
triangles partiels; démontrer que le produit des surfaces de ces six 
triangles et des deux triangles donnés est égal à la seizième puissance 
du rayon R. 

528. Les droites, qui joignent les milieux des diagonales de tous les 
quadrilatères formés en prenant quatre côtés consécutifs d'un pentagone, 
concourent en un même point. 

529. Inscrire dans un cercle un polygone régulier de 17 côtés; montrer 
que le côté de ce polygone est sensiblement égal à la moitié de l'excès du 
côté du triangle équilatéral inscrit sur le côté de l'hexagone régulier 
inscrit, et trouver une limite de l'erreur que comporte cette valeur 
approchée. 

530. Étant donnés deux triangles ABC, aSy, tels que les côtés a6, £7, 7a, 
du second passent respectivement par les sommets C, A, B, du premier, 
on demande d'évaluer l'aire du triangle aP7 en fonction de l'aire du 
triangle ABC et des rapports des segmenfs que les côtés du triangle ap7 
déterminent sur ceux du triangle ABC. — Déduire, de la formule obtenue, 
kî théorème de Céva (311). 



NOTES 



NOTES. 



NOTE I. 

MESURE DES GRANDEURS. 

La mesure de l'étendue étant l'un des objets principaux de la Géomé- 
trie, nous avons cru, pour éviter les répétitions et pour fixer les idées, 
devoir réunir les questions relatives à la mesure et à la proportionnalité 
des grandeurs, en les traitant d'une manière succincte, mais méthodique. 
Tel est l'objet de cette Note; les commençants pourront omettre les 
parties marquées d'un astérisque. 

Mesure d'une grandeur commensurable avec l'unité'. 

1. On acquiert la notion du nombre entier en considérant des objets 
distincts et semblables. Nous allons expliquer comment le problème de 
la mesure des grandeurs conduit à étendre cette première idée. 

On ne considère, en Mathématiques, que les grandeurs dont on peut 
définir d'une manière précise l'égalité et l'addition; tels sont, par 
exemple, les angles : nous avons dit en effet ce qu'on entend par angles 
égaux et par somme de deux angles. Une grandeur est plus grande qu'une 
autre quand elle est la .somme de cette autre et d'une troisième de même 
nature. 

Lorsqu'une grandeur est la somme de 2, 3, 4, ... parties, égales à 
une autre grandeur de même espèce, on dit que la première est un mul« 
tiple de la seconde, et que la seconde est une partie aliquote de la pre- 
mière. 

Deux grandeurs sont dites commensurable s entre elles lorsqu'elles 
sont des multiples d'une troisième grandeur qu'on appelle alors leur 
commune mesure; dans le cas contraire, elles sont incommensurables 
entre elles. 

Pour mesurer une grandeur, on cherche une commune mesure entre 
cette grandeur et une autre de même espèce, arbitraire, mais bien connue, 
et qui reçoit le nom d'unité. 

Si cette commune iliesure est l'unité elle-même, et que la grandeur 
proposée la contienne, par exemple, 3 fois sans reste, on dit que la gran- 
deur est mesurée par le nombre entier 3. 

Si cette commune mesure est une partie aliquote de l'unité, par 
exemple, si, l'unité étant partagée en cinq parties égales, la grandeur 
proposée est la somme de trois de ces parties, on dit que cette grandeur 



^28 NOTE I. 

est les f.rois-cinquièmes de T unité et qu'elle est mesurée par le nombre 

3 
trois-cinquièmes y que l'on écrit -= • On qualifie d'ailleurs un tel nombre 

Aq fractionnaire pour le distinguer des nombres entiers seuls considérés 
jusque-là. 

En résumé, mesurer une grandeur commensurahle avec Vunitéj d'os 
chercher combien cette grandeur renferme d^ unités ou de parties ali- 
quotes de V unité. Suivant que la grandeur est un multiple de l'unité ou 
un multiple d'une partie aliquote de l'unité, le nombre qui exprime sa 
mesure est entier ou fractionnaire. Réciproquement, toute grandeur 
mesurée par un nombre entier ou fractionnaire est commensurable avec 
l'unité, car elle est un multiple de l'unité ou d'une partie aliquote de l'unité. 

Deux nombres entiers ou fractionnaires sont égaux s'ils expriment les 
mesures de deux grandeurs égales, l'unité étant la même. 

La somme de deux nombres entiers ou fractionnaires est le nombre qui 
mesure une grandeur égale à la somme des grandeurs mesurées par les 
deux autres, l'unité étant la même. 

Un nombre est plus grand qu'un autre quand il est la somme de cet 
autre et d'un troisième nombre. 

C'est dans les Traités d'Arithmétique qu'il faut voir les conséquences de 
ces principes fondamentaux; nous regarderons ici comme acquises toutes 
les règles du calcul des nombres entiers ou fractionnaires. 

* Mesure d'une grandeur incommensurable avec l'unité. 

2. Considérons maintenant une grandeur A incommensurable avec 
l'unité U. 

On appelle valeur approche'e de A par défaut à moins de -^ n étant 

entier ou fractionnaire, le nombre qui mesure le plus grand multiple de 

la grandeur— contenu dans A. Ainsi, A contenant — un nombre entier 

de fois /;/, avec un reste moindre que — » 

m 



est la valeur approchée de A à moins de - par défaut, et 



est la valeur approchée do A à moins de - par excès. 



MKSLRE DES GRANDEURS. /j^Q 

Cela posé, le nombre qui mesure une grandeur A incommensurable 
avec l'unité est par déjinition la limite vers laquelle tendent les valeurs 

approchées de A à moins de-? lorsque n croît indéfiniment. 

Pour justifier cette définition, il faut montrer que cette limite existe 
et qu'elle est unique, c'est-à-dire indépendante de la loi suivant laquelle 
on fait croître n indéfiniment. 

A cet effet, nous désignerons par On la valeur approchée de A par 

défaut et par a'^ la valeur approchée par excès à moins de - • 

cin n'augmente pas toujours avec n (»); désignons par a„ et appelons 

valeur principale de A à moins de - par défaut la plus grande des valeurs 

^de a^ pour toutes les valeurs de v non supérieures à n. Alors, lorsque n 
croîtra, la valeur principale oLa croîtra aussi ou du moins ne décroîtra 
jamais, et comme a^, mesurant une grandeur moindre que A, reste infé- 
rieur à l'une quelconque des valeurs a'^ approchées par excès, a„ aura 
une certaine limite a quand n croîtra indéfiniment. 
De même «„ ne décroît pas toujours quand « augmente; désignons 

par a^ et appelons valeur principale de k à moins de - par excès la 

plus petite des valeurs de a[ pour toutes les valeurs de v non supérieures 
à n. Alors, lorsque n croîtra, la valeur principale a'„ décroîtra ou du moins 
ne croîtra jamais; et comme a^, mesurant une grandeur supérieure à A, 
reste supérieur à l'une quelconque des valeurs «„ approchées par défaut, 
a'„ tend vers une certaine limite quand n croît indéfiniment. 

Or, on voit de suite que cette limite n'est autre que a et que les valeurs 
approchées <?„, a'^ tendent aussi vers a lorsque n croît indéfiniment sui- 
vant une loi quelconque. En efl^et, a„ et a^^ étant, d'après leur définition 
même, compris l'un et l'autre entre an et «^, la diff'érence entre a„ cl 
chacune des quantités a^, «„, a'^ est moindre en valeur absolue que 

«/i— <^/i, et par suite moindre que la fraction -> qui tend vers zéro 

quand n augmente indéfiniment. 

* Calcul des nombres incommensurables, 
5. Un nombre est dit commensurable ou incommensurable suivant que 

(•) Par exemple, si A est la diagonale du carré dont le ctito est égal à l'unité, 
on a a,,=r — et «,, = — » et par conséquent «„ < a,o« 



430 NOIE I. 

la grandeur dont il exprime !a mesure est commensurable ou incommen- 
surable avec l'unité adoptée. Les nombres commensurables sont les entiers 
et les fractions. 

Par définition, le résultat d'une opération sur des nombres incommen- 
sui'ables est la limite du résultat de la même opération sur leurs valeurs 

approchées à moins de - ■> lorsque n croît indéfiniment. 

Il faut démontrer que cette limite existe et est unique, c'est-à-diro 
indépendante de la loi suivant laquelle n croît indéfiniment : c'est ce que 
nous allons faire en considérant successivement chacune des opérations 
élémentaires. 

Pour employer des notations uniformes, nous désignerons tout nombre 
incommensurable par une lettre minuscule, a par exemple; alors «„ et a\^ 

seront ses valeurs approchées par défaut et par excès à moins de -> 

«rt et o^Ti ses valeurs principales à moins de -; enfin, nous emploierons 

le symbole A« pour désigner indifféremment l'une quelconque des va- 
leurs an et «^, sans spécifier l'une d'elles. 

Addition. — Soient les deux nombres incommensurables a et b. 
Lorsque n augmente, la somme a„-i- p„ croît ou du moins ne diminue 
pas, et, comme elle reste inférieure à l'une quelconque des valeurs de 
='/i-+-p'/iî on voit qu'elle a une limite. D'ailleurs, An+B^ a la même 
limite, car la différence entre les quantités 

a«-+-p« et A„-hB„ 

est moindre en valeur absolue que la somme des différences a';»— «;,, 

b'n— bn^ c'est-à-dire moindre que la quantité - qui tend vers zéro quand 

n augmente indéfiniment suivant une loi quelconque. 
C'est cette limite qu'on appelle a -\-b. 

Soustraction. — On dit que a est plus grand que b si pour toute va- 
leur de /ï on a rt„> b'^. Cela posé, la différence a„— p^^ croît avec n 
en restant moindre qi^ l'une quelconque des valeurs de aj^— p„; elle a 
donc une limite. D'ailleurs, A„-^ B„ a la môme limite, car la différence 
entre les quantités 

<^n—K et A«~-B„ 

est moindre en valeur absolue que la somme des différences a'n— an 

b'n — bm c'est-à-dire moindre que la quantité - > qui s'annule pour // — oo. 
C'est cette limite qu'on nomme a — b. 



MESURE DKS GRANDEURS. 

Comme on a, quel que soit /?, 

a— b -^ [a — b). 



43i 



)n aura à la limite 



Donc la différence a — b^ défmie comme nous venons de le faire, est 
bien le nombre qui, ajouté à b^ reproduit a. 

Multiplication. — Le produit a„p„ croît avec n en restant inférieur 
à l'une quelconque des valeurs de a'^p'/^; il a donc une limite. D'ailleurs, 
A„B„ tend vers la môme limite, car le quotient 

kn^n Art Brt 



étant le produit de deux facteurs qui tendent vers i, a pour limite l'unité. 
C'est cette limite qu'on appelle ab. 
Comme on a, quel que soit /?, 



on a à la limite 



ab =ss ba. 



La valeur du produit ab., tel que nous venons de le définir, est donc 
indépendante de V ordre des facteurs. 

Le produit de plusieurs facteurs incommensurables, dans le cas où le 
nombre des facteurs est supérieur à deux, se définit comme dans le cas 
où les facteurs sont commensurables. 



Division. — Le quotient ^^ croît avec n en restant inférieur à l'une 
quelconque des valeurs du quotient ^; il a donc une limite. D'ailleurs, 
r-^ tend vers la même limite, car l'expression 

étant le produit de deux facteurs qui tendent vers i, a pour limite l'unité 
C'est cette limite que l'on représente par j • 
Comme on a, quel que soit «, 

0' ^n 



43r) 


«Olli 1. 


on a à la limite 









Le dividende est donc bien e'gal au produit du diviseur par le quo- 
dent tel que nous venons de le définir. 

Rapport de deux grandeurs. 

6. On nomme rapport d'une grandeur A à une grandeur B de môme 
espèce le nombre par lequel il faut multiplier la seconde pour avoir la 

première. On désigne ce rapport par — • 

Le rapport de deux grandeurs k et ^ de même espèce est égal au 
nombre qui mesure la première lorsqu'on prend la seconde pour unité'. 

3 
En effet, si le rapport donné est, par exemple, -=-> la première grandeur 

3 

est le produit de la seconde par - (15); mais multiplier une grandeur 

3 3 3 

par -) c'est en prendre les -• La première grandeur est donc les - do 

3 

la seconde, et, par suite, -z est le nombre qui mesure la première gran- 
deur lorsqu'on prend la seconde pour unité. 

* Si le rapport de A à B, c'est-à-dire le nombre par lequel il faut 
multiplier B pour avoir A, est incommensurable, désignons-le par r, et 
appelons m le nombre qui mesure A, B étant pris pour unité. Soient 

k k ->t-i I 

d'ailleurs - et deux valeurs approchées à moins de -i l'une par 

défaut, l'autre par excès, du rapport r. On aura alors 

B*<A<B*±i. 
n n 

Le nombre m qui mesure A sera donc compris entre les nombres - 

Jç „ I „ T le le I - T 

et qui mesurent les deux grandeurs B - > B , B étant l'unité. Donc 

n ^ ° n n 

les nombres m et r, étant compris l'un et l'autre entre deux nombres - 

et - -h -1 qui diffèrent aussi peu qu'on veut pour n assez grand, ne sau- 
raient avoir une différence assignable. 

7. 11 résulte de là que, lorsque deux grandeurs A ^/ B ont été me- 



MESURE DES GRANDEURS. ^33 

lurées avec une même unité C, on obtient leur rapport en divisant le 
nombre a qui mesure la première par le nombre 6 qui mesure la seconde. 
En effet, on a, d'après le théorème précédent, les deux relations 

A = C.a, B = G.ê, d'où A = B^. 

Le quotient j exprime donc le rapport de A à B. 

On est ainsi conduit à appeler rapport de deux nombres quelconques a 
et ê le quotient de leur division, et Ton démontre en Arithmétique que 
les règles de calcul des fractions à termes entiers sont applicables à ces 

rapports ou fractions générales -z» Par exemple, on n'altère pas ces rap- 
ports en multipliant leurs deux termes par un même nombre : on obtient 
leur produit en les multipliant terme à terme, etc. 

Conditions pour que deux grandeurs varient proportionnellement . 

8. Lorsque deux grandeurs de nature différente ont une dépendance 
telle que le rapport de deux valeurs quelconques de la première soit 
égal au rapport des valeurs correspondantes de la seconde, on dit que 
ces deux grandeurs soni proportionnelles. 

Deux grandeurs sont proportionnelles Vune à Vautre si, à deux 
valeurs quelconques, mais égales, de la première grandeur, repondent 
deux valeurs égales de la seconde, et si, de plus, à la somme de deux 
valeurs quelconques de la première répond une valeur qui soit la somme 
des deux valeurs correspondantes de la seconde. 

Kn effet, soient a et (^ deux valeurs quelconques de la première gran- 
deur, et b et b' les deux valeurs correspondantes de la seconde. Suppo- 
sons que le rapport - soit, par exemple, -r» c'est-à-dire que a soit 

les - de a'. En désignant par a le cinquième de «', on aura alors 

<2 =: 3a et a' — Sa.. 

Mais, si l'on appelle 6 la valeur de la seconde grandeur qui répond à la 
valeur a de la première, aux valeurs 

a -I- a ou 2a, 2a-+-aou3a, 3a -h a ou 4a, 4a -H 3t OU 5a 

de la première grandeur répondent respectivement, en vertu de la loi de 
correspondance admise, les valeurs 

6-h6ou26, 2S-f-6ou3^, 3S-+-6ou46, 4ê-i-Sûu56 

de la seconde grandeur. Or, par hypothèse, les valeurs de la seconde 
U. et DK C. — Tr. de Cdom. CI" Parlie). 28 



434 NOTE I. 

grandeur qui r(^pondent aux valeurs 3a ou « et 5a ou a de la première 
sont b et h ; on aura donc 

6 ==36, ^'=58, 
d'où \ 

b'~'5~ a'* 

* Si le rapport —, est incommensurable, soient - et deux valeurs 

approchées de ce rapport à - près, l'une par défaut, l'autre par excès. 
On aura 

d'où, K}û désignant par a la /?'^'" partie de a', 

/ca < « < (A- ■+- i)a et a! — no.» 

Mais, si 6 est la valeur de B qui correspond à la valeur a de A, aux va- 
leurs X- a, (A:h- i)a, /?a de A correspondront respectivement les valeurs 
/■6, (/c-f-i)§, A^6 de B. On aura donc, puisque, d'après l'énoncé, à une ' 
plus grande valeur de A correspond nécessairement une plus grande 
valeur de B, 

A-6<^<(/c-^i)6 et b'=n^, 
c'est-à-dire 

^y <ib<: b' ou - < 77 < 

n n n b n 

Par suite, les deux rapports — > tt' étant compris entre deux nombres - 

A: I 
et — h - qui, pour n assez grand, diffèrent aussi peu qu'on veut, ne sau- 
raient avoir aucune différence assignable. 

RÉCIPROQUEMENT, SI dcux grandeurs sont proportionnelles : i** la re- 
lation 

a_b_ 
d~ b' 

montre que pour a = «' on a ^ — b\ c'est-à-dire qu'à des valeurs égales 
de la première grandeur correspondent des valeurs égales de la seconde; 
i!" la même relation donne 

a -If a' b -\- b' 
; — = — r# — ) 



I 



MESURE DES GRANDEURS. 

*est-à-dirc qu'à la somme de deux valeurs quelconques de la première 
grandeur correspond la somme des deux valeurs correspondantes de la 
seconde. 

Ainsi, correspondance dans Vcgalite'et correspondance dans la somme, 
telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes de la proportion- 
nalité de deux grandeurs. Si l'une des deux conditions est seule remplie 
il n'y a pas proportionnalité' ; c'est ce qui arrive pour un arc et sa corde : 
à des arcs égaux d'un même cercle correspondent des cordes égales; 
mais la corde BG de la somme de deux arcs est moindre que la somme 
AB -h AG des cordes de ces arcs. 

9. On dit qu'une grandeur M est à la fois proportionnelle à plusieurs 
autres grandeurs A, B, G, lorsque, ces dernières grandeurs, sauf une, 
restant constantes, la grandeur M est proportionnelle à celle qui varie. 

Lorsqu'une grandeur M est proportionnelle à plusieurs outres gran-^ 
deurs A, B, G, le rapport de deux valeurs quelconques de la grandeur M 
est égal au produit des rapports des valeurs coî'respondantes des autres 
grandeurs. 

Ainsi, soient 

m, a, b, c, 

m\ «', //, c', 

deux séries de valeurs correspondantes des grandeurs M, A, B, C, 
obtenues en rapportant chaque grandeur à une unité de son espèce. 
On aura 

m ^ a b c 

m' a' b' c' 



En effet, soient m^ la valeur de M qui correspond aux valeurs a', b, c 
de A, B, G, et mz celle qui répond à «', b', c; on aura, d'après la défî- 
aition ci-dessus, 

b nii c 



rrti 



nii 



m 



Kn multipliant ces trois égalités membre à membre et simplifiant, on 
trouve 

m _ a b c 
m' a' b' c' 




suTi l'impossibilité de la quadrature du cercle. 437 

NOTE II. 

ruR l'impossibilité de la quadrature du cercle. 



Historique du problème. 

Il n'est guère de problème qui ait donné lieu à plus de tentatives que 
celui de la quadrature du cercle : on entend par là, comme on sait, la 
construction avec la règle et le compas, c'est- à-dire à l'aide d'un nombre 
limité de droites et de cercles, du carré équivalent à un cercle donné 
quelconque. L'insuccès de tant d'efforts avait fait regarder ce pro- 
blème comme impossible, bien qu'il n'existât, à vrai dire, aucune 
démonstration rigoureuse de cette impossibilité; on avait seulement 
prouvé jusqu'ici que le rapport de la circonférence au diamètre est 
incommensurable (Lambert, 1761), et qu'il en est de même de son 
carré (Legendre, NotelVdesa Géométrie; Hermite, Journal de Crelle, 
.873). 

Dans tout problème susceptible d'être résolu avec la règle et le 
compas, chaque point de la figure s'obtient par l'intersection de deux 
droites ou d'une droite et d'un cercle, ou de deux cercles; si l'on ima- 
gine qu'on traduise algébriquement les constructions au fur et à me- 
sure, à l'aide des formules de la Géométrie analytique, on aperçoit 
qu'on n'aura jamais à résoudre que des équations linéaires ou quadra- 
tiques, en sorte que l'équation finale pourra, par un nombre suffisant 
d'élévations au carré successives, être ramenée à une équation de degré 
pair à coefficients rationnels. On aura démontré l'impossibilité de la 
quadrature du cercle, si l'on prouve que le nombre tz ne saurait être 
racine d'une équation de degré quelconque à coefficients rationnels {réels 
ou imaginaires). 

M. Lindemann est parvenu {Mathematische Ànnalen, 1882) à déduire 
celte proposition de certaines formules de M. Hermite {Mémoire sur 
la fonction exponentielle, 1874); sa méthode n'est qu'une généralisa- 
tion, mais fort habile, de celle qu'avait employée l'illustre géomètre 
pour démontrer que le nombre e, base des logarithmes népériens, jouit 
de la propriété similaire. 



438 NOTE II. 

Toutefois le travail de M. Lindemann laissait assurément à désirer 
sous le rapport de la simplicité. C'est à M. Hilbert que revient le 
mérite d'avoir donné {Math. Annalen, iSgS) une démonstration très 
lumineuse de la transcendance de e et de m. 

Nous allons exposer cette démonstration d'après l'analyse qu'en 
a donné M. Félix Klein dans ses remarquables Conférences du Congrès 
de Chicago (1898). 

La démonstration de M^ Hilbert repose sur deux propositions, dont la 
seconde n'est qu'une généralisation de la première, laquelle ne se trouve 
introduite qu'en vue de la simplicité. La première concerne la trans- 
cendance de e et consiste dans l'impossibilité d'une équation de la 
forme 

(A) a + aie -h a2e2-h. . .-+- a„e" = o, 

«1, «2? ■•.5«/i désignant des nombres entiers; c'est le théorème de 
M. HermiLe. La seconde est relative à la transcendance de ts et consiste 
dans l'impossibilité d'une équation de la forme 

(B) «H- ePi+ePi-H. ..-f-ePn= o, 

où a est un nombre entier tandis que ^i, P25 • • .5 P/i sont racines d'une 
équation algébrique 

dans laquelle è, ^1, 62, • • ., b,n désignent des nombres entiers. 

Impossibilité de l'équation (A). 

Imaginons qu'on remplace les quantités 

I, e, e^, ..., e'* 

par rapport auxquelles l'équation (A) est homogène par des quantités 
qui leur soient proportionnelles, 

Io"+~^Oî Il+^lî l2-|-£2» Is+^S) •••5 !«-+-£«, 

et telbs que chacune 4'elles soit formée par un entier I et une frac- 
tion e. L'équation (A) prendra alors la forme 

(A') aIo4- ai II + ...-+-«„!„) -h (rteo-i-«i £1 -H •• .4- ««£«) = o; 

et, si l'on peut démontrer que les I et les e peuvent être choisis de 
façon que la première parenthèse, qui est naturellement entière, soil 



SUR l'impossibilité de la quadrature du cercle. 



439 



diirérente de zéro, tandis que la seconde parenthèse devient en même 
temps une fraction proprement dite, l'équation (A) sera démontrée 
impossible, puisque la somme d'an entier et d'une fraction proprement 
dite ne saurait être nulle. 

Tel est le fond de la démonstration de M. Hilbert. Toute la difficulté 
est dans la détermination des entiers I et des fractions t. A cet effet, 
M. Hilbert introduit une intégrale définie, suggérée par les recherches 
do M. Ilcrmite, 



J 



•A 



z-i){z-i)..,{z — n)]r 



où p désigne un nombre entier que l'on déterminera ultérieurement. 

Multiplions successivement chaque terme de l'expression (A) par 
cette intégrale J et divisons par p!; l'équation (A) prendra la forme 



(A') 

en posant 



P, = « 



V si] 



P2= rtie 



Pl4-P2=0 

p! p! 

/■' /■ 






a,e^ p. 



/ 



..+ ^«e'' p. 



De la sorte, l'équation (A) se trouvera ramenée à la forme impos- 
sible (A'), si l'on démontre : 

1° Que les coefficients de n, ai, «2, ..., «/i dans Pi sont des 
nombres entiers; 

2° Que p peut être choisi tel que Pi soit différent de zéro et que Pj 
devienne aussi petit qu'on voudra. 

Or, ces propriétés de Pi et de Pg peuvent être aisément établies. 

En effet, d'abord, en vertu de la relation bien connue 






zPe-^dz 



l'intégrale J est un nombre entier divisible par p! et l'on reconnaît 
de même, en faisant successivement les substitutions 2 = 2'+!, 
5 = 5'+ 2, . . . , z = z' -^ n, que 






440 NOTE II. 

sont des nombres entiers divisibles par (p-i-i)! Il suit de là que Pi 
est un entier de la forme 

Pi = rt(/z!)p+i' [mod(p -t-i)J. 

Donc, si l'on choisit p tel que le second membre de cette congruenco 
ne soit pas divisible par p + f, Pi sera différent de zéro. 

Quant à la condition imposée à Pa de devenir aussi petit qu'on vou- 
dra, elle est évidemment remplie en attribuant à p une valeur suffisam- 
ment grande : or cela est parfaitement compatible avec la condition de 
non-divisibilité de J par p-+-i. En effet, en vertu du théorème de la 
moyenne^ les intégrales peuvent être remplacées par des puissances de 
constantes à exposant p; et l'accroissement d'une puissance, pour des 
valeurs assez grandes de p, est toujours inférieur à celui de la facto- 
rielle qui se présente au dénominateur. 

Impossibilité de Têquatio/i (B). 

La preuve de l'impossibilité de l'équation (B) est entièrement ana- 
logue. 
Au lieu de l'intégrale J, on emploiera l'intégrale 

J'= ^,n(pM) r Z9[{Z - PO (2 - Po). . .(2 - ?m)]?^^e-'dz, 

dans laquelle les p sont racines de l'équation algébrique 
Z> |3'« + ^1 p^-- -r-, . . -h 6,„ = o. 
L'intégrale se décomposera alors de la manière suivante : 

•3 






où le chemin d'intégration devra être convenablement déterminé pour 
les valeurs complexes de p. 

Transcendance de t. 

L'impossibilité de l'équation (B) étant établie, on en déduit la 
transcendance de t: à l'aide des considérations suivantes : 

Soit X une quantité algébrique quelconque, c'est-à-dire une racine 
d'une équation algébrique, et soient ri» Jî, ••• les autres racines de 
la môme équation; enfin employons les notations analogues pour .r. 
Si la courbe y = e^ possédait, outre le point (x = o,y = i), un autre 



SUR l'impossibilité de la quadrature du cercle. 44 1 

point algébrique, c'est-à-dire un point dont les deux coordonnées 
fussent des nombres algébriques, l'équation 



= o 



(j-e-0(ji-^-^')(>.-e 
Cr — G""'- ) (Ji — e^O ( J2 — e"^) 



•■.)•■• f 



devrait avoir lieu, ce qui est absurde puisque cette équation, lorsqu'on 
effectue les opérations indiquées, prend la forme (B) qui a été démon- 
trée impossible. Donc : à l'exception du point (x = o, j = i), la courbe 
y = e^ n'a aucun point algébrique. 

Considérons alors l'identité bien connue 

I = e^"^, 

qui est un cas particulier de la formule y = e^. Puisque dans cette 
identité j = i est algébrique, x = iT. est nécessairement transcendant 



NOTE III. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 



jm 



NOTE III (^). 

SUR LA GÉOMÉTRIE RÉCENTE DU TRIANGLE. 



Définition des coordonnées. 

1. Soit ABC (7%. i)Ie triangle fondamental, primitif ou de référence. 

On fixe la position d'un point M ou d'une droite m par rapport au 
triangle ABC au moyen de certaines quantités qu'on appelle les coor- 
données de ce point ou de cette droite. 

Menons les perpendiculaires MX, MY, MZ sur BC, GA, AB, et dési- 
gnons par X, j, z, les nombres qui mesurent les longueurs MX, MY, 
MZ, précédées du signe -+- ou du signe — , suivant que le point M est, 
par rapport à la droite sur laquelle on a abaissé la perpendiculaire, du 
môme côté que le sommet opposé du triangle ABC ou d'un côté différent. 



Fi g. I. 




Les quantités ^, y, z sont les coordonnées normales de M. Les côtés 
de ABC indéfiniment prolongés partagent le plan en sept régions, que 
nous avons numérotées o, i, 2, 3, i', 2', 3' ; les signes des coordonnées 
d'un point appartenant à l'une de ces régions sont respectivement 

(+H--+-), (-+-+), (+- + ), (-+- + -), 

( + --), (--H-), (--+). 



I 



(' ) Dans cette Note, les renuois se rapportent au texte du Traité et à celui 
de la Note elle-même; pour éviter toute ambiguïté, nous ferons précéder ceux 
qui visent les numéros de cette dernière de la lettre N. 



444 NOTE m. 

Appelons a, b, c, S les côtés et l'aire de ABC. Si le point M est situé 
dans l'intérieur du triangle, S est la somme des aires des triangles MBC, 
MCA, MAB ; d'où 

ax -v- bj -\- cz = 2S. 

Cette équation subsiste dans toutes les positions de M. 
Le point M est déjà déterminé, quand on donne, soit deux des 
coordonnées ^, /, z\ soit trois quantités, /, m, n proportionnelles 

», Y m z n 

a X, j, z; car, si 1 on connaît les rapports - = — , - = -, on peut con- 
struire C217) les droites AM, BM. Les quantités /, m, «, prennent éga- 
lement le nom de coordonnées normales de M ; .r, j, ^ sont alors les 
coordonnées normales absolues. 

2. Soient a, p, y trois nombres proportionnels aux aires de.s triangles 
MBC, MCA, MAB, ces aires étant considérées comme positives ou néga- 
tives, suivant que le triangle correspondant et le triangle fondamental 
sont situés du même côté de leur base commune ou de part et d'autre. 
Désignons par Mi, M2, M3 les points de rencontre des droites AM, BM, 
CM avec BC, CA, AB. Les triangles ABM, ACM ont même base AM, et 
lôs distances de B et C à cette droite sont proportionnelles aux segments 
BMi et CMi. Par conséquent. 



M,B 


Y 


M2C 


a 


M3A 


?. 


MiC 


P' 


MaA" 


ï 


M3B 


a' 



d'où un moyen de déterminer M, quand on connaît a, p, y- 

Les quantités «, 1^, Y O'^t ^'^çu le nom de coordonnées barfcentriqiies{ * ) 
de M. Le lecteur familiarisé avec les premières notions de Mécanique 
voit facilement que M est le centre de gravité de trois masses propor- 
tionnelles à a, p, Y et placées respectivement en A, B, C. 
Les relations suivantes sont souvent utiles : 

MMi _ g 

AM, ~ a + 8 + - 



MM2 p 


MMs 


BM2 «h-Ph-y' 
ax by cz 


CM 3 



Les dernières formules permettent de passer des coordonnées bary- 
centriques aux coordonnées normales et vice versa. 

3. Des sommets du triangle de référence, abaissons les perpendicu- 



(*) MM. J. Neuberg et G. de Longchamps ont fait un heureux usage de ces 
coordonnées dans la nouvelle Géométrie du triangle. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 445 

laires AL, BM, CN {fig. 2), sur une droite quelconque m du plan, et 
désignons par >., [ji, v, des nombres proportionnels aux mesures de ces 
perpendiculaires et précédés du signe -t- ou du signe — d'après la con- 
vention suivante : les perpendiculaires abaissées de deux points sur une 
môme droite sont de môme signe ou de signes contraires, suivant que 
ces points sont du même côté de la droite ou de part et d'autre. 



Fig. 2. 




Si /?2i, 7722, A??3 sont Ics points d'intersection de m avec BG, GA, AB, 
on a 

miB u. ma G v m^k. X 



miG 



7722 A 



m, B 



Les quantités X, (ji, v déterminent donc complètement la droite m; 
ce sont les coordonnées de cette ligne. Les distances AL, BM, GN, sont les 
coordonnées absolues de m. 

POINTS COMPLÉMENTAIRES (*). 

4. Soient A', B', G' {fîg. 3), les milieux des côtés du triangle fonda- 
mental ABG. Les triangles ABG, A'B'C', sont homothétiques (361); le 
rapport de similitude est égal à 2, et le centre d'homothétie est le point 
de concours G des médianes AA', BB', GG'. Si M, M', sont deux points 
homologues do ces triangles, les droites MA et M'A', MB et M'B', MG 
et M' G' sont parallèles et dans le rapport 2 :i ; G divise la droite MM' 
dans le même rapport. 

M' est appelé le point complémentaire de M ; M, le point anticomplé- 
mentaire de M'; A'B'G', le triangle complémentaire de ABG. 

L'anticomplémentaire M" de M se construit en prolongeant MG de 
GM* = 2MG. II est facile de voir que M' est le milieu du segment MM" 
et que les points G, M* divisent harmoniquement le segment MM'. Les 



(*) L'idée de ces points est due à M. E. Hain {Archiues de Grunert, i885) : 
elle a été généralisée par M. de Longchamps LJournal de Mathématiques élé- 
mentaires, 1886). 



446 NOTE m. 

parallèles menées par les sommets du triangle ABC aux côtés opposés 
forment un triangle A'B"G*, anticomplémentaire de ABC. 

Appelons a, p, y, Ifes Coordonnées barycentriques de M dans le triangle 
ABC; ce sont aussi celles de M' dans le triangle A'B'C. Soient F, J, les 
points de rencontre de AM' avec BG, B'G', et soit F' celui de A' M' 
avecB'G'; on a (N., 2) 

IvrF^ _ PL 

A'F' "a-h^+Y* 
d'où 

M' F _ MT _ M'A^ P-4-Y 

AF ■"" 2JF - 2F'A'~" 2(aH-pH-Y)* 

Donc, SI a', p', y'» désignent les coordonnées de M' dans le triangle ABC, 

«' .__ P' ^ Y' _ 

p -h Y Y + '^ ^^ ? ' 
et inversement 



— a'-i-p'-hY' a'— P'+y' a'-i-^' — y' 

Ainsi, les coordonnées barycentriques du complémentaire et de l'anti- 
complémentaire d'un point ayant pour coordonnées a, p, y, sont 

P + Y, Y + a, a-h(3; — a + p + Y, « — P + Y) «-»-? — Y- 

5. Nous désignons par le centre du cercle circonscrit an triangle 
ABG ; par AHi, BII2, CH3, les hauteurs ; par H le point de concours do 




ces droites. H est Vortnocentre de ABG; le triangle H1H2H3 est le 
triangle ortJiique de ABG. 
est le complémentaire de H; par conséquent, G divise la droite HO 



GÊOMÊTIUE DU TRIANGLE. 447 

dans le rapport 2:1, et l'on a AH = 2OA', BII = 2OB', CH = aOC. 
Le complémentaire de est le centre O9 du cercle des neuf points de 
ABC (404). La droite HO est la droite d'Euler de ABC (./%•. 5). 

Les centres des cercles tangents aux trois côtés de ABC sont désignés 
pari, la, lô, le Le complémentaire et l'anti complémentaire de I sont, 
respect! vemejît, le centre du cercle inscrit au triangle A'B'C, et le centre 
du cercle inscrit à A^B^G". 

DROITE ET POINTS HARMONIQUEMENT ASSOCIÉS A UN POINT DONNÉ (*). 

6. Soit M un point quelconque du plan ABC (/%. 4)« Les droites AM, 
BAI, CM rencontrent BG, GA, AB aux points Mi, M2, M3; désignons par 



Fig. 4. 




mi, mj, ma les conjugués harmoniques de ces points par rapport aux 
extrémités des côtés correspondants du triangle ABG. On a les égalités 
311 et 331) 

MiB M2G M3A 
Ml G M2A M3B 
MiJ _ _ miB M2G _ _ WaG M3A _ _ m^k . 
MiG~ miG* M2A ~ /WaA' M3B " W3B' 



— I, 



(') Emile Lemoine, Association française pour V avancement des Sciences ^ 
Congrès de Blois (i884). 



448 

d'où l'on déduit 



NOTE m. 



miB W5C WsA _ 
miC niiA. W3B "" ' 
miB M2G M3A _ 
m, C M2A M3B ""'* 
MiB ma G WsA _ 
Ml G ma A m^^ ~ 

Par conséquent (310, 326) : i** Les points mi, ma, m^ sont situés sur 
une même droite m, axe d'iiomologie du triangle fondamental ABG et 
du triangle M1M2M3 (triangle pédal de M); 

2" Les droites Ami, Bma, Cmg forment un triangle MaM^Ma dont 
les sommets sont situés sur les droites AM, BM, GM. (Gomparer avec le 
n" 315.) 

La droite m est dite harmoniquement associée au point M; on l'appelle 
également polaire trilinêaire de M. M est le point harmonique ment 
associé à la droite m ou le pôle trilincaire de m. Les points M», M^, Me. 



Fig. 5. 




sont harmoniquement associés à M; ce sont les conjugués harmoniques 
do M par rapport aux segments AMi, BMj, GM3. Enfin, les polaires tri- 



J 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 449 

linéaires des points Ma, M^, Me, ou les droites miM^Mz, MimsMa, 
M1M2W3, sont harmoniquement associées à la droite mim^mz. 

Si Ma est le point donné, les associés sont M, M^, M^. 

Pour construire le pôle trilinéaire M d'une droite m, qui coupe les 
côtés du triangle fondamental en mi, m^, m^, on trace lesdroites A/wi, 
Bwj, G/723, qui forment un triangle MaM^Mc; les droites AMa,BMô, GMc 
concourent au point cherché M. 

Les coordonnées d'une droite sont inversement proportionnelles aux 
coordonnées barycentriques de son pôle trilinéaire. Si a, p, y sont les 
coordonnées barycentriques ou normales d'un point, celles des points 
^—associés sont 

^K SCOLIE. 



7 i" Les associés du centre de gravité G sont les sommets du tri- 

Fig. 6. 




^1. 



angle anticomplémentaire A'B'C (Jîg. 3); la polaire trilinéaire de G est 
la droite de l'infini. 

R. et DE G. — Tr. de Gc'om. ( I" Partie). 29 



45o î»fOTE III. 

1° La polaire trilinéaire h^h^h^ de l'orthocentre H est l'axe d'home- 
logie du triangle fondamental ABC et du triangle orthique HiHsïIs 
{fig. 5); on l'appelle axe ortlnquc de ABC. 

L'axe orthique d'un triangle est l'axe radical du cercle circonscrit 
et du cercle des neuf points ; il est perpendiculaire à la droite d'Euler. 

En effet, les quadrilatères inscriptibles A'HiHaVIs, BCH2H3 donnent 

//iHi.//iA'=//iH2./2iH3, /^iB./iiC = //iH2./iiH3, 

d'où //iHi.//iA'= //iB.^iC; par suite, //i appartient à l'axe radical des 
cercles 0, O9. 

3° Les associés du centre I du cercle inscrit à ABC sont les centres 
la, Uj le des cercles exinscrits; la polaire trilinéaire de I joint les pieds 
lu H^ h des bissectrices extérieures (/%•. 6). 

La droite ixiii^ est perpendiculaire à 10. En effet, ABC est le triangle 
orthique, et le cercle circonscrit est le cercle des neuf points du 
triangle laUIc; donc 10 est la droite d'Euler du dernier triangle. 

Soient Ii, I2, I3 les pieds des bissectrices intérieures de ABC. ABC 
étant le triangle orthique de chacun des triangles IIcIô, IcHa, Ulal, 
on démontre facilement que les droites I2I3, I3I1, I1I2 sont respecti- 
vement perpendiculaires aux droites 01a, OI0, Ole- 

POLXTS ET TRANSVERSALES RÉCIPROQUES (*). 

8. Lorsque deux segments AB, CD appartenant à la même droite ont 
môme milieu, nous dirons que C et D sont des points isotomiques par 




rapport à A et B; que D est l'isotomique de C. L'isotomique d'un point 



(') G, de Longchamps, Nouvelles Annales de Mathématiques, 1866. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^ ' 

pris sur un côté du triangle de référence est le symétrique de ce point 
par rapport au milieu du côté. 

THÉORÈME. 

1° Soient Ml, M2, M.j {fg. 7) les points de rencontre des côtés BC, CA, 
AB d'un triangle avec les droites joignant les sommets opposés à un 
même point M du plan, et soient M'^, M2, M3 les isotomiques de Mi, 
M2, M3 : les droites AM\, BM'2, CM3 concourent en un même point M,.. 
1° Soient Wi, m2, m^ { fig. 8) les points de rencontre des côtés BC, 
|CA, AB d'un triangle avec une transversale quelconque m, et soient 
m\, m'2, W3, les isotomiques de mi, m^, m.^\ les points m\, m'^, m'^ sont 
situés sur une seconde transversale m, 




Ces propositions résultent immédiatement des n°^ 313 et 310. 

Les points M, M,, ont reçu le nom de points réciproques. Les coor- 
données barycentriques de l'un sont inverses de celles de l'autre point. 

Les droites m, m,, sont des transversales réciproques ; les coordon- 
nées de mr sont égales aux inverses de celles de m. 

POINTS INVERSES (^). 

9. Lorsque deux angles de môme sommet ont même bissectrice, nous 
dirons que les deux côtés de l'un des angles sont des droites isogonales 
par rapport à l'autre angle. Visogonale d'une droite menée par un som- 
met du triangle de référence est la symétrique de cette droite par rap- 
port à la bissectrice de l'angle correspondant du triangle. 

LEMME. 

Soient P, Q deux points quelconques pris sur deux droites isogonales 
par rapport à l'angle BAC {Jig- 9)- 



(') E. Vigarié, Journal de Mathématiques élémentaires, i885. 



452 NOTE III. 

1** Les distances de P aux côtés de l'angle BAC sont inversement pro- 
portionnelles à celles de Q aux mêmes côtés; 

2° Les projections des points P, Q sur les deux côtés de l'angle BAC 
sont quatre points d'une même circonférence ; 

3° La droite qui joint les projections de l'un des points P, Q ^^ ^^-^ 
côtés de l'angle BAC est perpendiculaire à celle qui unit l'autre point 
au sommet de l'angle. 
# 

Fig. 9 



^41 




i" Soient Pi, Qi les projections des points P, Q sur AB, et soient Po, Qj 
leurs projections sur AC. Si l'on retourne le quadrilatère AQ2QQ1 autour 
de la bissectrice de l'angle BAC, il devient homothétique au quadrilatère 
AP1PP2. Il en résulte que 



OO2 _ PPi 



ou PPi.QQ, = PP2.QQ2 



2** Les droites P1P2, Q1Q2 sont antiparallèles par rapport à l'angle 
BAC ; car leurs directions sont symétriques par rapporta la bissectrice 
de cet angle. Le quadrilatère P1P2Q1O2 est donc inscriptible; le centre 
de la circonférence circonscrite est au milieu de la droite PQ, à la 
rencontre des perpendiculaires élevées aux milieux des cordes PiQi, 
PtQî. 

V Le quadrilatère AP1PP2 étant inscriptible, on a angulairement 

AP2P1 = APPi = 90° - PAP2 = 90° — P2AQ; 
donc les droites AQ, P1P2 sont rectangulaires. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^3 

THÉORÈME. 

10. Soit M un point quelconque du plan du triangle ABC {fig- lo) : 
1* Les isogonales des droites AM, BM, CM concourent en un même 

point M/; 

1" Les projections des points M, M/ sur les cotés du triangle ABC sont 
six points d'une même circonférence; 

3" Les côtés du triangle podaire {}) de l'un des points M, M/ sont, 
respectivement, perpendiculaires aux droites joignant l'autre point 
a A, B, C ; 

4° Les coordonnées normales de Mj sont inversement proportion- 
nelles à celles de M. 

1° et 2°. La première partie du théorème résulte du n° 313. On peut 
également l'établir, en même temps que la seconde partie, en s'ap- 
puyant sur le lemme qui précède. 

En effet, soit M/ le point où se coupent les isogonales des droites 
AM, BM, et soient X, Y, Z, X/, Y/, Z/ les projections des points 
M, M/ sur les côtés du triangle ABC. La circonférence décrite du mi- 
lieu de la droite MM/ comme centre et passant par Z et Z, contient les 
points Y, Y/, X, X/ (N.,9, 2°). Comme elle est complètement détermi- 
née par les trois points X, Y", Z, le point M/ est aussi situé sur l'isogo- 
nale de CM. 

3° et 4°. Ces propriétés résultent immédiatement de (N.,9, i* et 3*'). 

SCOLIE. 

11. Les points M, M/ sont dits inverses ou conjugués isogonaux par 
rapport au triangle ABC. 

Les centres I, !«, Iô, le des cercles tangents aux trois côtés de ABC 
sont, chacun leurs propres inverses. 

L'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit {fig. 5) sont des 
points inverses; car, la tangente en A à ce cercle et le côté BC étant an- 
tiparallèles par rapport à l'angle BAC, la hauteur AH et le rayon AO 
sont des lignes isogonales. Il suit de là que les milieux des côtés et les 
pieds des hauteurs de ABC sont sur une môme circonférence. 

V inverse d'un point M de la circonférence circonscrite à un triangle 
est à l'infini sur la direction perpendiculaire à la droite de Simson 
(169, 11°) de ce point. En effet, cette droite est perpendiculaire à l'iso- 
gonale de chacune des droites AM, BM, CM. 



(') Nous appelons triangle podaire d'un point M, par rapport à un trianjjle 
ABC, le triangle XYZ qui a pour sommets les projections de M sur les côtés 
de ABC; inversement, le triangle ABC est appelé le triangle antipodaire de 
M par rapport au triangle XYZ. 



454 



NOTE III. 



TRIANGLES ORTHOLOGIQUES. 

THÉORÈME. 

12. Si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC 
sur les côtés correspondants d'un triangle AiBiCi se coupent en un 
même point D, les perpendiculaires menées des sommets du triangle 
AiBiCi sur les côtés correspondants de ABC concourent aussi en un 
même point Y) i. 

Il suffît d'établir cette proposition pour un triangle homothétique à 
AiBiCi. Voici trois figures où elle s'aperçoit immédiatement. 

1° Soient, par rapport au triangle ABC, D/ l'inverse de D, et X/Y/Zi 
le triangle podaire de D/ {fg. lo). Les droites AD, BD, CD sont per- 

Fig. 10. 




pendiculaires aux côtés du triangle XYZ, et les droites D/Xt-jD/Yf-, D/Z/ 
sont perpendiculaires^ux côtés du triangle ABC. 

i" Soient As, Bs.jC?, Ds les centres des cercles circonscrits aux triangles 
BGD, CDA, DAB, ABC {fg. ii). Les côtés du triangle A2B2C2 sont per- 
pendiculaires aux milieux dos droites DA, DB, DC, et les droites D2A2, 
D2B2, D2C2 sont perpendiculaires aux milieux des côtés du triangle ABC. 

3° Construisons le triangle polaire de ABC par rapport à une circonfé- 
rence décrite de D^comme centre avec un rayon quelconque d{fig. 12). 
A cet effet, nous déterminons sur les droites DA, DB, DG les points X', 
Y', Z' satisfaisant aux égalités 



(•) 



DA PX'=DB DV'=DC.DZ'=</', 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^5 

et nous menons en X', Y', Z' des perpendiculaires sur DA, DB, DC; 
CCS perpendiculaires sont les côtés du triangle cherché A'B'C. Ou bien, 
nous abaissons de D des perpendiculaires DX, DY, DZ sur BG, GA, AB 



Fig. 




et nous déterminons sur ces droites les points A', B', G' par les con- 
ditions 
(2J DX.DA'= DY.DB'= DZ.DC'= d''. 

SCOLIE. 

13. Les triangles ABG, AiBiGi sont dits orthologiques. 
Le théorème (N.,i2) est susceptible de l'énoncé suivant qui en fait 
mieux ressortir le véritable caractère : 

Si l'on considère une figure composée d'un triangle ABC et de trois 
rayons vecteurs kD^ BD, CD, on peut toujours construire une seconde 
figure composée d'un triangle AiBiCi dont les côtés sont perpendicu- 
laires aux rayons vecteurs AD, BD, CD, et de trois rayons vecteurs 
AiDi, BiDi, CiDi perpendiculaires aux côtés du triangle ABG. 

Faisons tourner la figure AiBiCiDi d'un angle ^quelconque dans son 
I>lrin ou retournons-la dans son plan nous aurons le théorème suivant : 



456 NOTE III. 

Étant donnés dans un même plan deux quadî-angles complets ( ' ) 
.4BCD, AiBiCiDi, si cinq côtés du premier font avec les côtés opposés 
du second le même angle a^ ou si leurs directions sont symétriques, 
par rapport à un même axe, des directions des côtés opposés du se- 
cond, il existe la même relation entre les sixièmes côtés. 

Les quadrangles ABCD, AiBiCiDi considérés ici, sont dits métapo- 
laires. Si on les place dans un même plan de manière que deux som- 
mets de même nom, par exemple A et Ai, coïncident et que les côtés 
opposés soient perpendiculaires, les triangles formés par les sommets 
restants, BCD et BiGiDi, deviennent polaires réciproques par rapport 
à un certain cercle décrit du sommet commun A comme centre. 

Fig. 12. 




Les égalités (i) et (2) (N.,42) donnent la propriété suivante : Les dis- 
tances d'un sommet A du premier quadrangle aux sommets et aux cô- 
tés du triangle BCD sont inversement proportionnelles aux distances du 
sommet Ai de même nom du second quadrangle aux côtés et aux som- 
mets du triangle Bi Ci Di . 

MÉTAPÔLES DE DEUX TRIANGLES. -— POINTS JUMEAUX. 

44. Nous appelons métapôle d'un triangle ABC par rapport à un 



(') Un quadrangle complet est la figure déterminée par quatre points 
A, B, C, D. Ces points sont les sommets, et les droites qui les joignent deux 
à deux sont les côtés du quadrangle. Les côtés se partagent en trois couples 
de côtés opposés, à savoir AB et CD, AC et BD, \D et BC. 

Les côlés opposés de deux quadrangles désignés par ABCD, A'B'C'D' sont 
AS et CD', ACet B'D', etc. 



I 



GfiOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^7 

autre triangle AiBiCi, un point D du plan ABC duquel on voit les côtés 
du triangle ABC sous des angles égaux aux angles ou aux suppléments 
des angles du triangle AiBiGf 

Pour voir comment le point D se déplace lorsque la forme du triangle 
AiBiCi varie, nous renversons la question. A cet effet, nous supposons 
e point D successivement dans les différentes régions dans lesquelles 
e plan ABC est partagé par les côtés du triangle ABC (N.,1), et nous 
construisons un triangle A'B'C ayant ses côtés parallèles aux droites 
DA, DB, DC. 

Lorsque le point D est intérieur an triangle ABC (_y?^. i3),on peut mener 
les côtés B'C, C'A', A'B' du triangle auxiliaire parallèles à DA, DB, DC et 
dirigés dans le même sens; les triangles ABC, A'B'C ont donc même 
orientation. D est à l'intersection des arcs de trois segments capables 
des angles i8o° — A', iSC — B', 180* — C, construits sur BC, GA, AB 





et tournés vers l'intérieur du triangle ABC. L'angle BDC étant plus 
grand que BAC, on a 180"— A' > A, ou A 4- A' < 180°; de même, 
B + B' < 180°, C -H C < I8o^ 

SoitD unpoint delà région 1', et soit D a leprolongementde AD(7fo'. i4). 
Le triangle A'B'C peut être construit de manière que ses côtés B'C, 
C'A', A'B' soient dirigés dans le même sens que les droites Da, DB, DC; 
les sens de rotation ABC, aBC étant identiques, les triangles A' B'C, ABC 
ont encore même orientation. Les angles BDC, CDA, ADB étant égaux à 
180" — A', B', C, on peut encore dire que les circonférences des seg- 
ments capables des angles 180° — A', i8o° — B', i8o° — C, construits 
sur.BC, CA, AB et tournés vers l'intérieur du triangle ABC, se cou- 
pent en D. L'angle BDC est plus petit que BAC, d'où A + A'>i8o°. 
On trouve, de la même manière, que pour un point de la région 2' ou 
3', on a respectivement B + B' > 180°, Ch-C>i8o". D'ailleurs, une 
seule des sommes A + A', B h- B', C -+- C peut surpasser 180°. 

Enfin, considérons un point D situé dans la région i {/îg. i5); appelons 



/58 



NOTE III. 



Da le prolongement de AD. Le triangle auxiliaire A'B'C peut avoir ses 
côtés B'C, C'A', A' B' dirigés dans le même sens que les droites Da, DB, 
DC. Les sens de rotation ABC, aBC étant différents, les triangles ABC, 
A'B'C sont de sens contraires. Les circonférences DBC, DCA, DAB ap- 
partiennent aux segments capables des angles A', B', C construits sur les 
côtés du triangle ABC vers l'intérieur. Suivant que le point D est intérieur 
ou extérieur au cercle ABC, on a A — A' > o, B — B'< o, C — C < o, 
ou A — A' < o, B — B' > o, C — C > o. Des inégalités analogues s'ap- 
pliquent aux points des régions 2 et 3. 

De cette analyse, on tire les conclusions suivantes : 

1° Étant donnés deux triangles ABC, AiBiCi, les circonférences des 
segments capables des angles 180*' — Ai, i8o°— Bi, 180° — Ci, construits 
sur BC, CA, AB vers l'intérieur de ABC, se coupent en un même point D 
tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, DC est sem- 
blable àAiBiCi et de même sens que ABC. Ce point est intérieur au tri- 
angle ABC, si les trois sommes A -i- Ai, B + Bi, C -4- Ci sont inférieures 
à 180°; il tombe, respectivement, dans les régions i', 2', 3', si l'une des 
sommes A 4- Ai, B 4- Bi, C -h Ci est supérieure à 180°. 



Fig. 14. 



Fig. i5 





2° Les circonférences des segments capables des angles Ai, Bi, Ci 
construits sur BC, CA, AB vers l'intérieur de ABC, se coupent en un 
même point E tel, que le triangle ayant ses côtés parallèles à DA, DB, 
DC est semblable à AiBjCi et de sens opposé à ABC. Ce point appar- 
tient à la région i, si la différence A — Ai a un signe contraire à celui 
des différences B — Bi, C — Ci ; et alors il est intérieur ou extérieur 
au cercle ABC suivant que le signe de A — Ai est h- ou —, etc. 

45. Un triangle ABC a donc, par rapport à un autre triangle Ai BiCj, 
doux métapôles D, E; pour les distinguer, nous dirons que D est le 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^9 

premier mêtapôle^ E le second métapôle. Toutefois, lorsque les triangles 
sont semblables, le premier métapôle est l'orthocentre de ABC, et le se- 
cond est un point quelconque de la circonférence ABC ; il résulte de ià 
qu'w/z triangle A'B'C dont les côtés sont parallèles aux droites joignant 
les sommets d'un triangle ABC à un point quelconque de la circonfé- 
rence ABC, est inversement semblable au triangle ABC. 

Soient {fig. i6) a, j3, y les secondes rencontres des droites AD, BD, CD 
avec les circonférences BDG, CDA, ADB. D'après la dernière remarque, 



Fig. i6. 




les triangles aBC, AgC, ABy sont inversement semblables au triangle 
dont les côtés sont parallèles à DA, DB, DC. D'où ce théorème : 

Si, sur les côtés d'un triangle ABC, on construit vers l'extérieur les 
triangles aBC, A^G, ABy semblables à un triangle donné AjBiCi, les 
droites Aa, B^, Gy ^e coupent au premier métapôle D des triangles 
ABC, AiBiCi. Si Von construit les triangles a'BC, A^'G, ABy' je/M- 



46o î^OTE III. 

hlahlcs à AiBiCi et tournés vers l'intérieur de ABC, les droites A a', 
BP', G y' concourent au second métapôLe E. 

16. Ce théorème nous conduit aux expressions des coordonnées des 
métapôles. Soient, en effet, a:,/, 2 les coordonnées normales deD; me- 
nons «F, a L perpendiculaires à AB, AC. Nous aurons {fig. 16) 

j _ aL _ aCsin àCL ^ 
z "ÔF ~ aBsinaBF' 
or 

aCL = 180" — (C + Cl), aBF = 180° — (B -f- B,), 

aC _ sin aBC _ sinBi 
aB ~ sin aCB ~ sin Ci ' 

j_ sinBi sin(C -h Ci) 
z ~ sinCisin(B + Bi)* 



donc 



on conclut de là 
X ', y '. z = 



sin Al . sinBi sinCi 



sin(A + Ai) * sin(B + Bi)' sin(GH-G,) 



Les coordonnées barycentriques de D sont proportionnelles à ax^ 
by^ cZy ou à 

sinAsinAi sinBsinBi sinCsinCi 

sin(AH- Al)' sin(B + Bi)' sin(C + Ci)' 

ou encore à 

I I . I 



cotA + cotAi cotB + cotBi colG + cotCi 
Pour celles du second métapôle E, on trouve 

I I I 

cotA — cola/ cotB — cotBi' cotC — cotCi * 

Soient Di, Ei les métapôles du triangle AiBiCi par rapport au tri- 
angle ABC. Les expressions précédentes montrent que les points D, Di 
ont les mêmes coordonnées barycentriques, l'un dans le triangle ABC, 
l'autre dans le triangle Ai Bi Ci ; les points E, Ei jouissent de la même 
propriété. 

Les métapôles D, Di appartiennent toujours à des régions corres- 
pondantes des triangles ABC, AiBiCi; il en est de même des méta- 
pôles E, El, avec cette particularité que l'un est à l'intérieur et l'autre 
à l'extérieur du cercle circonscrit au triangle correspondant 

Los quadrangles ABCD et AiBiCiDi sont mélapolaires. 



I 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 46 1 

17. Entre les points D, E, il existe une relation remarquable : les 
deux faisceaux D (ABC), E (ABC) sont symétriquement égaux. Deux 
points ainsi associés par rapport à un triangle ont reçu le nom de 
points jumeaux. 

CENTRES MÉTAHARMONIQUES DE DEUX TRIANGLES. 
POINTS TRIPOLAIREMENT ASSOCIÉS. 

18. Étant donné un triangle ABC, si sur les rayons vecteurs DA, DB, 
DC issus d'un point D choisi arbitrairement dans le plan, on prend des 
segments DAi, DBi, DCi tels que 



I 



DA.DAi = DB.DBi = DC.DCi, 

les triangles ABC, AiBiCi sont dits métaharmoniques par rapport à D. 
Si l'on ne considère que la forme du triangle AiBiCi, on prendra 
pour les points Ai, B,, Ci les secondes intersections des droites DA, 
DB, DC avec la circonférence ABC. L'axe d'homologie des deux trian- 
gles est alors la polaire de D par rapport à cette circonférence, et divise, 
avec le point D, les segments AAi, BBi, CCi harmoniquement. Si D est 
sur la circonférence, les points Ai, Bi, Ci sont en ligne droite (388). 

THÉORÈME. 

19. 1° Le triangle méta/iarmonique AiB y Ci et le triangle podaire 
XYZ d'un triangle ABC par rapport à un même point D sont desfgures 
directement semblables ; i" Les côtés de ces triangles sont propor- 
tionnels aux produits des côte's opposés du quadrangle ABCD ; 3" Leurs 
angles sont donnes, en grandeur et en signe, par les formules 

l YXZ = BiAiCi = BDC-BAC, 

(i) I ZYX = C,BiAi=CDA-CBA, 

( XZY = AiCiBi=ADB-ACB. 

Dans l'énoncé et la démonstration de ce théorème, nous observons 
les conventions établies aux n°* 304 et 303 : YXZ, par exemple, désigne 
l'angle dont il faut faire tourner la demi-droite YX pour la faire- coïncider 
avec la demi-droite YZ, cet angle étant considéré comme positif ou comme 
négatif, suivant que la rotation s'effectue dans un sens ou dans l'autre; 
de plus, deux angles qui diffèrent d'un multiple de 2 7r peuvent se 
substituer l'un à l'autre. Avec ces conventions, si A, B, C, D sont quatre 
points d'une même circonférence, on peut écrire angle ACB = angle ADB, 
même dans le cas où C et D sont situés de part et d'autre de la corde AB. 

i" Les quadrilatères inscriptibles DXBZ, DXCY, ABAiBi, ACAiCi 



462 NOTE m. 

donnent angulairement 

DXY = DCY = CiCA = Ci A, A, 



^^^ ' DXZ = DBZ = BiBA = BiA,A. 

En soustrayant la première égalité de la seconde et observant que 

DXZ-DXY = YXZ, BiAiA — CiA,A = BiA,C,, 

on trouve 

YXZ = BiA,C,i 
par analogie, 

ZYX = CiBiA, et XZY = AiCiBi. 

Les triangles AiBiCi, XYZ sont donc directement semblables. 

On peut encore conclure, des égalités (2), que le point D rapporté 
à l'un des triangles semblables XYZ, AiBiCi, a pour homologue dans 
l'autre triangle son inverse pris par rapport à ce dernier. 

2° Désignons par (x le produit DA.DAi, par a, b, c les côtés de ABC, 
par a, [3, y les distances DA, DB, DC. Nous aurons (386) 

par conséquent 

BiCi Cl Al AiBi (x 



YZ YO' 
B"G ~ CO ' 




YZ ZX XY 

aoL b^ ~ cy ~^ 


I 
âÏÏ 



aoL b^ cy ajày 

Soient le centre et R le rayon du cercle ABC. Le milieu 0' de AD 
étant le centre d'une circonférence passant par les points A, Y, Z. D, les 
triangles YO'Z, BOC sont semblables; d'où 



do sorte que 



3" Des égalités (2), on déduit 

( 3 ) DXZ - DXY = DBZ - DCY. 

Or, si rt, 6, c, d désignent quatre semi-droites (408), on a l'identité 

angle ab — angle cd — angle ac — angle bd, 

qu'on vérifie aisément en rapportant les angles à une môme droite-ori- 
gine. En l'appliquant au second membre de la relation (3), on obtient 

YXZ r^ BDC - BAC. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE, 
SCOLIE. 

20. 1° Le théorème précédent renferme cette propriété importante du 
quadrangle complet, dont nous ne pouvons donner ici que l'énoncé : 
A, B, C, D étant quatre points d'un même plan, on a l'équipollence 

■ AB.GD-f-AD.BC-4-AG.DB = o; 

autrement dit, les produits ±^^. CD, AD.BC, AG.DB sont êquipollents aux 
trois côtés d'un triangle. 

2° Appelons triangle associé à un quadrangle complet le triangle 
dont les côtés ont pour valeurs numériques les produits des côtés oppo- 
sés du quadrangle. On voit que ce triangle est semblable à chacun des 
triangles podaires ou métaharmoniques de l'un des sommets du qua- 
drangle par rapport au triangle des trois autres sommets. Au n° 240, 
il a été donné une autre construction d'un triangle semblable au triangle 
associé. 

Nous laissons au lecteur le soin de démontrer le théorème suivant : 

La forme du triangle associé à un quadrangle complet ne change pas, 
si l'on soumet les sommets de ce quadrangle à une transformation par 
rayons vecteurs réciproques. 

3» Soient S», S*, Se, S^ les aires des triangles BGD, CDA, DAB, ABG, 
et soient {Jia, \^b^ H^c, H^rf les puissances des cercles circonscrits à ces 
triangles, respectivement par rapport aux points A, B, G, D; enfin, dé- 
signons par T Taire du triangle associé au quadrangle ABGD, c'est-à- 
dire la quantité (428) 

Nous avons trouvé ci-dessus (N.,19) les relations 

, BiCi_GiAi_AiBi_ fjtrf 

^^' aoL ~ b^ CY a^Y* 

Il en résulte que 

BiCi.CiAi.AiBi ^ tx3rf 

abc a2p2.^2* 

Les triangles ABG, AiBiGi étant inscrits dans le môme cercle, la pro- 
position du n" 428 (i") donne 

..^ aireAiBiCi _ \L^d 

^^ Se/ ~a2^2^2- 



(G) 



Les relations (4) donnent encore 
aire Al Bi G 



ï \ «a / . a2^2y 



464 NOTE III. 

En combinant les égalités (5) et (6), on voit que 

(7) T = (X«Sa = [AôSô = (XcSc = flrfSrf. 

Les équations (7) sont dues à von Staudt(7. de Crellej t. 57, p. 88.) 

2i . Nous appelons centre métaliarmonique de deux triangles ABC, 
A'B'C, un point D du plan ABC, tel que le triangle métaharmonique 
ou podaire de ABC par rapport à ce point soit semblable à A'B'C. 

Soit D/ l'inverse (N.,9 et siiiv.) du point D dans le triangle ABC; les 
côtés du triangle podaire de D étant perpendiculaires aux droites AD/, 
BD/, CD/, D,- est le métapôle (N.,14 et suiv.) de ABC, A'B'C. 

Désignons par D/, E/ les deux mélapôles des triangles donnés ; les 
inverses D, E de ces points dans le triangle ABC sont les centres méta- 
harmoniques de ABC, A'B'C. 

Le premier centre métaharmonique D est à l'intérieur du cercle ABC ; 
on peut le déterminer par l'intersection des circonférences des seg- 
ments capables des angles A + A', Bh- B', C + C décrits sur BC, CA, 
AB vers l'intérieur du triangle ABC (N.,19, 3°). Si la somme A -f- A' est 
supérieure à 180°, Je point D se trouve dans la région 1 (N.,1 ) et le seg- 
ment décrit sur BC est capable de l'angle A -h A' — 180°. 

Fig. 17. 




Le second centre métaharmonique E est à l'extérieur du cercle ABC. 
Il appartient aux circonférences des segments capables des anglesA — A', 
B — B', C — C décrits sur BC, CA, AB vers l'intérieur du triangle ABC. 
Si la différence A — A' est négative, on décrit sur BC, vers l'extérieur 
du triangle ABC, un segment capable de l'angle A' — A. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. ^65 

Le triangle métaharmonique et le triangle podaire du premier centre* 
D par rapport au triangle ABC sont de même sens que ce dernier; ceux 
du second centre E ont une orientation différente. 

THÉORÈMES. 
22. Soient D, E les deux centres métaharmoniques du triangle ABC 
par rapport au triangle A'B'C {fig. 17) : 1° Les rayons vecteurs de D 
sont proportionnels à ceux de E; 2° Les points D, E divisent harmoni- 
quement un même diamètre de la circonférence ABC. 

i" Soient XYZ, X'Y'Z' les triangles podaires des points D, E. On a 
(N.,19) 

rt.AD _„, a.kU 



YZ = 



d'où 





'2K ' 




il\ 


YZ 
Y'Z' 


AD 
~AÉ~ 


BD 

"be 


CD 
~CE* 



7." Soient P, Qijig. i8)les points qui divisent le segment DE harmo- 

YZ 

iiiquement dans le rapport r^rp' La circonférence décrite surPQ comme 

diamètre passe par A, B, G (187). 

SCOLIE. 

23. i°Les droites de Simson,X''Y''Z"etX"'Y"'Z"'(/^. 1 8), des points? 

Fig. i8. 




\ 



I 



eiQ par rapport au triangle ABC di/isent les segments XX', YY', ZZ', addi- 

R. el DE G. — Tr. de Géom. (I" Partie). 'ÙO 



Y'Z' 



donc ce sont 



466 NOTE III. 

DP 
tivement et soustractivement, dans le rapport ^^^ 

Jir 

les droites doubles des triangles inversement semblables XYZ, X'Y'Z'; 
leur intersection F est le point double de ces triangles. On peut démon- 
trer que F est au milieu de la distance des points D/, E/, inverses de 
D, E par rapport au triangle ABC, et qu'il appartient à la circonférence 
des neuf points. 

2° Trouver, dans le plan du, triangle ABC, un point dont les distances 
aux sommets soient proportionnelles aux nombres donnés /, m, n. 

Ce problème, d'après ce qui précède, admet pour solutions deux 
points qui divisent harmoniquement un diamètre du cercle ABC ; on 
parvient au même résultat en appliquant le lieu géométrique du 
n° 187. 

En effet, soient {fig. 19) L, L' les points qui divisent le côté BG 
harmoniquement dans le rapport m : n^ et soient N, N' les points qui 
divisent AB harmoniquement dans le rapport / : m. Les circonférences 
décrites sur LL' et sur NN' comme diamètres se coupent en deux 
points D et E (réels ou imaginaires), qui résolvent le problème proposé. 




Comme elle? sont orthogonales à la circonférence ABC (383), leur 
corde commune passe par le centre de cette courbe et est divisée har- 
moniquement par cette ligne. 



I 

I 



I 



GÉOMÉluiiS DU TRIANGLE. 4^7 

Soient M, W les points qui partagent GA dans le rapport n : /. Les 
droites AL, BM, CN se coupent en un même point P qui a pour coor- 
données barycentriques ^> — > - ; les points L', M', N' sont situés sur une 

même droite/», polaire trilinéaire de P. Les cercles qui ont pour dia- 
mètres respectivement LL', MM', NN' ont même axe radical DE; leurs 
centres L", M", N", d'après une propriété des divisions harmoniques, di- 
visent BC, CA, AB dans les rapports m^ : 722, n^-J^, l^im"^; la droite 
L"M"N'' est perpendiculaire au milieu du segment DE, et a pour coor- 
ionnées l^^ m^, n^. 

2i. Deux points D, E dont les distances aux sommets du triangle fon- 
damental sont proportionnelles aux mêmes nombres, /, m, «, sont dits 
tripolairement associés par rapport à ce triangle. 

SYMÉDIANES (*). 

25. Soient A', B', G' les milieux des côtés du triangle fondamental ABG. 
Les isogonales des médianes AA', BB', GG'sont appelées symédianes du 
triangle ABC; elles concourent en un même point K, inverse du centre 
de gravité G (N.,10); K est le centre des symédianes^ ou le point de 
Lemoine 'y"-) de ABC. 

La srmédiane AK est le lieu des milieux des transversales antipa- 
rallèles à^Çx par rapport à l'angle BAC (_y%. 20). Car, si l'on retourne 
le triangle BAC autour de la bissectrice AI, BC devient antiparallèle à 
sa direction primitive, et A A' coïncide avec AK. 

Les conjuguées harmoniques des symédianes AK, BK, CR par rapport 
aux angles A, B, G du triangle fondamental coïncident avec les tan- 
gentes menées par A, B, G au cercle circonscrit. Cette propriété résulte 
de la précédente; car les tangentes sont parallèles aux transversales 
antiparallèles (338). 

Désignons par K^KôKc le triangle formé par les tangentes, par Ki, 
K2, K3 les points de rencontre des symédianes AK, BK, GK avec BC, 
CA, AB. Les points Ka, K^,, K<;, pôles des cordes BC, CA, AB du cercle 
ABC, senties associés de K(N.,6); les triangles ABC, KaK^Kc, K1K2K3 
ont, deux à deux, le môme axe dhomologie kik^k^. Cet axe est la po- 
laire trilinéaire de K; on l'appelle souvent droite de Lemoine de ABC. 



(') Maurice d'Ocagne, Nouvelles Annales de Mathématiqi^eSy 1884. 

(') Emile Lemoine, dissociation française pour l'Avancement des Sciences^ 
Conférés de Lyon, 1878, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 1878. 

Les nombreux travaux de M. E. Lemoine permettent de le regarder comme 
l'initiateur do la nouvelle Géométrie du triangle. Il n'est que juste de citer, 
à côté do lui, i\l\I. W. Brocard et J. Neuhorg. 






468 NOTE III. 

La polaire trilinéaire de K ext aussi la polaire de ce point par rap- 
port à la circonférence 0. Car le pôle de la droite AK, par exemple, 
étant à l'intersection des polaires des points A, Ka, les points Ai, A-j, ks ' 
sont les pôles des symédianes, et la droite kik^h est la polaire du 
point de Lemoine. 

On conclut de cette propriété que la polaire de K est perpendicu- 

laire à la droite OK et que sa distance au centre est égale à ^rr? • 

26. Les coordonnées normales de G étant égales au tiers dos hau- 
teurs du iv\^x\^\Q'A^Ci,\les coordonnées normales absolues de K sont 

-la, -Ib ,- Xc (N.,10), X ayant la valeur — y- 

2 '2 '2 ^ ' ^' -^ a^-~{-b^-hc^ 

Pour déterminer le facteur X, nous avons remplacé, dans l'identité 
ax -\- bf -i- cz = 2.S, les quantités x, y, z par - X^, -X/^, - Xc« 
On peut observer que 

I _ «2 /,2 c2 _ 1 / « b c\ 

X~4S"^4S'^4S""2V^"^/^"^â;J' 

Aa, ^ib, Ile désignant les hauteurs de ABC. 

Les coordonnées normales du point K de Lemoine étant proportion- 
nelles aux côtés de ABC, K est le centre d'homothétie de ABC et du 
triangle formé par les côtés extérieurs des carrés construits sur BG, 
CA, AB en dehors du triangle ABC. 

Des expressions de ces coordonnées, on conclut encore que les coor- 
données barycentriques de K sont proportionnelles à a^, b^, c^ ; donc 
une symédiane d'un triangle partage le côté correspondant dans le 
rapport des carrés des côtés adjacents. 

K est le centre de gravité de son triangle podaire XYZ. En effet, les 
triangles KYZ, ABC, dont les angles YKZ, BAC sont supplémentaires, 
sont entre eux comme les produits des côtés qui comprennent ces 
angles (437); d'où 

aire KYZ = 7 X2 S et, par analogie, KZX = KXY = 7 X^S. 
4 4 

La démonstration de ce théorème résulte également de la remarque 
suivante, souvent utile : Étant donné un triangle quelconque ABC, on 
peut toujours construire un second triangle dont les côtés et les mé- 
dianes sont, respectivement, parallèles aux médianes et aux côtés du 
premier triangle; si G' est le centre de gravité du triangle A"BC {fig. 3 ), 
le second triangle est CGG'. Il suffit maintenant d'observer que les côtés 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^9 

du triangle XYZ sont perpendiculaires aux médianes de ABC, et que les 
droites KX, KY, KZ sont perpendiculaires aux côtés de ABC. 

PROBLÈME. 

27. Trouver dans le plan d'un triangle ABC un point P {^fig. 19) dont 
la somme des carrés des distances :v, f, z, aux côtés du triangle soit 
minimum. 

Menons par le point cherché P une parallèle B'C à BC ; P doit être le 
point de cette parallèle qui rend minimum la somme y^ -\- z^. Or, on a 
l'identité 



(ab' 



AC'^) (j2 + s2) = ( AB'.s -^ AC'.7)2 -f- (AB'.j - AC'.s)^, 



et comme la quantité AB'.z -h AC'.j a une valeur constante, égale au 
double de l'aire AB'C, le minimum de j^ + 32 correspond à ia relation 
AB'.J — AC'.s = o; d'où 

j _ AC ' _ ^ 

z ~ AB' ~ c' 

Donc AP est une symédiane du triangle ABC. On verrait de la même 
manière que le point cherché se trouve sur les deux autres symédianesi 
il se confond donc avec le point K de Lemoine. 

28. Le point K est à l'intersection des droites joignant les milieux des 
côtés du triangle ARC aux milieux des hauteurs correspondantes {fig. 20). 

En effet, en joignant le milieu A' de BC aux points A, Ki, K, Ka, on 
obtient un faisceau harmonique; les trois premiers rayons interceptent 
sur une parallèle AHi au quatrième rayon A'Ka des segments égaux (338). 

29. Soient X', Y', Z' les symétriques, par rapport à K, des projec- 
lions de K sur les côtés du triangle ABC. Ces points sont les points de 
Lemoine des triangles AII2H3, BHalIi, CH1H2, en désignant par 
H1H2H3 le triangle orthique de ABC {fg- 10). 

Puisque A'K passe au milieu de AIIi, X'est situé sur la médiane AA'. 
La symédiane AKi de ABC passe au milieu V de l'antiparallèle H2H3; 
de même, la médiane AA' de ABC est une symédiane du triangle An2H3 ; 
soit U le point où AA' coupe H2H3. Les droites BC, H2H3, anliparallèles 
par r; pport à l'angle BAC, sont aussi antiparallèles par rapport à l'angle 
Kl A A' qui a la même bissectrice; le quadrilatère KiUVA' est donc 
inscriptible, et comme A'V est perpendiculaire à H2H3(A'est le centre 
de la circonférence BH3H2C), KiU est perpendiculaire à BC. Il en ré- 
sulte que les points K, X' divisent dans le même rapport les symédianea 
AKi, AU des triangles semblables ABC, AH2H3; donc X' est le point 
do Lemoine do AH2IJ3. 



470 



NOTE III. 



SCOLIE. 

Le point K a les mêmes coordonnées barycentriques dans les deux 
triangles ABC, H1H2H3 {fig. 20). En effet, dans le trapèze AHiKiU, 
K est le milieu'de la parallèle XX' aux deux bases, et, comme il est situé 
sur la diagonale AKi, la seconde diagonale passe par K. Donc HjK passe 
par le pied U de la symédiane AX' du triangle AH2HS 

30. Appelons a, p, y les secondes intersections des symédianes AK, 
BK, GK avec la circonférence ABC. 

Le faisceau harmonique A(BCKKa) rencontre la circonférence ABC 
en quatre points B, G, a, A, dont le rapport anharmonique = — i (321). 
A cause de cette propriété, le quadrilatère ABaC est dit harmonique. 
De même, BC^A et GAyB sont des quadrilatères harmoniques. 



Fig. 20. 




-T^A-. 



Les perpendiculaires abaissées de a sur AC, AB sont proportionnelles 
è AC, AB; comme elles forment des triangles semblables avec aC, aB, 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 



471 



on trouve aiscmcnt 



AB.aC 



AG.aB=-|Aa.BG. 



Aa est une symédiane des triangles ABC, aBC; BC est une symé- 
diane des triangles BAa, CAa. Il suit de là que les distances de l'in- 
tersection des diagonales d'un quadrilatère harmonique aux quatre cô- 
tés sont proportionnelles aux longueurs de ces côtés. 

31. a^Y ®st le triangle métaharmonique de ABC par rapport à K; donc il 
est semblable au triangle podaire XYZ de K, et ses côtés sont proportion- 
nels aux médianes de ABC. K étant le centre de gravité de XYZ est le 
point de Lemoine de ajîy (N., 26), ce que l'on peut aussi démontrer 
directement. 

CENTRES ISOGONES ET CENTRES ISODYNAMIQUES. 

32. Il existe, dans le plan d'un triangle quelconque ABC, deux points 
U, U', d'oij l'on voit les trois côtés sous des angles de 120° ou 60°; ce 
sont les métapôles du triangle ABC par rapport à un triangle équilaléral 
(N.,1i). Nous appelons ces points centres isogones de ABC. 

Construisons {Jig. 2 1 ) su r les côtés de ABC, vers l'extérieur, les triangles 




équilatéraux BCmi, CA.^i, ABi^sî et, vers l'intérieur, les triangles équi- 



47 2 NOTE III. 

latéraux BCm'iCAmj, ABmj. Les droites Awi, Bu^, Cih concourent en 
U; les droites A«',, Bm',, Cmj en U'. 
Les coordonnées barycentriques de U et U' sont 



cotA±/3 cotB±/3 cotG±/3 

33. Lorsqu'aucun des angles A, B, G ne surpasse 120", le point U tombe 
à l'intérieur du triangle ABC (^^. 21). Dans ce cas, il Jouit de la propriété 
de rendre minimum la somme des distances d'un même point aux sommets 
du triangle de référence. En effet, désignons par N1N2N3 le triangle 
antipodaire de U par rapport à ABC; ce triangle est équilatéral et ses 
sommets appartiennent aux circonférences BG Wi, GAw?, ABM3. L'angle 
UGNi étant droit, UNi est un diamètre du cercle BG Mi ; par suite, l'angle 
Uz^iNi est droit et la droite Ni^i est parallèle à N2N3. Ainsi, \Qsdroites 
A«i, Bwsj Gms sont égales à la hauteur du triangle N1N2N3. Soient 
VVi,VV2, VV3 les perpendiculaires abaissées d'un point intérieur V 
sur les côtés de N1N2N3. La somme VVi -+- VV2 + VV3 est toujours 
égale à la hauteur de N1N2N3; par conséquent 

UA4- UB + UG = VV, + VV2 4- VV3 < VA + VB h- VC. 

Si le point V est à l'extérieur, on a, par exemple, 

UA + UB + UG = VV, — VV2 - VV3 < VA -h VB H- VC. 

La propriété énoncée est donc démontrée. 

La discussion complète du problème de trouver le minimum de 
± VA dz VB zt VC ne saurait trouver place ici ( ' ). 

34. Lorsque l'angle BAC est plus grand que 120°, U tombe dans la 
région 1', et l'on a UB -+- UC — UA = Aa,. Lorsque les angles B et G du 
triangle ABC sont tous deux inférieurs à 60° ou tous deux supérieurs à 
60°, le point U' tombe dans Ta région i et l'on a, respectivement, 
UB + UG — UA = dbAw'i. 

Calculons les longueurs ku\ = j, ku\ = s'. En appliquant au triangle 
Amiw'i les théorèmes 230 et 23 i, nous aurons 

f2-f- j'2 = 2AA' 4- 2 A' Ml , f« — i'2 = 4A'wi.AH,, 

— 2 I I _ 

ou, à cause de b^ -\- c"^ = ikM -h-^^, A'm, = -«/S, 



(») Voir J. Bertrand, Journal de LiouviUe^ t. Vlli. 



I 

I 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 473 

par conséquent 

2^2 =^2^.^2 + c2-f- 4S/3, 2S'^ = a"' -\- b"^ ^ d^ — [^"^sfl. 

3o. Soient (y?i,^ 2 1 ) W, W les inverses des centres isogones U, U' dans le 
triangle ABC. Ces points sont les centres métaharmoniques de ABC par 
rapport à un triangle équilatéral, c'est-à-dire que les triangles podaires et 
les triangles rnétaharmoniques de W et W sont équilatéraux. Il résulte 
de là que 

«. AW = /^.BW = c.GW, rt.AW = ^.BW = c.GW. 

A cause de ces relations, les quadrangles ABGW, ABCW sont dits iso- 
dynamiques, et les points W, W sont appelés centres isodynamiques 
du triangle ABC. 
Comme on a 

BW _ BA _ BW^ 

GW~CA~CW'' 

les points W, W appartiennent à la circonférence qui a pour diamètre la 
distance Ii i\ des pieds des bissectrices, intérieure et extérieure, de l'angle 
opposé; cette circonférence coupant orthogonalement celle qui est cir- 
conscrite au triangle ABC, son centre est au point ^1 (383, 332). Donc 
les trois circonférences qui ont pour diamètres les segments ii Ii, i^ I2, ^la 
compris entre les pieds des bissectrices se coupent aux centres isody- 
namiques W, W ; leurs centres sont sur la polaire de K. On en conclut 
que W, W sont sur le diamètre OK, que le milieu du segment WW 
appartient à la droite OK, et que OW.OW = R2. 

SCOLIE. 

Les cercles AIiï'i, Bl2ï2, Cla^ ont reçu le nom de cercles d' Apollo- 
nius du triangle ABC. Leurs cordes communes avec le cercle ABC sont 
dirigées suivant les symcdianes AK, BK, CK, polaires de leurs centres 
/l'i, ^2, ^'3 par rapport au cercle ABC. 

POINTS, CERCLE ET TRIANGLES DE BROCARD (*). 

36. Soient A', B', C les milieux des côtés du triangle fonaamental 
ABC; 0, le centre du cercle circonscrit; K, le point de Lemoine. 



(') H. Brocard, Nouvelles Annales de Mathématiques, iS'^'S; Nouvelle cor' 
respondance mathématique, 1877, 1879, 1880; Association française pour l'A' 
vancement des Sciences, Congrès d'Alger, i88i. 

.1. Neubcrg, Mathesis, 18S1. 



474 ^^"^^ "'• 

Le cercle décrit sur la droite OK comme diamètre a reçu le nom de 
cercle de Brocard; nous le désignons par cercle (OK) . Soient Ai, Bi, Ci 
les points où il rencontre les médiatrices OA', OB', OC, et soient A2, Bg, 
C2J ses points d'intersection avec les symédianes AK, BK, CK. Les tri- 
angles AiBiGi, A2B2C2 sont dits, respectivement, le premier et le 
xecond triangle de Brocard de ABC {ftg. 22). 

FiîT. 2a. 




Les droites KAi, KBi, KGi étant perpendiculaires à OA', OB', OC, les 
segments Ai A', BiB', CiC sont égaux aux coordonnées normales abso- 
lues de K, et par suite proportionnels à BC, CA, AB. Donc les triangles 
isocèles AiBC, BiCA, GiAB sont semblables. L'angle à la base de 
ces triangles, que nous désignons par V, QSiV angle de Brocard de 
ABC. 



ÎÔMÉTllIE DU TRIANGLE 

Le triangle Al A'B donne Ai A' 



<2tangV; d'où (N.,26) 






-il SL ' 1 

l\ hn ~^ Il 



h C 

-+-7- 

b l>c 



I 



représentant les hauteurs de ABC. Mais 

rt == BHi H-H, G = //a(cotB + cotC), ...; 

conséquemment, 

cet V = cot A + cot B -H cot C. 

37. Le triangle AiBiCi est inversement semblable à ABC; car les 
droites KAi, KB2, KC2 sont menées par un même point de la circonfé- 
rence (OK) parallèlement aux côtés du triangle ABC (N.,15). 

Cherchons le rapport de simiHtude. En tenant compte des signes des 
aires (*), on peut écrire 

AiBiCi = OAiBi -t- OBiCi + OCiAi. 

Les angles AiOBi, ACB ayant leurs côtés perpendiculaires, on a 

OA,Bi _ OAi.OBi _ (OA^— AiA^)(OB — BiBQ . 
S ab ab ' 

comme 0A'= - a cot BOA' = - «cot A, AiA'= -«tan^ V, . . ., cette re- 
lation prend la forme 

5^^ = -. (cotA - tang V) ( cotB — tangV). 

Additionnant l'égalité précédente avec les deux autres analogues, et ob- 
servant que 

cotAcotB-H cotB cote -4-cotG cotA= i, cotA -f- cotB + cotG = colV, 

on trouve 

AiBiGi _ 3tang2V — I 
ABC ~ 



4 
L'aire AiBid étant négativp, le rapport de similitude des deux tri- 



(') Les aires de deux triangles, désignées par ABC, A'B'C', sont de mêm ^ 
signe ou de signes contraires suivant que les sens de rotation ABC, A'B'C 
sont les mêmes ou diffèrent. Si O est un point quelconque du plan ABC, 
on a 

ABC = OAB 4- OBC 4- OCA. 



476 NOTE 111. 

angles AiBiCi, ABC est égal à| /i — 3tang2V, et 

BiC =-«/i— 3tang2V, .-., OK = R /i — Stang^y. 



LEMME. 

38. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit trois triangles directe- 
ment semblables KRc^ BG«, Ckb : les triangles abc, ABC ont même centre 
de gravite'. 

Supposons d'abord les points «, b. c quelconques {flg. 23) et soient G, 
G', G", G'" les centres de gravité des triangles ABC, aBC, abC, abc. 
Les médianes AA', a M étant divisées en G, G' dans le môme rapport 

2 : I, la droite GG' est parallèle à A^ et égale à - Art. On en conclut 

aisément qu'on passe du centre de gravité du triangle ABC à celui de 
abc, en construisant une ligne brisée GG'G''G"' dont les côtés sont pa- 
rallèles aux droites A^, Bè, Ce et égaux aux tiers de ces droites. G" 



Fig. 23. 




coïncidera avec G, si les droites Art, B^, Ce sont égales et parallèles 
aux côtés d'un même triangle {Jig.i^). 

Dans le lemme énoncé ci-dessus, les droites Ac, Brt, Cb sont pro- 
portionnelles aux côtés AB, BC, CA du triangle ABC et également incli- 
nées sur ces côtés ; donc elles représentent en grandeur et en direction 
les côtés d'un triangle semblable à ABC. Les triangles ABC, cah ont 
donc môme centre de gravité. 

39. D'après le lemme précédent, G est le point double des triangle^ 
semblables AiBi Cl, ABC (/Fg. 22). 

Désignons par cpx',jry les bissectrices des angles A'GAi, Ai G A, et 
par A3, B3, C3, A4, B4, C4 les points où elles rencontrent les médiatrices 
OA', OB', OC. xx', j-y sont les droites doubles des triangles sem- 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4;; 

blablos AiBid, ABC; on les appelle /e,y «xe^ de Steiner de ABC. Comme 
GAi et GA' sont deux lignes homologues, on a 

GA, Ai A3 A, A'— A3 A' |atangV — A3A' 

nff2 V = -rm = - — — — : — t, = — —. > 

A3 A 



y/i — 3tano:2V 
d'où 



GA' A3 A' A3 A' 

rttangV 



A, A': 



2(i-+-v/i — 3tang2V) 



On voit que les triangles isocèles A3BC, B3CA, C3 AB sont semblables ; 
leur angle à ia base, que nous représentons par Vi et qui a reçu le 

Fig. 24. 




nom de premier angle de Steiner de ABC, est donné par la formule 
'^ A'B 



cotVi 



A3 A' 



cotV -h v/cot2V~3. 



De même, les triangles A4BC, B4CA, C4AB soni semblables, et leu, 
angle à la base {second angle de Steiner) vérifie l'égalité 

cotVa = cotV — v/cot^V — 3. 



THÉORÈME. 

40. Les perpendiculaires abaissées des sommets de ABC sur les côtés 
opposés de A, B, Ci concourent en un même point N ; les parallèles me- 
nées par les sommets de ABC aux cotés correspondants de AiBiCi 
concourent en un même point R. Les points N ef R sont les extrémités 
d'un même diamètre du cercle ABC ; ce sont, par rapport au triangle 



47<^ NOTE 111. 

ABC, les homologues des points 0, K considérés dans le plan AiBiCi. 

En effet {Jîg. -22), deux droites homologues des plans AiBiCi, ABC 
ayant des directions symétriques par rapport à xx\ les perpendiculaires 
abaissées de Ai, Bi, Ci sur les côtés de ABC ont pour lignes correspon- 
dantes les perpendiculaires abaissées de A, B, C sur les côtés de Ai Bi Ci. 

On démontre facilement, par la considération de triangles semblables, 
que les coordonnées normales d'un point M de la circonférence circon- 
scrite au triangle de référence ABC sont inversement proportionnellcb 
aux rayons vecteurs MA, MB, MC. Par conséquent, les coordonnées nor- 
males de dans le triangle AiBiCi et celles de N dans le triangle 
ABC sont inversement proportionnelles à OAi = 1 (cot A — tang V), 
OBi, OCi ; d'oii l'on déduit qu'elles sont entre elles comme 

séc(A - V) : séc(B — V) : séc(C - V). 

Celles de K dans le triangle AiBiCi sont inversement proportion- 
nelles à A'X — KAi, B'Y, C'Z, en désignant par XYZ le triangle podaire 
de K par rapport à ABC. Soient K2, K^ les points de rencontre de AK 
avec CA, OB'; BKsKK* étant une division harmonique, le segment B'Y 
est divisé harmoniquement par KsHs- Par conséquent (332) 



Y 2 U'Ks'^B'hJ' 



B'Y 

si l'on calcule B'K2, B'H2 en fonction de a, b, c, on trouve que les 
coordonnées normales de K dans AiBiCi, et celles de R dans ABC, sont 



a(ù^~.c^)' b{c^---a^y c{a'^~lA) 

41. Les perpendiculaires menées des milieux des côtés du triangle 
Al Bi Cl sur les côtés correspondants du triangle ABC concourent au cen- 
tre du cercle des neuf points de ABC. Car ces droites, parallèles à OAi. 
OBi, OCi passent par le complémentaire 0' de par rapport à AiBiCj, 
de sorte que GO' = \ OG. 

-42. Les droites AAi, BBi, CCi concourent en un même point D, qui 
est le réciproque du point de Lemoine par rapport à ABC. 

Si l'on coupe le faisceau harmonique A'(AKiKKa) par la droite KAi 
parallèle au rayon A'Ki, on voit que AA' passe au milieu de KAi ; donc 
AK et AAi rencontrent BC en des points isotomiques. 

Nous mentionnons, sans démonstration, les propriétés suivantes : Le 
point D est situé sur la droite NR ; l'axe d'homologie des triangles ABC, 
AiBjCi est perpendiculaire à la droite OD. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4 79 

43. Les droites A Ci, BAi, CBj concourent en un morne point Q du 
cercle (OK); les droites BGi, G Ai, ABi concourent en un second point 
il' du même cercle. 

En effet, les droites ACj, BAi faisant le même angle avec les droites 
CiO, AïO se rencontrent sur la circonférence AiGiO; de même, les 
droites BAi, GBi se coupent sur la circonférence AiBiO. Donc les trois 
lignes AGi, BAi, GBi passent par un môme point de la circonférence (OK). 

SCOLIE. 

44. 1° Les angles A QB, BûG, GûA sont égaux aie — B, tc— G, ir — A. 
Par conséquent, pour déterminer le point Û, on peut décrire une 

circonférence passant par les sommets A, B, et tangente à BG ; 
» B, G, » GA; 

» G, A, » AB. 

Ges circonférences sont appelées les circonférences adjointes (AB), 
(BG), (GA). 

Le point Q.' est à l'intersection des circonférences adjointes (BA), 
(BG), (AG). 

Û, Q! sont les points de Brocard du triangle ABG. 

2° Q est le premier métapôle des triangles ABG, GAB; Q!, celui des 
triangles ABG, BGA (N., 14, 15). 

Soient {fig. i5) Qi, a les points de rencontre de la droite Au avec le 
côté BG et avec le cercle adjoint BQG. Le triangle aBG étant inverse- 
ment semblable à GAB, la droite aG est parallèle à AB, et la droite aB 
touche le cercle ABC. Il résulte de là 



oG _BG 
BG ~AB 

en éliminant a G, on trouve 



Par analogie. 



BQi 

QiG 



BQi 

Î27G 

-£!. 



BA 

aG' 



GQs 



«2 



Aû_3 

Û3B 



C2 



B0\ 

li'iG 



«2 



Ainsi, les coordonnées harycentriques des points S, OJ sont 

leurs coordonnées normales ont pour expressions 

fc a b\ fh c a\ 
\jb^ c^ a 1 \c a* 1) } 



^8o NOTE m. 

3" En comparant les coordonnées barycentriques des points K, Q, Q', 
on a une construction très simple pour déduire les deux derniers 
points du premier : les droites K1Q3, K^^uK^Qi sont parallèles à GA, 
AB, BG; les droites Kiû'j, K2O3, K3O; sont parallèles à GA, AB, BG. 



FîQ. 25. 




4° La torde ûû' du cercle (OK) est perpendiculaire sur le diamètre 
OK et est vue du point sous l'angle 2 V. En effet, les angles QAiK, 
KAiû' sont égaux à V. 

THÉORÈME. 

45. Soient Fa, Fô, Fc trois figures directement semblables, construites 
sur les côtes BG, GA, AB du triangle ABC comme segments homologues. 
Les points Aj, B2, G2 du cercle (OK) sont les centres de similitude de ¥b 
et Fc, ¥c et Fa, Fa et Yb (fg- 22). 

Soit a la seconde extrémité de la corde symédiane AK. OA2 étant per- 
pendiculaire à AK, As est le milieu de Aa; BA2 et BKi sont donc la mé- 
diane et la symédiane du triangle BAa ; d'où angle ABA2 = GD a = GAa 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^1 

et, par analogie, angle ACAo = BGa = BAa. Les triangles CAA2, ABA2 
sont donc directement semblables, et A2 est le point double (368) de 



11° Le point A2 appartient aux circonférences adjointes (BA), (CA) et 
à la circonférence BOC. Car l'angle 



Corollaires. 



AA2G = 71 — A2 AC — AC A2 = Ti — A2 AC — B AA2 = ir 



2" On a A2A = A2B. A2C, ^ = p" 



THEOREME. 



I 



46. Les triangles Ai Bi Ci , A2 B2 C2 ont pour centre d'homologie le centre 
de gravite' G c?<? Ai Bi Ci ; pour axe d'homologie, la polaire de G par rap- 
port au cercle (OK) {fig. 11). 

En effet, Bi et Ci étant des points homologues de F^ et Fc, les droi- 
tes homologues A2B1, A2C1 font entre elles un angle égal à celui des 
lignes homologues CA, AB ou égal à 7t — A; de plus, elles sont propor- 
tionnelles à CA, AB ou à Ci Ai, AiBi. Par conséquent, les points Ai, A2 
sont situés de part et d'autre de BiCi, et A2B1. AiBi = AiCi. A2Cr, 
les triangles Ai AoBi, A1A2B2 sont donc équivalents, et A1A2 passe au 
miKeu de BiCi. 

Comme les cordes A1A2, B1B2 se coupent en G, le point d'intersec- 
tion des cordes AiBi, A2B2 appartient à la polaire de G (344), etc. 

Corollaire. 

Le triangle A2B2C2 est semblable au triangle podaire de G par rap- 
port à ABC. 

THÉORÈMES. 

47. La polaire de K par rapport au triangle ABC est l'axe radical 
du cercle circonscrit et du cercle (OK) {fg. 22). 

Soient u^ v, z les points de rencontre de la droite OK avec la circon- 
férence ABC, et avec la polaire A-i Ju_ A3 de K. La division harmonique uvz K 
donne (332) 

-L = i/_L I \ -gQ . 

2K~~2\2W Zv) ZU.ZV* 

donc 2K.2O = sw.sp, ce qui démontre le théorème. 

48. La circonférence (OK) et la polaire k^k^k^ de K sont des figures 
inverses par rapport à la circonférence ABC (y%. 22). 

R. et DE C. — Tr. de Géovi. (I" Partie). 3l 



482 NOTE III. 

Ce théorème résulte immédia Lement de la relation OK. Os = R2(388). 
On en conclut que les points tripolairementasso:iés à Ai, Bi, Ci, A2, BjjCî, 
Q, Q' appartiennent à la droite A:i/c2/f3. 

Les points Cl, Q' étant des points inverses par rapport au triangle 
ABC, leurs triangles podaires (N.,9) sont directement semblables à BCA, 
CAB. Les droites OQ, Oû' rencontrent la polaire de K en des points dont 
les triangles podaires sont inversement semblables à BCA, CAB. Le 
triangle podaire de z est inversement semblable au tiùangle dont les 
côtés sont parallèles aux médianes de ABC. 

CERCLES TANGENTS AUX TROIS COTÉS d'l'N TRIANGLE. 

49. Soient {Jig. 26) I, !«, h, h les centres du cercle inscrit et des 
cercles exinscrits au triangle fondamental ABC. Les points de contact 
de ces cercles avec les côtés BC, CA, AB sont désignés par les lettres 

(a, P, ï), («1, ?u Yi), («2, P2, ïs), («3, K Ta)- 

On sait que ABC est le triangle orthique de chacun des quatre 
triangles lahh, Ih^b, JcHa^ lù^al- Cette remarque conduit à quelques 
théorèmes qu'il suffit d'énoncer. 

1° Les droites !««!, Ï6p2i IcYa, concourent au centre V du cercle 
lal^Ic; les droites la, Ic^s, hyt se coupent au centre Y a du cercle 
ll^ïô, etc. Les deux quadrangles WaVôVc, IJahh sont symétaques 
par rapport au point ; les côtés du premier sont perpendiculaires aux 
milieux des côtés opposés du second. 

2" Les droites qui joignent I^, Ib-, le ^UJC milieux A', B', C des côtés de 
ABC concourent au centre des symédianes du truzngle la Ib h ; les droi- 
tes A'I, B'Ic, C'ib sont les symédianes du triangle llc-i/;, etc. 

50. Les droites Aa, B^, Cy concourent en un point T ayant pour 
coordonnées barjcentriques 



— a-\-b-\-c a — b -^ c a-\-b — c 

Les droites A ai, B^i, Cyi concourent en un point Va dont les coor- 
données barjcentriques sont 

I I I 

a -{- b -^- c — a — b ->r c — a-^b — c 

Ces propositions se déduisent immédiatement des valeurs des seg- 
ments Ba, Ca, 

Le point r est appelé quelque fois /?<?/«/ c?e Gergonne du triangle ABC; 
Ta» Té, Vc sont les adjoints de V. 

51. Les droites A ai, B^a» C^s concourent en un même point v, reçu 
proque du point V et anti complémentaire de \. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. /Jg3 

Les droites A a, 8^3, Cys concourent en un même point v^, réci- 
proque de Ta et anticomplémentaire de la, etc. 

Les points a et aj, [5 et pg, y et Ys étant isotomiques (N., 7), les droites 
Aai,Bp2j Gy3 concourent en un point v, réciproque de F. Les coordon-" 
nées barycentriques de V sont égales k—a + b-Jrc^a — b + c, a-hb-^c. 

Fig. 26, 




^/¥xr— y<^ 



Ces expressions montrent que v est I anticomplémentaîre du point I, 
dont les coordonnées sont a, b, c. Pour établir directement cette pro- 



484 ^^'^^ "^• 

priété, désignons par a' la seconde extrémité du diamètre al du cercle I. 
A étant un centre de similitude des cercles I, h, la droite ai a', qui 
joint les extrémités de deux rayons parallèles, passe par A; par consé- 
quent, la droite A'I joignant les milieux de aai et aa' est parallèle à 
Aai, B'I et CI sont parallèles à BP25 G 73, et les points I, v sont des 
points complémentaires (N.,9). 

Les autres parties de la proposition peuvent être établies par un pro- 
cédé analogue. 

V est appelé quelquefois \e point de Nagel de ABC ; v^, v^, v^ sont les ad- 
joints de ^. 

SUR LES FIGURES SEMRLABLEMENT VARIABLES (*). 

52. Une figure est dite semblablement variable lorsqu'elle se modifie 
d'une manière continue en restant semblable à une figure fixe. 

THÉORÈME. 

Lorsque trois droites «j, b^ 0% d'une figure semblablement va- 
riable çi passent par trois points fixes A, B, G, il existe un point D de 
cette figure qui reste fixe. Tous les points de la figure décrivent des 
circonférences passant par D ; une droite quelconque passe par un 
point fixe {fig. 27). 

• Fig. 27. 




Au A, 

Chaque position de ©i est déterminée par les positions de trois de ses 



(«) J. Neuberg, Proceedings of the London Mathematical Society, i885. 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 4^5 

droites, pourvu que celles-ci ne soient pas concourantes. Soit Ai Bi Ci 
le triangle formé par «i, Z>i, ci; comme il est toujours semblable à 
lui-même, ses côtés tournent autour de A, B, C, dans un même sens, 
de quantités égales, et ses sommets parcourent trois circonférences 
Oa, Ob, Oc, passant par deux des points A, B, G et se coupant en un 
même point D, métapôle du triangle ABC par rapport au triangle AiBiCi. 
Les angles DBiCi, DCiBi étant constants, D est son propre homologue 
dans toutes les positions de çi : c'est un centre permanent de similitude. 

Les perpendiculaires menées en A, B, G sur DA, DB, DG forment un 
triangle AqBoGo, que nous pouvons considérer comme étant la position 
initiale de AiBiGi. Soient O^N, OcP des perpendiculaires, et OcQ 
une parallèle à BiGi ; comme BiGi = 2NP = 2 00c, BoCo=2 0aOc, 
QOc< OèOc, les dimensions les plus grandes de la figure variable cor- 
respondent à la position initiale cpo. Le rapport de similitude de ©i et cpo 
a pour expression OcQ; OcO^^ cosa, a désignant l'angle GoAGi. 

Soient Mo, Mi deux points homologues de cpo, 91. Les triangles DMoBo, 
DMiBi étant semblables, les triangles DMoMi, DBqBi le sont également, 
et le lieu de Mi est la circonférence 0,„ qui a pour diamètre DMo- 

SoitMjM une droite quelconque de cpi. Un point Mi de cette ligne 
décrit une circonférence 0,„ et l'angle DMi M est constant; par suite, la 
droite passe par un point fixe M de la circonférence 0,„. Ge point est la 
projection du centre permanent D sur la position initiale Mo M de la droite. 

SCOLIE. 

53. 1° Les droites «1, ^1, ci, à un certain moment, coïncident avec 
AD, BD, GD; dans cette position, tous les points de la figure variable 
sont confondus en D, et toutes les droites passent par D. 

La figure passe deux fois par les mêmes états de grandeur : elle a 
les mêmes dimensions lorsque «i prend deux positions symétriques par 
rapport à BqGo. 

2* Le centre permanent D est, dans le triangle variable AiBiGi, l'in- 
verse du métapôle ou le centre métaharmonique de ce triangle par 
rapport au triangle ABG. Ce rôle de D s'aperçoit immédiatement dans 
le triangle AoBoGo, dont ABG est le triangle podaire par rapport à D. 

3** Considérons une seconde figure cpj qui varie en restant symétri- 
quement semblable à la figure cpi, avec la condition que les homologues 
des droites «1, ^1, ci passent aussi par les points A, B, G. Le centre perma- 
nent de simihtude de cp'j est le jumeau D' de D(N.,17), dans le triangle 
ABC. Il existe entre les triangles antipodaires de ABG par rapport aur 
deux points D, D' cette relation assez curieuse que nous ne faisons 
qu'énoncer ici : La différence des valeurs absolues de leurs aires est 
égale à quatre fois l'aire ABG 



486 NOTE III. 

54. Les cas où les droites tZi, ^i, fi, dans une position particulière, 
coïncident, soit avec AB, BC, CA, soit avec CA, AB, BG, présentent un 
grand intérêt. 

!*• Dans le premier cas {fig. 28), les droites «i, h^ ci font avec AB, 
BG, CA un même angle X. Nous désignons maintenant par Ai, Bj, Gi les 
points d'intersection des droites ci et a^^ «1 et èi, hx etci, de sorte que 
le triangle Ai Bi Ci est semblable à ABC ; ces points se meuvent sur les 
circonférences adjointes (CA), (AB), (BG), dont les centres sont repré- 
sentés par a, p, y. Le centre permanent de similitude est le point û de 
Brocard, tel que ûAB = ÛBG = iiCA = V. 




Soient le centre du «ercle ABC ; AoBoCo le triangle antîpodaîre de û 
par rapport à ABC. Les angles aOp, po^, yOœ étant les suppléments des 
angles de ABC, est le point direct de Brocard du triangle a^y» et son 
homologue dans le triangle AoBqGo s'obtient en prenant sur 20 une Ion- 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 48; 

guour QQ'q =iQO. Il résulte de là que les points directs de Brocard 
ues triangles AiBiGi ont pour lieu géomét/ique la circonférence décrite 
de comme centre avec le rayon Oii. 

Appelons A2B2C2 le triangle formé par les droites A a, B^, Cy; c'est 
une position particulière de AiBiCi. Les distances de aux côtés du 
triangle A2B2C2 sont égales à C'A, A'B, B'C; elles sont donc propor- 
tionnelles à ces côtés, et est le centre des sy médianes de A2B2G2. On 
déduit, de cette propriété, que le centre des symédianes du triangle 
AiBiCi parcourt le cercle (OK) du triangle ABC. 

Le rapport de similitude des triangles AiBiCi, ABC est égal à celui 
des lignes homologues ûAi, QA; il a donc pour expression 

[ sin(VH- X): sinV. 

Il se réduit à coséc V ou cotV, lorsqu'on compare AqBoCo ou A2B2C2 
à ABC. 

2** Lorsque les droites a^ bu ^1 font avec AC, BA, CB un même 
angle X, elles forment iJig.2Ç)) un triangle A\BiCi semblable à ABC 



ri-. 29. 




et dont les sommets décrivent les circonférences adjointes (BA), (CB), 



488 NOTE III. 

(AC). Soient a , ^\ y' les- centres de ces cercles; est le point rétro- 
grade de Brocard du triangle a'^'y'- Le centre permanent de simili- 
tude des triangles A\ B'^ G'i est le point direct de Brocard de chacun 
d'eux; leur point rétrograde de Brocard décrit la circonférence qui a 
pour centre et pour rayon OU. 

Deux triangles AiBiGi, A'j^B, G', (./%". 28 et 29), qui correspondent à 
la même valeur de X, sont égaux ^ et ont pour point double le centre 
du cercle ABG. 

En effet, les côtés homologues se coupent sur les médiatrices OA', 
OB', OG' de ABG et font un angle constant 2X; par conséquent, une ro- 
tation autour de amène l'un des triangles sur l'autre. 

55. Le cas {flg. 3o) où trois droites a^, bi, cx d'une figure sembla- 
blement variable tournent autour de trois points A, B, G situés en 

Flg. 3o 



ligne droite se traite de la même manière que le cas général. Les 
points Al, Bi, Gi se meuvent sur trois circonférences Oa, 0*, Oc pas- 
sant par le point D, d'où l'on voit les longueurs AB, BG, GA sous des 
angles égaux à ceux du triangle AiBiGi ou à leurs suppléments; ce 
point est un métapôle du triangle aplati ABG et du triangle Ai BiGi. 
Les triangles DAiBi, DBiGi, DGiA, sont équiangles à DBA, DGB, DAG; 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLif. 4^9 

donc le point D est fixe dans le plan AiBiCi, et la circonférence AiBiCi 
passe constamment par D. De plus, la ^droite ABC peut être placée de 
telle façon que les points A et Ai, BetBi, G et Ci se correspondent dans une 
transformation par rayons vecteurs réciproques, effectuée du pôle D ; 
par suite, D est un centre métaharmonique des triangles AiBiCi, ABC. 
Le triangle AiBiCi devient maximum quand ses côtés sont perpendi- 
culaires à DA, DB, DC. Tout point de la figure variable décrit une cir- 
conférence passant par D. En particulier, le centre du cercle AiBiCi se 
meut sur la circonférence OaO/,Oc; car, si la tangente menée en A au 
cercle 0^ rencontre le cercle 0/, en p, le triangle C^A est une position 
particulière de AiBiCi et le point se trouve en 0^, etc. 

THÉORÈME. 

56. Si trois points Ai, Bi, Ci d'une figure semhlablement variable cpi 
parcourent les côtés BC, CA, AB d'un triangle donné k^O^ il existe un 
point F de cette figure qui reste fixe. Tout autre point décrit une 
droite {fi g. 3i). 

fig. 3i. 




Les circonférences ABiCi, BCiAi, CAiBi se coupent en un même 



I 



490 NOTE III. 

point F, métapôle des triangles AiBiGi, ABC. Ce point est donc fixe 
dans le plan AiBiCi ; il l'est ^également dans le plan ABC, car les 
angles FBG, FCB sont égaux à F Ci Ai, F Bi Ai. F est donc un centre per- 
manent de similitude de cpi. 

Menons FAo, FBo, FCo perpendiculaires sur BC, CA, AB. Le fais- 
ceau F(AoBoCo) peut être considéré comme étant la position initiale 
du faisceau F(AiBiCi). Le minimum du triangle AiBiCi est le triangle 
podaire de F par rapport à ABC, et le rapport de similitude de <pi et <po 

FAi 

est exprimé par ir-r- = séc X, X désignant AoFAi. 

r Ao 

Soient Mo, Mi des points homologues de ço? ^il les triangles FMqMi, 
FAo Al étant semblables, le lieu géométrique deMi est la perpendiculaire 
menée en M© sur la droite FMo. 

SCOLIE. 

57. i** Si l'on fait tourner le faisceau F(AoBoCo) du même angle X 
dans un sens ou l'autre, ses rayons coupent les côtés de ABC aux som- 
mets de deux triangles égaux. Donc la figure «pi, dans ses variations, 
passe deux fois par les mêmes états de grandeur. 

2° On peut imaginer une seconde figure ©'j qui varie en restant sy- 
métriquement semblable à çi, avec la condition que les points homo- 
logues de Al, Bi, Cl parcourent également les droites BC, CA, AB. Le 
centre permanent de similitude de cp'j est le point /, tripolairement 
associé à F dans le triangle ABC. Nous laissons au lecteur le soin de 
démontrer que les inverses des aires des triangles podaires des points 
F, / ont une différence constante, égale à quatre fois l'inverse de 
l'aire ABC. 

58. Soit F' l'inverse de F dans le triangle ABC, et soit Aq Bq Cq le 
triangle podaire de F'. Les triangles AqBoCo, A'oBoCo sont inscrits 
dans la même circonférence ayant pour centre le milieu Po du seg- 
ment FF' (/V'. 3 1). 

Faisons tourner les deux faisceaux F( AoBqCo), F'(Ao Bq Cq ) autour de 
leurs centres d'un même angle X, mais dans des sens contraires. Leurs 
rayons rencontrent BC, CA, AB aux sommets de deux triangles AiBiCi, 
AiB'iCi, qui sont respectivement semblables à AoBoCo, AoBoCq. SoitPi 
le centredelacirconférence AiBiiCi les triangles FPoPi et FAo Ai étant 
directement semblables, il en est de même des triangles F' Pc Pi et 
F'A'oA'i. Il résulte de là que les deux triangles AiBiCi, A'iB'iCi sont 
inscrits dans une même circonférence. 

On peut donner deux autres modes de génération des groupes de six 
points, tels que AiBiCiA'iB'i C'i, situés sur le périmètre d'un triangle 
fixe ABC et appartenant 3 une même circonférence. Soit abc le triangle 



I 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. ^9 1 

formé par les droites BiC'^, CiA'i, AiB\, et soit a!V c' le triangle qui a 
pour côtés les droites B\Ci, G'i Ai, A\Bi. Les côtés des triangles abc, 
a' b'c' ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois 
droites fixes AE, BE, CE. En effet: i° Le quadrilatère BiCj A^Bi étanl 
inscrit, l'angle ABiC'i = (^\k\^\ ; donc les côtés du triangle abc font 
avec GA, AB, BC des angles égaux aux angles A'^, B'^, C'i du triangle 
A'i B'i C, , etc. 1° Les côtés du triangle CiB'^ a ont des directions fixes et 
deux sommets décrivent des droites; par suite, le point a se meut sur 
une droite passant par A. 3° Les côtés opposés de l'hexagone inscrit 
AiB'i BiA'i GiC, se coupent en trois points a, A, a' situés en ligne 
droite. 4° Enfin, les côtés opposés de l'hexagone inscrit AiA'iBiBiCiC'i 
se coupant sur une même droite, les côtés de rang pair et ceux de rang 
impair forment deux triangles ABG, abc qui ont un centre d'homologie. 
Cherchons les coordonnées normales x^ j, ^ de E dans le triangle ABC. 
Le rapport j ; z est égal à celui des perpendiculaires menées du point a 
sur AC et AB; d'où 





y 


«B\ sinAiB'iBi _ 


«B\ sinAiCBi 




z 


" «Cl sinAiCiG'i ~ 


«Cl sinA'iBVC'i 


Dans le triangle «GiBj, 








«B'i sinAiCiB'i 


sin A, C\ B'i 






«Cl ~ sinAiB'iGi 


~ sin Al Bi Cl 


On déduit, 


de 


ces égalités, 






X 


_ y 


z 



cosécAi cosécA'i cosécBi cosécB'4 cosécCi cosécG ^ 

59. Examinons encore le cas {fig. 82) où trois points Ai, Bi, Ci d'une 
figure semblablement variable sont assujettis à se mouvoir sur trois 



Fig. 32. 



I 




droites concourantes FA, FB, FC. Si l'on donne le point Ai sur FA et 
que la circonférence Ai Bi Cl rencontre les droites FA, FB, FG en «, 6, c, 



492 NOTE 111. 

on peut déterminer les points ^, c par la condition que les angles Ai^B, 
AicF soient égaux à AiCiBi, AiBiGi, et, par suite, décrire la circon- 
férence hibc. Celte construction montre que les côtés du triangle AiBiCi 
se déplacent parallèlement à eux-mêmes, lorsque Ai se meut sur FA. 
F est donc un centre permanent d'honiothétie. 

Il peut arriver que la circonférence AiBiCi passe par F. Alors toute 
circonférence passant par F rencontre FA, FB, FG en trois points qui 
sont les sommets d'un triangle de forme constante; et F n'est plus un 
centre permanent de similitude. 

SUR QUELQUES CERCLES REMARQUABLES. 

60. Les résultats des n"» 56, 57, 58 prennent une forme très simple, 
lorsque le triangle AiBiCi est directement semblable à BGA. Dans ce 
cas, F, F' sont les points de Brocard û, û'; le triangle A'^B'^Gi est sem- 
blable à CBA; le centre de l'a circonférence AiBiGi est situé sur la 
droite OK; les côtés du triangle abc sont parallèles à ceux de ABC; les 
côtés du triangle a'h' c' sont parallèles aux tangentes menées par A, B, C 
au cercle ABC; enfin, le centre d'homologie E des triangles ABC, abc, 
a'b'c' coïncide avec K. 

Nous allons établir ces propriétés par une seconde méthode, qui a 
l'avantage de s'adapter aux polygones dits harmoniques. 

PROBLÈME. 

61. Etant donné un triangle ABC, on propose d'en construire un second 
abc qui soit homothétique à ABC, et tel que les six points de rencontre 
des côtés non homologues des deux triangles soient situés sur une même 
circonférence (Jig. 33 ). 

Soient a, en', p, [â', y, y' ces points. Les points y, P', p, y' apparte- 
nant à une même circonférence, -yp' est une transversale antiparallèle 
de l'angle BAC. Mais la figure Ay^P' est un parallélogramme; donc la 
droite Aa passe par le milieu de yP' et? par suite, est une symédiane 
de ABC. On conclut de là que le centre d'homothétie des triangles ABC, 
abc est le centre des symédianes de chacun d'eux. 

Cette condition est suffisante. En eff'et, soient m, n, p les centres des 
parallélogrammes A-^a^', BccbY, C^ca', et soit w le centre du cercle 
mnp. Puisque les symédianes AK, BK, CK passent aux milieux des 
transversales p'y, T'a, a'p, celles-ci sont parallèles aux côtés du tri- 
angle KaKiKc formé par les tangentes au cercle ABC. Les angles AyP', 
By'ot sont égaux comme étant égaux à ACB; d'où 

Par conséquent, les triangles rectangles uimy, oina, tap^ sont égaux, 
et w est le centre d'un cercle passant par les six points a, a', p, p', y, y' 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 49^ 

Les triangles ABC, mnp étant homothétiques par rapport à K, w est 
situé sur la droite OK. 



SCOLIE. 

62. l'LesdroitesY^', ay', pa'sontparallèlesauxcôtésdutriangleKaKôK* 
et divisent les droites KA, KB, KG en parties proportionnelles; elles for- 
ment donc un triangle a! b' c\ homothétique à KaK^Kc par rapport à K. 



Fig. 33. 




2" Do l'cgaliLo des arcs [î'y, y'a, a*p, on conclut aisément que les 
triangles Ya^, p'Y'a' sont égaux entre eux et semblables à ABC. 

3° Soient 12, û'Ies points do Brocard du triangle ABC. Si l'on fait tour- 
ner le faisceau i2(ABG) autour de Q. d'un angle quelconque, ses rayons 



494 ^^"^^ "'• 

rencontrent AB, BC, CA aux sommets d'un triangle ya^ semblable à ABC ; 
car les triangles QA-y, QBa, ûCp sont directement semblables, d'où l'on 
conclut la similitude des triangles 12 AB et Q'^a, ÛBC elQz'^, ûGA et Q^y- 
On voit que Q, et Û' sont les centres permanents de similitude des triangles 
variables Y^P, ^'y'a'delajig. 33. 

4° Le lecteur trouvera facilement la démonstration des théorèmes 
suivants : 

Soient P'y> T'^^' *'P ^^ow arcs égaux, de même sens, d'une circon- 
férence. Les cordée ^'^^ y' a, a' ^forment un triangle àb'c'\ les cordes 
aa\ pp', yy'î ii^i second triangle ABC; les cordes Py'> T^'» «?'? "'ï if^oi- 
sième triangle abc. Ces trois triangles ont pour centre d'homologie 
commun le centre des sjmédianes des triangles ABC, abc. 

On inscrit à une circonférence u) un hexagone aa'YY'P?' dont les 
côtés opposés sont parallèles. Le triangle formé par les côtés de rang 
impair et celui qui est déterminé par les côtés de rang pair, ont 
mêmes sjmédianes. 

63. Si le triangle abc de \difig. 33 se réduit au point K, on a le théo- 
rème suivant : 

Les parallèles aux côtés d'un triangle ABC, menées par le point K, 
coupent les côtés en six points a^ a', p, P', y, y' ^'"'^^ même circonfé- 
rence ayant son centre au milieu de OK {^g- 34). 

Fig. 34 




Les angles KaY, Ky^, K^a ont pour mesures les moitiés des arcs 
égaux P'y, a'p, y' a- Donc K est le point direct de Brocard du triangle 
apY; ^'^ ^^ ^ P^"^^ rétrograde de Brocard du triangle «'^'y'- L<^^ 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. ^gj 

cotés de ces triangles sont parallèles aux rayons des faisceaux Q(ABC)j 
Û'(ABG). 

Les côtés homologues des triangles ABC, ^a^ et les rayons homo- 
logues des faisceaux Q(ABG), ûC^a^) font entre eux l'angle V; par 
suite, les triangles yAQ, aBO, [3CQ sont isocèles, et les points y, a, ^ 
sont à l'intersection de AB, BC, CA avec les perpendiculaires menées 
aux milieux des rayons ÛA, ÛB. OC. 

Le rapport de similitude des triangles yap, ABC a pour expression 



Ûy 



sini^Ay sinV 



sin^lyA sin2V acosV 



64. Le triangle a' b' c' de la fig. 33 peut se réduire au point K; ce qui 
donne la proposition suivante : Les parallèles aux côtés du triangle 
ortliique de ABC, menées par le point K, rencontrent les côtés des 
angles BAC, CBA, ACB en six points a. ^ a\ p, P', Y' ï' d'une circonfé" 
rence ayant pour centre le point K {fig. 35). 




Cette figure donne lieu à plusieurs remarques intéressantes. 



496 NOTE III. 

A un triangle donné ABC, on peut inscrire deux triangles «Py, 
*'P'y' ciyt^nt leurs côtés perpendiculaires à ceux de ABC. Ces triangles 
sont inscrits dans une même circonférence ayant pour centre le point K. 

Si un hexagone inscrit a^'^^'^a! a ses côtés oppose's égaux et pa- 
rallèles, le centre de la circonférence circonscrite est le centre dek 
symédianes de chacun des triangles ABC, abc formés avec des côtég 
alternants de l'hexagone» 

Q étant le centre de similitude des triangles ^a^, ABC, dont les côtés 
homologues sont perpendiculaires, les angles A ûy» B Qa, C Qp sont droits ; 
donc le rapport de similitude de ces triangles a pour expression 

^ = tangV. 

THÉORÈME. 

65. Soient Hi, H2, H3 les pieds des hauteurs du triangle ABC ; a\ b\ c' 
les milieux des droites H2H3, H3H1, H1H2; P' et y les projections de Hi 
sur AC et AB, y' ^t '^ celles de H2 sur BA et BC, a' et ^ celles de H3 
sur CB et GA. 

Cela posé : 

1° Les six points a, a', p, [3', y, y' ^ont situés sur une même circon- 
férence T. 

7.° Les droites ^'y, y'"'' ^' ^ passent par deux des points a\ b\ c 
et ont pour longueur commune le demi-périmètre du triangle H1H2H3. 

3° Le centre du cercle T est le centre du cercle inscrit au tri- 
angle a'b' c'\ il est situé au milieu de chacune des droites Hi A/^, HjB^, 
HsGa joignant les pieds des hauteurs de ABC aux orthocentres des 
triangles AH2H3, BH3H1, CH1H2 {fg. 36). 

Nous rattachons cette proposition aux n°* 61 et 62. 

On sait que les droites Aa', B b\ Ce' concourent au centre K des symé- 
dianes de ABC (N.,29). Par conséquent, le triangle a'b'c' est homolhé- 
tique à K^KôKc par rapport à K, et ses côtés rencontrent ceux de ABC 
en six points a, a', p, p', y» y' d'une môme circonférence, dont le centre 
T est situé sur la droite OK. 

Le triangle c'P'H2 est isocèle, car 

angle A^'y = AH2H3 = ABC = CHjHi; 
d'où 

c'P'=c'H2=c'H,, 

et l'angle H2P'Hi est droit. Ainsi, les points a, a', p, P', y, y' sont les 
pieds des hauteurs des triangles AH2H3, BH3II1, CII1H2. 
Nous venons de trouver 



par analogie, 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 



/yEz=c'a'. 



497 



Donc la droite P'y est égale au périmètre du triangle a'b'c'. 

Les cordes égales P'y, y'°^» * P sont à égale distance du centre; donc 
T est le centre du cercle inscrit au triangle a'b'c. 

Nous avons trois parallélogrammes A/iH3HH2, BaHsHIIi, C/iHiHHa; 
donc les côtés opposés de l'hexagone A/iHoC/iHiB^Ha sont égaux et pa- 
rallèles, et les diagonales AAHi,B/iH2, C/1E3 se coupent mutuellement 
en parties égales. La droite «'T, bissectrice de l'angle c'a'b', est pa- 
rallèle à llz^h et passe par le milieu de H2H3; donc elle passe égale- 




ment par le milieu de H2C/i. On conclut de là que T est le milieu de 
chacune des droites A/Jli, B/1E2, C/tHs. 



SCOLIE. 

66. 1° Les droites AAa, BBy^, CCa étant perpendiculaires à H2H3, H3H1, 
H1H2 concourent au centre du cercle ABC. Les triangles A/iBfiChj 
H1H2H3 sont symétriques par rapport à T; donc leurs côtés homologues 
sont égaux et parallèles, et est aussi l'orthocentre de A/iB/iCh. Soit h 
l'orthocentre de H1H2H3; ce point est le symétrique de par rapport à 
T, donc il est situé sur la droite OK. 

R. et DE C. — Tr. de Géom. ( i" Partie.) 32 



4^8 NOTE III. 

1° Les droites Py'» 7°^'' *P' forment un triangle abc homothôtique à 
ABC par rapport à K (N.,62), propriété qu'on peut démontrer directe- 
ment. 

La droite A^'K passe donc au milieu m de b'c'. Mais b'm est égal au 
demi-périmètre y m du triangle a'b'c' diminué de b'^ =a'c'; donc m 
est le point de contact de b'c' avec le cercle inscrit au triangle a'b'c'. 
Autrement dit, K est le point de Gergonne du triangle a'b'c'. 

3° Les droites yHi, P'Hi étant perpendiculaires à a^', a^, la droite 
aEi est perpendiculaire à ^'y et H2H3. Donc les lignes «Hi, ÔH2, cHs 
sont les hauteurs du triangle H1H2H3; il est facile de voir que leur 
point de concours // est aussi le centre du cercle circonscrit au tri- 
angle abc. 

4° On sait que les triangles y»?» ABC sont semblables et ont môme 
point de Brocard û. 

Leurs côtés homologues font un angle constant cp, que l'on peut cal- 
culer par la formule 

tangçp = — (tangA-f- tangB 4- tangC) =— tangA tangB tangC. 

Pour démontrer celle-ci, menons ap perpendiculaire à AB; nous 
aurons (Jîg. 36 

n ap ap Ba yp Hia 

tang<f = tangaYB=-:^, c£ = Ec' M, = W 

D'où, en éliminant ap et yp, 

CHs.Ba CH3 Ba aHj 



tangcp =- 
puis, en observant que 



BHa.Hia BII3 alla Hia' 



^' = tangB, If =tangBH2a = tangC, ^ = tangaHiHî= tangA, 

on trouve la formule indiquée. 

Soient p le rayon du cercle T et R celui du cercle ABC. Le triangle 
ayy' donne 

aY'= 2p sincp. 

Mais les quadrilatères OHjAHs, OH3BH1, OHiCIIj ont pour mesures 
-H2H3.AO, -HtHi.BO, -HiHj.CO; par suite, l'aire du triangle ABC est 



S = ^R(Il2H3+n,H,-4-H,IIj) = R.aY'> 



GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 



499 



et comme on a 



«Y 



S o sinA sinB sinC 

= K : -; 



^ asincp 2Ksin© siiicp 

le rapport de similitude des triangles aPy» ABC a pour valeur 

p _ sinAsinB sinC cosAcosBcosG 

R ~ sincp ~ coscp 



QUESTIONS PROPOSEES 

SUR LA GÉOMÉTRIE DU ÏRIANCtLE. 



1. Les coordonnées normales absolues d'une droite vérifient la rela- 
tion (N., d, 3) 



que l'on peut mettre sous la forme 

«2X2+ ^2jjt2_j_c2v2— (Z/2-1- c2 — «2 ) [JLV 

_ (c2-t- a2_ ^2)vX — («2+ /;2 _ c2)X{Jl = 4 S2. 

2. La perpendiculaire menée du centre du cercle circonscrit à un 
triangle ABC, sur Taxe orthique (N., 7), a pour expression — j^^ 

3. Du centre du cercle circonscrit au triangle ABC on abaisse des 
perpendiculaires sur les droites passant par les pieds des trois bissec- 
trices extérieures ou par ceux de deux bissectrices intérieures. Ces 
perpendiculaires ont pour mesures 



y 



(«-^Vr^' («-'•"'VRTèr» 



4. Le centre radical des trois cercles exinscrits à un triangle ABC 
coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle complémentaire de 
ABC. — Proposition analogue pour le centre radical du cercle inscrit à 
ABC, combiné avec deux cercles exinscrits. 

5. Si deux triangles sont symétriques par rapport à un point, les 
transversales réciproques (N., 8) des côtés de l'un par rapport à l'autre 
triangle sont concourantes. 

6. Une transversale m rencontre les côtés d'un triangle ABC aux 
points m,, wj, mg. Les isogonales (N., 9) des droites Ami, Bws, Cw- 
rencontrent les côtés aux points m\, m\, m'^. Démontrer que i^à 



502 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 

points /w'i, m'j, m'g sont situés sur une droite m,-. Les droites m, w/ 
sont appelées transversales inverses. 

7. Soient M, N, P trois points quelconques pris sur les côtés BG, CA, 
AB du triangle ABC. Démontrer la formule 

MNP _ BM.CN.AP + MC.NA.PB 
ABC ~ AB.BC.CA 

En conclure que i° si M', N', P' sont les isotomiques des points M, 
N, P, les triangles MNP, M'N'P' sont équivalents; 2* si ABCDEF est un 
hexagone dont les côtés opposés soient parallèles, les triangles ACE. 
BDF sont équivalents. 

8. Calculer en fonction des côtes d'un triangle ABC : 1° l'aire du 
triangle orthique; 2° celle du triangle qui a pour sommets les pieds des 
trois bissectrices intérieures ; 3° celle du triangle qui a pour sommets 
les points de contact des côtés du triangle ABC avec le cercle inscrit. 

9. Soit P un point quelconque du plan d'un triangle ABC, et soient 
H,, Ha, H3 les orthocentres (N., 5) des triangles BCP, CAP, ABP. Dé- 
montrer que les triangles ABC, H1H2H3 sont équivalents. 

10. Soient a, p, y les points où les médianes m, m', m* du triangle ABC 
rencontrent la circonférence circonscrite. Démontrer que 

ogY _ (m»+m'2-f-m'^2)3 
ABC "~ 27m2m'2m"2 

11. Trois droites menées par les sommets d'un triangle ABC* et par 
un même point P rencontrent les côtés aux points A', B', C. On les 
prolonge, dans les deux sens, des quantités 

A'a = Aa'= AA', B'p = BP'= BB', C'y = Cy'= CC. 

Démontrer que 

a^Y = 4A'B'C'-4- 3 ABC, a'p'Y'= A'B'C'-h 6ABC. 

12. Sur les côtés du triangle ABC, on construit, vers l'extérieur, les 
carrés BCDË, CAFK, ABLM; soient a;, j, z les centres de ces carrés, 
et soient X, Y, Z les quatrièmes sommets des parallélogrammes con- 
struits sur AF et AM, BL et BE, CD et CK. Démontrer les propriétés 
suivantes : 

1° Les droites FM, LE, DK sont égales et perpendiculaires aux mé- 
dianes de ABC. 



I 



QUESTIOiNS PROPO.SÉES. 5o3 

•>° Les droites AX, BY, CZ sont égales et perpendiculaires aux côtés 
de ABC. 

3" Les droites Ax, Bj, Gz sont égales et perpendiculaires aux côtés 
du triangle xjz. 

4° Les milieux des côtés du triangle ABC sont les centres des carrés 
construits intérieurement sur les côtés du triangle xyz. 

5° Les points x^ j, z sont les milieux des côtés du triangle XYZ. 

6° Les triangles ABC, xjz, XYZ, EKM, DFL ont mêmp ^^entre de 
gravité. 

7° Les quadrilatères BCFM, FKBL, MLCK sont équivalcnv/i au carré 
construit suv yz. 

8" L'hexagone EDKFMLE a pour mesure chacune des sommes 

2 2 . 2 2 2 2 

BG -h lyz , CA -\-izx . AB -+- ixj . 

9" Les droites A^, BF, CM, KL concourent en un même point. 

10° Les quadrilatères EDFM, KFLE, MLDK sont égaux à quatre fois 
le triangle xjz. 

13. Les notations étant celles de l'exercice précédent, on demande de 
construire le triangle ABC, connaissant : 

1° Les points ^, j, z\ 

2° Les points X, Y, Z; 

3° Le triangle formé par les droites DE, KF, ML suffisamment pro- 
longées ; 

4" Le triangle formé par les droites FM, LE, DK suffisamment pro- 
longées. 

14. Par un point P, pris dans le plan d'un triangle ABC, on mène une 
parallèle à BC, rencontrant CA en p, AB en y'; une parallèle à CA, 
rencontrant AB en y, BG en a'; enfin, une parallèle à AB, rencontrant 
BC en a, CA en p'. Démontrer : 

!*• Que 



aa 



W , ïy' 



a b c ^ 

2° Que les triangles a^Y' ^^'P'ï' sont maximums, lorsque P est le 
centre de gravité de ABC ; 

— 2 — 2 — 2 
3° Que la somme aa' h- pj3' + yy' est minimum, lorsque 

<7.aa'= h.^^' = c.yy'; 
les coordonnées barycentriques (N., 2) de P sont alors 

i^ i_ ^_ _r i^ j_ i_ I i^ 

^;2 "+" ^2 -^ c2 ' a^~h%^'ç^' ^ "^ Z^ — ^' 



5o4 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 

15. Les notations étant celles de l'exercice précédent, démontrer : 
\° Que 

Pa PS Pv Pa' PS' Pv' 
c a b b c a 

2 -2 2 

2° Que la somme Pa -+'Pp +Py est minimum, lorsque P est le 
point de Brocard û. 

16. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point Ji tel que, si 
l'on mène les droites Jiai, Ji(3i, Ji^i parallèles à AB, BG, CA et ren- 
contrant en ai, Pi, Yi les côtés BC, GA, AB, on ait 

Jiai = JiPi = JiYi- 

De même, déterminer un point J2 tel, que les droites ^^ol^, ^i^^, J2Y2 
parallèles à GA, AB, BG et limitées à BG, GA, AB, soient égales entre 
elles. 

Les coordonnées norrriales des points Ji, J2 sont 



\rl'~a)' V^^'^)' 



l'inverse de Jioti et J2a2 est égal à la somme des inverses de «, ^, c\ 
l'orthocentre de l'un des triangles ai^iYi, a2P2Y2 est le centre du 
cercle circonscrit à l'autre; enfin, ces deux triangles ont même cercle 
des neuf points. 

17. Étant donné un triangle ABC, déterminer un point J tel, que les 
parallèles menées par ce point aux côtés de ABG et terminées aux autres 
côtés soient égales. 

Démontrer que l'inverse de l'une de ces parallèles égale la demi- 
somme des inverses des côtés de ABG, et que J est le complémentaire 
du réciproque du centre du cercle inscrit au triangle ABG. 

Les associés harmoniques des points J, Ji, J2 (voir l'énoncé précé- 
dent) jouissent de propriétés analogues. 

18. Soient AM, AN deux droites symétriques par rapport à la bissec- 
trice de l'angle A du triangle ABG; soient M, N leurs points de ren- 
contre avec BG, et M', N' leurs points de rencontre avec la circonfé- 
rence ABG. On a 

AM.AN'= AM'.AN = AB.AG, 

âm' BM.CM 



— 2 
AN 



BN.GN 



QUESTIONS PROPOSÉES. 



5o5 



19. La symédiane AK et la tangente menée par A au cercle circonscrit 
au triangle ABC rencontrent le côté BC en Ki, h\ si A' est le milieu 
de BG, on a 

ibc ... . , abc 



AK, = 



h^ 



AA', A/ci = 



b^ 



20. Dans tout triangle, au plus grand côté est opposée la plus petite 
symédiane, et réciproquement. Un triangle est isocèle, si deux symé- 
iianes sont égalas. 

21. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit les triangles direc- 
tement semblables A'BC, B'CA, C'AB. Démontrer que les droites AA', 
BB', ce sont égales et parallèles aux côtés d'un même triangle. 

22. Soient M, N, P trois points pris sur les côtés du triangle ABC ; 
soient M', N', P' leurs isotomiques. Démoritrer que les centres de gravité 
des triangles MNP, M'N'P' sont symétriques par rapport au centre do 
gravité de ABC. 

23. Soient A', B', C des points divisant les côtés BC, CA, AB du 
triangle ABC dans le môme rapport/? : q. 

1° Les triangles A'B'C, ABC ont même centre de gravité. 

2** Les droites AA', BB', CC sont égales et parallèles aux côtés d'un 
même triangle A"B"C". 

3° Si a, è, c, «', b\ c', S, S' sont les côtés et les aires des triangles 
ABC, A'B'C", on a 



-f-^'2+c'2 v/«'*-H^'* + 



^2_|_^24_c2 ^^4_^^4_|_c4 



■pq -\- q^ 



ip-^qy- 



4° Soient A'", B'", C" les intersections mutuelles des droites AA', BB', 
CC; on a 



Air 

AC" 



A'B'" _ £2 B"X'" _ ^2 _p2 

YÇF' ~ p"^' a' ~ p-' + pq-^ 
A'"B'"C"' _ {q—pY 



ABC p^-{-pq-^q^ 

5' Les triangles ABC, A'B'C, A"B"C" ont même angle de Brocard. 

24. Le centre des symédianes d'un triangle ABC et le centre du 
cercle circonscrit sont des points réciproques par rapport au triangle 
complémentaire de ABC. 

Le réciproque de l'orthocentre de ABC est l'anticomplémentaire du 
centre des symédianes. 

25. Soient G, H le centre de gravité et l'orthocentre du triangle ABC 



5o6 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLK. 

et soient ai, Pi, yi? «2» Pa» T2 les points de rencontre des hauteurs et 
des médianes de ABC avec la circonférence décrite sur GH coinme dia- 
mètre. Démontrer que : 

1° Le triangle aiP,Yi est inversement semblable à ABC, et que le 
triangle a.^_ P2 Y2 est inversement semblable au triangle podaire du centre K 
des symédianes de ABC. 

1" Les droites aiag, ^1^21 Y1T2 sont les symédianes des triangles 
«1 PiYi' «2P2Y2 et se coupent en K. 

26. Les tangentes menées par les sommets d'un* triangle ABC au 
cercle circonscrit formant le triangle KaK^Kc : 

1° Les coordonnées normales absolues de K» sont «tangA, 

-h tangA, - tangA. 

2° Ka et ses projections sur les côtés de ABC sont les sommets d'un 
parallélogramme. 

3° Les droites joignant Ka, Ko, Kc aux pieds Hi, 112, H3 des hauteurs 
de ABC se coupent en un point de la droite OH, qui est l'inverse de 
l'anticomplémentaire de K. 

4° Les droites joignant A, B, G aux milieux des segments OKa, OK^, 
OKc concourent au point inverse du centre du cercle des neuf points 
de ABC. 

5° Le centre du cercle circonscrit au triangle KaK^Kc est sur la 
droite OH. 

27. Parmi les triangles inscrits à ABC, celui dont la somme des carrés 
des côtés est minimum a pour sommets les projections de K sur BC, 
CA, AB. 

28. Soient I le centre du cercle inscrit (r) au triangle ABC; a, p, y 

les points de contact de ce cercle avec les côtés de ABC; Ole centre du 

cercle ABC de rayon R; G' le centre de gravité du triangle a^y- Dé- 

01 r 
montrer que G' est sur la droite 01, que IG'= -^ et que la polaire 

de G' par rapport au cercle I passe par les pieds des bissectrices exté- 
rieures du triangle ABC. 

29. Sur les côtés BA, CA d'un triangle ABC. on prend les longueurs 
BD = CE = B^^. Démontrer que la droite joignant les centres 0, I du 
cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle ABC est perpendicu- 
laire à la droite DE et égale au diamètre du cercle circonscrit au 
triangle ADE. 

Quel est le théorème analogue sur les cercles exinscrits? 



QUESTIONS PROPOSÉES. So; 

30. Si la droite OK du triangle ABC est parallèle à BC, on a les pro- 
priétés suivantes : 

2° V = - TT — A ; 

2 

3° Q. est sur la hauteur BH2, û' sur la hauteur CH3 ; 
4° La médiane CC et la hauteur BH2 se coupent sur la symédiane AK; 
il en est de même de BB' et CH3 ; 
5° AA' passe par le milieu de OK. 

31. La droite Qû' est parallèle ou perpendiculaire à AA' ou parallèle 
à OA, lorsque, respectivement, 



I 



32. Si l'on ac^ = ab : 

j° La droite QQ' coïncide avec la bissectrice CI; 

2° Les points Q, Q' se confondent avec les projections Ai, Bi de K 
sur les médiatrices OA', OB'; 

3° Le cercle (OK) touche AQ en Q, Bû'en û'; 

4° La médiane AA' et la symédiane BK se coupent sur CI; il en est 
de même de BB' et AK. 



33. Si a^= -(b^-hci) : 
2 ^ ^ 

1° Le triangle podaire XYZ de K est semblable à ACB; 
2° La circonférence AB'C passe par G; les circonférences AGB, AGG 
touchent le côté BC ; la circonférence BGC passe par H ; 
3° OK est perpendiculaire à AK, GK est parallèle à BC ; 

4*'ÂK^ = BK.CK, 2ÂH^=BhVcH^; 

5° Le triangle podaire de G est isocèle; 

6° Le cercle qui passe par A et les pieds des bissectrices intérieure 
et extérieure de l'angle ABC passe par G; 

7° Lorsque deux sommets du triangle ABC restent fixes, le troisième 
décrit une circonférence. 



34. Soient X, Y, Z les projections du centre de gravité G du triangle 
ABC sur les côtés BC, CA, AB. La droite G^ rencontre CA en Xi, AB 
en Xj; la droite GY coupe AB en Yi, BC en Y2; enfin, la droite GZ 



5o8 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 

coupe BC en Zi, CA en Zj. Démontrer les formules 

16 «2 _j_ ^2 _4_ c2 

XiyiZ,= X2Y2Z2=-^__^,_^^,_^^,^^^,_^2+^2X«2+è2_e2)^'- 

35. Soient Ai, Bi, Ci les projections du centre K des symédianes du 
triangle ABC sur les perpendiculaires élevées aux milieux des côlcs. 
Soit D le point de concours des droites AAi, BBi, CGi. Démontrer que 
les droites joignant les milieux des côtés homologues des triangles ABC, 
AiBiCi concourent en un même point S, qui est, à la fois, le complé- 
mentaire de D, le milieu de la distance Qû' et l'inverse du pôle de la 
corde Q.Q! du cercle (OK). 

36. H étant l'orthocentre du triangle ABC, on porte, sur les droites 
HA, HB, HC, des longueurs HA', HB', HC égales aux hauteurs corres- 
pondantes de ABC. Les parallèles menées par A', B', C aux côtés BC, 
CA, AB forment un nouveau triangle A"B"C". Démontrer que H est le 
centre de gravité de A"B"C", et que le centre d'homothétie des triangles 
ABC, A"B"G"' est le centre du cercle des neuf points de chacun d'eux. 

37. A un triangle donné ABC, on circonscrit deux triangles AiBiCi 
et A2B2C2, semblables à un triangle donné a^y, et ayant leurs côtés 
homologues perpendiculaires entre eux. Démontrer que la somme des 
aires des triangles AiBiCi, A2B2C2 est constante. 

38. On mène, par les sommets d'un triangle ABC, des droites faisant 
un même angle X, dans le même sens, avec les côtés opposés ; soit A'B'C 
le triangle formé par ces droites. On demande de démontrer que : 

1° Le centre du cercle circonscrit à A'B'C est l'orthocentre de ABC, 
a° Les projections de BC, CA, AB sur B'C C'A', A'B' sont égales 

à ^B'C, -C'A', -A'B'; 
2 2 '2 

3° Il existe une valeur de X telle, que le triangle A'B'C soit égal 

àABC. 

39. Étant donnés les sommets B, C d'un triangle ABC et la symé- 
diane indéfinie BK, le sommet A décrit une circonférence. 

40. Construire un triangle ABC, connaissant : 
I** Les longueurs AB, AG, AKi ; 

2° Les longueurs BC, AA', AKi; 
3" Les points B, C, K; 
4* Les points B, C, 12; 



QUESTIONS PROPOSÉES. Sog 

5° Les points A, G, K; 
6" Les points A, 0, K ; 
7" Les points A, 0, 12. 

|H| 41. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA', OB', 0G> 
^^^ égales aux côtés d'un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M, 

XB'N, XG'P, respectivement égaux aux moitiés des angles opposés. de 

ABC. Démontrer que : 

1^^—^ 1° Les droites A' M, B'N, C'P se rencontrent en un môme point T; 
^B 1° Les longueurs A'T, B'T, G'T sont égales aux distances AI, BI, CI, 
I désignant le centre du cercle inscrit à ABC; 

3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est égale au rayon de ce 
cercle ; 

1^^^ 4° OQ est égale au demi-périmètre de ABC. 
:^" 42. On construit trois angles XOA', XOB', XOC égaux aux angles 
A, B, C d'un triangle ABC, et l'on prend 0A'= BC, 0B'= CA, 0C'= AB. 
Démontrer que : 

1° Les points 0, A', B', C sont situés sur une circonférence égale à 
la circonférence ABC ; 

2" Les côtés du triangle A'B'C sont doubles des distances comprises 
entre les milieux des côtés de ABC et les pieds des hauteurs correspon- 
dantes ; 
3° Les distances de aux points de rencontre de OX avec B'C, C'A', 

, - , bc ca ab 
A B sont égales a — ? -r ? — ; 

■ ° abc 

4'' La droite joignant au centre de gravité du triangle À'B'C fait 

avec OX un angle égal à V, V étant l'angle de Brocard de ABC. 

^V 43. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA', OB', OC 
proportionnelles aux carrés des côtés d'un triangle ABC; puis on forme 
les angles XA'M, XB'N, XC'P égaux aux angles opposés A, B, C. 
Démontrer que : 

1° Les droites A' M, B'N, C'P se rencontrent en un même point T; 

2° Les longueurs A'T, B'T, C'T sont proportionnelles aux rectangles 
bc^ ca^ ab des côtés; 

3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est proportionnelle au 
double de l'aire ABC ; 

4** OQ est proportionnelle à -(«2+ ^2_|_ ^2); 



5° OT est proportionnelle à \Ja'^b'^-\- b"^ c^ ->r c"^ a^ \ 

6° L'angle XOT est égal à l'angle V de Brocard du triangle ABC. 



5lO GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 

44. Soient A, B, G, D quatre points d'une circonférence. Démontrer 
que les centres des cercles inscrits aux triangles ABC. AGD, BCD, ABD 
sont les sommets d'un rectangle. Considérer également les centres des 
cercles exinscrits. ' 

45. Une transversale m coupe les côtés d'un triangle ABC aux points 
jwi, m^, mz] les perpendiculaires élevées en ces points sur les côtés 
correspondants de ABC forment un nouveau triangle A'B'C Démontrer 
que : 

1° Les droites AA', BB', CC se coupent en un même point M, commun 
aux deux circonférences ABC, A'B'C; 

2° Ces circonférences sont orthogonales (383); 

3° Les droites de Simson (169, ii°) de M par rapport aux trian- 
gles ABC, A'B'C sont parallèles à m\ 

4° Les points A', B', C parcourent des circonférences, lorsque m se 
déplace de manière que l'aire du triangle A'B'C soit constante. 

46. Soient AHi, BH2, CH3 les hauteurs du triangle ABC, et H leur 
point de concours; A', B', C les milieux de BC, CA, AB; A", B", C" les 
milieux des segments AH, BH, CH; A'", B'", C" les milieux de HjPIa, 
H3H1, H1H2. Démontrer que : 

1° Les droites de Simson des sommets de l'un des triangles H1H2H3, 
A'B'C par rapport à l'autre triangle, concourent au centre T du cercle 
inscrit au triangle A"'B"'C"'; 

T."" Les droites de Simson des points A", B", C par rapport au triangle 
A'B'C, forment un triangle qui est homologique avec le triangle ABC 
par rapport au centre de gravité du triangle H1II2H3 et qui a pour or- 
thocentre le point T. 

47. Soient 0, I les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit 
à un triangle ABC; KaK^Kc le triangle que forment les tangentes me- 
nées en A, B, C au cercle 0; a, p, y les centres des cercles inscrits 
dans les triangles K^BC, K^CA, K^AB; enfin, a'p'y'le triangle formé 
par les cordes communes aux cercles et a, et p, et y- Démon- 
trer que : 

1° Les diagonales de l'hexagone formé par les côtés des triangles ABC, 
a^Y sont parallèles aux côtés de ABC, passent par I et touchent, 
chacune, deux des cercles a, 8, y; 

a" Le centre radical des cercles a, p, y coïncide avec le centre du 
:ercle inscrit au triangle «'^'y'; 

S*" Les droites Aa', B^', Cy' se coupent en un même point dont les 
coordonnées normales sont a^, ^2, c^. 

48. Soit A'B'C le triangle formé par les symétriques d'une droite m 



I 



QUESTIONS PROPOSEES. 5l, 

^âr rapport aux trois côtés d'un triangle donné ABC. Démontrer que : 

1° Le triangle A'B'C est de forme constante; 

2° Le centre du cercle inscrit à A'B'C (d'un cercle exinscrit, lorsque 
le triangle ABC est obtusangle) est sur la circonférence ABC; 

3° Quand la droite m se déplace parallèlement à elle-même, les points 
A', B', C décrivent des droites; 

4" Quand la droite m roule sur une circonférence ayant pour contre 
l'orthocentre du triangle ABC, l'aire A'B'C reste invariable. 

49. Un triangle ABC étant inscrit dans un cercle S, on considère sur 
la circonférence deux points P et P'. Les projections de ces points 
sur les côtés du triangle sont situés sur deux droites qui se cou- 
pent en M. Cela posé : 

i* Démontrer que ce point M décrit une circonférence S' quand le 
sommet C se meut sr.r le cercle S, les points A, B, P, P' restant fixes; 

2* Trouver le Heu des centres des cercles S' lorsque les points P et 
P' se déplacent sur la circonférence S, de façon que l'arc PP' ait une 
longueur constante. {Agrégation^ i^'^^.) 

50. Un triangle ABC tourne autour d'un point fixe X de son plan. 
Soient A', B', C les intersections des côtés homologues dans deux posi- 
tions quelconques du triangle. Démontrer que le quadrilatère X A'B'C 
est toujours semblable à lui-même. 

Commfoiit faut-il choisir le point X pour qu'il soit le centre du cercle 
circonscrit ou inscrit au triangle A'B'C, ou l'orthocentre de A'B'C, ou 
son centre de gravité? 

51. On considère les cercles exinscrits à un triangle ABC et l'on joint 
les points de contact de ces cercles avec les deux côtés qui ont été 
prolongés ; on forme ainsi un nouveau triangle A'B'C. 

Soient 0, I, la, I^, le les centres, et R, r, r^, r^, rc les rayons des 
cercles circonscrit, inscrit et exinscrits à ABC. Démontrer que : 

1° Les côtés des triangles A'B'C, laUIc se coupent, deux à deux, 
aux pieds des hauteurs des triangles laBC, I^CA, IcAB ; 

2° Les droites AA', BB', CC sont les hauteurs de ABC, et leur point 
de concours H est le centre du cercle circonscrit à A'B'C; 

3° AA'=/'a, BB' = r6, CC = r^, HA' = 2R h- r = — ''^ "^ ''^ "^ ''^ 



2 

4° Les droites A'Ia, B'I^, C'Ic sont les symédianes des deux triangles 
A'B'C, lal^Ic 0). 



(») Les propriétés de cette figure ont fait l'objet du concours d'agréga- 
tion en 1873. 



5l2 GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE. 

52. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement les 
triangles A'BC, AB'G, ABC semblables à un triangle donné a^y; de 
même, on construit extérieurement les triangles A'B'G', A'B"G', A'B'G 
semblables à a^y- Démontrer que : 

1° Les circonférences circonscrites aux six triangles A'BC, ... 
A^B'G', . . . passent par un même point ; 

2° Les points A, A', A", sont en ligne droite et AA'= AA"; 

3° Les droites BG' et B'C, GA' et G' A, AB' et A'B se coupent en trois 
nouveaux points A'", B'", G'" tels, que les droites AA'", BB'", GG'" concou- 
rent en un même point 0'; 

4' Les droites A' A'", B'B'", G'G'", 00' sont parallèles entre elles. 

53. Étant donné un triangle ABG, on peut construire sur BC, du 
même côté que ABG, cinq triangles BGAi, GAgB, GBA3, A^GB, BA5G 
semblables à ABG. Démontrer que les six points A, A,, As, A3, A^, A5 
sont sur une même circonférence, et que les triangles AA1A2, A4A5A3 
sont semblables à ABG. 

54. Sur le côté BG d'un triangle ABG, on construit tous les triangles 
ayant même angle de Brocard V que le triangle ABC. Le lieu des som- 
mets est une circonférence, dont le centre Na est situé sur la perpendi- 
culaire menée au milieu de BG; l'angle BNaG = 2V, et les tangentes 
menées de B et G à cette circonférence sont égales à BG. 

55. Trois points Ai, Bi, Gi se meuvent sur les côtés BG, GA, AB d'un 
triangle ABG, de manière que le triangle AiBiCi soit toujours semblable 
à ABG. Soient A', ,BV, C\ les seconds points de rencontre des côtés de 
ABG avec la circonférence AiBiGi. 

Démontrer les théorèmes suivants : 

i*" Les triangles AiBiGi ont pour centre permanent de similitude le 
centre du cercle ABG ; les triangles A'^ B'^ G'^ sont semblables au 
triangle orthique de ABG et ont pour centre permanent de similitude 
l'orthocentre H du triangle ABG. 

2° Les droites BiGj, GiA',, AiBj forment un triangle abc, et les 
droites Bj Gi, G'i Ai, A\Bi forment un triangle a'b'c'; les côtés de ces 
triangles ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent 
trois droites fixes AE, BE, GE passant par le réciproque de par rap- 
port au triangle ABG. 

3° Les orthocentres des triangles ABiGr, BGiAi, GAiBi sont à l'in- 
tersection de la circonférence AiBiGi avec les perpendiculaires menées 
aux milieux des droites HA, HB, HG ; ces points sont, en même temps, 
les centres des cercles circonscrits aux triangles ABjCi, BG'jA'i, 
GA'iB',. 

Les deux triangles AiBiGi, A'^B'^Gi peuvent être homologiques par 



"H 



QUESTIONS PROPOSÉES. 5x3 

rapport au point E : les droites AAj, BB\, CC, ont alors des direclionb 
)nnues; quel est le rapport de similitude de AiBiCi, ABC? 

56. Les bissectrices intérieures du triangle ABC rencontrent la cir- 
conférence circonscrite aux points A',B', G'; celles du triangle A'B'C 
rencontrent la circonférence aux points A", B", G" ; et ainsi de suite. 

Démontrer que les triangles ainsi obtenus ont pour limites deux 
triangles équilaléraux symétriques par rapport au centre du cercle 
ABC. 



R. et DE G. — Tr. de Géom. (1" Partie). 



33 



KOTE IV. — SUR LA GÉOMÉTROGRAPIIIE. 



*jlà 



NOTE IV. 

SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE 

(Art des constructions géométriques). 



La Gcométrographie a un quadruple objet : 

a. Au moyen de certaines conventions, elle donne, pour une con- 
struction quelconque exécutée, un symbole qui est une sorte de mesure 
de sa simplicité et des chances de sa plus ou moins grande exactitude. 

b. Elle conduit aux procédés pour effectuer, le plus simplement pos- 
sible, une construction déterminée indiquée par la Géométrie. 

c. Elle discute, quand il y a lieu, une construction dont le principe 
est donné, pour y substituer une construction plus simple qui peut 
arriver à différer tout à fait de la première indication. 

d. Elle permet de comparer entre elles toutes les constructions que 
l'on connaît d'un même problème et de choisir parmi celles-là la plus 
simple que l'on appelle la construction gêométrographique du problème, 
jusqu'à ce qu'on en ait trouvé une plus simple, s'il y en a, qui devient 
alors la construction gêométrographique de ce problème. 

La Géométrographie a un côté tout spéculatif, parce que les hypo- 
thèses qu'elle fait doivent s'écarter de la réalité pratique. Voici ces 
hypothèses : La Géométrographie suppose que la feuille du dessin 
est aussi grande qu'il est nécessaire à l'exécution intégrale de la con- 
struction ; elle suppose que les instruments dont on se sert : compas, 
règle (et équerre, lorsque son usage est admis) sont aussi petits ou 
aussi grands que le demande le tracé; elle suppose qu'un point est éga- 
lement bien déterminé quel que soit l'angle sous lequel se coupent les 
lignes qui le placent; elle suppose l'existence matérielle du point et de 
la ligne. 

La Géométrographie guide donc le traceur d'une façon analogue à 
celle dont la Mécanique rationnelle guide l'ingénieur, mais de beaucoup 
plus près. 

A moins que le contraire ne soit particulièrement spécifié, l'évalua- 
tion gêométrographique d'une construction doit se faire avec un seul 



5l6 NOTE IV. 

compas et, lorsqu'un cercle se trouve Iracc comme donnée, on suppose 
que son centre est place. 

Lorsque les données ne sont pas données en position, mais seu- 
lement en grandeur, on convient de ne pas exécuter l'épure sur elles. 
Voici un exemple des deux cas qui se présentent : pour diviser une 
droite donnée AB, en moyenne et extrême raison, je ferai évidemment 
l'épure sur AB; mais, pour construire un triangle ABC, connaissant un 
côté BG, l'angle opposé BAC et la somme des deux autres côtés AB+AC, 
je supposerai que j'ai sur l'épure, à l'origine, une longueur égale àBC, 
un angle égal à BAC et une longueur égale à AB -h AC, mais je no 
construirai le triangle ABC sur aucune des données. 

NOTATIONS. 

Faire passer le bord d'une règle par un point placé s'appellera V opé- 
ration Ri ou, pour abréger, op.: (Ri); donc, spéculathcment, faire 
passer le bord d'une règle par deux points sera op.: (2R1). 

Tracer une ligne en suivant le bord de la règle sera op. : (Ro). 

Mettre une pointe du compas en un point placé sGVdi op.: (Cj); donc, 
spéculativement, prendre dans le compas la distance de deux points 
placés sera op.: ('2C1). 

Mettre une pointe du compas en un point indéterminé d'une ligne 
tracée sera op.: (G2). 

Tracer le cercle sera op. : (C3). 

Nous supposerons que, toute droite tracée et que tout cercle tracé 
dans le cours d'une construction, le sont en entier : 

A la Géométrie canonique des Grecs, qui n'admet que les solutions 
par la droite et le cercle, correspondra la Géométrographie canonique 
qui admettra seulement la règle et le compas comme instruments de 
construction. Pour elle, une construction, si compliquée qu'elle soit, 
s'exprimera par le symboleop.: (/1R1-+- UKi^ miCi-\- //zsCo-h/wsCs). 

Nous appellerons le nombre /i + Zo-f- /"i4- wo + '^^Sî coefficient de 
simplicité ou simplicité ùq la construction et le nombre /iH-mi + w, 
coefficient d'exactitude ou exactitude {^), U sera le nombre des droites 
tracées, mz celui des cercles. 

La méthode géométrograpliique est une méthode générale pour tout 
genre de constructions, quels que soient les instruments que l'on em- 



(') Il est clair que la simplicité do la construclion varie en raison inverse 
du coefliciont de simplicité et qu'il eût été plus exact de dire coefficient de com- 
plication; mais comme ce que l'on a en vue c'est la simplicité et non la com- 
plication, nous avons préféré la déncmination i^n le rappelle; la chose n'a aucun 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPIIIE. 01 7 

ploie; si l'on admet, par exemple, le compas de proportion, etc., il 
suffit d'employer des symboles nouveaux particuliers à ces instruments 
et d'étudier les constructions en les employant avec ceux du compas et 
de la règle. 

Mous allons donner aussi les symboles de l'équerre, car, sauf lorsque 
l'on exige une iiaute précision, l'équerre est admise généralement pour 
les constructions des figures de Géométrie, surtout pour les tracés 
de la Géométrie descriptive. 

Nous gardons pour l'équerre les symboles Ri, R2 de la règle pour 
les opérations identiques faites avec le nouvel instrument ; seulement, 
nous accentuons le symbole op.: (Ri), c'est-à-dire que nous écrivons 
op.: (Rî), uniquement pour indiquer à peu près, à première vue du 
symbole, la plus ou moins grande importance du rôle de l'équerre dans 
une construction ; pour la même raison, nous accentuons même le sym- 
bole op.: (Ri) de la règle lorsqu'elle sert au tracé qui va se faire 
ai'ec l'équerre; mettre le bord de la règle ou de l'équerre en coïnci- 
dence avec u/ie droite tracée, est assimilé à le faire passer par deux 
points et désigné par op.: (2R1); on ne fait jamais cette opération 
dans la Géomélrographie canonique. 

Faire glisser l'équerre le long du bord de la règle jusqu'à ce que lo 
bord convenable de l'équerre passe par un point placé sera op. : (E); 
c'est, en réalité, le seul symbole particulier à l'équerre. 

Le symbole de toute construction faite avec la règle, le compas et 
l'équerre sera donc 

op. : ( /i Ri + 1\ Ri -h 1% R2 + Tii^ Cl 4- m2 C2 4- m3 C3 -1- /ïE ) ; 

le cojficient de simplicité est 

h H- l\ -r-h+ mi 4- ma -+- m^ -{- n ; 

celui d' exactitude 

h -+- l'i ■+• 'Ui -+- m^ 4- n ; 

lî est le nombre des droites tracées; m^ celui des cercles. 

Ri, R'i, R2, R3, E, Ci, C2, Ca sont ce que nous appellerons les opéra- 
tiens élémentaires des constructions. 

Une construction, pour être dite la construction géométrographiqua 
d'un problème, doit être générale, c'est-à-dire s'appliquer à ce pro- 



inconvénient et il y a dans la science de nombreuses anomalies de même 
genre; le coefficient d'élasticité d'un corps, par exemple, est d'autant plus petit 
que l'élasticité du corps est plus grande. Nous ferons la même remarque pour 
la dénomination choisie par nous : coefficient d'exactitude. 



5l8 NOTE IV. 

blême, quelles que soient les grandeurs et les positions des données. 

La notation A(p) ou A(BG) désignera le cercle de centre A et de 
rayon p ou BG. 

Je conviens de définir la simplicité d'une construction par son coef- 
ficient de simplicité; la construction géométrographique sera donc celle 
qui a le coefTicient de simplicité le plus petit. S'il y en a plusieurs 
ayant le même coefficient minimum, elles seront toiites dites construc- 
tions géométrographiques. 

PROBLÈMES. 

I. Tracer une droite quelconque ; 

op. : (Ra)^ 
IL Tracer une droite qui passe par un point placé ; 
op. : (R1-+-R2). 

III. Tracer une droite passant par deux points placés; 

op. : (2R1 + R2). 

IV. Tracer un cercle quelconque; 

op. : (C3). 

V. Tracer un cercle quelconque dont le centre est placé; 

op. :(Ci+C3). 

VI. Prendre avec le compas une longueur donnée AB; 

op. : (2G1). 

VIL Tracer un cerch dont le rayon est une longueur donnée et le 
centre un point place'; 

op. : (SGi + Cs). 

VIII. Porter sur une ligne donnée, à partir d'un point indéterminé 
de cette ligne ou à partir d'un point placé sur cette ligne, la longueur 
comprise entre les branches du compas; 

op. : (C2-1-G3) ou op. .-(Ci + Cs). 

IX. Tracer un angle droit ou tracer deux droites perpendiculaires 
entre elles. 

a. {Première construction géométrographique.) — Je trace une droite 
(R2), un cercle de centre quelconque et coupant la droite en A et 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. DÏQ 

"^en B (C3); je trace BO qui coupe le cercle en G (2II1+ R2), puis AG 
(2RiH- R2); l'angle CAB est droit; 

op. : (4R1+3R0+C3); 
simplicité : 8; exactitude : 4; 3 droites, i cercle. 

b. {Deuxième construction géométrographique.) — Je trace deux 
cercles se coupant en A et A', mais de centres quelconques et 0' et 
de rayons quelconques (2C3); je trace leur intersection AA' (2R1+ R2) 
et je trace 00' (2RiH- R2); 00' et AA' sont perpendiculaires; 

op. : (4Ri+2R2-h2G3); 
simplicité : 8; exactitude : 4; deux droites, 2 cercles. 

c. {Troisième construction géométrographique.) — Je trace une 
droite quelconque 00' (R2), je trace deux cercles quelconques ayant 
leurs centres sur cette droite en deux points quelconques et 0' et se 
coupant en A et A' (2G2-1- 2G3). Je trace AA' (2RiH-R2), AA' et 00' 
sont perpendiculaires; 

op. : (2R1 + 2R2-1- 2G2-I-2C3); 
simplicité : 8; exactitude : ^] 1 droites, 2 cercles. 

d. {Construction géométrographique avec l'équerre.) — La règle 
étant mise en coïncidence avec l'hypoténuse de l'équerre, je trace une 
droite le long d'un certain côté d'un angle droit de l'équerre (R2), jo 
donne à l'équerre, du côté convenable, un mouvement arbitraire de 
glissement sur la règle et je trace une droite le long de l'autre côté 
de l'équerre (R2); l'angle des deux droites tracées est droit; 

op. : (2R2); 
simplicité : 2 ; 2 droites. 

X. Construire un angle de 60° {ou de 120°). 

{Construction géométrographique.) — Je trace un cercle 0(p) de 
centre quelconque 0, et de rayon quelconque p, (G3); A étant un point 
quelconque de ce cercle, je trace A(p) qui coupe 0(p) en B (G24-G3), 
je trace OA, OB (4 Ri -h 2R2), les droites OA et OB font entre elles les 
angles demandés; 

op. : (4R1 + 2R2+G2+2G3); 

simplicité : 9; exactitude : 5; 2 droites, 2 cercles. 

XT. Tracer un cercle passant par deux points A et B. 
[Construction géométrographique.) — p étant quelconque, je trace 



520 NOTE IV. 

A(p), B(p) qui se coupent en C(2Ci-}- 2C3). Je trace C(p) (Ci-+- C3) : 
c'est le cercle cherché ; 

op. : (3Gi4-3C3); 
simplicité : 6; exactitude : 3; 3 cercles. 

XII. Placer le centre d'un cercle tracé, si le centre n'est pas 
marqué. 

{Construction géométrographique .) — A, B, G étant trois points 
arbitraires du cercle, je trace A(p), B(p), C(p), p étant quelconque, 
mais tel que ces trois cercles se coupent (3C2-i-3C3). Je trace les 
intersections de A(p), B(p) et de B(p), G(p) (4Ri4-2R2); ces deux 
droites se coupent en 0, centre cherché; 

op. : (4Ri+2R2-f-3C2-f-3G3); 
simplicité : 12; exactitude : 7; 2 droites, 3 cercles. 

Remarquons que la distance OA, qu'il n'y a pas besoin de tracer, 
est le rayon du cercle; il est obtenu en môme temps que le centre, 
donc par le même symbole, mais ce n'est pas la construction géomé- 
trographique du rayon dont la simplicité est 7 {voir XUI). 

XIII. Trouver le rayon d'un cercle tracé dont le centre n'est pas 
placé. 

{Construction géométrographique) {fg. i). — D'un point P quel- 
conque du cercle tracé comme centre, je trace P(p) (C2-t-G3) qui 




coupe le cercle en A et en B, je trace B(p) (Gi-i- C3) qui coupe P(p) 
en G à l'intérieur du cercle donné. Je trace AG (aRi + Rj), qui coupe 
le cercle donné en D; CD (ou DB) est le rayon cherché; 

op. : (îRi-hRa+Gi + Ga-H-iGa); 
simplicité : 7; exactitude : 4; ï droilc, 2 cercles 



SLR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 



► 21 



Pour trouver le centre du cercle, il suffit de tracer D(DG) 
(2G1-1- C3); B(DC) (Ci-f- C3) qui s'y coupent; 

op. : (sRi + Ra-h 4GiH- Co-i- 4C3); 
simplicité : 12; exaclilude : 7; i droite, 4 cercles. 

'est une seconde construction géométrograp/iique du Problème XII. 
Pour démontrer que CD = BD égale le rayon du cercle donné, il 
suffit de remarquer que le triangle CPB serait équilatéral; l'angle CAB 
qui a pour mesure ^CB est donc de Se"; dans le cercle donné, cet 
angle a pour mesure |BD, donc arcBD = 60", et sa corde DB est égale 
au rayon; DP serait la bissectrice de l'angle BDA, puisque 

arcBP = arcPA. 

Donc DG = DB égale le rayon. 

XIV. Par un point donne B sur une droite BG, tracer une seconde 
droite qui fasse avec îa première un angle égal à un angle donné DAE. 

{Construction géométrographique.) —Je trace, p étant quelconque, 
A(p) qui coupe AD en D, AE en E (G1+G3), je trace B(p) (Gi-f-Gs), 
qui coupe BG en G; je prends DE dans le compas et je trace G (DE) 
(SGi + Gs), qui coupe B(p) en F, je trace BF (2Ri-hR2): c'est la 
droite cherchée ; 

op. : (2Ri-+-R2-h5G,4-3G3); 
simplicité : ii; exactitude : 7; i droite, 3 cercles. 

XV. Étant donnés trois points A, B, G, placer le symétrique G' de G 
par rapport à la droite qui joindrait A e^ B. 

{Construction géométrographique.) — Je trace A(AG), B(BG) qui so 
coupent au point G' cherché; 

op. :(4Ci+2C3); 
simplicité : 6; exactitude : 4; 2 cercles. 

XVI. D'un point G pris hors d'une droite AB,/ibaisser une perpendi' 
culaire sur cette droite {\ o'ir Jig. ii4, p. 94). 

{Construction géométrographique.) 

op. : (2Ri-i-R2-H3Ci4-3C3); 
simplicité : 9; exactitude : 5; i droite, 3 cercles. 

{Construction géométrographique avec l'équerre.) — Je mets un cer- 
tain côté de l'angle droit do l'équerre en coïncidence avec AB (2 11'^); 



522 NOTE IV. 

la règle étant alors plaquée sur l'Iiypoténusc de Féquerre, je fais glisser 
l'équerre jusqu'à ce que l'autre côté de l'angle droit de l'équerre passe 
en C op.: (E), je trace une droite le long de ce côté, op.: (R2); 

op. : (ïR'i + lU-hE); 
simplicité : 4; exactitude : 3; i droite. 

XVII. Par un point C, pris sur une droite AB, élever une perpendi- 
culaire sur cette droite (voir fig. 11 3, p. 94). 
Le symbole, de cette construction est 

op.:(2R,-+-R2+3Ci + 3C3); 
simplicité : 9; exactitude, 6; r droite, 3 cercles. 

(Construction géométrograplnque) (voir fi g. 91, p. 95). — La 
construction qui est indiquée page 93, n° 156, comme devant être 
employée lorsque le point par 011 il faut élever une perpendiculaire 
siir la droite est à l'extrémité de celle-ci, est préférable à la construc- 
tion donnée comme construction générale; car elle a pour symbole 

op.:(4Ri + 2R2 + Gi + C3); 
simplicité: 8; exactitude, 5; 2 droites, i cercle. 

XVIIL Mener une perpendiculaire sur une droite en son milieu 
{No'wfig. 109, p. 92). 

op.:(2Ri-l-R2-f-2Ci + 2C3); 
simplicité: 7; exactitude: 4; i droite, 2 cercles. 

XIX. Par un point A mener une parallèle à une droite BC. 

La construction classique, séculaire pour ainsi dire, donnée page 90, 
fig. 106, a pour symbole 

op.:(2Rx+R2"-+-5Ci-+-3C3); 
simplicité: 11; exactitude: 7; i droite, 3 cercles. 

Elle peut être notablement réduite, comme le montrent les deux con- 
structions géométrographiques qui suivent : 

Première construction géométrographique {fig. loC)'''"-^). — Je trace 
A(p)(CiH- C3), p étant quelconque mais assez grand pour couper BC 
en B, je trace B(p)(Gi + C3) qui coupe BC en C, puis C(p) (d-l- C3) 
qui coupe A(p) déjà tracé en D. Je tire AD (2 Ri -h R2), c'est la paral- 
lèle cherchée, puisque la figure ACBD serait un losange. 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 52"3 

op.:(2Ri-hR2+3Ci + 3C3); 
simplicité : 9; exactitude 5; i droite, 3 cercles; 

La construction ne comporte aucune ambiguïté, il y en a une pos- 
sible dans la construction classique, puisque (/%•. 106, p. 90) le cercle 

Fig. io6^»» 



JC 



C(AB) y coupe le cercle A(AG) en deux points. Ce défaut est, d'ail- 
leurs, pratiquement, sans aucune importance. 

Seconde construction géométrographique {fig. 106''^^). — Je trace, 
étant arbitraire, un cercle 0(0A) (GiH- C3) qui coupe BG en B et 

Fig. loG'^'-. 



A/ 




\^ 


/ 








•0 


1 

; 






/ 


B^\ 




/'c 



en G, je décris le cercle G(BA)(3Gi-i- G3) qui coupe 0(0A) en D du 
même côté de BG que A, je trace AD(2Ri-hRa) qui est la parallèle 
cherchée. 

op.: (2Ri-i-R2H- 4G1 + 2C3); 

simplicité : 9; exactitude : 6; i droite, 1 cercles. 

Dans la première des deux constructions géométrographiques la simpli- 
fication, qui est de deux opérations élémentaires, ne porte que sur les 
opérations de préparation, c'est-à-dire sur le coefficient d'exactitude; 
dans la seconde, elle porte, pour une unité sur le coefficient d'exacti- 
tude et pour une unité sur les opérations de tracé; elle comporte, en 
effet, un cercle de moins à tracer que dans la construction classique 
enseignée partout jusqu'ici dans tous les Traités de Géométrie en 
France. Il y a des pays où la construction classique est autre : en 



524 NOTE IV 



Russie, en Italie, par exemple. La voici {JI^, i) : Par A, je mène une 
droite quelconque qui coupe en G la droite nC(Ri-+- lU) ei je fais en A 



Fi; 



■r^ 



avec AC un angle GAD = ACB ('2Ri-j- Rs-h 5Ci-i- 3C3); ces deux angles 
occupent les positions d'alternes internes. 

op. : (3 Ri -{- 2R2 -^ 5 Cl -4- 3 C3) ; 
simplicité : i3; exactitude : 8; 2 droites, 3 cercles. 

Quoique plus simple à énoncer que la construction classique française, 
elle est plus compliquée qu'elle de deux opérations élémentaires, dont 
le tracé d'une droite, et plus compliquée de quatre opérations que les 
tracés géométrographiques. 

Il faut bien se mettre dans l'esprit, d'ailleurs, que si l'on considère 
deux constructions différentes d'un même problème, dérivant de deux 
solutions différentes de ce problème, il n'y a aucune raison de déduire 
de ce que l'une serait beaucoup plus simple à démontrer et à énoncer 
que l'autre, pour le géomètre, qu elle sera la plus simple à construire; 
c'est, souvent, la plus compliquée. Ajoutons que celle qui était la 
meilleure pour le géomètre doit le rester cependant encore pour lui, 
quelle que soit sa complexité géométrographique; il se place à un point 
de vue tout autre que le constructeur, dont le point de vue spécial 
n'avait jamais été étudié systématiquement, ni même signalé comme 
distinct; c'est lui qui a constitué la Géométrographie. 

XX. Placer le quatrième sommet D d'un parallélogramme ABCD, 
les trois sommets A, B, G étant placés; AD et BG devant être parallèles 
et de même sens. 

{Construction géométrographique.) — Je prends BG dans le compas 
et je trace A(BG)(3Gi -h G3); la pointe étant alors en A, je prends 
AB(Gi) et je trace G(AB) qui coupe A(BG) en D du côté opposé de AG 

queB(Gi4-G3). 

op.:(5Gi-h2C3); 

simplicité : 7 ; exactitude : 5 ; 2 cercles. 



SUR LA GÉOMÉTROGRArilIE. 



523 



XXI. Mener par A une parallèle AD ù une droite non tracée mais 
déterminée par deux de ses points B e? C. 

(Construction géométrograpliique.) — Je place D comme dans la 
construction XX et je trace AD(2Ri-hR2). 

op.: (2Ri-hR2-{-5Gi-i-2C3); 
simplicité: lo; exactitude: 7; i droite, 2 cercles. 

XX IT. Diviser en deux parties égales l'arc AB d'un cercle donné ou 
un angle AOB. 

p étant quelconque mais plus grand que -1 AB, je trace A(p), B(p), 
(2 Cl -4- 2C3) qui se coupent en E, je trace la ligne qui joint E au centre 
du cercle (2R,h-R2). Cette ligne coupe le cercle entre A et B au 
point D qui divise l'arc AB en deux parties égales. 

op.: (2Ri+R2-h 2Ci4-2C3); 

simplicité : 7; exactitude : 4 ; » droite, 2 cercles. 

Si c'est l'angle AOB qu'il faut diviser, j'ai, de plus, à tracer un 
cercle 0(0A), OA étant quelconque (Gi-f- Co), qui coupe OB en B et 
OA en A. Le symbole sera 

op.:(2Ri + R2+3C,H-3C3); 
simplicité : 9; exactitude: 5; i droite, 3 cercles. 

Nous allons étudier la construction de la page 93 indiquée par 
Iay%. 112 pour le cas où les deux droites OA, OB ne peuvent être pro- 
longées jusqu'à leur rencontre; chemin faisant, nous mettrons, en 
relief, la différence radicale des points de vue du géomètre et du géomé- 
trographe, et, en œuvre, l'exemple de ressources que la Géométrogra- 
pliie possède pour remplir les objets qu'elle a en vue et que nous 
avons signalés au commencement de celte Note. 

La construction donnée dans le texte est excellente pour le géo- 
mètre, car elle est presque intuitive dans sa simplicité d'exposition, 
mais fort mauvaise le compas à la main. Appliquons au pied de la 
lettre ce qui est dit n° 133, page 93. On mène une perpendiculaire 
quelconque EP [fg. 112) sur AB et une perpendiculaire quelconque 
FQ sur CD; en employant les procédés du livre, classiques d'ailleurs 
partout jusqu'ici, on aies opérations 

(4Ri-h2R2-h4Ci+ 2C2-h6C3); 

on prend sur ces perpendiculaires les deux longueurs quelconques 



5^6 NOTE IV. 

égales FH et EG(2Gi-H 2C3); par H et par G on mène des parallèles 
respectivement à CD et AB 

(4R1+2R2+ 10C1 + 6C3); 

le point M où elles se coupent est un point de la bissectrice cherchée; 
il faut obtenir par le même moyen un second point M' de la bissectrice 

(SRi-f- 4R2-MGC1 4- 2C2-f- 14C3) 

et tracer MM'(2Ri'-{- R2). En tout : 

op.:(i8Ri4-9R2+32Ci4-4C2+28C3); 
simplicité : 91; exactitude : 54; 9 droites, 28 cercles. 

L'emploi de l'équerre, pour exécuter cette construction, donnerait le 
svmbole 

op. : (iSR'i + 9R2-i- 4:E -h 4C, H- 4C3); 

simplicité: 39; exactitude: 26; 9 droites, 4 cercles. 

En nous bornant à compter ainsi les constructions faites, nous rem- 
plissons le premier objet de la Géométrographie. 

Si l'on construit la bissectrice d'après cette solution géométrique, 
il est certain que, sans aucune notion de Géométrographie, on pourra 
éviter un tel luxe de constructions inutiles et que l'on apercevra des 
simplifications évidentes, par exemple qu'il suffit de mener une per- 
pendiculaire à chacune des droites, puisqu'on peut prendre sur elle 
deux autres longueurs égales entre elles Fil', EG', etc., et obtenir le 
second point M', etc. ; pour un géomètre habitué à effectuer des con- 
structions, la chose ne semble pas faire de doute, mais cependant l'idée 
de la simplification systématique d'une construction donnée est si peu, 
jusqu'ici, dans l'esprit du géomètrf\ qu'il pourra les exécuter maciii- 
nalement telles qu'elles sont énoncées ; j'ai fait l'expérience, pour ce 
problème, sur quatre personnes et il n'y en a qu'une seule qui ait 
légèrement simplifié l'opération. 

On apercevra un autre côté de la Géométrographie en se proposant, 
non plus de compter seulement les constructions faites, mais de 
chercher à obtenir les points M et M' le plus simplement possible 
sans changer d'abord le principe de la construction. Voici un moyen 
qui se présente naturellement à l'esprit : 

Je trace un cercle quelconque (C3) mais coupant l'une des droites 
données AB en E et Ei, l'autre CD en F et Fi ; par le moyen de ce 
cercle, je mène les perpendiculaires à la droite AB en E et en Ei et à 
la droite CD en F et en Fi (i6Ri-i- 8R2). Je prends dans le sens con- 
venable, sur ces perpendiculaires, Ee = Eiet = F/= Fj/j; je trace 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 



52' 



6<^u fji qui se coupent en M(4Ri-h 2R2-4- 4Gi-i- 4C3); j'ai de même M' 
par (4 Ri 4- 2 Us -f- 3Ci-i- 4C3), en prenant Ee'= Eje', = Ff'=Fif\ et 
traçant e'e'i , f'f\ ; enfin je trace MM' (-2 Ri -f- R2 ) : 

op. : (26Ri-i- i3a24- 7C1 -+- 9C3); 
simplicité: 55; exactitude: 33; i3 droites, 9 cercles. 

Pour placer M', j'ai compté un Ci de moins que pour placer M, parce 
que, en supposant que j'aie placé les points e, ci, f, fi dans cet ordre, 
je laisse la pointe en /i pour placer f\ en modifiant seulement l'ou- 
verture du compas. 

En s'appiiyant sur le même principe du tracé de parallèles équidis- 
tantes des deux droites, on peut encore diminuer le symbole précédent 
en opérant ainsi : de deux points quelconques comme centres (un point 
étant pris sur chaque droite), on décrit deux cercles de même rayon 
quelconque, on obtient facilement dans c'es cercles des cordes parallèles 
à la droite sur laquelle est leur centre et équidistantes de ces droites; 
ces cordes se coupent en un point de la bissectrice cherchée, etc. On 
arriverait, finalement, à la trouver ainsi par : 

op. : (10R1-1-5R2 + 7G1-1- 2G2+ 10C3); 
simplicité : 34; exactitude : 19; 5 droite, 10 cercles. 

Après avoir étudié le symbole de diverses constructions de ce 
même problème, je suis arrivé, finalement, à choisir^ comme construc- 
tion géométrographique, celle qui suit : 

Conslructinn géométrographique {fg. 112''^"). — G étant un point 



FJî 




>P' 



arbitraire de GD, je trace un cercle G(p)(G2-+- C3) de rayon arbi- 
traire, qui coupe GD en D, AB en A. Je trace A(p)(GiH-G3) qui coup© 



528 NOTE IV. 

AB en B, puis D(p)(Ci-4- C3) qui coupe A(p) en E du môme côté do 
CD que A. Je trace BE('2RtH-B2) qui coupe CD en D'. Comme la 
figure AEDG serait un losange, AE serait parallèle à CD, EAB sérail 
isocèle ainsi que BOD', si l'on appelle le point où se couperaient CD 
et AB. La perpendiculaire au milieu de BD' sera donc la droite cher- 
chée, laquelle s'obtient en traçant les deux cercles B(p')(Ci-+-C3), 
^'ip') (Ci-hCa), p' étant quelconque, qui se coupent en M et M' et 
traçant MM'(2Ri + R2). 

op . : (4 R 1 + 2 B 2 + 4 C 1 + C 2 + 5 C 3 ) ; 
simplicité: iG; exactitude: 9; adroites, 5 cercles. 

Si l'on voulait employer l'équerre, on mènerait une parallèle quel- 
conque AE à Ci) (2R1 H- R2). on décrirait un cercle quelconque A (AE) 
coupant AE en E et AB en B op. :(Ci-f-C3), on tracerait BE op.: 
(2RiH-R2), coupant DC en Depuis on tracerait la perpendiculaire au 
milieu de BD' (2R1-1- R2-+-2Ci-f- 2C3) : 

op.: (4Ri+2R;-+-3R2-f-3Ci4-3C3); 
simplicité : i5; exactitude : 9; 3 droites, 3 cercles. 

De 91 opérations élémentaires à 16 avec la Géométrograpliie cano- 
nique et de 39 à i5 en admettant l'emploi de l'équerre, telles sont les 
réductions que la Géométrographie conduit à opérer dans la construc- 
tion de ce très simple problème. 

XXIII. Tracer le cercle circonscrit à un triangle donné par ses trois 
sommets A, B, C, ou tracer un cercle passant par trois points. 

Pour placer le centre 0, on a(4Ri-4- 2R2-+- 3Ci-f- 3G3), puis on met 
une pointe en 0, l'autre en A et l'on trace (0A)(2Ci-+- C3): 

op. :(4Ri4-2R2+5Ci-4- 4C3); 
simplicité: i5; exactitude, 6; 2 droites, 4 cercles. 

XXIV. Mener, par un point donné A, une tangente à un cercle 

Premier cas. Le point A est sur le cercle. 

Construction geomcirographique {fig. 11 5'^''^). — B étant un autre 
point quelconque du cercle, je trace B(BA) (Ci + C2-f- C3) qui coupe le 
cercle donné en A'; je trace A(AA') (2Ci-h C;,) qui coupe B(BA)en C. 
Je trace CA(2Ui-hR2), c'est la tangente cherchée; car BA est la bissec- 
trice de l'angle A' AC ; la mesure de BAA'= BAC est -} arc BA' = ^ arc BA. 
BAC ayant pour mesure J are BA, AG est la tangente en A au cercle. 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 520) 

>h voit que celte cor.siruclion n'exige pas que le centre du cercle 
5oit placé. 

(p. :(2T{i-^Ro-h 3Ci-f-C2-i-2C3); 
simplicité : 9; exaclilude : 6; i droite, 2 cercles. 

Remarquons qu'avec le compas seul on peut ainsi (Jélerminer une 

Fisr. ,i5'- 




rnfinllé de points C de la tangente en A à- un cercle, tels cependant 
<iue CA < 2R. 

Le symbole delà construction de la //'if. ii5, p. 96, construction classique, 
exécutée telle qu'elle est indiquée, serait le tracé de OA (2R1-4- Rj), 
celai de la perpendiculaire en A à 0A(2Ri-f- Ro-h 3Ci -+- 3C3): 

op. : (4 Ri -H 2R2-h 3Ci-f- 3C3); 
simplicité: 12; exactitude: 7; 2 droites, 3 cercles. 

En employant la construction géométrographique pour mener la per- 
pendiculaire en A à OA, on trouverait 



op. : (GRiH-3R2 



Cs); 



simplicité: 11; exactitude: 7; 3 droites, i cercle. 

Deuxième cas. Le point A est hors du cercle. 

Première construction géométrographique {fg. 116*"). — Je trace un 
diamètre quelconque dont les extrémités sont M et M'(Ri-hR2). Je 
trace les cercles M(OA), (SCi-i-Ca), M'(0A)(Ci-hC3) se coupant 
en C, puis le cercle A(CO) (3Ci-f- C3) qui coupe le cercle donné aux 
points de contact B et B'; je trace alors AB, AB'(4Ri-h 2R2) qui sont 
les tangentes menées par A au cercle donné; on voit, en effet, que les 
triangles rectangles COM, ABO seraient égaux comme ayant les côtés 
CM = OB et les hypoténuses MC = OA. 

R. et DE G. — Tr. de Géom. (1" Partie). 34 



53o 



NOTK IT. 



op.: (ôRi-HSRs+yCi-hSCs); 
simplicité: i8; exactitude: 12; 3 droites, 3 cercles. 

Fijr. 116''". 




Le symbole de la construction classique de la /7^. 116, p. 96. est: 

op.: (8l\i-i-4R-2+4Ci-H3 3); 
simplicité: 19; exactitude: 12; 4 droites, 3 cercles. 

Deuxième construction géométrographique {fig- iiG^^'*). 
Fig. II6''■^ 




■^-V,o. 



Je trace par A une droite quelconque coupant le cercle en B et G 
(R1-4-R2), les trois points se suivant dans cet ordre A, B, G; je trace 
C(CA)(2Ci-+-C3), B(CA)(Ci + C3), qui coupe BA en D de l'autre côté 
deB que G, puis D(GA) (G1-+-C3), qui coupe C(GA) en E. 

EB ou EA, qu'il est inutile de tracer, est la moyenne proportionnelle 
entre AB et AG, car les deux triangles isocèles GEA, EBA seraient 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 



53 1 



semblables comme ayant un angle à la base EAG commun et donne- 
raienl 

EB _ AB 

AC ■" EG 

Je trace A(AE) (2 Ci -+- G3) qui coupe le cercle donné aux points do 
coulact L et L', je trace alors AL, AL' (4^1-+- 2II-2) 

op.: (5RiH-3R2+6Gi-h4C3); 
simplicité : 18; exactitude : [i ; 3 droites, 4 cercles. 

Gelte construction n'exige pas que le centre du cercle soit placé. 

XXV. Décrire sur une droite donnée AB un segment capable d'un 
angle donné. 

Construction classique (^flg. 119), p. 99. — Pour construire en B 
un angle ABO égal au complément de l'angle donné, il faut d'abord 
construire ce complément sur l'angle donné; on trouverait en exécutant 
toutes les constructions telles qu'elles sont indiquées: 

op. : (6Ri-H3i\2-^- 11G1+8G3); 
simplicité : 28; exactitude : 17; 3 droites, 8 cercles. 

On pourrait économiser (Gi-i-Ga) en élevant la perpendiculaire au 
milieu de AB en môme temps qu'on trace l'angle ABO, en se servant 

d'un cercle tracé de comme centre avec le rayon ( supposé > -;— ) 
qu'on a dans le compas. 

Construction gebmétrograp/iique ifig' 119*'^). — Soit ays l'angle 
donné; si Ton imagine le triangle isocèle ays où ^^c = as = AB et dont 

Fig. 119''". 




~r-. 



le centre du cercle circonscrit est w, que l'on appelle X le milieu de y« 
les triangles rectangles 0E13 (/?"«•. 119) et wXa (y7^. 119'^'^; sont égaux 



532 NOTE IV. 

comme ayant les angles OBE, waX égaux et EB = aX; wa sera donc le 
rayon du cercle segment capable cherché. 

Je construis coXa de la façon suivante: je trace y(AB) (SCi-f-Cs) 
qui place a, a(AB)(Gi-H C3) qui place s, je trace e(AB)(Ci-f- C3), 
puis l'intersection des deux cercles £(AB), y(AB)(2Ri -f-B2), ce qui 
place aw; puis l'intersection des deux cercles 7(AB), a (AB)(2Ri-i-R2) 
qui place wX et, par suite, w. Pour placer {fg. 119) maintenant, je 
trace A(aja), B(toa)(4Gi H- 2C3) dont est l'intersection; je trace 
enfin 0(wa)(CiH- C3), cercle auquel appartient le segment cherché. 

op. : (4Ri-i-^R2H-ioCi-+-6G3); 
simplicité: ii\ exactitude: 14; 2 droites, 6 cercles. 

XXVI. Mener les tangentes communes à deux cercles et 0' dt^ 
rayons R et W . 

Nous allons traiter le cas où les deux cercles sont extérieurs, où il 
y a par conséquent quatre tangentes communes à tracer; l'examen de 
tous les cas n'offre point de difficultés, nous laisserons le lecteur faire 
lui-même la discussion. 

Première construction^ n" 163, p. 100. 

La construction indiquée ne l'est naturellement qu'au point de vue du 
Géomètre, sans entrer dans les détails précis d'exécution; en construi- 
sant, d'après les errements des constructions précédemment énoncées 
dans le cours de l'Ouvrage, sans l'idée de la recherche systématique 
de simplifications, on arrive, pour construire les quatre tangentes, au 
symbole : • 

op. : (28Ri-h i4R2-+-3iC,-Hi9C3); 

simplicité: 92; exactilude : 69; 14 droites, 19 cercles. 

Sans aucun principe de Géométrographie, il y a des simplifications 
évidentes et, avec un peu d'attention, on n'arriverait pas à un symbole 
aussi élevé; mais, exécutée devant moi, par des géomhlvQS non pré- 
venus, elle n'a jamais été faite avec moins de 78 opérations élémentaires. 
En la traitant économiquement, suivant les principes géométrogra- 
phiques, sans rien changer à la solution géométrique, on arrive au 

symbole : 

op. : (24R1-1- i2R2^iiGi-h8G3); 

simplicité : 55; exactitude : 35; 12 droites, 8 cercles, 

et je ne voudrais pas affirmer qu'il ne puisse encore être un peu di- 
mmué. 



SUR LA GÉOMÉTROGRAPHIE. 



533 



Deuxième construction, n° 260, p. 176. — En exécutant les opéra- 
tions indiquées dans le texte, on arrive au symbole : 

op. : (2iRi + iiR2-hi3Ci-{-9G3); 
simplicité: 54; exactitude: 3'4; 11 droites, 3 cercles 

Elle ne prête pas à des simplifications aussi nombreuses que la pre- 
mière, car en l'exécutant avec l'économie géométrographique, je trouve 
le symbole : 

op. : (iSRiH-gRs-hi^Ci + SCa); 

simplicité: 45; exactitude: 3o; 9 droites, 8 cercles. 

Si elle a l'inconvénient d'être, telle quelle, souvent inexécutable 
parce qu'il faudrait sortir des limites de l'équerre, ce qui n'a pas lieu 
pour la première, elle paraît, en tous cas, et est dite par les géomètres, 
plus simple que la première. 

Construction géométrographique (fig. 3). 

Comme pour toutes les constructions à exécuter, on doit faire un 
croquis afin d'étudier les simplifications de tracé dont la solution 
géométrique est susceptible; en supposant le croquis fait, je vois que 



Fij?. 3. 




si j'appelle V, Vi, V, Y\ les points d'intersection des quatre tangentes 
communes, Vi V',VVi étant les deux tangentes communes extérieures, 
YV, Vi V'i les deux intérieures, les quatre points V, V, Vi, Y\ sont sur 
le cercle décrit sur 00' comme diamètre. Si l'une dos tangentes com- 
munes, VV par exemple, est tracée ain?i que ce cercle, les points Vi, 
V'i s'obtiendront avec une extrême simplicité, puisque V et Vi, V et V^ 



534 ?^OTE IV. 

sont sur le cercle 00' et symétriques par rapport à la droite 00'; il n'y 
aura alors qu'à les joindre convenablement pour avoir les trois autres 
tangentes communes. Je vais déterminer la tangente VV en me ser- 
vant du principe géométrique de la première construction (p. loo), 
c'est-à-dire mener du point une tangente au cercle 0'(R + R'). 

Je trace 00' (2R1 + R2), je marque sur O'O le point A tel que 
0'A = R + R' (SCi+Cs), je trace 0(p), 0'(p) (2C,-4- 2C3) qui se 
coupent en E, VJ. p étant quelconque; je trace, la pointe restant en 0', 
O'(O'A) (C1+C3), puis O(O'A) (Ci-f-Cg), dont j'aurai besoin plus 
tard; je trace EE' (2 Ri h- R2), qui coupe 00' en oj, je trace oj(œO) 
(2C1+ G3) qui coupe O'(O'A) en T au-dessus de 00' et O(O'A) en / 
au-dessous, je trace O'T et Ot (4Ri4- 2R2) qui coupent respective- 
ment les cercles et 0' en S au-dessous de 00' et en S' au-dessus. Je 
trace SS' (2R1 -^ R2), c'est une tangente commune intérieure; elle 
coupe to(wO) en V au-dessus de 00' et en V au-dessous. Je trace 
O'(O'V') (2Gi-t-G3), qui coupe a)(wO) en V; et je trace O'(O'V) 
(Ci-f-G3), qui coupe a)(wO) en Vi; enfin je trace ViV'j (2RiH-R2), c'est 
la seconde tangente intérieure. Je trace enfin Vi V, YV'i (4 Ri H- 2R2); 
ce sont les deux tangentes communes extérieures : 

op. : (I6Rl-^8R2-^I2G,-^8C3); 
simplicité : 44; exactitude : 28; 8 droites, 8 cercles. 

Voici quelques remarques importantes : La seconde construction, non 
géométrograpliique, donnée page 164, déduite d'une solution géométrique 
était réputée plus simple que la première — et le paraissait incontes- 
tablement, — on voit cependant, en traitant la première comme il con- 
vient par la môlhode géométrograpliique, que c'est elle que l'on réduit à 
être la plus simple et, de plus, elle ne dépasse jamais les limites de 
l'épure, ce qui n'est pas le cas de la seconde. 

Quand on clierclie à réduire les symboles, il faut souvent remar- 
quer l'influence de l'ordre dans lequel on eiroctue les constructions; 
ainsi, si l'on change l'ordre dans lequel nous avons indiqué les pre- 
mières opérations de cette construction en ne traçant les lignes qu'au 
fur et à mesure du moment où elles se présentent dans le raisonnement 
géométrique sans modifier cet ordre suivant les simplifications qui en 
peuvent résulter, on trouvera que le symbole est augmenté de quelques 
unités. Cela montre encore l'utilité du croquis préalable pour discuter 
!a construction. 

Nos figures doivent paraître, à l'œil, plus compliquées, en général, 
que les figures usuelles tracées pour développer les constructions; par 
exemple, la /ig. 3 contient beaucoup plus de lignes que les J?^. 120 



SUR LA GÉOMÉTROGUAPniE, 



53! 



ou 1201, mais c'est une pure illusion; les nôtres contiennent toutes les 
lignes qu'il faut tracer, et quelquefois d'autres en ponctué, pour l'explica- 
tion (par exemple dans la/-. 1, p. 622), tandis que les figures classiques 
ne contiennent que les lignes nécessaires à l'exposé et peu ou point des 
lignes auxiliaires tracées effectivement pour les obtenir. 

XXVII. Trouver la quatrième proportionnelle X à trois lignes don- 
nées M, N, P if g, 173, p. i63) X = ^. 



Fig. .73' 



■^B 



^^^. 






La construction exécutée par la méthode classique indiquée se tra- 
duit par le symbole : 

op. : (4Ri-f-4R2-+-i4C,+ 6G3); 
simplicité : 28; exactitude : 18; 4 droites., 6 cercles. 

Construction géomètrographique {fig, 173*^'^). — La construction 
s'appuie sur le lemme suivant : Soient AB, CD deux cordes parallèle